/
Text
,.f г7
Бойко О.Г.
«Анализ и синтез линейных
непрерывных
стационарных систем»
Лабораторный практикум покурсу
Математическое моделирование САУ
дпя студентов приборостроительных
спегр/алъностей
р
ggfcy? г*'
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Сибирский государственный аэрокосмический университет
имени академика М. Ф. Решетнева
Кафедра систем автоматического управления
Бойко О.Г.
Анализ и синтез линейных непрерывных
стационарных систем
Лабораторный практикум по курсу
«Математическое моделирование САУ»
для студентов приборостроительных специальностей
Красноярск 2002 г.
УДК 681.51.001
Анализ и синтез линейных непрерывных стационарных систем.
Лабораторный практикум по курсу Математическое моделиро-
вание САУ для студентов приборостроительных специально-
стей / Сост. Бойко О.Г.- Красноярск: СибГАУ. 2002,- 118 с
Печатается по решению Редакционно-издательского совета
университета
© Сибирский государственный аэрокосмический
Университет имени академика М. Ф. Решетнева
© О. Г. Бойко
Лабораторный практикум по дисциплине математическое
моделирование САУ. «Анализ и синтез линейных непрерывных
стационарных систем» - предназначен для студентов инженер-
ных приборостроительных специальностей, прошедших курсы:
Математические основы теории систем и Теория автоматиче-
ского управления.
В методических указаниях к лабораторному практикуму
изложен основной теоретический материал, необходимый для
выполнения заданий. Описываются некоторые компоненты па-
кета математического моделирования MATLAB (пакет расши-
рения Control System Toolbox), широко применяемые для моде-
лирования, анализа и синтеза САУ. Изложен необходимый
справочный материал.
Выполнение предлагаемых лабораторных работ требует
использования персонального компьютера класса не ниже
Pentium 300 и пакетов прикладных программ MATLAB (версии
не ниже 5.2) и MATHCAD (версии не ниже 2000 г.)
Для успешного выполнения предлагаемых лабораторных
работ необходимо предварительное изучение курсов:
- математический анализ. Разделы: системы дифференциаль-
ных уравнений;
- линейная алгебра. Разделы: матричное исчисление, линейные
операторы, преобразования подобия;
- теория автоматического управления и регулирования;
- языки программирования: программирование на «Си»,
Matlab и Mathcad.
Моделирование как математическая абстракция
реальных процессов
Моделирование - вполне определенное конкретное ото-
бражение рассматриваемых характеристик изучаемого объекта в
целях его исследования.
Модель - это специально создаваемый объект, на котором
воспроизводятся вполне определенные характеристики иссле-
дуемого объекта с целью его изучения.
Различают два основных вида моделирования: физическое
и математическое, при этом математической моделью называют
любое математическое описание САУ. Методы математическо-
го моделирования основаны на идентичности уравнений, опи-
сывающих явления в реальной САУ и в модели. Эти методы
очень экономичны, особенно со всесторонним внедрением в
практику исследования персональных ЭВМ, и более универ-
сальны, чем методы физического моделирования.
К настоящему времени сложилось 3 основных направле-
ния, где эффективно используется математическая имитация
реальных объектов и систем:
- исследование и автоматизированное проектирование; как
правило, это задачи анализа и синтеза САУ;
- автоматизация научного эксперимента;
- принятие решений в автоматизированных системах
управления.
Процесс моделирования включает:
- задание модели в той или иной удобной форме описания,
отражающей в себе всю имеющуюся информацию;
- испытание модели или проверка ее адекватности;
- использование модели для решения сформулированных
задач, т.е. проведение вычислительного эксперимента;
- в случае получения неудовлетворительных результатов
модель упрощается или совершенствуется и численный экспе-
римент повторяется.
В случаях решения задач синтеза САУ полученные в ходе
математического моделирования результаты проверяются на
полной неупрощенной модели системы.
1. Основные понятия и определения
Управление - есть формирование управляющих воздейст-
вий, обеспечивающих требуемый режим работы объекта управ-
ления.
Регулирование - это частный вид управления, когда зада-
чей является обеспечение постоянства какой-либо выходной
величины (координаты объекта управления).
Автоматическое управление — управление, осуществляе-
мое без непосредственного участия человека.
Объект управления (ОУ) - устройство, требуемый режим
работы которого должен поддерживаться извне специально ор-
ганизованными управляющими воздействиями.
Управляющее устройство (УУ) - устройство, осуществ-
ляющее воздействие на объект управления с целью обеспечения
требуемого режима работы.
Управляемые координаты - величины, характеризующие
состояние объекта управления.
Возмущениями называются воздействия, вызывающие от-
клонения координат от заданного закона управления и не зави-
сящие от управляющего устройства.
Система автоматического управления (САУ) — система,
состоящая из объекта управления и устройства управления, в
которой автоматически выполняется заданный процесс.
Линейные стационарные САУ - системы с постоянными
параметрами, описывающиеся линейными дифференциальными
уравнениями с постоянными коэффициентами.
САУ разомкнутые - системы, в которых заданное значе-
ние выходной величины ОУ достигается при помощи регули-
рующего (исполнительного) органа, устанавливаемого в опре-
деленное положение.
САУ замкнутые - системы, в которых заданное значение
выходной величины сравнивается с ее текущим значением, по-
ступающим через элемент обратной связи на специальный эле-
мент сравнения, который вырабатывает сигнал ошибки САУ.
Усиленный сигнал ошибки приводит в движение регулирующий
орган ОУ.
Система - совокупность взаимосвязанных элементов, со-
вместно достигающих целевого или равновесного состояния.
Одномерная САУ - система, имеющая один вход и один
выход.
Многомерная САУ - система, у которой сумма входов и
выходов больше двух.
Передаточная функция САУ (ПФ) - есть отношение пре-
образования Лапласа от выходной величины к преобразованию
Лапласа от входной величины при нулевых начальных услови-
ях.
Переходный процесс (переходная функция) - реакция сис-
темы на единичное входное воздействие (временная характери-
стика).
Характеристический полином системы — знаменатель пе-
редаточной функции.
В теории пространства состояний fl], с понятием системы
(подразумевается САУ) связаны понятия состояния системы,
входа и выхода системы.
Состояние динамической системы описывается совокуп-
ностью физических переменных xt(t), xn(t), характери-
зующих поведение системы в будущем при условии, если из-
вестно состояние в исходный момент времени и приложенные к
системе воздействия.
Пространством состояний называется пространство X, к
которому принадлежит вектор переменных состояния рассмат-
риваемой системы x(t) е X.
Вектор состояния системы x(t)- это векторная пере-
менная, содержащая переменные состояния динамической сис-
темы, позволяющая однозначно определить выход y(t) системы
через ее вход и(1) и начальное состояние x(t0).
Переменными состояния динамической системы х, (t),
i=l,2,...,n называют такие независимые переменные, набор ко-
торых достаточен для полного математического описания со-
стояния системы в динамике. Количество переменных состоя-
ния для полного математического описания системы должно
быть равно количеству динамических звеньев этой системы.
Вход системы u(t) - точка приложения рассматриваемого
воздействия, представляет внешние переменные, действующие
на систему. Выражается множеством временных функций или
множеством временных последовательностей входных значе-
ний. Количество входных воздействий принято обозначать т.
Выход системы y(t) -точка, где наблюдается эффект, вы-
званный входным воздействием, представляет описание непо-
средственно наблюдаемого поведения системы. Выражается
аналогично входу. Количество выходных переменных принято
обозначать г.
Порядок системы п зависит от числа переменных состоя-
ния и равен числу динамических звеньев рассматриваемой сис-
темы.
Структурная схема - условное графическое изображение
системы.
Устойчивость - это свойство САУ возвращаться в задан-
ный или близкий к нему установившийся режим после всякого
выхода из него в результате какого-либо воздействия.
Модальный синтез - процедура сдвига с помощью регу-
лятора характеристических чисел в направлении, улучшающем
динамические свойства системы.
Моды - простые составляющие динамического процесса,
поведение которых определяется характеристическими числами
линейной модели.
2. Виды математических моделей
Теоретически любая математическая модель может быть
получена в результате взаимодействия двух подходов: дедук-
тивного и индуктивного:
Дедуктивный (подход «сверху вниз») предполагает опре-
деление структуры модели по известным физическим законам и
строению системы, с последующим уточнением параметров мо-
дели;
Индуктивный (или подход «снизу вверх») предполагает
оперирование с экспериментальными данными типа «вход-
выход», без использования знаний о внутренних свойствах сис-
темы.
Наибольшей популярностью при анализе САУ пользуются
следующие формы моделей:
- модели в пространстве состояний;
- модели в области изображений;
- частотные модели;
- графические модели.
Необходимо всегда помнить, что любая математическая
модель не лишена недостатков, связанных с тем, что математи-
ческое описание предполагает определенную степень идеализа-
ции объекта. Каждая из вышеперечисленных форм моделей
имеет свои достоинства и свои недостатки. Выбор модели свя-
зан с целью конкретного исследования. Например, чтобы оце-
нить динамику объекта, лучше воспользоваться моделями в
пространстве состояний или области изображений. А при рас-
смотрении внутренней структуры объекта дело имеют с графи-
ческой моделью в виде структурной схемы или с моделью в
пространстве состояний. Такое важное свойство, как управляе-
мость, можно оценить только по модели в пространстве состоя-
ний и т.д.
Очень важной и удобной для анализа является возмож-
ность преобразования форм моделей. Например, по структурной
схеме можно получить модель в пространстве состояния, а по
ней получить модель в области изображения и построить графи-
41
ческую модель - переходный процесс для оценки динамики
описываемого объекта.
Рассмотрим каждый вид моделей подробнее.
2.1. Модели в пространстве состояний
САУ, описываемая обыкновенными линейными диффе-
ренциальными уравнениями, в пространстве состояний пред-
ставляется векторно-матричной стандартной формой Коши или
уравнениями состояния [1,5]
[x(t) = Ax(t) + Bu(t)
\y(t) = Cx(t) + Du(t)' ’
Первое уравнение в системе (1) называется уравнением
динамики, а второе уравнением выхода. Указанные два уравне-
ния задают систему с определенным в ней состоянием.
В качестве составляющих вектора состояния при матема-
тическом описании в пространстве состояний используются вы-
ходы интеграторов.
В уравнениях (1) значения всех переменных являются
функциями от времени, поэтому описание САУ (далее - систе-
мы) с помощью' этих уравнений называют описанием САУ во
временной области. Для удобства описания (t) иногда не пи-
шется, но подразумевается.
Описанию в пространстве состояний (или во временной
области) соответствует нижеприведенная терминология:
А - матрица динамики (состояния) описываемого объекта раз-
мерностью п х п , (п - размерность вектора состояния x(t)~);
В - матрица управления (входа) размерностью п *т, (т - раз-
мерность вектора входа u(t)), в случае одномерных систем
матрица входа - вектор-столбец;
С - матрица выхода размерностью г*п , (г- размерность векто-
ра выхода у(1)), в случае одномерных систем матрица вы-
хода - вектор-строка;
D - матрица обхода (компенсации или усиления по входу), раз-
мерностью г*т.
Для наглядности, математические уравнения (1), описы-
вающие САУ в пространстве состояний, удобно представлять в
виде условной блок-схемы, изображенной на рис. 1.
Модель в пространстве состояний очень информативна и
представляет исследователю данные о количестве входов и вы-
ходов, порядке системы и ее внутренней структуре. Модель в
пространстве состояний может быть получена по структурной
схеме объекта, по дифференциальным уравнениям или по моде-
ли в области изображений.
Рис.1. Блок-схема для общего случая описания САУ в
пространстве состояний
Базисом пространства состояний называется система
векторов, такая, что произвольный вектор пространства состоя-
ний выражается единственным образом в виде линейной комби-
нации этих векторов (базисных векторов). Базис представляет
собой, в сущности, систему координат [1].
Так как выбор базиса пространства состояний неоднозна-
чен, то один и тот же объект может иметь в пространстве со-
стояний сколько угодно моделей.
2.2. Модели в области изображений. Передаточная
функция линейной непрерывной стационарной
системы и ее свойства
В теории автоматического управления широкое примене-
ние получил способ математического описания, основанный на
понятии передаточной функции [2, 3, 9]. Для расчетов обычно
необходима ПФ разомкнутой САУ, или ПФ замкнутой САУ от-
носительно задающего воздействия, возмущения, ошибки и т.д.
В общем случае, для одномерной системы, математиче-
ское описание системы или объекта в виде передаточной функ-
ции есть отношение двух полиномов.
_ Zfc) _ ++--+b2s2+ bjS+b0
U[s) ans +an_}s + ...+a2s~ +а^ + а0
где s - оператор Лапласа.
ПФ для разомкнутых САУ обозначается Для замк-
нутых САУ ПФ принято обозначать Ф($) с указанием воздейст-
вия, относительно которого она определена. Например, Фуи(s) -
передаточная функция замкнутой САУ по управлению.
При этом корни полинома числителя Y(s) в (2) называют-
ся нулями передаточной функции, а корни полинома знаменате-
ля U(s) являются полюсами передаточной функции.
Удобно использовать передаточную функцию в виде от-
ношения двух нормированных полиномов (т.е. полиномов, у
которых коэффициент при младшем члене равен 7), умножен-
ных на постоянный коэффициент к - называемый передаточным
коэффициентом звена или системы, реже коэффициентом уси-
ления
W(s)-k——^- . (3)
Q(s)
к = — (4)
ао
Размерность передаточного коэффициента равна размер-
ности выходной величины, деленной на размерность входной
величины.
Формой описания процессов в многомерных линейных
стационарных системах является передаточная матрица [5, 7]. В
общем случае передаточная матрица имеет вид
wn (5) w12(s) ... ’
W^ = W^S>> - W2^) . (5)
Wr2(s) _
где: yvtj(s) - элементы передаточной матрицы, дробно-раци-
ональные функции, являющиеся частными передаточными
функциями многомерной САУ, связывающими между собой i-
ый выход иj-ый вход объекта управления.
Элементы, расположенные на главной диагонали такой
матрицы, являются частными передаточными функциями пря-
мых связей, остальные - частными передаточными функциями
перекрестных связей.
Общим свойством для элементов передаточной матрицы
является то, что все они имеют одинаковый знаменатель.
f(s)^a0+als+a2s2+---+ansn. (6)
Характеристическим полиномом системы f(s) называется
знаменатель передаточной функции (2). Характеристический
полином, приравненный к нулю называется характеристиче-
ским уравнением. Корни выражения=0 являются характери-
стическими числами (полюсами) динамической системы, обо-
значаются {Si, S2, Sn} и очень важны при анализе системы на
устойчивость.
Способов получения передаточной функции известно
много [1,9]. Некоторые из них применяются в этом пособии.
Передаточная функция полностью характеризует динами-
ческие, а также статические свойства системы. Зная передаточ-
ную функцию системы и вид воздействия, можно определить
переходный процесс на выходе системы.
Передаточные функции устойчивых динамических систем
обладают следующими основными свойствами [9]:
1) передаточная функция W(s) представляет собой дробно
рациональную функцию вида (2), причем в реальной сис-
теме (т.е. такая система может быть реализована физиче-
ски) порядок т числителя не превышает порядок п знаме-
нателя;
2) все коэффициенты bo, bl, ..., bm, ао, ai, ап передаточ-
ной функции вещественны. Это следует из того, что они
представляют собой функции параметров системы, т.е.
могут быть только вещественными;
3) невещественные нули и полюсы передаточной функции
могут быть лишь комплексно-сопряженными;
4) все полюсы {Si, S2, Sn} передаточной функции W(s)
должны быть расположены в левой полуплоскости ком-
плексной плоскости, что является условием устойчивости
системы;
5) при s=jco передаточная функция (2) преобразуется в ам-
плитудно-фазовую частотную характеристику системы, а
при 5=0 преобразуется в передаточный коэффициент (для
позиционных звеньев см. раздел «типовые звенья»).
2.3. Графические модели
Для наглядного представления сложной системы как со-
вокупности элементов и связей между ними используются
структурные схемы [1,4].
Структурная схема - условное графическое изображение
САУ.
Любая структурная схема сама по себе является графиче-
ской моделью. Структурная схема состоит из блоков, внутри
которых указывается функция, моделируемая блоком.
Условные знаки, наносимые на структурную схему, при-
ведены на рис.2. Динамическое или статическое звено изобра-
жается прямоугольником, в котором указывается передаточная
функция звена или ее математическое выражение. Воздействия
на систему и воздействия звеньев друг на друга (сигналы) изо-
бражаются стрелками. Около каждой стрелки указывается, ка-
кую физическую величину или обобщенную координату систе-
мы она изображает. На динамическое звено может воздейство-
вать лишь одна входная величина, поэтому используются знаки
суммирования и сравнения сигналов. Суммироваться и сравни-
ваться могут лишь сигналы одной и той же физической приро-
ды. В каждом динамическом звене воздействие передается толь-
ко от входа звена к его выходу.
Структурная схема показывает строение автоматической
системы, наличие внешних воздействий и точки их приложения,
пути распространения воздействий и выходную величину.
По структурной схеме можно составить систему уравне-
ний относительно изображений всех переменных (обобщенных
координат) рис. 2,в или получить передаточную функцию САУ.
Структурная схема может быть составлена по уравнениям САУ
в пространстве состояний (1) или по дифференциальным урав-
нениям, описывающим систему [1].
Рис. 2. Условные знаки структурных схем: а) - входная величина (воздей-
ствие, сигнал); б) - выходная величина (воздействие сигнал); в) - динамическое звено
(его изображение и передаточная функция); г) - разветвление сигнала; д) - суммирова-
ние сигналов, е) - сравнение двух сигналов; ж) - изменение знака сигнала
При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамиче-
ские звенья, составляющие прямую цепь системы, слева направо
до регулируемой величины. Тогда основная обратная связь и
местные обратные связи будут направлены справа налево.
Структурные схемы разделяются на одноконтурные
(рис.З), имеющие только одну основную обратную связь, и мно-
гоконтурные, имеющие кроме основной еще и местные обрат-
ные связи (рис.17-19).
