Я И Френкель
ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА
часть тш
ОНТИ • ГТТИ • 1СЗ&
я. и. ФРЕНКЕЛЬ
ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ф
ОНТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАД — 1934 — МОСКВА
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Второй том моей книги „Волновая механика" посвящен мате-
матической разработке теории. — разработке, которая приводит к
более глубокому пониманию ее основных принципов и ее связи с
классической механикой. Этой связи я почти не касался в первом
томе, где волновая механика излагалась скорее как аналог волновой
теории света, нежели как дальнейшее развитие классической меха-
ники, причем соотношение волновых представлений с корпускуляр-
ными представлялось, как число символическое.
Сравнение уравнения Шредингера с уравнением Гамильтона —
Якоби (гл. \ показывает, что первое является в известном смысле
лишь усовершенствованием второго. Далее введение операторного
метода, т. е. представление физических величин линейными опера-
торами (гл. II), позволяет формулировать законы новой волновой
механики уравнениями, внешне тождественными с уравнениями ме-
ханики классической. К тому же результату приводит метод мат-
риц (гл. III), позволяющий вместе с тем сформулировать Боровский
принцип соответствия, как приближенное равенство между элементами
матриц с одной стороны и гармоническими компонентами соответ-
ствующих величин, при разложении их в ряды Фурье.
Матричный метод имеет относительный характер, который вы-
является в теопии преобразований (гл. IV).. Эта теория скрывает
простую формальную сущность волновой или квантовой механики,
как своего рода аналитической геометрии в Гильбертовом простран-
стве, служащей для'определения вероятности различных состояний
и событий, и вместе с тем образует основу для теории возмущений
(гл. V), которая является основным методом для решения большин-
ства практических задач новой механики.
Далее дается релятивистски обобщенная и усовершенствованная
форма волновой механики электрона (гл. VI), приводящая к учету
магнитных сил, явления спина (Паул и-Д и р а к) и состояний с отри-
цательной собствен юй энергией, образующих основу Дираковской
теории позитронов.
Осталь"ые три главы книги посвящены волновой механике системы
частиц, причем прежде всего даются общие принципы, связанные с
4
Предисловие
методом конфигурационного пространства (гл. VII); далее (гл. VIII)
излагаются методы сведения задачи о движении многих частиц к
задаче движения отдельных частиц в заданном внешнем поле
(Слейтер, Дирак) или в самосогласованном поле, обусловленном
всеми остальными частицами. Последняя (IX) глава посвящена тео-
рии двойного квантования, позволяющей описывать движение лю-
бого числа тождественных частиц как распространение волн с кван-
тованными амплитудами, причем число частиц выступает, как своего
рода новое квантовое число. Наиболее совершенной формой этой
теории является квантовая электродинамика Гейзенберга —
Паули и Дирака, которая изложена весьма кратко, так как она
страдает рядом принципиальных дефектов и к тому же не имеет
никакого практического значения.
Из этого систематического перечня содержания второго тома
явствует, что он представляет собой совершенно самостоятельную
Книгу, которую можно читать и не зная первого тома — при усло-
вии хотя бы самого общего знакомства с принципами теории
Де-Брог л я — Шредингера. Памятуя, что краткость является
зачастую фактором, затрудняющим чтение, я весьма пространно,
быть может, даже слишком пространно разобрал важнейшие вопросы,
в частности теорию преобразований и релятивистскую теорию элект-
рона. При этом я совершенно отбросил те математические методы,
которые не представляются мне существенно необходимыми для
Понимания теории, например метод теории групп.
Что касается специальных задач, то они разобраны главным
образом лишь с целью иллюстрации общей теории; подробному рас-
смотрению их я предполагаю посвятить последний, третий том эюго
Сочинения.
Второй том был переведен на русский язык с английского из-
дания Т. А. Конторовой, помогавшей мне также при чтении кор-
ректур, — за что выражаю ей искреннюю благодарность. В русское
Издание я внес ряд существенных дополнений и усовершенствований.
Я. Френкель
•Ленинград
Июль 1934 г.
Глава I.
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА, КАК ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ ВОЛНО-
ВОЙ МЕХАНИКИ.
§ 1. Движение в одном измерении; частичное отражение и
неопределенность направления скорости.
В первой части этой книги мы охарактеризовали в общих
чертах развитие и современное состояние волновой механики, под-
черкивая физический смысл новых представлений и, по возмож-
ности, избегая формальных вопросов, связанных с их математиче-
ской трактовкой. Мы отвлеклись, таким образом, от прежних
представлений, базирующихся на классической корпускулярной
механике.
Систематическое изучение вышеупомянутых формальных вопро-
сов приводит к обнаружению замечательного обстоятельства: —
несмотря на существенное физическое различие между новой и
старой механикой, они чрезвычайно сходны с математической точ-
ки зрения, т. е. с точки зрения математического выражения раз-
личных физических величин и связывающих их математических
уравнений. Это формальное сходство перебрасывает мост через
пропасть между старой и новой механикой, давая возможность
рассматривать последнюю, как обобщение и уточнение первой, и
установить соответствие между старыми „классическими" и новы-
ми „квантовыми" представлениями, величинами и уравнениями —
соответствие, часто кажущееся тождеством.
Существование такого соответствия является весьма поучитель-
ным примером того, уже многократно подтвержденного развитием
физики обстоятельства, что коренной пересмотр наших физиче-
ских представлений может быть связан с простым усовершенство-
ванием соответствующей математической схемы.
б I. Классическая механика, как предельный случай волновой
Рассмотрим случай простейшего уравнения волновой механики,
описывающего движение частицы в одном измерении:
dx* 1 /г	т
(1)
Потенциальная энергия U предполагается зависящей только от х
(а не от /,— в противном случае полная энергия W не могла бы
быть постоянной).
При этом ф также рассматривается лишь как функция от х, без
— i Wt
множителя е h , которым определяется зависимость колебаний
от времени. Функция представляет собой, следовательно, ком-
плексную амплитуду колебаний, характеризуя истинную (ве-
щественную) амплитуду и вместе с тем начальную фазу, т. е. фазу
& момент времени t = 0.
При постоянном значении U это уравнение допускает решение
йида
^ = Ае™х,	(la)
Представляющее собой синусоидальную всУлну, распространяющуюся
R направлении положительной оси х; а — взятый со знаком плюс
Квадратный корень из выражения

(U7 — If) (предполагаемого
Положительным). Следует, однако, заметить, что (1а) является лишь
частным решением уравнения (1). Общее же решение:
ф — A 'eiax + А' re ~ iax,	(1b)
гДе А1 и А"—две произвольные, вообще говоря, комплексные постоян-
нее, представляет собой суперпозицию двух синусоидальных волн
одинаковой длины, распространяющихся в противоположных направ-
лениях. Так как уравнение (1) является линейным уравнением
второго порядка, то и в общем случае произвольной зависи-
мости и от х оно имеет два независимых частных решения, кото-
рое однако лишь при условии £7= const могут быть представлены,
кНк распространяющиеся в противоположных направлениях волны;
общее его решение равно сумме двух каких-либо частных решений
с произвольными постоянными коэффициентами.
§ 1. Движение в одном измерении
7
В общем случае, как для постоянного, так и для переменного
£/(х), функция 9 может быть записана в виде:
Ф==ЛЛ ,	(2)
где А = 161 и <э — соответственно ее модуль и аргумент (оба, ко-
нечно, вещественны). Такой вид функции 6 наводит на мысль о
возможности интерпретировать описываемый ею процесс так же, как
и выражение (1а), т. е. как распространение волны с переменной
вещественной амплитудой А(х) в определенном направлении,
определяемом фазовой функцией <р(х) (положительном при О
CLX
и отрицательном при ——	0).
(IX
Такая интерпретация, однако, вообще говоря, ошибочна. Так
например, воспользовавшись для ф выражением (1b), соответствую-
щим U= const, и полагая А' и А" вещественными, мы получим:
A cds ф = (Д' 4" Л") cosax, Л sin ф = (Д'— Д") sin ах
и, следовательно,
А* = А'* + Л"2 — 2Л ’A" cos ax,	(2а)
__д"
tang<?= л 4„tang«x	(2b)
Функции Лиф могут быть, конечно, интерпретированы, как ве-
щественная амплитуда и „начальная" фаза колебаний в различных
точках, но они не относятся к колебаниям, распространяющимся в
одном определенном направлении. Следует заметить, что Д,
вместо того, чтобы оставаться постоянным, подобно амплитуде ка-
ждой из двух составляющих волн, быстро изменяется с измене-
нием х, и что результирующая „фаза" <? то увеличивается, то умень-
шается при увеличении х.
Подставив (2) в (1) и принимая во внимание соотношения:
dA . , .Ad'? .
dx dx * dx
d*ty_cP A
dx* djf
^e^ — A
1 dx dx
d*
dx'

8 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
мы получим, сократив общий множитель
I I A -j- i I 2 — -~г- -
dx! J 1 \ dx dx
d* А
dx*
Так как Л, ср
ь а*
dx*
вещественны, это
и параметр
a2==8^M(1F_t/)
(3)
уравнение распадается на два уравнения:
d* А
dx*
2^ + ^ = 0.
dx dx 1 dx2
а*
(За)
(ЗЬ)
rx	. d v
Разделив последнее уравнение на А интегрируя,
чаем:
полу-
d r-D
21g A 1g — = const
CLX .
или
— С2 4“4) 4 = 0.
(4)
(4а)
d CD
A* — C = const.
dx
Полагая в уравнении (За)	находим:
ах А
&А_
dx2
Это уравнение сходно с уравнением Шредингера (1) для ф, отли-
чаясь, однако, от него своей нелинейностью.
Предположим, что в случае переменного U уравнение Шредин-
гера допускает частное решение
волну, распространяющуюся в
(например, положительном). В
жем отождествить в уравнении
этой отдельной волны. Согласно определению фазы, изменение
последней, соответствующее возрастанию х на dx, определяете^ ч
этом случае выражением:
ас? = — dx = a dx
л
(характеризующим длину волны X в рассматриваемой точке).
вида (1а), представляющее собой
одном определеннохм направлении
таком случае мы, очеви но, мо-
(2) А с амплитудой, ср — с фазой
§ 1. Движение в одном измерении
Мы получаем, таким образом, соотношение:
dv
dx
(5'
d^A
совместное с уравнением (За) только в том случае, если =0,
т. е. если А = ах~,г Ь. Это выражение, однако, совместно с со-
отношением (4а), лишь в том случае, если имеет место равенство а —
с
— -—-——, вводящее весьма специальное предположение отно-
(ах-\-Ьу
сительно зависимости потенциальной энергии U от х. 1Аъ\ видим,
таким образом, что одностороннее распространение волны, соответ-
ствующее движению частицы в одном определенном направлении,
вообще говоря, невозможно.
С точки зрения волновых представлений этот результат может
быть объяснен очень просто, а именно — тем обстоятельством,
чго каждое силовое поле, т. е. всякое изменение потенциальной
энергии U или параметра а, приводит к частичному отраже-
нию волны, распространяющейся в этОхМ поле.
Если неоднородность вызвана прерывным изменением а, то отра-
жение происходит в той точке (или плоскости), в которой а пре-
терпевает разрыв непрерывности. Если а изменяется непрерывно,
отражение происходит постепенно (отраженные волны в свою оче-
редь создают отражённые волны второго порядка, распространяю-
щиеся в первоначальном направлении, и т. д.).
С корпускулярной точки зрения это означает, что скорость
частицы, движущейся вдоль оси х в силовом поле, параллельном
х, может внезапно менять свое направление на обратное, так что
,хотя величина скорости и является определенной функцией х, ее
направление или знак остается неопределенным.
Эта неопределенность составляет основное различие между но-
вой и старой механикой. Согласно последней направление скоро-
сти, будучи определено в некоторый начальный момент, должно
оставаться постоянным до тех пор, пока кинетическая энергия
W—U остается положительной (а2^>0). Такого детерминизма в
волновой теории явлений движения не существует.
Неопределенность знака или направления скорости при данной
10 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
ее величине и данном положении частицы может быть рассматри-
ваема, как особого рода „принцип неопределенности", характерный
для волновой механики. Этот принцип неопределенности не имеет
непосредственной связи с принципом неопределенности Гейзенберга.
Различие между ними заключается в том, что в случае последнего
локализация частицы, осуществляемая с помощью „волнового па-
кета", относится к определенному моменту времени, тогда как в
данном случае вопрос о времени не ставится вовсе.
Как мы только что видели, неопределенность направления ско-
рости связана с наличием возможности как прохождения, так и отра-
жения частицы в той области, где она подвергается воздействию
какой-либо силы. Мы встретились с этим обстоятельством в самом
начале части I, пытаясь интерпретировать явления частичного отра-
жении и частичного прохождения света на границе между однород-
ными телами с корпускулярной точки зрения. Затем, мы изучили его
подробно с точки зрения волновой механики, при рассмотрении во-
проса о движении материальных частиц в силовом поле. Мы можем
резюмировать полученные результаты, сказав, что индетерминизм,
составляющий характерное отличие волновой механики от класси-
ческой, вызывается прежде всего двойственностью результата воз-
действия силы на частицу, движущуюся с определенной энергией.
В классической механике внешняя сила должна либо ускорять, либо
замедлять частицу, изменяя направление ее движения на обратное
только в том случае, когда потенциальная энергия достигнет зна-
чения полной энергии, т. е. когда кинетическая энергия частицы
обратится в нуль; в волновой механике сила может изменять на-
правление движения даже и в том случае, если она действует в
направлении этого движения, т. е. согласно классической механике,
стремится его ускорить.
При рассмотрении соотношения между уравнениями движения
волновой и классической механики, эта неопределенность направ-
ления или „знака" скорости, при совместном определении величины
ее и положения частицы, гораздо актуальнее принципа неопре-
деленности Гейзенберга, являющегося другим аспектом двойствен-
ности, присущей волновой механике. Мы можем, следовательно,
ожидать, что, когда коэффициент отражения стре-
§ 1. Движение в одном измерении
11
м и т с я к нулю, то волновая механика может быть
апроксимирована классической механикой, так как
двойственность, вызванная наличием возможности как отражения,
так и прохождения, при этом исчезает, и прохождение, т. е. движе-
ние в том же самом направлении, является единственным возмож-
ным результатом.
Легко показать, что уменьшение коэффициента отражения
связано с уменьшением длины волны. Когда последняя
очень мала по сравнению с интервалом, в котором потенциальная
энергия претерпевает заметное изменение, отражение, вызванное
этим изменением потенциальной энергии, также очень мало и в пре-
дельном случае X = 0 исчезает. Этот результат может быть под-
твержден указанным в I части обстоятельством: катодные лучи,
проходящие без заметного отражения через электрический конденса-
тор, толщина которого очень велика по сравнению с длиной вол-
ны, заметно отражаются, если толщина его уменьшена до нуля, при
одном и том же изменении потенциальной энергии. В последнем
случае коэффициенты отражения и‘‘прохождения определяются хо-
рошо .известными формулами:
Dz==1_R=
\ а* 4“ а /	(а а )
где а' и а"— значения параметра а по обе стороны потенциаль-
ного барьера. Напомним, что этот параметр пропорционален им-
пульсу g — mv, т. е. скорости электрона. Если скорость электро-
на, т. е. а', возрастает, а скачок потенциальной энергии остается
постоянным, то а" также возрастает, хотя разность а' — а" умень-
шается. Действительно, согласно уравнению (3), мы имеем:
A U= U" — U' = о-у— (а 2 — а”*),
откуда
п Мт
а —а =——------г——
Л2 а 4~ а
или приближенно:
а' — а"__________ &U
Л2 —4(IF—£/)’
12 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
гак что:
п 1 ьи I2	ч
Я— 16 W— С7| 	( а)
Здесь W—U—средняя кинетическая энергия электрона по обе
стороны потенциального барьера, т. е. -i- mv\ тогда как LUравно
£
изменению этой кинетической энергии, т. е. приближенно — mv\v.
Мы получаем, таким образом:
где
k= h .
mv
Формула (5а) показывает, что при возрастании скорости электро-
на, т. е. в том случае, когда длина волны К стремится к нулю, а
скачок потенциальной энергии Д£7 остается постоянным, — коэффи-
циент отражения стремится к нулю (ДХ— бесконечно-малая* вели-
чина более высокого порядка, нежели X).
Этот результат справедлив, конечно, не только для электронов,
но также и для любых других частиц: когда скорость их возрас-
тает, поведение их все более и более подчиняется основному прин-
ципу классической механики — принципу детерминизма, который
может быть сформулирован следующим образом:
7? = 0, D = 1 (при
Следует заметить, что для данного значения Д£7 величина 'ско-
рости, при которой 7? становится незначительным, тем меньше,
чем больше масса т, так как, согласно уравнению (5а), 7?
определяется не самой скоростью, а соотношением между кинетиче-
ской энерГиеи J nvvb и д^у. Этим обстоятельством объясняется
пРименимость классической механики к обыкновенным частицам с
достадочно большой массой.
§ 2. Движение в одном измерении
13
§ 2. Движение в одном измерении; вероятная скорость и
плотность тока.
В действительности, потенциальная энергия U(x) является, ко-
нечно, непрерывной функцией от х, что соответствует конечным
значениям силы. В этом случае можно дать другую формулиров-
ку тех условий, при которых исчезает двойственность волновой
механики (т. е. исчезает коэффициент отражения), и последняя сво-
дится, таким образом, к механике классической. Соответственно
. h
уравнению де-Брогля А = ——, длина связанных с движением
частицы волн, при прочих равных условиях, тем меньше, чем меньше
величина постоянной h. На самом деле, последняя, конечно, изме-
нена быть не может. Однако, если бы она не представляла собой
универсальной постоянной, а могла бы принимать любые значения,
то можно было бы сказать, что волновая механика сводится к клас-
сической в предельном случае Л = 0. Действительно, это означало
бы, что длина волны равна нулю при любых значениях скорости;
относительное изменение потенциальной энергии на отрезке порядка
величины длины волны также равнялось бы нулю, и, следовательно,
исчезало бы частичное отражение, являющееся основной причиной
характерной для волновой механики двойственности.
В общем случае, к этому результату можно притти следующим
образом. В уравнении (За) положим: а = — - g, где g=mv— ко-
личество движения частицы, и соответственно
2тг
<0 = -— S.
• h
(6)
Умножив (За) на ( —) , получим:
+ = (6а)
\2к/ dx* 1 L \dx/ j	4
где:
g* = 2m(W — U).	(6b)
Если в уравнении (6а) положить h — О, и если при этом
предположить, что при стремлении h к нулю про-
14 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
сРА
и вводная сохраняет конечное значение, функ-
ция А(х) выпадает из уравнения (6а), и оно сводится к следующему
уравнению для функции $:
/ ds \
\Тх) = 2m(W—U).	(7)
Функция определяет как величину, так и з н а к g по формуле
ds
Уравнение (7а) эквивалентно уравнению (5), соответствующему
одностороннему распространению волн, т. е. движению частицы в
определенном направлении. Это направление остается произ-
вольным, так как уравнение (7) имеет два решения:
= +	и ^ = -/2/И(1Г-0.
(7а)
Однако, будучи выбрано в какой-либо начальный момент, оно
остается постоянным до тех пор, пока ^^5 0, меняя знак лишь при
прохождении g через нуль. Это изменение знака соответствует
полному отражению и не имеет ничего общего с прерывным
изменением знака g, допускаемым согласно волновому уравнению
(1), (где h 0) и соответствующим частичному отражению.
Различие между точным уравнением (1) и приближенным уравне-
нием (7) заключается в том, что (1), будучи линейным уравне-
нием второго порядка, допускает оба знака направления ско-
рости одновременно (суперпозиция волн, распространяющихся
в противоположных направлениях), тогда как (7), будучи квадрат-
ным уравнением первого порядка, допускает либо одно, лйбо
другое направление. Следует заметить, что точное уравнение, удо-
влетворяющееся функцией s, гораздо сложнее уравнения (7). Оно
может быть получено путем исключения А из уравнений (За) и.
(ЗЬ) при <р = —
h
Во многих случаях оказывается более удобным вместо функ-
ции <$ пользоваться функцией S, определяемой уравнением:
§ 2. Движение в одном измерении
16
или
.2tzS
^ = е п

(8)
(8а)
Функция S связана с 5 (т. е. с „начальной фазой" ф) и с „ве-
щественной амплитудой" А соотношением:
5==5+^10?Л
Подставив (8) в уравнение Шредингера (1) и воспользовавшись
формулами:
,2к dS d4 (12ку [dSV i-t-s ,	<2£s
dx h dx 1 dxl \ h ) \dx/ ‘ h dx*
мы получаем:
h d*S . (dS\* o
6~--ТГ-2 + ЗУ ) =2w(IF— If).	(8b)
2tu dx* ‘ \dxj	v 7
d^S
При h — 0 в связи с условием конечности , т. е. конечности
dS
и непрерывности S и —, это уравнение переходит в уравнение (7),
т. е. в этом случае функции $ и S тождественны. Исследуем теперь
приближенное уравнение (7), которому обе эти функции удовле-
творяют.
В некотором смысле оно представляет собой не что иное, как
гт	ds
закон сохранения энергии. Действительно, производная , по
1 ( ds V
определению, равна количеству движения частицы g и —- (	) —
лт \ dx /
ее кинетической энергии.
Особенность этого уравнения заключается в том, что количе-
ство движения частицы и, следовательно, ее скорость, определяются
Как функции координаты х, тогда как в классическом описании
движения скорость так же, как и сама координата, обычно рассмат-
риваются как функции времени t. В волновой механике подобное
описание движения, в виду неопределенности направления скорости,
невозможно., Если, однако, в случае h = 0, волно-мехяническое урав-
16 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
пение движения (8Ь) действительно может быть сведено к соответ-
ствующему классическому уравнению, то уравнение (7) должно
быть эквивалентно уравнению движения Ньютона:
d*x __	dU
т dt* ~~	dx 9
(9)
dx
определяющему х и v= — , как функции времени.
Эта эквивалентность легко обнаруживается, если мы дадим себе
отчет в том, чтб следует понимать под определением скорости (или
количества движения) частицы, как функции ее координаты. Предпо-
ложим, что уравнение (9) проинтегрировано, и что х и v опреде-
лены как функции времени t. В таком случае, исключив t, мы
можем выразить одну из них, например V, как функцию другой:
d^x
v(x). При этом ускорение может быть вычислено по фор-
муле:
d*x	d	dv dx	dv	d ( v*\
----= — <V = —- — = — V =—	— I
dr	dt	dx dt	dx	dx \ 2 )
так что уравнение (9) может быть записано в виде;
d mv* d
dx 2	dx
или
mv* ,
— J" £7= const.
ds
Заменив в этом уравнении mv=g на — и положив const = W,
(IX
мы получим уравнение (7).
Вы видим, таким образом, что это уравнение выражает не
только закон сохранения энергии, но в то же время и классиче-
ский закон движения. Следует упомянуть, что эти законы эквива-
лентны друг другу только в рассматриваемом здесь частном случае—
движения в одном измерении (см. ниже).
Другой способ интерпретации уравнения (7), или, вернее, того
.	1 ds
обстоятельства, что скорость v =----— частицы определяется не
т dx
как функция времени, а как функция координаты х, заключается
§ 2. Движение в одном измерении
17
в замене рассматриваемой частицы бесконечным числом экземпля-
ров этой частицы, заполняющих пространство (или линию х) не-
прерывным образом, так что в любой момент t в любой точке х
находится или, вернее, проходит через нее один из таких экзем-
пляров.
Аналогичный метод описания движения применяется в гидро-
динамике, где экземпляры частицы заменяются тождественными
частицами, движущимися под влиянием внешних сил и сил взаимо-
действия (описываемых с помощью гидростатического давления).
Поскольку нас не интересует индивидуальность частиц, т. е. во-
прос о том, какая именно частица будет найдена в данной точке,
движение их может быть охарактеризовано путем определения ско-
рости частицы, проходящей через каждую данную точку, как функ-
ции координат этой точки и в общем случае времени. Если ско-
рость от времени не зависит (следует напомнить, что скорость, о
которой мы говорим, относится не к определенной частице, а
к определенной точке), движение называется стационарным.
С уравнением (7) может быть, таким образом, связана карти-
на стационарного потока континуума экземпляров рассматриваемой
частицы, заполняющего пространство непрерывным образом. Если
мы выберем определенный экземпляр, проходивший в момент вре-
мени t через точку с координатой х, то, зная зависимость ско-
рости -V от х, мы можем проследить его движение и определить
как скорость, так и положение этого отдельного экземпляра в за-
висимости от времени. Положим например, что в момент t -}•- dt
рассматриваемый экземпляр будет находиться в точке x-\-vdt и
обладать скоростью
dv
v (х -}- dx) = v(x-\-,vdt)—'v(x)-[-^- vdt.
dv
Отсюда видно, что ускорение данного экземпляра равно v как
ах
это уже было получено выше.
Мы показали, таким образом, что в предельном случае, когда
связанная с движением частицы длина волны стремится к нулю
благодаря возрастанию скорости (что может иметь место в дей-
ствительности), или же благодаря уменьшению постоянной h (что
18 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
является искусственным допущением), уравнение движения волно-
вой механики действительно сводится к классическому уравнению,
или, вернее, может к нему сводиться, при условии конечности
dS
и непрерывности S и —. Основной причиной этого обстоятель-
ства является устранение частичного отражения, т. е. перемены
направления скорости или, иными словами, устранение неопреде-
ленности ее знака.
Однако, строго говоря, эта неопределенность устранена быть
не может (за исключением того случая, когда частица движется
свободно, т. е. при отсутствии внешних сил); благодаря ей
оказывается невозможным описывать движение частицы классиче-
ским способом, как определенное изменение координаты и скорости
с течением времени. При этих условиях единственный возможный
способ описания движения заключается в установлении вероят-
ности того, что, частица будет найдена в данной точке, и в е -
роятности того, что, будучи в этой точке, она движется в том
или ином направлении (при заданной величине скорости). Введение
в описание движения понятия вероятности связано с двойствен-
ностью, обусловленной альтернативой: частичное отражение или
частичное прохождение, — альтернативой, которая может быть
разрешена только в терминах вероятности. Можно сказать, что
эта двойственность — совершенно чуждая классической механике—
как бы образует мост, по которому понятие вероятности проникает
в физику.
Вероятность положения измеряется, как мы знаем, произведем
нием так что ф (х) <р* (х) dx — мера вероятности того, что
частица находится в области между х и x-\-dx. Пользуясь кар-
тиной континуума экземпляров рассматриваемой частицы, мы мо-
жем трактовать tyty*dx, как относительное число экземтяров,*
находящихся в интервале dx (это числа не зависит от времени,
так как ^==^° e-i^t соответствует движению с определенной
V0
энергией W — Нч). Если интеграл I	сходится, то функция
— со
ф может быть нормирована таким образом, чтобы этот интеграл
равнялся 1, в соответствии с обычным нормированием вероятности.
§ 2. Движение в одном измерении	19
В противном случае не следует беспокоиться об этом нормирова-
нии, так как в рассмотрение входят только относительные значе-
ния фф* в различных точках.
Следует заметить, что в классическом описании движения мы
также можем заменить отдельную частицу континуумом ее экзем-
пляров, как это и делается, когда уравнение движения записывается
в виде (7), соответствующем определению скорости, как функции
координаты, а не как функции времени. Различие между старой и
новой теорией заключается в том, что по первой всегда можно
„индивидуализировать* определенный экземпляр и проследить его
движение, т. е. определить его координату и скорость, как функции
времени, — тогда как с точки зрения последней такая „индивидуа-
лизация* невозможна, так как направление движения является
неопределенным. Таким образом, следует рассматривать континуум
экземпляров, как целое, не пытаясь проследить движение отдель-
ных экземпляров во времени. При этих обстоятельствах в волновой
механике может быть и должна быть определена прежде всего
плотность, т. е. относительное йисло экземпляров в единице объема,
или, другими словами, вероятность нахождения представляемой
этими экземплярами частицы в данной области, — тогда как в клас-
сической механике эта величина не представляет интереса и остается
поэтому произвольной. В волновой механике определение фф*, ко-
нечно, также связано с некоторым произволом, который может быть
устранен только введением граничных условий для функции ф.
Зная функцию ф, помимо вероятности положения можно опре-
делить также и многие другие величины и, в первую очередь, ве-
роятность двух противоположных направлений движения, т. е. двух
противоположных знаков Скорости, если величина ее в данной
точке задана классическим соотношением:
или уравнением де-Брогля:
h
V тк‘
Обозначив через р' вероятность положительного направления и
20 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
через р"— отрицательного, мы можем определить среднее или ве-
роятное значение скорости в данной точке по формуле:
v = (p’ — p") р|,	(10)
при условии:
р'+р" = 1.
Определение этой вероятной скорости, или вероятностей р в
общем случае может быть произведено с помощью соотношения
(4). Для выяснения физического смысла этого соотношения посмо-
трим прежде всего, чему равно выражение в простейшем слу-
чае волны, распространяющейся в свободном от сил пространстве
в одном направлении, т. е. волны, характеризующей свободное дви-
жение частицы в одном направлении. В этом случае мы имеем
согласно (1а): ср = ах и, следовательно,
Л^ = л’, = |^>^ = 2-=|6|>,
dx	1т 1 h h 1т1
Если рассматривается как (относительная) плотность экзем-
пляров частицы, то произведение
может быть, очевидно, определено как соответствующая плот-
ность тока, т. е. как (относительное) число экземпляров, про-
ходящих через данную точку или через единицу площади х= const
в направлении х за единицу времени. Если |б|2 рассматривается
как плотность вероятности, то величина j может быть определена
как плотность тока вероятности, т. е. как вероятность прохождения
частицы через единицу площади х = const в единицу времени. Отно-
шение равно действительной скорости движения; так как напра-
вление движения является совершенно определенным, оно совпа-
дает с вероятной скоростью -и(р' = 1 и р" = 0).
Естественно обобщить вышеизложенную интерпретацию выра-
ЛЯ
жения A как меры плотности экземплярного или вероятност-
ного тока у, на случай волновой функции 6 любого вида. В самом
деле, с этой точки зоения то обстоятельство, что произведение
§ 2. Движение в одном измерении
21
Л2 является постоянной (независящей от х) величиной, озна-
чало бы, что 'число экземпляров, проходящих через различные
плоскости х = х{ и х = х%, одинаково. Этот закон, выражаемый
соотношением (4), являлся бы, таким образом, законом сохране-
ния числа экземпляров или сохранения вероятности (см.
ниже). Если эта интерпретация правильна, то, /, очевидно, может
быть записано в виде:
j = v,	(Юа)
где v означает вероятную скорость экземпляров в рассматриваемой
точке. Определяя плотность тока / формулой Л2 (коэффи-
CLX
h
циент таков же, как и в частном случае, рассмотренном выше,
когда а = const), мы получаем для вероятной скорости выражение:
— h d®
г	2тм dx" Т‘ е‘
® = -—V--	(10b)
tn dx
„Фаза" о может быть выражена через функцию ^ = ЛЛ и ком
плексно-сопряженную с ней функцию ty* = Ае~^ с помощью формулы:
1 1 Ф
откуда следует:
h / 1	1 d6*\
Aram \ 6 dx 6* dx )
-— R ( — — log 6
2wn \ i dx & Y '
(П)
или, согласно уравнению (8a):
”	1 n(dS
v = — R ~r
m \dx
(Ila)
где /?(/)— вещественная часть /. В случае классической теории
мы получаем <v = 'p, в соответствии с тем обстоятельством, что
движение происходит в совершенно определенном направлении,
причем вероятности р и р” равны соответственно 1 и 0. В вол-
новой механике (zf|, вообще говоря, отлично от т. е. значения
22 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
вероятностей р' и р'’ отличны от 1 и 0. Они могут быть определены
из величин v и v с помощью формулы:
'’=4(i±ivD- (иь>
Подставив (11) в (10а), мы получим следующее окончательное
выражение для плотности тока:
Поясним эти результаты, применив их к двум простым случаям.
Положим:
чтб соответствует свободному движению частицы вдоль оси х в
неопределенном направлении.
Полагая, для простоты, коэффициенты А вещественными (это
условие не уменьшает общности, так как оно всегда может быть
удовлетворено путем соответствующего выбора начала оси х),
получаем:
=	A" eiax,
откуда
у	== а (Д '2 — Д''2) + а (А1 А " e*iax — А’А" е~*1ах) =
= а (Д’2 — Д"2) -|- г2аД'Д'' sin 2ах.
Плотность тока J сводится к постоянной величине:
/ =	И'2-л"2)
/ = М (Д'2-А”2).
В противоположность у, вероятная скорость
।	А'* —А"*
V	кД’Д" cos
является функцией от х, изменяющейся периодически от
_______________________	д'__Д"
(12а)
§ 3. Нестационарное движение в трех измерениях
23
до
^тах — Ы д' _д"
Тот факт, что максимальное значение вероятной скорости оказы-
вается большим, нежели классическая скорость | v |, исключает
возможность переноса в волновую механику этого понятия, как
V
меры „истинной" скорости. При — ^> 1 формула (ИЬ) приво-
дит к значениям вероятностей, лишенным физического смысла
(одно из. них оказывается больше 1, другое—меньше нуля).
Хотя, таким образом, классическая скорость и может быть опре-
делена волно-механически из длины волны (при помощи соотно-
II h \
шения |с>|=— I , однако непосредственный кинематический смысл
имеет лишь вероятная скорость.
Это явствует также из второго примера, в качестве которого
мы рассмотрим случай
ф = А’е + $х А"е~$х,
соответствующий области полного отражения, где кинети-
ческая энергия отрицательна, а скорость v мнима. В этом случае
ф* = ^, 7 = 0, т. е. х; = 0у как и следовало ожидать.
§ 3. Нестационарное движение в трех измерениях и урав-
нение Гамильтона — Якоби.
Обобщим теперь полученные в предыдущем параграфе резуль-
таты на случай движения частицы в трех измерениях под дейст-
вием сил, характеризуемых потенциальной энергией U, в общем
случае зависящей не только от координат х, у, z, но также и от
времени t.
В волновой механике такого рода движение описывается обоб-
щенным уравнением Шредингера
v *—wwidi+uH=^	(13)
Основная наша задача будет заключаться в отыскании соотноше-
24 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
ния между этим уравнением и соответствующими классическими
уравнениями движения:
d?x	dU	d*y dU	d*z dU
— ъ—,	m~i^ =— 3—,	^37^ = — з~-	(l3a)
dr	дх	dt* ду	dt? dz	J
Общий характер этого соотношения должен быть, конечно, таким
же, как и в рассмотренном выше случае движения в одном измере-
нии. Основные характерные черты’волновой механики могут быть
частично сведены, как и прежде, к двойственности, обусловленной
явлением частичного отражения, связанным с внезапным изменением
направления скорости, причем величина последней является такой
же функцией координат, как и в классической теории.
Неопределенность направления скорости в пространстве так
же, как и в случае одномерного движения, исключает возможность
описания движения частицы, как определенного изменения ее по-
ложения (и скорости) с течением времени. Мы можем ожидать,
однако, что эта неопределенность, как и раньше, исчезнет вместе
с частичным отражением в предельном случае, соответствующем
бесконечно малой длине волны (что может осуществиться при воз-
растании скорости или массы, или же при фиктивном уменьшении
постоянной Л). Таким образом, в этом предельном случае уравне-
ние (13) должно стать эквивалентным уравнениям (13а), в том смысле,
что оно должно допускать частные решения, приближенно соот-
ветствующие совершенно определенным классическим движениям.
Чтобы уяснить себе эту эквивалентность, заменим рассматривае-
мую частицу континуумом экземпляров, распределенных в про-
странстве и движущихся, подобно частицам некоторой непрерывной
жидкости (конечно, без взаимодействия!), при чем вектор скорости
v каждого экземпляра может быть определен — согласно класси-
ческой теории — как функция координат х, у, z (заданной) точки,
через которую проходит этот экземпляр, и времени (движение
не должно быть непременно стационарным). Следует отметить, что
—	dv
частная производная от v по времени — не определяет ускорения
данного экземпляра, так как она относится к различным экзем-
плярам, проходящим через одну и ту же точку в разные моменты
§ 3. Нестационарное движение в трех измерениях
25
времени t и t-\-dt. Ускорение определяется полной производ-
ит,
ной — ; слагающая его по оси х равна:
dvx dvK , dvv dx , dvY dy , dvY dz
dt	dt ' dx dt ' dy dt ' dz dt
или
dt dt ' x dx "i” У dy ' z dz '
Предположим теперь, в соответствии с потенциальным характе-
ром силового поля, что движение жидкости, образованной нашими
экземплярами, является также потенциальным; это означает, что
вектор скорости с может быть представлен, как градиент некото-
рого скаляра, называемого „потенциалом скорости".
Обозначим этот скаляр через и положим соответственно:
(13с)
так что:
1 ds	1 ds	1 ds
Vx =— 3-, ^v=—	vz = —
tn dx	y m dy	m dz
Заметим, что в случае волн, распространяющихся в одном опре-
деленном направлении, между фазой ф и вектором а, опреде-
2~
ляющим направление распространения и равным у-, где л — дли-
л
на волны в соответствующей точке, существует соотношение, со-
вершенно аналогичное соотношению (13а):
а = V
Положив здесь, согласно уравнению де-Брогля,
(14)
-* _ mv
а = 2тс ,
h
мы получим [см. § 1 формула (6)]:
2тг
(14a)
(14b)
Предположение о потенциальном характере движения континуума
экземпляров дает, таким образом возможность установить связь
26 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
между движением частицы и распространением волн — в предель-
ном случае бесконечно коротких волн, когда частичное отражение
исключается, и движение каждого экземпляра частицы происходит
в совершенно определенном направлении: траекторию экземпляра
можно при этом рассматривать как „луч“, проходящий через точку,
в которой рассматриваемый экземпляр находился первоначально.
Если же имеет место частичное отражение, то понятие луча теряет
всякий смысл; в каждой точке каждый луч разделяется на два:
проходящий и отраженный, которые в соседних точках снова раз-
деляются подобным же образом, в результате чего представление о
лучах совершенно расплывается. Только пренебрегая частичным
отражением, можно говорить о лучах, как о линиях, вдоль которых
распространяются волны, т. е. поверхности одинаковой фазы, а
равным образом и о самих волновых поверхностях.
Вернемся теперь к выражению (13b) для слагающей по оси х
ускорения экземпляра, проходящего через точку х, у, z в момент
времени t.
„	z.o ч	dvx dv„ dvx dvz
Согласно (13a) мы имеем	и ~- = -z—, т. е.
4	7	ду ox dz дх
dvx dvx . dvx . dvv , dvz
так что
dvx__dvx ( д (
~dt~~dt'dx \~2} ’
или
dt~ m dx La< Im1 ' J 
Уравнение = — ^-[первое из уравнений (13a)] эквивалент-
но, таким образом, уравнению:
/-1 % + 9~(W + £7“| = 0.
dxLdt '	1 J
Аналогичные результаты получаются также и для второго и треть-
его уравнения, откуда следует, что все они могут быть заменены
одним уравнением:
§ 3. Нестационарное движение в трех измерениях 27
Ле 1
где F(t)— произвольная функция, зависящая только от времени.
Эта функция, без ограничения общности результатов, может быть
положена равной нулю, так как в выражении для 5 она соответ-
ствует аддитивному члену j*F(^) не участвующему в определе-
нии скорости по уравнению (13с). Таким образом:
ds . 1	(ds\* (ds\*l . __ Л
Это уравнение было установлено Гамильтоном, а интегралы его изу-
чены Якоби, в силу чего оно и носит их имя. В частном случае,
когда U не зависит явно от времени (постоянное поле сил), функ-
ция $, называемая механическим „действием*, может быть предста-
влена в виде
$= $о (х, у, z) — Wt,	(15а)
где определяется уравнением
2/nL'dx/ \ду / 1 \dzj J 1	v 7
Здесь W—постоянная, которую, очевидно, можно определить, как
полную энергию частицы. Таким образом уравнение (15b) вме-
сте с соотношением (13с) выражает закон сохранения энергии. Оно
выражает, однако, как мы уже видели, не только этот закон:1 в
частном случае постоянного поля сил и определенного значения
полной энергии оно эквивалентно, в связи с (13с), трем классиче-
ским уравнениям движения (13а). Формальное различие между урав-
нениями (13а) и (15b) [или (15)] соответствует тому обстоятель-
ству, что первые относятся к отдельной частице, авторов — к
континууму экземпляров этой частицы. Выбрав определенный эк-
земпляр и проследив его движение, — мы возратимся к уравнениям
(13а).
Легко показать, что в предельном случае бесконечно-малых
1 За исключением одномерного случая.
28 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
длин волн волновое уравнение (13) допускает частные решения
вида ф=АегУ, характеризующие одностороннее распространение волн,
которое, с помощью соотношений (14), (14а) и (14b) может быть
связано с движением рассматриваемой частицы по классической тео-
рии, причем различные „лучи" совпадают с направлениями дви-
жения различных экземпляров этой частицы.
Полагая = и поступая так же, как в § 1, мы получим:
д*А I о-
__L ——__ pi^ I— О1	_ __L
дх*~дх*	d дх дх
. сГсЗ я . fdv
дх2 \дх
oi куда:
<^ + ^+^ =
v 7 дх2‘ду2Гдг2
= e;?[VM-A (V<p)2~H(2V/l • V®-{- A V2?)].
Далее:
<?<Ь дА . , ,дч>
dt dt	dt
Подставив эти выражения в уравнение (13), сократив общий мно-
житель е!? и разделив вещественную и мнимую части, мы получим
два уравнения:
о , . Г8тЛи / h дя г.\	.	.„Л . п
v м + Ltt (- й S - и) - < V <₽)’J А = о
и
Акт дА , л л -	□ л
— 4-2VX • V? + 4V2? = O.
h dt 1	1
_	2z
При замене о на -- s эти уравнения принимают вид:
Л2	ds 1
<16>
дА
2т-^Ц- 2V^ • V5-|-XV25 = O.	(16а)
При h — 0 (и конечном ?Ч) первое из этих уравнений
переходит в уравнение Гамильтона — Якоби (15). Аналогичный
результат получается в случае vM = 0, т. е. в общем случае
одностороннего распространения волн конечной длины. В обоих слу-
f § 3. Нестационарное движение в трех измерениях 29
чаях волновая механика полностью эквивалентна классической. Оба
случая являются, конечно, фиктивными: h — постоянная величина,
а уравнение VU = 0 удовлетворяется лишь при весьма специальных
условиях, в частности — для свободного движения. Уравнение (16)
может быть, однако, приближенно сведено к уравнению (15)
для случая почти одностороннего распространения волн с очень сла-
бым частичным отражением — когда отраженными (или рассеянными)
волнами можно пренебречь. Это условие осуществляется тем лучше,
чем больше масса т частицы при данной скорости, или же, чем
больше скорость при данной массе, т. е. чем меньше длина волны,
если мы имеем дело с движением, соответствующим заданному
значению энергии IF. В этом случае длина волны является опре-
деленной функцией координат; в общем же случае понятие длины
волны не имеет точного смысла и может быть введено только при
рассмотрении волновой функции как суперпозиции волн с раз-
личными частотами, соответствующими движениям с различными
энергиями.
Если U не содержит явно времени, то уравнения (16) и (16а)
допускают частные решения вида:
s — sQ(x, у, z) — Wt и А = А (х, у, z),
т. е.
Таким образом, уравнения принимают вид:
№ 1
<17)
2VX • V.-?O + AV4 = O.	(17а)
В предельном случае, когда й = 0 (при условии конечности VM),
первое из этих уравнений становится эквивалентным классическому
уравнению (15b).
Не следует ложно понимать эту эквивалентность, а также и при-
ближенную эквивалентность, которая может быть получена при боль-
ших значениях IF или т. Она относится только к частным реше-
30 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
ниям уравнений (17) и fl 7а), или же соответствующего уравнения
Шредингера:
8^2/72
V4 +—(WZ—=	(17b)
где
4, = лЛ(-")=^илг)е-“'Т',	(170
а именно, к таким решениям, которые представляют —
приближенно — волны, распространяющиеся в опре-
деленном направлении (последнее может, конечно, меняться
от точки к точке, будучи определено направлением проходящих
через эти точки „лучей*). Для таких — и только для таких —
частных решений величина vM остается конечной при стремле-
нии h к нулю. Для всяких иных решений VM стремится при этом
к бесконечности так, что произведение /z2vM сохраняет конеч-
ное значение. Так, напр., в случае ф = A'eiax -j- A''e~iax мы полу-
а я	л о А’А" Г 2 я, я1, . я	1
чаем VM = -7T = —2а2—— —A A sin2 2otx 4- cos 2ах , где
dx*	А I А*	1 J
а = — g, так что &2vU =— 8^2 /(х), где f(x) осциллирующая
функция от х, обращающаяся в нуль лишь при Д' = 0 или
4" = 0.
Общее решение уравнения (17b) в случае коротких волн может
быть рассматриваемо как суперпозиция таких частных решений,
соответствующих распространяющимся в определенных направлениях
волнам, при соблюдении граничных условий (для длинных волн это
возможно только в случае свободного движения). Классическое же
уравнение (15b) не допускает такой суперпозиции функций ф, опре-
. 2тс
л
целяемых, как Ае п .
В самом деле, „суперпозиция* двух различных типов движения
означала бы, согласно классической механике, их „одновременное*
осуществление — очевидно невозможное, если они альтернативны.
В волновой механике, напротив, именно эта альтернативность вы-
ражается суперпозицией, соответствующей закону сложения класси-
ческой теории вероятностей. Аналогичные результаты относятся
к общим уравнениям (13) и (15), первое из которых, в том случае,
§ 3. Нестационарное движение в трех измерениях
31
если U не зависит от времени, допускает суперпозицию процессов
с различными энергиями, тогда как последнее сводится в этом слу-
чае к уравнению (15b), соответствующему определенному значению
энергии W.
Неприменимость принципа суперпозиции в классической меха*
ниче (по отношению к функции ^) легко может быть показана с по-
h
мощью функции S —K-rIog<p, введенной нами в § 2 (уравнение (8)).
Эта функция удовлетворяет уравнению:
-Д-Va5 + ^4-^-(VS)4-|-f/=0,	(18)
4тат 1 dt 1 2т 1	7
получаемому из уравнения Шредингера (12) при подстановке <р =
/ — s
= е h . Если положить й = 0, уравнение (18) сведется к уравне-
нию Гамильтона — Якоби (15). Функция S совпадет, таким образом,
в этом случае с функцией 5; это означает, что амплитуда А может
быть практически рассматриваема как постоянная.
Положив теперь в уравнении Гамильтона — Якоби (15): s = S =
— log<p, мы получим следующее „приближенное" уравнение для <р:
— 6^---------(\7Л)2_|_£М|4 = 0
2л/ Y dt 8ъ*т k v Y
или
(V^-^	^4-tz) ф’ = 0,	(18a)
т. e. квадратное уравнение первого порядка (как и уравнение
для S), вместо линейного уравнения второго порядка (подобно
точному уравнению Шредингера).
Если и %— два частных решения уравнения (18а), то функция
= в общем случае не является решением этого уравнения
Вернемся к точной волновой функции ф в виде: Ае*Ч = Ар h
и иссл.дуем связывающее А и s уравнение (16а). Последнее может
быть упрощено; умножив его на А, мы получим:
АД АД 2
2А~ = ~ и 2AVA •	+	VG42)-	+
+ 43V2s = div (42V5),
32 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
так что:
^^P + divG42VsM)==0.	(19)
и и
Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнение непрерывности,
т. е. уравнение сохранения массы в гидродинамике или сохранения
электричества в электродинамике:
-J + div7=0,
где р — плотность массы или электрического заряда, a j—соответ-
ствующая плотность тока. В данном случае мы можем интерпрети-
ровать величину
42 = ^ = р
как плотность континуума экземпляров (т. е. относительное число
экземпляров данной частицы в единице объема) или как плотность
вероятности; если мы определим соответствующую плотность
токае помощью формулы:
7=-^Д* 57 s,	(19а)
го уравнение (19) будет выражать закон сохранения экземпляров или
же закон сохранения вероятности.
В случае классической теории вектор ~~ сводится к скорости
<и частицы (или, точнее, ее экземпляра в данной точке), так что
плотность тока j принимает обычный вид произведения р на v.
В волновой механике этот вектор также может быть записан в виде
7=Р^
где вектор
^ = -i-Vs	(19b)
можно, очевидно, интерпретировать как вероятную скорость.
Классическая“ скорость может быть вычислена с помощью формулы
/~ 2
v — I/ —U)\ ее направление, однако, является неопреде-
ленным.
§ 3. Нестационарное движение в трех измерениях
33
l^s
Согласно определению А и s мы имеем: ty = Ae h , 6:
= Ле	* , откуда:
«=^1ог(^*)
и, следовательно:
(2°)
Введя функцию S = -~-rlog<p, мы получим VS=77~-t-V^ и
2ти у
1	2ft
—	=	так что
7=1^/?(7S)
(20а)
и
^=1^(VS).
т
(20b)
Сравнив этот результат с уравнением (19b), мы видим, что функ-
ция s равняется вещественной части функции S — в соответствии
с соотношением:
вытекающим из сравнения двух выражений для
„ S	.2тс
Т л * Т *
е h и Ае h .
Вероятная скорость может быть представлена в виде:
гг = |гг| J* пр (n)d&9
где п — единичный вектор, определяющий направление классической
скорости, а р (n)	— вероятность того, что этот единичный вектор
лежит в бесконечно-малом телесном угле dco. Однозначное опреде-
ление этой вероятности является, однако, невозможным, — за исклю-
чением случая одномерного движения, рассмотренного в предыдущем
параграфе, причем, как мы видели, эта вероятность может оказаться
большей 1 или отрицательной.
34 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
Следует упомянуть, в заключение, что соотношение между вол-
новой и классической механикой сравнивается обычно с соотноше-
нием между волновой оптикой и так называемой геометрической
оптикой. Если определять последнюю, как предельный случай вол-
новой оптики для очень малых длин волн, то такое сравнение вполне
обоснованно, так как в оптике, как и в волновой механике, частич-
ное отражение в неоднородной среде исчезает, когда длина волны
стремится к нулю, и'таким образом, становится возможным одно-
стороннее распространение волн: в этом — и только в этом слу-
чае — (если среда не полностью однородна) можно ввести понятие
лучей, как линий, вдоль которых происходит распространение света.
Гамильтон 100 лет тому назад показал, что в этом предельном .слу-
чае волновое представление о свете может быть заменено корпуску-
лярными представлениями, и что лучи могут быть описаны, как пути
световых частиц, движущихся согласно классическому закону Нью-
тона в силовом поле, определяемом показателем преломления р- с по-
мощью соотношения:
p = f (U7—(7),
где у — постоянная величина, зависящая от определения массы све-
товой частицы.1 Основная же заслуга Гамильтона заключается в том,
что он применил эти соображения также и к движению частиц обык-
новенной материи, и, таким образом, впервыесвязал этодви-
жение с распространением (бесконечно коротких) волн,
описав его уравнением (15b). Эта связь частиц с волнами, получен-
ная в теории Гамильтона путем интерпретации механического дей-
ствия s, как меры фазовой функции ср, была, однако, совершенно
забыта в продолжение 100 лет, пока де-Брогль не обнаружил ее
вторично (см. ч. I). Шредингер же заменил классическое уравнение
Гамильтона — Якоби, соответствующее бесконечно коротким волнам,
своим волновым уравнением, соотношение которого с уравнением
Гамильтона — Якоби было рассмотрено выше.
1 Это соотношение получается путем сравнения формулы де-Брогля
-y- = -^-]/r2/n(UZ— U) с формулой у- = р., которую можно рассматривать,
как определение показателя преломления; Хо— значение X ив пустоте",
где р==1.
§ 4. Сравнение приближенных решений уравнения Шредингера 35
Это взаимодействие оптики и механики не следует интерпрети-
ровать, как указание на существование действительной аналогии
между ними — в смысле корпускулярно-волнового дуализма света,
т. е. действительного существования фотонов, движущихся в мате-
риальных телах согласно законам волновой механики. Мы могли бы
заменить оптику акустикой, т. е. световые колебания — механиче-
скими колебаниями, распространяющимися в виде волн в упругой среде
согласно уравнению точно такого же вида, как дифференциаль-
ное уравнение для световых волн. В предельном случае бесконечно
коротких акустических волн мы могли бы получить точно такие же
результаты, как и в случае оптики, т. е. своего рода „акустические
лучи" вместо „акустических волн“. Это давало бы право сформули-
ровать корпускулярную теорию звука и описывать распространение
звука согласно волновой механике, как движение некоторых частиц —
„фононов". Я не думаю, однако, что кто-либо поверит в реальность
таких „фононов". Это не означает, конечно, что фотоны одинаково
нереальны, так как аналогия между акустикой и оптикой так же
поверхностна, как аналогия между оптикой и механикой (или аку-
стикой и механикой отдельных частиц). Я склонен, однако, думать
что фотоны реальны не более, чем „фононы", и что они созданы
„логическим отражением" корпускулярно-волнового дуализма материи
в явлениях света (см. часть I).
§ 4. Сравнение приближенных решений уравнения Шредин
гера; средние значения в волновой и классической механике.
В случае й = 0 функции 5 и S удовлетворяют одному и тому
же уравнению — уравнению Гамильтона — Якоби; однако, прибли-
женные выражения для полученные с их помощью согласно фор-
.2ft	,2ft о
,	. I -г- S , I -г- S
мулам ty==Ae h и 6 = е л оказываются несколько различными,
так как „амплитуда" А, полученная с помощью уравнения (16а), в
общем случае является некоторой функцией координат (и времени),
изменяющейся очень медленно по сравнению с „фазовым множите-
.2ft
лем" е h \
Различие между двумя приближенными решениями вызвано тем
36 I. Классическая механика, как предельный случай волновой *
обстоятельством, что ошибка, вводимая предположением h = 0, в слу-
чае уравнения (18), содержащего h в первой степени, больше, нежели
в случае уравнений (16а) и (16), содержащих вторую степень Л; в
последнем случае мы пренебрегаем, таким образом, малым членом
второго порядка, тогда как в первом — членом первого порядка.
Чтобы устранить это различие, мы должны положить:
(21>
и подставить это выражение в уравнение (18), отбросив члены, со-
держащие вторую степень h и сохранив члены, линейные отно-
сительно h (S° и S' от Л не зависят). Мы получаем, таким образом^
приближенное уравнение:
-А - v-7250 I I h I *	I
Ьмт V + dt + dt +2/n(Vd } +
+ 2^7 VS0VS' + £/=°.	(21а)
Здесь S° — нулевое приближение, соответствующее случаю h я» О,
т. е. являющееся решением уравнения Гамильтона — Якоби:
Функция S0 может быть, очевидно, отождествлена с (приближенной)
функцией 5.
Функция S должна, следовательно, удовлетворять уравнению:
A.	+	+ ± vS0. VS' = O,	(21b)
2m	1 dt 1 m	47
откуда следует, что она вещественна. Согласно уравнению (21), мы
i~S S'
имеем:	h — в е h , т. е. е8' = А (так как S° = s). Под-
ставив
S' = log4	(21с)
в уравнение (21b), мы действительно получим уравнение (16а).
Можно было бы думать, что, разложив функцию S в ряд по сте-
пеням параметра тД-:
9 4.:Сравнение привлиженных решений уравнения Шредингера 37
h / h \ %
s=5"+^'s'+G«) s"+-
и решив уравнение (18) путем последовательных приближений, мы
сможем получить сколь угодно точное значение S.
Такое предположение, однако, ошибочно, так как можно пока-
зать, что этот ряд расходится, или, скорее, полусходптся, чем и
объясняется то обстоятельство, что мы получаем более точное прибли-
жение, если сохраняем только члены первого порядка. Действительно,
общее решение дифференциального уравнения второго порядка не
может быть аппроксимировано решением уравнения первого порядка,
полученного путем отбрасывания членов второго порядка — как бы
мал ни был параметр, на который они умножаются, — точно так
же, как квадратное уравнение не может быть аппроксимировано
уравнением линейным, получаемым при отбрасывании квадратичного
члена. Если, однако, последний умножен на малый параметр, то
одно из двух решений квадратного уравнения может быть аппрок-
симировано решением линейного уравнения. Аналогичное соотноше-
ние существует между функцией ty = Ae п =е п и одним
из частных решений уравнения Шредингера, приближенно характери-
зующим распространение волн в одном направлении. Следует заме-
тить, что это напразление не всегда должно оставаться постоянным;
оно может изменяться при полном отражении, представляющем со-
бой, в противоположность частичному отражению, вполне совместное
с классической механикой явление, так как оно не заключает в себе
какой-либо двойственности и, следовательно, не отвергает детерми-
низма в описании движения.
Различие между классической и волновой механикой в этой при
ближенной форме состоит только в том, что согласно последней
частица может проникать в такие области силового поля, где ее
„ классическая“ скорость становится мнимой.
Соотношение <и=— V$ = — показывает, что функции $
т т
и S° при этом также должны стать мнимыми. Функция $, согласно
определению, должна, однако, оставаться вещественной. Она будет,
следовательно, отличаться от функции 5° в тех областях, где v мнимо,
38 L Классическая механика, как предельный случай волновой
и должна в этом случае удовлетворять уравнению, отличному от
уравнения Гамильтона — Якоби. Мы должны напомнить, что уравне-
ния (16) и (16а) были получены в предположении, что s и А веще-
ственны. Предположение, согласно которому s удовлетворяет при-
ближенно уравнению Гамильтона — Якоби также и в том случае,
когда последнее дает мнимые значения у, является, таким образом,
внутренне противоречивым. Это означает, что в рассматриваемом
случае	должно быть очень велико, — порядка величины
, так что первым членом уравнения (16) или (17), при отсутствии
которого эти уравнения сводятся к уравнению Гамильтона — Якоби,
пренебречь нельзя.
Мы не будем останавливаться на рассмотрении приближенного
решения уравнений (16) или (16а) [или (17) и (17а)] для этого слу-
чая. Гораздо проще воспользоваться представлением с помощью
функции S=S°4
- S’, так как о гещественности функции S0 нам
при этом беспокоиться не приходится. Мнимое значение S0 влечет за
собой, согласно уравнению (218), мнимое значение S'. Роль функций S0
и S', как определяющих соответственно фазу и амплитуду, оказывается,
таким образом, обратной в запрещенных классической механикой
.	я I y-s
областях, так что, воспользовавшись для выражением: Ае п ’
мы можем положить:
А = е " = е “
И
(22)
(22а)
Знак (4-или—) определяется -тем условием, что А (т. е. <^) должно
уменьшаться с проникновением в запрещенную область. Легко дока-
зать непосредственно, что выражения (22) и (22а) представляют
собой в данном случае приближенное решение уравнений (16) и
(16а), если функции S° и S' определяются, соответственно, уравне-
нием Гамильтона — Якоби и уравнением (21b).
Вернемся к тому случаю, когда S0 вещественно (и равно 5),
HTQ соответствует движению в допускаемой классической механикой
§ 4. Сравнение приближенных решений уравнения Шредингера 39
области силового поля, и исследуем приближенные значения, полу-
чаемые для амплитуды A = es'.
Прежде всего, рассмотрим простейший случай одномерного дви-
жения с постоянной энергией. Согласно уравнению (4), в этом
случае:
л Q dS   I
Л2 — = const
r-r	ds
Принимая во внимание соотношение ^- = г/, получаем

(23)
где С9 — положительное число. Мы получаем, таким образом, при-
ближенно:

(23а)
где $0(х)— решение уравнения
1
2/п \ dx /
Формула (23) имеет очень простой физический смысл. Она показы-
вает, что вероятность 6ty*dx нахождения частицы в обла-
сти между х и x-j-dx обратно пропорциональна ее
скорости в этой области. То же самое мы получили бы,
если бы определили эту вероятность, как пропорциональную вре-
dx	„ .
мен и dt— — , которое частица проводит в рассматриваемой об-
ласти. Мы видим, таким образом, что интерпретация величины
dx— A* dx, как относительной вероятности нахождения частицы
в области dx при применении приближенного выражения для й нахо-
дится в согласии с классическим определением вероятности через дли-
тельность.
Если/(х) — некоторая величина, зависящая от координаты х
частицы, и если движение последней ограничено определенным участ-
ке.! оси х, например, отрезком между хх и то среднее значение
Лой величины в смысле классической механики? т. е. по отношению
40 I. Классическая механика, как предельный*случай волновой
ко времени, может быть определено выражением, вычисленным для
полного периода движения:
_ т
f=r j f(x)dt,	(24)
б
где Т—продолжительность этого периода. Последний может быть,
очевидно, заменен полупериодом, так как прямое движение — от хх
к х* — и обратное — от х2 к х{ — отличаются друг от друга лишь
знаком скорости (при одних и тех же значениях х). Мы можем,
следовательно, положить:
1 £
---- \f(X)dt,
где ti и tit соответственно, время выхода из точки х{ и прихода
„	,, dx
в точку xv Заменив dt на —, где v — функция от х, определяе-
мая уравнением v =	—У(.ХУ)> мы получаем:
<24“’
или, если вместо одностороннего перемещения рассматривать путе-
шествие ятуда и обратно":
?	1 X А
Г У «
Скорость v берется с тем же знаком, что и dx (т. е. со знаком >
если х возрастает от xt до х2, и со знаком —, если х убывает от
х% до xj.	_
Выражение (24а) для f оказывается тождественным с выраже-
нием, полученным с помощью волно-механического определения сред-
него значения /(х) согласно формуле:
7=	(24b)
•Vi
если при этом функция вне области (х{, х2) полагается равной нулю,
а внутри области заменяется приближенным выражением (23а). По-
§ 4.-Сравнение приближенных решений уравнения Шредингера 41
стоянная нормирования С определяется условием: J ty^dx— 1,т.е.
*2 -	р8	1
с2 Jv=c2J =	—^) = L
*1	h
Не следует переоценивать это согласие классической механики с вол-
новой. На самом деле, вне области, дозволенной классической меха-
никой, функция ф не исчезает, а, как мы уже видели, убывает по
- ^15’1
закону в п
п	1 ^5°
Согласно соотношению v =----— мы можем положить (от-
т dx
бросив член, содержащий время):
s° = т dx = JУ 2m(W — lJ) dx. (25)
Эта формула с одинаковой степенью приближения применима к точ-
кам, лежащим и вне и внутри области (хх, х2). Для точки х>х%
мы можем положить:
I s° (х) I = J V 2т (U—W) dx	(25а)
х3
и соответственно:
| ф | = Се ~4	(25Ь)
ТакихМ образом, с данной степенью приближения, среднее значение
/(х) в волновой механике определяется уравнением:
-J- 00
7= J Ж»1Ф1'2^
— 00
п2 и W>U, т. е. при xt^x^x^ и
• Ж.=с^
для х^>х% и x<^xv
42 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
Константа С определяется уравнением:
Д- со
— 00
Различие между средними величинами в классической и волновой
механике становится особенно важным в том случае, когда имеется
две (или больше) дозволенных классической механикой области, от-
деленные друг от друга областями, для которых W<^U.
Последние с точки зрения волновой механики являются для
частицы проницаемыми и не разделяют, а, наоборот, соединяют те
области, где W>U.
Сравнение „среднего по времени" в классической механике с „ве-
роятным значением" в волновой механике для случая трехмерного
движения гораздо сложнее, чем для одномерного случая, и будет
рассмотрено в следующем параграфе в связи с волно-механической
интерпретацией квантовых условий; здесь следует лишь заметить,
что такие средние или вероятные значения имеют смысл только в
том случае, если движение ограничивается дозволенной классической
механикой областью, и что соответствующие границы могут быть опре-
делены a priori только в случае консервативного движения, т. е. движе-
ния с данной (постоянной) энергией IF. Внутри дозволэнной области,
ограниченной поверхностью W—U=0, амплитуда А удовлетворяет
уравнению:	d>v(A’wo) = O,
которое может быть решено, после того как функция s0 будет опре-
делена из уравнения Гамильтона — Якоби (17). Следует напомнить, что
это уравнение, представляющее собой одну из форм уравнения (17а),
выражает закон сохранения экземпляров частицы, или вероятности
ее локализации [см. формулу (19)].
В общем случае точного равенства между средними значениями
в классической и волновой механике не существует; однако, с о о т но-
шен и я между средними значениями различных величин, имею-
щие место в классической механике, почти всегда сохраняются в ме-
ханике волновой (см. след, главу). Рассмотрим наир, величину
TZ dU .dU . dU
§ 4. Сравнение приближенных решений уравнения Шредингера 43
введенную впервые в рассмотрение Клаузиусом в кинетической тео-
рии газов и называемую вириалом.
В случае движения в ограниченной области среднее по времени
этой величины V связано со средним по времени кинетической
энергии соотношением:
27= V,	(26)
называемым „теоремой вириала*. Это соотношение может быть полу-
чено следующим образом.
Умножим уравнения движения Ньютона:
d*xk	dU
* dt*	дх
и т. д. на соответствующие координаты. Пользуясь тождеством
d*xk
Xk dt*
d / dxb \
dt \Xk ~dt /
и сложив преобразованные уравнения, мы получим:
Формула (26) получается путем усреднения этого выражения по
времени (среднее значение производной ть [^xk	‘ )
k
при этом исчезает). Заменив кинетическую энергию Т разностью
W—U и считая потенциальную энергию однородной функцией
координат n-того порядка, получим вместо формулы (26):
2(W—U) = nU
или
(26а)
Легко показать, что это соотношение имеет место также и в вол-
новой механике, если U определяется, как интеграл J* Uty\*dV, а ф
представляет собой т 9 ч н о е решение соответствующего уравнения
44 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
Шредингера.
одномерного
нием:
Умножив
В качестве примера рассмотрим простейший случай
движения, описываемого в волновой механике уравне-
</<!?*
это уравнение на х~-, а сопряженное уравнение
CLX
на и сложив их, получим:
d fd'b . 8n2/n ,F/„ d 8я’т d . e. л
dx \dx dx)' Л4 dxy'y ’ Л2 dxVi< ’
Интегрируя по частям и принимая во внимание граничные условия:
три х = ±оо, получаем:
"f00^ d}* ,	8it9/« л I	i.
-J i^xdx—rw^dx+-h--
— co	—- OO	•—00
или, так как
oo	4- °®
J <J4*dx = l и j* f^*dx=f:
— CO	—co
+f“4	u^ig*)]=o.
J dx dx 1 ft2 L dx J
Далее, умножив уравнение Шредингера на <р* и интегрируя, имеем:
4- °°	_	а 4~00
J г J
,	— со	— со
т. е.
§ 4. -Сравнение приближенных решений уравнения Шредингера 45
или, преобразовав первый член:
—<-dx4- —(I₽ — U) = Q.
dx dx 1 v 7
Таким образом:
F-i/+^-A(^)==0
ил
или
2(W-U) = x~.
dx
Мы получили формулу (26) для рассмотренного частного случая.
Другой иллюстрацией связи между волновой и классической
механикой является сходство классических уравнений движения:
т
d*x
dt*
dU
и т. д<
дх
с соотношениями волновой механики между соответствующими
средними (вероятными) значениями:
d*x _ dU
т dt* дх ’
(27)
Соотношения (27) были найдены П. Эренфестом. Они обычно рас-
сматриваются в связи с распространением волнового пакета,
как уравнения движения его „центра" или „центроида", т. е. точки
с координатами:
х = J* dv, у = J* ytyty* dv, z = J z^‘ dv.
Если волновая функция характеризует волновой пакет, полученный
путем суперпозиции волн с мало отличающимися частотами (т. е.
движений с мало отличающимися энергиями), то координаты х , у,
z являются определенными функциями времени (в случае стацио-
нарного состояния, при котором зависимость ф от времени опреде-
ляется множителем 2tcv/, они сводятся к постоянным), так что мы
можем дифференцировать их по времени. Соответствующие про-
изводные могут быть определены как средние значения слагающих
скорости частицы или ее ускорения и т. д.
46 1. Классическая механика, как предельный случай волновой
Докажем соотношения (27) для простейшего случая движения,
параллельного оси х (это доказательство легко может быть рас-
пространено на случай трехмерного движения).
По определению х:
d±= f х дС#*)
dt J dt
* dt
-^dx, (27 а)
так как x и t — независимые переменные.
9 и удовлетворяют уравнениям:
дб _ i h (\
dt 4~ т \ dx* Ч /
"	_	1 h Lд^*	п\*\
dt 4ir т \ dx* **	’
8тг/д _
где р =	• Отсюда:
dx ih	V° ( d29	d’V')
~тг= ~~л— I x	tt dx.
dt	4tm J	\ t dx*	dx1 /
— oo
Интегрируя по частям и принимая во внимание, что выражение
4-о°	.
f T7dx=/(+°°)—
<У ИЛ
— OO
исчезает, если функция /
интеграл
j 99* dx
— оо
1	/
содержит множителем 9 или -- (так как
должен быть конечным и равным единице), находим
dx h °° f , d^‘ \ ,
— = - I ( 9 з2----------------------------dx.
dt 4r.m J \ dx dx J
(27b)
Это выражение может быть получено непосредственно из соотно-
ношения
й-(Ю+^-=о
dt т‘	1 dx
§ 4. Сравнение приближенных решений уравнения Шредингера 47
и формулы
“ dx
h
1 4ът1
для плотности тока.
Положив j = 6^* v (х), где v (х) — вероятная скорость в точке
с координатой х, мы можем переписать предыдущее уравнение в виде:

dx
согласующемся с определением —-, как среднего значения скорости
частицы, независимо от ее положения.
Продифференцировав (27b) по времени, получим:
(Рх
~dt*
Л?
_\ дх* ‘ J дх
дх [дх2
дф*
дх
J L\ дх* * / дх 1
— оо
Y дх \ дх*
\дх* и	dxj	87z2/n2 J Ldx \дх дх — оо
оо
—р и(44*)1 dx = — f dx
г дх TI 'J	8т.1 m* J дх IT
— оо
т. е.
d*x
т dt*
dU	dU
-ч- , где — =
дх	дх
— среднее (вероятное) значение силы, действующей на частицу. Сле-
дует подчеркнуть, что это значение относится не к с р е д и е м у
(вероятному) положению частицы, определяемому центром пакета,
а ко всем ее возможным положениям.

48 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
Ограничивая размеры пакета (т. е. увеличивая неопределенность
оценки скорости частицы), мы можем все более и более точно
аппроксимироватьклассическое движение движением центра пакета,—
однако лишь для ограниченного промежутка времени, так как пакет
постепенно расплывается — причем тем быстрее, чем меньше его
первоначальные размеры (т. е., чем больше начальная неопределен-
ность скорости).
§ 5. Движение в ограниченной области; квантовые условия
и средние значения
Как было показано в части I, при движении частицы в ограни-
ченной области пространства (допускаемой классической механикой)
энергия W может принимать лишь дискретный ряд „квантованных
значений".
Исследуем теперь случай трехмерного движения, ограниченного
подобной областью пространства, где W—U>0, и выведем ха-
рактерные для такого движения „правила квантования", пользуясь
классическим определением фазы или функции действия s (=5°),
согласно уравнению Гамильтона — Якоби. Движение этого рода
должно, очевидно, иметь периодический или квазипериодический
характер, так что траектория, описываемая частицей, может запол-
нить всю область или пройти несколько раз в различных направле-
ниях через одну и ту же (или почти одну и ту же) точку (как,
например, в простейшем случае колебательного движения частицы
вдоль прямой линии). Если частица заменена континуумом ее
экземпляров, получается более сложная картина: различные экзем-
пляры проходят одновременно через одну и ту же точку, со ско-
ростями, в общем случае различными как по направлению, так и
по величине (если силовое поле меняется с течением времени).
Последняя, в случае движения с данной (постоянной) энергией W
должна, конечно, оставаться однозначной функцией координат.
Функция Ф = —, определяемая как потенциал скорости, в этом
случае должна быть, однако, так же, как и в общем случае не-
консервативного Сдвижения, многозначной функцией коорди-
нат. Рассматривая континуум экземпляров, как род жидкости, мы
§ 5. Движение в ограниченной области
49
можем иллюстрировать рассматриваемый случай с помощью движения
жидкости по замкнутым линиям, причем каждая линия пред-
ставляет собой траекторию всех расположенных вдоль нее частиц.
В соответствующем волновом представлении эти замкнутые траек-
тории отдельных частиц или экземпляров должны быть интерпре-
тированы как замкнутые лучи.
Такое движение жидкости может быть невихревым, например,
если жидкость течет по замкнутой трубке или вокруг некоторой
замкнутой трубки; это означает, что скорость частицы -п, как
функция ее координат, может быть представлена градиентом потен-
циала Ф, если последний определен как многозначная функция
координат. Действительно, взяв интеграл скорости вдоль линии о,
соединяющей точки и Pv мы получим I так как проекция v
на
элемент линии do, va по определению потенциала равна
t/Ф \ .
dv / ‘
j* ^а = Ф(Р2)—Ф (/>,).
Если линия замкнута, т. е. если точки Рх и совпадают, этот
интеграл, в случае однозначности функции Ф должен равняться нулю,
независимо от формы линии. Можно, однако, предположить, что
для замкнутых линий определенного типа потенциал после „круго-
вого обходаи изменяется на величину ДФ, равную значению инте-
грала (j) взятого вдоль соответствующей замкнутой линии.
Если последняя совпадает с направлением движения, интеграл,
конечно, отличен от нуля, так как вдоль подобной линии to<s = | v |.
Легко доказать, что в случае невихревого движения интеграл
— называемый „циркуляцией"—имеет одинаковое зна-
чение для всех замкнутых линий одного и того же
семейства, т. е. одного и того же общего типа. В случае
жидкости, обтекающей замкнутую трубку по замкнутым линиям
следует различать замкнутые линий двух родов: не охватывающие
и охватывающие трубку. Для первых циркуляция равна нулю, тогда
как для последних она имеет некоторое, отличное от нуля, значе*
50 !. Классическая механика, как предельный случай волновой
ние. Этот результат вытекает из преобразования линейного инте*
грала согласно формуле Стокса в интеграл ф (rot v^dS по
поверхности S, ограниченной линией о. В Случае Линий первого
рода, поверхность S находится целиком внутри жидкости, так что
интеграл исчезает (движение предполагается невихревым (rot -v = 0).
В случае линий второго рода, поверхность S пересекает трубку,
вокруг которой течет жидкость. Для точек внутри трубки понятие
скорости не имеет смысла; мы можем поэтому заменить поверх-
ность S некоторой другой поверхностью S', ограниченной двумя
замкнутыми линиями второго рода. Применив к этой поверхности,
лежащей целиком внутри жидкости, для которой, таким образом,
интеграл (j) (го t v)ndS исчезает, формулу Стокса, мы найдем, что
(j) взятый по двойной границе S', обращается в нуль если
„круговой обход* совершается вдоль двух составляющих линий в
противоположных направлениях; отсюда следует, что циркуляция
имеет одинаковое значение для обеих линий, если путь проходится
в одном и том же направлении.
Отметим, что совершенно аналогичные результаты имеют
место в теории магнитного поля, создаваемого линейным элек-
трическим током. Это поле — вне проводника, вдоль которого
течет ток, — также невихревое, так что напряженность магнитного
поля Н может быть определена как градиент некоторого магнит-
ного потенциала. При каждом обходе вокруг проводника вдоль лю-
бой замкнутой линии (однократно охватывающей проводник), этот
потенциал изменяется на определенную величину 4к/, где i — сила
тока.
Предыдущий результат может быть применен без существенного
изменения к движению фиктивной жидкости, образуемой контину-
умом экземпляров частицы в ограниченной области пространства.
Единственное различие заключается в том обстоятельстве, что в слу-
чае континуума экземпляров можно представить себе различ-
ные экземпляры проходящими одновременно через одну и ту же
точку, но в различных направлениях, — чтд в случае реальных ча-
стиц, конечно, невозможно. В частности, замкнутые линии могут
§ 5. Движение в ограниченной области	51
вырождаться в „двойные линии*, т. е. незамкнутые линии конечной
длины, вдоль которых экземпляры движутся сначала в одном, а затем
в противоположном направлении (колебательное движение).1 Для
такой двойной линий „циркуляция" равна не нулю, а двой-
ному значению интеграла J взятого вдоль одного из направ-
лений. В результате потенциал скорости Ф =-^ , помимо рассмо-
тренной выше многократности, может приобрести дополнительный
двойственный характер совершенно иного рода, соответствующий
Возможному присутствию в каждой точке двух экземпляров, движу-
щихся в противоположных или, в общем случае, в различных на-
правлениях.
Оставляя в стороне эту двойственность, мы видим, что в случае
частицы, заключенной в ограниченной области пространства, функ-
ция 5, представляющая собой механическое действие или потенциал
количества движения экземпляров этой частицы, должна — поскольку
движение этих экземпляров предполагается невихревым — быть мно-
гозначной функцией координат, т. е. должна изменяться на опре-
деленную величину As для всех замкнутых линий (включая двойные
линии) определенного семейства. Следует заметить, что „круговые
обходы" вдоль любой из этих линий не имеют ничего общего с
действительным движением, будучи обусловлены не движением опре-
деленных экземпляров (последние не обязаны двигаться по замкну-
тым линиям), а процессом линейного интегрирования, относящегося
к определенному моменту времен и. Изменение As функ-
ции s для каждого такого кругового обхода называется „модулем пе-
риодичности" s. С точки зрения волновых представлений, связанных
с движением континуума экземпляров частицы, эти „модули перио-
дичности", деленные на постоянную Л, представляют собой число
длин волн, содержащихся в соответствующих замкнутых линиях.
гт »	‘	ds
Действительно, — = g<3 — слагающая количества движения частицы,
иО
взятая вдоль линейного элемента rfo; согласно уравнению де-Брогля
1 Трубка, которую обтекает жидкость., вырождается в ленту с равной
нулю толщиной.
52 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
d I $ \	*,	••
производная 1-^-1 =^- = я9 должна равняться соответствующей
слагающей „волнового вектора" k— связанных с ней волн*
Интеграл j) k^da = -i- As может быть определен, соответственно,
как число длин волн, содержащихся в линии а, или, точнее, как
число волн, пересекаемых этой линией, или, еще точнее, как раз-
ность между числами волн, пересекаемых а в положительном и
отрицательном направлениях (т. е. в направлении распространения
и в противоположном направлении).
В случае движения, соответствующего определенной энергии,
число волн, пересекаемых каждой замкнутой линией, должно оче-
видно равняться целому числу, соответствующему изменению фазы
2к	о
© = —5 на целое кратное 2я— изменению, не оказывающему влия-
ния на волновую функцию ф = лЛ В противном случае послед-
няя также была бы многозначной функцией координат и не пред-
ставляла бы собой стационарной системы бегущих по замкнутым
путям или же стоячих волн (каждая стоячая волна образуется супер-
позицией волн, распространяющихся в различных направлениях).
Таким образом, из условия однозначности волновой функции ф
следует, что „модули периодичности" функции дейст-
вия 5 должны быть целыми кратными h.
Легко показать, что это условие, относящееся к случаю дви-
жения, ограниченного определенной (классической) областью, экви-
валентно квантовым условиям старой квантовой теории, построенной
Бором и Зоммерфельдом.
Для формулировки этих квантовых условий в общем случае
необходимо вместо первоначальных прямоугольных координат х,у, z
ввести новые переменные (обобщенные координаты) qv q* q.3. Если
мы выберем их так, что 5 примет вид:
f
(28)
а —1
(„разделимые координаты"), то квантовые условия выразятся фор-
мулами:
§ 5. Движение в ограниченной области
53
(28а)
J) Ра d<Ja =	d4a — (Ma = «a h>
ds
где na— целые числа,pa = --—— „обобщенные импульсы", а (Д$)а—
„главные модули периодичности" функции $, т. е. такие ее изме-
нения, которые соответствуют „циклическому" изменению одной
из „разделенных" координат, когда две другие остаются постоян-
ными. Под „циклическим" изменением координаты qa мы подразуме-
ваем такое ее изменение, при котором данная частица возвращается
в первоначальное положение и, следовательно, прямоугольные ко-
ординаты принимают свои первоначальные значения. Если коорди-
ната qa имеет угловой характер, так что прямоугольные координаты
являются ее периодическими функциями, то „циклическое измене-
ние" qa сводится к увеличению ее на соответствующий период &qa
(например 2те). В противном случае оно представляет собой коле-
бание qa в определенных пределах, характеризуемых силовым полем.
Циклическое изменение индивидуальных разделенных координат
при действительном движении системы совершается за периоды
времени Д/а, в общем случае отличные друг от друга; такое дви-
жение называется условно-периодическим. Эта зависимость
переменных qa от времени не играет роли в „квантовании", опре-
деляемом формулой (28а).
Обобщенные импульсы могут быть определены и, действительно,
обычно определяются, другим способом, а именно — как частные
производные от кинетической энергии 7*, выраженной, как функция
обобщенных координат и соответствующих „скоростей" ^j-=q^
Эквивалентность обоих определений в случае прямоугольных
координат очевидна, так как Т = m (тл/2 4~	+ vz*) и
_ ds_dT
дх dv.
Если последние заменены новыми (обобщенными) координатами
qa{x, У> мы имеем:
и т. д.
54 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
откуда
dffg — и т. д.
dvx дх
Таким образом:
з
ds ds dqa
dx	dqa dx
и
3	.	3
dT = V дТ дЯа= V дТ dqa
dvx &дЯа. dvx dqa дх ’
тл.;
ds дТ
— = 7Г-;=ра.
dqa dqa
Формулировка квантовых условий в форме (28а) иногда воз-
можна двумя, или более, различными способами — если существует
несколько групп „разделимых* координат. Теоретически она воз-
можна— одним способом по крайней мере — для любого рода
движения (заключенного в определенной области). Практически,
однако, „разделимые координаты* могут быть найдены только для
простейших типов движения (т. е. силового поля). Если разделимые
координаты найдены быть не могут, то квантовые условия — в
смысле теории Бора — должны быть выражены в более общей, ука-
занной выше, форме: модули периодичности функции 5 по отно-
шению к любой замкнутой кривой должны равняться целому крат-
ному h (или нулю).
Вернемся теперь к вопросу о соотношении между средним или
вероятным значением некоторой функции координат частицы для
данного квантованного состояния движения в волновой механике и
соответствующим классическим „средним по времени* этой функции.
Решение этого вопроса связано с введением новых, еще более
общих координат, выражающихся не непосредственно через прямо-
угольные координаты, а через рассмотренные выше обобщенные
координаты и соответствующие импульсы, причем новые импульсы
также являются функциями старых координат и старых импульсов.
Такое преобразование координат, или, скорее, координат и им-
§ 5. Движение в ограниченной области
55
пульсов, было введено Гамильтоном и называется контактным или
каноническим преобразованием (преобразование, рас-
смотренное выше, — частный его случай).
Теория канонических преобразований основана на сохранении
так называемой „канонической формы" классических уравнений
движения. В случае прямоугольных координат эти канонические
уравнения могут быть получены непосредственно из обычных урав-
„	d*x dU
нений движения m-—^ = — — и т. д. в форме:
dt* дх	г
dgx_ дН dx _ дН
dt~ дх’’"’	( }
где
(gj+g* +^2) + и	(29а)
означает полную энергию, выраженную как функция координат и
импульсов, и называется обычно „функцией Гамильтона". Урав-
нения (29) можно интерпретировать, как относящиеся к частице,
движущейся не в обычном пространстве трех координат, а в шести-
мерном „фазовом" пространстве (Часть I, гл. 3) с „координа-
тами" х, у, z, gx) gy, gz\ производные по времени от этих координат
дают шесть слагающих „скорости" в фазовом пространстве, при-
чем И является функцией „положения" частицы в этом простран-
стве.1
В дальнейшем, для однородности обозначения мы будем писать
вместо х, у, z — Qi, Qv Q3 и вместо gx, gy, gz — Plt Pit P3.
Тогда уравнения (29) принимают вид:
dPa _ дн dQ* _ эн
dt — dQa' dt ~ дРа‘
(29b)
Введем теперь новые координаты Q,', Q3', Q3', определяющиеся
тремя уравнениями вида:
Q₽' = Q^Qlt Qif Q3) или Qa = Qa(Qt', Q,', Q3) (a, ₽ = 1,2,3). (30)
1 Вместо одной частицы можно рассматривать континуум ее экземпля-
ров, распределенных в пространстве фаз с плотностью, в оощем случае
зависящей от времени»
56 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
Новые импульсы Р/, Л2', Р3' определяются, таким образом, фор-
мулами:
з	з	з
ds V ds dQa V dQa	V , dQtf
dQs ^ея. dQa dQ«	dQa.
которые, очевидно, не требуют знания функции действия $. Легко
показать, что эти новые координаты и импульсы удовлетворяют
системе уравнений такого же вида, как и уравнения (29b):
dP$ __ дН' dQ$ _ дН'
dt dQj ’ dt дР$
(3=1, 2, 3),
(31)
где Н—новая функция Гамильтона, полученная путем замены в
первоначальной функции /7(Q, Р) старых координат и импульсов
новыми, согласно формулам, (30) и (30а). Преобразование, опреде-
ляемое этими формулами, называется „точечным преобразованием".
Как выше уже было упомянуто, оно является частным случаем ка-
нонического преобразования. Каноническое преобразование
(координат и импульсов) определяется формулами:
„ дФ , дФ	.
Ра~dQ2’	(3 а)
где Ф(ф, Р')—совершенно произвольная функция от старых ко-
ординат и новых импульсов. Положив, в частности:
з
Ф ^р	Фз)>
мы получим согласно (31а):
з
Q?=f?(Qv Q,, Q3), Ра = Р/
что соответствует точечному преобразованию (30), (30а).
То обстоятельство, что старые канонические уравнения (29а)
преобразуются с помощью (31а) в уравнении такой же канониче-
ской формы (31), может быть показано следующим образом:
Составим полный дифференциал, или, вернее, вариацию функции Ф,
соответствующую виртуальной (совершенно независимой от действи-
тельного движения) вариации переменных Q, Р':
§ 5. Движение в ограниченной области	57
8ф=2 sr851+2 Д5Рг'=2 р“8<з-+2 Q>ip’
a	р, ‘	а	р
и продифференцируем это выражение по времени.
Далее, возьмем производную от Ф по времени:
I Уо^
dt ~ Li а dt Li dt
а	?
и найдем ее вариацию. Вычтя полученные таким образом выражения
друг из друга, мы получим, принимая во внимание, что операции
d
би — коммутативны:
2(^’8о“~^8р2=2(^8^-^8рД
a . ₽
Но согласно (29) мы имеем:
V (dPa dQ,	\ у / dH dH \
2 U. tjQ«—dt 2 ^8Q“+ дРа6Р«г~йН-
a	a
Так как H(P, Q) = H’(P', Q'), то
\(dH’ >n- i dH'*D'\
-*'—2?^+»^ =
0	. e
'V / dP?	, dQ$ .
=21 л di
Вариации BQs' и о/у произвольны; мы можем поэтому приравнять
коэффициенты в обеих частях равенства и получим таким образом
уравнение (31).
Канонические преобразования, при которых преобразованная
функция Гамильтона Н' зависит только от импульсов Р\ а не от
координат Q', играют особую роль. Такие координаты называются
обычно циклическими. В этом случае уравнение (31) сво-
дится к:
р$' = const,
dQ?f _ дН _
dt ~ дР$ ~
= const,

т. е.

58 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
Если функция преобразования Ф, приводящая к циклическим
координатам, известна, то механическую задачу можно считать
решенной, так как старые координаты и импульсы являются,
согласно уравнениям (31а), известными функциями времени, содер-
жащими кроме t только константы — Р'^ и
Из уравнения (31а) следует, что эта функция преобразования —
не что иное, как функция действия 5, рассматриваемая как функция
ОТ Qp Q2, Qz к тРех произвольных постоянных Р/, Р2', Р3', появ-
ляющихся при решении уравнения Гамильтона—Якоби (16) или (17),
которым эта функция определяется. Эти постоянные интегрирования
могут быть выражены через три главных модуля периодичности
функции действия Уа = (Ду)а относительно системы разделимых
координат qv q3. Заменив старые константы Ра' их выражением
через J3, мы можем записать функцию преобразования Ф
в виде s(x,у, г, J3) и определить постоянные Ja,
как новые импульсы (Ра' = Ja')’ Рассматриваемые с этой точки зрения,
эти постоянные называются „переменными действия". Соответствую-
щие циклические координаты называются „угловыми переменными".
Обозначая их через (= Q^'), мы имеем, таким образом:
= V + >	(32)
где, согласно преобразованным каноническим уравнениям (31):
dH'
"з=^=СОП5‘
и
(H' = W)
(32а)
P=J*L
“ dQa’
ds
? dJj
(32b)
Для того, чтобы определить зависимость старых координат Qa от
новых координат введем временно, как промежуточное звено
между ними, разделимые координаты qv qif q3. Функция 5, выра-
женная через эти координаты, принимает вид:
Циклическому изменению координаты q* соответствует по (32b)
§ 5. Движение в ограниченной области
59
ds
изменение координаты на 4aw^ = ДаТак как Да^=/>,
при а = р и Да = 0 при то:
Д «/О=^“ = Р ПРИ а = ₽ -
а 3 dJ$ 10 при а ф р '
Эти формулы показывают, что когда какая-либо угловая перемен-
ная Wp увеличивается на единицу, а остальные wa остаются посто-
янными, то функция 5 увеличивается на что соответствует цикли-
ческому изменению одной из разделимых координат т. е. воз-
вращению частицы к первоначальному положению по „кривой |3*.
Отсюда следует, что координаты и, следовательно, импульсы
Рр являются периодическими функциями угловых координат с пери-
одами, равными единице.
Каждая из них так же, как и всякая функция f(Qv Q3),
может быть представлена тройным рядом Фурье:
(33)
Ла, Лд
где А’р &2,	— целые числа, принимающие все значения, от—оо
до оо, a fklt k2t — определенные коэффициенты разложения,
характеризующие функцию f. Подставив вместо координат их
значения, полученные из (32), имеем:
/== 2	л2,	(33а)
kit k, fe8
где ck — новые коэффициенты разложения, которые можно рас-
сматривать, как амплитуды различных гармонических колебаний,
тогда как:
О) =	63(d3	(33b)
частоты этих колебаний. Величины т. е. скорости, соответ-
ствующие угловым координатам, представляют собой, таким обра-
зом, основные частоты данной механической системы.
Вернемся теперь к задаче определения среднего по времени
значения /. Эта задача может быть решена непосредственно с по-
мощью формулы (32а). Действительно, среднее по времени значе-
60 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
ние/должно, очевидно, равняться тому амплитудному коэффициенту
в (33а), для которого частота колебания <о исчезает — или сумме
таких коэффициентов, если уравнение <о = 0 удовлетворяется не-
сколькими различными комбинациями чисел k3.
Это среднее значение может быть представлено общей форму-
т
лой /=11и1^-^г J fdt^. С другой стороны, оно может быть пред
О Г— оо
ставлено также формулой:
* 1 1 1
7= (| J f dwi d^dwg,	(34)
ООО
не содержащей явно времени, причем тройное интегрирование распро-
страняется по „кубу периодичности" в координатном пространстве
угловых переменных; / задается как функция угловых переменных
формулой (33).
Выражение (34) имеет вид „статистического “ среднего значения,
соответствующего усереднению по различным экземплярам данной
частицы, распределенным с постоянной плотностью в про-
странстве угловых координат	w3.
Его численное совпадение со средним по времени значением
f для определенного экземпляра означает, что кривая, описываемая
при движении такого экземпляра, равномерно заполняет это про-
странство. * 1
Мы можем перейти теперь от угловых координат к нашим пер-
воначальным прямоугольным координатам: Ql = x, Q^=yf Q3 = z.
Новые импульсы являются постоянными; старые координаты могут
быть, следовательно, рассматриваемы практически, как функции
одних лишь новых координат, и наоборот.
Мы можем, соответственно, преобразовать объемный интеграл
(34) согласно известной теореме Якоби и положить
f=§fDdV,	(34а)
1 Это условие удовлетворяется для невырожденного движения, т. е.
движения, при котором три основных частоты оч, <d8, <d3 друг с другом
несоизмеримы.	* •
§ 5. Движение в ограниченной овластй	81
где dV*adxdydz и			
	(JWi	dwt	dwt
	дх ’		dz
	дх ’	dwQ ду ’	dz
		^3	dw^
	дх ’	ду 9	dz
Согласно формуле (32b), этот функциональный определитель
может быть написан в виде:
	d^s	d*s	d*s	
	dJt dx ’	dJr dy ’	dJxdz	
	d2s	d*s		
D =	dJ^dx ’	dJ^dy’	dJ^dz	(34b)
		d*s	d*s	
	dJ3dx ’	dJ3dy’	dJ^dz	
Объемное интегрирование в формуле (34а) должно быть рас-
пространено по всей области, для которой W—U^Q. Мы прихо-
дим к заключению, что относительная вероятность нахождения
частицы в элементе объема dV, измеряемая относительной про-
должительностью ее присутствия в этом элементе объема, равняется
D(jDdV=l). Сравнивая этот результат со средним значением
в волновой механике:
мы видим, что последнее совпадает приближенно с (34а), если
= В области W—0 функция s = S° вещественна, так
2тг	2tz
что модуль функции Ъ = Ае п =с п должен сводиться к
А = es', откуда следует, что
= А	(34с)
Необходимо заметить, что о точном совпадении средних значений
классической и волновой механики не может быть речи не только
вследствие приближенного характера предыдущего выражения для ф
(где s определяется из уравнения Гамильтона — Якоби), но также
и вследствие того, что согласно волновой механике интегрирование
62 I. Классическая механика, как предельный случай волновой
должно быть распространено по всему пространству, вклю-
чая и область, не дозволенную классической механикой. Эта область,
хотя и бесконечная, дает, однако, в ббщем случае, только конеч-
ное й обычно малое значение в интеграле V, благодаря очень
быстрому убыванию функции |ф|2.
Соотношение (34с) может быть, конечно, получено путем непо-
средственного интегрирования уравнения:
div Д2 V 5 = 0
[см. (170а)], или уравнения:
V2S° + 2 VS°‘ =
к которому сводится уравнение (21b) в случай консервативного
движения. Это интегрирование было выполнено (в случае второго
уравнения) Ван-Флеком; при этом Д2			оказывается пропорциональным	
определителю:				
	d*s	д%	<?3$	
	дхда	дуда.	дгда.	
	d^s	&S	d'-s	
	дхд$	дудЪ	дгд$	9
	д*з	d^s	d*s	
	дхду	дуду	dzdf	
интегрирования, входящие в выраже-
где а, Р, у — три постоянные
ние функции S(x, у, z, а, р, у). Этот определитель равен произ-
_	д(а, р, т)	.
ведению D на определитель у ~у	представляющий собой по-
стоянный множитель, играющий роль постоянной нормирования.
В частном случае одномерного движения определитель (34b)
дЧ
сводится к ^ppp тогда как при непосредственном интегрировании
С2 тС~
мы получаем в этом случае Д2 = — = Таким образом:
дх
дЧ _ тС*
дх dj ds ,
дх
§ в. Движений В ОГРАНИЧЕННОЙ ОВЛАСТИ
88
так что '
ds д f d s \ _^ д___1 / V_______ pt
дх dJ \дх I dJ 2 \ дх / т 
или, так как
1 / д? \з	д
_L =W-U, то 4- {W-U)=C*.
2т \ дх I	dJ	’
Это условие действительно выполняется, так как -^-=0и
dJ
dW 1
—у — со = —, I де 1 — период движения (согласно (32а) при
W=Н'). Отсюда мы получаем: С2 =	— в согласии с теорией,
изложенной в предыдущем параграфе.
Л А В A it
ОПЕРАТОРЫ.
§ 6. Уравнение Шредингера в операторной форме; предста*»
вление физических величин операторами.
Формальное соотношение между классической и волновой меха-
никой может быть представлено следующим способом, приводящим
к более глубокому пониманию теории и к некоторым важным обоб-
щениям.
Перепишем уравнение Шредингера (13) в виде:
£6 = 0,
где D означает оператор:
о	(JL (A 2Vl_i_A1 । и.
2т L \2rcZ дх / * \2kZ ду/ ' \2гЛ dz) J 1 2kZ dt 1
Этот оператор может быть выражен с помощью элементарных
Дифференциальных операторов:
h д   h д   h д   h д  
2тЛ дх Pxi 2гЛ ду	Pyj 2iu dz	Pz' 2гЛ dt Pt
по формуле
D = 2т{Рх + р* +Р^ +pt + U-	<35а)
Уравнение Dty = 0 сводится, таким образом, к классическому
соотношению между количеством движения и энергией:
А^ + ^_г==0)
если мы заменим операторы рх, pVi pz слагающими количества дви-
жения, а—pt—полной энергией, т. е., если вместо (35) мы по-
ложим:
PX = gX. Py = gV, Pz = g;< pt = —W	(36)
и вычеркнем функцию (рассматривая ее, как множитель).
§ 6. Уравнение Шредингера в операторной форме 65
Таким образом, переход от классической механики к волновой
формально может быть осуществлен следующим образом: в „ клас-
сическом* уравнении:
+<;+§•/) + U- W=0,	(36а)
связывающем слагающие импульса и полную энергию частицы, мы
должны заменить эти величины элементарными операторами со-
гласно (36) и умножить полученный оператор Шредингера D на
волновую функцию приписав ее справа от знака оператора.
Такое „умножение справа* означает просто применение оператора
к выражению, стоящему справа от него. 1
h д
— — уже произво-
дилась нами раньше — при переходе от волнового уравнения для
g ^2^2
консервативного движения V -j-----(1Г — U) = 0 к общему
/ h
2tuZ
любого рода движению. В первом случае, где
_wt
<р = 6° (х, у, z)e h ,
Замена энергии W оператором—pt
уравнению \72
Л2
д	тг\ .
—-----Uj 7 = 0, применимому к
оператор—pt действительно эквивалентен энергии, т. е. удо-
влетворяет уравнению — р$ = которое мы можем написать
символически (отбрасывая оперируемую функцию) в виде:
Аналогичная эквивалентность существует между операторами
Рх> Ру> Р2 и слагающими импульса gx, gv, g2 по отношению к вол-
новой функции:
<b=consb£ h у
характеризующей свободное движение частицы со скоростью
определенной величины и направления. Последнее, как мы знаем,
может быть определено только в этом частном случае. В общем
случае функции рх^, pvty, p2ty,—р$ не эквивалентны произведениям
функции 6 на какие-либо постоянные числа.
66
II. Операторы
Естественно связать этот результат с тем обстоятельством, что
в общем случае слагающие импульса gx, gyi g2 точно так же, как
и энергия W, не имеют определенного значения, и’предположить
далее, что при переходе от классической механики к волновой они
всегда должны заменяться операторами рх, ру, ря,—pt.
Этот принцип подтверждается следующими соображениями.
1) Поскольку волновая функция может быть аппроксимирована
выражением е п , где S — классическое „действие*, определяемое
уравнением Гамильтона — Якоби, справедливы равенства:
h д	t™dS
/ =	—е ~^-=Sx^ и т- Д’
2та дх	дх	т
Таким образом, в этом случае операторы рх, ру1 ря действи-
тельно эквивалентны слагающим количества движения gXi gyi ga.
Этот результат :праведлив приближенно также в том случае, если
i — S
функция представляется в виде Ае h , так как частные произ-
водные от амплитуды А по х, у, z (поскольку предыдущее прибли-
жение применимо) очень малы по сравнению с частными производ-
$
ними от —, т. е. по сравнению со слагающими волнового вектора
(длина волн предполагается очень малой).
2) Если функция „квадратично интегрируема", т. е. если она
может быть нормирована так, чтобы интеграл J* равнялся 1,
то интегралы
^^Px^dV, ^*PyW
совпадают со средними значениями слагающих количества движе-
ния, определяемых интегралами:
т j* jxdV,	т J* jydV, т \hdV,
где J==ty^*v—плотность потока вероятности, a v — соедняя ско-
рость, введенная в гл. I, § 2 и 3.
Действительно, согласно определению jXi мы имеем:
т tj,dV = ^ f
j . hi J V dx дх 1
§ 6. Уравнение Шредингера в операторной форме 67
Проинтегрировав по частям, получаем:
f ^^-dV— — f V^-dV,
J T dx J dxK1J ' J T dx J T dx
так как при условии конечности J tylfd V, функция <}4* должна
исчезать в бесконечности настолько быстро, что
/» Я	(* (* X-e-f-OO
j	№*Ь_ Jydz
обращается в нуль.
Таким образом:
m^J‘dv=^^dv=^'‘p‘<<dv-
Предыдущий результат может быть распространен на более
сложные операторы, которыми могут быть заменены различные
классические величины, представленные как функции координат
и импульсов Г(х, у, z\ gx, gyi g2), если gx, gyi gz заменены опера-
торами p# pyt рг. Простейшим примером такого сложного оператора
является оператор
т=~<.р?+р,'-\рЛ
представляющий кинетическую энергию.
Если функция описывает движение с данным постоянным зна-
чением полной энергии, т. е. если она удовлетворяет уравнению
Шредингера:
(T-\-U— Г)ф = 0,
то
T^ = (W—U)^
где „оператор" W—U является простым множителем. Предыду-
щее уравнение выражает то обстоятельство, что кинетическая энер-
гия (т. е. величина классической скорости) является определенной
функцией координат. Сумма оператора Т и потенциальной энергии
U представляет собою полную энергию частицы и называется обычно
оператором энергии, или оператором Гамильтона. Обозначая этот
оператор через 77, мы можем записать предыдущее уравнение в виде:
выражающем то обстоятельство, что при движении, опи-
68
II. Операторы
сываемом функцией <р, энергия частицы имеет определенное знача*
ние W. Общее уравнение, относящееся к неконсервативному движе-
нию, может быть написано в виде:
(Н+АН = 0
(37)
Это уравнение Связывает два оператора Н и —pt, предста-
вляющие энергию W (когда она существует) — первый в зависимо-
сти от свойств частицы (массы) и характера силового поля, в кото-
ром она движется, а второй — в общем виде, независимом от этих
свойств.
Легко показать, что результат применения любого оператора
F(x, у,„ z, рх, ру, р2) к функции 6, выраженной в приближенной
i*Ls (	^Д
форме е h \ или Ае h равен (по крайней мере приближенно)
произведению F(x, у, г, gx, gy) g^ty- Аналогичный результат
имеет место и в более общем случае оператора, содержащего
время t и оператор pt. А именно, мы имеем приближенно:
F(x, у, z, t, рх, рг рг, pt)ty = F(x, у; z, t, gx, gy, g,— 1₽)<р,
где энергия W определяется, как
нием Гамильтона — Якоби,
as
dt ’ В
соответствии- с уравне-
=J- (v S)9 4- и= т + и.
dt 2m ‘	1
Функция F6, получающаяся при применении оператора F
к точной волновой функции может быть представлена
как произведение последней на некоторую функцию Fc,
зависящую только от координат (и от времени). Функция
та
Fc = —p~ может быть определена, как значение величины, пред-
ставленной оператором F в соответствующей точке (и в соот-
ветствующий момент времени). Точно таким же способом мы опре-
деляли раньше значение кинетической энергии в случае консерва-
*	Fty
тивного движения. Если, в частности, отношение —Д- равно посто-
янной с, то величина, представленная оператором F, называется
постоянной движения, так как ее значение с не зависит от
§ 6. Уравнение Шредингера в операторной форме 69
положения частицы (и от времени). Такой случай мы имеем при
применении опера юра энергии Н к функции описывающей кон-
сервативное движение, а также при применении одного из операто-
ров рх, ру, р2 к функции ф, описывающей равномерное прямоли-
нейное движение.
та
Если отношение Fr = —~не является постоянной величиной,
Ф
мы можем определить среднее или вероятное значение ве-
личины, представленной оператором F с помощью формулы:
F=J Fc<!fy*dV
ИЛИ
F=f ty*FtydV,	(38)
конечно, при условии,
J W*dV=l.	(38а)
Это определение среднего значения является обобщением опреде-
ления, рассмотренного нами в предыдущей главе для величин, зави-
сящих только от координат (как, например, потенциальная энергия).
Его физический смысл был уже выяснен нами на примере основных
операторов рх, ру, р2.
В качестве примера изображения физических величин операто-
рами мы рассмотрим угловой момент частицы по отношению к не-
которой неподвижной точке (началу координат), например угловой
момент электрона, движущегося около неподвижного ядра (см. часть Г,
§14). В классической механике эта величина определяется как
вектор со слагающими:
Уёг — zgx — xZ2> Х£у—У£х-	_
Мы определим его, соответственно, как векторный оператор М
со слагающими:
Мх=ург — гру, Му — грх — хрг, Мг = хру—ур
h д д\ лл h д д\
х 2ш v dz dyl 5 2та \ дх dz!
 ЛЛ h / д д\
М2 = ~— х-----------у—
z \ dy дх/
70
1L Операторы
Заменив прямоугольные координаты сферическими с помощью
формул:
х=г sin 6 cos % y = r sin 6 sin ср, z — r cosO,
получаем:
dty dty dx df}> dy dty dz
dr	dx dr ' dy dr ' dz dr ’
t. e.
r v =e r sin9 cos-? -r—k r sin 6 sin ? 4- 4- г cos 6	=
dr	T dx 1	T dy	dz
d ।	d ।	d
—hr-
dx 1 dy 1	dz
Аналогично:
d	'A . d ,	, 0 d d d
d<?	‘ dx ‘	‘ dy dy 7 dx
Таким образом:
Af2=-A-JL.	(39a)
г 2ra dw
Далее, по формулам (39) мы получаем:
NP = Мх* 4- М* Д’ =
А’ Г . 5’ . , <Э’ д ( д \ д / д \ ,	1
44l	ду1 ^йг\ ду) Z ду г dz) “ J
=_ л(„,+2.)^_2„ JL_ 2х±_.. 1
4к’2 |_	'	dx2	У	dy dz	dx
№ Г	d-	d^	d	1
= -^ (r2 — x^~-2yz^-------------2x^-—,
4k2 L	dx2	7	dydz	dx	J
где невыписанные члены в квадратных скобках получаются из вы-
писанных путем циклической перестановки координат х, у, z.
Пользуясь тождеством:
( d । d ,	2 d2 , d , t ft d2
\ ax dy 1 dz! dx2 1 dx 1	1 dydz
или
2 d2	। о ’ d2 . ,	/ d?2	d
dx2	1 7 dydz	\ dr)	dr
§ 6. Уравнение Шредингера в операторной форме
71
АР
мы можем записать предыдущее выражение в следующем виде:
Г>(Л4-Л I	г21=
4гс2 L \дх2 * ду* * дхЧ \ dr) drj
2—г2 —— 2г—1
dr2 dr]
4^2
Отсюда:
Полагая:
где

4ir« 1 _Л . 1 / д V . 1
~тт---Г 4-------i ( г Т / 4---
Л2 г2 г \ дг! г
4к®	।	, 21
Л2 г2 ' drh ' г дг
а2	_2 д_ J_
dr2	г dr * г2
д
2®
1	<Э2
sin 6 д 6
sin2 0 д'лг
умноженную на гг угловую часть оператора V2, мы полу-
означает
чаем таким образом:
Л’
4и2
(39b)
При применении этого оператора и оператора (39а) к функ-
циям %Zm = Fnl (г) Ylm (6, <р), характеризующим стационарные состоя-
ния водородоподобного атома, получаем:
Л2
^ntm = Fnl (г) /И2 Ylm = -	FnZ22 Ylm,
или, согласно уравнению: 22FZw4"K^“b О =
Л2
^„=^/(/4-1)^.	(40)
Зависимость Ylm от <р выражается множителем так что:
M^nlm = ^ntm.	(40а)
Эти соотношения показывают, что величина углового момента
и его направление являются постоянными движения совершенно
72
II. Операторы
так же, как и в классической теории частицы, движущейся в цен-
тральном поле сил.
Следует заметить, что характер последнего влияет только на
радиальный множитель Fnl(r) волновой функции тогда как
угловой множитель Ylm (6, ф) во всех случаях является шаровой функ-
цией. Предыдущие соотношения справедливы, таким образом, не
только для движения частицы в кулоновом поле, но и для движения в
любом центральном поле сил. Они показывают далее, что квантовые
числа I и т, введенные в § 14 части I как „узловые* числа,
характеризующие волновую функцию tynlm с чисто геометрической
точки зрения, имеют кроме того динамический смысл: одно из них (/)
определяет общую величину углового момента, согласно соотношению
h*
/И2 =	1), другое (т)— проекцию углового момента на
h
ось z, согласно соотношению Мг = -^-т (поэтому числа I и т на-
зываются соответственно — угловым и осевым квантовыми числами).1
Постоянство направления углового момента вытекает косвенным обра-
зом из соотношения (40а). В самом деле, направление оси z может
быть выбрано произвольно) ибо функции 6п1т определены таким
образом, что это направление является осью шаровых функций
Ylm (6?) = Ptm (®) Применив к этим функциям операторы Мх и
Му, мы не получим такого же результата, как при применении опе-
ратора	так как функции Мх^п1т и Му^п1т не пропорцио-
нальны	Мы знаем, однако, что Мх и Му также являются по-
стоянными движения; условие Fty = const • ф не следует рассматри-
вать, таким образом, как общий критерий постоянства величины,
представленной оператором F. Легко показать, что это обстоятель-
ство связано с вырождением, т. е. с тем фактом, что функции
не вполне определяются значением энергии Wn (последнее за-
висит только от „главного* квантового числа л). Любая линейная
комбинация л2 функций отличающихся друг от друга числами I
и /л, будет представлять, таким образом, стационарное состояние,
относящееся к одному и тому- же значению энергии. Эта линейная
1 Такое обозначение кажется нам более удобным, нежели традиционная
терминология, согласно которой / называется „азимутальным* квантовым
числом, а т—„магнитным* квантовым числом.
§ 7. Характеристические функции
73
комбинация, т. е. определяющие ее коэффициенты с1т в сумме
22 cim^nim> могут быть выбраны таким образом, что результирую-
I т
щая функция будет представлять собой по отношению к оси х
то же, что и по отношению к оси z. Применение оператора
.	hm
к этой функции эквивалентно умножению ее на ~~—, согласно
2к
уравнению
которое можно рассматривать как непосредственное выражение
постоянства Мх. При применении его к Ьп1т получим линейную
комбинацию	из 2/-j~ 1 функций связанных с осью z
m'^ — l
(см. ниже).
§ 7. Характеристические функции и характеристические
значения операторов; операторные равенства; постоянные
движения.
В общем случае уравнение Fty = const • 6 может быть удовле-
творено только специальными функциями 6, характеризуемыми опе-
ратором F и называемыми характеристическими функци-
ями этого оператора. Соответствующие значения постоянного
множителя называются характеристическими значени-
ями F.1 Примером такого соотношения является уравнение Шре-
дингера	волновые функции, описывающие стационар-
ные состояния движения, являются характеристическими функциями
оператора энергии /7, а уровни энергии W—его характеристиче-
скими значениями.
Как в случае оператора /7, так и для других операторов, эти
функции и значения могут образовывать как дискретную, так и не-
прерывную совокупность. Следует заметить, что характеристические
1 Весьма употребительны также обозначения: фундаментальные иди
собственные функции и собственные значения,
74
II. Операторы
функции полностью определяются оператором F, вообще говоря,
только в случае одномерной задачи. В случаё же трехмерной за-
дачи обычно остается некоторая неоднозначность в выборе функ-
ций как определяемых одним уравнением вида 77^ = const*^ —
неоднозначность, называемая „вырождением", если F—оператор
h д
энергии Н. Так например, оператор Л4<г = ^->т определяет со-
ответствующие характеристические функции только Ио отношению
к их зависимости от ср, давая: ^=/(r, где /(г, 6) — произ-
вольная функция от г и 0. Оператор М2 определяет только зави-
симость характеристических функций от углов 0, <р, и притом не
вполне специфическим образом; уравнение = const • удовле-
творяется функцией	Yt (9, ср), где /(г)— произвольная
функция от г, a УД9, ср) — произвольная шаровая функция /-того
порядка. Последняя может быть представлена суммой 2Z —1
функций вида	с произвольными коэффициентами. С дру-
гой стороны, мы видели, что уравнение Шредингера Hty = const • ф
в случае водородоподобного атома для каждого характеристического
значения H=Wn имеет решение вида =/д (г) У (О, <р), где
У (0, ср) — сумма п2 шаровых функций вида P[m(tyeim? с произ-
вольными коэффициентами
(/=0, 1,..., п — 1) (/п = —/,..., + /)•
Полное определение функций tynZm, описывающих стационарные
состояния атома водорода, не может быть, таким образом, дано
одним из трех уравнений:
= const •	= const • <р,	= const • ^,	(41)
взятым в отдельности, а может быть осуществлено лишь с помощью
всех трех уравнений, причем функции tynlm являются „одновремен-
ными характеристическими функциями" операторов Н, М2 и Мг,
а каждый из них относится к „триплету" характеристических зна-
h2	h
чений Wn, (ЛГ)г = ^/(г+1).и (Мг)т = -^-т.
Другой пример такого соотношения представляют собой опера-
торы рх, руу pz.
Характеристические функции каждого из них;
§ 7. Характеристические функции	75
. 2тс	. 2тс	. 2тс
/j(V, z)e л Sx'x, f^z, х)е л е”'У, f3(x, у)е‘~^ех'‘,
где /р /2, /3 — произвольные функции от соответствующих аргу-
ментов.
С помощью трех уравнений:
Px^ = gx^ Py^=gy^, p£=g£,	(41а)
где gx> gy> gz—постоянные, мы можем однозначно определить
функцию
, 2тс .
,	, i~T~(gx»x+gy <y + gz • г)
ф = const *е h ,	,	(41b)
описывающую равномерное прямолинейное движение частицы с сла-
гающими импульса gx, gyi gz. Функция эта является частным
решением уравнения Шредингера = Wty, при
т. е. при £7=0 — чтд соответствует случаю свободного движения.
Следует заметить, что выражение (41b) для ф является непол-
ным (точно так же, как и выражение ф=/д(г) FZm(6, ?) для функ-
ций водородоподобного атома), так как оно не содержит вре-
мени. Последнее может быть введено добавочным соотношением:
дающим:
.	—1 —г—z
е h
Постоянная W, однако, не независима, а связана с gx, gr §г
соотношением:
Если F—обычная функция координат (и времени), не содер-
жащая элементарных дифференциальных операторов рх, р^ pz, то
уравнение F^ = const • ф не имеет решений обычного непрерывного
типа. Единственное возможное решение — помимо тривиального
решения ф = 0—такое, для которого функция ф отлична от нуля
в точках поверхности F= const, исчезая вне этой поверхности, г
76
II. Операторы
Другой интересный пример представляют операторы, удовлетво-
ряющие уравнению Fty = cty тождественно, т. е. независимо
от выбора функции ф, и, таким образом, совершенно не определяю-
щие последнюю.
Простейшим примером такого оператора является оператор
— хрх. Применяя его к любой функции ф, получаем:
Отсюда следует, что этот
характеристическое значение,
связана любая функция, как
оператор имеет единственное
А	.
с = -^-т, с которым может быть
„характеристическая “. Предыдущее
равенство может быть записано символически в виде:
h
Рхх — хРх=2^г
(42)
где опущена произвольная функция ф, к которой должны быть при-
менены как левая, так и правая части этого уравнения.
Аналогичные равенства имеют место, конечно, и для двух дру-
гих координат и соответствующих слагающих оператора импульса:
h	h
*РуУ~УРу=Ы и Рг2-гРг = —
Мы можем добавить к нимг „операторное" равенство
РхУ— УРх=()>
выражающее то обстоятельство, что порядок, в котором операторы
рх и у применяется к некоторой функции ф (х, у. z), роли не играет
(так как х и у — независимые переменные). Равенство
РхРу— РуРх = 0
совершенно аналогично равенству ху—j/x = 0, выражающему ком-
мутативный закон обычного умножения.
Если два оператора F и G, будучи применены к любой функ-
ции ф в последовательном порядке—F, G, дают такой же резуль-
тат, как и примененные в обратном порядке — G, F, то они назы-
§ 7. Характеристические функции
77
ваются коммутативными. Это свойство выражается символи-
чески операторным уравнением:
(42а)
означающим, что обычное уравнение
FG^ = GF6
удовлетворяется т о ж д е ст в е н н о, т. е. для любой функции ф.
Вообще, то обстоятельство, что уравнение = удовлетво-
ряется тождественно по отношению к функции ф, где
А и В — два разных оператора, символически выражается равен-
ством: А = В.
Дадим несколько примеров таких „операторных" равенств.
Рассмотрим, прежде всего, оператор F = pxf — fpx> где
/(х, у, z) — произвольная (непрерывная) функция от координат.
Применяя его к произвольной функции получаем:
р,_ h Г д	h df ।
так что:	/
Pxf—fPx—^	(43)
Это означает, что оператор pxf—fpx эквивалентен множителю
2ni дх'
Предыдущее равенство часто записывают в виде:
< =	(43.)
где символ, обозначаемый скобками, определяется формулой:
О-тг/
[Рх.Л = ^-(Рх/-/М	(43b)
Заменив в предыдущем определении оператора F функцию
f через х и рх через рхп— что означает дифференцирование п-того
h \п
1 ,—мы получим:
порядка по х и умножение на
78
II. Операторы
так что
р*х — хрхя = ^-прхпЛ	(44)
Символически это равенство может быть записано в виде:
„ п h д п
хРх — Рх х = —	3— Рх '
Гх гх	2та дрх
Эта формула легко может быть обобщена для любого оператора,
выражаемого суммой членов вида а„рх с коэффициентами ап, не-
зависящими от координаты х. Обозначив этот оператор через
f(Px> Ру> Р»> У» получим:
- Z.	h df	,лл х
xf—fx = — —	(44а)
2га дрх
— равенство, совершенно аналогичное (43), где х играет роль—р&
а рх — роль х, Полагая
Отт/
[х>Л=—(х/-А)>	(44b)
мы можем рассматривать равенство
^ = -[*,Л.	(44с)
д
как общее определение оператора
Мы будем в дальнейшем часто пользоваться обозначением
От-7
[F,G]= — (FO — GF).	(45)
Эти „скобки", впервые введенные Дираком и называемые „кван-
товыми скобками Пуассона" (см. ниже), обращаются в нуль, если
операторы F и G взаимно коммутативны.
Следует заметить, что операторное равенство А —В выражает
тождество физических величин, изображаемых операторами
А и В; существование таких уравнений указывает на то обстоя-
тельство, что в волновой механике одна и та же физическая
величина может быть представлена в некоторых случаях различными
способами,
§ 7. Характеристические функции	79
Другой интересный и важный пример операторных равенств
связан с определением углового момента частицы.
Из определения (39) следует:
Мх* = (ург—zpy)* == (ург)* — (ург) (zpy) — (zpy) (ypz) 4- (гр/ ==
=У^Рг + ?Руг —ypypzZ — zpzpyy,
так как ру коммутирует с z и pz, а рг коммутирует с у и рг
п	, к
Принимая во внимание соотношения pzz = zpz -4- —г и р«у =
П0ЛУчаем;
М? = У*Рг* +	— fyzpyP, — 2^т (УРу + Zpz\
откуда легко может быть получена формула (39b). Далее, мы имеем:
МхМу=(ург—zpy) (zpx — xpz) =yP;Zpx — zpytpx —ypzxpt+
+ 2pyXpz =ypxpzz — zipypx —yxp? 4- zxpyp„
откуда:
М^Лу — MyMx =ypxpzz 4- zxpvpz — xpyP,z — zypxpz =
/?	h
= (УРх — XPy) {pzZ — zpz) = — (ypx — XPy) = ~Mz,
так что, в соответствии с (45):
[Мх, Му]= — Мг	(45а)
Аналогичным образом получаем соотношения: [My, Л4J =— Мх и
[Мг, Мх] = — Му, которые могут быть получены также из (45а)
путехм циклической перестановки индексов х, у, z. Эти три соотно-
шения могут быть заменены символическим векторным равенством:
MXM = —тДт/И,	(45b)
где А X 3 определяется обычным образом, как векторное произве-
дение А на В.
Интересные результаты получаются при вычислении скобок для
слагающих вектора /И, с одной стороны, и слагающих вектора
г(Х)У> z) или р (px,pyi р9) — с другой. Не останавливаясь на этих
80
П. Операторы
вычислениях (которые легко могут быть проделаны читателем), отме-
тим только следующие результаты:
Д4]=±0 и [р2 *, ЛГ| = 0,	(46)
где р2 —рх Ру Р?\ первое из этих равенств эквивалентно
трем уравнениям [р2, Мх] = 0, [р2, Му] = 0, [р2, Мг] = 0. Эти
равенства выражают то обстоятельство, что угловой момент частицы
коммутирует с ее кинетической энергией Т=^-р2. Если потен-
циальная энергия U зависит только от расстояния г = ]Ах2 4“У* 4“ z*
(соответствующего центральному полю сил), мы имеем аналогично:
[(/, М] = 0 и \U, Л42] = 0,	(46а)
и, следовательно,
[Н, М] = 0, [Н, М2] = 0,	(46b)
где Н = ^^р2-]~и—оператор Гамильтона, представляющий пол-
ную энергию частицы.
Соотношения (46b) могут быть выведены наиболее просто путем
применения полярных координат. В этом случае:


откуда
[Н, МJ =
И
Обе
1	/ h \4 1
“1-
скобки |j22, и [22, 22], очевидно, обращаются в нуль.
1 Для получения (46а) без помощи полярных координат мы должны
лишь заметить, что
W, = [У, ург - zpy\ =у [и, рг] - Z \и, Ру] = ^~~У
согласно (43а).
§ 7. Характеристические функции	81
Уравнение (46b) должно, очевидно, быть связано с тем обстоя-
тельством, что М и М* представляют собой постоянные движения
(в случае радиально-симметричного поля сил). Легко показать, что
уравнение типа	[H,F] = 0,	(47)
т. е. коммутативность оператора F с оператором энергии И дей-
ствительно может быть рассматриваема, как наиболее общее вы-
ражение того обстоятельства, что F представляет
собой постоянную движения, определяемого оператором /7,
т. е. уравнением Шредингера	Действительно, применяя
оператор F к обеим сторонам этого уравнения, мы получаем
F№j=WF^, или, так как HF = FH, то H(Fty = W(Fty.
Отсюда следует, что функция Fty удовлетворяет тому же ура-
внению, что и функция при том же характеристическом значении
оператора энергии Н. Если нет вырождения, т. е. если существует
только одна функция ty, связанная с характеристическим значением
W, то Fty может отличаться от 0 только постоянным множителем
(что несущественно, поскольку речь идет об уравнении
Таким образом, в этом случае мы получаем Fty = const • что
является первоначальным условием постоянства величины, изобра-
жаемой оператором F для движения, описываемого функцией ф.
В общем случае, при наличии вырождения, функция Fty должна
очевидно, равняться линейной комбинации всех функций , ф2,... tyr,
связанных с одним и тем же характеристическим значением Н, т. е.
удовлетворяющих уравнению H^k = W^k (k— 1, 2,..., г) с одним и
тем же значением энергии W. Применив F к одной из этих функций,
мы получим, при условии FH—HF,
г
=	(47а)
Z = 1
где ckl — постоянные числа, а матрица:
Гц , с12, ..., сХг
£-21 > ^22 > • • • > с'1г
.............. >
CrV • • • > Сгг
заменяет константу с невырожденного случая.
82
II. Операторы
Уравнения (47а) могут быть сведены к системе обычного вида:
(47b)
где 6/ (п = 1, 2, ..., г) — группа г новых характеристических функ-
ций оператора Н, относящихся к тому же уровню энергии W7, что
и первоначальные функции	и представляющих собой ли-
нейные комбинации последних. Для того чтобы определить их,
рассмотрим сперва обратное преобразование, выражающее перво-
начальные функции, как линейные комбинации новых функций,
согласно формулам:
г
п — 1
Подставив эти выражения в уравнения (47а) и принимая во вни-
мание (47b), имеем:
а/гА ?п —	— Ckl ain *
п	In
Приравнивая коэффициенты при одинаковых ф/ и опуская индекс
/г, получаем:
г
y,iCMai = c'ak (А = 1, 2....Л),	(48а)
т. е. систему г линейных однородных уравнений, с помощью которой
мы можем определить как коэффициенты преобразования а, так и ха-
рактеристические значения с. Условие совместности уравнений (48а)
Гц с,	, с1г
• crl у	CrV	crr С
дает г (в общем случае—различных) значений с\ каждому из ко-
торых (сп') соответствует определенная группа коэффициентов ak
(^ln >	• • • >
Разрешив уравнения (48) относительно ф/, мы можем получить
явные выражения новых функций через функции первоначальные.
Подводя итоги предыдущим результатам, мы можем сказать, что
§ 7. Характеристические функции	83
условие [Н, F] = 0 выражает постоянство F по отношению ко всем
типам движения, описываемым функциями ф, которые удовлетворяют
одновременно уравнениям fty = сопэЬф и Fj = const*^, т. е. являются
одновременно характеристическими функциями операторов Н и F.
До сих пор энергия рассматривалась нами как „глава* всех
операторов. Вышеизложенные рассуждения лишаю г ее, однако, этой
верховной роли, и уравнение Шредингера /Уф = const *ф предстает
перед нами в столь же скромной роли, как и любое другое уравнение
для характеристических функций и значений любого другого опера-
тора: Лф = const • ф.
Поскольку оператор F имеет динамический смысл, его характе-
ристические функции также должны описывать движение, подобно
волновым функциям Шредингера, хотя возможно и менее полно
и с какой-либо иной точки зрения. Произведение фф’МУ пред-
ставляет собой вероятность нахождения частицы в элементе объ-
ема dV также и в том случае, если ф, будучи характеристической
функцией некоторого оператора F, отличного от оператора энергии,
не является одновременно характеристической функцией последнего.
•Упомянутое различие точек зрения заключается, очевидно, в сле-
дующем: если ф является характеристической функцией уравнения
Шредингера, то tyb*dV представляет собой меру вероятности нахож-
дения в элементе объема d V частицы с определенной энер-
гией W (характеристическое значение /7, связанное с ф); если же
ф — характеристическая функция некоторого другого оператора F,
то фф*й V является мерой вероятности нахождения в элементе объема
dV частицы с определенным значением величины,
представленной с помощью оператора F.
Необходимо подчеркнуть то обстоятельство, что вероятность,
определяемая какой-либо „волновой функцией* ф, имеет только
условный характер, зависящий от предположения о некотором
определенном значении величины или величин, которыми (или вер-
нее— операторами которых) функции ф характеризуются.
Не останавливаясь па этом вопросе подробно (см. главу IV),
ограничимся следующими замечаниями:
1)	В случае одномерного движения волновая функция Шредин-
гера полностью определяется одним оператором—оператором энер*
84
II. Операторы
гии Н. Это означает, что в рассматриваемом случае энергия является
единственной независимой постоянной движения, т. е., что
всякий другой оператор F, коммутирующий с Н, представляет собой
просто некоторую функцию от FL Функция такого рода может
быть определена с помощью того обстоятельства, что ее характери-
стические значения являются определенными функциями от характе-
ристических значений' FL Если, например, = W, то Н2Ь =
= H(Hty = HWb=	H4=Wn^. В общем случае:
F(H)ty = F(W)ty.	(49)
Этот результат может быть проверен непосредственно, если F
представляет собой степенной ряд относительно Н с постоянными
коэффициентами. Такой ряд может быть принят за общее определе-
ние F(H), Волновые функции, описывающие движение частицы в
трех измерениях, определяются полностью не оператором энергии,
а тремя независимыми, взаимно коммутирующими операторами,
которые представляют собой три константы движения — если один
из них является энергией, или, если они косвенным образом содер-
жат энергию, все три коммутируя с ней — так что их общие харак-
теристические функции являются в то же время решениями уравнения
Шредингера Hty — Wty.
2)	Если функция ф не удовлетворяет этому уравнению, то она
описывает некоторое состояние, не относящееся к движению в дану
ном (постоянном) силовом поле; при этом оператор или операторы,
которыми она определяется (согласно уравнению Fb = ccnst-^), имеет
определенные значения, совершенно, однако, не связанные
с движением, определяемым оператором И.
То обстоятельство, что энергия может быть представлена не
только оператором Гамильтона 77, но также и оператором —
__ h д
Pt 2тЛ dt ’ *
свидетельствует о тесной связи между энергией и временем. Урав-
нение Шредингера в общем виде: (Н 4-/^)^ = 0 и выражает
эквивалентность этих двух операторных представлений энергии п о
отношению к совокупности функций, описывающих со-
ответствующее движение.
§ 8. Вероятные значения физических величин	85
§ 8. Вероятные значения физических величин и их измене-
ние во времени.
В классической механике времени приписывается особая роль,
совершенно отличная от роли всех других переменных: оно является
единственной независимой переменной, основной задачей класси-
ческой механики является исследование' изменения всех остальных
переменных — в частности, координат — с течением времени. В вол-
новой механике времени, на первый взгляд, отводится более скром-
ная роль, так как пространственные координаты рассматриваются —
поскольку речь идет об „уравнении движения" волновой механики —
как независимые переменные, т. е. трактуются таким же образом,
как и само время.
Эта эквивалентность между пространственными координатами и
временем ограничивается, однако, как мы знаем, волновым уравне-
нием (Я6 = 0 и не распространяется на граничные условия,
при которых оно решается, и на интерпретацию его решений. Функ-
ция 6 (х, у, z, t), удовлетворяющая этому уравнению, интерпрети-
руется как мера вероятности нахождения рассматриваемой частицы
в элементе объема d,V = dxdydz в определенный момент
времени, причем вероятность эта определяется как равная или
пропорциональная	Если бы время играло такую же роль,
как и координаты, мы не могли бы относить вероятность к опре-
деленному моменту времени, а должны были бы относить ее
к определенному интервалу времени dt и определять ее как
пропорциональную фф* dV dt. В действительности нет, однако, при-
чин, по которым мы не могли бы отнести вероятность простран-
ственной локализации к определенному моменту времени — частица
должна ведь в любой момент где-либо находиться. Исключи-
тельная роль времени становится особенно ясной, если мы ограни-
чимся рассмотрением только таких решений уравнения Шредингера,
которые достаточно быстро исчезают на бесконечном расстоянии (они
не могут исчезать при t = ±oo за исключением особых точек!).
При этом сходимость интеграла	распространенного по
всему пространству, является обеспеченной. Взяв производную по-
времени от этого интеграла и заменив
86
II. ОпЕР/УГОРЫ
где
— (W*) через — div /,
-* h
j ~	(Ф* V Ф — Ф V Ф*)
1 T
вероятная плотность тока, мы получаем, распространив интегриро-
вание по определенном}* объему, ограниченному замкнутой поверх-
ностью:
д с	?
-^YfdV=-^jndS,	(50)
где jn — нормальная составляющая плотности тока. При удалении
поверхности S в бесконечность интеграл j) JndS (поскольку функ-
ция Ф предполагается квадратично-интегрируемой) стремится к
нулю, так что в пределе мы получим:
J dV — const
oo
Это дает возможность нормировать Ф с помощью п перманент-
ного", т. е. независящего от времени условия:
§<!$*dV—l.
00
(50а)
''Следует заметить, что этот результат справедлив для движения
частицы не только в постоянном поле сил (этот случай был рас-
смотрен в § 17 части I), но также и в переменном.
Поскольку величина Jпостоянна во времени, не имеет
смысла рассматривать интеграл	dt с точки зрения такого
нормирования функции Ф, которое соответствовало бы одинаковой
трактовке координат и времени.
Оператор Гамильтона 77, который, как мы видели, тесно связан
со временем, должен, таким образом, играть исключительную роль
в определении постоянства или непостоянства во времени различных,
связанных с движением, величин.
Постоянство во времени определяется (при цезависимости Н от
времени) условием HF—ГН = Ъ, где F—оператор, представляю-
§ 8. Вероятные значения физических величин 87
щий рассматриваемую величину. Обобщим теперь этот результат
для величин, не являющихся постоянными движения — для которых,
следовательно, условие HF—FH=0 не выполняется.
В классической механике такие величины могут быть определены
как функции времени. В волновой механике подобное определение
возможно только для вероятных значений этих величин:
'	F=^*F<[ dV	(50b)
при условии (50а) (которое выполняется для движения, ограничен-
ного конечной областью пространства или представленного волно-
вым пакетом).
Продифференцировав (50b) по времени и принимая во внима-
ние уравнения:

h д \
2тЛ dt)
$ = 0,
л V’ *
2тЛ dt)
= 0,

f ^H(F^dV.
получаем:
dF р
-- = -JT	IW) О - Г г 0)1 d V.
Легко показать, что
Действительно, полагая F^=f{i &*=/% и переписывая опера-
тор Н в виде:
H= — (-—)
2m 2~i /
имеем
j Wf'-fMydV^
t _ 1 U1 Г (T? fLt
-^i\2r.i) j\_dxVldxh
fit —fl fi ft fr
где
88
II. Операторы
Если интеграл fJ^dV сходится, то интеграл div/n dV =
“ dS должен обращаться в нуль при интегрировании но
всему пространству, так что:
J (/1-^-/2W/,)dV=0,
т. е.
^fxHf,dV= faftdV.	(51)
Следует заметить, что все операторы, удовлетворяющие этому урав-
нению, называются „самосопряженными*. Строго говоря, самосопря-
женность оператора Н означает, что разность	равна
расхождению некоторого вектора; это условие, будучи соединено
с условием:
J конечно (	(51а)
приводит к уравнению (51). Условие (51а) осуществляется в случае
fv = F^ и Д = <Ь*, поскольку выполняется условие (50а).
dF
Мы можем, таким образом, переписать выражение для в
виде:
jp 9/ri С”
= [WWW] dV,
ui Г1 v
или
f ** (HF—FH) d d V.	(52)
CLl П, v
Из этой формулы следует, что
dF
dt
0; если HF=FH, то F яв-
ляется постоянной движения, в -соответствие с полученными
раньше результатами. Согласно общему определению вероятного
значения величины, представленной некоторым оператором F,
мы можем определить правую часть равенства (52), как вероятное
значение оператора —^-(HF—FH) = [H, F]. Тогда
dF
d/
= [H, F]
§ 8. Вероятные значения физических величин
89
или

(52а)
dF
где-— рассматривается как оператор, определяемый этим
уравнением и удовлетворяющий условию
dt dt
При выводе уравнения (52а) мы молчаливо предполагали, что опе-
ратор F не содержит явно времени. Если же он содержит время, то
уравнение (52а) должно быть заменено уравнением:
dF ^4- ГН F1
л = л + ["'л1'
(52b)
Для примера положим F = x. Производная от х по времени чис-
ленно равна нулю, так как х от t не зависит. Рассматривая,
dx
однако, х, или, вернее, -г-, как оператор, мы имеем:
x]=z—[x, И],
согласно (44с):
или,
dx __ дН
dt ~~ дрх 1
(53)
ЧТО
(53а)
вместе с Н —	+ />/) + U(x,y, z) дает
dx___ 1
dt т ?х'
уравнение формально совпадает с клас:ическим соотношением
между скоростью и импульсом, рассматриваемыми как опреде-
ленные величины; в волновой механике они являются однако
dr
неопределенными величинами, представленными операторами и
— dr
р = т Полагая далее F = pv, имеем:
dt	гх
Это
= [М рх] = W, рх] = - [рх, и],
90
II. Операторы
или, согласно (43а),
dpx  дН  dU
dt	дх	дх
(53b)
Уравнения (54) и (54b), а также Соответствующие уравнения
для слагающих по осям у и z формально тождественны с классиче-
скими уравнениями движения в „канонической" форме (см. предыду-
dx
тую главу § 5). Заменив оператор рх в (54b) через т , согласно
(54а) получаем
d*x __ dll~
т dt* дх
(53с)
— классическое уравнение движения в обычной форме, где величины,
заменены соответствующими операторами. Отсюда следует, что
d*x__ dU
m~dt* ~дх
— результат, уже полученный нами в предыдущей главе.
Уравнение (52а) весьма сходно с уравнением (43) и двумя дру-
гими, ему соответствующими:
| =	= [Pr f„ g = к, fl- (54)
Таким образом, время t представляется связаннььм с оператором
энергии Н так же, как координаты х, у, z связаны с операторами
А	Г Г Т г-1
импульсов рх, ру, р2. Аналогия между соотношениями -^-=[/7, FJ
df г
и = \рх, /] является, однако, лишь кажущейся: в последнем слу-
£	д
чае/ означает функцию, или оператор, явно зависящую от х, а —
частную производную по х, тогда как в первом случае — F функция
или оператор, не содержащий времени явно. Легко видеть, что
временным эквивалентом равенств (54) является
О/
а

