/
Text
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. М.ВЛомоносова
А.Г. Петров
ЛЕКЦИИ
ПО ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКОЙ
ГИДРОДИНАМИКЕ
Москва
2006
ЛЕКЦИИ
ПО ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ
А.Г. Петров
2006
Петров А.Г.
Лекции по физико-химической гидродинамике.
Книга представляет собой курс лекций, неоднократно читавшийся автором, для
студентов третьего курса факультета наук о материалах МГУ им. М.В. Ломоносова.
Рекомендована в качестве учебного пособия для студентов факультета наук о ма-
териалах МГУ им. М.В Ломоносова, а также других естественных факультетов и
технических вузов.
Пособие издано при поддержке Инновационного центр а МГУ
Рецензенты:
Доктор физ.-мат. наук, проф. А.Н. Голубятников
Доктор физ.-мат. наук, проф. В.Н. Кузнецов
Издание осуществлено в авторской редакции
Оглавление
Предисловие 5
Часть первая
Краткие сведения
из механики сплошной среды 7
1 Тензорное исчисление 8
§1.1 Тензорная алгебра.............................................. 8
§1.2 Тензорные поля ............................................... 15
2 Пространственное напряженное состояние 23
3 Кинематика жидкой деформируемой среды 29
4 Уравнения движения жидких сплошных сред 33
§4.1 Общие законы динамики сплошных сред........................... 33
§4.2 Модели несжимаемых жидких сред ............................... 37
Часть вторая
Физико-химическая
гидродинамика 43
1 Уравнения и модели 44
§1.1 Уравнения движения жидких сплошных сред.................... 44
§1.2 Классические модели несжимаемых жидких сред................... 48
§1.3 Уравнения движения вязкой и идеальной жидкостей............... 49
§1.4 Теория подобия и размерности.................................. 55
2 Гидростатика 63
§2.1 Равновесие жидкостей под действием силы тяжести............... 63
§2.2 Равновесие жидкостей.......................................... 65
3 Идеальная несжимаемая жидкость 78
§3.1 Общие свойства..................................................... 78
§3.2 Метод контрольных поверхностей..................................... 83
§3.3 Потенциальные течения.............................................. 84
§3.3.1 Уравнения..................................................... 84
§3.3.2 Интегралы Бернулли и Коши-Лагранжа............................ 86
§3.3.3 Применение интеграла Бернулли................................. 87
§3.4 Движение сферических тел в жидкости................................. 88
4 Движение вязкой жидкости 93
§4.1 Общие свойства...................................................... 93
§4.2 Ползущие течения................................................... 98
§4.3 Всплытие и осаждение частиц сферической формы .....................100
§4.4 Установившиеся течения одного направления..........................102
§4.5 Течение между двумя круговыми цилиндрами...........................105
§4.6 Приближение тонкого слоя...........................................106
§4.7 Течение жидкости со свободной границей.............................109
5 Теплопередача в вязких жидкостях и газах 113
§5.1 Общие законы........................................................113
§5.2 Уравнение притока тепла ...........................................113
§5.3 Теллоперенос в жидкостях.......................................... 115
§5.4 Теплоперенос в газе................................................118
§5.5 Тепловая диссипация газовых пузырьков..............................120
6 Конвективная диффузия в жидкостях и газах 124
§6.1 Постановки задач о конвективной диффузии ...........................124
§6.2 Аналогия задач диффузии и теплопереноса.............................127
Предисловие
Физико-химическая гидродинамика — это новая дисциплина, вошедшая в учебную
программу факультета наук о материалах МГУ им. М.В. Ломоносова в 2002 году, читалась
автором в течение 2002 - 2005 гг. Несмотря на большое количество прекрасных монографий
по гидродинамике [1-8], отсутствуют книги, по которым можно было бы прочитать краткий
и, вместе с тем, содержательный курс, который требуется специалистам в области наук
о материалах. Тем более нет книг, которые можно было бы рекомендовать студентам в
качестве учебного пособия. К этому следует добавить, что гидродинамика является одним
из наиболее сложных разделов механики и теоретической физики. Этими обстоятельствами
и продиктована необходимость написания учебного пособия.
Первая монография под названием "Физико-химическая гидродинамика" была написана
более полувека назад В.Г. Левичем [8]. В ней очерчен круг проблем, которые стали
традиционно относить к физико-химической гидродинамике. Такой подход взят за основу
предлагаемого учебного пособия.
В пособии подобраны известные из научной литературы (список литературы см. в
[9,10]) темы, наиболее простые для описания их методами математического анализа, и,
с другой стороны, важные для химии и химической технологии; капиллярные и термо-
капиллярные явления, движение и Осаждение твердых частиц в жидкости, движение
капель и газовых пузырьков, течения в смазочном слое, теплопередача и диффузия. Автор
стремился изложить все перечисленные проблемы с позиций современной гидродинамики
в максимально доступной для понимания студентами форме.
Пособие состоит из двух частей. В первой части изложены все основные сведения из
механики сплошной среды необходимые для понимания этого курса. Это делает учебное
пособие автономным, и для овладения предметом студенты могут ограничиться данным
пособием. Кроме того, сведения из тензорного исчисления, теорий напряжений и дефор-
маций, приведенные в первой части, широко используются в теоретической физике и
механике деформируемого твердого тела. Они будут полезны студентам для овладения
этими дисциплинами.
Во второй части излагается сам предмет физико-химической гидродинамики. В по-
собии после каждой темы приводятся вопросы и задачи для контроля и самоконтроля
знаний студентов. Задачи подобраны так, чтобы для их решения не требовалось сложных
вычислений.
В заключение автор выражает благодарность профессору А.Н. Голубятникову, прочи-
тавшему рукопись и сделавшему ряд замечаний, в частности, предложившему поместить
в учебное пособие решение задачи о диффузии примеси в неподвижной жидкости.
Автор благодарен профессору В.Н, Кузнецову, рекомендации которого учтены в учебном
пособии. И, наконец, автор благодарит всех студентов 3-го курса факультета наук о
материалах, принявших участие в обсуждении данного учебного пособия в 2004, 2005 гг.
и внесших значительный вклад по устранению опечаток и погрешностей изложения.
Часть первая
Краткие сведения
из механики сплошной среды
Глава 1
Тензорное исчисление
В связи с необходимостью записывать физические соотношения в инвариантной, т. е.
не зависящей от системы координат форме, в механике сплошной среды (МСС) [1]
используются тензоры.
§1.1 Тензорная алгебра
1. Алгебраические операции над векторами. В заданной декартовой системе коор-
динат трехмерного евклидового пространства вектор а представляет собой тройку чисел
а(а|,аг,аз). Из курсов по аналитической геометрии и линейной алгебры известны правила
скалярного и векторного умножения двух векторов а и Ь. В результате скалярного умно-
жения а b получается число, а векторного произведения а х b получается вектор, которые
вычисляются по следующим правилам
а b - a^bi + a^bi + a3b3, dxb-
i j k
Qi as аз
bi Z>2 b3
(l.D
Для трех векторов можно составить смешенное или векторно-скалярное произведение и
двойное векторное произведение:
а (Ь х с) = (а х Ь) с =
а1
bi
Cl
аг а3
Ьг Ь3
сг сз
(1.2)
а х (Ь х с) = bid с) - с(а • Ь).
(1.3)
Из этих правил, в частности, следует, что векторное произведение двух коллинеарных
векторов равно нулю и смешенное произведение трех компланарных векторов также равно
нулю.
2. Преобразование системы координат. Пусть имеются две ортогональные системы
координат Х|,Х2,%з и х^х^, которые условно назовем старая и новая (рис. 1.1). В
тензорном исчислении вместо привычных обозначений единичных векторов базиса i,j,k,
удобно ввести для них обозначения эьэг.эз [1].
Рис. 1.1: К преобразованию
системы координат.
матрица
Базисные единичные векторы новой системы ко-
ординат выражаются через старые базисные векторы э,
Э j = СЦЭ| + С12Э! + с13э,,
Э2 = f2|31 + С22Э| + СсзЭь (1-4)
Эд = С3|Э| + С32Э1 + С33Э|,
Эти равенства называются законом преобразования базиса, а
/ С11 С12 <43
С = I С21 С22 С23
\ С31 С32 Сзз
называется матрицей преобразования старого базиса в новый.
Если векторы э< и э' i — 1,2,3 — базисы двух декартовых
систем координат, то матрица С называется ортогональной
матрицей. Закон преобразования в матричной форме можно записать так
si
э2
э3
Ортогональные матрицы С подчиняются некоторым условиям, которые выводятся сле-
дующим образом. Поскольку базисные векторы - единичные и взаимно ортогональны, то
для их скалярных произведений справедливы равенства
э' э' = 5,,, 1,/ = 1,2, 3,
где Sij - символ Кронекера (ф;- = 1 при 1 = j и 5|;- = 0 при i j).
Подставляя в эти равенства (1.4), получим требуемые условия ортогональности матрицы:
с.тс/i ci2Cj2 + ci3ci3 = ф,, /,/=1,2,3.
(1.5)
Легко показать, что эти условия необходимы и достаточны для ортогональности матрицы.
В матричной форме их можно записать так: ССТ = Е или в развернутой форме
СиНгНз
С21С22С23
Сзj С32С33
С11С21С31
C12C22C32
НЗС23СЗЗ
(1.6)
где Ст - транспонированная по отношению к С матрица, Е - единичная матрица.
Отсюда следует, что по отношению к С матрица С7 является обратной: С' = С-1 и
легко записать обратный по отношению к (1.4) закон преобразования базиса
Э| \ / Э| \ 91 = Сцэ'| + С21Э2 + С3Р3,
Э2 = ст 1 э2 или э2 = С12Э1 +с22Э2 + С32Э3,
93 / \ э з ) Э3 = С|ЗЭ] + С23Э '2 + С33Э 3,
(1.7)
Определитель ортогональной матрицы равен ±1. Действительно, пусть определители
матриц С и Ст равны Д. Определитель произведения матриц равен произведению их
определителей и из равенства (1.6) получаем, что Д2 = 1, что и требовалось показать.
Примерами ортогональных матриц являются следующие:
cos a -sin а 0 \ /1 0 0 \
sin a cos а 0 , 0 1 0 I
0 0 1/ \ 0 0 -1 /
Первая матрица определяет поворот системы координат относительно оси л'з на угол а,
Вторая матрица - зеркальное отражение относительно плоскости хз = 0. Можно показать,
что любая ортогональная матрица с определителем единица определяет поворот системы
координат на некоторый угол относительно некоторой оси, а матрица с определителем — 1
- поворот и зеркальное отражение.
3. Соглашение о суммировании» В тензорном анализе принята следующая сокращенная
запись. Выражение для суммы
з
CjP! + С12Э2 ч- С]3Э3 = ^2
1=1
сокращают так
С1/Э..
Здесь знак суммы снят, а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от
1 до 3. Такая запись суммы называется соглашением о суммировании. В тензорной записи
закон преобразования базиса (1.4) и обратный закон (1.7) выглядят так
э-; = с1;э;, i,j = 1,2.3.
э) = IJ = 1,2,3,
(1.8)
(1.9)
а условие ортогональности матрицы (1.5) так
(1.Ю)
4. Определение тензора. Мы ограничимся рассмотрением тензоров только в ортого-
нальных системах координат, в которых базисные векторы взаимно ортогональны. Пусть
имеются две ортогональные системы координат, которые условно назовем старая и новая.
Базисные векторы э' новой системы координат выражаются через старые базисные векторы
э) по закону (1.8).
Простейшим тензором является тензор нулевого ранга (скаляр). Он характеризуется
одним элементом, независящим от системы координат. Тензор первого ранга t (вектор)
характеризуется тройкой элементов f1.f2.t3. Тензор второго ранга _t характеризуется квад-
ратной матрицей 3x3, состоящей нз девяти элементов
f|l 112 60
121 <22 г23
<31 132 133
(1.П)
Элементами тензора могут быть либо числа, либо функции пространственных координат и
времени.
Тензор определяется как инвариантный объект, не зависящий от выбора системы отсчета.
Для тензора первого ранга (вектора) t это означает равенство
t = (1.12)
Это равенство для вектора t означает, что в любой системе координат его величина и
направление остаются неизменными, хотя значения компонент Z1.Z2.Z3 меняются.
Для тензора второго ранга равенство, определяющее его как инвариантный объект,
будет таким:
Z = (1.13)
В (1.13) выражение э,э, есть тензорное (или диадное) произведение векторов, которое часто
обозначают 5/®э). Его не следует путать со скалярным произведением двух векторов э)
и э,, которое будем обозначать э, э), а их векторное произведение обозначим как э, х э).
Диады э)э) в (1.13) следует понимать как базисные векторы в девятимерном линейном
пространстве; порядок следования базисных векторов в диадах эЛ/ существенен, то есть
диады э,э,- и э.э, определяют разные базисные векторы.
Таким образом, тензор второго ранга можно охарактеризовать матрицей из 9-ти чисел
или столбцом из трех "векторных" элементов ij, F2.Z3
ЛЧ<2?13 \ / it
^21 <22^23 = /2
*31^32*33 / \ ?3
(1.14)
Числовые Z,7 и "векторные” б, <./ = 1,2,3 элементы преобразуются в соответствии с опре-
деляющим тензор равенством (1.13). Перейдем к выводу закона преобразования компонент
тензоров первого и второго рангов.
5. Закон преобразования. С помощью обратного преобразования (1.9) найдем
и равенство (1.12) приведется к виду
aJcpZ; = э'г'.
Приравнивая коэффициенты при базисных векторах, получим следующий закон преобра-
зования компонент вектора
Z,' = c,7Z;., < = 1,2,3. (1.15)
Отсюда видно, что тройка элементов Z1.Z2.Z3 преобразуются с помощью той же матрицы
с,/, что и базисные векторы в (1.8)). Поэтому закон преобразования (1.15) называется
ковариантным законом.
Аналогично из определения тензора второго ранга (1.13) получим ковариантный закон
преобразования его компонент
(1.16)
1 Из законов преобразования компонент тензоров (1.15) и (1.16) вытекают определения
тензоров первого (1.12) и второго (1.13) рангов. Поэтому часто их берут в качестве
определений тензоров первого и второго рангов.
По аналогии с (1.12) и (1.13) можно дать определения тензоров третьего, четвертого и
т.д. рангов. Мы ограничимся рассмотрением тензоров нулевого, первого и второго рангов.
Тензор первого ранга будем отмечать стрелкой t. а второго ранга - волной снизу
6. Приведение тензора к главным осям. Рассмотрим тензор второго ранга Т с сим-
метричной матрицей ttj = Такой тензор называется симметричным и для него можно
найти базис ЭрЭ^.Эз и матрицу С преобразования (1.4) так, что в новой системе координат
этот тензор будет иметь диагональную матрицу
/А, 0 0 \
О >2 О I .
\ о 0 А3 /
Числа А], Аз и Аз называются главными значениями тензора а оси координат новой
системы координат называются главными осями тензора. Процедура определения главных
значений и главных осей тензора называется приведение тензора к главным осям.
Опишем алгоритм процедуры приведения симметричного тензора к главным осям. Он
ничем не отличается от известной из курса линейной алгебры процедуры приведения
квадратичной формы к главным осям. Составляется система уравнений
(г11 — Л1)%1 + 1[9Х2 + I13X3 = О
121*1 г- (122 - А)Х2 + ^23-^3 = О
?31*1 -г 132*2 + (133 ~ ^)х3 = 0.
(1.17)
Число А, для которого существует нетривиальное решение системы х,. *2, *з. называется
собственным значением, а вектор X1.X2.X3 называется собственным вектором матрицы
Система имеет отличное от нуля решение Xt.x2.X3 только в том случае, если определитель
ее равен нулю
I (1|1 ~ />) 112 1,3 !
Д(Л) = I 191 (122 “А) 123 I = О
I 131 132 (1зз “ А) I
Раскрывая определитель, получим кубическое уравнение относительно собственных значе-
ний А матрицы tj-
-А3ч-/|А1 2-/2А + /з = О (1.18)
+ /3 = deti.f,;r. (1.19)
i r32 ?33 , I ‘32 *33 j ; ^21 ‘22 |
Уравнение (1.18) всегда имеет 3 действительных корня At, А2, A3. то есть три собственных
значения. Они и будут главными значениями тензора.
1 Из сравнения (1.15) и (1.16) видно, что элементы вектора t и "вектора" I. преобразуются по разным
законам. Это означает, что столбец трех векторов в (1.14) не является тензором второго ранга. Тензором
является столбец "векторов", компоненты которых обязательно подчиняются определению (1.13).
Рассмотрим случай когда главные значения не равны друг другу. Тогда для каждого
из них надется собственный вектор х\. х%,х$. Полученные три собственные векторы можно
нормировать и тогда получим три единичных вектора. Можно показать, что все векторы
взаимно ортогональны. Эти три единичных вектора э' — с^э; 4- сх2Э2 0,393 и являются
искомым базисом, а компоненты базисных векторов с,, образуют искомую матрицу С.
Направления векторов являются главными направлениями (осями) тензора.
Рассмотрим второй случай, когда два собственных значения равны Л] = Aj, а третье
собственное значение Аз А[. Тогда по третьему собственному значению Аз находим
единичный собственный вектор Х],Х2»*3 и третью строку матрицы С: сз] = *1,сз2 =
*2.сзз = хз- Собственные вектора, соответствующие собственному значению Ai находятся
из первого уравнения системы (1.17), а второе уравнение будет тождественно первому.
Собственным вектором будет любой вектор, лежащий в плоскости перпендикулярной уже
найденному третьему собственному вектору. В этой плоскости следует выбрать любую пару
двух ортогональных единичных векторов. Они и будут определять первую и вторую строку
матрицы С.
Наконец в третьем случае, когда все собственные значения равны друг другу Aj = А2 =
A3 = А, тензор £ имеет диагональную матрицу
А О 0 \
ОАО
О О А /
в любой ортогональной системе координат. Такой тензор называется шаровым.
7. Алгебраические операции над тензорами. Операции над тензорами, в результа-
те которых снова получается тензор, называются тензорными операциями. Существуют
следующие тензорные операции.
1. Умножение тензора на число: = с tij.
2. Сложение тензоров одинакового ранга: tij — Оу 4- Ь,}.
3. Тензорное умножение. В результате умножения двух произвольных тензоров получает
тензор, ранг которого равен сумме рангов сомножителей. Например, в результате умножения
тензоров второго ранга Оу и bt, получим тензор четвертого ранга = ОуЬы.
4. Операция свертки - суммирование по двум индексам. В результате свертки ранг
тензора уменьшается на 2. Например, при свертке тензора второго ранга получаем скаляр
а =
8. Инварианты. Функции компонент тензора, которые не меняются при преобразовании
базиса, называются инвариантами тензора. Например, инвариантом вектора vt является
квадрат длины вектора зд.
Три скалярные функции компонент тензора второго ранга
А — tit, /2 = J3 = ti^jktki (1.20)
получены в результате тензорных операций умножения и свертки. В результате получаются
тензоры нулевого ранга - скаляры. Они не зависят от базиса и следовательно являются
инвариантами.
Для симметричного тензора других независимых функционально инвариантов нет. В
главных осях тензора А приведенные инварианты можно выразить через главные значения
J\ — А] + Х2 A3, /2 = Aj + Aj + A3, /3 = А$ -г А$ + A3.
Характеристическое уравнение (1.19) не зависит от системы координат. Действительно,
его можно представить в виде det;|T — А£'| = 0, а в новой системе координат - в виде
det|ICr(T - ХЕ)С\\ = О,
где Т - матрица тензора А в исходной системе координат.
Определители матриц, С и Ст равны друг другу, а произведение их определителей
равно единице. Поэтому уравнение совпадает с исходным, что и требовалось доказать.
Таким образом, коэффициенты характеристического уравнения (1.18) - тоже инварианты.
Их можно выразить через главные значения тензора А
Л — Aj -J- А2 + A3, /9 = AjА2 + А]A3 4- А2А3 /3 = AjА2A3.
Инварианты I2 и /3 называются первым, вторым и третьим инвариантами тензора А-
Первый инвариант, равный сумме диагональных элементов ta тензора, называется следом
тензора.
Пользуясь приведенными формулами можно выразить первый второй и третий инвари-
анты через инварианты /1./2 и /3
л=л. = /3 = |(/33-з/1/2 + 2/3).
9. Примеры тензоров. Тензоры нулевого и первого ранга имеют простую геометричес-
кую и физическую интерпретацию. Тензорами нулевого ранга (скалярами) являются многие
физические характеристики: температура, плотность и другие скалярные характеристики
сплошной среды, заполняющей некоторую область пространства. Инварианты тензоров
более высоких рангов также являются тензорами нулевого ранга.
Примером тензора первого ранга является радиус-вектор точки г(Х|.*2.хз) в силу
равенств
Х;Э; = х'э' =И x'k = XjCk,. (1.21)
Тензорами первого ранга являются такие известные из физики характеристики как ско-
рость материальных точек сплошной среды, напряженность электрического поля. Они
характеризуются не только своей величиной, но и направлением.
Все приведенные примеры физических характеристик являются инвариантными объек-
тами в смысле данных выше определений тензора. Кроме того, они, как правило, зависят
от точки пространства - радиус-вектора г(х|,Х2,х3). Такие тензоры называются тензорными
полями. Более определенно поле тензоров нулевого н первого рангов называют скалярным
и векторным полями соответственно (более подробно смотрите §1.2). Из скалярного поля
Ф(г) с помощью дифференцирования образуется векторное поле о,- = ЭФ/дх:. Действитель-
но, из равенств (1.21), (1.9) и формулы дифференцирования сложной функции получим
равенство (1.12)
дФ ОФ , , , , ,
= БТ = TT7Q/, э; = с,;э, П;Э/ = = О,-Э, - -и.
Полученное векторное поле v называется градиентом скалярного поля Ф (см. п. 13.).
Аналогично, дифференцурая вектор о,-, можно получить тензор второго ранга с матри-
цей Vij = dvjdxj. Простейшим тензором второго ранга является шаровой тензор = Аб,у,
где А - скаляр. Нетрудно показать, что диагональная матрица его элементов не изменя-
ется при переходе к другому ортогональному базису. Шаровой тензор можно образовать,
дифференцируя радиус-вектор dxt/dxj = <5,у.
Другие примеры тензоров будут приведены ниже в разделе механики сплошной среды.
10. Виды и свойства тензоров. Тензор з с симметричной матрицей s,; = sy, назы-
вается симметричным тензором. Тензор а с антисимметричной матрицей а,у = — а.,
называется антисимметричным тензором. Можно показать, что свойство симметрии
и антисимметрии не зависит от системы координат. Любой тензор £ можно разложить
на симметричную и антисимметричную части. Причем разложение это единственно и
представляется следующими формулами
4/ = $ij + a-ij> = 2^ч + ~ (а,/ ~~
Матрица произвольного тензора состоит из 9 независимых элементов, симметричного
тензора - из 6, а антисимметричного из трех. Антисимметричному тензору а можно
поставить в соответствие вектор 3(а\,а2,аз) по следующему правилу
(О ГЦ2 «13 \ / 0 —аз аз \
0 «23 I = I «3 О -Щ 1
—0]3 —023 о / \ —02 0| 0 /
Если умножить антисимметричный тензор а на радиус-вектор г и затем свернуть полу-
ченный тензор по второму и третьему индексам, то получим вектор, равный векторному
произведению векторов а и 7. Таким образом, получим равенство
а,уХу = [а х г];.
Если же умножить симметричный тензор s на антисимметричный тензор а и свернуть
полученное произведение по первому-третьему и второму-четвертому индексам, то получим
тождественный нуль
— 0-
Действительно, свертка не зависит от того, какими буквами обозначаются индексы, по
которым производится суммирование. Поэтому s,yafy = Ддад. Заметим, что Sy, = з,/. а
а;1 = -а,у. Поэтому при перестановке индексов i и / получим равенство Spa,/ = —Si/aij — 0.
Тензор называется девиатором, если его след равен нулю. Любой тензор можно
разложить на шаровую часть и девиатор по следующим формулам
А; = j ЗД/ + ~
§1.2 Тензорные поля
И. Скалярное и векторное поля. Пусть с каждой точкой пространства (или час-
ти пространства) связано значение некоторого скаляра или вектора. Рассматриваемая
Рис, 1.2: Изолинии
скалярного поля.
часть пространства называется тогда скалярным или векторным
полем, смотря по тому, какая функция, скалярная или векторная,
изучается. Так, например, мы имеем в некотором неоднородном ма-
териале скалярные поля плотности и температуры. В реке мы имеем
векторное поле скорости воды и т. д. Так как каждую точку поля
можно определять ее радиусом-вектором, то задать скалярное поле
или векторное поле значит привести в соответствие радиусу-вектору
г(хь*2*хз) значение некоторой скалярной функции p(f) или неко-
торой векторной функции 3(f). Таким образом, в рассматриваемом
случае независимой переменной является радиус-вектор f. Часто
приходится рассматривать скалярные или векторные функции, из-
меняющиеся с течением времени: p(t,f) или 3(t,f). Соответствующие поля называются
нестационарными; поля же не меняющиеся со временем называются стационарными.
12. Графическое изображение полей. Скалярные поля p(f) в определенный фиксиро-
ванный момент времени удобно изображать в виде изоповерхностей в пространстве или
изолиний на плоскости, на которых значение р постоянно. Такое графическое представление
часто используется на топографических картах для изображения рельефа местности рис. 1.2.
Для наглядного изображения векторного поля используются век-
/1 торные линии, то есть такие линии, во всякой точке которой вектор
/------------ имеет направление касательной к ней рис. 1.3. Векторную линию
/~ можно построить, решив следующую систему дифференциальных
уравнений
dx\ _ dx<i _ dxz
Рис. 1.3: Векторные щ ~ а% ~~ ’
ЛИНИИ. , ч z , , ,
где ацХ1,Х2,хз), asUb*2,хзл G3Ub*2’x3) ~ компоненты вектора
S(f).
13. Градиент скалярного поля. Для скалярного поля p(f) часто бывает необходимо
знать как меняется у? по какому нибудь направлению, задаваемому единичным вектором
f(si,$2,$з)• Это изменение характеризуется производной по направлению вектора $, которая
определяется так
4- es) —
— = lim------------------.
OS €—О £
Подставляя в числитель разложение по е
p(r + es) - ip(r) = ip(xt + est,x2 +cS2.x3 + &s3) - p(x{,x2,x3) =
(dip dip dp \ o.
— £ I z-'S1 + я—s? + —S3 I + 0(e*)
\dxi dx2 dx3 J
и переходя к пределу s —» О, получим
dp (dtp dp dp \
-3- = STsl + + — s3 = s • gradv.
ds \ dx\ dx2 dx$ j
Это выражение представляет собой скалярное произведение единичного вектора s на вектор
gradiy? -
dtp _ dp _ dtp
я~э1 + —э2 + р—эа
oxi дх2 дхъ
(1.22)
Если направления векторов s и градиента совпадают, то производная по направлению
достигает наибольшего значения, равного |grad<a|. Таким образом, вектор gradip показывает
направление наибольшего изменения функции у>, a igradyr является величиной этого
изменения. Тензорный закон преобразования градиента был получен ранее в разделе 9.
14. Дивергенция и ротор векторного поля. Основными дифференциальными операто-
рами векторного поля, характеризующими до некоторой степени его изменение, являются
операторы дивергенции div и ротора rot векторного поля а(г). Они определяются так
,. да, daz да?
diva(r) = —1 + + —
dX) дх2 дх;<
rota(f) =
Из определений следует, что дивергенция вектора - это скаляр, а ротор вектора - вектор.
Компоненты вектора rota удобно вычислять с помощью определителя
Э) э2 э3
д д д
дх, дх2 дхз
а, а2 аз
15. Теорема Гаусса-Остроградского. В физике и механике часто встречаются поверх-
ностные интегралы, которые выражают поток векторного поля а через заданную замкнутую
поверхность S. Поток определяется следующим образом. Выделим элемент поверхности dS
с нормалью Я. Спроектируем вектор а на нормаль и умножим на площадь поверхности dS.
Полученная величина andS = а ndS = (a,n| + a2n2 -у a^n^dS называется потоком вектора
а через элемент поверхности dS. Интеграл от этой величины по всей поверхности S
а Я dS
называется потоком вектора а через поверхность S. Физический смысл этого понятия
можно прояснить на следующем примере. Пусть а - поле скорости некоторой текущей
жидкости. Тогда приведенный интеграл определяет объем жидкости, который вытекает из
поверхности S в единицу времени.
Важнейшая теорема, связанная с понятием дивергенции вектора, есть теорема Гаусса-
Остроградского о преобразовании поверхностного интеграла в объемный:
Поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции
этого вектора по объему, который ограничен этой поверхностью
i (aja, + a2n2 + a^npdS — [ (dV / andS = / divadV. (1.23)
Jdv Jv\dxi дхг dx2J J8V Jv
рнчлиотека кафедры]
[ гнлро.мехдннкн Л1гу
Здесь и далее принимаются следующие обозначения: V' - область пространства, в которой
определено непрерывно дифференцируемое векторное поле a. dV - замкнутая поверхность,
ограничивающая область V, нормаль поверхности п предполагается внешней по отношению
к области V. В курсах по векторному анализу (см. [11]) выводится сначала левая формула
(1.23) в фиксированной декартовой системе координат. Поскольку выражения ап и diva не
зависят от выбора системы координат, то правая тождественная формула (1.23) справедлива
в любой системе координат.
Теорема Гаусса-Остроградского позволяет записывать интегральные законы физики
в дифференциальной форме. В качестве примера рассмотрим закон сохранения массы
жидкости с заданными в некоторой области D полями плотности р(1, xj.x2.x3) и скорости
о(/,Х|,х2,хз). Поля плотности и скорости предполагаются непрерывно дифференцируемыми
в области D. Изменение в единицу времени массы жидкости М в произвольном неподвижном
объеме жидкости Vg £ D определяется интегралом
Л JVo dt
Уменьшение массы связано с количеством жидкости вытекающей из поверхности S. Поэтому
мы можем написать
dM I
= — Ф pvnaS.
Применяя к поверхностному интегралу теорему Гаусса-Остроградского (1.23), получим
[ 4- div(pvA dV — 0.
Ло У™ J
Поскольку это равенство справедливо для любого объема V € D, а подынтегральная
функция непрерывна, то подынтегральная функция тождественно равна нулю
+ div(piT) = 0. (1.24)
dt
Это и есть дифференциальное уравнение закона сохранения массы.
Рис. 1.4: Теорема
Стокса.
Стягивая область V в теореме Гаусса-Остроградского (1.23) в точку,
получим в пределе следующее инвариантное определение дивергенции
векторного поля
divt? = lim ( ~ ф andS
V-0 \ V Jgv
16. Теорема Стокса. Следующей важной интегральной теоремой яв-
ляется теорема Стокса. Рассмотрим поверхность S, которая в отличие от
поверхности в теореме Гаусса-Остроградского уже будет незамкнутая,
а ее границей является замкнутый контур dS. Про эту конструкцию
принято говорить так: замкнутый контур dS и натянутая на него поверхность S (рис. 3.2).
Теорема Стокса связывает поток векторного поля а через поверхность S и циркуляцию
векторного поля по контуру dS. Циркуляция вектора а по контуру dS определяется так
Г = ® (ajdxj + a?dx2 + азйхз) = Ф ads,
Jds Jas
где элементарный вектор ds(dxi, dxz. dx-л направлен по касательной к контуру dS.
Если вектор а представляет собой силовое векторное поле, то циркуляция означает
работу силы на контуре 9S.
Теорема Стокса формулируется так:
Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру dS равна потоку вектора
вихря через поверхность S, натянутую на контур dS
f ads = <f> rotandS. (1.25)
Jes Js
(Вывод теоремы Стокса см. [11]).
17. Оператор Гамильтона ("набла"). Все выше определенные дифференциальные опе-
раторы можно выразить через векторный дифференциальный оператор
„ д д д
V = Э!— -г э2— + э3 —.
иХ\ иХ% ОХ3
который называется оператором Гамильтона ("набла"). Его можно применить к скаляру
("умножить на скаляр”) или к вектору ("умножить на вектор") скалярно или векторно. В
результате получим выражения для градиента скаляра, дивергенции и ротора вектора
gradip = Vip, diva = VS, rots = V x a.
С помощью оператора Гамильтона можно выводить многие распространенные в физике
формулы векторного анализа. Для этого надо пользоваться оператором V как обычным
дифференцированием. Например, с помощью оператора V можно записать div(y;a) = V(y>a).
