Рабочая книга по математике для пятого года обучения в городской школе - Попов Г.Н., Берг М.Ф., Знаменский М.А., Слудский И.Ф., Хвостов Н.П., Щетинин Н.И.

Author: Попов Г.Н. Берг М.Ф. Знаменский М.А. Слудский И.Ф. Хвостов Н.П. Щетинин Н.И.

Tags: математика 5 класс

Year: 1930

Similar

Арифметика: Учебник для 5 и 6 классов восьмилетней и средней школы

Математика. 5 класс

Text

7U к. — у. Переплет 18 к.
М. Ф. БЕРГ, М. А. ЗНАМЕНСКИЙ, Г. Н. ПОПОВ, И. Ф.СЛУДСКИЙ,
Н. П. ХВОСТОВ, Н. И. ЩЕТИНИН
РАБОЧАЯ КНИГА
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ПЯТОГО ГОДА ОБУЧЕНИЯ
В ГОРОДСКОЙ ШКОЛЕ
1930
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО РСФСР
МОСКВА —ЛЕНИНГРАД
УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ:
Астряб А. — Курс опытной геометрии. Стр. 265. Ц. 1 р. 10 к.
Книга подходит для 5-й и 7-й возрастных групп. Преобладание в
книге индуктивного м тода приближает ее к требованиям программ
Гуса. Материал ее вполне доступен школьникам означенных групп.
В методическом и научном отношениях она не вызывает возражений:
является весьма полезным пособием.
Бем Д., Волков А.,Струве Р.—Сокращенный сборник упраж-
нений и задач по алгебре. Ч. I. Изд. 6-е. Стр. 180. Ц. 75'к.
Ч И. Изд. 4-е. Стр. 132. Ц. 70 к. Ч. III. Изд. 3-е. Стр. 153.
Ц. 45 к.
Все три части представляют очень хорошее и полное пособие для
практической проработки курса алгебры, приноровленное по характеру
примеров, упражнений и задач к современным программным требова-
ниям „Сборник" отличается последовательностью и разнообразием мате-
риала, соответствующего возрасту учащихся. Сборник методически вы-
держан, обработка материала выполнена с большей тщательностью.
Весьма полезное посоиие не только для учащихся II ступени, но и
для всех, кому приходится для каких-либо целей изучать алгебру.
Берг М., Знаменский М., Попов Г., Слудский И., Хво-
стов Н. и Щетинин Н. — Рабочая книга по математике
в городской школе. Под ред. А. Воронца.
Для 6-го года обучения. Стр. 212. Ц. 1 р., в/п. 1 р. 14 к.
Для 7-го года обучения. Стр. 256. Ц. 1 р. 15 к., в/п. 1 р. 31 к.
Материал нетруден, но треб}ет хорошей подготовки учащихся в пре-
дыдущие годы. В методическом и научном отношениях книга выдержана.
Она обстоятельно излагает теоретический материал и содержит много
разнообразных упражнений, так что вполне может сложить рабочею
книгою для учащихся.
Воронец А. — Пособие по математике для 5-го года обучения в
сельской школе. Стр. 166. Ц. 75 к.
Пособие обладает большими методическими достоинствами и предста-
вляет опыт оригинальной проработки материала, не вызывающей воз-
ражений со стороны научности. Полезное пособие для учащихся.
Для 5-го года обучения в городской школе. Стр. 184. Ц. 75 к.
Для 6-го" года обучения в городской школе. Стр. 144. Ц. 75 к.
Для 7-го года- обуч. в гор. школе. Стр. 174. Ц. 85 к.
Книги обладают несомненными методическими и научными достоин-
ствами и являются очень хорошими пособиями для школ II ступени.
Грацианский И. И. — Рабочая книга по математике. Для 5-го
года обучения. 4-е изд., стереотипн. Допущ. Гусом. Стр. 184.
Ц. 75 к„ в пер. 93 к.
ПОКУПАЙТЕ КНИГИ В МАГАЗИНАХ И ОТДЕЛЕНИЯХ ГОСИЗДАТА
М. Ф. БЕРГ, М. А. ЗНАМЕНСКИЙ, Г. Н. ПОПОВ,
И. Ф. СЛУДСКИЙ, Н. П. ХВОСТОВ, TL И. щетинин
РАБОЧАЯ КНИГА
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ПЯТОГО ГОДА ОБУЧЕНИЯ
В ГОРОДСКОЙ ШКОЛЕ
СОСТАВЛЕНА В СООТВЕТСТВИИ
С ПРОГРАММАМИ ГУСА 1927 г.
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
А. М.-ВОРЭНЦА
ИЗДАНИЕ ДЕСЯТОЕ
301 — 450 тысяча
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАГЕЛЬСТЕО
москва «• 1930 . Ленинград

,IA, ч . л
4МДА|'ПГИ Ч ЕСИА*
ТУНА
У, Я. Гиг 16 35243.
Псш»ир*|Дск>1'1 СКластлмт J- 453x6.
14 и. Т1 рзии 15СХ0,
ВВЕДЕНИЕ.
О ПОСОБИЯХ ДЛЯ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ.
§ 1. Перечень пособий.
Каждому учащемуся необходимо иметь следую-
щие предметы:
I. Книги — по указанию учителя.
2. Толстая тетрадь, разлинованная в квадратную клетку со
стороною квадратика в -%-см. Такие тетради продаются под на-
званием общих.
3. Несколько листов нелинованной писчей бумаги № 4.
4. Один лист (возобн эвлятв ко мере надобности) миллиметро-
вой бумаги.
5 Ручка с перьями.
6. Карандаш № 2 или № 3.
7. Плоская деревянная линейка длиною от 20 до 35 см с де-
лениями на сантиметры и миллиметры.
8. Небольшой деревянный угольник (прямоугольный тре-
угольник).
9. Циркульная ножка, надевающаяся на карандаш.
10. Транспортир.
11. Перочинный ножик.
12. Мягкая резинка для стирания.
Если предполагается чертить не только карандашом, но и
тушью, то не нужна циркульная ножка (по списку № 9), а пона-
добится:
13. Готовальня (годится и самая дешевая; в некоторых гото-
вальнях имеются транспортир и угольник, и тогда из предыду-
щей. списка выпадают №№ 8 и 10).
14. Пузырек с жидкой тушью.'
15. Мягкая тряпочка для вытирания инструментов готовальни.
3
Если чертеж будет раскрашиваться, то нужно еше;
16. Несколько листов слоновой или александрийской бумаги-
17. Три плитки хороших акварельных красок цветов желтого,
голубого и красного (кармин).
, 18. Стакан для мытья кистей и маленькая чашечка или рюмка
для растворения красок.
19. Двухсторонняя мягкая кисть; на одной стороне длина во-
лоса должна быть 25 — 30 мм, г ширина сухой кисти в средней
части не менее 1Х)мм, на другой стороне рукоятки — другая
кисть несколько тоньше.
§ 2. О пользовании пособиями.
Всякому ясно, что дело идет хорошо, когда при наименьшей
затрате усилий получаются лучшие результаты. Достигаются же
хорошие результаты научной организацией труда (НОТ)
вообще, в частности же — правильным и умелым обра-
щением с орудиями производства.
Вашими орудиями производства являются перечисленные выше
учебные пособия. Прочтите внимательно, как с ними надо обра-
щаться. Перечитывайте этот параграф, и не один раз, особенно,
когда возьметесь за новый инструмент, и старайтесь в точности
выполнять содержащиеся далее указания.
1. О пользовании книгами будет давать указания учитель.
2. На обложке тетради, посредине страницы, должна быть
четкая и красивая надпись, содержащая номер и букву вашей
группы, вашу фамилию и имя (в родительном падеже), указание
назначения тетради и ее № по порядку.
В тетради ведется вся обычная текущая работа по математи-
ке, причем всякий раз отмечается месяц и число ее выполнения
Писать надо всегда так, чтобы и себе самому и другим было
легко разобраться в написанном, т. е. писать цифры и буквы
четко, вести запись в определенном порядке, ставить заголовки
и математические знаки, необходимые для облегчения чтения
(образцы такой записи будут далее показаны). Вспомогатель-
ные вычисления, кроме тех, которые делаются в уме, поме-
щаются рядом с основными действиями и пишутся
одинаково тщательно; это необходимо как иля того, чтобы всегда
можно было их проверить, так и для того, чтобы учитель всегда
мог вам помочь указанием тех или иных упрощений, которых вы
не знаете или не видиге.
4
Не забывайте, что вы работаете для себя, и что при-
вычка к порядку, если вы ее приобретете, вам всегда будет
полезна, а потому старайтесь сразу писать хорошо и никогда не
переписывайте написанного. Если иной раз ошибетесь, не сму-
щайтесь, перечеркните одной или двумя чертами ошибочное
место и пишите дальше.
Для таблиц, содержащих записи длительных наблюдений, на-
пример, температуры, воздушного давления и пр., можно отвести
несколько страниц в конце тетради.
3. Нелинованную бумагу придется употреблять для чертежей.
Для этого ее надо нарезать па половины или четверти листа
Когда будете чертить, подлижите под листок бумаги несколько
других листков или тетрадь. Если бумага достаточно просвечи-
вает, можно подложить транспарант.
Листки с чертежами, исполненными только на одной стороне
бумаги, можно сохранять в особой папке (сделать самому из
топкого картона или толстой бумаги) или же вклеивать (синдети-
коном) в тетрадь. В последнем случае падо немного уменьшить
их формат, срезав ножом с двух краев полоски по 1см: это не-
обходимо, чтобы края не торчали из тетради и не обтрепыва-
лись.
На каждом чертеже должен быть заголовок пли красиво на-
писанный, или вычерченный печатными буквами по заготовлен-
ной сетке.
4. Миллиметровая бумага режется на куски по мере надоб-
ности, и изготовляемые на ней чертежи, кроме очень больших,
вклеиваются в тетрадь или сохраняются в папке.
5. Кроме ручки с пером, необходимо всегда брать в школу
по крайней мере ( дно запасное перо.
6. Карандаш употребляется только для черчения линий,
но не для писания; даже буквы на чертеже должны быть испот-
пены чернилами. Карандаш надо чинить так остро, чтобы им
можно было уколоться. Все линии чертежа делаются тонкие.
Прямые линии по линейке удобнее всего проводить в гори-
зонтальном направлении слева направо, по надо уметь проводить
и в других направлениях, так как чертеж не всегда можно по-
вертывать. Карандаш следует держать почти вертикально, с не-
большим наклоном вправо по направлению движения, но не на-
клонять его от себя, чтобы острие не касалось нижнего края
линейки. Линию ведите быстро и ровно, лишь едва заметил на-
жимал карандашом на бумагу.
5
7 — 8. Линейку и угольник не следует пачкать и употреблять
для проведения линий чернилами; необходимо беречь от повре-
ждения края и углы.
Употребление угольника будет объяснено.
' 9. Перед тем как сдвигать или раздвигать циркульную ножку,
следует ослабить винтик, но не вывинчивать много, чтобы он не
выскочил и не потерятся. При закреплении ножки винтиком не
надо употреблять усилия, чтобы не сорвать нарезку и не испор
тить инструмент. Острием ножки не должно протыкать бумагу
насквозь. При проведении окружности правой рукой следует дер-
жать верхний конец карандаша, левой — придерживать бумагу.
10. Транспортира не надо мять. Необходимо беречь от по-
вреждения отметку его центра. Употребление будет объяснено.
12. Резинкой не следует злоупотреблять, а стирать только те
вспомогательные линии, которые предназначены к уничтожению
(иногда вспомогательные линии должны быть сохранены); не надо
думать, что рлз есть резинка, можно провести всякую линию не-
сколько раз как попало и оставить не стертой тогда, когда она
окажется удачной.
Чтобы резинка не оставляла следов, надо стирать медленно
и без нажимания. Время от времени резинку надо чинить, срезая
с нее загрязнившийся верхний слой.
13 —15. Всякая готоральня содержит: а) рейсфедер и £) цир-
куль с одной укороченной ножкой, в которую можно вставить
или наконечник с карандашом, или с чертежным пером, или
с острием. Чертежное перо, вставляющееся в циркуль, а также
ию, которым оканчивается рейсфедер, состоит из двух сталь-
иях пластинок, сдвигаемых и раздвигаемых особым винтиком.
Пластинки никогда не следует сближать вплотную: необходимо,
чтобы между их концами всегда оставался хотя бы небольшой
просвет.
Линии прочерчиваются тушью обыкновенно по готовому уж°
чертежу карандашом, после чего карандаш стирают резинкой.
Нельзя чертить чернилами, потому что чернила рззъедают
чертежные инструменты и не дают одинаковой яркости по всей
линии.
Для заряжения чертежного пера тушью, его повертывают
острием вниз, пластинки слегка раздвигают и вводят между ними
тушь или узким бумажным язычком, или обыкновенным чистым
пером, которое перед тем погружают в пузырек с тушью. Тушь
не лолжна попадать на наружные стороны пластинок, а если
6
попала туда, ее сейчас же снимают тряпочкой. По окончании
заряжения пластинки сближают на требуемое расстояние.
При проведении прямой линии рейсфедером по линейке со-
блюдаются те же правила, что и при черчении карандашом.
Пропускную бумагу при работе тушью употреблять нельзя;
надо дожидаться, пока начерченные линии просохнет сами.
По окончании работы чертежное перо досуха вытирают тря-
почкой.
16. Слоновая и александрийская бумаги употребляются для
раскрашенных чертежей потому, что они меньше коробятся после
раскраски, чем обыкновенная пи&чая.
17— 19. Раствор краски делается бледным. Если желают полу-
чить более сильную окраску, то после полного высыхания пер-
в го слоя красг'и кладут второй слой и т. д.
Раскрашивание делается так. Широкую кисть обильно смачи-
вают краской, опуская ее в раствор, и переносят затем на то
место чертежа, которое надо раскрасить. Стекающ го краску гонят
по бумаге вперед, и, когда она покроет всю нужную площадь,
излишек снимают другой сырой кистью или кусочком гигроско-
пической ваты.
Все учебные пособия сохраняйте в чистом виде,
берегите, убирайте!
ГЛАВА I.
СПОСОБЫ КОЛИЧЕСТВЕННОГО УЧЕТА.
§ 3. Значение счета и учета й хозяйстве.
Для седения вгякого рода хозяйства необходимы разного рода
подсчеты и расчеты. В крестьянского сельском хозяйстве очень
сажное значение имеют расчеты, связанные с посевом, уборкой
и использованием урожая, платежом сельскохозяйственнгго на-
лога и т. д. Хотя крестьянин чаще всего обходится без всяких
записей, но если бы он вел точный учет своего хозяйства, ему
было бы легче делать все необходимые расчеты на основе соб-
ранного за несколько лет материала и избежать иногда очень не-
приятных ошибок. В более крупном хозяйстве (колхозы, совхозы)
уже нелкзя обойтись без ведения записей, и чем крупнее хозяй-
ство, тем больше разных чисел приходится подсчитывать, и тем
больше становятся самые числа. То же относится к коммуналь-
ному городскому хозяйству: с увеличением числа жителей в го-
роде растет число городских учреждений и отраслей хозяйства —
народное образование, транспорт, освещение, водопровод, кана-
лизация и т. д.; появляются десятки тысяч школьников, миллионы
ведер потребляемой ежедневно воды и десятки миллионов руб-
лей доходов и расходов по городской смете. Но, кроме хозяйства
большого города, существует еще хозяйство губернии или об-
ласти, хозяйство РСФСР, хозяйство всего Союза ССР, наконец,
мировое хозяйство, где числа еще громаднее.
Подсчетом и учетом народного хозяйства Союза заняты ты-
сячи специальных служащих. Но и всякий образованный человек,
не будучи специалистом, должен уметь разбираться в вопросах
хозяйственной жизни страны, а для этого он должен уметь об-
ращаться с большими числами и иметь хотя бы небольшое по-
нятие о приемах собирания, Записи и обработки цифрового ма-
териала, т. е. о началах статистики. Настоящая глаза имеет
к
целью ознакомить с наиболее сажными и наиболее простыми из
упомянутых приемов, а также возобновить в памяти и пополнить
известные уже учащемуся сведения о числе, преимущественно це-
лом, и о действиях над числами.
§ 4. Большие числа. Округление их.
Произведите учет населения вашей квартиры.
Для этого составьте сначала список всех живущих в квар-
тире по нижеследующему образцу, разграфив предварительно в
тетради (карандашом) столько места, сколько по вашему расчету
потребуется.
СПИСОК
ЖИВУЩИХ в квартире №. . ДОМА №.. по.......................
(Название улицы или п 'рсуль а.)
Составлен (число, месяц, год'.
№ комнаты Фамилия, имя, отчестве 1 Пол 1 1 Чем запимаетсч
1 Воронов, И. И. 1 Воронова, А. К. Воронов, П. И. Воронова, С. И. ' Воронова, М м ж м ж ж рабочий дом. хозяйка учащийся учащаяся реб. дошкол.
2 Науменко, М. П. Науменко, Е. И....... м ж инвалид торгует
3 -
Когда список будет готов, составьте на основании его учет-
ную ведомость по квартире. Эта ведомость содержит только
числа, именно: число проживающих в каждой комнате мужчин,
женщин, рабо'чих, служащих, учащихся, детей дошкольного воз-
раста и т. д. (Образец учетной ведомости помещен немного
дальше.)
Составьте по тому же образцу учетную ведомость населе-
ния всего дома, добавив слева еще две графы: одну—с но-
мером этажа, другую — с номером квартиры. Если желаете, мо-
жете, кроме тех св.дений о жильцах, которые помещены в при-
веденных выше формах, собрать еще какие-нибудь данные, на-
9
пример, о возрасте. Чтобы собрать сведения го большому дому,
вам придется обратиться за по тушением материала в домоуправ-
ление.
УЧЕТНАЯ ВЕДОМОСТЬ
НАСЕЛЕНИЯ КВАРТИРЫ №... ДОМА №... ПО......
получать готовые сведения в городском коммунальном хозяйстве
или в каком-нибудь справочнике. Но имейте в виду, что эти све-
дения будут только приблизительными: если город большой, то
в нем каждую минуту рождается несколько человек и несколько
человек умирает; ежеминутно также в "город въезжают и выез-
жают; одни — на несколько часов, другие — на недели, месяцы и
годы. Поэтому население большего города выражается округ-
ленным числом, т. е. таким, в котором последние разряды
заменены нулями.
Понятно, что •после отбрасывания последних разрядов полу-
чается число несколько меньшее, чем точное число, число, как
говорят, с недостатком. Но часто бывает лучше взять, на-
оборот, приближенное число несколько больше.?, чем точное, чи-
c. .о с избытком.
Положим, что надо округлить до сотен число 298. Если отбро-
сить десятки и единицы, получим 200 между тем как 298 есть
почти 300. и, взяв 300 вместо 298, мы гораздо ближе к н~му по-
дойдем, чем когда зозьмем 2 J). Точно так же, округляя 67 518
10
до тысяч, лучше взять 68 000, а не 67000, потому что первое
число ближе к 67518, чем второе (найдите, на сколько данное
число отличается от того или другого круглого числа). Само со-
бою ясно, чю в последнем примере большее круглое число ока-
залось ближе к данному потому, что приходилось отбрасывать
более 5 сотен, а 5 сотен — это как раз половина тысячи. Поэтому
если первая из отбрасываемых цифр есть 5 или более
пяти, то последнюю из оставляемых цифр надо увели-
чить одной единицей, или, как говорят, усилить.
Так же округляют и десятичные дроби, с той разницей, что
приписывать нулей не приходится.
Примеры: 4,1736, округленное до сотых долей, будет 4,17;
0,69182, округленное до тысячных долей, б) дет 0,6^2.
Если после Олруглзния десятичной дроби окажется на конце
нуль, то этот нуль не следует отбрлсыеать: получив, например,
округле! ием числа 2,7038 приближенное число 2,70, оставляем в
нем на конце нуль, чтобы показать, что сотых долей в числе нет.
Если же нуль отбросить и написать 2,7, то число сотых остается
неизвестным.
Округлять числа приходится очень часто: это делают и тогда,
когда последние цифры числа сомнительны, и тогда, когда же-
лают упростить вычисления, и когда хотят иметь общее представ-
ление о величине числа; если вам скажут, например, что на
1 июня 1925 г. в Москве было учащихся в трудовых школах 149 137
человек, то вы всего лучше сделаете, если вовсе не обратите
внимания на три последние цифры этого числа, а заметите только,
что учащихся было около 150000.
Вот сведения о количестве населения г. Москвы по переписи
1026 г., округленные до ».отен:
Численность населения г. Москвы в 1926 г.
Районы. Число жителей.
Краспо-Преспепский........................ 566 200
С коаьиическнй............................ 3 8 ?00
Баумаиовский.............................. 275 00b
Замоскворецкий.............................. 302 300
Гогожско-Симоиовский...................... 261 000
Хамовнический............................. 288 600
Вс-го........................... 2 ОН 800
При подсчете населения СССР по отдельным республикам,
уже цифры сотен чш ут быть н точными, и надо считать тыся-
'11
чами. Вместо того, чтобы писать у всех чисел нули вместо сотен,
десятков и единиц, можно считать тысячу за новую счетную еди-
ницу и нулей не писать, заменив их указанием, что все числа вы-
ражены в тысячах:
Численность населения СССР
па 17 декабря 1926 г.
Союзные республики.
Число жителей
(в тысячах).
1. '3СФСР....................................100184
2. Украинская ССР............................ 28887
3. Закавказская СФС°.......................... 5810
4. Белорусская ССР........................... 4 925
5. Туркменская ССР........................... 1 029
6. Узбекская ССР.............................. 5071
Всего........................ 1459с6
Следующая таблица содержит числа, выраженные в миллио-
нах:
Численность населения земного шара.
Части света.
Количество населения
(в миллионах).
Европа........................... 483
Азия..............................1 020
Африка............................ 112
Америка...........................223
Океаипя............................ 9
Всего................1 877
Из предыдущих примеров видно, что если в числе, например
5146278, много значащих (т. е. отличающихся от нуля) цифр,
то часть из них не имеет смысла, потому что при счете миллио-
нов предметов редко когда можно точно сосчитать десятки и
единицы. Точно так же, когда измеряются большие расстояния-
выражаемые, например, километрами, нельзя точно подсчитать
сантиметры, а если бы и было возможно, то обыкновенно это
ни дая чего не нужно. В числе с тремя значащими цифрами уже
цифра младшего разряда выражает единицы в сто раз меньшие,
чем цифра старшего разряда, и такой точности очень часто бы-
вает достаточно. Когда есть возможность и надобность в более
точном подсчете, употребляют 4 — 5 цифр, больше же — очень
редко. z
Упражнения. 1. Округлите следующие числа так, чтобы цифры младших
разрядив не отвлекали тггмение от старших; 1) общее число рабочих фабрично-
12
заводской промышленности в СССР на 1 япгапя 1927 г. 2 371 699; 2) длина же
дезнодорожсой сети на всем земном шаре 1228 672 км\ 3) 1 аршин = 0,711201
4) 1 сажень = 2,133600 м; 5) 1 фунт = 0, '0951241 килограмма; 6) 1 ведро =
= 12,290.69 литра.
2. Округлите следующие числа, отбрасывая по одной значащей цифре до
тех пор. пока не останется только одна цифра с нулями: 1) 209357; 2' 640258;
3) 39248 455.
3. Та же задача ддя чисел: 1) 175,86; 2) 0,19103; 3) 52,7181; 4) 882,5073.
§ 5. Столбчатые диаграммы.
Статистические материалы, заключающиеся в таблицах, по-
добных таблицам § 4, могут служить основанием для разного рода
выводов. Так, зная количества населения разных стран, можно
рассчитать, сколько им нужно продовольствия, можно сравнить
приблизительно их военную мощь и т. д. Для такого же сравне-
ния числовых данных служат диаграммы. Простейшей вид
диаграмм — столбчатые, или прямоугольные, диаграммы,
образец которых ниже следует.
При составлении диаграмм надо иметь в виду, что их главное
назначение — дать возможность быстро сравнить несколько чис-
ловых данных. Отсюда следует, что надо делать все столбики
одинаковой ширины и в форме прямоугольников, — чтобы раз-
ница была только в их высоте- Основания всех столбиков должны
быть на одной прямой линии, которая называется осью.
Чтобы диаграммой можно было воспользоваться для более
точных выводов, необходимо, чтобы столбики сопровождались
числами с указанием названия единиц, в каких они выражены.
Эти числа всего лучше проставлять около столбиков. Помещать
масштаб или делить столбики на одинаковые горизонтальные по-
лоски— излишне, так как прочесть число легче, чем считать по-
лоски или мерить по масштабу.
Приступая к черчению диаграммы, прежде всего прочтите
указания о выполнении чертежей, помещенные в § 2 (если бу-
дете чертить карандашом, то под №№ 6 —12, если тушью, то
№№ 13 —15); приготовьте необходимые инструменты и приго"
товьтесь сами выполнить работу очень тщательно, так как
небрежно исЛлиениые диаграммы производят отталкивающее
впечатление. Рассчитайте затем, какая должна быть ширина стол-
биков и ширина промежутков между ними, чтобы диаграмма по-
местилась на пригот пленном для нее месте. Столбики не надо
делать слишком узкими.
13
Диаграмма
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЭ РАЙОНАМ НАСЕЛЕНИЯ Г. МОСКВЫ В 1926 Г.
Красно- Соколь- Баума- Замоскво- Рогожг»->- Хатопни-
Пресненст ..ическиб невский. рецкий. Си юиивск. чтении.
Черт 1.
Когда расчет размещения по горизонтальному направлению
сделан, выберите масштаб для высоты столбиков. Для ьтого вам
надо будет взять самое большое число таблицы и округлить его
так, чтобы в нем остались две значащие цифры. Сосчитайте чи-
сло клеток по вертикальному направлению, которое находится в
вашем распоряжении, и установите, сколько единиц и какого раз-
14
ряда данного числа придется на одну клетку. Надо стараться по
возможности выбирать десятичный масштаб, т. е. считать сто-
рону одной клетки за одну единицу какого-нибудь разряда. В
таком масштабе постройте и остальные столбики, округлив пред-
варительно соответствующие им числа
В помещенной выше диаграмме населения Москвы верти-
кальная сторона одной клетки соответствует 20 тысячам жите-
лей. Постройте у себя в тетради такую же диаграмму, взяв
масштаб 1 клетку па 10 тысяч. При этом для учета тысяч вам
придется брать на-глаз соответствующие части клетки. Когда
диаграмма будет вычерчена, надо сделать красивую надпись
(§ 2, № 3).
Раскрашивать диаграммы можно только, если вы умеете до-
статочно хорошо красить и если вы путем опыта убедились, что
бумага, на которой исполнена диаграмма, не коробится от рас-
крашивания. Целью раскраски столбчатых диаграмм является глав-
ным образом лишь выделение столбиков из окружающего их фона.
Поэтому можно все столбики красить в один цвет. Если же вы
желаете раскрашивать в разные цвета, то заботьтесь о том, чтобы
не было пестроты и чтобы цвета были удачно подобраны.
Вместо раскрашивания акварелью можно пользоваться цвет-
ными карандашами и тушовкой при условии, чтобы работа была
так же красиво и тщательно выполнена.
Упражнения. В следуки. их задачах перепишите данные в виде удобной
для обозрения таблицы, составьте диаграммы и сдедайте из них какие можно
выводы:
4. В начале XX века па 100 человек взрослого населения приходилось гра-
мотных: Германия 98, Финляндия 98, Англия 92, Соед. Штаты 89, Нопая Зелап-
дия 85, Франция 85, Австралия 82, Австрия 64, Венгрия 52, Аргентина 50. Ита-
лия 44, Испания 36, Россия 21, Болгария 20, Сербия 17, Бразилия 15, Румы-
ния 12.
5. Рагходч на мировую во_1пу 1914—1918 гг в миллионах рублей: а) страны
согласия: Англия 97 100, Франция 51 100, Риссгя 45 200, Италия 24 600, Бель-
гия 2300, Серяыя 6100. Соед. Штаты 64 100; б) страны Союза: Германия
80 ЗСО, Австро-Венгрия 41 200, Турция 2890, Болгария 1600.
6. Число жителей в самых больших городах мира (вместе с пригородами)
в ты.ячах: Нью-Йорк 7910, Лондон 7500, Париж 4500, Берлин 3500, Чикаго
2700, Москва 2000.
7. Одно и то же хозяйство, имеющее 10 гектаров земля, может дать кило-
граммов: а) при трехполье: ржи 220j, свет 2100, картофеля 3700; б) при че-
тырехполье: ржи 3000, овса 2100, картофьля 4500, клеверного сева 9000: в) при
зосьмнполье: ржи 3000, о са 1400, картофеля 4500, турнепса (кормовая репа)
4100, клеверного сена 9000, лыь.ного волокня 160 и лня юго семени 160.
15
Диаграмма числа
изученных ДПЕЙ
В ФЕВРАЛЕ, ноябре и .м арте
(пе всякий год)
СЕВРА 7К НОЯБРЬ МАРТ
Черт. 2.
§ 6. Средние числа. Скругление частного.
Вашему товарищу 12 лет от роду, а другому товарищу 14 лет.
У ко.о из ваших других товарищей возраст средний между
12 л 14 годами, и какой это средний возраст?
Посмотрите теперь па диаграмму
(черт. 2). Вы видите, что ноябрьский
столбик по высоте средний между
февральским и мартовским. Он настоль-
ко выше февральского, насколько ниже
мартовского. Поэтому, если бы его вы-
сота была нам неизвестна, то, чтобы ее
найти, мы взяли бы разность в высоте
крайних столбиков (8 — 4 = 4), разде-
лили бы се пополам (4:2 = 2) и эту по-
ловину прибавили бы к высоте мень-
шего столбика (4-{-2 = 6), или вычли
бы из высоты большего (8 — 2 = 6).
Точно так же, чтобы найти среднее между числами 20
и Z0, мы берем их разность 10 и половину ее прибавляем
к меньшему из чисел; будет 25.
Найдите среднее между 40 и 46, 60 и 80, 124 и 140, 262 и 270.
Среднее между двумя числами можно найти и другим спосо-
бом: сложить данные числа и сумму разделить пополам, т. е. взять
полусумму данных чисел.
Переделайте этим способом сделанные вами примеры и убе-
дитесь, что результат получается тот же. Вам, может быть, по-
кажется, что вторым способом делать труднее Но это зависит
от того, какие числа даны: найдите тем и другим способом сред-
ние из чисел 53 и 15, 167 и 711, и вы убедитесь, что первый спо-
соб проще, когда разность между обоими числами мала или легко
находится, второй, когда легче отыскивается сумма.
Можно найти среднее и между тремя данными числами, но
уже только вторым способом, — сложить все три числа и сумму
разделить на 3. Так, среднее из чисел 5, 7 и 18 будет
5 + 7 + 18
Точно так же, среднее из четырех чисел равно их сумме, де-
ленной на 4. Вообще, среднее из скольких угодно чисел равно
их сумме, деленной на число этих чисел.
16