2.4. Частотные модели
Традиционной формой [2, 3, 4, 8, 9] представления линей-
ных моделей, удобной для проведения анализа динамических
свойств исследуемой системы, является частотная форма. Опи-
сание САУ в частотной области определяется набором частот-
ных функций и частотных характеристик, как их графического
отображения.
К частотным функциям относятся:
- частотная передаточная функция или комплексный ко-
эффициент усиления W(jco) = W(s;
- вещественная частотная функция Р((o)=ReWQa));
- мнимая частотная функция Q(co);
- амплитудная частотная функция А(со)\
- фазовая частотная функция ср(со).
Частотная передаточная функция может быть представле-
на в двух формах:
- алгебраическая форма представления
W(jco)=P(co)+jQ(a>); (7)
- показательная форма представления частотной переда-
точной функции
W(jco) = A(co)-ej(p(a3). (8)
Формулы взаимных пересчетов этих двух форм очевидны
и имеют вид:
А( со) = \W( jco)\ = Jp2(co) + Q2(co)
' , > t Q(<o) 1 (9)
cp( co ) = arctg--
P(d)) — A(d)) cos (р(ю ) (10)
Q(a> ) = A(a ) sin (p(co ) ’
Частотная форма удобна для проведения анализа динами-
ческих свойств исследуемой системы.
Во временной области важными характеристиками явля-
ются переходная и импульсная переходная функции.
Переходная функция - реакция системы на ступенчатое
входное воздействие (чаще всего - единичное входное воздей-
ствие). Импульсная переходная функция — реакция системы на
импульсное входное воздействие, под которым подразумевается
мгновенный импульс бесконечно большой амплитуды и еди-
ничной площади (дельта-функция).
Графические представления частотных и временных
функций принято называть временными характеристиками. В
табл. 1 приведены наименования типовых частотных и времен-
ных характеристик САУ.
Таблица 1
Типовые характеристики САУ
Обозначение функции Наименование характеристики Сокращенное наименование
W(j-w) Амплитудно-фазовый годограф АФГ
A(-w) Амплитудная частотная характери- стика АЧХ
L(w)=20lgA(w) Логарифмическая амплитудная частотная характеристика ЛАЧХ
Ч>М Фазовая частотная характеристика ФЧХ
Р(*>) Вещественная частотная характе- ристика ВЧХ
QM Мнимая частотная характеристика мчх
h(t) Переходная характеристика
i(t) Импульсная переходная характери- стика
В пакете расширения Control System Toolbox пакета мате-
матического моделирования MATLAB [10] (приложение 1) час-
тотные и временные характеристики, нули и полюсы САУ легко
вычисляются и отображаются в виде графиков и диаграмм.
2.5. Типовые звенья САУ
На практике, когда система представлена не общей ПФ, а
структурной схемой с ПФ отдельных звеньев, математическое
описание всей системы начинается с разбиения ее на простей-
шие звенья, обладающие направленностью действия, и описания
этих звеньев.
Звеном направленного действия называется звено, которое
передает воздействие только в одном направлении — со “входа”
одного звена на “вход” другого, так, что изменение состояния
первого звена не влияет на состояние предшествующего звена,
работающего на его вход (рис.8). В результате, при разбиении
системы на звенья направленного действия, математическое
описание каждого такого звена может быть составлено без учета
его связей с другими звеньями.
Описание типовых динамических звеньев подробно рас-
сматривается в лекционном курсе ТАУ [9]. Найти описание ти-
повых звеньев и их основные характеристики можно также в
учебниках по теории автоматического управления или регули-
рования [3, 4, 8]. Примеры математического описания простей-
ших звеньев, которые понадобятся в данном лабораторном
практикуме, приведены ниже.
Апериодическое звено (рис. 3)
Передаточная функция апериодического звена:
W(s) = —— = ——, (11)
Ts +1 a[S + a0
где к- передаточный коэффициент, Т- постоянная времени.
Уравнения в пространстве состояний для апериодического
звена:
[у = х + 0 • и
Колебательное звено (рис. 4)
Передаточная функция колебательного звена:
Рис. 3 Принципиальная электрическая схема и структурная схема
апериодического звена
Рис. 4. Принципиальная электрическая схема и структурная схема
колебательного звена
к
W(s) =
bo
T2s2+2^Ts + l a2s2 + aIs + a0
(13)
где: - коэффициент демпфирования.
Уравнения в пространстве состояний для колебательного
звена:
X] =х2 +0-и
ао а1 ьо 1 Д к ....
\х2=----X;--‘-х2+—и = —-1х1-—х2 + —и. (14)
а2 а2 а2 Т Т Т
y = Xj+0-u
Реальное дифференцирующее звено (рис. 5)
2
Рис. 5. Принципиальная схема и структурная схема
дифференцирующего звена
Уравнения в пространстве состояний для дифференци-
рующего звена:
aI aj 1 T
b, к
y = x + — U = X-i—и
al T
Передаточная функция дифференцирующего звена:
Ts + 1 ajs + ao
(15)
(16)
(17)
(18)
Идеальное интегрирующее звено (рис. 6)
Уравнения в пространстве состояний для интегрирующего
звена
х - ки - Ьои
у = х
Передаточная функция интегрирующего звена
к
W(s) = ~.
s
Рис. 6. Структурная схема идеального интегрирующего звена
Если в интегрирующем звене к-1, то такое звено назы-
вают чисто интегрирующим.
Идеальное усилительное (позиционное) звено (рис. 7)
Описание в пространстве состояний для усилительного
звена содержит только уравнение выхода
у = кх. (19)
Рис. 7. Структурная схема идеального усилительного звена
Передаточная функция идеального усилительного звена
W(s) = k. (20)
Имея модель системы в виде структурной схемы, всегда
можно построить эквивалентную схему с чисто интегрирующи-
ми звеньями (идеальными интеграторами) [1, 5], а по ним полу-
чить дифференциальные уравнения и уравнения в пространстве
состояний.
3. Преобразование форм моделей
3.1. Представление обыкновенного дифференциального
уравнения уравнениями состояния на
примере одномерной системы
Математическую модель в пространстве состояний можно
получить по известному дифференциальному уравнению, опи-
сывающему динамику объекта [1,5].
Так как выбор переменных состояния неоднозначен, то
недостаточно будет рассмотреть единственный метод преобра-
зования дифференциального уравнения в пространство состоя-
ний.
Способы получения моделей рассмотрим на примере ли-
нейных стационарных управляемых объектов с одним входом и
одним выходом, имеющих внутреннюю структуру типа «вход-
• выход» (рис.8).
Рис. 8. Структура объекта управления типа «вход - выход»
Метод 1. Линейная система с постоянными
параметрами
Рассмотрим динамическую модель одномерной системы,
представленную передаточной функцией (2), где т < п из усло-
вий физической реализуемости модели.
Выражению (2) соответствует дифференциальное уравне-
ние л-го порядка
А Л V
(21)
1=0 г=0
где у(г>~ i-я производная от у.
Рассмотрим два случая: т =п ипг<п.
Случай т = п
Введем обозначения во временной области:
у = х1 + Р0-и;
Х! = х2 + Pi и ;
х2 = х3 + р2-и;
х3 = х4 + Р3-и;
У ••
х^^х^р^-и;
(22)
(23) •
I ап ап
Будем дифференцировать уравнение (22) п раз, каждый
раз подставляя в него соответствующее уравнение из (23). Затем
домножим полученную совокупность на весовые коэффициенты
я, характеристического полинома уравнения (21). Получим
»о х У = х1 + Р0-и-,
я7 X у = х3 + Рой = х2 + Р0-й + р}-и\
а2 х у = х2 + Р0-й + (31-й = х3 + po-ii + Р1-й + Р2и;
an-i * ^пЧ) = х„ + ро-и(п-1> + ... + РпЧ-и-,
“п х Уп>=-^-х7-^-х2-...-^.хп + Д0-м^ + Дл-ц.
«и &п аП
Полученную систему из п+1 уравнений представим в век-
торно-матричной форме
0 0 У во 0 0 •• 0 Х1
0а}- • 0 0 У 0 ai 0 •• 0 Х2
I ; X * — 0 0 д? • 0 X Хз +
0 0- ап- >0
0 0- 0 а п_ -во -^п-1 _ _х„_
0 0 ... о г и
«/•А аГ Ро ® ... о й
«2-ft а2Р1 а2’Ро ... 0 X й (24)
_Рп ’ Рп Яп-Рп-1 ЪРп-2 ••• “пРо. _i/n)
Уравнения (24) представляют собой модель в пространст-
ве состояний для одномерной системы
0 1 0 ••• 0
0 0 1 ••• 0 Р,
Р2
х = 0 0 0 ••• 1 ХХ + хи; (25)
ап-1 Рп-1
. У'- ~г°п = [7 0 ап 0 •• af - 0]х х + ап _ _Рп_
Неизвестные величины Д найдем из выражения (24),
сложив все его строки и приравняв к исходному уравнению (21).
Получим
'по-/?0 + а7 •/?; + ••+ аи_; •/?„_;+ ап-/?„ = 60;
аГ Ро + а2'Р1 + "' + ап'Рп-1 ~Ь];
*
(26)
В матричной форме система уравнений (26) выглядит так:
Уравнениям состояния (25) соответствует схема модели-
рования, изображенная на рис. 9.
Рис. 9. Схема моделирования одномерной системы
по методу 1 _ а, , i=O,l,..., п-1.
а„
Случай т<п
Этот случай является обобщением ситуации т = п и чаще
встречается на практике. Ему соответствует то, что в выражении
(2) коэффициенты полинома числителя {b(), blt bm}
структурно не равны нулю, а {Ьт+1, Ьт+2, Ьп} являются
нулевыми.
Из выражения (26) следует, что в этом случае (п-т) неиз-
вестных коэффициентов /3;, .... Р^^,} равны нулю, а
остальные (т+1) коэффициентов {Рпт, Pnm+i, .... /V яв-
ляются структурно ненулевыми (не обязательно нулевыми).
Таким образом, в уравнениях (25) для рассматриваемого
случая будем иметь:
D = Po = O; В = ]р ... О рп_т ... ftj, (28)
а матрицы Л и С останутся прежними.
Система уравнений (26) для определения неизвестных Д
трансформируется в выражение
®n-m ' Рп- т *" ^п-т+1 ’ Рп~т+1 + •. • +
, ’ Рп-т Ьт '
Изложенный метод легко реализуется в системе MATLAB
по сценарию, организованному в виде функции, записанной в
файле w abcdLm (приложение 2).
Метод 2
Пусть САУ описывается дифференциальным уравнением
_Д_ (i) 'L (i)
21aiy=2Lbiu- (3°)
i=0 i=0
Введем систему обозначений
« ап-у-Ьп-и = х1; an^I-y-bn_i-u + xl = x2; ап_2-у-Ь„_2-и + Х2 = хз; (31)
ary-bru + xn-i = xn; ao-y-b0-u + xn = xnU.
Продифференцируем первое уравнение введенной систе-
мы и подставим полученное значение х7 во второе уравнение.
Затем продифференцируем второе уравнение и подставим полу-
ченное значение x^ в третье уравнение, и т.д. - вплоть до по-
следнего уравнения, которое будет иметь вид
*п+1 5 • U(,J.
i-0
i=0
Сравнивая его с уравнением (30) делаем вывод о том, что
xn+i = 0. Система уравнений (31) дает готовые выражения для
уравнений состояния, а именно
f 1 Л
у = — Х/ +----и;
dn d„
On-1
On-1
X] = X2---------X] +----------bn + b„-i u;
dn k
• dn—2
X2 = Xj-------X] + -
d„ k
an
dn-2
an
(32)
ai ai , ,
Xn-j = x„-------Xi +--------bn + bj -и;
ai
a„
do do , , ,
Х„ = Хп+/----Х/+------bn+bo -W.
do
dn
dn
Так как хя+; = 0, то матрицы в уравнениях состояния бу-
дут иметь следующий вид:
0 ... 0
0 ... 1
0 ... 0
.. 0
— bn + bn^j
dn
°п~2 L , L
------+ Dn-2
dn
-~-bn + bI
dn
-—bn + bo
an
D= —
an.
< dn
B =
0 :
Схема моделирования, соответствующая уравнениям (32)
приведена на рис. 10.
Изложенный метод легко реализуется в системе MATLAB
по сценарию, организованному в виде функции, записанной в
файле w_abcd2.m (приложение 2)
Рис. 10. Схема моделирования для метода 2
3.2. Преобразование линейной непрерывной стационарной
модели из пространства состояний в область
изображений
Модель во временной области описывается уравнениями
(1). Применим к ним преобразование Лапласа и учитывая то, что
весовые матрицы {А, В, С, D} являются постоянными для ста-
ционарной системы, получим
s-x(s) = A-x(s) +B-u(s);
y(s) = C -x(s) + Du(s).
В первом уравнении выражения (33) выразим x(s)
x(s) = (s-E-A)~‘ В и
где Е - единичная матрица, и подставим его во второе уравне-
ние. Получим
y(s)~ [C-(s-E-A) 1 B + D]-u ,
что в конечном итоге дает нам формулу для вычисления матри-
цы передаточных функций №($)'
W(s) = [C-(s-E-A)~!-B + D]. (34)
В формуле (34) проблематичным является только вычис-
ление сомножителя
(s-E-A)'1, (35)
поскольку он является полиномиальной матрицей, называемой
резольвентной. К полиномиальным матрицам относят такие
матрицы, элементами которых являются полиномы. Обычные
плоские матрицы - частный случай полиномиальных матриц с
полиномами нулевой степени.
Один из способов вычисления резольвентной матрицы
(35) носит название алгоритма Суриана-Фрейма или метода
Фаддеева-Леверье [5, 6, 7].
Представим резольвентную матрицу в виде:
(s • Е - А)-1 = = -P°'Sn 1 + -- + Pn-2-s + Pn-i , (36)
y/(s) sP + aj-s” +... + an-rS + an
где: п - размерность матрицы А;
а., i ~ 1,2,...,п - скалярные величины, коэффициенты
характеристического полинома модели САУ;
- квадратные матрицы размерности (j*j),j=l,2,
Вычисляются по нижеследующим формулам:
Р0 = Е
а/ = —tr (Рох А)’
Р/ = JbxA + ajxE
' а2 = -у1г-(Р/хА)’
Pn-/ = P„-2xA + a„-ixE
ап = —tr (Рп_] х А)
п
Знак tr означает «след» матрицы (сумму диагональных
элементов).
Этот способ вычисления резольвентной матрицы приме-
ним лишь для систем невысокого порядка. Накопление вычис-
лительных ошибок приводит к качественно неверным результа-
там уже при п=5.
Пример. Вычислить резольвентную матрицу для матрицы
Очевидно п=2. Для и=2 определяем выражение для ре-
зольвентной матрицы
5" + ars + а2
Находим матрицы и коэффициенты по (37):
Ро = £ =
Р/ =Р0А + а]Е =
О 1
-2 3
--Г-2
2|_ О
О
Окончательно получим
[.v£ - А] ‘ =
s 01 Г О
о sJ + [-2
з + 0 11 ] Г .у 1 “I 1
_~2 s + 3 _ s2+3s + 2 -2 s + 3 (5 + l\s + 2)
В пакете расширения Control System Toolbox пакета мате-
матического моделирования MATLAB [10] (приложение 1)
осуществить переход из пространства состояний в область изо-
бражений можно с помощью стандартной функции ss2tf.
3.3. Получение модели в пространстве состояний по графи-
ческой модели в виде структурной схемы
Модели в пространстве состояний, как и графические мо-
дели, очень информативны и удобны. Имея в наличии структур-
ную схему, можно получить модель в пространстве состояний
(1), используя алгоритм, рассмотренный на следующем примере
[1]:
Рис.11. Структурная схема САУ
Пример. На рис. 11 приведена структурная схема САУ.
Первым шагом на пути получения уравнений состояния (1) яв-
ляется преобразование исходной схемы к стандартному виду с
выделением чисто интегрирующих звеньев. Для этой процедуры
удобно использовать информацию о типовых динамических
звеньях (гл.2.5). Эквивалентная схема с чисто интегрирующими
звеньями представлена на рис. 12.
Для составления дифференциальных уравнений необхо-
димо пронумеровать интегрирующие звенья (выбрать базис
пространства состояний). По ходу сигнала х, на входе интегра-
торов, ставятся х, (сигнал с точкой и соответствующим номером
интегратора). На выходе интегратора ставится х; (сигнал с но-
мером), таким образом, формируются векторы х и х .
Далее составляются дифференциальные уравнения систе-
мы, последовательным описанием входа каждого интегратора и
выхода системы.
Xi = -2xi + (-3 -10)x2 -1 Охз +1 Ou;
Хз =-x2-x3.
y=X2.
в векторно-матричной форме эти дифференциальные уравнения
будут выглядеть так
Рис. 12. Структурная схема САУ, преобразованная к виду с выделением
чисто интегрирующих звеньев
По имеющейся модели в пространстве состояний можно
получить графическую модель в виде структурной схемы, ис-
пользуя обратную последовательность действий [1].
3.4. Получение модели в области изображений по структур-
ной схеме. Преобразование структурных схем
Если обозначить звенья структурной схемы
Wi(s), №г(s), ... Wn(s), то используя правила преобразо-
вания структурных схем [2, 3, 9], можно упростить исходную
структурную схему к одноконтурному виду и получить выраже-
ние для общей передаточной функции замкнутой системы
Фуи (s)
В полученное выражение для Фуи($) подставляются зна-
чения числовых коэффициентов из исходной структурной схе-
мы, и после упрощающих математических преобразований по-
лучается окончательное выражение для передаточной функции
в виде отношения двух полиномов (2).
Различные способы преобразования структурных схем об-
легчают определение передаточных функций сложных САУ и
дают возможность привести многоконтурную систему к эквива-
лентной ей одноконтурной схеме.
Преобразование структурной схемы должно осуществ-
ляться на основании правил. Правила преобразования структур-
ных схем можно найти в справочной литературе [2, 3, 9], неко-
торые из них приведены в табл. 6 приложения 3.
