Author: Глейзер Г.И.
Tags: геометрия арифметика учебное пособие история математики натуральные числа
Year: 1964
Text
РИ-ГЛЕР13ЕР
ИСТОРИЯ
/ЧАТЕА1АТИ КИ
ШКОЛЕ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
В. Н. М0Л0ДШЕГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО
„ПРОСВЕЩЕНИЕ*
МОСКВА' 1964
Рукопись рекомендована к изданию
Учебно-методическим советом Министерства
просвещения РСФСР
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга составлена на основе имеющейся историко-матема¬
тической литературы и тридцатилетнего личного опыта работы автора в сред¬
ней и высшей школе. Цель этого пособия — оказать конкретную помощь учи¬
телю в использовании исторических материалов по математике при изучении
со школьниками определенной темы программы. При составлении книги автор
стремился к тому, чтобы она в известной мере была доступна пониманию и
самих учащихся.
Настоящая книга предназначена для восьмилетней школы. Она состоит
из «Введения» и трех глав. «Введение» кратко освещает цели и формы озна¬
комления школьников с историей математики на уроках и на внеклассных
занятиях. Первая глава посвящена арифметике, вторая — алгебре, третья —
геометрии. В каждой главе два раздела. Первый содержит 40—50 коротких
«бесед», которые рекомендуется проводить на уроках математики попутно
с изучением программного материала. Они расположены по темам программы
V—VIII классов. В среднем на каждые 6 уроков приходится одна «беседа».
Это распределение мы рекомендуем на основе личного опыта работы, но не
считаем его образцовым и единственно возможным.
Материал для некоторых «бесед» может показаться избыточным для
использования его на одном уроке. В таком случае учитель сам отберет из
предложенного материала то, что, по его мнению, наиболее важно и инте¬
ресно, или же распределит его на два урока.
Условный термин «беседа» следует понимать как сообщение некоторого
факта из истории математики, который может быть преподнесен учащимся
в виде беседы, рассказа учителя, рассмотрения и объяснения рисунка, крат¬
кого замечания, разбора задачи, сопровождаемого исторической справкой.
Второй раздел каждой главы содержит исторический материал по отдель¬
ным избранным вопросам, дополняющий сведения, изложенные в первом
разделе. Этот материал предназначен для внеклассных занятий и частично
для самостоятельного чтения учащимися. В конце каждой главы приведены
«исторические задачи», которые рекомендуется использовать во внеклассных
занятиях, при повторении учебного материала.
Ответы, указания, отдельные решения к задачам и список рекомендуемой
литературы (в основном русской) даны в конце книги.
Книга содержит минимум того, что, по нашему мнению, должен знать
учитель, преподающий математику в восьмилетней школе и заведомо не¬
сколько больше того, что может усвоить средний ученик этой школы. Не¬
многие более сложные «беседы» отмечены звездочкой. Материал, содержа¬
щийся в сносках, предназначен в основном для учителя.
Предлагаемая работа является одной из первых попыток дать в руки
учителя пособие, которое помогло бы ему конкретно сопровождать изучение
школьного курса математики обзором исторического развития науки.
Автор считает, что эта сложная научно-методическая задача может по¬
лучить полное решение только при активном участии широких масс учи¬
телей математики и поэтому просит всех интересующихся данным вопросом
направить издательству свои отзывы, критические замечания и предложения.
Считаю своим долгом выразить благодарность доценту А. Я. Маргулису,
внимательно прочитавшему рукопись и давшему ряд весьма полезных указа¬
ний, профессору М. Я. Выгодскому, исправившему некоторые отдельные
ошибки, учителю 506 школы г. Москвы Е. Г. Крейдлину и другим товарищам
за советы методического порядка.
Автор.
ВВЕДЕНИЕ
Вопрос об использовании элементов истории в преподавании
математики не новый. Еще в конце XIX и в начале XX в. он об¬
суждался на съездах преподавателей математики К Ему были
посвящены в нашей стране и за рубежом специальные ра¬
боты2.
В разное время ученые и методисты по-разному определяли
цели введения элементов истории математики в преподавание
в зависимости от общественного строя той или иной страны и
общих задач школы. Однако общими почти для всех школ были
и остаются поныне следующие цели:
1. Повышение интереса учащихся к изучению математики
и углубление понимания ими изучаемого фактического мате¬
риала;
2. Расширение умственного кругозора учащихся и повыше¬
ние их общей культуры.
В советскую эпоху знакомство с историей математики слу¬
жит общим целям коммунистического воспитания детей.
В наше время юноша или девушка, оканчивающие среднюю
школу, должны иметь представление о месте и роли математики
в современной передовой культуре.
Программа нашей школы обязывает учителя сообщать уче¬
никам в процессе преподавания сведения по истории матема¬
тики и знакомить их с жизнью и деятельностью выдающихся
математиков.
Однако в программе нет конкретных указаний на то, какие
сведения по истории математики следует сообщать учащимся, в
каких классах, в каком объеме и по каким разделам школьной
математики. Школьные учебники, как известно, тоже таких све¬
дений почти не содержат.
1 См., например, [4].
2 См., например, [3]; 15—18].
а
«
Одно сообщение сведений по истории математики далеко не
всегда способствует достижению тех целей, о которых говори¬
лось выше. Знакомство учеников с историей математики озна¬
чает продуманное планомерное использование на уроках фак¬
тов из истории науки и их тесное сплетение с систематическим
изложением всего материала программы. Лишь такое сплете¬
ние может способствовать достижению указанных целей.
Координируя изучение математики с другими предметами,
в частности с самой историей, подчеркивая роль и влияние прак¬
тики на развитие математики, указывая условия, а иногда и
причины зарождения и развития тех или иных идей и методов,
мы тем самым способствуем развитию у школьников диалекти¬
ческого мышления и формированию марксистско-ленинского ми¬
ровоззрения, способствуем процессу их умственного созревания
и сознательному усвоению ими учебного материала. Достигну¬
тое таким образом более глубокое понимание школьного курса
математики безусловно вызовет у учащихся рост интереса к
предмету.
Ознакомление учеников с историей математики должно про¬
водиться в основном на уроках математики и лишь во вторую
очередь на внеклассных занятиях. При этом не следует рассчи¬
тывать на какие-либо дополнительные часы. Учебный план и
программы средней школы перегружены. Залог успеха состоит
в умелом использовании элементов истории математики таким
образом, чтобы они органически сливались с излагаемым фак¬
тическим материалом. Если начать такую работу с V класса и
проводить ее систематически на протяжении четырех лет, то со
временем исторический элемент станет для самих учащихся не¬
обходимой частью урока. Конечно, не может быть речи о про¬
хождении в средней школе какого-то специального курса исто¬
рии математики. Речь идет о том, чтобы при изучении той или
иной темы учитель математики полнее и глубже раскрывал ее
содержание, прибегая к истории науки.
Большую методическую трудность представляет решение во¬
проса об отборе конкретного материала по истории математики
и о порядке его использования в том или другом классе. Здесь
следует руководствоваться программой по математике. Однако,
учитывая возрастные особенности учащихся, нельзя приспосаб¬
ливаться только к программе. Невозможно, например, ограни¬
чить вопросы истории арифметики рамками V—VI классов лишь
потому, что в них изучается и заканчивается арифметика. Не
только содержание и объем, но и стиль изложения вопросов
из* истории математики не могут быть одинаковы в разных
классах.
Считаем, что в V—VIII классах следует ограничиться некото¬
рыми начальными сведениями из истории математики и обра¬
щать внимание учеников на элементарные вопросы развития
7
счета и численных алгоритмов, математической терминологии и
символики, возникновения мер, создания способов измерения и
простейших инструментов. В этих же классах следует частично
затронуть и некоторые стержневые вопросы истории матема¬
тики, как, например, развитие понятия числа, происхождение и
некоторые аспекты развития геометрии и алгебры. Целесообраз¬
но дать начальные сведения из истории уравнений. Есть немало
вопросов из истории математики, к которым приходится возвра¬
щаться в курсе средней школы по два-три и больше раз.
Трудным кажется на первый взгляд решение вопроса о том,
как выкроить необходимое время. Однако вопрос о времени,
как и-вопрос о формах использования элементов истории мате¬
матики на уроках, почти полностью подчинен главному вопро¬
су— связи изучаемой в школе математики с ее историей. Какая
бы ни была форма сообщения сведений по истории — краткая
беседа, экскурс, лаконичная справка, решение задачи, показ и
разъяснение рисунка — использованное время (5—12 минут)
нельзя считать потерянным, если только учитель сумеет истори¬
ческий факт преподнести в тесной связи с излагаемым на уроке
теоретическим материалом. В результате такой связи у школь¬
ников пробудится повышенный интерес к предмету и тем самым
повысится эффективность их занятий.
Опыт работы подсказывает, что следует использовать для
ознакомления с историей математики уроки закрепления прой¬
денного, что будет способствовать оживлению этих уроков. Глав¬
ную методическую трудность представляет вопрос о том, как
на деле сочетать изучение определенного раздела программы
математики с изложением соответствующего исторического ма¬
териала. Преодолеть эту трудность можно лишь постепенно, в
ходе планомерной и скрупулезной работы.
Мы старались не загромождать излишними деталями и мело-
чами изложение основного пути развития школьной математики.
Повторение в разных местах книги некоторых хронологических
дат поможет ученикам усвоить историческую последователь¬
ность наиболее важных факторов. Чтобы ввести начинаю¬
щего учителя в мир историко-математической литературы и дать
ему возможность дополнять сведения по тем или иным вопро¬
сам, в сносках даются некоторые библиографические указания.
I
АРИФМЕТИКА
СТОРИЯ АРИФМЕТИКИ
НА УРОКАХ
\ класс
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1. о происжоаедЕПии арифметики, счет
и десятичная система счисления
елико значение арифметики в повседневной жизни
■ ^ человека. Без счета, без умения правильно склады-
■ J вать, вычитать, умножать и делить числа немысли-
11У мо развитие человеческого общества. Четыре ариф¬
метических действия, правила устных и письменных вычислений
изучаются, начиная с начальных классов. Все эти правила не
были выдуманы или открыты каким-то одним человеком. Ариф¬
метика возникла из повседневной практики, из жизненных нужд
людей в их трудовой деятельности. Арифметика развивалась
медленно и долго, пока стала такой, какой ее изучают теперь.
Еще в самые отдаленные времена людям приходилось счи¬
тать различные предметы, с которыми они встречались в повсе¬
дневной жизни. Было время, когда человек умел считать только
до двух. Число «дв’а» связывалось с органами зрения и слуха и
вообще с конкретной парой предметов. «Глаза» у индийцев,
«Крылья» у тибетцев означало также «Два». Если предметов
было больше двух, то первобытный человек говорил просто
«много». Лишь постепенно человек научился считать до трех,
затем до пяти, десяти и т. д.1
С развитием производства и торговли счет распространяется
на множества, содержащие все большее и большее число пред¬
метов (элементов). Люди в своей практической деятельности
не могли обходиться без измерения расстояний, площадей
1 От периода первоначального формирования понятия натурального чис¬
ла не сохранилось никаких документов. Для его изучения история математики
прибегает к этнографии и лингвистике. См. [21], [26].
11
J ПП ВТГДДПГГЗТРГЛ—
f
Рис. 1. Межевание у древних египтян. (Рисунок относится
примерно к XV в. до н. э.)
земельных участков, вместимости сосудов и т. п. Потребность
в измерениях привела к возникновению и развитию как прие¬
мов измерений, так и техники счета и правил действия над
числами (рис. 1)
Таким образом, возникновение и развитие арифметики свя¬
зано с трудовой деятельностью людей, с развитием общества.
* *
*
Известно, что счет у нас ведется десятками: десять единиц
образуют один десяток, десять десятков — одну сотню и т. д.,
иными словами: десять единиц первого разряда образуют одну
единицу второго разряда, десять единиц второго разряда — одну
единицу третьего разряда и т. д.
Такой способ счета, группами в десять, которым пользуемся
мы, называется десятичной системой счисления или десятичной
нумерацией. Число десять называется основанием десятичной
системы счисления.
Но почему мы считаем именно десяткамй, то есть как воз¬
никла десятичная система счисления?
Подобно тому, как учатся считать по пальцам дети, так и
люди на первых ступенях развития общества считали с по¬
мощью десяти пальцев рук. Поныне ведь говорят: «Перечесть
по пальцам»... Отсюда — десятичная или десятеричная система
счисления.
О/лнако были племена и народы, в частности в Африке, ко¬
торые при счете пользовались лишь пятью пальцами одной руки,
считали пятками: у них выработалась пятеричная система счи¬
сления, в которой основой служит число пять. В этой системе
имеются названия для первых пяти чисел. Число «шесть», на¬
пример, называлось «пять — один» и т. д. Следы пятеричной си¬
стемы сохранились в скандинавских языках. Древнейшей из
12
всех является двоичная система счисления, которойДкак пола¬
гают, пользовались некогда древние египтяне1. Следы другой,
двадцатеричной системы, остались поныне, например, в совре¬
менном грузинском языке2 и во французском языке, в котором
вместо «восьмидесяти» говорят «четырежды двадцать». Двадца-
теричная система возникла у народов, считавших не только с
помощью пальцев рук, но и пальцев ног3. Этой системой поль¬
зовались также индейцы племени Майя (см. гл. 1, § 13). Древ¬
ние вавилоняне пользовались шестидесятеричной системой счи¬
сления (гл. 1, § 2; 10). В настоящее время почти все народы ми¬
ра пользуются десятичной системой счисления.
В десятичной системе названия всех натуральных чисел до.
999 миллионов образуются с помощью всего лишь 13 слов: один,
два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сто,
тысяча, миллион. Слово «десять» кое-где сокращается в «дцагь»,
например, вместо «два десять» — «двадцать»4.
Наряду с десятичной системой широкое практическое приме¬
нение находит в настоящее время и двоичная система счисления
в связи с ее применением в быстродействующих счетных маши¬
нах (гл. 1, §§ 13, 14).
2. О ПРОИСХОЖДЕНИИ И РАЗВИТИИ письменной
НУМЕРАЦИИ. ЦИФРЫ РАЗНЫХ ВРЕМЕН
Как бы велико ни было число, его можно записать с по¬
мощью всего лишь десяти числовых знаков, цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 0. Цифр, как и правил арифметики, никто сразу не вы¬
думал, не изобрел. Современные цифры были выработаны на
протяжении многих веков. Совершенствование начертания цифр
шло параллельно с развитием письменности. Вначале букв не
было. Мысли и предметы
изображались при помощи =^§)е§=
рисунков на скалах, на
стенах пещер, на камнях.
Для запоминания чисел
люди пользовались заруб¬
ками на деревьях и на пал¬
ках5 и узлами на верев¬
ках (рис. 2, 3). Далее рис> 2. Узлы, применявшиеся в старину
естественно стали обозна- для изображения чисел.
1 См., например, [114], стр. 36—37.
2 См. Ц х а к а я Д. Г., История математических наук в Грузии с древних
времен до начала XX в., АН Груз. ССР, Тбилиси, 1959.
3 См. [114], стр. 20.
4 О происхождении некоторых названий чисел см. [28], стр. 40—42.
5 Такие палки назывались в России бирками. Подробнее о бирках
см. [28].
6 См. гл. 1, § 13.
13
Рис. 3. Веревочно-узловой счет.
Этот рисунок XVI в. изображает
счетовода-казначея одного из
коренных племен Южной Аме¬
рики (инки). В его руке вере¬
вочный прибор для узлового
счета. В нижнем левом углу
счетная доска.
- - = & В
1 2 3 4 5
/с -е. л ti
6 78е’0
Рис. 4. Китайские иероглифиче¬
ские цифры.
1
2
3
4
5
1
II
III
ИИ
III
II
10
100
1000
100000
п
е
I
Рис. 5. Египетские иероглифические
цифры.
14
чать число «один» одной
черточкой, «два» — двумя,
«три» — тремя черточками
и т. д. Следы таких цифр
имеются, например, в рим¬
ской системе: I, II, III. Но
с развитием производства и
культуры, когда появилась
нужда записывать большие
числа, стало неудобно поль¬
зоваться черточками. Тогда
стали вводить особые знаки
для отдельных чисел. Каж¬
дое число, как и каждое
слово, обозначалось особым
значком, иероглифом. Вот,
например, как выглядят ки¬
тайские иероглифические
цифры (рис. 4).
В древнем Египте лет
4000 назад имелись другие
значки и иероглифы для
обозначения чисел (рис. 5 и
6). Единица изображена ко¬
лом, десяток — как бы па¬
рой рук, сотня — свернутым
пальмовым листом, тыся¬
ча — цветком лотоса, сим¬
волом обилия, сто тысяч —
лягушкой, так как лягушек
было очень много во время
разливов Нила ’.
В дальнейшем появляют¬
ся особые обозначения от¬
дельных звуков, то есть бук¬
вы. Было время, когда бук¬
вами пользовались и в ка¬
честве цифр. Так поступали
древние греки, евреи, славя¬
не2 и другие народы (рис. 7
и 8). Чтобы отличить буквы
от чисел, славяне ставили
над буквами, изображаю¬
щими числа, особый знак
» См. [44], стр. 13.
2 См. гл. 1, § 2; 15.
г—* • названный «титло».
Эта нумерация, называе¬
мая алфавитной, также оказа¬
лась со временем неудобной
Потребности практики, разви¬
тие производства и торговли
способствовали созданию бо¬
лее удобных, современных
цифр и образованию современ¬
ной письменной нумерации.
Всем известны римские
цифры:
I V X L С D М
1 5 10 50 100 500 1000
Некоторые из этих семи знаков
служили и буквами. Римляне
обозначали буквой М тысячу.
Вот, например, как запи¬
сывалось число 38784:
XXXVII ImDCCLXXX IV. Не¬
удобна была римская нумера¬
ция по сравнению с нашей де¬
сятичной 2: записи длинные,
умножение и деление в пись¬
менном виде производить не¬
возможно. Все действия надо
производить в уме. Даже, что¬
бы прочитать число, нужно
устно складывать или вычи¬
тать, потому, что каждая из се¬
ми римских цифр означает
всюду, где бы она ни стояла,
одно и то же число. Например,
V означает пять единиц (рис.
9), как в числе VI, так и в чис¬
ле IV. В современной же пись¬
менной нумерации не только
вид, начертание цифры, но и ее
место, ее положение, ее пози¬
ция среди других цифр имеет
значение. Например, в числе 15
1 Так как в ней непосредствен¬
но нельзя было записывать доста¬
точно большие числа (см. [21], стр. 35).
2 И вообще с любой другой пози¬
ционной системой.
Рис. 6. Письменная нумерация
в Древнем Египте. (Числа рас¬
положены в 4-й колонке.)
1
А
2
В
3
Г
4
А
5
0
6
U
7
Z
8
h
9
ф
10
11
20
R
30
А
40
М
50
N
60
а
70
п
80
п
90
ч
100
н
200
S
300
т
400
Y
500
F
600
X
700
0
800
Я
900
14
Рис. 7. Обозначение чисел буквами
у готов.
15
Грече¬
ское
1
Славянское
Гот¬
ское
4
Еврей¬
ское
6
Сирий¬
ское
6
Араб¬
ское
7
Колт-
ское
8
Абисин-
ское
9
Грузин¬
ское
10
Армян¬
ское
11
Кирил¬
лицей
2
глаго¬
лицей
3
1
се
А
i"
Л
X
?
1
д
А
5
lh
2
Д -
В
tif
ь
а
о
о
6
8
6
Р
3
Г
Г
У
г
*
\Г
ё
9
Г
6
9-
4
S
А
р
а
i
?
А
ТГ
Со
>
5
1
t
Д
€
Г)
<р
*
е
£
0
Ъ
6
S
S
3
и
■)
0
?
Г
Z
3
7
л
Л
*
V
, J
7
7
%
*
8
п
и
h
h
LJ
г
Н
Т
о
Q
9
в
&
0*
*
и
8
j?
Ф
м
со
Г
10
1
*7*
1
а
i
*»
«_>
«Г
J
_L
о
<h
20
X
к
б
к:
я
К
■fi
3
Г
30
Л
г*
А
м
Л
ь
и
J
л
m
сг»
1
40
и
М
i1
м
&
Г5
at
Ч
Э
h
50
V
г*
н
я
N
Ч
Я
з
б
&
60
L
3
э?
D
сОО.
«5°
Ь
Я.
V
70
0
$
р
п
#
1)
Г
о
со
1
80
Л
п
9
п
5
оЗ
<_9
Л
3
2
90
г-*
ч
Г
ч
3
£
*/>
ч
3
100
С
1
Ь
R
Р
iO
J
р
I
9
СП
А
200
6
с
§
S
t
>>
ъ
If
300
Г
т
его
т
12Г
С»
Ху
3
400
V
V
ее
V
Л
А
о
ъ
ъ
500
ч>
$
«в*
?
РЛ
°3
6
600
X
X
•Ц
X
ПУ1
д*
5
п
700
Цf
ж
©1 о
iwi
6*
CQ
я
800
СО
■г*
VU
9
ПГ\
Ь
*9
900
ц
V
t
V
р
D
а
1000
/Я
г?
X
л
ill
Ь
(Ъ
2000
/в
G
и
3000
lj
*г
d
ч
4000
<е;>
V
S
5000
,1
I?*-
€
г
6000
/с;
О
Ъ
3
7000
£>
3
р
8000
,п
*И
Г
У5
ф
9000
,в
3
ф
10000
А
&
а
0
20000
А
<в>
А
Рис. 8. Алфавитная нумерация у разных народов.
цифра 5 означает 5 единиц, а в
числе 53 та же цифра 5 озна¬
чает пять десятков, то есть
пятьдесят единиц. Именно по¬
этому наша нумерация назы¬
вается позиционной. Она, как
и современные цифры, возник¬
ла примерно 1500 лет назад в
Индии. Это не значит, что ин¬
дийские цифры имели с самого
начала современный вид. В те¬
чение многих столетий, перехо¬
дя от народа к народу, ста¬
ринные индийские цифры мно¬
го раз изменялись, пока при¬
няли современную форму (рис.
10). Арабы заимствовали у ин¬
дийцев цифры и позиционную
десятичную систему, которую
европейцы в свою очередь за¬
имствовали у арабов. Поэтому
наши цифры, в отличие от
римских, стали называть араб¬
скими. Правильнее было бы
их называть индийскими'.
Они употребляются в нашей
стране, начиная с XVII века.
Римские же цифры применяют¬
ся лишь в исключительных слу¬
чаях.
X
Рис. 9. Предполагаемое происхож¬
дение римских цифр V и X.
XII в
1197 г
1275 <
1294 г
1303 ’
1234567890
У Я и,46 7 В 9 °
цхкмм плъч о
•1 .7- ? * 4 6 л s р 0
1 23 Л S1 о
1 $<)<>,&
17 3 /* 4 G'A $ 9 0
I Z $ <Г Л £ ? о
Рис. 10. Эволюция индийских цифр
от XII в. до середины XV в. (начала
книгопечатания).
3. О СЧЕТНЫХ ПРИБОРАХ. РУССКИЕ СЧЕТЫ.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ
Люди издавна старались облегчить себе счет с помощью раз¬
ных средств и приборов. Первой, самой древней «счетной ма¬
шиной» были пальцы рук и ног. На них человек научился от¬
считывать довольно большие числа. Различными загибами паль¬
цев рук изображали не только единицы и десятки, но сотни и
тысячи (рис. 11, 39, 40). Изображение чисел с помощью жестов
рук продолжали до миллионов2.
Г См. [44], стр. 2. Подробнее о происхождении современных цифр см.
гл. 1, § 13.
2 Подробное описание методов счета на пальцах до миллиона дал ир¬
ландский ученый монах Беда (VII—VIII вв.), прозванный «Достопочтенный»,
в своем хронологическом труде «О счете времени». Книга эта была издана
в Базеле в 1529 г.
2 Г. И. Глейзер
17
Рис. 11. Изо¬
бражение
пальцевого
счета в ста¬
рой испан¬
ской руко¬
писи XIII в.
В верхнем
ряду числа:
100, 200, 300,
1000, 2000,
3000.
ссс
СССССС
L|i)
«
Рис. 12. Древнегреческий
мраморный абак, найден¬
ный в XIX в. на острове
Сал амине.
шйшЛМш'Ь 14. jlJaJi
СССС VII V'lfT
В древности торговцы (финикий¬
ские, вавилонские и других народов)
производили расчеты при помощи зе¬
рен, камешков и раковин, которые впо¬
следствии стали выкладывать на спе¬
циальной доске, названной затем аба¬
ком '. Абак у греков и римлян под¬
вергся дальнейшему усовершенствова¬
нию и стал счетной доской, счетным
прибором, вроде наших нынешних сче¬
тов (рис. 12 и 13). Одним из древней¬
ших счетных приборов являются ки¬
тайские счеты «суан-пан», поныне упо¬
требляемые в Китае (рис. 14, 15). Дру¬
гой старинный счетный прибор — япон¬
ский «соробан» (рис. 16).
Русские счеты употребляются нашим
народом, вероятно, начиная с XVI века.
1 Слово это означает в древнееврейском
языке «пыль», «песок». Было время, когда на
абак сыпали песок для вычерчивания чисел
и фигур и для выполнения арифметических
действий.
Рис. 13. Древнеримский бронзовый абак.
18
с давних пор употребляются такие
выражения, как «сбрасывать со сче¬
та», «прикидывать», «скидка» и т. п.
Большое преимущество русских
счетов заключается в том, что они
основаны на десятичной системе
счисления. Употребление десятич¬
ных счетов в России объясняется,
возможно, тем, что у нас раньше,
чем в других странах, появилась
десятичная денежная система 1:
1 червонец = 10 рублям.
1 рубль = 10 гривенникам.
1 гривенник = 10 копейкам.
Помимо счетов в колхозах, совхо¬
зах, промышленных и других пред¬
приятиях пользуются небольшой вы¬
числительной машиной, названной
арифмометром (рис. 17). Над созда¬
нием вычислительных машин тру¬
дились многие ученые начиная с
XVII века. Арифмометр, изобретен¬
ный в 1878 году великим русским
математиком П. Л. Чебышевым, счи¬
тался одной из наиболее совершен¬
ных математических машин того вре¬
мени 2. Широкое распространение по¬
лучил арифмометр, изобретенный в
прошлом веке петербургским инже¬
нером В, Т. Однером. Выпускаемые
ныне в СССР арифмометры марки
«Феликс» являются усовершенство¬
ванными арифмометрами системы
Однера.
1 См. [43], стр 273. Подробнее о рус¬
ской денежной системе см. гл. 1, § 12.
См. [37], [118], стр. 472.
Рис. 17. Арифмометр.
Рис. 14. Китайские счеты
«суан-пан».
ЮССФ-
[4)044
ГССмМ
>04*4
КОФО
СФСФО
ососо-
>СФ€0=
Ьософ-
0СССО4
Рис. 15. Суан-
пан, на котором
отложено число
1930.
Рис. 16.
Японские
счеты
Рис. 18. Электронная цифровая машина БЭСМ.
Кроме арифмометра, известны и другие, так называемые
«малые счетные машины». В настоящее время в науке и технике
приходится иметь дело с очень большими числами и со слож¬
ными вычислениями. С этой целью созданы огромные совре¬
менные электронные счетные машины (рис. 18), которые слу¬
жат для нужд народного хозяйства и для различных расчетов.
Подробнее со счетными машинами учащиеся познакомятся на
занятиях кружка (гл. 1, § 14).
4. О НАТУРАЛЬНОМ РЯДЕ. «ИСЧИСЛЕНИЕ ПЕСЧИНОК»
АРХИМЕДА. СОВРЕМЕННАЯ ЗАПИСЬ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
В силу необходимости вести счет любых групп предметов
возникли натуральные1 числа: 1, 2, 3, 4... На первых стадиях
культурного развития человечества натуральный ряд состоял из
немногих чисел. В дальнейшем он обогащался все новыми и
большими числами. Долгое время, однако, натуральный ряд счи¬
тался конечным, то есть люди считали, что существует какое-то
1 О натуральном в смысле естественном ряде чисел говорится во «Вве¬
дении в арифметику» греческого математика (неопифагорейца) Никомаха из
Геразы, жившего около 100 г. н. э. Арифметика Никомаха была перерабо¬
тана и переведена на латинский язык римским автором Боэцием (480—524),
впервые применившим термин «Натуральное число», который встречается за¬
тем в некоторых средневековых рукописях. В современном смысле понятие
и термин «натуральные числа» встречается у французского философа и ма¬
тематика Ж. Даламбера (1717—1783).
20
последнее, наибольшее число. В древней Руси, например, одно
время число 104, названное «тьма», считалось трудным для
представления большим числом. О числе 1012, названном «тьма
тем», говорилось в старинных русских памятниках: «Больше
сего числа несть человеческому уму разумети...» 1
Однако в ходе общественного развития человеческому уму
пришлось «разуметь» все большие и большие числа и полно¬
стью отказаться от мысли, будто бы в натуральном ряду суще¬
ствует наибольшее число. К осознанию этого факта разные на-»
роды приходили в разное время.
Величайший ученый древней Греции Архимед2 в III в. до
н. э. написал небольшую арифметическую книгу «Псаммит», или
«Исчисление песчинок»3, в которой он опровергает ложное мне¬
ние некоторых людей о том, будто бы число песчинок на земле
столь велико, что его нельзя выразить, а числа больше этого и
вообще якобы не существует. Архимед доказывает, что если на¬
полнить песчинками пространство всего мира, всю вселенную,
которую он принимает за огромный шар с диаметром около
15 ООО ООО ООО километров, то число песчинок (в нашей нумерации)
1 См. [47], стр. 2—9.
2 См. [85], [95].
3 См. [19], стр. 358.
Архимед. Евклид.
21
ч
не превысит 1063, то есть числа, составленного из единицы
с 63 нулями, и что, конечно, существуют еще большие числа,
сколь угодно большие1. Таким образом, в «Псаммите» Архимед
показал, что счет можно продолжать неограниченно, то есть
натуральный ряд бесконечен. Потребовались, однако, сотни лет,
чтобы эта идея стала общедоступной.
1063 является примером современной записи больших чисел.
Всякое число, изображаемое единицей с п нулями, коротко за¬
писывается 10п и называется п-й степенью десяти. Например,
сто есть вторая степень десяти (102 = 10-10 = 100), тысяча —
третья степень десяти (103 = 10-10-10 = 1000) и т. п. Понятие
степени позволяет не только коротко записывать, но и более
кратко называть большие числа, обычно «круглые», то есть
приближенные, встречаемые в современной науке и технике.
Например, число шесть секстиллионов, которым приближенно
выражается в тоннах масса Земли, можно записать не цифрой
шесть с 21 нулем, а гораздо короче: 6-1021 и читать «шесть
на десять в двадцать первой степени». Указанная запись боль¬
ших чисел особенно распространена в современной физике и
астрономии 2.
1 Архимед не располагал нашими обозначениями степени.
2 См. [23], стр. 10—16.
П. JI. Чебышев.
22
J1. Эйлер.
5. О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ. ЕВКЛИД И ЭРАТОСФЕН. ЧЕБЫШЕВ
Разложение чисел на простые множители показывает, что
всякое число является либо простым, либо произведением двух
или нескольких простых чисел. Можно поэтому сказать, что
простые числа являются составными элементами натуральных
чисел, как бы кирпичами, из которых при помощи действия ум¬
ножения составляются все целые числа. Вот почему простыми
числами начали интересоваться еще в древности. Издавна бро¬
салась в глаза нерегулярность распределения простых чисел
среди всех натуральных чисел. Было замечено, что по мере про¬
движения от малого числа к большему в натуральном ряду про¬
стые числа встречаются все реже. Поэтому одним из первых
вопросов был такой: существует ли последнее простое число, то
есть имеет ли ряд простых чисел конец? Около 300 лет до н. э.
на этот вопрос дал отрицательный ответ знаменитый древнегре¬
ческий математик Евклид. Он доказал \ что за каждым про¬
стым числом имеется еще большее простое число, то есть суще¬
ствует бесчисленное множество простых чисел. Другой греческий
математик того же времени, Эратосфен, изобрел способ, по¬
средством которого можно найти все простые числа от 1 до
некоторого определенного числа. Этот способ называется «реше¬
том Эратосфена». Пусть, например, требуется найти все про¬
стые числа между 1 и 50. Выписываем все числа от 1 до 50:
г
2
3
X
5
X
7
X
X
X
и
у£
13
X
X
X
17
X
19
&
X
23
X
X
X
X
X
29
X
31
yi
X
X
х
X
37
уй
X
X
1!
43
X
X
47
X
Зачеркиваем <
единицу, которая
не является
[ ни простым, ни
ставным числом2, затем подчеркиваем число 2 и зачеркиваем
все числа, кратные двум, то есть все числа таблицы «через од¬
но», начиная с 2. Далее подчеркиваем из незачеркнутых чисел
3 и зачеркиваем все числа, кратные трем, то есть «через два»
и т. д. Оказывается, что между 1 и 50 имеются следующие
1 См. [31], стр. 89—90.
2 Каждое простое число Р имеет два и только два делителя, 1 и Р\
каждое составное число имеет больше двух делителей; единица же имеет
только один делитель: 1.
2а
15 простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47.
Этим способом в настоящее время составлены таблицы простых
чисел между 1 и 12 000 000.
Для получения таблицы простых чисел Эратосфен, писавший
на натянутом папирусе, не зачеркивал, а прокалывал составные
числа. Отсюда название «решето Эратосфена»; оно отсеивает
простые числа.
После Евклида и Эратосфена многие другие ученые разных
стран и времен стремились глубже познать природу простых чи¬
сел. Особенно хотелось найти такую формулу, которая позво¬
ляла бы быстро узнать, сколько простых чисел имеется между
1 и любым числом натурального ряда. Лишь в XIX в., около
2200 лет после Евклида, великий русский математик Пафнутий
Львович Чебышев открыл формулупозволяющую приближен¬
но подсчитать простые числа на любом участке натурального
ряда. Начиная со второй половины XX века для поисков
больших простых чисел применяются электронные счетные ма¬
шины. С их помощью доказана простота таких числовых гиган¬
тов, как:
22281 — j. (75Q цифр); 23217 — 1; (1000 цифр) и др.2
Задание ученикам. Представить каждое число от 4 до
30 в виде суммы двух или трех простых чисел.
в. О ЗАДАЧЕ ГОЛЬДБАХА. НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Мы часто представляем составные числа как произведение
простых чисел. А можно ли представить всякое натуральное
число в виде суммы простых чисел?3
Примерно 200 лет назад член Петербургской Академии наук .
Христиан Гольдбах (1690—1764) высказал такое предположе¬
ние: всякое нечетное целое число, большее 5, можно представить
в виде суммы трех простых чисел. Проверка на отдельных при¬
мерах показала справедливость этого предположения. Так, на¬
пример:
13 = 3 + 5+ 5; 23 = 5 + 7+11 и т. п.
Однако чтобы быть уверенным в том, что данное свойство
имеет место для любых сколь угодно больших целых чисел, ну¬
жно найти общее доказательство. В 1742 г. Гольдбах обратился 1
1 Функция я(х), число простых чисел, не превосходящих х, удовлетво-
X X
ряет неравенствам: a — < д (.*) < b , где а и b — постоянные, вычи¬
сленные Чебышевым (а = 0,921; 6=1,06) и уточненные после него,
2 См. также гл. 1, § 10.
3 О методике проведения этой беседы см. [3], стр. 36—37.
24
по этому вопросу к знаменитому математику Петербургской
Академии наук Леонарду Эйлеру. Эйлер ответил, что он не мо-
жет доказать это свойство, но высказал такое предположение:
всякое четное число, больше 2, можно представить в виде суммы
двух простых чисел. Например: 8 = 3 + 5; 28 = 11 + 17 и т. д.
Если можно было бы решить «задачу Эйлера», то есть дока¬
зать второе свойство, то легко было бы решить и «задачу Гольд¬
баха», а именно: пусть имеем какое-либо целое число. Либо оно
четное, тогда оно разлагается на сумму двух простых чисел (ут¬
верждение Эйлера), либо оно нечетное, тогда вычтем из него
нечетное простое число (допустим 3) и останется четное число,
которое разложится в сумму двух также простых чисел (по Эй¬
леру) так, что всегда данное целое число разложится на сумму
не более трех простых чисел.
На протяжении 200 лет над доказательством предложения
Гольдбаха тщетно трудились многие крупные ученые, в том чи¬
сле создатель теории множеств Георг Кантор (1845—1918), про¬
веривший предложение для всех четных чисел от 4 до 1000,
Обри — от 1000 до 2000 (в этих пределах каждое четное число
было ими разложено на сумму двух простых чисел) и др. Г
‘ См. [28], стр. 176—177; [113], стр. 189—190.
Л. Г. Шнирельман. И. М. Виноградов.
25
Первый крупный успех в решении задачи Гольдбаха был до¬
стигнут молодым советским математиком Львом Генриховичем
Шнирельманом (1905—1938), доказавшим в 1930 г., что всякое
целое число может быть представлено в виде суммы не более,
чем k простых чисел, где k — некоторое вполне определенное, но
нам неизвестное число. Решение задачи Гольдбаха было сведе¬
но, таким образом, к доказательству того, что k («число Шни-
рельмана») равно 3. Вначале k оценивалось в порядке сотен
тысяч, но вскоре, благодаря дальнейшим трудам некоторых
советских и зарубежных математиков, удалось значительно
уменьшить оценку «числа Шнирельмана». В настоящее время 1
k доведено до 20.
Крупнейшего успеха на пути к решению задачи Гольдбаха
достиг в 1937 г. советский математик, Герой Социалистического
Труда, академик Иван Матвеевич Виноградов (род. в 1891 г.),
.доказав, что всякое достаточно большое2 нечетное число может
быть представлено в виде суммы трех простых чисел. Резуль¬
тат, полученный академиком Виноградовым, является одним из
блестящих математических достижений первой половины XX в.
Тем не менее задачу Гольдбаха—сЭйлера поныне нельзя счи¬
тать полностью решенной, ввиду того, что в доказательстве Ви¬
ноградова речь идет не о всех, а только о нечетных числах, при¬
чем достаточно больших.
Задание ученикам, а) Проверить на примере двух трех¬
значных чисел предложение Гольдбаха, б) Проверить на примере
двух четных трехзначных чисел свойство, высказанное Эйлером.
7. ВОЗНИКНОВЕНИЕ И СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕР ДЛИНЫ.
О МЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ МЕР
С незапамятных времен человеку приходилось измерять рас¬
стояния в связи с изготовлением простейших орудий труда, со
строительством жилищ и с добыванием пищи. Подобно тому,
как при счете человек пользовался вначале пальцами рук и ног,
так и при измерении расстояний он прибегал к рукам и ногам.
Вот почему в прошлом мерами длины служили (да иногда
и теперь еще служат) шаг, ладонь — ширина кисти руки
(рис. 20), локоть — расстояние от локтя до конца среднего
пальца и т. п. Названия мер у разных народов свидетельствуют
об их происхождении от различных частей человеческого тела.
Так, например, слово дюйм (английская, а также старая рус¬
ская мера длины ~2,5 см) означает на голландском языке
1 См. [23], стр. 154—162.
2 «Достаточно большое», то есть начиная с некоторого большого числа С.
В 1956 г. советский математик К. Г. Бороздкин установил, что С = З3*6 (точ¬
нее ее16’038, где е = 2,7182...). См. [28], стр. 177; [42], стр. 8.
-26
Рис. 19. Происхождение меры фут.
«большой палец». Слово фут (старая мера длины ~30,5 см)
означает в английском языке «нога». Эта мера длины возникла
как средняя длина ступни человека (рис. 19) 1.
С развитием производства и торговли люди убедились в том,
что не всегда удобно измерять расстояния шагами или прикла¬
дыванием локтя. Кроме того, такое измерение уже не удовле¬
творяло возросшим требованиям точности. В самом деле, длина
локтя или шага у разных людей различная, а мера длины дол¬
жна быть постоянной. Постоянные образцы мер стали изготов¬
лять из деревянных линеек и металлических стержней. Образцы
мер в настоящее время называются эталонами. Старой русской
мерой длины был аршин (от персидского слова «Арш» — ло¬
коть ) ~71 см. Отсюда поговорка «Мерить на свой аршин»
и др. Аршин делился на 16 вершков, 3 аршина составляли са¬
жень, 500 саженей — версту, 7 верст—-милю. Таким образом,
при раздроблении и превращении приходилось умножать, соот¬
ветственно делить на разные числа: 16, 3, 500, 7... Между тем
практика измерений и вычислений показала, .что проще и удоб¬
нее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух
ближайших единиц длины было бы постоянным и равнялось бы
именно десяти — основанию нумерации. Метрическая система
мер отвечает этим требованиям.
Но где и когда родилась эта система?
В конце XVIII века во Франции произошла буржуазная ре¬
волюция, которая ликвидировала господствовавшие феодальные
отношения и свергла деспотическую королевскую власть. Не¬
точность старых мер была выгодна для феодалов, так как
они могли, получая оброк с крестьян, измерять его более ем¬
кими мерами, а расплачиваться с ними своими меньшими ме¬
рами. В те же время отсутствие единых мер препятствовало
1 См. [27], стр. 6—19.
27
Рис. 20. Ладонь, равная
четырем пальцам.
Рис. 21. Меридианы.
развитию торговли между городами
и государствами, тормозило развитие
ремесел, что особенно невыгодно было
буржуазии.
Революция, поставившая у власти
буржуазию, дала толчок к созданию
новой общей системы мер.
Новые меры должны были удовле¬
творять следующим требованиям:
1) Основой общей системы мер долж¬
на быть единица длины; 2) Меры дли¬
ны, площади, объема, вместимости и
веса должны быть связаны между со¬
бой; 3) Основную меру длины следо¬
вало выбрать так, чтобы она была по¬
стоянной «для всех времен и для всех
народов»; 4) Основанием системы мер
необходимо было взять число, равное
основанию системы счисления.
Какую же длину приняли француз¬
ские ученые за основную меру? Из¬
вестно, что Земля почти шарообразна.
Большие окружности, проходящие через полюсы, — это земные
меридианы (рис. 21). Четверть меридиана (расстояние от по¬
люса до экватора) была определена и разделена на 10 ООО ООО.
Одну десятимиллионную часть четверти земного меридиана во
Франции приняли за основную меру длины и назвали метром
(от греческого слова «метрон», означающего «мера»). На осно¬
вании измерений меридиана, сделанных французскими учеными
Мешеном и Деламбром, был изготовлен впоследствии платино¬
вый эталон метра1. Число 10 легло в основу подразделений
метра. Вот почему метрическая система мер оказалась тесно
связанной с десятичной системой счисления и с десятичными
дробями. Единица измерения площадей — квадратный метр,
объемов — кубический метр.
Мера веса и другие были связаны с мерой длины таким об¬
разом: за основную меру веса принят килограмм, равный весу
1 куб. дм воды при температуре 4°, то есть при наиболь¬
шей плотности. Основная мера вместимости — литр, равный по
объему одному кубическому дециметру. Благодаря своим пре¬
имуществам метрическая система мер распространилась во вто¬
рой половине XIX в. далеко за пределами Франции. За введе¬
ние в России этой системы выступил, в частности, и член Пе-
1 О трудностях, встречавшихся при измерении меридиана и о проявлен¬
ном при этом мужестве ученых см, [27].стр, 72—79.
28
Рис. 22. Эталон метра и футляры, в которых он хранится.
тербургской Академии Наук Борис Семенович Якоби. В 1875 г.
в Париж собрались на конференцию представители двадцати
государств подписать «конвенцию» (то есть соглашение) метра
для обеспечения международного единства и совершенствования
метрической системы. Было учреждено Международное Бюро
мер и весов. Международные прототипы, то есть эталоны метра
(рис. 22) и килограмма хранятся в Париже. Важнейший вклад
б метрологию, то есть учение о мерах, внес великий русский
химик. Дмитрий Иванович Менделеев (1834—1907), который це¬
ной больших усилий добился в 1889 г. разрешения на необяза¬
тельное введение в России метрической системы мер. Обязатель¬
ной же для нашей страны она стала лишь после Великой Ок¬
тябрьской социалистической революции, с 1918* г. Копии меж¬
дународных эталонов хранятся в Ленинграде (см. гл. I § 12).
Ж. Б. Ж. Деламбр.
П. Ф. Мешен.
29
0 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ
8. О ПРОИСХОЖДЕНИИ ДРОБЕЙ. ДРОБИ В ДРЕВНЕМ РИМЕ
Наряду с необходимостью считать предметы, у людей с древ¬
них времен появилась потребность измерять длину, площадь,
объем, вес, время и другие величины. Результат измерения не
всегда удается выразить натуральным числом. Приходится учи¬
тывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби. Вна¬
чале это были конкретные дроби, части известных единиц.
В древней Руси, например, «четверть», «осьмина» долгое время
означали конкретные дроби, части более крупной меры. Медлен¬
ным и длительным был переход от конкретных к отвлеченным
дробям, не связанным с определенными мерами. Даже римляне
пользовались в основном только конкретными дробями. Асе, ко¬
торый у древних римлян служил основной единицей измерения
веса, а также денежной единицей, делился на 12 равных частей,
унций. Со временем унции стали применяться для измерения
любых величин. Так возникли римские двенадцатеричные дроби,
то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12.
г, 1 5
Вместо -j2~ римляне говорили «одна унция», —«пять унции»
и т. д. Три унции назывались четвертью, четыре унции — третью,
шесть унций — половиной.
Характерен следующий отрывок из произведения знамени¬
того римского поэта I в. до н. э. Горация о беседе учителя с
учеником в одной из римских школ этой эпохи:
«— Учитель. Пусть скажет Сын Альбина, сколько останется,
если от 5 унций отнять 1 унцию?
■— Ученик. Одна треть.
— Учитель. Правильно, ты сумеешь беречь свое имущество».
9. ДРОБИ В ДРЕВНЕМ ЕГИПТЕ
Первая дробь, с которой познакомились люди, была, навер-
0 111 1
ное, половина. Ва ней последовали^-. -g-. -jg затем —,
-|г и т. д., то есть самые простые дроби, доли целого, называе¬
мые единичными или основными дробями. У них числитель все¬
гда единица. Некоторые народы древности, например египтяне1,
выражали любую дробь в виде суммы только основных дро¬
бей2. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и
1 См. [21], [49].
2 Исключение составляла дробь — см. гл. I, § 17, зад. 35,
О
30
Рис. 23. Древнеегипетские пирамиды — гробницы фараонов. Высота
самой большой из них, «пирамиды Хеопса» (III тысячелетие
до н. э.), — 146 м.
других народов стали входить в употребление и дроби общего
вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и зна¬
менатель могут быть любыми натуральными числами.
В древнем Египте архитектура достигла высокого развития.
Об этом свидетельствуют сохранившиеся до наших дней египет¬
ские пирамиды (рис. 23). Разумеется, для того чтобы строить
грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, пло¬
щади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.
Египтяне писали на папирусах, то есть на свитках, изготов¬
ленных из стебля крупных тропических растений, носивших то
же название. Самым древним математическим папирусом, до¬
шедшим до нас, является так называемый «Московский папи¬
рус», написанный около 1850 г. до н. э. Длина его около 5,5 м,
а ширина — 8 см. Хранится он в Московском музее изобрази¬
тельных искусств. Его изучили и расшифровали русские уче¬
ные, академики Тураев Борис Александрович (1868—1920) и
Струве Василий Васильевич (род. 1891). Важнейшим по содер¬
жанию является «папирус Ахмеса», по имени одного из древне¬
греческих писцов, рукою которого он был написан (рис. 24, 25
и 26). Его длина 544 см, а ширина 33 см\ хранится он в Лондо¬
не, в Британском музее. Он был приобретен в прошлом веке
англичанином Риндом и называется поэтому также «папирусом
Ринда». Этот старинный математический документ озаглавлен
так: «Способы, при помощи которых можно дойти до понимания
всех темных вещей, всех тайн, заключающихся в вещах».
31
*<£•■. 2n ill b
W; ьй. -л <33
fc-c
•iii.
X= -r\-- — /e
i.''/и^г
"w "iii
. "1Л
Рис. 24. Обрывок папируса Ахмеса.
({{Ш9999
« 999
HI
Рис. 25. Египетская иероглифическая
нумерация. Число 35 736.
После того как ученые
расшифровали эти и дру¬
гие папирусы, люди узна¬
ли, что египтяне 4000 лет
назад имели десятичную
(но не позиционную) си¬
стему счисления, умели
решать многие задачи,
связанные 0 потребностя¬
ми строительства, торгов¬
ли и военного дела.
Вот как записывали
египтяне свои дроби (рис.
27) К Если, например, в
результате измерения по¬
лучалось дробное число
3
7. то для египтян оно
щие представления дробей,
I + J-- 2
6 ^ 66 ’ 7
J_ , J_
52 ' 104
3 — — — -4-
13 8 ^
2. -4- = 4г
представлялось в виде
суммы единичных дро¬
бей: у+4--Итак, не три
четверти целого брали
египтяне, а одну вторую
да еще одну четверть. В
«папирусе Ахмеса» име¬
ются таблицы для пред¬
ставления некоторых дро¬
бей в виде суммы еди¬
ничных дробей.
Задание учени¬
кам. Проверить следую-
приведенные в «папирусе Ахмеса»:
Li 111-
6 * 14 ^ 21 ’
» 2 1,1
4.
99
66
198
1©. ВАВИЛОНСКАЯ НУМЕРАЦИЯ. ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНЫЕ
ДРОБИ
В древнем Вавилоне высокий уровень культуры был достиг¬
нут еще в третьем тысячелетии до н. э. Шумеры и аккадцы, на¬
селявшие древний Вавилон, писали не на папирусе, который в
1 Древнейший вид египетского письма — иероглифическое. Начиная с эпо¬
хи Древнего Царства (3000—2400 до н. э.) до Нового Царства (1580—1071)
пользовались более схематическим письмом — иератическим. С конца VIII в,
распространяется демотическое письмо. См. гл. I, § 13.
32
их стране не рос, а на глине.
Путем нажима клиновидной
палочкой на мягкие глиня¬
ные плитки наносились чер¬
точки, имевшие вид клиньев.
Вот почему такое письмо
называется клинописью К
Плитки сушились на зной¬
ном солнце и приобрета¬
ли прочность. Раскопками,
проведенными в XX веке
среди развалин древних го¬
родов южной части Дву¬
речья, обнаружено боль¬
шое количество клинописных
математических табличек
(рис. 28) 2. Изучая их, уче¬
ные установили, что за
2000 лет до н. э. у вавило¬
нян математика достигла
высокого уровня развития.
Письменная шестидесяте¬
ричная нумерация вавило¬
нян комбинировалась из
двух значков: вертикального
клина ^ , обозначавшего
единицу, и углового знака
<■, обозначавшего де¬
сять. Вертикальные клинья
образуют группы до девяти,
углы —до пяти (рис. 29).
В вавилонских клинописных
текстах впервые встречается
позиционная система счис¬
ления. Вертикальный клин
У обозначал не только 1, но
и 60, 602, 603 и т. д. Чтобы
1 См. [24], [110].
2 В первой половине нашего
ФКа французский ассириолог
Тюро-Данжен, немецкий исто¬
рик математики Отто Нейгебауэр
Другие ученые расшифровали
опубликовали много вавилон¬
ских текстов.
Рис. 26. Древнеегипетский писец. Статуя
(III тысячелетие до н. э.), хранящаяся
в Луврском музее Парижа.
%
■7
X
/з
т
о>
III
III
ли
%
ГР*
U
X
И
%
нм
<=>
CHI
Ггт?
X
*
X
7'7
3/
Ж
£ У У
X 'а7*
2 И П,
/3 У12
ч»2/3’4
2/з Via
/е
[«"»]
<=>
ИНН
<=>
ИНН
£
I
г
%
N
//*
% Ув
древнее
царство
новое
царство
поздней-
шее
время
древнее
новое
демоти¬
ческое
иероглифическое
письмо
иератическое
письмо
Рис. 27. Египетские дроби.
^ Г- И. Глейзер
33
г * г< лr IF Г '
tf
Рис. 28. Вид древневавилонской
клинописной таблицы.
Y V W Г ff t f f f
IS 3 4 В 6 78 9
< <T 4tt <№<^
10 11 12 13 14
'6 16 17 18 19
« «it «4
20 22 30
45 60 69
Рис. 29. Вавилонские цифры
и числа.
T*lf
Рис. 30. Вавилонская
клинописная запись
числа 3605
(3600 + 0 + 5).
написать, например 62, припи¬
сывали справа знака ^ (60)
знаки ГГ (2), оставляя при
этом известный промежуток:
У |^^3нака для «нуля» в
позиционной шестидесятерич¬
ной системе вавилонян вначале
не было. Означает ли верти¬
кальный клин ! 1 или 60, или
60й, можно было определить
лишь в связи с содержанием
тех или иных задач. Вавилон¬
ская нумерация не была таким
образом строго позиционной,
не была абсолютной. Позже
был введен знак
i
для от¬
деления разрядов между со¬
бой '. Вот как записывалось,
например, число 3605 (рис. 30).
Однако знак
*
никогда не
ставился в конце числа.
Происхождение шестидеся¬
теричной системы счисления у
вавилонян 2 связано, как пола¬
гают некоторые ученые, с тем,
что вавилонская денежная и
весовая единица измерения под¬
разделялась в силу историче¬
ских условий на 60 равных
частей:
1 талант = 60 мин,
1 мина = 60 шекель.
1 Предполагается, что этот значок появился
лишь в V в. до н. э. До этого вместо него в извест¬
ных случаях практиковали оставлять пробел между
разрядами. См. [24], стр. 393—420.
2 По этому вопросу существуют различные пред¬
положения. Подробнее см. гл. 1, § 13,
34
Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот
почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имею-*
щими знаменателем всегда число 60, или его степени: 602 =
= 3600; 603 = 216000 и т. д. В этом отношении шестидесятерич-
ные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями *.
Вавилонская математика оказала влияние на греческую ма¬
тематику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счи¬
сления удержались и в современной науке при измерении вре¬
мени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на
60 мин, минуты на 60 сек\ окружности на 360 градусов, градуса
на 60 минут, минуты на 60 секунд.
Минута означает по-латыни «маленькая часть», секунда —
«вторая» (маленькая часть).
Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии.
Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии уче¬
ные всех народов до XVII века, называя их астрономическими
дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми поль¬
зуемся мы, были названы обыкновенными.
Упражнения: а) Выразить в шестидесятеричных дробях
следующие обыкновенные дроби: -g-;
1 Благодаря этой системе счет с дробями у вавилонян так же прост, как
и счет с целыми числами. См. [114], стр. 46—49.
Б. С. Якоби.
3*
Пифагор.
35
4
г
3
4
5
6
1
8
9
1
II
III
НИ Г
Г/
ги пн пш
40
100
1000
icm So
Sco
Sooo
&
Н
X
М
рг
F
Р
4
2
3
ч
5
6
У
8
9
а
f
гг
1
£
С,
t V
д-
10
го
30
40
5о
60
то
80
90
С
К
Л
\)
1
0
Ж
и
100
г оо
}00
чоо
5ос
ООО
ТОО SCO
900
р
(Г
i
д
f
г
г
со
)
Рис. 31. Древнегреческая атти¬
ческая (сверху) и алфавитная
(снизу) нумерация.
Рис. 32. Ваза персидского царя
Дария (III в. до н. э.), хра¬
нящаяся в Неаполитанском
музее (Италия). Внизу царский
казначей за счетной доской
(см. рис. 33).
б) Выразить в обыкновенных
дробях следующие шестидесятерич¬
ные дроби:
18 3250 148 000
60 ’ 3600 ’
603
2
в) Выразить в минутах часа.
г) Выразить в дробях (превра¬
тить в часы) 15 мин. и 12 сек. j
11. НУМЕРАЦИЯ II ДРОБИ \
В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ
В Древней Греции, высокая
культура которой приобрела миро¬
вое значение, существовали две си¬
стемы письменной нумерации: атти¬
ческая и ионийская, или алфавит¬
ная (рис. 31). Они были так названы
по древнегреческим областям — Ат¬
тика (на юго-востоке Средней Гре¬
ции) и Иония (часть побережья
Малой Азии). В аттической систе¬
ме, названной также геродиановой
большинство числовых знаков яв¬
ляются первыми буквами греческих
соответствующих числительных, на¬
пример, FENTE (генте или пенте) —
пять, АЕКА (дека) —десять и т. д.
(рис. 32, 33). Эту систему применя¬
ли в Аттике до 1 в. н. э., но в других
областях Древней Греции она
была еще раньше заменена более
удобной алфавитной2 нумерацией
(рис. 8), быстро распространившей-*
ся во всей Греции.
Книга греческого ученого Ни¬
комаха «Введение в арифмети-
1 По имени греческого грамматика
II в. н. э. Геродиана, описавшего аттиче¬
скую систему.
2 О преимуществах алфавитной систе¬
мы по сравнению с аттической см. [114],
стр. 76—77,
36
ку», написанная в I в. н. э., яв¬
ляется первым дошедшим до
нас систематическим учебником
арифметики, которым более ты¬
сячи лет пользовались в средне-*
вековых школах Европы.
В Греции употреблялись на¬
ряду с единичными, «египетски¬
ми» дробями и общие, обыкно¬
венные дроби. Среди разных за¬
писей употреблялась и такая:
сверху: знаменатель, под ним —
числитель дроби. Например, д-
означало три пятых1. Еще за
2—3 столетия до Евклида и Ар¬
химеда греки свободно владели
арифметическими действиями с
дробями. В VI в. до н. э. жил
знаменитый ученый Пифагор.
Задача 1. Рассказывают,
что на вопрос, сколько учеников
Рис. 33. Деталь вазы Дария (рис.
32). Поступившие налоги подсчи¬
тываются на счетной доске. Атти¬
ческими цифрами записаны числа
10 000, 1000, 10, 5 и др.
посещают его школу, Пифагор ответил: «Половина изучает ма¬
тематику, четверть — музыку, седьмая часть пребывает в молча¬
нии, кроме этого есть три женщины». Сколько учеников посе¬
щало школу Пифагора?
12. ДРЕВНЕКИТАЙСКИЕ ЗАДАЧИ С ДРОБЯМИ
В древнем Китае пользовались десятичной системой счисле¬
ния 2. При записи чисел употребляли цифры в форме иерогли¬
фов, причем имелся особый знак для некоторых единиц выс¬
ших разрядов. Однако эти цифры применяли в основном толь¬
ко для записи чисел.
Для вычислений довольно часто использовалась таблица
умножения, которую © то время называли «девятью девять».
Чтобы облегчить выполнение арифметических действий с
большими числами (вплоть до одиннадцатизначных), сложение
и вычитание производили на счетной доске. Вычисления на
счетной доске проводились с помощью палочек, изготовляв¬
шихся из бамбука, чугуна или слоновой кости.
Примерно во II в. н. э. был составлен трактат «Мате¬
матика в девяти книгах». Эта книга была предназначена для
землемеров, техников и счетных работников и содержит изло¬
1 Подробнее ем. гл. 1, § 11.
2 С мультипликативным принципом записи чисел.
\
37
жение правил действий над дробными числами, вычисление
площадей, объемов 1 и т. п. Вот одна задача из VI книги этого
сочинения:
Задача 2. «Дикая утка от южного моря до северного летит
7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного летит 9 дней.
Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через
сколько дней они встретятся?»
Задание ученикам. Решить задачу с дробями, взятую
из древнего астрономического трактата, который назван «Сол¬
нечные часы».
Задача 3. «Имеются два сорта чая. 3 фунта первого сорта
смешаны с 6 фунтами второго, после чего фунт смеси стоит
3 дяо. Если смешать 12 фунтов первого с 4 фунтами второго,
то фунт смеси будет стоить 3 у дяо. Сколько стоит фунт первого
и сколько стоит фунт второго сорта?»
18. СТАРОИНДИЙСКАЯ ЗАДАЧА С ЦВЕТАМИ
И ПЧЕЛАМИ
Индия, одна из древнейших и величайших стран мира,
является родиной позиционной десятичной нумерации. Эта си¬
стема (с употреблением знака нуля) появилась в Индии, ве¬
роятно, в V—VII вв. н. э. Из Индии, благодаря арабским и
среднеазиатским ученым, она распространилась в страны Ев¬
ропы 2.
Индийцы широко употребляли «обыкновенные» дроби. Наше
обозначение обыкновенных дробей при помощи числителя и зна¬
менателя было принято в Индии еще в VIII в. н.э., однако без
дробной черты. Вместо например, индийцы писали д. Дроб¬
ная черта стала применяться лишь в XIII веке.
Широко известны математики древней Индии Ариабхатта
(V в.), Брахмагупта (VII в.), изложивший правила действий
с дробями, мало отличавшиеся от наших, и Бхаскара (XII в.).
Последний написал книгу под названием «Лилавати» (рис. 34),
то есть «Прекрасная» (наука арифметика).
Индийские ученые нередко излагали арифметические задачи
в стихах. Решим одну древнеиндийскую задачу (математика
Сриддхары XI в.):
1 «Математика в девяти книгах» и «Математический трактат Сунь-цзы»
(III в.) вошли позже в трактат «Математическое десятикнижье» (VII—
IX вв.).
2 Подробнее см. гл. 1, § 13,
38
Рис. 34. Вид одной из копий (ХШ в.) рукописи «Лила-
вати», написанной на полосках пальмовых листьев, до
того, как бумага стала общеупотребительной.
Задача 4.
«Есть кадамба цветок,
На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла
Вся в цвету сименгда
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Ее трижды сложи
И тех пчел на Кутай посади.
Лишь одна не нашла
Себе места нигде
Все летала то взад, то вперед и везде
Ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось».
Задание ученикам. Решить следующую задачу из «Ли-
лавати» Бхаскары:
Задача 5. «Если некоторое число умножить на 5, от про¬
изведения отнять его треть, остаток разделить на 10 и приба¬
вить к этому последовательно у, у и первоначального чи¬
сла, то получится 68. Как велико это число?»
39
14. ЗАДАЧИ С ДРОБЯМИ У ДРЕВНИХ АРМЯН
Известно, что первым государством на территории СССР
было царство Урарту в Закавказье (IX в. до н. э.) Остатки
урартских крепостей и дворцов, сохранившихся до наших дней
в Армянской ССР, говорят о высоком развитии урартской архи¬
тектуры, которое немыслимо без высокого уровня математиче¬
ских знаний. Урарты, позаимствовавшие у ассирийцев кли¬
нопись, возможно были знакомы с вавилонской математикой.
Высокая культура, созданная урартами, была унаследована древ¬
ними армянами. В IV—V вв. н. э. армяне, находившиеся тогда
под властью персов и византийцев, создали собственный алфа¬
вит, который служил им и для письменной нумерации. Армян¬
ская алфавитная нумерация имела обозначения не только для
единиц, десятков, сотен (как ионийская, еврейская и славян¬
ская), но и для тысяч1.
В VII в. н.э. жил известный армянский ученый Анания
Ширакаци (из Ширака), который прославился также как
борец за освобождение своей родины от иностранных захват¬
чиков. Анания писал книги по математике, географии и астро¬
номии. Он составил, помимо обширных таблиц сложения, вычи¬
тания и умножения, специальные таблицы пар сомножителей,
произведение которых равно 6000. Этот труд, названный «Ше-
ститысячником», мог применяться при делении чисел. Среди
книг Анания имеется также арифметика и сборник задач, на¬
званный «Вопросы и решения».
1300 лет назад Анания решал задачи на дроби, которые
даже для многих ученых из Европы в то время казались труд¬
ными.
Вот содержание одной из них:
Задача 6. «Один купец прошел через 3 города и взыски¬
вали с него в первом городе пошлины половину и треть имуще¬
ства, и во втором городе половину и треть (с того, что осталось),
в третьем городе снова половину и треть (с того, что у него
было), и когда он прибыл домой, у него осталось 11 денежков
(денежных единиц). Итак, узнай, сколько всего денежков было
вначале у купца».
Задание ученикам. Решить следующую задачу Анания
из Ширака:
Задача 7. «В городе Афинах был водоем, в который про¬
ведены 3 трубы. Первая могла наполнить водоем в 1 час, вто¬
рая— в 2 часа, третья — в 3 часа. Узнай, в какую часть часа все
3 трубы вместе наполнили водоем».
1 См. [125], стр. 320—322. О математике в Грузии см. Г. Ц х а к а я, Исто¬
рия математических наук в Грузии с древних времен до начала XX в., АН
Груз. ССР, 1959.
40
I-J
А
Ы
Б
г-*
Г
■—*
А
в
S
е^|
3
И
д
аэ
веди
глаголь
добро
ееть
вело
земля
иже
фита
1
2
3
4
в
6
7
8
б
с~*
*-*
Г-»
1
К
Л
и
на^но
люди
10
20
30
1-4
?
С
т
¥
слово
твердо
1G0
200
300
Г-1
ы
г-л
V
м
н
2
мыслите
наш
кс и
40
60
60
г-4
1^4
V Ф X
ук
ферт
хер
400
£Q0
600
г—*
ы
ы
0
П
Ч
он
покой
червь
70
80
90
ГА
W
ы
ц
пси
о
цы
700
800
$00
Рис. 35. Славянская алфавитная нумерация. Над буквами ставится знак,
называемый «титло».
15. НУМЕРАЦИЯ II ДРОБИ НА РУСИ
Как свидетельствуют старинные памятники русской истории,
наши предки-славяне, находившиеся в культурном общении с
Византией ^ пользовались десятичной алфавитной славянской
нумерацией (рис. 35), сходной с ионийской [28]. Над буквами-
числами ставился особый знак*—• , названный титло. Для обо¬
значения тысяч применялся другой знак £, который пристав¬
лялся слева от букв. Так например, Г означало 3, jf —3000
и т. п. Так можно было обозначать целые числа до 1 мил¬
лиона 2.
Старейшим арифметическим памятником Киевской Руси яв¬
ляется сочинение о календаре3, написанное на славянском языке
в 1136 году и названное «Учение им же ведати человеку числа
1 Византия (Византийская империя) — государство, возникшее в IV в.
в восточной части Римской империи. В состав Византии входили Греция,
Малая Азия, Сирия, Египет и др.
2 См. [124], т. I, ч. 1, стр. 26—28.
3 См. [33], стр. 192—195.
41
в которой большие числа обозначались и назывались как пока¬
зано на рис. 37.
Дроби в древней Руси называли долями, позднее «ломаны¬
ми числами». В старых руководствах находим следующие на¬
звания дробей на Руси:
-i-—половина, полтина,
1
— четь,
4
1
-х- — полчеть,
0
— полполчеть,
— полполполчеть (малая
О/
четь),
1
у — седьмина,
Славянская нумерация употреблялась в России, как полага¬
ют, до XVI в., лишь в этом веке в нашу страну постепенно ста¬
ла проникать десятичная позиционная система счисления 3. Она
окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
16. АЛ-ХОРЕЗМИ II ЕГО «АРИФМЕТИКА»
На территории нашей Родины, начиная с VIII века, расцве¬
тает культура и наука народов Средней Азии4. Средняя Азия
в то время входила в состав огромной империи, образовавшейся
в результате арабских завоеваний VII—VIII вв. Мусульманская
религия — ислам — и арабский язык были распространены во
всех областях нового феодального государства — арабского ха¬
лифата, названного так потому, что во главе его стояли «хали¬
фы», «преемники» основателя ислама Мухаммеда. В новом го¬
сударстве процветали ремесленное мастерство, торговля и наука.
1 См. [36], [46], [47]; [80], МШ, 1947, № 1.
2 «Десятиной» называлась и русская мера земельной площади, прибли¬
зительно равная 1,09 га, применявшаяся в нашей стране до введения метри¬
ческой системы мер.
3 В древнейшем русском юридическом сборнике XIV—XV вв., известном
под названием «Русская правда», фигурирует славянская нумерация. От
XVI в. до нас не дошла ни одна рукопись математического содержания.
В рукописях XVII в. применяется уже десятичная позиционная нумерация,
а славянская нумерация играет лишь подсобную роль. См. [125], стр. 349.
1
-д — треть,
1
g-— полтреть,
1
— полполтреть,
~ — полполполтреть (малая
треть),
1
-g- — пятина,
1 9
-jQ- — десятина г.
43
Самым большим научным центром халифата был город Баг¬
дад (ныне столица Ирака). Среднеазиатские города Самарканд,
Хорезм (ныне Ургенч), Бухара и др. тоже стали крупными куль¬
турными центрами. Многие видные ученые были родом из Хо-
резма.
Р
Л
6
f
О
с
в
л
1
о
р
А
V
h
S
9
А
£
8
’Й
10
ч
10
14
Ро
с
с
«Р
Ч
?Я
W
ы
7
?
V
?i
?я
я?
Я9
8
3
16
РЯ
ЯО
46
9
9
iS
16
яч
4*1
ьь
7?
8г
Рис. 38. Таблица умножения из книги
ал-Хорезми.
tfF
ЮО
ЮОО
if?
6 Ooo
is?9
jcoo1—
Рис. 39. Пальцевый счет.
(Из арифметики Л. Пачиоли.)
Арабы торговали со
многими странами, в том
числе с Византией и Ин¬
дией. Торговля же имела
большое значение для пе¬
редачи культурных достиг
жений. Вот почему наука
стран халифата была тес¬
но связана с греческой и
индийской наукой.
Ученые, и в первую
очередь математики Сред¬
ней Азии и Закавказья
(хорезмийцы, таджики,
узбеки, азербайджанцы и
др.), популяризировали
позиционную систему счи¬
сления, распространяли
математические знания,
заимствованные из Гре¬
ции и Индии, и обогаща¬
ли науку собственными
открытиями. В силу неко¬
торых исторических усло¬
вий многие открытия уче¬
ных стран Ближнего и
Среднего Востока стали
известны в Европе лишь
после того, как были там
заново открыты.
Известный хорезмский
математик и астроном
Мухаммед ибн Муса ал-
Хорезми (780—850), как
и все ученые стран исла¬
ма, писал свои произве¬
дения на арабском языке.
Сохранились пять сочине¬
ний ал-Хорезми, одно из
которых посвящено ариф¬
метике. Последнее дошло
до нас только в латинском переводе, восходящем к середине
XII века и начинающемся словами: «Алгоритма сказал...» Слово
«Алгоритма» — латинизированное ал-Хорезми. Ввиду того, что
арифметический труд ал-Хорезми (рис. 38), содержащий первое
на арабском языке изложение десятичной позиционной нумера¬
ции, сыграл огромную роль в распространении новой нумерации
в Европе, то по его имени стали называть «алгоризмом», «алго¬
ритмом» или «алгорифмом» новую для Европы того времени
арифметику, основанную на позиционной десятичной системе, а
ее последователей — «алгорифмиками». Слово «алгоритм» или
«алгорифм» широко употребляется в математике в настоящее
время, оно означает правило, следуя которому, можно решить
задачу определенного типа, выполняя в установленном порядке
ряд действий 1.
Решим одну задачу из «Арифметики» ал-Хорезми:
Задача 8. Найти число, зная, что если отнять от него 7з и
•/4, то получится 8.
17. АБАЦИСТЫ И АЛГОРИТМИКИ В СРЕДНЕВЕКОВОЙ ЕВРОПЕ
До XI в. в Западной Европе арифметика изучалась по книге
Никомаха (гл. 1, § 2; 11) или по сокращенной ее переработке,
сделанной римским автором Боэцием (V—VI в.) Арифметиче¬
ские действия и вычисления производились либо с помощью
пальцев рук (рис. 39, 40) либо на абаке. В X в. видный
Рис. 40. Пальцевый счет. (Из книги, напечатанной в 1522 г.)
' См. гл. 2, § 16,
45
с
X
с
©
©
Рис. 41. Абак Гербарта. Вместо
камешков — жетоны.
европейский математик, француз^-
ский монах Герберт (впоследствии
папа Сильвестр II), усовершенство¬
вал абак (рис. 41). Вместо счетных
камешков он употреблял жетоны с
надписанными на них, им же изобре¬
тенными, цифрами. Он назвал циф¬
ры «апексами» (от латинского слова
apices, имеющего несколько значе¬
ний, в том числе и «письмена»). От
них, как считают некоторые ученые,
происходят современные цифры.
Абак с апексами употреблялся лишь
в некоторых монастырских школах
и широкого распространения не на¬
шел.
Только в XII в. значительно воз¬
росло число «алгорифмиков», кото¬
рые уже не употребляли счетной доски, а пользовались новой
десятичной позиционной системой счисления и шестидесятерич¬
ными дробями. В отличие от них последователи старой школы,
«абацисты», пользовались абаком, римской нумерацией, рим¬
скими цифрами и двенадцатеричными дробями. Долго длилась
борьба между последователями обоих систем. Десятичная пози¬
ционная система счисле¬
ния не была воспринята
сразу. Абацисты, церковь
и власти ожесточенно со¬
противлялись распрост¬
ранению новой системы.
Церковь на протяже¬
нии многих веков систе¬
матически выступала про¬
тив прогресса науки и
просвещения (см. гл. 1,
§ 16), против всяких нов¬
шеств, которые сделали
бы грамоту и образование
доступными всему наро¬
ду и подрывали бы основу
веры и авторитет церков¬
ных властей.
Преимущества деся¬
тичной позиционной си¬
стемы счисления были, од¬
нако, столь велики, что
Рис. 42. Абацисты. она все больше и больше
46
вытесняла неудобную старую
римскую нумерацию. Фабричное
производство бумаги, начатое в
ХШ в., в значительной мере спо¬
собствовало исчезновению абака
и победе алгорифмиков. Однако
лишь в XVII в. новая нумерация
полностью восторжествовала в
Европе Е С тех пор и применяют¬
ся современные правила и спосо¬
бы вычисления (рис. 42, 43, 44).
18. «АРИФМЕТИКА» МАГНИЦ¬
КОГО. ЗАДАЧИ С ДРОБЯМИ
Перед нами титульный лист и
страница (рис. 45, 46) первого
русского печатного учебника ма¬
тематики 2, получившего широкое
распространение —«Арифметики»
Л. Магницкого 3. Книга эта была
издана в 1703 году.
В начале XVIII века в России
было немного образованных лю¬
дей. В 1701 году Петром I была
учреждена первая математико¬
навигационная школа4, в которой
преподавали приглашенные из-за
границы ученые. Единственным
авторитетным русским препода¬
вателем этой школы был в то вре¬
мя Леонтий Филиппович Магниц¬
кий (1669—1739), которому
Петр I и поручил составление
1 См. гл. 1, §§ 13, 14.
2 См. [28], стр. 349-361: [118],
стр. 13—26 и др.
3 Напечатанная в 1689 году в Ам¬
стердаме на русском языке краткая
арифметика И. Ф. Копиевича (или Ко-
пиевского) распространения не полу¬
чила.
4 То есть морское училище, готовив¬
шее кадры для русского флота. Навига¬
ция мореплавание, судоходство, а так¬
же наука о счислении пути судна и оп¬
ределения места судна в море.
Рис. 43. В центре — муза арифме¬
тики. Справа, в лице Пифагора,
изображен абацист, исчисляющий
«на линиях». Слева — алгорифмик,
в лице Боэция, считает «пером».
(Из книги Г. Рейша «Философская
жемчужина», напечатанной в
1503 г.)
1Гсс()пип0 miff
i>cr ©пфсп ть |gci>ern/
2lifT«llfrleY !>ant>rt)rriing gemacbt/
Ьигф ЗЬдт Kiftn.
3umanT>tm met eb«r|et)en
гпЪ ctfmcbrci.
anno n I. ©. эежхч-
Рис. 44. Титульный лист книги
А. Ризе «Счет на линиях и
пером». 1532 г.
47
/
арифметики. В те времена в русской литературе и науке употреб¬
лялся славянский язык. На нем написана и «Арифметика» Маг¬
ницкого.
Вот что пишет автор: «Арифметика или числительница есть
художество честное, независтное, всем удобопонятное, много¬
полезнейшее и многохваленнейшее...».
Тут слово «художество» употреблено в смысле «искусство».
Греческие авторы употребляли выражение «арифметике техне»,
то есть «числовое искусство» («Арифмос» — число, «Техне» —
искусство).
На рис. 46 изображен дворец науки. На престоле сидит ца¬
ревна «Арифметика», в ее правой руке символический ключ —
это ключ ко всем знаниям. Без арифметики нет доступа к дру¬
гим наукам. К познанию арифметики следует подниматься по¬
степенно по пяти ступеням: счисление, сложение, вычитание, ум¬
ножение и деление.
ртоджтодшшщ
I НИИ Д'Ьх'ШННА •
| , 't™ £ггь лрдме'ПКД \
| 'Л.«Гп-Гкл или чжлитглницл , {|ФЬ jfs'^o^cimo
g ч(«пгно( 1 Hf 3JsnrrnOf , н gefcAia оудоеопоа’тнО! ■»
| А»НОГОПОЛ(ЭяТншя п и ««MOroyei/tM'tiiuift - К
S кн'Ьнши^а *« н ncfiHmnyi i п рлзидл арлцнл
S овлШ*\1* ifUJViTifwn « rrgu/tfiL
| TfHHOf « и изложенное .
S Цмикогвсл fiTi л^4,*чтГкл пр^ктГм g
5 ^’ГЬ с^гВел .
| 1 полткл • нлн г,лжА;«м* .
» i ^^.лн'пкл лог'стик« , не ко
| TOKAIW, НОНК ДВНЖ(Н11«МНЫ^К^Ги) пртилежл^и*.
Рис. 45. Заглавный лист «Арифме¬
тики» Магницкого.
Рис. 46. Первая страница «Арифме¬
тики» Магницкого.
48
\
В «Арифметике» Магницкого обозначения листов даны
в славянской нумерации, а в тексте всюду употребляется де¬
сятичная позиционная нумерация.