Пример. Среднее из чисел i, 11, 7, 1, 8, 0 равно
4+11 + 7+1 + 84-0 - 1
--------6-------— ° 6 •
Найдите среднее из чисел 12, 16 и 5; 14, 30, 6, 21 и 4; 13,
42, 13 и 8; 2, 0, 4, 18, 15 и 10.
Когда данные числа не очень много разнятся одно от другого,
можно упростить вычисление среднего. Пусть, например, даны
числа 123, 121, 121, 122, 126, 128. Заметив, что все они имеют
общую часть 120. а сверх нее излишки 3, 1, 4, 2, 6, 8, находим
среднее из этих излишков:
3 + 1+4+ 2 + 6 +8 _ .
6 ’
Среднее из данных чисел.будет 120 4-4 = 124.
Найдите таким же образом среднее из чисел: 83, 87, 85, 82,
81; 216, 210, 217, 214; 547, 511, 540, 546, 519, 550, 546.
Так как среднее число получается делением, то оно очень ча-
сто оказывается дробным. В таких случаях можно: 1) или полу-
чить частное в виде смешанного числа с простой дробью. 2) или
отбросить дробь, оставив лишь целую часть частного, 3) или, по-
лучив целое число, продолжать деление по правилу деления де-
сятичных дробей с тем, чтобы прервать его, когда будет полу-
чено достаточное число десятичных знаков. Если, например, де-
лить 85 на 7, то частное можно представить в виде 12 у,или 12,
или 12,1, или 12,14 и т. д. При отбрасывании цифры частного
можно руководиться правилом, указанным в § 4, но для этого
надо сначала вычислить первую из отбрасываемых цифр. Лучше
же, не вычисляя лишних цифр, сравнить последний остаток
с делителем: если он меньше половины делителя, то оста-
вить без изменения последнюю цифру частного, если боль-
ше,—усилить ее одной единицей. Нетрудно убедиться, что в
первом случае первая из отбрасываемых цифр будет меньше 5,
во втором — от 5 до 9. Если надо усилить последнюю цифру
частного, то она перечеркивается одной чертой, и новая цифра
пишется под зачеркнутой. »
Проверьте вышесказанное на следующих примерах нахожде-
ния поиближенпого частного:
460 13
с5
~5
160 18
5. 45,8
IT 4
. МУ-.ММ
МР. в рр. Ре(к тая кцщта
ВИЕЛИОГййд
№. Н.д.
по математике,
460 113
11б]35,ЗЬ
6
5-tt гоя.
Упражнения. 8. Найдите целые средние из чисел: 1) 29, 38, 56, 47; 2) 73,
61, 94, 82, 75, 41, 39, 3) 116, 125, 118.
9. Найдите до десятых долей средние из чисел: 1) 29, 31, 25; 2) 93, 107, 83.
112, 96, 81.
10. Найдите средние между числами: 1) 172 и 178; 2) 8141 и 8147; 3) 2618
и 2С40; 4) 7027 и 7041.
11. Найдите до десятых долей средние из чисел: 1) 13, 18 и 25; 2) 46, 31,
15 и 26; 3) 17, 100, 34, 89; 5) 56, 185, 3, 218, 71; 5) 89, 161, 14, 62, 128, 300.
12. Найдите средние до целых единиц из чисел- 27 011, 27 С05, 27 002, 27009
и 27 001; 2) 1613, 1618, 1610, 1665, 1600, 1611; 3) 8)25, 8012, 8410, 8J90.
13. Найд 1те средние до единиц из чисел: 1) 3413, 3408, 3197, 3410, 3401,
?3”9; 2) 802, 807, 816, 796, 795, 820, 798, 802; 3) 7026, 7140, 6990, 7200, 6980;
4) 15216, 15 198, 15 2и5, 15 193, 15192, 15190.
§'7. Употребление средних чисел.
Рассмотрите следующую таблицу
Сведения
о числе групп и числе учлщихся в трудовых школах г. Москвы
на 1 октявря 1925 г.
Группы Число групп Число учашплся
1-я 681 25987
2-я 802 29 975
Зя 888 32345
4-я ' 810 28977
5-я 563 21 471
6-я 398 14 304
7-я 284 9 872
8-я ... 152 5398
9-я 128 4 331
Всего. . . 4 706 172 660
Какие группы были более многолюдны? Чтобы ответить на
этот вопрос, надо узнать среднее число учащихся по группам.
Вычислите эти средние для каждой группы. Для 1-й группы вы
получите 38. Это будет значить, что в московских штолах в од-
них несколько более 38 учащихся в 1-й группе, в други к—менее,
но если бы всех учащихся первых групп распределить по всем
школам поревну, то на каждую группу пришлось бы по 38 уча-
щихся.
18
А вот сведения о среднем годовом потреблении хлебных про-
дуктов на душу населения в 1925/26 г.:
РСФСР..............................245 кг
Украинская ССР.....................232 кг
Бел русская ССР................20J кг
Эти сведения дают приблизительное представление о размере
потребления хлебных продуктов каждым 1ражданином перечислен-
ных республик, а, будучи умножены на количество населения, те
же числа дадут и все потребление по каждой республике.
Вы можете, собрав необходимые данные, сами вычислить ряд
интересных средних чисел по вашей школе. Какое, например,
среднее число учащихся в группе? Больше ли оно или меньше
среднего числа по Москве? Какое в вашей группе среднее число
отсутствующих за неделю, за месяц? Какова средняя выручка в
день вашего кооператива и т. д.
С какою точностью надо вычислять средние величины?
Когда вы будете находить среднее число учащихся, то у вас,
вероятно, не возникнет никакого сомнения в том, что надо вы-
числять лишь целые единицы. Тем не менее средние числа оду-
шевленных предметов часто выражаются в дробных долях. Одна
из целей, для которой это делается, состоит в том, чтобы по
средней величине можно было достаточно точно вычислить сумму
всех чисел, из которых средняя выведена. Так, если вы примете,
как выше было сделано, что в первых группах г. Москвы в сред-
нем по 38 учашихся, то, умножив 38 на все число групп, вы по-
лучите 25 878 че ювек. т. е. число, более чем на сотню разнящееся
от точного числа учащихся во всех 1-х группах. Точный резуль-
тат во взятом примере получится, если взять среднее с точностью
до сотых долей (проверьте это!).
Вторая цель выражения среднего 'Числа в дробных долях —
дать более точное его значение, когда очо мало. Положим, на-
пример, что вы вычисляете среднее число отсутствовавших за
последнюю неделю по каждой группе, и по двум группам числа
отсутствовавших по дням недели оказываются следующими:
Группы | Понед. Вторник Среда Четверг Пятница Суббота| Всего
5 А 0 1 1 0 2 ° 4
5 Б I *3 1 1 2 0 1 S
19
Если бы будете выражать средние числа в целых единицах,
вы для обеих групп получите одно и то же число 1, между тем1
как разница в посещаемости занятии в той и другой
- ю группе сразу бросается в глаза. Когда же вы вычислите
—9 десятые доли того и другого среднего (сделайте это!),
-,8 получится картина, более соответствующая дейстгителъ-
-|7 ности, хотя и с десятыми долями ученика.
- |6 Бы встретите в дальнейших упражнениях вычисления
— I5 средней температуры из нескольких показаний термо-
метра. Ясно, что средняя температура летнего дня, когда
- 3 термометр показывал утром 16°, днем 26° и вечером
— 2 18°, равна (16-|-26 4*18): 3 = 60:3 = 20°. Но как вы-
* —1 числить'среднюю температуру, например, осеннего дня,
-° при таких данных: —2°, 4-10°, 4*4°? Вы знаете, что
| -1 показания термометра записываются со знаком ,+",
-~'г если температура более 0°, и со знаком „—если тсм-
- 3 пература менее 0°. Начертите шкалу термометра, как это
-4 изображено на чертеже 3.
— Отметьте па шкале точки: 4-5 и — 1. Найдите на
-6 шкале точку, делящую расстояние между отмеченными
—7 точками пополам. Какое число отмечено у этой точки?
Это число можно вычислить так:
"9 5— 1 _ 4 _ р
-10 2 2 —
„ „ Отметьте на шкале точки: —5 и 4-1. Найдите на
Черт 3. 1
шкале точку, делящею расстояние между отмеченными
точками пополам. Какое число отмечено у этой точки? Это число
можно вычислить так:
-5 + 1_-4'_ с
2 ~ 2 ~ х-
Вообще при сложении чисел со знаками 4~ и — поступают так:
складывают единицы со знаком 4"» отдельно со знаком —; сли-
чают эти две отдельные суммы, находят разность между большим
числом единиц и меньшим и удерживают при разности знак тех
единиц, которых больше.
Примеры.
(+ 8)4-(-6) = 4- (8 -6)=4-2;
(_10)4-(4-7) = _(10-7) = -3;
(~ 9) + (+5)+ (—2) + (+4) = (—11) + (+9)=—(11 —9) = —2;
17) 4-(_6)+ (4-9) 4-(-1)4-(4-3) = (-24) 4-(+12) =
= — (24—12) = — 12.
20
При вычислении среднего числа найденную сумму делят на
число слагаемых и в частном удерживают зн.к суммы. Поэтому:
(4-7) + (-5) + (-11) -С) — (15 —7) —9_
3 3 3 3 — •
(~S) + (+?, - _(~Ю) +(+4)-(10-4) _-6__ . .
4 4 ~ 4 — 1‘0’
Найдите средние числа в следующих примерах:
1) -4-12 и —8; 2) —11 и — 7; 3) — 2 и + 1S; 4)+7, —15 и 4~2;
5) —10, —9 и — 2; 6) —6, 4-19 и 4-5; 7)_—1, 4-4, —7, —51
8) 4-9, —3, —4, —1, 4-6; 9) —6, +3, —7, -f-2, -f-1;
10)4-10, —8, 4-1, —7, 4-2, —4, —1.
Упражнения. В следующих задачах перепишите в тетрадь данные, располо-
жив их так, чтобы строки сделались столбцами, нсдведлте ьт-ги ц вычислите
требуемые средние.
14. Число учащихся 32-й школг. К,аспо-Преспепского pahona Москвы па
1 января 1628 г. по группам:
Найдите: 1) по всей школе а) среднее число учащихся в группе, б) среднее
чисто мальчиков, с) среднее число девочек; 2) то же, по 1-й CTjiicu-i; 3) то же;
cq 2-й ступени.
Сделайте ту же работу по вашей школе.
15. Урожай всех зерновых хлебов в России с 1600 по 1915 г. по годам в мил-
лионах тонн: 57, 51, 67, 64, 72, 70, 56, 61, 64, 75, 72, 61, 84, 90, 74, 75. Найдите
среднее за гот.
16. Выгод зерпа за границу в те же годы, в миллионах тепп: 7, 8, 9, 11, 11,
11, 10, 8, 7, 13, 14, 13, 9, 10, 6, 1. Найдите среднее за год с точностью до 0,1
миллг она типи. '
17. На метеорологических обсерваториях ежедневно по поскольку раз наблю-
дают ТкМсературу воздуха и выводят для кеждого дня среднюю. Найдите средние
дневные температуры но следующим измерениям (градусов,: 1) ты.не пу;яЗ, 7, 4;
2) выше ir ля, 12,4 17,*, 10,3; 3) ниже нуля 18,5, 13.2, 14,8; 4)—3,6, -4- 2,7, + 0,4;
5) _ 5,8, — 3,2, — 1,0, + 0,7, + 0 3 — 2,1.
18. Из средних суточных темнепатур выводт ст средние за 10 дней (10 дпей
называются декада) и средние месячиье. Выведите средние по дека ам из
следующих данных (градусов): 1) выше пуля 15,2, 18,5, 12,6, 14,3, 11,7, 10,8, 11,0,
14,2, 16,5, 17,6, 2) + 5,3, + 2,8, —3,7 — 1,9, + 2,6, + 4,4, +5,8, +3,1, —4,1,
— 5,2.
21
19. Делаете ежгдпепно по 1 разу в отип и тот же час па'люпепия над тем-
nepcTj рой воз iyxa, заппсыва ‘те их в таблицу в тетради, а по окончании месяца
вычел те средние по декадам и за месяц.
20. Электрический счетчик показы >ает количество (в гектоуатт-чзсах или ки-
ло атт-часах) этергии, израсходованной с того времени, когда ои был поставлен
на' нуль. 1-го октября счетчик показывал 3 415 гектоуатт-часов, 15 октября 3 £81.
Вычислите среднее еж дневное потребление эчектрпческой энергии.
Сделайте ту же работу по вашей квартире и по школе, если они освещаются
олектг ичсСтвом.
§ 8. Графики.
Пусть какая-нибудь величина меняется с течением времени.
Положим, что мы производим наблюдения над температурой воз-
духа в течение дня через каждый час и что результаты оказались
следующие:
Часы дня 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 2Э
Температупа (выше 0°) . . . 6 6>/г 7 8 8’А 9*/« 11 ig*/s e*/s 9 9 8 8’/»
Общее представление О температуре этого дня дает нам сред-
няя температура (вычислите eel). А для того чтобы иметь поня-
тие о ходе изменения температуры с утра до вечера, можно или
рассматривать числа вышеприведенной таблицы, или составить
столбчатую диаграмму температуры каждого часа. Но еще удоб-
нее для этой цели график изменения температуры.
График чертится или на клетчатой бумаге тетради или на осо-
бой миллиметровой б,маге, т. е. бумаге, разграфленной на
клетки со стороною в 1 мм. А для того, чтоЗы не приходилось
отсчитывать клсгки по вертикальному направлению для каждой
отдельной точки i рафика, с левой стороны проводят вертикаль-
ную прямую — вертикальную ось, делят ее на равные части и у
точек деления надписывают числа тех единиц, которые графиком
изображаются (черт. 4).
Чтобы узнать, скольким градусам соответствует любая точка
графика, достаточно проследить, к какому числу градусов под-
ходит проходящая через эту точку горизонтальная линия. Так,
для 11 часов находим точку графика над 11 часами, от нее дви-
гаемся по горизонтальной линии влево и подходим к 8°.
При помощи графика мс кно узнать приблизительно темпера-
22
туру и в те часы, когда она не измерялась. Чтобы узнать, на-
пример, температуру в 1О’/2 часов, отыскиваем на горизонталь-
ной прямой точку, соответствующую 10% часам, — ла середине
между 10 и 11 часами, поднимаемся от нее по вертикальной ли-
нии вверх и, как только дойдем до графика, повертываем влево
на горизонтальную прямую, которая приводит нас к 7’/2° (этой
прямой на чертеже нет, но ее не трудно себе представить)
При черчении графиком необходимо соблюдать следующие
правила.
График температуры воздуха
(число, месяц и год).
Масштаб как горизонтальный, так и вертикальный, надо вы-
бирать так, чтобы линия графика не была слишком изломана кру-
тыми подъемами и такими же спусками, но, чтобы она не была и
слишком ровной. Соблюдение масштаба обязательно на всем про-
тяжении как горизонтальной, так и вертикальной оси: если, на-
пример, вы составляете график роста человека в зависимости от
возраста, то, хотя бы в таблице были пропущены некоторые воз-
расты, вы должны разделить горизонтальную ось на равные про-
межутки и у точек деления расставить числа лет, отличающиеся
одно от другого также на равные промежутки.
2. Около каждой из двух осей написать название той вели-
чины, которая по этой оси откладывается, а также название еди-
ниц. в которых она измеряется.
3. Линии проводить только по линейке, хотя бы точки, кото-
рые надо соединять, были близко одна от другой, а также испол-
23
пять в точности и все другие указания § 2 относительно выпол-
нения чертежей.
Иной раз помещение на одном чертеже двух или нескольких
разных графиков дает возможность делать интересные сопостав-
ления явлений, характеризуемых графиками, как видно из следу-
ющего примера (черт. 5):
Соотношение цен промышленных и сельскохозяйственных товаров
(„ножницы”).
Какие заключения можно сделать из рассмотрения этих гра-
фиков?
Левая часть чертежа, имеющая подобие ножниц, показывает,
что цены на продукты сельского хозяйства, которые после неу-
рожая 1921 года были выше цен на промышленные товары, после
удовлетворительного урожая 1922 г. стали падать, а цены на про-
мышленные изделия вследствие неналаженности фабричного про-
изводства стали расти. Результатом было тяжелое положение за-
нято! о сельским хозяйством крестьянства, которому приходилось
по дешевой цене продавать продукцию своего труда и по доро-
гой цене покупать необходимые для него орудия, домашнюю ут
варь и одежду. Вескою 1925 года „ножницы" закрылись, но в
конце лета опять стали раскрываться.
24 ,
В случае нанесения нескольких графиков на один чертеж, на
горизонтальной оси для вгех графиков должна откладываться
одна и та же величина. По вертикальной оси можно откладывать
не только одинаковые величины, как в предыдущем примере, но
и разные, как видно на следующем примере (черт. 6):
Температура воздуха и число пожаров в Mockle в декабре 1924 г
Число пожаров отложено по вертикальной оси вниз, потому
что при таком расположении графика особенно ясна связь между
числом пожаров и низкой температурой воздуха.
Упра-.к енпя. 21. По данным задач 15 и 16 составьте на одном чертеже гра-
фики урожат и вывоз? зевновых хлебов.
22. По вашим набцодениям составьте графики: 1) те чпературы воздуха за
месяц; 2) расхода электрической энергии по вашей квартире н в школг (задачи
19 и 20). Последний график разбейте вертикаль iw.mh линиями по неделим и
исследуйте, как изм.-ндется потребление электрической энергии но дням
недели.
23. Наблюдайте температуру вашей комнаты 3 раза в день: утром, среди
дин и вечером, записывайте в таблицу, выпедите дневные средние, постройте
график и на этом же чертеже поместите график наружной температуры. Сде-
лайте эту работу в один из зимних месяцев и в один из летних. Выведите за-
ключение. t
24. Постройте график температуры вашего тела по измерениям одип раз в
день. Дели забодесте вы или кто-нибудь из сашгго семейства, измеряйте темпе-
‘ 25
I
ратуру 3 ртза в день и составляйте график разбивая его по дням верт жальными
линиями.
25. Выплавка чу.уиа у нас выражается следующими числами в тькычах
тони: 1882 г. 500, 88 г. 7t0, S2 г. 1200. S7 г. 2300, 1903 г. 2700, 1908 г. 2800,
12 г. 4200, 13 г. 4600, 11 г. 4400, 15 г. 3800, 16 г. 3900, 17 г. з100, 18 г. 600,
19 г. 100, 21 г. 200, 22 г. 300, 23 г. 8и0. Составить график. Обратить внимание
па 1913— 1923 гг.
26. По числам сентября 1925 г. городской водопровод подал в Москву воды
гысяч веде . 12 478. 12 734, Г2 918, 13193, 13307, 11653, 12 683, 12 666, 12,916»
13 260, 13 428, 13 268, 11 193, 12 662, 13134, 12 825, 13 332, 13 434, 13 450, 11468»
12 737, 13293, 13284, 13 8^8, 14 191, 13 882, 11 023, 13483, 12 965, 13028.
Постро те график, разделите вертикальными линиями по неде^м я обратите
внимание на особенности графика в некоторые определенные дни недели (1 сен-
тября 1925 г. был вторник).
27. Температура поды в котле центрального водяного отопления должна под-
держиваться в зависимости от наружной температуры согласно следующей таблице
(rj адусы Цельсия):
Наружная темпе- рату4,а + 10 + 5 0 — 5 — 10 — 15 — 20 — 25 — 33
Температура в ко.ле .... 45 50 55 69 65 70 75 80 85
Постройте графики для обеих температур.
Нельзя ли вы^аз..ть зависимость тижду обеими температурами простым за-
коном?
I
ГЛАВА П.
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ.
§ 9. Цель и содержанке главы.
Ведение расчетов с большими числами требует: 1) отчетли-
вого представления о числе, умения изобразить его цифрами и
судить об его величине по цифровому изображению, 2) знания
свойств арифметических действий и 3) умения производить эти
действия над теми видами чисел, какие чаще всего встречаются
в жизни, т. е. над целыми числами и десятичными дробями.
Поэтом/ настоящая глава содер.кит: 1) нумерацию целых чисел
и десятичных дробей; здесь же дается общий об.ор метрической
системы мер, тесно связанной с нашим счислением; несколько
более подробно рассматривается вопрос об измерении длины и
указываются способы решения некоторых вопросов о расстояниях
без измерения последних; 2) свойства суммы, разности, произве-
дения и частного, на которых основаны как общие правила дей-
ствий над числами, так и упрощенные приемы; 3) способы обра-
щения главным образом с приближенными числами, так как пра-
вила действий над точными числами уже известны.
§ 10. Десятичная нумерация.
Система счисления, или нумерация, — это совокуп-
ность условий, при помощи которых небольшим числом слов и
цифр можно выразить всякое чисто.
Первое условие нашей системы счисления состоит в том,
что каждые 10 единиц какого-либо разряда составляют
одну единицу следующего разряда; поэтому она называется
десятичной.
Для облегчения наименования новых разрядов, каждые три
разряда соединяют в классы, которые носят названия по низ-
шим разрядам: первый класс — единиц, второй — тысяч, тре-
27
тий — миллионов, четвертый — биллиопов, или миллиар-
дов, пятый — триллионов и т. д. (впрочем, названия классов
выше триллионов почти не употребляются).
Для письменного изображения чисел мы пользуемся вторым,
оуень простым и чрезвычайно удобным условием: каждый раз-
ряд пишется на определенном месте. Таким образом, на-
чертание цифры показывает, сколько единиц она изобра-
жает, а место, занимаемое цифрой, — какие единицы ею изо-
бражаются.
Длл удобств! чтения следует при писании больших чисел от-
делять клоссы один от другого несколько большими промежут-
ками, папример 5120376. В таблицах иногда классы разделяются
точками (но не запятыми).
Условия, принятые для целых чисел, распространяются
ч на десятичные дроби: они также делятся па разряды, при-
чем единица каждого разряда в 10 раз больше единицы сосед-
него разряда, и также значение цифры зависит от занимаемого
ею мсста.
Так как в десятичных дробях места цифр отсчитываются от
запятой, то с перенесением запятой на одно место, место
каждой цифры изменяется, а потому меняется и ее зна-
чение. Так, в числах 6,821 и 68,21, отличающихся местом запя-
той, цифры имеют не одинаковое значение: каждая цифра во
втором числе имеет з 1ачепие в 10 раз больше, чем в первом, а
потому все второе число в 10 раз больше первого. Отсюда вы-
текают известные правила умножения и деления десятичных дро-
бей на 10, 100, 1033 и т. д.
Чтобы оцепить достоинства десятичной системы, пе мешает
сравнить ее с доевнз-римской системой счисления, остатки кото-
рой в счекь ограниченном употреблении сохранились до сего
времени.
В качестве знаков (цифр) римская система пользуете^ семью
буквами, имеющими следующие значения:
1=1 Х = 10 С = 100 М = 1С00
V=5 L = 50 D = 500
Числа составляются повторением этих знаков, причем, если
меньший по значению знак стоит справа от большего, напри-
мер XI, это означает сложение соответствующих чисел, если
слева, например IV, — вычитание.
23
Вот пример числа, изображенного по римской системе:
MCMXXVIII= 1928
Про ’тите следующие числа: MDCCCXLIX, MCCLXXXIII, XCVI1.
Изобразите римскими цифрами числа 378 и 416 и попробуйте
их перемножить.
Упражнения. 28. Муха откладывает н среднем 120 яичек. В течение 20 дней
из яичек выходят личинки, превращаются в мух, и самки опять кладут яички.
Считая, что гамцоз и самок в среднем бывает поровну, вычислите, сколько мух
могло бы 'произойти от одной мухи в течение 41,s летних месяцев, если бы боль-
шинство из них не погибало в состояли.! яичек и личинок. •
29. Расстояние от Земли до Солнца 150 миллионов километров, йо сколько
приблизительно времени доходит свет от Солнца до Земли, если скорость света
300 000 км в сек.?
30. Через сколько приблизительно времени был бы па Земле слышеп про-
исшедший па Солнце взрыв (такие езрывы там происходит постоянна), если бы
звук распростр анялся в безвоздушном пространстве, отделяющем Солнце от Земли ,
так же. как в воздухе, т. е. проходил бы 340 м в секунду?
31. На каком месте пишутся: 1) сотни тысяч, 2) десятки миллиардов, 3) мил-
лионы, 5) сотни миллионов?
32. На каком месте пишутся: I) тысячные доли, 2) миллионные, 3) десяти-
тысячные, 4) стомиллионные?
£3. Во сколько раз больше; 1) 10 миллионов, чем 109 тысяч, 2) миллиард,
чем 10 тысяч, 3) сто тысяч, чем десяток, 4) 100 миллионов, чем тысяча?
34. Вс сколько раз больше: 1) одна десятая, чем однт стотысячная, 2) одна
сотая, чем одна десятитысячная, 3) одна десятая, чем одна стомиллионная?
35. Во сколько раз больше: 1) сотня, чем одна сотая, 2) 10 тысяч, чем одна
десятая, 3) десяток, чем одна стотысячная, 4) миллион, ч<_м одна десятитысячная?
36. Какие разряды отсутствуют в числах: 52 070 ; 2040 930: 50 600 208;
’90 011030; 4 002701058?
37. Какие дробные разряды отсутствуют в числах: 5,007; 2,0308 - 0,04009;
0,301006; 5,082004 7,0350001?
28. Напишите цифрами:
восемь миллиардов шестьсот три тысячи двадцать семь;
один миллиард сорок пять миллионов четыре тысячи три;
двенадцать миллиардов семьдесят два миллиона восемьдесят тыс“ч
пять миллиардов два миллиона;
девять миллиардов восемьсот шесть тысяч девять;
девять миллиардов восемнадцать миллионов пятнадцать тысяч:
ЗЭ. Напишите без знаменателей следующие дроби:
7 . 54 . 2 . .87 . 1S6. ,. 45 . _ 230 . 36 . 1472 . п 4065
10* 100* 100’ 100’ 1C0J* , 1000 8010000' 1000000* 100000 10 1000000’
40. Сасположите по порядку величии, начиная с меньшего, следующие числа:
0,215; 0,6; 0,34; 0,931;,0,98; 0,08642; 0,39416; 1,02; 0,394.
41. Расположите но порядку величия, начиная с большего, следующие числа
4,246 ; 0,0796; 0,8; 0,245; 31,7; 2,69; П,08’: 6,07358’ 2,4951.
29
42. Выполните действия:
60,25: ЮОп 65:1000 0 62: 1000
0,014-100 412-1С0 1,0331-1000
0,01-1000 0,0001-1000 25.04:10
23: ’.0000 3,2 9:100 0,7- 1С0
65ч2:100 8924:i0O0 1,1:1000
4,8-100 692,3: 100 51247:100
2, 9:1000 8йО,22-10 32,98:10000
3,71-10000 0,013-1000 0,0072-100
43. Выразите в тысячах следующие числа: 1218 000; 352 600; 800; 2 914100;
35817 500.
44. Выразите в рублях следующие суммы: 184 р^б. 20 коп.; 56 руб. 25 коп.;
1592 руб. 37 коп.; 85612 руб. 11 коп.; 708 руб. 2 коп.
§11. Метрическая система мер.
В метрической системе мер существует небольшое число ос-
новных названий единиц, именно:
мера длины мера площади мера емкости меоа веса метр ар литр грамм И («) (л) (г)
Названия остальных единиц получаются из основных присое-
дпнением приставок:
дека (десять) деци (десятзя часть)
гекто (сто) санти (сотая часть)
кило (тысяча) милли (тысячная часть)
Из составных единиц более употребительны следующие:
Из мер длины —километр, сантиметр, миллиметр.
Меры площадей — квадратные, получаемые из линейны:.
а, кроме того, — гектар.
Меры объема —кубические, получаемые из линейных.
Меры емкости — гектол итр = 100 литрам.
Меры веса — килограмм (кило), тонна = 1000 кг и
центнер или квинта л = 100 кг.
Метрическая система мер появилась во Франции после Вели-
кой Революции в начале XIX века. У нас метрические меры пред-
ложены к обязательному употреблению после Октябрьской рево-
люции, в 1918 году.
Метрическая система мер имеет следующие преимущества пе-
ред другими, в том числе и перед старыми русскими мерами:
30
1. Метрическая система — международная: она принята
большею частью народов мира, и существование общей системы
мер чрезвычайно облегчает сношения между этими народами в
области науки, промышленности и торговли.
2. Метрическая система связана с нашей системой
счисления, благодаря чему значительно упрощаются вычисле-
ния с числами, выраженными в метрических мерах.
Связь метрической системы мер с десятичной системой счи-
сления выражается в том, что каждая из составных единиц мер
метрической системы в 10, 100, 1000 раз больше или меньше
основной единицы, т. е. во столько же раз, во сколько единицы
разных разрядов чисел больше или меньше простой единицы.
Этим упрощается перевод одних единиц мер в другие: юраздо
легче, например, перевести 127 км в метры, чем 127 верст в са-
жени или аршины.
Для пергвода метрических мер из одних единиц в дру-
гие, достаточно перенести запятую; в какую сторону и на
сколько мест — зависит от того, больше или меньше будет но-
вых единиц, чем прежних, и во сколько раз.
Пример. Перевести 5,4 дециметра в миллиметры. Так как но-
вые единицы мельче дециметров в 10Э раз, то их будет больше
в 100 раз, а потому запятую надо перенести вправо на 2 места:
5,4 сЬи==540лш.
Заметим, что составные именованные числа, т. е. со-
держащие меры разных наименований, в метрической си-
стеме почти не употребляются: вместо 2 м 1 дм 6 см бе -
рут 2,76 м или 276 см.
Упражнения. 45. Выразите в метрах: 24,3 км'; 72 см; 5,18 км; 4,1 см.
16,3 дм; 0,265 гм; 5312 см; 0,2 км; 2Ь6мм; 5 см; 2013 мм; 0,3 дкм.
46. Выразите в сантиметрах: 32 м; 0,25 м; 478лг.и; 2,012 м; 65 дм; 0,2 л
32,6 мм; 0,084 дм.
47. Выразите в километрах. 875 м; 63,1 м; 52,5 дкм; 12 м; 81,03 м; 3,12 гм. •
48. Выразите в килограммах' 4x14 г; 308 г, 28,6 г; 251,4 дг; 93,5 окг; 6^.26 мг
49. Выразите в граммах: 7,3 кг; 12дкг; 8,07 кг; 92 дг; 580 мг; 0,27 кг.
50. Выразите в квинталах: 4500 кг; 860,3 «г; 215 000 кг; 4,7 кг.
51. Переведите из одних мер в другие:
266 мм — в сантиметры;
0,0078 км — в миллиметры;
43 360 м — в километры;
0,01 дм—в сантиметры;
1,03 дкм — в сантиметры;
29,3 кг — в граммы;
12,8 дг — в граммы;
0,6413 м — в миллиметры;
0,033 г — в миллиграммы;
5075 см — в .миллиметры;
209 г — в килограммы ;
1,531 км — в декаметры.
31
§ 12. Прямая линия и отрезок.
Оставлял до весны измерение больших расстояний, расстоя-
ний на земле, займемся теперь вопросом об измерении малых
расстояний, главным образом, расстояний на чертеже.
- Отметьте на бумаге точку и проведите (с помощью линейки)
через эту точку прямую линию. Можно ли провести через tv же
точку другую прямую линию ? Ско тько различных прямых линий
можно провести через одну точку?
Через одну точку ложно провести бесчисленное мно-
жество прямых Л'лний.
Отметьте две точки и проведите через них прямую линию.
Можно ли провести через те же две точки другую прямую ли-
нию ?
Через две точки можно провести единственную пря-
мую линию.
Можно ли провести прямую линию через три произвольно
взятые точки ? Отметьте три произвольные точки и соедините по
линейке первую со второю, а вторую с третьей. Получатся ло-
маная линия.
Очевидно, что кратчайшее расстояние между двумя
точками определяется по прямой линии, проходящей че-
рез них.
Пряммю линию можно мысленно продолжить в обе стороны
безгранично. Прямую линию следует представлять себе не имею-
щею никакой толщины. На всяком чертеже прямая линия изо-
бражается в виде более или менее тонкой полоски, даже слоя
мела или графита, или туши, или чернильной краски. Таким об-
разом чертеж дает только изображение того, что мы понимаем
под словами „прямая линия".
Ограниченная часть прямой линии называется отрез-
ком. Концы отрезка пт чертеже отмечаются очень маленькими
поперечными линиями и обозначаются буквами — большими бук-
вами латинского алфавита. На чертеже 7 изображены отрезки
АВ и MN.
А I-------------------------.В
М -----------------1N
Черт. 7.
На чертеже 8 изображена неограниченная прямая (буквы
в этом случае ставят так, чтобы они не мешали продолжению
линии).
32
D
Черт. 8.
Для измерения отрезка, его переносят помощью циркуля на
разделенную линейку. При этом в очень редких случаях окажется,
что оба конца ножек циркуля совпадают с теми или другими де-
лениями линейки. Гораздо же
чаше одна из ножек придется £
между двумя делениями, как по-
юзано на чер/еже 9. Тогда длина
отрезка выражается приближенно; во взятом примере она
заключается между 57 и 58.ил/; первое число выражает длину
отрезка с недостатком, второе — с избытком. Обыкновенно
из двух приближенных чисел выбирают то, которое ближе к
истинному (в данном случае 58 мм).
Таким образом, в результате измерения получается при-
ближенное число.
Результат измерения может отличаться от точной длины
больше или меньше, смотря по тому, с какой точностью
произведено измере-
ние. Во взятом приме-
ре длина отрезка вы-
ражена целыми милли-
метрами и измерена с
точностью до пол-
миллиметра, так
как 58 аш могут отли-
чаться от точной длины
не более чем на ’/»мм.
Черт. 9.
Измерение большего расстояния, например, ширины стола,
уже трудно произвести с такою же точностью, а придется удо-
влетвориться хотя бы целыми сантиметрами, т. е. точностью
ДО ’ZjCjh.
Когда дано число, измеряющее длину отрезка, то можно по-
строить самый отрезок (задача, обратная предыдущей), отложив
его при помощи циркуля на. заранее проведенной неограничен-
ной прямой.
Берг в <р РаСочал книга по штзматике Б-й гоя
24
Постройте отоезки длиною в 7,4 см, 4,8 см, 5,2 см.
Над числами, выражающими длину отрезков, можно произво
дить разные действия. Но можно делать те же действия и
над самими отрезками, не выражая их длину числом.
А|-----------------—}В
СН-------------------------ID
Е К L
----->----------------1-------___--------------; --
Черт. 10.
Чтобы сложить отрезки АВ и CD (черт. 10), берем на неогра
ниченной прямой произвольную точку Е, откладываем от нее
сначала ЕК=АВ, потом KL — CD. Тогда AB-\-CD = EL.
Е1 F На чеРтеже 11
изображено вычи-
тание отрезков.
Запись действия:
G|----------------------IH
MN— EF
------1---1---------------------------1----- ЕЕ— GH—MO.
Черт. 11.
Упражнения. 52. Измерьте с точностью до */s я н все отрезки на чертежах
этого параграфа.
53. Измерьте ь целых сантиметрах длину и ширину стола, окна, двери.
54. Измерьте по три раза длину и ширину класса, выведите среднее и ука-
жите, на сколько результат может отличаться от истинного.
55. Построй!, отрезки длиною в 4,2 см; 8,6 см; 3,7 см; 6,9 гм; 2,8 см, 5,1 см;
7,4 см.
56. Возьмите два произвольных отрезка и сложите, не измеряя.
57. Так же сложите три отрезка.
58. Сделаете вычитание двух отрезков.
59. Из суммы двух отрезков отнимите третий.
§ 13. Зависимость между компонентами и результатами
действий.
Компонентами называются числа, над которыми произво-
дится действие, результатом, — число, которое голучаетс1,
34
При сложении компонентами
татом — сумма.
Как называются компоненты
ствий ?
являются слагаемые, резуль-
и результаты остальных дей-
Свойства суммы и раз-
ности.1
1 Возьмите два небольших
числа, например, 2 и 5 и их
сумму 7:
2 + 5=7. (1)
Но можно написать еще два
мость между теми же числами:
7 — 5 = 2. (2) ।
7 — 2=5. (3)
Свойства произведения
и частного
(при делении без остатка).
1. Напишем:
3-4 = 12. , (1)
равенства, выражающие зависи-
12:4 = 3.
(2)
12:3 = 4. (3)
Возьмите еще пару каких угодно чисел и напишите для них
такие же три равенства.
Сравнивая равенства (2) и (3)
Если из суммы отнять
одно из слагаемых, полу-
чится другое слагаемое.
с равенством (1), заключим, что :
Если произвеоение раз-
делить на один из сомно-
жителей, получится дру-
гой сомножитель.
То же самое можно выразить
Чтобы найти неизвест-
ное слагаемое, надо вычесть
из суммы другое слагаемое.
следующими словами:
Чтобы найти неизвест-
ный сомножитель, надо
разделить произведение на
другой сомножитель.
2. Начнем теперь с равенства (2):
7 — 5 = 2. (2) 12:4 = 3. (2)
f
Как называются компоненты и результат указанного здесь
действия ?
Перейдем от этого равенства к равенству (3):
7 — 2 = 5. .(3) 12:3 = 4. (3)
1 Примечание для преподавателя. Предполагается, что сначала
будут проработаны все свойства суммы и разности, а затем уже свойства про-
изведения и частного, причем будет обращено внимание па параллелизм между
1-мн п другими.
Ь5
Какая из компонент осталась прежней? Что стало с другой
компонентой и что с результатом? Оказывается, что
Если из уменьшаемого
отнять разность, полу-
чится вычитаемое^.
Чтобы найти неизвест-
ное вычитаемое, надо из
уменьшаемого отнять раз-
ность.
3. Если от равенств (2) или
к следующему выводу:
Если к разности приба-
вить вычитаемое, полу-
чится уменьшаемое.
Чтобы найти неизвест- '
ное уменьшаемое, надо к
разности прибавить вычи-
таемое.
Провесьте все рассмотренные
мерах:
2649 4-3754; 128,48 + 677,93;
356,919 + 276,084;
7812 — 4936; 520,85 — 231,69:
429.208 — 178,51.
Если делимое разделить
на частное, получится де-
литель.
Чтобы найти неизвест-
ный делитель, надо дели-
мое разделить на частное.
) переходить к (1), то придем
Если частное умножить
на делатель, получится де-
лимое.
Чтобы найти неизвест-
ное делимое, надо частное
умножить на делитель.
свойства на следующих при-
347-28; 562-343;
715,2-48,3;
12636:27; 545 266 : 674;
163,558:5,3.
Итак, существует связь между действиями — сложением и вы-
читанием, умножением и делением:
Неизвестное слагаемое мож-
но найти вычитанием, а не-
известное уменьшаемое — сло-
жением.
Неизвестный сомножитель
можно найти делением, а не-
известное делимое — умноже-
нием.
Поэтому сложение и вычитание, умножение и деление
называются действиями обратными одно по отношению
к другому, или взаимно-обратными.
Зависимостью между компонентами и результатами действий
пользуются для двух целей: 1) для поверки действий. 2) для
решения уравнений
Пс верк а действий может быть произведена обратным
действием: вычитание поверяется сложением, сложение — вычи-
танием, деление — умножением, умножение — делением. Укажите,
как это делается, и сделайте несколько примеров действий над
любыми многозначными числами с поверкой их обратными дей-
ствиями. Если при делении получается остаток, то это значит,
что не все делимое может быть разделено нацело на целитель,
а потому от умножения частного на делитель получается не все
делимое, а чтобы получилось все делимое, надо к произве-
дению частного на делитель прибавить остаток:
делимое=частное X делитель -j- остаток.
Надо заметить, что поверка обратным действием не всегда
может открыть ошибку, так как возможна ошибка и в поверке.
Напишем равенство:
* + 2 = 5
В этом равенстве буква х обозначает неизвестное число.
(Узнайте, чему оно равно!) Такое равенство называется ура-
внением.
Вот еще примеры уравнений:
15 + * = 23,
* + 176 = 241,
*—45 = 82,
318—*=164
12-* = 84,
*•114 = 342,
*: 8 = 27,
558: * = 9.
Найти, чему равно неизвестное, значит решить уравне-
ние. Решите написанные выше уравнения.
Уравнения будут встречаться дальше при решении различных
вопросов. Как решаются более сложные уравнения, увидим впо-.
следствии (§ 86).
•
Упражнения. 60. Уменьшаемое 61,67, разность 25,13. Найдите вычитаемое.
61. Вычислите делимое, если делитель 382, частное 546.
62. Одно из слагаемых 5098, сумма 12044. Найдите другое слагаемое.
63. Найдите множитель, если множимое 512, произведение 158 208.
64. Сумма 135085, два слагаемые 42060 и 73486. Найдите третье.
65. Делитель 127, частное 268, остаток 23. Найдите делимое.
66. Найдите делитель, если делимое 3 187 118, частное 634.
67. Разность 598763, вычитаемое 684 029. Найдите уменьшаемое.
68. Делимое 318 922, частное 51, остаток 2314. Найдите делитель.
69. Делимое 735 395, частное 1609. Найдите делитель и остаток. Почему в
пой задаче меньше данных, чем в ьоедыдущьй?
Найдите неизвестное:
37
70. х- 67216=13 040.
72. 296 + х + 1684 = 3012.
74. 609877= 1 400213 — х.
76. 287-х = 139 195.
73. 549 672 — х = 285 078.
71. 18 792 = х-783.
73. 17 242 : х = 46.
75. 48 052 = х +37 860.
77. 874 = х: 1024.
79. 164 059 — х — 805 319.
§ 14. Изменение результатов действий при изменении порядка
и величины компонент.
I. Свойства суммы и произведения.
1. Всякому из нас известно, что если к 12 прибавить 9, по-
лучится столько же, сколько от прибавления 12 к 9; от умноже-
ния 7 на 5 получится столько же, сколько от умножения 5 на 7.
То же относится к саучаю нескольких слагаемых и нескольких
сомножителей:
74-54-34-9 = 24
и 54-94-34-7 = 24.
4-2-5 = 40
и 5-4-2 = 40.
Сумма и произведение не меняются от-перестановки
слагаемых или сомножителей.
Это свойство суммы и произведения называется переме-
стительным свойством.
Сделайте теперь следующие вычисления:
14-124-44-64-74-20,
(14-12; 4-(4 4-6+ 7) 4-20,
04-204-1)4-(74 64-12),
6 4-(12 4-4) 4-(20 4-7) 4-1
3 • 2 • 6 • 5,
(3 • 2) - (6 - 5),
(6-3).(2-5),
6 • (5 - 2 • 3).
Соедините компоненты еще в какие-нибудь другие группы и
сделайте действие.
Сумма и произведение не меняются от соединения ком-
понент в какие угодно группы.
Это свойство суммы и произведения называется сочета-
тельным свойством.
Переместительным и сочетательным свойствами суммы и про-
изведения постоянно пользуются для упрощения вычислений.
Примеры. 174-45 4-13 =
= 174-134-45.
8-}-74-94-34-64-2 =
= (84-2) 4-(7 4-3)4-(9 4-6)-
~ 8-9-5 = 8-5-9.
2-2-2-3-5-5-5 =
= 3-(2-5). (2.5)-(2-5).
Вычисления, подобные приведенным, делаются в уме, и пи-
шется только ответ.
2. Гражданин, покупавший
набор радиопринадлежностей,
попросил заменить кристалл,
стоящий 25 коп., другим, стоя-
щим 45 коп. Как изменится
от этого стоимость всего на-
бора?
2. Благодаря применению
усовершенствованных методов
землепользования доходность
участка земли вместо 40 руб.
с 1 га стала 120 руб. с 1 га.
Как изменился весь доход с
этого участка?
Решив задачу, ответьте на вопросы: 1) при помощи какого
действия можно было бы вычислить (имея добавочные данные)
стоимость всего набора или доход со всего участка? 2) как на-
зываются компоненты этого действия и как — результат? 3) какое
изменение происходит с одною из компонент ? 4) как вследствие
этого меняется результат?
Составьте задачу такого же типа, но где одна из компонент
изменялась бы в противоположную сторону, и скажите, как пои
этом изменится результат.
Перепишите следующие равенства, поставив вместо многото-
чий недостающие цифры и знаки;
184-13 -J-10= • • •
(18 4-2)4-13 4-10 = 41 • • •
184-(13 -5)4-10 = 41 • • •
4-7-5 = - • •
4-(7 3)-5=±=140- • •
(4: 2) • 7 • 5 —140 • • •
Из рассмотренных примеров видно, что:
Если к одному из сла-
гаемых прибавить или вы-
честь какое нибудь число,
то такое же число приба-
вится или вычтется из
суммы. *
Изменение числа прибавле-
нием или вычитанием из него
нескольких единиц называется
разностным изменением.
Если один из сомножи-
телей умножать или раз-
делить на какое-нибудь
число, то ка такое же
число умножится или раз-
делится произведение.
* Изменение числа умноже-
нием или делением его на не-
которое число называется
кратным изменением.
Поэтому вышеизложенные свойства суммы и произведения
можно выразить так:
39
При разностном изме-
нении одного из слагаемых
сумма меняется так же.
При кратном изменении
одного из сомножителей
произведение меняется так
же.
При кратном изменении слагаемых и при разностном измене-
нии сомножителей результаты действий меняются не так, как
компоненты: если, например, одно из слагаемых увеличить в
3 раза, то сумма не увеличится в 3 раза; возьмите пример на
умножение, попробуйте затем прибавить и вычесть какое-нибудь
число к одному из сомножителей и посмотрите, как изменится
произведение.
Мы рассмотрели те изменения суммы и произведения, кото-
рые происходят при изменении одной из компонент. Если же
изменить две компоненты, то изменение каждой из них влияет
на изменение результата, и общее изменение составляется из
обоих изменений
Примеры.
Если к одному слагаемому
прибавить 5, а из другого вы-
честь 3, то от первого изме-
нения к сумме прибавится 5,
от второго отнимется 3, а
всего к сумме прибавится
5 — 3 = 2 единицы.
Если один из сомножителей
увеличить в 10 раз, а другой
увеличить в 2 раза, то произ-
ведение увеличится сначала в
10 раз, потом еще в 2 раза, а
всего в 10-2 = 20 раз.
Отсюда вытекает возможность
следующего изменения компо-
нент, при котором сумма и произведение не меняются:
Сумма не меняется, если
к одному слагаемому при-
бавить, а от другого от-
нять одно и то же чис^о.
Произведение не меняет
ся, если один сомножитель
умножить, а другой разде-
лить на одно и то же
HUCfiO.
Придумайте сами примеры и проверьте эти свойства.
Изменением компонент широко пользуются в вычислениях.
При сложении увеличивают слагаемые, близкие к тому или дру-
гому круглому числу, уменьшая затем сумму. Чтобы приба-
вить, например, 98, прибавляют 100 и отнимают от суммы 2.
Умножение часто упрощается кратным увеличением одного ив
сомножителей: так, чтобы множить на 5 и на 25, множат на 10
и на 100 и делят произведение на 2 и на 4. Иногда же выгоднее
43
изменить оба сомножителя в противоположных направлениях:
вместо того, чтобы множить ’2 на 25, множим 3 на 100; также
18.35 = 9 - 70.
П. Свойства разности и частного (при делении без
остатка).
1. Обладают ли действия вычитание и деление переместитель-
ным и сочетательным свойствами ? Покажите эти на примерах.
2. При учете проданного в
кооперативе за месяц товара
был составлен акт, в котором
указано, что к началу месяца
в магазине было 2450 м ману-
фактуры, показано количество
проданного за месяц товара и
выведен остаток к концу ме-
сяца. После же оказалось, что
число 2450 м было взято оши-
бочно вместо правильного
числа 2750 ч. Как надо испра-
вить остаток? Какое испра-
вление пришлось бы сделать,
если бы вместо 2450 л? надо
было поставить 2405 м ?
2. Члены стрелкового круж-
ка, ожидая получения кружком
24 000 патронов, рассчитали,
по скольку патронов придется
на каждого. Как изменится
число патронов на каждого
стрелка, если кружок получит
48 000 патронов ? Если 6000
патронов?
Как делали расчет организации, упомянутые в этих задачах?
Как называются компоненты и результат действия, которое им
пришлось сделать? Какая компонента и как изменилась? Как
изменится от этого результат действия?
Поставьте недостающие цифры и знаки действий вместо мно-
готочий в следующих числовых примерах-
53 —18=- • •
(53 4-4) —18 = 35- • •
(53 — 2) —18 = 35 • • •
Вывод. Если к уменьшае-
мому прибавить или вы-
честь какое-нибудь число,
то такое же число приба-
вится. или вычтется ст
Разности.
72:6=- -
(72 • 2) :6= 12 • • -
(72:3): 6 = 12- ••
Вывод. Если делимое ум-
ножить или разделить на
какое-нибудь число, то на
такое же число умножится
или разделится частное.
41
ПОГ АШГНЮ
3. В другом кооперативе
при месячном учете также про-
изошла ошибка в подсчете
проданного за месяц товара:
было ошибочно сочтено 6200 кг
муки вместо проданных на
самом деле 6250 кг. Как испра-
вить ошибку в числе, выра
жающем остаток муки к концу
месяца ? Как надо было бы ис-
править остаток, если бы не-
правильное число 6200 кг при-
шлось заменить правильным
6100 кг?
3. Давая заказ на патроны,
стрелковый кружок исходил
из расчета определен™ го числа
патронов на каждого члена. До
получения заказанных патро-
нов число членов кружка уве-
личилось втрое. Сравните чи-
сло патронов, которое полу-
чил каждый член, с тем, какое
предполагалось. Сделайте то
же, если число членов умень-
шится по сравнению с перво-
начальным вдпое-
Какая компонента и как изменилась при данных условиях?
Как изменится результат действия ?
Заполните недостающими цифрами и знаками действий места,
занятые многоточиями, в следующих примерах:
65 —22=- • -
65 — (22 -{- 3) = 43 • •
65 —(22 —5) = 43 • •
56:4 = - • •
56: (4-7)= 14- •
56: (4:2) = 14- • •
Вывод. Если к вычитае-
мому прибавить или от-
нять какое-нибудь число,
то от разности в первом
случае отнимется, а во
втором прибавится то же
число.
Вывод. Если делитель
умножить или разделить
на какое-нибудь число, то
частное в первом случае
разделится, а во втором
умножится на то же число.
Изложенные свойства кратко выражаются так: при разност-
ном изменении вычитаемого и кратном изменении дели-
теля результат действия изменяется в обратном на-
правлении.
При изменении обеих компонент результат подвергается
последовательно двум изменениям. Так:
Если уменьшаемое умень-
шить на 7 единиц, а вычитае
мое увеличить на 2, то раз-
ность сначала уменьшится на
7 единиц, потом еще на 2, а
всего на 7 -{-2=9.
Если делимое увеличить в
8 раз, а делитель в 2 раза, то
частное сначала увеличится в
8 раз, потом уменьшится в
2 раза, а всего в 8:2 = 4 раза.
42
Разность и частное остаются
случаях:
неизменными в следующих
Разность не меняется '
при одинаковом разност-
ном изменении обеих ком-
понент. ’
Частное не меняется
при одинаковом кратном
изменении обеих компо-
нент.
Приведите примеры.
Изложенные свойства разности и частного также оказывают
большую пользу при вычислении. Вместо того, чтобы отнимать
число, немного меньшее, чем другое круглое число, отнимают
последнее и исправляют затем получившуюся разность:
75 -29 = 75 — 30 1
2537 — 188 = 2537 — 200 -f 12.
Когда делитель оканчивается нулями, зачеркивают все нули
и уменьшают соответственно делимое. Положим, например, что
надо разделить 175536 на 5200. Помещаем рядом образец, как
надо делать (слева) и как не надо (справа).
1755,36,52
156 Isbj5
195
156
393
364
296
260
~ 36
175536 5200
15600 ~ ‘3375
19536
15600
39360
36400
~29б0и
26000
36,00
Упражнения. 80. В сумме 3 4-7 4 4 4-1 п-реставьте слагаемые всеми воз-
можными способами.
81. Переставьте всеми способами сомножители произведения 2-3-4.
82. В cj мме 5 4- 6 -|- Ю 4- 8 -J- 4 различными способами соедините слагаемые
в группы и сделайте вычисления в каждом случае.
83. То же для произведения 10 2 • 6 • 5.
84. Сумма двух слагаемых 117. Какая станет сумма, если: I) одно из слагае-
мых j величить на 7? 2) уменьшить на 3? 3) одно слагаемое увеличить нг Р. дру-
гое на 2? 4) к одно iy прибавить 10. от другого отнять 14? 5) вычесть из одного 6,
из другого 13? 6) к одному слагаемому прибавить 11, из другого отнять 11?
85. Произведение равно 36и. Найдите новое произведение, если: 1) одни из
сомножителей удвоить; 2) уменьшить в 3 раза; 3) од.ш сомножитель разделить
на 4, другой на 6; 4) один умножить на 7, другой разделить на 3; 5) один умно-
жить на 5, другой разделить на 5.
43
66. Разность равна 63. Какая будет новая разность, если: 1) к уменьшав,
мому прибавить 8? 2) к вычитаемому прибавить II? 3) уменьшаемое уменьшить
на 17? 4) вычитаемое уменьшить на 7? 5) к уменьшаемому прибавить 13, к вы-
читаемому 5? 6) из уменьшаемого вычесть 10, из вычитаемого 3? 7) из умень-
шаемого вычесть 24, к вычитаемому прибавить 6? 8) из уменьшаемого и вычи-
таемого вычесть по 15?
87. Частное равно 18. Какое будет новое частное, если: 1) делимое увеличить
в 7 раз? 2) делитель умножить на 3? 3) целитель разделить на 2? 4) делимое умно-
жить па 5, делитель на 6? 5) делимое разделить на 4 и делитель разделить на 4?
6) делимое разделить на 2, делитель на 8? 7) делимое разделить на 3, делитель
умножить на 5?
88. Кассирша, сдавая дневную выручку, один день пе додала 15 коп., другой
день сдала 7 коп. лишних третий день не додала 5 коп. На сколько больше чли
меньше опа сдала денег, чем следовало?
89. Чтобы вымостить улицу прямоугольными гранитными плитками, надо
300 тысяч плиток. Сколько понадобится плиток для мощения переулка, который
вдвое уже и втрое длиннее улицы?
90. Чтобы спилить деревья на лесном участке, было нанято 8 рабочих. Как
изменится число деревьев, которые придется спилить каждому рабочему, если при-
бавить еще 16 человек?
Сделайте вычисления простейшими способами в следующих примепах.
91. 45 + 16 + 37 4- 15 + 23.
93. 129 + 236 + 71 + 75 + 134
95. 465 +197.
97. 54750 4-2900.
99. 89 4-68 4-75 4-22.
101. 465 — 97.
103. 5412 — 1895.
105. Умножьте на 5 числа: 624,
1572, 2348, 1371. 96173,
107. 55-16.
109. 150-68.
111. 1317600:18300.
113. 40068 : 37100.
92. 254-}-418 4-634-22.
94. 1800 + 3500 + 4500 4- 1413 +
+1200.
£3. 3950 + 2386.
98. 56 + 98 + 24 + 17 + 190+23.
100. 61+ 199+39+215 т 52+18.
102. 2780 — 291.
104. 61002 —39b0.
106. Умножьте на 25 числа: 84,
136, 1720, 518, 6133.
108. 140-45.
110. 650-140.
112. 24 780:4200.
114. 24774 : 84 000.
115. Стоимость сырья, необходимого для выработки 1 м сукна, поднялась на
35 коп., а расходы по производству снизились на 1 руб. 10 коп. Как изменилась от
этого себестоимость метра сукна?
116. При подсчете расходной книги в двух местах ошибочно цифра 4 в де-
сятках копеек оыла принята за 7. Как надо исправить общую сумму расхода?
117. Ученик пропустил по болезни в первом триместре 18 учебных дней, а
во втором — только 2. Считая, что каждый день бывает одинаковое число уроков.
сравните число уроков, пропущенных им во втором триместре, с числом уроков,
пропущенных в первом.
§ 15. Сложение и вычитание.
Вы умеете уже складывать и вычитать целые числа и десятич-
ные дроби (какие правила?) Но при действиях с десятичными
44
дробями приходится считаться с тем, что десятичная дробь
почти всегда есть приближенное число.
В самом деле, десятичная дробь может получиться или при
измерении, или при вычислении. Измерение длины, как
было показано (§ 12), делается всегда лишь приближенно. То
же следует сказать и о всяком другом измерении — емкости, веса
и пр. При вычислении десятичная дробь получается от деления
целых чисел, например, при нахождении средней величины (§ 6).
при обращении простой дроби в десятичную и пр.; при этом
чаще 'сего получается десятичная дробь бесконечная, и прихо-
дится ограничиться лишь частью ее дробных разрядов, отбрасы-
вая остальные.
Целая же вычисления над приближенными числами, надо не
только, как всегда, стараться упростить работу, но и получить
такой результат, который не обманывал бы своим внешним ви-
дом, не казался бы точнее, чем он есть на самом деле.
Представьте себе, что вы живете в Москве, а ваш знакомый
в Ленинграде, и вы желаете вычислить расстояние, вас разде-
ляющее. Из справочника вы находите расстояние между Москвой
и Ленинградом, равное 651 км — это расстояние между вокзалами
железных дорог. Затем вы измеряете по плану Москвы расстоя-
ние от вашей квартиры до вокзала: оно равно 1,24 км-, расстоя-
ние от квартиры вашего приятеля в Ленинграде до вокзала равно
2,13 км. Отсюда вы заключаете, что все расстояние равно 1,24 4-
-Ь 651 4-2,13 = 654,37 км.
Но ведь расстояние от Москвы до Ленинграда дано без де-
сятых и сотых долей километра не потому, что оно составляет
ровно 651 км, а потому, что оно измерено лишь целыми кило-
метрами: может быть, оно несколько больше, чем 651 км, напри-
мер, равно 651,08 км или 651,47 км, а может быть и меньше,
например, 650,64 км-, оно должно заключаться между 65О’/2 и
ббР/эКЛТ, а сколько в нем десятых и сотых километра, мы не
знаем. А если так, то десятые и сотые доли суммы 653,35 столь
же мало имеют цены, как если бы мы поставили вместо них лю-
бые цифры наобум. Даже цифра целых единиц 4 сомнительна,
потому что если бы расстояние по железной дороге было, напри-
мер, 651,47 км, го сумма была бы
1,24 + 651,47 4- 2,13 = 654,84 км,
т. е. ближе к 655, чем к 654 км. Поэтому нет никакого смысла
высчитывать в сумме десятые и сотые доли. Достаточно взять
45
654 целых километра, не упуская из виду, что даже за оставшуюся
цифру единиц нельзя ручаться.
Возьмем еще пример, в котором складываются приближен-
ные числа:
0,8Ь23
+ V
2,45
В одном из слагаемых нет цифры сотых долей. Значит, цифра
сотых в сумме будет уже неправильна. Но из сотых долей осталь-
ных слагаемых набирается одна десятая. Поэтому, не выписывая
цифру сотых в сумме, мы все же складываем сотые доли слагав’
мых, чтобы те'десятые доли, которые таким путем наберутся,
присоединить к десятым. Вся сумма будет 8,4, причем цифра
десятых сомнительна. Удобнее всего отделять чертою те раз-
ряды, которые имеются не во всех слагаемых. Тогда предыду-
щее сложение будет иметь следующий вид-
0,8 623
4- 5,1 ;
2,4 1 5
8,4
Еще примеры:
0,2ь 45, 81
+ 1,34 25 + з, 9
2,07 736 18
3,68 24, 9
93
То же самое относится и к вычитанию приближенных чисел,
как можно видеть из следующих примеров:
5,7 8 0,8ч
— 2,3 0,31 |73
0,52
Правило. При сложении или вычитании приближенных
чисел, оканчивающихся различными разрядами, отделяют
чертою последний разряд, который есть во всех компо-
нентах. Действие начинается с первого разряда направо
от черты, но результат действия над этим разрядом
округляется до десятков, и получившиеся десятки присое-
диняются к следующему разряду влево от черты.
<6
В суммах и разностях, вычисляемых по этому правилу, послед-
няя цифра бывает сомнительной, т. е. она может несколько отли-
ваться от верной цифры и тем больше, чем больше взято при-
ближенных слагаемых.
Так как последняя цифра приближенного числа всегда сомни-
тельна, то надо избегать приближенных чисел с одной только
значащей цифрой.
Упражнения. Выполните указанные действия:
118. 5,74+2,1; 16,18 — 5,243; 0,00631 + 0,249.
119. 65,0 — 21,4; 730,2+1608; 5,66 — 0,279.
120. 0,0014 — 0,000146; 9,700+12,34; 16,82 — 0,876.
121. 24,3+ 13,28; 0,75 — 0,2156; 6,007 — 2,89.
*22. 8,162+12,0045; 142,00—36,1493; 260 — 27,72.
123. 0,069 + 0,30; 0,050+1д40; 92,300 — 15,66
124. 3,263 + 0,34 + 5,1 + 7,25.
125. 64,04 + 1,752 + 25,60 + 01433.
126. 18,27 +143,6 -г 59 + 0,917 + 200,1.
127. 0,150 + 2,7631 + 0,0085 + 3,634 + 15,022.
128. 8,822 + 51,74 + 2,096 + 3,7865 + 0,2419.
129. 5,27 — 3,6 + 2,69 - {- 4,84 — 7,826 — 0,697.
ISO. 112,481 + 62,853 — 94,008 — 3,765 + 5,42 + 0,897.
131. 6,333 — 0,236 —1,199 + 10,772 — 0,1176 — 8,70.
132. 75,3 + 144,08 + 4013 — 89,16 — 244,7 + 19,060.
133. 142,88 — (75,2 — 13,49) — 64,04 — 25 19.
. 134. 8,0866 —(1,2446 — 0,571) —(0,8952 + 0,0345)+ 9,0S03.
135. 3,934 + 15,077 — (16,485 + 0,147 - 10 35) - 4,102.
Найдите неизвестное
136. 7,85 — х = 3,624.
138. 0,964 + х = 2,61.
140. 54,0 = 33,26 + х
142. х+и,0120 = 2,19536.
144. 3,70 = X + 0,504.
137. 0,870 = 2,1937 — х.
139. 4,15 = х — 0,2394.
141. 0,215 + * + 4.17 = 7,375.
143. х — 3,8 = 15,65.
§ 16. Умножение.
Пусть надо перемножить 2,74 на 5,3. С уничтожением запя-
тых множимое увеличичается в 100 раз, множитель в 10 раз, про-
изведение в 100-10=1000 раз. Поэтому, чтобы получить пра-
вильное произведение, приходится результат умножения 274 на
63 уменьшить в 1000 раз, т. е отделить справа запятою 3 цифры.
Отсюда выходит следующее правило:
Правило. Десятичные дроби перемножают как целые
числа, не обращая внимания на запятые, а в произведе-
нии отделяют запятою справа столько цифр, сколько
цифр после запятой в обоих сомножителях вместе.
47
В произведении получается обыкновенно больше цифр, чем
было в каждом из сомножителей, и когда перемножаются деся-
тичные дроби, в произведении получаются более мелкие доли,
чем были в сомножителях. Это может дать повод думать, что
при перемножении приближенных чисел получается результат
' более точный, чем данные числа. Рассмотрим, что будет на са-
мом деле.
Сделаем умножение:
3,6
2,4
144
72
8,64
Положим теперь, что данные сомножители — числа прибли-
женные, и что точные числа, которые ими заменяются, имеют,
кроме десятых долей, еще и сотые. Поставим вместо сотых долей
вопросительные знаки и сделаем умножение снова, заменяя
также вопросительными знаками все получающиеся неизвестные
цифры-
36 ?
А 24 ?
? ? ? ?
144 ?
72?
8,64
Оказывается, что последнюю написанную цифру второго част-
ного произведения 4 приходится складывать с двумя неизвест-
ными цифрами, и потому сумма будет не 4, а какая-то другая.
Цифры следующего разряда 4 и 2 складываются с одной неизвест-
ной цифрой, но не очень большой (1 или 2), и поэтому сумма
может немного отличаться от 6. И только цифры старших раз-
рядов дадут вполне правильную сумму 8.
Проверим эти заключения, взяв вместо вопросительных зна-
ков какие-нибудь цифры, например, в первом сомножителе 2 со-
тых, во втором 3:
Ю8П
1448
724
8,7966
Итак, перемножая приближенные числа 3,6 и 2,4, мы получили
правильную только цифру единиц 8 и приблизительно верную
цифру десятых 6, а цифра сотых 4 оказалась далекой от верной
цифры 9. Поэтому в произведении следует взять только две
цифры, т. е. 8,6 и при этом иметь в виду, что последняя из
:шх сомнительна.
Мы считали в предыдущем, что приближенные числа 3,6 и
2,4 немного меньше точных. Но к тем же выводам придем, если
будем считать, что они несколько больше точных. Например,
если 3,6 заменяет точное число 3,57, а 2,4 — число 2,39, то про-
изведение точных чисел будет 3,5323.
Берем еще пример, к которому вам надлежит дать объяснение:
0,37? * 0,374
Х 0,48? ' Х 0,481
? ??? 374
2 96? 2992
148? 1496
0.1776 0,17^894
Заключение: в произведении 0,1776 две верных цифры, третья—
близка к верной.
Заметьте, что число верных цифр произведения не зави-
сит от того, на каком месте стоят запятые в сомно-
жителях: если в последнем примере вместо 0,37 взять 3,7 или
0,037, то в произведении лишь переместится запятая, ? все цифры
останутся те же.
Умножьте еще 6,5? на 72,?, где вопросительные знаки обозна-
чают неизвестные цифры, и скажите, какие цифры произведения
должны быть верны, какие близки к верным, и какие вовсе не
верны. Затем подставляйте вместо вопросительных знаков цифры
1, 2, 3, 4 (например, возьмите 6,54 и 72,3 или 6,51 и'72,2 и т. п.),
делайте умножение и смотрите, оправдываются ли ваши заклю-
чения о верных цифрах.
Сделайте то же самое для сомножителей 1,28? и 5,? для 65,3?
и 4,08?, для 22,4? и 0,7?
Оказывается, что число верных цифр произведения зави-
сит от того из двух сомножителей, в котором меньше
цифр {нули, с которых дробь может начинаться, в счет
не идут): если в произведении взять столько цифр, сколько
их в этом сомножителе, то они или окажутся все вер-
ными, или все, кроме последней, пс /ти верной; следующие
же цифры будут верны лишь в очень редких случаях.
4 Берг л ар. Районы книга во математике, 5-С год.
49
Поэтому для умножения приближенных чисел существует сле-
дующее
Правило. 1) Надо посмо.преть, в каком из обоих сомно-
жителей меньше цифр, не считая нулей перед началом
дроби; 2) сосчитать это число цифр-, 3) взять в произве-
дении столько же.
Последняя из цифр получаемых по этому правилу, будет уже
сомнительной.
Отбрасывание лишних цифр производится при сложении част
ных произведений: все лишние разряды отделяются чертою, и
затем поступают по правилу сложения приближенных чисел
(§ 15). *
Понятно, что для постановки в произведении запятой прихо-
дится считать и те цифры произведения, которые не написаны.
Примеры.
5,86 6,017 v 274,5
4,3 Л 0.269 Х 803,6
1 758 5 4153 L6470 6 235
23,44 36102
25 12034 1,62 2196'0
2206 00
В последнем примере, где произведение целое, два нуля на
конце стоят вместо неизвестных точных цифр.
При помощи умножения на десятичную дробь вычисляются
проценты, т. е. сотые доли от чисел.
Чтобы найти 1% = 0,01 от какого-нибудь числа, надо разде-
лить это число на 100; так, 1% от 62 равен 0,62; 1“, 0 от 481 ра-
вен 4,81; 1% от 5,7 равен 0,057.
Если надо найти 2%, 3%, ♦%-.-, то можно найти сначала 1п 0
и умножить затем результат на 2, 3, 4,...:
1% от равен 0,47, а 2% равны 0,47-2 = 0.94.
1° 0 от 634,1 равен 6,341, а 3°/0 равны 6,341-3=19,023.
Итак, чтобы найти несколько процентов от числа, надо разде-
лить число на 100 и умножить на число процентов. Но те же дей-
ствия можно сделать в обратном порядке, и тогда это будет
умножение данного числа на десятичную дробь:
47-0,02 = 0,94 634,1-0,03=19,028
Таким образом, для нахождения процентов от данного
50
числа, надо умножить это число на дробь показываю-
щую, сколько процентов требуется найти.
Пример. 7"/о от 8,2 равны 8,2-0,07 = 0,574.
Упражнения. Выполните указанные действия:
145. 2,08-3,7; 82,4-1,64; 6,578-9,4.
146. 12,7-4,02; 0,85-1,29; 143,4-52,1.
.147. 80,23-7.63; 0,360-6,24; 0,1070-8,205.
148. (6,13-5,2)+ (18,1-4,7); (0,472-7,5) —(1,71-2,9).
149. (1,205-3,47)+ (8,92-2,016); (33,29-1,22) —(5,78-0,67).
150. 75,34-4,06-0(716; 18,5-2,12-4,7.
151. 8,2-0,35-1,6; 0,196-3,72-1,45.
152. (9,14 + ^,254 + 2,31)-62,3.
153. ^0,772 — 0,127)-5,91 — 0,28.
154. (8,04-1,64) + 7,25.(0,420 + 1,597).
155. [105,1— (7,24-2,88)]-[(3,73 12,61) — 10,54].
156. (9,72—3,5+ 18,2)-(16,4 + 25,7 —3,47).
157. [(4,10-7,12-0,556) +(5,32-0,144)]-1,14.
158. Найдите 9% от 76. 12% от 140; 8% от 25,2.
159. Найдите 35% от 87; 64% от 420; 18% от 58,4.
160. Найдите 26% от 18,6; 45% от 3,78; И1,0 от 0,93.
161. Население СССР составляет 146 миллионов человек, из которых 18%
городских жителей. Сколько человек городского населения и сколько сельского?
132. В декабре 1925 г. п СССР было в школах II ступени ?70 000 учащихся,
из них в 5-х групшх 42%, в 6-х 26%, в 7-х 18%, в 8-х 8%, в 9-х 6%. Сколько
человек учащихся было в этих группах?
163. Кооператив делает своим членам скидку в 15% с цены товара. Сколько
должны заплатить покупатели-члены кооператива, заоравшие товара: 1-й на 10 руб.
38 коп., 2-й на 4 руб. 15 кип., 3-й на 6 руб. 92 коп., 4-й на 11 руб. 02 коп., 5-й на
7 руб. 19 коп.?
Л
§ 17. Деление.
Объясните, почему верны следующие равенства:
163,2:3,4 = 1632: 34; 4,4856: 7,12 = 448,56: 712.
Что можно сделать, чтобы раз целить на десятичную дробь?
Правило. Чтобы разделить на десятичную дрооь, надо
обратить делитель в целое число, уничтожив в нем за-
пятую, и увеличить делимое во столько же раз, во сколько
увеличен делитель.
Пример. 7,824 :1,2 = 78,24:12 = 6,52.
Сопоставив это правило с показанным выше (§ 14) приемом
деления на число, оканчивающееся нулями, заметим, что при
производстсе деления делитель никогда на должен иметь
на конце нули.
51
Возьмем теперь примеры целения приближенных чисел, сна
чала, когда число цифр делителя меньше, чем делимого (вопрп
сительные знаки заменяют
неизвестные цифры:
672351? 24??? 42806? | 783???
48??? 2,7 3915??? 54,6
19 ??? 365????
168??? 3132???
3???? 52?????
4698??? *
6?????
Проследите, как сделаны эти деления, скажите, надежна ли
первая цифра последнего остатка, и можно ли ожидать дальше
в частном верных цифр.
Вот примеры деления, когда в делимом меньше цифр, чем в
делителе:
54????? 6102? 869???? 5317?
48816?? 0,89 5317? 1 163
6????? 383???
54918? 31902?
1????? 19????
15951?
4???э
Исследуйте эти деления так же, как и предыдущие.
Вывод. Правило деления приближенных чисел такое же,
как правило умножения f§ 16).
Упражнения. Разделите:
16 4.13,7:4,2; 5,95 : 3,82; 417,6:0,123.
165. 0,75:1,48; 4,61:0,89; 12,37:1,862.
166. 0,2431:1,55; 6257:82,16; 9.44 52:1,7.
167. 60,800 : 0,273; 0,60: 2,18; 7,02:154.
168. 0,6463 : 25,70; 10,43:65,09; 0,0084: 1,27.
169. 9058:3,7; 74,0:13,0; 5,600: 14,8.
Найдите х\
170. х -7,84 =13,5, 6,007-х = 0,4062; 125 = 87,12: х.
171. 0,903 = х-5,30; 0,017:х = 0,356; х-572,4 = 23,1.
172. 883,9 = х: 0,5716; 0,116=2,9-х; 2х-4,7 = 0,181.
Выполните указанные действия:
173. (50,3»3 Р 2,74 + 0,561?): 437,2; (5,13 : 0,41) + 6,5974.
174. 37,04 : (0,0072 + 3,1 + 164,59); (81,07 : 0,951) — (44,6-1,07).
175. (7,385-2,14): 8,6; (64,241:0,24)-17,5.
170. (14,875 : 3,23)-6,18; 0,01590: (0,2774.0,06632).
177. (9,84 — 2,3167) • (75,2 : 0,26); [(5,32:100) + (0,072: 0,11)]: 24,3
178. [(5,17+ 0,74)-1,13]:5,69; (41,3:1000)+ [(6,5:0,97) —(2,3-0,14)].
5,36:100 .
i5 + (0,<7:1,9).
180. (14,013 — 6,25 + 2.087): 0.862 -0,341
9,23 — 5,116 6,77
,81' 4,91:0,823 + 13,09 — 5,24 '
(1,29-153) —(6,15-12,07)+ 14,54
,82’ 6,31 + 18,3-4,07-0,65
184. 1 кг мяса 1 сорта стоит 88 коп., 2 сорта 70 коп. Сколько надо запла-
тить: 1) за 220 г, 460 г, з(з г, 252 г, 418 г, 129 г, 911 г 2 сорта; 2) за 520 г,
490 г, 1028 г, 813 г, 147 г, 625 г., 313 г 1 сорта’
185. Домашняя хозяйка купила 410 г сыру по 84 коп. за 400 г и 260 г кол-
басы по 62 коп. за 400 г. Сколько ей надо сдать с 3 руб.?
186. Примус потребляет керосина в среднем в день 0,315 литра. На сколько
дней хватает бутылки в 3 литра, сколько керосина выйдет в месяц и сколько раз
в месяц придется покупать по 3 литра?
187. Сколько попадо'ится времени, чтобы выкачать 1410 ветер воды из за-
топленного подвала насосом, который откачивает в минуту 7,85 литра?
188. Трамвай № 10 в Москве проходит маршрут в 13,2 км в 57 мин., а авто-
бус № 6 — маршрут в 11,7 км в 43 мин. Идет ли быстрее трамвай или автобус?
Какая разница в расстоянии, проходимом в час?
189. При размоле пшеницы получается муки 1-го сорта 41%, 2-го сорта 19%,
3-го 12%, 4-го 6%, отрубей 19%, потеря 3°/0. Сколько получится муки каждого
сорта и отрубей из 236 кг пшеницы?
190. Сколько получится топленого сала из туши весом в 870 кг, если сы-
рого сала выходит 7% веса туши, а из 1 кг сырого сала получается 0,72 кг
топленого?
191. Снаряжение одного стрелка весит 11,61 кг. Сколько понадобится подвод
для перевозки снаряжения батальона в 518 человек, если на подводу кладут не
более 400 кг?
192. % кг медиой проволоки свернуто кольцом, в котором 56 витков; длина
одного витка 98 см. Сколько весит сделанная из этой проволоки антенна длиною
41,2 м?
193. Ускоренный поезд проходит расстояние от Москвы до Киева в 22 часа
со средней скоростью 38,9 км в час. Найдите среднюю скорость почтового поезда,
который делает тот же путь в 31,75 часа.
194. Рабочий получил на фабрике за месяц всего 55,25 руб. Сколько он вы-
рабатывает за час, если в месяце 25 рабочих дней продолжительностью по 8 час.,
и, кроме того, он отработал 14 час сверхурочно, причем часовая плата за сверх-
урочные часы в 1,5 раза болыйе, чем за нормальные. (Корницкий. Производ-
ственные вопросы и задачи.)
195. Из одного килограмма сахарного тростника получается в среднем 0,82 кг
сока, а из одного килограмма сока вырабатывается 0,08 кг сахара. Какое ке лв>
чество сахарного тростника требуется для сахарного завода, ежегодная выработка
которого равна 15^0 тоннам? (Там жг.)
53
19Я- По существующим нормам дтя смазки паровозов на каждые 100 км про
бега полагается летом масла машинпО! о 1,55 кг, сала говяжьего 0,65 кг, зимоп -
масла 1,27 кг, сала 0,54 кг. Принимая стоимость масла в 0,4 руб., а сала в 0,85 ру
за 1 кг, определите годовой расход по смазке паровоза, пробег которого за ле-
ние месяцы 7250,8 км, а за зимние 5643,4 км (Там же.)
197. Красная краска (киноварь) состоит из серы и ртути; на каждые 4,5 к
краски приходится 0,62 кг серы, а остальное ртуть. Сколько серы и ртути пад
взять для изготовления 7,8 кг краски?
198. Куплено 10 бочек масла. Каждые 3 бочки с маслом весят 3/2,4 кг, ।
каждые 4 пустые бочки весят 117,3 кг. За каждый- килограмм масла заплатил!
84,2 коп. и за доставку с килограмма, полного и неполного 12,5 коп. Каков веа
расход? >
199. Для получения 1 кг сплава, называемого нейзильбером, надо взяп
6,48 кг меди, 0.24 кг цинка и 0,28 никкеля. В распоряжении мастера имеете!
63,6 кг меди, 33,72 кг цинка и 32,2 кг никкеля, и он желает приготовить чаиболы
шее возможное количество нейзильбера. Какого веса получится сплав, и екольк]
останется у него лишнего металла? (К о р н и ц к и й. Производственные вопросы
и задачи.)
200. Два аэроплана вылетают — один в 4 час. 20 мин., другой в 4 час. 35 мин.
угря навстречу друг другу с двух аэродромов, расстояние между которыми 720,3 км.
Первый делает в час 141,2 км, второй 123,5 км. На какоы расстоянии друг от друга
будут аэропланы в 6 час.? В котором часу и на каком расстоянии от конечных
пунктов они встретятся?
201. Для отопления дома надо 25,4 тонны каменного угля. Каким количествсм
торфа можно заменить этот уголь, если 1 кг торфа дает столько тепла, сколько
0,47 кг каменного угля?
202. На приготовление паренья пошло 4,8 кг ягод по 45 коп. за килограмм
и 5,7 кг сахара по 62 коп. за килограмм; уварилось (уменьшился вес вследствие
выкипания сока) 3,4 кг. Во что обошелся килограмм варенья?
203. Средняя дневная выручка одною автобуса в Москве 127,86 руб. Вычи-
слите выручку с 1 км пробега по следующим данным: длина маршрута № 6 (от
Сокольников до Петровского napi.a) 11,7 к м, продолжительность рейса 43 мин.,
иптервтлы между автобусами 8 мин., движение начинается с 7 час, и продол-
жается до 28 час.
§ 18. Перевод старых русских мер в метрические.
Ч:о надо сделать, чтобы из какого-нибудь чиста вершков по-
лучить число сантиметров? Надо знать, что 1 вершок = 4,45 с.« и
умножить 4.45 см на данное число вершков. Так как сомножители
можно переставлять, то можно сказать, что для перевода вершков
в сантиметры надо умножить число верткое на 4,45.
Множитель 4,45 называется переводным множителем,
или переводным к о э ф и ц и е н т о м. Он показывает, сколько
новых единиц (метрических) заключается в одной старой (рус-
ской).
Так как иной раз приходится переводить в метрические меры
54
не одно, а несколько чисел, выраженных в старых русских мерах,
то бывает выгодно составить таблицу для такого перевода.
Положим, например, что нам ьадо составить таблицу для пере-
вода саженей в метры до тысячных долей метра. Чтобы получить
число тысячных долей метра возможно точнее, берем переводный
коэфициент с одним лишним знаком, 2,1336. Затем составляем
произведения его на однозначные числа:
Сажени Метры Сажени Метры
1 2,1336 6 12,8016
2 4,2672 7 14,9352
3 6,4003 8 17,0688
4 8,5344 9 19,2024
5 10,6680 10 21,3360
Все числа этой таблицы получаются или сложением,или удвое-
нием: для 3 саж. складываем числа метров, соответствующие 1 и
2 саж.; для 4 — умножаем то, что было для 2, на 2; для 5 — опять
складываем числа, стоящие против 2 и 3 и т. д. Число метров,
равное 10 саж., вычисляем только для поверки прибавлением к
числу, соответствующему 9 саж., еще на 1 саж. и убеждаемся,
что оно равно 2,1336-10. Отбросив затем четвертый десятичный
знак, получим таблицу в окончательном виде:
Сажени Метры Сажени Метры
1 2,134 6 12,802
2 4,267 7 14,935
3 6,401 8 17,069
4 8,534 9 19,202
5 10,668
Так же составлены переводные таблицы, помещенные в конце
книги.
Чтобы пользоваться таблицами для превращения в метриче-
ские меры многозначных чисел в русских мерах, разбивают эти
числа по разрядам, каждый разряд переводят отдельно и резуль-
таты складывают. Те более мелкие разряды метрических мер,
которые не складываются, можно и не выписывать.
Примеры.
473 саж. е метры
400 853,4
70 149,35
3 , 6.40
473 саж.=1009,2 м
5,347 арш. в метры
5 3,556
0,3 / 0,2134
0,04 0,0284
0,007 0,0050
5,347 арш.--=3,й03 м.
55
Если надо превратить аршины в сантиметры, то их превра.
щают сначала в метры, а результат — в сантиметры, В предыцу.
щем примере последняя строка в этом случае была бы такая: I
5,347 арш. — 3,803 м = 380,3 см.
Очень удобно делать перевод мер на счетах.
Упражнения. 204. Переведите помощью таблиц: 1) 5 арш. 7 верши.—в метры
2) 4 фут. 5 дюйм. — в сантиметры; 3) 2 версты 93 саж.— в километры
4) 754,2 саж. — в метры; 5) 0,2813 фута в сантиметры; 6) 1073 версты
в километры; 7) 5,68 дюйм. — в миллиметры; 8) 28 4 арш.— в метры;
<5
9) 11 ^вершка —в сантиметры; 10) 217 саж. 2 арш.— в метры.
О
ГЛАВА III.
ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ И ПРОСТЫЕ ДРОБИ.
§ 19. Цель и содержание главы.
Десятичными дробями, благодаря представляемым ими удоб-
ствам, почти исключительно пользуются при всякого рода вычи-
слениях. Но в некоторых случаях имеют преимущество простые
дроби: часто бывает выгоднее для упрощения вычисления взять
простую дробьчем равную ей десятичную 0,125, взять-|-вместо
бесконечной дроби 0,333... На простых же дробях легче просле-
дить и объяснить общие свойства дробей, которые не так за-
метны в дробях десятичных, но которые надо знать, чтобы иметь
отчетливое представление о дроби. На этих же свойствах дро-
бей основаны все преобразования дробей алгебраических, с ко-
торыми вы встретитесь в дальнейшем. Вот причины, почему на-
стоящая глава посвящается более подробному изучению простых
дробей.
Но некоторые действия с дробями, более сложными, чем те,
которые .до сего времени вам встречались, основаны на неизве-
стных еще вам свойствах целых чисел. Положим, например, что
7 5 9
надо сделать сложение дробей-^-, gg-, Вы знаете, что для этого
следует привести все дроби к общему знаменателю, и что общий
знаменатель должен делиться без остатка на знаменатель каждой
из данных дробей. Некоторые из вас предложат, может быть,
взять общим знаменателем произведение знаменателей всех трех
Дробей 24-36«32=-27 648. Это число действительно можно взять
общим знаменателем, но можно взять и значительно меньшее
число 288. Как оно найдено, вы увидите, когда ознакомитесь с
началом этой главй, в которой рассматривается вопрос о дели-
мости чисел.
й7
§ 20. Числа простые и составные. Признаки делимости.
на себя.
и другом делении?
какое другое чи слсл
Вместо слов может быть разделено без остатка употребляю!
выражение делится нацело или даже просто де л ится. Так]
говорят, что 54 делится на 6, на 27 й не делится на 5, на 12. ]
Всякое число делится на 1 и само
Сколько получится в частном при том
Число, которое не делится ни на
называется простым, например, 7, 23.
Дайте еще примеры таких чисел, ч
Выпишите все простые числа до 20.
Число, которое делится на какое-нибудь другое число
(кроме 1), называется составным, например, 6, 20, 25.
Дайте еще примеры.
Напишите все составные числа от 20 до 30.
Укажите, какие из следующих чисел простые и какие состав-
ные: 36, 49, 34. 37, 56, 51, 53, 58, 69, 71.
Вы видите, что отличить составное число от простою иногда
очень легко: когда оно встречается в таблице умножения, то
число составное. Если же число не находится в таблице умно-
жения, как Ь9, 71, го приходится пробовать делить его на дру-
гие числа и уже после ряда таких проб дать огвет.
Для некоторых делителей существуют особые признаки, по
которым узнают, делится ли на иих данное число, не производя
самого деления. Такие признаки делимости даны в следующи
параграфах.