Прежде всего, каждое имеющееся в схеме типовое соеди-
нение звеньев (последовательное, параллельное или встречно-
параллельное) следует заменить эквивалентным звеном. Затем
целесообразно выполнить перенос точек разветвления и сумма-
торов, чтобы в преобразованной таким образом схеме образова-
лись новые типовые соединения звеньев. Эти соединения опять
должны быть заменены эквивалентными звеньями, затем вновь
может потребоваться перенос точек разветвления и сумматоров
и другие преобразования, приведенные в таблице 6. Для преду-
преждения ошибок следует вычерчивать структурную схему
после каждого этапа преобразований и указывать на ней значе-
ния или символы вводимых эквивалентных звеньев.
В итоге, контроль правильности преобразований следует
вести по формуле Мезона [9].
3.5. Преобразование линейной непрерывной модели
в дискретную форму.
Решение уравнения свободного движения.
Пусть САУ описывается моделью (1), и пусть заданы на-
чальные условия в виде значения вектора состояний системы в
начальный момент времени to, которые обозначим как
x(to) = Xg. Требуется найти решение х(t) уравнения (1).
Разделим эту задачу на две части. Вначале найдем реше-
ние однородного уравнения
х = А-х, (38)
а затем неоднородного
х = А-х + Вй. (39)
Уравнение (38) называют моделью свободного движения
системы, а уравнение (39) — моделью вынужденного движения.
После того, как будет найдено решение x(t), найти зна-
чение выходного сигнала y(t) системы труда уже не составит.
Предположим, что функция х(t) найдена, представим ее
рядом Тейлора относительно начального момента времени to
при известных начальных условиях Хо. Получим
_z , _ X z , x(t) , ,2
x(t) = x0+— x(t-to) + ~Tj- *(t-to) +••
Из уравнения (38) следует, что
х -А-хо;
i/=t0
х = (х)'\ =А2-хо;
' (р>
х =Ар-хо;
Вектор Хо вынесем вправо как общий множитель ряда
Тейлора, получим
x(t)=I" Е + +... + +..1^(40)
1! 2! р!
где Е - единичная матрица.
Выражение внутри квадратных скобок представляет собой
разложение матричной экспоненциальной функции в полиноми-
альный ряд, поэтому решение модели свободного движения
системы [5,6] можно окончательно записать следующим обра-
зом
x(t) = eA(t~to) -х0- (41)
Решение уравнения вынужденного движения.
На динамику свободного собственного движения линей-
ной системы накладывается еще движение под действием внеш-
него управляющего воздействия й. Весь этот процесс соответ-
ствует модели (39). Решим ее относительно вектора состояния
x(t) [1, 5]. Предположим, что вся динамика, определяемая
внешним возмущением, сосредоточена в некоторой функции
z(t) и что функция решения выглядит как в (41)
x(t) = eA(,~to)-z(t). (42)
Поскольку мы определили, что (42) является решением
уравнения (39), следовательно, оно должно как решение удовле-
творять и начальным условиям и самому дифференциальному
уравнению (39). Из условия удовлетворения начальным услови-
ям при t = to получим
?о = Хо . (43)
Из требования удовлетворения исходному дифференци-
альному уравнению (39) продифференцируем (42) по правилу
дифференцирования произведения двух зависящих от времени
функций и сравним полученный результат с (39). Обозначим
для наглядности
= ф(()
и получим
х(1) = Ф(1)-г(1) + Ф(1)-^(1)
или
x(t) = А • еА(,~г° }-z(t) + еА'(‘~'°>-z(t).
В первое слагаемое последнего результата подставим (42)
и получим
x(t) = А • x(t) + eA(t~tl>J • z(t),
откуда при сравнении с (39) имеем условие для определения
z(t), а именно
z(t) = e~A'(t~to) В-ii(t). (44)
Последнее выражение решаем по традиционной схеме
z(t) = z0 + В-й(т)dr . (45)
to
Подставим это выражение в (42) и с учетом (43) получим
окончательную формулу решения линейной модели
x(t) = eA(,~,o) -хо + jeA(t~T) -B-u(T)dT . (46)
to
Формула (45) малопригодна для практического использо-
вания, поскольку предполагает взятие интеграла от сложной
функции. Формулу можно значительно упростить и приспосо-
бить для численного поиска решения. Выполним это.
Дискретизация уравнений состояния непрерывной
системы. Разобьем весь интервал существования процесса x(t)
на определенное количество равных отрезков длиной Т. Вели-
чину Т назовем периодом дискретности. Выделим среди этого
множества временных отрезков какой-то текущий отрезок с
границами и со значениями функции x(t) на этих
границах х* и хь+1 (рис. 13) [7].
Рис. 13. Дискретизация вектора состояний
Заменим решение (46), позволяющее определить состоя-
ние системы в любой момент времени t по известным началь-
ным условиям [t0,x0], на формулу, которая дает решение на
правой границе выделенного интервала по известному значению
на левой границе этого интервала. Перемещаясь, таким образом,
последовательно слева направо вдоль временной оси, можно
получить последовательность равноотстоящих точек решения.
Рис. 14. Дискретизация вектора управлений
Сделаем предположение о том, что управляющая функция
u(t) постоянна на выделенном интервале и равна ее значению
йк на левой границе интервала (рис. 14). Такое упрощение по-
зволяет вынести управление за знак интеграла справа. Получим
дискретный аналог формулы (46) для одного выделенного от-
резка, длиной Т = tk+i —tk , разбитой на части временной оси
tk+i
xk+] = eAT xk + B dT Uk.
h
В полученном уравнении введем обозначения
F = eAT-,
tk-r!
G = fe^^-B-dr, (47)
tk
которые позволят записать дискретные уравнения состояния
системы в стандартном виде по аналогии с уравнением (39), а
именно
хк+! = F-xk +G-uk . (48)
Упростим второе уравнение выражения (47), для этого вы-
несем матрицу В за знак интеграла справа как постоянную вели-
чину и обозначим первый интегральный сомножитель через g:
g = jeA'(t^~r) -dr . (49)
Преобразуем выражение (49)
g = еА',м fe~ATdT = еА'^‘ (e~Att -e~At")-Aa =
tk
= (еАТ-EJ-A1 =А~!-(еАТ-Е).
Таким образом, получаем практические формулы для вы-
числения матриц дискретных уравнений состояния системы
F = еАТ;
G = gB, (50)
где g = (eAT-Е)-А-’ = ( F - Е)-А"1 = А~‘(F - Е). (51)
Но и эти формулы имеют ограниченное применение из-за
того, что в них присутствует обратная матрица, которая сущест-
вует только для моделей с невырожденной матрицей динамики
А. К тому же неясно, как следует практически вычислять мат-
ричную экспоненту
F = eA T.
Эти трудности можно обойти, если представить матрицу g
по аналогии с (40) матричным полиномиальным рядом и огра-
ничиться определенным количеством р первых членов этого ря-
да
g = (eAT-E)-A~J =Е-Т+^-+—. (52)
2! 3! р!
Приближенное значение матричной экспоненты вычисля-
ется из формулы (51)
F = еАТ =g-A + E. (53)
Обычно для обеспечения приемлемой для практики точ-
ности достаточно р-10 + 15 первых членов ряда (52). Но дело
в том, что этот ряд для больших значений Т может расходиться.
Условием сходимости ряда является выражение
Т<Тдоп, (54)
Т
1доп — и и
(55)
Величина ||л|| представляет собой своеобразную норму,
вычисляемую по формуле
Последнее выражение означает, что суммируются по мо-
дулю элементы каждой строки матрицы А непрерывной модели
(1) и элементы каждого столбца этой же матрицы. Затем среди
полученных (п+п) значений выбирается максимальное - это и
будет искомая норма ||л||.
Что же все-таки делать, если условие сходимости ряда
(54) для выбранного шага дискретности не выполняется? В этом
случае поступают следующим образом:
- исходный период дискретности делят последовательно попо-
лам до тех пор, пока условие (54) не выполнится. Получается
ряд
T Tt т т2 т
2 2 2 2
Условие Гу <Тдо„ обеспечивает сходимость ряда (52);
вычисляют значение g(Tv) и F(TV) по формулам (52),
(53);
последовательно v раз применяют формулы
F(2T) = F(T)F(T)-,
g(2T) = (е2'АТ -Е)-А~! = (еАТ +Е)-(еАТ -Е)-А~! =
= (F(T) +E)-g(T),
для возврата к исходному шагу дискретизации.
4. Свойства СА У
Как уже говорилось выше, одной из успешно решаемых
задач математического моделирования является анализ свойств
САУ. Среди таких свойств важнейшими являются управляе-
мость, наблюдаемость и устойчивость САУ [1, 2, 5, 8, 9].
4.1. Критерий управляемости для линейных
стационарных систем. Теорема Калмана I
Понятие управляемость связано с возможностью приведе-
ния системы в заданное состояние с помощью входных или
управляющих воздействий.
Теорема Калмана I. Система будет управляемой тогда и
только тогда, когда ее матрица управляемости Q будет
иметь ранг п, равный размерности пространства состояний
Q = [B, АВ, А2 В, ..., А^В}
rank Q~n< (56)
где п - размерность пространства состояний.
Очевидно, что управляемость определяется свойствами
матриц Ли В. Условием управляемости является невырож-
денность матрицы А.
Наименьшее значение v, (v < п), при котором имеет ме-
сто равенство rank Qv = п, называется показателем управляе-
мости системы.
Очевидно, что управляемость определяется свойствами
матриц А и В. Условием управляемости является невырожден-
ность матрицы Л.
В пакете расширения Control System Toolbox пакета мате-
матического моделирования MATLAB [10] (приложение 1),
матрица управляемости формируется функцией ctrb.
'I
iJ
l!
4.2. Критерий наблюдаемости для линейных
стационарных систем. Теорема Калмана II
Понятие наблюдаемости связано с возможностью опреде-
ления переменных состояния системы по результатам измере-
ния ее выходных переменных.
Теорема Калмана П. Система будет наблюдаема тогда
и только тогда, когда ее матрица наблюдаемости N будет
иметь ранг п, равный размерности пространства состояния.
Г с 1
N =
(57)
рг7
NT =[С СА СА2 ... СА" '];
rank N-n-
Очевидно, что наблюдаемость определяется свойствами
матриц Я и С. Условием наблюдаемости системы является не-
вырожденность матрицы СА .
Наименьшее значение р, при котором имеет место равен-
ство rank Nh = п, (р<п) называется показателем наблюдаемо-
сти системы.
В пакете расширения Control System Toolbox пакета мате-
матического моделирования MATLAB [10] (приложение 1),
матрица наблюдаемости формируется функцией obsv.
4.3. Устойчивость САУ
Изучение динамических процессов, протекающих в сис-
темах - одна из основных задач теории автоматического регули-
рования и управления. Система всегда подвергается действию
внешних возмущающих сил, которые могут вывести систему из
состояния равновесия. Если система устойчива, то она противо-
стоит внешним силам, а выведенная из состояния равновесия
возвращается снова к нему. Устойчивость системы автоматиче-
ского регулирования является одним из основных условий ее
работоспособности и включает требование затухания во време-
ни переходных процессов. Система с расходящимся переход-
ным процессом будет неустойчивой и неработоспособной.
Впервые свойства устойчивости были исследованы рус-
ским ученым А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача
об устойчивости движения». Условие устойчивости линейной
непрерывной системы можно сформулировать так: условием ус-
тойчивости системы является расположение всех корней ха-
рактеристического уравнения (полюсов передаточной функции
системы) в левой комплексной полуплоскости (рис. 15).
Если же хотя бы один из корней с положительной веще-
ственной частью, то система неустойчива.
Наличие нулевых корней свидетельствует о том, что
система находится на границе устойчивости и неизвестно, как
она себя поведет при рабочих воздействиях. Для этого случая
требуется более детальный анализ. В практических задачах на-
личие нулевых корней относят к случаям неустойчивости.
Сформулированное выше условие устойчивости справед-
ливо как для непрерывных линейных, так и для линеаризован-
ных систем. Однако, в случае нулевых или чисто мнимых кор-
ней характеристического уравнения вопрос об устойчивости
линеаризованной системы может быть решен только на основа-
нии исследования ее исходных нелинейных уравнений.
Рис. 15. Расположение корней характеристического уравнения непре-
рывной системы пятого порядка:
а) - устойчивой; б) - неустойчивой, в) и г) находящейся на границе устойчивости
Для дискретных САУ условие устойчивости звучит не-
сколько иначе.
Пусть характеристическое уравнение дискретной системы
имеет вид:
п
f(z) = Ya,z'=0-
i—1
Если решить это полиномиальное уравнение и найти его
корни {Z;,Z2,...,Z„},to получим спектр дискретной системы
управления.
Дискретная линейная стационарная система устойчива,
если все корни Z( характеристического уравнения лежат
внутри круга с единичным радиусом |Z, | <1, в противном случае
дискретная система неустойчива.
Поскольку вопрос о корнях f(s) (6) любого порядка сво-
бодно решается с внедрением ЭВМ лишь в последние 10-15 лет,
то ранее для исследования устойчивости использовались специ-
ально разработанные косвенные методы.
На практике, для упрощения расчетов, устойчивость САУ
определялась с помощью критериев устойчивости. Критерии
устойчивости позволяют выяснить устойчивость системы без
вычисления корней характеристического уравнения. Рассматри-
ваются коэффициенты характеристического уравнения (6) или
некоторые их функции. Критерии устойчивости эквивалентны
сформулированному выше условию устойчивости.
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и
частотные. К алгебраическим относят критерии Гурвица, Льена-
ра-Шипара и Рауса, к частотным - критерии Михайлова и Найк-
виста.
Из алгебраических критериев устойчивости чаще исполь-
зуются критерии Гурвица и Рауса, по ним можно выяснить
влияние коэффициентов f(s) на устойчивость системы.
По критериям Гурвица и Рауса можно судить об устойчи-
вости системы, как в замкнутом, так и в разомкнутом состоянии.
Критерии устойчивости широко освещаются в литературе по
теории автоматического управления и регулирования [2-9]. В
лабораторном практикуме используется критерий Гурвица.
Критерий устойчивости Гурвица
Из коэффициентов характеристического полинома f(s) (6)
составляют матрицу, которую принято называть матрицей Гур-
вица.
ап-1 ап-3 ап-5 • ®п-2 ®п~4 • . 0 . 0 0 ’ 0 , (58)
Лп = апДп_1 = о а„-1 ап-з • . 0 0
ООО. а1 0
ООО. а2 ао_
Критерий формулируется так: чтобы рассматриваемая
система была устойчивой, необходимо и достаточно при ад >0
иметь положительными все диагональные определители, полу-
чаемые из матрицы (58), т.е. >0;
-
ап-1 ап-3 >0-
ап ап-2
& п-1 ап-3 ап-5 >0; (59)
Л3 = ап ап-2 ап-4
0 ап-1 &п-3
>а
Если а0>0, то последнее неравенство в (59) удовлетво-
ряется при Лп_; >0. Система находится на границе устойчиво-
сти, если Д п = 0 и все предыдущие определители в (59) по-
ложительны.
Для устойчивости систем первого и второго порядков дос-
таточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравне-
ния были положительными. Для системы третьего порядка ха-
рактеристическое уравнение системы имеет вид
f(s) = a3s3 + a2s2 + a}s + a0 = 0, и условие устойчивости
по Гурвицу будет = а2ау - а3а0 >0,
т.е. произведение коэффициентов средних членов должно быть
больше произведения крайних членов.
5. Синтез статического регулятора.
В некоторых задачах автоматического управления нас ин-
тересует возможность влияния на коэффициенты характеристи-
ческого полинома замкнутой системы, поскольку это позволяет
нам удовлетворить требованиям, которые налагаются на корни
характеристического полинома или на собственные значения
матрицы динамики системы управления [5, 6, 7].
Определение закона регулирования, обеспечивающего за-
данное расположение передаточных полюсов системы (модаль-
ное регулирование) состоит из следующих основных этапов:
-выбора расположения полюсов, имеющего целью удовле-
творить заданным техническим требованиям;
- проектирования регулятора, обеспечивающего желаемое
расположение полюсов.
Применение рассматриваемого метода модального регу-
лирования основывается на описании линейных стационарных
систем при помощи переменных состояния и понятия обратной
связи по переменным состояния.
5.1. Модальные регуляторы
Задача о расположении полюсов [5].
Модальный синтез - процедура сдвига с помощью регу-
лятора характеристических чисел в направлении, улучшающем
динамические свойства системы.
Моды - простые составляющие динамического процесса,
поведение которых определяется характеристическими числами
линейной модели.
Идея модального управления проста. Управление, постро-
енное по принципу обратной связи, выбирается таким, чтобы
замкнутая этим управлением система имела заданные заранее
собственные числа, т.е. заданную заранее динамику фазовой
траектории.
Управляя собственными значениями системы, можно
управлять ее модами и, следовательно, динамикой системы.
Модальное управление можно понимать еще как управление
качеством переходного процесса системы.
Рассмотрим объект управления, описываемый системой
линейных дифференциальных уравнений в стандартной форме
Коши (1). Характеристический полином для такого объекта
имеет корни
f(s)-det(sE-A) => {Si, S2,..., Sn}.
Замкнем объект управления обратной связью по вектору
состояния x(t), содержащей статическое звено - регулятор R
(рис. 16).
Рис. 16. Объект управления, замкнутый обратной связью по вектору состояния
Дополним, соответственно, систему (1) уравнением замы-
кания со статическим регулятором - получим замкнутую систе-
му.
x(t) - Ах(t) + Ви(I)
< y(t) = Cx(t) ; (60)
u(t)= R-x(t)
Поскольку регулятор использует информацию по полному
вектору состояний, задача синтеза носит название «синтез по
полному вектору состояний».
Подставим выражение для й(1) в уравнение динамики и
получим модель замкнутой системы (связь входа с выходом, т.е.
матрица D, далее не рассматривается):
х = (А + BR) x = Аз -х
_ > (60 а)
У = Сх
Динамика такой системы полностью определяется свойст-
вами матрицы состояния замкнутой системы а, точнее, ее собст-
венными значениями.
А3 =A+BR, (61)
Итак, очевидно, что модальное управление состоит в вы-
боре такой матрицы регулятора R, чтобы матрица динамики
замкнутой системы Азж имела желаемый спектр, т.е. чтобы ее
характеристический полином имел желаемые корни
^ж
Выбором матрицы регулятора мы управляем модами сис-
темы, загоняя их в желаемую область, т.е. загоняя свойства сис-
темы в желаемые рамки.