По правилу дифференцирования произведения имеем
V(y:a) = V(y5ca) + V(spac),
где индексом с обозначены функции которые временно считаются постоянными, то есть к
ним оператор дифференцирования не применяется.
В выражении V(y;ca) постоянный множитель выносим за знак V: V(y?ca) = y>Va.
Поступая также и со вторым слагаемым, получим
V(iya) = у VS + aViy,
В множителях, стоящих перед оператором V индекс с можно опустить, так как к ним
оператор V не применяется. В полученном выражении в первом слагаемом оператор
V применяется к вектору, значит это дивергенция. Во втором слагаемом оператор V
применяется к скаляру и следовательно это градиент. Таким образом, выведено тождество
div(^a) = y?diva + agrady?. (1-26)
Аналогично можно получить следующие формулы
div(a xb) = b- rota - а roti,
rot(a x b) = (b V)a - (a \Ob + a divb - Sdiva, (1.27)
grad(a b) = (b- V)a + (a V)ft + b x rota + a x rotF.
Полагая в последней формуле а = b = v получим следующую, часто используемую в
гидродинамике, формулу
grad(o2/2) = (v • V)o + v x rota.
(1.28)
18. Дифференциальные операции второго порядка. Если применить оператор V к
скалярному или векторному полю, то получим дифференциальные операции второго по-
рядка. Так как grad</? и rota являются векторами, то к ним можно применить операции
div и rot. В результате получим четыре дифференциальные операции
div grad ip — VVip —
rot gratis = V x VV .= 0, 2qj
div rota = V • (V x a) = 0, t /
rot rota = grad diva - Да о V x (V x a) = V (V a) — (V • V)a.
Оператор, обозначенный символом «А», называется оператором Лапласа
1/5 дх% oxi дх%'
(1.30)
Вторые два тождества соответствуют двум известным тождествам векторной алгебры: тож-
дественным равенствам нулю векторного произведения двух равных векторов и смешанного
произведения трех векторов, из которых два равны.
19. Обобщенная теорема Гаусса-Остроградского. С помощью оператора V можно за-
писать интегральную формулу, обобщающую теорему Гаусса-Остроградского. в следующей
символической форме
/ n(...)rf5 = / V(...)<ZV. (1.31)
Jav Jv
Здесь под многоточием понимается скалярная, векторная и даже тензорная функция, но
одна и та же в левой и правой части. Оператор V в правой части применяется скалярным
или векторным умножением и в соответствие с этим в левой части применяется вектор
нормали. Таким образом, находящимся в левой части: нормали п. элементу поверхности dS и
поверхности интегрирования dV соответствуют в правой части: оператор V, элемент объема
dV и область интегрирования V. Если вместо (...) подставить вектор, то получим обычную
теорему Гаусса-Остроградского. Если же подставить скаляр то получим следующую
теорему
/ pndS= ф grad(рdV. (1.32)
Jdv Jv
Эта формула также часто используется в гидродинамике. Вывести ее можно так. Применим
теорему Гаусса-Остроградского к векторной функции а = Ср, где С - произвольный
постоянный вектор
/ &pndS = ф div (С99) dV.
JdV JV
Пользуясь равенством div(C^) = Cgrad (см. (1.26)) и вынося С за знак интеграла,
получим
В силу произвольности вектора С получим требуемую теорему.
Для вывода уравнений движения сплошной среды потребуется формула, которая полу-
чается из (1.31) подстановкой вместо (...) тензора д. Нормаль и оператор V применяются
к тензору скалярно. Тогда получим следующую теорему
® p„dS = ® Div р dV.
Jav Jv ~
(1.33)
, дрц
где приняты обозначения р„ — р^П/Э,. Div р =
цией тензора. Он является тензором первого ранга.
э,.
Вектор Divjj называется диверген-
В виду важности теоремы (1.33) покажем как ее вывести из теоремы Гаусса-Остроградского.
В фиксированной декартовой системе координат согласно определению (см. раздел 4.) тен-
зор второго ранга yi можно рассматривать как вектор-столбец трех "векторов" Д, 1,2, 3.2
Тогда теорема (1.33) запишется в виде трех равенств
t Pi - ndS = ® divpdV,
av Jv
i = 1,2.3.
Каждое из этих равенств есть обычная теорема Гаусса-Остроградского (1.23) и, таким
образом, в выбранной нами декартовой системе координат формула (1.33) доказана. Бла-
годаря тому, что в (1.33) подынтегральные функции рп и Divyi - тензоры первого ранга,
формула (1.33) верна и в любой другой системе координат.
20. Формула дифференцирования по времени интеграла, взятого по подвижному
объему. Общие законы механики сплошной среды применяются к индивидуальному (ма
териальному) объему V. Так называется область V, которая состоит из одних и тех же
частиц среды и движется вместе с ними (рис. 1.1).
Характеристики индивидуального (материального) объема сре-
ды (масса, количество движения, энергия и др.) выражаются
интегралами типа
У A(t,Xi)dV.
v
Производная от интеграла, взятого по индивидуальному объему
V, будет определяться формулой
Рис. 1.5: Иидивидуаль- di / А^'х‘= / f AvndS. (1.34)
ный (жидкий) объем. г v av
Здесь первый интеграл учитывает изменение функции А во време-
ни, а второй, взятый по границе dV, - изменение индивидуальной области. Символом dV
обозначена граница области V', v„ - проекция скорости на внешнюю нормаль к границе
dV. Перейдем к выводу этой формулы.
1. Рассмотрим сначала одномерный случай. Материальные точки движутся по оси
х = хр. а(1) < х < b(f), а две другие координаты х?, %з не меняются. Концы отрезка
а(0 и b(t) изменяются по заданному закону. Тогда, применяя формулу анализа для диф-
ференцирования интеграла по отрезку с переменными верхним и нижним пределом, получим
^Поскольку система координат фиксирована, то отмеченный в раздел 4. нетензорный закон преобразования
при выводе формулы несущественен.
[ AdV = SZTt / A(l.x)dx = S f ^dx+S^A(t,b)~S~A(t,a).
i \ я a* J at J J ot Gi at
Л г V a a
I ^^7 Учитывая, что dV = Sdx, a o„ на боновых поверхностях цилиндра
\ равна b и -а, получим (1.34). что и требовалось доказать,
2. Рассмотрим двумерный случай рис. 1.6. Материальная
среда движется в плоскости xi,x? и заполняет область D. По
Рис. 1.6. Дифференциро- определению производной можем написать
вание интеграла по по-
движному объему. d [
Л / =
D
lim з; | f Aft + dxt.x^xzjdS - f Aft,x\,xz)dS ] =
Д(-о \p, D у
Здесь D - область, в которой частицы находились в момент
времени t, D' - область, в которую перетекли частицы среды из области D в момент
времени 1 + Д/, dV - элемент площади, dS - элемент границы 3D. Область D' представляем
суммой D' = D + (D' ~ D) и продолжаем равенство
= lim 4- ( [ Aft + At.x^xzfdS - / Aft,xi,x2)dS+
Дг->0 Дг \J J
D D
+ У Aft + ^t,xi,X2)dSy
D'~D
Разбиваем область D' - D на элементарные области площадью dSv„dxt. Тогда интеграл по
области D' — D сведется к интегралу по контуру 9D. Таким образом, придем к следующему
равенству
~ УA(t,X],xijdV = 2'mo 2^7 (У+ ~ У А^'x\'x2>d+ У Aon&tdS^.
D D D OD
В пределе при Д( — 0 получим формулу (1.34), что и требовалось доказать.
3. Для пространственного случая формула доказывается аналогично. Для доказательства
следует ввести в качестве аргумента пространственную координату хз, двумерную область
D следует заменить на трехмерную область V, под dV и dS следует понимать элементы
объема и поверхности соответственно. Область V — V разобьется на элементарные области
объема dSo„At В пределе получим искомую формулу (1.34) (более подробно смотрите
[1. Н]).
Глава 2
Пространственное напряженное
состояние
21. Тензор напряжений. Рассмотрим сплошную среду, состоящую из непрерывного рас-
пределения материальных точек с плотностью Материальные точки среды движутся
и заполняют некоторую область пространства D. Среда может быть наделена произвольны-
ми свойствами, В частности, это могут быть упругое твердое тело или вязкая жидкость.
Внутри области D вырежем произвольный объем V, и рассмотрим силы, действующие на
этот объем.
В поле силы тяжести на каждый элемент массы pdV действует сила тяжести pgdV.
Векторная величина g, равная ускорению силы тяжести, - это сила, действующая на
единицу массы среды и поэтому называется массовой силой. Массовые силы могут иметь
иную, например, электромагнитную природу, тогда она будет другой векторной величиной,
отличной от g. Обозначим внешнюю массовую силу так: F. Тогда на весь объем V будет
действовать результирующая массовая сила
/ pF dV (2.1)
Jv
Рис. 2.1: Напряжение
на площадке.
В механике сплошной среды более важную роль играют не
массовые силы, а поверхностные. Они действуют на объем V со сто-
роны оставшейся части среды и распределены на поверхности 9V.
На каждый элемент поверхности dS с внешней по отношению к V
нормалью п действует поверхностная сила р„ dS, пропорциональная
площади поверхности (рис. 2.1). Сила, действующая на единицу
площади поверхности. рп называется напряжением. Напряжение
имеет нормальную и касательную к поверхности составляющие,
которые называются нормальным и касательным напряжениями.
На весь объем действует поверхностная сила
/ Рп dS (2.2)
JdV
Выберем в качестве объема V достаточно малый тетраэдр, имеющий три грани, параллель-
ные координатным плоскостям, и четвертую, проходящую через точку .М с произвольно
Рис. 2.2: К свойству
вектора напряжений.
выбранной нормалью п (рис. 2.2). Построить его можно так. Проведем через точку М
плоскость с нормалью п. В противоположной от нормали п стороне возьмем точку N и
проведем из нее три луча параллельные координатным осям до пересечения с плоскостью
в точках А, В и С. Тогда A.B.C.N будут вершинами тетраэдра.
Применим принцип Даламбера к материальным частицам в
тетраэдре, согласно которому сумма всех внешних сил. включая
силу инерции, равна нулю
[ p(w~F)dV — f pndS, (2.3)
Jv Jgv
где w - ускорение частиц среды и представляет собой силу инерции
с обратным знаком.
Обозначим через р,. и рз напряжения на площадках с еди-
ничными нормалями координатных осей эь эз и эз и определим
сумму всех поверхностных сил действующих на грани тетраэдра.
Заметим, что внешние нормали к граням, параллельным коорди-
натным плоскостям, равны -Э), -эг и — Т, и имеют напряжения
—pi, ~Р2 и ~РЗ- Эти грани являются проекциями наклонной грани
и их площади равны Sn\, Sn2 и Sn3 соответственно. Таким образом, по теореме о среднем
для суммы поверхностных сил получим
Рп dS = Sp„ - Snipi - Sn2p2 - Snffi,
где чертой сверху обозначены средние значения соответствующих величин. По теореме
о среднем значении интеграл в левой части уравнения (2.3) будет равен произведению
объема тетраэдра hS/З на среднее значение вектора p(w-F), где S - площадь грани с
нормалью S, a h - высота, опушенная на эту грань. Таким образом, сокращая на общий
множитель S, получим следующее уравнение
h ———-г
- рГш - F) = р„ - ritpi - п2р2 - п3р3.
Устремляя высоту тетраэдра к нулю h —» 0. получим следующее выражение для напряжения
на любой площадке с нормалью п
Рп = ”1Р1 + П2Р2 + П3р3.
(2.4)
Обозначим через pa.pt2.Pi3 компоненты вектора напряжений р,- (i = 1,2,3). Они образуют
матрицу из девяти чисел
(Ри Р12 Р13 \
P2I Р22 Р23 I (2.5)
Р31 Р32 РЗЗ /
и, зная их. по формуле (2.4) можно вычислить напряжение р„ на любой площадке с
нормалью п.
Перейдем к выводу закона преобразований для чисел р,-,-. ij - 1.2.3 при переходе к
другому базису (1.8): э,-' = С;,э,.
Зафиксируем площадку и соответствующую ей нормаль п. Тогда напряжение рп и
нормаль п будут векторами. В двух различных базисах э, и э' в соответствии с определением
вектора (1.12) и обратным законом преобразования его компонент (1.9) имеем
П/'А'/'Э/ = П/Р,'/;, Эу = С;уЭу
Подставляя в левую часть первого равенства два вторых, получим
(с./'С/рР,';' - р./^э' = 0.
Отсюда, в силу произвольности п\ и э', вытекает тензорный закон преобразования (1.16).
Таким образом, компоненты напряжений р-1; образуют тензор второго ранга g = р^эр;
- тензор напряжений. Компоненты напряжения (2.4) на плошадке с нормалью п можно
выразить через компоненты тензора напряжений и компоненты нормали
(Й); = Pii^i, i = 1,2,3.
(2.6)
22. Дифференциальные формы уравнений. В разделе 15. был приведен пример ис-
пользования теоремы Гаусса-Остроградского для перевода закона сохранения массы в
интегральной форме в дифференциальное уравнение. Эту же идею можно использовать и
для других законов механики. Покажем как из принципа Даламбера (2.3) и уравнения
моментов в интегральных формах
[ p(w -F)dV = [ рп dS,
Jv JdV
I r x |p(w - F)] dV = j r x pn dS,
Jv L J JdV
(2.7)
получить дифференциальные уравнения. Для этого применим теорему Гаусса-Остроградского
к поверхностным интегралам в правых частях. Для первого интеграла эта формула уже была
выведена ранее (1.33). Подынтегральную функцию второго интеграла можно также записать
в виде трех векторов (г х р.) п и применить к каждому теорему Гаусса-Остроградского.
В результате каждое уравнение приведется к интегралу по объему
I p(w - F) - Div р dV = О,
v L
[p(t3 - F)j - Div(r x p)
dV = 0,
где символами Divр и Div(F x обозначены следующие векторные выражения
Div р =
dpi . dpi др3
Эх1 т дхг дх3'
ГУ м d(rxpi) difxpi) д(гхрз) ~
Div( г х р) = — ------+ —-------+ — --------= г х Div р
~ дх\ 9x2 дх3 ~
дг _ дг _ дг _
+ т~ х Pi + ту- х й + х Рз-
дх[ дх2 дх3
Последние производные от радиус-вектора г по координатам равны единичным базисным
векторам дг/дх; = э,. Поскольку подынтегральные функции непрерывны, то интегралы по
произвольным, как угодно малым, объемам V могут быть равны нулю, если подынтег-
ральные функции нули. Отсюда из принципа Даламбера получаем уравнение движения в
дифференциальной форме
p(w — F) - Div р - 0. (2.8)
Из интегрального уравнения моментов следует
г х (p(w - F) - Div р) - (bi х pi + э2 х и “ эз х р3) = О
и, учитывая уравнение (2.8), получим следующее уравнение
si хр]+э2 хД + эз хр3 =0 (2.9)
23. Симметрия тензора напряжений. Воспользуемся равенствами э) х э) = э2 х э2 =
sj х = 0 и подставим в векторные произведения (2.9) выражения (2.5). Тогда получим
Э1 X §2 р12 + Э| X §3 Р13 + Э2 X Э, Р2! + Э2 X э3 Р23 + Э3 X э. Р31 + Э3 X э2 Р32 = 0.
С помощью свойства векторного произведения: э, хэ, = —э; х э, уравнение можно упростить
Э1 х э2 (р12 - р12) + э2 х э3 (ргз - р32) + э3 х Э) (рз| - р/э) = 0 =>
Рис. 2.3: Эллипсоид
напряжений.
э3 (Р12 - Р12) + Э[ (/>2з — рзг) + э2 (psi - Р13) = 0.
Отсюда следует: рц = p2i, Раз = Р32, P3i = Р13. т.е. тензор напряже-
ний симметричный. Таким образом, симметрия тензора напряжений
является следствием уравнения моментов сил.
24. Эллипсоид напряжений. Коши предложил рассматривать
равенство (2.6) как линейное (афинное) преобразование вектора п
в вектор
липсоид.
Матрица
Поэтому
р„. Преобразование (2.6) переводит сферу |тГ| = 1 в эл-
который называется эллипсоидом напряжений (рис. 2 3).
тензора р,-; является матрицей афинного преобразования,
тензор иногда называют афиннором.
Эллипсоид напряжений дает простое геометрическое представ-
ление тензора напряжений. В раздел 6. главы 1 было показано как привести тензор к
главным осям и как найти главные значения и главные направления симметричного тензора.
Предположим, что они найдены и обозначим главные значения тензора напряжений через
о-|,<т2,сг3, а единичные векторы главных направлений через э)°. э20, э3°. Тогда в главных
осях равенства (2.6) принимают вид
Рр = => (рл)1 = С71П1, (Рп)2 = <Т2И2, (Рп)з = <ТЗПЗ- (2.10)
Уравнение поверхности эллипсоида напряжений можно получить из условия гр рп^ + п': = 1
((Рп)1)2 ((Рп)г)г ((Рп)з)г = .
(СГ])2 (<72)2 (<т3)2
Отсюда ясно, что главные значения тензора напряжений оу, <т2, <73, а главные направления
совпадают с направлениями осей эллипсоида.
Таким образом, получаем следующие свойства тензора напряжений
1. Три главные направления э) °, э2°, эз° взаимно перпендикулярны и направлены по
осям эллипсоида напряжений.
2. Длины полуосей эллипсоида напряжений равны главным значениям тензора напря-
жений <7j, оз, <73.
3. На площадке с нормалью главного направления э,-° касательное напряжение равно
нулю, а вектор напряжений Р(п) коллинеарен э;° и равен по величине главному значению
a,. i = 1,2,3.
4. В главных осях э) °, э2°, эз°) вектор напряжений рп имеет составляющие <7|П|,
а2п2, <7зпз, нормальная Л'„ (проекция на нормаль п) и касательная (проекция на плоскость
перпендикулярную нормали) тп составляющие имеют вид
Лг„ = <7|П? + <72П2 + °ЗпЗ’ тп = + <7^п^ + <7^И^ - (<7jnf + <72rJ + <73л^)2. (2.11)
5. Нормальные напряжения на площадках имеют три экстремальных значения, равные
главным значениям <7i,<72.<73. Наибольшее нормальное напряжение на площадке равно
наибольшему абсолютному главному значению: maxl,Vn| = max(|<7i|. |<т2|, |<73|).
6. Наибольшее касательное напряжение на площадке равно наибольшей полуразности
собственных значений.
, , /1, ,1, ,1 А
тах(т„) = max I -|<72 - <7)!, -1<73 - <72|, -1<73 - <тц ) .
Этот результат получен независимо Гестом (Gest J. 1900) и Мором (Mohr О. 1900) и
является основой теории пластичности. Для плоского напряженного состояния результат
был достигнут еще Сен-Венаном.
Перечисленные свойства 1-5 легко получаются из рассмотрения эллипсоида напряжений.
Свойство 6 можно получить из определения экстремума функции т% в (2.11) при условии
п1 + + 4 Используя метод множителей Лагранжа, задачу условного экстремума можно
свести к условию безусловного экстремума функции f = + А(п,-п, - 1). зависящей от
П|,п2,пз и множителя Лагранжа А. Дифференцируя / по независимым переменным ni,n2,n3
и А, получим систему четырех уравнений
[<rf + А - 2<7,(<7]П2 + <72nj -I- <73П3)] П| = 0, I = 1, 2, 3.
л2 + п2 т п2 = 1.
Решение ищем в виде, в котором пз = 0. Тогда получим следующую линейную относительно
и А систему уравнений
2<7^П2 т 2<7]<72п2 — = 4
2<7|<72П2 т 2(72^2 - А = <72-
nf + = 1.
Эта система имеет следующее решение:
nf = Г?г = 1/2, А = <7ji72.
Подставляя найденные значения коэффициентов нормали в выражение (2.11) получим
следующее экстремальное значение для т„
+ ст2)2 = - <72)2.
Аналогично найдем два других экстремума:
"2 = пз = !/2. А = сг1<тз, т? = |(<т1 - аз)2,
„2 = п23 = 1/2, А = а2а3, т‘ = |(а2 - <т3)2.
Наибольшее из этих экстремальных значений на площадке равно наибольшей полуразности
собственных значений, что и требовалось доказать.
Следует отметить, что есть еще три экстремальных значения, соответствующих нулевым
минимальным значениям касательного напряжения на площадках главных направлений при
«1 = П2 = О, П] = Пз И П2 = — О-
25. Девиатор и шаровая часть тензора напряжений. Как и любой тензор второго
ранга тензор напряжений pij разлагается на девиатор s,y и шаровую часть
а,; = -р<5;/ + 3,7, р = -(<71 + <72 + О3)/3.
(2.12)
где р называется давлением.
Глава 3
Кинематика жидкой деформируемой
среды
26. Поле скорости. Распределение скоростей в малой окрестности жидкости. Дви-
жение жидкой сплошной среды полностью описывается полем скорости v = Компоненты
вектора скорости о, зависят от времени t и координат точки г(Х},Х2.х$). Рассмотрим точку
г и ее малую окрестность г + дг, <5г(<5х|, <5хг, <5хз). Распределение скорости в малой окрест-
ности можно описать с помощью тензора дисторсии vij = dvjdxj. С точностью до малых
второго порядка <5г2 поле скорости будет линейным по координатам ох.
О г
С/ = Vi 4- VijbXj
(3.1)
Тензор дисторсии можно разложить иа симметричную v,/ = (гуу + о,;;)/? и антисимметричную
= (v,j — tr,-.()/2 части. Матрица ту выражается через компоненты вектора вихря rotv
w, = (rot V)i,
1
-, = 2
1
^з~2
dvs
9X2
dv2
dxi
0x3 J ’
dx2J’
(3.2)
Если подставить о;./= wy + ь'у в (3.1) и воспользоваться выражением (3.2), то получим
теорему Коши-Гельмгольца
v(r + дг) - и(г) + ш х dr + v . v* — v:idx,. (3.3)
Первые два слагаемые правой части совпадают с формулой Эйлера для распределения
скоростей точек твердого тела; о(г) — поступательная скорость в точке г, cj — вектор
угловой скорости. Последнее - третье слагаемое о* - определяет чистую деформацию. В
абсолютно твердом теле о' = 0.
27. Тензор скоростей деформаций. Деформационное течение определяется тензором
1,
v‘i = +
(3.4)
Выясним как изменяется
тем, что конец и начало
помощью (3.3) имеем
элемент сплошной среды Or. Изменение вектора 6х обусловлено
его движутся с разными скоростями v(r) и - 6г). Отсюда с
= Ox6r + v*. (и* = р.бх/).
(3.5)
Умножая обе части равенства (3.5) скалярно на вектор 6г, получим
,-а<5г х х
ОГ-— = ОГО = Щ;дХ;6х:.
at ‘
Учитывая тождества
rd6r Id 1<W ,г.д\6~г\
SrW = 2dt{drSr)=2-dT^SrhdT
найдем относительное удлинение волокна среды, направленного по единичному вектору п
1 <7i<5r|
—-------Т~ = О,1ГЧП:,
|<5г| dt “
8xi
П; ~ ~^г
i<5r|
(3.6)
Если единичный вектор п направить по оси Х[, он будет иметь компоненты 77(1,0, 0). Тогда
из (3.6) получим, что относительное удлинение волокна направленного по оси Х| будет равно
оц. Таким образом, диагональные элементы тензора скоростей деформаций он, г>22. пзз
— это относительные удлинения волокон, направленных по соответствующим
координатным осям Х[,Х2,хз.
Покажем, что удвоенные значения компонент с неравными индексами 2ojj, 2oj3,2оаз
равны изменениям углов 612.613.633 между волокнами расположенными в направлении
координатных осей соответственно xt.x?; xi.xj и х^.хз.
Для этого выберем два бесконечно малых вектора pip, 0, 0) и /ДО, и, 0) вдоль коорди-
натных осей X] и и. Запишем для них уравнения (3.5)
dpi/dt = (ш х Д), 4- / = 1,2,3, ||
dip/dt = (ш х й), + 0,2^, ! = 1,2,3. \\щ
Умножим первую группу уравнений на л, а вторую на р, и просуммируем их по I. Тогда,
учитывая равенство (ш х р)й + (о> х и)р = 0, получим
d(pu)
—-— = 2о12 р и.
dt
Подставляя в скалярное произведение р-и = рисозвя и учитывая, что в начальный момент
времени волокна перпендикулярны cos0|2 = 0, sin 0)2 = 1. для производной в начальный
момент времени получим
- р vddiz/dt =2vi2 р с.
Аналогично можно получить равенства для волокон, направленных по другим взаимно
перпендикулярным осям. Отсюда следует
2oi2 = -de-,v'dt, 2t>13 = -dd^/dt, 2t>23 = -de^Jdt.
Удвоенные компоненты с неравными индексами 2ои, 2о|3.2о2з называются скоростями
сдвига и определяют скорости изменения прямых углов между волокнами, направ-
ленных по координатным осям.
28. Деформации в главных осях. Тензор скоростей деформаций - симметричный тензор
и для него можно применить все выводы, полученные для тензора напряжений в разделе
24. Его также как и тензор напряжений можно привести к главным осям, направленных
по главным направлениям единичных векторов э°, э°, э®, в которых матрица тензора
будет иметь диагональный вид
/ ui 0 0 \
I О U2 о j
\ 0 0 и3 у
где Uj.u2.u3 — главные значения тензора v.
Можно также рассмотреть эллипсоид деформаций и показать, что собственные значения
ui.U2.U3 являются экстремальными значениями относительных удлинений. Если располо-
жить их в порядке возрастания щ < u? < и3, то щ будет наименьшим, а и3 — наибольшим
относительным изменением волокон.
Рассмотрим как деформируется частица среды, первоначально имеющая форму сферы
малого радиуса е. В процессе своего движения через малый промежуток времени dt она
превратится в эллипсоид. В главных осях эллипсоид будет иметь полуоси е(1 + u\dt),
д(1 + u2d/), е(1 +из<//). Первоначальный объем частицы Vo = (4тг/3)с3 через малый отрезок
времени dt будет иметь объем И = (4тг/3)е°(1 + u2 + u3')df). Относительное изменение
объема частицы среды равно
1 dV
- ~ = u, + u2 + u3.
Наибольшая скорость сдвига равна итах = и3 — щ. В главных осях такую скорость сдвига
будет иметь волокно, направленное по биссектрисе координатной плоскости х2 = 0.
29. Инварианты. Первый инвариант тензора скоростей деформаций v
ин = uj + u2 т из = div?
определяет скорость изменения объема частицы среды. Для несжимаемой среды он равен
нулю, а тензор и является девиатором.
Остальные два инварианта тензора деформаций через свои собственные значения вы-
ражаются так (см. раздел 8. )
/2 = U1U2 + Щи3 + U2U3, /3 = U1U2U3.
В классических (ньютоновских) жидкостях учитываются линейные скорости деформаций.
Поэтому для описания движения классической жидкости первый инвариант играет ос-
новную роль, а второй и третий имеют второй и третий порядок малости по скорости
деформаций и не учитываются в уравнениях движения. В более сложных нелинейных
моделях (неньютоновских) жидких средах второй и третий инварианты входят в уравнения
движения наряду с первым инвариантом.
Глава 4
Уравнения движения жидких
сплошных сред
§4.1 Общие законы динамики сплошных сред.
30. Общие и отличительные черты жидких и твердых сплошных сред. В главе
2 было показано, что напряженное состояние сплошных сред не зависит от свойств
среды. Установленные свойства тензора напряжений не зависят от того какой является
среда жидкой или твердой. Дифференциальные уравнения сохранения массы (1.24) и
динамические уравнения (2.8) универсальны и применимы к любой среде. Различные
формы таких уравнений механики сплошной среды приводятся в этом разделе. Однако,
этих четырех уравнений не достаточно, чтобы получить решение для трех компонент
скорости, плотности среды и шести компонент тензора напряжений.
Для того чтобы написать замкнутую систему уравнений нужно конкретизировать модель
сплошной среды. Для этого нужно установить связь между напряженным и деформацион-
ным состояниями сплошной среды. Следует отметить существенную разницу в подходах
для описания деформаций в твердом теле и жидкости. Для описания деформационного со-
стояния жидкости были введены поле скорости и тензор скоростей деформаций. В твердом
теле обычно деформации небольшие и для их описания вводят вместо поля скорости поле
перемещений материальных точек, а вместо скорости деформации - просто деформации.
В этом и состоит различие в механических моделях жидких и твердых сплошных сред.
Не смотря на это различие, способ построения тензора деформаций по полю перемещений
аналогичен описанному в главе 3 построению тензора скоростей деформаций по полю
скоростей. Поэтому методы МСС одинаково применимы к описанию как жидких так и
твердых сред.
Мы ограничимся рассмотрением вывода замкнутой системы уравнений для некоторых
наиболее употребительных жидких сплошных сред. Отметим также, что разделение сред
на жидкие и твердые является достаточно условным. При увеличении нагрузки процесс
деформирования в твердом теле может перейти в пластическое течение. Такие среды,
могут иметь области пластического и твердого состояния. Эти эффекты учитываются в
приведенных ниже моделях пластических и вязкопластических сред.
31. Общий подход к выводу дифференциальных уравнений движения сплошной сре-
ды. В разделах 15. и 22. были приведены способы вывода дифференциальных уравнений
сплошной среды. Их полезно дополнить общим подходом на основе формулы дифференци-
рования по времени интгерала, взятого по подвижному объему (см. раздел 20.).
Пользуясь теоремой Гаусса-Остроградского. формулу (1.34) можно записать так
- I
dt J
I/
дА
dt
W\
+ dxi )
dV.
(4.1)
Введем понятие полной производной по времени от функции А(1,х,). Она учитывает закон
движения материальных частиц х,(1), < = 1.2,3. По правилу дифференцирования сложной
функции
дА dx, дА
dt + dt dxi'
Заменяя
получим выражение
dA дА дА
--- =-----1- О;-
dt dt-----dxi
(4.2)
которое называется полной производной по времени от А. Второе слагаемое (4.2) называется
конвективной производной. С помощью формулы полной производной (4.2) производную
интеграла (4.1) можно записать так:
I/ I/
----1- 4div v
dt
dV.
(4.3)
^-A(t, x:(t)) =
32. Закон сохранения массы. В раздел 15. главы 1 было выведено дифференциальное
уравнение сохранения массы. Ввиду его важности покажем как оно выводится с помощью
формулы дифференцирования интеграла по материальному объему сплошной среды.
Сохранение массы вещества в материальной области V с помощью формулы (4.1) можно
записать в виде
dt J J \dt dxt J
V V
где p — плотность вещества в момент времени t в точке пространства с координатами
Xi. Учитывая, что это равенство имеет место для любого материального объема, получим
дифференциальное уравнение
Ф д(руд др
— +—=0 или — + div(pzT) = 0.
dt дх, dt
(4.4)
Это уравнение называется уравнением неразрывности. Его можно записать также в виде
Для несжимаемой среды плотность частицы сохранятся, что выражается уравнением
dp'dt = 0. Таким образом, закон сохранения массы в несжимаемой среде записывается в
виде двух уравнений
dp/dt = 0, divo = 0. (4.6)
Если среда однородна и несжимаема, то
р = const, divn = 0. (4.7)
Если заменить в (4.3) подынтегральную функцию А на рА, то под интегралом в правой
части получим
d(M) ... - CIA (dp
—-----F pAdiv v = р— + Д -Д + р div о
dt ’ dt \dt р )
и, пользуясь уравнением неразрывности (4.5), упростим
d(M) «и. - dA
——- +Mdivy = р-~.
at at
Таким образом, формулу (4.3) можно записать в следующей компактной форме:
(4.S)
V V
33. Уравнение количества движения. Дифференциальное уравнение количества дви-
жения сплошной среды было уже выведено (см. (2.8)). Покажем, как его вывести из закона
изменения количества движения для материального объема среды в интегральной форме
= У pgdV + У р„ dS.
и av
(4.9)
Здесь О - количество движения среды, заключенной в материальном объеме V'
Q = У pvdV.
v
Применяя формулу (4.8), получим
dQ
dt
Г dv
JPdtdV-
Правая часть (4.9) — это сумма сил, действующих на среду. Первое слагаемое — это
суммарная сила тяжести. Второе слагаемое, суммарная поверхностная сила, приводится по
формуле (1.33) к объемному интегралу. Таким образом, закон (4.9) можно записать так
/<>=/(
pg +
dV
и отсюда получим дифференциальные уравнения движения в тензорном, не зависящим от
системы координат, виде
Р = Pg- Div р. (4.10)
Такая форма позволяет легко записывать уравнения в любой криволинейной системе
координат. Для этого достаточно спроектировать соответствующие векторы на орты системы
координат и воспользоваться соответствующими формулами для компонент дивергенции
тензора (см. §1.3, часть 2).