§ 21. Признаки делимости на 2, 5*, 4 и 25.
Возьмем число 70. Оно состоит из 7 десятков, в каждом де-
сятке две пятерки, а потому во всем числе 2-7 = 14 пятерск, и
оно делится на 5; так как в десятке 5 двоек, то в 70 число двоек
равно 5-7 = 35, и 70 делится на 2. Так как всякое число, окан-
чивающееся нулем, состоит из десятков, а 10 делится на 2 и на
5, то всякое число, оканчивающееся нулем, делится на 2 и
на 5.
Пример. Число 1730 состоит из 173 десятков, а потому де-
лится на 2 и на 5. Сколько в нем пятерок? Сколько двоек?
.Возьмем теперь какое-нибудь число, оканчивающееся четной
цифрой, напримар 5276 и разобьем его на десятки и единицы:
5276 — 5270 -f- 6. Оба получившиеся слагаемые делятся на 2, а по-
58
тому и все числ0 делится на 2. Наоборот, 639 = 630 +9; второе
слагаемое не летится на 2, и вся сумма не разделится. Следова-
тетьно, всякое число, оканчивающееся четной цифрой, де-
лится на 2.
Числа, оканчивающиеся пятью, делятся на 5.
Объясните, почему это так, взяв для примера числа 245 и 738
и разбив каждое на два слагаемых; вычислите остаток от деления,
если он есть.
Заметьте, что делимость числа на 2 и на 5 зависит только
от его -последней цифры.
Возьмите число 2200 и, зная, сколько получается от деления
одной сотни на 25, вычислите частное от деления 2900 на 25.
Обратите внимание, что деление на 25 всегда так и следует делать.
Таким же образом объясните, почему 2900 делится на 4, и
найдите частнсе.
Оказывается, что числа, оканчивающиеся двумя нулями,
делятся на 4 и на 25, — потому что они состоят из сотен, а
100 делится на 4 и на 25.
Возьмите число 2732, разбейте его на два слагаемые — в од-
ном сотни, в другом десятки и единицы, и исследуйте делимость
сначала на 4, потом на 25.
Сделайте то же для чисел 14 350, 7856.
Какие должны быть две последние цифры, чтобы число дели-
лось на 4? на 25? - ,
Если последние две цифры данного числа составляют
число, делящееся на 4 или на 25, то и ссе число делится
на 4 и на 25.
Делимость числа на 4 и на 25 зависит от его двух по-
следних цифр.
По признаку делимости на 4 узнают, между прочим, какие
годы високосные (почему?)
/
Упражнения. 205. Из чисел 680, 351, 525, 12 314, 775, 1116, 2350, 15000, 9218,
1037 выпишите делящиеся: I) па 2, 2) па 5, 3) на 4, 4) на 25.
206. Для каждого из следующих чисел укажите, делится ли оно на 2, Ь, 4
и 25: 712, 1475, 280, 9213, 60300, 18 450, 365. 962, 5008, 17 000.
207. Укажите високосные годы из следующего ряда лет: 1600, 1646, 1812,
1890, 1906, 1917, 1918, 1928, 1934.
208. Составьте четырехзначные чиста, делящиеся па 4, из цифр: 1) 4, 5, 7, 0;
2) 2, 3, 7, 0; 3) 1, 5, 6, 8.
209. Можно пи из цифр 0, 2, 3. 5 составить четьц ехзпачное число,, которое
Делилось бы одновременно па 2, S, 4 и U. Если нельзя, то почему?
5J
§ 22. Признака делимости на 9 и на 3.
Напишем таблицу:
10 = 9 + 1
100 = 99 + 1
1000 = 999 + 1
Отсюда заключим, что каждая разрядная единица при де-
лении на 9 дает остаток 1, так как первое слагаемое каждой
суммы делится без остатка.
Если взять теперь 7000 и разделить на 9, то в остатке будет И
потому что от каждой тысячи останется по 1.
Какой же остаток будет, например, от деления на 9 числа 7628 ц1
От 7000 останется 7, от 600 останется 6, от 20 остаток будет 2,
да еще единицы не разделятся на 9; значит, всего наберется
остатков:
7 + 6 + 2 + 8 = 23.
Но 23 не будет окончательным остатком от деления 7628 на 9,
потому что 23 больше 9: в нем 9 содержится 2 раза, и окончатель-
ным остатком будет 23—18 = 5. Следовательно, число 7628 на 9 I
не делится
Так же можпо подсчитать остаток от деления 4365 на 9 (сде-
лайте это). Он окажется равен 0, т. е. число 4365 разделится на I
9 без остатка (проверьте также делением).
Обратите внимание, как производится подсчет остатков: для ]
этого складываются все цифры данного числа. Отсюда получится
такой признак делимости на 9:
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. I
Из таблицы в начале параграфа можно также заключить, что I
при делении на 3 каждая разрядная единица дает в остатке
также 1. Поэтому признак делимости на 3 оказывается такой
же, как на 9:
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Если некоторые из цифр данного числа делятся на данный
делитель (3 или 9), то, подсчитывая сумму цифр, можно эти
цифры пропускать. Например, чтобы узнать, делится ли 6924
на 9, достаточно сложить 6, 2 и 4. Почему?
Так же поступают, когда из двух или трех цифр составляется
делитель 3 или 9: эти цифры из суммы выпускаются.
Пример. Чтобы узнать, делится ли на 3 число 24167, можно
не складывать в общей сумме цифры 2. 1 и 6, или 2, 4 и 6, или
2, 7 и 6.
упражнении. 210. Узнайте, делится ли на 3 и на 9 каждое из следующих
чисел: 2031, 7518, 61508, 372604, 8269, 36925, 8136, 8024, 59482, 60370.
211. Найдите, не производя деления, остатки от деления на 3 и на 9 следую-
щих чисел: 1087, 53197, 418, 528, 5173, 94 055, 43108.
212. В числах 6743, 8793, 15721 подставьте ьа месте вопросительных знаков
такие цифры, чтобы все число делилось на 9.
§ 23. Разложение чисел на простые множители.
Всякое составное число делится на какое-нибудь другое, на-
пример, 12 делится на 4. Сделав деление и получив частное 3,
можем написать: 12 = 4-3. Таким образом мы представили 12 в
виде произведения двух множителей, или, как говорят, разло-
жили 12 на множители.
Число 12 можно разложить еще на два других множителя:
12 = 2-6.
Разложите на множители числа: 18, 21, 28, Зб.
Возвращаемся к равенству 12 = 4-3. Из двух получившихся
сомножителей один (4) составной, другой (3) — простой. Составной
множитель 4 можно также разложить на множители: 4 = 2-2.
Вставив 2-2 вместо 4 в разложение двенадцати, получим:
12 = 2-2-3.
Теперь 12 разложено уже на три множителя, которые все про-
стые— мы сделали разложение 12 на простые множители.
Таким же образом продолжите сделанные вами разложения
чисел 18, 21, 28 и 36, пока не получатся все множители простые.
Разложение на простые множители небольших чисел де-
лается всегда так, как только что. показано, т. е. сначала разла-
гают число на два какие-нибудь множителя, а затем те из
них, которые окажутся составными, разлагают дальше. Все это
делают в уме и пишут только результат.
Примеры. 24 = (4-6) = 2-2-2-3; 56 = (7-8) = 7-2-2-2.
(То, что в скобках, обычно не пишется.)
Разложите на простые множители: 42, 54, 32.
Заметьте дальше следующие разложения:
10 = 2-5
100=10-10 = 2-2-5.5
1000 = 10-10-10 = 2-2 2 S-5-5.
Единица с нулями разлагается только на двойки и пя-
терки: их поровну и столько, сколько нулей при единице.
Не трудно затем разложить число в роде 300:
300 = (3-100) = 3 2-2-5 5.
Так же
14 000 = 2-7-2-2-2-5-5-5,
180=2-3-3-2-5.
Разложите еще: 2400, 9000, 540; старайтесь сразу располагать
простые множители в возрастающем порядке.
.Если множители числа не видны, пользуются признаками да),
лимости. Так, можно заметить, что 504 делится на 4; делаем де
ление и пишем: 504 = 4-126. Множитель 126 делится на 2, при-
чем получится Г", "" " ~
гак:
63, а 63 = 7-9 = 3-3-7. Все действие располагается
504 2-2
125 2
63 3-3-,
504 = 2-2-2-3-3-7.
записи в правом столбце помещаются числа, на
соседние с ними числа левого столбца, а строкою
в левом столбце получающееся частное. Для со*
При такой
которые делят
ниже пишется
кращения работы надо по возможности делить не на простые
множители, а на составные, признаки делимости на которые из-
вестны. Когда же все признаки делимости будут исчерпаны, про-
буют делить на другие простые числа: 7, 11, 13 и т. д.
В т еще примеры письменного разложения на множители:
945 5 1848 2-2 3718 2
189 3-3 462 2 1859 11
21 3-7 231 3 169 13-13
945 = 3-3-3-5.7 77 7-11 3178 = 2-11-13-
1848 = 2 -2-2-3-7-11.
Если число оканчивается нулями, то его сразу делят на
13
100, 1000.... выписывая
пятерок.
Примеры. 10 500
35
10,
сразу соответствующее число двоек и
2-2-5-5-3
5-7
10500 = 2-2-3-5-5-5-7
5850
117
13
2-5-5
3-3
13
5850 = 2-3-3-5-5-13.
62
упражнения. Разложите на простые множители следующие числа:
213. 45, 60, 64, 72, 81, 84, 90, 96, 98, 108.
214. 104, Ш, 112, 117, 128, 144, 147, 119, 121, 143
215. 6000, 1800, 250, 7200, 540, 15 000, 2700, 360, 5100, 810.
216. 816, 616, 972, 675, 288, 432, 1176, 968, 728, 2268.
217. 37800, 1620, 62 560, 6750, 64 8и0. 441000, 5750, 5250, 49500, 286 000.
§ 24. Наибольший общий делитель.
Когда число разложено на простые множители, то всегда
можно соединить эти множители в две группы и множители
каждой группы перемножить между ссбою. Так, 84 = 2 2-3-7.
84 = 2 • (2 • 3 - 7) = 2 • 42 84 = (2 • 2) • (3 • 7) = 4 - 21
84 = 3 • (2 • 2-7) = 3 28 84 = (2.-3) • (2 • 7) = 6 • 14
84 = 7 • (2 • 2 • 3) = 7 • 12
Из этих равенств следует, что 84 делится на 2, на 42, на 3,
на 28, на 7, на 12, на 4, на 21, на 6, и на 14. Вообще всякое число
делится как на все простые множители, на которые оно
разлагается, так и на произведения каких угодно групп
этих множителей.
Всякое число, на которое делится данное число, называется
ею делителем. Делителями числа являются как его простые
множители, так и произведения групп этих множителей.
Найдите все делители числа 210.
Возьмем теперь два разных числа 28 и 70. Нет ли у чих об-
щих делителей? — Разложив оба числа на простые множители,
замечаем общий множитель, он же общий делитель, 7.
Числа 60 и 42 имеют два общих простых делителя 2 и 3, а
следовательно, и составной делитель 2-3 = 6.
Найдите общие делители 80 и 90, 42 и 105.
Числа 120 и 90 имают три общих простых делителя 2, 3 и 5.
Общими составными делителями данных чисел будут
2-3 = 6, 2-5=ь10, 3-5 = 15, 2-3-5 = 30.
Самый большой из них (30) называется наибольшим общим
делителем (НОД). Он находится перемножением всех об-
щих простых делителей.
Найдите НОД чисел 126 и 210, чисел 48 и 84.
При некотором навыке часто можно бывает найти НОД в уме,
не разлагая данных чисел на простые множители.
Два числа, не имеющие общих делителей (не считая 1), назы-
ваются взаимно-простыми (не смешивать с простыми
<93
числами). Таковы числа 10 и 27, 28 и 25, 11 и 17. Всякие дв,
простые числа являются взаимно-простыми по отноше
нию друг к другу, но не обратно.
Упражнения. 218. Напишите все делители следующих чисел: 18, 30, 45
70, 36.
219. Найдите все общие делители следующих пар чисел, выписав предвари
телыю разложение этих чисел на простые множители: 36 и 54, 120 и 140, 48 и
36, 420 и 480.
220. Найдите в уме, не выписывая разложения на простые множители, все
общие делители следующих пар чисел: 50 и 70, 27 и 18, 16 и 24, 54 и 81, 60 и 72.
221. Найдите письменно НОД пар чисел: 216 и 504, 135 и 360, 112 и 168,
343 и 98b, 378 и 270.
222. Найдите в уме НОД: 18 и 24, 20 и 30, 42 и 60, 5b и 60, 56 и 64, 54 и
63, 63 и 84, 70 и 42, 140 и 260, 100 и 240.
* I
§ 25. Наименьшее общее кратное.
Число, которое делится на другое число, называется крат
н ы м этого числа; числами, кратными, например шести, являются
числа 12, 18, 24, 30 и т. д.; их бесчисленное множество, так так
они получаются умножением 6 на любое целое число.
Если даны два числа, например, 4 и 6, то для каждого из них
можно найти ряд кратных чисел:
кратные 4-х: 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,...
кратные 6-и: 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,...
Некоторые кратные оказываются общими для 4 и 6; таковы
12,24,36,... Самое малое из них (12) называется наимень-
шим общим кратным, или просто наименьшим крат-
ным (НК) обоих данных чисел.
Так как НК должно делиться на оба данные числа, то оно
оолжно содержать в себе есе простые множители, наг
первого, так и второго числа (§ 24).
Пусть надо найти НК 18 и 24. Разлагаем оба числа на про-
стые множители:
18 = 2-3-3
24 = 2-2-2-3
Если взять произведение 2 - 2 • 2 • 3 • 3, то оно будет делиться на
оба данные числа, будет их общим кратным, потому что из его
множителей можно выделить как группу, дающую произведение
18, так и группу, дающую 24. Если же во взятом произведечпи
отбросить хотя бы один из множителей, то произведение остав-
64
шихся множителей уже не разделится или на 18 (если стбро-
сить 3)» или на (если отбросить 2). Следовательно, получен-
ное произведение 2-2-2-3-3 = 72 есть наименьшее из общих
кратных.
Правило. Для составления НК надо взять произведение
простых множителей, входящих в данные числа, причем
каждый множитель надо взять наибольшее число раз, ка-
кое он встречается в разложениях данных чисел.
Для вычисления НК нет надобности перемножать по порядку
все входящие в него простые множители, потому что уже из-
вестно, что четыре первые из них дают произведение 24, и
остается только умножить 24 на 3. Множитель 3 называется до-
полнительным множителем для числа 24. Дополни-
тельный множитель — это тот множитель, на который
надо умножить данное число, чглобы получить НК. Для 18
дополнительный множитель будет 2-2 = 4. Понятно, что когда
НК известно, дополнительные множители могут быть найдены
делением НК на данные числа.
Вот запись нахождения НК и дополнительных множителей.
18 = 2-3-3 |2-2 = 4
24 = 2-2-2-3 3_____
НК = 2-2-2 -3 -3 = 72
Порядок действий: после разложения на множители данных
чисел выписываются множители НК, затем дополнительные мно-
жители и лишь после этого вычисляется НК умножением одного
из данных чисел на его дополнительный множитель.
Найдите НК и дополнительные множители для чисел 150 и
210, для 630 и 3675.
От общего способа нахождения НК можно и должно отсту-
пать в следующих случаях.
1. Когда данные числа взаимно-простые, например, 25
и 6. Тогда НК равно произведению данных чисел, и разложение
их на множители излишне.
2. Когда одно из данных чисел делится на другое, на-
пример, 84 и 21. В этом случае большее из чисел есть НК сбоих.
3. Когда в уме легко находится НОД данных чисел. Так,
Для чисел 30 и 40 НОД =10,
30=10-3|4
* .40 = 10-413______
НК= 10 • 3 • 4= 120
х
Б Еерг и др. Pi бочал ьннга по мат* латикс, 5-й год. 65
Все вычисление делается в уме. Порядок: находят НОД и де
лят на него одно из данных чисел: частное будет дополнителм
ным множителем для другого числа. Дальше ясно.
Пример. Чтобы найти НК 30 и 45, находим НОД = 15, делим
30 на 15 и множим 45 на 2.
Найдите так же НК для чисел 40 и 64, 26 и 60, 72 и 81.
Наименьшее общее кратное
трех и
более
чисел находится
теми же приемами, исключая последний. Даем гримеры
30 = 2-3-5 2-2-5 = 20
75 = 3-5-5 2-2-2= 8
24 = 2-2-2-3 5-5 = 25
НК = 2-2-2-3-5-5=600 (умножен^ 30 на 20)
Частные случаи.
1. Когда все данные числа взаимно-простое, например,
4, 5, 21 и 11, то НК = 4-5 - 21 -11=4620.
2. Если одно из данных чисел делится на все осталь-
ные, то оно и есть НК
Если одно из данных чисел делится на некоторые из осталь-
ных чисел, го последние можно вовсе не принимать в расчет
при нахождении НК. Чтобы найти, например, НК чисел 80, 30,
16, 120, 15, следует заметить, что 80 делится на 16, а 129 на 30
и 15. Поэтому находим (в уме) НК только для 80 и 120; оно
будет 240. Дополнительные множители для этих двух чисел 3 и 2,
для 16 в 5 раз больше, чем для 80, т. е. 15; для 30 в 4 раза
больше, чем для 120, т. е. 8; для 15 дополнительный множи-
тели 80, так как для 80 уже найдено 15.
Упражнения. 223. Напишите псе двузначные числа/- кратные каждого из
следующих чисел: 20, 12, 17, 15, 29. -
224. Напишите по три общих кратных 3 и 5, 7 и 12. 2, 5 и 10, 3, 5, и 10.
225- Найдите в уме НК и дополнительные множители следующих пар чисел,
поят зуясь их НОД: 25 и 30, 14 и 21, 49 и 56, 40 и 50, 50 и 75, 42 И 48, 24 И 32,
30 и 48, 72 и 90, 44 и 55, 120 и 210, 150 и 1000.
226. Найди.е НК и дополнительные множители следующих чисел:
1) 24, 36, 60.
2) 4?, 56, 70.
3) 36, 12, 48, 72.
227. Найдите в уме НК
4) 48, 210, fO, ю.
5) 104, 155, 208.
6) 35, 33, 21, 44.
7) 12, 16, 45, 81.
8) 480, 360, 900.
9) 300, 450, 750, 625.
и дополнительные множители следующих чисел.
1) 2, 3, 5, 11.
2) 2, С, 7.
3) 3, 4, 8.
4) 5, 10, 15.
5) lt’0, 400, 700.
6) 90, 120, 40.
7) 5, 20, 8, 24.
8) 36, 12, 72, 18.
9) 4, 11, 16, 22.
66
§ 26. Пооиехожденме дроби. Основное свойство. Сокраще-
ние дробей.
Дробь, например, у, может быть получена двояким )бразом:
1) единица разделена на 5 равных частей, и таких частей взято 3,
2) 3 разделено на 5.
Второй способ получения дроби сводится к первому, потому
что Для разделения 3 единиц на 5 мы каждую из 3 единиц де-
_ „13
лим на 5, причем от каждой получится у, а от всех у.
Знаменатель дроби показывает, на сколько частей раз-
делена единица, числитель—сколько таких частей взято.
Знаменатель указывает наименование долей единицы, числи-
тель — число долей.
С введением дробей сеяное деление становится возмож-
ным— не только большего числа на меньшее, но и меньшего
на большее. Всякое же деление может быть сделано без остатка.
Примеры. 3:8 = |; 127:214 = .^; 37:5 = 5-|.
Дробь, которая меньше единицы, называется правильной;
у такой дроби числитель меньше знаменателя (почему?).
Примеры.
Дробь, которая равна или больше единицы, называется не-
правильной; у нее числитель или равен, или больше знаме-
нателя (почему?).
Г, 7 7 257 623
Примеры. ?; 5; 21д.
Неправильная дробь может быть превращена в смешан-
ное число исключением из нее целой^части. Обратно, смешан-
ное число можно превратить в неправильную дробь.
П 17 о5 о 7 43
Примеры. б- = 2^-; 3^=^.
Если числитель дроби увеличить или уменьшить в не-
сколько раз, то и вся дробь увеличится или уменьшится
во столько же раз, потому что доли остаются такие же, а
число долей становится больше или меньше: у в 3 раза больше,
чем 4; 4- вдвое меньше, чем
/О о
Если знаменатель дроби увеличить в несколько раз,
дробь во столько же раз уменьшится, а если знаменатель
Уменьшить, дробь увеличится во столько же раз. Это объ-
s с?
ясняется тем, что с увеличением знаменателя доли становятся вс
3 3 1
столько же раз мельче: сравнивая у и заметим, что десяты
доли вдвое мельче пятых, а так как и тех и других берется по
з з
три, то тн вдвое меньше, чем
* 1U о
Для объяснения изменения величины дроби с изменением чи-
слителя и знаменателя можно также рассматривать дробь, как
частное, числитель — как делимое, знаменатель — как делитель.
Основное свойство дроби. Величина дроби не ме-
няется, если ее числитель и знаменатель умножить или
разделить на одно и то же число.
Объясните сами это свойство.
Основное свойство дроби дает возможность сокращать
дробь — уменьшать ее числитель и знаменатель делением на об-
щие делители. При этом нет надобности находить НОД, а можно
сокращать постепенно на те общие делители, которые броса-
ются в глаза, но стараться брать более крупные.
п 144 36 3
Пример. 1у2 4g 4.
Дробь, которую можно сократить, всегда
быть сокращена.
долж1 ia
, „ 37
дроСгй:
о
Упражнения. 228. Исключите целые числа из неправильных
45 72 89 97 135 756 1027 4113 7178
И’ 13’ 16’ 18’ “19 ’ 41 ’ 128 ’ 196 ’ 151 ’
229. Обратите в неправильные дроби: 5-—, 4^, Юу|, 2 — .
..13 чт19 1ПЧ15 9._$3
45 29’ 5142’ 103 32’ 216 80’
ооп „ 8 12 18 30 56 27 84 81 126 120
230. Сократите: lg, lg, 2?, 4b> м> 72, дб> -]()8. ш> 2gg.
„ 60 64 36 180 64 75 150 160 384 750
231. Сократите: 72» 84« 16. 480» 128> 22а- 5ио» 2Щ’ t40’ 18.’5’
. 52 _98_ Ц7 Щ Ц5 119 J43
232. Сократите: у^, yj, 1(.д, 1у6, 133> 203> lg/, llBJ.
233. Следующие частные представьте в виде
; сокращение и исключите целые числа:
161 Др 6;4
.’2 го
дробей, сделайте, где ™ожно
1) 28:36 2) 75:144 3) 1028:320 4) £6:100 5) 118:24
65:35 216:84 85:48 27:32 15:200
§ 27. Сложение и вычитание дробей.
Вам уже известны следующие два правила сложения и вычи
тания дробей:
68
Правило 1. Для сложения или вычитания дробей с оди-
наковыми знаменателями надо сложить или вычесть чи-
слители и оставить тот же знаменатель:
7 + ? — ? у ~ 9 - 9 ’
Объясните, почему так делается.
Правило 2. Для сложения или вычитания дробей с раз-
ными знаменателями надо привести их к общему знаме-
нателю.
Как привести дроби, например, и к общему знаме-
нателю?— Величина дроби не меняется только при таком изме-
нении ее внешнего вида, когда числитель и знаменатель увели-
чиваются или уменьшаются в одинаковое число раз (§ 26). Так
как данные дроби несократимы, мы можем только увеличить
их числители и знаменатели, умножив их на некоторые числа.
Так как общий знаменатель получится от умножения данных зна-
менателей на какие-то числа, то он должен делиться на
каждый из знаменателей 24, 36, 32, быть их общим кратным.
Всякое общее кратное может быть общим знаменателем, но всего
проще взять наименьшее общее кратное. Те же множители,
на которые придется множить данные знаменатели (и числители),
не что иное, как дополнительные множите ли. Отсюда
следующее правило:
Правило 3. Чтобы привести дроби к общему знамена-
телю, надо найти НК знаменателей и умножить числи-
тели на дополнительные множители (знаменатели при этом
множатся сами собою).
Во взятом выше примере НК = 288, дополнительные множи-
тели 12, 8 и 9, а потому.
7 _ 84 . 5 _ 40 . 9 __ 81
24 ~ 288’ 36 288’ 32“'288*
Если эти дроби надо сложить, то действие записывается так:
is в о
т\_ 54 . _84-ь404-£1 _205
24 "г 36 *53 288 L88'
(Рядом должно быть записано нахождение НК, когда оно не
делается в уме.)
После сложения, а также и вычитания дробей, необходимо
всегда посмотреть, не сокращается ли результат.
69
При нахождении НК знаменателей надо всегда, когда можн<
применять упрощения, указанные в предыдущее параграфе. Обр;
щаем особое внимание на случай нахождения общего знамен:
теля двух дробей при помощи НОД обоих знаменателей.
Сложение и вычитание нескольких дробей обыкновенно
годнее делать одновременно, приводя все дроби к общему
вы
зна

менателю.
1о о
Пример.
11 ,9 8 ПО — 81— 95_ 95 19
18 *20 15 ~ U0 ~180~ 86
Для сложения и вычитания смешанных чисел над
складывать 'и
вычитать
отдельно
целые и
Сродные
части
46
ГТ - к И п 3 . 5 44 — 9 — 75 ,80 ,2
П р и м ер. 5 Зи ?4и 1 3 112и“’ 1 з ’
Упражнения. Выполните следующие действия:
231 И-4- — 4-2—• 4П + 3-5-
30 75’ 80 ‘45’ 81 оЗ’ 90+ 36'
по- — Д- И I24-25- 39 ! яИ^д-О1!3
да’й"ГСЬ’ 35 42’ 56 64’ Mj"1" 1ЫГ
ЭТЙ А I ±. —oi9- 22_1_ А. 21-31
6842’ 66 72’ 27 36’ 160 200'
ll-l-l R33 —]И 15_13. _£ 101
7' 1 15 + 25’ °-50 7а’ 28 49’ 360 + 270’
Найдите неизвестное число:
19
78 J
7 1
238.х+1гЛ) = 2-0
о„„ „ 17 97 . 18
^ЗЭ'4121=-143 + Х’ 175
Выполните следующие действия:
240.
_5 . ,
“52’ £
= 21‘
7о‘
13 , 62
42=X+IW'
1 1
130 wo
241
242.
24?
11_ , 2
12 9 "* 4 '
_1+А.
9Т4
77 . 23 19 29 95
"19з: 24 66 + 44+ 13^
qA-lZ+lA-al-
16 40 г 8 15’
244.
245.
49 11 13. 9 61 33 .
90 ”* 15 ‘ 18 ’ 40 * 104 520 ’
Ад-1 А- Ад_А_А- А
3 + 4 + 5 ’ 11 + 13 17’ 11
43 31 26 37. 15 32 23
56 ‘ 40 35 + 42 ’ 26 ‘39 65
1П 7 , , 5 „11 . .25
1060 + 512 818+436’
4+4+5ъ- 2й-
1 13 , 1 , 17 59 . 2,5,7,1,11
20+15+ 9 ‘30*180’ 15 +12^ 48+ 4 + 18'
3. £,11 19 27 £. п£__92_4_оА__1± , Я1 , П
5 +10 + 25 + 20 + 50 + 4 ' 11 8 2 2 6 1 5 + 3 + 112
70
J’x Л л! 112.n43 in53
246- 16 jo + 5 20 410 1 25 + 650 10e0"
/ 3 0 171 / 127 _ 1271 , „ 47
247- (6 25 2 Ю0, V 135 ' I8'j) + 8 21q '
,D fl , 1 1 V I a23 („ 7 T JI
240.^0-89 4z) + “56 \260 1 70/ ’
ИННИНН-
§ 28. Умножение и деление дроби на не ное число.
Вы знаете уже следующие два правила:'
Правило 1. Чтобы умножить дробь на цело? число, надо
умножить на это число ее числитель или разделить зна-
менатель:
А 9—12 2 и 2
13'Z—13’ 15* °-5J
Это правило вытекает из свойства дроби, изложенного в § 26.
Какого?
Правило 2. Чтобы разделить дробь на целое число, надо
разделить на это число числитель или умножить знаме-
натель:
£.4ег2. 3.2 3
11’* 11» 1 14"
На каких свойствах дроби основано правило деления?
Из сравнения обоих правил можно вывести заключение, что
оба действия, умножение и деление дроби на целое число, ыо-
71
гут быть сделаны как помощью умножения,
то действие, которое требуется сделать
над ее числителем при неизменном
значение знаменателя и числителя, § 26)
так и помощью оеленип-
над дробью, делается
знаменателе (вспомните
или делается обрат-
неизменном числителе.
ное действие над знаменателем, при
Так
как деление числителя или знаменателя возможно лишь
в редких случаях, то гораздо ’ чаще делается умножение. При
этом до вычисления произведений сокращают, в случае воз
можности, их множители.
Примеры.
* 2
24 тп—24”3—^5—о А- 12. 1й_ 42 _2
25'1и~ 25 ~ 5 ~ 5 ’ 17 ' 1б~17 —51 *
5 3
Для умножения смешанного числа на целое и обратно мно-
жат отдельно целую и дробные части:
2
3^-6 = 18^ = 294-
15 5
5
Так же псступа'от и для деления, но лишь когда целая
часть делится на делитель:
1б£: 8=2 1.
4 32
Упражнения. Сделайте следующие действия:
?1 I04: 4s
Ч-
4-
259. — • 2;
О
О
260. 4-5;
О
2И.А:2;
4-—; И
7 ' 12
6-4 4:91
• 54; 150 -Д.
12 27 65
14; .^.36,
18.... 17. ЮО 36
25:15: 42 ‘5б: 101 • 160; й'91-
б-4:101:5; 25-4> 100S’27
8 12 4 4
134-12; 10; 56^:8; 36 у
1 с.
262. 25;
1о
263. 18-4;
4
264. 1^-3;
7
265. 24:2;
о
12.
12
§ 29. Умножение на дробь.
Правило 1. Чтобы умножить какое-нибудь число на
дробь, надо умножить его на числитель дроби и разде-
лить на знаменатель.
Правило может быть выведено тремя разными способами.
1. Перестановкой сомножителей:
204=4-20= ^.
2. Изменением множителя: от умножения 20 на 3 получается
произведение 20 • 3; если множитель уменьшить в 4 раза, произ-
ведение также должно уменьшиться в 4 раза.
3. Решением задачи, требующей умножения на дробь. Поло-
жим, например, что 1 «г товара стоит 20 коп.; чтобы узнать
стоимость другого числа килограммов, умножаем 20 коп. На
это число: 2 кг стоят 20 • 2 коп., 7 кг стоят 20 • 7 коп. и т. д. кг
стоят 20 • -j- коп. С другой же стороны, чтобы найти стоимость
з - I /20 \
-2- кг, можно сначала наити, сколько стоит кг (у коп.), а потом
и 4- кг ^•3=-,Р коп.) Таким образом, оказывается, что 20 • —
Обратим теперь внимание на смысл умножения на дробь.
Вспомним, что умножить на целое число значит увеличить
множимое в несколько раз, или повторить его несколько
раз слагаемым.
Умножить на дробь значит найти от множимого
часть, которую показывает множитель. Именно поэтому
от умножения на правильную дробь, как было во взятом
примере, получается произведение меньше множимого. От
умножения на 1 получается столько же, сколько было. От умно-
жения на число, большее единицы, целое или дробное, получается
больше, чем было множимое:
20 4=^=36
20- 2у=50.
Обратно, нахождение части от данного числа может
быть сделано умножением числа на дробь, показывающую,
2
какую часть надо найти: чтобы найти у от 12, умножаем
12 на
V
73
В предыдущих примерах мы брали множимое целым. Но егл
можно взять и дробным. Так, по правилу 1:
4 2/4 оЪч — 4‘2-8
7 3 ~\7 ’ z/,o~7.3~2r
Получается следующее правило умножения дроби на дробь.
Правило 2. Чтобы перемножить две дроби, надо пере-
множить между собою их числители и перемножить
знаменатели.
Если возможно, надо до вычисления произведений сделать
сокращение.
Пример.
4 1
8 3 _ $»_ 4
15 ' 2 15 -2 5 "
I
Для перемножения двух смешанных чисел надо превратить
их в неправильные дроби.
Упражнения. Произведите следу ишие умножения:
7 8_ 29. 25 17 25 108 25
2Gb' 9'8’ 9 ' 32 ’ 36 ' 5 ’ 20'31 ’ 205'72'
2 А- А А- А 5 А 11- !£ 27
5 " 3 ’ 13 ' 4 ’ 15 ‘ 16’ 82 ‘ 60’ 93 ‘ 92'
^44=4-4= 4-4
-g-4 4-4 4-44
_Ю 5
7 21 V
я17 к3
8Т8'6Т-
270. Найдите: А от 40; от 96; А от <7; А от зА; А от 12
О о 4 1о / У
А от А - 0.7 от 8; 0,34 от 6; 0,215 от 0,5: 0,69 от 1,2.
11 о
Вычислите:
1 2 3 с 1 3 _ _ 1
271‘ 2 ' 3 ' 4 ’ 8 “3 ' 25'5 ’ 6 4
4 3 5 1 .
‘с/х‘ 5 ' 8 ' 6 ' 2 *
273. А .А-. А.А;
4 3 5 3
274. зА -4-1.3А;
о О о
- 1 ,1 с 1 , 3 .
5Т* 1Т'5Т*813*'4’
_ 1 56 10 _ 3 25
7 * 135 ' 11' 8 ' 28”
3 6 .11 .13 6
85Т'6Т' 1Т6‘ 427‘П’
74
§ 30. Деление на дробь. ’
Положим, что надо разделить 30 на . Увеличив делитель в
30
8 раз, получим 30:5= г-. Но это частное в 8 раз меньше, чем
тт ол 5 30 о Зл. 8 .о
надо- Частное же от деления 30 на будет -g->8=—g—= 48.
Получается следующее правило:
Правило. Чтобы разделить кокое-кчбудь число на дробь,
можно умножить это число на обратную дробь, или умно-
жить на знаменатель и разделить на числитель.
Чтобы разделить на дробь, приходится делать действия обратные
тем, которые делаются для умножения на дробь. Так же обратен и
смысл этого действия: делением на дробь находится (все) не-
известное число по данной его части-
1 2
В самом деле, пусть неизвестного числа равны 12. Тогда,
О
обозначив неизвестное число через х и помня, что для нахожде-
2 2
ния от х надо сделать умножение, можем написать х--^-=12.
о о
А для того, чтобы найти неизвестный сомножитель, надо разде-
2
лить произведение на другой сомножитель: х=12:-^-.
О
Упражнения. Разделите:
275. 5;1;
4
276. 1:1;
18 4
£.11
7 ’’ 14
£.£. • 8.£. 0.24. ...35
2'6’ 9’8’ Ь:25’ ^"Зб"
£. 3 . S .£. 23. П 16.32
5 ‘ 5 ' 18"’ 9 ’ 56’14* 25’45"
я 3 . 1 .
6g-4-;
4£Л
5 39
277. 8:4 г: i
278. б|4;
Найдите число.
279. ~ которого равны 12;
5
12
3
7
з
281. -о- которого раины 20;
о
3
5
11
15
40;
4 А
4 5 8 ’
_ 18 6
535:Т;
. . 3 4^1 Я I • О 3 . с 5
46’4-5* 348:83-; 8Т’58-
51.5И- 26^-21Н- 191'11
5 13” 14’ 2°16 144’ 1У6’‘12’
4
250. — которого равпы
8
9
£
3
8
27
Чг
4
4=
4-
Найдите пеизвестпое х:
282. 1-? =6:х; х:3~=4-^; 6=х-2-%-.
3 4 1э 7
Вычисли’, е:
^6
4-('
84+(5,1Т
301
_________________________64;5п)
4-4 ' 4
301. На 72 */s коп- можно купить 11 кг некоторого товара. Сколько дадут на
58 коп? 21
302. Пешеход прошел км в 10 минут. Во сколько мппут он пройдет I км)
303. Товар вместе с упаковкой (брутто) весит 165 кг. Вес упаковки (тара)
о
составляет чистого веса товара (нетто). Сколько весит товар ?
1о
304. В 1928 г. площадь посева в СССР была 112 миллионов гектаров, из toro-
5
рых -у приходилось на РСФСР. Сколько гектаров было засеяно в РСФСР?
305. В 1926 г. рабочих и служащих в СССР было около 2,4 миллиона, а без-
7
работных приблизительно yg этого'количества. Сколько было безработных?
306. Рабочее время (8 час.) составляет всего времени, которое рабочий про-
водит иа фабрике, а остальное идет на обед. Сколько времени полагается на обед?
4
307. Из бочки, содержащей 960 л vdwi, отлито . Сколько литров воды оста-
лось?
7
303. Машинистка переписала рукописи в час. Во сколько времени опа пе-
реп.шгет зею рукопись?
7
309. Который теперь час, если от начала дня прошло суток?
7
310. Сырое дубовое дерево содержит воды своего веса и, чтобы оно доста-
3
точпо высохло, olio должно потерять -г?- этой воды. Сколько будет весить после та-
О
кой просушки кусок сырого дуба в 324 кг)
' г, 1111,
311. Крестьянин продал сначала -g~, потом —, — и gg сотраппого им сепа,
после чего у пего осталось 8,9 топпы. Сколько сепа он продал?
312. Хозяйка купила 32 кг муки и израсходовала в первую неделю всей
5
муки, а -во вторую остатка. Сколько муки осталось у нее после второй педели’
О
313. Найдите два числа, из которых одно в 2£/« рала больше другого, а сумма
обоих чисел равна 42.
7
314, Если к неизвестному числу прибавить гтг иго же числа, получится
1о
2
66 Найдите это число.
О
315. Для прокормления лошадей купили сепа и в первый месяц израсходовали
7 5
всего купленного сепа, во второй yg, в третий — оставшиеся 1340 кг. Сколько
было заготовлено сена? ,
77
316. На фабрике рабочих мужчин па 63 больше, чем женщин. Число жени,и 1

составляет у всего числа рабочих. Сколько работает мужчин и сколько жепщйн?
317. У мальчика недоставало на покупку коньков 0,3 их стоимости. Когда же ,
родители подарили ему 3 руб., то оп не только купил коньки, но и oi дожил 60 коп.
на другие расходы. Сколько стоили коньки?
318. Когда Пифагора (великий математик VI века до нашей эры) спросили
о числе его учеников, он ответил: «Половина моих учеников изучает математику,
четвертая часть занимается изучением природы, седьмая часть проводит время в
безмолвном размышлении; остальную часть составляют три дебы“. Сколько было
уче иков у Пифагора?
§ 31. Дроби простые и десятичны?.
Всякую простую дробь можно превратить в десятичную.
Общее правило. Для превращения простой дроби в оеся-
тичную, надо делить числитель на знаменатель. Если де-
ление окажется бесконечным, его прерывают, когда полу-
чится достаточнее число десятичных знаков. п
Правило объясняется тем, что дробь можно рассматривать как
частное от деления числителя на знаменатель (§ 26).
Примеры.
5 3
g= 0,625 (точно); у = 0,43 (приближенно до сотых долей);
з
У = 0,429 ( „ тысячных „ ).
Но очень часто обращение простой дроби в десятичную де- J
лается гораздо проще.
1. Пя тые доли превращаются в десятые умножением числи-
4 8
теля на 2, например, y = JU=0,8.
Таким же образом пятидесятые доли, пятисотые и т. д. обра-
щаются в сотые, тысячные:
Двадцать пятые, двестипягидесятые доли обращаются в сотые
и тысячные умножением числителя на 4:
g = 0.72; |g = 0,868.
2. Необходимо запомнить:
78
у = 0,5'. А- = 0,25, 1 = 0,125',
1 = 0,75.
Зги десятичные дроби получаются последовательным делен нем
пополам единицы, а ^- = 0,25-3.
о I
Зная, чему равна находим умножением:
1 = 0,375; 1 = 0,625; = 0,875.
О О О
Дроби, имеющие знаменателями 2, 4 или 8 с нулями и не-
большие числители, получаются из предыдущих делением на 10,
100, ЮОО,.
Примеры.
1 = 0,75:10 = 0,075; — = 0,875:100 = 0,00875.
При больших числителях сначала делим числитель на знаме-
натель (оставим в нем только значащую цифру, конец § 14), а
когда будут снесены в остатки все цифры делимого, прекращаем
деление и выписываем остальные цифры частного (или только
часть их, когда этого достаточно), полсзуясь известными уже ре-
зультатами деления однозначных чисел. Так, чтобы превратить
г’-‘ в десятичную дробь, делим 6,13 на 8 и получаем сначала 0,76
и в остатке 5; а так как 5:8 = 0,625, то 11 = 0,76625.
оии
Делением восьмых долей пополам получаем шестнадцатые.
Пример.
{J = А +1 = 0,5 + 0,375:2 = 0,6875.
Надо запомнить также:
1=0,333. ,;-А = 0,111...
о у
Это — бесконечные дроби с повторением одной и той же ци-
фры, так называемые периодические. От них берем всякий
раз столько цифр, сколько потребуется.
9
Умножением предыдущих дробей получаем у и какое угодно
число девятых долей. При отбрасывании лишних цифр не следует
79
забывать усиливать, когда надо, последнюю из остающихся цифр!
например, брать —=0,56, а не 0,55.
Делением третьих и девятых долей на однозначные делители
легко получить шестые доли, пятнадцатые и другие (какие еще ?).
Делением половины, четвертей и восьмых на однозначные
числа можно получить двенадцатые доли, четырнадцатые и пр. I
Делением третей и девятых долей на 10, 109, 1000 получаются]
тридцатые доли, девяностые и т. д.
Возможны и другие упрощенные способы превращения про-
стых дробей в десятичные. Отыскание их предоставляем уча-|
щимся.
Когда в вычислении встречаются простые дроби вместе с де-
сятичными, то по большей части выгоднее превратить простые
дроби в десятичные, беря, конечно, при этом не больше деся-
2
тичных знаков, чем требуется. Так, для вычисления суммы -д- +
4- 0,345 4-1 берем -| = 0,667 и у = 0,571.
Во многих случаях (но не всегда) бывает выгодно перейти от
простых дробей к десятичным, даже когда в числе данных нет
ни одной десятичной дроби.
Пример
(о 17 . 3 . И . (7 . о 2 \
Г19 Г 25 -г 12;\8
133 752
Вычисление в простых дробях дает результат 267 цуг Если же
все дроби обратить в десятичные до сотых долей и действовать
по правилам приближенных вычислений, получится ответ 0,645,
отличающийся от вышеприведенной „простой" дроби меньше,
чем на 0,001. Проделайте сами вычисление обоими способами,
чтобы убедиться, насколько второй способ проще первого.
Упражнения. Превратите в десятичные дроби:
41Q2i. iA. is?.9^221. Ч47- nnlL? Ч9п1-A- 7. 3
50’ 5 ’ 500 ' 5000 ' 50’ 500' 20’ 80’ 45’ §00’ 4000*
13 257 5 . 1913. 73. 163. 11. „1091. ,,6727
“'* 40’ -ztO’ 16’ 2000’ 80’ 200’ 16’ *4000’' 8000*
Превратите в десятичные дроби с точностью до тысячных долей:
Л- 1±. А- А- ч4.- 7 . п. 13. 4 . £
9’ 6’ 3’ 18’ 95’ Ь0’ 30’ 27’ 2Г 63*
£
7 ’
32 J.
3.510 25. 51
П ®Т’ 13: 43’ 94’
80
5 3 1_. 11. 37
S24- J2: 16; 20’ 45’ 80'
113. 193. 53 . 3, „10
э* 120' W *60’ 2F’ ЧТ
Сделайте вычисление приближенно, сохраняя простые дроби лишь тогда,
когда это упрощает работу:
326. (з| + 2у) 111 - ^>472 +1 А)
2 у. 327.
6,2-1+2,64
L7----А___
72+|
^T+n"^*^872)'
~ + 0,4 + 0,375).!
329.
1.72
3
337.
1-га+4+4
(1,05+4,1)-0,625’
7 15
310. Отправив товарный поезд, идущий со средней скоростью 18,7 км в час,
начальник станции получил извещение о неисправности пути па 10-м километре
и, чтобы вернуть ушедший поезд, через 13 мин. о. правил за ним по второму пути
дежурный паровоз, который может делать 56 км в час. На каком расстоянии па-
ровоз догонит поезд?
341. В пекарне было 824 кг муки, и привезено еще 87 мешков по 70,2 кг
“аждый. На сколько дней хватит этой муки, если вскарпя выпекает в день по
3
318 кг хлеба, а на один килограмм хлеба идет — кг муки?
342. Обыкновенная крестьянская курица в среднем песет в год 72 яйца ве-
сом 0,051 кг. Курица хорошей породы песет в год 260 яип, весом каждое яйцо
2
в 1-н- раза больше. Во сколько раз вес яиц, спесепных хорошей курицей за год,
о
окажется больше веса яиц, снесенных плохой курицей?
в Берс и др. Рабочая кпига по математике, 5-й год.
81
343. По старому Урочному Положению для окраски железной крыши р^
валось на каждую квадратную сажень */3 фунта замазки, фунта олифы к
1 фунт масляной краски. Сколько (в метрических мерах) этих веществ нужно
окраски одного квадратного метра крыши?
344. Утолщение к комлю (место среза у пня) еловых и сосновых бревен це
должно превышать длины бревна, иначе бревно бракуется. Следует ли забра.
ковать бревно, которого длина 21 метр, толщина у комля 56 сантиметров, а у г рх.
пего отреза 41 сантиметр?
345. Кровельное железо выпускалось раньше пачками по 20 листов, весом по
5 пудов каждая. Размеры листа были: 2 аршина х 1 аршин. Сколько килограммов
весил один лист? Если такой лист оцинковывался, т. е. покрывался тонким слоем
цинка, то пес каждого квадратного аршина листа увеличивался на I1/* фунта.
Сколько грамгов весил один квадратный дециметр оцинкованного листа ?
ГЛАВА IV.
УГОЛ И ЕГО ИЗМЕРЕНИЙ. ПОСТРОЕНИЕ КРУГОВЫХ
ДИАГРАММ.
§ 32. Содержание главы.
Вы умеете рассчитывать и вычерчивать столбчатые диаграммы.
В некоторых случаях пользуются диаграммами другого вида. На-
пример, надо изобразить диаграммой состав по полу учащихся
школьной группы, в которой имеется 18 девочек и 22 мальчика.
При изображении столбчатой диаграммой один взгляд на нее по-
кажет, что мальчиков в этой группе больше, чем девочек. Но
по двум начерченным столбикам без предварительного подсчи-
тывания не видно, как велика вся группа и какую часть группы
составляют мальчики и девочки. Столбчатая диаграмма этого не
дает. В таких случаях для составления диаграммы пользуются
не отдельными столбиками для каждого числа, а берут поямо-
уюльник, квадрат или круг и делят его на части соответственно
тем числам, которые желают изобразить.
Обычно такие диаграммы связаны с процентными расчетами.
В нашем случае девочки составляют 45°/о и мальчики 55%, и для
составления диаграммы удобно взять квадрат со стороною в 10 ли-
нейных единиц и п лощадью в 100 квадратных единиц; тогда каждая
квадратная единица составляет 1%. Такие процентные диаграммы
довольно удооно составлять на клетчатой бумаге.
Наиболее часто процентные соотношения изображают кругами,
разделенными на части. Чтобы научиться рассчитывать и вычер-
чивать круговые диаграммы, необходимо изучить круг, его свой-
ства и способы разделения на части.
Знакояясь в этой глаье с кругом, мы одновременно познако-
мимся более подробно, чем это было в г.урсе школ I ступени,
с углами и их свойствами.
ft
83
§ 33. Прямой угол; перпендикуляр; острые и тупые углы.
Найдите на предметах школьной обстановки прямые углы. Возь-
мите уровень (или ватерпас, см. черт. 72, 73) и отвес и на вертц.
кально повышенной классной доске проведите горизонтальную й
вертикальную линии и определите, какой угол они образуют. Кд-
кой угол на той же доске образуют горизонтальная и наклонная i
линии? Можно ли на наклонной доске начертить прямой угол
так, чтобы одна линия, его образующая, была горизонтальна?
Пользуясь линейкой, начертите в своей тетради несколько таких
углов, чтобы на глаз можно было различить, который из них пря-
мой, острый и тупой угол.
Для изготовления модели прямого угла возьмите лист бумаги
и перегните его два раза, как указано на чертеже 12, где пунк-
тиром обозначены линии пере1иба. Прямой угол чертится или при
помощи изготовленной таким образом модели, или при помощи
особого чертежного треугольника. Рассмотрите ваш чертежный
треугольник и укажите на нем линии, которые образуют прямой
угол.
Проверка чертежного треугольника (иногда называемого просто
угольником). Прежде чем пользоваться покупным чертежным треугольником, его
необходимо проверить. Делается это следующим образом. Остро очиненным ка-
рандашом чертят на бумаге прямую линию. Приложив к этоЗ липни угольник,
проводят вторую линию под прямым углом к перво!. Перевернув угольник дру-
гой стороной проводят новую линию под прямым углом к первой так, ч.обы на-
чало ее совпадало с предыдущей. Если обе проведенные линии совпадут на всем
своем протяжении, угольник изготовлен правильно. Если же на некотором рассто-
янии липни начнут расходиться, угольник изготовлен неправильно и не дает пря-
мого угла. Проверьте свой угольник.
Две прямые линии, встречающиеся под прямым углом,
взываются взаимни-перпендикулярными линиями.
Про каждую из этих линий говорят, что она является пер-
пендикуляром по отношению к другой линии.
8С
Проводимые на бумаге линии обыкновенно обозначают буквами
читинского алфавита, поставленными на концах линии (АВ, CD
и т Д-)- Для обозначения угла обычно пользуются тремя буквами.
Одна из них ставится в общей точке и две другие на концах
ии'ий, образующих угол. Общая точка называется вершиной
угла, а линии, образующие угол, сторонами угла. При за-
писи угла тремя буквами букву, обозначающую вершину, ставят
в середине. Так, например, угол ВАС обозначает угол с верши-
ною в точке Л и сс сторонами АВ и АС. Слово угол при записи
заменяется знаком „А“. Например, угол ВАС записывают так:
ВАС. Иногда угол записывается одной буквой, поставленной
при вершине, например, Z В.
Вместо записи „прямая АВ перпендикулярна к прямой ВС“
пишут кратко АВ Л. ВС, заменяя слово „перпендикулярна" зна-
ком „_L“.
Упражнения. 346. Проведите в тетради прямую линию, отметьте па пей не-
сколько точек буквами и в каждой точке проведите прямые, перпендикулярные
к первой. Начертите их так, чтобы часть перпендикуляров была расположена по
одну сторону прямой и часть по другую Под чертежом запишите, какие линии
взаимпо-перпепдикулЬрвы.
347. Начертите прямоугольник, обозначьте вершины буквами и запишите все
образовавшиеся прямые углы и все взаимио-перпендчкулярпые линии.
348. Пользуясь одной линейкой, начертите на-глаз две взаимно-перпендику-
лярные линии. Обменяйтесь чертежом с соседом и проверьте правильность чер-
тежа угольником.
349. Полозуясь одной линейкой, пачеотите па-глаз острый и тупой углы. Про-
верьте чертеж угольником.
350. Проведите прямую линию. Вне ее по обе стороны отметьте несколько
точек. При гомоши угольника через каждую из отмеченных точек проведите пер
пендикуляр к прямой.
§ 34. Круг и его части.
Начертите при помощи циркуля окружность радиусом 5 см.
Припомните, какая разница между названиями: круг и окружность
Через центр круга проведите поперечник круга, называемый д и а-
метром. Во сколько раз диаметр больше радиуса?
Проведите два диаметра под прямым углом. На какие части
разделится круг? Сколько процентов каждая часть будет соста-
влять от всего круга?
Изобразите частями круга сравнительную величину дробей
85
Сколько углов образовалось при пересечении двух диаметров?
На сколько частей разделилась окружность двумя диаметраJI
пересекающимися под прямым углом?
Часть окружности называется дугой. Начертите дугу в поло-
вину окружности. Начертите дугу в четверть окружности.
§ 35. Построение угла, равного данному.
При копировании чертежей и планов часто поступают та-J
ким образом. Подкладывают под чертеж чистый лист бумаги и
осторожно прокалывают вершины всех углов чертежа острием
циркуля или булавкой. Соединив отмеченные точки линиями, мы
получаем все углы, имеющиеся на оригинале. Скопируйте таким
образом несложный чертеж.
Указанным способом не всегда можно воспользоваться, так
как чертеж или план является ценным документом, и прокалы-
ванием его можно попортить. Нужно уметь делать копии, про-1
изводя на плане одни измерения. В этом случае надо уметь пе-
реносить на копию все углы, имеющиеся на плане. Положим,'
надо скопировать угол ВАС (черт. 13) и перенести его таким
образом, чтобы вершина была расположена в точке At и одной
стороной являлась линия (черт. 14). Принимая вершину угла
ВАС за центр, проводим дугу радиусом произвольной длины
(как позволяет чертеж), чтобы она пересекала обе стороны угла.
Не ментя расстояние ножек циркуля, проводим дугу из новой
вершины Д, как из центра. Измеряем циркулем расстояние (£>£)
между точками пересечения первой дуги и сторонами угла, берем
это расстояние радиусом и делаем засечку на второй дуге,
приняв точку Д за центр. Соединяя точки Л, и О, прямой ли-
нией, получаем угол В^^, равный углу ВАС.
Упражнение 351. Скопируйте тупой угол
352. Скопируйте произвольный четыреугольник или пятиугольник.
8G
§ ЗР. Построение суммы и разности двух углов.
Взяв два угла, постройте их сумму, пристраивая один угол к
другому, как показано на чертежах 15—17.
При построении суммы нескольких углов каждый последую-
щий угол пристраивается к предыдущему.
Постройте сумму трех углов.
Черт. 15 Черт. 16.
При построении разности двух углов меньший угол строят
в большем угле. Постройте разность двух углов. Обозна-
чив буквами построенные углы, запишите сумму и разн ость
углов.
§ 37. Деление угла пополам.
При решении разных вопросов необходимо бывает делить угль
пополам. Делают это при помощи циркуля и линейки следующим
образом. Раздвигают ножки циркуля на любое расстояние (на-
сколько позволяет чертеж) и из вершины угла, как из центра,
проводят окружность так,
чтобы она пересекала обе
стороны угла (черт. 18).
Затем, принимая точки D
и Е за центры, находят
точку пересечения двух
дуг одного произвольного
радиуса внутри угла. Со-
единяя прямой линией
вершину угла с точкой
пересечения дуг, получаем линию, делящую угол попотам. Эта
линия называется биссектрисой. Как видно из чертежа 18,
биссектриса L В А С делит пополам дугу DE.
Постройте биссектрису острого, прямого и тупого углов.
Упражнения. 35?. Разделите угол на 4 равны:. “асти.
354. Разделите дугу в четверть окружности на 4 равных части.
87
§ 38. Деление окружности на части.
Мы умеем делить окружность на 4 части, проведя два два»
метра под прямыми углами. Деля полученный прямой угол по.
следовательно пополам, мы легко разделим четверть окружности
на 2, 4, 8, 16 и так далее частей. Кроме того, окружность легко!
делится на 6 частей. Для этого по окружности делают циркулем
засечки длиною, равною радиусу, и оказывается, что умещается
ровно 6 таких засечек.
Черт. 19.
При всякого рола измерениях принято окружность делись на
36С равных частей, или четверть окружности на 90 равных частей.
Сдна ЭО-я часть четверти окружности, или часть всей окруж-
ности, называется градусом. Деля четверть окружности на
90 частей, мы одновременно делим на 90 частей прямой угол
(черт. 19). Поэтому углы так же как и дуги, считают в градусах.
Для сокращенного обозначения вместо слова градус после числа
ставят справа вверху маленький кружок. Так вместо 15 градусов
пишут 15°.
88
Для измерения углов пользуются готовым полукругом, разде-
пенным на градусы. Такой полукруг называется транспортиром.
В продаже встречаются транспортиры'двух родов (черт. 20 и 21).
На помещенных в книге образцах транспортиров найдите центры.
При измерении углов при помощи транспортиров поступают
следующим образом. Накладывают транспортир на измеряемый
угол таким образом, чтобы
центр транспортира совпал
с вершиной угла, и линия
от центра к нулю градусов
совпала с одной из сторон
угла. Число градусов тран-
спортира, показываемое дру-
гой стороной угла, дает
число градусов, заключаю-
щихся в угле (черт. 20 и 21). Перт. 20.
Необходимо обратить вни-
мание на то, что надписи градусных делений на транспортирах
идут обыкновенно в два ряда по часовой стрелке и против часо-
вой стрелки. Прежде чем пользоваться транспортиром, необхо-
димо посмотреть, где у него находится центр и как идут над-
Черт. 21.
писи градусных делений.
Ери построении угла с
определенным числом гра-
дусов проводят одну из
сторон этого угла, выби-
рают на ней вершину и,
прикладывая транспор-
тир, отмечают нужное
число градусов. Соединяя
полученную точку с вер-
шиной, получаем угол с
заданным числом граду-
сов.
На вашем транспортире показаны целые градусы. Иногда на
чертежных транспортирах наносятся полуградусы. Один градус
делится на 60 минут. Минуты дуги могут делиться на более
мелкие части — секунды. В одной минуте 60 секунд. При записи
минуты обозначаются одной черточкой, поставленной справа вверху
числа, и секунды—двумя черточками, например: 15° 45'30" обо-
значает 15 градусов 45 минут 30 секунд.
«9
апражиениг.. 355. При помощи циркуля и линейки разделите окружное^
на 24 равных части. Какое число градусов будет заключаться в полученной чдетц
сдружности?
35S. Делением окружности па части найдите третью часть прямого угла.
357. Измерьте углы, начерченные в вашей рабочей тетради, и около вершины
каждого угла запишите полученное число градусов.
358. Постройте при помощи транспортира углы со следующим числом гра-
дусов: 1) 35°, 2) 17°, 3) 80°, 4) 105° 5) 163°, 6) 175°, 7) 188°.
359. Начертите треугольник произвольной формы и размеров. Измерьте тран-
спортиром величину каждого угла в отдельности и подсчитайте сумму углов-
Выпишите па доске полученные результаты и найдите среднюю величину суммы
углов треугольника из результатов, полученных всеми учащимися группы.
360. Начертите четыреугольник произвольной формы и размеров. Измерьте
его углы и определите их сумму.
361. Вычислит*? сумму следующих углов:
а) 30° 27’ 35"; 32° 64’ 45"; 48° 52' 39”.
б) 57° 24’ 48"; 15° 27’ 14”; 19’ 53".
ЭС2. Вычислите -g угла, равного 98° 34'25”; - угла, равного 34’ 25’ 36";
| угла, равного 83' 29’.
363. Вычислите величину угла, если 0,4 его равны 18° 48’ 24",
361. Вычислите полусумму и полуразность двуг углов, равных 28° ЗГ 45” и
15° 27' 25”.
365. Определите длину одного градуса земного экватора, зная, что окружность
земного экватора равняется 5400 географическим милям. Выразите ответ в кило-
метрах, если географическая миля составляет 7,42 км.
866. Пользуясь данными предыдущей задачи, определите длину морской мили,
если она равняется длине дуги земного экватора в одну минуту.
367. Пользуясь данными предыдущей задачи, вычислите длину дуги земного 1
экватора в одну секунду.
368. Определите в километрах протяжение Америки по экватору с востока на
запад, если точки пересечения экватора с материком Америки имеют 50° и 78°
западной долготы от Гринвича (см. задачу 365). 1
36у. Определите расстояние между Ленинградом, Могилевом, Киевом и Одес-
сой, если все указанные города лежат на одном меридиапе и широты их равны
59° 57'; 53° 54'; 50° 27'; 46° 29'. Ответ с точностью до 1 км.
370. Определите долготу Витебска от Гринвича, если разница в местном вре-
мени между этими пунктами составляет 2 часа.
371. Определите долготу Пулкова от Гринвича, если разница в местном вре-
мени составляет 2 часа 1 мин.
372. Определите дол: оту Ташкента, Читы и Якутска от Пулкова, если разница
в местном времени этих городов с Гринвичем составляет 4 часа 37 мин., 7 час.
34 мин. и 8 час. 39 мни. (разница времени Пулкова и Гринвича дана в предыду-
щей задаче).
373, Начало лунного затмения было замечено по местному времени в Пулкове
в 7 час. 45 мин. времени и в Оренбурге в 9 ч?сов 24 мин. Определите долготу
Оренбурга от Пулкова.
93
374. Определите разность местного времени Moi квы, Баку и Влливостока в
сравнении с пулковским, если их долготы от Пулктва равняю т си 7Ч 15' 19°, 30'.
gg° 50'-
375. Пароход, находящийся в Атлантическом океане, по наблюдениям опре-
делил местное время в 6 часов 25 минут. В то же время точные часы (хронометр),
идущие но гринвичскому вр°мечн, показывали 9 час. 15 мин. Какова долгота
песта нахождения парохода?
376. Определите, какое поясное время имеют города Москпа, Казань, Омск,
Томск и Хабаровск, если их долготы от Грннви’'а равны 37'1 3G', 46° 15', 73° 15',
85° и 135°.
§ 39. Круговые диаграммы.
Умея делить окружность на части, мы теперь можем построить
диаграмму распределения учащихся в группах по полу в виде
круга. В нашем случае из 40 учащихся имеется 18 девочек и
22 мальчика. Для составления круговой диаграммы нам надо
окружность разделить на 40 частей и 18 частей отделить на де-
вочек и 22 части на мальчиков. Транспортир дает нам возмож-
ность делить окружность на 360 частей.
360°
приходится = 9°.
Таким образом, для составления на-
шей диаграммы надо начертить круг
и в нем отделить дугу в 9е • 18=162°,
Оставшаяся дуга будет составлять 198^
т. е. как раз столько, сколько надо для
изображения числа мальчиков, так как
22° -9 = 198°.
Соединив концы дуг с центром, мы
получим круговую диаграмму, в кото-
рой меньшая часть круга будет изобра-
На каждого учащегося
Черт. 22.
жать число девочек и большая часть — число мальчиков (черт. 22).
Круговые диаграммы обычно связаны с вычислением каждой
изображаемой величины в процентах. В этом случае расчет сво-
дится к определению числа градусов по проценту. В нашем слу-
чае девочек 45%, мальчиков 55%. На каждый процент прихс-
дится 3,6°. На 45% 3,6° • 45 = 162°; на 55% 3,6°-55 = 198°.
Изобразите круговой диаграммой распределение населения
г. Москвы по районам (§ 4, стр. И). Для упрощения расчетов
было бы значительно удобнее иметь транспортир, в котором по-
ловина окружности была бы разделена та 50 частей и вся окруж-
ность на 100 частей. Тогда каждое деление сразу давало бы ре-
зультат в процентах.
«1
Упражнения. Составьте круговые диаграммы по следующим вопросам:1
377. Распределение учащихся вашей группы по возрастам.
378. Состав населения СССР.
* 1926 г. 1932—33 г.
а) Сельское население......83,6%
Городское население......16,4%
б) Женщин..................53,6%
Мужчин...................46,4%
в) Великороссов.......55%
Украинцев............19%
Киргизов............4,3%
Татар.................4%
.Белоруссов..........2,5%
Евреев..............2,1%
Прочих. ...........13,1%
по пятилетн. плану.
79,5%
20,5%
379. Социальный состав Красной армии по следующим данным (на 1929 г.):
Рабочих.............24,0%
Батраков.............3,0%
Крестьян............61,7%
Служащих.............8,5%
Прочих . .............2,8%
380. Процент населения, кооперируемого потребительской кооперацией:
1927 — 28 г. 1932 — 33 г.
по пятилетп. плану.
а) В городах...................45,3% 70,0%
б) В селах ...................19,1% 40,0%
331. Доля зерновой продукции, вырабатываемойт>бобщесгвленцыми хозяйствами
(совхозами и колхозами):
1927 — 28 г. 1932 — 33 г.
по пятилетнему плаву
2,1% 15,8%
S82. Расходы СССР на народное хозяйство и социальпо-культурпые учреждения
(в миллиардах рублей):
1927 — 28 1932 — 33 г.
по пятилетнему
плану.
Финансирование народного хозяйства............5,42 14,96
Социально-культурные учреждения...............2,40 5,88
Управление и оборона..........................1,64 2,31
1 Примечание. При расчетах чисел градусов имейте в виду, что ваш
транспортир дает только целые градусы, и поэтому результаты надо округлять до
целых градусов. При этом общая сумма должна быть ровно 362°.
92