По «Арифметике» Магницкого обучались многие поколения
русских людей. Великий русский ученый и поэт Михаил Василь¬
евич Ломоносов назвал «Арифметику» • Магницкого «вратами
учености» и знал ее почти всю наизусть.
В книге Магницкого много задач с разным содержанием,
много забавных задач. Решим одну из них:
Задача 9. Един человек выпьет кадь1 пития в 14 дней, а
со женою выпьет тое же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в
колико дней жена его особое выпьет тое же кадь.
Задание ученикам. Решить следующую задачу из
«Арифметики» Магницкого:
Задача 10. Некий человек нанял работника на год, обе¬
щал ему дати 12 рублев и кафтан. Но той, работав 7 месяцев,
восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин
дал ему по достоинству расчет 5 рублей и кафтан, и ведательно
есть, а коликие цены оный кафтан был.
ф ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
19. ПРОИСХОЖДЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
К десятичным дробям математики пришли в разные времена
в Азии и в Европе.
Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых
странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о
мерах). Уже во II в. до н. э. там существовала десятичная си¬
стема мер длины.
Примерно в III в. н. э. десятичный счет распространился на
меры веса и объема. Тогда и было создано понятие о десятичной
дроби, сохранившей, однако, метрологическую форму.
Вот, например, какие меры веса существовали в Китае в X в.:
1 лан = 10 цянь = 102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105 сы — 106 хо.
Если вначале десятичные дроби выступали в качестве мет¬
рологических, конкретных дробей, десятых, сотых и т. д. частей
более крупных мер, то позже они, по существу, стали все более
приобретать характер отвлеченных десятичных дробей. Целую
часть от дробной стали отделять особым иероглифом, «дянь»
1 См. гл. 1, § 12.
4 Г. И. Глейзер
49
(точка). Однако в Китае, как в
древние, так и в средние века,
десятичные дроби не имели
полной самостоятельности, ос¬
таваясь в той или иной
мере связанными с метроло¬
гией К
Более полную и системати¬
ческую трактовку получают де¬
сятичные дроби в трудах сред¬
неазиатского ученого ал-Каши
в 20-х годах XV в. Независимо
от него, в 80-х годах XVI в. де¬
сятичные дроби были «откры¬
ты» заново в Европе нидер¬
ландским математиком С. Сте-
вином.
В Средней Азии и в Европе
ученые пришли к десятичным
дробям по аналогии с шести¬
десятеричными и разработали
теорию десятичных дробей.
20. ОТ ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНЫХ К ДЕСЯТИЧНЫМ ДРОБЯМ.
АЛ-КАШИ
Шестидесятеричные дроби вавилонян (см. гл. 1, § 2) имели
следующие преимущества: 1) действия над дробями производи¬
лись по тем же правилам, как и над целыми числами; 2) осно¬
вание мер и нумерации было одно и то же — 60. Поэтому упо¬
требление шестидесятеричных дробей значительно упростило вы¬
числения при решении практических задач.
В восточноарабских государствах некоторые весовые и де¬
нежные единицы также подразделялись на шестьдесят меньших
единиц, например 1 диргем = 60 ашир 2. В связи с этим на прак¬
тике часто употреблялись шестидесятеричные доли. В астроно¬
мии, начиная с X—XI вв. 3, применялась уже более совершен¬
ная, чем древневавилонская, полная позиционная шестидесяте¬
ричная нумерация с особым значком «ъ» для нуля 4.
1 Наиболее полное развитие система дробных десятичных разрядов полу¬
чила в XIII—XIV вв. Математики этого периода извлекали корни в деся¬
тичных дробях и переводили обыкновенные дроби в десятичные, доводя
иногда вычисления до 16 десятичных знаков. Каждый разряд имел особое
название.
2 См. [38], стр. 279.
3 См. [125], стр. 225—226.
4 См. гл. 1, § 4.
Рис. 47. Остатки обсерватории Улуг¬
бека. Дуга большого радиуса, разде¬
ленная на градусы.
50
vlj/t».!' ‘ y,‘ -«* '
ч/Д) *C j •‘v*''
Pi .уД
—
fU**'
S
Л
Г*
с.
ч
Ч.
с
[♦
с
1
J
4
т
J
и
$>
к
L
«-Г
r'/r^0*
и&*У&&Ф&Ь*д*ЛУ*и1>*
5
:Е
.«L
¥
rl- У?
IT
-5К.
Z
T
ta
■a
та
nuv.
«а*'..»
BD№
nna
ann
f
1*
11
f
с,
«с
г
V-
» »
Ч_
С£ |Т
'Н "Ч
V 1 ^
s
_T_
T7
Я
S
t
*
ТГ
a.
r«
1
3
с
№
f
?
щ
$
Si
Ш
ъ
с.
к.
*
fr
I
1
с
с
1
w
1
Йй
я
1
1
I
±1
V
fc
t
r*
e
Г
ч
tt
Г
-v
Г
r*
eg
1
V
I
'U
1*5 J
*Г
1
р.
t
3F
F"
ь
X
т
и
т:
ft*
X
с-
ft
X
3G
nr
£t
ч?
X
V
111
&
%
и
й
tfc
Ё
1
X.
£
Щ
Рис. 48. Страница из «Ключа арифметики» ал-Каши.
В средние века ученые пользовались десятичной нумерацией
для вычислений с целыми числами, а шестидесятеричной — для
вычислений с дробями в астрономии и других отраслях науки.
Это породило трудности, связанные с переходом от одного осно¬
вания к другому.
Нелегко усваивались обыкновенные дроби. Вообще, дроби
считались самым трудным разделом арифметики. Поныне у нем¬
цев осталась поговорка «Попал в дроби», то есть попал в труд¬
ное положение.
Идея шестидесятеричных дробей, идея одинакового система¬
тического подразделения целого на одни и те же доли, с одной
стороны, и десятичная нумерация, с другой, привели к мысли о
десятичных дробях.
Среднеазиатский город Самарканд (ныне Узбекская ССР)
был в XV в. большим культурным центром. Там, в знаменитой
обсерватории, созданной видным астрономом Улугбеком
(рис. 47), внуком монгольского властителя Тамерлана, работал
в 20-х* годах XV в. крупный ученый того времени — Джемшид
Гиясэддин ал-Каши. Это он впервые изложил учение о десятич¬
ных дробях.
В своей книге «Ключ Арифметики» \ написанной в 1427 г.
(рис. 48), ал-Каши пишет: «Астрономы применяют дроби,
1 Ал-Каши применяет десятичные дроби до этого в своем сочинении
«Об измерении окружности» (см. гл. 3, § 6; 25).
4* 51
последовательными знаменателями которых являются 60 и его
последовательные степени... По аналогии мы ввели дроби, в
которых последовательными знаменателями являются 10 и его
последовательные степени...» !.
Ал-Каши называет сотые доли «десятичными секундами», ты¬
сячные— «десятичными терциями» и т. д. Термины эти заимст¬
вованы из шестидесятеричной нумерации. Вводя десятичные дро¬
би, ал-Каши поставил себе задачу создать простую и удобную
систему дробей, основанную на десятичной нумерации и имею¬
щую те же преимущества, которые имели для вавилонян шести¬
десятеричные дроби.
Ал-Каши излагает правила и приводит примеры действий
с десятичными дробями. Он вводит специфическую для десятич¬
ных дробей запись: целая и дробная часть пишутся в одной
строке. Для отделения первой части от дробной он не приме¬
няет запятую 2, а пишет целую часть черными чернилами, дроб¬
ную же — красными или отделяет целую часть от дробной вер¬
тикальной чертой.
1 См. [30], стр. 47.
2 Запятая вообще, как знак препинания, была введена на рубеже XV и
XVI вв. венецианским типографом Альдо Мануцци. Он же стал прилагать
к книгам оглавление.
Улугбек, С. Стевин.
62
22. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ, ИХ ЗНАЧЕ¬
НИЕ В ЖИЗНИ СОВРЕМЕННОГО ОБЩЕСТВА
С начала XVII века начинается довольно интенсивное про¬
никновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии
в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была
введена точка, которая поныне сохраняется в этой роли в США,
Англии и некоторых других странах. Запятая, как и точка, в ка¬
честве разделительного знака были предложены в 1616—1617 го¬
дах знаменитым английским математиком Джоном Непером. Де¬
сятичную запятую применял и немецкий астроном И. Кеплер 1.
Как десятичная система счисления, так и десятичные дроби
пробивали себе дорогу в упорной борьбе со старыми шестидеся¬
теричными дробями. Однако, благодаря своим большим преиму¬
ществам и достоинствам десятичной системы в целом, деся¬
тичные дроби завоевывали себе все больше места. Развитие про¬
мышленности и торговли, науки и техники требовали все более
громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей
легче было выполнить. Окончательно шестидесятеричные дроби
были вытеснены десятичными только в XVIII в. В России учение
о десятичных дробях впервые изложил в своей «Арифметике»
Леонтий Магницкий (1703). Широчайшее применение десятич¬
ные дроби получили в XIX в., после введения тесно связанной
с ними метрической системы мер и весов.
В сельском хозяйстве и промышленности нашей страны, в
науке и во всех отраслях народного хозяйства десятичные дроби
и частный их вид, проценты, применяются намного чаще, чем
обыкновенные дроби.
23. ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА
В строительстве сооружений древности — пирамид, дворцов
и храмов — применялись плиты и кирпичи, имеющие грани в
виде треугольника, четырехугольника, квадрата и некоторых
других фигур. С этими же фигурами человек встречался при ме¬
жевании и измерении земельных участков. Знакомясь с раз¬
ными геометрическими фигурами, люди стали подмечать и их
общие свойства. Так постепенно начала складываться геомет¬
рия— наука о геометрических фигурах. Геометрия достигла
высокого развития в древней Греции в школе Пифагора (VI—
V вв. до н. э.)2.
t
1 Впервые десятичная запятая встречается в 1592 г. в сочинениях италь¬
янского астронома Дж. Маджини (1555—1617), десятичная же точка —
в 1593 г. в трудах немецкого математика Хр. Клавиуса (1537—1612) См.
[125], стр. 356.
2 Пп. 23—27 рекомендуется сочетать с включенными в программу геоме¬
трическими сведениями.
S4
Пифагор и его ученики развивали не только геометрию, но
и арифметику, причем их учение о числах тесно переплеталось
с учением о геометрических фигурах. Пифагорейцы составляли
из костяшек или камешков различные фигуры, изображали числа
в виде точек, группируемых в геометрические фигуры (рис. 50).
Такое представление чисел облегчало пифагорейцам (еще рань¬
ше— вавилонянам) изучать свойства чисел. Числа, которые
возможно представить с помощью геометрических фигур, полу¬
чили в дальнейшем название фигурных. Фигурные числа встре¬
чаются не только у пифагорейцев, но и у других греческих
ученых: Эратосфена (III—II в. до н. э.), Никомаха (I—II в.),
Диофанта (III в.) и др. Фигурными числами занимались так¬
же индийские математики.
24. ТРЕУГОЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Простейшими из фигурных чисел являются треугольные
числа:
1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; ... (1)
На рис. 51 эти числа изображены количеством точек на сторо¬
нах треугольника. В равностороннем треугольнике ЛВС, сторона
которого равна 1, сумма всех сторон (периметр) равна трем, об
этом говорят три точки, размещенные в вершинах треугольника.
Удлинив стороны АВ и Л С в два, три, четыре и т. д. раза и со¬
единив концы сторон, получим новые равносторонние треуголь¬
ники с периметрами соответственно равными 6 (шесть точек),
10 (десять точек) и т. д.
Последовательность треугольных чисел можно легко соста¬
вить следующим образом: из ряда натуральных чисел
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; ...
берем первое число 1, затем сумму первых двух (1+2 = 3), сумму
первых трех (1 +2 + 3 = 6), четырех (1 +2 + 3 + 4= 10) чи¬
сел и т. д.
Задание ученикам. Написать первые 15 треугольных
чисел и начертить соответствующие треугольники.
25. КВАДРАТНЫЕ ЧИСЛА. ФОРМУЛА ДИОФАНТА
Квадратными называются числа ряда:
1; 4; 9; 25; 36; ...
то есть квадраты натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6... Таким
образом п-е число в ряду квадратных чисел есть п2.
На рис. 52 количество точек изображает число единичных
квадратов, содержащихся в разных других квадратах, то есть
55
•••
• •
• •
/Зб
•• ,0' •••
4 •••
••••
• ••15.
« • ©••/
••••• ••••
• ••
• •••
••••
• ••• J
Рис. 50. Фигурные числа.
1
С
Е
F
•
•
•
. D.
•
•
•
F.
К
соответствующую площадь. Вы¬
ше было указано, что ряд тре¬
угольных чисел получается путем
последовательного суммирования
чисел натурального ряда. Ана¬
логично можно получить ряд
квадратных чисел из ряда нечет¬
ных чисел, 1, 3, 5, 7, 9, И, 13, 15,
17, 19, 21... Действительно, 1 +
+ 3 = 4, 1+3 + 5 = 9, 1+3 +
+ 5 + 7 = 16, и т. д.
Один из видных древнегрече¬
ских математиков, Диофант,
живший в III в. н. э., нашел
формулу, связывающую треу¬
гольные числа с квадратными.
Если обозначить любое треуголь¬
ное число буквой Г, то 8Г + 1
будет некоторым квадратным
числом К-
Пример: умножая треуголь¬
ное число 6 на 8 и складывая
произведение 48 с 1, получаем чис¬
ло 49, являющееся квадратным 1.
Задание ученикам. За¬
дача 11. Проверить формулу
Диофанта на первых 8 треуголь¬
ных и квадратных числах
(/<_ 1 = 8 Т).
26. МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
В одной из древних рукопи¬
сей II тысячелетия до н. э. по¬
мещена фигура, изображенная
на рис. 53. Это — старейший
так называемый магический
(■волшебный) квадрат. Черными
точками тут представлены чет¬
ные числа, называвшиеся в то
■время «женскими», кружоч¬
ками — нечетные, «мужские»
числа. Вот как выглядит
этот квадрат в современной за-
Рис. 52. Квадратные числа.
1 Подробнее о фигурных числах см,
[28], стр. 156—161, [114], стр. 86-89.
56
писи (рис. 54). Как видно, в нем
первые 9 натуральных чисел так
расположены, что сумма чисел
по строкам, столбцам и диаго¬
налям одна и та же. Это — основ¬
ное свойство всякого магиче¬
ского квадрата. В древнем
магическом квадрате сумма
равна 15. В другом древнеин¬
дийском магическом квадрате
(рис. 55) I в. н. э. сумма равна 34.
Кроме основного, можно заме¬
тить и другие свойства этого ма¬
гического квадрата: сумма угло¬
вых чисел (1; 4; 16; 13) тоже
равна 34; в каждом столбце
имеется два рядом стоящих чис-
. л а, сумма которых 13 или 21 и т. д.
В далеком прошлом отсталые
суеверные люди считали все эти
необычные свойства таинственны¬
ми. Отсюда произошло название
«магические», «волшебные» квад¬
раты *.
Через посредничество арабов
магические квадраты проникли5
из Индии в Европу. Так как они
представляют известный интерес
в науке о числе, ими занимались
видные ученые. Среди послед¬
них был и знаменитый француз¬
ский математик XVII века Пьер
Ферма.
27. МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ
А. ДЮРЕРА. ГРАВЮРА
«МЕЛАНХОЛИЯ»
Бл-агодаря своим замечатель¬
ным свойствам магические квад¬
раты привлекали в прошлом вни¬
мание не только ученых, но и
1 Подробнее о магических квадратах
см. Б. А. К о р д е м с к и й, Математиче¬
ская смекалка, изд. 2, ГИТТЛ, М., 1955,
стр. 260—295.
ооооооооо
Рис. 53. Девятиклеточный ста¬
ринный магический квадрат.
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Рис. 54. Современный
вид девятиклеточного
магического квадрата.
1
14
15
4
12
7
6
9
8
11
10
5
‘ 13
2
3
16
Рис. 55. Древнеиндийский ма¬
гический квадрат.
57
Рис. 56. Магический квадрат А. Дюрера. «Меланхолия».
-»г
художников. На одной из лучших своих гравюр на меди, на¬
званной «Меланхолия» (рис. 56), выдающийся немецкий ху¬
дожник XVI в. Альбрехт Дюрер воспроизвел несколько изме¬
ненный староиндийский 16-клеточный магический квадрат. На
последней строке квадрата стоят рядом две цифры 15 и 14, со¬
ставляющие число 1514. Это год, в котором было создано глу¬
бокое по мысли произведение искусства Дюрера.
Слово «меланхолия» обычно означает «тоска», «печаль»,
однако на гравюре Дюрера изображено не просто состояние пе¬
чали, а вечное стремление человека распознать тайны вселен¬
ной, несмотря на трудности и тяжелые испытания на пути к ис¬
тине... Крылатая женщина с циркулем в руке размышляет над
трудной задачей. Она грустна: не находит решения.
28. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ. ОТ НАТУРАЛЬНЫХ
И ДРОБНЫМ ЧИСЛАМ
Еще задолго до того, как люди узнали о бесконечности на¬
турального ряда, они в труде прокладывали пути к новым чис¬
лам отличным от натуральных, к дробным К Дроби нужны были
при измерении величин и при делении целого между различны¬
ми лицами (см. гл. 1, § 2; 8).
Люди на практике открывали связи между числами и уста¬
навливали правила действий над ними. И если первоначально
под «числами» понимались только натуральные, целые числа,
то с введением дробей понятие числа развилось, стало более
широким. Дробные числа подчиняются тем же законам, что и
целые: переместительному, сочетательному, распределитель¬
ному. Всякое натуральное число является частным видом дроб¬
ного числа. Например, число 5 можно представить как у;
или 5,0 и т. п. Нуль также можно рассматривать как дробное
число у; у и т. п. Это значит, что множество дробных чисел
включает в себя и все целые числа. Благодаря расширению по¬
нятия числа мы получили возможность делить целое число на
любое другое целое число, за исключением нуля.
Итак, расширение понятия числа, переход от натуральных
к дробным числам отвечает практическим потребностям изме¬
рения -и деления целого на части и теоретическим потребностям
деления любых целых чисел.
В шестом и старших классах мы узнаем о том, что расшире¬
ние понятия числа не останавливается на дробных числах. Мы
изучим новые виды чисел: положительные, отрицательные и дру¬
гие (действительные и комплексные).
1 См. [1], стр. ю—20.
59
©СОВМЕСТНЫЕ ДЕЙСТВИЯ НАД
ОБЫКНОВЕННЫМИ И ДЕСЯТИЧНЫМИ!
ДРОБЯМИ. ОТНОШЕНИЕ ВЕЛИЧИН.
ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЛИЧИН
29. О ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДРОБЯХ
При вычислениях с обыкновенными дробями часто оказы¬
вается целесообразным выразить их десятичными дробями, так
как арифметические действия над последними выполнять проще.
Обращением обыкновенных дробей в десятичные занимались
еще в XVII в. итальянский математик Бонавентура Кавальери,
английский математик Джон Валлис и другие. Эти ученые
встретились с периодическими дробями, связанными с процес¬
сом бесконечного деления. В XVIII в. периодические дроби изу¬
чались также немецким ученым Иоганном Ламбертом (1728—
1777) и Леонардом Эйлером. Полная теория периодических дро¬
бей была разработана в начале XIX в. немецким математиком
Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855).
Термин «период» для бесконечно повторяющейся группы
цифр происходит от греческого слова «периодос» — обход, вра¬
щение по окружности.
А. Дюрер. Автопортрет.
60
П. Ферма.
Рис. 57. Отрывок древнеегипетского инвентаря королевских
стад. Сверху число 223 000, снизу — 232 413. (Надпись на моги¬
ле фараона.)
30. ДРЕВНЕЕГИПЕТСКАЯ ЗАДАЧА С ДРОБЯМИ
Решим следующую задачу из «папируса Ахмеса» (рис. 24, 57).
Задача 12. «Приходит пастух с 70 быками. Его спраши¬
вают:
— Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?
Пастух отвечает:
— Я привожу две трети от трети скота. Сочти!»
(Узнать, сколько быков было во всем стаде).
31. из ИСТОРИИ нуля
При записи десятичной дроби мы часто прибегаем к риф-*
ре 0. Происхождение, название и знак нуля имеют интересную
историю.
В любой абсолютной позиционной нумерации требуется в
случае необходимости знак, выражающий отсутствие разряда
в числе. Еще в древнем Вавилоне, где впервые была развита
шестидесятеричная позиционная нумерация, появился примерно
в V в. до н. э. значок1 для отделения десятичных, а позже и
1 См. [25], стр. 393—420; [108], стр. 12.
61
шестидесятеричных разрядов (см. гл. 1, § 2; 10), который, одна¬
ко, систематически не применялся К
Греческие астрономы, которые пользовались шестидесятерич-
кыми дробями, ввели для разделения разрядов особый знак,
имеющий форму буквы 0 (омикрон, первая буква в греческом
слове «онден», означающем «ничего»). В VII в. в древней Ин¬
дии уже употреблялась десятичная позиционная система счи¬
сления и вместе с ней систематически применялся нуль, кото¬
рый обозначали точкой, а также кружочком. Некоторые ученые
считают, что кружочек для нуля введен греками.
Нуль индийцы называли «сунья», что означало «пустое», в
смысле отсутствия разряда в числе. Арабы, от которых евро¬
пейцы переняли десятичную позиционную систему счисления, пе¬
ревели индийское «сунья» арабским словом «ас-сифр». Вот по¬
чему до XVII в. нуль называли «цифрой». Так его называет и
Магницкий в своей «Арифметике». Для европейцев индийская
арифметика и, в частности, нуль считались вначале какой-то
тайной. Поэтому стали давать наименование «цифр» или
«шифр» всякой тайнописи.
Слово «нуль» происходит от латинского слова «Nullus», озна¬
чающего «никакая» (значащая цифра).
В настоящее время нуль это не просто знак для отделения
разрядов, а число, которое можно складывать, вычитать, умно¬
жать и делить, как и другие числа. Единственное ограничение —
делить на нуль нельзя.
32, ОБ ИЗМЕРЕНИИ ЗЕМНОГО МЕРИДИАНА ЭРАТОСФЕНОМ
Одна из первых попыток измерения земного меридиана была
предпринята задолго до Дел амбра и Мешена (гл. 1, § 1; 7)
древнегреческим ученым Эратосфеном (III в. до н. э.), авто¬
ром «решета» для нахождения простых чисел (§ 1; 5).
Эратосфен измерил расстояние между двумя египетскими го¬
родами, Александрией и Сиеной, лежащими почти на одном ме¬
ридиане, и нашел его равным 5000 стадий (греческий стадий
был равен приблизительно 192 м). Затем он установил, что во
время летнего солнцестояния, когда в Сиене Солнце стоит как
раз в зените, оно в Александрии отклоняется на всего ме¬
ридиана. Отсюда он вывел, что длина всего меридиана равна
5000 X 50, то есть 250 000 стадий.
Задача 13. Узнать, на сколько метров и на сколько про¬
центов ошибся Эратосфен, если принять верной длину меридиа¬
на, найденную Деламбром и Мешеном 2.
1 Возможно потому, что в шестидесятеричной нумерации числа с отсут¬
ствующими разрядами встречаются реже, чем в десятеричной системе.
2 Более подробные сведения об измерениях меридиана см. гл. 3, § 19.
62
83*. ОТ ЭМПИРИЧЕСКОЙ К ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ АРИФМЕТИКЕ
Опытные данные, полученные людьми в ходе их трудовой
деятельности, постепенно обобщались. Найденные на практике
связи между числами, отдельные арифметические правила, все
накопленные знания постепенно приводились в систему. Уста¬
навливались общие правила действий над числами, создавалась
теория арифметики. И если в далеком прошлом арифметика
была лишь собранием отдельных правил счета и приемов для
решения некоторых практических задач, была эмпирической, т. е.
опытной, практической, то уже в древней Греции, наряду с прак¬
тической арифметикой («логистикой»), заметно развивается тео¬
ретическая арифметика. Так, Пифагор и его ученики изучают
общие свойства натуральных чисел и классифицируют их на
четные и нечетные, простые и составные, совершенные, друже¬
ственные и др. (гл. 1, § 10). Евклид доказывает, что имеется
бесчисленное множество простых чисел, Архимед расширяет уст¬
ную и письменную нумерацию и т. п.
Школьная арифметика является учением о действиях над
натуральными и дробными числами. Как наука арифметика в
настоящее время охватывает учение не только о числах рацио¬
нальных, но и действительных и мнимых1. Учение же о свой¬
ствах и законах, справедливых только для целых чисел, состав¬
ляет отдельную ветвь математики и называется «теорией чи¬
сел».
Греческие математики дали первые доказательства некото¬
рых свойств, относящихся к целым числам. В «Началах» Евкли¬
да 2 систематически изложены основы теории делимости. Для
развития теории чисел большое значение имела «Арифметика»
Диофанта и работы индийских ученых 3. В новое время расцвет
теории чисел начался в XVII веке с работ П. Ферма. Величай¬
шие математики XVIII века JI. Эйлер и -Ж- Л. Лагранж зна¬
чительно продвинули вперед учение о целых числах. Особенно
большое значение для развития теории чисел имели работы ве¬
личайшего немецкого математика К. Ф. Гаусса. Большие за¬
слуги в развитии теории чисел принадлежат русским и совет¬
ским ученым П. Л. Чебышеву (1821—1894). Ё. И. Золотареву
(1847—1878), А. А. Маркову (1856—1922), Л. Г. Шнирельману
(1905—1938), И. М. Виноградову, А. О. Гельфонду, Б. Н. Де¬
лоне и другим.
\ См., например, БСЭ или МСЭ, «Арифметика», «Теория чисел».
См. гл. 3, § 1.
3 См. [125], стр. 143—149.
63
VI is л а с с
ф ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
84. О ПРОИСХОЖДЕНИИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ
Арифметика родилась из практических нужд человека, из
необходимости считать предметы, измерять величины. Числа, по¬
лучаемые в результате измерения, — всегда приближенные. Это
объясняется главным образом следующими двумя обстоятель¬
ствами: а) измерительные инструменты никогда не бывают со¬
всем точными и б) при различных измерениях на практике все¬
гда допускаются те или иные неточности. Различные измерения
длины пути или взвешивания тела дают очень близкие друг дру¬
гу, но не одинаковые результаты.
Все геодезические измерения, относящиеся к площади по¬
верхности и объему Земли, как бы тщательно они ни произво¬
дились, выражаются приближенными числами. То же имеет ме¬
сто в точнейших измерениях современной физики и астрономии.
Так, например, астрономы установили, что расстояние до наибо¬
лее далеких галактик—грандиозных звездных систем, доступ¬
ных для наблюдения современными телескопами — составляет
около 3- 1022 км или три миллиарда световых лет. Конечно, это
число приближенное.
Во многих случаях и счет предметов приводит к приближен¬
ным числам, например, когда речь идет об определении числа
деревьев в лесу или числа жителей большого города.
При составлении планов развития народного хозяйства на¬
шей страны в любой отрасли сельского хозяйства и промышлен¬
ности, в науке и технике мы пользуемся приближенными чи¬
слами. Поэтому приближенные вычисления имеют особенно
важное значение в настоящее время.
35. «ПРАВИЛО А. Н. КРЫЛОВА»
Рассмотрение математических задач, решавшихся в древнем
Египте и Вавилоне, показывает, что еще в глубокой древности
возникли некоторые приемы приближенных вычислений. Под
влиянием запросов техники в настоящее время разработаны
разные методы приближенных вычислений.
Большие заслуги в развитии теории приближенных вычисле¬
ний имеет академик Алексей Николаевич Крылов (1863—1945).
Для того чтобы в приближенных вычислениях можно было
бы из самой записи приближенного числа судить о степени его
точности, Крылов предложил следующее правило: «Приближен¬
ное число следует записать так, чтобы все цифры, кроме послед¬
ней, были бы надежными», то есть верными.
64
Пример: Записывая 142,35, мы должны быть уверенными
в том, что абсолютно верна не только целая часть дроби, но и
три десятых. Сомнительным может быть только число сотых — 5.
А. Н. Крылов был не только видным математиком, но и
выдающимся механиком-кораблестроителем, сделавшим ряд
важнейших технических открытий. Он отличался большим уме¬
нием применять математическую теорию к решению практиче¬
ских и технических задач.
За большие заслуги в деле развития отечественной матема¬
тики и советского кораблестроения А. Н. Крылов был награ¬
жден тремя орденами Ленина и ему было присвоено звание
Героя Социалистического Труда1.
ПРОЦЕНТЫ
36. ПРОЦЕНТЫ В ПРОШЛОМ И В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ
Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum,
что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами
очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают
части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает
1 См. А. Н. Крылов, Собрание трудов, тт. I—XII, 1936—1956. В XI томе,
ч. I помещен «Очерк жизни и деятельности А. Н. Крылова» В. Смирнова
и др.
возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между
собой и с целым. Идея выражения частей целого постоянно в
одних и тех же долях, вызванная практическими соображения¬
ми, родилась еще в древности 1 у вавилонян, которые пользова¬
лись шестидесятеричными дробями (гл. 1, § 2; 10, §' 3; 20). Про¬
центы были особенно распространены в древнем Риме. Римляне
называли процентами деньги, которые платил должник заимо¬
давцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к дру¬
гим народам Европы.
Долгое время под процентами понимались исключительно
прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись
только в торговых и денежных сделках. Затем область их при¬
менения расширяется, проценты встречаются в хозяйственных и
финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне про¬
цент— это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого
(принимаемого за единицу).
В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие,
тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского
pro mille — «с тысячи»), обозначаемые %0, по аналогии со зна¬
ком процента %. Однако на практике, в большинстве случаев,
«тысячные» — слишком мелкие доли, десятые же доли слишком
крупные. Поэтому больше всего удобны сотые доли, проценты.
В нашей стране ими пользуются при составлении и учете выпол¬
нения производственных планов в промышленности и сельском
хозяйстве при разных денежных расчетах.
37. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗНАКИ И ОБОЗНАЧЕНИЯ.
ЗНАК ПРОЦЕНТА
Цифры, знаки обозначения арифметических действий и дру¬
гие математические символы вырабатывались людьми постепен¬
но на протяжении веков в тесной связи с развитием самой ариф¬
метики. Большинство их образовалось из рисунков, чертежей,
букв и сокращенных слов.
Отдельные знаки для некоторых математических понятий по¬
явились еще в древности. Однако до XV в. почти не было по¬
стоянных общепринятых арифметических знаков. В XV—XVI вв.
употреблялись для знака сложения — латинская буква р (пер¬
вая в слове plus, означающем более), для вычитания — буква
m (первая в слове minus — менее). Для сложения употребля¬
лось также латинское слово et (означающее «и»), которое, как
полагают, в скорописи постепенно превратилось в знак + 2. Зна-
1 Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, од¬
нако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».
2 Происхождение знаков + и — точно не известно. Некоторые ученые
считают, что они происходят из торговой средневековой практики от услов¬
ных знаков, которые делались на ящиках с товарами, чтобы отметить избы¬
ток или недостаток первоначального веса.
€6
ки + и — встречаются уже
в начале 80-х годов XV в. в
рукописях, но в печати
впервые появляются в ариф¬
метике Видмана1 (рис. 58).
В XVII в. «минус» обознача¬
ли и знаком -г-, возможно
для того, чтобы не смешать
знак минус со знаком пре¬
пинания (тире). Знак -ь
встречается и в «Арифмети¬
ке» Л. Ф. Магницкого.
Знак умножения X вве¬
ден в 1631 г. английским
математиком Вильямом
Оутредом (1574—1660). Точ¬
кой для обозначения умно¬
жения систематически поль¬
зовался знаменитый немец¬
кий математик XVII в. Гот¬
фрид Вильгельм Лейбниц
(1646—1716) 2. Он же при¬
менял двоеточие для обозна¬
чения действия деления 3.
Знак = был введен анг¬
лийским врачом Робертом
Рекордом в 1557 г.
Знак % происходит, как
9%
4 + ?
4 1 > fercoberbepgley#
3 + Зо djen/eofutmer
4 * $ bieaptictncrvnb
3 + 44 tttnmb nweeufl
3 -f- гг —ifi/baetfi rnU
Zctltner 3——»» tt> miebjfasfojQit*
3 -f" fb bertmnb toerbcit
4 4*39&
3 —b 44 bubt'ejmbtner
3 + *9 зб й> gemadKtc
3 —*~~'1 i Mitmnbbae /
3 + P *f bee tfi mecr
bar}u21bbiere(t3onO*9mwia6. Пип
folcbufifr §о!даЬ|сЫ<фсп allatecg foe
amlegel 2.4 tb • TOnb baeijl 13 ntal2.4»
vnbmad)t3 12 ftbar}6abbtcrbae —*
beet'll > <7 it)tmbtt>erben38?. jbycfug*
tvafyier »on 4? 3 p.tJnb Bleyben 4»4 z
tfc.tTInnfpmb 100 tt> baetfl cin$cmmv
pto 4 ff ~ wit fame» 4К * tt wib fuml
• > 1 s’ 0 4^e((cr|Vntfi гефс gmacbb
Mb _
Рис. 58. Страница из «Арифметики»
Видмана, первая книга, в которой
встречаются знаки -(-и —.
полагают, от итальянского
слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писа¬
лось сокращенно cto. Отсюда, путем дальнейшего упрощения в
скорописи буквы t в наклонную черту, произошел современный
символ для обозначения процента.
Арифметические знаки входили во всеобщее употребление
медленно. Современные знаки действий и равенства стали обще¬
принятыми лишь в конце XVII в.
Изобретение математических знаков и символов значительно
облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему
ее развитию 4.
1 Ян Видман — уроженец Чехии — был студентом университета в Лейп¬
циге (ГДР), где в 1489 г. вышла его арифметика, названная «Быстрый и кра¬
сивый счет для всего купечества». См. [125], стр. 411.
2 До этого точка в качестве знака умножения появляется у Региомон¬
тана (XV в.), затем в 1631 г. у Томаса Гарриота.
3 Впервые двоеточие для деления встречается в 1633 г. у Джонсона.
В Англии и США до сих пор применяется иногда для деления знак -f-,
Который ввел Джон Пелль (1610—1685). '
4 См. [28], стр. 213—217 [45].
67
38. OB АРИФМЕТИ‘IEСБИХ ТАБЛИЦАХ
Широко применяются в наше время таблицы для вычисления
процентов. Они составляются для облегчения вычислений и эко¬
номии времени. Возникновение арифметических таблиц как
вспомогательных средств вычислений уходит в глубокую древ¬
ность. Примерно 4000 лет назад египтяне, у которых вычисления
с дробями были очень сложными, составляли таблицы для вы¬
ражения дробей через суммы основных дробей. Древние ва¬
вилоняне составляли таблицы квадратов и кубов чисел, а также
обратных чисел и другие К Этими таблицами пользовались
писцы при выполнении арифметических операций.
Древнее происхождение имеют также таблицы умножения.
Ими пользовались вавилоняне, греки, римляне и другие наро¬
ды. Наиболее ранняя дошедшая до нас таблица умножения от
1X1 до 10 X 10 содержится в «Арифметике» греческого. мате¬
матика Никомаха из Геразы (I—II в.). Она представлена в виде
квадрата, где каждая сторона имеет одинаковый с ней столбец.
Эта таблица передавалась от народа к народу, из поколения в
поколение и поныне употребляется в наших школах. Знание ее
всегда считалось необходимым для каждого ученика, в средние
века она получила название «Пифагоровой», хотя и была на¬
верно известна задолго до Пифагора.
До введения десятичной позиционной системы счисления она
употреблялась только для нахождения произведения малых чи¬
сел. Заучивание и запоминание ее приобрело большое значение
лишь с всеобщим распространением десятичной позиционной си-
X- •
% С
11> л
2 •
♦ г
• ^ О
.
* •
«*!•
• >х
$ •
♦ ч •
Х| г
4- >
• >•
. £«М •
С .
*
+ 1
<г«
> •
я\ •
гм
• 9«
X 1 f •
% •
4- ч •
74-4
4. о
1 >х«
1 -
4-7 •
4-2
* 2 0
*
1# •
+ i •
х о
« • о
Рис. 59.
Отрывок
таблицы умножения из
рукописи,
относящийся
к середине XV в.
1 См. [109], стр. 30—34, 57—62,
68
отношениями можно производить все действия, которые произ¬
водятся над целыми числами 1.
Явно новое определение числа было дано впервые в XVII в.
гениальным английским ученым Исааком Ньютоном. В своей
«Всеобщей арифметике» он писал: «Под числом мы понимаем
не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение
какой-нибудь величины к другой величине того же рода, приня¬
той нами за единицу» 2.
Это определение включает как целые, так и дробные числа 3.
40. ПРОПОРЦИИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ
Слово пропорция происходит от латинского proportio, озна¬
чающего вообще соразмерность, определенное соотношение ча¬
стей между собой. В древности учение о пропорциях было в
большом почете у пифагорейцев. С пропорциями они связывали
мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в
музыке и гармонии во вселенной. Некоторые виды пропорций
они поэтому называли «музыкальными» и «гармоническими»4.
В IV в. до н. э. общая теория пропорций для любых величин
(соизмеримых и несоизмеримых) была создана трудами древне¬
греческих ученых, среди которых выдающееся место занимали
Теэтет и Евдокс. Эта теория подробно изложена в V книге «На¬
чал» Евклида.
В VII книге «Начал» изложена теория отношений и пропор¬
ций для целых чисел (и соизмеримых величин) 5.
Из пропорции
a:b = c : d
Евклид6 «выводит следующие производные пропорции:
b : a —d : с (а + b): b = (с -f- d): d
а: с —b d (а — b)'.b — {c — d): d
a: (a — b) = с : {с — d).
В 19-м предложении VII книги Евклид доказывает основное
свойство пропорции: произведение крайних членов равно произ¬
ведению средних членов. Пропорциями пользовались для реше¬
ния разных задач еще в древности и в средние века. Опреде¬
ленные типы задач легко и быстро решаются и теперь при по¬
мощи пропорций.
1 См. [78], [99], [125], стр. 241—246
2 См. также гл. 3, § 7.
3 И действительные числа.
4 См. [28], стр. 314—318; [114], стр. 89—91.
5 См. [31].
6 Этой современной записи Евклид, конечно, не знал. (См. гл. 1,
§ 7; 44).
70
Пропорции и пропорциональность применяются и применя¬
лись не только в математике, но и в архитектуре, искусстве.
Пропорциональность в архитектуре и искусстве означает соблю¬
дение определенных соотношений между размерами разных ча¬
стей здания, фигуры, скульптуры или другого произведения.
Пропорциональность в таких случаях является условием пра¬
вильного, наглядного и красивого построения или изображения.
41. КАК ЗАПИСЫВАЛИ ПРОПОРЦИИ В ПРОШЛОМ
До XVI в. пропорции записывались большей частью словес¬
но, полностью или сокращенно. Были сделаны разные попытки
введения специального обозначения для пропорций.
Так, в одной индийской рукописи XII в. пропорция
1и * 60 ~4 • 150
записывалась следующим образом:
10
163
4
163
1
60
1
150
Средневековые математики стран ислама, писавшие на араб¬
ском языке справа налево, применяли для отделения пропорции
троеточие, например:
144 . •. 84 . •. 12 . ■. 7,
вместо нашей записи 7:12 =
= 84 : 144.
Выдающийся французский ма¬
тематик XVII в. Рене Декарт
записывал эту же пропорцию
так:
7 | 12 | 84 | 144.
Некоторые английские мате¬
матики поныне пользуются одной
старой записью, введенной еще в
1631 г. Оутредом: a-6::c*d.
Современная запись с по¬
мощью двоеточия и знака равен¬
ства была введена Г. В. Лейбни¬
цем в 1693 г.
Г. В. Лейбниц.
71
42. О ТРОЙНОМ ПРАВИЛЕ
Задачи с пропорциональными величинами раньше называ¬
лись, а иногда и теперь называются, задачами на «тройное пра¬
вило», так как в них по трем данным числам находится четвер¬
тое неизвестное, четвертое пропорциональное.
Тройное правило рассматривается в трудах индийских ученых
Ариабхатты (V в.). Брахмагупты (VII в.), Сриддхары (XI в.),
Бхаскары (XII в.) и др. Само название «тройное пра¬
вило»— индийского происхождения1. В Европу это правило про¬
никло благодаря трудам ал-Хорезми и Леонардо Фибоначчи
(XII в.). Начиная с XVI в., когда торговля стала широко разви¬
ваться, тройное правило получило большую известность. Его
считали самым полезным арифметическим правилом для ком¬
мерции и житейской практики и называли «золотым правилом»,
а также «ключом купцов». Ему уделялось большое внимание и
в школах.
В средневековой школе господствовали схоластические,
догматические методы учения. Так, при решении задач с про¬
порциональными величинами ученики механически применяли
зазубренное тройное правило: «Перемножь два числа, а полу¬
ченное произведение дели на третье данное число». Поэтому
учащиеся часто встречали затруднения при решении разных
типов задач, уставали от зубрежки, арифметика им казалась
трудной и неинтересной.
Вот какие стихи сочиняли ученики:
«Умножение — мое мучение,
И с делением тоже беда,
Тройное правило — камень преткновения,
А арифметика сводит меня с ума...»
Те времена давно ушли навсегда! Не только умножение и
деление, но и «тройное правило» — вопросы нетрудные для уче¬
ников, которые стараются понять правило, самостоятельно разо¬
брать содержание задач и сознательно их решить.
43. ЗАДАЧА НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ
ИЗ «АРИФМЕТИКИ» Л. Ф. МАГНИЦКОГО
Сложное тройное правило в прошлом часто применялось при
решении задач на деление завещанного имущества между на¬
следниками.
Решим одну такую задачу из «Арифметики» Магницкого:
Задача 14. «Некто оставил в наследство жене, дочери и
трем сыновьям 48000 рублей и завещал жене -g всей суммы, а
1 См. [28], стр. 319.
72
каждому из сыновей вдвое больше, чем дочери. Сколько доста¬
лось каждому из наследников?»
Ответ: 6000; 6000; по 12000.
А вот как изложено решение этой задачи у Магницкого;
«Зри: 48000
48000 первому 2
6 000 второму 2
42 000 третьему 2
дочери 1
Всем детям: 7
j 6000 жене
2 12 000 )
2 12000 } сыновьям
I
42000 2 12000 J
1 6000} дочери».
44. О ТОМ, КАК ДОШЛИ ЛЮДИ ДО НАСТОЯЩЕЙ
АРИФМЕТИКИ
Понятие о числе — одно из основных понятий математики1.
Древнейшая наука, учение о числах — арифметика (рис. 62,
63), — была создана не в одной какой-либо стране и не одним
человеком, а родилась из практики, из трудовой деятельности
всего человечества. На протяжении тысячелетий все страны и
народы вносили свой вклад в развитие арифметики.
На одной из ранних стадий развития культуры египтяне вве¬
ли арифметические таблицы, как вспомогательное средство
вычисления. Вавилоняне пошли дальше египтян. Они создали
первую в мире позиционную систему счисления — шестидесяте¬
ричную. Велики заслуги народов древней Индии в развитии
арифметики. Современные цифры—индийского происхождения.
В Индии в V—VII вв. была введена впервые десятичная пози¬
ционная система счисления (с применением нуля), которой и по¬
ныне пользуется весь мир.
Древние греки первоначально заимствовали математические
знания из Египта и Вавилона. Хотя характер этих знаний был
преимущественно практическим, в них содержались и некоторые
зачатки теории2. В процессе развития культуры и в связи с обще¬
ственно-экономическими условиями в древней Греции в VII—■
IV вв. до н. э. эмпирические знания по арифметике дополняются,
обобщаются и систематизируются. О большом значении, кото¬
рое получила в древней Греции арифметика, можно судить и
по мифу о Прометее, имя которого связывается с появлением
1 П. 44 предназначается для итогового урока по арифметике. Из мате¬
риала, изложенного здесь, в пп. 28, 33 и др., учитель использует то, что
сочтет более важным и интересным для намеченного обзора.
См. [114], стр. 69—74.
73
Китайские
Цифры
Кхарош-
ти
4
Цифры
пещер-
НО 1
надписи
Назик
5
Цифры
ацтеков
6
Цифры
племени
Майя
7
Старые
1
Коммер¬
ческие
2
Научные
3
0
О
О
1
—
I
1
1
—
•
•
2
11
II
II
—
• •
• •
3
m
III
III
ЕЕ
•
• •
• ••
4
т
A
1111
X
• •
• •
• • в •
5
JL
4
IIIII
IX
•
• •
• •
6
S's
2L
т
их
!:1*
•
7
-t
Д.
тг
7
• •
8
Я
-Z.
ттг
XX
• • •
9
ft
тпг
з-
• • • •
10
t
t
ю
?
сх:о<
о
п
15
t
n
к
%
11
v • •
1
20
T
M
+
по
3
в
IP
30
T
Pi
+
ню
Ро
40
0
r
t
НПО
ъ
рр
50
31
■r
%
t
IIIIIO
733
РРО
60
Ju
1-
X
t
то
333
ррр
70
-b
t
X
t
тго
? 333
а
ррро
80
я
t
f
7ТТО
рррр
90
к
t
+
жо
РРРРо
100
6
ъ
юо
XI
1
J
200
LI
11
в
IIOO
til
У
1
400
El
El
Д
В
IIIIOO
4
500
e
ъ
в
IIIIIOO
УЬ
У
1000
r
+
юоо
7
Hi
8000
A
t
+
ттгооо
95
#
10000
,4\
Т)
юооо
Гис. 62. Числовые знаки разных народов.
Египетские
Ассиро-
- Вави¬
лонские
4
Фини¬
кийские
6
Сирий¬
ские
6
Пальмир-
ские
7
Греческие
Г ероди-
ановы
8
Римские
9
Иеро¬
глифы
1
Иерати¬
ческие
2
Демоти¬
ческие
3
1
0
1
1
f
1
1
1
1
1
2
но
ч
ч
тт
II
H
II
II
II
3
ODD
Ы|
\>
ттт
III
HI
III
III
III
4
DODD
щ
v;v
ТТТ
•>?
МП
HH
llll
ни
IV
б
ООО
00
1
1
тт?
тт
II III
У
г
V
6
ООО
ООО
+
i
тт?
ттт
III III
1—^
'У
Г1
VI
7
0000
ООО
ттт
ттт
Mil III
H—*
"У
пи
VII
8
ОООО
ODOD
Т-
ттт
ттт
ТТ
11 III III
HI—»■
///у
пн
VIII
9
ООО
ODD
ООО
*1
\
ттт
ттт
ттт
III III 111
HH—*
////у
пт
IX
10
00
А
Л
<
-*
7
3
А
X
11
ООО
1Л
1Л
<»
1“*
7
'3
Л1
XI
15
гаООО
““ 00
1Л
1л
у ттт
Я тт
II III”»
уз
дг
XV
20
cm
'л
6
<<
//
0
3
ДА
XX
30
опт
X
X
<«
-»//
70
зз
ддд
XXX
40
ШШй
щ
4«
<
w
00
33
дддд
XL
60
ЙОШ
ад
1
\
700
ззз
р
L
60
ЙШ
МШ>
и
2.
▼
HHH
ООО
333
РД
LX
70
мм
адй
ч
ч
м
-'HUH
7000
3333
РДД
LXX
80
мсш
МСШ
м
7
*«
HhhH
0000
3333
РДДД
LXXX
90
(пХгЭ (л)
ЙКЙЙ
{л)(7^(л>
зд
\
*«<
70000
33333
РДДДА
xc
100
т ►
PI
T«
3'
н
с
200
^ «1
ттт ►
Pll
Т»
3м
нн
cc
400
^ i*y
т.
V4
3""
нннн
CD
500
<5<а
ап
7Л*
зу
г
D
1000
Т
j
S
33'
X
M
10000
г
м
10б
й
106
4L
107
Q.
Рис. 63. Числовые знаки разных народов.
у людей культуры: легендарный титан Прометей, похитивший
огонь у богов и принесший его людям, изобрел числа...1.
От практической арифметики, названной в Греции «логисти¬
кой», начинает отделяться теоретическая арифметика, которая
содержала не просто правила о том, как решать те или иные
задачи, но и логическое обоснование правил, доказательства.
Математика успешно развивалась в древней Греции в течение
целого тысячелетия, от VII в. до н. э. до IV века н. э. Огромное
значение для развития теоретической арифметики имели труды
Пифагора, Евдокса, Евклида, Эратосфена, Архимеда, Диофанта
и других древнегреческих математиков.
Большой вклад в развитие арифметики в VII—XV вв. внесли
ученые стран ислама: ал-Хорезми, Омар Хайям, ал-Караджи,
Насирэддин Туси, ал-Каши и другие, писавшие свои произведе¬
ния на арабском языке. Переведенные на арабский язык класси¬
ческие труды великих греческих ученых были в XII—XIV вв.
переведены на латинский язык, которым пользовались в средние
века ученые Европы. Математика стран ислама, включающая
в себя и сведения, заимствованные из греческой, индийской и
вавилонской науки, оказала значительное влияние на науку За¬
падной Европы.
В 1202 г. появилась «Книга абака» («абак» в смысле «ариф¬
метика») замечательного итальянского математика Леонардо
Пизанского (Фибоначчи), сыгравшая наряду с арифметическим
трактатом ал-Хорезми важнейшую роль в распространении в
Европе новой позиционной десятичной системы счисления и ин¬
дийско-арабских цифр. В книге Фибоначчи встречается, в част¬
ности, дробная черта и рекомендуется для чтения многозначных
чисел их разбиение на группы по 3 цифры. Группы цифр отме¬
чаются точками или дугами вверху.
Начиная с XVI в. на первое место в математическом творче¬
стве выступают европейские ученые. Вводятся постепенно ныне
употребляемые новые арифметические обозначения и знаки, на¬
звания чисел и группирование их по классам и разрядам.
С XVII в. дальнейшее развитие получает зародившаяся в Древ¬
ней Греции теория чисел (см. гл. 1, § 4; 33).
Роль арифметики в жизни современного общества очень ве¬
лика. Арифметика необходима во всякой отрасли науки, в сель¬
ском хозяйстве, промышленности и технике. С развитием произ¬
водства растет необходимость облегчать и ускорять счет и
вычисления. Все большее применение в практике грандиозного
социалистического строительства в нашей стране находят
быстродействующие математические машины (гл. 1, § 14). Раз¬
витие теоретической арифметики и совершенствование методов
счета и вычислений продолжаются и в наши дни.
1 См. Эсхил л, Прометей прикованный, Гослитиздат, 1956, стр. 35.
История арифметики
НА ВНЕКЛАССНЫХ ЗАНЯТИЯХ
©ПАЛЬЦЕВЫЙ СЧЕТ. РАЗЛИЧНЫЕ
ПРИЕМЫ УМНОЖЕНИЯ
Счет по пальцам широко применялся в старину1.
Пальцы и их суставы, а также загибания и разги¬
бания пальцев, складывание и вытягивание рук да¬
вали возможность людям не только считать до
десятков и сотен тысяч, но и производить некоторые арифмети¬
ческие действия.
Вот, например, как умножали древние римляне на пальцах
числа, содержащиеся между 5 и 10.
Пусть требуется умножить 6 на 7. Считаем на пальцах ле¬
вой руки, согнутой в кулак, до 6, разгибая по одному пальцу,
а на правой то же до 7. Два каких-либо разогнутых пальца
правой руки кладем на разогнутый палец левой. Всего — 3 разо¬
гнутых пальца, это — 3 десятка — 30. Остальные 4 (согнутые
пальца левой руки) перемножаются на 3 (согнутых пальца пра¬
вой), получаем 12.
Итак, 30 + 12 = 42.
Аналогично:
6
8 = (1+3)
10 + 4
2 = 48
6
9 = (1+4)
10 + 4
1=54
7
7 = (2 + 2)
10 + 3
3 = 49
7
8 = (2 —{— 3)
10 + 3
2 = 56
7
9 = (2 + 4)
10 + 3
1=63
8
8 = (3 + 3)
10 + 2
2 = 64
8
9 = (3 + 4)
10 + 2
1=72
9
9 = (4 + 4) •
10+1
1=81.
1 См. [28], стр. 26—29; [114], стр. 17—23; [21], стр. 21—22.
77
Пальцевый счет был широко распространен в практической
жизни и в средние века. Ирландский ученый монах Беда До¬
стопочтенный (673—735), написавший книгу «О счете време¬
ни» *, посвятил целую главу счету на пальцах.
Вот как производилось, например, умножение 13 на 14.
Известно:
1) 10 X Ю = 100:
Далее:
2) откладывают (загибают) на одной руке 3, на другой — 4
пальца;
3) 3 + 4 = 7, это — десятки, т. е. 7 X 10 = 70.
4) 3X4 = 12, это единицы.
Итак:
5) 13 X 14 = 10 X Ю + 7 X Ю + 3 X 4 = 182.
В связи с пальцевым счетом в средневековой арифметике, на¬
чиная с римского автора Боэция (480—524), числа делились на
«пальцы» (единицы), «суставы» (десятки) и «составные числа»
(все прочие числа). Аналогичные названия встречаются и в
«Арифметике» JT. Ф. Магницкого: «персты», «составы», и «со¬
чинения». Французы поныне называют единицы «пальцами».
Пальцевый счет, который постепенно исчезал после полного
утверждения десятичной позиционной системы счисления, сохра¬
нился в Европе до XVIII в.
* *
*
С давних времен практиковались многочисленные и разнооб¬
разные правила умножения и деления.
В одной старинной русской рукописи описывается интерес¬
ный прием «умножения крестиком», применявшийся еще в древ¬
ней Индии под названием «молниеносного».
Пусть требуется, например, умножить 48 на 27.
1) Пишем:
2) Говорим: 7X8 = 56;
3) Пишем: 6, в уме 5
6
4) Говорим: 7x4 = 28; 28 + 5 = 33;
33 в уме, 2X8 = 16;
16 + 33 = 49;
1 Одним из мотивов, побуждавших служителей церкви заниматься -ариф¬
метикой, был интерес к календарю в связи с вычислением дня пасхи («пас¬
халии») и других религиозных праздников.
v48
х2 7
X48
х27
78
\
\
48
5) Пишем 9, в уме 4; х2 7
96
6) Говорим: 2X4 = 8; 8 + 4=12;
48
7) Пишем: 12 и получаем произве- X 97
дение 1296
1296.
Этим способом удобно пользоваться и в настоящее время.
* *
*
В египетских математических папирусах содержатся таблицы
разложения дробей на «единичные», правила вычисления пло¬
щадей и объемов некоторых геометрических фигур, задачи на
определение веса обелисков, на нахождение количества дней и
строительных матери.алов, требуемых для воздвижения статуй,
и другие практические задачи. Изучая эти папирусы, можно убе¬
диться в том, что в основном арифметические действия сложе¬
ния и вычитания натуральных чисел у египтян производились
как и в настоящее время \ умножение же и деление египтяне
сводили к последовательному удваиванию и сложению.
Приведем пример: 15 X 13.
Решение:
/1 15 15- 13 = (1 + 4 + 8)- 15= 15+60+120= 195.
2 30
/4 60
/8 120
Итак, составляем два столбца, во главе первого стоит 1, а
второго — множимое 15. Эти числа последовательно удваи¬
ваются до тех пор, пока, складывая некоторые числа левого
столбца, становится возможным получить множитель 13. Числа
правого столбца, которые надо сложить, чтобы получить иско¬
мое произведение, соответствуют отмеченным косой чертой чи¬
слам левого столбца.
Деление сводится к умножению в обратном направлении:
195 : 15 = (15 + 60 + 120) : 15 = .1 + 4 + 8 = 13.
К староегипетскому близок так называемый «русский способ
умножения», применявшийся крестьянами в дореволюционной
деревне. Он основан на последовательной замене произведения
двух сомножителей, при котором один из них повторно удваи¬
вается, а другой раздваивается до единицы.
1 См. [119], стр. 273—276.
79
Пример: 27 X 16.
Один из сомножителей
ставится во главе одного
столбца и повторно удваи¬
вается, другой — во главе
другого столбца — по¬
вторно раздваивается,
27 16
54 8
108 4
216 2
432 1.
Итак, 27 X 16 = 54 X
Х8= 108X4=216 X 2 =
= 432 X 1 = 432.
А вот другой пример:
46 X 28. В этом случае при
раздвоении сомножителя
28 получается остаток. В
соответствующих местах
пишем в скобках 1:
46 28
92 14
184 7(1)
368 3(1)
736 1.
Легко убедиться в том, что в данном случае для получения
произведения следует добавить к последнему числу первого
столбца те числа того же столбца, которые соответствуют чи¬
слам с отмеченным остатком второго столбца, то есть: 46 X 28 =
= 736 X 1 + 368 X 1 + 184 X 1 = 1288.
Этим приемом иногда выгодно пользоваться в тех случаях,
когда один из сомножителей — постоянный.
Пусть требуется, например, решить следующую задачу:
Поезд дальнего следования делает в среднем 57 км/ч. Какое
расстояние он пройдет за 16; 34; 44; 52 часа?
Составим следующую таблицу:
9 34
9?4
3 7 36/4
9 Н/1
г Ео г/3
UUDI6U
1 |9Ш4||'
|г В о|2ц
2 9 3 2 7 i
(Я
S’
•
9 3
2 9 3 2 7 6
4
1 г/\ь/
А/ 1 \/ 9
1 Л
/г\г
1 О /1° /
»l/9 I/J
о/1
/4li
1%/1 ■/
Я/Ч
• /1
/6|4
г т
6
9 3
4
\6l\2l\ 6|
,\|.\| i\|4
6
\ 9 |\ 3 К 41
o\io \io\i *
7
\ 7|\9 |\ 21
г \1о \li\l?
г
2 9
3
Рис. 64. Способы умножения «решеткой».
57
16
34
44
52
114
8
17(1)
22
26
228
4
8
11(1)
13(1)
456
2
4
5(1)
6
912
1
2
2
3(1)
1824
1
1
1
Отсюда следует:
1) 57 X 16 = 912;
2) 57 X 34 = 1824 +
-г 114 = 1938;
3) 57 X 44 = 1824 +
4- 228 + 456 = 2508;
4) 57 X 52 = 1824 +
4- 228 + 912 = 2964.
Для умножения трех¬
значных чисел применяются
указанные, а также и дру¬
гие приемы. В середине ве*
ка очень распространенным
был способ умножения «ре¬
шеткой», названный в Ита¬
лии «Джелозия» (оконные
жалюзи). На рис. 64 пока¬
заны виды умножения этим
способом чисел 934 на 314;
на рис. 65 показано умно¬
жение 9876 на 6789.
ПРОВЕРКА ДЕЙ¬
СТВИЙ С ПО¬
МОЩЬЮ
ДЕВЯТКИ
г, Рис. 65. Умножение чисел 9876 и 6789
В старину многие вычис- в итальянской книге XVI в.
лительные приемы и ариф¬
метические действия нелег¬
ко удавались, так как были очень сложными и громоздкими, тре¬
бовали много места и времени. Поэтому люди чаще нашего
проверяли вычисления. Кроме этого, вычисления производились
не на бумаге, а на счетной доске, посыпанной песком или пылью.
Каждое промежуточное вычисление «стиралось» песком, чтобы
освободить место для следующего вычисления. В самом конце
на доске оставались только данные числа и найденный резуль¬
тат. Повторить заново все вычисления с целью проверки было
нелегко. Вот почему прибегали к разным приемам проверки.
Проверка считалась последним этапом решения задачи.
Одним из старинных способов проверки является так назы¬
ваемый «способ девятки» К Изложение этого способа встречается
1 См. [22], стр. 116—119; [125], стр. 130—131.
6 Г. И. Глейзер
81
у индийских математиков уже в X в. С ним познакомились за¬
тем ученые стран ислама, а еще позже — европейские матема¬
тики (Леонардо Фибоначчи и др.).
Известно, что при делении упобого числа на 9 получается та¬
кой же остаток, как и при делении на 9 суммы цифр этого чи¬
сла. Например, 1738 при делении на 9 дает в остатке 1. Такой
же остаток получится от деления на 9 чисел 19 = (1 + 7 + 3 +8);
10= (1 +9); 1 = (1 +0). Однозначное число 1, полученное от
последовательного сложения цифр числа 1738, назовем укоро¬
ченным числом !.
Известно также, что остаток от деления суммы нескольких
чисел на какое-то число равен сумме остатков от деления ка¬
ждого из слагаемых на то же число или остатку от деления
суммы на данное число.
Пример 1:
От деления 23 на 7 получается остаток 2
От деления 85 на 7 получается остаток 1
От деления 115 на 7 получается остаток 3
От деления 223 на 7 получается остаток 6.
Пример 2:
От деления 17 на 8 получается остаток 1
От деления 75 на 8 получается остаток 3
От деления 293 на 8 получается остаток 5
От деления 385 на 8 получается остаток 1.
От деления на 8 суммы остатков (9) получается такой же
остаток.
Пусть теперь требуется проверить правильность сложения
четырехзначных чисел 3731, 4285 и 2054.
Расположим рядом с каждым слагаемым соответствующее
ему укороченное число и сложим числа каждого столбца
.3 731 5
+ 4 285 1
2054 2
10070 8.
Если сложение верно, то «укороченная» сумма слагаемых
(1 + 04-0 + 74-0) должна равняться сумме «укороченных»
слагаемых (5 + 1 + 2), то есть 8.
€ледует отметить, что к сумме цифр всегда можно добавить
и из нее можно выбрасывать «девятки», если требуется только
найти остаток от деления числа на 9.
1 См. В. J1. Гончаров, Арифметические упражнения и функциональ¬
ная пропедевтика, изд. АПН, М.—Л., 1947,
82
\
Вот еще один пример:
8731
1
42 503
5
317
2
6 956
8
58 507
7.
Аналогично проверяется и вы¬
читание.
Пример: Другой пример:
647
8
4071
12
213
6
1814
5
434
2. '
2257
7
Рис. 66. Проверка девяткой.
Из рукописи А. Ризе.
В последнем примере уменьшаемое 3 оказалось больше вы¬
читаемого 5, поэтому к 3 добавлена девятка и уменьшаемое
стало 12.
В одной из арифметических книг популярного немецкого вы¬
числителя первой половины XVI в. Адама Ризе (1492—1559)
приведен следующий пример проверки сложения (рис. 66):
. 7 869
+ 8 796
16665.
Особенно интересно применение «способа девятки» к про¬
верке умножения.
2
Пример:
v2315
х 467
16205
13890
9260
1081105
X
16
7.
Приведем один пример проверки умножения из «Арифме¬
тики» Магницкого:
365
х 24
1460
730
8760
«Сие 3
сему согласно, убо добре
есть».
30
Аналогично, хоть и несколько сложнее, применяется этот
прием для проверки деления.
83
Следует учесть, что проверка девяткой не дает возможности
обнаружить ошибки, происходящие от перестановки цифр в чи¬
сле, так как сумма цифр числа остается в таких случаях неиз¬
менной. Нельзя также выявить этим приемом ошибки, которые
происходят от замены числа другим с одинаковой суммой цифр.
О недостаточности проверки способом девятки писали еще в
XV в. Никола Шюке и Лука Пачиоли (1445—1514).
Несмотря на указанные недостатки, прием проверки девяткой
был и остается очень распространенным и часто употребляется
благодаря своей простоте и удобству его применения Г
ПИФАГОР И ЕГО ШКОЛА. О ДРУЖЕСТВЕННЫХ
JJ И СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЛАХ. ПРОБЛЕМЫ,
ОЖИДАЮЩИЕ СВОЕГО РЕШЕНИЯ
Древнегреческому философу и математику Пифагору из Са¬
моса (VI в. до н. з.) и его ученикам приписывается открытие
важных свойств целых чисел и пропорций.
Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре да¬
леко не полны и не достоверны. Он много путешествовал по
странам Востока, среди которых были Египет и Вавилон. Дре¬
внегреческий писатель — историк и математик Ямблих (III в.
н. э.) в своей «Биографии Пифагора» рассказывает, что послед¬
ний изучал арифметику, музыку, астрономию и другие науки в
Вавилоне.
Пифагор был одним из тех ученых, благодаря которым мате¬
матические знания из Египта и Вавилона передавались в Гре¬
цию. По возвращении на родину Пифагор поселился в одной
из греческих колоний Южной Италии, где вскоре возникла зна¬
менитая «Пифагорова школа». Эта школа (вернее союз) сыг¬
рала значительную роль не только в философско-научной, но и
в политической жизни древней Греции. Своей философией пи¬
фагорейцы 2 стремились доказать существование незыблемого,
вечного мирового порядка, определенной мировой гармонии и
необходимость сохранить вечное господство аристократии3. Ос¬
нову для своих философско-политических и религиозных идей
пифагорейцы усматривали в неизменных числовых закономерно¬
стях. Они сочетали вместе несочетаемые учения о богах и чи¬
слах, их арифметика окутана фантастическими и мистическими
1 Первое — не вполне строгое доказательство правила «проверки девят¬
кой» изложил в своей «Книге абака» (1202 г.) итальянский математик Лео¬
нардо Фибоначчи. Строгое доказательство этого правила дал в XVII в. ан¬
глийский математик Джон Валлис (1616—1703).
2 Название «пифагорейцы» — ученики школы Пифагора — впервые приме¬
няет Аристотель.
3 См. [114], стр. 82—91; [123], стр. 8—11; [109], стр. 127—136.
84
воззрениями. Но в основном их учение о числе содержит науч¬
ные факты. Пифагор умер, вероятно, около 500 г. до н. э., школа
же его была разгромлена пришедшими к власти рабовладель-
ческими демократами и полностью прекратила свое существова¬
ние в середине IV в. до н. э.
В школе Пифагора арифметика была тесно связана с музы¬
кой. Согласно одной из легенд Пифагор, проходя вблизи одной
кузницы, услыхал звуки различной высоты от ударов различных
молотков. Исходя из этого и размышляя также о звуках, полу¬
чаемых от струн разной длины, Пифагор открыл, что если
уменьшить длину струны вдвое, тон повысится на октаву, т. е.
высота тона обратно пропорциональна длине струны. От трех
струн можно получить приятное, гармоническое сочетание зву¬
ков, если их длины относятся как 6:4:3. Отсюда пифагорейцы
делали вывод, что от чисел зависит гармония и что числа якобы
всегда обусловливают свойства вещей и явлений. Умирая, Пи¬
фагор завещал своим ученикам изучать музыку и арифметику.
«Число — это закон и связь мира, сила, царящая над богами
и смертными», «сущность вещей есть число, которое вносит во¬
все единство и гармонию», «все есть число» — вот какие поло¬
жения проповедывали пифагорейцы. В этих односторонних и за¬
частую лишенных научного основания утверждениях заклю¬
чался, однако, зародыш новой науки. Из мистического учения
Пифагора и его последователей выросла в V—IV и последую¬
щих веках до н. э. научная арифметика поздних пифагорейцев.
В «Диалектике природы» Фридрих Энгельс писал: «Пифагор из
Самоса... число — основное начало... Подобно тому, как число
подчинено определенным законам, так подчинена им и вселен¬
ная; этим впервые высказывается мысль о закономерности все¬
ленной...» 1
* *
*
Кроме фигурных чисел (гл. 1, § 3; 23—25), пифагорейцами
были введены и «дружественные» числа. Так были названы два
числа, каждое из которых равно сумме делителей другого числа.
Например: 220 и 284. Делители первого из них, не считая са¬
мого числа, так называемые «собственные» делители числа 220,
то есть числа 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, дают в сумме
284. Аналогично сумма собственных делителей числа 284, то есть
чисел 1, 2, 4, 71, 142, равна 220. Пифагорейцы знали только одну
пару дружественных чисел. В XVIII в. Леонард Эйлер нашел
65 пар дружественных чисел. Одна из них: 17296 и 18416. Од¬
нако до сих пор еще не найдена общая формула для получения
пар дружественных чисел.
1 Ф. Энгельс, Диалектика природы, Госполитиздат, М., 1955, стр. 148.
85-
Как было показано выше, число 220 меньше суммы своих
(собственных) делителей — такие числа называли в Древней
Греции недостаточными. Число же 284 больше суммы своих де¬
лителей •— такие числа называли избыточными. Однако есть чи¬
сла, которые в точности равны сумме своих делителей, например
число 6. Его собственные делители — 1,2,3. Имеем 6 = 1 + 2 + 3.
Пифагорейцы считали замечательными все числа, обладаю¬
щие таким свойством и называли их «совершенными». Они зна¬
ли только три таких числа: 6, 28, 496.
496= 1 + 2 + 4 + 8+16 + 31+62+124 + 248.
В «Арифметике» Никомаха из Геразы (I в. н. э.) имеется
четвертое совершенное число: 8128. Никомах писал: «Совершен¬
ные числа красивы. Однако красивые вещи редки и малочислен¬
ны. Большинство чисел являются избыточными или недостаточ¬
ными, в то время как совершенных чисел немного. Среди единиц
их всего лишь одно, так же среди десятков, сотен и тысяч».
Из сказанного видно, что по мере продвижения от начала
в натуральном ряду совершенные числа встречаются все реже
и реже. В первых 10 000 имеется всего 4 совершенных числа.
Древнегреческие математики уделяли большое внимание во¬
просу нахождения совершенных чисел. В IX книге «Начал» Ев¬
клида доказано, что совершенным является любое число
вида 2й • р,
где число р = 1 + 2х + 22 + ... 2й — простое;
k — натуральное число.
Примеры:
1 + 21 = 3; 21-3 = 6, или 2Д22— 1) = 6;
1 + 2 + 22 = 7; 22 • 7 = 28, „ 22(23—1) = 28. (1)
Аналогично
24(25 — 1) = 496;
26(27— 1) = 8128.
Никомах заметил, что эти 4 числа оканчиваются попеременно
(поочередно) то цифрой 6, то 8 и ошибочно считал, что это
имеет место для всех совершенных чисел. Между тем установ¬
лено, что четные совершенные числа действительно оканчи¬
ваются цифрами 6 или 8, но не попеременно. Например, 5е и 6е
совершенные числа, оба оканчиваются цифрой 6, седьмое и вось¬
мое— цифрой 8, как видно ниже.
Итак, в (1) показатели степени двойки в скобках — это
простые числа 2, 3, 5, 7 ... Это значит, что можно получить все
четные совершенные числа С из формулы
С = 2р~1(2р—1),
где, как р, так и 2р— 1 числа простые.
«36
Но при каких значениях р число 2р — 1 тоже простое?
Эта задача до сих пор остается нерешенной.
Пятое совершенное число 212(213— 1) = 33 550 336 было най¬
дено немецким математиком Региомонтаном (XV в.), который,
между прочим, среди первых применял в своих трудах знаки +
и —.В XVI в. немецкий ученый Шейбель нашел еще два со¬
вершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328 (р = 17; 19).
Числами вида 2р — 1 много занимался французский матема¬
тик М. Мерсенн (1588—1648), известный также своими перево¬
дами трудов древнегреческих математиков. В его честь эти чи¬
сла были названы «числами Мерсенна». В 1644 г. Мерсенн на¬
шел восьмое совершенное число (р = 31). Это число, то есть
230 ( 231— 1)? выражается квинтиллионами. Лишь около 250 лет
спустя замечательный русский математик-самоучка Иван Ми¬
хайлович Первушин (1827—1900) 1 доказал, что чцрло 261—1
тоже простое, и таким образом было найдено девятое Завершенное
число. В 1911 —1914 гг. были найдены еще 3 совершенных числа
(для р = 89; 107; 127). Никакие другие совершенные ч^сла, кро¬
ме вышеуказанных двенадцати, не были известны до середины
нашего века. Начиная с 1952 года большие простые числа
вида 2р—1 находятся учеными с помощью электронных счетных
машин. Так стали известны еще 6 совершенных чисел (для
р = 521; 607; 1279; 2203; 2281 и 3217). 18-е совершенное число
23216 ( 23217—1) имеет 2000 цифр.
Несмотря на большие успехи, достигнутые в исследовании
этого вопроса великими учеными всех времен от Евклида до
Ферма, Эйлера и др., проблема в целом остается нерешенной.
В частности, неизвестно, существуют ли нечетные совершенные-
числа.
ф *
*
К задачам многовековой давности относится и проблема
«чисел-близнецов».
Два простых числа называются близнецами, если их раз¬
ность равна 2.
П р и м е р ы: 3 и 5, 5 и 7, 41 и 43, 101 и 103.
Числа-близнецы можно находить способом, аналогичным'
«рещету Эратосфена». В 1952 г. В. А. Голубев \ учитель матема¬
тики из г. Кувшиново (Калининской области), имеющий немало;
заслуг в решении трудных задач теории чисел, вывел формулу
для функции П2(х) —числа пар близнецов от 1 до х.
В 1959 г. была опубликована таблица, составленная с по¬
мощью вычислительной электронной машины, содержащая бо¬
лее 8000 пар близнецов в пределах до 1 100 000.
1 См. [40].
2 [42], стр. 69—70 и др.
87'
Ныне известна даже такая пара больших чисел-близнецов,
первое из которых равно 1 000 000 009 651. Однако до сих пор
неизвестно, существует ли бесконечное множество пар близ¬
нецов.
Эта, как и многие другие задачи теории целых чисел, еще
-ждут своего решения...1
о ИЗ ИСТОРИИ ДРОБЕЙ
Дроби возникли в результате необходимости измерять вели¬
чины. Потребность в более точных измерениях привела к тому,
что определенные единицы мер стали делить на 2, 4, 8 частей
и т. д. Каждая мелкая часть первоначальной меры получала
свое собственное название — так возникли конкретные дроби,
например, «унция» в древнем Риме, «осьмина» на Руси и другие.
Лишь спустя много времени под «осьминой» стали понимать от¬
влеченную дробь -g-. а под унцией ^любой величины.
В подтверждение сказанного можно привести и такие факты.
В древнем Вавилоне некоторые дроби и другие) изобра¬
жались в виде конкретных мер объема, сосудов определенной
формы2. В Египте квадрат со стороной в 100 «локтей», назван¬
ный «сетатом», служил единицей измерения площадей. Четверть
его называлась «ломаной» и обозначалась так: X • Лишь намного
позднее слово «ломаная»3 и указанный символ стали обозначать
отвлеченную дробь Знаком С ^египтяне вначале обозначали
только -^2 единицы объема. Впоследствии этот знак стал сим¬
волом любой дроби (см. рис. 27).
В то время как в результате измерения возникали первые
конкретные дроби,при делении целых чисел друг на друга дол¬
гое время результат деления выражался целым числом, остаток
отбрасывался. В одной арабской рукописи XII в. требуется
«разделить 100 фунтов между 11 человеками поровну». Полу¬
чаемый остаток в 1 фунт предлагается променять на яйца, ко¬
торых по существующей цене придется 91 штука. В остатке по¬
лучится 3 яйца. Автор рекомендует отдать их тому, кто делил,
1 См. А. А. Б у х ш т а б, Теория чисел, Учпедгиз, М., 1960, стр. 34—35,
д также исторические комментарии к другим главам.
2 См. [21], стр. 57—71.
3 Применявшийся в средние века в Европе термин «ломаная» восходит
к «Арифметике» ал-Хорезми, который употреблял слово «каср» (от арабского
«касара» — ломать).
£8
или же променять на соль, чтобы посолить яйца. Известны и
другие рукописи, в которых остаток предлагается не брать в
счет.
«Первой дробью, с которой познакомилось человечество,—
писал В. В. Бобынин 1, —была половина в ее строго конкретной
форме, именно в виде половины какого-нибудь реального пред¬
мета». Затем последовали, вероятно, дроби •••»
идущие по двоичной системе. Позднее появилась дробь и ее
111 Q
двоичные подразделения: g-, ... Эта линия развития
находит свое отражение в древнеегипетской, древнерусской и
других системах мер. От двоичных дробей египтяне перешли к
дробям вида —, называемыми основными, единичными или али¬
квотными дробями. Дальше понятия общей единичной дроби
3
египтяне, видимо, не пошли. Например, дробь -g- они выражали
не единым символом, а как совокупность единичных дробей
(см. гл. 1, § 2; 9).
В середине III тысячелетия до н. э. у шумеров вошли в оби-
„ 112 1
ход дроби -jj-* у. -3 * для которых существовали индиви¬
дуальные знаки. Древние вавилоняне также оперировали дро-
115
бями -g-, -g-, -g. Но уже в III тысячелетии до н.э. они пользо¬
вались шестидесятеричными дробями (см. гл. 1, § 2; 10). Это —
первые в мире систематические дроби, то есть дроби, у которых
знаменателем являются степени одного и того же числа, в дан¬
ном случае числа 60. Другим примером систематических дробей
являются наши десятичные дроби.
Греки широко употребляли египетские, единичные дроби.
Греческие астрономы применяли шестидесятеричные дроби.
В древней Греции получают начало и обыкновенные дроби и
впервые происходит расширение множества целых чисел до
множества рациональных положительных чисел 2.
Это — важнейший этап в развитии понятия о числе. Вначале
дроби ^выражали словами. Позднее стали применять разные за¬
писи. Для единичных дробей применялась особая запись: знаме-
1 Виктор Викторович Бобынин (1849—1919)—известный русский историк,
математики, профессор Московского университета, издавал журнал «Физико-
математические науки в их настоящем и прошедшем» (1885—1898) с прило¬
жениями под названием «Русская физико-математическая библиография».
Приведенная цитата взята из статьи «Отзыв о сочинениях И. М. Бубнова»,
стр. 114.
2 См. [107], стр. 237—239.
89»
шатель дроби сопровождался штрихом справа, числитель не
писали. Например, в алфавитной системе означало 32, а
Яр' — дробь -т^.
В I—II веках встречаются такие записи обыкновенных дро¬
бей, в которых числитель со штрихом и дважды взятый знаме¬
натель с двумя штрихами пишутся рядом в одной строке. Вот
как записывал, например, Герон Александрийский (I в. до н. э.)