Таким образом, задача сводится к тому, чтобы сдвинуть
корни характеристического полинома модели объекта управле-
ния {Si, S2, S3, ... Sn} к желаемым корням ,8Ж ,8Ж ,...,8Ж]
характеристического полинома, но уже замкнутой системы, с
помощью соответствующей матрицы R.
Для произвольного расположения корней характеристиче-
ского полинома замкнутой системы требуется выполнение важ-
ного условия управляемости.
Теорема Калмана Ш. Произвольное размещение харак-
теристических чисел объекта управления с помощью выбора
матрицы регулятора R возможно лишь в том случае, если объ-
ект управления, как динамическая система, обладает свойст-
вом полной управляемости.
5.2. Модальный синтез на основе канонической формы
управляемости (канонической формы Люенбергера)
Пусть одномерная система описывается в пространстве
состояний выражениями (60), а в области изображений система
описывается нормированным относительно старшей степени
характеристическим полиномом [5, 7]
f(s)~ det(sE - А) - ао + ais + a2s2 +... + an^sn4 + sn.
Сопровождающей матрицей для нормированного характе-
ристического полинома является матрица
ГО 1 0 ... О
_-ао -а] -а2 ... -an-i
Основное свойство сопровождающей матрицы: коэффи-
циенты характеристического полинома и последняя строка мат-
рицы равны по модулю и обратны по знаку.
Структура сопровождающей матрицы совпадает с кано-
нической формой управляемости матрицы состояния объекта
управления.
Переведем исходные уравнения состояния системы (60) в
каноническую форму управляемости с помощью преобразую-
щей матрицы Р.
Ан = Р~!АР,
Вн^Р-'В,
СН=СР, (63)
RH = RP -
Преобразующая матрица Р может быть получена по из-
вестным математическим зависимостям [5]:
Р(п.п)=^1,Р2,Рз,-,Рп\, (64)
где Pi, i=l,2, п, столбцы матрицы преобразования находятся
по формулам:
РпЧ=А-Рп+ап-!-В, (65)
Pi = А • Рэ + а1 • В,
где а, коэффициенты характеристического полинома или коэф-
фициенты матрицы Ан их можно получить по методу Суриана-
Фрейма(Зб).
С помощью подстановки х = РЕ, получим уравнения со-
стояния в другом базисе
[у = СР^=СнЕ)
u=RP-E =Rh-E,=RP~1 х.
Однородное уравнение собственного движения замкнутой
системы в другом базисе будет иметь вид:
f = АЗН^.
где
Азн - Ан + Вн • Rh • (67)
Напомним, что канонические формы моделей сохраняют
спектр матриц состояния. Поэтому если удастся сформировать
желаемый спектр матрицы А3н, то при переходе к А3 этот
спектр сохранится.
Итак, используя выражение (67), будем иметь:
Анз ~Ан = BhRh ,
или
0 1 0 . . 0 0 1 0 . . 0
0 0 1 . . 0 0 0 1 . . 0
0 0 0 . . 1 0 0 0 . . 1
„ж -ао -а™ -а™ . „ж - ап-1 -а0 -а2 .
o'
1
Можно записать это выражение иначе:
[ад-а^, щ-аТ,..., а„^-а™/]= [г1,г2>...,г„] = Ян RP.
Отсюда окончательно имеем выражение для статического
регулятора:
i?=|ao— a*. ai-а™, ...» an-i — а«-/] Р 1. (68)
Пример. Рассмотрим систему уравнений
X] = Зх] - Зх2 - 2х3 + и,
х2 = -ЗХ] + 4х2 + Зх3 - и,
х3 = Зх} - 4х2 - 2х3 + и.-
Требуется выбрать управление u(t) так, чтобы замкнутая
этим управлением система имела заданный спектр:
Z'f = -2; =-3; Af=-3.
Опишем систему в пространстве состояний матрицами
динамики и входа.
Очевидно система третьего порядка (п-3). Проверим ус-
ловие управляемости системы, для чего построим матрицу
управляемости системы (56):
14
- 13
18
4 14
rank (В, AB, А2В) - rank - 1
-4 -13 =3.
5 18
Система управляема. Построим характеристический по-
лином разомкнутой системы.
3 - s
f (s ) = det( A - sE ) = det - 3
3
-3 -2
4 - s 3
-4 - 2 -s
= s3 -5s2 + 7s-3 = 0,
Следовательно, имеем коэффициенты характеристическо-
го полинома незамкнутой системы: а0 = -3, а} = 7, а2- -5.
В соответствии с формулами (66) и (68) управление и,
синтезирующее замкнутую систему с заданным спектром
S ж = (-2,-3 —3 ), строится следующим образом:
- находятся - коэффициенты характеристического по-
линома замкнутой системы, корнями которого являются значе-
ния желаемого f(s). В данном случае 8ж=-2, 5Ж=-3,
8Ж = —3 Тогда коэффициенты характеристического полинома
замкнутой системы будут иметь значения:
а™ =18; а? =21; аж = 8.
строятся столбцы матрицы P==(Pi,P2,P3) по рекуррент-
ным формулам (65)
1
Р3 = В =
-1
1
Р2 = АВ + а2В =
4
- 4
5
- 5
О
Р, = АР2 + atB = А(АВ + а2В) + atD - А2В + а2АВ + а;В =
Таким образом, преобразующая матрица (64) для рассмат-
риваемого случая:
det Р = 1.
0
0
1
0
Матрица Р 1, обратная матрице Р, имеет вид
01
Р~‘
0
0
1
0
1
- по формулам (68) строится вектор R = [г у, г? , т3 ]
Г1=а0- а™ = -3-18 = -21;
г2 =а1-аГ = 7-21 =-14;
г3=а2-аТ = -5-8 = -13.
Таким образом, R = [- 21,-14,
- следовательно, управление, решающее поставленную за-
дачу, можно записать в виде:
и -
= -21х] - 35х2 -27хз.
Лабораторная работа №1
«Формы математических моделей САУ»
Цель работы: ознакомиться с формами математического
описания САУ, освоить анализ САУ по различным видам мате-
матических моделей. Научиться выбирать вид моделей, исходя
из целей конкретного исследования.
Ход работы:
1) ознакомиться с теорией п. 1,2.
2) получить вариант задания у преподавателя (номера вари-
антов в таблице 2 указывают структурные схемы, переда-
точные функции и уравнения в пространстве состояний);
3) по полученной модели определить:
- размерность САУ; ‘
- порядок САУ;
- физическую реализуемость; •
- внутреннюю структуру (взаимосвязь динамических
звеньев);
- динамические свойства;
- коэффициент усиления;
4) охарактеризовать достоинства и недостатки вида моделей,
к которому принадлежит предлагаемая модель;
5) результаты оформить в виде отчета.
Лабораторная работа №2
Частотный и временной анализ линейных моделей САУ
Цель работы: ознакомление со способами расчета и по-
строения частотных и временных характеристик линейных не-
прерывных стационарных моделей САУ, заданных передаточ-
ными функциями или системой линейных дифференциальных
уравнений.
Ход работы:
1) ознакомиться с теорией п.п. 1, 2, 3.3;
2) получить задание у преподавателя (модель разомкнутой
системы в виде передаточной функции из табл. 4);
3) по имеющейся модели, используя пакет расширения Con-
trol System Toolbox пакета математического моделирова-
ния MATLAB (приложение 1) выполнить следующее:
- рассчитать постоянные времени, коэффициенты зату-
хания и статический коэффициент усиления;
- выполнить разложение полиномов числителя и знаме-
нателя передаточной функции на элементарные сот
множители, получить модель в zpk-форме;
- найти корни характеристического полинома;
- построить частотные характеристики ЛАЧХ, ФЧХ,
ВЧХ, МЧХ, АФГ;
- построить временные переходные характеристики;
- получить модель в пространстве состояний;
- получить модель в виде структурной схемы.
4) результаты оформить в виде отчета.
Лабораторная работа №3
Преобразование линейных непрерывных моделей САУ
Цель работы: освоение различных методов преобразова-
ния линейных непрерывных моделей САУ.
Ход работы:
1) ознакомиться с теорией п. 1. 2. 3;
2) получить вариант задания у преподавателя (структурную
схему рис. 17-19, и значения числовых коэффициентов из
табл. 3);
3) по структурной схеме получить модель в пространстве
состояний: г
- привести структурную схему к виду с выделением чис-
то интегрирующих звеньев;
- по полученной схеме составить дифференциальные
уравнения;
- по дифференциальным уравнениям получить уравне-
ния в пространстве состояний.
4) по полученной в п.З модели получить модель в области
изображений, используя стандартную функцию ss2tf паке-
та расширения Control System Toolbox пакета математиче-
ского моделирования MATLAB (приложение 1);
5) по полученной в п. 4 общей передаточной функции полу-
чить две модели в пространстве состояний, используя
сценарии wabcdl.m и w_abcd2.m. для пакета математи-
ческого моделирования MATLAB (приложение 2);
6) по любой из полученных в п.З или п.5 моделей в про-
странстве состояний, получить передаточную функции в
режиме прямых вычислений, используя алгоритм Суриа-
на-Фрейма;
7) оценить управляемость и наблюдаемость системы;
8) результаты оформить в виде отчета.
Лабораторная работа №4
Преобразование структурных схем
Цель работы: на практике ознакомиться с основными пра-
вилами преобразования структурных схем.
Ход работы:
1) ознакомиться с теорией п.п. 1, 2.2, 2.3, 3.4;
2) получить вариант задания у преподавателя (структурную
схему и значения числовых коэффициентов из табл. 3);
3) обозначить звенья структурной схемы
Wj(s), W2(s), ... Wn(s)-
4) используя правила преобразования структурных схем
(приложение 3) упростить исходную структурную схему к
одноконтурному виду и получить общую передаточную
функцию замкнутой системы (s) (контроль правиль-
ности преобразований вести по формуле Мезона [5]);
5) в полученную передаточную функцию подставить значе-
ния числовых коэффициентов и преобразовать математи-
ческое выражение к виду
фф = Z0. = Ь^т + bm-lsm 1 + + b2S2 + bjs + Ьо .
u(s) a„sn+ a„_}sn~! +... + a2s2+ ajS + a0 ’
6) результаты оформить в виде отчета.
Лабораторная работа №5
Решение линейных моделей САУ во временной области
Цель работы: ознакомиться на практике со способами пе-
рехода из непрерывного пространства состояний в дискретное.
Ход работы:
1) ознакомиться с теорией п.п. 1, 2.1,2.2,2.3,.3.5;
2) получить вариант задания у преподавателя (передаточную
функцию разомкнутой системы из таблицы 4);
3) по имеющейся модели, используя пакет расширения Con-
trol System Toolbox пакета MATLAB (приложение 1) по-
лучить
модель в непрерывном пространстве состояний и на-
чертить структурную схему,
рассчитать корни характеристического полинома;
построить реакцию системы на входные воздейст-
вия: u(t)-l(t), u(t)~sin(3,25t) и u(t)=5 + 20t + 1 Ot2.
4) используя программную реализацию приложения 4, опре-
делить:
период дискретизации Тдоп., обеспечивающий схо-
димость матричного полиномиального ряда;
определить последний член аппроксимирующего
матричного полинома выбранной длины и его нор-
му;
получить модель в дискретном пространстве состоя-
ний;
5) результаты оформить в виде отчета.
Лабораторная работа Леб
Модальный синтез одномерных моделей
Цель работы: освоить теоретические основы синтеза сис-
тем с заданным качеством.
Ход работы:
1) ознакомится с теорией п.п. .1,2,4, 5;
2) получить вариант задания у преподавателя (модель ра-
зомкнутой САУ в пространстве состояний из табл. 5, кор-
ни желаемого характеристического полинома из табл. 5);
3) используя функцию tf2ss пакета расширения Control Sys-
tem Toolbox пакета MATLAB (приложение 1), получить
модель разомкнутой САУ в пространстве состояний, най-
ти корни характеристического полинома и оценить устой-
чивость разомкнутой САУ;
4) оценить управляемость САУ, используя стандартную
функцию ctrb пакета Matlab; >
5) получить каноническую форму управляемости для модели
в пространстве состояний (зависимости (63)-(65)), по же-
лаемым корням вычислить желаемый характеристический
полином;
6) Вычислить матрицу регулятора R, обеспечивающую же-
лаемый спектр замкнутой системе;
7) Рассчитать собственные значения матрицы динамики
замкнутой системы (они должны быть равны желаемому
спектру);
8) построить переходные процессы для разомкнутой и замк-
нутой систем;
9) результаты оформить в виде отчета.
12. Варианты заданий
Таблица 2
№ варианта Предлагаемая модель
1 Структурная схема рис. 17, значения числовых коэф- фициентов из табл. 3 №1
2 Модель в пространстве состояний из табл. 5 № 1
3 Передаточная функция из табл. 4 № 1
4 Структурная схема рис. 18, значения числовых коэф- фициентов из табл. 3 № 2
5 Модель в пространстве состояний из табл. 5 №2
6 Передаточная функция из табл. 4 № 2
7 Структурная схема рис. 19, значения числовых коэф- фициентов из табл.З № 3
8 Модель в пространстве состояний из табл. 5 № 3
9 Дифференциальные уравнения (21)
10 Передаточная функция из табл. 4 № 3
11 Структурная схема рис. 4, (выбор значений числовых коэффициентов свободный)
12 Модель в пространстве состояний, представленная зависимостью (25) (выбор значений числовых коэффи- циентов свободный)
13 Передаточная функция из табл. 4 № 4
14 Структурная схема рис. 9, (выбор значений числовых коэффициентов свободный)
15 Модель в пространстве состояний, представленная зависимостью (32) (выбор значений числовых коэффи- циентов свободный)
16 Передаточная функция из табл.4 № 5
17 Структурная схема рис. 10, (выбор значений числовых коэффициентов свободный)
18 Передаточная функция из табл. 4 № 6
19 Дифференциальные уравнения (31)
20 Структурная схема рис. 11
Структурные схемы:
Рис. 18. Структурная схема 2
Рис. 19. Структурная схема 3
Таблица 3
Числовые значения (для схем 1, 2, 3)
№ К1 К2 КЗ К4 К5 Кб К? Т
'1 0.54 0.15 0.5 297 22 0.1 3 0.5
2 0.19 0.14 0.1 160 12 0.5 2 0.1
& 0.24 0.21 0.8 36 11 0.3 4 0.5
4 0.28 0.12 0.4 240 18 0.8 5 0Л25
5 0.8 0.19 0.9 284 14 0.4 6 0.1
6 0.38 0.5 0.3 130 16 0.3 7 0.5
7 0.47 0.7 0.2 НО 28 0.7 8 0.1
8 0.35 0.6 0.15 210 24 0.6 2 0.5
9 0.29 0.25 0.6 290 15 0.5 3 0.1
10 0.39 0.29 0.7 130 31 0.1 4 0.4
11 0.45 0.3 0.35 160 20 0.3 5 0.5
12 0.15 0.11 0.25 180 24 0.2 8 0.1
Передаточные функции
1 „zz , 0.8s+ 40 W(s) = 5s3 + S + 40
2 „zz , 0.7s + 200 W(s) = 0.5s3 - s + 20
3 , 15s+ 500 W(s)~ 0.6s3 + 0.106s2 + 16s + 5000
4 „„ , 17.6s+ 20 W(s) = 10.1s3 + 3.7s2 + 15.6s+ 10
5 rr/z > 77.3 ( s ) = — ———————. . - —— 0.02s3 + 0.3s2 + 2.65s+ 1.78
6 „z/ 4 0.155s2 + 0.966s+ 12 W(s) = 0.26s3-0.33s2 + 2.65s+ 6
7 „zz . 0.966s w (s) — — - ,— 0.33s3 + 0.287s2 + 2.5 s+ 17.8
8 Trzz > 17.8s2 W(s) = 0.37 s3 + 0.976s+ 200
9 W(s) = — —55-+5 10~3s3 + 0.502s2 +6s +10
10 1Т7/ i 5s + 200 ff f S ) =T — . n. ' 10s3 + 0.502s2 + 6s + 20
11 rrzz 1 0.9s+ 16 W(s) = 0.45 s3 +2s2 + s + 8
12 > 2s + 17 s3 +0.1 Is2 + 25s+ 34
13 W(s) = Щ 45s3 +0.145s2 + 1.1s+ 10
14 .... x 0.35s2+ 0.15 W(s) = 0.11s3 +0.12s2 +s + 0.3
15 „zz , 0.1 Is + 0.35 W(s) = 0.12s3 + 0.1s2 + 12s+ 7
16 „zz t 0.155s+ 0.1 yy ( 5 } =. 0.13s3-14s2 +2s + 0.2
17 ft + 2 5 0.1s3 + 15 s2 +135s + l
18 W(s) = 212s + 3- 0.54s3 + 13s2 + s+ 9
19 „„ , 0.56s+ 5 W(s) = 5s3 + 55s2 + 56s+ 25
20 hzz > 0.7s+ 75 W(s) = 9s3 +8.5s2 + 78s + 7.5
21 4s + 25 S ~ 65s3-35s2 +S + 50
22 W0S)= 4s + / 6 s3 + 45 s2+35
23 W(S) = 76s3 +76s2 +81
24 W(S)= -98s+23 7s3-87s2+46
25 rzr, > 160 W(s) = 0.5 s3 + 50 s+ 80
26 W(s) = 0.7 s +44s + ll
27 „zz . 76s+ 11 W(s) = 49s3 +0.07s2 + 0.66s+ 55
28 99 s w(S)= 0.06s3 + 0.1s +528
29 .... ! 0.0 Is W ( s ) — 0.001s3 + 0.7 s2 + 0.456s + 20000
30 m, ( 0.8s+ 40 W(s ) = — 5-10 s +s + 40
31 „zz , 0.8s+ 200 W(s) = — 5 • 10~3 s2 + s + 200
32 . 15s+ 500 yy ( 5 ) . 6 10~4 s3 + 0.106s2 + 16s+ 500
33 razz , 17.6s+ 20 W / 5 ) = — 10.1479 -s4 +3.7 s3 + 15.61s2 + 17.9 s+ 20
34 razz v /7.5 W(s)~ 2.68 10~2 + 0.337s2 + 2.65s + 17.8
35 „zz x ' 1.55-IO2s2 + 9.66-IO2s +17.8 2.68 10~2 + 0.337s2 + 2.65 s + 17.8
36 „zz , 9.66-102s +17.8 W(s)= 2.68 • 10~2 + 0.33 7s2 + 2.65 s + 17.8
37 , 9.66 102s +1.78 W(s) = 2.68-10~2 + 0.337s2 + 2.65 s + 17.8
38 razz > 5s+ 200 W(s)^ — 10~3 s3 + 0.502s2 + 6s + 200
39 W(s) = -.5-t2 10~3 s3 + 0.502s2 +6s + 200
40 . 5s+ 20 rr (S ) = — 10~3 s3-0.502s2 + 6s+ 200
Варианты заданий для модального синтеза одномерных САУ
№ вар. Модель разомкнутой САУ в пространстве состояний № tap. Желаемые корни объекта
1 А = 0 1 0 0 0 -0.856 -2.737 -8.212 0 1 -0.521 -0.077 5 = 0 0 0 1 Sg = - 0.5; - 1.5 + 1.5i; - 1.5 - 1.5i; - 20
С = 0 0 0 -20 1 0 0 0\; D = \ 0 1 2С 2 Sg = '-3.7 -1.7 + 3.7i - 1.7-3.71 -7
2 А = 0 0 1 0 0 1 -0.521 -0.077 0 -0.9 -3 -9.19 0 40 0 3 Sg = - 3 - 1.6 + 1.61 - 1.6г- 1.61 ~6
С = 0 -30 0 0 \0 0 1 0\; D = | 0 0 4 Sg = '-0.7 - 1.7 + 1.71 - 1.7 - 1.71 -7
А = 1 -0.7 -25 0.7 0 0 —40 0 1 0 0 0 5 Sg = -2.7 -1.7 + 1.7 i - 1.7 - 1.7 i L- 5
3 С = — z./э/ -O.41Z —и.иу -0.077 0 0 0 10 0 0|; D = | 0 J 0 6 Sg = '-1.7 ’’ -3.7 + 1.51 -3.7 - 1.51 -5
А= 0 0 1 0 0 1 -0.521 -0.77 В- 0 3G 7 Sg = -0.7 - 1.7 + 1.71 - 1.7 - 1.7i - 7
4 С = 0 —1.9 -29 -8.19 0 -30 0 0 0 0 1 0|,- D = \ 0 1 0 0 8 Sg = ’- 1 -2.9 + 2.71 - 2.9 - 2.71 -5
f
13. Контрольные вопросы
1. Что такое передаточная функция САУ?