В декартовой системе координат уравнения количества движения имеют вид
= Pg, +
i = 1.2,3.
(4.11)
dxj ’
34. Закон изменения кинетической энергии. Из уравнения (4.10) можно получить
закон изменения механической энергии. Для этого нужно умножить обе части уравнения
на о, и просуммировать их по i = 1,2,3. Затем воспользоваться тождествами
(dv\ d v1 дрр d(Vipp) dV, d(vipij)
p\Tt), v‘ = рш~2' Via^ = ~"PqVih
После подстановки получим уравнение изменения кинетической энергии в дифференци-
альной форме.
= + (4.12)
dt 2. д*!
Левая часть уравнения — изменение кинетической энергии среды в единице объема.
В правой части первое слагаемое — работа в единице времени (мощность) внешних
массовых сил тяжести, второе слагаемое — мощность внешних поверхностных сил и
третье слагаемое — мощность внутренних поверхностных напряжений. Чтобы получить
закон изменения кинетической энергии в материальном объеме V нужно проинтегрировать
обе части уравнения (4.12) по объему V и воспользоваться теоремой Гаусса-Остроградского
и формулой (4.8)
Ар — \de) , дг(<)
^ГСКИН ~ "Г 'vnOB ' JVnOB’
£кин = / P~%dV ’ hg } ~ / p{gV\dV 1 (4 13)
V V
Лгпов = f Vipi/riidS, Ш ~f PijVijdV.
Г V
Здесь — мощности в объеме V внешних массовых сил тяжести, внешних
поверхностных сил и внутренних поверхностных напряжений.
Мощность внутренних поверхностных напряжений Л'поВ определяет потери механической
энергии. Для классических моделей сплошных сред величина Л^т < 0. Противоположная
ей по знаку величина D = -Алов называется диссипируемой в объеме V механической
энергией. Она определяет ту часть механической энергии, которая переходит в другие
виды энергии, например, в тепло. Диссипируемые энергии в единице объема и в объеме
V не могут быть отрицательными
pijV.j >0, у p^jdV > 0.
v
Мощность силы тяжести можно представить как изменение потенциальной энергии
силы тяжести Епот
Nge) = £пот = ”У Pgi*idV = у pgzdv,
у у
где г — координата, направленная вертикально вверх.
Если движение среды происходит в области, на границе которой поверхностные силы
работы не совершают, то закон (4.13) можно представить как закон изменения полной
механической энергии Е
dE
= £ = £ки„+£пот. (4.14)
at
Заметим, что работа внешними поверхностными силами не совершается на твердой стенке
и на свободной поверхности. На твердой стенке вследствие условия прилипания v = 0
мощность равна нулю Vippn/ = 0. На свободной поверхности Г обычно задается усло-
вие отсутствия касательного напряжения т'"'’ = 0, а нормальное напряжение Х^ равно
постоянной величине pq. Тогда
[ dV
UiPijftj = vrpo => / vnpodS = Po-^y.
г
Так как объем несжимаемой среды не меняется dV/dt = 0, то Л'пов = 0 и закон (4.14)
также имеет место.
§4.2 Модели несжимаемых жидких сред
Для построения моделей жидких сред нужно установить связь между девиаторами скорости
деформации и напряжений. Для изотропных сред это соотношение не должно зависеть от
выбора направления осей декартовой системы координат. В тензорно линейных моделях
такая связь задается соотношениями
sij = 2Kvlj, рц = -p&t/ + Sj,, (4.15)
в котором К может зависеть от второго и третьего инвариантов тензора v (первый инва-
риант в несжимаемой среде равен нулю). Для ньютоновских жидкостей К предполагается
постоянной величиной. Для неньютоновских несжимаемых жидкостей К может зависеть
от второго и третьего инвариантов. В вязкопластических средах в качестве вторых ин-
вариантов тензоров скоростей деформаций v и напряжений р вводят U = уЗоцц;, и
Т = ^/sijS^/2. Тогда из (4.15) вытекает следующее соотношение между инвариантами
Зависимость (4.16) можно приближенно заменить на зависимость между наибольшим каса-
тельным напряжением и наибольшей скоростью сдвига ттах = итахК и найти зависимость
Щитах) из эксперимента.
Если связь (4.15) установлена, то. подставляя ее в уравнения движения (4.11) и
присоединяя уравнения (4.6) или (4.7). получим замкнутую систему пяти уравнений для
определения функций р,р, t>i, и?, 03.
Несмотря на кажущуюся простоту, соотношения (4.15) описывают сложные нелинейные
зависимости напряженного состояния среды от скорости деформации. Перейдем к описанию
четырех, наиболее употребительных, моделей жидких сред.
35. Идеальная жидкость. В соотношении (4.15) принимаем, что К = 0. Тогда тензор
у будет шаровым
Р.! = -P^i- (4.17)
Касательные напряжения на площадках в идеальной жидкости отсутствуют, т. е. Т = 0.
Эта простейшая модель введена Эйлером. Модель не содержит ни одного феноменологичес-
кого параметра. Она хорошо описывает инерционные эффекты жидкости и применяется для
изучения течений с большими скоростями, кавитационных течений, существенно нестаци-
онарных течений, течений со свободными границами, для описания волн на поверхности
тяжелой жидкости. Однако эта модель не описывает трение на границе жидкости с дви-
жущемся в ней твердым телом. Диссипируемая энергия р,;ц,7 тождественно равна нулю,
потерь механической энергии нет. Эти эффекты учитываются в более сложных моделях.
36. Вязкая ньютоновская жидкость. В соотношении (4.15) принимаем: К = /л, где у —
феноменологическая постоянная. Она называется коэффициентом динамической вязкости.
Тензор напряжений определяется так
Ру ~ ~рРу 4" Т = pH.
Для сдвигового течения около твердой стенки vx = ky, vy = пг = 0 получим закон Ньютона
для трения вязкой жидкости о твердую поверхность у = 0
г = рху = p,dvx/dy.
С помощью этой формулы измеряется коэффициент у. Единицей измерения у в системе
СГС принята Ш — 1-------, называемая пуазом. Коэффициенты вязкости у для некоторых
жидкостей при температуре 20°С приведены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Вещество Д, г/(см • с) ; Вещество у, г/(см • с)
Ацетон 0,00337 i Ртуть 0,0159
Спирт метиловый 0,00632 Масло оливковое 0,9
Вода 0,0105 Масло машинное 6.6
Спирт этиловый 0,0122 Масло касторовое 12
Уксусная кислота 0,0127 Глицерин 13.9
Диссипируемая энергия вязких жидкостей в единице объема вычисляется так:
Pt/Vij = 2pDi.-vlj = ТС = pU2 = Т2/fi.
37. Идеально пластическая среда. Для коэффициента К предполагается следующая
зависимость от инварианта С:
K = rs/C.
Отсюда получим соотношение
р,- = -p&i, т 2ts v:j/U, Т - ts.
При течении в идеально пластической среде второй инвариант тензора напряжений по-
стоянен. Максимальные напряжения на площадках близки к постоянному значению rs.
Диссипируемая энергия идеально пластической среды такова
SfjVfj = ТС = tsU.
38. Вязкопластическая среда. Зависимость коэффициента К от инварианта С такова
К = p + Ts/C,
а реологические соотношения имеют вид
Pij = -pSij -t- 2(р + rjU}vih Г = pU + rs.
Эти соотношения для общего трехмерного течения введены Генки (Hencky H.Z., 1925).
Среда определяется двумя параметрами: р — динамический коэффициент вязкости, ту —
предельное напряжение сдвига. При ту = О получаем вязкую жидкость, при р = 0 —
идеально пластическую среду.
Предельное напряжение сдвига имеет размерность давления. За единицу измерения rs в
системе СИ принят паскаль Ша = 1Н/м2 = 10г./(смс2). Единицу измерения коэффициента
вязкости П можно выразить через паскаль-секунду Ш = 0.1Па с.
В табл. 1.2. приведены данные этих характеристик для смесей глицерина с мелко
размолотым порошком мела н глины, а также смазки «фаэтол».
Таблица 1.2
Вещество т5, Па М, Па • с р. г/см3
Мел с глицерином, весовое отношение 3:2 2,9 4,39 1.7
Глина с глицерином, весовое отношение 4:5 6,44 2.55 1.5
Смазка «фаэтол» 11.5 22 1.?
В движушейся вязкопластической среде может быть жесткая зона, в которой скорость
деформации равна нулю С — 0. В этой области второй инвариант Т неопределен и
подчиняется неравенству Т < rs. Окончательная формулировка реологического соотношения,
учитывающая наличие жестких зон. будет такой
s,-, = 2 (/2 + rs/U) Va
T = rs + pU
Т < ту.
и > 0.
и = 0.
(4.18)
Это соотношение можно разрешить относительно компонент тензора деформаций и выра-
зить их через компоненты тензора напряжений. Полученное соотношение будем называть
обратным соотношением девиаторов напряжений и деформаций
" 2д " >
U = (T-rs)/p J
U = 0,
Т > rs,
Т < rs.
(4.19)
Диссипируемая энергия в ядре равна нулю, а в области U > 0 определяется так:
Si,o„ = TU = pU2 + rsU = (72 - т^Л/ц.
Упражнения
1. Какому условию должны удовлетворять три вектора а. Ь. с, чтобы из них можно
было образовать треугольник.
Ответ: а + Ь + с = 0.
2. Найти матрицу С, определяющую следующее преобразование базисных векторов
i —»j —» k, k —» i. Проверить является ли матрица С ортогональной.
/ ° 1 ° \
Ответ: С = I 0 0 1 I
\ 1 0 0 /
3. Найти матрицу поворота системы координат на угол а относительно оси %з.
(cos а — sin а 0 \
sin a coso 0 I
0 0 1 J
4. Вычислить суммы Sit, Зубр,
Ответ: 3, 3, 3
О. В некоторой декартовой системе координат компоненты тензора удовлетворяют соот-
ношениям: a) tij = t/: б) tij = -Д:. Показать, что условия симметрии а) и антисимметрии:
б) тензора выполняются и в любой другой декартовой системе координат.
6. В точке М в декартовой системе координат компоненты тензора напряжений заданы
матрицей
/8 0 -4 \
(р,7) =050
\ -4 О 4 J
Определить вектор напряжений рп на площадке с нормалью ft = — j) +
Ответ: pn = --у/ +
7. Записать закон преобразования тензора (1.16) в матричном виде.
Ответ: Т' = СТС1', где Т и Т’ - матрицы тензора t в исходной и преобразованной
системах координат, С - матрица преобразования (1.4), С!г - транспонированная .матрица.
8. Написать в матричном и тензорном видах обратный закон преобразования компонент
тензора С
Ответ: Т = С'Т'С. Д =
9. Напряженное состояние в некоторой декартовой системе координат Ох-.х^х-., определено
тензором
/ 2 -2 0 \
(рч) = I - 2 v2 О I
\ О 0 -Л /
Вычислить компоненты этого тензора р' в другой декартовой системе координат, преобра-
зованной с помощью матрицы С
/ 0 1/Л l/v'2 \
С = l/v'2 1/2 -1/2
\ -1/Л 1/2 -1/2 )
Решение: Закон преобразования (1.16) удобно записать в матричном виде (упр. 7)
' 0 1/Л 1/\/2 \ /2-2 0 \ / 0 1/\/2 — 1/х/2
(р-) = 1/V2 1/2 -1/2 -2 \2 0 1 l/v'2 1/2 -1/2
< -1/Л 1/2 -1/2 / \ 0 0 -V2 / \ l/v'2 -1/2 -1/2
/00 2 \
0 1 - V2 -1
\ 2 - 1 \ + V2 /
10. Найти проекцию вектора напряжений рп (2.4) на нормаль п.
Ответ: Pan = РиПЛ:-
11. Показать, что закон преобразования тензора напряжений можно получить, восполь-
зовавшись выражением р„п — р.т^п- (упр. 10).
Решение: Так как рп„ - тензор нулего ранга (скаляр), в любой системе координат он
записывается одинаково: р'^п'л'- = р^рп.рпр. Согласно закону преобразования вектора (1.12)
= С/рПр, n'j = Сртр получим
(//'/Сн-с,/ - = о.
Поскольку направления осей произвольны, то р'дп'С;!’ - рер = 0, что является обратным
законом преобразования тензора (см. упр. 8).
12. Тензор напряжений в декартовых осях Oxix-^p имеет компоненты
/ Э ! 1 \
(Рц) =1 0 2
\ 1 2 0 /
Определить главные напряжения и главные оси тензора напряжений.
Решение: Согласно п. 6. главные напряжения А определяются из характеристического
уравнения
Д(А) =
3-А
1
I
1
-А
2
1
2
-А
= -А3 + ЗА2 + 6А -8 = 0.
Главные значения являются корнями этого уравнения = -2. р? — 1, рз = 4. Главному
значению соответствует главное направление э, = nii+ny+n^k, где щ, п2, пз удовлетворяет
системе уравнений
(3 -р\)щ + -г пз = О
п,-piH2+ 2п3 = 0 . п, + п2 + п23 = 1.
п} + 2п2 -Р1«з = 0
Отсюда находим Э[ = (l/\^2)(f-k). Аналогично находим э2 = (1/\/3)(Г-f-k) и эз =
(1/Уб)(-2Г-/-4).
Часть вторая
Физико-химическая гидродинамика
Глава 1
Уравнения и модели
§1.1 Уравнения движения жидких сплошных сред
1. Формула дифференцирования по времени интеграла, взятого по подвижному объ-
ему. Общие законы механики сплошной среды применяются к индивидуальному объему
V. Так называется область V, которая состоит из частиц среды и движется вместе с ними
(рис. 1.1).
Рис. 1.1: Индивидуаль-
ный (жидкий) объем.
Характеристики индивидуального объема среды (масса, ко-
личество движения, энергия и др.) выражаются интегралами
типа
У A{t,xt)dV.
v
Производная от интеграла, взятого по индивидуальному объему
V, будет определяться формулой (см. разделы 20 и 31 части 1)
У A(t,Xi)dV = У j~dV + у Av„dS. (1.1)
V V dv
Здесь первый интеграл учитывает изменение функции А во
времени, а второй, взятый по границе dV, - изменение индиви-
дуальной области. Символом dV обозначена граница области V, vn - проекция скорости
на внешнюю нормаль к границе dV.
Пользуясь теоремой Гаусса - Остроградского, формулу (1.1) можно записать так:
У AdV = 1^+йп(Аи)^ dV.
у и
(1.2)
Введем понятие полной производной по времени от функции Л(г,х,). Она учитывает закон
движения частиц среды х,(г). i = 1,2,3. По правилу дифференцирования сложной функции
d .. , дА dx, дА
dt dt dt дх/
и с помощью замены dxjdt = получим выражение
которое называется полной производной по времени. Первое слагаемое правой части равенст-
ва (1.3) - частная производная по времени, а второе слагаемое называется конвективной про-
изводной. Используя формулы полной производной (1.3) подынтегральную функцию в (1.2)
можно преобразовать так: dA/dt + d(At>i)/dx; = dA/dt + VjdA/dXi + Advi/8xl = dA/dt+Aiwv.
Таким образом, производную интеграла можно записать так:
— [ AdV — [ (— + A divvA dV. (1.4)
dt J J \dt )
v i'
С помощью формул (1,2) и (1.4) общие интегральные законы механики можно записывать
в форме дифференциальных уравнений.
2. Закон сохранения массы. Сохранение массы вещества в индивидуальном объеме V
с помощью формулы (1.2) можно записать так:
[ p(t,x;)dV= [ (^ + iiv(pv)]dV = 0. (1.5)
dt J J \ot )
v I/
где p - плотность вещества в момент времени t в точке пространства с координатами х,-.
Учитывая, что это равенство имеет место для любого индивидуального объема, получим
дифференциальное уравнение
+ div(po) = 0. (1.6)
Это уравнение называется уравнением неразрывности. Его можно записать также в виде
dp/dt + pdivo = 0. (1.7)
Если среда однородна и несжимаема, то уравнения будут такими:
р = const, divo = 0. (1.8)
Если заменить в (1.4) подынтегральную функцию А на рА, то под интегралом в правой
части получим
d(PA) я 4— л (dp ,.
———h рА d iva — р— + А — + pdivo
dt dt \dt )
и, пользуясь уравнением неразрывности (1.7), упростим
</(рЛ) . - dA
— +pAitvv = P-.
Таким образом, формулу (1.4) можно записать в следующей компактной форме
(,.9)
V V
В правой части величина pdV равна массе жидкости, содержащейся в индивидуальном
объеме dV, и является постоянной величиной. Поэтому дифференцировать ее не надо.
3. Уравнение количества движения. Закон изменения количества движения для ин?
дивидуального объема
среды можно записать так:
/ PgdV /pndS.
v ev
(1.10|
Здесь Q - количество
движения среды, заключенной в индивидуальном объеме V
Q - J pvdV.
Рис. 1.2: Вектор напря-
жений на площадке.
Применяя формулу (1.9), получим
dQ f ddИ1/
^ = JPdtdV-
Правая часть (1.10) - это
сумма сил, действующих на среду.
Первое слагаемое - это сумма массовых сил, равная силе тяжести
среды в индивидуальном объеме. Второе слагаемое - это сумма
поверхностных сил (рис. 1.2).
Суммарная поверхностная сила с помощью теоремы Гаусса-
Остроградского преобразуется так:
Div р dV.
Таким образом, закон (1.10) можно записать так:
pg + Div р
v
и отсюда получим дифференциальные уравнения движения, которые удобно записать в
тензорном виде
Р
g + Div р.
(1.И)
Здесь символом j> обозначен тензор напряжений, a Div^> - его дивергенция.
4. Закон изменения кинетической энергии несжимаемой среды. Из уравнения (1.11)
можно получить закон изменения механической энергии. Для этого запишем уравнения
движения в проекциях на оси декартовой системы координат
dv, dU дрр .
Р-Л = ра~+а’ u=Sixi = -g^, i = l,2,3,
dt dxi dxj
где U - потенциал вектора ускорения силы тяжести g (рис. 1.3).
Умножим обе части уравнения на о, и просуммируем их по
i — 1.2.3. Затем воспользуемся тождествами
2 | .9(0, 0,-5)
Рис. 1.3: Потенциал уско-
рения силы тяжести.
/dv\ d v2
Р\dt J/’1 =P~dtl
dpU dpp \
+ ~d^ J Ц
d(v,p,t dv,
dx: P"' dXj '
^-(pUvi) - pU~ +
dx, dx,
С помощью уравнения неразрывности (1.8) и тождества для
симметричного тензора р.р
dv, _ 1 / dv; dv. \
Рр дХ/ Pl' 2 у дх/ + dxi J
получим уравнение изменения кинетической энергии в диффе-
ренциальной форме
d v2
pdt 2
Д [(pUSp + р,7) о,-] -ррвр, ер
1 / dv,• dvj\
2 \ dxj ’ dx. J
(М2)
Левая часть уравнения - изменение кинетической энергии среды в единице объема. В
правой части первое слагаемое - работа в единицу времени (мощность) внешних массовых
сил тяжести и внешних поверхностных сил, а второе слагаемое - мощность внутренних
поверхностных сил. Симметричный тензор ер называется тензором скоростей деформаций.
Чтобы получить закон изменения кинетической энергии в индивидуальном объеме
V’, нужно проинтегрировать обе части уравнения (1.12) по объему V и воспользоваться
теоремой Гаусса-Остроградского и формулой (1.9)
^£кин =N<e>+A',;\
£кив = $P^dV, = f (pU5p + pp)njVidS, A’(,) = - f ppepdV.
V dV V
Здесь A’lei и дгб) _ мощности в объеме V внешних сил и внутренних поверхностных
сил соответственно. Мощность внутренних поверхностных сил ДМ1’ равна сумме потерь
механической энергии и является отрицательной величиной. Величина с обратным знаком
называется скоростью диссипации энергии D = и всегда положительна. При конст-
руировании моделей сплошных сред нужно учитывать, что скорость диссипации энергии
в единице объема, равная ррер. всегда положительна. Она равна той части механической
энергии, которая переходит в тепло и другие виды немеханической энергии. Иногда этими
потерями механической энергии можно пренебречь и пользоваться упрощенной моделью
идеальной жидкости, в которой потерь механической энергии нет.
Для изолированной системы, находящейся под действием внешних потенциальных сил и
состоящей из разных частей, закон изменения энергии можно получить, суммируя уравнения
энергии для каждой части системы. В результате суммирования внешние поверхностные
силы исключатся, и закон изменения энергии приведется к виду
,,(£кив 4“ £цот)
dt
PpepdV > 0,
(1.14)
где потенциальная энергия £пот включает в себя потенциальные энергии внешних массовь
сил, поверхностного натяжения и, возможно другие виды энергии (примеры смотрите
разделах 21, 25, 41).
§1.2 Классические модели несжимаемых жидких сред
В механике сплошной среды отличие жидкой среды от твердой проявляется в том, чт
движение первой описывают с помощью вектора скорости, тогда как движение второй I
с помощью вектора перемещений. В жидких средах вводят тензор скоростей деформацй
е, компоненты которого выражаются через компоненты вектора скорости так:
1 ( dv, dv, \
ё;: - I —- ч--------
' 2 \ dxj дх, ) '
Как и всякий симметричный тензор второго ранга в трехмерном пространстве, тензор '
имеет три инварианта. Первый инвариант через компоненты тензора выражается так: /, =
ец+егг + езз и для него полезны следующие эквивалентные выражения Ц = dvjdx, — divi
Для несжимаемой жидкой среды в силу уравнения (1.8) первый инвариант тензора
равен нулю Ц = div? = О.1 Таким образом, тензор е для несжимаемой среды являете
девиатором. Чтобы построить модель среды, нужно установить связь между девиаторам
скорости деформации и напряжений. Для изотропных сред это соотношение не должж
зависеть от выбора направления осей декартовой системы координат. В классически^
моделях такая связь задается в виде соотношения '
sp = 2Кёр, pi/ = -pSp + Sp,
в котором К может зависеть от второго и третьего инвариантов тензора е. Таким спосо
бом, можно описать сложные механические свойства различных полимерных жидкостей
металлов под высоким давлением, смазочных растворов и других материалов. Такие средь
называются неньютоновскими жидкостями. В этих средах скорость диссипации энергии I
единице объема вычисляется так:
Ррер = 2Керёр.
<г=«'Эг5.
Рис. 1.4: Закон трения
вязкой жидкости.
Так как сумма квадратов ервр всегда положительна, то из тре1
бования D > 0 вытекает условие К > 0, которое всегда должна
выполняться. Потерь механической энергии не будет только тогда;
когда в среде отсутствуют деформации, то есть среда движется
как твердое тело.
Ньютоновская вязкая жидкость определяется линейным соот*
ношением, в котором К = р - феноменологическая постоянная;
Она называется коэффициентом динамической вязкости. Тензор
напряжений определяется так:
Рц = ~pSp + 2рвр. (1.15)
'О двух других инвариантах тензора см. учебник Седова Л,И. П]
Для сдвигового течения около твердой стенки имеем vx = ky, = v2 = 0. Подставляя
эти соотношения в (1.15), получим закон Ньютона для трения вязкой жидкости о твердую
поверхность w = 0 (рис. 1.4)
г = РхУ = pdvjdy.
С помощью этой формулы измеряется коэффициент у. Единицей измерения р. в системе СГС
г
принята 1П = 1-----, называемая пуазом. Коэффициенты вязкости некоторых жидкостей
г см сек
приведены в таблице 1.
Таблица 1
Вещество Г у см • сек г Р см • сек
Ацетон 0,00337 Масло оливковое 0.9
Спирт метиловый 0,00632 Масло машинное 6,6
Вода 0,0105 Масло касторовое 12
Спирт этиловый 0,0122 Глицерин 13.9
Уксусная кислота 0,0127
Ртуть 0,0159
Диссипируемая энергия вязких жидкостей в единице объема вычисляется так:
PiiSij = 2^е;;ец.
Из условия положительности скорости диссипации энергии следует, что коэффициент
вязкости положителен.
Если /г — 0, то такая модель называется идеальной жидкостью. Тензор напряжений р
будет шаровым (см. раздел 9 части1)
Ptj =—pijj. (1.16)
Касательные напряжения на площадках в идеальной жидкости отсутствуют: Т = 0. Эта
простейшая модель введена Эйлером (L. Euler, 1755). Она не содержит ни одного феномено-
логического параметра и хорошо описывает инерционные эффекты жидкости. Применяется
для изучения течений с большими скоростями, кавитационных течений, быстро изменя-
ющихся со временем течений, течений со свободными границами, для описания волн
на поверхности тяжелой жидкости. Однако эта модель не описывает трение на границе
жидкости с движущимся в ней твердым телом. Диссипируемая энергия р^ец тождественно
равна нулю, потерь механической энергии нет.
§1.3 Уравнения движения вязкой и идеальной жидкостей
Для получения замкнутой системы уравнений течения вязкой несжимаемой жидкости
нужно подставить в уравнения движения (1.11) реологический закон (1.15) и добавить
уравнение (1.8). Тогда получим следующую систему уравнений
pdv/dt = pg - gradp + 2pDive,
div? = 0.
Эта система уравнений называется уравнениями Навье-Стокса.2
Если в ней положить /т = 0. то получим уравнения Эйлера для движения идеально
жидкости.
Система уравнений (1.17) записана в тензорной, не зависящей от системы координа
форме. Первое уравнение - векторное (три уравнения для компонент), второе уравненц
- скалярное. Уравнения определяют три компоненты скорости о^ог.^з и давление р
зависимости от координат и времени.
Для написания уравнений по компонентам в произвольной системе координат достаточн
воспользоваться формулами тензорного анализа для компонент вектора ускорения, градиент
и дивергенций тензора и вектора. Мы рассмотрим три наиболее употребительные систем!
координат: декартову, цилиндрическую и сферическую.
Декартова система координат х,у, г или :v,X'->.x..
Компоненты вектора ускорения
/ dv\ dv. dv. dv. do,
771 = + + vy—+ vz~,....
\dt) x dt ox Oy dz
Компоненты тензора скоростей деформаций
Компоненты вектора дивергенции тензора скоростей деформации
— £vz.
Компоненты вектора градиента
(radp). = g.
, . , dp dp
(gradp), = -, (gradp)2 = -.
Дивергенция вектора скорости
div v — + ву у + ezz = ej i + егг + езз.
Компоненты ротора вектора
(rot о).
dvz dvy dv, dv2 dvy
(rot tz) , (rot v)z =
ay dz dz Ox ox
dv,
dy '
сЯф г^Ф с^Ф
Оператор Лапласа АФ =
сравнения впервые получены фрацузским ученным Навье (Navier, 1822). Английский ученый Стокс
(Stokes. 1845) дал вывод уравнений и получил ряд решений задач течения вязкой жидкости.
Цилиндрическая система координат г, ф и г (рис. 1.5).
Физические компоненты вектора ускорения
Т dv \ dvr dvr и* dvr dvr
\ dt ) r dt V' dr + г дф + Вг дг г '
(dv\ dv„ vr dv$ v„dvo dv„,
777 — d-------vi> + vr ~7-1--7; + vz -7—,
\ dt J dt r or г дф dz
(dv\ dvz dvz o,, dvz dv,
\dt J z dt dr r do dz
тензора скоростей деформаций
Физические компоненты
Рис. 1.5: Цилиндричес-
кая система координат.
dvr 1 dvo vr dvz
&rr ~ ’ &zz ~ “7
dr Г rj<t> Г OZ
_ 1 /1 dvz dvv \ 1 (dvr dvz \
2\.r do dzj erz 2\dz + dr)’
_ 1 / дУф v,t , 1 dvr \
e’a ~ 2 ^17 “ 7 ~г~дф)’
Физические компоненты дивергенции тензора
derr 1 dsar dszr srr
dr r do dz + r
derA 1 de^t, dezs
dr + r d<t> + dz
Div e
। ^егФ
derz 1 deoz дегг
dr г дф dz
Физические компоненты вектора градиента
, , dp I dp dp
(gradp)r = —, (gradp)^- —, (gradp)2=—.
Дивергенция вектора
div v
1 d(r vr) 1 So® 3oz
r dr + г дф + dz '
Физические компоненты ротора вектора
, , _ 1 Эог dv#
(rot о), = --------т-ч,
г do дг
, dvr dvz 1 p(ro,J доЛ
(roto)0 = — -(rotvh = - —--------к- .
oz or r [ dr дф J
Оператор Лапласа ДФ =
ЭФ\ £Э^Ф 0--Ф
dr J + г2 dфг + dz2'
Сферическая система координат R, 6, ф. Ограничимся случаем сферической симметрии
В уравнения движения входят функции и p{t,R}, остальные компоненты скоростЛ
равны нулю.
Физические компоненты вектора ускорения
(dv\ dvR dvR (dv\ (dv\
I — I — —— 4- up---, — =0, — = U.
\dt J R dt dR \dt J e \dt J
Физические компоненты тензора скоростей деформаций
Эгу? vR vR
e™ = 7w’ el,tr = ~, ефф=—.
deRR 3eRR
dR + R '
Физическая компонента вектора градиента (gradp)# = др/dR.
Физическая
компонента
дивергенции тензора
Дивергенция вектора div о = eRR + + ефф =
'3vr 2.VR
dR R
Физические компоненты ротора вектора (roto) = 0.
ч АФ 2 ЭФ
Оператор Лапласа ЛФ(1,Я) = + — —.
Упражнения
1. Плоскопараллельным называется течение, в котором компоненты скорости и давление
не зависят от одной из декартовых координат, например, г, а также иг = 0 (рис. 1.6 а).
Написать уравнения Навье-Стокса плоскопараллельного течения:
а) в декартовой системе координат х,у;
б) в полярной системе координат х = г cos <р, у = rsind>;
в) привести примеры таких течений.
j / dvx dvx dvx \
Ответ, а) р — + vx— -r vy~~~
\ dt dx ду J
dp
= PSx~dx + 7Аг’<-
= 0.
dx dy
(dvr dvr v9dvr dp (derr
6) + + + +
(dvA vr , dv9 \ dp . (der9
P 4---------+ Or 1-----------J — Рёф г; Ь 2p I — h
\ dt r dr r dф J r dtp \ dr
dvr 1 сЕ)ф vr
err = -j-, ?фф-----------к—i--------.
dr г д<р г
&гф
1 f Sv,?
2 ( 77
1 dear
г d<p
1 de^
г дф
г до J'
2е.ф
div v = err + ефф =
1 d(r vr)
r dr
1 dvф _
+ r dtp
2. Написать выражение для скорости диссипации энергии в единице объема для
плоскопараллельного течения вязкой жидкости:
Рис. 1.6: Течения с симметрией: а) плоскопараллельное, б) однонаправленное, в) осесим-
метричное.
а) в декартовой системе координат х,у;
б) в полярной системе координат х — г cos о, i/ = rsinc>.
Ответ. a) 4p(e^. + е^), б)4р(е^ + е^).
3. Написать систему уравнений для течений одного направления (рис. 1.6 б).
Решение. Выбираем направление оси г декартовой системы координат по направлению
скорости. Тогда поля скорости и давления в этой системе координат будут иметь следующий
общий вид
= 0, vz = v(t,x,y,z), р = p(t,x,y,z).
Из уравнения неразрывности следует, что dv/dz — 0. Частицы жидкости движутся по
прямым, параллельным оси г, со скоростью n(t.x,i/) и ускорением, равным
Компоненты тензора деформаций определяются матрицей
/ 0 еху ехг \ / 0 0 vdv/дх \
е — &Х.у 0 ёух = 0 0 \dv/dy
ёхг &уг 0 у \ \dv/dx ^dv/dy 0 )
Компоненты дивергенции тензора деформаций:
Div е
Div е I = 0,
'у
Подставляя эти выражения в уравнение (1.17), получим
. др др dv др (cf2 v cPv
Q~~dx PS*' °- dy+pSy' Pdi ~ ~dz+p\fai + W
Эти уравнения можно еще упростить. Если продифференцировать уравнения по г, то
получим
о = -~$р 0 = -—
дх дг ’ ду dz' dz dz'
Отсюда следует, что dp/dz может зависеть только от времени. Вводим обозначение i(t) 4
-dp/dz + pg2. Тогда для функции v(t,x,y) получим уравнение
dv (&v &v\ ,
Р dt P\dx2± dy2)1^'
Давление определится из системы уравнений
др др др
dx ~ Рёх’ dy ~ Рёу' dz~ №г~ '<‘1'
. „ , . I
4. Рассмотреть течение с осевой симметрией, в котором скорости лежат в плоскости]
проходящей через ось симметрии, и не зависят от угла поворота такой плоскости. Написат!