(54а)
§ 8. Вероятные значения физических величин
91
оператора
(54b)
не т о ж-
О,
Это равенство вытекает непосредственно из определения
pt—-2Ь_ JL-, Заменив в (52b) на [pt, Л], получаем:
л-
at
Следует отметить, что оператор H~\~pt равен нулю
дественно, как это может показаться из уравнения (/7 -}- Pt) $
а только по отношению к функциям, определяемым этим уравне-
нием и описывающим движение, определяемое оператором Н. На-
личие здесь двух разных операторов Н и — pt, предста-
вляющих одну и ту же величину — энергию, и равнозначность их по
отношению к волновым функциям, описывающим движение частицы,
указывает на возможность- восстановления требуемой теорией от-
носительности симметрии между временем и пространством — путем
введения некоторых операторов Gx, Gy, Gz, хотя и совершенно
отличных or/?v, pv, pz, но представляющих собой те же величины, что
и последние—т. е. слагающие импульса. Операторы О должны были
бы при этом быть эквивалентными соответствующим р по отношению
к тем же волновым функциям, что и операторы Я и — pt.
Если бы эта программа оказалась выполнимой, мы могли бы заме-
нить время в его специфической роли одной из трех координат ху
у, z, определяя волновую функцию уравнением типа (Gx— рх) <р = О
и интерпретировать dz dt\ как вероятность нахождения ча-
стицы с определенным значением координаты х в области, заданной
посредством величин dy,dz и dt. Мы могли бы затем определить
среднее или вероятное значение некоторого оператора по формуле:
F= ty*Fb dydzdt,
как определенную функцию от х и получить для его производной
по х выражение, аналогичное (52) или (52b):
dF dF
при условии самосопряженности оператора Gx.
Релятивистская симметрия между пространством и временем, выра-
жаемая равнозначное 1ью любой из четырех величин х, у, z9 t и
92
II. Операторы
соответственно величин Gx, Gy, G2,— И не может быть, однако,
получена на основе того определения оператора Гамильтона,
которым мы пользовались до сих пор и которое соответствует до-
релятивист.ской классической механике, так как операторы рх, pv,
р2 и pt входят в уравнение (//-|~А) ф = 0 несимметричным образом.
Можно, однако, видоизменить уравнение Шредингера так, чтобы
обеспечить желаемую симметрию, выражая его в одной из четырех
эквивалентных форм (Gx—px)ty = 0, (Gy — ру) ф = О, (Ог — рг) ф =
= 0, (H-\-pt) = 0, в соответствии с теорией относительности.
Это видоизменение (введенное Дираком) будет рассмотрено позднее
(глава VI).
§ 9. Уравнение Шредингера в вариационной форме и его
приложение к теории возмущений.
Если потенциальная энергия U не содержит явно времени, то
уравнение (H-\-pt) = 0 имеет, как мы знаем, частные решения типа
_ i 2т; w£
ф = ф° (х, у, z)e h , где „амплитуда" 6° (х, у, z) удовле-
творяет уравнению	(раньше мы писали его в виде:
Умножив последнее на <р°* и проинтегрировав его по
всему пространству, получаем, при условии J
Уф«*ЯфЧГ=1Г,	(55)
как и следовало ожидать, так как согласно общему определению
вероятных (средних) значений интеграл
j' ф» * Ну d V= f ф* H^d V= И 
является вероятным значением энергии, представляющей собой по-
стоянную движения. Покажем теперь, что функция ^°, которую
можно назвать характеристической функцией оператора //(временной
множитель отсутствует, поскольку речь идет об уравнении НЪ —
может быть определена из вариационного принципа:
§77 = В f ^*Hy>dV=0	(55а)
§ 9. Уравнение Шредингера в вариационной форме
93
и условия нормирования:
fa*dV= 1.	(55b)
Действительно, мы имеем:
ЗЯ = J Ц» * Hyd V + J * I1Цп d V
пли, согласно (51), т. е. в силу самосопряженности Н и сходимо-
сти интеграла j* ^*&QdV:
87? = J 8<р° * НУd V + У	* НУ * d V. (56)
Далее, (55b) дает:
У 8<;j>*.y> dV+У y*dV=0.	(56а)
Поскольку функция предполагается комплексной величиной, —
она эквивалентна двум вещественным функциям. Функции и <^°*
можно, таким образом, рассматривать, как две независимые
неизвестные функции, а их вариации — как произвольные независи-
мые бесконечно малые величины — если бы не условие (56а). Со-
гласно „методу неопределенных множителей* Лагранжа эта зави-
симость может быть устранена путем умножения (56а) на некоторый
постоянный множитель с и вычитания результата из (56). Это дает:
У 8?° * (ну — c6n) d V 4- у 8<^° (ну* — су *) d V= О
или, так как и ;6° можно теперь рассматривать как совер-
шенно произвольные величины:
Н^ = с^ и =
Таким образом, из (55а) и (55b) мы получили уравнение Шредин-
гера для функции 6° и для функции с ней комплексно-сопряженной.
Энергия W оказывается при этом значением лагранжева множителя,
связанного с функцией а уравнение Шредингера — вариационным
уравнением, соответствующим „условному экстремуму* интеграла
Н— J* №*№/*dV. Этот интеграл может^быть записан в несколько
другом виде, содержащем только первые производные от функций
94
II. Операторы
6° и ф0*, (как и должно быть в том случае, если вариационное
уравнение — второго порядка). Действительно:
Ч дх2 * дх V дх / дх ох
и, следовательно:
JI / h \*Г Р
V'H	j* v^°* v-W
+h.
^dV,
или, так как первый интеграл в квадратных скобках исчезает:
77 = f (ей? +	•	(57)
— h
Положив р = —т V, мы можем
переписать это выражение в виде:
H=S \^p,^+u^\<i)dv’	<57а>
где | рб012 — скалярное произведение вектора р6° на комплексно-со-
—*•	h
пряженный вектор р:^°* = —	V'/* Введя затем функцию So =
Ли к/
h
2z/
log и заменив p^Q на 6°V5O,
получим:
77- f(-^-|VS0|’ + ^l'?°P^-
о \ ZJH	/
(57b)
Подинтегральная функция этого выражения имеет точно такой же
вид, как классическое выражение для полной энергии, умноженное
ча | р (So — функция действия Гамильтона —Якоби). Интересно от-
метить, что Шредингер получил вначале свое волновое уравнение,
применяя вариационный принцип к интегралу (57b) и в то время
(начало 1926 г.) еще не отдавая себе отчета в его физическом
смысле.
Вариационное уравнение ЪН= 0 не означает, однако, что значения
Н = IF, полученные сего помощью (при условиии	1),
являются минимальными или максимальными по сравнению со зна*
§ 9. Уравнение Шредингера в вариационной форме
95
чениями, соответствующими небольшому изменению функции Для
того чтобы определить — действительно ли мы имеем экстремальное
или же только стационарное значение, мы должны вычислить
вариацию от Н не в первом, а во втором приближении, т. е. с точ-
ностью до маль/х величин второго порядка относительно 8’}° и 8<р°*.
Мы получаем, таким образом:
Д/7 = J (<Р * 4-	4- s<p) d V — J * Яб® d V—
— f г-р*/7ф°4//4-	f tye*Hty°dV.
С другой стороны:
J (-P* 4-	*) (p 4- d V — J 6° * 6° d v=
= f 84°*<рй!1/4- f<p*S6°dy4- fS'p* 0.
Умножив это уравнение на значение IF, соответствующее функции
^°, и вычтя егр из предыдущего уравнения, получаем (так как и
•}°* удовлетворяют уравнениям /76° = IF’}0,	= IF»}0*):
Д/7 = 86°* (Н — W) l^dV	(58)
или

dV.
(58а)
Это выражение можно рассматривать как вторую вариацию о г
Н, так как оно представляет собой малую величину второго по-
рядка. Знак его в общем случае является неопределенным: для не-
которых вариаций с»} он положителен, для других — отрицателен.
Значения Н= IF, полученные с помощью вариационного принципа
8/7=0, должны поэтому, вообще говоря, рассматриваться как ста-
ционарные, а не как минимальные или максимальные значения.
Вариационный принцип представляет не только теоретический
интерес. Он дает нам во многих случаях очень простой способ
приближенного решения уравнения Шредингера и определения со-
ответствующих значений энергии, и в особенности уточнения
приближенных решений и значений энергии, полученных каким-либо
96
II. Операторы
другим методом.1 Такой случай имеет место при определении движе-
ния в поле сил, несколько отличном от обычного, в ротором дви-
жение предполагается известным,—вопрос, составляющий одну из
основных задач теории возмущений. Оставляя детальное рас-
смотрение теории возмущений до главы V, ознакомимся здесь
кратко с теми ее результатами, которые могут быть получены не-
посредственно с помощью вариационного метода. Предположим,
что функцией 6° (х> у, z, а) при соответствующем выборе неопре-
деленного параметра а можно аппроксимировать одну из характе-
ристических функций оператора Н. Тогда это наиболее подходя-
щее значение а может быть определено из уравнения:
	<ЗЯ(а) _ w,dE(a) да	да ’	(59)
где	Н (а) = J '1'°* (хуг, а) (xyz, a)dV	(59а)
и	Е(а) = (* y*ydV	(59b)
в связи с соотношением Н (а) — W, дающим соответствующее зна-
чение энергии.
Если функция нормирована к 1 (согласно Е — 1) для каждого
значения а, то уравнение (59) может быть заменено уравнением
дН (а) 
Этот метод, часто применяемый на практике, может быть
обобщен на тот случай, когда функция содержит ряд неизвестных
параметров at, ..., ап причем точность приближения возрастает
с увеличением числа г этих параметров. Особенно простой и инте-
ресный случай такого приближения встречается в теории в ы р о ж-
денного движения, характеризуемого в отсутствии возмущения
1 Метод сведения решения дифференциального уравнения типа =
s= к вариационной задаче был разработан Рэлеем и В. Ритцем в связи
с задачей о колебании упругих тел, сходной формально с задачей о дви-
жении частицы в волновой механике.
§ 9. Уравнение Шредингер<\ в вариационной форме 97
группой волновых функций фх° (х, у, z), ф°2 (х, у, z) ... ф°г (х, у, z)f
представляющих различные состояния движения с одной и той же
энергией W. Заменим потенциальную энергию U функцией U, где
U* — U соответствует небольшому возмущающему полю сил (на-
пример— внешнему электрическому полю). Оператор энергии Н=
~	&должен быть заменен соответственно оператором Н' =
= -н— р* -{-и' =На функции фД %0, ..., фг° группой г
функций ф^', ф20' ... фг0', относящихся к г состояниям движения
с почти одинаковой энергией, т. е.-соответствующим г значениям
энергии Ц7/, 1Г2',..., U7/, несколько отличным друг от друга и от
приближенного значения W, соответствующего отсутствию возму-
щающих сил (последние, конечно, предполагаются независимыми от
времени). Функции фЛ0' могут быть при этом приближенно представ-
лены, как линейны i комбинации функций фЛ° с неизвестными коэффи-
циентами, согласно уравнениям:
где г коэффициентова^, aw,аг^, входящих в выражение для
каждой функции фЛ', играют роль г параметров, рассмотренных выше.
Отбросив индекс k' и подставив выражение ф0' = £айфЛ° в интегралы
Н' =	И £'= j\0'Ц
получаем:	r г
(60а)
й==1 Z=1
г г
(60b)
j=i й=1
где	«
=	(60с)
Еы=	(60d)
Выражения (60с) представляют собой „матричные элементы" опера*
98
II. Операторы
тора энергии Н' „возмущенного" движения по отношению к характери-
стическим функциям, описывающим невозмущенное движение, свя-
занное с одной и той же энергией W. Так как эти функции не должны
быть непременно ортогональными, то числа Ekl могут быть отличны
от нуля при k ф L Вариационный принцип ЪН' — 0 совместно с усло-
вием Е' = 1 дает следующие уравнения:
dak* dak* ’ да{ dat ’
т. е.
= 0	(61)
2^—rFw)afe* = 0.	(61а)
Ь=1
Вторая группа уравнений может быть получена из первой путем
перехода к комплексно-сопряженным величинам в связи с соотноше-
ниями Эрмита (часть I, § 17):
= и =
Мы не будем поэтому останавливаться на ее рассмотрении.
Условие совместности г линейных однородных уравнений (61).
//й — 1Г£ц, Н{2 —W'Ev... H[r — WEir
— WE21, Hh - W'E22 ... Hir~ W,E2r
= 0 (61b)
H’ri — WErh H^— WErt ... Hrr — W'Err
представляет собой уравнение r-той степени относительно W'\
корни его IF/> IF/, ... IF/ являются искомыми (приближенными)
значениями энергии. Коэффициенты
а2/г •••
соответствующие IF' = IF^ согласно уравнению (61), определяют с
помощью уравнения (60) тот тип возмущенного движения, который
обладает энергией IF& - Мы видим, таким образом, что г типов не-
§ 9. Уравнение Шредингера в вариационной форме 99
возмущенного движения, обладающих одной и той же энергией W
и описываемых функциями ф/, ф2° ... ф/, под влияниями возму-
щения переходят в такое же число различных типов движения, об-
ладающих в общем случае различными энергиями ... Wr'.
Это явление называется „расщеплением" мультиплетного уровня энер-
гии под влиянием возмущающих сил на ряд различных уровней. При-
мером могут служить эффекты Зеемана и Штарка, т. е. расщепление
спектральных термов под воздействием магнитного или электриче-
ского поля.
Следует напомнить, что если функции ф&° ортогональны и нор-
мальны, т. е. если интегралы J ф^ф/^ У равны 0 при кф In 1 при
к = 1, то уравнения (61) принимают вид:
г
W'ak (k = 1, 2,.... г)	(62)
и уравнение совместности, определяющее значения			энергии, CBO-
дится к	Я1'1— W', Н\ъ...,Ыг Hit,	= 0	(62a)
	H‘rl> Hfh • • • 9 Hrr		
При сравнении уравнений (60), (62) и (62а) с уравнениями (48) и
(48b), полученными в § 7 для определения характеристических зна-
чений оператора F, представляющего постоянную движения в слу-
чае вырождения, между ними обнаруживается тождество, ма-
скируемое лишь различием в обозначениях. Если мы заменим F на
Н\ обратим роли „старых" и „новых* функций ф и ф', заменив
ф через ф0' и ф' через ф° и напишем затем вместо а*— Н‘м и
вместо с* — W, то уравнения (48), (48а) и (48b) перейдут соот-
ветственно в уравнения (60), (62) и (62а).
Это совпадение показывает, что операторы 77и/7" должны
быть взаимно коммутативны, т. е., при данной степени
приближения, полученного с помощью теории возмущений, возмущаю-
щую энергию If— Н следует рассматривать, как постоянную
100
II. Операторы
невозмущенного движения, определяемого функ-
цией Н.
Теория возмущений легко может быть усовершенствована и об-
общена в так называемую теорию преобразований, >основ-
ной задачей которой является разыскание характеристических
функций и значений одного оператора Н\ исходя из характеристиче-
ских функций и значений некоторого другого оператора Н. Решение
этой задачи дается предыдущими уравнениями, если мы отбросим пред-
положение, по "которому первоначальные функции (амплитуды) дД
62° ... <рг° относятся к одному и тому же уровню энергии и уве-
личим г до бесконечности, т. е. будем рассматривать всю совокуп-
ность функций и энергетических уровней, относящуюся к оператору И.
Уравнения (60), (61) или (62) вместе с уравнением (61b) или (62a)z
будут тогда определять всю совокупность функций и значений энер-
гии, характеризуемых оператором И'. Дальнейшее обобщение этой
теории преобразований для случая операторов, отличных от энергии,
а также переменных, отличных от координат, будет рассмотрено
позднее.
Следует отметить, 9 что сведение уравнения вида Fty = к
вариационному принципу в форме
d.V
возможно не только в том случае, когда
F является оператором энергии Н, но также и в случае любых
операторов, обладающих свойством „самосопряженности" (для кото-
рых fiFf*—f^Ffi = расхождению некоторого вектора). Дополнитель-
ное предположение, необходимое для получения дифференциального
уравнения Fty = cty из вариационного уравнения 0, заключается
в условии постоянства Е = J	V (8Е = 0).
§ 10. Ортогональность и нормальность характеристических
функций в случае дискретного и непрерывного спектров.
Характеристические функции <}>0, полученные с помощью вариа-
ционного принципа (при условии | ф°4*0;МУ=== const к или же путем
^при условии J
§ 10. Ортогональность характеристических функций 101
непосредственного решения уравнения №/ = IF^°, могут образовы-
вать как дискретную, так и непрерывную совокупности, соответ-
ствующие дискретному или непрерывному ряду значений энергии 1Г;
последние составляют дискретный или же непрерывный спектр
оператора энергии Н. Как мы знаем из общих соображений § 15
части I, а также и из примеров осциллятора и водородного атома, —
дискретный спектр связан с характеристическими функциями, кото-
рые исчезают в бесконечности настолько быстро, что интеграл
сходится. Это дает возможность нормировать волновые
функции согласно уравнению j* 6n*<p°dV = 1. Характеристические
функции, соответствующие непрерывному спектру энергии, также
могут — хотя и не непременно — исчезать в бесконечности, но не
настолько быстро (вследствие отсутствия „полного отражения"),
чтобы обеспечить сходимость интеграла j d У, так что его нор-
мирование к 1 или к какой-нибудь другой конечной величине в
этом случае невозможно.
Это соотношение между сходимостью или несходимостью интег-
рала	(являющегося мерой вероятности нахождения ча-
стицы в любом положении) и дискретным или непрерывным харак-
тером спектра энергии тесно связано с соотношением между
характеристическими функциями ^°и соответствующими раз-
личным значениям энергии Wn и Wm.
Умножив уравнение	на и вычтя полученный
результат из уравнения НЪт^*=	умноженного на имеем:
= (Wm — Wn)
Проинтегрировав по всему пространству и считая интегралы
и J*	сходящимися, мы получаем согласно (51)
(Wm-wn)^m^^dv=o,
или, так как Wm ф
(63)
Это уравнение выражает свойство „ортогональности", уже выве-
денное нами для случая одномерного движения (см. § 17, часть I);
102
II. Операторы
оно может быть распространено и на случай вырождения, т. е. на
различные функции и <^п°, относящиеся к одному и тому
же уровню энергии, при условии, что эти функции соответствую-
щим образом определены как линейные комбинации первоначальных
функций (если последние не удовлетворяют условию ортогональ-
ности). Если значения энергии, соответствующие различным функ-
циям, мы будем различать друг от друга индексами, независимо от
того, действительно ли они различны или же тождественны, то
соотношение ортогональности (63) может быть объединено с усло-
вием нормирования в одно уравнение:
(63а)
где 8ОТП=1 при т = п и 8^ = 0 при
Отметим, что существование вырождения следует рассматривать
не как общее, а, скорее, как исключительное явление, соответ-
ствующее особенно простым типам силового поля (имеющим, од-
нако, наибольшее практическое значение), в котором движется
частица.
Как было показано в части I на примерах трехмерного движения,
различные характеристические функции определяются с помощью
значений трех квантовых чисел л2, n3. С геометрической точки
зрения эти числа представляют собой числа узловых поверхностей
разного рода, а с динамической точки зрения они определяют харак-
теристические значения трех операторов F2,F3, коммутирующих
с Н\ последние представляют три независимые постоянные движения,
описываемого соответствующей характеристической функцией. Опера-
тор энергии Н может быть определен как некоторая функция операто-
ров Ft, F2, F3, причем его характеристические значения являются также
функциями от характеристических значений этих трех операторов ,
, С’п[. Существование таких операторов связано с существованием
„разделимых координат" qit q3, q3. Каждая характеристическая
функция И может быть представлена как произведение трех функций
Kjnjn, (?1),	(<74)> фя^,я3 (?з)> удовлетворяющих уравнениям:
(*=Ъ2, 3).	(64)
§ 10. Ортогональность характеристических функций 103
Так как
!	У, Z) = ^«i/:2n3 (?i) ^njngTig (#2) ^яр^з (?з)>	(64а)
ТО
^^П1п2п3 ^nk <bit/i2rts ’
причем
, F2, Л3) Й1Я2„3 = W(с^, <, <),	(64b)
где W(c'f с\ с") — такая же функция от чисел с\ с", с"’, как и
Н—от операторов F,, F2, F3.
В приближенном квазиклассическом определении функции 6
i^S
в виде е h , где S—функция действия теории Гамильтона—Якоби,
мультипликативному соотношению (64а) соответствует аддитивное
соотношение:
So (х, у, г) = S' (?,) + S" (?3) +	(ft),	(64с)
служащее для определения разделимых координат в классическом
смысле. Квантовые числа пи п^, /г3 вводятся с помощью условия, по
которому модуль периодичности (qk) должен равняться целому
кратному (nk) от А. Энергия W(с\ с", с”’) может быть представлена
как функций квантовых чисел в виде W„lf „2, Лз. Если она на самом
деле зависит только от одного или двух из этих чисел (или от их
суммы), то Мы имеем дело с вырождением — например в случае во-
дородоподобного атома, где /гх — радиальное, п^ = 1 — угловое и
п3 = щ — осевое квантовые числа, a F2 — оператор /И2 и Fz — опе-
ратор М2 и сЬответственно:
Ф4п2п3 (q<i) = Pim (®) и (#з) = eim^-
Тройки чисел /г,, я2, п3 всегда могут быть расположены в один
ряд, так что функции ф° и уровни энергии W можно определить
одним индексом п, указывающим положение соответствующей
тройки в этом ^яду. Полученные таким образом индексы п (фя°, ТГП)
не имеют, конечнЬ, никакого отношения к квантовым числам. Можно
также употреблять род векторного обозначения — писать п вместо
трех индексов лх, я3. Таким обозначением мы пользовались в § 17
части I и будем придерживаться его в дальнейшем для стационар*
ных состояний, образующих дискретную совокупность.
104
IL Операторы
Непрерывный спектр оператора энергии Н имеет место, если
по крайней мере один из трех операторов F, соответствующих раз-
делимым координатам, обладает непрерывным спектром характеристи-
ческих значений, причем спектры двух других операторов остаются
дискретными (хотя, конечно, и они могут быть непрерывными)» Это
имеет место например в случае водородоподобного атома для поло-
жительных значений энергии, соответствующих непериодическим
(гиперболическим) движениям классической теории. Волновые функ-
ции и в этом случае могут быть представлены в виде произве-
дения (64а), если мы заменим радиальное квантовое число (ях) не-
прерывно изменяющимся параметром — например характеристиче-
скими значениями с самого оператора Fu или же значениями энер-
гии, которые он определяет, вместе с квантованными параметрами
с" и с".
Для характеристических функций, относящихся к непрерывному
спектру энергии, удобно пользоваться таким же обозначением, как
и в случае дискретного спектра, а именно—заменять квантовые числа
характеристическими значениями операторов F и писать;г вместо
тройки чисел с', с", с"', т. е. записывать характеристические функ-
ции и значения энергии в виде (xyz) и 1ГС°. Если такое сокра-
щение нежелательно, то можно пользоваться смешанны^ обозначе-
нием, содержащим как непрерывно изменяющиеся параметры, так
и квантовые числа (характеристические функции водородоподобного
атома могут быть, например, записаны в виде:	, где энергия W
соответствует непрерывно изменяющемуся параметру с').
Следует отметить, что непрерывный спектр соответствует некван-
тованному или частично квантованному движению, которое может
быть описано квазиклассически с помощью однозначной функции
действия So, либо же с помощью функции So с многозначностью,
ограничивающейся одним или двумя из слагаемых, йа которые она
разделяется согласно (64с).
Волновые функции фс°, относящиеся к непрерывному спектру
Wc, не обладают свойством ортогональности, характерным для функ-
ций <рп°, относящихся к дискретному спектру; при /выводе соотноше-
ния ортогональности (58) было показано, что оно зависит не только от
самосопряженности оператора но также и от сходимости интег-
§ 10. Ортогональность характеристических функций 105
рала J |<р°|МУ, не имеющей места в случае функций, принадлежа-
щих к непрерывному спектру.
Связь между отсутствием ортогональности и непрерывным харак-
тером спектра ..энергии может быть иллюстрирована следующим
образом. Предположим, что и — функции, относящиеся к двум
различным уровням энергии WCl и WC2. Так как последние образуют
непрерывный ряд, то разность между ними может быть сделана
сколь угодно малой. Если бы соотношение ортогональности (63)
могло быть применено к случаю непрерывного спектра, то интег-
рал	dV изменялся бы скачкоообразно от нуля (для не-
сколько отличных значений с, и сг, соответствующих несколько
различным значениям энергии) до бесконечности (в предельном
случае сг=с^,
В случае непрерывного спектра энергии можно и часто даже
необходимо (как будет показано в дальнейшем) рассматривать не
только точно определенные состояния движения, соответствующие
совершенно определенным значениям непрерывно изменяющегося
параметра с, но также и состояния движения, представленные супер-
позицией точно определенных состояний, соответствующих очень
малому интервалу Дг этих параметров, т. ё. волновыми функ-
циями типа:
=	(65)
Де
где интегрирование распространяется по Дд Получаемые таким
образом волновые функции представляют собой, очевидно, об-
общение функций, применявшихся в части I для описания „вол-
новых групп* или „волновых пакетов*. При введении этих об-
общенных „волновых пакетов* мы должны были бы принять во вни-
_ i wcf
мание временной множитель в выражении	п , так
как энергия Wc также является функцией от с. Однако, поскольку
область Дг очень мала, мы можем записать функцию (65) в виде:
2"г
^с = ^се-^‘’	<65а>
где C#— некоторая, произвольно выбранная „точка* области Дс, а
106
П. Операторы
— некоторая функция, зависящая не только от координат, но
также и от времени и характеризующая распространение волно-
вого пакета.
Часто оказывается более удобным рассматривать функции ср^.
для некоторого момента времени / = 0. В этом случае они могут
быть определены интегралом
(?2Л-о = /	(65b)
Дс
.2тг w j
— i-jr WcQt
произведение которого на e Л представляет неточно опреде-
ленные состояния движения для любого момента времени t.
Представим себе, что вся область, образованная переменными
параметрами с (она может быть „линией", „поверхностью" или
„пространством"—в зависимости от числа непрерывно изменяю-
щихся параметров), подразделена на очень малые элементы Aq... &сп
и рассмотрим вместо точных состояний неточно определенные со-
стояния, представленные функциями j* <^dc (п = 1, 2, 3.. .), и свя-
ДСя
занные с дискретной группой значений энергии 1ГП, относящихся
к определенным (произвольно выбранным) точкам соответствующих
элементарных областей Дсп.
Можно показать, что в предельном случае, когда
размеры каждой области уменьшаются до нуля
(причем число их увеличивается до бесконечности) функции
^’=йгЬ'’Л	(66)
V п ten
ведут себя так же, как обычные амплитудные
функции, относящиеся к дискретному спектру, т.е.
в частности так, что интегралы	сходятся и могут быть
нормированы к 1. Этот результат, как мы сейчас увидим, является
следствием колебательного характера функций на больших рас-
стояниях. Так как функции (66) удовлетворяют в предельном слу-
чае тому же уравнению, что и соответствующие точные функции
§ 10. Ортогональность характеристических функций 107
(при W = WCn), они должны быть взаимно ортогональны можно
поэтому положить:
(66а)
Рассмотрим, например, функции
tyk = A(k)
описывающие свободное одномерное движение с импульсом, g^hk
и кинетической энергией W= — k\
2т
Рассматривая Д, как медленно меняющуюся функцию от k,
получаем:
»1 + ^- *‘ + ^-
?<•= J .^ = 4(61) J e^dk =
№
. .. ч „ ^.птЛкх
= A (kt) eMkix-------.
Заменяя интегрирование по объему интегрированием вдоль оси х,
имеем:
,	+°	+°°	!	.	» г. \ а
— f | <р° dx = | А (А,) |’ Нт Д/г f dx (—”~т	=
ДА J '	'	। \ 1/1	j \ яДАх J
—а	—оо
= j4(^)1’1 J <rt = |4(W ,
т. е. согласно условию (66а):
IW=i.
Следует заметить, что условием нормальности определяется
только модуль коэффициента A (k). Мы можем присоединить к нему
произвольный множитель вида
Аналогично для двух различных интервалов Д&, и Дйа (не со-
впадающих друг с другом даже частично) находим:
n* п	ь sin sin
о * ср9° = A t * А 2 е1^ < ~ )•*-1--—.
108
II. Операторы
Если мы положим для простоты =	(62	Z^!), то интег-
ро J ty^ty^dx примет вид:
4-о° о
С	(£ = л44х).
J	\ k /
—со	э
-
При Д&—>0 величина —Ц-—- становится бесконечной, ио-
bk
этому предыдущий интеграл в пределе должен равняться нулю.
Эти результаты легко могут быть обобщены на случай свободного
движения в трех измерениях, описываемого волновой функцией вида:
= A (k) е®* И = A (kx) k , k2)	^х+
Последняя равна произведению трех функций, представляющих
одномерные движения, параллельные одной из трех координатных
осей; как интегралы по kx, ky, kz, так и интегралы по х, у, z сво-
дятся, таким образом, к произведениям интегралов от отдельных
сомножителей. (Аг) следует определять в этом случае как произве-
дение Lk^ky^kz.
Общее доказательство квадратичной интегрируемости функций
(66) может быть получено с помощью очень простого рассуждения.
А именно: оно вытекает из того обстоятельства, что на достаточно
больших расстояниях движение, представленное любой функцией не-
прерывного спектра <рс, должно приближаться к свободному движению;
во всех задачах, представляющих практический интерес, силовое
ноле, определяющее движение частицы, предполагается исчезающим
в бесконечности.
Возвращаясь снова к функции = как типичной пред-
ставительнице волновых функций, относящихся к непрерывному
спектру (для простейшего случая одномерного движения), рассмот-
рим двойной интеграл:



ВЗЯТЫЙ ОТ --ОО ДО 4" 00 как П0 так И П0 Х' Каждый из про-
стых интегралов по и по х, взятый в отдельности между этими
пределами, не имеет определенного значения; определим поэтому
значение /? как предел выражения
§10. Ортогональность характеристических функций 109
4-00
Ik’ = J dX J ei^2(k2 — kt)x ^&2приА->ОО,
—00	k
kl~~~2
или как предел выражения
4-оо 4-£
//'= J* dk^ J ^(k^ — k^x dx при >>oo.
-oo -5
В первом случае:
ki + у
f	-^L
J	тгх
+°°	.	,	1	+°°	.
. p sin nkx , I f sin p (
Ik = I ---------dx=*— I---------^tZp=l,
R J ъх к J p
—oo	—oo
независимо от k, а следовательно также и при k = oo, что дает
Z=l. Во втором случае мы получаем:
4-5
f z»x2T:^g-fei )Xz/ y _ S*n (^2	^1) $
Д	r^-kj
J sin 2тс (&2—
ft (&2
независимо от ?, а следовательно и при $ = оо. Оба определения /
приводят таким образом к одному и тому же результату: 1=1.
Предположим теперь, что =± A (k)	, где A (k) — неко-
торая, относительно медленно изменяющаяся (неколебательная) функ-
ция от k. Определяя двойной интеграл
по
II. Операторы
как предел выражения
+со +$
/е= J dk^ J
-оо
при 5 = оо, получаем:
4= Та> (4,) А (4,) 51\2"(‘,~ф){- л,
тс («а	«17
= ±4.(41)j’"x(41+-i)^<;p,
— 00	г
Т< е-	/==Д*(МЯ(А1) = |Д(А1)Р-
Отсюда следует, что „нормирование" | A (А4) |’ = 1, введенное
выше для функции <pfe° = A (k) е^ккх с помощью (66) и (66а) (при
n = zn=l) может быть получено с таким же успехом из условия
-|-ОО 4" 00
j* J	= 1 • Этот результат легко обобщается для
— ОО — 00
любых функций фс°, относящихся к непрерывному спектру энергии:
а именно, условие нормальности обычного типа для квазидискрегных
функций фя°= Пт —у___ | ф/rfc,
дс-о /ДС„ Jn
j4°V*^= 1
совершенно эквивалентно условию:
JjW'Ml'-l-	<67>
Это условие сходно с уравнением:
п
для функций, относящихся к дискретному спектру. Последнее уравне-
ние вытекает непосредственно из соотношений нормальности и ортого-
нальности:
J №*W<iv==bmn.
§ 10. Ортогональность характеристических функций 111
Точно также и уравнение (67) можно рассматривать, как след-
ствие аналогичного соотношения для функций непрерывного спектра
<ус°, которое, по Дираку, может быть записано в виде:
(67а)
Здесь 8 (с) — несколько необычный тип функции, скорее определяемый
левой частью этого уравнения [вместе с условием (67)], чем опреде-
ляющий ее. Фактически, „несобственная* функция 3(f) не зави-
сит от вида функций ^с°— поскольку они удовлетворяют условию (67)
Последнее принимает теперь следующий вид:
(^2	^1) ^2	1 >
или
j 8(f)df=l,	(67b)
причем интегрирование распространяется на все значения непре-
рывно изменяющегося параметра (или параметров) с.
Очевидно, что при f = 0 (т. е. f2 = ft) функция 8(f) принимает
бесконечное значение. Представляется, однако, невозможным при
писать ей определенное значение при с ф 0. Возьмем, например,
нормированную функцию = (где c = k). Согласно опре-
делению (67а):
8	— kt) = J ей1С<*«-**> dx,
— OO
т- 8-	+oo
8(A-)= J e^dx.
— 00
Это выражение не имеет определенного значения. Мы можем,
однако, заменить его выражением:
55(£)= e^dx,	(68а)
подобно тому как мы поступали выше при вычислении интеграла /.
Если, выполнив все вычисления, относящиеся к
ф у н к ц и и 8- (&) и, в частности, интегрирование по k, мы затек
112
И. Операторы
перейдем к пределу >со, мы получим такой 5ке результат, как
если бы мы с самого начала положили:
8(&) = 0 для	и 8(Л)й№=1.	(68b)
—оо
Приведенное выше вычисление интеграла
4-00 4-00
'= S f О/М*
— ОО —00
для функции вида ^° = Д (k) ei<llzkx, приводящее к условию нор-
мальности /=1, может служить иллюстрацией этих соотношений.
Мы можем, таким образом, сказать, что хотя функции фс°, отно-
сящиеся к непрерывному спектру, и не ортогональны друг к другу
в обычном смысле этого слова, их все же можно трактовать так,
как если бы они были взаимно ортогональны и нормированы,
согласно условиям (67а) и (67b) при 8(с) = 0 для сфЪ.
Смысл обычного нормирования	для функции,
относящейся к дискретному спектру, заключается в том, что общая
вероятность нахождения рассматриваемой частицы во всем простран-
стве принимается равной 1. Нормирование (67) или (67а) может
быть интерпретировано, как выражение того обстоятельства, что
относительная вероятность нахождения частицы внутри конечной
области пространства, содержащей силовое поле, бесконечно мала
по сравнению с вероятностью нахождения частицы на бесконечном
расстоянии (где она движется практически свободно). При этих
условиях удобнее нормировать общую вероятность к оо, а не к 1.
Такое нормирование к бесконечности, соответствующее соотношению
(67) или (67а), эквивалентно обычному типу нормирования для квази-
дискретных функций —1= f de, каждая из которых представ-
V д"
ляет собой своего рода „замерзший" волновой пакет.
Глава III.
МАТРИЦЫ.
§11. Матричное представление физических величин и мат-
ричная форма уравнений движения.
Если частица движется в постоянном силовом поле, определяе-
мом независящей от времени потенциальной энергией С/(х, у, z),
то ее полная энергия W остается постоянной. „Консервативное дви-
жение* этого рода описывается в волновой механике частным реше-
_________________________________________________де,/
нием уравнения (Н -|-ф = 0 вида ф = ф° (х, yt z) е h , где
амплитуда и постоянная W удовлетворяют уравнению: Htf* = 1^°
Если оператор Гамильтона Н не содержит явно времени, то общее
решение уравнения (H~\-pt)^ = 0 может быть представлено как
сумма таких частных решений — если они образуют дискретную
совокупность, соответствующую дискретному спектру W—с произ-
вольными постоянными коэффициентами:
ф=2~ 2 а^е~1 л Wnt ’	t69)
п	п
причем функции предполагаются нормированными согласно
условию:
у^л°|МУ=1.
* Если же функции 6 образуют непрерывную совокупность, то
суммирование должно быть заменено интегрированием:
6 = I a(c)tycdc = I ас^е h	de,	(69a)
где с—параметр, изменяющийся непрерывно. Если : какой-либо
из трех’ параметров квантован, тогда как остальные изменяются
114
III. Матрицы
непрерывно, то суммирование должно быть заменено суммированием
и интегрированием, например:
Ф — / , j aCin2ns tycitwig dc} ,	(69Ь)
П2 ng
где функции 6° или	нормированы согласно условию (67);
а(с) = Ор — произвольные функции от непрерывных параметров с.
Если, наконец, — как это обычно имеет место — спектр энергии
состоит из дискретной части Wn и непрерывной части IFC, то общее
решение уравнения (//-]-	= 0 представляется суммой выра-
жений (69) и (69а) или (69b), так что:
или:
п
a /к de

2 ал‘"2"’ ^п'п"-п* Н- 2 J af|"2"3	
п2 п3
(69с)
(69d)
Исследуем прежде всего простейший случай выражения (67),
соответствующего дискретному спектру. Как уже было изложено
в § 17 части I, с точки зрения теории вероятностей суммирование
следует интерпретировать как выражение альтернативного
характера состояний, представленных функциями или ^°л.
Результирующая функция может быть нормирована к единице
в таком же смысле, как отдельные функции 6Л, т. е. с помощью
условия:	р
(70)
Согласно выражению (69), это условие вместе с соотношением
ортогональности и нормальности
дает:
У,апап' =	(70а)
п
Величины апа* = \ап\* могут быть интерпретированы, таким
образом, как вероятности нахождения частицы в со-
§11. Матричное представление физических величин	115
стоянии движения, определяемом функцией	не-
зависимо от ее положения в пространстве.
Такай интерпретация подтверждается выражением, получаемым
для вероятного (или среднего) значения различных величин и, в
частности, энергии. Согласно общей формуле, вероятное значение
некоторой величины, изображаемой оператором У7, может быть опре-
делено как:
F= J 6*F^dV.
Полагая 6 = получаем:
<71)
т п
где
Fmn=^m*F<fndV	(71а)
„матричные элементы" величины F по отногчению к состояниям
движения и
Полагая, далее,
'к =	(хУг) e~‘^'X'nt = V е~	, (vn =
получаем:
Fmn=F°mne^«^,	(71b)
где
(71c)
mn I ‘ m 1 n	x 7
Поскольку оператор F представляет вещественную величину,
матричные элементы Fmn, точно так же, как их амплитуды, удовле-
творяют соотношениям Эрмита:
F =F* , F*=F°*	(72)
пт тп7	пт mn	v 7
Эти соотношения совершенно очевидны, если F—вещественная
функция, зависящая только от координат. Чтобы доказать их для
.	_	h д
общего случая, положим F=рх = -—г —.
J	ГХ 2iw дх
116
III. Матрицы
Л,. 4	J-V
и, следовательно:
J ^4 v</v= J	V Awv,
или, так как первый из интегралов в правой части равенства обра-
щается в нуль	,
F”m = 2^1 J №fa^dV==F™>
согласно соотношению (72). Это доказательство может быть рас-
пространено на случай любой функции/7 от операторов рх, Ру,Рг
(и от координат), если она не содержит никаких комплексных вели-
чин (кроме множителя i в выражении для рх, р^, рг, где наличие
его необходимо для того, чтобы эти операторы соответствовали
вещественным величинам).
Соотношения (72) не следует смешивать с обычным соотноше-
нием самосопряженности, которое в случае интеграла (71а) дает:
j*	J №m*dV	(72a)
и эквивалентно соотношению (72) при условии
F=F*>
т. е. если F зависит только от координат и не содержит операторов
рх, Ру, Рг> или же содержит их только в четных степенях.
В последнем случае, если например F представляет собой оператор
энергии Н — (д/ + р* 4" р*) 4* U(х> У>	соотношения Эр-
мита (72) действительно сводятся к соотношению (72а), выражаю-
щему самосопряженный характер F. В общем случае (когда опера-
тор F содержит на ряду с четными также и нечетные степени опе-
раторов р) обычное условие самосопряженности (72а) заменяется
следующим более общим:
j*AM d V=	d V; '	(72b)
§ 11. Матричное представление физических величин 117
при/1 = ^т* и = это обобщенное условие самосопряженности
вполне эквивалентно условию эрмитности (72).
Полагая F=H, имеем (в виду того, что
Hmn=Wa^m^ndV,
или, в силу соотношений ортогональности и нормальности для
функции 6П:
н — FF =W 8	(73)
тп тп п тп •	v 7
Таким образом, с помощью выражения (71) получаем:
H = ^ana*Wn=^\an\*Wn.	(73а)
п	п
Это уравнение показывает, что если И интерпретируется, как
вероятное значение энергии, то число j ап действительно следует
рассматривать, как вероятность нахождения частицы в состоянии
движения, изображаемом функцией и связанном с точно извест-
ным значением энергии Wn.
Аналогичные результаты имеют место для любого оператора F,
представляющего постоянную движения, т. е. коммутирующего с опе-
ратором энергии. Если вырождение места не имеет, так что все
значения энергии W7, соответствующие различным функциям
различны, то, как было уже показано (§ 7), из уравнения HF—FH
следует, что Ftyn = Fn^n, где константа Fn— значение величины,
изображаемой оператором F для рассматриваемого состояния. Так
же, как и раньше, получаем:
F =8 F
1 тп пит п
И
Эти соотношения могут быть получены и в случае вырождения,
если функции .. йг, образующие вырожденную совокупность,
т. е. относящиеся к одному и тому же значению энергии, удовлет-
воряют соотношениям F^n = Fntyn [как было показано в § 7, это
условие всегда может быть выполнено]. Если же они не удовлетво*
ряют этим соотношениям, мы имеем:
118
III. Матрицы
/=1
[см. уравнение (47b), § 7].
Умножив это уравнение’на где — некоторая функция,
принадлежащая к той же вырожденной группе, и интегрируя, по-
лучаем:	г
^^^kdV=^ickl^m^ldV=ckm
1=1
(так как мы всегда можем положить функции взаимно орто-
гональными, независимо от вырождения). Такшч образом ckrn —
= Fmk,'w™
Г
(74)
Z=1
Отсюда следует, что если — некоторая функция, не относя-
щаяся к вырожденной группе	то
г
F,.b = j*^n*^kdV=^Flk$ ^dV=0.
z“l
Общее выражение (71) сводится таким образом к сумме выра-
жений:
г г	г г
2 S ak*aiFM=2 2ак*ai Fu ’	(7 4а)
/г-=1 /=1	/г=1/=Г1
взятых для различных значений энергии W. Соотношение Fkl =
— F^ вытекает из равенства Wk=Wr Вероятное значение опера-
тора F, представляющего постоянную движения, является таким
образом независимым от времени. Эта независимость F от вре-
мени и выражает то обстоятельство, что F является, постоянной
движения и коммутирует с Н. Если вырождение места не имеет,
равенство F— const эквивалентно исчезновению всех матричных
элементов F за исключением элементов „диагональных" (т. е. эле-
ментов с двумя одинаковыми индексами). При наличии вырождения
это ограничение становится слишком тесным, постоянство F
§ 11. Матричное представление физических величин 119
противоречит наличию неисчезающих значений матричных элементов
F для tcex состояний с одинаковыми значениями энергии.
Соотношение (74) представляет собой частный случай общего
соотношения:
(75)
I
где суммирование распространено на в с е характеристические функ-
ции оператора Н, независимо от того, относятся ли они к одной
и той же энергии или же нет. Это соотношение справедливо для
любого оператора F и сводится к выражению (74), если F является по-
стоянной движения. Оно получается так же, как и соотношению (74),
на основании предположения, что функция F^k может быть
разложена в ряд вида	гДе коэффициенты ckl могут быть
i
функциями от времени, но не зависят от координат. 1 Это равно-
сильно предположению, что F^M может быть разложено в ряд
вида c\i^i с постояннными коэффициентами Умножив
z
на и проинтегрировав по координатам, получаем:
№^dv = cL> т- е- 4™ = ^
1 ‘ пг » k	/1 kl I т щ »I	km1	. km mk
I
и следовательно	„
(75а)
I
Из этого уравнения можно получить уравнение (75) (при усло-
вии, .что F не содержит оператора р^ с помощью соотношений
где v;ft = vz — v
Если F не является постоянной движения, то выражение (71),
определяющее его вероятное значение, содержит члены, предста-
1 Это предположение подтверждается для весьма обширного класса
операторов, удовлетворяющих определенным условиям, которых мы здесь
рассматривать не будем и которые практически всегда выполняются,
120
III. Матрицы
вляющие собой гармонические колебания с частотами „перехода*
vmn = (Wm—Wn)h. (Значение этого обстоятельства для теории
испускания света было рассмотрено в § 17 части I).
Согласно выражению (71b), производная от F по времени равна:
ат^™тпГтп >
т п
ИЛИ	-	,
С = У У ап>* ап - ^») Ртп- (75Ь)
т п
Легко показать, что правая часть этого выражения эквивалентна
вероятному значению [Я, F], т. е. — (HF— FH).
п
Действительно:
FH^n = FWn*in = WnFbn = F^k
и согласно (75):	k
HF^n = Fhn = V FMk>
k	k
так что
(HF _ FH)mn = J V (HF-FH) ’bndV
' =-^FknWk^^kdV-Wn^m^ndV
= Fmt(Wm-Wn).
.	^F
Мы можем, таким образом, определить оператор матричным
равенством:
Ш.,=“ F-=<75'»
Заменив в предыдущих уравнениях Н некоторым другим операто-
ром О, получим [в результате двухкратного применения уравнения (75)]:
(FG)	= F^G^ =	°^k = У	=
k	k	km
§ 11. Матричное представление физических величин 121
С другой стороны, согласно той же формуле (75):
т
где (FG)mn— матричные элементы оператора FG. Таким образом:
= ^mk •	(76)
k
Положив здесь Fmk — F^e^mk* и Gkn =	и, принимая
во внимание соотношение:
W +	---+-----—£=vmnt (76а)
получаем	(FG)mn = (FG)"m„^W,
где	(FG)Omn = ^FmkoGhno.	(76b) k
Это соотношение мо^ет быть получено непосредственно путем при-
менения оператора FG к (вместо фп) с помощью уравнения
(75а) [вместо уравнения (75)].
Следует заметить, что уравнения (76) или (76b) совпадают с
уравнениями § 18 части I, выведенными нами с помощью законов
умножения и сложения „амплитуд вероятности* для перехода от
некоторого состояния т к другому состоянию п через некоторое
промежуточное состояние k. Матричные элементы Fmk и Gkn интер-
претировались при этом как „амплитуды вероятности" простых
переходов m-+k и k-^n, происходящих под влиянием возмущаю-
щих сил, характеризуемых соответственно операторами F и G, а
матричный элемент (FG) тп — как амплитуда вероятности Перехода,
являющегося сочетанием двух предыдущих переходов при неопре-
деленности промежуточного состояния k.
Мы еще вернемся к этому вопросу ниже.
С чисто формальной точки зрения уравнения (76) или (76b)
выражают закон умножения матриц. Этот закон (т. е. пра-
вило сочетания строк первой матрицы со столбцами второй) совер-
шенно аналогичен закону* умножения соответствующих определи-
122
III. Матрицы
телей. Таким образом, матрица оператора FG называется произ-
ведением матриц F и G.
Умножение матриц в общем случае н е к о м му т ат и в н о, точно
так же, как умножение (т. е. последовательное применение) соот-
ветствующих операторов.
Необходимо, далее, отметить, что произведения двух эрмитовых
матриц FG и GF, вообще говоря, не являются эрмитовыми мат-
рицами; величина, комплексно сопряженная с (FG)mrl, равна (GF) пт,
а не (FG) пт. Оба произведения являются, следовательно,'эрмито-
выми матрицами лишь в том случае, если они равны друг другу,
т. е. если матрицы F и G коммутируют друг с другом.
Сумма двух операторов F-\ G, очевидно, коммутативна в том
смысле, что (FG)ty = (GF)ty. Образовав из нее матрицу, по-
лучим соотношение
(F + G)m» = ?тп +	= (G + П mn, (76c)
выражающее п p а в и л о сложения матриц, также удовлетво-
ряющее закону коммутативности.
Легко, далее, показать, что в случае трех или большего числа
множителей закон ассоциативности удовлетворяется как для опера-
торов, так и для соответствующих матриц, так что, например:
(EF)G = E(FG)
и следовательно:
[(£F) G]mn = J? (EF)mk Gkn = Eml Flk Gkfl
k	k i
— ^^Eml(FG)ln = {E(FQ)]mn.
I
Мы видим, таким образом, что существует однозначное
соответствие между различными операторами и
связанными с ними матрицами как при сложении
их, так и при их умножении. Этим соответствием можно
воспользоваться для того, чтобы заменить (введенное в предыдущей
главе) изображение физических величин операторами изобра-
жением их матрицами. При этом каждая физическая вели-
чина, независимо от ее численного выражения (т. е, имеющая или
§ 11. Матричное представление физических величин 123
не имеющая определенного значения) представляется совокупностью
матричных элементов:
11, ^12, ^13 ‘ * *
^21, ^22, ^23 * • *
Ли, ^32, Л13 * ‘ ’
или
р	0	р	О	Р	о
'11 ,	'12 .	'13
р	0	р	0	р	О
'21 , '22 , '23
р	0	р	0	р	О
'31 , '32 . '33
(77)
(77а)
которую в дальнейшем мы будем обозначать одной буквой F или
F0 и будем применять точно так же, как оператор, изображающий
рассматриваемую физическую величину, не упоминая, однако, не-
посредственно о каких-либо характеристических функциях.
Следует, однако, иметь в виду, что существование таких функций
косвенно подразумевается самим определением матриц F или
Л °. По отношению к этим функциям энергия Н изображается
диагональной матрицей:
Wi 0	0	0... I
где
1 0 0...
.	0 1 0...
— так называемая „единичная матрица"; в дальнейшем мы будем
иногда обозначать ее через 1 (8тп = 1 тт^.
Матричные элементы выражения (77b), т. е. уровни энергии
Wn входят в соотношения между элементами (77) и (77b):
Ц7 — U7
Fmn = Wm -h ** I.	(77с)
последние представляют собой простые чи<;да?
124
Ш. Матрицы
Абсолютные значения Wn не могут быть, однако, определены
с помощью этих соотношений, содержащих лишь их разности.
Для того чтобы различать величины Fmn и Лтл°, будем на-
зывать первые матричными компонентами, вторые — мат-
ричными элементами величины F. Для энергии, точно так же,
как и для любой другой постоянной движения, матричные компо-
ненты совпадают с соответствующими элементами, так что мы можем
положить:
(77d)
Представление физических величин посредствохм операторов (вклю-
чая и функции, зависящие только от координат) отличается от
представления их посредством матриц тем, что первое является
абсолютным, второе — относительным. При этом мы
имеем в виду то обстоятельство, что матричные элементы опреде-
ляются по отношению к какой-либо специальной совокупности
стационарных состояний, описываемых.характеристическими функ-
циями какого-нибудь специального оператора — или системы ком-
мутирующих операторов (например Н, М2 и М'2), В дальнейшем
мы увидим, что это различие не столь существенно, как оно кажется
на первый взгляд. Применение операторов базируется на рассмот-
рении координат (и времени), как непосредственно наблюдаемых
величин. Это, однако, вовсе не необходимо, так как координаты
могут быть заменены в этом смысле некоторыми другими величи-
нами— например слагающими импульса, при этом с точки зрения
последних они сами становятся операторами.
Не останавливаясь на этом вопросе подробнее и придерживаясь
переменных х, у, z, /, как непосредственно наблюдаемых величин
мы можем однако считать вышеупомянутое различие основным.
Легко показать, что определение матричных элементов любого
оператора F по отношению к характеристическим функциям неко-
торого другого оператора Н (или системы трех коммутирующих
операторов) не требует фактического знания этих функций. Доста-
точно знать, что они обращают И в диагональную матрицу
(или матрицы). Если, кроме того, как Н, так и F заданы явным
образом как функции координат х, у, z и элементарных операторов
р^ р^ то матричные элемента как Н, так и любой другой ве~
§ 11.	Матричное представление физических величин 125
личины F можно вычислить, принимая во внимание соотношения
коммутативности:
h л	h л	h л
^-^=2^1,	1,(78)
РхУ—УРх = Ъ и т. д.	(78а)
•V— ух = 0, рхру—рурх=0 и т. д. (78b)
(в матричном изображении), а также законы сложения
и умножения матриц и условия эрмитности для х, у, z, рх,
pr pz. Определив матричные элементы F и Н, мы можем вы-
числить матричные компоненты F (компоненты величины Н
совпадают с ее элементами).
Таким образом, поскольку речь идет об определении матричных
элементов или компонентов некоторой физической величины по
отношению к стационарным состояниям, определяемым оператором
энергии Н, мы можем заменить решение уравнения Шредингера
Н^= и последующее интегрирование FmnQ = j* tym*FtyndV
рассмотрением следующей задачи: 1) Определить матричные эле-
менты величин х, у\ Z) рх) ру1 рг при условии их эрмитности и ком-
мутативности (78), (78а) и (786) так, чтобы матрица функции
Я(х, z, рх, ру, р2) была диагональной, т. е. чтобы Нпт=0, при
пфт> 2) Зная матрицы х, у, z, рх) ру, р2, вычислить матричные
элементы или компоненты любой данной функции F(x,y, z,px,py) р2).
Функции определяющие стационарные состояния, к кото-
рым относятся матричные элементы, могут быть, таким образом,
полностью устранены из теории матриц, и последняя может быть
построена, как замкнутая и последовательная теория, не пользую-
щаяся какими-либо чуждыми ей представлениями.
Следует отметить, что первая и вторая части вышеупомянутой
задачи в некотором смысле обратны друг другу — в том смысле,
что в первой части мы имеем дело с решением системы матричных
уравнений для неизвестных матриц х, у, z, рХ) ру, р2 а, во второй —
с вычислением явно заданной функции от этих основных матриц.
В случае задачи с одной степенью свободы (соответствующей
движению частицы в одном измерении, например случаю линейного
126
III. Матрицы
осциллятора) условие „диагональности матрицы /7“ вместе с уело*
виями коммутативности (78) обеспечивает полное и физически
однозначное определение основных t матриц, например х п рх, и,
следовательно, матричного изображения „с точки зрения Н“ любых
других величин F(x, рх).
Некоторая неоднозначность, не отзывающаяся на физической
интерпретации матричных элементов, но весьма существенная для
правильного понимания соотношения между теорией матриц и клас-
сической механикой, все же остается. Если хтп^ и (рх)тп° — мат-
ричные элементы, удовлетворяющие условиям задачи (или вернее —
первой ее части), то любые элементы вида:
хатпе{ (“»>-“»), (p j »|Яе' (от - о»),
где аш...ап—произвольные вещественные числа, также будут удо-
влетворять этим условиям, если мы элементы любой другой мат-
рицы Fmn заменим соответственно через Fmn^1 ^а,п~ап^ Этот ре-
зультат легко может быть получен непосредственно из первоначаль-
ного определения матричных элементов черев характеристические
функции 6Я° в связи с тем обстоятельством, что каждая из них,
без какого бы то ни было нарушения соотношений орто-
гональности и нормальности, может быть заменена произведением
ее на Это умножение (при вещественности ап) означает вве-
дение произвольной „фазы" в t>n =	или „раз-
ности фаз* в Fmn{Fmn = Famnei{^,mnt + am-an}) .
„Фазовые" постоянные а исчезают в диагональных элементах
F'ntl, которые, как мы знаем, определяют среднее или вероят-
ное значение величины, представленной с помощью F, в ста-
ционарном состоянии с энергией Wn, а также и в произведении
Fmn Fmn [т. е. в квадрате модуля матричных элементов, отно-
сящихся к различным стационарным состояниям	Wm)]. Про-
изведения эти определяют вероятность перехода между
двумя состояниями, происходящего под влиянием возмущения, про-
порционального F.
В общем случае движения в трех измерениях условие диаго-
нальности матрицы энергии [вместе с соотношениями коммутатив-
ности (78)] не всегда оказывается достаточным для физически одно-
§ 11. Матричное представление физических величин 127
значного определения матриц х, у, г, рх, pz и д лжно быть
дополнено аналогичным условием для одной или двух других мат-
риц, представляющих постоянные движения, например: слагающую
углового момента по оси z и его квадрат в случае движения в цент-
ральном поле сил.
Такие дополнительные условия необходимы в случае вырожде-
ния, критерием которого в теории матриц является тождество не-
скольких (диагональных) элементов матрицы энергии. Матрицы,
представляющие постоянные движения, должны, конечно, — незави-
симо от наличия или отсутствия вырождения—коммутировать с
м трице i энергии, т. е. удовлетворять соотношению:
(HF) mn = (FH) тп,
соответствующему соотношению между операторами: HF — FH.
С помощью закона умножения (76) и условия диагональности мат-
рицы H(Hmn—Wnlmn) получаем:
^mk ?кП — Wm
k
(FH)mn=y^FmbHbn=WnFmn.
k
Условие, согласно которому F является постоянной движения,
принимает при этом вид:
{Wm-Wn)Fmn = Q,
откуда следует, что:
г тп	г тп у
г. е., что матричные элементы F отличны от нуля только для состоя-
ний, соответствующих одному и тому же значению энергии. Таким
образом, если вырождение места не имеет, постоянные движения
следует изображать диагональными матрицами; в случае же нали-
чия вырождения они могут (но не обязательно должны) иметь
диагональную форму.
Следует заметить, что функция/(F) диагональной мат-
рицы сама является диагональной матрицей, элементы которой
128
III, Матрицы
равны таким же функциям от соответствующих элементов матрицы
аргумента:
[/(F)]nn=/(Fnn).
Этот результат, вытекающий из равенства характеристических зна-
чений оператора /(Г) таким же функциям от характеристических
значений F, был уже сформулирован нами раньше при рассмотрении
оператора энергии (§ 7). Он может быть получен непосредственно
из закона умножения матриц, дающего для диагональной матрицы F:
(^2) тп ~	^mk^hn = ^тт^тп = Fntfimni
к
(Р3)тп = ^^)тЛп = Р^тп ИТ. д.,
к
так что, если функция f(F) может быть представлена в виде
где ak — численные коэффициенты, то:
тп =	ak^nnk^ $тп •
4 Л	к
Как уже было указано в начале этого параграфа, матрицы, пред-
ставляющие действительные физические величины, должны удовлет-
ворять условию эрмитности. Произведения двух таких матриц F и G
(если они не коммутируют друг с другом), FG и GF не могут, сле-
довательно, представлять действительную физическую величину.
Представление таких величин может быть однако получено с по-
мощью суммы обоих произведений, или их разности, умножен-
ной на L В первом случае, разделив сумму на 2, мы получаем
„симметризованное" представление ~ (FG -f- GF), соответствующее
классическому произведению величин F и О. Во втором случае,
2тг/	1
умножив разность на мы получаем скобки [F, G], уже рас-
смотренные в § 8 и соответствующие, как это будет показано в
Дальнейшем, скобкам Пуассона классической теории.
§ 12. Соответствие между матричной и классической механикой 129
§ 12. Соответствие между матричной и классической
механикой.
Матричное представление физических величин было введено
Гейзенбергом в конце 1925 г. за несколько месяцев перед по-
явлением волно-механических работ Шредингера, и было затем
развито Гейзенбергом, Борном и Йорданом в 1926 г., без какой
бы то ни было связи между „матричной* и „волновой" тео-
рией. Эта связь была обнаружена Шредингером (и, независимо от
него, Экартом), нашедшим, что матричные элементы Гейзенберга—
Борна — Йордана могут быть вычислены с помощью волновых
функций посредством формулы: F^mn = j*	К Эта краткая
историческая справка иллюстрирует то обстоятельство, что матрич-
ная теория не нуждается в поддержке волновой механики, являясь
совершенно самостоятельной. Мы увидим дальше, что связь между
волновой и матричной теорией может быть на самом деле обра-
щена: в обобщенной форме, данной Дираком и Йорданом, ма-
тричная теория содержит волновую ’ механику, как частный слу-
чай (§ 14).
В своей формулировке матричной теории Гейзенберг руково-
дился идеями Бора о соответствии между квантовым и классическим
описанием явлений излучения. В „доброе старое время", до при-
шествия квантовой теории, атомные явления и, в частности, явле-
ния, связанные с испусканием или воглощением излучения, описы-
вались как неконсервативное движение электронов, при котором
механическая энергия непрерывно уменьшается, переходя в лу-
чистую, или же непрерывно возрастает за счет последней. Бор за-
ставил физиков заменить это представление представлением о дис-
кретном ряде консервативных или стационарных состояний
движения, не сопровождающихся излучением или поглощением энер-
гии, и о прерывных переходах между ними, связанных с испу-
сканием или поглощением монохроматического излучения. Таким
образом, между 1913 и 1925 годами физики постепенно приучи-
лись рассматривать два типа механических величин (например ча-
стот или амплитуд) — классические, относящиеся к стационарным
движениям (разлагающиеся с помощью рядов Фурье на сумму
130
Ш. Матрицы
гармонических колебаний), и квантовые, относящиеся к пере-
ходам.
С. помощью своего „принципа соответствия" Бор в 1918 г.
установил приближенное соотношение между обоими типами вели-
чин; следуя пути,, намеченному Бором, Гейзенберг отбросил клас-
сические величины, как лишенные физического смысла, и предложил
матричную схему (усовершенствованную затем Борном и Йорданом)
для непосредственного вычисления величин квантовых. Принцип
соответствия может быть разъяснен весьма просто в случае одно-
мерного движения, ограниченного по классической механике ко-
нечной областью, например отрезком между хг и х", и поэтому
периодического. Координата х частицы может быть, следовательно,
описана в классической механике как периодическая функция
времени и разложена в ряд Фурье вида
*(/) = > х° (k)en™,
(79)
---k'i
где v = -^---основная частота колебания (т— период колебания,
т. е. длительность „замкнутого пути" от х’ к х" и обратно к х';
х°(Л) — амплитуда ^-того гармонического члена, обладающего ча-
стотой Лу). Два комплексных члена с частотами и
должны, конечно, образовывать вещественный член вида:
a\k\ cos 2к |А| + b sin 2к |А?| у/,
откуда следует, что амплитуды Л°(£) и х° (—k) должны
комплексно-сопряженными величинами:
Х° (— k) = x" (£)*.
быть
(79а)
Таким образом:
ak\ — xQ (k) х° (k)* и b\k\ = i (х" (k) — xQ
Теория Бора ограничивала стационарные движения квантовыми
условиями, в данном случае сводящимися к одному уравнению:
Jeee g dx = nh,
определяющему квантованные значения энергии IF = Wn и, соответ-
(80)
§ 12л Соответствие между,, матричной и классической механикой 131
ственно, основные частоты v = vn. Полагая g = y<2m{W—U) и
диффенцируя интеграл
J==^y2m(W— U)dx
по энергии W (рассматриваемой как параметр), получаем:
или
dW
(80а)
V dJ •
Это соотношение является частным случаем общих соотношений
между энергией, основными частотами vn v2, v3 и основными моду-
лями периодичности J2, J3 функции действия S, выведенных в
главе I для случая трехмерного движения с помощью теории ка-
нонических преобразований (§ 5).
Хотя „классическая" частота у, определяемая выражением (80),
относится к стационарному движению, она выражается отношением
разностей W и J для двух различных, хотя и смежных дви-
жений так, как если бы она была связана с переходом между
ними. Действительно, соотношение (80а) имеет удивительное сход-
ство с условием частот Бора:
_wm-wn
h
определяющим квантовые частоты, связанные с переходом между
двумя более или менее различными, „квантованными" состояниями
т и п. Введя квантованные Значения интеграла J, мы можем пере-
писать предыдущее уравнение в виде:
W —ц/	ддег
= (/«-«) "1- =	дТ •	(80Ь)
Если W изменяется медленно с изменением J и если разность
132
III. Матрицы
(m — n) не слишком велика по сравнению с т или л, то отноше-
ние разностей &W/&J может быть заменено приближенно производной
dW
dJ ’
и мы получаем согласно (80а) следующее приближенное соот-
ношение между классическими и квантовыми частотами:
— n)v,	(80с)
которое может быть интерпретировано, как приближенное совпа-
дение или „соответствие" между квантовыми частотами, связанными
с ^-кратным переходом и классическими частотами гармонического
колебания й-того порядка (k = m— ri).
Это соответствие между классическими и квантовыми частотами
составляет сущность принципа соответствия Бора. Истинное зна-
чение его обнаруживается, однако, при его распространении с ча-
стот на амплитуды.
Обозначим функцию x(t) для /г-того стационарного состояния
через хп (/) и коэффициенты разложения х° (Л) через Хп (&)•
Тогда формула (79) примет вид:
4-со
х„(0= 2	(81)
& = —оо
Если мы вместо k напишем (т— п) и положим
А'(« —«) = х°»пл>	(81а)
то формула (81) перепишется в виде:
*я(0 = +2 x\ne^~W‘.	(81b)
т~— оо
Если классическая частота (т— n)v соответствует квантовой час-
тоте чтп света, испускаемого рассматриваемой системой при пере-
ходе т-^п (Wm>Wn), то классическая амплитудах0^, связан-
ная с этой частотой, должна, согласно теории Бора, соответство-
вать квантовой амплитуде испускаемого света — в том смысле, что
интенсивность последнего должна приближенно совпадать
с интенсивностью, вычисленной из классических соображений в
предположении, что движение частицы (обладающей электрическим
§ 12. Соответствие между матричной и классической механикой 133
зарядом, так как иначе не было бы излучения) изображается
простым гармоническим членом:
г — г0	— n)>ii
лтп — л тпи
Приближение по отношению к интенсивности должно быть тем
точнее, чем точнее приближение по отношению к частоте.
Эти результаты были проверены (Крамерсом) для таких слу-
чаев, где действительно существует приближение между классиче-
скими и квантовыми частотами, например для относительных ин-
тенсивностей соседних линий в случае эффекта Штарка.
Природа соответствия, установленного Бором, оставалась однако
таинственной до тех пор, пока Гейзенберг в конце 1925 г. не
вскрыл ее способом, заслуживающим восхищения, как за его про-
стоту, так и за смелость. Базируясь на принципе, согласно которому
реально существует только то, что может быть наблюдено, Гей-
зенберг выдвинул мысль, что классических величин вообще не
существует, так как они не находят никакого отражения в непо-
средственно наблюдаемых оптических эффектах; последние, как
в отношении положения, так и в отношении интенсивности спектраль-
ных линий, могут быть выражены только в терминах квантовых
величин, т. е. величин, характеризующих переходы.
С этой точки зрения классический метод описания движения
частицы путем определения ее координат для различных стацио-
нарных состояний, как определенных функций от времени хп (f),
которые могут быть разложены в ряды Фурье (81b), следует рас-
сматривать как приближение к описанию движения с помощью двой-
ной совокупности величин, образуемых матричными компонентами:
г —
лтп----ь тпс >
„соответствующими" совокупности классических гармонических чле-
нов для различных значений т и п' в таком же смысле, в каком
приближение соответствует истине. При этом, повидимому, откры-
ваются две различных возможности модернизации классической ме-
ханики. Одна сводится к предположению, что движение чартицы
в стационарном состоянии п может быть описано как определен*
ная функция от времени с помощью ряда:
134
III. Матрицы
4-00
x„(0 = 2	’
m ——co
заменяющего обычный ряд Фурье (&lb), и что уравнения движе-
ния следует соответственно изменить так, чтобы они приводили
к решениям этого нового типа, а не к выражениям (81b).
Вторая возможность заключается в отказе от классического
описания движения, устанавливающего определенную зависимость
положения частицы от времени и в замене его квантовым описанием,
в котором координата определяется как матрица с компонентами вида
xQmnei2™tnnt» в этом ЧУчае можно было бы сохранить внешний
вид классических уравнений движения, физический же их смысл
должен измениться в соответствии с трактовкой переменных х, рх,
Н, не как обычных величин, а как матриц.
С безошибочной интуицией Гейзенберг выбрал второй путь,
означающий отказ от самого понятия движения в классическом
смысле (как явления, в основном, ненаблюдаемого) и закладываю-
щий таким образом фундамент новой квантовой или матричной
механики. Представление о том, что квантовое описание движения
приводит к определению величин, относящихся только к пере-
ходам между различными состояниями, нуждается в существенном
коррективе, так как, наряду с компонентами, относящимися к раз-
личным состояниям, всякая матрица содержит диагональные компо-
ненты, относящиеся к отдельным состояниям. Как мы знаем, эти
диагональные элементы равны средним или вероятным значениям ве-
личины, представленной матрицей для соответствующих состояний.
Этот результат, уже рассмотренный нами в § 5 главы I, также
вытекает из предыдущих соображений, связанных с принципом соот-
ветствия. Среднее по времени от некоторой величины, например х,
представляемой рядом Фурье (81), равно очевидно тому члену этого
ряда, который не зависит от времени, т. е. для которого k = 0.
Таким образом:
^Г(О=Л(0)
или, пользуясь обозначением (81x3):
хп (О ~ х°/т*
§12. Соответствие между матричной и классической механикой 135
Представляя каждую физическую величину, матрицей, Гейзенберг
заменил обычный закон умножения чисел законом умножения мат-
риц. При этом он руководился необходимостью сохранения для
компонент матрицы, представляющей любую функцию F, той же
зависимости от времени:
'Р — рО
1 тп 1 тпг >
с частотами перехода что и в случае матрицы координаты х.
Взяв, например Г(х) = х2, мы получаем с помощью закона умно-
жения матриц:
/, л mk л kn j	— \л ) тпе
k
(x*lnn = ^xmkxkn
k
в силу соотношений
W — W
___ m	w n
mn~ h
„	Wm-Wn
mn h
kn~ h
и
^mk + V/?n
простейших физических вели-
для вычисления матриц, пред-
[см. (76) и (76b)].
Введя матрицы для изображения
чин и матричный закон умножения
ставляющих функции от этих величин, Гейзенберг сохранил без
изменения форму уравнения движения:
d*x /г \
где x и /(х) — уже не обычные переменные, обозначающие коор-
динату и силу, а соответствующие матрицы, и выразил квантовое
условие Бора g dx = nh в форме:
/	\ h
^-xg)nn = —it
оставляя вопрос о недиагональных элементах матрицы gx— xg
h
открытым. Условие коммутативности gx — xg= - . 1, фиксирую-
щее также недиагональныс элементы этой матрицы (как равные
нулю), было установлено несколько позднее Борном и Йорданом.
136
Ш. Матрицы
Вскоре именно в этом условии был обнаружен (Шредингером и
Экартом) ключ к переходу от матричной механики к механике
волновой. Этот переход сводится к трактовке координаты х,
х	Г h д
как обычной переменной, импульса же g—как оператора -г—
jTZi их
и, далее, — к замене матричных уравнений операторными уравнени-
ями, содержащими волновую функцию.
Сведения, получаемые нами при решении задачи с точки зрения
волновой механики, более полны, нежели сведения, даваемые матрич-
ной механикой. В первом случае, помимо матричных элементов, мы
получаем волновые функции, определяющие вероятность локализа-
ции частицы, ее вероятную скорость и т. д. В матричной механике
понятие вероятности отдельных состояний проявляется только
через посредство диагональных элементов, представляющих собой
вероятные значения, тогда как недиагональные элементы при опре-
деленных условиях могут быть интерпретированы как амплитуды
вероятности переходов между различными состояниями. В перво-
начальной теории Гейзенберга матричные компоненты координаты
х рассматривались как величины, определяющие интенсивность из-
лучения или — что то же самое — вероятность переходов, сопро-
вождающихся испусканием света. При этом предполагалось, что
интенсивность излучения, связанного с матричной компонентой
хтП=^тйей^тп\ такая же, какой она должна была бы быть с
точки зрения классической теории, если бы величина хтп изобра-
жала действительное движение частицы как гармоническую функцию
времени. Получаемый с помощью этого предположения результат
совпадает с результатом, полученным в части I в связи с теорией
излучения Шредингера: вероятность спонтанного перехода т—>п,
сопровождающегося испусканием энергии в виде монохроматического
света частоты равна (за единицу времени):
64 к® v
-- V™ Утп д, 0|9
™тп —	сз д ' ^тп ’
где е — электрический заряд частицы [часть I, ур. (93)].
В приведенном выше очерке развития матричной теории Гейзен-
берга из принципа соответствия Бора мы не пытались дать пря-
мого доказательства последнего, поскольку он относится к связи
§12. Соответствие между матричной и классической механикой 137
между амплитудами Фурье и матричными элементами (соответствие
между частотами установлено теорией Бора). Этот пробел мо-
жет быть заполнен с помощью волновой механики в ее прибли-
женной форме, рассмотренной в главе I, и соответствующей клас-
сической механики вместе с квантовыми условиями Бора.
Мы уже пользовались этой приближенной формой волновой меха-
ники при сравнении средних по времени классической механики
(равных постоянному члену в разложении Фурье соответствующей
величины F, рассматриваемой как функция времени) с вероятными
значениями, определяемыми интегралами	и представля-
ющими собой не что иное, как диагональные элементы =	0
пп пп
матрицы F:
Мы нашли, что в приближении, выражаемом формулой (23а) §4:
6 — fisn{x,t}
(82)
где vn — скорость частицы, определяемая уравнением vn~
как функция координаты х, и sn(x, /)=$л°(х)—
— классическая функция действия для рассматриваемого состоя-
ния (с энергией Wn)f среднее по времени классической механики
о
условии,
dt совпадает с вероятным значением J dx, — при
что нормировано к единице, так что коэффициент
сп
согласно уравнению
= 1.
х’	X' п
Аналогичным способом можно установить приближенное равен-
ство между коэффициентами Фурье в разложении х(1) или любой
функции от х, определяемой как функция от t согласно классиче-
ским законам движения, и „соответствующими" матричными элемен-
тами (или компонентами) этой функции F(x).
138
Ш. Матрицы
Для определения коэффициентов Фурье л? (п) в разложении (79),
умножим4 x(t) на	и заметим, что постоянный член разло-
жения равен х° (и).
Таким образом:
х° (я) = — [ х (/) dt
т J
о
или, в обозначении, соответствующем (81b):
х9тп — — J* х ’(/)	dt.
О
Координата х может быть заменена здесь, как упоминалось,
любой функцией от х (или от х и g)t что дает:
F<>mn = X J F (t)	dt.	(82а)
О
С другой стороны, по определению матричных элементов:
х'
или, согласно (82), при
s (х, 0 = (х) — Wt, = 1/ -- —е м
Их /|о„|
получаем:
J	.	(82b)
хг	* пт
Если энергия состояний пит почти одинакова, мы можеги за-
менить выражение	некоторым средним, значением скорости
соответствующим энергии W, лежащей между Wn и Wm и положить
dx
соответственно — = at точно так же, как в случае п = т.
Vvnvm
Далее, мы имеем при том же условии
(X) -- 5т° (х) = dS- (Jn - Jm),
§12. Соответствие между матричной и классической механикой 139
где J—переменная „действия" (80) (введенная в § 5 гл. II для
общего случая движения в трех измерениях), a Jn — nh и Jm —
= mh — ее квантованные значения. В рассматриваемом нами случае
одномерного движения функция s°(x) может быть определена не-
ds° (х)
посредственно из уравнения g = ——— по формуле
«0 (X) == р- dx = J V2m(W—U) dx,
откуда следует [ср. вывод (80а)]
ds°(x)	dx	f mdx , ,
-—I ------------— | ---------------- = /-l-const
" J ]/^v-^ e'
и (если отбросить несущественную постоянную)
I ds° \	_ ds9 dW _ dW
\ dJ )x^eOns~~dW'dJ'~df'
Таким образом, мы имеем приближенно
sn° (х) — sm° (х) = t (Jn — Jm)
или, так как с тем же приближением
sn«(x)-V(x) = ^(^-r#l).
Подставив этот результат в выражение (82b), получаем:
*2
dt,
о
W — W
что совпадает с (82а), так как (/п — n)v = —-".
Предыдущие результаты легко могут быть распространены на
общий случай движения частицы с тремя степенями свободы в огра-
ниченной области пространства. Согласно классической механике,
такое движение при некоторых весьма общих предположениях можно
описывать как „условно-периодическое". Координаты частицы или
140
III. Матрицы
любая функция от них F могут быть следовательно представлены
как функции времени с помощью тройного ряда Фурье с тремя
различными (вообще говоря несоизмеримыми) основными частотами
V
р	___VVV рО	£2TC[(mx-n1)v14-(/n2-'/i2)^+(W8—na)v3/
Olptg/HW---- /х /^Гт1т^т^п1п2п5	•	’
mi т2 zns
где коэффициенты F° определяются формулой:
тс
F°	—Um — I F /а л~й'ггИ/л1~-л1^1+—И/уг
т=оо Т О
В волновой механике такой ряд, как целое, не имеет никакого
смысла; совокупность гармонических членов всех таких рядов,
соответствующая всем возможным состояниям п2, п3, составляет,
однако, приближенное выражение матрицы, изображающей величину F.
Точное выражение ее матричных компонент может быть получено,
если мы заменим классические частоты (т1 —	+	— Л2)7зН"
Ь(^з — «зЬз частотами переходов -A- (Wmim2mz — Wnin^ и
Определим аМПЛИТуды	Интегралами JdV.
Приблизительная эквивалентность этого определения с класси-
ческим, данным выше, может быть доказана с помощью уравнений
(32), (32а) и (32b) § 5 таким же образом, как и в одномерном
случае.
Можно было бы попытаться определить в волновой мшанике
величину F, как функцию времени с помощью ряда, который
получается из ряда Фурье заменой классических амплитуд и частот
квантовыми, т. е. полагая
р „ „ .«) = УУ W	е1 Ъ - ^П1П2И8) /
ГВ1П,П, W ^^22 т^т»п^п>
т» т3
Отсутствие физического смысла подобных рядов вытекает,
однако, из возможности умножения функций ^п1П2П8 на произ-
вольные фазовые множители е~~ ianin2n3l т. е. умножения матрич-
ных элементов на фазовые множители е	, что
§ 13. Приложение матричного метода	141
с точки зрения волновой механики или теории матриц не играет
никакой роли, но существенно отражается на „модифицированном*
определении функции Fnin.na(t).
§ 13. Приложение матричного метода к колебательному
и вращательному движению.
Матричную механику Гейзенберга, Борна и Йордана можно рас-
сматривать как „скелет* волновой механики Шредингера, вполне
самостоятельный, но в значительной степени лишенный плоти и
крови понятия вероятности, составляющего жизненный элемент
волновой механики. Другое преимущество волновой механики перед
матричной заключается в том, что, решая уравнение Шредингера,
т. е. определяя характеристические функции оператора энергии,
она дает возможность вычислить матричные элементы любою дру-
гого оператора посредством интегрирования, чтд обычно значи-
тельно проще, нежели определение этих матричных элементов из
условия диагональности матрицы энергии и соотношений коммута-
тивности для координат и слагающих импульса (без знания или
применения при этом характеристических функций). Практическое
приложение матричной теории к конкретным задачам легче и удоб-
нее осуществить, однако, в том случае, когда матричное представ-
ление относится не непосредственно к основным операторным се.
Л .
отношениям	— хрх = -—?1 и т. д. и условию диагональности
2 к i
Н (х, у, z\ рх, рг р2), а к соотношениям между некоторыми более
сложными операторами F, бит. д., выбор которых зависит от
характера задачи, т. е. от вида функции потенциальной энергии
U (х, у, z\, некоторые из этих операторов коммутируют с энергией,
т. е. представляют собой постоянные движения. Если G — такая
постоянная (в частном случае она может совпасть с энергией Н)
и если найден некоторый другой оператор F (например, коор-
дината х), удовлетворяющий соотношению коммутативности вида:
GF— FG=aF+pG,
где аир — постоянные коэффициенты, то легко определить как
элементы матрицы G (которую мы можем считать диагональной),
142
IIL Матрицы
так и элементы матрицы F. Применяя правило умножения матриц
к левой части предыдущего уравнения, получаем:
(OF FQ)mTl = (Gmm Gnn) Fmn = a Fmtl -J-	,
откуда следует, что все матричные элементы F, за исключением
диагональных, исчезают. Диагональные же члены равны:
р —______L Q
1 пп  	а ^пп
и для них:	1
6 тт	@пп —
С помощью этого уравнения очень легко определить числа Gnn —
.особенно в том случае, когда п можно рассматривать как простое
квантовое число (а не как совокупность трех квантовых чисел /rj, л2, л3,
отличных от чисел /ип /п2, /п3, представленных одним числом tn).
Путем надлежащей нумерации состояний, связанных с различными
значениями О, мы можем сделать последовательными (Д/г = 1)
такие состояния, для которых значения О отличаются на а, так
что предыдущее уравнение сводится к Ол+Ь я+1 — GZ2, п = Реше-
ние этого уравнения имеет, очевидно, вид: Gzw= otrz 4-7, где 7 —
некоторая константа. Мы поясним и упростим эти общие сообра-
жения на примере двух в высшей степени простых и практически
важных задач — линейного гармонического осциллятора и враща-
тельного движения частицы в центральном (радиально-симметричном)
ноле сил.	I
Энергия линейного гармонического осциллятора выражается
оператором или матрицей:
<8з>
л
где v0 — частота колебания классической теории. Согласно матрич-
ной механике матрица Н должна быть диагональной при соблюде-
нии добавочного условия:
рх — хр = -^-Л,	(83а)
где 1—единичная матрица.
§ 13. Приложение матричного метода	143
Для краткости положим:
— д', 2тН = A", /zvozn = ш,
так что равенства (83) и (83а) могут быть переписаны в виде
р* = К, pq — qp — — I <»,	(83b)
где <о — произведение h^m на единичную матрицу.
Далее, введем матрицы:
r=p-\-iq и s = p — iq	(84)
более удобные, нежели р и взятые в отдельности.
Перемножая эти матрицы в порядке г, s, имеем:
rs=рр 4- iqp — ipq + qq =р* -^qi — i{pq — qp),
т. e.
rs = 7C—<*).	(84a)
Аналогично получаем:
sr = K-[-u.	(84b)
Согласно закону ассоциативности:
rsr = (rs) r = (Ал — a>) r,
rsr—r (sr) = r (K + w),
т. e., полагая
К—<o = Z,
Lr — rL — 2rw.	(85)
Так как К и ю, а, следовательно, и L — диагональные матрицы,
то:
{Lr rL)mn = (Lmm	Lnn) гmn
и (гЯ?ш = гтЛ! где ш —не матрица, а число h так что пре-
дыдущее уравнение может быть записано в виде:
^пп гтп — 0.	(85а)
Таким образом: либо гшд = 0, либо Lmm—Алл=2о).
Аналогично получаем:
srs — {К -f- а>) $ = $ {К —
и
(£mm-£nn + 2a>)Smn = 0,	(85b)
так что: либо s,„„ = 0, либо Lmm — Lnn = —2<о.
144
1П. Матрицы
^тт	^пп — ^тт	Кпп —	^пп) —
= 2т (Wm — Wn) — разности энергетических уровней для состояний
тип, умноженной на 2т (здесь т — масса, а не индекс состоя-
ния).
Мы видим, таким образом, что энергетические уровни должны
образовывать арифметическую прогрессию с разностью—= Л v0,
2т
гак что можно положить:
Wn = nhvQ-]- Const.	(86)
Пользуясь соответствующим обозначением для стационарных
состояний, получаем:
^тп О
smn~ О
при т I# л-}- 1 1
при тфп — 1 J
(86а)
Значение постоянной в выражении для Wn может быть полу-
чено из условия равенства нулю наименьшего значения £лл. Это
условие следует из уравнения
VI
(™)пп = ^^nkskn === Гги »п = ^пп
к
в связи с тем обстоятельством, что Кпп не может принимать отри-
цательных значений, так как матрица К представляет существенно
положительную или, скорее, не отрицательную величину 2/n(p2-j~?2)
(как р, так и q вещественны). Отсюда мы заключаем, что ряд ста-
ционарных состояний должен заканчиваться на некотором состоя-
нии nmin> которое мы можем, очевидно, обозначить, как п — 0.
Матричные элементы гп,п_х и sn_lirt должны, очевидно, исчезать
для п 0, так как состояний с п — 1 не существует; отсюда
следует, что £оо=О или /С00 = <о, и. следовательно: /7о0 =	=
/zv0	'
” 2 ’ Т' е‘
IF„ = u(« + v)	<86b>
\ & /
в согласии с результатом, полученным нами в части I § 13 при
рассмотрении задачи линейного осциллятора с точки зрения волно-
вой механики.
§13. Приложение матричного метода
145
Далее, для п^>0:
rn,n-iSn-bn = 2mh^n.	(87)
Из определения г и s согласно (84) или
гп, П—1 =Рп, п-1 4“ Чп, п-1 >
3П-Ъ п Рп-1> п UJn-li п
и эрмитового характера матриц р и q (выражающего веществен-
ность изображаемых этими матрицами величин), следует, что
Таким образом:
5д-Ь п гп> п—1 •
(87а)
гл-1,п1 = /2/иЧи •
(87b)
Переходя обратно от г и s к р и q, получаем:/? = ~ (г-|-s),
£
1 ,
q = -^-(r — s) и следовательно:
п, п -1
— _L _ 1
Рп, п-1	2 ^Л’ Рп-1,п 2 п»
_Jl_	_______1_
Яп, п-1 2i Гп> n“r» Яn-i, п	21 п*
(88)
причем все остальные матричные элементы ртп и qmn исчезают.
Таким образом:
I Рп, п-1
п, п-.
1
— м •
&
(88а)
q
или, возвращаясь к первоначальной координате x = ——L—:
п, п-1
1  1 , .
Последнее соотношение между х и р может быть получено
dx
средственно из уравнения р — т — , дающего:
(88b)
непо-
или, так как:
РПк = т^ПкХпк,
_Wn-Wk
nk~ h
(n — k)4e,
Рп, л-1 = 2ш%хЛ1 „_j .
146
III. Матрицы
Вывод формул (88) и (88а) с помощью метода волновой механики,
т. е. путем вычисления интегралов
-J-00 ’	4"00
С	h С d
х™ = J ^ndx и pmn=^ J
—OO	—oo
где и — нормированные характеристические функции гармо-
нического осциллятора, связан с значительно более сложными вы-
числениями.
Напротив, для определения значений энергии и матричных эле-
ментов в случае водородообразного атома волно-механический
метод оказывается более простым и удобным, нежели метод матрич-
ной механики.
Преимущества матричного метода обнаруживаются, однако, в
этом случае (точно так же, как в общем случае движения частицы
в любом центральном поле сил) при определении таких величин,
которые в волновой механике зависят только от направления (т. е.
от шаровых функций <?).
Сюда относятся, прежде всего, слагающие углового момента
Л1Х, М2 или, вернее, их матричные элементы для состояний,
отличающихся друг от друга значениями осевого квантового числа
т и углового квантового числа Z, а также, конечно, и их харак-
теристические значения, определяемые диагональными элементами.
Чисто матричное определение этих величин проще всего полу-
—	h
чается из соотношения коммутативности: Му^М = — —-у М, вы-
веденного в предыдущей главе с помощью определения^, вектора М,
как оператора.
Для краткости положим:
Л Л	Л	Л Л	п	я я	fy
МХ=^~А,	=	м_,= -с,
так что предыдущее соотношение принимает вид:'
АВ — BA — iC, BC—CB=iA, CA—AC = iB, (89)
где А, В и С — матрицы.
Введем матрицу:
= +
(89а)
§ 13. Приложение матричного метода
147
квадрат полного углового
Л2
при умножении на —
момента (/И2) и покажем, что она коммутирует с любой из матриц
А, В, С (доказательство производится так же, как и в случае
операторов). Действительно:
СВ2 — ВЧ2 = (СВ —ВС) В 4- В (СВ — ВС) = —i (АВ -L- В А)
и аналогично:
С А* — А*С = (СА—AC) A -j- А (СА — А С) = i (В A -L АВ).
Сложив эти уравнения с уравнением СС2 — С'2С=0, получаем:
CN—NC=0	(89b)
и точно так же:
AN— NA=0 и BN—NB=0.
Мы знаем, кроме того, что матрица N коммутирует с матрицей
энергии И. Это значит, что оца представляет собой постоянную дви-
жения; поэтому ее характеристическими значениями вместе с характе-
ристическими значениями /7, т. е. диагональными элементами N и Н в
матричном изображении, соответствующими характеристическим функ-
циям как /7, так и N, можно воспользоваться для обозначения
стационарных состояний. Мы знаем, вдобавок, что эти характери-
стические функции могут быть выбраны таким образом (если мы
положим Ylm (6,?) = Р1т (6) eim^), что одна из трех матриц А, В, С
(например С) также окажется диагональной (соответствуя уравнению
С6 = const • <}).
Пользуясь результатами, полученными нами выше с помощью
волно-механического метода, мы можем таким образом определить
N и С, как диагональные матрицы с элементами:
Nnlm, nlm = G 4“	1	(89с)
Cnlm, nlm
Эти результаты могут быть получены независимо, с домощью ма-
тричного метода, если мы ограничимся рассмотрением матричных
элементов, соответствующих одинаковым значениям энергии и
будем, для простоты, считать N и С диагональными матрицами.
Рассмотрим, прежде всего, матричные элементы А и В, coot-
148
III. Матрицы
ветствующие состояниям с одним и тем же значением N, и будем
различать эти состояния только индексом tn, определяющим харак-
теристические значения (т. е. диагональные элементы) С.
Точно так же, как в случае осциллятора, будем рассматривать
А и В не в отдельности, а в комплексно-сопряженном сочетании:
A-\-iB = R, A — iB = S.	(90)
Заменяя К теории осциллятора через С> получаем согласно (89):
(А + IB) С — С(Д 4- iB) = (АС —С А) + i (ВС— СВ) =
=-(^4-л).
т. е.
CR — RC=R,	(90а)
и аналогично
CS — SC = — S.	(90b)
Эти уравнения имеют точно такой же вид, как уравнение (85) для
г и соответствующее уравнение для 5, если постоянная со (hyQm)
заменена на */г Точно также, как и раньше, получаем:
Стт = т + const,	(91)
причем неисчезающие элементы R и 5:
^т,т-Х и
имееют одно и то же численное значение, так как:
^т, т-1 = т-	(91а)
Это значение вместе со значением постоянной в выражении (91)
может быть вычислено из уравнения:
RS=(A-[-iB) (A — iB)=A* +	+ С =
т. е.
1	( IV
/?5 = Л/+__(С—;-) .	(92)
Диагональные элементы этого выражения равны
1	/ IV'
=	=	,	(92а)
§ 13. Приложение матричного метода
149
где —уже не матрица, а ее диагональный элемент, соответ-
ствующий рассматриваемому состоянию (без индекса тт, так как
он от т не зависит).
Аналогично получаем:
1	/	1 \s
— $т, т+1 ^т+1, т = ^"1	\^тт "I rfy * (92Ь)
Следует заметить, что это выражение может быть записано и в
виде (7?S)m + lt m + 1, так что, согласно (92а):
/	1 V /	1 V
Н 2~ /	y^/n+1, т+1 j >
в соответствии с равенством (91).
В виду соотношения А2 В* + С'2 — М характеристические
значения оператора С или, что то же самое, диагональные эле-
менты матрицы С, должны лежать между определенными пределами:
максимальным значением С', не превышающим —/V2 и минималь-
ным значением С", не меньшим, чем —7V2. Обозначая соответ-
ствующие предельные значения т через пг и /п", получаем:
Rm'-}-1, т’ === Smf, mr -}- 1	О И	, тгf — Л.—— Sm/>	= 0.
Это дает, согласно (92b):
^т’т’ =---+ "j/^ N + Т
и согласно (92а):
сп"т" = + 4~)/лг + т= ~ с^’’	(93)
как и следовало ожидать, исходя из того обстоятельства, что соот-
ношение A2-f-232-|- C* = N определяет лишь квадрат С.
Разность Ст'т' — Стптч = т' —т" представляет собой, очевидно,
целое число, скажем J, равное числу состояний с различными значе-
ниями Стт, возможными при данном значении N. Мы получаем
таким образом следующее условие для N:
2	= и.елое число — J,
150
III. Матрицы
т. е.
ЛГ=1(^-1) = 1(J+1)(J-1).
flkt	тг
(93а)
Это выражение принимает обычный вид
1),	(94)
если мы положим J=2/-|"h т- е- определим J как нечетное
число, причем предельные значения Стт равны
(т'т' — А Ст"т" = — Ц	(94а)
т. е. согласно (91):
— т" = — I и Стт — пг	(94b)
и следовательно:
лд	hm дд(> hW № ... . 1Ч
* = 2ic”"=^7 " "--«р =-й.'<'+»'
и
откуда
причем
или
причем
в соответствии с нашими предыдущими результатами.
Важно, однако, заметить, что матричная теория допускает воз-
можность равенства J четному числу, скажем, 2/. В этом случае:
^=(/+4) G-4-)	* 05)
» ^т"т'' ~	(/	9~) ’	(95а)
Z	\ Z /
= ™ +	(95b)
Z
ni =—j и ni" = j—I,
= m----~.
^mm	9
m'= — (J—1) и nt" ==J'
Эти результаты могут быть записаны в такой же форме, как и
предыдущие, если мы определим Z, как полуцелое угловое кван-
товое число:,
§ 13. Приложение матричного метода	151
и т — как полуцелое осевое квантовое число, изменяющееся
между 1 и — L
Мы получим при этом, как и раньше: Стт — т. Мы видим
таким образом, что матричная теория в некотором отношении обла-
дает большей общностью, нежели волновая механика — по крайней
мере в той ее форме, в которой она до сих пор рассматривалась
нами. В главе VI мы изложим ее обобщение, которое также при-
водит к возможности полуцелых значений квантовых чисел I и т
на ряду с целыми.
Недиагональные матрицы, представляющие слагающие углового
момейта по осям х и у, легко могут быть получены из (90), (91а)
и (92 а).
Составам комбинации матриц Мх и Mv:
h	h
Mx4-iM.— — R и	Л1 x — iM v = — S.
x 1	> 2к	v y 2~
Для неисчезающих элементов этих комбинаций справедливы следу-
ющие выражения:
. —
(Л4ж-ЬШу)да+1>Я1 = -1/ Z+- - /и + v (96)
=А|/’р+1)4 - (/n + y)2 e~'“”’,(96a)
где ат — произвольный фазовый множитель.
Получение этих результатов обычными методами волновой ме-
ханики, т. е. с помощью интегральных выражений для матричных
элементов, требует знания шаровых функций Ylm = Pim (0) егт^ и
значи ельно сложнее приведенных здесь вычислений.
Предыдущий метод может быть также применен к вычислению
матричных элементов координат х, у, z и слагающих импульса
Pz —110 крайней мере для таких состояний, которые отличаются
друг от друга только квантовыми числами т и Z (и в случае во-
дородо-подобного атома относятся к одному и тому же энергети-
ческому уровню).
Исследуем, прежде всего, выражения
MgX—хМ9, М^у—yMz и M^z — zMv
152
III. Матрицы
Так как
— (М2х—хМ2) = [М2, х] = и М2 = хр— урх,
[М2,х]=—у	!
II точно так же:	/
[М2,у] = х, [М2, г]=*=0.	!
Полагая	J
х iy = 5, х — iy — T\,	(97)
получаем	/
[М2, Ч = — у + IX — i (х 4- iy) = Я,
[Mg, tJ =—у — ix = — i(x— iy) = — rq
или, при	'
мг~с,
2тг
а — £С=5, Ст) — 7]С= — 7]	(97а)
и
Cz — zC—Q	(97b)
Из этих соотношений непосредственно следует, что по отношению
к квантовому числу tn (Z остается неопределенным) z является диа-
гональной матрицей с неисчезающими элементами zmm, тогда как
И и т) — матрицы с неисчезающими элементами вида:
^т, т-1 и	т ’
как и в случае гармонического осциллятора.
Далее, рассмотрим соотношения коммутативности между вели-
чинами (операторами, матрицами) Е, т) с одной стороны и /?, 5 —
с другой. Мы имеем
[Мх 4- iMy, {] = [Мх, Ч 4-1 [Му, ч = [Мх, X] + i [Л1Х, у] 4-
+ i[My,x]-lMy,y] = i^+^=i(-z^z) = O,
и аналогично:
[Мх — 1Му, Ч= — 2iz,
так что
/?? — ?/? = О,	(98)
& — eS=—2z,	(98а)
§ 13. Приложение матричного метода	153
Из первого из этих уравнений получаем:
т -1	+ т ^т, т-1	(%R)m + 1, т-1	'т + 1, т Rm, т-1 ’
т. е.
-|т+1’т =	т~1 = const = а,
*^т+1> т Rm, т-1
и аналогично из (98а):
^тт (^)тт	(^)тт ~ %т, т-1 ^т-1, т $т, т+ 1 ^т И, т “
а (^т, т-1 $т-1, т ^т, т + 1 Rm+1, т)
= a [(RS)mm (RS)m+lt m+1] .
Мы видим, таким образом, что отличные от нуля матричные
элементы координат с точностью до коэффициента пропорциональ-
ности определяются матричными элементами углового момента. Под-
ставляя в предыдущие уравнения найденные выше значения Rm,m^
и sm-i,m> получаем:
=
тт
?тт
= ат
Т. е.
=	1 = а]/Г{(^+4)	}’ (98Ь)
В этом выводе мы молчаливо предполагали, что полный угловой
момент остается неизменным, т. е. что угловое квантовое число I
сохраняет одно и то же значение в различных состояниях, к кото-
рым относятся матричные элементы (98b). Введя индекс Z, мы должны
были бы записать последние в более сложном виде:
%1, т, I, т,	m + li I, т
И т. д.
Для отыскания матричных элементов, соответствующих различ-
ным значениям Z, мы должны воспользоваться какими-либо соот-
ношениями, содержащими матрицу полного момента, или же ее
/ № \
квадрат	Так например, с помощью соотношение
NR—RN=Q
154
III. Матрицы
(вытекающего из уравнений NA — AN=Q и NB —	полу-
чаем, так как 7V—диагональная матрица по отношению к / и т
(на самом деле не зависящая от т)\
(NR— RN) i>t т>. int тн =
——	(ZV/', т'; I1", т"' Rl"', т"'; I", т"	Rl\ т'', l'n, т'"	т','\ I", т" ) =::
JbeqoJ
= (M'Z' — M"Z") — Rl>, т'; I", т" = 0.
Мы видим, таким образом, что элементы Ri^m'-.r^m" отличны
от нуля только при введенном выше предположении I' = Г. Это
предположение оказывается таким образом справедливым для сла-
гающих углового момента 'и точно также и для S и С); для коор-
динат же, т. е. для матриц iq, г, оно может и не иметь места.
Так например, составляя элемент (/', tri] Г, tri!) выражения (98),
получим:
т'; I', т"1	т'"; 1п, тп	%!', т,\ I",	тт\1", т") == О
V"mm
или:
Rl>, т'; Z', tn' —1 £/', тг — 1; I", т"	т'; I", тп 1 Rl", Г', т” == О*
Как легко видеть, результаты, полученные нами из (97а) и (97b)
для отличных от нуля матричных элементов £, т] г, остаются в силе
независимо от равенства или неравенства чисел Z' и Г (так как
они зависят только от диагонального характера С по отношению
к tri). Предыдущее уравнение нуждается таким образом в исследо-
вании только для того случая, когда tri'— tri—2. Полагая tri =
получаем:
Z?Z', m-J-l; Z', tn *Z\ nv, I", m —1 == £z\ tn-\-\, ln, mRl", m\ ln, m — 1 •	(99)
Угловое квантовое число l представляет собой максимальное абсо-
лютное значение осевого квантового числа т. Это значит, что мат-
ричный элемент Rit,m+\\i',m отличен от нуля при соблюдении двух
условий: j	и	аналогично m\i", m—i отлично
ОТ нуля ЛИШЬ При \т\^1' И j Ш 1 | Г, tn + l;lff,m только
при	и | иг -|- 1 |	/' и наконец /?Z", Z", m _ j неравно
нулю лишь при \т\^Г и | т—1 | Г. Из того обстоятельства,
что уравнения (99) справедливы для всех значений т9 мы можевд
§ 13. Приложение матричного метода	155
заключить, что I' и Г должны быть связаны друг с другом таким
образом, что нарушение одного из условий:
' т |	/', | т 4~ 1 | ^/', \ т — 1 | Г
влечет за собой нарушение одного из условий:
| tn -|- 1 |	/', | т | гС Г, | т — 1 | ^ /".
Это, очевидно, имеет место при = или при /'==/" —J— 1 или
при /' = Г— 1.
Мы видим, таким образом, что от нуля отличны только те мат-
ричные элементы для которых:
/' — /" = 0,4-1, —1.	(99а)
В случае невыполнения условия (99а) можно путем соответствую-
щего выбора tn добиться того, что одна часть соотношения (99)
будет обращаться в нуль, тогда как другая будет отлична от нуля.
Все эти результаты справедливы, конечно, и для матричных эле-
ментов т] и z, или, другими словами, для матричных элементов всех
трех координат.
Полагая в (99) /' — I и Г =1 — 1 и заменяя матричные эле-
менты R их значениями (96), получаем:
P^{(Z + 4) ~=
~	— т) —	z-i, м
V])(/ — /«) $7 m; м, m-i =
—	1)(Z—m)llt m+i; z_b m.
Заменив здесь общий множитель J/(Z— tn) на ]/(7 4-/^1 п при-
нимая во внимание, что выражение (/-|~ т 4“ О (7 ”Н777) получается
из (/ 4~ т — 1) (Z 4~ #0 в результате замены т на т 4- 1, мы мо-
жем положить:
mi; z-i. т = b]Л{(Г+^Г(7Тт +’1),	(100)
где b — коэффициент пропорциональности, независящий от I и >п.
156
1П. Матрицы
Подставим это выражение в уравнение:
________________________'у	—
= •$/, т- I, т + 1 ^l,	i; Z-1, т £/, т’, Z-1, w- 1 *$/- 1, m-V, l-l, т ’
вытекающее из (98а), и, полагая
находим:
m; z-i, m=-bV^-m^.	(100а)
Аналогично, для случая /' = /—1, /" = / получаем
«/-1, mi: z, т = b V{’(/-	z/z^T)7 ,	(100b)
*z-i, m; z, rn = /(^=^4),	(100с),
где Ь1 — коэффициент пропорциональности, как легко показать,
равный Ь.
Интересно сравнить предыдущие результаты или, скорее, способ,
которыми они были получены, с волно-механическим методом
определения матричных элементов координат для случая водородо-
подобного атома.
Так например:
%п, I, т\ п1, l(, т1	J*Z^n, I, т	Z', т’ d V,
или, полагая:
<Ьп1т =fn(r) Plrn (0) eim?, dV = r* dr d<&, d^~ sin 6 dft dy
и
z = r cos 6,
co	7t	2tc
Ч z, m-,	I’, rn’ =J fn (r) r3dr JPlm (0) P^. (6) cos 0 sin 9 J ?(m'-TO)?dcp.
0	0	0
Мы видим, прежде всего, что в силу наличия последнего множителя,
это выражение отлично от нуля только при т’ — т. Можно также
показать, что второй множитель отличен от нуля лишь при I' =
= /±1. Доказательство основывается на том обстоятельстве, что
произведение cos ^Pim (0) может быть представлено как сумМа
двух функций Pz+i,w(0) и ^/-^^(б) с соответственно выбран-
ными коэффициентами, а также на ортогональности функций
§ 13. Приложение матричного метода	157
У/(6, ср), соответствующих различным значениям Z и являющихся ха-
рактеристическими функциями оператора с характеристическими
значениями — I (I -ф- 1).
Заменяя z на 5 = (х-Д- /у) = г sin 6 (cos с?-|-/ sin ср) = г sin 6 ^‘9,
точно таким же образом получаем:
oo	it	-	21г
е», /, т; п', Z', m'=f A W r'dr | Р1т (6) Рш (6) Sin* (6) dtf
0	0	о
Исследование последнего множителя показывает, что это выраже-
ние отлично от нуля лишь при т! = т—1; второй же множитель
не исчезает попрежнему лишь при условии Z' = Z±1.
Условия, которым подчиняется т, совпадают с условиями, по-
лученными нами с помощью матричного метода для z и С; усло-
вие же Z' = Zztl является однако более специальным, так как
оно исключает случай I' = Z.
Мы видим, что и в данном случае так же, как и при определе-
нии значений Z (целых или полуцелых), матричный метод приводит
к более общим результатам, нежели метод волно-механический.
Отсюда, однако, не следует, что результаты, полученные с по-
мощью последнего, неверны. Напротив, в некоторых ограничениях
нуждаются результаты, полученные с помощью матричного метода.
Действительно, свойствами матриц, представляющих слагающие угло*
вого момента частицы, обладают, как мы увидим в дальнейшем,
матрицы, представляющие родственные величины более общего типа,
которые можно рассматривать как результирующие углового мо-
мента, обусловленного обращением частицы около неподвижного
центра и так называемого „собственного углового момента", связан-
ного с вращением частицы вокруг собственной оси (спином).
Волно-механическая теория может быть обобщена таким способом,
чтобы оказалось возможным интерпретировать этот „спин-эффект";
при этом результирующее угловое квантовое число — или так назы-
ваемое „внутреннее квантовое число"/ — принимает как целые, так и
полуцелые значения; оказываются возможными такие переходы, т. е.
такие отличные от нуля матричные элементы координат, при которых
это число изменяется на ± 1 или же остается постоянным. Это ни
в коей мере не устраняет, однако, того обстоятельства, что „угловое
158
III. Матрицы
квантовое число" /, представляющее „орбитальный угловой момент"
частицы, может принимать только целые значения и подчиняется
специальному „правилу отбора* /' — / = ±1.
То обстоятельство, что матричный метод в случае I' —1 — 0
дает для матричных элементов координат отличные от нуля значе-
ния (98b), нисколько не противоречит волно-механической теории;
легко показать, что входящий в эти выражения коэффициент про-
порциональности а в этом случае обращается в нуль (если I обо-
значает орбитальное, а не полное угловое квантовое число).
Вычисленные нами матричные элементы координат имеют непо-
средственный и очень важный физический смысл. С помощью фор-
мулы:
д , —	1 х 12
^пп — - Qz,3 - I лпп' I
Зс3
где е — электрический заряд частицы, они определяют вероятность
спонтанного перехода п-+п , сопровождающегося испусканием
света, т. е. определяют интенсивность различных линий в спектре
испускания соответствующей системы или степень их „черноты* в
спектре поглощения (см. часть I, § 13). Те пары состояний /г, ri,
матричные элементы которых равны нулю, друг с другом «не
комбинируют; другими словами, переходы, сопровождающиеся испу-
сканием или поглощением световых колебаний, параллельных оси х,
т7 е. „поляризованных* в этом направлении, между ними невоз-
можны. Соотношения между квантовыми числами пип,', характе-
ризующие „дозволенные" переходы (т. е. соответствующие отличным
от нуля матричным элементам), носят название „правил отбора*.
Последние, как мы видим, для разных координат различны. Так на-
пример, для координаты z (т. е. для света, поляризованного в на-
правлении оси z) они сводятся к: Г— / = ±1 и т' — т, тогда как
для координат х и у мы имеем: I' — /=±1 и т =т±\.
Это различие между координатами является чисто формальным
в случае радиального поля сил — в виду вырождения, связанного
с подобным полем. Это вырождение — по отношению к различным
значениям т — устраняется прд наличии магнитного поля, парал-
лельного оси z (эффект Зеемана). Если последнее достаточно слабо,
предыдущие выражения для матричных элементов z и xzLiy при-
§ 14. Матричное представление	159
ближенно справедливы и определяют интенсивность спектральных
линий для случая линейной поляризации в направлении магнитного
поля или круговой поляризации вокруг оси, определяющей это на-
правление.
§ 14. Матричное представление для случая непрерывного
спектра.
Мы ограничивались до сих пор матричным представлением физи-
ческих величин лишь для того случая, когда рассматриваемые состоя-
ния образуют дискретный ряд, соответствующий дискретному спектру
оператора энергии Н.
Случай непрерывного спектра, соответствующего непрерывной
или „смешанной “ последовательности состояний, определяемых функ-
циями вида или и т. Д- (§ И)> можно трактовать совер-
шенно аналогичным образом. Матричные элементы (или компоненты)
некоторого оператора F определяются в этом случае так же, как
и в предыдущем, интегралами вида:
(101)
или
Ci'W=	dV- 0°la)
Эти интегралы обычно не сходятся и аналогичны дираков-
ской функции о (с' — с"), рассмотренной нами в предыдущехм пара-
графе. Если F представляет энергию Н или какую-нибудь другую
константу движения, коммутирующую с Н и удовлетворяющую урав
нению Fbc — Fctyci то мы получаем согласно (101):
т. е.
rcfcll = FcllZ(c,-c,t).	flOlb)
Эго выражение соответствует „диагональной матрице" дискретного
случая точно так же, как о (с' — с") соответствует единичной мат-
рице
160
III. Матрицы
Несколько неопределенный характер матричных элементов F*,c„
может быть устранен точно так же, как и в простейшем случае F= 1,
когда FQC,C„ сводится к функции 8(f'— с")— а именно, распростра-
нением интегрирования в (101) по конечному объему и пере-
ходом к пределу 1/->оо после выполнения интегрирования по с или
обычно встречающегося в физических задачах.1 Простейший при-
мер такой такой задачи — вычисление вероятного значения некоторой
величины F для движения, определяемого волновой функцией вида:
=	(1С2)
Последнюю можно рассматривать, как суперпозицию большого
числа „волновых пакетов", соответствующих очень малым интерва-
лам параметра с. Хотя интегралы J*| расходятся, интеграл
J* | ^dV остается в общем случае конечным и может быть норми-
рован к 1 точно так же, как в дискретном случае, когда
Действительно, изменив порядок интегрирования по V и с, по-
лучим:
fa\dV= fa,de' fa„dc" fa,,<c,,dV
V	С с" V
—— J*(fa de ac„dc бу (c c ).
c' c"
Вместо интегрирования по с и с" и последующего перехода к
пределу V—>оомы можем в этом случае заменить (совершенно опре-
деленную) функцию 8у (г'— с") дираковской функцией 8 (с' — с"),
чтд дает нам:
(Ю2а)
1 В некоторых случаях оказывается удобным изменить определение
волновой функции Ф таким образом, чтобы она обращалась в пуль на неко-
торой поверхности S, вне которой силыйсчезают. Задача сводится, т’аким об-
разом, к задаче с дискретным спектром. Для величин, имеющих н е ii о -
средстве нный физический интерес, величина объема V, ограниченного
поверхностью S, обычно не играет существенной роли. Их точные значения
легко могут быть вычислены при переходе к пределу V —>оо.
§ 14. Матричное представление	161
Мы видим, таким образом, что интересующий нас интеграл схо-
дится так же, как интеграл ас |2 de. Сходимость последнего может
быть, однако, всегда получена путем подходящего выбора функ-
ции ас. Условие нормирования сводится, таким образом, к уравнению
J|ae|Mc	= l,	(102b)
заменяющему	уравнение	5|ал|2=1	дискретного	случая.	Произве-
дение
\ac\*dc	(102с)
можно	рассматривать	при	этом, как	вероятность	того,	что	частица
находится в состоянии, характеризуемом интервалом (с, c-\-dc).
Выражение (102с) имеет такой же вид, как и выражение
характеризующее вероятность нахождения внутри элемента объема
dV] в обоих случаях мы имеем дело с непрерывно изменяющимися
параметрами (с или координатами х, у, z), поэтому в обоих случаях
имеет смысл говорить не о вероятности определенного состояния
или положения, а о вероятности определенного интервала со-
стояний или положений, причем рассматриваемая вероятность про-
порциональна величине этого интервала.
При условии (102b) вероятное значение величины F может быть
определено обычной формулой:
F =	(103)
или же
F= ^a*,dc' ac„dc"^.F^.dV,
с* с" V
т. е.
(103а)
В простейшем случае, когда F представляет константу движения,
мы получаем, согласно (101b):
F=$\a^Fcdc,	(103b)
в соответствии с вышеуказанной интерпретацией произведения
| ас |2 dc-
162
III. Матрицы
Если же F не является константой движения, то интеграл (103а),
определяющий вероятное значение, не может быть вычислен непо-
средственно, и мы должны воспользоваться указанным выше методом,
т. е. проинтегрировать сначала по конечному объему, а потом
по с” или же по с" и с' и перейти затем к пределу
Если „пространство с* подразделено на бесконечно-малые интер-
валы Дс', Дс" и т. д. и для каждого такого интервала построен вол-
новой пакет согласно формуле:
%'=Нт тттт	С1 °4 * *)
Де'—О I/ Д(? J
Де'
то матричные элементы F по отношению к функциям можно заме-
нить матричными элементами по отношению к „квазидискретным*
функциям (нормированным к единице):
(104а)
Связь между ними выражается формулой
4	7 Дс' Де"
откуда следует, что вероятное значение F может быть записано в
виде:	_	___________________
F = lim S Е ]Л(Дс'Дс'')/г „а*а	(104с)
Дс' Дс"	с с
Матричные компоненты — или элементы — некоторой веществен-
ной величины по отношению к состояниям непрерывного спектра
должны, конечно, удовлетворять соотношениям Эрмита:
^с'с" =
как и в случае дискретного спектра.
„Непрерывные матрицы* не могут быть представлены квадрат-
ными таблицами элементов или компонент, как это имеет место
в случае дискретных матриц. Это обстоятельство не отражается,
однако, на аналитических результатах, полученных нами в § 11;
единственная поправка заключается в замене единичной матрицы Ътп
дираковской функцией 8 (с—с") и в замене суммирования по
дискретным индексам интегрированием по непрерывным параметрам.
§ 14. Матричное представление	163
Это обстоятельство уже иллюстрировалось нами на предыдущих
примерах. Аналогичным образом вместо (25) получаем:
=(Ю5),
и вместо (76)
{FQ)c^ = ^Fc,cGcclldc	(105а)
(закон умножения для непрерывных матриц).
Формальное различие между непрерывным (или смешанным) и
дискретным случаем, кажущееся на первый взгляд несущественным,
связано, однако, с существенным различием в физическом смысле
волновых функций и матричных элементов. Сущность этого различия
заключается в следующем: состояниям, относящимся к дискретной
совокупности, в классической механике соответствует п е р и о д и-
ческоеили квазипери одическое движение в огра-
ниченной области пространства, тогда как состояния,
относящиеся к непрерывному спектру, соответствуют апериодическим
движениям классической теории, т. е. движениям, для которых ки-
нетическая энергия остается положительной в бесконечности и ко-
торые, таким образом, на бесконечном расстоянии приближаются к
свободному движению.
Движения этого типа не рассматривались в старой квантовой
теории. Последняя не нарушала священных законов классической
механики, а только добавляла к ним определенные квантовые усло-
вия, определявшие значения констант в случае движений, ограни-
ченных конечной областью пространства, и соответствующих мно-
гозначности функции действия 5. Как уже было показано выше,
квантовые условия Бора сводятся к условию однозначности функ-
ции е h .
В случае апериодических движений, начинающихся и оканчиваю-
щихся в бесконечности, функция действия S остается однозначной,
так что квантовые ограничения какого бы то ни было рода являются
излишними.
Координаты частицы, совершающей такое апериодическое дви-
жение, рассматриваемые как функции времени /, не могу г быть,
164
Ш. Матрицы
конечно, разложены в ряды Фурье. Последние могут быть, однако,
заменены в этом случае интегралами Фурье. Ограничиваясь
для простоты рассмотрением одномерного движения, параллельного
оси х, мы можем написать вместо (79):
и вместо (81b)
x(f) = Jx°(y)e'2TCv/dv
М‘)= J
—00
(106)
(106a)
где at®r= (vM — у'), а произведение dv" заменяет ампли-
W'	,
туду xmn; v' = —----частота, связанная с энергией W=W движе-
ния, характеризуемого формулой (106а). Что же касается частоты
у"=у'-[-у, то естественно предположить, что она приближенно со-
впадает с -у—, где W" — энергия состояния, переход от которого
п
к состоянию W' соответствует, в отношении частоты и интенсив-
ности испускаемого света, элементу x*,N, ei2^ — dv" интеграла
(106а).
,, W”
Вопрос о степени приближенности равенства между у и —-
/	,	W’\
если у = — \ не имеет определенного смысла в данном сл чае,
(при непрерывно изменяющемся значении 1Г); уравнения (80), (80а),
(80b) и (80с) не могут быть применены к нему, так как интегралы
относятся здесь только к „замкнутым путям". Мы имеем поэтому
право
считать,
что-у" точно совпадает с
иг
Т"’
т. е. что между
классическими частотами в (103) и квантовыми частотами
h
существует не только „соответствие", нои действительное т о ж де-
ст в о. Ответственность за расхождение между классической и кван-
товой теорией может быть таким образом полностью перенесена
на амплитудные коэффициенты можно принять, что они „соот
ветствуют", т. е. приближенно равны матричным элементам х по
отношению к состояниям W и W!,\
§14. Матричное представление
165
j хф’ИХг.
Соответствие это действительно может быть установлено с помощью
приближенных значений волновых функций ф® способом, аналоги-
чным примененному в § 12 для случая дискретного спектра.
Положим соответственно:
/2тс (.v)-	/}
~h >	(Ю7)
V
где коэффициенты определяются условием:
J^,dx = 8(v' —v”).	(107а)
Принимая во внимание приближенное соотношение
4 (х) -	(х) = (/,	(107b)
которое было доказано нами в § 12 для дискретного спектра, т. е.
для периодического движения и легко может быть распространено на
движение апериодического характера, т. е. с непрерывным спектром,1
получим для близких значений у' и Vм:
4-00	4-со
= J F (x)	^,dx^	j* F(t) e	h dt. (108)
—oo	—oo
1 Так как в рассматриваемом случае интеграл I=§gdx не имеет
смысла, мы можем положить непосредственно
fig®	_____________
Далее мы имеем, по определению, — =£•= j/2/n(IT—£/) и следова-
тельно	так же> как и раньше, несколько более сложным образом
соотношение (107b) может быть доказано в общем случае трехмерного дви-
жения.
166
III. Матрицы
С другой стороны, коэффициенты Фурье в интеграле, предста-
вляющем функцию Fyn (/):
определяются формулой:
-4-00
} dt,	(108а)
—оо
совпадающей с предыдущим выражением для если поло-
де"____________W'
жить Vм — v' =----и £*=1. Легко показать, что последнее
h
условие вытекает из (107а). Действительно, главная часть интеграла
(107а) соответствует отдаленным точкам, где функции 5° (х) сводятся
к gx с постоянным значением g (соответствующим постоянной по-
тенциальной энергии). Заменив g на hk> где k — волновое число,
получим, согласно (23а), гл. I,
f С,	ei2*(k'-w'}x dx =
Л,	V (W) Л
= /^l8(A._r)==8(/_v-%
У (v^v4«)
откуда:
1]/=JV(V7)	=
или, так как
J’s (k' — k")dk" = l,
cv’ dv___
v., dk
hk^
Принимая во внимание соотношение v = -— , получим:
2m
dv hk
dkm
§14. Матричное представление
167
и, следовательно
с.2 = 1.
Интеграл (108), представляющий компоненты Фурье функции Fy (f),
сходится и имеет определенное конечное значение только в том
случае, когда эта функция исчезает при / = ±оэ. Для боль-
шинства величин, относящихся к апериодическому движению, это
условие не выполняется. В простейшем случае равномерного движе-
ния мы имеем, например: x = vt
и
X^,=v. J
—OO
— расходящийся интеграл. Далее, если F—константа движения, на-
пример энергия Ну то:
-4-00
J ~ 1 dt = W., 8 (<' - У)
—оо
в точном согласии с результатом (1016), полученным нами из мат-
ричного определения Н^,.
Эти соображения дают новое объяснение уже упомянутому выше
обстоятельству, согласно которому матричные элементы различных
величин в случае непрерывного спектра энергии не имеют опреде-
ленных значений и выражаются расходящимися интегралами от функ-
ций типа ei27Zkx.
Глава IV.
ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.
§ 15. Специальная теория преобразований; преобразование
волновых функций.
Рассмотрим два оператора Н и К, представляющие энергию одной
и той же частицы при движении ее в различных силовых полях, харак-
теризуемых потенциальными энергиями U (х, у, z) и V (x,*j/, z), при-
чем будем считать, что как U, так и V не зависят от времени и
(согласно классической теории) ограничивают движение частицы
конечной областью пространства.
Характеристические значение И, образующие в этом случае
дискретный ряд, обозначим через Н' или И" и т. д. (штрихованные
буквы осносятся не к отдельному характеристическому значению,
а к любому из них). Соответствующие характеристические функции
обозначим через
- i2n H't
^н< = ^(Х>-У> z)e h и т- д-
Аналогичным обозначением будем пользоваться и для >арактеристи-
—
ческих значений К' и функций	(х, у, z) е h опера-
тора /<.
При отсутствии вырождения функции полностью опреде-
ляются соответствующими значениями того оператора, к которому они
относятся. В случае вырождения мы должны добавить к оператору
энергии один или два других оператора, представляющих независи-
мые константы движения, например — слагающую по оси z углового
момента Mz и квадрат его Л42, если потенциальная энергия U зави-
сит только от расстояния г (центральное поле сил).	)
Во избежание излишних осложнений мы будем в таких случаях
подразумевать под Н совокупность трех взаимно коммутирующих
операторов Hv и /У3, а под И' — совокупность их характери-
§15. Специальная теория преобразований
169
стических значений ///, /У2', //3', соответствующих одной и той же
функции	н2\ (это означает, что одновременно спра-
ведливы три уравнения //^^=///6^,	Н%^н> — Н2 ^н',
Н2^Н' = Н3' мы будем записывать их, как одно уравнение:
Это замечание относится и к оператору /С, его ха-
рактеристическим значениям К' и его характеристическим функ-
циям .
Рассмотрим теперь некоторую величину, представленную опера-
тором F, и введем ее матричное представление с помощью функ-
ции с ОДНОЙ стороны, И функции Фд?— с другой. Мы полу-
чим при этом две различных матрицы; обозначим их соответственно
через Fh и F% и будем называть Fh— матрицей F „с точки зре-
ния Я“, a Fp— матрицей»/7 „с точки зрения /С. Компоненту
(или элементы) этих матриц обозначим через

Мы имеем, таким образом:
К'к" = j Тд^д^^»
(109)
где
/2тс (Н' —WU
р —/70	h
1 И'И” 1 Н'Н"С	’
il2n (A7
p -------/70
1 K'K"— r K'K" e
-K")t
h
В частности:
Нн'н" =	> Ккк" = К'^к'к" ,	(109b)
так как И и К—диагональные матрицы с их собственной точки
зрения, причем элементы этих матриц тождественны с соответствен-
ными характеристическими значениями.
Теория преобразований в ее простейшей форме состоит в уста-
новлении связи между двумя „точками зрения", т. е. в установлении
определенных соотношений ме!жду функциями и функциями
а также между матрицами Fh и Fp. С помощью уравнений (109)
вторая часть этой задачи может быть сведена к первой. Мы увидим
однако, в дальнейшем, что она может быть решена независимо, бе j
помощи функций 6 и ср, на основании условий (103b).
170
IV. Теория преобразований
Основное предположение теории преобразований заключается в
том, что амплитуды (х, у, z) могут быть представлены как
линейные комбинации амплитуд (х> Л z) согласно урав-
нению:
(110)
Н'
с постоянными коэффициентами • Мы не будем пытаться про-
верить это предположение для общего случая любых операторов
Н и К и ограничимся лишь следующими замечаниями.
Во-первых, предположение (110) приводит к однозначному
определению коэффициентов разложения а^'К' • Действительно, умно-
жив (110) на и считая различные функции ортогональными
друг к другу (что всегда может иметь место), мы получаем:
аН'К'= f WK'dV-	(110а)
Отсюда ясно, что уравнение (110) справедливо только в том случае,
когда суммирование производится по всем значениям И’, т. е. по
всем стационарным состояниям, определяемым оператором Н (а также
другими независимыми константами движения, если имеет место
вырождение).
Во-вторых, для подтверждения нашего предположения необхо-
димо и достаточно, чтобы ряды (ПО) с коэффициентами, опреде-
ляемыми выражением (110а), были сходящимися.
В дальнейшем мы будем считать, что это условие сходимости
удовлетворяется. Можно показать, что оно действительно удовлет-
воряется в большинстве практически важных случаев, соответствую-
щих малой разности между К и И, обусловленной слабыми „ воз-
мущающими и силами. В этом частном случае теория преобразований
сводится к так называемой теории возмущений.
Если преобразование (110) имеет место, то должно иметь место
также и обратное преобразование
=
к1
с коэффициентами:
§ 15. Специальная теория преобразований
171
Сравнивая это выражение с (110а), получаем соотношение:
анч" = ак<н,-	(112)
п'К.'	tVri'	v 7
Подставив выражения (111) в (110) или (110) в (111), мы полу-
чаем в первом случае:
ан<К'	=	аН'к) ®К" ’
И1 К"	К" Н9
т. е.
аК"Н' ан'К'= \"K' »	(112а)
н>
где 8^г=1, если Л" = Л"' и 8w,, = 0, если К'фК\
а во втором случае:
аК'\г = ^Н'9Н9 •	(112b)
К9
Заменив а~хн, через а*н,к, [согласно (112]), получим соотношения:
йН9К9 аН'К" = ^К'К" »	(ИЗ)
Н9
ан"К' аН'К' =	>	(! 13а)
К9
выражающие ортогональность и нормал ь н ость коэффи-
циентов ан<к9 (или
Другую — эквивалентную — форму этих соотношений можно по-
лучить, умножив в (110) на комплексно-сопряженную величину
и просуммировав по А". Это дает:
К'
Н' Н" К9
т. е. согласно (113а):
(113b)
172
IV. Теория преобразований
Прежде чем продолжать формальное развитие этой теории, оста-
новимся на физическом смысле уравнений преобразования (ПО) и
(111).
Следует прежде всего отметить, что последние обладают внеш-
ним сходством с общим решением волнового уравнения

h д \ , Л
2ш dt /	’
представленным в виде суммы его частных решений, т. е. выраже-
нием:
VT	— Пт.НЧ
Ф (х> У> О =	^н^н' = ^н^н,е h •	(113с)
Hf	н>
Основное различие между обоими случаями заключается в том, что
в уравнение (113с) входит время /, тогда как уравнения преобразо-
вания (ПО) или (111) его вовсе не содержат. Если, однако, поло-
жить в (113с) /=0 или /=/0, т. е. рассматривать функцию в
определенный момент времени, то при надлежащем выборе коэффи-
циентов Сц! она может совпадать с любой из Амплитуд по-
скольку последние действительно могут быть выражены рядом типа
(НО). Физический смысл формулы (ПО) состоит в том, что любое
стационарное состояние, определяемое оператором К, согласно урав-
нению К®к, = К'®к, может быть представлено как суперпозиция
альтернативных состояний, определяемых оператором Н (согласно
уравнению = Н'<Ън,) для некоторого момента времени. Если,
однако, такое совпадение и имеет место для некоторого мо-
мента t = t^ оно не будет сохраняться во времени, поскольку
коэффициенты Сн> остаются постоянными. В этом случае функция
определяемая формулой (113с), не будет уже представлять собою
х	/ г г । h д \ ,
общего решения уравнения \n-\-	) у = 0; естественно, од-
\	dt /
нако,’ предположить, что при надлежащем определении функций
Сн' (0 она будет представлять общее или частное решение уравне-
ния
( г. । h д \ Л
( # + -^-.--77) ф = 0.
\	1 2™ dti ‘
§ 15. Специальная теория преобразований
173
Последнее предположение приводится к уравнению:
tv
или
-/2tzA7	— йяЯ'*'
е~~ = 2 CH'K' (О	>
w
что совпадает с (110), если мы положим:
Z2tc —
Сн’К' (0 = ан'К' е л	(11 Зе)
Точно так же, мы можем заменить уравнения обратного преобразо-
вания (111) на
~ (О 9	(114)
К'
где
/2тс (K’-WU
Ckw = a^e h .	(114а)
Мы видим, таким образом, что наше основное предположение
о существовании линейного соотношения (НО) или (111) между
амплитудами и эквивалентно следующему утверждению: одно
и то же движение, определяемое оператором энергии И (или /С), может
быть описано с точки зрения другого оператора К (или Н) путем
представления любого стационарного состояния, определяемого опера-
тором К (или Н) как суперпозиции стационарных состояний, опреде-
ляемых//(или К) с переменными коэффициентами Снк (или С~^,).
В случае постоянства последних (113с) представляло бы собой
/ ту I	.	_ Л
общее решение уравнения (//-]-——у—= 0, соответствующее
\	UL /
возможности нахождения частицы в одном из альтернативных
(взаимно исключающихся) состояний движения, определяемых раз-
личными функциями Коэффициенты Сн>к', ПРИ условии соотно-
V 2
шения нормальности У | Сн’К' | = Ь представляли бы собой в этом
w
случае „амплитуды вероятности" различных альтернативных состоя-
ний , причем вероятности этих состояний равнялись бы квадра-
там модулей Сцщ.
174	IV. Теория преобразований
Естественно сохранить эту интерпретацию и в данном случае,
когда являются функциями времени, определяемыми уравнением
(11 Зе). Эта зависимость от времени не должна влиять на их
модули, остающиеся постоянными и равными модулям коэффициен-
тов преобразования ан>кч причем условие нормальности F | Снч? |2 =1
удовлетворяется в силу соотношений (ИЗ) (при Л"'=Л")»
Определяя величины [ Сн>к> |2 или | аН'К' |2, как вероятности раз-
личных состояний совокупности /7, мы не должны забывать, что все
эти состояния связаны с определенным состоянием совокуп-
ности К, что отмечено вторым индексом в а^к'- Величину I Р
следует рассматривать не как вероятность состояния И' „самого по
себе" (такая необусловленная вероятность не имеет опреде-
ленного значения), а как вероятность состояния И' при условии,
что частица в действительности находится в состоянии, опре-
деляемом значением К' оператора К или функцией
Часто оказывается более удобным говорить не о состояниях,
описываемых вдлновыми функциями или С/у», а о значениях
некоторых величин F, Ну К, связанных с этими состояниями. Тот
факт, что определенное состояние осуществляется, можно выразить,
приписывая вероятности этого состояния значение 1. Мы можем
таким образом сказать, что | а^к’ 12 представляет собой вероятность
того, что величина И имеет значение Н', если известно (с вероят-
ностью, сводящейся к достоверности, т. е. равной единице), что вели-
чина К имеет значение К-
Совершенно естественно, что определение вероятности данного
значения некоторой величины, например /7, связано с предположе-
чием о вероятности определенного значения некоторой другой вели-
чины К, ибо теория вероятностей не создает вероятностей, а
только устанавливает соотношения между ними.
Из соотношений (112) следует, что | Г = Г- ^т0
равенство может быть интерпретировано с вероятностной точки
зрения как выражение „закона взаимности": вероятность того, что
Н обладает значением Н\ если известно, что К=К\ равна
вероятности того, что К обладает значением К при условии»// = Н\
Эти свойства коэффициентов aw обнаруживают теснейшее
сходство их с амплитудами (или <р^,). На» самом деле, послед-
§ 15. Специальная теория преобразований
175
ние также зависят от двух аргументов, причем один из них — х,
у, z — определяет положение, а другой — Н’ (или Я/, Я2', Я3')—
энергию и некоторые величины, с ней коммутирующие (т. е. пред-
ставляющие собой константы движения, определяемого оператором
энергии Я). Далее, функция |	(х, у, z) |2 или, точнее, ее про-
изведение на элемент объема dV, определяет вероятность поло-
жения, характеризуемого элементом объема dV не независимо от
каких-либо других обстоятельств, но при определенном условии, а
именно, — если известно, что Н имеет значение Я'. Для того
чтобы дать формальное выражение этой аналогии между ко-
эффициентами > акнп с °ДН0Й стороны, и функциями
(х, у, z), г^к, (х, yf z) — с другой, введем для последних сле-
дующее обозначение:
(*', у', /) = ух,н,,	« у', /) = х1К, (115)
где х' представляет совокупность значений трех координат х, у, г,
а Я' (или К)—совокупность значений трех величин Яр Я2, Я3
(или	^з)-
Из аналогии между функциями и коэффициентами ан^
или следует, что совокупность значений координат х(х, у, z)
может определять „состояние" частицы так же, как и совокупность
характеристических значений любых трех других взаимно коммути-
рующих операторов Я1? Я2, Я3 или	Мы приходим, таким
образом, совершенно естественным путем к пересмотру понятия
„состояния" или „стационарного состояния", которым мы пользо
вались до сих пор, в том смысле, что оно определяется не функ-
цией ^х,н, или относящейся к двум состояниям р азлич
ного т и п а (подобно коэффициентам преобразования — или ампли-
тудам вероятности — а и анчс), но просто значениями трех
величин (соответствующих трем степеням свободы), представленных
тремя независимыми взаимно-коммутирующими
операторами, например, — тремя пространственными координа-
тами частицы или — ее энергией, слагающей по оси z углового
момента и квадратом последнего (в случае движения в центральном
поле сил) и т. д.
176	IV. Теория преобразований
„Состояние", определенное таким, более общим образом, не
должно уже быть непременно связано с понятием движения. На
самом деле, понятие движения — в смысле изменения положения
с течением времени — не имеет смысла в волновой механике и заме-
няется понятием о вероятности нахождения частицы в данном поло-
жении, если ее энергия и две других величины, коммутирующих
с энергией, обладают определенными значениями. Функции свя-
заны с движением не в большей степени, чем коэффициенты
Их следует интерпретировать, как амплитуды вероятности состоя-
ния, определяемого положением х' (или элементом объема dV’)
при условии Н = Н', точно так же, как коэффициенты
определяют вероятность значения если известно, что Н = Н'.
Следует заметить, что во всех этих соображениях время не играет
никакой роли, поскольку оно не входит явно в И или в другие
рассматриваемые операторы.
Внутренняя логика понятий, содержащихся в волно-механической
теории, приводит нас, таким образом, к рассмотрению последней,
как частного случая более общей физической теории — назовем
ее квантовой механикой, — задача которой состоит в определении
вероятности определенных значений некоторой величины или сово-
купности трех величин, если совокупность некоторых других трех
величин имеет определенные значения. Эта общая задача сводится
к обычной волно-механической задаче в том случае, когда первые
три величины являются координатами частицы, а вторые три — ее
энергией и двумя другими величинами, играющими роль постоян-
ных движения (т. е. принимающими определенные значения одновре-
менно с энергией).
Для того чтобы задача имела физический смысл, существенно,
чтобы три величины каждой группы — те, значения которых счи-
таются известными, или же те, вероятность значений которых под-
лежит определению—могли быть представлены взаимно
коммутирующими операторами (или матрицами).
Принято характеризовать возможность одновременного определения
значений двух или большего числа величин, говоря, что оки могут
быть одновременно наблюдены или измерены; это положение
можно рассматривать как экспериментальный эквивалент математи-
§ 15. Специальная теория преобразований	177
ческого понятия „взаимной коммутируемости “, связанного с опера-
торным или матричным представлением рассматриваемой величины.
Я должен, однако, предостеречь читателей от часто делающегося на
основании этих соображений заключения, согласно которому при
рассмотрении элементарных явлений мы должны считать наблюдателя
или экспериментатора существенным фактором этих явлений и по-
лагать, что его вмешательством обусловливается характеризующая
их неопределенность — на самом деле лишь вскрываемая, а не
вызываемая наблюдениями.
Эта неопределенность составляет характерную черту новой кван-
товой механики, отличающую ее от механики классической. В слу-
чае частицы, движущейся в данном поле сил с тремя степенями сво-
боды, с точки зрения классической механики возможно ддновремен-
ное фиксирование значений шести величин—г например — трех
координат х, у, z и трех слагающих импульса gx, gv, gz (или — энер-
гии /У, слагающей углового момента Nlz и его квадрата Л42), что
полностью определяет движение; квантовая механика менее тре-
бовательна и уменьшает число величин, значения которых могут
быть фиксированы (теоретически или путем наблюдения), до т р е х,
возмещая получающуюся неполноту или неопределенность описания
движения рассмотрением вероятности остальных трех величин.
Другое существенное различие между классической и квантовой
механикой относится к роли в них времени. В первом случае эта
роль является значительно более важной и существенной, нежели во
втором. Может даже показаться, что время фактически полностью
устраняется из сферы квантовой механики в том виде, в каком за-
дачи ее были формулированы выше. Это, однако, не совсем верно.
Прежде всего, время содержится неявно в определении таких вели-
чин, как слагающие скорости (или импульса) и различные функции
от нее (энергия и т. д.), хотя эти величины и представлены опера-
торами, не содержащими времени явно. В о-вторых, в самом начале
этой главы мы предположили, что потенциальная энергия силового
поля, в котором движется частица, не содержит времени явно, а
зависит только от координат. Только в силу этого пред-
положения время может быть практически устранено из теории; оно
становится, однако, существенным элементом последней, когда потен*
178
IV. Теория преобразований
циальная энергия является функцией не только координат, но также
и времени. В этом случае уравнение Шредингера
( /74- ———U==0
\ Ъй dtP
- ПпНЧ
не имеет частных решений вида = h , где функции
(х> У у z) удовлетворяют уравнению Щн, = Н'$н>. Характери-
стических значений энергии в этом случае не существует; иными
словами, если энергия не является константой движения, значения
ее не могут быть измерены и вопрос об определении вероятности
произвольно выбранного положения х'(х',У, *’) для данного (пред-
полагаемого известным) значения энергии становится бессмысленным.
Вернемся теперь к нашему первоначальному предположению, со-
гласно которому ни И, ни^ К не содержат времени явно и обладают
дискретным рядом характеристических значений Н'	Н%) и
Л"'(AY,	определяющих две дискретных совокупности „со-
стояний". Мы пришли к заключению, что с помощью координат
частицы может быть определена третья совокупность состояний, ха-
рактеризующаяся положением частицы в пространстве. Так как воз-
можны любые значения координат х' (*', у', z'), эти значения со-
ставляют „непрерывный спектр". Это различие между Н и К, с одной
стороны, и х, с другой, сказывается в том, что при определении
вероятностей мы должны говорить об определенных значениях Н и
/С, с одной стороны, и определенной области значений х, с дру-
гой, т. е. об элементе объема dV, в котором предполагается место-
нахождение частицы. Мы имеем, таким образом, следующие выраже-
ния:	|2 для вероятности того, что Н = Н при К—К' или для
вероятности того, что К = К при // = //'; |	|*dV'—для ве-
роятности того, что х заключено в интервале (х', х' -ф- dx') при
Н—Н' (dV' = dx' dy dz’); | yQx,K, p dV'—для вероятности того, что
х лежит в интервале (х\ х' dx') при К=К'.
Обобщая закон взаимности, установленный нами для случая
|	|2, мы можем определить	и	как
вероятности того, что Н = Н' или К —К, если известно, что час-
тица находится в элементе объема dV1.
§15. Специальная теория преобразований
179
Сходство между функциями или у" и коэффициентами
или aH,Kt обнаруживается также в том обстоятельстве, что они
удовлетворяют аналогичным соотношениям ортогональности и нор-
мальности, выражающимся в первом случае либо с помощью инте-
гралов (по х') вместо сумм (по Н' или К'), либо функциями 8(х' —х")
вместо или b/w — в соответствии с тем обстоятельством, что
Н' и К' обладают дискретной, ах' — непрерывной последователь-
ностью значений. Соотношение (113а) может быть записано в виде:
yfl-i а-1* = 8
Zj К'Н' uKW Н'Н" •
К’
Этому соотношению соответствуют обычные условия ортогональ-
ности и нормальности „волновой функции" ф:
(dx'=dV).	(116)
Помимо предыдущего соотношения, коэффициенты а~£, удовлетво-
ряют также „обратному" соотношению (ИЗ) или:
аК?Н" = ^К'К" ’
Н'
аналогом которого является соотношение:
(116а)
Н'
где 8 (х' —х") — сокращенное обозначение произведения трех дира-
ковских функций 8 (У — х"), о (у’—у"), 8 (z'—z") (точно также,
как 8/<^/ — сокращенное обозначение произведения трех выражений
этого типа для трех величин, характеризуемых 7Q.
В справедливости соотношений (116а) [т. е. в их эквивалент-
ности соотношению (116)] можно убедиться, умножив их на ^ХпН„
где Н"— некоторое определенное значение Н, и проинтегрировав
по хп. Это даст, в силу (116):
j	dx —	J $х"Н" $х”ГГ dx = ^х'Н"'
Н'	H'
180	IV. Теория преобразований
Согласно определению функции 8(х"—х') это выражение совпа-
дает с J ^х„н„ 8(х"— x’)dx".
Остающееся различие между амплитудами вероятности ац»кь
^х,н,, исчезнет, если мы отбросим наше первоначальное пред-
положение о дискретности спектров Н и К и примем, что одна из
этих величин, например Н, имеет непрерывный спектр, будучи в этом
отношении сходной с х (спектр К мы будем покамест предполагать
дискретным).
Уравнения преобразования (110), с помощью наших новых обо-
значений записывающиеся в виде:
V
Н1
заменятся теперь уравнениями1
= У ^х’Н' aH,Kf dH ’	(И7)
Умножив это уравнение на и проинтегрировав по х’ <?')
(dx' = dV’), получим:
J Ьн" Ух'К' dx ~ J aH>K'dH J Ух'Н" Ух’Н' dx —
t. e.
aH"K' = J ^x'H" dx 9
как и раньше. 2 Так как обратное преобразование:
^х'Н' ~	а ~К'Н' ®х'К'	(117а)
7'
1 Напомним, что этот переход совершенно аналогичен переходу от
ряда Фурье к интегралу Фурье, являющемуся частным случаем преобра-
зования или „разложения" (117) и (117а).
2 Следует отметить, что прежний коэффициент ан,к, соответствует про-
изведению данного коэффициента на dH'\ это различие компенсируется раз-
личием между прежней и данной формой соотношения ортогональности и
нормальности для Ф^,.
§ 15. Специальная теория преобразований	181
остается неизменным (поскольку спектр К дискретен), мы полу-
чим первоначальное соотношение между коэффициентами а и а”1:
а ~ а*н,к,, приводящее к закону взаимности: |	|2 = | ан>к>12
Подставив предыдущее выражение в (117а), получим:
~	J ак^н> анч«йН ,
К"
откуда следует, что
§ аК"И'ан'К' dH	’
или
ан^к>>ан1к^ =^К"К’ •	(И8)
Это соотношение нормальности и ортогональности, заменяющее
(113), тождественно соответствующему соотношению для функций
» где х' заменено на К' (см- П6). Точно так же [путем под-
становки (117а) в обратное разложение] получим соотношение
^а№К'аН"К1 = ^{Н'~Н"),	(118а)
К
совершенно аналогичное соотношению (116а) (х* заменено на Н' и
rf на КУ
Если же и Н и К обладают непрерывным спектром, то соотно-
шения (118) и (118а), а также (116) и (116а) заменяются соот-
ношениями вида:
^a^'aH'K'dH' = Ж'-Г) ,
=ЦН"-Н'),
= W'-H'),
и т. д., т. е. суммирование повсюду заменено интегрированием, а
все числа 8^, заменены функциями 8(^__^,).
Все формулы преобразования или разложения приобретают в этом
случае вид (117а).
182	IV. Теория преобразований
Из полной аналогии между a/w и или ^к, следует, в
частности, в дополнение к уравнениям
~ J ^х'Н' ан,к> dH ’ Ух’/г J ^х'К' aK’Hf dK (И9)
уравнение
ан,к> ~ J’Ъ/'х'1) ®х>к> dx 9	(119а)
где	’ Действительно, это уравнение—нечто иное, как
выражение (110а) для коэффициентов а^.
Мы можем таким образом рассматривать это уравнение, как „пре-
образование и от функций а^к' к функциЯхМ , причем функции
игРают Роль коэффициентов преобразования, или же — как
преобразование, связывающее функции ан>к> и пРнчем Роль
коэффициентов преобразования играют функции .
Следует отметить, что равенство (119а) справедливо также и
тогда, когда Н и К обладают дискретными спектрами, причем урав-
нение (119) заменяется уравнением (117) и
?	~	аК'Н>	(119b)
Выяснив физический смысл „коэффициентов преобразования" или
„волновых функций", как амплитуд вероятности значений одной из
рассматриваемых величин, когда значения другой фиксированы, мы
получаем чрезвычайно простую и ясную интерпретацию различных
„уравнений преобразования", связывающих эти амплитуды вероятно-
сти. Все эти уравнения могут быть рассматриваемы как выраже-
ние или, скорее, непосредственное следствие зако-
нов сложения и умножения новой теории вероят-
ностей (оперирующей с амплитудами вероятностей точно так же,
как старая теория оперировала с самими вероятностями).
Ф Так, например, в последнем уравнении слагаемое
можно интерпретировать как произведение амплитуды вероятности
того, что х равно х' при условии К = К', на амплитуду вероятности
того, что К=К' при условии 77 = 77'. Считая последнюю вели-
§ 16. Преобразование матриц	183
чину, а также х фиксированными и просуммировав произведения
^xfKf аюн1 для всех возможных значений Д’, мы должны, очевидно,
получить амплитуду вероятности того, что х = х' при условии
в согласии с (119b).
§ 16. Преобразование матриц.
Вернемся теперь к началу предыдущего параграфа, т. е. будем
считать значения Н и К дискретными, и исследуем уравнения пре-
образования матриц, представляющих различные величины F с
точки зрения Н и К- Отметим, прежде всего^ что коэффициенты
преобразования а^к' и можно рассматривать, как матричные
элементы некоторой матрицы а и ее обратной матрицы аг1, по-
добно тому, как Гн'Н" или являются матричными элементами
Fh или Fk. Основное различие между ними заключается в том, что в
последнем случае оба индекса (//', Н" или К1, К") относятся к со-
стояниям одной и той же совокупности, определяемой либо
оператором /7, либо оператором ТС, тогда как в первом случае
первый индекс относится к состоянию одной совокупности, а вто-
рой — к состоянию другой совокупности.
Второе различие (тесно связанное с предыдущим) заключается
в том, что в то время как матричные элементы F^K" или Fh<H" —
эрмитовы, т. е. удовлетворяют условию F^^t = F^„Kn Fh'H" =
F*H,,H„ коэффициенты (или матричные элементы) не являются
Эрмитовыми, как это следует из соотношений (112).
Матрица, полученная из F (или а) в результате замены строк
столбцами называется транспонированной матрицей и обо-
значается обычно символом F (или а). Матрица F*, представляющая
собой совокупность комплексно-сопряженных величин элементов ма-
трицы F, называется, согласно Йордану, „адъюнгированной" матри-
цей F („комплексно-мнимой" —по Дираку) и обозначается через F+.
Пользуясь этим обозначением, мы можем записать соотношения
Эрмита в виде:	F+ = F	(120)
тогда как условие (112) может быть записано в виде:
а+ = а-1.	(120а)
184	IV. Теория преобразований
Матрицы а, удовлетворяющие этому условию, называются „унитар-
ными", так как произведение такой матрицы на ее адъюнгирован-
ную матрицу, являющееся аналогом квадрата модуля обычного ком-
плексного числа, равно единице (т. е. единичной матрице).
Само собою разумеется, что умножение матриц типа а, не со-
ответствующих определенной „точке зрения" (77 или К), а служа-
щих для связи двух различных точек зрения, должно производиться
согласно обычному правилу умножения матриц, т. е. путем комби-
нирования строк первого множителя со столбцами второго. Это
значит, что элементы произведения двух матриц а и b должны иметь
вид;
k
т. е., что второй индекс элементов первого множителя должен сов-
падать с первым индексом элементов второго множителя, причем
этот общий индекс является индексом суммирования.
С точки зрения такого определения, произведение „смешанной"
матрицы а на самое себя или же на ее комплексно-сопряженную
матрицу а* не имеет смысла, так как соответствующие два индекса от-
носятся к состояниям различных совокупностей и следовательно не мо-
гут быть отождествлены. Мы можем, однако, составить произведение
матрицы а на ее транспонированную (а) или адъюнгированную ма-
трицу (а+), так как первый индекс двух последних матриц относится к
состоянию той же совокупности, что и второй индекс первой матрицы,
и наоборот. Выражение ^а^к' аК'Н" можно поэтому рассматривать
как элемент (77', 77") матрицы аа, являющейся столь же „чистой",
как и матрица Т7#.
То же справедливо и для матрицы аа+ пли ааг1, если элементы
обратной матрицы а"1 снабжены индексами И' и К' в порядке
противоположном, нежели у матрицы а (как это и было сделано
в предыдущем параграфе). Легко показать, что матрица аа+ даже
в случае неунитарности а является эрмитовой (тогда как аа таковой
не является). Действительно, взяв ее адъюнгированную матрицу,
§ 16. Преобразование матриц	185
равную, очевидно, произведению адъюнгированных матриц обоих
множителей, взятому в обратном порядке, мы получаем:
(аа+)+ = д++	= аа+,
в согласии с (120).
Следует отметить, что матрицы аа+ и а+а в общем случае совер-
шенно различны, причем первая относится к тому же типу, что и
/>/, а вторая — к тому же типу, что и F%.
В частном случае унитарных матриц, удовлетворяющих условиям
(120а), мы получаем:
= аК'Н‘ аН'К" ~	aKfHf аНЧ<" =	»
Н'	Н'
(аа+)н'Н" =	аН'Кг Ок'Н" =	аК'Н" ~ Чн" ’
К'	К'
согласно (112а)—-(113а), или, в матричном обозначении:
аа+=£я, а+а = Ък,	(120b)
где Ън и 8/с — единичные матрицы с „точки зрения" //или К- Пре-
небрегая физическим смыслом, заключающимся r этом различии,
часто отождествляют обе единичные матрицы и пишут:
аа+ = а+а — 1,
что иногда может привести к недоразумениям.
Целесообразность рассмотрения коэффициентов преобразования,
как элементов (смешанной) матрицы и применения к последней обыч-
ных правил матричного умножения подтверждается результатами, по-
лучаемыми при двух или большем числе последовательных преобразо-
ваний. ВведехМ в рассмотрение оператор L (или группу трех опера-
торов Ар Л2, А3) того же типа, что и Н или К, с (дискретными)
характеристическими значениями L' и характеристическими функ-
циями Эти функции могут быть „преобразованы" к функциям
оператора К с помощью уравнений у®, =	а затем к функ-
циям оператора И с помощью уравнений —
186
IV. Теория преобразований
Zj СН'У ’
Комбинируя эти уравнения, получаем непосредственное преобразо-
вание от L к Н:
Н'
с коэффициентами сц>и = ан>к> Ь&у*
к
Матрицы этих коэффициентов равны, таким образом, произве-
дению матриц а и Ь, вычисленному по обычным правилам. Поль-
зуясь матричным представлением коэффициентов преобразования, мы
можем определить матрицу преобразования, состоящего из двух по-
следовательных преобразований, как произведение матриц каждого
из отдельных преобразований. Это имеет место, в частности, для
рассмотренного выше случая, когда второе преобразование обратно
первому.
Мы можем теперь вернуться к основной теме этого параграфа —
преобразованию матрицы, представляющей одну и ту же величину F
при переходе от данной „точки зрения", определяемой Н, к другой
точке зрения, определяемой /С. Подставив (110) в выражение (109)
для элементов Fr, получаем:
или
аН,К’аН>,К"?Н'Н" ’
Н' Я"
(121)
F0 ХУУаЧ-
г К'К" —	К'Я'
Я* Я"
1 Н’Н"
аН"К" •
Это выражение может быть интерпретировано, согласно закону
матричного умножения, как элемент (/<', /С") произведения мат-
риц а+, Fh и а, взятых в соответствующем порядке. Мы можем
таким образом положить:
FK=a+FHa.	(121а)
Подставив (111) в (109), получаем точно так же:
FH = aFKa\	(121b)
Это уравнение может быть подучено из предыдущего, если мы умно-
жим последнее на а слева и на а+ справа, и примем во внимание
соотношения а* а = аа+ — 1.
§ 16. Преобразование матриц
187
(121с)
Если же мы ограничимся умножением (121а) на а слева или на
а+ справа, мы получим уравнения:
FHa = aFK,
FKa* = a+FH.
Все матрицы, входящие в эти уравнения, носйт смешанный характер,
с элементами типа (И', К'} для первого уравнения и (/Г, И’)—для
второго.
Перепишем эти уравнения в матричных элементах:
а)н'К’ 2^ ?Н’Н>' аН"К’ 2j aH'K,f^KllKt —	’
Н"	К'1
(F ка+)к,н, —	FKfK„	ак'Н"?н"Н1
К"	Я"
= (a+FH)k,,H,
к п 'К'п'
В частном случае F—H или F=K получаем:
К на = аКк, аНк = Ина	(122)
и два аналогичных уравнения для а+.
Составляя элемент (Н', К ) первого уравнения (122), имеем в
силу соотношения Кк>кп =
аН"К'= % ан’К’ ’	(122а)
Аналогично, из второго уравнения (122) получаем:
= aHfK^ ’	(122b)
К"
Уравнения (122а) имеют одинаковый вид для всех значений К'*
Отбрасывая К в качестве второго индекса в коэффициентах а, мы
получаем систему линейных однородных уравнений (соответствую-
щих различным значениям Н) для ряда переменных ац*
аН" % ан>.
Н"
(123)
с неизвестным параметром К'.
Эта система уравнений может служить для непо-
средственного определения как коэффициентов
188
IV. Теория преобразований
преобразования анч?, так и значений /Г, если из-
вестны матричные элементы К и-
Условием совместности уравнений (123) является равенство нулю
определителя
Кггнп — К Кн'Н"	Кн'Н’"....
Кнпн' Кн"Н" — К' Кн"н<"*. • •
Кн’^н' Кн<"Н" Кн^н’" — К' • • • •
= 0. (123а)
Это уравнение служит для определения возможных значений Л" (Л”",
К"' и т. д.). Каждому из этих значений соответствует совокупность
значений переменных которые при определенных условиях могут
быть отождествлены с коэффициентами преобразования а^к' =
= (О'И"Кч ан"'К’ и т. д.). Эти условия сводятся к соотношениям
а+а = аа+ =1, которые, как легко убедиться, оказываются выпол-
ненными, если решения (123) нормированы согласно уравнению
= 1 (123b)
• 57"
для любых значений К*.
Удостоверимся прежде всего в том, что значения получен-
ные из (123а), — вещественны. Для того чтобы показать это, рас-
смотрим уравнения:
Кн'Н" аН"К — % аН’К 9
Н"
IE ан<<к’ — К аи>к,
Н"
(первое можно рассматривать как тождество, получающееся из (123)
для какого-нибудь частного значения К, второе— как комплексно-
сопряженное тождество); умножим их соответственно на а*н,к, и
анче, просуммируем по И’ и вычтем второе из первого. Это дает:
Н’
Zd	Zj	аН,(К' aH,Kt •
W И”	И' Hlf
§ 16. Преобразование матриц	189
Принимая во внимание соотношение Эрмита:
Кн<н" = КН"Н' ’
мы можем переписать вторую двойную сумму в следующем виде:
2^^Дя"Я' аН’К> aH"Kf ’
н<
что при перестановке индексов суммирования Н' и Н" тождественно
первой двойной сумме. Мы получаем таким образом:
{К К ) ан,к, ан,к, = О,
Н'
или, так как сумма	всегда положительна,
К — /Г* = 0.
Отсюда следует, что значения К' вещественны.
Заменив второе из уравнений уравнением (тождеством),
2 ^Я'Я" аЯ"/С' ~ % аН'К,> ’
Я"
соответствующим некоторому значению К", отличному от умно-
жим его на аН'кч просуммируем по Н' и вычтем из первого урав-
нения, умноженного на а*н,к„ и также просуммированного по Н’\ в
результате получим:
V
(/С К ) ^ан>К'ан'К,> —
Н'
V у	у у * *
= 22 КН,И>, aH"K' аИ'К" 2 Ав ^Н'Н" аН"К' аН'К' •
Я' Я"	Я' Я"
В силу соотношения К* = КНнН' и возможности перестановки
индексов суммирования И’, Н", правая часть этого равенства обра-
щается в нуль точно так же, как и в случае К' = и мы поду-
ст л ) ан,к, ан,к„ — О,
чаем:
190	IV. Теория преобразований
откуда (так как К' — К" отлично от нуля):
V *
н>
или
^^аК,гН,аН'К, = ®	(%
Это соотношение характеризует взаимную „ортогональность“ раз-
личных решений системы уравнений (123). Вместе с условием нор-
мальности (123b), оно может быть записано в виде:
а+а = *к.
чем доказывается' тождество коэффициентов , полученных из
уравнений (123), (123а) и (123b) с коэффициентами, определенными
вначале с помощью волновых функций ^н, и посредством урав-
нений (110а) и (111а).
Вместе с тем мы доказали возможность преобразования мат-
риц F//, представляющих произвольную физическую величину F
„с точки зрения Ни (т. е. по отношению к состояниям, определяе-
мым с помощью Н) к матрицам F& представляющим ту же са-
мую величину „с точки зрения не пользуясь при этом вол-
новыми функциями, характеризуемыми Н и К, а применяя чисто
матричный метод, базирующийся^ на матричном представлении всех
величин — включая и основную К—„с точки зрения Ни. Переход
от этой точки зрения к точке зрения К может быть осуществлен
с помощью уравнений (123), (123а), (123b), определяющих матрицу
преобразования лис помощью уравнения (121а), определяющего
новые матричные элементы любой величины F через ее старые мат-
ричные элементы.
В силу соотношения а+ = а-1 эта формула может быть также
записана в виде:
FK=a~'FH(i.	(124)
Матрица преобразования а может быть определена с помощью
условия:
а~хКна = Кк (диагональной матрице), (124а)
после умножения слева на а приводящего к уравнению К на — аКк,
т. е. к системе уравнений (123); унитарный характер матрицы а
§ 16. Преобразование матриц	191
можно рассматривать, как следствие этих соотношений. Преобра-
зование этого рода обычно называется каноническим мат-
ричным преобразованием. Оно обладает интересным свой-
ством, не зависящим от формы унитарной матрицы а (удовлетво-
ряющей соотношению а+ = а-1), — а именно: оно оставляет инвари-
антными все функциональные соотношения между первоначальными
матрицами: все эти соотношения оказываются справедливыми и для
преобразованных матриц. Это может быть проверено непосред-
ственно, если мы положим в (124) F—E-\-G или F=EG.
В первом случае мы получаем (так как Fh — Eh-[-GhY
FK=а-1 {Ен + Он) а = a~lEHa -|~ a~lGHa = Ек -j- GK.
Во втором случае мы имеем (так как \ЕС)н = ЕнСц)*.
FK—a-xEHGHa.
Мы можем теперь вставить между Ен и Gh произведение аа~1, так
как оно равно единичной матрице 8, а произведение последней на
любую другую матрицу тождественно последней (точно так же, как
в случае умножения обычных чисел на единицу).
Мы получаем, таким образом, в силу сочетательного закона
FK= (сГ'Ена) (сГЮна) = EKGK.
Это доказательство легко может быть распространено на любую
функцию F от Е и G, так что, полагая (в операюрном представ-
лении) F—f^Ey G), получим:
f(EK, GK) = a~lf(EH, Он) a,	(124b)
или
a~if(EH) Gh) а=/(а~хЕна> а"'Она)-
Из этих уравнений следует, в частности, что преобразование
(124) не влияет на соотношения коммутативности между коорди-
натами и"* слагающими импульса; первоначальные соотношения
(рхх— хрх)н = преобразуются при этом в (рхх — хрх)к~
I
192	1V. Теория преобразований
Каноническое преобразование вышеописанного типа следует,
различать от канонических преобразований переменных х, у, z, pxi pyf
pz в смысле, соответствующем общему определению канонического
преобразования классической механики (см. § 5). В первом случае
канонически сопряженные переменные остаются неизмененными,
преобразование относится только к матрицам, которыми эти
величины представлены с точки зрения различных операто-
ров энергии (/У или Л"). Во втором случае, напротив, сами пере-
менные х...р2 преобразуются в новую группу канонически со-
пряженных переменных $, т[, С,	причем оператор
энергии Н[х}=Н (х.. .р^ остается по существу неиз-
менным, меняется лишь его внешняя форма, так как определя-
ющие его старые переменные выражены теперь через новые пере-
менные. Мы получаем для него новую функцию, — обозначим ее
через /7(^) — от переменных L.. которая, однако, численно
равна Н(х} для соответствующих значений первоначальных перемен-
ных. Этому численному равенству классической теории в квантовой
механике соответствует равенство характеристических значений
операторов Л7(х) и Н^. Условие, выражающее канонический характер
преобразования от первоначальных переменных к новым, заключается
в том, что матрицы, представляющие последние (с какой-либо точки
зрения), должны удовлетворять тем же соотношениям коммутативности
$ — ^=Л8/2тг/ и т. д., что и матрицы, представляющие ста-
рые переменные. Это значит, что новые матрицы (£,... могут
быть получены из старых (х, ...р^) путем канонического преоб-
разования первого рода, т. е. в смысле уравнения (124). Физиче-
ская сущность такого преобразования будет, однако, совсем иной,
чем в том случае, к которому относится уравнение (124). В бли-
жайшем параграфе мы еще вернемся к рассмотрению преобразова-
ний второго рода.
В случае вырождения первоначальной матрицы энергии Нн, т. е.
в том случае, когда некоторые из ее диагональных элементов сов-
падают, необходимо рассматривать ее одновременно с одной или
двумя другими матрицами, представляющими независимые константы
движения, определяемого оператором Н. Мы должны, таким образом,
заменить оператор Н тремя операторами	и определять
§ 16. Преобразование матриц	193
матричное представление любой величины F с „точки зрения" этой
„тройки", записывая при этом Fh^h^ вместо Fh . Матрица пре-
образования, соответствующая переходу к „точке зрения" какой-
либо другой тройки, например Kv К.>, Kv однозначно определяется
системой уравнений:
а~'К\ а = Кх (kxkzkz ) 1
a~xK^HvH2Hb} а = К<ъ {KiKzkz ) >	(124с)
а =	(*1*2*з ) J
при условии, что все три матрицы, стоящие справа, — диагональны
(это всегда может быть осуществлено, если соответствующие опе-
раторы коммутируют друг с другом).
Каждое из уравнений (124с), взятое в отдельности, вносит не-
которую неопределенность в форму матрицы а, которая может
быть устранена с помощью одного или двух других уравнений;
если мы не заинтересованы в диагональном представлении соответ-
ствующих величин, мы можем устранить эту неопределенность
совершенно произвольным образом, заботясь лишь о соблюдении
условия: а-1 = а'.
Предыдущие рассуждения легко могут быть обобщены на тот
случай, когда один или оба оператора (или тройки операторов)
И и К обладают непрерывным спектром.
Предположим, например, что значения Н образуют непрерыв-
ную последовательность, тогда как значения К остаются дискрет-
ными.
Вместо уравнений (110) и (111) мы получим при этом уравне-
ния преобразования (117) и (117а) с полунепрерывной матрицей
преобразования aw > удовлетворяющей соотношениям ортогональ-
ности и нормальности (118) и (118а). Последние могут быть за-
писаны в таком же виде:
аал = о//, а+а = 8^,
как и в дискретном случае, где — непрерывная единичная мат-
рица, т. е. дираковская функция:
тогда как 8^/— обычная дискретная единичная матрица, причем
194
IV. Теория преобразований
закон умножения матриц в случае аа+ определяется обычным спо-
собом, соответствующим дискретным матрицам:
(аа+)я'//" — aw akw,
Kf
а в случае a±a способом, соответствующим непрерывным матрицам:
(а+а)кк'г = I аки’ ан>к" dH'
[см. ур. (105а) § 14].
Мы получаем, далее, вместо (121):
j*