2. Сколько описаний в виде передаточной функции может
иметь один и тот же объект управления?
3. Можно ли по виду передаточной функции определить
размерность описываемого объекта?
4. Можно ли по виду передаточной функции определить ко-
личество динамических звеньев описываемого объекта?
5. Что такое порядок объекта, описываемого передаточной
функцией, чему он соответствует?
6. Что такое характеристический полином?
7. Чему соответствует наивысшая степень характеристиче-
ского полинома?
8. Что такое полюсы и нули передаточной функции?
9. Как определяется устойчивость по расположению полю-
сов?
10. Можно ли судить об устойчивости объекта управления по
коэффициентам характеристического полинома?
11. Как определяется управляемость САУ, описываемой в
пространстве состояний?
12. Как определяется наблюдаемость САУ, описываемой в
пространстве состояний?
13. Какие простейшие звенья вы знаете?
14. Звеном какого порядка является колебательное звено?
15. Какие критерии устойчивости вам известны?
16. Какие виды частотного и временного анализа вы знаете?
17. Что такое переходный процесс?
18. Что такое модальный синтез?
19. Каким свойством должна обладать САУ для применения к
ней процедуры модального синтеза?
20. Как получить преобразующую матрицу для приведения
системы в каноническую форму управляемости?
21. Для систем какого порядка применим алгоритм Суриана-
Фрейма при получении резольвентной матрицы?
22. Что показывает матрица динамики А в уравнениях (1)?
23. Что показывают матрицы входа В и выхода Св (1)?
14. Литература
1. Деруссо П. и др. Пространство состояний в теории управ-
ления (для инженеров). М.:Наука, 1970
2. Воронов А.А. Основы теории автоматического управле-
ния: Автоматическое регулирование непрерывных линей-
ных систем.-2-е изд., перераб.-М.: Энергия, 1980.-312 с.,
ил.
3. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические
системы (элементы теории, методы расчета и справочный
материал). - 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Машинострое-
ние, 1982.-504 с., ил.
4. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Осно-
вы теории и элементы систем автоматического регулиро-
вания. Учебное пособие для вузов. - М.: Машинострое-
ние, 1985. - 536 с., ил.
5. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дис-
кретных линейных систем управления. - М. : Наука, 1985,-
296 с.
6. Крутько П.Д., Максимов А.И., Скворцов Л.М. Алгоритмы
и программы проектирования автоматических систем. -М.:
Радио и связь, 1988,- 306 с.
7. Автоматизированное проектирование систем автоматиче-
ского управления. Под редакцией В.В.Солодовникова. -М.
:Машиностроение, 1990. - 332 с.
8. Ерофеев А.А. Теория автоматического управления: Учеб-
ник для вузов.- СПб.: Политехника, 1998. - 295 с.:ил.
9. Мизрах Е.А. Теория автоматического управления: Линей-
ные непрерывные системы: учеб, пособие. - Красноярск:
САА, 1995.-184 с.
10. Дьяконов В., Круглов В. MATLAB. Анализ, идентифика-
ция и моделирование систем. Специальный справочник. —
СПб.: Питер, 2002. - 448 с.
Приложение 1
Пакет Control System Toolbox
пакета математического моделирования MATLAB [10]
Пакет Control System Toolbox (CST) предназначен доя
моделирования, анализа и проектирования САУ, как непрерыв-
ных так и дискретных. Функции пакета реализуют методы ис-
следования динамических систем, основанные на использовании
передаточных функций и моделей в пространстве состояния.
Частотные и временные характеристики, нули и полюсы систе-
мы легко вычисляются и отображаются в виде графиков и диа-
грамм. В пакете реализованы:
полный набор средств для анализа одномерных и много-
мерных динамических систем;
временные характеристики: передаточная и переходная
функция, реакция на произвольное воздействие;
частотные характеристики: диаграммы Боде (ЛАЧХ,
ФЧХ), Найквиста, Николса и др.;
разработка замкнутых систем регулирования;
проектирование регуляторов;
характеристики моделей: управляемость, наблюдаемость,
понижение порядка моделей;
поддержка систем с запаздыванием.
Дополнительные функции позволяют конструировать бо-
лее сложные модели. Временной отклик может быть рассчитан
для импульсного входа, единичного скачка или произвольного
входного сигнала.
Основными вычислительными объектами рассматривае-
мого пакета являются:
родительский объект LTI (Linear Time-Invariant Systems) -
линейные стационарные системы;
дочерние объекты соответствующие четырем видам моде-
лей:
1) В так называемой tf-форме (в форме передаточной функ-
ции):
a/s +a2s +--- + an_Is + an
при описании дискретных объектов комплексная пере-
менная s заменяется на z.
2) В z/j^-форме (путем задания нулей, полюсов и коэффици-
ента усиления):
W(s) =
(s-pI)(s-p2)...(s-pn)
при описании дискретных объектов комплексная пере-
менная s заменяется на z.
3) В 55-форме (в виде модели в пространстве состояний):
x(t) ~ Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx( t) + Du( t) ’
для дискретных объектов - системы разностных уравне-
ний.
4) В ТтгУ-форме - в виде набора (вектора) частот а>к и соот-
ветствующих значений комплексного коэффициента пе-
редачи W О'а>к ).
В зависимости от выбора модели линейный объект (САУ)
может быть задан либо парой многочленов (числитель и знаме-
натель передаточной функции), либо тройкой параметров (нули,
полюса, обобщенный коэффициент передачи), либо четверкой
параметров (А, В, С, D) для моделей в пространстве состояний.
Для описания одномерных (в англоязычной литературе - SISO)
систем используются одномерные и двумерные массивы, в слу-
чае многомерных объектов - массивы ячеек.
Пакет CST обеспечивает создание структуры данных для
модели любого из перечисленных видов в форме массива ячеек,
не зависящего от конкретного представления модели. Это по-
зволяет манипулировать линейной системой как единым объек-
том, а не набором данных в виде векторов или матриц.
Функции пакета CST
Вызов графического интерфейса
Функция Itiview - открывает специальное средство про-
смотра временных и частотных характеристик модели - LTI-
viewer (интерактивный обозреватель).
Запись:
Itiview
ltiview(plottype,sys)
ltiview(plottype,sys,extras)
ltiview(plottype,sys 1 ,sys2,.. .sysN)
ltiview(plottype,sys 1 ,sys2,.. .sysN,extras
ltiview(plottype,sys 1 ,PlotSty le 1 ,sy s2,PlotSty Ie2,...)
Функция Itiview без аргументов запускает интерактивный обо-
зреватель, при этом на дисплее появляется рабочее окно обозре-
вателя.
Выполнение функции в формате Itiview (plottype,sys) вы-
зывает запуск обозревателя, отображающего заданные аргумен-
том plottype характеристики модели с именем sys. Возможные
значения plottype
'step' - отображается реакция на единичный скачок, т.е. пере-
ходной процесс:
- 'impulse' - импульсная характеристика (ИХ);
- 'bode' - диаграмма Боде (ЛАЧХ и ФЧХ);
- 'nyquist' - диаграмма Найквиста (годограф);
- 'nichols' - годограф Николса;
- 'pzmap' - карта нулей и полюсов;
'sigma' - отображается зависимость сингулярных чисел
комплексного коэффициента передачи системы от частоты;
- 'initial' - отображается реакция системы на ненулевые началь-
ные условия (только для ss моделей);
- 'Isim' - отображается реакция системы на произвольный
входной сигнал.
Аргументы PlotStyle 1 и extras обеспечивают некоторые
дополнительные возможности обозревателя, sysl, sys2,..., sysN -
позволяют отображать характеристики нескольких моделей од-
новременно.
Для обмена данными между рабочими средами MATLAB
и LTI-viewer используются команды меню окна обозревателя
File ► Import и File ► Export. Выбор первой команды приводит к
< открытию диалогового окна выбора системы (модели) для за-
грузки. В окне представлены имена моделей (столбец Name),
количество их входов и выходов (столбец Size) и тип (столбец
Class). Подтверждается выбор модели нажатием кнопки ОК.
Окно загрузки модели при этом закроется, а в окне обозревателя
отобразится график переходной функции выбранной модели.
Если подвести указатель мыши к произвольной точке
данного графика и нажать левую кнопку, то в результате этого
действия появится всплывающее сообщение об имени системы,
величинах абсциссы и ординаты графика. Если проделать то же,
но с использованием правой кнопки мыши, получим сообщение
об имени системы и номерах входа и выхода, для которых опре-
делена отображаемая характеристика.
Активизация пункта меню Tools ► Viewer Configuration
приведет к появлению диалогового окна, позволяющего выбрать
набор интересующих нас характеристик для их отображения.
Возможен выбор и вывод графиков до 6 характеристик одно-
временно.
Щелчок правой кнопкой мыши в области любого из гра-
фиков приведет к появлению контекстного меню, позволяющего
менять вид характеристики (Plot Туре), цвет и стиль линий
(Systems), определять некоторые числовые характеристики гра-
фиков - наибольшее значение, время установления и т .п. (Char-
acteristics), изменять масштаб (Zoom) или наносить сетку (Grid).
Выбор команды меню обозревателя tools ► Response Pref-
erences (сервис ► Свойства графиков) приводит к появлению од-
ноименного окна. В нем можно установить диапазоны измене-
ния координат, задать единицы измерения амплитуды и часто-
ты, установить собственные определения времени регулирова-
ния и времени возрастания переходного процесса и т.д.
Выбор пункта меню Tools ► Linestyle Preferences
(Сервис ► Свойства и стили линий) приводит к появлению диа-
логового окна, позволяющего установить цвет, толщину и стиль
линий для графического изображения.
Функция ritool - открывает графический интерфейс, по-
зволяющий проектировать корректирующее в замкнутой одно-
мерной системе управления методом корневого годографа
(МКГ). Запись:
ritool
rttool(sys)
rltool(sys,comp)
rltool(sys,comp,LocationFlag,FeedbackSign)
Здесь:
- sys - имя модели одномерного объекта;
- comp - имя (идентификатор) корректирующего звена-
компенсатора;
- LocationFlag - переменная, задающая позицию компенсатора
в системе: 1- в прямом тракте системы, 2 - в цепи обратной
связи;
- FeedbackSign - тип обратной связи (1 - положительная об-
ратная связь, -1 - отрицательная обратная связь).
Выполнение rltool без аргументов приводит к появлению
основного окна интерфейса.
Рассмотрим работу интерфейса на примере, выполнив в
режиме командной строки загрузку файла с набором LTI-
моделей: load LTIexamples.
В меню интерфейса выбирается команда File ► Import
Model (Файл ► Импорт модели). Выполнение данной команды
меню приведет к открытию диалогового окна загрузки моделей
и задания структуры системы Import LTI Design Model.
В верхнем левом углу окна приводится структурная схема
замкнутой системы. В ней F, Н,. Р - звенья, модели которых
можно загружать (с помощью переключателя Import From) из
рабочей среды MATLAB, из mat-файла или из среды Simulink.
Звено же, обозначенное буквой К, - это как раз то компенси-
рующее динамическое звено, структуру и параметры которого
нужно определить.
В исходной схеме звено К включено в прямой тракт замк-
нутой системы. Нажатием кнопки Other (другая) можно перейти
к альтернативной структуре, в которой компенсатор введен в
цепь обратной связи.
В правой нижней части окна расположены кнопки со
стрелками, осуществляющие выбор звеньев F, Н, Р (являющихся
Цо умолчанию пропорциональными звеньями с единичным ко-
эффициентом усиления).
В поле Name задается имя создаваемой системы.
В поле Workspace Contents осуществляется выбор модели
для загрузки.
Выбранные действия подтверждаются нажатием кнопки
ОК, при этом окно загрузки модели закрывается и открывается
основное окно интерфейса. В графической части открывшегося
окна на комплексной плоскости нулей и полюсов отображаются
квадратиками полюсы замкнутой системы, а ее нули - кружоч-
ками. При установке флажка Step (в нижней части интерфейса)
открывается окно интерактивного обозревателя, строящего пе-
реходный процесс выбранной системы.
При заданной структуре компенсатора, нули и полюсы
можно передвигать непосредственно на графике при помощи
мыши, при этом соответственно изменяется значение коэффи-
циента усиления компенсатора в поле Gain.
Можно построить компенсатор, добавив один полюс и
один ноль. С помощью кнопок с обозначением крестика и кру-
жочка, расположенных над графическим окном слева, нули ц
полюсы размещаются (с помощью мыши) желаемым образом.
Интерфейс МКГ обладает многочисленными сервисными
функциями. Например, если щелкнуть дважды на блоке Р струк-
турной схемы, то раскроется окно с информацией о моделях
блоков F, Н, Р. Более детальную информацию о передаточных
функциях можно получить при нажатии кнопок Show Model
(Показать модель).
Создание моделей стационарных систем
Функция tf - создает модель в виде передаточной функ-
ции:
sys = tf(num,den) — создается непрерывная W(s);
sys = tf(num,den,Ts) — создается дискретная W(z);
sys = tf(M) — формируется матрица коэффициентов передачи;
sys = tf(num,den,ltisys) — формируется модель со свойствами, наследуе-
мыми от LTI-модели;
sys = tf(num, den, 'Property Г, Value l,...,'PropertyN',ValueN)
sys = tf(num,den,Ts,'Property r,Valuel,...,'PropertyN',ValueN)
sys = tf('s')
sys = tf('z',Ts)
tfsys = tf(sys)
tfsys=tf(sys, 'inv') % только для ss-моделей
Здесь:
- num и den - векторы-строки (массивы для многомерных мо-
делей) коэффициентов полиномов числителя и знаменателя,
расположенных в порядке убывания степеней s и z;
- Ts - интервал дискретизации (при создании дискретных мо-
делей);
- М - скаляр или матрица; при использовании функции tf с
данным аргументом создается модель пропорционального
звена с коэффициентом пропорциональности М (соответст-
венно, скалярная модель или матрица таких моделей);
- Itisys и sys - имя (идентификатор) LTI-модели;
- 'Property 1Value 1,..., набор пар «свойство/значение);
- 's' - определяет задание непрерывной передаточной функции;
- 'z' - определяет задание дискретной передаточной функции;
- 'inv' - определяет быстрый алгоритм преобразования модели
для переменных состояния в передаточную функцию.
Возвращаемая величина (sys или tfsys) - передаточная
функция.
Информацию о свойствах модели можно получить, ис-
пользуя команду (функцию) Itiprops.
Функция zpk - создает модель в виде передаточной функ-
ции по ее заданным нулям и полюсам:
sys=zpk(z,p,k)
sys=zpk(z,p,k,T s)
sys=zpk(M)
sys=zpk(z,p,k, Itisys)
sys=zpk(z,p,k,'Property 1',Value 1,..., 'PropertyN',ValueN)
sys=zpk(z,p,k,Ts,'Property Г,Value 1,..., 'PropertyN',ValueN)
sys=zpk('s')
sys=zpk('z')
zsys=zpk(sys)
zsys=zpk(sys,'inv') % только для ss-моделей
Здесь z и p - соответственно, векторы-строки (массивы
для многомерных объектов) полюсов и нулей передаточной
функции (матрицы передаточных функций), а к — обобщенный
коэффициент усиления. Остальные аргументы как у предыду-
щей функции.
Возвращаемые величины - модели объектов (систем) в
zpk-форме.