систему уравнений для этого случая (рис. 1.6 в).
Ответ. Уравнения для v,(t,r.z), vz(t,r,z) и p(t,r,<j>,z)
_ dvr vr dvz
divo = e,r + еф + егг = = 0.
dr r dz
5. Написать уравнения сферически симметричного течения вязкой жидкости при отсут-
ствии массовых сил. Получить общее решение для скорости vr, давления р к напряжена
PRR-
Указание. Показать, что из уравнения divo = 0 следует I Div е ) =0.
V я
Ответ.
(dvR dvR\ др dvK 2vr п
Р \ dt К dR J dR' dR R °'
C(O „ , (c(t) c2(t)\ c(t)
Vr = -r2’ P = PoW + P^- 2^. Ряя = -р~4р —.
6. Пространство между концентрическими сферами радиусом R и R+a заполнено вязкой^
жидкостью. Вне жидкого слоя давление равно нулю. Предполагая слой тонким д <
получить закон движения для R(t), если в начальный момент /?(0) — Rr и 7?(0) = Rq-
Указание. Воспользоваться общим решением для скорости vR(t.R) и напряжение^
PrrU.R) (упр. 5).
Решение. Из граничного условия vR(t,R)-R находим c(t) = R2R.
Функцию р0(г) находим из условия на внутренней границе слоя pRR(t,R) = 0. Из
условия на внешней границе тонкого слоя получаем уравнение
= 0, => R2R + 12vR = о.
Уравнение имеет точное решение
R=A + V2u/R, А = Ro - 121//Я0,
! AR ' AR A2t , ,, AR0‘ AR0 . ,п
пЛ + 12м1 1217 ~ 1217 + П. + 12?! ~ Тг?' Л*°'
R = у'/?2 + 24i71, А = 0.
Из решения следует, что при 1 —► эс в зависимости от начальных условий радиус слоя
неограниченно растет
R =8 At, А > 0,
R » VZArt, А = 0,
или стремится к конечному значению
12i7 12i7 . / A2t\
д~ + “^2|епйоехр,-—I, А < 0.
§1.4 Теория подобия и размерности
5. Системы единиц измерения. Обычно в механике пользуются двумя типами систем
единиц измерения. К первому типу, который будем называть LMT, относятся системы, в
которых за основные единицы измерения выбираются: L - единица длины, Л1 - единица
массы и Т - единица времени. Эта система чаще используется в теоретических исследо-
ваниях. Ко второму типу, который будем называть LFT, относятся системы, в которых за
основные единицы измерения выбираются: L - единица длины, F - единица силы и Т
- единица времени. Эта система чаще используется в экспериментальных исследованиях,
инженерных расчетах и технике. В настоящем курсе будем пользоваться следующими
системами.
1. Система CGS из класса LMT. в которой принимаются основные единицы: сантиметр -
"см”, грамм - ”г” и секунда - "сек”.
2. ^Международная система СИ из класса LMT, в которой принимаются основные единицы:
метр - "м”, килограмм - "кг” и секунда - "сек".
3. Технические системы единиц из класса LFT. В них вместо единицы массы М прини-
мается единица силы F: грамм силы - Т” и килограмм силы - ”кГ”.
6. Значения некоторых наиболее важных физических характеристик. Опишем ос-
новные физические характеристики, которые будут рассматриваться в данном курсе.
Сила F. В классе LMT за единицу измерения силы принимаются [F] = Н = кг • м/сек2
- Ньютон и [Е] = дии = г • см/сек2 - дина. В технических системах LFT единицами
измерения силы могут быть [F] = Г - грамм силы и [F] — кГ - килограмм силы. Все
единицы силы пересчитываются друг через друга по следующим формулам
1Н = 105дин, 1кГ = 103Г = 9, 8 Н.
Работа А, энергия Е. Единицами измерения работы и энергии в классе LMT могут быть
[Л] = Дж = Н м - Джоуль и [Л] = эрг = дин см - эрг. Единицами измерения работы
и энергии в технических системах LFT могут быть кГ м - килограммометр, Г м -J
граммометр и т.д. В качестве единицы энергии используется также калория - количеству
тепла, требующееся для того, чтобы нагреть 1г воды иа 1 градус Цельсия с 19,5° дс|
20,5°. Из закона термодинамики о сохранении энергии эта единица пересчитывается через!
Джоуль. Формулы пересчета следующие ’
1Дж = 107эрг, 1 кГ М = 9,8Дж, 1 калория = 4,18 Дж, 1 Дж = 0, 239 калорий.
Мощность N. За единицу измерения в классе LMT принимается [N] = Вт - Ватт
1 Вт = 1 Дж сек = 10' эрг сек.
Давление р, напряжение т - сила, действующая на единицу площади поверхности, е
системе СИ измеряется в Паскалях - [р] = Па, 1 Па = 1 Н/м2, а также в технических ат-
мосферах 1 ат = 1 кГ/см2, в физических атмосферах 1 атм = 1,033 кГ/см2 = 1, 013 105 Па ==
ЮДЗН/см2.
Плотность р - маса в единице объема. В системе LMT измеряется в M/L?, в частностУ
в CGS измеряется в г/см3. Плотность воды р = 1г/см3, плотность воздуха 1,2х 10-3г/смД
Динамическая вязкость р - коэффициент, характеризующий трение между слоями жид-
кости или газа. В системе CGS измеряется в [р] = г/(см сек). Вязкость воды р 4
0,01 г/(см сек), вязкость воздуха g=l,8x Ю-4 г/(см сек). |
Кинематическая вязкость v = р/р - коэффициент равный отношению динамической вяз-i
кости р к плотности жидкости или газа р. В системе CGS измеряется в [р] — CM2/ceKj
Размерность кинематической вязкости не содержит единицы массы, отсюда и проистекав!
название кинематической вязкости. Кинематическая вязкость воды и = 0,01см2/сек, а
воздуха v = 0,15см2/сек. |
Поверхностное натяжение а равно силе, приложенной к единице длины прямолинейного
края поверхностного слоя жидкости. В системах LMT поверхностное натяжение измерЯ"
ется в М/Т2. Вода при нормальном давлении и температуре 20° С имеет поверхностно!
натяжение равное ст = 70дин/см = 70г/сек2. ,
7. П - теорема. Целью физического исследования является отыскание связи межд]
численным значением искомой характеристики а и численными значениями других ха
рактеристик ара2....ап, от которых она зависит. Мы будем называть а определяемым
параметром задачи. а\,...,ап - определяющими параметрами. Связь между ними можнс
записать в виде функциональной зависимости
а = а2............а„).
(1-18)
Примем для определенности систему LMT, в которой измеряются определяемый и вс<
определяющие параметры задачи. Размерность каждой величины представляется в виде
[a] =LaM0T\ [as] = Ео,Мв‘Г", s = 1.2,..., п.
Комбинация LaMBT'! называется размерностью физической величины а. Таким образом, раз-
мерность каждой физической величины характеризуется тройкой чисел г(а,/З.7). Назовем
эту тройку чисел вектором размерности величины а.
Наблюдается следующее соответствие между линейным трехмерным пространством
векторов {rs} = {as.l?s.7s} и размерностями величин {а5 = £“ Л4* Т~"}
rs <=> [asl
r+o. ** [«ii-Ы
cr <=> [а]с
qrj + - ckrk « [a,]Ci..[a*]""
0 « L° M° T° = [a]0.
В последней строке установлено соответствие между нулевым вектором г = 0 и величиной
с. v которой все размерности имеют нулевую степень. Такая величина а называется
безразмерной, в противном случае она называется размерной. Безразмерная величина не
меняет своего численного значения при переходе к другой системе единиц измерения.
Если перейти в другую систему единиц класса LMT, с другими единицами измерения
L = n\L', М = п2М' и Т = п2Т', то размерная величина а изменит свое численное значение
следующим образом
a = (a')-4, А = nfn2n^.
Аналогично изменят свои численные значения и все определяющие параметры а> = a]
,4i, ao = а'г - Дг ап = а'п А„. Физическое соотношение (1.18) не должно зависеть от
выбора системы единиц измерения. Отсюда следует, что функциональная зависимость
должна быть подчинена следующему тождеству
f(ai,a2,...,a„)=A f(a'l -Alt а'2-А2.а'„ • 4„).
Закономерность (1.18), подчиненная этому требованию, должна существенно упроститься.
Вид ее определяется из теоремы, которая называется П - теоремой. Для ее формулировки
дадим следующие определения.
Определение 1. Пусть параметры aj,a2........имеют векторы размерностей
г2...гь- Тогда параметры aj,a2,... называются размерно зависимыми или размерно
независимыми, если система векторов и, г2......rk - линейно зависима или линейно
независима соответственно.
Физический смысл этого определения состоит в следующем. Если параметры ai,a2..ak
размерно зависимы, то из них можно составить безразмерную комбинацию а'1 а?.......
а^‘. Действительно, если векторы Г], г2,...,г„ линейно зависимы, то существуют числа
cj.C2....с„ такие, что с,Г| + с2г2 + • + с*ге = 0 и тогда соответствующая физическая
величина af - а^....а^ будет безразмерной.
Определение 2. Размерно независимые параметры ai,a2............ak из системы пара-
метров а[,а2...................................................а„ (fe п) образуют максимально размерно независимую подсистему
параметров, если k = п или любая подсистема k + 1 параметра будет размерно
зависимой.
Очевидно, что k равно размерности линейного пространства векторов г\,г2.......гп.
Поскольку векторы г,- - это тройки чисел из трехмерного линейного пространства, то
максимальное число линейно независимых векторов в нем не больше трех k 3.
Рассмотрим пример. Пусть имеются четыре физические величины с размерностями
длины, скорости, плотности и вязкости [a] = L, [о] = L/T, [р] = L 3А‘, [р] = Т~'‘МТ~[.
Покажем, что величины a,v,p образуют максимально размерно независимую подсистему.
Действительно, величина aav!’p'’ будет безразмерной, если ее размерность =
равна Нулю Отсюда получаем систему уравнений
а + Д — 3'- = О
7 =0
-Д = 0.
Эта система имеет только нулевое решение и величины а.и.р - размерно независимы.
Они образуют максимально размерно независимую систему, так как величина р имеет
размерность [р] = Е~,МТ~1 и ее можно выразить через размерности a,v,p. Для этого из
равенства = [м! получаем систему уравнений
а + 3 — З7 = -1
7 = 1
-Д = -1
и, решая ее, получим а = 1. 3= 1, 7= 1 => [/ь] = [а][о][р]. Отсюда также следует, что
комбинация
Re = ^
М
является безразмерным числом. Оно называется числом Рейнольдса (Reynolds О.).
К этому же результату легко придти, если сопоставить рассматриваемым величинам их
векторы размерности
а <=> Г|( 1, 0, 0 )
V 47 Г2( 1> 0, -1 )
Р з=? г3( -3, 1, 0 )
р <7 О( -1, 1. -1 ).
Тройка векторов Г1,г2,гз образуют в трехмерном пространстве максимально независимую
систему векторов, а четвертый вектор линейно выражается через них г 4 = ri + г2 + гз.
Теперь перейдем к формулировке
П - теорема. Всякое физическое соотношение (1.18) между п +1 размерной величиной
можно записать в виде сотношения между п 4- 1 - k безразмерными величинами
П р)пJ, . . . , Пп _$), П mi 77 Trip’ Pi pi Рр’ ’ ^3^--С T TP 37’
ф ' а.Д ... а/ a]'a%...a" ay ay ... a™
где aj.a2,... a* - максимально размерно независимая система величин из набора аргументов
функции /.
8. Подобие физических явлений. Критерии подобия. Одно из важных применений П
- теоремы - теория подобия, широко используемая при проведении эксперимента. Пусть
нам нужно экспериментальным путем установить значение величины ан натурного объекта
по измеренной на модели величины аы. Если для величин с“___а“ модели и a”,..., а"
натуры совпадают соответствующие этим значениям безразмерные числа П]...П„~4. то
пользуясь П - теоремой можно по измеренной величине пересчитать а"
Безразмерные числа П|, Па,..., П„_4 называются критериями подобия. Два явления одной
физической природы называются подобными, если их критерии подобия соответственно
одинаковы.
9. Примеры применения П - теоремы. Можно предложить следующую последователь-
ность действий использования теории подобия и размерностей применительно к конкретным
задачам.
1. Выбрать определяющие параметры задачи а,,аз....ап.
2. Выбрать систему единиц (например LMT).
3. Найти все размерности определяющих параметров и искомой величины.
4. Из числа определяющих параметров выбрать максимально возможное количество раз-
мерно независимых параметров а|,...,а^.
5. Записать выражения размерности остальных аргументов и искомого параметра через
размерно независимые параметры О1,...,а*.
6. Для искомого параметра а и аргументов ......а„ составить безразмерные комбинации
П и П]....
7. Записать соотношение П - теоремы.
В задачах гидродинамики часто используются следующие размерные величины: линей-
ный размер, скорость, плотность, кинематическая вязкость, поверхностное натяжение и
ускорение силы тяжести: L,v, p,v,a,g. Из них можно составить следующие безразмерные
комбинации
Lvp
Re =------число Рейнольдса (Reynolds О.),
\\'е = _ числ0 Вебера (Weber),
<т
Fr = —- число Фруда (Froude).
x'gt
Число Рейнольдса характеризует эффекты сил вязкого сопротивления, число Вебера —
эффекты поверхностного натяжения, а число Фруда — волновые эффекты на поверхности
тяжелой жидкости.
Часто возникает необходимость пользоваться критериями, не зависящими от скорости
или линейного размера. Такими критериями являются производные от первых трех
Fr2 м2
Ga = —s- = —-s- - число Галилея (Galilei),
Re2 gL*
Fr2 pgL2
Bo = —- =--------число Бонда,
We <7
о 9 p^g
Mo = Bo Ga = —j-----число Мортона (Morton).
Например, если искомой величиной является скорость, то в аргументы функции не должны
входить зависящие от скорости безразмерные числа Re, We или Fr. В этом случае в качестве
аргументов нужно использовать Ga, Во или Мо.
Пример 1. Найти силу сопротивления шара при обтекании его потоком вязкой
жидкости. Будем решать эту задачу по предложенной выше методике.
Рис. 1.7: Коэффициент сопротивления шара.
1. Определяющие параметры: а ~ радиус шара, у ~ скорость потока вдали от шар!
р - плотность жидкости, р ~ динамическая вязкость жидкости, искомая зависимост
F(a, v, р, р). где F ~ сила сопротивления.
2. Система единиц LMT.
3. [а] = L, [у]=А/7', [в] = р- = 277’
4. а. ъ. р.
5. ш = ими. [А] = ими-
6,n = -U, Re = ^.
pv^a- ц
7. Искомая зависимость: П = <p(Re).
и =
Это соотношение хорошо известно в гидродинамике. Его записывают в следуюшм
обозначениях
сх = —- =/(Re).
Безразмерная величина С* называется коэффициентом сопротивления шара. Она вводите
через отношение силы сопротивления F к произведению площади миделя та2 (поперечно
сечение наибольшей площади) и динамического напора jpu2.
На рис. 1.7 изображена зависимость коэффициента сопротивления Сх от числа Рей
нольдса. По оси абсцисс в логарифмической Шкале нанесено число число Рейнольм
Red = 2Re по диаметру шара. При числе Рейнольдса Re < Rel яз 10 обтекание безотры!
ное. Прн Rej < Re < Re2 ~ 65 обтекание стационарное с конечной зоной отрыва. По
Re; < Re < Res « 500 за шаром образуется нестационарный вихревой след. В обласв
Res < Re < Re4 1,5- 105 коэффициент сопротивления практически постоянен С, % 0,4.
Б окрестности значения Re к. Re4 происходит резкое снижение сопротивления тела. Эта
область называется кризисом сопротивления. Следует заметить, что картинг течения в этой
области настолько сложна, что до сих пор не существует надежных методов для численного
решения этой задачи. Поэтому зависимость Cx(Re) определяется из эксперимента
Сплошная и штриховая линии соответствуют аналитическим решениям Стокса (1) и
Озеена (Oseen) (2) для малых значений числа Рейнольдса. Зависимости Стокса и Озеена
Для всех чисел Рейнольдса до кризиса сопротивления Re < Re4 можно пользоваться
следующей аппроксимацией
Сх « ^-(1 +O,241Re0-687) + 0,42(1 + 1,902 • 104Re-1’16)-1.
Re
Длину отрывной зоны (см. рис. 1.7) при Ree(Rei,Re2) можно вычислить по формуле
- = 1^1+ЗЕе-Н
а 4 4
а при Re е (Re2, Re4) точка отрыва в в градусах вычисляется по формуле во = (102 -
213/Re037).
Все эти результаты получаются из эксперимента с помощью изложенной теории подобия
и размерности.
Пример 2. Найти скорость осаждения твердых сферических частиц в вязкой
жидкости. По изложенной методике находим.
1. Определяющие параметры: а - радиус шара, р - плотность жидкости, и - кинематическая
вязкость жидкости, ро - плотность твердой частицы, g - ускорение силы тяжести. Искомая
зависимость v(a. р.и, po,g). где v - скорость осаждения частицы.
2. Система единиц LMT.
3. [а] = L, [р] = р, [И = У, [ро] = р. [g] = bl = L/T.
4. а, p, и.
5. [pol = [pl, [g] = MW3-
6. П = Re = —, П, = —, n2 = Ga = -^.
p P go?
7. Искомая зависимость: Re = ip(po/p. Ga).
Итак, применение П - теоремы позволило уменьшить число аргументов у искомой
функции до двух. Покажем как, используя дополнительные физические соображения,
можно еще понизить количество аргументов до одного.
Направим ось координат вертикально вверх. На частицу действуют силы тяжести Р,
Архимеда А и, рассмотренная выше, сила вязкого сопротивления F. Проекции этих сил
на ось координат таковы:
Р = ~~o?pog, А = —a^pg, F = 7ra2p^-Cx(Re).
ОО Л
Из уравнения баланса сил Р + А + F = 0 получим
Выражаем через число Рейнольдса безразмерный комплекс, входящий в правую часть
Тогда получим следующее уравнение относительно числа Рейнольдса
| (— -?) /Ga = Re2Cx(Re).
3 \ Р
Отсюда видно, что искомая функция зависит только от одного аргумента
Re = <р>(П), П =
\ р J
причем ее можно пересчитать через известную уже функцию Cx(Re).
Упражнения
1. Радиус мыльного сферического пузыря увеличился в 2 раза. Как изменилась толщин!
его пленки?
2. Достаточно ли геометрического подобия для механического подобия течений?
Глава 2
Гидростатика
§2.1 Равновесие жидкостей под действием силы тяжести
10. Уравнения гидростатики. В гидростатике изучается равновесие жидкостей и газов.
При равновесии и — 0, поэтому вязкая жидкость неотличима от идеальной. Уравнения
равновесия (или гидростатики) имеют вид
gradp = pg.
Пользуясь уравнениями гидростатики, можно построить изобарические поверхности (по-
верхности постоянного давления p(t,x,y,z) = const). Векторное поле g пересекает изоба-
рическую поверхность в каждой точке по нормали к ней. В обычных условиях вектор g
имеет постоянное значение и направлен вертикально вниз. В проекциях на горизонтальные
оси х, у и вертикальную ось г уравнения принимают вид
|£ = 0. ^ = о,' =
дх. ду дг
Для однородной жидкости р = const уравнения гидростатики легко интегрируются
Р = Ро - Pgz,
где ро - давление жидкости на уровне z = 0.
При обычных условиях изобарическими поверхностями являются горизонтальные по-
верхности z = const.
11. Уравнение свободной поверхности. Граница раздела фаз жидкости и газа называет-
ся свободной поверхностью. Если пренебречь поверхностным натяжением, то на свободной
поверхности давление жидкости равно постоянному значению, равному давлению газа.
Таким образом, свободная поверхность является изобарической поверхностью. Поверхность
воды на границе с воздухом в обычных условиях является изобарической, с постоян-
ным атмосферным давлением на ней и представляет собой горизонтальную плоскость
перпендикулярную вектору g.
12. Закон Архимеда. Рассмотрим силу А, которая будет действовать на тело, со всех
сторон окруженное жидкостью (рис. 2.1).
Рис. 2.1: Закон Архимеда.
Сила, как результат давления окружающей жидкости
вычисляется так:
Л = - / рп dS — — (р0 — pgz)n dS,
JdV JdV
где dV - граница объема тела V, п - внешняя к тел]
нормаль.
Применяя обобщенную теорему Гаусса-Остроградског!
(раздел 19, часть 1) и пользуясь уравнениями гидростатики
получим
А = - у grad(p0 - pgz) dV = J pgkdV ,
где k - единичный вектор направленный вертикально вверх
На элементарный объем dV тела действует сила dA = pgkdV. Величина силы равн|
весу жидкости pgdV в объеме dV. Сила dA направлена по вектору k вертикально вверх
Суммарная сила А направлена вертикально вверх, равна весу вытесненной жидкости i
проходит через центр тяжести объема V, заполненного жидкостью. (См. упр. 6).
Этот результат составляет содержание закона Архимеда.
На тело, со всех сторон окруженное неподвижной тяжелой жидкостью, действуе/
со стороны жидкости сила А, равная весу вытесненной жидкости, направленна
противоположно вектору ускорения силы тяжести g. Линия действия силы А проходи/
через центр тяжести массы вытесненной жидкости.
Закон Архимеда можно пояснить так. Мысленно заполним объем тела V жидкостью
Тогда на объем V действует сила А со стороны окружающей жидкости и сила веса pgV
Жидкость находится в равновесии, поэтому сила А уравновешивается весом вытеснение!
жидкости pgV, что и требовалось доказать.
Рис. 2.2: Поверхность воды в тележ-
ке, движущейся с ускорением.
13. Равновесие в‘неинерциальной системе осче
та, В системе отсчета, движущейся с ускорение!
w относительно инерциальной системы, на единиц;
массы жидкости будет действовать дополнительна!
сила, равная — w. а суммарная сила будет равн;
g’ = g-w.
Если неинерциальная система отсчета движете!
поступательно равноускоренно относительно неинер
циальной, то в уравнениях гидростатики нужно за
менить постоянный вектор g на другой постоянны!
вектор g1. Свободная поверхность жидкости, находя
щейся в равновесии, будет перпендикулярна вектор
g'. Этот вывод можно проверить на следующем экс
перименте. На тележке закрепляется сосуд с водой
При движении тележки с ускорением w поверхност
воды будет плоскостью, перпендикулярной вектор
g' = g-w (рис. 2.2).
Во вращающейся с постоянной угловой скоростью щ системе отсчета в формулу
g' = g ~ ы следует подставить центростремительное ускорение w, направленное к оси
вращения и равное по величине щ2г, где г - расстояние до оси вращения. Направ-
ление вектора g' и, следовательно, направление нормали изобарических поверхностей
изменяются при изменении г. Свободная поверхность жидкости не будет плоскостью.
Рис. 2.3: Поверхность
воды во вращающемся
сосуде.
Для ее определения запишем уравнения равновесия жидкости в
цилиндрической системе координат г,Ф, г (рис. 2.3.)
| = 0,
дф
др
дг
~Pg-
Интегрируя первое уравнение, получим р= |ро?г2+/(ф, г). Из
второго уравнения, найдем, что df/дф = 0 —> / = /(г). Наконец,
подставляя в третье уравнение, получим для /(г) уравнение
Й/
= ~Рё -Ч = ~Pgz + с.
Отсюда найдем распределение давления в жидкости
р = с - pgz +
На свободной границе имеем условие р = ра, откуда получим
г = £^ + ^2.
pg 2g
Свободная поверхность вращающейся массы жидкости является параболоидом. Постоянную
с можно вычислить из закона сохранения массы жидкости в сосуде. Рассмотрим сосуд
цилиндрической формы радиуса R с отметкой дна г = 0. Предположим, что свободная
поверхность расположена выше поверхности дна г - 0. Тогда масса жидкости т вычисляется
так
Г Г 9 п
т — р I 2irrdrz(r)dr = р~ ~ ^>а R'2 + —Я4 .
J I Рё 4g \
о
Отсюда находим с и уравнение свободной поверхности
с - ра т u^R2 т ш2 ( <, 1 ,\
1 — _____ _ _____ jr — ______ | __ I г* _ _ Ij*- I
pg pnR2 4g ’ pvR2 2g \ 2 J '
§2 .2 Равновесие жидкостей под действием сил тяжести и поверх-
ностного натяжения
14. Условие Лапласа. На поверхности раздела жидкости и газа, а также двух жидкостей
действуют силы поверхностного натяжения, которые определяют скачок давления на этой
поверхности
Р1-рг = 2<тН, w + б-У (21)
Z ул) Л-2 /
Это соотношение называется формулой Лапласа (Laplace). Здесь а - коэффициент поверх!
ностного натяжения, его величина зависит от того, какие жидкости находятся в контакте!
Rl и ft ~ радиусы главных кривизн в данной точке поверхности, радиус ft, г = 1,^
считается положительным, если центр I - й кривизны находится в среде 1, величина Н
называется средней гауссовой кривизной.
Главные радиусы кривизны вводятся следующим образом. В точке М поверхности 3
построим нормаль п и касательный вектор т. Рассмотрим плоскость Р(а), проходящук]
через вектор нормали под углом а к вектору т. При пересечении поверхности S d
плоскостью Р(а) образуется кривая L(d) с радиусом кривизны в точке М, равным R(a).
Функция кривизны 1/Л(а) имеет два экстремума при при а — qj и а = а? = тг/2 + oq
соответствующие двум главным направлениям. Экстремальные значения ft = fta,) и
ft = ft<>2) называются главными радиусами кривизны. Например, сфера радиуса а имеет!
радиусы кривизны ft = ft = а. круговой цилиндр радиуса а иммеет - ft = а и ft = 00.
15. Формулы для вычисления радиусов кривизны. Для плоской задачи уравнения
поверхности имеет вид у = у(х) и не зависит от третьей декартовой координаты г. Такая
поверхность называется цилиндрической. Кривая на плоскости с уравнением у — 1/(хН
называется направляющей, а прямая линия параллельная оси z называется образующей.!
Поверхность получается движением образующей по направляющей.'
главное направление на цилиндрической поверхности нахо-j
I плоскости х,у, а второе направление расположено парал-j
оси z и ему соответствует радиус кривизны направляющей^
бесконечности: ft = 00, 1/ft = 0. Условие Лапласа (2.1)
вид
Р1-Р2 = ^. (2.2)
Рис. 2.4: Условие 1
Лапласа Р\ - р = где ^1 ~ РаДиУс кривизны направляющей (рис. 2.4).
o/ft.
В этом случае радиус кривизны можно определить по формуле
l = g, ds=^ + ^,
(2.3)
где в - угол между касательной кривой у(х) и вектором, направленным вертикально вверх
(см. рис. 2.4).
Радиус кривизны кривой у(х) в точке х можно выразить через производные у' и у"
следующим образом. Продифференцируем равенство у'\х) = tgfi по s
d ,, , \ de
-тУ W = —о-г -т-
ds cos2 fids
и подставим в него соотношения
d ,, . dx „ у"(х) 1 ,
д-у W = ДТУ М = , ..д, -----я— = 1 + tg2 в.
ds ds (1 + (у')2)1'2 cos2 fi
Тогда получим
1 = = _________________ (24)
ft ds (l + (y')2)3''2’ '
Рассмотрим уравнение осесимметричной поверхности г = /(г). где г - координата,
направленная вертикально вверх, а г - расстояние от оси симметрии. Осесимметричная
поверхность имеет два главных направления: по образующей и по направляющей. Им
соответствуют два радиуса кривизны R\ и R^. Первый радиус кривизны /?, равен радиусу
кривизны образующей кривой с уравнением y = и вычисляется по таким же формулам
(2.3) и (2.4). что и для плоской задачи.
Второй радиус кривизны /?2 вычисляется с помощью формулы Менье, 1 смысл которой
можно проиллюстрировать на примере сферы радиуса R (см. рис. 2.5).
В точке М сферы построим нормаль п и по главному направлению
касательный вектор т. Через точку Л1 и вектор т проведем две плос-
кости: плоскость Р через нормаль п и плоскость Р(Д) под углом /3 к
плоскости Р. При сечении этими плоскостями образуются окружности
радиусов R и /?' = /? cos/?. В результате приходим к формуле Менье
Рис. 2.5: К форму-
ле Менье.
R' = /? cos /3.
(2.5)
Формула Менье справедлива для любой поверхности.
С помощью формулы Менье второй радиус кривизны вычисляется
так. Проведем сечение поверхности z(r) горизонтальной плоскостью
г — const. В результате сечения получим окружность радиуса г.
Плоскость г = const составляет углы в и в соответственно с нормалью
и касательной к поверхности z(r) в точке сечения. Используя формулу Менье (2.5) и
равество cos/?=±sinfi, получим
1 ._.г5‘пй. г'^
#2 Г г д/’1 + (;
(2.6)
Знак + выбирается тогда, когда центр кривизны 1//?2 находится в среде 1.
Условие Лапласа на осесимметричной межфазной границе z(r) с помощью (2.6) запи-
шется так:
Pl -
sin в
Я|
16. Поверхностная энергия. Условие Лапласа может быть получено из принципа вир-
туальных перемещений, согласно которому при любом малом отклонении системы от
положения равновесия сумма работ всех сил, действующих на систему равна нулю:
<?Л| + 5А2 4- (5Дз — О,
где и М2 - работы сил давлений pi и р?, а Мз - работа сил поверхностного натяження
на виртуальном перемещении.
Малое перемещение поверхности раздела фаз S можно описать с помощью смещения N
(виртуального премещения) точек поверхности по нормали. Умножим обе части формулы
Лапласа на N и проинтегрируем по поверхности 5. Тогда получим принцип виртуальных
смещений, в котором
<5Л = У P\NdS, М2 = - piK’dS, SA3 = -a JzHNdS.
s s s
’Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. II, стр. 412. М.: "Наука", 1967 г.
Покажем, что интегралы в и 6Az это работы. Действительно, p\dS - это сила,
действующая на элемент поверхности dS, a p.X'd.S ~ это работа этой силы на перемещении
Л?. Интеграл от p\NdS является суммой всех работ, производимых силами давления р;
на виртуальном перемещении поверхности S. Аналогично показываем, что интеграл от
Рг(— N)dS является суммой всех работ, производимых силами давления pj на виртуальном
перемещении поверхности S. Последний интеграл, согласно известной из дифференциальной
геометрии формуле Гаусса (Gauss)
<55 = S - So = у" 2HdS(N + О(№)) (2.7)
5
представляет собой изменение площади поверхности при смещении ее точек по нормали
на величину IV, то есть
<5Д3 = —crSS.
Таким образом, 6А< - это работа сил поверхностного натяжения, на виртуальном переме-
щении поверхности, a <т<55 - это энергия поверхностного натяжения.
В дальнейшем понадобится еще формула дифференцирования площади поверхности S,
произвольно деформирующейся
[ 2HvndS, (2.8)
<А* J
s
которая легко получается из формулы Гаусса (2.7) предельным переходом
dS/dt = lim (S - So)/Ar. о, = lim N/Ы.
Д.'—О д/—о
<723
<712 1 твердое тело
17. Условие Дюпре-Юнга. Угол смачивания. Поверхности раздела жидкости и газа,
к которым применимо условие Лапласа, могут быть незамкнутыми. На практике они
обычно ограничены линией, вдоль которой соприкасаются три среды — как, например,
в случае капли ртути, покоящейся на столе. На линию контакта оказывают воздействия
натяжения трех разных поверхностей, и, поскольку они не обладают массой, то резуль-
тирующий трех векторов натяжений должен быть нулем: + <тгз + <?31 == 0 (рис. 2.6 а).