чго, как и в дискретном случае, может быть записано в матричной
форме:
FK — a^FHa\
при этом подразумевается, что матричное умножение производится
согласно правилам умножения непрерывных матриц, если ин-
дексы „суммированияи являются нёпрерывными переменными. Из
этого уравнения мы можем вывести уравнения (122), второе из
которых, будучи сведено к матричным элементам, имеет точно
такой же вид, как и раньше, тогда как первое принимает вид:
J* КЪн" ан,,к> dH = К ан,к1
вместо (122). Отбрасывая индекс К' при коэффициентах aw,
получаем:	Р
=	(125)
Это уравнение можно рассматривать, как интегральное
уравнение, служащее для определения функций ан> и характеристи-
ческих значений К и заменяющее систему алгебраических уравне-
ний (123). Результат вычисления функций из (125) может быть
записан в виде определителя (123а) только в том случае, если мы
введем обобщенное определение „непрерывных определителей", со-
ответствующих непрерывным матрицам. Записав правую часть (125)
в виде	р
§ 16. Преобразование матриц	195
мы можем заменить условие совместности (123а), служащее для
определения характеристических значений К (К' =Кн'Н<') символи-
ческим уравнением вида:
| Кн<н" — К1 8 (Н' — Нп) | = 0.	(125а)
В соответствующем обозначении для дискретного случая урав-
нение (123а) принимает вид:
| Кн'Н" —	| = 0.
Уравнением (125а) нельзя, конечно, воспользоваться для пра-
ктического вычисления значений но для этой цели нельзя так-
же воспользоваться и уравнением (123а), так как оно относится к
определителю, состоящему из бесконечного числа дискретных
элементов.
В дальнейшем мы укажем метод, с помощью которого можно
приближенно вычислить значения К' как в дискретном, так
и в непрерывном случае, если К мало отличается от Н (как это
имеет место в случае задач теории возмущений). Здесь же отметим
лишь, что в обоих случаях характеристические зна-
чения /Смогут образовывать как дискретный, так
и непрерывный спектр (в противоположность предположе-
нию, сделанному вначале относительно дискретности спектра /Q.
Легко доказать, что функции — „характеристические функ-
ции" интегрального уравнения (125), соответствующие частным
значениям будучи отмечены этими значениями в качестве вто-
рых индексов, образуют ортогональную совокупность (дискрет-
ную или непрерывную) с группой значений К', нормированную
к единице, т. е. удовлетворяющую соотношениям:
ан'К' а И'к"	— fyx" или &	)
и
ан"К' или J	dlf = 8 (//' — /7").
к?
Доказательство производится точно таким же образом, как и в
рассмотренном выше случае дискретного спектра Н'. Отметим, что
относящиеся к последнему случаю результаты должны был
196
IV. Теория преобразований
несколько видоизменены в том случае, когда К обладает непрерывг
ным спектром в соответствии с cooi ношением
^,, = 8 (Г-/Г).
Как в случае дискретного, так и в случае непрерывного спектра
„основной величиныи (или основной тройки величин) Н мы можем,
таким образом, вычислить матричные элементы любой величины F
с точки зрения какой-либо другой „основной величины" К, не
зная при этом характеристических функций Н или для осуще-
ствления преобразования от Fh к нужно лишь знать мат-
рицу Кн- Коэффициенты преобразования а^к1 могут быть опре-
делены из того условия, что Кк—диагональная матрица дискрет-
ного или непрерывного типа (форма ее не может быть определена
заранее).
§ 17. Теория преобразований, как обобщение волновой
механики; относительность основных величин.
Оказывается, таким образом, что матричная теория — поскольку
рассматривается преобразование от одной точки зрения к другой,—
представляет собой логически замкнутое целое, не нуждающееся в
том волно-механическом базисе, на котором мы ее построили.
Мы уже встречались с аналогичной ситуацией в предыдущей главе
при обсуждении вопроса об определении матриц, соответствующих
данному оператору энергии, и нашли возможным определять основ-
ные матрицы координат и слагающих импульса таким образом, что-
бы матрица энергии была диагональной при соблюдении условий
коммутативности р*х— xpx = h/2Ki и т. д.
Из теории преобразований, изложенной в этой главе, следует
прежде всего, что если задача решена для некоторого простого
типа движения, определяемого оператором энергии Н, то она
может быть решена для любого другого типа движения, опре-
деляемого некоторым более сложным оператором энергии, по
методу преобразований без помощи основных матриц (х, рх)
и условий коммутативности (которые, как было показано выше,
инвариантны по отношению к каноническому или унитарному
преобразованиям). Именно этим методом решения пользуется
§17. Теория преобразований, как обобщение волновой механики 197
теория возмущений в том случае, когда разность между опера-
торами К и Н достаточно мала.
Теория преобразований является не только простым и практи-
чески единственным рабочим методом решения задач теории
возмущений, она раскрывает также новую связь между
матричным и волно-механическим методом, сводя
последний к частному случаю первого — как это было
уже указано в предыдущем параграфе. Мы видели, что характери-
стические функции или амплитуды вероятности волно-механической
теории можно рассматривать, как коэффициенты преобразова-
ния от точки зрения „энергетической тройкии Н к точке зрения
„координатной тройки“ х (при условии, что энергия существует,
т. е., что оператор энергии Н не содержит времени) в том смы-
сле, в каком аплитуды вероятности анк являются коэффициентами
преобразования от точки зрения энергетической тройки Н к точке
зрения энергетической тройки К. Это означает, что волно-механи-
ческий метод может быть полностью заменен матричным методом,
рассматривающим преобразование матриц Fx к матрицам Fh или
наоборот. Другими словами, волно-механическая теория, рассматри-
ваемая как специальный случай матричной теории преобразований,
должна решить следующую задачу.
Предположим, что матрицы всех величин и, в частности, энергии
И известны с точки зрения координат; мы должны найти матрицы,
представляющие их с точки зрения Н. Решение этой задачи сво-
дится к решению линейного интегрального уравнения:
J*^,, fx„dx"=H'^xl>	(126)
получаемого из (125) путем замены К на Н, Н на х, и ан на 6^. Это
уравнение эквивалентно уравнению Шредингера:1
Н^х, = н'^	0°, =£„,),	(126а)
причем эквивалентность этих уравнений может быть доказана
1 Как здесь, так и в дальнейшем мы имеем в виду уравнение Шредин-
гера, не содержащее времени; это обстоятельство отмечается прибавлением
ко всем величинам, связанным с Н, индекса0.
198
IV. Теория преобразований
непосредственно на основании общего определения элементов ма-
трицы Fc с помощью интеграла
=	<12?)
Этим определением мы пользовались до сих пор только в связи
с такими „основными" величинами с, по крайней мере одна из кото-
рых может быть рассматриваема как энергия. Это ограничение не
является, однако, необходимым, и формула (127) может быть при-
менена к любым величинам с (при условии, что операторы, которыми
они представлены, коммутируют друг с другом). Мы можем, в
частности, положить с — х (т. е. cl = xJ с<2=у, c3 = z), при усло-
вии, что переменные х' и с' в .^,с, рассматриваются как
независимые. Это значит, что два индекса (или аргумента)
функции фо не должны относиться непременно к одной и
той же точке.
Мы можем, таким образом, положить в (127): с' = х" и с" = х"\
или, обозначая переменную интегрирования через х’" вместо х1:
=	(127а)
где оператор F относится к точке х"\ т. е. является функцией от
h д
х и от элементарного оператора px,tt=-—-
I ОХ
Функция	должна, очевидно, представлять тождест-
венное преобразование (от точки зрения У" к точке зрения х'),
или, другими словами, амплитуду вероятности того, что х равно
х"\ если известно, что оно обладает значением х'. Так как одна
и та же частица не может одновременно находиться в двух
различных точках, то это означает, что функция обращается
в нуль при х'"фх>' и становится равной бесконечности при хш =
= х' (так как х изменяется непрерывно). Мы можем, таким обра-
зом, отождествить	с „единичной матрицей" непрерывного
случая, т. е. положить:
^, = Цх"'-х').	(128)
Это выражение можно вывести из общей формулы:
,	СР°"'с' = J аН'С>(Ш
§ 17. Теория преобразований, как обобщение волновой механики 199
[см. (119) § 15], положив С'—х' и соответственно —
= а~^*к>н>	и соотношения ортогональности и нормально-
сти:
причем функции ^хП,к, в этом случае тождественны с .
Легко видеть, что определенная таким образом функция
= также удовлетворяет обычным соотношениям ортогональ-
ности и нормальности:
J*	dx'" = b (с' - с\ J fx,c,	dc> = 5 (х-__ ху
Действительно, полагая с =х' и с"=х"", получаем, согласно
(128):
f ^°х'"с' '^X"c"dx'" Ъ(х' —x"')h(x"' — x"")dx"' =
= 8(x' — х""),
и, полагая с' — х'":
J* ^x"c<dc' = J*8	— х’)8(х" — x"')dx"' = Z(x' — х").
Отсюда следует, что элементы матрицы Fx могут быть опре-
делены, согласно (127а) и (128), интегралом:
F^x„ = j*8 (х' — х'")F6 (х"'—х") dx'",	(128а)
так что, в частности:'
н°х,х„ = J 8 (У— х"')НЪ(х"’ — x")dx"',	(128b)
где И означает обычную гамильтонову функцию от координат х
и h д
и „слагающих импульса" /^=~—. —, причем как те, так и
I ОХ
другие относятся к точке х = хт (dx"' — элемент объема
в котором заключена эта точка).
Теперь легко показать, что интегральное уравнение (126) и
выражение (128b) для его „ядра" действительно сводятся к диф-
ференциальному уравнению (126а)
200	IV. Теория преобразований
Рассмотрим сначала часть //, зависящею от координат, т. е.
потенциальную энергию U (х, у, z). Согласно (128-а):
LP ,х„ = J U (х'") 6 (х' — х'") 8 (х'" — х") dx'" = U (хм) 8 (х" — х').
Подставив это выражение в (126), получим:
J ^’х"'Л" dx" — U (x')fv, .
Полагая далее, г—-—, имеем:
дх
J 8 ~~ х'") S (х"' — х") dx'" =
р	, д
= — I 8(х'— х'")	,, 8(х"'— x")dx"'
J	ох
и следовательно:
( v„ <\P„dx" = — J*dx" J о (x' — x'") о (x"' — x") dx'"
= —j 8(x'—x"')rfx'" J<£„ ~r,-8(x"' — x")dx",
или, интегрируя по частям:
''&'~д~х" 8^"’ — x")dx" = — J 8(х'" — x'')-^-<°,,<Zx'',
так как произведение 4°*"Цх"'—х") на пределах интегрирования
(или в бесконечности) обращается в нуль. Таким образом:
S^^dx" = Sdx"d-^S
dx'" 8 (х' — х'") 8 (х"' — х")
С	д
= J dx" - Ч 8 (х' - хм) = —т .
дх	дх	*
/ д \2
Точно таким же способом можно показать, что при	j
J -X" ax \dx’ I
и T. Д.
1 V / h d \2 ,
Полагая окончательно F=-~~ 7	-- U = H. получаем:
2m Ira dx!
§ 17. Теория преобразований, как обобщение волновой механики 201
J	Х'Х"У*x^dx" = FF/x'. Следует упомянуть, что эта формула спра-
ведлива тождественно, т. е. независимо от вида функции
Действительно, последняя определяется как из условия, что
функция Н№Х' должна равняться произведению Н'^х>.
Рассмотренное здесь обобщение матричной теории состоит, в ос-
новном, в приписании величинам, отличным от энергии и не коммути-
рующим с ней роли „основных величин", определяющих матрич-
ное представление всех других величин и в свою очередь представлен-
ных диагональными матрицами. В только что рассмотренном случае
эта роль основных величин была передана координатам. Предста-
вляющие их матрицы хх (или хху2, уху2, zxy,) определяются уравне-
ниями [см. (101b) § 14]:
ХХ'Х’> = -*'8 (х' — х")
(129)
или, подробнее:
(129а)
суще-
xxyz^ Х'у >z" = х'Ъ (У — х") 8 (/ —у") 8 (/ — z"),
yxyz', x’yz" = /8 (х' — х") 8 (у' —у") 8 (г' — /’), ►
zxyz>, vyz" = z'% (У — х") 8 (у' —у") 8 (г' — z").
Координаты сохранили, однако, в то же время и другую
ственную роль, в которой онй фигурировали с самого начала — роль
аргументов функции (при С=Н, х или любой другой „основ-
ной тройке"), служащих для непосредственного определения эле-
ментов матрицы Fc с помощью уравнения (127). Эта вторая роль
координат тесно связана с введенным первоначально представлением
физических величин с помощью операторов, определяемых как
функции от координат х, у, г, и элементарных дифференциальных
h д	h д	h д
операторов рх — -—- - - , р —	, р2 —	заменяющих
н к r 2тг/ дх 2т ду z 2т dz
слагающие импульса.
Эти функции предполагались известными, отождествляясь в дей-
ствительности с функциями, представляющими те же величины в
классической теории, на том основании, что выражение F(x,px)ty
сводится к произведению F(x, gx) - при замене функции при-
ближенным выражением ^ = ei<2^S/h (где S — функция действия клас-
сической механики).
Рассмотрим теперь дальнейшее обобщение матричной теории.
202
IV. Теория преобразований
состоящее в замене координат в этой второй роли, связанной
с обычным операторным представлением, некоторыми другими вели-
чинами Q, связанными с операторами, ’содержащими производные
по Q. Возможность — и, более того, необходимость — такого обоб-
щения явствует из того обстоятельства, что функции рас-
сматриваемые как коэффициенты преобразования „от точки зрения
с к точке зрения х“, или как амплитуды вероятности того, что
одна из этих двух величин имеет данное значение, когда значение
другой величины известно, практически симметричны по отношению
к обеим величинам. Вместо функций или, вернее, на ряду с
ними мы должны рассматривать также и функции	являю-
щиеся комплексно-сопряженными первых и соответствующие обрат-
ному преобразованию. Для этих функций роль координат играют
величины с, тогда как сами координаты выступают вместо с в роли
мосновных величин".
Заменяя шредингеровские волновые функции коэффициен-
тами преобразования или амплитудами вероятности наиболее общего
типа мы можем определить матричные элементы некоторой
величины F по отношению к с с помощью формулы:
Ftfc" — J aQ'cr ^aQ’c" dQ
или:
^c'c" = IE aQ'c' FaQ'c"’
Q'
в зависимости от того, имеет Q непрерывный или дискретный
спектр.
Это определение остается, однако, бессодержательным, пока сим-
вол F не определен как оператор „с точки зрения" Q, т. е. как неко-
торая функция от Q(Qt, Q2, Q3) и производных — . Рассмотрен-
ные нами до сих пор операторы всегда определялись с точки зре-
ния координат х и получались из классических функций F(x, gx)
в результате подстановки р.
„принцип относительное г и4
операторное представление, мы будем обозначать оператор, пред-
h д
— вместо gx. Вводя своего рода
2кг дх	х
,основных величин", определяющих
§17. Теория преобразований, как обобщение волновой механики 203
ставляющий некоторую величину F „с точки зрения Qu через 7\q),
где скобки введены нами для того, чтобы отличать этот опе-
ратор от соответствующей матрицы Fq. Операторы, определенные
обычным образом, т. е. с точки зрения координат, будут обозна-
чаться соответственно через F(x) и общее определение элементов
матрицы Fc с помощью оператора F(q) будет таково:	v
^С'С" = J* aQfCf ^(Q)aQ,C,t dQ = J*	j (130)
если спектр Q непрерывен, или
Гас = 2 aQfc ^(Q)aQ,c,t = ac^Q' ^(Q)aQ'C" 9	(130a)
Q'	Q'
если он дискретен.
Другое очевидное условие, которому должны удовлетворять
операторы F(qj, заключается в том, чтобы матричные элементы Fc,
определяемые предыдущими уравнениями, не зависели от выбора
величин Q.
Уравнения (130) и (130а) обнаруживают удивительное сходство
с уравнениями преобразования:
^С'С11 = J* J* acv Fq'q» aQt»cff dQ dQ
и
= 2 2 ^C'Q'^Q'Q" aQ"C" >
Q' Q'f
или, в сокращенном обозначении, основанном на законе матрич-
ного умножения:
Fc = а~ vFQa = а+ Fqcl,
где а обозначает матрицу преобразования aq>c>»
Уравнения обоих типов действительно становятся тождественными,
если операторы F(q) удовлетворяют условию:
^(Q)aQ,C,f= J* aQ',Cn dQ	(131)
или
’	(131a)
Q"
204
IV. Теория преобразований
Эти условия являются обобщением уравнения:
[ H\,x^x„dx" ==Н^Х,,
уже полученного нами выше при доказательстве эквивалентности
уравнения Шредингера (126а) и интегрального уравнения (126).
Заметим, что согласно нашему теперешнему обозначению, оператор
энергии записывается, как а волновые функции — как
ах’и'' Легко, далее, в качестве обобщения уравнения (128b), полу-
чить следующее соотношение между оператором F(q) и матрицей Fq.
Pqq'Q" = f W - Q")	(Q'" — Q")dQ'",	<13 lb)
где функции 8(Q' — Q'") можно трактовать, как коэффициенты
преобразования aq>Q»> для случая непрерывного спектра Q. Формулу
(131b) можно рассматривать, как непосредственное следствие урав-
нения (130).
Полагая в (131) F=c и принимая во внимание, что
J £ Q'Q,,a'Q,,c,,dQ — с uqicif,
согласно определению коэффициентов преобразования aQHC„ [см.
уравнения (125) и (126)], получаем:
С (Q)G'Q'c" —£	•
(132)
Это уравнение представляет собой непосредственное обобщение
уравнения Шредингера; с заменяет здесь Н, Q заменяет х, а ампли-
туды вероятности aQ>C'> (их можно также обозначать через ) —
обычные „волновые функциии	Если характер зависимости
служить для определения функций aQ'( = aQ>cn) и характеристиче-
ских значений с" оператора C(q). Следует заметить, что эти харак-
теристические значения не зависят от выбора основных
величин Q (или же являются инвариантными по отношению к
их преобразованию), представляя собой не что иное, как характе-
ристические значения оператора С(с), т. е, другими словами,—
(диагональные) элементы матрицы сс. Это отвечает физическому
смыслу характеристических значений какой-либо величины, а также
§17. Теория преобразований, как обобщение волновой механики 205
и тех значений, которые эта величина может принимать независимо
от значений, которыми обладают другие величины.
При выводе уравнения (132) мы предполагали, что характери-
стические значения Q образуют непрерывную последовательность.
Если же они образуют дискретную совокупность, то операторное
представление различных величин F по отношению к Q становится,
в общем случае,н евозможным, так как применение операторов —
О
к функциям от Q утрачивает смысл. Уравнение (131а) справедливо,
следовательно, только в том случае, когда оператор F(q\ сво-
дится к функции от Q. То же относится и к уравнению Fqq>qh =
= У1 SQfQnrFfQjSQfMQM , [которое могло бы заменить уравнение (131Ь)],
Q'"
имеющему смысл лишь в том случае, если F(q) является функцией
rd
от У ( не содержащей производных — I; при этом оно сводится к
\	О /
уравнению:
F°q,Qm = F(Q")8Q(Qm,
показывающему, что Fq — диагональная матрица.
Этот пример показывает, что матричная теория, развитая нами
вначале на основе теории операторов с помощью оператора энергии
Н(х) и волновых функций, определяемых этим оператором согласно
уравнению Шредингера H(xfyQx, — на самом деле является
значительно более общей, нежели теория операторов даже в ее
обобщенной форме, соответствующей замене координаты х некото-
рой другой „тройкой" величин, принимающих непрерывный
ряд значений.1
Можно было бы излагать теорию (следуя Гейзенбергу, Йордану
и Дираку) с другого конца — т. е. исходить из матричного пред-
ставления физических величин, получая операторное представление,
как его альтернативную форму для того случая, когда основные
величины принимают непрерывный ряд значений, и пользоваться
теорией преобразований для определения амплитуд вероятности
1 Заменив производные конечными разностями, можно было бы обоб-
щить теорию операторов и на дискретный случай.
206	IV. Теория преобразований
и, в частности, волновых функций волно-механической теории
де-Брогля — Шредингера.
Этот чисто дедуктивный метод с дидактической точки зрения
является, однако, черезчур абстрактным, так как он исходит из
понятий, совершенно чуждых привычным или яклассическим" пред-
ставлениям. Принятый же в этой книге индуктивный метод рассчи-
тывает не только на логику, но также и на интуицию читателя;
постепенно приводя его от конкретных привычных представлений к
новым абстрактным понятиям, он может оказаться более полезным
для тех, кому предстоит логически простая, но психологически
сложная задача — освободиться от старых представлений.
Следует добавить, что матричная теория остается голой схемой,
поскольку мы не делаем никаких конкретных предположений о
коммутативных свойствах и функциональных соотношениях для рас-
сматриваемых матриц; задача заключается в действительном определе-
нии элементов этих матриц с некоторой „точки зрения", после
чего с помощью теории преобразований может быть совершен пе-
реход к какой-либо другой точке зрения и могут быть определены
соответствующие амплитуды вероятности. Эти предположения бази-
руются, однако, на соображениях, лежащих вне логической схемы
матричной теории, и едва ли могут быть поняты без знакомства с
основной идеей волно-механической теории, согласно которой
движение частицы в заданном силовом поле определяется в терми-
нах теории вероятностей.
Это относится, в частности, к соотношениям коммутативности
между основными матрицами х и р:
РХ-хр = -£-Ъ	(133)
в связи с тем обстоятельством, что последние определяются, как
слагающие импульса в классическом выражении энергии Н (заме-
ненной матрицей Нх).
После установления этих соотношений, соответствующих кван-
товым условиям теории Бора, общая задача волно-механической
теории может быть сформулирована как преобразование всех мат-
риц (прежде всего х, р и Н) от точки зрения х к точке зрения И,
§17. Теория преобразований, как обобщение волновой механики 207
причем коэффициенты преобразования tyQxw являются амплитудами
вероятности нахождения частицы в данном положении, если известна
ее энергия, или амплитудами вероятности обладания частицей дан-
ной энергией, если известно ее положение. Решение этой задачи
обычно сводится к решению уравнения Шредингера, содержащего
оператор Н[ху
В качестве иллюстрации „принципа относительности" основных
величин в операторном представлении рассмотрим результаты, по-
лучающиеся в том случае, когда координаты заменены импульсами р.
Последние следует рассматривать при этом как обычные величины,
тогда как координаты в силу „квантовых условий" (133) могут
быть определены как дифференциальные операторы:
h д	h д	h д
Х =— -г—г-ч—,	У ——	, z =—	. (133а
2ти дрх	2ш дру	2ш др2
Оператор энергии Я(Р) можно определить, соответственно, как опе-
ратор, получающийся в результате подстановки в классическое
выражение функции Гамильтона — (р*	/V2) 4“ ^(х>^ z)
элементарных операторов (133а) вместо координат. Новые волновые
функции ф°ртр, соответствующие этому определению оператора энер-
гии, определяются дифференциальным уравнением [см. (132)]:
(133b)
не имеющим ничего общего с уравнением Шредингера — так как
кинетическая энергия	в представлении х сводя-
щаяся к характеристическому дифференциальному оператору V2
волновой теории (умноженному на —	в представле-
нии р остается обычной величиной, или, точнее, обыкновенным мно-
жителем при функции ^р°, тогда как потенциальная энергия стано-
вится дифференциальным оператором, применяющимся к этой функ-
ции; результат операции Я(р) эквивалентен умножению <Ьр° на
постоянный множитель Н' — одно из характеристических значений
Н. Как было установлено выше, — эти характеристические значе-
ния одинаковы, независимо от того, пользуемся ли мы представле-
нием х или р.
208
IV. Теория преобразований
Амплитуды вероятности являются, однако, в общем слу-
чае, совсем иными функциями от р', нежели обычные волновые
функции 'У*Х'Н' (за исключением случая гармонического осциллятора,
где потенциальная энергия представляет собой квадратичную функцию
от координат, подобно кинетической энергии, выраженной через
слагающие импульса). Согласно основному уравнению теории пре-
образований [см. например (119b)], эти функции должны быть
связаны друг с другом соотношениями:
1 (|34)
'Ур’Н' — j ар'х' ''Л'Н> dX — J ах'р< ^x’fi' dx ’
где коэффициенты
уравнением:
т. е.
преобразования ад.р> определяются операторным
Р(х)ах' =Р'ах’,
(134а)
h д
тдхах'у'г'=Р хах'у'г'’
h_d _ ,
2r.i дуах’'’’г' — р Уах'у'г’
h д _________ ,
2и7~dz ах'^г' ~Р
Отсюда следует:
п , , —_____1 _ pi'lKp'x'/h
ах'р' — г~- е	>
yh
(134b)
скалярное произведение векторов р и г, т. е.
1
где р'х' означает
сумму р'Хх' -\-p'vy' -\-p'zz'. Коэффициент —появляется в силу
Vh
соотношения ортогональности и нормальности:
ах’р’ а*х'р" dx' = 8 (р' —р") ИЛИ f ах'р< а*х"р' dP' = ^(х'—х").
Аналогичный результат получается и в том случае, когда функции
ах>р, или, вернее, ар>хгх определяются операторным уравнением:
х{р)аР~Х =х'ар~1,
§17. Теория преобразований, как обобщение волновой механики 209
в силу равенства хр
h д
— — тг- а ' Дающим:
2kz др

1 '
е-12тл'р’/Н
в согласии с соотношением: ар<х< -1 = а*х,р,.
Подставляя эти выражения в (134), получаем:

_ L.
рТ
f '^р'Н'ei2T^Px'x'+Py'y'JrPzt''>/h dpx'dpv'dpz';
(134с)
(135)
t'fl —	1 Г* Л0 p-il'n'x’/h ______________
V~h j 'X'H'	~
= -p2=- J* e~~i'1T^Pxx’+Py'y,-\-Pz'z'yh dx'dy’dz'.
Первую из этих формул можно, очевидно, рассматривать, как раз-
ложение функции в интеграл Фурье с коэффициентами
—тогда как вторая дает явное выражение этих коэффи-
]/ h
циентов. Вспоминая волно-механическую интерпретацию вектора
pf /h, как равного обратной длине волны и направленного в сторону
распространения волн, связанных с движением частицы, мы можем
трактовать коэффициенты преобразования ах^рЧ как плоские
синусоидальные волны (без временного множителя) и ин-
терпретировать уравнение преобразования (135), как представление
волновых функций ух,н, в виде суперпозиции плоских синусоидаль-
ных волн с различными амплитудами и направлениями. Такая физи-
ческая интерпретация находится в полном соответствии с физиче-
ским смыслом амплитуд Фурье ^р,нп как амплитуд вероятности того,
что частица обладает определенным импульсом р’ (независимо от
ее положения) при данном значении ее полной энергии Н\ которому
соответствует функция У^н1-
Мы не будем останавливаться на более подробном рассмотрении
обобщенной теории преобразований и ее применения к операторам,
отличным от х, р и Н. Существует, однако, специальный класс
210
IV. Теория преовразованиЙ
преобразований, заслуживающий особого внимания, — упомянутые
в конце § 16 „канонические преобразования второго рода".
Эти преобразования состоят в переходе от первоначальной тройки
(прямоугольных) координат (х) и соответствующих операторов им-
h д
пульса рх-= — — к некоторой новой основной тройке взаимно-
ох
коммутирующих координат (Q) и взаимно-коммутирующих импульсов
(Р), удовлетворяющих соотношению коммутативности:
PQ-QP=±J>	(136)
для данного движения, опре;еляемого оператором энергии:
=	(*> У, Рх, Ру, Pz\
последний преобразуется при этом в Н^= H<q^(Qv Q2, Q3, Pv Pv P3).
Удовлетворяющие соотношениям (136) величины P и Q назы-
ваются „канонически сопряженными" друг с другом. С точки зре-
ния новых координат (Q) новые импульсы (Р) представляются опе-
„ h д
раторами P(Q) = --. —.
Операторное представление Р с точки
зрения первоначальных координат х возможно, однако, лишь в том
частном случае, когда величины Q определены как функции от х,
не содержащие рх или Р. В этом случае, соответствующем „точеч-
ному преобразованию" классической теории, новые импульсы Р
могут быть выражены как определенные функции от первоначаль-
ных рх (в качестве параметров содержащие координаты х или Q).
В общем случае канонического преобразования, соответствующего
„контактному преобразованию" классической теории, такие соотно-
шения между новыми и старыми переменными места не имеют, и
для их определения следует пользоваться некоторым видом матрич-
ного представления. Соотношение между новыми и старыми пере-
менными может быть получено с помощью определенной матрицы
преобразования ср согласно уравнениям:
<2 = ? Р = ?~1рХ(?>
<2з =	|	(13ба)
Р1=?рХ1?, Р-1 = <?Ру'<?’ Рл = Чр^ I
§ 17. Теория преобразований, как обобщение волновой механики 211
Эти уравнения автоматически обеспечивают выполнение соотноше-
ний коммутативности, имеющих место между новыми переменными
(Q(QK-QKQi=0,	p.QK-QKp. = ±^.Ky
как следствие аналогичных соотношений между первоначальными
переменными.
Для того чтобы новые переменные были, так же как й перво-
начальные, представлены эрмитовыми матрицами, матрица преобра-
зования ср должна быть унитарной, г. е. удовлетворять соот-
ношению
i	I
Уравнения (136а) формально аналогичны, таким образом, урав-
нениям (124) § 16. Они имеют, однако, совершенно иной физиче-
ский смысл. Матрица преобразования а в (124) имеет смешанный
характер; она относится к двум различным группам состояний, —
тогда как элементы матрицы ср относятся к одной и той же группе
состояний, определяемой характеристическими значениями некото-
рой основной величины, служащей для определения матриц х, pxi
Q, Р и Н (эта основная величина может, в частном случае, сов-
пасть с неизменной энергией Н).
Уравнения (136а) следует рассматривать как соответствующие
дсо	<?ф
классическим уравнениям рх = ~- ... Q = -~ [см. (31а) § 4], опре-
деляющим контактное преобразование с помощью произвольной
функции ср. В квантовой теории последняя заменяется произволь-
ной матрицей преобразования ср.
В классической теории каноническое преобразование характе-
ризуется тем обстоятельством, что оно не изменяет канонической
формы уравнений движения. Как легко видеть, аналогичный крите-
рий применим и к каноническому преобразованию квантовой теории
(136а). Действительно, продифференцировав Q и Р по t, получаем:
^ = [«<51.	= П Ч,
что, в силу (136), может быть записано в виде:
dQ _дН	dP _	дН_
~dt~~ дР ’	dt ~	dQ
[см; § 7, ур. (43а) и (44с)].
212
IV. Теория преобразований
§ 18. Геометрическое представление теории преобразований.
Понимание обобщенной матричной теории, связанной с „прин-
ципом относительности" в выборе основных величин и с преобра-
зованиями от одних „основных величин к другим, может быть
значительно облегчено с помощью геометрической картины, или,
скорее, геометрического языка, основанного на формальной анало-
гии между уравнениями теории преобразований, рассмотренными
в предыдущих параграфах, и уравнениями теории линейных ортого-
нальных преобразований обычной аналитической геометрии. Сущность
этой аналогии состоит в том, что в обоих случаях уравнения пре-
образования линейны (и однородны), а коэффициенты преобразова-
ния удовлетворяют сходным соотношениям ортогональности и нор-
мальности. (Самое понятие „ортогональности" наводит на мысль
о взаимно перпендикулярных осях.)
Выбор основных величин в матричной теории соответствует
выбору координатной системы в геометрической теории, а относи-
тельность в выборе этих основных величин соответствует относи-
тельности выбора координатной системы — или, иными словами,—
эквивалентности всех направлений в пространстве.
Напомним, что в аналитической геометрии линейное ортогональ-
ное преобразование ёвязано с совокупностью линейных однород-
ных уравнений связывающих координаты x = xv у = х^9 z = xn про-
извольно выбранной точки в одной системе осей, например S, и
координаты этой же точки 5 = ^, = С = $3 в другой
системе причем обе системы координат ортогональны и имеют
одно и то же начало. Эти уравнения могут быть записаны в сле-
дующем виде;
(137)
при
= <h„ 1 = cos (хп, ?v).
(137а)
§ 18. Геометрическое представление теории преобразований 213
Геометрически очевидные соотношения апч =a.in 1 могут быть полу-
чены аналитически из условия ортогональности:
2*? = 2	(137b)
п	'<1
дающего, в связи с (137):
V	а V -1	-1
—=fjn,nn>	(137с)
V	п
С другой стороны, подставив значения 5 в выражение для х и
обратно, получаем:
(137d)
Сравнение этих уравнений с предыдущими уравнениями приводит
к соотношениям (137а), не давая, конечно, их геометрической ин-
терпретации.
Развитая в предыдущих параграфах теория преобразований
может быть получена из этой элементарной теории линейных орто-
гональных преобразований в результате двойного обобщения.
Во-первых — путем увеличения до бесконечности числа
координат, определяющих положение точки, т. е. путем рассмотре-
ния фиктивного пространства с бесконечным числом измерений
вместо обычного трехмерного пространства.
Во-вторых — путем рассмотрения координат точки, как к о м-
плексных величин и определения квадрата расстояния их от на-
чала координат не как суммы квадратов координат, а как суммы
квадратов их модулей. Условие ортогональности (137b) заме-
няется при этом следующим условием:
(1з8)
п	V
причем суммирование производится по всем координатам. В этом
случае вместо (137с) мы получаем:
V * _> V -1	&
V	Q
214	IV. Теория преобразований
и, так как уравнения (137d) остаются неизменными,
«,n-1 = a*w или	(138а)
т. е.
а"1 = а+.
В частном случае вещественных координат х, 5 это „унитарное*
преобразование сводится к обычному ортогональному преобразова-
нию (правда, с неограниченным числом переменных), и мы получаем:
а+ = а* = а (транспонированная матрица),
т. е. а~1 = а, что тождественно соотношениям (137а).
Хотя геометрическая интерпретация не может быть связана с
бесконечным числом комплексных переменных х, $, подчиняющихся
унитарным преобразованиям, мы можем, однако (так как число
переменных не играет особой роли с чисто-аналитической точки
зрения, поскольку оно больше 1), сохранить если не геометриче-
скую картину, то, по крайней мере, геометрический язык по
отношению к переменным х, $ и коэффициентам преобразования
anS. Мы можем, соответственно, трактовать первые, как координаты
точки в пространстве с бесконечным числом измерений по отно-
шению к двум ортогональным системам координат S и 2» тогда
как последние можно рассматривать, как косинусы углов между
старыми и. новыми координатными осями. Переменные хп и
можно определять таким образом, как проекции (или слагающие)
некоторого вектора г на эти оси.
В простейшей задаче матричного преобразования, рассмотрен-
ной в начале § 15, роль координат хп и играют характеристиче-
ские функции (или, скорее, амплитуды) <$•, <$'. Это ясно видно
из того обстоятельства, что они преобразуются согласно уравне-
ниям (110) и (111), являющимся аналогом уравнений (137), и
удовлетворяют соотношению ортогональности (ИЗ), имеющем^
точно такой же вид, как и уравнение* (138). Мы можем, таким
образом, описывать теорию матричного преобразования на очень
образном геометрическом языке, согласно следующим принципам.
Каждое стационарное состояние, определяемое волновой функ-
цией может быть представлено геометрически некоторым н а-
§18. Геометрическое представление теории преобразований 215
правлением или осью И' в пространстве с бесконечно боль-
шем числом измерений, которое мы будем называть простран-
ством состояний. Состояния, определяемые различными функ-
циями представляются взаимно перпендикулярными осями Н,
причем полная совокупность состояний, определяемых оператором
//, образует полную ортогональную систему координатных осей
в пространстве состояний. „Полнота" системы Н означает, что
любой „вектор" в пространстве состояний может быть представ-
лен, как геометрическая сумма его слагающих по осям Н.
Это применимо, в частности, к векторам, проведенным в на-
правлении другой полной ортогональной системы осей пред-
ставляющей стационарные состояния, определяемые оператором К-
Коэффициенты преобразования а^к1 можно рассматривать, как
проекции единичного вектора, параллельного определенной оси Л",
на различные оси //', или же, как косинусы углов между осями
К' и Н'. Последнее утверждение требует, однако, поправки,
так как коэффициенты = анк также претендуют на ту же
роль, представляя собой проекции единичного вектора, параллель-
ного некоторой оси Н', на различные оси Л". Такая интерпретация
ая'/с и	следует непосредственно из сравнения уравнений
преобразования = V	и	акн1 с урав-
Н<	К'
нением (137).
Следует упомянуть, что величины 6^ и ср#,, входящие в эти
уравнения в роли прямоугольных координат точки в пространстве
состояний, сами по себе являются функциями от обычных простран-
ственных координат х, у, z и относятся кодной и той же
(произвольно выбранной) .точке.
Поскольку эта точка остается неопределенной, и можно
трактовать, как век'торы; но, коль" скоро мы определим ее, по-
ложив х = х\ мы получим числа и Г/Х'кч которые, как
мы знаем, в отношении их физического смысла (как амплитуд ве-
роятности) и аналитических свойств (как коэффициентов преобра-
зования) совершенно аналогичны числам анчс • Мы можем рас-
сматривать их, соответственно, как слагающие векторов и
фдч вдоль осей третьей координатной системы х в пространстве
216	IV. Теория преобразований
состояний, причем каждая ось х' этой системы относится к опре-
деленному положению х = х', у=у, z = z частицы в обычном
пространстве. Оси этой новой системы х следует рассматривать
как ортогональные (т. е. взаимно перпендикулярные), несмотря на
то обстоятельство, что они соответствуют не дискретной группе
состояний, подобно осям системы Н или К, а континууму состояний.
Так как функции и ф®, как по отношению к х, так и
по отношению к Н или К нормированы к единице, векторы у
<р®., так же, как и векторы <^®, , о® (последние определяют не-
которое положение в пространстве, независимо от значений энер-
гии Н или АГ), можно рассматривать как единичные векторы,
а числа ^х,н, и '^х,к, ’интерпретировать геометрически так же, как
числа а&к , т« е- как косинусы углов между осями х' (не в обыч-
ном пространстве, конечно, а в пространстве состояний!) с одной
сIороны и между осями И' или с другой.
С этой точки зрения уравнения преобразования
'Ух’К' =	аН'К< >
~	^х’К' аК’Н> 1	(1 39)
К'
приобретают чрезвычайно простой геометрический смысл: они пред-
ставляют собой обобщение хорошо известных формул аналитиче-
ской геометрии для косинуса угла между двумя направлениями
х' и А", выраженного через косинусы углов между этими направ-
лениями и совокупностью взаимно перпендикулярных направлений,
образующих координатную ситему J-L
Действительно, если заменить	,я, и aw соответ-
ственно через cos (х', A"), cos (х, И') и cos (//', АГ), то первое из
уравнений (139) примет следующий вид: *
cos (х', А"') = cos (х', Н') cos (/А, АГ').
4 Необходимо, однако, различать два значения косинуса между
двумя направлениями (соответствующими проекции первого наира-
§ 18. Геометрическое представление теории преобразований 217
вления на второе, или второго на первое), так как ак,нГх =
= cos (/Г, И') не равно ==cos (//',/Г), а равно комплексно-
сопряженной величине cos И') = cos* (//', /С'). То же относится
конечно, и к функциям и	или , и
Следуя Дираку, мы часто будем пользоваться в дальнейшем
упрощенным обозначением (К \Н') и (/7'| Л") этих двух „коси-
нусов" или коэффициентов преобразования; мы будем записывать
аналогично:

устраняя, таким образом, излишние осложнения, связанные с при-
менением различных символов а, ф°, ?°, и т. д. Единичный вектор
(в пространстве состояний), определяющий некоторое состояние
х',Н\ или К' само по себе, т. е. независимо от осталь-
ных состояний, с которыми оно может быть связано, мы будем
обозначать, соответственно, символами (х'|), (/7'1), (А7'|) или (|х'), (|/7'),
(|/Г). Преимущество такого обозначения заключается в том, что
данное состояние представляется соответствующим символом (или
двумя „сопряженными" символами) вполне однозначным образом,
тогда как в нашем прежнем обозначении определенное состояние,
соответствующее одному и тому же положению х, описывалось
различными символами или , зависящими от „системы коор-
динат" Н или К.
В новом обозначении уравнения преобразования (139) могу!
быть записаны в следующем виде:
(У |^') = У(х'| И') (И'•/<’),

(139а)
К
Так как три координатных системы /7, К и
друг другу, мы могли бы написать по аналогии и
шение такого же вида, а именно:
X'
если бы переменная х\ так же, как и Н и К'?
х эквивалентны
третье соотно-
изменялась дис-
218
IV. Теория преобразований
кретно, х' изменяется, однако, непрерывным образом; мы должны
поэтому заменить сумму интегралом по х', что дает:
(Я' | к') =	' | х') (х' I Л") dx’,	(139b)
или, в прежнем обозначении:
ан'К' = J (*) ?°л-- (х) d v
— не что иное, как формула (110а), полученная нами в на-
чале § 15.
Уравнения (139а) и (139b) справедливы, конечно, для любых
трех групп состояний, которые могут быть определены тремя основ-
ными тройками величин. Следует напомнить, чго с физической точки
зрения они выражают законы умножения и сложения
амплитуд вероятности. Геометрическая интерпретация ам-
плитуд вероятности (Q' | С'), как косинусов углов между направле-
ниями Q = Q' и С— С в пространстве состояний, находится в полном
согласии с первоначальной интерпретацией ортогональности двух
функций, представляющих два различных состояния, как выражения
альтернативного характера этих состояний. Все состояния,
представленные взаимно перпендикулярными направлениями в про-
странстве состояний — альтернативны, т. е. взаимно исключаются в
том смысле, что вероятность нахождения частицы в одном из них,
если известно, что она находится в другом, — равна нулю. Все такие
состояния всегда могут быть отнесены к одной и той же группе.
Выяснив геометрический смысл амплитуд вероятности—или
матриц преобразования, — перейдем теперь к геометрической интер-
претации обычных матриц, представляющих физические величины
с той или иной точки зрения. Эта интерпретация уже определена
уравнением преобразования (121), показывающим, что эрмитовы
матрицы можно рассматривать как обобщение так называемых тен-
зоров или, точнее, симметричных тензоров элементарной
трехмерной аналитической геометрии.
Тензор может быть определен, как сложная величина с несколь-
кими слагающими, каждая из которых относится к двум осям одной
И той же системы координат и ведет себя по отношению к пре*
§ 18. Геометрическое представление теории преобразований 219
образованию координатной системы точно так же, как произведение
слагающих двух векторов по соответствующим осям.
Рассмотрим две координатных системы $ и Е и обозначим сла-
гающие некоторого вектора f вдоль осей $ и Е соответственно
через fn и Д. Составив произведения слагающих f на слагающие
некоторого другого вектора g, относящиеся к той же системе
координат, мы получим группу из 9 величин:
Tmn=fmgn или 7^=/^.	(140)
Эти величины можно рассматривать как слагающие одного
и т о г о ж е тензора Т, отнесенные соответственно к координатной
системе S или 2. Принимая во внимание уравнения преобразования
/р.	Sn
m	n
с коэффициентами an^ = an~x = cos (xn, Q, мы получаем:
Трл	Tmn	^mnan'i (140a)
m n	m n
Tmn ==	1	1	a.i}l 1	(140b)
Эти уравнения преобразования могут служить для определения
тензора Т в общем случае, когда его слагающие не могут быть
приведены к простой форме (140). Эти уравнения могут быть,
очевидно, записаны в следующей матричной форме:
Т± = a~rTsat Ts = aT^a~1.ff
Отсюда следует, что матрица Fc, представляющая некоторую
величину F с точки зрения некоторой другой основной величины
С, может быть интерпретирована геометрически, как некоторый
тензор F в пространстве состояний, отнесенный к системе коорди-
нат, оси которой представляют состояния, определяемые характери-
стическими значениями С.
Матрицы Fc, представляющие вещественные величины, являются
эрмитовыми, т. е. удовлетворяют соотношению:
,
220	IV. Теория преобразований
последнее можно рассматривать как обобщение условия:
т — 7	7 — ~г
1 тп 1 пм	1 рг; J
для симметричных тензоров обычной аналитической геометрии.
Такие тензоры допускают очень простую и наглядную геомет-
рическую иллюстрацию, а именно — с помощью центральной поверх-
ности второго порядка (эллипсоида, гиперболоида), опре-
деляемой уравнением:
= 1	(КОС)
т п
в системе координат S, или:
(140d>
в системе координат S.
То обстоятельство, что эти два уравнения представляют одну
и ту же поверхность, т. е. что коэффициенты Ттп и
преобразуются друг в друга согласно уравнениям (140а) и (140b),
может быть проверено путем подстановки в (140) выражений
==	И
т	п
Мы получаем при этом:
177 Iх ^n ) Xm *n	1 ’
p* \ m n
или, изменив порядок суммирования ио греческим и латинским ин-
дексам:
хт Хп	^р,ч ат\). anV ) = 1 ’
т п	р м
что, в силу (140а), совпадает с (140с).	*
Слагающие симметричного тензора в некоторой координатной
системе, можно, таким образом, интерпретировать, как коэффициенты
в уравнении определенной центральной поверхности второго по-
рядка, отнесенной к той же координатной системе; это дает воз-
можность представлять себе симметричный тензор неза-
§ 18.	Геометрическое представление теории преобразований 221
висимо от каких-либо координат, как определяе-
мую им поверхность второго порядка.
Каждая центральная поверхность второго порядка обладает тремя
взаимно перпендикулярными осями симметрии, которые могут быть
определены следующим образом: по отношению к координатной
системе S, оси которой совпадают с ее осями симметрии, уравне-
ние поверхности сводится к „канонической“ форме:
y.V2'a=1>
р-
не содержащей произведений различных координат.
Матрица Ts, рассматриваемая с этой точки зрения оказывается,
таким образом, диагональной. Возможность приведения уравнения
центральной поверхности к канонической форме, т. е. существова-
ние осей симметрии можно доказать с помощью хорошо извест-
ного метода, приводящего в то же время к практическому опре-
делению углов между этими осями и первоначальными осями хп9
т. е. к определению коэффициентов ортогонального преобразования
и диагональных элементов преобразованной матрицы или,
иными словами, характеристических значений тензора Т, Т^= Г.
Этот метод состоит в определении вершин поверхности, т. е.
концов осей симметрии, с помощью одного из следующих
условий:
1.	Нормали к поверхности в вершинах совпадают по направ-
лению с радиусами векторами, проведенными из центра. Это усло-
вие приводит к уравнениям:
dF
~— пропорционально хт,
иХщ
где F означает левую часть уравнения (140с) или, если коэффи-
циент пропорциональности обозначен через Т\
Тщп хт .	(141)
п
Поскольку мы имеем дело с обычным трехмерным простран-
стве м, мы получаем, таким образом, совокупность^ трех линейных
уравнений, совместных друг с другом лишь в том случае, если
222
IV. Теория преобразований
определитель их равен нулю. Последнее условие дает кубическое
уравнение для Т'\ трем корням его соответствуют три группы
значений хп (обозначим их хпт>\ определяющих три взаимно-пер-
пендикулярных вектора и сводящихся к косинуса^ углов между
старыми осями и осями симметрии, если они нормированы к
единице. Три значения Т оказываются тремя диагональными эле-
ментами преобразованной матрицы или тензора
2.	Расстояния вершин от центра или квадраты их г2 = XJx2w
обладают наибольшими или наименьшими значениями, совместными
с уравнением:
Т = Т^ Xm Хп — I •
тп
С помощью Лагранжева метода неопределенных множителей
мы получаем уравнение
(141а)
в котором можно приравнять нулю коэффициенты при вариациях
отдельных координат при надлежаще выбранном значении коэффи-
циента. Отсюда получается система уравнений, при Х=—Т совпа-
дающая с уравнениями (141).
Следует упомянуть, что вариационное уравнение (141а) можно
также интерпретировать, как условие максимума, минимума или
стационарного значения F при F — const.
3.	Мы могли бы, наконец, найти оси симметрии 7, определяя
коэффициенты преобразования ап^ в уравнениях (140а) таким об-
разом, чтобы преобразованная матрица была диагональной. Как
легко показать, это приводит к уравнениям (141), или, точнее:
Tmn хпТ> = Т Хтт>.
п
ь
Эти уравнения так же, как и уравнения (141), относятся, оче-
видно, к тому же типу, что и уравнения (122b) или (123) § 16,
определяющие преобразование матрицы К к диагональной форме
Кк- Они отличаются только числом измерений; последнее рав-
няется трем в случае обычного пространства и бесконечности
в случае пространства состояний. Другое различие между вашими
§ 18. Геометрическое представление теории преобразований 223
и соответствующими элементарными уравнениями состоит в том,
что векторы и тензоры, с которыми мы имеем дело в случае
пространства состояний, — комплексны, причем условие симметрии
обычных тензоров заменяется условием Эрмита для тензоров
в пространстве состояний.
В результате такой модификации, с чисто аналитической точки
зрения являющейся тривиальным обобщением понятий и соотношений
обычной аналитической геометрии, мы можем воспользоваться по-
нятием тензора и понятием центральной поверхности второго по-
рядка в пространстве состояний для представления физических
величин, до сих пор представлявшихся эрмитовыми матрицами.
Понятие тензора совместно с „принципом относительности" в выборе
системы координат вполне эквивалентно понятию матрицы в соеди-
нении' с принципом относительности основных величин, опреде-
ляющих координатную систему.
Дополнительная черта геометрического представления, полу-
ченного путем обобщения геометрической теории, заключается в
возможности изображения величины F с помощью центральной
поверхности второго порядка в пространстве состояний, причем
оси симметрии этой поверхности представляют различные состоя-
ния, определяемые характеристическими значениями F; последние
же обратно пропорциональны квадратам длин этих осей, проведен-
ных от центра к вершинам. Последнее соотношение вытекает из
того обстоятельства, что в канонической форме уравнения поверх-
ности	коэффициенты представляющие собой
обратные значения квадратов длин осей (с положительным или от-
рицательным знаком), представляют собой в то же время характе-
ристические значения Т (или Г, Т", 7'"') тензора Т.
Уравнение поверхности второго порядка, изображающей некото-
рую величину F, отнесенное к осям симметрии поверхности, изо-
бражающей некоторую другою величину, например С, может быть за-
писано в следующем виде:
2 2 а<:" =const ’	(142)
с1 с"
224
IV. Теория преобразований
если значения с образуют дискретную группу, или же:
f J* Fc'c" а*с ас" de’de" = const,	(142a)
если они меняются непрерывным образом, тогда как выражения
Е==Улас'	(142ь)
с'
ИЛИ
Е = j a*,ac,dc'	(142с)
можно интерпретировать как квадрат расстояния от общего центра
обеих поверхностей до некоторой точки с координатами ас>.
Характеристические значения F и определяемые ими состояния
можно найти путем преобразования уравнения (142) к канониче-
ской форме, т. е. к осям симметрии Л. Эта задача, как мы уже
знаем, решается с помощью уравнений преобразования:
или
(НЗ)
причем ас< = ас>г> = (с1 I F') — косинусы углов между осями сим-
метрии с и осями симметрии F, или с физической точки зрения —
амплитуды вероятности получения некоторого значения с, если
значение F задано.
Совпадение осей симметрии, изображающих F и с поверхно-
стей 1, означает совпадение состояний, определяемых соответ-
ствующими характеристическими значениями F и с и эквива-
лентно условию коммутативности величин F и с, определен-
ных как матрицы или операторы с какой-либо общей точки зрения
(Q). Матрицы Fc и сс, будучи диагональными, должны комму-
тировать друг с другом, так как произведение их также является
диагональной матрицей, независимо от порядка множителей:
(^с)с'с"   Fctci Сс<I^с'с'1 —— (£F)cI(*ii .
1 При этом мы имеем в виду совпадение осей лишь по на прав-
л е п и ю, а не по величине.
§ 18. Геометрическое представление теории преобразований 22о
При всегда можно определить (унитарную) матрицу Ь,
преобразующую с в Q согласно уравнению Q = b~'cb. В силу свой-
ства инвариантности любых соотношений между F и с по отноше-
нию к каноническим преобразованиям, получаем:
FqCq— CqFq = b (FcCc — Cc Fc) b~' — 0.
Уравнения преобразования осей с к осям F в общем случае,
когда эти величины друг с другом не коммутируют, могут быть
получены из вариационного принципа, сходного с тем, который
служит для определения вершин поверхности в обычной аналити-
ческой геометрии. А именно, мы можем положить 8 5 = 0 при до-
полнительном условии (142) или (142а), что дает;
85—5'85 = 0	(143а)
где F — левая часть уравнения (142) или (142а), &Е — соответст-
венно выражение (142b) или (142с), тогда как F' — неопределен-
ный множитель. Это уравнение можно также интерпретировать, как
выражение того обстоятельства, что 8 5=0 при условии Е = const
(например, 1). Вариации ас> и следует рассматривать как не-
зависимые друг от друга и коэффициенты при них в (143а) поло-
жить равными нулю, что приведет нас к уравнениям преобразо-
вания (143) и их комплексно сопряженным уравнениям (т. е. ура-
внениям обратного преобразования).
„Условные" вариационные уравнения 8 5= 0 при F= const или
8 5=0 при Е= const могут быть заменены „безусловным" вариа-
ционным уравнением:
8 (5/5) = 0,	(143b)
автоматически учитывающим нормирование функций ас< , поскольку
дело касается значения 5. Действительно, если ac< не нормиро-
ваны, то функции о^/Уе можно рассматривать как их норми-
рованные значения, а 5/5 — как значение 5 при выполнении со-
ответствующих условий нормирования
= 1
С'
226
IV. Теория преобразований
или
J* CLqiiCIqii(Iqii = 1 •
Из уравнений (143b) и (143а) явствует, что экстремальные зна-
____	е
чения F/Е совпадают с характеристическими значениями Т7'; это об-
стоятельство может быть обнаружено непосредственно с помощью
уравнений преобразования.
Взяв, например
Г =^2fclcnaC'acn !Е,
с' с"
в силу соотношения
&С" :=S F CLqT
с"
мы получаем:
р —йс'ас' I Е = F1*
с>
Рассмотренный здесь вариационный принцип представляет собой
обобщение вариационного принципа для энергии, приведенного в пре-
дыдущей главе в форме 8/7=0, гд? /7= J*^0*/7^0rfV, при усло-
вии Е =	1. Он приводится к этой форме, если функция
заменена суммой	, где	‘ характеристические
с1
функции оператора который можно трактовать как оператор
Гамильтона, несколько отличный от оператора Н (х).
Это приводит нас к задаче теории возмущений, которую с
геометрической точки зрения можно трактовать как нахождение
осей симметрии поверхности второго порядка К> если известны
оси симметрии несколько** отличной от нее поверхности /7.
Точнее, мы можем сказать, что с этой геометрической точки
зрения, квантовую механику можно рассматривать,
как аналитическую геометрию центральных по-
верхностей второго порядка в пространстве со-
 § 18. Геометрическое представление теории преобразований 227
стояний; длины осей симметрии каждой такой поверхности опре-
деляют характеристические значения физической величины, изобра-
жаемой этой поверхностью, а направления осей—соответствующие
состояния. Косинусы же углов между осями симметрии двух различных
поверхностей представляют собой амплитуды вероятностей некото-
рого значения одной величины (или совокупности трех величин),
когда другая величина (или совокупность трех величин) принимает
данное значение.
В заключение добавим несколько замечаний по поводу принятых
обозначений. Дирак, а вслед за ним и другие авторы, обозначают
элементы матрицы Fc символом (r'|F|f"), эквивалентным символу
применявшемуся в этой главе. Преимущество Дираков-
ского символа заключается в тесной связи его с символом (F'|C')
для амплитуд вероятности ^,с,. Пользуясь дираковским обозначе-
нием, мы можем записать уравнения преобразования, связывающие
матрицы Fh и F% в следующей форме:
(дтю=У У( w
И' Я"
если спектр Н дискретен, или
(J<'\F\f<") = J j*(К'\Н) dH' (H'\F\H") dH" (Н"\К"),
если он непрерывен.
Индекс0 в наших обозначениях указы ает на то обстоятельство, что
время в рассмотрение не принимается, или, вернее, что все рассматри-
ваемые величины относятся к одному и тому же моменту времени.
Другое замечание относится к векторному обозначению, при-
меняемому Дираком для характеристики состояний.
Состояние — в квантово-механическом смысле — определяется
вектором, например 6, единичной длины и определенного направле-
ния в пространстве состояний. Обозначим слагающие этого вектора
в координатной системе с через Это же состояние можно, од-
нако, определить величиной, комплексно сопряженной с т. е. век-
тором со слагающими ф*.
228
IV. Теория преобразований
Сумма	или интеграл J*являющийся мерой
с'
квадрата общей длины векторов и может трактоваться как их
„скалярное произведение" Аналогичньш образом, скалярное про-
изведение двух различных векторов и относящихся к двум
различным состояниям, обозначается символом или % —
что в координатном представлении означает \ или
(в случае непрерывного спектра суммы заменяются ин-
с
тегралами).
Эти выражения (являющиеся комплексно сопряженными по от-
ношению друг к другу) можно рассматривать с физической точки
зрения, как амплитуды вероятности одновременного осуществления
двух состояний (как меру „взаимной совместности" этих состояний).
Если эти состояния альтернативны (взаимно исключены), то
вектора и взаимно ортогональны, т. е.
Предположим, что F означает тензор, представляющий не со-
стояние, а некоторую физическую величину („наблюдаемую" или
„динамическую переменную", согласно Дираку) с компонентами FC'C>,
вдоль осей (состояний) с (для удобства мы отбрасываем индекс
нуль). Сумму	^или интеграл §FC>C" tyC"dc"^ можно рас-
с"
сматривать как слагающую по оси с' некоторого другого вектора (на-
пример ср), определ ющего некоторое состояние, в общем случае отлич-
ное от Этот вектор мы будем называть произведением тен-
зора F на вектору и обозначать его через Fty (так что
^Ftyc1 — ^F,c- tyc" У Комплексно-сопряженный вектор ср* может
с"
быть определен анало:ичным образом как произведение F и
взятых в обратном порядке, т. е.: ср* = 6* Л, что в ко-
ординатном представлении означает:
( или р*„ Ft^dc"\.
6"
§18. Геометрическое представление теории преобразований 229
Это дает
?•<•=2 < =2 ^=22
с'	cf сп
(ИЛИ ^^с"Гс"с^с’аС'аС")>
что можно обозначить просто через F
Далее (рассматривая для простоты случай дискретного спектра с)
получаем:
?=?с,=2 2<5'*" Fc"c' Fc'c'" •
с'	с1 с" с’"
или, так как ^FC„C,FC,C„,= (F4)
Cf
мы имеем
=х ф* У7® ф.
Предыдущая формула представляет собой простейший пример,
„тензорного произведения". Произведение двух тензоров F и G,
взятых в определенном порядке, определяется, как тензор с ком-
понентами:
(FG^qiiqhi — Fq>>q< Gc'c1" или § Fq*>c< Gcc"i de •
с'
Это определение тензорного умножения тождественно определению
матричного умножения, если F и G рассматриваются не как тен-
зоры, а как матрицы.
Матричное представление может быть применено также и к та-
ким векторам, как если мы обобщим понятие матрицы введением
матриц, состоящих не из квадратной таблицы чисел (элементов,
компонент), а из прямоугольной таблицы (с разным числом строк
и столбцов) и, в частности, из линейной таблицы, обла-
дающей лишь одним столбцом или одной строкой. Если мы хотим
сохранить общий закон умножения, т. е. закон, согласно кото-
рому произведением двух матриц называется матрица, полученная
путем сочетания строк первого множителя со столбцами вто-
рого множителя, мы должны представить вектор и его комп-
лексно-сопряженный вектор линейными матрицами различного
230	IV. Теория преобразований
рода, причем одна, рассматриваемая как первый множитель, со-
стоит лищь из одной строки, а вторая — лишь из одного столбца.
Рассматривая компоненты ф и ф вдоль осей с, как элементы
матриц и <}Л, мы можем положить, соответственно:
И
' ’рс-
Л.
Это означает, что при перемножении двух векторов или вектора
и тензора мы всегда должны начинать с комплексно-сопряженных
величин (<|>*, ср*). С матричной точки зрения мы должны писать
(адъюнгированная матрица) вместо так как определенная выше
матрица ф* получается из матрицы ф не только переходом к комп-
лексно-сопряженным ее элементам, но также и в результате пере-
становки строк и столбцов (см. § 16). При этом условии скалярное
произведение двух векторов-матриц ф и ср может быть записано в
форме ф+ср или <р+4>, тогда как символы фр+ или не имеют
смысла. Записав обычным способом компоненты ’^+(р, получаем:
^тс'Ус'п,
с'
что равно нулю при т ф 1 (не первая строка 6+) и п ф 1 (не пер-
вый столбец ср).
Произведение вектора и тензора F может быть представлено,
соответственно, в одной из двух форм: F\ или причем
первая является матрицей такой же формы, как <р, вторая — матри-
цей такой же формы, как Эти матрицы взаимно адъюнгиро-
ваны, так что мы можем записать:
(W=^,
что совершенно естественно, так как F+ — F (поскольку F—эрми-
това матрица).
Следует, наконец, упомянуть, что линейные матрицы с элемен-
тами = могут быть заменены „квадратными" матрицами с
§ 18. Геометрическое представление теории преобразований 231
элементами представляющими группу векторов, соответству-
ющих различным значениям Q' или, иными словами, различным зна-
чениям косинусов углов между направлениями Q' и с’. Такие мат-
рицы являются не эрмитовыми, а унитарными, т. е. удовлетворяют
соотношению
('pc'Q'-1 = <&«')•
Предыдущие формулы, относящиеся к произведениям типа
и 1и F^ и т. д., остаются справедливыми при такой интерпретации
ф, т. е. в том случае, когда мы рассматриваем их не как векторы,
определяющие состояния, а как косинусы углов между двумя группами
осей, определяющими две группы состояний или характеризующими
амплитуды вероятности их сосуществования. Уравнения преобразова-
ния =	, где ср и трактуются как векторы (т. е. ли-
нейные матрицы) и а — как унитарная матрица преобразования,
могут быть записаны соответственно в форме: = (порядок
множителей в правой части равенства противоположен порядку
множителей, соответствующему произведению на матрицу, пред-
ставляющую тензор)
Глава V.
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ.
§ 19. Теория возмущений, не содержащих времени (метод
стационарных состояний).
Точное определение волновых функций = (xf |/7'), харак-
теризующих движение частицы в сложном силовом поле, обычна
оказывается невозможным вследствие аналитических трудностей. Но
даже если бы эти трудности и могли быть преодолены, едва ли можно
было бы воспользоваться полученными результатами и, тем более,
наглядно представить их себе. Таким образом, как с математиче-
ской, так и с физической точки зрения, в случае сложного силового
поля желательно пользоваться приближенным методом определения
функций ^°, исходя из точного определения последних для движе-
ния в упрощенном силовом поле и вводя поправки для учета „воз-
мущающих сил", т. е. тех сил, которые не были учтены с самого
начала.
Оператор энергии, соответствующий „невозмущенному", т. е.
упрощенному движению мы будем обозначать через Н(=Н[Х}\ а
его характеристические функции через (= tyx'H')* Оператор
энергии, соответствующий истинному или „возмущенному" движе-
нию, будем обозначать через	а его характеристические
функции через (=<?^).
Разность К — H=S представляет собой, таким образом, до-
полнительную или „возмущающую" энергию; обычно она является
не чем иным, как потенциальной энергией возмущающих сил.
Эту возмущающую энергию следует, конечно, рассматривать
как „малую". Точный смысл этого условия выяснится при более
подробном рассмотрении задачи.
Как было уже упомянуто, теория возмущений (поскольку Н и
К не содержат времени) сводится к преобразованию всех физиче-
§ 19. Теория возмущений, не содержащих времени 233
ских величин, рассматриваемых как матрицы, от точки зрения опе-
ратора Н к точке зрения оператора К\ при этом последний пред-
полагается мало отличным от /7, так что вычисления могут быть
осуществлены с помощью метода последовательных приближений.
Принципиальная сторона этого метода заключается в рассмот-
рений всех величин, содержащих 5, например матричных элементов
> ^к малых величин первого порядка, и в расщеплении точ-
ных уравнений на ряд приближенных уравнений, содержащих ма-
лые величины одного и того же порядка.
Предположим сперва, что Н обладает дискретным спектром и
что невозмущенное движение невырождено, т. е. что
знания характеристических значений Н достаточно для полного
определения соответствующих состояний.
Основная часть нашей задачи состоит в преобразовании матрицы
Кн к диагональной форме Кк и в определении матрицы преобра-
зования а согласно общему уравнению:
Кк=(^Кна (а± = а~')>	(144)
или
К на =	(144а)
так что [см. (123) § 16]:
=/С	(144b)
Я"
Мы должны прежде всего определить „нулевое приближение",
соответствующее 5 = 0, т. е. совпадению К и Н. Отмечая тождест-
венные состояния одинаковым числом штрихов у букв К
или Н {К —Н', К" —И", К" = Н'" и т. д.), мы можем положить
в этом случае:
а = 8,
т. е.
ан,!Кн! = Ън,,Кн, ,	(145)
где 8 — смешанная единичная матрица с диагональными элементами
Ън>к, = ЪНпКн=\ (все боковые ее элементы равны нулю}.
Уравнения (144b) сводятся в этом случае к
Кн'Н'” = К” 'aw1,
234
V. Теория возмущений
т. е.
К°Н,Н, = К',	(145а)
или же: К' = Н\ так как Кнчг =Hhw = Н'.
Рассмотрим теперь тот случай, когда S О, предполагая, что и
в этом случае имеет место однозначное соответствие между невоз-
мущенными состояниями Н', И", Н"',... и возмущенными состоя-
ниями К, К', К" ... — в том смысле, что состояния, отмеченные
буквами К или Н с одним и тем же числом штрихов, совпа-
дают друг с другом, когда энергия возмущения 5 стремится
к нулю.
Мы можем положить, соответственно:
4-ДЯ,	(146)
где ДА/'—изменение энергетических уровней, обусловленное воз-
мущением, и
a = 8-J-A^> т* е* ан =	(146а)
причем поправки кацчс’ предполагаются малыми ч ю сравнению
с 1). Далее:
=	Т* е* Кн'Н" =	$Н'Н'> • (146b)
Подставив эти выражения в уравнения (144b) и принимая во
внимание, что
Я® = /7'8
мы получаем:
Н	$Н'Н"	$Н'Н" ^ан"К'" ~
//"	II"
= (Я''Д^н) (8//>А7н 4~ Д^/^,0*
Так как 8^^^= 0 при Н"фКп1 (и=1 при Н" = К"), и
(Я'"—Я')Зя'А"' = 0, как при К" = Н', так и при К'"фН',
мы получаем:
$н’н"г 4" zE $н'н" ^ан,,к,п ~
нп
=	+ А^а„) + (Я'" -Я') \ац,к>„.	(147)
§19. Теория возмущений, не содержащих времени 235
Эти уравнения могут быть решены путем последовательных при-
ближений, если мы предположим, что Shw (матричные элементы
энергии возмущения „с точки зрения* невозмущенной энергии) —
малые величины одного и того же (первого) порядка и разложим Д/У'
и Да в ряды следующего вида:
Д/У' = Д /у'4-Д /у'Д-..., 1
л л Та 1	(147а)
где Дп/У' и ДЛа — поправки л-того порядка (т. е. того же по-
рядка величины, что и и-тая степень элементов S//).
Подставляя (147а) в (147) и отбрасывая члены второго и более
высоких порядков, мы получим в качестве первого приближе-
ния:
.	(148)
Полагая К"'=К’ (и следовательно Н"' = /У), получим:
=	•	(148а)
Эта формула определяет, в первом .приближении, изменение
энергетических уровней, обусловленное возмущением.
Если К"' отлично от К' (и, следовательно, Н'" отлично от
А/'), уравнение (148) сводится к
т. е.
= - /У'-/У'” ’	(148b)
что определяет с точностью до малых величин первого порядка
коэффициенты преобразования
Сохранив в выражении (147) члены второго порядка, отбросив
члены третьего и более высоких порядков и принимая во внима-
ние уравнения первого порядка (148), мы получим уравнения вто-
рого порядка:
2^7/"	~
Н"
—	-j-(А/	/У)Д2а^,д,„. (149)
236
V. Теория возмущений
Следует заметить, что эти уравнения, точно так же, как и урав-
нения более высоких порядков, могут быть получены из (147)
в результате подстановки в них выражений (147а) и отбрасывания
всех членов за исключением членов рассматриваемого порядка. Пола-
гая в (149) КШ = К' (и Нт = Н'), имеем:
Н"
или, в связи с соотношением (148а):
Н"^Н'
С°
Подставив сюда выражения (148b) (заменив К'" на К' и Н
на /7"), получим:
= -	2	(149а)
Н„^Н! п п Н"ф1Г П 11
При К^фК', уравнение (149) сводится к:
$Н’Н"	~	4~ № Н)	9
И"
что, с помощью (148а) и (148b) дает следующее выражение для
поправки второго порядка в коэффициентах а:
СО СО	со по
д ________ у	^Н’Н"’ ^Н^Н'4
или
д ________ V •	$Н’Н" $Н”Н"'	ri4QM
9	ф,н... (Н' - Н'”) (Н" - Н'") •	(149Ь)
Производя суммирование по И", мы должны отбросить член Н" =
= Н'п (и точно так же Н" —Н'), так как формула
о°
— ту"______77'^
справедлива только при Нп -ф Н'"> тогда как при Н" =Н'п мы
получаем:
Aia/r'/<N = 0.
(150)
§19. Теория возмущений, не содержащих времени 237
Последнее уравнение может быть выведено из условия нормально-
сти, которому удовлетворяет матрица а\
V *	—1
Zj aH<Kn аНЧ<" 1а
Я'
Полагая анч<" = 8#^ + (так как 8^я^=1 при /У'=/У" и
= 0 при Н'фН"), имеем:
^ан1,кп “Ь 5	~	(150а)
откуда следует, что
^^нпкп 4“	— 0*
В силу вещественности диагональных элементов матрицы а —
= ан»К'} получаем:
0.
Формула (149) также оставляет неопределенными диагональные
элементы ^анч<>». Они могут быть определены, однако, с помощью
уравнения (150а) или, вернее, уравнения-
4~ ^1ан'Кп &1ан(к" =
н>
получаемого из него в качестве второго приближения (путем от-
брасывания всех членов, за исключением членов второго порядка).
Вместе с уравнением (148b) оно дает:
4А«.=-4- 2 тЛМг,- <,50Ь>
Формула (150) является совершенно очевидным следствием гео-
метрической интерпретации коэффициентов ан><кп^ как косинусов
углов между осями симметрии поверхностей второго порядка, изо-
бражающих (в пространстве состояний) энергию Н и энергию К-
По определению, Н и К должны очень мало отличаться друг от
друга; соответствующие друг другу оси Hf и К (или Н" и К"
и т. д.) должны поэтому иметь приблизительно одно и то же
направление, тогда как не соответствующие друг другу оси (//' и
К") должны быть почти перпендикулярны друг другу. Обозначая
238
V. Теория возмущений
угол между Н' и К' через «/аа' и считая его малой величиной
первого порядка, получаем:
& j-j*	’ " COS ОС• 1
2
Это означает, что поправка первого порядка обращается в
нуль, тогда как ^ган>^ =-----^-(«//'А'Л Сравнивая этот результате
формулой (150b), мы можем положить:
2	<|51)
Эта формула показывает, что углы между соответствующими осями
симметрии Н и К—того же порядка величины, как и отношение
матричных элементов возмущающей энергии S, взятых для различ-
ных состояний //, к разности между характеристическими значе-
ниями Н для этих состояний.
Аналогичный результат, б несколько более простой форме, по-
лучается при рассмотрении первого приближения значений коэф-
фициентов ан<к" — Ьамк" в случае КпфК'> Полагая а^к^ =
= COS ЯЯ'А"
= ~2	4” ^//'А"
, где Да//'А"— малый угол, мы
И
получаем:
ClH'K" ~ — Sin Ььн'К" = — Д^Л/'А" >
откуда, согласно (148b):
>
(151а)
Этот угол не следует смешивать с углом, на который должна быть
повернута ось И" для того, чтобы совместиться с осью К" и ко-
торый равен	. Сравнение уравнений (151) и (151а)
показывает, что этот угол можно рассматривать как (геометриче-
скую) сумму взаимно перпендикулярных угловых перемещений типа
Да/ГА" Для различных значений Н' (^ 77"). Другими словами, угло-
вое перемещение	можно рассматривать как составляющую
элементарного поворота вдоль оси И'. Мы получаем, таким
образом, закон векторного сложения элементарных вращений во-
§ 19. Теория возмущений, не содержащих времени 239
круг различных (взаимно перпендикулярных) осей, представляющий
собой обобщение соответствующего закона для обычного трехмер-
ного пространства.
В последнем случае бесконечно-малый поворот координатной
системы может быть охарактеризован некоторым вектором <о, опре-
деляющим (кажущееся) изменение неподвижного вектора г с помощью
формулы Дг =— оо X г. Поскольку мы рассматриваем первое при-
ближение, слагающие со и Дг вдоль старых и новых
осей могут быть отожествлены друг с другом. Пре-
дыдущая формула дает следующее уравнение для слагающих вдоль
старых осей:
ДХ| =	Xj = х3 -|- и>3 х2,
Дх2 = £<2 Х2 = 0J3 Xj —(Oj х3,
Дх3 = $3 Х3 =	СО»2 Xj.
Их можно рассматривать, как частный или, скорее, предельный слу-
чай ортогонального преобразования для того случая, когда две си-
стемы (S и Е) очень мало отличаются друг от друга. Полагая:
o)j = a23=	a32, a)2 = a31=	a13, <D3 = aH=
мы можем переписать предыдущее уравнение в форме:
Дхп/ = ^-ппп' Хп" •	(152)
п"
Сравнив уравнения (152) с точными уравнениями i реобразования:
=	^п"^ Хпч ,
л"
мы видим, что они могут быть получены из последних подстанов-
кой
^п"п'	==
где 1/ и ri означают соответствующие оси новой и старой системы,
т. е. оси, первоначально совпадавшие. Углы должны приближенно
обращаться в нуль, для того чтобы мог.ш быть выполнены соот-
ношения нормальности и ортогональности.
Мы видим, таким образом, что бесконечно-малое ортогональ-
ное преобразование в обычном пространстве можно трактовать, как
240
V. Теория возмущений
бес онечно-малый поворот первоначальной координатной системы,
определяемый как в отношении направления оси вращения, так и в
отношении угла поворота с помощью (бесконечно-малого) вектора ш
со слагающими о^, <о2, <о3 или „антисимметричного тензора“а со
слагающими —отнесенными к первоначальнььм осям.
Эти результаты легко могут быть обобщены на бесконечно-малые
ортогональные преобразования в „пространстве состоянийа, соответ-
ствующие переходу от осей симметрии поверхности второго порядка,
изображающей невозмущенную энергию Н к осям симметрии поверх-
ности второго порядка, изображающей полную энергию К=Н 5.
Оставляя энергию возмущения S произвольной, мы можем пред-
ставить (кажущееся) изменение слагающих любого вектора обу-
словленное малым поворотом координатных осей, с помощью урав-
нения, аналогичного уравнению (152), а именно:
(Л^)я, —	(152а)
н"
где а обозначает „антиэрмитовый" тензор, представляющий собой
обобщение антисимметричного тензора и удовлетворяющий усло-
вию:
«Я'Я" = —	(152b)
или
а+ = — а.
Эти результаты могут быть получены точно таким же способом, как
и в трехмерном случае из точного уравнения преобразования:
~ ан"к' ’
нп
если мы положим	и = ^нпн' — где
а означает малые величины первого порядка. Подставив поел дние
выражения в условия ортогональности и нормальности и пренебре-
гая членами второго порядка, мы получаем, заменив индекс сум-
мирования К' на Н'\
2-i аН'пН< Н" Z,	= О»
Н1	/Г
§ 19. Теория возмущений, не содержащих времени 241
т. е.
*	I	п
~г — О,
что эквивалентно соотношению (152b).
Действительно, с помощью (148b) в силу равенства ctwwi^
= — Д^ага'', мы получаем:
ая"и1 =	»
так что условие (152b) действительно удовлетворяется.
Следует упомянуть, что в случае обобщенного пространства
с числом измерений, превосходящим три, антисимметричный тен-
зор уже неэквивалентен вектору.1 С помощью углового вектора,
соответствующего со, нельзя уже, таким образом, осуществить пово-
рот поверхности второго порядка Н в такое положение, чтобы оси
ее совпали (по направлению, но не по длине!) с осями поверхно-
сти К, точно так же, как нельзя определить этот поворот его сла-
гающими вдоль различных осей /7. Вместо того чтобы пользо-
ваться координатными осями, мы можем, однако, воспользоваться
координатными плоскостями (в случае обычного про-
странства число этих плоскостей равно числу осей, чтб объясняет
возможность представления первых последними). Величины aH>w
можно интерпретировать как проекции тензора поворота	на
плоскость (/7", //'). Угол, на который должна быть повернута ось Н"
для того, чтобы совпасть с осью К", определяется формулой
а2 —^-la	I*
*Н"К" — £ I	I '
аналогичной обычной формуле сложения элементарных вращений,
рассматриваемых как векторы (например о? =	-f-	+ шз2)>
так как в предыдущем уравнении одна из осей (Н") зафиксиро-
вана, суммирование по различным плоскостям, проходящим через
нее, эквивалентно суммированию по всем осям, отличным от Н".
1 Если п —число измерений, то число различных неисчезающих сла-
гающих антисимметричного тензора равно п (п—1), что совпадает с чис-
лом составляющих вектора только при л = 3.
242
V. Теория возмущений
Выражения (152с), определяющие элементарные вращения, точно
так же, как соответствующие поправки (первого порядка) для значе-
ний энергии кН'— К' — Н', могут быть получены несколько более
простым способом с помощью выражения (152а) и уравнений
И^н' = Н'^Н' и =
Полагая в последнем уравнении	/С = Н'~\^Н’
и /(= Н-\- S, получаем:
- Щи’ + S^h’ + 1ЩН, + S = Н'^н, + ДЛГфя' + Н'ЩИ. +
+д^д^,
или, отбрасывая члены второго порядка малости (т. е. произведения
S!^H' и Д/ГД^я'):
S'^r + НЦн> = кН'^Н' + Н’Щн'-	(153)
Согласно определению матричных элементов имеем:
Н"
С другой стороны, согласно (152а):
ЯД^я, = — ан„н, Щн" = —
Я^	Я"
<*Я"Я' Н"^Ни.
В результате уравнение (153) может быть записано в следую-
щей форме:
Н	= кН 'Ь/' Н ан><н> ^Н" >
Я"
или:
1Е С$Я"Я' & аЯ"Я'1 ^Н" = кН —
Н"
Н"
Приравняв коэффициенты при 6^' в обеих частях
получим:
=^Н'	1
= (Н" — Н’) * Н„Н' J
(153а)
равенства,
(153b)
в согласии с приведенными выше результатами.
§ 19. Теория возмущений, не содержащих времени 243
То обстоятельство, что уравнение (153а) распадается на урав-
нения (153b) для коэффициентов при отдельных обусловлено,
как уже было отмечено выше (ч. I, § 17), взаимной ортого-
нальностью функций Если мы имеем уравнение типа
— V Ь& справедливое тождественно (т. е. для всех
№
значений х,у, z), то, умножив его на и проинтегрировав по х,у, z,
мы получим: Л/// = Ьцч все же остальные члены обратятся в нуль.
До сих пор мы предполагали, что невозмущенная задача „невы-
рождена*, т. е. что все характеристические значения Н различны.
Существенное значение этого предположения явствует из того обстоя-
5° „
тельства, что уравнения = тт,?"*1’ теряют смысл при Н" —Н',
если состояния и являются различными. Более того, ока-
зывается невозможным определить различные состояния с помощью
одного лишь значения энергии. Мы присоединим поэтому к энер-
гии некоторую другую величину С, коммутирующую с ней (т. е.
представляющую константу движения), и предположим, что она обла-
дает различными значениями для различных состояний, соответствую-
щих одному и тому же значению энергии.
Видоизменение теории, связанное с наличием вырождения в не-
возмущенной задаче, легко может быть интерпретировано геометри-
чески. Если энергия Н изображается поверхностью второго порядка
в пространстве состояний с осями симметрии, длины которых обратно
пропорциональны соответствующим характеристическим значе-
ниям 77, то вырождение означает, что некоторые из этих осей
обладают одной и той же длиной, причем соответствующее „сече-
ние" поверхности, охватывающей все равные оси, является „кру-
говым*. Вырождение такого рода имеет место в обычной ана-
литической геометрии в случае эллипсоида с двумя или тремя рав-
ными осями, причем эллипсоид вырождается в сфероид или в сферу.
Поскольку поверхность невырождена, направление ее осей сим-
метрии является совершенно определенным. Наличие вырождения
обусловливает произвол в выборе осей симметрии внутри „круго-
вого" сечения поверхности, так как любая ортогональная система
244	V. Теория возмущений
осей оказывается пригодной. Это соответствует физической не-
определенности соответствующих состояний и необходимости харак-
теристики их с помощью некоторой вспомогательной величины С,
которую также можно представить себе изображенной некоторой
поверхностью второго порядка. Коммутативность Н и С означает, как
мы знаем, что оси симметрии соответствующих поверхностей имеют
одинаковое направление; если одна из них обладает „круговым"
сечением, то оси ее внутри этого сечения могут быть отождествлены
с осями другой поверхности.
Рассмотрим тот случай, когда поверхность, изображающая энер-
гию возмущенного движения, невырождена. Мы получим при этом
два типа соотношений между ее осями симметрии и осями симмет-
рий Н. Вне круговых сечений оси К1 должны очень мало отличаться
от соответствующих осей Н', как это до сих пор и предполагалось.
Если же мы будем рассматривать совокупность равных осей Н,
находящуюся в некотором круговом сечении и выбранную более
или менее произвольно, то углы между ними и осями поверхно-
сти ЛГ, соответствующими этому сечению, отнюдь недолжны быть
малыми. Процесс последовательных приближений, основываю-
щийся на предположении о малости всех углов должен поэтому,
в общем случае, приводить к неверным результатам. Последнее
обстоятельство явствует из формулы (152с), дающей бесконечно
большое значение для если разность Н"— Н' (для двух раз-
личных состояний) обращается в нуль при ф 0.
Ясно, таким образом, что прежде чем приступать к процессу
последовательных приближений, основанному на предположении
о малости углов, следует сперва действительно сделать их малыми,
преобразовав совокупность осей, относящихся к каждому „круго-
вому" сечению таким образом, чтобы они приближенно совпадали
с соответствующей группой осей ЛГ. Это „предварительное" пре-
образование или преобразование „нулевого порядка" может быть
осуществлено для отдельных круговых сечений независимо друг от
друга, т. е. путем отбрасывания в общем уравнении поверхности К,
или, вернее, в уравнениях преобразования Кн~+Кк всех членов,
связывающих различные круговые сечения друг с другом (или
с отдельными осями). Действительно, коэффициенты преобразова-
§ 19. Теория возмущений, не содержащих времени 245
ния анк1" и	где Н' и Н" относятся к одному и тому же
круговому сечению, а К"'—к другому „почти“-круговому сече-
нию должны быть величинами первого порядка малости (так как
оба сечения „почти" перпендикулярны друг к другу); ими можно
поэтому пренебречь по сравнению с коэффициентами или
Qh'W, где К" относится к почти-круговому сечению ТС, при-
ближенно совпадающему с круговым сечением 77, содержащим
оси Н' и 77".
Для дальнейшего изложения представляется удобным изменить
наши предыдущие обозначения и обозначать г' осей кругового
сечения, соответствующего значению Н = Н', через С\ С'2... С / . г
осей соответствующего почти-кругового сечения поверхности К мы
будем обознать через ТС/, , К'г>- В общем случае однознач-
ного соответствия между г осями К' и г осями С не существует.
Они образуют две различных ортогональных системы и предвари-
тельное преобразование, представляющее собой не что иное, как
преобразование С —> К1, осуществляется для каждого кругового
сечения в отдельности.
Точные уравнения преобразования Н—>К распадаются таким
образом на совокупность систем уравнений „нулевого порядка" сле-
дующего вида:
г’
УКс'тспаС'пК'==Кас’тк', '	(154)
лЯЛ
п=Л
т = 1, 2, 3,..
Для каждого из „кратных" значений /7, соответствующих г' раз-
личным состояниям, мы получаем, таким образом, систему линей-
ных однородных уравнений, содержащих состояния только этой
группы. Эти уравнения совершенно аналогичны общим уравне-
ниям преобразования для случая отсутствия вырождения:
I	~	9~
2 ^H'H" аН"К'” = К * аН'К"’ ’
Н"
отличаясь от них только тем обстоятельством, что они относятся
к конечному числу состояний — в результате чего оказывается
246
rV. Теория возмущений
возможным решить их точно, без помощи метода последовательных
приближений.
Полагая в (154) K = H-}-S и К' = Н' -f~ SH', в связи с равен-
ством НС'тС,п = Н'Ьтп получаем:
Г'
V
/ cf К'	кг *
п-1
(154а)
Для простоты мы перепишем это уравнение или, вернее, сово-
купность г уравнений в следующей форме:
У S0 а = \Н'а
/ । тп п	1
п— 1
(154b)
где т— сокращенное обозначение С'т, а индекс К отброшен. Усло-
вие совместности этих уравнений:
Г»0 _ A TJt	Qt)	QO
5“2, s°r,r,-bH'
дает г значений „дополнительной“ энергии ДЛГ, в общем случае
отличных друг от друга. Таким образом, возмущение расщепляет
каждый кратный энергетический уровень Н' на несколько (/) раз-
личных „подуровней" К = Н' ^Л, Я'+	, Н' +
Каждому значению ДА7Г (обозначим его через &HS') соответствует
определенная совокупность значений г коэффициентов ат:
ams == als> <hs....ar's9
Как и в общем случае, каждая из этих совокупностей должна быть
нормирована к единице, причем различные группы взаимно орто-
гональны. Для каждого ^'-кратного значения невозмущенной энергии
Н' мы получаем, таким образом, унитарную матрицу преоб-
разования а порядка г, служащую для преобразования первона-
чальных г функций фс'р ^С'2 • • • Фсу, связанных с энергетическим
уровнем Н', к новым функциям	связанным с раз-
личными подуровнями, на которые этот уровень расщепляется.
§ 19. Теория возмущений, не содержащих времени 247
Пользуясь матричным обозначением для обеих совокупностей функ-
ций, мы можехм записать соотношение между ними в следующей форме:
ф' = аф или ф'+ = ф+ а+.
Предыдущие результаты тождественны с результатами, получен-
ными нами в § 9 главы II с помощью вариационного метода.
Необходимо подчеркнуть, что функции ф' представляют собой не
совокупность состояний К, а некоторую другую вырожденную сово-
купность состояний Н, являющихся только приближением к соответ-
ствующим состояниям К. Исходя из этих функций, можно обыч-
ным способом получить приближения более высокого порядка.
Важно также отметить, что приближения первого порядка для энер-
гии определяются, согласно (154с), в связи с „нулевым приближе-
нием" характеристических функций,.
Легко показать, что состояния Н, определяемые новыми функ-
циями фг, таковы, что матрица возмущающей энергии 5 по отно-
шению к ним диагональна. Это вытекает из того обстоятельства; что
уравнения (154а) имеют такую же форму, как и уравнения пре-
образования матрицы Кн к диагональной форме Кю причем К
заменено через S, К1 через Д/Г, а вся поверхность второго по-
рядка К—ее „почти круговым" сечением. Обозначая преобразован-
ную матрицу энергии возмущения (для /'состояний ф') через S', мы
получаем:	. S' = a(-i) Sa = a+Sa.	/
Диагональные элементы S' равны значениям Д/Г для соответствую-
щих состояний, так что мы можем положить:
S'k’sK's=^H's.
Это уравнение имеет точно такой же вид, как и уравнение (148а),
относящееся к случаю отсутствия вырождения.
Уравнения эти имеют очень простой физический смысл; обусло-
вленная возмущающими силами дополнительная
энергия равняется, в первом приближении, сред-
нему значению энергии возмущения S для невоз-
мущенного движения.1
1 Этот результат справедлив равным образом и в теории возмущений
классической механики, где среднее значение S определяется, как сред-
нее по отношению ко времени.
248
V. Теория возмущений
При отсутствии вырождения невозмущенное движение опреде-
ляется однозначным образом с помощью функции относящейся
к одному определенному состоянию. При наличии возмущения невозму-
щенные состояния определяются с помощью предварительного преобра-
зования и отличны, в общем случае, от первоначальных состояний.
Сформулируем теперь условия, при которых возмущение можно
трактовать, как слабое. Эта „слабость" должна, очевидно, соот-
ветствовать малости углов между осями симметрии поверхностей
К и Н, а также малой разности между длинами этих осей. „Кру-
говые" сечения Н, соответствующие вырождению, можно не при-
нимать во внимание, так как направления осей, лежащих внутри
этих сечений, остаются произвольными и всегда могут быть сделаны
близкими к направлениям осей соответствующего сечения К.
Мы видим теперь, что в первом приближении углы ан'К" равны
,/(//' — Н"), а разности Ккк1 — Нн’Н' = К — Н' равны
Отсюда следует, что возмущение можно рассматривать, как слабое,
если матричные элементы возмущающей энергии, взятые по отно-
шению к различным значениям Н, малы по сравнению с разностью
этих значений, а диагональные элементы малы по сравнению с со-
ответствующими значениями Н.
Малость S в этом смысле не исключает возможности того, что
энергия 5, рассматриваемая как функция координат частицы (т. е.
в классическом смысле) в некоторых точках или областях может
становиться очень большой и даже бесконечной. Это обстоятельство
значительно расширяет область применения волно-механической тео-
рии возмущений по сравнению с теорией возмущений классической
механики, согласно которой S должно быть мало по сравнению
с И’ во всех точках певозмущенной области движения.
§ 20. Распространение предыдущей теории на случай „отно-
сительного вырождения" и непрерывного спектра; влияние
возмущения на различные физические величины.
Во многих невырожденных задачах мы встречаемся со случаем
возмущения, которое не может быть рассматриваемо, как слабое —
в вышеуказанном смысле—по отношению к невозмущенным состоя-
ниям определенных совокупностей, тогда как по отношению к состоя-
§ 20. Относительное вырождение и непрерывный спектр 249
ниям, принадлежащим к различным совокупностям, оно является
слабым. Это означает, что матричные элементы 5 по отношению
к различным состояниям одной и той же совокупности велики —
или по крайней мере не малы — по сравнению с разностями энер-
гий этих состояний, в то время как матричные элементы S по отно-
шению к состояниям, относящимся к каким - либо двум различным
совокупностям, малы по сравнению с соответствующими разностями
энергии. В предельном случае, когда разности энергий между состоя-
ниями одной и той же совокупности 'обращаются в нуль, мы воз-
вращаемся к рассмотренной выше „вырожденной “ задаче. Совер-
шенно ясно, однако, что этим же методом можно воспользоваться
приближенно и в том случае, когда эти разности энергий не равны
нулю, а малы по сравнению с соответствующими матричными элемен-
тами S, так что (невозмущенные) энергии рассматриваемых состоя-
ний без особой ошибки могут быть отождествлены друг с другом.
Это показывает, что понятие „вырождения" является относи-
тельным; с точки зрения интересующей нас энергии возмуще-
ния S рассмотренное выше „абсолютное" вырождение представляет
собой предельный случай этого относительного вырождения. Если,
например, S содержит непрерывно изменяющийся параметр (электри-
ческое или магнитное поле),'то, постепенно увеличивая последний,
мы можем перейти от практически невырожденной задачи к задаче
практически вырожденной, причем вырождение распространяется
на определенные совокупности состояний, разности энергий между
котор:> ми при увеличении S становятся малыми по сравнению с со-
ответствующими матричными элементами 5; по сравнению же с раз-
ностями энергий между состояниями различных совокупностей ма-
тричные элементы функции S остаются малыми.1
Предположим, что различные невозмущенные состояния подраз-
деляются с точки зрения значений энергии на относительно узкие
группы, отделенные друг от друга большими промежутками; состояния
одной и той же группы мы будем называть мультиплетами. Если
энергия возмущения (определяемая значением ее матричных элемен-
тов по отношению к соответствующим состояниям) мала по сравне-
1 Примером является переход от слабого к сильному магнитному полю
в теории эффекта Зеемана (Пашен-—Бак-эффект).
250
• V. Теория возмущений
нию с расстоянием между различными мультиплетами и не мала (но
не обязательно велика) по сравнению с „шириной" отдельных муль-
типлетов, то развитая в предыдущем параграфе теория возмущений
уже не применима и должна быть заменена более общими сообра-
жениями.
Обобщенный метод возмущений (разработанный Леннард-Джон-
сом и Джонсом) чрезвычайно прост и заключается в расщеплении
полной и точной системы уравнений преобразования:
2 аН"Кт = К аН'К"'
я"
на несколько приближенных систем, относящихся к отдельным муль-
типлетам и получаемых из предыдущих уравнений путем сумми-
рования по //" при данном значении Н' только по
состояниям, относящимся к тому же мультиплету,
что и Н'.
Именно так поступали мы и раньше при выводе уравнений (154),
относящихся к предельному случаю абсолютного вырождения. Эти
уравнения применимы, однако, также и к более общему случаю отно-
сительного вырождения, если С/, С/,..., С/ означают состояния
одного и того же „мультиплета", а значения энергии///, ..., Н'г>
близки к определенному значению Н' и далеки от значений энергии
относящихся ко всем остальным невозмущенным состояниям. Для
доказательства достаточно отметить то обстоятельство, что матрич-
ные элементы полной энергии К по отношению к состояниям различ-
ных групп малы; ими можно поэтому пренебречь по сравнению с ма-
тричными элементами, соответствующими состояниям одной и той
же группы (мультиплета).
В геометрическом представлении невозмущенных и возмущен-
ных состояний, как осей поверхностей второго порядка Н и К
в пространстве состояний, мультиплет соответствует „почти“-кру-
говому сечению поверхности //. Поскольку каждое такое сечение
почти параллельно некоторому, также почти-круговому сечению
поверхности /С, мы имеем дело с возмущением, которое может счи-
таться слабым по отношению к состояниям различных мультиплетов.
Оно может быть, однако, в то же время, сильным по отношению
§ 20. Относительное вырождение и непрерывный спектр 251
к состояниям одного и того же мультиплета, если оси симметрии
соответствующих почти-круговых сечений Н и К имеют различ-
ные направления. В этом случае однозначное соответствие между
невозмущенными и возмущенными состояниями каждого мульти-
плета места не имеет точно так же, как и в случае абсолютного
вырождения. Различие между обоими случаями заключается только
в том, что в первом случае невозмущенные состояния определены
однозначно, тогда как во втором случае они представлены совер-
шенно произвольной совокупностью взаимно-перпендикулярных осей
в соответствующем круговом сечении поверхности Н.
Как уже было упомянуто, уравнения (154) справедливы также и
в случае „относительного вырождения", если С/, ..., Сг> обозначают
состояния мультиплета, относящиеся к соседним значениям энер-
гии /7/,... ,Н'уравнения (154а) или (154b) в общем случае, однако,
неприменимы, так как мы должны принять во внимание разности
энергий для различных „подуровней" Нп' (и = 1, ... , /). Для
этого мы должны заменить Д77' в (154а) на = К—77^, что
в обозначениях (154b) дает:
г’
7 5° а = ЬН' а ,	(155)
тп п т т1	v /
ИЛИ
V 5о а = (Mi'— ьн'’) а ,	(155а)
j тп п 4	т ' т1	v
где
ьн^к'—н' и ^нп;=н>
причем И' представляет собой среднее из г' значений 77/,	,..., Н'г>.
Условие совместности уравнений (155а):
5»1 + д/71'-д/7')	s;2,	।
SL 5’4-д^' —д/7’,	s°2r,	।
21’	22 । а	2г'	;=0(155Ь)
отличается от уравнения (154с) добавочным членом Д77от в диагональ-
ных элементах определителя и приводит, как и раньше, к г (в общем
252
V. Теория возмущений
случае различным) значениям энергии возмущения К = Н'
Если недиагональные члены определителя достаточно малы, он сво-
дится к произведению диагональных членов, что приводит к со-
отношениям Д/7' = S° &Нп' или	которые были полу-
чены нами в предыдущем параграфе для случая отсутствия вырож-
дения. Если же, напротив, члены Д/7т или, вернее, —Нп' малы
по сравнению с SQmn, уравнение (155b) практически сводится
к уравнению (154с) для случая полного (абЬолютного) вырождения.
До сих пор мы предполагали, что волновые функции опре-
деляющие невозмущенные состояния, взаимно ортогональны. Выше-
изложенная теория легко может быть распространена и на тот слу-
чай, когда условие ортогональности не выполняется. Мы не будем,
однако, рассматривать этот случай подробно, так как он уже был
разобран нами в § 9 гл. II с помощью вариационного метода. Резуль-
таты, выраженные уравнениями (61), представляют собой обобщение
уравнений (154), отличающихся от (специальных) уравнений (62)
лишь обозначениями.
Следует упомянуть, что состояниям, определяющимся неортого-
нальными волновыми функциями, в пространстве состояний соответ-
ствует система неортогональных осей, к которым относятся поверх-
ности энергии Н и К. Неортогональность этих осей означает физи-
чески, что соответствующие состояния не исключаются взаимно, при-
чем интеграл J	является мерой вероятности одного из
них, если второе осуществляется в действительности.
До сих пор мы имели дело лишь с таким случаем, когда невоз-
мущенное движение обладает дискретным спектром энер-
гии (с точки зрения классической механики это означает, что дви-
жение происходит в ограниченной области пространства). Случай
непрерывного спектра Н может быть трактован аналогичным образом.
При этом, однако, не имеет смысла определять вызываемое возму-
щением изменение энергетических уровней, поскольку уровни обра-
зуют непрерывную последовательность. Одна из основных задач
теории возмущений, относящаяся к случаю дискретного /7-спектра,
а также и все осложнения, связанные с вырождением, таким обра-
§ 20. Относительное вырождение fT непрерывный спектр 253
зом отпадают. Вторая задача — определение изменения волно-
вых функций, характеризующих стационарные состояния, может
быть решена точно так же, как и раньше, — путем определения
коэффициентов преобразования а^ки. В данном случае нулевое
приближение дается формулой:
ая,^ = 8(Я-/Г)
вместо прежней: ан<к" — ^Н'Н"- Вместо уравнения (144b) мы полу-
чаем:
J	~ ан<к,п •
Полагая = ЦН" — ^аН"К'п и К = Н S, в силу соот-
ношения Н*„„ = Н'Ъ (И1—И") имеем:
п'п"	4	7
Н' [8 (Н'-Н'") + ^а№К,„] +	-I- J s^,, ^н„к,„ dH" =
= /Г
чтб при К"' = Н" 4~ ^Нможет быть записано в виде:
§ $н<н',^аНиК1н dH =
= МГ [о (НИ"’) + Ьан,Кт ] 4- (Н,п— И') Ьа^,,.
Этот метод может быть применен успешно только в том случае,
если известно, что величины Ьан’к,п малы, — условие, в общем слу-
чае не выполняющееся.
Другой метод заключается в непосредственном определении изме-
нения ДД/г функции обусловленного возмущением (без помощи
интегрального представления этих функций), по формуле
= J ^н^н" АН"
(где Ьан>н” — Ьан'К")* Рассмотрим уравнение
(/7+5-Г) (^-РМя0 = 0.
Оно может быть записано в виде:
(Н-К’)	= -S(^ 4- Д^)	(156)
и отличается от приближенного уравнения (153) „нсрасщеплен-
ностыо" энергии К' возмущенного движения и присутствием малого
254
V. Теория возмущений
члена Отбросив последний, мы получаем уравнение первого
приближения:
=	(155а)
Аналогичным образом, подставляя в правую часть предыдущего
уравнения поправку n-того порйдка для получаем уравне-
ние, дающее поправку (л-|~1)"°го порядка:
(//_ Г) Ап+1 = - S^H,.	(156b)
Точная функция	определяется, таким образом, как пре-
дел ряда:
+ • • •
Этот метод был разработан Борном в связи с задачей о столкно-
вениях (см. часть III). Он может быть применен также и к случаю
дискретного спектра; при этом мы должны, однако, положить.
Г = Н' АЯ' = Н + А-j-	+ ...,
что приводит к уравнениям:
(// _ 77') д= — (S -
(77-Т/') Д2’^ = - (S— \Н') А4„ + (А2Я')
(Н-Н1) \+1	= — (S — \Н') д„^, +
+ (Д^) Дя-1 -!-//’ + ••• + (Д„+1 Н') ън..
(157)
’Задача в этом случае усложняется, так как мы должны определить
не только функции Afl^p, Д2^ и т. д., но также и числа Aj/Y',
А/Л... Она может быть однако решена с помощью свойству
ортогональности решений неоднородного уравнения
(157а)
по отношению к решениям соответствующего однородного уравне-
ния. Умножив предыдущее уравнение на какое-нибудь решение
однородного уравнения (И — Н')	= 0 или на комплексно сопря-
женную функцию и проинтегрировав, получаем, в силу само-
сопряженности оператора Н\
(H-H')xiV= р(Я-Я') ¥H.dV=0,
и следовательно:
J f^H,dV=Q.	(157b)
§ 20. Относительное вырождение и нспрерывный спектр 255
Применив это „свойство ортогональности“ к первому из урав-
нений (157), получаем:
VH'dV=$ ^H,dV,
т. е.‘=	. Применив его ко второму уравнению, полу-
чаем аналогичным образом:
Это выражение может быть вычислено после определения
из первого из уравнений (157). Указанный процесс можно продол-
жать сколь угодно далеко, причем определение &пН' всегда будет
предшествовать определению
Умножив (157а) на вместо и проинтегрировав, нахо-
дим:
(157с)
Применив этот результат к первому’из уравнений (157), получаем:
где

Этот результат вполне естественен, так как *в силу ортогональ-
ности функций и мы имеем:
J* dV —	•
Предыдущие результаты справедливы, очевидно, только в то.м
случае, когда невозмущенная задача невырождеиа; при наличии
вырождения—абсолютного или относительного — они должны быть
видоизменены. Мы не будем, однако, останавливаться на рассмо-
трении этого случая, а исследуем вкратце влияние, оказываемое
возмущением на различные физические величины У7, описываемые
256
V. Теория возмущений
как матрицы с точки зрения Н в случае невозмущенного движения,
и с точки зрения К — в случае движения возмущенного. Это легко
осуществить после того, как определенье малые величины ^ан<кп
или Полагая
__F0 —ДЯ°
1 К'К" 1 Н'Н" — ш Н'Н">
получаем:
или, так как
а = 84-Да и 8+F = F8=F,
^Н'Н" = (F Да + 4«+f)w + (Да + F д« )Я'Н-
Это дает в первом приближении:
или, в случае дискретного спектра Н (при отсутствии вырожде-
ния или при вырождении, учитываемом предварительным преобра-
зованием), согласно (148b):
так как
д ро ____V $Н"'Н" । V
1 н'н"~& Н"-Н" /	’
о°
д+ _______ д *	__ _ Д	__ ^Н'Н"'
&1аН’Н<" — ^1аН"’Н' — Ь1ан,нт н ft,И •
(158)
Полагая Н" =Н' и заменяя Н'" через //", получаем, в частности:
V? <?°	। * <?° Р°
ГН’Н"	“г ° И'И"1 Н"Н'
Н'—Н"
(158а)
Я"
Эта формула определяет изменение средних или вероятных
значений величины F для различных возмущенных состояний по
сравнению с значениями соответствующими невозмущенным состоя-
ниям. Полагая F=S, получаем:
Д5.
Сравнивая это выражение с формулой (149а), мы приходим v
следующему соотношению между поправкой второго порядка для
энергии и поправкой первого порядка для
= ~2
(158b)
§ 20. Относительное вырождение и непрерывный спек гр 257
Эта формула совершенно аналогична выражению:
^Н' = 8*
1	п'Н'
и может быть обобщена дальше, а именно: учитывая поправки
n-го и (л—1)-го порядка, получаем с помощью уравнений (157)
ДЛ'= —\ 1	
П	п—1 ПП
В качестве иллюстрации мы применим предыдущие уравнения к
случаю водородоподобного атома, возмущаемого однородным элек-
трическим полем £, параллельным оси х. В этом случае S = — еЕх,
где х — координата электрона по отношению к ядру. Полагая в (158а)
Fz=ex> мы получаехМ следующее выражение для добавочного элек-
трического момента, обусловленного полем, в предположении, что
атом находится в невозмущенном состоянии И':
ехн,н, = ЖЕ У = «В,	(158с)
где а — коэффициент поляризации. Соответствующая энергия равна,
очевидно: -^-а£2 = -^—	что находится в согласии с соот-
л	л
ношением (158b), так как рассматриваемая энергия соответствует
поправке второго порядка (Д2//').
Аналогичные результаты получаются, если вместо коэффициен-
тов преобразования воспользоваться преобразованными функциями
ф, или, вернее, поправками Дф. Ограничиваясь первым приближе-
нием, получаем:
f'kw = j*(*я + д^)V + Мя-) dV= J
+ j* Мя	dV>
т. е.
д^яя- = j* Мя ^я- dV+ J *я F^H.. dV. (159)
Этими формулами можно пользоваться в случае непрерывного
спектра Н, когда функции определяются непосредственно по
258	V. Теория возмущений
методу Борна. Если они определены с помощью коэффициентов
преобразования, мы получаем, как и прежде:
~	"I” \а
что в данном случае дает:
А ро ____ f Г№№" °Н'"Н" ,ОН'Н'”ГН"’№’ \ .и',. -Q •.
= J	---1-	dH (1 о9а)
вместо (158).
В заключение сделаем следующее замечание. Может случиться,
что в то время как невозмущенное движение ограничено конечной
областью пространства и обладает соответственно этому дискрет-
ным спектром энергии, возмущенное движение в том же интервале
обладает непрерывным энергическим спектром; это означает, что
возмущающие силы, даже будучи очень малыми, могут
вырвать частицу и угнать ее в бесконечность. Примером такого
положения вещей является влияние однородного электрического
поля на атом водорода. В области малых (отрицательных) значений
энергии непрерывный спектр, обусловленный присутствием электри-
ческого поля, практически сводится к дискретному спектру, соот-
ветствующему отсутствию поля, причем каждый уровень Н расще-
пляется (вследствие наличия вырождения) на несколько подуров-
ней. Это явление известно под названием эффекта Штарка.
Рассматриваемые подуровни обладают, однако, некоторой эффек-
тивной шириной, увеличивающейся с возрастанием напряжен-
ности электрического поля и соответствующей явлению предис-
социации, рассмотренному в § 16 части I. Это значит, что
некоторая вероятность ионизации атома электрическим полем суще-
ствует даже и тогда, когда невозмущенному состоянию атома соот-
ветствует наименьшее значение энергии. Ширина энергетических
уровней становится, однако, значительной для невозмущенных состо-
яний, соответствующих сравнительно высоким энергетическим уров-
ням, где энергетический спектр возмущенного атома становится
практически непрерывным. В случае певозмущенного атома непре-
рывный спектр начинается в той точке, где энергия равна нулю,
тогда как для возмущенного атома он начинается ниже этой точки —
и притом тем ниже, чем больше возмущающее элек: рическое поле.
§ 21. Теория возмущений, зависящих от времени
259
§ 21. Теория возмущений, зависящих от времени;
теория переходов.
Во всех предыдущих рассуждениях мы совершенно пренебрегали
ролью времени. Возможность этого пренебрежения обусловлива-
лась тем обстоятельством, что мы ограничивались рассмотрением
физических величин, не зависящих от времени. Может, на первый
взгляд, показаться, что введение в рассмотрение времени, как незави-
симой переменной, в выражение какого-либо оператора, например
представляющего некоторую переменную физическую величину,
будет сказываться лишь в том, что его характеристические значе-
ния, а, следовательно, и определяемые им состояния будут являться
функциями времени. Уже на примере энергии ясно, однако, что это
не так. Если оператор энергии К содержит время явно, то уравне-
ние типа (К—КУ-9К1 — ® не имеет физического смысла и должно
быть заменено общим уравнением движения:
(/<4_Л)? = 0,	(160)
h
2тЛ
где pt
. Уравнение (К— /Г)<?к' = 0 соответствовало бы
dt
трактовке времени, как простого параметра; с чисто матема-
тической точки зрения появление времени выразилось бы лишь
в том, что характеристические значения К' и ’ характеристические
функции у# (/) являлись бы определенными функциями времени.
Эти функции, точно так же, как соответствующие характеристиче-
ские значения К' (/) не имели бы, однако, ничего общего с функ-
циями <p(x, /), являющимися решениями уравнения (160) и описы-
вающими движение, определяемое оператором энергии /С.
Поскольку К зависит от времени, это уравнение не должно
—/2тс/<7
допускать частных решений вида у = у*к,(х)е h ; с физической
точки зрения это означает, что величина К вовсе не имеет харак-
теристических значений или, иными словами, что значения
переменной энергии не могут быть определены.
Этот результат составляет одно из основных различий между
волновой и классической механикой; в последней значения пере-
260	V. Теория возмущений
менной энергии всегда могут быть получены, как определенные
функции времени. То же относится и к другим операторам, содер-
жащим время в качестве независимой переменной.
Совершенно верно, что энергия связана со временем в большей
степени, нежели какой-либо другой оператор. Сомнительно, однако,
будет ли уравнение вида F = определяющее характеристи-
ческие значения оператора F (х), иметь какой-либо смысл, если F (*)
зависит от времени — поскольку последнее трактуется на совершенно
ином основании, нежели координаты х, у, z. Исключительная роль
времени обнаруживается в том обстоятельстве, что, в противопо-
ложность координатам, им нельзя воспользоваться для определения
состояний; последние относятся, в общем случае, к отдельным
моментам времени. Время нельзя поэтому трактовать так же, как
координаты и другие физические величины; в частности, оно не
может ,быть представлено, как оператор или матрица по отношению
к некоторой другой основной величине. Даже будучи совершенно
„неактивным", время остается вне сферы обычных величин, исклю-
чая какую бы то ни было возможность их определения (поскольку
рассматриваются точные, а не вероятные значения) в результате
своего „ активногои вмешательства.
Развитая в предыдущей главе теория преобразований может
быть применена в несколько модифицированной и обобщенной
форме к переменным величинам и, в частности, к энергии К частицы,
движущейся в переменном поле сил.
Если переменная часть К относится к сравнительно слабой силе,
мы можем рассматривать последнюю, как возмущающий фактор,
вызывающий переходы между состояниями, определяемыми
той частью К, которая времени не содержит. Эта теория переходов
была уже рассмотрена нами в § 14, ч. I. Напомним теперь ее
вкратце, пользуясь новыми обозначениями, и разберем связь ее с
теорией преобразований.
Переменную часть К мы будем рассматривать, как возмущаю-
щую энергию и будем обозначать ее, как и раньше, через S, а по-
стоянную часть—через Н. Функция ср (х, f), представляющая собой
общее решение уравнения (160), может быть представлена, как
суперпозиция (нормированных) функций соответствующих раз-
§ 21. Теория возмущений, зависящих от времени
261
личным состояниям, определяемым оператором 77, с надлежаще
выбранными переменными коэффициентами.
Для случая дискретного спектра Н мы можем соответственно
положить:
.	(160а)
где
^Н' = ^Н'^е	"	>
или
Т(х, о=2с«-(№,	(160b)
н>
где
— ilrJi’t
=	.	(160с)
Подставив (160а) в (160) и принимая во внимание, что функ-
ции фя' удовлетворяют уравнению
(Я+а)^ = 0,
мы получаем:
Н'
СН<
И1
•77'
Далее,
так как
$Н"Н' ^Н" ’
мы имеем
Н' н»
Pt СН" ~Ь сгг Svir) “
откуда
+ СН' ^Н"Н^
или, переставив местами Н' и Н":
h dcH> _1
2гЛ dt — *
'Н’Н" СН" '
(161)
262
V. Теория возмущений
Следует упомянуть, что величины Sh’H" представляют собой не
матричные элементы, а матричные компоненты энергии воз-
мущения, так что SH,H„ = е h . Далее, поскольку S со-
держит время явно, матричные элементы = S^H,,dV
также должны быть некоторыми функциями от времени, так что
уравнения (161) могут быть записаны в следующей форме:
(161а)
Подставив в (160) выражение (160b) вместо (160а), мы получим,
аналогичным образом, не разбивая, однако, К на части Н и 5 сле-
дующее уравнение:
у си, = У 4 сн,
И'
или, так как
И"