Функция ss - формирует модель в пространстве состоя-
ний:
sys=ss(A,B,C,D)
sys=ss(A,B,C,D,Ts)
sys=ss(A,B,C,D,ltisys)
sys=ss(A,B,C,D,'Property 1 ',V alue 1,.. ,,'PropertyN’, V alueN)
sys=ss(A,B,C,D,T s,'Property 1’,V alue 1,.. ,,'PropertyN', V alueN)
sys_ss=ss(sys)
sys_ss=ss(sys,'minimal')
Здесь A,B,C и D - матрицы модели в пространстве со-
стояния, a 'minimal' - аргумент, задание которого формирует
модель, для которой все переменные состояния являются управ-
ляемыми и наблюдаемыми. Остальные аргументы - как у двух
предыдущих функций.
Возвращаемая величина - модель в ss-форме.
Функция ss(sys) преобразует произвольную модель задан-
ную в tf- или zpk-форме в ss-модель.
Функция dss - создает модель в неявной форме Коши:
Для непрерывного объекта
Ех = Ах + Вй
у = Сх + Du
для дискретного объекта с заданным интервалом дискре-
тизации Ts.
Ех(к +]) = Ах(к) + Ви(к)
у(к) = Сх(к) + Du(k)
Эта функция записывается в виде:
sys=dss(A,B,C,D,e)
sy s=dss(A,B,C,D,e,T s)
sys=dss(A,B,C,D,e,ltisys)
sys=dss(A, B, C,D,e, 'Property Г, Value l,...,'PropertyN',ValueN)
sys=dss(A,B,C,D,e,Ts, 'Property Г,Value 1. ,,'PropertyN',ValueN)
Аргумент e задает матрицу E модели. Остальные аргумен-
ты как у рассмотренных выше функций.
Возвращаемая величина - ss-модель приведенного вида.
функция frd - создает частотную модель объекта в frd-
форме:
sys=frd(response, frequency)
sys=frd(response,frequency,Ts)
sys=frd(response,frequency,Itisys)
sysfrd=frd(sys, frequency)
sysfrd=frd(sys,frequency, 'Units',units)
Здесь frequency - вектор-строка частот cok , response - век-
тор-строка (массив в многомерном случае) значений комплекс-
ного коэффициента передачи и units - строковая переменная,
задающая размерность частоты (по умолчанию 'rad/s', другое
возможное значение 'Hz'). Остальные аргументы - как у рас-
смотренных выше команд данной группы.
Возвращаемая величина - frd-модель.
Функция set - задает свойства LTI-моделей:
set(sys, 'Property', V alure)
set(sys,'Property Г,Valure 1 ,'Property2',Valure2,...)
set(sys,'Property') — выводит список допустимых значений для свойства
'Property'
set(sys) — выводит для модели полный список свойств и их допустимых зна-
чений
Рассматриваемая функция предназначена для того, чтобы
LTI-модели с именем sys присвоить свойство 'Property' со
значением Valure.
Функция Itimodels - возвращает общую информацию о
различных типах LTI-моделей:
Itimodels
Itimodels(modeltype)
Здесь аргумент modeltype - строковая переменная со зна-
чениями 'tf, 'zpk', или 'ss'. Возвращается дополнительная ин-
формация о модели указанного типа.
Функция Itiprops - возвращает информацию о свойствах
LTI-моделей:
Itiprops
Itiprops(modeltype)
Использование аналогично предыдущей функции.
Извлечение данных
Функция tfdata - возвращает числитель и знаменатель пе-
редаточной функции (ПФ):
[num,den]=tfdata(sys)
[num,den]=tfdata(sys,'v')
Здесь аргумент 'у* используется для возвращения резуль-
тата в виде векторов-строк, а не в виде описания размерностей
массива ячеек. Остальные аргументы аналогичны рассмотрен-
ным для других функций.
Функция zpkdata - возвращает нули, полюсы и обобщен-
ные коэффициенты передачи для каждого канала LTI-модели с
именем sys:
[z,p,k]=zpkdata(sys)
[z,p,k]=zpkdata(sys, 'v')
jz,p,k,Ts,Td]=zpkdata(sys)
Функция ssdata - возвращает матрицы (и величину интер-
вала дискретизации в дискретном случае) ss-модели:
(A,B,C,D]=ssdata(sys)
[A,B,C,D,Ts]=ssdata(sys)
Функция dssdata - возвращает информацию о матрицах (и
о величине интервала дискретизации) ss-модели в неявной фор-
ме Коши (см. описание функции dss).
[A,B,C,D,e]=dssdata(sys)
[A,B,C,D,e,Ts]=dssdata(sys)
Функция frdata - возвращает информацию о комплексном
коэффициенте передачи объекта (только для frd-моделей). Явля-
ется обратной по отношению к функции frd. Записывается:
[response, freq]=frdata(sys)
[response,freq,Т s]=frdata(sys)
[response, freq]=frdata(sys,'v')
Смысл всех аргументов и возвращаемых величин пояснен
выше.
Функция get - возвращает информацию о текущих свой-
ствах модели:
Value=get(sys,'PropertyName')
get(sys)- возвращает все свойства
Получение информации об отдельных
характеристиках модели
Данную группу образуют следующие функции, которые
приведены здесь для справки и представлены лишь своими име-
нами:
class - возвращает информацию о типе модели (tf, zpk, ss или frd);
isa — осуществляет проверку, является ли LTI-модель моделью заданного
типа;
Size — возвращает информацию о размерах матриц модели;
ndims — возвращает информацию о размере вектора переменных состояния
модели х;
isempty — осуществляет проверку, является ли LTI-модель пустой;
ISCt — осуществляет проверку, является ли LTI-модель непрерывной;
isdt — осуществляет проверку, является ли LTI-модель дискретной;
isproper — осуществляет проверку, является ли LTI-модель правильной;
1SS1SO — осуществляет проверку, является ли LTI-модель одномерной;
reshape — изменяет размеры матрицы (массива).
Преобразование моделей
К функциям преобразования моделей относятся следую-
щие функции, для краткости описания указанные только имена-
ми:
tf - преобразует LTI-модель в tf-форму;
zpk - преобразует LTI-модель в zpk-форму;
ss - преобразует LTI-модель в ss-форму;
frd - преобразует LTI-модель в frd- форму;
chgunits - изменяет размерность частоты в frd-модели;
c2d - преобразует непрерывную модель в дискретную;
d2c - преобразует дискретную модель в непрерывную;
d2d - изменяет интервал дискретизации в дискретной модели.
«Арифметические» операции с моделями
Функции этой группы позволяют создавать и изменять
структуры динамических систем. Внешне они подобны арифме-
тическим операторам, но операндами в данном случае являются
LTI-модели.
+ и — - сложение и вычитание LTI-моделей (параллельное со-
единение);
* - умножение LTI-моделей (последовательное соедине-
ние);
\ - левое деление (sysl\sys2 равносильно inv(sys 1 )*(sys2);
I - правое деление (sysl/sys2 равносильно sysl*inv(sys2));
л - возведение LTI-модели в степень (последовательное
соединение нескольких одинаковых LTI-моделей);
' - операция pertransposition, означающая замену матрицы
системы A(s) на матрицу [A(-s)]T-,
- транспонирование модели;
[..] - горизонтальное/вертикальное объединение LTI-
моделей;
inv - обращение LTI-модели (замена входов на выходы и
наоборот).
Модели динамики
Функция pole - возвращает вектор, элементами которого
являются полюсы LTI-модели:
p=pole(sys)
Функция zero - возвращает вектор, элементами которого
являются нули LTI-модели:
z=zero(sys)
[z,gain]=zero(sys) - кроме нулей возвращается обобщенный ко-
эффициент усиления.
Функция pzmap - возвращает карту нулей и полюсов:
pzmap(sys) - выводится график;
[p,z]=pzmap(sys) - возвращаются векторы, элементами которых
являются нули и полюса модели.
Функция dcgain - возвращает статический коэффициент
передачи (матрицу таких коэффициентов в многомерном слу-
чае) LTI-модели:
k=dcgain(sys)
Функция norm -предназначена для вычисления норм типа
|] ||2 или || ||и для непрерывной или дискретной LTI-модели
(норма равна бесконечности для неустойчивых систем):
norm(sys)- возвращает || ||2
norm(sys,2)
norm(sys,inf)
norm(sys,inf,tol)
(ninf,fpeak]=norm(sys)
Аргументы функции norm следующие:
tol - точность при расчете нормы, по умолчанию 1е-2;
2 - задание нормы || |]2;
inf - задание нормы || ;
Возвращаемые величины:
ninf - норма модели (по умолчанию |[ [|2);
fpeak - частота, на которой норма достигает максимального
значения.
Функция norm вычисляет нормы || ||2 и || для матриц и
векторов.
Функция covar - возвращает матрицу ковариаций сигнала
на выходе устойчивой линейной модели с постоянными пара-
метрами при действии на входах возмущений типа белого шума:
P=covar(sys,W)
[P,Q]=covar(sys,W)
Здесь W матрица интенсивностей входного сигнала;
Возвращаемые величины:
Р - матрица ковариаций выходов;
Q - матрица ковариаций переменных состояния.
Функция damp - возвращает собственные частоты ^ко-
эффициенты демпфирования LTI-модели:
[Wn,Z]=damp(sys)
[Wn,Z,P]=damp(sys)
Функция damp предназначена для расчета собственных
чисел и коэффициентов демпфирования, соответствующих по-
люсам модели sys. Если функция вызывается без выходных ар-
гументов, то на дисплей выводится таблица собственных значе-
ний Р, соответствующих им собственных частот Wn и коэффи-
циентов демпфирования Z.
Функция esort - сортирует полюсы непрерывной LTI-
модели в порядке убывания значений их действительной части:
s=esort(p)
[s,ndx]=esort(p)
Неустойчивые полюсы располагаются в начале списка. В
этой функции р - вектор-строка полюсов модели; s - вектор,
содержащий отсортированные полюсы; ndx - вектор, содержа-
щий индексы, использованные при сортировке.
Функция dsort - сортирует полюсы дискретной LTI-
модели в порядке убывания их модулей. Неустойчивые полюсы
располагаются в начале списка:
s=dsort(p)
[s,ndx]=dsort(p)
Описание и использование как для предыдущей функции.
Временная задержка
В группу функций временной задержки входят следую-
щие функции:
h»gdelay - возвращает информацию о том, имеется ли в систе-
ме временная задержка;
totaldelay - возвращает матрицу суммарных задержек от входов
к выходам модели;
delay2z - вводит задержку в к интервалов дискретизации в
дискретной системе путем умножения ее передаточ-
ной функции на z~k;
pade - осуществляет Паде-аппроксимацию звена запазды-
вания.
Модели для переменных состояния
Функции rmodel и rss — формируют устойчивые непре-
рывные модели со случайными параметрами:
sys=rss(n)
sys=Tss(n,p)
sys=Tss(n,p,m)
sys=rss(n,p,m,sl,...sn) - формирует массив ss-моделей со случайными па-
раметрами
[num,den]=rmodel(n) - возвращает числитель и знаменатель передаточной
функции устойчивой непрерывной модели n-го по-
рядка
[A,B,C,D]=rmodel(n)
[A,B,C,D]=rmodel(n,p,m)
Здесь n,p,m -соответственно порядок модели (число пере-
менных состояния), число выходов и число входов. По умолча-
нию - один вход и один выход.
Функции drmodel и drss - формируют устойчивые дис-
кретные модели со случайными параметрами (интервал дискре-
тизации не задается):
sys=drss(n)
sys=drss(n,p)
к sys=drss(n,p,m)
sys=drss(n,p,m,sl ,...sn)
[num,den]=drmodel(n)
[A,B,C,D]=drmodel(n)
[A,B,C,D]=drmodel(n,p,m)
Описание аналогично описанию предыдущих функций.
Функция ss2ss - осуществляет преобразование ss-модели
при переходе к новому базису:
sysT=ss2ss(sys,T)
Возвращает преобразованную модель sysT, используя ис-
ходную модель sys и матрицу преобразования Т (данная матри-
ца должна быть невырожденной). Функция применима как к
непрерывным, так и к дискретным моделям.
Функция ss2tf - осуществляет преобразование модели из
пространства состояний в область изображений:
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)
Возвращает числитель (или массив числителей в много-
мерном случае) относительно iu-ro входа, и знаменатель переда-
точной функции.
Функция tf2ss - осуществляет преобразование модели из
области изображений в пространство состояний:
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
Функция ctrb - формирует матрицу управляемости для
модели в пространстве состояний:
Co=ctrb(A,B)
Co=ctrb(sys)
Возвращаемая величина Со - матрица управляемости,
имеющая п строк и nxm столбцов (т - количество входов) и
описываемая соотношением
Со~[В АВ А2 В ... А"'1 В].
Функция obsv - формирует матрицу наблюдаемости для
модели в пространстве состояний:
Ob=obsv(A,C)
Ob=obsv(sys)
Возвращаемая величина Ob - матрица наблюдаемости,
имеющая г*т строк (г - количество выходов) и п столбцов и
описываемая соотношением
с
СА
оь= СА2
САпЧ
Функция modred - используется для понижения порадка
модели:
rsys=modred(sys,elim) — по умолчанию’тёс’
rsys=modred(sys,elim,'del')
rsys=modred(sys,elim, 'mdc')
Здесь:
elim - вектор, элементы которого являются номерами, подле-
жащими удалению переменных состояния;
'mdc' - задает метод понижения размерности, заключающийся
в приравнивании производных удаляемых переменных
состояния нулю и решении системы уравнений для оп-
ределения их установившихся значений;
'del' - задает метод понижения размерности, при котором
просто удаляются переменные состояния, определяемые
вектором elim. Этот способ не гарантирует сохранения
значения коэффициента передачи, но более точно ап-
проксимирует переходные процессы в модели.
Возвращаемая величина rsys - модель, имеющая порядок
на length (elim) меньше, чем исходная.
Функция minreal - строит минимальную реализацию для
некоторой модели. При этом удаляются неуправляемые и нена-
блюдаемые переменные состояния и выполняется сокращение
совпадающих нулей и полюсов. Результирующая модель имеет
минимальный порядок и те же самые частотные характеристики,
f что и первоначальная модель системы.
sysr=minreal(sys)
sysr=minreal(sys,tol)
Смысл аргументов и возвращаемой величины пояснен
выше.
Функция sminreal - выполняет понижение порядка систе-
мы за счет удаления переменных состояния, не оказывающих
влияния на отклик системы, вызываемый входным сигналом:
msys=sminreal(sys)
Отклик во времени
Функция step - рассчитывает и строит реакцию модели на
единичную ступенчатую функцию, то есть возвращает переход-
ную функцию системы:
step(sys)
step(sys,t)
step(sys 1 ,sys2,...sysN)
step(sys 1 ,sys2,...sysN,t)
step(sysl, 'PlotStylel,...,sysN, 'PlotStyleN')
[y,t,x]=step(sys)
Дня моделей, заданных в пространстве состояний, началь-
ные условия принимаются нулевыми. Аргументы функции сле-
дующие:
sysl,...sysN - имена моделей, для которых строятся переходные
процессы (все модели должны иметь одинаковое
число входов и выходов);
t - аргумент, задающий момент окончания моделиро-
вания - либо в форме t=Tfinal (в секундах), либо в
форме t=O:dt:Tfinal. Для дискретных моделей значе-
ние dt должно равняться интервалу дискретизации,
для непрерывных моделей - быть достаточно ма-
лым;
'PlotStylel,..., 'PlotStyleN' — строковые переменные, задающие
стили графиков (типы линий) при выводе несколь-
ких графиков одновременно.
Возвращаемые величины: графики переходных процессов
или y,x,t - соответственно, векторы, содержащие значения пере-
ходного процесса, переменных состояния и моментов времени.
При возвращении величин y,x,t - график переходного процесса
нс отображается.
функция impulse - возвращает импульсную характери-
стику модели или нескольких моделей:
impulse(sys)
impulse(sys,t)
impulse(sys 1 ,sys2,.. .,sysN)
impulse(sys l,sys2,...,sysN,t)
impulse(sy s 1 ,'PlotStylt Г,.. .,sysN,'PlotStyleN')
(y,t,x]=impulse(sys)
Смысл аргументов и возвращаемых величин - как у пре-
дыдущей функции, за тем исключением, что здесь все относится
к ИХ.
функция initial - возвращает графики переходных про-
цессов для ss-модели при ненулевых начальных условиях:
initial(sys,xO)
initial(sys,xO,t)
initial(sys 1 ,sys2,. ,.,sysN,xO)
initial(sysl ,sys2,...,sysN,xO,t)
initial(sysl,'PlotStylel',...,sysN,'PlotStyleN',xO)
[y,t,x]=initial(sys,xO)
Здесь xO - вектор-строка начальных условий для перемен-
ных состояния. Смысл остальных аргументов и возвращаемых
величин - как у функции step.
Функция Isim - возвращает реакцию LTI-модели на про-
извольное входное воздействие:
lsim(sys,u,t)
Isim(sys,u,t,xO)
lsim(sys 1 ,sys2,.. ,,sysN,u,t)
Isim(sys 1 ,sys2,...,sysN,u,t,xO)
lsim(sysl, 'PlotStyle l',...,sysN, 'PlotStyleN', u,t)
[y,t,x]=isim(sys,u,t,xO)
Здесь t - вектор-строка моментов времени, и - вектор-
строка значений входного сигнала, остальные аргументы и воз-
вращаемые величины - как у предыдущих функций данной
группы.
Функция gensig - генерирует скалярный сигнал заданного
типа и заданным периодом:
[u,t]=gensig(type,tau)
[u,t]=gensig(type,tau,T f,T s)
Здесь:
type - строковая переменная, задающая тип генерируемого
сигнала и имеющая следующие возможные значения:
'sin' - синусоида,
'square' - периодический прямоугольный сигнал,
'pulse' - периодические импульсы.
Все генерируемые сигналы имеют единичную амплитуду;
tau - период генерируемого сигнала (в секундах);
Tf - продолжительность сигнала, с;
Ts - период дискретности (в секундах) для генератора им-
пульсов.
Возвращаемые величины:
t - вектор значений времени;
и - соответствующий вектор значений генерируемого сигна-
ла.
Функция stepfun - возвращает сигнал типа «единичный
скачок»:
stepfun(t,tO)
Здесь:
t - вектор-строка моментов времени,
tO - некоторый момент времени.