Это равенство называется условием Дюпре-
Юнга на границе раздела трех фаз. В случае
l<risl > 1<Т23| + 5^311 условия контакта не могут
выполняться. Условия Дюпре-Юнга выполняют-
ся для линзовидных капелек жира на поверх-
ности супа, но не выполняются для поверхности
раздела нефти воды и воздуха. Поэтому капля
нефти растекается по поверхности воды до тех
пор, пока толщина ее слоя не достигнет раз-
меров молекул. Подобным же образом бензин,
содержащий смачиваемые добавки, не может образовать изолированные капли на некоторых
твердых поверхностях и растекается по ней в виде очень тонкого слоя. Напротив, обувь,
смазанная жиром, "отталкивает воду", так как вода скатывается с ее поверхности в виде
отдельных капель. Условие Дюпре-Юнга можно также получить из общего закона механи-
ки о минимуме потенциальной энергии системы в положении равновесия. Разберем вывод
а) 6)
Рис. 2,6: Условие Дюпре-Юнга.
условия Дюпре-Юнга для наиболее часто встречающейся в практике системы: жидкость,
граничащая с газом на своей свободной поверхности и соприкасающаяся с плоскостью
твердого тела (рис. 2.6 б). Возможны следующие два случая:
1) полное смачивание, когда вся поверхность тела покрывается жидкостью или ее
пленкой;
2) частичное смачивание, когда жидкость покрывает лишь часть поверхности твердого
тела.
Чаще встречается случай частичного смачивания. При этом на линии смачивания,
ограничивающей смоченную часть твердой поверхности, жидкость образует некоторый
двугранный угол а, который называют краевым, контактным или углом смачивания.
Обозначим твердую фазу индексом 1, жидкую - 2. а газовую - 3. Введем энергии
взаимодействия фаз 1 и 2: Cfo; 1 и 3: (7'13; 2 и 3: Ь'зз- Сместим линию контакта параллельно
самой себе на малую величину 6х по поверхности твердого тела. Тогда все энергии получат
приращения: SU^ — а^лх, <5(7ц = -<т,з<5х, ab'23 — <т?з cosa<5x, где а - угол смачивания.
Из принципа виртуальных работ получаем <Т|2 - <Т|з + с>23 cos а = 0. Отсюда получим
соотношение для угла смачивания
COSa = (<713 — <Т12)/<Т23-
Это условие является фундаментальным соотношением, с помощью которого по известным
энергиям межмолекулярного взаимодействия на поверхностях можно вычислять угол сма-
чивания и наоборот, измеряя угол смачивания, можно получать информацию об энергиях
поверхностей раздела фаз.
18. Плоская задача о равновесии. Из условия Лапласа раздел 14. и формулы для
кривизны раздел 15. можно получить систему обыкновенных дифференциальных уравне-
ний, определяющих форму цилиндрической свободной поверхности у(х), находящейся в
статическом равновесии под действием сил тяжести и поверхностного натяжения (рис. 2.7)
de dx ds
pgy = °Ts' To = ~^cose’
du ds
Te = ~Zesme-
(2.9)
Здесь ось x горизонтальна, а ось у направлена вертикально вверх.
Рис. 2.7: Капиллярный подъ-
ем жидкости на смачиваемой
вертикальной пластине.
Поставим задачу вычисления свободной цилиндрической
поверхности у = f(x) тяжелой жидкости, примыкающей к
вертикально расположенной твердой стенке х = 0. Угол
смачивания равен а. Должны выполнятся условия
при х = 0 : в — тг/2 + а; при х = оо : в = тт, у = 0.
Из первого уравнения найдем ds/d9 — I2/у, I = y/a/(pg).
Подставляя это выражение в последнее уравнение, получим
dy/dO = -Z2sin 0. Разделяя переменные, находим интеграл
= /2 cos 9 + с.
Постоянную с найдем из условия у ~ 0 при в = л. Таким образом, получим с =
( lv'2 + 2 cos# при 0 < а < тг/2.
( -Z\/2 + 2cos# при тг/2 <'>Г -
(2.Ю)
Высота h точки контакта с твердой стенкой над невозмущенным уровнем получается
подстановкой в = вд = тг/2 + а. При смачиваемой поверхности 0 $ а < тг/2 точка контакта
с твердой поверхностью находится выше свободного уровня на величину h > 0. а при
несмачиваемой поверхности тг/2 < а < тг - ниже (h < 0)
1V2 - 2 sin а при а < тг/2,
-/\/2 - 2 sin о при а > тг/2.
Уравнение свободной поверхности можно получить в явной аналитической форме. Для
этого запишем уравнения \2.13) и (2.10) в Следующем безразмерном виде
dX-cigedY, У'=- v'2 + 2 cos #, X = x/l, Y = у/1.
После замены переменной
1 _ о/2 _____
cos# = 1 - 2t2 =ь ctg# =-- , K = 2Vl-f2,
2/71^?
уравнение упрощается
с/лс/г i-г/2 i / i_________________LA (2n
dt dY dt 1 - f2 2 V + l t~ IJ ' ' ’
Отсюда находим требуемую зависимость
X = ~2t + arctht, t = y/1 - Г2/4, farcthf = In (2.12J
Рис. 2.8: Расчетная поверхность
жидкости около смачиваемой
вертикальной пластины.
Зависимость X(Y) изображена на рис. 2.8. Парамет|
t изменяется на интервале t € (0,1). Значению t = (
соответствуют Х = 0, У = 2 и 9 = 0. Значению t = х/2/i
соответствует точка контакта с вертикальной стенко!
X = -0,533; Y = v'S при нулевом угле смачивания а = О
Значению t — v'3/2 соответствует точка контакта с вертй|
кальной стенкой х — -0.415; Y = 1 при угле смачивани!
а - т/6.
На рис. 2.9 изображены решения задачи о капилярно,
подъеме жидкости на твердую плоскость, расположенну!
под произвольным углом к горизонту # = во при нулево!
угле смачивания. Углу #о = (2/3)тг соответствует точ||
контакта с координатами (-0,415;1), а углу вд = тг/З ч
точка контакта (-0.451;^).
Рис. 2.9: Расчетная поверхность
жидкости около наклоненной плас-
тины.
При в тг поверхность уплощается. Асимпто-
тический характер зависимости у(х) при удалении
от точки контакта можно получить из асимптотики
функции (2.12) при У —> О
Х(Г) = - In У - 2 + 1п4 - О1У2).
Пусть в точке контакта свободная поверхность ос-
тавляет угол во с осью х. Тогда, согласно решению
(2.12), координату точки контакта можно выразить
через угол 3Q. Это выражение можно привести к
виду
Хо = 4 sin2 - 2 - In (tg
Подставляя это выражение и асимптотику А(У) в решение
х// = Л(У)-Х0,
получим
, . 2 - $0
= 4 sin —-—
4
+ In [у/ (4tg^_-fe^j +<W2).
Разрешая это уравнение относсительно У, получим требуемую асимптотику для свободной
поверхности
у = lA(e0)e~s/l,
А(ев} = 4tg ехр ^-4sin2 4^°^
Измерение краевого угла смачивания связано с большими трудностями, так как наклон
кривой вблизи твердой поверхности значительно изменяется. Измерить же коэффициент А
асимптотики У(Х) на достаточном расстоянии от твердой поверхности можно точнее. По
полученной зависимости А(0о) можно найти и угол смачивания а.
19. Осесимметричная задача. Аналогично плоской задаче можно получить систему
уравнений для осесимметричной свободной поверхности z(r). Из условия Лапласа раздел
14. и формулы для кривизны (2.4) (раздел 15.) получим следующую систему обыкновенных
дифференциальных уравнений
dr ds ,ds ds r
du dv dv dv
(2.13)
Здесь ось г направлена вертикально вверх, г - по горизонтали от оси симметрии 2.
Полученная система уравнений определяет формы поверхности раздела фаз различных
двухфазных систем, изображенных на рис. 2.11: капля жидкости, лежащая или висящая на
твердой горизонтальной поверхности, газовый пузырек в жидкости на горизонтальном дне
сосуда или на горизонтальной крышке. Система (2.13) не имеет таких простых решений,
как в плоской задаче, но для нее несложно получать численные решения.
Рассмотрим задачу о форме свободной поверхности жидкости при погружении в не^
вертикального цилиндрического стержня малого радиуса а. Задача аналогична плоско^
задаче раздел 18. Осесимметричная поверхность z(r) находится из решения системь!
уравнений (2.13) с граничным условием на поверхности стержня при г = а : в = fy = тг/2+а|
В первом уравнении системы нужно учесть, что главные радиусы кривизны /?; и
имеют противоположные знаки. Найдем асимптотический закон уплощения вдали от octj
симметрии. Для этого введем е = тг — 9. При е —> 0 система уравнений (2.13) упростится )
9 f de £\
z = I I -------, ds = dr, dz — -edr.
у ds г)
Отсюда следует уравнение для функции z(r) при r/l у>> 1
d2z 1 dz z_
7^ + 7Тг~Р=^-
Убывающие на бесконечности решения выражаются через бесселеву функцию мнимоп
аргумента второго рода К$(г/1), для которой известно асимптотическое разложение npi
r/l » I. Отсюда найдем
z(r) = А(а, a/l))le-r/,(r/l)-'12, r/l » 1,
где А - безразмерная постоянная, также как и в плоской задаче; однако, в осесимметрично»
случае А зависит не только от угла смачивания а, но еще и от отношения а/1.
20. Свободные пленки. Если в системе уравнений (2.13) раздел 19. положить g = О
то получим систему уравнений для осесимметричных
свободных пленок
d& _ sin(?
ds г
dr ds
sr~C0S^
dz ds
(2.14i
Такие пленки можно наблюдать на простом эксперименте. Если опустить два проволочньц
кольца в мыльный раствор воды и затем вынуть их, то, разводя кольца, можно увидеП
тонкую мыльную пленку, натянутую на кольца. Если центры колец будут расположены rt
оси их симметрии, то пленочная поверхность будет осесимметричной (рис. 2.10). Найде!
из первого уравнения ds/di) = г/sin в и подставим это выражение во второе уравнений
Тогда получим уравнение fis = -cosflj^, которое легко разрешается
(2.151
Подставим ds/di> — r/sinf) в третье уравнение и, используя полученное решение, найдем;
dz
М
~r = = - (lnts|) а + ь-
Sin V \ Z )
Рнс. 2.10: Форма плен-
ки между двумя коль-
цами.
Найденная поверхность
Отсюда находим tgf = е1-’ ь-!а и подставим в выражение (2.15).
Тогда получим уравнение осесимметричной пленки
г = a ch -—-. (2.16)
а
Форма пленки представляет собой поверхность, образованную вра-
щением цепной линии около оси г. Такая поверхность называется
катеноидом. В каждой точке эта поверхность имеет одинаковые
по величине, но разные по знаку главные радиусы кривизны
1/7?] + 1/У?2 — 0. Если задать радиусы колец г\,гг и координаты
Z],Z2 их центров, то постоянные а и Ь можно найти из системы
уравнений
, Z] -- b .г2~Ь
И = a ch ----, Г2 = а со------
а а
обладает тем свойством, что ее площадь наименьшая из всех
возможных, натянутых на заданные кольца.
21. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия жидкости. Общая для любой
механической системы теорема Лагранжа (Lagrange) применительно к равновесию двух-
фазных систем формулируется так:
Если в положении равновесия функция потенциальной энергии ЕПп- имеет строгий
минимум, то положение равновесия устойчиво.
Теорема Лагранжа позволяет находить форму поверхности раздела фаз и исследовать ее
устойчивость для различных систем. Теорема Лагранжа вытекает также из общей теоремы
Ляпунова (Ляпунов А.М., 1892) об-устойчивости движения и закона изменения энергии
(см. раздел 41.)
Дадим, пользуясь теоремой Лагранжа, другое решение плоской задачи о равновесии
жидкости под действием силы тяжести и поверхностного натяжения, рассмотренного в
раздел 18. Потенциальная энергия системы £пот равна сумме потенциальной энергии силы
тяжести и энергии поверхностного натяжения. Выражая потенциальную энергию жидкости
в слое 0 х L через уравнение поверхности у(х), получим
L
£пот = У F(y, у' (x))dx, F(y,y'(x)) = ^pgy2 + <тд/1 + (г/'(х))2.
о
Условие экстремума функционала £пот имеет вид
dx ду' ду
Это уравнение называется уравнением Эйлера для экстремали потенциальной энергии ЕП0Т.
Это и будет уравнение равновесия, эквивалентное системе уравнений, приведенной в раздел
18. Если функция F явно не зависит от переменной интегрирования, то уравнение Эйлера
имеет интеграл
Подставляя сюда выражение для F, получим
/ (у'И)2
\ v 1 + (i/'W)2
- V'l -+ (у'(хУ)2 I - -ogt/2 = с
ИЛИ
а
Ч/1 + (i/W)2
1 2
2^ = с-
Из условия у —♦ 0 при х —* ос. найдем с = — а, а из условия для угла смачивания при
х = 0: у'(0) = -ctga => - (у'(х))2 = - sina найдем высоту подъема жидкости Л.
Теорема Лагранжа позволяет также решить задачу об устойчивости равновесия. Для
этого надо доказать, что в данном положении равновесия функционал U достигает наимень-
шего значения. Это можно сделать с помощью достаточного условия минимума функционала
U\ Fy'y' > О.2 В нашем случае F^ ~ 1/(1 4- Q/')2)3'2, и это условие, очевидно, выполнено.
Рис. 2.11: Примеры двухфазных сис-
тем.
Аналогично можно исследовать равновесие
двухфазных систем с осевой симметрией. Примеры
таких систем изображены на рис. 2.11: тяжелая
капля жидкости, лежащая на горизонтальном дне
сосуда, или висящая на горизонтальной крышке;
газовый пузырек в тяжелой жидкости на дне или
на крышке. Потенциальная энергия систем с осевой
симметрией также складывается из потенциальной
энергии поверхностного натяжения crS и потенци-
альной энергии силы тяжести. Осесимметричную
поверхность можно искать в цилиндрической сис-
теме координат в виде зависимости z(r) или r(z).
Соответственно ее площадь представляется следующими интегралами
S = У 2ттг71 + (z'(r)M. S
22
= У 2vrr(z)7l + (г'(г))2с/г.
Z1
Покажем как, пользуясь теоремой Лагранжа, можно исследовать задачу, рассмотренную
в раздел 20., о равновесии свободной пленки между двумя кольцами в плоскостях Zi и
Z2. Ищем форму пленки в виде функции г(г). Подынтегральноая функция потенциальной
энергии f(r, г') = 2тгг\/1 + (И2 явно не зависит от г, поэтому уравнения Эйлера имеют
интеграл
;<ЭЛ г
Г;; , - Г = —- = а.
дг VI4-(И2
Уравнение имеет общее решение (2.16).
Упражнения
1. Два мыльных пузыря одинакового радиуса соприкасаются друг с другом, а затем
сливаются в один, так что вся масса воздуха пузырей перетекает после слияния в новый
пузырь. Предположить, что до и после слияния пузырей темепература не изменилась.
'Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. IV, часть первая, стр. 282. М..: "Наука". 1982 г.
а) Какое давление внутри пузырей будет больше: до слияния или после?
б) Вырастет или уменьшится объем воздуха после слияния?
в) Написать уравнение, связывающее радиусы пузырей до слияния и после него.
2. В цилиндрический сосуд радиуса 10см с вертикальной осью симметрии налита вода
до уровня 20см. Сосуд закрыт крышкой на уровне 30см. Вес крышки 100Г. Сосуд с водой
вращается относительно оси симметрии. При какой наименьшей угловой скорости вода
вытолкнет крышку.
Решение. Пусть а - радиус цилиндра, Н - высота крышки, h - высота уровня воды,
т - масса крышки, го - минимальный радиус смоченной части крышки.
Ш2 9 о
Z(r) = С + —г1, H = z(r0) = c + —r$.
Если бы крышки не было, то давление воды на уровне z = И удерживало бы массу воды,
расположенную выше этого уровня. Если эта масса воды будет равна массе крышки, то
давление воды вытолкнет крышку. Постоянную с найдем из условия сохранения массы
воды. Отсюда получим два уравнения: уравнение сохранения массы и условие равенства
масс крышки и воды выше уровня г = И
eq а
У*- z(r))dr = ~а2(Н - h), 2кг(г(г) - H)dr = — =>
0 го
=
Два последних уравнения можно привести к следующей эквивалентной системе
а2 2 —— а2 1 I т
ш =-h), -2-1 = -»/—рту—гг.
г2 а г$ а V тгр(Н - h)
Отсюда найдем искомую угловую скорость
а аг у тгр
Нужно проверить условие с 0 или
с = Н - ^r02 = Н - - h) = 2h - Н - ..> 0.
2g г02 а у -Р
Ответ: ш = 20 + 2y/\Q/rr = 23, беек ’, с = 10 - 2у'10/тг > 0. (Для упрощения вычислений
принято g = 1О3см/сек2).
3. Конический сосуд вращается с угловой скоростью ш = 1оборот/сек относительно
своей вертикально расоложенной оси. Угол между осью конуса и образующей равен
а = 30°. Какой наибольший объем воды может удержаться в таком сосуде. Глубина сосуда
предполагается достаточно большой.
Решение. На частицу жидкости, находящейся на образующей цилиндра в точке г,г
действуют две силы: центробежная сила щ2г, направленная по горизонтали, и сила тяжести
g. направленная вертикально вниз. Суммарная сила будет направлена по нормали к
образующей при g/(u?r) = fga. Отсюда находим точку равновесия на образующей
Гтах = Ctga(g/u/2), zmax = cig2 a(g/w2).
Частицы жидкости при г > гтах суммарная сила имеет касательную составляющую, на-
правленную от вершины конуса и частицы не удерживаются в сосуде.
Таким образом наибольший объем жидкости ограничен поверхностью параболоида
2 = zmax + (г2 - T2M)w2/(2g)
и поверхностью конуса. В точке rmax,zmax касательная к поверхности параболоида совпадает
с образущей. Для расчета объема жидкости нужно вычесть из объема конуса
-г2 z
З'тах^тах — $ cig
объем параболоида
Ттал Гтаг: ОО '
f 2 j Г 9 4 Т' . 4 g"3
У T^dZ = J 7ГГ ~rdr = — r„ax = - ctg4 5
0 0
Отсюда находим объем жидкости
л- л g3
^тах ~ р Ctg
Подставляя численные значения, получим
7г 9803 о
= тл 9-г—= 9'4004см3 36 литров.
4. В воду вертикально опускают тонкую трубку диаметром 0.1 мм. На какую высо-
ту поднимется уровень воды в этой трубке, если краевой угол смачивания равен 60°,
коэффициент поверхностного натяжения равен 70дин/см.
Решение, ndcr cos a = (7rd2/4)hg => h = 4crcosa/(gd).
5. На поверхности пруда плавает куб с ребром 1м. В воду погружена 1/100 часть его
объема. Вычислить массу куба в кг. Если вынуть куб из воды и взвесить его, то сколько
кГ покажут весы.
Решение. Масса куба определяется нз равества силы тяжести куба mg и сумме вытал-
кивающих сил водой 0, OlpnofluUg и воздухом 0,99pBO3flVg, где I/ = 106см3 - объем куба,
рводы = 1г/см3 и рВОЗд = 1,2 X 10~3г/см3. Отсюда найдем т = (0,01рводы + 0,99рвозя) К =
11,2кг.
При взвешивании куба весы покажут силу ing-pBKWl/g. В технической системе единиц
весы покажут (рЕОДЫ - pBO3fl)V/l00 « ЮкГ.
6. Найти главный момент сил давления жидкости, действующий на погруженное тело.
Решение. Главный момент сил вычисляется так:
Мот = — J г х npdS — J п х prdS = J rot(pf)dV,
dV ОУ V
или, применяя известную формулу векторного анализа rot(pf) — protf+gradpxr == —rxgradp,
получим
Мот = - у г х pgdV.
v
Введем радиус-вектор г, центра тяжести вытесненного объема жидкости
?. = - frdV.
V
Тогда формула для момента приведется к виду
Мот = г, х А.
Полученная формула показывает, что линия действия главного момента сил давления
жидкости на погруженное в нее тело проходит через центр тяжести вытесненного
телом объема жидкости.
Глава 3
Идеальная несжимаемая жидкость
§3.1 Общие свойства
22. Уравнения Эйлера. Модель идеальной жидкости вводится с помощью соотношения
(1.16) и системы уравнений (1.17), в которой нужно положить вязкость равной нулю р = О
pdv/dt = pg - gradp,
(3.1)
diva = 0.
Эти уравнения называются уравнениями Эйлера. Ускорение жидкости можно представить
в следующем виде
du/dt = dv/dt + (vV)v = dv/dt + V(o2/2) + rota x v. (3.2)
После подстановки его в уравнения Эйлера получим уравнения движения в форме Громеки-
Ламба (Громека И.С., Lamb Н.)
р (dv/dt + V(o2/2) + roto х v) = gradfpu - p), (u = -gz)
(3.3)
div? = 0.
Из уравнений Громеки-Ламба можно сделать важное заключение, что вдоль линии тока
установившегося течения тяжелой идеальной несжимаемой жидкости сохраняется величина
р + pdF/l + gz) = const. (3.4)
где g - ускорение силы тяжести, г - декартова координата, направленная вертикально
вверх, gz - потенциальная энергия единицы массы жидкости.
Действительно, записывая для установившегося движения проекцию уравнений на
линию тока
д(р + p(v2/2 + gz)) I
-----------------= -(roto X о) =0,
dl---------------I/
замечаем, что производная вдоль линии тока от выражения р + р(и2/2 + gz) равна нулю,
что и требовалось показать.
Полученный закон (3.4) называется интегралом Бернулли (Bernoulli D., 1738)
23. Уравнение для вихря.
получим
Применяя к векторному уравнению (3.3) операцию rot,
<?(rot£7)/c?Z + rot(roto х v) = 0.
Воспользовавшись векторным тождеством
rot(rotu / о) — (oV)roto - (rotoV)u,
получим уравнение Гельмгольца (Helmholtz, 1858) для вектора вихря ш = ^roto
90/dt + (oV)d; - (soV)o = 0 ddjfdt = (Jv)o.
Рассмотрим жидкую линию L(t) (линия, состоящая из одних и тех же частиц жидкости).
Если в начальный момент времени линия 7.(0) совпадает с вихревой линией (линия,
касательная к которой направлена по вектору вихря) и вектор вихря Л подчиняется
уравнению Гельмгольца (3.5), то линия L(t) будет вихревой линией во все последующие
моменты времени.
Действительно, как видно из рис. 3.1, элемент жидкой линии dr меняется со временем
по закону d(dr)/dt — (drV)v, то есть по тому же закону (3.5), что и вектор вихря ш,
что и требовалось показать.
|'ц + dvydt Это утверждение называют теоремой о вмороженности вих-
V ' ' _ ревых линий в поток.
A dr -i- dvdt
dr \ I
1 24. Теорема о сохранении циркуляции. Теорема Лагранжа.
1 Пусть имеется жидкий замкнутый контур C(t), движущийся
с жидкими частицами в соответствии с системой уравнений
Эйлера (3.1). Тогда циркуляция скорости по нему Г
Рис. 3.1: Изменение эле-
мента жидкой линии. Г = Ф vdr = vxdx + Vydy + v2dz
C(l) C(t)
не изменяется co временем. Этот результат называется теоремой о
сохранении циркуляции. Действительно, вычисляя производную
циркуляции
- о- /ч м ~d(dr)
и подставляя вместо ускорения правую часть уравнении Эйлера (3.1) и v = vdv =
d(o2/2), получим под интегралом полный дифференциал функции -р'р - pgz -у о2/2.
Интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен тождественно нулю,
что и требовалось доказать.
С помощью этого результата можно доказать
Теорема Лагранжа. Если в начальный момент в идеальной несжимаемой тяжелой
жидкости вихрей не было, то их не будет в любой последующий момент времени.
_________ту-----Действительно, по теореме Стокса (рис. 3.2) циркуляция равна!
потоку вектора вихря через площадку S, натянутую на контур. В на-
Ж---------------\ чальный момент вихрей нет и циркуляция равна нулю. Она. по теореме
f ''хА о сохранении циркуляции, будет равна нулю во все последующие мо-
\, ) менты времени. Контур произвольный, поэтому и площадка, натянутая
С------- на него, будет произвольна. Поток вектора вихря через произвольную
площадку может быть равным нулю только тогда, когда вихрь в каждой
Рис. 3.2: Теорема точке равен нулю.
Стокса.
25, Уравнение сохранения энергии. Рассмотрим уравнение изме-
нения кинетической энергии (1.13) для двухфазной системы, состоящей
из фазы 1, заполняющей конечный объем V, и фазы 2, заполняющей оставшуюся часть
всей области системы. Выведем закон, по которому изменяются различные виды энергий
фаз при изменении межфазной границы. Все характеристики фаз 1 и 2 будем помечать
нижним индексом 1 и 2 соответственно.
Рассмотрим 3 случая: случай 1 - фазы несжимаемые жидкости, случай 2 - первая
фаза - несжимаемая жидкость, вторая - однородный газ постоянного давления и случай
3 - первая фаза сжимаемый однородный газ, вторая - несжимаемая жидкость. Во всех
трех случаях получим закон сохранения в виде
Д<ив + Дпот “ Е, (3.6)
где £кин - суммарная кинетическая энергия фаз. £пот потенциальная энергия системы.
Потенциальная энергия является функционалом границы раздела фаз. Он играет важную
роль при определении равновесной межфазной границы и анализе ее устойчивости.
1. Будем предполагать, что фазы представляют собой несжимаемые идеальные жидкости.
Для фазы 1 закон изменения энергии (1.13) имеет вид
(3.7)
at
Диссипируемая энергия идеальной жидкости равна нулю, а работа внешних сил имеет вид
Лг1(е) = У p\uvndS - Уp\vndS. (3.8)
dv dv
где и = —gz + С - потенциал ускорения силы тяжести, г - координата, направленная
вертикально вверх.
Для фазы 2 применим закон изменения энергии к части области fl. Граница ее дП
состоит из межфазной границы dV и достаточно удаленной границы ЖЕх. Мы применим
закон изменения энергии
^7" =Л,2(С)' = - j p2uandS + jp2vndS + У (p?u -p2)v„dS. (3.9)
dV w
к конечному объему жидкости fl, часть границы которой Ж-Ж будем удалять в беско-
нечность. Интегралы по поверхности dV имеют противоположный знак по сравнению с
соответствующими интегралами в (3.8), так как направления внешних нормалей у фаз 1
и 2 на межфазной границе dV противоположны.
На бесконечном удалении от межфазной границы среда покоится и на ней выполнены
уравнения гидростатики - ру =-Роа. В силу несжимаемости фаз последний интеграл
равен нулю и мощность внешних сил приведется к виду
№<е) = - У p2iivndS + У p2VndS. (3.10)
av av
Сложим уравнения (3.7), (3.9) и учтем равенства (3.8), (3.10) и граничное условие Лапласа
(2.1). Тогда получим
= У (pi - pi)uv„dS - У a2Hv„dS.
av, av.
Первый интеграл преобразуется с помощью теоремы Гаусса-Остроградского, а второй - с
помощью формулы Гаусса (2.8). В результате получим закон сохранения энергии для двух
несжимаемых фаз в виде (3.6), в котором потенциальная и кинетическая энергии имеют
вид 2 2
£кин J* pi^dV + Уpz^dV, £пот = y*(pi - P2)gzdV + aS, (3.щ
v n v
где потенциальная энергия складывается из потенциальных энергий силы тяжести фазы 1,
выталкивающей силы Архимеда и энергии поверхностного натяжения.
2. Фаза 2 - однородный газ постоянного атмосферного давления ра. Тогда из уравнения
Лапласа (2.1) выражаем давление pi на межфазной границе, подставляем его в выражениие
для мощности внешних сил (3.8)
Аг|<е’ = у div(Pluv)dS - f (ра + 2aH)v„dS = - т.
dv av
Преобразуя оба интеграла с помощью формул Гаусса-Остроградского и Гаусса (2.8), получим
закон сохранения (3.6) со следующим выражением потенциальной энергии
Е„<„ = J\pi)gzdV + aS.
v
(3.12)
3. Фаза 1 - сжимаемый однородый газ, давление в газе меняется по адиабатическому
закону pi = po(V/Vo)'1'. В выражении (3.9) для Л'21'’1 в первом интеграле применим формулу
Остроградского-Гаусса, во втором интеграле подставим р2 = р, — 2аН и преобразуем его с
помощью формулы Гаусса (2.8), а в третьем интеграле учтем, что на бесконечном удалении
от межфазной поверхности будет справедливо уравнение гидростатического равновесия
P2U — р2 — -р<х>- В результате все слагаемые (3.9) для №<е> представляются в виде
производных по времени
-/P2uvndS = ^Jp2gzdV, + S
av v av '
Г d
I (p2U -- P2)vndS = — (-PooV) .
Таким образом. -№|е| представляет собой скорость изменения потенциальной энергии
-Л'2|е) = £пот = I pigzdV + aS + p^V + f
dV
(3.13)
а уравнение (3.9) принимает вид закона сохранения энергии (3.6).
26. Плоскопараллельное течение. Функция тока. Если компонента скорости по оси
г отсутствует ог = 0, а две другие компоненты не зависят от коордиты г. то такое течение
называется плоскопараллельным. Из уравнения неразрывности dvjdx + дуу/ду = 0 для
этого случая следует, что можно компоненты скорости выразить через одну функцию
Ф(?,х, с/) (функцию тока)
• ох = d'i/dy, vy = -d'i/dx.
Функция тока обладает важными и полезными свойствами (см. упр. 4 и 5). Отметим два
из них.
I) Расход жидкости Q через любую линию L, соединяющую точки ДДхцу]) и Вг(Л2.</2)>
равен разности значений функции тока в точках Mq и Л)|
Q = 'И(1,х2,у2> - Ф(г,хьм).
2) Функция тока постоянна на линии тока. (Линией тока называется такая линия, у
которой вектор касательной в каждой точке коллинеарен вектору скорости о.)
Вихрь плоскопараллельного течения
С имеет только одну компоненту, направленную
по оси z
J(0,0, о>г),
/ дуу
-|дф,
дх2 + ду2 '
1
^-2
Для плоскопараллельного течения уравнение Гельмгольца (3.5) имеет вид
dwz/dt = О,
откуда следует, что вихрь
в частице жидкости сохраняется.
27. Комплексный потенция плоскопараллельного течения. Поле скорости плоскопа-
раллельного потенциального течения несжимаемой жидкости удобно описывать комплекс-’
ним потенциалом
W(z) = Ф(х,у) + (Ф(.с,г/),
аналитической функцией комплексного переменного z = х + iy. Здесь Ф(т,у) и Ф(х:,у) -
потенциал и функция тока.
Производная d.W/dz определяет скорость течения
dW/dz = vx - iVy.
Комплексное число vx + ivy называется комплексной скоростью.
Примерами течений, описываемых комплексным потенциалом, являются следующие:
а) W) = 0^2 (однородный поток);
б) Г(2) = Q ! 2тг Пг (плоский источник);
в) VT (г) = Р Z (плоский диполь);
г) W) = vx(z + a2/z) (обтекание кругового цилиндра).
§3.2 Метод контрольных поверхностей
Запишем интегральные законы сохранения массы (1.5) и количества движения (1.10) в
идеальной несжимаемой жидкости при отсутствии силы тяжести
dM . dQ Г
W = 0' -^-jpr‘dS‘
dv
М = f pdV, Q = J pvdV.
V V
Пользуясь формулой (1.1) дифференцирования интеграла по индивидуальному объему, для
установившегося течения получим следующие соотношения для поверхностных интегралов
ypan£/S = O, у pvvndS = - J(p — pa)ndS. (3.14)
dV ' dV dV
Произвольная поверхность dV называется контрольной и, при специальном выборе ее, мож-
но получать точные выражения для гидродинамических реакций, действующих на тела.
Интеграл по замкнутой поверхности от рап, где ра ~ постоянное атмосферное давление
на границе струи, равен тождественно нулю и он добавлен из соображений удобства
применения метода контрольной поверхности.
Рис. 3.3; Натекание
струи на пластину.
Рассмотрим пример. Найти силу, действующую со стороны
натекающей струи на плоскость. Течение предполагаем, плоско-
параллельным, струя на бесконечном, удалении от плоскости
имеет скорость и ширину h. Плоскость расположена под
углом а к вектору скорости струи vx (рис. 3.3).