3
дробь Герон и Диофант употребляли дробную чер¬
ту, однако над чертой писали знаменатель, под нею — числи¬
тель. Были и другие виды записи дробей. Уже в V в. до н. э.
греки умели производить все действия с обыкновенными
дробями.
У римлян (см. гл. 1, § 2; 8) унция1 обозначалась чертой —;
половина асса (6 унций) — буквой 5 (первой в латинском
слове Semis — половина). Эти два знака служили для записи
любой двенадцатеричной дроби, каждая из которых имела свое
название.
Например, семь двенадцатых записывались так: S —.
Индийцы (см. гл. I § 2; 13), которые обыкновенные дроби
записывали, как и мы, но без дробной черты, изображали сме¬
шанную дробь, надписывая целую часть над дробной. Напри-
1 2
мер, вместо современной записи 2 -г индийцы писали 1 . Та-
ь 5
.кие записи, первыми дошедшие до нас, встречаются у ученого
ан-Насави (X—XI в.), уроженца Насы, города близ нынешнего
Ашхабада.
В торговой практике стран ислама широко пользовались еди¬
ничными дробями, в науке применяли шестидесятеричные и в
гораздо меньшей мере обыкновенные дроби. Абу-л-Вафа
(940—998), ал-Караджи (X—XI в.), ал-Хаосар (XII в.), приме¬
нявший дробную черту, ал-Каласади (XV в.) и другие ученые из¬
лагали в своих трудах правила представления обыкновенных
дробей в виде сумм и произведений единичных дробей.
Первым европейским ученым средневековья, который стал
регулярно применять дробную черту2 и современную запись
обыкновенной дроби, был итальянский математик Леонардо
Пизанский3, названный также Фибоначчи4. В его «Книге аба¬
ка» впервые встречаются термины «плюс» и «минус», признаки
1 В дореволюционной России аптечная унция равнялась 28,35 г.
В Англии 1 унция = Vie торгового фунта, в Польше 1 унция = 25,344 г,
в США унция — мера объема жидкостей, равная 29, 573 мл.
2 Дробная черта стала общеупотребительной лишь в XVI в.
3 То есть из города Пиза.
4 То есть сын Боначчи.
:90
делимости на 2, 3, 4, таблица простых чисел до 97, а также сло¬
во «дробь» вместо «ломаное число».
В средние века, как и в древности, учение о дробях счита¬
лось самым трудным разделом арифметики. Еще в I в. до н. э.
выдающийся римский оратор и писатель Цицерон как-то ска¬
зал: «Без знания дробей никто не может признаваться знающим
арифметику!» Трудность изучения дробей в средневековых шко¬
лах объясняется в основном тем, что учащихся заставляли за¬
учивать наизусть разные «рецепты» без понимания. Кто знал
дроби, был в почете. Автор старинной славянской рукописи
XVI в. пишет: «Несть се дивно, что... в целых, но есть похваль¬
но, что в долях...» Та же мысль выражена в стихах, содержа¬
щихся в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого:
«Но несть той арифметик, Отвещати возможе.
Иже в целых ответчик, Темже о ты радеяй,
А в долях ничтоже Буди в частях умеяй».
Началом нового этапа в истории дробей явились десятичные*
дроби (см. гл. I, § 3; 19—22, 28).
©СТАРЫЕ РУССКИЕ, МЕТРИЧЕСКИЕ II ДРУГИЕ
МЕРЫ. СОВРЕМЕННАЯ НАУКА II СОЗДАНИЕ
МЕЖДУНАРОДНОЙ СИСТЕМЫ МЕР
Древними русскими мерами длины, употреблявшимися уже
в XI—XII вв., были: пядь, локоть, сажень, верста (или попри¬
ще). Названия первых трех связаны с частями человеческого
тела. Малая пядь равнялась расстоянию между концами рас¬
тянутых пальцев, большого и указательного (~19 см), боль¬
шая пять — расстояние между раздвинутыми большим пальцем
и мизинцем (~23 см). Мера «локоть», появившаяся еще в древ¬
ности (см. гл. I, § 1; 7), равнялась примерно двум большим пя¬
дям. Сажень — расстояние от ступни до конца среднего пальца
вытянутой руки. Это слово раньше писалось «сажень», вероят¬
но, в смысле досягаемой человеческой рукой высоты *.
Как и в других средневековых феодальных государствах, в
России меры длины изменялись в зависимости от местности и
времени. Лишь в XVII в., с укреплением русской государствен¬
ности, была установлена единая система мер. Окончательно же
русские дореволюционные меры длины были уточнены в XVIII в.
указом Петра I, приравнявшим сажень 7 английским футам.
1 См. [28], стр. 273 и сл.; [124], т. 1, ч. 1, стр. 29—31.
91.
Вот таблица старых русских мер длины:
Миля = 7 верстам « 7,469 км
Верста =500 саженям « 1,0668 км
Сажень— 3аршинам = 7 футам 2,1336 м
Аршин = 16 вершкам ^0,7112 м
Фут = 12 дюймам ж 30,48 см
Дюйм = 10 линиям « 2,54 см
Линия = 10 точкам ^ 2,54 мм.
Для измерения площадей применялись квадратные сажень,
вршин, фут, дюйм, вершок. Основной земельной мерой, начиная
■с XVI в., служила десятина *, равная 2400 кв. сажен «*1,1 га.
Как предполагают, название происходит от того, что первона¬
чально десятина представляла квадрат, сторона которого равна
1/10 версты.
С древних времен люди измеряли объем жидких тел (масло,
мед, вино, молоко) и сыпучих тел (зерно, мука и т. п.) особыми
сосудами. В Киевской Руси мерой зерна была кадь (или оков),
вмещавшая 14 пудов ржи и делившаяся на 2 половины, 4 чет¬
верти, 8 осьмин. В XVII в. основной мерой становится четверть,
вмещавшая около 6 пудов ржи. В первой половине XIX в. была
установлена следующая система сыпучих мер:
Четверть = 8 четверикам 2,0991 гектолитра
Четверик = 8 гарнцам 26,239 литра
Гарнец =200,15 куб. дюймам ^3,228 литра.
Тогда же была установлена система мер жидкости:
1 бочка — 40
1 ведро = 10
1 штоф = 2
1 бутыль = 5
1 сотка (чарка) = 2
1 Соха, упоминающаяся в XIII в. и широко применявшаяся в XV—
XVII вв., была единицей поземельного обложения, поэтому ее размеры ко¬
лебались в зависимости от качества земель и социального положения земле¬
владельца. В древней Руси употреблялась также земельная мера плуг,
равная, как предполагают, 8—9 га.
ведрам
штофа м
бутылкам
соткам (чаркам)
шкаликам ;
491,96 литра
12,299 литра
1,2299 литра
0,615 литра
0,123 литра.
Система русских мер веса, общепринятая с XVIII в., была
следующая:
Ласт = 72 пудам1 ^ 1,179 т
Берковец = 10 пудам 1,638
Пуд =40 фунтам1 16,38 кг
Фунт =32 лотам ^409,512 г
Лот = 3 золотникам « 12,797 г
Золотник = 96 долям ^ 4,266 г.
В древности мера веса часто совпадала с мерой стоимости
товара, то есть с денежной единицей. Это объясняется тем, что
деньги выражались в весе серебра или золота. У вавилонян де¬
нежная единица «шекель» (слово, означавшее «весомое») была
и единицей веса. У римлян асе служил единицей веса и денег.
Следы такого совмещения единиц остались поныне во Франции,
где слово livre означает как 25-копеечную монету, так и полу¬
килограммовый вес. Таково и происхождение английской де¬
нежной единицы «фунт» стерлингов.
И в древней Руси основная весовая единица «гривна» слу¬
жила одновременно и денежной единицей. Гривна — слиток се¬
ребра, вес которого был приблизительно равен позднейшему
фунту, содержащему 96 золотников.. Во второй половине
XIII в. гривну стали рубить пополам и новый слиток в поло¬
вину денежной гривны, названный рублем, стал в XV в. основ¬
ной денежной единицей. Происхождение слова «гривна» точно
не установлено. Слово «деньга», встречающееся в летописи
XIV в., происходит от индийского названия монеты «танка» (у
греков'—«денака», у татар — «тенга»). В XV в. рубль равнялся
200 «деньгам», «алтын» (по-татарски «шесть») — 6 деньгам.
Согласно летописи, от маленьких монет, выпущенных в
XVI в. с рисунком всадника с копьем, происходит ее название
копейка 2.
При Петре I появились гривенники (10-копеечные монеты)
и полтинники (50-копеечные монеты). Копейка равнялась с
XIX в. двум «денежкам».
* #
*
В настоящее время многими странами мира принята в ка¬
честве обязательной метрическая система мер. Слово «метр»,
как название единицы длины, впервые встречается у ученого
Т. Бураттини (1615—1682) в его книге «Универсальная мера»,
1 Происхождение терминов «пуд» и «фунт» не установлено. Возможно,
что как и английский pound и немецкий pfund все эти термины имеют своим
корнем латинское pondus — вес, тяжесть.
2 Однако этим термином пользовались еще в XV в., когда речь шла
о татарской монете «копека».
93
напечатанной в 1675 г. в Вильню¬
се. В первой половине XVII в.
польский профессор С. Пуд-
ловский сделал предложение при¬
нять в качестве единицы длины
длину секундного маятника. Во
второй половине XVIII в. фран¬
цузский астроном Мутон пред¬
ложил в качестве естественной
единицы длины взять дли¬
ну дуги 1 минуты земного мери¬
диана.
Лишь в 1791 г. комиссия Па¬
рижской Академии наук, в со¬
став которой вошли знаменитые
математики П. С. Лаплас (1749—•
1827), Ж. Л. Лагранж (1736—
1813), Г. Монж (1746-1818)
и другие, предложила принять
за единицу длины и назвать
«метром» одну сорокамиллион¬
ную долю земного меридиана.
Предложение было утверждено
Национальным Собранием Фран¬
ции и 7 апреля 1795 г. метр
был определен как 0,0000001 четверти парижского географиче¬
ского меридиана.
На основе измерительных работ ученых Деламбра и Ме¬
шена, длившихся на протяжении шести лет, был изготовлен пла¬
тиновый эталон, получивший после некоторого уточнения назва¬
ние «архивного метра».
Создание и распространение метрической системы мер не
обошлось без борьбы и трудностей, вызванных сопротивлением
феодалов (см. гл. 1, § 1, 7). Нелегко было преодолеть и веко¬
вые привычки к старым мерам. Вот почему, несмотря на то, что
метр был объявлен законной мерой еще в 1799 г., во Франции
до 1840 г. пользовались и старыми мерами.
Так как из-за погрешностей, неизбежно допускаемых при
измерениях больших расстояний, как выяснилось еще в XIX в.,
нельзя установить точно определенную часть земного меридиа¬
на, Международная Парижская конференция 1870—1872 гг. ре¬
шила отказаться от естественной единицы и приняла за метр
длину архивного метра. Эталон последнего, под названием «ме¬
ждународного метра», изготовленный из стойкого сплава пла¬
тины (90%) и иридия (10%), был сдан на хранение в Между¬
народное бюро мер и весов в Париже. Одна из 34 копий
международного эталона метра, изготовленных в 1889 г. для
Рис. 67. Всесоюзный институт ме¬
трологии им. Менделеева в Ле¬
нинграде.
94
стран — участниц международного соглашения, хранится в на¬
шей стране, в Ленинграде.
Проверк-а эталонов — копий разных стран, произведенная в
Париже в 30-х годах XX в., показала заметные отклонения длин
разных эталонов по сравнению с международным эталоном. Это
обстоятельство заставило искать более устойчивую природную
величину в качестве единицы длины. Еще в середине XIX в. ан¬
глийский физик Максвелл указал, что следовало бы выразить
длину метра через длину волны некоторого светового луча.
В этом направлении еще в 90-х годах прошлого века начал
работать американский физик А. Майкельсон.
Эта работа была продолжена в XX в. несколькими учеными
других стран.
В настоящее время бурное развитие атомной физики, радио¬
электроники и ракетной техники вызывает необходимость повы¬
шения точности и стабильности эталонов длины, веса и др.
В октябре 1960 г. состоялась в Париже XI генеральная конфе¬
ренция по мерам и весам, которая приняла новые важные ре¬
шения в деле создания единой современной системы мер, охва¬
тывающей все области науки и техники. Успехи современной
науки позволяют вернуться к естественной единице длины на
новой научной основе, связанной с вычислением длины свето¬
вых волн. XI конференция отменила прежнее определение мет¬
ра. Было принято новое определение метра, как длины, равной
1 650 763,73 длины волны в вакууме излучения, соответствую¬
щего оранжевой линии спектра изотопа криптона, атомный вес
которого равен 86. Благодаря но¬
вому определению достигается
примерно стократное повышение
точности метра и вновь при¬
дается ему характер естествен¬
ности.
Новые усовершенствования и
создание единой международ¬
ной системы мер в различных
областях измерения являются
итогом долголетней работы мно¬
гих научных учреждений раз¬
личных ’ стран, среди которых
видное место занимает Всесоюз¬
ный научно-исследовательский
институт метрологии имени
Д. И. Менделеева (рис. 67) *.
1 Подробнее об истории метра см.
127], [28], стр. 281—292. Д. И. Менделеев.
* *
*
Метрическая система мер введена в большинстве стран ми¬
ра, однако не всюду. В частности, в Великобритании и США
господствует старая английская система мер:
1 англ. миля—1760 ярдам » 1,609 км
1 ярд = 3 футам » 0,9144 м
1 фут = 12 дюймам »30,479 см
1 дюйм = 12 линиям » 2,54 см.
Квадратные ярды, футы и дюймы служат для измерения
площадей. Акр (~0,5 га) служит земельной мерой. Кубиче¬
скими футами и дюймами измеряются объемы.
Меры жидких тел в указанных странах следующие:
Квартер —8 бушелям » 290,8 л
Бушель =8 галлонам» 36,35 л
Галлон =4 квартам » 4,55 л
Кварта =2 пинтам » 1,14 л
Пинта » 0,57 л.
Основная мера веса — английский фунт ~ 453,6 г. Англий¬
ская унция =1/16 фунта ~ 28,35 г.
Эта система мер, сохраняемая в США, Великобритании и
некоторых других, экономически зависимых от них, странах,
является крайне сложной и не примыкает ни к одной системе
счисления. В ней существуют, например, свыше 50 различных
«бушелей», две различных «тонны», равные то 2000, то
2940 «фунтам» и т. п. Перевод английских в метрические меры
и обратно — ненужная потеря средств и времени. В указанных
странах все шире развертывается движение за введение совре¬
менной метрической системы мер.
©СЧЕТ II СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. УСТНАЯ
II ПИСЬМЕННАЯ НУМЕРАЦИЯ
Наши далекие предки учились считать 1, пользуясь пальцами
одной руки, затем пальцами обеих рук или пальцами рук и ног
вместе. Счет производился сначала на пальцах левой руки с
помощью одного или двух пальцев правой руки, затем перехо¬
дили на правую руку, начиная с большого пальца и лишь после
этого на пальцы ног. Так возникли пятеричная, десятичная и
двадцатеричная системы счисления 2.
1 По усмотрению учителя § 13 и 14 будут использованы лишь в VII—
VIII классах.
2 См. [28], стр. 29—36; [114], стр. 13—23.
96
Вот что рассказывает замечательный русский ученый-путе-
шественник Н. Н. Миклухо-Маклай (1846—1888) о коренных
жителях новой Гвинеи: «Излюбленный способ счета состоит в
том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, затем
издает определенный звук, например, «бе, бе, бе»... Досчитав до
пяти, он говорит «ибон-бе» (рука), затем он загибает пальцы
другой руки, снова повторяет «бе, бе».. пока не доходит до
«ибон-али» (две руки). Затем он идет дальше, приговаривая
«бе, бе»..., пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна
нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется
пальцами рук и ног кого-нибудь другого» 1. Однако известны
народы, у которых единицами счета были не пальцы (или не
только одни пальцы), а их суставы.
Вообще системы счисления с более высоким основанием по¬
явились позднее, чем с низким. Самой древней является двоич¬
ная система. С развитием контактов между различными племе¬
нами некоторые системы счисления объединялись. Многие на¬
роды древности пользовались смешанной пятерично-десятерич¬
ной системой, о чем свидетельствует, например, наличие в рим¬
ской нумерации особых символов для чисел 5 (V); 10 (Х);50 (L),
100(C); 500 (D); 1000 (М). Среди индейцев Северней Америки
и многих племен Африки господствовала пятерично-двадцате-
ричная система.
В двоичной и пятеричной системах числа выражаются до¬
вольно громоздко, двадцатеричная же система требует запо¬
минания большого количества слов — названий низших числи¬
тельных, а при письменной нумерации — многих (20) цифр. Вот
почему из трех названных систем, непосредственно связанных с
пальцевым счетом, укоренилась занимающая среднее положение
наиболее удобная, десятичная система счисления.
* *
*
В далеком прошлом у древних египтян и других народов су¬
ществовала двоичная система счисления. Об этом свидетель¬
ствует, например, то, что египтяне сводили умножение к удвое¬
нию (см. гл. I, § 8), и другие факты.
В настоящее время двоичная нумерация широко применяет¬
ся в науке и технике.
В двоичной системе имеется всего два числовых знака, две
цифры: 1 и 0.
Сохраняя позиционный принцип и в этой системе, цифра 1,
стоящая на первом месте (справа), означает одну единицу, на
втором месте — 21 = 2, на третьем — 22 = 4, на четвертом —
23 = 8 и т. д., как показано в следующей таблице:
1 Миклухо-Маклай. Собрание сочинений, т. 7, АН СССР, 1940,
стр. 280.
7 Г. И. Глейзер
97
Таблица I
Двоичная система
1
10
100
1000
10000
100 000
1000 000
Десятичная система
1
2
4
8
16
32
64
Пусть требуется написать, например, число три в двоичной
системе счисления. Его следует представить как два плюс один
и записать так: 11. Обратим еще несколько чисел десятичной
системы в двоичную:
Таблица 2
Десятичная система
5
6
7
9
10
12
17
Двоичная система
101
110
111
1001
1010
1 100
10 001
Вообще, чтобы выразить данное в десятичной системе число,
например 97 (для указания системы записывается [97]ю), в
двоичной системе счисления следует выполнить деления:
97| 2
97 : 2 — 48
(остаток
1)
48:2 = 24
(остаток
0)
24:2 = 12
(остаток
0)
12:2= 6
(остаток
0)
6:2= 3
(остаток
0)
1!
см
со
(остаток
1)
о
II
см
<
(остаток
1)
1 48
2
0
24
2
0
12
2
0
6
2
0
3
2
1
1
2
1
0
Итак:
[97]10= [1 • 26+ 1 • 25 + 0 • 24 + 0 • 23 + 0 . 22 + 0 • 2*+ 1] =
= [1100001]*
Таким образом, для получения искомого числа мы последо¬
вательно записываем в строку оправа налево все полученные
при делении остатки.
Обратный переход можно осуществить таким же способом,
а еще проще посредством умножений и сложений чисел в деся¬
тичной системе. Например:
[101101]2 = [1 • 25-Ь0-24-Ь1 -23+1 • 22 —f-0 • 21 —|— 1 ]10 = .
= [32 —f- 8 —J— 4 —J— 1 ]10 = [45]10.
Переход от двоичной системы к другой недесятичной систе¬
ме можно выполнить в два приема, используя десятичную си¬
стему, или непосредственно. В двоичной системе арифметиче¬
ские действия очень просты.
Вот несколько примеров:
Десятичная система:
Двоичная система:
1)
4-12
+ 25
'0
, поо
+ 11001
37
100101
2)
12
ХЦ
2)
1100
х 1011
12
12
132
1100
1100
1100
юоооюо.
Из сказанного понятно, в чем состоит основное преимуще¬
ство двоичной системы: вычисления в ней производятся легко1.
При сложении десятичных чисел следует помнить, что 4 плюс 7
равно 11; 5 плюс 8 равно 13 и т. д. Аналогично, много правил
следует помнить при умножении десятичных чисел. Между тем
при сложении двоичных чисел достаточно запомнить (кроме
1+0=1) одно только правило: 1 -Ь 1 = 10. Таблица умноже¬
ния в двоичной арифметике тоже состоит (кроме 1X0 = 0) из
одного действия: 1x1 = 1.
Недостатком двоичной системы является громоздкая запись
чисел. Поэтому ею неудобно пользоваться в обиходной жизни.
Но при построении современных быстросчитающих электронных
машин используется двоичная система, в которой все вычисле¬
ния производятся при помощи только двух цифр—1 и 0 (см.
ГЛ. I, § 14).
В машинной математике все большее значение приобретает
и другая система счисления — восьмеричная. В этой системе
число «двадцать четыре», например, записывается так: 30.
Действительно,
[24|10 = 3-81 + 0 = [30|8.
Аналогично,
[623] 10 — 1 -83-+-1 • 825 • 81 4- 7 • 8° — ] 115718.
1 В новое время преимущества двоичной системы счисления впервые
оиенил Г. Лейбниц,
7* У9
При этом для перехода использовано вышеуказанное прави¬
ло последовательного деления, а именно:
623
8
7
77
8
5
9
8
1
1
8
1
0.
Между восьмеричной и двоичной системами существует про¬
стая связь1. Пусть задано, например, число [110101011]г- Разо¬
бьем его справа налево на группы по три цифры (последняя
группа может состоять и из одной, двух цифр): 110 101 011.
В восьмеричной системе эти группы представляются следую¬
щими цифрами: 6 5 3. Отсюда [110101011]2 = [653]8. Обратно,
для превращения, например, в двоичную систему числа [263]8,
имеем: [2]8 = [10]2 • [6]8 = [110]2, [3]8 = [011]2.
Итак, [263]в = [10110011]2.
* *
*
Шестидесятеричная, первая в мире позиционная система
счисления древних вавилонян2, долгое время, вплоть до XVII в.,
использовалась в науке, следы ее сохраняются поныне (см.
гл. I, § 2; 10). О происхождении шестидесятеричной нумера¬
ции вавилонян имеется несколько гипотез. Самая распростра¬
ненная из них была изложена в 1927 г. немецким ученым
О. Нейгебауэром и сводится к следующему.
В III тысячелетии до н. э. в долине рек Тигра и Евфрата про¬
изошло объединение культур двух народов древнего Вавилона
вследствие победы аккадийцев над старожилами сумерами. Ка¬
ждый из этих народов имел свою, десятичную, систему мер, ве¬
сов и денег. У одного из них денежно-весовой единицей был
«шекель», у другого — большая единица, «мина». С укрепле¬
нием объединенного государства и ростом его тенденции к цен¬
трализации было совершено слияние обоих систем. При этом
1 Простота связи объясняется тем, что 8 является целой степенью
2 (8 = 23).
2 В вавилонских хозяйственных клинописных табличках встречаются так¬
же две непозиционных системы счисления: десятерично-шестеричная и деся¬
теричная. В математических табличках применяется в основном шестидеся¬
теричная позиционная нумерация. См. [108], стр. 7—18.
100
части у~2 , -g, g- ...J мины выражались как десятикратные ше¬
келя, например, половина мины приравнивалась 3 X Ю шеке¬
лей, -j мины — 2 X 10 шекелей и т. д. Было .установлено, таким
образом, соотношение 1 :60 между шекелем и миной, что при¬
близительно соответствовало отношению их весов. Система мер
весов и денег со временем распространилась и на другие вели¬
чины, при этом название мер уже упускалось. И мы ведь не¬
редко говорим: «два двадцать» вместо «два рубля двадцать ко¬
пеек». Так возникла позиционная система. 60 рассматривалось
как «большая единица». Обе «единицы» — 60 и 1 — обознача¬
лись одним и тем же знаком ^ .
Другая позиционная система счисления, отличительной осо¬
бенностью которой было наличие нуля, возникла около 2000 лет
назад у племени Майя, жившего на полуострове Юкатан в Цен¬
тральной Америке (ныне территория республик Гватемалы и
Гондураса) и обладавшего высокоразвитой культурой. Эта
культура была почти полностью уничтожена в XVI—XVII вв.
испанскими колонизаторами-поработителями. В системе счисле¬
ния майя основанием служило число 20. Числа записывались
столбцом, снизу вверх. Единица обозначалась точкой, пять —
горизонтальной чертой. Знак для нуля напоминал ,по своей фор¬
ме раковину. Первые 19 натуральных чисел записывались, ком¬
бинируя точку с чертой (рис. 62), 20 — с помощью нуля над
точкой (подобно тому, как мы записываем основание десятич¬
ной системы, ставя нуль правее единицы) и т. п.
До настоящего времени сохранились остатки двенадцатерич-
ной системы счисления.
Счет группами в 12 был в древности очень распространенным.
Вспомним, например, унции и двенадцатеричные дроби римлян
(см. гл. I, § 2; 8). В Африке существуют народы, которые до
сих пор ведут счет дюжинами. До недавнего времени мы сами
считали, а порою и поныне считаем некоторые предметы дюжи¬
нами (платки, носки, рубахи, ложки, вилки и т. п.). День у нас
делится на 12 часов, сутки на (12 X 2) часов, год—на 12 меся¬
цев. Существовали особые названия и для высших разрядов
двенадцатеричной системы: 121 — дюжина; 122—гросс (то есть
большая дюжина); 123 — масса.
Письменная двенадцатеричная нумерация требует по срав¬
нению с десятичной введения двух добавочных числовых знаков,
цифр (для 10 и 11). Тем не менее двенадцатеричная система
счисления имеет и некоторые преимущества над десятичной
системой. Обозначим, например, новые две цифры буквами а, Ъ
и составим небольшую таблицу перехода от двенадцатеричной
к десятеричной системе счисления:
101
Таблица 3
Система
Числа
Двенадцатеричная
1
2
3
4
5
6
7
8
9
а
в
10
11
Десятеричная
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Двенадцатеричная
12
13
14
15
16
17
18
19
1 а
1 в
20
21
29
Десятеричная
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
33
Двенадцатеричная
2 а
2 в
30
40
4 а
50
5 в
9 а
ав
ва
100
9 ав
Десятеричная
34
35
36
48
58
60
71
118
131
142
1728
17 003
Уже из этой и последующей таблицы умножения (4) видно,
что запись чисел в десятичной системе счисления куда более гро¬
моздкая, нежели в двенадцатеричной. Но двенадцатеричная си¬
стема имеет и другое значительное преимущество над десятич¬
ной: у числа 12 имеется четыре делителя (2, 3, 4, 6), в то время
как у числа 10 — только два (2, 5). Это важно потому, что в прак¬
тике повседневных расчетов часто встречаются дроби: половина,
треть, четверть, и было бы удобно, если бы основанием системы
счисления было число 12, кратное 2, 3, 4. В связи с этим один из
ученых выразился так1: «Расти на руках у каждого человека
еще по одному пальцу, цивилизованные народы приняли бы
за основание счета не десяток, а дюжину... Можно пожалеть,
разумеется только в интересах арифметики, что на руке у чело¬
века нет шестого пальца...»
О преимуществах двенадцатеричной нумерации писали вы¬
дающийся французский естествоиспытатель Ж. Бюффон
(XVIII в.), философ О. Конт (XIX в.) и др. Любопытно отме¬
тить, что один американский автор издал недавно двенадцате-
ричную арифметику. Некоторые зарубежные ученые, особенно
в Америке и Франции, пропагандируют и в наши дни идею все¬
общего перехода к двенадцатеричной системе счисления. Суще¬
ствуют даже организации, которые ратуют за введение двена¬
дцатеричной системы2.
Однако такой искусственный переход и отказ от десятичной
системы, созданной усилиями сотен поколений, потребовал бы
изменения всей системы мер, всех аппаратов и инструментов из¬
мерения, применяемых в современной технике на многочислен¬
1 См. [115], стр. 2.
2 Например, «Американское двенадцатеричное общество». См. также
статью о книге француза Ж- Эссига, «Дюжина — наша десятка в будущем»,
в журнале «Природа», 1955, № 8.
102
)
ных предприятиях; человеку пришлось бы «забыть» все свои
десятичные «привычки» счисления и заниматься выучиванием
новых таблиц сложения и вычитания, что привело бы к частым
ошибкам в течение длительного переходного периода. Вес этн
трудности практического и психологического порядка говорят
о том, что укоренившаяся десятичная система счисления будет
и впрець господствовать в жизни людей 1.
Таблица 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
а
в
10
2
4
6
8
а
10
12
14
16
18
1 а
20
3
6
9
10
13
16
19
20
23
26
29
30
4
8
10
14
18
20
24
28
30
34
38
40
5
а
13
18
21
26
2 в
34
39
42
47
50
6
10
16
20
26
30
36
40
46
50
56
60
7
12
19
24
2 в
36
41
48
53
5 а
65
70
8
14
20
28
34
40
48
54
60
68
74
80
9
16
23
30
39
46
53
60
69
76
83
90
а
18
26
34
42
50
5 а
68
76
84
92
а 0
в
1 а
29
38
47
56
65
74
83
92
а 1
в 0
10
20 '
30
40
50
60
70
80
90
а 0
в 0
100
У различных народов в разные времена были разнообразные
Цифры и письменные системы счисления. Чтобы убедиться в
1 В науке и технике все большее значение приобретают системы с осно¬
ваниями 2, 8, 16 и др., в связи с машинной математикой.
103
этом, достаточно ознакомиться
с системой цифр древних вави¬
лонян (рис. 28—29), египтян
(рис. 5; 6; 24; 25; 27), фини¬
кийцев (рис. 63), китайцев
(рис. 4; 62), славян (рис. 8;
35; 37), майя (рис. 62) и др.
У одного и того же народа
Рис. 68. Цифры «брахми». письменная нумерация изменя¬
лась, совершенствовалась в за¬
висимости от степени общего культурно-экономического разви¬
тия. Так, например, иероглифические цифры древних египтян
сменились иератическими тогда, когда дальнейшее развитие хо¬
зяйства и культуры потребовало скорописного письма. За
иератическими последовали еще более простые демотические
(народные) цифры, как это видно из рис. 27; 63. На рис. 62
показаны три вида китайских цифр, на рис. 31 — два вида гре¬
ческих цифр.
В XII в. на территории Мексики существовало государство
ацтеков. Этот народ пользовался иероглифическим письмом и
двадцатеричной непозиционной нумерацией (рис. 62). В XI—
XIII вв. на территории нынешнего Перу жили инки, у которых
был развит веревочно-узловой счет (рис. 2; 3), узелковое пись¬
мо, называемое «квипу», с помощью которого они производили
расчет налогов и т. п. Испанские колонизаторы поступили с
ацтеками и инками так же, как с народом майя.
До появления в Индии позиционной нумерации там сменя¬
лись системы цифр *. С IV в. до н. э. на протяжении 6—7 веков
были в ходу так называемые цифры «кхарошти» (рис. 62), ну¬
мерация была десятичной непозиционной. Эта система смени¬
лась затем более совершенной системой цифр «брахми»
(рис. 68). Почти для всех индийских систем цифр характерно
применение специальных знаков для чисел от 1 до 9, что стало
одной из предпосылок позиционной десятичной нумерации. По¬
степенное изменение цифр брахми, вероятно, привело к цифрам
«деванагари» (рис. 69), относящимся к IX в. Эволюция индий¬
ских цифр от XII до XVI в. показана на рис. 10.
Относительно происхождения современных наших цифр нет
единого мнения среди ученых.
В VIII в. арабы пользовались, вероятно, ионийской нумера¬
цией, с которой ознакомились после завоевания Египта и Си¬
рин. В начале IX в. арабы применяли собственную алфавитную
арабскую систему. В первой половине IX в. начинается распро¬
странение позиционной записи с восточноарабскими цифрами,
II!
II
X ь
V
1
S ?
1
2 3
4 Б
6
7
8 9
сС
СР JT
X 3
н
X
©
9
10
20 3
4 б
6
7
8 9
7
7
>
1
г
ЧЬ
100
200
ООО
1000
4000
70000
1 См. [28], стр. 67—88; [125], стр. 118—124.
104
представлявшими некоторое видоизменение цифр брахми. Одно¬
временно на западе арабских владений, на Пиренейском полу¬
острове, появляются западноарабские цифры, так называемые
цифры «губар» (по-арабски означает пыль, песок). Пользование
ими связано с применением абака (см. гл. I, § 14). Между во¬
сточноарабскими и западноарабскими цифрами имеются и сход¬
ства и существенные различия (рис. 69). Проникновение индий¬
ско-арабских цифр через Испанию в Европу началось, вероят¬
но, в X в. в виде апексов (см. гл. I, § 14), очень близких к циф¬
рам «губар». Одни историки считают, что все без исключения
виды цифр, изображенных на рис. 69 — индийского происхо¬
ждения, другие же считают, что именно цифры «губар» и, сле¬
довательно, наши цифры берут свое начало не в Индии, а воз¬
можно в Египте или Иране, откуда попали в Испанию в связи
с торговлей, широко развитой между разными странами ислама.
К цифрам «губар» позднее прибавился нуль. Древнейшая до¬
шедшая до нас рукопись с новыми цифрами относится к 976 г.,
она сохранилась в одном из монастырей Северной Испании;
знака нуля в этой рукописи нет.
Хотя ранняя история современных наших цифр до сих пор
недостаточно известна из-за отсутствия исторических докумен-
_ = =¥Ь ^ 1 sР
Брахми
I
СП5!»
Индусы (Гвалиор)
1
Санскрит-деванагари (Индия)
6 18 9
I
Ч VA Ч
Западноарабские (Губар)
I
Восточноарабсние (современные
турецкие и т.д.)
ЬУ* 8 9
11 век (Apices)
Рис. 69. Предки наших цифр.
105
тов, большинство ученых счи¬
тает, что прообразы наших
цифр появились в Индии *.
Всеобщее распространение со¬
временные цифры, как и деся¬
тичная позиционная система,
получили лишь со второй по¬
ловины XV в.
Выдающийся французский
математик П. С. Лаплас
(1749—1827) писал: «Мысль—
выражать все числа немногими
знаками, придавая им, кроме
значения по форме, еще зна¬
чение по месту — настолько
проста, что именно из-за про¬
стоты трудно оценить, насколь¬
ко она удивительна. Как не-
Рис. 70. Палочки Непера. легко прийти к этому, мы ви¬
дим ясно на примере величай¬
ших гениев греческой учености — Архимеда и Аполлония, от
которых эта мысль осталась скрытой».
Ф, СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ
МАШИНЫ
Старейший счетный прибор абак (см. гл. I, § 1; 3) существо¬
вал в разные времена в разных формах.
На греческом абаке проводились вертикальные линии, в со¬
ответствующие колонки раскладывались косточки или камешки
подобно тому, как откладывается число на наших счетах. Так
же поступали и римляне, которые отводили 3 колонки для дро¬
бей (у, и др.|. В древнем Риме счет на абаке велся
десятками и пятками. От римлян к нам перешло слово «кальку¬
ляция», означающее дословно «счет камешками» и употребляе¬
мое ныне в смысле «вычисления», «исчисления». Римский абак,
описанный Боэцием (V—VI вв.), содержал в первой колонне
справа единицы, в следующей—десятки и т. д. Для от¬
сутствующих разрядов колонки оставались незаполненными.
1 Г. П. Боев в статье «О происхождении и эволюции наших цифр»
(«ученые записки Саратовского ун-та», 1961, 70) приходит к выводу, что
современная система цифр произошла в результате соревнования существо¬
вавших до XIV в. двух основных систем: с одной стороны инд’ийскйх цифр
VII—VIII вв. (проникших в Европу через арабов в IX в.) и европейских
«апексов», а с другой — цифр «Губар».
106
В средние века имели место дальнейшие изменения и совершен¬
ствования римского абака. Этому особенно способствовали Гер¬
берт, посвятивший абаку свою книгу «Правила счета на абаке»,
и его ученики (см. гл. I, § 2; 17). Абак широко применялся в
торговле Западной Европы на протяжении всего средневековья.
При денежных расчетах его для удобства клали на скамеечку.
«Скамья» по-итальянски «Ьапса», по-немецки — «Bank». От¬
сюда происходит наше слово «банк» — финансово-кредитное и
платежное учреждение.
Аналогом абака в древнем Китае был счетный прибор «суан-
пан», употребляемый в этой стране до нашего времени в виде
семикосточковых счетов и японские шестикосточковые счеты,
называемые «соробаном».
На идее абака основывался популярный в Западной Европе
XIII—XVI вв. «счет на линиях». Счетную доску заменял лист
бумаги, на котором были проведены параллельные линии на
равных друг от друга промежутках. Вместо камешков или ша¬
риков пользовались картонными кружочками. Помещенный на
первой линии кружочек означал единицу, на второй — десяток
и т. д., в первом промежутке кружок означал 5, во втором — 50,
в третьем — 500 и т. д. Основа счета тут та же, что в китайских
и японских счетах. Счету на линиях, которым пользовались
абацисты, противопоставлялся наш обычный счет, названный
«счет пером», который применяли алгорифмики (см. гл. 1, § 2,
п. 17, рис. 42—44).
Русские счеты (см. гл. I,
§ 1, п. 3) впервые появились
в России в XVI в. в виде «до¬
щаного счета», доски с нане¬
сенными на ней параллель*
ными прямыми. Позднее вме¬
сто доски стали употреблять
раму с проволоками и косточ¬
ками. Русские счеты были за¬
везены во Францию в начале
XIX в. французским математи¬
ком Ж. Понселе, вернувшимся
из русского плена, в который
он попал во время наполеонов¬
ского похода.
Для умножения чисел из¬
давна существует простой при*
бор, палочки Непера (рис. 70),
описание которого было впер¬
вые дано в 1617 г. одним
из изобретателей логарифмов,
Шотландским математиком Джон Непер.
107
Рис. 71. Счетная машина Паскаля.
Джоном Непером. С тех пор этот прибор был несколько усовер¬
шенствован. В делом прибор представляет собой обыкновенную
таблицу умножения, расположенную на девяти подвижных
линейках. В верхней части каждой клетки, разделенной косой
линией, записаны десятки, а в правой нижней — единицы.
Пусть требуется, например, умножить 287 на 5. Располагаем
подвижные линейки так, чтобы верхние их числа образовали
число 287, тогда на 5-й строке этих же линеек получим таб¬
личку:
Для получения произведения 1435 остается сложить числа
таблички по наклонному направлению. Для умножения много¬
значных чисел этот прием повторяется для каждого разряда
множителя. При этом используется старинный способ умноже¬
ния «решеткой» (см. гл. I, § 2, рис. 64).
Одна из первых вычислительных суммирующих машин была
сконструирована французским ученым Блез Паскалем в 1641 г.,
в семнадцатилетнем возрасте 1.
На этой машине (рис. 71) с зубчатыми заполнениями можно
было производить сложение и вычитание чисел. Среди мотивов,
побудивших юного Паскаля сконструировать машину, было же¬
лание облегчить тяжелый труд отца, сборщика налогов, тратив¬
шего дни и ночи на нескончаемые арифметические действия.
Машину Паскаля усовершенствовал в 1671 году знаменитый не¬
мецкий математик Г. Ф. Лейбниц (рис. 72). Несмотря на то,
что на ней можно было производить все 4 арифметических дей-
1 Первой по времени счетная машина была изобретена в 1623 г. Шиккар-
дом в Тюбингеме (Германия). Ее описание изложено в немецком журнале
«Kosmos», 1960, № 12, стр. 513—515.
т
Рис. 72. Счетная машина Лейбница.
ствия, она тоже не нашла применения из-за технического ее
несовершенства.
В России, в связи с общим оживлением экономической жиз¬
ни (построением первой железной дор,оги, переходом от ручного
труда к механизмам в некоторых отраслях промышленности),
уже в первой половине XIX в. ученые, мастера и военные изо¬
бретают ряд машин и приборов для механического производства
арифметических действий *. Машина для умножения и деления
чисел, изобретенная в XIX в. выдающимся русским математи¬
ком П. Л. Чебышевым, ныне хранится в одном из парижских
музеев2. Массовое распространение получил арифмометр, изо¬
бретенный в Петербурге в 1874 г. Однером (см. гл. I, § 1; 3)3.
Были изобретены и другие, так называемые «малые счет¬
ные машины»: счетный автомат с пропорциональным рычагом,
автомат со ступенчатыми валиками и различные полуавтоматы.
За последние два десятилетия были созданы большие авто¬
матические счетные машины. Их называют автоматическими по¬
тому, что после того, как в них устанавливаются начальные
данные и условия задачи, они действуют без малейшего вмеша¬
тельства человека вплоть до получения окончательного резуль¬
тата. Первые автоматические счетные машины были электро¬
механическими 4. В настоящее время в состав гигантских вычис-
1 См. [34].
2 Один из ранних экземляров арифмометра Чебышева хранится в Госу¬
дарственном Историческом музее в Москве. См. [37], стр. 349—354.
3 Витгольд Теофилович Однер (1845—1905), уроженец Швеции, жил и
работал в России с 1870 г.
4 Для ознакомления с устройствами малых и больших математических
машин и некоторыми элементами кибернетики (успешно осуществимого лишь
в IX—XI классах) см. Б. Н. Делон е, Краткий курс математических машин,
ГИТТЛ, М.—Л., 1952; Н. А. Архангельский, Б. И. Зайцев, Автома¬
тические цифровые машины, Физматгиз, 1952; А. Д., Смирнов, Современ¬
ные математические машины, Физматгиз, 1959; А. И. Ки т о в, Электронные
Цифровые машины, 1960; А. Е. Кобринский, Числа управляют станками,
изд. АН СССР, 1961; В. С. Михельсон, Элементы вычислительной мате¬
матики, «Высшая школа», М., 1962; А. Кондратов, Число и мысль, Дет-
№з, М., 1963.
109
лительных машин с автоматическим управлением вместо зубцов
арифмометра вводят электронные лампы с сетками, которые мо¬
гут пропускать или не пропускать электрический ток. Поэтому
их и называют электронными *. Эти машины работают в двоич¬
ной системе счисления, в которой имеются только 2 цифры:
О и 1. Нуль выражается отсутствием импульса (тока) в лампе,
единица — наличием импульса. Один импульс—1, импульс и
пауза —10, то есть 2 и т. д. (гл. I, § 13). Условия решения задач
составляются в десятичной системе, а машина автоматически
переводит их в двоичную систему счисления. Полученный ре¬
зультат снова автоматически переводится в десятичную систему.
Двоичная система счисления используется в большинстве мате¬
матических машин благодаря удобству физического представле¬
ния двоичных чисел и простоте технического осуществления
действий над ними2. Однако в практике работы машин приме¬
няются и другие более экономичные в известных условиях си¬
стемы счисления, в том числе восьмеричная и шестнадцатерич¬
ная. В частности, при переводе чисел из десятичной в двоичную
систему, удобнее пользоваться восьмеричной системой в каче¬
стве промежуточной3, ввиду того, что переход от восьмеричной
к двоичной системе очень прост (гл. I, § 13).
В нашей стране наибольшее распространение получили ма¬
шины типа БЭСМ (рис. 18), производящие до 20 000 операций
в секунду, «Раздан», «Урал—4» (рис. 73) и др. Намечен выпуск
более совершенных машин, имеющих меньшие размеры и тре¬
бующих меньше электрической энергии, причем эти машины
будут более просты в управлении и будут быстрее выполнять
операции. Рождение гигантских математических машин не
случайно. Сама жизнь требовала их создания. В наше время,
время бурного развития авиации и радиотехники, использования
атомной энергии и освоения космического пространства, непре¬
рывно растет число сложных математических задач, требующих
больших вычислений, которые надо выполнять в короткое время.
Вот почему на смену старым счетным приборам пришли мощ¬
ные электронные вычислительные машины. Эти машины упо¬
требляются для обработки данных по предсказанию погоды,
для составления географических карт по данным съемки мест¬
ности. С их помощью можно также решать шахматные задачи,
составлять расписания движения поездов, переводить тексты
с одного языка на другой, они служат для исследований в об¬
ласти истории языка и литературы. В 1960 и 1961 гг. советские
1 Первая цифровая электронная машина ЭПИАК была построена после
второй мировой войны в США.
2 А также в силу возможности широко использовать при этом методы
математической логики.
3 См. Б. В Гнеденко и др., Элементы программирования, Физматгиз,
1961, стр, 13—18.
110
Рис. 73. Электронная вычислительная машина «Урал—4».
математики применяли установленную в Академическом город¬
ке Новосибирска электронную вычислительную машину для
расшифровки письменности народа Майя, для чего каждый
иероглиф и рисунок был переведен на язык математики. Это
еще один пример успешного внедрения электронно-вычисли¬
тельной техники в те области, где можно облегчить человече¬
ский труд.
Область применения математических электронных машин с
каждым днем все больше расширяется. Они постепенно придут
на каждое крупное предприятие, в каждый научно-исследова¬
тельский институт, в сельское хозяйство и промышленность.
Не за горами то время, когда у бухгалтеров будут отобраны
счеты, и они будут вооружены новыми счетными машинами.
Ведь вместо 100—140 цифр, которые можно записать в минуту
руцою, счетная машина записывает десятки тысяч цифр, а элек¬
тронная машина за несколько секунд вычисляет то, для чего
на арифмометре потребовалось бы десятки лет. Подобно ги¬
гантским современным экскаваторам, облегчающим физический
труд человека, электронные вычислительные машины облег¬
чают умственный труд человека. Но дело не только в этом. Ма¬
тематические машины дают возможность широко применять в
науке и технике, в народном хозяйстве принципиально новые
методы. Таким образом, они служат дальнейшему прогрессу
общества.
111
®UAK НАУЧИЛИСЬ ЛЮДИ ИЗМЕРЯТЬ ВРЕМЯ
(ИЗ ИСТОРИИ КАЛЕНДАРЯ). НОВОЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЕКУНДЫ
Еще в глубокой древности люди заметили, что смена дня и
ночи происходит через какой-то определенный срок. Чередо¬
вание труда и отдыха в своей деятельности человек тесно свя¬
зал с этим явлением. Так появилось представление о сутках,
первой естественной единице измерения времени К
В соответствии с числом пальцев на одной руке, затем на
двух руках зародилась вначале пятидневная «малая неделя», а
позже десятидневная — «большая неделя». Простые наблюдения
за периодически изменяющимся видом луны — фазами — при¬
вели к второй естественной единице измерения времен — ме¬
сяцу, то есть промежутку времени от одного новолуния до сле¬
дующего. Издавна луну называли месяцем не только на рус¬
ском, но и на других европейских и восточных языках. На основе
суток и месяца были составлены первые лунные календари
древних китайцев, вавилонян и других народов. Месяц равнялся
одно время 29,5 суток. Семидневная неделя установилась как
промежуток времени от одной лунной фазы до другой, от ново¬
луния до первой четверти.
С переходом людей от кочевого к оседлому образу жизни,
с развитием земледелия возникла потребность отличать перио¬
дичность чередования весны, лета, зимы и осени, связанную с
движением Солнца. Появилась более крупная единица измере¬
ния времени — год. Так постепенно создавался солнечный ка¬
лендарь.
Продолжительность года определялась вначале очень не¬
точно. Древние египтяне, например, принимали за год проме¬
жуток времени от одного разлива Нила до следующего, и лишь
затем — от одного предутреннего восхода яркой звезды Сириуса
до другого. Постепенно они установили продолжительность сол¬
нечного года в 365 дней. В связи с тем, что в основу измерения
времени было положено вращение земли вокруг своей оси, при
построении календарей возникали большие трудности. Ведь ни
лунный месяц, ни солнечный год не содержит целого числа су¬
ток. Продолжительность первого — 29 суток, 12 часов, 44 минуты
и 3 секунды, а второго — 365 суток, 5 часов, 48 минут, 46 секунд.
Поэтому издавна ввели условный календарный месяц с целым
числом суток и условный календарный год, стремясь к тому,
чтобы год по возможности меньше отличался от истинного года
(продолжительность полного оборота Земли вокруг Солнца).
На протяжении многих веков были неоднократные попытки
1 Подробнее о календаре и измерении времени см. Д. Я. Мартынов,
Века и мгновения, изд. Московского университета, 1961 и [32].
112
Рис. 74. Наблюдение за предутренним восходом Сириуса в древнем Египте.
улучшить календарь. Одна из важнейших реформ календаря в
древности была предпринята в 46 г. до н. э. по указанию рим¬
ского императора Юлия Цезаря. Календарь, созданный тогда
группой ученых во главе с астрономом Созигеном, в честь Це¬
заря был назван юлианским. По юлианскому календарю
(ныне — «старый стиль») год содержал 365 суток, но каждый
четвертый год — високосный1 — 366 суток. Так как средняя
продолжительность года была, таким образом, 365 суток 6 часов,
то календарный год оказался длиннее солнечного на 11 минут
14 секунд. Каждые 128 лет накапливалось расхождение в целые
сутки, а когда в XVI в. была предпринята новая реформа ка¬
лендаря, это расхождение составило уже 10 суток (Проверьте!).
По рекомендации комиссии специалистов римский папа Гри¬
горий XIII одобрил в 1582 г. проект нового календаря, предло¬
женного итальянским ученым Алоизия Лилио. Этот календарь
1 Искажение латинского слова bissextilis — «еще раз шесть». Римляне
помещали добавочный день между 23 и 24 февраля и, отсчитывая остав¬
шиеся до начала следующего месяца дни, получали раз в 4 года «дважды
шестой» день до начала марта.
8 Г. И, Глейзер
113
назван григорианским («новый стиль»). День после 4 октября
1582 года был объявлен 15*м октября, чтобы поправить ошибку
в 10 дней, накопившуюся до тех пор. Новый стиль отличается от
старого тем, что в каждые 400 лет имеется меньше на 3 висо¬
косных дня, а именно, годы, оканчивающиеся двумя нулями,
считаются високосными тогда, когда они делятся без остатка
на 400. Например, 1600, 2000 — високосные годы, 1700, 1800,
1900 — простые.
Таким образом, разница в 1 сутки накапливается не за
128 лет, как в старом стиле, а за 3300 лет (проверьте!). Кален¬
дарный год нового стиля стал значительно ближе к истинному
солнечному году.
Из-за религиозных соображений многие некатолические го¬
сударства долгое время сопротивлялись введению календаря
нового стиля. В XX в. расхождение между старым и новым
стилем составило уже 13 дней. Поэтому, когда после Великой
Октябрьской социалистической революции в пашей стране был
введен новый стиль, пришлось считать день 2 февраля 1918 года
15-м февраля.
* *
*
Многие календарные термины берут свое начало от древних
римлян. Само слово «календарь» означало в Риме долговую
книгу. Должники платили проценты в день календ — так на¬
зывался первый день каждого месяца. Первый месяц года был
назван январем в честь двуликого бога Януса, одно лицо кото¬
рого было обращено вперед (в будущее, к новому), а другое —
назад (к старому, прошлому); февраль происходит, как пред¬
полагают, от латинского «februm» — очищение. Это был месяц
религиозного покаяния. В честь бога войны Марса был назван
месяц март. В апреле на деревьях раскрываются почки, слово
«aperire» и означает «раскрытие». Месяц весны май был на¬
зван по имени бога Majus, покровителя роста, июнь — по имени
богини неба Юноны. Июль и август были так названы в честь
римских императоров Юлия Цезаря и Августа. Первоначально
римский год состоял из десяти месяцев. Последние четыре из
них назывались:
Septembr — „седьмой" (сентябрь)
Oktombr —„восьмой" (октябрь)
Novembr —„девятый" (ноябрь)
Decembr —„десятый" (декабрь).
Названия дней недели в некоторых языках издавна связаны
с названием небесных тел: Солнца, Луны, Марса, Меркурия,
Юпитера, Венеры. «Неделей» (не делать) называли в старину,
а в некоторых славянских языках и теперь еще называют, день
114
отдыха. Первый день после «недели» был назван «понедельни¬
ком», второй — «вторником», четвертый — «четвергом», пятый —
«пятницей». Середина недели была названа «средой». «Суббо¬
та» происходит от древнееврейского «шабат» — покой, отдых.
Согласно библии этот день был «днем отдыха бога». С рели¬
гиозной верой в мифическое «воскресение» Христа связано на¬
звание воскресного дня.
* *
*
Применяемый ныне почти во всех странах мира календарь
нового стиля тоже не лишен крупных недостатков, из которых
самыми главными являются: неравенство месяцев, четвертей
года и полугодий и отсутствие согласованности между разными
единицами измерения времени. Так, например, ни месяц, ни год
не имеют целого числа недель, месяц не имеет постоянного чис¬
ла дней, одни и те же числа месяца приходятся на различные
дни недели и т. п. Поэтому в последнее десятилетие был поднят
вопрос о новой реформе и о введении всемирного единого
календаря. По инициативе Организации Объединенных Наций
разработано несколько проектов нового календаря. По одному
из этих проектов год состоит из 4 четвертей (кварталов) по
91 дню. Первый месяц каждого квартала начинается с воскре¬
сенья и имеет 31 день, второй месяц в 30 дней начинается со
среды, третий — с пятницы. 365-й день каждого года не входит
в состав недель и месяцев, оставляется без числа и объявляется
«Днем мира и дружбы народов». Так же без числа оставляется
прибавляемый в високосные годы день. После утверждения госу¬
дарствами, членами Объединенных Наций, новый международный
календарь начнет применяться почти во всех странах мира 1.
Бурное развитие современной науки и техники потребовало
нового определения основной единицы измерения времени — се-
с 1
кунды. Ее до недавнего определяли как часть средних
солнечных суток. Ученые установили, что в силу неравномер¬
ного вращения Земли около своей оси, точность вышеуказан¬
ного определения уже не удовлетворяет требованиям современ¬
ной техники. На Международной конференции по мерам и ве¬
сам, состоявшейся в 1960 году в Париже, было принято новое
определение секунды, основанное не на периоде вращения Зем¬
ли около своей оси, а на периоде обращения ее по орбите во¬
круг Солнца. Согласно новому определению секунда равна
1/31 556 925,9747 части тропического года (промежутка времени
между двумя последовательными весенними равноденствиями),
причем непостоянство последнего определенным образом учтено.
1 См. [28], стр. 308—310.
8*
115
|Ь О ПРОИСХОЖДЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЧИСЛОВЫХ
w СУЕВЕРИЙ
Религия, вера в существование сверхъестественных, нереаль¬
ных существ (богов, ангелов, чертей и т. п.), возникла в глубо¬
кой древности, когда люди не имели правильного представления
о вселенной, когда грозные стихийные явления — гром, молния,
буря, наводнение, землетрясение, пожары — были человеку
непонятны, таинственно загадочны; когда первобытный че¬
ловек был совершенно беспомощен перед могучими силами при¬
роды *.
Невежество, беспомощность и страх породили также разные
суеверия: гадания, колдовство. Первобытный охотник, напри¬
мер, поражал копьем им же нарисованную на песке фигуру зве¬
ря, наивно считая, что между животным и его изображением
существует какая-то тайная, сверхъестественная связь, и, что,
уничтожая рисунок, он убивает и самого зверя.
С появлением классового общества, основанного на эксплуа¬
тации человека человеком, религия стала орудием угнетения
масс трудящихся, усиливая социальную придавленность масс.
1 См. [29], [35], [39].
Н. Коперник.
116
Г. Галилей.
религия являлась во все времена источником многих суеверий,
включая и числовые. Взять к примеру число 7. В глубокой древ¬
ности, на одной из начальных стадий развития счета, это число
долгое время считалось неопределенно большим количеством
(такими в разные времена считались числа 10, 20, 401 и неко¬
торые другие). Следы такого представления о числе семь со¬
хранились до наших дней в пословицах и поговорках, вроде:
«Семь раз отмерь, один раз отрежь», «Семеро одного не ждут»,
«Один с сошкой, семеро с ложкой» и т. п. Религия же окутала
число семь таинственной оболочкой. Древние вавилоняне счи¬
тали это число священным. От вавилонян религиозное почита¬
ние семерки перешло к другим народам. В библии рассказы¬
вается, будто бог создал мир за шесть дней, посвятив седьмой
день отдыху. Греки признавали 7 мудрецов и 7 чудес мира, рим¬
ляне считали, что Рим построен на 7 холмах и т. п. Предрассуд¬
ки, связанные с числом 7, передавались европейским народам,
в том числе и русскому. В царской России число 7 применялось
в колдовстве и заклинаниях. Невежественные религиозные ле¬
кари, так называемые знахари, прибегали обычно к приемам,
1 «Сорок сороков церквей» означает «очень большое число церквей»,
«сороконожка» имеет значение «многоножки» и т. п. О счете с помощью
числа 40 и о происхождении названия «сорок» см. [28], стр. 23—24, 40—42.
рассчитанным на суеверие больных. Среди этих приемов фигу¬
рировало многократное повторение «святой» семерки: «Сделай
настой из семи порошков на семи водах, пей семь дней по семи
-ложек».
* *
*
Суеверные люди связывают несчастье и неудачу с числом 13,
называемым «чертовой дюжиной».
Откуда произошло это суеверие? В отдаленные времена у
некоторых народов число 12 пользовалось уважением и было
положено в основу системы счисления (двенадцатеричной).
Число 12 обладает многими делителями: 2, 3, 4, 6, что важно
для практики. Поэтому число 12 считали удобным, хорошим
числом, а следующее за ним простое число 13, естественно, пред¬
ставлялось неудобным, нехорошим. Религия окутала число 12
оболочкой «счастья», а 13 — «несчастья». Так, например, в биб¬
лии говорится о 12 избранных племенах, 12 святых апостолах
и т. д. Одновременно по религиозному сказанию 13-й ученик
Христа оказался предателем.
В некоторых капиталистических странах суеверия, связан-1
ные с числом 13, до того распространены и сильны1, что для
борьбы с ними учреждаются особые общества. Так, например,
в Лондоне создан «клуб 13», в котором стол умышленно серви¬
руется для 13 человек, а меню составляется из 13 блюд... Не¬
которые легкомысленные люди иногда становятся суеверными
в результате чистой случайности, связавшей число 13 с неприят¬
ным для них событием. При желании можно найти, конечно,
немало случаев, когда, наоборот, это число становится «счаст¬
ливым»...
Числовые, как и всякие другие суеверия, наносят большой
вред человеку. Они извращают представления о вещах, мешают
созданию научного понимания законов природы и общества,
приучают человека к апатии и безделию, подавляют в нем волю
и веру в собственные силы.
* *
*
Религия не только способствовала распространению вред-=
ных суеверий. Религия и церковь на протяжении многих веков
вели ожесточенную борьбу против науки и ученых, опровергав¬
ших религиозные учения.
Против религии и суеверий выступали древнегреческие
математики, философы и ученые, Демокрит из Абдеры (460—
1 В Америке, Англии и других странах есть дома, в которых квартиры
пронумерованы: 1, 2.., 11, 12, 14, 15... Квартиры № 13 нет!
118
370 г. до н. э.), Диагор Ме¬
лосский и др. Первая в ми¬
ре женщина-математик,
язычница Гипатия, была
убита в Александрии в
415 г. религиозными хри¬
стианскими фанатиками
(гл. 2, § 15). В эпоху гос¬
подства католической цер¬
кви подвергался гонениям
и преследованиям великий
итальянский ученый Га¬
лилео Галилей (1564—
1642) за то, что развил „
1ГАпепи1Л1/я Г. ппи Рис- 7й- Советский, первый искусственный
учение Коперника о дви- ник Зем запущенный 4/Х 1957 г.
жении Земли и выступил
против поддерживаемого
церковью учения Птолемея о том, будто Солнце вращается
вокруг Земли. За свои научные взгляды, за проповедование
учения Коперника и материалистических идей о бесконечности
вселенной итальянский ученый Джордано Бруно был в
XVI в. обвинен римской инквизицией в ереси и сожжен на ко¬
стре. За критику библии и иудейской религии был изгнан из об¬
щины и долгие годы скитался выдающийся философ-мате¬
риалист Барух Спиноза (1632—1677). Гонениям церкви под¬
вергались философ и математик Рене Декарт (1596—1650),
основоположник научной биологии и учения об эволюции
живой природы Чарлз Роберт Дарвин (1809—1882) и многие
Другие.
О преследовании церковниками людей науки рассказывает в
своей книге «Математика и ее значение для человечества»
(Гиз, 1923 г.) выдающийся русский математик академик Вла¬
димир Андреевич Стеклов (1863—1926), именем которого на¬
зван институт математики Академии наук СССР. «Наука и
религия — писал Герцен — заклятые враги».
Но, несмотря на ожесточенное сопротивление церкви, наука
безудержно прокладывала себе путь к истине и в наши дни
достигла огромных успехов. Выдающиеся научные и техниче¬
ские достижения, в частности, создание гигантских математи¬
ческих машин, запуск искусственных спутников Земли (рис. 75)
и космических кораблей, еще раз убедительно опровергают
суеверия и религиозное учение о том, будто человек бессилен
перед лицом природы и доказывают, что только с помощью нау¬
ки человек может познать истинные законы природы и исполь¬
зовать их для удовлетворения своих потребностей.
1Ш
ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИi
1. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
15. Перед вами картина «Устный счет» художника Н. П. Бог-
данова-Бельского (1868—1945). На ней изображен урок
арифметики в сельской школе XIX в., в которой преподавал
профессор С. А. Рачинский, покинувший университетскую ка¬
федру, чтобы стать народным учителем. На классной доске
(рис. 76) записана следующая задача 2:
102-J-ll2-f 122 -f-132 -f-142 п ,
^б!> ' Решите ее устно!
16. Величайший математик древности Архимед погиб в воз¬
расте 75 лет во время осады Сиракуз в 212 г. до н. э. Опреде¬
лить год рождения Архимеда.
17. Зная содержание предыдущей задачи, определить, сколь¬
ко лет тому назад родился Архимед.
18. Великий русский математик Н. И. Лобачевский
родился в XVIII в. и прожил 64 года, из них 56 лет в XIX в.
Найти годы рождения и смерти Лобачевского.
19. Задача из папируса Ахмеса: «У семи человек по семи
кошек, каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь съе¬
дает по 7 колосьев, из каждого колоса может вырасти по 7 мер
зерна. Как велики числа этого ряда и их сумма?»
20. Предыдущей задаче соответствует следующая русская
народная задача:
«Шли 7 старцев, у каждого старца по 7 костылей, на каждом
костыле по 7 сучков, на каждом сучке по 7 кошелей, в каждом
кошеле по 7 пирогов, в каждом пироге по 7 воробьев. Сколько
всех?»
21. Задача Алькуина: «Собака гонится за кроликом, нахо*
дящимся в 150 футах от нее. Она делает прыжок в 9 футов
каждый раз, когда кролик прыгает на 7 футов. Сколько прыж¬
ков должна сделать собака, чтобы догнать кролика?»
22. Из русской рукописи XVII в.: «Юноша некий пошел из
Москвы к Вологде и идет он всякий день по 40 верст. А другой
пошел после него на следующий день, а на всякий день идет
по 45 верст. Ино в сколько дней тот юноша постиг прежнего
юношу, сочти ми».
23. Прочитать числа 10, 12, 100, 341, 400, записанные в пяте¬
ричной системе счисления.
1 Часть исторических задач позаимствована из [117]. Часть помещенных
в этом параграфе задач может быть по усмотрению использована лишь
в VII—VIII классах
2 Подробнее о задаче С. А. Рачинского см, А. П. П о д а ш о в, Вопросы
внеклассной работы по математике в школе, Учпедгиз, 1962, стр. 107—110.
120
Рис. 76. Устный счет. С картины Богданова-Бе шского.
24. Прочитать числа 10, 100, 1000, 10 ООО, 1010, 11001, запи¬
санные в двоичной системе счисления. 3
25. Знаменитый немецкий математик К. Гаусс (1777—1855) j
еще в детстве обнаружил выдающиеся способности. Однажды \
в школе учитель предложил следующую задачу: Сложить все
натуральные числа 1 от 1 до 100. Не прошло и минуты, как *
маленький Гаусс дал ответ: 5050. Когда его опросили, как он |
решил задачу, Гаусс разъяснил: каждая пара чисел, которые
одинаково отстоят от концов ряда (например: 1 и 100; 2 и 99;
3 и 98; 4 и 97 и т. д.) составляют в сумме 101, а так как таких *
пар 50, то нужно умножить 101 на 50.
Найти таким же способом сумму всех натуральных чисел:
а) От 1 до 120; б) от 1 до 230; в) от 1 до п.
26. Пифагору приписывается следующее открытие: сумма
любого числа последовательных нечетных чисел, начиная с еди^
ницы, есть точный квадрат. Проверьте это положение устно для
суммы первых девяти нечетных чисел (1 = I2, 1 + 3 = 4 = 22,...)
27. Пифагору приписывается также следующее открытие:
Всякое нечетное число, кроме единицы, есть разность двух ква¬
дратов. Проверьте это для всех нечетных чисел от 3 до 15.
28. Из «Арифметики» таджикского ученого X—XI вв. Ибн-
Сина (латинизировано: Авиценна): «Если число, будучи разде-
1 По некоторым другим источникам — до 40, до 50 или до 60.
К. Ф. Гаусс.
122
Л. Н. Толстой.
лено на 9, дает в остатке 1 или
8, то квадрат этого, деленный
на 9, даст в остатке 1». Про¬
верьте это свойство для не¬
скольких чисел.
29. На одной из египетских
пирамид иероглифами написано
число 2520. Проверьте, что оно
является наименьшим общим
кратным всех целых чисел от 1
до 10.
30. Древнекитайская задача.
«В клетке находится неизвест¬
ное число фазанов и кроликов.
Известно, что вся клетка содер¬
жит 35 голов и 94 ноги. Узнать
число фазанов и число кроли¬
ков.»
31. Древнеиндийская зада¬
ча. «Найти число, которое, бу¬
дучи умножено на 3, затем раз¬
делено на 5, увеличено на 6,
после чего, если из него извле¬
кается квадратный корень, от¬
нимается единица и возводит¬
ся в квадрат, дает 4».
32. В одном из сборников задач XVI в. говорится о следую¬
щем свойстве простых чисел: «любое простое число, начиная
с 7, либо при делении на 6 дает в остатке 1, либо при сложе¬
нии с 1 кратно 6». Проверьте это свойство для всех простых чи¬
сел от 7 до 41.
33. Великий русский математик П. J1. Чебышев доказал, что
между любым натуральным числом п (кроме 1) и удвоенным
2п всегда находится по меньшей мере одно простое число1.
Например, между 2 и 4 находится простое число 3.
Проверьте это свойство для всех натуральных чисел от 3
до 20.
34/ Ферма считал, что для любого натурального числа п
число /г„=22” + 1 простое. Лишь в 1732 г. это предложение
было опровергнуто Л. Эйлером, доказавшим, что число
_ g
.г5 = 22 + 1 не простое, так как делится на 641. (Проверьте!2)
1 Нерешенным остается пока следующий вопрос: находится ли по край¬
ней мере одно простое число между п2 и (п + I)2?
2 В наше время известны уже 35 составных чисел вида Fn, в связи
с чем возникла новая, пока не решенная проблема: Для всякого ли п > 5
fn составное?
Рис. 77. Ибн-Сина с учениками.
Репродукция старинной персидской
миниатюры XVII в.
123.
II. ДРОБИ
2
35. Дробь у занимала особое место у египтян, они всегда
стремились выразить любую дробь в виде суммыуи единичных
дробей.
В задачах 7—9 папируса Ахмееа требуется разделить 7, 8, 9
хлебов поровну между 10 лицами.
Ответы выражаются так:
7: 10— + -—; 8: юНг + Ж + Ж1 9 : 10 = |- + Т + -^г
Проверьте!
Как можно проще представить указанные дроби в виде сум*
мы только единичных дробей?
36. Задача иранского ученого XVI в. Бехаэддина: «Разде-
лить 10 на 2 части, разность которых 5».
37. Задача из Акмимского папируса (VI в.) «Некто взял из
сокровищницы-у. Из того, что осталось, другой взял-у. Оста¬
вил же он в сокровищнице 150. Мы хотим узнать, сколько было
в сокровищнице первоначально?»
38. Надгробная надпись на могиле Диофанта имеет следую¬
щее содержание1: «Диофант провел шестую часть своей жизни
в детстве, двенадцатую — в юности, после седьмой части, про¬
веденной в бездетном супружестве и еще 5 лет, у него родился
сын, умерший по достижении половины числа лет жизни отца,
после чего Диофант прожил только 4 года». Сколько лет жил
Диофант?
39. Из русского сборника XVIII в. На вопрос: «Который
час?» был дан ответ: «у прошедших часов от полуночи до сего
2
времени равны у часов, оставшихся до полудня». Спрашивает¬
ся, сколько сейчас времени?
40. О происхождении английской меры длины ярд расска¬
зывают следующее: Король Генрих I (XII в.) приказал изме¬
рить расстояние от кончика своего носа до конца среднего
пальца вытянутой руки и принял это расстояние за единицу
измерения. Ярд до настоящего времени является в Англии ос¬
новной мерой длины. 1 ярд ^ 0,9144 м. Сколько километров в
153 ярдах?
41. Древневавилонская мера длины, стадий, употребляв¬
шаяся и у египтян, греков, римлян, делилась на 360 «локтей»
1 О более точном переводе этой надписи в стихах н об алгебраическом
решении задачи см. гл. 2, § 14.
124
и равнялась приблизительно 194 м. Найти приближенную длину
вавилонского локтя в метрической системе мер.
42. Записать без знаменателя дробь у в пятеричной системе
счисления.
43. Записать без знаменателя 2 в двенадцатеричной си¬
стеме счисления.
44. Выразить обыкновенной дробью число [11,011]2-
45. Выразить обыкновенной дробью [4,13]s.
III. ОБЩИЙ ОТДЕЛ
46. Из истории освоения космоса. Первый спутник Земли
был запущен в СССР 4. X. 1957 г.
Вот некоторые данные о первых десяти полетах в космос.
Таблица 5
Дата
запуска
Корабль
Космонавт
Страна
Кол.
обор.
вокр.
Земли
Продол,
полета
в часах
Путь,
пройден¬
ный в
космосе
в тыс. км.
12.IV.1961
Восток
Ю. Гагарин
СССР
1
1,8
41
6. VIII. 1961
Восток-2
Г. Титов
СССР
17
25,3
700
20.11.1962
Френдшип-7
Д. Гленн
США
3
4,9
125
24. V. 1962
Аврора-7
С. Карпентер
США
3
4,8
125
11.VIII.1962
Восток-3
А. Николаев
СССР
64
95
2600
12.VIII.1962
Восток-4
П. Попович
СССР
48
71
2000
З.Х.1962
Сигма-7
У. Ширра
США
6
9
250
15.V.1963
Фейт-7
Г. Купер
США
22
34,7
950
14.VI.1963
Восток-5
В. Быковский
СССР
81
119
3300
16.VI.1963
Восток-6
В. Терешкова
СССР
48
71
2000
Найти:
а) Сколько дней прошло от запуска первого в мире спут¬
ника Земли? От первого полета человека в космос? От полета
первой в мире женщины в космос?
б) Количество оборотов вокруг Земли, общую продолжи¬
тельность и путь, пройденный в космосе советскими, соответ¬
ственно американскими космонавтами;
в) Простое и процентное отношение результатов, относящих¬
ся к указанным странам.
47. В рассказе «Репетитор» великий русский писатель
А. П. Чехов приводит следующую задачу: «Купец купил 138 ар¬
шин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается,
сколько аршин он купил того и другого, если синее сукно стои¬
ло 5 руб. за аршин, а черное 3 рубля?»
125
48. Древнеримская задача. II в. «Некто, умирая, завещал:
если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 име¬
ния, а жене остальная часть. Если же родится дочь, то ей — !/з»
а жене — 2/з. Родилась двойня — сын и дочь. Как же разделить
имение?»
49. Задача из «Математики в девяти книгах». «Сообща по¬
купают курицу. Если каждый человек внесет по 9 (денежных
единиц), то останется 11, если же каждый внесет по 6, то не
хватит 16. Найти количество людей и стоимость курицы».
50. Один из лучших сборников «забавных задач» был издан
в начале XVII в. французом Баше де Мезириак. Вот одна из
них: «Рота пехоты подходит к берегу реки, но оказывается, что
мост сломан, а брода нет. У берега 2 мальчика играли в чел¬
ноке, но в таком маленьком, что в нем может переправиться
1 взрослый или двое детей. Спрашивается, как с помощью этого
челнока рота переправится на другой берег?»
51. Задача Ньютона. «Трава на всем лугу растет одинаково
густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее в 24 дня,
а 30 коров — в 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за
96 дней?» (Предполагается, что коровы поедали траву равно¬
мерно.)
52. Задача, приписываемая Эйлеру.
Решив все свои сбережения поделить поровну между своими
сыновьями, некто составил такое завещание «Старший из моих
1
сыновей должен получить 1000 рублей и у часть остатка, сле¬
дующий — 2000 руб. и у нового остатка, третий — 3000 руб.
и у третьего остатка и т. д. Определить число сыновей и раз¬
мер завещаемого сбережения».
53. Великий русский писатель Лев Николаевич Толстой
(1828—1910) проявлял особый интерес к математике и ее пре¬
подаванию, много лет преподавал начала математики в основан¬
ной им же знаменитой Яснополянской школе, написал ориги¬
нальную «Арифметику» и «Руководства для учителя» *. Своим
гостям Л. Н. Толстой нередко предлагал многие интересные за¬
дачи, среди которых находится и следующая.
Задача Л. Н. Толстого. «Косцы должны выкосить два луга.
Начав с утра косить большой луг, они после полудня раздели¬
лись: одна половина осталась на первом лугу и к вечеру его до¬
косила, а другая перешла косить на второй луг площадью вдвое
меньше первого. Сколько было косцов, если известно, что в те¬
чение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один
косец?»
1 См. [50].
II
*
АЛГЕБРА
СТОРИЯ АЛГЕБРЫ
НА УРОКАХ
VI класс
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
1. ОТ АРИФМЕТИКИ К АЛГЕБРЕ
лгебра — один из важнейших разделов математи¬
ки, который помогает решать сложные задачи, встре¬
чающиеся в науке, технике и практической жизни.
В арифметике ученики рассматривают только
четыре действия: сложение, вычитание, умножение и деление.
В курсе алгебры изучаются еще два новых действия: возведение
в степень и извлечение корня. Кроме натуральных, дробных чи¬
сел и нуля, изучаемых в школьном курсе арифметики, в алгебре
рассматриваются отрицательные, иррациональные и другие чис¬
ла. В арифметике рассматриваются лишь действия над конкрет¬
ными числами, в алгебре же изучаются действия над любыми
числами и общие свойства их. Поэтому в алгебре величины обо¬
значаются буквами, представляющими числа, то есть приме¬
няется буквенная символика. Вместе с буквами в алгебре при*
меняются и числа, выраженные цифрами.
С помощью буквенной символики возможно легко и просто
выражать законы арифметики. Например, переместительный
закон сложения, который словами выражается так: «От пере¬
мены мест слагаемых сумма не изменяется», записывается в
алгебре:
где а и b — любые числа. Аналогично можно быстро и коротко
выразить на языке алгебры переместительный закон умножения:
а —j- b — b —J—
ab = ba
и другие.
9 Г. И. Глейзер
129
-»3чм* л# ‘ J# M *•' V**^*w лМуА^1/><>
«if 4iM*i» гмД»мК *• >#х«г V».w/i o>iUj '
Рис. 78. Первая страница алгебры ал-Хорезми. Из латинской рукописи 1456 г.
Не только законы арифметики, но и законы физики и мно-»
гих других наук выражаются с помощью формул, составлен*
ных из букв, чисел, знаков действия и знаков равенства и не*
равенства. Благодаря математической символике человек, выра*
жая общие законы природы, экономит труд и время.
Алгебра складывалась в недрах арифметики, от которой она
долгое время не отделялась. В рамках арифметики древние
вавилоняне, египтяне, китайцы и греки применяли отдельные
алгебраические символы и способы решения задач. Особое раз¬
витие алгебра получила в древней Индии, а в IX—XV веках—■
в странах ислама (гл. 1, § 2; 6), в том числе в Средней Азии.
В первой половине IX в. Мухаммед ибн-Муса ал-Хорезми напи¬
сал на арабском языке книгу под названием «Китаб ал-джебр
ва-л-мукабала» (см. гл. 2, § 4; 16). От второго слова в назва¬
нии этой книги, «ал-джебр», означающего один из алгебраиче¬
ских приемов, произошло наше слово «алгебра». Ал-Хорезми
был первым ученым, отделившим алгебру от арифметики и рас¬
сматривавшим ее как отдельную ветвь математики.
Алгебру ал-Хорезми в латинском переводе (рис. 78) изучали
европейцы на протяжении XII—XVI вв. Дальнейшее развитие
алгебры связано с именами европейских ученых Н. Тартальи,
Дж. Кардано, Р. Бомбелли, Ф. Виета, Р. Декарта, И. Ныогона,
Л. Эйлера, Н. И. Лобачевского и других.
Во многих современных расчетах и вычислениях, в сельском
.хозяйстве, промышленности и технике нельзя обойтись без
помощи алгебры.
2. БУКВЫ И ЗНАКИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Употребление букв и разных других математических зна¬
ков появилось не сразу, а в результате долгого развит'ия ма¬
тематики. Оно началось по-настоящему лишь в XV в. До этого
130
все величины и действия, условия и ответы выражались почти
только словами. Алгебру тех времен называют поэтому рито¬
рической, то есть словесной.
Во второй половине XV в. в Италии, Германии и других
странах Европы были введены некоторые алгебраические сим¬
волы и положено начало употреблению букв.
В конце XVI в. французский математик Франсуа Виет
(1540—1603) ввел буквы для обозначения не только неизвест¬
ных, но и любых чисел. Это был решительный шаг для перехода
от риторической к новой, символической алгебре (см. гл. II,
§ 3; 9).