Возвращаемая величина — сигнал, соответствующий
функции единичного скачка, происходящего в момент tO.
Частотный отклик
Функция bode - возвращает диаграммы Боде - графики
логарифмической амплитудно-частотной характеристики
(ЛАЧХ) и фазочастотной характеристики (ФЧХ):
WfLiaHsys)
? * bode(sys,w)
bode(sys 1 ,sys2,.. ,,sysN)
bode(sys 1 ,sy s2,.. ,,sy sN, w)
j)ode(sysl,'PIotStyIer,...,sysN,'PIotStyIeN')
[pwigphase.w] =bode(sys)
Здесь аргумент w задает диапазон частот
(w=[wmin,wmax]), остальные аргументы как у ранее рассмот-
ренных функций.
Возвращаемые величины:
диаграммы Боде для моделей с заданными именами;
mag, phase,w - соответственно, массивы значений ампли-
туд и фаз и вектор частот.
Функция sigma - осуществляет построение частотной ха-
рактеристики сингулярных чисел модели:
sigma(sys)
sigma(sys,w)
sigma(sys,w,type)
sigma(sys 1 ,sys2,...,sysN)
sigma(sys l,sys2,...,sysN,w)
sigma(sys 1 ,sys2,..., sysN, w, type)
sigma(sysl,'PlotStyler,...,sysN,'PlotStyleN')
[sv,w]=sigma(sys)
sv=sigma(sys,w)
Для непрерывных моделей рассматриваемая функция вы-
числяет частотную характеристику сингулярных чисел матрицы
W(jco). Для дискретных моделей, с дискретной матричной пе-
редаточной функцией W(z), вычисляется частотная характери-
стика матрицы W(e7(t>'r's) для диапазона частот от 0 до я/Ts.
Частотные характеристики сингулярных чисел являются обоб-
щением понятия логарифмических частотных характеристик и
оказываются весьма полезными при анализе «робастности».
Аргументы этой функции следующие:
sysl,sys2,...sysN - имена моделей;
f v w - диапазон частот, w= {w min, w max);
'PlotStyler,...,'PlotStyleN' - аргументы, определяющие стили
графиков (типы линий);
type - аргумент, задающий модификацию частотной характе-
ристики сингулярных чисел:
1 - для ;
2 -для 1 + W( jo)-,
3 -для 1 + W~‘(ja)).
Возвращаемые величины:
- графики частотных характеристик сингулярных чисел для
моделей с указанными именами;
- sv - массив значений сингулярных чисел;
- w - соответствующий вектор частот.
Функция nvouist - возвращает диаграмму Найквиста (го-
дограф):
nyquist(sys)
nyquist(sys,w)
nyquist(sys 1 ,sys2,...sysN)
nyquist(sysl ,sys2,...,sysN,w)
nyquist(sys 1 ,'PlotStyle 1,.,sysN,'PlotStyleN')
[re,im,w]= nyquist(sys)
[re,im]= nyquist(sys,w)
Аргументы - как у предыдущей функции. Возвращаемые
величины:
- диаграмма Найквиста (в многомерном случае - для каждого
канала «вход-выход»);
- ге и im - соответственно, векторы значений вещественной и
мнимой частей комплексного коэффициента передачи для
заданного набора частот.
Функция nichols - возвращает годограф Николса:
nichols(sys)
nichols(sys,w)
nichols(sy s 1 ,sy s2,... sy sN)
nichols(sys 1 ,sys2,...sysN,w)
nichols(sys 1 ,'PlotStyle l',...,sysN,'PlotStyleN')
pwagphase.w|=nichols(sys)
^g.phasel^nicholsfsys.w)
Аргументы - те же, что у предыдущей функции.
Возвращаемые величины:
. годограф Николса;
. mag и phase - массивы значений модуля и фазы комплексно-
го коэффициента передачи;
_ w - соответствующий вектор частот.
функция margin - вычисляет запасы устойчивости по фа-
зе и амплитуде:
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,w)
margm(sys)
Первая из представленных функций рассчитывает запас
устойчивости по амплитуде (Gm), по фазе (Pm) и соответст-
вующие частоты для одномерной разомкнутой системы sys. Ес-
ли имеется несколько точек пересечения амплитудной характе-
ристики на уровне 0 дБ и фазовой на уровне -180°, то возвраща-
ются наименьшие значения запасов устойчивости.
Вторая функция возвращает значения запасов устойчиво-
сти, вычисленных по значениям массива точек (mag,phase,w),
где mag - амплитуда, phase - фаза, w - частота. В этом случае
для определения запасов устойчивости необходимо выполнить
интерполяцию для определения соответствующих точек пересе-
чения.
Третья функция margin(sys) строит логарифмические час-
тотные характеристики разомкнутой системы с указанием запа-
сов ее устойчивости.
Функция freqresp - вычисляет значения комплексного ко-
эффициента передачи для заданного набора частот:
H=freqresp(sys,w)
Здесь sys - имя модели, и w - вектор-строка значений час-
тот. Возвращаемая величина Н - массив значений W(ja>).
Функция evalfr - вычисляет значение комплексного ко-
эффициента передачи для одного заданного комплексного зна-
чения частоты:
frsp=evalfr(sys,f)
Здесь sys - имя модели, и f - заданное значение частоты.
Возвращаемая величина frsp равна W(f).
Функция linspace - возвращает вектор-строку линейно
возрастающих частот:
linspace(xl,x2)
linspace(xl,x2,N)
Здесь xl и х2 - верхняя и нижняя границы диапазона час-
тот, и N количество задаваемых значений (по умолчанию 100).
Возвращается вектор-строка, элементами которого являются
частоты, эквидистантно расположенные на отрезке [х1,х2].
Функция logspace - возвращает вектор-строку логариф-
мически возрастающих частот:
logspace(dl,d2)
logspace(d 1 ,d2,N)
Этой функцией создается вектор-строка, элементами ко-
торого являются частоты, логарифмически равномерно возрас-
тающие на отрезке от 10dl до 10d2. Число элементов N по
умолчанию равно 50.
Функция ngrid -наносит диаграмму (сетку) Николса на
одноименный годограф.
Композиция систем
Функции данной группы позволяют формировать системы
различной структуры, используя в качестве элементов такой
структуры LTI-модели.
append - объединение систем путем объединения входов и
выходов;
parallel - обобщенное параллельное соединение систем;
series - обобщенное последовательное соединение систем;
feedback - образование замкнутой структуры из двух систем;
jft - образование системы с перекрестными связями
(соединение систем так называемой звездой Ред-
хеффера);
connect - построение LTI-модели на основе структурной
схемы;
conv - умножение двух полиномов;
ord2 - формирование модели второго порядка;
stack - создание массива моделей (все модели имеют оди-
наковое число входов и выходов);
augstate - дополняет выходы переменными состояния моде-
ли.
Традиционное проектирование систем
Функция rlocus - выполняет расчет и построение корне-
вого годографа по известной LTI-модели разомкнутой одномер-
ной системы sys:
rlocus(sys)
rlocus(sys,k)
(r,k]=rlocus(sys)
r=rlocus(sys,k)
Здесь k - начальное значение коэффициента усиления
(вектор-строка таких значений для многомерного объекта) звена
обратной связи. Возвращаемые величины:
- график корневого годографа;
- г - массив полюсов при изменении к от 0 до со;
- к - соответствующий массив значений коэффициентов уси-
ления.
Функция rlocfind - осуществляет подбор коэффициента
передачи звена обратной связи по заданному набору полюсов:
[k,poles]=rlocfind(sys)
[k,poles]=rlocfind(sys,p)
Первая функция выполняется в интерактивном режиме
после выполнения функции rlocus, при этом на комплексной
плоскости указывается желаемое расположение полюса.
Во второй функции желаемые полюса задаются в векторе-
строке р.
Возвращаемые величины: обобщенный коэффициент уси-
ления к и вектор полюсов poles.
Функция acker - возвращает значение вектора усиления
обратной связи, обеспечивающего желаемое расположение по-
люсов для одномерных, систем:
k=ackcr(A,B,p)
Здесь аргументы А и В - матрицы ss-модели, р - вектор
желаемых полюсов.
Возвращаемая величина к - вектор коэффициентов усиле-
ния обратной связи.
Функция place - по назначению аналогична предыдущей
функции, но может использоваться как для одномерных, так и
для многомерных систем:
К=р1асе(А,В,р)
[K,prec,message]=place(A,B,p)
Аргументы этой функции те же, что и у функции acker.
Возвращаемые величины:
К - матрица коэффициентов усиления;
ргес - число точных десятичных цифр у полюсов найденной
замкнутой системы;
message - предупреждение, выдаваемое, если некоторые полю-
сы замкнутой системы отличаются от желаемых более,
чем на 10%.
Функция estim - формирует наблюдающее устройство
(эстиматор):
est=estim(sys,L)
est=estim(sys,L, sensors, known)
Первая функция возвращает ss-модель наблюдателя для
непрерывной модели (все входы модели предполагаются слу-
чайными и неизмеряемыми, а все выходы измеряемыми) в соот-
ветствии с уравнениями
ze +L(y~Cxe)
Cl
где xe, ye - оценки переменных состояния и выхода объ-
екта* Наблюдатель для дискретной модели описывается анало-
гичными уравнениями.
Вторая функция работает с объектами управления более
обшей структуры, позволяя учитывать измеряемые сигналы
управления, случайные измеряемые входы, а также измеряемые
выходы. Индексы векторов sensors и known определяют, какие
выходы являются измеряемыми и какие входы известны.
Функция reg - формирует динамический регулятор (ком-
пенсатор) rsys для заданной в пространстве состояний модели
объекта управления sys, матрицы коэффициентов обратных свя-
зей по переменным состояния К и матрицы L коэффициентов
обратных связей наблюдателя:
rsys=reg(sys,K,L)
rsys=reg(sys, К, L, sensors, known, controls)
Уравнения регулятора имеют вид
х = [ А - LC - (В - LD)K]x + Ly
• _
и = -Кх
Аргумент controls определяет, какие входы являются из-
меряемыми, остальные аргументы - как у предыдущей функции.
Возвращаемая величина - модель регулятора в ss-форме.
Функции sgrid и zgrid - строят сетки постоянных коэф-
фициентов демпфирования от 0 до 1 с шагом 0.1 и собственных
частот от 0 до 10 рад/с шагом 1 рад/с на плоскостях риг, соот-
ветственно:
sgrid
sgrid(z,wn)
zgrid
zgrid(z,wn)
Функции sgrid(z,wn) и zgrid(z,wn) строят сетки постоянных ко-
эффициентов демпфирования и собственных частот для значе-
ний, указанных в векторах z и wn.
Аналитическое конструирование регуляторов
Функция Iqr - осуществляет синтез оптимального регуля-
тора для непрерывной системы:
[K,S,e]=lqr(A,B,Q,R)
[K,S,e]=lqr(A,B,Q,R,N)
Вторая функция рассчитывает матрицу коэффициентов
обратных связей К, такую, что закон управления и—Кх мини-
мизирует квадратичный критерий качества:
J(u) — f (xrQx + иГ Ru + 2хт Nu )dt
о
для непрерывной ss-модели. Если аргумент N опущен, то
по умолчанию N=0.
В дополнение к матрице коэффициентов обратных связей
К возвращается решение S непрерывного уравнения Рикатти
ATS + SA-(SB + N)R~1(BTS + NT ) + Q = 0
и собственные значения матрицы замкнутой системы
e=reig(A-BK). При этом матрица К определяется выражением
K = R~1(BTS + NT ).
Функция dlqr - осуществляет синтез оптимального регу-
лятора для дискретной системы:
[K,S,e]=dlqr(A,B,Q,R)
[K,S,e]=dlqr(A,B,Q,R,N)
Смысл аргументов и возвращаемых величин — как у пре-
дыдущей функции.
Функция Iqry - осуществляет синтез оптимального регу-
лятора с ограничением на выходные сигналы:
[K,S,e]=lqry(sys,Q,R)
[K,S,e]=lqry(sys,Q,R,N)
Здесь аргументы и возвращаемые величины - как у двух
предыдущих функций. Отличие данной функции от функции Iqr
pi достоит в виде используемого критерия оптимизации. В данном
Г сяучае
J(u) = $(yTQy + uTRu + 2yrNu)dt
о
функция Iqrd - осуществляет синтез дискретного регуля-
тора для непрерывной системы:
(Kd,S,e]=lqrd(A,B,Q,R.,Ts)
[Kd,S,e|"lqrd( A. B,Q,R.\.T s)
Рассматриваемая функция предназначена для расчета дис-
кретных регуляторов с обратными связями по всем переменным
состояния с динамическими характеристиками, аналогичными
характеристикам непрерывного регулятора, найденного с по-
мощью функции Iqr.
Вторая функция рассчитывает дискретный закон управле-
ния
и(п) = ~Kdx(п),
который минимизирует критерий качества, эквивалентный
непрерывному критерию, используемому в функции Iqr.
Аргумент Ts - интервал дискретизации, остальные аргу-
менты и возвращаемые величины аналогичны используемым в
функции Iqr.
Функция kalman - осуществляет синтез фильтра Калмана:
(kest,L,P]=kalman(sys,Qn,Rn,Nn)
[kest,L,P,M,Z]=kaIman(sys,Qn,Rn,Nn)
[kest,L,P]=kalman(sys,Qn,Rn,Nn, sensors, known)
Рассматриваемая функция выполняет синтез фильтра
Калмана для оценки переменных состояния объекта управления
на основе данных о случайных внешних возмущениях и ошиб-
ках измерений.
Для непрерывного случая предполагается заданной сле-
дующая модель объекта управления
х - Ах + Вй + Gw
у-Сх + Du + Hw + v
с известными входами и и возмущениями по входам w и
измерениям v, которые являются «белым шумом» со следую-
щими характеристиками:
Л/f w} = М{ v} = 0,
M{w(t)WT(t)} = Qn3(t-r),
М{ v( t)vT(r)} = Rn8( t-т),
M{v(t)wT(T)} = N„8(t-T).
Синтез наблюдателя для оценивания вектора переменных
состояния объекта проводится исходя их минимизации устано-
вившейся ошибки оценивания
Р= НтМ{(хе -х)(хе-х)т} .
Оптимальным решением является фильтр Калмана, опи-
сываемый уравнениями
хе - Ахе + Ви + L(y- Схе - Du )
-Гя1 Гс1- И-
[Ы ш L°J
где матрица коэффициентов обратных связей L определя-
ется на основе решения алгебраического матричного уравнения
Рикатти. Эстиматор kest имеет входы [и;у] и генерирует опти-
мальные оценки уе, хе векторов х и у.
Аналогично определяется фильтр Калмана и для дискрет-
ного случая.
Аргументы данной функции следующие:
sys - имя модели объекта;
Qn, Rn, Nn - матрицы, определяющие характеристики возму-
щений и поясненные выше;
sensors и known - векторы определяющие, какие выходы систе-
мы измеряются и какие входы известны (все другие
входы предполагаются случайными и неизвестны-
ми).
Возвращаемые величины:
kest - ss-модель фильтра Калмана;
L и Р - матрицы приведенного вида;
- обновленная матрица обратных связей;
2 - ковариационная матрица ошибок оценивания в устано-
вившемся режиме.
Функция kalmd - осуществляет синтез дискретного
фильтра Калмана для непрерывной системы:
pcest,L,P,M,Z]=kalmd(sys,Qn,Rn,T s)
Рассматриваемая функция рассчитывает дискретный
фильтр Калмана с динамическими характеристиками, подобны-
ми характеристикам непрерывного фильтра, рассчитанного с
помощью функции kalman. Фактически эта функция предназна-
чена для цифровой реализации непрерывного фильтра. Аргу-
мент Ts - интервал дискретизации. Остальные аргументы и воз-
вращаемые величины - как у функции kalman.
Функция Iqgreg - формирует так называемый линейный
квадратичный гауссов регулятор (ЛКГ-регулятор):
rlqg=lqgreg(kest,K)
rlqg=lqgreg(kest,К,'current')
riqg=lqgreg(kest,K,controls)
Рассматриваемая функция формирует ЛКГ-регулятор пу-
тем соединения рассчитанного с помощью функции kaltnan
фильтра Калмана и матрицы коэффициентов обратных связей,
рассчитанной с помощью функций Iqr, dlqr или Iqry. ЛКГ-
регулятор является оптимальным и минимизирует некоторый
квадратичный критерий качества, оценивающий эффективность
регулирования и затраты на управление. ЛКГ-регулятор синте-
зируется как динамический объект, обеспечивающий фильтра-
цию шумов измерений выходных сигналов объекта управления.
Аргументы функции следующие:
kest - имя фильтра Калмана, синтезированного с помощью
функции kalman;
К - матрица обратных связей (найденная с помощью функ-
ций Iqr, dlqr или Iqry);
'current' - аргумент, задающий расчеты сигнала управления на
основе текущего измерения, то есть не в режиме реально-
го времени;
controls - вектор индексов, указывающий, какие входы наблю-
дателя являются измеряемыми сигналами управления.
Возвращаемая величина - ss-модель ЛКГ-регулятора с
именем rlqg.
Решение матричных уравнений
Функция lyap - возвращает решение непрерывного мат-
ричного уравнения Ляпунова:
X=lyap(A,Q)
Х=1уар(А,В,С)
Первая функция находит решение для матричного урав-
нения Ляпунова вида
AX + XAr +Q = 0
где А и Q - квадратные матрицы одинаковых размеров.
Решение X является симметричной матрицей, если таковой яв-
ляется матрица Q.
Вторая функция возвращает решение обобщенного урав-
нения Ляпунова или уравнения Сильвестра вида
АХ + ХВ + С = 0
Матрицы А, В, С должны иметь согласованные размеры,
но не обязательно быть квадратными.
Функция dlvap - возвращает решение так называемого
дискретного уравнения Ляпунова:
X=dlyap(A,Q)
Рассматриваемая функция решает дискретное уравнение
Ляпунова
ATXA-X + Q = 0,
где А и Q квадратные матрицы.