Решение. Направим ось у по плоскости. Тогда вектор ско-
рости в декартовой системе координат будет иметь компоненты
vx ~ Vasina, vy = UqoCOSq. Выберем контрольную поверхность
5V = Sq + S+S]+S2+S3 так, что So - поперечное сечение натека-
ющей струи, Е - свободная граница, Sj и S2 - поперечные сечения
растекающих струй при большом положительном и отрицательном
значениях координаты у. Запишем интеграл Бернулли на линиях
тока S: р + ри1/'! = С. На границе Е давление равно атмосферному рс. Поэтому на свобод-
ной границе S скорость равна постоянному значению о = vx. В первое уравнение (3.14)
войдут интегралы только по поверхностям So, Si и Si. По теореме сохранения вихря в
сечениях Si и 5г вихрей не будет, так как их нет в натекающей струе. Следовательно,'
во всех сечениях течение однородное со скоростью vx. Интегралы по этим сечениям Sq,
S| и $2 в первом уравнении (3.14) соответственно равны ~phvx. ph\Vx и phiVx. Таким
образом, из первого уравнения (3.14) получим
h = h\ + hi.
Принимая во внимание, что в сечениях So, Si и Sj давление равно атмосферному р = ра
и на твердой и свободной поверхностях и, = 0, второе векторное уравнение (3.14) примет
вид
J pvvn'dS + У pvvndS + У pvv„dS = - J (р - pa)ndS.
So S) Sb S3
Проектируем уравнение (3.14) на ось у
-phvx cos а + ph\V2x - phiV2x = О,
откуда найдем
Л| = (1/2)(1 + cosor)ft, hi = (1/2)(1 - coso)rt.
Из проекции на ось х получим
-phv^ sin а = - У (р - ра) dS = -F,
s3
откуда находим силу F, как суммарное давление, действующее на плоскость со стороны
струи: F — phv^. sin а.
§3.3 Потенциальные течения
§3.3.1 Уравнения.
28. Уравнение Лапласа для потенциала поля скорости. Как следует из теоремы Лаг-
ранжа, безвихревое в начальный момент течение остается безвихревым во все последующие
моменты времени. Такие течения имеют потенциал поля скорости о = grad$. Из уравнения
неразрывности (3.1) получим для потенциала следующее уравнение
^Ф ^Ф ^Ф п
ЛФ “ + ду> + дг2 ~ °'
Приведенное уравнение для потенциала называется уравнением Лапласа. Функция, удов-
летворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической функцией.
29. Потенциалы источника и диполя. Простейшими гармоническими функциями яв-
ляются потенциал источника с расходом <2
ф = «=^+,2 + 32
и потенциал диполя с осью, направленной по оси z
Рис. 3.4: Задача
Неймана.
Для плоскопараллельного течения потенциалы источника и диполя с осью, направленной
по оси х, имеют вид
ф = ^1пг’ Ф = МИ|ПГ= r = J*2 + *2'
30. Задача Неймана для потенциала поля скорости. На границе
тела, движущегося в жидкости, проекции на нормаль скорости жидкос-
ти дФ/dn и скорости точек твердого тела v„ должны совпадать. Таким
образом, для определения потенциала поля скорости во внешности тела
fl нужно решить следующую задачу (рис. 3.4)
дф
ДФ = 0, f € fl, ~ =о„;
дп
за
Ф —> О, |г —> ос.
Поставленная задача называется внешней задачей Неймана (Neumann
K.G.). Для трехмерного течения она имеет единственное решение.
31. Потенциал поля скорости для сферических тел. Покажем, как находить потенциал
поля скорости на двух примерах движения тел сферической формы. Решения этих примеров
рассматриваются в сферической системе координат R,9,<t>.
Пример 1. Пусть сфера, помещенная в жидкость, меняет свой радиус по закону
a(t), а центр ее неподвижен. Найти потенциал поля скорости жидкости.
Решение. Скорость жидкости од при R = а должна быть равна скорости изменения
радиуса сферы. Отсюда для потенциала получаем следующие условия на границе и на
бесконечности
= а, Ф — 0, |г| —> оо.
Й=а
дф
dR
Ищем решение уравнения Лапласа в виде потенциала источника (см. разд. 29.). Такое
решение, удовлетворяющее требуемому условию, имеет вид
9
_ его.
Ф = ~7Г;
_ оФ _ а2а
VR = dR =
(3.15)
Пример 2. Пусть твердая сфера радиуса а движется в жидкости поступательно
со скоростью го в направлении оси г. Найти потенциал поля скорости жидкости.
Решение. Скорость жидкости при R — а должна быть равна проекции скорости
(О, O.Zq) на нормаль к сфере. Отсюда для потенциала получаем условия
ЭФ1
— I = zocos0, Ф О, И сю.
ок\
\R~a
Ищем решение уравнения Лапласа в виде потенциала диполя (см. разд. 29.. Такое решение,
удовлетворяющее требуемому условию, имеет вид
a3zoz _ a3z0costf _ ЭФ a3zocos6> 1 ЭФ a3z0 sin в
~~ 2R'= “ 2/?2 ’ Z'K~dR R3 ' Ve~R&) (3’6'
§3.3.2 Интегралы Бернулли и Коши-Лагранжа
32. Вывод интеграла. Уравнения Эйлера потенциального течения можно проинтегриро-
вать. Для этого подставим в уравнения в форме Громеки-Ламба (3.3) скорость v = grad$.
Тогда получим следующее уравнение
, Г ЭФ о2 ] п
grad г эГ + р2~ “ и + р| °’ и = ~р£г-
где ось z напрвлена вертикально вверх.
Интеграл этого уравнения
/ ЭФ v2 \
р\эГ + Т + §7 +P = f(t) (3.17)
называется интегралом Коши-Лагранжа (Cauchy).
С помощью этого интеграла можно вычислить давление в жидкости. Если течение
установившееся, то интеграл Коши-Лагранжа превращается в интеграл Бернулли
в котором постоянная С имеет одно и то же значение (для вихревого течения интеграл
Бернулли (3.4) имеет постоянное значение на линии тока, а на разных линиях тока
постоянные могут отличаться).
33. Давление жидкости, создаваемое пульсирующей сферой. Пульсирующей сферой
называется сфера, радиус которой а(Г) меняется по периодическому закону. Подобным
образом ведут себя газовые пузырьки в жидкости в поле периодического давления (вынуж-
денныем колебания) или при внезапном изменении внешнего или внутреннего давления
(свободные колебания). Покажем как вычислить давление, создаваемое пульсирующей
сферой в идеальной несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил. Вычисляем
производную потенциала (3.15) и квадрат скорости
ЭФ _ 1 d(a2d)
dt R dt
1 ‘2 2-х 2 “4Д2
-ъ(2аа +а2а), о = —т-.
R г4
Подставляя эти выражения в интеграл Коши-Лагранжа, получим
/ 2аа2 + ага а4а2\
4 + 2&}+р~р°°-
(3.19)
Отсюда, подставляя R = а, можно найти давление на поверхности пульсирующей сферы
= Рсо + р((3/2)а2 + аа).
1Л=а
(3.20)
Рассмотрим периодические пульсации сферы. Для периодической функции /(/) с пери-
одом Т введем следующее обозначение для среднего значения
</>=|^/(1)А.
Очевидно, что < df/dt >= 0, поэтому < дФ/dt >— 0. Отсюда из интеграла Коши-Лагранжа
для среднего за период давления < р > получим
р + ^ < о2 >= рте => < р >= р.
2R4
Из формулы видно, что давление < р > монотонно растет при удалении от пульсирующего
пузыря до предельного значения рх (рис. 3.5). Это объясняет используемый при очистке
жидкостей эффект притяжения пульсирующими пузырями различных частиц в жидкости.
Рис. 3.5: Среднее давление в жид-
кости около пульсирующей сферы.
§3.3.3 Применение интеграла Бернулли
34. Истечение жидкости из сосуда. Формула Тор-
ричелли. Рассмотрим задачу об истечении тяжелой
жидкости из отверстия в сосуде. В открытый сосуд
налита жидкость. На глубине h от поверхности сосу-
да расположено отверстие. Требуется найти скорость
истечения жидкости из этого сосуда. Пусть г коорди-
ната, направленная вертикально вверх, отсчитывается
от уровня отверстия. На выходе из отверстия имеем
давление, равное атмосферному р = ра. некоторую ско-
рость v и координату г = 0 (рис. 3.6). На поверхности
жидкости давление также равно атмосферному р = ра,
скорость равна нулю о — 0, а координата г = h. Из
интеграла Бернулли получаем равенство
ра + ри2/2 = ра + pgh.
Отсюда находим скорость струи ____
о = y/2gh.
Эта формула называется формулой Торричелли (Torricelli).
Рис. 3.6: Формула Торричелли. Рис. 3.7: Течение в трубе переменного сечения.
35. Течение жидкости в трубе переменного сечения. Кавитация. При установившем
ся течении жидкости в трубе переменного сечения объемный расход жидкости Q раве*
произведению скорости о на площадь сечения S и является постоянной величиной. Рай
смотрим два разных сечения трубы с площадью сечений Si и (рис. 3.7). На основание
интеграла Бернулли имеем для этих сечений следующее соотношение
{ Q2 \ (Q2
т + р [2S2 + gz' ) = й + Р I £§2 +
Отсюда видно, что давление в сечении 2 падает, если повышается уровень трубы Zj
или понижается площадь сечения S2. На этом принципе работают водоструйные насосц
Сечение 2 можно сузить настолько, что давление ру упадет до нуля. Тогда в этом сечени^
в жидкости образуются пузырьки (каверны), заполненные паром. Это явление называете!
кавитацией.
§3.4 Движение сферических тел в жидкости
36. Кинетическая энергия жидкости. С помощью формулы о2 = div($grad$) и те
оремы Гаусса - Остроградского интеграл кинетической энергии потенциального течени!
несжимаемой жидкости можно привести к интегралу по поверхности тела
п ао
где Q область вне тела, дО. - ее граница. Для сферических тел кинетическая энергий
имеет вид
£Кин = 4 / ^dS-
R—a
Подставляя в интеграл найденные выражения для потенциалов (3.15) и (3.16), получим:
а) кинетическую энергию жидкости, создаваемую сферой, меняющей свой радиус со
скоростью а
^кин а ,
(3.21)
б) кинетическую энергию жидкости, которая вызывается поступательным движением твер-
дой сферы со скоростью zq
1 1 4 т
£кик = 2Л1'^0- = 2^У- V = -у °3' (3.22)
Применяя закон сохранения энергии (3.6), можно найти закон движения сферического тела
в жидкости.
37. Частота колебаний сферического газового пузыря в жидкости. Колебания сфе-
рического газового пузыря в жидкости можно исследовать, исходя из закона сохранения
энергии (3.6)
Екии “Г Епот = Е.
Кинетическая энергия определяется по (3.21), а потенциальная энергия по (3.13). Прене-
брегая потенциальными энергиями силы тяжести и поверхностного натяжения для потен-
циальной энергии получим
с _ р, P«V0 IZ-4™3
Точке минимума потенциальной энерги Епот соответствует положению равновесия р^ = pq,
V — Pq. Из сравнения рос^ и энергии поверхностного натяжения aS находим, что такое
приближение для Епот справедливо при а За/р^.
Частоту Q колебаний пузырька малой амплитуды около положения равновесия можно
вычислить, подставив в уравнение энергии разложение потенциальной энергии, в ряд по
отклонению радиуса а — ао + х
£пот(^0 “Ь *) ^пот(^о) 4“ 2^пот(^о)-*- > ^пот 12тГ}Ро^О’
2тгра^х2 + ^т(а0)х2 = Е.
Подставляя сюда х — Аао cos Clt, получим
2тгЛ2ао(раоП2 sin2 Qi + 37Ро^о cos2 ОД = Е.
Правая часть уравнения не зависит от времени. Левая часть не будет зависеть от времени,
если
« = x/37₽oo/(pag). (3.23)
Эта формула определяет частоту колебаний относительно крупных пузырьков а » Зст/р^
и называется частотой Миннаэрта. Для пузырьков в воде а = 70дн/см и атмосферном
давлении рх = 106дн/см2 получаем следующее ограничение на радиус пузырька а »
2х10_4см. Для более мелких пузырьков поверхностное натяжение становится существенным
и частота пульсаций должна вычисляться по иной формуле (см. упр. 10).
Полная энергия системы, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, выра-
жается через безразмерную амплитуду А и частоту колебаний П пузырька
Е = 27rM2cgQ2. (3.24)
Для идеальной жидкости и политропного процесса в газе она сохраняется. Будет показано,
что в вязкой жидкости и теплопроводном газе энергия теряется, и амплитуда колебаний
будет уменьшаться (см раздел 44. и раздел 72.).
38. Движение твердого шара в жидкости. Присоединенная масса. С помощью урав-
нения энергии можно получить уравнения движения твердого шара в жидкости. С помощью
выражений для кинетической (3.22) и потенциальной энергий (3.11) получим
Енпн "Ь Епот ~ Е • EKiiil =— — (Л4 т М )z.g, М . М — ~р\ , Дют = (ро V-
Дифференцируя по времени закон сохранения, получим уравнение движения тяжелого
шара в жидкости
(Л1 + .М')г0 = (—Ро + P)g V-
В правую часть уравнения отнесены сила тяжести и выталкивающая сила Архимеда,
направленные вертикально, соответственно вниз и вверх. В левую часть перенесена сила,
действующая со стороны жидкости на твердое тело, равная -ЛГг. Уравнение движения
шара в жидкости отличае,тся от классического закона Ньютона тем. что вместо массы
шара стоит сумма массы шара и массы М’, которая называется присоединенной массой.
При движении шара в жидкости с постоянной скоростью сопротивление равно нулю.
Этот факт называется парадоксом Эйлера-Даламбера в модели идеальной жидкости.
Упражнения
1. В воде на расстоянии 1м расположены 2 источника с объемными расходами 1л/сек
и 2л/сек. В какой точке между источниками скорость воды будет нулевая?
2. Для поля скорости идеальной несжимаемой жидкости в полупространстве у > О
известны две компоненты скорости vx = х + ay, v- = 0. Плоскость у = 0 является твердой
непроницаемой для жидкости границей.
а) Найти компоненту Vy.
б) Найти функцию тока Ф.
в) Изобразить линии тока.
г) Вычислить компоненты вектора вихря.
д) При каком значении параметра а будет существовать потенциал поля скорости и
каково его выражение?
3. Даны потенциалы векторных полей $ = shxsiny, Ф = еха) Выбрать потенциал,
который определяет поле скорости идеальной несжимаемой жидкости, б) Написать для
этого течения интеграл Бернулли, в) Вычислить функцию тока, г) Вычислить расход
жидкости через параболу у = х2, проходящую от точки (0,0) до точки (1.1). д) Вычислить
вектор вихря.
4. Пусть vx(t.x,y), VyXt.x.y), о2 = 0 - поле скорости плоскопараллельного течения
несжимаемой жидкости. 1) Доказать, что существует функция Ф(?,х,у) (функция тока)
Лф ЭФ
такая, что vx = vy = ~-gy-
2) Доказать, что
а) через любую линию, соединяющую точки A(x[,i/|) и Bixo.ys), в единицу времени
протекает количество жидкости, равное Ф(/,Х2.уД - Ф((,Х|. t/J. (Эта величина называется
расходом через линию АВ);
б) вектор касательной к линии Ф((,х,г/) = const(Z) коллинеарен скорости v;
в) ф(;,х. у) = const(O является линией тока;
г) roto = 2ш= (0,0,-?2Ф);
Д) = 0;
е) f = 0;
ж} ^=0.
5. Доказать, что для стационарного течения
а) якобиан = 0;
б) V2$ = /(Ф);
в) на линии тока вихрь постоянен.
6. Построить линии тока для течений с комплексными потенциалами а), б), в) и г)
раздел 27.
7. Струя воды в поперечном сечении имеет форму прямоугольника с толщиной 1см и
шириной 10см. Струя натекает на пластину под углом 45° со скоростью 1м/сек. Предпо-
ложить, что течение плоскопараллельное, ускорение силы тяжести равно нулю, жидкость
идеальная.
а) Изобразить схему течения.
б) Найти скорости растекающихся на пластине струй воды при их бесконечном удалении.
в) Вычислить силу, действующую на пластину сос тсороны струн.
8. Из сосуда с отверстием площади S вытекает струя идеальной жидкости плотности
р со скоростью и. Определить реакцию струи на сосуд. Силой тяжести пренебречь.
Ответ. F = pu?S.
9. Сферическая полость расширяется в идеальной жидкости. В начальный момент
времени ее радиус равен 1см, а скорость изменения радиуса 1м/сек. В полости давление
равно нулю, давление вдали от сферы равно атмосферному, ускорение силы тяжести
отсутствует.
а) Написать закон сохранения энергии.
б) Определить наибольший радиус расширения полости.
в) Можно ли пользоваться интегралом Бернулли для вычисления давления в жидкости?
г) Найти распределение давления в жидкости в момент времени, когда полость достигает
наибольшего радиуса.
10. Газовый пузырек пульсирует в жидкости (его радиус меняется периодически во
времени а = ао +сcosu4). Написать закон сохранения энергии. Вязкостью и силой тяжести
пренебречь, давление в жидкости вдали от пузырька считать постоянным, а для давления
газа внутри пузырька принять закон политропы с показателем п. Полную энергию пред-
ставить в виде суммы кинетической и потенциальной энергий. Потенциальную энергию
разложить на сумму энергий 1) газа, 2) жидкости и 3) поверхностного натяжения.
а) Написать уравнение колебаний радиуса пузырька.
6) Из соображений размерности определить зависимость частоты пульсаций от радиуса
пузырька, характеристик газа и жидкости.
в) Вычислить частоту пульсаций, при условии, что поверхностное натяжение несущест-
венно. При каком условии это возможно?
в) Вычислить частоту капиллярных пульсаций, то есть при условии, что поверхностное
натяжение является основным фактором, определяющем частоту.
11. Тележка с жидкостью движется с постоянным ускорением ш в горизонтальном
направлении. Найти угол к горизонту свободной поверхности жидкости. С каким ускорение!,
относительно тележки начнет всплывать пузырек воздуха в этой жидкости.
12. Вычислить силу, действующую на неподвижный шар в ускоренном потоке жидкости^
Ускорение силы тяжести считать равным нулю.
13. При каких условиях верен интеграл Бернулли? Доказать, что на линии тока интеграл
Бернулли выполняется и для вихревых течений.
14. Сфера радиуса 10см обтекается потоком идеальной несжимаемой жидкости, ускоре-
ние силы тяжести отсутствует, давление на бесконечности равно атмосферному. При какой
скорости обтекания начнется кавитация?
15. Круговой цилиндр радиуса 5см обтекается потоком идеальной несжимаемой жидкос-
ти. Ускорение силы тяжести отсутствует, давление на бесконечности равно атмосферному;
При какой скорости обтекания начнется кавитация?
16. Вычислить давление в жидкости вне сферы, радиус которой меняется по закону!
а — а$ + csinuj/. Вычислить среднее за период давление в жидкости. Объяснить эффект
Бьеркнеса (Bjerknes V.): частицы, находящиеся в жидкости, притягиваются к пульсирующей
в жидкости сфере.
17. Вычислить давление в жидкости вдали от твердой сферы, центр которой движется
по закону %о = esin^, уо = zq = 0.
а) Вычислить среднее за период давление в жидкости.
б) В какой области среднее давление в жидкости растет с удалением от центра сферы?
(В этой области частицы в жидкости притягиваются к сфере).
18. В фейнмановских лекциях по физике приведена задача (40.3): вычислить импульс
жидкости при движении в ней шара со скоростью и. Приводится такое решение. Потенциал
поля скорости жидкости равен Ф = -гг.сГ'Г^--, где R,9 - сферические координаты. Вектор
скорости жидкости имеет вид о = (ЗгR cos в - IR2), где г - радиус-вектор, Г - единичный
вектор, направленный по скорости движения шара. Можно проверить, что интеграл по
сфере от вектора о равен нулю. Весь импульс равен сумме интегралов по сферическим
слоям и следовательно тоже равен нулю!? Найдите ошибку в этом рассуждении.
19. Трехосный эллипсоид заполнен идеальной жидкостью и находится в состоянии
покоя. Затем эллипсоид начинает вращаться около одной своей оси. Скорость вращения
достигает 10 оборотов в секунду, I) С какой угловой скоростью вращаются жидкие частицы
идеальной жидкости? 2) С какой угловой скоростью будут вращаться жидкие частицы,
если эллипсоид остановить? 3) Что можно сказать о поле скорости жидкости в момент
остановки эллипсоида?
Глава 4
Движение вязкой жидкости
§4.1 Общие свойства
39. Уравнения. Существует несколько различных форм представления уравнения Навье-
Стокса. В декартовой системе координат их можно записать в векторном виде
-gradp + рДо + pg,
dive? = 0.
(4.1)
Ускорение частиц жидкости иногда удобно представить в форме Громеки-Ламба (3.2). В
проекциях на оси декартовой системы координат х,-, i = 1,2,3 уравнение (4.1) имеет вид
/ dv, dvA др .
*1 = 0.
OXj
Приведенные уравнения можно также выразить через компоненты тензоров напряжений и
скоростей деформаций
„ 1 / dv, ди/
(4.2)
Иногда удобно ввести модифицированное даление р' = р + gz. Тогда уравнения (t/ ...1)
будут иметь вид уравнений с отсутствующей массовой силой тяжести
-gradp' + рДи,
dive = 0.
(4.3)
40. Граничные условия. Для вязкой жидкости порядок уравнений движения выше,
чем для идеальной, и число условий больше. Начнем с вывода граничных условий на
поверхности раздела двух фаз 1 и 2. Физические характеристики фаз будем помечать также
индексами 1 и 2. Ограничимся рассмотрением случая отсутствия фазовых превращений.
Для скорости движения фаз должны выполняться условия непрерывности вектора
скорости. Иначе говоря, непрерывность касательной скорости и отсутствия протекания
через поверхность раздела фаз:
®)т = Й)г, (Й1)п = = ип, (4.4)
где U - скорость движения поверхности раздела фаз, индекс т означает проекцию вектора
иа касательную плоскость, а индекс п - проекцию на нормаль.
Условия для напряжений можно получить как следствие условий равновесия элемента
сплошной среды бесконечно малой толщины, расположенного на границе раздела. Если
коэффициент поверхностного натяжения <т переменный, то нужно учесть дополнительной
касательное напряжение, равное градиенту касательного напряжения Ver. Таким образом*
условие равновесия примет вид
(Pni+Р„2)т +V<r= 0, (р„|+Рп2)п1-!-<т(1/Л1 + 1/Лг) = 0. (4.5)
Здесь индексами 1 и 2 помечены нормали, направленные внутрь фазы 1 и фазы 2j
соответственно. Последнее равенство является обобщением условия равновесия Лаплас^
(раздел 14.) для движущейся вязкой жидкости, R\ и R? ~ радиусы главных кривизн »
данной точке поверхности, радиус i — 1,2 считается положительным, если центр i-тов
кривизны находится в среде 1. При отсутствии движения pni = -р\П\, р„2 = -р2п2, Ц
соотношение переходит в формулу Лапласа (раздел 14.). Из первого граничного условий
(4.5) вытекает следующий вывод: наличие градиента Ver создает касательные напряжения
в жидкостях, а значит их течение. Течение жидкости, возникающее за счет переменной]
поверхностного натяжения, называется эффектом Марангони (Marangoni, 1872) (см. разде!
60.).
Из общих граничных условий (4.4) и (4.5) можно получить условия для следующие
двух наиболее распространенных частных случаев.
Если жидкость граничит с твердым телом, то на ней ставится "условие прилипания1*
равенство скоростей частиц жидкости и скорости 0 твердого тела в каждой точке границ»
0 = с7. (4.?
На поверхности раздела жидкость-газ (Ъапример, вода-воздух) условия выводятся тай
Вектор напряжений в жидкости рп\ выражается через давление и тензор скоростей дй
формаций с помощью соотношения (4.2): p„i = —pri; + 2^e„i. Отношение динамически^
вязкостей газа и жидкости - малая величина (например, для воздуха и воды это отноше
иие составляет ~ 1,8 х 10"2). Поэтому в векторе напряжений в газе можно учесть толы«
давление рг : р„2 — -рЛ, а вязкими напряжениями можно пренебречь. Таким образом
для первой фазы (жидкости) приходим к следующим граничным условиям
Ц>1 = £Д|, (р„1)г + Ver = 0, (ДОя! + рг + <r(\/R} + 1/Я2) = 0. (4.7
Разберем подробнее, как поставить граничные условия на горизонтальной поверхности
у = h, ограничивающей сверху течение жидкости с однонаправленным по оси х поле]
скорости и(х,у}. Будем предполагать, что поверхность у = h является поверхностью раздел
фаз жидкость-газ. и на ней коэффициент поверхностного натяжения зависит от х. Направо
нормаль п вертикально вверх, то есть в сторону газа. Вектор напряжений р„ имеет две
составляющие, направленные по осям хну, равные соответственно = рдо/ду и —р.
Так как п — -П\, то вектор pni противоположен по знаку вектору р„ и, значит, имеет
составляющие по осям х и у соответственно —рди/ду и р. Для первой составляющей
из граничного условия (4.7) следует цдо/ду - dcr/dx, а для второй имеем р - р. =
cr(l//?i -1- 1/Лг) = 0- Таким образом, граничные условия примут вид
vn = U„, цди/ду = da/dx. р — рт.
(4.8)
Второе уравнение количественно описывает эффект Марангони: сдвиговое течение в жид-
кости имеет напряжение сдвига равное величине da/dx .
Рассмотрим второй случай: условие на поверхности сферического газового пузырька
радиуса а. движущегося в вязкой жидкости. Выберем направление нормали п, внешнее
по отношению к газовому пузырьку. Тогда оно будет направлено в сторону нормали щ. В
сферических координатах R, 9 для осесимметричного движения условия (4.7) будут иметь
вид
, , dvR
P^P + ^-dR
vr = а + U cos 9,
Pm + (d<xld9}la = О,
= 2rr/a.
(4.9)
Я-a
Второе уравнение (эффект Марангони) определяет величину касательного напряжения на
поверхности пузыря. Суммарное касательное напряжение может превзойти силу Архимеда
и возникнет явление, кажущееся парадоксальным: пузырьки при вертикальном градиенте
температуры могут тонуть, а не всплывать.
Для нестационарного движения тел в безграничном потоке жидкости удобно ставить
задачу в системе координат, в которой жидкость на бесконечности покоится. В этой
системе координат нужно требовать, чтобы скорость на бесконечности стремилась к нулю.
На бесконечности в жидкости устанавливается гидростатическое распределение давления.
41. Уравнение изменения кинетической энергии. Вывод теоремы Лагранжа. Урав-
нение изменения энергии можно получить с помощью преобразований уравнений движения
(4.1). Эти преобразования аналогичны приведенным в разделе 4. для произвольной сплош-
ной среды и в раздел 25. для идеальной жидкости. Для двухфазных систем вместо закона
сохранения энергии, рассмотренного в раздел 25., в вязкой жидкости получим закон
изменения энергии в виде
d
(£кин 4- Епот) — (4.10)
где D - скорость диссипации энергии. Потенциальные энергии массовых сил тяжести и
поверхностного натяжения для вязкой и идеальной жидкостей будут совпадать. Кинети-
ческие энергии в идеальной и вязкой жидкости будут отличаться, так как вязкость влияет
на поле скорости жидкости.
Закон изменения энергии можно применить для доказательства теоремы Лагранжа об
устойчивости равновесия вязких жидкостей под действием сил тяжести и поверхностного
натяжения (см. раздел 21.).
Теорема Лагранжа вытекает из общей теоремы Ляпунова об устойчивости движения:
Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что в некоторой
окрестности положения равновесия х существует функция V(x) > 0 при х ф- 0 и
НО) = О и, кроме того, в силу уравнений движения, удовлетворяет неравенству
dV/dt У) О, то такое положение равновесия устойчиво.
Функция V, которая удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова, называется функцией
Ляпунова. Пользуясь этим термином, теорему Ляпунова можно сформулировать короче:
Если в окрестности положения равновесия системы существует функция Ляпунова,
то положение равновесия устойчиво.
Рассмотрим функцию полной энергии Е = Екин + Епот 11 вычтем из нее значение
потенциальной энергии в положении равновесия. Тогда полученная функция V = Екнн +
Епот - Епот(О) будет функцией Ляпунова, если потенциальная энергия ЕПОт будет иметь
строгий минимум в положении равновесия. Из теоремы Ляпунова получили теорему
Лагранжа.
42. Сила сопротивления и скорость диссипации энергия. Рассмотрим твердыйе шар,
движущийся в жидкости по оси z, направленной вертикально вверх, со скоростью zo, где
zo - координата центра сферы. Закон изменения энергии в этом случае будет иметь вид
d /1 О \ V—' —
- J ~zo2_~,Fo
где Л - мощность внешних сил £2Л. Действующих на твердое тело, Mq - масса
тела.
Оставив в левой части уравнения (4.10) изменение кинетической энергии твердого тела'
и перенеся остальные слагаемые в правую часть, получим мощность внешних сил. Из нее
найдем все силы, действующие на твердое тело
52 Л = -^p/zo - Mog + Mg - D/zo,
где ~ кинетическая энергия жидкости, — Mgg - вес тела, Mg - выталкивающая сила
Архимеда и
Есопр = ~~EMzo
сила вязкого сопротивления, направленная против скорости движения тела.
Поскольку скорость диссипации энергии всегда положительна, то сила вязкого сопро-
тивления тела направлена против скорости его движения. При движении тела в жидкости
с постоянной скоростью создается стационарное течение. Поэтому кинетическая энергия
со временем не меняется и сумма сил веса и Архимеда уравновешиваются силой вязкого
сопротивления -Mog + Mg + Fconp = 0. Отсюда видно, что тела тяжелее жидкости Mq > М
имеют отрицательную скорость, то есть тонут, если же > М. то тела всплывают.
43. Формула Бобылева-Форсайта для скорости диссипации энергии. Для расчета
силы сопротивления удобно выразить ее через скорость диссипации энергии, определить
которую иногда бывает проще. При этом полезной оказывается формула Бобылева-Форсайта
(Bobyieff, 1873), (Forsyth, 1880)
D = 4p [ .JdV - 2м [ ~ndS.
J®. Jdv dt
Здесь Q - область течения жидкости, dV - граница тела, п - нормаль, внешняя к телу
V.
Для вывода этой формулы введем тензор щ/у, являющийся антисимметричной частью
тензора дисторсии 5о,75х;. Его компоненты выражаются через компоненты вектора вихря
Ш = jrotu
(О шз — д,'2 \
—W3 О I .
Ш2 —Ш| 0 /
Учитывая формулы
dv-JdXj = ец + шу, dvi/dxi -= ер- - шр-,
получим
(dvi/dxi)(dvj/dxi) = ецвц - шцшу = е,;еу - 2w2.
Пользуясь тождественными преобразованиями
. dv д ~
div— = —divo +
dt at
д ,. _
-d.W +
и уравнением divo = 0, предыдущее равенство можно записать так:
,. dv 2
Oiv— = еЧеЧ ~ 2ш
dt ' '
Умножая это равенство на 2/г, интегрируя его по области П и применяя теорему Гаусса-
Остроградского, получим формулу Бобылева-Форсайта.
44. Приложение формулы Бобылева-Форсайта для расчета диссипируемой энергии.
Укажем наиболее важные случаи применения формулы Бобылева-Форсайта.
Случай 1. Поступательное движение твердого тела в вязкой жидкости с постоянной
скоростью z0- Учитывая, что на границе тела $ = z0 = 0, получим
D = 4р [ u?dV.
Этот случай будет более подробно рассмотрен в следующих пунктах.
Случай 2. Безвихревое течение £ = 0. Согласно формуле Громеки-Ламба ускорение
частиц жидкости таково:
dv ди ,о2
^=9?+grady
и формула Бобылева-Форсайта упростится
D = -2м [ A1S = -pf ~dS.
Jev Jav
Рассмотрим примеры применения этой формулы.
Пример 1. Диссипация энергии пульсирующего пузыря. Время затухания колебаний
в вязкой жидкости. Вихрь радиального поля скорости равен нулю. Подставляя ш = 0 и
ndv/dt — а в формулу Бобылева-Форсайта, найдем
D = -2рА~а2а.
Для гармонических колебаний (см. раздел 37.) а = ао(1 + 71cosQ/). а = -acHaoflcosQt,
средняя потеря энергии за период равна
< D >= вттц/И!2 < al(1 + A cos (It)2 cos (It >= 8тг^адД2О2.