''<11" 2 <'r‘H’H"PtCH" КН"Н' СН'^ = 0’
И'
или, окончательно:
h dCrj,
(161b)
Это уравнение может быть получено из (161а) — или, наобо-
рот,— последнее из него — с помощью соотношения (160с) между
коэффициентами Сиси соотношений
КН'Н"	£//'#"•
Как было уже указано в § 14 ч. I, квадраты модулей коэффи-
циентов сн, или Сн„ т. е. величины
N (Q = Сн, С* = сн, с*	(162)
/7 v z	11 11' ГГ ГГ	' z
можно интерпретировать, как вероятности нахождения частицы
3 момент времени t в невозмущенном состоянии или, как
§ 21. Теория возмущений, зависящих от времени 263
относительные числа экземпляров частицы в состоя-
нии Н' в момент времени Л
Эти числа могут быть определены, как функции от времени
с помощью уравнений (161b) или (161), если первоначальные зна-
чения коэффициентов Сц< (или сн<) в некоторый момент времени
t = 0 предполагаются известными. Мы будем обозначать их в даль-
нейшем через С^, и записывать соответственно:
^(o)=w;,.
Изменение чисел N/y- во времени можно интерпретировать, как
результат переходов, обусловленных наличием возмущающих
сил. Поскольку, однако, два или больше числа отличны от
нуля, оказывается невозможным установить первоначальное состоя-
ние, из которого совершается переход в данное состояние.
Для того, чтобы иметь возможность говорить об определен-
ных переходах в данное конечное состояние из данного началь-
ного состояния, мы должны поэтому предположить, что вначале
все экземпляры частицы находились в одном и том же состо-
янии, например Н'. Это значит, что все коэффициенты CQH,, дол-
жны быть приравнены нулю, за исключением одного из них ко-
торый мы можем положить равным единице. Это может быть
выражено с помощью формулы:
С*	(162а)
•	1ч" п."гг	v 7
Определенные таким образом коэффициенты Сн„ (f) не только
при t = 0, но также и при /^>0 можно рассматривать как эле-
менты матрицы, которую мы будем называть матрицей пере-
хода и обозначать той же буквой С. Значение коэффициента Сн,,
в момент времени t при определенном начальном состоянии Н
будет таким образом:
=	(162b)
где начальное значение матрицы С равно 3 (т. е. 1).
Выражение = £	(f)^° представляет собой общее реше-
ние уравнения Шредингера (160). Частное решение этого уравнения,
в начальный момент времени / = 0 сводящееся к можно соот-
264
V. Теория возмущений
ветственно обозначить через еря' (*> О* Для частных решений этого
типа, представляющих собой приближение к частным
решениям уравнения невозмущенного движения (И -|-Pt) ф — 0 мы
получаем, таким образом, следующую формулу:
(юз)
Н"
Отсюда следует, что матрицу перехода С(/) можно рассматри-
вать, как матрицу преобразования от волновых функций ф^, к вол-
новым функциям <ря/. Последние нельзя уже обозначать через
ср/f/, как мы это делали раньше, ибо К не обладает характеристи-
ческими значениями; эти характеристические значения можно, однако,
заменить своего рода „воспоминанием" частных решений уравнения
(ТСpt) <р = 0 о состояниях И, которые они представляли в момент
времени t = 0.
Легко показать, что функции сряч <ря" и т. д. взаимно
ортогональны, точно так же, как и рассмотренные выше функ-
ции <ркп.
Действительно, мы имеем:
Умножив первое из этих уравнений на <р^„, а второе на
сря„ вычтя одно из другого и проинтегрировав по координатам
получаем:
л	л д
f
и 1и, так как левая часть этого равенства обращается в нуль (по-
скольку К, несмотря на зависимость от‘времени, сохраняет свойства
самосопряженности): .
Мы видим, таким образом, что значение интеграла
§ 21. Теория возмущений, зависящих от времени 265
от времени не зависит. Так как в начальный момент времени t = О
мы имеем ун,=^н, и = функции должны удо-
влетворять, независимо от времени, тем же условиям ортогональности
и нормальности:
J* ^нп Ун1 & ~ йн"Н' >	(163а)
ЧТО И фуНКЦИИ tyft' .
Подставив в эти уравнения выражения (163), мы получаем
«Г
т. е.:
f ®Hft = 2 ^Я'^Я' ^Я'"Я" >
...	/Д"
и следовательно:
^Я'"Я" ^Я"Я'= ^Я"Я' •	(163b)
Отсюда следует, что матрица перехода унитарна (С + = С~1},
точно так же, как и обычные матрицы преобразования, рассмо-
тренные в предыдущих параграфах и не зависящие от времени.
Уравнения преобразования (163) могут быть записаны, соответ-
ственно, в обычной матричной форме:
<р = Сф° или <р4- = ф° + С+.	(163с)
Функции характеризуют совершенно определен-
ные состояния в том же смысле, как и функции ср^?, когда
К не зависит от времени и обладает определенными характеристи-
ческими значениями; единственное различие между этими состоя-
ниями заключается в том, что первые изменяются во времени, тогда
как вторые остаются постоянными.
Совокупность состояний, определяемых функциями сря', может
быть представлена геометрически, как вращающаяся система коор-
динатных осей в пространстве состояний, причем коэффициенты
преобразования Сн„н’ означают косинусы углов между закреплен-
ными осями, представляющими состояния и подвижными осями,
266
V. Теория возмущений
1
представляющими состояния Эта подвижная система осей, вра-
щающаяся в пространстве состояний подобно твердому телу, может
быть рассматриваема, как геометрическое изображение переменной
энергии 2С.
Можно было бы попытаться продолжить наши рассуждения и
представить значение К поверхностью второго порядка, определяе-
мой уравнением:
IE КН,Н" ан, = const,
Н' Н"
закрепив, таким образом, не только направление, но также и длины
осей, соответствующих оператору ТС, т. е. характеристические зна-
чения последнего. Подобные рассуждения являются, однако, оши-
бочными, так как предыдущее уравнение не имеет ничего общего
с изображением рассматриваемой переменной величины К и пред-
ставляет фиктивный „квази-постоянный“ оператор энергии ТС, в ко-
тором время является простым параметром.
Ошибочность этого рассуждения становится особенно очевидной
в том случае, когда величина ТС действительно является
постоянной (что можно рассматривать, как частный случай
переменного ТС). Уравнение 2	ан< аН" изображало бы при
этом ТС, как поверхность второго порядка, закрепленную
в пространстве состояний. Ничто не мешает нам, однако, решить
в этом случае уравнение (ТС4"Л)? = ® точно таким же способом,
как и в предыдущем случае, т. е. воспользоваться не частными
решениями обычного типа ТС: <р^, = ср^,^ h >а решениями ти-
па ТУ, т. е. такими, чтобы в начальный момент времени / = 0 функ-
ция ср совпадала с одной из функций Функции cp/f, получен-
ные таким образом, при t ф 0 будут представлять состояния, совер-
шенно отличные как от состояний, определяемых функциями
так и от состояний, определяемых функциями <р/</. Во избежание
путаницы мы будем обозначать характеристические функции К
(в том случае, конечно, когда они существуют, т. е. когда ТС не
зависит от времени) через //</, а не через ср#. Связь между этими
функциями и функциями
§ 21. Теория возмущений, зависящих от времени 267
Хд? aH"K' ^н" >
Н"
(164)
рассмотренная выше, характеризуется постоянной матрицей пре-
образования а, не имеющей ничего общего с переменными матри-
цами С и с.
Напомним, что элементы этих матриц связаны друг с другом,
согласно уравнению (160с), с помощью соотношения:
— Сн„н’ е h .
Последнее не симметрично по отношению к обоим индексам и соот-
ветствует унитарному характеру рассматриваемых матриц.
Матрица преобразования а может быть получена из общих
уравнений (161b), если условие, на основании которого функция ср
сводится к функции при /=0, заменяется условием, согласно
которому она является гармонической функцией от времени:
— У 2тс K,nt
(?=7~.к"' = '/к"'е	"	•	О 64а)
В связи с уравнением:
И’
это означает, что все коэффициенты С/р должны иметь следующий
вид:
— ПкК"’*
Сн, = С^.е *	.	(165)
Дифференциальные уравнения (161b) в силу этого условия
сводятся к системе обычных алгебраических уравнений для ампли-
туд с^,:
Н"
тождественных с уравнениями, определяющими коэффициенты пре-
образования а.
Мы получаем, таким образом:
CL, ~а„,,
п' л 1
268
V. Теория возмущений
или, точнее:
Сн'К'п =	(165b)
Соотношения между функциями
— Z2tz КЧ	—Ип Н'Н
Х-к’ ~У^е h и ^н" = е h
могут быть получены из (164), если коэффициенты aw заменены
чеРе3	—
^Н"К' — awwе h •	(166)
Эти коэффициенты также образуют унитарную матрицу 5, Составив
матричные уравнения:
X = и <р = фс,
мы легко можем получить непосредственное соотношение между
функциями ср и Действительно:
'1' = Х^_1 = Х^+.
и следовательно
? = Х<А
причем матрица преобразования
d = l + c.
Записанные в матричных элементах, эти уравнения приобретают
следующий вид:
= S dK"H> У-K"	(166а)
К"
при
^К"1-Г — ^jjjj	= 2 СН"'Н' ’
или
Л •	(166b)
'Полагая	z 2тс Knt
dK^H'—^\Knwe h »
мы можем переписать (166а) в более удобной форме:
=	(166с)
§ 21. Теория возмущений, зависящих о г времени
269
где
Чк"Н'= аН"'К" Сн'"Н' ’	(166d)
Н,п
Отсюда следует, что зависимость от времени полностью
определяется коэффициентами преобразования Сн>»н’*
Уравнения точно такого же типа получаются в классической
механике для амплитуд свободных колебаний системы частиц, сдер-
живаемых „квазиупругими" силами, т. е. силами, пропорциональ-
ными как их смещениям от соответствующих положений равновесия,
так и смещениям друг по отношению к другу. Наиболее простым
примером такой системы является система связанных маятников,
которые могут колебаться в определенной плоскости под влиянием
силы тяжести и сил, обусловленных из взаимной связанностью
(с помощью поперечных нитей, или как-нибудь иначе).1
Обозначим смещения данных частиц — или маятников — от их
положений равновесия через Е2,... Зависимость этих смещений
от времени определяется системой уравнений вида:
=	Й67)
т
Коэффициенты <рпп определяют, таким образом, связь отдельных
частиц с их положениями равновесия, т. е. определяют свободные
колебания, которые совершала бы каждая из частиц при отсутствии
какой бы то ни было связи с остальными. Коэффициенты =
= (ш /г) характеризуют, с другой стороны, возмущающие
силы связи.
Положив:
tynn — ^пп 4”	У пт — У пт (Л т),
мы можем, таким образом, рассматривать предыдущие уравнения,
как уравнения возмущенного движения данной квазиупру-
1 Вместо механической модели мы могли бы для иллюстрации уравне
ний (166а) воспользоваться электрической моделью, образованной системой
электростатически связанных контуров.
270
V, Теория возмущений
гой системы. Под невозмущенным движением мы будем подразуме-
вать колебания, определяемые уравнениями:
dt11 'пп п
В этом случае каждая частица (маятник или ток) колеблется совер-
шенно независимо от всех остальных частиц с частотой
При наличии возмущающих сил связи такие независимые гармони,
ческие колебания отдельных частиц (или маятников) оказываются
невозможными. Они заменяются гармоническими колебаниями дру-
гого рода—так называемыми „нормальными колебаниями" системы,
причем в каждом из этих колебаний, характеризуемых определенной
частотой участвуют все частицы с определенными относитель-
ными амплитудами и разностями фаз. Вещественная амплитуда
и начальная фаза (в момент времени / = 0) каждой частицы может
быть определена, соответственно, как модуль и аргумент комплекс-
ной амплитуды — | |ezV Эти комплексные амплитуды и соот-
ветствующие частоты колебания определяются из уравнений движе
ния с помощью подстановки:
ln = lae-li™1	(167а)
для переменных Уравнения (167) принимают при этом следую-
щий вид:.
'^(?пт'(т==о>*1п	(167Ь)
т
и при = и <?пт = Кйн,н„ становятся, таким образом, тожде-
ственными с „волно-механическими" уравнениями (165а).
Общее решение классической задачи о колебаниях (167) точно
так же, как общее решение соответствующей „волно-механической"
задачи
(ЛГ+а)Х = 0
получается как суперпозиция всех гармонических частных решений
(с произвольными постоянными коэффициентами).
§ 21. Теория возмущений, зависящих от времени 271
Сходство между обеими задачами дает нам возможность связать
теорию возмущений квантовой механики с классической теорией
слабо связанных частиц или маятников. „Модель маятников" (могу-
щая служить как для иллюстрации волно-механических, так и для
иллюстрации электро-магнитных колебаний) оказывается в этом
случае особенно удобной. Такая модель состоит из бесконечного
ряда маятников, подвешенных вдоль горизонтальнбй линии в порядке
возрастающих частот невозмущенных колебаний (т. е. в порядке
уменьшающихся длин) и связанных друг с другом попарно.
Каждый такой маятник соответствует определенному квантован-
ному состоянию невозмущенной системы (атома, молекулы)
т. е. определенной характеристической функции В случае
„вырождения", т. е. в том случае, когда несколько различных
маятников обладают одной и той же невозмущенной частотой коле-
н
h
бания V®
п
мы можем приписать соответствующим маятникам
одну и ту же длину (однако, в общем случае, различные массы)
и расположить их друг за другом в поперечном направлении.
Если при данных условиях движения помимо дискретной сово-
купности состояний существует также непрерывная совокупность
стационарных состояний, то дискретные группы маятников нашей
модели должны быть дополнены непрерывными группами, которые
можно представить себе, как компактную тяжелую ткань. Для того
чтобы эта ткань не разрушалась, амплитуды и фазы колебаний ее
вертикальных элементов должны быть непрерывными функциями от
Н1
(невозмущенной) частоты колебания v° = -^- ?
С точки зрения волновых представлений, соответствие между
колебаниями нашей модели маятников и колебательным процессом
1 Мы могли бы заменить модель маятников струнной моделью
(ограничиваясь рассмотрением основных колебаний каждой струны). Для<
подобной модели непрерывный спектр был бы представлен мембраной.
Такая мембрана должна была бы, однако, обладать свойствами, несовмест-
ными с обычными уравнениями теории упругости (так как эти уравнения
соответствуют лишь связи между соседними элементами упругого кон-
тинуума).
272
V. Теория возмущений
соответствующей волно-механической системы является весьма непо-
средственным и наглядным.
Различные типы стоячих волн, представленных функциями
играют при этом роль отдельных маятников; коэффициенты же
Си» (или сн») представляют собой (комплексные) амплитуды коле-
бания.
Это соответствие приобретает, однако, чисто символический
характер, если от волновой картины мы переходим к картине кор-
пускулярной. Нормы амплитудных коэффициентов, т. е. вели-
чины Сн„ С*н,, = | CH,f |2 определяют при этом относительное число
экземпляров данной частицы, находящихся в соответствующем состо-
янии. Непрерывному изменению этих коэффициентов с течением
времени под влиянием возмущающих сил соответствуют вынужден-
ные переходы этих экземпляров из одного состояния в другое,
п	d\CH„\*
Производная —* 1 - определяет при этом отнесенную к единице
времени вероятность того, что некоторый экземпляр частицы перейдет
,0 /
в состояние ^если —0 / или покинет это co-
z'	d\CH,,\*
стояние если —1<С О
\ dt
Существенное различие между моделью маятников и волноме-
ханическими колебаниями, которые она изображает, заключается
в нормировании амплитуд колебания к определенному значению (1).
В классической механике система маятников может находиться
в состоянии покоя; если же система колеблется, следует раз-
личать не только относительные, но также и абсолютные зна-
чения амплитуд. Поскольку мы пользуемся этой моделью для
иллюстрации волно-механических колебаний, состояние покоя из
рассмотрения исключается — частица всегда должна находиться
в каком-либо из состояний, представленных маятниками. Более того,
физический смысл имеют только относительные значения ам-
плитуд, как определяющие амплитуды вероятности соответствующих
состояний — что и выражается путем нормирования суммы их квадра-
тов к 1.
При некоторых соотношениях между амплитудами различных
§ 21. Теория возмущений, зависящих от времени 273
маятников эти амплитуды могут сохранять постоянные значения,
как уже было указано выше, Такие „нормальные колебания“
системы маятников, соответствующие стационарным распределениям
экземпляров частицы между различными невозмущенными состоя-
ниями, представляют стационарные состояния частицы при наличии
возмущающих сил (т. е. состояния, определяемые энергией К). Если
для иллюстрации возмущенного движения, т. е. колебаний, опреде-
ляемых оператором К, мы воспользуемся моделью маятников такого
же рода, как и в случае невозмущенного движения (т. е. колеба-
ний типа Н), то любое такое стационарное распределение, т. е. каждое
нормальное колебание первоначальной модели будет представлено
колебаниями одного из маятников нашей новой модели. Эти новые
маятники, представляющие преобразованные характеристические
функции 7^, следует, конечно, рассматривать, как несвязанные
друг с другом. Это означает, что переходы между новыми стацио-
нарными состояниями (т. е. действительными стационарными состо-
яниями)—невозможны.
Переход между двумя различными невозмущенными состояниями
Н' и И" возможен, прежде всего, если соответствующий матрич-
ный элемент энергии возмущения ^н,н<1 отличен от нуля. Коэф-
фициенты связи , представляющие эти элементы в нашей модели
маятников, можно рассматривать как меру амплитуды вероятности
для переходов между соответствующими состояниями. Легко, однако,
заметить, что переходы возможны также и между невозмущенными
состояниями Н' и Н', связанными друг с другом косвенным
образом; матричный элемент S*H,H„ обращается при этом в нуль,
но некоторые другие элементы вида и	отличны от
нуля. Такие „непрямые переходы" играют, как мы увидим дальше,
существенную роль во многих физических явлениях.
В случае стационарных состояний Кк, представленных стацио*
парным распределением экземпляров между различными состояниями
или нормальными колебаниями системы маятников, переходы
между различными состояниями Н можно считать взаимно компен-
сирующимися.
Переменные состояния Кн> описываемые функциями
в нашей модели маятников могут быть представлены колебаниями,
274	V. Теория возмущений
которые в начальный момент времени /=0 связаны с одним только
маятником (Н ). С течением времени колебания этого маятника
постепенно передаются остальным маятникам, что соответствует
постепенному переходу экземпляров частицы из состояния Н\ в кото-
ром они находилась вначале (иными словами, вероятность этого со-
стояния первоначально равнялась единице) в другие состояния.
Если энергия /С, т. е. энергия возмущения У, зависит от вре-
мени, то только состояния этого типа (Кн) могут быть определены
и представлены с помощью модели маятников, тогда как нормаль-
ные колебания, соответствующие определенным значениям /<, ока-
зываются невозможными.
Представляется совершенно естественным рассматривать колеба-
ния, обусловленные внешним, зависящим от времени воздействием,
как колебания „вынужденные". Следует, однако, иметь в виду, что
эти вынужденные колебания не принадлежат к обычному типу, опи-
сываемому неоднородными уравнениями:
т
где Fn(t) означает внешнюю силу, действующую на n-тый маят-
ник. Такие внешние силы не должны иметь места в нашей модели.
Они заменены так называемым „параметрическим возмущением",
т. е. изменением параметров Фпт, определяющих свободные
колебания маятников. Действительно, случай энергии возмущения,
зависящей от времени, может быть представлен в нашей модели
маятников вынужденными колебаниями, определяемыми уравнениями:
—<? = —Уф (М =—ф° 8 —Уф' (fit
dF	тп ' т пп "п	тп ' ' чт
т	т
Такая модель будет, однако, адэкватно отражать действительные
условия только в том случае, если зависимость 5 от времени
является гармонической и если, кроме того, мы ограничимся
рассмотрением случая малых возмущающих сил; в противном случае
согласие между голно-механическими уравнениями (161а) или
(161b) и уравнениями классическими нарушается в связи с тем
обстоятельством, что первые содержат первые производные по вре-
§ 21. Теория возмущений, зависящих от времени
275
мени
, тогда как последние — вторые про-
h
умноженные на -
изводные (	)• Это различие не имеет значения только в слу-
чае гармонических колебаний, представленных экспоненциальными
функциями типа е®™*, так как дифференцирование по времени
в обоих случаях эквивалентно умножению на вещественную кон-
станту.
Предыдущая теория легко обобщается на случай непрерывного
или смешанного энергетического спектра невозмущенного движения.
Так например, написав:
ср (х, 0 = 2 СИ’ (0	-|- J С//" (о dH" (168)
Н' '
вместо (160а), мы получим:
(Я+5+А)? =
= у1, [(а С»') ^Н' + с№ 5'^Я'] -|- f [(.Ptcfi") Фя" +
H'
Далее:
Sh'^h' + J	йН'"',
H"'
StyH" —	J SfiuHfin dH"'\
HH!
где H' и Hm относятся к дискретной, a Hn и Н""— к непре-
рывной области спектра Н и, соответственно,
Sh>h«< 4* J
,	,	/»	(168а)
at	J
н»>
Единственное различие между дискретным и непрерывным случаем
заключается в том, что при определении состояний мы должны
во втором случае заменить дискретные значения Н элементарными

h dew
2ra dt
276	V. Теория возмущений
областями Н", причем число экземпляров, относящихся к области
Д/У" равно У* \Сн„\^Н"— при условии, что функции норми-
Д/7"
рованы согласно уравнению:
=	или f	=
Следует напомнить, что это условие эквивалентно обычному усло-
вию нормирования J	| * dV = 1 для квази-дискретных функций:
^н„ = lim	f ^H"dH".
V (W) А,.
С помощью этих функций случай непрерывного спектра может
быть сведен к случаю дискретного спектра; при этом мы должны
исходить из конечных областей Д/У" и после вычисления коэффи-
циентов с переходить к пределу Д/У" —> 0.
Действительное определение возмущенного движения с помощью
изложенного выше метода переходов, как в случае переменной
энергии К, так и в частном случае постоянной К, может быть
осуществлено с помощью процесса последовательных приближений,
основанного на следующих соображениях. Если бы возмущение
не имело места, то коэффициенты с (но не С!) оставались бы
постоянными, сохраняя значения £°, которыми они обладали в на-
чальный момент времени / = 0. Воздействие возмущения вызывает
изменение этих значений, так что мы можем положить
с (о = с°4-^(0
и рассматривать Д^(0 как малую величину—для достаточно
слабых возмущающих сил и, в общем случае, для доста-
точно малых значений t. Последнее условие составляет
существенное ограничение применимости рассматриваемого метода—
ограничение, не имеющее эквивалента в другом методе, оперирую-
щем со стационарными состояниями и не содержащим времени
(если К не зависит от времени).
С физической точки зрения это ограничение совершенно есте-
ственно. так как при определении вероятностей перехода мы огра-
§ 21.	Теория возмущений, зависящих от времени 277
ничиваемся рассмотрением кратких промежутков времени. Рассма-
тривая матричные компоненты как малые величины первого
порядка, мы можем положить:
СН' (/) = С*н, (/)	Д.2^я' (О • •
и вычислить поправки Д^, Д.2г,... и т. д. по обычной схеме после-
довательных приближений.
Ограничиваясь, для простоты, случаем дискретного спектра, мы
получаем ряд уравнений следующего вида:
2^’ dt ^°н'=	^я" с*н"	(169)
Я"
(первое приближение):
— о~; ^Сн' = /Е ^1СН"	(169а)
at
Я"
(второе приближение), и т. д. Так как матричные конпонешы
5я'Я" являются известными функциями времени, то уравнения (169)
могут быть проинтегрированы непосредственно со следующим
результатом:	t
^сн, (0 = V J SH,H„ dt.	(170)
Я" о
Подставляя это выражение в (169а), получаем:
^чсн> jp zE сн"> J (О J	)• (1 ^0а)
Я" Я'" о	о
Аналогичным образом можно получить выражение для
являющееся величиной я-того порядка по отношению к малым
величинам Shw-
Функция S обычно может быть представлена как произведение
функции от координат на функцию от времени:
5=Т(х,Л ^)/ (О,	(П1)
или, в более общем случае, как сумма членов такого вида. Мы
получаем, соответственно:
(Я' — //'')/
Svw^rwJr, f {Пе	(171а)
278
'V. Теория возмущений
я
t
=	(171b)
О
где
и
t
(171с)
О
Эта функция может быть определена, как амплитудный коэффи-
циент в интеграле Фурье, представляющем функцию /(f) в интер-
вале	или, точнее, — функцию, равную /(f) внутри этого
интервала и исчезающую вне его.
Эта функция:
4-00
*	—оо
может заменить действительную функцию /(/), поскольку мы ин-
тересуемся результатами воздействия возмущения S в течение про-
межутка времени t.
Возвращаясь к рассмотрению величин Nhi = \ch> р, мы полу-
чаем:
I2 +	+1Is +
+ (CA^- + 4-Vh-) + -”	(172)
Члены более высоких порядков нас в дальнейшем интересовать не
будут, и мы будем их, соответственно, отбрасывать. В частном
глучае с°н,,=0 выражение (172) принимает следующий вид:
Nh" = \^cH"\*.	‘	(172а)
Если первоначально частица находилась в определенном состоянии,
например Н' (так что с^„ = с9н„н, — т0 уравнения (170) и
(170а) сводятся к:
—-----7~ f	(173)
fl м
§ 21. Теория возмущений, вависящих от времени
279
и
'	t*
^н>>н' =------j	J* dt"'). (173а)
И’" 6	о
Эти уравнения дают первое и второе приближения для элемен-
тов „матрицы перехода" сн"Н>* На их геометрической интерпретации
(они определяют углы между неподвижными осями Н и враща-
ющимся осями Кн в пространстве состояний) мы здесь останавли-
ваться не будем, так как она тождественна с геометрической интер-
претацией коэффициентов преобразования а, обсуждавшейся в § 19.
Едва ли необходимо также указывать способ, которым преды-
дущие уравнения могут быть обобщены на случай присутствия не-
прерывного или смешанного спектра; в этом случае необходимо
частично или целиком заменить сумму интегралами, распространен-
ными по непрерывно изменяющимся параметрам.
Уравнения (173) и (173а) точно так. же, как и приближения
более высокого порядка для сн"нч могут быть получены более
прямым, хотя и несколько символическим путем, — путем рассмотре-
ния коэффициентов Сн"н> (0> как матриц и записи служащих для
определения их уравнений (161) в матричной форме:
Z? de Л	z
— —-- = Sc.	(174)
2ra dt	v 7
Рассматривая S как обычную функцию от времени, мы получаем:
c(t) — e	о с(0)	(174а)
t
2тг
или, полагая для краткости -у J Sdt = R и
о
циальный множитель в степенной ряд:
разлагая
экспонен-
с(/)=(1 — /я— 4-Ал-г---)с(0).	(174b)
\	At	!
Эта формула содержит оба уравнения (173) и (173а), как соот-
ветствующие членам первого и второго порядка в разложении. Само
собой разумеется, что все операции умножения должны произво-
.80
V. Теория возмущений
литься в определенном порядке согласно общему правилу умножения
матриц, и что матрица с (0) определяется как единичная матрица,
Сн>’н< (0) =ЬН"н>.
Может показаться на первый взгляд, что выражение (173а) от-
лично от члена второго порядка в выражении (174b):
=-----2~	=------2*2 ^н”нт »
т. е.
А.2£я'7/' =---SH"H"dt" Р SwH’dt”. (174с)
н<и о	6
Легко, однако, показать, что оба выражения в действительности
тождественны (путем обобщения хорошо известного соотношения
для кратных интегралов с одной и той же переменной);
Так как первый множитель в (174а) — чисто-мнимый, то
с+(^) с (/) = с+(0) с (0) =
01 куда следует, что | Сн»н, (f) f2= 1, — в соответствии с элемеп-
тарной теорией, изложенной в части I (§ 14) или с формулой (163b)
этого параграфа.
Следует упомянуть в за* лючение, что случай переменного воз-
мущения можно трактовать с помощью метода, аналогичного методу
Борна для случая постоянного возмущения в теории стационарных
состояний (§ 20). Действительно, мы можем определить функции еря»,
являющиеся частными решениями уравнения (Я 4" S -|-р/) ? =0,
сводящимися	в начальный момент времени / = 0, ПО-
ЛОЖИВ	1 I А 1	14.	I
?Я' = 4^' + Afhr +	। • • •
и проинтегрировав последовательно ряд уравнений:
(// + А)	=
(#+а)	=
И Т. д., при условии, ЧТО	=. • • = 0 при /=0.
Этот метод может быть успешно применен к случаю непрерыв-
ного спектра.
§ 22. Первое приближение; теория простых переходов 281
§ 22. Первое приближение; теория простых переходов.
Излучение переходов, обусловленных наличием возмущающей
силы, может быть подразделено на две части, соответствующие пер-
вому и второму приближению общей теории. Члены первого порядка
определяют вероятность простых (или прямых) переходов между двумя
состояниями (подобные переходы были уже вкратце рассмотрены
в § 18 части I); члены же второго порядка определяют вероятность
сложных переходов, содержащих промежуточные состояния.
Мы ограничимся . рассмотрением случая гармонически изменяю-
щейся силы, представленной выражением (171) при
f (f) = cos (2rcv/ -j- Р).
В общем случае силы, представленной суммой (или интегралом)
членов такого вида с различными частотами v, коэффициенты
^с^н1 сводятся к сумме (или интегралу) частей, соответствующих
отдельным гармоническим членам 5.
Полагая f(t) = -i- \е* (27^+₽) е~1 (2^+3)] мы получаем согласно
(170), (171) и (171а):
Д1£я"Я' =
--у 1 Н"Н'
k h J — 1	,.e k h J —1
Hn — H' — hv
что может быть также записано в следующем виде:

1
= -2ЙТн"н'
е*--------------------k-e-'p-----------------, (175a)
VH"H’ —v J
H" — H’
где частоты перехода =------------------- входят вместо значении
энергии.
Как было уже указано в § 15 части I, эти выражения, рассма-
триваемые как функции времени, имеют совершенно различный
характер, в зависимости от того, совпадает ли абсолютное значение
частоты перехода с v („резонанс") или же нет,
282
V. Теория возмущений
В последнем случае Д^н^я» колеблется около нулевого значе-
ния, причем величина определяемая выражением (172а) (для
состояния И", отличного от И'), колеблется около небольшого (по-
ложительного) среднего значения:
М/- = | Тн„№i	—	(176)
представляющего среднее число экземпляров частицы в первона-
чально вакантном состоянии Н".
В случае резонанса (v = zt:v^w) один из двух членов, стоящих
в квадратных скобках, становится равным бесконечности; это озна-
чает, что стационарное распределение невозможно и что число
экземпляров в состоянии 77" непрерывно увеличивается. С помощью
формулы:
lim----т---= 2rat,
мы получаем в этом случае согласно (175):
Д1^Я"Я' = — Тн"н, [г— $ 2nit -j- периодический член]
(положительный знак относится к 77" >77', а отрицательный к
Н" <^НУ, отбросив периодический член, остающийся малым при
увеличении t, мы получаем:
=	(176а)
Обычно говорят, что возмущающая сила индуцирует пере-
ходы из состояния 77' в состояние 77" только в том случае, если эти
переходы обнаруживаются в систематическом увеличении числа
Ун" с течением времени, т. е. только в случае резонанса. В ста-
рой квантовой теории условие резонанса рассматривалось как вы-
ражение закона сохранения энергии в предположении, что свет
частоты v может поглощаться или испускаться квантами энергии ве-
личины Av. Мы видим, что это соотношение справедливо не только
для света, но также и для случая гармонических колебаний любого
рода. В нашей модели маятников этому типу резонанса соответ-
ствует не обычный резонанс между внешней силой и свободными
§ 22. Первое приближение; теория простых переходов 283
колебаниями определенного маятника, а так называемый „параметри-
ческий резонанс" классической механики, означающий совпадение
частоты изменения связи между двумя маятниками Н' и Н"
с разностью частот их свободных колебаний (соответствующих от-
сутствию связи). Легко, действительно, показать, что при этом
условии каждое очень слабое гармоническое изменение коэффициента
связи (Фн'//") должно вызвать постепенный переход энергии от маят-
ника//'к маятнику Н", тогда как все остальные маятники//'", для
которых условие параметрического резонанса не выполняется, будут
совершать колебания с малой амплитудой, без какой бы то ни было
тенденции к ее постепенному возрастанию.
Квадратичное возрастание Nh" с течением времени согласно
(176а) соответствует вероятности перехода, отнесенной к единице
времени
г dN№> 2^1 0
являющейся, в свою очередь, линейной функцией времени.
Этот результат обусловлен точным совпадением между и
v (острый резонанс), практически никогда не осуществляющимся.
В § 18 части I было показано, что в случае „почти-монохромати-
ческого" света, образованного спектральной линией конечной
ширины, становится линейной функцией времени, а вероят-
ность перехода Th!ih! становится постоянной. Это справедливо,
конечно, и для любого почти - гармонического воз.мущения.
Во второй части этого параграфа мы еще вернемся к рассмо-
трению этого вопроса с помощью несколько иного метода.
Предыдущая формула не может быть применена непосредственно
к частному случаю v = 0, соответствующему не зависящей от вре-
мени возмущающей силе. Мы должны принять во внимание то об-
стоятельство, что в случае v^>0 только один член выражения (175)
оказывает влияние на переходы от состояния //' к состоянию с
более высокой энергией Н" — Н' тогда как другой член ока-
зывает влияние на переходы от Н' к более низкому уровню Н" =
— Н'— /zv (если такой уровень существует). В случае v = 0 оба
члена в выражении (175) играют одинаковую роль при переходе
284
V. Теория возмущений
Н' -+Н" (проще говоря, разделение S на два члена уже не имеет
смысла). Мы получаем таким образом:
z2tl--t	сл
,	Qo e h —1 SH"ff	— 1 ,
= ——	-----=--------------------- ,(177)
П ----n	ll
oiкуда
(177a)
если H" фН' и
№" = -4^!5Я”Я’4^	(177b)
если = что представляет собой условие резонанса для дан-
ного случая. Этот тип „внутреннего" резонанса воспроизводится в
нашей модели маятников резонансом между маятниками, представ-
ляющими невозмущенные состояния И’ и Н". Следует отметить, что
выражение (177b) отличается от соответствующего выражения (176а)
в случае v^>0 наличием множителя 4 в числителе.
Влияние величин 5®,	и т. д. сказывается в слабом на-
ПП Гг'п"
рушении резонанса между соответствующими маятниками, тогда как
величины (Н" ф Н') соответствуют возмущающим силам
связи. Поскольку последние слабы и резонанс места не имеет, невоз-
мущенному колебанию каждого маятника (//') соответствует такое воз-
мущенное нормальное колебание всей системы (/<'), в котором этот
отдельный маятник играет главную роль, тогда как остальные маят-
ники лишь слабо аккомпанируют ему. Это состояние описывается
формулой = ф § 19, где ан»к — коэффициенты
преобразования между функциями фк> и ; малые величины
характеризуют степень участия маятников И" ф Н' в нормаль-
ном колебании К\ соответствующем невозмущенному колебанию
одного лишь маятника Н'. Можно было бы ожидать, что величины
Nh<>— цли их средние значения — равны квадрату модулей этих
малых величин. На самом деле, согласно (148b) мы имеем
о о
>Н”Н'

Н" — Н'
§ 22. Первое приближение; теория простых переходов 285
и следовательно	. 0	,
IA п 12 =	2__
1А'а/у,'А''1 (Я”_ Я')8
что равно половине значения TV#" определяемого выражением (177)
Это расхождение объясняется тем обстоятельством, что величины
| j2 относятся к стационарным состоянием (у^,) возму-
щенной системы, тогда как величины (177а) относятся к нестацио-
нарным состояниям сряч илн точнее — к начальным стадиям развития
этих состояний — как это следует из метода приближений, приме-
няющегося при выводе уравнения (177). Ограничение рассмотрения
начальными стадиями практически не существенно, поскольку ве-
личины Сргн” остаются малыми, т. е. поскольку резонанс места не
имеет (И" ф Н'). Оно приобретает, однако, существенное значение
в случае резонанса, причем формула (177b) справедлива лишь для
малых значений t.
Действительные условия, имеющие место в этом случае, легче всего
представить себе с помощью модели маятников. Если первоначально
только один из маятников, например Н', был приведен в движение,
то как бы ни были малы возмущающие силы, связывающие его
с другими маятниками, маятники, находящиеся в резонансе с ним,
будут постепенно приобретать большие амплитуды колебаний (тогда
как остальные будут лишь слегка аккомпанировать ему). Резонанг,
исключает, таким образом, „доминирование* отдельного маятника в
возмущенных колебаниях: все маятники, находящиеся в резонансе
друг с другом, становятся одинаково существенными для колебаний^
начатых одншм из них.
В простейшем случае двух связанных маятников при наличии
резонанса мы получаем следующие, хорошо известные результаты:
если первоначально (при / = 0) колебался только один из двух
маятников, то его энергия должна постепенно переходить ко вто-
рому маятнику. Если оба маятника тождественны, то этот процесс
продолжается до тех пор, пока первый из маятников не возвра-
щается в состояние покоя, а второй берет на себя его роль. Ана-
логичные биения, т. е. относительно медченные периодические
усиления и ослабления колебаний одного маятника за счет другого,
должны иметь место при любых соотношениях между их началь-
286	V. Теория возмущений
ними амплитудами и фазами — за исключением двух случаев: „сим*
метричных* колебаний с равными (вещественными) амплитудами и
одинаковыми фазами и „антисимметричных* с равными амплитудами
и противоположными фазами. В этих исключительных случаях колеба-
ния сохраняют стационарный характер, т. е. амплитуды их оста-
ются постоянными. Симметричные и антисимметричные колебания
обладают несколько отличными друг от друга частотами; обе эти
частоты в общем случае отличаются от общей невозмущенной
частоты колебания отдельных маятников.
Нестационарные колебания могут быть представлены, как су-
перпозиция двух родов .стационарных колебаний. Частота резуль-
тирующего „биения* должна, очевидно, равняться разности двух
основных частот.
Эти результаты легко могут быть обобщены на любое конечное
число, например г', связанных маятников, находящихся в резонансе.
Их связью с остальными маятниками в первом приближении можно
пренебречь. Результирующие колебания резонансной группы могут
быть представлены как суперпозиция г' независимых нормальных
колебаний с различными частотами. Путем соответствующего выбора
амплитуд (и фаз) этих нормальных колебаний мы можем получить
такое результирующее колебание, чтобы в момент времени f — 0
только один из маятников — например Н' — находился в движении.
Амплитуды остальных маятников будут вначале линейно возрастать
с течением времени, а энергии их будут возрастать пропорционально
эта зависимость справедлива лишь для таких значений которые
малы по сравнению с „периодами биения*, т. е. с обратными вели-
чинами разностей частот между различными нормальными колеба-
ниями.
Эти результаты легко могут быть получены из уравнений общей
теории (161а) и (161b) § 21. Следует заметить, что хотя уравне-
ниями (161а) и можно воспользоваться для приближенного вычисле-
ния величин Nff» (так как коэфициенты сн« можно предположить
приближенно постоянными, в противоположность коэффициентам
Qf")> Уравнения (161b) с не зависящими от времени коэффициен-
тами К^н„н, оказываются более удобными для рассмотрения слу-
чая резонанса в силу их сходства с уравнениями, определяющими ко-
§ 22. Первое приближение; теория простых переходов 287
лебания системы связанных маятников; единственная модификация
cP	h d
заключается в замене -т-х на
dP	2ти dt
Если связь между маятниками (т. е. состояниями 77), не при-
надлежащими к резонансной (вырожденной) группе и маятниками,
принадлежащими к этой группе, во внимание не принимается, то
величины Сн> Для последних маятников могут быть определены с
помощью системы уравнений:
____Ё_ с — V д'О г
2« dt н — & *Н'Н"СН„,
Н'^Н1
или, в обозначениях, соответствующих уравнению (154b):
г'
-^iTtC^^mnQn	(178)
ХгТйс LI/U	лЯЯЯ
П — 1
С помощью соотношений:
Ст^=сте h и Ктп=ЪтпН -J-Smn
зги уравнения могут быть приведены к следующему виду:
— ~diCm=	(178а)
Эти уравнения могут быть получены непосредственно из общих урав-
нений (151а) точно таким же способом, каким уравнения (178) были
выведены из (161b), в связи с условием Нт=Нп = Н' (т. е. Smn —
— $тп) — пУтем отбрасывания членов, связывающих состояния, от-
носящиеся к одной и той же энергии Н'> с состояниями, относящи-
мися к различным энергетическим уровням. Мы предпочли, однако,
косвенный вывод этих уравнений с целью сохранения аналогии с
классической теорией модели маятников. Если же мы будем рассмат-
ривать лишь готовые результаты, то г' состояний с одной и той же
энергией Н могут быть представлены одинаково успешно двумя си-
стемами г' маятников, колебания которых определяются либо урав-
нениями (178), либо уравнениями (178а).
288
V. Теория возмущений
С помощью уравнений (178а) мы можем, прежде всего, определить
нормальные колебания (т. е. стационарные состояния К), положив
-I
сп — апе h [т. е. Cn—a}le h в случае уравнений (178)],
причем они сводятся к системе уравнений (154b), которая была
получена нами в § 19 с помощью другого метода. Общее решение
уравнений (178а) может быть записано теперь в следующей форме:
vr _ I
сп= 11 > <178ь>
1
где (Д//)5—решения уравнения (154с) и ans — соответствующие
нормированные решения (154b), тогда* как ys— произвольные кон-
станты. Как было уже упомянуто, эти константы могут быть выбраны
таким образом, чтоб^Ь! все коэффициенты с за исключением одного
из них, например ст, в начальный момент времени /=0 обраща-
лись в нуль. Соответствующие значения ys мы обозначим через ysm.
Для определения их мы имеем следующую систему уравнений:
/ । ^nslsm bfimt	(179)
откуда следует,	что матрица у тождественна с а 1 или	Вводя
обозначение спт	вместо сп, имеем:	
	Vi	? _ i Сптг^	&ns dins £	Л	(179а)
или	5 Спт ==	dns dms & S	(179b)
Умножив эти выражения на их комплексно сопряженные величины,
мы получаем:
(179с)
5 S'
где ъпт,—вещественная часть произведения а а* а\а
г ss	г	ns ms ns' ms'
Мы видим, таким образом, что числа Nm представляются как
функции от времени в виде суммы постоянных членов (s’ = <s’) и
§ 22. Первое приближение; теория простых переходов 289
h
членов, изменяющихся с частотами „ биенийи vSS' =
(дн;_ дн’о _	,
= г—Поскольку произведение этих t частот (равных
п
обратным значениям „периодов биения") на времяt мало по сравне-
нию с единицей, мы можем положить:
с?
2к ,	.	1 / 2тс	\2
что дает, так как Nm обращается в нуль при t = 0 (в случае т ф п):
\Г	/V V лт 2 \ ,2
Мп =	( /, /( pjj' VSS' j t •
X s<s'	/
Это выражение совпадает с (177b), если:
S< S'
Легко проверить это соотношение с помощью уравнений (154b) и
(154с). На доказательстве его мы здесь, однако, останавливаться
не будем.
Следует заметить, что уравнение (179) в виду того же усло-
вия, или, скорее, в виду условия —1 (для всех 5) сво-
дится к
С пт =	~h~ f	)-Д
\ s	/
тогда как уравнение (177) в случае резонанса дает:
.	Z2k qo /
= Спт/==- —ft - ^nm
откуда, между прочим, следует, что:
=2 о»,
Это соотношение может быть выведено из уравнений:
2 ^mnans =	ams >
290
V. Теория возмущений
если умножить их
таким образом:
на а*5 и просуммировать по s. Мы получаем,
kHs amsari5 $тп an$an's
3	х	П	S	п
8 , = 5°
тп пп' тп'
Следует, далее, упомянуть, что для коэффициентов Cwmi определя-
емых уравнением (179b), разложения такого типа, как для коэффи-
циентов не существует вследствие большого значения частот
Л7.
h
Вернее, приближенное выражение Спт t справедливо только
для чрезвычайно коротких промежутков времени (малых по сравне-
нию с величиной, ооратной —
Рассмотренный здесь резонанс между г' состояниями соответствует
абсолютному вырождению этих состояний в смысле теории воз-
мущений, не содержащих времени. Согласно изложенным здесь сообра-
жениям нет, однако, необходимости проводить резкое различие между
этим случаем и случаем „относительного вырождения" (§ 20), по-
скольку разности энергий Н'—Н" между рассматриваемыми состоя-
ниями малы по сравнению с соответствующими матричными хЭлемен-
тами возмущающей энергии $н'Н"> Если отношение
Sh'h»
Н’—Н"
велико
по сравнению с единицей, мы можем попрежнему пользоваться выра-
жением (177b) для вероятности перехода И' -+Н" при условии, что
время t мало по сравнению с величиной, обратной „частоте биения"
И" — Н' о
--------. В противоположном случае мы должны ограничиться вы-
ражением (177а) для среднего значения вероятности нахождения си-
стемы в новом состоянии Н".
До сих пор мы ограничивались рассмотрением дискретного спек-
тра Н. Модификация общей теории, необходимая для рассмотрения
непрерывного или смешанного спектра в ограниченной или неогра-
ниченной области, была уже указана в предыдущем параграфе. Мы
должны, однако, особо разобрать вопрос о применении приближенной
теории к случаю резонанса между двумя состояниями, одно из
которых относится к дискретной группе, а другое — к непрерывной
§ 22. Первое приближение; теория простых переходов 291
группе (а также между состояниями, относящимися к двум различ-
ным непрерывным группам). При этом оказывается необходимым
заменить понятие острого резонанса, относящегося к двум
точно определенным состояниям, понятием нерезкого резо-
нанса для узкой области или „полосы" состояний, относящихся
к непрерывной группе.
Рассмотрим переходы, обусловленные возмущающей силой, из-
меняющейся гармонически с частотой у. Начальное состояние с энер-
гией Н' отнесем к дискретной группе. Если энергия Н -f- Av лежит
в области непрерывного спектра (как это может иметь место в
случае водородоподобного атома, если И' 0, тогда как Н'
+ /гу>0), то переходы будут совершаться не только в состояние
с энергией /7" = /7'-]~Ау, но также и в соседние состояния, энергия
которых Н" слегка отлична от Н^. Это вытекает из двух соображе-
ний. Во-первых, условие резонанса И" =Н' —j- Zzv не должно удовле-
творяться точно даже в том случае, когда конечное состояние
относится к дискретной группе. Во-вторых, соседние состояния не-
прерывной группы сами по себе являются приближенно резонанс-
ными по отношению друг к другу и поэтому не могут рассматри-
ваться отдельно. Мы должны рассматривать целую „полоску" со-
седних состояний, или, иными словами, „группу", образованную
суперпозицией представляющих состояния гармонических волн.
Для коэффициентов Сн„ функций относящихся к непрерыв-
ной последовательности состояний, мы получаем согласно общей тео-
рии точно такие же дифференциальные уравнения, как и для коэф-
фициентов функций, относящихся к дискретным состояниям. Если
частица первоначально находилась в (дискретном) состоянии //', то
в обЪих случаях мы для Сн„ = Сн”Н> получим одно и то же выра-
жение (175). Ограничиваясь рассмотрением состояний, соседних с
резонансным состоянием, обладающим энергией И" — Н^ = Н' 4~ Av,
мы можем отбросить в выражении (175) первый член в виду его от-
носительной малости, так что:
=	(180)
Если функции нормированы, то число экземпляров частицы,
292
V. Теория возмущений
переходящих за время t из состояния Н' в область Д77*, лежащую
вблизи резонансного значения Ну, определяется выражением:
£н"
(180а)
Прежде чем произвести интегрирование по //", мы должны от-
метить, что это интегрирование относится к одной лишь энергии
только в том случае, если другие два параметра, определяющие
волновые функии остаются дискретными (как, например, в
случае водородоподобного атома). Если же один или оба эти пара-
метра изменяются непрерывно, то дифференциал dH" должен быть
заменен произведением dH" на дифференциал или дифференциалы
этих непрерывно изменяющихся параметров. Не останавливаясь здесь
на рассмотрении этого случая, мы вычислим (180а), выполнив инте-
грирование по одной лишь энергии.
Так как для не слишком малых значений t последний множитель
в выражении (180) обладает очень резким максимумом в резонанс-
ной точке Нп = Ну и сравнительно очень малыми значениями вдали
от этой точки, мы можем заменить первый множитель значением
его при Н" = Ну и распространить интегрирование по разности
Н" — Ну от — оо до 00*
——т--------v ] / = получаем:
— 00
—1|2= 2 (1 — cos 5) == 4 sin2 Д- $
или, так как
и
то
+~ з1'ппД-Е
У
о
^дя'; = Т|7’н>|2/.
(181)
§ 22. Первое нривлижение; теория простых переходов 293
Вероятность перехода из состояния Hf в область за единицу
времени равняется, следовательно:
=	(181а)
Тот же результат можно получить с помощью квааи-дискретных
функций:
V кН" J
г ДЯ"
Мы должны при этом сперва рассматривать интервалы кН" как
конечные и вычислять коэффициенты ch>>h<	согласно фор-
муле (180), заменив мааричные элементы Тн'м через:
= jа
S3 yWlj	V'^'
Эта формула тем точнее, чем меньше интервалы кН". Мы можем
поэтому воспользоваться ей при вычислении предельного значения
суммы
2 I	I	|9 кН",
распространенной на большое число бесконечно-малых интервалов, со-
держащих резонансное значение Ну. Это предельное значение пред-
ставляет собой, очевидно, не что иное, как интеграл (180а).
Интересный пример таких переходов смешанного типа представ-
ляет ионизация атома под действием света, т. е. фотоэлек-
трический эффект. Мы можем положить в этом случае:
S = — еЕц cos (2irvf Р),
где £0 — амплитуда электрического вектора световых волн, пред-
полагаемая параллельной оси х, а е — заряд электрона. Это дает:
Гн';Н1=.^р-\Хн';№\\	(181b)
Вернемся к случаю v = 0, чтд соответствует возмущению, не за-
висящемау от времени. Переход происходит из дискретного состояния
294	V. Теория возмущений
И' в непрерывную область состояний Н", относящихся приблизи-
тельно к одному и тому же значению энергии; мы можем опреде-
лить его вероятность за единицу времени с помощью формулы
(181а), полагая T — S и вводя множитель 4, на основании тех же
соображений, как и в формуле (177b) (в противоположность фор-
муле (176а)). Мы получаем, таким образом:
4тг^
(Н" = Н’).	(182)
Другая — чисто формальная — модификация, соответствующая
этому случаю (у = 0), относится к обозначениям. Если непрерывный
спектр перекрывает спектр дискретный (а это необходимо для того,
чтобы удовлетворялось условие резонанса Н" — Н'), мы должны
ввести явно один /или два параметра для того, чтобы с их по-
мощью отличать друг от друга различные состояния (непрерыв-
ные и дискретные), обладающие одной и той же энергией. Обо-
значая этот параметр через Q, мы можем переписать (182) в сле-
дующем виде:
4тг^
rQnQ/ = —	(182а)
Если параметр Q" изменяется непрерывно и если число состояний
в бесконечно-малой области непрерывного спектра выражается фор-
мулой:
о(/7", Q")dH"dQ,,i
где о — некоторая функция от И" и Q", определяемая тем усло-
вием, что вероятность нахождения частицы в этой области равна
\с^„\Ч(Нп, Q")dH"dQ",
то вероятность резонансного перехода (в единицу времени) из точно
определенного состояния H'Q' в . область, соответствующую интер-
валу dQ", определяется следующим выражением:
IV, 0, = -^	H,QI\^(H',Q")dQ”.	(182b)
Аналогичные рассуждения применимы также и к резонансному пе-
реходу, вызванному гармонически изменяющимся возмущением. Вме-
сто (181а) мы получаем при этом;
§ 22. Первое приближение; теория простых переходов 295
IV, = ~Ql,	Q")dQ".	(182с)
Легко показать, что эти формулы справедливы также и в том
случае, когда не только конечное, но и начальное состояние
относится к непрерывной группе. Такой случай мы имеем в про-
стейших задачах о столкновениях, как например откло-
нение частицы некоторым силовым полем, связанным с ограниченной
областью пространства; начальное и конечное состояния („до" и
„после" столкновения с источником возмущающего поля) описы-
ваются при этом волновыми функциями, соответствующими движе-
нию в отсутствии этого ПОЛЯ.
Если, однако, конечное состояние относится к дискретной сово-
купности, то начальное состояние должно быть определено не точно,
т. е. посредством некоторой области fdf (и, возможно, также и Q').
В заключение отметим следующее обстоятельство. С корпуску-
лярной точки зрения наличие резонанса означает сохранение
энергии. Тот факт, что возмущающие силы практически вызывают
лишь такие переходы, которые удовлетворяют условию резонанса,
можно рассматривать с этой точки зрения, как естественное следствие
закона сохранения энергии. В волновой механике условие резонанса,
как мы видели, не всегда, однако, удовлетворяется. Прежде всего,
имеют место переходы несистематического характера из начального
состояния в состояния с совершенно иной энергией, причем средняя
вероятность нахождения частицы в этих „побочных“ состояниях
определяется формулой (183а). Далее, в случае непрерывного спектра
систематические переходы подчиняются условию нерезкого резо-
нанса, допускающему легкие отклонения от закона сохранения энер-
гии. Может показаться поэтому, что последний в волновой меха-
нике места не имеет.
Подобное заключение является, однако, ошибочным по той про-
стой причине, что Н не представляет собой действительной
энергии частицы; ее энергия (если возмущение S не зависит от
времени) определяется характеристическими значениями оператора
K = H-\-S. Условие резонанса Н" = Н' является, таким образом,
лишь приближенным выражением закона сохранения энергии,
в действительности выражаемого уравнением К"
296
V. Теория возмущений
Если движение частицы описывается с точки зрения К, т. е. с
помощью характеристических функций этого оператора, мы полу-
чаем совокупность стационарных состояний, переходы между кото-
рыми оказываются невозможными, независимо от того, равны ли К"
и К' или нет. Только в том случае, когда движение частицы опи-
сывается с точки зрения /У, оказываются возможными переходы,
обусловленные пренебрегаемой частью S полной энергии /С Именно
этот неучет энергии S является причиной кажущегося нарушения
закона сохранения энергии. С точки зрения Н энергия возмуще-
ния S не является постоянной (если только она не коммутирует с Н,
что в общем случае места не имеет) и не обладает поэтому опре-
деленным значением. Ее можно поэтому рассматривать, как того
„козла отпущения“, который ответствен за отклонения от закона
сохранения энергии Н" = Н* при переходах, для которых это урав-
нение не удовлетворяется.
Аналогичные соображения применимы также и к общему случаю,
когда S зависит от времени, так как в этом случае значения пол-
ной энергии К остаются неопределенными.
§ 23. Второе приближение; теория сложных переходов.
Предыдущие рассуждения прокладывают путь к рассмотрению
таких переходов, вероятность которых обращается в нуль, будучи
определена из уравнений первого приближения, но оказывается от-
личной от нуля, будучи вычислена с помощью второго приближения.
Согласно уравнениям (173) и (173а) переходы такого типа
имеют место, если матричный компонент 8н"Н' обращается в нуль,
тогда как имеется одно или несколько состояний Н'", для которых
компоненты Shw и Shw °т нуля отличны.
Для простоты мы рассмотрим сперва случай дискретных состоя-
ний и независящего от времени возмущения. Если между начальным
и конечным состояниями не существует резонанса, т. е. если Н"
то амплитуда вероятности	нахождения частицы
в состоянии Нп будет оставаться малой величиной второго по-
рядка, а квадрат ее модуля NHn будет колебаться около сред-
него значения четвертого порядка малости. Если, однако, Н" = Н\
то будет возрастать линейно, а Ыцн будет возрастать про-
§ 23. Второе приближение; теория сложных переходов 297
порционально второй степени времени; это означает, что имеют место
систематические переходы из начального состояния Н* в конечное
состояние Н", осуществляющиеся через одно или несколько п р о м е-
ж_уточных состояний И"'. Для этих промежуточных состояний
условие резонанса с обоими конечными состояниями не должно (и,
в общем случае, не может) удовлетворяться; то обстоятельство, од-
нако, что при сложных переходах Н' -+Н” частица должна
пройти через состояние с энергией Н'", отличной от начального
(и конечного) значения, ни в какой степени не мешает ей совер-
шать такие переходы. Кажущееся нарушение закона сохранения
энергии для каждого из двух „этапов" перехода от И' к Н" легко
устраняется, если мы примем во внимание, что энергия возмущения
S является не только причиной перехода, но также и неучитывае-
мым фактором в энергетическом балансе. Если, например, Н'">Н\
то мы можем представить себе, что энергия И"'— Н', требующаяся
для совершения первого этапа перехода, „одалживается" у возму-
щающей энергии S и возвращается ей на втором этапе. Амплитуда
вероятности Сн"<н< =	состояния И" должна оставаться
малой, причем соответствующая вероятность (или число экземпля-
ров, находящихся в состоянии Н"') Ыцт = \^1с^^н> |2 должна ко-
лебаться около постоянного значения
(// " — Н'Г
тогда как число
Afan, вначале весьма малое, возрастает с течением времени и в конце
концов может стать очень большим. Мы можем представить себе
этот процесс наглядным образом, если сравним каждое состояние
с сосудом, который может быть наполнен жидкостью, представ-
ляющей вероятность или число экземпляров. Предположим, что эта
жидкость, вначале сконцентрированная в сосуде Н\ постепенно пе-
рекачивается возмущением в сосуд Н" f с которым первый сосуд
связан косвенно через группу сосудов Н'"\ жидкость может при
этом, не накопляясь в последних, проходить через них и накопляться
в сосуде Н". Еще более наглядную картину такого перехода дает
наша модель маятников, причем вероятность (или число экземпля-
ров) представляется энергией, передающейся от маятника Н' к маят-
нику И", с которым он связан не прямо, но косвенно через по-
средство группы маятников Н'". Отсутствие резонанса между
298
V. Теория возмущений
последними и И' сказывается в том, что эти маятники совершают
колебания малой амплитуды и функционируют лишь как передат-
чики энергии от Н' к И".
После этих предварительных соображений качественного харак-
тера мы можем перейти к количественной теории двойных перехо-
дов. Полагая в (173а):
= е h
И
/2тс(Я'" —Л )/
с ____________________________ со ---------т-----
аН"'Н' С п ,
мы получаем
где
j 2 /	12к(Н">—Н'Н"
/н"Н"'Н'У)== — -~ J dt'e h ^df'e Л =
0	6
* Z2tc (H"-
( dte h
e h — 1
t. e.
Z2tc — 7PK
e h —1
i2n{H" — Hr")t
e h —1
(183a)
В случае резонанса H"=H' это выражение принимает следующий
вид:
„	i2nt . е h — 1
= <183b>
Отбросив второй член в виду его малости, мы получаем таким
образом:
ДаСя,,я,= ^У^я>»^	(183с)
А4 лШЛ Н   Н
//пг 1 л	1 * •
Мы не заменили здесь S^,,H,n через , несмотря на равенство
#" = ЛГ? для того чтобы как-либо отметить, что конечное состоя-
§ 23. Второе приближение; теория сложных переходов 299
ние отлично от состояния начального. Для той же цели можно вос-
пользоваться добавочным индексом Q и написать
Sfi'Q'1, H"'Q"'Sh"'Q"', H'Q' вместо $Н"Н"' $Н"Н' ’
В случае двойных переходов, точно так же, как и в случае про-
стых переходов, мы обычно имеем дело с неострым резонансом между
начальным состоянием и областью непрерывно изменяющихся ко-
нечных состояний. Если энергия является единственным непрерывно
изменяющимся .параметром, то вероятность перехода от H'Q' к
H'Q" за время t определяется интегралом:
распространенным на небольшую область, содержащую резонансное
значение И" =Н,‘ Выполняя интегрирование, мы можем отбросить
второй член-в выражении (183а). При этом условии мы должны,
очевидно, получить такой же результат, как и в случае простого
резонансного перехода	причем матричный элемент
заменяется выражением:
VI <?°	<?°
V °Н"Н'"°Н"'Н'
Й Н"'-Н' 
Для вероятности перехода Н’ —> Н" , отнесенной к единице времени,
мы получаем, таким образом, следующую формулу [см. ур. (182а)]:
(«" = «'). (184)
н*' г*
Эта формула неполна в двух отношениях. Во-первых, она не при-
нимает во внимание остальных параметров (Q), помимо энергии.
Во-вторых, она не учитывает промежуточных состояний, относя-
щихся к непрерывному энергетическому спектру. Если параметр Q
изменяется дискретно, то вместо (184) мы получаем следующее вы-
ражение:
-п	у у $H'Q",	H'Q1 ।
I H,Q„t HIQ, = —	+
Гг” Q'"
+ У j*	(184a)
V. Теория возмущений
С00
Если же само Q изменяется непрерывно,*то суммирование по Q'"
должно быть заменено интегрированием, причем дифференциал dQ'"
умножается на а(Н'", Q'"), a Q" заменяется дифференциалом dQ">
умноженным на о(77', Q").
Если между состояниями 77' и Н" имеется слабая непосредст-
венная связь, то вероятность перехода определяется суммой
и	так что вместо (184) мы получаем:
Г
4тт2
(184b)
Часто случается, что возмущение обусловлено одновременным
воздействием двух различных сил, некогерентных друг по от-
ношению к другу — в том смысле, что они содержат "независимые
фазовые множители, при усреднении по которым все величины, со-
держащие нечетные степени этих множителей, обращаются^ нуль.
Мы имеем таким образом:
S = F+O	,	(185)
и	_______ __________ __________
1^„я, 12 = 1^1'2 + 10^ I9.	(185а)
причем среднее значение произведения	на G**„H, равно
нулю.
При рассмотрении простых переходов	обусловленных
одновременным воздействием двух таких возмущений, для вероят-
ности перехода мы получаем сумму двух вероятностей, соответст-
вующих воздействию каждого из двух возмущений, взятых в отдель-
ности.
В случае сложных переходов мы получаем, однако, согласно
(184), следующее выражение для вероятности перехода:
IW == (F, F)h”h> + G)h"H' + (О, з (186)
причем первый и последний члены получаются из (184) путем за-
мены S на F или G. Они характеризуют воздействие каждой из
двух возмущающих сил в отдельности, тогда как средний член пред-
ставляет их комбинированное воздействие, причем одна из возму-
§ 23. Второе приближение; теория сложных переходов 301
щающих сил обусловливает первый, а другая — второй этап пере-
хода. Этот' комбинационный член:
л о VI л° _1_ л°	1
(F, С)№= -jr 2---------------------н—н.---------------- (186»)
во многих случаях оказывается более существенным, нежели оба
„чистых" члена.
Эти соображения приобретают особое значение при обобщении
предыдущих результатов на случай возмущения, зависящего от
времени.
Предположим сперва, что S сводится к простому гармониче-
скому колебанию без постоянного члена.
Мы имеем при этом так же, как и раньше,
S—T(x, у, z) cos (2kv/	{3).
Подставив это выражение в уравнение (173а), мы получим первое
выражение (183) для	причем
<jr2 г*
=— J dt'	4-
О
t
О
т. е.
Н Н Н th1 {	(ун"Н'+2v) (ун'"Н' + v)
(уц,1Н’" + *) ('>Н"'Н' + v)
enr^H„H,t— I
— v)
епт. (чн„н„.+w — 1	e^rf'H’t — 1
(УН"Н"' + V) — v) ^H"H' (УН'"Н' + v)
—1	еЙ1:(9Я»я,-2у)<—1
(УН"»"' — ч) ('>Н"'№ + v)	(^Н"Н' — 2v) ('>Н"'Н' — v)
(УН"Н>"—v)	— V)
302
V. Теория возмущений
Отсюда явствует, что условие резонанса VH"Hf = — v (т. е. Н"— Н' =
= zt Av) теории простых переходов в случае двойных переходов за-
меняется условием:
= zt2v или 0,
т. е.
Н" — H'=±2hv или 0,
дающим соответственно:
zir е —
ИЛИ
иг I 1	1	1	1 /
Т Ltf'"—tf' + Av + Я''' — //' —AvJ
Эти результаты легко интерпретировать, предположив, что каж-
дый этап двойного перехода И' -+НШ -+Н" состоит
либо в поглощении, либо в (вынужденном) испуска-
нии одного кванта Av света — если для определенности мы
будем рассматривать возмущение S, как обусловленное монохрома-
тическим светом частоты v.
Подобная интерпретация подтверждается тем обстоятельством,
что вероятность перехода, определяемая квадратом	оказы-
вается пропорциональной квадрату интенсивности света
(т. е. четвертой степени электрической силы £0, которой в рассмат-
риваемом случае S должно быть пропорционально). Именно этого
и следовало ожидать, если считать, что вероятность каждого из
двух этапов перехода пропорциональна первой степени интенсив-
ности света.
Следует отметить, что Для каждого из этих двух этапов перехода
обычное условие резонанса v//^ = ztv в общем случае не удов-
летворяется.
Мы встречаемся здесь с такой же ситуацией, как и в рассмот-
ренном выше случае v = 0, т. е* с кажущимся отклонением от
принципа сохранения энергии, восстанавливаемого в правах при учете
энергии возмущения, значение которой является неопределенным.
В случае света принципиально вполне возможны такие пере-
ходы, вероятности которых пропорциональны не первой, а второй
и даже более высоким степеням его интенсивности. Для того чтобы
§ 23. Второе приближение; теория сложных переходов 303
такие эффекты могли наблюдаться, интенсивность света должна
быть, однако, чрезвычайно велика, — значительно больше той, с ко-
торой мы обычно имеем дело в наших лабораторных эксперимен-
тах. Согласно этим экспериментам, вероятность перехода, измеряе-
мая, например, скоростью фото-ионизации, оказывается точно про-
порциональной интенсивности света.
Мы вынуждены, таким образом, прийти к заключению, что двой-
ные переходы, обусловленные воздействием одного лишь света,
практически места не имеют — по крайней itfepe на поверхности земли.
Существует, однако, большое количество явлений, которые можно
трактовать как двойные переходы, обусловленные комбинированным
воздействием света и какого-либо другого не зависящего явным
образом от времени возмущения.
Такие сложные возмущения характеризуются функцией вида:
S—T(x, у, z)cos(2irv/-f-P)4-G(x, у, z)>	(187)
Если при вычислении ^Сн»н> мы сохраним только члены билиней-
ные относительно Т и G, т. е. пропорциональные их произведению,
то вместо (183) мы получим:
~ S	(О 4"	(187а)
/н«н<«н> (t) =
t	tf
= —	dt'{el 12гЛ'1н"Н"'+^'+pl_|_e>	ус—f
о	о
(0 —
2^ /	' /•
==_±_ I	j ^''{еПМ^»я,-НХ''+₽]_|_е421г(7Я-„Я'-'*)<''-₽1},
о	о
т. е.
,	г,ч If	—1 еГ2т: ^Н"№" +	—1 ,
/я"Я".'Я' (t) =	1	;----------^7---------1—?---------И
2Й2 I (УН”Н! + V) '>Н"'№	(УН"№" + V) УЯ'"Я'
(Чц"Н' — 1
(?Я"Я'---V) ЧН'"Н'
еПк^н„Нч1 -yt— 1
(УЯ’'Я'" -V)
304
V. Теория возмущений
Sh"H'"H' (0 == '
1 ( л	еПк('»н,,н,+'М—1	en^H,H„,t—1
---/	-------------------------£*р-------------------
2Л2 I (Ун"Н’ + v) (ун’"Н' + v)
——1	еП^н„Нн4----j
(УН"Н — v) — V)	. VH"H’" (УН">Н' V)
Эти два выражения определяют условия резонанса точно таким же
образом, как и при простом переходе, обусловленном воздействием
одного лишь света.
В случае нерезкого резонанса в области, соседней со значением
Н'\ — Н' :±hv, эти выражения практически сводятся к -
/«™. « = 245«*3	’
ёН"Н"'Н'
ейк(чя,(Я, +-v)t---j
(187b)
(Ун"»1 v) (ун’"Н’-+- *) ’ j
так что мы получаем
^чСн"Н< =
1 -л V ( Тн'нЛхн, &нЛ’Н' \ е	~^—1
__ 1 £ -Ь fp ▼ I	п"'п' । — Пуп'" п'"п' I *	*
~~2	Н'"—Н	— +_’
и следовательно:
« VU т°" Гг°	Г?0" Т° \ 1
\ / 1 НчН’"^Н’"Н' .	иН'}Н'"1 Н"'Н' |
h^\	— +
(187с)
вместо формулы (184). Эта формула должна быть дополнейа точно
таким же образом, как и формула (184), для того чтобы учесть
переходы через состояния, относящиеся к непрерывному спектру //,
а также и остальные параметры (Q) помимо энергии.
Следует упомянуть, что члены, квадратичные по отношению к
Т или G, отброшенные нами в формуле (187а), не имеют значе-
ния, поскольку мы ограничиваемся рассмотрением резонансных
переходов вышеописанного типа. Как было показано выше, они
§ 23. Второе приближение; теория сложных переходов 305
должны играть существенную роль только при переходах типа
Hn — H'±2hv nm.Hn=H,>
Интересное свойство выражения (187с) — несимметричный харак-
тер двух членов, стоящих в скобках, по отношению к частоте v.
Последняя оказывает влияние только на второй член, соответст-
вующий воздействию света на первом этапе перехода, тогда как в
первом члене, соответствующем влиянию света на втором этапе пе-
рехода, частота v вхотпт только в качестве индекса в Н'\.
Примером применения формулы (187с) может служить задача
о преобразовании света в тепло в газообразных телах.
В этом случае G должно представлять воздействие возмущающей
силы, испытываемое рассматриваемым атомом благодаря наличию
остальных атомов, с которыми он приходит в столкновение. Под-
робное рассмотрение этой задачи требует, однако, учета движения
всех частиц, действующих друг на друга.
Другой пример двойных переходов этого рода — явление рас-
сеяния света, которое можно рассматривать как комбинацию двух
элементарных актов (простых переходов) — поглощения светового
кванта Av и спонтанного испускания другого светового кванта
/г/, соответствующего, в общем случае, другой частоте. Эти два
акта могут осуществляться в любом порядке, так как для про-
межуточного состояния закон сохранения энергии удовлетво-
ряться не должен (поскольку возмущающая энергия не принимается
во внимание).
Применение формулы (187с) к случаю рассеяния света нуж-
дается, однако, в двух существенных дополнениях.
Прежде всего, необходимо представлять себе „ спонтанныйи пере-
ход, связанный с испусканием света, как обусловленный некоторым
возмущением G, а именно, воздействием поля излучения электрона
на него самого (см. § 18, ч. I).
Если падающий свет поляризован в направлении единичного
вектора q и рассматривается та часть рассеянного из пучения, ко-
торая соответствует колебаниям электрона в направлении q', мы
должны положить:
Т = — e(r*~q)EQ и G = — е(г*^)Е^3	(188)
306
V. Теория возмущений
где г—радиус-вектор электрона (по отношению к ядру атома), а
£'—амплитуда некоторого „эффективного внешнего поля“, которое
будет определено ниже. Далее, условие резонанса Н^ = Н' ±hv
оказывается необходимым заменить условием

(188а)
где v — частота поглощаемого, a v' — испускаемого света в соответ-
ствии с принципом сохранения энергии.
Эти результаты могут быть получены из общей теории возму-
щений путем замены спонтанного излучения, сопровождающего
один из двух этапов процесса рассеяния, индуцированным
излучением, т. е. излучением, обусловленным влиянием вторич-
ной световой волны с частотой у' и амплитудой Е[.
Предполагая, что электрон подвергается одновременному воз-
действию этих двух световых волн, мы получаем для полной воз-
мущающей энергии выражение следующего вида:
S = Т(х, yf z) cos (2irvf 4" P) T (x, y, z) cos (2t:v74~ fO- (189)
Для билинейной части ^сн"н< это дает предыдущее выражение
(187а) с G=^T', но с несколько иными значениями множителей
/ И g-
Ограничиваясь рассмотрением случая приближенного резонанса
вблизи значения (188а) и отбрасывая относительно малые члены,
мы получаем:
/Н"Н"Ч!' (0 = 4^
— V + V') (ун"’Н' 4~ *')
£Н"Н"'Н' (t) —	е1®’	•
ei2r.	+ ^') t--- J
(УН'ЧГ — V 4- v') (УН"'Н' — v)
(189а)
что дает:
Л	1	V / ТН"Н"'Т Н"'Н>
Т'*„ т°,\ еак ^Н"№ —* + w—1
п"п"' п" ГГ 1
—V /	— v-J-v'
(189b)
§ 23. Второе приближение; теория сложных переходов 307
и следовательно:
Г//"//' =
h	4-Av'
*р/о у'®
1 Н"Н<" 1 Н'"Н>
H,n—H' — hv
(189c)
Для получения вероятности рассеяния остается лишь фиксировать
эффективное значение Е'г
Это может быть осуществлено следующим, образом.
Нерезкость резонанса, предполагавшаяся в предыдущих вычис-
лениях, может быть обусловлена либо переходом частицы в „область*
Д//" непрерывного спектра при точно определенных значениях у и у',
либо же переходом в совершенно определенное состояние 1~Г дис-
кретного спектра, при изменении у' в малом интервале Ду' вблизи зна-
(Н" — Н’ — Ау)
чения --------------или, иными словами, при испускании
спектральной линии у' конечной ширины.
С этой точки зрения, на которой мы и будем основываться в
дальнейшем, мы должны заменить функцию S' = Т cos (2iry7-f“ pr)
суперпозицией гармонических колебаний, обладающих различными
частотами, заключенными в малом интервале Ду', и совершенно
независимыми фазовыми константами, т. е. некогерентных друг по
отношению к другу.	'	*
₽то означает, что выражение |	|9 должно быть пропор-
ционально не квадрату суммы амплитуд слагающих колебаний, а
сумме квадратов этих элементарных амплитуд. Обозначая значение
этой суммы для всех частот, лежащих внутри интервала dv', через
E'^dv', получаем:
или, если — как это имело место выше — интегрирование произво-
дится по энергии, а не по частоте,

(190)
,308
V. Теория возмущений
Вероятность перехода, обусловленного воздействием энергии воз-
мущения S', взятой в отдельности, т. е. вероятность вынужденного
излучения с частотой v' за единицу времени равняется:

Эта величина должна быть, очевидно, отождествлена с вероят-
ностью спонтанного излучения (см. ч. I, ур. (93), § 17):
_ 64it4?v'3
А~ ~ЗсЧГ
откуда следует
Е"2 = hV3.
•>' Зс3
Полагая, далее:
Т-— ег- дЕ0
(д— направление вектора £0), мы получаем согласно (189с):
64тг4 ,, , „
-37Г

। g)	 <7) I"
Н'" — И' — Ь	! '
(190а)
(190b)
Интенсивность рассеянного излучения равняется произведению Гн"Н'
на Av'.
Если v' отлично от v и прямой переход от состояния И' к
(дискретному) состоянию Н" невозможен — как это предполагалось
до сих пор — формула (190b) в связи с условием резонанса (188а)
описывает так называемый эффект Рамана или некогерентное
рассеяние света. Если состояние И" относится к непрерывной со-
вокупности, соответствующей ионизации атома, то вместо эффекта
Рамана мы получаем эффект Комптона. В этом случае необ-
ходимо, однако, видоизменить формулу (190b), во-первых, учтя
§ 24. Теория переходов
309
переходы через промежуточные состояния, относящиеся к непре-
рывному спектру, и, во-вторых, учтя конечную скорость света
как при поглощении, так и при испускании.
§ 24. Теория переходов для неопределенного начального
состояния.
Коэффициенты сн<— или, в частности, сцин' — являются комп-
лексными величинами, модули которых определяют вероятность со-
ответствующих состояний — или число связанных с последними
экземпляров, тогда как фазы их не имеют непосредственного физиче-
ского смысла.
Мы увидим в дальнейшем, что с помощью этих фаз может быть
построена теория, в которой экземпляры частицы выступают как
различные частицы одного и того же сорта (см. часть I, § 20). По-
скольку, однако, мы ограничиваемся рассмотрением одной лишь
частицы, фазы величин сн не имеют физического смысла и не
должны, следовательно, входить в окончательные уравнения. По-
следние должны содержать только модули или квадраты модулей
коэффициентов сн>.
Мы применим этот принцип к вопросу (впервые рассмотренному
Дираком) о распределении экземпляров частицы между различными
состояниями при наличии какого-либо возмущения, когда состоя-
ние частицы в начальный момент не определено точно, так что из-
вестны лишь начальные значения вероятностей №н,. Наша за-
дача заключается в определении этих вероятностей, как функций
времени (для достаточно малых значений последнего).
В такой форме задача неопределенна, так как уравнения теории
возмущений содержат не вероятности Nh>, а амплитуды вероят-
ностей сн>, значения которых как по модулю, так и по фазе
определяются значениями их модулей Vи фаз в начальный
момент времени. Для того чтобы избавиться от этих фаз, не име-
ющих никакого значения при рассмотрении вероятности, мы мо-
жем усереднить результаты по фазам, считая все значе-
ния этих фаз в начальный момент времени равно-
вероятными,
310	V. Теория возмущений
Для случая дискретной группы состояний мы имеем со-
гласно (161)
h dc№	Л
LSh,h"Ch”-
4 Н"
Присоединим к этим уравнениям комплексно сопряженные уравне-
ния:
h de* V	V
~~dT = Sh'H"c*h" =
Умножив первые на с*н„ а последние на сн, и вычтя одни из
других, получаем:
2га’ ~dt	= ($Н’Н"СН’СН” Sh"h>cwch\
Н"
т. е.
d х_ 2га V /о *	г. #
($Н"Н'СН"СН' $Н’Н"СН'СН") •	(191)
Н"
Мы видим, таким образом, что правая часть этих уравнений не мо-
жет быть выражена как функция чисел *
На первый взгляд представляется возможным положить Сци =
— V~Nh"е'чн' и произвести усереднение по фазам, считая равно-
вероятными их значения в рассматриваемый момент t.
При этом однако правая часть уравнения (191) обратилась бы в нуль.
В действительности мы не имеем никакого права считать равно-
вероятными различные значения фаз у#' в любой момент вре-
мени; если это условие является выполненным в некоторый момент
t = 0, оно не может иметь места для более позднего момента
времени.
Мы подставим поэтому в правую часть (191) приближенные
выражения амплитуд вероятности через их начальные зна-
чения—в первом приближении, с тем чтобы получить приближе-
ние второго порядка для производных по времени от чисел
(матричные компоненты S, на которые умножены коэффициенты с,
рассматриваются как малые величины первого порядка)»
§ 24. Теория переходов	311
Мы получаем таким образом:
, СН"СН> = СН"СН' 4" СН< + СН"&1СН' •
С другой стороны:
^\^нп —	(191а)
так что:
г* с ---/>* р° J_ у /д г°* г° -4- Д с с° г°* \
Н'"
Если мы теперь положим:
^, = /<7^7	(191b)
и усредним предыдущее выражение по всем значениям начальных
фаз ^н,, и т. д., рассматривая их как независимые переменные,
мы получим:
СН"СН' — °Н"И' 1 ^1СН"Н или, так как д г* — _ согласно формуле А	2^ ^сн,№, =	ъ Сц"СН’ — ^Н”Н' 4" Подставив это выражение в (191), мы получаем: dNHt 4^ V / ~dt=^ L\Sh'h',{' t +	(0 j* Shw (^ 0 t. e. № vr •7Г = 2Г/^ H"	I p - 1 Suw'dt) (192) t 0 J" $Н"Н' (f) dt' и (192a)
312
V, Теория возмущений
где
(192b)
Последнее выражение представляет собой не что иное, как вероят-
ность (отнесенную к единице времени) непосредственного перехода из
состояния Н' в И", или обратно. Уравнение (192а) может быть по-
лучено непосредственно из соотношения симметрии	.
Принимая во внимание комбинированные переходы, легко получить
*	dNw
приближения более высокого порядка для.—. Это не изменит,
однако, формы уравнений (192а). Для вероятности комбинированного
перехода мы вместо формулы (192b) получим следующее выражение:
_ d 4к2
t
j* Sh'H" (t') dt' -|-
o
t	V	12
+ 2 Sdt'SH'H"' «J	•
0
(192c)
Глава VI.
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФОРМА И МАГНИТНОЕ ОБОБЩЕНИЕ
ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ ОТДЕЛЬНОГО ЭЛЕКТРОНА.
§ 25. Простейшая форма релятивистской волновой механики.
Все построения предыдущих глав основывались на волновом урав-
нении Шредингера для отдельной частицы, движущейся во внешнем
поле сил, которое характеризуется некоторой потенциальной энер-
гией U (х, у, z, t).
Как мы видели в главе первой, это уравнение соответствует до-
релятивистской классической механике, не учитывающей измене-
ния массы частицы с изменением ее скорости. Кроме
того, оно не принимает во внимание магнитных сил, опреде-
ляющихся не только положением частицы, но также и ее с к о-
р о с ть ю.
Нашей ближайшей задачей является отыскание такой усовер-
шенствованной формы основного уравнения волновой механики для
отдельной частицы — электрона, — которая принимала бы во внима-
ние как зависимость массы от скорости, так и воздействие магнит-
ных сил.
Оказывается, что обе части этой задачи могут быть решены
одновременно, если при исправлении уравнения Шредингера мы
будем руководствоваться основным принципом релятивистской тео-
рии — эквивалентностью пространственных координат и времени
(умноженного на zr), выражающейся в симметрии всех основных
уравнений физики по отношению к ним и обусловливающей четы-
рехмерный характер всех физических величин и соотношений.
Следует упомянуть, что этим же принципом можно воспользо-
ваться для исправления уравнений классической до-релятивистской
теории и нахождения их точной релятивистской до-квантовой формы-
314 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Формальное соответствие между уравнением энергии Ньютонов-
ской механики:
2^(5-/ + ^2+^) + t/-^=0	(193)
и уравнением Шредингера, записанном в виде:
+	‘	(193а)
где
_ h д _ h д _ h д _ h д псим
Р* 2irz дх ’ 2ти ду’ 2rd dz'	dt '
возвращает нас к четырехмерному представлению физических
величин, являющемуся формальным содержанием теории отно-
сительности. Мы должны, следовательно, изменить наши первона-
чальные уравнения так, чтобы они приняли форму, симметричную
по отношению к слагающим четырехмерных векторов.
Если время определено обычным образом (мы это и будем пред-
полагать в дальнейшем), т. е. как вещественная величина t без мни-
мого множителя ic, то эта симметрия обычно искажается появлением
множителя — с* или — в произведении четвертых слагающих любой
пары векторов.
Прежде всего мы должны восполнить существенный пробел в
обычном определении четырехмерного вектора импульса (количества
движения) и энергии:
gx = mvx, gy = mvv gz = mvz, —gt=W, (193c)
— пробел, делающий это определение непоследовательным с точки
зрения теории относительности и ограничивающий его соответствие
с четырехмерным векторным операторохм (193b).
В Эйнштейновской механике для частицы с покоющейся массой
пц в дополнение к трем пространственным слагающим импульса:
мм имеем в качестве четвертой слагающей „собственную энергию";
§ 25. Простейшая форма релятивистской волновой механики 315
В формуле же (193b) оператор—pt представляет собой не эту
собственную энергию, а полную энергию z =	без
постоянной энергии покоя т^с*. Для получения релятивистской
формулировки законов корпускулярной механики мы должны
прибавить этуt константу к энергии W, т. е. должны положить:
_^ = е=	=
Далее, рассматривая потенциальную энергию U как четвертую
слагающую, т. е. как „временную проекцию“ некоторого четырех-
мерного вектора, мы должны также ввести в рассмотрение его
пространственную проекцию. Эта пространственная проек-
ция G, соответствует, очевидно, импульсу и точно так же, как
и (7, может являться любой функцией координат и времени; мы
будем называть ее потенциальным импульсом. В специаль-
ном случае G-~ 0 (рассмотрением которого мы до сих пор и огра-
ничивались) слагающие действующей на частицу силы определяются
обычными выражениями:
dUt _dU	дЦ
дх 1 ду ’	dz 9
Вопрос о характере силы, связанной с векторной функцией G и о ее
математическом выражении будет рассмотрен нами позднее. Здесь
для нас существенно лишь то, что при введении „потенциального
импульса" величины gx, gy, gz в (193с) должны определяться как
слагающие полного импульса mv-\-G в соответствии с тем
обстоятельством, что величина —gt означает полную энергию
Вместо (193с) мы получаем, таким образом, следующие фор-
мулы для слагающих четырехмерного вектора полного импульс;
и полной энергии:
gx = mvx+Gx, gy^mVy + Gj, gt = mve + Ge\ ,194)
—gt -- пи?-\- U.	J
Слагающие вектора „собственной" энергии и импульса, согласно
определению, связаны друг с другом соотношением;
эквивалентным формуле т —
316 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
(m>J2 4" (ш^)2 + (я^)2----~2 №*)*= — т*с<*	(194а)
/п0
—/  . Это соотношение мо-
/F?)
жет быть записано в следующем виде:
{mvХУ 4- (mvy)* + (tnv^ — ^(s — U)* = — т.Ч\ (194b)
(V \
— <С1 / мы можем при-
ближенно положить:
и	(/и®)2^(/иос)2
1 (е-U)* = -L{т.с* +W-Uf^ т.*с* + 2т. (W-U).
С	с
Предыдущее уравнение сводится при этом к
Oo't’J2 + (m.vyY + (m.vz)* 4- 2т. (U— Г) = 0,
т. е. к классическому уравнению энергии (193). Следует заметить,
что при постоянстве W (или е), могущем иметь место лишь в слу-
чае независимости функции U от времени (т. е. в случае статиче-
ского поля сил) это уравнение выражает „закон сохранения энергии".
Представляя слагающие собственного импульса (количества дви-
жения) электрона, как разности соответствующих слагающих полного
и потенциального импульса, и заменяя е через—gt, мы можем
переписать соотношение (194b) в виде
- оу+- О/ + & - °У - 4 &+2 +
4-/пД2 = 0.	(194с)
Это уравнение представляет собой релятивистское обобщение и уточ-
нение Ньютоновского соотношения (193).
От этого уравнения мы можем перейти к соответствующему
основному уравнению релятивистской волновой механики с помощью
метода, развитого нами для нерелятивистского случая, т. е. путем за-
мены в уравнении (194с) четырехмерного вектора g соответствующим
ректорным оператором р и приравнивания нулю выражения, кото-
§ 25. Простейшая форма релятивистской волновой механики 317
рое получается от применения результирующего оператора к волно-
вой функции ф. Мы получаем при этом:
£6 = 0,	(195)
где
n ( h д rY±( h д г Vi
£  I ——; -Z-------------Oxj -J-	; —--Gy 1 -p
' 2ra dx /	\ dy y / 1
+ ;/ 9~- — °*) 9—"a (V~- 7» + U) *+ m*c*- (195‘M
1 \ 2ш 'dt г) с* \2к1 dt 1 / 1 0	v }
При „умножении" выражений, содержащих помимо обычных ве-
личин также дифференциальные операторы, порядок множителей
имеет существенное значение. Так например, „произведение"
d	d
— Gv6, где оператор у- применяется к функции Gxty, отличается
ОуС	ОХ?
от „произведения"
d , х	dGx
Ф дооавочным членом 6-^.
хдх	т dx
Принимая во внимание, это обстоятельство, имеем:
h д	д r\l h д Л_
2ш дх Х1 \ 2irZ дх х/ к 2я/ дх х/ ^
& д^ h д hd
4я2 дх* 2~Л х дх У 2к/ дх х^ х
4тс2 Эх2 -jtZ х dx 2ш dx ' х
и аналогичные выражения для других членов. Выписывая все эти
члены, получаем:
1 а2ф
+	~^~d^
4та’ (г, J-г, Л-Гг и )
“ h \ х дх У ду^ г дг^ с* dt I
2тй (dGx . dQ„ , dQ. . 1 dU\ ,
-vfe+u'-+	«Л-
-^(о,’+а,ч-с,1-^^ + »..>с>)ф=о.	(1эе;
В случае /п0 = 0 и при отсутствии внешних сил, т. е. при условиях,
318 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
соответствующих Эйнштейновскому фотону, это уравнение сводится
к уравнению распространения электромагнитных волн:
~д?~ °
Легко, далее показать, что при wo^:O и 0 = 0 релятивистское
волновое уравнение (196) в специальном случае гармонического
колебательного процесса (т. е. для движения с постоянной энергией)
согласуется с релятивистским уравнением (48b), § 13, часть I. Дей-
dU
ствительно, при — =0 и ф =	уравнение (196) прини-
мает вид:
о. 1 /8Л 4п2	\
v (“7»	и* т<> с /V —°,
е
или, при v = -— ,
п
4тс^	*
V34 4-	[(е - U)3 -	4 = 0,	(196а)
что тождественно с уравнением (48b), часть I.
Рассмотрим теперь связь уравнения (196) с уравнением движе-
ния Эйнштейновской механики. Для этого положим в (196)
2rJS
<р = const е h .
п	„	/ 2тг/ \2	к
Разделив полученный результат на ) е h и отбросив
h
члены, содержащие в качестве множителя малую величину , по-
лучаем уравнение:
(197)
_|_ а/ + W—U'+'nJcW,
представляющее собой релятивистскую форму уравнения Гамиль-
тона— Якоби. Оно может быть записано в следующем виде:
§25. Простейшая форм а релятивистской волновой механики 319
(ds V . /ds у . ids у 1 (dS . „у .
tax gx) + \dy gy) + ta^ g1/ ta/ + £/) +
4-woV = 0	(197a)
и может быть получено непосредственно из уравнения (195) путем
замены векторного оператора р, входящего в D, вектором g, опреде-
ляемым уравнениями:
dS dS dS dS
s- = ^'	s‘ = di- (197t”
Точно так же, как и в нерелятивистской теории, продифференциро-
вав уравнение (197а) по координатам и времени и принимая’ во
внимание получающиеся из (194) и (197b) соотношения:
dS	п	dS I П	2
-------Q = mvv1 ...	--- + U= — me1
dx x x	dt ‘
легко перейти от этого уравнения, относящегося к континууму
экземпляров одной частицы к релятивистским уравнениям движения
данного экземпляра.
Так, например, продифференцировав (197а) по х и разделив
результат на т, получаем:
/	dGK\	,	(	d*S	dOA	.
\dxdx	dx / x	1	\dxdy	dx f	‘
,	/ d*S	dOA	. d*S	, dU	n
‘	\dxdz	 dx /		dxdt	dx	’
пли, с помощью (197b):
i 4У i dz dg^_ dG^ dO^.
dx dt "i- dy dt~i~ dz dt ' dt x dx ' y dx '
. dG,	dU n
~^~гг dx	dx	1
=	(198)
Трехмерный вектор скорости w, относящийся к определенной
частице, здесь уже не является явной функцией координат и вре-
мени. Его частные производные по х, у, z} t должны быть по-
этому приравнены нулю.
320 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Уравнения для gy и g2, совершенно аналогичные уравнению
(198), мы здесь выписывать не будем. Четвертое же уравнение
имеет вид:
dt dt к 7
Если потенциальные функции G и U не зависят от времени
(статическое поле сил), то это уравнение сводится к — 0, т. е.
— gt = E (закон сохранения энергии).
Представляя в уравнении (198) gx как сумму mvx и Gx полу-
чаем:
dgx d , ч , dGx . dGx dx , dGv dy , dGY dz
w=Tt J+-gg+-to	Tt+Tt=

, dGx . dGx . dGx . dGx
откуда:
d , ч
Zt{mVx}
w (?Gy_dGA
dx dt ' у \ dx dy I
(dGx dG,\
z \ dz dx /
(198a)
Правая часть этого уравнения представляет собой, очевидно, сла-
гающую силы /, действующей на частицу, по оси х
Положив:	<
и=еФ, G = -^A,	(199)
где:		_дФ_Л4*	дФ			
		dx cdt ’ У	ду	cdt ’		
		dz	dA, cdt			(199а)
		[е = — grad$ —	1 дА \ с dt /	J	।	
	_dA,		/7.. = ^—^-, Н,=			
	ду	dz ’	> dz dx	z	dx	dy ’	 (199b)
			(Н= rot A)			
§ 25. Простейшая форма релятивистской волновой механики 321
мы получаем:
/	77	'П
или в векторном обозначении:
и
d
dt
(200)
(200а)
Здесь Ф и А — скалярный (электрический) и векторный (магнит-
ный) потенциалы, Е и И, соответственно, напряженности элек-
трического и магнитного полей, е — электрический заряд частицы.
Для определения свойств точечной частицы достаточно, таким
образом, двух констант — ее (покоющейся) массы и электриче-
ского заряда.
Вектор, определяемый уравнением (200), представляет собой
внешнюю силу (так называемую „Лоренцову силу"), действующую
на электрон, движущийся в любом электромагнитном поле.
Проекция четырехмерного уравнения движения на ось времени
[пространственной его проекцией является уравнение (200а)] имеет
следующий вид:
^р.=еЕ- 9=е(Ег1)г+Е,^Е^.	(200b)
Мы получаем, таким образом, соотношение:
из которого следует хорошо известная формула:
Остается теперь отыскать выражения, соответствующие реляти-
вистскому волновому уравнению для величин р (плотности вероят-
ности) и j (вероятной плотности тока). Проще всего это осущест-
322 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
вить (согласно В. Гордону) следующим
образом. Введем в рас-
смотрение операторы:
___ h д	е
дх	с
h д	е л
Н* '"п • ~S	Я)
г 2та dz	с
h д е л
Uv= — А------AV>
“ 2та ду	с ?
(201)
с помощью которых мы можем записать релятивистское волновое
уравнение (195) в виде:
(«/ + «/ + “/ — »/-|-/7zeV)<}» = 0.	(201а)
Умножим это уравнение слева на и вычтем из него сопря-
женное уравнение для <[*, умноженное на ф. В результате, с по-
мощью уравнения (196), получим формулу:
или
+ ’PV 'J'*)+СТ V+’{'«Z ’{'*)+
Эту формулу можно рассматривать как уравнение непрерыв-
ности, причем величины
+ и T. д.	(201b)
Р = -2^('ГОД + ^^)	(201с)
представляют собой, соответственно, слагающие вектора плотности
тока и плотность экземплярного континуума. Что касается плотного
§ 25. Простейшая форма релятивистской волновой механики 323
тока, то новое определение является непосредственным обобщением,
определения, данного нами раньше. Выражение же для р имеет совер-
шенно иной вид, нежели применявшееся ранее простое выражение
Легко, однако, убедиться на примере консервативного дви-
жения, что это различие практически несущественно (при не-
слишком больших энергиях движения). Полагая:
h дФ	, h <?Ф*
------— = — еф и----------------= еф*.
2rd dt	V	2rd dt
получаем:
о
4“	~ (е—«) =
2
С
и отсюда
p =	+	(201d)
\	7П0С /
т. е., поскольку кинетическая энергия W—U мала по сравнению
С тис\ р^^*.
Что касается точного смысла выражения то легко пока-
зать, что оно соответствует покоющейся плотности. Это
р т
видно, например/ из соотношения —=	, получаемого из
(201с), если масса т определена обычным образом, по формуле:
, W— U
—-г—•
Отметим в заключение следующее обстоятельство. В прежней
теории, не учитывавшей потенциального импульса электрона, длина
соответствующих де-Броглевских волн X определялась собствен-
ным импульсом пги, в то время как частота колебаний v связы-
валась с полной энергией пи? -j- U. В общем случае длина волны
должна, очевидно, определяться не собственным, а полным импуль-
сом по формуле ♦
—А — hkt
1 с
которая соответствует в духе теории относительности формуле .
пи? 2== Ау
324 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
для частоты колебаний. Таким образом, обычная формула де-Брогля
ml}^=H=hk должна рассматриваться лишь как частный случай
’предыдущего общего соотношения, соответствующий движению
электрона в чисто электростатическом силовом поле (А = 0).
§ 26. Магнитные силы в приближенной не-релятивистской
волновой механике.
Если, при приведении уравнения (196) к форме, соответству-
ющей консервативному движению, потенциальный импульс предпо-
лагается отличным от нуля, то вместо (196а) мы получаем следу-
ющее векторное уравнение:
(I h -Л*	1	1
Ь=о- (202)
Если энергия W = е — мала по сравнению с энергией
e0 = zn0c2, чтд в классической механике соответствует движению
со скоростью v, малой по сравнению со скоростью света, мы мо-
жем положить с достаточной степенью точности:
(е - £7)« = (е0 + W— Ц? =	2s0 (Г- U).
Пренебрегая относительно малым членом (W—U)\ вместо точного
уравнения (202), получаем приближенное уравнение:
— V — О — 2w0(IF— t7)k = 0.	(202а)
Это уравнение соответствует классическому уравнению движения,
учитывающему наличие магнитных сил (соответствующих посто-
янному во времени потенциалу G), но пренебрегающему реля-
тивистским изменением массы со скоростью.
Магнитные силы бывают обычно относительно слабы, так что в
уравнении (202а) можно пренебречь квадратами величины G, по
сравнению с линейными членами. При этом уравнение (202а) при-
нимает очень простой вид:
(I h V h — h	'I
i о-: V — — V -G—G—,\7—2/n0(r—G)^ = 0.
Пользуясь тождеством
V . G^ = div (G<p)= G • X7ф 4" ^iv G
§ 26. Магнитные силы
325
и принимая во внимание, что в случае статического поля расхо-
ждение магнитного потенциала А равно нулю, т. е. div G = О, мы
можем переписать предыдущее уравнение в следующем виде:
(Д- СД v-У— Д—. О • V + и — г} ф = 0. (£02Ь)
i2z«0 \2та J 2^tnQi •	J
До сих пор мы делали вполне допустимые пренебрежения. Обоб-
щим теперь предыдущие приближенные уравнения на случай не-
консервативного движения (в статическом или не-статическом
поле), поступая при этом точно так же, как и в случае G = 0, т. е.
заменяя энергию W оператором —pt (или —pt — mQc*; постоян-
ный член mQc* в этом случае несуществен, так как он поглощается
потенциальной энергией).
Мы получаем, таким образом, уравнение:
ГД- ( Д V У- ДД. G . V + и+J = 0	(203)
для слабых магнитных полей или
[Д- (Д V аЪ = 0	(203а)
для сильных полей; эти уравнения можно рассматривать как обобще-
ние уравнения Шредингера (193а) на случай наличия магнитных сил,
причем релятивистское изменение массы со скоростью пренебрегается.
Переход от уравнений (202а) и (202b) к уравнениям (203) и
(203а) является, конечно, нелогичным днагом, который к тому же
противоречит полученным в предыдущей главе результатам. Если
уравнения (202а) и (202b) являются допустимыми приближениями
по отношению к уравнению (202), в случае движения с определенной
энергией, то уравнения (203) или (203а) нельзя рассматривать как
приближенные, в строгом смысле этого слова, по отношению к общему
Уравнению (196). В самом деле, последнее содержит вторую про-
изводную от 6 по времени, которую мы не имеем права отбрасы-
вать или же заменять первой производной, умноженной на постоян-
ный множитель; последнее допустимо лишь в том случае, когда
/2тс-^
зависимость от времени определяется множителем е п , со-
ответствующей движению с постоянной энергией Е.
326 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Мы имеем здесь приближение того же типа, каким является
уравнение Гамильтона-Якоби по отношению к уравнению Шредин-
/ h \
гера для функции S = I	) 1g ф, с той лишь разницей, что в
последнем случае мы отбрасываем не вторую производную по вре-
мени, а вторую производную по пространственным координатам.
Все эти соображения отнюдь не обесценивают, однако, уравне-
ний (203) и (203а), как хороших приближений к истине в опре-
деленной области, соответствующей незначительному изменению
массы со скоростью. Несмотря на то, что справедливость реляти-
вистского уравнения (196) остается пока недоказанной (как мы
увидим в дальнейшем, оно в действительности не вполне верно.) —
уравнения (203) и (203а), представляют весьма естественное обоб-
щение уравнения Шредингера для случая наличия магнитных сил
и должны, следовательно, описывать движение под действием этих
сил столь же хорошо, как уравнение Шредингера описывает движе-
ние при отсутствии таковых.
Существенное преимущество „приближенных* уравнений (203)
.и (203а) над „точным* уравнениехМ (196) заключается в том, что
они согласуются с общей схемой теории операторов, развитой на
основе уравнения Шредингера, так как онр могут быть записаны
в следующем виде:
(Н+а)Ф = 0.	(204)
где Гамильтоновский оператор энергии Н определяется обобщен-
ной формулой:	I / h —
Нг= '	V-G)+t7,	(204а)
пли приближенно
Н=^- (vY——v -\-U.	(2C4b)
2/л0 \2та J 2r.tn^i 1	4 J
Уравнение (196), содержащее квадрат оператора pti не может
быть представлено в форме (204) — поскольку мы не можем извле-
кать квадратные корни из операторов так же, как из обыкновен-
ных чисел, или найти уравнение, линейное относительно pt и фак-
тически эквивалентное уравнению (196).
Оставляя этот вопрос до следующего параграфа, укажем здесь
вкратце основные изменения общей теории, развитой в преды-
§ 26. Магнитные силы
327
дущих главах, обусловленные обобщенной формой оператора Га*
мильтона (204) или (204а).
Прежде всего, мы должны отметить, что этот оператор — комп-
лексный (что не мешает ему представлять вещественную вели-
h \
чину точно так же, как и оператору р * V ] • Мы должны,
следовательно, отличать оператор Н от комплексно-сопряженного
оператора определяющего комплексно-сопряженную волновую
функцию ЭД уравнением:
(//*—/>,) ЭД = 0.	(204с)
Умножив это уравнение на и вычтя его из уравнения (204),
умноженного на ЭД, получаем:
S+div7=°’
с прежним — не-релятивистским — выражением ЭД* для р и выра-
жением
(205)
для плотности тока. Последнее выражение имеет одинаковый вп i
для обоих операторов Гамильтона (204а) и (204b) и совпадает с
выражением, выведенным выше для „точной" релятивистской тео .
рии [см. первую из формул (201b)}.
Уравнение (205) может быть, очевидно, переписано в следующем
виде:
где
7=-^-p/?(vS- G)=~-pM(S)-6},	(205а)
//ip	Z/Zp
S=——.log?
ztu
и /?(S) — ее вещественная часть. В приближении, соответствующем
классической (Ньютоновской) теории движения электрона в элек-
тромагнитном поле, S — функция действия, а градиент ее VS—
полный импульс g. Разно.ть \75—G сводится, таким образом, к
собственному импульсу mj) и вектор j — к произведению pv то но
так же, как и в отсутствии магнитных сил, как, конечно, и следо-
вало ожидать.
328 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Комплексный характер оператора И вызывает необходимость
пересмотра некоторых свойств его характеристических функций,
установленных нами ранее в предположении вещественности Н.
Это относится, прежде всего, к свойству ортогональности, выве-
денному выше из самосопряженности /7, т. е. из формулы:
В общем случае комплексного оператора Н, определяемого фор-
мулой (204а) или (204b), эта формула не справедлива и должна
быть заменена следующей
J* (ДЯД-Д Я*Д) dV= 0.	(206)
Действительно, согласно любому из двух определений Н:
М	h	—	—
=-8^(AvV2-/1v71)-^.(/1g. vA+Ло- v/,)=
ОН //4q	^H//4q4
A2	h
или, поскольку div О = 0,
ДЯД-ДЯ*Д = div/18,	(206а)
где
Д5 = _(ft v/a—Д ?Д)	Ghfv (206b)
thZ/ZqJ
Если, таким образом, функции и убывают достаточно быстро
в бесконечности (так что интеграл ^fJ^dV сходится), то мы полу-
чаем уравнение (206).
Полагая, в частности, j\ = и /2 = <ря„ , где /7' и Н"—
два различных (вещественных) характеристических значения /7, мы
получаем:
S - *Л) dV= (Н'-Н1) J Оя- dV— 0,
откуда:
]О<И^=0	(Я'^Ю,
как и раньше»
§ 26. Магнитные силы
329
Следует упомянуть, что в случае вещественного И (т. е. при
отсутствии магнитных сил) характеристические функции всегда
могут быть определены как вещественные, т. е. как обладающие
вещественными амплитудами (х,у, г)9 тогда как в
случае комплексного Н эти амплитуды являются обяза-
тельно комплексными. Соотношение ортогональности спра-
ведливо, таким образом, только в вышеприведенной форме, а не в
форме:
J №н" dV= 0 или J	^ ^ = °>
имеющей место при вещественном Н.
Что касается вещественности характеристических значений Н,
то она вытекает из общей формулы (206), если положить в ней
/j = и /2 =	. Мы получаем при этом (77'—TP) J ^Ht^tdV=09
т. е. следовательно Н* =Н' (так как интеграл от квадрата модуля
не может обращаться в нуль).
Свойство самосопряженности, выражаемое уравнением (206),
относится не только к оператору 77, но и к любому оператору F,
представляющему вещественную величину. Это явствует наи-
более просто из условия вещественности среднего или вероятного
значения F= dv для движения описываемого произвольной
квадратично интегрируемой волновой функцией ф. В самом деле пере-
ходя к комплексно сопряженным величинам, имеем F* = dV9
так что условие вещественности F* = F сводится к условию само-
стоятельности F в форме (206) при = и /2 = ф.
Можно показать, что всякий самостоятельный оператор F
является вещественной функцией от координат и элементарных
операторов рх, ру, р2 и удовлетворяющей, при наличии некомму-
тирующих множителей, определенным условиям „симметризации".
Это следует из соотношений:
/ h
(А^А-А^Л
_/ h*\nd
’“V 4*V dxfi*’
330 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
где
_	dfx ^”-7,	<?»/,
/18	/1 dxVi-i дх dxtn-i ~Tdxi (^Х2«-ЗГ'
И	д
АР^А+АР^А^А.
д^А f
дх*1-*/з
ПР" f _,дгпА dfxd^f3
719-/1 дх дх*п~1 дх* дх*п~* дх*п/*
в связи с
(р*1)*=р*\	(р*1*1)* =—Р°-ПЧ
Что касается упомянутого выше условия симметризации, то оно
сводится к замене произведений некоммутирующих множителей F, О
выражениями -i- (FG FG) ш^(Р0—FG), которым, как мы
знаем, соответствуют Эрмитовы матрицы. Самосопряженность этих
выражений, рассматриваемых как операторы (в указанном выше
обобщенном смысле) — при условии самостоятельности операто-
ров F и G — доказывается следующим образом.
Заменяя в формуле (20t) Н через F и /2 через О/2, получаем
j*AFGf^dV^ fofJF^dV.
С другой стороны, согласно той же формуле (206), при Замене Н
на G и /, на F*/*, имеем:
У n)GAdv= j* AG*F*A <W.
Таким образом
j* Л(ГОУ, dV— jf,(OF)% dV.
Отсюда видно, что оператор FG является самосопряженным лишь
в том случае, если операторы F и G коммутируют друг с другом.
В противном случае мы имеем
j* fx(FG 4- OF)/, d V= У f^GF+FGyf, dV
И
Ул(го-огу„^=-
\f4FG-GFYfxdV,
§ 26. Магнитные силы
331
откуда следует, что симметризованные операторы FG 4“ GF и
i(FG—GE) удовлетворяют условию самосопряженности.
Мы можем, таким образом, сказать, что не только оператор энер-
гии, но и любой оператор F, представляющий вещественную фи-
зическую величину, самосопряжен в смысле уравнения
y^dV = ^f^fxdV,
если функции и — квадратично интегрируемы или, в общем
случае, в смысле уравнения
что характеристические значения этого оператора вещественны, и что
его характеристические функции взаимно ортогональны в том же
смысле, как и характеристические функции оператора энергии.
Другой результат, связанный с вещественностью Н и его само-
сопряженностью в старом смысле — возможность замены дифферен-
циального уравнения для его характеристических функций и зна-
чений
(77—/7)^Я'=0
вариационным уравнением:	*
8 ^*H'!fdV=0
при условии
J const (==1).
Так как при комплексном Н функция не удовлетворяет
тому же уравнению, как и то этот результат на первый взгляд
также нуждается в видоизменении.
На самом деле, однако, он никакого изменения не тоебует, так
как мы имеем:
8 J* d V= J 8-}*Яф dV-j- J $*Hub dV
з с помощью уравнения {206):
j* У Hub d V— j* ЦНЧ* d V,
t. e.
8 f ^H^dV= f Z’^H'-idV-]- f u\H^dV=l Г ^H*}* dV
332 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Вариационный принцип сохраняет при этом обычную форму:
8/7=0, £ = const (=1)
где
Н = j* V = J V
И
Как было уже указано выше, совокупность двух уравнений 6/7=0,
8£ = 0 может быть заменена одним уравнением 8/7= 0, если Н опре-
деляется формулой:
Н = j* }* • H^d V \	V (или j* tyH^d V \ j*^d v),
без каких бы то ни было добавочных условий для функции
Следует отметить, далее, что уравнения 8/7=0, 8£ = 0 можно
разложить на две следующих пары уравнений:
j*8<p* • <pdV=0	(207)
И
рф. H*ty*dV=0, J<p* • 3<pdV=0,
причем первая пара эквивалентна уравнению (/7—/Г) ф = 0, а
вторая — уравнению (/7* — /Г) ф*= 0.
Предыдущие результаты (относящиеся, очевидно, не только
к оператору энергии, но и к любому самосопряженному оператору)
легко обобщаются на случай неконсервативного движения, причем
!и । h д \
уравнение ( Н -тг ) 7 = 0 оказывается эквивалентным вариа-
ционному уравнению:
h д
2rd dt
а комплексно сопряженное уравнение
(207а)
2ш dt
h
уравнению

§ 26. Магнитные силы
333
Поскольку ф является точным решением уравнения ’
h
ф = 0, а ф*— совершенно произвольная функция, вариа-
ционное уравнение (207а) представляет собой простую транскрипцию
обычного уравнения движения. Это вариационное уравнение может
быть и получено, однако, по Дираку как условие перманент-
ной малости ошибки, получающейся при замене функции ф
приближенной функцией относительно простой формы фг
В некоторый начальный момент Z = /o форма функции ф может
быть выбрана совершенно произвольно. Мы можем, следовательно,
отождествить ф (/0) с ф1 (/0). Следует, однако, помнить, что функ-
/	, h д \
ция фх (/) удовлетворяет не уравнению Iа Уравне-
нию вида:
("+si-4>+*=0-	(207Ь)
Наша задача сводится, таким образом, к возможному уменьшению
дополнительного члена ф2 (/) для любого момента времени t. Полагая
/ =	из предыдущего уравнения получаем:
2тй/	2tcZ
I, (/0 4- dt) = ф, (Q - Н^й) dt-—^ (/0) dt.
Если мы изменим теперь функцию ф (/0 dt) на небольшую
величину 8ф! (f0 -|- dt) при неизменности функции ф,(/0), то соот-
ветствующая вариация поправочного члена ф2(^0) будет равна
8ф2&)=—+
Условие малости ф2(/0) при всех значениях координат эквивалентно
условию минимума интеграла J*ф2* (f0) ф2 (Zo) V, т. е. уравнению:
Заменив здесь 8фа* (Q на оф/ (Zo dt), получаем:
334 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
или, переходя к пределу dt^O и отбрасывая индекс 0 (так как
предыдущие результаты должны быть справедливы для любых зна-
чений t):
Это уравнение означает, что поправка %(/) должна быть ортого-
нальна к любой вариации приближенной функции фх*(/). Функция
может быть исключена из уравнения (207b), если последнее умно-
жить на и проинтегрировать по координатам, в результате
чего получается уравнение (207а), в котором точная функция ф за-
менена приближенной функцией
Выражения J ^*HtydV и J	для Н легко могут быть
приведены к симметричной форме:
4-£/<W*pV,	(208)
или
J I у	j \	у
-J-i/pldV,	(208a)
где p = <}4* — плотность вероятности, a j — вероятная плотность
тока, согласно уравнению (205). Воспользовавшись приближенным
выражением (204b) для 7/, вместо (208) получаем:
J £ITIq j
+ t7|<p|aJdV, .	(208b)
чтд совпадает с (208a), если в первоначальной определении j мы
положим G — 0, возвращаясь, тем самым, к прежнему определению
плотности тока
7=4^T	W*) •
§ 26. Магнитные силы
335
Поскольку присутствие магнитного поля не влияет на веществен-
ность характеристических значений оператора Н и взаимную орто-
гональность его характеристических функций, мы можем сохранить
без каких бы то ни было изменений все результаты предыдущих
глав, в частности матричное представление физических величин „с
точки зрения" /7, теорию преобразований и теорию возмущений
Если магнитное (или, в общем случае', электромагнитное) поле,
определяемое вектором G, относительно слабо (по сравнению с си«
ловым полем, определяемым потенциальной энергией J7), его можно
трактовать как возмущение. Вычтя из оператора Гамильтона (204b),
который мы в дальнейшем будем обозначать через К, обычный one-
ратор Гамильтона
соответствующий отсутствию „возмущающих" сил,
следующее выражение для энергии возмущения:
S —— .G-V
л ieh -*
----------А -V,
2тст0с
(	в А \
где А—векторный потенциал, соответствующий Gl = —- 1, а е —
h —
электрический заряд рассматриваемой частицы. Полагая —г • V = р,
мы можем переписать (209) в виде:
или
9
мы получаем
(209)
(209а)
5 =-----—Д-р.
ТИЛ? .
(209b)
Простейшее применение этой формулы представляется в случае
постоянного однородного магнитного поля (эффект Зеемана).
Обозначая напряженность поля через мы можем положить в этом
случае

(2Ю)
где г — радиус-вектор частицы, так как при этом получается
rot А =<£>
336 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Подставив
(210) в (209b), имеем:
5 =
или
S
Оператор
очевидно, угловой момент электрона относительно
представляет,
центральной точки (ядра), от которой отсчитывается радиус-вектор.
Мы получаем, таким образом:
2ш0с
или
где вектор
(210а)
(210b)
S-— £ • U-,
— е -75
----------М
2т0с
может быть определен как оператор, представляющий магнитный
момент, обусловленный обращением электрона вокруг (неподвиж-
ного) ядра.
Это определение вытекает из того обстоятельства, что выраже-
ние (210а) имеет точно такую же форму, как и классическое вы-
ражение для энергии частицы с постоянным магнитным моментом
рь в однородном магнитном поле <£).
Если невозмущенное движение является движением в центральном
поле сил, так что вектор М (при G = 0) остается постоянным,
вектор также должен оставаться постоянным. Его характеристи-
ческие значения равны характеристическим значениям /И, умножен-
ным на . Беря слагающую М по оси z и вспоминая, что при соот-
ветствующе выбранных характеристических функциях Ylm (6, <?)==
характеристические значения Мг равны целым кратным
Л
, для характеристических значений получаем целые кратные
величины;	eh
§ 26. Магнитные силы
337
называемой Боровским магнетоном (так как он равен магнит-
ному моменту первой Боровской орбиты).
Если магнитное поле параллельно оси z, или, вернее, если по-
следняя выбрана в направлении магнитного поля, то дополнительная
энергия возмущенных состояний движения равна произведению 4?
на характеристические значения Действительно, недиагональные
матричные элементы энергии возмущения:
$nlm, n'l'm' ==	<£)	пЧ'т'
по отношению к функциям ty°nlm и т, обращаются в нуль, так
что добавочные значения энергии ДЯ' сводятся к диагональным
элементам возмущающей матрицы. Мы имеем, таким образом, в пер-
вом приближении:
= Snimt nim = У)
или
AJ7' = ——m.	(211)
Это расщепление энергетических уровней магнитным полем — или,
точнее, соответствующее расщепление спектральных линий, обусло-
вленных переходами между энергетическими уровнями с различными
значениями осевого квантового числа т, носит название „нормального*
эффекта Зеемана. Так как имеют место только такие переходы, для
которых Д/п == 0, -j- 1 или — 1, то нормальный эффект Зеемана сво-
дится к расщеплению каждой линии на три линии, одна из которых
совпадает с первоначальной линией (соответствующей отсутствию
магнитного поля), а другие две расположены по обеим сторонам ее
на расстоянии
а е$
ФХПЦС
Несмещенные линии соответствуют гармоническим колебаниям элек-
трона параллельно направлению магнитного поля, тогда как сме-
щенные соответствуют круговому движению в том или ином на-
правлении вокруг направления этого поля. Вопрос об относитель-
ной интенсивности этих трех линий для случая Д/ = -|“1 и =
= —1 был рассмотрен в § 13 гл. III.
Более подробное обсуждение эффекта Зеемана мы отложим до
338 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
одного из следующих параграфов, где он будет рассмотрен в связи
с осложнениями, обусловленными „собственными магнитным моментом
электрона аномальныйи эффект Зеемана).
Предыдущие результаты были получены в качестве первого
приближения; легко, однако, показать, что они справедливы
точно, — поскольку влияние магнитного поля представляется (при-
ближенным) оператором (209) или (210а).
Действительно, обозначая через ср азимутальный угол, образуемый
плоскостью (г, г) с плоскостью (г, х), получаем:
__________________________ е h д
2/тг0с 2ш дер ’
и следовательно:
<211Ь)
где Av определяется формулой (211а).
Сравнивая точное уравнение движения электрона
(//4-5-/<')Хк- = 0
с уравнением
соответствующим отсутствию магнитного поля, мы видим, что они
удовлетворяются одними и теми же функциями
если мы положим:
К — Н' = №' = h^m>
в соответствии с (211). Таким образом, в данном случае:
Д/7' = Д1/7'.
Рассмотрим, в заключение, другой метод изучения влияния одно-
родного магнитного поля, особенно отчетливо обнаруживающий
аналогию между волно-механической и классической теорией.
Напишем уравнение движения электрона в общем виде:
<2,2>
§ 26. Магнитные силы
339
и вместо первоначальной координатной системы х, у, z введем
другую систему х\ у', z' (=«?), вращающуюся около общей (не-
подвижной) оси z с постоянной угловой скоростью со. Азимутальный
угол ср' в этой вращающейся системе связан с углом <р соотноше-
нием:
<р' = ср —
(212а)
(212b)
соответ-
перепи-
(213)
откуда следует, что:
\^/ср	ду dt \dt)yi д?
Частное дифференцирование по t в уравнении (212)
ствует очевидно, постоянному значению ср.
Принимая во внимание соотношение (212b), мы можем
сать это уравнение в следующем виде:
/ г г । h& д , h ff \
\Н + S—’2^7	+ 2^7 It) Z ~ О’
д'у
—значение частной производной по взятое при постоян-
ном значении <р'.
Это уравнение можно, очевидно, рассматривать, как описы-
вающее движение электрона по отношению к вращающейся коор-
динатной системе.
Подставив в него выражение (211b) для 5, получаем, так как
/ д \ _/ d \ .
W /;
(213а)
[н I А (А_ Jl . AL в о.
| i \ 2кУ дср'^ 2ш
Если угловая скорость определяется как
<о = 2кД^,	(213b)
т. е., если частота вращения — в точности равна Av, это уравне-
2к
ние сводится к уравнению, описывающему движение электрона по
отношению к неподвижной координатной системе в отсутствии маг-
нитного поля.
Этот результат тождествен с результатом, получаемым в клас-
сической механике, где он интерпретируется как прецессия
340 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
электронной орбиты вокруг направления магнит-
ного поля с угловой скоростью <о = 2кДу.
Частные решения уравнения
h д' \ л
2тп dt /	’
соответствующие консервативному движению электрона по отноше-
нию к вращающимся осям, совпадают, очевидно, с решениями урав-
, h д\
нения	—
\	‘ dt /
ф = 0 при ср = ср'. Мы имеем, таким образом:
1 =fni (И Pim (0) eimV e h
где H' — характеристическое значение H, т. е.
. 2тс ( hmm \.
е 1 h\ + 2тг ) .
§ 27. Релятивистская волновая механика, как формальное
обобщение максвелловской электромагнитной теории света.
Возвращаясь к релятивистской теории движения электрона во
внешнем электромагнитном поле, мы встречаемся .со следующим за-
труднением. Если установленное в § 25 релятивистское уравнение
(196) считать правильным, мы должны отказаться от теории, изло-
женной в предыдущих главах, поскольку она вводит в рассмотрение
оператор энергии Н. Тем самым мы должны отказаться от со-
ответствия между волновой и классической механикой, выражаю-
щегося наиболее просто и полно в формальном совпадении классиче-
ских и квантовых уравнений движения при замене в первых из них раз-
личных величин соответствующими операторами, и в введении диф-
dF
ференцирования по времени с помощью формулы — = [Н, F]. Если
же, с другой стороны, мы хотим сохранить это соответствие и выразить
'	(гт I h d \ п
волно-механич. закон движения уравнением типа 1/74---— —-1ф = 0,
\ 2ш dt /
мы должны заменить релятивистское уравнение (196) уравнением
§ 27. Релятив. волн, механика как обобщ. эл.-м. теории света 341
линейным (а не квадратичным) по отношению к оператору
_ h д
2тг/ dt
В пользу этого говорит также то обстоятельство, что плотность
вероятности р должна представлять собой существенно положитель-
ную величину, между тем как согласно релятивистской теории § 26
она может принимать как положительные, так и отрицательные
значения. Это обстоятельство обусловлено тем, что в формулу
(201с) входят первые производные функций ф и ф* по времени,—
чтб в свою очередь связано с наличием второй производной по
времени в волновом уравнении (196) для функции ф. В прежней—
нерелятивистской — теории, где волновое уравнение содержит лишь
первую производную от волновой функции по времени, плотность
вероятности оказывается существенно положительной величиной,
равной фф*. Правильная релятивистская теория в этом отношении
должна примыкать к нерелятивистской и, следовательно, формулиро-
ваться волновым уравнением первого порядка относительно
времени. А так как в теории относительности время эквивалентно
пространственным координатам, то искомое релятивистское уравнение
должно также быть дифференциальным уравнением первого порядка
и относительно пространственных координат.
Заметим, что порядок дифференциального уравнения всегда мо-
жет быть повышен повторным дифференцированием, так что, в
частности, от уравнения вида (И-{- ф = 0 мы всегда можем перейти
к уравнению, содержащему квадра'т pt. Это можно осуществить,
например, применяя к предыдущему уравнению оператор И-\-pt
или Н—pt, что дает (И2 -j- 2Hpt + р?) ф = 0 в первом случае и
(Я2—р/2)ф==0 — во втором.
Мы должны быть, конечно, подготовлены к тому, что полученное
таким образом уравнение второго порядка (по отношению к р^
будет несколько отличаться от нашего первоначального уравнения
(196). Вопрос о том, которому из них следует отдать предпочте-
ние., может быть разрешен лишь путем сравнения теории с экс-
периментом.
Легко показать, что построение одного уравнения первого
342 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
порядка с одной неизвестной функцией ф, удовлетворяющего требо-
ваниям пространственно-временной симметрии теории относитель-
ности и дающего при повторном дифференцировании уравнение типа
(196), является невозможным. Можно, однако, заменить уравнение
(196) системой нескольких уравнений первого порядка с несколь-
кими функциями так, чтобы эти уравнения удовлетворяли условию
пространственно-временной симметрии, а в результате вторичного
дифференцирования принимали форму, сходную с уравнением (196),
и в частном случае свободного движения совпадающую с ним. Мы
увидим, кроме того, что эта система уравнений может быть запи-
сана в виде одного уравнения типа (77-)-/?,) Ф = 0> где Pt и Ф
представляют собой четырехмерные матрицы, или, что то же самое,
в виде одного из трех эквивалентных уравнений: (Рх — рх) ф = О,
(Ру—Ру) ф = о, (Р2—р2) Ф = 0, где Рх, Ру, Р2 — матричные опе-
раторы, представляющие слагающие импульса электрона точно так
же, как Н представляет его энергию.
Возможность записи уравнения движения в этих четырех экви-
валентных формах является непосредственным выражением эквива-
лентности пространственных координат и времени, составляющей
сущность теории относительности.
Первая часть нашей задачи, заключающаяся в отыскании си-
стемы уравнений первого порядка, удовлетворяющей условию про-
странственно-временной симметрии, может быть решена весьма про-
стым способом на основании аналогии между механикой и оптикой,
которая явилась исходным пунктом развития волновой механики и
которая может быть использована и дальше — с некоторыми ого-
ворками— в качестве руководящей нити.
Уравнение (201а)
(«? +	— и? + т<№ f — 0
в случае частицы, заряд и покоящаяся масса которой- равны нулю,
сводится к
/ a2 a2 a2	i а2 \
+ — 4-4-) ф = о, (2Н)
\ ах2 1 ду* 1 аг2	с2 дР ) т
т. е. к уравнению распространения световых волн (в пустом про-
странстве) с истинной скоростью с. Если скорость волн равна с,
§ 27. Релятив. волн, механика как обобщ. эл.-м. теории света 343
то скорость связанных с ними частиц также должна равняться с,
так что эти частицы могут быть отождествлены с фотонами.
Согласно электромагнитной теории света уравнение (214), обычно
называемое уравнением Даламбера, не дает полного описания элек-
тромагнитного поля световых волн.
Это поле определяется шестью величинами — тремя слагающими
Ех, Еу, Е2 электрического поля и тремя слагающими Нх, Hvi Hz
магнитного поля, причем эти величины удовлетворяют хорошо из-
вестным уравнениям Максвелла:
<?яг	дНу	1	дЕх_
	dz	с	dt
дНх	дН2	1	dEv_
dz	дх	с	dt
дН,_	дНх	1	дЕг_
дх	ду	с	dt
дЕ2	dEj 1	1	дНх_
ду	dz 1	с	dt
дЕх	дЕг	1	dHv_
dz	дх *	с	dt
dEv	дЕх ,	1	дНг_
dx	ду '	с	dt
(rot н-14? = о) <215>
\ с dt I
(rotE + 4^?=o) <215а)
\	1 с dt /
К этим шести уравнениям мы можем прибавить следующие два:
div£=^- + ^ + ^ = 0,	(216)
дх 1 ду 1 dz
div77=4^ + ^ + ^==O-	(216а)
dx 1 dy 1 dz
Для колебательных процессов последние уравнения можно, однако,
рассматривать как следствие уравнений (215) и (215а). Действи-
тельно, продифференцировав уравнения (215) по х, у, z и сложив
d -
их, получаем: div Е = 0. Отсюда следует — поскольку мы не рас-
сматриваем чисто-статических полей, что div£=0. Точно таким же
образом можно вывести и уравнение (216а) из уравнений (215а).
344 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Продифференцировав левую часть первого уравнения (215) по
времени t, мы с помощью уравнения (215а), получим:
_ 1
ду с dt 2 dz с dt $ с* dt*
/дЕх	дЕу\	д ! дЕг	дЕх\____1 д*Ех	_
ду \ ду	дх J	dz \дх	dz /	с2 df1
_д*Ех д*Ех	д /дЕу.дЕл	1 д*Ех
ду* "Т" dz*	dx \ dy ' dz /	с* dt* ’
т. е., на основании уравнения (216):
d*Ex , d*Ex , d*Ex 1 d*Ex л
=°’
что эквивалентно уравнению (214) при ^ = ЕХ.
Точно таким же способом получаются аналогичные уравнения для
остальных пяти слагающих электромагнитного поля. Мы видим, таким
образом, что уравнение Даламбера можно рассматривать как ре-
зультат исключения (методом повторного дифференцирования) из
уравнений Максвелла всех слагающих поля, кроме одной.
Эго исключение обычно производится с помощью потенциалов
АХУ 4V, Аг> Ф, вводимых посредством формул:
Е = —V<5-----H=iot А.
с dt
При этом уравнения (215а) и (216а) обращаются в тождества, тогда
как уравнения (215) и (216) при дополнительном условии
дАх I Му |	| 1 Эф — о
дхду *" dz ' с dt
дают четыре уравнения Даламбера типа (214) для потенциалов.
Предыдущее соотношение приводит к упрощению волнового
уравнения (196), принимающего следующую форму:
. d*ty ।	1 д2ф	4iw / I л дф
дх* * ду* ' dz* с2 dt* he \ х дх' у ду
-.Ф d'M	jfefe8 / 3 .	9 .	2 __ ф2 I \ ф.
с dt)	h*c*	-Г et ) ?
д$
dz
(217)
§ 27. Релятив. волн, механика как обобщ. эл.-м. теории света 345
или, в векторном обозначении;
V4—
1
dt*
4itz>
he
Д*—ф*_[_
4-kV
(217а)
Это уравнение, записанное в виде (201а), можно рассматривать как
простейшее обобщение уравнения Даламбера (214) для материаль-
ных частиц (электронов) с отличными от нуля зарядом е и покоящейся
массой — обобщение, получающееся в результате замены опера-
т°ров _а_£ _LA	-L.LA
2itz дх ’	2itz ду *	2-kz dz ’ 2-kz с dt
h д	e л
операторами ux = -—~-----------Ax и т. д. и прибавления к левой
ZTtl ОХ	С
/ 27.7* \
части уравнения (214) члена (—
Уравнения Максвелла образуют систему уравнений первого по-
рядка, удовлетворяющих условию пространственно-временной сим-
метрии и приводящих к уравнению Даламбера, как следствию. Мы
приходим, таким образом, к естественному заключению, что урав-
нения первого порядка релятивистской волновой механики, заме-
няющие уравнения второго порядка (201а), могут быть получены
как обобщение уравнений Максвелла тем же методом, который при-
водит от уравнения Даламбера к волно-механическому уравнению
(201а).
Предположим в связи с этим, что электронные волны могут
быть описаны не скалярной величиной ф, а двумя векторными
величинами М и TV, аналогичными ^напряженностям магнитного и
электрического полей (// и Ё), и попытаемся обобщить уравне-
h д
ния Максвелла, вводя вместо	операторы их и т. д. Вто-
2luZ ОХ
рую часть этого обобщения, т. е. введение покоящейся массы, от-
личной от нуля, мы вначале рассматривать не будем.
Прежде всего, мы должны отметить то обстоятельство, что обоб-
щенные операторы zzx,... в противоположность первоначальным, н е-
коммутативны, так что, применяя к некоторой функции ф два
346 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
%
таких оператора в различном порядке, мы получим разные резуль-
таты. Так например, составив разность выражений uxuyty и uyiixty,
находим:
Г(Jl\4<L (L A ф\ _£A
|_\ 2тг/ / дх ду 2ra dx\c j c x 2ra dy '
— AA ф“|-ГГ—_____--1J-A i\ — —A —
,j -lAyYj	dydx 2тй ду ' c J c y2v.i dx
t. e.
(«?,-«/*)♦
или, согласно (199b):
ke
2~ic
dAx
dy
дАЛ (
-di]
uxlly uyux— 2rdc H*'
(218)
если отбросить множитель ф. Аналогичным образом получаем фор-
мулы:
he	he
UyU-a^ = - — Hx, иугх-^ = -—Ну
а также:
'	uyit—atux = —(218а)
и две аналогичных формулы для комбинаций (v, t) и (z9 t).
Так как операторы и некоммутативны, то введение их в восемь
(h \
умноженных на тг-г вместо операторов
lb и
-—г-г— и т. д. вызывает необходимость в дополнительном измене-
2та dx
нии формы этих уравнений. Именно: к правой части уравнений
мы должны прибавить члены вида н7И0 или u,N^ где Мо и Д/о—
два новых скаляра; в противном случае (т. е. при Afo = /Vo = O)
восемь уравнений, связывающие шесть величин Mxf Mv, М?, Nx, 7VJt, Nz
будут, вообще говоря, несовместны друг с другом. Дей-
h d
ствительно, если мы ограничимся заменой операторов —— —. ..
4W
операторами их,..9 то уравнения, полученные при этом из (216) и
§ 27. Релятив. волн, механика как обобщ. эл.-м. теории света ,347
(216а), уже не будут следствием уравнений, полученных из (215)
и (215а), а будут им противоречить.
При рассмотрении обобщенных „максвеллообразных" уравнений
необходимо отметить следующие обстоятельства:
1. Добавочные члены и в правой части уравнений
должны представлять пространственно-временные слагающие двух
четырехмерных векторов, являющихся соответственно аналогами век-
тора электрического тока и плотности электрического заряда
для уравнений (215) и (216) — образующих как бы первую группу
уравнений Максвелла — и вектора „магнитного тока и плотности
магнитного заряда" дляч второй группы, образуемой уравнениями
(215а) и (216а).
Рассматривая Л40 и как скалярные величины, мы можем опре-
делить слагающие первого вектора, как ихМь, иуМ0, ± ^Л40,
а слагающие второго — как uxN^ UyN^ uzN^±utN^
2. Возникающая в связи с этим неопределенность знака (±)
может быть устранена на основании того обстоятельства, что обе
группы уравнений Максвелла могут быть получены одна из другой
путем замены Е на И и И на — Е.
Мы должны, следовательно, потребовать, чтобы одна из двух
групп обобщенных максвеллообразных уравнений могла получаться
из другой путем замены Nx, Nz> на Mx, Myi Mz, Мо и Мх
Му, Mz, Мо на — Nx, — Му9— Nz, — NQ. Принимая это во внимание,
в качестве первой ступени нашего обобщения уравнений Максвелла
(без учета покоящейся массы электрона), получаем следующую си-
стему уравнений:
UyMz — и2Му — utNx игМх —	— utNy ихМу — UyMx — utNz	= «/и0 = игМй	(219)
UyN2-u2Ny-\-utMx a^y—tiyNx+utM,	= «Ло	>	(219а)
ихМх + иуМу+	= — utM^	(220)
^x^x Ч" ЧуМу -f- ЧгМг :	= -\-utNt	(220а)	
348 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Из этих уравнений путем „обобщенного дифференцирования", т. е.
повторным применением операторов к, можно получить восемь
дифференциальных уравнений второго порядка, соответствующих
дифференциальному уравнению Даламбера.
Применив операторы их, uv, иг к уравнениям (219) и оператор
ut к уравнению (220), получаем, в связи с равенствами (218) и
(218а):
he
2^{НхМх+~ ExNx ~ Е^ ~ Е^=
= № + «У2 + и? — “?)
или, положив для краткости
Do =	+«/-«Л	(221)
и пользуясь векторными обозначениями:
he	—►' —► —► —►
£>о/И°=2^(_//'Ж+£‘Л/)'-	(221Я)
Аналогично, из (219а) и (220а) получаем уравнение:
—► —►	—► —►
-N-E-M).	(221b)
При е=0 эти уравнения могут быть удовлетворены тождест-
венно, если положить Л4о = ?/0 = О. В общем случае, однако, ска-
лярные функции MQ и Nq должны быть отличны от нуля.
Применив оператор ut р первому уравнению (219) и пере-
ставляя друг с другом различные операторы и, на основании (218а)
получаем:
he
'^Гс ^ЕуМ^~Е‘М!>~ Е*М^ +	“Ж=0.
Далее, из уравнений (219а) и (220) следует:
uyutMz = tijizN9 — uyu3lNy + uyNx,
--UzUtMy =---UzUyN^ -j- U*2NX — u2ux^^
==	Nx -|“ UxUyNy
Повторное применение соотношений (218) и (218а) дает:
г he
. (и,® + «/ +	- «^)	- EzMy - £xAlo +
+ H,NZ - Н^у - ЯЛо) = 0.
§ 27. Релятив. волн, механика как обовщ. эл.-м. теории света 349
Это уравнение и два других (получающихся из него путем
циклической перестановки индексов х, у, z) могут быть записаны
в виде следующего векторного уравнения:
he
ол +	|(£	+ W1 = 0. (222) 
ZiiblC
Аналогично, применяя тот же метод к уравнениям (219а), получаем
второе векторное уравнение:
__► he	—► —>	—►	__ ___ ____
£>0Л4 + — [(Н X М — НМ.) — (Е х 2V— EW0)J = 0. (222а)
Уравнения (221а), (221b), (222) и (222а) представляют собой иско-
мое обобщение уравнения Даламбера. Они отличаются, однако, от
последнего не только наличием дифференциальных операторов и,
А	* д
входящих в Dn вместо ——г—— и т.
и	2тп дх
д., но также и добавочными
членами, пропорциональными слагающим электромагнитного поля.
Пренебрегая этими дополнительными членами (физический смысл
которых будет выяснен позднее), мы для всех восьми функций Мх...
...Nz, Мо, Н. получим сходные уравнения типа уравнения Далам-
бера—отличающиеся от полученного выше релятивистского волнового
уравнения (201а) или (217а) лишь отсутствием „массового члена*
в операторе D.. Это показывает, что вторая ступень в наше^м
обобщении уравнений Максвелла — поскольку речь идет о резуль-
тирующем обобщенном уравнении Даламбера — должна состоять в
замене оператора D. введенным раньше оператором:
D = D.-\	(223)
Соответствующее введение параметра т.с в уравнения первого
порядка (219) и (220) осуществляется следующим образом: в урав-
нениях (219) и (219а), содержащих производные по времени от вели-
чин Nx, Ну, Н2, N., мы заменим оператор ut оператором:
ut' = ut — т.с,	(223а)
а в уравнениях (219а) и (220) — оператором
и/' = ut -j- т.с	(223b)
350 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
С помощью соотношения: я/я/' = я/'й/ =	— т*с* легко убе- диться в том, что из обобщенных уравнений Максвелла:		
ичМг —	— uiNx = ихМй ' игМх—ихМг — ut'Ny=иуМй u^y — UyMx — UfNg = игМй		(224)
Чу№г —	-j- iif Мх MjfAZj u2Nx—uxNz и/'Aly = UyN^ ^у — иуКх + и("Мг:=11г^		(224a)
ux^x + UyNy -|“ uz^z = —	f.	(225)
uxMx UyMy 4“ игМг — 4~		(225a)
вытекают обобщенные уравнения Даламбера:		
ha —► —►	—► —» +	-M—E .7V) = 0 w ’ 2nic ha —►  ►	—► —► ОТУо + ^(^-^) + £-Л1 = 0	►	(226)
ha —► —► —►	—* -* DM + ^ic № X м “ HMo) —(EXN~ EN<M = 0 DM 4-	[(EX M — ЕМй) —(H*N— HN*)} = 0		k (226a)
Уравнения (226) и (226а) совпадают друг с другом, если положить
	N—iM, M0 = iM0	(227)
или	N= — iM, Nff — — iMv	(227а)
При этом они	принимают следующий простой вид:	
		(228)
—►	ha —►.	—►	—►	—► —►
DM+ [(Я+ iE) х М - (H+iE) Жо] = 0.	(228а)
Обозначим решение этих уравнений, соответствующее верхнему
знаку, через а нижнему — через М~. Общее решение уравне-
§ 28. Волновые уравнения электрона в форме Дирака — Дарвина 351
ний (226) и (226а) может быть, очевидно, записано в следующем
виде:
M=2CiM+ + eiM~f =	+
W = i (q М+ — %№"),	= i (CiMf —	(228b)
где cr и q—две произвольных константы (введение их связано с
нормированием решений М+ и ЛГ).
Следует упомянуть, однако, что уравнения первого порядка
(224) — (225а) не допускают решений типа (227) и (227а), ввиду
наличия двух различных операторов ut' и ut". Эти решения не
имеют поэтому никакого реального значения.
§ 28. Волновые уравнения электрона в форме Дирака —
Дарвина; явления дублетности и квадруплетности.
Существует другая возможность уменьшить вдвое как число урав-
нений второго порядка (226) — (226а), так и число уравнений пер-
вого порядка (224) — (225а), а также и число определяемых ими
волновых функций М и 7V.
Отметим, прежде всего, что уравнения (224) — (225а) могут быть
перегруппированы следующим образом: уравнение (225а) может быть
объединено не с уравнением (224а), как мы это делали раньше, а
с уравнением (224), а (225)—с (224а). Полученные таким образом
две группы четырех уравнений мы будем обозначать соответственно:
Г и II'.
Легко видеть, что уравнения каждой группы могут быть объ-
единены попарно, в результате чего получаются две группы по два
уравнения с четырьмя неизвестными волновыми функциями. Так на
пример, в группе Г мы можем объединить первые два уравне-
ния (224), а третье уравнение объединить с уравнением (225а).
Умножив первое уравнение второй пары на i и прибавив его ко
второму, мы получим:
(их — iuy) Мх + (iux + иу) Му 4- иг (Мг —	4- ut' (— IN, — No) =
= (их — iUy) '(Мх - j- iMy) 4- иг (Af2 — /Af0) 4- и/ (— iN3 — 7Ve) = (f
352 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Аналогично, вычтя второе уравнение (224) из первого уравнения,
умноженного на Z, получим:
(«л + 1иу) Мг + аг (— Мх — iMy) -|- «/ (— iHx + Ny) —
(Ч — иу) мо = (их -Р «9 (X — Шо) — иг (Мл +
+ ^у) + «/ (—	+ Ж) = О*
Положив:
Ф1 Л/1Х Уя М?	|	Г929)
мы можем привести четыре рассматриваемых уравнения к следующим
двум:
(их + г«5,) % — u^t + ut Фз = 0. |
Аналогичным образом, четыре уравнения группы IIм, (224а) и (225),
могут быть скомбинированы в два уравнения:
(«X — iUy) Фз + «Ж + «/Ж	0« 1	/229Ы
(«Ж+»«ДФ4 —«Ж + «/Ж==о. J	7
содержащие те же четыре неизвестных волновых функции (229).
Описанный здесь метод может быть применен также и к урав-
нениям второго порядка, получающимся из уравнений (226) и
(226а), если взять их составляющие по координатным осям. Так
например, согласно первому уравнению (226а):
D (Мх + Шу) +	{ [(HyMz - HZMV - НМ) +
+ i (НМ - НМ - Н/ад - [(EyNz - EzNy - ЕМ») Д-
+ i (EZNX - EXNZ - EM)] } = 0,
т. e.
D (Mx + iMy) +	{[iHz (Mx + iMy) - i (Hx iHy) {Mz- Wo)] -
- <NX + M) ~ 1	+ iEy) ~ zWo)]} = °>
и аналогично:
D (Mz - iM0) + 2^ { [(HM - HyMx - HZH„) - i (HM +
+ HyMy + HM)] - [(EM, - EMX -- EM,) -
i (EXNX 4- EyNy 4- ЗД] }	0,
(230)
(226) —
§ 28. Волновые уравнения электрона в форме Дирака—Дарвина 353
т. е.
hs
D	+ —- { [- i(Hx-iHy) (Л!ж+ iMy) - iHz(Mz-
- iMJ] - [- i (Ex - iEJ {Nx + Wy) - iEz (Nz - iN0)] } = 0,
или, согласно (229):
hs
+ ~2^ {	+ 1НУ} ~ Z ~
- (^+^ш} = 0,
he
D'h+2^{-[(/л ~ Щ+
+ ![(£х-^Нз + £ЖП = 0.
Точно таким же образом четыре остальных уравнения
(226а) дают:
he
+ 2^7 < -1‘ [£^‘ - (Е*+iEJ	+ ["Ж -
_(НУ+гЯу)ф4]} = 0,
he
+ 2wT { + Z [(£* ~ iEJ % + Е^] ~ [(Н* ~ 1Ну> +
+ ВД} = 0.
Они могут быть получены из (230) в результате замены <pt и
на ф3 и ф4, а 63 и ф4 — на и Уравнения (230) и (230а) мо-
гут быть получены, конечно, непосредственно из уравнений (229а, Ь)
точно таким же образом, как уравнения (226) — (226а) получаются
из (224) — (225а), т. е. путем применения операторов и к левой ча-
сти уравнений (229а, Ь).
Уравнения (229а, Ь) были установлены Дираком в несколько иной
внешней формех) и с помощью иного метода, который будет рас-
смотрен нами несколько позднее и который не основывается на
формальной аналогии между волновой механикой и электромагнитной
теорией света. Мы увидим в дальнейшем, что эта аналогия не так
глубока, как это кажется на первый взгляд, и что перегруппировка
уравнений (224) — (225а), необходимая для их объединения в урав-
(230а)
*) К форме, данной в тексте, они были приведены Дарвином.
354 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
нения Дирака, является формальным выражением весьма существен-
ного различия между волно-механическими функциями М, 2Vh электро-
магнитными функциями Н,Е.
Само собой разумеется, что аналогичная перегруппировка и объеди-
нение могут быть произведены и в случае уравнений Масквелла. Эти
преобразованные уравнения Максвелла могут быть получены из урав-
нений (229а) и (229b), если мы положим e = mQ = Q и заменим век-
торы /И и V в определении (229) функций ф на Н и Е, отбро-
сив члены Л40, Д/о.
Действительно, положив:
Hx^-iHy = ^,	=	|
— i {Ех 4- i'Ey) — ф3, — 1Ег — %,	|
(231)
мы можем заменить восемь уравнений (215) — (216а) следующими
четырьмя:
д_ dx	_.д_' 1 ду.	+	+ у	dt Yi	
'_d_	. . д '	।	д , . 1	<? ,	
< дх	1 dyi	' У* dz <1*1 с	dtY3	
д	. д '	\	. д	1	d	(231a)
дх	1 dyt	1'Ь + ^ + у	Tt^G	
г д	, ,д\	д ,1	d	
дх				
Другая хорошо известная возможность сведения восьми уравнений
Максвелла к четырем уравнениям заключается в объединении напря-
женностей электрического и магнитного поля в комплексный вектор:
K—~H±iE.
Вместо (215) — (216а) мы получаем, таким образом, четыре уравне-
ния аналогичного типа, а именно: rot ТС ± — -^-7< = 0, div К= 0.
с dt
К обобщенным уравнениям Максвелла этот метод не применим.
Формулы (231) и (231а) можно рассматривать как результат сое-
динения переменных х и у и соответствующих составляющих
различных вещественных векторов в комплексные вели-
§ 28. Волновые уравнения электрона в форме Дирака—Дарвина 355
чины м = х	zy, Hx-\-iHy — tyi9 Ex-[-iEy = ty3 и т. д. Операторы
д . д	д , . д
— — z — и	можно при этом заменить дифференциаль-
д д
ными операторами — и	соответствующими комплексной
переменной w и комплексно-сопряженной переменной щ* = х — iy.
Формулы (231) представляют собой, следовательно, разложение
комплексных функций	на вещественную и мнимую части;
для аналогичных формул (229) это, однако, места не имеет. То об-
стоятельство, что все восемь величин /И,//должны в общем случае
обладать комплексными значениями, вытекает непосредственно
из комплексного характера операторов и в определяющих их урав-
нениях (224) — (225а).
Сведение этих восьми уравнений к четырем уравнениям (229а, Ь)
фактически уменьшает вдвое число неизвестных, тогда как в случае
уравнений Максвелла мы имеем дело просто с объединением веще-
ственных величин — например, слагающих электромагнитного поля
по осям х и у — в комплексные величины.
Если четырех комплексных функций ф1 ... ф4 действительно до-
статочно для полной характеристики электронных волн, то с помощью
этих функций мы должны иметь возможность выразить статистиче-
ские величины, т. е. плотность вероятности р и слагающие плотности
тока вероятности Д, Jy, j2, определявшиеся раньше с помощью
скаляра ф. При новом определении этих величин мы будем/ прежде
всего, руководствоваться той же аналогией, которая привела нас к
обобщенным уравнениям Максвелла или к эквивалентным им урав-
нениям Дирака—Дарвина. С этой точки зрения величины р и j должны
отвечать, соответственно, плотности электромагнитной энергии:
и плотности потока энергии (т. е. вектору Пойнтинга):
3=4-еу.н.
356 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Подставив вместо
из (231):
слагающих Е и Н их выражения, вытекающие
’	^=Ф»=ФЛ
^=у(Фз~Фз*),	^=у(Ф» + Фз*)>	^ = % = ~А*.
мы получаем
Р=+ФА*+ФзФз* + ФА*)»
и, далее:
/*	с
jx = (^	КФ» + Фз*) Фз + Ф** (Ф. - Ф1*)1=
= oZ (ФзФз* + Фз*Фа + Фз*Ф1 + ФА*)»
О7С
и аналогичные формулы для J? и Jz.
Эти квадратичные выражения вещественны и остаются также
вещественными в том случае, когда все четыре величины ,...
комплексны. Мы можем поэтому воспользоваться ими для предста-
вления величин р и J. Опуская общий множитель -J-, мы получаем:
о к
Р = Ф1Ф1* + ФА* + ФзФз* + ФА*
/ж = с (ф А* + ФА* + ФА* + ФзФч*)
Jy = — ic (ФА* — ф4ф1* + ФА* — ФзФз*)
Л = — с (Ф1Ф3* + ф3ф.* + ФА* 4~ ФА*)
(232)
(232а)
Если эти выражения верны, то аналогично выражениям, полученным
«нами раньше для р и у, они должны удовлетворять уравнению:
.^P-L-^-4- ^-_L^ = n
дх * дх ' ду' dz 1
(232b)
выражающему закон сохранения вероятности (или числа экземпля*
ров). С помощью уравнений (229а, Ь) легко показать, что это дей*
ствительно имеет место.
§ 28. Волновые уравнения электрона в форме Дирака—Давина 357
Умножив эти уравнения последовательно на	%*> ФЛ
вычтя из них соответствующие сопряженные уравнения:
(v++«лг+л*=о,
(V — iu*) — иД* + й/^з* = О
и т. д., умноженные на ф4, ф3 и т.д., и сложив результаты, мы получим:
[^4* (их—iu) — Ф1 («/ — iu*) ф4*] 4- [^3* (их + iu) ф4 («/ +
+»«/) ФзЧ + №2* («х — iuy) Фз — % («х* — iuy*) Фя*] +
+ Ф1* (“х + Ч) Ф*—Ф4 («X* +««/) Ф1*1 + (ФаЧФ* —
— Ф3И/*Ф4*] — [ФзЧФ1 — Ф1«?*Фз*] + [Ф1:ЧФ1 — ФЛЧ*] —
— 1Ф1 ЧФз —Фз«г*Ф1*] + (Ф*Ч'Ф* — Ф4«/*Ф4*) + (ФзЧ'Фз “
— Фз«/Фз*) + (ФзЧ'Ч — ФХ'Ч*) +
4-(Ф!Ч"Ф1-Ф1«/'*Ф1*) = о,
что, согласно определению операторов и, сводится к (232b), причем
выражения (232) и (232а) определяют р и Д, j , ]г.
Формула (232) является непосредственным обобщением формулы
р = фф* первоначальной нерелятивистской теории Шредингера и
находится в соответствии с условием р 0. Выражения же (232)
имеют совершенно иной вид, нежели первоначальные выражения
для плотности тока:
Ух"
м(.
\ дх Y дх /
Более подробное исследование формул (232а) показывает, однако,
что это различие при обычных условиях не столь существенно. В
случае гармонически колеблющихся волн, соответствующих движе-
нию с определенной энергией-е, зависимость функций ф4...ф4 от
- «тс 4-z
времени описывается общим множителем е п , так что опера-
торы я/ и и/' сводятся к обыкновенным множителям:
ui = — — (е — U+ т^) =— — (W—U+ 2т^) ]
С	С	>1
> (233)
U(" = _ 1 (е _ и _	=_ 1 (w-U),
V	V	1
358 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
где U = еФ — потенциальная энергия электрона и W — U — его кине-
тическая энергия. Поскольку мы ограничиваемся рассмотрением по-
ложительных значений е, близких к /п0с2, т. е. соответствующих
скорости v, квадрат которой мал по сравнению с с2, первый множи-
тель чрезвычайно велик по сравнению со вторым; поэтому функ-
ции и умноженные на него в уравнениях (229а), должны по
своей абсолютной величине быть очень малыми в сравнении с
функциями	и ^2- Пренебрегая кинетической энергией W—U
по сравнению с энергией покоя в выражении для , мы
можем, положить приближенно, согласно (229а):
2m0c^3 = (ux + iuy)	— иД, '
2/я0с^4 = (ux—iuy)	4- «гф4.
(233а)
Так как эти соотношения не содержат энергии е, их можно рас-
сматривать как справедливые приближенно и в общем случае не-
консервативного движения.
Следует отметить, что, согласно (233а), отношения функций ^3,
g	v
к функциям	являются величинами порядка	,
уЩС)	с
где w —скорость электрона, a g—его собственный момент. Отсюда
следует, что в первом приближении по отношению к малым вели-
v	<
чинам порядка —, мы можем вместо (232) положить:
p = <h*<h4-%*K	(234)
пренебрегая квадратами модулей и Подставив выражения
(233а) в (232а), мы получаем далее
/х = 2^ { 1Ф1* («V — i4y) Ф1 + Ф1*«Ж] +	(«Z + »V) Ф1* +
+	+ 'V ("< + iuy) Фз — 'tVMil +
+	(и/ — iuy*) ф3* +	{[4-!* «А +
4" VM» +	+1 [Ch*«A —	—
—	—<h«/<h*)] 4- [<?h *«Л—№»Л) 4-
4-	—%ИЛ 1*)1} • •
§ 28. Волновые уравнения электрона в форме Дирака—Дарвина 359
Положив здесь Д1 = Д2 = Д3 = 0 (г. е. пренебрегая потенциальным
импульсом по сравнению с собственным импульсом), мы получаем
следующую формулу:
' /=-МГф*	+ Ф* -Ф, Ф ^4-
х IL. 1 дх ‘ ^2 дх дх ^2 дх J
+ * (ФЛ — Ф1*Ф1) + (Ф1*Фа — ФЛ1) } >
первый член которой (в квадратных скобках) является таким же
обобщением по отношению к первоначальному выражению:
как (234) по отношению к первоначальному выражению для р.
Вторые два члена точно так же, как соответствующие члены в J и
j2, представляют собой слагающие по осям х, yf z вихря некото-
рого вектора с 5Ш, определяемого формулами:
так что приближенное выражение для плотности тока в векторной
форме имеет вид:
7=	(ф,* V Ф, + ф8* V ф9 - Ф, V Фг—ф3 7ФЛ) +
4-е iot	(234b)
Если подставить приближенные выражения (233а) в уравнения
(229b), последние примут следующий вид:
{их — iuy) (их + iuy) ф8 — (их — iUy) вгф, + вг (их — iuy) ф! +
+ и/Ф-2 + 2от0с«/'ф2 = О,
4- iUy) (их — itty) Ф1 4- (их 4- г«4«гф2 — иг (их 4- iUy) ф4 4-
4- вД, 4- 2вг0св/'ф, = О,
ЭД
ЭД
(234а)
ЭДг
360 VL Релятивистская форма волновой механики электрона
Согласно соотношениям (218) и (218а) мы имеем:
(их — iuy) («х -J- iuy) = и* +	+ i (и^у — иу«л) =
— и «-(-и *______h-LH
и* -Г иу 2яс пг,
he
(tix 4- iiiy) (их — iuy) = и* + и/ + —
he
(^x	™у) (их iiiy) uz = 2^7 ( Нх -j"
(«х +	— и2 (их + iiiy) = — — (Нх 4- iHy).
Далее:
2т^си^ = 2т0
(4? ^ + сф) + от»с’1’
_\ ^iTtl Ос	/	__I
чтб в случае консервативного движения сводится к — 2т^ (W—U).
Мы *можем отбросить постоянный член /тгос2, если предположим, что
h д	,
сводится в этом случае к —и/, а не к —е (этот постоям
2я1 ot
ный член соответствует несущественному множителю е h в вы-
ражении для функций ф2). При этом условии предыдущие урав-
нения могут быть переписаны в следующей форме:
/ 1 —♦	\	ha
+р‘ +и)	-<Н-+'11=°'
(йГ +л +4	<"- ~	-"•'><!= “
(235)
где и — (трехмерный) вектор со слагающими их> иг.
Эти уравнения представляют собой приближенную форму реляти-
вистских уравнений второго порядка (230) и могут быть получены из
них путем пренебрежения малыми величинами <р3, ^4. Это прибли-
жение соответствует пренебрежению членами второго и более высо-
v
ких порядков относительно —, включая также и те члены, которые
характеризуют изменение массы со скоростью. Следует упомянуть,
что, хотя функции сами по себе являются величинами первого
§ 28. Волновые уравнения электрона в форме Дирака—Дарвина 361
порядка по отношению к в уравнениях (230) они содержат
he
множитель --— , который также можно рассматривать, как малую
,	1 S
величину первого порядка (относительно —).
С
Если в уравнениях (235) отбросить добавочные члены, про-
порциональные магнитной напряженности (полагая либо Н= 0,
либо с = оо), они сведутся к уравнению (203а) § 26, причем обе
функции и становятся тождественными с единственной функ-
цией предыдущей теории. Уравнения (235) дают, таким образом,
более полное описание движения, нежели уравнение (203а). На са-
мом деле, они характеризуют явление дублетност и, уже упо-
мянутое в § 19 части I, и описывают „сп и на или „собственный
магнитный момент" электрона. Этому свойству соответствуют
добавочные силы, представленные дополнительными членами, про-
порциональными магнитному полю в уравнении (235), а также
электрическому полю в точных уравнениях (230).
Как уже было указано в ч. I, явление дублетности в его про-
стейшей форме заключается в расщеплении каждого квантованного
состояния теории Бора на два состояния, обладающие несколько
различными энергиями. В отношении числа состояний теория Бора
дает такие же результаты, как и обычное уравнение Шредингера
с одной волновой функцией ф. Каждому решению этого уравнения,
например <^, соответствует совокупность двух решений системы
уравнений (235), или, вернее — уравнений, получаемых из них, если
оператор—pt заменен значением энергии Н’.
Это означает, что каждому значению энергии И' в обычном
уравнении Шредингера соответствуют два несколько различных зна-
чения энергии Н'+ и Н'_ в системе уравнений (235). Каждое из
этих значений энергии связано с двумя функциями фгя'+ и
ф2Я'_; эти четыре функции соответствуют одной функции
фн' теории Шредингера.
По сравнению с приближенной теорией или с первоначальной
нерелятивистской теорией Шредингера, точная теория Дирака приво-
дит также к явлению дублетности иного рода, не связанному со свой-
ством „спинаа обусловленному изменением массы со скоростью.
362 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
С этим видом дублетности мы уже встречались в релятивистском
уравнении с одной функцией выведенном в начале этой главы. В
простейшей форме мы получаем его в случае свободного дви-
жения, когда операторы иХУ иг, — ut могут быть заменены обычными
' е
числами (множителями) gx, gy, g2, —, представляющими, соответ-
ственно, слагающие иу1ульса и энергию, включая энергию
покоя /тг0с2, разделенную на с. Уравнения (230) принимают в этом
случае такой же вид, как и уравнение (196), а именно:
Ф = 0.
чтб эквивалентно обычному релятивистскому соотношению между
импульсом и энергией:
S’9 —^• +«0^ = 0. .
Так как это соотношение содержит квадрат энергии, то при дан-
ном значении импульса (или его проекций на координатные оси),
оно дает два численно равных значения собственной энергии — по-
ложительное и отрицательное:
е = ±с |/(m0V+^2).
В механике Эйнштейна отрицательное значение отбрасывалось,
как не имеющее физического смысла. Однако, как было уже ука-
зано в ч.Я § 19, в волновой механике подобным образом поступать
нельзя, так как она допускает возможность как непрерывного пе-
рехода от состояния с положительной собственной энергией к со-
стоянию с отрицательной собственной энергией е через мнимые зна-
чения скорости, так и возможность „скачка", обусловленного какими-
либо возмущающими силами.
В случае нерелятивистской волновой механики мы при тех же
условиях (свободное движение) получаем:
—2wolF=O,
где W—обычная (кинетическая) энергия, не содержащая энергии
§ 28. Волновые уравнения электрона в форме Дирака—Дарвина 363
покоя т^с\ Эта нерелятивистская энергия связана с положитель-
ной собственной энергией s теории относительности с помощью
уравнения:
Г=е—
тогда как отрицательная энергия е в нерелятивистской механике не
имеет смысла. Появление отрицательной собственной энергии s в до-
полнение к энергии положительной составляет сущность явления ду-
блетности второго рода. Подобная ситуация не изменяется также и
в общем случае движения в консервативном поле сил; единственное
различие заключается лишь в том, что положительные и отрица-
тельные энергии соответствующих состояний при этом уже не равны
друг другу.
Комбинируя оба явления дублетности-—обусловленное спином
и обусловленное релятивистским изменением массы, — мы получаем
явление квадруплетности, которое можно сопоставить с
заменой единственной функции ф теории Шредингера четырьмя
функциями ф теории Дирака.
В случае свободного движения (описываемого плоскими волнами)
существует очень простое соотношение между четырьмя функциями
ф, относящимися к положительной энергии, и функциями, соответ-
ствующими отрицательной энергии. Полагая в уравнениях (299а) —
(299b)
/2тс (ggX + gyV + gzz — е/)
=	h ,	(236)
где ak — константы (k= 1, 2, 3, 4), мы можем заменить их следую-
щей алгебраической системой уравнений для амплитуд ak:
(gx — igy) «1 + gza* + у (e 4- /и0с2) а4 = 0	
	(236a)
(gx + ig^ — gzO-x + — (e +	«з = 0	
(gx—igy) аз + gzat + у (е — m0c2) а4 = О
(gx + igy) «4 — gfy 4- у (е — т^) а, = О
(236b)
364 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона*
При замене энергии е на — е первые два уравнения становятся тож-
дественными со вторыми двумя уравнениями, а последние с пер-
выми, если одновременно av а2 заменены через а3, а/, а а3, а4—
через — ап — а2. Это означает, что решению
Ф1 = ФЛ Фа = Фз = Фз', % = ФЛ
отвечающему е = е'^>0, соответствует решение:
Ф1 = Фз', Фа = ФЛ Фз = — Ф/, Фа = — ФЛ
XIя е = — е\
Мы предполагали до сих пор, что функции ф3, ф4 малы по срав-
v
нению с фр (первого порядка относительно —). Мы видим те-
перь, что это верно лишь в случае положительной энергии (в пред-
положении малости ее по сравнению с с2); в случае же решений,
соответствующих отрицательной энергии, справедливо обратное —
как для свободного движения, так и для движения в консерватив-
ном поле сил.
С точки зрения старой релятивистской механики перемена знака
эквивалентна перемене знака покоящейся
массы zn0. В волно-механической теории это, однако, не совсем
верно. Действительно, изменение знака у mQ в уравнениях (236а) —
(236b) приводит к замене на <р3, <р4 и <р3, ф4— на без
изменения знака. Эти два решения не имеют друг с дру-
гом ничего общего, так как они относятся к частицам различного
рода (частиц с отрицательной покоящейся массой в действитель-
ности не существует), тогда как два решения, соответствующие е =
= ±е', относятся к одной и той же частице с положительной по-
коящейся массой причем различные значения энергии обусловлены
двузначностью радикала в выражении
§ 29. Приближенная теория Паули	365
Необходимо подчеркнуть, что состояния с отрицательной энергией,
возможность существования которых вытекает из релятивистской
волновой механики, непосредственно не наблюдаемы.
Согласно изложенной в § 19 ч. I Дираковской теории дуализма
материи и электричества почти все эти состояния заняты элек-
тронами; вакантные же состояния („дырки") наблюдаются как по-
ложительные электроны или позитроны, экспериментально обнару-
женные Андерсоном в Америке (1932 г.) и Блэккетом и Оккиалини
в Англии (1933 г.).
§ 29. Приближенная теория Паули в двухмерной матричной
форме; магнитный и угловой момент электрона.
Приближенные (не-релятивистские) уравнения (235) были полу-
чены Паули в 1927 году не в качестве приближения к теории Ди-
рака, опубликованной несколько позднее, а как результат полу-
эмпирической попытки волно-механической интерпретации явления
дублетности, за год перед тем истолкованного Уленбеком и Гаудсми-
том с точки зрения теории Бора. При этом они исходили из пред-
положения о том, что электрон вращается вокруг собственной оси
h
с угловым моментом, равным половине Боровской единицы — и
2 тс
«	eh
магнитным моментом, рарным Боровскому магнетону |х = —— .
Уравнения Паули (235) действительно могут быть приведены к
форме, соответствующей этому предположению, т. е. дающей волно-
механическую интерпретацию электронного „спина". При этом мы
должны пользоваться матричным обозначением, основывающимся на
представлении функций	как элементов матрицы с одним
столбцом;
Ф =	(237)
1М
а комплексно-сопряженных функций %*, как элементов адъ-
юнгированной матрицы с одной строкой:
Г={ФЛ %*}-
(237а)
366 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
При этом условии оба уравнения (235) могут быть записаны в виде
одного уравнения
/^ = 0,	(238)
где Р—квадратная „операторная матрица" второго ранга:
^12'1
Ли ^22 /
(238а)
с надлежаще выбранными элементами. Эти элементы должны быть
определены таким образом, чтобы уравнения (235) приняли вид:
(^)i— “Ь ^12^2 — 0,1	(238b)
(т=^1Ф1+^2=о-{
Отсюда следует, что:
P =	+ +	(239)
где:
8 = Л °|	(239а)
(° 1 J
— единичная матрица второго ранга, а а — векторная матрица, сла-
гающие которой в прямоугольных координатах определяются фор-
мулами:
[01	( 0/1	(—1 0	/ООПКЧ
ЛЬ3*={	= {	, ?	(239b)
X 1 0 J '	( — i 0 j	| 0 4- 1 J
Скалярное произведение Я-а равно, как обычно, сумме
-j- Н^у 4“ и представляет собой матрицу с элементами:
==-Нг, (T7.J)]2 = /4 + /77r 1	(239с)
= НХ — Шу, (Н 	J
Матрица о была введена Паули для волно-механического предста-
вления магнитного момента электрона, обусловленного его (пред-
§ 29. Приближенная теория Паули
367
полагаемым) осевым вращением. Этот „собственный" магнитный мо-
мент может быть определен как оператор или матрица
eh
где Р -----------Боровский магнетон.
А л //Z
Действительно, если pt определить как матричный оператор
„	h д
Pt	Ъ-i dt ’
то уравнение (238) может быть записано в обычной форме:
' (#+а)Ф=о„
(240)
(240а)
где К—матричный оператор энергии:
К=	(240b)
а добавочный член — ^-Н имеет точно такую же форму, как энер-
гия элементарного магнита с моментом jx во внешнем магнитном
поле Н.
Мы видим, таким образом, что обобщение теории Шредингера,
необходимое для интерпретации явления спина, состоит в прибав-
лении к оператору энергии дополнительного члена — и в за-
мене обычных операторов операторными матрицами второго ранга,
причем функции ф заменяются матрицей с одним столбцом (237).
Прежние операторы теории Шредингера, как напр.
1
2w0