ддЗ, Валовая продукция сельского хозяйства и промышленности СССР в мил-
[иарДах рублей по довоенным ценам:
1913 г. 1920 г. 1927—28 г. 1932-33 г.
• по пягилетпсму
плану.
Сетьское хозяйство . . . .11,61 8,00 12,26 19 00
Промышленность........ 8,43 1,72 10,08 23,79.
§ 40. Смежные углы. Противоположные углы.
Постройте сумму двух углов, из которых один равняется 60°,
а друг°й 120°.
Два угла, прилегающие один к другому таким образом,
что они имеют общую вершину, одну общую сторону и две
другие стороны, составляют
продолжение одна другой,
называются смежными угла-
ми (черт. 23).
Смежные углы в сумме со-
ставляют 180°, так как дуга,
соответствующая их сумме, равна / черт. 23.
половине окружности
Знание суммы смежных углов дает нам возможность опреде-
лять вычислением один из смежных углов, если известен другой.
1
1
I
Так, например, мож-
но определить на-
ружный угол здания
или косяка окна,
хотя измерить эти
углы непосредствен-
но транспортиром мы
не можем. Как про-
изводится подобная
работа, видно из
чертежа 24. Z, ВАС—
угол, величину ко-
торого необходимо
определить; MN—
линейка, приложенная к одной стороне угла ВАС\ транспортир
показывает величину угла, смежного углу ВАС.
Начертите произвольный угол и определите его величину, по-
строив ему смежный и измерив его транспортиром. Проверьте
93
полученный результат непосредственным измерением. Запищд
равенство, которым вы пользовались при вычислении. Если
смежные угла равны между собой, каждый из них равняется 91
и является прямым углом (черт. 25). В этом случае, как вг
известно из предыдущего, прямая ОС перпендикулярна к пря-
мой АВ. Я
Если оба смежные угла не равны между собой и один из них
острый, а другой тупой, общая сторона ОС (черт. 26) называется
н а к л о н н ой к линии А В.
Сумма ряда углов, расположенных по одну сторону
прямой и имеющих общую вершину в какой-либо точке
этой прямой, также равна 18QP, так как дуга, соответствую-
щая сумме этих углов, составляет половину окружности (черт. 27).
Изготовьте модель угла из
двух палечек или полосок кар-
тона, скрепив их в вершине
о проволокой или канцелярской
скрепкой для бумаги. Повора-
чивая одну полоску относитель-
в но другой, вы будете по<_ге-
Черт 27. пенно увеличивать угол между
ними. Сначала вы будете иметь
острый угол, потом прямой, тупой и наконец одна полоска будет
составлять продолжение другой. Угол как бы исчезнет, но мера
поворота останется. Поэтому и в этом случае говорят об угле,
называя его развернутым углом. Например, на такой раз-
вернутый угол повернется каждая спица колеса, когда колесо сде-
лает полоборота. То же самое получится, если мы будем строить
сумму углов в 30°, 70е, 80°. Угол, равный сумме этих углов, пре-
вратится в линию из двух таких половин, что одна будет состав
лять продолжение другой.
Постройте сумму углов, имеющих общую веошину и заполняю-
щих всю плоскость около этой вершины. Очевидно, эта сумма

xv’fcT равна 360°, так как дуга, соответствующая этой сумме,
оставляет полную окружность (черт. 28). Запишите равенство,
показывающее, что сумма углов, данных на чертеже, равна 360.
Начертите две взаимно пересе-
кающиеся прямые. Они образуют
четыре угла. Среди этих углов
имеется 4 пары смежных углов.
Запишите буквами все пары смеж-
ных углов. Кроме смежных при пе- а
ресечении двух прямых обоазуются-
углы, лежащие один против дру-
гого, например Z. АОВ и Z, DOC
(черт. 29). Такие углы называются
противоположными. У про-
Чсрт 28
тивоположных углов стороны
одного угла являются прсдол-
меняем сторон другого. Противоположные углы иначе на-
Черт. 29.
зываются вертикальными.
Найдите на чертеже другую пару противоположных углов и
запишите ее буквами.
Положим /. АОВ равняется 30°. Очевидно, смежный ему
Z ВОС— 180е — 30°= 150е. Но Z, ВОС является смежным Z, COD.
Поэтому Z СО£) = 180°—150° = 30°. Таким образом, противо-
положные углы АОВ и COD будут равны. В нашем случае
/,ДОВ=30°. Оче-
видно, и при другой
величине противо-
положных углов они
будут равны, так как
каждый из них будет
смежным с одним и
тем же углом и бу-
дет равняться 180
без этого смежного
угла.
Поэтому противоположные углы всегда равны между
сооою.
Зная, что противоположные углы равны, мы можем опреде-
лить величину какого-либо угла, если не имеется возможности
измерить его непосредственно, измерением противоположного
угла. Покажите чертежом, как надо приложить две линейки и
’ 05
транспортир, чтобы измерить угол по его противоположно]
(например, острого выступа здания).
Упражнения. 384. Найдите петидину угла, смежного углу в 49° 53'.
885. Вычислите величину' смежных углов, если:
а) один из пих в два раза больше другого;
б) один из них в четыре раза меньше другого;
е) одни из пих составляет пятую часть другого;
г) один из них составляет две трети другого.
386. Определите х если:
а) х 4-125° 53’= 180°, 7 „
б) х+ 18е 25'= 180° г) х 4-4- х = 180°,
в) х+ 4-х=180°, О d) х 4* 2,6 х = 180°.
387. Определите в градусах величину развернутого угла.
388. Постройте биссектрисы двух Смежных углов и определите угол
ними.
389. Определите неизвестный угол, если он вместе с тремя другими
между
углами
расположен вокруг общей вершины и если остальные углы равны 95° 4Г, 73° 25'
и 115° 57'.
ГЛАВА V.
ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ.
§ 41. Содержание главы.
Весною в третьем триместре вы будете вести работу на воз-
духе и научитесь составлять по обмеру планы участков земли.
Эти планы нужны сельскому хозяину, чтобы по ним иметь воз-
можность рассчитывать, каким количеством земли он пользуется
и как ее целесообразнее распределить для обработки.
В зимней обстановке, работая в классе, мы будем разбирать,
как начертить план класса, квартиры и здания и как рассчитать
их площадь. Взяв готовые планы земельных участков, мы буцем
выяснять, как рассчитать площадь земли и как произвести раз-
бивку участка земли по плану на части.
§ 42. План квартиры и план дома. Расчет полезной площади.
1. Начертите план квартиры, в которой вы живете. При чер-
чении плана покажите, где находятся дверь и окна. Позаботьтесь,
чтобы ширина дверей и окон на плане по масштабу соответство-
вала их ширине в натуре. Сделав план, рассчитайте площадь квар-
тиры. Рассчитайте отдельно по тезную площадь квартиры. Что та-
кое полезная площадь, спросите в домоуправлении. Определите,
сколько квадратных метров полезной площади приходится в сред-
нем на каждого живущего в квартире. Сравните полученную сред-
нюю с нормой жилой площади в Москве в 8 кв. м.
2. Начертите п,тан этажа того здания, в котором вы живете.
При промерах узнайте не только ширину окон и дверей, но и тол-
щину стен и перегородок.
При раскраске плана руководствуйтесь следующими правилами:
1. Деревянные строения на плане обозначаются желтой краткой.
2. Каменные строения на плане обозначаются красной краской.
7 Варг * ар- Рабочая квота со макл-лвле, 6-а год.
8?
Руководствуясь планом этажа, сделайте те же расчеты на кц.
лую площадь, которые вы делали для квартиры.
Составьте ведомость квартирной платы для живущих вашей
квартиры и этажа, рассчитав полезную площадь, приходящуюся
на каждого плательщика, и узнав норму платы за квадратный метр.
§ 43. Составление смет, требующих вычисления площади.
Составьте смету на окраску за два раза серой масляной кра-i
ской по штукатурке панелей, коридоров, классов и залы вашей
школы, если по Урсчному Положению на квадратный метр окра-
ски полагается: маляров 0,066, олифы 315 г, белил 310 г, сурика 9 г,
мела 90 г, сажи 11,7 г.
Для составления сметы произведите все необходимые про-
меры. Составьте две сметы. Первую смету на материалы и рабо-
чую силу составьте по комнатам. Для составления второй сметы1
стоимости производимой работы наведите справку О заработной
плате маляра и стоимости материалов. Обе сметы составьте по
прилагаемому образцу (упражнения 411 и 412).
§ 44. Площадь прямоугольника и квадрата.
1. Положим, наш класс имеет в ширину 7 it, в длину 9 я. Сколь-
ким квадратным метрам будет равна его площадь? Начертите
план такого класса в масштабе, разграфите полученный чертеж на
квадратные метры, сосчитайте, сколько их.
Начертите прямоугольник длиною в 1?/2 см И шириною в 7 см.
В этом прямоугольнике целые квадратные сантиметры не смогут
быть уложены по длине. Поэтому разграфите прямоугольник на
квадратные сантиметры, определите его площадь, сосчитав целые
квадратные сантиметры и их половинки.
Начертите прямоугольник шириною в б’/в см и длиною в 7*/а см.
Определите его площадь, разграфив прямоугольник на квадратные
сантиметры и сосчитав как целые квадратные сантиметры, так и
их части.
Как во всех случаях определить площадь прямоугольника вы-
числением без подсчитывания квадратных единиц?
Сделав необходимые промеры, определите площадь стола и ли-
ста бумаги вычислением без подсчитывания квадратных единиц.
Составьте правил1 для вычисления площади прямоугольника.
Есла хотят записать плещась прямоугольника без ука-
зания чисел, обозначающих его длину и ширину, поступают
48
ffQrtttM образом: обозначая длину лрямоугольннка буквой а
и ширину буквой Ь, пишут: площадь прямоугольника —
^a.b — ab.
При этом знак умножения между буквами не ставится.
Прочитайте написанную буквами формулу площади прямоуголь-
ника, употребляя слова „длина и ширина* и указывая действия,
которые надо произвести чад числами, обозначающими эти вели-
чины.
Вычислите площадь прямэу!ольника по формуле, если:
1) с = 8лг, Ь = 9м-, 2) а—10,5 см, Ь== 15см,
3) а = 12,4 см, Ь —5,5 см.
2. Положим, имеется квадрат со стороною в 5 см. При вычис-
лении площади вместо записи 5-5, часто записывают 52. Цифра
„2", поставленная вверху справа какого-либо числа, показывает,
что ?то число умножается само на себя. Читается это таким об
разом: впять в квадрате".
Вместо записи: 1 кв. дм = 100 кв. см, можно написать ldw2 =
= 100 см*.
Сосчитайте, сколько квадратных дециметров будет в квадрат-
ном метре, квадратных сантиметров ь квадратном дециметре и
квадратных миллиметров в квадратном сантиметре, и составьте та б
лицу квадратных метрических мер.
Обозначая сторону квадрата буквой а, площадь его за-
писывают формулой следующим образом: площадь квад-
рата = а.а — аа = а*.
Так как площадь вычисляется в квадратных единицах, то часто
вместо выражения „найти площадь" говорят „найти квадратуру".
Вспомните метрические меры земельной площади.
Аром называется мера, равная площади квадрата со
стороною в 100 метров.
Гектаром называется мера, разная площадь квадраты
со стороною в 100 метров.
Ар и гектар сокращенно обозначаются буквами а и га, записы-
ваемыми после числа, например 25 а или 82 га.
Вычеотите в масштабе гектар и ар и подсчитайте число аров
в гектаре
Подсчитайте число квадратных метров в десятине и переве-
дите десятину в гектар.
Упражнения. 390. Узнайте в квадратных метрах плошпдь класса с длиною
в 10 арш и шириной в 8 арш. Предварительно дл.шу и ширину переведите
в метры.
I*
£9
391. Определите общую световую поверхность всех окон вашего класса. I
392. Определите площадь, занимаемую школой. Соответствующие промеры цр0.
изведите снаружи здания.
393. Сосчитайте, сколько квадратных миллиметров в квадратном метре.
394. .Составьте таблицу перевода квадратных аршин в квадратные метры и
квадратных дюймов в квадратные сантиметры (по образцу, данному в § 18.)
395. Пользуясь таблицей (предыдущая задача), переведите в метрические меры:,
9 кв. саж.; 37,3 кв. саж.; 324,5 кв. саж.; 16 кв. арш.; 7,8 кв. арш.; 48 кв. дюймов!
3,5 кв. дюйма.
396. Раздробите в квадратные сантиметры: 38 кв. дм; 85 кв. дм; 25кв. см;
74кв.дм; 15кв.см; 29,3 кв. дм; 47,23кв.дм; 5кв.м; 4,2кв.м; 6,25кв.м.
397. Раздробите в квадратные миллиметры: 2 кв. см 18 кв.мм; 8,5 кв. см.
398. Какую часть квадратного дециметра составляет: 57кв. см; 8 кв. см;
25,5 кв.см?
399. Какую часть квадратного метра составляет: 25 кв. дм; 9 кв. дм; 225 кв. см I
ч256 кв. см; 15 кв. дм. 45кв. см?
400. Москва занимает поверхность в 234 кв. км. Выразите ату величину в
гектарах.
401. Совхоз „Гигант" занимает площадь в 80 000 га. Выразите площадь сов-
хоза в квадратных километрах. Сравните площадь совхоза „Гигант" с площадью
Москвы и площадью своего города.
402. Определите число гектаров в участке зем ш, имеющем форму прямоуголь-
ника с длиною в 425 м и шириною в 254 м.
403. Взяв из таблицы соотношение кв. сажени и кв. метра, составьте таблицу
перевода десятин в гектары. Пользуясь составленной таблицей, сосчитайте, сколько
гектаров будет в: 1) 25 десят., 2) 2,6 десят., 3) 48,4 десят., 4) 329,7 десят. Сосчи-
тайте, какую часть десятины составляет гектар.
404. Определите ширину прямоугольника, площадь которого составляет 864'кв. м
и длина 36 м.
405. В следующей таблице рассчитайте неизвестную длину или ширину пря-
моугольника по остальным данным
Длина Ширина Площадь
5 м X 12 кв. м
X 49 Л! 2861,6 кв. м
400 м X 5 га
X 250 м 10,6 га
406. Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его сторона увели-
чится в два раза, в три раза?
40 Z. Во сколько раз увеличится площадь прямоугольника, если его длина уве-
личится в четыре раза и ширина в пять раз'-*
408. Оцреди.лте площадь квадрата, сумма всех сторон которого равняется 2$ м.
409. Определите площадь прямоугольника, если сумма всех сторон его равна
22. к и если длина больше ширины на 5 м.
41С. Определите площадь пря доугольника если сумма всех стороз его равна
48 см и длина больше ширины в пять раз.
100
411-
СМЕТА
на МАТЕРИАЛЫ И РАБОЧУЮ СИЛУ ПО ОКРАСКЕ ЗА ДВА РАЗА
СЕРОЙ МАСЛЯНОЙ КРАСКОЙ ПО ШТУКАТУРКЕ ПАНЕЛЕЙ ПОМЕЩЕНИЯ
.....ШКОЛЫ.............РАЙОНА.
Высота панели в мет- рах Длина панели в мет- рах Площадь панели в кв. метрах Маля- ров Оли- фы Белил су- ршса Мела ,Сажи
Класс №
Класс № 2.. -
Коридор № 1
Зал '
Итого. J

412.
СМЕТА
СТОИМОСТИ ОКРАСКИ ЗА ДВА РАЗА СЕРОЙ МАСЛЯНОЙ КРАСКОЙ ПО
ШТУКАТУРКЕ ПАНЕЛЕЙ ПОМЕЩЕНИЯ
..................ШКОЛЫ............РАЙОНА.
Площадь согласно обмеру составляет.......кв. метров.
Маляров
Олифы .
Белил. .
Сурика .
Мела . .
Сажи . .
Итого
Количество рабочих дней и материала По цепе Сумма

-
413. Составьте смету рабочей силы, материал зв и стоимости на настилку про-
стых чистых полов в квартире, где вы живете, если по Урочному Положению га
«стилку квадратного метра чистых полов полагается: плотников 0,22, досок сос-
новых полуобрезных (6,5 см X 22,5 см) 5,1м, гвоздей (15сл) 3,47 шт. Гвоздн рас-
считайте по весу, имея в виду, что 1000 гвоздей 15см длиною весят 29кг. Для
производства расчета наведите справку о цене досок, гвоздей и поденной зарплате.
101
Результаты расчета представьте в гида сметы, обдумав предварительно ее фэр^
414. Составьте смету па оклейку степ вашей квартиры простыми обоями с 6rj
дюром, если по Урочному Положению па квадратный метр стены полагается: mJ
ров 0,044, обоев 0,26 куска, бордюра—по расчету, крахмала типичного sq
клея 11г.
Длина бордюра 7,8—85 м в куске. При подсчете площади окопные и nsepd
отверстия не вычитаются, так как часть обоев теряется па оСрезки.
Количество кусков обоев дано для куска шириною 0,45 м и длиною 8,5 м. При
других размерах куска надо произвести расчет по площади куска обоев.
§ 45. Площадь треугольника.
Участки земли, площади которых приходится определять, не
всегда имеют’форму прямоугольника и квадрата. Поэтому надо
уметь вычислять площади других фигур.
Простой фигурой, с которой часто приходится встречаться,
является треугольник.
Начертите треугольник при помощи линейки. Сколько треуголы
ник имеет сторон и углов? Сколько нужно выбрать точек, чтобы,
соединив их попарно прямыми линиями, получить треугольник?
Можно ли получить треугольник, выбрав три точки на одной
прямой?
Эти точки называются вершинами треугольника. Перечис-
лите все части треугольника, которые вы знаете.
Трудность вычисления площади треугольника заключается в
том, что треугольник нельзя разграфить на квадратные единицы,'
как это можно сделать с прямоугольником. Часть квадратов, при-
легающих к сторонам, будет перерезана сторонами.
При помощи чертежного треугольника начертите треугольник
с прямым углом, г. е. так называемый прямоугольный тре-
угольник. Треугольник возьмите таких размеров: по одной сто-
роне прямого угла отложите 6 см и по другой 8 см. В тетрадях с
клетчатой бумагой это удобно сделать по клеткам, так как часто
встречается линовка с клеткой в половину сантиметра. Расчертите
полученный треугольник на квадратные сантиметры. Обведите все
целые крадратные сантиметры и сосчитайте их число. Видно, что
только 18 кв. см укладывается в нашем треугольнике целиком
(черт. 30). Остальные разрезаны сторонами на части. Присмотрев-
шись внимательно, легко выделить в треугольнике прямоугольник
со «торонами 4 см и 3 см. Кроме прямоугольника, остаются два
треугольника — один справа, другой сверху. Один из этих гр&-
угольников можно отрезать и приставить к другому. Тогда вся
фигура обратится в прямоугольные и разрезанные части квадрат*
102
сантиметров каждого треугольника дадут целые квадратные
сантиметры (черт. 31). Начерченный вами треугольник оставьте
тетради- Кроме того, на отдельном листе бумаги начертите дру-
гой такой же треугольник, разрежьте его на части и наклейте в
тетради в виде прямоугольника.
Подумайте, как можно было в данном
случае подсчитать площадь нашего треуголь-
ника, не разрезая его предварительно на
части.
Одну из сторон треугольника называют
основанием. Тогда ли-
ния, проведенная из про-
тивоположной вершины
под прямым углом к осно-
ванию, называется в ы-
сотой. Начертите тре-
угольник с острыми угла-
ми любых размеров. Выберите одну из сторон треугольника за
основание и проведите высоту. После проведения высоты про-
верьте, чтобы начерченный прямой угол был действительно углом
Черт. 31
прямым. .
Примите за основание другую сторону и проведите новую высоту. Сколько
высот можно таким образом провести в треугольнике? Проведите все высоты-
Где они пересекутся — внутри или пне треугольника? В случае, если три высоты
пе пересекутся в одной точке, переделайте черте.’” снова и постарайтесь быть
аккуратнее.1
Начертите прямоугольный треугольник любых размеров. Возьмите за осно-
вание одну из сторон прямого угла и посмотрите, что будет служить высотой.
Найдите третью высоту. В какой точке пересекаются три высоты прямоугольного
треугольника?
Начертите треугольник любых размеров с тупым углом. Возьмите за оспова-
пие самую длинную сторону и проведите к ней высоту. Возьмите за основание
одну из сторон тупого угла. Может ли в этом случае высота пройти внутри тре-
угольника? Как приложить чертежный уюльник одной стороной к основанию так,
чтобы другая сторона прямого угла совпала с противоположной вершиной? Оче-
видно, высота в этом случае не может пройти внутри треугольника, и для того,
чтобы ее было удобнее вровести при помоши угольника, необходимо предвари-
тельно продолжить основание за вершину тупого угла (черт. 32, па которой дан-
ный тупоугольный треугольник заштрихован). Проведите третью вт соту, ззяв по-
следнюю сторону треугольника за основание. Может ли третья высота воойти
1 Примечание для преподавателя. П оведение трех высот в тре-
угольнике рассматривается здесь как чертежши работа, позволяющая судить,
насколько учащееся владеют аюс^бом опускания нервендикуляров при помс-ци
Угольник* и линейки
103
внутри треугольника? Что надо предварительно сделать, чтобы ее провести? Пе-
ресекаются ли три высоты тупоугольного треугольника? Что надо сделать, 4Tc6j
найти точку их пересечения?
В случае, если три высоты тупоугольного треугольника при вычеркивании а
п ресекутся в одной точке, проверьте угольником правильность проведения всех
высот и переделайте чертеж снова. Научившись проводить высоты 1 реуголь-
никах, вернемся к нашему вопросу о площади треугольника.
Как определить площадь треугольника, не имеющего прямого
угла, например, площадь треугольника АВС на чертеже 33? Нельзя
ли его разделить на два прямоугольных треугольника? Получится
ли два прямоугольных треугольника с одной и той же высотой?
Построим прямоугольник AMNtt. Какую часть площади этого
прямоугольника составляет пло-
щадь треугольника АВС? Каким
отрезкам треугольника АВС равны
стороны прямоугольника AMNC?
R
М.
-1N
Черт. 32.
D
Черт 33.
Какие действия надо произвести с основанием и высотой тре-
угольника,
буквой 5,
чтобы
вычислить его
площадь? Обозначьте
основание треугольника буквой а,
высоту
площадь
буквой
напишите формулу площади треугольника.
Найдите площадь треугольника с основанием 12 см
7 см, с основанием 25 м и высотой 10,4 м.
и высотой
Определите по формуле площадь треугольника, если
h и
1) а= 124м 2) а = 13,5см 3) а—18,4см
h = 32$M h— 8,4 см h = 12,3 см.
§ 46. Построение треугольника по трем сторонам.
Участок земли, прирезанной
крестьянину, оказался
имеющим
форму клина, т. е. треугольника. Не имея никаких других инстру
ментов, кроме рулетки или веревки с делениями, мы можем изме
рить три его стороны. Положим, они
оказались
52 м, 56 м
и 60 л.
104
Является вопрос, как начертить план такого треугольника. Быбе-
м масштаб. Взяв метр за 2 мм (масштаб Vsoo)» мы должны на
плане начертить стороны треугольника длиною 10,4 см, 11,2 см
я 12 см.
Построение производим таким образом. Проводим одну из
сторон, например, 11,2 см (черт. 34). Берем циркуль, раздвигаем
его ножки на 10,4 см (длина второй стороны) и, поставив ножку
циркуля с остреем в один конец про- _
веденной линии, проводим дугу. Раз- °| В
двшая ножки циркуля на 12 см (длина ./VT”
третьей стороны) и ставя острее в v \?
другой конец линии в 11,2 см, проводим \
новую дугу до пересечения с первой, д
Две конечные точки линии в 11,2 см и 11,2
точка пересечения дуг будут тремя черт. 34.
вершинами треугольника.
Но при этом следует принять во внимание, что мы можем по-
лучить искаженный план нашего участка, если предварительно не
заметим, как расположены его стороны. В самом деле, можно на-
чертить, как это видно из чертежа 34, или треугольник АВС, или
треугольник ABiC. Если вычертить эти треугольники порознь, вы-
резать их из бумаги, перевернуть один из них на обратную сто-
рону и наложить один на другой,— они совместятся. Значит, их
площйди одинаковы. Но какой из них представит искомый план?
Для решения этого вопроса надо осмотреть на месте участок земли,
стать, например, на меже АС лицом к вершине С и приметить, как
расположены от нас две другие стороны треугольника
Для вычисления площади необходимо определить высоту тре-
угольника. Проведите ее, измерьте на плане и по масштабу со-
считайте, какой длины она будет в натуре. Сосчитайте площадь
участка в квадратных метрах и сосчитайте, какую часть гектара
он составляет.
Начертите план участка в виде треугольника со сторонами
150 м, 170 м и 35 м и определите его площадь
Опрецелите площадь треугольника со сторонами 10 см, 12 см
и 15 см.
§ 47. Вычисление площади многоугольника разбиванием
на треугольники.
Умея вычислять плошать треугольника, можно вычислить пло-
щадь фигуры, имеющей большее число сторон и углов. .
105
Начертите произвольный шестиугольник, т. е. многоугольник
с шестью сторонами и шестью углами. Проведите в начерчен
ном шестиугольнике прямые линии, соединяющие одну из вер
шин шестиугольника с остальными.
Прямая линия, соединяющая две вершины многоуголь
ники и не совпадающая с его стороной, называется
гона. многоугольника.
Разбив многоугольник диагоналями
на треугольники
(черт. 35.
на котором диагонали, проведен-
одной
ные из
вершины отмеченУ
пунктиром), сделайте в каждом
треугольнике необходимые ппо-
меры для вычисления площади
каждого треугольника. Сложив
площади всех треугольников
определите площадь много-
угольника.
Постарайтесь сделать все измеренья с точностью до 1 ям.
Результат подсчитайте в квадратных сантиметрах. Для про-
ъерки своих вычислений скопируйте многоугольник, подложив
под него другой лист бумаги и проколов осторожно остреем
циркуля иди булавкой вершины. Полученную копию разоейте
диагоналями на треугольники из другой вершины и вновь вычи-
слите площадь каждого треугольника. Если площадь многоугол:-
ника, вычисленная второй раз, будет заметно отличаться от пер-
гого результата, необходимо проверить измерения и вычисления,
так как в них имеется ошибка,
§ 48. Переход от трехполья к многополью. Отмежевание участ-
ков в форме треугольника. Вычисление основания треугольника
по площади и высоте.
При переходе от трехполья к многополью приходится до-
вольно часто от полей трехполья отрезать участки определен-
ие'! площади. При трехполье каждое из трех полей имеет при-
близительно одинаковую площадь, составляющую одну треть
всего участка. При четырехполье каждое поле должно состав-
лять одну четверть всего участка. Таким образом, каждое поле
трехполья больше поля четырехполья на участка.
Одна двенадцатая часть участка составляет четвертую часть
поля трехполья. Поэтому при переходе на четырехполье от
106
bVx полей трехполья отрезают по одной четверти, третье поле
' еЛЯт пополам и составляют четыре новых поля.
разбивка не представляет особенного труда, когда участок
имеет форму прямоугольника. Начертите план участка в форме
прямоугольника. Сделайте этот план в двух экземплярах. На
первом произведите разбивку его на три поля, на втором — на
четыре-
На практике участки земли редко бывают в форме прямо
угольника, и поля, на которые их разбивают, тоже не выходят
прямоугольниками. Необходимо уметь отрезать участки другого
вида, в первую очередь в форме треугольника.
Положим, что одно из полей трехполья представляет пяти-
угольник ABCDE (черт. 36) с площадью в 4,9 га (масштаб: в
1 см 100 м).
От этого поля необходимо отрезать для перехода к четырех-
полью четвертую часть. Отрезанная часть должна быть присо-
единена к соседнему полю. По-
этому надо отделить на плане
участок, примыкающий к сторонам
ВС и DC. По площади участок
должен иметь 4,9 га-. 4 = 1,225 га.
Легче всего отрезать его кли-
ном, т. е. треугольником. Положим,
что в треугольнике, который мы
определяем, одна вершина будет
в точке D, вторая в точке С и
основание будет расположено по
линии СВ. Цлину основания мы не
Чепт- зв.
знаем и не знаем третьей вершины. Мы знаем только, что она
расположена по линии ВС.
Проводим высоту искомого треугольника. Определим ее длину
по масштабу. Высота равна 17,5 мм на плане, т. е. 175 м в на-
туре. Площадь отрезаемого треугольника должна быть 1,225 га—
= 12250 кв. м. Задача сводится к вычислению длины основания
треугольника, имеющего высоту в 175 м и площадь 12 250 кв. м.
Обозначив неизвестное основание буквой к, запишите:
= 12250
или 175.x = 24500; отсюда к = 140 л. , t
Откладывая от точки С по линии СВ 140jm в масштабе и co-
in?
единяя полученную точку F с точкой D, мы получим треугольной
DFC, площадью в 1,225 га, так как он имет основание 140 м а
высоту 175 м.
Определите длину основания треугольника, если площадь еГо
сосл авляет 42 кв. см и высота 7 см.
В следующей таблице рассчитайте неизвестное основание илй
высоту треугольника по остальным данным:
Основание
15
Высота Площадь
х 75
25 1079
х 948,75.
§ 49. Параллелограм и его площадь.
Способ определения площади любого многоугольника разби-
ванием его на треугольник удобен, но встречаются четыреуголь-
ники такого вида, что площадь их может быть определена зна-
чительно легче.
Вспомните, какие линии называются параллельными.
Проведите две параллельные линии на расстоянии 5 см одна
от другой. Возьмите две палочки по 10 см и две по 6 см, скре-
пите их по углам так, чтобы равные палочки были расположены
одна против другой. Получится подвижной четыреугольник. Возь-
мите несколько положений такого четыреугольника и проследите,
как расположены стороны в разных случаях. Обратите внимание,
какие углы бывают у такого четыреугольника. В чем отличие и в
чем сходство изучаемого четыреугольника с прямоугольником?
Такой четыреугольник называется параллелограмом.
Опишите параллелограм.
Каким образом параллелограм можно разделить на два тре-
угольника? Какие треугольники при этом получатся? Для облег-
чения сравнения вырежьте модель параллелограма из бумаги и
разрежьте ее на два треугольника.
Как разделить параллелограм на четыре треугольника?
Сколько линий для этого надо провести в нем?
Проделайте эту работу на бумажной модели и выясните, ка-
кие из треугольников получатся разные и какие одинаковые.
Промером диагоналей на всех начерченных раньше паралле-
лограмах выясните их сравнительную длину.
Сравните длину диагоналей прямоугольника. Каково различие
между диагоналями прямоугольника и параллелограма?
108
Затруднение при определении площади параллелограма та-
ково как ПРИ измерении площади треугольника. Параллело-
грам не расчерчивается на квадратные единицы. Поэтому для
выяснения вопроса приходится разбивать параллелограм на ча-
сти и из частей составлять новую фигуру.
Начертите два одинаковых параллелограма. Один из них рас-
чертите сеткой на квадратные сантиметры.
Рассмотрите, как второй параллелограм можно разрезать на
части, чтобы, составив их другим образом, получить прямо-
угольник.
Превратите второй параллелограм в прямоугольник. Наклейте
параллелограм и полученный прямоугольник в свою тетрадь.
Сравните осноьание полученного прямоугольника с основа-
нием параллелограма.
Сравните их высоты
Решите, как можно вычислить площадь параллелограма, не
разрезая его предварительно на части.
Обозначив основание и высоту параллелограма буквами, со-
ставьте формулу площади параллелограма.
Вычислите высоту параллелограма, площадь которого имеет
30,6 кв. см' и основание 6,8 см.
Упражнения. 415. Площадь параллелограма равна 625,5 кв. м, основание его
равно 25 м. Определите высоту.
416. Площадь параллелограма равна 39,1 кв. см, высота его равна 8,5 см. Опре-
делите основание.
417. Площадь параллелограма равна 9,18 а, высота его равна 216 м. Опреде-
лите основание.
418. Во сколько раз увеличится площадь параллелограма, если основание уве-
личить в 2,5 раза и высоту в 4 раза^*
§ 50. Площадь трапеции.
Какой вид имеет каждый скат четырехскатной крыши? Нари-
суйте по памяти тот скат четирехскатной крыши, который имеет
форму четыреугольника.
При рытье канав, чтобы земля не осыпалась, бока канавы де-
лают не отвесными, а наклонными. Нарисуйте разрез канавы.
Нарисуйте разрез железнодорожной насыпи.
Проведите две параллельных линии на расстоянии 5 см. Сде-
лайте их разной длины (например, 10 см и 8 cjwI и соедините
концы между собой.
109
Получится четыреугольник с двумя параллельными ц
двумя непараллельными сторонами. Такой четыреугольник
называется трапецией. Параллельные стороны трапеции назы-
ваются основаниями, непараллельные — боковыми сторс:1ами,
Для определения площади трапеции ее удобнее всего превра.
'тить в треугольник, имеющий ту же площадь.
Для этого разделите одну из боковых сторон л, полам. Сере,
дину боковой стороны соедините с вершиной трапеции и, отре-
зав полученный треугольник, перенесите е.-о к основанию (черт. 37).
I--------—5-. Сравните высоту трапеции
а \ с высотой треуголы ика.
I Как можно было заранее
\ предвидеть длину основания
J треугольника, зная длину герх-
Черт 37 " нег0 И нижнего оснований
трапеции?
Вычислите площадь трапеции, нижнее основание которой
имеет 20 сМ, верхнее 15 см, высота 8 см.
Обозначьте длину нижнего основания буквой a, i срхнего осно-
вания— буквой b и высоту — буквой h. Какие действия необходимо
произвести с этими буквами, чтобы получить площадь? Как запи-
сать порядок действий над буквами? Напишите формулу площади
трапеции и прочитайте ее, пользуясь словами’ нижнее и верхнее
основание и высота.
Упражнения- 419. Вычислите по формуле площадь участка земли, имеющего
форму трапеции, если а = 591,9 м; Ь = 457,7м; /г = 62,5 ж.
420. Пользуясь формулой п ющади трапеции, рассчитайте нижн.е основание
трапеции, если площадь равна 108 кв. см, верхнее основание 12 см и зысота 8 см.
Предварительно обозначьте длину иижпего основания буквой х.
421. Рассчитаете верхнее основание трапеции, площадь которой равна 50 кв. см,
нижнее основан те 13 см и высота 5 см
422. Составьте счету на покрытие крыши кресельный железо!., с цроолифкою
его, если на покрытие одного квадратного метра по Урочному Положению пола-
гается: метровых железных листов 1,2285, кровельщиков 0,1, гвоздей (7,6 см) 5,38 шт.,
олифы 0,03и9«г.
Предварительно на основания промеров вычертите план каждого ската крыши
и рассчитайте ее поверхность.
Железные листы рассчитываются и расцениваются по впсу, причем в завнги
мости от толщины метровые листы весят 4,09кг; 4,5«г; 4,9кг; 5,3кг; вес 1000
гвоздей 7,6 см длиною 8.2 кг.
При составлении сметы руководствуетесь указан пял сделанными в § 43
110
§ 51. Вычисление площади многоугольника разбиванием
на трапеции.
Умея вычислить площадь трапеции, легко рассчитать площлдд-
-'яоругслоника с б ольщим числом сторон иным способом, чем мы
это делали раньше, разбивая на одни треугольники.
Для этого посту-
пают таким образом.
Проводят однуиз ди-
агоналей многоу* оль.
ника (ее называют ча-
сто магистралью).
К магистрали пре -
водят высоты от всех
вершин многоуголь-
ника и вычисляют
площади всех частей,
на которые разоива-
ются многоугольни-
ки (черт. 38).
Возьмите го-овый план какого-либо участка земли в форм?
многоугольника. Чтобы не проводить на нем линий, сделайте
копию с плана (см. § 47). Проведите на копии магистраль и вы-
соты указанным способом. Рассмотрите каждую полученную часть
в отдельности, сделайте необходимые измерения и вычислите пло-
щадь каждой части и всего участка.
Произведите вычисление площади участка два раза, пользуясь
указаниями, сделанными в конце f 47.
Способ вычисления площади разбиванием участка на трапеции
и прямоугольные треугольники удобен тем, что на такие же фи-
гуры разбивается участок, когда хотят заснять его план по изме-
рениям на местности (глава ХП, весенние работы).
§ 52. Площадь ф..туры, ограниченной кривой линией.
Способ вычисления
площади разбиванием на
трапеции можно испоть-
зовать в том случае,
когда какие-либо участки
ограничены кривыми ли-
ниями.
Ш
Например, нам необходимо определить площадь луга, ограни-
ченного извивающейся речкой (черт. 39). В этом случае к прямой
границе луга на берегу проводят высоты от берега через равные
расстояния. Полученные участки считают за трапеции. Чем чаще
будут проведены высоты, тем точнее будет вычислена площадь
§ 53. Выводы из главы.
1. Площадь прямоугольника (SJ paetla произведению его
основания (а) на высоту (Ь).
Формула площади прямоугольника: St—a‘b.
2. Площадь квадрата (S2) равна квадрату его стороны (а).
Формула площади квадрата: S2 = a2.
3. Площадь треугольника (S,) равна половине произведе-
ния основания (а) на высоту (h).
Формула площади треугольника: S3 = ^^.
4. Параллелограмом называется такой четыреуголъ-
ник, у которого противоположные стороны параллельны.
Площадь параллелограма (3J равна произведению ос-
нования (а) на высоту (h).
Формула площади параллелограма: =
5. Трапецией называется такой четыреу голы гик, у ко-
торого две стороны параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются основа-
ниями, непараллельные боковыми сторонами.
Площадь трапеции (Ss) равна произведению полусуммы
оснований (а и Ь) трапеции на ее высоту (h).
. „ (а + Ь) • й
Формула площади трапеции: 5В = 5—
6. Площадь многоугольника определяется разбиванием
его на части и вычислением площади каждой части
в отдельности. При этом чаще всего многоугольник раз-
бивают диагоналями на треугольники или на треуголь-
ники и трапеции.
Упражнения. €23. Сделайте расчет количества продуктов сельского хозяйства
с земли того сельского общества, которое вам удалось обследовать. При этом вы-
ясните фактическую урожайность разных культур, количество населения (едоков)
и количество скота. На основании этих данвых рассчитайте, какое количество про-
дуктов будет потреблено в своем хозяйстве, и что останется для продажи (на ка-
кую сумму) и получения в обмен продуктов промышленности.
424. Сельское общество имеет 84 га полевой земли.
112
Составьте смету возможного получения продуктов сельского хозяйства при
тполье, четырехполье, и восьмиполье.
ТРе'для расчета воспользуйтесь следующими данными средних урожаев с гектара;
При трехполье: рожь 810«г, овес 900кг, картофель 8100кг.
При улучшенных многопольных севооборотах: рожь 1440 кг, огес 1350 кг
картофель 10 100 кг, клеверное сено 4510 кг, корни турнепса ЗбОООлгг, лен зерно
360 кг, лен волокно 360 кг.
Выясните справочные цены на продукты сельского хозяйства и результаты
ваших вычислений представьте в виде таблицы по следующему образцу:
Сравнительная стоимость продуктов сельского хозяйства при
трехпольном и многопольном севообороте с участка земли в
84 га.
Название
культуры
При трехполье
Количество
земли под дан-
ной культурой
Урож/ Стоим’
р урожая
При многополье (укаж., какое)
Количество
земли под дап-
ной культурой
Урож.
I Стоим.
’ урожая
РоиЛ.........
Овес.........
Картофель . . •
Клеверное сено
Корни турнепса
Лен зерно . . .
Лен волокно. .
Итого . .
II
425. Площадь треугольника равна 25 кв. м, высота 5 м. Определите осно-
вание. •
426. Площадь треугольника равна 80 кв. см, основание ^2,5 см. Определите
высоту.
427. Сумма всех стороп прямоугольника равна 30 м. Основание в 2 раза больше
высоты. Определите высоту.
428. Сумма всех сторон прямоугольника равна 28 см. Основание длиннее вы-
соты на 2 см. Определите площадь.
429. Площадь параллелограма равна 33,6 кв. м. Основание 9,6 м. Определите
высоту.
430. Определите площадь трапеции, у которой нижнее основание равно
15,6 см, верхнее основание 7,9 см и высота 6,8 см.
431. Определите высоту трапе щи, площадь которой ртвна 200 кв. м, нижнее
основание 18 .и и верхнее 7 м.
432. Определите нижнее основание трапеции, если ее площадь равна 300 кв. см,
высота 12 см и верхнее основание 23 см. ,
8 Берг и др. Рабочая книга по математике, 5-Й год.
113
433. Начертите прямоугольник, одна из сторон которого была вы равна Се I
а площадь 24кв.см. ’’w
434. Начертите треугольник, стороны которого равны 6. 7 и 8 см. Прсве^^ I
после этого одну из высот, измерьте ее и вычислите площадь треугольника. I
В задачах 135—439 после построения фигуры следует привести выс-яу и изцс
рить 6с. '
435. Начертите треугольник, две стороны которого равны 5,8 и 7,2 см, a jj I
мдачепный между ними угол 70°. Вычислите площадь треугольника.
435- Начертите треугольник, сторона которого равна 6,5 см, а прилежащие
к ней утлы равны 40° и 60°. Вычислите площадь треугольника.
437. Начертите равносторонний тре.ольпик, каждая из сторон которого равиа
5,7 ем. Вычислите площадь треугольника.
438. Начертите параллелограм соседние стороны которого равны 5 и бод а
угол между ними 5ff. Вычислите площадь параллелограма.
439. Начертите параллелограм, все стороны которого одинаковы и равпы по.
рознь 6,3 см, а угол между двумя соседними стеронами равен 130°. Вычпс..ите
пгошадь параллелограма.
440. Начертите трапецию, основания которой равны 6 и 9 ся и перпепдику!
лярпы к одной из боковых сторон, равной 4 см. Чему рагна площадь трапеции?
441. Начертите треугольник, стороны которого равны 5, 6 и 7 см. Соедините
попарно середины его сторон; от этого построенный вами треугольник разделится
на 4 части. У какой из этих частей площадь наибольшая?
442. Постройте квадрат ABCD. Соедините точку Е, делящчю сторог.у j4jD по-
полам, с точкою С и соедините точки И и С. Во сколько раз площадь треуголь-
ника АСЕ меньше площади квадрата АСС£>?
ГЛАВА VL
БУКВЕННЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
§ 54. Применение формул.
Перечислите все случаи, когда вам приходилось пользоваться
формулами.
Составьте формулы, при помощи которых можно обозначить:
1. Площадь прямоугольника, основание которого составляет
а см и высота 10 см.
2. Вес а ведер молока, если одно ведро весит 12 кг
3. Вес а декалитре в ржи, если декалитр весит 7 кг.
4. Пооизведение, если один из Множителей равен а и другой
равен Ь.
5. Сумму площадей четырех одинаковых прямоугольников,
имеющих основание а и высоту Ь.
6. Частное, если делимое равно а и делитель равен 5,
7. Частное, если делимое равно а и делитель равен Ь.
8. Делимое, если делитель равен а, частное равно b и оуга-
ток равен с.
9. Сумму двух чисел, если одно из них равно а и другое
равно Ь.
10. Вес а декалитров ржи и Ь декалитров овса, если дека-
литр ржи весит 7 кг и декалитр овса весит 5 кг.
11. Двузначное число, которое имеет а- десятков и b единиц.
12. Разность, если уменьшаемое равно а и вычитаемое равно &.
13. Частное, если делимое равно а, делитель равен b и оста-
ток равен с
14. Стоимость покупки, состоящей из а книг по b иопеек ка-
ждая и с тетрадей по d копеек за тетрадь.
15. Себестоимость единицы товара, изготовляемого на заводе,
если расход на сырье составляет а, рублей, рабочую силу b руб-
лей, общие накладные расходи с рублей и ести на фабрике изго-
товлено d единиц этопо товара.
S 116
Познакомимся с другими случаями, когда приходится 1
дело с формулами. I
При правильной организации сельскогр хозяйства необходим
знать количество навоза, получаемое в хозййстве. Количество ца.
воз? зависит от количества потребляемого корма и количества
подстилки. Поэтому, если в хозяйстве ведется запись выдавав-
мого скотине корма, крестьянин может подсчитать, какое холи,
чество навоза он будет иметь за год.
Корова среднего веса съедает за год (не считая летних меся,
цев, когда она кормится на пастбище) 1600 кг сухого корма. Ко.
личество подстилки составляет от 73 до ‘/4 съеденного корма по
весу.
Агрономы .определяют количество навоза, которое получается
в хозяйстве, по формуле:
/7=^4-П}.4,
где Н—вес навоза, К—вес сухого корма и П—вес сухой
подстилки. Все величины даются в одинаксгых весовых еди-
ница/ .
Пользуясь указанной формулой й приведенными данными о
среднем количестве сухого корма, съедаемого коровой, и о ко-1
личестве необходимой подстилки, вычислите количество навоза,
получаемое от одной коровы за год.
Определите, какое количество коров необходимо держать
земледелье для нормального удобрения одного гектара пара,
если для этого надо иметь 17000 кг навоза.
Правильное кормление скота производится по весу живот-
ных.
Расчет корма производится в сильных кормах (мука, о-руби,
жмыхи). Ппи этом 400 г сильного корма принимается за одну
кормовую единицу.
Корова требует поддерживающего и продуктивного корма.
Суточный вес поддерживающего корма равняется одной сто-
двадцатой части живого веса коровы, а вес продуктивного корма i
равен одной трети суточного удоя молока
Вес того и другого вида корма выражается в сильных кор-
мах. Питательность других кормов сравнивается с питательностью I
кормовой единицы, а замену одних кормов другими производят I
по следующей таблице:
116
Грубые (сухие корма).
весовых единицы хорошего лугового сена = 1 весовой единице сильных КОрМОР
. болотного сена =1 .
, хорош, клеверп. сена =1 , • * я
‘i * . яровой соломы =1 , * 9
51 . • озимой соломы =1 . »
Зеленый корм.
12 весовых единиц луговой травы = 1 весовой единице сильных кормов
g , . клевера =1 , • я
Корне-клубиеплоды.
4 весовых единицы картофэля = 1 весовой единице сильных кормов
8 , , моркови кормовой =1 •
12 . » гурнепса = 1 * • и
12 » брюквы =1 , W 9 V
Для составления кормовой дачи надо иметь в виду, что силь-
ного корма надо давать не более 5 - 6 кг в день и грубого корма
примерно одну сороковую часть живого веса коровы.
Составьте формулу для определения веса корма (поддержи-
вающего и продуктивного), если корова весит а кг и дает Ь кг
молока в день.
Так как метрические меры веса недостаточно распространены среди крестьян-
ского населения, часто расчет корма производится в русских мерах веса таким
образом: под шрживающий корм—на каждые три пуда живого веса одна кормовая
единица и продуктивный корм—на каждые гри фунта суточного удоя одна кормо-
вая единица.
Без взвешивания на весах живой вес крупного рогатого скота
(коровы) приблизительно определяется следующим образом. Изме-
ряется длина корпуса по верху спины от начала холки до корня
хвоста и обхват груди сейчас же позади лопаток. Оба измерения
производят в сантиметрах. Произведение полученных чисел, раз-
деленное на 50, дает вес коровы в килограммах. Например, при
длине 192сл£ и обхвате 200 см живой вес будет
192 • 200
50
728 кг.
Составьте формулу для измерения живого веса скотины. Более
точно живой вес крупного рогатого скота определяется по осо-
бым таблицам.
По некоторым исследованиям вес человека получается от
умножения величины роста на рассто°ние между концами паль-
цев при разведенных руках и на число 24,06. Длины берутся в
117
метрах, вес получается в килограммах. Составьте формулу в Л
человека по этому способу.
Пользуясь формулами, мы показываем, какие действия необ-'
ходимо произвести с числами, которые в отдельных частных слу.1
чаях будут поставлены вместо букв. Например, формула для pg.
счета корма показывает, что если корова весит 360 к?
и дает Зкг суточного удоя, для вычисления корма надо в фор-
муле вместо а подставить 36Э и вместо b 3. Подучим:
360 , 3 _ .
120 "Г 3 —
Вуквы и кисла в наших записях соединяются знаками
действий, w всякое такое соединение называется алгеб-
раическим выражением. Алгебраические выражения разде-
ляются на одночлены, двучлены и вообще многочлены.
Одночленом называется алгебраическое выражение, в.
котором последнее действие не есть ни сложение, ни вы-
читание. Поэтому а-\-Ьс не одночлен, но (<? + д)с одночлен.
Многочленом называется алгебраическое выражение,
представляющее собою соединение одночленов знаками
сложения и вычитания. Одночлены называются членами
5
многочлена. Поэтому За^^-аЬ—с есть многочлен, состоя-
щий из трех членов, или трехчлен.
Укажите в следующих алгебраических выражениях одночлены,
двучлены и трехчлены:
2а + 36; -Л 3,4*4-а-с; —I55; 48а — 3*; 7а —
(л гч 1 \ о 4 & 3 д 5 А
С>9а-уй)С; 8a-y4-V,
Выражение За показывает, что а берется слагаемым три раза
и представляет сокращенную запись выражения a-j-a-j-a = 3a.
В этом случае числовой множитель называется козфи-
цивмлом.
Принято писать коэфициент впереди букв и не ставить при
этом знака умножения. Так, вместо а • 5, пишут да.
Найти численное значение алгебраического выражения—значит
вычислить его значение, если вместо букв подставить числа и
пооизвести указанные действия.
118
Примеры. a-\-b—с, если а=3, о —1С, с=5:
с = 8+И —5 = 13
4а— 5Ь, если а = 3,5, 6 = 2,3;
4а — 56 = 4-3,5 — 5 -2,3 = 2,5.
упражнения. 443. Выразите в сантиметрах длину, имеющую а метров и 6
дециметров.
. 444. Обозначьте число, которое ва a enm:~u. больше 7.
445. Обозначьте три числа, которые будут следсьать в натуральном порядке
за числом, имеющим а единиц.
446. Обозначьте три числа, которые будут предшестзовдть в натуральном по-
рядке числу, имеющему а ед| ниц.
447. Обозначьте три последовательны.» четных числа, первое из которые
равно 2л
448. Обозначьте три последовательных нечетных числа, перво: из которых
равно 2 а +1.
449. Обозначьте число, которое на а единиц меньше 7.
450. Обозначьте длину линии, равной сумме двух линий, из которых длина
первой равна а и длина второй Ъ.
451. Обозначьте длину линии, равной разности двух ’ипий, из которых ^лина
первой линии равна а и длина второй Ь.
452. Напишите с кокфициейтом выражения:
a-j-а-p а-(-а= б Ад. 5 д. । д_ -
h-[-h+h= 3 + 3 ’Т"3'+ 3”г3”г Т'-
453. Напишите без коэфициеьи выражения. Зе, 5Л, 1т.
454. Вычислите выраженья
« , 4аЬ 3 , 5аЬ
За 26, —: ~л~ —25 с; —,
6 4 6с
если а =10, 6=3 и с-=4,
455. Укажите среди выражений предыдущего упрагшенил одночлен, тлучлен и
-рехчлев,
§ 55. Степень и показатель степени.
При вычислении площади квадрата, длина стороны которого
равна р, вместо а • а мы писали а3 и читали это выражение „а
в квадрате* или „а во второй степени*.
Число 2, показывающее, сколько раз число а повто-
ряется множителем, называется показателем степени.
Показателем степени может быть не только число 2, но и вся-
кое другое число. Так, например, as есть сокращенный способ
записи выражения а • а - а а • а.
119
Все выражение, получающееся в результате умножений
какого-либо числа на самого себя, называется степень^
Так, в выражении b • b • b • b = bi число 4 есть показатель степеЛ
ч Ь1 степень.
Показатели степени применяются не только к буквам, но и
к числам.
Примеры. 32 = 3-3 = 9; 53 = 5 • 5 • 5 = 125;
/XV — — X X —X. /2\* X 2. X X 15-
\2) ~ 2 '2'2 8 ’ \3/ ~ 3 ’ 3 ‘ 3 ’ 3 81 ’
(3 4/ = (у)’=Т =12 Т =12'25’ <2’4)3= 2>4 • 2>4 = 5’76‘
Найти численные значения следующих выражений:
1) а2 + &2, если а = 5, 6 = 1;
а«+ &2 = 52 + 12 = 26 ,
2) а2— Ь2, если а = 4, Ь = 3
3) За2&3— 2ab2, если а = 3, Ь = 2
4) 4а3&2— ЗаЬ-\ если а = 5, Ь — 2.
Упражнения. 456. Напишите с показателями степени следующие произве-
дения"
2-2-2-2; 5-5-5; у-у.
457. Напишите с показателями степени выражения:
W
ааа\ aaaabbc, aabbbcc', abbccchh.
458. Напишите без показателей степени выражения:
с?Ь\ аЬ\ aVc; аЬгс; а1Ьс\
459. Вычислите выражение ба’-А3, -если а = 2 и Ъ = 3.
460. Вычислите 54; 7s; 4,2s; ; 0,4s; 0,1s; 0,1s; Is; I7; I10.
461. Вычислите 10s; 10s; 10s; 10”
462. Напишите миллион, миллиард и триллион числом 10 с показателями
степни.
463. Среднее расстояние Земли от Солнца равно 149 500 000 км. Напишите
это число в виде произведения 1495 на 10 с показателем степени.
464. Из определения метра мы знаем, что ьн равняется одной десяткмитлион-
ной части четверти земного меридиана. Определите длину земного меридиана и
напишите полученное число сокращенным образом, применив степень десяти.
Составьте формулы, выражающие:
465. Сумму площадей трех одинаковых треугольников с основаниями, рав-
ными а, н высотами Ь.
466. Сумму площадей двух треугольников с основаниями, равными а и Ь, к
высотами, раввнми с и d.
120
467. Сумму сторон прямоугольника, у которое длина равна а и ширина 6
488, Сумму сторон квадрата, если длина сторон равна а.
469. Площадь трапеции с высотой, равной а, и основаниями Ь и с.
Найдите численные зн чения следующих алгебраических выражений
470. 2,5 Ь. если Ъ = 3,74.
471. если я =10,65; 5 = 3,75; с = Х-
4 с 25
472. -Т-4--Д • еслн «=0,32; b — ~; с = 0,09; d = 4~.
и а о 4
473. -^-« + 4-5, если а = 0,48’ 5 = 1,2. 474.4? + °-, если я = 4 , о = 0,15.
о д г и й и
111 5
475.----Ь-гН---> если а — ~а- £ = 2,5; с = 0,2.
а о с о
476. а*Ъ + аЬг, если а = 0,4; 6 = -^-. 477. 3,5es + 2,452, если а = 2; 6 = 5. %
„„ 2.5яа + 45с „„ t 3 „ 1
478. п-------, если а = 3,6; b = ; с = 3 .
2ас 4 3
479. ^ab + 4~, если а = ~; 5 = 0,12; с = 0,04.
5 ' Зс 2
480. , если я = 0,3; 5 = 0,9; с = 3. 481.^=^, если я = 3; 5 = —.
с (а о 9
482. -+^8с, если я = 0,8;' Ь = ^- с =1,5.
2с ’ ’ 3
111 9
483. — + , если а = 0,4; b =0,5; с=у.
«И. ес.» „_2, »_4 и с=2Д
2
ГЛАВА VII.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ.
§ 56. Содержание главы.
Количество зерна, имеющееся у крестьянина в закроме, опре-
деляется по весу или по объему. Так же измеряется количество
жидких тел (вода, молоко, керосин и т. д.) по объему — бутыл-,
ками, литрами или по весу — килограммами. Расчет стоимости
деревянных материалов (досок, брусков и т. д ) определяется по
объему. При составлении проекта здания принимается во внима-
ние не только площадь пола, но и высота комнат, так как от
последней зависит объем комнат, а следовательно, и всего
здания.
Во всех этих случаях необходимо уметь вычислять объем тел
разной формы по их наружным размерам.
В настоящей главе разбираются приемы вычисления объемов
тел простейшей формы.
Кроме того, в этой главе будет указано, как по объему тела
определить его вес.
§ 57. Куб.
Объем тела измеряется в кубических единицах, т. е. высчи-
тывается, сколько кубических единиц умещается в данном объеме.
За единицу объема принимают объем такого куба,
ребро которого равно одной линейной единице.
Рассмотрите кубический дециметр. Какова длина ребра та-
кого куба? Сколько палочек одинаковой длины надо взять, что-
бы, скрепив их по углам, составить модель куба?
Расположите куб таким образом, чтобы несколько ребер были
отвесны. Сколько их? Сколько в этом случае будет ребер, распо-
ложенных горизонтально?
123
Под каким углом встречаются ребра куба?
Найдите все ребра куба, которые параллельны между собой
Стенки куба называются гранями. Сколько граней имеет куб?
расположите куб таким образом, чтобы одна из граней была
горизонтальна. Будет ли в этом случае другая горизонтальная
грань? Сколько граней при таком расположении будут отвесны?
Какую форму имеет каждая грань куба? Какова площадь каждой
грани кубического дециметра? Под какими углами встречаются
пересекающиеся грани куба? Сколько вершин имеет куб?
Расскажите, что вы знаете про куб.
Для изготовления кубического дециметра из плотной бумаги
необходимо составить выкройку, в которой имелось бы 6 квад-
ратов размером в квадратный дециметр каждый.
Начертите такую выкройку, подумав, как расположить квад-
ратные дециметры, чтобы, вырезав выкройку и согнув ее по
проведенным линиям, можно было получить кубический деци-
метр.
Назовите, какие могут быть другие кубические единицы мельче
и крупнее кубического дециметра.
Упражнения. 485. Сделайте кубический дециметр из палочек, скрепив их в
вершинах куба. Если в школе есть приспособление для паяния, сделайте кублче
ский дециметр из проволок, спаяь па в вершинах куба.
486. Сделайте из бумаги кубический сантиметр без одной грани 'полый/
Достаньте пробирку и пересыпанием порций песка из кубического сантиметра в
пробирку разметьте последнюю приклеенными полосками бумажки на кубические
сднтимстры.
48?. Разметьте пругую пробирку па кубические дюймы и найдите, сколько
кубических сантиметров умещается в одном кубическом дюйме,
§ 58. Прямоугольный параллелепипед.
Рассмотрите тело, имеющее такую же форму, как обычная
классная или жилая комната.
Тело такой формы называется параллелепипедом.
Сосчитайте, сколько ребер имеет параллелепипед. Все ли
ребра параллелепипеда разной длины? Сколько встречается ре-
бер одинаковой длины? Сколько нано иметь палочек и каких
размеров, чтобы, скрепив их по углам, сделать паралле-
лепипед? Укажите на параллелепипеде (в классе) параллельные
ребра. Под какими углами встречаются ребра параллелепипеда?
Есть ли в классе не прямые углы? Сколько вершин в паралле-
лепипеде?
123
Так как в описываемом параллелепипеде нет непрямых углов '
то его называют прямоугольным параллелепипедом.
Что представляет собою каждая грань параллелепипеда?
Имеются ли в параллелепипеде одинаковые грани или все они
различны ?
Расскажите, что вы знаете про прямоугольный параллелепипед.
На каких гранях можно измерить длину и ширину прямоуголь-
ного параллелепипеда? На каких гранях можно измерить высоту Ж
прямоугольного параллелепипеда?
Для изготовления прямоугольного параллелепипеда из плот-
ной бумаги или картона необходимо вычертить выкройку, в ко-
торой было бы расположено шесть прямоугольников, предста-
вляющих шесть граней параллелепипеда. Какие размеры необхо-
димо знать для вычерчивания всех граней параллелепипеда?
Вычертите выкройку прямоугольного параллелепипеда, имею-
щего 8 см длины, 6 см ширины и 5 см высоты. Обдумайте, как
расположить 6 прямоугольников, чтобы после сгибания получился
прямоугольный параллелепипед. Перед вырезыванием решите,
где необходимо оставить закраины для склеивания.
Упражнения. 488. Изготовьте прямоугольный параллелепипед из палочек или
из проволоки.
489. Изготовьте прямоугольный параллелепипед из картона, склеив получен- I
hj ю выкройку.
§ 59. Изображение прямоугольного параллелепипеда.
При изображении прямоугольного параллелепипеда на бумаге
нельзя изобразить шесть граней, так как все грани не видны.
Обыкновенно изображают три грани: переднюю, одну из бо-
ковых и верхнюю или нижнюю.
Передняя грань изображается в
виде прямоугольника. Остальные
грани изображаются параллело-
грамами. Ребра остальных граней
изображаются не под прямым
углом к ребрам передней грани, а
наклонно. Длины ребер, отходящих
от передней грани, изображаются I
укороченными, так как такими
они кажутся нашему глазу (черт. 40).
Упражнения. 490. Начертите прямоугольный параллелепипед так, чтобы были
изображены передняя грань, верхняя и девая.
124
грань, нижняя и одна
§ 60. Объем
Для определения
491. Начертите прямоугольный параллелепипед так, чтобы были видны перед-
из боковых.
прямоугольного параллелепипеда.
объема прямоугольного параллелепипеда
необходимо узнать число кубических единиц, в нем заключа-
ющихся.
1. Положим, прямоугольный параллелепипед имеет ширину и
высоту, равные 1 см, и длину 6 см (черт. 41). В этом случае пра-
вая и левая грани параллелепипеда, расположенные под прямым
углом к остальным граням, представляют квадратные сантиметры.
Это выражают таким образом: поперечное сечение параллелепи-
педа имеет квадратный сантиметр. Параллелепипед может быть
рассечен рядом поперечных сечений по длине через каждый сан-
тиметр. Чертеж ясно показывает, что наш прямоугольный парал-
телепипед разделился на 6 кубиков по одному кубическому сан-
тиметру в каждом. Объем прямоугольного параллелепипеда с
поперечным сечением в 1 кв. см будет иметь столько кубических
сантиметров, сколько линейных сантиметров имеется в длине.
Черт. 41. Черт. 42.
2. Прямоугольный параллелепипед имеет высоту, равную 1 см
длину 5 см и ширину 4 см В этом случае (черт. 42) параллеле-
пипед тремя продольными сечениями может быть разделен на
4 бруска с поперечным сечением в 1 кв. см. Объем каждого бруска
определяется легко по его длине. Объем всего параллелепипеда
в 4 раза больше объема бруска.
3. Прямоугольный параллелепипед имеет 5 см длины, 4 см
ширины и Зсм высоты (черт. 43). Разрезая его горизонтальными
сечениями, мы получим три слоя, объем каждого из которых
определяется по предыдущему.
Таким образом, определение объема прямоугольного паралле-
лепипеда сводится к разбиванию на кубические единицы и к
Подесту их числа.
Число полученных кубических единиц можно предвидеть заранее,
Зная длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда.
125
Измеряя длину прямоугольного параллелепипеда, мы одновре-
менно узнаем объем бруска той же длины с поперечным сече-
нием в одну квадратную единицу.
Умножая объем бруска на число, полученное от «измерения
ширины параллелепипеда, мы
получим объем слоя высотою
в одну линейную единицу.
Умножая объем слоя на
число, полученное от измере
ния высоты, найдем объем все-
го параллелепипеда.
Составьте правило вычис-
ления объема прямоугольного
параллелепипеда.
Длина, ширина и высота
прямоугольного параллелепипеда называются его измерениями.
Обозначьте их буквами а, b и с и объем буквой V и составьте
формулу, выражающую объем прямоугольного параллелепипеда
в зависимости от его измерений.
Так как нахождение объема сводится к определению числа ку-
бических единиц, то, вместо выражения „найти объем“ тела, го-
ворят „найти кубатуру" тела.
Упражнения. 492. Изготовьте табличку квадратуры и кубатуры вашей клас-
сной комнаты по следующему образцу (все измерения записьш iflie в метрах и его
долях, например, 7,-65 му.
Классная комната........
Длина .................
Ширина................
Высота ........
Площадь ид одного учащегося.
Квадратура. ...
Кубатура...................
Световая поверхность........
ОСгьем па од юго учащегося .
493. Если в Помещениях других групп школы пе имеется таблиц квадратуры
н кубатуры, организуйте проведение такой работы. Копни полученных результа-
тов сдайте в канцелярию школы. Они там понадобятся для всякого род? расчетов.
494. Вычислите кубатуру вашей комп .гы и вашей квартиры.
493. Определите объем закрома, который надо иметь дель ному хозяину для
гранения отдельно ржи и овса, если он имеет 3.6 га полевой земли с ти yrno.it-
вых севооборотом при урожайности, указанной в упрлжненьи 424.
Один кубический метр ржи весит 720 — 780 кг, и оди i кубический метр овса
565 — 580 кг. Рассчитайте длину необходимого ларя, если его высота будет оавва
1,2 м и ширина 0,90 м.
496. Определите, какую наименьшую высоту должна иметь классная комната
10 м длины и 8,0 м ширины, чтобы па каждого учтще~осг (нормальное число уча*
щих:я 39) ирг ходило.ь 7,8 куб. м воздуха.
123
§ 61. Объем куба.
Умея вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, легко
вычистить объем куба. Положим, ребро куба равно 5 см. Так
как все три измерения куба одинаковы, объем его будет равен
5.5 • 5 = 5Э = 125 куб. м.
Эта запись читается: пять в кубе или пять в третьей степени-
Обозначив длину ребра куба буквой а и объем куба буквой
V, запишите обьем куба формулой, выражающей зависимость
объема от длины ребра куба.
Название кубической единицы, получаемой в результате вы-
числения объема, также записывается сокращенно значком куба
или третьей степени: вместо 125 куб. см, часто пишут 125 слЛ
Подсчитайте число кубических сантиметров в кубическом де-
циметре, число кубических дециметров в кубическом метре.
Составьте таблицу кубических метрических мер:
1 куб. м =. . . куб. дм
1 куб. дм—. . . куб. см
1 куб. см=. . . куб. мм.
Кубический дециметр часто употребляется при измерении ко-
личества жидких тел (молока, керосина, бензина).
Б этом случае объем в один кубический дециметр называют
литром, з сосуд для измерения объема для удобства делают
не в форме куба, а в форме кружки. Вместимость литра равна
приблизительно 1,6 бутылки, или пяти стаканам.
Упражнения. 497. Сосчитайте число кубических сантиметров водном кубиче-
ском метре
198. Сосчитайте число кубических миллиметров в одном кубическом метре
499. Раздробите в кубические сантиметры: 2а куб. дм; i 4 куб. дм; 375 куб. ем;
25,6 куб. м; 35 куб. м; 425 куб. дм.
50С. Раздробите в кубические миллиметры: 18яуЛ си; 256куб. мм.
501. Какую часть кубического дециметра составляет. 500 куб.см; \25 куб. см
чУУкуб. см; 827 куб. см (результат Запишите в виде десятичной дроби)?
502. Превратите 275 куб. см; 50Э куб. мм в кубические сантиметры. Превра-
тите кубические сантиметры: 221 куб. см; 375 куб. мм; 117 куб. см; 315 куб. мм.
2Ъку& см; 27 куб. мм; 5 куб. см: 7 куб. мм.
05? Определите объем куба, длина ребра которого равьл 1) 5 см 6 мм;
2) 4 м 3 дм 3,52 см: 3) 2 м 7 см.
УН
§ 62. Кубические меры и задачи на вычисление обтемов.
Перечислите известные вам русские кубические меры.
Переведите кубическую сажень в кубические метры, зная, что
линейная сажень равна 2,1336 м. Для перевода необходимо вы-
числить 2Д3363.
Так как число метров в сажени дано с точностью до 0,0001,
то результат получится приближенный.
Решите, за сколько знаков вы можете ручаться в ответе, и не
выписывайте тех цифр, которые не заслуживают никакого до-
верия.
Составьте переводные таблицы кубической сажени в куби-
ческие метры, к}бическою фута в кубические метры и кубиче-
ского дюйма в кубические сантиметры по тому образцу, как вы
составляли переводные таблицы в § 18.
Упражнения1. 504. Пр’и экспорте лесного материала из СССР применяется
единица объема, называемая стандартом. Стандарт равен 165 кубический
футам. Определите величину стандарта в кубических метрах.
505. Построенный в Ленинграде советский лесовоз .Товарищ Сталин* берет
около 1250 стандартов леса. Определите количество материала в кубических
ме'рах.
506. На товарный вагон грузят до 40 куб. м пиленого лесного материала.
Определите число стандартов.
507. Стоимость досок и другого лесно. о материала вычисляется по стоимости
одного кубического метра. Составьте расчет следующею числа досок (чистых
обрезных) при стоимости одного кубического метра в 20 руб.:
Число досок Длина Ширина Толщина Объем в куб. м. Стоимость
125 6 м 18 см 4 см а л
з00 8 м 20 см 3 см « «
150 9 м 22 см 2 см а а
508. Определите число чистых обрезных досок размером 6 м X 26 см х 3 см,
сложенных на складе в штабеле, если высота штабеля 2,4 м, ширина 2,34 м и
длина 6.и.
509. Погонною саженью дров называется штабель дров высотою и длиною
в сажень при толщине штабеля в один ряд полей. Какую часть кубической
сажени составляет одна погонная сажень 12-вершковых дров? Переведите в куби-
ческие "метры одну погонную сажень 12-вершковых дров.
510. В продаже появились плоские спичечные коробки с внутренними раз-
мерами 5 см X 3 5 см X 1 см. Подсчитайте, какого вида коробочка выгоднее по своей
вместимости дтя потребителя: плоская или обыкновенная.
1 Прежде чем вычислять, обозначьте те вычисления, которые необходимо
произвести для получения ответа задачи. Самые вычисления производите в том
порядке, который будет наиболее кратким н удобным, не забывая сделать возмож-
ные сокращения и упрощен.^.
128
511. Для отопления помещения на одну голландскую печь полагается в год
13 поенных метров березовых дров, при длине полена, равной 35 см; на одну
утермарковскую (железную) печь 10,5 погонного метра; на один кухонный. очаг
средних размеров 25.5 погонного метра. Определите число кубических метров,
необходимое для школы и квартиры, если у вас нет центрального отопления.
512. Количество топлива, необходимое на отопительный сезон для помещения,
имеющего нейтральное отопление, исчисляется по неружной кубатуре зданич.
Для вычисления наружной ку батуры измеряют высоту здания от тротуара до кар-
низа крыши. При наличии отопляемого подвала высота считается от пола подвала.
Определит; годовую норму топлива на школьное здание, считая, что на 1 куб. .и
наружной куба.уры в Москве полагается 0,027 куб. м дров. При замене дров дру-
гим видом топлива, вместо 1 куб. м дров, берется 200 кг каменного угля (донец-
кого) или 125 кг нефти. Результат вашей работы представьте в виде сметы на
отопление школы, взяв формул сметы в канцелярии школы.
513. При составлении предварительных смет на постройку зданий исходят из
стоимости одной кубической единицы постройки (наружная кубатура). Составьте
расчет стоимости постройки семилетней школы без параллельных групп, если ил
одного учащегося должно приходиться не меньше 1.5 кв. м площади пола в класс-
ных комнатах при высоте в 4 м и если общая площадь других помещений (ко.
ридоры, залы, раздевальня, столовая, кабинеты, мастерские и пр.) должна быть
в 3 раза больше общей площади классных комнат. В строительный сезон 1927 года
в Москве н Московской губ. 1 куб. м деревянной постройки стоил 8,7 руб., и
1 куб. м каменной постройки 25,4 руб. О цене одного куба постройки в настоя-
щий момент справьтесь в ближайшей строительной конторе.
514. Составьте расчет на выкопку колодца 1,5 л<Х 1,5 ж, глубиною 10.и ь
глинистом грунте, если по Урочному Положению собственно для копания земли
полагается Q,25 землекопов на каждый кубический метр выемки и для подъема
земли на каждые J.000 кг земли на каждый метр средней высоты полагается
0,046 рабочих. До глубины дву х метров землекоп сам выбрасывает землю, и осо-
бых рабочих для подъема земли не считают. Вес одного кубического метра глины
•'оставляет 1690—1930 кг.
Указание. Средняя г.тубира выемки определяется следующим образом
Еслц, например, необходимо выкопать колодец 8 м глубины, то, не считая пер-
вых двух метров, средняя глубина остатка будет 3 и. Прибавляя к этой средней
глубине два первых метра, мы получим, что всю массу земли, взятую ниже двух
метров, надо в среднем поднять на 5 .и.
515. В московском водопроводе, расположенном в деревне Рублево, вода из
Чосквы-рекн поступает прежде всего в отстойники, гте из юлы осаждаются
наиболее гоубые взвешенные частншж На водопроводной станции имеется 5 от-
стойников, построенных в виде подземных жел !зобстонных резервуаров шириною
37-1-саж., длиною 25 саж. и высотой 1,9 саж.
Определите общую вместимость всех отстойников в куб. метрах и в ведрах,
если в одном кубическом метре 81,3 ведра.
516. Из отстойников вода в московском водопроводе поступает в предварительные
фильтры, имеющие 52 отделения. Площадь каждого фильтра составляет 21,25 кв. саж.
Г Вода через предварительные фильтры проходит со скоростью 1,5 м в час.
Определите, какое количество воды (в ведрах) может быть пропущено через
фильтры в сутки при непрерывной работе фильтров.
0 Берг и др. Рабочая книга по математике, гот.
129