где П - частота Миннаэрта (3.23). Из уравнения изменения полной энергии (4.10) dE/dt =
—D и выражения (3.24) найдем уравнение для амплитуды колебаний
^-(2тгра(И2О2) = - < D >= -8тгмп^2П2 => А = -^А.
at раа
Уравнение имеет решение
А = Аое-™'П2г>,
4т _ 4т I ~р
по V 3ТРж
(4.11)
Здесь Л - декремент затухания колебаний пузырька. За одни период амплитуда уменьшится
в е Л г.- 1 - Д раз. Для воздушного пузырька радиуса 0,1мм в воде декремент затухания
за счет вязкости жидкости равен 6 х 10~3. Отсюда следует, что за один период колебаний
амплитуда уменьшится всего на 0,6% от своей величины. Ниже будет показано: затухание
колебаний воздушных пузырьков в воде связано, главным образом, с тепловыми потерями
механической энергии (см. раздел 72.).
Пример 2. Сила сопротивления, действующая на сферический пузырь радиуса а
в вязкой жидкости при Re 1. В этом случае вихри в скорость диссипации энергии
жидкости дают малый вклад, которым можно пренебречь. Квадрат скорости находится из
решения задачи о движении шара в потенциальном потоке жидкости
Л °3 . а г /5Ф VI /1 ,2,, 2OV8.2
$ = -^z0costf. =^sln 9 + cos
О о 'R~a
dv- dv2 /3.2 , \ /3 9 2 zA -2
e + 6cos &)a^
D = \2.-np.az^.
Отсюда получим формулу Левина для силы сопротивления пузырька в жидкости при
Re » 1
Туопр — — 12тграZg.
§4.2 Ползущие течения
45. Уравнения Стокса. Запишем уравнения движения вязкой жидкости в безразмерных
переменных х,- = аХ;, о,- = v^Vi, i = 1,2,3. При Re < 1 вязкие силы трения и градиент
давления сравнимы по порядку величины. Поэтому безразмерное модифицированное дав-
ление можно ввести так: р' = pU2P'. Тогда получим следующие уравнения в безразмерной
форме
RetdV/dt) = -grad/3' + AV, divV = 0, Re = avxp/p.
Если в уравнениях перейти к пределу Re —♦ 0 и затем вернуться к размерным переменным,
то из (4.3) получим линейную систему уравнений
gradp' = pAt), diver = О,
которая называется системой уравнений Стокса.
Решение этих уравнений можно выразить через две гармонические функции Я(х,у,г)
и G(x,y,z) следующим образом
v = grad/7 + zgradG - kG, p' = 2p—+po.
где z — декартова координата, k — единичный вектор оси z, ро = const, roto — 2k х gradG
(рис. 4.1).
Рис. 4.1: Компоненты скорости при
обтекании сферы вязкой жидкостью.
Рассмотрим задачу обтекания сферы радиуса а
со скоростью на бесконечности kvx. Выбираем гар-
монические функции Н и G в виде
di cos в В
Н АдгЯ ~ А R2 ’ G R
Тогда получим следующие компоненты скорости и
вихря в сферической системе координат
дН ( dG \ п \2А 2В 1
= № + (Ля ~ G)cos0 = [F' Т + Ч с05*'
ЭЯ ЭС „ „ . а ГД в Т . „
“9=^+^cos0+Csine=b+«-4sine-
Давление и компоненты тензора напряжений будут
такие:
В
Р1 = -2p^cos9,
Эия /ЗВ 6Д\ д
PRR = -р + 2.Р— = 2р J cos О,
( dv6 ve 1 dvR\ 64 . „
Pm~ll\dR R + R~d9 J ~ ~pR*iMe'
Обтекание твердой сферы
Граничные условия прилипания vR = 0, Ор = 0 при R = а приводят к системе уравнений
2А 2В г. А В
з 4" ^оо — о, о 4" Vqq — 0.
а6 а а3 а
Отсюда найдем постоянные А = a3vx/4 и В = Зао^,/4. Вычислим диссипацию энергии,
равную мощности силы сопротивления Еи^,
D = и у (roto)2dV
R>a
У sin3 OdO У ~ ==
0 а
Формула для силы F = бтг/iao^ называется формулой Стокса.
Обтекание пузыря
Из граничных условий vr = 0, рог, = 0 при R = а найдем А — О, В — %avx.
Распределение нормальных и касательных напряжений на поверхности пузыря рдя =
3р(0оо/а) cosd, pug = 0, dS = 2тга2 sin Мв. Сила сопротивления вычисляется так:
If
F = У рии cosSdS — j cos2 ffsin 0dB = 4irpavx.
R—a 0
§4.3 Всплытие и осаждение частиц сферической формы
46. Силы, действующие иа частицу. Движение сферических тел в жидкости по вер-
тикали с переменной скоростью можно полностью описать, исходя из уравнения энергии
в раздел 41. Введем ось г, направленную вертикально вверх, и сферическую частицу,
движущуюся по оси г с переменной скоростью гр. Рассмотрим силы, которые действуют
на частицу.
1) Сила веса —Mog направлена вниз.
2) Выталкивающая сила Архимеда Mg направлена вверх.
3) Сила сопротивления /^опр = -D/z$ направлена против скорости движения тела. Для
сферических твердых частиц имеем следующие формулы
{-бтг^аго. Re С 1,
~^рг%тга2Сх1Де), общий случай,
— 2PZg7ra20,4, Re 500.
Для сферических пузырьков формулы таковы
Р _ J -4-rrpaZQ, Re <4С 1,
сопр - | _12ffAiaz0, /?е » 1, И7е«1.
4) Сила присоединенной массы, равная ~(dExm/dt) / го.
Приближенно изменение кинетической энергии жидкости можно вычислить, предполагая
жидкость идеальной, а поток потенциальным. Тогда для поступательного движения твердого
тела со скоростью и кинетическая энергия будет пропорциональна квадрату скорости Ект =
М'и2. Коэффициент М' называется присоединенной массой тела. Для сферы М1 = %М, где
М - масса жидкости, вытесненная сферой.
Таким образом, для силы присоединенной массы получим
Fm = ~(dEKX„/dt)/zo = — М Zq.
Полученная формула дает приближенную оценку силы F„, качественно описывающую
эффект торможения тела в жидкости. В случае движущегося в жидкости сферического
пузыря при большом числе Рейнольдса Re 1 ошибка формулы составит малую величину
порядка 1/Re.
Применяя второй закон Ньютона к телу с массой Мр, получим уравнение его движения
Mozo = ~Mog + Mg + /уопр - М%.
Последнее слагаемое удобно перенести в левую часть
(Мо + M')z0 = -Mog + Mg + fconp.
Отсюда становится понятен физический смысл присоединенной массы тела М'. Тело,
движущееся в жидкости, как бы приобретает добавочную массу М'.
Если не учитывать присоединенную массу М', то можно придти к парадоксальному
результату. Легкие тела будут всплывать в жидкости с очень большим ускорением, равным
(M/Mo)g, где М масса вытесненной жидкости и Мо масса тела. В действительности
правильная формула показывает, что для очень легких по сравнению с жидкостью тел
(например, воздушных пузырьков в воде) ускорение составляет всего 2g.
47, Закон всплытия сферического пузырька при большом числе Рейнольдса. Для
сферических пузырьков, всплывающих в вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса,
все перечисленные силы можно определить достаточно точно. А именно, выражения
D — 12тг/та2 и Екя„ = |MZq имеют относительные погрешности О(\/уРм) и O(l/Re)
соответственно. Отсюда можно найти закон, по которому пузырек всплывает в жидкости
из состояния покоя. Применяем к газовому пузырьку закон изменения количества движения
в проекции на вертикальную ось
Мого = -Mog + F = -Mog + Mg - 12тг^аг0 - |мг0.
В правой части уравнения учтены следующие силы: сила тяжести, сила Архимеда, сила
сопротивления Левина и сила присоединенной массы. Учитывая, что масса пузырька Mq
пренебрежимо мала по сравнению с массой вытесненной жидкости М, получим для скорости
пузырька zq уравнение
-Mz0 = Mg - 12тг^аг0.
Решение этого линейного уравнения имеет вид
Если выразить массу вытесненной жидкости через радиус сферы а, то получим
г0 = ПооП - их = f0 =
У/z 10/1
Ускорение пузырька меняется по закону
z0 = 2ge~,/'°.
Здесь Uqc - установившаяся скорость всплытия, ?о ~ характерное время установления
скорости.
Формула Левина и все вытекающие из нее формулы применимы при следующих
условиях.
Г) Течение близко к потенциальному Re = раи^/р 1.
2) Силы поверхностного натяжения достаточно велики, чтобы обеспечить форму пу-
зырьков, близкую к сферической. Это выполняется при условии малости числа Вебера
We = раи^/а 1.
Если подставить в эти условия формулу для скорости всплытия Uoo, то они запишутся
так:
3 2 2
We = 1, Re = ^а3 » 1.
Для пузырьков в воде получим: а5 < 6 х 10-7cms ио3» 9.2 х 1О-7см3.
§4.4 Установившиеся течения одного направления.
48. Вывод уравнений. Будем исходить из системы уравнений Навье-Стокса в тензорном
виде
p\~dt)~p8~ gradP + 2/iDive,
divo = 0.
Выбираем направление оси х по вектору скорости. Тогда поля скорости и давления в этой
системе координат будут иметь следующий общий вид
их = o(x,i/,z), vy = Vz = 0, p = p(x,y,z).
Из уравнения неразрывности следует, что ди/дх = 0. Частицы жидкости движутся по
прямым, параллельным оси х, со скоростью v(x,y) и ускорением, равным нулю.
Компоненты тензора деформаций определяются матрицей
/ 0 ^dv/dy ^dv/dz \
е = ^dv/dy О О
\ ^dv/dz 0 0 /
Компоненты дивергенции тензора деформаций:
/ \ 1 / d^v f \ ( \
Div е = - , Div е ) = 0, Div е = 0.
\ 2 \ду3 dz3J \ \ ~Л
Подставляя эти выражения в уравнение (1.17), получим
dp (<pv &v\ др др
* = ~Тх+>1\^ + д?Гр&' ду+р8!1, 0 = -fe + ^-
Эти уравнения можно еще упростить. Если продифференцировать первое уравнение по
второе по у и третье по г, то получим
дх дх' ду дх’ dz дх'
Отсюда следует, что др/дх = const. Вводим обозначение i = -др/дх + pgx. Тогда для
функции v(t, х.у) получим уравнение
(4.12)
Давление определится из системы уравнений
др . др др
дх=р8'~1’ d~y=PS*’ di = PS-
Величина i в уравнении (4.12) определяется двумя причинами: перепадом давления и
проекцией силы тяжести на направление движения
‘ = -^+Pgx.
Скорость течения жидкости между двумя параллельными бесконечными пластинами зависит
только от поперечной координаты, и дифференциальное уравнение станет обыкновенным
(рис. 4.2)
ZZZZZZ/Z^ZZZZZZZZZZZZ
(4.13)
Рис. 4.2: Однонаправленные течения вязкой жидкости,
новенное дифференциальное уравнение
Для течения в круглой трубе
можно ввести полярные ко-
ординаты у = гсозф, z —
гз'тф. Тогда уравнение (4.12)
также преобразуется в обык-
d2v 1 dv
~d^ + ~rZr
(4.14)
49. Безградиентное сдвиговое течение Куэтта. (Так называется течение между двумя
параллельными пластинами, одна из которых (у = 0) неподвижна, другая (у = h) движется
с постоянной скоростью оо (Couette flow). Кроме того, величина i принимается равной
нулю (рис. 4.2 б). Тогда из уравнения (4.13) получим
Pdy2 °'
о(0) = 0, v(h) - vq.
Решение:v=
по
do
Рху — ~ consi-
st). Течение Пуазейля между двумя неподвижными параллельными пластинами. На
горизонтально расположенных плоскостях течение создается градиентом давления равным
отношению разности давлений в двух точках к расстоянию / между точками
‘ = (Р1 ~ и)//.
Жидкость течет от большего давления к меньшему (рис. 4.2 a) (Poiseuille flow).
Течение может также создаваться без перепада давлений, если наклонить пластины
под углом а к горизонту (рис. 4.2 в)
i = pg sin а.
Скорость определится из решения следующей задачи
d%v
Ругу - 0, о(0) = v(h) — 0.
atr
Решение
Профиль скорости : v = — у),
Касательное напряжение : рХу(у) = Рту, = Й-’п — 2у),
Касательное напряжение на пластинах : pXJ,(0) = — pxy(h) = jj.
Расход : Q = /о vtytfy = i$^3.
Средняя скорость : v =
Наибольшая скорость : vmax = ~
51. Стекание слоя вязкой жидкости с наклонной плоскости. На свободной поверх*
ности давление постоянно. Величина I определяется только проекцией силы тяжести на
плоскость, расположенную под углом а к горизонту,
х = pg sin а.
Уравнения и граничные условия таковы:
d?v dv।
*(О) = о, Px#) = m^|w = o.
Решение
Профиль скорости : v = ^y(2h — у),
Касательное напряжение : рху(у) = _ У)-
Касательное напряжение на плоскости : рху(0) =
Расход : Q = Jo
Средняя скорость : v = ^Л2,
Наибольшая скорость : vmax = ^/i2 = |й.
52. Течение Пуазейля в круглой трубе. Уравнения и граничные условия таковы:
/ сРи 1 &и\
+ а(а) = 0’ “(О)^00-
Решение
Профиль скорости :
Касательное напряжение :
Напряжение на трубе :
Расход :
Средняя скорость :
Наибольшая скорость :
^(а2~г2),
РхАО = = - If.
-Рхг(а) = ¥.
Q = /“ v(r)2nrdr =
Р’пах = »(0) = ^ = 2Э.
Формула для расхода заключает в себе законы, которые экспериментально нашел Пуазейль
(Poiseuille 1840) при своих исследованиях течения воды по капиллярным трубкам. Им было
установлено, что время истечения данной массы жидкости прямо пропорционально длине
трубки и обратно пропорционально четвертой степени диаметра. Этот результат также
служит экспериментальным доказательством постулата о выполнении граничного условия
прилипания на стенке трубы. Если принять условие скольжения в виде о = -Xdv/dr\r=a,
то для расхода получим
iira4 / А\
<3=-7Г- (1 + 4— •
од \ а )
Поправка должна увеличиваться с уменьшением радиуса капилляра. Однако, в эксперименте
с очень тонкими капиллярами это не наблюдается.
§4.5 Течение между двумя круговыми цилиндрами.
53. Постановка задачи. Вязкая жидкость заключена между двумя бесконечно длин-
ными коаксиальными цилиндрами, вращающимися вокруг оси с постоянными угловыми
скоростями и Ць (рис. 4.3).
Рис. 4.3: Течение между двумя
вращающимися цилиндрами.
Градиент давления вдоль оси отсутствует. Радиусы цилин-
дров равны а и b, b > а. Найти распределение скоростей
и моменты сил, действующих со стороны жидкости на
цилиндры (вращательное течение Куэтта). Силу тяжести
для простоты учитывать не будем.
Будем предполагать, что течение плоско-параллельное,
а линии тока - окружности, лежащие в плоскости, пер-
пендикулярной оси цилиндров. Центры окружностей ле-
жат на оси цилиндров. Введем полярные координаты г, ф.
Тогда общий вид полей скорости и давления будет такой:
vr = 0, = о(г), р(г). Среди компонент тензора скорос-
тей деформаций только одна будет отлична от нуля
, . 1
Mr) = g
Находим компоненты дивергенции тензора деформаций:
О,
Подставляя эти выражения в уравнение Навье-Стокса p(dv/dt) = -Vp+2^ ^Div_ej, получим
следующую систему дифференциальных уравнений
dp dr 2т
dr’ dr + г
и условиями прилипания на границах цилиндров
о(а) = of!.,, o(Z>) = W2A.
54. Решение. Введем момент силы Мот = 2тгг2т, действующий на единицу длины
цилиндрической поверхности радиуса г, и угловую скорость fl = v/r движения частиц по
окружности. В этих переменных второе и третье уравнения примут вид
dMom _ dCl Мот
dr ’ dr 2тгрг3
Уравнения легко интегрируются
.. Мот
Мот = const, S2 = С------—
4тгрг-
На границах цилиндров должны выполняться условия
я(п) = п0, =
Отсюда найдем момент силы, действующий на цилиндры
и угловую скорость
ад2(г2-а2)-Паа2(г2-&2)
= ------------------------
§4.6 Приближение тонкого слоя.
55. Уравнения Рейнольдса. Если течение происходит в тонком слое, толщина которого)
существенно меньше характерного поперечного размера I, то уравнения движения жидкост)
можно упростить (Reynolds О., 1886). Для этого вводятся две продольные криволинейнй
координаты х,у и поперечная координата г. Соответственно скорость будет иметь ДВ
продольные компоненты и, v и поперечную - а>. Для продольных компонент скоросЯ
уравнения в каждой точке слоя х,у будут иметь такой же вид, как если бы это был!
течение между двумя пластинами в направлении вектора градиента давления
др _ дгх др _ дту др _ ди _ до
дх dz' ду dz’ dz ’ Тх dz' dz'
u(zi) = ui, u(z2) = u2, •j(zl) = zit, v(z2) = v2.
(4.1|
После решения этой задачи находится поперечная скорость w из уравнения неразрывное!
ди/дх + dv/ду + dw/dz — 0.
56. Течение в тонком слое. В частном случае щ = и, = О, / = 1,2 система уравнений
(4.15) определяет течение Пуазейля между двумя неподвижными плоскостями, рассмот-
ренное в разделе 50. Полагая в решении I — -\7р и заменяя Q на вектор расхода Q,
получим
Q = -^Vp, ft = z2 —Zj.
12р. пл
Здесь под v понимается вектор с двумя продольными компонентами и, и. Отсюда находится
касательное напряжение в слое
dv -Z| +z2~
2z
Рассмотрим общий случай, когда поверхности движутся с произвольными скоростями
ui(ui,v\) и 62(^2,02). Перейдем в систему координат, в которой oj + v2 = 0. Тогда граничные
условия будут выполнены, если к профилю Пуазейля добавить линейный симметричный
профиль скорости Куэтта с равным нулю расходом. Таким образом, решение задачи будет
иметь вид
7, (г - г!)(г2 - г) & - о, / 1 А
„ = 6Q----------------+ __ _ _(2| + Z2)J.
Для решения задачи в исходной системе координат нужно учесть, что скорость S в старой
системе координат выражается через скорость о' в новой системе координат по формуле
v = S' + 3(61 +62). Соответственно нужно учесть связь расходов Q и Q' в старой и новой
системах координат Q’ = Q - j(oi + v2)h.
Таким образом, получим общее решение задачи о течении в тонком слое
? = 1 (о, + 52) + 6 [Q - 1(п, + 02)/:] +
1/ Л
г — ^(г1 + гг) )•
Из уравнения Vp = рс^о/Зг2 найдем
.. /13 1
Q = - j2^Vp+ ~(И| +о2)й-
Htlt-
57. Течения Хелле-Шоу. Так называются тече-
ния, экспериментально изученные Хелле-Шоу (tielle
Sfeew, 1898). Вязкая жидкость течет под давлением
между двумя близко расположенными параллельны-
ми пластинками и обтекает расположенные там ци-
линдрические препятствия. Такое течение, для пре-
пятствия в форме кругового цилиндра изображено на
Рис. 4.4: Течение Хелле-Шоу. Рис- 4-4- Для сРелней скорости течения <v>=Q/!z
получим
< S >= gradT,
Ф =-------р,
12рМ’
то есть течение является потенциальным. Течения Хелле-Шоу могут служить эксперимен-
тальной проверкой теории потенциальных течений на плоскости. На первый взгляд кажется
парадоксальным, что течения жидкостей с очень большой вязкостью оказываются таким^
же, как потенциальные течения без вязкости.1
58. Движение слоя вязкой жидкости между двумя деформирующимися поверхностям
ми. Если закон сближения двух поверхностей известен ?2—Zi = h(t,x, у, t). то, подставляя
в закон сохранения массы жидкости
dQx/dx. -k dQy/dy + ~ = 0
выражения для компонент вектора расхода, получим уравнение для давления
1 ( д_ (hz^p\ , A (h3^X\ +
12д \ дх) ду\ ду)) dt
Давление из этого уравнения можно вычислить, если дополнительно будут известим
граничные условия. Интерес представляют две задачи.
1. Жидкость заключена между двумя поверхностями, деформирующимися по заданном^
закону: г = z\{t,x,y) и z = Zzit.x.y), и неподвижной цилиндрической поверхностью 8SI
которая ограничивает область переменных (х,у) g S (рис. 4.5). Ее масса постоянна, чт«
выражается условием
У h(t,x,y)dxdy — V — const.
Рис. 4.5: Вытеснение жид-
кости двумя поверхностями
типа Дирихле
Через боковую поверхность 9S жидкость не протекав#
Отсюда получим условие на контуре dS типа Неймана
^ = 0.
дп
2. Жидкость вытесняется двумя поверхностями z
Z\(t,x,y) и z = Z2(t,x,y), ограниченными подвижной цили!
дрической поверхностью 9S, так что на границе 9S давлен!
Ро постоянно. Тогда на границе 3S нужно ставить услов!
Р = Ро-
Пример. Два круглых соосно расположенных диска одинакового радиуса а погружен^
в вязкую жидкость и медленно сближаются с относительной скоростью h. Определит!
испытываемое дисками сопротивление, когда расстояние h между ними мало.
Решение. В силу симметрии давление в жидкости можно искать в виде р(г,/),г™
у/х2+у2. Уравнение для давления и граничное условие примут вид
с?р 1 Эр \2p.h . ,
= р(а) = р°-
‘Приведенная фотография эксперимента для течения Хелле-Шоу взята из книги М. Van Dyke "An Albtfl
of Fluid Motion. 1982”.
Полученная краевая задача идентична задаче для течения Пуазейля в круглой трубе, и
поэтому решение строится аналогично
ЗА// 9
Р - Ро = -ff-v - <П.
Интегрируя давление по поверхности диска, получим силу, действующую на него со
стороны жидкости.
j~(p- Pa)dS = I ^(r2 - aW = ^2тг
r<a 0
a
0
Зтг^Аа4
2Л3
59. Течение в тонком слое прн отсутствии градиента давления. Предположим, что
в тонком слое в направлении скорости течения градинта давления нет. Тогда в нем,
реализуется рассмотренное выше сдвиговое течение Куэтта с линейным законом изменения
скорости поперек слоя
h
где г - координата, направленная поперек слоя жидкости, ч и ог - значения продольной
скорости на нижней г = г, и верхней г = гг границах слоя.
Напряжение в жидкости в поперечном направлении слоя не меняется.
На нижнюю границу слоя действует со стороны жидкости касательное напряжение pxz, а
на верхнюю действует — piz.
Наиболее важными примерами таких течений являются течения между двумя осесим-
метричными соосно вращающимися поверхностями, например:
1) между двумя параллельными плоскостями, вращающимися относительно оси перпен-
дикулярно направленной к ним оси г; скорости на нижней и верхней плоскостях равны
соответственно и ЕЦг, а напряжение в слое жидкости равно prz = - Fl\)r/h,
h = zi~ г,;
2) между двумя соосно вращающимися круговыми цилиндрами; скорости на внутренней
и внешней поверхностях цилиндров равны соответственно П|Г и а напряжение в слое
жидкости равно рГф = - fyfijr/h, h =- ip - г\.
Здесь г, г,ф - цилиндрические координаты, h - толщина зазора между поверхностями.
Вследствие осевой симметрии давление в жидкости не зависит от угла. Поэтому градиент
давления в направлении угловой переменной равен нулю.
Аналогично можно вычислить напряжения между вращающимися сферами, конусами
н другими поверхностями.
§4 .7 Течение жидкости со свободной границей
60. Эффект Марангонн. Коэффициент поверхностного натяжения на границе между
жидкостью и газом может быть неоднородным по своей величине. Это может быть вызвано
несколькими причинами. Одна из них состоит в том, что с ростом температуры Т коэффи-
циент поверхностного натяжения убывает. Скорость убывания определяется коэффициентом
-в = da/dT = -О.15эрг/(см2 град).
Другой причиной может быть зависимость коэффициента поверхностного натяжения
от количества поверхиостно-активных веществ, адсорбирующихся на поверхности раздела
фаз. Эта зависимость определяется формулой Гиббса (Gibbs) da/dV = —R°T, где Т -
температура по шкале Кельвина, R° = 8.317Дж • моль-1 • град-1 - универсальная газовая
постоянная, а величина Г - количество поверхностно-активных веществ, в молях на
единицу площади, адсорбирующихся на поверхности раздела фаз.
Изменение поверхностного натяжения создает напряжение на поверхности и, вследствие
граничного условия (4.7), вызывает движение жидкости. Этот эффект называется эффектом
Марангони.
Рассмотрим задачу о течении в слое жидкости над бесконечной горизонтальной плос-
костью высоты h, которое создается постоянным градиентом коэффициента поверхностного
натяжения. Пусть х е (-00,00) и у е (О,Л) - декартовы координаты. Вектор скорости, в
силу симметрии, имеет одну компоненту v(y), направленную по оси х, и удовлетворяет
следующим уравнениям движения
<Pv др др
Д 2 д ’ ~ Гё-
ду2 дх ду
Скорость должна удовлетворять условию прилипания на дне о(0) = 0 и, на свободной
поверхности, компенсировать касательное напряжение pdv/dy = da/dx (см. условие (4.8)).
Давление р(х,у) на поверхности должно равняться атмосферному давлению р(х,Л) = ра.
Приведем решение поставленной краевой задачи. Из второго уравнения и условия для
давления найдем р = ра - pgy. Подставляя выражение для давления в первое уравнение,
получим уравнение для скорости o^v/ду2 = 0. Решение, удовлетворяющее условиям на дне
и свободной границе, имеет вид v — y(dcr/dx)/р.
Если в слое создать перепад температуры dT/dx, то изменение коэффициента поверх-
ностного натяжения будет равно dajdx = —ЗДТ’/Дх. Это вызовет движение жидкости со
скоростью V — —hjdixT/(ixx р) иа границе слоя, которая может быть весьма значительной.
Например, в слое воды глубины h = 1мм и длины Дх = 10мм при перепаде температуры »
10° скорость равна 1,5см/сек. Движение жидкости, вызванное температурным изменением
коэффициента поверхностного натяжения, называется термокапиллярным эффектом. Как
уже выше отмечалось, используя термокапиллярный эффект, можно заставить газовые
пузырьки в жидкости не всплывать, а тонуть.
Упражнения
1. Дано поле скорости течения вязкой жидкости vx — у, vy = 0, vz = 0.
а) По каким траекториям и с каким ускорением движутся частицы жидкости?
б) Вычислить вихрь.
в) Вычислить компоненты тензоров скорости деформаций и напряжений.
г) Вычислить скорость диссипации энергии в кубе 0 < х < 1,-0 < у < I, 0 < г < 1.
д) Какая сила действует на квадрат 0 < х < 1, у — 0, 0 < z < 1.
2. Поле скорости имеет потенциал ф = Rn + г, R = у'х-г + у2 + г2.
а) Найти компоненты скорости в декартовой и сферической системах координат.
б) При каком п это поле скорости определяет ползущее течение вязкой жидкости.
в) Найти функцию давления ползущего течения.
г) Вычислить нормальное и касательное напряжение на сфере радиуса R.
3. Сферический газовый пузырь радиуса а всплывает в тяжелой жидкости при малых
числах Рейнольдса.
а) Каким уравнениям удовлетворяет поле скорости.
б) Написать граничные условия для компонент скорости.
в) Найти компоненты скорости на поверхности пузыря.
г) Написать закон изменения кинетической энергии жидкости при равномерном всплытии
пузыря.
д) Вычислить работу силы сопротивления и диссипацию энергии.
4. Алюминиевый шарик радиуса 1 мм тонет в водно-глицериновом растворе со скоростью
км/сек. Плотности алюминия - 2,7г/см3, водно-глицеринового раствора - 1,2г/см3.
а) Вычислить силу веса, выталкивающую силу и силу вязкого сопротивления, дейст-
вующие на шарик.
б) Вычислить коэффициент вязкости водно-глицеринового раствора в этом опыте.
в) Написать и проверить условие, при котором можно применять формулу Стокса для
вычисления вязкого сопротивления.
г) Предложить методику вычисления коэффициента вязкости жидкости по результатам
измерения скорости осаждения в этой жидкости данного алюминиевого шарика.
5. В лоток прямоугольного сечения, наклоненный под углом а к горизонту подается
вязкая жидкость с постоянным объемным расходом Q. В лотке образуется стекающий
равномерно слой жидкости толщины h. Ширина лотка Ь. Определить
а) толщину слоя жидкости Л,
б) среднюю скорость течения жидкости,
в) максимальную скорость течения жидкости в лотке,
г) напряжение трения на дне лотка.
6. В слой, ограниченный двумя вертикально расположенными коаксиальными круговыми
цилиндрами с радиусами 2см и Зсм и плоским дном, налита вязкая жидкость до уровня
10см. Внутренний цилиндр под действием момента силы равного 1Г х см вращается с
угловой скоростью 1оборот в сек. Внешний цилиндр неподвижен. Вычислить коэффициент
динамической вязкости жидкости.
7. Каким уравнениям соответствуют пределы бесконечно большого и бесконечно малого
чисел Рейнольдса в уравнениях Навье-Стокса?
8. Поле скорости ползущего течения несжимаемой жидкости имеет потенциал Ф. Найти
функцию давления.
9. Вычислить лапласиан давления в ползущем течении, исходя из уравнений Стокса.
10. Найти зависимость скорости от угла на границе сферического пузыря в ползущем
течении.
11. Как измерять вязкость жидкостей по скорости осаждения стального шара? Каким
условиям нужно подчинить радиус шара, чтобы можно было пользоваться формулой Стокса
для сопротивления шара в вязкой жидкости?
12. Как использовать теорию течения Куэтта для измерения динамической вязкости
жидкостей.
13. Во сколько раз средняя скорость меньше максимальной скорости для течений вязкой
жидкости
а) в круглой трубе;
б) между двумя неподвижными пластинами:
в) по наклонной плоскости?
14. Решить задачу о течении между двумя круговыми цилиндрами с помощью прибли-
жения тонкого слоя. Вычислить моменты сил, действующих на цилиндры.
Глава 5
Теплопередача в вязких жидкостях и
газах
§5.1 Общие законы
Для вывода уравнения притока тепла в сплошной среде используются первый закон
термодинамики и закон изменения механической энергии.
61. Первый закон термодинамики. Для индивидуального объема сплошной среды пер-
вый закон термодинамики можно сформулировать так.
Изменение суммы кинетической энергии Екян и внутренней энергии £ индивидуаль-
ного объема V среды равно мощности Л'1®*, производимой в этом объеме внешними
силами плюс приток тепла 6Q/dt извне в единицу времени
&Е*т+£) = № + 6Q/dt.
Следует отметить, что выражение SQ/dt нельзя представить как полную производную по
времени от какой-либо функции термодинамических величин. Выражения для Ект и
были даны в разделе 4.
62. Закон изменения механической энергии для индивидуального объема сплошной
среды был установлен в разделе 4. в виде
^кИН=Лг(г)+Лг('’.
§5.2 Уравнение притока тепла
63. Вывод уравнения. Уравнение притока тепла для индивидуального объема V полу-
чим, вычитая из уравнения первого закона термодинамики уравнение изменения механи-
ческой энергии
= 6Q/dt (5.1)
Для получения дифференциального уравнения притока тепла нужно конкретизировать за-
коны, по которым определяются: внутренняя энергия и приток тепла извне. Для внутренней
энергии вводят удельную внутреннюю энергию U, которую определяют через удельную
теплоемкость при постоянном объеме сДТ)
£ = ^pUdV, dU = cv(T)dT.
v
Отсюда, по правилу дифференцирования интеграла (1.9) (раздел 2.) определяем левую
часть уравнения (5.1)
Т£== [ PTUdV-
dt J dt
V
Приток тепла в правой части уравнения (5.1) определяется так:
= f ^EdV + [X^-dS.
dt J dt J dn
V dV
Подинтегральная функция в первом слагаемом правой части определяет выделенное в
единице объема тепло за счет химических реакций. Второе слагаемое - это закон Фурье
для потока тепла через поверхность, А - коэффициент теплопроводности.
Мощность внутренних поверхностных напряжений приведена в разделе 4.
Nli) = - I PtjendV.
V
Подставляя найденные выражения в уравнение притока тепла (5.1), получим
/ Р% Ж = / ^dV + / Af dS - f pAivvdV + 2pf e^dV.
V V dV V V
С помощью теоремы Гаусса-Остроградского поверхностный интеграл можно привести 1
объемному и в результате придем к следующему уравнению
/ (р^ - - АДГ + pdivo - 2pe,ze0 dV = 0.