Создание алгебраической символики, имевшее место в Ита¬
лии, Германии, Франции, Нидерландах и Англии, было в основ¬
ном завершено в XVII в. Однако лишь в первой половине
XVIII в. установилась следующая общепринятая система зна¬
ков в алгебре.
При решении задач встречаются различные величины, они
обозначаются различными буквами. Прописная и строчная бук¬
ва одного наименования, например А и а, обозначают различ¬
ные величины. Знаки действий с буквами — те же, что и с чис¬
лами, однако в качестве знака умножения в алгебре редко
применяется косой крест, в основном же применяется точка,
которая зачастую опускается. Таким образом, если в древности
стоящие рядом числа складывались, то в современной алгебре
числа, представленные рядом стоящими буквами, умножаются.
В качестве знака деления в ал¬
гебре большей частью употреб¬
ляется горизонтальная дробная
черта, реже — двоеточие.
* Арифметика учит обращаться
с числами и числовыми (ариф¬
метическими) выражениями, ал¬
гебра же — с буквами и алгеб¬
раическими выражениями, соста¬
вленными из цифр, букв и зна¬
ков действий. Арифметическое
выражение есть частный случай
алгебраического. Как и в ариф¬
метике, в алгебре употребляют¬
ся скобки, которые определяют
порядок действий: сначала вы¬
полняются действия, указанные
внутри скобок. При отсутствии
скобок умножение и деление вы¬
полняют раньше сложения и вы¬
читания. . Франсуа Виет.
9*
131
Скобки и современный знак равенства встречаются впервые
в трудах математиков XVI в. Знаки неравенства > и < были
введены в первой половине XVII в. (см. гл. 2, § 10; 43).
0 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. УРАВНЕНИЯ
8. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 1
Известно, что натуральные числа возникли при счете пред¬
метов. Потребность человека измерять величины и то обстоя¬
тельство, что результат измерения не всегда выражается целым
числом, привели к расширению множества натуральных чисел.
Были введены нуль и дробные числа. Процесс исторического
развития понятия числа на этом не закончился. Однако не
всегда первым толчком к расширению понятия числа были ис¬
ключительно практические потребности людей. Бывало и так,
что задачи самой математики требовали расширения понятия
числа.
Именно так обстояло дело с возникновением отрицательных
чисел. Понятие об отрицательных числах возникло в практике
решения алгебраических уравнений.
После расширения множества натуральных чисел до дроб¬
ных стало возможным делить любое целое число на другое це¬
лое число (за исключением деления на нуль). Вычитать же" це¬
лое число из другого целого числа, когда вычитаемое больше
уменьшаемого, долгое время казалось невозможным. Однако
при решении уравнений нередко приходилось производить вы¬
читание большего числа из меньшего и сталкиваться таким об¬
разом с понятием отрицательного числа.
Не только египтяне и вавилоняне, но и древние греки не
знали отрицательных чисел. Понятие отрицательного числа по¬
является при решении систем линейных уравнений. Для про¬
изводства вычислений математики того времени пользовались
счетной доской, на которой числа изображались с помощью
счетных палочек. Так как знаков + и — в то время еще не
было, палочками красного цвета изображали положительные
числа, отрицательные же — палочками черного цвета. Отрица¬
тельные числа долгое время называли словами, которые озна¬
чали «долг», «недостача». Даже в VII в. в Индии положитель¬
ные числа толковались как имущество, а отрицательные — как
долг. В древнем Китае были известны лишь правила сложения
и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила
умножения и деления не применялись.
1 Для пп, 3—5 см. [66]; [53], стр. 434, 498—506; [125], ст-р. 48—52,
137—143.
132
4. «ЛЮДИ НЕ ОДОБРЯЮТ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ...»
ОТ ДИОФАНТА ДО БХАСКАРЫ
Еще в III в. древнегреческий математик Диофант фактиче¬
ски уже пользовался правилом умножения отрицательных чи¬
сел, например, при таких преобразованиях: (2л:—3) (2л:—3) =
= 4л:2 — 12л: + 9.
Однако —3 для Диофанта не самостоятельное отрицатель¬
ное число, а всего лишь «вычитаемое», любое же положитель¬
ное число — «прибавляемое». Правило умножения он выражает
так: «Вычитаемое, умноженное на прибавляемое, дает в ре¬
зультате вычитаемое; вычитаемое на вычитаемое дает при*
бавляемое». Отдельно взятые отрицательные числа Диофант
не признавал и, если при решении уравнения получался отри¬
цательный корень, то он отбрасывал его как «недопустимый».
Диофант старался так формулировать задачи и составлять
уравнения, чтобы избегать отрицательных корней.
Совершенно по-иному относились к отрицательным числам
индийские математики. Они признавали существование отрица¬
тельных корней уравнений1, толковали положительные числа
как представляющие имущества, а отрицательные — долги,
применяя к ним все правила четырех действий, однако без дол¬
жного теоретического обоснования.
Вот правила сложения и вычитания, изложенные индийским
математиком Брахмагуптой в VII в. н. э.:
Таблица 6
Современная запись2
Правила Брахмагупты
1.
а-\-Ъ — с
Сумма двух имуществ есть имущество.
2.
( а) + (— Ь)~ —с
Сумма двух долгов есть долг.
3.
a -f- (— b) = а — b
Сумма имущества и долга равна их разности.
4.
л —}- (— cl) = 0
Сумма имущества и равного долга равна нулю.
5.
0 -j- (— а) — — а
Сумма нуля и долга есть долг.
6.
0 -\-а = а
Сумма нуля и имущества есть имущество.
7.
0 — (— а) —а
Долг, вычитаемый из нуля, становится иму¬
ществом.
8.
'0 — а = — а
Имущество, вычитаемое из нуля, становится
долгом.
Индийский математик Бхаскара (XII в.) выразил правила
умножения и деления следующим образом: «Произведение двух
имуществ или двух долгов есть имущество; произведение
* См. [115], стр. 107.
Через а, Ъ, с здесь обозначены положительные числа,
133
имущества на долг есть убыток. То же правило имеет место и
при делении».
Однако, несмотря на широкое использование отрицательных
чисел при решении задач с помощью уравнений, в Индии отно¬
сились к отрицательным числам с некоторым недоверием, счи¬
тая их своеобразными, не совсем реальными. Бхаскара прямо
писал: «Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чи¬
сел...» (рис. 79).
Не одобряли их долго и европейские математики, потому
что истолкование «имущество — долг» вызывало недоумения и
сомнения. В самом деле, можно «складывать» или «вычитать»
имущества и долги, но какой реальный смысл может иметь «ум¬
ножение» или «деление» имущества на долг?
Вот почему с большим трудом завоевывали себе место в ма¬
тематике отрицательные числа.
5. ПУТЬ К ПРИЗНАНИЮ
В Европе отрицательные числа упоминаются уже у Леонар¬
до Фибоначчи (XII—XIII вв.). Отрицательные числа находят
некоторое применение и толкуются как «долги» и у других ев¬
ропейских ученых XIV—XVI вв.; однако большинство ученых
называет новые числа «ложными», в отличие от «истинных»
положительных чисел.
Это отношение мало изменилось и после того, как немец¬
кий математик Михаил Штифель дал в 1544 г. новое определе¬
ние отрицательных чисел, как чисел, «меньших, чем ничто», то
есть меньших нуля. Несмотря на то, что эта точка зрения озна-
VrW&vnsffгы .
Zjn .Л, ^
•згтппн |
*т*ПгпГу«|;я1*шяГгга*71 ггзтГя
I ЛЯ 4*51 ЗГ ЯЗ
ti н
Рис. 79. Страница из произведения Бхаскары.
134
чала шаг вперед в деле теоретического обоснования отрица¬
тельных чисел, общая неясность относительно природы новых
чисел не исчезла. Люди долгое время не могли привыкнуть к
мысли, что существует величина «меньше, чем ничто...» Сам
Штифель писал: «Нуль находится между истинными и абсурд¬
ными числами...»
В XVII в. математика, механика, астрономия получили ши¬
рокое развитие. Отрицательные числа, применение которых зна¬
чительно облегчило математические вычисления, все более проч¬
но входят в математику. Еще в 20-х годах XVII в. ученик Сте¬
вина, фламандский математик А. Жирар, решая уравнения,
систематически учитывает и отрицательные корни и пользуется
отрицательным числами наравне с положительными.
В знаменитом произведении французского математика, фи¬
зика и философа Декарта «Геометрия», изданном в 1637 г.,
описывается геометрическое истолкование положительных и от¬
рицательных чисел; положительные числа изображаются на
числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрица¬
тельные — влево.
Геометрическое истолкование положительных и отрицатель¬
ных чисел привело к более ясному пониманию природы отрица¬
тельных чисел, способствовало их признанию. Представляя
положительные и отрицательные корни уравнений противопо¬
ложно направленными отрезками, Декарт тем самым считал,
что эти корни равноправны, одинаково реальны, хотя и продол¬
жал по традиции называть одни истинными, другие — ложными.
Однако, ввиду того, что правила умножения и деления с
отрицательными числами по-прежнему оставались необоснован¬
ными, даже в XVIII в. все еще продолжался спор между уче¬
ными о том, можно ли признавать отрицательные числа действи¬
тельно существующими самостоятельно, как и числа положи¬
тельные. Такое признание отстаивали, в частности, Ньютон, Эй¬
лер и почти все русские математики того времени. Всеобщее
признание отрицательные числа получили в первой половине
XIX в., когда была развита достаточно строгая теория поло¬
жительных и отрицательных целых чисел.
в. ЗАДАЧА НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ИЗ «МОСКОВСКОГО
ПАПИРУСА»
К первым, самым древним задачам на составление уравне¬
ний, по-видимому, относятся некоторые задачи, содержащиеся
в древнеегипетском «Московском папирусе».
Вот одна из них:
Задача 54. «Число и его половина составляют 9». Найти
число.
135
©ДЕЙСТВИЯ НАД АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ
ВЫРАЖЕНИЯМИ. ИЗ ИСТОРИИ
АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИМВОЛИКИ
7. НАЧАЛО БУКВЕННОЙ СИМВОЛИКИ. ВОЗВЕДЕНИЕ
В СТЕПЕНЬ
У древних вавилонян, египтян и китайцев имелись некото¬
рые отдельные знаки — иероглифы для немногих математиче¬
ских понятий 1. Однако лишь в «Арифметике» Диофанта (III в.)
встречаются зачатки алгебраической буквенной символики
(рис. 80). Не любое число обозначал Диофант буквой, а только
неизвестное и его степени. Неизвестное, названное «аритмос»
(число), обозначалось знаком 5 2, игравшим роль нашего «х».
Особые обозначения имели вторая степень неизвестного, на¬
званная «динамос», то есть «сила», третья степень — «кубос»,
четвертая — «динамо — динамис», пятая — «динамо — кубос»,
шестая — «кубо-кубос». Диофант обозначал обратные значения
Знак сложения отсутствовал, слагаемые писались рядом.
Знак вычитания — А3. Знак равенства — i — первая буква в
греческом слове «изос», равный. Кроме указанных символов и
сокращений, все остальные действия, условия и ответы выра¬
жались у Диофанта словесно.
И в древней Индии не было особого знака для сложения.
Знаком вычитания служила точка над вычитаемым. При деле¬
нии делимое ставилось над делителем. Сокращенные записи
употреблялись для обозначения умножения неизвестного и из¬
вестных. При наличии многих неизвестных, каждому из них при¬
писывалось для отличия название особого цвета: «черное», «жел¬
тое», «голубое» и т. д.
В деле применения сокращенных записей и символов индий¬
цы значительно превзошли Диофанта.
Подобно Диофанту европейские математики XVI и частично
XVII в. вторую степень неизвестного называли «сила» (по-латы¬
ни Census), а также «квадрат» (Quadratus), третью степень —
«куб» (Cubus). Виет применял сокращения: N (Numerus, чи¬
сло) для первой степени, Q — для второй, С — для третьей,
1 К пп. 7—10 см. [115], стр. 339—344; [121], стр. 108—116, 213—217,
230—232; [112], стр. 14—18; [114], стр. 207—208.
2 Предполагают, что речь идет о греческой букве «сигма».
3 Возможно, что это сокращение слова «лейпсис» — «требуется». См*
[114], стр. 207*
неизвестной и ее степени, то есть —, —г» ... —гг особыми
X X* хь
о
знаками; знак обозначал отвлеченную единицу.
136
QQ — для
мер:
четвертой степени и т. д. Напри-
1С — 8Q -f- 16N aequatur 40
означает в современной записи: л:3 — 8х2 +
4- 16л: = 40.
М. Штифель писал АЛА вместо Л3; анг¬
лийский математик начала XVII в. Т. Гар-
риот писал аааа вместо а4. Англичанин Оут-
ред писал в 1631 г. Aq вместо Л2, Ас вместо
Л3, Aqq вместо Л4, Aqc вместо Л5 и т. д.
Современная запись, вроде Y3, Y4 и т. д.,
была введена Декартом и систематически
применялась им в его «Геометрии». Декартово обозначение сте¬
пеней, которое применяли в XVII в. Валлис, Ньютон и другие,
сохранилось и поныне.
х°
М
Xх
S
х2
дг
х3
Кт
X'
ДТД
X5
дк*
X6
KYK
Рис. 80.
Зачатки
алгебраической
символики
у Дио-
фанта.
8. О КОЭФФИЦИЕНТЕ
Применяя числовой коэффициент, Диофант его пишет после
знака неизвестной. Вместо нашего 8х3, например, Диофант пи¬
шет ЮЧ], то есть л:38 и т. д. Диофант называл коэффициент
«множеством».
Коэффициентом пользовались и древнеиндийские ученые.
Многие европейские математики XVI—XVII вв. не пользовались
постоянным термином для понятия коэффициента. Так, напри¬
мер, Декарт говорил об «известной величине» в члене уравне¬
ния, другой французский математик, «Попиталь (1661—1704) —■
об «умножающей величине», Ньютон писал то «предстоящее
число», то «известная величина», то «член».
Термин «коэффициент», от латинского coefficiens — содей*
ствующий (подразумевается множитель), ввел Виет, однако в
современном смысле его употребляли систематически лишь в
XVII в. английские математики Оутред и Валлис, французский
математик Дешаль и другие.
». ОТ АЛГЕБРЫ РИТОРИЧЕСКОЙ К АЛГЕБРЕ
ClIHlBO Л ИЧЕ СБОЙ
Труды ал-Хорезми (VIII—IX вв.), Абу Камила (IX—X вв.),
ал-Караджи (X—XI вв.), ал-Бируни (X—XI вв.), Омар Хайяма
(XI—XII вв.), ал-Каши (XIV—XV вв.) и других ученых стран
ислама значительно способствовали развитию алгебры, в част¬
ности теории уравнений. Однако в этих трудах отсутствовали
символы и знаки. Как содержание задачи и название величин,
так и все действия, решение и ответ записывались полностью
словами. Такой же, риторической, алгебра оставалась долгое
137
1 I р 2
1 I P 2
2
40
Р
41 Р
4
2
Р
41 Р
4
4
Р
8 3 Р 24
2 Р
32 1 р 16
I
Р
2
5
Р
о
о.
о
3 Р
8о 2 р 8о
Что означает (X + 2}2 == X2 + 4 X + 4,
(x2+4x + 4)2= x4 +8x3 + 24x2 + 32x + 16.
И Т. Д.
Рис. 81. Математические символы в алгебре 1572 г. итальянского
математика Бомбе ли.
время и в Европе 1 Еще в XVI в. уравнение, которое ныне запи¬
сывается в виде хг + ах~Ь, записывалось так: «Куб р некоторое
количество вещей равно числу». Здесь буква р стоит вместо на¬
шего знака +; «некоторое количество» — вместо а; «вещь» —
вместо х, «число» — вместо Ь.
В 1572 г. видный итальянский математик Р. Бомбелли запи¬
сывал алгебраические выражения так, как показано на рис. 81.
Такие громоздкие записи затрудняли алгебраические действия,
тормозили развитие науки. Между тем не только необходимость,
но и возможность введения и употребления кратких записей и
буквенной символики стали особенно очевидными после изобре¬
тения книгопечатания в XV в.
В конце XVI в. Виет, основываясь на частично разработан¬
ной до него символике, стал обозначать буквами не только не¬
известные, но и коэффициенты при них, ввел общую буквенную
символику. Однако записи уравнений Виета содержали еще мно¬
го слов вместо символов. Например, вместо знака равенства
он писал слово «равно» и т. п.
Алгебраическая символика совершенствовалась и продол¬
жала развиваться в трудах Рене Декарта, Исаака Ньютона,
Леонарда Эйлера и других ученых XVII—XVIII вв.
Алгебраическая символика значительно облегчила изучение
математики и способствовала ее полному расцвету.
1 Алгебру Диофанта, индийских и западноевропейских математиков до
XV—XVI вв., в которой употреблялись отдельные буквы, обозначения и со¬
кращения слов, иногда называют синкопирующей (от греческого «синкопе» —
сокращение),
138
-| о. ФОРМУЛЫ УМНОЖЕНИЯ.
геометрическая алгебра
в ДРЕВНОСТИ
А
с
в
Найденные древневавилонские кли- / н
нописные тексты свидетельствуют, что ' у'
некоторые формулы умножения (квад- /
рат суммы, квадрат разности, произве- /
дение суммы на разность) были извест- у'
ны еще около 4000 лет назад Г Их зна- /
ли, кроме вавилонян, и другие народы
древности, конечно, не в нашем, симво- D
лическом виде, а словесно, или — как, рис §2.
например, у древних греков — в геомет¬
рической форме.
Ученые древней Греции представляли величины не числами
или буквами, а отрезками прямых, которые обозначали буквами
или концы которых отмечали с помощью двух букв. Вместо
«произведения аЬ» говорилось (и рассматривался) «прямоуголь¬
ник, содержащийся между отрезками а и 6», вместо а2— «квад¬
рат на отрезке а» и т. д. Эта алгебра, оперировавшая не числа¬
ми, а отрезками, площадями и объемами фигур, была названа
в XIX в. «геометрической алгеброй».
Вторая книга «Начал» Евклида содержит ряд алгебраиче¬
ских тождеств, сформулированных и доказанных геометрически.
Вот, к примеру, как там выражается правило «квадрата
суммы»:
Если прямая линия (имеется в виду отрезок АВ) как-либо
рассечена (точкой С), то квадрат на всей прямой (то есть по¬
строенный на АВ) равен квадратам на отрезках (то есть сумме
квадратов, построенных на 4С и СВ) вместе с дважды взятым
прямоугольником, заключенным между отрезками.
Доказательство следует из самого чертежа (рис. 82).
Вавилоняне тоже называли произведение аЪ «прямоугольни¬
ком», о2 — «квадратом», но они наряду с этим употребляли и
числа, и арифметические выражения, в то время как греки ста¬
рались все переводить на геометрический язык.
О причинах появления геометрической алгебры и о ее зна¬
чении для развития математики будет идти речь в старших
классах. Тут отметим, что в XVI в. геометрическая алгебра со
своими громоздкими методами доказательств и длиннейшими
словесными формулировками тормозила развитие алгебры.
Даже Виет, примкнув к античной геометрической традиции, во
многих отношениях ограничил возможности буквенной алгебры.
«
Лишь ученым XVII в., в первую очередь Ньютону, удалось пол¬
ностью отказаться от геометрической алгебры и перестроить
алгебру на новой, современной основе.
11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ В «АРИФМЕТИКЕ»
Л. ф. МАГНИЦКОГО
«Арифметика» Магницкого, изданная в 1703 г., наряду с по¬
дробным и систематическим изложением арифметики, содержа¬
ла также сведения из алгебры, геометрии, тригонометрии, астро¬
номии и навигации1. По книге Магницкого русский читатель
впервые знакомился с действиями над многочленами, с прави¬
лами решения уравнений первой и второй степени. Хотя в целом
Магницкий не употреблял еще алгебраической символики, он
все же был знаком с нововведением Виета, следуя которому
обозначал неизвестные величины прописными гласными, а из¬
вестные— согласными буквами. Подобно английскому матема*
•тику Т. Гарриоту, он еще пишет bb, bbb, ... вместо современных
b2, 63, ...
В левом нижнем углу заглавного листа «Арифметики» Маг¬
ницкого изображена доска со следующей записью:
2Я + 1
3R+2
6q + 3R
+ 4R-±-2
6q-+-\R-t-2.
Это не что иное, как умножение «столбиком» двух много¬
членов. Буквой R (начальная в латинском слове Radix — «ко¬
рень») обозначено неизвестное (наш х), буквой q — неизвестное
в квадрате. Черточка с точками -г- служила знаком вычитания.
Задание ученикам. Задача 55. Переписать запись
Магницкого современными символами и проверить умножение.
12. «ВСЕОБЩАЯ АРИФМЕТИКА» И. НЬЮТОНА
(Рекомендуется использовать предлагаемый материал на по¬
следнем, итоговом уроке по алгебре в VI классе 2).
В развитии алгебры как науки и как учебного предмета
большую роль сыграла книга гениального английского физика
и математика Исаака Ньютона — «Всеобщая Арифметика», из¬
данная в 1707 г. Эта книга является продолжением и заверше¬
нием трудов Виета, Декарта и других ученых в деле перехода
1 См. [28], стр. 211-213, 349—361; [118], стр. 13—27,
2 См. [67].
140
от риторической и геометрической алгебры к символической,
современной алгебре.
В предисловии к своей книге Ньютон писал: «Вычисления
производятся либо при помощи чисел, как в обыкновенной
арифметике, либо при помощи букв, как в алгебре. Оба приема
основаны на одинаковых принципах и ведут к одной цели, при¬
чем арифметика — частным путем, алгебра же — всеобщим». Ал¬
гебраическим путем «решаются очень трудные задачи, решение
которых было бы тщетно искать при помощи одной арифметики.
Однако все действия арифметики столь необходимы в алгебре,
что они лишь совместно образуют полную науку вычислений...»
Ньютон решительно порвал с влиянием «геометрической ал¬
гебры». В своей книге он изложил алгебру по-новому, дав ей
арифметический, современный характер. Основной целью его
lainfH являлось численное решение задач с помощью составле¬
ния уравнений, поэтому почти половину «Всеобщей Арифмети¬
ки» составляют задачи. Ньютон оказал огромное влияние на
последующее развитие алгебры. После него авторы учебников
уже рассматривают алгебру как общую арифметическую дис¬
циплину, математики занимаются изучением и дальнейшим раз¬
витием численных методов решения алгебраических уравнений.
Конечно, как учебник. «Всеобщая Арифметика» в настоящее
время устарела. Многие из вопросов, содержащихся в ней, в со¬
временных руководствах не рассматриваются, другие же, отсут¬
ствующие в ней, включены в наши учебники. Важные изменения
внесены и в расположение материала.
Большое историческое значение этой книги состоит в том,
что от нее берет начало современная алгебра.
VII класс
©УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ
НЕИЗВЕСТНЫМ
13. ИЗ ИСТОРИИ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ЛОЖНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
В ЕГИПТЕ 1
Уже около 4000 лет назад вавилоняне решали разные за¬
дачи землемерия, строительства и военного дела с помощью
уравнений первой и второй степени. Уравнения тех же степеней
умели решать в древности также китайские и индийские ученые.
Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаются во
многих текстах глубокой древности. В Московском папирусе и
1 См. [41], стр. 287—289; [114], стр. 40—41; [24].
141
I
f Д ^
а Д “
1 2 1 1 \
Рис. 83. Древнеегипетская запись уравнения л: ^^—1—у—F- 1) ==: 37
иероглифами (сверху) и иератическим письмом (снизу). Справа —
символ неизвестной, «хау».
в папирусе Ахмеса, например, содержатся задачи, в которых
неизвестное имеет особый символ (рис. 83) и название: «хау»
или «аха». Оно означает «количество», «куча». Так называемое
«исчисление кучи», или «вычисление хау» приблизительно соот¬
ветствует нашему решению задач с помощью уравнений.
Вот пример задачи д ее решения из папируса Ахмеса:
Задача 56. «Количество и его четвертая часть дают вме¬
сте 15».
В настоящее время для решения задачи составляется урав¬
нение
15.
Решая его, находим: х = 12.
В папирусе Ахмеса решение начинается гак: «Считай с 4; от
них ты должен взять четверть, а именно 1; вместе 5». Затем
делится 15 на 5, умножается частное на 4 и получается неиз¬
вестное 12.
Египетский метод решения является по существу методом
предположения. Начинают с того, что в качестве неизвестного
берут произвольное число, в данном случае 4, так как четверть
его, 1, просто вычисляется. Далее 4+1=5. Однако по усло¬
вию задачи результат должен быть не 5, а 15, следовательно,
во сколько раз 15 больше 5, во столько раз неизвестное должно
быть больше произвольно взятого числа 4.
Этот метод широко применялся в Азии и Европе в средние
века и получил название «метода ложного положения». При¬
менялся и «метод двух ложных положений», о котором будет
идти речь позже (см. гл. 2, § 13).
14. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ДРЕВНЕМ ГРЕЦИИ И В ИНДИИ
В «геометрической алгебре» древних греков решение урав¬
нений сводилось к построению отрезков, представляющих поло¬
жительные корни уравнений. Зачатки псзой, арифметической
алгебры встречаются лишь у Диофанта.
142
Вот пример задачи из «Арифметики» Диофанта.
Задача 57. «Если прибавить к 20 и отнять от 100 одно и то
же число, то полученная сумма будет в 4 раза больше получен¬
ной разности. Найти неизвестное.»
В 1881 году была найдена зарытой в земле близ Бахшали
(северо-западная Индия) рукопись неизвестного автора, кото¬
рая, как полагают, относится к VI—VIII вв. В этом памятнике,
написанном на березовой коре и известном в настоящее время
под названием «Бахшалийской рукописи», содержится такая
задача:
Задача 58. «Из четырех жертвователей второй дал вдвое
больше первого, третий — втрое больше второго, четвертый —
вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал
первый?»
15. О ПРОИСХОЖДЕНИИ СЛОВА «АЛГЕБРА»
В истории арифметики и алгебры большое значение имеют
труды Мухаммеда ал-Хорезми К Написанный им в начале IX в.
алгебраический трактат, известный под названием «Китаб ал-
джебр ва-л-мукабала» (Книга об алджебр и алмукабале),
явился первым в мире самостоятельным сочинением по алгебре.
Для ал-Хорезми алгебра — это искусство решения уравнений,
необходимое людям — как писал он — «в случаях наследования,
наследственных пошлин, раздела имущества, торговли и во всех
их деловых взаимоотношениях, или же в случае измерения зе¬
мель, проведения каналов, геометрических вычислений и других
предметов различного рода...»
Уравнения ал-Хорезми решает с помощью двух приемов:
а) Ал-дежебр («восстановление»),то есть перенесение вычита¬
емых (отрицательных) членов из одной части уравнения в дру¬
гую. Дело в том, что в то время отрицательные числа считались
абсурдными, фиктивными; перенесение же их с противополож¬
ным знаком в другую часть уравнения и превращение их таким
образом в положительные числа как бы восстанавливало их, пре¬
вращало в настоящие числа;
б) алмукабала («противоставление»)—отбрасывание из
обеих частей уравнения одинаковых членов, вроде нашего при¬
ведения подобных членов.
Пусть имеется, например, уравнение:
7х—1\=3х — 3
Прием «алджебр» даст:
7х —{— 3 = Зх —}— 1 !•
1 См. {125], стр. 191—201.
143
Применяя «алмукабала», отнимаем Зх и 3 от обеих частей
уравнения, после чего получаем:
4* = 8.
Отсюда: _ 2
Из заглавия книги ал-Хорезми и взято название «алгебра».
16. И. НЬЮТОН О ЯЗЫКЕ АЛГЕБРЫ
В своей «Всеобщей Арифметике» Ньютон называет буквы,
знаки действий, алгебраические выражения и уравнения язы¬
ком алгебры. Чтобы решить задачу — пишет Ньютон — нужно
лишь «перевести ее с обыкновенного языка на язык символиче¬
ских выражений», язык алгебры. Перевод этот означает состав¬
ление уравнения, решение которого ведет к решению постав¬
ленной задачи.
Вот один из примеров данных Ньютоном:
Задача 59. «Купец имел некоторую сумму денег. 100 фун¬
тов из нее он затрачивал каждый год на содержание своей
Таблица 7
На обыкновенном языке
На языке алгебры
Купец имел некоторую сумму де¬
нег:
В первый год он истратил 100 ф.
и у него осталось:
К остатку он добавил третью его
часть и у него стало:
В следующем году он вновь истра¬
тил 100 ф. и у него осталось:
Увеличив остаток на он имел:
В третьем году он снова израсхо¬
довал 100 ф. и у него осталось:
Увеличивая снова остаток на он
О
имел:
Теперь сложившаяся сумма вдвое
больше первоначальной:
X
х—т
t 1лпч 1 х — 190 Ах — 400
С* —юо) + .—g—== -—
Ах — 400 1ЛЛ Ах — 700
3 3
Ах — 700 1 Ах — 700
3 1 3 3
16л: — 2800
9
16л — 2800 .0 16л — 3700
9 9
16л —3700 1 16л —3700
9 1 3 9
64л —14 800
27
64л —14 800 _
27
144
семьи, прибавляя к оставшейся сумме одну ее треть. Через три
года он обнаружил, что его состояние удвоилось. Сколько де¬
нег было у него вначале?»
Таким образом — заключает Ньютон — задача выражается
уравнением:
64x —14 800
27 “ ’
решив которое, вы найдете х.
Задание ученикам. Перевести на язык алгебры и ре¬
шить задачи из гл. 1, § 17 № 36, 37, 48.
0 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
17. ИЗ ИСТОРИИ сковок
При разложении многочленов на множители и других пре¬
образованиях часто применяются скобки К
Знаки для объединения составных величин выражения и
для обозначения порядка выполнения действий появились в
XV в. В своем арифметико-алгебраическом сочинении «Наука
о числе в трех частях», написанном в 1484 г., французский ма¬
тематик Никола Шюке подчеркивал многочлены горизонталь¬
ной чертой. Так же поступал еще в 1550 г. итальянский мате¬
матик Р. Бомбелли, который, однако, позже положил начало
квадратным скобкам, применяя вместо скобок букву L и пере¬
вернутую q.
Круглые скобки появляются в XVI в. в трудах Штифеля,
Тартальи и других. В конце того же века появляются и фигур¬
ные скобки в книгах Виета. Однако в течение почти всего
XVII в. употреблялись не скобки, а горизонтальная черта, про¬
водимая над выражением, подлежащим включению в скобки.
Так поступают Декарт, Гарриот и другие. Ньютон пользовался
даже несколькими надписанными друг над другом чертами;
например:
У — 4 X у + 5 X у — 12 X у + 17 = 0.
означало у него
{[(У —4)у —J— 5] у — 12} у -j- 17 = 0.
Широкое применение скобки получили лишь в первой поло¬
вине XVIII в. благодаря Лейбницу и, еще больше, Эйлеру.
Само название «скобки» произошло от введенного Эйлером не¬
мецкого термина Klammer — скобки.
1 См. [115], стр. 339—344; [67],
10 Г. И. Глейзер
145
18. ОВ ОСНОВНЫХ ЗАКОНАХ ДЕЙСТВИЙ.
РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН У ЕВКЛИДА
Основные законы действий над числами были известны еще
в глубокой древности и принимались как очевидные на основе
многовековой человеческой практики1. С развитием теоретиче¬
ской арифметики и алгебры появляется и постепенно разви¬
вается потребность в доказательстве тех или иных свойств.
В VII книге «Начал» Евклид доказывает переместительный
(коммутативный) закон умножения: ab = Ьа. Во II книге он
доказывает геометрическим методом распределительный (ди¬
стрибутивный) закон умножения:
а (Ь + с + d -f-■...) == ab -f- ас -f- ad + ...
Это свойство формулируется в «Началах» так: если из двух
отрезков (а и т) один (т) рассечен на сколько угодно частей
(b, с, d), то прямоугольник (am), заключенный между этими
отрезками (сделайте чертеж!), равен сумме прямоугольников
(ab, ас, ad), заключенных между пересеченным отрезком (а) и
каждой из частей (b, с, d), другого отрезка (т).
Доказательство непосредственно следует из чертежа.
Попытка доказательства законов действий была предпри¬
нята многими учеными, в том числе Г. Ф. Лейбницем в XVII в.,
Л. Эйлером, Л. Бертраном и А. М. Лежандром в XVIII в. Стро¬
гое обоснование правил и законов арифметических действий
было достигнуто лишь во второй половине XIX в. В этом же
веке были введены термины «коммутативный» (от латинского
commutare — менять, перемещать) и «дистрибутивный» (от ла¬
тинского distributus — разделенный, распределенный), которые
встречаются впервые в 1814 г. у француза Сервуа, а также
«ассоциативный» — сочетательный (от латинского associare —
ассоциировать, сочетать), введенный в 1843 г. английским мате¬
матиком В. Р. Гамильтоном.
19. ОВ ОДНОЙ ФОРМУЛЕ ДИОФАНТА
В своей «Арифметике» Диофант применяет формулы умно¬
жения для вывода некоторых свойств целых чисел и тождеств.
Задача 60. Проверить следующее тождество Диофанта:
{а2+Ь2) (с2 + d2) = (ас + bd)2 + (ad — be)2.
20. О ЗАПИСИ И ЗНАКАХ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
Косой крест X употребляется как знак умножения с 1631 г.
В XIV—XVI вв. он применялся как подсобный знак при реше¬
нии самых разнообразных задач (проверка действий с помощью
1 См. [89], стр. 297—298; [112], стр. 368—370; [28], стр. 210—211,
146
девятки, решение с помощью метода ложного положения
и т. п.). Чтобы не смешивать косой крест с буквой х, которой
обозначают обычно неизвестное, Лейбниц в конце XVII в. стал
обозначать умножение при помощи точки. Запись умножения
без всякого знака между множителями встречается уже у Дио¬
фанта при употреблении числового коэффициента, а также в
индийской «Бахшалийской рукописи».
Запись дробей с помощью горизонтальной черты — древнего
происхождения (гл. 1, § 11), ею пользовались Герон и Диофант.
Она встречается затем у арабского математика XII в. ал-Ха-
сара, ее применял Леонардо Фибоначчи (XII—XIII вв.), однако
в общее употребление дробная черта вошла лишь в XVI—■
XVII вв К
Любопытно отметить, что в Бахшалийской рукописи знак де¬
ления ставится вслед за делителем. Нечто аналогичное заме¬
чается в XVI—XVII вв. при записи деления многочленов: круг¬
лая скобка в качестве знака деления ставится вслед за дели¬
телем, за которым следует делимое, затем снова скобка и
частное.
Вот, например, как записывал Ньютон деление многочлена
(а3 + 2а2с— а2Ь— 3abc + Ь2с) на (а— b):
-f- 2 а2с
а — Ь)а3— a2b — 3abc-{-b2c(a2-\-2ac— Ьс
а3— а2Ь
0 + 2а2с — Шс
2а2с — 2 abc
U — abc -(- b2c
— аЬс~\~Ъ2с
О 0.
21. «УНИВЕРСАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА» Л. ЭЙЛЕРА
Первая русская книга по алгебре была написана инженером
Н. Е. Муравьевым и издана в 1752 г. Петербургской Академией
наук. Однако в учебной алгебраической литературе XVIII в.
первое место занимала «Универсальная арифметика» Леонарда
Эйлера, написанная в Петербурге в 1767 г. и там же вышедшая
в свет на русском языке в 1768 г., а на немецком — в 1770.
Книга Эйлера 2 сыграла большую роль в развитии матема¬
тического образования не только в России, но и за рубежом.
Она была переведена на французский3, английский и другие
* О знаках деления см. гл. 1, § 6.
I См. [80], 1947, № 4; [52], стр. 130—142.
Французский перевод появился в 1774 г. с приложениями Лагранжа, от¬
носящимися к диофаитову анализу.
10*
147
языки и переиздавалась около 30 раз в XVIII и XIX вв. на
6 европейских языках (по-русски — трижды). По образцу «Уни¬
версальной арифметики» Эйлера составлялись впоследствии
все учебники элементарной алгебры.
В книге Эйлера содержится ряд замечательных тождеств.
Вот одно из них:
Задача 61. (р2 + cq2) {г2 + cs2) = (pr + cqs)2+c(ps—qr)2.
Проверьте!
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
22. И. НЬЮТОН ОВ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ДРОБИ
Во «Всеобщей арифметике» Ньютона понятие дроби вводится
следующим образом:
«Запись одной из двух величин под другой, ниже которой
между ними проведена черта, обозначает частное или же вели¬
чину, возникающую при делении верхней величины на нижнюю.
0
Так, j означает величину, возникающую при делении 6 на 2,
5
то есть 3, a -g — величину, возникающую при делении 5 на 8,
то есть восьмую долю числа 5. Далее, у есть величина, возни¬
кающая при делении а на 6. Если, например, а есть 15 и 6 есть
о а «г с -г ab — ЬЬ
3, то у будет 5. 1очно так же ~ уу х означает величину, полу¬
чающуюся при делении аЬ — ЬЬ на а + х и т. д. Величины та¬
кого рода называются дробями».
Далее Ньютон обращает внимание читателей на следующие
два обстоятельства: 1) В то время, как запись целого числа пе¬
ред арифметической дробью означает их сумму, запись целого
числа перед алгебраической дробью означает их произведение,
например:
4=3+Т но зт=3Т;
2) Следует различать алгебраическую дробь от того или
иного ее числового значения, а именно: числовое значение алгеб¬
раической дроби может выражаться, в зависимости от тех или
иных значений, входящих в нее букв, дробным либо целым чис¬
лом, например, числовое значение дроби у есть у при а = 3,
6 = 5, или же 4 — при а = 8, 6 = 2.
148
23. ОБОЗНАЧЕНИЕ ^-=а~п
а
Отрицательные показатели степеней встречаются еще в сочи¬
нении Н. Шюке — «Наука о числах трех частях» (XV в.). Си¬
стематически их стал впервые применять И. Ньютон, который в
одном из своих писем от 1676 г. писал: «Как алгебраисты
вместо аа, ааа и т. д. пишут а2, а3 и т. д. так я... вместо
^ ’ ~а? ПИШУ с_1’ а~2’ а~3 и т- д->:>*
Обозначения с помощью отрицательных показателей широко
используются в современной технике и науке с целью сокра¬
щения громоздких записей и упрощения действий, когда речь
идет о числах, представляющих очень малые величины. Напри¬
мер: 1) Толщина пленки капельки масла, расплывшегося по по¬
верхности жидкости, приблизительно равна 0,0000002 мм, то есть-
или же 2.10-7 мм. 2) диаметр молекулы, принятой за шар,.
приблизительно равен 0,00000001 мм, то есть мм, что обо¬
значается через 10"8 мм.
24. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ У ДИОФАНТА
В «Арифметике» Диофанта содержится много примеров дей¬
ствий над алгебраическими дробями.
Вот два из них, записанных в современных символах.
о со ( 144 \ on I 60 — 60х2+2520
Дача о*. ^4_р90о —60jt2j * х2 ~ 30 — JC4-f 900 — 60х2*~
■з „ „ со 96 12 __ 12-л:2 -f - 24
л343 W. зб_ 12х2 6 —х2 +36 —12jc2 '
Проверьте!
25. ОДНО ТОЖДЕСТВО ЭЙЛЕРА
Среди многих тождеств, принадлежащих знаменитому мате¬
матику, члену Петербургской Академии наук JT. Эйлеру, имеет¬
ся следующее:
Задача 64. *+*+ [±<™]3=
Проверьте!
26. О БУКВЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТАХ. ЗАДАЧА АРИАБХАТТЫ
Обозначение неизвестных величин буквами восходит, как
известно, по крайней мере, к Диофанту (рис. 84). Однако полное
значение буквенной символики выявилось лишь после того, как
149?»
(
КТ Г) Д ДГ tF ter КТ а.
KayS^-irv, ^й^кг, ^ 154W O/V'rtJ вдЬ
S4^ wnell/w* tje» Y. 9^. о К юГб»г, иш мхр-
<W4 <г*^|оу 'к tmfaywv &£* Y • fc)f. о & сж^^о/Зу
•f. (^t<wr т»УХАЛ]\^а(&|4^(Г» # t(jeu ts^|
олЛ «rU.^ , ^tX/T* 5\o о5Н<гнуло(г r, fc^at
О V\ (jv ^лп>7«<г<ин MmJ 'aX&pour Kv^ov огоХХа^т^'
«г<ъЗД!г, £\.ша,ц.окъ€о<7 Кем Lfw <urr oU/u^'12’ 2^ cfii
«Пуло^г £^$y r, 2^. о ^ CIC клг£т ieuSHnN^
*7т\5Мгт!а^ЬУ*ГО<r^ ^\a€&KV§0(Tj Koi b4\ Ojirr СТН/ЛСЧО^А1
SSjo vuk. «fnixrHjxOV t/fcJv'Y r. tcf^f
Рис. 84. Из «Арифметики» Диофанта. Рукопись относится к XIV в.
Верхняя строка означает в современной записи: 8л:3 — 16л:2 = л:3, точ¬
нее: л:3 • 8 — л:2 - 16 = л:3 ■ 1 (см. стр. 16, 136, 137).
Виет впервые применил ее для обозначения известных величин
и коэффициентов. Благодаря введению буквенных коэффициен¬
тов стало возможным исследование алгебраических уравнений в
общем виде и применение общих формул. Виет применял в
качестве коэффициентов прописные согласные В, D, G, ...,
а прописные гласные А, Е, J ... — для обозначения неиз¬
вестных.
Декарт ввел для обозначения коэффициентов строчные на¬
чальные буквы алфавита а, Ь, с, ...; для неизвестных же —
последние буквы: х, у, z.
Задачи, сформулированные в общем виде, без конкретных
числовых данных, встречаются уже в древности и в средние
века.
В астрономическом трактате «Ариабхаттиам» индийского
ученого Ариабхатты (род. в 476 г.) имеется следующая задача:
Задача 65. «Два лица имеют равные имущества, причем ка¬
ждое состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и
известного числа монет. Однако как число вещей, так и сумма
денег у них различны. Какова стоимость вещи?»
150
КООРДИНАТЫ И ГРАФИКИ
27. О КООРДИНАТАХ
Идея координат зародилась в древности. Первоначальное их:
применение связано с астрономией и географией, с потребностью
определять положение светил на небе и определенных пунктов
на поверхности земли при составлении календаря, звездных и
географических карт. Знаменитый древнегреческий астроном
Клавдий Птолемей (II в.) уже пользовался долготой и широ¬
той в качестве географических координат. Следы применения
идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки
(палетки) обнаружены на стене одной из погребальных камер-
Древнего Египта Г Прямоугольной сеткой пользовались и ху¬
дожники Возрождения.
Общематематическое значение метода координат открыли и
впервые выявили французские математики XVII в. Пьер Ферма
и Рене Декарт. Изложение метода координат было впервые-
опубликовано в «Геометрии» Декарта в 1637 г. Отсюда и назва¬
ния: «Декартова система координат», «Декартовы координаты».
Термины «абсцисса», от латинского abscissus — отсекаемый
(отрезок на оси иксов), «ордината» от латинского ordinatus —
упорядоченный (отрезок на оси игреков) восходят к латинскому
переводу (XVI в.) сочинений
великого древнегреческого ма¬
тематика Аполлония и были
введены в употребление в 70—
80-х годах XVII в. Г. В. Лейб¬
ницем. Им же абсцисса вме¬
сте с ординатой были названы
координатами.
28*. О МЕТОДЕ КООРДИНАТ
И О ГРАФИКАХ
Открытие метода координат
сыграло огромную роль в даль¬
нейшем развитии математики,
в частности геометрии.
Учащимся известно, с ка¬
кими трудностями приходится
встречаться при доказатель¬
стве теорем и при решении за¬
дач в геометрии. В большой
См. гл. 3, § 7. Рене Декарт.
151
мере это объясняется отсутствием общих приемов в элементар¬
ной геометрии. Иначе обстоит дело в алгебре, где существует
один общий способ решения задач путем составления уравне¬
ний и нахождения неизвестных по определенному правилу или
алгоритму !. Выбрав декартову систему координат на плоско¬
сти, можно положение любой точки плоскости определить с по¬
мощью ее координат, то есть соответствующей парой чисел.
В дальнейшем учащиеся узнают, что линиям, общие свойства
которых известны, соответствуют определенные уравнения. Так,
например, прямая линия изображается алгебраически уравне¬
нием первой степени (именно поэтому названным линейным).
Итак, благодаря системе координат стало возможным перехо¬
дить от точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии
к алгебре и находить, таким образом, общие приемы для ре¬
шения самых разнообразных геометрических задач.
С другой стороны, с помощью метода координат стало воз¬
можным строить графики (от греческого «графикос» — чертеж¬
ный) уравнений, изображать геометрически (посредством точек
и линий) различные зависимости, выраженные алгебраически,
то есть при помощи формул и уравнений. Так, например, графи¬
ком прямо пропорциональной зависимости у = kx является пря¬
мая линия, проходящая через начало координат; графиком об¬
ратно пропорциональной зависимости ху = а является линия,
называемая гиперболой.
Графики дают наглядное представление о характере зависи¬
мости между величинами, они часто применяются в разных об¬
ластях науки и техники. В настоящее время изготавливаются
специальные аппараты для автоматической регистрации хода
того или иного физического явления или технического процесса.
Перо такого аппарата вычерчивает на бумаге некоторую линию,
являющуюся графиком соответствующей функции (суточного
изменения температуры, атмосферного давления, движения по¬
ездов и т. п.), аргументом которой обычно является время2.
©СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
29. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Известно, что уравнение с двумя неизвестными выражает за¬
висимость между двумя величинами и является, вообще говоря,
неопределенным, то есть имеет бесчисленное множество решений.
1 О смысле и происхождении слова «алгоритм» см. гл. 1, § 2; 16 и
гл. 2, § 6.
2 См. Брадис В. М. и др., Алгебра, ч, II, Учпедгиз, 1960, стр. 86—89.
Л52
Решением неопределенных уравнений занимались в древно¬
сти китайцы, греки и индийцы. В «Арифметике» Диофанта при¬
ведено много задач, решаемых им с помощью неопределенных
уравнений разных степеней, при этом он допускает в качестве
решений любые положительные дробные и целые числа 1.
Вот пример задачи, сводящейся к решению линейного не¬
определенного уравнения.
Задача 66. «Найти два (неотрицательных) числа, раз-*
ность между которыми в 6 раз больше разности их квадратов.»
Задача сводится к решению уравнения
х — у = 6(х2 — у2). (1)
Ввиду того, что х и у различны, то х — уф 0. Из (1) следует
неопределенное уравнение первой степени:
•К + У = -£-■ (2>
Часть решений (2) можно записать в следующей таблице:
Таблица 8
0
1
1
1
1
X
18
12
9
6
1
1
1
1
0
У
6
9
12
18
Решением неопределенных уравнений в целых числах, назы¬
ваемых диофантовыми, много занимались ученые Индии. Они
разработали общий метод для решения линейных диофантовых
уравнений (см. гл. 2, § 14) и для некоторых уравнений второй
степени в связи с разными астрономическими задачами. Изу¬
чением неопределенных уравнений, теория которых известна в
настоящее время под названием «Неопределенный анализ»,
или «Диофантов анализ», занимались знаменитые математики
разных времен, в том числе Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Че¬
бышев, Золотарев и многие другие.
Задание ученикам. Построить график уравнения (2)
задачи 66.
30. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ
НЕИЗВЕСТНЫМИ И ЕЕ РЕШЕНИЕ В ДРЕВНОСТИ
Задачи, решение которых соответствует современным зада¬
чам на составление и решение системы уравнений с несколь¬
кими неизвестными, встречаются как в вавилонских и египет-
1 Именно поэтому Диофант заним’ался неопределенными уравнениями не
первой степени, а второй, третьей и более высоких степеней.
153
•ских текстах II тысячелетия до н. э., так и в трудах древнегре*
ческих, китайских и индийских ученых1.
В VII—VIII книгах китайского трактата «Математика в де«
вяти книгах» рассматриваются системы уравнений и даются
краткие правила их решения, при этом все изложение ведется
словесно. Коэффициенты системы уравнений располагались на
счетной доске в виде таблицы. При повторных действиях на
доске было замечено, что с коэффициентами следует системати¬
чески поступать по одному и тому же правилу для нахождения
решения системы уравнений.
Вот пример из VII книги вышеназванного трактата, озаглав¬
ленной «Избыток — недостаток» 2.
Задача 67. «Покупают сообща буйвола. Если каждые
семь семей внесут по 190, то недостаток равен (то есть не хва¬
тит) 330. Если же каждые 9 семей внесут по 270, то избыток
равен (то есть останется) 30. Сколько было семей и сколько
стоит буйвол?»
В трактате коротко излагается прием решения задачи, ко¬
торый в современной символике сводится к следующему:
Если имеется система:
а1х у =
а2х — у — Ь2,
то надо составить из коэффициентов таблицу вида
'аг а2
А ь2
(2)
из которой находятся неизвестные величины, взяв:
b2 — bx alb2 — a2bl
Л — 9 у •
&2 &\ #1
(3)
Обозначая через х количество семей, у — стоимость буй¬
вола, составляем систему уравнений:
f 190
I —f~x — У =— 330,
| 30* — у = 30.
Сравнивая с (1), получим:
190
а2 = 30, 6, = —330, Ь2 = 30;
(10
1 Рекомендуется увязать материал* с понятием определителя второго по¬
рядка, доступным для учащихся.
2 См. [53], стр. 491—498, 558—564.
154
таблица (2) представится в виде:
190
7
—330 30
30
а решение системы, согласно (3), будет:
30 • 190
30—(—330) 0 7
х = inn == 126; у—
30 • 330
30-
190
30
190
= 3750.
Так же решается в VII книге и задача 48 из гл. 1, § 17_
Проверьте!
81. ДВЕ ЗАДАЧИ АЛ-ХОРЕЗМИ
Решить следующие задачи ал-Хорезми:
Задача 68. «Разность двух чисел равга двум, отношение
их — числу, обратному двум. Найти числа».
Задача 69. «Найти два числа, зная, что сумма их равна Ю,.
а отношение 4».
32. ИЗ «ГРЕЧЕСКОЙ АНТОЛОГИИ» 1
В X—XIV вв. пользовался большим успехом анонимный
сборник, содержащий 48 задач, написанных в стихах, большей
частью гекзаметром2, который получил название «Греческая
антология» (от греческих слов «антос» — цветок и «лего» — со¬
бираю— так назывались сборники избранных произведений
древнегреческой поэзии).
Это одно из первых сочинений по занимательной математике.
Вот одна из задач этого сборника:
Задача 70. — «Хроноса 3 вестник, скажи: какая часть дня
миновала?
— Дважды две трети осталось того, что прошло от начала».
Решить задачу способом составления системы двух уравне¬
ний с двумя неизвестными, учитывая, что под «днем» древние
подразумевали 12 часов.
1 См. [117], стр. 16, 87.
2 Гекзаметр — стихотворный размер в античной поэзии («Илиада» И’
«Одиссея» Гомера, «Энеида» Виргилия и др.).
3 «Хронос» по-гречески означает «время».
1
“S3. УЧЕНИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ И РАСШИРЕНИЕ
ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ 1
Алгебра возникла из решения практических задач с по¬
мощью уравнений. Учение об уравнениях является поныне глав¬
ным содержанием школьного курса алгебры. Но для решения
уравнений нужно уметь производить действия над одночленами,
многочленами и алгебраическими дробями, уметь производить
разложение на множители, раскрывать скобки, приводить дробь
к общему знаменателю и т. п. Таким образом, учение об урав¬
нениях невозможно без учения о законах действий. Действия,
производимые для решения уравнений, выполняются, по суще¬
ству, над числами, так как буквы применяются в элементарной
алгебре для обозначения чисел. J
При решении уравнений нельзя, вообще говоря, ограничить¬
ся множеством одних только целых положительных чисел. Если
рассматривать, например, общее уравнение первой степени с
одним неизвестным:
ax-\-b = c, (1)
тде а, Ьу с — натуральные числа, то его корень
уже не всегда будет натуральным числом, он может быть и
дробным, если а не является делителем (с — 6), может быть
отрицательным, если с < Ь.
Итак, для того чтобы можно было решать любое уравнение,
„даже только первой степени, необходимо иметь, помимо нату¬
ральных чисел, еще и дробные и отрицательные числа, то есть
необходимо иметь все рациональные числа.’
Таким образом, практика решения уравнений первой сте¬
пени и потребность сохранения указанного алгоритма породили
необходимость расширения понятия числа от множества поло¬
жительных целых чисел до множества рациональных чисел.
Зная это множество, можно решать любое уравнение (и систему
уравнений) первой степени. При этом коэффициенты а, Ь, с мо¬
гут быть любыми рациональными числами.
Решение уравнений второй степени требует дальнейшего рас¬
ширения множества чисел, введения новых чисел. Об этом будет
речь идти в VIII и старших классах.
1 Рекомендуется в качестве итоговой «беседы» на последнем уроке ал¬
гебры в VII классе,
156
(2)
VIII класс
0 СЧЕТНАЯ ЛИНЕЙНА
34*. о СЧЕТНОЙ ЛИНЕЙКЕ
Идея счетной логарифмической линейки, как вспомогатель¬
ного средства для производства вычислений, была заложена в
первых же таблицах логарифмов. Первая счетная линейка, изо¬
бретенная английским ученым Эдмондом Гунтером, появилась
в 1624 г., то есть через 10 лет после появления первой таблицы
логарифмов и одновременно с появлением первой таблицы
десятичных логарифмов. Линейка Гунтера не имела вначале
движка и состояла только из одной логарифмической шкалы.
Складывая и вычитая отрезки этой шкалы с помощью измери¬
тельного циркуля, автор выполнял действия умножения и деле¬
ния. В 1627 г. английский математик Вильям Оутред пользо¬
вался счетной линейкой круговой формы; он же, как предпо¬
лагают, впервые применил пару логарифмических шкал в
линейке. Однако лишь в 1657 г. второй шкале была придана
близкая к современной форма движка. В 1671 г. новый счетный
прибор был несколько видоизменен англичанином Пестри-
джем, который и ввел для него название «линейка». В 1851 г.
французский инженер А. Мангейм усовершенствовал счетную
линейку изобретением «бегунка».
В XIX—XX вв. появились различной формы и длины счет¬
ные линейки, однако наибольшее значение имеют в настоящее
время так называемые «нормальные» линейки длиной в 25 см.
Такие линейки, имеющие по 6—7 шкал и дающие возможность
производить не только умножение и деление, но и возведение
в степень, извлечение корня и другие действия, изготовляются
в СССР под разными марками: «Прометей», «Металлометр»
и др. Они позволяют находить результат вычислений с точ¬
ностью (трех, иногда и четырех значащих цифр), которая яв¬
ляется достаточной в большинстве технических расчетов.
Счетная линейка, изобретенная 300 с лишним лет назад, по¬
лучила цосле ряда усовершенствований широчайшее распростра¬
нение лишь в XX в. Еще в XIX в. логарифмические таблицы
были основным средством вычислений, в настоящее же время
они все более вытесняются логарифмической линейкой. Сотни
тысяч инженеров, конструкторов и других специалистов нашей
страны пользуются при технических расчетах счетной линейкой.
Она обладает целым рядом достоинств: будучи удобной и обще¬
доступной по размерам и стоимости, линейка дает огромный
выигрыш во времени и в затрате сил, необходимых для выпол¬
нения вычислений и позволяет находить надежные результаты.
157
4ft КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ И КВАДРАТНЫЕ
Kj/ УРАВНЕНИЯ
35. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
ИЗ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 1
Потребность в действиях возведения в степень и извлечения
корня была вызвана, как и другие четыре арифметические дей¬
ствия, практической жизнью. Так, наряду с задачей вычисления
площади квадрата, сторона которого а известна, с давних вре¬
мен встречалась обратная задача: какую длину должна иметь
сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась b?
Еще 4000 лет назад вавилонские ученые составляли наряду
с таблицами умножения и таблицами обратных величин (при
помощи которых деление чисел сводилось к умножению) таб¬
лицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. Пр и этом
они умели находить приблизительное значение квадратного кор¬
ня из любого целого числа. Вавилонский метод извлечения
квадратного корня можно иллюстрировать на следующем при¬
мере, изложенном в одной из найденных при раскопках клино¬
писных табличек:
Найти квадратный корень из 1700.
Для решения задачи данное число разлагается на сумму
двух слагаемых:
1700= 1600+ 100 = 402+ 100,
первое из которых является полным квадратом. Затем указы¬
вается, что
VT™=4°+TT5- = 41t-
Правило, применявшееся вавилонянами, может быть выражено
так: чтобы извлечь корень из числа с, разлагают его на сумму
а2 + b (b должно быть достаточно малым в сравнении с а2) и
вычисляют по приближенной формуле:
= (1)
Вавилонский метод извлечения квадратного корня был заим¬
ствован греками. Так, например, у Герона Александрийского на¬
ходим:
/Тб0 = у"144+16 = 12 + -Ц= 12-|. (10
Задание ученикам. Задача 71. Вычислить Y1700 с
помощью счетной линейки и по таблицам и сравнить с приве¬
денным результатом (1').
’ 1 См. [41], стр. 311—315; [114], стр. 56—57.
158
36. о ЗНАКЕ КОРНЯ
Начиная с XIII в. итальянские и другие европейские мате¬
матики обозначали корень1 латинским словом Radix (ко¬
рень) или сокращенно R, затем Re.. В XV в. Н. Шюке писал-*
R212 вместо Y12.
Ныне применяемый знак корня произошел от обозначения,
которое применяли немецкие математики XV—XVI вв., называв¬
шие алгебру «Косс», а алгебраистов «коссистами». (Матема¬
тики XII—XV вв. писали свои произведения на латинском языке.
Они называли неизвестное res — вещь. Итальянские математики
перевели res словом cosa. Последний термин был заимствован
немцами, откуда и появились «Косс» и «коссисты»).
Некоторые немецкие коссисты XV в. обозначали квадратный
корень точкой впереди числа или выражения; корни высших
степеней — несколькими точками. Из ставившихся перед под-
радикальными числами точек, перешедших в скорописи в чер¬
точки, вероятно, возник знак корня V (без верхней черточки
нашего знака Y )• Этот знак встречается впервые в немецкой
алгебре «Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил
алгебры, обычно называемых Косс» (рис. 85), изданной в 1525 г.
в Страсбурге. Автором этой книги был уроженец Чехии, учитель
математики в Вене, Криштоф Рудольф из Явора (княжество,
принадлежавшее в то время богемскому королевству). Книга
пользовалась успехом и переиздавалась на протяжении XVI в.
Лист Б iiij. Vo.: Надо заметить, что radix quadrata (квадрат- ^
ный корень) будет в этом algorithmo (способе; вычисления)
обозначаться ради краткости знаком ч/: так, ✓ 4 означает
radicem quadratam из 4.
Лист (Evi), Rti.: Всякое число, снабженное простой
двойной V*/ или тройной точкой wa/, называется в этой книге
деноминативным числом (т. е. подрадикальным числом). Наобо¬
рот, вейкое число, которому не предшествует такая точка,
называется абсолютным, прими это во внимание.
Лист (Е vij), Vo.: Radix cubica означается в этом algorithmo
через следующий знак vw< Таким образом w^8 означает radix
cubica из 8.
Рис. 85. Первое появление в печати (1525 г.) знака радикала. Из хрестома¬
тии по истории математики Г. Вилейтнера, ОНТИ, 1935 г.
1 См. ЦП], стр. 38—39; [125], стр. 411—414.
159
и вплоть до 1615 г. Знаком корня пользовались в XVI в,
М. Штифель, С. Стевин 1 и др.
В 1626 г. нидерландский математик А. Жирар, сочетая знак
Рудольфа с показателями Шюке, ввел близкое к современному
2 3
обозначение V, V и т. д. Это обозначение стало вытеснять знак
R. Однако долгое время писали, например, V а + b (вместо со¬
временного Ya~srb). Лишь в 1637 г. Рене Декарт соединил знак
корня с горизонтальной чертой, применив в своей «Геометрии»
современный знак корня У. Этот знак вошел во всеобщее упо¬
требление лишь в начале XVIII в.
37. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ДРЕВНЕМ ВАВИЛОНЕ
Необходимость решать уравнения не только первой, но и вто¬
рой степени 2, еще в древности была вызвана потребностью ре¬
шать задачи, связанные с нахождением площадей земельных
участков и с земляными работами военного характера, а также
с развитием астрономии и самой математики. Квадратные урав¬
нения умели решать около 2000 лет до н. з. вавилоняне. При¬
меняя современную алгебраическую запись, можно сказать, что
в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие,
например, полные квадратные уравнения:
х2-\-х = ~, х2 — х= 14 у.
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских
текстах, совпадает, по существу, с современным, однако неиз¬
вестно, каким образом дошли вавилоняне до нахождения пра¬
вила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты при¬
водят только задачи с решениями, изложенными в виде рецеп¬
тов, без указаний относительно того, каким образом они были
найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне,
в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного чи¬
сла и общие методы решения квадратных уравнений.
38. КАК СОСТАВЛЯЛ И РЕШАЛ ДИОФАНТ
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения
алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд за-
1 Стевин писал показатель корня в кружке справа от знака радикала:
V© V® ... вместо нашего V,V и Т. д.
См. [24], [108], [110].
дач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи
составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения реше¬
ния умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач:
Задача 72. «Найти два числа, зная, что их сумма равна
20, а произведение — 96.»
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи
вытекает, что искомые числа не равны, так как, если бы они
были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100.
Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы,
то есть 10 + х, другое же меньше, то есть 10 — х. Разность
между ними 2х. Отсюда уравнение:
(10 + *)(10 — je) = 96,
или же:
100 — jc2 = 96;
х2 — 4 = 0. ^
Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Ре¬
шение х ~ —2 для Диофанта не существует, так как греческая
математика знала только положительные числа.
Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного
одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения:
У (20 у) = 96, ‘
у2 — 20^ + 96 = 0. {)
(
Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность ис¬
комых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести
задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).
Задание ученикам. Задача 73. «Решить следующие
квадратные уравнения из «Арифметики» Диофанта: 1) \2х2 +
+ х = 1; 2) 630*2 + 73* = 6.»
3®. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ИНДИИ
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астро¬
номическом трактате «Ариабхаттиам»], составленном в 499 г.
индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой ин¬
дийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило
решения квадратных уравнений, приведенных к единой канони¬
ческой форме:
ах2 -\-Ьх = с, а> 0 (1).
1 См. [115], стр. 98—108.
11 г. И. Глейзер
161
В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отри¬
цательными. Правило Брахмагупты, по существу, совпадает с
нашим.
В древней Индии были распространены публичные соревно¬
вания в решении трудных задач. В одной из старинных индий¬
ских книг говорится по поводу таких соревнований следующее:
«Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый чело¬
век затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и
решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в сти¬
хотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в.
Бхаскары.
3 а д а ч а 74.
«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам...
Всласть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая...
Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о дву¬
значности корней квадратных уравнений. Соответствующее за¬
даче 74 уравнение
и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата,
прибавляет к обеим частям 322, получая затем:
х2 — 64л: + 322 = — 768 + 1024,
(л — 32)2 = 256,
х — 32 = ±16,
лх — 16, .*2 = 48.
40. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ У АЛ-ХОРЕЗМИ
В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классифика¬
ция линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 ви¬
дов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корням», то есть ах2 — Ьх,
2) «Квадраты равны числу», то есть ах2 = с,
3) «Корни равны числу», то есть ах = с,
4) «Квадраты и числа равны корням», то есть ах2 + с = Ьх,
5) «Квадраты и корни равны числу», то есть ах2 + Ьх = с,
6) «Корни и числа равны квадратам», то есть Ьх + с = ах\
Бхаскара пишет под видом
х2 — 64л =— 768
162
Для ал-Хорезми, не знавшего отрицательных чисел, члены
каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При
этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет
положительных решений. Автор излагает способы решения ука¬
занных уравнений, пользуясь приемами ал-джебр и ал-мукабала.
Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не
говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, на¬
пример, что при решении неполного квадратного уравнения
вида 1), ал-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учи-
тывает нулевого решения, вероятно, потому,. что в конкретных
практических задачах оно не имеет значения. При решении пол¬
ных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых
примерах излагает правила решения, а затем' их геометрические
доказательства. Приведем пример:
Задача 75. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти
корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10x).
Решение автора гласит примерно так: раздели пополам чи¬
сло корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведе¬
ния отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2.
Отними 2 от 5, получишь 3 — это и будет искомый корень, или
же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат ал-Хорезми является первой дошедшей до нас кни¬
гой, в которой систематически изложена классификация квад¬
ратных уравнений и формулы их решения. О геометрических
доказательствах ©тих формул в книге ал-Хорезми будет идти
речь на кружке (см. гл. 2, § 17).
41. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЕВРОПЕ XIII—XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хо¬
резми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», на¬
писанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибо¬
наччи. Этот объемистый труд \ в котором отражено влияние как
математики стран ислама, так и древней Греции, отличается и
полнотой и ясностью изложения. Автор разработал самостоя¬
тельно некоторые новые алгебраические примеры решения за¬
дач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чи¬
сел. Его книга способствовала распространению алгебраических
знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других
странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили
почти во все европейские учебники XVI—XVII и частично
XVIII веков.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведен¬
ных к единому коническому виду
х2 Ьх — с
1 Изданная в Риме в середине прошлого века «Книга абака» Фибоначчи
содержит 459 страниц,
11*
163
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов Ь, с,
было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем
виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положи¬
тельные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано,
Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положи¬
тельных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в., благодаря
трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ ре¬
шения квадратных уравнений принимает современный вид.
42. О ТЕОРЕМЕ ВИЕТА
Теорема, выражающая связь между коэффициентами квад¬
ратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им
сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если
В + D, умноженное на А минус А2, равно BD, то А равно В и
равно D».
Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая
гласная буква, означала у него неизвестное (наше «х»)$тласные
же В, D — коэффициенты при неизвестном. На языке современ¬
ной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает:
Если имеет место:
(a -f- b) х — х2 = ab,
то есть:
х2 — (a-\-b)x-\-ab = О,
то:
хх = а\ х2 — Ь.
43. О ЗНАКАХ РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА
При исследовании корней квадратного уравнения по дискри¬
минанту и при построении графиков, мы часто применяем на¬
ряду со знаком равенства и знаки неравенства.
В 1577 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равен¬
ства, он мотивировал свое нововведение следующим образом:
никакие два предмета не могут быть между собою более рав¬
ными, чем два параллельных отрезка. Знак равенства Рекорда
стал, однако, общеупотребительным лишь в XVIII в., после того,
как им стали пользоваться Лейбниц и его последователи.
Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский уче¬
ный Гарриот ввел употребляемые поныне знаки неравенства,
обосновывая (в «Практике аналитического искусства», вышед¬
шей в 1631 г. посмертно) нововведение1 следующим образом:
если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке
равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение
1 До него писали словами: «больше», «меньше».
164
может иметь место справа (>), или слева (<). В первом слу¬
чае образованный знак неравенства будет обозначать «больше»,
во втором — «меньше».
Несмотря на то, что знаки неравенства были предложены
через 74 года после предложенного Рекордом знака равенства,
они вошли в употребление намного раньше последнего. Одна из
причин этого явления коренится в том, что типографии применя¬
ли в то время для знаков неравенства уже имевшуюся у них ла¬
тинскую букву V, тогда как наборного знака равенства ( = ) у
них не было, а изготовлять его тогда было нелегко.
44, ИЗ ИСТОРИИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩЕЙ ОДНО УРАВНЕНИЕ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
И ОДНО ЛИНЕЙНОЕ
В древневавилонских текстах 1, написанных 3—2 тысячелетия
до и. э., содержится немало задач, решаемых с помощью со¬
ставления систем уравнений, в которые входят и уравнения вто¬
рой степени. Вот одна из них:
Задача 76. «Площади двух своих квадратов я сложил:
5 2
25-Т2* Сторона второго квадрата равнастороны первого и
еще 5.»
Соответствующая система уравнений в современной записи
имеет вид:
х2 —j- у2 = 25 -j2 г
2 0)
у ~ — х-^-5.
Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во вто¬
ром уравнении у в квадрат и, согласно формуле квадрата сум¬
мы, которая ему, видимо, была известна, получает:
у2 = -д х2 -f- -g- х -J- 25.
Подставляя это значение у в первое из уравнений (1), автор
приходит к квадратному уравнению:
+ = (2)
Решая ©то уравнение по правилу, применяемому нами в на¬
стоящее время, автор находит х, после чего определяет у. Итак,
хотя вавилоняне и не имели алгебраической символики, они ре¬
шали задачи алгебраическим методом.
‘ См. [109], стр. 85—102; [119], стр. 298—315.
165
1
Диофант, который не имел обозначений для многих неиз¬
вестных, прилагал немало усилий для выбора неизвестного та¬
ким образом, чтобы свести решение системы к решению одного
уравнения. Вот один пример из его «Арифметики».
Задача 77. «Найти два числа, зная, что их сумма равна
20, а сумма их квадратов — 208».
Эту задачу мы решили бы путем составления системы урав¬
нений:
* + у = 20,
' л:2 + у2 = 208.
Диофант же, выбирая в качестве неизвестного половину раз¬
ности искомых чисел, получает (в современных обозначениях):
!(* —y) = z,
у(* + У) = Ю.
Складывая эти уравнения, а затем вычитая одно из другого (все
это Диофант производит устно), получаем:
x — z-4-Ю; у = 10— z.
Далее:
х2 + у!2 = (z + 10)2 -(- (10 — zf = 2z2 + 200.
Таким образом,
2z2 + 200 = 208,
откуда:
z = 2; * = 2+10=12; у = 10 —2 = 8.
о ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ1
45. ДЕКАРТОВА ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА — ПОВОРОТНЫЙ
ПУНКТ В РАЗВИТИИ МАТЕМАТИКИ...
В первой половине XVII в. вместе с введением и распростра¬
нением буквенной символики в математику проникает идея из¬
менения и движения, идея переменной величины.
Действительно, ведь в алгебре под каждой буквой можно по¬
нимать различные значения той или иной величины. Рассмот¬
рим, к примеру, многочлен:
М — 2*у2 + 5*2у — 3*+ 1.
В зависимости от значений, приписываемых переменным величи¬
нам х и у, будем иметь бесчисленное количество значений зави¬
1 См. [9J; [58], стр. 267—294; [62], стр. 52 и сл.; [51], стр. 477—481,
симой переменной М. Таким образом, алгебра — это по сути
учение об операциях над переменными.
Понятие переменной величины было впервые введено в мате¬
матику Ренэ Декартом в своем знаменитом произведении «Гео¬
метрия», изданном в 1637 г. Это была новая геометрия, изло¬
женная с помощью алгебры. Она называется в настоящее время
«аналитической геометрией». Излагая метод координат, Декарт
рассматривает изменение ординаты у точки, описывающей не¬
которую линию, в зависимости от изменения абсциссы х той же
точки.
Так, следуя Декарту, в уравнении
y = ax-\-b (1)
математики стали рассматривать х и у не просто как неизвест¬
ные, а как переменные величины, само же уравнение (1) — как
закон изменения у в связи с изменением х, как выражение за¬
висимости между двумя переменными величинами.
Геометрическим образом этой зависимости, то есть графиком
уравнения (1), является прямая линия. Уравнение
ах -f- b = 0 (2)
можно рассматривать как частный вид уравнения (1). Ведь мы
можем приписывать х любое значение и получать бесчисленное
количество соответствующих значений у, одно из которых будет
равно нулю (при х = — в этом случае х называется корнем
уравнения (2).
Все в природе находится в состоянии непрерывного измене¬
ния и развития. В практической деятельности человеку по¬
стоянно приходится иметь дело с величинами, изменяющимися в
зависимости от времени и других условий, то есть с перемен¬
ными величинами. Отсюда и возникла идея переменной вели¬
чины.
Внедрение понятия переменной величины в математику и
физику имело большое значение для развития как этих наук, так
и всего естествознания и техники. Продолжая дело Декарта, его
предшественников и современников, великие хматематики XVII в.,
Ньютон и Лейбниц, завершили создание самой важной ветви
высшей математики, так называемого «математического ана¬
лиза», в котором понятия переменной величины и функции имеют
первостепенное значение. С введением понятия переменной ве¬
личины начинается новый, важнейший период в истории разви¬
тия математики. Вот почему в «Диалектике природы» Фридрих
Энгельс писал: «Поворотным пунктом в математике была де¬
картова переменная величина. Благодаря этому в математику
вошли движение и диалектика»...1
1 Ф. Энгельс, Диалектика природы, Госполитиздат, М., 1955, стр. 206.
167
46. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
В математике идея функции родилась вместе с понятием пе¬
ременной величины. На первых ступенях своего развития поня¬
тие функции, как и понятие переменной величины, было тесно
связано с геометрическими и механическими представлениями.
У Декарта (и Ферма) представление о переменной величине по¬
явилось в связи с изучением геометрических вопросов, с рас¬
смотрением изменения ординаты в зависимости от изменения
абсциссы точки, описывающей определенную линию. У Нью гона
наглядное представление о переменной величине родилось в
связи с изучением вопросов механики и величин, тесно связан¬
ных с течением времени.
Термин «функция» (от латинского functio — исполнение, со¬
вершение) ввел впервые Лейбниц в 1694 г. Функциями он на¬
звал абсциссы, ординаты и другие отрезки, связанные с точкой,
описывающей некоторую линию. Дальнейшее развитие матема¬
тического анализа привело уже в первой половине XVIII в. к
переходу от наглядной, геометрической или механической, точки
зрения на функцию к точному ее «аналитическому», то есть ал¬
гебраическому определению. В 1718 г. известный швейцарский
математик Иоганн Бернулли писал: «Функцией переменной ве¬
личины называется количество, составленное каким угодно спо¬
собом из этой переменной и постоянных». Аналогичное опреде¬
ление дал ученик Иоганна Бернулли, академик Леонард Эйлер,
который в знаменитом своем произведении «Введение в ана¬
лиз», изданном в Петербурге в 1748 г., писал «Функция пере¬
менной величины есть аналитическое выражение, составленное
каким-нибудь способом из этой переменной величины и из чи¬
сел, либо из постоянных величин».
Таким образом, согласно точке зрения Бернулли и Эйлера,
каждая функция должна быть выражена аналитически, то есть
некоторой формулой, например: у = ах + Ь\ у = ах2 + Ьх + с;
у — х3, y — Vx s = vt, v~Y2as и т. д. Такая точка зрения
на функцию сохранилась на протяжении всего XVIII в. Это
объясняется тем, что математические формулы были наилучшим
и вполне достаточным средством для исследования всех извест¬
ных в ту эпоху функций.
47. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ
Развитие науки в XIX в. потребовало более широкого взгляда
на понятие функции. В основу этого понятия была положена
идея о соответствии двух множеств.
Уже в 1817 г. в труде «Чисто аналитическое доказательство»
выдающийся чешский математик Б. Больцано определяет функ¬
цию как зависимость, заданную любым законом, лишь бы ка-
168
1
ждому значению одной из переменных соответствовало опреде¬
ленное значение другой1. В «Теории функций» (1830 г.) Боль¬
цано писал: «Дозволено мыслить закон зависимости одного
числа от другого каким мы хотим».
Новое определение функции встречается у знаменитого рус¬
ского математика Н. И. Лобачевского в 1834 г. и у немецкого
математика Лежен-Дирихле в 1837 г. Лобачевский писал: «Об¬
щее понятие требует, чтобы функцией от х называть число,
которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изме¬
няется. Значение функции может быть дано или аналитическим
выражением, или условием...» Лежен-Дирихле так определяет
понятие функции: «у есть функция переменной х (на отрезке
а^Сх^СЬ), если каждому значению х (на этом отрезке) соот¬
ветствует совершенно определенное значение у, причем безраз¬
лично, каким образом установлено это соответствие — аналити¬
ческой формулой, графиком, таблицей, либо даже просто сло¬
вами». Это определение функции, в котором упор делается не
на аналитическое выражение, а на соответствие между множе¬
ством значений двух переменных, принято ныне и в школе.
Очень часто удобным способом задания функции является
аналитический, то есть задания функции при помощи уравнения
или формулы. Последняя указывает, какие последовательные
действия следует выполнять над значением аргумента (от латин¬
ского argumentum — предмет, сюжет, основание), чтобы полу¬
чить соответствующее значение функции. Аналитическое зада¬
ние функции находит широкое применение в науке и технике.
Известное значение имеет и старейший табличный способ за¬
дания функции. Примерами могут служить разные математиче¬
ские и специальные таблицы, применяемые в науке и технике,
среди которых таблицы квадратов, кубов и квадратных корней
чисел и тригонометрические таблицы, которыми пользовались
еще в древности, таблицы процентов, логарифмов и другие.
С помощью системы координат функцию можно задать гео¬
метрически, графическим способом. График функции чаще всего
используется для геометрической интерпретации функции, но
иногда и для ее задания. Так, например, задаются функции при
помощи приборов, записывающих изменение температуры, атмо¬
сферного давления и других величин в зависимости от времени.
Кроме аналитического, табличного и графического способов,
в современной науке довольно часто прибегают и к словесному
заданию функций, то есть к словесной формулировке закона со¬
ответствия.
Примеры: 1) Для всех отрицательных значений аргу¬
мента х функция у равна —1; для х, равного нулю, функ¬
ция тоже равна нулю, а для всех положительных значений
1 См. [62], стр. 53.
169
I
ближенного вычисления кубических корней следующей форму¬
лой:
где х <V А < у, А = х3 + 6, х и у — натуральные, ближайшие
к у А числа.