h___д
2тЛ dt '
заменяются произведением их на единичную матрицу
второго ранга 8.
В дальнейшем мы будем обычно опускать единичную матрицу,
подразумевая присутствие ее в качестве множителя в тех случаях,
когда мы имеем дело с обычными операторами — например и2 или
U и т. д. — старой теории. При этом условии старая теория может
368 VI Релятивистская форма волновой механики электрона
быть сохранена без каких-либо формальных изменений, если не
считать прибавления дополнительного члена — у- • Н к оператору
энергии и соответствующей модификации остальных выражений, свя-
занных с К.
Так например, если характеристические значения К (будем обо-
значать их через К’, К" и т. д.) предполагаются умноженными на
единичную матрицу 8, то, опуская последнюю, мы можем, точно так
же, как и в старой теории, написать:
(^-П^ = 0,	(241)
что эквивалентно системе уравнений
*21^ + (^22 “ К) = О-	(241а)
Следует упомянуть, что теорию Шредингера можно рассматри-
вать как частный (или, скорее, предельный) случай теории Паули,
получаемый при у. = 0, т. е. при отбрасывании дополнительного члена
—	но при сохранении матричной формы результирующего
оператора /У, который можно определить как произведение обыч-
ного оператора -— z? 4“ на единичную матрицу 8. Функции
и становятся в этом случае тождественными с точностью до
постоянного множителя, остающегося произвольным. ограничивая
общности результатов, мы можем положить его равным нулю, причем
функция обращается в нуль, а сводится к обычной Шре-
дингеровской функции ф.
Рассмотрим теперь уравнение, удовлетворяющееся матричной
функцией — ф+, адъюнгированной по отношению к ф*
Уравнение, комплексно-сопряженное с (240), имеет вид:
где
(**+/>№ о, '
f Ф1* I
I %* г
(242)
§ 29. Приближенная теория Паули	369
В дальнейшем мы будем, однако, пользоваться не этой матрицей,
а транспонированной матрицей ф+ = {%* } . Если бы матричные
элементы К и pt были обычными числами (а не операторами), мы
могли бы вместо предыдущего уравнения написать:
ф+(/Г+Л+) = 0.	(243)
Мы можем сохранить это уравнение и в общем случае, при усло-
вии, что адъюнгированные операторы К+ нр +— в противоположность
принятому до сих пор правилу — применяются не к величинам,
стоящим справа от них, а к величинам, стоящим слева. То же
самое относится к матричным операторам любого типа. Таким обра-
зом, если
р=( Л1Л« 1
IЛ1 Л2 J
•—матричный оператор, действующий на ф, a Fty — матрица с одним
столбцом:
= 1 Л1Ф1 ~Ь Л2Ф2 1
I Л1Ф1 + Ла Фа /
то адъюнгированная матрица (F})+ имеет вид
+ф2+Л+1, Ф/Л2 +Ф/Л2 } =
= {Л1Ф1 +Л2ФЛ Л1ф,* + Л2ф2*}. '
Необходимость изменения направления действия оператора на про-
тивоположное при переходе от f к F обусловлена тем обстоятель-»
ством, что будучи матрицей с одной строкой, должна всегда
являться первым множителем в содержащем ее матричном произве-
дении (тогда как ф, определяемая как матрица с одним столбцом,
должна стоять на втором месте).
При этом условии уравнение для матричной функции может
быть записано в виде:
ф£> (/Г —/О) = 0
или, так как =
(/Г —/Г) = 0.
(243а)
670 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Это матричное уравнение эквивалентно двум обычным уравнениям:
к1)+=(/^—г) +- къ ф&2= о,
^1/^1 + фЬ (/<22 — К') = КЪ 'Ж + (К%2 — Г) ^'2 = О,
комплексно-сопряженным с уравнениями (241а).
Произведение матриц ф+ и ф представляет собой матрицу, со-
стоящую из одной строки и одного столбца; ее можно рассматри-
вать, следовательно, как простое число (умноженное на единичную
матрицу). Это число:
ф+ф = ф^1+ФЛ	(244)
можно трактовать также, как скалярное произведение векторов ф
и ф* (или ф+), обладающих двумя слагающими. Оно измеряет,, как
мы знаем, плотность вероятности нахождения электрона в данной
точке. Если матричная функция ф „квадратично интегрируема *, т. е.
если интеграл ^*ф+фя? V, распространенный по всему пространству,
сходится, то она может быть нормирована с помощью условия:
Так например, в случае функций фк„ относящихся к дискретному
спектру* энергии, можно, положить:
J\,%dK=i.	(244а)
1егко также показать тем же способом, как и в прежней теории,
что матричные функции ф, относящиеся к различным значениям
энергии, например К и удовлетворяют соотношению ортого-
нальности:
ЦСфК"),	(244b)
где
4- фк-'2ф&8
произведение матриц (или векторов) и Ф^«
§ 29. Приближенная теория Паули	371
Действительно, умножив уравнение (/< —	=0 (слева) на
и уравнение	(К—/<") = 0 (справа) на ф# и вычтя одно
из другого, получаем:
<&'	_ (W„ /Г)	== (/f _ К")		(244с)
Обе части этого уравнения можно рассматривать как обычные
числа.
Если бы ЛГ было не дифференциальным оператором, а обычной
эрмитовой матрицей, удовлетворяющей условию	= Ка$
или К =	то левая часть уравнения (244с) обращалась бы в нуль
тождественно. В действительности, матрица К, определяемая форму-
лой (240b), содержит две части указанного типа, а именно —потен-
циальную энергию 1Л и дополнительную магнитную энергию —
— рь. Н —— рьо • И. Из выражений (239b), определяющих слагающие
„спиновой матрицы" Паули а в прямоугольных координатах, непо-
средственно следует:
g+ = o.	(245)
Левая часть уравнения (244с) сводится, таким образом, к
2
2~	&<№ — (^-»«2+) фк'] =	2 ^"^к'а ~~
а= 1
— фк'а«4*Фк"а) = diV 2^— У (’Ук"^к'а + Фк'а«*Фк"а).
а
Следует упомянуть, что в случае	под знаком div полу-
чается приближенное выражение для плотности тока j [см. вывод
уравнений (201b) в § 25].
Умножив уравнение (244с) на элемент объема dV и проинте-
грировав его по всему пространству, получаем:
(Г — /С')
откуда при К ф К" вытекает соотношение ортогональности (244b).
Случай вырождения, т. е.	при К' = К' в новой теории
может быть трактозан точно так же, как и в старой, если „ска-
лярную" функцию Шредингера заменить вектором (или матрицей)
теории Паули ф.
372 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Изложенная здесь теория представляет собой сочетание обычных
операторной и матричной теорий, развитых в предыдущих главах на
основе уравнения Шредингера. Она может быть приведена, однако,
к обычной матричной форме путем введения матричных компонент
различных (двухмерных) операторов F с помощью формулы:
FK"K'=^+K"^K'dV,	(246)
где
2	2
(246а)
а = 1 р = 1
— обыкновенное число („скалярное произведение* двухмерных векто-
ров и последний можно рассматривать как произведение век-
тора и двухмерного „тензора* F).
Заменив функции ф^ их „амплитудами* ф^, с которыми они
связаны таким же соотношением, как и в теории Шредингера:
- /2т: —
tyK' — Vk'tx, У, z)e 1 h ,
мы получаем матричные элементы F:
F^tK> = ^ tywF^K'dV.
С матричными компонентами они связаны обычными соотноше-
ниями:
(К" — К') t
Fwki — F^^e h \ .	(246b)
Все установленные в гл. Ш теоремы, относящиеся к матричному
представлению физических величин „с точки зрения* энергии ТС,
остаются в силе, если эти величины так же, как операторы, пред-
ставляющие другие физические величины, определены как двухмер-
ные тензоры (или квадратные матрицы второго ранга). Так например,
остается в силе обычная формула разложения:
(247)
К"
являющаяся непосредственным следствием соотношений ортогональ-
ности и нормальности для векторных функций ф^, и эквивалентная
§ 29. Приближенная теория Паули
373
следующим двум равенствам:
2
а==1
(«=1, 2),
(247а)
т. е.
+ Fv^K's = 2	•
К"
^21'^4 +	'з *
К"
Теория преобразований, т. е. преобразование матриц различных
физических величин от точки зрения К (обычной матрицы энергии)
к точке зрения некоторой другой величины £, рассмотренное в
гл. IV на основе одномерной теории Шредингера, может быть при-
менена без каких-либо формальных изменений также и к двухмер-
ной теории Паули. Вводя коэффициенты преобразования мы
получаем, например, обычное уравнение:
=	ак"1У№’ >	(248)
А"
эквивалентное двум уравнениям:
<&в=	(а =1,2).	(248а)
К"
Для того чтобы эти уравнения преобразования были однозначны,
мы должны снабдить функции индексом х (сокращенным обозна-
чением для х, у, z, т. е. прямоугольных координат той'точки, к кото-
рой эти функции относятся). Мы получаем, таким образом:
<p4'ctx=	(248b)
к*
Отсюда ясно видно, что индекс а (принимающий два значения, 1 и
2) играет точно такую же роль, как и пространственные коорди-
наты х, у, z. Его можно рассматривать, соответственно, как доба-
вочную „четвертую" координату, называемую обычно „спиновой
координатой". При этом условии функции ф! (х,у, z) и ty$(x,y, z)^
374 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
образующие слагающие вектора (или матрицы) Паули ф можно рас-
сматривать как два значения одной и той же функции (а, х, у, z),
относящиеся к одним и тем же значениям х, yf z, но к двум раз-
личным значениям спиновой координаты а=1 и а = 2. Добавление
последней к трем обычным координатам х, у, z дает нам возмож-
ность свести двухмерную теорию Паули к прежней одномерной
форме — с одним лишь изменением в определении операторов F(ax)
„с точки зрения" основных величин а, х, yt z. Эти операторы могут
быть определены как обычные функции непрерывно изменяющихся
величин х, у, z и элементарных дифференциальных операторов =
h д h д	h д
=	=	А =	по отношению же к диск-
21:/ дх	у 2тл ду	2тл dz
ретной переменной а они должны быть, однако, определены как
матрицы. Действительно, результат применения оператора F к
функции типа $ (а, х, у, z) должен быть некоторой другой функ-
цией такого же типа Ф ({3, х, у, z), относящейся к тем же значениям
х, у, z, но не обязательно к томуже значению а. Считая,
что р от а не зависит, мы видим, что наиболее общий тип линей-
ного оператора, удовлетворяющего условию:
Жа> х) = <р(р, х)
может быть определен формулой
2
F<p(a,x) = ^ Fpa->(a, х),
a = l
где Ffa — обычные операторы, содержащие только пространствен-
ные координаты.
Оказывается возможным, а иногда и удобным, изменить предыду-
щие обозначения противоположным образом, а именно — сохранить
а в качестве индекса дублетности и ввести аналогичные индексы для
двух значений всех остальных величин, получаемых из данного зна-
чения в результате наличия спинового члена — |ia • Н в операторе
энергии К. Это относится, прежде всего, к характеристическим зна-
чениям самой энергии. Два значения К\ получаемые в результате
расщепления некоторого характеристического значения оператора
энергии Шредингера Н\ и обычно лежащие очень близко друг к
§ 29. Приближенная теория Паули
375
другу, могут быть обозначены путем прибавления к одному из них
вспомогательного индекса, например х, принимающего два значения
1 и 2, причем сочетание (1, К') эквивалентно /<+', а (2, К'}—
эквивалентно — где К± —два значения соответствующие дан*
ному значению Н'. При таком обозначении уравнение преобразова-
ния (248b) принимает вид:
2
а'х' = ^2	а'х1 ,
К" *Л,Г = 1
где К" и L' — значения операторов энергии К или А, невозмущен-
ные спиновым членом — р- • И-
С этой точки зрения матричные компонента оператора F:
ъ'К' = J	(249)
могут быть сгруппированы в двухмерные матрицы:
FK„K,	^х"-, 2кЛ	(249а)
чтб соответствует обычным компонентам матрицы F#, определенной
с точки зрения Шредингеровского оператора энергии К без спино-
вого члена.
Такого рода матрица — состоящая из элементов, в свою очередь
являющихся матрицами — носит название „супер-матрицы“.
На дальнейшем развитии этих формальных вопросов мы остана-
вливаться не будем. Изложенных здесь соображений вполне доста-
точно" для решения различных задач, связанных с теорией Паули.
Простейшая и наиболее существенная из этих задач — приближен-
ное решение уравнения Паули,- основанное на рассмотрении спино-
вого члена — [ха • Н, как малого возмущения. Оператор энергии,
получающийся из К при отбрасывании этого члена, будем
и 2
обозначать через //; он эквивалентен оператору Шредингера ----Ц
умноженному на двухмерную единичную матрицу 8. Для того чтобы
не смешивать этот оператор с напряженностью магнитного поля, мн
будем обозначать последнюю через ф,
376 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Обусловленное возмущением изменение значений энергии /7'
может быть вычислено в первом приближении с помощью тех же
уравнений, что и в случае Шредингеровской теории возмущений.
В данном случае мы должны, однако, принять во внимание то об-
стоятельство, что невозмущенная задача вырождена: каждое зна-
чение Н' соответствует по меньшей мере двум различным состоя-
ниям. Именно эта скрытая дублетность должна быть обнаружена
в виде спиновой энергии:
£ = —о.	(250)
Полагая, что никакое другое вырождение места не имеет (или что
матричные элементы энергии возмущения S по отношению к осталь-
ным- состояниям с равной невозмущенной энергией обращаются в
нуль), мы получаем следующее уравнение для поправки первого по-
рядка ДАТ к невозмущенной энергии:
S1»1 —Д/7'	S1’2
£2,1	£2,2_ Д#'
= 0,
(250а)
где
кН' = J ty*H' S'^H' d V,
причем индексы х, Х(= 1, 2) характеризуют два рассматриваемых вы-
рожденных состояния. Они введены нами в качестве верхних индек-
сов при матричных элементах S для того, чтобы отличить последние
от матричных элементов по отношению к спцновому индексу
- СаЗ = — И	.
Функции ф.лЯ/(х=1, 2) или, вернее, а*'(а=1, 2), описываю-
щие эти вырожденные состояния, должны быть определены с помо-
щью обычной Шредингеровской функции ^нх' = ф таким образом,
чтобы удовлетворялись соотношения ортогональности и нормаль-
ности. Проще всего положить для этого:
ix — ^H'x,	Ф1Я'; 2х = 0	|	(251)
U=0	2х = $Н'х )
(где функция нормирована обычным образом),
§ 29. Приближенная теория Паули	377
По определению спиновой матрицы а [см. уравнения (239b)] по-
лучаем, отбросив индексы Н' и х:
(5<h)i = Sn’J'xi +	= + и —(—	W
(S'Lx)2 = s21+ •Wxs=и l(— $x + i^y) ’hi — &Ы-
В данном случае эти выражения сводятся к:
(S%)i = I* -&Л (^1)2 = И (— $х + 1$!>) Ф
при X = 1 и
(•*Wi = — Н (&г + i$y) Ф» (5%)з = — Н&+
при Х = 2. Мы получаем, таким образом, с помощью (250b) или
соотношения
'= j* 2^“^^
s^=-fx
J	}	(251а)
S21 = —|х J ^x-i^W^dV,	j
52,2 = _и J Q^dV,
откуда, согласно (250a)
=	+ IS1’212,
так как S2>2 = —-S1,1 и S2>1 = S1’2*’, или
t\H' = ±V{ (S‘-1)2-t-|51-2p }.	(251b)
Эта формула решает нашу задачу, поскольку мы рассматриваем рас-
щепление первоначально „невозмущенного" энергетического уровня.
То обстоятельство, что два „подуровня" обладают дополнительной
энергией одинаковой величины и противоположного знака, показы-
вает, что собственный магнитный момент электрона в обоих случаях
обладает противоположными ориентациями, изменяющимися, в общем
случае, от одной то^<и к другой в соответствии с направлением
магнитного подя. Можно показать, что в простейшем случае одно»
378 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
родного поля обе ориентации параллельны направлению последнего.
Действительно, в этом случае: •
S1-1 = J	d V —
так что
=	(251с)
где $ = ]/{	-р } — величина напряженности магнит-
ного поля. Эта формула находится в полном согласии с предполо-
жением, согласно которому электрон обладает собственным магнит-
ным моментом величины р (Боровский магнетон), ориентирующимся
в однородном магнитном поле либо параллельно, либо антипарал-
лельно направлению магнитных силовых линий.
Легко также показать, что в рассматриваемом случае формула
(251с), выведенная в качестве первого приближения, является точной.
Примем для простоты, что магнитное поле параллельно оси z.
Уравнение Паули принимает, в таком случае, следующий вид:
(#-изх—к')ф=о,
что эквивалентно двум уравнениям [см. (235)]:
(Н_|_и$_/0ф1 = О,
Если — решение уравнения Шредингера (77 — 77')<ря':=0,
соответствующее нерасщепленному энергетическому уровню 77', то
решение предыдущей системы может быть записано в следующем
виде:
(1)	=	+	<р1===^, ф4 = о,
(2)	=	% = 0,	% =
Первый случай соответствует, очевидно, антипараллельной ориента-
ции, а второй — параллельной (т. е. совпадающей с направлением
положительной оси z). Это показывает, между прочим, что функ-
ции и можно рассматривать как амплитуды вероятности на-
хождения электрона в данной точке, при условии, что его собствен-
ней магнитный момент направлен соответственно в сторону поло-
§ 29. Приближенная теория Паули
379
жительной или отрицательной оси z. В общем случае обе функции
отличны от нуля. Совершенно ясно, что при этом условии вероят-
ность нахождения электрона в данной точке независимо от
его ориентации измеряется суммой | |2-[- | ф2 Р- Мы видим,
далее, что индекс а, отличающий друг от друга обе слагающие
„вектора" ф, вполне заслуживает титул четвертой „спиновой коор-
динаты"; следует, однако, иметь в виду, что он определяет не ориен-
тацию „спина" в пространстве, а только его ориентацию в
смысле параллельности определенному направле-
нию— направлению оси z.
Такая интерпретация подтверждается формой выражения для
среднего или вероятного значения слагающей по оси z магнит-
ного момента электрона:
Действительно, при р.г = раг и (а^), = аг11% +<’?1A = — Фи
(’z'Wi =	•+ Wh = + %,
Йг= И J ~	d V.	(252)
Аналогичным образом получаем:
Р-х = И J (Ф1*Ф3 + №Ф1) d V,
J —<Ь*'М d V.
(252а)
Мы видим, таким образом, что только для оси z существует н е п о-
средственное соотношение между функциями ф, и % и ориен-
тацией магнитного момента электрона. Комплексно сопряженные функ-
ции и не могут быть связаны с определенным напра-
влением момента электрона, параллельным оси х или у.
Величины:
(252b)
®?г==|х(%*<Ьа —
представляют собой слагающие некоторого вектора .9JJ, который
может быть определен как вероятное намагничение, т. е.
как вероятное значение магнитного момента „электронного облака
380 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
распределенного с объемной плотностью р =	4-ф2*ф2, Вектор
Ж
— можно рассматривать, соответственно, как определяющий
величину и направление вероятного значения собственного маг-
нитного момента электрона, расположенного в данной точке. Легко
показать, что по величине —- равняется
Действительно:
да2 = дах2 + да,2+да,2=(да;+/да^) <дах—/дар + да,2=
= [адл + W +	- 2 W'h'h*] =
si D м а»
так что — = рь. Единичный вектор — определяет, таким обра-
Р	HP
зом, вероятное направление момента электрона в данной точке.
Физический смысл вектора да находится в полном согласии- с
выражением с rot да в формуле (234b), определяющей дополнитель-
ную плотность тока.
В противоположность положению электрона, ориентация его не
может быть определена точно, так что мы вынуждены ограничиться
определением вероятной его ориентации или вероятности неко-
торой ориентации (при данных условиях). Формальное основание
для такого различия заключается в том, что матрицы px,pv, р, или
ах, Оу, о„ характеристические значения которых определяют ориен-
тацию точно так же, хак значения координат х, у, z определяют
положение, не независимы друг от друга.
Действительно, перемножив их согласно обычному правилу мат-
ричного умножения, получаем:
§ 29. Приближенная теория Паули	381
Произведя умножение в обратном порядке, мы получим те же
результаты, но с обратным знаком, так что:
ауях= — ях°у, °г°у = —<№ = — ^х-	(253а)
Эти уравнения выражают то обстоятельство, что матрицы <зх, av, с2
друг с другом не коммутируют — в противоположность коорди-
натам x,y,z; по терминологии Дирака, они „антикоммутативны".
Комбинируя уравнения (253) и (253а), получаем:
и т. д. или в векторном обозначении:
о X а = 2/ о.
(253b)
Из не-коммутативности матриц ах, ау, а2 следует, что значения
представленных ими величин не могут быть определены („на-
блюдены" или „измерены") одновременно. Следует упомянуть,
что эти значения определяются обычным образом, т. е. как харак-
теристические значения соответствующих матриц, рассмат-
риваемых как линейные операторы, применяемые к функциям типа
Отмечая эти значения штрихами, получаем для определения их сле-
дующие уравнения:
ях^х = ах'^х’ {’Л'у = <'Ь	=
или:
°х! 1'P.rl	== Ях 'Ра:1>	~l~ Ox22?.v2 == 'р№>
т. е.
Фж2 =
== °у 'т’у 1 ’
— фг1=°Лг1>
откуда следует, что:
< = ±1>
V=— 1 >
<=±1,
'Рх! Фл2»
— Z'hl = °у%>
^2 = °Лг2»
Фх2 = — 'hl>
%>2	-+- Z'Pyl>
=
(254)
(254а)
Характеристические значения прямоугольных составляющих магнит-
ного момента электрона |л=р.о равны, следовательно,^^. Это
означает, что, определяя ориентацию этого момента по отношению
382 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
к некоторой оси, мы как бы предполагаем заранее, что ort параллелен
этол оси, так что остается лишь решить — направлен ли он в положи-
тельную или в отрицательную сторону. Другими словами, мы пред-
полагаем, что магнитный момент электрона квантован относи-
тельно некоторой (произвольно выбранной) оси, причем два
возможных значения его проекции на эту ось равны-|~Н и — р,
тогда как проекции его на какую-либо другую ось остаются не-
определенными. В изложенной здесь теории эту роль оси квантования
играла ось z. Эта теория легко может быть обобщена на тот слу-
чай, когда ось квантования имеет любое направление по отношению
к координатным осям.
Полученные нами результаты совершенно естественны с точки
зрения общей теории преобразований, рассмотренной в гл. IV. Так
как матрицы ov, а^, аг друг с другом не коммутируют, то лишь одну
из них можно рассматривать как основную величину, служащую не
только для определения двух остальных, но также и для определе-
ния матрицы оп, представляющей проекцию а на любое направле-
ние п. В изложенной выше теории эту основную роль играла мат-
рица ог, являющаяся, соответственно, диагональной матрицей, тогда
как матрицы сх и <зу не диагональны.
Рассматриваемый случай может служить очень простой иллю-
страцией теории преобразований, так как мы имеем здесь дело
только с двумя состояниями, и пространство состояний сводится к
плоскости, в которой эти состояния представлены двумя взаимно пер-
пендикулярными осями, например z± и z_. Заменив ось z в ее роли
оси квантования (в обычном пространстве) некоторой другой осью /,
мы получим два других состояния (в которых магнитный момент
электрона ориентирован параллельно г'), изображаемых на „ пло-
скости состояний" двумя другими взаимно перпендикулярными осями
^4- и zL. (начало которых совпадает с началом осей z±). Если угол
между z и zf равен 6, то угол между осями z± и z± на плоскости
состояний равен, очевидно, ~ 6, так как углу в 180° между напра-
4U
влением положительной и отрицательной оси z (или /) на диаграмме
состояний соответствует угол в 90° между осями z± и г_. Как это
известно из общей теории, квадрат косинуса угла между двумя осями
§ 29. Приближенная теория Паули
383
в пространстве состояний равен относительной вероятности состоя-
ния, изображаемого одной из них, в предположении, что вероят-
ность другого состояния равна единице. Если следовательно из-
вестно, что магнитный момент электрона совпадает с некоторым на-
правлением (например-]-£), то существует вероятность cos2 -i-6
&
того, что он будет совпадать с другим направлением (-f-^), образую*
щим угол 6 с первым направлением. Вероятность того, что он будет
совпадать с направлением, противоположным последнему (т. е. —z'\
равна cos2 —-(ra— 6) = sin2-^-6. Таким образом, если известно, что
41	41
момент электрона совпадает с некоторым направлением (-}-^), то
имеется вероятность, равная cos2 6 Ц- sin2 -^-6=1 того, что он
41	41
окажется параллельным любому другому направлению (положитель-
ному или отрицательному). Это означает, что направление оси
квантования, которой параллелен момент электрона, может быть вы-
брано совершенно произвольным образом.
Все эти результаты можно рассматривать как частный случай
результатов, справедливых для магнитного момента — или механиче-
ского углового момента — обусловленного орбитальным движением
не-вращающегося электрона в радиально-симметричном (централь-
ном) поле сил. Как было показано в гл. II, слагающую по оси z
этого орбитального углового момента М2 можно считать кванто-
ванной, т. е. принимающей дискретный ряд (характеристических) зна-
чений, причем осевое квантовое число /«изменяется от — /до
вой момент
1 [где I — угловое квантовое число, определяющее полный угло-
согласно формуле Л42 =-----------» тогда как слагаю-
щие М по осям х и у определенных значений не имеют. Рас-
смотренный
жив / = —, т. е. приписав электрону, независимо от его орбиталь-
£
ного движения, вращательное движение „полу-квантовой“ величины.
здесь случай можно получить из общей теории, поло-
384 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
В гл. III было показано, что матричное представление физических ве-
личин, будучи более общим, нежели представление их при помощи
дифференциальных операторов, допускает как целые, так и полу-
целые значения углового квантового числа, при условии, что осевое
квантовое число изменяется элементарными скачками кт—1 от — I
до /. Наиболее низкая ступень лестницы значений I может те-
перь быть замещена вращательным угловым моментом электрона.
Другие — более высокие — ступени могут быть получены путем
сочетания последнего с орбитальным угловым моментом (см. ниже).
Возможность приписания электрону помимо собственного маг-
нитного момента р. еще и собственного углового момента о, ему
пропорционального, т. е. представленного той же матрицей а с не-
которым численным множителем, вытекает также из того обстоя-
тельства, что эта матрица удовлетворяет соотношению коммутатив-
ности (253b), совершенно аналогичному соотношению коммутатив-
hM
2iti
ности М X /И =
которому подчиняется орбитальный угловой
момент М. Принимая, что электрон обладает собственным угловым
моментом
5 = х о.
(255)
удовлетворяющим предыдущему соотношению, мы получаем:
х2о х о =
h -*
——7хо
2kz
или, согласно (253b),
1 h
2 2к
(255а)
это означает, что величина углового момента электрона соответ-
ствует / = -^-, как было найдено выше из того обстоятельства,
л
что магнитный момент электрона может принимать только две (про-
тивоположных) ориентации, параллельные оси квантования.
Следует отметить, что формула s = х о с полу-квантовым зна-
чением х не противоречит результату, согласно которому характе-
§ 29. Приближенная теория Паули	385
1 А2 3 Л2
ристическое значение квадрата s равно не —	, а , где
/ (Z —1) при / = -~. Действительно, возведя уравнение
тс	Ci
у = ха
в квадрат, получаем:
S’2 = х2а2 = х2 (ах2 -L а 2 + а,2).
Характеристические значения $2 получаются в результате подста-
новки характеристических значений ox2, ov2, аг2. Из определения мат-
риц ох, av, а2 следует, что квадраты их равны единичной матрице
Чо?Ь
ax2 = av2 = □/ = &.	(255b)
Так как характеристические значения последней равны единице, мы
получаем:
2 о 2	3
хар. значение sJ = 3x* = — • —— .
4 4тг
Собственный угловой момент электрона х обладает полу-квантовым
he
значением, магнитный же его момент и = --------- обладает одно-
квантовым значением, т. е. таким же значением, как и магнитный
момент, обусловленный орбитальным движением с угловым кванто-
вым числом 1—1. Отношение магнитного момента к угловому мо-
менту:
±_ = _L
х т^с
для вращательного движения вокруг собственной оси оказывается,
таким образом, вдвое большим, нежели для движения орбиталь-
ного.
Это различие формально может быть сведено к тому обстоя-
тельству, что спиновая матрица удовлетворяет соотношениям (253)
и (253а), которыми обусловливается множитель 2 в (253b) и сле-
довательно множитель в (255а) (эти соотношения не имеют ана-
лога в случае матриц, представляющих орбитальный угловой
386 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
момент). Оно является основной причиной тех усложнений в действии
магнитного поля на вращающийся электрон, движущийся в цент-
ральном поле сил, которые обычно называются „аномальным" эффек-
том Зеемана.
Откладывая более подробное рассмотрение последнего до следую-
щего параграфа, подсчитаем здесь скорость изменения полного угло-
вого момента электрона, обусловленную вращательным усилием,
зависящим от магнитного поля. Если предыдущие предположения об
электронном спине верны, то (поскольку электростатическое поле
не создает вращательного усилия), мы должны иметь, согласно клас-
сической механике:
(£ + Х0) =	(£ + 2хо) X	(256)
где L — часть углового момента, обусловленная орбитальным дви-
жением. Это уравнение сохраняет силу и в волновой механике, если
трактовать Айа как операторы и если производную по времени
от оператора F определять с помощью оператора энергии К по-
средством формулы
= [/С, F] = {KF- FK).	(256а)
В уравнении (256) оператор (или матричный оператор)
M==L-\-*o
представляет полный угловой момент электрона, а матричный оператор
е у , е - е Гт ( -
---£ _|.----хо — - \L 2s)
2//z0f m^c 2пцс 4
— полный магнитный момент, обусловленный как движением около
ядра, так и предполагаемым „вращением" около его собственной оси.
Пренебрегая членами, пропорциональными квадрату магнитного
поля, мы можем положить:
К = Н —	• о,
где Н—оператор энергии Шредингера:
Н 2т9 ( 2тг7 V) U	Ь
§ 29. Приближенная теория Паули
387
(см. § 26), умноженный на двухмерную единичную матрицу 8 --—
\ ZlTl^C J
магнитный момент орбитального движения.
Сумма первых двух членов этого оператора, представляющих
кинетическую энергию и потенциальную энергию радиально-симме-
тричного поля, коммутирует как с А/так и с о, так что в фор-
муле (256а) при F — М мы можем положить
> / р —>	—> \
^=-•6'	>	<256Ь>
причем подразумевается, что оператор L умножен на единичную
матрицу 8. Так как о, очевидно, коммутирует с А, то
. ~	-.Г » —~ »
[ЛГ, ха]=-хц[|.0), а].
Для простоты предположим, что магнитное поле параллельно осн
z (это предположение не ограничивает, конечно, общности резуль-
татов). Беря прямоугольные слагающие выражений стоящих в скоб-
ках в правой части предыдущих уравнений, получаем с помощью
- - hi -
уравнений АХ А = — —- и о х о = 2Zo:
К’> Лг] - у (Ах Z);, =- $Ly = — (Z х $)х,
2к/	-*	—*	—*	—►
[$L;, Z. J = £ [Lz, Ly] =-- % (L X L)x = H £>Lx = - (L X
/Д = 0;
4X-,	£ (° x o)v = — у §ov=-j(o X
2kZ „ -*	—	. 4z .	4jt -r*
[jQo,, ov) = - у J.) (a X a).v = 4 - у £o.v =-(о X
388 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Таким образом, возвращаясь к векторным обозначениям, имеем;
— —►	—►	—4 к -*	—♦
[($•£), L]= — L [($•□), 0] = -_0Х $
и, следовательно:
—►	—»	/ 0 —»	4к -*\	—►
[К, (£ + ха)] = (— L + - X &
h
или, так как х = — ;
4к
[К,	+	х Ъ,
а это — не что иное, как уравнение (256).
Наша интерпретация матрицы о, как представляющей осевое вра-
h
щение или „спин“ электрона с угловым моментом х = — и магнит-
ол
ным моментом и = —,
4 тс
подтверждается таким образом полностью —
по крайней мерее формальной точки зрения. Можно однако возра-
зить, что она не имеет реального физического смысла, потому что
как в теории Паули, так и в теории Шредингера электрон трак-
туется как точка с определенными координатами, а точечная ча-
стица не может вращаться. К этому вопросу мы еще вернемся
ниже.
§ 3(1 Брлее точная форма двухмерной матричной теории;
электрический момент электрона.
Рассмотренная в предыдущем параграфе теория Паули объясняет
явление дублетности лишь при наличии магнитного поля, тогда как
в действительности оно наблюдается также и в отсутствии послед-
него. Исчерпывающее объяснение экспериментальных данных дает
теория Дирака, которую мы сейчас и рассмотрим с этой точки зре-
ния. Предшествовавший анализ теории Паули окажется нам весьма
полезным при обсуждении математической формы и физического
смысла точной теории Дирака.
Если мы положим:
Ф1=®i>	ti'8=Xi,	(257)
§ 30. Более точная форма двухмерной матричной теории 389
то уравнения (229а) и (229b) теории Дирака могут быть записаны
в следующем виде:
(257а)
°-«х + («/ + ^ос)? = О, J
где о — спиновая матрица Паули, причем операторы ut±m^c под-
разумеваются умноженными на единичную матрицу
в=Р °!;
I01! .
ср означает двухмерную матрицу а X —матрицу
Применив к первому из уравнений (257а) операцию о • и, с помощью
второго уравнения получим:
-г[(7. u)ui — ut(p •«)]/ + (ut— • iu =
= (о*- zz)2cp + [(Г- и) ut~ut (Г- zz)] Z —	"V) О/ +	— 0.
Но (ut—m^c){iit j- т^с) ~ut2— далее, согласно (218а):
-	-> he =г
и lit — utu = —
2tzic
(о . и)2 = о/zz/ + .. . + °x°yttxiiy + ...
= (“х* +	(“х“у — "Г • • • >
т. е., согласно (218):
(о . и)'2 = zz2 — zo • Н = и2-----о • Н,
v	2vtc	2кг
Таким образом, положив для краткости zz2—и/ т}с2 = D, полу-
чаем:
ha	►	—►
- о-Г ° • («? — ^Х) = 0.	(258)
Аналогичным образом получаем уравнение:
Х)Х - ~ о (Н/ -	= 0.	(258а')
390 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Эти уравнения эквивалентны соответственно уравнениям второго
порядка (230) и (230а) теории Дирака и могли бы, конечно, быть
выведены непосредственно из них.
Выражения (232) и (232а) для плотности вероятности и вероят-
ной плотности тока могут быть записаны в следующем виде:
р = ф  ф 4- у+у,	(259)
7=с(®+ах + х+’?)-	(259а)
В случае консервативного движения с положительной энергией е,
мало отличающейся от энергии покоя функции у могут быть
выражены через ср с помощью уравнений (233а) или выражения:
<260)
представляющего собой приближенную форму первого из уравнений
(257а).
С помощью соотношения:
о (о . и) = а„о л г -ь одд, 4“	=11 * + zaA —
Л- \	/	Аг Л Лг i Л у V I Л Ь 4	Ле I £ \J	У 9
т. е.	,
о(а • й) = И 4-zzz X °,
подставив выражение (260) в (259а), получаем:
/ = ----- ф^и, ф 4	X о <₽ 4- комплексно-сопряженное,
2mn ‘	‘ 1 2/п0 ‘ г 1
что легко свести к приближенной форме (234b) при
ЗЯ — |Х(р+О ф
в согласии с (252b).
Уравнения теории Паули были получены из (258) в результате
пренебрежения последним членом (пропорциональным у) и замены
двух членов — ut~ 4 w0V Б релятивистском операторе D на
2«гв(А+^-
Мы получим лучшее приближение, если подставим в (258) выраже-
ние (260) для у — что даст добавочный член второго порядка от-
1
носительно —, и введем поправочный член того же порядка в вы-
§ 30. Более точная форма двухмерной матричной теории 391
ражение для D. Ограничиваясь, для простоты, случаем консерва-
тивного движения и полагая & —	и е' = К\ полу-
чаем:
Это дает:
D = u^~ Чт^К' — U) —
так что уравнение (258) принимает вид:
[«2 - 2ш0 (К' — U) — (Г - £/)*] о -
he
Пренебрегая релятивистской поправкой, т. е. полагая с = со
получаем обычное уравнение Шредингера:
р —2//г0 (Г— t/)H = 0,
1
откуда следует, что с точностью до членов порядка -у мы можем
(K'-Uf
заменить оператор -—-- на
_z/4	_ — (zz-v2 + и/ +
(2m0f)2	(2m0e)2
сводится, таким образом, к стандартной
Предыдущее уравнение
форме:
{К — /С)? = 0»
где оператор энергии:
1 2mv
___ 1 -
~ (2т^~с* U
— ио Н—.
|_	2/п/
На основании формулы (260) последний член в этом выражении
может быть переписан в виде:
-И[я.0-*+£.^оС(«х;-ш
392 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Оператор i^E * и представляет чисто мнимую величину, среднее зна-
чение которой обращается в нуль и потому может быть отброшено.* 1
Полагая: |ха = р, получаем:
'НгХ+Х4' (26i>
где первый член представляет обычный (Шредингеровский) опера-
тор энергии (умноженный на двухмерную единичную матрицу 8),
тогда как оператор
S — —	-g-2- zz4 — Н • р— Е ~—и X Р	(261а)
(2т0)3 с2	r 2w0e r v 7
можно рассматривать, как некоторую энергию возмущения,
определяющую с точностью до. членов второго порядка относи-
тельно влияние поправок теории относительности. Первый член
в 5 относится к изменяемости массы со скоростью, jt второй и тре-
тий — к явлению спина. Второй член, уже рассмотренный в преды-
дущем параграфе, можно трактовать как дополнительную энергию,
обусловленную собственным магнитным моментом электрона. Третий
член можно интерпретировать аналогичным образом — как дополни-
тельную энергию, обусловленную наличием электрического
момента, представленного оператором
1 - -
v = ~-----и X
2/тг0с
Мы приходим, таким образом, к рассмотрению электрона, как час-
тицы, обладающей свойствами точечного заряда, элементарного маг-
нита и элементарного электрического диполя с электриче-
ским моментом, пропорциональным магнитному моменту р. и скорости
zz
относительного движения —.
е —* —*•
1 Действительно, произведение —Е • и приближенно равно работе,
производимой электрической силой за единицу времени, т. е.-; в слу-
чае стационарного движения его среднее значение равно, очевидно, нулю.
§ 30. Более точная форма двухмерной матричной теории 393
Следует заметить, что приписание электрического момента дви.т
жущейся частице, обладающей в состоянии покоя магнитным момен-
том, является непосредственным следствием теории относительности,
примененной к соотношению между магнитным и электрическим полем.
Если в координатной системе А мы имеем только магнитное
поле Н (Е = 0), то в другой системе, движущейся относительно
первой со скоростью ф'=— v, мы кроме магнитного поля И’,
мало отличающегося от Н ^разность между ними — второго
v \
порядка относительно — у, имеем еще и электрическое поле:
v х Н' v хН
Е =-------------------,
с с
и обратно: при наличии чисто-электрического поля Е (//=())
в системе А, в системе А', помимо электрического поля Е\ несколько
отличного от Е, мы будем иметь также магнитное поле
т*, v х Е' v хЕ
п =---------—---------.
с	с
Рассмотрим частицу, движущуюся с системой А' и с точки
зрения этой системы, обладающую магнитным моментом Она буде
обладать, соответственно, дополнительной магнитной энергией:
и'=— • и • н'=—н • - х е }Г.vе.
С	с
Эта энергия может быть представлена в виде:
U'=—E' • (р X и)
С
или:	1 _	+	_
-----Е>(у' X|i)
с
и может быть интерпретирована как дополнительная электрическая
энергия по отношению к системе А, равная энергии электрического
диполя с моментом:
1 -
v — — v хи.,
с
394 VI. Релятивистская форма волнрвой механики электрона
Мы приходим, таким образом, к представлению, что частица,
ведущая себя подобно элементарному магниту с моментом у., при-
,	о	V X у.
ооретает при движении со скоростью v электрический момент-------—
с
Этот результат может быть получен непосредственно с помощью
вращающейся сферической модели электрона, если мы примем во
внимание перераспределение электрической плотности тока, вызван-
ное суперпозицией относительного движения и вращения.
,	и
Заменив скорость v оператором —, получаем для представле-
но
ния электрического момента электрона следующий оператор:
=	(261b)
равный удвоенному значению предыдущего выражения. Дополни-
тельная электрическая энергия, представленная последним членом
в выражении (261а), должна быть записана, соответовенно, в виде:
=	(261с)
£
тогда как магнитная энергия имеет обычную форму:
Um = — Н-р.
Происхождение множителя в (261) можно интерпретировать
различным образом. Он может быть получен, прежде всего, в резуль-
тате применения теории относительности к вращательному движе-
нию. Проще, однако, связать его с тем обстоятельством, что энер-
гия Ue соответствует эффекту второго порядка (тогда как Um со-
ответствует эффекту первого порядка), как и в обычном случае
частицы, не обладающей постоянным электрическим дипольным мо-
ментом и приобретающей его только под воздействием электриче-
ского поля. В данном случае это влияние является косвенным и
осуществляется через посредство скорости относительного движения,
создаваемого электрическим полем.
Прежде чем переходить к рассмотрению точной теории Дирака,
§ 30. Более точная форма двухмерной матричной теории 395
мы применим предыдущую уточненную форму теории Паули к при-
ближенному вычислению так называемых „релятивистских“ поправок,
т. е. изменения и расщепления энергетических уровней электрона,
движущегося в радиально симметричном электрическом поле, как
при наличии, так и в отсутствии однородного магнитного ноля.
А. Случай отсутствия магнитного поля. Энергия возмущения
имеет в этом случае следующий вид:
/г\7

(262)
где р —
— оператор, представляющий момент электрона. Полагая:
Е =
Ze
г3
г,
что соответствует Кулоиову полю сил, создаваемому ядром с заря-
дом Ze, получаем:
7е	Ze - —	'
Е. (р х = . (Е X	• (г Хр) = ~3 а • L,
где L—rxp— оператор углового момента электрона (без члена
ха, обусловленного спином). Подставив это выражение в (262) и
pi	Zc1 ,
заменив на Н' — U = H -I--------, где Н' — невозмущенная
2т0	1 г
энергия, соответствующая теории Шредингера или Бора, мы полу-
чаем
1 Г /	\ - а ”
(262а)
где
Ze*h
а = c^Ze = ,	— ,
4кте
причем заряд электрона обозначен через — е.
Выражение (262а) до некоторой степени сходно с выражением
(150) для магнитной возмущающей энергии, отличаясь от него, во-
первых, тем, что постоянное магнитное поле- <£) заменено „эффек-
тивным “ магнитным полем:
— Ze —
(262Ь)
396 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
обратно пропорциональным кубу расстояния от ядра и параллель-
ным вектору углового момента Д, и, во-вторых, появлением доба-
вочного члена:
1 1Н . Ze'\'
2т^ \	’ г / ’
,	(1 01
умноженного на единичную матрицу б — <	.
Способ, которым мы пользовались в предыдущем параграфе для
решения магнитной возмущенной задачи, может быть применен прак-
тически без всяких изменений и в данном случае; он может быть упро-
щен путем применения координатной системы с осью z, параллель-
ной вектору L (являющемуся константой невозмущенного дви-
жения).
Получающийся результат выражается формулой:
<263’
где усереднение производится для невозмущенного движения с по-
мощью обычной (скалярной) Шредингеровской функции согласно
формуле	dV. Формулу (263) можно интерпретировать,
полагая, что существует два типа возмущенного движения с осью
электронного спина, параллельной оси орбиты и обладающей либо
тем же, либо противоположным направлением (Д«а = ± L). Чис-
ленные значения =	± могут быть получены приближенно
путем замены волно-механических средних или вероятных значений
средними по времени классической (Боровской) теории. Последняя
дает:
г а ’ г9 ab ’ г3 Ь*'
где а— большая полуось, а b — малая полуось эллиптической ор-
биты электрона. Отсюда следует:
ДЯ = —
1 Г , 2Z^H' ,
" +
ZV «Я
ab —
(263а)
§ 30. Более точная форма двухмерной матричной теории 397
Далее, согласно теории Бора:
Л2//2	k г h ,
а = —7,---, b — — a, L = —k,
4^-rn^Z	п	2г.
, _ Ze* _ 2if2/n0ZM
Н ~ 2а ~ hW~ ’
где п главное, a k — угловое квантовые числа. Подставив эти выра-
жения в (263а), получаем:
Ze* Z*ek /	4/2 \
4- ~= -з + ? н'*
1 а 1 ab \	1 k /
и
aL_Ze*h hk п? _ (Ze2)* h*n3 1 _2п
& ~ 4ъпц 2т. ~kW ~ 4а* 2т*пг^е* k*a~l*H ’
откуда
Д/У' = ^ТА - JI ± 1) 1.	(263b)
пцс* L 4	\ k 2k* 1 J	v
Эта формула была первоначально получена в 1925 году Улен-
беком и Гаудсмитом практически таким же способом, однако, без
помощи матрицы а (произведение L • а было заменено через zt L
в предположении, что ось электрона может иметь только две
противоположных ориентации, параллельные оси орбиты).
Применяя релятивистскую механику к стационарным состояниям
теории Бора, Зоммерфельд получил в 1915 году следующую фор-
мулу:	1
=	+	(26*)
находящуюся в полном согласии с экспериментальными данными об
энергетических уровнях в водороде и ионизованном гелии. Здесь
— отвлеченная константа (так называемая п константа тонкой струк-
туры")
v = -^—- = 7* 10~3,	(264а)
‘ he
:=?п — k — радиальное квантовое число и

(264b)
398 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Константа yZ определяет „релятивистское расщепление" энерге-
тических уровней, относящихся к одному и тому же значению глав-
ного квантового числа /г, т. е. определяет „тонкую структуру"
спектра. При yZ<^l мы можем заменить формулу (264) приближен-
ной формулой
2 IF 2 / 3
g ____ р ---._	I __
nk п тьс* \ 4
п
k / ’
(264с)
где:
niyC^Z*
2п?
2?t2/n0^Z3
заменяет ЛГ.
Формула Зоммерфельда блестяще подтвердилась не только для
водорода и ионизованного гелия, но и для рентгеновских спектров
наиболее тяжелых атомов. Число линий, даваемое этой формулой
в последнем случае (при k=l, 2...п в связи с правилом отбора
Д& = ±1) или число энергетических уровней в рентгеновском
спектре поглощения оказывается, однако,/слишком малым, будучи
равным п вместо экспериментального 2п—1. Так, напр., при
п = 2 (группа L) мы имеем три энергетических уровня, тогда как
формула Зоммерфельда дает лишь два (£=1 и£ = 2), при п = 3
мы получаем пять уровней вместо трех и т. д.
Эта трудность была устранена теорией вращающегося электрона
Уленбека и Гаудсмита. Для каждой орбиты, определяемой числами
и, k, существует две противоположно направленных ориентации оси
вращения, перпендикулярные к плоскости орбиты. Соответственно
этим двум ориентациям мы должны иметь две различных дополни-
тельных энергии, что вызывает расщепление всех энергетических
уровней enk согласно формуле (263b).
Эта теория оставляет, однако, необъясненными некоторые вто-
ричные трудности: во-первых — один из уровней, относящихся к одному
и тому же главному квантовому числу п, должен был бы остаться
нерасщепленным (так как число различных уровней равно 2п— 1,
а не 2п). Это может быть объяснено, если мы припишем угловому
квантовому числу значения 0, 1 ... п-— 1 вместо 1,2 ... и, т. е., если
мы введем прямолинейные орбиты вместо круговых: для таких прямо-
линейных орбит все ориентации, перпендикулярные к направлению
§ 30. Более точная форма двухмерной матричной теории 399
движения, очевидно, эквивалентны. Следует заметить, однако, что
приближенные формулы (264с) и (263b), а также и точная фор-
мула (264), к случаю /г = 0 применены быть не могут.
Во-вторых — для водорода и для ионизованного гелия, т. е. в слу-
чае атомных систем с одним электроном, экспериментальные дан-
ные точно удовлетворяют формуле Зоммерфельда, как в отно-
шении числа, так и в отношении положения уровней, если k при-
нимает значения 1, 2 ... п. Эта трудность также может быть прео-
долена путем более точного анализа расщепления, обусловленного
спином, и сравнения его с расщеплением, вызванным изменением
массы („релятивистским расщеплением“ теории Зоммерфельда).
Формула (263b) при k = 0 несправедлива. Вообще, она тем
точнее, чем больше k. В предельном случае мы имеем:
1 1
k ~ 2k*
1
так что формула (263b) становится тождественной с формулой Зом-
мерфельда (264с), если k (= zz, п — 1...) заменить через k-, при-
£
чем каждый энергетический уровень появляется дважды для двух после-
довательных значений k (одного, увеличенного, а другого—умень-
шенного на ).
&
может быть объяснено тем обстоятельством, что
1	3
Появление полу-целых значений k ( = п-------— , п-----— и т.д.)
а	л
согласно волно-
j/ДТ+ТГ ~,
механической теории угловой момент L равен
а не Так как Z (Z —1)=	---4~ > то
жить для больших значений Z:
мы можем поло-
где l = k—1—угловое квантовое число теории Шредингера.
400 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
111,
Средние значения —, и —были вычислены выше с по-
г	7	^*4
старой квантовой теории; можно показать, однако, что полу-
результаты справедливы и в теории Шредингера, если Боров-
заменить на
увидим в следующем параграфе, что точная волно-механи-
теория, базирующаяся на уравнении Дирака, в случае
мощью
ченные
ское k
Мы
ческая
водородоподобного атома приводит к таким же точно резуль-
татам, как и старая теория Зоммерфельда, причем спиновая дублет-
ность в этом случае не обнаруживается. Она появляется, однако,
как только мы переходим к рассмотрению более сложных атомов,
в которых движение каждого из электронов происходит в поле сил,
отличном (благодаря воздействию остальных электронов) от чисто
Кулоновского. Это следует непосредственно из выражения (263),
где -i- должно быть заменено некоторой другой (быстрее убываю-
щей) функцией от г; при этом два члена в выражении (263)—соот-
ветствующие релятивистскому изменению массы и эффекту спина не
могут уже быть объединены в один член, соответствующий в ста-
рой теории влиянию одной лишь массы.
Два состояния, получающиеся из одного состояния теории Шре-
дингера и отличающиеся ориентацией спинового углового момента
электрона в направлении орбитального углового момента или в про-
тивоположном направлении, различаются с помощью специального
квантового числа (впервые введенного Зоммерфельдом и названного
им „внутренним" квантовым числом) /; это число принимает зна-
чение j = I -f- — для первого состояния и значение j — l-— для
Л	Z
г,	h
последнего. Произведение j на — можно рассматривать, соответ-
«
ственно, как результирующий угловой момент элек-
трона. Такая интерпретация соответствует скорее старой кван-
товой теории; можно показать, однако, что в волновой механике
число j играет по отношению к полному угловому моменту М точно
закую же роль, как угловое квантовое число I по отношению к орби-
§ 30. Более точная форма двухмерной матричной теории 401
тальному угловому моменту £. Так например, характеристические
значения АР равны:
Л2
'М' = 4^/(/+П;
эта формула может быть получена из формулы Л42 = (L -ф- $)2 =
4~ 2Z, • s-|~ где 5— спиновой угловой момент, если мы положим
« ЗА2 h4 (Z-I-1)	- - h4 . , , 1
s2= ——L2 =---------------- и 2£ • s==-T-T в случае/==/4-—
4	№	4тг2	1 2
(при j — l--I должно быть заменено на I—1).
л
Как уже было показано выше, для движения в Кулоновом поле
сил внутреннее квантовое число j — по отношению к энергии —
играет ту же роль, что и / в отсутствии спина.
Мы увидим в дальнейшем, что это соответствие между j и I сохра-
няется также и при описании расщепления энергетических уровней,
обусловленного слабым магнитным полем.
В. Влияние магнитного поля {эффект Зеемана). Изложен-
ная выше теория' легко может быть обобщена на случай наличия
однородного магнитного поля Радиально симметричное элек-
трическое поле будем представлять вектором E=f(r)r. Если невоз-
мущенное движение определяется, как соответствующее отсутствию
магнитного поля и отбрасыванию релятивистской поправки,т. е. если
оно определяется обычным оператором энергии Н= -—р24”^(г)
(умноженным на 8 = ^ то, пренебрегая членами второго по-
рядка относительно Зр, мы можем представить полный оператор
энергии К как сумму Н и энергии возмущения:
где и = —-------абсолютное значение собственного магнитного
4ти?гос
момента электрона, а 2, заряд электрона, так что
ТГ	1 du
— eE~—VU или /(г) = — у
402 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Предыдущее выражение для S может быть записано в следующем
виде:
S = 4-4-ZT.7	(265)
при
1	р. _* —♦
A=s_-^_	—	(265а)
2иг0с*	1 2тас *
и
В = —	(265b)
где
р = -^.
г 2/и0 с
Определение энергетических уровней двух возмущенных состоя-
ний, возникающих из одного невозмущенного состояния, может быть
осуществлено с помощью общего метода, развитого в предыдущем
параграфе в связи с возмущением, вызванным одним лишь магнит-
ным полем [см. уравнения (250) — (251b)]. Мы получаем, таким
образом:	г
(266)
где
A = ^*A<!fdV
в=К(вж)2 + (в/ + (згг
среднее квадратичное значение вектора В. Если L — постоянный век-
тор (как это и имеет место в случае невозмущенного движения),
то:	___	________________________
5==V{(P)*P —(266а)
В предельном случае очень сильного магнитного поля — например при
это выражение сводится к	Полагая,далее,	£ =	,
где тг—осевое (магнитное) квантовое число для орбитального дви-
жения, и пренебрегая первыми членами в (265а) и (265b) по срав-
нению со вторыми членами, получаем:
Ш =	(266b)
т. е. точно такой же результат, как в случае „нормального" эффекта
Зеемана, соответствующего отсутствию спина; влияние последнего
§ 30. Более точная форма двухмерной матричной теории 403
.сказывается в замене осевого квантового числа mz на m =
причем оба числа — целые.
В противоположном случае очень слабого магнитного поля
мы получаем расщепление иного типа, обычно называе-
мое „аномальным* эффектом Зеемана. Разложив точное выражение
(266а) и пренебрегая членами второго и более высокого порядка
относительно получаем:
B = $d 1 —— 8Z.—
или, полагая
и пренебрегая „релятивистской поправкой* [представленной первым
членом в (265а)]:
ДН' — ± р L j 1 z±
(266с)
где верхний и нижний знаки относятся к значениям / = и
1 2
j = l----— „внутреннего квантового числа*, определяющего полный
&
угловой момент Л4.
Этот результат может быть получен в несколько другом внеш-
нем виде с помощью осевого квантового числа Шр определяющего
составляющую М по направлению магнитного поля, если последнее
предполагается слабым.
Мы видели выше, что в отсутствии магнитного поля векторы Ln s
(спиновой угловой момент) не являются, константами движения даже
и в том случае, когда последнее имеет место в радиально симмет-
ричном электрическом поле; сумма L-\- s=M (полный угловой мо-
мент) оказывается, однако, в этом случае постоянной. Легко, далее,
показать, что квадраты/, и $ остаются также постоянными, так
что возмущение, обусловленное одним лишь супином, можно предста-
вить как вращение (прецессию) двух векторов L и s постоян-
ной величины около их результирующей М, Средние значения s
404 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
и L должны быть, следовательно, параллельны М и могут быть
выражены следующими уравнениями:
7=(g-l)/W, Г=(2-^)М
(267)
где g—некоторый численный коэффициент (5	L — $ + £ = 7И).
Следует упомянуть, что подобное представление спинового воз-
мущения не дает точных результатов, если считать, что векторы
s и L друг другу параллельны (т. е. направлены одинаково или
в противоположные стороны), как это предполагалось раньше на
основании уравнения (263).
Коэффициент g может быть определен с помощью формулы
1* = (М — $)2 = М* — 2/М • $ 4~ $*, если мы положим L2 =	,
/И2 =	и заменим скалярное произведение М • s
на (g—1)7И*. Это дает:
7 (/ + !)-/(/+0 + 4
----------------, (267а)
т. е.
g 1	“2Z+1 (У l~i}'
(267b)
Возмущение, вызываемое достаточно слабым магнитным полем,
может быть описано как вращение (прецессия) параллелограмма,
образованного векторами s, L, М, вокруг направления магнитного
поля, причем величины всех трех векторов остаются, как и прежде,
постоянными.
Дополнительная магнитная энергия может быть в первом при-
ближении определена как среднее значение магнитной возмущаю-
щей энергии:
sm=. (Z+2?) =	§ • (м + 7)
т 2т^с *	1	’ 2т9с 1 '
§ 30. Более точная форма двухмерной матричной теории 405
(268)
для невозмущенного движения. Заменив s на (g—1)7И, мы полу-
чим	___ о — —
Множитель g был введен впервые Ланде (в 1922 году). Его
можно интерпретировать как отношение угловой скорости прецес-
сии параллелограмма (s, L) вокруг направления <F) к классической
тт
или „Ларморовой* угловой скорости 00 = -^^-, соответствующей от-
сутствию спина.
Проекция вектора М на направление Jq сохраняет постоянное
квантованное значение, определяющееся формулой:4
где nt]— осевое квантовое число. Для состояния с данным значением j
оно может принимать 2/	1 полуцелых значений, лежащих между
—|— у и — j. По отношению к j оно играет, таким образом, точно
такую же роль, как обычное осевое квантовое число т1 по отно-
шению к числу I в , теории бесспинового электрона.
С помощью формулы (268а) выражение (268) может быть пере-
писано в следующем виде:
ДЯ = v^mjg —	1 zt .
От выражения (266с) оно отличается тем, что т1 заменено в нем
1 1 ’
через nij и------ через —------—-. Легко, однако, показать, что
'+4	2(;+4)
это различие соответствует соотношению между проекциями век-
торов L и М на направление магнитного поля. Заменив в выраже-
нии (266а) вектор L его средним значением согласно формуле (267),
мы получаем: _ .
ф • L = (2—g) $ • М = (2—g) — т&,
/к
и следовательно:
ДЯ -	(2 — g) А ±----Ц-1
(268а)
(268b)
406 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
вместо выражения (266с)—вернее той части его, которая пропорцио-
нальна Приравняв это выражение ^S^gm^ мы получаем сле-
дующее уравнение для определения множителя g*.
g—^—g)
откуда приближенно:
2(g- 1) = ±
1
что совпадает с (267b).
Каждый уровень, определяемый квантовыми числами п, /,/, рас-
щепляется под действием слабого магнитного поля на 2/ -|- 1 равно-
отстоящих уровней, расстояния между которыми равны
eh	/	1	\
1 4тс/п0съ	\	2Z-|-l/ry
1
2
где знак плюс относится к случаю / = /-(-— а знак минус —
. .	1	-
к случаю J = l----—.
&
Мы предполагали выше, что магнитное поле „достаточно слабо".
Стандартным полем, с которым мы его при этом должны сравнивать,
является „эффективное" магнитное поле, определяющее спиновое
возмущение в случае <£> = 0. Это поле параллельно и пропорцио-
нально L, как это было показано выше [см. ур. (262b)] и может
быть, следовательно, определено формулой ^e^=^L.
Если Зр много больше, нежели то векторы Lus уже не
образуют жесткого параллелограмма, а прецессируют около на-
правления Зр независимо друг от друга; первый — с нормальной
Ларморовой частотой, второй — с удвоенной. В этом случае вместо
(268) получается формула:
— е
= + 2SH) =
в согласии с (266b). Модификация эффекта Зеемана,4 имеющая место
§ 31. Точная четырехмерная матричная теория Дирака 407
при переходе от слабого магнитного поля к сильному, известно
под названием эффекта Плшена — Бака.
Предыдущие результаты будут установлены ниже более строгим
и полным образом на основе точной теории Дирака.
§ 31. Точная четырехмерная матричная теория Дирака.
Четыре уравнения теории Дирака, записанные в предыдущем
параграфе в форме двух матричных уравнений Паули, могут быть
приведены к одному матричному уравнению (они были вначале даны
Дираком именно в этой форме) точно таким же методом, которым
мы пользовались при рассмотрении уравнений Паули.
Четыре функции Дирака ф1}	<р3, <р4 трактуются, соответ-
ственно этому, как элементы матрицы с одним столбцом:
%
'Рз
Ф4
<р=
(269)
(или как слагающие четырехмерного вектора), причем адъюнгирован-
ная матрица (комплексно сопряженный вектор) имеет вид:
ф+= { *,ф2*,^3*,ф4* }.	(269а)
Вводя надлежащим образом определенную квадратную матрицу
четвертого ранга (четырехмерный тензор) Д, мы можем представить
четыре уравнения первого порядка (229а) и (229b), как четыре ком-
поненты матричного (или векторного) уравнения:
Дф = 0,	(270)
записав их в виде:
(Лф)1 =ДПФ1 4“	=
(Дф)2 — ^21Ф1+-^22^2 +^гзФз +-^24^4 =	>	(270а)
(Д ф)з = Дз!4“ +2Ф2 4~ Аз4з 4“ ^34^4 = 0,
(Дф)4 = Д41Ф1 4~ ^42^2 4“ +з4з 4~ ^444*4 =
Отождествив эти уравнения, соответственно, с первым, вторым,
третьим и четвертым уравнениями (229а)—(229b), мы получаем сле-
дующее определение матрицы Д:
А =	4-	-j- аг«г -j- atut 4- айтос, (271)
408 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
где
10 0 0
0 10 0
0 0 1 0 Р
0 0 0 1
—i 0	0 0
О
О
О
i О О
О — i 0 р
О 0 г
(271а)
Эта форма уравнений Дирака соответствует привилегированной
роли координаты х, причем связанная с ней матрица ах сводится к
четырехмерной единичной матрице 8. Можно, однако, переписать
эти уравнения в эквивалентной форме, соответствующей передаче
этой привилегии одной из четырех остальных матриц а. Проще
всего это осуществляется путем перестановки первоначальных урав-
нений (229а)—(229b) и умножения некоторых из них на —1. Так
например, для сведения матрицы а0 к 8, мы должны умножить два
уравнения (229а) на —1 и переписать все четыре уравнения в об-
ратном порядке. В результате получаем:
(«х 4" г«у)'4 — «Ж + (“/ + 'М'Ь = 0,
(ал 4- /иу)<р3 4- и^4 4- (ut 4- »z0c)<p2 = 0,
— (“х +	+ «Л 4- (—щ 4- 'МФз=о,
— 4-— и^а- 4- (—«<4-	=о,
что может быть записано в виде матричного уравнения:
Вф = 0	(272)
с
8 — $хих + $уих 4"	+ $tut 4"	(272а)
§ 31. Точная четырехмерная матричная теория Дирака 409
где:
1 0 0	0	Г
О 0 —г О
О — i 0 0 >
i О О О
(1 О О О'
0 10	0
0 0—1	0 ’
0 0	0 —1
*(272b)
1 1 0 0 0'
0 10 0
О 0 1 0 [•
0 0 0 1
Переписав уравнения (229а) — (229b) в обратном порядке и
умножив при этом (229b) на —1, мы получаем аналогичным образом:

(273)
с
где
Г=7Л + т/5- + 7г«г + 7^ + 7о«о<;>	(273а)
(273b)
7о =
10	0	0
0 10	0
0 0—1 О
О 0	0—1
Эта форма уравнений Дирака особенно удобна, так как все ма-
трицы у оказываются эрмитовыми, тогда как матрицы аир
410 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
таковыми не являются. Существует, кроме того, очень простое со-
отношение между матрицами Дирака yv, у2 и „спиновыми* матри-
цами Паули ах, <зу, а2, которое можег быть выражено формулами:
__ГО cl) ____(0	__(0	/о*7 л \
И°Л'	b =	:	<274)
где 0—двухмерная нулевая матрица {одр Матрицы Дирака у2
могут быть, таким образом, определены как „супер-матцицы“ вто-
рого ранга, элементами которых являются соответствующие
матрицы Паули и двухмерные нулевые матрицы.
Легко далее показать, что матрицы ух, у2, точно так же, как
матрицы Паули <зх,ау,<з2, антикоммутируют друг с другом
и с матрицей у0; следовательно, полагая для краткости
Ъ = Т1>	= Ь = Ъ То = Т4
(у, нас не интересует, так как она равна единичной матрице 8),
мы получаем:
Yp.L = — TJp.	(274а)
Соотношение типа <зхау — ia2 и т. д. для матриц у*, уу, уг, однако, м^ста
не имеет. Так например, согласно (237b), мы получаем:
	—1 0 0 i	0 0 0 0		—1 0 0 1	0 0] 0 01 .	/о, 0)
7х7> = ’	0 0	—i 0 |	> =i -	0 0	—1 0(— 1	10 <J’
	0 0	0 /|		0 0	0 Ч	
чтд отлично от у2.
К уравнениям (274а) мы можем добавить уравнения:
7^ = 8.	(274b)
Следует упомянуть, что четыре матрицы а или р (отличные от 8)
также удовлетворяют соотношениям антикоммутативности типа (274а),
квадраты же их равны ± 8. Действительно:
Уг^Л=-88'
<*У =^г = ао —— at = 6}
и, конечно, ро4 = а*2 = 8 (так как ро = ал = 8).
§ 31. Точная четырехмерная матричная теория Дирака 411
С помощью этих соотношений может быть, осуществлен пере-
ход от одной формы матричного уравнения Дирака к какой-либо
другой эквивалентной форме, путем умножения исходного уравне-
ния на матрицу, которая должна быть заменена через 8 (со зна-
ком-]-или—). Так например, мы получаем:	)
Л = ТхГ, В = ТОГ, А = — №, r=atA = ^tB,
откуда следует, что
ах = Чх> «у = ЪТу. «г = ТЛ, «/ = ЪЪ=Тх» ао = Ыо; Рг = Ъ
и т. д.; эти соотношения легко проверить непосредственно.
Из уравнений первого порядка легко могут быть получены урав-
нения второго порядка в аналогичной матричной форме. Проще
всего это может быть осуществлено путем применения к уравнению
= 0 оператора:
в'=—(Ра+Р а + Ра+Ра) + Р<Аос-
Мы получаем таким образом B'B^ = Q или, выполнив умножение и
принимая во внимание соотношения (274а) и (274b):
{(V + + и/ — а? + zn0M) — [рА («А — «а) +
РА («А —	Г PJV («А—«VмJ + РА («Л—«А) +
РуР/ («А — «/“>)+ РА («А — «А)] }ф = °-
Это уравнение может быгь записано в следующем виде:
Q^ = 0	(275)
с матричным оператором
Ал —* —*	_* -♦
Q^ £>8__(//. 5(275а)
где, как и прежде:
. В = их9 4- и/ -t- и3* — и/ +
412 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
тогда как £ и т) — векторные матрицы с прямоугольными составляю-
щими:
Эти матрицы связаны с матрицами £ и у формулами:
== ФуИ? == hytt’ == ФФ.Г ==:	^2 === ФхРу == Wxlyi I /276)
Ъ = ФЛ = — Пл->	= ФА = ~	= ФА = - И: I ?
или в векторном обозначении:
Т=^7хт; *Г= —Ф-	(276а)
Легко проверить эквивалентность уравнения (275) четырем урав-
нениям (230)—(230а).
Следует упомянуть, что способ, которым Дирак впервые «полу-
чил свое уравнение первого порядка Г<р = О, был до некоторой
степени обратным нашему выводу для частного случая
свободного движения, когда матрица Q сводится
к оператору D (умноженному на 8). Предполагая, что
в этом случае Q может быть представлено в форме В'В, мы легко
можем получить условия
§ 31. Точная четырехмерная матричная теория Дирака 413
для матриц р, после чего уравнение первого порядка Bty = 0 есте-
ственно обобщается на случай движения электрона в произвольном
поле сил (путем замены р на и); из этого обобщенного уравнения
получается указанным выше образом обобщенное выражение для
оператора второго порядка.
Этому непосредственному методу Дирака мы предпочли несколько
более длинный и сложный путь, исходящий из уравнений Макс-
велла, так как он обеспечивает лучшее понимание теории. Кроме
того, определение матриц р на основании вышеуказанных свойств
является не вполне однозначным и связано с некоторым предпо-
ложением об их порядке, т. е. о числе волновых функций ф; в нашем
выводе это число с самого начала определяется на основании ана-
логии между уравнением Даламбера и уравнениями Максвелла,
с одной стороны, и волно-механическими уравнениями второго и
первого порядка, с другой стороны.
Четырехмерное уравнение второго порядка (275) эквивалентно
двум уравнениям (258) и (258а), содержащим двухмерную спино-
вую матрицу Паули а.
Матрица Дирака $ может быть определена как результат „дубли-
рования" последней согласно формуле:	1
Но?)'	(277’
где 0 — сокращенное обозначение нулевой матрицы q}. Эта фор-
мула эквивалентна следующим трем формулам:
t —f'x 01	►	01	5 (аг 01
, ^“10	оД’ 10 аД’
отличающимся от формулы (274) тем обет ятельством, что „дубли-
рование" осуществляется не в направлении левой диагонали, а в на-
правлении правой диагонали. Формула (274) может быть заменена
одной векторной формулой:
-*	( 0 а)
Пи)’
Как легко видеть, векторы у и 5 связаны друг с другом соотноше-
ниями:	- Г Г Г	-	/О-7-r Ч
7=^ = £р,	? = Р7=ТР,	(277а)
414 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
где р — скалярная матрица:
О 1 О
О О 1
ООО
1 О О
Н“}
(277b)
коммутирующая с 5, у и антикоммутирующая с у0:
РТо = —То?-
Следует отметить, что матрица у0 коммутирует с $ (так как она
антикоммутирует как с у, так и с р). Далее, в результате срав-
нения (273b) с (273с) получаем:
7) = — /р£.	(277с)
Выражение (275а) для матричного оператора Q может быть, таким
образом, переписано в следующем виде:
hp - *	—♦ —♦
где множитель 8 входит в D.
В теории Дирака матрица $ имеет такой же физический смысл,
как и матрица о в теории Паули, т. е. представляет собою (с
соответствующе выбранным численным множителем) вращательный
угловой момент или же магнитный момент. Что же касается матрицы
т], то, будучи умножена на р, она представляет собой электри-
ческий момент электрона. Существенное различие между мат-
рицами $ и т] заключается в том, что первая имеет эрмитовый
характер и является поэтому вещественной величиной (с характери-
стическими значениями ± 1), тогда как вторая — антиэрмитова и
является поэтому мнимой величиной (с характеристическими зна-
чениями zhZ).
Может показаться, что этот результат находится в противоречии
с выведенным нами в предыдущем параграфе заключением, согласно
которому движущийся электрон обладает вещественным элек-
трическим моментом, представляющимся приближенно (в уточнен-
0
—. В действительности такое про-
.0
ной теории Паули) матрицей ——
§ 31. Точная четырехмерная матричная теория Дирака 415
тиворечие места не имеет, так как матрицы и fivj представляют
„покоящиеся значения" магнитного и электрического моментов, т. е.
значения их в системе координат, по отношению к которой электрон
находится в состоянии покоя. В координатной же системе, по от-
ношению к которой электрон движется, он обладает дополни-
тельным мнимым магнитным моментом и дополнительным веще-
ственным электрическим моментом, причем эти дополнительные
моменты численно равны друг другу и в первом приближении
пропорциональны скорости.
С точки зрения классической теории, если у- и у представляют
собой покоящиеся значения магнитного и электрического моментов
частицы, то в координатой системе, по отношению к которой эта
частица движется со скоростью v, она должна обладать дополни-
тельным магнитным моментом Др., в первом приближении равным
v	-♦
-~XV и дополнительным электрическим моментом Ду равным (в том
же приближении) ~ X Н- Полагая v = /р, мы получаем Др = /Ду.
Численное равенство обоих моментов сохраняется, таким образом,
и для движущегося электрона, причем мнимый электрический мо-
мент обусловливает наличие мнимого магнитного момента, а веще-
ственный магнитный момент — наличие вещественного электрического
момента. Этот вещественный электрический момент представляется
. pzz X <з
волно-механически с помощью оператора - — -—.
Мы можем теперь вернуться к рассмотрению физического смысла
дираковского уравнения первого порядка Г<р = 0. Прежде всего,
заметим, что оно может быть записано в стандартной форме:
(е+А)'^ = 0.
(278)
где pt означает
оператор
— • —, умноженный на четырехмерную
матрицу 8, а е — оператор энергии первого порядка, определяемый
как четырехмерная матрица:
е == U -J- с (у хих + ууиу 4- Тг«г)	тос* y„—U + су •« +»г0с9у0. (278а)
Существенное свойство уравнения Дирака — его релятивистская
416 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
симметрия по отношению ко времени и пространству — проявляется
как возможность записи его в одной из трех эквивалентных форм:
(Рх-рх)'Р = 0, (Ру -Ру)= о, (Рг-Рг)Ф = о,
соответствующих выбору одной из пространственных координат в
качестве основной величины; в обычной теории последней служит
время. Заменив время координатой х, с помощью уравнения = О
мы для матричного оператора импульса получаем следующее выра-
жение:
Рх — Gx — ауму — аг«г — atut — ао/иос,
где составляющая по оси х „потенциального импульса"
предполагается умноженной на единичную матрицу 8.
h д '
относится конечно и к оператору рх = ~—в
ох
(Рх-рху<^-
Если оператор е не содержит времени явно, то уравнение (278)
допускает частные решения вида
G —е-^
х с
Последнее
уравнении
при которых оно принимает форму:
(е-е')К = 0.
Эти решения представляют различные стационарные состояния элек-
трона, движущегося в постоянном электромагнитном поле.
Легко показать (точно таким же способом, как и в теории Паули),
что функции ф = фе' и относящиеся к различным значениям
энергии, образующим дискретный спектр, удовлетворяют соотноше-
нию ортогональности:
где
4
а=1
При этом условие нормировки может быть записано в форме
§ 31. Точная четырехмерная матричная теория Дирака 417
Всякая физическая величина представляется в теории Дирака
матричным оператором F с шестнадцатью компонентами Fa'a" (в
случае обыкновенного оператора, зависящего лишь от координат и
импульсов, соответствующий матричный оператор получается умно-
жением на единичную матрицу четвертого ранга 8а>ап). Среднее
или вероятное значение этой величины в состоянии, описываемом
волновой функцией (квадруплетом функций) определяется при
этом формулой
4	4
а' =1 а" = 1
представляющей собою обобщение соответствующей формулы тео-
рии Паули.
Соответственно для матричных элементов оператора F получа-
ются выражения:
4	4
а' = 1 а''-=2
Эти результаты дают возможность построить на основе теории
Дирака матричное представление физических величин и теорию
преобразований, отличающуюся от соответствующей теории, осно-
ванной на уравнении Паули, тем обстоятельством, что добавочная
„спиновая“ переменная а принимает не два значения, а четыре.
Мы увидим ниже, что эти четыре значения связаны не только с
ориентацией спина, но также с тем обстоятельством, что уравнение
Дирака (е — е')<р£, =0, на ряду с обычными решениями, допускает
решения, соответствующие отрицательным значениям энер-
гии е'.
Таким образом, каждому значению Шредингеровской константы
энергии И' в теории Дирака соответствуют 4 значения энергии е':
+	+	(>0),
-|~ /74 ,	-j- ТУ' -	( < 0),
причем члены каждой пары образуют „спиновый дублет*, а раз-
ные пары могут соответствовать приблизительно противоположным
значениям е' (впрочем далеко не всегда, ср. § 34).
Соответственно этому матричные элементы оператора F могут
418 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
быть объединены в четырехмерные матрицы (соответствующие од-
ному матричному элементу теории Шредингера):
Fh' + h"1', Ffft + Hif±9 F^ + Hff + , F^±Hf,z
Fh' + H" \> Fh<-^H"±, Fh’ + h" + > Fh^h^z
^Fh'zh" + , Fh'-H"±, Fhz'H'^, Fh< + h"~
Раздвоение уровней энергии (по отношению к Шредингеровской
теории), характерное для теории Паули, связано с заменой одной
функции ф двумя функциями и ф2, которые, как было показано
выше (§ 30), представляют собой амплитуды вероятности нахож-
дения электрона в данной точке с отрицательным или положитель-
ным значением проекции его спина на ось z.
Учетверение уровней энергии в теории Дирака связано с заменой
Шредингеровской функции четырьмя функциями <р2, ф3,
, которые, помимо положения в пространстве и ориентации спина
(в направлении оси z) должны также характеризовать ту дополни-
тельную двойственность, которая составляет отличительную черту
теории Дирака и связана с возможностью состояний с положитель-
ной и отрицательной энергией.
Вопрос о том, каким состояниям соответствуют индексы 1, 2,
3, 4, сводится к вопросу о том операторе или тех операторах, за-
висящих от матричных операторов у (но не от геометрических ко-
ординат или соответствующих импульсов), которые, при данном
выборе функций йа представляются диагональными матри-
цами. В самом деле, только тем величинам, которые представля-
ются подобными матрицами, можно приписать определенные значе-
ния в состояниях, характеризуемых каждой из четырех функций
, 4*2» 4з > ^4 в отдельности.
Легко видеть, что существуют две матрицы, удовлетворяющие
вышеуказанному условию, а именно: матрица
1	0 0	01
О	+1 о	о
'г~4	О	0—1	о/
\ о о о 4-1/
§ 31. Точная четырехмерная матричная теория Дирака 419
и матрица
/1	О О	0\
/ О	1 О	о \
\ 0	0—1	о I
\о 0	0—1/
Первая из них определяет проекцию электронного спина на ось Z]
вторая же, как будет показано в следующем параграфе, соответ-
ствует классическому выражению 1 —v*[cL (которое, будучи ум-
ножено на — е0, дает Лагранжеву функцию). Таким образом состоя-
ния %могут быть охарактеризованы следующим обра-
зом: первое из них соответствует Hz = — 1 и у0=1, второе =
= 1 и То= 1 > третье = — 1 и у0 = — 1, четвертое = -j- 1
и То = —1.
Вместо того чтобы рассматривать характеристические значения
операторов и у0, соответствующие отдельным функциям , ...
можно также исходить из рассмотрения средних или вероятных
значений этих операторов в состояниях, определяемых всей сово-
купностью этих функций. Мы получаем таким образохм
k—Ф1 *Фх + ф8*ф9 ~ Ф *Фз 4- ф4*Ф1 d
То = / (Фх*Ф1 + ф«*ф8 — Фз*Фз — Фх*Фх d V-
Заметим, что, наряду с и у0, является диагональной матрицей и
их произведение			
/— 1	0	0	О’
►	1 о	1	0	0
тЛ= о	0	1	0
\ о	0	0	— L
которое, будучи умножено на у, (Боровский магнетон), дает проек-
цию на ось z оператора, представляющего магнитный момент,
обусловленный спином электрона (см. следующий параграф).
Выше (§ 30) было показано в общей форме, что в случае ста-
ционарных состояний с положительной энергией, близкой к е0 функ-
ции 1р3 и малы в сравнении с ф, и (отношение их по
420 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
порядку величины равно отношению скорости электрона v к скорости
света с); в случае же состояний с отрицательной энергией, близкой
к —е0, наоборот, функции и малы по отношению к и
ф4. В соответствии с этим мы получаем у0>0 в первом случае и
70<0 во втором.
Этот результат можно интерпретировать следующим образом.
Согласно классической теории собственная энергия электрона вы-
ражается формулой
g
z=~=^. Беря в этой формуле радикал
1-21
со знаком +, мы должны ожидать, что выражение
жительное значение, и, наоборот, в случае
(т. е. Лагранжева функция, разделенная на — е0) имеет также поло-
S|> —.......................................................— <0 мы
1 —
с4
должны были бы иметь J/ 1 —	< 0. В волновой механике Ди-
рака собственная энергия электрона и его Лагранжева функция,
взятая с обратным знаком, представляются операторами совершенно
различного вида, а именно е = е® -J- с(т • еоТо с °ДНОЙ стороны
и 4“еоТо —с Другой. Поэтому не обязательно, чтобы при по-
ложительном или отрицательном значении одной другая была также
соответственно положительна или отрицательна. Весьма ёстественно,
однако, ожидать, что при е > 0 вероятность положительного зна-
чения т0, равная согласно предыдущему	, при заданном
положении электрона, должна быть велика, а вероятность отри-
цательного значения у0, равная при тех же условиях + ф4*ф4—
мала, и наоборот (следует, впрочем, заметить, что это соответствие
между теорией Дирака и классической теорией исчезает при | е | ^> е0.
Предыдущие соображения показывают, что четыре Дираковских
функции	^3, можно рассматривать как четыре значения
одной функции ф от геометрических координат х, у, z и от двух
дополнительных матричных аргументов и у0 или вернее их ха-
рактеристических значений -j-1 и — 1. Четыре комбинации, обра-
§ 31. ТОЧЦАЯ ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ МАТРИЧНАЯ ТЕОРИЯ ДиРАКА '421
зуемые этими значениями, соответствуют четырем значениям Дира-
ковской „спиновой переменной" а согласно схеме:
а = 1	2	3	4
	+ 1	— 1	+ 1
То = + 1	+ 1	— 1	— 1 1
С каждым из четырех решений уравнения Дирака, соответствую-
щих одному решению уравнения Шредингера (с энергиями Hi, Н+,
Н-, Н~), связаны четыре функции фа. Таким образом на одну
функцию Шредингера приходится в общей сложности 16 функций
Дирака. Эти 16 функций можно расположить в виде матрицы чет-
вертого ранга, столбцы которой соответствуют состояниям с раз-
личными энергиями, Н+,	Н—9 Н~, а строки — состояниям
с различными значениями величин и у0 (при заданных значениях
геометрических координат х, у, z).
В простейшем случае свободного движения электрона (при от-
сутствии внешних сил) четыре значения энергии, характеризующие
Дираковский квадруплет состояний, попарно совпадают (в виду ис-
чезновения спинового расщепления), причем различные значения
равны и противоположны друг другу. Поэтому для характеристики
указанных состояний представляется удобным ввести вместо энергии
несколько других величин, коммутирующих как с нею, так и друг
с другом и однозначным образом описывающих эти состояния. В
качестве подобных величин мы можем выбрать три слагающие им-
пульса рх, Ру, Рг, дал ее' проекцию матрицы спина 5 на направление
результирующего импульса и, наконец, оператор, принимающий
значение 4~ 1 в случае, если энергия е имеет положительный знак,
и — 1 в противоположном случае.
Так как в рассматриваемом случае оператор энергии сводится
к e = Q • р тоео, то коммутация его со слагающими импульса
"р является очевидной. Что касается оператора
I .У'?-__________Ър
'° If!
422 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
то заметим, прежде всего, что с энергией коммутирует оператор
Е *р. В самом деле, так как операторы Е и р коммутируют с у0,
то
($.р)е — e(f •^) = с(Т-р)(т-р) — с (у-p) (Г-р).
Полагая здесь ^ = рЕ и вспоминая, что р коммутирует с Е,
легко видеть, что это выражение равно нулю. Так как далее опе-
_ 1
ратор |p|"'1 = (p^+p/+pz2) 2 коммутирует с Т-р и с энер-
гией е, то отсюда следует, что с ней коммутирует и оператор Ер.
Характеристические энергии его равны ±1.
Оператор, определяющий указанным выше образом знак энер-
гии, выражается формулой
где | е | = -|-	4“	— оператор, представляющий абсолютное
значение энергии (и, очевидно, коммутирующий с ней), т. е.
д= П • р + Уо
V еоа+с V
Характеристические значения этого оператора равны, очевидно,
-|-1 и — 1, причем первое значение соответствует е' > 0, а вто-
рое е'<0. Дираковский квадруплет состояний получается в рас-
сматриваемом случае, если при постоянных характеристических зна-
чениях слагающих импульса рх', р^ pz (однозначна определяющих
соответствующее состояние теории Шредингера) варьировать пере-
менные Ед и Д. Нумеруя четыре комбинации их характеристиче-
ских значений с помощью вспомогательного индекса t3, по схеме
р	1	2	3	4
ър А	— 1 + 1	+ 1 + 1	1 ! I—	♦—‘	+1 -1
аналогичной предыдущей схеме для Е2 и у0, мы можем представить
шестнадцать функций Дирака, соответствующих в общей слож*
§ 31. Точная четырехмерная матричная теория Дирака 423
ности одной функции Шредингера с помощью одного символа
^рх'ру'р^	а)> соответствующего Шредингеровской волновой
2тс
.	,	/ ,	, к ~ i-jriPx'X'+Py'y' + Pz • И
функции ^Px<pv'Pl'{x ,у , г) = Се h
Эта функция представляет собой амплитуду вероятности одного
из состояний (x\yf, z') и (///, ру , рг) при условии осуществления
другого и может быть записана в виде (р*9 ру', р? | xr, yf9 zf). Со-
ответственно этому совокупность Дираковских волновых функций
(для свободно движущегося электрона) может быть представлена
в виде j
(Рх’Ру’Рг'’ ^р,	Z’-, V, 7«')
и интерпретирована как амплитуда вероятности одного из состоя-
ний, характеризуемых заданием координат или импульсов и двух
дополнительных—„спиновых" — величин, с ними коммутирующих,
при заведомом осуществлении другого состояния.1 Легко видеть, что
эта амплитуда вероятности равна произведению Шредингеровской
„ ,	i^iPx'x'+Py'y' +Pz’z’)
волновой функции е л	на „спиновую" волновую
функцию
(£г > То ) = (£р > Л | , То )’
которая, в свою очередь, может быть расщеплена на произведение
(В/ |	— амплитуды вероятности того или иного значения одной из
основных величин %г при заданном значении другой, на (Л' | у0') -
амплитуду вероятности того или иного знака „Лагранжевой функции"
при данном знаке энергии. Последние два выражения могут быть
легко вычислены с помощью приведенных выше (§ 28) форму/»
для Дираковских функций	описывающих движение
свободного электрона, при условии нормирования коэффициентов
а19 аг (аз> а&) согласно общей формуле:
f ^”a"dV — 8 0' — е"),
а'а"
относящейся к непрерывному спектру.
Мы не будем, однако, останавливаться здесь на этих вычислениях.;
1 Заметим при этом, что „спиновые переменные" одной группы
не коммутируют с спиновыми переменными другой группы И Л так же,
как координаты не коммутируют с импульсами.
424 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
§’32. Физический смысл основных операторов теории
Дирака.
Мы оставляли до сих пор открытым вопрос о физическом
смысле основных Дираковских матриц ух, уу, у2 и у0, т. е , другими
словами, о соответствующих им величинах классической реляти-
вистской механики. Для выяснения этого смысла перепишем Эйн-
штейновское выражение для собственной энергии электрона:
=	1— 72 + g • ® >
где ~g = тя — собственный импульс. Полагая е = т& U и £ •
=	+	+	MbLполучаем:
е =	+	+	1— 72-	(279)
Это выражение становится тождественным с выражением (278а),
если вектор собственного момента g заменить оператором и, век-
тор скорости v—матричным вектором гу, а выражение
— матрицей у0. Мы запишем это символически в форме обычных
равенств:
Г
v — cy, 1/ 1 — Т2 = Ъ-	(279а)
§ 32. Физический смысл основных операторов теории Дирака 425
Наиболее удивительным в этих соотношениях является то обстоя-
тельство, что классические импульс и скорость заменены операторами
совершенно разного типа. Отчасти это может быть обусловлено
изменением массы, представляющей собой коэффициент пропорцио-
нальности между импульсом и скоростью — как функции последней.
Если бы, однако, для такого различия не было никаких других
оснований, мы должны были бы иметь следующее соотношение:
которое в действительности не выполняется (см. ниже).
Тот факт, что операторы и и q являются волно-механическими
представителями векторов импульса и скорости, может быть уста-
новлен более непосредственным и убедительным образом, нежели
это было сделано выше. Рассмотрим классическое уравнение движе-
ния теории относительности в форме Эйнштейна — Лоренца:
d -	/ — , 1 - —Л
-^g=e\E-{- — v X Н).	(280)
Заменив классическою производную по времени от J волно-ме-
ханическим выражением:
<280а^
-* -*-*-*
мы получаем, так как и=р— G=p----------,
и с помощью выражения (278а) для оператора энергии:
[е, а] = с [(у • и), и] 4- [С/, и]
(так как у0 коммутирует с и)
ttr 1 rrr i ди
lU,ux]^[U,px]^-—
И
[(?• »), kJ	кг] 4- Т}, [uv, kJ 4- kJ =
426 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
= [Ту («у их — их Uy) 4- тг («г их — их иг)У =
= - (Tv - тг ^) = - (т X Н)х
согласно (218). Мы имеем, таким образом:
[1, ^]=е[_ 7ф^х77],
и следовательно:
d - Г 1 дА , , - , —
или, окончательно:
^и = е(Е+7X7?).	(280b)
Это уравнение имеет точно такой же вид, как и классическое урав-
— _ _
нение (280), причем g заменено через и и - через у в согла-
сии с (279а).
Другое, еще более непосредственное доказательство того, что
оператор Q является волно-механическим эквивалентом скорости,
сводится к вычислению операторов
dx dy dz
dt ' dt' dt 1
представляющих, очевидно, составляющие вектора Мы получаем,
таким образом:
^ = [6, Х] = с[-(хих, х]
(так как все остальные элементарные операторы, входящие в е,
коммутируют с х), т. е.
= СЬ [их, х] = сух [рх, х] = сух,
или:
— г= п ,	(280с)
что представляет собой искомое соотношение,
§ 32. Физический смысл основных операторов теории Дирака 427
Физический смысл оператора Q, как представителя скорости,
обнаруживается, наконец, из того обстоятельства, что при выражении
Р = ГФ	(281)
для плотности вероятности, выражения (233а) для вероятной плот-
ности тока могут быть записаны в следующем виде:
i = сф+уф = ф+у + ф,	(281а)
соответствующем классическому соотношению i=yu. Так напри-
мер, согласно (271b), взяв составляющую j по оси х, мы получаем:
ix== с [%*(vDi 4- %*(тЛ)+’?з*(т4)з 4- V (t4)J =
=с [^*Ф4 4-	4- Ф3*ф2 + 'г'? ’PiL
что совпадает с выражением (232а) для jx. Так все три матрицы
ЪЛуЛ?— эрмитовы, то мы имеем у+ = у, так что обе формы (281с)
для j (при у, воздействующем на ф, и — на $*) эквивалентны,
вытекая друг из друга согласно ассоциативному закону умножения.
Выражения (281) и (281а) могут быть получены непосредственно
из уравнения Дирака Гф = 0, и притом более простым путем, не-
жели без помощи матричного обозначения. Умножив это уравнение
(слева) на ф+ и вычтя из него адъюигированное уравнение ф+Г+=О,
умноженное справа на ф, мы получаем:
W)-(rr+)’}'=o,
т. е., так как у0+ = у0 и = у,
Ф+(^Ф) — (ИЛФ+) Ф + Ф + и * ТФ — (я*ф+) уф — О,
или, окончательно:
^(ФЧ)4-а*<4+тФ=о.	(28ib)
Это есть не что иное, как уравнение сохранения вероятности, со-
ответствующее выражениям (281) и (281а) для р и j.
Выражение (281а) для вероятной плотности тока может быть
преобразовано согласно Гордону следующим образом. Заменив ф
[(Р • «) + М/)]ф
выражением—, мы получаем с помощью уравне-
Вия (272а);
428 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
7= сФ+тФ =—^ «Ит (К •»)+т J Ф>
ил, так как у =
^оУ= — ф+? J (? •«) Ф — Ф WfWP-
Далее, согласно (276), мы имеем:
Рдр? ' РхРлЧ* ~4~	“f"	4“
т. e.	—	_
p (p . u)= — и — in x 5
и	= — Ztq. Мы получаем таким образом:
7= ф+₽<«ф+[ф+?< («7+7«,) ф]-
"Ч
Преобразовав аналогичным образом множитель (вместо <р) в
выражении / = <р+у+ф и прибавляя полученный при этом результат
к предыдущему, мы получаем окончательно, в связи с соотношени-
ями р/ =& = 70, Т+=Г, 7+ = — ч\ = Н И По = —ТоГ
7= R (Ф+То«Ф) + rot Ф+То^ф) +
тл	/
, д ( h |+ -Л
dt \4ктй1с'
£
Это выражение, будучи умножено на — (где е — заряд электрона),
дает плотность электрического тока (в электромагнитных единицах).
Последняя может быть, соответственно, записана в следующей форме:
4 7= Н тк+7о (V Ф) — 0}'+ V +) ТоФ — V А Ф+7вФ +
С	I L	J с»
-Т curl Ж +-7 ~Р,	(282)
где	_	_
?Dt — |хф+70Гф 1
и	_ '	(282а)
7 = нФ+7о7Ф J
Вектор следует? очевидно? интерпретировать как янамагничен
§ 32. Физический смысл основных операторов теории Дирака 429
(282b)
ние“, т. е. вероятное значение магнитного момента, обусловлен-
ного спином электрона, отнесенное к единице объема. Прямоуголь-
ные составляющие его определяются формулами:
— р [(ф,*<р2 -j- %*^i) — (ф3*ф4 -j- <h*<p3)]
= гр [(-}>! *<Р2 — ф/%) — (Фз*4»4 — Оз)]
= Р [( —	+ Оз) — (— Фз^з + OJJ
Если в этих выражениях пренебречь произведениями <р3 на и их
z 1
квадратами (малыми величинами второго порядка относительно ~
с
в случае состояний с положительной энергией, близкой к е0 = /тг0с2),
то они сводятся к формулам теории Паули (252b). Разбив мат-
рицу ф на две двухмерных матрицы = и х = |^з|, мы можем
переписать (282b) в следующей форме:
= р (<р+о<? — х+сх).
Вектор Р представляет собой „электрическую поляризацию*, т. е.
вероятное значение электрического момента, обусловленного элек-
тронным спином и отнесенного к единице объема. Мы имеем:
РХ = - /Р Г(фз*ф4 - <Р^4=,:) + (%*Фз - <Мз*)], ]
— Р [Ф1 + М? —	— 'W1>	] (282с)
Рг = МЦ/Фз - ФзФз*) -	- ФЛ*)], J
что может быть также записано в следующем виде:
Р=—г’Р [?+°Х —Х+°?] •
Если мы заменим здесь / приближенным выражением согласно (260),
мы получим с помощью (260а)
-• U ,—	->
Р =-----<Уи X а?,
пг^с '
в согласии с нашей прежней интерпретацией оператора
-> р. —	-*
v = —и X а,
mQc
как вещественного электрического момента электрона [см. (261b)].
Интересно отметить, что в теории Дирака магнитный момент
определяется матрицей у0£, а не матрицей 5, характеризующей ме-
ханический угловой момент, обусловленный спином. Это различие
430 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
можно интерпретировать как выражение того обстоятельства, что
в классической теории отношение магнитного момента к угловому
в	в
равно -— для орбитального движения или — для осевого враще-
L/tllC	ст
ния, где т обозначает не покоящуюся массу, а массу истинную.
равную

Если поэтому в волновой механике собственный
„ М
момент электрона представлен матрицей —, то
4 тс
вращательный
магнитный мо-
,	н e/l~^
мент должен быть представлен матрицей , так как классиче-
ской величине
соответствует матрица у0 [см. (279а)].
Своеобразный характер операторов, представляющих слагающие
скорости в теории Дирака, а также существенное отличие их от
операторов, представляющих слагающие импульса, значительно огра-
ничивают формальную аналогию релятивистской волновой механики
с классической релятивистской механикой.
Прежде всего характеристические значения операторов сух,
представляющих слагающие скорости, оказываются равными ±с.
Это обстоятельство кажется весьма странным, так как в действи-
тельности скорость электрона можег принимать любые значения в
промежутке (—с, Этот результат получается впрочем и с
точки зрения теории Дирака, если рассматривать не характеристи-
ческие значения, а средние или вероятные значения опера-
торов сух и т. д., т. е.
dx
которые, как мы видели выше, совпадают с —- и т. д.
at
Далее, однако, ограниченность аналогии между теорией Дирака
§ 32. Физический смысл основных операторов теории Дирака 431
и классической релятивистской механикой обнаруживается в том
обстоятельстве, что квадраты операторов с^х, суу1 суг а равным
образом и всякие иные нелинейные функции от них, никакого от-
ношения к соответствующим функциям от слагающих скорости не
имеют. В самом деле, квадраты матриц л(х, уу, совпадают с еди-
ничной матрицей, а их характеристические значения равны 1 •
Таким образом, вероятные значения квадратов прямоугольных сла-
гающих скорости при представлении их квадратами операторов с^х,
cyVi Должны были бы равняться с2, чтб явно абсурдно. В связи
с этим оказывается невозможным представлять оператор энергии
или Лагранжевой функции в форме, соответствующей обычным вы-
ражениям классической теории:
__ 1
/	-U2 \	2	/	*У2 \ 2
е0 р — -^1 и ео р — --^1 
Сказанное относится, до известной степени, и к операторам
собственного импульса их, иу, uz. Хотя они ведут себя в отношении
своего спектра и вероятных значений подобно соответствующим
классическим, так что квадраты их могут служить представителями
квадратов классических величин mvx, mvyi mv2 однако различные
функции этих операторов не являются, вообще говоря, представи-
телями классических величин, выражаемых теми же функциями от
классических импульсов. Так например, заменяя в класси ческом вы-
ражении для энергии, как функции импульсов
е — V** + [(«•	+ (^о^)4 + (^о®г)21
mvx, mvy и mv2 через их, uyi uZi мы получаем не оператор собственной
энергии су • и е0 у0, а оператор, определяющий абсолютные зна-
чения последней | е |.
Расщепление понятий скорости и импульса в теории Дирака,
а также своеобразный характер оператора скорости су непосред-
ственно связаны с наличием в теории Дирака состояний с отри-
цательной собственной энергией. Переходами электрона из состоя-
ний с положительной энергией в эти „аномальные" состояния и
обратно, или, другими словами, интерференцией таких состояний
432 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
и состояний с положительной собственной энергией объясняются,
согласно Шредингеру, эти своеобразные свойства релятивистского
оператора скорости.
Рассмотрим, следуя Шредингеру, случай свободного дви-
жения, характеризуемого оператором Гамильтона:
з
е = СТ-/’ + 7ое0 = с Z
Импульс электрона р представляет собой при этом постоянную
движения, т. е. коммутирует с а. Это не относится, однако, к опе-
ратору скорости q, так как последний с а не коммутирует. С по-
мощью соотношений
где k, 1= 0, 1, 2,3, причем ^ = 7^.,	= , у3 = yz, мы получаем
еТй + 1ke = 2cPk (6=1, 2,3).
Далее, так как pk коммутирует с а, мы можем положить
2A = W* + 8‘,Ae.
где е 1 — оператор, обратный оператору энергии, и, соответственно:
6 (Тй — W1) Ъ (ъ — w1) г = 0.
Мы видим, таким образом, что оператор
^ = Yfe —W 1
антикоммутирует с а. Интегрируя уравнение
dF	2ш
=	Fa),
dt	h v
справедливое для любого независящего явно от времени оператора,
мы получаем (так как а представляет собой константу движения):
2тс
F(t) = e * F(Q)e ,
где Г(0) — оператор F в момент времени / = 0. Соотношение между
этими операторами определяется тем обстоятельством, что примене-
ние F(0) к волновой функции <р(/) дает такой же самый результат,
как применение оператора F(t) к волновой функции <р(0). Если F
§ 32. Физический Схмысл основных операторов теории Дирака 433
коммутирует с оператором энергии, то предыдущее уравнение сво-
дится к F(t) = F (0). Если же F антикоммутирует с е, мы получаем:
F(t) — F(Q)e =el h& F(0),
так как F антикоммутирует co всеми нечетными степенями е и ком-
мутирует со всеми четными степенями. Это означает, что опе-
ратор, антикоммутирующий с энергией, имеет чисто колебатель-
2//z
ный характер, причем частота колебаний равна —. Среднее
(или вероятное) значение оператора равно, конечно, нулю.
Применяя этот результат к рассмотренному выше оператору
получаем:
= 1 • (283)
Скорость электрона или его составляющая в любом направлении
может быть, таким образом, разложена на две части: 1) постоянную
cpkz~x (называемую Шредингером „макро-скоростью"), соответству-
ющую обычному представлению о равномерном движении и связан-
ную с импульсом р обычным образом
e = w’, Pk = mvk, vh = ^ = cipkS-1 )
и 2)
колебательную (называемую „микро-скоростью"), cz частотой
2м0£*
порядка —
Интегрируя
. . he . .
где ик = -j-1 - - е 'е
и амплитудой порядка с.
'	dxk
(283), мы получаем пак как cyk = -~
хк=хк°-]-сърке
4т:
7Г £ — колебательная часть &-ой коорди-
наты электрона (или, точнее, оператора, соответствующего этой ко-
ординате). При движении со средней энергией е	амплитуда
h
равна —---. Эту величину можно, таким образом, рассматривать
как меру неопределенности локализации электрона,
434 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
независимо от значения его импульса, или, согласно
Амбарцумяну и Иваненко, как „индивидуальную ошибку"
Lxk при определении координаты электрона xk. Сле-
дует напомнить, что в обычной формулировке соотноше-
ния неопределенностей Гейзенберга значение &xk может быть
выбрано произвольно малым за счет точности определения
импульса. Представление Шредингера о дополнительном микродви-
жении электрона [последнее, в виду его быстро колебательного ха-
рактера, он называет „дрожащим“ движением (Zitterbewegung)] вво-
дит, таким образом, в рассмотрение нижний предел Дл^ для точ-
ности определения хк.
Хотя колебательное движение электрона в действительности
и не наблюдается, естественно рассматривать его как истинную
причину электронного „спина", т. е. как причину наличия соб-
ственного углового момента электрона. Для этого необходимо лишь
представить себе, что колебательное движение не прямолинейно,
а имеет кругообразный характер, сообщая пути электрона форму
винтовой линии.
Не останавливаясь здесь на более подробном рассмотрении микро-
движения, мы отметим лишь его связь с переходами в состояния
с отрицательной собственной энергией. Как было указано Шре-
дингером, эта связь носит весьма общий характер и может быть
установлена не только для оператора скорости, но также для
любого оператора F, не являющегося постоянной движения.
Рассмотрим уже введенный нами выше (§ 31) оператор
А =	= | е j"1 е = е | е j-1 с характеристическими значениями 1
и —1, определяющими знак (-|- или —) характеристических зна-
чений е. Если является характеристической функцией е, соответ-
ствующей значению е = е', то она является вместе с тем характе-
ристической функцией А, причем:
1
А ф,- — е | е j = -р— е
18 I	I fc ।
откуда следует, что А ' =	1 при е' 0 и А' = — 1 при е' < 0.
Следует упомянуть, что оператор А является одновременно эрми-
§ 32. Физический смысл основных операторов теории Дирака 435
товым (А+=А), и унитарным (Л+= Л !), так как А2 — 1 и следо-
вательно Л = Л-1.
Введем теперь в рассмотрение произвольный оператор F, опре-
деляющийся его матричными элементами по отношению к различным
состояниям е' (мы будем предполагать для удобства, что эти состоя-
ния образуют дискретный спектр). Рассмотрим оператор AFA~l —
— AFA, получающийся из него путем применения унитарного пре-
образования А. Его матричные элементы равны:
(A/*'A)g»g// SSS АеГ£ГП F^HItfltl AglHgt = Д£/ А»М F^f^ff
(так как Л—диагональная матрица), где А£/= 1 при е' ^>Q и — 1
при е'<^0. Мы видим, таким образом, что матричные элементы
AFA совпадают с элементами F для состояний, относящихся к од-
ному и тому же типу (т. е. имеющих либо положительную, либо
отрицательную энергию) и противоположны по знаку матричным
элементам F для состояний, относящихся к различным типам (е'^>0,
е" <^0 или е'<^0, е" > 0).
Отсюда следует, что оператор:
F=y(F+ AFA)	,(283а)
обладает отличными от нуля матричными элементами только для
состояний одного и того же типа, причем эти элементы тождественны
с элементами F, тогда как оператор F=— (F— AFA) обладает
Zi
отличными от нуля элементами только для состояний, относящихся
к различным типам, причем элементы его также тождественны с эле-
ментами F. Таким образбм каждый оператор может быть разделен
на две части:
F = F-\-F, 4
называемые соответственно „четной" и „нечетной" и исключающие
переходы между состояниями различного или одного и того же
’»ипа. В частном случае F= су, с помощью соотношения еу уе =
436 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
= 2ср в связи с тем обстоятельством, что у коммутирует с | е [
(так как последний оператор не содержит у), получаем:
л"* л 1	"*	е* -> 2fs -
л1л = -|7р-eis = —+	= —I +2^ ’/>,
откуда	i	_
Т = у (7 + МЛ) = с2е ~'р.
1Лъ\ видим, таким образом, что четная часть оператора скорости —
не что иное, как средняя скорость (макро-скорость), полученная
нами выше в результате отделения колебательной части. Последняя
представляет, следовательно, нечетную часть, соответствующую пе-
реходам между состояниями различного типа.
Состояния с отрицательной собственной энергией, встречающиеся
в теории Дирака, в действительности никогда не наблюдаются; они
должны быть поэтому устранены из теории. Шредингер предложил
устранить их путем замены каждого оператора, пред-
ставляющего некоторую физическую величину,
его четной частью. Поскольку поведение электрона описы-
вается такими операторами, он никогда не будет переходить в
состояния с отрицательной собственной энергией (и никогда не
будет проходить через них при двойных переходах), если перво-
начально он находился в состоянии с положительной собственной
энергией. Подобная гипотеза представляется на первый взгляд весьма
удовлетворительной. Она обладает, однако, тем существенным не-
достатком, что не может быть формулирована релятивистски инва-
риантным образом.
При рассмотрении общего случая движения электрона во внеш-
нем электромагнитном поле, для определения четной части опера-
торов, представляющих различные физические величины, оказывается
необходимым исходить не из полного оператора Гамильтона
е = еФ -|- су [р — у А 4- еоТо,
где Ф — скалярный, А — векторный потенциалы, а из той его части,
которая получается, если мы отбросим члены, содержащие электро-
магнитные потенциалы Ф и А, т. е. оператора
[г] = П- Х+Мо»
§ 33. Общее рассмотрение явления спина	437
X	л	LCJ	е Ск
полагая таким образом, А =	, а не п—г. ото следует из
I Н I _ I 6 I
того обстоятельства, что величины Ф, А не могут считаться одно-
значно определенными, так
как замена их величинами Ф' =Ф +~
1 dt
и А' = А — V Z, где у — произвольная функция координат и вре-
мени не влияет на результаты. Следует отметить, что при А ф О
оператор [е] не представляет собой собственной энергии электрона,
->	еА
так как оператор полного импульса р содержит член — , кото-
рый должен быть вычтен из него для получения собственного им-
пульса и. Собственная энергия электрона представляется таким
образом оператором П-«4“Тоео> а не оператором с ? • р 4"Тоео •
Полагая е = [е] Ц-1Г, где W=e$ — еуА, мы получаем: е==
— [е] 4~ гДе W =	(IFЛIFA). Четная часть полного опе-
ратора Гамильтона несколько отличается таким образом от него
самого, соответствуя, с точки зрения теории Дирака, несколько
измененному электромагнитному полю. Шредингер показал, однако,
что это обстоятельство оказывает лишь очень незначительное влия-
ние на энергетические уровни электрона в кулоновом поле сил.
§ 33. Общее рассмотрение явления спина; угловой и
магнитный моменты.
В предыдущем параграфе уже упоминалось, что собственный
вращательный момент электрона (так называемый „момент спина“)
характеризуется вектором Д $. Этот результат может быть получен
точно таким же образом, как и соответствующий результат в теории
Паули (где роль Е играет матрица о).
Согласно (275b) мы имеем:
Му=- Мх =	- &у = Мх = - У, =	(284)
и следовательно:
с X * = 2z$.
Таким образом, матрица 5 удовлетворяет тому же соотношению, что
438 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
и матрица Паули о, что соответствует обычному соотношению
~hs	с? I и h\
для углового момента s = kk \k= — ] .
2/xi	\	4к/
Следует упомянуть, что характеристические значения матриц
Ьг равны ± 1 (причем каждое значение встречается дважды),
тогда как значения	равны 1. Характеристическое значение
к	3 lhV
оказывается, таким образом, как и прежде, равным — у .
Так как матрица у0 коммутирует с $, и так как далее,
квадрат ее равен 1, предыдущие соотношения применимы к мат-
рице в такой же мере, как и к 5. Необходимость интерпретации
последней (а не первой), как вращательного углового момента, вы-
текает совершенно однозначным образом из того обстоятельства, что
сумма вектора s = — и орбитального углового момента
4тг
L = г X
(285)
т. е. вектор
M=L+s
удовлетворяет обычному уравнению вращательного движения:
. du
rX dt’
dt .	’
где F= е (Е у X Н) — сила, действующая на электрон [см. (280b)];
вектор М может быть определен поэтому как полный угловой мо-
мент электрона, чего нельзя сказать о векторе L у0
Мы имеем, в самом деле:
_________________________dr
dtL~dt
d r -
dtL=c'
согласно (280b) и (280c).
Заменив L через s, мы получаем, с другой стороны:
А.Т=Ас[т-и + 70/и0с, Г],
at
т. е.
(285а)
§ 33. Общее рассмотрение явления спина	439
или, полагая у = р£, в силу коммутативности $ как с р, так и с у0:
7= Ас? [(Г- и), ё].
Взяв составляющую этого вектора по оси z, имеем:
d	4z
— s2 = kcp (ux у -|- Uy [£y, f.J) = — kcp (ux by	Uy £v) =
= ср(иХТ): = ^Хт,
согласно (284) т. e.:
d ->	- -
-77 s = — nXu.	(285b)
41 £
Сложив (285a) c (285b), мы получим уравнение:
(£(д+7)=Ая = ?ХЛ	(285с)
совпадающее с классическим уравнением для полного углового мо-
мента. В случае радиально симметричного электрического поля и
при отсутствии поля магнитного, произведение r\F обращается в
нуль, так что вектор М является константой движения.
Взяв квадрат М, мы получим выражение:
M* = L* + <21	(286)
также представляющее собой константу движения. Так как величина
в свою очередь постоянна, то:
^(L5 + 2£.s) = 0.	(286а)
Каждый из двух членов, стоящих в скобках, и в частности произ-
ведение £**Гне является постоянным. Мы получим, однако, новую
постоянную, умножив это произведение на у0 и прибавив оператор,
пропорциональный у0. Составляя производную по времени от про-
изведения L • sy 0, получаем:
d ч dL - . - d r
440 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Заменив— выражением Р > согласно (285а) (в виду и — р
dt
и гХ^=0), имеем
.Г=с(7Хр)5=^р(Тхр)-Г= —•?=
= — 2и?£р(; • р = — lick (у . р)
и следовательно
’По = — <lick(7•P)'(o = — ck^ [(7• ?)> То].
так как у антикоммутирует с , т. е.
dL - _	, h	й4 rfYo
dt’S^	й2Де’Т°]	80 dt ’
Далее,
^-(«То) = — с(тХр)То + у 1м(р-1)ъ =
= [—(7х р)4-к Ср • т)1 По,
и
( l  Г) Ср • 7) = р (а • 1) Ср •Т) =jр [Г • р +1 ( l х р) • Г] = -
= / (ZxX)-T,
так как
р-р=Схр)-р = о.
Мы получаем, таким образом:
d------------ й2 d
dt^L ’ S7°) — — 80 dt1*’
T‘ e'	/- -* й2 \	/’2
(£.s4-^)7o==const = ^.k,	(287)
где k — обычное число, заменяющее угловое квантовое число старой
теории; в дальнейшем будет показано, что оно может принимать
только целые значения.
Принимая во внимание тождество:
С С)2 — д3 + 4(йХО -Т=Д2 —Да-1=0 — 21.7,
§ 33. Общее рассмотрение явления спина	441
и переписывая (287) в виде:
(То2=1)>
мы получаем, далее:
-	/ h V
L*-2L>s= [—] (То£-1)\
т. е.
/ h \ 2	/ h
То^(^о-1)= Ш *(*-То)	(287а)
\2ТС/	\27С/
И
L? 4- 2L • s =	(k*—1) = const, (287b)
в согласии с (286а). Прибавляя к обеим частям этого уравнения
2 3 PV
член s2 = —I —I , получаем, окончательно:
(287с)
Последнее выражение обычно записывают в следующем виде:
j h V
лг=Ш/(/+1),
\2ТС/
где j = \k\—1 —
так называемое „внутреннее“ или „полное*
угловое квантовое число.
В теории Дирака углового квантового числа, аналогичного со-
ответствующему числу теории Шредингера, т. е. определяющего L
согласно формуле £?= (-77— / / (Z-J-1) не существует, так как L1
в этом случае не является константой движения (как это следует
из формулы (287а)). Число k, заменяющее Z, принимает как поло-
жительные, так и отрицательные значения (их можно интерпрети-
ровать, как отвечающие одним и тем же или противоположным
ориентациям орбиты и оси вращения), причем значение k = О
исключается [как это явствует, например, из формулы (287с)].
442 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Предыдущие результаты относятся, строго говоря, лишь к ра-
диально симметричному электрическому полю; они сохраняют однако
приближенную справедливость при наличии слабого однородного
магнитного поля. Подобному полю которое может быть опреде-
А =

лено с помощью
потенциала
X Л соответствует дополни-
тельный член
।    _*
5я=-уЛ-ст = —уг(^Х^)-Т>
т. е.
0 — >	—>	—*
(288)
в выражении для оператора энергии е. Этот дополнительный член
может быть отождествлен с обычным выражением для магнитной
энергии, если вектор
—» в	—*•	1 —» —*
р.==—(288а)
трактовать как полный магнитный момент электрона.
Согласно(285а) при	мы имеем в этом случае:
4-н=е7х(7х^)-
СИ
Пренебрегая левой частью тождества:
5[7х(Гх5»=^-х?х?)+^х(^?х?).
в виду того, что среднее значение производной по времени равно
нулю, мы получаем
7Х('Х#) + 'Х(7ХФ)=0,
откуда, в связи с тождеством
7х(тХ^) + тХ(^ХН+^Х(гХт) = о,
следует:
Ам = 4-е(7х7)Х^=7Х§,	(288b)
at
в согласии с классической теорией и вышеприведенным определе-
нием магнитного момента,
§ 33. Общее рассмотрение явления спина	443
Умножив скалярно обе части этого равенства на находим
^(4f.$) = 0.	(288с)
Отсюда следует, что проекция углового момента на направление
магнитного поля остается постоянной.
Формула (288а) соответствует классической формуле
-	1	V
для орбитального магнитного момента, обусловленного одним лишь
трансляционным движением электрона, без учета спина. Согласно
изложенным выше соображениям относительно спинового магнитного
момента можно было бы ожидать, что полный магнитный
момент выражается суммой:
2^ W X « + КМ = У. (гХ ?+	.
Это выражение оказывается приближенно эквивалентным выражению
(288а).
Для того чтобы преобразовать оператор рь к эквивалентной форме
вышеописанного типа, рассмотрим его вероятное или среднее значение
которое может быть, очевидно, записано в следующем
виде:
где у =	— вероятная плотность тока.' Воспользовавшись для
у выражением (282), мы получаем:
f 7Xcuri$Uv4-
zcm^ v	ли
444 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Первый из этих интегралов равен вероятному значению у0А. На
основании векторного тождества:
V (А . В) = (Д V) В (В V) Д + Д X rot В В Xiot Д,
мы имеем, далее:
S
Г X rot = V {г Й){) — (ЙКv) г — (г v) й)? = V (ЙИ г) — Й)1 — г ЙЙ,
так как /
rot г = 0, (5Jiv)r=5Ji, (г • ^) = x^4-y-^-4-z-^~ = r-^-.
дх 1 ду 1 dz dr
d
В этом выражении — означает частную производную по расстоя-
нию от начала полярной системы координат, причем обе угловых
координаты остаются постоянными. Записывая элемент объема dV
в виде гЫгд,^ где d<& — элемент телесного угла, мы получаем:
со
>	( r~$idV== ( d<A r*-?-Wdr==
д dr	J J dr
о
оо	х:-
= J dm J ~ (г3 iV) dr - 3 У du> У W2 dr — — 3 § WdV,
0	0
откуда следует:
у У г X rot ЯК d V = У да d V = -я0Г=
е ”
----То5
/710С
Мы видим таким образом, что, по крайней мере в случае стацио-
нарных состояний, когда выражение
i ^rXPdV
dt J
§ 33. Общее рассмотрение явления спина	445
обращается в нуль, оператор рь в отношении своего вероятного зна-
чения эквивалентен следующему оператору:
—*	в	-*
~ 2т с0
Этот „эффективный" магнитный момент может быть заменен при-
ближенно выражением:
^=w<£ + 2s)'
не содержащим множителя у0, который учитывает изменение массы
со скоростью, и вероятное значение которого отличается от 1 лишь
1
на величины второго порядка относительно -.
Тот факт, что выражение (288а) не учитывает явно роли спина
в магнитном моменте, ясно показывает, что „осевое вращение" не
есть нечто независимое от движения трансляционного, а предста-
вляет собой лишь некоторый аспект последнего. Этот результат
можно рассматривать как следствие того факта, что в теории Дирака
между вектором и = р-----, представляющим собственный импульс
электрона (mv) и вектором q, представляющим его скорость, не суще-
ствует непосредственной связи. Эти два вектора нельзя, следовательно,
трактовать как параллельные друг другу. Действительно, эту непарал-
лельность, мерой которой является векторное произведение q X и,
можно рассматривать согласно уравнениям (285а) и (285b) как
причину изменения орбитальной и спиновой составляющих угло-
вого момента в отсутствии магнитного поля.
То обстоятельство, что спин электрона представляет собой не
независимое кинематическое свойство, а скорее некоторый аспект
трансляционного движения (вытекающий из разобщения между
скоростью и импульсом) подтверждается также соотношением (277b)
между матрицами у и 5, представляющими, соответственно, трансля-
ционную и „спиновую" скорости. Если бы коэффициент пропорцио-
нальности р являлся обыкновенным числом, то соотношение у = р$
указывало бы на параллельность векторов у и Е. Так как, однако,
р является матрицей, такая параллельность не должна иметь места,
446 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
как в этом можно убедиться при вычислении вероятных значе-
ний у и t
Соотношение между трансляционным и вращательным движе-
ние I (спином), можно интерпретировать, согласно Бору, как част-
ный случай соотношения неопределенности Гейзенберга, примени-
тельно к магнитным воздействиям, испытываемым и оказываемым
движущейся наэлектризованной частицей, лишенной какого бы то
ни было спина.
Магнитное поле, создаваемое такой частицей (электроном) на
расстоянии г, определяется хорошо известной формулой Био—Савара:
•£_ е vyCr
'У с гз
Точное определение согласно этой формуле требует одновремен-
ного знания как положения, т. е. радиуса-вектора электрона г (про-
веденного из точки Р, для которой определяется ^), так и ско-
рости v. Это, однако, невозможно, так как обе величинц могут
быть измерены одновременно только с ограниченной степенью точно-
. A	h ~
сти, причем произведение Дх &vx является величиной порядка—.Это
обусловливает неточность:
. ~ eh 1	u	/	eh \
Ай = ——И = -л-----------------)
сгпц г6	г	\
в определении поля ф, — неточность, которая может быть интерпре-
тирована как дополнительная магнитная сила (неопределенного на-
правления), создаваемая частицей с магнитным моментом ц. Супер-
позиция магнитного поля, обусловленного электронным спином, и
поля, создаваемого трансляционным движением, обеспечивает справед-
ливость соотношения неопределенности между положением и ско-
ростью, поскольку последние могут быть определены из магнитного
воздействия электрона.
Аналогичный результат получается при рассмотрении силы
F = —испытываемой электроном в данном внешнем магнит-
ном поле. Неопределенность локализации электрона Дг влечет за
собой неопределенность Д^ = (Дг\7)§ напряженности поля
§ 34. Движение электрона в центральном поле сил 447
Заменив в предыдущей формуле v соответствующей неточностью Дгь
мы получаем:
Р	_>	—>	ph
|Дг>Х (A/-- v)$!^--|v£! = Hv£|,
С	C'/£q
что по порядку величины совпадает с силой, действующей в неодно-
родном поле [ (|aV)<£)] на магнит с моментом ji.
§ 34. Движение электрона в центральном иоле сил; тонкая
структура и эффект Зеемана.
Вернемся теперь к более подробному рассмотрению задачи о дви-
жении электрона в радиально симметричном поле сил с точки зре-
ния теории Дирака.
Квадруплет функций %, ф4, соответствующий опреде-
ленному энергетическому уровню е = е', может быть определен,
в общем случае, из уравнения (е — е')Ф = 0. В рассматриваемом
случае гораздо выгоднее, однако, исходить не из энергии, а из
угловых констант движения и определять функции таким обра-
зом, чтобы они являлись характеристическими функциями соответ-
ствующих операторов.
Наиболее удобными для этой цели операторами являются проек-
ция оператора углового момента на одну из координатных осей Л4,
и оператор ЛР; оператор Л2, хотя и не являющийся точной кон-
стантой движения, также может служить для определения ф.
Полагая
(Л4г-<)ф = 0,
(289)
мы получаем из выражения:
М2 = Lz -]- s? =	~ L
2 z 1 2 2та ду 1 4т: ~
и определения (275b) следующую систему четырех уравнений:
1	^1	1 ! '!	1	1	1 t	Ч
Z		— 2’'Р1=С'Р1>	i	
1		1 ,	1	
Z	dv	— -2-% = с%>	i	с<!>‘
,	2~/И/	„
где с = -	“ —константа. Из этих уравнений непосредственно
448 VL Релятивистская форма волновой механики электрона
следует, что зависимость функций <р3, ф4 от угла ср такая же, как
и функций	Эта зависимость определяется формулами:
фг = В1?('я+*)Т,	= I
(289а)
где А и В — функции угла 6; при этом с —	т- е-
лл , hl , 1 X
(289b)
где т — произвольное целое число.
Определение функций А, В может быть осуществлено простей-
шим образом путем применения к оператора £2. Это дает со-
гласно соотношению (287а):
/ h \«
/ h X2
I h \2
/ h \«
(290)
так как:
110	0	0
0 10	0
0 0—1	0
0 0	0	—1
Уравнения (290) показывают, что функции являются шаро-
выми функциями углов 6, v точно так же, как и в теории Шре-
дингера. (Напомним, что
/ h \з
Q*>
где 22— Лапласов оператор на сфере, и что уравнение
22ф4-/(/+1)^ = 0
удовлетворяется шаровой функцией порядка /^0.) Они показы-
вают, кроме того, что пары функций ф, и ф3 <р4 представляют
собой шаровые функции различных порядков и что число k, опре-
деляющее этот порядок, может принимать только целые значения.
§ 34. Движение электрона в центральном поле сил 449
где F и
стояния
циенты.
причем
(290b)
Мы должны различать два случая: k^>0 и k<^0. В первом случае,
полагая k — мы получаем в связи с (289а):
^ = ^,^,(9.®) =alFPbm^)ei^ 1
^ = ^.„(0,?)	= ^РРЬт^)е^
h = a3GYM>m+l0,^ =азаРм,т+1^т^ [’	<290а)
<р4 = а4СУ/+1.от(9,?) = atOPz+1,OT(6>-? J
G — две неизвестных функции, зависящие только от рас-
г, тогда как ах, а2, а3,	— некоторые численные коэффи-
Р1т (0) означает соответствующую шаровую функцию,
P^(6) = sinlwl9P/™ (cos 6).
В случае k<^0 мы можем положить I— —	что дает:
=ь^Р1>т(ьутч
-h =	m+1 = b.FP^ m+1 (0)е‘>«)?
^ = ^У^т =blFPl_bm^
где bv b3> bx—другая группа коэффициентов.
Число
l = k— 1 (£>0) или /= — k (&<0),
т. е. порядок шаровых функций, входящих в ф1? <р2 называется
угловым квантовым числом рассматриваемого состояния.
Два состояния, определяемые функциями (290а) и (290b), можно
различать их внутренним квантовым числом у, равным I Д- — в пер-
1 2
вом случае и I--- во втором случае (т. е. в обоих случаях —
2
арифметическому среднему порядков шаровых функций в и
63, <h)- Два состояния, относящиеся к одному и тому же j и к раз-
личным значениям j ±	— I, определяются функциями типа '}2 ~
~^+i;	Ф4~*7Ц-
Соотношение между коэффициентами а2, с одной стороны,
и а3, а4, с другой, может быть определено из уравнения:
(/И2 — /И'2) = 0, Л1'2 =
(291)
450 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
которое может служить для полного определения угловых множи-
телей в квадруплете Несколько проще, однако, с этой целью
скомбинировать уравнения (290) и (287). Полагая £ = ^, мы мо-
жем переписать последние в следующем виде:
X-1=^ — 1,	(291а)
что эквивалентно системе уравнений:
Мы имеем здесь:
.	1 / д д\ .	1 / д д\
ЛАГ = — (у  --Z-] , к = — (z ------х-у- ,
х i \ dz ду/ у i \ дх dz)
1	1Iд	д\
Х€ = —	---У^г] >
i \ ду	дх)
или в полярных координатах г, 6, ср:
’« - а, ==«-'’(- я + ‘	6 S7)  >'. = Т
Первые два выражения могут быть получены следующим образом.
$
Положим для краткости — = дх и т. д., и введем комплексную
переменную w = а также соответствующую производную
dw = дх -|- 1ду. Мы получаем при этом:
Xx-}-zXv = .?<?„,— wd2.
С другой стороны:
дь = дх + ду + й дг = cotg 0	+уду) ~tg
хдх 4"уду = w* dw — д^ =	-j-
§ 34. Движение электрона в центральном поле сил 451
откуда
д<“ = [(<?6 + tg ~ COtg 0Х^’
и следовательно:
272/
[(0° + tg 0г dz) + i c°tg w?] — wdz.
Так как
мы получаем окончательно:
iky = е1'-? (<?0 4- i cotg еа?).
В случае функций (290а) (k = l-[~V), мы имеем, таким образом:
а2 — weotgOj Pi,m=at(l + т + 1) Pi,m+t,
ai +(w+ HcotgSy Pz,m4-i = — a^l — m)Pi<m<
— m C0t 6) Pl+l’ m = —	—	Pi+i, m+i,
а3 ~b (W “I- t) c°t 0y Pl+l,m+l = a4 (/ tn -|- 2) P/4-1, m-
 (292a)
Этими уравнениями можно воспользоваться не только для опреде
ления отношений — и , но также и для определения „побоч-
ных" шаровых функций Pt) т и т. д. (предполагаемых нормирован-
ными одинаковым образом для всех значений I и т). Исключив
Pi,m-\ йз первых двух уравнений (292b), мы получаем:
^Р„« + ео1гО^ + [/(/+1)-^Ур,.. = 0.
т. е. известное уравнение для функций Ph т.
В случае (290b) мы получаем при k — — I аналогичную систему
уравнений, а именно:
452 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Ьз\дЬ~т cotS Pi, т = — (I — т) Р/, т+ь
bi + (т	1) cotg 0 j Рл m+i = b* (/4- т 4~ 1) Pt> т,
ьз(^ — т cotS 0) р1-1, = ьг {14- т) Pi-i, m+i,
^4	4" (OT +1) cotg 6) Р/~’> т~н — ~~ Ьь U~ т ~~ 1)т-
(292b)
Не выписывая выражений для коэффициентов а, b (зависящих от
способа нормирования функций Р), мы вернемся к исследованию
радиальных множителей F, О и к вопросу о характеристических
значениях энергии е.
Функции F и О можно исследовать, преобразовав уравнение
(е — е') б = 0 к полярным координатам и освободившись от угловых
множителей в ф с помощью предыдущих соотношений.
Для выполнения этого преобразования мы умножим член у • и
в • на квадрат „радиальной проекции" вектора у:
Тг=уТ^	(293)
Принимая во внимание тождество:
G • А) (7 • В) = (Т • А) (1. В) = А • В 4- i (А X В) . X
мы получаем = 1 и далее:.
7г7« а=у (Л « 4- iL- Г),
откуда:
7 • м = 7г27 • и = -у (г • и iL • £).	(293а)
При отсутствии магнитного поля мы имеем д = р, и следовательно:
1 - - h 1 ( д . д , д \ h д
r	г \ дх 1 ду 1 dz / 2iu дг
С помощью уравнения
7	О
2к
§ 34. Движение электрона в центральном поле сил 453
мы получаем:
h [ д £у0 — 1 \
е . 3---------------12- + тьс То +
'r2iu \дг г /	°
так что уравнение Дирака принимает следующую форму:

где
«0 = от0с’.
„	д
Так как операторная матрица чг коммутирует с
1
И — и
г
антикоммутирует с у0, это уравнение можно переписать в виде:
ЬФ + |г(Мо —е'4-^)Ф = 0-	(294)
\ (//	/	/	С/Л4
Согласно определению матриц чх, у? [см. (2$Jb)] мы имеем:
(ТгФ)1 = 7" К* + iy) Ф* — 4з]>	(ТгФ)8 = у [(х — О') Ф» 4 • *hL
(ТгФ)з = у К* 4- О') Ф» — гф1Ь	(Тгф)д = у К* — О') Ф1 + *ф9]»
или, полагая
Ф1=?1> Фз = ?2» Фз = Х1> Фа = Х4
1 -х
°г = у(<’-г)
(ТгФ)1 = (°гХ)1, (ЪФ\ = (О2Х)21 (ТгФ)з = (°г?)1. (ТгФ)4=(°г?)г
Уравнение (294) эквивалентно, таким образом, следующим двум:
(д .(14-А)\. . 2ш
+ ~^Н (°'х)" Th (S “ е« -	=Р’
fd , 1—k\ , ч 2ш‘	,	_
+	4-ee-^x=o.
(294а)
Умножив последнее уравнение на oz и принимая во внимание ком-
мутативность ог с — и равенство о/=1, получаем
^-—^1 ? - 5 (е’ + ео - (°гХ) = 0.	(294b)
-Уравнения (294а) и (294b) служат для определения функций и ад.
Следует напомнить, что каждая из матричных функций представляет
454 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
пару обыкновенных функций. Мы видим, таким образом, что две
функции каждой пары обладают одним и тем же радиальным мно-
жителем, в согласии с нашими предыдущими результатами. Полагая:
vZ = zG(r),
мы получаем следующую систему уравнений:
/а	1 — k\	. 2к , .			
\<?г	г /	Л+СЛ(‘ +••	— и) О = 0,		
	1—АЛ	,	2тг	— U)F=0.	►	(295)
\дг	г )				
Воспользовавшись	тождеством:				
dr r г /
F— - ~(rF),
г dr
перепишем предыдущие уравнения в виде

S’ —^(е' —е0 —10/=°,
(296)
где
g = rG, f—rF.
Мы решим эти уравнения для частного случая водородоподобного
атома, т. е. для электрона, движущегося в кулоновском поле с потен-
Ze^
циальной энергией U =------Предположим, что е' е0; это пред-
положение соответствует связанному электрону (Н’	0) и приводит
к дискретной группе энергетических уровней. Случай е' е0, соот-
ветствующий свободному электрону (ионизованному атому) и не-
прерывному спектру энергии, мы здесь рассматривать не будем.
Полагая для краткости
Отт	9<тг
^(е' + во) = а\ ±-(e0-e') = fP,
2k Ze2
-hT^’
мы получаем в рассматриваемом случае:
(296а)
§ 34. Движение электрона в центральном поле сил 455
Для больших значений г эти уравнения сводятся к уравнениям
^_]_а2^=о, ^4-ру=о,
dr 1	dr 1 г
допускающим следующие асимптотические решения:
}
где А и В — постоянные величины.
Для получения точного решения мы заменим последние поли-
номами:
А = А^ + V^+1 + ... + ЛЛ",
В = В^ + В^ + • • • +	.
При этом мы приходим к следующим соотношениям между коэф-
фициентами:
Ля(РТЯ — ^)4-T5«=a,M„_1-a35„_1, I /297)
Умножив первое из этих уравнений на Р, а второе на а, и сло-
жив полученные результаты, получаем:
Л„ [Р (И 4- П - k) - ay] 4- Вп [а (И + п + k) + р7] =0.	(297а)
Граничные условия
Ап = Вп = 0 при /г = 0 и п = s 4~ 1
в применении к (297) дают:
л0(н—£)4~т51 = о> 5o(ix4-^)—тло=о,
РЛ = а£г
Исключая Ло и Во из первых двух уравнений, находим:
(297b)
Отношение
Ло_Vfta —Ta4~ft 	7
Во	7
оказывается при этом тождественным с отношением, получаемым
из (297а) для я=1. При n = s мы имеем, с другой стороны:
ЛДР (н 4-s - &) - а7] 4-ВДа (н 4-s 4-ft) 4-Р7] = о,
456 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
что тождественно с = aBs при условии
4 2а,3(р. + *) = («2 — ?2)Г
Отсюда согласно определению а, р следует:
У^о2 — ts) = 4>
т. е. в виду (297b):
_ Л
г	Y*	1	2
е'= е0 1-1-----
L т!4ЙМ!Яг J
(297с)
(298)
Это выражение представляет собой не что иное, как формулу Зом-
мерфельда (264) (причем yZ заменено через у). *)
Угловое квантовое число k в обоих случаях имеет один и тот же
смысл, поскольку дело касается значений энергии. Следует напом-
нить, однако, что в предыдущей теории оно предполагалось суще-
ственно положительным, тогда как в теории Дирака оно может
принимать как положительные, так и отрицательные значения (за
исключением нуля). При k 0 мы получаем l = k — 1 и у — /	=
£
*) Если вместо уравнения Дирака мы воспользовались бы релятивист-
ским уравнением второго порядка £)6 = 0:
не содержащим спина, мы получили бы решение того- же типа:
ф = /Дг)У/, ти(0, ?),
как и в теории Шредингера при:
rF==f^e-^y впг? + п
И
что соответствует полуцелым значениям радиального и углового квантовых
чисел ^5 — -i- вместо 5 и I + ~ вместо I j. Этот результат противо-
речит, однако, экспериментальным данным, находящимся в согласии с фор-
мулой Зоммерфельда,
§ 34. Движение электрона в центральном поле сил 457
= & — —, т. е. решение типа (290а), тогда как в случае k<^0
2 1
мы получаем решение типа (290 Ь) при Z — — | k | и j = | k | —
Следует отметить, что оба решения характеризуются не только
различными угловыми множителями, но также, как это следует из
f £
(297), и различными радиальными множителями F—y и G — —.
Их сходство ограничивается значением энергии и составляющей
углового момента Mz.
Совпадение энергетических уровней, соответствующих противо-
положным значениям k, представляет собой характерную черту дви-
жения в чисто Кулоновском поле сил. Если движение электрона проис-
ходит в радиально-симметричном поле, отличающемся от последнего,
например в результате влияния внутренних электронов в щелочном
атоме, то * энергии состояний -\~k и —k становятся различными, и
мы получаем так называемый „дублет экранирования". Два уровня
такого дублетного состояния относятся к двум различным значе-
ниям углового числа Шредингера I: /=|А| — 1 и Z=|A[ и
к одному и тому же значению внутреннего квантового числа / =
= |&|----Следует упомянуть, что расстояние между обоими
энергетическими уровнями в щелочных металлах или ионах анало-
гичной-им структуры настолько велико, что их нельзя уже рас-
сматривать как образующие дублет; приходится относить их к раз-
личным сериям. Это представление применимо, однако, к уровням
поглощения рентгеновых лучей.
Два уровня, соответствующие одному и тому же значению угло-
вого квантового числа^ Шредингера I и последовательным значениям
внутреннего квантового числа j=l------~ (k — — Z) и j = I
(k = I-р 1) образуют так называемый „релятивистский дублет". Со-
гласно формуле Зоммерфельда (298) они соответствуют последова-
тельным значениям старого углового квантового числа | (=/, /-{-1).
Так как в теории Бора — Зоммерфельда это число определяет
эксцентрицитет эллиптических орбит, релятивистские дублеты связы-
вались обычно с орбитами разных эксцентрицитетов. С точки
зрения излагаемой здесь теории, релятивистские дублеты должны
458 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
быть скорее связаны с орбитами одного и того же размера и
эксцентрицитета, но с противоположными ориентациями спина. Та-
кие релятивистские или „спиновые* дублеты чрезвычайно узки в
водороде или ионизованном гелии, но они становятся очень широ-
кими в рентгеновских спектрах; ширина их возрастает примерно
пропорционально четвертой степени эффективного заряда ядра,
[согласно приближенной формуле (254 с)]. Как уже упоминалось
только-что, они очень широки в спектрах щелочных атомов и других
сложных систем с одним внешним электроном. В этом случае они об-
условлены, однако, нс большим значением эффективного заряда
ядра, а быстрым изменением последнего, благодаря уменьшению
экранирующего эффекта внутренних электронов при приближении
внешнего электрона к ядру.
Данному значению k (т. е. I и /) соответствует группа состоя-
ний, в отсутствии магнитного поля являющаяся вырожденной, и
определяемая различными значениями осевого квантового числа
r 1
т или числа
характеризующего составляющую
полного углового момента по оси z. Это вырождение точно та-
кого же типа, как и рассмотренное выше в теории Шредингера;
оно может быть представлено как обусловленное возможностью
существования 2/-|~ 1 = 21 k | квантованных ориентаций вектора
углового момента по отношению к оси z, соответствующих различ-
. 1
ным полуцелым значениям т-\- — между
£
-[-/ и — /.В случае
мы имеем, например, совокупность функций ф с угловыми
множителями Yk_it m+it Yk_lt т; Ykt m+lf Ykt m. Максимальное или
минимальное допустимое значение т — то, для которого по край-
ней мере одна из функций каждой пары отлична от нуля. Мы
получаем, таким образом: m^k— 1 и — &, т. е.
. । 1 . 11 L 1
_*+т<от+_^л__.
Аналогичное соотношение получается в случае k 0, если k заме-
нить через | k |.
§ 34. Движение электрона в центральном поле сил
459
Так например, в частном случае £ = 1, т. е.
чтд соответствует так называемому нормальному
/ = о и
состоянию атома
водорода (п = 1; случай k = —1, т. е. /=1, соответствует воз-
бужденному состоянию /г ^2), мы фактически получаем два состо-
яния, определяемые следующими выражениями для (ненормирован-
ных) функций ф1е..фр
фв = /?Кв(а = 1,2, 3, 4)
с радиальным множителем:
R{r) = e~r/a
где а—Боровский телями	радиус водородного атома, и угловыми множи-
у1 = о,	К = 1, К =	11	Sin 6 е‘<°, i+/i—г’ = ——j—cos Q
в случае	m = 0, т. e.	=
=	r,=o. r,=—,-pA^peos»,
r‘=T+vfe?si"8'-'’ 
в случае
, 1
т ——1, т. е. Ш] = — —.
£
Оба эти состояния связаны с одним и тем же радиально симме-
тричным распределением плотности вероятности, пропорциональной
квадрату радиального множителя R(r). Следует заметить, что этот
множитель становится равным бесконечности при г=0, причем
однако интеграл I R^dr сохраняет конечное значение,
о
Различие между обоими состояниями заключается в том, что
для первого из них ось вращения электрона направлена вдоль
460 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
положительной, а для второго вдоль отрицательной оси г, как это
следует из приближенного уравнения для характеристических зна-
чений = при ^3 = ^4 = 0.
Рассмотрим, в заключение, изменение состояний, и в частности
энергетических уровней, водородоподобного или щелочноподобного
атома в присутствии однородного магнитного поля <£) (эффект
Зеемана). В первом случае мы имеем, обычно, дело с двухкратным
(А, — k) вырождением, соответствующим отсутствию какого бы то
ни было эффекта экранирования. Это вырождение следует прини-
мать во внимание лишь для очень слабых магнитных полей, на-
столько слабых, что произведение очень мало по сравнению с
релятивистским (Д/) расщеплением. В последнем случае, напротив,
релятивистское расщепление значительно меньше, нежели расще-
пление экранирования, так что для полей средней напряженности
имеет место лишь вырождение, соответствующее различным значе-
ниям осевого квантового числа tn.
Легко показать, что характеристические функции ф, соответ-
ствующие параллельности оси z магнитному полю, таковы, что
недиагональные матричные элементы магнитной энергии возмущения
5 = -|-^-гХт = 4-^(^—Лх)	(299)
£ £
все обращаются в нуль. Поскольку магнитное поле достаточно
слабо, дополнительная энергия, обусловленная его воздействием,
должна равняться диагональным элементам S по отношению к соот-
ветствующим невозмущенным состояниям.
Дополнительная, магнитная энергия состояния, характеризуемого
квантовыми числами k, tn, определяется, таким образом, формулой:
Дег. = Sbin, . = f Ф+ Styhm dV.	(299а?
Отбросив для простоты индексы k, tn, мы имеем согласно (299):
(Ж = 4- e$i (х + iy) ф4,	(5<P)S = — 4- e$i (x — iy) ф3,
(Ж = y e$i (x 4 iy) %,	(S<p)4 = — 4. e$i (x — iy)
§ 34. Движение электрона в центральном поле сил 461
и следовательно:
[(х + iy) — (х — /у) V'h +
+ (•* + (У)	— iy) ф2*<рз] =
= — e$R у (х -j- iy) + О8),
или
= — e$Rу rsin 04- <р3*ф2).	(299b)
Подставив сюда найденные выше выражения для функций ф и про-
интегрировав, получаем:
Дек — 2теф J drF(г) О (г) г3 J i (а^Р^, т Pi, т+1 -]-
+ а3*а4РЖ) m+i Pi>m) sin2 0 rfO	(299с)
в случае уравнений (290а) и аналогичное выражение в случае
(290b).
Входящий в это выражение радиальный множитель легко опре-
делить с помощью дифференциальных уравнений (296), которым
удовлетворяют функции rF=f и rG=g. Воспользовавшись пер-
вым из этих уравнений и полагая приближенно s' е0 — и 2е0,
имеем:
откуда:
о	о	и о	о
если функции /(г) нормированы соответственно условию:
^fdr=\.
о
462 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
На вычислении углового множителя в выражении (299 с) мы
останавливаться не будем; оно может быть осуществлено без осо-
бых затруднений с помощью условия нормировки функций Р(6).
Мы получаем при этом (пренебрегая членами второго порядка
1 \
относительно — :
с/
eh (	1 \	/	1 \
де;т=—+	=	|/и + -2-), (зоо)
при
ъ	I k I
g=------— (A>0), или g =-----1-. I. (£<0), (300a)
A-y	H + y
в согласии с результатами, полученными нами в конце § 30.
Предыдущие вычисления чрезвычайно упрощаются, если заме-
нить оператор М операторами:
приближенно эквивалентными ему (как это было показано в пре-
дыдущем параграфе) и друг другу с точностью до величин второго
порядка относительно -i-. С той же степенью точности мы мо-
жем заменить у0 в выражении (287а) через 1; при этом мы получаем:
Л2	А2
£,=4^A<A:-1) = 4^Z(/+1)’
если &^>0. Объединив этот результат с уравнением
/ h \з
и полагая L=(g—1)М, мы находим с помощью уравнений
(267а) и (289b) приведенное выше приближенное выражение для № km.
Предыдущая теория применима лишь к случаю сравнительно
слабого магнитного поля. Когда расщепление энергетических уров-
ней, обусловленное магнитным полем, становится того же порядка
величины, что и расщепление, обусловленное спином (в отсутствии
§ 34. Движение электрона в центральном поле сил 463
поля), то спиновое возмущение должно приниматься во внимание
совместно с магнитным возмущением.
В этом случае мы должны исходить из двух невозмущенных
состояний, характеризуемых одним и тем же значением / и tn и
• > + 1
различными значениям j — l± —
внутреннего квантового
числа с
одинаковой энергией е1т. Сложное спиново-магнитное возмущение
S =	4“ $т вызывает расщепление невозмущенного энергетиче-
ского уровня на два уровня г lm imj, согласно уравнению:
5ц Де,
^21,	^22 Ае
где индекс 1 относится к одному из двух вырожденных состояний
(например j =	а индекс 2— к другому j — l------— I.
'	Z	Z /
Недиагональные элементы спинового возмущения (Syp)12 и (Syp)21
должны, очевидно, обращаться в нуль, так как состояния j = Z± —
в отсутствии магнитного поля являются стационарными. Диагональ-
ные элементы (S.Sp)11 = Д^', (S.yp|22 = Д.,е' могут быть определены,
следовательно, как дополнительные энергии, обусловленные одним
лишь спиновым возмущением, причем разность их & = Д1а'—Д2е'
равна расщеплению (Д/) в отсутствии магнитного поля. Воздей-
ствие последнего определяется, таким образом, уравнением
где
‘Snll	^ттг12 '
^m21	^/7122	^2е 1
(301)
(301а)
и
*^77112----- ^77721
/(/+"? + !)(/ —/^)
2(z+4)
464 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Первые два выражения получаются из уравнения (300); выраже-
ния для Smi2 и Sw21 могут быть получены аналогичным образом.
Принято относить смещенные энергетические уровни е/ и е/
к „центру тяжести" дублета, т. е. к энергии е0', определяемой фор-
мулами:
ei'=eo' + G-r 9Р,	—
(2/4- 1)Р = а = е/ -е2'.
Положив е' — е0' = Де', мы получаем из (300) следующее уравне-
ние для Де',:
(Де')* - рД-/ - /(/-hl) р2 + |*$ (2/п 4- 1) (Де' + р)
+ (Р-$)' т (т + О = °-
Его решения выражаются формулой
—ч
2_
2
|12^(/тг+1). (301b)
Если магнитное поле очень слабо, то в первом приближении мы
получаем
А ,	1 Q	с (	,	1
Де = —у?~н^^ + у
।11
/ i\ 1 Л+т
р /+	—г
z + y
т. е.
Де' = — р 1) — Н?
2
и
Де' = + р/ — Ц-
z+4
в согласии с (300). В противоположном случае очень сильного
магнитного поля — настолько сильного, что расстояние 8 мало по
§ 34. Движение электрона в центральном поле сил 465
сравнению с расщеплением обусловленным одним лить поле 
(при о = 0), формула (301b) принимает следующий вид:
т. е. сводится к прежней формуле (266b), характеризующей нор-
мальный эффект Зеемана.
В заключение этого параграфа отметим следующее обстоятель-
ство.
При выводе формулы (298) для уровней энергии водородо-
подобного атома мы молчаливо предполагали, что энергия элек-
трона е' имеет положительное значение. Согласно теории Дирака
необходимо, однако, учитывать и такие состояния, которые обла-
дают отрицательной энергией. На первый взгляд может показаться,
что каждому состоянию с энергией, определяемой формулой (298)
при положительном знаке радикала должно соответствовать со-
стояние с численно равной и противоположной по знаку энергией, --
подобно тому как это имеет место в случае свободного движения
электрона (при отсутствии внешних сил) Легко, однако, убедиться,
что это предположение не соответствует действительности. В самом
деле: для того, чтобы квантовое число s имело положительное зна-
чение (а оно очевидно не может быть отрицательным), разность
а’2 — р2 в правой части равенства (297с) должна быть больше нуля
[ибо по условию ар^>0, ср. формулы (296b)]. Но по определению
параметров аир эта разность равна Д——-, откуда следует, что
формула (298) относится лишь к случаю е'^>0. В случае е'<^0
асимптотическое решение уравнений (296а) не может быть пред-
ставлено в. форме (296а), так как при этом для множителей А и В
получаются бесконечные ряды, сходящиеся как разложение функ-
ции произведения Ае~°^г и Ве^г при г ->оо стремятся, сле-
довательно, к бесконечности как еа$г (ср. ч. I, § 14).
Характер решений, соответствующих отрицательным значениям
энергии, явствует наиболее просто из следующих соображений.
466 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
При изменении знака е' параметры а2 и р2 меняются местами, а
уравнения (296а) переходят в
GrXHKyb0-
С другой стороны, эти уравнения могут быть получены из (296а)
в результате перестановки функций f и g, замены квантового числа k
на —k и, что для нас наиболее существенно, замены параметра у
на —у. По определению у этому соответствует замена Z#2 на —Z#*,
т.  е. замена силы притяжения электрона к ядру
силой отталкивания такой же величины.
Таким образом, при е'<^0 электрон должен двигаться относи-
тельно положительного ядра как частица с положительным зарядом,
или, что то же самое, с отрицательной массой. Этот ре-
зультат находится в полном согласии с той интерпретацией состоя-
ний с отрицательной энергией, которая была дана еще в части I
(§ 19).
Отсюда видно, что в то время как при 0<V <^е0 мы полу-
чаем дискретный спектр, соответствующий связанности электрона
с ядром, при е' < 0 получается непрерывный спектр, соответствую-
щий гиперболическим орбитам классической теории для электрона
с положительным зарядом или с отрицательной массой. Эти орбиты
отличаются от орбит, соответствующих е'^>е0 тем, что в по-
следнем случае ядро находится во внутреннем фокусе гиперболы, а
в первом — во внешнем фокусе.
Необходимо отметить, что с точки зрения волновой механики
возможны лишь такие движения с отрицательной энергией, для
которых последняя по численному значению больше	(б'<— е0).
Случаю —ео<Се <С0 соответствуют вещественные значения мно-
жителей а, р в показателе выражения еа?г (также, как и случаю
О<Лг<Ло)- При этом, однако, получаются (дискретные) реше-
ния бесконечно возрастающие при г —> оо, т. е. не имеющие
физического смысла.
§ 35. Состояния С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ
467
§ 35. Состояния с отрицательной энергией, положительные
электроны и нейтроны.
Хотя состояния с отрицательной собственной энергией непо-
средственно не наблюдаемы, тем не менее они играют в теории
Дирака весьма существенную роль и в большинстве случаев прини-
маются во внимание наравне с состояниями обычного типа, т. е.
соответствующими положительной собственной энергии. Так напри-
мер, если оператор F не является четным в смысле Шредингера
(§ 32), то в разложении
^Ф.- = 2 Ъ'Ч/ Фе»,
ПРИ Н'> 0 должны фигурировать члены, соответствующие состоя-
ниям с отрицательной собственной энергией ([е]" <^0). Это обстоя-
тельство играет особенно существенную роль в различных задачах
теории возмущений, где F означает оператор возмущающей энергии;
правильные результаты для вероятности сложных (двойных) перехо-
дов между обычными состояниями (с положительной энергией) полу-
чаются только в том случае, если в качестве промежуточных
состояний на ряду с этими обычными состояниями рассматри-
ваются также состояния с отрицательными значениями собственной
энергии. Так например, в задаче о рассеянии света свободным
электроном (который при этом возвращается в исходное состояние,
или в состояние исходного — положительного — типа) относительная
роль промежуточных состояний с отрицательной энергией тем больше,
чем меньше (положительная) энергия начального и конечного состоя-
ния. Этот результат, полученный Таммом, особенно интересен, так
как в предельном случае малых скоростей релятивистские поправки
обращаются в нуль, так что в этом случае состояния с отрица-
тельной энергией, создающие характеристический релятивистский
эффект, должны были бы, как будто, оказаться несуществен-
ными.
Другой интересный пример парадоксальной роли, которую играют
в теории Дирака состояния с отрицательной энергией, представляет
собой движение электрона через барьер потенциальной энергии
468 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
(рассмотренное Клейном). Для простоты мы воспользуемся уравне-
нием второго порядка:
Щ = О (Р =	- V + т*с*),
к которому сводятся 4 уравнения теории Дирака в случае свобод-
ного движения. Условия непрерывности четырех функций
могут быть заменены в этом случае условием непрерывности одной
из них и ее производной по направлению скачка потенциальной
энергии. Предполагая, что последний имеет место в направлении
оси х, и что потенциальная энергия равна 0 слева от плоскости
х = 0 и U 0 справа от нее, и считая, что электрон движется
параллельно оси х, мы получаем:
/2я,	_	। /2ти .	„
^ = А eh -рА е h а
при х<^0 (падающая и отраженная волна) и
/2тг . л
I П' ЛГ (ebx~zt}
6 = В е п
при х^>0 (проходящая волна), где
р- 2--Л2___т fl и а 2_______ (е _________	2
Sa — с	и Sb —	~	•
Условия непрерывности дают точно такие же соотношения:
+	= и (Д' — А") = В'
Sa
как и в нерелятивистской теории (см. ч. I). Существенное различие
между последней и излагаемой здесь теорией заключается в том,
что релятивистское выражение для gb остается вещественным не
только в том случае, когда U меньше, нежели кинетическая энер-
гия падающего электрона, е —	но также и в том случае, когда
U больше, чем е -|- т0с2 =	(если е не очень сильно отли-
чается от т^). Это означает, что полное отражение (мнимое gb)
имеет место только внутри области е — m0c2^	mQc\ тогда
как вне ее мы имеем дело с прохождением как при малых, так
и при больших значениях U.
§ 35. Состояния С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ	469
Суть дела сводится при этом к переходу электрона из остояния
с положительной собственной энергией = г > е0
в состояние с отрицательной собственной энергией
еь = е — U — е0 (что практически соответствует изменению
знака его массы). Этот пример может служить, между прочим,
иллюстрацией того обстоятельства, что при движении электрона
в силовом поле отнесение его состояния к положительному или
отрицательному типу должно производиться на. основании знака
не полной энергии, а собственной энергии (если векторный
потенциал равен нулю) или в общем случае на основании знака
характеристических значений оператора
Заметим, что при постепенном возрастании потенциальной
энергии от нуля до значения [7^> е £0 в конечном интервале Дх
вероятность прохождения электрона через потенциальный барьер
быстро уменьшается по мере возрастания Дх и становится ни-
. h
чтожно малой при Дх .
т^с
Тот факт, что состояния с отрицательной собственной энергией
(или вернее энергией [е] = су е0) фактически не наблю-
дается, объясняется по Дираку тем, что все они являются заня-
тыми, как наиболее выгодные в термодинамическом отношении.
При этом на каждое подобное состояние приходится согласно
принципу Паули по одному „виртуальному", т. е. ненаблюдаемому,
электрону. Фактом, доступным наблюдению, является нехватка од-
ного подобного электрона, т. е. наличие пустого места или „дырки"
в почти насыщенном виртуальными электронами пространстве. Как
уже было указано в I части, эти дырки должны двигаться в за-
данном внешнем поле совершенно так же, как окружающие их
виртуальные электроны, т. е. частицы с отрицательным зарядом
и отрицательной массой, или — что то же самое — как частицы с
положительным зарядом, численно равным заряду электрона и по-
ложительной массой, в точности равной массе электрона.
Что касается производимых ими самими действий, то, поскольку
при отсутствии дырок заряд виртуальных^ электронов, насыщающих
пространство, не должен обнаруживаться, каждая дырка должна
создавать такое же электромагнитное поле, как частица с положи-
470 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
тельным зарядом, противоположным заряду электрона. Таким об-
разом вакантные места в распределении виртуальных электронов
должны вести себя во всех отношениях как реальные частицы с
массой, равной массе обыкновенных электронов, и зарядом, равным
заряду электрона по величине и противоположным по знаку.
Эти частицы или „псевдо-частицы*, предсказанные Дираком на
основании его теории еще в 1930 г., были экспериментально об-
наружены по методу камеры Вильсона Андерсоном в 1932 г. и де-
тально исследованы Блэккетом в 1933 г. Они получили название
положительных электронов, или позитронов.
Хотя позитрон является по теории Дирака лишь „псевдочасти-
цей*, однако он обнаруживается как реальная частица по той при-
чине, что существование его связано с положительной энергией
(соответствующей отсутствию электрона с отрицательной энергией).
Своеобразная природа позитрона как „дырки* проявляется од-
нако в эфемерности его существования: при столкновении с обык-
новенным электроном, находящимся в состоянии с положительной
энергией, последний может „закрыть* дырку, образующую позитрон,
т. е. перейти в соответствующее вакантное состояние с отрица-
тельной энергией, испустив избыток энергии в форме излучения.
Этот процесс воспринимается как взаимное уничтожение
электрона и позитрона и называется аннигиляцией (Zerstrah-
lung). Если процесс аннигиляции происходит при отсутствии какой-
либо третьей частицы, которая могла бы 'участвовать в распре-
делении энергии и импульса, то он сопровождается испусканием
двух фотонов с общей энергией порядка 2е0 (или большей).
Вблизи третьей частицы например положительного ядра какого-
либо атома вся энергия может быть испущена в виде одного фотона.
Возможны, конечно, и обратные процессы материализации,
т. е. образования пары электрон-позитрон за счет энергии двух фото-
нов, или даже одного фотона (в присутствии третьей частицы — ядра
или электрона).- Для этого энергия обоих фотонов в первом случае
или единственного фотона — во втором должна быть, вообще го-
воря, больше 2е0, т. е. энергии, требующейся для создания по-
коящегося электооца и покоящегося позитрона при отсутствии внеш-
них сид.
§ 35. Состояния С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ	471
Не только один из фотонов, но и оба они могут быть заме-
нены обыкновенными материальными частицами — электронами или
ядрами. Результатом столкновения их друг с другом, при доста-
точно большой кинетической энергии относительного движения
(^>2е0) может явиться рождение пары электрон-позитрон, сводя-
щееся с точки зрения теории Дирака к переходу одного какого-
либо электрона из некоторого состояния с отрицательной энергией
в состояние с положительной энергией.
Неприятной стороной теории Дирака является представление о
том, что пространство заполнено бесконечным количеством прин-
ципиально ненаблюдаемых вещей, каковыми являются электроны в
отрицательных состояниях. Было бы гораздо проще трактовать по-
зитроны как реальные частицы, а не как дырки в почти насыщенном
распределении виртуальных электронов; при этом, однако, процесс
образования или исчезновения пар (электрон-позитрон) нельзя было
бы согласовать с принципом сохранения материи.
Если считать виртуальные электроны совершенно свободными,
т. е. движущимися прямолинейно и равномерно, то для числа их
в единице объема, при определенном направлении спина и при
значениях импульсов, заключенных в интервалах (gx,gx-\-dx),
мы Получаем, согласно принципу Паули,
следующее выражение:
-^dgxdg,dgg
Общее число виртуальных электронов в единице объема оказы-
вается, таким образом, трижды бесконечным.
Открытие позитронов естественно наводит на мысль о суще-
ствовании на ряду с обыкновенными положительными протонами
протонов отрицательных, обладающих такой же массой, как и
обыкновенные протоны, по противоположным зарядом. Однако, пря-
мых указаний на реальное существование подобных частиц не
имеется. Правда, для образования пары протонов противополож-
ного знака необходима была бы энергия примерно в 2000 раз
ббльшая, чем в случае образования пары противоположных элек-
тронов; элементарные процессы, при которых могла бы выделяться
Такая большая энергия, покамест не наблюдаются.
472 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Впрочем, помимо этого обстоятельства необходимо иметь в виду,
что протоны не подчиняются уравнению Дирака. Как показывают
недавние исследования Штерна, магнитный момент протона в два
е h
или даже в два с половиной раза больше того значения и=-—— ,
которое вытекает из теории Дирака (если трактовать протон таким
же образом, как и электрон).
Релятивистской теории протонов, подобной теории Дирака для
электронов, в настоящее время не существует. Вопрос о природе и
свойствах протонов будет вероятно разрешен лишь одновременно
с вопросом о природе нейтронов, — нового вида частиц, открытых
в 1933 г. Кюри —Жолио и в особенности Чадвиком. Эти частицы
обладают массой, весьма близкой к массе протона, но лишены
электрического заряда.
Гипотезы о существовании подобных частиц высказывались уже
давно разными авторами на основании тех или иных соображений.
Уравнение Дирака послужило при этом исходным пунктом для
количественной формулировки двух вариантов теории нейтронов.
В 1931 г. Дирак попытался ввести нейтроны в качестве маг-
нитных аналогов электронов, т. е. в качестве частиц, обладающих
магнитным зарядом вместо электрического заряда. Паули,
с своей стороны, предложил (одновременно с Дираком) теорию
нейтронов, лишенных заряда (как электрического, так и магнитного),
но обладающих магнитным моментом и связанным с ним
спином, т. е. вращательным угловым моментом.
Для количественного описания подобных частиц Паули ввел
уравнение, аналогичное уравнению Дирака для частицы с зарядом
е и массой т0 0, дополнив оператор энергии членом
который характеризует действие магнитного и электрического поля
на магнитный и электрический момент нейтрона [$ и т] — матрицы
(275b) и (275с), a — магнетон Бора]. Уравнение Паули для
нейтрона может быть, таким образом, записано в обычной форме:
§ 36. Инвариантность уравнения Дирака
473
при
е = 7 . />4*ТО(ео [ Q’
— h
где р = V;
электрические
потенциалы А и Ф в е не входят,
так как электрический заряд, на который они должны быть умно-
жены, предполагается равным нулю.
На более подробном рассмотрении теории Паули мы здесь
останавливаться не будем. Отметим лишь, что нейтроны, обнару-
женные экспериментально Кюри, Жолио и Чадвиком, оказались
совсем не такими, какими их представлял себе Паули. Они были
получены как продукты распада некоторых ядер, бомбардируемых
протонами или а-частицами, в виде частиц с массой, очень мало
отличающейся от массы протона (тогда как, согласно предположе-
ниям Паули, они должны были бы обладать массой того же порядка
величины, как и электрон.1)
Вопрос о том, представляет ли собой нейтрон простую частицу
подобно электрону, или же сочетание электрона и протона, остается
пока открытым. Вполне допустимым является и противоположное
представление, а именно, что протон образован в результате соеди-
нения нейтрона с положительным электроном. В действительности
оба представления, повидимому, неправильны; согласно идеям Гей-
зенберга, протон и нейтрон следует рассматривать как два раз-
личных состояния одной и той же частицы.
§ 36. Инвариантность уравнения Дирака ио отношению
к преобразованию координат.
До сих пор мы рассматривали уравнение Дирака для вполне опре-
деленной системы координат, характеризуемой пространственными
координатами х, у, z и временем /. Исследуем теперь свойства этого
уравнения при преобразованиях, соответствующих, например, вра-
щению координатной системы х, уу z в пространстве, или, в более
общем случае, преобразованию Лоренца для координат и времени.
Возможно, однако, что, на ряду с обычными нейтронами, существуют
также нейтроны типа Паули, или (по терминологии Ферми) „нейтрино"
испускаемые вместе с электронами некоторыми радиоактивными атомными
ядрами.
474 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Запишем, прежде всего, уравнение Дирака в форме двух двух-
мерных матричных уравнений:
l^ + («<-'V)Z = <(302)
[см. (257а) § 30; ф обозначает здесь двухмерную матрицу, ранее
обозначавшуюся через <р] и ограничимся рассмотрением поворота
координатной системы в обычном пространстве, не оказывающем
влияния на оператор ut. Инвариантность уравнений (302) по отноше-
нию к таким вращениям может быть обеспечена двумя различными
способами:
1.	Путем рассмотрения волновых функций (матриц)
ф = и х =	',
Y \%/ Л
как инвариантных, а матриц <зу, а2—как ковариантных, т. е. пре-
образующихся согласно тому же закону, что и координаты х9 у, z.
При таком условии произведение а • и = схих -ф-	о2иг пред-
ставляет собой скалярный (инвариантный) оператор.
2.	Путем рассмотрения матриц ау, а2, как инвариатных
численных операторов и введения соответствующего преобразования
для матриц ф, х-
Оба эти метода должны, конечно, приводить к эквивалентным
результатам. В первом случае мы можем определить матрицу ад для
любого направления п (оно может совпадать, в частности, с одной
из новых координатных осей), как проекцию вектора о на это напра-
вление. Воспользовавшись полярными координатами 0Д, <рд, харак-
теризующими направление вектора п по отношению к первоначаль-
ной координатной системе С(х, у, z), мы получаем:
Од = Од. cos (х, п) -j- ау cos (у, п) -|- <з2 cos (z, ri) —
= sin (<JX cos <р„ 4- оу sin <р„) -j- аг cos 9„,
чтд эквивалентно четырем уравнениям для матричных элементов
Опар (<*, р= 1, 2). С помощью выражений
(0 1)	(	0	(—101
*	0/’ У / 0|’ г I О 1 £
§ 36. Инвариантность уравнения Дирака	475
определяющих прямоугольные составляющие а в системе С, мы
получаем:
f —c°s6	sin6nc%)	(302а)
( sin 6пе	cosOn /
Этим уравнением можно воспользоваться для определения матриц
.представляющих прямоугольные составляющие вектора
о в новой системе координат С' (х', у', z'\
Не выписывая подробно выражений для этих матриц (они легко
могут быть найдены с помощью трех эйлеровых углов), мы рас-
смотрим общее уравнение преобразования в следующей форме:
з
V
атп ’	(302Ь)
/и=1
где индексы (т, п) относятся к трем осям соответственно старой и
новой систем (а/ = и т. д.), тогда как атп — элементы матрицы
ортогонального преобразования С—-С':
%п = атп %т *
Следует подчеркнуть, что индексы т, п, определяющие коор-
динатные оси прямоугольных составляющих а, не имеют
ничего общего с индексами а, £, определяющими матричные
элементы вектора о, или его прямоугольных составляющих.
Переход от первого метода (преобразования оот) ко второму ме-
тоду (преобразования и /а) может быть осуществлен следу-
ющим образом.
Попытаемся найти такую унитарную двухмерную матрицу А, чтобы
преобразование, определяемое формулой (302b), оказалось эквива-
лентным следующему преобразованию:
о„'=А~1о„А (Л-‘=Л+),	(303)
т. е. совокупности уравнений
(Я=1, 2, 3),

476 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
содержащих матричные элементы составляющей о вдоль данной
новой оси и вдоль соответствующей оси первоначальной
системы координат.
Соотношение между преобразованием (302b) и (303) может
быть сформулировано следующим образом: в первом случае ма-
трицы ат (или а/) являются составляющими вектора в обычном
трехмерном пространстве, тогда как во втором случае они пред-
ставляют собой тензоры в двухмерном спиновом пространстве, ха-
рактеризуемом греческими индексами а, 3 и т. д. Обе матрицы
преобразования атп и унитарны и относятся, соответственно,
к обычному пространству и к пространству спиновых состояний.
Предположим, что нам удалось отыскать матрицу А, и запи-
шем скалярное произведение а • и в форме:
2 =2 <’nMn'=Zл-1 °nAun'=14-1 (2 <’л,)А 
п	п
(Д коммутирует с оператором ип, так как последний в простран-
стве состояний представляет собой величину скалярную). Преобра-
зованное уравнение (302) может быть записано, соответственно,
в следующем виде:
з
л 1 (2°а ) лz = °>
/ V \
л-1 / %«,/ ) ^х + («/ + 'М = о.
Умножив его слева на матрицу А, мы получаем:
f + —"V)x' = °>
(2’А')	=°’
П	)
(303а)
где матричный оператор о • и' имеет точно такой же вид, как и
§ 36. Инвариантность уравнения Дирака
477
в первоначальной системе координат, а преобразованные волновые
функции выражаются формулами:
®'=Л<р, у' = А/_.
(303b)
Определим матрицу преобразования А для простейшего случая
поворота в плоскости (х, у) на данный угол ср (в направлении
от х к _у). Мы имеем в этом случае
х' = х cos ср sin ср, у' — — х sin ср -]~.У cos ср, z —z>
и следовательно:
a' / = av cos о 4-er, sin ф, а' ,=— av sin ср 4- av cos ф, а' =	(304)
Д	Д	I I у	i ' V	Д	*’4*	4 ' л*	,4/’	\	/
т. е.
-i:-.
°’у
(-> »1
1.0 1J
е™
0
{ 0 -
(— ie
0

Независимо от значения индекса п мы должны получить:
о„Л=Ло„'
и в частности для лг = 3, о^Д = /4аг, т. е., так как а, диагональ-
ная матрица:
откуда следует, что матрица А также должна быть диагональной.
Полагая А
(Ai 01
10 А.Г
мы получаем, далее:
[о
I А> 0 j
0
А^
= А<з
—
А/^
0
т. е.
Л9 = Лхе/'-?) Л1 = Л8е“г>,
или, соответственно:
Л(=^6 ' 2 А3 = се+ 2 \
478 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Аналогичный результат получается из уравнения оуА = А<зу’. Кон-
станта с определяется из того условия, что определитель А (уни-
тарная матрица) равен единице. Мы получаем, таким образом,
с=1 и, окончательно:
О
е 2
О
1 ... 1
• = COSy<p-]-ZOzSin — <?,
(304а)
чтд соответствует следующему преобразованному выражению для
функций ф,
2 ;
Xi'=Xi* ‘ 2<Р , Х2' = Ха^+1 2’’’•	(304b)
Для поворота в плоскости х, z на угол 6 (в направлении от z к х),
т. е. для преобразования
<з'х> = a*cos 6 — 0Zsin 0, ay = ау, — ал. sin 0 -j- cos 0, (305)
или
, ___Jsin0
° x> Icos 0
cos 0)	,
— sin 0J ’ y
,  J—cos0 sin 01
0 / ’ °? I sin 0 cos 6J
мы получаем аналогичным образом: ДП=Д22> Д12 =—Л21 (из
уравнения ауА=А<зу) и, далее, из ахА — Аех или <зхА=А<зг\
вместе с условием |Л| = 1:
1 А •	1 А
COS—0, —sin —0
z	z
•	1	fl	1	fl
Sin -т-d, COS —0
z	z
А =
— cos 4- 0 4- ioу sin 4 6,	(305a)
At	A
откуда:
К = Ф1 cos у 6 —фа sin у 0,
%' = Siny9 + <p4cosy6,
Xi’ = Xi C(>s у 0 — X-isin у °’	= Xi sin 9 + Xa cos 4 9-
§ 36. Инвариантность уравнения Дирака
479
Матрицы преобразования (304а) и (305а) могут быть записаны
. 1	,1л
в форме е 2 и е 2	. Действительно, согласно опреде-
лению экспоненциальной функции, мы имеем
=	...^4-«„ (н—-£| + •••) >
= cos р. sin
так как
а * = а . = 1 о з :— q 5 —	— q
Я -- ------ • ---------------- • • • - ип ’
При рь=-^-<р и <зп = аг это дает (304а); а при р. = -^-б и
°п = ^у — (305а).
Два последовательных поворота эквивалентны, очевидно, одному
повороту, определяемому матрицей (а" или Л"), равной произве-
дению матриц (а, а' или Л, Л'), определяющих оба составляющих
поворота. Так например, объединив два предыдущих поворота в
соответствующей последовательности, мы получим поворот, харак-
теризуемый матрицей преобразования (в пространстве состояний):
cos — б, — sin — б
£	I
sin 4- 0, cos О
cos — e 2
— <	2
~ . 0 -4’
sin — e 2
0
0
 ” 4 I
— sin — e 2
6 k’
cos — e 2
4t
которая может быть записана символически в следующей форме:
л»_/4^а_ '4(^+e’j')
/"I	.  ।  с;	Cz '	— v	у
причем порядок множителей изменен, конечно, быть не может.
Это означает, что преобразованию координат, определяемому уравне-
ниями:
х" = (х cos ср У ^п?) cos 6 — z sin б, У' — — х sin ср 4 у cos ср,
z" = х sin б -j- z cos б
480 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
соответствует следующее преобразование функций »}/2:
'	1	- /-ф	0 /-ф
= cosy fje 2—% sin — £ 2 ’
।" । • 6 -ч I ,	6 Ц-
sin у e 2 + cos -~e 2 ,
и аналогичное преобразование функций у2,
Предыдущие результаты легко обобщаются для любого числа
последовательных вращений вокруг произвольно выбранных осей.
Эти вращения всегда эквивалентны одному повороту на угол со
вокруг некоторой оси, определяемой единичным вектором п. Как
легко видеть, соответствующая такому повороту матрица преобра-
зования А равна
A =cosy (о	<о = е 2 3/1,	(306)
где
а„=а • я —/zvov4- щ.о., -|-njs?— составляющая вектора а по оси
вращения. Обратная матрица:
л-1	1	•	•	1
А 1 = cos — со — t(3n sin — со
Zi	£
соответствует повороту вокруг той же оси, но в противоположном
направлении (или же повороту вокруг противоположно направлен-
ной оси — п на тот же угол); она, очевидно, совпадает с по-
скольку о =а. Отсюда следует, что А — унитарная матрица,
как и предполагалось вначале.
Двухмерная унитарная матрица
помощи двух
4~ рр*= 1
комплексных чисел а,
в виде
может быть представлена при
Р, удовлетворяющих условию
а
А = ) - 8*
аД
В данном случае эти числа равны
а = cos — со -у- tnz sin ~ а), р = / (пх -4- iny) sin со.
§ 36. Инвариантность уравнения Дирака	481
Следует упомянуть, что число независимых вещественных пара-
метров, определяющих вращение, равно трем (угол поворота со и два
угла в и ср, определяющие направление оси вращение я, или
три из четырех вещественных чисел, определяющих cl и р при
условии аа* -ф- РР* = 1)-
Как было показано в § 30, плотность вероятности и прямо-
угольные составляющие вероятной плотности тока выражаются
с помощью двухмерных матриц ф, /, а уравнениями:
р=Ф+х+ х» А=с (ф+ а„х+х+ «4),
[//=1,2, 3; см. ур. (259) и (259а)]. Преобразуя функции фи/
согласно уравнениям =	ф'+ = ^+Д+ и рассматривая ма-
трицы ол, как инвариантные, мы получаем следующие выражения
для величин р, jn в повернутой системе:
р'= <^++ х+4+Лх = ф+ф + х+X == Р
(так как Д+ = Д-1) и
А' = с Г (Д+а„Д) X + х+ ИЧЛ) ф] =
= с ОЧ'х+хЧ’’!') = 2 amnJm ’
т
в соответствии с инвариантным характером р и ковариантным ха-
рактером составляющих вектора /.
Предыдущие результаты легко могут быть распространены на
четырехмерную матричную форму уравнения Дирака и соответ-
ствующих операторов. Так например, оператор энергии
з
е=^+евтв+^27пИп
п=Л
можно рассматривать как инвариантный по отношению к враще-
ниям в обычном пространстве, если три четырехмерные матрицы
= у = трактовать как ковариантные операторы,
удовлетворяющие тем же уравнениям преобразования, что и коор-
динаты x1=x, х^=у, x3 = z или слагающие оператора и. Форма
преобразованных матриц может быть определена из преды-
482 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
дущих выражений для преобразованных матриц ал' с помощью
инвариантных соотношений
_г° q
Tn °J
Этими же соотношениями можно воспользоваться для опреде- -
ления унитарных матриц (L), характеризующих эквивалентное пре-
образование в четырехмерном спиновом пространстве согласно
„тензорному" закону:
In’ = Z-’TnA = A+TnZ. («=1,2, 3).
. Мы получаем при этом:
(А 0)
л={ол)'	<306а>
{л4ц ^12 1
л f—двухмерная унитарная матрица, опреде-
^21 ^22 J
ляющая преобразование ал.
С помощью матрицы 6 =	служащей для описания
электронного спина или магнитного момента [см. (277)], мы можем
записать матрицу А, соответствующую данному вращению (со, п) в
форме:
1	/.	-j	1
L = e 2	== cos — соsin — со, (306b)
£	Л!
аналогичной (306), причем а заменено через t
При таком преобразовании матрица	остается инвариантной.
Записывая уравнение Дирака в форме (гл) Ф — 0, и пользуясь
уравнением (306) для у/, мы можем переписать его для повернутой
системы координат в следующем виде:
з
1(л + и 4- ео7о) 4- с 2 L'1 tnLun'] ф = 0,
п=1
или, так как
(Pt + U+ Mo) = (pt 4- V + soTo) L,
3
(jPt + ^4- Me + ^2 Te«n') Ц — 0.
1
§ 36. Инвариантность уравнения Дирака	483
Будучи умножено слева на £, это уравнение принимает перво-
начальную форму, с прежними матрицами уд, новыми слагающими
и и новой волновой функцией полученной из старой с по-
мощью преобразования
ф' = £ф.
( ср )	( ср. )	( У1 )
Полагая ф = / т I, где ? = < ‘ V и	мы полу-
( X j	( ?2 J	( Ха J
чаем с помощью уравнения (306)
в согласии с найденными выше результатами.
Легко далее показать непосредственно, что при преобразовании
ф' = Lty и ф'+=ф+£+ произведение ф+ф остается инвариантным,
тогда как величины £ф+тдф преобразуются, как прямоугольные со-
ставляющие вектора.
Вернемся теперь к обобщению предыдущих результатов на
случай вращений в четырехмерном пространственно-временном
многообразии теории относительности, т. е. к преобразованиям
Лоренца, соответствующим переходу от состояния „покоя" к со-
стоянию равномерного прямолинейного движения.
В связи с этим оказывается удобным пользоваться уравнением
Дирака в форме Вф = 0, т. е.
(РА + Ру«у +	+ РА + Ас) Ф = 0,
или
4
• ^=0’ <307)
п—\
где индексы п=1, 2, 3 заменяют соответственно х, у, z, тогда
как
А = ct,	Ut> = y~i
Необходимо отметить, что мнимая единица j/ — 1 введена здесь
лишь из соображений формальной симметрии, и что в дальнейшем
она будет трактоваться как обыкновенное вещественное число, в
484 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
том смысле, что знак ее не будет изменяться при переходе к ком-
плексно сопряженным величинам. Для того чтобы отличать эту
релятивистскую величину j/ — 1 от соответствующей величины
квантовой теории, мы будем обозначать релятивистскую )/______i
греческой буквой t (t* = t, z* =— z).
Преобразование Лоренца определяется как линейное преобра-
зование вида:
4
%п ~
т=Л
удовлетворяющее условию ортогональности
/2=1	/71=1
и условию вещественности первых трех слагающих х' и мнимости
четвертой. Составляющие четырехмерного оператора и преобра-
зуются точно так же, как соответствующие координаты, и если
мы хотим обеспечить инвариантность уравнения (307), мы должны
либо подчинить матрицы тому же преобразованию Лоренца:
4	4
?я' = 2а"1л^' ®'п^~	(307а)
772=1	/72=1
либо ввести эквивалентное тензорное преобразование в четырех-
мерном пространстве состояний
р„' = к^пк, т. е. р;.•	(307Ь)
% X
С помощью последнего преобразования уравнение Дирака может
быть приведено к следующей форме:
4
*+(2m«' + "v)^=°,
т. е.	.
4
(2 т»с) ^=°
§ 36. Инвариантность уравнения Дирака
430
с теми же численными матрицами [Зд, что и в предыдущем случае
и с преобразованной волновой функцией
ф' = /Сф.	(307с)
Возможность замены (307а) через (307b) подтверждается тем
обстоятельством, что матрицы преобразования атп (в простран-
ственно-временном многобразии) и /Ср (в четырехмерном пространстве
состояний) — одного и того же ранга. Они содержат, следовательно,
одно и то же число элементов.
Определение К посредством а может быть осуществлено точно
таким же образом, как и в случае вращений в обычном простран-
стве, путем соединения вращений в различных плоскостях. В случае
вращений в обычном пространстве матрица К должна, очевидно,
совпадать с рассмотренной выше матрицей L. Это следует из со-
отношений (Зл = 70уд при п = 1, 2, 3 ф4 = 1?0) в связи с тем
обстоятельством, что матрица у0 не изменяется при пространствен-
ном вращении. Для поворота же на угол ф в плоскости (хп х2)
мы имеем как было показано выше, L = е 2 3, или, поскольку
^3 = ^^ [согласно (276) § 31], L = e 2	Отождествляя
эти выражения с матрицей К для рассматриваемого случая и при-
нимая во внимание релятивистскую симметрию уравнения Дирака в
форме (307) относительно пространственных координат и времени
(ict), мы можем определить матрицу /С, соответствующую переходу
от состояния покоя к состоянию движения в направлении первой
оси со скоростью v следующим выражением:
К==е-^\
соответствующим повороту в плоскости (х^ х4) на мнимый
—1 *(7
угол & = tan —. Заменяя здесь на (34 на и
полагая & = t9, где
v
486 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
мы получаем, в силу соотношения —
v -4ет*
К—е 2
Этот результат легко обобщается на случай движения в любом
направлении, определяемом единичным вектором п’. Обозначая со-
ответствующую составляющую у (т. е. скалярное произведение
у • п) через ул/, мы получаем
—-~6т '	1	1
К=е 2 п = ch — 6 — b'Sh —0.	(307d)
*	/л
Для нахождения соответствующего выражения для матрицы L
мы должны вернуться к той форме уравнения Дирака, которой
пользовались до сих пор, а именно:
4
1
где = $ и zz4 = — uit (множитель i введен для того, чтобы обес-
печить более полную симметрию между членами, содержащими про-
странственные координаты и время). Преобразование Лоренца для
слагающих оператора и определяемое уравнениями
4
V
т
должно быть соединено с соответствующим преобразованием вол-
новой функции ф' = так, чтобы преобразованное уравнение све-
14	* \
^Упап	</ = О с прежними матрицами ул (вклю-
1 / ________________________ __
чая и у0). Заменив $ и на = Ф и тоф'=ф', мы возвра-
щаемся к уравнениям:
и +,ж°с) ^=°’
откуда следует, что	где К—рассмотренное выше
преобразование. Так как у02=1, т. е. у0 = у0’1, мы можем поло-
жить L = То^То •
§ 36. Инвариантность уравнения Дирака	487
Подставив сюда выражение (307d) для /<, мы получаем:
£ = То4 ch -Ь 0 —	sh -i- 9,
или, так как	и = — у02тл- — — v,
A = ch4-9 + Tn'Sh4-9 = ^eV. (ЗО7е)
Если заменить у на /т), где т] — матрица, служащая для определения
электрического момента электрона, подобно тому как матрица 5
определяет его магнитный момент (ср.27ба), то L принимает такую
же форму, как и выражение (306а), соответствующее обычному* про-
странственному вращению. Следует, однако, помнить, что матрица
6 представляет собой вещественную величину, тогда как является
величиной чисто-мнимой. Это соответствует существенной раз-
нице между матрицами (306b) и (307е): первая является унитарной
(матрица L+ = L~l определяет вращение в противоположном на-
правлении), а вторая — эрмитовой (Z+ = L).
В общем случае преобразования Лоренца, объединяющего обыч-
ное вращение (<о, п). с относительным движением (6, п'), можно пред-
ставить матрицу L как произведение двух матриц преобразования,
взятых в определенной последовательности, например:
L — е	е*6Т».	(307f)
Адъюнгированной матрицей является
L+ = eT^'1' е~^^п,
гак что
£+£ == ch2-i-9-|-sh292уп, sh9 ch -1-0 =
= ch 6 —}- у/ sh 6.
Подставляя это выражение в формулу р' = ф+А+Аф для преобра-
зованного значения плотности вероятности (в движущейся коорди-
натой системе), мы получаем
р' = ф+ф ch 6 Ф+Тп4 sh
488 VI, Релятивистская форма волновой механики электрона
что согласуется с хорошо известным результатом, непосредственно
вытекающим из уравнений Лоренца.
Если движущиеся оси параллельны первоначальным (со = 0), то
из общей формулы
/п=^+Тл4'='^+тп^
аналогичным путем получаем
b (ch2y04-sh246)+2chy0shT6]

т. е.
in- =jn> ch е 4- р sh о
। ®
1 ——
с*
Вместо введения релятивистской мнимости* у/— 1 в определе-
ние четвертой компоненты четырехмерных векторов можно раз-
личать два типа вещественных компонент, а именно: ковари-
антные и контравариантные, причем последние отличаются
от первых противоположным знаком четвертых составляющих. Контра-
вариантные составляющие обозначаются теми же буквами, что и
ковариантные, только нижние значки заменяются верхними. Если
например xt = х, хг —у, х3 = z, x^ — ct — ковариантные соста-
вляющие
риантные составляющие должны быть определены соотношениями
x^)=x, х^}—у> x^—z, х^ = —ct. Квадрат четырехмерного
вектора, например Л, выражается при этом суммой произведений его
ковариантных составляющих на соответственные контравариантные
составляющие:
пространственно-временного вектора, то его контрава-
4
А* = ^АкАМ.
§ 36. Инвариантность уравнения Дирака
489
Подобным же образом скалярное произведение двух векторов
определяется суммой
4
В этих обозначениях уравнение Дирака принимает вид
4
4
или
где
«4=«/=4-(А4--1-еф) и т(*)=8(=1).
С»	(J If	/
Ковариантные составляющие четырехмерного вектора скорости у
должны, следовательно, определяться соотношениями:
ъ = 1у, Тз = тг> Т4 = — 8>
а контравариантные составляющие оператора и — соотношениями
иР) — их, uW = llv, uS‘^ = uz, = — ut.
Полученная выше матрица преобразования L относится, таким
образом, к контравариантным составляющими у. Легко, однако, ви-
деть, что с таким же успехом она может быть применена и к ко-
вариантным составляющим.
Величины типа дираковской волновой функции ф2, ф3, ф.
можно рассматривать, как образующие в пространственно-времен-
ном многообразии своего рода тензор ранга Это означает, что
они4 относятся к обычному вектору (т. е. тензору первого ранга)
точно так же, как последний относится к обычному тензору (вто-
рого ранга). Это соотношение явствует из того обстоятельства, что
обычный вектор — так например: плотность тока вероятности (у, р) —
может быть выражен с помощью функций ф как квадратичная вели-
чина, подобно тому, как тензор (второго ранга) может быть выра-
жен как квадратичная величина с помощью слагающих вектора
или двух различных векторов.
490 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Разными авторами было показано, что каждая из двух пар функ-
ций	, ср*) и ф3, ф4 = (xt, х2) сама по себе определяет
1 1
тензор ранга Любая пара величин, преобразующихся в про-
£
странстве состояний спиновой переменной (при двух значениях послед-
ней: 1 и 2) указанным выше образом, называется, следуя Эренфесту,
спинором. Две слагающих спинора, например <рх и <р2, являются
комплексными числами; они определяют, таким образом, четыре
вещественных числа, которые могут служить для определения сла-
гающих обычного четырехмерного вектора. Вектор может быть опре-
делен как частный случай спинора второго ранга, т. е. как ве-
личина, слагающие которой (в спиновом пространстве) преобразуются
как произведения слагающих двух обычных спиноров, или, в част-
ности, как произведение слагающих спинора ф и адъюнгированного
спинора <р+. Выражения
А = ГЧ?, (А=1, 2, 3, 4),
где
°1 = ^> a2==°V>	°3 = °2, а4 = 5(= 1)>
т. е.
/1 =	+ ?«*?! > fl = i
И
/з = — <?!*?! +?2*<?2
А = ?!*<?!
преобразуются как величины х, у, z, ct при преобразовании Ло-
ренца, если ф и преобразуются в ср' и ф'+ согласно урав-
нениям	и ф'+ =	, где А — двухмерная матрица, сводя-
щаяся в случае обычного вращения (на угол ф вокруг оси п) к вы-
ражению
2 « =cos~4-a„siny,
уже рассмотренному выше. В случае относительного движения
в направлении ri со скоростью г>, характеризуемой углом
') Laporte and Uhlenbeck, Phys. Rev. 37, 1380, 1931.
§ 36. Инвариантность уравнения Дирака
491
V
6 = th-1 —, при параллельности новых и старых осей она равна
— 6а >	6	0
А = е п = ch-j + V sh у; (’«'=	+ пу'°у + V
В частности, для движения в направлении оси z:
В самом общем случае матрица А может быть представлена произ-
•1	1 п ,
ведением е 2 на е2 , т. е.
. Ю 1. 9 I . ® , в .	, . 6	<0.
Д = созу ch —-sin - - ch —sh —cosy-|-
О) (D
+ °Л sinyshy>
или, так как
= (^ • л) (о • «') = « • л' + гЪ (л X я'),
.	<° . 9 ,	. <о 6
4 = cosy ch -- + » -п +o„sinychy +
6	<0	-*	-* (О 6
4-оя shycos j-f-za(«X»)siny shy.
Легко убедиться, что элементы этой матрицы удовлетворяют соот-
ношению
| Л | = АпА2<2 ^12^21 =
Вводя обозначение
?2* = ?2>
т. е. заменяя значок^ комплексно сопряженного, написанный на-
верху, значком внизу, с точкой над ним, можно представить кова-
риантные слагающие спинора второго ранга в трех различных формах:
, ^ki , (^, Z = 1, 2).
Эти слагающие преобразуются, соответственно как произведения
492 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Наряду с ковариантными слагающими дпиноров мы должны также
различать контравариантные слагающие. Для спинора первого ранга
они определяются соотношениями
(р(1) = (р2>
— — <pi ,
обеспечивающими инвариантность „скалярных произведений"
<РГХ(1)+’Р2Х(4) и ?i Х{1) + ?2Х(2).
Контравариантные или смешанные слагающие спиноров высших ран-
гов связаны с ковариантными слагающими аналогичным образом. Так
например:
=	<Р*1= —<?12> <?22 = ?li
и т. д.
Слагающие (четырехмерного) вектора f могут быть представлены
при помощи спинора второго ранга формуламй:
=	+?i2), /W=/2 = l(?21 - <?i2),
/(3) =/з=	?’и +?22),	/(4)=—Ау(?11 + ?22).
§ 37. Преобразование уравнения Дирака к криволинейным
координатам.
До сих пор мы рассматривали лишь Декартовы координаты.
Полученные нами результаты для преобразования Декартовой си-
стемы х, у, z мы обобщим теперь для случая любой системы-ор-
тогональных криволинейных координат qx, q2.
Такую систему можно определить следующим выражением для
квадрата элемента дуги (т. е. для расстояния между двумя сосед-
ними точками):
ds* = efdq* e*dq* + e*dqz\	(308)
где е3 — взаимно-перпендикулярные векторы, касательные к
координатным линиям, проходящим через один из концов ds. Про-
изведения e^q^ играют здесь ту же роль, что и дифференциалы
dXi локальной Декартовой системы координат, начало которой
§ 37. Уравнение Дирака в криволинейных координатах 493
находится в точке Р, а оси параллельны векторам eif так что прямо-
угольные составляющие оператора р могут быть записаны в виде
(308а)
Преобразуя выражение
з
х 1
к новым координатам при помощи формулы = L~lykLf мы
должны принять во внимание то обстоятельство, что матрица L
является функцией координат, изменяющейся от точки к
точке вместе с направлением локальных Декартовых осей. Таким
образом:
з
х 1
= £'1 ^kPk'^~ ^kiPkL—LPk'W .
или
3
Т • Р'\ = L~l 2 Ь [Pk — (Pk'L—W г1]
/г—1
Для получения преобразованных уравнений мы должны, следо-
вательно, заменить составляющие вектора р „ковариантными" опе-
раторами
Pk'=pk'-(pk'L-LPk')L^.	(309)
В частном случае ортогональных координат они принимают, со-
гласно (308а), следующий вид:
рк = Д. - (4-—	L} >	<309а)
2w ek\dqk dqk /
где
= ~ L~l.
fyk dqk
Как было показано выше, матрица L может быть определена выра-
.1
жением	, где угол поворота со и ось вращения п должны рас-
494 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
сматриваться, как определенные функции координат. Таким образом:
\gL = i • n=T-Z5 • <в.
Л	л
(ЗО9Ь)
Вектор а) определяет как величину, так и направление поворота.
Рассмотрим бесконечно-малый поворот tZw, соответствующий
переходу от-точки q (с координатами q£) к соседней точке q* (с коор-
динатами q^ = qk-^dqk).
Г»	k
Вводя три единичных вектора fk = — в направлении координат-
ek
ных линий, мы, очевидно, можем положить:
dfk — d<s>
откуда
Z • dfk =1 • ел» x/fe)=• (A xZ)=ел») • fj=± т-.
где fj единичный вектор, перпендикулярный к Ди />, знак-|~соот-
(k i i\
ветствует четной перестановке , а знак — нечетной. С другой
стороны, мы имеем:

ei ‘ dek
поскольку векторы е( и ек взаимно-перпендикулярны (г ф k)., Пола-
д а	.
гая для краткости— = д„, получаем:
ej-dnek
(еА)
(340)
Из формулы
dr=e[dql 4- f^dq^ + ?3dq3,
следует, что векторы могут быть определены, как частные произ-
водные радиуса-вектора г точки (^1? qv #8) по соответствующим коор-
динатам. Таким образом:
, —____, — (_ д^~г '
dnek ~~“	I —
kn\ dqkdqn.
§ 37. Уравнение Дирака в криволинейных координатах 495
и следовательно
= у дк 6 • ^) = у =
Далее, так как ei-ek = 0 (k^i)
^k - di’ei = — ei' djek = —
и при n ф k, i
^^1 = ^4 = ^.
Последние равенства легко получить, исходя из соотношения
Подставляя эти выражения в (310), находим:
Д“)1 = °» (Д<“)а = V diev (<Ws — — <Vi«
^3	^2
Д®)1 = — А. д3е2, (д2®)2 = 0, (д2ш), — ~ дгеу
(d3a))i = — д2^з'	=	~ (^зш)з= 0.
Согласно (309а) и (309b):
(310а)
Первая составляющая вектора	(т« е* произведение его
на /j), согласно (310а), равна:
Т1 V (^1 <»)1 + Тз у- (<^)1 + Тз (<?з°>)1 =
е\	^2
е^з	*, rg
Умножая это выражение на и пользуясь соотношениями
51Т» = РМ« = г’?Еа = На и ^Тз =Р^з = — Р*» = ~
496 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
получаем выражение:
,Г 1 д ,	.	1 д 1 1
Таким образом:
ь 11
= - ‘ I	klg мi 'k,g м+’ i	18 (е1Ч1
и следовательно:
з
’р’=2’*[',‘-1''*'18(-ТП- (3I1)
Второй член в скобках представляет собою обыкновенное число,
а не оператор. Мы можем, таким образом, написать:
з	___________
7- р'=2 w* Г1—ig И (——) аГ1] ’ (311а)
1 k
и преобразованное уравнение Дирака примет вид
+ 6?Ф +7 • (?' — у л) у07И0с2] <?' = 0.	(311Ь)
Особый интерес представляют два частных случая — цилиндри-
ческих и сферических координат. В первом случае, полагая
<7i = r =	<7а = ® (азимут) и qs — z, ’
получаем
£t = l, е^ — г, е3—1
и следовательно
п' h Г ( д	!	1 д I ( & д 1 l/^Y
’•'’-sab14”d?lglZ'J +г’тг?+ь L - & 181ЛЯ
т. е.
=	4н.4|.	(312)
§ 37. Уравнение Дирака в криволинейных координатах 4ЙТ
Во втором случае, полагая
=г = /X2 4-/ + г4, qt = в и
имеем
е2 — г, е2 = г sin О
и следовательно
Таким образом
” п. h Г (д 1 \ ,	1 / д 1 , А .
1 Р = Ы [’ Is - S1 - ’• 7 (» - i с°1г ’?+
-и,— ?		(312а)
1 3 г sin 6 dtp J
Этим выражением можно воспользоваться для упрощения реше-
ния задачи о водородном атоме, уже рассмотренной нами выше (§ 33)
с помощью другого метода. Следует заметить, что при вычислении
произведения ^•A = YiykAk величины Ak рассматриваются как
составляющие векторного потенциала по координатным осям
локальной Декартовой системы, т. е. в направлении векторов
(Ak = Ak-fk). -Матрицы у3, хотя и тождественные
исходным матрицам у имеют теперь иной физический
смысл: они обозначают составляющие вектора у не по осям исход-
ной Декартовой системы координат, а по осям локальной системы.
Предыдущие результаты могут быть, далее, обобщены для слу-
чая неортогональной системы криволинейных координат.
В этом случае мы должны различать контравариантные и кова-
риантные составляющие различных векторов. Первые преобразуются
,	д д д гт	t h д
как dqv dqv dq*, а вторые	— — Полагая pk =
и обозначая контравариантные составляющие вектора у в новой
системе через мы можем записать оператор 7 • р в виде
498 VI. Релятивистская форма волновой механики электрона
Вводя обобщенную (не унитарную) матрицу преобразо-
вания ИЗ условия
^ = L^kL,
где
Ъ = 7з = Yz>
получаем:
з
(7 • р) = L+ [2 ъ 1[Рк' ~ ^PkL ~ Lp,‘)£-1 Л
fe=l	J
Отсюда следует, что преобразованное уравнение Дирака для новых
волновых функций ф' = Ь\> будет отличаться от исходного уравнения
точно так же, как и в случае ортогональных координат, т. е. опера-
, h д	.
торы pk —	Д°лжны быть заменены операторами
Мы не будем останавливаться здесь на определении матрицы L
для общего случая неортогональных координат, так как этот во-,
прос не представляет практического интереса.
Предыдущие результаты могут быть обобщены, далее, путем вве-
дения четырехмерных преобразований, относящихся не только к про-
странственным координатам, но также и ко времени. Такие преобразо-
вания могут быть использованы для рассмотрения влияния гравита-
ционного поля на движение электрона с точки зрения релятивистской
теории гравитации. Соответствующая обобщенная формаууравнения
Дирака в случае отсутствия электромагнитных сил заменяет собой
уравнение движения Эйнштейна по четырехмерной геодезической
линии. Эти вопросы выходят однако из рамок настоящей книги.
В заключение отметим следующее обстоятельство. Потенциалы
Ф, Л, фигурирующие в уравнении Дирака, не определяются одно-
значным образом электромагнитным полем, в котором движется
электрон. Их можно заменить, не изменяя напряженности этого поля,
выражениями Ф' = Ф------A'=A-j- у^ где у— произволь-
ная функция, удовлетворяющая уравнению
J
с* dt-
О.
§ 37. Уравнение Дирака в криволинейных координатах 499
Уравнение движения электрона не должно, очевидно, изменяться
при замене Ф и А на Ф' и А'.
Действительно, полагая в исходном уравнении Дирака Ф =
, 1 д/ -
= Ф -j- —	, А = А — V Z, получаем
Это уравнение можно переписать в первоначальном виде:
з
Г h д ,	, V / h е л \ ,	1 ,, л
1./2Й dt + еФ + С2 Ъ \ 27 ~ 7 А ч + е° ? == °’
где <|/ = tyei2™7'lhc представляет собой преобразованную волновую
функцию. Поскольку функция у имеет вещественные значения, обе
функции, или, вернее, квадруплеты функций и соответствуют
одинаковым значениям вероятности и, следовательно, описывают
одно и то же движение.
Рассматриваемое преобразование можно трактовать как спе-
циальное преобразование координат, соответствующее матрице пре-
образования L, равной произведению единичной матрицы 8 = 1 на
функцию ei2™Hhc. Фактически, конечно, подобное преобразование
совершенно не влияет на координаты.
Мы видим, вместе с тем, что введение электромагнитного поля
может быть описано на геометрическом языке как обобщение
обычных преобразований координат (и времени), при котором вели-
h dL	е А
чины —------— заменяются через -- Аь.
dqk	с R
Глава VII.
ТЕОРИЯ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ.
§ 38. Общие результаты; теорема вириала; импульс и угловой
момент.
Задача о системе частиц была уже рассмотрена нами раньше
(глава IV, ч. I) на основе нерелятивистской механики одного элек-
трона. Воспользовавшись методом конфигурационного простран-
ства, для случая двух различных частиц мы получили уравнение (101),
которое в общем случае системы п различных частиц с массами
mit ... тп и потенциальной энергией U(xvyv zr.. xniyn, zn, t)
заменяется следующим:
n
У— (Д.4-—tf)"k=o, (3i3)
R Л2 \2r.i dt /J	'
где	*
Vfc -dXk^dy^ + dz^
Пользуясь обозначениями:
Л	h d	h д '
Ph о • ^7 ь> T. e, Pkxn • 3 > P kv — n	>
Л	2zz dXk Ry 2ra dyk
Pkt=^iik	(313a)
мы можем переписать (309) в стандартной операторной форме:
(// + Л)ф = 0,
(314)
где
.	h д
pt обозначает, как обычно, —. —, тогда как Н представляет
ut
собой Гамильтонов оператор рассматриваемой системы. Он совпа-
§ 38. Теорема вириала; импульс и угловой момент 501
дает с классическим выражением энергии, если операторы pk мы
будем рассматривать как импульсы отдельных частиц. Волно-меха-
ническое уравнение (314) соответствует, таким образом, классиче-
скому уравнению энергии Н—17=0, в котором значение энергии
W заменено оператором—pt.
Это соответствие носит точно такой же характер, как и в случае
одной частицы, для которой оно было уже подробно рассмотрено
выше (в гл. I и II, ч. II). Не останавливаясь на повторении полу-
ченных результатов, заметим лишь, что система частиц, характе-
ризуемая оператором Гамильтона (313b), с математической точки
зрения может трактоваться как одна частица, движущаяся
в пространстве Зп измерений с координатами
Здесь т — произвольный коэффициент, имеющий размерность массы;
его можно рассматривать как массу „эквивалентной* частицы. Мы
можем положить:
1
т = (тхт^... тп) п ’
что дает:
dV=dxi dvl dzi... dxn dyn dzn = dqx dq* dq3... dq3n.
Соответствующие составляющие импульса в классической теории
определяются формулами:
d .----------dx. — / т
В волно-механической теории они представляются операторами:
т ______ Г т h д ______________ Г т h д
mv Р\*—~ |/ 2гЛдХ1 '"P3rl |/ 2radzn'
502
Теория системы частиц
т. е., согласно (314а):
'3|4Ь>
точно так же, как и в случае отдельной частицы. Выраженный
через эти координаты и импульсы оператор Гамильтона (313b) при-
нимает следующий вид:
Зп
н = 2" У	... ?зл)-	(314с)
а—1
Все рассуждения первых пяти глав этой части, относящиеся
к движению частицы в обычном трехмерном пространстве, могут
быть непосредственно обобщены на случай символической частицы,
представляющей систему п обычных частиц в 3/г-мерном конфи-
гурационном пространстве. Это обобщение столь просто, что едва
ли необходимо останавливаться на его рассмотрении.
Мы ограничимся поэтому лишь рассмотрением некоторых осо-
бенностей, связанных с физическим смыслом задачи и с возмож-
ностью дополнения и уточнения теории в том же смысле, как это
было осуществлено в предыдущей главе для случая одной частицы.
Из уравнения (314с) и его комплексно сопряженного
(Я-А)^* = 0 (//* = Я)
мы можем получить обычным путем уравнение „ сохранения“ или
непрерывности:
3л
|+У, Дл=о’ (315)
ot ляш
2 =1
где р = <^*— плотность вероятности в конфигурационном про-
странстве, а
h D 1 I*
/а = п-- # — Ф Т1" >
2 т. т	I dqa
составляющие Зя-мерного тока вероятности. Умножив уравнение
(315) на элемент объема конфигурационного пространства:
з
/	fftn	\ 2
dV^dV.dV. ... dVn — '[т	-  } dq.dq, ... dq.in
\ fiL ।	I
§ 38. Теорема вириала; импульс и угловой момент 503
и проинтегрировав по всему этому пространству, мы получим:
чтб выражает закон сохранения вероятности.1)
Если, однако, интегрирование производится по конфигурацион-
ному пространству второй, третьей ... я-той частицы, тогда как
координаты первой частицы х,, остаются постоянными, мы по-
лучаем уравнение в обычной трехмерной форме:
д д д д
dt Р* 1 dxj1*ду{	0»	(315a)
где величины:
P1 = J’ ... JjtdV.dV, ... dVn
= -dv’ <3,5Ь>
могут быть интерпретированы, как плотность и ток вероятности
для первой частицы в обычном трехмерном пространстве. Анало-
гичные результаты справедливы, конечно, и для каждой из осталь-
ных частиц.
В частном случае системы невзаимодействующих частиц урав-
нение (Н -J- р^)6 = 0 имеет мультипликативные решения вида
ф = ф1, 4*2	где зависит только от координат Л-той ча-
стицы; в этом случае мы получаем:
h 1
(при условии, что отдельные множители ф нормированы к еди-
нице) и, следовательно
р = р1р2...рп.
*) Для простоты мы предполагаем, что интеграл J$dV сходится; это
означает, что все частицы должны оставаться внутри конечной области
пространства,
804	VII. Теория системы частиц
Этот результат являлся исходным пунктом при нашем прежнем
рассмотрении задачи о системе частиц (ч. I). В общем случае р,
конечно, отлично от произведения pt р3... рп; это обстоятельство
соответствует взаимной зависимости частиц, — зависимости, харак-
теризуемой формой функции потенциальной энергии U, а также и
статистическими условиями, если все частицы тождественны (см. ниже).
Предположим, что функция U имеет следующий вид:
U=^Uk(rk, 0 +
k	k<l
где первая сумма соответствует воздействию внешних сил, кото-
рые могут явным образом зависеть от времени, тогда как вто-
рая сумма представляет взаимодействие частиц друг с другом
(Ukl — Ulk', rkl = jrk— rt\— расстояние между &-той и /-той ча-
с.’ицами).
Если U от времени не зависит, то уравнение (314) допускает
периодические решения вида:
/74
(х, ... z„) e~i2r‘ ~)Г,
где ф°н' и И' — характеристические функции и характеристические
значения оператора энергии, удовлетворяющие обычному уравнению:
(И —	=0.	(316)
В случае дискретного спектра Н функции взаимно ортого-
нальны (в конфигурационном пространстве); эта ортогональность
является следствием самосопряженности оператора Н, т. е. соотно-
шения:
/ ш — / Hf — 1 V -- (f _ f \
-1 2	21 2m dqlt\ 1 dqk 2 dq J '
Другим интересным следствием этой самосопряженности И
является возможность замены предыдущего уравнения вариацион-
ным уравнением
8 J* ^*H^dV=0	(316а)
при добавочном условии:
J ^»*^dV= 1,
§ 38. Теорема вириала; импульс и угловой момент 505
выражающим „нормирование* функций . С помощью соотно-
шения
J dqa*	J dqa dqa
уравнение (316a) может быть переписано в следующем виде:
Зп
8 /Tr4~zE ^ + ^ф°*'!'оЪи==0,	(316b;
J |_8я2от dqa dqa 1 т т J ’ v
содержащем лишь первые производные от	(dV = dqx ... dq^).
Мы приведем, следуя В. Фокут), интересное применение вариа-
ционного уравнения (316b) к очень простому и общему доказатель-
ству теоремы вириала. Заменим функцию ф°(?1»..?зл), являющуюся
решением нашей задачи, функцией =ctp°(X^1...X^3n), получаемой
из нее путем умножения каждой из координат на некоторый пара-
метр X и введения нормирующего множителя с. Вводя, далее, новые
координаты ?а' —Х^а, мы можем записать условие нормирования
j’-!/*6W=l
в следующем виде;
— 1,
где
dV = dqx ... dq 3n,
чтб вместе с первоначальным условием нормирования:
J Ф°* (?) (?) d У= J </>* (q') ф° (?') d V' = 1
j3
даетс = Х 2 n. Пользуясь этим значением с, мы можем привести
__
вариационное уравнение (316а) или (316b) к виду: = 0, где/Г —
(/А
значение интеграла (316а) или (316b), полученное в результате
замены функции Ф° функцией ф'. Его минимальное значение, т. е.
дН
решение уравнения
= 0, соответствует, конечно, Х = 1.
V. Гос k. ZS. f. Phys., 63, 855, 1930,
506
VII. Теория системы частиц
С помощью координат qk' мы получаем:
Зл
н'= (Ъ hi У	।
J L 8тЛп dq^' dqa' '
ot=1
+ и()-' qx'... Х-» q.ln')>(q’t)<|Л (<?',)] dV',
так что предыдущее уравнение принимает вид:
Зл
f U JL У wy) _
J L	dqa' dqa'
Зп
~7?	^»')1dV' = °’
л ш aqa	j
Полагая здесь 1=1 и q^ = qai находим
Зл______
(з17>
а=1
где Т — вероятное (среднее) значение кинетической энергии системы,
а выражение
Зл	п
ее „вириал“.
Если потенциальная энергия является однородной функцией
координат, то это выражение сводится к произведению U на
число, определяющее соответствующую степень. В частном случае
системы заряженных частиц, подчиняющихся закону Кулона — при-
ближенно это имеет место в случае любой материальной системы,
состоящей из протонов и электронов, мы должны иметь:
2Т= — й,	(317а)
или, так как Т U— W (полная энергия системы),
Т=— W.	(317b)
Следует упомянуть, что эти соотношения справедливы лишь по-
стольку, поскольку частицы связаны друг с другом; математически
§ 38. Теорема вириала; импульс и угловой момент 507
это обстоятельство выражается сходимостью интеграла J dV, —
которой соответствует дискретный спектр энергии W. Следует за-
метить, далее, что они остаются в силе, если некоторые из частиц
трактуются как неподвижные центры сил, создающие „внешнее"
кулоново поле.
Установим теперь некоторые общие законы, которым подчиняется
замкнутая система частиц, т. е. система, не подверженная воз-
действию внешних сил, например изолированный атом или моле-
кула и т. д.
Эти законы представляют собой точные эквиваленты законов
классической механики, относящихся к сохранению энергии, им-
пульса и углового момента системы. Первый из них был уже уста-
новлен нами раньше (для несколько более общего случая). Два
остальных закона могут быть получены с помощью общего соот-
ношения:	.
±=[H,F} = ^-(HF-FH).
Положим	"
1
или	*
1
в согласии с классическим определением импульса (количества дви-
жения) системы и ее углового момента (начало векторов rk может,
быть выбрано произвольно).
Взяв слагающую р по оси х, мы получим:
Величина
V	V ди
[И, рх] = [L7, pj = 2 [Г, ркх] = - 2 дх- •
k	k k
dU
dxk
представляет собой силу, действующую на А?-тую
частицу в направлении
вуют, сумма этих сил
нуль. Отсюда следует:
оси х* поскольку внешние силы отсутст-
для всех частиц должна обращаться в
d
dip=="‘
508
VIL Теория системы частиц
Аналогичным образом мы получаем:
[77, Мх] = ^[/7, УхРкг~~zkpkv] ==
k
= Л]Pkz + Уь [М Pkz] — L#> Phy Pky]}-
k
Так как
. дН 1 rLr . dH dU
{H, yk]= j--~==-—pky; [Н,ркг]= — — = — j— И T. .
°Pky mk ’	ozk azk
лл i V 1 i	x V I du da \
Первая сумма обращается в нуль вследствие взаимной коммутатив-
ности pky и pk2i тогда как вторая сумма равняется составляющей
по оси х вектора ^(rfe X ^)> гДе — сила, действующая на Л-
k
тую частицу. Мы получаем, таким образом:
k
точно так же, как и в классической теории. Как легко видеть, в
рассматриваемом нами случае центральных сил вектор г* X
k
(представляющий результирующий момент сил, действующих на, все
частицы) обращается в нуль. Действительно, полагая Fk = ^FfeZ
l^k
и принимая во внимание, что
^ki =	^ik —fki(rk — гД
мы получаем:
х ?*=4 2IX ~7i) х =°-
kJ
Отсюда следует:
т. е. закон сохранения результирующего углового
момента,
§ 38. Теорема вириала; импульс и угловой момент 509
Этот результат, точно так же, как и предыдущий, может быть
получен с помощью более простого метода, основанного на инва-
риантности оператора энергии по отношению к такому преобра-
зованию координат, которое сводится к перемещению начала коор-
динат или к повороту координатных осей вокруг неизменного на-
чала. Предположим, что Р — некоторая неподвижная точка обыч-
ного (или конфигурационного) пространства, а Р'— некоторая
другая точка, обладающая в новой системе координат такими же
координатами, как Р — в старой системе (xk'=xk и т. д.). Если
/(Р) некоторая функция от старых координат, то преобразованная
функция будет определяться условием: Tf(P)—f{P'\ где Т—
рассматриваемое преобразование. Координаты точки Р' в перво-
начальной системе определяются с помощью линейных уравнений
преобразования:
=	+	+ а1Л'-Ь “13^',
ук =л 4- a8t xk 4- W// 4-
zk=4- “за' 4- Wfe' 4- “зз2Л
(6=1, 2,...л).
В частном случае бесконечно-малого преобразования эти урав-
нения сводятся
Xk — Xk = Zxk = Х9 4- V*' - “X>
У к ~Ук = *Ук =Уо 4- М»’ — о^к > 
zk — zk = *Zk ==zo + <°хУк —	.
?№	— составляющие бесконечно малого поворота со,
тогда как х0,у0, zQ— составляющие бесконечно малого смещения
г0. В этом случае мы получаем:
7/I/=)=/(P)+V(^^ + ^8a + |L
+"-2	+
2/ , df . , df \ i V ( • df ' df\
\ k дхк к dzk/ '	\ дук dxk!
k	s	Л
510	VII. Теория системы частиц
причем производные от f берутся в точке Р. Пренебрегая малыми
величинами второго порядка, мы можем заменить в этом уравнении
штрихованные буквы (относящиеся к Р')— нештрихованными (отно-
сящимися к Р), что дает:
W)=/(P) + — [(Го-р+ш.Ж)/Ь •
где p = ^pk9 тогда как М обозначает, как и раньше, оператор
ь
результирующего углового момента. Мы видим, таким образом, что
бесконечно малое преобразование Т может быть представлено с
помощью обычного линейного дифференциального оператора:
Т= 1 + ~Г * Р + ш ‘
п
Из соображений симметрии очевидно, что энергия Н остается ин-
вариантной при преобразовании типа Г, так как последнее не изме-
няет ни величины потенциальной энергии (зависящей только от
относительного положения частиц), ни выражения оператора
кинетической энергии (операторы, V * не зависят от ориентации
системы координат или от положения ее начала). Это обстоятель-
ство может быть выражено с помощью условия THty = HTty,
т. е. НТ = TH, означающего с Другой стороны, что оператор Т
представляет константу движения. В силу произвольности (беско-
нечно-малых) векторов г0 и со, уравнение 7 = const распадается
на два независимых уравнения: р — const и М = const выражаю-
щих законы сохранения результирующего импульса и углового мо-
мента системы.
При наличии внешних сил эти законы, конечно, уже не удовлет-
воряются. Если, однако, эти силы сводятся к притяжению к непо-
движному центру, как это например имеет место в случае системы
электронов, вращающихся около неподвижного ядра, то мы попреж-
нему получаем: М = const. При наличии однородного поля — маг-
нитного или электрического — параллельного определенному направ-
лению в пространстве, оператор энергии остается инвариантным по
отношению к вращениям вокруг этого направления; это обстоятель-
§ 38. Теорема вириала; импульс и угловой момент
511
ство выражается в законе сохранения соответствующей проекции
углового момента, причем слагающие последнего в перпендикуляр-
ных .направлениях уже не являются постоянными.
Оператор Mk = rk X представляющий угловой момент отдель-
ной частицы, удовлетворяет, как мы знаем, соотношению:

Заменив Mk оператором результирующего углового момента М —
V-
= 77И/г, мы получаем:
k
м X м=X Ч+2 2 X + мг X мк) =
It	k <
[k’
k
так как относящиеся к различным частицам операторы Mk и Mlf
очевидно, взаимно коммутативны. Для результирующего угло-
вого момента мы получаем, таким образом, такое же соотношение,
как и для его составляющих:
MXM = — ~м.
2та
(318)
В§ 13 главы III было показано, что, исходя из этого соотношения,
с помощью матричного метода можно определить матричные эле-
менты М при условии, что Л/Р и М2 диагональные матрицы (соот-
ветствующе данному значению энергии). Число рассматриваемых
частиц, очевидно, несущественно (поскольку М коммутирует с Н)
и результаты, полученные нами выше для случая одной частицы,
могут быть применены непосредственно к общему случаю системы
частиц. Мы получаем, таким образом, обозначая угловое квантовое
число через j (вместо прежнего /), а осевое через ш\
+ <318а)
(^Ь\п,т — >П

512
VII. Теория системы частиц
Как было уже указано в § 13, число / может принимать, с матрич-
ной точки зрения, как целые, так и полуцелые значения (значения
т оказываются при этом, соответственно, целыми или полуцелыми);
полуцелые значения имеют, однако, место только в том случае,
когда принимается во внимание спин отдельных частиц.
§ 39. Магнитные силы и спин.
Обобщение и уточнение предыдущей теории в тех же направ-
лениях, как и для отдельной частицы,—т. е. установление волно-
вого уравнения (77 ф = 0, которое описывало бы поведение
системы частиц в согласии с теорией относительности, принимая во
внимание магнитные силы и спин, — представляет собой задачу, до-
пускающую только частные и приближенные решения. Это обстоя-
тельство не является характерной чертой волновой механики, так
как и в классической механике мы имеем аналогичную ситуацию.
Классические уравнения движения можно сформулировать в реляти-
вистски инвариантной форме для случая отдельной частицы, движу-
щейся в заданном внешнем электромагнитном поле, определяемом
потенциалами Ф и Л. Более общая задача о движении двух или
большего числа частиц, действующих друг на друга согласно зако-
нам классической электромагнитной теории, не может быть решена
с помощью одного уравнения, содержащего координаты всех частиц
для одного и того же момента времени, так как действие, оказы-
ваемое каждой частицей на другие, передается в пространстве с
конечной скоростью (г). Сила, действующая на частицу
(1) в момент времени t, зависит от положения и движения осталь-
fц
ных частиц (2, 3,...) в предшествующие моменты =
и т. д.; здесь — расстояние между точкой, где частица (1)
§ 39. Магнитные силы и спин
513
находится в момент времени t и точкой, где частица (2) находилась
в момент времени /12.
Это обстоятельство, обычно называемое законом запазды-
вающего действия, исключает возможность трактовки задачи
о движении и взаимодействии системы частиц с помощью одного
уравнения типа уравнения Гамильтона — Якоби. Вместо него мы
должны написать релятивистское уравнение движения для каждой
частицы в отдельности, предполагая электромагнитные потенциалы,
обусловленные наличием остальных частиц, известными, и, кроме
того, совокупность уравнений, определяющих потенциалы, обу-
словленные отдельными частицами, причем движение их предпола-
гается известным.
Жепая сохранить формальное соответствие между классической
и волновой механикой, мы сталкиваемся с вопросом об адэкватном
описании электромагнитного поля, создаваемого частицей, движение
которой определено не классически, а волно-механически, т. е. в
терминах теории вероятности. Это значит, что вместе с классической
механикой мы должны преобразовать также и клас-
сическую электродинамику, базирующуюся на понятии о
точно определенном движении, и заменить ее новой „квантовой
электродинамикойне пользующейся этим понятием.
На более подробном исследовании этой задачи мы остановимся
несколько позднее (в главе IX); здесь же мы ограничимся рассмот-
рением волно-механической теории магнитных сил и связанных с ними
эффектов, пренебрегая теми из них, которые обусловлены запазды-
вающим характером взаимодействий между материальными частицами.
Поскольку мы рассматриваем влияние внешнего магнитного —
или электромагнитного — поля на систему таких частиц, требуемое
обобщение предыдущей теории не представляет никаких трудностей.
В выражении для оператора энергии мы должны заменить опера-
торы импульсов отдельных частиц рк разностями:
- еь~~л
где Ак = А(хк ук zkt t) — векторный потенциал внешнего поля в той
I оч ке, где рассматриваемая частица находится в данный момент времени t.
514
VII. Теория системы частиц
Полагая далее U=£ek&kQ 17, где ФА° = Ф° (xk zkt /) —
скалярный потенциал внешнего поля в точке (xktykt zk) и U'—
VV eiek
— 7,---------взаимная потенциальная энергия частиц, мы Паду-
гу/г ik
1аем:
п
"=2 Li(л-н)*+	(3,9)
/г=1 й	i<Zk lR
В том случае, когда квадратом Л, а также и div А можно пре-
небречь, это выражение принимает следующий вид:
п _
"=21^' - А2* ?*+е*ф J1  221 (319а)
Значительно более трудную задачу представляет сфбой введение
в оператор энергии членов, соответствующих нестатическому взаи-
модействию частиц друг с другом. Эта задача может быть решена
приближенным образом, если пренебречь запаздыванием электро-
магнитных действий и определить векторный потенциал поля, со-
здаваемого частицей с зарядом ei и скоростью vi на расстоянии rik
e;V:
выражением —-- .
crik
Полное значение векторного потенциала Ak в данной точке (Л)
слагается при этом из части А^ зависящей от внешнего поля, и
-* V е V-
части AL = z ——-, зависящей от всех остальных частиц. Пол-
СГск
i^k
ный импульс &-той частицы pk— mkvk-\- ~ Ak может быть следо-
вательно представлен в виде:
Pk = 2	-у-	<320 ‘
i
,	• eiek	,	, •
где gki =	при k = i и при k^i.
e rik
Соответствующее выражение для полной кинетической энергии
Т всей системы (равной сумме обычной кинетической энергии
§ 39. Магнитные силы и спин
515
V 1
2
к
"Wk
и взаимной кинетической энергии Т' =
42? ^'^0
к	'
имеет вид
1 = Т S 2 gik Vi ' •	(320а)
Z Jeszd Jbh
i k
Полагая
отношению
r1 —
b dgik’
Pk-----~ Al — pl; и решая уравнения p'k = 2 gkiVt no
£	i
к скоростям Vi, получаем Vi — ^g^^Vh где g^’® =
k
причем g представляет собой определитель | gifi | и
т 2 2	1 (з2оь)
i k
Классическая Гамильтонова функция равна сумме этого выра-
жения и потенциальной энергии U=£ek$>Qk U'.
k
Простейший способ
вый оператор энергии
Так
получить отсюда соответствующий кванто-
состоит в замене векторов p'k операторами
как однако эти операторы не коммутируют
с коэффициентами g&k\ то произведение g^^p^ph можно также
заменить через pig&®pk или общее через f^pig^^fpk, где f—
произвольная функция координат. Если (следуя Л. Ландау) поло-
жить /= \/g, то для Т получается оператор, который можно
рассматривать как обобщение обычного оператора Лапласа для
кривого многомерного пространства с элементом длины, опреде-
ляемым формулой ds* = 2 2 gikdi'idt'k'
i k
Мы рассмотрим теперь некоторые другие усложнения теории
системы электронов, связанные с эффектом спина.
В случае отдельного электрона или протона этот эффект может
быть учтен приближенно путем введения в дополнение к трем про-
странственным координатам частицы х, у, z четвертой „спиновой
координаты" С, способной принимать только два значения. Эти зна-
чения соответствуют, как мы знаем, двум противоположным ориен-
тациям спина параллельно некоторому фиксированному направлению
(например, оси z), или, точнее, — двум характеристическим значе-
516
VII. Теория системы частиц
ниям составляющей спиновой матрицы аг. Вместо одной волновой
функции ф (х, у, г), описывающей движение рассматриваемой ча-
стицы, мы получаем, таким образом, функцию «р (х, у, z, 1), кото-
рую можно трактовать как линейную двухмерную матрицу с эле-
ментами tLj (х, у, z) = (х, у, z, 1) и (х, у, z) = ф (х, j/, г, 2),
где 1 и 2—два значения Вместо этих двух значений часто
1 । 1
оказывается более удобным пользоваться значениями —и
равными соответствующим значениям составляющей по оси z угло-
h
вого
момента спина, выраженного в единицах --
Олератор энергии, точно так же, как и остальные операторы,
характеризующие частицу, должен быть определен, соответственно,
как квадратная двухмерная матрица, срдержащая либо спиновую
матрицу а, либо единичную матрицу (к которой сводится квадрат
любой слагающей вектора а).
Эти результаты легко могут быть обобщены на случай системы
элементарных частиц (электронов), поскольку мы будем пренебрегать
их взаимодействием. Волновая функция <р, описывающая поведение
всей системы, может быть определена как произведение функций
= tyk (xk, yk, zk, Ck), относящихся к индивидуальным частицам
(£ = 1, 2...п). Выражение фф*, умноженное на элемент объема
конфигурационного пространства dV=dV} ... dVn = dx1 dyr dzA ,..
dxndyndzn, можно рассматривать как меру вероятности нахожде-
ния системы в соответствующей конфигурации с определенными
значениями спиновых координат. Число таких определенных значе-
ний равно, очевидно, 2Д, так что имеется 2Д состояний, соответ-
ствующих каждой конфигурации и отличающихся друг от друга ори-
ентацией отдельных частиц при условии, что эта ориентация опре-
деляется характеристическим значением а2. Полная вероятность
данной конфигурации, независимо от ориентации частиц, измеряется
суммой:
распространенной по обоим значениям каждой из спиновых коор-
§ 39. Магнитные силы и спин	517
динат. В случае движения, относящегося к дискретному спектру,
эта сумма должна быть нормирована согласно условию:
1,
с
причем интегрирование производится по всему конфигурацион-
ному пространству. Для определения ф мы имеем следующие вы-
ражения:
J dV— J К*Ф, dV,... J '^ndVnt
с	St ,	Т
J ^k^kdVk = J Ои + ГлЖк= 1.
где
Фк' = 'hr (хк, ук, zk) = (хк, ук, zk, Q (Cfc = ±
Произведение ф, рассматриваемое как функция от одних лишь про*
странственных координат, можно трактовать как линейную 2л-мер-
ную матрицу (т. е. матрицу с одним столбцом и 2Л строками):
'^ = Ф1С1 Ф<я.
При этом различные операторы должны представлять собой квад-
ратные матрицы того же ранга. Подобный оператор F может быть
определен с помощью уравнения:
(Гф)^/ =	F^"ф^,
С"
где — обычный оператор по отношению к пространственным
координатам x^"Zn и соответствующим импульсам, характеризуе-
мый двумя совокупностями значений спиновых координат С (С/,
С/ ••• Сп') и (С/',	••• С„"). Каждая из индивидуальных вол-
новых функций фй удовлетворяет матрично-операторному уравнению:
где — двухмерная единичная матрица, относящаяся к &-той частице
(с элементами	Мультипликативная волновая функция ф удо-
влетворяет уравнению такого же вида:
(Я+§а)Ф=0,	(321)
518
VII. Теория системы частиц
где 8 представляет собой 2п-мерную единичную матрицу с эле-
ментами;
8^" =	• • • \п^п" >	(321а)
а Н—оператор энергии, определяемый формулой:
НС'С" =	+ 8С1,С1 „ Н^2.............+	•. • Ч-
4- 8>" ?>! ...8^ ?н	Нг„г ir Ht	(321b)
1	-- Ь 2	*п~1- п-1 п-п ^п ’	v 7
причем	— элем^нты обычного двухмерного матричного опе-
ратора, относящиеся к /мгой частице.
Уравнение (321) можно, конечно, распространить на функции ф
более общего типа, равные, например, сумме частных решений про-
стого мультипликативного типа. Оно может быть, далее, обоб-
щено с целью учета взаимодействия частиц, путем прибавления
членов, представляющих энергию взаимодействия, умноженную
на единичную матрицу (321а). Остается, однако, еще одна стадия
этого обобщения, заключающаяся в прибавлении к энергии взаимо-
действия членов, характеризующих влияние спина. Эта задача лежит,
строго говоря, вне компетенции чистой механики, относясь к вопро-
сам электродинамики. Мы можем, однако, попытаться решить ее
с помощью приближенной теории, изложенной в § 29. Мы нашли,
что добавочная „спиновая" сила, действующая на частицу (электрон)
в данном электромагнитном поле Е, Н соответствует оператору
энергии:
[см. уравнение (261а), где и заменено через р]. Естественно пред-
положить, что этот результат остается в силе также и для системы
частиц, если Н и Е определены как напряженности результирую-
щего поля, действующего на данную частицу и обусловленного
как внешними причинами, так и наличием других частиц, составляю-
щих данную систему. Поле Е, Н, создаваемое некоторой частицей
на расстоянии г, может быть вычислено обычным образом с по-
мощью потенциалов Ф, А, определяемых следующими формулами:
е -* е
Ф =— , А =------
г	пг^сг
->
§ 39. Магнитные силы и спин	519
Первый член в д представчяет электромагнитное поле движущегося
точечного заряда, тогда как второй характеризует поле, создавае-
мое элементарным магнитом с моментом ца.
Пренебрегая электрическим полем, обусловленным изменением А
во времени, т. е. полагая
Е = — V Ф = -т7,
я=го я =	Ц-7(7.7)—7
НЬцЫ	/ I_/
мы для оператора энергии спинового взаимодействия получаем выра-
жение:
Us = Us' + Us",	(322)
где
и‘	“ 22 TFTOft [Гм х	Pi+i Pk)] ’	(322а)
И
=22 -тг [rl (7‘ •7ы) - • С • <з22ь)
k <с i
При составлении члена Us’, представляющего электромагнитную часть
энергии .спинового взаимодействия, мы просто сложили эффекты
всех рассматриваемых частиц (rki означает радиус-вектор, проведен-
ный от z-той частицы к й-той); при определении же чисто магнит-
ной части энергии Us", симметричной по отношению к каждой паре
частиц, мы принимаем во вним ание каждую пару лишь один раз,
(чему соответствует условие k /).
Следует отметить, далее, что, прибавляя Us к оператору Гамиль-
тона Н в (321), мы должны умножить его на единичную матрицу
(321а). Это осуществляется путем умножения каждого члена на
двухмерные единичные матрицы, относящиеся к частицам, отлич-
ным от частиц, представленных матрицами о. В дальнейшем мы будем
отбрасывать эти единичные матрицы, так что полный оператор Гамиль-
тона будет записываться в следующем виде:
H=^Hh + U-YUs,	(323)
А
520
VII. Теория системы частиц
где U' и Us определяются формулами (319b) и (322), тогда как
1	1	е — -*
cmk	€^k
— Pfe	• ~°k + 9^7 fife (P X »fe) ]	(323a)
оператор энергии для &-той частицы; Ak, Hk и Ek озна-
чают потенциалы и интенсивности внешнего электромагнитного
поля в точке (xk,yk, zk). Если это поле от времени не зависит, то
уравнение (Н-}-р^ = 0 допускает решения типа <)/= <|^,г h ,
соответствующие движению системы с определенной энергией Н',
причем функция определяется уравнением (Н— И') ^ = 0.
Каждому состоянию пли энергетическому уровню, определяемому
приближенным уравнением, к которому сводится предыдущее урав-
нение, если мы пренебрежем спином всех частиц, в общем случае
соответствует 2п различных состояний с несколько отличными энер-
гетическими уровнями, образующими так называемый „спиновый
мультиплет*. Теория таких мультиплетов для простейшего случая
одной частицы была уже рассмотрена в предыдущей главе (§ 28).
Полученные нами общие результаты относительно свойств орто-
гональности функций матричного и суперматричного предста-
вления различных физических величин, теории возмущений и т. д.
легко могут быть обобщены на случай	Мы не будем оста-
навливаться здесь на рассмотрении этих вопросов, оставляя их до
одного из следующих ^параграфов, где они будут разобраны в связи
с принципом Паули для тождественных элементарных частиц (элек-
тронов).
Разобранный выше метод описания спинового эффекта таких
частиц может быть применен в несколько более общей форме к опи-
санию ориентации или внутренних состояний сложных частиц —
атомных ядер или целых атомов и т. д., — поскольку они трактуются
как движущиеся материальные частицы.
Рассмотрим для примера частицу, обладающую внутренним угло-
вым моментом (который может быть обусловлен как орбитальным,
так и спиновым движением электронов и протонов), равным 5 еди-
§ 39. Магнитные силы и спин
521
h
ницам--
Такая частица может принимать 2s 1 квантованных
ориентаци I, соответствующих значениям
тп —— s, — (s—1), —	—1	(324)
составляющей 5 но оси z. Эти числа могут быть определены
как характеристические значения матрицы где матричный век-
тор о представляет собственный угловой момент рассматриваемой
/	h\ АЛ
частицы (в единицах — I. Матричные элементы и опре-
деляются уравнениями:
(’х+fyU т = |/ (Н'у) — (ОТ+4) е‘ат
ти=]/(*+4) - (т+4Уeiam
(324а)
(о = т,
V z>nm >
получаемыми из уравнений (94b), (96) и (96а) § 13, гл. Ш, если
“П Ла ,
заменить в них М через — и I
2~
через 5. Движение такой частицы
в заданном внешнем силовом поле может быть описано точно таким
же способом, который был применен выше в частном случае $ = -^-
т. е. путем введения в дополнение к „внешним* координатам, опре-
деляющим положение центра тяжести частицы, „внутренней* коор-
динаты углового момента С, которая принимает значения 1, 2...
2s-f- 1, соответствующие характеристическим значениям (324) ма-
трицы о, Если, кроме того, дополнительная энергия частицы в маг-
нитном поле <6 представлена оператором • о, то мы получаем
непосредственное обобщение теории Паули, рассмотренной нами
в § 28. Аналогичное обобщение получается и для системы частиц—
например электронов и атомных ядер — отличающихся друг от друга
не только в отношении заряда и массы, но также и в отношении
внутреннего числа 5 или мультиплетности 2s-|~l- Такого рода за-
дач/ мы встречаем, например, в явлении сверхтонкой структуры
522
VII. Теория системы частиц
атомных спектров, обусловленной тем обстоятельством, что ядра
атомов обладают собственным угловым и магнитным моментом.
Создаваемое последним магнитное поле может быть определено
векторным потенциалом такого же вида:
как и для,электрона (или протона), — что приводит к энергии взаимо-
действия типа (322а, Ь), где ak — матрицы различного ранга (2 для
электрона; 1, 2,3 и т. д. для ядер).
Эти соображения показывают, между прочим, что электрон можно
представлять себе не как точку, а как сферу, вращающуюся согласно
классической модели, вопреки тому обстоятельству, что в теории
Паули и Дирака он трактуется как точка.
§ 40. Сложные частицы как материальные точки с внутрен-
ними координатами; теория неполных систем.
Сложные частицы можно трактовать как движущиеся материаль-
ные точки, если мы примем во внимание внутренние координаты и
импульсы для определения их ориентации и полного значения внут-
реннего углового момента (в том случае, если последний меняется,
подобно остальным величинам, служащим для описания их внутрен-
них свойств).
Обозначимчкоординату центра тяжести сложной частицы через
,v(x, у, z), координаты же, определяющие относительное движение
образующих ее элементарных частиц (электронов, протонов), через
q ({/1, ^•••)- Разобьем, далее, оператор энергии Н натри части: К,
L, М, где АГ—функция от координат х (и от связанных с ними
h д .
импульсов, представленных операторами —7*^-),
2/n.i ох
h д
от q (и от импульсов —т	, а также и от спиновых
а М — функция и от х и от q. Предположим, что все
сят от времени, и обозначим соответственно характеристические
значения и функции L через L' и хг (<?)•
Решение уравнения (// —/7') ф/р = 0 для стационарного состоя-
L — функция
переменных),
они не зави-
§40. Сложные частицы
523
(325)
ния сложной частицы (движущейся в заданном внешнем поле сил)
может быть представлено в форме:
’|'Я' = 2?Г +)Xi' (?),
и
где (х) — некоторые коэффициенты разложения по переменным
q, в свою очередь являющимся функциями от переменных х. Эти
функции могут быть определены путем подстановки выражения
(325) в уравнение (И — И')^я' = 0, что дает:
2 (#?£') XL- + (L' — Н') уц XL' + Ми '-dl, — 0.
v
Оператор /И, будучи применен к произведению функций /р и дает
точно такой же результат, как и оператор JP Mi"L> у^ч примененный
непосредственно к <рр, где:
ML"L' = ^*L”My-Udcl
матричные элементы М по отношению к внутренним состояниям
нашей сложной частицы (эти матричные элементы являются функ-
.	h д \
циями х и, в общем случае, соответствующих операторов — —)
Мы получаем, таким образом:
2 Хя 1К?1' + (L' —	?£'] + 22 Х£"^'Д"?Д' = °,
Г	V LV
или, переставив индексы суммирования под знаком двойной суммы
и приравняв нулю коэффициенты при функциях yj<
К'?и + 2 М^" П” =	’П' •	(325а)
Эта система уравнения может быть записана в форме одного „опе-
раторно-матричного" уравнения:
(325b)
где ср определяется как матрица с одним столбцом с элементами
a J— как квадратный матричный оператор с элементами:
“b Ml'L" i	(325с)
524	VII. Теория системы частиц
где 8/г£м означает единичную матрицу, Уф представляет собой мат-
рицу с одним столбцом, получающуюся в результате матричного
умножения J на ф; J' = И' — L' — характеристические значения J.
Мы можем также рассматривать ф как вектор, и J—как тензор
в пространстве состояний, соответствующем внутреннему движению
(и ориентации) рассматриваемой частицы и определяемом квантовыми
числами L' (последние помимо энергии должны содержать также
другие константы внутреннего движения). Мы можем, наконец, рас-
сматривать U как своего рода „внутреннюю" координату частицы
(поскольку последняя трактуется как материальная точка) в том же
смысле, как это делается в теории Паули и Дирака для вращаю-
щегося электрона, с той только разницей, что число возможных
значений L' в общем случае оказывается бесконечным (тогда как
в теории Паули оно равняется двум, а в теории Дирака — четырем).
Внутренними квантовыми числами, соответствующими этим добавоч-
ным координатам в функциях Ф (х, А') при сопоставлении их с функ-
циями ф^(х), являющимися решениями „невозмущенного" уравне-
ния (К—К'} у к’ = 0, могут служить значения разности f —К’
для одного и того же значения К'.
Различные решения уравнения:
Уфjr — J r-2ji,
т. е. решения, относящиеся к различным значениям У', взаимно орто-
гональны и могут быть нормированы согласно уравнению:
j dx = Sjrjr,	(326)
где Фуг —матрица с одной строкой с элементами, представляющими
собой комплексно сопряженные значения составляющих матрицы
с одним столбцом Фуг. Вводя внутреннюю координату А', мы можем
переписать предыдущее уравнение в следующем виде:
Г V ф*, (х, А') Фугг (х, A') dx = бугуи.	(326а)
L'
Этот результат вытекает из самосопряженного характера оператор-
ной матрицы 7, в свою очередь являющегося следствием самосо-
пряженности полного оператора Гамильтона Н.
Все величины, относящиеся к трансляционному движению рас-
§40. Сложные частицы
525
сматриваемой частицы, должны представляться операторными матри-
цами вида:
г ( h д\	Г h д т"\
Fl'L” х, ----- • — = F х, L ; —- • —, L	,
\ 2та дх/ \ 2тп дх /
причем внутренние координаты появляются дважды — в роли обыч-
ных координат и в роли импульсов. Матричные элементы F по отно-
шению к двум состояниям движения, характеризуемым функциями
и определяются выражением:
Fj'j" J ^rF-j,.dx —
= J* (X’ /?) F(L’’ L,)	/X’
<326b)
Это выражение представляет собой обобщение соответствующего
выражения теории Паули и Дирака, где внутренняя („спиновая")
координата принимает лишь два или четыре значения.
Предположим, например, что частица представляет собой ион
(с зарядом е и массой /я), движущийся в электростатическом поле,
которое внутри частицы можно считать практически однородным
и равным Е = — V V(x,y, Д где V (х,у, г) — электрический потен-
циал в центре тяжести частицы. Согласно обычной теории Шре-
дингера мы имеем:
как и для элементарной частицы с зарядом е и массой т, и далее:
М = — E(x,y,z)-P(q),
где Р— результирующий электрический момент частицы, причем
положение электронов и протонов относится к точке (х,у, z). Опе-
ратор А, определяющий внутреннее движение частицы — в отсут-
ствии внешнего электрического поля, — мы здесь рассматривать не
будем. Мы должны знать лишь матричные элементы Р по отноше-
нию к стационарным состояниям, представляющим это внутреннее
движение, причем трансляционное движение определяется уравне-
нием типа (325а) при
MUL„ = -E(xyPL'L"-
526	VII. Теория системы частиц
Для частицы, движущейся в неоднородном магнитном поле
(с подобной задачей мы имеем, например, дело в опытах Штерна и
Герлаха), мы получаем аналогичным образом:
Л2	_
К= — Vх> ML,L„= — ^(x) •	,
где рщп— матричные элементы результирующего магнитного мо-
мента частицы.
Предыдущая теория легко может быть -распространена на общий
случай системы сложных частиц, рассматриваемых как материаль-
ные точки, или на еще более общий случай любой „неполной"
системы А, представляющей собой часть полной системы АВ, харак-
теризуемой оператором Гамильтона /7. Если часть /7, соответствую-
щая А, обозначена через /С, часть соответствующая В — через L, а
остальные члены, представляющие взаимодействие или „связь* между
А и В, через 7И, то для движения А мы получаем точно такие
же результаты, как и раньше, причем координаты х определяют
в общем случае конфигурацию Л, а ср (х, L') — амплитуду вероят-
ности этой конфигурации для данного стационарного состояния L'
части В.
Так например, в случае двух сложных частиц, обозначая коор-
динаты соответствующих центров тяжести через х1?х3, а внутрен-
ние координаты через qi9 q.1} мы получаем:
Xi' (?) = Xif (?i) Хд*' (?-г),	(327)
гак как оператор внутреннего движения (без взаимодействия) L сво-
дится, очевидно, к сумме соответствующих операторов Lx и Ц, для
каждой из двух частиц, взятых в отдельности.
Полагая далее:
(X) = уц'Ц' (*1,	(327а)
мы получаем для ср уравнение такого же типа, как и прежде. Если
обе частицы рассматриваются как электрические диполи, то их
взаимная потенциальная энергия будет представляться оператором:
л*=Сг • Л) (г • р.) - лЛ],
§ 40. Сложные частицы
527
где г — радиус-вектор, проведенный от одной частицы к другой
(с составляющими	и т. д.), откуда:
Ml'L" = уз |^уз (г • РщЦ') (г ‘ PtLz' L2") — Р\Ц L^PtL.J L." • (327b)
Следует заметить, что, несмотря на неполноту системы Л, опре-
деляемой оператором энергии К-\- М (который представляет ее соб-
ственную энергию и воздействие, оказываемое на нее „игнорируемой“
частью В), движение А определено точно, если оператор М
определяется как матрица по отношению к стационарным состоя-
ниям В. Этот метод описания движения неполной системы А осо-
бенно удобен в том случае, если связь ее с В относительно слаба,
и если по каким-либо причинам нас не интересуют детали движе-
ния В. В качестве примера применения этого метода упомянем
теорию Ферми сверхтонкой' структуры спектров, обусловленной
взаимодействием электрона (Л) с ядром (В), обладающим магнит-
ным моментом. Движение электрона определяется в этой теории
с помощью уравнения Дирака, причем влияние ядерного момента
на электрон характеризуется векторным потенциалом А =
г3
где а — матрица ранга 2s-[-1, определяющая угловой момент ядра
—. Волновая функция <х/ должна рассматриваться при этом как
2тг
прямоугольная матрица с четырьмя столбцами (соответствующими
четырем компонентам волновой функции Дирака) и 2s -|- 1 стро-
ками. В дальнейшем мы рассмотрим другое интересное применение
этого метола к задаче о взаимодействии между материей и излу-
чением, причем последнее описывается как обычные электромаг-
нитные колебания, амплитуды которых трактуются как матрицы
(гл. IX).
Если энергия взаимодействия М относительно мала, так что вто-
рой член левой части уравнения:
может быть рассматриваем как малое возмущение, это уравнение
может быть решено приближенно с помощью обычного метода воз-
528	VII. Теория системы частиц
мущенкй, исходя из решения уравнения, получаемого при отбрасы-
вании члена /И. Точнее, так как наша задача становится вырож-
денной, мы должны рассматривать всю совокупность состояний,
соответствующих одному и тому же невозмущенному энерге-
тическому уровню Н'— L' — К’. Заменяя индекс J' двумя индек-
сами Л", L', где L' означает внутреннее квантовое число, незави-
симое от ио тождественное ему в отношении совокупности его
возможных значений !), мы можем определить ортогональную и нор-
мальную совокупность решений невозмущенного уравнения Ку —
= с помощью формулы:
=	(328)
где (х) — решение этого уравнения при отбрасывании внутренних
координат, а — элементы единичной матрицы. Функция (х)
предполагается нормированной согласно обычному условию
J |	(х) |’2 dx — 1;
предполагается, кроме того, что она является единственным реше-
нием обычного уравнения Шредингера Дгю = ЛгЪ, соответствую-
щим энергетическому уровню К (так что никакого иного вырож-
дения, помимо определяющегося квантовыми числами L\ мы рассма-
тривать не должны).
Приближенные решения точного уравнения, „стабилизованного* по
отношению к возмущению М, могут быть определены согласно общей
теории как линейные комбинации функций (328):
Л ) =	)•	(328а)
и
В данном случае сумма сводится к одному члену, так что мы
имеем:
фг (х, £') = CL. (х).	(328b)
Если бы М было обычным оператором, не содержащим внутрен-
_________________ 4
*) В том же смысле, как спиновая координата С= 1, 2 и спиновое кван-
товое число Х=1, 2 для одного электрона теории Паули (см. § 29).
§ 41. Тождественные частицы и принцип Паули
529
них координат, то коэффициенты преобразования (329) для каждого
допустимого значения энергии возмущения Н' — L' qp К = &Ki
(вместе с последней) определялись бы системой уравнений:
где —матричные элементы М по отношению к невозмущенным
функциям. Эти уравнения остаются в силе и в настоящем случае,
при условии, что матричные элементы М определены согласно
общей формуле (326b), что в силу (328а) дает:
M-L= J <ок' (х) М (L', L") шК'(х) dx.
Обозначая это выражение через	и отбрасывая черту над
L, мы получаем:
2 k'l" Cl" =	•	(329)
Мы не будем останавливаться здесь на рассмотрении этих урав-
нений, так как они практически тождественны с уравнениями обыч-
ной теории возмущений.
Следует добавить, в заключение, что предыдущая теория легко
обобщается на случай нестационарных явлений, соответ-
ствующих явной зависимости оператора энергии Н от времени.
Поскольку эта зависимость не влияет на оператор L, достаточно
заменить характеристическое значение Н' в (325а) оператором
h д	.
— 7	5 Функции определяются, таким образом, уравне-
ot
—Pt-
нием:
^td lit VL' =	4L' Ml'l" fL" •
(329а)
§ 41. Тождественные частицы (электроны) и принцип Паули.
Возвращаясь к рассмотрению элементарных частиц, мы будем
теперь принимать во внимание дополнительное условие, выте-
кающее из тождественности всех электронов или всех прото-
530	VII. Теория системы частиц
нов — принцип исключения Паули или принцип антисимметрии
Дирака для волновой функции ф, описывающей поведение системы
электронов или протонов (см. часть I, § 22). Для простоты мы при-
меним этот принцип только к системе электронов, рассматривая
протоны и атомные ядра как неподвижные центры сил. Подобная
трактовка может быть с успехом применена ко многим задачам,
связанным с структурой атомов, молекул и материальных тел, так
как в виду относительно большой массы атомных ядер они в
первом приближении трактуются как неподвижные материальные
точки, создающие внешнее электростатическое (а также и магнито-
статическое) поле, в котором происходит движение электронов.
Прежде всего мы должны убедиться в справедливости принципа
Паули — в смысле его перманентности во времени — сточки зрения
обобщенного уравнения движения со спиновыми координатами,
полученного нами в предыдущей главе.
Это уравнение может быть записано в следующей форме:
Жас/..., хХ'; аС," ...рЛ") Ф• • • *А")=
= <330>
т. е. в виде системы 2Л уравнений для совокупности 2Л волновых
функций, где xknpk—сокращенное обозначение триплетов координат
zk и составляющих импульса pkxl pkv, pk2. Пространственные
координаты каждой частицы вместе с ее спиновой координатой С
образуют координатный квадруплет, то же самое справедливо и
для импульсов, причем импульс, соответствующий спиновой коорди-
нате, заменен дублированием последней, чтб придает оператору Н
матричный характер.
В силу тождественности всех электронов оператор Н должен
быть симметричной функцией по отношению к индексам электро-
нов 1, 2, ... . Если поэтому волновая функция ф симметрична или
антисимметрична по отношению к этим индексам — т. е. по отно-
шению ко всем координатным квадруплетам — в некоторый момент
.	дф
времени г, то ее производная и следовательно ее значение в
at
§ 41. Тождественные частицы и принцип Паули 531
следующий или предыдущий момент должно также обладать этим
свойством. Симметричный или антисимметричный характер ф можно
поэтому рассматривать как перманентное свойство. То обстоя-
тельство, что для системы электронов должны применяться только
антисимметричные волновые функции, было уже рассмотрено нами
в конце § 22 части I.
Поскольку спиновые силы очень малы по сравнению с силами
электростатическими, довольно хорошее приближение („ нулевого
порядка“) может быть получено, если мы полностью пренебрежем
ими [точно так же, как и магнитными силами Био — Савара, опре-
деляемыми вторым членом в скобках выражения (318)].
Матричный оператор энергии сводится в этом случае
к обычному оператору Гамильтона для системы рассматриваемых
частиц:	„
К=К(ху, ... хп\ pt, ...рп)
с единичной матрицей (321а). Ограничиваясь рассмотрением реше-
ЫЧ
ний вида ф = ф° (х£г ...., х£п) е h , соответствующих движению
с постоянной энергией К', мы получаем таким образом вместо (330)
{К — Г)ф = 0.	(330а)
Это уравнение отличается от- уравнения обычной теории (не
учитывающей спин) только тем обстоятельством, что К в данном
случае содержит в качестве множителя единичную матрицу, а ф
является функцией как от обычных координат, так и от спиновых
С, ... Так как К не содержит последних—или точнее — спино-
вых матриц ап о2 ... ол, то эти матрицы коммутируют с К и пред-
ставляют собой, таким образом, константы движения. Характери-
стические значения их составляющих по оси 2, ckz = <2mk=±\, можно
рассматривать, соответственно, как дополнительные спиновые кван-
товые числа, определяющие 2Л решений уравнений (330а), т. е. 2Л
вырожденных состояния, относящихся к одному и тому же значе-
нию энергии К’. Мы будем различать эти 2Л состояния с помощью
индексов z/Xj ... обозначая через т всю совокупность этих
индексов. Следует упомянуть, что произведение mk на пред-
ставляет проекцию спина Литого электрона на ось z.
532
VII. Теория системы частиц
Если мы спиновой координате будем приписывать значе-
ния =----—, 4"о“ (вместо 1 и 2), мы можем определить сово-
£ £
купность 2Л ортогональных и нормальных решений уравнения
(К—Лг,)ф^ = О, относящихся к одному и тому же характеристи-
ческому значению К, с помощью формулы:
У —	(331)
где =	•••8/ипгп—2л-мерная единичная матрица, экви-
валентная выражению (321а), а <ра>(х) — нормированное решение
обычного уравнения Шредингера (/(—не содержащего
каких-либо спиновых координат. Действительно, согласно опреде-
лению (331):
= J 22	(331а)
С' с
Функции (331), вообще говоря, не могут быть согласованы с усло-
вием антисимметричности, за исключением того случая, когда все п
спиновых квантовых чисел тг ... тп имеют одно и то же значение
(либо —, либо-------—). В этом случае представляет собой сим-
\ л	& /	*
метричную функцию от спиновых координат и для того, чтобы удов-
летворить условию антисимметричности, мы должны определить функ-
цию ср, как решение уравнения Шредингера, антисимметричное по
отношению ко всем п координатным триплетам ... хп.
Если некоторые из чисел mk обладают значением----а дру-
£
гие значением то функция ф, определяемая уравнением (331),
&
не может быть антисимметричной, каков бы ни был характер про-
странственного множителя <р.
Спиновыми множителями 8^ можно, однако, воспользоваться в
этом случае для получения несколько более сложных спиновых
функций е(С), являющихся симметричными либо по отношению ко
всем переменным ... £Л, либо по отношению к некоторым из
§ 41. Тождественные частицы и принцип Паули
533
них; в последнем случае они должны быть антисимметричны по
отношению к определенным парам этих переменных.
Симметричная спиновая функция е (С) может быть получена
путем перестановки переменных и в тех множителях и
8^^, для которых ф mk, и сложения результатов. Если вместо
сложения мы произведем вычитание, мы получим функцию, анти-
симметричную по отношению к парам переменных (Со Полагая
для краткости:
*(C/,Q = (8	I	8,1 I	з	I	\ =
8	!	8 1	+ 8 !	8	1	= +
-pt*
мы получаем для е(С) выражение следующего вида
(332)
е/7 (С) = и , Q и (С3, Q ... « (С2Ь1, С2/) (С2Ж ... Q, (332а)
где -Пу (£2/+1 ... Q симметричная функция от п — 2/ переменных
С2-+1 ... полученная путем перемножения некоторого числа j функ-
ций типа ^(C*,Q и п — 2 (Z-[-/) функций §mk^k с одц^м и тем
же значением пг всех mk, и суммирования по всем нетривиальным
перестановкам переменных С2-+1 ... ^л:
= Жч, > ^i+з) • • •	G21+2/-I * ^2z+2j) 8/7г^2(г+/)+/ • • •	' (332Ь)
Числа i и j полностью определяют спиновые функции ezy(Q для
определенной последовательности переменных . Сл. В результате
перестановки последних мы можем получить другие функции, отно-
сящиеся к тому же типу симметрии.
Прежде чем производить такие перестановки, умножим функцию
(332а) на пространственный множитель cpz (х); предположим при
этом, что последний симметричен по отношению к парам коорди-
натных триплетов (хп х2), (х3, х4) ... (х^, х2/) и антисимметричен
по отношению к остальным. Произведение:
?z(x)ezyG)	(ззз)
будет, очевидно, антисимметрично по отношению к парам коор-
динатных квадруплетов
(•*4 >	> «^2 > '*2), (*3 > ^3 ’ ^4 > V • • •	» ^2Z-1 > ^2i’ ^2i)
534	VII. Теория системы частиц
и антисимметрично по отношению ко всем остальным координатным
квадруплетам. Оно не будет, однако, обладать какой-либо симмет-
рией по отношению к перестановкам, относящимся к переменным
различных групп, например, перестановке первого и третьего элект-
рона, или первого и (2/ -|- 1 )-того.
Применяя некоторую совокупность таких перестановок (Pf)
к функции (333) и складывая результаты, мы получим функцию:
фу (X) = 2 pi [% w еУ (ЭД,	(333а)
антисимметричную по отношению ко всем электронам, т. е. ко
всем квадруплетам координат. Перестановки этой совокупности не
могут быть определены явным образом для общего случая произ-
вольных значений i и /. Они могут быть, однако, определены
вполне однозначно в каждом отдельном случае.
Антисимметричные волновые функции (333а) могут быть, таким
образом, получены с помощью „бесспиновых" функций типа <pz7(x),
симметричных по отношению к i парам электронов и антисиммет-
ричных по отношению к j другим парам, т. е. антисимметричных
по отношению ко всем остальным п — 2 (Z -|-у) электронам. Допол-
нительные спиновые множители е(С) сводятся в этом случае к произ-
ведению i множителей и, j множителей v и п — 2 (Z + j) множите-
лей 8/и'г. Перестановки Р#, применяющиеся к произведениям
(х)	(С) с целью получения функций
Ру
тождественных с функциями (333а), представляют собой более узкий
класс перестановок, нежели Рг Действительно, они могут быть
определены как произведение последних и перестановок Plt кото-
рые должны быть применены к спиновым функциям:
’ £21+2) • • •	(^»2 (/+/)—!> ^*2 (/+/)) ^т' £2 (/+/)>< • * •
для получения симметричных функций (332b).
При составлении функций (333а) мы не приняли во внимание
условия, согласно которому они должны удовлетворять „бесспиновому*
§ 41. Тождественные частицы и принцип Паули 535
уравнению Шредингера. Легко, однако, видеть, что это условие вы-
полняется, поскольку оно выполняется для пространственного мно-
жителя <pz (х) в первоначально выбранной функции (333). Применив
к уравнению KfPi (х) = Kffi (х) любую перестановку Pit мы получаем
(так как оператор К симметричен по отношению ко всем электро-
нам, а — обыкновенное число):
Pi (*)] = к [Pm (X)] = Kt [Р& (х)].
Отсюда следует, что если <рДх) представляет собой характеристи-
ческую функцию оператора, относящуюся к определенному характе-
ристическому значению (энергетическому уровню) то все функции,
получающиеся из <?/(х) в результате перестановки электронов, также
будут представлять собой характеристические функции, относящиеся
к одному и тому же энергетическому уровню. Любая линейная ком-
бинация таких функций будет, таким образом, обладать тем же
самым свойством, в частности им должна обладать и та единствен-
ная комбинация (333а), которая удовлетворяет условию антисим-
метричности (множители (Q], равные либо ±1, либо 0, играют
при этом роль обычных коэффициентов при функциях Р/[?,(х)]).
Остается убедиться в том, что уравнение /Сер = А"? действительно
обладает решениями типа <pz, т. е. антисимметричными по отноше-
нию ко всем п электронам (Z = 0), или симметричными по отношению
к одной паре (1, 2) и антисимметричными по отношению к осталь-
ным (/=1), или же решениями, симметричными по отношению к
двум парам [(1, 2), (3, 4)] и антисимметричными по отношению к
остальным (/ = 2) и т. д. Строгое доказательство этой теоремы
довольно сложно; мы не будем здесь останавливаться на его рас-
смотрении и ограничимся лишь следующими замечаниями:
1. Определенные выше функции epi (или их линейные комби-
нации) являются не единственными характеристическими функциями
симметричного оператора К; последний обладает, помимо того, еще
характеристическими функциями совершенно иного характера сим-
метрии— например симметричными по отношению ко всем п трип-
летам координат или антисимметричными по отношению к двум или
трем из них и симметричными по отношению к остальным и т. д.
Хотя подобные решения существуют математически, физически их
536
VII. Теория системы частиц
можно не принимать во внимание, так как они не соответствуют
каким-либо действительным явлениям — поскольку с их помощью
не могут быть построены функции, антисимметричные по отноше-
нию ко всем квадруплетам координат xk, То обстоятельство, что
подобные функции могут быть построены лишь с помощью функций
типа ср. (х), является следствием двузначности спиновых квантовых
чисел mk индивидуальных электронов; эта двузначность определяет
тип симметрии „спиновых множителей" е(С) и тем самым определяет
косвенным образом тип симметрии соответствующих пространствен-
ных множителей ср(х).
2. Функции ?,(х) (или их линейные комбинации), соответствую-
щие различным значениям Z, в общем случае относятся к различным
характеристическим значениям оператора энергии ТС. Они могут
быть введены в качестве „некомбинирующих" решений уравнения
( I Tz д \
I К 4- -z-г -ту = 0 также и в том случае, когда К явным
\	1 2ш dt/ 11
содержит время (т. е., когда электроны движутся под влиянием
переменного поля, обусловленного некоторым внешним источником).
В этом случае характер симметрии ср является перманентным свой-
ством; если не делать различия между разнообразными линейными
комбинациями функций Р [<pz (х)] с одним и тем же значением I,
перманентность антисимметричного характера ср0 представляет собой
частный случай этой теоремы (последняя справедлива также и для
некоторых решений, относящихся к другим классам симметрии, в
действительности не встречающимся).
' В дальнейшем представляется более удобным заменить числа i
и у, характеризующие функцию (333) или (333а), двумя другими
числами:
= <334)
л	л
и
п,
(334а)
k=“l
Последнее можно, очевидно, интерпретировать как составляющую
результирующего вращательного углового момента всех электронов
§41. Тождественные частицы и принцип Паули
537
(	h\	V	*
по оси z 1в единицах — I; действительно, он равен алгебраи-
\	j,
ческой сумме характеристических значений матриц ~2Qzk для ин'
дивидуальных электронов. При данном значении 5, М может прини-
мать 2S 4-1 значений, отличающихся друг от друга на 1 и лежащих
между -|- 5 и — 5. Это обстоятельство подтверждает интерпретацию
5 как численного значения вектора, характеризу-
ющего результирующий спин всех э л е к т р о н ов (не-
зависимо от его направления). Характеристические значения квад-
рата .этого полного спина равны произведению I —) на д(о-[-1) —
\ лТС /
точно так же, как и в случае результирующего „ орбитального“
момента, определяемого числом (см. § 36).
Подобная интерпретация числа 5 подтверждается также тем об-
1
стоятельством, что его максимальное значение равно —п — что со-
А
ответствует одному и тому же направлению спиновых векторов
отдельных электронов (направление это остается совершенно неопре-
деленным). Отсюда следует, что результирующий спин, связанный
с данным решением „бесспинового“ уравнения Шредингера,
равняется половине числа электронов, по отношению к которым
функция антисимметрична. Более строгое доказательство этого
обстоятельства будет дано в дальнейшем.
В качестве иллюстрации рассмотрим теперь частные случаи си-
стемы, состоящей из двух или трех электронов — атом гелия и
атом лития. В первом случае мы получаем функции <р£(х) только
двух типов: антисимметричную <?0 (х) = <?0	, х2) и симметричную
©j (x) = <pj (xt, х2) (следуя Гейтлеру и Лондону, мы вводим черточки
под или над соседними переменными для того, чтобы отметить анти-
симметричный или симметричный характер волновой функции по
отношению к этим переменным). Составив, далее, четыре комбина-
ции индивидуальных спиновых квантовых чисел и /zz2:
(--.--к
\	2	2 /	\	2’^2/
538	VII. Теория системы частицы
мы можем составить три симметричных спиновых функции:
У=8__i_. 8_i,»8_i 8 i. +8_± .8,1.8i 8t.
2* С1	2’*2	2'^	2’*2	2 ’£2	2 ’С1' 2’*1 2’ Ь
и одну антисимметричную:
«(С1Л) = 8 1 8< -a, 8i
2 • С1 2	2 Ф 2 *
Произведения первой на антисимметричную пространственную функ-
цию сро (Х1 > хъ) определяют три состояния, соответствующие одному
и тому же результирующему спину 5=1 (параллельной ориентации
двух электронов) и значениям М = — 1, О,-J-1 его проекции на
ось г, тогда как произведение и , С2) на <рх , х2) определяет
„сингулетное* состояние, соответствующее 5 = 0 и 7И = 0 („анти-
параллельные* ориентации спинов).
В случае трех электронов мы должны, аналогично, различать
два типа „бесспиновых* функций — антисимметричные по отноше-
нию ко всем трем электронам (х) = <р0 (хп х2,х3) и симметричные
по отношению к двум из них, например <р1(х) = <р1 (х1э х2, х3) (тре-
тий электрон не нуждается в каком-либо особом условии симметрии).
Функции первого типа должны быть снабжены симметричным
спиновым множителем е(Сх,Са, С3), в форме:
8 =	,
при условии
-	1 (ЛЛ -4- 3
от, = «а = /я3 = от =±—{М = ±~],
или же в форме:
8 = V (Ct, С2) ^т"г3 Ц~ v (С3,	(Са, С3)
Если одно из чисел mk отлично от двух других, то М = ±~. Мы по-
Л
лучаем, таким образом, „квадруплет", т. е. четыре состояния с од-
3
ним и тем же S=— и следовательно с одним и тем же значе-
Л
нием энергии К=К^ отличающиеся друг от друга значениями проек-
ций результирующих спиновых чисел на ось z:
лл— 3	113
М~~	2 ’	2 ’ 2 ’ ‘2 ‘
§41. Тождественные частицы и принцип Паули
539
Функции второго типа (xlf х3) должны быть снабжены
спиновыми множителями вида:
е(С1,С„С3) = «(С1,!:,)М8
и просуммированы по циклическим перестановкам всех трех элект-
ронов, дающих две антисимметричных функции:
' ф (х, С) = (Х1,	, х3) и (С,, С9)	4-
+ ?1 (хз » Х1 > н (’3 > ^1) ^т'г^ 4~	(Х1 > хз > xl) а	» Q
для двух различных значений тп! \ определяемые ими состояния от-
носятся к одному и тому же значению -^- для S и той же самой
Л
энергии К=КГ, образуя так называемый „спиновый дублет* та-
кого же типа, как и в случае отдельного электрона. Антисиммет-
ричный характер функций ф (х, С) следует непосредственно из того
обстоятельства, что при перестановке двух электронов, например
первого и второго, первый член изменяет свой знак, тогда как вто-
рой и третий преобразуются друг в друга с противоположными зна-
ками. Следует упомянуть, что нормальное состояние атома лития,
характеризующееся двумя эквивалентными внутренними электронами,
образующими его „остов*, и одним „валентным* электроном, опи-
сывается с помощью волновой функции вышеприведенного типа.
Глава VIII.
СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ О СИСТЕМЕ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
К ЗАДАЧЕ ОБ ОДНОЙ ЧАСТИЦЕ.
§ 42. Теория возмущений для системы бесспиновых элек-
тронов; обменное вырождение.
Дальнейшее исследование задачи о системе электронов возможно
лишь в том случае, если мы будем описывать их движение, поль-
зуясь методом, аналогичным применяющемуся в Боровской теории
сложных атомов, т. е. будем приписывать каждому электрону ин-
дивидуальное состояние движения в заданном поле сил. Взаимодей-
ствие электронов частично может быть учтено путем характеристики си-
лового поля для каждого электрона с помощью некоторых констант,
аналогичных константам экранирования, или же путем введения од-
ного и того же, соответствующе выбранного силового поля ' для
всех электронов — например, самосогласованного поля (см. ниже).
Задача изучения движения всей системы сводится, таким образом, к
задаче о движении отдельных составляющих ее частиц и к опреде-
лению эффективного внешнего поля, приближенно характеризующего
их взаимодействие. Взаимодействие это учитывается не точно, но
мы можем получить лучшее приближение, трактуя его, или ту часть
его, которая не была включена вначале в эффективное поле сил
как малое возмущение. При этом можно искать приближение к
точному решению, пользуясь методами теории возмущений и исходя
из решения, соответствующего распределению электронов между
различными индивидуальными состояниями движения или „орби-
тами*.
Характерное различие между теорией Бора и новой квантовой
теорией в связи с этой задачей состоит в том, что с точки зрения
последней электроны должны быть пер ес т а в л ен ы меж-
ду всеми индивидуальными орбитами с тем, чтобы
§ 42. Теория возмущений для системы бесспиновых электронов 541
полностью устранить их индивидуальность. Можно
показать, что этот результат, выражаемый принципом симметрии
плотности вероятности или вернее принципом антисимметрии
амплитуды вероятности ф, находится в согласии с принципами тео-
рии возмущений, примененной к задаче о системе тождественных
частиц.
Волновая функция ср, описывающая их движение, может быть
представлена в нулевом приближении как произведение функций
(xi)> Фз (*з)> • • • Фл (хл)> описывающих поведение индивидуальных
электронов в данном внешнем поле сил. Полагая:
?(х)=<р1(х1)%(ха)...<рл(хп)	(335)
и обозначая через Рср функцию, в которую преобразуется <р в
результате применения к электронам перестановки Р, мы можем
представить общее решение нашей невозмущенной задачи, относя-
щееся к той же энергии, что и <р(х), следующей формулой:
Х(х) = 2срР<р,	(335а)
р
vj\$Cp — постоянные коэффициенты, а суммирование производится
по всем возможным перестановкам или, по крайней мере, по „эффек-
тивно-различным*, т. е. таким, которые приводят к различным
функциям Рср.
Если все п индивидуальных волновых функций фи ф2, ...фл
различны, то каждой из п\ возможных перестановок Р соответ-
ствует особая функция Ар. В противном случае перестановки
Р могут быть подразделены на отдельные группы эквивалентных
перестановок, соответствующих тождественнььм функциям Р<р; при
этом в выражение (335а) входит лишь по одному представителю
от каждой группы.
Для простоты мы будем учитывать лишь это „обменное вырож-
дение*, обусловленное возможностью перестановки электронов между
различными индивидуальными состояниями при данной общей энер-
гии.
В этом параграфе мы будем пренебрегать эффектом спина и
будем трактовать электроны как бессииновые частицы, пользуясь
542 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
для описания их движения обычной теорией Шредингера. Мы оста-
вим в стороне также и вопрос о симметрии функций /(х) и по-
пытаемся определить характеризующие их коэффициенты Ср таким
образом, чтобы обеспечить приближенную справедливость выраже-
ния (335а) для того случая, когда возмущающие силы (т. е. взаи-
модействие электронов или пренебрегавшаяся ранее часть этого
взаимодействия) принимаются во внимание. В этом случае говорят,
что функция (335а) стабилизована по отношению к воз-
мущению. Это означает, что при отыскании следующего прибли-
жения коэффициенты Ср изменятся лишь незначительным образом.
Этот вопрос был рассмотрен нами в более общей форме в теории
возмущение, вырожденной системы. При этом было показано, что вы-
рожденной группе состояний, определяемых функциями Ар, отве-
чает такое же число состояний, относящихся в общем случае к раз-
личным уровням энергии Н' и определяющихся значениями коэф-
фициентов Ср, которые удовлетворяют системе уравнений:
^Hp^Cq^HCp,	(336)
Q
где Hptq—матричные элементы полной энергии по отношению
к приближенным функциям Рср й Qcp:
НР,а= § P<?*HQ<?dV‘,	(336а)
Q— точно так же, как и Р, обозначает некоторую перестановку
электронов.
Записывая уравнения (336), мы молчаливо предполагали, что
различные функции Р<р взаимно-ортогона льны. Как легко ви-
деть, это предположение справедливо в том случае, если описы-
вающие различные индивидуальные состояния функции ^(хл) вза-
имно-ортогональны. Взаимная ортогональность индивидуальных функ-
ций автоматически обеспечена, если они представляют различные ста-
ционарные состояния электрона в данном внешнем поле, одном и
том же для всех п электронов. Во многих задачах оказы-
вается, однако, более удобным приписывать каждому электрону
свое собственное силовое поле (например, Кулоново поле, характе-
ризуемое определенным значением константы экранирования в
§ 42. Теория возмущений для системы бесспиновых электронов 543
задаче о распределении электронов в тяжелом атоме), причем индиви-
дуальные волновые функции нельзя уже рассматривать как взаимно-
ортогональные.
Уравнения (336) в этом случае должны быть заменены, согласно
(61) § 9, следующими:
2 (Нр, Q — НЧр, Q) Cq= о,	(337)
Q
где
7р, Q = J P<f>*Q<p d V.	(337а)
Значение этого интеграла остается, очевидно, неизменным при пе-
рестановке переменных интегрирования, т. е. координат электронов,
или, что то же самое, самих электронов. При применении к ним
перестановки Z? функции Р<р* и Q<p заменяются соответственно
функциями /?Лр* и RQ'f, так что:
Zp, q = J RP<?*RQ<? dV = Irp, rq .
Следует заметить, что перестановку R нельзя применять непосред-
ственно к функциям ср* и <р, так как результат
$ PR<?*QQdV=IP!i,QR,
вообще говоря, совершенно отличен от предыдущего.
Отождествив, в частности, R с перестановкой, обратной Q (/? =
=^Q“1), получим:
/р, q = /q-ip,	(338)
где Is — сокращенное обозначение As, z, а /—означает тождест-
венную перестановку (/<р = <р).
В виду симметрии оператора энергии Н по отношению ко всем
электронам, получаем аналогичным образом;
Нр, q = Hrp; RQ
и, в частности:
HPi q '==HQ~ipt	(338а
где Hr— сокращенное обозначение Hr, I.
544 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
Соотношения Iqp = IptQ и Hqtp = HptQ могут быть запи-
саны в следующем виде:
= HR-i=H*R,	(338b)
где P = Q~iP и R ^P-'Q.
Мы видим, таким образом, что число различных матричных эле-
ментов Нр, q и IP'Q сводится в действительности к числу g раз-
личных состояний Р?, вместо того, чтобы равняться квадрату этого
числа.
Уравнения (337) могут быть переписаны следующим образом:
(Нц-Н'1ц) CPR-i = 0,	(339)
R
причем суммирование по всем перестановкам /? эквивалентно, оче-
видно, первоначальному суммированию по перестановкам Q при по-
стоянной перестановке Р; последняя определяет каждое из g урав-
нений, образующих нашу систему. Возмущенные значения энергии
Н' определяются как корни уравнения:
| Нц-лр—НЧ^р | = 0,	(339а)
выражающего условие их совместности.
Из уравнения (339) непосредственно получаются два типа реше-
ний нашей задачи — соответствующие симметричным и антисиммет-
ричным функциям В первом случае все коэффициенты Cq равны
друг другу, так что система уравнений (339) сводится к одному
уравнению:
2(НЛ-Н’/Л) = 0.
R
Отсюда для энергии получается выражение:
//^.=^7—	(340)
R
Во втором случае коэффициенты Cq определяются формулой Cq =
= gqC, где ер = —|— 1 соответствует четным перестановкам (экви-
валентным четному числу транспозиций), а = —1—нечетным
§ 42. Теория возмущений для системы бесспиновых электронов 545
перестановкам. Так как в этом случае ерр = гргрС> то g уравнений
(339) снова сводятся к одному уравнению:
-Я7 ) = о,
откуда
антисим.
5>rHr
R_____
JS &rIr
R
(340а)
Можно было бы надеяться получить более общие решения уравнения
(339), полагая Cpq == const • CpCQ или Ср = const elap. Легко, од-
нако показать, с помощью метода, применявшегося в § 22 части I,
что такое предположение приводит лишь к получению симметрич-
ных и* антисимметричных функций. Свойства симметрии всех^сталь-
ных решений могут быть определены с помощью следующего, дан-
ного Дираком, метода.
Согласно Дираку, перестановки можно трактовать совершенно
таким же образом, как обыкновенные линейньГе операторы, служа
щие для представления различных физических величин.
В самом деле, они могут умножаться друг на друга, причем
произведение их, вообще говоря, не обладает, свойством коммута-
тивности, но удовлетворяет ассоциативному закону (так же, как и в
случае тех дифференциальных или матричных операторов, которые рас-
сматривались нами до сих пор). Далее, можно определить сумму
двух или более перестановок, как оператор, который, не являясь
сам по себе перестановкой, эквивалентен им в смысле распредели-
тельного закона
Pi 4-P2 = P}F-]-P,Ft
где F обозначает какой-либо оператор или функцию.
Каждой перестановке
р___2 . . . . < ,п\
\klf k, ... , kJ
соответствует обратная перестановка
р— 1 __ • * * >
546 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
произведение которой на Р, независимо от порядка сомножителей,
равно 1, т. е. „тождественной" перестановке
^fl.2,. . ./А
‘	V,2,. . . nJ'
Каждая перестановка может быть представлена как произведение
„циклических" перестановок вида
/1,2, 3 4\ о о
\2,3,4 1) ~
где каждый элемент в скобках заменяется следующим, за исключе-
нием последнего, который заменяется первым.
Различные циклы, на которые, таким образом, разлагается пе-
рестановка Р, не должны иметь общих элементов; поэтому они ком-
мутируют друг с другом. Мы имеем например
Ол’лНлАбН1’7) (2,5,3,4.) (6.9) (8),
причем циклы с двумя элементами представляют собой простые
транспозиции (т. е. перестановки двух элементов), а цикл с одним
элементом означает, что этот элемент не затрагивается рассматри-
ваемой перестановкой.
Перестановки, которые могут быть разложены на одинаковое
число циклов с соответственно одинаковым числом элементов (ко-
торые могут быть различными у разных перестановок), называются
„подобными" и образуют некоторый „класс", характеризуемый раз-
бивкой числа п на слагаемые, равные числу элементов в каждом
цикле. Так например, рассмотренная выше перестановка соответ-
ствует разбивке
/г=1 4-2 4-2 4-4.
Таким образом, одна из двух „подобных" перестановок Р и Q мо-
жет быть получена из другой путем перестановки элементов, фигури-
рующих в ее циклах. Обозначая через R перестановку, которая
должна быть соверш.на в циклах Р для того, чтобы получить
Q, имеем
Q = QPR-i.
§ 42. Теория возмущений для системы бесспиновых электронов 547
Множитель 7?“ 1 аннулирует действие 7? на оператор или функцию Т7,
к которой применяется перестановка Р или Q (выражение RPF
означало бы результат применения перестановки R как к Р, так
и к F).
Так как каждая перестановка Р коммутирует с оператором энер-
гии Н для системы электронов, то ее, или, вернее, представляемую
ею величину, можно трактовать как константу движения.
То обстоятельство, что различные перестановки в общем случае дру!
с другом не коммутируют, показывает, что всем этим константам
нельзя одновременно приписывать определенные значения. Можно,
однако, путем сложения всех перестановок, относящихся к одному
и тому же классу, получить ряд коммутирующих друг с другом
операторов.
При постоянном Р и переменном 7? каждая перестановка Q=7?P7?~!
п\
встречается — раз, где nk — число различных перестановок рас-
сматриваемого класса. Сумма всех таких перестановок или их псред-
нее “
р=±Уррр-*
п\ ш
R
будет, очевидно, коммутировать со всеми перестановками. Действи-
тельно:
ТРТ-^—Ту TRPR~' Т~1
п\
R
или, полагая TR = S и R~lT'=S~l,
грт-i = -1-- У SPS~' = Р
п\
S
(так как при постоянном Т и переменном R произведение TR обра-
зует все перестановки 7?, и притом каждую по одному разу, про-
бегая их лишь в другой последовательности, нежели 7?). Таким обра-
зом, ТР=РТ. Отсюда следует, в частности, что операторы Pk,
относящиеся к различным классам (&= 1,2...), взаимно коммутативны.
Так как, кроме того, они коммутируют с оператором энергии /7, то
их можно рассматривать как группу независимых констант движения,
548 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
характеристические значения которых Pk' могут быть определены
одновременно с значениями энергии.
Характеристические значения операторов Р совершенно не зави-
сят от формы оператора энергии (поскольку последний симметричен
по отношению ко всем электронам). Они должны быть, следова-
тельно, связаны со свойствами симметрии соответствующих вол-
новых функций //у/ и могут служить для классификации последних.
Следует заметить, что операторы Р сохраняют свою роль кон-
стант движения и в общем случае оператора энергии, явно содер-
жащего время. Это значит, что если волновая функция /, удовлет-
воряющая уравнению Шредингера
h д
2тг/ дх
= в начальный
момент / = 0 принадлежит к определенному типу симметрии, харак-
теризуемому некоторыми значениями операторов Р, то она будет
относиться к тому же типу симметрии и в любой другой момент
времени. Этот результат можно сформулировать также следующим
образом: стационарные состояния невозмущенной системы, относя-
щиеся к различным характеристическим значениям операторов Рг
не комбинируют друг с другом ни при каких возмущениях (симме-
тричных по отношению ко всем электронам).
Простейшими примерами этой теоремы (данной в общей форме
Гейзенбергом) могут служить симметричные и антисимметричные волно-
вые функции. Характеристические значения всех Р равны -f- 1 Для
первых и ± 1 для последних (-}-1 для четных перестановок и — 1
для нечетных).
Поскольку эффект спина исключается из рассмотрения, мы
должны исследовать лишь симметричные и антисимметричные функ-
ции; при учете же этого эффекта следует ввести бесспиновые
функции более сложного вида. При этом каждой совокупности ха-
рактеристических значений операторов Р соответствует в общем слу-
чае не одна, а несколько волновых функций одного и того же
типа симметрии (см. часть I, § 22). Если же, кроме того, прини-
маются во внимание и спиновые силы (как малые возмущения), то
состояния, соответствующие различным значениям Р, будут комби-
нировать друг с другом. Мы получаем, таким образом, более слож-
ные результаты; их можно, однако, привести к первоначальной простой
§ 42» Теория возмущений для системы бесспиновых электронов 549
форме, вводя спиновые координаты в определение волновых функций
наравне с координатами геометрическими (см. следующий параграф).
Если электроны относятся к различным индивидуальным состоя-
ниям, определяемым взаимно ортогональными волновыми функциями,
то совокупность функций Рф может быть заменена совокупностью
Р'Ъ®, полученной из <? = (jcJ 62 (х2) ... (хп) путем примене-
ния различных перестановок Р не к аргументам функций
а к их индексам, т. е. не путем перестановки элек-
тронов между данными индивидуальными состоя-
ниями, а наоборот, путем перестановки различных
индивидуальных состояний между э л е к т р о н а м и. Так
как, применяя одну и ту же перестановку Р как к аргументу,
так и к индексам, мы, не изменяем, очевидно, результирующей
функции, то можно положить:
РХР^=Р^РХ = b
где индекс х обозначает то обстоятельство, что перестановка Р при-
меняется к электронам. Мы видим, таким образом, что перестановка
Рф эквивалентна перестановке, обратной РХ1 и наоборот.
Рассматривая матричные элементы энергии по отношению к но-
вым функциям, и вспоминая, что они инвариантны при любых
перестановках R электронов (т. е. переменных интегрирования, но
отнюдь не индексов!), получаем:
^,Q = lP^HQ^dV = Rx J* P^HQ^dV=
= ^RxP^HRxQ,y?dV.
Порядок множителей в произведениях RXP& и RXQ& может
быть, конечно, изменен (так как соответствующие перестановки друг
от друга не зависят). Функциии Rxy могут быть, далее заме-
нены функциями R^*®* и	так как перестановка Rxi при-
меняемая к аргументам любой мультипликативной функции ср, эквива-
лентна обратной перестановке, примененной к индексам. Мы полу-
чаем, таким образом:
= = <341)
550 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
При /? = Q это уравнение сводится к:
^ptQ — ^PQir	(341а)
где — сокращенное обозначение Н'^ . Различие между этим
результатом и выражением (338а) для матричных элементов Н по
отношению к первоначальным фупкцияхм Рху и Qxv заключается
только в ином порядке умножения перестановок Р и Q"1. Мы уви-
дим сейчас, что именно благодаря этому различию оказывается
возможным привести нашу задачу к простейшей форме, соответ-
ствующей замене оператора энергии Н эквивалентным „перестано-
вочным оператором"
г=2^^-	<342)
Эквивалентность обоих операторов по отношению к уравнениям
первого приближения (336) подтверждается при сравнении матрич-
ных элементов W и Н по отношению к функциям Действи-
тельно:
R
что, в силу условий нормальности и ортогональности для функций
Р^у сводится к;
=	(RQ = P),
т. е., согласно (341), к Н'^ Q.
Аналогичный результат не может быть получен с помощью
волновых функций которыми мы пользовались раньше, так
как при W='£>AkRx мы получили бы WptQ = APq~' . Между этим
выражением и матричным элементом HPtq = Hq~'p не существует
однако, никакого соответствия, так как перестановки PQ1 и Q~*P
в общем случае совершенно различны.
Форма оператора энергии Н до сих пор оставалась совершенно
произвольной (за исключением ее симметрии по отношению ко всем
электронам). Во всех практических задачах оператор Н может быть
записан в виде:
Н = 2 Е	> А) 4- 2 2 F (А>	(343)
§ 42. Теория возмущений для системы бесспиновых электронов 551
где первый член представляет собой сумму энергий отдельных элек-
тронов при отсутствии взаимодействия между ними, а второй член
равен энергии этого взаимодействия, так что
где r(x/? xk)— расстояние между Z-тым и &-тым электронами.
Следует подчеркнуть, что в выражении (343) мы не должны
рассматривать энергию E(xhp^ как соответствующую прибли-
женному описанию движения с помощью индивидуальных волно-
вых функций ф. (х-). Последние могут соответствовать несколько
иному оператору энергии Ei(xii содержащему некоторые доба-
вочные члены, учитывающие приближенно взаимодействие /-того
электрона со всеми остальными, путем, например, соответственно
выбранного значения „константы экранированияи в случае сложного
атома или с помощью некоторого „самосогласованного* поля. Раз-
ность
S=H-'^iEi(xi>pi)	(343а)
i
может быть определена как энергия возмущения. Для того чтобы
с помощью метода возмущений получить хорошее приближение, мы
должны определить „эффективный* оператор энергии Et для инди-
видуальных электронов таким образом, чтобы матричные элементы
энергии возмущения были по возможности меньше. К этому во-
просу мы вернемся еще в § 43. Здесь же нас интересует лишь
специализация нашей общей теории для частного случая — опера-
тора энергии вида (343).
Для простоты будем считать функции и, следовательно,
Рср взаимно ортогональными (и, конечно, нормированными к 1).
Матричный элемент Е% энергии E(xi9p^ определяемый общей
формулой
Е%= Г Rv*E (xi9 р^ ср dX (dX = dx{ ... dx^
обращается в нуль для всех перестановок R за исключением тож-
дественной перестановки. В последнем случае он сводится к:

Pi) Ф/ dXi,
(344)
552 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
т. е. к среднему значению энергии /«того электрона в исходном
состоянии движения. Следует помнить, что поскольку это движе-
ние описывается приближенным оператором энергии Ei (xz, рх),
содержащим некоторое добавочное внешнее поле, более или менее
эквивалентное действию, оказываемому на /-тый электрон осталь-
ными, оно отличается от движения, описываемого оператором Е (xz,/?,•),
и, соответственно, энергия Е^ в общем случае отлична от характе-
ристического значения Е- энергии, соответствующей волновой функ-
ции
Матричные элементы F% энергии взаимодействия Л(л\-, xk)
Fr=§	xk)<?dV
не обращаются в нуль лишь в двух случаях — при тождественной
перестановке, когда
/',Л = J J 'к* (Xi) (хк) F (Xi, хк) 6,- (х,) (xft) dXi dxk (344a)
и при транспозиции R — Tik, заключающейся в перестановке /-того и
/г-того электронов. Значение его в этом случае обозначим через Gik) где
Gik — J J (хк) <Ь* (х.) F (Xi, хк) i>i (х,.) (хк) dXi dxk. (344b)
Все остальные матричные элементы Е и F и, следовательно, все
коэффициенты для перестановок R, отличных от тождественной
перестановки или от одной из транспозиций, обращаются в нуль.
Следует отметить, что мы получаем такие же выражения и для
матричных элементов Е и F по отношению к волновым функциям
Отождествление переменных интегрирования в (344а) и (344b)
с координатами Z-того и &-того электронов не отражается на зна-
чениях Fik и так как последние определяются состоя-
ниями, к которым относятся оба электрона, а не индивидуаль-
ностью этих электронов. Мы можем, следовательно, написать:
Fik =	= У У 'К* (х')	(x")F(x't х") (х') (х") dx'dx"
И
Gik = G,t = У У 'К* (х')	О") F (х', х") (х1) <Ък (х') dx’dx",
оставляя индексы обоих электронов, неопределенными.
§ 43. Введение спиновых координат
553
Оператор энергии, учитывающий обменное (перестановочное)
вырождение, принимает, таким образом, во всех практических зада-
чах сравнительно простую форму:
где сумма
У GibTl,
i<^k
’7,=Xe'+2F»
i .i <Z k
(345)
(345a)
может быть определена, как приближенное значение энергии рас-
сматриваемой системы, тогда как второй член в (343) предста-
вляет собой оператор „обменной“ энергии в собственном смысле.
§ 43. Введение спиновых координат и решение задачи тео-
рии возмущений с помощью антисимметричных волновых
функций.
Полученные в предыдущем параграфе результаты могут быть
применены к общей задаче о движении системы электронов лишь
при учете спиновых координат, до сих пор оставлявшихся нами
без внимания. Даже если пренебрегать спиновыми силами, —что
мы и будем делать в дальнейшем, — мы должны принять во вни-
мание спиновые координаты и спиновые квантовые числа для
того, чтобы составить антисимметричные волновые функции, опи-
сывающие состояние системы электронов.
Мы рассмотрим здесь задачу о приближенном определе-
нии антисимметричных волновых функций со спином, связанных
с бесспиновым оператором энергии Н. При этом мы будем исходить
из индивидуальных волновых функций (х, С), описывающих дви-
жение отдельных электронов в данном внешнем поле (С — добавочная
спиновая координата, индекс i включает спиновое квантовое число).
Эта задача допускает простое и единственное решение вида:
1 (xt,QI
ф = —........
Qi
(346)
554 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
Упрощение, вводимое условием антисимметричности, однако, в зна-
чительной степени уравновешивается наличием добавочного
„спинового" вырождения, заключающегося в том,
что каждому электрону можно приписать два раз-
личных спиновых состояния, относящихся к одному и
тому же типу орбитального движения и соответствующих одному
и тому же значению энергии. Для системы п электронов, распреде-
ленных между л^азличными „орбитами", т. е. бесспиновыми состоя-
ниями, которые характеризуются различными функциями от гео-
метрических координатных), фя(х), •••Фл(х)> мы получаем, таким
образом, совокупность 2" вырожденных состояний, отличающихся
друг от друга спиновыми квантовыми числами тх, т2 ... тп.
Индивидуальные состояния со спином могут быть описаны функ-
циями:
МхД)=4(х)Ц,
(346а)
и	1	1
где т и С принимают значения — и------а „спиновые множи-
£ £
тели“ Ътг равны 1 при = С и 0 при (следует напомнить,
что С означает характеристическое значение слагающей спина а вдоль
некоторой определенной оси) z.
Бесспиновые функции ^(х) не должны быть непременно раз-
личными; среди них могут встречаться по две одинаковых, при
условии, чтобы соответствующие спиновые квантовые числа были
различны. Вместо 4 вырожденных состояний мы получаем для каждой
такой пары только 2, так что общее число вырожденных состояний
всей системы равно 2n’ + n" = gf где п’— число бесспиновых состоя-
ний, занятых двумя электронами (п = я' -J- 2я").
При отсутствии какого-либо вырождения, за исключением спи-
нового и обменного, которое учитывается применением антисиммет-
ричных функций (346), задача определения первого приближения
для волновых функций со спином х (х, С), соответствующих бесспино-
вому оператору энергии //, может быть решена путем определения
этих функций, как линейных комбинаций g функций вида (346):
Х(х, С)=^СаФа,
(347)
§ 43. Введение спиновых координат
555
где коэффициенты Са удовлетворяют системе g уравнений
^(-На? — Н^а?)С?=0
а
(<х= 1, 2...g)
при условии совместности

(347а)
служащем для определения энергетических уровней Н'. Матричные
элементы Л7аз и Ja$ определяются здесь выражениями:
VФа*Ф^Х, (348)
С	С
где z означает суммирование по спиновым координатам всех п
С
электронов, входящих в функции Ф. Принимая во внимание соот-
ношение:	_
/ , kX =	(348а)
вытекающее из определения символа 8, мы видим, что матричные
элементы (348) отличны от нуля только в том случае, если функ-
ции Фа и Фр связаны с одним и тем же значением
проекции результирующего спина на ось г
п
(348b)
Действительно, и могут быть представлены суммой чле-
нов, каждый из которых содержит произведение п множителей вида
(348а). Если состояния аир связаны с неравным числом
спинов, имеющих одно и то же направление, т. е. определяемых
( 1	1 \
одинаковыми спиновыми квантовыми числами ( — или----------------),
\ Zt	а !
то по крайней мере один из п множителей исчезает в каждом таком
члене.	х
Мы видим, таким образом, что функции Ф£ могут быть под-
разделены на несколько некомбинирующих групп, характеризуемых
556 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
различными значениями проекции М результирующего спина всех
электронов на какое-нибудь определенное направление, например, оси
z. Этот результат является непосредственным следствием того обстоя-
тельства, что бесспиновый оператор энергии Н коммутирует с каж-
дой из спиновых матриц ог- и, следовательно, с их суммой:
Отсюда следует, что матрица Н диагональна по отношению к М.
Действительно, из равенства:
(77o~ — а£Н)м'М"	(Т^и 'М ^zMM"	^zM1 мН-ММ") ==
т
явствует, что Нм'М"лишь при М' — М".
Подразделение функций Ф на группы, относящиеся к одному и
тому же значению М, сильно упрощает рассматриваемую нами
задачу, так как g уравнений (347а) расщепляется при этом на не-
сколько отдельных систем, содержащих коэффициенты, относящиеся
только к функциям Ф одной и той же группы. Стабилизованные
по отношению к возмущению функции / (х, С), должны относиться,
следовательно, к определенным характеристическим значениям М
суммы определяющим соответствующую группу. Уравнения
(347), (347а) и (347b) мы будем относить в дальнейшем к одной
из подобных групп состояний с одним и тем же значением М.
Если все бесспиновые состояния ... фл различны, то число
состояний, соответствующих данному значению М, определяется
формулой:
4«+Л1
g(M) = Cn2 .	(349)
Действительно, число способов, которыми п + положительных и
неотрицательных спинов могут быть связаны с п различными
§ 43. Введение спиновых координат
557
орбитами, равно, очевидно,	что сводится
так как:
к
(/Z; ---- Я_),
(349),
(349а)
т. е.
£
2
(349b)
п
“2 ’
п
2
от
до
Сумма ^g(TW), взятая для всех значений М
п	i .
VI	Т п м
равна У Сп = 2п, как, конечно, и следовательно ожидать
п-Ь=о
g (Л!) функций Фа, образующих определенную группу, могут
быть получены из одной из этих функций Ф путем перестановки
спиновых квантовых чисел т}...тп между отдельными орбитами,
с которыми они связаны, — при условии, что тождественные орбиты
связаны с противоположными спинами. Такие перестановки Р сле-
дует отличать от рассмотренных нами ранее и относящихся либо
к распределению электронов между (бесспиновыми) состояниями, либо
к распределению этих состояний между электронами.
Из этого обстоятельства можно, однако, точно так же, как и
раньше, заключить, что число различных матричных элементов
и /ар сводится к g (вместо g*). Мы не будем останавливаться
на рассмотрении этого вопроса; как показал Слэй тер, суще-
ственное значение имеют лишь диагональные элементы матрицы
энергии, из которых легко могут быть вычислены возмущенные
энергетические уровни, без непосредственного решения уравнений
возмущения (347а) или (347b). Это вычисление основывается на
следующих сображениях.
Предположим, что индивидуальные волновые функции (со спи-
ном)	ортогональны и нормированы к 1, т. е. Лз=&аЗ-
Заметим, далее, что диагональные элементы Н имеют одно и то же
значение И (/И) для всех g(M) функций Ф. При этом сумма
диагональных элементов Н, т. е. произведение Н(М) g (Л4) должно
равняться сумме ,g(M) характеристических значений Н, соответ-
ствующих рассматриваемому значению М.
Характеристические значения М проекции Sz результирующего
558 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
спина S^выраженного в единицах
на направление произвольно
выбранной оси z зависит от выбора этою направления в про-
странстве, тогда как характеристические значения энергии не долж-
ны, очевидно, зависеть от выбора этого направления, будучи в дей-
ствительности инвариантными по отношению к повороту коорди-
натных осей. Они определяются характеристическими значениями
S самого результирующего спина, которые также инвариантны как
по отношению к повороту координатных осей, так и по отноше-
нию к перестановкам электронов.
Поскольку мы пренебрегаем силами, обусловленными спином
электронов (включая влияние их ориентации во внешнем магнитном
поле), все состояния, относящиеся к одному и тому же значению
результирующего спина, образуют вырожденную группу, так что их
энергия полностью определяется числом 5. Число таких состояний
/(S) и энергию их H(S) легко вычислить из g(M) и H(M)t если
принять во внимание то обстоятельство, что при данном значении
М9 S может принимать следующие значения:
5 = |Л1|, J/ИЦ- 1 ...
Подразделив все состояния, относящиеся к определенному М, на
группы, определяемые различными значениями S, мы получаем
п
g(M)= 2 /(•$)	(350)
|Afl
п
"2
g(M) Н(М) = 2 /(5) W(5).	(350а)
Последнее уравнение может быть переписано в виде
п
2
Н(М) = I^L- -----------,	(350b)
т
S f{S)
§ 43. Введение спиновых координат
559
и выражает равенство диагональных элементов оператора энер-
гии Н среднему значению энергии для всех состояний, связанных
с соответствующим значением М,
Из (350) и (350а) мы получаем:
-/(5)=^(S+l)-^(S) = lg(S)	(351)
-/(S)//(S)=^(S4-1)H(S+1)-?(S)//(S)=A^(S)//(S), (351а)
откуда:
//(S) = l[£ggO.	(35ib)
а<5
Так как значение g(S), определяющееся уравнением (349), известно,
то в случае п различных орбит наша задача сводится к вычис-
лению диагональных элементов Н для данного значения M( = S).
Оператор Н запишем в виде:
Н = ^Е(х, Л) +
I	i<k
а функции Ф, определяемые формулой (374), в виде:
Ф = -ДтУерРх?(х)Рс8(С),	(352)
]/п!
где
<Р(*) = 'М*1)	••• (М*Я)
произведение бесспиновых функций, и 8jw(Q = 8mi^8Wg^ ... 8Ш^—
произведение соответствующих спиновых множителей; ер равно -ф- 1
или — 1 соответственно для перестановок четного и нечетного типа.
(Перестановки Рх относятся к геометрическим координатам, а Рг —
к спиновым координатам электронов).
Рассмотрим тот случай, когда все п орбит ... различны
(и взаимно ортогональны). Выражение:
Я=2 j* Ф*ЯФ«!А'=
Г
=ф 2 2ер е° SPx '"hq^	р>8 (С) (C)>
(352а)
560 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
определяющее диагональные матричные элементы Н по отношению,
к Ф при этом упрощается. Интеграл Hp,Q— HQxv dV не
обращается в нуль только при P = Q, или же в том случае, когда
перестановки Р и Q отличаются друг от друга транспозицией
(Q = PTik). В первом случае он сводится к
i	Р< /г>,
а во втором к Gik [см. уравнения (344), (344а), (344b) и (345а)
предыдущего параграфа].
Далее, при P = Q:
1VV
п!	^4
С
так как общее число различных перестановок равно п\.
Вычисление предыдущих выражений в случае Q = PTik несколько
сложнее. Функция
(С) = S/njjj • • • ^тп?п
остается, очевидно, неизменной, если одна и та же перестановка R
применена как к спиновым координатам так и к спиновым кван-
товым числам т-. Любая перестановка Р? первых может быть
заменена обратной перестановкой Р^ вторых. Мы имеем, таким
образом:
г	ъ
где как и прежде, означает перестановку координат Cz и
относившихся в первоначальном распределении к /-тому и #-тому
электронам.
В функциях Р^Ъ эти координаты связаны со спиновыми кван
товыми числами — и P^k — rnkt где i и k' — числа, по-
§ 43. Введение спиновых координат
561
лучаемые из i и k путем перестановки Р \ В функции Tik§
эти координаты связаны со спиновыми квантовыми числами mk' и т-.
Сумма	равна, очевидно,! если эти числа одинаковы
г
/	1	1 \
1т. е. оба равны — или------— и нулю, если они различны.
\	£	h J
Расположим теперь числа ... тп таким образом, чтобы пер-
1	1 / ।
вые п_ из них равнялись —, а последние п_----— (я+4~ П- — п). Если
Л	Л!
мы теперь применим к индексам этих чисел перестановки Рт, то
вероятности нахождения каждого из индексов в любом месте нашего
ряда будут одинаковы при условии, чтобы два первоначально раз-
личных индекса занимали разные места.
Число положений, которые могут занять два любых индекса,
соответствовавших первоначально i и k, в ряду положительных
спинов, равно', очевидно, л+(я+—1), а в ряду п_ отрицательных
спинов п_(п_—1). Сумма этих двух чисел, умноженная на (п— 2)!,
даст общее число распределений, т. е. перестановок Р. Мы видим,
таким образом, что в случае Q — PTik выражение
р Q	р
независимо от выбора Z и k равняется
»+(п+—1) + п_(п_—1)
п(п— 1)
Выражение (352а), определяющее среднее значение энергии, при-
нимает, таким образом, следующий вид:
i	i<k
- (353)
k J	i<k
где отрицательный знак соответствует тому обстоятельству, что для
двух перестановок Р и Q, отличающихся друг от друга транспозицией
562 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
(причем одна из них четного, а другая — нечетного типа) epSQ = — 1.
Обозначая сумму первых двух членов через 1Г° и вспоминая, что
= — п М,	п_ = — п— М,
A	it
мы можем представить //, как функцию от М с помощью формулы:
= -----------(353Я)
Как и следовало ожидать, это выражение представляет собой функ-
цию только от 7И, т. е. одинаково для всех диагональных эле-
ментов матрицы энергии, соответствующих состояниям Ф с одним
и тем же значением М. Мы можем теперь перейти к вычислению
характеристических значений энергии, как функций результирую-
щего спина S.
Прежде всего, согласно (351) и (349), имеем:
/W=cJ"+s-cj“+s+,=cj”+s-I?^+I-.
Далее, согласно (351а) и (353а):
(354)
Д я + S
f(S)Н(S) = f(S) — Сп*
+	— п
&
п(п-— 1)
(354а)
откуда
« („_4) + 2S(S+l)'
H^=w*----------------------------22°- (354Ь)
v 7
Эта формула была^ получена впервые (Гейтлером) в связи со спи-
новой теорией химических сил. Приведенное здесь доказательство
§ 43. Введение спиновых координат	563
является модификацией данного Слэйтером (в его теории энергети-
ческих уровней в сложном атоме) и Паули (в связи с Гейзенбергов-
ской теорией ферро-магнетизма).
Метод Паули отличается от метода Слэйтера лишь выбором исход-
ных волновых функций со спином. Вместо того, чтобы рассматривать
антисимметричные функции (346), мы можем воспользоваться в ка-
честве нулевого приближения — как и в случае отсутствия спина —
мультипликативными функциями, получаемыми путем перемноже-
ния индивидуальных функций (хг) .
Мы слегка изменим при этом наши прежние обозначения, введя
индексы Jj,	для характеристики различных бесспиновых
орбит, с которыми связаны отдельные электроны, и записывая (Ji | xft)
вместо фУ/ (хл) и (mz | Q вместо 8т/г/г. Мультипликативные функции,
с которыми мы будем оперировать, могут быть получены из одной
из функций:
?(х)8 (С) = Ц|Х,)... (Л Iх„) (rcf I Q ...(тп\Q = (J| х)(т | С) (355)
в результате перестановки различных электронов, т. е. в результате
применения одних и тех же перестановок Р к х и С и приписания
двух возможных значений каждому из спиновых квантовых чисел
Как было показано выше, комбинировать друг с другом можно
только такие функции (355), которые соответствуют одному и тому
же значению суммы S #zz = М и которые могут быть, следовательно,
получены друг из друга в результате применения различных пере-
становок R (независимых от Р) к индексам Совокупность вы-
рожденных состояний, которые должны приниматься во внимание
при построении волновой функции /(х, С), стабилизованной по
отношению к возмущению, может быть, таким образом, определена
выражением
[J\Px) (Rm\Pt\	(355а)
где Р и R — произвольные перестановки. Так ^ак перестановка
аргументов (х, Q эквивалентна обратной перестановке индексов
(У, /я), мы можем заменить предыдущее выражение следующим:
(Р~Ч\х) (P~*Rm\Z)
564 VIIL Сведение задачи о системе тождественных частиц
или
?PtQ = (PJ|x)(Q/n|C),	(355b)
причем перестановки Р и Q друг от друга независимы.
4-	4 п~м
п\ различных перестановок Q приводят к g (/И) = С„ =Сп
различным спиновым множителям (Qm | С) = (tn | Q“4), которые отли-
чаются друг от друга координатами С*... Сл, связанными соответ-
1	1
ственно со значениями = — и =------------Отсюда ‘ следует, что
At	Л
мы можем подразделить перестановки Q на g’(Al) классов, соответ-
ствующих различным функциям (Qm | С) и рассматривать лишь одну
перестановку Q для каждого класса, считая все перестановки, отно-
сящиеся к одному и тому же классу, тождественными.
Функция % (х, С) может быть представлена в виде суммы:
Ср, Q^p, Q	(356)
Р Q
с коэффициентами Ср, q, определяющимися из уравнений
(Hpf Q; pffQI  Н*Jpt Q; piQf) Cpi Qt = 0,	(356a)
P' Q'
ГДе	V f *
Hp, Q; P'Q' = / , J <fPQHvpi qi dX=
C
(Qtn | C) J'm | 9 J (x | PJ) H(P'J j x) dX
C
•/₽, Q; P'Q' —	j* 'fPQ ’pP'Q' dX —
=2 (<?« 19 (Q'« 19 J (x I PJ) (P'J I x) dx.
c
Поскольку мы рассматривали только различные перестановки Q и
Qf, мы можем считать, что суммы У (Q^ 10 (Q'm | С) обращаются
§ 43. Введение спиновых координат	565
в нуль во всех случаях, за исключением Q = Q', когда они равны 1.
Отличные от нуля матричные элементы Н и J сводятся при этом к
Нр, Q; PIQI = Н^.р,= Н±>р' __ 1; Jp, Q; pifQf =	р, =	_ j ,
где Z/д p, и J^ pf — обычные матричные элементы Н и J по
отношению к бесспиновым функциям (PJ\x) и (PJ’\x). Уравне-
ния (356а) сводятся, таким образом, к
(Hppt-L — H'Jpp-i ) Ср>, q = о,
или, если мы положим РР'"1 =
2 (HR - H’Ja ) Cp-i Р, Q=0.	(356b)
R
Мы можем теперь принять во внимание то обстоятельство, что
нам нужны лишь антисимметричные функции. Это означает, что
/(Sx, S£) = 65, где es=l для перестановки S четного типа и — 1
для перестановки нечетного типа. Так как применение перестановки S
или S-1 к аргументам х, С функций (355b) эквивалентно примене-
нию обратной перестановки к индексам J и т, мы получаем:
2 2 Ср, Q <Р s-1 р, s-1 Q= е5 2 2 Ср, Q '?р, Q,
PQ	Р Q
или, заменив в первой сумме S~lP и S-1Q через Р’ и Q':
2 CsP’, SQ’<?Pft q* = es	Cpt Q ®pf Q = e$ CpfQf
P>(?	P Q	P' Q’
откуда следует:
Csp, sq = Cpt q .	(357)
Полагая S=R^ и заменяя SQ через Q, а следовательно Q через
RQ, получаем:
Cp-iptQ = epCpt pQ,
566 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
так что уравнения (356b) могут быть переписаны в следующем
виде:
2	- H'Jp ) CP,RQ = 0.	(357а)
Индекс Р роли не играет, будучи, одинаков для всей системы
уравнений; мы можем поэтому оставить его без рассмотрения.
При этом суммирование по R дает лишь g’(Af) различных значений
Cp,Rq = CRQ, которые в уравнениях (357а) умножены на сумму
выражений eR(HR — H Jr) Для всех /?, соответствующих эквивалент-
ным перестановкам RQ.
Полагая, как и прежде,
<^>+22 xk),
i
и считая функции (PJ\x) взаимно ортогональными, мы получаем:
OikCTikQ = 0,	(357b)
i <Z k
где I — тождественная перестановка, так что:
i	i<Zk
тогда как Tik соответствует перестановке спиновых квантовых чисел
mi и mk.
g(M) различных коэффициентов Ср могут быть однозначно' оха-
рактеризованы индексами электронов с положительной соста-
вляющей спина вдоль оси z. Мы можем, таким образом, написать
(следуя Паули):
CQ = C(ri, г2 ... гл+),
где г2 ... гл+— рассматриваемые индексы, а функция С не зави-
сит от порядка, в котором они расположены. Мы можем положить, в
частности ^ = 1, /*2=2, ..., гп+ = п+, не ограничивая этим общно-
сти, так как выбор перестановки Q в уравнениях (357b) на реше-
нии их не отражается. Полагая, соответственно:
^Tikt Q= TikCQ =	(гi... rn+) = С (fj ,	... /';г+),
§ 43. Введение спиновых координат
567
мы можем переписать уравнения (357b) в следующем виде:
(Hi-H')C(r1ri...rn+)-'^i^iGikTikC (гЛ...г„+) = 0.	(357с)
/ </?
Рассматривая определитель этих уравнений, корни которого опре-
деляют допустимые значения энергии Н', мы видим, прежде всего,
что сумма этих значений для всех ^(/И) возмущенных состояний
равна сумме" коэффициентов при Сг% ... гп+), т. е. выражению
2'4
г \ Z<fe /
Суммирование 2' производится по таким парам состояний (или
i <С k
электронов), которые отличаются либо двумя индексами ... гп+,
либо двумя из остальных индексов	. sn_ (соответствующих
отрицательным спинам), без перестановки какого-либо г с каким-
либо <$, тогда как суммирование £ производится по g (/И) различ-
г
ным комбинациям г. В результате, каждое Gik оказывается умножен-
ным на число комбинаций, для которых спины, связанные с состоя-
ниями ink (z-тым и А-тым электроном) либо оба положительны,
либо оба отрицательны, т. е.
с"12+с^2 = сГ
п+ (п+ — 1)4- Л- (л_-1)
п (п— 1)
причем Н\ должно быть умножено на ^(Л1)С”+. Для среднего зна-
чения энергии И' всех g (Л4) возмущенных состояний мы получаем
таким образом, следующее выражение:
1) Olt.
уже найденное нами выше.
Как было показано Дираком, входящие в (357с) транспо-
зиции Tik могут быть заменены операторами, содержащими спино-
вые векторные матрицы ai и а/г. Рассмотрим скалярное произве-
дение этих спиновых векторов, т. е. оператор * о/г в применении
к некоторой функции от и и, в первую очередь, к самим о4-
568 VIII. Сведение ЗАдачи о системе тождественных частиц
и ofe, или к их составляющим вдоль некоторой оси, например z.
Полагая i = 1 и k — 2, мы получаем:
(°1 ’ °з) °1г	(°1 х^2х 4“	4~ °1г°2г)	== (°1 Аг)	4*
+ (°iv<’iz)l3ay + (<Jiz0iJ0«2>
так как векторы и а2 взаимно коммутативны. Далее, в силу
соотношений (253) § 32:
(°1 • аз) =	А А* “Ь А Ау 4~ °2г>
или
(1 4-7, .7,) о,2 = г[а1Ла9> —4-а,г4-а4г =
= [z(7, X^J + ’i + ’alr
Аналогичное выражение мы получим, заменив о1г через о1л. или о1у,
так что
(14-7, -72)7, = z7, х72 4-7,4-7,.
Точно также
(1 -|-7, -72)72 = г72 х 7,4-7,4-7,
и
7,(14-7, -73) = z7, х°а4-°1 + <ч>
откуда:
(1-J- 7, • 72) о, = 72 (1 -f- о, .7,).	(358)
С другой стороны:
(а1 ‘ °а)2 = (°1 Аа: 4“ °1 Ау 4" а1га2г)2 === ^х°2х 4“ °1у°2у + °1г°2г 4"
+ <’1Лх<’1У°2у +	+ ... = 34- 2ZOUW22 4- . . . =
= 3 — 2^ • оа,	(358а)
и следовательно
(1+7,.72г = 4.
Из этих равенств следует, что спиновый оператор
O18 = 4-(14-’i-^)	(358b)
обладает такими же свойствами по отношению к любой функции
от спиновых переменных а1? о3, как и оператор Г12. Это стано-
§ 43. Введение спиновых координат	569
вится очевидным, если мы перепишем уравнение (358) в следующем
виде:
012 <*i 012 = °2>
или, что то же самое:
012 °2 019 == *
что сводится к
012 °2 012 =<51
в виду равенства 012 = 1, соответствующего соотношению = 1
(= тождественной перестановке).
Эта эквивалентность Оп и сохраняется и по отношению
к функциям от других спиновых переменных <з3, а4 и к д., так
как они коммутируют с и а2, а также и по отношению к любой
функции типа	. гл), так как мы можем заменить индексы rk
электронов соответствующими спиновыми переменными ofe. Мы можем,
соответственно, в системе уравнений (385с) заменить перестановоч-
ные операторы спиновыми операторами Oik (то обстоятельство, что
знак при этом не меняется, легко может быть установлено путем
рассмотрения какого-либо частного случая). При этом система урав-
нений (385с) принимает стандартную форму:
(W—Я')С=0,	(359)
где
i <k
=2 +2 2 (—И*) - 4 2 2 •°* (з59а)
i	i<ik	i<k
приближенный оператор энергии, эквивалентный //, поскольку мы
имеем дело лишь с первым приближением теории возмущений.
Заменяя Tik через Oik, не трудно вычислить среднее значение
всех перестановок, принадлежащих к классу транспозиций. А именно:
1	VIVI 1	_	1 -SS
=Т-— ™ Т <4 	= -г +	
— »(» — 1)
£
570 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
Вводя квадрат результирующего спина 5 всех электронов, выражен-
Л .
ного в единицах —, по формуле
2 те
4S* = ^. S =2 + 2 2 2^ -Ч
i k	i	i<^k
и замечая, что af* =	о,. 8-|-а/г’= 3, получаем
22S -afe = 452 —Зя,
i <Z k
т. е. следовательно
Т — 1 4-452—3/1
’*	2 ‘я(я—1)*
В предыдущем параграфе было показано, что различным харак-
теристическим значениям оператора Tik соответствуют различные
состояния системы электронов, не комбинирующие друг с другом
при отсутствии спиновых сил. Поскольку оператор Tik сводится
к функции оператора S2, оказывается возможным классифициро-
вать различные состояния системы электронов и соответствующие
им значения (возмущенной) энергии по характеристическим значе-
ниям результирующего спина всех электронов или, точнее, его абсо-
лютной величины S. Этим оправдывается сделанное в начале на-
стоящего параграфа допущение о том, что различные значения воз-
мущенной энергии Н* определяются однозначным образом резуль-
тирующим спином электронов.
Характеристические значения этой величины не могут быть вы-
ражены обыкновенными числами, так как она представляет собой
вектор. Что же касается характеристических значений ее квадрата,
•о они могут быть представлены в виде S'(Sf 1), где S' прини-
мает все целые или полуцелые значения в пределах от 0 до -4-л-
&
Это число и определяется обычно как результирующий спин.
Эти результаты, полученные Дираком, очень важны как с практи-
ческой точки зрения — во многих случаях они дают возможность
очень простого вычисления возмущенных энергетических уровней, —
так и с теоретической точки зрения: они показывают, что „обмеп-
I ная энергия" в связи с принципом антисимметричности может быть
§ 44. Метод самосогласованного поля	571
интерпретирована — чисто формальным образом — как обусловленная
своего рода магнетизмом, связанным со спином. Действительно,
выражение =----------— G^az • ak можно рассматривать как представ-
ляющее энергию фиктивного магнитного взаимодействия между z-тым
и &-тым электронами. Их действительные магнитные моменты за-
менены при этом величинами электростатического характера. Сле-
дует отметить, что только часть обменной энергии может быть интер-
претирована подобным образом; другая же ее часть------rrSS G,
сливается с обычной электростатической энергией 5
i <z k
В части III мы рассмотрим некоторые интересные применения
этих квазимагнитных эффектов к теории магнитных свойств атомов
и ферромагнитных тел.
Другой иллюстрацией уравнения (359а) может служить теория
химических сил между двумя атомами (поскольку принимается во
внимание лишь вырождение, обусловленное обменным эффектом и
спином).
Эта теория легко может быть распространена на более общий
случай наличия дополнительного вырождения (обусловленного, напри-
мер, различными ориентациями электронных орбит в сложном атоме).
На рассмотрении этого общего случая мы здесь, однако, останавли-
ваться не будем.
§ 44. Метод самосогласованного поля с мультипликативными
функциями.
Рассмотренное в двух предыдущих параграфах сведение задачи
о движении системы электронов к задаче о движении одного элект-
рона основывалось на описании невозмущенного движения каждого
электрона в заданном внешнем силовом поле, с по-
мощью индивидуальной волновой функции данного вида. В за-
дачах, связанных со структурой атомов и молекул, подобное
поле не может быть определено заранее так, чтобы обеспечить
достаточную степень точности исходного приближения, необходи-
мую для успешного применения теории возмущений. Мы должны
теперь вернуться к рассмотрению этой задачи — задачи определения,
572 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
„внешнего эквивалентного поля* для отдельных электронов, обра-
зующих более или менее сложную систему (например, сложный атом).
Довольно простой метод, совершенно аналогичный методу старой
(Боровской) квантовой теории сложных атомов, заключается в отож-
дествлении внешнего поля, действующего на данный электрон, с полем
голого ядра (или ядер) с электрическим зарядом, отличающимся от
действительного некоторой константой. Последняя, разделенная на
элементарный заряд, носит название „константы экранирования* и
выбирается таким образом, чтобы охарактеризовать с возможно
большей степенью точности влияние отталкивательных сил, действую-
щих на каждый электрон со стороны всех остальных электронов.
Для более точного описания этого влияния иногда оказывается
удобным распределить электрический заряд всех электронов, за
исключением рассматриваемого, непрерывно на некоторой поверх-
ности или в некотором объеме с постоянной плотностью или же
с плотностью, изменяющейся согласно определенному закону. Во всех
таких случаях мы имеем дело с задачей, содержащей конечное
число постоянных параметров, которые должны быть определены
с возможно большей степенью точности.
Эта задача решается очень легко — по крайней мере в прин-
ципе— с помощью вариационной формы уравнения движения:
/Ф*ЯФЛ¥_
/Ф*ФА¥ —
где функция Ф(Xj,	... хп) определяется как произведе-
ние п индивидуальных функций Ф1(хх; ^...);
^(х2;	•••) •••	ап> ЬП ' • •) известного вида, со-
держащих ряд неопределенных параметров , а* ... и т. д.
(ф*Яф dX
При этих условиях выражение W =  у ф*ф , равное прибли-
женному значению энергии системы, представляется некоторой функ-
цией параметров
уравнений:
а, значения которых могут быть вычислены из
dW п dW п dW п
= 0 ... -г— = 0 ... -з— = 0 и т. д.
ии^	uCLft
§ 44. Метод самосогласованного поля	573
Вариационным уравнением можно, однако, воспользоваться не
только для вычисления значений конечного числа параметров, входя-
щих в более или менее произвольные функции ... но также
и для определения самих этих функций без явного при-
менения каких-либо параметров (неявно они содержатся в бесконечном
количестве в определении функций ф, если последние разложены в
какие-либо ряды). Мультипликативная форма коллективной волновой
функции Ф, описывающей поведение всей системы электронов, соот-
ветствует возможности приписания каждому из них отдельной
„орбиты", т. е. движения независимого — явным образом — от дви-
жения остальных электронов (в смысле волно-механической вероят-
ностной интерпретации).
Поскольку вариационный принцип 81F = 0 обеспечивает наивыс-
шую точность результатов, совместную с любым данным предположе-
нием о характере движения, мы можем сказать, что наиболее точное
описание движения системы электронов в терминах квазинезависимых
движений отдельных электронов получается путем определения функ-
ций (Xi), ф2 (х2),... фд (хл), описывающих эти индивидуальные дви-
жения с помощью вариационного уравнения при условии:
Ф (xt, х3 . г. хп) = (х,) ... <р„ (х„).'
Премущества этого метода заключаются в том, что он не тре-
бует введения произвольного эффективного внешнего поля
для каждого электрона. Им вводится, однако, неявным образом,
вполне определенное эффективное поле, которое
можно определить и в явной форме. Это так называемое „само-
согласованное" поле было впервые введено Хартри при рассмотрении
задачи о сложных атомах.
В своей первоначальной теории Хартри не пользовался вариа-
ционным принципом (введенным позднее Фоком и Слэйт’ером),
а исходил из мысли о том, что действие, испытываемое некоторым
электроном со стороны остальных электронов, может быть прибли-
женно вычислено путем распределения в пространстве электрического
заряда последних с объемной плотностью, пропорциональной вероят-
ности соответствующих положений. Доля каждого электрона в ве-
роятной плотности заряда р в данной точке определяется выра-
574 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
жением = е |	(х) |2 при условии, что все индивидуальные функ-
ции нормированы к единице:
(где dx — сокращенное обозначение элемента объема dxdydz).
Потенциальная энергия /-того электрона по отношению ко всем
остальным электронам определяется при этом формулой:
где

1М**)|*
dx^^
или, при несколько измененных обозначениях:
Прибавляя к этому выражению потенциальную энергию t70(r) внеш-
них сил (которая имеет, очевидно, одинаковую форму для всех
электронов) и подставляя результирующую „эффективную* энергию
=	+	(360а)
в уравнение Шредингера:
[-^^ + Ц(7)-^,=о,	. (Збоь)
ч
мы можем определить волновую функцию описывающую дви-
жение одного из электронов, поскольку функции (k ф /), описы-
вающие движение остальных электронов, предполагаются известными.
В действительности они неизвестны заранее, но каждая из них
определяется уравнением типа (360b). Мы получаем, таким образом,
систему п интегро-дифференциальных уравнений, служащих для
одновременного определения всех п индивидуальных волновых функ-
ЦИЙ 4»! ... Ф„.
Может показаться, что полная энергия W всей системы равна
сумме индивидуальных энергий Легко, однако, показать, что
это не верно. Действительно, умножив слева уравнение (360b) на
§ 44. Метод самосогласованного поля	575
и проинтегрировав, получаем в виду предполагаемой нормаль-
ности
или, согласно определению Ц:
v‘ = fSST v'-’ + и« + 2 £]ф
откуда следует:
h*
Фй-¥,
тогда как действительное значение полной энергии, соответствующее
нашему приближению, равно:
№= J Ф*ЯФ dX=
8^-V? + t/ei) +
п
<S>dX.
Таким образом, взаимная потенциальная энергия всех электро-
нов входит в выражение Wiy умноженная на 2.
Для вычисления полной энергии W с помощью „парциальных
энергий" Wi мы должны ввести в рассмотрение „собственные энер-
гии" отдельных электронов:
J/	\
а?
Обозначая сумму их J? Ei через Е, получаем:
Wt = ±-E,
576 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
откуда:
( п \	п
/	я
(360с)
Следует упомянуть, что самосогласованное поле Хартри может
быть определено либо исходя из результирующей вероятной плот-
п
ности электрического заряда р = е
в связи с уравнением.
Пуассона для электрического потенциала соответствующего поля, либо
исходя из электрической плотности р/ = р — pt- = р — е | 12 и
потенциальной энергии (360), что соответствует электрическому
полю особой формы для каждого из электронов.
Возвратимся теперь к рассмотрению вариационного уравнения
8 J ф*//ф gLY= 0,	(361)
где функция Ф определяется как произведение ^(х^)... $п(хп) в
связи с п добавочными условиями нормальности I	= 1 или
aJO/	(361а)
Мы имеем
8 J Ф'НФ dX=JЪФ*НФ dX-\- уФ*/У8Ф dX.
В силу самосопряженного характера оператора Н (содержащего
только вещественные величины), т. е. соотношения
J Ф*//8Ф</Х=У 8ФЯФ* dX,
уравнение (361) может быть переписано в виде:
У§ф*/уф dx+ у 8ФНФ*йХ=0.
Подставляя сюда выражение (389) для Ф, получаем:
2 S * П	У Н/ П ф*яф*^=о.
/-1	k-£i	i = l k^i
§ 44. Метод самосогласованного поля
577
Вычтя из этого уравнения равенства
J J	^*Ф dX-\- J* 8^ fj №*dX= О,
kz£i
умноженные на соответственно выбранные параметры Xz,'мы можем
приравнять нулю коэффициенты при всех вариациях Зф/* и 8ф., как
если бы они были совершенно независимыми (Лагранжев метод
неопределенных множителей). Это дает:
(Ч—	(362)
где
Hi = J П	П	ГРХ*	(362а)
kzfci	kz£i kzfci
— оператор, который может быть определен, как среднее значение
действительного оператора энергии Н для данного положения z-того
электрона при всех конфигурациях остальных электронов.
Аналогичные уравнения получаются в результате приравнивания
нулю коэффициентов при вариациях 8фо если Ht заменено через
н?=J п^п^*п^
kz£i kzfci kzjbi
Эти уравнения не нуждаются, однако, в отдельном рассмотрении,
так как они совершенно эквивалентны уравнениям (362). Последние
являются математическим подтверждением физического принципа,
которым пользовался Хартри х), и практически эквивалентны урав-
нениям Хартри (360b), где Н определено, как обычно, формулой:
п	п п
Я=УЕ(х,,А.) + 4-У У/(*,-,^)	(362b)
при:
F(xi>	•
rik
Как легко видеть, единственное различие между ними состоит
лишь в том, что Hi помимо собственной энергии z-того электрона
х) Заметим, что по существу этим же принципом пользовался и Шре-
дингер при своей попытке перестроить волновую теорию испускания света
на основе волновой механики (см. часть 1, § 17).
578 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
Л*
и ег0 потенциальной энергии по отношению ко
всем остальным электронам, содержит также и среднее значение
энергий всех этих электронов. Отсюда следует, что константы
входящие в (362), равняются полной энергии системы W. Следует
упомянуть, что нормальное состояние системы соответствует мини-
мальному значению W из всех „стационарных* значений, допускае-
мых вариационным уравнением (361), в соответствии с (361а).
Развитая здесь теория применима не только к системе электро-
нов, но и к системе, состоящей из различных частиц или каких-
либо меньших систем, причем xi означает совокупность координат,
определяющих состояние соответствующей элементарной системы,
а полная энергия (362b) записывается в несколько более общем
виде:
Н=^Е^, л) +	(362с)
I	i С k
§ 45.	Фоковский метод самосогласованного поля с антисим-
метричными функциями.
В частном случае системы электронов точность метода Хартри
ограничена не только по существу, но также и тем обстоятель-
ством, что „персональное* распределение электронов по п орбитам
Ф1 ••• определяемое мультипликативной функцией противо-
речит принципу тождественности электронов. Эта функция ср может
однако служить исходным пунктом для построения функций более
сложного вида, в соответствии с теорией возмущений, рассмотрен-
ной нами в § 43 в связи с обменным вырождением.
Вместо того чтобы определять эти функции в два этапа, мы
можем сделать это сразу, заменив в вариационном уравнении муль-
типликативную функцию ср линейной комбинацией таких функций,
соответствующей различным перестановкам Р электронов между
индивидуальными состояниями Ф1 •••
х=2СрР?’
р
Полученные таким образом функции	будут, конечно,
несколько отличны от функций, определяемых уравнениями (361с)
§ 45. Метод самосогласован, поля с антисимметричн. функциями 579
и не учитывающих обменного эффекта. Что же касается коэффи-
циентов Ср, то можно показать, что они тождественны с коэффи-
циентами, встречающимися в случае задачи теории возмущений, со-
ответствующей ^известным a priori функциям . ..фл.
Мы не будем останавливаться здесь на определении последних
в общем случае бесспиновой функции / и ограничимся лишь рас-
смотрением случая антисимметричных функций со спином.
Мы положим соответственно:
z(x,C)=C
Ф1(хр Q ... ф1(х„, Q
Фл (*^1 > ^1) • • • Фл (,хп > Q
= С	(363)
р
где
ф/(х,С) = ф<(х)8т/(С)
И
? (х> 0 — Ф1 (*i > ^1) Фз (х%> £г) • • • Фл (хп> £«)•
Предположим, далее, для простоты, что все индивидуальные вол-
новые функции со спином не только нормированы, но также и
взаимно ортогональны, т. е.

(363а)
Если бы условие ортогональности для первоначальных волновых
функций ф не выполнялось, мы могли бы заменить их некото-
рыми линейными комбинациями, удовлетворяющими этим условиям.
Априорное введение последних не ограничивает таким образом
общности теории. Оно служит лишь для упрощения ее внешней
формы. Условие нормирования для функции (363) в предположе-
нии (363а) дает С=—^=-.
у п\
В дальнейшем мы будем писать xi вместо xi9 С/ и J вместо S
придерживаясь таким образом обозначения, соответствующего бес-
спиновым функциям. Формально мы можем поступить точно так же,
как если бы мы имели дело с антисимметричной функцией (363) без
580 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
спина1 *). Подставив ее вместо ср в вариационное уравнение (361) (кото-
рое в данном случае должно быть записано в форме 8
£
и принимая во внимание самосопряженность оператора Н, мы по-
лучаем, как и прежде:
J 8Х*Ях dX+fj 8ХЯХ* dX= 0
(суммирование по С при этом, конечно, также подразумевается).
Согласно (363), мы имеем;
(364)
и далее, так как интеграл
J PZ<f*HyjiX ^или точнее
J РЦ*Н-хйх}
С
какой-либо перестановки 7?,
не меняется в результате применения
например Р”1, ко всем переменным интегрирования:
^HidX=
или, окончательно, так как =
J* 8Х* Ях^=у= 2 J8 • *Ях dX==	J 8?*Ях dX (364а)
и аналогичным образом:
Подставив теперь вместо Н операторы (362b) (согласно опре-
делению не содержащие спина) и заменив |/л! X выражением
ерРср, мы получаем:
1) Вариации должны, конечно, относиться только ко множителю
Ф/(х)> оставчяя спиновой множитель 8т/(С) неизменным.
§ 45. Метод самосогласован, поля с антисимметричн. функциями 581
п
J 8х*^Х dx= 2 ер j* W? dA=
р
=2/₽ 2 <f 8?*Е (Xi> Pi) pt? ^+2 2 J*	p,*dx-
Z=1
Как легко видеть, интеграл
p^fi(x,.,A.)P<prfX,
где	VI n
8<Р*=2Ч«* ГпА
i — 1 k ф i
отличен от нуля только в том случае, когда Р означает тождественную
перестановку (в силу условий ортогональности ^k^ldX=Zkl^9
сводясь в этом случае к J Ь$*Е(Хц p^^dX;. Далее,
^'fF(xi)pi)PvdX=
= /]Ч!Ч*г)8Ф№) +
+ Ф/' (xk) Ц? (x,)] F(Xi, xk) ф,-(x-) фй (xft) dxtdxk,
если P тождественная перестановка, и
J 4*F(xi,pi)P?dX=
= J J [Ф/* (*i) 8Фл* (xk) +
+ Ф? (xk) 8ФЛ (*,)] F (xi, xk) Ф,- (xft) (X,.) dxtdxk,
если P обозначает транспозицию Tik, т. e. перестановку между
z-тым и А-тым электронами; во всех остальных случаях этот интег-
рал равняется нулю. Пользуясь соотношением симметрии F(xi9 х^ —
= F(xk9 xz), мы получаем:
J 8Х*^Х	= 2 J dXi	{ tЕ	’ Pi) +
+2 SdXk f (Xi) Xk) ।	(Xft) i2 ’Ь(x<)—
H^i
— 2 JdxkF(xi’ xk) <h* (xft) Ф,.(xft) % (xM.
582 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
Полагая для краткости:
Aki (•*) — j*F (х>х') Ф/ (*') Ф&* СИ dx	(365)
и
п
B(x) = ^Akk(x),	(365а)
k=l
мы можем переписать предыдущее выражение в следующем виде:
п
J8Х*//Х	8Ф<*(Х) {(£ (Х’ Рх) + В (Х)]	(Х) ~
/«Л
п	/
-	(365b)
А=1
Вычтя из этого уравнения и комплексно-сопряженного уравнения
j*	равенства:
hi J 8Ф/* (*) Ф* (х)dx + hi J Ф? W 8Ф^ (*) dx = °>
вытекающие из условий ортогональности и нормальности
J Фх*Фк^ = 81-й
и приравняв нулю коэфициенты при вариациях мы получаем
следующую систему уравнений для функций фДх):
п
(Е+ В) (х) -	(А ы +	(х) = 0	(366)
и совершенно аналогичную систему для функций, комплексно со-
пряженных с ними. Умножив эти уравнения слева на фу* (х) и про-
интегрировав по х (при этом подразумевается также и суммирова-
ние по С), мы получаем далее в силу соотношений ортогональности
и нормальности:
п
§ 45. Метод самосогласован, поля с антисимметричн. функциями 583
или, согласно (365) и (365а)
п
=ел+j* j* х") Vs w Ф/ <х) 2 dxdx< —
Л=Г1
п
— J J Р (х, х') <|/ (х) (х') 2 Фй* (х>) Фй О) dxdx'’> (366а)
где
Eji=J Фу* (*) Е (х, Рх) Ф/ (*) dx —	(366b)
матричные элементы собственной энергии электрона (содержащие
его потенциальную энергию t70 (х) по отношению ко внешнему
полю сил) для состояний i и /.
Хотя коэффициенты полностью определяются этими уравне-
ниями, их можно в действительности рассматривать как произволь-
ные константы, образующие эрмитову матрицу, т. е. удовлетворяющие
соотношениям Х*Л=Х^ и подчиняющиеся условию постоянства зна-
чения диагональной суммы	Это заключение вытекает из
i
того обстоятельства, что совокупность нормированных и ортогональ-
ных волновых функций может быть заменена любой совокупностью
линейных комбинаций этих функций, при условии, что преобра-
зованные функции:
ф:-=2с«'^
i
также удовлетворяют условиям нормальности и ортогональности.
Действительно, функции Aik преобразуются с помощью (365) со-
гласно уравнениям:
A-i'k? z==' Ci'i CwkAik)
i k
т. e. так же, как компоненты тензора в zz-мерном пространстве,
в котором роль координат играют п функций ^(х). Последние
можно также рассматривать, как компоненты некоторого вектора
4», относящиеся к определенной системе прямоугольных координат-
ных осей, причем функции ф/' представляют собой его составляю-
584 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
щие в другой системе таких же осей (с тем же самым началом коор-
динат). Другими словами, уравнения (366) можно считать инвариант-
ными по отношению ко всем ортогональным преобразованиям или
„поворотам* координатной системы, при условии, что коэффициенты
X.ft определяются как составляющие произвольного тензора X, опе-
раторы же Е и В являются скалярами.
§ 46.	Дираковский метод матрицы плотности.
Как было отмечено Дираком, произвол, содержащийся в опре-
делении компонент (х) вектора (х) может быть устранен, если
мы будем рассматривать скалярное произведение этого вектора на
вектор <У*(х'), комплексно сопряженный с вектором <р(х'), связанным
с некоторой другой точкой х'. Это произведение
п
p(x,x') = J^(x)^(x')	(367)
инвариантно по отношению к вышеупомянутому преобразованию и
является, таким образом, единственной величиной, которая может
быть определена однозначно при рассмотрении нашей задачи. Легко,
далее, показать, что оно является также единственной интересую-
щей нас величиной, так как энергия системы электронов:
Jx*^x^
может быть выражена как функция от р.
Действительно, предыдущее выражение может быть приведено
^точно так же, как и выражение I ^H^dX\ к виду
\	V	/
W= J®* Н/ dX = ер J dX,
р
или, если оператор энергии определяется выражением (362b):
w= I* dx— 2 J dX.
§ 46. Дираковский метод матрицы плотности
585
Отсюда, точно так же, как и при выводе (365b), мы получаем:
п
W=^Eti+
i = l
4"у- JJ <ЧХ, х') [р (х, х) р (х', х') — I р (х, х') I2] dV, (367а)
где
I р (х, х') |2 = Р (х, х') р (х', х).
Следует упомянуть, что сумма отличается от этого выражения
i
1
отсутствием множителя — во втором члене, соответствующем взаим-
£
ной энергии различных электронов, так что мы можем положить:
п
г = 1
Как легко видеть, величины соответствуют парциальным энер-
гиям отдельных электронов, рассмотренным в предыдущей теории.
Интеграл
•у J J х) Р (х> х) Р (X, х') dx dx'
е1
при F(x, х')=—;-----г представляет собой взаимную потенциаль-
Т (X, X )
ную энергию для того случая, когда заряды электронов распреде-
лены в пространстве с объемной плотностью е | (х) |2, причем
п
выражение е? (х, х)= е | (х) |2 равно результирующей плот-
ности „электронного облака*. При этом мы учитываем воздействие
части электронного облака, соответствующей каждому отдельному
электрону, на самое себя, что лишено физического смысла. Такое
самовоздействие устраняется, однако, вторым интегралом в правой
части равенства (367а):
---1 J J ?	Х ?(Х’ Х ) ^Х ^Х'*
586 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
содержащим также обменный эффект, или, как его обычно назы-
вают, „обменную энергию* электронов *)• Первый член в (367а) ка-
жется на первый взгляд несовместимым с представлением энергии,
как функции „матрицы плотности* р. Однако, если мы введем
элементы матрицы собственной энергии электрона f, определив эту
матрицу с точки зрения координат х по формуле
Е (х, х') = J 8 (х — х") Е (х", рх„) 8 (х'' — х') dx”
(см. § 14), мы можем положить (так как £н= J^/:(x)£<J»( (x)dx),
п
2 Ец= J (х, х') р(х', х) dx'dx. (367b)
То обстоятельство, что энергия W = J J*Н7 dX может быть выра-
жена как функция (или скорее „функционал") матрицы плотности рэ
показывает, что последняя может быть определена непосред-
ственно без помощи функций (х) ...	(х), служивших
ранее для ее определения. Умножив- уравнение (366) на ^*(х'),
вычтя из него произведение соответствующего уравнения для ком-
плексно сопряженной функции ф/*(х') на <pz(x) и просуммировав
по i, мы получаем, в виду соотношений A*k = Aki и 1*^ = 1 k.
[£ (х, рх) 4- В (х) — Е (х', рх) — В (х')]^ ф,- (X)	(Х-) —
- 2 2[Akt (х) ~А м (х')]	(х) =°- (зб8)
Если, далее, подставить сюда выражение (365) для Aki(x), за-
менив при этом х' на х", и положить аналогично 4w(x') =
*) Как было условлено в самом начале, знак j в предыдущих'уравне-
ниях означает в действительности как интегрирование по геометрическим
координатам, так и суммирование по спиновым координатам. Последние
могут быть введены явно лишь в окончательном результате. Они не играют,
однако, никакой роли, поскольку мы имеем дело с бесспиновой энергией.
Влияние их заключается лишь в том, что они позволяют вводить в рассмо-
трение дважды занятые бесспиновые состояния (с противоположным спином).
В результате мы получаем ряд соотношений вида Aik (х) = Аи (х) = Akk (х)
и Ац (х) = Akj (х) для индексов I и соответствующих тождественным
бесспцновым состояниям»
§ 46. Дираковский метод матрицы плотности
587
= § F(x\x',)tyk*(x")tyi(x")dx", то получается следующее уравне-
ние, содержащее только лишь матрицу плотности:
(Дг Вх Ex' Р (-^> % )
— J [F(x, х") — F(x', х")] р (х, х") р (х", х') dx" = 0, (368а)
где Ех— сокращенное обозначение Е(х,р^.
Вводя матрицу К, определенную с точки зрения х, по формуле:
К (х, х’) == Е (х, х') + 8 (х — х') В (х') — А (х, х'),	(369)
где
А (х, х') = F(х, х’) р (х, х') = е2 ?	* j (369а)
и согласно (365а)
В (х) = J В (х, х') р (х', х') dx1 = е* §	dx'9 (369b)
мы можем рассматривать левую часть уравнения (368а) как элемент
(х, х') матрицы А”р— р/С и переписать его, соответственно, в следую-
щей матричной форме:
/fp — р7Г=О.	(370)
Следует подчеркнуть, что вычитанием матрицы А (х, х') из матрицы
В (х, х') = 8 (х — х') В (х') устраняется та часть В, которая соот-
ветствует воздействию отдельных электронов на самих себя; в то
же время этим учитывается и обменный эффект.
С помощью нового матричного обозначения мы можем перепи-
сать выражение для энергии, как функции от р
r=Jpxdx'{£(x,x')p(x’,x) +
+	F (х, х ) [р (х, х) р (х', х') — | р (х, х') р }	(371)
в следующем виде:
1г=о[р(е+-1в-|л)]=
==d[(e+1S-1h)p],	(37..)
538 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
где £)(р)— сокращенное обозначение так называемой диаго-
нальной суммы, т. е. суммы (или интеграла) диагональных
элементов матрицы рь; в данном случае мы имеем
D(p) = j* |i (х, x)dx.
Уравнение (370), которому удовлетворяет функция р, может быть
получено непосредственно, т. е. без помощи функций фх (х) ... фп (х)
из вариационного уравнения 8TF=0. С помощью выражения (371)
для W мы получаем [так как F(x, x') = F(x’, х)]
8 W= J Jrfx dx' {Е (х, х') 8р (х', х) +
+ F(x, х1) [р (х, х) 8р (х', х') — р (х, х') 8р (х', х)]} =
= J Jdx dx! [£* (х, х')	8 — х') В (х') — А (х, х')] 8р (х', х) =
= у j dx'dx 8р (X, х') [£ (х', х) 8 (х' — х) В (х) — А (х', х)],
т. е.
8 W=D (8р • К)	D (К • 6р) = 0.	(371b)
Если бы вариацию 8р можно было считать произвольной, то из
этого уравнения следовало бы, что К=0, В действительности
же 8р ограничивается некоторым условием, которое может быть
установлено следующим образом.
Взяв квадрат р, мы имеем, согласно определению матричного
умножения:
р2 (х, х') — У р (х, х") р (хм, х') dx" —
Ф/ С*0 Ф<* (*") Фй (*") № СИ dx" =
i k
=22^=S =р
i k	i
(в силу ортогональности и нормальности функций фД т. е.
р* = р.	(372)
Взяв вариацию (372), мы получаем (так как 8р в общем случае
не коммутирует с р):
8р • р -j- р 8р = 8р.	(372а)
f f j J	x')?(x',x")X
§ 46. Дираковский метод матрицы плотности 589
Умножив это уравнение справа на р и заменяя р2 через р, мы
получаем при этом 8р • р-|- р 8р • р = 8р • р или,
р8р • р = 0.	(372b)
Это матричное соотношение может быть учтено при разыскании
р (х, х'), как функции двух независимых переменных, из вариацион-
ного условия (371b) обычным методом неопределенных множителей.
А именно, вводя в качестве подобного множителя неизвестную функ-
цию двух переменных |л(х, х'), составим выражение:
Jа (х, х') (р • 8р • p).V'.v dx dx'=
X 8р (х", Р *) dx dx' dx" dx'",
представляющее собой диагональную сумму D (рьр8р • р), прибавим его
к D (ЛЭД = J J* К(х"1, х") 8р (х", х"') dx" dx'" и переписав резуль-
тат в виде
^dx"dx"' Ър(х", х'")(лг(х'",х")4-
-|~ j* j*p (х'", х) р (х, х') р (х'х") dx dx* ) =
приравняем нулю коэффициент при 8р(х",х"'). Мы получим при
этом
К (х'", х") + j* J Р (х"', х) (х, х') р (х', х") dxdx' = О,
или, в матричной форме
рир-
Умножение этого равенства на р сначала справа, а затем слева
дает, в связи с соотношением (372):
Кр = —ррр2 = —ppp, p/C= — pVp = — ppp,
откуда следует
т. е. уравнение (370).
Равенство (372) показывает, что характеристические значения р'
590 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
матрицы р равны либо 1, либо 0 (так как они удовлетворяют
тому же уравнению р'а = р', что и р).
Согласно Дираку, этот результат можно трактовать как новую,
соответствующую методу плотности, формулировку принципа Паули.
Необходимо впрочем отметить, что матрица р может быть введена
по формуле (367) совершенно независимо от статистических свойств
рассматриваемых частиц. Легко, однако, показать, что она имеет дина-
мическое значение — в смысле описания движения системы
одинаковых частиц — лишь в случае; статистики Паули-Ферми (т. е.
в случае системы частиц, описываемых в методе конфигурационного
пространства антисимметричными функциями). Таким образом, ра-
венство р2 = р может выражать принцип Паули лишь неявным
образом, в связи с уравнением движения /Ср — р/С=О.
Для выяснения того обстоятельства, в какой мере и в каком
смысле равенство р2 = р на самом деле выражает принцип Паули,
рассмотрим матрицу р не с точки зрения координат одного из элек-
тронов, а с точки зрения его эйергии Е при движении в каком-
либо постоянном внешнем поле (не обязательно самосогласованном),
а также других коммутирующих, с Е величин, которые служат для
определения стационарных состояний электрона в этом поле.
Обозначим характеристические функции, описывающие эти со-
стояния, через <рл (Ек — соответствующие характеристические значе-
ния Е) и представим характеристические функции ф* , описывающие
стационарные состояния одного из электронов в самосогласованном
поле всей системы, в виде рядов
(•*) = 2 «« %(*)•
k
Мы получим при этом
р (X, х') = 2 2 2 аы a*k'i'?k Ч*к'
i k W
Матричные элементы р с точки зрения Е могут быть вычислены
по общей формуле:
= (Sfe | Р1£*<) = j* J* (ffe | я) (* | Р | *') (х' I fife,) dxdx',
где
• (х|р|х') = р(х,х')) (fife | X) = ф/ (X) И (x'|fife,)=<pfe, (х'),
§ 46. Дираковский метод матрицы плотности
691
дающей в нашем случае
Pfe/г' = aki а*ш •
i
Заметим, что это определение р с точки зрения Е приводит
к тому же равенству р2 = р, что и исходное определение.
В самом деле, составляя квадрат р, имеем
(р2) kw =	№ pw = O'kt	a*k"i ak"i^ a*k’v
k"	i /' k”
и принимая во внимание, что	аь”Г — 8/? > получаем
№
(р2) kk' = aki a*k'i = ?kk’)
i
т. e.
p2 —о.
В приведенном выводе предполагалось, что коэфициенты пре-
образования aki нормированы к 1. При этом условии квадрат
модуля aki a* ki представляет собой вероятность нахождения элек-
трона в состоянии фг», если известно, что он находится в состоянии
, или наоборот. Сумма
Uki
i
равная одному из диагональных элементов pkk матрицы р в но-
вом ее определении, представляет собой, следовательно, веро-
ятность нахождения электрона в состоянии %, если известно, что
он находится в одном из состояний фР В этом смысле новые диа-
гональные элементы вполне соответствуют старым р (х, х), произве-
дение которых на dx представляет собой вероятность нахождения
электрона в элементе объема dx, если известно, что он находится
в одном из состояний фр	’	<
Характеристические значения матрицы р в новом и в старом
представлении должны быть, конечно, одинаковыми. Новое пред-
ставление позволяет, однако, яснее понять их смысл. А именно,
592 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
эти характеристические значения представляю! собой не что иное,
как диагональные элементы матрицы р по отношению к стацио-
нарным состояниям описывающим движение электронов в само-
согласованном поле. При этом необходимо продолжить ряд функ-
ций которые мы ' определили выше лишь при Z=l, 2 ... п
для значений	Полагая ®k = tyk, мы получаем akl = 1 при
i=k.v 0 при Следовательно p^ = l или 0, в соответствии
с равенством p' = pftfe.
Мы видим, таким образом, что равенство р2 = р, взятое само
по себе, является тривиальным. Оно перестает быть тривиальным
лишь в связи с уравнением движения Лр— р/<=0, не содержа-
щим явно волновых функций, и относящимся лишь к случаю
частиц, которые подчиняются статистике Паули — Ферми. Само по
себе это равенство выражает принцип Паули лишь постольку, по-
скольку при образовании матрицы р подформуле (367) функции
ty. (Z=l, 2,... оо) брались с коэффициентом 1 или 0.
Предыдущие результаты легко могут быть обобщены на случай
нестационарного движения электронов, определяемого согласно
методу конфигурационного пространства с помощью уравнения:
("+^5)7=°-	<373>
Для получения соответствующей обобщенной формы уравнений
(366) или уравнения (370) для матрицы плотности мы должны лишь
принять во внимание, что уравнение (373) эквивалентно вариацион-
ному уравнению:
S	(н + 44) °-	(з73а)
[см. § 29, ур. (207а)].
Так как
р
п
i=l	V Ф i
1)	Заметим, что при п = оо формула (367) дает: р (х, х') = о (х— *')•
§ 46. Дираковский метод матрицы плотности 593
то, полагая для краткости
h f , t ,	V А Д
— 5~- I Ф/ ~~^~dx = a / ai = b> b — а> = Ь:,
2ittJ dt	1 ш 1	1	1
i = l
мы получаем:
n
f 8C?* f 8^* ( —
2vi J dt	J \ 2irz dt 1 7 Tx
Z = 1
Приравняв это выражение выражению (365b) для J* Zy*HydX и
принимая во внимание условия нормальности и ортогональности в
виде:
J Ч* (х) (x)dx = 0,
мы получаем вместо (366) уравнения:
п
(е+в+-^ dt) *'•(х) - 2(Аы+(х)=о> (з74)
/г= 1
где bki— численные коэффициенты или, в более общем случае, функ-
ции от времени.
Последние могут быть определены точно таким же образом, как
коэффициенты XZy, т. е. с помощью выражений, аналогичных (366а)
и отличающихся от последних дополнительными членами
h f i	л
2rfJ	dx'-
(374а)
Мы визим, таким образом, что они должны удовлетворять усло-
виям bki=b*k, в остальных отношениях оставаясь совершенно
произвольными. Составляя сумму
594 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
мы получаем, согласно (374):
2 ~ 2 Ь *+в) +
+22/ (Лы + *м)Ф/*М*-
i k
В виду соотношений ортогональности и нормальности имеем:
У У J=У У ьы J dx=ьн.
ik	ik	i
Сумма bu, таким образом, сокращается; наше уравнение сво-
i
дится при этом к прежнему выражению (367а) для^ Хй.
Произвольные коэффициенты bki могут быть исключены из
уравнений (374) точно таким же образом, как и из уравнений (366),
а именно — путем умножения (374) на<Ь*(х'), вычитания произве-
дения соответствующего (комплексно сопряженного) уравнения для
(х') на (х) и суммирования по Z. Мы получаем при этом вме-
сто (368):
 h £р(*,*') =	+р у) _
— J [F(x, x") — F(x', x")]f(x,x")p(x", x')dx", (375)
или в матричной форме, соответствующей (370):
h др
2т dt
/Ср —р/С
(375а)
Это соотношение не следует смешивать с выражением
h dM
2ih d*
(HF—FH)
§ 46. Дираковский метод матрицы плотности ,	595
для производной по времени от любой матрицы или оператора,
определенной в терминах тех же переменных, что и оператор Гамиль-
тона Н (не содержащий явно времени), для системы электронов.
Если матрицу К трактовать как энергию нашей системы электронов,
сведенной с помощью метода самосогласованного поля к одной ча-
стице, то выражение
— (^р_р/О = [/С,р]
дает часть производной по времени от матрицы р, соответствующую
изменению динамических переменных (например х и рх), через
которые она может быть выражена. Полная производная от р по
времени равняется/, таким образом,
<375ь»
в силу соотношения (375а).
Мы увидим ниже, что матрица р в смешанном представлении,
соответствующем с одной стороны координатам х, а с другой —
импульсам р, приблизительно соответствует функции р (х, р), опре-
деляющей число частиц (электронов) в единице фазового объема
классической статистической механики. Равенство (375b) или экви-
валентное ему равенство (375а) соответствует при этом теореме
Лиувилля.
Наиболее интересным свойством уравнения (375а) является, по-
жалуй, то обстоятельство, что оно не содержит явным образом
числа электронов и, будучи справедливым для любого значения
последнего.
Полная энергия системы электронов, определяемая формулой
(371) или (371а), представляет собой не матрицу, а обыкновенное
число. Если внешнее поле, входящее в собственную энергию элект-
рона Е, не зависит от времени, то можно показать, что это число
представляет собой постоянную движения. Действительно:
-d d(—K-\- — р—--------------р—) .
dt \dt 2* dt 2 v dt Г
596 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
Согласно определению В и А [в связи с (369а) и (369b)] мы
имеем:
D =	/р(х> х')8(х' — x)F(x, х')-^-(х", x")dxdx' dx"
= f f р(х, x)F(x, x")^(x" ,x")dxdx" = D
J J	ot	\ ot /
и аналогично
D
Отсюда
dW
dt
т. е.

db
или, согласно (375а):
Л =D [(/Ср - р'ю К\ = D ^р/с] - D (р/СЧ
at
чтд, как легко видеть, обращается в нуль.
Матрица
могла бы быть формально определена, как матрица энергии системы
электронов. Подобное определение не имеет, однако, какого-либо
динамического смысла, так как сущность метода самосогласован-
ного поля заключается в сведении уравнений движения системы
электронов к уравнению движения одного из них. Таким образом,
только матрица К может играть роль матрицы энергии и притом
для отдельной частицы. Она отличается от обычной
гии, такой например, как Е, тем обстоятельством,
висит от характера движения и соответственно этому
матрицы энер-
что сама за-
не может быть
л2
Р
аредставлена с помощью оператора обычной формы
§ 46* Дираковский метод матрицы плотности
597
Следует, впрочем, отметить,, что мы совершенно не заинтересо-
ваны в замене уравнения (375а) уравнением обычного Шредингеров-
ского типа:
Легко видеть, что в частном случае одного электрона последнее
совершенно эквивалентно уравнению (375а) или (375). Заменяя К
оператором энергии обычного типа Е, умножив, далее, уравнение
на ф*(х') и вычтя отсюда уравнение
умноженное на ф (х), мы получаем уравнение
- 2^7 {Ф (*) Ф* (*')} = (Ех - ^-) Ф U) Ф* (*').
представляющее собой частный случай уравнения (376b). Уравнение
(375) или (375а) можно, таким образом, рассматривать, как обоб-
щение волновой механики отдельного электрона, позволяющее путем
введения матрицы плотности р (х, х') вместо обычных волновых
функций описывать движение системы электронов точно таким же
образом (с модифицированным определением матрицы энергии К),
как и движение одного электрона.
Полное отсутствие числа электронов в уравнении общей теории
на первый взгляд представляется весьма странным. Это число факти-
чески вводится a posteriori в качестве постоянной интегрирования,
или, точнее, в качестве своего рода квантового числа, характери-
зующего рассматриваемую систему.
По внешней форме предыдущие результаты соответствуют шре-
дингеровской теории бесспиновых электронов; они могут быть при-
менены, однако, и к описанию системы электронов со спином в
соответствии с теорией Паули и Дирака.
Для этого необходимо, во-первых, присоединить к геометриче-
598 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
сейм координатам спиновую координату С (считая ее включенной в
символ х) и, во-вторых, подразумевать под Е и F соответствующие
операторы со спином, например под Е— дираковский оператор энер-
гии для одного электрона в заданном внешнем поле, а под F—
энергию взаимодействия двух электронов, учитывая, на ряду с куло-
новскими силами, также и другие эффекты (ср. формулу Брейта, § 53).
Матрица плотности при учете спиновой координаты определяется
следующей формулой
п
(х,у, Z, с I р | х',у’,z',С) = 2 <К- (xyzty ф,.* (x'y'z'C),	(376)
причем диагональную сумму ее по спиновой координате
п
(х,у, z, I р I x'y'z') = (хУг^ W (x'y'z'C)	(376а)
1=1 С
можно трактовать как соответствующую бесспиновую матрицу
плотности.	)
Обозначая через у (С, С) элементы дираковского матричного век-
тора скорости (деленной на с), мы можем далее определить бес-
спиновую матрицу, соответствующую плотности тока вероятности,
по формуле
п
(xyzIt I x'y'z') = С222 Ф/ (С, С') <h* (x'/s'C) (376b)
'=1 с с
или в составляющих по координатным осям:
%
(xyz I ii I x'y'z') = с 2 [ф<* (xyzi) фг (x'y'z' 1) 4-
я
4- ф, (xyz3) <k* (x'y'z'2) 4- фг (xyz2) V (x'y'z'3) 4-
Л-^(хуг1)^*(х'у'г'4)]
и т. д.
Заметим, что в некоторых случаях оказывается полезным опре-
делить матрицу плотности в еще более общем виде, относя мно-
жители и ф/* в формуле (376) не только к разным значениям
§ 46. Дираковский метод матрицы плотности 599
спиновой координаты, но также и к разным значениям времени.
Мы получаем, таким образом, дираковскую „релятивистскую*
матрицу плотности:
п
(xyztt | р | х'у'г'К, t') =	Ф/ (xyztf) ф,* (x'yz'C'f).
м
Как уже указывалось выше, четыре значения „спиновой коор-
динаты* С в теории Дирака соответствуют в действительности не
только двум различным значениям проекции спина Ъ, но также
двум различным характеристическим значениям матрицы у0, являю-
щейся квантовым представителем собственной лагранжевой функ-
ции электрона.
Метод плотности оказывается чрезвычайно удобным для описа-
ния явлений, связанных с заполнением уровней отрицательной
собственной энергии „виртуальными* электронами, а также с по-
явлением или исчезновением „пар* (электрон позитрон) в ре-
зультате освобождения одного из подобных уровней или его заме-
щения (применение обычного метода конфигурационного простран-
ства потребовало бы в этом случае введения бесчисленного
множества измерений). При этом представляется наиболее целе-
сообразным исходить из определения матрицы плотности не с точки
зрения геометрических и спиновых координат, а с точки зрения
собственной энергии или, точнее, оператора W=су • р Тоео» кото-
рым, как мы знаем, характеризуется принадлежность состояний
к типу положительных или отрицательных.
Такое распределение электронов, при котором все состояния
с отрицательными характеристическими значениями W заполнены,
а все состояния с W>0 вакантны, может быть описано с этой
точки зрения матрицей
1 / w \	1
Р« = 4(1-Й==’2'(1-Л)	(377)
где |Г| = j/e02 -f- (?р* — оператор, представляющий абсолютное
значение собственной энергии (ср. конец § 32). В самом деле, при
600 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
мы получаем согласно (377) р0 = О, а при 1Г<^0 р0=1
Возвышая р0 в квадрат, имеем далее
Po2=y(1 - 2Л + Л2Ь
или, так как Д2 = 1,
Ро2 = 4(1-Л) = Ро-
Всякое иное распределение электронов может быть описано
матрицей p = p0-}-pi, где рх представляет собой весьма малую по-
правку к р0 (поскольку число вакантных состояний с отрица-
тельной собственной энергией остается всегда бесконечно-малым в
сравнении с общим числом этих состояний).
Заметим, что с точки зрения теории Дирака именно этой по-
правкой и только ею обусловливается наблюдаемое распределение
электричества и соответствующее электрическое поле. Переходя
к представлению р с точки зрения координат, мы получаем для
объемной плотности наблюдаемого электрического заряда выра-
жение
е	(xyzZ | р, | хуЛ).	(377а)
Если в формуле р2=р положить р = р0-|-Рц и пренебречь квад-
ратом рп то получается следующее приближенное уравнение для pt:
PoPi + PtPo= Pi	' (378)
или согласно (377)
P1A4-AP1 = 0.	(378а)
Мы видим, таким образом, что матрица pj в первом прибли-
жении антикоммутирует с Л, т. е. представляет собой величину
нечетного типа (в смысле § 32).
Матрица р0 коммутирует с оператором W, т. е. удовлетворяет
уравнению движения U7p0 — poU7=O, соответствующему отсутствию
внешних сил. Если пренебречь взаимодействием электронов, то при
наличии внешних сил мы должны иметь
L Эр
dt
Нр—рН,
(379)
§ 46. Дираковский мвтод матрицы плотности 601
где H=W -\-еФ — у • А. Полагая для краткости е (Ф — у • X) = V
дрй
и замечая, что -^ = 0, получаем далее
~2^Ф=(1Гр1“Р*Г) + (УР0~р«У) + (Ур‘“р1У)-
Если трактовать внешнее поле как слабое возмущение, обуслов-
ливающее отклонение р от нормального значения р0, то можно
пренебречь последним членом правой части, как величиной второго
порядка малости. Заменяя при этом р0 его выражение^м по фор-
муле (377), получаем
или
+	(380)
При выводе этого уравнения мы не учитывали взаимодействия
между электронами. В обычной теории это взаимодействие учиты-
вается путем прибавления к Н оператора В — Л, матричные эле-
менты которого с точки зрения координат определяются форму-
лами (369а) и (369b). Если считать действие виртуальных электронов,
заполняющих состояния с отрицательными собственными энер-
гиями, равным нулю, то в указанных формулах р нужно заменить
разностью р—р0 = рР Мы получаем, таким образом,
/ (Л, «А/ J
(х IВI х') = 8 (х — х') j*	dx". (380а)
При этом к оператору V, определяющему действие внешних
сил, необходимо прибавить оператор энергии взаимодействия В — Л.
Для определения р в первом приближении получается таким обра-
зом следующее „уравнение движения":
(380b)
которое необходимо рассматривать в связи с соотношением (378а),
выражающим принцип Паули.
602 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
§ 47. Приближенные решения (Томас — Ферми — Дирак).
Рассмотренный в предыдущем параграфе метод плотности может
быть преобразован к форме, соответствующей методу плотности
в фазовом пространстве классической статистической механики.
Для этого необходимо ввести в рассмотрение смешанные ма-
тричные элементы плотности р — по отношению к координатам с
одной стороны и к импульсам — с другой.
Смешанные матричные элементы какого-либо оператора F по
отношению к двум различным операторам S и Т определяются
через его матричные элементы по отношению к координатам сле-
дующей формулой
(S' I Fj Г) = J J (S'\x')(x'\F\x")(x"\Т") dx'dx",
ИЛИ
(Г | F| S’) = J J (Г'| x') (x' I F| x") (x''| S") dx! dx".
В частности, для смешанных матричных элементов плотности р
по отношению к координатам х и импульсам р (в случае теории
Паули к последним необходимо присоединить также проекцию
спина ар в направлении р, а в случае теории Дирака, кроме того,
оператор Л) мы имеем следующие выражения:
(х|р|р) = J (хI р I х') (х Iр)dx'	(381)
И
(р|р|х') = J(p|x)(x|p!x')<Zx,	(381а)
где
(x\p') = (p\x')* = ea™-Plh,	(381b)
причем х • р — сокращенное обозначение скалярного произведения
xPx-\-yPy-\-zpz. Функции (381b) предполагаются нормированными
согласно условию
J (* IР) (Р1! х) dx— 8	~~
§ 47. Приближенные решения	603
Будем, далее, следуя Дираку, трактовать х и р, как обычные
взаимно коммутирующие величины классической
механики и сопоставим смешанные матричные элементы (381) или
(381а) с фазовой плотностью классической статистики р(х,р). На-
помним, что эта плотность определяется как такая функция от
координат и импульсов, произведение которой на элемент фазового
объема dx dp (= dx dy dz dpx dpy dpz) пропорционально вероятности
нахождения электрона в этом элементе объема или, другими сло-
вами, пропорционально относительному числу электронов в пот
следнем (в предположении, что взаимодействие между электронами
заменено эквивалентным внешним полем).
Будем рассматривать фазовую плотность р(х, р) как функцию
$х(р) импульса р при заданном значении х и разложим ее в инте-
грал Фурье по формуле
Px(P) = JPxte <*,	(382)
где р • $ — скалярное произведение векторов р и 5, a dt = dtx dty dtz*
Это разложение совершенно аналогично разложению некоторой
функции от времени /, например координаты электрона, для движе-
ния с определенной энергией W'.
i2ittw
= J fw.we h dw,
где —----частота. В последнем случае коэффициент Фурье w (со-
гласно принципу соответствия, гл. II, § 12) представляет собой
приближенно матричный элемент (W|/| W-|-^) для двух соседних
состояний с энергиями W и	(при условии w W).
Так как координаты х и соответствующие им импульсы р свя-
заны друг с другом точно таким же образом, как энергия и время
(канонически сопряженные величины), то коэффициенты Фурье р^ в
формуле (382) должны представлять приближенно матричные
элементы (х | р | х £). Фазовая плотность может быть, таким обра-
зом, вычислена с помощью матрицы (х | р | х') по формуле:
p(x,JP) = J(x|p|x + Q^2^d?	(382а)
604 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
Сравнивая это выражение с (381), мы получаем следующее прибли-
женное соотношение:
£2тср  х
(х|р|/>) = р(х, р)е h .	(382b)
ч
Коэффициенты Фурье в (382) могут быть вычислены по формуле:
J-2uip • g дГр
?{х,р)е h -hS> (383)
где h9 заменяет Л, так как dp означает здесь произведение
dpKdpydPi.
Полагая 5 = 0, мы получаем:
(х I р I х) = J Р (х, р) dp.	(383а)
Если не принимать во внимание явлений спина и состоя-
ний с отрицательной энергией, то (х | р | х) = V (*) ФЛ (х) пред-
i
сгавляет собой вероятное число электронов в единице объема
i^J(x|p|x)rfx = ^. Предыдущая формула показывает, что функ-
ция р(х, р) может быть определена в этом случае как вероятное
число электронов в объеме h3 фазового пространства.
Предыдущие формулы справедливы, очевидно, не только для
матрицы р, но также и для любой другой матрицы того же типа,
и в частности для матрицы энергии /С Выражая последнюю как
функцию от переменных х, р, мы получаем:
/<(х, р) = Е (х, р) + В (х, р) — А (х, р),	(384)
где Е (х, р) — обычное (классическое) выражение для собственной
энергии электрона;
В (х, р) — В(х) j* 8 (5)еdi,
т. е.
В (х, р) = В (х) = J dx' (384а)
§ 47. Приближенные решения
605
•— обычное выражение кулоновской энергии электрона, находящегося
в электрическом облаке с объемной плотности ер (х', х') и
А(х,р) — J(x|4 +	<	(384b
Воспользовавшись для матрицы (х|Л |х-|-Е) = Л (х, х-]-£) ее вы-
ражением (369а) и подставив вместо (х j р ] х -1~ 5) выражение (383),
мы получим:
•1	t2v(p-p').£
А(х,р) = -^ JJ F(x,x-\-^p{x,p,')e h didp1.
Величина (р—р') • Г представляет собой скалярное произведение
(Рх — Рх')Ъ + (Ру—Py’)ty + (Pz— Pz^z векторов р— р' и L
Фиксируя вектор р — р' =g и обозначая через 6 угол между ним и
переменным вектором мы можем заменить элемент объема dt =
— dtxdtvdtz выражением 51 sin 6 (Z6; так как F(x, х4~0 зави-
сит лишь от величины |5| = г вектора 5, мы можем выполнить инте-
грирование по 6, сохраняя г постоянным. Это дает:
-Н
(*	[ g |r cos 6
е h d\ — 2ъг* dr J е л d (cos 6) =
—i
sin----j-—	sin-----
— 2itr*dr------,—г-----= 2r dr---------1।------
h	h
и следовательно:
J (x И IX +1) „'VЛ = 2e> J’ J dr Sin .
Далее:
f .	1 г T°
J sin ar dr =------ l^cos ar J ,
606 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
1 ।
что равняется: — -f- неопределенная константа; последняя фактически
может быть отброшена. Действительно, если вместо интегрирования
по г до оо мы произведем интегрирование до некоторого большого
конечного значения, например 7?, и перейдем затем к пределу R = оо,
то после интегрирования по р' член, содержащий /?, обращается в
нуль. Мы получаем окончательно:
А <* '”=SJ 17=77 dp'-	<385>
Если функция р (х, р') заменена здесь функцией f(x, = даю-
п
щей вероятное значение числа электронов в единице объема
фазового пространства, то предыдущее выражение принимает вид:
(385а)
IT J \р—р I9	v
Отсюда не Следует заключать, что обменная энергия представляет
собой чисто квантовый эффект, обращаясь в нуль вместе с h. В
самом деле, при h 0 функция / стремится к оо, так что А со-
храняет конечное значение, соответствующее вычитанию из В энер-
гии воздействия отдельных электронов на самих себя.
Если функция /(х, р') обращается в нуль для больших значе-
ний р', то для достаточно больших значений р мы можем положить
S = 7 р(х’р)dp'=7р<* *>
и следовательно
Л (х, р) = Р (х, х).	(385b)
В. Фок показал, что это выражение применимо для всех зна-
чений р в случае электрона, движущегося в электрическом поле
нескольких других электронов, если влиянием его на последние
можно пренебречь. Так например, если мы рассмотрим щелочной
атом, содержащий TV —f— 1 электронов, N из которых образуют его
внутреннюю оболочку, тогда как один из них можно трактовать
как внешний (хотя в действительности он „проникает" в оболочку),
то эффект „самовоздействия" внешнего электрона, а также его пере-
§ 47. Приближенные решения
607
становии с одним из внутренних электронов выражается в уменьше-
нии энергии внешнего электрона на величину (385b). Формула Фока
может быть получена путем применения вариационного принципа к той
части полной энергии W= ^yJHydV, которая, помимо собственной
энергии Е „внешнего электрона", содержит члены, представляющие
его взаимодействие с остальными электронами (движение последних
предполагается заданным, т. е. не зависящим от этого взаимодействия).
Воспользовавшись для W выражением (371) и полагая р = р0 рр
мы получаем для рассматриваемой части энергии следующее выраже-
ние:
UZj = J ty*Etyrdx -J- J J F (x, x') [p0 (x', x') pt (x, x) dx dx' —
— p0 (x, x') pt (x, x1)] dx dx,
где p, (x, x') = (x) <Pi*(x') часть полной матрицы плотности р (х, х'),
соответствующая рассматриваемому электрону, а (х) — его волно-
вая функция. Последняя определяется из условия 8	= 0, которое
приводит к уравнению:
[Е (х, р) + 50 (х) - До] ф, =	(386)
(386а)
где Во (х) = е* J	— кулоновская энергия рассматривае-
мого электрона по отношению к остальным электронам, тогда как
40 — оператор обменной энергии — определяется формулой
ЛФ (•»)=f 7Z7VT ’J’ (*')dx'-
и Г ^Х, X J
Как было отмечено Фоком, величину —~, т. е. величину, об-
Г (X, X )
ратную расстоянию между точками х и хг, можно рассматри-
вать (если не принимать во внимание спиновых координат) как
4тг	,
матричный элемент оператора — по отношению к х и х, где
V2—оператор Лапласа. Это вытекает из того обстоятельства, что функ-
Jjf (х*)
г (х~х') ^Х> пРедставляет с°бой решение уравнения;
608 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
что символически может быть переписано в следующем виде:
<р =
4тг .
Применяя этот результат к (386а), мы должны принять во внима-
ние то обстоятельство, что применяется к функции от х при
постоянном х. Мы должны, соответственно, вернуться к первоначаль-
ному выражению р0(х, х') =	(х)ф/:(х') для плотности и по-
местить
оператор
1
V2
между множителями ^-(х) и <р/:(х').
Полагая
/г2
4к2
V2=p2, мы получаем следующее выражение для
(*):
п
h* V
лъ о)=— 2 'Ь w р~* 'Ь* w (•*)>
Z—2
uie х' в ф£*(х') и фДх') заменено через х в виду того обстоятель-
ства, что р~2, согласно определению, превращает функцию от
х' [/(х')] в функцию от х [ср (х)].
Для того чтобы получить приближение, соответствующее клас-
сической механике, мы должны трактовать р не как оператор, а
как обычное число. Это дает нам возможность записать предыду-
щую формулу в виде:
Л2
Л'!'! СО = Ро {X, X) (х)
и приводит к выражению (385b) для оператора До.
До сих пор мы пользовались спиновыми переменными неявным
образом, включая их в х и р. Предыдущие уравнения легко MOiyr
быть переписаны в соответствии с явным введением спиновых пере-
менных. Поскольку, однако, мы пренебрегаем динамическими эффек-
тами спина, влияние его проявляется лишь в удвоении максималь-
ного значения р(х, р) [и, следовательно, р(х, х')], допускаемого
принц том Паули. Как было установлено выше, р(х, р) можно
§ 47. Приближенные решения	609
рассматривать, как число электронов в объеме А3 классического
фазового пространства (которое, как мы знаем, соответствует от-
дельному бесспиновому состоянию классической механики). Введение
спина приводит к тому, что каждое бесспиновое состояние оказы-
вается занятым дважды (электронами с противоположным направле-
нием спинов); влияние спина должно, таким образом, заключаться
лишь в увеличении максимального значения р(х, р) с 1 до 2. 1
Если мы рассматриваем систему электронов (образующую, на-
пример, сложный атом) в нормальном состоянии, т. е. в состоянии
наименьшей энергии IF, мы можем предположить, что все индиви-
дуальные состояния с наименьшими значениями энергии заняты дважды,
или, иными словами, что вся соответствующая часть фазового
пространства х, р заполнена с максимальной плотностью р = 2,
остальное же пространство остается совершенно пустым.
Форма граничной поверхности может быть определена из того
условия, что р представляет собой константу движения, характери-
зуемого энергией К. Это обстоятельство (выражаемое условием ком-
мутации матриц р и К) сводится, как и в классической статистике,
к тому, что р должно быт£ функцией от К- Граничная поверх-
ность представляет собой, следовательно, поверхность К= const.
Далее, мы имеем:
(387)
где х заменено через г для того, чтобы отметить выделение спи-
новой координаты. Так как внутри рассматриваемой части фазового
пространства:
р(г,р') = const = 2,
предыдущее выражение сводится к:
/Г = £(л,р)+ВИ-^{/17^т}/	(387а)
1 При учете состояний с отрицательной энергией максимальное зна-
чение р оказывается равным 4. Необходимо, однако, помнить, что электроны,
находящиеся в этих состояниях, ненаблюдаемы, — точнее — наблюдаемы лишь
в виде позитронов, образуемых свободными местами.
610 VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
где интеграл
J f dp' I = f Г f_______________________________
IJ |p—p'j2Z	J J (px—px')24-(jpv—/’/)24-(рг—psT
должен быть распространен по всей насыщенной электронами части
пространства импульсов р\ связанной с данной точкой обычного
пространства г.
Для вычисления этого интеграла мы должны ввести некоторое
предположение о форме этого насыщенного пространства импульсов.
Предположим, что оно обладает сферической формой, а радиус
его Рг— некоторая (пока еще неопределенная) функция от ра-
диуса - вектора соответствующей точки обычного пространства г.
Мы получаем, таким образом:
Ar,p)= 2f	(388)
7	а	г	I *Г Р I	-
Далее
р('. г) = ^3 J* ре> Р") dP = рг\	(389)
и следовательно
8- р Р
bw=3F'Trh(389а)
На границе р = Р и следовательно
4^
Л(г,Л) = -^Рг	(389b)
Уравнение этой границы сводится к
4^2
ЛГ(г,р) = Е(г, Рг) 4- В (г) — — Pr = const. (390)
Это уравнение служит для определения Р, как функции от г.
Оно может быть заменено дифференциальным уравнением типа урав-
нения Пуассона, если мы примем во внимание то обстоятельство,
что В (г) представляет собой произведение заряда электрона е на
потенциал Ф, обусловленный распределением заряда с плотностью
(389), умноженной на е. Применив к уравнению (390) оператор
§ 47. Приближенные решения
611
p'l
Лапласа V3 и полагая, что Е(г. р) имеет обычный вид £—U (г)
7	2т 1	4 7
при V2£/=0, получаем:
/ Р2	'4г2 \
V2 + В(г)-----------,-Р = °,
\ 2т 1	h /
или
/ 02	4^2	\	32б>2Тй2
V2 4-----------, -Р = 4^2р (г, г) = - о , ч Р3.	(390а)
\ 2т	h / к	3 7г3	4
Это уравнение (найденное Дираком) представляет собой обобщение
уравнения теории Томаса — Ферми, рассмотренного нами в § 32
части I. Оно отличается от последнего наличием дополнительного
члена--------------- , учитывающего эффект „самовоздействия“ электронов
и эффект их перестановки между собой, а также тем тривиальным
обстоятельством, что электрический потенциал или плотность за-
менены функцией Р.
Глава IX.
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА.
§ 48. Двойное квантование в случае статистики Ферми.
Сведение задачи о движении системы тождественных частиц к
задаче о движении одной частицы, рассмотренное в предыдущей
главе, основано на более или менее грубых приближениях.
Это сведение может быть, однако, выполнено другим более точ-
ным способом, отвечающим методу экземпляров, изложенному
в § 20 части I. Последний связан с квантованием амплитуд волн,
характеризующий движение одной частицы. Этот способ может быть
назван „вторичным" квантованием, или квантованием интенсивности.
Впервые он был применен Дираком к системе частиц, состояние
которых может быть описано симметричной волновой функцией
(в связи с теорией световых квантов). Мы же разовьем его, прежде
всего, для системы электронов, что приведет нас к обобщению и
уточнению результатов, полученных^ в предыдущей главе.
При описании системы W электронов мы пользовались А/ ин-
дивидуальными ВОЛНОВЫМИ функциями (х), Ф2 (•*)... фдг (х), кото-
рые в случае стационарных состояний давали нам возможность
учесть лишь обменное вырождение.
Введем теперь в рассмотрение бесконечную последовательность
взаимно ортогональных и нормированных волновых функций этого
типа (со спином), оставляя форму их пока совершенно неопреде-
ленной (они могут, например, описывать движение какого-либо
электрона во внешнем поле, без учета взаимодействия его со всеми
остальными электронами).
Далее, объединим их в группы N функций и, точно так же,
как и раньше, для каждой группы составим антисимметричную
функцию /п. Однако, вместо того, чтобы отождествлять с вол-
новой функцией 2 (xi, Х2 ...	/), представляющей собой точное
§ 48. Двойное квантование в случае статистики Ферми , 613
( тт 1 А	л
решение уравнения [Н 4-——.— 12=0 для рассматриваемой си-
\	2 к i ut /
стемы электронов, мы положим
2 =	(391)
п
и определим коэффициенты Сп как функции времени, согласно хо-
рошо известным уравнениям теории возмущений (см. § 21)
(з92а)
п'
где
H^^H^dX	(392b)
(здесь под яинтегрированием" подразумевается также и суммиро-
вание по спиновым координатам).
Индекс и, характеризующий функции /, можно рассматривать
как совокупность чисел nlf .. пг..., соответствующих инди-
видуальным волновым функциям ф2... фг,... и равных 1, если
эти функции входят в группу /п или 0 — в противном случае.
Мы можем, таким образом, записать:
Zn = X (^1 , ^2 • • •	t); Сп — С(п\ у п*... пг../).
Числа пг указывают, таким образом, — занято ли соответству-
ющее r-тое индивидуальное состояние электроном или же нет. Для
вычисления матричных элементов (392а) мы можем воспользоваться
формулой [см. (364а) § 45]:
Нпге = j* dX^VN\ J dX~
= ysJ'^HR^dX,	(393)
Jmu t/
R
где <pn и срл/ — волновые функции, отвечающие определенному рас-
пределению электронов между 7V занятыми состояниями, например:
<pn (X) = %, (Xi) Ф,, (х2 )... фГд, (xn)	(394)
614 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
и
?я- (А) = ’(Xi ) ^2>(х2 ) • • • '\r'N (XN).	(394а)
Поскольку Н имеет обычный вид:
дт
я = 2 £ К А) -г 22 F ('Xi' Х^’
i—i	i<£k
матричные элементы (394) должны исчезать тождественно, если,
группа ri отличается от группы п больше, чем двумя индивидуаль
ными состояниями (в силу ортогональности волновых функций <р).
Мы должны, таким образом, различать три случая:
1.	п = п\ т. е. пг = Пг для всех значений г, или уп = уп,.
В этом случае матричный элемент (393) сводится к значению энер-
гии W, уже вычисленному нами в § 42 [формула (345)]. Полагая:
__)
^*E^dx = E„,	(395)
И
j* J	(х) 6/ (х') F (х, х')	(х)	(х') dx dx' = Fr, s- s,, (395a)
мы можем переписать его в следующехм виде:
Ипп = Ерр 'V'V (Fpt q-p, q Ep,q-,qiP)'	(396)
p p<q
где p и q пробегают все те значения г, для которых /гг=1.
2.	Группа п отличается от группы ri тем, что одна из функ-
ций, например ^Г/(х), заменена другой фг'Дх), причем все осталь-
ные множители в (394) и (394а) одинаковы. Полагая rt=p и
г[, —р, получаем:
Нпп,
— Epp' +
(Fpq> р'я Fpq, •
(396а)
q
3.	Группа п отличается от группы ri тем, что две функции
<рг.(х{) и (хл) заменены двумя другими функциями (Не относя-
§ 48. Двойное квантование в случае статистики Ферми 615
щимися к первоначальной группе) ф/ДХ/) и ^Дх*). В этом слу-
чае, полагая p = rb q = rk> /?' = /</, q' = r'kh получаем:
— ^пп' — Fpq; p'q'	Fpq; q'p' •	(396b)
Неопределенность знака в формулах (396а) и (396b) обуслов-
ливается неопределенностью той последовательности, которую об-
разуют индексы г/Д, ... гУ в (394а) по отношению к исходной
последовательности индексов rt,,r9, ..., Глгв(394). Для устранения
этой неопределенности мы будем в дальнейшем предполагать, что
в обоих случаях индексы расположены в порядкевозраста-
н и я (fj г2 Л . </Л<, ' <С r<2	)> образуя „натуральные*
последовательности.
Вернемся к тому случаю, когда совокупность индексов гп ...,
отличается от совокупности г/, ..., г^' заменой одного индекса
т\ = р на другой гу — р'. Согласно формуле (393) мы получаем при
этом для Нпп> выражение (396а), умноженное на е^, где R — та
(единственная) перестановка, которая в применении к %, дает
=	(Х1) • • • Фг,_ I (Хм) (xi) (Xz4-1) • • • ФгдгС^лО,
т. е., другими словами, восстанавливает исходную последователь-
ность индексов rj,	, . ..Гдг, с заменой в ней rz на rjv.
Таким образом, в последовательности г/, г2', . .. Гдг' индекс г?
находится на z'-том месте, тогда как в последовательности, полу-
ченной из нее с помощью перестановки R (или вернее обратной
перестановки У?-1, примененной не к координатам электронов, а
к индексам, характеризующим их состояния) на /-том месте. Пере-
становка R (или У?-1) оказывается поэтому эквивалентной |/'—/|
транспозициям, откуда следует, что е#=(—1)1*'~*1 или, так как
сумма /-)-/' принимает четные или нечетные значения одновременно
с разностью |/'—Zj,
е^ = (-1)* + *\
Заметим, что числа Z и /' равны соответственно сумме единиц в
рядах tit, я2... пг. и л/, я2',... пг>.,, т. е.
/ =«! 4~я2 4-.
i'-= ' 4- пг 4- • • • + п'пр >
так как остальные числа этих рядов равны нулю.
616 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
Мы можем положить далее
(~ 1)+ - + -+“'‘ = о - 2»,) (1 - 2»,)~ 24
и следовательно
(397)
где
k—p	k=pf
^=П(1-2«Й) и *;= П	(397а)
fe = l	/г = 1
так называемые „знаковые функции* * Вигнера.
Аналогичным образом легко показать, что знак (±) в форму-
ле (396b), соответствующей замене пары индексов р, q в последо-
вательности г}, ..., Гу двумя другими индексами р', q' в последо-
вательности г/, ..., гдг\ определяется - выражением
^=WA'-	(397b)
Систему уравнений (392а) можно переписать в виде одного
„волнового* уравнения
h d
-^7777-С(«>О = *С(М),	(398)
z nt at
в котором коэффициенты С (п, /) играют роль волновой функции, а
К представляет собой надлежащим образом определенный оператор.
Для определения этого оператора будем исходить из следую-
щих соображений.
Так как каждый из аргументов лг(г=1, 2,...) принимает
лишь два значения, 0 и 1, то уравнение (398) должно предста-
влять известную аналогию с волновым уравнением для системы бес-
конечного числа частиц со спином, если отвлечься от зависимости
волновой функции от геометрических координат и рассматривать
лишь зависимость ее от спиновых переменных а,г. Напомним,
что последние принимают значения — 1 и 1, которые можно рас-
сматривать как характеристические значения диагональной ма-
/— 1 0\
трицы ( q । ), представляющей величину а2г как оператор. Анало-
гичным образом значения 0 и 1 каждой из переменных пг (число
§ 48. Двойное квантование в случае статистики Ферми 617
электронов в r-том состоянии) можно рассматривать как харак-
теристические значения диагональной матрицы
«, = (° ?),	(399).
представляющей величину пп как оператор.
Далее, волновая функция С, в зависимости от каждой из пере-
менных пг, должна представляться матрицей с двумя строчками w
одним столбцом
ОД=О>	(399а>
аналогично волновой функции для одного электрона в теории
Паули.
Что касается оператора К, то он должен представлять собой;
некоторук) функцию от элементарных операторов, относящихся к
отдельным переменным пг и аналогичных операторам qx или av;
теории Паули.
Действие этих операторов на волновую функцию С (л, t) должйо„
очевидно, сводиться к замене одного или двух возможных значений
каждого из переменных пг другим. Для этой цели Гейзенберг поль-
зуется оператором
ж /0	1\
АН1 0/ •	<400>
который в применении к матрице (399а) дает матрицу
и обратно.
Вместо этого оператора мы введем (следуя Йордану и Вигнеру>
два адъюнгированных оператора
/0 1\ х /0 0\
а' \о о/и *г= \ 1 О) ’	(400а>
сумма которых равна (400) и которые в применении к С(пг) дают
согласно (399а)
/ст/сад дс(оя ( о ।
618 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
т. е.

если пг = О
если nr = 1
«г1 C(nr) — {C(w
если /гг = 0
если /гг=1.
Таким образом, операторы аг и аг+ соответственно увеличи-
* ..
вают и уменьшают переменную пг на 1 в пределах целых чисел
€ и 1, которыми исчерпываются возможные значения этой пере-
менной; вне этих пределов они тождественно дают нуль. ,
Заметим, что квадраты операторов аг и а/ согласно (400а)
равны нулю (в соответствии с тем, что исходное значение пг не
может быть увеличено или уменьшено на 2); произведения же их
друг на друга равны
а/ аг = пг и ar ar+ = 1 — пп
где 1 обозначает единичную двухмерную матрицу
1
0
(400b)
о\
J , так что

°Y
0/
Пользуясь этими операторами и выражениями (396), (396а),
(396b) для не исчезающих матричных элементов Нпп<, в связи с фор-
мулами (397а) и (397с) для определения соответствующих знаков,
мы можем представить оператор К в уравнении (398), следующим
«образом
р
*pq\pq Fpq',qp}-\~
pcq
Fpq-, p'q ^pq\ qp') Wp'^p
р -рр'
р'
q
<•
(Fpq\ Р'Я' Fpq\ q'P') ^p^q^p'^q,ap+aq^ ap'aql •
q'
Сумма
р
может быть включена в двойную сумму
£ EpprtpVp'(ip+a.p',
p p'
§ 49. Двойное квантование в случае статистики Ферми 619
если отбросить условие р' так как при 11 = 11 и р’ =р про-
изведение vpvp> обращается в 1, а оператор ар+ар> сводится к 1 для
тех индексов р — р' = г, которые фигурируют в последовательности
Zj, ..., Гд', и к нулю — для всех остальных, то суммирование по
р и р' можно распространить на все значения индексов, неза-
висимо- от того, входят ли они в п и ri или нет.
Аналогичным образом, двойная й тройная сумма для матричных
элементов энергии взаимодействия могут быть включены в четвер-
тую сумму, если в последней переставить операторы и . За-
метим, что порядок этих операторов не имеет значения, если q’ ф q.
Если же q' — q, то мы получаем
^aq+wp,=(i^nqa1P =iiq^pap, (q-i-p)
и
= Vp')p, .
Если q' = q и p' —p, то оператор	сводится
к произведению npnq, и четвертая сумма сводится к двойной
pq “ h>q\ qp)-
p<q
Предыдущее выражение для оператора К можно следовательно
переписать в более компактной форме
•	к = 22 Ерр, Vp'	+
р pf
22 (Fpq’, P'qf Fpq\ q'P') Vp'^p^q'^p^q aq'ap' ,	(401)
p' q'
где p, q, p, q пробегают всевозможные значения независимо друг
от друга при единственном условии p<^Q-
Для того чтобы уравнения (392а) можно было записать в опе-
раторной форме (398), оператор К не должен содержать каких-либо
индексов, относящихся к каким-либо определенным состояниям п'.
Поскольку дело касается индексов р’ и q', то они могут пробегать
любые значения, независимо от р и q, так как при несоответствии
этих значений друг с другом связанные с ними члены аннулируются
автоматически в силу свойств операторов а и а . Таким образом
для приведения оператора К к надлежащему виду нам остается
620 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
лишь освободиться от множителей v р, и связанных специ-
фическим образом с состояниями ri, и заменить их множи-
телями и связанными с состояниями исходной системы п.
Это преобразование, приводящее вместе с тем к дальнейшему упро-
щению выражения для К, может быть осуществлено с помощью
соотношений коммутативности между операторами а, а+ и „знако-
выми функциями“ V.
Заметим, прежде всего, что операторы аг и аг+ антикоммутируют
с оператором 1—2/?г. В самом деле, заменяя пг произведением
аг+аг, имеем:
аг (1 — 2«г) = «г 0 — 2агЧ) = «г — 2 («гО аг = ,
= (1 — 2arv ) ar = [1 — 2 (1 — нг)] аг
согласно (400b), т. е.
аг(1— 2пг)~ — (1 — 2яг)аг.
Если (1 —2пг) записать в виде
-[1-2(1- яг)] = - (1 - 2аг<),
то мы получаем сходным образом
аг+ (1 — 2пг) = — а/ (1 — 2агаг+) =
= — [V — 2 (а/ аг) аг ] = — О — 2пг) аЛ
Отсюда следует, что
а Л = —	< Vr = — W
и при r<^s
аЛ = —	> аЛ — '>ras,	(402а)
так как содержит множитель 1 —2пГУ антикоммутирующий с аг,
a vr содержит лишь множители, коммутирующие с as. Само собой
разумеется, что операторы аг и as при гфз коммутируют друг
с другом (так как они относятся к различным переменным пг и п^),
С помощью предыдущих соотношений можно выразить множи-
тели Vp, и в формуле (401), относящиеся к совокупности чисел
л/, л/, • через множители и относящиеся к исходной
совокупности , /г2, ... ; это приведет нас к окончательному вы-
ражению для оператора ТС
Если совокупность чисел ri отличается от совокупности п за-
§ 49. Двойное квантование в случае статистики Ферми 621
меной hp = 1 на пр = пр — 1=0 и пр, = 0 на пр, = пр 1 = 1,
то по определению v'pi [см. формулы (397а)] имеем
V = vp,, при p<Zp\ и Vpz= — при р>р'.
В первом случае Ур- антикоммутирует как с так и с ар,,
а во втором — коммутирует с ар+. Таким образом, в обоих слу-
чаях мы имеем
Vp/«p+ap/ = Vp«p+ap,Vp/.
Если совокупность ri отличается от п заменой чисел пр=\ и
nq = 1 на nJ = 0, nJ = и zzpr=O, nq> = $ на п' р> = 1, п q, = 1,
то мы получаем аналогичным образом
^p^q^p'^q’^p^^p^q^p' ~= ^р^р ^q^q ^q’^q'^p'^ р' •
Введем теперь новые операторы
a/ = vrar+, dr = a^r, ,	(403)
которые, как не трудно убедиться, удовлетворяют соотношениям
aA + asar = °, ar+as+ + ns+ar+ = 0	(403а)
=	(403b)
(т. е. 1 при г = s и 0 при r^s).
Формула (401) может быть при этом переписана в виде
к=22 Ерр,аргар’+
р р'
4“	J^J^(Fpp; p/qt FPq> qfpt) dp+dq+dqtdpt =
P<Lq Р' q'
В виду очевидного соотношения Fpq. ptqi = FqP] qfpi последние две
суммы равны половине суммы
Fpq-, p^tCLp^ClJ^dqidpt
Р Я Р' Я'
распространенной по всем значениям индексов р, q, р\ q', без ка-
ких бы то ни было ограничений.
622 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
Окончательно получаем следующее выражение для оператора Д’:
К =	\ Ерр<ар+ар, 4-
jma - ла
Р Р'
Epq\ р^йр G-q dq’Clp'.
(404)
Установив соотношения (403а), (403b), которым удовлетворяют:
операторы аг и аг , мы можем уже не прибегать к помощи вспо-
могательных операторов а, и у, через которые они были опре-
делены, и таким образом освободиться от произвола, связанного с
нумерацией различных состояний, т. с. с установлением „натураль-
ной последовательности" индексов.
Соотношения (403а) и (403b) определяют операторы а совер-
шенно однозначным образом. Операторы эти могут быть . предста-
влены некоторыми матрицами с точки зрения матрицы, образован-
ной совокупностью чисел	если мы расположим определен-
ным образом различные индивидуальные состояния. Поскольку нас
интересует лишь одно из индивидуальных состояний, мы можем
определить соответствующее число пг, как двухмерную матрицу (399)
и представить операторы аг и а* теми же матрицами:
/О 1\	. /о 0\
Но о/’	о)’
которые служат для представления операторов аг. Различие между
ними выступает лишь в том случае, если мы примем во внимание все
состояния /*(=1,2,3...). Общее представление операторов'аг и
az+ может быть получено путем объединения выражений (399а) с
единичными матрицами — ! I , относящимися ко всем осталь-
’ и 1 / 5
ным состояниям (sz4r)>B диагональную суперматрицу с элементами.’
в< случае и
в случае а/.
§ 48. Двойное квантование в случае статистики Ферми 623>
Для получения общего представления аг и а* мы должны за-
менить матрицы &!, , ...8^ ,матрицами 1—2/Zj,	1—2/z2>
... 1 — 2nr_t.
Определенные таким образом суперматрицы с диагональными,
элементами:
(l-2/z,), .... (1-2/^), (° q),(1 —-2я,.+1), (1 — 2яг|3)...
И
(1-2/zJ, (1—2w.,), .... (1-2/z^),	°), (1—2яг+1)...
удовлетворяют всем соотношениям (403а, Ь). Совокупность чисел:
пх,	..' должна быть представлена, соответственно, как диагональ-
ная суперматрица с элементами
/q, /г,,...
Операторы аг не являются эрмитовыми. Они могут быть, однако>
выражены с помощью эрмитовых операторов:
/0 1\	[ 0	/—1 0\
°х~\1 О/’ °'—  — i	0 1/’
h
произведения которых на —- представляют слагающие электронного
спина (см. § 29).
Ограничиваясь рассмотрением какого-нибудь одного индивидуаль-
ного состояния и соответственно этому отождествляя операторы а.
с а, имеем согласно (400а):
°Х — (а T а+). °v = i (а — а+),
откуда:
—w.v), «+ = -2-(°.v + «V
Заметим, что совпадает с рассмотренным выше оператором Д.
Далее имеем:
«=4- (§+°г)
А
и
1 е — 1	ч
1 £Г1г — (о o^)v
624 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
следовательно:


(причем индекс 5 в обозначает, что матрица относится к 5-тому
состоянию.
Мы видим, таким образом, что оператор энергии К может быть
выражен с помощью обычных спиновых операторов, относящихся
к различным индивидуальным состояниям. Это тем более есте-
ственно, что энергия взаимодействия электронов в связи с пере-
становочным эффектом может быть представлена с помощью операто-
ров i (1 -ф- аг • а5), как это было показано в § 43 предыдущей главы.
л
В данном случае задача усложнена необходимостью введения опе-
раторов vr для того, чтобы обеспечить антикоммутативность опера-
торов аг и as (илй а/ и а*), относящихся к различным состояниям
<(тогда как операторы аг и должны коммутировать друг с другом).
То обстоятельство, что оп§раторы пг обладают двумя различ-
ными характеристическими значениями 0 и 1, положенное в основу
определения операторов аг и аг+, можно рассматривать как след-
ствие соотношений (403а) и (403b), характеризующих эти опе-
раторы в связи с формулой (403); последние, с этой точки зрения,
служат для определения операторов пг. Действительно, умно-
жая соотношение аг Ьг+ — 1 V- пг слева на аг+, получаем:
а/ аг аг+ — аг+ — аг+ пг,
или, так как а/ аг = пг,
пг аг+ —	— а* пг,
откуда, по умножении справа на аг:
п* = пг — а* пгаг.
'Согласно соотношению
аг+ пг аг = а* аг+ аг аг
и соотношениям (403а), имеем далее
аг аг = аг+ а* = 0.
Таким образом,
л/ — пг = О,
откуда следует, что характеристические значения пг равны 0 и 1.
§ 48. Двойное квантование в случае статистики Ферми 625
Этот результат следует рассматривать, как сущность теории кванто-
вания интенсивности, в применении к системе электронов.
Изложенная выше теория может быть представлена в более ком-
пактной форме с помощью выражения:
= <405>
представляющего собой обычную функцию от координат электрона
и в то же время являющегося оператором по отношению к ампли-
тудным коэффициентам С (пг' , ...), которые играют роль волно-
вой функции в уравнении
Умножив (х) слева на адъюнгированный оператор
= (•*)
(405а)
и проинтегрировав по х (что включает, по обыкновению, также и
суммирование по спиновым координатам), получаем в силу ортого-
нальности и нормальности функций ^г(х):
ОО	00
J Ф* W dx = У а/ аг = У nr.	(405b)
т—Х
Это уравнение совершенно аналогично уравнению, соответствую-
щему обычному случаю функций типа (405) с амплитудными коэффи-
циентами аг, определяемыми как обычные числа. Заменяя эти числа
операторами, удовлетворяющими условиям (403а) и (403b), или даже
менее специальным условиям: аг аг = 0, а/ а/ = 0, а^аг аг а* = 1,
мы получаем для числа электронов, относящихся к некоторому
индивидуальному состоянию, одно из двух характеристических
значений 0, 1 оператора а* аг = пг, в соответствии с принципом
Паули. Общее число электронов N может быть определено, соот-
со
V
ветственно, как характеристическое значение суммы 7 и; оно вы-
т = 1
ступает, таким образом, в роли добавочного „количественного"
626 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
квантового числа (см. часть I, § 20). Как легко видеть, в силу со-
отношений (403а, Ь) оператор
со
л=1
коммутирует с оператором энергии К и представляет собой, следо-
вательно, константу движения; это означает, что число электронов,
образующих некоторую систему, остается постоянным, — как, ко-
нечно, и следовало ожидать.
Оператор К может быть, в свою очередь, выражен с помощью
функциональных операторов Ф (х) и адъюнгированных операторов
Ф+(х), не содержащих явно операторных коэффициентов аг. Мы
имеем:
Err, ar+ ar. = j* Т+ (х) Е W (х) dx
Г г*
И
FrSf г>5> ar+	aSf аг> —
г s г' s'
= I* J Ч'+ (x) Ф+ (x') F(x, x') Ф (x ) Ф (x) dx dx',
так что К может быть представлено в следующем виде:
/<= J T+(x)£*F(x)dx +
+ у J* j* 'F+ (*) ф+ (*) F(х, х') Ф (х') Ф (х) dx dx'.	(406)
Это выражение сходно с выражением (371) § 45 для энергии IF, если
матрицу плотности р (х, х') заменить произведением Ф+ (х) Ф (х').
Основное различие между обоими выражениями заключается в том,
что обменный эффект, представленный отрицательным членом под зна-
ком двойного интеграла в (371), в выражение (406) не входит явным
образом, а автоматически учитывается свойствами операторов Ф (х).
§ 48. Двойное квантование в случае статистики Ферми 62?
Полагая F(x, х')——-------г-, что соответствует обычному куло-
/* (X, X )
невскому взаимодействию между электронами, и вводя оператор
Ф(Х) = е f Ф+ (х') Ф (х')	,	(406а)
v	г\Х, X )
Представляющий электрический потенциал, обусловленный распре-
делением электричества с плотностью:
ер (х', х') = (хг) Ф (х’),
мы можем заменить (406) выражением более простого вида:
к= f Ф+(х)(£ + -1еф)
ЧТ (х) dx,
(406b)
соответствующим среднему значению энергии W для электрона, дви-
жущегося в электрическом поле, состоящем из внешней части
(входящей в Е) и квази-внешней части, обусловленной наличием
собственного поля и представленной электрическим потенциалом Ф
с добавочным множителем
Коммутативные свойства операторных функций 4е легко вывести
из соответствующих свойств операторов а и из условий ортогональ-
ности и нормальности функций фг(х). Умножив W'(x) на ЧГ (х'),
получаем:
Ф (х) Ф (х') = аг -К (х) 2 as Ф» (*') =
Г	S
=2 2йг а* —22as аг
Г S
т. е.
Ф (х) Ф (х') + Ф (х') Ф (х) = О
и, аналогично:
Ф+ (х) Ф+ (х') + Ф+ (х') Ф+ (х') = 0.	(407)
Далее:
Ф+ (X) Ф (X') = 22 ar+ V <Х) <*') =
Г S
=- 22	*'*(х) (У)+22(+' (х>)1
г S	Г S
628 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
откуда: г
Ф* (х) Ф (х') + Ф (У)	(х) = 8 (х — У),	(407а)
где 6(х — х() — произведение дираковских 8-функций для геомет-
рических координат на 8^г (С и С' — значения спиновых коор-
динат для точек х и У). Следует заметить,, что в данном случае
формула а* аг = пг заменяется формулой (405b) или:
j Ф+ (х) ’F (х) dx = N.	(407b)
Функции фг(х), служащие для определения операторов W (х),
оставались до сих пор совершенно произвольными, помимо условий
взаимной ортогональности и нормальности. Задача, стоявшая перед
нами в начале этого параграфа, заключалась в нахождении коэффи-
циентов Сп, определяющих волновую функцию: Й = ^СП/П, кото-
п
рая описывает поведение рассматриваемой системы электронов в
конфигурационном пространстве. С этой точки зрения функции
^г(х) играют вспомогательную роль.
С другой стороны, ясно, что результаты, даваемые предыдущей
теорией, могут иметь практическую ценность только в том случае,
если отдельные антисимметричные функции являются хорошим
приближением к функциям Й, описывающим стационарные состоя-
ния системы во внешнем поле, не зависящем от времени или опи-
сывающим специальные виды движения в данном переменном внеш-
нем поле. Полагая последнее постоянным, мы приходим, следова-
тельно, к задаче такого определения индивидуальных волновых
функций ^г(х), при котором функции Хп, являлись бы наилучшим из
возможных приближений к точным антисимметричным волновым
функциям, описывающим стационарные состояния системы.
Рассмотрим стационарное состояние системы, определяемое точ-
ным уравнением:
KC=W-C,	(408)
к которому сводится общее уравнение
-Дт -^—С—КС при замене
2zZ dt	к
§ 48. Двойное квантование в случае статистики Ферми 629
оператора —	—тг характеристическим значением энергии W:
2ki at
при этом когда все значения функции С(пх , п2 , . ..), для которых
= А/, предполагаются пропорциональными е 11 * > точно
так же, как в случае обычного уравнения Шредингера. Обозначая
амплитуду Сп через CnW, мы получаем следующее точное представ-
ление стационарного состояния системы (в конфигурационном про-
странстве):
CnwXnW-	(408а)
п
Уравнение (408) должно быть, очевидно, эквивалентным вариа-
ционному уравнению 8 W = Z ^Qi^wHQwdX= 0, где 2^ выра-
жается формулой (408а), в связи с условием ^С*пСп=\. Это
п
вариационное уравнение может служить для определения коэффициен-
тов Сл, если известны функции /п, т. е. индивидуальные функции
Им можно воспользоваться также с обратной целью — опре-
деления функций если известны коэффициенты Сп- В том слу-
чае, когда последние обращаются в нуль для всех значений п, кроме
одного, мы возвращаемся к рассмотренному в предыдущем пара-
графе случаю самосогласованного поля.
Поставленный выше вопрос сводится, таким образом, к следую-
щему: можно ли определить одновременно как функции так
и коэффициенты С из одного и того же вариационного уравнения
0, где W— f Q*wHQwdX? Ясно, что такое определение
возможно в случае функции вида (408а) с конечным числом
членов; в частности, если только один из них отличен от нуля,
мы возвращаемся к уже решенной нами задаче об определении са-
мосогласованного поля.
Однако так же, как и в этом частном случае, наше решение бу-
дет содержать некоторый элемент произвола в отношении вида функ-
ций фг(х) (которые можно всегда заменить совокупностью других
функций, полученных из них путем линейного ортогонального пре-
630 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
образования). Этот произвол будет возрастать с увеличением числа
отличных от нуля членов и станет бесконечным в предельном
случае бесконечного ряда (408а).
Поскольку, однако, нас интересует не чисто формальное, но
практическое решение нашей задачи, мы можем трактовать
ее таким образом, как если бы число членов (в 408а) являлось ко-
нечным; этот метод обеспечит нам наиболее быструю сходимость
ряда, получаемого в предельном случае. Отбрасывая в уравнении
(408а) индексы W и 0, получаем:
J Q*HQdX= 22 С*С"’ J*	dX’
п п
т. е.
у?=УУ сп*н„п,сп,,
/ । / ।	/4 ДД Д г
П П9
что может быть переписано в виде:
(409)
п
Рассмотренная нами до сих пор задача была эквивалентна вариа-
ции коэффициентов Сп при постоянном значении (виде) оператора
К- Она может быть, таким образом, сформулирована с помощью
уравнения:
28С„*/<С„+2сл*№С„ = О,
п	п
причем
28Ся*С„ + 2ся*8Ся==О,
п	п
что приводит нас снова к уравнению (408). Следующий шаг, кото-
рый мы должны предпринять для получения наилучшего приближе-
ния, состоит в вариации функций фг(х), т. е. определяемого ими
оператора К- Мы получаем, таким образом, добавочное уравнение:
С„ = о,	(409а)
д
§ 48. Двойное квантование в случае статистики Ферми 631
С помощью выражений (406) и (406а) его легко привести к
следующему виду:
j8'F*(x) [— Е 4-вФ(х)1 Ф(х)^}(?л = 0,
п
причем вариации операторов Ф (х) и Ф+ (х) должны считаться
независимыми друг от друга, помимо условия j 8 Ф+(х) Ф (х) dx= 0.
Будем трактовать С и С+ как матрицы с одним столбцом или одной
строкой и введем в рассмотрение функции:
со = ФС, а)+ = С+ Ф*.	(409b)
Предыдущие уравнения могут быть переписаны при этом сле-
дующим образом:
f 8(о+ (х) (Е -J- еФ (*)) ю (*) dx,
J 8а/ (х) а) (х) dx = 0,
где
8о/=С+8Ф+.
Применяя лангранжев метод неопределенных множителей, по-
лучаем уравнение:
[Е + ^Ф(х)— №]<о(х) = 0,
или
(ЛЦ-еФ(х) — Г)Ф(х)С = 0,	(410)
где Ф(х) определяется уравнением (406а); постоянная W предста-
вляет собой — характеристическое значение энергии. Поскольку
коэффициенты при любых функциях предполагаются известными,
это уравнение может служить для определения последних. Уравне-
ние (410) очень характерно для метода двойного квантования; оно
содержит две последовательные операции: Ф (х) воздействует на
матрицу С, а оператор Е -f- е Ф (х) — W воздействует на Ф (х).
Считая первую из этих операций само собой разумеющейся, мы
можем переписать предыдущее уравнение в форме:
[£4-гФ(х) — 1^Ф(х) = 0?	(410а)
632 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
совершено аналогичной уравнению Шредингера для обычной волной
вой функции, с той только разницей, что добавочная потенциальная
энергия еФ(х) в свою очередь зависит от функции Ф. Следует от-
метить, что эта зависимость может быть выражена дифференциальным
уравнением:
V *Ф= — 47г е Ф+ (х) Ф (х),	(41ОЬ)
эквивалентным интегральному выражению (406а) для оператора Ф.
Как будет показано в дальнейшем, этим обстоятельством можно
воспользоваться для весьма существенного обобщения теории — в
соответствии с точными электродинамическими законами,. опреде-
ляющими взаимодействие электронов.
§ 49. Второе квантование в случае статистики
Бозе — Эйнштейна.
Сведение задачи о тождественных частицах к задаче об одной
частице (метод экземпляров, часть I, § '2О) рассматривалось нами
до сих пор для случая электронов или, вобще говоря, для таких
частиц, которые в методе конфигурационного пространства описы-
ваются антисимметричными волновыми функциями. Перейдем те-
перь к рассмотрению этого вопроса в случае частиц, относящихся
к симметричному типу и подчиняющихся соответственно статистике
Бозе — Эйнштейна (сюда относятся, например, альфа-частицы, атомы
водорода, рассматриваемые как элементарные частицы, и т. д.).
Будем исходить, как и прежде, из совокупности .^различных
индивидуальных состояний, описывающихся ортогональными и нор-
мированными функциями (х),	(х) ...	(х). Вводя мультиплика-
тивную волновую функцию
? (*) = 4*1 (-4) % (-Чг) • • • 'Рлг (*Jv)»
мы можем определить симметричную волновую функцию, описываю-
щую поведение всей системы, с помощью формулы:
х(А)=,7^2'г?'	(41|)
§ 49. Вторичное квантование в случае статистики Бозе 633
отличающейся от соответствующей антисимметричной волновой
функции отсутствием множителей ер. Это является, конечно, неко-
торым упрощением, поскольку мы ограничиваемся рассмотрением
совокупности 2V различных индивидуальных состояний. В этом
частном случае мы получаем с помощью вариационного урав-
нения о ^x*HydX=0 ^в силу условий J ф*. (х) (л:) dx == %rs j
следующую систему уравнений для функций (соответствующую
методу самосогласованного поля (см. 366):
(Е + В - Аи) ф,- (х) +	<Ам + М	W = °>	011 а)
где функции В(х) и Aki(x) определяются теми же формулами
(365) и (365а), что и раньше. Энергия (или ее вероятное значе-
ние) выражается, соответственно, следующей формулой:
l/W! J zFH'/dX
ср* HP ср dX,
р
что дает
W = У Jdx ф> (х) I ф + ф В —ф; (х) + А ki '\k (*)
i	~
т. e.