Отсюда, учитывая непрерывность подынтегральной функции, получим уравнение приток!
тепла
dU dqUzQQ
Р dt dt
+ АДГ - pdivo + 2pe,,e:i.
Таким образом, внутренняя энергия U увеличивается за счет поступающего тепла извНЙ
превращения механической энергии в тепловую за счет сил трения в среде и работы сЩ
давления при увеличении объема среды.
64. Таблицы термодинамических характеристик для некоторых веществ. При пере-
счете термодинамических характеристик нужно иметь ввиду следующие соотношения для
единиц измерения работы: Джоуль (Дж), калория (кал) и эрг. В системах единиц кг, м,
сек и г, см, сек эти единицы измерения связаны между собой так:
1Дж = 1КГ М„ , 1эрг = 1 ГСМ, , 1Дж = 107эрг, 1кал = 4,18Дж = 4,18 х 107эрг.
сек* сек*
Термодинамические характеристики некоторых веществ представлены в таблице
Таблица 2.
Вещество Воздух Дерево Вода Сталь Медь
\ Г эрг 1 ^см сек град * 2, 5 Ю3 101 6 - Ю4 4,5-10“ 3,9-10'
0,172 0,5 1 0,11 0,094
7,19 • 10“ 2,09-10' 4,19-10' 4,6-10“ 3,9-10“
р[у] 1,3 • 10“3 0,5 - 0,9 1 7,8 8,9
k = _A_[£4£fl pcv 1 сек 1 0,27 10~3 -5 - Ю'3 2,9-10“3 0,12 1,1
Последний коэффициент k называется коэффициентом температуропроводности. Он яв-
ляется показателем скорости изменения температуры со временем при неоднородном ее
распределении в материале.
65. Уравнение притока тепла в несжимаемой вязкой жидкости. В несжимаемой
жидкости divv = 0, и уравнение притока тепла имеет вид
рСу~ = ^+АД7' + 2ме,7е,;.
Это уравнение служит для расчета распределения температуры в жидкости. Температура
не влияет на поле скоростей жидкости. Поэтому сначала можно найти поля скорости и
давления из уравнений Навье-Стокса, а затем из уравнения притока тепла поле температур.
В сжимаемой среде это не так. Поле температур оказывает влияние на поля плотности,
давления и скорости среды, и их нужно находить из общей системы уравнений.
§5.3 Теплоперенос в жидкостях
66. Примеры решения задач теплопереноса в жидкости.
Пример 1. В круглой трубе радиуса а течет вязкая несжимаемая жидкость со средней
скоростью V. Течение ламинарное. Стенки трубы поддерживаются при постоянной темпе-
ратуре Го. Определить установившееся распределение температуры в жидкости [2].
Решение. Вводим цилиндрические координаты г, г. В трубе установятся независя-
щие от времени и продольной координаты профиль скорости Пуазейля (раздел 52.):
= п = 25(1 — г2/а2) и распределение температуры Г(г). Подставляем выражения
dT
dt
дТ „
= V-7— = 0.
дг
ДГ = у-у + 2с,,е:, = 4е2 = 16й2г2/а4.
dr1 г dr
в уравнение притока тепла (раздел 65.). Тогда получим для температуры следующее
уравнение
d2T \_dT_ _ 16о2ц 2
dr2 + г dr Аа4
Решение, конечное при г = 0 и удовлетворяющее условию Т(а) = 7Ь. имеет вид
т-т0 = ^ [1-ПЧ.
А [ '-а/ J
Пример 2. Сферический слой а < R < b заполнен несжимаемой жидкостью. На внутрен-
ней границе R = а температура меняется по периодическому закону Т = То + AcasQt. На
внешней границе R = b температура постоянна Т = 7о- Найти периодическое по времени
распределение температуры в слое. Рассмотреть частный случай Ь — со.
Решение. Уравнение притока тепла при отсутствии движения жидкости и внутренних
источников тепла примет вид
Ищем решение в виде действительной части функции с комплексными коэффициентами
Т = То + e‘atu(R)/R. Тогда для функции u(R) получим следующую краевую задачу
<(Я/А)и(Я) = «"(/?), Да) = аА, и(Ь) = 0.
Решение ее имеет вид
sh((* - R)y/(Q,'k)i)
и = аА—-------------------------------------—--
sh((ft - a)y/[£l/k)i)
В частном случае ft = оо решение упрощается
и = аАеу.о | —(Я - a)y/R/(2A)(l + .
Отделяя действительную часть и подставляя его в выражение для температуры, получим
т = т0 + cos((q _ (/? _ а)ч/п/(2*))о.
R
Решение представляет собой температурную волну. Характерная толщина температурного
слоя, на которое волна проникает с внутренней границы равна 5 = y/k/fl.
67. Теплоперенос в тонком слое вязкой несжимаемой жидкости. Если химических
реакций нет, то уравнение переноса тепла (раздел 65.) имеет вид
dT . ._ о
рсц— = АД д + 2де,/е;/.
Рассмотрим как упрощается это уравнение, если движение происходит в тонком слое,
Распределения продольных компонент скорости в слое приведены в разделе 56., откуДЯ
найдем компоненты тензора скоростей деформации, дающие основной вклад в диссипиру-
емую энергию,
_ 1 ди _ h — 2z др uq — Щ
Szz~2dz~ 4^~д^+ 2h ’
__ 1 dv _ h - 2z др иг - ' '
вуг ~2дг~ ~^Гд^ +
Уравнение притока тепла в тонком слое запишется в виде
дТ t 2 ,,
рСудГ ~ А а? = 4;i(e" + г’г)'
(5.3)
Здесь производные по продольным переменным отброшены как асимптотически малые
члены при h/l 1.
Для температуры необходимо задавать начальное и граничное условия. Условие на
границе может быть двух типов:
1) задается температура;
2) задается поток тепла XdT/dn.
Если происходит отток тепла через границу, область течения не меняется и условия
на границе не зависят от времени, то через время порядка рК2Су/Х устанавливается
независимое от времени поле температуры Т(х,у,г). Оно находится из уравнения
с одним из следующих граничных условий
Г(0) = 7i(x, у), T(h) = T2(x,y)
или
Г(0) = Ti(x,y). ХдТ/дг\2=к = q[x.y\
Если же отток тепла через границу достаточно мал, то в уравнении притока тепла
(5.3) можно пренебречь слагаемым XtpT/dz2. Тогда получим уравнение для скорости роста
температуры в слое жидкости
= 4д 2
dt pcvx‘
(5.5)
Пример 1. Найти скорость повышения температуры вязкой жидкости в тонком слое
между двумя круговыми цилиндрами с радиусами а и b — а + h, вращающимися со
скоростями Т1а и Q&. Границу течения считать теплоизолированной.
Решение. Вводим криволинейные координаты в слое: продольная координата х - длина
дуги по окружности радиуса а и поперечная координата г - расстояние от внутреннего
цилиндра. Через полярные координаты г, Ф они выражаются так х = аф, г = г - а. Тогда
для температуры T(t,x.z) получим уравнение притока тепла (5.3) с начальным условием
T(O,x,z) = То и условиями на границе dT/dz\z=o =dT/dz\z=h = 0.
Продольный градиент давления в слое между цилиндрами равен нулю dp/dx = 0 и в
нем (согласно разделу 56.) установится линейный по поперечной координате г профиль
скорости. По (5.2) находим компоненты тензора скоростей деформаций
vb - va Klb - a£la
exz = ~ЧГ = "' 2h ^ = °'
Подставляя эти выражения в уравнение (5.5), получим изменение температуры при h/a РР 1
в слое
~ = -~2(ЬПь-аПа)2.
dt pcynz
Пример 2. Найти установившееся распределение температуры в слое вязкой жидкости
между двумя вращающимися круговыми дисками. Диски расположены в параллельных
плоскостях г = 0иг = Лс центрами на оси г. Радиусы дисков равны
скорости вращений равны fl| и П2. На поверхностях дисков поддерживается
температура Tq.
Решение. Продольный градиент давления в слое между дисками равен нулю и
предыдущей задаче в слое установится линейный по поперечной координате
а, угловые
постоянная
аналогично
z профиль
скорости. Аналогично находим по (5.2) компоненты тензора скоростей деформаций
Н2 ~ О] _
~ r~2h~’ еуг - °'
Таким образом, уравнение (5.4) для температуры T(r, г) и граничные условия имеют вид
Й = -Т Пг,0) = Г(г,Л) = Г0.
oz* А \ п /
Решение краевой задачи таково:
г=£(^Уг2г(л-г)-
£Л \ it J
Поток тепла, поступающий от жидкости к дискам, равен
Х(дТ/дг)\г=о = j,u(Q2 -П|)2г2/Л.
§5.4 Теплоперенос в газе
68. Модель вязкого теплопроводного совершенного газа. Для совершенного газа
теплоемкость Су при постоянном объеме - постоянная величина, внутренняя энергия равна
суТ. В систему уравнений совершенного газа входят:
1)
2)
уравнение
уравнение
состояния р = pRT\
3)
4)
уравнения
уравнение
неразрывности
dv
движения р—
притока тепла.
dp „
+ pdivo = 0;
dt
= -gradp + pXv + pg;
Его можно записать в одной из следующих форм
( dU л- -
р— + pdivo,
dt
^^масс , \ a -г , о „ п
—— + АД/ + 2/16^1;
at
/ dU d 1\
P\^+Pdt~p)'
dH _dp
Р dt dt'
„dr
pT~dt’
где И = срТ - энтальпия, s = су 1п(7'рь "') - энтропия, ср - коэффициент теплоемкости
при постоянном давлении. "t = crlcy.
Итак, выписана замкнутая система шести уравнений для определения шести функций
р, р, Т, иг. »з от координат xi,X2,Xj и времени t.
69. Формулы для расчета удельных теплоемкостей газов. Удельные теплоемкости
газов и удельную газовую постоянную R можно выразить через универсальную газовую
постоянную /?° для одного моля газа
й° = 8,314Дж моль-1 град-1 = 2калмоль-|град-1.
Теплоемкость одного моля газа определяется одним из следующих соотношений
.0
- одноатомный газ,
- двухатомный газ,
3R° — многоатомный газ.
Удельная газовая постоянная и удельные теплоемкости находятся так:
7? = R^/M, Су - $/М,
Ср = Су + 7?,
где М - молекулярный вес газа. Эти характеристики нетрудно вычислить и для газовых
смесей. Например, для смеси из двух
компонентов формулы вычисления таковы
гМ| „ т<) „ mi т?
7? = -7?| d-Т?2, Су = -—Су[ d-Су2> Ср — Су d- 7?.
mm mm
70. Примеры расчета удельных теплоемкостей газов.
Пример 1. Вычислить удельные теплоемкости кислорода.
Решение. Применяем формулу для теплоемкости одного моля двухатомного газа с° = |/?0.
Умножаем эту величину на число молей в одном грамме кислорода 1/32. Тогда получим
гу = |'2--!-~0,156——; R = = 0,0625—ср = ср + R = 0, 218
2 32 гград 32 гград
кал
гград
Пример 2. Вычислить удельные теплоемкости азота.
Решение. Аналогично, находим
5 n 1 a tто кал п 2 а кал а а т- кал
су = - 2 • — ss 0,178----; Я = — = 0,0714----------; с„ = с„ + Я = О, 25------
2 28 г•град 28 гград гград
Пример 3. Вычислить удельную теплоемкость воздуха, условно приняв, что он
состоит из азота на 77% и кислорода на 23%.
Решение. Из формулы для теплоемкости су смеси газов получим
су =0,23- 0,156 + 0,77- 0,178 = 0,173-^-
г • град
Полученное число совпадает со значением теплоемкости, приведенным в таблице 2.
Аналогично для удельных теплоемкости ср и газовой постоянной воздуха получим
с„ = 0,23 0,218 + 0,77 0,25 = 0,242 кал ; R = с„ - cv = 0,070-каЛ .
г град г град
Умножая эти величины на коэффициент 4,18 х 10, IS, получим значения термодинамических
характеристик воздуха в системе единиц CGS
с„ = 10,12 х 106—рГ , cv = 7,23 х 106-^—, Я = 2,89- Эрт , 7 = ср/су = 1,4,
г • град г • град г • град
Вычисленные теоретические значения мало отличаются от значений измеренных экспре-
иментально. Для решения задач теплопереноса в воздухе необходимо также знать его
плотность р, кинематическую вязкость р и коэфициент температуропроводности kp, отне-
сенный к ср. Приведем значения этих величин для воздуха при нормальной температуре
20°С
р = 1,2 х 10-3г/см3, и =0,15—, fe = Л = о,19—. (5.6)
сек г рс„ сек
§5.5 Тепловая диссипация газовых пузырьков пульсирующих в
жидкости.
71. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о колебаниях сферического газового пу*
зырька в несжимаемой жидкости. Будем предполагать, что область R < а(1) внутри
пузырька заполнена совершенным газом. Внешняя область R > a(t) заполнена идеальной
несжимаемой жидкостью. Коэффициент теплопроводности жидкости существенно выше ко-
эффициента теплопроводности в газе. Поэтому будем считать, что температура в жидкости
является постоянной равной Тх. Капилярнымн эффектами также пренебрегаем.
Тогда задача о колебаниях пузырька ставится так.
Уравнения состояния и теплопроводности в области R < a(f):
„ , (&Т 2Э7'\ dT dplt)
рДрТ) = РооДроТос). А ( + о So ) = РСРД7-----ДГ-
\oR- R OR J dt dt
В этом уравнении давление следует считать функцией только времени p(t) (условие
гомобаричности) [9]. Действительно, градиент давления, равный pdv/dt, пренебрежиио
мал. вследствие малости плотности газа. Это предположение позволяет избежать решение
уравнения движения газа и тем самым упростить систему уравнений. Вместо уравнеюИ
неразрывности достаточно удовлетворить условию сохранения массы газа
jvPdV = poVo^plp(1 = a3o/a3, p=(JvpdV^/V, (5-П
где р средняя в объеме пузыря плотность газа.
Функция T(t,R) должна удовлетворять следующим условиям
S =0, T(t,a)~Tx. (5-8)
dR l/?=o
Из равенства давления в жидкости (3.20) и газе на границе пузыря следует условие
р(0 = = Рх + /у((3/2)d2 + аа). (5.9)
Здесь pf - плотность жидкости.
В уравнении переноса тепла можно исключить плотность газа р. Для этого разделим
обе части уравнения на сррТ — ^р(Г). Тогда уравнение примет вид
‘ (да - 7, 'мт,т~> ~ Дрт, '"О'*-’- <5101
Итак, задача свелась к решению уравнения (5.10), граничных условий для температуры
(5.8), давления (5.9) и плотности (5.7). Из них можно определить функции T(t,R),p(t),a(t)
и из уравнения состояния плотность p(t,R). Ниже будет дано решение для случая колебаний
пузыря .с малой амплитудой.
72. Линейные колебания газового пузыря. Решение выше поставленной задачи ищем
в виде действительных частей комплексных функций
а = ао(1+Де‘те), р = рх (1 + Ре‘Я!), Т = Тх (1+ 8(R) eislr) , р = Ро (1 + p(R) eiat).
Здесь 4 1 и Р <? 1 - постоянные числа, а 9 и у/ - функции одного аргумента R.
Подставляя эти выражения в уравнения, будем учитывать только линейные члены.
Уравнение (5.10), граничные условия для температуры (5.8), давления (5.9), плотности
(5.7) и уравнения состояния р/(рТ) = раа/(роТх') преобразуются в линейное обыкновенное
дифференциальное уравнение для функции 0(7?) и соответствующие условия
/ 2 -у — I
* ( 9"(Я) + = -iW-^-P, (5.10)
070) = 0, 0(ао) = 0, (5.8)
Р + 37(П2/^И = 0. По = yJ'irfp^Kpjal), (5.9)
Р = -34, (5.7),
Р- (1 -0 = 0 => 0 = Р + ЗА
Здесь Яо - частота Миннаэрта (3.23).
Общее решение уравнения (5.10) можно получить в виде суммы частного решения
0 = тДр и линейной комбинации двух независимых решений однородного уравнения
0 = ~~^Р + Q sh(R>/Wk)/R + С2 ch(R\fKi/k)/R.
Вычисляя постоянные 0) и С2 из условий (5.8), найдем
9 = fl - у xsti(V,i Ре) у Ре = а^П/k, х = R/ao, (5.11)
где Ре - безразмерное число Пекле.
Отсюда уравнение 9 = Р + ЗА с помощью табличного интеграла
У z sh zdz = z ch z — sh z
приведется к виду
9 = [1 + ^-(vTp^cth vVp! -1)| = P + ЗА.
7 [ Pe J
Добавляя к найденному уравнению уравнение (5.9) получим следующую систему уравнений
Р + 37(О2/П§) Л = О,
Р I- - —(vVpIcth vVpI-- 1)1 + 3,4 = 0.
[7 7re J
Из равенства нулю определителя получим уравнение для частоты колебаний пузыря
[1 _ vTp^-1)] =0. (5.12)
\sio/ L "e J
Корнем его является комплексное число fl = + 1ПУ, через которое находится зави-
симость радиуса пузырька от времени
— = A Real(е‘Я!) = Ае~п'1 cos
ао
Эта зависимость описывает затухающие колебания радиуса с частотой flt и декрементом
затухания равным
Л = 2тгПу/Пх.
Поскольку число Пекле зависит от fl: Ре = Pe(fl), то (5.12) представляет собой сложное
трансцендентное уравнение относительно fl. Удобно ввести число Пекле, выражающееся
через частоту Миннаэрта.
Ре0 = аХД=1Д^.
V Ptk
Тогда корень уравнения (5.12), частота и декремент затухания будут функциями чила Peg:
f?x(Peo), Ц,(Ре0), Л(Рео).
Рассмотрим наиболее важный для приложений случай Peg 3> 1. Тогда корень уравнения
(5.12) можно получить в виде
Q = По [1 + + О + О(1/Ре0)1 .
L ^V^Peg J
Отсюда с точностью до малых значений порядка l/Ред получим1
о Г1 + 3(Т-!)1 о_о 3(7-1) . Зг(7-1)
°[ +2vW]’ °2v'W Л’ 3
’Приведенная формула для Л получена Чепмэном и Плессетом (R. Chapman, М. PJesser, 1971).
Сравним декременты затухания пузырьков воздуха в воде за счет вязкости жидкости Лц
(4.11) и за счет превращения механической энергии в тепло Ат (5.13). Пользуясь численными
значениями термодинамических характеристик воздуха (5.6) и воды при давлении рх =
106дин/см2 , получим
Рео ~ 1, 08 * 104а, Л,, а 9.2 х ИГ1а'Ат и 0,0257сГ1/2, Лм/Лг яз 3,6 х 10~2а-‘/2,
где радиус пузырька а следует выражать в см.
Отсюда видно, что для достаточно крупных пуырьков а > 10~3см вязкая диссипация
менее существенна чем тепловая, а для более мелких пузырьков а < 10~3см наоборот
существенней становится вязкая диссипация энергии.
Упражнения
1. В шприц, диаметром 1см, помещено 5см3 вязкой жидкости. Под действием силы,
равной 100Г, поршень выдавливает жидкость за 20сек. Длина иглы Зсм, диаметр отверстия
1мм. Каков коэффициент динамической вязкости жидкости?
2. Объяснить, почему для измерения температуры тела медицинским градусником нужно
держать его не .менее 5 минут; если вынуть градусник, то ртутный столбик не опускается;
вернуться же к начальной отметке (обычно 34°) можно только стряхиванием и практически
мгновенно.
3. Найти декременты затухания колебаний газовых пузырьков в жидкости при малых
числах Пекле за счет тепловой и вязкой диссипаций энергии. Найти нх отношение.
Указание. Воспользоваться разложением y’i Pecth \/i Ре — 1 = |1Ре + gPe2 + O(Pe3) и
подставить его в уравнение (5.12).
Ответ.
, пао^о . 4гг1/ Лг
. Л"-4П? л;
- 16 ,
------Ре02.
4 р
Глава 6
Конвективная диффузия в жидкостях
и газах
§6.1 Постановки задач о конвективной диффузии
73. Некоторые сведения о смесях жидкостей и газов. Рассматривается движение
среды (жидкости или газа) с заданным полем скорости v(t,x,y, z), которую назовем
несущей, предположим, что в несущую среду в момент времени t внесено некоторое
количество вещества, в результате чего образовалась двухфазная среда или попросту смесь
несущей среды н внесенного вещества. Если количество внесенного вещества настолько
мало, что не оказывает влияния на поле скорости несущей среды, то внесенное вещество
принято называть пассивной примесью.
В зависимости от размеров частиц внесенного вещества смеси подразделяют на го-
могенные и гетерогенные. В гомогенных смесях частицы вещества являются молекулами,
а в гетерогенных смесях частицы имеют макроскопические размеры, существенно превы-
шающие межмолекулярное расстояние в несущей среде (порядка 10~6см в газе и 10-7см
в жидкости). Промежуточное положение между гомогенными и гетерогенными смесями
занимают мицеллярные растворы и коллоидные смеси.
Из экспериментов и повседневной практики известно, что в гомогенных смесях не-
однородное распределение внесенного вещества в различных точках пространства будет
меняться со временем, даже если несущая среда находится в состоянии покоя. Этот эф-
фект называется диффузией. Причиной диффузии в гомогенных смесях является случайное
тепловое движение молекул. Чем меньше подвижность молекул внесенного вещества, тем
меньше коэффициент диффузии D. Для гомогенных растворов (например, поваренная соль
в воде) D 2 1О-3см2/сек, для газовых смесей D ъ 2 • 10-1см2/сек. В мицеллярных рас-
творах и коллоидах (размер частиц по порядку величины не превышает 10~4см) диффузия
объясняется броуновским движением. Коэффициент диффузии D для сферических частиц
радиуса а в несущей жидкости с динамическим коэффициентом вязкости у, находится по
формуле Смолуховского
отгда
где k = 1,38 10-16эрг/град - постоянная Больцмана (Boltzmann).
С увеличением размера частиц коэффициент диффузии уменьшается. Для растворов с
частицами размером а = 10~4см коэффициент диффузии весьма мал:
Р 2 10-9см2/сек.
Для больших частиц, взвешенных в несущей покоящейся среде, механизм молекулярно-
теплового случайного движения диффузии будет отсутствовать. Однако, могут появиться
другие механизмы диффузии. Например, при осаждении частиц под действием силы тяжести
возникают флуктуации скорости частиц, вследствие их гидродинамического взаимодействия.
Вторым механизмом может быть конвективный перенос частиц несущей средой при потере
устойчивости движения и переходе к турбулентности. Расчет коэффициента диффузии в
этом случае весьма сложен и обычно определяется эмпирически.
Коэффициент диффузии D, кинематический коэффициент вязкости о и коэффициент
температуропроводности fe = А/'(рС|/) имеют одинаковую размерность. В газах все они
имеют один порядок величины и меняются в незначительных пределах.
74. Вывод уравнений конвективной диффузии. Количественной величиной распреде-
ления примеси в несущей среде является концентрация С. которая обычно определяется
как отношение числа частиц примеси к числу частиц несущей среды. В элементарном
объеме dV число частиц примеси будет равно CNdV, где NdV - число частиц несущей
среды в объме dV.
Напишем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция
C(t,x,y,z) при ламинарном течении несущей среды. Наличие градиента концентрации обус-
лавливает появление диффузионного потока. Компоненты диффузионного потока являются
линейными функциями производных дС/дх,дС/ду, дС/дг. Если свойства несущей среды
и пассивной примеси не зависят от поворотов системы координат (изотропия среды), то
диффузионный поток коллинеарен градиенту концентрации в сторону ее убывания
Jd = -£>grad С.
Вторым слагаемым потока является конвективный поток, переносимый движущейся несущей
средой
/конв "Си.
Полный поток вещества равен
j - -Dgrad С + С V.
Выделим (мысленно) в несущей среде произвольный конечный объем V с границей c^V и
найдем баланс числа частиц, входящих и выходящих из него в единицу времени. Число
частиц, входящих в объем в единицу времени, равно
- У j fidS.
av
С другой стороны, изменение числа частиц в единице объема равно дС/dt, а в объеме
И равно интегралу этой величины по объему V. Приравнивая изменение числа частиц в
объеме к числу частиц, в него приходящих, имеем
у ^dV=:-^jndS,
V ОУ
где Я - вектор единичной нормали к поверхности S.
Преобразовывая интеграл по теореме Гаусса-Остроградского, имеем
У ~dV = - J' div/WV.
v v
Ввиду произвольности объема следует, что
= -div/" = div (OgradC) — div(Co)-
at
Для несжимаемой жидкости div v = 0, поэтому
div (Со) = (ograd)C + Cdiv v = (ograd)C.
При постоянном коэффициенте диффузии уравнение диффузии можно записать в виде
+ (ograd)C = D АС.
Левая часть уравнения конвективной диффузии представляет собой полную производную
концентрации по времени
dC _
dt ~
В правой части символ Д
&с etc
дх2 + ду2 + дг2 '
дС ,,, ЭС дС дС дС
— + (ograd)C = — + д- + Vy— + ог—-.
at at ох оу az
означает оператор Лапласа
75. Начальные и граничные условия. Для решения уравнения диффузии необходимо
задавать начальные и граничные условия. Рассмотрим поверхность, на которой происходит
процесс растворения, в результате чего примесь поступает в несущую среду. На такой
поверхности принимается эмпирический степенной закон для числа частиц растворенного
вещества в единицу времени q = kC"1, где fe и т коэффициенты, не зависящие от
концентрации. Тогда граничное условие записывается в виде q = j Я или
Это условие часто записывается в двух предельных случаях.
1. Скорость химической реакции велика по сравнению со скоростью уноса реагирующего
вещества. Тогда условие на границе надо писать так:
С = 0.
2. Скорость химического превращения мала по сравнению со скоростью уноса реаги-
рующего вещества. Тогда условие будет таким:
дС/дп = 0.
§6.2 Аналогия задач конвективной диффузии и конвективного
теплопереноса
76. Критерии аналогии. Часто диссипативные эффекты в жидкости или газе незна-
чительны, ими можно пренебречь. Тогда уравнение конвективного переноса тепла при
отсутствии реакций
dT х
pcvlt
совпадает с уравнением конвективной диффузии, если коэффициент D совпадет с коэф-
фициентом температуропроводности k = Х/(рСу). Граничные условия С = 0 или дС/дп. — О
соответствуют условиям термостата или отсутствию потока тепла на теплоизолированной
стенке. В этих случаях будет полная аналогия между задачами конвективного переноса
тепла и конвективной диффузии. Решения, полученные в задачах переноса тепла, можно
распространить на соответствующую диффузионную задачу. Верно и обратное утверждение.
77. Диффузия примеси в неподвижной жидкости. 1 Пусть при t = 0 в покоящуюся
чистую жидкость вводится в малой окрестности точки О некоторое количество примеси
массы М так, что процесс дальнейшей диффузии можно считать сферически симметричным.
Требуется найти распределение концентрации С как фунции радиальной координаты и
времени t. Плотность частиц равна /эд, так что Ср$ - масса частиц в единице объема.
Решение задачи сводится к решению уравнения диффузии
Для сферически симметричного случая уравнение имеет вид
dt~° \9R2 + RdRj'
(6.1)
Решение будем искать в виде С — M.f(R,t,D,p§). Размерности входящих в это соотношение
величин в системе единиц LMT (см. раздел 6.) следующие:
[С] = 1, [М]=М, [R]=£, [г] = т, \D\=L2/T, Ы=М/£3.
Используя П - теорему имеем
М R
^7Вт- (6'2)
Для безразмерной функции и(£) из уравнения в частных производных (6.1) получим
обыкновенное дифференциальное уравнение
u" + u'(2/C + C/2) + (3/2)u =0.
Оно имеет интеграл
- 2£2и' + ?и = С|.
‘Пример предложен А.Н. Голубятниковым.
Из условия гладкости функции при £ = О имеем с; = 0. Дальнейшее интегрирование дает
и = с2е"'?2/4. (6.3)
Найдем постоянную с2, из условия сохранения всей массы примеси
ОС ОС
М = 4тгро у CR2dR = 4-.Мс2 J ^e~^'4d^.
О о
Подставляя сюда значение интеграла
y?2e-«2/4d? = 2v^,
о
найдем постоянную
С2 = 1/(8тг3/2).
Подставляя постоянную в (6.3) и затем в (6.2), получим решение поставленной задачи
М «I
С = (6'4)
Замечательным свойством распределения концентрации C(t,R) (6.4) в разные моменты
времени t является подобие графиков С как функции радиуса R. Такие распределения на-
зываются автомодельными (самоподобными), а задачи, приводящие к таким распределениям
- автомодельными задачами.
78. Диффузионный и тепловой потоки к поверхности сферической частицы, дви-
жущейся в жидкости. Рассмотрим задачу конвективной диффузии к поверхности сфери-
ческой твердой частицы радиуса R = 1, движущейся в жидкости с постоянной скоростью
и. Уравнение конвективной диффузии и граничные условия имеют вид
(oV)C = OAC, С|Л=а=0, С|я=оО = Соо. (6.5)
В безразмерных переменных R' = R/a, v = uv1 эта задача имеет вид
Pe(o'V')C = AC, Ре = иа/D, С|Я'=1 = 0, С|д-=00 = Сж.
Здесь Ре - безразмерное число Пекле.
Рассмотрим случай малого числа Ре << 1. В пределе Ре —» 0 левая часть уравнения
равна нулю и задача сводится к решению уравнения Лапласа
г^С 2 «ЭС
ДС = ^ + ^ = °' = ci—=с-
Решение задачи таково: С = Ссо(1 ~ I//?7). Отсюда найдем концентрацию и поток массы к
частице в размерных переменных
С = - a/R), ^ = /'IS dS=DCx4^a.
l/?=a
Применяя П-теорему, для общего случая получим для потока массы вещества к частице
следующее выражение
J = Jq/(Ре, Re), Pe = ua/D, Re = ua/v.
Причем из приведенного выше решения следует, что /(0, Re) = I.
Если число Рейнольдса мало Re 1, то в уравнение конвективной диффузии (6.5)
следует поставить поле скорости из решения уравнений Стокса (см. раздел 45.). Анализ
решения задачи конвективной диффузии в этом случае позволяет установить следующие
асимптотические свойства функции /(Ре, 0)
ffpp01 = / l + jPe + o(Pe), Peel,
М '' 1 0,625Ре'/3 + 0,46 + о(1/Ре), Ре » 1.
При всех числах Пекле и малых числах Рейнольдса достаточно высокую точность имеет
следующая интерполяционная формула
/(Ре, 0) = 0,5 + (0,125 + 0,243Ре)1/3.
Упражнения
1. Изобразить графики C(t,R) (6.4) при различных постоянных значениях времени t.
2. При фиксированном R изобразить график зависимости C(t,R) (6.4) и найти максимум.
Что увидит наблюдатель, находящийся на расстоянии R от источника концентрации.
Ответ. Проходит волна концентрации. В момент времени tmax = концентрация
примеси в точке R будет наибольшей.
3. Используя аналогию задач конвективной диффузии и конвективного теплопереноса
поставить и решить задачу определения поля температуры около тела, помещенного в
неподвижную жидкость с меньшей, чем у тела температурой.
Литература
[1] Седов Л.И. Механика сплошной среды. В двух томах. Изд. 5-е. М.: Наука, 1995.
1108 с.
[2] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидромеханика М.: Наука, 1986. 733 с.
[3] Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. В двух томах.
М.: Физматгиз, 1963. 1310 с.
[4] Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л.: Гостехиздат, 1947, 928с.
*
[5] Лойц/нский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 848 с.
[6] Милн-Томпсои Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964, 655 с.
[7] Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.
[8] Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Изд-во Академии наук СССР.
1952. 538 с.
[9j Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. В двух томах. М.: Наука, 1987. 823 с.
[10] Кутепов А.М., Полянин А.Д. и др. Химическая гидродинамика. М.: "Бюро Квантум",
1996. 336 с.
[11] Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Изд-во
Академии наук СССР. 1951, 426 с.
[12] Механика сплошных сред в задачах. Под ред. М.Э. Эглит. Т. 1 Теории и задачи. М.:
Московский Лицей, 1996, 396 с. Т. 2. Ответы и решения. 1996, 394 с.
Подписано в печать МС39 2006 года. Заказ № 9%.
Формат 60х90/16. Усл. печ. л. 9,(3 . Тираж 34(3 экз.
Отпечатано на ризографе в отделе оперативной печати и информации
Химического факультета МГУ.