Задача 78. «Вычислить У100 по формуле (1).»
Правила приближенного вычисления кубических и квадрат¬
ных корней встречаются в трудах ученых Индии (впервые у
Ариабхатты), стран ислама и средневековой Европы1. Правила
эти громоздкие и неудобные. В настоящее время для этой цели
применяются таблицы и счетная линейка.
40. О ПРИБЛИЖЕННОМ II ГРАФИЧЕСКОМ РЕШЕНИИ
УРАВНЕНИЙ
Одной из важных заслуг Декарта явилось введение общих
методов графического решения уравнений, которое основывается
на применении изложенного им в «Геометрии» метода коорди¬
нат 2. Отдельные уравнения решались с помощью геометриче¬
ских построений и в древности и в средние века, до Декарта.
Однако, благодаря введению системы координат, графический
метод решения уравнений стал общеприменимым. В дальнейшем
методы графического решения задач были развиты Ньютоном,
Яковом Бернулли и другими учеными.
Издавна ученые сталкивались с решением уравнений третьей
и высших степеней. Отдельные виды кубических уравнений ре¬
шали геометрическими способами (Архимед и другие в древ¬
ности, Омар Хаяйям, ал-Каши и другие в средние века). Однако
общего алгебраического решения уравнений третьей степени, то
есть правила для выражения корней через коэффициенты урав¬
нения, не нашли ни древние греки, ни индийцы, ни арабские и
среднеазиатские ученые. Формула для решения общего уравне¬
ния третьей степени была открыта лишь в XVI в. итальянскими
математиками Ферро, Тартальей и Кардано.
Тогда же итальянский математик Феррари открыл формулу
для решения общего уравнения четвертой степени. Однако эти
формулы очень громоздкие, в практике ими мало пользуются,
предпочитая способы приближенных вычислений корней уравне¬
ний степени выше второй.
Поиски общих формул для решения уравнений пятой или бо¬
лее высокой степени оказались тщетными. Более того, в 1826 г.
молодой норвежский математик, Нильс Абель, доказал, что та-
1 Общий прием извлечения корней из целых чисел изложил в своем
«Ключе арифметики» ал-Каши. Это, по существу, метод Руффини—Горнера.
2 См. [112], стр. 57—68; [81], стр. 124—128.
VA
X-
by
by -4- х (у3 — х3 — b)
(1)
171
ких формул не существует, то есть корни общего уравнения пятой
и более высоких степеней не могут быть выражены через коэф¬
фициенты с помощью алгебраических действий. Вот почему
важное значение имеет приближенное вычисление корней урав¬
нений высших степеней с точностью, удовлетворяющей нужды
науки и практики.
Разработкой методов приближенного решения алгебраиче¬
ских уравнений занимались еще ученые древнего Китая, араб¬
ские и среднеазиатские ученые, среди которых был и ал-Каши.
Первым европейским математиком, который систематически ре¬
шал числовые уравнения приближенным путем, был Виет. Из¬
вестен также «метод Ньютона» и многие другие методы прибли¬
женных вычислений корней уравнений. Один из лучших методов
был найден независимо друг от друга тремя математиками в
20—30-х годах XIX в.: Данделеном (Бельгия), Лобачевским
(Россия) и Греффе (Швейцария).
Методы численного (приближенного) решения уравнений
применяются в настоящее время в различных вопросах науки и
техники.
50. КРАТКИЙ ОБЗОР ИСТОРИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ АЛГЕБРЫ
Алгебра 1 возникла в связи с решением разнообразных задач
при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну
или несколько неизвестных, зная при этом результаты некото¬
рых действий, произведенных над искомыми и данными величи¬
нами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы
нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью ал¬
гебраических действий над данными величинами. В алгебре
изучаются общие свойства действий над величинами.
Некоторые алгебраические приемы решения линейных и
квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в
древнем Вавилоне. Немало свойств, правил действий над вели¬
чинами, алгебраических приемов знали ученые древней Греции.
Однако они выражали их в геометрической форме. Следы «гео¬
метрической алгебры» встречаются поныне в терминах «квадрат»
числа, «куб» числа и т. д. Процесс освобождения алгебры от
геометрической формы и создания буквенной символики на¬
чался еще в древней Греции (Диофант) и был продолжен в Ин¬
дии и в средние века в Европе. Однако лишь после того как
Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных,
но и для известных величин, после появления трудов Декарта,
1 Рекомендуется использовать нижеизложенный материал, как и некото¬
рые сведения из гл. 2 §§ 3, 4, 5, 8, 11, на итоговом, заключительном уроке
алгебры в восьмилетней школе.
172
Ньютона и других ученых, этот длительный исторический про¬
цесс был в основном завершен.
Введение в алгебру операций над буквенными символами
ознаменовало начало математики переменных величин. Рассмот¬
рение переменных величин и связей между.ними и введение де¬
картовых координат привели к понятию функции и возникнове¬
нию так называемой «высшей математики» — аналитической
геометрии, математического анализа и др.
Понятия переменной величины и функции, как и вся новая
«высшая математика», возникли в XVII в. не случайно, а под
влиянием запросов естествознания, требовавшего изучения яв¬
лений, связанных с движением. Примерно до середины XIX в.
на развитие алгебры влияла в основном проблема решения
уравнений. В дальнейшем развитии, особенно в XX в., алгебра
все более определялась как наука об общих алгебраических
операциях (действиях). Значение современной алгебры выходит
далеко за пределы учения об уравнениях. Алгебра широко при¬
меняется в любом разделе математики, в естествознании и тех¬
нике. Она продолжает бурно развиваться и в настоящее время.
Среди выдающихся алгебраистов нашего времени числятся и
советские ученые: Н. Г. Чеботарев (1894—1947); О. Ю. Шмидт
(1891 —1956); академики А. Н. Колмогоров, П. С. Александров,
А. И. Мальцев и Л. С. Понтрягин; профессора МГУ Б. Н. Де¬
лоне, А. Г. Курош, И. М. Гельфанд и многие другие.
Н. Г. Чеботарев.
О. Ю. Шмидт.
173
СТОРИЯ АЛГЕБРЫ
НА ВНЕКЛАССНЫХ ЗАНЯТИЯХ
СТАРИННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
РАЗВЛЕЧЕНИЯ И ДЕЙСТВИЯ НАД
АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ1
(VI класс)2
Зарождение математических развлечений в виде шу¬
точных и занимательных задач, головоломок, отга¬
дывания чисел и прочих разнообразных задач на
смекалку относится к глубокой древности. Следы
их можно найти в древнеегипетских, китайских, греческих, ин¬
дийских, арабских и других старинных документах и книгах.
Развитие этого типа задач шло совместно с общим развитием
математики и обусловливалось разными факторами, среди кото¬
рых были: любознательность, пытливость человеческого ума и
интерес к курьезам, чувство юмора, удовлетворение и радость,
испытываемые в результате успешной умственной деятельности.
Десятки и сотни математических задач на смекалку перехо¬
дили из поколения в поколение, из уст в уста, от народа к на¬
роду, из одних книг в другие. Одна из первых занимательных
книг по математике «Задачи для изощрения ума юношества»
приписывается ученому монаху VIII в. Алькуину из Йорка, ра-
ботавшему директором школы при дворе франкского короля
Карла Великого. Эта книга пользовалась большим успехом на
протяжении почти целого тысячелетия. Старейшая, сохранив¬
шаяся до нашего времени, копия рукописи Алькуина была пере¬
писана около 1000 года. Из этой рукописи взяты многие поль¬
зующиеся известностью и теперь, занимательные задачи, среди
1 См. [63].
2 Указания на классы, в которых следует использовать этот и после¬
дующий материал для внеклассных занятий относительны. Этот вопрос ре¬
шит сам преподаватель, прочитав соответствующий материал.
174
которых задача «о собаке, догоняющей кролика», «о переправе
через реку волка, козы и капусты» и другие.
Следующий, дошедший до нас замечательный сборник «За¬
нимательных и приятных математических задач» был издан в
Лионе (Франция) в 1612 г. Его автор, Баше де Мезириак
(1581—1638), был не только математиком, но и видным поэтом
и писателем, писавшим как на родном французском, так и на
латинском и немецком языках. Упомянутая его книга содер¬
жала 50 задач с решениями и переиздавалась в XVII—XIX вв.
Она получила большую известность и была переведена на мно¬
гие языки, в том числе и на русский (в 1877 г.).
Приведем несколько задач на «задуманное число» из книги
Баше де Мезириака. Составляя соответствующие алгебраиче¬
ские тождества, разъясним сущность способа отгадывания.
Задача 79. «Предложи задумать четное число и умножить
его на три, половину полученного произведения умножить снова
на три. Спроси, сколько девяток содержится в полученном
числе.
Чтобы найти задуманное число, следует заменить каждую
девятку двойкой».
Пример: Пусть задуманное число 16. Произведя последо¬
вательно указанные действия, получим: 16*3 = 48; 48:2 = 24;
24 • 3 = 72.
Полученное число 72 содержит 8 девяток, то есть 72 = 8 • 9.
Задуманное же число содержит 8 двоек (16 = 8*2).
Задача и ее решение сводится к следующему алгебраиче-
ческому тождеству, в котором задуманное число обозначается
через 2х:
2х-3 о
—2 3 = 9*.
Таким образом, число девяток, о котором идет речь в задаче,
всегда равно х, то есть половине самого задуманного числа.
Узнав значение х, мы легко «отгадываем» задуманное число 2л:.
Задача 80. «Задумаем четыре однозначных числа. Умно¬
жим первое на 2 и прибавим 5, полученное умножаем на 5 и
прибавляем 10 и второе число; полученный результат умножаем
на 10 и прибавляем третье число; новый результат умножаем
опять на 10 и прибавляем четвертое число. Из последнего ре¬
зультата вычтем 3500, тогда полученная разность есть число, со¬
ставленное из четырех цифр, обозначающих по порядку заду¬
манные числа».
Пример: Задуманы 7; 3; 5; 2. Получим:
{[(7 * 2 + 5)5+10 + 3] 10 + 5} 10 + 2= 10852;
10852 — 3500 = 7352.
Для составления соответствующего алгебраического тожде¬
ства обозначим задуманные числа через а, b, с, d.
175
Получим:
{[(2а + 5)5+ 10+6] 10+с} 10+tf =
= 1000а + 1006+ 10с + аГ+3500.
После вычитания числа 3500 получается число 1000а +
+ 1006 + \0с + d, которое в десятичной позиционной системе
счисления и записывается: abed.
А вот еще одна задача, в которой отгадывающий не задает
никаких вопросов:
3 а д а ч а 81. «Предложи задумать число, умножить его на 2,
затем прибавить какое тебе задумается число (назови его сам),
результат разделить на 2 и из частного вычти задуманное число.
После этого назови половину того числа, которое ты сам
раньше предложил прибавить. Это и будет результат, который
получил задумавший число».
Пример: Задумано число 21. Отгадывающим названо чи¬
сло 8. Имеем: —■‘~y~ 21 =4.
Последнее есть половина числа 8.
. - 2x4-а а
Алгебраически: —^ х = .
Вслед за книгой Баше появились и другие сборники занима¬
тельных задач во Франции, Германии и Англии. В России по¬
явление отдельных занимательных задач в математических ру¬
кописях тоже относится к XVII в., в печати же такие задачи по¬
явились впервые в 1703 г. в «Арифметике» Магницкого (см.
зад. 9, 10 и др.). Специальные русские сборники занимательных
задач стали появляться в конце XVIII в. Один из них был издан
в 1789 г. в Петербурге И. Краснопольским под названием «Га¬
дательная арифметика для забавы и удовольствия».
Приведем примеры шуточных задач из книги Ивана Буттера
«Занимательные и увеселительные задачи и загадки», изданной
в Петербурге в 1831 г.
Задача 82. «Три яблока разделить двум отцам и двум
сыновьям так, чтобы каждому достало по целому яблоку».
Решение. Поликарп, Сидор и Карп. Поликарп — отец Си¬
дора, Сидор — отец Карпа.
3 а д а ч а 83. «Написать сто без нулей».
Первое р е ш е н и е: С (в латинской письменной нумера¬
ции).
9
Второе решение 99-д-.
Сборники задач на смекалку составили русский поэт XIX в.
В. Г. Бенедиктов, известные педагоги В. И. Обреимов и Е. И. Иг¬
натьев. В литературной обработке книги Игнатьева «В царстве
смекалки», изданной в 1907—1911 годах, принимал участие за¬
мечательный русский писатель В. Г. Короленко.
176
Б одном из наилучших современных сборников заниматель¬
ных задач «Математические развлечения» бельгийского профес¬
сора М.. Крайчика имеется глава, посвященная «играм», в кото¬
рой излагаются алгебраические приемы при игре в шахматы или
шашки.
Пусть шашка находится на поле В. Через Bh обозначают, что
шашка находится по диагонали на k столбцов правее, через
B~h — левее первоначальной позиции. Связку «или» обозначают
знаком сложения +, «и» — знаком умножения, точкой. Таким
образом, вместо словесного выражения «один столбец налево,
или один столбец направо» пишут символически:
В~1+В1.
Если шашка продвинулась вправо на одну клетку, затем еще
на одну клетку, то она будет находиться вправо от первоначаль¬
ного положения В на две клетки, что записывается так:
В1 ■ В1 — В1+1 = В2.
Если же шашка из клетки В передвинулась вправо на две
клетки, а затем обратно влево на две клетки, то она приходит
к первоначальной клетке, что обозначается так:
В2 • В~2 = В2+(~2) = В0 = 1.
Вместо «одна клетка вправо или влево и опять одна клетка
вправо или влево» пишут: (В + В-1)2. Раскрыв скобки и при¬
ведя подобные члены, получаем:
В2+ В~2-\-2В1 • В~1= Я2+ £~2+ £°+ В°= В2-\- £~2 + 2;
а это указывает на то, что вследствие вышеуказанных движений
возможны три следующих результата:
1) или шашка окажется на две клетки правее В (в том слу¬
чае, конечно, когда она дважды двигалась вправо);
2) или она окажется на две клетки левее В (если дважды
двигалась влево);
3) или же останется в В (если двигалась один раз вправо,
а другой влево, или наоборот — влево, а затем — вправо).
Огромное распространение получили в настоящее время за¬
мечательные книги Я. И. Перельмана («За- а
нимательная арифметика», «Заниматель¬
ная алгебра», «Занимательная геометрия»,
«Живая математика», «Занимательные за¬
дачи») и Б. А. Кордемского («Удивитель¬
ный квадрат», «Математическая смекал¬
ка», «Очерки о математических задачах на ь
смекалку»). Рис. 86.
12 Г. И. Глейзер
177
4
* *
Известно, что религия — источник многих суеверий. Церков¬
ники не пренебрегают никакими средствами, для того "чтобы
отравлять людей религиозным дурманом.
В этой связи интересно привести такой пример *. В одной из
масонских 2 книг говорится о следующем «таинственном» свой¬
стве треугольника (рис. 86): если при вершинах треугольника
поставить произвольные числа, например, 3, 5, 7, затем сложить
эти числа попарно и результаты (8, 12, 10) поставить на сторо¬
нах, соединяющих вершины, при которых стоят пары, то, скла¬
дывая число при каждой вершине с числом на противоположной
стороне, мы получим один и тот же результат (15).
Легко понять, что речь идет не о каком-либо «таинственном»
свойстве треугольника, а о известных всем учащимся сочета¬
тельном и переместительном свойствах сложения:
& + Ф -f- с) = b -f- (с + а) = с -+- (а + Ь) = a -f - b с.
©АЛГЕБРА В ДРЕВНЕЙ ИНДИИ И КИТАЕ з
(VII—VIII классы)
В VII книге трактата «Математика в девяти книгах», оза¬
главленной «Избыток — недостаток», изложены два метода ре¬
шения задач, сводящихся к системе двух линейных уравнений
с двумя неизвестными. С первым из них мы уже познакомились
(см. гл. 2, § 8). Второй метод, получивший распространение
в средние века, был назван «методом двух ложных положений».
В нем, в отличие от более простого метода одного «ложного
положения» (см. гл. 2, § 4), неизвестному приписываются по¬
следовательно два отличных от истинного значения.
Приведем одну задачу из VII книги «Математики», решае¬
мую методом двух ложных положений.
Задача 84. «Имеется 9 слитков золота и 11 слитков се¬
ребра, их взвесили, вес как раз совпал. Переложили слиток зо¬
лота и слиток серебра, золото стало легче на 13 ланов. Спра¬
шивается, каков вес слитка золота и слитка серебра, каждого в
отдельности».
*
1 См. [54], стр. 37.
2 Масонство — религиозно-философское течение, возникшее в XVIII в.
в Англии и затем распространившееся в других странах в виде тайных об¬
ществ, насаждавших реакционные взгляды, мистику и суеверия.
3 См. [57], [122], стр. 30, 138, 152; [125], стр. 41—44, 134—137, 201—204,
367—373; [53], стр. 491—498.
178
Б настоящее время, обозначая вес одного слитка золота че¬
рез х, серебра — через у, мы свели бы задачу к решению сле¬
дующей системы линейных уравнений:
г 9л: = 11у, | 9х— 11у = 0,
I 9^c + y4-13=10y + x:, ИЛИ \ 7х — 9у + 13 = 0, ( )
откуда:
3 1
лг = 35-^-лан, у = 29^-лан.
Этот ответ дается в тексте следующим образом: «вес слитка
золота 2 цзиня 3 лана 18 чжу, вес слитка серебра 1 цзинь
13 ланов 6 чжу». Следует учесть, что: 1 цзинь = 16 ланам,
1 лан = 24 чжу.
Для решения задачи автор, ведущий вычисления на счетной
доске, излагает правило, из которого можно заключить, что
сущность решения сводится к следующему. Предположим в пер¬
вый раз (первое ложное положение) вес слитка золота Xi =
— 3 цзиням, тогда вес слитка серебра у\ будет равен
9 9-3 0 5
у1 = ^у, Хх =-рр= 2-jj цзиня.
Согласно условию задачи мы должны были бы иметь «равен¬
ство»:
10 • 2-^- + 3 (цзиня) = 8 • 3 + 2-у^- + -Ц-(цзиня),
однако для равенства в правой части недостает слагаемого
49
1Ы6 *
Число х\ = 49 названо вычислителем 1 «недостатком в правой
строке».
Во второй раз предположим (второе ложное положение), что
7
вес слитка золота х2 = 2 цзиням 2, тогда у2 = 1 -yf • И на сей
раз равенство, которое должно было бы иметь место по усло¬
вию задачи,
8-2+1-£-+-&=10- '-П-+2
неверно. Действительно, левая часть больше правой на ~ПТПГ‘
Число k2 — 15 названо «избытком в левой строке».
1 Общие знаменатели на счетной доске не выкладывались.
2 Приписываемые неизвестному значения Х\ и х2 названы в трактате
«нормами».
12*
179
Далее предполагается составление таблицы
k\ k<i
4*1 *2,
и указывается словесно следующее правило для нахождения
истинного значения х, которое в нашей символике выражается
так:
kxx2-\-k2xy ,п.
* — ky -f k2 ’ w
В данном случае получаем:
49-2-f 15 - 3 143 0 15 , ч 0 Q 1Q
х = —49~^_~i5— = -ед-= 2-^ (цзиня) = 2 цзиня 3 лана 18 чжу.
(Итак, истинное значение х содержится в данном случае
между обеими нормами: x2<x<xi). Затем определяется вес
слитка серебра:
л: 143
у~ 11 11 „. . 53 , 10
-д- = -д- • 64 = I — цзиня = I цзинь 13 ланов б чжу.
В арабскую литературу алгоритм ложного положения про¬
ник под названием «правила двух ошибок». Вот как решал,
например, ал-Хорезми задачу 8 (см. гл. 1, § 2; 16). Если бы
искомое число равнялось 12, то остаток равнялся бы:
12—1 • 12 — 1 • 12 = 5,
то есть на 3 меньше 8. Если же предположить, что неизвестное
равно 24, то остаток будет равен:
24 — 1.24—^.24=10,
то есть на 2 больше 8.
Согласно правилу двух ложных положений, ал-Хорезми на¬
ходит истинное значение неизвестного
X = ±MJ±1L-,91
3 + 2 ,м 5 '
О «правиле двух ошибок» писали на арабском языке спе¬
циальные сочинения, в которых рассматривали и те случаи,
когда истинное значение неизвестного х не содержится между
«нормами» х\ и х2, иначе говоря, когда оба предположения при¬
водят к «избыткам» или оба — к «недостаткам». В таких слу¬
чаях в формуле (2) следует, учитывая знаки, брать в числи¬
теле не сумму, а разность указанных произведений, в знаме¬
нателе же — разность «избытков» или «недостатков».
180
Из арабской литературы «правило» в ХП в. перешло в ев¬
ропейскую математическую литературу, где впоследствии играла
важную роль вплоть до XVIII в. Леонардо Фибоначчи посвя¬
тил ему целую главу в своей «Книге абака», в которой впер¬
вые встречаются слова «минус» и «плюс»,-однако не в смысле
действий вычитания и сложения, а именно в смысле «недостат¬
ка» и «избытка». Наряду со словесным доказательством фор¬
мулы (2), Фибоначчи, не пользовавшийся отрицательными чис¬
лами, доказывает «правило» для случаев двух ошибок с из¬
бытком и двух ошибок с недостатком.
В латинских математических сочинениях средневековья пра¬
вило получило название regula duorum falsorum («правило двух
фальшивых»). Отсюда название «фальшивое правило», встре¬
чаемое в старых русских руководствах.
Приведем, например, следующую задачу и ее решение из
«Арифметики» JI. Ф. Магницкого.
Задача 85. «Вопросил некто некоего учителя, сколько
имеешь учеников у себя, так как хочу отдать сына к тебе в уче¬
ние. Учитель ответил: если ко мне придет учеников еще
столько же, сколько имею и полстолько и четвертая часть и
твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Сколько было
у учителя учеников?»
Первое ложное положение: Xi = 24, т. е. учеников было 24;
тогда выражение
24 + 24+-244+24+1
дает не 100, по условию задачи, а 67, то есть первая погреш¬
ность
£1= 100 —67 = 33.
Второе ложное положение х2 = 32, тогда:
32 + 32 + j • 32 • \ - 32+ 1 =89,
то есть вторая погрешность k2 = 100 — 89 = 11.
Правило Магницкого для нахождения истинного значения
соответствует формуле:
k\X2 k2Xy /о1\.
ky k2 •
Итак,
33-32—11-24 QC
•*— 33—11
Такой же формулой следует пользоваться, если при обоих
ложных положениях получаются числа больше, чем 100, на¬
пример, при Xi = 52, х2 = 40
181
имеем:
44-40-11.52
■*= 44^11 = 36.
Если же при одном положении получим больше, а при дру*
том меньше, чем сто, то нужно в числителе и знаменателе (21)
•брать не разности, а суммы.
Пример: при Xi = 60 kx — — 66,
х2 = 20 k2 = 44,
66-20 + 60-44 0„
~ 66 + 44 —По¬
правило двух ложных положений легко объяснить алгеб*
раически.
Пусть требуется решить уравнение
ах +- b = с. (3)
.Ложное положение даст
ax1-jrb = c1, (4)
ax2+b = c2. (5)
Вычитая последовательно (4) и (5) из (3), получим:
а(х — х1) = с — сг — kv (6)
а (х — х2) = с — с2 — k2, (7)
ki, k2 и являются соответствующими «ошибками», «погрешно*
стями».
Разделив почленно (6) на (7), получим:
х — Х\ kt
Х — Хо
(8)
Решая это уравнение относительно х, получим формулу (21).
•Формулу (21) можно применять во всех случаях, о которых
говорилось выше, если ki и k2 считать положительными в пер*
дом, отрицательными — во втором, k\ отрицательным, a k2 —■
положительным — в третьем случае.
Конечно, в настоящее время уравнение (3) решается про*
сто. Но такое общее решение оперирует как с положительными,
так и с отрицательными числами. Именно желание не пользо¬
ваться средствами алгебры, в частности недоверие к отрица¬
тельным числам, непризнание их и желание избегать их при*
вело к тому, что еще в XVIII в. простые задачи тоже решались
громоздким и искусственным «фальшивым правилом», хотя
само это правило возникло из решения более «замысловатых»
задач.
182
Правило ложного положения называли в средние века так¬
же «правилом весов» \ так как оно давало механический спо¬
соб его применения с помощью рисунка 87.
Вот как звучало при этом «правило»: «Рисуй весы и пиши
над точкой опоры результат, который получается после указан¬
ных в задаче действий над неизвестным числом. Оба ложных
положения пиши над чашками весов, погрешности «больше»
пиши под весами, «меньше» — над весами. Ложные положения
и погрешности умножить накрест. Бери разности произведений,
если погрешности находятся по одну сторону от весов, бери
их суммы, если погрешности стоят по разные стороны».
Метод двух ложных положений, с помощью которого полу¬
чают точное решение линейных задач, можно использовать для
приближенного решения задач, сводящихся к уравнениям выс¬
ших степеней. Его использовали в своей вычислительной работе
знаменитый александрийский астроном Птолемей (II в.), немец¬
кий математик Варфоломей Питиск (1561—1613), автор попу¬
лярных в XVII в. тригонометрических таблиц, и другие ученые.
* *
*
Индийские математики не создали единого алгоритма реше¬
ния системы линейных уравнений со многими неизвестными. Со¬
ответствующие задачи они решали разными искусственными
приемами, напоминающими решения Диофанта (см. зад. 139).
Однако в свободном оперировании отрицательными и ирра¬
циональными числами, в обобщении правил решения квадрат¬
ных уравнений и особенно в об¬
ласти алгебраической символики
индийские математики значи¬
тельно опередили китайских.
Брахмагупта называл неиз¬
вестное «йават-тават», то есть
«столько-сколько» в смысле «ко¬
личество». Вот таблица (табл. 9)
терминов и их сокращений (сим¬
волов), в русской транскрипции
работ Брахмагупты 2:
Обе части уравнения Брахма¬
гупта писал одну под другой,
что заменяло отсутствовавший
1 Название «правило чаш весов»
встречается впервые в арабском сочи¬
нении «Краткое изложение арифмети¬
ческих действий» ибн ал-Банны (XIII—
XVI вв.).
2 См. [125], стр. 134.
62
44
60
66
40
11
44
20
Рис. 87. Правило весов.
183*
Таблица 9
Термин
Символ
Значение
Рупа
Йават-тават
Калака (черный)
Нилака (голубой)
Питака (желтый)
Панду (белый)
Лохита (красный)
«Ру»
«Йа»
«Ка»
«Ни»
«Пи»
«Па»
«Ло»
свободный член
(первая) неизвестная
вторая неизвестная
третья неизвестная
четвертая неизвестная
пятая неизвестная
шестая неизвестная
знак равенства. Совершенно особо выделяется символика, при¬
меняемая в Бахшалийской рукописи (гл. 2, § 4; 15), в которой
неизвестная названа «сунья» и обозначается точкой (см. гл. 1,
§ 3; 22). Знаком равенства служит слог «пха» (от слова «пха-
.лам» — равный), знаком сложения — «иу», деления — «бха»,
вычитания — вроде знака + (ставится после вычитаемого), де¬
ления— ► (ставится после делителя). Неизвестные обо¬
значаются сокращенными порядковыми числительными:
1-е неизвестное — «пра» (от «пратама» — первый),
2-е неизвестное — «дви» (от «двития» — второй),
3-е неизвестное — «тр» (от «трития» — третий) и т. д.
Современные записи и решения уравнений восходят к
XVIII в. При решении систем уравнений первым появился спо¬
соб сложения, а затем способ подстановки и сравнения. Во
«Всеобщей арифметике» Ньютона встречаются уже все спо*
собы, ныне применяемые в школе.
«Ь О ДИОФАНТЕ И ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЯХ.
£ «ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА»
(VII—VIII классы)
Одним из самых своеобразных древнегреческих математиков
■был Диофант Александрийский, труды которого имели боль¬
шое значение для развития алгебры и теории чисел К До сих
пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта;
полагают, что он жил в III в. и. э. В одном из древних руко¬
писных сборников задач в стихах2 жизнь Диофанта описы-
1 См. [109], стр. 374—376, [114], стр. 206—215.
2 Речь идет о греческой «Палатинской антологии», изданной в VI в. грам¬
матиком Метродором,
вается в виде следующей алгебраической загадки, представляю¬
щей надгробную надпись на его могиле: 1
«Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил..
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей».
Задача-загадка сводится к составлению уравнения:
-g- х —J- -jcj- х —|- -у х —|- 5 ~\~~2 ^ — х,
откуда х = 84 — вот сколько лет жил Диофант.
Из работ Диофанта самой важной является «Арифметика»,,
из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. Эти
книги были открыты в Венеции в 1463 г. Региомонтаном, кото¬
рый в связи с этим писал, что в произведении Диофанта сосре¬
доточен «весь цвет арифметики, искусство неизвестной».
«Арифметика» посвящена некоему Дионисию, обращаясь
к которому, Диофант пишет: «Зная, достопочтеннейший Диони¬
сий, что Вы очень усердно изучаете задачи, касающиеся чисел,
я взялся изложить природу их и могущество, начиная с самых
основ, на которых все это покоится. Это, может быть, пока¬
жется более трудным, чем есть на самом деле потому, что еще
неизвестно. Начинающие склонны скоро терять мужество. Но
Вы легко разберетесь в этом благодаря устремлению Вашего
ума и моим пояснениям».
В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач
с решениями. В первой книге изложены задачи, приводящиеся
к определенным уравнениям первой и второй степени. Осталь¬
ные же пять книг содержат в основном неопределенные урав¬
нения (см. гл. 2, § 8; 29). В этих книгах еще нет систематиче¬
ской теории неопределенных уравнений, методы решения ме¬
няются от случая к случаю. Диофант довольствуется каким-ни¬
будь одним решением, целым или дробным, лишь бы оно было
положительным.
Тем не менее методы решения неопределенных уравнений
составляют основной вклад Диофанта в математику. Известно,
что в символике Диофанта был один только знак для неизвест¬
ного. Решая неопределенные уравнения, он применял в каче-
1 См. [109], стр. 374.
185»
стве нескольких неизвестных произвольные числа, вместо кото*
рых можно было взять и любые другие, что и сохраняло харак¬
тер общности его решения.
В Индии, где (как и в Китае) неопределенные уравнения ре¬
шались в связи с астрономическими запросами и календарными
расчетами, ставился вопрос о нахождении именно целочислен¬
ных решений неопределенных уравнений. Намеки на общее ре¬
шение диофантовых уравнений первой степени, то есть вида
ах + by = с встречаются впервые в трудах индийского астро¬
нома Ариабхатты 1, подробное же решение изложили индийские
математики Брахмагупта и Бхаскара. Общий метод для реше*
ния в целых числах неопределенных (диофантовых) уравне*
ний первой степени с целыми коэффициентами был назван в Ин*
дни методом рассеивания (в смысле размельчения).
Воспользуемся этим методом 2 для решения следующей за*
дачи:
Задача 86. Найти два целых числа, зная, что разность
.произведений первого на 19 и второго на 8 равна 13.
В задаче требуется найти все целые решения уравнения
19л: — 8у = 13. (1)
Выражая у — неизвестное с наименьшим по абсолютной ве*
личине коэффициентом через х, получим:
19х —13 /оч
У = я * (2)
Нам нужно теперь узнать, при каких целых значениях х со¬
ответствующие значения у являются тоже целыми числами.
Перепишем уравнение (2) следующим образом:
у = 2х + ^=^~. (3)
Из (3) следует, что у при целом х принимает целое значе*
Зх —13
ние только в том случае, если выражение g— является це*
лым числом, скажем у\.
Полагая
3*-13
8 = У1’ (4)
вопрос сводим к решению в целых числах уравнения (4)
с двумя неизвестными х и уй его можно записать так:
Зл: — 8у j = 13. (5)
> См. [125], стр. 143—149.
2 Изложенный ниже способ не совпадает полностью с индийским спосо¬
бом, но по существу ему равносилен.
.186
Это уравнение имеет по сравнению с первоначальным (1) ТО’
преимущество, что 3 — наименьшая из абсолютных величин ко¬
эффициентов при неизвестных меньше, чем в (1), то есть 8. Это
было достигнуто благодаря тому, кто коэффициент при х (19)
был заменен остатком от деления на 8.
Продолжая тем же способом, мы получим из (5):
х = -§У'.+ 13. = 2у, + 2),' + 13 . (6)
Итак: неизвестное х, при целом г/j, только тогда принимает це-
2у1 +13
лые значения, когда —- ^ есть целое число, скажем, у2.
2у, -f-13 4i jjy
или
Далее:
Полагая
(8>
У\ — — У 2 + "2 ~9 “ • (9)
2 — .уз> (1®)
получим уравнение
Уч~ 2у3=13. (11)
Это самое простое из всех рассмотренных неопределенных урав-
нений, так как один из коэффициентов равен 1.
Из (11) получаем:
Уч~ 2у3-(-13. (12)
Отсюда видно, что у2 принимает целые значения при любых це¬
лых значениях г/з- Из равенств (6), (9), (12), (3), путем после¬
довательных подстановок, можно найти следующие выражения
для неизвестных х и у уравнения (1):
х ~ 2уj -j- у2 = 2 (уч + Уз) -f- у2 = Зу2 -j- 2у3 =
= 3 (2у3 Н— 13) —f— 2у3 = 8у3 -|- 39;
У — 2х-\-у1 = 2 (8у3 —1— 39) —1— у2Уз19y3-f- 91.
Таким образом, формулы
х — 8y3-f-39,
У = 19УзЧ-91
при г/3 = 0, ±1, ±2, ±3, ... дают все целые решения уравне¬
ния (1).
18?
В следующей таблице приведены примеры таких решений.
Таблица 10
Уз
—4
—3
2
—1
0
1
2
3
4
X
7
15
23
31
39
47
55
63
71
У
15
34
53
72
91
110
129
148
167
Этот прием почти полностью совпадает с методом индий*
цев и был назван ими методом рассеивания (размельчения)
именно потому, что неопределенное уравнение сводится к цепи
уравнений со все уменьшающимися по абсолютной величине
коэффициентами. К решению неопределенного уравнения пер*
вой степени сводятся иногда задачи, связанные с практикой и
повседневной деятельностью человека.
Вот один пример:
Задача 87. «Некто покупает в магазине вещь стоимостью
в 19 рублей. У него имеются лишь 15 трехрублевок, у кассира
же — лишь двадцать пятирублевок. Можно ли расплатиться и
.как?»
Задача сводится к решению в целых положительных числах
.диофаитова уравнения:
Зх — 5у = 19,
где 15, у < 201.
Решение:
19 —{- 5у а , 14* 2у _ .
х = 2 — 6 -j— у —1 2 — 6 +у +
Далее 3yj — 2у = 1;
Зу, 1 . У1 1 | .
У — —2 — УН 2 — У1 |
ух — 2у 2 = 1; у 1 = 2у2+1,
•откуда
х — ^У2 + 8; у = Зу2+1.
Ввиду того, что х и у должны быть положительными и, учиты¬
вая условие задачи, легко установить, что
0 < у2 < 2,
1 Более того: у < 9, так как Зх — 5у > 0.
188
то есть tj2 может принимать только два значения: 0; 1. Отсюда
вытекают два возможных решения:
X
8
13
У
1
4
А вот еще одна задача:
Задача 88. «Можно ли отвесить 28 г некоторого вещества
на чашечных весах, имея только четыре гири весом в 3 г и семь
гирь весом в 5 г?»
Решим диофантоно уравнение:
3x + 5y = 28.
Имеем:
* = JL^SZ. = 9_у + = 9 _2у + 1±у .
-Чр- = У* у = 3у, —1;
х~9— 2(3у1 — 1) —|— yj = 11 —
Итак:
х = 11 — 5уг,
У == Зу I 1 •
Из условий задачи вытекает, что у\ нельзя давать отрицатель¬
ные значения (это привело бы к отрицательному у). Далее,
должно быть у 1 < 3 для того, чтобы х не был отрицательным.
Значит:
0<yj<2.
Однако у 1 — 0 и г/i = 1 противоречат условию задачи х 4.
Таким образом, возможно только у\ — 2. При этом х = 1, у = 5 —
единственное решение задачи.
Многие старинные способы отгадывания чисел и дат рожде¬
ния основываются на решении диофантовых уравнений. Так,
например, чтобы отгадать дату рождения (месяц и число) собе¬
седника, достаточно узнать у него сумму, получаемую от сложе¬
ния двух произведений: числа даты (х) на 12 и номера месяца
(у) на 31.
Задача 89. «Пусть сумма произведений, о которых идет
речь, равна 330. Найти дату рождения.»
Решим неопределенное уравнение
12л:-j-31 у = 330.
189
С помощью метода рассеивания получим
х = 43 — 31 у4,
у = 6 — 12у4.
Бвиду ограничений
О < jc С 31
О < у < 12
легко констатировать, что единственным решением является
у4 = 1, *=12, у = 6.
Итак, дата рождения: 12-е число 6-го месяца, то есть
12 июня.
Индийские ученые решали также системы неопределенных
уравнений первой степени со многими неизвестными. Они на¬
шли решение в целых числах некоторых диофантовых уравне¬
ний второй степени с двумя неизвестными *. Однако общее ре¬
шение таких уравнений строго изложил впервые знаменитый
французский математик XVIII в. Ж. Л. Лагранж.
Задача решения уравнения третьей степени с двумя неизве¬
стными до сих пор не нашла полного решения. Отдельные типы
таких уравнений, как и другие задачи неопределенного анализа,
решили советские ученые Б. Н. Делоне, А. О. Гельфонд и др.2.
Вообще же алгоритм, с помощью которого можно определить,
имеет ли произвольное диофантово уравнение целочисленные
решения, не найден и даже пока неизвестно, существует ли та¬
кой алгоритм.
* *
*
Одной из знаменитых поныне нерешенных задач в области дио¬
фантовых уравнений является так называемая «Великая теоре¬
ма Ферма».
Пьер Ферма (1601—1665), выдающийся французский мате¬
матик, был одним из тех ученых, которые в XVII в. развили ме¬
тод координат и заложили основы высшей математики. По про¬
фессии он был юристом и почти всю жизнь занимал должность
советника парламента в городе Тулузе. Свободное от служеб¬
ных обязанностей время Ферма посвящал математическим ис¬
следованиям, которые проложили новые пути почти во всех от¬
раслях математики.
Он является одним из создателей теории чисел, то есть той
ветви математики, в которой изучаются свойства целых чисел.
Для исследований Ферма исходным пунктом нередко служи¬
ла математика древних, в частности «Арифметика» Диофанта,
1 В частности, уравнения у2 = ах2 + 1, названного позже «уравнением
Пелля» (джон Пелль — английский математик XVII в.).
2 См. А. А. Бухштаб, Тёория чисел, Учпедгиз, I960, гл. 32,
190
изданная в 1621 г. Баше де Мезириаком. На одной из страниц
второй книги своего произведения Диофант решает следующую
задачу: «Найти два квадрата, сумма которых тоже является
квадратом». Задача сводится к решению в целых числах неоп¬
ределенного уравнения
x2-\-y2 = z2. (1)
Это уравнение, называемое «пифагоровым», так как выражает
известное из «теоремы Пифагора» метрическое соотношение,
связывающее стороны прямоугольного треугольника, имеет бес¬
конечное множество решений, например: 3, 4, 5; 5, 12, 13 и т. д.
Все такие тройки чисел х, у, z, удовлетворяющие уравнению
(1). называются «пифагоровыми» числами.
На полях вышеуказанной страницы экземпляра «Арифмети¬
ки» Диофанта, которым пользовался Ферма, имеется собствен¬
норучная заметка последнего: «Наоборот, невозможно разло¬
жить куб (то есть г3) на два куба или биквадрат (то есть г4)
на два биквадрата и, вообще, никакую степень, выше второй,
нельзя разложить на сумму двух степеней с тем же показате¬
лем. Я нашел поистине удивительное доказательство этого пред¬
ложения, но поля книги слишком узки, чтобы его изложить».
Итак, речь идет о следующем: доказать, что уравнение
хп-\-уп — zn
не имеет целых решений для п > 2.
Это предложение и было названо «Великой теоремой
Ферма» или «Последней теоремой Ферма». Ни в произведениях,
ни в бумагах или письмах Ферма не осталось следов доказа¬
тельства, о котором он говорит в вышеуказанной записи на по¬
лях «Арифметики» Диофанта. Начиная с XVIII в. были сделаны
большие усилия для доказательства теоремы Ферма. В 70-х го¬
дах XVIII в. Эйлер ее доказал для п = 3 и п = 4. Для п = 5
доказательство было дано в 20-х годах XIX в. Лежандром и
Дирихле. В 1837 г. французский математик Г. Ламэ дал дока¬
зательство для п — 7.
Известный успех был достигнут в рассматриваемой задаче
немецким математиком Е. Куммером, наметившим общий под¬
ход к проблеме, с помощью которого он нашел доказательства
для всех простых чисел, содержащихся между 3 и 100.
В 1960 г. с помощью быстродействующих электронных ма¬
шин было установлено, что теорема верна1 для всех 2521.
Однако общего доказательства теоремы Ферма (для любого п)
до сих пор не найдено. Несмотря на это, усилия, сделанные в
направлении доказательства этой теоремы, не были напрасны¬
ми, так как они содействовали возникновению и развитию
1 См. МСЭ, т, 9, стр. 923,
191
новых математических понятий и так называемой «алгебраиче¬
ской теории чисел». Тот факт, что теорема Ферма не могла
быть ни доказана, ни опровергнута до настоящего времени, по¬
ставил перед многими учеными следующий вопрос: обладал ли,
действительно, Ферма правильным доказательством теоремы? 1
«Ч ЖЕНЩИНЫ-МАТЕМАТИКИ
Sr (VII—VIII классы)
Мало было в прошлом ученых женщин, еще меньше — жен-
ш.ин-математиков 2. Первая женщина-математик, согласно до¬
шедшим до нас сведениям, была гречанка Гипатия, жившая в
Александрии от 370 до 415 года. Отец ее, Теон Александрий¬
ский, известен тем, что написал книгу об астролябии, коммен¬
тарий (то есть пояснительные примечания) к астрономическому
трактату «Алмагест» знаменитого ученого древности3 Птоле¬
мея (II в.) и заново издал «Начала» Евклида с пояснениями и
добавлениями.
Гипатия изучала математику, астрономию, медицину и фи¬
лософию, написала комментарии к «Арифметике» Диофанта и
к «Коническим сечениям»4 Апполония Пергского. Она была
красива, красноречива, обаятельна; ее мнение и советы не
только в области науки и литературы, но и в практической
жизни ценились всеми. Среди ее знакомых и друзей было много
христиан, однако сама она была язычницей и оставалась верной
традициям своих предков. Однажды, когда Гипатия возвраща¬
лась домой, толпа фанатиков-христиан, подстрекаемых алек¬
сандрийским епископом, потащила ее к церкви и убила, забра¬
сывая камнями. Затем ее тело было разорвано на куски и со¬
жжено. В истории многих веков после смерти Гипатии не со^
хранилось никаких сведений об ученых женщинах.
В XVI—XVIII вв. выделяются своим образованием несколь¬
ко женщин, учителями которых были знаменитые математики:
Виет, Декарт, Эйлер. Последний так и назвал одну из своих
книг: «Письма к принцессе».
В первой половине XVIII в. во Франции славилась своей
образованностью маркиза Эмилия дю Шатлэ, которая перевела
с латинского на родной язык знаменитое произведение Ньюто¬
на— «Математические начала натуральной философии». Это —
грандиозный труд, в котором изложены учение о всемирном
тяготении и принципы классической механики. Перевод Эмилии
1 См. [112], стр. 71—82.
2 См. [56], [60], [61], [74]; [113], стр. 143—154.
3 См. гл. 3, § 8; 35.
4 См. гл. 3, § 7, 32.
192
Шатлэ одобрил и дополнил комментарием известный француз¬
ский математик А. Клеро. Ученость Шатлэ прославил в одном
из своих стихотворений знаменитый писатель и деятель фран¬
цузского просвещения Вольтер.
Другая французская женщина XVIII в., Мария Лаланд, со¬
вместно со своим братом и мужем, составила тригонометриче¬
ские таблицы, известные под названием «Таблицы Лаланд». Как
способная вычислительница, была известна также француженка
Гортензия Лепот. Отметим, что ее именем был назван декора¬
тивный цветок, привезенный ею из Индии.
Более яркими математическими способностями и эрудицией
обладала итальянка Мария Гоетана Аньези (1718—1799), кото¬
рая была первой в мире женщиной, занимавшей должность
профессора математики в университете, а именно, в старейшем
Болонском университете, основанном в XI в. Она написала
«Курс анализа для употребления итальянского юношества», в
котором даны оригинальные доказательства многих теорем, а
также геометрический трактат. В ее честь одна из кривых ли¬
ний, ею исследованных, поныне называется «кривой Аньези» *.
Англичанка Мэри Сомервиль (1780—1872) вела переписку
с выдающимися учеными, среди которых были Гей-Люссак>
Лаплас, Араго и др. Она написала несколько книг по астроно¬
мии и физике и перевела на родной язык знаменитое произведе¬
ние Лапласа «Небесная механика». Ее ученица, Ада Байрон
(1815—1852), единственная дочь известного английского поэта
Дж. Байрона, творчество которого так любили Пушкин, Лер¬
монтов и Белинский, тоже занималась математикой и, в част¬
ности, математическими машинами.
Глубоким творческим талантом обладала француженка
Софья Жермен (1776—1831). Так как родители не разрешали
ей заниматься математикой, которой она увлекалась с детства,
Софья писала свои выкладки тайком, по ночам под одеялом...
Однажды, в начале XIX в., она написала всемирно извест¬
ному немецкому математику К. Ф. Гауссу письмо, в котором
содержалась просьба разъяснить некоторые недоумения, возник¬
шие в ходе ее математических исследований. Письмо она под¬
писала мужским именем, так как опасалась, что знаменитый
ученый не станет уделять внимание женщине, занимающейся
математикой. Гаусс оценил по достоинству своего талантливого
незнакомого корреспондента и выразил желание узнать его
лично. Случай для этого представился в 1807 г., когда француз¬
ские войска заняли немецкий город Геттинген, в котором жил
Гаусс. Софья просила генерала, командовавшего французскими
1 См., например, А. А. Савелов, Плоские кривые, Физматгиз, 1960,
стр. 89.
13 Г. И ГлсЛзср
193
оккупационными войсками, пощадить жизнь Гаусса, дабы его
не постигла трагическая судьба великого Архимеда из Сиракуз
(см. гл. 3, § 14). Узнав об этом, Гаусс был глубоко тронут всем
происшедшим и до конца жизни хранил глубокое уважение и
дружбу к Жермен.
Одним из других почитателей таланта Софьи Жермен был
выдающийся французский математик Ж. Л. Лагранж (1736—
1813), автор классического труда «Аналитическая механика».
За исследования по теории упругости С. Жермен была при¬
суждена в 1816 г. премия Парижской Академии наук. Она отли¬
чилась также в области геометрии и теории чисел.
Приведем одну из предложенных Софьей Жермен задач:
Задача 90. «Доказать, что при а Ф 1, каждое число вида
а4 + 4 является составным.»
Для доказательства представим а4 + 4 в виде произведения
двух множителей с помощью следующих преобразований:
а4 + 4 == (а4 + 4 —|— 4а2) _ 4а2 = (а2 + 2)2 — (2а)2 =
= (а2 + 2 + 2а) (а2-\- 2 — 2а).
Ни один из полученных двух множителей не равен самому
а4 + 4 и не может быть равным единице, потому что:
а2+2 — 2а = (а— 1)2+12,
сумма же эта не может равняться единице.
* *
*
Выдающейся женщиной-математиком была Софья Васильев¬
на Ковалевская. Она родилась в Москве 15 января 1850 года
в семье артиллерийского генерала В. Корвин-Круковского.
С раннего детства Софья пристрастилась к чтению литературы
и научных книг. Математические ее способности проявились
впервые в возрасте 13 лет.
Был у Софьи дядя, Петр Васильевич, которому она посвяти¬
ла одну из глав, написанных ею в зрелом возрасте «Воспоми¬
наний детства» 1.
«Хотя он математике никогда не обучался, — пишет Кова¬
левская, — он питал к этой науке глубочайшее уважение. Из
разных книг набрался он кое-каких математических сведений
и любил пофилософствовать по их поводу, причем ему часто
случалось размышлять вслух, в моем присутствии. От него
услышала я, например, в первый раз о квадратуре круга2, об
асимптотах (прямых линиях), к которым кривая постоянно при¬
ближается, никогда их не достигая, о многих других вещах по¬
1 См. [61].
2 См. гл. 3, § 15.
194
добного рода, смысла которых я, разумеется, понять еще не
могла, но которые действовали на мою фантазию, внушая
мне благоговение к математике, как науке высшей и таинствен¬
ной, открывающей перед посвященными в нее новый чудесный
мир, недоступный простым смертным.
Говоря об этих первых моих соприкосновениях с областью
математики, я не могу не упомянуть об одном очень курьезном
обстоятельстве, тоже возбудившем во мне интерес к этой науке.
Когда мы переезжали на житье в деревню, весь дом пришлось
отделать заново и все комнаты оклеить новыми обоями. Но так
как комнат было много, то на одну из наших детских комнат
обоев не хватило, а выписывать-то обои приходилось из Петер¬
бурга; это было целой историей, и для одной комнаты их выпи¬
сывать решительно не стоило. Все ждали случая и, в ожидании
его, эта обиженная комната так и простояла много лет с одной
стороны оклеенная простой бумагой. Но, по счастливой слу¬
чайности на эту оклейку пошли именно листы литографирован¬
ных лекций Остроградского о дифференциальном и интеграль¬
ном исчислениях, приобретенные моим отцом в молодости.
Листы эти, испешренные странными, непонятными форму¬
лами, скоро обратили на себя мое внимание. Я помню, как я в
детстве проводила целые часы перед этой таинственной стеной,
пытаясь разобрать хоть отдельные фразы и найти тот порядок,
в котором листы должны бы следовать друг за другом. От дол¬
гого, ежедневного созерцания внешний вид многих из формул
так и врезался в моей памяти, да и самый текст оставил на
С. Ковалевская 18 лет.
13*
К. Вейерштрасс.
195
себе глубокий след в мозгу, хотя в самый момент прочтения он
и остался для меня непонятным.
Когда много лет спустя, уже пятнадцатилетней девочкой, я
■брала первый урок дифференциального исчисления у известного
преподавателя математики в Петербурге, Александра Николае¬
вича Страннолюбского, он удивился, как скоро я схватила и
усвоила себе понятие о пределе и о производной, точно я на¬
перед их знала. Я помню, он именно так и выразился. И дело,
действительно, было в том, что в ту минуту, когда он объяснял
мне эти понятия, мне вдруг живо припомнилось, что все это
•стояло на памятных мне листах Остроградского, и самое поня¬
тие о пределе показалось мне давно знакомым».
Увлечение математикой у Ковалевской было настолько силь¬
ным, что она забыла обо всем остальном. В те времена в Рос¬
сии, и в большинстве стран Запада, женщинам не был разрешен
доступ в высшие учебные заведения. Для поездки за границу
требовалось, чтобы женщина была замужем. Софья в возрасте
18 лет вышла замуж за В. О. Ковалевского. С мужем Софья
Васильевна уехала в Германию. С большим трудом ей удалось
поступить в Гейдельбергский университет, где она слушала лек¬
ции по высшей математике, физике и другим наукам. Однако
Ковалевская стремилась в Берлинский университет, одним из
профессоров которого был выдающийся математик Карл Вейер¬
штрасс. Так как и в Берлинский университет женщины доступа
не имели, Софья Васильевна отправилась к Вейерштрассу на
дом и просила его, чтобы он занимался с нею частным образом.
Чтобы отвязаться от необычной просительницы, Вейерштрасс
предложил ей решить несколько очень трудных задач. Оказа¬
лось, однако, что С. Ковалевская их быстро решила. Убедив¬
шись в исключительных способностях своей посетительницы,
Вейерштрасс согласился заниматься с нею.
В 1871 г. Софья Васильевна вместе со своим мужем дважды
•ездила в Париж, где жила и принимала активное участие в ре¬
волюционной деятельности ее сестра Анюта. Софья Ковалевская
прожила при Парижской Коммуне с 5 апреля по 12 мая и вме¬
сте с сестрой под грохот бомб, рискуя жизнью, ухаживала за
ранеными бойцами-революционерами.
В 1873 г., будучи в Париже, С. Ковалевская познакомилась
с Елизаветой Федоровной Литвиновой (1845—1919). Е. Литви¬
нова, доктор математики и философии Бернского университета,
была первой русской женщиной, преподававшей математику в
старших классах гимназии и опубликовавшей много работ по
вопросам методики и истории математики Г
1 См. Л. М. Грацианская, Е. Ф. Литвинова, Математический
сборник Киевского госуниверситета, 1954, № 5.
196
После четырех лет занятий с Вейерштрассом и большой на¬
стойчивой работы, С. Ковалевская смогла представить три
научных труда Геттингенскому университету, который присудил
ей степень доктора «с высшей похвалой».
Вернувшись в Россию, Ковалевские поседились в Петербурге.
На родине Софья Ковалевская не могла применить свои знания:
женщинам научная карьера была закрыта. Она вращалась в
кругу ученых и писателей, среди которых были всемирно извест¬
ные химики Д. И. Менделеев и А. И. Бутлеров, математик
П. Л. Чебышев, физик А. Г. Столетов, естествоиспытатель
И. М. Сеченов и корифеи литературы И. С. Тургенев и Ф. М. До¬
стоевский. Так как Софья Васильевна отличалась разносторон¬
ним образованием, она занялась литературой и публицистикой,
помещала в разных газетах и журналах научные обзоры, теа¬
тральные рецензии и другие статьи.
В 1878 г. она родила дочь, за этим последовала длительная
ее болезнь. Но и по выздоровлении С. Ковалевская достойной
работы найти не могла. Царский министр просвещения, отвечая
отказами на все ходатайства Софьи Васильевны, выразился при
этом, что она и ее дочь «успеют состариться прежде, чем жен¬
щин будут допускать к университету».
В 1883 г. умер В. О. Ковалевский. После смерти мужа
Софья Васильевна надолго уединилась, стремясь забыться в
математических исследованиях.
В конце 1883 г. она по приглашению старого друга и быв¬
шего ученика Вейерштрасса, профессора Миттаг-Леффлера, за¬
няла должность доцента, а вскоре и профессора Стокгольмского
университета. Она с большим подъемом читала лекции по раз¬
личным разделам высшей математики. Многие студенты и пре¬
подаватели с любовью ее называли «наш профессор Соня».
Софья Васильевна не ограничивалась, конечно, преподава¬
тельской деятельностью. Она была одним из редакторов извест¬
ного математического журнала под латинским названием «Акта
математика» (Математические ведомости), занималась серьез¬
ными научными исследованиями, увлекалась литературной дея¬
тельностью, писала романы, стихи, драмы (рис. 88). Для многих
казалось странным, как она сочетает математику с поэзией. По
этому поводу Ковалевская писала: «Многие, которым никогда
не представлялось случая более глубоко узнать математику,
смешивают ее с арифметикой и считают наукой сухой. В сущ¬
ности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из
первых математиков нашего столетия говорит совершенно вер¬
но, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время поэ¬
том в душе. Только, разумеется, чтобы понять верность этого
определения, надо отказаться от старого предрассудка, что
поэт должен сочинять несуществующее, что фантазия и вымы¬
сел одно и то же. Мне кажется, что поэт должен только видеть
197
у Что до меня касается,
то я всю жизнь не мо¬
гла решить: к чему у
• меня больше склонно¬
сти, к математике или
литературе. Только что
устанет голова над чис¬
то абстрактными спеку¬
ляциями, тотчас начи¬
нает тянуть к наблюде¬
ниям над жизнью, к
рассказам’ и, наоборот,
в другой раз вдруг все
в жизни начнет казать¬
ся ничтожным и неин¬
тересным, и только од¬
ни вечные, непрелож¬
ные, научные законы
привлекают к себе.
то, что не видят другие,
видеть глубже других.
Рис. 88. Стихотворение (автограф) С. Кова- Очень может быть, что
ше, если бы предалась ей исключительно', но тем не менее, я ни
от одной из них не могу отказаться совершенно».
Близкими знакомыми Софии Васильевны в Стокгольме были
не только ученые, но и выдающиеся писатели, музыканты и
артисты. Среди них: известный норвежский писатель Генрих
Ибсен, датский литературный критик Георг Брандес, великий
норвежский композитор Эдвард Григ и другие.
Самой важной научной работой С. Ковалевской было полное
решение задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг не¬
подвижной точки. За эту работу ей была присуждена в 1888 г.
премия Парижской Академии наук. При торжественном вруче¬
нии премии знаменитый ученый Э. Дюбуа-Раймон сказал:
«Софья Васильевна не только превзошла своих немногих пред¬
шественниц в математическом образовании, но заняла между
современными математиками одно из самых видных мест. Она
получила премию за решение вопроса о вращении твердого
тела под влиянием действующих на него сил. Из трех предста¬
влявшихся здесь задач две были решены Лагранжем. Решение
третьей задачи, самой сложной, принадлежит Ковалевской».
Через год, за дополнительные исследования той же пробле¬
мы, ей была присуждена премия Шведской Академии наук.
Результаты математических работ Ковалевской оказали боль¬
шое влияние на ход научных исследований многих крупных
левскои.
в каждой из этих обла¬
стей я сделала бы боль-
198
ученых, в том числе Т. Леви-Чивита (Италия), С. А. Чаплы¬
гина, В. А. Стеклова, А. Н. Крылова, Е. Н. Жуковского и других.
Софья Васильевна стала знаменитостью. Английский мате¬
матик Дж. Сильвестр написал в ее честь сонет, в котором на¬
звал ее «небесной музой». Благодаря стараниям великого рус¬
ского математика П. Л. Чебышева, Петербургская Академия
наук избрала Ковалевскую своим почетным членом-корреспон-
дентом. О ней писали газеты и журналы всего мира, ее чество¬
вали на многочисленных вечерах.
Несмотря на успехи и почести, С. Ковалевская чувствовала
себя одинокой на чужбине и глубоко тосковала по Родине. Ко¬
валевская знала французский, английский, немецкий и швед¬
ский языки, однако считала, что самые сокровенные свои мысли
может выражать только на своем родном, на русском языке.
Она всю жизнь мечтала о том, чтобы преподавать, работать
у себя на родине, однако даже после ее научных успехов в
царской России для нее места на нашлось. Президент Петер¬
бургской Академии наук, великий князь Константин Констан¬
тинович ответил на ходатайства Чебышева и других русских
ученых о предоставлении Ковалевской соответствующего места
следующим образом: «Так как доступ на кафедры в наших уни¬
верситетах совсем закрыт для женщин, каковы бы ни были их
способности и познания, то для г-жи Ковалевской в нашем оте¬
честве нет места столь же почетного и хорошо оплачиваемого,
как то, которое она занимает в Стокгольме».
С. В. Ковалевская. В. А. Стеклов.
В последние годы своей жизни Софья Ковалевская подру¬
жилась со шведской писательницей Эллен Кэй и вновь увлек¬
лась литературной деятельностью, работая над повестью о ве-
ликом русском революционном демократе и писателе Н. Г. Чер¬
нышевском. В конце января 1891 г. по дороге из Франции в
Швецию она сильно простудилась и заболела воспалением лег¬
ких, 10 февраля 1891 г. в полном расцвете творческих сил
Софья Васильевна скончалась.
С разных концов Европы, в частности, из России, на ее мо¬
гилу прибыли телеграммы, письма и цветы. В речи на похоро¬
нах один из друзей Ковалевской сказал: «Софья Васильевна!!
Благодаря Вашим знаниям, Вашему таланту и Вашему харак¬
теру, Вы всегда были и будете славой нашей родины. Недаром)
оплакивает Вас вся ученая и литературная Россия. Со всех
концов обширной империи, из Гельсингфорса и Тифлиса, из
Харькова и Саратова, присылают венки на Вашу могилу... Вам
не суждено было работать в родной стране. Но, работая по не¬
обходимости вдали от родины, Вы остались верной и преданной
союзницей юной России, России мирной, справедливой и сво¬
бодной, той России, которой принадлежит будущее».
О Софье Ковалевской написано немало книг и статей. Науч¬
ные труды Ковалевской, которые явились важным вкладом в
мировую науку и прославили русское имя, не потеряли своей
ценности и в настоящее время.
Образ Софьи Ковалевской, талантливейшей женщины-мате¬
матика, которая в годы тем¬
ной реакции и нелепых пред¬
рассудков с необычайной сме¬
лостью и настойчивостью про¬
бивала себе дорогу к науке и
свету, еще долго будет вызы¬
вать восхищение девушек,
юношей и передовых людей
всего мира.
После С. Ковалевской в са¬
мом начале XX в. другие две
русские женщины получили в
Г еттингенском университете
степень доктора за труды в
области математики, а имен¬
но: Надежда Николаевна Гер-
нет, преподававшая потом в
Петербурге на высших жен¬
ских курсах и Любовь Нико¬
лаевна Запольская, работав¬
шая на тех же курсах в Мо-
Э. Нетер. скве.
* *
*
Одним из крупнейших математиков XX в. была Эмми Нетер
(1882—1935), «самая крупная женщина-математик, когда-либо
существовавшая» *.
Э. Нетер родилась 23 марта 1882 г. в семье математика Мак¬
са Нетера в Эрлангене (Германия) и там же в 1907 г. защитила
диссертацию. В 1916 г. Э. Нетер переезжает в г. Геттинген, кото¬
рый в то время славился во всем мире, как важнейший мате¬
матический центр. Тут Нетер работала под влиянием великого
немецкого математика Давида Гильберта (1862—1943). Однако
основной период научной деятельности Э. Нетер начинается,
примерно, с 1920 г., когда она кладет начало новому направле¬
нию в алгебре. Основной ее научный путь — создание общей,
абстрактной алгебры2, как ее называют в настоящее время.
В 1922—1923 гг. она работала профессором Геттингенского
университета и была известна в мире науки как глава большой
научной школы.
Э. Нетер была обаятельной личностью, общительной и до¬
брожелательной. В числе ее друзей были ученые с мировым
именем: немецкие математики Д. Гильберт, Г. Вейль, Э. Лан¬
дау, нидерландский математик Л. Брауэр, советские математики
П. С. Александров, П. С. Урысон и др. Э. Нетер была большим
другом Советской страны и на протяжении 10 лет жизни под¬
держивала тесные связи научного сотрудничества и сердечной
дружбы с математиками СССР; в 1928/29 учебном году читала
лекции в Московском университете.
В 1933 г., с приходом гитлеровцев к власти, Э. Нетер, как
и большинство известных геттингенских математиков (Р. Ку¬
рант, Г. Вейль и др.), была изгнана из университета и выну¬
ждена была уехать за границу. Последние полтора года жизни
она прожила в небольшом городке штата Пенсильвании (США),
где и умерла 14 апреля 1935 г.
Труды Э. Нетер оказали большое влияние на развитие со¬
временного математического мышления. «Если, — писал акаде¬
мик П. С. Александров1, — развитие математики сегодняшнего
дня несомненно протекает под знаком алгебраизации, проник¬
новения алгебраических понятий и алгебраических методов в
самые различные математические теории, то это стало возмож¬
ным лишь после работ Эмми Нетер».
* *
*
В настоящее время в разных областях современной матема¬
тики работает немало женщин-математиков. Среди них: в Ита¬
1 См. П. С. Александров, Памяти Эмми Нетер, «Успехи математи¬
ческих наук», 1936, вып. II.
2 Общая теория колец, полей, идеалов.
201
лии — Мария Пастори (тензорный анализ) и Мария Чикуини-
Чебрарио (дифференциальные уравнения), во Франции — Жа-
келина Лелон-Ферран (теория функций комплексного пере-*
менного) и Полетт-Либерман (комплексные многообразия), в
Швейцарии — Софья Пикар (теория групп), в Англии — Ганна
Нейман (теория групп), в Румынской Народной Республике —
Вера Лебедева-Миллер (теория функций) и другие.
В нашей стране, после Великой Октябрьской революции,
двери высших учебных заведений широко раскрылись перед
всеми трудящимися. Женщины получили равные с мужчинами
права и доступ во все отрасли науки и народного хозяйства.
Ныне в Советском Союзе вряд ли можно найти высшее учебное
заведение, в котором не работали бы женщины. Среди совет¬
ских женщин-математиков можно упомянуть: профессоров Веру
Иосифовну Шифф (умерла в 1918 г.) и Екатерину Алексеевну
Нарышкину (1895—1940), академика Пелагею Яковлевну Полу-
баринову-Кочину, занимающуюся вопросами прикладной ма-
тематики и основные труды которой относятся к области гидро¬
динамики и фильтрации; профессора Нину Карловну Бари
(1901—1961), внесшую важный вклад в теорию функций дей¬
ствительного переменного и в учение о тригонометрических ря¬
дах; старшего научного сотрудника Института математики АН
СССР Людмилу Всеволодовну Келдыш, работающую в области
теории функций действительного переменного и топологии,
Ольгу Александровну Ладыженскую, профессора Ленинград¬
ского Госунивереитета и специалиста в области дифференциаль¬
ных уравнений, которыми занимается также профессор МГУ
Ольга Арсеньевна Олейник, профессора МГУ Софью Алексан¬
дровну Яновскую, труды которой относятся к истории и филосо¬
фии математики, и многих других.
О ТЕРМИНЕ И ПОНЯТИИ «АЛГОРИТМ»1
Долгое время начиная с середины XII в. «алгоритмом» или
«алгоризмом» называли любой труд, в котором излагалась
арифметика, основанная на позиционной десятичной системе
счисления с употреблением индийско-арабских цифр (гл. I,
§2; 16). Позже так стали называть систему правил письменного
счета в десятичной позиционной нумерации2.
Постепенно слово «алгоритм» стало обозначать всякий си¬
стематизированный прием вычисления3. Именно в этом смысле
1 См. [31], стр. 11—12, 274—275; [111], стр. 28. 38.
2 См. [121], стр. 200.
3 Так оно применяется, например, в алгебре 1525 г. Рудольфа (см.
рис. 85).
202
термин «алгоритм» или «алгорифм» применяется в математике
и ныне, означая систему правил, следуя которым можно решить
задачу определенного типа, совершая в твердо установленном
порядке ряд известных вычислительных операций. Одним из
простейших алгоритмов является, например, правило сложения
двух многозначных чисел в позиционной десятичной нумерации.
Если задана таблица сложения чисел от 0 до 9, то алгоритм
сложения в данном случае сводится к последовательной записи
суммы двух чисел согласно таблице с учетом возможного пере¬
носа единицы. Аналогично можно говорить об алгоритме вычи¬
тания, умножения или деления.
Само понятие алгоритма появилось намного раньше упо¬
требляемого ныне термина, оно складывалось и применялось в
науке с древнейших времен. Широко известен в математике так
называемый алгоритм Евклида.
Учащиеся знакомы с понятием общего делителя двух или
нескольких натуральных чисел. Наибольшим общим делителем
(коротко НОД) 1 данных чисел называется самый большой из
общих делителей, то есть самое большое число, на которое де¬
лится каждое из данных чисел. Например, НОД чисел 18 и 12
есть 6. То, что число d является НОД чисел а и Ь, коротко обо¬
значают так: d = (а, Ь). Например, 6 = (18, 12).
Для нахождения НОД можно применить способ, аналогич¬
ный способу нахождения НОК, а именно: а) каждое из данных
чисел разлагается на произведение простых множителей; б) со¬
ставляется произведение общих простых множителей с наимень¬
шими показателями.
Для вышеуказанного примера имеем:
18 = 2 -З2
12 = 22 • 3.
Отсюда:
(18, 12) = 2 • 3 = 6.
Однако не всегда разложение данных чисел на простые
множители дается легко. Оно является особенно утомительным,
если данные числа являются большими и в то же время их
с-бщие делители — числа многозначные, для которых признаки
делимости школьникам неизвестны (11, 13, 23 и т. д.). В таких
случаях удобнее пользоваться другим способом нахождения
НОД, впервые изложенным в VII книге «Начал» Евклида
и названным поэтому «алгоритмом Евклида» (или «способом
последовательного деления»). Этот способ основывается на
1 С 1960/61 учебного года понятие НОД, как известно, изъято из про¬
граммы восьмилетней школы.
203
следующих свойствах НОД: а) если а делится на число b без
остатка, то b есть НОД числа а и Ь; например, 48 делится без
остатка на 16, поэтому: (48, 16) = 16;
б) если а не делится на b без остатка, а при делении полу*
чается остаток г, то есть а = b • q + г, то (a, b) = (b, г), что
легко доказывается на основе признаков делимости произведе-
ния и разности двух чисел. Например, пусть а = 48, b = 15; раз¬
делив а на Ь, то есть 48 на 15, получим частное q — 3 и остаток
г = 3. Значит 48 = 15*3 + 3; (48,15) = (15,3) = 3. В данном
случае остаток, г — 3, является делителем числа b = 15, в об¬
щем же случае это обстоятельство не имеет места и тогда при¬
ходится разделить первый остаток на второй и т. д., пока не по¬
лучится частное без остатка.
Пример: Найти (213, 126).
Произведем следующий ряд последовательных делений:
1) 213 : 126 = 1, первый остаток г\ = 87
2) 126 : 87 — 1, второй остаток гг = 39
3) 87 : 39 = 2, третий остаток г3 = 9
4) 39 : 9 = 4, четвертый остаток = 3
5) 9 : 3 = 3, пятый остаток г5 = 0.
Последний отличный от нуля остаток, в данном случае г4 = 3,
есть НОД данных чисел, так как (213, 126) = (126, 87) =
= (87, 39) = (39, 9) = (9, 3) = 3.
Последовательное деление обычно располагается в следую¬
щем виде:
213
126
126
87
126
87
87
78
39
О)
39
36
0.
Чтобы убедиться в преимуществе приема последовательного де¬
ления над приемами разложения на простые множители, когда
имеем дело с большими числами, рассмотрим следующий при¬
мер:
Найти (4847, 4181).
204
7
Разложение данных чисел на простые множители является
делом не легким, так как ни одно из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 9, для
которых устанавливаются в школе признаки делимости, не яв¬
ляется делителем данных чисел. Алгоритм же Евклида легко
и быстро приводит к результату: (4847, 4181) = 37. (Про-*
верьте!)
Вместо (О можно писать:
213 — 126 * 14-87
126 = 87 • 1+39
87 = 39*2 + 9
39 = 9*4 + 3
9 = 3* 3 + 0.
В общем случае для данных чисел а и b имеем:
а = Ь- <?! + /*! (0<гх<Ь)
b = rl-q2-\-r2 (0 < г2 < гх)
О = г2 • ^з + Гз (0 < г3 < г2)
Гп-ъ^Гп-ЯпЛ-Гп (0 <гя<гл_1).
Ввиду того, что остатки Г\, г2, г3..., являющиеся положитель¬
ными числами, меньшими Ь, последовательно убывают, то после
конечного числа делений .должен получиться остаток 0.
Итак, (a, b) = (Ъ, г,) = (ги г2) = ... (ги_2, rn_j) =
= (гп-1, /■„) = гп.
Второе предложение VII книги «Начал» Евклида так и ут¬
верждает, что при rn+1 = 0, гп есть НОД чисел а и Ь. Евклид,
конечно, не употреблял современной символики. Он и не делил
а на Ь, а вычитал b последовательно несколько раз из а, пока не
получал остаток г\ < Ъ, аналогично из b вычитает повторно ги
пока не получает г2 < Г\ и т. д.
Замена последовательного деления последовательным вычи¬
танием объясняется тем, что Евклид описывал процесс нахожде¬
ния НОД в геометрической форме, число он мыслил как геоме¬
трический образ, как отрезок, а действия над числами — как
действия над отрезками. В соответствии с этим сам НОД а и Ь
Евклид называет «наибольшей общей мерой» двух чисел.
Алгоритм Евклида играет важную роль во многих вопросах
теории чисел, в том числе и при решении диофантовых урав¬
нений.
В современной математике алгоритм, позволяющий решить
поставленную задачу с помощью четырех арифметических дей¬
ствий, называют численным алгоритмом. Он задается словесно
или с помощью формул, например: для решения линейнего урав¬
205
нения ах + Ь — 0, алгоритм задается формулой х = — — (аФО).
Алгоритм для решения системы двух линейных уравнений с
двумя неизвестными
| а^х + ЬтУ^Сг
\ а2х Ъ2у — с2
ус
задается с помощью формул:
д. __ С2^1 . а\с2 а2с1
С1\ /^2 Й261 CL\ Ь% &%Ь\
Начиная с древнейших времен, одной из важнейших целей
математики являлось нахождение алгоритмов для решения тех
или иных типов задач. В средние века математики долго иска¬
ли алгоритм алгебраического решения уравнения третьей сте¬
пени. Как известно, он был найден в первой половине XVI в.
итальянскими математиками и выражен в виде «формулы Кар¬
дано» (см. гл. 2, § 20).
Из сказанного ясно, как важно найти тот или иной алгоритм,
с помощью которого решается не одна лишь задача, а ряд одно¬
типных задач.
Понятие алгоритма применяется в современной науке и при
решении логических задач и в теории автоматических вычисли¬
тельных машин (машинные алгоритмы) *. Об этом учащиеся
узнают в старших классах на математическом кружке.
О
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И РЕШЕНИЕ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
«Геометрическая алгебра» широко применялась в древнегре¬
ческой математике, на ней основывались важнейшие труды Ев¬
клида, Архимеда, Аполлония и других ученых 2.
Рассмотрим из «Начал» Евклида две теоремы, на основе ко¬
торых можно получить решение квадратного уравнения. Пер¬
вая из них (5-е предложение II книги) имеет следующее со¬
держание:
а со в Если отрезок ЛВ (рис.
89) разделен на два не-
206
Рис. 89.
1 См. Б. А. Т р а х т е н-
б р о т, Алгоритмы и машинное
решение задач, Популярные лек¬
ции по математике, вып. 26,
м Физматгиз, М., 1957.
м 2 См. [89], кн. I—VI, стр.
65—68, 307—308; [58], стр.
, 257—261; [109], стр. 85—101,
165—175; [107], стр. 261—276;
[119], стр. 295—318; [114], стр,
116—119.
равных отрезка AD и DB, то сумма площадей прямоугольни¬
ка, сторонами которого являются эти отрезки, и квадрата, сто¬
рона которого равна полуразности их, равна площади квадра¬
та, стороной которого служит половина отрезка АВ.
Доказательство непосредственно следует из чертежа. Пусть
Некоторые историки математики (Нейгебауэр, Ван дер Варден
и др.) усматривают в этой теореме Евклида геометрический
вывод формулы решения квадратного уравнения так, как это
делали вавилоняне еще 4000 лет назад.
В вавилонских математических текстах условие и решение
задач, сводящихся к уравнениям, излагаются словесно, без до¬
казательств. В них даются только указания, что следует делать
для решения той или иной задачи. Тем не менее дошедшие до
нас зачатки числовой алгебры, записанные на клинописных таб¬
личках, особенно задачи на квадратные уравнения, можно счи¬
тать первыми шагами математической теории. Многие из вави¬
лонских задач носят абстрактный характер, в них неизвестные
названы «стороны прямоугольника», или «длина» и «ширина»,
а их произведение — «площадь». Одной из основных задач, из
которой у вавилонских ученых возникло учение о квадратных
уравнениях, была следующая:
Задача 91. «Найти стороны прямоугольника, зная их сум¬
му и площадь прямоугольника.» Задача приводит к системе
уравнений:
Такие системы решались с помощью введения вспомогательного
неизвестного. По существу вавилонский метод решения системы
(2) та.ков:
AD = x, DB = ВМ = у\ AC = CE=^jAB
2
CD = ЕН
Тогда:
(1)
Пусть
X —
а .
-2+*, У =
а
Имеем
или
207
откуда:
*+*2=(!)2-
Далее находим:
° I л f °2
x—j+у т
У=Т-/т—*- <3>
ь,
при этом ясно, что равен¬
ство (3) совпадает с евклидовой формулой (1), если учесть, что
b = ху, z2
4-НЧ)2
(1)ЧЧ'г
ху
Вторая теорема Евклида (6-е предложение II книги «На¬
чал») имеет следующее содержание (рис. 90):
Если отрезок АВ разделен пополам (в точке С) и к нему по
той же прямой прибавлен отрезок BD, то сумма площадей пря¬
моугольника со сторонами AD и DM( = BD) и квадрата со
стороной ЕН СВ — равна площади квадрата со сторо¬
ной CD ( = СВ + BD).
Обозначив: AD = х, BD = у, получим, что АВ = х — у,
АС — СВ
CD
х — У
Х~\~У
Содержание тео-
2 2 1 -у— 2
ремы можно таким образом выразить через ту же формулу (1).
К этой формуле приводит и решение следующей задачи вави¬
лонских математиков:
Задача 92. «Найти стороны прямоугольника, зная их раз¬
ность и площадь прямоугольника.»
Задача решается у вавилонян аналогично задаче 91:
х — у = а,
ху — Ь;
а I
о ~Ь"
(4)
(z + |)(z-f) = *; =
» + (!)*=■ Л
(5)
208
Откуда
•* = -§+]/-Т + * •
у = -| + /
Равенство (5) и тут совпадает с евклидо¬
вой формулой (1).
Произведя в системе (2) подстановку
у = а — х, а в системе (4) у — х — а, по¬
лучаем следующие формы квадратных урав¬
нений, применявшиеся учеными древней Греции:
х(а — х) = Ь,
х (х — а) — Ь.
Применялась и третья форма: х(х + а) — Ь.