Функция саге - находит решение непрерывного алгебраи-
ческого уравнения Рикатги:
[X,L,G,rr]=care(A,B,Q)
[X,L,G,rr]=care(A,B,Q,R,S,E)
[X,L,G,report]=care(A,B,Q,...,'report')
[XI,X2,L,report]-care(A,B,Q,...,'implicit')
Первая функция находит единственное решение алгебраи-
ческого уравнения Рикатти:
Ric(X) = Аг X + ХА - ХВВТХ + Q = 0
в виде такой матрицы X, что все собственные значения
матрицы замкнутой системы А-ВВТ X расположены в левой
полуплоскости комплексной переменной р. Кроме этого, функ-
ция возвращает:
L - собственные значения матрицы А - ВВТX;
G - матрицу коэффициентов обратных связей ВТХ ;
гг - относительную невязку решения, определяемую выра-
жением
И
Вторая функция решает обобщенное уравнение Рикатти
вида
RicfX) = АТХЕ+ Ет ХА-(ЕТХВ+ S )R'I(BTXE+ST )+Q=0.
Здесь матрица коэффициентов обратных связей G рассчи-
тывается следующим образом:
G = R~](BTXE + ST ),
а собственные числа L определяются путем решения
обобщенной проблемы собственных значений для матриц A-BG
иЕ
L=eig(A-BG,E)
Третья функция возвращает сообщение об ошибке, когда
решения уравнения Рикатти не существует. Возвращаемая вели-
чина report может принимать следующие значения:
-1 - когда пара матриц Г, Е имеет обобщенные собственные
значения на мнимой оси или очень близко к ней. Здесь Г -
матрица Гамильтона вида
Г А -ВВТ
- Аг
-2 - когда матрица Xj вырожденная и не существует конеч-
ного решения X = Х2Х~11.
Возможно применение рассматриваемой функции в форме
[Xl,X2,L,report]=care (A,B,Q,.../implicit'),
когда матрица X возвращается в неявной форме в виде па-
ры матриц {Х/,Х2}- Заметим, что при таком формате в случае
успешного решения возвращается значение report=0.
Функция dare - возвращает решение так называемого
дискретного алгебраического уравнения Рикатти:
[X,L,G,rr]=dare(A,B,Q,R)
[X,L,G,rr]=dare(A,B,Q,R,S,E)
[X,L,G,report]=dare(A,B,Q,.'report')
[XI,X2,L,report]=dare(A,B,Q,.../implicit')
Первая функция находит единственное решение алгеб-
раического уравнения Рикатти
Ric( X) = Ат ХА - X + А ТХВ(ВТХВ + Rf1 Вг XA + Q = 0
в виде такой матрицы X, что все собственные значения матрицы
замкнутой системы
Ас - А - В(ВТХВ + R)'1 ВтХА
расположены внутри единичной окружности на плоскости ком-
плексной переменной z. Кроме этого, функция возвращает:
собственные значения L матрицы Ас;
матрицу коэффициентов обратных связей
G-(BT XB + R)^1 Вг ХА',
относительную невязку решения гг, определяемую выра-
жением гг - -°—п—г—-.
м
Вторая функция решает обобщенное уравнение Рикатти
вида
Ric(X) = АТХА+ЕТХЕ-(АТХВ+ S)(tfХВ+ R)‘(BTXA+ST)+Q=0.
В данном случае матрица коэффициентов обратных связей
равна
G = (BrXB + Rf!(BT ХА + ST),
а собственные числа L определяются путем решения
обобщенной проблемы собственных значений для матриц A-BG,
Е.
Третья функция возвращает сообщение об ошибке, когда
решения уравнения Рикатти не существует. Возвращаемая вели-
чина report имеет такие же значения, как и для предыдущей
функции.
Четвертый вариант применения функции возвращает мат-
рицу X в неявной форме в виде пары матриц {Х]гХ2}.
Вызов демонстрационных примеров
Для ознакомления с пакетом Control System можно ис-
пользовать следующие функции (команды), задаваемые в режи-
ме командной строки:
ctrldemo - введение в Control System Toolbox;
jetdemo - проектирование системы автоматического управ-
ления углом рыскания реактивного самолета;
diskdemo - проектирование контроллера привода жесткого
диска;
milldemo - система автоматического управления прокатным
станом;
kalmdemo - проектирование и моделирование фильтра Калма-
на.
С каждым из этих примеров связан соответствующий т-
файл, запуск которого производится с помощью одной из ука-
занных команд.
Приложение 2
Сценарии для получения моделей в пространстве состояния
W_abcdl (получение горизонтальной канонической формы)
function [A1,B1,C1,D1] = w_abcdl(num,den)
%w_abcdl Приводит систему, заданную передаточной
% функцией,
% к горизонтальной канонической форме.
% [ А1 ,В 1 .С I ,D! ] ~ w_abcd I (num,den)
% num - числитель. num = [bn bn_] ... bo]
% den - знаменатель, den = (an an_i ... ao]
%
% X = A-X + B-U
% Y = C X + D-U
%
% [ 1 0 0 0 ] [ 0
% [ o i 0 0 ] I 0
% Al = [ ] bh .
% [ • ]
% % [-a0/an -ai/an -a2/an .. •• ~an-l/an ] [l/an
% Cl =[b0-a0-bn/an ,bi-ai-bn/an bn4-an_j-bn/an ]
% Dl=[bn/an]
% AI ,B I .C1 .D1 - матрицы получаемой канонической формы
%
% See also tf2ss, canon
%
% (с)СибГАУ
echo off
b = num; a = den;
m - min(size(b));
n ~ min(size(a));
if max([n,m]) > 1
еггог('входные аргументы не полиномы')
return
end
«Сстепени полиномов
щ = length(b)-!;
n = length(a)-1;
«Спроверка реализуемости
ifm> п
еггог('физически нереализуемое звено')
return
end
«Сформирование матрицы динамики
Al - diag(ones(n -1,1),1);
А1(п,:) = -а(п+1:-1:2)/а(1);
«Сформирование системы алгебраических уравниний
P = zeros(m+1);
P(l,:) = a(m+l:-l:l);
for i=2:m+l
P(i,l:m+2-i) = P(l,i:m+l);
end
[ml,nl] = size(b);
mm = max(ml,nl);
ifml <nl
b = b';
end
b = b(mm:-l:l);
P = P';
beta = P\b; «Сретение системы уравнений
“/сформирование матриц входа и обхода
D1 = [0];
if m = п
Bl = beta(2:n+l);
DI = beta(l);
else
if m = n-1
Bl =beta;
else
Bl = [zeros(n-m-l,l);beta];
end
end
^сформирование матрицы выхода
Cl = [l,zeros(l,n-l)];
return
W_abcd2 (получение вертикальной канонической формы)
function [A2,B2,C2,D2] = w_abcd2(num,den)
%w_abcd2 Приводит систему, заданную передаточной
% функцией, к вертикальной канонической форме.
% [A2,B2,C2.D2] = w_abcd2(num,den)
% num - числитель,
num = [b„ bn_i ... b0]
% den - знаменатель.
%
% X = A-X + B-U
% Y = C X + D-U
%
% [ — an_[/an I
0/0 [ — an_2 /an 0
% A2=[ . .
% f . .
% [ -a0/an 0
den = |an an_j ... a0]
0-0 J [ bn_i — an_!-bn/an j
i ...0 ] [ bn-2 — ^n-2 ' bn/an ]
. ] B2-[ . ]
• ] I. - I
0...0] [ bo-ao-bn/an ]
%
% C2 = l l/an О 0...0] D2 = [bn/an]
%
°/o A2.B2,C2,D2 - матрицы получаемой канонической формы
%
% See also tf2ss. canon
%
% (с)СибГАУ
echo off
b - num; a = den;
m = min(size(b));
n - min(size(a));
if max([n,m]) > 1
еггог('входные аргументы не полиномы’)
return
end
%степени полиномов
m = length(b)-l;
n = length(a)-l;
%проверка реализуемости
ifm> n
еггог(’физически нереализуемое звено’)
return
end
[ml,nl] - size(a);
if ml < nl
a = a1;
end
[ml,nl] = size(a);
ifml < nl
b = b’;
end
%формирование матрицы динамики
А2 = diag(ones(n -
А2(:,1) =-а(2:п+1)/а(1);
ifm <п
b = [zeros(n-m-l,l);b];
end
%формирование матриц входа, выхода и обхода
В2 = b(2:n+l) - (а(2:п+1))'.*(Ь(1)/а(1));
В2 = В2';
С2 = zeros(l,n);
С2(1)= 1/а(1);
D2 = [Ь(1)/а(1)];
return
Приложение 3
Таблица 6
Правила преобразования структурных схем
А Поеобра- эование Струк«ур»я схема
№ по 1 исходная эквивалентная
1 Сверты- вание по следова тельного соедине- ния сГ ^7 4^1 Т г® У
2 Сверты- вание па- раллель- ного сое- динения йТ •Г^Т—« ч -*ГЮ" и w,
3 Сверты- вание встречно- парал- лельного соеди- нения и НК} —ГК} У О1—
4 Перенос точки разветв- ления через звено а) и" Т®" X "у Нзг * 1
б) zT -ПП-т- У Ц 1* 1
5 Перенос суммато- а) U '"у «г рТ|^ йй
ра через звено б) й + ' Уг иЛ > Г-1 -&Т,
Продолжение табл.
S. О с о Преобра- зование Структурная схема
исходная эквивалентная
6 Переста- новка точек разветв- ления _ГИ~7 гТЙ_»- 1—-ГйТ]—~
7 Переста- новка сумма- торов Ц/ 1ц, и ч) 1 uz
О/ U а Е Г5
8 Перенос точки разветв- ления через сумматор Ц; q ‘ I jt 7 и,\ I иг 1 1гГ
и, у ± 1 ,и Ц21 1Ц ЧТ
9 Перенос звена через звено
10 Перенос прямой связи через заено r—iwTl—।| а) р *Г*я1——1
Приложение 4
Программная реализация преобразования
непрерывной модели в дискретную
function [F,G] = digi(A,B,T,len)
%digi Преобразование линейных стационарных моделей САУ в
% дискретную форму
% [F,G] = digi(A,B-T,len)
% А - матрица динамики непрерывной модели
% В - матрица входа непрерывной модели
% Т - период дискретизации
% F - матрица динамики дискретной модели
% G - матрица входа дискретной модели
% 1еп - длина апроксимирующего рЯда(по умолчанию 15)
%
% X[k+1 ]= F[к]-Х|к] + (3[к 1-U[к]
% Y[k] = CJk]-X[k] + D[к ]• U [к]
%
% {A.B.CD} => {F.G.C.D}
%
% See also c2d, d2d
%
% (с)СибГАУ
echo off
if nargin = 3
len = 15;
end
%Определение допустимого периода дискретизации
Tdop = l/max([sum( abs(A) ),sum( abs(A'))]);
count = 0;
while T > Tdop
T = T/2;
count = count + 1;
end
Е = eye(size(A));
Ai = E;
Ti = T;
G =Ai*Ti;
for i = 2:len
Ai = Ai*A;
Ti = Ti*T/i;
G = G + Ai*Ti;
end
%Вычисление матричной экспоненты
F = G*A + E;
%Возвращение к исходному шагу дискретизации
while count > О
F = F*F;
G = G*(F + E);
count = count - 1;
end
G = G*B;
return
function у = signal(func,x)
%signal Генерирует сигнал, заданный строковой переменной
% func - функция сигнала в виде строки
% ('t' - переменная функции)
% х - аргумент функции
% Например у = signal('tA3 + t*tA2 sin(t)'.t)
% (с) СибГАУ
echo off
if (length(func) = length('step')) & func = 'step';
у = stepfun(x,O);
else
ysym = sym(func);
for i = 1 :length(x)
t = x(i);
y=[y evalfysym)];
end
end
i end
% Программная реализация преобразования
% непрерывной модели в дискретную
% (с)СибГАУ
%-----------
num = [12 3];
den= [4 5 6];
%-----------
[A,B,C,D] = w_abcdl(num,den);
tmax = 5/min(abs(real(eig( A))));
T = tmax/200;
t=0:T:tmax;
[F,G] = digi(A,B,T,10);
% Построение переходных процессов
[n,m] = size(B);
% Начальные условия
x = zeros(n,l);
xl — zeros(n,l);
x2 = zeros(n, I);
% Входные сигналы
u = signal(’step',t);
U1 = signalfO. 1 *sin(3.25*t)',t);
u2 ~ signalfO. ] *t + 0.01 *t/'2',t);
у = [];
yi = П;
у2 = [];
for i=l: Iength(t)
у = [у C*x+D*u(i)];
х = F*x+G*u(i);
yl =[yl C*xl+D*ul(i)];
xl = F*xl + G*ul(i);
у2 = [у2 C*x2+D*u2(i)];
х2 = F*x2 + G*u2(i);
end
plot(t,y,'r-',t,yl,'b-',t,y2,'g-');
grid on
Приложение 5.
Сценарий модального синтеза для одномерной системы
% Программная реализация модального синтеза одномерных
% моделей САУ
%
% (с)СибГАУ
% Ввод модели объекта
A = [0 1 0 0
0 -0.856 -2.737 -8.212
0 1 -0.521 -0.077
0 0 0 -20 ];
B = [0; 0; 0; 20];
C = [l 0 0 0 ];
D = [0];
i = sqrt(-l);
Sg=[-0.5; -1.5+i*l .5; -1.5-i*1.5; -20];
£Й8р('Характеристический полином объекта:')
f = poly(A); disp(f)
dispfKopHH характеристического полинома:')
it = roots(f); disp(rr)
disp('Co6cTBeHHbie значения A:')
disp(eig(A))
dispCMaTpmia преобразования P:')
n = max(size(A));
P = B; alfa = f/f(l);
for i = l:n-l
P= [A*P(:,l)+alfa(i+l)*B PJ;
end
clear a;
disp(P)
disp('MaTpHHa управляемости:')
U = B; Ai = A;'
fori = l:n-l
U = [U Ai*B];
Ai = Ai*A;
end
disp(U)
disp(’MaTpnna управляемости по функции CTRB')
disp(ctrb(A,B))
dispfPaHr матрицы управляемости:')
disp(rank(U))
dispfКаноническая форма управляемости:')
disp(P\A*P)
disp('>IfeiaeMbiii характеристический полипом по его корнЯм:')
fg = poly(Sg); disp(fg);
/
dispf РегулЯтор R’)
alfag = fg/fg(l);
alfa = alfa(n+1:-1:1);
alfag = alfag(n+11:1);
alfa(n+l) = [];
alfag(n+l)= [];
R= (alfa-alfag)*inv(P);
dispCMarpima динамики замкнутой системы Ag: ’)
Ag = A + B*R;
disp(Ag);
[V,DD] = eig(Ag);
disp('Co6cTBeHHbie векторы матрицы Ag')
disp(V)
dispfCoocTBeHHbfe значения матрицы Ag')
disp(diag(DD))
Sys = ss(A,B,C,D);
Bg = zeros(n:l);
Bg(n)= 1;
Bg = Bg';
Sysg = ss(Ag,Bg,C,D);
сНврСХарактеристики замкнутой (зеленый) и разомкнутой
(красный) систем’)
ltiview('step',Sys,'r-',Sysg,’g-');
СОДЕРЖАНИЕ
Введение. Моделирование как математическая
абстракция реальных процессов
1. Основные понятия и определения................... 5
2. Виды математических моделей..................... 8
2.1. Модели в пространстве состояний........... 9
2.2. Модели в области изображений. Передаточная
функция линейной непрерывной стационарной
системы и ее свойства.......................... 9
2.3. Графические модели........................ 13
2.4. Частотные модели.......................... 15
2.5. Типовые звенья САУ........................ 17
3. Преобразование форм моделей..................... 21
3.1. Представление обыкновенного дифферен-
циального уравнения уравнениями состояния на
примере одномерной системы..................... 21
3.2. Преобразование линейной непрерывной
стационарной модели из пространства состояний
в область изображений.......................... 27
3.3. Получение модели в пространстве состояний
по графической модели в виде структурной схемы. 30
3.4. Получение модели в области изображений
по структурной схеме. Преобразование
структурных схем............................... 32
3.5. Преобразование линейной непрерывной
модели в дискретную форму...................... 33
4. Анализ свойств САУ.............................. 39
4.1. Критерий управляемости для линейных
стационарных систем. Теорема Калмана........... 39
4.2. Критерий наблюдаемости для линейных
стационарных систем. Теорема Калмана II........ 40
4.3. Устойчивость САУ.......................... 40
5. Синтез статического регулятора.................. 44
5.1. Модальные регуляторы...................... 45
5.2. Модальный синтез на основе канонической формы
управляемости (канонической формы Люенбергера)... 47
6. Лабораторная работа №1 .«Формы
6. Лабораторная работа №1 .«Формы
математических моделей САУ»..................... 52
7. Лабораторная работа №2. «Частотный и
временной анализ линейных моделей САУ»............ 53
8. Лабораторная работа №3. «Преобразование
линейных непрерывных моделей САУ»................. 54
9. Лабораторная работа №4. «Преобразование
структурных схем»................................. 55
10. Лабораторная работа №5. «Решение линейных
моделей САУ во временной области».................. 56
11. Лабораторная работа №6. «Модальный синтез
одномерных моделей»............................... 57
12. Варианты заданий............................... 58
13. Контрольные вопросы............................ 65
14. Литература................................... 66
Приложение 1 Пакет Control System Toolbox.......... 67
Приложение 2. Сценарии w abcdl. т и w_abcd2. т
дня получения моделей в пространстве состояния.102
Приложение 3. Правила преобразования структурных схем. 107
Приложение 4. Программная реализация преобразования
непрерывной модели в дискретную.............. 109
Приложение 5. Сценарий модального синтеза для
одномерной системы........................... 113
Содержание................................... 116
Учебное пособие
Бойко Оксана Геннадьевна
АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ
СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Лабораторный практикум по курсу
"Математическое моделирование САУ"
для студентов приборостроительных специальностей
Изд. лицензия ИД № 04533 от 16.04.2001.
Подписано в печать . Формат
Усл.печ. л. . Уч.-изд.л.
Тираж Заказ №
Отпечатано
ООО “ЗНАК”
660049, г. Красноярск, ул. Ленина, 22.
Телефоны: (3912) 27-95-69, 65-14-84