517. Очищенная претвлрительныт.гн фильтрами веда поступав ’' на английские
фильтры, состоящие из 20 отделений площадью 2950 кв. м каждое. В английских
фильтрах скорость прохождения воды составляет 20 см в час. Определите коли-
чество воды, проходящей в сутки через английские фильтры.
518. По данным ученого Р и с л е р а, пашия, засеянная растениями, испаряет
(в среднем, в сутки) следующее количество воды: рожью 0,74 —1,4 мя. овсом
2,9 — 4,9 мм, люцерной 3,4 — 7,0 мм.
Определите количество воды, испаряемое гектаром ржи, овса и люцерны.
5 9. По данным ученого Габерландта, один экземпляр культурных расте-
ний испаряет следующее количество воды за лето: овес 2278 куб. см, ячмень
1236 куб. см, яровая пшеница 1180 куб. см, яровая рожь 835 куб. см.
Считая (по данным того же ученого) один миллион растений на гектар земли,
определите количество воды, испаряемое гектаром пашни при посеве разных зла-
ков за лето.
Сравните это количество воды с количеством зыпздающлх осадков, если в
большей части РСФСР за год выпадает от ЗОж.и до 600 мм дождя. В юго-во-
сточной части РСФСР, ближе к Каспийскому морю, количество выпадающего
дождя понижается до 200 мм за год. Может ли в этих местах произрастать овес?
§ 63. Объем призмы.
Правило вычисления объема прямоугольного параллелепипеда
можно формулировать двумя способами.
1. Для вычисления объема прямоугольного параллеле-
пипеда в кубических единицах необходимо перемножить
три его измерения, выраженные в одинаковых линейных
измерениях.
2. Произведение любых двух измерений прямоугольного па-
раллелепипеда дает площадь одной из его граней. Поэтому,
выбирая эту грань за основание, можно сказать, что объем пря-
моугольного параллелепипеда равняется произведению пло-
щади основания на высоту.
Так как любая грань прямоугольного параллелепипеда, выби-
раемая за основание, является в то же время одним из сечений
параллелепипеда, то это можно выразить иначе: объем прямо-
угольного параллелепипеда равняется площади сечения
(поперечного), умноженного на длину.
Последняя формулировка применяется к вычислению объемов
целого ряда тел, называемых призмами. Призмами (прямыми)
называются тела, имеющие два равных основания у боковые
грани в форме прямоугольников.
Если мы рассечем прямоугольный параллелепипед поперечным
сечением, мы получим две равные трехгранные призмы (черт. 44).
На чертеже пунктиром показаны те ребра, которые не видны.
130
' 16,2
ж.Л..
Черт. 45.
Каждая из этих призм будет иметь по две основания в виде тре-
угольников и по три боковых грани в форме прямоугольников.
Прямоугольный параллелепипед представляет собою четырех-
гранную призму.
Карандаш обыкновенно делается в форме цилиндра или ше-
стигранной призмы.
Изготовьте модель трехгранной призмы, вырезав из картофе-
лины прямоугольный параллелепипед
и разделив его сечением из угла в угол
на две части.
Для изготовления модели трехгран-
ной призмы из бумаги необходимо
сделать выкройку, как вы это делали
для изготовления куба и параллеле-
пипеда. В выкройке должны быть три
прямоугольника (боковые грани) и два
треугольника (основания). Вычертите
выкройку, подумав предварительно, как надо расположить прямо-
угольники и треугольники, чтобы после вырезывания состави-
лась трехгранная призма.
Как же вычисляется объем трехгранной призмы?
Прямоугольный параллелепипед делится на две равных трехгран-
ных призмы. Поэтому объем трехгранной призмы составляет по-
ловину объема прямоугольного парал-
лелепипеда и равен половине произве-
дения площади основания паралле-
лепипеда на высоту. Половина пло-
щади основания параллелепипеда как
раз составляет площадь основания
трехгранной призмы. Таким образом,
для трехгранной призмы остается та
же формула вычисления объема, что и
для прямоугольного параллелепипеда:
произведение площади основания
на высоту.
Эта же формула остается справедливой и для всякой много
гранной призмы.
* Применим полученную формулу к различным вопросам.
1. Необходимо определить вместимость сенного сарая (черт. 45).
Сенной сарай с двухскатной крышей (без потолка) претставтяет
соединение прямоугольного параллелепипеда (нижняя часть до
В1
крыши) и трехгранной призмы. Обозначим объем прямоугольного
параллелепипеда через и объем призмы через V2.
По данным на чертеже размерам объемы их вычисляются
следующим образом:
У( = 4,7 • 6,2 • 7,0 = 200 куб. м
V, =~ • 6,2 • 3,1 • 7,0 = 67 куб. м.
Объем всего сарая будет равен 267 куб. м.
Каким образом произведенный подсчет мог быть сделан иначе,
без вычисления отдельно объема нижней и верхней части сарая?
Определите, сколько
возов сена поместится в
таком сарае, если один
кубический метр свеже-
сложенного сена весит
65 — 85 кг, и на воз гру-
зится 490 кг. Сколько во-
с
«-' — >
О»7 m
Черт. 46.
зов можно будет добавить в сарай, если один кубический метр
слежавшегося сена весит 90—95 кг?
2. Стенки канавы роются наклонно, чтобы земля не осыпалась.
Поэтому поперечное сечение канавы представляет трапецию. Ка-
кую форму представляет канава?
Определите объем канавы, если длина ее составляет 125 м,
ширина по верху 2 м, глубина 1 м и ширина дна 1 лг.
Черт. 47.
3. На чертежах 46 и 47 изображены профили (поперечные
сечения) стрелковых окопов с колена и стоя со дна рва. Окопы
стр ‘ятся на стрелковое звено и в среднем имеют протяжение
около 30 м. Пользуясь размерами, указанными на чертежах, опре-
делите объем выемки стрелкового окопа разного типа для одного
звена и число рабочих, необходимых для выполнения этой ра-
боты (для определения числа рабочих используйте указания, дан-
ные в упражнении 514).
132
§ 64. Вычисление веса по объему. Удельный вес.
Один кубический сантиметр воды весит 1 г. Поэтому, зная
объем воды, можно сейчас же узнать ее вес: в нем столько грам-
мов, сколько кубических сантиметров в ее объеме. В частности,
следует твердо знать, что 1 литр воды весит 1 кг.
Возьмем теперь жидкость значительно тяжелее воды, ртуть.
Она тяжелее воды в 13,6 раза. Поэтому 1 куб. см ртути весит
уже не 1 г, а 13,6 г, 2 куб. см. весят 2 • 13,6 = 27,2 г; 10 куб. см ве-
сят 10 *13,6 =136 г и т. д. Вообще, если число, выражающее
объем ртути в куб. сантиметрах, обозначить через V, вес ее в
граммах через Р, то
Р= V- 13,6.
Точно так же вес серной кислоты, которая тяжелее воды в
1,5 раза, выразится так:
Р= V-1,5.
Само собою разумеется, что когда мы говорим, что ртуть или
серная кислота во столько-то раз тяжелее воды, то мы сравни-
ваем одинаковые их объемы. В том же смысле можно говорить,
что железо тяжелее воды в 7,8 раза: это означает, что если взять
одинаковые по объему количества железа и воды, то ку-
сок железа окажется в 7,8 раза тяжелее воды. Зная это, можно
и для железа написать:
Р= V • 7,8.
Числа 13,6, 1,5, 7,8, показывающие, во сколько раз ртуть,
серная кислота, железо тяжелее воды, называются удельным
весом этих тел. Обозначив удельный вес буквою d, можем на-
писать формулу
Р= V-ti,
которая годится и для ртути, и для серной кислоты, и для же-
леза, и для всякого другого вещества. Эта формула обозначает,
что вес всякого вещества (или, как говорят, тела) равен
его объему, умноженному на удельный вес.
Спрашивается, годится ли эта формула для тел, которые легче
воды, например, для пробки. Так как пробка приблизительно в
5 раз легче воды, то 1 куб. см пробки весит -1 г, а вес V куб. см
•удет
• Р= V 1.
О
133
Оказывается, что для пробки остается та же формула, причем
удельным весом пробки надо считать у- Вообще для тел, кото-
рые легче воды, удельный вес будет меньше единицы, т. е. вы-
разится всегда правильной дробью, которая показывает, какую
часть веса соды, составляет вес санного тела. Так, удельный
вес керосина равен 0,3; это значит, что вес какого-нибудь коли-
Л
чества керосина составляет 0,8=у веса такого же по объему
количества воды.
В конце книги помещена таблица удельных весов некоторых
тел.
Пользуясь этой таблицей, узнайте, сколько весит 0,24 куб. м
сухого соснового дерева.
Так как объе'мы некоторых тел могут быть вычислены по их
линейным размерам, то вы можете также решить такую, напри-
мер, задачу: сколько весит железная штанга (полоса) длиною
4,2.«, сечение которой имеет форму прямоугольника 8 см X 4 см.
Формула Р= V • d, связывающая вес тела, объем и удельный
вес, позволяет не только наводить Р по данным V и d, но дает
также возможность найти одну из величин V или d, когда
остальные две известны. Такая задача сводится к нахождению
одного из двух неизвестных сомножителей по данному произве
дению н другому сомножителю, а потому решается делением.
Таким образом, из формулы P—V-d получаем еще две фор-
мулы :
Р 17— Р
d~ V 1 V~ d'
Эти формулы обозначают: 1) удельный вес тела равен его
весу, деленному на объем, 2) объем равен весу, деленному
на удельный вес.
Решите такие задачи:
1. Кусок дерева, имеющий объем 620 куб. см, весит 558 г. Ка-
кое это может быть дерево, судя по его удельному весу?
2. Какой объем занимают 100 г скипидара?
Уметь найти объем по весу и удельному весу те га бывает
особенно полезно, кс-да тело имеет неправильную форму и его
объем не поддается вычислению по известным линейным разме-
рам. Возьмите какое-нибудь такое тело, например, большой
гвоздь, кусок стекла и вычислите их объемы.
Если тело невелико и не оаствсряется в воде, то можно
13*
также найти его объем другим, более простым способом: погру-
зить его в воду и измерить объем вытесненной им воды; если
тело помещается в мензурке, то всего лучше опустить его в
мензурку с достаточным количеством воды, чтобы оно вполне
погрузилось в воду: разность между объемом воды с погружен-
ным в нее телом и объемом воды без тела будет равна объему
тела. „
Упражнения. Для решения большей части следующих задач пользуйтесь
таблицей удельных весон, помещенн зй в конце книги.
520. Сколько весит 1 куб. л1 водь’?
521. Какой объем занимает 1 тонна соснового дерева?
522. Сколько весит магазинное стекло, имеющее в ширину и вышину но
1 1
3 м, а в толщину 1 -%- см ?
522. Сколько весит оконное стекло размером 100 см X 35 см X 0 20 см?
524. Какого объема надо приготовить склянку, чтобы поместить: 1) 1,0 кг
ртути, 2) 4,0 кг серной кислоты?
525. Вы числите вес кирпича, размеры которого 270 мм X 130 мм X 65 мм.
526. В числите вес кирпичной печки, на которую пошло 180 кирпичей, глины
пополам с песком 1 ведро, железных частей 7 кг.
527. Вы числите вес: 1) 2,6 куб. см железа, 2) 16 куб. см железа, 3) 120 куб. см
бер 'зоаого дерева, 4) 8,5 куб. см пробки.
528. Сколько весит лист ольховой фанеры размером 140 см. X 1 Югл X 0,50 см?
529. Железный топор (без топорища) весит 3 кг. Найдите его объем.
530. Какой объем занимает 1 кг свинцовой дроби, если пр ,межутки между
дробинами составляют объема самой дробч ?
531. Бутыль вмещает 3,5 литра воды. Сколько в нее войдет керогичча?
s 65. Выводы из славы.
1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен пропз-
ведению трех его измерении.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V=a’jc.
Иное выражение объема прямоугольного параллелепипеда.
Объем прямоугольного псрал^елепипеда равен произведе-
нию площади основания на высоту.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда в этом
случае: V=BH, где В — площадь основания и Н — высота.
2. Объем куба равен кубу ребра.
Формула объема куба V = a3.
> 3. Объем прямой призмы равен произведению площади
основания на высоту.
Формула объема прямой призмы: V—BH.
135
4. Соотношение между весом тела, его объемом и удель-
ным весом определяется формулой: P=t=Vd, где Р—вес
тела, V—объем тела и d—удельный вес.
Упражнения. 532. Определите высоту классной комнаты, если на каждого
учащегося приходится 1,5кв.м площади пола и 7800 литров воздуха.
5331 Определите, каково должно иыгь сечение вентилятора классной компасы,
имеющей площадь пола 60кв.м и высоту 4м, чтобы при скорости прохождения
воздуха через вентилятор 0,5 м в сек. весь воздух был заменен свежим через 1 час
40 мин.
534. Определите удельный вес кирпича, если один кирпич весит 4,0 кг и раз-
меры его составляют в сантиметрах 6,5, 13 и 27.
585. Определите вес в< ты, налитой в «кьариум прямоугольной формы с раз-
мерами 1,2 ж, 0,80 м и 0,45 .и.
53 Определите расход воды в реке, имеющей поперечное сечение, равное
37,5 кв. м и среднюю скорость 1,5 л в сек.
537. Де эевянная модель (березовая) чугунной детали маппи.ы весит 0,45 кг
определите вес детали. Удельный вес березы примите равным 0,60.
538. Бутылка. вместимостью в 2 литра, наполненная серной кислотой, ввеит
5,00 кг; вес пустой бутылки 0,40 кг. Определите удельный вес серной кислоты.
539. В следующих примерах определите неизвестное измерение прямоуголь-
ного параллелепипеда <то другим данным:
а b с V
1. X 6 м 6м 216 куб. м
.2. 1,5 дм 2,4 дм X 9000 куб. см
3. 8,4 см X 2,5 см 18,9 куб. см
4. 3,2 м х 0,5 л 1.2 куб. м
5. к 2,8 см 4,5 сл 54180 куб. мм
6. 12,5 см 6 см X 140 куб. см
7. X Адм 6,4 дм 0,32 куб.м
8. 9,6 л 8,4 м X 101,6 куб. м.
ГЛАВА VIII.
ОТНОШЕНИЯ И ПРОЦЕНТЫ.
§ 66. Цель и содержание главы.
В предыдущих главах мы познакомились со счетом и измере-
нием разного рода величин — длины, площадей, объемов и веса.
Вы видели, что в некоторых случаях существует зависимость
одних величин от других: площадь прямоугольника зависит от
величины его сторон, объем призмы — от площади ее осн- вания
и высоты, вес тела — от его объема. Теперь нам предстоит более
подробно изучить зависимость между величинами. А для этого
надо будет заняться вопросим о сравнении чисел.
Сравнением чисел мы занимались еще в I главе, пиЛоьуясь
чдля того диаграммами и графиками. Но там шла речь о при-
близительном сравнении, целью которого было, главным
* образом, получение общего впечатления о сравнительной вели-
чине разных чисел. В этой же главе мы будем говорить о спо-
собах точного сравнения чисел, из которого не только можно
делать те или другие практические выводы, какие делают из
диаграмм и графиков, но на которых можно основывать даль-
нейшее точное исследование зависимости между величинами.
Эти же приемы сравнения, как увидим, имеют и непосоедствен-
ное применение в жизни.
§ 67. Разностное и кратное сравнение чисел. Отношение.
Вы хорошо знаете, что для сравнения двух чисел между со-
бой можно поставить два разных вопроса: или на сколько
единиц одно число больше другого или во сколько раз
больше. Чтобы узнать, на сколько единиц 18 больше 6, мы
вычитаем 6 из 18. Чтобы узнать, во сколько раз 18 больше 6,
делим 18 на 6. Первый способ сравнения чисел называется раз-
437
костным сравнением, второй—кратным. Дальше мы будеJ
говорить только о кратном сравнений. I
Кратное сравнение чисел делается, как было упомянуто, де-|
лением. Когда результат деления, т. е. частное, служит для крат-1
ного сравнения чисел, то он называется отношением этих!
чисел. Так, 3 есть отношение чисел 18 и 6. То же отношений!
можно изобразить в виде -или 18:6. Числа, отношение кото-
♦ I
рых находится, называются членами отношения — предыду-1
щим и последующим или первым и вторым.
Отношение чисел можно брать в том или другом порядке,
т. е. можно взять отношение 18 к 6, которое равно ^ = 3, а также!
можно взять отношение 6 к 18, равное Такие два отно-|
шения называются обратными одно по отношению к дру-1
тому. Они выражаются, как мы видим, обратными числами.
Отношение большего числа к меньшему, например,
^=3, показывает, во сколько раз первое число больше
второго. Отношение меньшего числа к большему, например,
— = 4-, показывает, какую часть составляет первое число
io о
от второго.
Члены отношения могут быть отвлеченными числами, но могут
быть и имеете ванными однородными: можно найти отношение
9 кг к 6 кг или отношение 20 м к 15 см, но нельзя найти отно-
шение 10 м к 2 отвлеченным единицам. Отношение может
быть только отвлеченным числом.
Отношение не меняется при умножении или делении
обоих его членов на одно и то же число:
А_20. 12 ' X
3 12’ 30“ 5 ’
Этим можно пользоваться для сокращения отношений, а
также для замены отношения дробных чисел отношение «
ц°лых чисел:
а) Если оба члена отношения имеют одинаковые знаменатели,
то достаточно отбросить знаменатели, потому что этим каждый
член отношения множится на знаменатель:
Л: й =”7 : 13; С,47 : 1,21 = 47: 121.
15 X? ' *
б) Если члены отношения имеют разные знаменатели, то их
надо сначала привести к общему знаменателю и затем знамена-
тели отбросить:
— ~ = 9 • 20
« ' 6 21 '24 ’
0,37:0,125 = 370: 125.
Примеры применения отношений.
1. Положим, что в одном пионерском отряде 16 мальчиков и
8 девочек, а в другом 32 мальчика и 24 девочки, и вы хотите
сравнить число мальчиков и девочек в обоих отрядах. Делая
разностное сравнение, вы пришли бы к выводу, что в первом
отряде мальчиков на 8 больше, чем девочек, и во втором также.
Между обоими отрядами оказалось бы сходство, тогда как не-
сомненно, что в первом отряде преобладание мальчиков над де-
вочками сильнее, чем во втором. Кратное сравнение тех же чисел
дает результат более ясный: отношение числа мальчиков к «ислу
4
девочек в первом отряде равно 2, во втором у, т. е. значительно
т. е. масштаб
%
е з «о « го до.*
О 5 10 15 20 25 Э0л4.
меньше, чем в первом.
2. Размеры разных линий на плане находятся в определенном
отношении к действительным расстояниям, и это отношение на-
зывается численным масштабом. Например, если каждый
сантиметр на плане соответствует 10л в натуре, то все расстоя-
ния на плане в 1000 раз меньше действительных,
1 '<xxr
Кроме численного мас-
штаба на плане часто по-
мещают и линейный
масштаб, т. е. отрезок,
деления на котором дают
непосредственно действи-
тельные расстояния.
На чертеже 48, изобра-
жающем планы одного
и того же участка в раз-
ном масштабе, проверьте,
"ОЕласуются ли • между
г'ооою линейные и численные масштабы (для этого придется вос-
пользоваться линейке й, разделенной на миллиметры).
4tpi 13.
139
Упражнения. 540. НгйдИте в простых дробях следующие отношения.
1) 30 к 6; 2) 4 к 8; 3) 148 к 37; 4) 37 к 148; 5) 126 к 210; 6) 210 к J26.
541. Найдите в десятичных дробях до сотых долей следующие отношения:
1) 1715 к 148; 148 к 1715; 3) 659 к 947; 4) 947 к 659.
542. Найдите в простых дробях следующие отношения:
1) 12к1; 2)2-J-k 15; 3)4 к 4= 4>4к1-Г-
Z> Z о О о О
543. Вычислите отношения приближенных чисел:
1) 0,67 к 1,38; 2) 54300 к 4762 ; 3) 5,34 м к 0,78 ж; 4) 362,7 г к 455 г.
544. Найдите приблизительное отношение чисел:
1) 18 лет 2 мес. к 4 годам 7 мес.; 2) 1 руб. 15 коп. к 6 руб. 75 коп.
545. Чему равны отношения: 1) квадратного метра к квадратному сантиметру
2) ара к гектару; 3) литра к кубическому сантиметру; 4) дециграмма к кило-
грамму; 5) килограмма к миллиграмму?
546. Каков численный масштаб планов и карт, на которых 1 сантиметр изо-
бражает: 1) 100 jt; 2) 1 лс; 3) 10о?
547. Постройте линейные масштабы для численных масштабов: 1) ; 2) -jqqqq I
31—L- -
' 200000’
В следующих задачах дайте ответы приблизительно, но в возможно более
простой форме:
548. Чему равно отношение числа неучебяых дней в текущем месяце ко всему
числу дней этого месяца ?
549. Чему равно отношение числа жителей вашего города к числу жителей
Нью-Йорка, Москвы? (§ 4).
550. Найдите отношение световой площади к площади пола в вашей комнате.
551. Сократите отношения:
1) 40 : 36; 2) 75 : 45; 3) 72:18и; 4) 160:240; 5) 54 :48; 6) 91 . 49.
552. Замените дробные члены отношений целыми:
т\ 7 • . п\ 5 _ 3 „ 11 . 17. 9 . 24 _ _ 2 . о3 . _5 . к 5
1) 7. 3,2) 8 . 4 • ^) 18 • 24’2и ’ 35’ 5>23 ’34’ 6) 88’612’
553. Замените дробные члены отношений целыми и, если можно, сократите:
1) 0,12:0,18; 2) 1,4:1,05; 3) 0,043 : 0,74; 4) 5,1:6,8; 5) 23,1:1,65.
§ 68. Нахождение неизвестных членов отношения.
В предыдущем параграфе мы находили отношение двух дан-
ных чисел. Но возможна и обратная задача — найти один из чле-
нов отношения, когда дано отношение и другой его член. Смотря
по тому, какой из двух членов отыскивается, будем иметь задачи
двух сле дующих видов.
Задача 1-го вида. Найти первый член отношения по
данному отношению и второму члену.
Например, найти х, если
*=30.
О
140
Задача решается умножением (почему?):
х=Э0*5—150.
Задача 2-го вида. Найти второй член отношения по
данному отношению и первому члену.
Например, найти х, если
12=4.
х
Эта задача решается делением (почему?):
х = 12:4 = 3.
В оооих случаях мы имеем дело с уравнениями, с которыми
встречались и прежде.
Примерами обоих типов задач могут быть следующие.
1. В группе из 36 человек отношение числа успевающих ко
всему числу учащихся равно у. Сколько успевающих?
Решение:
х 8
J6 У ’
х = 36 g = 32 человека.
g
Так как в данном случае дробь -д показывает, какую часть все-
го числа 36 составляли успевающие, то можно также объяснить
решение нахождением части по целому.
2. Чтобы засеять 1 гектар рожью, надо 160 кг семян. Сколько
следует купить семян, у которых всхожесть, т. е. отношение
4
числа всходящих зерен к числу посеянных, равна g ?
160:х = 4;
х —160:4- = 200 кг
ь
Можно также объяснить решение нахождением неизвестного
4
числа, у от которого равны 160 кг.
Упражнения. 554. Найдите неизвестные члены следующих отношений, где
все данные точные:
1)х:17=3; 3)х:14- = 4; 5)4:* = 4;
о 1о о
2)56:х = 7; 4)6)х:^=Ц--
141
553. То же с приближенными данными:
1) 0,47: х = Т.2; 3) 5,10: х — 8.17;
2) х: 3,78 = 0,С45; 4) х; 2,463 = 750;
5) х: 0,0186 = 9,6;
6> 3,91; л = 0,8722.
356. Отношение числа мальчиков к числу девочек в группе равно у-. Сколии
вегго мальчиков, если девочек 15?
557. Отношение числа успевающих к числу неуспевающих равно -у. Ус:е.
вающих 25. Сколько всех учащихся в группе?
558. Длина класса 9,2 м, отношение длины к ширине равно . Вычислите пло-
и
щадь.
2
559. Отношение площади окои к площади пола равно у.,. Длина ко: „аты 4,72
ширина 3,26 м. Найдите площадь окон.
§ 69. Процентное отношение.
В одной группе 15 мальчиков и 23 девочки, в другой 13 маль
чиков и 18 девочек. Отношения числа мальчиков числу лево-
15 13
чек в этих группах будут и yg. Какое из них больше? Чтобы
сравнить эти две дробя, обращаем их в десятичные:
£-0.65: g~0,72.
Оказывается, что второе отношение больше.
Отношение, вы рахсенное числом сотых долей, называется про-
центным отношением.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо найти
отношение этих чисел и перевести его в проценты. Необходи-
мые для этого действия: деление первого числа на ьгорое и
умножение частного на 100.
Чтобы найти, например, процентное отношение чисел 54 и 71
(с точностью, пока, до целых процентов), мы делим 54 на 71.
получаем частное 0,76 и умножаем его на 100: будет 76°/0-
Те два действия, которыми находится процентное отношение,
дают тот же результат, будучи сделаны и в другом порядке.
Поэтому для нахождения проиентного отношения можно сна-
чала умножить первое число на IOO, а затем разделить на
второе. Умножение на 100 делается приписыванием двух нулей,
если число целое, и перенесением запятой, если число дробное.
Таким образом, процентное отношение чисел 6 и 13 будет равно
^ = 46°/#; для чисел 3,723 и 29 процентное отношение равно
-2д6=13%; для чисел 3,6146 и 0.17 оно равно * )’1^6 = 361 %•
142
Проверьте эти вычисления и найдите сами процентные отно-
шения чисел: 7 к 15; 25 к 31; 204 к 163; 6,212 к 15; 80,7 к 25,34.
Понятно, что можно вычислять доли процента — десятые, со-
тые, тысячные. Для этого надо только продолжить деление; на-
пример» процентное отношение 13 к 15 с точностью до 0,1%
равно 86,7%, процентное отношение 5,1 к 47 с точностью до
001 равно 18,51%. Сотые доли процента употребляются редко.
Проверьте эти вычисления и найдите процентные отношения
7 к 19 с точностью до 0,1%, отношение 0,78 к 0,43 с точностью
до 0,01%.
Процентные отношения очень удобны и часто употребляются
для сравнения величины отдельных частей одного целого. При-
мером может служить следующая таблица:
Распредетение учащихся з СССР по ГОДАМ
обучения в 1926—27 году.
Год обучения Число учащихся
В тысячах В %% к итогу
1 3271 32,8
2 25S7 26,0
3 1861 18,6
4 1140 П.4
5 469 4,7
6 307 3,1
7 204 2,0
8 80 0,8
9 5в 0,6
Итого - 9977 100,0
В этой таблице последний столбец содержит процентные отно-
шения чисел среднего столбца ко всему числу учащихся (9621 тыс.),
т. е. указывает, сколько сотых долей из всего числа находится в
каждой группе. Понятно, что все число сотых должно быть сто,
и тотому- сумма чисел последнего столбца должна равняться 100
'Если вследствие приближенности вычисления она окажется не-
много отличающейся от 100, обыкновенно ее подгоняют к
113
100, разверстывая излишек или нехватку между более крупными
слагаемыми.
Вот еще таблица, содержащая процентные отношения числа
крестьянских хозяйств без коров ко всему числу крестьянски-
хозяйств по отдельным республикам:
РСФСР.................18,9
Украинская ССР . . 36,6
Белорусская ССР........ 6,1
Восточная Сибирь . ... 7,3
В этой таблице числа указывают части (в процентах) от раз-,
н ы х целых, и поэтому сумма их не равна 100. Каждое число в
отдельности дает представление об обеспеченности рогатым ско-
том населения соответствующей республики, а вся таблица поз-
воляет легко сравнивать обеспеченность отдельных республик,]
чего не дали бы самые числа хозяйств без коров.
Воспользовавшись таблицами § 4, вычислите процентные от-
ношения, характеризующие распределение населения Москвы по
районам, населения СССР по отдельным республикам, населения '
всего земного шара по частям света.
Пред пагаемые вам вычисления окажутся очень громоздкими, I
если не принять мер к их упрощению. Меры эти следующие:
1) округлите все данные числа, оставив в них столько цифр, I
сколько ожидается в частном, 2) так как придется много раз
делить на одно и то же число, — составьте табличку произведе-
ний делителя на все однозначные множители, как вы это де-
лали, составляя таблицы перевода мер; вы увидите, насколько
легче от этого станет деление, и как уменьшится возможность
ошибок.
3 4
Упражнения. 560. Превратите в проценты: 0,87; 2,13; 0,425; -g-; 2,9; ;
т» О 7 3
1|; 3,082; 0,2964; у; g;
561. Превратите в доли единицы: 28°/0; 73%; 52,6°'0; 6,14%; 0,38%; 2,285%;
21,5%; 3,65%; 3^-%; 4-|%; у%; 7у%; 12|%.
562. Найдите процентные отношения чисел: 1) 18 к 24; 2) 5 к 17; 3) 14,2
к 18,3 , 4) 5,074 к 23; 5) 0,072 к 0,0856.
563. Сколько процентов составляет: 1) 15 от 40; 2) 23 от 38; 3) 74,7 от 120;
4) 27% от 415; 5) 7,08 от 2,13?
564. Сколько процентов от 326 составляют числа: 14; 5,2; 36; 24,7; 148; 3,05?
565. Для испытания всхожести семян отсчитано и поссяпо 100 зерен; взошло
86. Какой процент всхожести?
144
5С6. Д-1Я определения засоренности зерна были взяты из него три пробы, по
q48K7, 7,02 кг и 8,61кг, очищены от сора и вновь взвешены; вес оказался 9,39 кг,
6 87 кг и 8,-17 кг. Вычислите средний процент засоренности (отношение веса сора
к'весу неочищенного зерна).
567. Для определения влажности муки, была взята проба в 2,385 кг и высу-
шена, после чего ее вес оказался 2,237 кг. Вычислите процент влажности.
558. Средний годовой заработок рабочего в 1914 году составлял в России
206 руб., во Франции 450 руб., в Германии 475 руб., в Англии 518 руб,, в Соед.
Штатах 930 руб. Выразите зги числа в процентах по отношению к заработку рус-
ского рабочего.
569. Средняя годовая продукция одного рабочего в 1905 году в долларах
(доллар — почти 2 рубля) выражалась следующими цифрами Россия 381, Фран-
ция 4-15, Германия 545, Англия 760 и Соед. Штаты 1888. Выразите эти числа в
процентах по отношению к продукции русского рабочего.
570. Результаты учебной стрельбы:
Дистанция Пулеметное отделение Винтовочное отделение
(в шагах) Выпущено п пуль 0 14 попа- дания % попа- дания
200 400 600 800 1000 269 ‘ 79 237 30 293 16 286 20 224 9 221 47 199 21 178 9 183 6 250 4
Итого ....
Перепишите таблицу и заполните в пей пустые места.
Когда вы будете заниматься стрельбой в цель хотя бы из лука, из рогатки,
или даже бросанием мяча, ведите подобную же регистрацию и обработку рсзу.ть
татов.
Б71. Из 158 кг муки выпечено 96 хлебов по 2 кг. Вычислите процент припека.
572. Сколько в вашей группе процентов мальчиков и девочек? Сколько в каж-
дой из других групп школы?
573. Сосчитайте, сколько товарищей из вашей группы имеют возраст 11 лет,
12 лет, 13 лет, 14 лет, 15 лет и выразите полученные числа в процентах от всего
числа учащихся в группе.
С телайте то же самое отдельно для мальчиков и девочек.
574. Выразите в процентах поверхности частей света, которые в миллиона-*
квадратных километров выражаются следующими числами: Европа, 10, Азия 44,
Африка 30, Америка 39. Австралия 9.
575. Такая же задача для поверхности океанов: Великий 180, Атлаптиче-
.ский 1G6, Индийский 75.
576. На 1 декабря 1926 г. в РСФСР было 5,12 миллиона 1етей в возрасте от
‘ до 11 лет. Из инх училось в школах 4,28 миллиона. Сколько это составляет
процент >в?
10 Берг и др. Fi Воч(-л впита во математике, 5-i юл. Г15
511. В сентябре 1927 г. в Москве родилось 2167 мальчиков и 1933 девочки.
Сколько процентов всего чиста родившихся было мальчиков и сколько девочек? I
578. В сентябре 1927 г. в Москве родилось 4160 человек, умерло 2323.
Сколько процентов составляет естественный прирост населения (не считая при.
ехавши::) за сентябрь по отношению ко всему иаселешио Москвы (около 2,1 мил-
лиона).
579. Сколько процентов посевной площади было в 1926 г. занято в СССР
разными растениями, если в миллионах гектаров было занято: рожью 24,3; пше-
ницей 22,9; овсом 12,3; ячменем 6,1; просом 4,4: гречихой 2,4; кукурузой 2,3;
другими зерновыми растениями 2,2; масличными растениями 4,2; картофелем 4,3;
бахчами и огородами 2,9; посевными травами 2,0?
580. Регулярным движением аэропланов воздушного флота перевезено пасса-
жиров: в 1924 г. 2453, в 1925 г. ЗС06, в 1026 г. 4035, в 1927 г. 6977. На сколько
процентов возростало каждый год число пассажиров?
581. Развитие промышленности по пятилетнему плану представляется следую-
щей таблицей: •
• 11927 —28 г. 1932 -33 г.
Производство электро - энергии (млн. киловатт-часов 1 5140 22000
Каменный уголь (млн. тонн).... 35,4 75,0
Нефть (млн. тонн) 11,7 26,0
4vrvn . . . 3,3 10,8