Несмотря на то, что в подобных задачах речь шла о чисто
геометрическом построении отрезков, древние греки, конечно,
знали связь между указанными построениями и правилом ре¬
шения квадратного уравнения.
Геометрический характер греческой алгебры требовал, что¬
бы в равенство входили члены с одинаковыми измерениями —
в этом и состоит принцип однородности, который приходилось
соблюдать при составлении уравнений. Произведению Двух чи¬
сел Х‘у соответствовала площадь прямоугольника, которую
можно было складывать, например, с площадью другого прямо¬
угольника или квадрата а2, но не со стороной какой-либо фи¬
гуры.
* *
*
Вот один, ставший знаменитым, пример из «Алгебры» ал-Хо¬
резми.
Задача 93. Решить уравнение:
jc2+10jc = 39. (6)
Задача эта формулируется в оригинале следующим образом:
«Квадрат и 10 корней равны 39».
Для ее решения рассматривается квадрат (рис. 91) с иско¬
мой стороной х, на сторонах которого строятся прямоугольники
так, что другая сторона каждого из них равна2 .следователь¬
но, площадь каждого равна2 у. х. Полученную фигуру допол¬
няют затем до нового квадрата АВСЕ, достраивая в углах
четыре равных квадрата, сторона каждого из которых равна
14 Г. И. Глейзер
209
2-^, а площадь 6 -j. Тогда площадь Р квадрата АВСЕ можно
представить как сумму площадей: первоначального квадрата
(л:2), четырех прямоугольников ^4 • • х= Kbcj и четырех при-»
строенных квадратов ^4 • 6 = 25 j, то есть
Р — х2-\- Юл: -f- 25. (7)
Заменяя в (7) л:2 + 10х числом 39, согласно (6), получим Р —
= 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСЕ, то есть от¬
резок АВ, равна 8. Для искомой же стороны х первоначального
квадрата получим:
х = 8 — 2~— 2у = 3.
Такое геометрическое построение соответствует следующим ал-»
гебраическим преобразованиям при решении уравнения х2 +
+ рх = q:
1)^ + 4(^х) + 4(^)2 = 1? + 4(^)2;
2) (л + 2^Г = 9 + 4(^
3) х + 2 ~ у^9 + 4 ;
4) *=\А<1+[т)2-Т-
Последнее и представляет правило ал-Хорезми для решения
указанного квадратного уравнения.
* *
*
Европейские математики XII—XV вв. шли по стопам араб¬
ских, среднеазиатских и античных ученых. Лишь начиная
с XVI в. в Европе происходят значительные сдвиги в развитии
алгебры, намечается постепенный отход от методов геометриче¬
ской алгебры. Однако влияние античной математики долгое
время сказывалось на трудах алгебраистов XVI и XVII вв.
В произведениях Виета алгебра еще тесно связана с геомет¬
рией, в ней строго соблюдается принцип однородности. Он раз¬
личает две алгебры: «Числовая логистика», имеющая дело
только с числами, и «Видовая логистика», изучающая общие
величины с помощью геометрических «видов» (длина, площадь*
тело и др.) и фигур. Общие величины Виет обозначал латин¬
скими прописными буквами.
Геометрическая алгебра сыграла важную роль на первом
этапе развития алгебры не только в Древней Греции, но и в
странах ислама, однако ее возможности были весьма ограни¬
210
чены. Геометрическая алгебра была хороша лишь для реше¬
ния квадратных уравнений. Для представления произведения
трех величин уже нужно было пользоваться пространственными
фигурами, например кубом или параллелепипедом, а геомет¬
рическое представление произведения четырех сомножителей и
больше вообще было невозможным. Вот почему в XVI—XVII вв.
методы геометрической алгебры стали стеснять дальнейший
прогресс науки и сдерживали развитие алгебры.
В первой половине XVII в. значительный шаг вперед в ариф-
метизации алгебры сделал Рене Декарт. Он не отделял учение
о числах от учения о величинах, не соблюдал принципа одно¬
родности и стремился освободить алгебру от подчинения гео¬
метрии *.
В трудах английских математиков XVII в. Оутреда, Гар-
риотта, Валлиса и особенно Ньютона уже отчетливо прояв¬
ляется арифметическое построение алгебры. И если во «Всеоб¬
щей Арифметике» Ньютона большое место еще занимают гео¬
метрические приложения, геометрическое построение корней
уравнений и т. п., то уже в «Началах алгебры» Клеро (1746 г.)
и в «Универсальной арифметике» Эйлера (1768—1769 гг.) все
изложение алгебры носило чисто арифметический характер.
В наши дни от «геометрической алгебры» остались лишь
незначительные следы, вроде: «квадрат», «куб» числа.
ОМАР ХАЙЯМ —МАТЕМАТИК И ПОЭТ
Одним из крупнейших средневековых алгебраистов 2 был пер¬
сидский и таджикский ученый и поэт Омар Хайям (1048—1123).
Он родился в семье ремесленника в городе Нишапуре (ныне
Северный Иран), к югу от Ашхабада, жил и работал в Самар¬
канде, Исфахане и других городах Средней Азии и Ирана. Ко¬
гда он был еще молодым, большая часть Среднего Востока
была захвачена сельджуками3. Положение честных ученых,
которых преследовали властители, было крайне тяжелым. Вот
что пишет об этом сам Омар Хайям в предисловии к своей
«Алгебре»: «Я был лишен возможности систематически зани¬
1 В некоторых отношениях и у Декарта алгебра связывалась по-преж¬
нему с геометрией. Всякую величину он выражал прямолинейным отрезком,
а2 и а3 тоже представлял отрезками и алгебраические действия он относил
к отрезкам. Правда, отрезки Декарт применял так, как в настоящее время
применяются числа.
2 См. [68], [69], [70], [79].
3 Феодальная династия туркменского происхождения, названная по име¬
ли ее основателя Сельджука. Сельджукское государство, созданное в сере¬
дине XI в., охватывало ряд стран Ближнего и Среднего Востока и распалось
в XII в. Отдельные ветви сельджуков правили в княжествах Малой Азии
до XIV в.
14*
211
маться вопросом и не мог сосредоточиться на размышлении
о нем, так как обстоятельства заставляли меня терять много
времени. Мы были свидетелями гибели ученых, от которых оста¬
лась небольшая многострадальная кучка людей. Суровость
судьбы в эти времена препятствует им всецело отдаться совер¬
шенствованию и углублению своей науки. Большая часть тех»
которые в настоящее время имеют вид ученых, одевают истину
ложью, не выходя в науке за пределы подделки и лицемерия.
И если они встречают человека, отличающегося тем, что он
ищет истину и любит правду, старается отвергнуть ложь и лице¬
мерие и отказаться от хвастовства и обмана, они делают его
предметом своего презрения и насмешек».
В молодости Омар Хайям увлекался астрономией и матема¬
тикой, позже в нем пробудился интерес к географии, философии
и поэзии. Первое его математическое сочинение — «Трудности
арифметики» до нас не дошло. Благодаря материальной по¬
мощи, оказанной ему одним самаркандским меценатом, Хайям
смог продолжать свои научные исследования и написать важней¬
ший труд — «О доказательствах задач алгебры и алмукабалы».
Эта книга содержала почти всю совокупность алгебраиче¬
ских знаний того времени. В ней дается классификация уравне¬
ний и излагается решение уравнений первой, второй и третьей
степени. Во введении автор утверждает, что алгебра — это нау¬
ка об определении неизвестных величин, состоящих в некоторых
отношениях с величинами известными. Определение неизвест¬
ных осуществляется с помощью составления и решения уравне¬
ний. Это — первое дошедшее до нас определение алгебры как
науки. «Обычно, — пишет Хайям,— алгебраисты называют неиз¬
вестную «вещью» *, ее произведение на себя — «квадратом»,
произведение квадрата на нее — «кубом», квадрата на себя —
«квадрато-квадратом», куба на квадрат — «квадрато-кубом»,
куба на себя — «кубо-кубом» и т. д.
Алгебра Хайяма — чисто словесная. «Неизвестная» в концеп¬
ции Хайяма может быть либо числом, разумеется, лишь целым]
и положительным, либо геометрической величиной: отрезком,
площадью или объемом. Хайям говорит о важности численного
решения, однако считает основным геометрическое построение
искомого корня, то есть отрезка. Здесь сказалось влияние «гео-?
метрической алгебры» древних.
Хайям решает некоторые виды уравнений, содержащие ве¬
личины, обратные неизвестной и их степени.
Вот два примера:
Задача 94. Решить уравнение:
1 См. гл. 2, § 10; 36.
212
Это уравнение формулируется у Хайяма следующим образом:
«Доля квадрата равна половине доли корня». Автор указы¬
вает, что «это то же, как если бы сказали: квадрат равен поло¬
вине корня», т. е. при подстановке-^ = */, уравнение (1) равно¬
сильно уравнению
У2 =4 У- (2)'
Корнем (2) является у = , поэтому корнем (1) будет х = 2.
Задача 95. Решить уравнение:
4+2 4= «т- <3>'
С помощью той же подстановки приводим (3) к уравнению:
уЧ-2у=4. (4).
корнем которого является у =^* Значит, х = 2.
Славу Хайяма, как алгебраиста, создала теория геометриче¬
ского решения уравнений третьей степени, в разработку кото¬
рой он внес значительный вклад. Перед учеными того времени
стояла задача классифициро¬
вать кубические уравнения, по¬
строить общую теорию геоме¬
трического решения их и дать
систему исследования корней.
Эта задача в большой мере
была выполнена Хайямом. В
некотором отношении, касаю¬
щемся вопросов применения
алгебры к геометрии (перечис¬
ление кривых, необходимых
для построения тех или иных
типов уравнений и др.), идеи
Хайяма напоминают воззре¬
ния срздателя новой «аналити¬
ческой» геометрии, Рене Де¬
карта.
* *
*
Благодаря покровительст¬
ву одного из министров сул¬
тана, Омар Хайям стал в
. .«л*? Ж J"
Омар Хайям.
213
1074 г. придворным астрономом и
советником Мелик-шаха. Через два
года в его распоряжение была пре¬
доставлена обсерватория в Исфаха¬
не, крупнейшем в то время городе
Ближнего Востока. Хайям составил
астрономические таблицы и руково¬
дил реформой старого персидского
календаря. В календаре Хайяма,
отличавшемся большой точностью,
на каждые 33 г. приходится 8 висо¬
косных лет, вследствие чего ошибка
на один день накапливается в тече¬
ние 5000 лет, в то время как в на¬
шем, «григорианском», календаре та
же ошибка накапливается за 3300
лет.
В 1077 г. Хайям закончил рабо¬
ту над важнейшим математическим
трудом: «Комментарии к трудным
постулатам книги Евклида». Этот
трактат состоит из трех книг. Пер¬
вая содержит оригинальную теорию
параллельных прямых, вторая и третья посвящены усовершен¬
ствованию теории отношений и пропорций.
Другая математическая работа Хайяма, названная «Об ис¬
кусстве определения количества золота и серебра в состоящем
из них теле», посвящена классической задаче на смешение, ре¬
шенной Архимедом по просьбе сиракузского царя Гиерона (см,
гл. 3, § И). Хайям написал несколько трактатов по естествозна¬
нию, географии и философии.
Параллельно с занятиями наукой, Хайям создавал свои бес¬
смертные стихи, известные всему миру под названием «рубаи»
или «четверостишия». Поэзия Хайяма пронизана духом прене¬
брежения к религии, стремлением к радостной земной жизни.
Тяжело переживая постоянную свою зависимость от богатых
меценатов и отсутствие свободы личности, поэт пишет:
«О если б каждый день иметь краюху хлеба,
Над головою кров и скромный угол, где бы
Ничьим владыкою, ничьим рабом не быть —
Тогда благословить за счастье можно небо!»
Отвергая веру в потусторонний мир, Хайям высмеивает суе¬
верия, страх перед «грехами» и обращается к богу со следую¬
щими словами:
«У мертвых и живых один владыка — ты;
Кто небо завертел над нами дико? Ты.
■рис. 92. Обелиск на могиле
Омара Хайяма. (Воздвигнут
в 1934 г.)
.214
Я тварь греховная, а ты создатель мира;
Из нас виновен кто? Сам рассуди-ка ты».
Как настоящий ученый, Хайям был скромен, он сознавал*
что лишь очень небольшая часть всех тайн вселенной известна
ему и пишет:
«Меня философом враги мои зовут,
Однако, — видит бог, — ошибочен их суд.
Ничтожней много я: ведь мне ничто не ясно.
Не ясно даже то, зачем и кто я тут.»
В 1092 г. был убит покровитель Хайяма, умер и Мелик-шах.
Новые правители Бухары выдвинули против поэта обвинение в
безбожии. Лишившись поддержки вельмож, преследуемый за
вольнодумие, Хайям опять стал бедным скитальцем. До конца
жизни нищета и невзгоды не покидали его.
Бедный, разочарованный и оскорбленный, Хайям скончался
в родном Нишапуре (рис. 92). Реакционные, религиозные му¬
сульманские деятели стремились оклеветать ученого и поэта-
философа и предать забвению имя Омара Хайяма. Однако это-
им не удалось. В XVIII в. имя Хайяма и его труды стали изве¬
стны европейским математикам и ученым. В середине XIX в. в
Европе получила большое распространение его поэзия. В на¬
стоящее время Омар Хайям по праву оценивается, как одна из
самых видных фигур в истории мировой поэзии и науки.
©АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА В ЕВРОПЕ
В XII—XV ВВ.
(VIII к«®аее)
В XII—XV вв. математики Европы в основном усваивали
знания, позаимствованные йз науки стран ислама, Древней
Греции и Индии. Однако и в этот период некоторые европей¬
ские математики своими трудами содействовали известному
сдвигу в развитии науки *. Вспомним, например, о Леонардо-
Фибоначчи (Пизанском) и его «Книге абака» (см. гл. II, § 10;
41). '
Современником Леонардо Пизанского был механик и мате¬
матик Иордан Неморарий, уроженец Германии, живший неко¬
торое время во Франции. Он был автором ряда книг по мате¬
матике. Его алгебраическое сочинение, названное «О данных
числах», содержит 115 задач на уравнения и системы уравнений
1-й и 2-й степеней. Неизвестное Неморарий называет «числом»,
1 См. [45]; [21], стр. 67—71; [77]; [125], стр. 362 и след.
215-
•а известные — «данными числами». Знака для неизвестного, как
и знаков действий, у него нет. Важнейшей особенностью алгеб¬
ры Неморария является то, что в ней используются буквы для
■обозначения чисел вообще. Однако над буквами автор не про¬
изводит никаких действий. Вот почему его нельзя считать осно¬
вателем нашей алгебраической символики.
В XIV в. видными математиками и мыслителями были То¬
мас Брадвардин в Англии, Николай Орем во Франции. Пос¬
ледний является автором замечательных произведений, в том
числе: 1) «О конфигурации качеств», в котором \ по выраже¬
нию проф. А. П. Юшкевича, содержатся «прообразы идей функ¬
циональной зависимости и ее графического изображения»2;
2) «Алгоризм пропорций», посвященный теории отношений.
В этой книге Орем обобщает действие возведения в степень на
положительные и дробные показатели.
Со второй половины XV в. (а в Италии с XIV в.) начинается
в Западной и Центральной Европе эпоха Возрождения, харак¬
теризующаяся большим подъемом науки, литературы и искус¬
ства. Подъем был связан с значительным развитием товарного
производства средневековых городов и зарождением капитали-
-стических отношений. В XIII—XIV вв. Италия была экономи¬
чески наиболее развитой страной Европы. В XIV—XVI вв. в ней
.достигли наибольшего расцвета литература, живопись, скульп¬
тура, архитектура и наука. Больше, чем в других странах,
здесь в центре древней цивилизации сохранились сотни памят¬
ников античности и проявилась тяга к возрождению философ-
ско-научного и литературного наследия, а также искусства
.древности. Наряду с другими произведениями, переводятся
■с греческого языка труды Архимеда, Птолемея, Евклида.
Во второй половине XV в. и в начале XVI в. ярко проявился
гений художника Леонардо да Винчи, который одновременно
•был и выдающимся ученым, инженером, архитектором, физи¬
ком, математиком. В это же время большой популярностью
пользовался в Италии Лука Пачиоли, автор небольшой мате¬
матической энциклопедии, изданной в Венеции в 1494 г. под
названием «Сумма (знаний) по арифметике, геометрии, отно¬
шениям и пропорциональности». В этой книге, написанной на
итальянском языке, излагаются правила и приемы арифмети¬
ческих действий над целыми и дробными числами, тройное пра¬
вило, пропорции, задачи на сложные проценты, правила двой¬
ной бухгалтерии и другие сведения, удовлетворявшие потреб¬
ности коммерческой жизни того времени. В ней даются также
правила решения линейных, квадратных и некоторых видов
1 Перевод трактата Орема с примечаниями и статьей В. П. Зубова, см.
Историко-математические исследования, М., 1958, вып. XI, стр. 601—731.
2 См. [125], стр. 395.
:216
биквадратных уравнений. Классификация уравнений у Пачиоли,.
по существу, та же, что у ал-Хорезми. Он рассматривает три
вида «сложных», то есть полных квадратных уравнений: х2 +
-j- рх = q, рх + q = х2; х2 + q = рх. Эта классификация, вызван¬
ная, как мы уже знаем, отсутствием понятия самостоятельного
отрицательного числа, встречается почти во всех алгебраиче¬
ских сочинениях той эпохи.
В 1461 г. была написана первая дошедшая до нас немец¬
кая алгебра. Ее автор — ученый монах Фридерикус Герхард из
Регенсбурга, черпал свои знания из работ ал-Хорезми, Фибо¬
наччи, Орема и др. Фридерикус, как и все его современники,,
рассматривает 6 типов линейных и квадратных уравнений.
Однако он приводит пример и «вне шести правил»:
Задача 96. Решить уравнение:
х-\- )/0с2 — х = 2.
Этапы решения таковы:
]/д:2 — х — 2 — х,
х2 — х = 4 -J- х2 — 4л\
х2-\-Зх = х2-{-4,
Зх ~ 4,
jc=1 -§-■
Символы при этом не применяются. Неизвестное названо
«корень»1 (подразумевается от х2, названное census2, zensus),
а также «cosa». Свободный член назван «число» или «драхма»
(денежная единица) 3.
В 1481 г. Ян Видман прочитал первую в Лейпцигском уни¬
верситете лекцию по алгебре.
Замечательным произведением XV в. является труд фран¬
цузского ученого Николая Шюке: «Наука о числах в трех ча¬
стях». Эта книга, написанная в 1484 г. на французском языке,,
содержит правила действий с рациональными числами и с кор¬
нями, а также учение об уравнениях. Его изложение основ
алгебры отличается от предшествующих большей общностью и
ясностью. В его книге впервые встречаются термины: «биллион»,
«триллион», «квадриллион», «нониллион». В труде Шюке, как
и в произведениях других математиков той эпохи, встречаются,
зачатки символической алгебры.
1 У ал-Хорезми — «джизр».
* У ал-Хорезми — мал.
8 У ал-Хорезми — дирхем.
217
Большое значение для дальнейшего развития техники вы-
числения имело введение десятичных дробей. Официальным го¬
дом «открытия» десятичных дробей в Европе считают, как из¬
вестно, 1585 год, когда была опубликована на фламандском и
•французском языках брошюра С. Стевина «Десятая, обучаю¬
щая легко производить все расчеты, встречающиеся в людских
делах, с помощью целых чисел, без дробей». Однако некоторые
намеки на десятичные дроби появляются в трудах европейских
ученых еще в XII в. Известно, что одной из предпосылок вве¬
дения десятичных дробей в Европе было систематическое поль¬
зование в науке шестидесятеричными дробями. При некоторых
действиях с дробями Иоан Севильский из Испании в XII в.,
Иоганн из Гмундена (Австрия) в XIV в. и другие ученые при¬
бегают то к шестидесятеричной, то к десятичной системе. При
извлечении квадратных корней, которые нацело не извлекаются,
■они приписывают к подкоренному десятичному числу четное
число нулей для получения приближенного значения с несколь-
кими знаками. Например, вместо |/93 берется Y930ООО, полу¬
ченное же число 964 делят на 100 и обращают в шестидесяте¬
ричную дробь.
Примерно так же действовал астроном и математик Георг
Пейербах в первой половине XV в. Его ученик Иоганн Мюллер,
известный в математике под именем Региомонтан, составил
первые, чисто десятичные, тригонометрические таблицы (см.
гл. 3, § 8). Еще дальше пошел Виет, писавший иногда в своих
тригонометрических таблицах числитель десятичной дроби без
знаменателя, например, 5/73652 вместо нашего 5,73652. Пер¬
вую попытку систематического изложения учения о десятичных
дробях сделал во второй половине XIV в. Иммануил Бонфис из
Тараскона (Южная Франция), однако его трактат «Путь де¬
ления» не получил распространения. В XV—XVI вв. дроби с де¬
сятичными знаменателями все чаще встречаются в трудах ев¬
ропейских математиков. Назрела потребность в едином, пол¬
ном и систематическом изложении учения о десятичных дробях.
Эту роль мастерски выполнил Симон Стевин (см. гл. 1, § 3).
ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ АЛГЕБРЫ
V В XVI ВЕКЕ
В Европе в XVI в. было положено начало оригинального
развития математики и перехода от старого к новому этапу
развития этой науки (рис. 93). Важнейшими математическими
достижениями XVI в. были: алгебраическое решение уравнений
третьей и четвертой степеней и создание алгебраической сим¬
волики.
218
Новый этап развития алгебры зародился в Италии. В начале
XVI в. профессор математики Болонского университета Сци-
пион дель-Ферро (1465—1526) впервые нашел алгебраическое
решение уравнения третьей степени вида:
x*-\-px = q, (1)
где р, q — числа положительные. Это решение профессор дер¬
жал в строгом секрете, о нем узнали только два ученика уче¬
ного, в том числе некий Фиоре. Утаивание научных открытий
в то время имело особое значение для жизни и карьеры их ав¬
торов. В Италии широко практиковались тогда математические
поединки — диспуты: на многолюдных собраниях оба против¬
ника предлагали один другому задачи для решения их на ме¬
сте или в определенный срок. Побеждал тот, кто решал боль^
шее количество задач. Победитель награждался при этом не
только славой и назначенным денежным призом, но и возмож-
ностью занять университетскую кафедру или другую долж¬
ность. А человек, потерпевший на диспуте поражение, часто
терял занимаемое им место. В диспутах XVI в. первое место
занимала алгебра, названная «Великим искусством», в отличие
от арифметики, которую называли «Малым искусством».
219
Диспуты проходили в городе Болонья, который славился своим
университетом. В этом высшем учебном заведении работали
многие ученые с мировым именем, в том числе* Лука Пачиоли,
Николай Коперник, а позже Галилео Галилей и другие.
Для участников алгебраических диспутов было исключи*
тельно важно обладать неизвестной еще для других формулой
решения того или иного типа уравнений, алгоритмом, с по¬
мощью которого можно было решить значительное количество
задач. Вот почему после внезапной смерти дель Ферро, его уче¬
ник Фиоре, который сам'не был глубоким математиком, решил
воспользоваться сообщенным ему секретом и вызвать на пуб¬
личный диспут одного из виднейших математиков того времени,
Николо Тарталья (ок. 1499—1557).
Настоящая фамилия ученого была не Тарталья, а Фонтана,
В 1512 г. его родной город, Бресшия, был оккупирован фран¬
цузскими войсками. В то время озверевшие солдаты беспо¬
щадно грабили и даже убивали мирных жителей. Маленький
Николо тоже был тяжело ранен: у него был рассечен язык.
Матери удалось спасти жизнь сына, но говорить свободно Ни¬
коло уже никогда не мог, речь его была крайне невнятной. Он
получил прозвище «тарталья» — заика. Несмотря на тяжелые
материальные условия, одаренный мальчик упорно овладевал
математикой. Нередко, когда не было денег на покупку бумаги,
он писал свои вычисления на заборах, камнях.
Ко времени вызова на поединок со стороны Фиоре (1535 г.)
Тарталья уже занимал кафедру математики в Вероне и сла¬
вился как первоклассный ученый. Одной из самых актуальных
и жгучих проблем того времени было алгебраическое решение
(«решение в радикалах») кубических уравнений, то есть нахо¬
ждение общей формулы, выражающей корни любого уравнения
третьей степени в зависимости от коэффициентов при помощи
конечного числа алгебраических операций — сложения, вычита¬
ния, умножения, деления, возведения в степень и извлечения
корней. Такая формула была давно известна для уравнения
второй степени, а поэтому было естественно искать ее и для
уравнения третьей степени, тем более, что ученые мира до того
времени такой формулы найти не могли.
Получив вызов на диспут, Тарталья понял, что Фиоре обла¬
дает формулой для решения уравнений вида (1).
При подготовке к диспуту Тарталья все свое внимание со¬
средоточил на поисках алгебраического решения кубических
уравнений, работая днем и ночью над этой проблемой. Его
труды не были тщетными. Вот как позже писал он об этом:
«Я приложил все свое рвение, усердие и уменье, чтобы найти
лравило для решения кубических уравнений, и, благодаря бла¬
госклонной судьбе, мне удалось это сделать за 8 дней до
срока».
220
Диспут состоялся 20 февраля 1535 г. Тарталья в течение
двух часов решил 30 задач, предложенных ему противником,
Фиоре, который не смог решить ни одной из 30 предложенных
ему задач, выбранных Тартальей из различных областей мате¬
матики, признал себя побежденным. После диспута Тарталья
стал знаменитым во всей Италии, однако он продолжал дер¬
жать в секрете найденную им формулу, так как намеревался
опубликовать ее в своем труде по алгебре.
Другой видный итальянский ученый, Джероламо Кардано
(1501 —1576), который тоже искал, но не мог найти алгоритма
для решения кубических уравнений, обратился в 1539 г. к Тар-
талье с просьбой сообщить ему соответствующую формулу.
После того как Кардано дал «священную клятву» в том, что
он никому не раскроет тайну, Тарталья согласился открыть ему
секрет. Однако в своем сообщении в стихах Тарталья лишь
частично раскрыл свою тайну и сознательно маскировал пол¬
ное решение кубического уравнения. Между тем, в 1542 г. Кар¬
дано познакомился в Болонье с рукописями покойного профес¬
сора дель-Ферро и получил полную ясность в этом вопросе.
В 1545 г. Кардано опубликовал знаменитый свой труд «О вели¬
ком искусстве, или об алгебраических вещах, в одной книге».
В этом труде впервые было опубликовано алгебраическое ре¬
шение уравнений третьей степени. В современной записи соот¬
ветствующая формула, выражающая корни кубического урав¬
нения х3 + рх + q = 0 (к которому можно свести общее урав-
Н. Тарталья. Дж. Кардано.
221
нение третьей степени) через его коэффициенты, имеет следую¬
щий вид:
№)'+(#+
(2)
В книге Кардано содержится также алгебраическое реше¬
ние уравнений четвертой степени — важнейшее открытие, сде¬
ланное одним из его учеников — Луиджи Феррари (1522—1565).
После выхода в свет книги Кардано, последний был обвинен
Тартальей в нарушении данного им обещания и клятвы.
«У меня, — писал Тарталья,— вероломно похитили лучшее укра¬
шение моего собственного труда по алгебре». Последовала
острая и продолжительная полемика между обоими математи¬
ками и между их сторонниками.
Таковы обстоятельства, при которых были открыты общие
формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней.
Формула (2) поныне называется «формулой Кардано», не¬
смотря на то, что ее следовало бы назвать по крайней мере так:
«Формула Ферро — Тарталья — Кардано».
Тарталья написал несколько книг, самая важная из которых
была издана в Венеции в 1556 г. под названием «Общее иссле¬
дование чисел и мер». В ней впервые применяются круглые
скобки. Она содержит также таблицу так называемых «бино¬
миальных коэффициентов», получаемых при возведении в 1, 2,
3, ... п степень двучлена (бинома) а + #, например:
(а + #)2 = а2 + 2 ab -|- #2,
соответствующие биноминальные коэффициенты: 1, 2, 1;
(а + #)3 = а3 За2# + За#2 -j- #3
биноминальные коэффициенты: 1, 3, 3, 1 и т. д. Эти коэффи¬
циенты издавна располагались в виде треугольной числовой
таблицы, названной «арифметическим треугольником», следую¬
щего вида:
Таблица 11
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1 4
6
4
1
5
10
10
5
6 15
20
15
6
Эта таблица была частично известна в Индии еще во II в.
до н. э. До п = 8 она приводится впервые в трактате «Зеркало
222
четырех элементов» китайского математика Чжу Ши-цзе
(XIII—XIV вв.), а для п = 9 — у ал-Каши. В Европе она фигу¬
рирует в трудах П. Апиана (1527) и Штифеля (1544). Большую
известность таблица получила в XVII в. в связи с работами
Б. Паскаля, почему иногда и называется «треугольником Пас¬
каля» (рис. 94, 95).
Вот некоторые из свойств арифметического треугольника, ко¬
торые указаны в книге Тартальи1: по боковым сторонам тре¬
угольника стоят единицы, числа симметричные относительно
«высоты», то есть вертикального столбца (1, 2, 6, ...), равны
между собой; каждое число внутри треугольника образуется
сложением двух стоящих над ним (справа и слева) чисел.
По указанной схеме можно построить аналогичные треуголь¬
ники. Умножая, например, строки арифметического треугольни¬
ка на последовательные степени числа 2, то есть на 21, 22, 23, ...,
получаем следующий треугольник:
Таблица 12
1
2
2
4
8
4
8
24
24
8
16
64
96
64
16
32 160
320
320
160 32
В этом треугольнике в первой строке тоже стоит единица
и числа, симметричные относительно «высоты», равны. Но в нем
первое и последнее число каждой строки равно не единице, а
последовательно степеням 2, то есть 2,4,8,... Каждое число
внутри треугольника равно произведению числа 2 на сумму двух
чисел, стоящих над ним (справа и слева), например
64 = 2(24 + 8) и т. п.
Открытие в XVI в. алгебраического решения уравнений тре¬
тьей и четвертой степеней означало большой шаг вперед в деле
развития алгебры и поставило перед наукой новые проблемы
(см. гл. 2, § 11, 49). Не меньшее значение имело создание алге¬
браической символики, в котором принимали участие многие
математики.
Еще во второй половине XV в. некоторые европейские уче¬
ные (Региомонтан, Пачиоли, Шюке, Видман и др.), вводя алгеб¬
раические знаки, создали начала алгебраического исчисления.
В XVI в. буквенная символика развивается и совершенствуется
благодаря трудам немецких, английских, нидерландских и фран¬
цузских математиков.
1 Сама таблица у Тартальи имеет несколько иной вид.
223
Суп тй ewe
^ппо ivolgegrunotc
t>nt>ertveyfung oiler Rmifftnenf? Xed)
nung in Otryen 0ucfr,ern/mit fcfcotten Ke
geln tm fragfhicFen 6egriffen. ©unDer*
licb tsoas foirl плпЪ 6cf)fnbjgfrtir in ber
TUelfc^e piacticavn lEolletn ge6ioud-.r
Witbc/ Desgleyc^en fiirnialp triber in
Zeuqfcbei norb in tDelfd)er fpiacb пн
gebiucFc. burcb petrum Зри»
fy'imcF/b 2t|lronomei
Jngelfrac ФгЬтоа
пи / vex
ferflger.
QCl»»»
Виднейшим немецким
математиком XVI в. был
Михаил Штифель. Он по¬
ступил в молодости в один
из католических монасты¬
рей, затем примкнул к
протестантскому движе¬
нию, возглавляемому Лю¬
тером, и стал сельским
пастором (священником).
Одно время Штифель пре¬
дался мистическим толко¬
ваниям по поводу чисел,
встречающихся в библии,
с целью предсказать дату
«конца света». В библии
говорится, что настанет,
якобы, день, когда «Сол¬
нце померкнет и Луна не
даст света своего и зве¬
зды спадут с неба». Ссы¬
лаясь на это антинаучное
утверждение, разные ре¬
лигиозные лжеученые не¬
однократно предсказыва¬
ли «конец мира». Это со¬
бытие намечалось на 992,
1000, 1198 и другие го¬
ды. Для того чтобы най¬
ти искомую дату, Шти¬
фель заменял числа из
библии словами, буквы которых должны были соответствовать
треугольным числам и т. д. На основе таких «исследований»
Штифель имел неосторожность публично предсказать конец мира
на 19 октября 1533 г. Это предсказание пастора привело к на¬
стоящей панике в среде его прихожан и других религиозных и
суеверных людей. Многие стали ликвидировать все свои ком¬
мерческие предприятия, раздавая и уничтожая деньги и вещи,
растаскивая с трудом созданное хозяйство. Но когда «фаталь¬
ная» дата прошла без всякой катастрофы, обманутые люди яро¬
стно набросились на своего пастора и надолго заключили его
в Вюртембургскую тюрьму. Только благодаря стараниям са¬
мого Лютера, Штифель был снова выпущен на свободу.
Случившееся оказало значительное влияние на дальнейшую
жизнь и деятельность Штифеля: он решительно освободился от
религиозного дурмана, занялся настоящей математикой и рабо-
Рис. 94. «Треугольник Паскаля», напечатан
впервые в 1527 г. в книге П. Апиана за
100 лет до рождения Паскаля.
224
фк
ФФ2
ФФФ&
Ф®Щ)Ф&
Ф®Ф®Ф&
Ф®©©(0)Ф
m
ц*\
ФФ®©ФФФг
ФФ0##@ФФй
*Ш'да
£
7*> «1) ^3
*р
. \Х/ V »»
I £!fc
V
ч
II
£
&
ж
тал в этой области с боль¬
шим успехом. В 1544 г.
появился важнейший его
труд — «Полная Арифме¬
тика», а через год — «Не¬
мецкая Арифметика» (рис.
96). В 1533 г. он издал до¬
полненную им «Алгебру»
Рудольфа под названием
«Косс». Штифель, будучи
самоучкой, тем не менее
был в курсе всех матема¬
тических достижений сво¬
его времени. В одно из
своих произведений он
даже включил найденное
в те годы итальянцами
алгебраическое решение
уравнений третьей и чет¬
вертой степеней. Он спра¬
ведливо считается одним
из предшественников Не¬
пера, изобретателя лога¬
рифмов. Штифель первым
из математиков рассмат¬
ривал отрицательные чис¬
ла, как числа меньшие
нуля, и один из первых
ввел знак корня с целым показателем, круглые скобки и сим¬
волы для многих неизвестных.
В результате сокращения слов и изобретения знаков в то
время произошли и другие сдвиги в символике, в частности в
1557 г. Рекорд вводит современный знак равенства.
Важнейший вклад в дело разработки алгебраической симво¬
лики был сделан в конце XVI в. Виетом. По своему образова¬
нию и по профессии Виет был юристом. Изучив еще в молодо¬
сти коперникову систему мира, Виет заинтересовался астроно¬
мией и задумал написать большой трактат. Эта работа
побудила его к занятиям тригонометрией и алгеброй. Астроно¬
мический трактат, над которым Виет работал в продолжение
всей жизни, так и не был доведен до конца, а его алгебраиче¬
ские исследования, которые он предпринял для изучения астро¬
номии, привели к важнейшим результатам и проложили новый
путь в развитии алгебры.
Виет был не только одаренным математиком, но и обладал
большой трудоспособностью. Он постоянно был загружен адво¬
катской деятельностью и вместе с этим успевал заниматься тру-
>5 «ш в $
Рис.
95. «Арифметический треугольник»
в Японии. Из книги 1781 г.
15 Г. И. Глейзер
225
2lnber t£ei?f
Ъоп bffen Ыфсщ
-b- bnb — VII.
ttmjepcljmreben tterbf/foltumtdj) t егЩп
ton bifen Setc^en -+- tnb — /Фей follicle terkic^
me.' 0nm:ober0um: 21. ober ft7, if. ‘ICerbeidj
nic^t ^e^c^ennennfn/fonbern/namen/ober benen^
nun^ ber JaUn.QIto icfy nu rebe ton gleic^en leic^e/
foltue$verfiel)n ton -t- tnb -f- /oberton — tnb —. 2fifo
аиф/ita idfj ton tngleic^en iafyn rePe / fc vtrfttty ее/ton ■+-
tnb —.
Рис. 96. Примеры сложения положительных и отрицательных чисел
из «Арифметики» 1545 г. М. Штифеля.
доемкой и глубокой математической работой. В 1579 г. появи¬
лась его работа по тригонометрии—«Математические таблицы»,
а в 1591 г.— знаменитое произведение «Введение в аналитиче¬
ское искусство», в котором впервые были введены буквенные
обозначения для неизвестных и для коэффициентов уравнений.
Пользуясь алгебраической символикой, Виет установил единооб¬
разный прием решения уравнений, выражая зависимость между
корнями и коэффициентами уравнений и другие результаты об¬
щими формулами. Символика Виета еще далека от современ¬
ного вида. В этом можно убедиться из следующего примера,
взятого из произведений Виета:
л. [В cubum 2
uin[ cubo D • (2ВЪ — D3)
’> В ?Ш вмест0 вз+р. -
+ D cubo
В XVII в. совершенствование символики было продолжено
трудами Гарриота, Оутреда, Ньютона и других ученых. На про¬
тяжении XVI—XVII вв. для одного и того же понятия разные
ученые применяли разные знаки, с другой стороны, один и тот
же символ применялся в разном смысле разными математи¬
ками. Например, знак = означал у Рекорда «равно», Виет его
применял как знак вычитания (минус), Декарт же пользовался
им вместо нашего ±; знак оо был для Декарта знаком равен¬
ства, для Валлиса же — знаком бесконечности и т. п. Лишь в
XVIII в. повсюду утверждается современная алгебраическая
символика.
226
®PEIIE ДЕКАРТ —ВЕЛИКИЙ МАТЕМАТИК
И МЫСЛИТЕЛЬ XVII ВЕКА1
XVII век — век создания математики переменных величин2,
«высшей математики».
Развитие торговли и мореплавания, вызванное новыми гео¬
графическими открытиями и связанное с ним дальнейшее раз¬
витие астрономии, рост промышленности и техники способство¬
вали зарождению новых математических идей и методов, отве¬
чающих запросам естествознания и жизни.
Одним из создателей высшей математики был Декарт, гени¬
альный французский ученый и мыслитель XVII в. Биография
Декарта крайне поучительна, ибо его жизнь протекала в оже¬
сточенной борьбе против старых средневековых взглядов на
мир, за рациональное, научное изучение всех вопросов естество¬
знания.
Рене Декарт родился 31 марта 1596 г. в местечке Лаэ в дво¬
рянской семье. Он воспитывался и получил образование в ари¬
стократическом колледже (среднее учебное заведение), нахо-
дившёмся в ведении католического монашеского ордена иезуи¬
тов. В этом колледже он проникся пренебрежением к схоласти¬
ке и догматике, которые там господствовали, но заинтересовался
естествознанием, географией и математикой. Вот что позже пи¬
сал сам Декарт: «Как только возраст мне позволил не подчинять¬
ся больше своим наставникам, я совершенно оставил изучение
наук и решил не искать новой науки, кроме той, которую мог
бы обрести в самом себе и в великой книге природы. Я исполь*
зовал оставшиеся молодые годы на то, чтобы путешествовать,
видеть дворы и армии, изучать людей различных характеров и
положений...»
По окончании колледжа Декарт жил несколько лет в Пари¬
же и вел обычный для знатных молодых людей того времени
легкий образ жизни, с которым он, однако, резко порвал в
1615 г. Уединившись, он всецело предается изучению филосо¬
фии, естествознания и математики. Большую пользу принесла
ему дружба с Мерсеном 3.
Желая осуществить старую мечту о длительных путешестви¬
ях, о,том, чтобы «видеть дворы и армии», Декарт поступает в
1618 г. в голландскую армию и принимает участие в тридцати¬
летней войне. Он путешествовал по Нидерландам и Италии и,
закончив военную службу, пробыл некоторое время в Париже.
Декарт, как и многие другие новаторы науки, подвергался
1 См. [58]; [112], стр. 13—17, 36—39; В. Ф. Асмус, Декарт, ГИ'ГЛ, М.,
1956.
2 См. гл. 2, § 7, § 11.
3 См. гл. 1, § 10.
15* 227
жестоким преследованиям в
DE LA METHODE католической Франции. Вот по¬
чему он в 1629 г. переселяется
в Голландию, самую прогрес¬
сивную страну того времени.-
В Голландии Декарт напи¬
сал важнейшие свои труды. На¬
ряду с выдающимися матема¬
тическими исследованиями он
открыл один из основных зако¬
нов оптики, сформулировал за¬
кон сохранения количества дви¬
жения, разработал новую гипо¬
тезу о происхождении планет,
создал физическую теорию кро¬
вообращения и сделал значи¬
тельный вклад в области фи¬
лософии К Вся научно-фило¬
софская деятельность Декарта
была направлена против схо¬
ластики и церковных догм.
Вместо слепой веры, он выдви¬
нул на первое место силу чело-
с I о i о с *»*»и веческого мышления, разум,
Ит Тт%А способный познавать природу.
Рис. 97. Титульный лист «Рассужде- Поэтому Декарт и указывал на
ния о методе», в приложении к кото- математику, как на образец,
рому была опубликована «Геометрия» ДЛЯ других наук.
Декарта. Математические работы Де¬
карта тесно связаны с его
философскими и физическими исследованиями. Вышедшее в
Лейдене в 1637 г. его философское произведение «Рассуждение
о методе» содержало три приложения: «Диоптрика» 2, «О метео¬
рах» 3 и «Геометрия» (рис. 97). В последнем изложены основы
новой аналитической геометрии, базирующейся на методе коор¬
динат. Созданием метода координат Декарт осуществил вза¬
имопроникновение алгебры и геометрии. В отличие от Виета,
алгебра Декарта строилась фактически как числовая, а от¬
рицательные числа у него получили реальное истолкование в
виде направленных отрезков. Усовершенствовав алгебраическую
символику Виета, Декарт ввел современные знаки для перемен¬
1 В учении о физической природе Декарт — материалист, в учении же
о человеке — дуалист. См. БСЭ.
2 Теория оптических инструментов, в которой выведен закон преломле¬
ния светового луча на границе двух сред;
3 Учение о метеорологических явлениях.
Pour bien conduircfa raifon,& chcrcher
la vcriic dans lesfcicnces.
Pius
LA DIOPTRIQVE.
LES METEORES.
ET
LA CEOMETR1E.
Qni font (Us ejfaij de ctte Method t.
A L E Y r> E
De l lmprimeriede Ian M a i r E.
228
ных и неизвестных величин (х, у, z . ..) и для буквенных коэф¬
фициентов (а, Ь, с, ...), а также общепринятое в настоящее
время обозначение степеней (у3, а4, ..Он, в отличие от своих
предшественников, уже не группирует положительные члены в
обеих частях уравнения, а вводит такую запись уравнений, при
которой в одной части стоит нуль. В целом алгебраическая
символика Декарта мало отличается от современной. Декарт
положил начало ряду важнейших исследований свойств урав¬
нений и внес ценный вклад в учение о приближенных и графи¬
ческих методах решения уравнений.
Поселившись в протестантской Голландии, Декарт не изме¬
нил свои воззрения, а его философия и новые научные идеи так
резко противоречили господствовавшим до тех пор отсталым
взглядам, что и здесь его столкновение со сторонниками схола¬
стики и богословия стало неизбежным. Когда философские и
научные взгляды Декарта стали проникать в более широкие
круги интеллигенции и овладевать умами передовой молодежи,
то богословы-протестанты, реакционные «ученые» Голландии,
усмотрев в учении Декарта опасную для их господства силу,
решили искоренить все возрастающее влияние идей Декарта.
Великого ученого обвинили в атеизме, в оскорблении голланд¬
ской церкви и возбудили против него верующих. Свыше восьми
лет длилась клеветническая кампания теологов Голландии про¬
тив Декарта. Декарт потратил много сил и времени на полемику
и споры и, убедившись в том, что ему не добиться справедливо¬
сти, решил покинуть Голландию.
По приглашению шведской королевы Христины Декарт пе¬
реехал осенью 1649 г. в Стокгольм. В Швеции он чувствовал
себя одиноким. Зимою 1649/50 г. Декарт давал Христине уроки
философии и однажды, на пути во дворец королевы, простудил¬
ся и заболел воспалением легких. Через девять дней, 11 фев¬
раля 1650 г., он скончался. Последние слова, произнесенные им,
были: «Пора в путь, душа моя». В 1666 г. передовые люди
Франции перевезли прах Декарта на родину. Католическая же
церковь внесла сочинения Декарта в список запрещенных книг.
Дух новаторства и свободного исследования истины, которым
были проникнуты все произведения великого ученого, оказали
решающее влияние на дальнейшее развитие науки и философии
в XVH—XIX вв.
За математическими произведениями Декарта и Ферма во
Франции, Кавальери и Торричелли в Италии, Гюйгенса в Гол¬
ландии, Барроу и Валлиса в Англии, содержавшими зачатки
анализа, последовали работы Ньютона и Лейбница, которые
завершили первый этап в развитии математики переменных ве¬
личин.
229
ФО ВЕЛИЧАЙШЕМ МАТЕМАТИКЕ XVIII ВЕКА —
ЛЕОНАРДЕ ЭЙЛЕРЕ
«Читайте, читайте Эйлера — он наш
общий учитель!»
(Лаплас)
Развитие высшей математики продолжалось на протяжении
XVIII в. благодаря трудам выдающихся ученых, среди которых
были Ж. Л. Даламбер — знаменитый энциклопедист, просвети¬
тель, Ж- Л. Лагранж — автор классического труда «Аналитиче^
ская механика», Я. С. Лаплас — автор известной космогониче^
ской гипотезы и «Трактата о небесной механике» и многие
Другие.
Крупнейшим математиком XVIII в. и одним из величайших
ученых всех времен и народов был Леонард Эйлер1 (1707—1783).
Родившись в Базеле (Швейцария) в семье пастора, Леонард
получил первоначальное образование у своего отца, бывшего
учеником знаменитого математика Якова Бернулли. Отец пред¬
назначал сына к богословскому званию и определил его по
окончании средней школы на теологический факультет. Однако
Эйлер интересовался не теологией, а математикой, и он стал
слушать лекции известного профессора математики Иоганна
1 См. [51], [52], [64], [65], [66], [73].
Ж. JI. Даламбер.
230
Ж. Л. Лагранж.
Бернулли, младшего брата Якова Бернулли. О своем учителе
Эйлер позже писал: «Хотя в частных уроках он мне отказал
наотрез ввиду своей занятости, он дал мне, однако, весьма бла¬
готворный совет, состоящий в том, чтобы я сам принялся за не¬
которые трудные математические книги и штудировал их со
всем усердием, а если я встречу какое-нибудь препятствие или
затруднение, он позволил мне свободно приходить к нему каж¬
дую субботу пополудни и любезно разъяснял мне все трудности.
Это настолько достигало желанной цели, что когда он устранял
предо мной одно препятствие, тотчас же исчезали десять других,
а это, разумеется, есть наилучший метод, чтобы добиться счаст¬
ливых успехов в математических науках».
В 19-летнем возрасте Эйлер опубликовал первую свою науч¬
ную работу и принял участие в объявленном Парижской Ака¬
демией наук конкурсе на тему о наилучшем расположении мачт
на корабле. В 1727 г. Эйлер приехал в Петербург, где уже с
1725 г. находились два его друга, математики Даниил и Нико¬
лай Бернулли, сыновья его учителя Иоганна Бернулли. Эти уче¬
ные были приглашены на работу в Петербургскую Академию
наук. В Петербурге Эйлер нашел все необходимые условия для
большой научной деятельности и широкие возможности для
публикации своих трудов. Здесь он женился, провел большую
часть творческого периода своей жизни, став главой первой рус¬
ской математической школы, здесь он и умер. Вот почему Рос¬
сия стала для Эйлера второй родиной. Эйлер прожил в России
II. С. Лаплас. М. В. Остроградский.
231
31 год и хорошо знал русский язык. Многие дети и внуки Эйлера
остались жить в России, некоторые из его потомков поныне про¬
живают в нашей стране.
В возрасте 26 лет Эйлер стал членом Петербургской Акаде-
мии наук. Он не ограничивался одной научной работой и публи-
кацией докладов в академических трудах, а выступал с публич-
ными научно-популярными лекциями в созданной при Академии
гимназии. Для этой же гимназии он составил учебник арифме¬
тики, первая часть которого вышла на русском языке в 1740 г.,
а вторая — в 1760 г. Эйлер был всесторонне образованным
ученым: знал греческий, латинский, немецкий, французский, рус-
ский и другие языки; кроме математики, физики и астрономии,
имел глубокие знания в области географии, химии, ботаники,
анатомии, медицины и в других отраслях науки и техники. Он
очень любил музыку, классиков древней литературы, в част-
ности, знал наизусть «Энеиду» Виргилия. Эйлер был веселый,
скромный и отзывчивый человек, оказывал помощь выходцам
из народа и всем обращавшимся к нему молодым ученым. Он
отличался редкой трудоспособностью и был не только гениаль-
ным математиком, но и замечательным физиком, инженером,
астрономом, географом и выдающимся вычислителем.
Много лет Эйлер работал над составлением географических
карт России, написал фундаментальный труд по теории кораб-
лестроения — «Морская наука», участвовал в комиссии мер и
весов, в реализации других научных планов Петербургской Ака-
демии наук. В 1739 г. Эйлер опубликовал работу по теории му¬
зыки, а в 1740 г. получил вместе с Д. Бернулли и английским
математиком Маклореном премию Парижской Академии наук
за труд в области теории морских приливов и отливов. Другие
труды Эйлера относятся к оптике, механике, теории упругости,
астрономии, баллистике, теории турбин, сопротивлению мате¬
риалов и т. д. Творчество Эйлера отличалось глубиной мысли,
разнообразием научных интересов и большой продуктивностью.
Общее число его трудов превышает 860. Эйлер состоял членом
многих европейских академий и научных обществ. В результате
напряженной работы Эйлер еще в 1735 г. лишился правого гла¬
за, а в 1766 г. потерял и второй глаз. Несмотря на это, его тру¬
доспособность не снизилась. Часть своих трудов слепой ученый
. диктовал писцу. Это был мальчик-портной, которого Эйлер при¬
ютил, научил грамоте и элементам науки.
Тревожное положение в политической жизни России после
смерти царевны Анны Иоанновны заставило Эйлера в 1741 г.
переехать в Берлин, где он занял должность директора класса
математики и члена правления Берлинской Академии наук. Од¬
нако ученый сохранял тесные связи с Петербургской Академией
наук и поддерживал переписку с М. В. Ломоносовым и другими
русскими учеными. В 1766 г. Эйлер со всей своей семьей вер-
232
C/fife
<Ж<И1МА'
^ Лин еЛЛре de Za comsmtSu'c&tem de* -(пЖ&ъбит*? ^
gy/jpl $cdte<vtd*-f a dem£//unt-e . xfC+n*Aef^v-n? **t drf*.
f-esrf. oh*4 ом^&рюине d*»u+*Ci
^ eZZZ- $сЛ1л+и£е4< л^-кя* *vbwt mceufc r^&cAZ jc/&tr 'Эе/рълп,,
jfescnSC&u<^ut^c£ d^fAfinet а'/с/4са‘2е'*ъьг
fl/t б4&/ЖПГ< Л1^^/^’<,и Л4 OM A/rfPt {уЛ&Н«7-СгС
/& ni. i/vxShowу*** ел^tOov ■Рс&я&С/н** lfoi/a>’ e/**£ cc* ***,
xzfitrr^b de h^cddfe de Je^i+t <*«/W e^c<~*+
ddftjdc/i** d*** de^je^r dUc de£*festsie.
* p/Ь ur/fti*t*£ суыл Л.y&HMte j?e <<*и/е^< a*^<
l/^rfaytjcesi, ptce dvte* d&*< ел. &HSt4pt0cj ^W-оЛ^ ttsie
/e Gyx*te M. & cdcde^M n^eytcufуьм Л-^ллАе^е: „Zo^e
de Zk Лм+с. y>asi HtAH ^Zf. foejcf ZZjcpvt of cA^Hje. &e
JtsUimtrU y/f* ^tvw Лее уи*у*Лу'ел J
0d'a*‘ft-c cdZ£*Hsi+e' «ccGfA* '$A<msze4t/t tyafru&t Za e*Z
c*ZL* de </№ Ля4б</£*~
UC^oiZ
Рис. 98. Автограф Л. Эйлера.
нулся в Петербург, где оставался и работал до последнего дня
жизни (рис. 98).
Эйлер умер в возрасте 76 лет и был похоронен в Петербурге
на Смоленском кладбище *.
Сообщив о смерти Эйлера Парижской Академии наук, из¬
вестный французский математик Кондорсе сказал: «Эйлер пре^
кратил вычислять и жить...». Петербургская Академия наук про¬
должала издавать неопубликованные при жизни Эйлера работы
на протяжении 80 лет. В 1957 г. в СССР и за рубежом было
торжественно отмечено 250-летие со дня рождения Эйлера.
Труды Эйлера из области математического анализа оказали
огромное влияние на развитие высшей математики. Немало
было им сделано и в области элементарной математики. Извест¬
но, какое значение для изучения алгебры имела его «Универ-
1 В 1956 г. прах Эйлера был перенесен в Ленинградский некрополь.
233
сальная арифметика»1, велики его заслуги в тригонометрии2,
в распространении и в выработке современных математических
знаков (я, sin, cos и др.)» емУ же принадлежит одно из первых
определений понятия функции 3.
Ценный вклад внес Эйлер и в теорию чисел. Он доказал, что
числа вида 2п(2п+х—1)—совершенные, если 2n+1— 1 есть про-
стое число. Далее он указал многочлены, дающие простые чис¬
ла. Одним из них, например, является квадратный трехчлен
х2 — х + 41, дающий при х = 0; 1; 2; 3;. .., 39; 40 следующие про*
стые числа: 41; 43; 47; 53; 61; 71; 83; 97; 113; 131; 151; 173; 197;
223; 251; 281; 313; 347; 383; 421; 461; 503; 547; 593; 641; 691; 743;
797; 853; 911; 971; 1033; 1097; 1163; 1231; 1301; 1373; 1447; 1523;
1601. (Проверить!) 4
В одном из своих писем Ферма утверждал, что любое про¬
стое число вида 4п+1 является суммой двух квадратов. При¬
меры:
1) 5 = 4- 1 + 1 = 12 + 22,
2) 13 = 4 - 3+1 =22 + 32,
3) 17 = 4-4-j-l=42-f-l2,
4) 29 = 4 - 7 —{— 1 = 22 —|— 52 и т. д.
После многих лет упорного труда Эйлеру удалось найти до¬
казательство этого предложения, которое было опубликовано
в одном из его мемуаров в 1755 г.
В 1742 г., в письме к Эйлеру, академик X. Гольдбах высказал
следующее предположение: любое число вида 4п4+1 (а—-нату¬
ральное число) может быть простым только при а=1. В ответ¬
ном письме Эйлер сообщает следующее простейшее доказатель¬
ство соответствующей теоремы:
4а4 + 1 = {2а2 + 2а -f-1) (2а2 — 2а + 1).
Из данного разложения видно, что при а= 1 число равно 5, для
всякого же другого значения а — число составное.
Эйлер был не только великим ученым, но и замечательным
педагогом. Он много сделал для развития математического об¬
разования в России. Видными последователями первой возглав¬
ляемой Эйлером математической школы в России были русские
ученые XVIII в. Семен Кириллович Котельников, Степан Яков¬
левич Румовский, Н. И. Фусс, Михаил Евсеевич Головин и дру¬
гие, которые в свою очередь подготовили почву для появления
в XIX в. великих русских математиков: Остроградского, Лоба¬
чевского, Чебышева и других.
1 См. гл. 2, § 5; 21.
2 См. гл. 3, § 8; 36.
3 См. гл. 2, § 11; 46.
4 См. также задачу 34.
234
ФО ДВУХ ВЫДАЮЩИХСЯ РУССКИХ
МАТЕМАТИКАХ XIX В. ОСТРОГРАДСКОМ
И ЧЕБЫШЕВЕ
На протяжении XIX в. продолжалась дальнейшая разработка
теории математического анализа большим числом выдающихся
ученых, среди которых были К- Ф. Гаусс, Б. Риман, К. Вейер-
штрасс 6 Германии, О. Коши и Ж- Фурье во Франции,
М. В. Острогроградский, С. В. Ковалевская и П. JL Чебышев в
России и другие Г
Михаил Васильевич Остроградский родился 24 сентября
1801 года в деревне Пашенной, Полтавской губернии (ныне
области), в семье помещика-дворянина. О его детстве младший
брат Андрей Васильевич рассказывает следующее: «В детстве
Михаил Васильевич особенно любил в игрушках своих знать
каждой вещи меру и величину. Мельницы, ветряные и водяные,
сильно занимали его: он стоял перед ними по часу и более, смот¬
ря на движение крыльев, а внутри мельницы — на вращение
камней. В водяной мельнице занимало его падение воды с лот¬
ков на колеса. Он до того любил все измерять, что когда отец
и мать шли куда с ним, то старались, чтобы Миша не заметил
мельницы или колодца. Если только видел он то или другое,
то настойчивым криком и слезами просил остановиться, в мель¬
нице наблюдать движение колес или крыльев, а колодец изме¬
рять. У него в кармане постоянно был шнурок с камешком на
конце; брат опускал свой снаряд в колодец и, вынувши оттуда,
протягивал свой шнурок на земле и рассчитывал глубину ко¬
лодца».
В 15-летнем возрасте Остроградский уже слушал лекции в
Харьковском университете, а в 1817 г. был зачислен студентом
физико-математического факультета. Большое влияние оказали
на Остроградского лекции профессора математики Харьковского
университета Т. Ф. Осиповского, видного мыслителя-материали-
ста, боровшегося против реакционной политики царского мини¬
стерства просвещения. Остроградскому, который был студентом-*
отличником, было отказано в выдаче диплома по окончании
факультета только потому, что он отказался слушать лекции
богословия. Михаил Васильевич, желая продолжить занятия
математикой, был вынужден уехать в 1822 г. в Париж. Здесь
Остроградский слушал лекции великих математиков того вре¬
мени— Лапласа, Фурье, Коши, Пуассона, Ампера. Вскоре
Остроградский обратил на себя внимание учителей своими ус¬
пехами. В 1826 г. он представил Парижской Академии наук ме-
муар «О распространении волн в цилиндрическом бассейне».
1 См. [71], [72], [75], [76], [118].
235
Знаменитый французский математик Коши писал об Остроград-
ском следующее: «Этот русский молодой человек одарен боль¬
шой проницательностью и весьма сведущий». В 1828 г. Михаил
Васильевич вернулся на родину и был оценен соотечественни¬
ками по достоинству. В 1830 г. он стал членом Петербургской
Академии наук.
Научные труды создали Остроградскому широкую славу не
только в России, но и за рубежом. Основные его работы отно¬
сятся к математическому анализу и механике, теории упругости
и магнетизма, к алгебре и теории чисел. Остроградский уделял
особое внимание тем математическим работам, которые могли
быть использованы в практической деятельности человека. Так,
например, с целью облегчить работу по проверке товаров,
поставляемых армии, М. В. Остроградский занялся математи¬
ческим исследованием, посвященным статистическим методам
браковки и основанным на применении теории вероятности.
Благодаря выдающимся научным заслугам, М. В. Остроград¬
ский был избран членом-корреспондентом Парижской Академии
наук, членом Американской, Римской и других академий и на¬
учных обществ.
М. В. Остроградский развернул в Петербурге большую педа¬
гогическую и общественную деятельность. Он был профессором
Морского кадетского корпуса, Института инженеров путей сооб¬
щения, Главного педагогического института, Главного артилле¬
рийского училища и других учебных заведений. Много лет он
работал в качестве главного наблюдателя за преподаванием ма¬
тематики в военных школах.
М. В. Остроградский составил замечательные для своего вре¬
мени учебники по высшей и элементарной математике («Про¬
грамма и конспект тригонометрии», «Руководство начальной гео¬
метрии» и др.) и написал ряд популярных педагогических ста¬
тей. В архивах Академии наук СССР хранятся многие еще
неопубликованные рукописи Остроградского. В одной из них
содержится следующее оригинальное изложение решения квад¬
ратного уравнения:
Пусть а — корень квадратного уравнения:
ах2 -|- Ьх -f- с — 0, (1)
тогда:
аа2 -\-ba-\-c = Q. (2)
Вычитая почленно, получим:
а (X2 — а 2)-\-Ь{х — а) = 0
или
а (х — =0.
Отсюда следует, что, если существует корень а, то должен су-
236
Рис. 99. Дом, в котором родился и провел детские годы П. Л. Чебышев.
М. В. Остроградский умер 20 декабря 1861 г. и был погре¬
бен в родной деревне. С его именем связано начало периода
оригинального математического творчества русских ученых. Уче¬
никами и друзьями Остроградского были видные русские уче¬
ные Н. Д. Брашман, Н. П. Петров, В. Я. Буняковский и др.
* *
*
Один из величайших математиков XIX в., Пафнутий Львович
Чебышев, родился 4 мая 1821 г. в дворянской семье в селе Ока-
тово Калужской губернии (рис. 99). Первоначальное образование
он получил дома. В детские годы Чебышев увлекался изуче¬
нием механизмов игрушек и аппаратов и сам часто мастерил
и придумывал разные механические игрушки. Эту склонность
и любовь к механизмам он сохранил на всю жизнь.
Чебышеву было 16 лет, когда он поступил на математическое
отделение Московского университета, где слушал лекции про¬
фессоров Н. Д. Брашмана, Н. Е. Зернова и других. Уже при
переходе на второй курс Чебышев принимает участие в объяв¬
ленном для студентов конкурсе и получает серебряную медаль
университета за работу «Вычисление корней уравнений». После
окончания университета в 1841 г. и защиты диссертации он был
в 1847 г. утвержден в звании доцента и начал читать лекции
по алгебре и теории чисел в Петербургском университете. Про¬
шли еще три года и Чебышев, защитив докторскую диссерта¬
цию, стал профессором Петербургского университета. Эту дол¬
жность он занимал до старости лет.
238
Научная деятельность П. Л. Чебышева была исключительно
многообразной и плодотворной. Основные его труды относятся
к теории чисел, теории вероятностей и математическому ана¬
лизу. В этих областях он открыл новые методы исследования
и оставил ряд важнейших результатов. Своеобразие Чебышева,
как ученого, определяется тем, что он умел связать проблемы
математики с вопросами естествознания и техники и мастерски
соединять воедино «отвлеченные» теории с широкой практикой.
Вот некоторые примеры названий трудов и статей Чебышева:
«Об одном механизме», «О зубчатых колесах», «О построении
географических карт», «О кройке платьев» и др. Такие работы
Чебышева находились в тесной связи с его теоретическими тру¬
дами, вроде «Теория функций наименее уклоняющихся от нуля»,
«Теория сравнений» и др. О взаимном влиянии практики на
теорию П. Л. Чебышев писал: «Сближение теории с практикой
дает самые благотворные результаты и не одна только практика
от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием ее:
она открывает им новые предметы для исследования или новые
стороны в предметах, давно известных. Несмотря на ту высо¬
кую ступень развития, до которой доведены науки математиче¬
ские трудами великих геометров трех последних столетий, прак¬
тика явно обнаруживает неполноту их во многих отношениях;
она предлагает вопросы, существенно новые для науки и, таким
образом, вызывает на изыскание совершенно новых метод.
Если теория много выигрывает от новых приложений старой
методы или от новых развитий ее, то она еще более приобретает
открытием новых метод, и в этом случае наука находит себе вер¬
ного руководителя в практике».
Многие работы Чебышева посвящены теории машин и меха¬
низмов. Среди машин, им сконструированных, следует отметить
стопоходящую машину, подражающую движениям животного
при ходьбе, и автоматический арифмометр. За механизмы, пока¬
занные на выставке 1893 г. в Чикаго (США), Чебышев был пре¬
мирован и награжден.
Благодаря выдающимся исследованиям в области математи¬
ки П. J7. Чебышев был избран членом 25 разных академий и на¬
учных обществ: Петербургской, Парижской, Римской, Сток¬
гольмской и др. Президент Парижской Академии наук, извест¬
ный математик Шарль Эрмит, заявил, что Чебышев «является
гордостью русской науки и одним из величайших математиков
Европы», а профессор Стокгольмского университета Миттаг-
«Лефлер утверждал, что Чебышев — гениальный математик и
один из величайших аналистов всех времен.
Среди многочисленных исследований Чебышева одно из пер¬
вых мест занимают его работы по теории чисел. В своих мемуа¬
рах «Об определении числа простых чисел, не превосходящих
Данной величины» (1849 г.) и «О простых числах» (1852 г.)
239
Чебышев, впервые после Евклида, существенно развил учение
о простых числах. Характер последовательности простых чисел
в натуральном ряду свидетельствует об исключительно сложной
закономерности распределения простых чисел. Вот таблица рас*
пределения простых чисел по сотням до 1000 (см. таблицу 13).
С одной стороны существуют простые числа с минимальным
расстоянием 2. (Примерами могут служить числа-близнецы.)
С другой стороны, в натуральном ряду встречаются сколь угод¬
но большие промежутки, не содержащие простого числа. Так,
среди т последовательных натуральных чисел
(т-J- 1)!-f-2; {т-\- 1)! -J- 3, ...; (/д+ l)!-f-т\ (т-\- 1)! —f-(/« —|— 0
простых чисел вовсе нет, так как первое делится на 2, второе —
на 3, ..., последнее — на т+1. Хотя таблица показывает, что
«в среднем», с ростом чисел, простые числа встречаются все
реже, одинаковые пропуски встречаются независимо от величи¬
ны чисел, например, промежуток между простыми числами 1327
и 1361, а также между простыми числами 8467 и 8501 содержит
по 34 составных числа, стоящих одно за другим.
Таблица 13
Между
1
100
101
200
201
300
301
400
401
500
501
600
601
700
701
800
801
900
901
1000
Число
простых
чисел
25
21
16
16
17
14
16
14
15
14
Вопрос о распределении простых чисел в натуральном ряду
занимал умы лучших математиков всех времен, среди которых
были Диофант, Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр и Гаусс. Од¬
нако первым, кто со времен Евклида добился существенного ре¬
зультата в этом вопросе, был Чебышев. Он открыл закон, фор¬
мулу, которая позволяет приближенно определять число простых
чисел, заключенных между 1 и некоторым натуральным чис¬
лом N Г Чебышев также впервые доказал так называемый «по¬
стулат Бертрана». Член Парижской Академии наук, француз¬
ский математик Ж. Л. Бертран, высказал в качестве гипотезы
следующее предложение: между натуральными числами п и 2п,
при п> 1, всегда находится хотя бы одно простое число. Все
старания Бертрана дать общее доказательство этого предложе¬
1 См. гл. 1, § 1; 5.
240
ния были безрезультатны, и он был вынужден принять его в ка¬
честве гипотезы. Чебышев же доказал это предложение и тем
внес ценный вклад в исследование вопроса о распределении
простых чисел.
Работы Чебышева в области теории чисел выдвинули его
в первые ряды величайших математиков XIX в. Известный ан¬
глийский математик Сильвестр сказал как-то, что для получе¬
ния новых результатов в вопросе распределения простых чисел
требуется ум, настолько превосходящий ум Чебышева, насколь¬
ко ум Чебышева превосходит ум обыкновенного человека.
Пафнутий Львович не ограничивался лишь профессорской
и научной деятельностью. Подобно другим крупнейшим ученым
его времени, он отдавал много сил общественной деятельности.
В качестве члена Ученого комитета Министерства просвещения
он рецензировал учебники, составлял программы и инструкции
для начальных и средних школ. Он был одним из организаторов
Московского математического общества и первого в России ма¬
тематического журнала — «Математический сборник». В течение
сорока лет Чебышев принимал активное участие в работе воен¬
ного артиллерийского ведомства и работал над усовершенство¬
ванием дальнобойности и точности артиллерийской стрельбы.
В курсах баллистики до наших дней сохранилась формула Че¬
бышева для вычисления дальности полета снаряда. Своими тру¬
дами Чебышев оказал большое влияние на развитие русской
артиллерийской науки.
От П. Л. Чебышева идет математическая школа, носящая
его имя. Последователями Чебышевской, иначе называемой Пе¬
тербургской, математической школы были выдающиеся русские
ученые Е. И. Золотарев (1847—1878),А.А.Марков (1856—1922),
А. М. Ляпунов (1857—1918), В. А. Стеклов (1863—1926), Ге¬
рой Социалистического Труда академик А. Н. Крылов (1863—
1945) и др. К этой школе1 принадлежат и известные во всем
мире советские математики С. Н. Бернштейн, И. М. Виноградов,
Б. Н. Делоне и др. Советские ученые занимают одно из первых
мест в мире в таких областях математики, как теория чисел,
теория вероятностей и теория приближенного представления
функций.
П. Л. Чебышев умер 7 декабря 1894 г. и был погребен в род¬
ном имении, в селе Спас, которое находится ;в 90 км от Москвы.
Мозг Чебышева хранится в музее Военно-медицинской акаде¬
мии имени С. М. Кирова.
Чебышев оставил огромное литературное и идейное насле¬
дие, которое еще долго будет питать советскую и мировую
науку.
1 См. Б. Н. Делоне, Математика и ее развитие в России, М., 1948,
стр, 10.
16 г. И. Глейзер
241
ф
ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
I. ДЕЙСТВИЯ НАД АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ.
ТОЖДЕСТВА. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ IIA МНОЖИТЕЛИ.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
а) Проверить следующие тождества, содержащиеся в гео¬
метрической форме во II книге «Начал» Евклида:
96. ^ + ++-+=(++
97. (2a+b)b-+a2 = (a-{-b)2.
98. {а -\-Ь)2-\-а2 — 2 (a ~f-b)a-\- b2.
99. А(а-\-Ь)а-\-Ь2 = \{а + £)-+д]2.
100. аг-Ь*г = 2[(++ + (-+^-+2].
101. (2а + Ь)'1+= 2 [а2+(а + Ь)'‘\.
б) Проверить следующие действия с дробями, изложенные
в «Арифметике» Диофанта:
1 п/j 2х3 + Зх2 + х . 2х -f- 1 2х3 -f- 5х2 —j— 4jtr —f— 1
' x2 + 2x+l x + 1 ~~ +”+2x + l *
8,8,2 2x4
103.
104.
(x2 — 2)3 “(x2 —2)2 ~ x2 — 2 (x2 — 2)3 ’
3x , 4x 7x2 — 24x
x — 3 ' x—4 x2+12 —7x
144 \ on i 60 _ 60л:2+ 2520
x2 — 30 x4 + 900 — 60xz
105* (x4 + 900 — 60x2) ’ 30
lnfi 96 12 _ 12x2 + 24
IUb* x4 + 96 — i2x2 6 — x2 — x4 + 36— 12x2 ‘
в) Выполнить следующие действия над дробями, помещен¬
ными в «Арифметике» М. Штифеля:
107 - х + —■— 1С8 9-у4 8x2 — х
Ш/, 2 ' Зх3 ‘ 6х3 2
I ПО 9л;4 ^Х 11 п ^хЬ ^х3 ^х
,иУ# 6х3 2~' 1ш* 12x3 ■ ~2~’
г) Сократить дроби из «Всеобщей арифметики» Ньютона:
II i 6а3 — 9ас2 л л 0 а3 — а2Ъ + ab2 — Ъ3
111* а I оЗГГТ • 11Z.
113.
ба2 + 3ас3 * * а2 — ab
х4 — Зах3 — 8а2х2 + 18а3х — 8а4
х3 — ах2 — 8а2х + 6а3
Задачи 54—95 изложены выше.
242
г) Из алгебры арабского математика и астронома ал-Ка-
раджи (X—XI вв.)
134. x+y = 10, f= li.
135. x-j-y=2y, у-1-1—Зх.
136. х —(— 7^- = Зу, у —]—= 2х.
Задача Герона Александрийского.
137. «Бассейн емкостью в 12 кубических единиц получает
воду через две трубы, из которых одна дает в каждый час ку¬
бическую единицу, а другая в каждый час — четыре кубиче¬
ские единицы. В какое время наполнится бассейн при совмест¬
ном действии обеих труб?»
Две задачи Бхаскары.
138. «Из множества чистых цветков лотоса были принесены
в жертву: Шиве — третью долю этого множества, Вишну — пя¬
тую и Солнцу — шестую; четвертую долю получил Бхавани, а
остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько
было цветков?»
139. Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду
вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я
стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?
140. Старинная задача: «Летело стадо гусей, навстречу им
летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» Те ему
отвечают: «Нет, нас не сто гусей! Если бы нас было еще столь¬
ко, сколько есть, да еще полстолько, да четверть столько, да
еще ты, гусь, с нами, тогда нас было бы ровно сто гусей».
Сколько их было?
Задача Бехаэддина.
141. «Найти число, которое будучи увеличено двумя третя¬
ми самого себя и единицей дает 10».
Из книги «Косс» Адама Ризе (XVI в.)
142. «Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю пер¬
вого пришлось 1/4 этой суммы, на долю второго 1/7, а на долю
третьего 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?»
Из книги «Косс» К. Рудольфа (XVI в.)
143. «Некто согласился работать с условием получить в кон¬
це года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев пре¬
кратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во
сколько ценилась одежда?»
244
Из «Курса математики» французского автора Ж. Озанама'
(XVII в.).
144. «Трое хотят купить дом за 24 000 ливров. Они услови¬
лись, что первый даст половину, второй — одну треть, а тре¬
тий — оставшуюся часть. Сколько даст каждый?»
Из «Всеобщей арифметики» Ньютона.
145. «Некто желает распределить между бедными деньги.
Если бы у него было на восемь динариев больше, то он мог
дать каждому по три, но он раздает лишь по два, и у него оста¬
ется три. Сколько было бедных?»
Из «Арифметики» Л. Магницкого.
146. «Один путник идет от града в дом, а ходу его будет
17 дней, а другой путешественник от дому во град тот же путь
творяше может пройти в 20 дней, оба же сии человека пойдоша
во един и тот же час от мест своих, и ведательно есть, в коли-
ко дней сойдутся».
147. «Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят:
за первую игрушку заплатил 1/5 часть всех своих Денег, за дру¬
гую 3/7 остатка от первой покупки, за третью игрушку заплатил
3/5 остатка от второй покупки; а по приезде в дом нашел осталь¬
ных в кошельке денег 1 руб. 92 коп., спрашивается, сколько в
кошельке денег было и сколько за которую игрушку денег за¬
плачено?»
Из трактата «Математика в девяти книгах».
148. «Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет
по 8, то избыток (равен) 3. Если (каждый) человек внесет по
7, то недостаток (равен) 4. Спрашивается количество людей и
стоимость вещи?»
149. «Имеется 5 воробьев и 6 ласточек, их взвесили на весах.
Вес всех воробьев тяжелее веса всех ласточек. Если переме¬
стить 1 ласточку и одного воробья, то вес будет как раз одина¬
ковым. Общий вес ласточек и воробьев 1 цзинь. Спрашивается,,
сколько весят ласточка и воробей?»
Из «греческой антологии».
150. «Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками рав¬
ного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Чего ты жа¬
луешься,— сказал мул, — если ты мне дашь один твой мешок,,
моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один
свой мешок, наши грузы только сравняются». Сколько было у
каждого?»
Из «Бахшалийской рукописи».
151. «Найти число, которое от прибавления 5 или отнятия 11
обращается в полный квадрат».
245-
д) Из «Алгебры» ал-Хорезми.
167.(Л+УПТ10’ 168.
I ху = 21. { х24-у2 = 40.
1х4-у = Ю, ^ [ х + у = 10,
169. 2 2 , , . 170. 2 '
{ х2 — у2 — (х — у) + 54. I х2 = 4ху.
[х + у = 10 |х-]-у = 10
17Ь{ (x + yf = 2^xK |72‘ { 2 + £ = 2-L
х 4-у — 10, fx + y = 10,
173. ■ 2 Q1 174. { . , _ l
у2 = 81х. ху : |у — хI — й .
е) Из «Алгебры» ал-Караджи (XI в.).
[ х = -|"у, _ j x-j-y = 10,
175. \ 176., , . -
[ ху 4-х + у = 62. * I ху —4x4-5.
ж) Из «Книги абака» Л. Фибоначчи.
177.1ху~у^42' т.{ху+у = 40’
I х — у = 2. { х — у = 2.
^ х4~У:г=:10> ^ х4-у = 10,
179• j 4+10)(^+10) = 122 J-. m j j-(X-y)^24.
з) Из книги «Косс» К. Рудольфа.
j (х+у) (х2 4- у2) = 539 200 182. ху 4- *4- У = 573,
18М(. — у)(^2 — У2)— 78400. х24-у2 —х -у — 1716..
Из «Арифметики» Диофанта.
183. «Найти три числа так, чтобы суммы всех трех и каждых
двух были квадратами».
184. «Найти два числа, произведение которых, сложенное
с каждым из данных чисел, составит куб некоторого числа».
24 Т
Из «Книги абака» Л. Фибоначчи.
185. «Найти число, 19/20 которого равно квадрату самого
числа».
Из «Арифметики» Магницкого.
186. «Найти число, зная что, сложив его квадрат с 108, по¬
лучается число в 24 раза больше искомого».
Из «Всеобщей арифметики» Ньютона.
187. «Даны стороны АВ, АС и основание ВС треугольни¬
ка ABC и из вершины угла А на основание опущена высота AD.
Найти отрезки основания BD и DC».
188. «Даны периметр и площадь прямоугольного треуголь¬
ника ABC. Найти гипотенузу ВС».
Задачи Алькуина.
189. «Разделить сто мер пшеницы между 100 лицами, так,
чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждое
дитя 1/2 меры. Сколько мужчин, женщин и детей?»
III. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Из задач ибн-Сина.