-4- ф J J F {x, x') j p (x, x) p (x, x') Ц-! p (x, x’) |«
dx dx'j
или
W= У |^EZ( —- J J F (x, x') IФ,- (x) j41Ф,- (x') I2 dx dx' -ф-
ф J J F(x, x') [p (x, x) p (x', x') J- • p (x, x') dxdx'. (411b)
Мы видим, таким образом, что в случае симметричных волно-
вых функций матрица плотности р(х, х')не может заме-
нить совокупности отдельных волновых функций.
634 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
(412а)
Пользуясь обозначением (339а) для матричных элементов/7 и вводя
индекс п при х,1 мы можем переписать предыдущее выражение в
форме:
Нпп = f Хп* ^Х» dX=	Ерр 4"	(Fpq; pq-\- Еpq\ pq}, (412)
P	P<.Q
аналогичной выражению (396), соответствующему антисимметрич-
ному случаю.
Если функция хп заменена функцией хп\ отличающейся от нее
заменой индивидуальной функции через мы получаем ана-
логично:	_
Нпп' = Ерр1 4" Л. (Epq, p'q 4“ Epq-t qpf).
Q
Если, наконец, две из функций, служащих для построения хЛ>
например и заменены двумя новыми функциями и
отличающимися друг от друга и от всех остальных функций перво-
начал ной совокупности, мы получаем:
Нпп'= Epq; p'q' 4“ Epq; >q'P.	-(412b)
Перейдем теперь к рассмотрению более общего случая, не имею-
щего аналога в теории антисимметричных функций; мы предпо-
ложим, что определенные индивидуальные состояния заняты
многократно, так что, например, в совокупности, характери-
зующейся индексом п, каждая функция 44х) встречается пг раз
(тгг^О), причем сумма должна, конечно, равняться общему
числу частиц N.
Формула (411) остается справедливой и в этом случае, при усло-
1/zzj /г2!..	1
вии введения нормирующего множителя у -	—вместо
и при включении в сумму (411) только эффективно различных пе-
рестановок 7?, т. е. перестановок, при которых переставляемые ча-
стицы связываются
Таким образом, мы можем определить нормированные симметричные
волновые функции с помощью формулы
*"=14
пх\ /г2!..
—-— -----вместо
с различными индивидуальными состояниями.
(413)
§ 49. Вторичное квантование в случае статистики Бозе 635
где
_ Nl  ЛЧ
г
(413а)
Общая формула для матричных элементов энергии Н может
быть при этом представлена в виде: Hmi = —V [ n<dX—
Vgn^J
= Vg~nJ ^nH^n' dX, или
Hrm' = ’\fSf	<?„- dX...	(413b)
При n! — n мы получаем вместо (412):
нпп=2
p
p
Пр tlq (Fpq, pq-\- Fpq,pq)*
(414)
Для вычисления матричных элементов, соответствующих (412а),
заметим, что функция <рл, отличается от <рп тем обстоятельством, что
она содержит пр< = пр — 1 множителей и n'pf = пр< 1 множите-
лей typt. Матричные элементы Ег по отношению к функциям <рп*
с одной стороны и функциям P'^nf — с другой отличны от нуля
только в том случае, если эти функции отличаются друг от друга
лишь тем, что переменная хг переходит от к все же
остальные остаются на своих местах. Мы получаем, таким обра-
зом, пр членов, равных Ерр>.
Так как отношение равно в рассматриваемом случае —'
то коэффициент при Ерр, в Нпп> равняется:
«р V—=V ("р' + 1) •
Sri
То же самое относится, очевидно, и ко второму члену в выраже-
нии (412а), соответствующему взаимной энергии частиц (этот член
636 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
должен быть, кроме того, умножен на п?). Вместо (412а) мы по»
лучаем, соответственно:
Htm,=='V'np V^p'4"^ |^^РР' 4~ nq (Fpq,p'q 4~ ^РЯ\ ЯР') J • (414а)
ЯФР,Р’
Совершенно аналогично вместо (412b) имеем
Нт> — У ПрУ пч У пр,	1 У nql 1 (Fpq;p'q>-, + Fpg; qipi). (414b)
Подставив эти выражения в уравнения
h dCn
^rd dt
n'
определяющие коэффициенты разложения 2 = и вводя опе-
п
раторы pr, р/, увеличивающие или уменьшающие переменные я
на 1, мы можем привести их к стандартной форме;
Zt dCn
2iw dt

где оператор К имеет следующий вид:
К— У Пр Ерр 4- ]/пр у/пр, + 1 Fpp-рХ' +
р	рфр'
"F пр (пр 1) рр, рр' ~h пр nq (Fpq< pq 4~ Fpq\ qp} 4“
p	p<q
Aj V^^P l^^p' “Г 1 tlq (Fpq'P'q 4” ^РЯ\ ЯР'У№р' 4“
«An	Jna
pt^p'	g>p
У ПрУп? Упр,-\-1 - Упд1-{-1 (Fpq-p'q'
Р^Р'; q^q'\p<.q
4" Fpq\ q'p') PpP A'Pp' 9
или
p	p p'
+22 rap (n? — (Ррч, ря “Г Ррч, яр) H“
§ 49. Вторичное квантование в случае статистики Бозе 637
+222
<7>Р, РФР
пя (?ря, р'я Fpq, яр'
Ч~	^Fpq'p,qt Fpq'qfp^ ^пр	' 'V’ пр' Pp' V np' •
р<я> р'Фр я'Фя
Введенные здесь операторы рг и р/ аналогичны операторам аг и
а/ предыдущего параграфа. Разница между ними заключается
в том, что операторы Рг рг+ действуют в пределах всех целых
значений пг от 0 до 4"°°, тогда как область применения опе-
раторов <хг, <хг+ ограничивается лишь двумя значениями пг = 0 и
пг=1.
Совокупность коэффициентов Сл, рассматриваемая как волновая
функция от одной из переменных пп может быть представлена в виде
матрицы с одним столбцом
' С(0)
С(1)
. С (2)
С(^)“ ’ С(3) р
!ч
При этом численные значения пг можно трактовать как характе-
ристические значения диагональной матрицы		
	ООО 0...	
пг= <	0 1 0 0...	(415)
	0 0 2 0...	
	0 0 0 3...	
и операторы и рг+ представить (с точки зрения пг) матрицами
₽г=-	0 10 0.. 0 0 10.. 0 0 0 1.. 0 0 0 0..
	0	0	0	0... |
	1	0	0	°--- 1, (415а)
	0	1	0	0... 1
	0	0	1	0... 1
638 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
аналогичными матрицам, представляющим операторы пп аг и а/ в
антисимметричном случае. Так как	
	0 0 0...
Й + А —	0 1 0...
гг гг	•	0 0 1...
то мы можем положить	44	4 е 4	• • 4
где
	[ 0	0	0	0 ... 	
/«r = j	0 0	/г 0	0	0. ... 0 ...	(415b)
	1 0	0	0	уг...	
и объединить первые два члена К в один член:
г Г'
где суммирование по г и г' уже ничем не ограничивается (обра-
щающиеся в нуль члены сокращаются автоматически).
Остальные три члена, отвечающие взаимной энергии F, можно
аналогично объединить в один член:
Ч" Лр?; p'q') Vпр Рр+ Vnq Р?+ Р?' Рр' Vпр' >
P<Q
причем второй член получается из него при q' = q, а первый
при q' = q\ р' = р. Следует отметить, что член nrFrr-, Гг вычитается
автоматически в силу соотношения «ГРГ=РГ(^Г— 1) сводящего про-
изведение
VПг ft+ Vпт	ftK«r — Vпг ^ пг^гУпг
к
ft+ ft. (пг — 1) У~п^ = пг (пг — 1).
Остается теперь вместо операторов пг, и 3/ ввести комбиниро-
ванные операторы, определяемые формулами:
^=ft-|/^,	(4i6)
§ 49. Вторичное квантование в случае статистики Бозе 639
или соотношениями:
в связи с условиями
b^br = nt
(416а)
коммутативности:
brbs — bsbr = о
Ь£ — № = ЪГ
(417)
(417а)
(
[последнее условие в случае r — s находится в согласии с (416а)]. С
помощью этих операторов, совершенно аналогичных операторам ап аг+
предыдущего параграфа и отличающихся от них лишь знаком в
соотношениях коммутативности и (417) (417а), оператор может
быть записан в следующей форме:
Frs\ r's'bfbsbs' bf 1
(417b)
Г S г' s'
совершенно аналогичной (402). Следует отметить, что порядок двух
последних множителей во втором члене (417b) роли не играет,
так как они коммутируют друг с другом [тогда как в уравнениях
(402) этот порядок имеет существенное значение].
Соотношения коммутативности (417а), аналогично соотношениям
(403а) и (403b), совершенно самостоятельны и могут быть исполь-
зованы для определения операторов пг с помощью одного из вы-
ражений (416а). То обстоятельство, что характеристические значе-
ния этих операторов равны 0, 1, 2, ... , можно рассматривать
как следствие соотношений (417а).
Мы не будем повторять здесь подробно все то, что было ска
зано в предыдущем параграфе относительно оператора
г
представляющего полное число частиц, и функциональных операто-
ров:
Ф (X) = У Ьг «К (х),	(х) V (X).	(418)
640 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
Следует только отметить, что они удовлетворяют соотношениям
Ф (л:) Ф (х') — Ф (х') Ф (х) — 0	1
Ф+ (х) Ф+ (х') — Ф+ (х') Ф (х) = 0 I
Ф+ (х) Ф (х') — Ф (х') Ф+ (х) = 8 (х — х')
(418а)
(418b)
и могут служить для представления оператора энергии в следую-
щем виде:
К= J T+(x)£'F(x)</x4-
+4 J* j*ф+	ф+ F(-x> т
dxrfx',
причем порядок первых двух или последних двух множителей
в двойном интеграле роли не играет.
В случае стационарного состояния системы частиц уравнение
движения принимает форму: /<С=1Г«С, которая может быть
получена с помощью вариационного принципа 8 С*КСп = 0
в связи с условием Сп*Сп — * • Этот принцип, будучи применен
к самому оператору /С, т. е.	,
п
приводит к двойному операторному уравнению:
-4- J Т+ (х') F(x, х') Ф (х') dx1] W (х) С = О,
служащему для определения функций ^г(х).
В частном случае отсутствия взаимодействия между частицами,
т. е. при F=0, переход от уравнений
~ l^l~diCr~^Err'Cr'’	(419)
Г'
описывающих движение отдельной частицы, характеризующееся
оператором энергии Е и волновой функцией ф (х) = V cfyr (х), к
уравнениям
(419а)
I-
л'
§ 49. Вторичное квантование в случае статистики Бозе 641
для любого числа N таких частиц может быть осуществлен, согласно
Дираку, следующим образом.
Правая часть уравнения (419) при
N
Н=У^Е (xz, д.)
/=1
может быть определена как производная по от выражения
в ='£&ЕГГ'СГ',	(420)
Г г>
представляющего вероятное значение энергии для состояния, ха-
рактеризуемого волновой функцией б (х) = V cr (t) (х). Мы но-
г
лучаем таким образом:
h dcr___ дЕ
2~i dt	дс* 3
и аналогично
h de*___ дЕ
2~z dt	дсг
Положив
cr = -Q„	=	020а)
мы можем переписать эти уравнения в следующем виде:
dPr _	дЁ	dQr _ дЁ
dt	dQr ’	dt дРг ’
т. е. в стандартной канонической форме классических уравнений
движения. Переменные Qr и Рг могут быть отождествлены с обоб-
щенными координатами и импульсами, причем оператор Гамиль-
тона Е представляет собой билинейную функцию их, а число
степеней свободы бесконечно.
Попробуем теперь перейти от уравнений (420b) к соответству-
ющему волно-механическому уравнению:
*“=-s,4"'	(421>
642 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
импульсы Рг заме-
К тем же результа-
где со — волновая функция или амплитуда вероятности для данных
значений координат Qn причем классические
h д
йены дифференциальными операторами — —-.
oQr
там мы придем, непосредственно перенеся
в квантовую теорию, т. е. рассматривая Q и
(матрицы), удовлетворяющие соотношениям коммутативности:
Qr Q, - Qr, Qr = Pr Р, — PriPr—Q\ pr Qr, - Qr, Pr = 8„, A.
уравнение (420b)
Р как операторы
Заменив здесь Рг и Qr их выражениями через сг и
чаем:
с*, мы полу-
c*cr'* — cr,*c* = cr' cr — crcr< = 0 1
C*Cr' — cr>c* = brr>	J
та)
Эти соотношения эквивалентны волно-механическому
____д_
дсг’
соотношению:
(421b)
с *
образом, что
n h д
вытекающему из Рг	Мы видим, таким
2ш dQr
коэффициенты с и с* удовлетворяют тем же условиям, что и
операторы b и Ь+, и могут быть, следовательно, отождествлены с
последними. Подобное применение процесса квантования („второе
квантование") к коэффициентам с, с*, т. е. замена их операторами
b и Ь+, приводит нас непосредственно от уравнений (419) (послед-
ние вместе с комплексно-сопряженными уравнениями можно рас-
сматривать как систему канонических уравнений в классическом
смысле) к „волно-механическому" уравнению, т. е.
г dbr.+_
h d
(!) =   —Г -4“
2ki dt
или к эквивалентному (операторному) уравнению
(!) = W • <0,
представляющему собою не что иное, как наше предыдущее урав-
§ 49. Вторичное квантование в случае статистики Бозе 643
нение: КС= W • С, где заменяет С, а оператор К имеет следу
ющий вид:
соответствующий системе тождественных частиц, которые могут
быть описаны симметричными волновыми функциями в конфигура-
ционном пространстве в случае отсутствия какого бы то ни
было взаимодействия между ними.
Другими словами, квантование уравнений (419), описывающих
движение отдельной частицы, приводит нас к уравнению, описы-
вающему движение любого числа таких частиц, при условии,
что они подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна. Действительное
число этих частиц равняется одному из характеристических значений
оператора N=£br+br и остается постоянной движения, так как
W коммутирует с К- Движение всей совокупности частиц описы-
вается операторной функцией:
г
с помощью которой оператор энергии может быть представлен ь
следующем виде: К = J Ч?*+ (х) Е Ф (х) dx.
Точно такая же схема может быть применена (согласно Иордану
и Клейну) и в общем случае системы взаимодействующих друг с дру-
гом тождественных частиц „симметричного" типа, если это взаи-
модействие представлено „квазивнешней" потенциальной энергией
—	/ ty*(x') Е(х, x')ty(x')dx', причем оператор соб-
2	2 J	,1
ственной энергии заменен соответственно через	V. Полагая
(х) = £ сД (х), мы получаем:
V(X) = 22 Vss’Cs*Cs'
s sr
и соответственно:
к = Jф*(х) (е+у Ф (*)dx==z JФ* (*)£Ф Wdx +
~г 4' f f ф* (х) Ф* (х) F (х>х ) Ф (х) Ф (х )dx dx j
644 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
или
Ег/ с.
•'<?' С-'	С г'
где
(420b), как и в частном случае отсутствия
переход к квантовым уравнениям может быть
как и раньше путем трактовки коэффпциен-
д (
^или коэффициентов сп как опера-
Frs, г1*’ — ( Vss’)rr' = J J V (*)	(*’) F(X, х')	(х) ks' (х') dx dx'.
Для получения оператора энергии К, соответствующего задаче мно-
гих частиц, остается теперь заменить численные коэффициенты с и
с* операторами b и Ь+.
Следует упомянуть, что „квазиклассические уравнения“ для
коэффициентов с в общем случае могут быть записаны в такой же
канонической форме
взаимодействия и что
осуществлен так же,
тов гД как операторов
д А
торов ^7;
Вышеизложенная схема процесса вторичного квантования (кванто-
вания интенсивности) принципиально могла бы быть применена к слу-
чаю частиц антисимметричного типа точно так же, как и к части-
цам симметричного типа — путем замены коэффициентов с операто-
рами а вместо Ь. В этом случае оказалось бы, однако, невозможным
рассматривать комплексно сопряженные коэффициенты с*, как диф-
д
ферснциальные операторы------------- и осуществить по отношению к квази-
классическим уравнениям для с и с* тот же процесс, который при-
водит от классических уравнений движения частицы к волно-меха-
ническому уравнению для системы частиц.
Операторы Ьг и Ь* могут быть представлены, согласно Дираку,
в следующей форме:
/2тс6г	Г2ъйг
br=e h У nr, br+ = Уnre h ’	(422)
соответствующей обычным выражениям для коэффициентов сг, при-
чем оператор У пг играет роль модуля, а оператор или
§ 49. Вторичное квантование в случае статистики Бозе 645
2т:6г
—— ,— роль аргумента или фазового угла. Из сравнения (422) с
/Z	Z2^0r	Z2z6r
(416) следует, что операторы е h и е h представляют собой
нечто иное, как рассмотренные выше операторы и р/. Соотно-
шения (417а) показывают, что с точки зрения операторов пг опе-
раторы Gr могут быть представлены формулой:
6 = h д
г дпг'
Z2tc6,
оператор е h
(422а)
k
к любой

/(«г-1).
Действительно, применяя
функции от /гг, имеем
д
согласно формуле Тэйлора, и аналогично
- /2т:0.	д
e	f(nr) = e	rf(nr)~ — k[dnf
Если вместо того, чтобы рассматривать Ьг и Ьр с точки зрения яг,
мы будем рассматривать Ьг и пг с точки зрения Ь*, то мы полу-
чим, как это было показано раньше:
л —
r дЬ*
и следовательно пг = Ь* Заменив Ь* через Ьг, мы получаем:
(422b)
(422с)
Н	_ д а
"г dbr Ьг ’
В случае операторов а и а' представления аналогичного типа не-
возможны.
Подобно операторам а, а+, операторы b и /Г, не являясь
эрмитовыми, могут быть, однако, сведены к эрмитовым операторам
р и q с помощью соотношений
b = ~{q + ip), b'ip),	(423)
646 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
Операторы р и q представляются матрицами
о_ /Т о_	о ...
V 1’ 0_ V 2	0_ ...
Я = { О Y 2 о_ / з"... ,
о о /з о ...
	0 /КГ	-iV 1 0	0 — iV 2	0 0
	0	iV 2	0	- z/3 ... 
	0	0	z/з’’	0
...................................}
получающимися из (415а), (415b) и (416). Легко видеть, что они
совпадают с матрицами, представляющими импульс и координату
линейного гармонического осциллятора (см. гл. III, § 13). Их отлич-
ные от нуля элементы могут быть записаны в следующем виде:
-1/1/й 5	(423а)
Рп, п-1—	Рп—1, п— tyn j
(где индекс г отброшен), и отличаются от выражений (88а) § 13
лишь коэффициентами пропорциональности.
Из (423) мы получаем
Ь+Ь = п = А. [р4 4-	/ (pq — qp)],
^+=«4-i=y[p’ + ^ + Цря — ярК
откуда	2
pq — qp = --.	(423b)
Это соотношение сводится к обычному соотношению PQ —

между импульсом Р и координатой Q, если последние
определить, соответственно, как
Л/га) / h
У 4^ри У 4™
q. С помощью
предыдущего соотношения мы получаем для п выражение:
«=4(/’4+^~2)’	(423с)
§ 49. Вторичное квантование в случае статистики Бозе 647
которое может быть записано в форме:
1(^ + qw) = a(„-+ 1)®
&	\	4 '4TZ
соответствующей квантованным значениям энергии гармонического
0)
осциллятора с частотой у = —, причем п играет роль квантового
числа.
Эти результаты приводят нас к элементарной теории кван-
тованных волн, изложенной в § 20, ч. I, с той лишь тривиаль-
ной разницей, что мы не имеем здесь дела с полуцелыми значениями
энергии гармонических осцилляторов, представляющих различные
состояния, так как число частиц, связанных с соответствующим
состоянием, определяется не энергией, а квантовым числом. Более
существенным является то обстоятельство, что мы получили точное
и общее выражение для энергии К системы взаимодейству-
ющих частиц в терминах переменных bn Ьг\ тогда как ранее
(в I части) предполагалось, что эта энергия просто равняется сумме
оо
Егпг. В действительности она сводится к этому выражению
г=1
лишь в частном случае отсутствия взаимодействия и при специаль-
ном (хотя и наиболее естественном) выборе волновых функций
tyr, как соответствующих стационарным состояниям, характеризуе-
мым оператором энергии E(Er = Erj). В этом случае энергия К
может быть представлена как простая функция от эрмитовых пе-
ременных р и q, а именно:
Введение последних в общем случае вместо переменных Ьг и Ь*
привело бы, однако, лишь к излишним усложнениям теории.
Интересно, что в случае электронов (или любых других частиц,
описываемых антисимметричными функциями) переменные типа коор-
динаты и импульса гармонического осциллятора оказываются заме-
ненными спиновыми переменными, — обстоятельство, которое нельзя
было бы предвидеть на основании развитой нами выше (часть 1)
теории квантованных волн.
648 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
§ 50. Взаимодействие „дважды квантованной” системы
с обычной системой; применение к фотонам.
До сих нор мы рассматривали систему тождественных частиц
при наличии или при отсутствии взаимодействия в данном внешнем
поле сил (определяемом потенциальной энергией UQ(x) в опера-
торе Е).
Рассмотрим теперь более общий случай взаимодействия подоб-
ной системы А с некоторой системой другого рода В, описы-
ваемой обычным способом, т. е. путем задания координат всех со-
ставляющих ее частиц.
Энергия Н сложной системы С = А В состоит из трех ча-
стей: энергии А, взятой в отдельности (77д), энергии В (Hr) и их
взаимной энергии Ндц, которую можно трактовать как возму-
щение.
Рассмотренный в предыдущих параграфах метод „квантования
интенсивности“ легко может быть применен к данному случаю. Для
этого волновую функцию Q, описывающую всю систему по методу
конфигурационного пространства, следует искать в виде:
2(А’; r) = y«>„(r,0xnW,	(424)
п
где X и Y означают совокупность координат, описывающих соот-
ветствующую систему, тогда как уп — симметричная или антисимме-
тричная функция координат а^ , х2...хп тождественных частиц,
образующих А. Подставив выражение (424) в волновое уравнение
--------------------------h^ — HQ,
ЧтЛ dt
мы получаем систему уравнений:
dt Z
тт
такого же рода, как и прежде, с той только разницей, что Нпп>
следует теперь рассматривать как оператор по отношению к коор-
динатам К, а „коэффициенты" — как функции этих координат и
времени.
§ 50. Взаимодействие „дважды квантованной“ системы 649
Вводя в рассмотрение индивидуальные состояния 1, 2 .. . ),
служащие для определения мы получаем, таким, образом, урав-
нения точно такого же вида, как и раньше, для коэффициентов
рассматриваемых, как функции чисел nv ,,„пг..., координат У и
времени, причем оператор энергии увеличен на Ив и на энергию
взаимодействия систем А и В, Положим:
VI
НАв = М=Т^ V(x^ У).
i
В виду тождественности всех частиц А, функция V одинакова для
всех них; мы должны поэтому просто прибавить к оператору энер-
гии Ех индивидуальной частицы эту функцию V (х, Г). Мы получаем
таким образом, следующее уравнение:
\Нв+22+v"(r)i с*+
г г'
1	WW	I h д
2	-122 r's'Cr+ С*+ Cs' Cr‘ ( ~ 2я/ di U>n’ (-425^
Г S г' s'
где операторы с заменяют а или Ь,
В § 40 гл. VII было показано, что часть В системы А-\- В можно
|рактовать как полную систему, рассматривая все относящиеся к
этой части величины как матрицы с элементами, определенными но
отношению к различным стационарным состояниям Л, взятым в
отдельности. Этот результат был доказан путем представления
функции 2, описывающей всю систему, в виде разложения (424), с
тем существенным отличием, что в качестве функций у брались
точные решения уравнения НАу=НАу.
Эта трактовка может быть применена к интересующей нас задаче
лишь в том случае, если частицы А не взаимодействуют друг с
другом, и если индивидуальные функции фг(х) являются точными
решениями уравнения (х) = Ег’ (х). В этом случае симметричные
или антисимметричные функции /n(X) так*с будут являться точными
N
VI
решениями уравнения HAyn = HAyni где НА= 7 Exi, и теория
§ 40 может быть применена к нашей задаче.
650 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
Это может быть осуществлено непосредственно с помощью
уравнения (425), если мы положим F=Q и ЕГГ, = ЪГГ, Ег'. Обозначая
далее, сумму Е'г с* сг= Е'г пг через и полагая
— — Ц7 г
= h А”,	(425а)
мы получаем:
{Нв +-X с *4 = - 977 • • • (425Ь)
Г г'
Это уравнение совпадает с уравнением (329а) § 40, если оператор
энергии взаимодействия М положить равным 22 Vrr'(Y)cr+cs.
Г г1
Результат его применения к функции <sfn может быть записан в
виде:	Мпп>(Лп>, где п и ri характеризуют последовательности
п.'
чисел п1У п2...пг и п\, п^.-.пп отличающихся друг от друга
(как и в рассмотренном раньше случае) тем, что одно из этих
чисел во второй последовательности увеличено на единицу, а
другое уменьшено на единицу по сравнению с соответствующими
числами первой последовательности. Другими словами, матричные
компоненты энергии взаимодействия, входящие в (425), взяты по
отношению к таким коллективным состояниями „ игнорируемой“ части
А системы А которые отличаются друг от друга переходом
только одной частицы из одного состояния в другое.
Система В, в свою очередь, может состоять из множества тож-
дественных частиц, отличных от частиц, образующих систему А
(так например, А может представлять собой систему фотонов или
протонов, а В — систему электронов). В этом случае оказывается
возможным применить метод квантования интенсивности к обеим
системам одновременно, определяя функции ооя(У,/) в (424), как
симметричные или антисимметричные комбинации некоторых орто-
гональных и нормированных функций (у), <р2 (у),... %. ( у), описы-
вающих совокупность стационарных состояний отдельных частиц
системы В. Мы можем, таким образом, исходить из уравнений
(425b) и преобразовать их, полагая:
§ 50. Взаимодействие „дважды квантованной“ системы 651
ш"<г’/)=2Слт(о<йп’’’(г)’
т
где ооп,„(У,) зависит (симметрично или антисимметрично) только от
координат Y. Мы можем, следовательно, осуществить оба процесса
квантования одновременно, исходя из первоначального уравнения
—	; ^-Q = HQ и полагая:
2тп dt
Q(X,Y,t) =22	(О «„(У)/„(*)•	(426)
т п
Мы получаем, таким образом, уравнение следующего вида:
(£ + 7<+Ж)с = _	(426а)
01
где L и К—квантованные операторы энергии, относящиеся к си-
стемам А и В, взятым в отдельности, тогда как Л4— оператор их
энергии взаимодействия. Если система А антисимметрична, а .истема
В—симметрична, то мы можем воспользоваться для L и К выра-
жениями (402) и (417b) (приписывая индексы х и у операторам Е
и F для того, чтобы различать частицы обоих сортов), тогда как
оператор М определяется в этом случае формулой:
М = 2222	(426b)
Г Г1 S S’
где v (х, у) — энергия взаимодействия частицы сорта А с частицей
сорта В и
SS' — j* J* V (х)	(у)v (х> у) фг' (*) Г s' (у) dx dy.
В уравнениях (426а) величину с — стп (f) следует рассматривать как
волновую функцию, аргументами которой являются числа tnr и ns>
или, вернее, операторы b* Ьг и а/ as, Эти результаты могут быть
обобщены, далее, для случая трех или большего числа систем тож-
дественных частиц, например электронов, протонов и фотонов,
взаимодействующих друг с другом.
Рассмотрим теперь несколько более подробно частный случай
фотонов, т. е. световых волн, взаимодействующих с обычной
материальной системой; для простоты предположим, что последняя
652 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
состоит из одного электрона, образующего вместе с неподвижным
источником внешнего поля, в котором он движется, водородоно-
добный атом. Особенность этой задачи заключается в том, что
фотоны в действительности нельзя трактовать как обычные ча-
стицы. Как было отмечено в части I, аналогия между светом и
материей весьма ограничена, и понятие фотонов следует рассмат-
ривать лишь как удобную фикцию такого же рода, что и „фононы*
(кванты звука). Применяя эту фикцию к задаче о взаимодействии
между светом и материей, мы должны вспомнить, прежде всего, что
число фотонов не является неизменным: фотоны создаются в ре-
зультате акта излучения и исчезают при акте поглощения. Это
обстоятельство исключает возможность описания системы фотонов
по обычному методу конфигурационного пространства. При таких
условиях непосредственное применение схемы квантования
интенсивности, построенной нами для обычных частиц, оказы-
вается невозможным. Несмотря на это, окончательные результаты
могут быть применены к этому фиктивному случаю благодаря тому
обстоятельству, что мы не вводим в рассмотрение взаимодействие
между самими фотонами. Мы должны, однако, определить соот-
ветствующим образом энергию взаимодействия фотонов, с мате-
риальной системой (электроном, атомом), с помощью чисел, описы-
вающих распределение фотонов между различными состояниями и,
кроме того, обеспечить хотя бы чисто формальным образом сохра-
нение общего числа фотонов.
Последнее требование легко может быть выполнено, согласно
Дираку, путем введения в рассмотрение дополнительного состояния
с нулевой энергией, соответствующего, согласно определению, фак-
тическому отсутствию фотонов. Испускание или поглощение фотона
можно при этом условии интерпретировать как уход фотона из
нулевого состояния или возвращение его в это состояние.
Полная энергия системы фотонов (обозначим последнюю че-
рез В) может быть, таким образом, представлена оператором:
ОО
bi в	ВггПг
г-0
hvrbr Ьг,
г-0
(427)
§ 50. Взаимодействие „дважды квантованной“ системы 653
где vo = O. Операторы bt b+ входят сюда не в силу того об-
стоятельства, что система фотонов описывается в конфигурационном
пространстве с помощью симметричной волновой функции, а лишь
потому, что фотоны подчиняются статистике Эйнштейна и Бозе,
т. е. ведут себя подобно материальным частицам, находящимся в
симметричном состоянии. Следует, далее, заметить, что величины
Err = hvr введены сюда не согласно общей формуле Err — j ^*E^rdy
(так как операторы ни волновые функции ф (у) для фото-
нов смысла не имеют), а в порядке определения.
Часть энергии, соответствующая атому, может быть определена
обычным образом. Остается, таким образом, определить энергию
оо
взаимодействия М= 7 V(X, у^ , или, вернее, матричные элементы
Vrr> (X) функции V (X, у}), которая сама по себе не имеет смысла,
точно так же, как и оператор Еу.
При отыскании надлежащего определения мы можем руковод-
ствоваться классическим выражением для энергии атома или элект-
рона в электромагнитном поле световых волн. Согласно классиче-
ской электродинамике это поле полностью определяется его век-
торным потенциалом Д, как функцией координат и времени, тогда
как скалярный потенциал Ф без ограничения общности может быть
положен равным нулю. Электрическая и магнитная напряженности
могут быть вычислены с помощью А по формулам:
Е =
1 дА	-
--А + •> H—VQtA .
с dt
Энергия электрона	в	поле,	определяемом	векторным потенциалом
Д, равна, если	пренебречь	второй	степенью	А:
А • ev е
-----= — А >р,
с ст
где р — импульс электрона. Эта формула может быть перенесена
—	h
в волновую механику, если определить р как оператор V •
Для того чтобы иметь возможность трактовать это выражение
654 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
как взаимную энергию электрона и фотонов, остается разбить А
на отдельные части соответствующие различным фотонам, и
найти матричные элементы по отношению к различным „состоя-
ниям" г и s фотонов. Полагая для краткости:
где Prs не зависит, очевидно, от индивидуальности фотона (харак-
теризуемой индексом /), мы получаем для энергии электрона по
отношению к световым волнам, следующее выражение:
м = р- 2 2 Яг' br+br..	(427а)
Г г>
которое можно интерпретировать как взаимную энергию электрона
и фотонов. Задача сводится, таким образом, к определению мат-
ричных элементов Ргг>.
Простейший способ определения последних основывается на
предположении о том, что энергия возмущения (427а) ответственна
лишь за такие акты, как испускание или поглощение света. Это
означает, что отличные от нуля элементы Ргг< должны соответство-
вать либо г = 0, либо / = 0.
Так как число фотонов, находящихся в нулевом состоянии,
можно считать равным бесконечности (т. е. в действительности не-
определенным), операторы &0 = а у/ и Ь^ = j//zoao+ также должны
обладать бесконечными характеристическими значениями, так что
матричные элементы РОг и Рг0 должны быть бесконечно малы.
Нас интересуют, однако, лишь их произведения на Ь* и Обо-
значая эти произведения через vr+ и vn мы можем привести (427а)
к следующему виду:
М = р • 2 (Я-Ч- 4- ЯЛ+)-	(427b)
.	г
Оператор р • v*bf определяет вероятность испускания, а оператор
р *vrb*—вероятность поглощения фотона 7zvr. Наша задача была
бы решена полностью, если бы мы знали зависимость vr и vr+ от
§ 50. Взаимодействие „дважды квантованной* системы 655
hvr Эта зависимость может быть найдена путем сравнения кванто-
вого оператора взаимодействия (427b) с классическим:
е -* - е - жп-
— Р * А = —Р * 7 А»
стг cm г
г
где Аг — гармоническая составляющая ряда Фурье для А с частотой
vr. Энергия, соответствующая этой составляющей, равна (на единицу
£ °2
объема) —— , где Ег° — амплитуда электрической напряженности
О7С
(так как в случае световых волн амплитуды электрической и маг-
нитной напряженности численно равны друг другу). Согласно соот-
—	1 дА	Л 2^9- л п
ношению Е =--------г-, мы имеем Е/ = —- А.\ Энергия, соответ
с dt	г с г
ствующая рассматриваемым гармоническим колебаниям в объеме I/,
где они имеют место, равна, таким образом — Агп V. С другой
£ с
стороны, эта энергия должна равняться произведению hvr на число
фотонов, связанных с рассматриваемыми колебаниями. Мы имеем,
таким образом:
— V=h'ir-nr,
откуда:
V nt
(428)

Это выражение, будучи умножено на фазовый множитель cos^ri,
должно, очевидно, соответствовать квантовому выражению:
Последнее, в виду соотношений (416), может быть записано ана-
логичным образом, если мы примем, что vr = vr+ и огожде-
ствим операторы 3r = e h и $г+ = е с комплексными
фазовыми множителями е^г и е 1®г, В предельном случае очень
больших характеристических значений пг мы можем рассматривать
операторы ]/пг и как коммутирующие друг с другом (прене-
брегая. 1 по сравнению с пг} и положить, соответственно:
v* br 4~ vr b* = ve (br 4- b*) = vr V nr \e Л 4- e h
2vr Уnr cos ,	(428a)
656 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
откуда следует:
-- А\ = 2vr У пг
ст
что тождественно (428), если мы положим:
т j/" 2ти l/vr
Направление вектора vr совпадает с направлением Аг, т. е. с на-
правлением электрических колебаний. Волновое уравнение, определяю-
щее движение и взаимодействие атома (электрона) ^фотонами,
может быть записано; соответственно, в следующем виде:
оо
— 7.Л-4, <«=У \НА--'-Ь')г br+br -\-p-vr (br +	]<o.	(429)
(JI	ЛЯШЛ
r =^1
Это уравнение может быть получено из общего уравнения (425),
если мы положим F=0, переставив х с у, и определим матрицу
энергии взаимодействия Vrr> так, как это было указано выше.
Подставив в (429) (о = Л h п, где Wn = ?^hvr’ir, мы
г
можем привести предыдущие уравнения к следующему виду:
оо
—	У	(429а)
2^714 (J L	лЯША
Г-1
представляющему собой частный случай (425b).
Рассматривая M = ^p-vr \brbr~^ как оператор энергии
г
возмущения, обусловливающей переходы между стационарными
состояниями атома (электрона) с испусканием или поглощением света,
мы можем определить вероятность таких переходов, вычислив соот-
ветствующие матричные элементы Л4. Эти матричные элементы могут
быть записаны в следующей форме:
(j,	п') =	л /-
§ 50. Взаимодействие „дважды квантованной “ системы 657
Согласно определению операторов Ь имеем
Ьг = рг 'VПг	= ТК"(пг -р 1) 03 (пг -j- 1) ^г, .
откуда следует (в виду ортогональности и нормальности функций со),
что матричный элемент (br)nnt отличен от нуля лишь в том случае,
если nrt = nr-[-l) причем все остальные числа двух последова-
тельностей пг и Пг (помимо /г0) одинаковы. Значение этого матрич-
ного элемента равно в этом случае	Для матричного эле-
мента (br+)nni мы получаем аналогично отличное от нуля значе-
ние пг лишь при tir =пг—1 и при условии одинаковости всех
остальных чисел обоих последовательностей п и /г'.
Мы видим, таким образом, что вероятность испускания кванта
частоты vr пропорциональна выражению
Кр- vr}j'j, Г2(яДН),-	(429b)
тогда как вероятность его поглощения пропорциональна
К р • I J пр	(429с)
причем коэффициент пропорциональности в обоих случаях, конечно,
одинаков. Энергии соответствующих состояний атома J и J' должны
отличаться друг от друга на величину, приблизительно равную ± /zvr.
То обстоятельство, что вероятность поглощения пропорциональна
числу фотонов, находящихся в начальном состоянии, т. е. про-
порциональна энергии последних, совершенно естественно. Весьма
странно, однако, что вероятность испускания оказывается пропор-
циональной не числу фотонов, находящихся в начальном состоянии,
а числу их в состоянии конечном, отличаясь, таким образом, от
нуля также и в том случае, когда /гг = 0, т. е. когда вначале фо-
тонов данного сорта вовсе не имелось (за исключением нулевого
состояния). Этот результат дает интерпретацию сйонтаыпого
испускания света, как стимулируемого фотоном, первоначально
находившимся в нулевом состоянии. Сумма пг 1 в (429b) может
быть интерпретирована, таким образом, как выражение того об-
стоятельства, что испускание света осуществляется двумя способами:
в результате стимулирующего воздействия уже имеющегося света
(вероятность такого „индуцированного" испускания точно равна
658 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
вероятности поглощения) и в результате спонтанного излучения.
Отношение nr: 1 должно, следовательно, равняться отношению
Вр
—вероятности поглощения или индуцированного излучения к ве-
Z1
роятности спонтанного излучения, где Ди В — коэффициенты Эйн-
штейна (см. часть I, § 17 и 18), а р —г плотность энергии на еди-
ницу объема и единицу интервала частот.
Этот результат легко может быть проверен непосредственно.
Действительно, мы имеем:
dv
где суммирование производится по всем частотам, лежащим внутри
интервала rfv. Как было показано в части I § 29, число dz свободных
колебаний внутри объема V,
k, и kA-dk, равно 4n:Vk*dk.
колебаниям (при данном типе
волновые числа которых лежат между
Применив этот результат к световым
поляризации), мы
получаем (так как
dz
непрерывная функ-
имеет практически
Если
ция
одно
вала
с6
число пг рассматривается как практически
частоты vr, мы можем положить, что оно
и то же значение для всех колебаний внутри малого интер-
dv. Мы получаем, таким образом:
1	1	4*73
р dv = ~ пг h')r dz = -^nr /zv3 dv.
откуда
пг сл
А г	Т
что на самом деле совпадает с отношением , найденным в части I,
*	£5
формула (103а). Мы видим, таким образом, что теория испускания
и поглощения, изложенная в этом параграфе (и принадлежащая
Дираку), имеет то преимущество, что она интерпретирует спонтан-
ные переходы, сопровождающиеся излучением, объединяя такое
спонтанное излучение с излучением индуцированным.
На основании вышеизложенных соображений легко вычислить
§ 50. Взаимодействие „дважды квантованной" системы 659
абсолютные значения вероятностей испускания и поглощения.
Для этого мы должны умножить выражения (429b) и (429с) на
dz 4zV _
и. далее, на -^- = —3—у2, поскольку нас интересует не испускание
или поглощение отдельного фотона с частотой vr и данным напра-
йлением движения, а некоторого фотона с частотой, лежащей вну-
три узкой области Ду, независимо от направления движения. В виду
нерезкого характера резонанса, суммирование всех вероятностей
перехода внутри области Ду приводит к результату, независимому
от фактической величины Ду.
Результирующая вероятность .спонтанного" испускания, отне-
сенная к единице времени и единице интервала частоты, оказывается,
таким образом, равной:
I /-	тс2 4тгУу2
Л = 1 (р • vr)j,j, I -^з-.
Подставив сюда выражение (428b) для vr и обозначая составляющую
р в направлении вектора vr (т. е. в направлении электрических
колебаний) через рп получаем:
.	. ч к е* 2к2
dXr о
или, если рг заменить через т = m2T^rixt
8irW
А
Л J'
h
(93) части I, если принимать во внима-
образом поляризованное излучение.
что совпадает с формулой
ние только определенным
Для того чтобы иметь возможность учесть не только испуска-
ние и поглощение излучения, но также и его рассеяние, мы
должны ввести в рассмотрение отброшенный член энергии возму-
щения, пропорциональный квадрату векторного потенциала А.
1 /-*	е -*У	1	'
Вычтя из оператора — (р---------Aj оператор — р2, соответ-
zm \	с /	zin
ствующий А = 0, мы получим для оператора энергии взаимодействия
660 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
М
между электроном и светом следующее выражение:
ст 1 2шс2
(430)
отл шлющееся от предыдущего наличием дополнительного члена:
М"
2гПС 2
Vй
Для нахождения его квантовой интерпретации положим А = 7/1
г
где Аг = Аг° cos <рг означает гармоническую составляющую А.
Это дает:
Я4
Ar°*As° cos <?r cos^,
J	Г S
и, следовательно, согласно (428b):
Vns cos COS <ps =
____	r .9
r s
В виду соответствия между комплексными множителями е~1Ч и
операторами $=eh , $* = е h , это выражение можно рассма-
тривать как приближенную форму оператора:
Ж"= ~ т	(Vbs + V йг) =	V bS .
Г S	Г S
если при этом отбросить дополнительные члены вида
y 2 2 ^brbs ’
Г S
rt el h co<
Оператор 4. = 5^2Wj7
соответствующие двукратному испусканию или двукратному поглоще-
нию и не имеющие физического-смысла. Подставив, сюда выраже-
ние (428b) для v и обозначая через 0ГдУ угол между направлением
электрических колебаний типа г и s, мы получаем:
м = -^-L- v у	Ь- ь,
О
b+bs, рассматриваемый как энергия
V V
rrrs
§ 51. Электромагнитные волны с квантованными амплитудами 661
возмущения, определяет вероятность таких переходов, при которых
один фотон (Avr) поглощается, а другой (hvs) — испускается. Так как
состояние атома при этом изменяться не должно [это следует из того
обстоятельства, что координаты его в (430а) явно не входят], т. е.
энергия его должна остаться прежней, то частоты vr и поглощае-
мого и испускаемого света должны быть одинаковыми: мы имеем,
таким образом, дело лишь с изменением направления света. Мы
получаем так называемое когерентное рассеяние. Как было
указано в § 23, рассеянный свет может иметь частоту, отличную от
частоты света падающего (как, напр., в случае эффекта Рамана или
Комптона). Вышеизложенная теория не может быть, однако, рас-
пространена на такие случаи комбинационного рассеяния.
Строго говоря, она неприменима также и к простому рассеянию.
Если бы вместо уравнения Шредингера, содержащего член, про-
порциональный квадрату А, 'мы воспользовались уравнением Дирака,
в которое А входит линейно, мы получили бы рассеяние света
лишь во втором приближении, соответствующем двойным
переходам (ср. § 23).
§ 51. Электромагнитные волны с квантованными амплитудами;
теория спонтанных переходов и затухания излучения.
Предшествующая теория (развитая Дираком) может быть в
значительной степени упрощена, если, следуя Йордану, Паули и
Гейзенбергу, мы не будем вводить явно понятия фотонов, а будем
трактовать световые явления с точки зрения волновой теории,
заменяя, однако, при этом классические электромагнитные волны
волнами (колебаниями) с квантованными амплиту-
дами. Обозначим через <р (х,у, г, t) плоскую гармоническую волну
для некоторой величины ср, характеризующей электромагнитное
поле — напряженности электрического или магнитного поля, скаляр-
ного или векторного потенциала и т. д. Она может представлять со-
бой волну, распространяющуюся в определенном направлении, или
же стоячую волну, образованную суперпозицией двух волн одной
и той же частоты и амплитуды, распространяющихся в противопо-
ложных направлениях. В первом случае мы можем положить:
662 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
ср (х,у, z, f) =	ei2*$ • '-^04-	e~i2~$ • Г-./),	(431)
где г —вектор со слагающими х,_у, Ь, a k — волновой вектор; вели-
чина последнего связана с частотой соотношением £ = cv, где с —
скорость света. Амплитуды Сдг, С-?* должны представлять собой
комплексно сопряженные величины, для того чтобы величина ср была
вещественной. Выражение (431) может быть переписано, соответст-
венно, в следующем виде:
ср (x,j/, z, t) = A-^cos 2к (k - г — v/) 4- sin 2к (k • г — vf), (431а)
где A~k и B~k—Два вещественных коэффициента. С помощью суммы
выражений (431) или (431а) для различных величин и направлений
вектора & (образующих дискретную или непрерывную последова-
тельность) с соответственно выбранными комплексными амплиту-
дными коэффициентами СдГ (или Д£, В/7) мы можем представить
величину ср как функцию от пространственных координат и времени
для любого электромагнитного поля в „пустом пространстве", т. е.
для любого решения уравнения Даламбера:
' (432)
Следует, однако, иметь в виду, что подобное представление
неприменимо в случае электромагнитного поля, создаваемого элек-
трическими зарядами, расположенными внутри рассматриваемой
области, так как такое поле определяется неоднородным
уравнением вида:
(432а)
где — объемная плотность зарядов, если ср — скалярный потен-
циал (или же — плотность электрического тока, если ср обозначает
векторный потенциал). Поскольку, однако, мы имеем дело с из-
лучением, мы можем считать, что уравнение (432) удовлетво-
ряется, и можем представить, соответственно, его общее решение в
виде суммы (или рнтеграла) выражений (431).
Переход от классической электромагнитной теории света к тео-
рии квантовой может быть осуществлен простейшим образом (без
§ 51. Электромагнитные волны с квантованными амплитудами 663
введения понятия фотонов) путем трактовки амплитудных коэффи-
циентов C-g, С~ь* не как обычных комплексных чисел, а как не-
коммутирующих квантовых операторов, пропорциональ-
ных операторам Ь, Ь\ применявшимся выше, с комплексно сопря-
женными коэффициентами пропорциональности y-j, у-*, которые
определяются условием нормальности функции <рр Прибавляя к k
индекс £ (£= 1, 2) для обозначения поляризации, мы получаем сле-
дующее квантовое выражение для плоской гармонической световой
волны:
« X ^х,у, z, t) =	. e‘^h '	(433)
Замена коэффициентов С, С* операторами Ь, Ь+ обеспечивает „кван-
тование“ всех величин, пропорциональных квадрату величины ср
или ее объемному интегралу (по всей той области, в которой ф
отлично от нуля). Так например, взяв квадрат выражения (433) и
проинтегрировав по объему V, вне которого ф обращается в нуль,
мы получаем
J	(433а>
V
квадраты отдельных членов выражения (433) в интеграле исчезают
в виду наличия периодических множителей е ~х4тс k ’г.
Согласно определению операторов Ь, Ь+, имеем:
b+b = Ny bb+ = N-\-\,
где N—целое число или, точнее, оператор, способный принимать
только целые положительные значения. Снабжая его индексами k> £,
характеризующими рассматриваемые колебания, мы получаем:
J«,^5rfV=2iTri5^(^>?-hy) •	(433b)
Г
Если представляет собой электрическую напряженность Е, то
выражение (433b), разделенное на 4к, можно интерпретировать как
электромагнитную энергию	содержащуюся в объеме V (так
как магнитная часть энергии равняется электрической). Полагая
= =	= <433с>
664 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
мы получаем для этой энергии следующее выражение:
\ * /
отличающееся о г соответствующего выражения теории фотонов нали-
чием в скобках члена (N—число фотонов).
Л
Для устранения этого члена сумму b+b bb* в (433а) обычно
заменяют через 2Ь+Ь, полагая:
ь-
I 1 k, £ I к,
Можно показать, что в точном выражении электромагнитной энер-
гии, содержащем сумму четырех членов, соответствующих скаляр-
ному потенциалу и трем ’ слагающим векторного потенциала или
сумму шести членов (соответствующих трем. слагающим электри-
ческой напряженности и трем слагающим магнитной напряженности)
1
— сокращается, и энергия сводится к целому кратному #у.
А
В общем случае электромагнитного поля, представленного сум-
мой членов вида (433) и удовлетворяющего данным граничным усло-
виям (соответствующим, например, излучению, содержащемуся в
полости с идеально отражающими стенками) интеграл j 9VZ V в виду
взаимной ортогональности различных нормальных колебаний
сводится к сумме выражений (433#) для всех рассматриваемых
значений Е.
Применим теперь метод квантованных электромагнитных волн к
вопросу о взаимодействии между светом и материей. Свет мы будем
трактовать как возмущение, а материю будем описывать обычным
образом путем
имели бы место
вой функции
суперпозиции стационарных состояний, которые
в отсутствии возмущения, т. е. с помощью волно-
2 Mr
аг фг (х)е~®гс*г*
Амплитудные коэффициенты аг мы будем трактовать вначале как
обычные числа; для простоты предположим, что материальная сис-
тема состоит из одного электрона, связанного с неподвижным сило-
вым центром (водородообразный атом).
§ 51. Электромагнитные волны с квантованными амплитудами 663^
Обусловленное светом возмущение учитывается вызываемым им
изменением коэффициентов аг во времени, согласно хорошо извест-
ным уравнениям:
—=	<«4)
Энергия возмущения может быть представлена в следующей форме
8=Т^ = У	. (434а)
X 5
где Т—некоторая величина, характеризующая атом, например—его
электрический момент, если <р представляет собой напряженность
электрического поля.
Подставив в (434а) выражение (433) для с, мы получаем:
(434b)
а
тдё индекс а — сокращенное обозначение для совокупности индексов
^a± = ~^Pae±l2^kt Г и = Отсюда следует:
а
Поскольку излагаемая теория формально тождественна расмот-
ренной нами выше теории возмущений, создаваемых классическими
(т. е. не квантованными) электромагнитными волнами, мы можем вос-
пользоваться для амплитуд аг теми приближенными выражениями,
которые были выведены нами выше [(175), § 22]. Следует упомя-
нуть, однако, что соответствующие вероятности | аг |2 точно так ^е,
как амплитуды вероятности ar (r^s) — должны трактоваться не как
обычные числа, а как операторы. Для получения сравнимых с
экспериментальными данными результатов мы должны рассматривать
характеристические значения этих операторов, или их
вероятные значения для совокупности состояний, соответ-
ствующих различным характеристическим значениям. ‘ Мы не будем
здесь останавливаться на рассмотрении метода вычисления этих
вероятных значений, так как они обычно известны a priori. Суще-
666 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
ственно отметить лишь, что применение квантованных электромагнит-
ных волн связано с введением „вероятностей второго порядка",
г. е. вероятности того, что обычная вероятность („первого по-
рядка") некоторого состояния (г) обладает данным значением из
числа возможных характеристических значений.
Вместо непосредственного определения значения вероятностей
перехода мы воспользуемся операторами |аг |2, рассматриваемыми
как функции времени (при условии, что при Z = 0 только один
из них обладает отличным от нуля характеристическим значением),
для определения вероятных (или средних) значений этих
вероятностей перехода.
Существенно отметить далее, что при вычислении операторов
! аг |2 следует принимать во внимание некоммутативный харак-
тер операторов ba, ba+, квадраты или произведения которых входят
в выражение произведения аг на а*. Необходимо, таким образом,
установить однозначным образом порядок перемножения операторов
аг и аг*. Если этот порядок фиксирован соответствующим образом,
то соотношения . коммутативности для операторов позволяют
включить в теорию переходов, обусловленных возмущением, *гакие
переходы, которые с классической точки зрения считаются
спонтанными.
Рассмотрим теперь подобно тому, как это было сделано в § 22
(или § 18, ч. I), излучение с практически непрерывным спектром
(например, тепловое излучение в статистическом равновесии при
данной температуре). Предполагая, что первоначально материальная
система (атом) находилась в данном состоянии s, мы получаем в
первом приближении при (г s):
а
(435)
где а* = а** — 1.
Рассмотрим прежде всего переход s-^r к состоянию с боль-
шей энергией Wr^> Ws при условии нерезкого резонанса с электро-
магнитными волнами, соответствующими малой области частот
§ 51. Электромагнитные волны с квантованными амплитудами 667
вблизи уа = уГ5 =---. Мы можем в таком случае вто-
рым членом выражения (435) пренебречь по сравнению с пер-
вым членом. Остается теперь умножить аг на комплексно сопря-
женную величину, отбросив все члены, содержащие произведения
операторов ^различными индексами а, и произвести сумми-
рование по различным колебаниям рассматриваемой области частот.
Мы должны, однако, сделать предварительно следующее суще-
ственное замечание относительно порядка множителей в произве-
дении аг на аД Согласно (435) аг (гфз) следует рассматривать
не как обычное число, а как оператор такого же типа, как и b
комплексно сопряженное число аг* должно быть заменено, следова-
тельно, адъюнгированныМ оператором:
(Aj<Tr) =	— as
правильный результат получается в
если оператор, характеризующий
состояния г, определяется произвел е-
не произведением агаг+.

------------------------
аа	vrs —
[соответствующИхМ первому члену выражения (435)].
При это м
том случае,
вероятность
н и е м а/ аг, а
Выполняя суммирование по различным колебаниям, мы можем
отбросить все те произведения ba+b^ для которых а Др (в виду
предполагаемого некогерентного характера излучения). Это дает:
(Д'')	Д_™
V h + h  °°
а ( j	__1 J2
ar+ ar а/ Д j( ~ - --- J-------------------------\d (у — у ),
г '	6	6 h 1 а Jrs Ду Лоо’ V — уГ5 I v rs'f
где vrs = у0—частота резонанса, | (Га+)г51*—среднее значение | (Ta+)rs|2
с
для всех направлений вектора k при определенной величине —, а
vo
Ду— узкая область частот, содержащая резонансную частоту и до-
статочно большая для того, чтобы подинтегральная функция была
очень мала по сравнению с4 при у—уг5 = ±Ду. Интеграл равен
мы получаем, таким образом:
аг	2 дД
668 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
Обозначим через Z^Av число различных колебаний в рассматри-
Д^
ваемой области частот, т. е. число слагаемых в Ь^Ьа. Для изо-
tt
8к V
тропного температурного излучения Zv Av= —~--v2Av [см. ч. I, § 29
(141)] мы можем, следовательно, положить:
Д'* .
Av v * а
и соответственно:
где
В+
rs
а>г = <h"* SX у h+a ba *’
(v0 = v„).	(435b)
----	1(7 +j [2
/z:!v ,v°" a rs'
(435а)
Рассмотрим теперь обратный переход г—>s, обусловленный
(нерезким) резонансом с электромагнитными колебаниями такой же
частоты, как и в предшествующем случае. Изменив порядок индек-
сов s и г, мы получаем для амплитуды вероятности перехода г—>s>
следующее выражение:
— к ar / . fa |(^a )sr^a	"4~
fl jted I
a
+ (T~)srb-------—x;--------}.	(436)
ysr i za	7
Так как vsr = — vrs и соответственно vsr va = 0, мы можем от-
бросить первый член этого выражения, что дает:
у	a* as =	(436а)
Это выражение отличается от (435а) обратным порядком множите-
лей Ьа и а также заменой Brs на B~rs.
По определению операторов Ь, :
= *Л = Ч + 1,
где Na — оператор, представляющий число световых квантов, свя-
занных с колебаниями типа а. Переходя от операторов к вероятным
значениям, мы получаем:
§ 51. Электромагнитные волны с квантованными амплитудами 669
у hvl>+a ba = Zs Av = р„,
где pv — спектральная плотность излучения в единице объема и
Ма = Н Ч - 1) *V = р, (1 -|- - “s' Av) .
Вероятные значения вероятностей переходов s—►-г и r-^s, отне-
сенные к единице времени, равны, следовательно:
Г,_г = ^р,„ при Wr>Ws
/ 8zv2 \
Вrs ^pvrf~|	^-hvrsj	Ars -j- Brs^rs.
Мы видим, таким образом, что согласно излагаемой теории „спон-
танные" переходы от состояния с большей энергией к состоянию
с меньшей энергией совершенно аналогичны индуцированным пере-
ходам того же типа. Соотношение
8kv-
^=-t /«в-
между вероятностными коэффициентами?! и В, относящимися к спон-
танным и индуцированным переходам, совпадает с тем, которое
было получено нами в §§ 17 и 18 части I по методу „классических“
электромагнитных волн. Единственная разница заключается в умно-
жении характеризующей атом величины Т на множитель e±2rdk'r,
относящийся к излучению, чтб соответствует введению двух несколько
различных коэффициентов В^ (для поглощения) и Brs (для испуска-
ния) вместо одного коэффициента, рассмотренного выше.. Следует
заметить, однако, что для изотропного излучения, при котором все
направления вектора k одинаково вероятны, оба коэффициента тож-
1
дественны. Если, кроме того, длина волны л = — велика по срав-
Л/
нению с эффективным линейным протяжением атома, то множи-
тели e~i2rJi'r могут быть отброшены. Выражение (435b) сводится
при этом к выражению, которое было получено нами ранее (ч. I,
§ 17), если величину Г определить как электрический момент атома в
670 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
направлении электрического поля ср. Подставив соответствующее
выражение (433с) для в (435b) и замечая, что .
мы получаем:
я«=^(1^2 + 1лг + Ы2)>
в согласии с формулой (103) § 18, ч. I.
В качестве второй иллюстрации метода квантованных электро-
магнитных .волн мы применим его, следуя Розенфельду, Вейскопфу
и Вигнеру, к вопросу о затухании излучения.
Вернемся к уравнениям возмущения (434) и предположим для
простоты, что матричные элементы энергии возмущения Srs отличны
от нуля только для двух состояний г=1 и 5 = 0 (диагональные
элементы и Son также обращаются в нуль).
Уравнения (434) принимают при этих условиях следующий вид:
h •	h •
—	«1 =А>	—.у-- «о =galt	(437)
Z1.Z	21TZ
где
/= 1а 1(71)10 bae^-^+ (T-)t9 b+
}(437а)
^=2Ь КT'Dot	/г <]. |
a	J
Предположим, что в начальный момент (/ = 0) ах = 1 и а0 = 0; это
означает, что вначале атом находился в возбужденном состоянии.
Попытаемся решить нашу задачу точнее, нежели раньше (когда
коэффициент ах рассматривался как постоянная величина), положив:
а{=е-^.	'	(438)
Это соответствует квази-радиоактивному уменьшению числа атомов,
находящихся в возбужденном состоянии (1), благодаря их спонтан-
ному переходу в нормальное состояние (0). Подставив выраже-
ние (438) во второе уравнение (437) и проинтегрировав, получаем:
§ 51. Электромагнитные волны с квантованными амплитудами 671
» /
п
а
-1-СГ-)01 ьа
,х	<?-«-2*(v1o + va-/D/ —1
a )oi ba —— ,~ ,Т V -
140 Г 7а / t
(уа — Mm + /Т) t--- | \
7 а Vi 0 - j- zT J
(438a)
Первый член этой суммы может быть отброшен, поскольку уа лежит
вблизи vJ0, точно так же, как и при выводе выражения (436а).
Для нахождения постоянной затухания Г мы должны подставить*
это выражение в первое уравнение (437), соблюдая должный поря-
док множителей Ь, Ь+ и просуммировать по всем а в области резо-.
нанса Av. Мы можем при этом отбросить второй член в /, так как
в виду некогерентного характера колебаний вероятное (среднее)
значение ba+b^ обращается в пуль как при а ф р, так и при а =
не обращаются в нуль лишь члены, содержащие произведения b
= Л/а ~{-1. Мы получаем таким образом:
—-Гб?“2г17 =
i
IV	— VrA't_____£ — i'lr. (vj о — l
т. e. .
Г = —
1 --ei2x ('4в— Уа-/Т)Г
ЪаЧт^(т-а)М \ 1)- ~—г—7г?-’ (438Ь>
Заменив
в этом выражении оператор Na его вероятным
/ с3 \
значением	—, ) pv и заменив, далее, суммирование по
8zlWy
рованием по v с помощью выражения Дяу = ——--------
(средним)
а интегри-
для числа
значений а в области zZv, мы получаем:
<у2---------- / f3 ,	\ ' Г 1-£>2^^(У10—7~'
Г=^('/а)1о(7’а)°1^ (18т:Ь7Р'?<’ + 1) J z(v — vte-pr)rf(V~Vlo)’
где v0 — резонансная частота у10, а (7аь)10 (7\)01 — среднее зна-
чение произведения (Гр1о (T’)ot для всех направлений вектора k
(v \
с неизменным численным значением /г0 = —М . Как легко видеть^
672 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
входящий в эту формулу интеграл / не зависит от> знамени»
параметра Г и равняется тс. Полагая Г=0 и у —у0 = £, имеем:
Ч-оо	„ „	4~оо	4-оо
r f 1—р 1 — cos2tc^,..	f sin2TC/(j
'= J —Ц----------di = -‘ J ------£-----Д+ J - £
— оо	— оо	— о?
Первый член обращается в нуль, так как подинтегральная функ-
ция является нечетной функцией от 5, второй же член сводится
к хорошо известному интегралу Лапласа, равному тс.
Таким образом, если мы пренебрежем различием между множи-
телями Т* и , заменив их просто через Т (что всегда возможно,
. с
если соответствующая резонансу длина волны л = —• -велика по
vo
сравнению с эффективными размерами атома) и примем во внимание
соотношение (435b), мы получим для константы Г следующее
выражение:
А о
4к V k +8zAVp,0/ 101
т. е.
4кГ = А104-В10р,.	(439)
Эта величина обычно называется декрементом затуха-
ния, так как число атомов, находящихся в возбужденном состоя-
нии, убывает с течением времени по закону е~При обычных
условиях второй член выражения (439) мал по сравнению с пер-
вым, так что постоянная затухания численно равна вероятности
спонтанного перехода между соответствующими состояниями.
В общем случае, когда атом первоначально находится в воз-
бужденном состоянии г, из которого возможны спонтанные переходы
в различные состояния с меньшей энергией 5, постоянная зату-
хания равняется сумме соответствующих вероятностей перехода:
4d?r = V Ars (Ws < Wr).	(439a)
s<Z.r
Амплитуда вероятности r-того состояния ar убывает с течением
времени по закону е~Умножив это выражение на
(х) е ~ viwrt,
§ 52. Применение квантованных электронных волн
673
мы можем трактовать результирующую функцию
artyr = фг° (л;) е ~— *тг)
как затухающее колебание, соответствующее комплексному
значению частоты vr— /Тг.
Подобные затухающие колебания, начинающиеся в некоторый
момент / = 0, могут быть представлены в виде суммы» незатухаю-
щих гармонических колебаний, согласно формуле
f(t) = е ~	- л»* = J А dv
— оо

где
оо
df —
00
J* е ~~ (^—+ лV) * dt
о
или
v 4^[(v —7г)2+Гг2]’
(439b)
Это выражение соответствует эффективной спектральной ширине Гг
рассматриваемого состояния — в соответствии с интерпретацией ком-
плексных значений энергии, приведенной в части I, § 15.
§ 52. Применение квантованных электронных волн
к испусканию и рассеянию излучения.
Если в функции
Ф (х, 0=2 аг^г (х> 0 = 2 a^ra W е ~ 1'2Г^Г‘ ’	(44°)
г	г
представляющей возмущенное движение электрона, коэффициенты аг
рассматривать не как обычные комплексные числа, а как операторы,
удовлетворяющие соотношениям:
arVas -4- asar+ = о, aras 4- a„ar = 0, а/а/ 4- a*ar+ — 0, (440а)
/ О I О f	/О ' I О J О Г	* Г О I О 9	' х '
то операторная функция ЧГ будет представлять движение любого
данного числа электронов, распределенных между различными инди-
видуальными состояниями Фг. Число электронов, связанных с отдель-
ным состоянием г, определяется как характеристическое значение
оператора:
a^ar = nr	(440b)
674 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
(причем оно равно 1 или 0); напомним, что произведение ага*
равняется 1—пг.
Гейзенберг показал, что при таком определении функции Т,
соответствующем квантованным электронным волнам,
можно дать адэкватное описание испускания (и рассеяния) излу-
чения в терминах классической электромагнитной теории, если,
следуя Шредингеру, заменить классические механические величины
(координаты, скорости и т. д.) их средними или вероятными зна-
чениями.
Эта волномеханическая теория испускания света была уже рас-
смотрена нами в § 17, ч. I, с помощью „классических" (т. е. некван-
тованных) электронных волн, как источников классических электро-
магнитных волн. Мы показали при этом, что световые колебания,
определяемые как «биения» между двумя электронными волнами, имеют
правильные значения частот, но что амплитуды их пропор-
циональны не только вероятности начального состояния, но также
и вероятности конечного состояния. Последнее обстоятельство про-
тиворечит фотонной теории излучения. Это противоречие устра-
няется при замене „классических" электронных волн квантованными
волнами; результирующие электромагнитные волны оказываются
также квантованными, правда, способом, несколько отличным от
рассмотренного в предыдущем параграфе.
Механическая величина, характеризующая излучение, испускае-
мое атомом, может быть определена согласно теории Шредингера, как
вероятное значение электрического момента атома Р= j* ty*Pty dX.
В случае нескольких электронов Р означает сумму где
—радиус вектор Z-того электрона (по отношению к ядру),
а ф — антисимметричная функция от координат всех электронов;
интегрирование распространяется при этом по всему конфигура-
ционному пространству. Вводя квантованные электронные волны,
мы можем представить совокупность электронов трехмерной опера-
торной функцией (440) и заменить предыдущее выражение следующим:
(441)
где Р = ег—электрический момент одного электрона; при этом Р
§ 52. Применение квантованных электронных волн 675
следует рассматривать не как обычное число, а как оператор,
характеристические значения которого равны вероятным значениям
результирующего электрического момента атома Р.
Точно так же, как в рассмотренном в предыдущем параграфе
случае квантованных электромагнитных волн, мы при этом
должны оперировать с вероятностями „второго порядка", т. е.
с вероятностями тех или иных вероятных значений Р, причем соответ-
ствующие амплитуды вероятности второго порядка С определяются
уравнением вида PC =Р' С, Фактически мы не должны заботиться об
этих вероятностях, так как единственной действительно интересую-
щей нас величиной, которая может быть непосредственно сравнена-
с экспериментальными данными, является вероятное значение Р
оператора Р, который, как мы знаем, обычно может быть опреде-
лен непосредственно.
Следует подчеркнуть, что порядок множителей F и Ф в выра-
жении (441) является существенным, так как эти множители
друг с другом не коммутируют. Если бы оператор Р был опреде-
лен как	то мы получили бы ошибочные результаты
Подставив в (441) выражение (440) для ЧТ, получаем:
(441а)
Г S
и следовательно:
=- 2 2 <(2™~)2	(441Ь)
Электрическое и магнитное поля, создаваемые атомом в достаточно
удаленных точках, определяются этим выражением таким же точно
образом, как и в классической электромагнитной теории.
Электрическая напряженность в данном направлении т на расстоя-
нии R от атома (единичный вектор т перпендикулярен к /?) предста-
вляется, таким образом, оператором:
676 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
т. е.
EZ^E- +	=	(442)
Г Ф S
где соответствует членам с отрицательными частотами, а
£* — членам с частотами положительными,
т
Электрическое поле, определяемое выражением (442), представ-
ляет собой оператор, до некоторой степени сходный с тем, который
был определен в предыдущем параграфе с помощью операторов Ь, Ь\
причем операторы ar+as соответствуют b при vr5<^0 (Wr<^Ws) и
при vr5^>0. Связь между обоими типами операторов будет рас-
смотрена несколько позднее. Здесь же мы отметим лишь то обстоя-
тельство, что наблюдаемое электрическое поле определяется харак-
теристическими или вероятными значениями выражения (442). При
отсутствии определенных фазовых соотношений между операторами
аг и as, относящимися к различным состояниям, т. е. в том случае,
когда различные гармонические члены в (440) не когерентны друг
по отношению к другу, вероятные значения ar+as равны нулю, по-
скольку r^s, так что вероятное значение (442) обращается в нуль.
Практически это эквивалентно тому обстоятельству, что среднее
значение Ez по времени равняется нулю. Нас интересует однако
не напряженность электрического поля, а соответствующая энер-
гия. Согласно классической теории, последняя (или, точнее, плот-
ность энергии) пропорциональна квадрату Ez. Для получения опе-
ратора, определяющего энергию в согласии с фотонной теорией
излучения, мы должны взять не квадрат EZJ а произведение Ez+
на Е^ (точно так же, как в предыдущем параграфе, где Е* было
заменено через <р+, а Е~ через ср). Это дает:
Е+ЕГ =
и®.,
Г > 5, г1 > s'
причем vr5^>0 при r^>s (для удобства индекс т отброшен).
Рассмотрим, прежде всего, среднее по времени от этого
выражения; для этого мы должны взять те лишь члены, для кото-
§ 52. Применение квантованных электронных волн
677
рых vrs -|~ vsiri — 0, т. е. г' — г и s' = s. Мы получаем таким
образом:
Е*Е~ — ^,4
r>s
Напомним, что точно такой же результат получается при усредне-
нии по фазам операторов аг, если мы предполагаем, что они соот-
ветствуют некогерентным колебаниям.
Далее
а+а,а*аг = — а*алл* = ar+ara~a + = nr (1 — пХ
I О О г	Г о Г о	I / о □	Г X	о/'
так что
______(0	1 v V
Е*ЕГ = ^2 Д Д. nr (1 — ns)	(2zv„)4.	(442b)
> s
Эта формула показывает, что интенсивность испускаемого света
равняется сумме членов, соответствующих комбинациям двух раз-
личных состояний (г, 5) при условии, что верхнее состоя-
ние занято (/гг = 1), а нижнее свободно (л5 = 0). Этот
результат находится в полном соответствии с фотонной теорией
испускания света в связи с принципом Паули. Формулу (442b)
можно, таким образом, рассматривать, как усовершенствованное видо-
изменение „полуклассического" волно-механического равенства (92),
§17, части I, в-которое верхнее и нижнее состояния входят совер-
шенно симметрично. Мы получим прежний результат, если будем
рассматривать амплитуды ап as как обычные числа, а не как опе-
раторы.
Если в выражении (441а) аг и as умножены на коэффициенты
затухания е l2rSrt
 W-Ws
и е i2rSst, то световые колебания с частотой
обусловленные комбинацией соответствующих
состояний, также оказываются затухающими, причем постоянная за-
тухания равна:
г л? = Гг 4“	А А*т
p<r q<3
Эффективная ширина спектральной линии, испускаемой при пере-
ходе от одного состояния к другому, равняется, таким образом,
сумме спектральной ширины начального и конечного состояний.
678 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
Исследуем теперь с помощью формулы (442) свет, испускаемый
атомом в результате возмущающего воздействия „первичных" электро-
магнитных волн,т. е. исследуем явление рассеяния света. Как было
показано в главе V, § 23, интерпретация этого явления с чисто
механической точки зрения требует рассмотрения двойных пере-
ходов, что соответствует второму приближению в решении возму-
щенной задачи. Если же, однако, мы будем рассматривать излу-
чение, испускаемое (рассеиваемое) возбужденным атомом, то мы
можем ограничиться первым приближением, которое в связи
с уравнением (442) дает эквивалентные результаты.
Будем временно трактовать коэффициенты аг как обыкновенные
числа и определим электрическое поле первичных световых
выражением:
волн
£° = — (be ~	-j-
2
в на-
нуля,
где b — (комплексная) амплитуда £°. Предположим, далее, что
чальный момент t = Q коэффициенты aq, aqf, aqu отличны от
тогда как псе остальные коэффициенты ar, asi ... равны нулю.
Мы получим при этом, согласно (435), заменив через (т. е.
через составляющую Р в направлении о вектора f0), и суммиро-
вание по а — суммированием по q:
ar = ^ar =
1 V	Г e —	-- 1	---1"

2/Z^ y u "VL	— V
q	4
Подставив это выражение и аналогичное выражение для комплексно
сопряженной величины
аг+ = Мг+ =
— 4rq)t— 1	е- /2тг 4-vrq) t— j 1
*+-------------+6-------г-тт------ •
\q — v
”'	2й2а?°+ ^Р^^г
я
в формулу (441а) для электрического момента или его проекции
на данное направление т и отбросив члены второго порядка малости,
мы получаем:
(0 = 22 [Д*а'+й“'{Р^' е^Г9,< +	^я'г е^я'^\.
Г д'
§ 52. Применение квантованных электронных волн 679
Отбросив, далее, члены, не содержащие первичной частоты (их
можно рассматривать в действительности как исчезающие благо-
даря затуханию), мы получаем с помощью соотношений
^rq “j" Vq’t-----Vq'q — Vqq1 :
g д' r
ei2K(f — gq,q)t
V -----V
rq
e — (m 4- t
'trg + 'i -
b+
Л(0 =

или, переставляя различные члены,
^(0 = У У [^и- Ье-^-^дУ^а^аО U-
q q’
+ У У КЧ' «+,^-^+W'+a»ta»«+	(443)
(z(zW	(z(zvz(z
q q'
В этой формуле:
< v	д_ iy (р:),/р-.),<
ч,(1 2h чгд— v ’ w' 2h vrq — v
Напряженность электрического поля рассеянного излучения на рас-
стоянии R	1 -• /	Z? \
Ez(t) =---pJt——)
z v 7 c*R A	c )
определяется таким образом формулой:
£а<> = - jsr {I2« (’ - V.M’ [“? “ п ьг	+
-	P’O+’n»1’ I+
4-a’ta°«+,	(443b)
i ст а а’а	J/
680 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
Хотя в предшествующем вычислении мы трактовали коэффициенты аг
как обычные числа, полученные результаты остаются в силе и в том
случае, если мы будем рассматривать их как операторы, так как
при определении произведений ar+as и т. д. мы уже позаботились
о правильной последовательности множителей. Малость коэффициен-
тов первого порядка Д^,. следует понимать в этом случае, как
малость средних (или вероятных) значений соответствующих вероят-
ностей | аг |2 (т. е. доминирование характеристического значения
i аг |2 = 0).
Рассмотрим теперь тот частный случай, когда., атом находится
первоначально в определенном состоянии q, Двойная сумма
(443) сводится при этом к одному члену:
где
pz (/) = a°q+aQqwqq(be~i2^-\- b+e12™*),	(444)
w ___________L V ^qr{P^)qr (Pz)rq
(444a)
причем напряженность электрического поля (443b)
формулой:
выражается
(2^v)3p (t

(444b)
Рассеянное излучение имеет в этом случае такую же частоту,
как и первичное. Это—так называемое простое или рэлеев-
ское рассеяние. В общем случае уравнения (443а) в дополнение
к этому простому рассеянию мы получаем „комбинационноеи или
рамановское рассеяние с измененными частотами vvqfq.
Для получения средней энергии рассеянных лучей мы должны
взять квадрат Ez или, точнее, произведение Е* на Для рэлеев-
ского рассеяния это дает:
Et E-^w2(a^aQ^b+bf
*С *с qqv q q' ’
т. e.
Et E~ = w2 n2b*b =	(445)
T T . qq q	qq q >
так как характеристические значения nq и nq одинаковы (1 или 0).
Для рамановского рассеяния результаты несколько сложнее. Рас-
§ 52. Применение квантованных электронных волн 681
смотрим в отдельности рассеянные лучи, обладающие частотой v — vqiq
и частотой
Взяв среднее по времени от произведения ££ и мы полу-
чаем, согласно (443b):
, ^(v —v , ¥и~ tu~t
Vq>q -V q'q* “qq'q'q^q q'q'q
t. e.
(445a)
и аналогично
ИЛИ
;V+v? —(v +	а\<чи\ч'п\'t1 “ raP b+b- <445b)
Эти результаты находятся в согласии с экспериментальными дан-
ными и с элементарной теорией (данной Смекалем) эффекта Ра-
мана, основанной на представлении о фотонах. Для получения пол-
ной аналогии мы должны, однако, сделать дополнительное предпо
ложение: vqq< 0, т. е. Wq< Wq.
Рассеянный фотон с уменьшенной частотой v — vq>q получается
с этой точки зрения в том случае, если атом первоначально нахо-
дился в нижнем состоянии (/г£=1), верхнее же состояние q' оста-
валось свободным (п^— 0). В противоположном случае (л®, = 1,
zz^ = O) атом переходит из верхнего состояния в нижнее, добавляя
энергию h^q<q к энергии фотона, что проявляется в испускании
или рассеянии фотона с увеличенной частотой
Следует упомянуть, что промежуточные состояния г, определяю-
щие интенсивность рассеянного излучения через множители и—, в
противоположность конечному состоянию q или q' не должны не-
пременно быть вакантными, так как соответствующие числа (опера-
торы) пг в уравнения (444а) и (444b) не входят. Это может быть
объяснено тем обстоятельством, что если некоторое промежуточное
состояние г занято, то электрон, первоначально находившийся в
состоянии q, меняется местом с электроном в состоянии г, причем
последний переходит в конечное состояние q'.
Амплитуда вероятности таких двойных переходов q-^r—^q
682 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
с перестановкой должна быть такой же, как и для двойных
переходов без перестановки, так как электроны друг от друга не-
отличимы.
Выражения
являющиеся мерой интенсивности рассеянного излучения с частотой
v±vqfq находятся в согласии с выражениями (184), полученными
нами в § 23 для вероятности двойных переходов, характеризующих
комбинационное рассеяние.
Предыдущая теория процесса рассеяния может быть улучшена,
если мы примем во внимание затухание, описывающееся прибавле-
нием к частоте vr каждого состояния мнимого члена zTr. Эта по-
правка становится особенно существенной вблизи резонанса. Мы
получаем, например, вместо (444а):
w ___ I V -.nn.
I
где Г^Г=Г^4-ГГ — множитель затухания для линии, испускаемой
при переходе между состояниями q и г. Это выражение остается
конечным, если v = v?r, определяя поляризацию и интенсивность
так называемого „резонансного излучения".
Набросанная выше теория излучения неточна в том смысле, что
она не учитывает надлежащим образом запаздывающего характера
электромагнитных действий. Последний был учтен приближенно путем
подстановки разности t---— вместо где R — расстояние некото-
рой точки (например центра) атома от рассматриваемой точки про-
странства. Это приближение недостаточно, однако, в том случае,
s С
когда длина волны испускаемого или рассеянного света А = —
того же порядка величины (или меньше), что и линейные размеры
атома. Создаваемое последним электромагнитное поле может быть
§ 52. Применение квантованных электронных волн 683
определено в этом случае с помощью классических выражений для
скалярного и векторного потенциала:
----- dV,
R
---— dV,
R
(446)
где /?= |г —-г \ — расстояние рассматриваемой точки от некоторой
точки г элемента объема dV' электронного облака. Здесь е обо-
значает заряд электрона, тогда как
р = Чг+Ф	(446а)
плотность облака, a j—соответствующая плотность тока.1 Согласно
теории Дирака:
7=Ф5Ф,	(446b)
где q — матрица скорости, а Ф — оператор, соответствующий дира-
ковской волновой функции. Воспользовавшись для последней вы-
ражением (440), где х—сокращенное обозначение геометрических
координат и спиновой координаты, получаем:
P = У У a tasV'r+ (x) ei2r^,
r S’
7= У У a'ras¥r+ (x) 7?? (x)
Прежде чем подставить эти выражения в (446), мы. должны заменить
£
х через х' (координаты точки г') и t через t' = t-----. Далее,
с
поскольку R очень велико по сравнению с атомными ^размерами, мы
можем положить:
R = Ro~—n- г,
1 Точнее, операторы, характеристические значения которых являются
вероятными значениями соответствующих плотностей.
684 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
где /?0 — расстояние точки г от центра (ядра) атома и п — -=£-
единичный вектор соответствующего направления. Мы имеем таким
образом:
Р(/,
г S
и аналогичное выражение для j(r, /')•
Заменив в знаменателе подинтегральной функции выражения
(444) R через /?0 — что допустимо, поскольку /?0 предполагается
достаточно большим, — мы получаем следующие выражения для
электромагнитных потенциалов:
(447)
(447а)
быть вы-
где	-> -
/»	^-Г^Г8П • rf
ftTCVrsn • rf ,
c dx-
Напряженности электрического и магнитного поля могут
числены из выражения (447) с помощью классических уравнений:
-*	1 дА	—	—
Е = — ?Ф--------—тт,	Н= rot А.	(448)
с dt	4	'
дающих [если 7?0 в знаменателе (447) считать постоянным]:
£ = У У ar+ as	^rs (nfrs—grs),
Г S
— У азеЛГ^~~^ (nXgrs)- (448а)
Г 3
§ 53. Связь МЕЖДУ КВАНТОВ. ЭЛЕКТРОН. И ЭЛЕКТРОМАГН. ВОЛНАМИ 685
Как легко видеть, эти выражения удовлетворяют соотношениям:
77=^ ХД Е = — п\Н,
характеризующим классическое поле излучения. Единственной не-
классической чертой предыдущих формул, помимо наличия в них
квантовых частот vrs (входящих точно так же, как и в старой тео-
рии Шредингера)—является некоммутативный характер коэффи-
циентов аг. Эта черта сказывается, однако, лишь в том случае,
когда мы переходим к вычислению электромагнитной энергии.
53. Связь между квантованными электронными волнами
и волнами электромагнитными.
Как мы уже отмечали, для получения точного выражения энер-
гии (а также и других квадратичных величин) мы должны разбить
линейные параметры электромагнитного поля Ф, А, Е} Н на две
части: Ф~, А~, Е~, Н~ и Ф+, А+, Е*, Н+, соответствующие членам
с отрицательными и положительными частотами. Плотность энергии
представляется, таким образом, оператором
V) =	(£+£~+	(449)
Аналогичным	образом поток энергии (вектор Пойнтинга)	представ-
ляется оператором:
К=-^(Е+ХН--Н+ХЕ-').	(449а)
Члены Ф	с	отрицательной и положительной	частотой	не сле-
дует отождествлять с операторами ф и ф+, введенными нами в § 51
с помощью операторов Ь, Ь+ статистики Бозе — Эйнштейна.
Действительно, рассматриваемые нами электромагнитные волны
представляют собой не плоские, а сферические волны, амплитуды
которых обратно пропорциональны расстоянию от излучающего
атома и убывают экспоненциально с течением времени; колебание
(г, s) затухает согласно закону + е Эти затухающие сфе-
рические волны квантуются иначе, нежели рассмотренные выше пло-
ские волны, а именно: с помощью операторов a*as и а*аг вместо
операторов Ь+ и b предыдущей теории.
686 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
Интересно, однако, отметить, что операторы эти в некотором
отношении весьма сходны друг с другом. Если r>s, т. е.
то a*as соответствует, очевидно, b*s и а^аг соответствует Ь~
(в том смысле, что первые относятся к гармоническим членам с поло-
жительными частотами, а последние — к членам с отрицательными
частотами). Полагая соответственно:
а+а =Ь и а^а =Ь~
г s rs	S г rs1
мы получаем
Ь'Л = < ara+ras = a^asara+r =ns^— П^>
b~rs = < as < ar = a+r ar as < = nr (1 — ns>
и следовательно
b~ b+ — b^ b~ =n — n .
rs rs rs rs s r
В случае излучения, обусловленного переходом r—>s, характери-
стические значения nr п ns после перехода равны пг = 0 и
ns— 1, так что предыдущее выражение сводится к 1, точно так же,
как Ь~Ь+ — b^b . Аналогичным образом можно показать, что опе-
раторы а+а$ = Ь+$ и a+ar, — b~s, коммутируют друг с другом при-
условии г'фг или s’ ф s (если / = г, то b~s,b\ — b^b's, = a*asf)>
тогда как Ь* всегда коммутирует с Ь* и Ь~ с Ь~.
Эти результаты показывают, что построение теории квантован-
ных электромагнитных волн в пустом пространстве на основании
весьма ограниченной аналогии между этими волнами и квантован-
ными волнами, представляющими движение обычных частиц, подчи-
няющихся статистике Бозе — Эйнштейна, не только не необходимо,
но также и невозможно. Истинное соотношение между электромагнит-
ными волнами и квантованными электронными волнами в трехмерном
пространстве вероятно значительно более удовлетворительно пред-
ставляется тем фактом, что амплитуды первых квадратичны по
отношению к амплитудам вторых, причем „симметричные* опера-
торы Ь заменяются квадратичными комбинациями „антисимметрич-
ных" операторов а.
Теорию квантованных электромагнитных волн, построенную нами
в § 51, следует, таким образом, рассматривать как удобный, хотя
§ 53. Связь МЕЖДУ КВАНТОВ. ЭЛЕКТРОН. И ЭЛЕКТРОМАГН. ВОЛНАМИ 687
с отражающими стенками, должно
в плоские стоячие волны,
электромагнитные колебания в со-
таких обстоятельствах рассмотрение
и искусственный метод трактовки задач, связанных со спонтанным
излучением, а не как истинную картину физической реальности.
Действительно, согласно этому методу, излучение атома, находяще-
гося в прямоугольном ящике
немедленно превращаться
’представляющие нормальные
ответствующей полости. При
затухающих шаровых электромагнитных волн, излучаемых при пере-
ходе атома из одного состояния в другое, уже не является необхо-
димым; этот переход вместе с результирующим изменением поля
излучения описывается как переход всей системы: атом -J- излучение
(в форме нормальных колебаний) из одного стационарного состоя-
ния в другое. Следует отметить, что именно таким способом опи-
сания мы пользуемся в теории возмущений при рассмотрении обыч-
ных переходов, не содержащих каких-либо радиационных эффектов;
переход трактуется не как процесс, имеющий конечное течение во
времени, а как своего рода „перескок" системы из одного невоз-
мущенного состояния в другое.
Если бы мы хотели трактовать „спонтанный" переход атома из
более высокого в более низкое состояние, как результат воз-
действия его собственного поля излучения, описываемого расходя-
щимися шаровыми волнами, мы должны были бы воспользоваться
более сложным методом возмущений, рассматривающим затухающие
колебания; при этом самый переход представлял бы собой не мгно-
венный скачок, имеющий определенную вероятность А (отнесенную
к единице времени), а как непрерывный процесс, начинающийся
в момент / = 0 и заканчивающийся при / = оо с эффективной
1
длительностью порядка —.
Следует упомянуть, далее, что с этой точки зрения (являющейся
единственно правильной) электромагнитное излучение всегда следует
рассматривать в связи с материей, которой оно испускается, погло-
щается или рассеивается. Действительно, излучение, содержащееся
в пустом сосуде с идеально отражающими стенками и рассматри-
ваемое как независимая динамическая система, является в значи-
тельной степени фикцией, так как его отражение стенками на самом
688 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
деле обусловлено поглощением и вторичным испусканием или рас-
сеянием света атомами стенки. Поглощение излучения, являющееся
согласно методу квантованных электромагнитных волн простым
переходом поглощающего атома из состояния с низкой энергией
в состояние с более высокой энергией при одновременном умень-
шении энергии соответствующей системы электромагнитных волн
точно на один квант, следует рассматривать как результат супер-
позиции первичного излучения, вызывающего переход, со вторичным
излучением, испускаемым атомом. Подобная картина процесса погло-
щения дается классической электродинамикой, она должна оставаться
в основном неизменной и в последовательной квантовой теории,
где истинные процессы должны лишь быть заменены процессами
вероятными.
Общепринятое представление, согласно которому испускание из-
лучения может быть обусловлено лишь переходом атома от более
высокого к более низкому состоянию, является совершенно ошибоч-
ным; обратный переход точно также сопровождается испусканием
излучения, которое, однако, гасит первичное излучение, вызываю-
щее переход, и проявляется поэтому как поглощение последнего.
В предыдущем рассмотрении связи между квантованными механи-
ческими (электронными) волнами и волнами электромагнитными мы
трактовали первые, как причину последних. Это соотношение может
быть, однако, обращено в том смысле, что на движение электронов
влияют электромагнитные волны внешнего происхождения. Это
влияние было уже исследовано нами в предыдущем параграфе (в
связи с рассеянием), а также и в параграфе 51 с помощью метода
теории возмущений. Остается лишь выяснить, совместны ли друг
с другом в этом отношении рассматриваемые нами два типа кван-
тования, соответствующие двум различным типам волн.
Полученные нами в § 52 формулы теории возмущений для
амплитуд аг должны, очевидно, удовлетворять общим соотношениям
коммутативности а+га8 asa/r = 8Г5. Полагая для простоты, что
все коэффициенты aq за исключением одного обращаются в нуль, и
сохраняя порядок всех нетривиальных множителей, цы получаем:
п+ п — * / I ?rg Р 0+ /,+ I_________I Prq I*	о+ hh+ ol
' г~ 4A4(vr? — v)2 4 ° Ь 4 + (vr?-f-v)2 4 ЬЬ q]
§ 54. Квантовая электродинамика Гейзенберга, Паули и Дирака 689
плюс несколько гармонических колебательных членов, которые мы
отбрасываем, так как их средние значения обращаются в нуль.
Произведения Ь*Ь и где Ь и Ь+ определяются, как ампли-
тудные операторы статистики Бозе — Эйнштейна или как произведе-
ния типа Op as и ар (с соответственно выбранными значениям
р и s) коммутируют с а$ и Мы получаем, таким образом:
а+ а =ao+ao_J_ip р Г	I bb+ "1
г Г a^tw\Pgr\ L(vr? — v)’ + (vr? + v)»J
и аналогично:
а а+ — д°д0+ * I р |2 Г	Ц-	1
r r q q L(V^ —	(% + v)LT
Мы видим из этих уравнений, что соотношение a* аг-[~ ага* =1
вытекает из соотношения a^dq afaq* = 1 лишь в предполо-
жении, что 6Z>+ = 6+£, т. е. если b и ZA трактуются, как обыч-
ные (коммутирующие) числа. Как легко видеть, соотношения
a+as-\-asar =0 и т. д. оказываются выполненными (при г :/:$);
действительно, поскольку колебательные члены отброшены, мы по-
лучаем: ar = asc$ = 0.
§ 64. Квантовая электродинамика Гейзенберга, Паули и
Дирака.
Отсутствие полного соответствия между механическими и элект-
ромагнитными волнами с точки зрения их квантования является
весьма неудовлетворительной чертой предыдущей теории. Можно
показать, однако, что оно обусловлено, по крайней мере до неко-
торой степени, той приближенной формой, в которой эта теория
была нами развита. Рассмотрим теперь вкратце ее более точную
формулировку, данную Гейзенбергом и Паули. Эта формулировка
в то же время представляет собой п обобщение, трактующее поле
излучения, как частный случай электромагнитного поля, создавае-
мого материей и воздействующего на нее; при этом обычные электри-
ческие и магнитные силы трактуются таким же образом, как и
эффекты излучения.
Теория Гейзенберга и Паули может быть сведена к следующим
уравнениям:
690 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
1.	Уравнение движения:
[pt + еФ 4- су • А 4- у0/и0с2] = 0,	(450)
где №— линейная матрица Дирака с четырьмя компонентами
^з,
2.	Уравнения электромагнитного поля
(451)
с обычными соотношениями
Е=— Х7Ф-------~^А, H=rotA (451а)
с dt
между потенциалами Ф, А и напряженностями поля Е, Н.
3.	Соотношения коммутативности, выражающие квантование ме-
ханического поля согласно статистике Паули — Ферми:
Ф (х) Ф+ (х’) 4- Т+ (х) Т (х') == 8 (х — х')>
Т (х) ЧТ (х') 4- ЧТ (х') Т (х) = 0,
Ф+ (х) Т+ (х') 4- ’F+ (х') ’F+ (х) = 0.
(452)
4.	Соотношения коммутативности для электромагнитного поля,
сводящиеся в основном к следующим формулам:
__rh
Еь (х) А1 (х') — At (х') Ек (х) = 8ftz8 (х — х'),	(453)
Ak (х) Ai (х') — At (х') Ak (х) = 0, )	(453а)
Еь (х) Ei (х') - Ei (х') Ek (х) = 0. j
Уравнения (450) и (451) вместе с квантовыми условиями (452)
можно рассматривать как обобщение уравнений (410) и (410b),
которые были получены нами в § 45 в качестве точного эквивалента
теории Шредингера для системы электронов, описываемых некван-
товаиными волнами ф в конфигурационном пространстве и воздей-
ствующих друг на друга согласно закону Кулона. Это обобщение
заключается в введении конечной скорости распространения элек-
тромагнитных воздействий, как косвенным образом — путем замены
иерелятизистского уравнения движения (410) релятивистским (450)>
§ 54. Квантовая электродинамика Гейзенберга, Паули и Дирака 691
так и непосредственно — введением уравнений (451), выражающих
закон запаздывающего воздействия, вместо уравнения Пуассона (410b).
Дифференциальные уравнения (451) могут быть заменены явными
выражениями для запаздывающих потенциалов:
ф(7 /)=<?[	) **(r'	+ Ф° (7, о,
J	1г—r I
Л (7 i) = е f	(г, t ) d v,
J	k—H
где t' — -—; Ф° и Д° — любые решения однородных уравне-
ний Даламбера:
^гф0-^^=0’	=	054а)
удовлетворяющие соотношению:
-*	1 дФ°
ШуД°4-__.=0.	(454b)
Если мы положим Ф° = 0, Д° == 0, т. е. ограничимся рассмотрением
запаздывающих потенциалов, обусловленных движением электронов,
описываемым операторной функцией ЧГ, то воздействие электронов
на самих себя, казалось бы, учитываемое этими уравнениями, в
действительности устраняется автоматически благодаря соотношениям
коммутативности (452). Уравнения (452), (450) и (454) (при Ф° =
= 0, Д° = 0) должны дать, таким образом, адэкватное описание
взаимодействия электронов, учитывающее эффекты запаздывания,
а также эффекты релятивистские.
Слабый пункт теории Гейзенберга — Паули состоит в введении
дополнительных правил квантования для электромагнитного поля,
выражаемых уравнениями (453). Эти уравнения не вытекают из
уравнений (451), а постулируются на основе аналогии между све-
товыми волнами и волнами механическими, описывающими движе-
ние частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна. Для полу-
чения соотношений коммутативности для электромагнитного поля,
Гейзенберг и Паули (следуя предшествовавшей работе Паули и
Йордана) в действительности возвращаются к старой механической
692 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
теории света, трактуемого как колебания упругого эфира, и на
основе классических волновых* уравнения (454а) дают квантово-ме-
ханическую теорию этих колебаний. Уравнения (454а) можно за-
писать в форме, соответствующей обычным гамильтоновым уравне-
ниям движения системы материальных точек для того предельного
случая, когда эти точки образуют непрерывную среду. Заменив
классические уравнения движения Гамильтона для такой непрерыв-
ной среды соответствующими матричными или волно-механическими
уравнениями, мы получим уравнения для квантованных упругих или
электромагнитных волн. Фотоны, соответствующие этим волнам,
вводятся, таким образом, точно так же, как фононы, отвечающие
обычным звуковым волнам (см. ч. I). Энергия электромагнитных
(или „упругих") колебаний данной частоты v квантуется согласно
обычной формуле (л-J--77) Av для гармонического осциллятора.
/ \ z /
ГТ	1
Для устранения — необходимо изменить определение энергии так,
как это было указано в § 51.
Следует подчеркнуть, что эта теория относится к „свободному
эфиру", т. е. к пустому пространству, не содержащему электриче-
ских зарядов. Это отвечает электромагнитному полю, которое мы
характеризовали выше с помощью потенциалов Ф°, Л°. Такое
поле может быть описано, как известно, без какого бы то ни было,
ограничения общности, также и в том случае, если мы положим Ф° = 0.
Рассматривая слагающие вектора Л° как координаты частиц упру-
гого эфира, можно, очевидно, определить электрическое поле £ —
1 <М°
=-----—как величинУ> соответствующую механическому им-
пульсу этих частиц. Отсюда мы получаем соотношения коммутатив-
ности (453), (453а), представляющие собой обычные соотношения
коммутативности:
PknQln! QlnPkn' — firin'
для системы частиц 1, 2, ..., п ..., ri в том предельном случае,
когда эти частицы образуют континуум.
Электромагнитное поле при отсутствии зарядов может быть
представлено как суперпозиция плоских гармонических воли,-—как
§ 54. Квантовая электродинамика Гейзенберга, Паули и Дирака 693
это уже было сделано нами в § 51. Вводя волновые векторы А
и замечая, что v = c£, мы можем переписать соотношения коммута-
тивности (453), (453а) в следующем виде:
—►	—♦	ch -» —*
Ат (А) А+п (£') - A* (k') Ат (k) =— (А—А'),	(455)
где Am(k) — проекции гармонических слагающих (амплитуд) в раз-
ложении вектора А (г, t). К этим формулам должно быть доба-
влено соотношение:
->	-*	—»	—♦	ch —*
Ф (А)Ф+ (&') — Ф+ (£') Ф (А) — — — 3 (k — k')	(455а)
для скалярного потенциала; все же остальные комбинации взаимно
коммутируют. Эти формулы могут быть выведены непосредственно
из соотношений § 51 для операторов Ь+, Ь, представляющих ампли-
туды гармонических членов с положительными и отрицательными
частотами в предельном случае бесконечного пространства.
Для сохранения предыдущих соотношений коммутативности в
случае электромагнитного поля в присутствии электрических зарядов
(электронов) оказывается необходимом видоизменить уравнения
Масквелла путем прибавления к слагающим плотности тока и к плот-
ности заряда малых членов, пропорциональных производным, выра-
4. г. 1
жения P4 = div^4"“ соответственно по координатам и по
Времени, заменив условие (454b) дополнительным соотношением ком-
мутативности
he —♦ —*
« [Р4 (х) Ф (х') - Ф (х') Pt (х)] = — S (г — /),	(455b)
где е — вышеупомянутый коэффициент пропорциональности, в ко-
нечном счете полагаемый равным нулю.
Дирак показал, что можно дать несколько иную (релятивист-
ски инвариантную) формулировку теории Гейзенберга — Паули
для системы, состоящей из данного числа электронов или электри-
ческих частиц какого-либо другого рода. В теории Дирака частицы
списываются с помощью метода конфигурационного пространства,
причем их взаимодействие друг с другом определяется неявным
образом, как результат взаимодействия с квантованным электро-
694 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
магнитным полем в пустом пространстве, в связи с некоторыми огра-
ничивающими условиями, налагаемыми на волновую функцию.
Обозначим через ^(хп х3, /3,	t^) волновую функ-
цию электронов, каждому из которых соответствует
свое собственное индивидуальное время, и через
Ф (х, /), А (х, Л — потенциалы квантованного электромагнитного
поля, удовлетворяющие уравнениям (454а), (454b) и условиям ком-
мутативности (453а). Уравнения Дирака могут быть при этом за-
писаны в следующем виде:
+ = (456)
где
-* Г й е —	~|
= ek$ (**. Q +	[ 2^- v— -J- А (хк, tk)J 4- тол/яося (456а)
оператор Гамильтона для й-той частицы.
Функцию следует трактовать в действительности как мат-
рицу по отношению к стационарным состояниям поля, взятым в
отдельности. Эти состояния соответствуют различным плоским гар-
моническим волнам, характеризующимся волновым вектором k и по-
ляризационным квантовым числом Приведя их в связь с фото-
нами, мы можем рассматривать вышеприведенную трактовку, как
частный случай общего метода описания неполных систем, приве-
денного в § 40 главы VII, причем не принимаемая в рассмотрение
часть (В) полной системы представляет собой „фотоновый газ*.
Можно было бы предположить, что подобным способом можно
дать адэкватное описание взаимодействия между частицами, по-
скольку их взаимодействие с фотонами [пренебрегающееся в урав-
нениях (454а)] представлено оператором энергии:
= ек [Ф (хк, Q - . Я (хА, 4)]	(456b)
(оператор А 4“	соответствует энергии &-той частицы,
взятой в отдельности).
Это, однако, не верно, так как соотношение между материей
и полем выражается не только оператором М, описывающим
воздействие последнего на первое, но также и членами и
правой части уравнений (451), описывающими воздей-
§ 54. Квантовая электродинамика Гейзенберга, Паули и Дирака 695
ствие материи на поле. Избавиться от этой части соотно-
шения, характеризующего взаимодействие, очевидно, невозможно;
предыдущая теория должна быть, следовательно, преобразована
явным или неявным образом в теорию, учитывающую не только
движение, но также и взаимодействие между всеми рассма-
триваемыми частицами.' Это осуществляется Дираком следующим
образом:
Вернемся к рассмотрению полной системы: электроны плюс фо-
тоны (электромагнитное поле) и будем рассматривать как функцию
не только от координат и времен xk, tk первых, но и от х, t по-
следних; при этом предполагается, что система дважды квантована по
отношению к фотонам. Уравнения (454а) и (454b) при этом пере-
пишутся в следующем виде:
[7’ф--?^Ь=°'	<45?)
[div^ + y =	(457a)
где Ф и А определяются как некоторые операторы, воздействующие
на Последнее уравнение можно рассматривать как ограниче-
ние, которому подчиняется функция
Для описания воздействия материи на электромагнитное поле
в соответствии с уравнениями движения (455) это уравнение должно
быть заменено следующим обобщенньнм уравнением:
-л । 1
div Л Н-------vr
L * с dt J
e^{X-Xs)
(458)

где Xs—xs,ys, zs, 4 и Д (X) так называемая .инвариантная дельта-
функция" (введенная Иорданом и Паули):
Д (А) = у [8 (г -j- ci) — 8 (г — ct)}	(458а)
(она представляет сферическую волну, сконцентрированную в бес-
конечно-тонком слое и распространяющуюся из бесконечности со
скоростью света, сходясь в точке -г=0 при f = 0 и расходясь
696 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
затем в бесконечность). Пользуясь формулами, служащими для опре-
деления величин Е, Н,
г 1 д А	х -*
Е =—\уФ---------тг» 77= rot Л,
с dt
мы получаем, соответственно, помимо уравнений:
rot Z: —I——- -^- = 0,	div Н = О,
' с dt
которые могут быть рассматриваемы как тождества, также и урав-
нения:
N
. п 1	,
rot И-----------— ф =
с dt / т
V ^e^(X-Xb)
j
(458b)
(divF)^ = -l ^^e^{X-Xs) ф.
L
Положим теперь ti = t^= ... = t^ = t = Т, т. е. введем общее
время для всех частиц и для поля и обозначим соответствующую
полную производную от любой величины f через , так что:
\f (tt tlt tfr . . . , ^v)]/£-= Г =
Г	N
/г = 1 Л
rif
Мы имеем при этом в виду общего соотношения = [Hk> /J р
dE дЕ
й? где ^- = [Н„ £]
N
дФ _дФ дЕ _ дЕ V
dt ~ дТ И dt ~~ дТ L.
fe=i
dE
или согласно (456а) и (453)	-
otk
Далее, при tk = t мы получаем согласно (458а):
Д(Х—Хл) = 0, V [Д(ЛГ— Х*)] = о и
4-|4д№)~| = -4*8 (г-<
СЧ ъ8(^—
)
§ 55. Формула Брейта. Заключительные замечания
697
Уравнения (458) и (458b) могут быть следовательно переписаны
в виде:

(459)
ИЛИ

(div £)^=4к
'•ft) ф.
Lft«=xl
1 <32Ф\	V -
-^дтч^- 4я1 e^(r-rb)
'j'.
(459а)
-	1 <524\
c2 дТ2 /
2 Mft8^—^ft)
ft=1
•(459b)
и
N

N
N

При
сводятся к обычному уравнению
фигурационном пространстве с
взаимодей ствия
с = оо эти уравнения вместе с уравнениями движения (456)
Шредингера для N частиц в кон-
потенциальной энергией
ekek>
—, соответствующей ку-
лоновым силам.
§ 55. Формула Брейта. Заключительные замечания.
Теория Гейзенберга — Паули оставалась до сих пор практически
бесплодной, т. е. она не привела к какому-либо заметному про-
грессу теории взаимодействия электронов. Единственное усовершен-
ствование простой теории взаимодействия, базирующейся на законе
Кулона, представляет формула, выведенная Брейтом из общих урав-
нений теории Гейзенберга — Паули. Результаты Брейта сводятся к
следующему приближенному выражению для взаимной энергии двух
электронов:
е* е*
W=---------
2	2
T1 • Tn (T1 • г) (7" • r)
2	' r'
(460)
где су1 и су11— соответствующие матрицы скорости теории Дирака,
698 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
Это выражение принимает во внимание электромагнитное взаи-
модействие (спин-орбита) и взаимодействие магнитное (спин-
спин), а также до некоторой степени и эффект запаздывания. Оно
может быть получено значительно более простым путем, без какого
бы то ни было применения электродинамики Гейзенберга — Паули —
Дирака. Мы приводим ниже наиболее простой и непосредственный
вывод этой формулы, принадлежащий Никольскому.
Энергия электрона во внешнем электромагнитном поле, харак-
теризующемся потенциалами Ф, А, выражается формулой:
№=еФ — еу-А.	(461)
Представим себе, что эти потенциалы обусловлены запаздыва-
ющим воздействием второго электрона, движение которого описы-
вается классическим образом. Значения их в данной точке
в момент времени т могут быть разложены в ряды Лагранжа:

(462)
где v — скорость создающего поле электрона, а г—его расстояние
от другого электрона в момент времени т.
Естественно думать, что квантовая теория взаимодействия может
быть получена из классической путем замены классических произ-
<?Ф
водных по времени квантовыми скобками Пуассона [/7, Ф] =
= I ) (ЯФ— ФЯ), где Я—оператор Гамильтона системы,
состоящей из двух электронов, без члена, характеризующего взаимо-
действие (вектор скорости v, конечно, также должен быть заменен
матричным вектором су). Мы получаем таким образом: 1
<3”Ф_/2Я\" у
д-п~ \ h / £
ч — Q
(— 1)" - 'Сп'НчФН& - ч>,
(463)
§ 55. Формула Брейта. Заключительные замечания 699
где
n\
v! (n — v)!
Здесь т соответствует общему времени T полной системы, т. е.
двух электронов (электромагнитное поле в рассмотрение не прини-
мается, как играющее лишь побочную роль). Соответствующую
энергию Н естественно определять как сумму:
Н=№^-Н^	(464)
где Н1 и Нп — операторы Гамильтона обоих электронов, взятых в
отдельности, т. е.
И1 = с Y1 • р1	Н*1 = Пп ’ Ро11 +	.	(464а)
Не следует предполагать, что это выражение для Н полностью
устраняет из рассмотрения взаимодействие электронов друг с другом.
Действительно,. операторы импульсов р[ и рп следует рассматри-
вать, как представляющие полный импульс каждого электрона;
они содержат, следовательно, „потенциальные импульсыобусло-
вленные наличием другого электрона, т. е.:
1 еМ1
/ 7.1 \ 2	* С1т
Р1

^L=+4^
/7.11X2	1 C1
(464b)
в согласии с приближенной теорией, изложенной § 39. Это станет
более очевидным в дальнейшем при сравнении формулы Брейта с
результатами нашей предыдущей теории.
С помощью уравнений (461), (462) и (463) мы получаем:
ОО IX
I	-1.
yJ Iх \ h ,
У—0 v-0	‘
(465)
где

(465а)
700 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
Отбрасывая члены третьего и более высоких порядков относи-
v
тельно — (т. е. у), мы получаем:
с
(1 у! • *уП \
у - ——J -	НгН + Н'Ъ
откуда, согласно (465а):
W1.11 = е2 (---5!.,ХПЛ _
\ г г ]
— [гЯ	— Н"гН' — Н1гН" + Н'Н пг],
плюс члены пропорциональные квадрату Н1 или Я11, которыми
мы можем пренебречь, как не имеющими физического смысла (они
представляют воздействие точечного электрона на самого себя).1
Выражение, стоящее в скобках, может быть приведено к сле-
дующей форме:
Нп (Ягг—гН1) — (f-flr—гН1) Нп.
Воспользовавшись формулами (464а) для Н1 и Я11, мы получаем:
чтд приводит к формуле Брейта для W 1>11; это выражение оказы-
вается симметричным по отношению к обоим электронам.
1 Эти члены не имеют физического значения также потому, что квад-
-4	-41
раты матриц у и у равны единице, тогда как они должны пред-
't/1	Г11
ставлять величины второго порядка малости относительно -у и ——
Эта трудность имеет, однако, совершенно другой источник, связанный с
существованием состояний с отрицательной собственной энергией.
§ 55. Формула БреЙта. Заключительные замечания 701
Классическое выражение для 1F, соответствующее формуле Брейта,
имеет вид:
w=у ~ [т ,;п+(7 • (7  • (466)
Второй член представляет, очевидно, эффект электромагнит-
ного взаимодействия между двумя электронами, в связи с запаз-
дыванием. В нерелятивистской теории § 39, где это запаздывание
нами во внимание не принималось, электромагнитное взаимодействие
характеризовалось взаимной кинетической энергией:
& _ _
T= — v^v11,	(466а)
существенно отличной и по величине и по знаку второго члена вы-
ражения (466).
Это различие устраняется, однако, если мы будем рассматри-
вать полную энергию' двух электронов Н-\- W = И1Нп + W,
или, точнее, классическое выражение, соответствующее ей и полу-
-* -*	/ I v
чающееся в результате замены су на v, у0 — на 1 / у_ _ и опе-
у \ с /
раторов р — выражениями (464b). Мы получаем, таким образом.
Первые три члена этого выражения представляют собственную энер-
гию двух электронов и их взаимную потенциальную энергию, тогда
702 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
как последний дает энергию электромагнитного взаимодействия;
хотя это выражение несколько отлично от (466а), оно, однако, зна-
чительно более сходно с последним, нежели соответствующий член W.
Это сходство становится еще более полным, если произвести усред-
нение по всем направлениям вектора г, рассматривая их, как оди-
наково вероятные. Мы получаем, таким образом:
(г • т?1) (г • v11) =	. <yii,
о
откуда
_______ 4	—
Н4- W—m№	------f- — -s-v1 • vil.
1	'	1 г 1 3 с-г
(466с)
„	4
Множитель —,
и
входящий в последний (электромагнитный)
член, тот же, который получается при вычислении массы электрона,
как обусловленной электромагнитным взаимодействием элементов
его заряда (распределенного в конечном объеме сферически симме-
тричным образом).
Приведенный выше вывод формулы Брейта не свободен от не-
достатков, особенно в отношении определения (464) энергии /7.
Он мог бы быть слегка изменен путем прибавления W к при-
менявшемуся выше выражению для (в рассматриваемом нами при-
ближении это не оказывает существенного влияния на результаты).
Существенно отметить, что любая симметризация выражения для Н
по отношению к обоим электронам приводит к сокращению членов
четной степени в произведениях у1 и 711. Тот же самый результат
получится, если при выводе рядов Лангранжа для потенциалов
Ф и А мы заменим запаздывающие потенциалы средним зна-
чением запаздывающих и опережающих потенциалов. Эта
симметризация по отношению ко времени (введенная Фоккером)
эквивалентна симметризации энергии Н по отношению к обоим
электронам. Это вполне естественно, так как время и энергия пред-
ставляют собой динамически сопряженные величины.
Мы видим, таким образом, что, поскольку мы пользуемся опе-
ратором энергии, симметричным относительно обоих электронов, мы
Ue можем описать ту часть пх взаимодействия, которая не симме-
§ 55. Формула Брейта. Заключительные замечания 703
трична по отношению к ним или ко времени и которая соответ-
ствует рассеянию энергии путем излучения.
Точной форме теории Гейзенберга — Паули—Дирака подобный
упрек предъявлен быть не может. Эта теория не может быть, однако,
рассматриваема как последовательная квантовая электродинамика на
основании ряда других соображений. Прежде всего, она бази-
руется на ошибочной интерпретации соотношения между материей
(электронами) и электромагнитным полем (фотонами), как фор-
мальной а н а л о г и и, причем квантовая теория электромагнит-
ного поля построена, соответственно, как волномеханическая теория
.эфира", в несколько замаскированной форме, приспособленной к
уравнениям Максвелла.
Вторая, более существенная причина, заключается в том обстоя-
тельстве, что материальные частицы трактуются как практически
непротяженные точки, динамические свойства которых не зависят
от электромагнитного поля, тогда как электромагнитное поле трак-
туется как внешний агент, вводимый для описания их взаимодействия
и служащий для определения их движения.
Было бы правильнее вероятно считать, что электромагнитное
поле представляет собой первичную и основную физическую
реальность, тогда как материальные частицы (электроны и про-
тоны) могут быть выведены из него и не обладают независи-
мыми механическими свойствами. Эта точка зрения соответствует
электромагнитной теории массы классической электро-
динамики. Механические импульс и энергию — потенциальную и
кинетическую — следует интерпретировать как приближенную форму
электромагнитного импульса и энергии, связанных непосредственно
не с частицами, а с электромагнитным полем. Законы движения
могут быть выведены, соответственно этому, из принципа сохране-
ния электромагнитного импульса и энергии, примененного к отдельным
электронам, если последние трактуются не как точки, а как про-
тяженные тела (шарики), и если внешняя сила, воздействующая на
них, уравновешивается .внутренней" силой, обусловленной их соб-
ственным движением.
Эта классическая теория, означающая полное сведение механики
к электродинамике, содержит одну весьма существенную трудность^
704 IX. Вторичное квантование и квантовая электродинамика
вязанную с задачей о пространственном протяжении или я струк-
туре" электрона. Этим объясняется то обстоятельство, что элек-
тромагнитная теория массы, или, иными словами, электромагнитное
обоснование механики остается до сих пор без дальнейшего раз-
вития. Современная волновая или квантовая механика представляет
собой просто модифицированную форму старой механики точечной
частицы с заданной массой.
Эта новая механика принципиально столь же ошибочна, как и
старая. Ближайший шаг в развитии теории должен заключаться в
применении квантовых понятий к электромагнитному полю таким
образом, чтобы механические законы могли быть получены как
следствие законов сохранения электромагнитной энергии и импульса.
Можно надеяться, что основная трудность классической теории,
связанная с задачей пространственного протяжения электронов,
будет устранена путем рассмотрения электромагнитного поля, как
матрицы с точки зрения пространственно-временного многообразия.
Элементы этой матрицы будут, таким образом, относиться к п а р а м
различных пространственно-временных точек, которые дадут нам
возможность заменить точечные источники электромагнитного поля
некоторыми протяженными областями в двойном пространственно-
временном многообразии; электроны при этом могут быть представ-
лены функцией вида	аналогичной функции Гаусса,
где |х'—хп ( представляет собой расстояние между двумя про-
странственно-временными точками, а а — некоторый параметр, игра-
ющий роль электронного радиуса.
Можно думать, что дираковское уравнение движения будет за-
менено уравнением, содержащим тензор электромагнитного импульса
и энергии, причем масса электрона будет вводиться не a priori,
а будет выводиться из некоторого квантового эквивалента его ра-
диуса. Более подробное обсуждение этого вопроса в настоящее
время, однако, едва ли является возможным.
56. ЛИТЕРАТУРНЫМ УКАЗАТЕЛЬ
§4.
1. Приближенное решение уравнения Шредингера, основанное па уравне-
нии Гамильтона — Якоби:
G. Wentzel, Zs. f. Phys. 38, 518, 1926.
L. Brillouin, C. R. 183, 24, 1926.
H. A. Kramers, Zs. f. Phys. 39, 828, 1926.
H. A. Kramers und G. P. Ittmann, Zs. f. Phys. 58, 217, 1929.
2. Теорема вириала:
В. Finkelstein, Zs. f. Phys. 50, 293, 1927.
А. Зоммерфельд, Волновая механика, гл. II, § 9.
3.*Движение волнового пакета:
Р. Eh rente st, Zs. f. Phys. 45, 455, 1927.
§5.
1. Теория канонических преобразований и условно периодического дви-
жения:
М. Born, Atommechanik, I, гл. II.
2. Связь между классическими и волно-механическими средними значе-
ниями:
J. Н. Van Vleck, Proc. Nat. Ac. Sci. 14, 179, 1928.
§7.
Born, Heisenberg und Jordan, Zs. f. Phys. 35, 557, 1926.
П. Дирак, Основы квантовой механики, гл. Ill
§9.
Е. Schrodinger, Ann. d. Phys. 79, 361, 1926.
W. Gordon, Zs. f. Phys. 40, 117, 1926.
§ 10.
О нормировке волновых функций в случае непрерывного спектра:
Е. Fues, Ann. d. Phys. 81, 281, 1926.
П. Дирак, Основы квантовой механики, гл. IV.
§ 11.
М. Born, W. Heisenberg und Р. Jordan, Zs. f. Phys. 35, 557, 1926-
E. Schrodinger, Ann. d. Phys. 79, 734, 1926.
706
56. Литературный указатель
§ 12.
W. Н eisen.beгg, Zs. f. Phys. 33, 879, 1925.
N. Bohr, Ober die Quantentheorie der Linienspektra. Braunschweig,
1923.
§ 13.
M. Born und P. Jordan, Eiementare Quantenmechanik.
П. Дирак, Основы квантовой механики, § 29 и 30.
Глава IV (Теория преобразований).
П. Дирак, Основы квантовой механики, гл. V.
М. Born und Р. Jordan. Elementare Quantenmechanik.
J. Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (1932); G6tt.
Nachr. 1927, стр. 245.
§ 19.
E. Schrodinger, Abhandlungen zur Wellenmechanik, III, стр. 85.
Born, Heisenberg und Jordan. Zs. f. Phys. 35, 557, 1926.
H. W e у 1, Gruppentheorie und Quantenmechanik, § 16.
§ 21.
P. Dirac, Proc. Roy. Soc. 112, 661, 1926.
§ 25.
W. Gordon, Zs. f. Phys. 40, 117, 1926.
O. Klein, Zs. f. Phys. 37, 895, 1926.
§ 28.
P. Dirac, Proc. Roy. Soc. 117, 610, и 118, 351, 1928.-
C. Darwin, Proc. Roy. Soc. 118, 654, 1928.
J. Frenkel, Zs. f. Phys. 52, 356, 1928.
§ 29, 30.
W. Pauli, Zs. f. Phys. 43, 601, 1927.
Я. Френкель, Электродинамика, ч. I, стр. 394.
L. Thomas, Phil. Mag. June 1927 и Nature, 107, 514, 1926.
§ 31.
П. Дирак, Принципы квантовой механики § 74 и 76.
G. Breit, Proc. Nat Ac. Sci 14, 553, 1928.
D. Ivanenko, C. R. 25 Feb. 1929.
V.Fock, Zs. f. Phys. 55, 127, 1929; 57, 261, 1929.
W. Gordon, Zs. f Phys. 59, 630, 1927.
56. Литературный указатель
707
§ 33, 34.
П. Дирак, Основы квантовой механики § 76, 77, 78.
А. Зоммерфельд, Волновая механика.
§36.
П. Дирак; Основы квантовой механики, § 75.
О. Laporte and G. Uhlenbeck, Phys. Rev., 37, 1380, 1931.
H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, § 39.
§ 37.
V.Fock, Zs. f. Phys. 55, 127, 1929.
§ 38.
E. Schrddinger, Abhandlungen zur Wellenmechanik, II.
V. Pock, Zs. f. Phys. 63, 855, 1930.
H. Weyl, Gruppentheorie und Quantermechanik.
B. Vander Waerden, Die giuppcntheoretische Methode in der Quan-
tenmechanik.
§39.
W. Pauli, Zs. f. Phys. 43, 601, 1927.
§ 42.
P. Dirac, Proc. Roy. Soc. 112, 661, 1926.
П. Дирак, Основы квантовой механики, гл. XI.
Е. W i g n е г, Zs. f. Phys. 40, 883, 1927.
§ 43.
J. Slater, Phys. Rev. 34, 1293, 1929; 36, 57, 1930.
W. Pauli, Rapport du Congres Solvay de 1930, I, § 4.
П. Дирак, Основы квантовой механики, § 66.
§ 44.
D. Hartree, Proc. Camb. Phil. Soc. 26, 85, 1928.
§ 45, 46.
V. Pock, Zs. f. Phys. 61, 126, 1930.
P. Dirac, Proc. Camb. Phil. Soc. 26, 376, 1930.
§ 47.
V. Pock, Zs. f, Phys. 81, 195, 1933.
L. Thomas, Proc. Camb. Phil. Soc, 23, 542, 1927.
E. Fermi, Zs. f. Phys, 48, 73, 1928.
708
56. Литературный указатель
§ 48.
Р. Jordan und Е. Wigner, Zs. f. Phys. 47, 631, 1928.
V. F о с к, Zs. f. Phys. 75, 622, 1932.
§ 49.
P. Dirac, Proc. Roy. Soc. 114, 243 и 710, 1927.
P. Jordan und O. Klein, Zs. f. Phys. 45, 751, 1927.
V. Fock, Zs. f. Phys. 75, 622, 1932.
§ 50.
П. Дирак, Основы квантовой механики, гл. XII.
§ 51, 52.
W. Heisenberg, Ann. d. Phys. 9, 338, 1931.
V. Weisskopf und E. W i g n e r, Zs. f. Phys. 63, 54, 1930; 65, 18, 1930.
E. Fermi, Reviews of Modern Physics, 4, 87, 1932.
G. Breit, Reviews of Modern Physics, 4, 504, 1932.
§ 54.
P. Jordan und W. Pauli, Zs. f. Phys. 47, 151, 1927.
W. Heisenberg und W. Pauli, Zs. f. Phys. 56, I, 1927; 59, 168, 1930.
L. Landau und R. Peierls, Zs. f. Phys. 62, 188, 1930.
P. Dirac, Proc. Rov. Soc. 136, 453, 1932.
V. Fock and Podolsky, Sow. Phys. 1, 891, 1932.
Dirac, Fock and Podolsky, Sow. Phys. 2, 468, 1932.
§ 55.
G. Breit, Phys. Rev. 34, 553, 1929; 36, 383, 1930; 39, 616, 1932.
Я. Френкель, Электродинамика, ч. 1, стр. 200.
С. Moller, Zs. f. Phys. 70, 786, 1931.
L. Rosenfeld, Zs. f. Phys. 73, 253, 1932,
57.
Андерсон 365^ 470
Блэккет 365^470
Бор 52, 129, 130, 133, 446'
Борн 129, 130, 135, 141, 254
Брейт 697
Ван-Флек 62
Вейскопф 670
Вигнер 619, 670
Гамильтон 27, 34, 55
Гаудсмит 365, 397
Гейзенберг 5, 129, 130, 133, 134, 135,
136, 141, 205, 473,548,616, 689, 692
Гейтлер 537, 562
Гордон 322, 427
Дарвин 353
Де-Брогль 34
ГТм/ар/*
Дирак-4, 5, 78, 924, 111, 129, 183,
205, 217, 227, 309, 333, 381, 407,
412, 469, 470, 472, 545, 567, 570,584,
590, 602, 603, 611, 612, 641, 645,
658, 689, 693, 695
Жолио 472, 473
Зоммерфельд 52, 397, 400
Иваненко 434
Йордан 129, 130, 135, 141, 183, 205,
616, 619, 643, 692, 695
Клаузиус 43
Клейн 468, 643
Крамере 133
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ.
Кюри 472, 473
Ланде 405
Лапорт 490
Леннар-ДжонС 250
Лондон 537
Меллер 698
Никольский 698
Оккиалини 365
Паули 4, 5, 365, 366, 472, 473, 563,
566, 689, 692, 695
Ритц В. 96
Розенфельд 670, 698
Рэлей 96
Слэйтер 5, 557, 563, 573
Смекаль 56
Тамм 467
Томас 692
Уленбек 365, 397, 490
Ферми 602
Фок 506, 573, 578, 606, 607, 616
Фоккер 702
Хартри 573, 577
Чадвик 472, 473
Шерцер 698
Шредингер 34, 94, 129, 136, 141, 432,
433, 434, 436, 437, 577, 674
Штерн 472
Экарт 129, 136
Эренфест 45, 490
Якоби 27
58. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Альфа-частицы 632
Амплитуда вероятности 121, 173, 175,
180, 182, 197, 198, 202—2^8, 215,
218, 224, 227, 272, 296, 309, 310,
418, 423, 526, 541, 642, 668, 672,
675, 681
— комплексная 6, 270, 329
— Фурье 137, 209
Аннигиляция 470
Атом водорода 101, 497, 632
— водородоподобный 71, 74, 103, 104,
146,151, 156, 291, 292, 400, 454, 460,
465, 652, 664
— гелия 537
— лития 537, 539
— сложный 572, 609
—	щелочной 606
—	щелочноподобный 460
710
58. Предметный указатель
Бзрьер потенциальный 11, 12,467,469
Биения 235
Вектор волновой 52
— импульса и скорости 425
- Пойнтинга 355, 685
Вирйал 43, 505
Волны плоские синусоидальные 209
---- стоячие 687
Вырождение 99, 102, 117, 127, 168,
243, 252, 371, 376, 528, 554
— абсолютное 249, 252, 290
— обменное 540, 541, 612
— относительное 248, 251, 290
Газ фотоновый 694
Декремент затухания 672
Диполь электрический 392, 526
Дублет спиновый 417, 458, 539
Дублетность 361
Дырки Дираковские 365, 469, 470
Закон запаздывающего действия 513
— сложения амплитуд вероятности
218
----матриц 122, 125
— сохранения вероятности 21, 32,
356, 503
— сохранения результирующего
углового момента 558
----энергии 15, 16, 27, 282, 295,
297, 305, 316, 320, 471, 704
— умножения амплитуд вероятности
218
----матриц 121, 125, 135, 142, 163,
184, 186, 194, 203, 280
Заряд магнитный 472
— электрона 401, 428, 610, 683
Затухание излучения 670
Излучение индуцированное 306
— спонтанное 306, 308
Импульс полный 323, 327
—	потенциальный 315
Интеграл Лапласа 672
—	Фурье 164, 180, 209, 278, 603
Ион 525
Ионизация атома 293
Кадруплет 538
Колебание затухающее 673
—	незатухающее 673
Константа движения 547, 548
— экранирования 551, 572
Координаты криволинейные ортого-
нальной системы 492
---- неортогональной системы 497
— спиновые 528,. 530, 532, 549, 553,
560
Координаты сферические 496
— циклические 57
— цилиндрические 496*
Коэффициент амплитудный 178, 662
— отражения 10, 11, 12, 13
Коэффициенты преобразования 182,
187, 188, 197, 204, 207,208,209,215,
245, 253,257,258,267,269, 279, 591
— Фурье 137, 1.38, 166, 603, 604
— Эйнштейна 658
Лучи замкнутые 49
Магнетон,. Бора 337, 365, 367, 378,
419, 472
Макро-скорость, см. Скорость элек-
трона постоянная
Матрица двухмерная 389, 381
— диагональная 123, 124, 127, 141,
143, 154, 159, 169, 190, 201, 205,
224, 435, 477, 511, 615, 620, 623
— Дирака 410, 413, 424, 690
— единичная 123, 184/ 198, 524, 620
—	непрерывная 162
—	обобщенная 498
— переменная 267
— перехода 263, 265
— плотности 584, 586, 599
— преобразования 193, 210,233,265,
267, 479, 499
— самосопряженная 183, 365, 369,
407, 487
— спиновая 515
---Паули 371,374,375,377,410,438
— транспонированная 183, 204, 369
— унитарная 184, 231, 246, 267, 475,
480, 482, 487
— эрмитова 223, 230, 409, 427, 487,
583
Мембрана 271
Мера амплитуды вероятности 273
—	вероятности 85
Метод Борна 258, 280
—	неопределенных множителей Ла-
гранжа 93, 577, 631
—	плотности 599, 602
— самосогласованного поля 571, 578
—	Хартри 578
Механика Эйнштейна 362
Микро-скорость, см. Скорость элек-
трона колебательная
Множитель спиновый 532, 580
Модель маятников 269, 271, 273, 282,
285, 297
—	струнная 271
—	электрона 394
58. Предметный указатель
711
Модуль периодичности 51, 52, 103,
131
Момент магнитный электрона 338,
365, 366, 377, 380, 385, 401, 429,
437, 442, 443, 482, 487
---- электронного облака 379 ,
— спина 437
— угловой электрона 79, 365, 384,
385, 400, 403, 434, 437, 438, 500
— электрический атома 674
----электрона 388, 414, 429, 487
Мультиплет 249, 520
Напряженность магнитного поля 361,
378, 684
— электрического поля 684
Нейтрон 467, 472, 473
Неопределенность направления ско-
рости 9, 10
Облако электронное 379, 585
Оператор адъюнгированный 667
— Гамильтона 67, 80, 84, 86,92,113,
226, 326, 327, 335, 432, 436, 437,
500, 501, 502, 515, 519, 521, 526,
531, 595, 641, 694, 698, 699
— дифференциальный 207
— Лапласа 448, 607, 611
— линейный 4, 374, 381
—	скорости 434
—	Шредингера 65
- энергии 192, 196, 204, 207, 210,
259, 340, 367, 374, 375, 386, 391,
401, 425, 432, 472, 481, 505, 509—
522, 529, 543, 547, 550, 551, 577,
624, 640, 651, 702
Определители непрерывные 194
Опыт Герлаха 526
—	Штерна 526
Осциллятор гармонический 152, 203
—	линейный Г25, 126
----гармонический 142, 646, 647,
692
Пакет волновой 10, 45, 105, 112, 160,
• 162
Переменные действия 58
— угловые 58
Периоды биений 289
Плотность вероятности 334, 341, 355,
370,390, 427, 481, 487, 502, 541, 573
— тока 20, 22, 32, 86, 322, 355, 357,
358, 359, 371, 390, 427, 428, 443,
481, 489
— фазовая 603
— энергии 677, 685
Позитрон 470, 471, 609
Поле гравитационное 498
— магнитное 361, 386, 402, 464
— самосогласованное 576, 629
— сил Кулоново 395, 401, 437, 454,
457, 466, 507, 542
— электромагнитное 361, 498, 653,
662, 664, 689, 703, 704
Поправка релятивистская 401, 403
Постоянная движения 73, 595
Потенциал скорости 25
Правило отбора 158
Предиссоциация 258
Преобразование волновых функций
168
— каноническое (или контактное)
55, 56
— Лоренца 473, 483, 484, 486, 487,
499
— матриц 183
— точечное 56
Принцип антисимметрии Дирака 529
— вариационный 94, 95,98, 226, 332
— неопределенности (волновой меха-
ники) 10
--- Гейзенберга 10
— Паули 469, 471, 520, 529, 530, 590,
592, 601, 608, 625, 677
— соответствия Бора 4, 132, 134, 136
Пространство Гильберта 4
Протон 471,522, 525,529,530, 650,703
Равенство операторное 73
Рассеяние когерентное 661
— комбинационное (рамановское)
680
— простое (рэлеевское) 680
Расщепление уровня энергии 99,246
Резонанс 281, 282, 285, 291, 294, 298,
304
— внутренний 284
—	острый 283
—	параметрический 283
Роль спина в магнитном моменте 445
Ряд Лагранжа 698, 702
Ряды Фурье 4, 59, 129, 130, 133, 134,
140, 164, 180, 655
Сила возмущающая 99, 263, 270, 283,
285, 291
—	индукции Фарадея 514
—	Лоренцова 321
—	магнитная 512 ,
---Био — Савара 514, 531
—	спиновая 531
Скобки квантовые Пуассона 78, 128,
698
712
58. Предметный указатель
Скорость движения частицы 9, 13,16
— электрона колебательная 433 г
-----постоянная 433, 436
Соотношение коммутативности 152,
384, 690, 691, 692, 693
— между импульсом и энергией 362
— неопоеделенпости Гейзенберга
434, 446
— ортогональности 370,371,582, 594
— Эрмита 98, 115, 116, 162, 183,
189
Спектр атомный 521
— дискретный 101, 104,106, ПО, 113,
160, 162, 165, 180, 182, 195, 227,
229, 233, 252, 254, 256, 258, 261,
276, 277, 279, 290, 294, 307, 370,
416, 435, 466, 505, 507, 517
— непрерывный 101, 104, ПО, 113,
159, 165, 180, 195, 204, 227, 248,
252, 257, 258, 271, 275, 276, 279,
280, 290, 294, 299, 304, 306, 465
— смешанный 275, 290
Спин электрона 4, 157, 361, 362, 363,
365, 367, 379, 386, 388, 399, 401,
403, 418, 419, 429, 434, 446, 458,
471, 482,512,515, 520, 537, 558, 570,
579, 580, 604, 609, 615, 623
Спинор 490
— адъюнгированный 490
Статистика Бозе — Эйнштейна 632,
643, 653, 685, 686, 689, 691
— Паули — Ферми 590,592,612, 690
Супер-матрица 375, 410
Суперпозиция 6, 14, 30, 105, 160, 172,
173, 209, 260, 270, 286, 291, 307,
394, 446, 661, 664, 688, 693
Теорема вириала 500, 506
— Лиувилля 595
— Якоби 60
Теория Бора 54, 130, 132, 137, 206,
361, 365, 395, 396, 397, 540
— Бора — Зоммерфельда 457
— вероятностей 114, 182
— возмущений 96, 99, 170, 197, 226,
232, 376, 467, 540, 613, 665, 688
—	вращающегося электрона Улен-
бека и Гаудсмита 398
—	Г ейзенберга — Паули 689,691,693,
697, 703
—	гравитации (релятивистская) 498
—	де-Брогля — Шредингера 5, 206
—	Дирака 361, 363, 365, 388, 389,
390, 394, 407,411,429, 430, 436, 437,
441, 445, 447, 456, 465, 467, 468,
470, 471, 522, 524, 525, 597, 599,
600, 602, 683, 693, 697, 703
Теория Зоммерфельда *400
— Паули 365, 368, 373, 374, 375, 388,
390, 395, 414, 417, 418, 429, 437,
473, 522, 524, 525, 528, 597, 602,
615, 616, 689
-----обобщение 521
— преобразований 100,	168—231,
260, 382
—	системы частиц 500
—	спонтанных переходов 661
— Ферми 527	*
— Шредингера 357, 361, 363, 367,
368, 372, 373, 388, 400, 418, 441,
448, 456, 458, 525, 542, 597, 674,
685, 690
Ток вероятности 503
Транспозиция 544,546,552, 560, 561,
569, 581
Уравнение вариационное 94,333, 506,
576, 578, 588
— возмущения 665, 670
— волновое 512, 656
-----Дирака —Дарвина 351, 354,
355, 363
-----(релятивистское) 172, 322
— Гамильтона — Якоби 4, 23, 28,
31, 34, 35, 36, 38, 42, 48, 58, 61,
66, 68, 318, 326, 513	,
— Даламбера 343, 344, 345, 348,349,
350, 413, 662, 691
— движения 55, 85, 90, 113, 135,
211, 338, 590, 592, 601, 690
—	—	(вариационная форма) 572
-----Ньютона 16, 24, 43, 333
-----классическое Гамильтона	692
-----	релятивистское 513
—	-	-	Эйнштейна — Лоренца	425,
498
— де-Брогля 13, 19, 25, 51
— Дирака. 400, 408, 409, 411, 415,
417, 427, 453, 456, 473, 474, 481,
482, 483, 484, 485, 4Ь6, 489, 492,
496, 498, 499, 527, 661, 694, 704
— Лоренца 488
— Максвелла 343 — 350, 354, 355,
413, 463, 703
— непрерывности 322
— Паули 360, 365, 375, 378, 407,
417, 472
— преобразования 209, 217, 219, 225,
265
— Пуассона 576, 610, 691
58. Предметный указатель
713
Уравнение распространения свето-
вых волн 342
--; электромагнитных волн 318
—	совместности 99
—	сохранения вероятности 427
—	Томаса — Ферми 611
-	- Хартри 577
— Шредингера 4, 8, 15, 23, 30, 31,
35, 37, 43, 44, 64, 67, 73, 74, V5,
81—85, 92, 93,	95,	125,	141,	178,
197,	204,	205,	207,	263,	313,	314,
325,	326,	361,	372,	378,	391,	528,
532,	535,	548,	574,	629,	632,	661,
697
— электромагнитного поля 690
— энергии (классическое) 316
Уровень энергетический 402
Условие вариационное 573
— квантовое Бора 135, 137, 163
— частот Бора 131
Фонон 35
Формула Био—Савара 446
— Брента 598, 697, 699, 700, 701,
702
— де-Брогля 34, 324
— Зоммерфельда 398, 399, 456, 457
—	Стокса 50
—	Тэйлора 645
—	Фока 607
Фотон 35, 343, 470, 648, 650, 651,
652, 657, 661, 681, 692, 694, 695,
703
Функция амплитудная 106
— волновая 108, 174, 179, 182, 204,
207, 232, 252, 474, 483, 486, 498,
516, 530, 539, 541, 548, 550, 574,
579, 592, 632, 634, 640, 642, 683,
693
— Гамильтона 55, 56, 57, 94, 103,
199, 207, 514
— Гаусса 704
— Дирака 159, 160, 162, 179, 193,
407, 420, 422, 628
— Лагранжа 419, 420, 423, 599
— спиновая антисимметричная 538
---симметричная 533, 538
— характеристическая 73, 197
— Шредингера 83, 202, 368, 371, 376,
396, 418, 421, 423
Числа квантовые 72
Число квантовое внутреннее 400,
401, 403
-----осевое 402, 403, 405, 511
----- радиальное 397-
-----спиновое 528, 530, 554, 560,
561, 566
------ угловое 383, 384, 397, 399, 441,
449, 511
— угловое Шредингера 457
Электрон бессниновый 540
— виртуальный 469, 471
Энергия возмущения 238, 247, 249,
260, 2/4, 290, 296, 305, 306, 335,
337, 392, 401, 529, 551, 570, 548,
654, 661, 665
— кинетическая 10, 12, 15, 23, 43,
53, 67, 80, 107, 163, 207, 208, 323,
358, 362, 387, 468, 471, 505, 510,
515, 701
— магнитная 371
— невозмущенная 210, 376, 395
— обменная электронов 586
— переменная 259
— покоя 358, 362, 390
— потенциальная 6, 9, 10, И, 13,
23, 67, 80, 92, 141, 166, 168, 177,
200, 207, 208, 232, 313, 315, 325,
335, 358, 371, 387, 454, 468, 469,
500, 504, 505, 510, 514, 574, 576,
578, 583, 585, 632, 648
— системы фотонов 652
— электрона Кулоновская 605, 607
-----собственная 424, 604, 654, 698,
701
Эффект Зеемана 401, 406, 447, 460
-----аномальный 338, 386, 403
-----нормальный 99, 158, 249, 335,
337, 402, 465
— Комптона 309, 661
— обменный 611
— Пашена — Бака 249, 407
— Рамана 308, 661, 681
— фотоэлектрический, см. Иониза-
ция атома
— Штарка 99, 133, 258
Явление дублетности 361, 365, 388
— квадруплетности 363
Ядро атомное 520, 521, 530
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ....... . .......................................... 3
Глава I. Классическая механика, как предельный случай вол-
новой механики.
1.	Движение в одном измерении; частичное отражение и не-
определенность направления скорости ..................... 5
2.	Движение в одном измерении; вероятная скорость и плот-
ность тока.............................................. 13
3.	Нестационарное движение в трех измерениях и уравнение
Гамильтона — Якоби...................................... 23
4.	Сравнение приближенных решений уравнения Шредингера;
средние значения в волновой и классической механике. .	35
5.	Движение в ограниченной области; квантовые условия и
средние значения ....................................... 48
Глава II. Операторы.
6.	Уравнение Шредингера в операторной форме; представ-
ление физических величин операторами.................... 61
7.	Характеристические функции и характеристические значе-
ния операторов; операторные равенства, постоянные дви-
жения . ................................................ 73
8.	Вероятные значения физических величин и их изменение
во времени.............................................. 85
9.	Уравнение Шредингера в вариационной форме и его при-
ложение к теории возмущений............................. 92
10.	Ортогональность и нормальность характеристических
функций в случае дискретного и непрерывного спектров .	100
Г лава III. Матрицы.
II.	Матричное представление физических величин и матричная
форма уравнений движения................................ 113
12.	Соответствие между матричной и классической механикой. 129
13.	Приложение матричного метода к колебательному и враща-
тельному движению....................................... 141
14.	Матричное представление для случая непрерывного спектра. 159
Оглавление
715
Г л л в а IV. Теория преобразований.	Стр
15.	Специальная теория преобразований; преобразование волно-
вых функций и обобщение их смысла........................ 168
16.	Преобразование матриц................................. 183
17.	Теория преобразований, как обобщение волновой механики;
относительность основных величин......................... 196
18.	Геометрическое представление теории преобразований . .	212
Глава V. Теория возмущений.
19.	Теория возмущений, не содержащих времени (метод стаци-
онарных состояний)....................................... 232
20.	Распространение предыдущей теории на случай „относи-
тельного вырождения" и непрерывного спектра; влияние
возмущения на различные физические величины.............	248
21.	Теория возмущений, зависящих от времени теория пере-
ходов ................................................... 259
22.	Первое приближение; теория простых переходов.......	281
23.	Второе приближение; теория сложных переходов.......	296
24.	Теория переходов для неопределенного начального состоя-
ния ..................................................... 309
Глава VI. Релятивистская форма и магнитное обобщение вол-
новой механики отдельного электрона.
25.	Простейшая форма релятивистской волновой механики. .	313
26.	Магнитные силы в приближенной не-релятивистской вол-
новой механике........................................... 324
27.	Релятивистская волновая механика, как формальное обоб-
щение максвелловской электромагнитной теории света . .	340
28.	Волновые уравнения электрона в форме Дирака—Дарвина;
явления дублетности и квадруплетности.................... 351
29.	Приближенная теория Паули в двухмерной матричной
форме; магнитный и угловой момент электрона.............. 365
30.	Более точная форма двухмерной матричной теории; элек-
трический момент электрона............................... 388
31.	Точная четырехмерная матричная теория Дирака.......	407
32.	Физический смысл основных операторов теории Дирака .	424
33.	Общее рассмотрение явления спина; угловой и магнитный
моменты................................................   437
34.	Движение электрона в центральном поле сил; тонкая струк-
тура и эффект Зеемана.................................... 447
35.	Состояния с отрицательной энергией; положительные элек-
троны и нейтроны......................................... 467
36.	Инвариантность уравнения Дирака по отношению к пре-
образованию координат..................о................. 473
716
Оглавление
37.	Преобразование уравнения Дирака к криволинейным ко-
ординатам ......................................•........ 492
Глава VII. Теория системы частиц,
38.	Общие результаты; теорема вириала; импульс и угловой
момент................................................... 3Q0
39.	Магнитные силы и спин................................... 512
40.	Сложные частицы, как материальные точки с внутренними
координатами; теория неполных	систем.................... 522
41.	Тождественные частицы	(электроны)	и	принцип Паули . .	529
Глава VIII. Сведение задачи о системе тождественных частиц
к задаче об одной частице.
42.	Теория возмущений для системы бесспиновых электронов;
обменное вырождение...................................... 540
43.	Введение спиновых координат и решение задачи теории
возмущений с помощью антисимметричных волновых
функций.................................................. 553
44.	Метод самосогласованного поля с мультипликативными
функциями................................................ 571
45.	Фоковский метод самосогласованного поля с антисим-
метричными функциями	............................ 578
46.	Дираковский метод матрицы	плотности.................... 584
47.	Приближенные решения	(ТомасФерми—Дирак).............	602
Глава IX. Вторпчпое квантование и квантовая электродинамика.
48.	Двойное квантование в случае статистики Ферми........	612
49.	Второе квантование в случае статистики Бозе — Эйн-
штейна ..........•....................................... 632
50.	Взаимодействие „дважды квантованной* системы с обыч-
ной системой; применение к фотонам....................... 648
51.	Электромагнитные волны с квантованными амплитудами;
теория спонтанных переходов и затухания излучения . . .	661
52.	Применение квантованных электронных волн к испусканию
и рассеянию излучения................,................... 673
53.	Связь между квантованными электронными волнами и
волнами электромагнитными . ............................. 685
54.	Квантовая электродинамика Гейзенберга,	Паули и Дирака. 689
55.	Формула Брейта. Заключительные	замечания.............  697
56.	Литературный указатель.................................. 705
57.	Именной указатель....................................... 709
58.	Предметный указатель.................................... 709
Редактор И. Н. Алексеев Техн. ред. Р. В. Эмдина. ГТТИ № 203 Тир. 5 000. П^дп. в печ. с ма-
триц26;Х1-34г. Форм. бум. 82XU0. Авт. л. 44. Бум. л 113/1Я. Печ. зн в б. л. 153 000. Зак. № 1531.
Ленгорлит № 20631. 3-я тип. ОНТИ им. Бухарина. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
СПИСОК ЗАМЕЧЕННЫХ ОПЕЧАТОК
Стр.	Строка	Напечатано	Должно быть
7	ф-ла (2а)	—2А'А" cos ах	-f-24'Л" cos 2ах
		dU	
43	10 сверху	дх	дхк
			1 п-А-Г 1
64	14 снизу	U 2т[\	дх ) ’ * ’	J D ~~ 2т L ’ ‘ ’ J
69	4 .	ХРу—ур	ХРу — УРх
119	14 сверху	F^kf	F^
119	15 .		c°kt
119	4 снизу	™	t Flk— F^ikP lk	р —Р> е n™lkt rik~r ik	/ft
		/ 1 \	I _LV
155	ю .	( m~ 2 /	(m~ 2 )
182	9 сверху	^X'K'	Чйх'к'
310	14 снизу	VNH" e\ti"	У' NH,r ечн"
320	7 сверху	—gt = E	
		-> e —►	
323	3 снизу	+ — A	
			
324	2 сверху	mi — h — hk	mv = hK
		.. & iin—	
325	2 снизу	e h	e	Л
330		d2n-3 ,	a2”-3/,
	2 сверху	дл2"-3 + • •	<^2я-3 1 ’'
333	2 .		Зф*
350	ф-ла (226)	2vic v	z 1	^(^ + £.Й)
357	6 сверху	( ux +	+ • •	(иЛ+ ш,)ф3 - 44 “* +
357	И ,	~4з“/ 4з*	-4W*43*
369	5 снизу	4к +	Ф+
Стр.	Строка	Напечатано	Должно быть
371	ф-да (244с)	4'(W)	Фх" (WK>)
377	И сверху		
		«₽	» ₽
509		, dt	, df
	2 снизу		~Zk dyk
545	1 сверху	*PR — ZPZRC	•PR = sPeR
545	6 снизу		(P,+P3)F = P1F + P2F
552	2 ,	F(x<,x")^(x^k (Л-)	F(x’,x")b{x")^')
582	9 сверху	Sh>h*x= 0	j h H^dX=0
594		Л dM	h dM
	1 снизу		^.-^=HM-MH
631	3 сверху	/8W) [-£ +	fw+{x)[ + E +
635	4 .	H7.n,px	dX
		p	p
650	ф-ла (425а)	0)0^ e h Air	—^-W 4- ^ne' h An
655	2 снизу	4k+^+)	Vr(br + ^r")
662	3 сверху	k = СУ	4=:Ck
696	6 снизу		4=1^