Сталь » 4,0 11,5
Медь „ » ; 28,3 150
С.-хоз. машины (в млп. рублей по довоенным ценам) ..... 125 750
Хлопч.-бум. ткани (млн. метров) . 2742 4700
Шерстяные ткани 96,6 270
Сахар (тысячи тонн) 1310 2С00
На сколько процентов ожидается увеличение продукция каждого вида к концу
пятилетки?
§ 70. Другие два вида задач на проценты.
Задачи на отношения, как мы видели (§§ 67 и 68), бывают
трех разных видов. Такие же три типа могут быть и ьадач на
проценты. Первый из них рассмотрен в предыдущем параграфе:
это задачи, где требуется найти процентное отношение. Разбе-
рем теперь два остальные вида. /
1. Надо найти Санное число процснтос от оанно:о числа, на-
пример, 4% от 275.
Эта задача вам известна (§ 29), зацача на нахождение части
данного числа, решаемая умножением: если неизвестное
число х, то
X = 275 • 4% = 275 • 0,04 ~ 275 • Л = 11.
ZO
Задача может быть решена и при помощи процентного отно-
шения: здесь дано процентное отношение (4%) неизвестного
числа (х) ко второму числу (275). На основании § 68 пишем
уравнение ^ = 4%, из которого находим затем х.
Некоторые числа процентов удобно выражаются простыми
дробями, как было и вс взятом примере. Надо помнить:
50%, = |; 25'75-. = -’;
зз|>/.=Ь 10%=н; 20V.=J-.
2. Надо найти число, нисколько -процентов которого дани,
например, найти число х, если 7% этого числа равны 161
Эта задача на нахождение всего числа по данной его части
решается делением (§30):
/ /о 1
Она же может быть решена при помощи процентного отно-
шения:
1G1 „0 161
-- = 70’е, откуда Х = ^г.
* /о
Упражнения. 5S2. Найдите 5% 28; 3«.о 863; 6° . 27,4; 7% 62,7- 25» . 816;
8% 14; 12% 0,42; 18% 1,07.
583. Найдите 0.4% 51,2; 3%% 165; 2%% 1450; 0,15% 82,об; 3^-«'О78;
О
12-|-« „ 72; -Ь/о 31,7; 2-|% 5,67.
584. Найдите х, если:
1) 7%х=182- 3) 60“ 0 х = 23; 5) 1-Ь; х = 4,75; 7) 7,5»'. х = 3.32:
О
1 2
2) 2*»„х — 0.15; 4) 0,8 Рх= 1,2; 6) 10% х = 8,6; 8) 4-~-°1,х = 16.
Z о
535. Сколько приносит дохода в полгода 5-руьлевая облигация 1-го 6-процент
него выигрышного займа? ,
586. Сберегательная касса платит по вкладам 8% в год. Сколько голучится
Процентов 'точнее, процентных денег): 1) с 18 руб. в 4 мес., 2) с 27 руб. в
11 мес., 3) с 43 руб. в Д год 2 мес., 4) с 17 руб. в 10 мес., 5) с 3 руб. в 5 мес.?
587. В кооперативе сначала продавали ситец по 43 коп., сатин — по 64 коп.,
147
молескин — по 61 коп., сукно—по 5,55 руб. за метр, а затем цепы снизили oi.l
вето ценно на 4,7* 0, 4.7'1 „, 1,9“ 0 и 3,6° 0. По какой цене продавал.! эти товары после
снижения цен?
588. Из месячного заработка 52,24 руб. семейный рабочий тратит па питаик"
24°'о, па одежду 12%, на помещение З1',0, на отопление и освещение 4" 0. Какие
суммы тратятся им га упомянутые иужды?
589. Сколько по весу надо взять семян овса для засева 2,5 га, если па 1 га
идет 190 кг, а всхожесть купленных семян равна 85’0?
590. Сколько надо семян гороха, чтобы засеять 120 «в. м, если па 1 кв. .и идет
2Сг, а всхожесть 95’0?
591. В 1923 г. в Москве было 15-Э005 жителей, прирост числа жителей за
год был 14%. Сколько жителей оказалось в 1924 г.?
592. В 1924 г. в Москве было 192004 квартиры; из них небольших (доЗ ком-
нат) 31’о, средних (3 — 5 комнат) 60,1% и больших (6 и более комнат! 8,9’,,.
Сколько было кв ip ир разного размера ?
593. Город Москва в черте окружной же л. дороги занимает площадь в 285 кв. м-
Из этой площади ’ - под проездами и жел. дорогами, 17,1 ° 0 — под огородами и пу-
и
стырями, 10,8“ 0 — под садами и бульварами, 3,8’— занимают реки и пруды, 1% —
кладбища и 47,3’ 0 застроено. Выразите эти плошали в квадратных километрах.
594. Согласно наблюдениям на центральное отопление дома расходуется
каменного угля в октябре 2% всего годового количества, в ноябре 12® 0, в де-
кабре 21'%, в январе 24’ 0, в феврале 23’;0, в марте 16" 0 и в апреле 2%. До 1 фев-
раля было израсходовано 12,5 тонны. Сколько угля выйдет за весь отопительный
сезон?
595. При обработке молока сепаратором получается: 1) 16% сливок, из кото-
рых выходит масла3,6" 0,нвхты 12%,потеря 0,4’ 0;2) снятого молока 83.4%, нз которого
получается творога 5,5%, сыворотки 75,9%, потеря 2%; 3) теряется в сепараторе
0,6° о- Вычислите, сколько получится разного рода продуктов из 20 ведер молока
(таблицы в конце книги).
596. Число рождающихся каждый год в СССР составляет приблизительно
4,5% всего населения, число умирающих 2,8%. Вычислите, пользуясь данными
§ 4, какое количество населения должно бы быть в нашем Союзе в 1927- 1928 и
1929 гг.
597. Сколько раз должен съездить крестьянин в лес за травой, чтобы насу-
шить нз нее 1^ тонны сена, если трава при сушке теряет 75% своего веса, а па
1 э
ПОДВОДУ МОЖНО ПОЛОЖИТЬ 2 ТОННЫ?
598. Яблоки при сушке теряют 84’ 0 своего веса. Сколько надо взять свежих
яблок, чтобы приготовить 5 кг сушеных?
599. Сколько надо взять свежих грибов, чтобы приготовить 2 кг сушеных, если
после су шки остается только 12° 0 прежнего веса?
600. На изготовление 11-рядовой сея.т.л идет чугуна 110 кг и железа 171 к;
Какой будет вес металлических частей сея тки, если чугун при обработке теряет па
сгорание и стружк [ 7%, а железо 10’ 0?
601. В 1925 г. в Соед. Штатах было 19} миллионов автомобилей, что соста-
вляет 87,2% всего количества автомобилей в мире. Сколько было автомобилей в
1925 г. во всех остальных странах, кроме Соед. Штатов?
148
302. Сгаль содержит 0,6% углерода, 0,4% марганца, 0,1% кремния, а осгаль-
_____чистое железо. Сколько каждой из этих составных частей в uycie стали
ресом 24 юг?
603. В морской воде 2,65“ 0 соли Сколько соли можно получить из ведра
воды
604. Для очистки семян хлебов от зародышей головни (паразитный грпбок
- ннчтожающий иногда целые поля), семена перед посевом протравливают в растворе
формалина. Сколько такого раствора выйдет из 0,5 литра формалина, если
раствор берется в у’ е?
605. В больнице имеется 1,2 кг карболовой кислоты. Сколько можно из нес
. 1
сделать 1 9 процентного р .створа1
606. Какой капитал должен лежать в банке по 7-^-°, 0, чтобы давать в год
около 400 рублей дохода? х
607. Следующая таблица дает в процентах ожидаемое в пятилетием плане уве-
личение продукции сельского хозяйства:
1927—28 г. Увеличение в %0'о в 1932 -33 г
Урожайность зерновых хлебов (центнеров с гек- тара) 7,6 25,0
Валовой сбор зерновых хлебов (млн. тонн) 73,1 45,1
Количество скота (млн. голов крупного скота) . . . •• 85 34,1 j
Определить размеры продукци" каждого вида к концу пятилетки.
60S. К концу пятилетки (1932 — 33 г.) длина жел.-дорожной сети должна уве
дичиться иа 20% и составить 92 тыс. км; грузообЪрот возрастет иа 87% и достиг-
нет 282 млп тонно-километров. Вычислить по этим данным длину сети и величину
грузооборота в начале пятилетки (1927 — 28 г.).
ГЛАВА IX.
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ.
§ 71. Цель и содержание главы.
Вы знаете, как надо сравнивать числа, и умеете выражать
результат сравнения также числом — их отношением. Тегеоь ста-
вится на очерздь вопрос о сравнении отношений между собою.
Эти отношения могут быть равны и могут быть не равны.
Простейший случай, когда отношения равны, особенно
часто имеет место, так как служит математическим выражением
важнейших законов природы и человеческих взаимоотношений.
Этот случай и будет служить предметом изучения настоящей
главы.
§ 72. Пропорции.
о 40 50
Возьмем два равных отношения, например, и и напи-
шем, 4fo они.равны:
40_50
16~2и'
Такое равенство двух отношений называется пропор-
цией. Оно читается так: 40 относится к 16, как 50 относится к
20. Эти же слова обозначают (§ 67), что 40 во столько раз
(в 2’/2 раза) больше 16, во сколько 50 больше 20. Пропорция
6_10
9 ~ 15'
/ 2 \
обозначает, что 6 составляет такую часть [ ) девяти, какую 10
\й !
пятнадцати.
Пропорция состоит всегда из двух отношений и четырех чи-
сел— членов пропорции. Из членов пропорции два назы-
150
ваются крайними и два средними; в первой пропорции
крайние члены 6 и 15, средние 9 и 10. Однако, очен^> просто
превратить крайние члены в средние, а средние в крайние: для
6 10
этого надо переставить отношения, т. е. вместо -у- = р5- напи-
сать
10 _ 6
15~ 9"
Возьмите каждую из написанных выше пропорций и пере-
множьте в ней между собой сначала крайние члены, потом сред-
ние. Окажется, что произведение крайних членов равно про-
изведению средних.
Составьте сами еще несколько пропорций и проверьте на них
замеченное свойство; оно принадлежит всем пропорциям, и по-
этому. если имеем какую угодно пропорцию
а с < ,
, то а а = о • с.
b а
Это свойство членов пропорции позволяет легко находить
неизвестный член, если три остальные члена известны.
Пусть, например, дана пропорция
12:9 = 2С:х.
Так как произведение крайних членов должно равняться про-
изведению средних, то
12-х = 9 • 20;
9-20 .с
Х = Т2 = 15'
Оказывается, чго неизвестный крайний член пропорции;
равен произведению средних, деленному на другой край-
ний.
Так как мы видели, что средние члены могут быть превра-
щены в крайние, а крайние—в средние, то, если будет неизве-
стен средний член, он равен произведению крайних членов,
деленному на другой средний.
Рассматривая составляющие пропорцию отношения как дроби,
вспомним (§26), что величина дробине меняется лишь при оли-
вковом кратном изменении числителя и знаменателя. Поэтому из
40 50
пропорции п;=о,; следует, что 50 должно быть во столько раз
ID A -F
больше 4Э, во сколько 20 больше 16, т. е. получается новая
151
пропорция
50_20
40 16'
Эта пропорщя, по сравнению с данной, показывает, что от-
ношение предыдущих членов обоих отношений первой про-
порции равно отношению последующих.
Из предыдущего следует, что если члены какой-нибудь
пропорции поместить в кеадрат
40 50
16 20
то любое отношение чисел, стоящих по одной стороне
квадрата, равно отношению стоящих против них чисел
по другой стороне. Таким образом получается ряд пропорций
из одних и тех же чисел:
10_50 50 40 •
16~ 20 20 ”16
16 _ 40 40 16
20 50 50 — 20
20 _ 16 16 _ 20
50 40 40 ~ 50
50_20 20_50
40 ’’' 16 1т> “ 40
(Пропорции второго столбца вого перестановкой отношений.) отличаются от пропорций пер-
Упражнения. 609. Составьте всевозможные пропорции из чисел: 1) 4, 12, 10
и 30; 2) 18, 24, 9 и 12.
610. Проверьте пропорции:
1J 34 442 = 45 : 585; 2) 2*’. : : 4; 3) 5,7:3,2 = 6,8: 4,1;
1/ 4 У /
4) 0,06:0,16 = 0,125:4; 5) 2: | = 5,84 : 17,52; 6) 31 : 4 ’ = 0,08 : 0,1.
о о о 2
611. Составьте пропорции, у которых средними членами быти бы: 1) 6 и 9;
2) 15 и 7; 3) 0,24 и 1,7; 4) 0,5 и 1,1. Сколько решений имеет каждая из этих
задач?
612. В пропорции а : Ъ = с : d найдите неизвестный член по следующим дан-
ным:
152
а ! ч 1 г2 Х 0,06 X 1 17,52 4 170 X 0,17
ь X Зп 0,16 2,1 2 5,84 1 х 8,5 0,29
с 0,17 з| 3 * 0,24 ' 1 3 I X L з 24,3 1,4 X
d 3,4 34 2 3 1 4,2 X ] х 56,1 2,3 0,63
§ 73. Величины и зависимость между ними. Пропорциональные
величины.
Все то, что можно измерять, называется величиною. К ве-
личинам относятся: расстояние, площадь, объем, вес,
стоимость, температура, давление (воздуха, пара, газа),
рабочая сила, электрическая энергия и др.
Каждая величина может принимать различные числовые зна-
чения; например, расстояние может иметь значения 5 м, 120 км,
0 3 см и т. д.; значения веса могут быть 16 кг, 25 лгг, 130 г,
4 .я и т. д. Число значений всякой величины безгранично.
Между двумя величинами часто существует зависимость.
Стоимость товара зависит от его количества, площадь квадрата —
от длины его сторон, рост человека — от его возраста и т. п.
Характер зависимости бывает очень разнообразный. Чтобы иссле-
довать зависимость величин в приведенных выше примерах, вы-
пишем по нескольку соответствующих значений каждой из этих
величин.
Зависимость между количеством и стоимостью товара:
Количество (кг) >1 2 3 5 10 15 20 30
Стоимость (руб.) J 3 6 9 15 30 45 60 90
Зависимость между стороною и площадью кв а трата:
Сторона (см) 1 2 3 5 10 15 20 25
Площадь (кв. см.) 1 4 9 25 100 225 400 625
Зависимость между в о ар а с том и средним ростом человека;
Возраст (лет) 1 2 3 5 10 15 20 25
Рост (т.и) 70 79 86 99 128 155 167 167
jC увеличением в несколько раз количества товара, стоимость
его увеличивается во столько же раз: 2 кг стоят вдвое больше,
чем \ кг, а 10 кг в 5 раз больше, чем 2 кг (проверьте, взяв числа
из вышеприведенной таблицы).
153
Совсем не то в других примерах. Если сторону квадрата в
5 см увеличить в 2 раза, то площадь увеличится в 4 раза с
25 кв. см изменится на 100 кв. см-, если сторону увеличить в 4
раза, площадь увеличивается в 16 раз — будет уже 400 кв. см.
Мальчик 15 лет оказывается не втрое выше ребенка 5 лет, 4
мужчина 30 лет — не вдвое выше мальчика 15 лет.
Такая зависимость между двумя величинами, при ко\
торой с увеличением одной величины другая увеличивается
во столько же раз, называется пропорциональной зависи-
мостью. JIpe. величины, находящиеся в пропорциональной зави-
симости, называются пропорциональными.
Таким образом, количество товара и его стоимость — вели-
чины пропорциональные, сторона и площадь квадрата, а также
возраст и рост человека — величины не пропорциональные.
Упражнения. Укажите, пропорциональны ли следующие величины и почему.
613. Число рабочих дней и заработок рабочего.
614. Число рабочих на фабрике и количество продукции
615. Жилая площадь и квартирная плата.
613. Число учащихся по группам школы и число пионеров.
617. Время и пройденное расстояние при равномерном движении.
618. Площадь прямоугольника и его высота при том же основании.
619. Площадь треугольника и его основание при одинаковой высоте.
€20. Площадь трапеции и ее большее основание при неизменной высоте и том
же меньшем основании.
621. Подписная цена на газету «Известия ЦИК СССР” на 12 мес. 10 руб., на
11 мес. 9 руб. 50 коп., на 6 мес. 5 руб. 50 коп., на 3 мес. 2 руб. 85 коп., на 2 мес
2 руб., на 1 мес. 1 руб. Пропорциональна ли подписная плата впемени? Для каь к
сроков пропорциональность есть?
§ 74. Свойства пропорциональных величин. Задачи на пропор-
циональные величины.
В первом из примеров, рассмотренных в предыдущем пара-
графе, выписаны ряды соответствующих значений количества то-
вара и его стоимости. Эти величины пропорциональны, т. е. с
изменением количества товара стоимость его изменяется во
столько же раз. Во сколько раз, например, 20 кг больше 5 кг, во
столько же раз 60 руб. (стоимость 20 кг) больше 15 руб. (стои-
мости 5 кг). Если же записать последнее предложение математи-
ческими знаками, то получится пропорция:
20 60
5 — 15"
154
То же относится к любым двум парам соответствующих зна-
10 30 15 45 2 6 ,
чений этих величин, например: 2 =К’ з = 9 * 2б~60 (покажи‘
те, как получаются эти пропорции) и т. д.: из всяких двух
пар соответствующих значений пропорциональных вели-
чин можно составить пропорцию.
Этим свойством пропорциональных величин пользуются для
нахождения неизвестного значения одной из пропорциональных
величин. Пусть, например, известно, что железнодорожный поезд
движется равномерно и в 12 секунд прошел расстояние 143 м.
Сколько он пройдет в 22 секунды, если будет продолжать итти
с той же скоростью?
В задаче имеются две величины — время и путь, проходимый
поездом. Эти величины пррпорциональны, потому что, если время
увеличить в несколько раз, то и пройденный путь увеличится
во столько же раз. Поэтому, обозначив через х путь, пройден-
ный в 22 сек., можем написать пропорцию:
22 _ х
12 143’
которая будет выражать, что неизвестное число метров во столько
раз больше 143 м, во сколько раз 22 сек. больше 12 сек.
Отсюда
143-22 1573 ПРО
Л- = —= -F- ~ 262 ли
1Z о
Перед тем как решать задачу, полезно записать се условия в
таком виде:
12 сек. — 143 лг.
' 22 сек. — х м.
При таком расположении данных пропорцию составить не-
трудно, но не надо забывать, что прежде всего необходимо
исследовать, пропорциональны ли данные величины.
Вот еще пример.
В 6 мес. рабочий заработал 444 руб. Сколько он заработает
в 10 мес. при той же месячной плате?
С увеличением времени заработанная сумма увеличивается во
столько же раз. Следовательно, входящие в задачу величины про-
порциональны. Располагаем данные, как показано, и решаем
помощью пропорции:
6 мес. — 444 руб.
10 мес.— х руб. . I
' 6 444 444-10 7 Л
io=^-’ x==-6-;=740 РУ6-
155
Вот еще задача.
Сосна в возрасте 5 лет имеет в вышину 0,S м. Какой вышины
она будет в возрасте 50 лет?
Когда возраст сосны увеличится в несколько раз, вышина ее
увеличивается не во столько же раз. Значит, эти величины не
пропорциональны, и задача помощью пропорции решена быть не
может (для ее решения надо знать, как изменяется вышина де-
рева с возрастом).
Те же задачи, которые решаются помощью пропорций, могут
быть решены и без пропорций так называемым приведением
Kf единице. Так в первой задаче, зная, что расстояние 143.и
поезд проходит в 12 сек., можно узнать, что в 1 секунду он
143 ло J43 оо
проходит а в 22 сек. -^•22.4.
В некоторых случаях удобно вводить так называемые со-
ставные единицы. Одна из наиболее употребительных со-
ставных единиц, это — рабочий день. Если, например, 7 ра-
бочих в 5 дней производят определенную работу, то мы гово-
вим, что для выполнения этой работы необходимо 7-5 рабочих
дней. Железнодорожный тариф на перевозку грузов исчисляется
за тонну-километр, т. е. укатывает стоимость перевозки
1 тонны на расстояние 1 км.
Решим, для примера, такую задачу:
Сколько придется заплатить 10 рабочим за 5 дней, если при
той же поденной плате 8 рабочим за 7 дней платят 126 руб.?
Вводим рабочие дни (раб.-д.) и записываем условие задачи так:
8-7 раб.-д. —126 руб.
10-5 раб.-д.— х руб.
Обычным рассуждением убеждаемся, что величины пропор-
циональны, а потому:
8-7 _ 126
10-5 — х ’
10-5-126
л= в 7 =112,5 руо.
Вычислим еще стоимость перевозки по железной дороге 8,3
тонны груза на расстояние 236 км, если перевозка 6,2 тонны та-
кого же груза на расстояние 172 км стоит 51 руб. 20 коп. Вводим
тонно-километры (т-км).
6.2-172 т-км— 5120 коп.
« 8,3-236 т-км— х коп.
6,2-172 5120 83-236-5120 -
8>-236 =~х~> Х= -б2-Г72^=94’46РУ6-
155
§ 75. Ооратно-пропорциональные величины.
6 рабочих взялись починить мостовую в .переулке в 20 дней.
Сколько времени понадобится для той же работы, если чисто
рабочих увеличить? — Ясно, что большее число рабочих испол-
нит работу скорее, и во сколько раз будет увеличено число ра-
бочих, во столько же раз меньше понадобится им времени.
Если две величины находятся в такой зависимости, что с увели-
чением в несколько раз одной из них другая во столько же
раз уменьшается, то тлкие величины называются обратно-
пропорциональными, в противоположность величинам пропор-
циональным, которые называются иногда прямо-пропорциональ-
ными.
Увеличим в предыдущем примере число рабочих в 2, в 4, в
5 раз, и число дней, необходимых для выполнения той же работы,
будет во столько же раз уменьшаться. Получим следующие два
ряда соответствующих значений обеих величин:
Число рабочих 6 12 24 30
Число дней работы 20 10 5 4.
с: I
Здесь отношение всяких двух соответс твующих значений
одной величины будет равно обратному отношению со-
ответствующих значений другой величины:
12_20 6 ___ 5 30_10
6 — 10 ’ 2-1 ~ 20 ’ 12 “ 4 И Т' Д‘
Этим свойством обратно-пропорциональных величин можно
пользоваться для решения задач. Возьмем такой пример:
Заготовлено продовольствие для 12 человек на 5 дней. На
сколько времени хватит этого продовольствия 15 лицам?
Соображаем прежде всего, что если число людей увеличится
в несколько раз, то время, на которое хватит заготовленного
продовольствия, уменьшится во столько же раз, и заключаем,
отсюда, что имеем дело с обратно пропорциональной зависи-
мостью. Затем пишем:
12 чел. — 5 дней
15 чел. — % дней
• Задача может быть решена также приведением к единице:
если 12 человекам заготовленного продовольствия хватит на 5
дней, то одному человеку его хватит на время в 12 раз боль-
157
шее, на 5-12 дней, и 15 человекам на время в 15 раз меньшее,
5-12 „
на -.-г- дней.
АО
Упражнения. Величины, входящие в следующие задачи, пе всегда про-
порциональны, а потому не забывайте начинать с исследования;
некоторые задачи неразрешимы.
622. Чтобы выпечь 180 кг хлеба, израсходовано 14.5 кг муки. Сколько муки
пойдет на 267 кг хлеба?
623. Мешок муки в 82 кг стоит 12 руб. 30 коп. Сколько муки в меш..е,
стоящем 14 руб. 70 коп?
624. Монета в 15 коп. весит 2,7 г и имеет диаметр 19,6мм. I) Вычислите вес
и диаметр монет в 10 и 20 коп.; 2) монет в 50 коп. и в 1 рубль. Проверьте ре-
зультаты непосредственным измерением.
625. При размоле 75 кг ржи получается 52,6 кг муки и 21,2 кг отрубей.Сколько
муки и отрубей выйдет из 132,8 мг ржи?
626. Был сделан запас керосина для 12 ламп на 8 дней. На сколько дней хва-
тит этого запаса, если прибавить еше 2 лампы?
627. 22 рабочих могут вырыть канал в 13 дней. Сколько надо рабочил, чтобы
вырыть этот канал в 10 дней?
62С. Преподаватель обществоведения рассчитал, что его чрок.в в группе в
течение года должно быть 110. Сколько должно быть в этой же группе уроков
математики, если обществоведение бывает 5 раз в декаду, а математика 6?
629. Каток выручил в течение сезона 3426,8 руб., причем среднее число по-
сетителей в день было 178 человек. Сколько в среднем было в день посетителей
на другом катке, выручившем за год 5631,2 руб., если входная плата и число дней
работы катков были одииакс вы?
630. Фабрика расходовала на зарплату рабочих при 8-часовом рабочем дне
452 140 руб. в год. Как изменится этот расход с переходом на 7-Часовой день,
если производительность каждого рабочего за день останется та же?
631. Из двух комнат одинаковой площади одна имеет длину 4,2 м и ширину
3,3 м, а длина второй 4,7 .и; найдите ее ширину.
632. Из двух прямоугольников с одинаковой высотой у одного площадь
24 кв. см, у другого 37 кв. см. Найдите основание второго, если основание пер-
вого 4,5 см.
633. На одном основании построены два треугольника, высоты которых 10,3
и 12,6 см; площадь второго 75,3 кв. см; наедите площадь первого.
63ч. Высоты прямоугольников столбчатой диаграммы выраж ются следую-
щими числами сантиметров: 3,4; 7,5; 9,4; 19,2; 23,5. Площадь самого малень-
кого прямоугольника 5,1 кв. см. Вычислите площади остальных прямоуголь-
ников.
635. Предполагали купить 28 м материи шириною 54 см. Оказалось же,
что в продаже есть такая материя только шириною в 89 с.к. Сколько ее следует
купить?
636. Завод расходовал на зарплату рабочих 7302,5 руб. в месяц, платя в сред-
нем по 67 руб. 50 коп. каждому. Какой будет расход на зарплату, если товестн
средний заработок рабочего до 62 руб.?
158
637. Для удобрения огорода, имеющего форму квадрата со стороною 24 ж,
надо тонны нааоза. Сколько навоза пойдет на квадратный же огород со сто-
роной 72 м7
638. На рельсопрокатном заводе, продукция которого при нормальных усло-
виях была 1350 топи в год, вследствие недостатка дисциплины 8-часовой рабочий
д,нь сократился на 40 минут. Как это отразилось на продукции завода?
639. Газовый завод, вырабатывающий ежедневно достаточное количество газа
для горения 1540 фонарей по 4-^ часа в день, должен ,штать еще 120 таких же
фонарей. Насколько придется сократить продолжительность освещения?
640. Гражданин, в комнатах которого горят 3 лампочки в 16, 25, и 32 свечи,
получил счет на оплату электрической энергии в сумме 2 руб. 47 коп. Как ему
надо уменьшить' освещение своих комнат, чтобы следующий месяц, при той же
продолжительности освещения, платить не более 2 руб.?
641. Чтобы определить вышину дома, сосчитали число рядов кирпичей в его
стене, оказавшееся равным 192, и измерили вышину 20 рядов, которая оказалась
равна 148 см. Как вычислить вышину дома? Определите таким же образом сами
вышину какого-нибудь дома.
642. Для определения вышины дерева измерили длину его тени, 15,2 .и, и
длину тени воткнутой в землю палки в 1,60.и. Длина тени оказалась равной
2,34 м. Чему равна вышина дерева?
643. Крестьянское семейство, работая по 13 часов в день, убрало поле в
5 дней. Сколько дней пришлось бы нм употребить на ту же работу при 8-часо-
вом рабочем дне?
644. Для продовольствия отряда в 1340 человек была заготовлена солонина
с расчетом выдавать ежедневно по 125 г. Перед выступлением отряда к нему при-
соединились еще 85 человек. Как надо изменить суточную норму выдачи мяса,
чтобы его хватило на то же время?
645. 5 керосиновых ламп в 4 часа расходуют 1,52л керосина. Сколько керо-
сина сгорит в 7 лампах в 5 часов?
646. Продовольствие 56 человек в санатории в течение 4 недель стоило
1076 руб. 24 коп. Что будет стоить, при тех же условьях, продовольствие 42 че-
ловек в течение 36 дней?
647. На 25 пальто идет 88,5 и сукна шириною 1,05 .и. Сколько пальто можне
сделать из 310.и сукна шириною 0,78 лг?
§ 76.. Пропорциональное деление.
Трое рабочих за исполнение некоторой работы получили 42 ру-
бля. Как должны они разделить эти деньги, если один работал
3 дня, другой 5 дней, третий 6 дней?
Ясно, что каждый рабочий день должен быть, оплачен по-
ровну, а потому, для решения задачи, мы сосчитаем все число
рабочих дней 3 + 5-]-6 — 14, узнаем делением 42 руб. на 14, что
один рабочий день платили по 3 руб. и что первому рабо-
чему надо получить 3-3 = 9 руб., второму 3-5 = 15 руб. и треть-
ему 3-6 = 18 руб.
159
При таком разделе тот, кто больше работал, больше и пол]
чит, и во сколько раз больше времени он работал, чем другой
во столько же раз большая сумма ему достанется: вознагражде-1
ние делится пропорционально числу дней работы. Та-
кое разделение называется пропорциональным деле-
нием и делается не только в случае раздела денег, но и для
решения других встречающихся вопросов. Сейчас рассмотрим,
как вообще надо делить какое-нибудь число пропорционально
нескольким другим данным числам.
Положим, что надо разделить число 198 на две части про-
порционально числам 4 и 5. Это значит, что если неизвестные
части числа 198 будут х2 и х2, то
Х1: х2 —- 4 : о.
4
Чтобы отношение х, к х2 равнялось надо, чтобы х,
содержало 4 некоторых доли, а х2 содержало 5 таких же
долей. Тогда во всем числе 198 будет 4 4-5 = 9 таких долей, и
одна доля равна 198:9 = 22. После того нетрудно уже найти обе
неизвестные части;
х, = 22-4 = 88; хг = 22-5 = 110.
Так же приходится поступать для деления на несколько
частей, пропорциональных данным числам. Пусть, например, чи-
сло 414 требуется разделить на четыре части пропорционально
числам 7, 3, 4 и 9. Если неизвестные части обозначить через хч
х2, х3, xit то зависимость между неизвестными и данными числами
записывается так:
л-!: х2: Л'3: х- — 1:3 : 4 : 9.
Чтобы отношения между х„ х2, х3, равнялись отношениям
между данными числами, надо, чтобы в х, содержалось 7 неко-
торых долей, а в х2, х3, х. было по 3, 4, 9 таких же долей.
Тогда во всем числе будет 7-|-3-]-4-f-9 = 23 таких доли, одна
доля окажется равной 414:23=18, вслед за чем можно найти
все неизвестные части.
Если числа, пропорционально которым надо разделить данное
число, дробные, то их можно заменить пропорциональными
им целыми.
Положим, например, что число 27 надо разделить пропор-
3 5
ционально числам и -. Отношение дробей заменяем равным
160
елу отношением целых чисел и пишем
х, :х,==9.20
Задача сводится к делению 27 на части в отношении 9 к 20
(сделайте это!).
При делении пропорционально нескольким дробным числам,
все дроби приводим к общему знаменателю и множим на него
все числа: отношения между ними от этого не изменятся, а все
числа станут целыми. Так, если надо, чтобы
Xi-XjZXjiXi -— з :1 2":
t
множим все данные числа на 12:
Xj :x2:x3:x- = 8:18:9:36.
Пример задачи на пропорциональное деление.
Домоуправление получило от ГКХ (городское коммунальное
хозяйство) счет за воду, израсходованную в течение месяца, на
сумму 19 руб. 60 коп. Как разложить эту сумму на проживающие
в доме семейства, число членов которых следующее:
Фамилии семейств А Б В Г Д Е Ж 3 И К
Число человек 6 3 4 5 2 6 4 5 5 3
Обыкновенно раскладка производится „по душам", т. е. про-
порционально числу человек каждого семейства. Поэтому под-
считав все число проживающих в доме, 43, находим, что с 1 че-
ловека следует
19 руб. 60 коп.:43 = 45,6 коп.,
а затем составляем табличку:
I
2
з
4
5
6
45,6
91,2
136,8
182,4
22о,0
273,6
Эта таблица, по отбрасывании десятых долей копейки, дает
суммы, приходящиеся на долю каждого семейства. Данные и по-
лучившиеся результаты расположите в виде таблицы с вертикаль-
ными столбцами, содержащими: 1) фамилии семейств, 2) число
11 Парг a др. РпБочлл книга но млимптикв, S-И год.
161
человек, 3) суммы. Во втором и третьем столбцах надо подвести
итоги, причем, когда окажется, что итог третьего столбца не
сошелся с суммой счета, разницу надо разверстать.
Упражнения.
6J8. * 649.
Разделить число пропорцио- нально числам: Разделить число пропорцио- нально числам:
345 7; 5; 11 75,32 12; 17
24,3 00 CN 196,3 5,2; 3,8; 26
1368 13; 24, 35 6,04 13,5; 41,7
133 5.3 6’ 4 928,36 15; 24; 13; 19
731 to >— со 85,98» 1,7; 2,8; 9,4; 8,3
245 А- JL- 5 8 ’ 3’ 12 1025,4 5,18; 6,25:1,62
650. Для приготовления фарфора берут 25 частей белой глины, 2 части песка
и 1 часть гипса. Сколько каждого из этих материалов в чашке, весящей 92 г?
651. Охотничий порох составляется из 6 частей серы, 39 частей селитры п
5 частей угля. Сколько этих веществ пойдет на 27 кг гороха?
652. Поваренная соль представляет собою химическое соединение металла
натрия с газом хлороь в отношении (по весу) 23:35,5. Сколько натрия и сколько
хлора в 100 г соли?
653. Вода получается химическим соединением газов кислорода и водорода в
отношении (по весу) 8:1. Сколы э каждой из этих газов в стакане воды
(200 куб см)?
654. Легкоплавкий металл Вуда (который плавится при 70е и употре-
бляется для укрепления кристалла в детекторе) составляется из металлов висмута,
олова, кадмия и свинца в отношении (по весу) 4:2:1:1. Сколько надо взять каж-
дого из этих металлов, чтобы получить 100 г металла Вуда?
655. Разверстайте оплату счета за воду: 1) 6 руб. 40 коп. — между семей-
ствами из 4, 7, 5, 3 и 4 человек; 2) 18 руб. 30 коп. — между семействами из 6, 3,
4, 8, 6, 5, 2, 9 человек.
656. Распределите оплату счетов на электрическую энергию: 1) на сумму
23 руб. 12 коп между несколькими семействами пропорционально числу свечей
горяших у них лампочек, именно: 70, 60, 120, 70, 90, 16; 2) па сумму 30 руб. 87 коп.,
если числа свечей 5и, 80, 48, 10J, 25, 41, 57, 37.
657. В каждом из двух этажей дома живет по 6 семейств, занимающих оди-
наково в обоих этажах площади в квадр itiihx метрах: 35,3; 24.6; 33,1;41,4; 30,7;
8,2. Вышина комнат 1-го этажа 2,85 м. 2-го 3,20 л. Распределите пропорционально
кубатуое оплату центрального отопления дома в сумме 44 руб, 27 ксп. в * ес
102
658. Многими переписями установлено, что из IUU0 человек населения в сред-
не>: насчитывается детей до 15 лет 332, в возрасте от 15 до 20 лет 94 человека,
от 20 до 60 лет 485, от 60 до 70 лет 57, старше 70 лет 32. Распределите по воз-
растам, согласно этим нормам, население Москвы (§ 5), вашею района, вашего
города.
659. Потребительское общество постановило часть годовой прибыли в размере
3200 руб. распределить в виде дивиденда между своими членами пропорционально
стоимости закупленного ими в течение гоаа товара. Составьте текст объяв .ения об
этом для членов общества, зная, что вся выручка магазинов за год была 117 635 руб.
41 кол., таблицу для кассира, который будет выдавать дивиденд, и вычислите, сколько
придется на долю членов А, В и С, представивших талонов на забранный товар
на суммы 36 руб. 13 коп., 37 руб. 69 коп. и 71 руб. 14 коп.
ГЛАВАХ
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ, ПЛОЩАДЬ КРУГА И ОБЪЕМ
ЦИЛИНДРА.
§ 77. Длина окружности.
X
Совершенно очевидно, что окружность большого круга больше '
окружности маленького. Для выяснения, каким образом можно
вычислить длину окружности, проделайте следующую работу.
Возьмите круглую коробку, литр в форме кружки или стакан,
измерьте длину окружности и диаметра взятого предмета и узнайте,
во сколько раз окружность больше диаметра для того же круга.
Для измерения длины окружности оберните круглую коробку 1
у одного из ее оснований узенькой бумажной лентой так, чтобы
один конец ленты налегал на другой, и сделайте прокол иголкой
сквозь оба конца ленты. Развернув ленту, измерьте расстояние
между проколами, стараясь, чтобы ошибка измерения была меньше
1 мм.
Для получения диаметра круга аккуратно отметьте на бумаж-
ной ленте середину между проколами и, навернув ее снова на
коробку, измерьте ее диаметр от прокола до отмеченной середины
ленты по другую сторону круга. Повертывая ленту, сделайте три
измерения диаметра в разных направлениях и найдите среднее
значение диаметра. При делении длины окружности на диаметр I
вычисляйте результат с точностью до 0,01, так как при вашей
степени точности измерения все дальнейшие цифры будут совсем
ненадежны.
Сравните полученный результат с результатом соседа.
Вычислите среднюю величину отношения окружности к диа-
метру из результатов, полученных всеми учащимися.
Более точные вычисления показывают, что отношение длины
окружности к диаметру равно 3,1416. Обыкновенно в расчетах
берут это число с точностью до 0,01. Число, показывающее отно*
164
щение длины окружности к диаметру, обозначается буквой гре-
ческого алфавита г. (читается: гпи“).
Обозначив диаметр круга буквой d, напишите формулу длины
окружности.
Обозначив радиус круга буквой г, напишите формулу длины
окружности.
Упражнения. 660. Вычислите длину окружности круглой коробки, радиус
которой равняется 9 см.
661. Вычислите длину окружности круглого бревна, диаметр которого равняется
22 см.
662. Вычислите длину окружности, радиус которой равняется 10 см; 12 см;
15 см; 4,7 м; 8,6 м.
663. Вычислите длину окружности, диаметр которой равняется 14 см; 26 см;
25 см; 37 м; 4,9 м; 13,5 м.
664. Вычислите радиус круга, длина окружности которого равна 91,42 см;
106,5 см; 39,9 см; 126 см.
665. Вычислите диаметр круга, длина окружности которого равна 12,57 см;
27,65 см; 39,58 см; 70,37 см; 289 см; 295 см.
666. Определите расстояние, которое пройдет пассажирский пар< воз при одном
обороте ведущего колеса, если диаметр последнего равен 2 м.
667. По техничес :им условиям колесо паровоза па наших дорогах может де-
лать не больше 3-5 оборотов в секунду. Рассчитайте предельную скорость пасса-
жирского и товарного паровоза в километрах за 1 час при диаметре колеса у пас-
сажирского паровоза в 2,1 м и товарного 1,3 м.
668. Определите, каков должен бьпь диаметр колеса паровоза, делающего
5 обсро.ов в секунду при скорости 80 км в час.
669. Найдите толщину дерева, обхви которого равняется 1,57 м.
670. Какое расстояние проходит точка Земного экватора за один час, если
экваториальный радиус Земли составляет 6378 км?
§ 73. Скорость точки окружности при вращении.
При вращении каждого предмета всякая его точка описывает
окружность рйдиусом, равным расстоянию точки от оси враще-
ния. Окружною скоростью называется расстояние, которое
проходит каждая точка окружности в одну секунду.
При расчете окружной скорости необходимо принимать во
внимание как радиус или диаметр вращающегося круга, так и
число оборотов. В машинах и станках обыкновенно указывается
число оборотов в минуту.
Если круглая пила по дереву, диаметр которой равен 0,8 м,
Делает 800 оборотов в минуту, то окружная скорость составит
3, 14.0,8 • 800 — 2009,6 м в мин. или ~^-~33,5 м в сек.
ои
165
Обозначая диаметр i.pyra буквой d, число оборотов в минуту
буквой п и окружную скорость в секунду буквой vt составьте
формулу окружной скорости, по которой МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ V,
зная п и d.
При обработке предметов на токарных станках вращается сам
предмет, закрепленный на оси станка. Резец, при помощи кото-
рого обтачивается предмет, остается неподвижным, находясь в
руках рабочего при обтачивании деревянных предметов или бу-
дучи закрепленным на станке при работе по металлу. В этом
случае скоростью резания называется окружная скорость обтачи-
ваемого предмета. Разные резцы (сорт стали) и разные материалы,
подлежащие обработке, допускают разную скорость резания. При
расчетах обыкновенно руководствуются следующей таблицей (в
таблице дана скорость в метрах в минуту):
Обр абатываемый материал Резец из
инструмен- тальной стали быстро- режущей стали
Чугун 6 — 10 14 — 20
Медь и сталь 7 — 9 16 — 24
Кованое железо 10 -13 22 — 32
Латунь 13—19 30 — 40
Упражнения. 671. Сделай)с расчет окружной скорости па основании данных,
полученных во время экскурсии (окружная скорость махового колеса, круглой пилы
по дереву и металлу, точильного камня, наждачного точильного круга и т. д.).
672. Какоза окружная скорость махового колеса с диаметром 2 м, делающего
80 оборотов в минуту"
673. Какова окружная скорость точильного камня диаметром 25 см, делающего
375 оборотов в минуту?
674. На токарном станке обтачивается чугунная болванка диаметром 25 см.
Какое максимальное число оборотов можно дать станку, чтобы окружная скорость
не вышла из пре щлов, указанных в таблице?
675. Какое число оборотов делает наждачный точильный круг диаметром в
10 см, если окружная скорость составляет 30 м в сек.?
676. Окружная скорость диска паровом турбины достигает 1100 м в сек.
Определите число оборотов при диаметре диска в 1 м.
677. По формуле окружной скорости v = вычислите d, если v = 4 м
в сек и /т =200 сСоротам а минуту.
Кб
§ 79. Площадь круга.
1. Для вычисления площади круга начертите круг радиусом
10 см на миллиметровой бумаге. В случае отсутствия последней
возьмите обыкновенную клетчатую бумагу, выбрав радиус, рав-
ный 10 клеткам. На полученном чертеже сосчитайте целое число
квадратны? сантиметров, умещающихся в круге, обведя их пред-
варительно карандашом. Оставшиеся части квадратных санти-
метров на миллиметровой бумаге рассчитайте в квадратных мил-
лиметрах, считая больше половины квадратного миллиметра за
целый. При чертеже на обыкновенной клетчатой бумаге подсчи-
тайте целые клетки и их части, оценивая последние на-глаз в де-
сятых долях.1
Сравните свою работу с работой товарищей и, в случае рез-
кого расхождения результата, поищите грубой ошибки в под-
< чете.
Из результатов, полученных каждым учащимся или каждым
.коллективом, найдите среднюю величину площади круга.
Определите отношение полученной площади круга с радиусом
в 10 см к площади квадрата со стороною, равною радиусу.
Проверьте полученное отношение на круге и квадрате с ра-
диусом и стороною в 5 см.
Не дает ли это отношение возможности вычислить площадь
круга по радиусу?
2. Для вычисления площади круга можно воспользоваться
приемом, применявшимся нами при вычислении площадей фигур,
не имеющих прямых углов.
Вспомните, как нами были получены формулы плсщади тре-
угольника, параллелограмма и трапеции. Каждая из перечислен-
ных фигур разлагалась на части, и из частей составлялась новая
фигура, одинаковая с прежней по площади, но имеющая такую
форму, площадь которой мы умеем рассчитывать.
Примените этот способ разложения к кругу.
Начертите круг и разделите его диаметрами на 12 или на 24
равные части
Разрежьте круг на части и составьте из частей новую фигуру
так, как показано на чертежах 49 и 50.
} 1 Одну треть или две трети клетки оценивайте как 0,3 и 0,7, почти целую
клетку как 0,9, немного больше или меньше половины клетки, как 0,6 и 0,4; осталь
ные оценки получаются, как чромежу очные ”ежду указанными выше, например,
если часть клетки кажется больше 0,7 и меньше 0,9, оценивайте ее как 0,8.
1=7
Что напоминает полученная фигура, если нижнее и верхнее осно-
вание ее считать прямыми линиями? Чему равняется длина осно- I
вания полученной фигуры в сравнении с длиной окружности? 1
Чему равняется высота? Как вычислить площадь круга?
Вычислите площадь круга радиуса 10 см и сравните с резуль- I
татом, который вы получили, вычисляя площадь круга по клеткам.
___ __ Составьте формулу площади круга, обо
/х значая радиус буквой г.
/ \ \ Пользуясь формулой, вычислите пло-
/ щадь круга радиуса 15 еж; 24 си; 4,5 см.
W V д'. ®
Черт. 49. Черт. 50.
3. Рассчитайте площадь круга, имеющего диаметр 25 см, не вы- ’
числяя предварительно радиуса, а только обозначая действия,
которые необходимо произвести с диаметром. Составьте себе пра-
вило вычисления площади круга по диаметру. На основании пра-
вила составьте формулу площади круга по диаметру, обозначая
диаметр буквой сГ.
Примените полученную формулу к вычислению площади круга
с диаметром 15 см.
Рассчитайте в квадратных миллиметрах поперечное сечение
электрического провода, имеющего диаметр 4,5 лиг.
4. Возьмите два круга радиуса Зсм в 6 см. Во сколько раз
площадь второго круга больше площади первого?
Увеличьте радиус круга в три раза. Во сколько раз увеличится
площадь круга? Увеличьте радиус круга в 5, 6, 10 раз и выясните,
как будет увеличиваться площадь. Как увеличится площадь круга
при увеличении радиуса в а раз?
Упражнения. 678. При проводке телеграфных липий употребляется железный
провод 6 мм диаметром. Определите площадь поперечного сечения провод!
679. Определите площадь круговой беговой дорожки, если радиус внутрен-
него круга равняется 100 м н ширина дорожки 10 м.
680. Радиус одного круга 10 см, а другого круга 4 см. Не высчитывая пло-
щади каждого круга в отдельности, определите, во сколько раз площадь первого
круга больше площади второго.
681. Отношение радьусов двух кругов равно 1,5. Каково отношение их дао-
шадей? *•
138
662. Во сколько раз площадь круга больше площади квадрата, сторона кото-
рого рзвпа радиусу?
683. Чему равна площадь зачерненных частей на чертеж’ 51, если сторона
квадрата составляет 10 слт?
634. Из листа жести в форме прямоугольника размером 20 см х За см выре-
зан круг во всю ширину листа. Что тяжелее: круг или
обрезки?
685. В постройках встречаются окна с полукругом
вверху. Сделав необходимые промеры, рассчитайте
световую поверхность такого окна.
656. Наименьший допускаемый диаметр голых медных
проводов при электрической проводке внутри здания
2,25 мм. Рассчитайте площадь поперечного сечения.
687. В технических справочниках указывается, что
медная проволока разрывается при нагрузке 53 кг на
каждый квадратный миллиметр поперечного сечения. При
какой нагрузке разорвется медная проволока толщиною
в 4,5 MMi
Черт. 51.
688. Если территорию, занимаемую г. Москвой по линии окружной железкой
дороги, изобразить в виде круга (она па самом деле мало отличается от круга),
то ее радиус будет равняться 8,6 км. Определите плещадь, занимаемую Москвой
в квадратных километрах и гектарах.
со» 80. Цилиндр.
Возьмите круглую коробку или круглую жестяную банку и рас-
смотрите поверхность этих тел. Найдите плоские части поверх-
ности и определите их форму. Определите, какую форму имеют
боковые поверхности. Тела, имеющие такую форму, называются
цилиндрами. Укажите другие тела, имеющие форму цилиндра
У цилиндра два равных основания в cf-Орме двух,распо-
_______ ложенных параллельно, кругов и
кривая боковая поверхность.
X. 4 При определении размеров цилиндра
необходимо знать диаметр или радиус
к. основания и высоту. Для измерения
радиуса основания намечают центр круга
и измеряют радиус измерительной ли-
Черт. 52. нейкой или циркулем. В большинстве
технических расчетов пользуются не
радиусом, а диаметром, и для измерения последнего поступают
следующим образом.
। Берут инструмент, называемый кронциркулем (черт. 52),
раздвигают его ножки настолько, чтобы цилиндр плотно про-
ходил между ними, и измеряют полученное расстояние между кон-
цами ножек, прикладывая кронциркуль к измерительной линейке
169
Этот прием применяется обычно рабочими, работающими на
токарных станках, когда им нужно выточить цилиндр опреде-
ленного диаметра. Для более точного измерения диаметра ци-
линдра (с точностью до 0,1 jkm) употребляется штанген-цир-
м
iTnTmT]iin|niTpni|iiii|iiiipiii]iii;|!iii|iiii]im|Tmpni|niTpin...........- прш|тш ....чирн!|1.п
15 К в 12 И 10 9 ( 5 5 4 3 9 1
Черт. 53.
куль, представляющий металлическую измерительную линейку
с одной неподвижной и другой подвижной ножкой, скользящей
по линейке (черт. 53). ‘
Зажимая цилиндр между ножками штанген-циркуля, можно не-
посредственно на скале измерительной линейки прочитать длину
диаметра цилиндра.
Высота цилиндра определяется прикладыванием линейки к бо-
ковой поверхности цилиндра от нижнего до верхнего основания.
При вычерчивании плана и разреза цилиндра
поступают таким образом. План изображают кругом,
равным кругу в основании цилиндра. Разрез изоб-
ражают прямоугольником, основание кото лого равно
диаметру круга в основании цилиндра и высота
равна высоте цилиндра.
Черт. 54. Черт. 55.
Упражнения. €89. Начертите в масштабе, с простановкой размеров, план и
разрез (1ерт. 54j круглой железной печи диаметром 0,8 м и высокою ?,8 м.
690. Начертите план и разрез (черт. 55) плоского кольца. Размер внутреннего
диаметра 10 см, внешнего диаметра 15 см, толщина кольца 3 см.
17J
691- При посещении фабрики (особенно модельного пета) рассмотрите раз-
личные встречающееся там цилиндры и па месте сделайте наброски от руки,
с п 'остановкой необходимы:. размеров. В классе на основании полученных разме-
ров сделайте рабочие чертежи рассмс , репных тел (план и разрез).
£ 81. Еыкройка цилиндра.
Для изготовления из плотной бумаги цилиндра необходимо
начертить два равных круга — основания цилиндра и разверну-
тую боковую поверхность. Очевидно, развернутая боковая поверх
ность даст прямоугольник, высота которого равна высоте ци-
линдра и основание равно длине окружности основания цилиндра.
Приготовьте выкройку цилиндра диаметром в 4 см и высотой
в 7 см.
Вырезав выкройку, сделайте модель цилиндра.
При расчетах количества материала на изготовление цилиндри-
ческих коробок, водосточных труб, круглых железных печей
и т. д. надо уметь рассчитывать боковую поверхность цилиндра
в квадратных единицах.
Так как развертка боковой поверхности дает прямоуголь-
ник, площадь ее равна площади полученного прямоугольника.
Составьте правило вычисления боковой поверхности цилиндра,
если вы знаете его высоту и радиус основания.
Запишите это правило формулой, обозначив радиус основа-
ния цилиндра буквой г и высоту буквой h.
Что нужно прибавить к боковой поверхности цилиндра,
чтобы получить его полную поверхность?
Выразите формулой полную поверхность цилиндра.
Упражнения. 692. Подсчитайте поверхность железных футляров круглых
печей следующих размеров:
Диаметр Высота Поверхность
0.80 м 2,85 м ?
0,66 м 2,58 м ?
0,57 м 2,13 м ?
При вычислении не забудьте, что результат получится приближенный, и не
пишите цифр, не •=аслуж тающих никакого дорерня.
693. Возьмите круглую жестяную коробку из-под кофе вместимостью в 200 г
и определите, какое количество таких коробок с крышками может быть из: ото-
чено из одного лис а жести размером 60 см X 70 см.
Имейте в виду, что часть материала пойдет на обрезки.
694. Сравните круглую и прямоугольную жестяные кор- бки одной вмести-
мости (ньпример, вмещающие 200 г кофе) и опреде ште, на какую пойдет меньше
материала.
171
695. Вычислите вес погонного метра чугунной водопроводной трубы, вит.
гренпий диаметр которой равен 36 мм, парз’жиый равен 48 нм, если удельпчй
вес чугуна равен 7,2.
696. В паровых котлах накаленный воздух и дым проходят сквозь котел по
особым трубам, называемым дымогарными, и через стенки труб отдают тепло
воде. При этом бывают разные системы паровых котлов:
1) Корнваллнйские с одной большой внутренней дымогарной трубой, прохо-
дящей через волу наподобие трубы самовара.
2) Ланкаширские с двумя дымогарными трубами.
3) Водотрубные с большим числом мелких дымогарных трубок. В паровозах
применяются водотрубные котлы, имеющие до 200 и более мелких дымогарных
трубок.
Определите поверхность нагрева паровозного котла, имеющего 200 дымогар-
ных трубок диаметром 5 см и длиною 3 м. Сравните поверхность дымогарных
трубок с поверхностью самого котла, если его диаметр составляет 1,5 м и длина
равна длине дымогарных -рубок.
§ 82. Объем цилиндра.
Объем всякой прямой призмы равняется произведению пло-
щади основания на высоту. Если мы возьмем призму с большим
числом сторон (например, 12 — 24 стороны и больше) и осо-
бенно, если мы будем рассматривать эту призму на некотором
расстоянии, для нашего глаза она будет очень похожа на ци-
линдр.
Поэтому правило вычисления объема цилиндра остается тем же,
как для вычисления объема прямой призмы. Обозначив радиус
основания цилиндра буквой г, высоту буквой h и объем буквой V,
напишите формулу объема цилиндра: V=?
Упражнения. 697. Определите вместимость (в литрах; двух цилиндрических
резервуаров Крестовских водопроведпых башен московского водопровода, если
диаметр каждого цилиндра равен 19,8 м и высота 1,7 м.
6Э8. Для перевозки керосина и нефти по железным дорогам употребляются
специальные вагоны-цистерны, имеющие вид горизонтально расположенных ци-
-индров. Обычные размеры вагона: длина 6,21 м, диаметр 1,66 м. Определите вес
перевозимой нефти при удельном весе 0,85.
699. Определите вес погонного метра круглого железа диаметром 2,5 см.
(Удельный вес железа дан в конце книги.)
7С0. Определите вес погонного метра медной трубы, наружный диаметр ко-
торой 3,1 см, а внутренний диаметр 2,4 см.
701. На русских метеорологических станциях применяется дождемер в виде
цилиндрического сосуда с внутренним размером 25,2 см. Определите, каков дол-
жен быть диаметр измерительного стакана, чтсоы слой выпавшего дождя толщи-
ною в 1 мм, перелитый в измерительный стакан, давал высоту в 10 см.
702. Взяв имеющуюся в школе мензурку за измерительный стакан дожде-
мера, рассчитайте диаметр цилиндрического сосуда дождемера, чтобы каждые
100 делений мензурки соответствовали одному делению дожде'', -а. Изготовьте
выкройку дождемера, указанного в предыдущей задаче, взяв высоту в полтора
раза больше диаметра.
703. Определите высоту игровой кружки, если диаметр основания соста-
вляет 10 см.
704. Определите длину мотка проволоки, измерив диаметр проволоки и
взвесив моток, зная удельный вес материала, из которого изг ловчяется про-
волока.
705. Для определения площади селения внутреннего канала узкой стеклян-
ной трубки в нее был введен столбик ртути. Длина введенного столбика ртути
равна 12,8 см, вес 8,5 г. Рассчитайте площадь сечения, если удельный вес
ртути 13,6.
706. Определите вес тел, чертежи которых были составлены вами на основа-
нии обмеров после посещения фабрики (упражнение 589).
707. Рабочие в литейной определяют вес литья по весу модели, умножая по-
следний да определенные коэфициеиты, приведенные в следующей таблице:
Материал модели Материал отливки
Чугун Бронза Алюми- ний
Сосновое дерево .... 14 16,3 4,8
Дубовое дерево 9 10,3 3,1
БереЗово- дерево .... 10,6 12,2 3,6
Модель небольшого махового колеса, сделанного из березы, весит 0,85 кг
Определите вес чугунного махового колеса.
§ 83. Выводы из главы.
1 - Число •к представляет отношение окружности к диа-
метру.
2. я= 3,14 с точностью до 0,01.
3. Формула длины окружности: С=2~г или C=*d.
r.d?
4. Формула площади круга: К = -кгэ или К
“Ж
5. Формула окружной^ скорости в секунду:
с— число оборотов в минуту.
, 6. Формула боковой пооерхности цилиндра: S=2rrh.
7. Формула объема цилиндра: V—~r'h.
Упражнения. 708. Определите длину окружности, если 1) г = 2,5 м; 2) г =
= 34 см; 3) d= 17 см; 4) d = 3,7 см.
173
709. Опр^ттлите диаметр круга, если длина скружности равна: 1) 3,77 мА
2) 12,25 м; 3) 37,7 см; 4) 64,4 см.
710. Определите радиус круга, если птина окружности равна: 1) 72,26 .J
2) 99,9 см; 3) 104 мм; 4) 136 см.
711. Определите площадь круга, если его радиус равен: 1) 32 см; 2) 1,9 см;
• 3) 43 см; 4) 32,5 см.
712. Определите площадь круга, если его диаметр равен: 1) 1,3 дм; 2) 4,5 см;
3) 5,2 см; 4) 8,6 см.
713. Определите ради] с Земли, если длина земного меридиана равщ
4 10" м.
714. Определите окружную скорость диска, делающего 190 оборотов в ми-
нуту, ?сли его диаметр равен 65 см.
715. Определите боковую поверхность цилиндра, если: l)rf=l,5.w; А =
= 2,4 м: 2) г=35 см; ft = 52 см.
716. Определите полную поверхность цилиндра, если 11й=18длг,’ ft = 4,3 л;
2) г = 23 см; h = 46 см.
717. Вычислите вес одного километра телеграфного железного провода диа-
метром в 6 мм.
718. Сколько весит стеклянная палочка длиною в 15 см, диаметром в
0,8 см?
719. Сколько весит ртугь, налитая в стакан с внутренним диаметром в 6,2 см
на высоту 5 см?
720. Определите скорость Земли (в километрах в секунду) в ее движении
около Солнца, если считать годичный путь Солнца за круг с радиусом, равным
1495 • 105 км.
ГЛАВА XI.
УРАВНЕНИЯ.
§ 84. Цель и содержание главы.
Уравнения встречались вам на всем протяжении курса. В на-
стоящей главе мы возвращаемся к ним, чтобы, повторив реше-
ние простых, вам знакомых уравнений, рассмотреть, как реша-
ются уравнения несколько более сложные. Вы увидите, кроме
того, что при помощи уравнений легко решаются такие задачи,
решение которых без уравнений представляет значительные труд-
ности. Со временем же, когда вы встретитесь с задачами, вовсе
не разрешимыми без помощи уравнений, вы поймете, какое цен-
ное достижение человеческого ума представляют собою эти ра-
венства, содержащие неизвестное и называемые уравнениями.
§ 85. Простейшие уравнения.
Уравнения простейшего вида содержат 3 числа: 2 известных
и 1 неизвестное. Они получаются, когда неизвестна одна из ком-
понент какого-нибудь действия, а другая компонента и результат
действия известны. Мы имели такие уравнения в § 14, и вы
знаете, что они решаются обратными действиями. Выписываем
примеры всех типов таких уравнений с указанием, как решается
каждое из них:
1) х+ 6 = 14
х=14— б
2) 5 4- .х=17 >
х = 17 — 5
3) х—11= 3
х= 34-11
4) 10— К= 8
х = 10— 8
5) х-3 = 24
jc = 24:3
6) 9-jc = 36
х = 36:9
7) х:5= 7
х= 7-5
8)12 -х= 4
х=12:4
Так же. конечно, решаются уравнения, отличающиеся от ере-
дыдущих перестановкой обеих частей, например, 18 = 5 4-х,
2 = 30 : х и т. п.
Решение некоторых задач может привести к уравнению по-
добного рода. Чтобы найти, например, одну из сторон прямо- I
угольника, у которого другая сторона 7,4 см, а площадь 26 кв.
см, мы можем составить уравнение
26 = 7,4 х
и, решив его (сделайте!), найти неизвестную сторону.
Так же, чтобы найти диаметр окружности по данной ее длине
8,63 м, мы можем воспользоваться формулой длины окружности
(§ 83) и написать уравнение:
8,63 = 3,14 х.
В обоих случаях уравнения получились из известных формул
площади прямоугольника и длины окружности: мы вставили в
эти формулы данные числа и неизвестное х.
Понятно, что уравнение получится и из всякой другой фор-
мулы, если одно из входящих в нее количеств будет неизвестно,
а все остальные известны. Взяв, например, формулу объема пря-
моугольного параллелепипеда (§ 65)
V—a-b -с,
заключим, что, если будет дан объем параллелепипеда V=10,8
куб. м и какие-нибудь два его измерения, например, a =1,24.м
и b = 2,86 м, то для нахождения неизвестного третьего измере-
ния с=х, будем иметь уравнение
г
10,8= 1,24 • 2,86 • х.
Это уравнение вы умеете решить. Но есть формулы еще бо-
лее сложные. Положим, например, что надо найти одно из осно-
ваний трапеции, у которой другое основание 18 см, высота 11 см
и площадь 165 кв. см. Обозначив длину неизвестного основания
через х, по формуле площади трапеции (§ 50) напишем:
165 = ^-tl^.ll. И
Если сумеем решить это уравнение, то будет решена и по-
ставленная задача.
Приходим к следующему выводу
176
Всякая формула может служить не только для нахо-
ждения того неизвестного, для которого она выведена,
но и для нахождения значений всех остальных входящих в
нее величин, если одно из них неизвестно.
Простейшие из полученных таким образом уравнений дают
возможность тотчас же отыскать неизвестное, пользуясь зависи-
мостью между компонентами и результатом действия. Как ре-
шать более сложные уравнения, увидим в следующем пара-
графе.
§ 86. Решение более сложных уравнений.
Возьмем уравнение:
2x4-5 = 13.
Если х неизвестно, то неизвестно также и 2х, Последнее же
является одним из слагаемых суммы 13. Поэтому, по свойству
суммы
2х=13 —5;
2х = 8;
х = 4.
Заметьте, что всё решение уравнения следует записывать
столбиком.
Пусть дано еще уравнение:
x-f* 3 _ _
4 ~
Здесь можно считать неизвестным x-f-З, и тогда
х + -3 = 7-4.
Окончите решение сами.
В левых частях обоих только что решенных уравнений над
неизвестным числом делалось по два действия: в первом уравне-
нии— умножение на 2 и прибавление 5, во втором — прибавле-
ние 3 и деление на 4. Чтобы решить уравнение, мы считаем пер-
вое действие как бы ужехсделанным, т. е. 2х и х 3 принимаем
временно за одно (неизвестное) число, находим это новое не-
известное, а, найдя его, отыскиваем затем и х.
Решите сходным же образом следующие уравнения:
£-{-4 = 10; 5х—1 = 14; (х- 8)-6 = 24.
о
13 Берг в яр. РяЛ.зая книга по математике, 5-й год.
177
Возьмем теперь последнее уравнение предыдущего параграфа,
которое для удобства пишем, переставив обе его части:
- "t—• 11 = 165. |
Б этом уравнении *над х делаются три действия: прибавле-
ние 18, деление на 2 и умножение на 11. Результат первых
, „ х 18-
двух действий - -'—будем считать одним неизвестным числом.
/<
Тогда это неизвестное:
-•^±21 = 165:1!. I
А затем:
*8—15-
2 1Ь’
Л-4-18 = 30;
х=12.
Рассмотрим еще уравнение:
(х-5)-3+2 .
------?-----= 4.
Чтобы решить это уравнение, приходится сначала весь числи-
тель дроби считать за одно неизвестное число; тогда:
(х —5)-3 + 2 = 4 -7.
Решите дальше сами.
Из разобранных примеров видно, что, если в одной из час-
тей уравнения указывается ряд действий, которые про-
делываются над неизвестным числом, а в другой части
дается результат этих действий, то для решения такого
уравнения, надо результат всех действий, кроме послед-
него, временно считать новым неизвестным и найти сна-
чала это неизвестное, пользуясь свойствами действий
Когда оно найдено, получается уравнение более .простое,
с которым делается то же самое, и т. д., пока не дой-
дем до неизвестного х.
К уравнениям того типа, изучению которого посвящен
этот параграф, приводят задачи на „отгадывание" задуман-
него числа, например, такая задача:
178
Было задумано неизвестное число; к нему прибавлено 3; то,
что получилось, умножено на 2 и разделено на 5; от частного
отнята единица, и тогда осталось 3. Какое число было заду-
мано?
Обозначим неизвестное число через х и запишем математи-
ческими знаками все то, что над ним было проделано, и что по-
лучилось. Выйдет:
(х + 3)-2
- 5 - 1-з.
Решив получившееся уравнение, найдете задуманное числе.
Упражнения. Решите следующие уравнения
721. х— 3 = 17
723. «+4 = 15,2
725. 2х+1,1 =7,4
727. (х — 2)3 = 18
729. (x-f-7).5,2=16
731.—~ = 12
733. (х 4-6) -0,23 =17.4
7Я5. (4х —30)-6 4-2,1 =7,8
737.^=^ —0,5 =1,6
739. 4- 3^-2 = 0,1
74i |2 4- -Х3 ^5-)• 3 — 0 8 = 23,
722. Зх —4,1=2,3
724. (1— 5х)-0,27 =1,6
726. 4x-t-2x=72
728. 10х — Зх=8,26
730.x 4-уХ=12
732. 5x4-7х—11=1
734, (8х — х): 3 = 2,15
736. (5 4- х 4- 8х)- 8,4 = 5,9
738--^5Г?’“!'7
10 4
740. ---14,5 = 18,8
Зх — х
74а 16=11^4-15
10
9г__1 Л7
744 7,11= 1,34 — ===75^- -
§ 87. Приложение уравнений к решению задач.
В предыдущих параграфах было показано несколько приме-
ров решения задач помощью уравнений. Вы видели, что таким
путем решаются, между прочим, задачи, где надо найти одно из
количеств, входящих в ту или другую известную формулу. Но
можно получить уравнение^ и из условий всякой задачи, в кото-
рой удается связать формулой все входящие в нее величины, как
известные, так и неизвестную. Для этого надо самим составить
>формулу, выражающую какую-нибудь одну из входящих в задачу
величин через все остальные — независимо от того, какая из всех
этих величин неизвестна.
Возьмем, например, такую задачу:
179
По скольку хлеба надо выдавать в день каждому из отряда
красноармейцев в 320 человек, чтобы запаса хлеба в 2000 кг хра-
тило на 5 дней?
Обозначим через х число килограммов хлеба еже-
дневной порции и составим формулу, выражающую все по-
требное количество хлеба. Это будет х-320-5 кг. А так как оно
известно и равно 2000 кг, то
м-320-5 = 2000.
Для составления уравнений из задач, подобных рассмотрен-
ным, надо 1) обозначить неизвестное буквою х (или другою
какой-нибудь), причем необходимо точно записать, что обо-
значает х, и указать те единицы, в которых оно выражено,
2) выбрать из входящих в задачу величин ту, для кото-
рой будем составлять формулу и 3) составить фор мулу из
данных чисел и неизвестного.
Другой пример.
Какой высоты можно сделать цилиндрическую жестяную
кружку с диаметром основания 10 см из 500 кв. см жести, счи-
тая, что 10% уйдет на обрезки?
Обозначим через х см высоту кружки.
Будем составлять формулу всей поверхности кружки. Радиус
основания 5 см. Следовательно, площадь основания равна
3,14-25 кв. см. Развертка боковой поверхности — прямоугольник
с горизонтальной стороной, равной 3,14-10 = 31,4, и вертикаль-
ной х; его площадь 31,4 х кв. йлг. Следовательно, вся поверхность
кружки равна 3,14-25 + 31,4 х. Эта поверхность должна равняться
500 кв. см без 10%, т. е. 450 кв. см. Получаем уравнение:
3.14- 25 + 31,4 х = 350.
Отсюда х = 11,8
Ответ. Высота кружки 11,8 см.
Упражнения. Составьте формулы по следующим условиям
745. Мне а лет, а вам Ь лет — на с меньше, чем мне.
746. В одном доме k окон, в другом на I больше, а в обоих вместе г
окон.
747. т литров молока стоят р коп., один литр стоит q коп.
748. В книге п страниц, на странице а строк, в строке b букв, а всего в книге
букв s.
749. Аэроплан летел а часов со скоростью v, км в час и b часов сЗ ско-
ростью и. ,км в час: всего пролетел s км.
180
На одной чашке весов, находящихся в равновесии, лежит е шариков,
по а граммов каждый, на другой d таких же шариков и разное юкиг
граммов.
В течение d дней я прочитыва т каждый день по т страниц книги, со-
750.
весящих
весом р
751.
держащей всего п страниц; остается прочесть k страниц.
752. В одном городе р жителей, в другом на а больше, а в обоих вместе
с человек.
753. В одном доме а окон, в другом на d больше, а в третьем на / меньше,
чем в первом; во всех же трех s окон.
Решите следующие задачи:
754. Формула толщины кирпичной стены
а Л
Х~~ 40 + 25’
где х — толщина стены, а — длина, h вышина. Какой вышины можно сложить
стену при длине 25 м и толщине 0,94 ж?
755. Найдите число: 1) 0,032 которогп составляет 6; 2) 0,255 которого равно
5 42; 3) 4,47 которого равно 0,18; 4) 0,147 которого равно ,2,16.
756. По скольку процентов надо отдать капитал в 2500 руб. на 1 г. 9 мес.,
чтобы получить 350 руб. дохода?
757. Какой ширивы надо сделать закром, в котором помещалось бы 2 тонны
ржи, если длина закрома должна быть 2,13 м, глубина I 51 .« (удельный вес ржи
тан в конце книги)?
758. Вышина фабричной дымовой трубы рассчитывается по формуле:
16,3 + £ I
/7=16,3+^^-,
где Н—высота трубы, L — общая длина дымоходов от топки до трубы, d —
диаметр отверстия (все числа в метрах). Вычислить d, если И == 37,2; L = 30.
/53. Вычислите высоту комнаты, если размеры пола 4,2 м X 3,5 м, а площадь
всех стен 64,5 кв. м.
760. Найдите высоту треугольника, у которого основание 13 см, а площадь
45 кв. см.
761. Рассчитайте диаметр цилиндрического стакана, чтобы при высоте 9,0 см
он вмещал 210 куб. см.
762. Вычислите одно из оснований трапеции, у которой другое основание
25 м, высота 12 ж и площадь 246 кв. м.
763. Вычислите высоту трапеции с основаниями 54,7 м и 73,2 м и площадью
2016 кв. м.
764. Неправильный четырехугольник, имеющий площадь 9123 кв. ж, разбит
диагональю на два треугольника. Высоты треугольников, опущенные на диаго-
наль, равны 56,2 м и 123,1 м. Найдите длину диагонали.
765. Сделайте самодельны» разновес из проволоки различного диаметра, рас-
считав необходимую длину кусков. Из медной звонковой проволоки (rf = 0,08 см)
изготовьте доли грамма, из более толстой (например, d = 0,3 см) — более крупные
разновески (об измерении толщины проволоки см. § 80).
766. Летело стадо гусей, а навстречу им — старый гусь. -Здравствуйте, сто
гусей!* — „Нас не сто, а если бы было еще столько, да пол-столька, да четверть-
стпчька, да ты, гусь, был бы с нами, тогда было бы сто гусей*. Сколько их было?
ГЛАВА XII.
ВЕСЕННИЕ РАБОТЫ.
§ 38. Работы по землеустройству.
В настоящее время ведется усиленная борьба с отсталыми
формами ведения сельского хозяйства.
Препятствиями к правильно поставленному земледелию яв-
ляются:
1. Существующее во многих местах трехполье, при котором
одна треть земли ежегодно остается под паром. Посевная пло-
щадь трехполья состоит в большей части из зерновых хлебов.
Кормовое поле отсутствует. Благодаря этому в хозяйстве мало
кормов, и нельзя развести много скота. При малом количестве
скота мало навозу для удобрения пара, и земля при трехполье
истощается. Вместо трехполья в деревню все больше и больше
проникает многополье с улучшенным севооборотом.
2. Обычно трехполье бывает связано с чересполосицей. Так
как не все поля трехполья одинаковы по качеству, они разби-
ваются на отдельные участки, и в каждом таком участке отдель-
ному домохозяину выделяется по одной полосе. Благодаря пе-
ределам число полос у отдельного домохозяина достигает несколь-
ких десятков, и они разбросаны в разных концах. Ширина полос
доходит до 4— 5 м. Между полосами остаются межи шириною
— ymi которые пропадают для пашни и являются источником
распространения сорных трав. Земельные отделы при помощи
агрономов и землемеров проводят землеустройство и помогают
перейти от узкополосицы и длиннополосицы на широкие полосы,
Оставляя в общем пользовании леса и выгон. Часто переход на
широкие полосы сопровождается введением многополья, или все
полевые владения сельского общества разделяются на отдельные
182
отруба. Приведенные планы (черт. 56 и 571 ясно показывают, что
получается в результате такой реботы.
Определив общую площадь полевых участков на приведен-
ных планах, подсчитайте, какое количество земли пропадало в
межах до землеустройства и какое пропадает теперь после про-
ведения землеустройства. В том и другом случае расчет сделайте
в процентах по отношению к общей площади земли.
3. Дальноземелье. Часто земли одного сельского общества
вклиниваются и переплетаются с землями другого. Отдельные
поля оказываются на расстоянии нескольких километров от де-
ревни (черт. 58).
Землеустройство и в этом случае приходит на помощь кре-
стьянам, обменивая участки между сельскими обществами и раз-
деляя их таким образом, что земли одного селения оказываются
по возможности в одном куске, в близком расстоянии от усадеб-
ных владений (черт. 59).
4. При переходе на коллективное землепользование вся земля
сельскою общества за исключением усадебной делится на не-
сколько крупных кусков для многопольного севооборота, межи
крестьянскими полосками уничтожаются и производится обще-
ственная запашка, обыкновенно тракторами. Крестьянам, стре-
мящимся жи-ь поближе к своему участку, не надо выселяться
на отдельные хутора и они могут пользоваться удобствами обще-
ственной жизни (школа, изба-читальня, больница, потребитель-
ская и сельскохозяйственная кооперация и т. д.).
Для производства всех указанных землеустроительных работ
необходимо иметь планы владений, чтобы, наметив новое разде-
ление по плану, перенести его на местность. Для съемки планов
и проведения землеустройства нужны специальные знания. Кре-
стьяне обращаются в уездный земельный отдел, который посы
лает агрономов и землемеров. В отдельных случаях, когда участки
небольшие или когда нужно разделить между отдельными домо-
хозяевами участки, уже нанесенные на плане, крестьяне могли бы
произвести эту работу сами, если бы они знали, как делать обмеры
и составлять планы простых участков.
Нанести на план небольшой участок не так трудно, и уча-
щиеся школьники могли бы оказать большую помощь крестьянам
при проведении землеустройства, так как число агрономов и зе-
млемеров у нас недостаточно. В этой главе будут разобраны
простейшие способы Составления планов в разных случаях.
183
§ 89. Съемка плана без инструмента при помощи измерения
одних длин.
Проще всего нанести на план участок земли, е зли мы заранее
знаем, что он имеет форму прямоугольника. Как это сделать, вы
знаете (§ 42). Точно также не составит большого труда снять
ПЛАН
ведения села ИВАНОВСКОГО, Московской губ., Серпуховского /езда.
ДО ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВА.
Черт. 56.
план участка, имеющего форму треугольника. Дтя этого выме-
ряют три стороны треугольника и, взяв их в масштабе, строят
треугольник по правилам, указанным в § 46 главы V.
И в том и в другом случае надо уметь измерять длину линий
на поверхности земли. Линии на поверхности земли не бывают
намечены, как на бумаге. Поэтому прежде всего каждую линию,
которая будет измеряться, надо наметить, или, как говорят земле-
меры, провешить. Провешивание производится при помоши
184
колышков, называемых вехами. Для изготовления вех берут
колышки толщиной в 2,5 — 3 см и длиною около двух метров (в хол-
мистой и пересеченной местности приходится пользоваться более
длинными вехами). Для удобства втыкания вех в землю и для
предохранения их от изнашивания нижний конец вехи заостряется
и обивается железом (можно взять толстое листовое железе)
ПЛАН
владения села ИВАНОВСКОГО, Московской губ., Серпуховского уезда,
ПОСЛЕ ЗЕМЛЕ! СТРОЙСТВА.
Чтобы вехи были ясно видны на расстоянии и не сливались с
почвой, их окрашивают попеременно в два цвета, белый и чер-
ный или белый и красный.
Ьехи при провешивании ставятся отвесно. Чтобы в этом
убедиться, смотрят на поставленную веху на некотором расстоя-
нии от нее с одной какей-либо стороны, поправляют ее положе-
185
ние и затем заходят сбоку (приблизительно под прямым углом
к предыдущему положению) и исправляют сноза.
Направление каждой линии на местности отмечается несколь-
кими вехами, самое меньшее двумя. Для правильной постановки
вех по прямой линии, один из участников работы становится за
крайней вехой и, смотоя через нее на остальные вехи, наблюдает
за тем, чтобы каждые две вехи закрывали все остальные.
ПЛАН
села ИЛЬИНСКОГО и деревни ИСАВИЦЫ, Кукаринско! вол., Можайского уезда
Черт. 58.
Измерять расстояние на земле между вехами длинной линейкой
неудобно. Землемеры пользуются для измерения длины цепью,
сделанной из железной проволоки, или мерною стальною лентой.
Удобно применять рул ет к у с тесьмой или металлической ле пой
Ленты и рулетки берутся обыкновенно длиною в 20 ж.
1S3
Вместо рулетки или цепи можно взять хорошую крученую
веревку толщиною около 0,5 см и приготовить из нее мерную
веревку, отметив нз ней каждый метр привязанной бляхой или
кусочком кожи.
Имея несколько вех и мерную веревку, можно производить
несложную съемку.
ПЛАН
.ела ИЛЬИНСКОГО и деревни ИСАВИЦЫ Кукаринской вол., Можайского уезда.
ПОСЛЕ ЗЕМЛЕУ 2ТРОЙСТВА.
Положим, участок имеет форму неправильного многоуголь-
ника с небольшим числом сторон. Если участок проходйм внутри,
провешиванием линий его разбивают на отдельные треугольники,
। измеряют длины всех сторон треугольников и вычерчивают план
в масштабе, строя каждый треугольник в отдельности (черт. 6U).
На окончательном плане треугольников, которыми нользогались
при измерении, не оставляют.
18/
Черт. 60.
В случае, если участок внутри совершенно непроходим (бо-
лото, озеро) или затруднительно провешивать линии внутри уча-
стка (лес, кустарник), можно обойтись
7 без разбивки участка на отдельные
треугольники, ведя все измерения по
окружной меже (обходом).
Вся трудность в этом (^1учае заклю-
чается в нанесении ' без инструмента
каждого угла многоугольника. Делается
это следующим образом. Для нанесения
каждого угла от его вершины по сто-
ронам отмериваются определенные рас-
стояния, например, по 10 — 20 м, и
измеряется расстояние между концами полученных линий. По
полученным трем измерениям строят треугольник, который будет
Ю.м
МАСШТАБ: в 1 см 10 м.
Черт. 61.
10/w
иметь угол, соответствующий углу между сторонами участка
на местности. Так поступают в каждой вершине участка и,
обойдя участок, производят указанные измерения и получают
все данные для построения плана (черт. 61). Если участок имеет
много сторон, при вычерчивании плана, благодаря накоплению
мелких ошибок, окажется, что последняя точка на плане не
совпадает с исходной, как должно было бы быть. Образуется так
183
z
называемая невязка. Для ее уменьшения рекомендуется
участки с большим числом сторон разбивать на части, ездя
съемку каждой части в отдельности и соединяя отдельные части
на окончательном чертеже.
В случае необходимости, кроме указания границ участка (к о н-
тура), дать расположение внутри участка, например, показать
границы озера или леса, поступают так, как было указано в § 52
главы V при вычислении площади участка, ограниченного кри-
выми линиями. От каждой стороны, обычно через равные рас-
стояния, проводят под прямыми углами линии и измеряют их
длину до края озера или леса, который хотят нанести на план.
Направления под прямым углом при съемке без особой точ-
ности в деталях берут на-глаз. Для этого становятся на данной
линии так, чтобы плечи были расположены по линии (для боль-
шей точности можно вытянуть руки в стороны на уровне плеч)
и, смотря прямо перед собой, замечают какой-либо предмет.
Направление на этот предмет образует с данной линией прямой
угол.
*
Упражнения. 767. Снимите план школьного участка.
763. При обследовании деревни снимите план усадебною владения отдель-
ного крестьянина. На плане укажите расположение избы, служб, двори и огорода.
По плану определите площадь усадебного участка.
769. При чересполосном землепользовании нанесите на план все поля отдель-
ного крестьянина. Для более быстрого выполнения работы разбейтесь на малень-
кие группы по 3 — 4 человека и распределите работу между отдельными груп-
пами. Рассчитайте по плану площадь всех полос. Рассчитайте площадь, которая
"ошла на межи между полосами.
§ 90. Съемка плана инструментом. Экер.
Для более быстрого и точного производства съемки плана
пользуются разнообразными землемерными инструментами. Про-
стейшим из этих инструментов является экер, который дает воз-
можность провешивать линии под прямым углом.
Самодельный экер изготовляется в форме крестовины из де-
оева, надевающейся на палку или треногу На перекладинах чер-
тятся две линии под прямым углом, и на конце линий вбиваются
Тонкие гвоздики (черт. 62).
Еще проще сделать экер, взяв квадратную доску со стороною
25—30 см, прикрепить ее к колышку и наклеить на нее лист
бумаги с двумя линиями под прямым углом (черт. 63).
189
Прежде чем пользоваться таким самодельным экером, его 1
необходимо проверить, т. е. определить, правильно ли он дает
прямые углы. Для этого ставят экер h
на расстоянии от него в 50 — 60 шагах
ставят веху по направлению двух имею-
щихся на экере гвоздиков. Приблизи-
тельно на таком же расстоянии по на-
правлению двух других гвоздиков ста-
вят вторую веху. При повороте экера
на 90° обе вехи должны быть в направ-
лении новых пар гвоздиков. Если этого
не окажется, гвоздики поставлены непра-
вильно, и их положение должно быть
исправлено.
Применение экера чрезвычайно раз-
нообразно, и при помощи его можно
проделать много работ. Разберем главные
из них.
1. Определение расстояния
до недоступной точки, например,
ширины реки. На противоположном бе-
регу замечается .дерево или куст, расстояние до которого мы хотим
измерить, а на нашем берегу ставится экер таким образом, чтобы
одна пара гвоздиков (визирная линия) была направлена на
замеченный предмет на другом берегу, а вторая — вдоль берега.
Последнюю линию берут раза в два больше ширины реки (при-
близительно) и отмечают на ней вехами начало, середину и ко-
нец (черт. 64). Затем экер переносится в конечную точку (Z?), и
провешивается линия, идущая под прямым углол к линии, про-
веденной вдоль берега. Идя по этой линии, останавливаются в
но
Черт. 65.
точке (£), из кото рой сре ч,няя веха (С) видна как раз против
замеченного предмета на другой стороне. Вычертив полученные
результаты на бумаге в том порядке, в каком они производи-
лись, можем убедиться, что расстояние АВ равняется расстоянию
DE, и что поэтому для определения ширины реки достаточно
измерить расстояние DE.
При значительной ширине реки этот способ неудобен, так как
не всегда на берегу можно наметить тре-
угольник со стороною, равной ширине
реки (холмистые берега, лес на берегу и
т. д.). В таких слу чаях пользуются тем, что
крестообразный э-кер может дать угол не
только в 90°, но и в 45J. Если гвоздики
на экере поставлены на равном расстоянии
от центра, направление гвоздиков одной
планки крестовины с одним из боковых
гвоздиков составляет угол в 45° (черт. 65).
Пользуясь этим свойствами экера, определяют ширину реки
следующим образом. Заметив на противоположном берегу опре-
деленную точку и выбрав точку на нашем берегу, ставят в по-
следний экер и намечают вдоль берега линию больше ширины
реки. Идя по этой линии, устанавчивают экер в точке, из кото-
рой точка на противоположном берегу видна пОд углом в 45°
(черт. 66). Расстояние между двумя пунктами, где был установлен
экер (ВС), будет равно ширине реки.
2. Съемка плана
хождения внутри
участок, план которого
форму многоугольника
образом, что возможно производить работу
внутри участка.
В этом случае внутри участка провешивают
основную линию, называемую магистралью. Магистраль вы-
бирают таким образом, чтобы, идя по ней, можно было видеть
все вершины многоугольника. Производящий съемку с экером в
руках идет по магистрали до тех пор, пока он не увидит в на-
правлении под прямым углом к магистрали одну из вершин
^многоугольника. В этом месте он останавливается и устанавли-
вает экер таким образом, чтобы одна его визирная линия была
направлена по магистрали и другая на ближайшую вершину много-
угольника.
при помощи про-
участка. Положим,
желают снять, имеет
и расположен таким
Черт. 66.
191
Расстояние по магистрали до точки, где поставлен экер и
расстояние от этой точки до вершины многоугольника измеряемся
и записывается. Затем съемщик идет дальше по магистрали, пока
не будет видна под прямым углом следующая вершина много-
угольника, устанавливает экер и измеряет расстояние от маги-
страли дп вершины. Так работа ведется до конца магистрали.
Производство работы соответствует способу вычисления площади
многоугольника, указанного в § 51 главы V. Во время производ-
ства работы ведут записи по магистрали и в сторону от нее. Рас-
стояния по магистрали записывают, считая каждый раз от начала
Черг. 67.
магистрали. Чтобы
не перепутать запи-
си, обыкновенно в
поле делают каран-
дашом от руки на-
бросок участка, про-
водят магистраль и
отмечают на ней
пункты остановки
экера и линии под
прямыми углами от
магистрали и вер-
шин. На этом же
наброске на линиях надписывают числа, полученные от измере-
ния длины (черт. 67). Дома на основании наброска, сделанного в
поле, чертят план в нужном масштабе.
При окончательном вычерчивании плана и при обводке его
тушью магистраль с отходящими от нее линиями не вычерчи-
вается, так как она больше не нужна, или оставляется в виде
пунктирных линий, служащих для вычисления площади. В случае,
если какая-нибудь граница участка представляет кривую линию,
вдоль этой кривой линии провешивают прямую, наносят ее на
план, а к ней, как к магистрали, привязывают все наиболее ха-
рактерные изгибы кривой (глава V, § 52, черт. 39).
Если, кроме границ участка, на плане желательно указать
внутреннее расположение, то, идя по магистрали, делают оста-
новки с экером не только против вершин участка, но и против
всех характерных пунктов участка, которые желательно поместить
на плане (углы строений, концы межи полос, выступы опушки
леса и т. д.). В этом случае на наброске плана от руки, произ-
водящемся в поле, делают набросок снимаемых деталей
193
с простановкой соответствующих чисел, выражающих расстояния
по магистрали и от магистрали.
3. Съемка плана при помощи экера по несколь-
ким магистралям, или обходом. Иногда участок бывает
расположен таким образом, что, провешивая одну магистраль,
невозможно от нее взять расстояние до всех вершин. В этом
случае провешивают не одну, а две или несколько магистралей
и привязывают все точки границ к какой-нибудь из них (черт. 68).
Обычно магистрали провешиваются одна к другой под прямыми
углами, но это не обязательно.
Мы знаем, что направление двух линий на местности, встре-
чающихся под любым углом, может быть нанесено на план спо-
собом построения треугольника по трем сторонам (§ 46). Это
дает нам возможность проводить магистраль под различными
углами, приспособляясь к условиям данного участка. Если участок
гаков, что внутри его пройти с экером,
визируя на все вершины, не представ-
ляется возможным (озеро, болото, кус-
60
Черт. 69.
тарник, лес и т. д.), магистраль проводи ся вне границ участка,
подлежащего съемке. Проводя несколько магистралей, участок
как бы заключают в рамку (черт. 69). И в этом случае магистрали
гроводят в зависимости от удобства производства необходимых
промеров, не считаясь с тем, под какими углами они встречаются.
По наброску плана, сделанному в поле с проставленными
размерами, дома план сначала вычерчивается в карандаше. При
этом проводятся все линии, намеченные во время работы в поле.
Затем тушью обвохятся те линии, которые должны остаться на
окончательном плане. По обведении тушью карандашный чертеж
13 Берг и др. Рабочая книга по математике, 5-й год. ууЗ
Стирается резинкой, а полученный план раскрашивается. снабжается
условными знаками и надписями.
Условные знаки (черт. 70) бывают контурные и масштаб-
ные. Контурными называются такие, когда, например, Вся
площадь,занятая лесом, пашней или болотом, покрывается соответ-
ствующими знаками. Масштабными называются условные
ЭК ИЛЫ? СТРОЕНИЯ
Нежилые ст роений
лгс кустами СЫРОЙ
ЛУГ С КУСТДГ1И
БЫГбН С К У СТЯНИ
Белого С КУСТПМИ
БЗЛ0т0 КДМ-ТРОстн
ЛЕС ПС СУХ. МЕСТУ
У74 С ПО БОЛОТУ
КЛДИБИЩЕ
КПМЕнОЛиМНЯ
ГОРЕЛЫЙ ЛЕС
? . ? *
f л
? * * ?
- * * -г
t t t
t L t ,
t t t
РЕЛЯ
ЛУГ СЫРОЙ
ВЫГОН СЫРОЙ
БОЛОТО
ПЕСОК БУГРИСТЫЙ
ОГОРОД
ВЫРУБКИ
L L L
L L I I
ручей дорога