Проверить, что:
190. «Если число, будучи разделено на 9, дает в остатке 1
или 8, то квадрат этого числа, деленный на 9, даст в остатке 1».
191. «Если число, разделенное на 9, дает -в остатке 2 или 7,
то квадрат его при делении на 9 даст в остатке 4».
192. «Если число, деленное на 9, даст в остатке 1; 4 или 7,
то куб его, деленный на 9, даст в остатке 1».
Из рукописей XV—XVI ее.
193. «Как велико число, равное произведению 4/5 его на 5/6
того же числа?»
194. «Число 10 разделить на две такие части, чтобы после
уменьшения первой на 5 и деления полученного произведения
нэ вторую часть получилось 10/3».
Из задач Эйлера.
195. «Найти число, четвертая степень которого, деленная на
половину самого числа и увеличенная на 14^-, равнялась
бы 100».
196. «Произведение двух чисел, из коих каждое есть сумма
четырех квадратов, также равно сумме четырех квадратов. До4»
казать!»
248
Ill
ГЕОМЕТРИЯ
СТОРИЯГЕОМЕТРИИ
НА УРОКАХ
VI класс
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1. О ПРОИСХОЖДЕНИИ ГЕОМЕТРИИ
еометрия возникла еще в глубокой древности в-
I связи с практическими потребностями человека:
I измерение расстояний, изготовление орудий труда
I определенных размеров, нахождение площади зе- *
мельных участков и вместимости сосудов, вычисление объемов
различных сооружений и т. д. Словно «геометрия» греческого
происхождения («ге»—земля, «метрео» — мерю) и означает
«землемерие» Г
О зарождении геометрии в древнем Египте около 2000 лет
до н. э. крупнейший древнегреческий историк Геродот (V в.
до н. э.) пишет следующее: «Сезоострис, египетский фараон,
разделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию и
взымал соответствующим образом налог с каждого участка.
Случалось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда по¬
страдавший обращался к царю, а царь посылал землемеров,
чтобы установить, на сколько уменьшился участок, и соответ¬
ствующим образом уменьшить налог. Так возникла геометрия
в Египте, а оттуда перешла в Грецию».
Развитие земледелия, строительства, ремесел и торговли тре¬
бовали умения измерять и вычислять площади, объемы различ¬
ных фигур и тел, а также знания свойств тех или иных фигур.
Решение таких задач содержится в вавилонских клинописных
табличках, в египетских папирусах, в древнекитайских тракта-
1 См.. [1], т. 1, стр. 20—34; [109], стр. 17—18, 41 и сл.
25L
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
КНИГИ I-VI
Перевод с греческого
и комментарии
.Д.Д.МОРДУ ХАЙ БОЛТОВ СКОРО
при редакционном
участии
М.Я.Выгодского
U
и. н.Веселовского
6\£>
о г к з
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
технико-теоретической
ЛИТЕ РдТу РЬ1
Рис. 101. Титульный лист русского
издания «Начал» Евклида 1948 г.
тах «Чжоу-би»1 и «Математика
в девяти книгах», в индийских
религиозно-философских книгах,
«ведах» и «сутрах»2, а также
других памятниках древности.
В древней Греции, начиная с
VII в. до н. э., происходит по¬
степенный переход от практиче¬
ской к теоретической геометрии.
Разрозненные геометрические
сведения, позаимствованные у
египтян и у вавилонян, ученые
древней Греции дополняли, уточ¬
няли, обобщали и развивали. От¬
рывочные, эмпирические факты
постепенно претворялись в систе¬
му, в цепь связанных между со¬
бой понятий, правил и положе¬
ний, каждое из которых логически
вытекало из предыдущего. Таким
образом была создана наука,
изучающая формы, размеры и
взаимное расположение фигур.
Эта наука по-прежнему продол¬
жала называться геометрией, не¬
смотря на то, что ее содержание
расширилось далеко за пределы
учения об измерении земли.
Первое, дошедшее до нас, полное научное изложение гео¬
метрии содержится в труде, названном «Начала» и составлен¬
ном древнегреческим ученым Евклидом, жившим в III в. до н. э.
в городе Александрии (ныне — Египет).
Эта книга вытеснила все существовавшие ранее руковод¬
ства по геометрии. В течение двух тысячелетий люди изучали
геометрию по «Началам» Евклида. В древней Греции, Египте,
Индии, Италии, Средней Азии и в других странах эта книга
сотни и тысячи раз переписывалась от руки, а после изобрете¬
ния книгопечатания печаталась и сотни раз переиздавалась на
языках всех народов, став одной из наиболее распространенных
книг в мире. Наши школьные учебники тоже содержат в основ¬
ном геометрический материал и научную систему, изложенную
1 «Чжоу-би» — шест для измерения солнечной тени. Считают, что трактат
относится к XII—XI вв. до н. э.
2 «Веда» — «знание» на языке санскрита. «Сульва—Сутра» — «Правила
веревки». Эти книги относятся, по мнению многих историков, к VII—V вв.
до н. э.
252
в труде Евклида. Поэтому геометрию, изучаемую в школе,
иногда называют евклидовой.
Новый этап в развитии геометрии и новая научная система
были открыты в XIX в. гениальным русским математиком Ни¬
колаем Ивановичем Лобачевским, создателем неевклидовой гео¬
метрии, о котором будет идти речь ниже (см. гл. 3, § 20).
2. О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУРАХ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
Отвлекаясь от физических свойств предметов, изучая лишь
их размеры, форму и положение, человек пришел к отвлечен¬
ным понятиям геометрического тела и геометрической фигуры,
поверхности, линии, точки, прямой, плоскости, отрезка и т. д.
Геометрические фигуры встречаются в самых древних до¬
шедших до нас математических документах: в «Московском»
папирусе, в «папирусе Ахмеса» и в древневавилонских клино¬
писных текстах, написанных около 4000 лет назад. В этих до¬
кументах содержатся задачи, в которых выступает на первый
план вычисление площадей и объемов отдельных фигур Г
Плоские геометрические фигуры египтяне изображали в ле¬
жачем положении (рис. 102), а пространственные — в прямом,
стоячем положении (рис. 103). В Московском папирусе, по-ви¬
димому, фигуры вычерчены без применения циркуля и линейки;
а в папирусе Ахмеса прямые, очевидно, проводились с помощью
линейки.
Обозначение прямых, концов отрезков и вершин фигур бук¬
вами ведет свое начало от геометров древней Греции.
Вот как решает Евклид в своих «Началах» (3-е предложе¬
ние 1-й книги) задачу о построении разности двух данных от¬
резков:
«Пусть данные две неравные прямые (то есть отрезки) бу¬
дут АВ и С (черт. 104), из них большая пусть будет АВ; вот
требуется от АВ отнять С.
От точки А отложим AD, равный С, а из центра А раство¬
ром AD опишем окружность DEF (которая пересечет прямую
АЕ в точке Е). Поскольку АЕ равен AD и С равен AD, то АЕ
равен С».
BE является разностью двух данных отрезков.
Еще в древности стали вводить некоторые знаки и обозначе¬
ния для геометрических фигур и понятий. Так, древнегреческий
ученый Герон (I в.) применял знак V вместо слова «тре¬
угольник», \ | — вместо «прямоугольник». Другой древне-
1 См. [84]; [89], кн. I—VI, стр. 17—18, 301—302.
253
Рис. 102. Вычисление площади треугольника в папирусе Ахмеса. Внизу
иероглифическая транскрипция.
греческий ученый Папп (III в.) писал знак О вместо слова
Знак Z для обозначения угла ввел в XVII в. французский
математик П. Эригон, который применял и следующие знаки:
-L для понятия «перпендикулярно»,
J для прямого угла,
для круга,
3. О ПРОИСХОЖДЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТЕРМИНОВ и понятий
Большая часть употребляемых ныне в школе геометрических
терминов (названий) сложилась еще в древней Греции1. Гре¬
ческие термины были частично еще в древности, затем в сред¬
ние века переведены ца латинский язык, служивший на протя¬
жении многих веков языком ученых. Поэтому многие матема¬
тические термины происходят от греческого или латинского
языков.
Вот несколько примеров:
1 См. [89], [127], [129], Л. Н. Бескин, Стереометрия, Учпедгиз, I960,
стр. 218—237.
«четырехугольник» и т. п.
для части окружности.
1. Термин «планимет¬
рия» — средневековый и
происходит от латинского
planum — плоскость и гре¬
ческого «метрео» — мерю.
2. «Фигура» — латинское
слово, означающее образ,
вид, начертание. Этот тер¬
мин вошел в общее употреб¬
ление, начиная с XII в. До
этого, наряду с ним, упот¬
реблялось для того же по¬
нятия и другое латинское
слово — «форма» — также
означающее наружный вид,
внешнее очертание предмета.
3. «Линия» — от латин- рис |Q3 Вычисление объема усеченной
ского слова Iinea (черта, пирамиды в Московском папирусе,
линия), образовавшегося от Вверху иератический текст, внизу иеро-
слова linum — лен, льняная глифическая транскрипция,
нить, шнур, веревка. Шну¬
ром или веревкой пользовались для измерений римские земле¬
меры.
4. «Перпендикуляр» — от латинского слова perpendicularis—
«отвесный». Термин был образован в средние века.
5. Биссектриса — от латинских слов bis (дважды, надвое)
и sectrix (секущая).
6. Вертикальные (углы) — от латинского verticalis — вер¬
шинный.
7. «Циркуль» — от латинского circulus — круг.
8. «Центр»*—от латинского centrum — перевод древнегре¬
ческого слова «кентрон», означавшего колющее орудие, кото¬
рым в древности подгоняли животных в упряжке, а также
острие ножки циркуля.
9. «Радиус» — от латинского radius—луч, спица в колесе.
10. «Диаметр» — от греческого «диаметрос» — поперечник,
насквозь измеряющий («диа» — между, сквозь).
11. «Хорда» — от греческого «кор¬
де» — струна, тетива.
Прямой угол — одно из древних
геометрических понятий, оно связано
с образом вертикального положения
человека и многих предметов окру¬
жающей среды.
255
О том, что сумма двух смежных углов равна двум прямым
углам, 2d (d — начальная буква французского слова droit —
прямой), было на практике много раз проверено и установлено
еще древними вавилонянами и египтянами.
Согласно Евдему Родосскому (IV в. до н.э.), написавшему
первую в мире историю математики, равенство вертикальных
углов было впервые доказано первым видным древнегреческим
философом и математиком Фалесом Милетским (VII—VI вв.
до н. э.).
Классификация линий на прямые, ломаные и кривые, а уг¬
лов — на прямые, острые и тупые берет свое начало в глубокой
древности. Термины же «сверхтупой», «развернутый» и «полный»
угол были введены лишь в XIX в.
о ТРЕУГОЛЬНИКИ
4. О ТРЕУГОЛЬНИКАХ
Треугольник — самая простая замкнутая прямолинейная фи¬
гура, одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глу¬
бокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое при¬
менение в практической жизни. В строительном искусстве испо-
кон веков используется свойство жесткости треугольника для
укрепления различных строений и их деталей. Изображения тре¬
угольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах,
в старинных индийских книгах и в других древних документах.
В древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионий¬
ской школе, основанной в VII в. до н. э. Фалесом, в школе Пи¬
фагора и других; оно было затем полностью изложено в первой
книге «Начал» Евклида. Среди «определений», которыми начи¬
нается эта книга, имеются и следующие: «Из трехсторонних фи¬
гур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три рав¬
ные стороны, равнобедренный же— имеющая только две равные
стороны, разносторонний — имеющая три неравные стороны».
Понятие о треугольнике исторически развивалось, по-видимому,
так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равно¬
бедренные и, наконец, разносторонние треугольники.
б. О СИММЕТРИИ
Слово «симметрия» — греческого происхождения («сим» —
с, «метрон» — мера) и буквально означает «соразмерность».
В архитектуре и искусстве оно применяется также в смысле гар¬
моничности, равновесия, красоты.
Издавна человека, познававшего в ходе трудовой деятельно¬
сти явления природы, поражала форма некоторых предметов и
существ: очертания листьев на деревьях, расположение лепест¬
256
ков на цветах, виды плодов и бабочек, спирали раковин, строе¬
ние многогранных кристаллов и т. п. Строение самого человече¬
ского тела тоже симметрично.
Зачатки учения о симметрии относятся к глубокой древно¬
сти — об этом свидетельствуют разнообразные геометрические
орнаменты на сохранившихся от той эпохи каменных и гранит¬
ных плитах и сосудах. Многовековые наблюдения человека над
симметричными фигурами среди минералов, растений и живот¬
ных, его долголетний опыт применения симметрии в строитель¬
стве и искусстве привели к созданию учения о симметрии. О ней
писал в своем трактате «Об архитектуре» римский инженер, Ви¬
трувий (I в.), ее изучали и применяли архитекторы и худож¬
ники эпохи Возрождения, в том числе выдающиеся итальянские
живописцы Леонардо да Винчи и Рафаэль; ею занимались уче¬
ные нового времени, Луи Пастер (1822—1895), Пьер и Жак
Кюри и др. В геометрию элементы учения о симметрии ввел
французский математик А. М. Лежандр (1752—1833).
В настоящее время учение о симметрии лежит в основе кри¬
сталлографии и находит широкое применение в науке, технике
и промышленности.
6. О РАВНОБЕДРЕННОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ.
ФАЛЕС МИЛЕТСКИЙ
Равнобедренный треугольник обладает рядом геометриче¬
ских свойств, которые привлекли к себе внимание еще в древ¬
ности. В задачах на треуголь¬
ники, содержащихся в папиру¬
се Ахмеса, на первый план
выступают равнобедренный и
прямоугольный треугольники.
На практике часто применя¬
лось свойство медианы равно¬
бедренного треугольника, яв¬
ляющейся одновременно и вы¬
сотой и биссектрисой. Термин
«медиана» происходит от ла¬
тинского слова mediana —
«средняя» (линия). То, что
углы при основании равнобед¬
ренного треугольника равны,
было известно еще древним ва¬
вилонянам 4000 лет назад.
Фалес из Милета, главного
города Ионии1 считается ро-
1 На заладной части побережья
Малой Азии.
17 Г. И. Глейзер
257
доначальником греческой философии и науки. Как философ он
учил, что явления мира не случайны, мир не хаотичен, а законо¬
мерен. Он считал, что вода есть начало всего. Из нее возникло
все существующее и в нее в конце концов опять превращается.
Историческое значение философской деятельности Фалеса за¬
ключается в том, что им был сделан решающий шаг от мифо¬
логического мировоззрения к научному материалистическому
представлению о мире.
Почти все философы древней Греции тщательно занимались
математикой, в частности, геометрией. Фалесу Милетскому
Прокл приписывает открытие или доказательство теорем: о
том, что диаметр делит круг пополам, о равенстве вертикаль¬
ных углов, об основном свойстве равнобедренного треугольника
и др. Г Эти предложения были известны еще вавилонянам, ча¬
стично египтянам, однако, в отличие от вавилонской и египет¬
ской геометрии, имевшей преимущественно практический и при¬
кладной характер, греческая геометрия характеризуется стрем¬
лением установить, что геометрические факты верны не только
для отдельных частных случаев, а справедливы в любом случае.
При помощи общих доказательств, постепенным переходом от
одной истины к другой, греческие математики создавали гео¬
1 См. гл. 3, § 2, § 3, § 6.
258
метрик) как науку. Направление строгой логической последова¬
тельности в геометрии первыми заложили геометры греческой
ионийской школы, основателем которой и был Фалес.
Фалес был знаком и с вавилонской астрономией. Платон,
знаменитый греческий философ IV в. до н. э., .рассказывает, что
Фалес, наблюдая звезды, упал в колодец, а стоявшая рядом
женщина посмеялась над ним, сказав: «Хочет знать, что де¬
лается на небе, а что у него под ногами, не видит...»
Фалес сделал ряд открытий в области астрономии: устано¬
вил время равноденствий и солнцестояний, определил продол¬
жительность года, впервые наблюдал Малую Медведицу и т. п.
Особенную славу ему принесло предсказание солнечного за¬
тмения, происшедшего в 585 г. до н. э. Фалес был не только фи¬
лософом и ученым, но также государственным и общественным
деятелем. Вот почему он был причислен к группе «семи мудре¬
цов» древности (рис. 105).
7. О ПРИЗНАКАХ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Понятие равенства фигур несколько отличается от равен¬
ства в арифметике или алгебре. Определение «равенства» в гео¬
метрии содержится в первой книге «Начал»: «Совмещающиеся
друг с другом (фигуры) равны между собой». Итак, под равен¬
ством фигур (отрезков, углов, треугольников, многоугольников
и т. п.) понимают возможность их совмещения при наложении.
Признаки равенства треугольников имели издавна важней¬
шее значение в геометрии, так как доказательство многочислен¬
ных теорем сводится к доказательству равенства тех или иных
треугольников. Доказательством признаков равенства треуголь¬
ников занимались пифагорейцы.
По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу
Милетскому доказательство теоремы о равенстве двух треуголь¬
ников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла
(«второй признак» равенства треугольников). Эту теорему Фа¬
лес использовал для определения расстояния от
берега до морских кораблей. Каким способом
пользовался при этом Фалес, точно неизвестно.
Предполагают, что его способ состоял в сле¬
дующем:
Пусть А — точка берега (рис. 106), В — ко¬
рабль на море. Для определения расстояния АВ
восстанавливают на берегу перпендикуляр про¬
извольной длины: АС ±_ АВ; в противополож¬
ном направлении восстанавливают СЕ А. АС так,
чтобы точки D (середина АС), В и Е находились
на одной прямой. Тогда СЕ будет равна иско¬
мому расстоянию АВ. Доказательство действи- Рис. 106.
17*
259
1
тельно основывается на втором признаке равенства треуголь¬
ников (DC = DA; Z С = Z A; Z EDC = BDA, как вертикаль¬
ные) .
8. О ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
В папирусе Ахмеса, наряду с равнобедренным, часто встре¬
чается прямоугольный треугольник. Последний занимает почет¬
ное место й в вавилонской геометрии. Землемеры и поныне при¬
бегают к прямоугольному треугольнику для определения рас¬
стояний и т. п.
Термин «гипотенуза» происходит от греческого слова «ипо-
тейноуза», означающего «тянущаяся под чем-либо», «стягиваю¬
щая». Слово берет начало от образа древнеегипетских арф, на
которых струны натягивались на концах двух взаимно перпен¬
дикулярных подставок.
Термин «катет» происходит от греческого слова «катетос»,
которое означало вначале «отвес», «перпендикуляр». В средние
века словом «катет» обозначали высоту прямоугольного тре¬
угольника, в то время как другие две его стороны называли ги¬
потенузой, соответственно — основанием. В XVII в. название
«катет» начинает применяться в современном смысле и широко
распространяется начиная с XVIII в.
Евклид употребляет выражения: «стороны, заключающие
прямой угол» — для катетов и «сторона, стягивающая прямой
угол» — для гипотенузы.
ф ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
9. О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
Учение о параллельных прямых излагается в первой из
13 книг (частей) «Начал» Евклида и начинается с определения:
«Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной пло¬
скости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с
той, ни с другой стороны между собой не встречаются».
Греческое слово «параллелой», означающее «рядом идущие»,
«друг подле друга проведенные» (прямые), стало употребляться
как геометрический термин еще 2500 лет назад в школе Пифа¬
гора. В III в. н. э. древнегреческий математик Папп пользо¬
вался знаком = для обозначения параллельности. Так же по¬
ступал в XVII в. французский математик Эригон. Лишь в
XVIII в., после того как введенный Рекордом знак равенства во¬
шел в общее употребление, стали пользоваться знаком II для
обозначения параллельных прямых.
В первой книге «Начал» Евклида доказываются также при¬
знаки параллельности прямых.
260
!©. О ПОСТРОЕНИИ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ
ТОЧКУ И ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ДАННОЙ ПРЯМОЙ. АКСИОМА
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
В первой книге «Начал» Евклид1 ставит и решает следую¬
щую задачу:
Задача 197. «Пусть дана прямая ВС и точка А вне ее
(рис. 107); требуется через точку А провести прямую, парал¬
лельную прямой ВС».
Решение: Возьмем на ВС какую-нибудь точку D и соеди¬
нив А с D, построим угол DAE, равный углу ADC. Поскольку
прямая AD, падающая на ВС, EF, образовала накрестлежащие
углы EAD, ADC, равные между собой, то EF параллельна ВС.
Таким образом доказано, что из внешней точки А можно
всегда провести параллельную к прямой ВС. Возникает во¬
прос: является ли эта прямая единственной или существуют еще
другие прямые, проходящие через точку А и параллельные дан¬
ной прямой ВС?
На этот вопрос дает ответ следующее предложение (утвер¬
ждение): через точку, взятую вне данной прямой, можно прове¬
сти только одну прямую, параллельную этой прямой.
Это так называемое основное свойство параллельных пря¬
мых, которое мы, однако, принимаем без доказательства.
В геометрии подавляющее большинство изучаемых свойств
геометрических фигур устанавливается путем логических рассу¬
ждений, ряда умозаключений, так называемых доказательств.
Так, методом доказательства было установлено на уроках, что:
сумма смежных углов равна 2d, вертикальные углы равны ме¬
жду собой; если в одном и том же круге центральные углы рав¬
ны, то и соответственные им дуги равны; признаки равенства
треугольников; если при пересечении двух прямых третьей соот¬
ветственные углы равны, то эти две прямые параллельны и т. д.
Такие математические утверждения, которые основываются
на доказательствах, называются теоремами. Термин «теоре¬
ма» — греческого происхождения («теорео» — рассматриваю,
обдумываю).
Однако некоторые, немногие свой¬
ства геометрических фигур прини¬
маются без доказательств2, например:
основное свойство прямой линии (че¬
рез любые две точки можно провести
прямую, и притом только одну). Такие
математические предложения (утвер¬
ждения), которые принимаются без
1 Рекомендуется использовать этот материал после доказательства трех
признаков параллельности прямых и в связи с аксиомой параллельности.
2 Это необходимо при строго научном, логическом построении геометрии.
Рис. 107.
261
доказательства, называются аксиомами. Термин этот — грече¬
ского происхождения1. Основное свойство параллельных пря¬
мых (через точку, взятую вне данной прямой, можно провести
только одну прямую, параллельную этой прямой) тоже прини¬
мается без доказательства, то есть как аксиома. Это — так на¬
зываемая аксиома параллельности Евклида, содержащаяся в
иной формулировке 2 в первой книге его «Начал». Многие теоре¬
мы геометрии доказываются на основе аксиомы параллельности,
например: «Если две параллельные прямые пересечены третьей,
то соответственные углы равны». Эту, как и многие другие тео¬
ремы, без аксиомы Евклида доказать нельзя. В истинности тео¬
рем мы убеждаемся путем логических рассуждений, доказа¬
тельств. Аксиомы же принимаются без доказательств, считается,
что истинность их проверена тысячелетним опытом, так, напри¬
мер, решая различные практические задачи, где приходилось
строить отрезки прямых, человек на протяжении многих тысяче¬
летий убеждался, что через две точки можно провести лишь
одну прямую и т. д.
Однако аксиома параллельности Евклида имеет особый ха¬
рактер, она не может быть подтверждена или опровергнута
опытом. Поэтому в течение двух тысячелетий после Евклида
многие математики пытались доказать это свойство, однако все
их усилия оказались безуспешными.
Лишь в 1926 г. великий русский геометр Н. И. Лобачевский,
профессор Казанского университета, доказал, что это предложе¬
ние нельзя логически вывести из других евклидовых аксиом.
Положив в основу геометрии иную аксиому, он создал новую
научную геометрическую систему, которая была названа неев¬
клидовой геометрией Лобачевского (см. гл. 3, § 20).
1.1. о СУММЕ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Свойство суммы углов треугольника было эмпирически уста¬
новлено, вероятно, еще в древнем Египте, однако дошедшие до
нас сведения о разных его доказательствах относятся к более
позднему времени. Доказательство, изложенное в современных
учебниках3 (рис. 108), содержится в комментарии Прокла к
«Началам» Евклида. Прокл утверждает, что, согласно Евдему
Родосскому, это доказательство было открыто еще пифагорей¬
цами (V в. до н. э.). Прокл пишет: «Пифагор впервые разрабо¬
тал принципы геометрии». Пифагорейцы содействовали форми¬
1 Слово «аксиома» применялось как в смысле бесспорного положения,
так и в смысле «уважения», «авторитета».
2 Пятый постулат.
3 См., например, учебник геометрии Н, Н. Никитина, Учпедгиз, 1963,
262
рованию геометрии как науки, основан¬
ной на аксиомах и доказательствах.
В первой книге «Начал» Евклид изла¬
гает другое доказательство теоремы о
сумме углов треугольника, которое легко
понять при помощи чертежа 109. Вели¬
кий древнегреческий философ Аристо¬
тель (IV в. до н. э.) в своей «Метафи¬
зике» упоминает об этом предложении,
как известном ему.
Следует отметить, что как доказатель¬
ство Прокла, так и доказательство Ев¬
клида основываются на том, что при пе¬
ресечении двух параллельных прямых
третьей внутренние накрестлежащие, а
также и соответственные углы равны.
Это предложение в свою очередь дока¬
зывается при помощи аксиомы парал¬
лельности Евклида. Итак, теорема о том,
что сумма углов треугольника равна 2d,
верна, если верна аксиома параллельности Евклида, которая
принята в системе аксиом Евклида без доказательства К
То же можно сказать и о сумме S углов многоугольника:
S = 2d{n — 2). (1)
Между прочим, у Евклида этой теоремы нет. О сумме углов
в многоугольнике говорится в комментарии Прокла. Формулу
же (1) дал впервые Региомонтан, немецкий математик XV века.
12. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНСТРУМЕНТЫ
К древнейшим геометрическим инструментам относятся цир¬
куль и линейка. Употребление линейки берет свое начало с не¬
запамятных времен. Циркуль был изобретен значительно позже.
Фигуры папируса Ахмеса, например, свидетельствуют о при¬
менении линейки, но не циркуля. Согласно римскому поэту Ови¬
дию (I в.) циркуль был изобретен в древней Греции2.
Астролябия (по-гречески «астролябион») — тоже древний
инструмент. Термин образовался от греческих слов «астрон»—■
звезда и «лабе» — схватывание. Как угломерный прибор астро¬
лябия употреблялась до начала XVIII в. для определения поло¬
жения небесных светил, затем для геодезических измерений
1 В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 2d. См.
гл. 3, § 20.
2 Рекомендуется использовать этот материал в связи с практическими
работами на местности.
Рис. 110. Применение астролябии в XVI в.
(рис. 110). В настоящее время астролябия на практике вышла
из употребления, как устарелый инструмент, и осталась только
школьным пособием.
Термин «алидада» (вращающаяся линейка угломерных ин-
струментов) взят из средневекового латинского языка и проис-
ходит от арабского «аль — идада» — линейка. «Лимб» происхо¬
дит от латинского limbus — кромка, кайма.
«Рулетка» — термин французского происхождения (rouler —
свертывать, катать). Слово «Экер», взятое из французского язы¬
ка, образовалось от латинского quadrare — сделать четырех¬
угольным, прямоугольным. «Транспортир» происходит от латин¬
ского transportare — переносить, перекладывать.
Градусное измерение, деление окружности на 360 равных ча¬
стей, было принято в вавилонской астрономии и, вероятно, бе¬
рет свое начало от того, что первоначально вавилонский год
насчитывал 360 дней, к которым египтяне прибавили 5 канику¬
лярных дней.
Деление градуса на 60 минут, минуты на 60 секунд связано
с шестидесятеричной вавилонской нумерацией.
13. ОБ ОДНОМ СТАРИННОМ СПОСОБЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
НЕДОСТУПНЫХ РАССТОЯНИЙ
При помощи построения треугольников и на основании при¬
знаков их равенства издавна вырабатывались разные способы
определения расстояния между двумя точками, одна из кото-
264
Рис. 111. Измерение на местности в XVII в.
рых недоступна (рис. 111). Один из таких способов изложен и
иллюстрирован в учебнике итальянского автора С. Белли —
«Книга об измерении», изданном в Венеции в 1569 г.
Этот способ состоит в следующем:
Пусть требуется найти расстояние от доступной точки А до
недоступной точки В (рис. 112). В точке С, отмеченной вехой, из¬
меряется угол АСВ = ko. Затем поворотом около точки С, под
тем же углом k0 наблюдают некоторую доступную точку D.
Тогда, если Z CAD = Z САВ, расстоя- с
ние AD между двумя доступными точками
дает искомое расстояние АВ. (В треуголь¬
никах АСВ и ADC имеем: АС — общая:
Z АСВ = Z ACD, Z ВАС = Z DAC.)
Некоторые историки предполагают, что
именно этот способ применялся Фалесом °
Милетским для определения расстояния ко¬
раблей от берега. Рис. 112.
265
VII класс
0 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
14. О ПАРАЛЛЕЛОГРАММЕ
В древних египетских и вавилонских математических доку¬
ментах встречаются следующие виды четырехугольников: ква¬
драты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные тра¬
пеции. В частности, в клинописных математических табличках
встречаются прямоугольные треугольники, рассеченные парал¬
лелями к одному из катетов на прямоугольные трапеции.
Термин «параллелограмм» — греческого происхождения и,
согласно Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллело¬
грамма и некоторые его свойства были известны еще пифаго¬
рейцам.
В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в
параллелограмме противоположные стороны равны и противо¬
положные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Ев¬
клид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей па¬
раллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни пря¬
моугольника, ни ромба. Полная теория параллелограммов была
разработана к концу средних веков и появилась в учебниках
лишь с XVII в. Все теоремы о параллелограммах основываются
непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Ев¬
клида.
Термин «диагональ» происходит от сочетания двух греческих
слов «диа» (через) и «гониос» (угол), то есть прямая, прохо¬
дящая через вершины углов. Однако Евклид и большинство
древнегреческих математиков пользовались почти всюду, в част¬
ности для прямоугольника, не этим, а другим термином: диа¬
метр. Это объясняется тем, что первые геометры мыслили пря¬
моугольник вписанным в круг. В средние века были в ходу оба
термина. Фибоначчи и Региомонтан еще пользовались термином
«диаметр». Лишь в XVIII в. термин «диагональ» входит в общее
употребление.
* *
*
Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало
в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Образ ромба
был связан первоначально с сечением, проведенным в обмотан¬
ном веретене
1 В «Началах» Евклида термин «ромб» встречается только один раз
в определениях 1 книги, свойства ромба вообще не- изучаются.
266
Термин «квадрат» происходит от латинского quadratum
(quadrare—сделать четырехугольным), перевод с греческого
«тетрагонон» — четырехугольник.
«Первый четырехугольник, с которым познакомилась геомет¬
рия, был квадрат», — пишет Д. Д. Мордухай-Болтовский *.
15. О ТРАПЕЦИИ
Трапеция — слово греческое, означавшее в древности «сто¬
лик». В «Началах» термин «трапеция» применяется не в совре¬
менном, а в другом смысле: любой четырехугольник (не парал¬
лелограмм). «Трапеция» в нашем смысле встречается впервые
у древнегреческого математика Посидония (I в.). В средние ве¬
ка трапецией называли, по Евклиду, любой четырехугольник (не
параллелограмм); лишь в XVIII в. это слово приобретает со¬
временный смысл.
Предложение о том, что средняя линия трапеции равна по¬
лусумме ее оснований, было известно древним египтянам, оно
содержится в папирусе Ахмеса и фигурирует в виде инскрипции
(II в. до н. э.) на стенах храма Эдфу в верхнем Египте. Это
предложение было известно также вавилонским землемерам,
оно содержится и в трудах Герона Александрийского.
16. О ЗАДАЧАХ НА ПОСТРОЕНИЕ
Задачи на построение возникли в глубокой древности в свя¬
зи с простейшими практическими потребностями человека.
К первым из них относятся деление отрезков или углов на две
равные части и построение перпендикуляра к данной прямой
через данную ее точку. Решение этих задач было известно еще
в догреческий период.
Указанный в наших учебниках способ деления отрезка по¬
полам с помощью циркуля и линейки изложен в комментарии
Прокла (V в.), который приписывает его знаменитому древне¬
греческому математику Аполлонию (III в. до н.э.).
С VII до III в до н. э. в Греции был накоплен обильный ма¬
териал, который был затем собран и систематизирован в «На¬
чалах» Евклида.
Первая книга «Начал» начинается
(если не считать определений и ак¬
сиом) следующей задачей на построе¬
ние:
Задача 198. «На данной ограни-^
ченной прямой (то есть отрезке) АВ
построить равносторонний треуголь¬
ник» (рис. 113).
1 См. [89], кн. I—VI, стр. 13, определение 22. Рис. 113.
267
Вот как решает Евклид эту задачу.
Из центра А раствором АВ опишем круг BCD и далее из
центра В раствором ВА опишем круг АСЕ; из точки С, в кото¬
рой круги пересекают друг друга, проведем к точкам Л и В со¬
единяющие прямые СА, СВ.
Поскольку точка А есть центр круга CD В, то АС равна АВ;
далее, поскольку точка В есть центр круга АСЕ, то ВС равна
ВА, значит, три прямые АС, АВ, ВС равны между собой, а тре¬
угольник ABC — равносторонний.
О
ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА. ПОВЕРХНОСТЬ
И ОБЪЕМ ПРИЗМЫ
17. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ В ДРЕВНОСТИ
Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением
площадей, теряются в глубине тысячелетий.
Еще 4—5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять пло¬
щадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Ква¬
драт издавна служит эталоном при измерении площадей благо¬
даря многим своим замечательным свойствам: равные стороны,
равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство
формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить пло¬
скость без пробелов *.
Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми
же приемами, что и мы, для измерения площади прямоуголь¬
ника, треугольника и трапеции: основание треугольника дели¬
лось пополам и умножалось на высоту; для трапеции же сумма
параллельных сторон делилась пополам и умножалась на вы¬
соту и т. п. Для вычисления площади S четырехугольника со
сторонами а, Ь, с, d (рис. 114) применялась формула
5 = £±! ,*±А, (1)
то есть умножались полусуммы противоположных сторон. Эта
формула верна только для прямоугольника. С ее помощью мож¬
но вычислить приближенно площадь таких четырехугольников,
у которых углы близки к прямым.
Для определения площади 5 равнобедренного треугольника
ABC, в котором АВ = АС, египтяне пользовались приближенной
формулой2:
s= ВС-АВ (2)
1 В древнем Китае мерой площади был прямоугольник,
2 Они знали и точную формулу,
Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше раз¬
ность между стороной АВ и высотой AD треугольника, иными
словами, чем ближе вершина В (и С) к основанию D высоты из
А. Вот почему приближенная формула (2) применима лишь для
треугольников с сравнительно малым углом при вершине.
Задан неучен и ка м.
Задача 199. Доказать, что египетская формула (1) для
вычисления площади четырехугольника верна для прямоуголь¬
ника.
18. О ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА. ГЕОМЕТРИИ В ДРЕВНЕЙ ИНДИИ.
Прокл в своем комментарии к «Началам» Евклида пишет
относительно предложения о том, что квадрат гипотенузы ра¬
вен сумме квадратов катетов, следующее: «Если слушать тех,
кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что
эта теорема восходит к Пифагору. Рассказывают, что в честь
этого открытия он принес в жертву быка». О том же рассказы¬
вает и другой греческий историк древности — Плутарх (I в.).
На основе этих и других преданий долгое время считали, что
до Пифагора эта теорема не была известна и назвали ее поэтому
«теоремой Пифагора». Это название сохранилось поныне. Од¬
нако в настоящее время установлено, что эта важнейшая теоре¬
ма встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет
до Пифагора.
О том, что треугольник со сторонами 3; 4 и 5 есть прямо¬
угольный, знали за 2000 лет до н. э. египтяне, которые, вероятно,
пользовались этим отношением для построения прямых углов
при сооружении зданий. В Китае предложение о квадрате ги¬
потенузы было известно по крайней мере за 500 лет до Пифа¬
гора. Эта теорема была известна и в древней Индии; об этом
свидетельствуют следующие предложения, содержащиеся в
«Сутрах»: 1) Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме
квадратов его большей и меньшей стороны (рис. 115). 2) Ква-
Рис. 114.
269
Задача 201. Если параллелограмм ABCD имеет с тре¬
угольником ВСЕ одно и то же основание ВС (рис. 119) и на¬
ходится между теми же параллельными, то параллелограмм бу¬
дет вдвое больше треугольника. Докажите!
Как и другие ученые древности Евклид занимается вопро¬
сами превращения одних фигур в другие,’ им равновеликие.
Так, в «Началах» решается задача о построении квадрата, рав¬
новеликого любому данному многоугольнику. При этом Евклид
оперирует самими площадями, а не числами, которые выра¬
жают эти площади. То, что мы получаем с помощью алгебры,
Евклид получал геометрическим путем. Извлечение квадратного
корня из числа означало для Евклида построение стороны ква¬
драта, площадь которого равна площади данного многоуголь¬
ника (рис. 120).
Одним из поздних греческих математиков-энциклопедистов,
труды которого имели главным образом прикладной характер,
был Герон Александрийский, живший в I в. н. э.1 Будучи вы¬
дающимся инженером, он был назван также «Герон Механик».
В своем произведении «Диоптрика» Герон описывает разные
машины и практические измерительные инструменты.
Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и яв¬
ляется своего рода сборником формул и соответствующих за¬
дач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадра¬
тов, прямоугольников и треугольников. О нахождении площади
треугольника по его сторонам Герон пишет: «Пусть, например,
одна сторона треугольника имеет в длину 13 мерных шнуров,
вторая 14 и третья 15. Чтобы найти площадь, поступай вот как.
Сложи 13, 14 и 15; получится 42. Половина этого будет 21. Вы¬
чти из этого три стороны одну за другой; сперва вычти 13 —
останется 8, затем 14 — останется 7 и, наконец, 15 — останет¬
ся 6. А теперь перемножь их: 21 раз по 8 даст 168, возьми это
7 раз — получится 1176, а это еще 6 раз — получится 7056. От¬
сюда квадратный корень будет 84. Вот сколько мерных шнуров
будет в площади треугольника».
1 По мнению некоторых историков Герон жил в 111 в.
271
В своем наиболее важном геометрическом произведении
«Метрика» Герои излагает доказательство примененной им вы¬
ше формулы:
S~Yp{p — а)(р — Ь)(р — с),
где а, Ь, с — стороны, р — полупериметр треугольника.
Эта формула носит название «формулы Герона». На самом
деле она была установлена еще в III в. до н.э. величайшим ма¬
тематиком древности Архимедом.
Практические правила Герона для вычисления площадей
применялись греческими, римскими и средневековыми землеме¬
рами и техниками.
20. О ПРИЗМЕ И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ
В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры
встречаются такие геометрические фигуры, как куб, параллеле¬
пипед, призма. Важнейшей задачей египетской и вавилонской
геометрии было определение объема различных пространствен¬
ных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить дома,
дворцы, храмы и другие сооружения.
Часть геометрии, в которой изучаются свойства куба, приз¬
мы, параллепипеда и других геометрических тел и простран¬
ственных фигур, издавна называется стереометрией. Слово
это — греческого происхождения («стереос» — пространствен¬
ный, «метрео» — измеряю) и встречается еще у знаменитого
древнегреческого философа Аристотеля (IV в. до н.э.).
Стереометрия возникла позже, чем планиметрия Г XI—
XIII книги «Начал» посвящены стереометрии.
В XI книге Евклид дает следующее определение призмы:
«Призма есть телесная (то есть пространственная) фигура, за¬
ключенная между плоскостями, из которых две противополож¬
ные равны и параллельны, остальные же — параллелограммы».
Тут, как и во многих других местах, Евклид употребляет термин
«плоскость» не в смысле безгранично продолженной плоскости,
а в смысле ограниченной ее части, грани, подобно тому, как
«прямая» означает у «его и отрезок прямой.
Термин «призма» греческого происхождения и буквально
означает «отпиленное» (тело).
Термин «параллелепипедальное тело» встречается впервые у
Евклида и означает дословно «параллеле-плоскостное тело».
Греческое слово «кубос» употребляется Евклидом в том же
смысле, что и наше слово «куб».
1 Термин «планиметрия», наоборот, был образован в средние века по
образцу античного термина «стереометрия».
272
как наука, был найден общий подход к вычислению объемов
многогранников.
Среди замечательных греческих ученых V—IV вв. до н. э.,
которые разрабатывали теорию объемов, были Демокрит из Аб-
деры и Евдокс Книдский.
Евклид не применяет термина «объем». Для него термин
«куб», например, означает и объем куба. В XI книге «Начал»
изложены среди других и теоремы следующего содержания:
1. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновели¬
кими основаниями равновелики.
2. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными
высотами равно отношению площадей их оснований.
3. В равновеликих параллелепипедах площади оснований
обратно пропорциональны высотам.
Теоремы Евклида относятся только к сравнению объемов,
так как непосредственное вычисление объемов тел Евклид, ве¬
роятно, считал делом практических руководств по геометрии.
В произведениях прикладного характера Герона Александрий¬
ского имеются правила для вычислений объема куба, призмы,
параллелепипеда и других пространственных фигур.
ОКРУЖНОСТЬ
22. ОБ ОКРУЖНОСТИ И ЕЕ РАДИУСЕ
Самая простая из кривых линий — окружность. Это одна из
древнейших геометрических фигур. Философы древности при¬
давали ей большое значение. Согласно Аристотелю, небесная
материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая со¬
вершенная, должна двигаться по самой совершенной линии —
окружности. Сотни лет астрономы считали, что планеты дви¬
гаются по окружностям. Это ошибочное мнение было опроверг¬
нуто лишь в XVII в. учением Коперника, Галилея, Кеплера и
Ньютона.
Еще вавилоняне и древние индийцы считали самым важным
элементом окружности радиус. Слово это —■ латинское и озна¬
чает «луч». В древности не было этого термина. Евклид и дру¬
гие ученые говорили просто «прямая из центра». В одной ла¬
тинской рукописи XI в., названной «Искусство геометрии» и
приписываемое римскому автору Боэцию, встречается впервые
термин «полудиаметр». Его употребляли также Фибоначчи и Не-
морарий (XIII в.), Региомонтан (XV в.) и Тарталья (XVI в.).
Термин «радиус» впервые встречается в «Геометрии» фран¬
цузского ученого Рамуса, изданной в 1569 г., затем у Ф. Виета.
Последний писал, что «радиус» это «элегантное слово», которое
знаменитые римские поэты Овидий и Виргилий употребляли в
смысле «луч». Известный римский оратор Цицерон как-то ска¬
зал: «Шар образован равными радиусами (лучами), выходя¬
щими из его центра». Термин «радиус» становится общеприня¬
тым лишь в конце XVII в. Термин «хорда» (от греческого «хор¬
де» — струна) был введен в современном смысле европейскими
учеными XII—XIII вв.
Тот факт, что диаметр делит круг и окружность на две рав¬
ные части, был, как говорит Прокл, открыт Фалесом Милет¬
ским. На самом же деле этот факт был известен задолго до
Фалеса.
Теоремы о зависимости между хордами и расстоянием их от
центра изложены в III книге «Начал» Евклида,
23. О КАСАТЕЛЬНЫХ К ОКРУЖНОСТИ. АРХИТ ТАРЕНТСКИЙ
Определение касательной как прямой, имеющей с окруж¬
ностью только одну общую точку, встречается впервые в учеб¬
нике «Элементы геометрии» французского математика Лежанд¬
ра (1752—1833). В «Началах» Евклида дается следующее опре¬
деление: прямая касается круга, если она встречает круг, но
при продолжении не пересекает его.
То, что касательная к окружности перпендикулярна к ра¬
диусу, проведенному в точку касания, было известно еще Архиту
Тарентскому (430—365 гг. до н. э.).
Архит — один из талантливейших греческих математиков-
пифагорейцев, астроном и государственный деятель. В настоя¬
щее время некоторые историки считают его и автором VIII кни¬
ги «Начал» Евклида *, в которой изложена арифметическая
теория пропорций. Древнеримский архитектор Витрувий (I в.)
рассказывает, что Архит был также замечательным инженером-
механиком, строил разные машины, в том числе: летающего де¬
ревянного голубя, детскую трещотку и др. В трудах Архита
тесно переплетаются теория чисел, геометрия, теория музыки.
Идеи Архита оказали большое влияние на Платона и на даль¬
нейшее развитие греческой математики. Одна из знаменитых
задач древности, решение которой принесло большую славу
Архиту, была задача об удвоении куба (см. гл. 3, § 15).
Доказательство того, что отрезки касательных, проведенных
к окружности из внешней точки, равны, отсутствует у Евклида
и приписывается комментаторами «Начал» Герону Алексан¬
дрийскому. Предложение: центр окружности находится на бис¬
сектрисе угла, образованного касательными из данной точки,
содержится в одном из произведений греческого математика
III в. Паппа.
1 См., налример, 1109], стр. 209.
18*
275
24. О ВПИСАННЫХ УГЛАХ.
ГИППОКРАТ ХИОССКИЙ
Изложенное в современных учеб¬
никах доказательство того, что впи¬
санный угол измеряется половиной
дуги, на которую он опирается, да¬
но в «Началах» Евклида. На это
предложение ссылается, однако, еще
Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) в своем труде о «луночках»
(см. гл. 3, § 14). Труды Гиппократа свидетельствуют о том, что
уже во второй половине V в. до н. э. было известно большое
число теорем, изложенных в «Началах» Евклида, и геометрия
достигла высокого развития.
Тот факт, что опирающийся на диаметр вписанный угол пря¬
мой, был известен вавилонянам еще 4000 лет назад. Первое его
доказательство приписывается Памфилией, римской писатель¬
ницей времен Нерона, Фалесу Милетскому. Некоторые коммен¬
таторы Евклида полагают \ что доказательство Фалеса, осно¬
ванное на предложении, что сумма углов треугольника равна
2d, было следующее (рис. 121): обозначив углы при диаметре
через 1, 2, а части угла АСВ, на которые он рассекается ра¬
диусом ОС, через 3, 4, получаем с одной сторонь!: Z1 = Z3,
Z2 = Z4; с другой стороны: Zl + Z2 + Z3 4- Z4 = 2d, от¬
куда 2(Z3 + Z4) = 2d, Z3 + Z4 = d, то есть ZACB = d.
25. О ДЛИНЕ ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДИ КРУГА. АРХИМЕД
Задача вычисления длины окружности и площади круга воз¬
никла еще в глубокой древности.
В папирусе Ахмеса указывается, что за площадь круга S
следует принимать площадь квадрата, сторона которого равна
8/9 диаметра2, то есть
HW = TT/?.
Это значит, что для отношения длины окружности к диаметру
256
(тг) берется значение 3,1605 ...
Однако в других древнеегипетских и вавилонских текстах
встречается значение л = 3, которое, по-видимому, вполне
удовлетворяло потребности землемеров того времени3. Позже
1 См. [89], кн. I—VI, стр. 250.
2 По этому поводу см. А. Е. Р а и к, К истории возникновения замеча¬
тельного египетского приближения к числу л, «Ученые записки Мордовского
ун-та», 1960, вып. 8.
3 Из одной клинописной таблички, найденной в 1939 г., следует, что ва¬
вилоняне пользовались также приближением я = 3,125. См. [114], стр. 58*
276
римляне принимали п = 3,12. Эти и другие приближенные
значения были получены эмпирическими способами, например,
путем прямого измерения длины окружности с помощью ве¬
ревки и т. п.
Вопрос о вычислении отношения длины окружности к своему
диаметру, то есть числа тт, занимал лучшие умы человечества
на протяжении тысячелетий. Первое вычисление тт на основе
строгих теоретических рассуждений было предпринято величай¬
шим математиком древности Архимедом (см. гл. 3, § 14). В сво¬
ем произведении «Об измерении круга» он доказал, что
о 10 / /И
о уг < % •
Выведенное Архимедом для и приближенное значение
22
-j- ~ 3,14 оказалось вполне удовлетворительным для практики.
На это значение ссылаются Герон Александрийский, Папп,
Прокл и другие ученые. Оно широко применяется и в настоящее
время.
В произведениях Герона «Метрика» и «Геометрика» содер¬
жится много примеров на вычисление диаметра и длины окруж¬
ности, площади круга, а также сегмента и сектора круга. Слово
«сегмент» — латинского происхождения (segmentum — отрезок)
и является буквальным переводом соответствующего греческого
термина, употребляемого Евклидом. То же можно сказать о тер¬
мине «сектор» (по-латыни sector — резец).
2в. О ЧИСЛЕ я'
Известно, что отношение длины окружности к диаметру не
может быть точно выражено ни целым числом, ни обыкновенной
дробью, ни конечной десятичной дробью2.
Приближенные с недостатком и избытком значения для тг
Архимед получил, рассматривая вписанные в круг и описанные
около него многоугольники с достаточно большим числом сто¬
рон. Он последовательно определял стороны вписанных и опи¬
санных шестиугольника, двенадцатиугольника, двадцатичетырех-
угольника, сорокавосьмиугольника и девяностошестиугольника,.
выраженные через диаметр. Созданный Архимедом метод вы¬
числения длины окружности посредством периметров вписан¬
1 Предполагается, что изложенные здесь сведения учитель расскажет
не на одном уроке, а возможно, и не только на уроках.
2 О том, что я — число иррациональное и трансцендентное, см. гл. 3,
277
ных и описанных многоугольников применялся многими вид¬
ными математиками на протяжении почти 2000 лет.
В некоторых странах Азии встречается значение тс = |/ 10,
то есть 3, 162... Астроном Ван Фань (229—267) утверждал, что
142
тг ==-щр> то есть 3, 155..., а Цзу Чун-чжи (428—499) говорил о
22 355
«неточном» значении-у- и о «точном» -щ-» показав, что тс со¬
держится между 3,1415926 и 3,1415927. Последнее значение
записывалось в седьмом веке в виде именованного числа;
3 чжана 1 чи 4 цуня 1 фень 5 ли 9 хао 2 мяо 7 хо.
В индийских «сутрах» (VII—V вв. до н.э.) имеются правила,
из которых вытекает, что я = 3,008. Ариабхатта и Бхаскара
62832
брали значение -^ооо ' т0 есть 3,1416..., Брахмагупта, Магавира
и Сриддхара брали те = У10.
В своей книге «Об измерений окружности» (1424 г.) ал-Ка-
ши нашел для тс значение, далеко превосходящее по точности
все ранее известные. Рассмотрев вписанный и описанный много¬
угольники с 800 335 168 сторонами, он получает окончательный
результат, выраженный (в шестидесятеричных) и в десятичных
дробях в виде 2я «=* 6,2831853071795865, то есть я
« 3,1415926535897932 — тут 16 верных знаков.
Однако труды ал-Каши в Европе долгое время не были из¬
вестны. Голландский профессор Адриан Меций вновь нашел в
355
XVI в. значение -щ- для тс, независимо от Цзу Чун-чжи.
В 1597 г. А. Ван Ромен из Лувена (Бельгия), применяя метод
Архимеда с помощью 230-угольников, получил 17 верных деся¬
тичных знаков. Большое терпение и выдержку обнаружил гол¬
ландский вычислитель Лудольф ван-Цейлен (1540—1610), кото¬
рый, применяя метод Архимеда, дошел до многоугольников с
60 • 2029 степени сторонами, получив 35 верных десятичных зна¬
ков для тс. В его честь число я было названо современниками
«Лудольфово число». Согласно завещанию самого Лудольфа,
на его надгробном камне было высечено найденное им значе¬
ние я.
Начиная с конца XVII в. для вычисления тс применяются бо¬
лее эффективные методы высшей математики. Леонард Эйлер
вычислил я с точностью до 153 десятичных знаков. После опуб¬
ликования его работы (1736 г.) стало общепринятым обозначе¬
ние тс (первая буква в греческом слове «периферия» — круг),
которое встречается впервые в 1706 г. у английского матема¬
тика У. Джонса. В 1873 г. англичанин В. Шенке определил тс с
точностью до 707 десятичных знаков, усердно проработав для
этой цели целых 15 лет. Однако, как выяснилось впоследствии,
278
527-й знак Шенкса оказался неверным. Ошибка была обнару¬
жена Фергюссоном и Ренчем, которые в 1948 г. получили зна¬
чение ти с 808 знаками. С помощью электронных машин в 1949 г.
получено значение л с 2035 знаками, а позднее — с 3089 зна¬
ками, всего лишь за 13 секунд. Вычисление такого большого
числа знаков для я не имеет практического значения, а пока¬
зывает лишь огромное преимущество и совершенство современ¬
ных средств и методов вычисления по сравнению со старыми.
27. О ЦИЛИНДРЕ, ЕГО ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМЕ
С образом цилиндра человек знаком очень давно. Этому спо¬
собствовали виды стволов деревьев, из которых со временем
стали изготовлять балки для строительства жилищ, мостов и
других сооружений. Еще 3—4 тысячи лет назад люди научи¬
лись украшать храмы и дворцы высокими колоннами, для чего
из каменных глыб вытесывали цилиндры.
Древний термин «цилиндр» происходит от греческого слова
«килиндро» — вращаю, катаю. «Килиндрос» — свиток, валик.
Евклид, указывая на способ образования цилиндра, говорит,
что если прямоугольник, вращающийся около одной из его сто¬
рон, снова вернется в то же самое положение, из которого он
начал двигаться, то описанная фигура и будет цилиндром. Не¬
подвижная прямая, вокруг которой поворачивается прямоуголь¬
ник, называется осью цилиндра, а круги, описываемые вращаю¬
щимися двумя противоположными сторонами, — основаниями
цилиндра.
В древнем Востоке объем цилиндра, как и призмы, вычис¬
лялся умножением площади основания на высоту. В «Началах»
имеется ряд теорем, относящихся к сравнению объемов цилин¬
дров и аналогичных теоремам о параллелепипедах (гл. 3, § 5;
21). Способ вычисления боковой поверхности цилиндра был най¬
ден Архимедом, об этом говорится в его произведении «О шаре
и цилиндре». В «Метрике» Герона содержатся примеры вычис¬
ления площади поверхности и объема цилиндра.
28. ОБ ОДНОЙ ОШИБКЕ ДРЕВНИХ ЕГИПТЯН
Задача 202. В Акмимском папирусе площадь круга, окруж¬
ность которого есть среднее арифметическое двух данных
окружностей (с радиусами г = 5, R = 10), принимается за сред¬
нее арифметическое их площадей. Показать, что это непра¬
вильно и выразить ошибку в процентах.
27&
VIII к «л я с с
О ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ.
ПОДОБИЕ ФИГУР
29. ОТНОШЕНИЕ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ
Идея отношения и пропорции зародилась в глубокой древ¬
ности. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, дета¬
ли гробницы Мейеса и знаменитых пирамид в Гизе (3-е тысяче¬
летие до н. э.), вавилонские зиккураты (ступенчатые культовые
башни), персидские дворцы, индийские и другие памятники
древности. Многие обстоятельства, в том числе особенности
архитектуры, требования удобства, эстетики, техники и эконо¬
мичности при возведении зданий и сооружений, вызвали воз¬
никновение и развитие понятий отношения и пропорциональ¬
ности отрезков, площадей и других величин.
В «Московском» папирусе, при рассмотрении отношения
большого катета к меньшему в одной из задач на прямоуголь¬
ный треугольник применяется специальный знак для понятия
«отношение».
В «Началах» Евклида учение об отношениях излагается
дважды. В VII книге содержится арифметическая теория. Она
относится только к соизмеримым величинам и к целым числам.
Эта теория создана на основе практики действия с дробями.
Евклид применяет ее для исследования свойств целых чисел.
В V книге излагается общая теория отношений и пропорций,
разработанная Евдоксом (ем. гл. 3, § 12). Она лежит в основе
учения о подобии фигур, изложенного в VI книге «Начал»
1 Евклид под «числами» понимал лишь целые числа и, как все предста¬
вители классической античной математики, не отождествлял отношения с чис¬
лами. Лишь на более позднем этапе развития греческой математики ученые
(Герои, Диофант и др.) стали отождествлять отношения целых чисел с дро¬
бями и сближать понятие общего отношения величин с понятием числа. Не¬
смотря на то, что уже Ньютон определил число в более широком смысле,
как отношение двух величин (гл. 1, § 7; 39), в учебниках XVII и XVIII вв.
понятия отношения и числа еще резко отличались друг от друга. Лишь
в XIX в. большинство авторов стало отождествлять эти понятия. Так, в учеб¬
нике Лакруа (Основания арифметики, Спб., 1826) говорится: «отношение
есть число, целое или дробное, показывающее, сколько раз одна величина
содержится в другой». Ушаков, автор «Новой Арифметики» (Спб., 1845), пи¬
шет: «Отношение двух чисел есть частное от деления одного на другое».
Первый, кто в изложении элементарной геометрии отступил от евклидо¬
вого принципа резкого отделения геометрии от учения о числе, был Лежандр,
который в своей книге «Элементы геометрии» (1794) предпринял алгебраиза-
цию и арифметизацию элементарной геометрии. Изучение вопросов сравнения
и измерения величин Лежандр, в отличие от своих предшественников, следо-
30. о ДЕЛЕНИИ ОТРЕЗКА
jj ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
В VI книге «Начал» Евклид
так решает задачу о делении
отрезка в данном отношении:
Задача 203. Пусть (рис .122)
требуется рассечь отрезок АВ в
отношении, представленном дан¬
ными тремя отрезками.
Решение: Строим угол ВАС
и откладываем на стороне АС
данные три отрезка: AD, DE, ЕС.
Соединив С и Л, проведем через
точки Е и D отрезки ЕН и DJ,
параллельные ВС. На основе тео¬
ремы о пропорциональности от¬
резков, образующихся на пря¬
мых, пересеченных параллельны¬
ми прямыми, получаем:
AJ: JH: НВ — AD : DE : ЕС.
Симон Стевин дал следующий
способ деления отрезка АВ на
равные части (рис. 123):
На прямой MN, параллель¬
ной АВ, откладываем заданное
число, допустим шесть, равных
между собой отрезков:
MD = DF= FH=HK=KL=LN.
Соединим М с А, N с В и продолжим до пересечения в точке Р.
Теперь соединяем точку Р с D, F, Н, К, L. В пересечении пря¬
мых соединения с отрезком АВ и получим искомые точки деле¬
ния: D', F', Н\ К', L'.
31. О ПОДОБИИ
Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры
встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохра¬
нившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II имеет¬
ся стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на
вавщих Евклиду, ставит в полную зависимость от арифметики и алгебры.
Для понимания учения об отношениях отрезков и пропорциональных отрезках
Лежандр отсылает к курсам арифметики и алгебры. «Многие наши доказа¬
тельства, — пишет он, — основаны на простых правилах алгебры... В случае
трудности, хорошо обратиться к учебникам алгебры и сочетать таким обра¬
зом изучение обеих этих наук». См. [82], [102], [107], стр. 293—323; [126].
р
281
стену перенесены в увеличенном ви-
де рисунки меньших размеров '.
Пропорциональность отрезков,
образующихся на прямых, пересе¬
ченных несколькими параллельными
прямыми, была известна еще вави¬
лонским ученым, хотя некоторые
приписывают это открытие Фалесу
Милетскому. До наших дней сохра¬
нилась клинописная табличка, в ко¬
торой речь идет о построении про¬
порциональных отрезков2 путем
проведения в прямоугольном тре¬
угольнике параллелей к одному из
катетов.
Учение о подобии фигур на осно¬
ве теории отношений и пропорции
было создано в древней Греции в
V—IV вв. до н. э. трудами Гиппо¬
крата Хиосского, Архита Тарент-
ского, Евдокса Книдского и других.
Оно изложено в VI книге «Начал»
Евклида, начинающейся следующим
определением: «Подобные прямоли¬
нейные фигуры суть те, которые
имеют соответственно равные углы
и пропорциональные стороны». При¬
знаки подобия треугольников дока¬
зываются в наших учебниках иначе,
чем у Евклида, и основываются на
лемме о том, что в любом треугольнике прямая, параллельная
основанию, пересекающая стороны треугольника, отсекает тре¬
угольник, подобный данному. Лемма эта была впервые вве¬
дена Клавиусом в его комментариях к «Началам» Евклида, из¬
данным в 1574 г. Она, как и вся теория подобия, основывается
на аксиоме параллельности Евклида.
32. «ДЕЛЕНИЕ В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ» АПОЛЛОНИЯ
Одним из величайших геометров древней Греции был Апол¬
лоний Пергский, живший в III—II вв. до н. э. Математике он
учился в Александрии. Его учителями были ученики Евклида.
В знаменитом произведении Аполлония «Конические сече¬
1 Своего рода «палетка». (См. гл. 3, § 7; 33.)
2 Таково, например, мнение Ван дер Вардена, которое, однако, не раз¬
деляет проф. И. Н. Веселовский. См. [109], стр. 97—99,
282
ния» изложено учение о фигурах, получаемых при сечении пло¬
скостью полного конуса (рис. 124), — эллипсе, параболе, гипер¬
боле.
Сохранилось еще одно из многих произведений Аполлония:
«О делении в данном отношении». В нем, среди других, рассма¬
тривается следующая задача:
Задача 204. Прямой, проходящей через данную точку Н,
требуется отсечь на двух пересекающихся прямых ОР и OQ
(рис. 125) два отрезка ОМ и ON, находящихся в данном отно¬
шении т : п.
33. О ПОСТРОЕНИИ ПОДОБНЫХ ФИГУР.
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ ЦИРКУЛЬ. ГАЛИЛЕЙ
Свойства подобных фигур издавна применяются на практике
при составлении географических карт, планов и чертежей, при
землемерных работах на местности (так называемой мензуль¬
ной съемке) и т. п.
Для практики всегда имели большое значение сравнительно
простые и общедоступные методы построения подобных фигур.
Одним из них является «способ палетки», который обычно при¬
меняется при копировании рисунков, картин и портретов. Желая
сделать копию рисунка, мы накрываем его палеткой (от фран¬
цузского palette), то есть прозрачной пластинкой или бумагой
с нанесенной на нее сеткой квадратов. На месте, предназначен¬
ном для копии, чертится временная квадратная сетка, которая
по окончании работы стирается. Сторона квадрата временной
сетки больше, меньше или равна стороне квадрата палеточной
сетки в зависимости от того, требуется ли увеличить, уменьшить
или оставить рисунок без изменений. Отношение стороны ква¬
драта временной сетки к стороне квадрата палеточной сетки бу¬
дет коэффициентом подобия.
Пусть некоторая точка (деталь) рисунка находится в вер¬
шине (или в центре) одного из квадратов палеточной сетки.
Отмечаем на копии соответствующую точку в вершине (или в
центре) соответствующего квадрата временной сетки и т. д.
(рис. 126). Этот метод копирования при помощи квадратной сет¬
ки был известен еще древним египтянам (см. гл„3, § 7; 31). Па¬
летку применяют также для вычисления площадей на планах
и картах.
Для уменьшения или увеличения чертежа в произвольном
отношении служит также пропорциональный циркуль. Это —
простой инструмент (рис. 127), в котором шарнир (2) устана¬
вливается так, чтобы черта, нанесенная на нем, совпала с опре¬
деленным делением К шкалы (1) на одной из ножек. Тогда от¬
ношение расстояний аЬ:ЛВ тоже будет равно К. Этот циркуль,
который особенно широко используется в картографии, был
283
изобретен великим итальянским ученым Галилео Галилеем
(1564—1642), тем самым, который открыл закон инерции, за¬
коны падения тел, колебаний маятника и др. Галилей впервые
в истории астрономии с помощью им же изготовленной зритель¬
ной трубы наблюдал небесные светила. Он открыл горы на
Луне, 4 спутника Юпитера, фазы Венеры, пятна на Солнце. За
то, что Галилей блестяще развил учение Коперника о движении
Земли, католическая церковь его жестоко преследовала, и он
был в 1633 г. осужден римским католи*
ческим судом.
Опубликованное Галилеем описание
пропорционального циркуля («Построе¬
ния геометрическим и военным цирку*
лем», Падова 1606) дало возможность
ученым и техникам использовать новый
инструмент для быстрого производства
различных построений и расчетов. Еще в
юношестве Галилей увлекался геоме¬
трией. Архимед стал его настоящим учи*
телем. Галилей утверждал, что настоя"
щая философия «написана в величайшей
книге, которая постоянно открыта нашим
глазам». Эта книга — сама Вселеннная,
природа, которую нужно научиться чи*
Рис. 127. Пропорцио- тать. «Написана же она на языке мате-
нальный циркуль. матикц».,.
284
©ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ОСТРОГО УГЛА1
з*. О ПРОИСХОЖДЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИИ
Слово «тригонометрия» 2 (от греческих слов «Тригонон» — тре¬
угольник и «метрео» — измеряю) означает «измерение треуголь¬
ников». Возникновение тригонометрии связано с развитием
астрономии — науки о движении небесных тел, о строении и раз¬
витии Вселенной — и географии.
Астрономия — одна из древнейших наук, в свою очередь воз¬
никшая из потребности знать сроки смены времен года, изме¬
рять и считать время, иметь календарь (см. гл. I, § 15). Одним
из стимулов развития астрономии были путешествия по суше и
по морю, вызванные разными потребностями, в первую очередь
торговлей. Солнце днем, Луна, планеты и звезды ночью испокон
веков служили человеку для определения не только часа дня и
времени года, но и положения корабля в открытом море и для
указания правильного пути караванам в пустыне.
Астрономия зародилась и развивалась в Вавилоне, Египте,
Китае, Индии и других странах древности. В результате произ¬
веденных астрономических наблюдений возникла необходимость
определения положения светил, вычисления расстояний и углов.
Так как некоторые расстояния, например от Земли до планет,
нельзя было измерить непосредственно, то ученые стали разра¬
батывать приемы нахождения взаимосвязей между сторонами
и углами треугольника, у которого две вершины расположены
на Земле, а третью представляет планета или звезда. Такие
соотношения можно вывести, изучая различные треугольники и
их свойства. Вот почему астрономические вычисления привели
к решению (то есть нахождению элементов) треугольника.
Этим и занимается тригонометрия.
Зачатки тригонометрии обнаружены в сохранившихся доку¬
ментах древнего Вавилона, где астрономия достигла значитель¬
ного развития. Вавилонские ученые составили одну из первых
карт звездного неба. Они умели предсказывать солнечные и
лунные затмения. Некоторые сведения тригонометрического ха¬
рактера встречаются и в старинных памятниках других наро¬
дов древности.
35. О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТАБЛИЦАХ
В древней Греции тригонометрия, как часть астрономии,
Достигла значительного развития.
1 См. Б. В. Болгарский, Основные этапы развития тригонометрии
и ознакомление с ними учащихся, «Математика в школе», 1956, № 1.
2 Термин был впервые введен в 1595 г. немецким богословом — матема¬
тиком Варфоломеем Питиском, известным в то время автором учебника три¬
гонометрии и тригонометрических таблиц.
285
Рис. 128. Птолемей и Боэций (средневековый рисунок).
Древнегреческие ученые впервые поставили перед собой за¬
дачу решения прямоугольного треугольника, то есть определе¬
ния его элементов по трем данным элементам, из которых хотя
бы один — сторона треугольника. Для решения этой задачи
вначале составляли таблицы длин хорд, соответствующих раз¬
личным центральным углам круга постоянного радиуса. Первые
тригонометрические таблицы хорд были составлены астроно-
мом;-математиком Гиппархом из Никеи (II в. до н. э.). Гип¬
парх был основоположником математической географии, а кро¬
ме того, составил звездный каталог, довольно точно определил
расстояние от Земли до Луны и ввел географические координа¬
ты— широту и долготу. Сочинения Гиппарха до нас не дошли.
Но многие из них вошли в «Альмагест»1 — знаменитое сочине¬
ние древнегреческого астронома Клавдия Птолемея (И в.;
рис. 128). Альмагест — классическое сочинение, в котором из¬
ложена античная теория движения небесных тел, геоцентриче¬
ская система мира. Эта система просуществовала до XVI в.,
когда появились труды Н. Коперника с изложением новой, ге¬
лиоцентрической системы мира.
«Альмагест» содержит элементы прямолинейной и сфериче¬
ской тригонометрии, описание астрономических инструментов,
1 «Альмагест» происходит от греческого слова «Мэгистэ» — «великое»,
первое слово в полном названии сочинения Птолемея: «Великое математиче¬
ское построение астрономии».
286
с
звездный каталог таблиц хорд и др. Таблица хорд Птолемея
составлена в шестидесятеричной системе счисления через пол¬
градуса от 0° до 180° и играла такую же роль, как таблица си¬
нусов (то есть полухорд), так как синус есть половина хорды.
Таблицы синусов были введены индийскими астрономами,
которые рассматривали и линию косинуса. Техника тригоно¬
метрических вычислений (применявшихся для решения прямо¬
угольных треугольников) получила значительное развитие в
Индии. Так, для синуса 3°45' Бхаскара в своих таблицах ука-
100
зывает значение ^9 » которое в переводе на десятичную дробь
дает семь верных десятичных знаков. Дальнейшего развития
тригонометрические таблицы достигли в трудах ученых стран
ислама, которые ввели понятие линии тангенса. Абу-л-Вафа
(X в.) пользовался также величиной, обратной косинусу (секан¬
сом) и синусу (косекансом) и составил таблицу синусов через
каждые 10'. Самые точные таблицы в начале XV в. были со¬
ставлены ал-Каши. Большой точности таблицы тригонометри¬
ческих функций составил Региомонтан (1436—1476) и другие
европейские ученые XVI—XVIII вв.
В России первые тригонометрические таблицы были изданы
в 1703 г. под названием «Таблицы логарифмов, синусов и тан¬
генсов к научению мудролюбивых тщателей». В издании этих
таблиц участвовал JI. Ф. Магницкий.
36. О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ II О РАЗВИТИИ
ТРИГОНОМЕТРИИ
Индийские ученые1 положили начало учению о тригономе¬
трических величинах, которые они рассматривали в пределах
первой четверти круга. Синус и косинус встречаются в индий¬
ских астрономических сочинениях уже в IV—V вв. Заменив
хорду синусом, индийцы вначале называли синус ардхаджива,
то есть половина хорды («джива» — хорда, тетива лука), а поз¬
же— просто «джива». Это слово было, как полагают, искажено
арабами в «джайб», означающее по-арабски пазуха, выпуклость.
Слово джайб было переведено в XII в. на латынь соответствую¬
щим словом sinus. Косинус индийцы называли котиджива,
то есть синус остатка (до четверти окружности). В XV в. Регио¬
монтан, как и другие математики, применял для понятия «ко¬
синус дуги (х) латинский термин sinus complementi, то есть
синус дополнения, имея в виду sin (90 — х). От перестановки
этих слов и сокращения одного из них (co-sinus) образовался
термин косинус, встречающийся в 1620 г. у английского астро¬
нома Э. Гунтера, изобретателя счетной линейки.
1 См. [125], стр. 156—160, 281—294.
287
I
В IX—X вв. ученые стран ислама (ал-Хабаш, ал-Баттани,
Абу-л-Вафа и др.) ввели новые тригонометрические величины:
тангенс и котангенс, секанс и косеканс. В частности, ал-Батта-
ни установил, что в прямоугольном треугольнике острый угол
можно определить отношением одного катета к другому. Про¬
исхождение названий двух тригонометрических функций, тан¬
генса и секанса (термины, введенные в 1583 г. немецким мате¬
матиком Т. Финком), связано с геометрическим их предста¬
влением в виде отрезков прямых. Латинское слово tangens
означает касающийся (отрезок касательной), secans — секущий
(отрезок секущей). Термины «котангенс» и «косеканс» были
образованы в средние века по аналогии с термином косинус.
Все три термина вырабатывались на протяжении веков и вошли
во всеобщее употребление в первой половине XVII в.
Сферическая тригонометрия, непосредственно применявшая¬
ся в астрономии, начала развиваться раньше плоской из под¬
собных глав астрономии и самостоятельно не существовала.
Выдающийся ученый Насирэддин ат-Туси (1201—1274), уро¬
женец иранского города Туе, первый открыл путь к отделению
тригонометрии от астрономии и выделению ее в самостоятель¬
ную дисциплину. Его труд «Китаб аш-шакл ал-кита» (книга о
фигуре из секущих), называемый также «Трактатом о полном
четырехугольнике», является первым в мире сочинением, спе¬
циально посвященным тригонометрии. В нем достаточно полно
изложено то, что было установлено раньше, а также отдельные
исследования самого автора. Тригонометрический труд ат-Туси,
как полагают некоторые ученые, оказал влияние на европейских
математиков, в частности на Региомонтана.
В XV в. Региомонтан сыграл в Европе примерно ту же роль,
какую играл Насирэддин в странах ислама за двести лет до
этого. Труд Региомонтана «Пять книг о треугольниках всех ви¬
дов» в свою очередь имел большое значение для дальнейшего
развития тригонометрии. Другие работы в области тригономет¬
рии принадлежат Копернику, Виету, Кеплеру. Современный вид
тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера. Он раз¬
работал ее как науку о тригонометрических функциях, рассма¬
триваемых как отношения соответствующих тригонометрических
линий к радиусу. Это позволило понимать под аргументом три¬
гонометрических функций как углы, дуги, так и отвлеченные чис¬
ла. Эйлер установил несколько неизвестных до него формул и
ввел единообразные знаки. Впервые в его трудах встречаются
записи sin х, tgx и другие современные обозначения, в том чис¬
ле и строчные буквы а, Ь, с для сторон треугольника и пропис¬
ные буквы А, В, С — для противолежащих углов.
Подробнее о развитии тригонометрии учащиеся узнают в
старших классах.
288
ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ
МНОГОУГОЛЬНИКИ
87. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА. ГЕОМЕТРИЯ
треугольника
В четвертой книге «Начал» Евклид1 решает задачу: «Впи¬
сать круг в данный треугольник». Из решения вытекает, что три
биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в
одной точке — центре вписанного круга. Из решения другой
задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановлен¬
ные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекают¬
ся в одной точке — центре описанного круга. В «Началах» не
говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются
в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово «ортос»
означает прямой, правильный). Это предложение было, однако,
известно Архимеду, Паппу, Проклу. Четвертой особенной точ¬
кой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед
доказал, что она является центром тяжести (барицентром) тре¬
угольника.
На вышеназванные четыре точки было обращено особое
внимание, начиная с XVIII в. они были названы «замечатель¬
ными» или «особенными» точками треугольника. Исследование
свойств треугольника, связанных с этими и другими точками,
послужило началом для создания новой ветви элементарной
математики — «геометрии треугольника»2, или «новой геомет¬
рии треугольника», одним из родоначальников которой был
Леонард Эйлер.
В 1765 г. Эйлер доказал, что в любом треугольнике орто¬
центр, барицентр и центр описанной окружности лежат на од¬
ной прямой, названной позже «прямой Эйлера». В двадцатых
годах XIX в. французские математики Ж. Понселе, Ш. Бриан-
шон и другие установили независимо друг от друга следующую
теорему (рис. 129): основания медиан, основания высот и сере¬
дины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами тре*
угольника, лежат на одной и той же окружности.
Эта окружность называется «окружностью девяти точек»
или «окружностью Фейербаха», или «окружностью Эйлера».
А
1 См. [89], кн. I—VI, стр. 125—126,
361—367; С. И. Зет ель, Новая геомет¬
рия треугольника, изд. 2-е, Учпедгиз, 1962;
Ю. М. Гайдук и А. Н. Хованский,
Краткий обзор исследований по геометрии
треугольника,«Математика в школе», 1958,
№ 5 и 1960, № 6.
2 Развитие этой геометрии стало осо¬
бенно заметным начиная с 70-х годов про¬
шлого века.
19 Г. И. Глейзер
289
К. Фейербах установил, что центр этой окружности лежит на
«прямой Эйлера».
Большой вклад в развитие геометрии треугольника внесли
математики XIX—XX вв. Лемуан, Брокар, Тебо и другие, о ра¬
ботах которых учащиеся узнают в старших классах.
38. О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ
В египетских и вавилонских старинных памятниках встре¬
чаются правильные четырехугольники, шестиугольники и вось¬
миугольники в виде изображений на стенах и украшений, высе¬
ченных из камня.
Древнегреческие ученые стали проявлять большой интерес
к правильным фигурам еще со времен Пифагора. Деление
окружности на некоторое число равных частей для построения
правильных многоугольников имело важное значение для пифа¬
горейцев, которые утверждали, что числа лежат в основе всех
явлений мира. Учение о правильных многоугольниках, начатое
в школе Пифагора, продолженное и развитое в V—IV вв. до н. э.,
было систематизировано Евклидом и изложено в IV книге «На¬
чал». Кроме построения правильного треугольника, четырех¬
угольника, пятиугольника и шестиугольника, Евклид решает и
задачу построения правильного пятнадцатиугольника при по¬
мощи только циркуля и линейки. Эта фигура привлекала
внимание древних, так как было замечено, что дуга угла на¬
клонения эклиптики к экватору представляет собой -jg- всей ок¬
ружности, то есть стягивается стороной правильного пятнадца*
тиугольника.
Зная, как построить правильный н-угольник, легко можно
построить правильный 2п-угольник. Долгое время математики
тщетно искали способы построения правильного семиугольника,
девятиугольника, одиннадцатиугольника и т. д., не зная даже,
возможно ли вообще построение таких многоугольников с по¬
мощью только циркуля и линейки. Эта проблема была ре¬
шена лишь в конце XVIII в. 17-летним К. Ф. Гауссом, великим
немецким математиком, доказавшим, что с помощью циркуля
и линейки можно разделить окружность на такое простое
число N равных частей, которое выражается формулой:
22”~{-1,
где п — натуральное число или нуль.
Вот несколько примеров:
1) п = О, N = 3; 2) п = 1, N = 5; 3) п = 2, N = 17; 4) п = 3,
N = 257; 5) п = 4, N = 65537 и т. д.