Черт. 70.
знаки, которые указывают положение данного предмета без его
размеров; например, ветряная мельница изображается в виде ма-
ленького схематического рисунка мельницы.
При каждом плане обязательно прилагается численный или
линейный масштаб. Для расположения плана относительно стран
света на плане стрелкой указывается направление севера. При
этом план обычно чертится таким образом, что север распола-
гается вверху.
§ 91. План и карга.
Результатом с ьемочйой работы на поверхности земли является
план или карта *
Плаком называется изображение на бумаге в уменьшен-
ном виде части земной поверхности, ке принимая во вни-
мание кривизны земли.
Условия верного мана состоят в том, чтобы все линии на
плане были в одинаковое число раз (масштаб) меньше соответ-
ствующих горизонтальных линий на местности И все углы на
плане равны углам между соответствующими горизонтальными
линиями на местности.
Картою называется изображение на бумаге в уменьшен-
ном виде части земной поверхности, для которого при-
нята во внимание кривизна земли и которое связано с
сетью земных меридианов и параллелей.
По целям, длн которых составляются планы, они могут быть различны. Глав-
ные из них следующие.
Межевые, на которых с особой точностью обозначаются данные, относя-
щиеся к граница а владений и их площади.
Лесные, на которых особое внимание обращено на границы чеейых и не-
лесных площадей и ныдел лесных участков по городе, возраст/ и т. д.
Сельскохозяйственные, где подробно изображаются разного рола
угодья, различающиеся по качеству и назначению в сельском хозяйстве.
Военные, на которых, кроме обычных подробностей, отмечаются предметы,
важные в военном отношении.
Упражнений. j?0. Примените изложенный способ определения Недоступных
расстояний к определению ширины ближней речки и озера.
7Й. При обследовании деревни выясните, планы каких земельных участков
необходимы колхозу в связи с введением улучшенных форм землепользования.
Разбившись па группы, произведите съемку этих участи в. Свяжитесь в вашей
работе с -участковым агрономом и, пользуясь его указаниями, составьте проект
землеустройства в данной местности. С результатами работы незнакомые работ-
ников колхоза.
195
§ 92. Значение планов и карт для Краснов армии.
При ведении войны надо хорошо знать местность, на которой
происходят военные действия, чтобы использовать ее особенности
для поражения противника. От уменья выбрать место для боя,
удобное для нас и неудобное для противника, может зависеть
исход сражения.
Войска в военное время или ведут бой, или передвигаются,
или отдыхают. Во всех этих случаях знание местности позволяет
достигнуть более значительных успехов. Для ознакомления с мест-
ностью командный состав Красной армии пользуется картами.
Но имеющиеся карты обычно мелки по масштабу. Так, каргами
с крупным масштабом, употребляемыми в Красной армии, являются
карты с масштабом 500 м в 1 см. На такой карте имеются не все
подробности, которые необходимы для действия войск. Не для
всех местностей имеются карты такого масштаба; часть террито-
рии СССР снята в масштабе еще более мелком. На последних
картах подробностей еще меньше. Кроме того, надо иметь в виду,
что во время военных действий могут быть изменения на мест-
ности. Леса, обозначенные на карте, могут оказаться вырублен-
ными, мосты разрушены и вновь возведены укрепления и вырыты
окопы.
. Поэтому необходимо уметь вносить исправления в существую-
щие карты и составлять планы небольших участков местности
без особенно большой точности, но с подробностями, необходи-
мыми в боевой обстановке.
§ 93. Ориентирование по плану и карте.
Чтобы пользоваться картою и планом, необходимо прежде
всего найти на плане или карте точку стояния, т. е. точку, в
которой находится наблюдатель. Затем план должен быть ориен-
тирован, т. е. повернут таким образом, чтобы все направления
от точки стояния на местные предметы на плане соответствовали
этим же направлениям на местности.
Ориентировка плана производится по странам света или по
местным предметам. Зная, что у плана и карты север находится
вверху, кладут на карту компас и поворачивают ее таким обра-
зом, чтобы направление стрелки компаса было параллельно пра-
вому и левому обрезу карты.
При отсутствии компаса направление север — юг может быть
определено другими способами:
1. Днем по Солнцу. В полдень Солнце находится на юге, и
тень, отбрасываемая вертикально поставленным шестом, указывает
направление севера. От слева полдень направление север — юг
называется полуденной линией.
2. Имея карманные часы, можно определить направление
север — юг по Солнцу и в другое время дня. Для этого, положив
часы горизонтально, поворачивают их таким образом, чтобы ча-
совая стрелка была направлена к Солнцу. При часах с белым
циферблатом это будет тогда, когда тень от часовой стрелки
будет находиться не сбоку, а под самой стрелкой. Не меняя по-
ложения часов, делят пополам дугу циферблата между 12 часами
и положением часовой стрелки^
Тогда линия, проходящая через центр циферблата в получен-
ную точку деления, укажет направление полуденной линии.
3. Определив точку стояния на карте и найдя по карте какой-
либо местный предмет, можно ориентировать карту, не зная
направления стран света. Например, найдя по карте дорогу, на
которой вы находитесь, достаточно повернуть карту таким обра-
зом, чтобы направление дороги на карте совпадало с направлением
дороги на местности.
Ориентировав план по одному из указанных способов, можно
по плану видеть, какие местные предметы должны находиться от
нас в разных направлениях. -
Упражнения. 7"2. Поставив вертикально шест, наблюдайте за длиною и
направлением тени в течение дня. Определите по часам момент, когда тень будет
самая короткая. Определите, па какой угол тень от шеста передвинется за один
час. На основании своих наблюдений решите, почему при определении стран света
по часам дуга циферблата между часовой стрелкой и двенадцатью часами делилась
пополам.
773. Провешьте па школьном дворе направление полу 1епной линии и сделайте
да заборе соответствующие отметки.
774. Начертите наг равление стран света на потолке вашей классной комнаты.
775. Ориентировав план ближайших окрестностей школы, определ-те на-глаз
расстояние до различных местных предметов, изображен ых па плане, и проверьте
ваше определение измерением на плане.
§ 94. Определение, на сколько одна точка поверхности земли
выше или ниже другой. Получение профиля местности.
- Высоту какого-либо предмета можно определить непосред-
ственным измерением, спуская рулетку или бечевку от верха
предмета до его подножия. Такой способ не годится, когда нам
необходимо определить, насколько одна точка поверхности Земли

107
*
выше другой, и местность не имеет отвесного обрыва, а спу-
скается наклонным скатом. Например, нам необходимо определить
высоту железнодорожной насыпи или высоту берега реки от по-
верхности воды. Или необходимо узнать, чтб выше, уровень болота
или уровень воды з расположенной рядом с этим болотом речке
и может ли быть осушено болото, если прокопать канаву и соеди-
нить ее с речксй Во всех этих случаях для производства оаботы
необходимо иметь некоторые приспособления. Из тонкой доски
толщиною около полсантиметра приготовляются две планки дли-
черг 71.
ною в 2м i шириною в 5 — 6 см. На одной из этих
планок наносятся деления в дециметрах и сайт иметрах.
Для удобства отсчета делений, последние раскра-
Черт. 72.
•шиваются, как показано на чертеже 71.
Планка с делениями называется рейкой. Кроме того, необхо-
димо иметь уровень (черт. 72) или ватерпас (черт. 73). Послед-
ний легко изготовить самим. Ставя уровень или ватерпас на какую-
либо поверхность, например, на поверхность стола, можно опре-
делить, горизонтальна ли эта поверхность или нет.
Работа с перечисленными инпрументами производится сле-
дующим образом. Если необходимо определить высоту холма,
ьыб,1рается точка у его подножия, от которой будет производиться
измерение, и несколькими вехами намечается направление, в кото-
ром будет вестись работа. В исходной точке ставится вертикально
рейка с делениями, а планка устанавливается горизонтально по
1&3
выбранному направлению так, чтобы конец ее приходился против
рейки (черт. 74). Горизонтальность планки проверяется уровнем
или ватерпасом. Деление на рейке, приходящееся против
планки, показывает превышение второй точки над первой. Затем
рейку ставят во вторую точку, снова кладут планку горизонтально
в том же направлении и определяют превышение третьей точки
над второй. Так работа продолжается до конца. Во время работы
необходимо вести журнал наблюдений, записывая отметки всех
точек. Прр этом, если местность идет перегибами, понижение
записывается со знаком минус.
На основании данных, записанных в журнале, легко вычертить
профиль xoлмaJ и определить его высоту. Лучше всего вычерчи-
вание делать на клетчатой
бумаге. Выбирают горизон-
тальный и вертикальный
масштабы. Они могут быть
неодинаковы, и иногда вер-
тикальный масштаб берут
крупнее. На клетчатой бу-
маге проводят горизонталь-
ную линию и на ней в выб-
ранном масштабе отмечают
все точки постановки рейки
(черт. 75). Затем в каждой
точке по перпендикулярному направлению отсчитывают отметку
каждой точки из журнала. Имея отметки всех точек, их соеди-
няют плавной кривой, и получается профиль. По профилю и
по журналу можно определить высоту любой точки. Так, в нашем
примере седьмая точка выше первой на 2,2 м. Очевидно, что для
получения этого числа необходимо сложить все отметки, обозна-
чающие превышение, и вычесть отметку понижения: 0,4-{-0,6-f-
4- 0,2 4- 0,5 4- 0,8 — 0,3 == 2,2.
Черт. 75.
Упражнения. 776. Сделав необходимые измерении, вычертите профиль кру-
того берега ручья или речки.
777.- Измерив глубину речки в поперечном направлении через равные рас-
стояния, вычертите ее профиль. Определив скорость течения, сделайте подсчет
"расхода воды.
778. Сделав необходимые измерения, вычертите профиль железнодорожной
насыпи. Наведя необходимые справки, определите количество вагонов песка,
которое было необходимо для устройства насыпи на определенном расстоянии
199
§ 95. Простейшая съемка, применяемая в Красной армии.
Как уже было указано, в условиях боевой обстановки многое
зависит от местности. Основные данные для суждения о мест-
ности можно взять из карты, но мелочи и детали необходимо
. уметь нанести на месте. Поэтому появляется необходимость в про-
изводстве съемок, которые, не отличаясь большой точностью,
были бы произведены быстро и содержали бы большое число
деталей, не имеющихся на планах.
Такие работы носят название военно-глазомерной съемки.
При производстве такой
съемки главные расстояния
измеряются шагами, второ-
степенные берутся на-глаз.
С возможной полнотой и
точностью на плане нано-
сятся только те предметы, которые нужны для поставленной
цели, второстепенные предметы или пропускаются совсем или
обрисовываются в общих чертах.
Измеряя расстояние шагами, часто считают один шаг равным
одному аршину (0,7 м). В действительности величина шага у
каждого человека различна, и для черчения плана в шагах с-роят
масштаб шагов. Для этого на ровном месте откладывают рулет-
кой или цепью определенное расстояние, например, 50 м, и из-
меряют его шагами.
Положим, оказалось,
что в 50 м имеется
70 шагов. Выбирая
масштаб 50 м в 1 см,
мы можем построить
обыкновенный линейный масштаб шагов: 70 шагов в 1 си
(черт. 76).
Такой масштаб неудобен для пользования, потому что за осно-
вание масштаба взято не круглое число. Поэтому такой масштаб
пересчитывают на 100, 200 и т. д. шагов по следующему расчету:
70 шагов соответствуют 1 см,
1 шаг соответствует */го ,
100 шагов соответствуют , = 1,4 см.
Взяв последнюю величину с масштабной линейки, строят мас-
штаб, удобный для пользования (черт. 77).
200
Масштаб 70 шаг. в 1 см. (50 м. в 1 см.)
П О 70 ' МО SIC J8O 350
Черт. 76.
Масштаб 100 шаг. в 1,4 см.
100 О 1ОО 700 300 «00
I I
Черт. 77.
Черт. 78.
Военно-глазомерная съемка отличается
от других видое съемки .тем, что план вы-
черчивается здесь же в поле по мере вы-
полнения работы. При этом применяется
планшет с компасом, представляющий со-
бою легкую доску со стороною 30—40 см,
с прикрепленной к ней бумагой и компа-
сом. Взамен доски часто употребляется тол-
стая папка. Для визирования направлений
пользуются трехградною масштабною ли-
нейкой с острым верхним краем, по которому и производят ви-
зирование (черт. 78).
§ 96. Маршрутная съемка.
Одним из самых простых и наиболее часто встречающихся
видов военно-глазомерной съемки является так называемая марш-
рутная съемка, когда требуется изобразить возможно полнее
дорогу на определенном протяжении с нанесением предметов
по сторонам дороги постольку, поскольку они видны с дороги.
Такая съемка применяется, когда необходимо произвести разведку
местности для продвижения войск по дорогам.
Работа производится следующим образом. В исходной точке,
с которой намечается съемка, планшет ориентируется таким обра-
зом, чтобы вся свободная часть бумаги лежала в одном направ-
лении с маршрутом, подлежащим съемке, и на самом планшете
намечается точка стояния съемщика. В зависимости от величины
маршрута (предполагаемой) и размера планшета выбирается мас-
штаб шагов. Когда планшет ориентирован, против северного
конца стрелки магнитной делают пометку, чтобы в дальнейшем,
перенося планшет с места на место, держать его параллельным
самому, себе. Подняв планшет на высоту подбородка, ориентируют
его, чтобы северный конец стрелки совпадал с пометкой, и, при-
ложив масштабную линейку краем к точке'стояния, поворачивают
линейку таким образом, чтобы, глядя (визируя) по верхнему
ребру, видеть направление дороги до ближайшего изгиба. Не
сдвигая линейки, карандашом наносят на планшет направление
дороги. Кроме того, визируя на предметы, расположенные вправо
,и влево от дороги, наносят направление на них. При этом
обыкновенно съемщик не сходит с дороги, я оценивает рас-
стояния до этих предметов на-глаз, откладывая их в масштабе.
Необходимо помнить, что при каждом визировании надо пред-
201
варительно ориентировать планшет по компасу. От аккуратности
в ориентировке главным образом зависит успешность работы.
Взяв направление на необходимые предметы, съемщик идет по
дороге, подсчитывая расстояние шагами (обычно счет ведется
парами под левую ногу), и останавливается в следующем пункте
дороги. Отложив в масштабе пройденное расстояние, он отмечает
второй пункт маршрута. Ооиентировав планшет, съемщик нано-
сит направление дороги дальше. Визи-
руя на те предметы, направления на
которые были взяты с первой точки,
съемщик находит положение этих пред-
метов на пересечении (засечки) обеих
линий визирования и таким образом
проверяет свое глазомерное определение
расстояния (черт. 79). От второй точки
съемщик переходит к следующей и так
до конца маршрута.
Таким образом, при маршрутной съем-
ке расстояния по дороге измеряются ша-
гами, положение же предметов в сто-
роне от дороги определяют или визиро-
ванием и глазомерным определением
расстояния или засечкой.
Иногда, при необходимости проделать работу особенно быстро,
маршрутная съемка ведется верхом на лошади, и масштаб нано-
сится по ходу лошади шагом или рысью.
По производстве работы полученный план не перечерчивается,
ненужные вспомогательные линии удаляются резинкой, остальные
линии подправляются карандашом, и гесь план отделывается
условными знаками, К плану составляется краткое пояснение.
На чертенке 80 дач образец результатов маршрутной съемки
с прилагаемыми пояснениями.
ОБЪЯСНЕНИЕ К РАЗВЕДКЕ ДОРОГИ д. ТОРКИ —с ТРОИЦКОЕ.»
Дорога от д. Горки до опушки леса глинистая, шириною 6—7 шагов дальше
ио с. Троицкое — песчаная. Мост через реку деревянный, длиною 12 шггов, ши-
риною 6 шагов, вполне нспр; вен и проходим. Имеется брод правее м^ста. Подъем
от моста требует припряжки к орудиям и повозкам. Неприятеля не заметил. Дви-
гаю< ь дальше по направлению д. Новоселки.
4 мая, 10 ч. ч Командир взвода Петров.
1 Из образцов донесений и кроки Ю Девипкого.
202
Ряовгдка дороги д.Горки-с. Троицкое..
Черт. 80.
Совершенно таким же образом производится военно-глазомер-
> пая съемка участка обходом. В этим случае съемка состоит как
бы из отдельных маршрутов с возвращением на прежнее место
после обхода всего участка. Основные правила съемки сводятся
к следующему:
203
********* СТРГЛл'Оеял ЦЕЛЬ
а
ф — ф ел гаРЕ^
rfi -ОЬ ПЕРЕДКИ
б КР8ЛЛ£Р***?ЛЛ«*4 ПДСТ,
С>й кяалшрмл в ялзаери.стяок.
ЭйМДНЫЕ ЯШИН*.
fiactu твв
2м в 1 см.
Черт. 81.
1) Положение местных предметов, находящихся на пути сле-
дования съемщика, определяют измерением расстояний шагами.
2) Положение предметов, находящихся в стороне от пути,
определяют визированием, оценивая расстояние на-глаз или за-
сечкой.
204
Для увеличения точности и уменьшения невязки, засечки на
один и тот же предмет делаются не с двух, а с трех и большего
числа пунктов. Если на пути съемщик оказывается в точке, нахо-
дящейся на одной прямой линии с двумя точками, имеющимися
в пределах участка, съемщик пользуется этой точкой для выверки
плана, так как и на плане три перечисленные точки должны
быть на одной прямой линии.
В Красной армии военно-глазомерная съемка применяется при
разведке неприятельской позиции, выборе места для своих пози-
ций и т. д.
На чертеже 81 дан образец военно-глазомерной съемки участка.
ОБЪЯСНЕНИЕ К РАЗВЕДКЕ НЕПРИЯТЕЛЬСКОЙ ПОЗИЦИИ. ‘
/
Из дер. Сенькови, 9 авг., 18 ч.
Неприятельский отряд, силою 3 батальона, 8 орудий, 2 эскадрона кавалерии
и 2 пулемета, занял позицию на высотах от леса севернее дер. Шушалева до во-
сточной окраины д. Домброво. В первом боевом участке 3 рпты в цепи, 1 в ре-
зерве и 8 орудий. Во втором боевом участке 2 роты в цепи, 2 в резерве и 2 пу-
ле te-a. Общий резерв один батальон за д. Шушалево. Два эскадрона кавалерии
по северной опушке леса к северо-западу от д. Шушалево. В лесу на правом
фланге и в кустах на левом — заставы силою по 2 взвода.
Речка Яловка неудобна для переправы восточнее дороги в д. Долгоселицы.
Удобнее обойти левый фланг. "
Продолжаю наблюдение.
Командир взвода Иванов.
Упражнения. 779. Приемом маршрутной съемки проследите на известном рас-
стоянии течение ближайшей речки. -
780. Во время экскурсии в поле или в лес выделите несколько человек, кото-
рые составляли бы маршрутный план экскурсии.
781. При помощи засечек определите ширину реки.
782. Приемом военно-глазомерной съемки сделайте съемку деревни с усадеб-
ными владениями.
Из образцов донесений и кроки Ю. Левицкого.
ПРИЛОЖЕНИЯ
' 1. ЗАДАЧИ НА РАЗНЫЕ ТЕМЫ.
783. В церкви собралось 650 человек, богослужение продолжалось 2*/s часа.
Сколько рабочих часов потеряно присутствовавшими?
784. Расходы одной верующей семьи во время церковного праздника Зьпп.
попу 1 рубль, в церковь за сгечи, просвиры и пр. 65 коп., водка 2 руб. 96 кол.,
закуски 2 руб. 35 коп. Хватило бы израсходованных денег на покупку коньков
И1И лы» или шахмат?
785. В дореволюционные годы каждый из 22 миллионов крестьянских дворов
тратил во время каждого большого церковного праздника не менее 10 pjd.
на религиозные обряды и водку. Таких больших праздников было не менее
четырех в году. Сравните прежние траты крестьянства на проведение празд-
ников с государственными расходами ла народное образование (53 миллиона
в 1908 г.).
786. Вычертите диаграммы на основании следующих сведений: в 1927 г. за-
крыто 113 церквей, 14 синагог и 7 мечетей; в 1928
закрыто 445
59 синагог и 38 мечетей.
церквей,
Ищите в газетах и в книжках, относящихся к
такие же сведения за 1929 и последующие годы
антирелигиозной пропаганде,
и присоединяйте новые диа-
граммы к первым двум.
787, F царской России в 1913 г. было православного населения 117,4 мил-
лиона человек, 53600 церквей и 22850 часовень и молитвенных домов, 110,5 ты-
сячи человек духовенства, 11527 монастырей и 85,1 тысячи мона.;ов и монахинь.
Церкви собирали ежегодно 60 миллионов рублей, духовенство 210 миллионов
рублей, монастыри 180 миллионов рублей. Монастыри содержали в бог-дельпях
2200 престарелых верующих.
Вычистите средний годичный расход крестьянской семьи из 6 человек на ре-
лигиозные дела.
Какую долю своего дохода монастыри тратили на богадельни, если
содержание одного человека в богадельне обходилось в 100 рублей?
Сделайте самостоятельные расчеты.
годичное
738. В одной деревне (здесь описывается истинное
продавали мирского быка. По этому случаю на одной
сходок. На первой и на второй сходках выпили по
происшествие)
неделе
было
крестьяне
созвано пять
полтора ведра
водки,
на
третьей три четверти, на четвертой
три дюжины нива. В копне концов
центов этой суммы вь^учили за
ведро с
бык был
Сына в
четвертью, а на пятой
продан за 57 рублей.
действительности,
ведро водки
Сколько
если
ведро
и
про-
водки
стоило 8 руб. 40 коп., а бутылка пива 10 коп.?
789. При исследовании 4200 душагнобольных оказалось, что из них забо-
206
лели благодаря пьянству 1551 человека, а из 2200 туберкулезных —1232 че-
ловека. Выразите в процентах заболевае мость от пьянства в том и другом
случае.
790. В СССР ежегодно (в среднем) умирают от опоя 4678 человек, из 2000 го-
дичных случаев самоубийств 26,3° 0 совершают это в состоянии опьянения,
из 2840 убийств 60’/о совершают пьяные. Сколько человек гибнет ежегодно из-
за водки? х
791. Считается, что душевое потребление водки составляет у пас 7,4 литра
в год. Сколько водки приходится иа действительно пыошего, если населения —
малолетние дети, больные и старики — непьющие люди? Среди взрослых ’/s жен-
щин и */, мужчин не пьют. Число взрослых мужчин и женщин одпо и то же.
792. Считают, что количество чистого алкоголя, убивающее живое существо,
нропорпионагыю его весу. Для человека весом в 65 кг смертельная доза соста-
вляет 520 куб. см. Вычислите смертельную п.озу для твоего веса.
793. В водке содержится 0,4 чистого яда алкоголя, в пиве 0,05 и в вине 0,18.
Сколько этого яда вольет в себя каждый пьющий за 30 лет при еж» годном по-
треблении 7,4 литра водки, 6,15 литра пива и 1,845 литра вина. Сколько человек
было бы убито этим ядом, если смертельная доза для одного человека, прп одно-
временном приеме, 525 куб. см!
‘794. Среднее потребление водки составляет 7,4 литра в год на человека.
Цена литра водки 3 руб. 70 коп. В деревне 645 человек жителей. Если бы все
согласились не пить только по одному дню в каждую декаду и откладывать эти
деньги на покупку облигаций последнего займа индустриализации, сколько обли-
гаций можно было бы приобрести в конце года?
795. По исследованиям оказалось, что смерапость среди детей в возрасте
одного года достигает если родители пьющие, и снижается до 7/30, если ро-
дители пе пьют. На сколько процентов смертность в первом случае больше, чем
во втором?
796. Гражданин, бросив пить водку, вложил к началу года в сберегательную
кассу все деньги, которые ои обычно тратил за год на выпивку, В конце года
касса начис-.ила на его сбережение 35 руб. 52 коп., считая 8% годовых. Сколько
водки выпивал прежде этот гражданин? (Литр водки стоит 3 руб. 70 коп)
797. По сведениям прежней переписи, в 1870—1887 гг. в России умерло от
опоя 84217 человек, из иих 7431 женщина. Вычислите процентные числа умер-
ших мужчг.н и женщин,
.793. В 1910 г. в России было продано 89,5 мтн ведер водки, в 1911 г.
91,6 млп ведер, в 1912 г. 96,5 мтн ведер. Выразите количества проданной водки
по годам, в гектолитрах и вычислите процентное повышение продажи водки (по
годам). Ведро содержит 12.3 литра.
799. При обследовании 217 предприятий было отмечено (в 1928 г.) 200 тысяч
прогулов в течение месяца, причем 22 тысячи прогулов были вызваны пьянством.
Какой процент npoiy-лов вызывается пьянством?
800. На одном кирпичном заводе в Америке регистрировалась выработка
кирпичей трезвыми и пьющими рабочими. Оказалось, что непьющие рабочие
выработали за год по 795 400 кирпичей каждый, а пьющие — только пс
760269 кирпичей. На сколько процентов работоспособность пьющего рабочего
ниже?
801. Совхоз Зерно,реста .Гигавт' (па Северном Кавказе) запахал летом
1929 г. 112 000 га озимых и яровых хлебов. Поедставив посевную площадь „Ги
207
гапта* в виде прямоугольника вычислите его длину, ecu ширина пря-иоугот».
ника равна 32 км. '
902. Средняя жилищная площадь па одного рабочего, равная в 1927 S г.
5,6 кв. м, увеличится в 1932,3 г. па 1,7 кв. м. Вычислите площадь предполагае-
мого жилищного строительства, если число рабочих увеличится с 6837 тысяч до
8726 тысяч.
803. В 1929 г. в Москва пущен механизированный хлебозавод, который ра-
ботает в три смены, по 70 рабочих в каждой смепе, и перерабатывает в дель
138 тонн муки. Вычислите стоимость хлеба, вырабатываемого одним рабочим в
месяц (24 рабочих дня), если припек составляет 45% и если килограмм хлеба
стоит 7% коп.
804. В 1928 г. из Баку в Батум проведен второй нефтепровод, на который
израсходовано 40 миллионов рублей. В Батум ежегодно доставляется 2.5 мил-
лиона тонн нефти, из них пятая часть по железной дороге. Стоимость перевозки
одной тонны: 13 руб. 42 коп. по железной дорые и 2 руб. 75 коп. по нефтепро-
воду. Ео сколько лет окупится стоимость нефтепровода?
805 Магнитогорский завод на Урале будет стоить 171 миллион рублей и бу-
дет выпускать ежегодно 750 тысяч тонн металла (какого?). Считая стоимость
одной тонны металла, равною 370 руб., вычислите, во сколько ле? окупится по-
стройка завода. х
806. Сталинградский тракторпый завод имени Ф. Дзержинского будет выпу-
скать ежедневно 140 тракторов. Работа будет орган: зовапа' по конвейерной си-
стеме в две смены рабочих; каждая смена будет работать по 7 часов в день
Через сколько минут будут выходить готовые тракторы один за другим?
807. Вспашка одного :?ектаЧ» трактором обходится 7 pj6. 26 коп., конной си-
лой —12 руб. Какая экономия получается иа каждую тысячу гектаров пашни при
замене лошадей тракторами?
803. На Северном Кавказе на обработку одного гектара ячменя в бедняцких
хозяйствах затрачивается 16,7 рабочего дня, в середняцких хозяйствах 12,2 дня,
в колхозах 7,8 дня. Объясните, почему так получается. Вычислите экономию в
рабочих днях, если объединить 386 га бедняцких и 589 га середняцких хозяйств
в колхоз.
809, По договору сельского общества с машино-тракторной станцией работа
станции‘оплачивается зерно™ из расчета % урожая озимых и % урожая яровых
хлебов. Сколько зерна должно уплатить сельское общество машино-тракторной
станции за запашку 150 га озимых и 170 га яровых хлебов при урожае 0,9 тонны
с гектара яровых и 1,3 тончы с гектара озимых хлебов?
810. Заполните пустующий столбец в следующей ведомости:
Изготовлено в 1927 '8 г. Будет изготовлено в 1932/3 г. Процентное увеличение
Сахара Хлопчато - бумажных тканей Шерстяных тканей . 1340 тыс. топп 2742 млн метрог 96 . 2600 тыс. топь 4700 млн метров 270 ,
208
811. Вычертите график снабжения деревни тракторами.’
в 1927/8 г................ ТЗОО машин в 1930/1 г................... 6500 машин
. 1928/9 ................. 3000 . . 1931/2 ................. 20500 ,
. 1929’30 ................ 5000 . . 1932,3 ............... 53 000 .
812. Вычертите график расходов СССР на народное просвещение:
в 1927 8 г. на одну душу населения...............11 руб. 43 коп.
. 1928/9 ......................................... 13 . 27 .
. 1929/30 „.......................................15 , 99 .
. 1930/1 , , , . .................... 18 . 96 .
. 1931/2 » . , , . ..............21 . 43 .
. 1932/3 . » , ............................ 24 , 53 .
613. Вычертите круговые диагращы па основании следующих сведений:
процент населения, охваченного потребительскою кооперациею
1927/28 г 1932/33 г.
в городах. . ...........- • 45,3°/0 70,0%
в селах..................... 19,1% 40,0%
Указание. Необходимо построить четыре круговые диаграммы — две для
города и две для села. -
814. Вычертите две круговые диаграммы бюджета расходов СССР:
1927/8 г. 1932/3 г.
Промышленность и электрификация ............... 14,8% 17,8%
Сельское хозяйство ............................. 6,7% 8,9%
Остальные отрасли народного хозяйства .... 19,6°/0 24,4%
Социально-культурные, нужды.................... 21,1% 21,9%
Прочие расходы................................. 37,8% 27,0%
815. После введения с 1 ноября 1929 г. непрерывки продукция фабрики уве-
личилась на 10*о и составила за весь 1929 год 732000 руб. Какова была бы про-
дукция этой фабрики за 1929 г., если бы непрерывка не была введена? если бы
непрерывка была введена с начала года?
816. По пятилетнему плапу та же фабрика должна иметь в 1930 г. продукцию
в 900 000 руб. На сколько процентов должен увеличиться темд работы на этой
фабрике при сохранении непрерывки?
817. Количество потребляемой в СССР электрической энергии должно увели-
читься в течение чттилетки приблизительно в 4 раза. Определите среднюю вели-
чину процента увеличения потребления электрической энергии за один год.
818. Коллективизация крестьянского хозяйства должна увеличить посевную
площадь за пятилетку на 20% и урожайности на 30%, вследствие чего валовая про-
дукция сельского хозяйства СССР должна увеличиться приблизительно на 6,2 млрд,
рублей. Определите валовую доходность сельского хозяйства в начале и к концу
пятилетки.
819. Урожайность зерновых хлебов па полях одиночных хозяйств равна, в
среднем, 0,76 тонны с 1 га, па колхозных полях — на 20% выше. Товарная часть
хлеба в одиночных хозяйствах равна 19% урожая, в колхозах 38%. Вычислите,
со скольких гектаров полей одиночных хозяйств получается такое же количество
товарного хлеба, как c l га колхоза?
820. Производственные задачи отдельных угольных районов па ближайшее
пятилетие таковы:
14 Берг и др. Рабочая книга по математике, 5-й год
209
1 * Районы 1927-28 г. || 1932-33 г. |
В млн тонн В процентах от общей добычи В млн тонн □пт. вариант. В процен->-ах| от общей добычи
Э. Донбасс ... 2. Кузбасс. . 1 ". Урал 4. Подмосковл. . , . 5. Вост. Сибирь 6. Средн. Азия . . 7. Кавказ . . 8. Прочие ' 27,26 2,46 2,00 1,18 1,91 0,23 0,11 0,25 52,5 6,0 6,1 4;2 4,0 1.0 0,6 0,6
* Всего по Союзу. . М00
1. Заполните второй и четвертый столбцы н сравните (по найденным процентам),
на сколько вырастает производственная роль того или иного района за пятилетку.
2. Составые круговую диаграмму по числам последней колонки.
821. Сколько процентов будет составлять в 1932/33 году выработка торфа
(16 миллионов тонн) по отношению к довоенной (1,6 миллиона тонн)?
Сколько процентог будет составлять в 1932/33 году выработка минеральных
удобрений (3400 миллионов тонн) по отношению к довоенной (55 миллионов тонв)?
62?. Народный доход СССР вырастает с 21,4 млрд пуб. в 1927/28 г. к концу
1932/1933 года на 103%.
Вычислите: 1) Чему он будет равен к концу текут, пятилетия. 2) Во
сколько раз он увеличивается? 3) Сколько процентов предполагаемая сумма народ-
ного дохода к концу текущего пятилетия составляет от народного дохода в 1927/28 г.?
823. Общая сумма капит. вложения в народное хозяйство за пятилетие 1923/24 —
1927/28 годов составляла 26,5 млрд рублей; на следующее пятилетие намечено
увеличение на 38,1 млрд.
Вычислите: 1) На сколько процентов увеличивается сумма капитальных
вложений в пятилетие 1928 29—1932/33 г.г.? 2) Сколько процентов она соста-
вляет от суммы капит. вложений предыдущего пятилетия? 3) Во сколько раз
она больше первой суммц?
821. Капитальные вложения в промышленность в истекшем пятилетии со-
ставляли 4,4 млрд руб.; на текущее пятилетие они намечаются в сумме 16,4 млрд.
Вычислите: 1) На сколько процентов сумма капитальных вложений уве-
личивается в повом пятилетии? 2) Сколько процентов суммы предыдущего пяти-
летия она составляет? 3) Во сколько раз она больше первой суммы’
825. Общая сумма основных фопдов страши в 1927/28 г. была равна 70 млрд,
в 1932’33 г. она вырастет до 128 млрд.
Вычислите: 1) На сколько процентов происходит увеличение? 2)Сколько про-
центов первой суммы составляет втс рая? 3) Во сколько раз вторая сумма больше
первой?
210
2. ТАБЛИЦЫ ПЕРЕВОДА МЕР.
Линейные меры.
1 верста = 1,06680 км.
1 аршин = 0.711200 м.
1 вершок = 4,44500 с? .
1 дюйм = 2,54000 см.
1 фут = 0,304800 м.
Версты в километры Сажени в метры Аршины в метры Футы в метры Есршки в санти- метры Дюймы в санти- метры
1 ',067 2, 134 0,711 0,305 4*45 2,540
• 2 2,134 4,267 1,422 0,610 8,890 5,080
3 3,200 6,401 2,134 0,914 13,335 7,620
4 4,267 8,534 2,845 1,219 17,730 10,160
5 5,334 10,638 3,556 1,524 22,225 12,700
6 6,401' 12,802 4,267 1,829 26,670 15,240
7 7,468 14,935 . 4,978 ' 2,13* 31,115 17,780
8 8,534 17,069 5,690 2,438 35,560 20,320
9 9,601 19,202 6,401 2,743 40,005 22,860
Квадратные меры.
1 десятина = 1,09254 га.
1 кв. вершок = 19,7580 кв. сч.
1 кв. аршин = 0,505805 кв. м. 1 кв. дюйм = 6,45160 кв. см.
1 кв. фут = 0,0029030 кв. м.
1 Десятины 1 в гектары Кв. сажени В КВ. метры Кв. аршины в кв. метры Кв. футы в кв. метры —г— Кв. вершки в кв. санти- метры Кв. поймы в к I. санти- метры
1 I 1.09 4,55 0.51 0.093 19.76 6.45
2 I 2,19 9,10 1,01 0,186 39,52 12,90
3 ' 3,28 13,66 1,52 0,279 59,27 19,35
4 1 4,37 18 21 2,02 0,372 .71,03 25,81
5 5,46 22,76 2,53 0,465 98,79 32,26
6 1 6,56 27,31 3,03 0,557 118,55 38,71
7 I 7,65 31,87 3,54 0,650 138,31 45,16
8 8,74 36,42 405 0,743 158,06 51,61
9 9,83 40,97 4,55 0,836 177,82 58,06
211
Кубические меры.
1 куб. аршин = 0.35972 куб. м. 1 куб. дюйм = 16,3870 куб. см.
1,куб. фут = 0,0283168 куб. м.
Куб. саже- пн в куб. метры Куб. арши- ны в куб. метры Куб. футы в куб. метры Куб. дюймы в куб. сан- тиметры
1 9,713 0,360 0,028 16,39
2 19,425 0,719 0,057 32,77
3 29,138 1,079 0,085 49,16
4 38,851 1,43« 0,113 65,55
5 48,563 1,799 0,142 81,94
6 58,276 2,158 0,170 98,32
7 67,989 2,518 0,198 114,71
8 77,701 2.878 0,227 131,10
9 37,414 3,238 0.255 147,48
Меры
сыпучих и
жидких тел.
Меры
1 четверик (мера) = 26,2387 л.
1 ведро = 12,2994 л.
1 бутылка = 0,614970 л.
1
1
1
веса.
пуд= 16,380496 кг.
фунт = 0,40951241 кг.
золоти. = 4,265754 г.
Четверти в гекто- литры Четвери- ки (меры) в литры Ведра в литры Бутылки (*/Е0 Р-ДР-) в литры Пуды в кило- граммы Фунты в кило- граммы Золот- ники в граммы
1 2, Л 26,24 12,30 о;б15 16,38 0,410 4,266
2 4,20 52,48 24,60 1,230 32,76 0,819 8,532
3 6,30 78,72 36,90 1,845 49,14 1,229 12,797
4 8,40 104,95 49,20 2,460 65,52 1,638 17,063
5 10,50 131,19 61,50 3,075 81,90 2,048 21,329
6 12,59 157,43 73,80 3,690 98,28 2,457 25,595
7 14,59 183,57 86,10 4,305 114 66 2,867 29,860
8 16,79 209,91 98,39 4,920 131,04 ь 3,276 34,126
9 । 18,89 236,15 110.69 5,535 147,42 R 3,686 38,392
3. УДЕЛЬНЫЕ ВЕСА.
Металлы.
Разные материалы.
Алюминий.............2,6
Железо, *сталь...... 7,8
Золото..............19,3
Латунь.............. 8,4
Медь................ 8,8
Олово............... 7,3
Платина.............21,5
Ртуть...............13,6
Свинец..............11,3
Серебро.............10,4
Цинк................ 7,2
Ч^тун............... 7,2
Жидкости.
Бензин ...............
Деготь................
Керосин ..............
Масло растительное и
минеральное ..........
Масло коровье ........
Молоко................
Сало...........’. . . .
Серная кислота ......
Скипидар .............
Спирт ................
0,7
1,2
0,8
0,9
0,94
1,03
0,9
1,8
0,9
0,8
Булыжник.............2,3
Глина сухая......... 1,7
Гранит.............. . 2,7
Дерево черное.... 1,2
„ дуб......... 0,8
„ береза, ольха . . 0,6
„ ель, сосна.... 0,5
Древесный уголь .... 0,4
Каменный уголь..... 1,4
Кирпич............. 1,6
Кость..........1,8
Лед ....*.......... 0,9
Мел................ 1,8
Овес...............0,5
Песок сухой........ 1,5
Пробка.............0,24
Рожь, пшеница........‘0,8
Сахар.............. 1,6
Сено слежавшееся ... 0,14
Сера............. . . . 2
Снег...............0,13
Соль...............2,1
Стекло 1........... 2,6
Торф сухой.........0,5
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ И ЗАДАЧАМ.
В значительной части задач вычисление должно быть сделано приближенно.
Ответы к таким задачам даются с тою точностью, какую допускают условия за-
дачи. При этом надо иметь в виду что последняя значащая цифоа всегда не
вполне точная, и что при разных способах решения одной и той же зтдачи может
получиться небольшая разница в ответе. »
Как правило, ответы даются в десятичных дробях и в употребительных про-
стых дробях (половины, трети, восьмые и т. п.). Простые дроби другого, более
сложного, вида встречаются лишь в специальной главе о простых дробях (гл. Щ).
8. 1) 43; 2) 66; 3) 120. 9. 1) 29,3: 2) 95,7.
10. 1) 175: 2) 8144; 3) 2629; 4) 7031,
11, I) 18,7; 2) 29,5; 3) 60,0; 4) 106,6; 5) 125,7.
12.1) 27 006; 2) 1620: 3) 8211.
13. 1) 3404; 2) 805;
14. 1) а) 40,5;
2) а) 41.5;
3) а) 39,2;
15. 68,3 млн тонн. 16. 9,3 млн тонн,
17. 1)+4,7э; 2)+13.5°; 3) —15,5°; 4) —0,2°; 5) —1,8е. »
18. 1) +14,2°; 2) +0,9'". 20. 40,4 г гктоу ат-часов.
27. Температура в котле должна быть настолько выше 45°, насколько гем-
пература наружного воздуха ниже -|- 10е.
28. 30 000 000000 000. 29. 8 мин. 20 сек. 30. Около
64. 19 539. С5. 34 059. 88. Не додала
121. 376; 0,53; 3,12.
124. 16,0.
128. 66,69.
132. 39’7.
148. 117; 8,5.
151. 4,6; 1,057,
154. 27,8.
173. 0,1227; 19.
176. 28 5; 0,8641.
180. 11 1
185. 1 руб. 74 коп.
191. 16 подвод.
134 25 коп.
197. 1,1 кг; 6,7 кг.
200. 309 кч;
2D2.
3) 7047; 4) 15 199.
б) 21,6;
б) 22,1;
б) 20,9;
в) 18,9;
в) 19,4;
в) 18,3.
125. 91,54.
129. 0,7.
133. 120,0.
14 лет.
13 коп
126. 422.
130. 83,88
134. 15,561.
149. 22,2; 36,7.
152. 916.
155. 3080.
174. 0,2209;
177. 2200; 0,029.
, 181. 1,550.
80
37,5.
178. 1,17; 6,4.
162. 2.6.
188. 2 км.
192. 0,4 кг.
195. 23000 т.
198. 953 руб.
час. 10 мин., 400 кч
коп. 203. 55 коп.
127. 21,578.
131. 6,85.
135. 8,63.
150. 219; 180.
153. 3,53
156. 942. 157. 19,4.
175. 18; 47
179. 0,26.
183. 5,507.
190. 440 кг.
193. 33,9 км в час.
196. 137 руб.
199. 115 кг; 15 кг.
и 320 км.
214
213. 45=3-3-5; 60 = 2-2-3-5; 64 = 2-2-2-2.2 2;
72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3; 81=3-3-3-3; 90 = 2-3-3-5;
96 = 2-2-2-2-2-3; 98 = 2-7'-7; 108=^2-2-3-3-3.
214. 104 = 2-2-2-13; 111=3-37; 112 = 2-2-2-2-7;
117 = 3-3-13; 128 = 2-2-2-2-2-2-2;
144 = 2-2-2 2-3-3; 147=3-7-7;
119 = 7-17; 121=11-11; 143=11-13.
215. 6000 = 2 - 2 - 2 - 2 - 3 - 5 - 5 - 5; 1800 = 2 • 2 • 2 - 3 3 5 • 5;
250 = 2 - 5 - 5 - 5; 7200 = 2 - 2-2-2-2-3-3-5 -5;
540 = 2 - 2 - 3 - 8 - 3 - 5; 15 000 = 2 • 2 - 2 • 3 • 5 5 • 5 5;
2700=2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 5 • 5; 360 = 2 - 2-2-3-3-5;
5100 = 2-2-3-5-5- 17; 810 = 2 - 3 3 • 3 • 3 • 5.
216. 816 = 2-2-2-2-3-17; 616 = 2-2-2-7-11;
972 = 2 - 2 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3; 673 = 3 - 3 - 3 - 5 5,
288 = 2 • 2 - 2 • 2 - 2 - 3 3; 432 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 - 3 3;
( 1'76 = 2-2-2-3-7-7; 968=2-2-2.11 - 11;
728 = 2 2 2-7-13; 2268 = 2 - 2 - 3 • 3 - 3 • 3 • 7.
217. 37800 = 2- 2-2-3-3 3 • 5 - 5 • 7; 1620 = 2 • 2 • 3 - 3 - 3 • 3 - 5;
62 500 = 2 2 • 5 • 5 - 5 - 5 • 5 5; 6750 = 2 - 3 - 3 - 3 - 5 - 5 - 5;
64 800 = 2 - 2 - 2 • 2 • 2 3 • 3 - 3 - 3 • 5 • 5;
441 000 = 2 - 2-2-3-3-5-5-5 - 7- 7;
5750 = 2-5-5-5-23; 5250 = 2 • 3 • 5 • 5 - 5 7;
49500=2-2 -3 -3-5 5-5 - 11;
286000 = 2 - 2 - 2 • 2 • 5 - 5 - 5 - 11 -13.
219. 2, 3, 6, 9. 18; 2, 4, 5, 10. 20;
2, 3, 4, 6. 12; 2, 3. 4. 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
221. 72; 45; 56; 47; 54.
226. 1) 360; 15, 10, 6; 2) 840; 20, 15; 12; 31 144; 4, 12, 3, 2;
4) 240; 5, 1, 4. 6; 5) 624; 6, 4, 3; 6) 4620; 132, 140, 220, 195.
7) 6480; 540, 405, 144, 80; 8) 7200; 15, 40, 8;
9) 22500. 75, 50, 30, 36.
234 41 2—‘ - 7 255 ^*Т5о’ 80’ 36’ 180’ "" 80’ 19 . 305 239 *210’ 448’ "бдб*
139 . 457. 95 . 2£ 41. 1428 ’ 792 ’ 108 ’ 800 ’ ' 75 ’ 7 . 53 91 150’ 196 ’ 216'
«.23. ?39 727. 2 238* 60’ 156’ Чв* 3 1573’ 2 81 3 350’ 1300*
>i. 241.2g; 1325 . 325 2431 ’ 396*
яз-пй 9 11- Я — ’ 480’ Ь0‘
244. 24; 1®J. 245. Sg; Ж,’ 246. 12=. 75
»’• 5т® И8- 2зж- 219 — 2ЧН. }0-
а- а 91 2S2* 1w*
2 61 253.14- 254. 2^. io /Z 79 2K*410PS0*
215

79
ijS1 192'
35. 29. 5^. 85^.
36, д. Ш’
268.3^;22§; бА;
1 2
270. 16; 84 5 — ; 2у,
272. А; 435 А.
О о
64. R 1 . 2
81’ 83’ 14У
А- ю-1. !-А
47’ ’ 16’ ’ 9
2 1
230. А; 8; 2_
283. 7-А;
< о
123
340 \
с 108
5275‘
2 А.
2и
з&А.
6
275. 6-А;
О
, 41
2/7. 147>
31т-
27; 3;
15
82"
2
491 9 ЮОЗ
540 ’ 3360 '
2_ 6.1.3 27^
5 ’ 13’ 6 ’ 8 ’ 124'
. 65 . 31. .. 1 . „25. 1
5 492’ 3°35’ 41У 2 28 5' У
267.
19 4-- 269.
О
24; 64; 5,6;
3 ’ 33
2,04;
9.1075; 0,828.
А
4
279. 14; 96; 9^.*
17.к
’ 17
«4-
282. 3-|;
О
235.
289.
1.
293. 28.
297.
•й-
эоо.
803.
ЗС6.
з11
312"
143 кг.
, 1
1у часа.
301
301.
307.
,"09 6 час. 40 мин
312. 7 кг.
315. 3600 кг.
326. 66,3.
329. 0,0'.
332. 19,1.
335. 0,80.
338. 6,8.
341. На 30 дней.
344. Нет.
855. 15°.
363. 47°1'.
366. 1,855
3S9. ЛениЕград—Могилев 673
870. 30° восточной долготы.
372. 39°; 83°15'; 99'30'.
371. 29 мин.; 1 час 18 мнп.; 4 часа 39 мин. 20 сек.
км.
J_.
30’
2Т6.7.А;
1; f - 278. I4g;
273.
1
29'
3
614-274. 43 4-.’ 2425 А.
114 2
А. А-
3 ’ 8 ’ 44’ 10
175’
" *“ 4 ’
23 9
fi13. НА0.17 9.
630’ П7’9,113'
281. 5зА; 4& 9®-
О о
з7- 7 А А
J 9 ’ 2 ’ 64•
286.
290.
294.
298.
8,8 кг.
Приблиз. 80 млн
533А л.
О
284. 4-А;
4
287. 1.
291. 2 А.
I91
137
288. 1.
о
292. 14-
295.
29Э.
га.
' 1
Около 291 кг.
30 и 12.
105 м. и 42 ж.
1,5.
2,36.
39,6.
13,9.
2,2.
Приблиз. в 6 раз.
4,1 кг: 50 г.
а) 112’24'59”; б) 73’1065".
веч. 310.
313.
816.
327.
830.
333.
336.
839.
3'2.
343.
861
364. 21°59'35"; 6°32'10'
367. 31 км.
226. 12.
2.
302. Приблиз. в 12 мин.
305. Приблиз. 0,9 мли
4 ’
й08. 4-у часа-
311. бА т.
314. 48.
317. 8 руб. 318. 28.
328. 34,9.
331. 3,66
334. 32.
337. 1,6.
340.
343. 0.03кг; 0,16 кг, 0,1кг.
На 7-м км.
19’42'53", 8°36'24", 69’34'10".
111^3 км.
362.
365.
36Е. 3116,4.
км; Могилев—Киев 384 км, Киев—Одесса 441 км.
371. 30’15' восточной долготы.
373. 24°45’.
216
375. 27°30' западной долготы.
376. Время 2-го, 3-го, 5-го, 6-го и 9-го поясов.
378. а) две круговых диаграммы одна на 1926 г. и другая на 1932 — 33 г.,
б) одна круговая диаграмма, в) одна круговая диаграмма.
379. Одна круговая, диаграмма.
380. Четыре круговых диаграммы: две для города—две для села на 1927 — 28 г
и 1932 — 33 г.
381. Две круговых диаграммы на 1927 — 28 г. и 1932 — 33 г.
382. Цве круговых диаграммы на 1927—28 г и 1932 — 33 г.
383. Четыре круговых диаграммы. 1913 г., 1920 г., 1927 — 28 г. и 1932 — 33 г.
384. 130°7'.
385. а) 120° и 60°; б) 36° и 144°; в) 150° и 30°; г) 108° и 72°.
386. а) 54°7'; б) 161°35': в) 100°; г) 96°; д) 50°.
387. 180°. 338. 90° 3891. 74°57'. 390. 40 кв. м 393. 1 000000 «в. мм.
395. 41 кв. м; 164 кв. м; 1422 кв. м; 8,1 кв. м; 3,9 кв. м; 310 «в. с.н; 23 «св. см.
396. 3800 кв. см; 8525 ке см; 7415 «в. см; 2930 кв. см; 4723 кв. см; 50 ООО кв
см; 42000 кв. см; 62 500 кв. см.
397. 218 кв. мм; 850 кв. мм. 398. 0,57 кв. дм; 0,08 кв. дм; 0,255 кв. дм.
399. 0,25 кв. м; 0,09 кв. дм; 0,0225 «в. м; 0,4256 кв. м; 0,1515 кв. м,
400. 23 400 га. 401. 800 кв. км. 402. 10,795 га.
403. 27,36 га; 2,85 га; 52,88 га; 360,5 га; 0,92 дьс.
405. 2,4 м; 58,4 м; 125 м; 424 м.
408. 36 кв. м
415. 25,02 м.
418. В 10 раз.
421. 7 см.
427. 5 м.
430.
440.
442.
445.
448.
«51.
453.
80 кв. см.
30 кв. см.
В 4 раза.
а -|- 1; в+ 2; а + 3.
2а + 1; 2в-}-3; 2а+ 5. 449.
а — Ь. 452.
443.
446.
4J4. 24 .и.
406. В 4 раза; в 9 раз.
409. 24 кв. м;
416. 4,6 см.
419. 328 а.
425. 10 м.
428. 48 кв. см.
431. 16 м.
441. Площади всех
100 а 4-10 Ь.
а— 1; а — 2; а — 3.
7 —а.
4а; ЗЛ; 2Ъ.
407. В 20 раз..
410. 80 кв. см
417. 4,25 м.
420. 15 см.
426. 12,8 см
429. 3,5 м.
432. 27 см.
частей одинаковы.
444. 7 -|- а.
447. 2а; 2а+2; 2а-}-4.
450. а 4- Ь.
454. 36; 40; 5-^-, 6-|-. 455. Двучлен; одночлен; трехчлен; одночлен.
456. 21; 53; | . 457. а3; a'b-c; asbac-; alffh*.
458. aab; abb; auabbc; abbc; aabccc. 459. 360.
46Л 625; 343; 74,088; 11|; 0,061; 0,001; 0,00001; 1; 1; 1. .
461. 1000: 1000000; 1000000000; 100000000000. 4£2. 10е; 10"; 10la. 463. 1495.1U6
464. 4.107. 465. -^ab 466. yac + yftd.
> 467. 2а + 2b. • 468. 4а. 469. a^.
470. 9,35. 471. 40- 472. 2.92.
473. 3,18. 474. 4,25. 475. 6,6
476. 0,345.
479. 1,024.
482. 1,02.
417. 74
4SO. 0,1.
483. 12 Д
Л
9
478, И 4
з
2
481. 84.
о
484. 75,5
495. Наибольший объем для ржи 1,4 куб. м, для овса 1,9 куб. м. Дл шы соответ-
ственно равны 1,3 м и 1,8 м.
496. 3,4 м. 497. 1000000.
499. 25000; 14 375; 25600 000; 35425000 куб. см.
501. 0,5; 0,125; 0,4; 0,827 куб. дм.
£02. 2'5,5; 221,375; 117,315; 25,027; 5,007 куб. см
503. 1) 180 куб. см; 2) 81,476 куб. м; 3) 8,£7 куб.
505. 5800 куб м. 5С6. 0,9 стандарта.
5СЗ. 720 шт • 509. 2,428 куб. м.
515. 87 000 куб. м иди 7 100 000 ведер.
517. 28UO00 куб. м.
520. 1 т.
522. 1,8 кг.
526. 690 кг.
529. 380 куб. см.
532. 5,2 м.
535. 0,43 куб. м.
533. 1,8.
498.
50Э
м.
1000 000 000.
18 250 куб. мм
504. 4,6 куб. м.
507. Руб. 108; 288; 113.
514. 6,7 — 6,8 рабочего дна
5,6. 15 000 000 ведер.
518. В среднем: 11 куб. м, 39 куб. м, 52 куб. м
521, 2 куб. м. 522. Около 350 кг.
524. 1) 73,5 куб. см 2) 2,3 л. 525. 3,6 кг.
527. 1) 20 г; 2) 140 г; 3) 72 г; 4) 2 г. 528. 5,8 кг.
530. 118 куб. ем -531. 2,8 кг.
533. 8 кв. дм. 5?4. 1,8.
536. 56 куб. см в сек. 537. 5,4 кг.
539. 1) 4,5 м; 2) 2,59 м; 3) 0,9 см; 4; 0,75 м; 5) 4,3 см;
6) 1,4 см; 7) 12,59 м; 8) 2,5 м
558. 63 кв. м.
567. 6,21%.
578. 0,087%.
594. 21,9
559. 2,37 кв м.
571. 22%
589. 560 кг.
т.
13,9 кг; 192 кг.
597. 12 раз.
603 77 тыс км; 151 тонно-километрид
с = —; а = 0,12; <2 = 6; с = 3-?- ; <2=0.093; 5 = 392;
4 4
I
ССО 256 кг.
557. 35 учащихся
5£3. 1,1%.
577. 52,8%; 47,2%.
590. 2,5 кг
395. 1) 40,5 кг; 9,11 кг; 30,4 кг; 2) 211 кг;
596. 148,4 млн; 150,9 млн; 153,5 ылп.
607. 9,5 центнера; 45,1 млн т; 114 голов.
1 1
612. Ь = 70; а= -; с = —
а = 5.5; с = 0,38. 322. 215 кг. 623. 98 кг.
624. Вес монет в 10 и 20 коп. —1,8 г и 3,6 г — может быть найден вычислением
625. 93,1 кг и 37,5 кг.
628. 148 уроков.
6'0. Расход не изменится
633. 61,6 кв. см.
633. 7874 руб.
638. Продукция уменьшилась на 113 т.
641. 14,2 м.
643. 8 дней с лчшним.
645. 2,66 л.
047. 65 пальто.
651. 3,2; 21,1; 2,7 кг
653. 178; 22 г.
627. 29 рабочих.
632. 6,9 см
635. 17 м,
640. На 16 свечеЗ
626. 7 дней.
629. 293 человек.
631. 2,9 м.
634. 11; 14; 29; 35 кв. см.
637. 41 м.
639. 20 мин.
G42. 10,3 м. 1
644. Уменьшить на 10 г.
646. 1037 j,6. 80 коп
650. 6,6; З.й, 82,1 г.
652. 39,3; 60,7 г.
654. 50,0; 25,0; 12,5; 12,5 г.
218
u55. 1) 1 руб. 11 коп.; 1 pyf 25 коп.; 1 руб. 40 коп.; 83 коп.; 1 руб. 11 коп.;
2) 2 руб. 55 коп.; 1 руб. 28 коп.; 1 руб. 70 коп.; 3 руб 40 коп ; 2 руб. 55 коп.;
2 руб. 13 кон; 85 кон.; 3 руб. 84 коя.
656. I) 3 руб. 80 коп.; 3 руб. 26 коп.; 6 руб. 51 коп.; 3 руб СО коп., 4 руб. 88 коп ;
87 коп.;
2) 3 руб. 53 коп.; 5 руб. 64 коп.; 3 руб. 38 коп.; 7 руб 05 коп; J руб. 75 коп.;
2 руб. 89 коп.; 4 руб. 02 коп.; 2 руб. 61 коп.
657. 1-й этаж: 4 руб. 25 коп.; 2 руб. 95 коп.; 3 руб. 98 коп.; 4 руб. 99 коп.;
3 руб. 69 коп.; ОД коп.;
2-й этаж: 4 руб. 77 коп.; 3 руб. 33 коп; 4 руб. 48 коп.; 5 р. 60 коп;
4 руб. 15 коп.; 1 руб. 10 кип.
658. Тысяч: 6G4; 188; 970; 114; 64.
669. к,7 коп. с одного рубля, А — 2 руб. 29 коп.; В — 1 руб. 02 коп.;
С— 1 руб. 92 коп.
660. 56,5 см. 661. 69,1 см. 662. 62,8 см; 75,4 см; 94,2 см; 29,5 м: 54,0 м
663. 44,0 см; 81,6 см; 78,5 См; 116 м: 15,4 м; 42,4 м.
664. 14,5 см; 16,9 см, 6 39 см; 20 см.
665. 4 см; 8,8 см; 12,6 см; 22,4 см; 92 см; 94 см 666. 6,28 м.
€67. 119 км; 74 км. €й8. 1’4 м. 669. 0,5 м.
670. 1669 км. 672. 8,4 м в сек. С7& 491 см.
67*. 760 оборотов для инструментальной стали, 1530 оборотов для быстрорежущей
стали. 675. 5730 оборотов в минуту.
676. 21000 оборотов в минуту 677. 23 м. 678. 28,3 кв. мм.
679. 6590 кв. м. 680. В 6-~- раза. 681. 2,2а.
682. В = раз. 683. 21,5 кв. сч,
656. 4 кв. мм. 687. 375 кг
692. 7 кв. м; 5,3 кв. м; 3,8 кв. м.
696. 94 кЪ. м; 14.1 кв. м— 5ок. поверхность котла.
698. 11,4 т. 699. 3,82 кг.
701. 2,52 см. 703. 12,7 см.
684. Обрезки.
688. 230 кв. л.1=23 000 га.
695. 5,7 кг.
697. 82000 ведер.
700. 2,66 «г.
705. 0,05 кв. см.
708. 15,7 м; 214 см; 53,4 см: 11,6 см.
707. 9 кг.
7С9. 1,20 м; 3,90 м; 12,0 см, 20,6 см. 710. 11,5 м; 17,9 см, 16,5 мм; 21,6 см
711. 32,2 кв. см; 11,3 кв. см; 5800 кв. см; 3320 кв. см.
712. 1,33 «в. дм; 15,9 «в. см. 21,2 кв. см; 58,1 кв. см.
713. 6370 = 637.104 л 714. 616 см. 715. 11,3 кв. м; 114 кв. дм. *
716. 2939 кв. дм; 799 кв. дм. 717. 220 кг. 718. 19,6 г.
719. 2,05 кг. 720. 30 723. 11,2. км в сек. 721. 20.
724. 0,99. 725. 3,15.
726. 12 727. 8. 728. 1,65. * 729. 3,5
730. 8. 731. 12 ~. 732. 1. 783; 1,6.
734. 0,10. 7?5. 7,7. 736. 0,48 787. 6,1. *7
733. 0,37. 739. 1,4. 740. 0,156. 741. 3П.
> 742. 6. 743. 4,8. 744. 10,1. 754. /г = 7,7 ж
755. 1) 188; 2) 21,3; 3) 0,0403; 4) 14,7. 756. в’/о. 757. 0,51 м.
758. 0,23 м 75у. 2,9 м. 760. 6,9 си. 7С1. 5,4 см.
762. 16 м. 763, 31,5 ж. 764. 101,3 м. 765. 36 гусей
7S7. 18 РУ6-: 820
790. 6908 человек.
794. Ю7о 70 облигации.
797. 91,2 и 8,8%.
2,35%; 7,82%.
801. 35 км-
804. V% лет. ‘
808. 6027 рабочих дней.
815. /20 000 руб.;
792 0)0 руб.
819. 2 4 ча
788. приблиз. 5%
791. 22,2 литра.
79Ь. 56,7%.
793. 11 008 500, 11 266 800 и 11 869 500 гл.;
79Э. 11%.
802. 28 623 900 км.
805. Менее, чем в 1 год.
809. 99,75 тонны.
816. приб"изите.тыю на
13,6%
789. 36,8% и 56%.
793. 108 литров; 20 человек.
796. 10 литров.
800. 4,4%.
803. 1714,4 руб.
806. 6 минут. 807. 4740 руб.
810. 94%, 83% и 181%.
817. Приблизительно 13,2%.
818. Около 11 млрд и 17,2 млрд.
I
I
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение. О пособиях для занятий по математике.
§§ Стд
1. Перечень пособий................... . .......... . . 3
2. О пользовании пособиями.......................................... 4
I
Глава 1. Способы количественного учета.
3. Значение" счета и учета в хозяйстве............................. 8
. 4. Большие числа. Округление их................................. 9
5. Столбчатые диаграммы............................................ 13
6. Средние числа. Округление частного............................ 16
7. Употребление, средних чисел................................ . 18
8. Графики......................................................... 22
Глава II. Целые числа и десятичные дроби.
9. Цель и содержание главы......................................... 27
10. Десятичная нумерация............................................ —
11. Метрическая система мер........................(............... 30
12. Прямая линия и отрезок.................................... . . . 32
13. Зависимость между компонентами и результатами действий......... 34
14. Изменение результатов действий при изменении порядка и величины
компонент........................................................ 33
15. Сложение и вычитание........................................... 44
16. Умножение............................................ ...... 47
17. Деление....................... ............................... 51
18. Перевод старых русских мер в метрические .... ................. 54
\
Глава III. Делимость чисел и простые дроби.
19. Цель и содержание главы........................................ 57
20. Числа простые и составные. Признаки делимости.................. 58
21. Признаки делимости на 2, 5, 4 и 25...........: ........... —
। 22. Признаки делимости на 9 и на 3.................................. 60
23. Разложение чисел на простые множители.......................... 61
24. НанГольший сЗщиь делитель...................................... 63
25. Наименьшее общее кратное...................... .-............. 64
221
§§ Стр.
26. Происхождение дроби. Основное свойство. Сокращение дробей 67
27. Сложение и вычитание дробей..................................... 68
28. Умножение и деление дроби на целое число....................... 71
29. Умножение на дробь.............................................. 73
30. Деление на дробь................................................ 75
31. Дроби простые и десятичные...................................... 78
i
Глава IV. Угол и его измерение. Построение круговых
диаграмм. ;
32, Содержание главы............: ...... ........... . . 83
S3. Прямой угол; перпендикуляр; острые и тупые углы. . 84
34. Круг и его части............................................. 85
35. Построение угла, равного данному............................... 86
36. Построение суммы н разности двух углов......................... 87
37. Деление угла пополам............................................ —
3S. Деление окружности на части.................................. 88
39. Круговые диаграммы............................................. 91
40. Смежны? углы. Противоположные углы............................. 93
Глава V. Измерение площадей.
41. Содержание главы............................................. 97
42. Цлан квартиры и план дома. Расчет полезной площади.............. —
43. Составление смет, требующих вычисления площади................. 98
44. Площадь прямоугольника и квадрата............................. —
45. Площадь треугольника.......................................... 102
46. Построение треугольника по трем сторонам...................... 104
47. Вычисление площади многоугольника разбиванием его па треугольники. 105
48. Переход от трехполья к многополью. Отмежевание участков в форме
треугольника, Вычисление основания треугольника по площади и
высоте............................................................ lets
49. Параллелограм и его Площадь................................. 108
50. Площадь трапеции.............................................. 109
51. Вычисление площади многоугольника разбиванием на трапеции.... 111
52. Площадь фигуры, ограниченной кривой линией...................... —
53. Выводы из главы............................................... 112
Глава VI. Буквенные обозиачеиил.
54, Применение формул. ... *.................................. 115
55. Степень и показатель степени.................................. 119
Глав? VII. Вычисление оиьемив.
56. Содержание главы.......................................... 122
57. куб............................................................. —
58. Прямоугольный параллелепид дь ..................................28
222
§§ Стр.
59. Изображение прямоугольного параллелепипеда.................... 124
60. Объем прямоугольного параллелепипеда.......................... 125
61. Объем куба.................................................... 127
62. Кубические меры и задачи на вычисление объемов................ *28
63. Объем призмы.................................................. 130
64. Вычисление веса по объему. Удельный вес .... ................ 133
65. Выводы из главы.............................................. 135
Глава VIII. Отношения ч проценты.
60. Цель я содержание главы....................................... 137
67. Разностное и кратное сравнение чисел. Отношение. . .*........... —
68. Нахождение неизвестных членов отношения....................... 140
69. Процентное отношение........................................ 142
70. Другие два вида задач на проценты............................. 146
f
Глава IX. Пропорциональное!ь,
71. Цель и содержание главы ...... ........................ 150
72. Пропорции...............-....................................... —
73. Величины и зависимость между ними. Пропорциональные величины . . 153
74. Свойства пропорциональных величин. Задачи на пропорциональные ве-
личины .......................................................... 154,
75. Обратно-пропорциональные величины............................. 157
76. Пропорциональное деление...................................... 159
Глава X. Длина окружности, площадь круга и объем
цилиндра.
77. Длина окружности.............................................. 164
78. Скорость точки окружности при вращении...................... 165
79. Площадь круга.............................................. 167
80. Цилиц-р.....................................'............... 169
81. Выкройка цилшдрь............................................. 171
82. Объем цилиндра............................................... 172
83. Выводы из главы.............................................. 173
Глава XI. Уравнения
84. Цель и содержание главы...................................... 175
65. Простейшие уравнения........................................... —
86. Решение более сложных уравнений.............................. 177
87. Приложение уравнений к решению задач......................... 179
Глава XII. Весенние работы.
88. Работы по землеустройству.................................... 182
89. Съемка плана без инструмента при помощи измерения одних длин. . . 184
223
§§ Стр.
90. Съемка плана инструментом. Экер................................. 1ь9
91. План и карта.................................................... 195
92. Значение планов и карт для Красной армии........................ 196
93. Ориентирование по плащ- и карте................................. —
94. Определение, на сколько одна точка поверхности земли выше или ниже
другой. Получение профиля местности.................................. 197
95. Простейшая съемка, применяемая в Красной армии . ... ......... 200
96. Маршрутная съемка................................................ 201
Приложения.
1. Задачи па разные темы . . . . .............. .... . . . 20S
2. Таблицы перевода мер...............................'........... 211
3. Удельные веса-................................................. 213
4. Ответы ।: упражнениям и задачам ............................... 214
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО РСФСР
МОСКВА — ЛЕНИНГРАД
УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ:
Гурвиц Ю. О., Кру пень кин Т. Н., Ф р и д ен б ер г В. Э.—
Математика. Рабочая книга для 6-го года обучения. Под ре-
дакцией Е. С. Березанской. Допущ. Гусом. Стр. 272.
И. 1 р. 15 к.
Лебединцев К.—Руководство алгебры. Ч. I. Изд. 7-е. Стр. 113.
Ц. 75 к. Ч. II. Изд. 6-е. Стр. 208. Ц. 1 р.
Это — распростраиеиное пособие для обучения алгебре в 1-м и 2-м
концентрах школы 11 ступени, что объясняется соответствием программ-
ным требованиям, тщательной обработкой материала и продуманностью
изложения. Опытный педагог сказался в правильном методическом под-
ходе и в уменьи сочетать научность изложения с доступностью для
понимания соответствующих возрастных групп.
Один из лучших учебников алгебры.
Лебединцев К. — Сборник задач по алгебре. Ч. I. Изд. 4-е.
Стр. 143. Ц 60 к.
Сборник задач Лебединцева составлен в тесной связи с курсом алге-
бры того же автора, и подбор примеров, задач и упражнений весьма
удачен как в смысле оформления, так и жизненнс сти затронутых тем;
хотя автор и ие вполне свободен от традиций старого времени, но во
всяком случае в целом „Сборник задач по алгебре" Лебединцева не
только не хуже, ио лучше большинства алгебраических задачников,
напр., Ланкова, Фридмана и др. Материал систематизирован и вполне
доступен учащимся, так как приурочен к программным требованиям.
Математические задачи. Сборник упражнений по матема-
тике для 5-го года обучения. Под редакцией В. С. Давыдова,
С. Н. Жаркова, М. Г. Коломейцева и С. А. Рыкунова. Ко-
миссией по учебникам Главсоцвоса допущен для школ II сту-
пени. Стр. 175. Ц. 80 к.
Орлов С. — Первые работы по измерению земли. Изд. 5-е.
* Стр. 88. Ц- 45 к.
Книжка описывает практику маршрутной съемки планов и с помощью
эккера, мензулы, буссоли, астролябии и теодолита. Приложены спра-
вочные таблицы. Изложение простое, отчетливое. Предусмотрены раз-
личные затруднения, встречающиеся в практике.
Перельман Я- — Новый задачник по геометрии. Изд. 3-е.
Стр. 160. Ц. 60 к.
Книга может быть использована для 6-го и 7-го годов обучения пре-
имущественно в городской школе. По трудности весь материал впо не
доступен указанным возрастным группам.
Книга вполне удовлетворяет методическим и научным требованиям.
Весьма полезна, особенно для учителя; может быть дана на руки уча-
щимся в добавление к имеющимся пособиям.
П( (КУПАЙТЕ КНИГИ В МАГАЗИНАХ И ОТДЕЛЕНИЯХ ГОСИЗДАТА
г
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО РСФСР
МОСКВА — ЛЕН! 1НГРАД
РАБОЧАЯ БИБЛИОТЕКА ПО МАТЕМАТИКЕ
Берг М. Ф. — Приемы решения геометрических задач на построе-
ние. Стр. 77. Ц. 35 к.
Б р а д и с В. — Как надо вычислять? Приближенные вы шсления на
5-м году обучения. Стр. 76. Ц. 50 к.
Виноградов С., проф. — Элементы теории вероятностей. Изд. 2-е.
Стр. 76. Ц. 35 к.
Книжка излагает просто и изящно элементы теории вероятностей и
иллюстрирует ее интересными задачами, далекими от привычного
шаблона.
Добровольский В., инж. — Паровоз на уроках математики.
Стр. 60. Ц. 30 к.
Книжка описывает устройство паровоза и его функционирование и
дает много расчетов, из коих некоторые лишь намечаются для само-
стоятельной проработки. Для учащихся 6-й и 7-й групп.
Добровольский В., инж.Самолет на уроках математики.
Стр. 56. Ц. 30 к.
Книжка описывает устройство самолета, его мотора и условия по-
лета. Чрезвычайно интересны расчеты подъемной силы, лобового
сопротивления, мощности при разных скоростях и т. д.
Куьыркин Н. — Практика графических вычислений. Элементы
номографии. Стр. 69. Ц. 50 к.
Овсяников П. П. — Нуль. Очерк его происхождения и его
значения в современной системе счисления. Стр. 36. Ц. 25 к.
Попов Г. — Как применялась и как применяется тригонометрия
на практике. Стр. 64. Ц. 40 к.
Книжка содержит краткий исторический очерк тригонометрии, опи-
сывает употреблявшиеся в древности тригонометрические приемы
решения практических задач и излагает современные приемы, иллю-
стрируя их разнообразными и интересными задачами.
Попов Г. Н. — Памятники математической старины в задачах.
Стр. 62; карта. Ц. 50 к.
Чистяков И., проф. — Числовые суеверия. Стр. 45, Ц. 35 к.
Щетинин Н. — Приближенные вычисления. Стр. 64. Ц. 30 к.
Книжка излагает теорию, в очень элементарном виде, и практику
приближенных вычислений, относящуюся как к арифметическим мето-
дам, так и г алгебраическим, напр., к извлечению корня и логариф-
мированию. Текст содержит много пояснительных примеров и неслож-
ных упражнений, по которым читатель самодеятельно может достигнуть
хорошей тренировки.
ПОКУПАЙТЕ КНИГИ В МАГАЗИНАХ И ОТДЕЛЕНИЯХ ГОСИЗДАТА