После открытия Гаусса стало ясно, что, помимо ранее изве¬
стных правильных многоугольников с 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15;
16; 20; 24; 30; 32; 40;... сторонами, можно построить с по¬
290
мощью циркуля и линейки правильные
многоугольники с 17; 34; 68; 126; 252;
257;... сторонами. С другой стороны,
невозможно циркулем и линейкой по¬
строить правильные многоугольники со
следующим числом сторон: 7; 9; 11; 13;
14; 18; 19; 21; 22; 23; 25; 26; 27; 28;...
Еще в древности практиковалось для
разных нужд приближенное построение а
любого правильного многоугольника.
Так, например, Герон Александрийский
находит приближенное значение стороны
правильного девятиугольника.
Задача построения правильного
«-угольника сводится к делению окруж¬
ности на п равных частей. Один практи¬
ческий прием такого деления предложил французский матема¬
тик Н. Бион. Прием этот состоит в следующем: Пусть требуется
разделить окружность, например, на 9 равных частей (рис. 130).
На диаметре окружности строится равносторонний треуголь¬
ник ABC. Диаметр АВ делим на 9 равных частей. Соединяя
вторую точку деления с вершиной треугольника С, продолжим
прямую до пересечения с окружностью в точке D. Дуга AD яв¬
ляется девятой частью окружности, хорда AD — стороной пра*
вильного девятиугольника Г
«К ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
W ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
39. О ПИРАМИДЕ II ЕЕ ОБЪЕМЕ
Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис»
или «пирамидос». Греки в свою очередь позаимствовали это
слово, как полагают, из египетского языка. В папирусе Ахмеса
встречается слово «ггирамус» в смысле ребра правильной пира¬
миды. Другие считают, что термин берет свое начало от формы
хлебцев в древней Греции («пирос» — рожь). В связи с тем, что
форма пламени иногда напоминает образ пирамиды, некоторые
средневековые ученые считали, что термин происходит от гре¬
ческого слова «пир» — огонь. Вот почему в некоторых учебниках
геометрии XVI в. пирамида названа «огнеформное тело».
В древнем Египте гробницы фараонов имели форму пира¬
мид. В III тысячелетии до н. э. египтяне сооружали ступенчат
1 В XIX в. теория многоугольников была развита немецким математиком
А. Ф, Метиусом и др.
19*
291
тые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египет-
ские пирамиды приобрели геометрически правильную форму,
например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти
147 м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы
и коридоры.
Согласно Архимеду еще в V в. до н. э. Демокрит из Абдеры
установил, что объем пирамиды равен одной трети объема
призмы с тем же основанием и той же высотой. Полное доказа¬
тельство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV в. до н. э.
В «Началах» Евклида доказывается, что в равновеликих
пирамидах площади оснований обратно пропорциональны соот¬
ветствующим высотам. Первое непосредственное вычисление
объема пирамиды, дошедшее до нас, встречается у Герона Алек¬
сандрийского.
Интересно отметить, что в древних документах встречаются
правила для определения объема усеченной пирамиды, но нет
правил вычисления объема полной пирамиды. В «Московском
папирусе» имеется задача, озаглавленная «Действия с усечен¬
ной пирамидой», в которой излагается верное вычисление объ¬
ема одной усеченной пирамиды. В вавилонских клинописных
табличках тоже не встречается вычисление объема пирамиды,
но зато в них есть много примеров вычисления объема усечен¬
ной пирамиды К
Формула, употребляемая ныне для вычисления объема усе¬
ченной пирамиды,
t/=l^(6 + <V-b z^7).
в которой h, Ъ, Ь' обозначают соответственно высоту, площадь
верхнего и площадь нижнего основания, встречается в словес¬
ной форме впервые у Леонардо Фибоначчи в его книге «Прак¬
тика геометрии», написанной в 1220 году.
40. О КОНУСЕ
Латинское слово conus позаимствовано из греческого языка
(«конос» — затычка, втулка, сосновая шишка).
В XI книге «Начал» дается следующее определение: если
вращающийся около одного из своих катетов прямоугольный
треугольник снова вернется в то же самое положение, из кото¬
рого он начал двигаться, то описанная фигура будет конусом.
Неподвижный катет, вокруг которого поворачивается треуголь¬
ник, называется осью конуса, а круг, описываемый вращающим¬
ся катетом, называется основанием конуса. Евклид рассматри-
1 Кое-кто объясняет это тем, что усеченная пирамида рассматривалась
как частный случай призмы. См. 1129].
292
®ает только прямые конусы, то есть такие, у которых ось пер¬
пендикулярна к основанию, лишь Аполлоний различает прямые
и косые конусы, у которых ось образует с основанием угол, от¬
личный от прямого.
В XII книге «Начал» Евклида содержатся, следующие тео¬
ремы: •
1. Объем конуса равен одной трети объема цилиндра с рав¬
ным основанием и равной высотой; доказательство этой теоре¬
мы принадлежит Евдоксу Книдскому.
2. Отношение объемов двух конусов с равными основаниями
равно отношению соответствующих высот.
3. Если два конуса равновелики, то площади их оснований
обратно пропорциональны соответствующим высотам, и на¬
оборот.
Непосредственное вычисление объема конуса дает Герон
Александрийский. Боковая поверхность конуса, как и цилиндра,
была найдена Архимедом. О ней идет речь в его книге «О шаре
и цилиндре» 1.
41. О ШАРЕ
Шаром принято называть тело, ограниченное сферой (по¬
верхностью, определяемой как геометрическое место точек про¬
странства, удаленных на данное расстояние от одной точки).
Однако оба слова «шар» и «сфера» происходят от одного и
того же греческого слова «сфайра» — мяч. При этом слово
«шар» образовалось от перехода согласных «сф» в «ш».
В древности сфера была в большом почете. Астрономиче¬
ские наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали
образ сферы. Пифагорейцы учили о существовании десяти сфер
Вселенной, по которым, якобы, двигаются небесные тела. Они
утверждали, что расстояния этих тел друг от друга пропорцио¬
нальны интервалам музыкальной гаммы. В этом усматривали
элементы мировой гармонии. В подобных полумистических рас¬
суждениях заключалась пифагорова «музыка сфер». Аристотель
считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная,
свойственна Луне, Солнцу, Земле и всем мировым телам. Раз¬
вивая взгляды Евдокса, он полагал, что Земля окружена ря¬
дом концентрических сфер. Сфера всегда широко применялась
в различных областях науки и техники. В сферической астро¬
номии решаются задачи, связанные с изучением видимого рас¬
положения и движения светил на небесной сфере, применяются
формулы сферической тригонометрии, изучающей зависимость
между сторонами и углами сферических треугольников.
1 См. [19], стр. 95—168, 451—508.
293
Область математики, в которой изу¬
чаются фигуры на поверхности сферы,
называется сферической геометрией. Се¬
чение сферы какой-либо плоскостью дает
окружность. Если плоскость проходит
через центр сферы, то в сечении полу*
чается большая окружность, то есть та¬
кая, центр и радиус которой совпадают
с центром и радиусом сферы. Большие
окружности на сфере выполняют роль,
аналогичную роли прямых линий на пло¬
скости: через две точки сферы проходит
одна и только одна большая окружность. Сферические тре¬
угольники составляются из дуг больших окружностей (рис. 131).
Некоторые свойства сферических треугольников совпадают со
свойствами обычных, плоских треугольников, например, каждая
сторона меньше суммы и больше разности двух других сто¬
рон; имеют место известные три признака равенства треуголь¬
ников. Однако во многом сферические треугольники отли¬
чаются от плоских. На сфе-
Рис. 131.
£ % ,
& ^ й Ж
aщ.
sk
'Л
Л
уЯ
&
л
*
а
»
Jk
hj
ш.
rrrj t) 'Со
Д 9 ••с и
Л - Д -iv t- W>
ре не имеет места аксиома
парраллельности Евклида, так
как любые две большие ок¬
ружности («прямые») пере¬
секаются. Поэтому на сфере
не существует подобных тре¬
угольников, сумма углов сфе¬
рического треугольника всегда
л*, -с- -7 -г- л*- v у'-, больше двух прямых уг-
UjJ Я РП % Ь-Що лов_
В XI книге «Начал» Евклид
определяет шар как фигуру,
описанную вращающимся око¬
ло неподвижного диаметра по¬
лукругом. Он доказывает толь¬
ко теорему о том, что объемы
_ двух шаров относятся как
%oh Ш % Ъ Що кУбы их радиусов, но не выбо¬
ра 'Cb>Li f дит формулы и не дает ника-
Ъ h Ъ ■£■ -%о кого пРавила> которого, вероят-
- - д - но, и не знал, для вычисления
площади поверхности сферы и
объема шара.
Вывод формулы объема
шара и площади поверхности
сферы — одно из величайших
открытий Архимеда.
Я
-;4
ft
-Д
# ■£ & 44
й L Ф ф L
£>
А V тЯ # Й» Я
п Ь>
а я
i^o Ь
^ А
tn Шо
Рис. 132. Из китайского издания
«Начал» Евклида (XVII в.).
294
В его произведении «О шаре и цилиндре» имеются следую¬
щие теоремы:
1. Площадь поверхности сферы равна учетверенной площади
ее большого круга (то есть S = 4тгR2).
2. Объем шара равен учетверенному объему конуса, основа¬
нием которого служит большой круг; а высотой — радиус шара
(то есть V = 4/3тс/?3).
3. Объем цилиндра в полтора раза больше объема вписан¬
ного в него шара.
4. Площадь поверхности цилиндра, включая основания, рав¬
на 3/г площади поверхности вписанной сферы.
Цилиндр с вписанным шаром — символ одного из прекрас¬
нейших открытий Архимеда — был изображен на его надгроб¬
ном камне в Сиракузах.
42. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИИ
Первые геометрические понятия возникли в доисторические
времена *. Разные формы материальных тел наблюдал человек
в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек,
круга и серпа Луны и т. п. Однако человек не только пассивно
наблюдал природу, но практически осваивал и использовал ее
богатства. В процессе прак¬
тической деятельности он на¬
капливал геометрические све¬
дения. Материальные потреб- 1
ности побуждали людей изго¬
товлять орудия труда, обтесьь
вать камни и строить жилища,
лепить глиняную посуду и на¬
тягивать тетивы на луки. Ко¬
нечно, десятки и сотни тысяч
раз натягивали люди свои лу¬
ки, изготовляли разные пред¬
меты с прямыми ребрами
и т. п., пока постепенно дошли
до отвлеченного понятия пря¬
мой линии. Примерно то же
можно сказать о других основ¬
ных геометрических понятиях.
Практическая деятельность че¬
1 Рекомендуется использовать
нижеизложенный материал и некото¬
рые сведения из предыдущих «бесед»
при повторении учебного материала
и на итоговом уроке по геометрии в
восьмом классе.
Г. Монж.
295
ловека служила основой длительного процесса выработки от¬
влеченных понятий, открытия простейших геометрических зави¬
симостей и соотношений.
О том, как решались в некоторых странах древнего Востока
практические задачи с геометрическим содержанием, мы уже
кое что знаем (см. гл. 3, § 1, § 2; 8, § 4, § 5, § 6; 25, 27 и др.). Со
временем, когда накопилось большое количество геометрических
фактов, у людей появилась потребность обобщения, уяснения
зависимости одних элементов от других, установления логиче¬
ских связей и доказательств. Постепенно создавалась геоме¬
трическая наука. Примерно в VI—V вв. до н. э. в древней Гре¬
ции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется
высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая
и культурная жизнь в греческих государствах К Произведения,
содержащие систематическое изложение геометрии, появились
в Греции еще в V в. до н. э., но они были вытеснены «Началами»
Евклида.
Геометрические знания примерно в объеме современного
курса средней школы были изложены еще 2200 лет назад в «На¬
чалах» Евклида. Конечно, изложенная в «Началах» наука гео¬
метрия не могла быть создана одним ученым. Известно, что
Евклид в своей работе опирался на труды десятков предше¬
ственников, среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит
и Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс и другие. Ценой больших
усилий, исходя из отдельных геометрических сведений, накоп¬
ленных тысячелетиями в практической деятельности людей, эти
великие ученые сумели на протяжении 3—4 столетий привести
геометрическую науку к высокой ступени совершенства. Истори¬
ческая заслуга Евклида состоит в том, что он, создавая свои
«Начала», объединил результаты своих предшественников, упо¬
рядочил и привел в одну систему основные геометрические зна¬
ния того времени. На протяжении двух тысячелетий геометрия
изучалась в том объеме, порядке и стиле, как она была изло¬
жена в «Началах» Евклида (рис. 132). Многие учебники эле¬
ментарной геометрии во всем мире представляли (а многие и
поныне представляют) собой лишь переработку книги Евклида.
«Начала» на протяжении веков были настольной книгой вели¬
чайших ученых.
В XVII в. Декарт, благодаря методу координат, сделал воз¬
можным изучение свойств геометрических фигур с помощью
алгебры. С этого времени начала развиваться аналитическая
геометрия. В XVII—XVIII вв. зарождается и разрабатывается
дифференциальная геометрия, изучающая свойства фигур, с по¬
мощью методов математического анализа. В XVIII—XIX вв.
развитие техники военного дела и архитектуры привело к раз*
1 См. [102], стр. 322—325,
296
работке методов точного изображения пространственных фигур
на плоском чертеже, в связи с чем появляется начертательная
геометрия, научные основы которой заложил французский мате¬
матик Г. Монж и проективная геометрия, основы которой были
созданы в трудах французских математиков Ж. Дезарга и
Б. Паскаля (XVII в.). В ее создании важнейшую роль сыграл
другой французский математик Ж. В. Понселе (XIX в.).
Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой
половине XIX в. великий русский математик Николай Ивано¬
вич Лобачевский, который создал новую, неевклидову геомет¬
рию, называемую ныне геометрией Лобачевского. О ней будет
идти речь ниже (см. гл. 3, § 20).
Открытие Лобаческого было началом нового периода в раз¬
витии геометрии. За ним последовали новые открытия немец¬
кого математика Б. Римана и др.
В настоящее время геометрия тесно переплетается со мно¬
гими другими разделами математики. Одним из источников раз¬
вития и образования новых понятий в геометрии, как и в других
областях математики, являются современные задачи естество¬
знания, физики и техники.
История геометрии
НА ВНЕКЛАССНЫХ ЗАНЯТИЯХ
О
ПРАКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
.V РАЗНЫХ НАРОДОВ
(VII класс)
Л рупнейший историк древности Геродот, как и мате-
Ш/ матик Демокрит, философ Аристотель и другие
1% древнегреческие ученые и писатели, считал Еги-
I V пет колыбелью геометрии. Демокрит, например,
писал: «В построении линий я никем не был превзойден, даже
египетскими гарпедонаптами». Так называемые гарпедонапты
были, как полагают, землемерами, которые для выполнения
своих работ пользовались натянутыми веревками. Геометрия,
как практическая наука, нужна была египтянам не только для
восстановления границ земельных участков после каждого раз¬
лива Нила, но и при различных хозяйственных работах, при со¬
оружении оросительных каналов, грандиозных храмов и пира¬
мид, при высечении из гранита знаменитых сфинксов и т. п.
Содержащиеся в дошедших до нас папирусах геометриче¬
ские сведения и задачи почти все относятся к вычислению пло¬
щадей и объемов. В них нет никаких указаний на способы вы¬
вода тех правил, которыми пользовались египтяне для вычис^
ления длин, площадей и объемов; часто употреблялись правила
приближенных подсчетов (см. гл. 3, § 5; 17). Высшим достиже¬
нием египетской геометрии следует считать точное вычисление
объема усеченной пирамиды с квадратным основанием, содер¬
жащееся в «Московском папирусе».
Найденные при раскопках клинописные таблички свидетель¬
ствуют, как известно, о высоком уровне развития вавилонской
арифметики и алгебры, но не позволяют утверждать того же от¬
носительно геометрических знаний вавилонян К Кроме понятия
пропорциональности отрезков при пересечении прямых парал¬
лельными прямыми и теоремы Пифагора, вавилонская геоме-
1 См. [109], стр. 102—105; [1С8], стр. 103 и сл.
298
Трия сводилась к вычисле¬
нию площадей и объемов
некоторых фигур. При этом
под пространственными фи¬
гурами вавилоняне понима¬
ли некоторые конкретные
предметы, с которыми они
сталкивались в строитель¬
ной и других видах практи¬
ческой. деятельности. Вави¬
лоняне пользовались до¬
вольно грубым приближе¬
нием значения тг, а именно
тс — 3 . Для практических рис 233. Теорема Пифагора в древ-
нужд того времени это зна- нейшем китайском трактате «Чжоу-би»,
чение, видимо, было доста¬
точным.
В первой части самого древнего дошедшего до нас китай¬
ского математико-астрономического сочинения «Чжоу-би», на¬
писанного около 1100 лет до н.э., содержатся предложения, от¬
носящиеся к прямоугольному треугольнику, среди них и теорема
Пифагора (рис. 133). В этом же сочинении дается правило на¬
хождения площади круга (при этом для л берется значение 3),
определяются расстояния между недоступными предметами. Ис¬
точники, относящиеся ко II в. до н. э., свидетельствуют о том,
что к этому времени ученые Китая владели многими практиче¬
скими способами и приемами для измерения площадей и объе¬
мов. В трактате «Математика в девяти книгах» первая книга
названа «Измерение полей» и содержит задачи на вычисление
площадей земельных участков различной геометрической фор¬
мы. Среди приведенных фигур имеются треугольники, трапеции,
прямоугольники, круги, круговые сегменты, сектора и кольца.
Правила вычисления площадей прямолинейных фигур в основ¬
ном совпадают с современными. Однако терминология еще
крайне примитивна. Так, для понятия «трапеция» употребляется
название «косое поле» или «поле в виде совка» вместо сектора—
«кривое поле», вместо сегмента — «поле в виде лука» (тетива —
основание, стрела — высота). Нет особого термина для радиуса,
всегда задается диаметр. Для определения площади круга
даются четыре правила:
1. «Умножь половину обвода на половину диаметра»
/ 2 tzR 2R \
(то есть —--g-J.
1 Впоследствии считали л = З-g . См. § 6, 25,
299
2. «Умножь обвод на диаметр, раздели на 4» j.
3. «Умножь диаметр сам на себя, раздели на 4, возьми
2 R . 2 /?
3 раза» (то есть 3 ^— = 3/?2, значит тг = 3).
4. «Умножь обвод сам на себя, раздели на 12» ,
здесь опять -гг — 3).
В V книге содержатся задачи на вычисление объемов кре¬
постных стен, валов, плотин, каналов и других сооружений и в
связи с этим вычисляются объемы следующих геометрических
тел: параллелепипеда, пирамиды, усеченной пирамиды, цилин¬
дра. Из других книг этого трактата можно заключить, что ки¬
тайцы умели вычислять и объем конуса, сферы и других тел.
Задачи посвящены в целом вопросам практической геометрии.
Практический характер имела и древнеиндийская геометрия,
развитие которой связано как с повседневными жизненными по¬
требностями, так и с религиозными обрядами, с культом жерт¬
воприношения. В некоторой части дошедших до нас под
названием «Сульва-Сутра» («правила веревки») священных
древнеиндийских книг излагаются сведения о свойствах фигур,
связанных с построением алтарей-жертвенников. В них встре¬
чаются вопросы вычисления площадей, построения квадрата по
данной его стороне, построения круга, равновеликого данному
квадрату, деления расстояния на равные части, деление площа¬
дей прямоугольников, квадратов и трапеций с помощью прямых.
В этих книгах имеются также примеры практического примене¬
ния теоремы Пифагора и подобия треугольников.
В сутрах имеются, конечно, одни правила и приемы, без ка¬
ких-либо выводов или объяснений. Например, правило построе¬
ния прямого угла (в сутрах — «перпендикуляра к направлению
жертвенника») поясняется на таком примере: если длина линии
А В (рис. 134) равна 39, то, вбивая колья в землю в точках А и
В, прикрепляют к ним концы веревки длиною в 51 и с узлом на
расстоянии 15 от одного из концов. Держа за узел и подтянув
веревку, получим прямой угол АСВ.
В математико-астрономических произведениях индийских
ученых Ариабхатты, Брахмагупты, Сриддхары, Бхаскары и дру¬
гих встречаются многие приближенные формулы, практические
приемы и правила вычисления
площадей (рис. 135). В своем
произведении «Патиганита», яв¬
ляющемся руководством по ариф¬
метике и измерению фигур,
Сриддхара критикует применение
для площади четырехугольника
Рис. 134. грубо приближенной формулы
300
^?«этИч\у^
2$
3
А*Н
тгайт
Рис. 135. Из «Лилавати» Бхаскары: «Рассмотрим два прямоугольных тре¬
угольника, ...»
S = - ~рС' • ’ восходящей к древним египтянам (гл. 3, § 5;
17), и пользуется правилом
S = /(/> — а) (р — £) (/> с) (р ■ flf).
Это тоже приближенная формула, точно верная только для впи¬
санных четырехугольников. И в древней Греции наряду с бле¬
стящим развитием теоретической геометрии, научных методов
исследования и логических доказательств большое значение
имела практическая и прикладная геометрия.
Произведения Герона Александрийского являются своего
рода энциклопедией древнегреческой прикладной механики и
практической геометрии. В его «Метрике» даются правила не
только для точного, но и для приближенного вычисления пло¬
щадей и объемов фигур. Изложение в некоторых трудах Герона
в основном такое же, как и в математических сочинениях древ¬
него Египта, Вавилона, Китая, Индии. Правила не доказывают¬
ся, а только формулируются и поясняются на конкретных, взя¬
тых из практической жизни, примерах. «Геометрикой» Герона
пользовались сотни лет в качестве справочника не только грече¬
ские, но и римские землемеры и архитекторы. Римляне вообще
занимались одной лишь практической и прикладной стороной
математики, необходимой для землемерия, строительства горо¬
дов, технических и военных сооружений. Об этом свидетель¬
ствует и компилятивная «Геометрия» Боэция (V в.). Влияние
«Гёометрики» Герона во многих странах Европы можно просле¬
дить на протяжении средних веков вплоть до эпохи Возрож¬
дения.
301
Рис. 136. Измерение расстояния от берега реки до замка, расположенного
на острове. Из итальянского учебника XVIII в.
В XVI—XVII вв. все более развивающиеся промышленность
и торговля требуют удовлетворения в первую очередь практиче¬
ских нужд. Появление первых инструментов и аппаратов для
научных исследований (термометра, телескопа, барометра, ми¬
кроскопа и др.) вызвали интерес среди широких кругов к прак¬
тической стороне науки, и особенно к практической геометрии,
которая нужна была для военных целей, мореплавания, строи-*
тельства и землемерия. В этот период появляется много руко¬
водств по геометрии, в которых излагаются правила, формулы и
рецепты для решения тех или иных практических задач.
Нить практической геометрии тянулась от вавилонян и древ¬
них египтян через Герона вплоть до новых времен (рис. 136).
Однако тогда, как в старину, практические правила измерения
площадей и объемов являлись результатом отсутствия удовле¬
творительных теоретических знаний, в новые времена большин¬
ство книг практической геометрии содержат результаты и пра¬
вила, строго доказанные в «Началах» Евклида или в других
теоретических трудах.
* *
*
Интересно отметить некоторые черты развития практической
геометрии в древней Руси К
1 См. [113], стр. 11—48; [83].
302
Уже в XVI в. нужды землемерия,
строительства и военного дела при¬
вели к созданию рукописных руко¬
водств геометрического содержания.
Первое дошедшее до нас -сочинение
этого рода носит название «О земном
верстании, как земля верстать». Оно
является частью «Книги сошного пись¬
ма», написанной, как полагают, при
Иване IV в 1556 г. Сохранившаяся
копия относится к 1629 г. В этой ру¬
кописи все геометрические сведения
сводятся к вычислению площадей
квадрата, прямоугольника, треуголь¬
ника и равнобочной трапеции. Площа¬
ди первых двух фигур определяются
правильно. Однако для вычисления
площади треугольника берется полупроизведение меньшей сто¬
роны на большую. С грубым приближением вычисляется и
площадь равнобочной тропеции: произведение полусуммы осно¬
ваний на боковую сторону. В этой рукописи, как и во многих
практических руководствах других народов, нет выводов, все
сводится к числовым примерам вычисления площадей.
При разборе Оружейной Палаты в Москве в 1775 г. была
обнаружена инструкция «Устав ратных, пушечных и других дел,
касающихся до военной науки», изданная в 1607 и 1621 годах
и содержащая некоторые геометрические сведения, которые сво¬
дятся к определенным приемам решения задач на нахождение
расстояний. Вот один пример.
Для измерения расстояния от точки Я до точки Б (рис. 137)
рекомендуется вбить в точке Я жезл примерно в рост человека.
К верхнему концу жезла Ц прилагается вершина прямого угла
угольника так, чтобы один из катетов (или его продолжение)
проходил через точку Б. Отмечается точка 3 пересечения дру¬
гого катета (или его продолжения) с землей. Тогда расстоя¬
ние БЯ относится к длине жезла ЦЯ так, как длина жезла
к расстоянию ЯЗ. Для удобства расчетов и измерений жезл был
разделен на 1000 равных частей.
В правилах вычисления площадей в некоторых ранних ру¬
кописях ошибочно утверждается, что прямолинейные фигуры с
равными периметрами равновелики, а теорема Пифагора при¬
меняется для приближенного определения расстояний и в слу¬
чае непрямоугольных треугольников. Вот один пример (рис. 138).
«Хошь узнати промежь какими местами, не ходя и не меревь
что будет промеж верст, или сажен, или аршин. И ты сице по¬
знавай: как ходил будто к Троице в Сергиев монастырь и тут
32 версты. Ходил же в Воскресенский монастырь, и тут будто
303
24 версты. Что будет промежь теми монастырями скажи, не
меревь и в какую сторону сколько верст? И что из делу выдет
столько будет промежь теми местами верст или что-нибудь».
Хотя в условии задачи не сказано, что треугольник прямо¬
угольный, ее решали на основании /еоремы Пифагора:
Y242 -f- 322 = /576-4- 1024+ /Тббб = 40.
Большинство рукописей XVII в. отличается сугубо практиче¬
ским характером, задачи решаются иногда с грубыми прибли¬
жениями, например, при вычислении объемов житниц в виде ци¬
линдров для тг берется значение 3, а в одном случае за пло¬
щадь косоугольного треугольника берется полупроизведение
двух сторон. Однако имеются и рукописи теоретического харак¬
тера, содержащие систематическое изложение элементов гео¬
метрии. Так называемая «рукопись Елизарьева», относящаяся
к первой четверти XVII в., превосходит по содержанию, систе¬
матичности изложения и методическому направлению все дру¬
гие известные нам геометрические рукописи того же века.
В 1703 г. появилась «Арифметика» Магницкого, содержав¬
шая отдельные сведения практической геометрии, в том числе
и некоторые правила Герона. В 1708 г. вышел первый печатный
русский учебник геометрии, озаглавленный «Геометрия словен¬
ски землемерие». Второе издание этой книги, посвященной гео¬
метрическим построениям, вышло через год и было названо
«Приемы циркуля и линейки». Изданная в 1714 г. «Геометрия
практика» 1 содержит преимущественно сведения для вычисле¬
ний, ее можно считать первым русским руководством по триго¬
нометрии. Эти книги начала XVIII в., появившиеся в связи с
Петровскими преобразованиями, носили практический харак¬
тер наподобие западноевропейских руководств «практической
геометрии» XVII и начала XVIII вв.
В 1739 г. вышло в Петербурге первое русское издание «На¬
чал» Евклида, переведенное с латинского языка Иваном Сата¬
ровым и под редакцией А. Фархварсона. В 1748 г. появилось
«Краткое руководство к теоретической геометрии» Г. В. Крафта.
ФО РАЗВИТИИ ГЕОМЕТРИИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ
ДО ЕВКЛИДА
(VII—VIII классы)
Ученые и философы древней Греции восприняли и перера¬
ботали достижения культуры и науки древнего Востока2. Фа¬
лес, Пифагор, Демокрит, Евдокс и другие ездили в Египет и Ва-
1 См. [88]; [124], т. 1, стр. 45—48.
2 См. [102]; [121], стр. 25—80; [109], стр. 113 и сл.; [107], стр. 239 и
сл.; [114], стр. 67—73.
304
©илон для изучения музыки, математики и астрономии. Не слу¬
чайно зачатки греческой геометрической науки связаны с име¬
нем Фалеса Милетского, основателя ионийской школы. Ионий¬
цы, населявшие территорию, которая граничила с восточными
странами, первыми заимствовали знания Востока и стали их
развивать. Ученые ионийской школы впервые подвергли логиче¬
ской обработке и систематизировали математические сведения,
позаимствованные у древневосточных народов, в особенности у
©авилонян. Фалесу, главе этой школы, Прокл и другие историки
приписывают немало геометрических открытий Ч Об отношении
Пифагора Самосского к геометрии Прокл пишет в своем ком¬
ментарии к «Началам» Евклида следующее: «Он изучал эту
науку (то есть геометрию), исходя от первых ее оснований, и
старался получать теоремы при помощи чисто логического мыш¬
ления». Прокл приписывает Пифагору, кроме известной теоре¬
мы о квадрате гипотенузы, еще построение пяти правильных
многогранников2:
1. Тетраэдр (рис. 139а), имеющий 4 грани, 4 вершины,
6 ребер;
2. Куб (рис. 1396) —6 граней, 8 вершин, 12 ребер;
3. Октаэдр (рис. 139в) —8 граней, 6 вершин, 12 ребер;
4. Додекаэдр (рис. 139г) — 12 граней, 20 вершин, 30 ребер;
5. Икосаэдр (рис. 139д) —20 граней, 12 вершин, 30 ребер.
Грани додекаэдра являются правильными пятиугольниками.
Диагонали же правильного пятиугольника образуют так назы¬
ваемый звездчатый пятиугольник (рис. 140) — фигура, которая
служила эмблемой, опознавательным знаком для учеников Пи¬
фагора. Известно, что пифагорейский союз был одновременно
философской школой, политической партией и религиозным
братством. Согласно легенде, один пифагореец заболел на чуж¬
бине и не мог перед смертью расплатиться с ухаживавшим за
ним хозяином дома. Последний нарисовал на стене своего дома
звездчатый пятиугольник. Увидав через несколько лет этот знак,
другой странствующий пифагореец осведомился о случившемся
у хозяина и щедро его вознаградил.
Достоверных сведений о жизни и научной деятельности Пи¬
фагора не сохранилось. Ему приписывается создание учения о
подобии фигур. Он, вероятно, был среди первых ученых, рас¬
сматривавших геометрию не как практическую и прикладную
дисциплину, а как абстрактную логическую науку.
В школе Пифагора было открыто существование несоизме¬
римых величин, то есть таких, отношение между которыми
невозможно выразить никаким целым или дробным числом.
1 См. гл. 3, § 2, 3, 6.
2 Б. Ван дер Варден и другие ученые считают, что Пифагор, возможно,
был знаком с кубом, тетраэдром и додекаэдром, но октаэдр и икосаэдр,
вероятно, были впервые открыты Теэтетом Афинским (IV в. до н. э.).
20 Г. И. Глейзер
305
Примером может служить отношение длицй диагонали квадрата
к длине его стороны, равное У~2. Число это не является рацио-*
нальным (то есть целым или отношением двух целых чисел)
и называется иррациональным, то ее^ь нерациональным (от ла¬
тинского ratio отношение).
Пифагорейцы не знали других чисел, кроме рациональных.
Построив диагональ квадрата, сторона которого равна 1, они
констатировали, что она не может быть выражена никаким чис¬
лом, так как для них не было других чисел, кроме целых и дроб¬
ных. Этот факт привел в большое смущение пифагорейцев, так
как в основе их философии лежало понятие о числе, как основе
всех вещей и явлений природы. Но вот эта великая основа —■
число — не в состоянии выразить длины простого отрезка в про¬
стой фигуре — диагонали квадрата. Вот почему открытие несо¬
измеримых величин явилось большим ударом по учению Пифа*
гора и пифагорейцы долго его держали в строгой тайне. Со¬
гласно преданию, ученик Пифагора, раскрывший публично эту
тайну, был наказан богами и погиб во время кораблекрушения.
Открытие несоизмеримых величин было важным поворотным
пунктом в развитии ан¬
тичной математики. Уз*
нав, что существуют от*
ношения величин, не
выражаемые никакими
рациональными числа*
ми, древнегреческие
ученые стали представ¬
лять величины не ариф¬
метически, а геометри*
чески, не числами, а
отрезками. Таким об¬
разом возникла геоме¬
трическая алгебра, а
$ в потом и теория отноше-
ний Евдокса.
Рис. 139. Пять правильных много¬
гранников.
Рис. 140.
306
\
Когда в греческих колониях Южной Италии пришли к вла¬
сти сторонники рабовладельческой демократии, школа Пифа¬
гора, выражавшая интересы рабовладельческой аристократии,
была разгромлена. Пифагорейцы бежали из Кротона и Тарента
в разные другие города. Это обстоятельство во многом способ¬
ствовало распространению пифагорейской математики по всей
Греции и частично за ее пределами. В V в. культурным и науч¬
ным центром стали Афины. В этот «золотой век» возникли
знаменитые памятники эллинской культуры; великолепные про¬
изведения скульптуры, архитектуры и литературы; храмы Акро¬
поля, трагедии Эсхилла, Софокла и Еврипида, «истории» Геро¬
дота и др. В области философии и науки в этом веке выде¬
ляются Анаксагор из Клазомен и Демокрит из Абдеры, которые
учили, что Солнце и Луна не живые божественные существа,
как утверждали пифагорейцы, а просто неодушевленные тела,
носящиеся в вихре атомов. Анаксагор утверждал, что Луна по¬
лучает свет от Солнца, и правильно объяснял солнечные и лун¬
ные затмения. За свои научные взгляды Анаксагор был обви¬
нен в безбожии, осужден и изгнан из Афин. Находясь в за¬
ключении, Анаксагор занимался проблемой квадратуры круга
(гл. 3 § 15). Демокрит приобрел известность и как геометр. Со¬
гласно Архимеду, именно Демокрит впервые открыл, что объем
пирамиды или конуса равен трети объема призмы или цилиндра
с тем же основанием и той же высотой. Демокрит и Анаксагор
изложили также основы теории изображения на плоскости
пространственных фигур.
Самым знаменитым геометром V в. до н. э. был Гиппократ
Хиосский, известный больше всего своими трудами, посвящен¬
ными квадратуре круга («Гиппократовы луночки») и удвоению
куба (гл. 3, § 15). Он является также автором первого, до нас
не дошедшего, систематического сочинения по геометрии, кото¬
рое, как полагают, содержало материал первых четырех книг
«Начал» Евклида. Труды Гиппократа свидетельствуют о том,
что еще во второй половине V в. до н. э. к геометрическим до¬
казательствам предъявлялись высокие требования строгости и
точности. В конце V в. до н. э. была полностью разработана
почти вся планиметрия на основе строгих доказательств. Не
была построена лишь теория отношений и пропорций и неполно
решена задача о площади круга. Была также разработана из¬
вестная часть стереометрии. Успехи в развитии математики в
V в. до н. э. привели ее к расцвету в IV и III вв. до н. э.
Развитию математики в IV в. до н. э. способствовали суще¬
ствовавшие в то время философские и особенно естественно¬
научные школы. Одну из них возглавлял философ-идеалист,
идеолог рабовладельческой аристократии, Платон (427—347 гг.
до н.э.). Он является основателем школы, названной «Акаде¬
мией» по имени той местности вблизи Афин, где он постоянно
20*
307
собирался со своими учениками. Сам Платон не был математи¬
ком, но он придавал исключительно важное значение матема¬
тике. При входе в основанную им Академию была надпись сле¬
дующего содержания: «Пусть сюда не входит тот, кто не знает
геометрии»... Одному из желающих поступить в его школу для
изучения философии без знания геометрии Платон сказал:
«Уйди прочь! У тебя нет орудия для изучения философии»...
Применение математики к практике Платон и его ученики
считали недостойным для аристократов, низменным занятием.
Математику Платон ценил только как науку, необходимую для
успешных занятий философией, которую платоники считали уде¬
лом аристократии и недоступной для простого народа. Нам не¬
известно о каких-либо математических открытиях самого Пла¬
тона, однако в философских его трудах упоминаются имена
математиков и затрагиваются математические вопросы.
Значительно большую роль в развитии древнегреческой гео¬
метрии сыграли работы величайшего мыслителя древности —
Аристотеля (384—322 до н. э.).
Величайшим математиком IV в. до н. э. был Евдокс Книд¬
ский. Родившись около 408 года до н. э. в г. Книде, на юго-за¬
паде Малой Азии, Евдокс был известен не только как матема¬
тик, но и как астроном, врач, философ, географ, оратор и обще¬
ственный деятель. Недаром друзья его называли «Евдокс
Знаменитый». В молодости он изучал математику у Архита Та-
рентского, а затем философию в Академии Платона. При этом,
будучи очень бедным, Евдокс жил не в Афинах, а в гавани го¬
рода Пирея, откуда ежедневно совершал утомительные походы
в платоновскую Академию. С помощью некоторых своих дру¬
зей, он совершил путешествие в Египет, где изучал астрономию
у жрецов. По возвращении на родину, Евдокс основал в Кизике,
на берегу Мраморного моря, собственную школу, сыгравшую
крупную роль в истории греческой науки. Среди астрономов
Евдокс получил большую известность благодаря описанию
звездного неба, восходов и заходов неподвижных звезд. Эти
данные он получил с помощью вращающейся модели небесной
сферы. Именно Евдоксу принадлежит одна из первых попыток
построения теории движения планет. Он составил также по¬
стоянный календарь, содержащий данные относительно равно¬
денствий и солнцестояний, а также предсказания погоды. Одно
из астрономических произведений Евдокса, «Явления», пере¬
ложенное на стихи поэтом Аратом (III в. до и. э.), пользова¬
лось успехом в древности и было переведено также на новые
языки.
Евдокс первый разработал общую теорию отношений и про¬
порций, которая была изложена Евклидом в V книге «Начал».
Эта оригинальная теория Евдокса была по достоинству оценена
лишь в конце XIX в.
308
По свидетельству Архимеда, Евдокс разработал один из
важнейших методов в математике, так называемый «метод ис¬
черпывания» (предвестник современного метода пределов), с
помощью которого он дал первое строгое доказательство фор¬
мулы объема пирамиды. Ему принадлежит также доказатель¬
ство теоремы о том, что площади двух кругов относятся как
квадраты радиусов.
В самом конце IV в. до н. э. важнейшие математические до¬
стижения ученых древней Греции были систематизированы и
изложены в «Началах» Евклида, с которого начинается новый,
самый блестящий период развития древнегреческой математики^
так называемая александрийская эпоха.
0
АЛЕКСАНДРИЙСКАЯ ЭПОХА. ЕВКЛИД
(VIII класс)
Известно, что после смерти Александра Македонского его
огромная империя распалась. При ее разделе один из греко¬
македонских полководцев, Птолемей, сын Лага, стал править
Египтом с новопостроенным городом Александрией. Птолемей
основал знаменитый Музей (храм муз, покровительниц науки и
искусств), ставший высшим культурным и научным учрежде¬
нием, центром научной мысли эпохи Эллинизма. В состав Музея
входила и богатейшая Александрийская библиотека, насчиты¬
вавшая около 700 000 томов (свитков). В Александрии в III—
II вв. до н. э. сосредоточились знаменитые математики того вре¬
мени: Евклид, Эратосфен, Аполлоний. К Александрийской ма¬
тематической школе относится также Архимед, хотя он жил
в Сиракузах. В ©тот период геометрия отделяется от философии
и достигает высокого уровня совершенства.
К первым представителям Александрийской школы принад¬
лежит Евклид \ который жил около 300 г. до н. э. Жизнь его
мало известна. В одном из своих сочинений математик Папп,
живший в Александрии в III—IV вв. н. э., изображает Евклида,
как человека исключительно честного, тихого и скромного, ко¬
торому были чужды гордость и эгоизм. Насколько серьезно и
строго он относился к изучению математики, можно судить из
следующего рассказа Прокла: царь Птолемей спросил Евклида,,
нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к
изучению геометрии, чем его «Начала». Евклид ответил: «Нет
Царской дороги к геометрии!» О преданности Евклида2 науке
говорит и другой рассказ: «Один из тех, кто только что начал
учиться у Евклида геометрии, спросил Евклида, выучив первое
1 См. [86], [96], [97], [98].
8 См. [107], стр. 351—352.
30£
предложение: «А что я смогу заработать, если выучу все это?»
Евклид позвал раба и сказал: «Дай ему три обола \ так как
бедняжка хочет заработать деньги своим учением». Из трудов
Евклида, кроме «Начал», до нас дошли: 1) «Данные», — задачи,
решаемые с помощью геометрической алгебры; 2) «О делении
фигур» — задачи на построение; 3) «Феномена» (Явления) —
астрономическое сочинение; 4) «Оптика». Другие произведения
утеряны.
Славу Евклиду создали его «Начала». Первые шесть книг
этого труда посвящены планиметрии, VII—X — учению о числе2,
XI—XIII — стереометрии. Некоторые историки математики счи¬
тают, что по содержанию книги I—IV, VII—IX происходят в ос¬
новном от ионийской и пифагорейской школ, V и XII — от
Евдокса, X и XIII — от Теэтета. (См. [130], стр. 127). Оригиналь¬
ная рукопись «Начал», которая сохранялась долгое время в
Александрийском музее, не дошла до нас. «Начала» распростра¬
нялись в многочисленных рукописных копиях, которые на про¬
тяжении десятков и сотен лет комментировались, снабжались
примечаниями и исправлениями, местами дополнялись и изме¬
нялись. Отсюда понятно, почему тексты дошедших до нас руко¬
писных копий не совпадают полностью. Древнейшая из сохра¬
нившихся копий принадлежит IX в. «Начала» Евклида были
переведены на десятки языков, изданы и переизданы в разных
странах много раз. На русском языке «Начала» были изданы
три раза в XVIII в. (рис. 141) и четыре раза в XIX в.3. Послед¬
ний и самый совершенный перевод с греческого на русский язык
был осуществлен советским ученым, профессором Д. Л. Морду-
хай-Болтовским и опубликован в 1948—1950 гг.
Начиная с III в. до н. э. и до середины прошлого века «На¬
чала» считались образцом строго логического изложения гео¬
метрии. Евклид исходит из определений геометрических поня¬
тий и аксиом. Каждое геометрическое предложение формули¬
руется в общих выражениях, затем конкретно указывается на
чертеже то, что дано и что требуется доказать или построить.
После доказательства следует заключение, повторяющее началь¬
ную формулировку и заканчивающееся словами: «что и требо¬
валось доказать» или «что и требовалось сделать».
В «Началах» Евклид придерживается аристотелевских прин¬
ципов построения науки. Величайший философ древности, Ари¬
стотель, жил и творил в период, непосредственно предшество¬
вавший «Началам» Евклида4. В трудах Аристотеля разъяс¬
няется сущность научных определений, аксиом и доказательств.
1 Обол — мелкая серебряная монета в древней Греции.
2 В X книге содержится классификация иррациональностей, получаемых
при решении квадратных и биквадратных уравнений.
3 См. [87].
4 См. [114], стр. 119—123.
.310
Согласно Аристотелю, од- Э V К ЛI Д О ВЫ
но определение (напри¬
мер, квадрата) не говорит ЭЛЕМЕНТЫ
еще о существовании оп- иэЬ д*виатв*ти яеф то новых книг
ределяемого. Существова- выбрлнныя.
ние следует доказать. До- и
казательством же суще- вЪ осмь книгЪ
ствования служит постро-
чр Е в Ъ профвссорА MAOEMATlKH
ение. Именно эта и дру- анлоея фАрхвлрсонА
гие установки Аристоте- сокращенны я.
ля нашли свое отражение
в «Началах» Евклида. аатшскаго на россшкш языкЪ
Как и Аристотель. Евк- ,'р",уТр«“жшнЫ“ГА‘>°,““Ь
лид обозначает величи¬
ны буквами. • "'J -
На протяжении мно- напечатаны при слнктЪпЕТЕрбургЬ
ГИХ столетий ДО XIX В. вЪ Морской Акадсм1Ческой Тупограф|и
геометрия изучалась в ПеевЬ1мЪ TvCHeHlmb ,7*9 лЬта‘ .
школах по «Началам»
Евклида. Наши современ- Титульный лист из первого
Л ^ ^ русского издания «Начал» Евклида,
ные учебники имеют мно¬
го общих черт с «Нача¬
лами»: планиметрия и стереометрия излагаются раздельно,
каждая из них примерно в том же порядке, что и у Евклида;
теоремам предшествуют определения и аксиомы. Теоремы, из¬
ложенные в современных учебниках, по содержанию совпадают
с теми, которые имеются в «Началах», методы доказательства в
большинстве случаев те же. Однако некоторые различия все же
имеются: в «Началах» даже не упоминается о непосредственном
измерении площадей и объемов фигур, а только об их сравне¬
нии. Так, например, у Евклида нет теоремы о том, что площадь
треугольника равна половине произведения его основания на
высоту; имеется только теорема о том, что треугольник равнове¬
лик половине параллелограмма с тем же основанием и той же
высотой. В «Началах» нигде не говорится о числе тс и его при¬
ближенном значении. Евклид не вычисляет длин, площадей и
объемов, а находит посредством геометрических построений со¬
отношения между величинами геометрических фигур. Вот по¬
чему и сами слова «длина», «площадь», «объем», которые для
нас означают некоторые числа, отсутствуют в «Началах». А поэ¬
тому все теоремы и их доказательства излагаются в чисто гео¬
метрической форме. Не «квадрат стороны», а «квадрат, по¬
строенный на стороне»; не «произведение двух отрезков», а
«прямоугольник, построенный на двух отрезках»; не арифметиче¬
ские или алгебраические действия, а геометрические построения.
Это обстоятельство часто приводит к громоздким формулиров¬
кам и способам доказательства. В «Началах» все предложения
31L
расположены в виде цепи логических рассуждений и выводов,
исходя из простых аксиом и доходя постепенно до сложных тео¬
рем. Доказательства проводятся чисто умозрительно без ссылки
на глаз или опыт, прибегая лишь к логическим умозаключениям *.
В современных школьных учебниках геометрии, в отличие от
«Начал», прибегают к методу симметрии и другим наглядным
приемам, а также к задачам прикладного характера. Тем не ме¬
нее, можно утверждать, что «Начала» наложили на элементарную
геометрию и ее преподавание в школе неисчезающий отпечаток2.
О АРХИМЕД
Величайшим математиком и физиком древности был Архи¬
мед3 (287—212 гг. до н. э.). Он родился в Сиракузах (Сици-
-лия). Отец его, астроном Фидий, был близок к кругам сиракуз¬
ского двора и, как полагают, состоял в родственных отношениях
с царем Гиероном. Первоначально Архимед работал преимуще¬
ственно в качестве инженера-механика и занимался в основном
конструированием военных машин и строительством укреплений,
необходимых для обороны родины. Некоторое время Архимед
жил в Александрии, где он общался с видными учеными, среди
которых был математик и ге¬
ограф Эратосфен и астроном
Конон. Вернувшись на ро¬
дину, Архимед написал ряд
выдающихся произведений
по математике и механике.
Вокруг Архимеда, его
жизни и научной деятельно¬
сти, было создано много ле¬
генд. Рассказы о жизни Ар¬
химеда содержатся у древ¬
них историков Полибия (II в.
до н.э.) и Тита Ливия (I в.
до н. э.), у писателей Цице¬
рона (I в. до н. э.), Плутар¬
ха (I—II вв.) и др. Вот не¬
которые из этих рассказов.
1 Таков, по крайней мере, был
замысел Евклида. Современная
критика обнаружила немало изъя¬
нов в логической системе Ев¬
клида.
2 В заключение рекомендует¬
ся решить несколько задач § 21.
з См. [19], [85], [95].
.312
Архимед всегда так сильно увлекался наукой, что его прихо¬
дилось силою отрывать от рабочего места к столу или насиль¬
ственно уводить в баню, где он продолжал размышлять над
геометрическими фигурами, которые он пальцем чертил на на¬
мыленном теле.
Царь Гиерон заказал мастеру корону из чистого золота. Ко¬
гда заказ был выполнен, царь хотел проверить, не подменил ли
мастер часть данного ему золота серебром, и обратился по
этому поводу к Архимеду. Архимед не смог сразу решить по¬
ставленную перед ним задачу. Но однажды, когда мылся в бане,
он, погружаясь в воду, был внезапно озарен мыслью о правиль¬
ном решении и до того был охвачен радостью своего открытия,
что выбежал на улицу голым с криком: «Эврика! Эврика!»
(Я нашел! Я нашел!) Так был открыт знаменитый «закон Архи¬
меда»...
Царь Гиерон построил в подарок египетскому царю Птоле¬
мею огромный и роскошный корабль, но людям царя было не
под силу спустить этот корабль на воду. Архимед построил ма¬
шину, с помощью которой один только человек, сам царь, спу¬
стил корабль на воду. После этого царь воскликнул: «Отныне,
что бы ни сказал наш Архимед, мы будем считать правдой».
Разработав теорию рычага, Архимед сам сказал: «Дайте мне
место, где стоять, и я сдвину Землю».
После смерти Гиерона, во время второй Пунической войны,
Архимед мастерски организовал оборону родных Сиракуз, при
осаде их в 212 году до н. э. римлянами, которыми командовал
полководец Марцелл. Вот что пишет об этой обороне Полибий:
«Римляне не приняли в расчет искусства Архимеда, не дога¬
дались, что иногда дарование одного человека способно сделать-
больше, чем огромное множество рук. Теперь они убедились в
этом по опыту... Архимед заготовил внутри города, а равно и
против нападающих с моря, такие средства обороны, что защит¬
никам не было нужды утруждать себя непредусмотренными ра¬
ботами на случай неожиданных способов нападения: у них за¬
ранее готово было все к отражению врага во всяких случаях..-.
Архимед соорудил машины, приспособив их к метанию снаря¬
дов на любое расстояние. Так, если неприятель подплывал из¬
дали, то Архимед поражал его из дальнобойных камнеметаль-
ниц тяжелыми снарядами или стрелами и ставил неприятеля в
трудное и беспомощное положение. Когда же снаряды начинали
летать поверх неприятеля, то Архимед употреблял меньшие ма¬
шины, каждый раз сообразуясь с расстоянием, и наводил на
римлян такой ужас, что они никак не решались идти на при¬
ступ или приблизиться на судах... Итак, римляне оставались
под стенами города в течение восьми месяцев и не было такой
уловки или отважного дела, перед которым они остановились
бы, но на приступ идти они уже ни разу не осмеливались.
313-
Такова чудесная сила одного человека, одного дарования, умело
направленного на какое-либо дело. Вот и теперь, располагая
столь значительными сухопутными и морскими силами, римляне
могли бы быстро овладеть городом, если бы кто-либо изъял из
среды сиракузян одного старца. Но так как этот один среди
сиракузян, то римляне не дерзали нападать на город или по
крайней мере употреблять те способы нападения, отразить кото¬
рые был не в силах Архимед».
А вот что рассказывает Плутарх:
«Когда корабли Марцелла приблизились на расстояние по¬
лета стрелы, то старик (Архимед) велел приблизить шестигран¬
ное зеркало, сделанное им. На известном расстоянии от этого
зеркала он поместил другие зеркала поменьше, такого же вида.
Эти зеркала вращались на своих шарнирах при помощи квад¬
ратных пластинок. Затем он устанавливал свое зеркало среди лу¬
чей солнца летом и зимой. Лучи, отраженные от этих зеркал,
произвели страшный пожар на кораблях, которые были превра¬
щены в пепел на расстоянии, равном полету стрелы».
Все же после одного большого праздника, воспользовавшись
отсутствием должной бдительности со стороны сиракузян, рим¬
лянам удалось ворваться в город и устроить чудовищный раз¬
гром его.
Седой 75-летний Архимед сидел и напряженно размышлял
над начерченными на песке геометрическими фигурами, когда
к нему ворвался римский солдат и бросился на него с мечом,
Архимед просил его подождать немного, пока он закончит за¬
дачу, но солдат, которому не было дела до науки, убил его. По¬
следние слова Архимеда были: «Не трогай мои круги!»...
(рис. 142). Плутарх сообщает, что Марцелл крайне жалел о
смерти Архимеда, и пишет далее: «Архимед имел возвышенную
душу и глубокий ум. Он, как рассказывают, будучи околдован
геометрией, как какой-то домашней сиреной, забывал о пище и
пренебрегал заботами о своем теле... Таков был Архимед, ко¬
торый благодаря своим глубоким познаниям в механике, смог,
насколько это от него зависело, сохранить от поражения и себя
самого и свой город».
По поводу вышеприведенных рассказов надо сказать сле¬
дующее. Полибий известен как серьезный историк, писавший
сравнительно немного позже описываемых им событий. Мате¬
риал, изложенный им, считается в основном исторически досто¬
верным. А материал, содержащийся в красочных, но тенденциоз¬
ных рассказах Плутарха, нельзя считать исторической истиной.
Так, в настоящее время физики отвергают возможность сжигать
с помощью зеркал вражеский флот, считая вышеприведенный
рассказ Плутарха простой легендой1, Трудно поверить и тому,
1 См. [103], стр. 11—37,
-314
Рис. 142. Смерть Архимеда.
что для Архимеда, организатора и вдохновителя обороны Сира¬
куз, занятие города римлянами оказалось неожиданностью, что
привело его к смерти во время доказательства теоремы. Дело
в том, что Плутарх, живший в I—II вв. до н. э., был сторонни¬
ком Римской империи, всячески старался обелить Рим и, в част¬
ности, Марцелла. Он намеренно затушевал истинные обстоя¬
тельства смерти великого ученого и патриота Архимеда 1.
До нас дошли следующие произведения Архимеда: 2
1. Квадратура параболы — в нем Архимед находит площадь
сегмента параболы.
2. О шаре и цилиндре. Здесь публикуются впервые получен¬
ные оригинальные результаты относительно объема шара и ци¬
линдра (см. гл. 3 § 10; 41).
1 См. [95], стр. 227—231.
2 Хронологический порядок написания перечисленных произведений ука¬
зан по И. Н. Веселовскому, [19], стр. 29—33.
315-
3. О спиралях 1.
4. О коноидах и сфероидах2.
5. О равновесии плоских фигур. Архимед здесь доказывает
что центром тяжести треугольника является точка пересечения
€го медиан, находит центр тяжести параллелограмма, трапеции
и параболического сегмента, излагает доказательство закона
равновесия рычага.
6. Эфод (или «Метод»). В -этом сочинении вновь выводятся
некоторые теоремы, доказанные в работе «О шаре и цилиндре»,
находятся объемы тел и пр.
7. О плавающих телах. Здесь, среди других, формулируется
«Закон Архимеда».
8. Измерение круга. Это — одно из наиболее известных про¬
изведений Архимеда, от которого, однако, до нас дошел лишь
небольшой отрывок. В последнем излагаются доказательства
следующих трех предложений:
а) Площадь круга равна площади прямоугольного треуголь¬
ника с основанием, равным окружности, и с высотой, равной
радиусу;
в) Отношение между площадью круга и квадратом, по-
строенным на его диаметре, равно 11 : 14;
с) Отношение любой окружности к ее диаметру меньше
3 у и больше (см. гл. 3, § 6).
9. Псаммит. Об этом произведении уже говорилось в первой
главе (§ 1; 4). Добавим тут, что, желая расширить систему
счисления, чтобы можно было выразить числом количество пес¬
чинок Вселенной, Архимед исходит из греческой мириады — 104
и кладет в основу октаду, то есть мириаду мириад— 108. Считая
все числа до 108 «первыми», он считает октаду единицей «вто¬
рых чисел» (108)2 — единицей «третьих чисел» и т. д. до (108)10’,
которым заканчивается «первый период». Аналогично идет вто¬
рой период и следующие до 108 периода. Этот счет окатадами
он доводит до числа (108 108) 108, которое в нашей нумерации за¬
писывается как 1 с 80 000 миллионами нулей. Чтобы написать
'его полностью, требуется место, в 500 раз большее расстояния
от Земли до Солнца.
Пользуясь затем некоторыми астрономическими методами
Аристарха Самосского, творца гелиоцентрической системы мира
в древности, Архимед находит, что число песчинок Вселенной не
1 Архимед определяет спираль, как линию, описываемую точкой, равно¬
мерно движущейся по прямой, в свою очередь равномерно вращающейся во¬
круг одной своей точки.
2 «Коноид» — конусовидное тело, так называет Архимед пораболоид и
гиперболоид вращения. «Сфероид» — сферовидное тело, так он называет
эллипсоид вращения.
Ш
Архимед и его ученики (с картины Рафаэля).
больше тысячи мириад «восьмых чисел», то есть числа
1000- 104- ю8-7 = 1063.
Таким образом, в отличие от Евклида, Архимед проявляет
большой интерес к вопросам измерения, вычисления и числен¬
ного решения задач. Он развивал наряду с теоретической мате¬
матикой и практическую, прикладную науку, применяя матема¬
тику к физике, механике и астрономии. Механику он поднял до
такого уровня, которого она не могла превзойти на протяжении
19 веков, до Галилея. Архимед был творцом науки, открывал
новые истины, создавал теории.
Из математических открытий Архимеда особое значение
имеют вычисление длин кривых, площадей и объемов фигур по¬
средством методов, которые предвосхитили анализ бесконечно
малых. Творчество Архимеда имело, таким образом, большое
значение для создания (через два тысячелетия) интегрального
и дифференциального исчислений. Недаром еще в начале
XVIII в. Лейбниц писал: «Кто погружается в сочинения Архи*
меда, тот меньше удивляется новым открытиям»...
¥ ¥
Третьим выдающимся геометром Александрийской эпохи был
Аполлоний Пергский (около 265—170 гг. до н. э.). Его произ-
317
ведение «Конические сечения» (гл. 3, § 7; 32) оказало большое
влияние на развитие астрономии и физики нового времени.
Именно из труда Аполлония исходили Ферма и Декарт при со¬
здании аналитической геометрии.
После Аполлония в древней Греции не было крупных откры¬
тий в области геометрии. Это объясняется влиянием политиче¬
ских и экономических факторов: войны, разорение эллинистиче¬
ских стран, общий экономический и политический распад ан¬
тичного общества. Труды Архимеда и Аполлония считались
слишком трудными, они не читались и часть их со временем
была утеряна. Были и другие причины, относящиеся к внутрен¬
нему развитию самой математики: трудность и громоздкость
геометрической алгебры, отсутствие математической символики
и резкое отделение геометрии от арифметики. Тем не менее, раз¬
витие геометрии, хоть и было замедлено, не было приостанов¬
лено; в I—IV вв. вырабатываются вычислительные методы и
развивается прикладная геометрия в трудах Герона Алексан¬
дрийского и других; дополняется плоская геометрия, разви¬
вается сферическая и плоская тригонометрия и геометрия па
сфере в трудах Гиппарха, Менелая, Паппа, Птолемея; заро¬
ждается новая алгебра в трудах Диофанта. Однако дальней¬
шего развития все эти новые ростки греческой математики не
получили, так как в V в. прекратила свое существование Запад¬
ная Римская Империя и вместе с ней вся античная культура.
Лишь в XVII в. в геометрии появляются существенно новые идеи
и методы.
®ТРИ ЗНАМЕНИТЫХ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ
(VIII класс)
Одной из древнейших и самых популярных математических
задач, занимавшей умы людей на протяжении 3—4 тысячелетий,
является задача о квадратуре круга, то есть о построении с по¬
мощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному
кругу. Если обозначить радиус круга через г, то речь будет идти
о построении квадрата, площадь которого равна тсг2, а сторона
равна г |/"тс. Теперь известно, что число тс— отношение окруж¬
ности к своему диаметру — число иррациональное, оно выра¬
жается бесконечной непериодической десятичной дробью
3,141592... Можно вычислить приближенное значение тс (и корня
квадратного из тс), удовлетворяющее тем или иным практиче¬
ским потребностям. Однако не в практическом отношении ин¬
тересовала людей задача о квадратуре круга, а интересовала
принципиальная ее сторона: возможно ли точно решить эту за-
дачу, выполняя построение с помощью циркуля и линейки? 1
1 См. [100].
318
Следы задачи о квадратуре
круга можно усмотреть еще в
древнеегипетских и вавилон¬
ских памятниках II тысячеле¬
тия до н. э. Однако непосред¬
ственная постановка задачи о
квадратуре круга встречается
впервые в греческих сочине¬
ниях V в. до н. э. В своем про¬
изведении «О изгнании» Плу¬
тарх рассказывает, что фило¬
соф и астроном Анаксагор
(500—428 до н. э.), находясь в
тюрьме, отгонял печаль раз¬
мышлениями над задачей ква¬
дратуры круга. В комедии
«Птицы» (414 г. до н. э.) зна¬
менитый греческий поэт Ари-
стофан, шутя на тему о квад¬
ратуре круга, вкладывает в
уста астронома Метона сле¬
дующие слова:
«Возьму линейку, проведу прямую,
И мигом круг квадратом обернется,
Посередине рынок мы устроим,
А от него уж улицы пойдут —
Ну, как на Солнце! Хоть оно само
И круглое, а ведь лучи прямые!»...
Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому вре¬
мени очень популярной в Греции. Один из современников Сок¬
рата, софист Антифон, считал, что квадратуру круга можно осу¬
ществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разде¬
ляя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим
правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати-
угольник и т. д., пока не получим многоугольник, который в силу
малости сторон сольется с окружностью. Но так как можно по¬
строить квадрат, равновеликий любому многоугольнику (см.
гл. 3, § 18), то и круг можно квадрировать. Однако уже Арисю-
тель указал, что это будет только приближенное, но не точное
решение задачи, так как никогда многоугольник не может сов¬
пасть с кругом.
Квадратурой круга занимался также самый знаменитый гео¬
метр V в. до н. э. Гиппократ Хиосский. У многих, занимавшихся
этой задачей, возникло сомнение, возможно ли вообще по¬
строить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной.
319
Задача о квадратуре круга становит¬
ся разрешимой, если применять, кроме
циркуля и линейки, еще другие средства
построения. Так, еще в IV в. до н. э.
греческие математики Динострат и Ме-
нехм пользовались для решения задачи
одной кривой, которая была найдена
еще в V веке до и. э. Гиппием Элид-
ским. Однако ученых древней Греции и
их последователей такие решения, на¬
ходящиеся за пределами применения
циркуля и линейки, не удовлетворяли.
Будучи вначале чисто геометрической задачей, квадратура
круга превратилась в течение веков в исключительно важную
задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с
числом л, и содействовала развитию новых понятий и идей в
математике.
* *
*
Знаменитой была в древности и задача о трисекции угла (от
латинских слов tria — три и sectio — рассечение, разрезание),
то есть о разделении угла на три равные части с помощью цир¬
куля и линейки. В некоторых частных случаях это легко удается
сделать. Так, деление прямого угла на три равные части умели
производить еще пифагорейцы, основываясь на том, что в равно¬
стороннем треугольнике каждый угол равен 60°. Пусть требуется
разделить на три равные части прямой угол MAN (рис. 144).
Откладываем на полупрямой AN произвольный отрезок АС, на
котором строим равносторонний треугольник АСВ. Так как угол
САВ равен 60°, то ZBAM = 30°. Построив биссектрису AD
угла САВ, получаем искомое деление прямого угла MAN на три
равных угла: ZNAD, ZDAB и ZBAM.
Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при не¬
которых других частных значениях угла (например, для углов
90°
в ~2п~, п — натуральное число), однако не в общем случае, то
есть любой угол невозможно разделить на три равные части с
помощью только циркуля и линейки. Это было доказано лишь в
первой половине XIX в.
Задача о трисекции угла становится разрешимой и в общем
случае, если не ограничиваться в геометрических построениях
одними только классическими инструментами, циркулем и ли¬
нейкой. Попытки решения задачи с помощью других инструмен¬
тов и средств были предприняты еще в V в. до н. э. Так, напри¬
мер, Гиппий Элидокий, знаменитый софист, живший около 420 г.
До н. э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Алексан-
21 Г. И. Глейзер
321
Рис. 145. Конхоида Никомеда. (а, б, в).
дрийский математик Никомед
(II в. до н. э.) решил задачу о
трисекции угла с помощью одной
кривой, названной конхоидой 1
Никомеда (рис. 145), и дал опи¬
сание прибора для черчения этой
кривой.
Интересное решение задачи
о трисекции угла дал Архимед в
своей книге «Леммы» 2, в которой
доказывается, что если продол¬
жить хорду АВ (рис. 146) окруж¬
ности радиуса г на отрезок
ВС = г и провести через С диа¬
метр FE, то дуга BF будет втрое
меньше дуги АЕ. Действительно,
на основе теорем о внешнем угле
треугольника и о равенстве углов
при основании равнобедренного
треугольника, имеем:
l_ АОЕ = L ОАВ 4- L АСО,
ОАВ = L ABO, L АСО = L вое,
значит:
АОЕ = 3 ВОС.
Отсюда следует так называемый способ «вставки» для деле¬
ния на три равные части угла АОЕ. Описав окружность с цен¬
тром в О и радиусом ОЕ = ОА, проводим диаметр EF. Линейку
СВ, на которой нанесена длина СВ радиуса г (например, с по¬
мощью двух штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы ее
точка С скользила по продолжению диаметра EF, а сама линейка
все время проходила бы через точку А окружности, пока точка
В линейки не окажется на окружности. Тогда угол BCF и будет
искомой третьей частью угла АОЕ (рис. 147). Как видно, в этом
приеме используется вставка отрезка СВ между продолжением
диаметра EF и окружностью так, чтобы продолжение отрезка
СВ прошло через заданную точку А окружности. В указанном
выше построении применяется, помимо циркуля, не просто ли¬
нейка как инструмент для проведения прямых, а линейка с де¬
лениями, которая дает длину определенного отрезка.
1 См. А. А. С а в е л о в, Плоские кривые, Физматгиз, 1960.
2 Эта книга до нас не дошла. Сохранилась лишь арабская ее обработка
и латинский перевод этой обработки [19], стр. 604.
21*
323
Суть одного механического решения за¬
дачи об удвоении куба, относящегося к
IV в. до н. э., основано на методе двух
средних пропорциональных. Отложим на
стороне прямого угла отрезок ОЛ = а,
где а — длина ребра куба (рис. 148), а
на другой его стороне — отрезок О В —2а.
На продолжениях сторон прямого угла
стараемся найти такие точки М и N, что¬
бы AM и BN были перпендикулярны к
MN; тогда ОМ (х) и ON (у) будут двумя
средними пропорциональными между от¬
резками АО и ВО. Для этого устраивает¬
ся угольник с подвижной линейкой. Линейку располагают так,
как показано на рисунке.
Имеем:
Рис. 148.
или
Отсюда:
или
то есть
АО : ОМ = ОМ : ON= ON: OB,
х : у — у : 2а.
у2 __ 2 ах,
а2у2 __ 2а3х,
2 а3х, х3 = 2 а3,
а: х
х1~ау,
с4 — а2у2,
хн
это значит, что отрезок ОМ — искомый.
Архит Тарентский дал интересное стереометрическое реше¬
ние Делосской задачи. После него, кроме Евдокса, дали свои
решения Эратосфен, Никомед, Аполлоний, Герон, Папп и другие.
Решение вышеизложенных трех задач долго разыскивалось
и безрезультатно лишь потому, что ставились условия примене¬
ния только циркуля и линейки. Не поддаваясь решению, эти
проблемы привели к созданию новых весьма замечательных на¬
правлений математической мысли, о которых учащиеся могут
узнать в старших классах, на занятиях в кружке.
«Ь СТО ДОКАЗАТЕЛЬСТВ (ИЗ ИСТОРИИ
Л ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА)
(VIII класс)
Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных
областях науки, техники и практической жизни.
О ней писали в своих произведениях римский архитектор и
инженер Витрувий, греческий писатель-моралисг Плутарх, гре¬
ческий ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл
и многие другие. Легенда о том, что в честь своего открытия
22 Г. И. Гдейзер
325
Пифагор принес в жертву быка
или, как рассказывают другие,
сто быков, послужила поводом
к для юмора в рассказах писате¬
лей и в стихах поэтов. Так, на¬
пример, немецкий писатель-рома¬
нист А. Шамиссо, который в на¬
чале XIX в. участвовал в круго¬
светном путешествии на русском
корабле «Рюрик», написал сле¬
дующие стихи:1
«Пребудет вечной истина, как
скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Рис. 149. Верна, как и в его далекий
век.
Обильно было жертвоприношение
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.»
Поэт Генрих Гейне (1797—1856), известный своими анти¬
религиозными взглядами и язвительными насмешками над суе¬
вериями, в одном из своих произведений высмеивает «учение» о
переселении душ следующим образом:
«Кто знает! Кто знает! Душа Пифагора поселилась, быть
может, в беднягу — кандидата, не сумевшего доказать теоремы
Пифагора -и поэтому провалившегося на экзамене, тогда как в
его экзаменаторах обитают души тех самых быков, которых не¬
когда Пифагор принес в жертву бессмертным богам, обрадован¬
ный открытием своей теоремы»...
История Пифагоровой теоремы начинается задолго до Пи¬
фагора 2. На протяжении веков были даны многочисленные раз¬
ные доказательства теоремы Пифагора. Приведем некоторые
из них.
Одно из древнейших доказательств дано, как полагает Прокл,
Евклидом и изложено им в «Началах». Как формулировка, так и
1 См. [92]; [94], стр. 8 и сл,
2 См. гл. 3, § 5; 18.
326
доказательство теоремы Пифа¬
гора имеют у Евклида чисто
геометрический характер. На
гипотенузе и катетах прямо¬
угольного треугольника ВАС
(рис. 149) он строит соответ¬
ствующие квадраты и доказы¬
вает, что квадрат, построенный
на гипотенузе, равновелик сум¬
ме квадратов, построенных на
катетах следующим образом:
DBC — FBA,
DBC +ABC =
= /_FBA-±-/_ABC't
значит:
DBA — FBC.
^ i *~xn i i-**1** ~
^ —’JuL-i-
g*,.- -Jy ’J
Usr*'! t о *,**■ t' *r—■<■ o->/
fc >wi;,—JsC
СЛ/ ««■/>*
f> <V» c^u>w С-»
sibj±>u/o 7— r Uw £/j—-Ч/
'f T’+’iЪ
Рис. 150. Чертеж к теореме Пифа¬
гора в средневековой арабской
рукописи.
Отсюда следует, что тре¬
угольники Л/Ш и /\ВС равны
(по двум сторонам и углу, за¬
ключенному между ними). Но
треугольник ABD равновелик
половине прямоугольника
BDL1 (BD — общее основание,
LD — общая высота), а треугольник FBC — половине квадра*
та HFBA (FB — общее основание, АВ — общая высота). Зна-*
чит, квадрат HFBA равновелик прямоугольнику BDLI. Анало¬
гично доказывается, что квадрат GKCA равновелик прямоуголь*
нику CEL1, откуда и следует, что сумма площадей квадратов
HFBA и GKCA, построенных на катетах, равна площади квад¬
рата EDBC, построенного на гипотенузе прямоугольного тре¬
угольника ВАС (рис. 150).
Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах уча¬
щихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons
Asinorum «ослиный мост» или elefuga — «бегство убогих» \ так
как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной мате¬
матической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики,
заучившие теоремы наизусть без понимания и прозванные по¬
этому «ослами», не были в состоянии преодолеть теорему Пи¬
фагора, служившую для них вроде непроходимого моста.
В связи с чертежом 149, сопровождающим доказательство
1 Эти названия давались также теореме о равенстве углов при основа¬
нии равнобедренного треугольника.
22*
327
Рис. 151. Чертеж к теореме Рис. 152. Чертеж к теореме
Пифагора. Ученические Пифагора. Шарж из учеб-
шаржи. ника XVI в.
Евклида, и другими, ему подобными, теорему Пифагора уча¬
щиеся называли также «ветряной мельницей», составляли стиш¬
ки вроде
«Пифагоровы штаны
во все стороны равны»,
рисовали карикатуры вроде тех, которые воспроизведены на
рис. 151. В одном учебнике появился и рис. 152.
Многие из данных после Евклида доказательств теоремы
Пифагора основываются на том, что равносоставленные фигуры
равновелики: квадраты, построенные на катетах и гипотенузе,
разбиваются на многоугольники так, что каждому многоуголь¬
нику из состава квадрата на гипотенузе соответствует равный
многоугольник одного из квадратов на катетах. В таких случаях
достаточно посмотреть на чертеж, чтобы понять все доказатель¬
ство. Багдадский математик и астроном X в. ан-Найризий (ла¬
тинизированное имя — Анариций) дал, например, такое доказа¬
тельство (рис. 153).
На доказательстве Анариция основано и появившееся в учеб¬
никах XIX и XX вв. следующее разложение фигур на попарно
равные части (рис. 154).
Другие доказательства основаны на том, что, прибавляя к
квадратам на катетах и к квадрату на гипотенузе равные фи¬
гуры, получаем равновеликие фигуры. Например, на рис. 155 к
Пифагоровой фигуре прибавлены треугольники 2 и 3, равные
исходному треугольнику 1. Доказательство теоремы Пифагора
сводится тут к доказательству равновеликости шестиугольников
DABGFE и CAIKHB. Последнее видно из того, что DG делит
328
пополам первый, СК — второй шести¬
угольник, и если повернуть половину
первого шестиугольника DABG вокруг
А на 90°, то она совпадает с СЛ//С,
половиной второго шестиугольника.
А вот еще одно доказательство
(рис. 156). Тут Пифагорова фигура
достроена до прямоугольника KLMN.
Отнимая многоугольники 1; 2; 3; 4;
5; 6; 7; 8; 9, получаем квадрат, по¬
строенный на гипотенузе, а отнимая
из того же прямоугольника фигуры,
равновеликие только что перечислен¬
ным (5; 6; 7 и заштрихованные пря¬
моугольники), получаем квадраты 8
и 9, построенные на катетах, и дока¬
зываем, что площадь квадрата, по¬
строенного на гипотенузе, равна сум¬
ме площадей квадратов 8 и 9.
В некоторых случаях при доказа¬
тельствах используют алгебраические
тождества >. Так, выполнив чертеж
(рис. 157) и записав площадь квад¬
рата через его элементы, квадрат ги¬
потенузы (стороны большего квадра¬
та) выразится через сумму квадратов
катетов треугольника.
Немало доказательств теоремы
Пифагора основано на теории подо¬
бия. В XIX—XX вв., идя по следам
Лежандра, большинство авторов
школьных учебников применяют ариф¬
метику и алгебру в изложении элемен¬
тарной геометрии. Так, например, в
«Элементарной геометрии» профессо¬
ра А. Ю. Давидова2 изложено сле¬
дующее доказательство (рис. 158).
Из подобия треугольников ACD и
САВ следует:
= или АС2 = АВ • AD. (1)
Из подобия же треугольников ABC и DCB следует:
АВ _ ВС
ВС ~ BD’
или ВС2 — АВ • BD.
(2)
1 См. гл. 3, § 5; 18.
2 Учебник, вышедший первым изданием в 1864 г., десятки раз переиз¬
дававшийся в XIX и начале XX в,
329
Сложив почленно равенства (1)
и (2), получим:
АС2 + ВС2 = АВ (AD + BD),
то есть
АС2+£С2 = А£2.
Это доказательство, излагаемое
нередко и в современных учеб¬
никах, берет свое начало у Бха¬
скары (XII в.), оно находится и
в «Практической геометрии» Лео¬
нардо Фибоначчи и у Валлиса
(XVII в.).
©ТЕОРЕМА ПТОЛЕ¬
МЕЯ И СОСТАВЛЕ¬
НИЕ ТРИГОНОМЕТ¬
РИЧЕСКИХ ТАБЛИЦ
В третьей книге «Начал» Ев¬
клид доказывает, что «у четы¬
рехсторонников (вписанных) в
кругах противоположные углы
вместе равны двум прямым».
Эта теорема изучается в школе.
Обратная теорема, которая
тоже изучается в школе, отсут¬
ствует в «Началах». Она была
доказана Клавдием Птолемеем 1.
Он же доказал и другое извест¬
ное предложение, так называе¬
мую «теорему Птолемея» 2: «Пря¬
моугольник, построенный на диа¬
гоналях вписанного в круг четы¬
рехугольника, равен сумме пря¬
моугольников, построенных на противоположных сторонах». Со*
временная формулировка этой теоремы следующая: произве¬
дение диагоналей вписанного в круг четырехугольника равно
сумме произведений противоположных сторон (рис. 159).
Для доказательства проведем отрезок ВР так, чтобы
АВР — DBC.
1 И впервые введена в элементарную геометрию в 1778 г. Л. Бертраном.
2 Теорема была, вероятно, известна до Птолемея.
330
Из подобия треугольников АВР и DBC
следует:
АВ • CD = АР ■ BD. (1)
Из подобия же треугольников РВС и
ADB имеем:
ВС • AD = PC • BD.
(2)
Складывая почленно равенства
(2), получим:
АВ CD + BC ■ AD = AC • BD.
(1)
Рис. 159.
Основываясь на этой теореме, Птоле¬
мей находил по хордам двух дут хорды
их разности и суммы и по хорде какой-
нибудь дуги хорду ее половины и та¬
ким образом составил свою таблицу
хорд.
Пусть в круге данного радиуса R
(рис. 160) известны хорды АВ = с, АС =
= b и пусть требуется найти хорду ВС=
= а, соответствующую разности дуг,
стягиваемых хордами АС и АВ.
Проведя диаметр AD и применяя теорему Птолемея к четы¬
рехугольнику ABCD, имеем:
b ’ BD = с • CD -f- а ■ 2R.
Откуда:
Ь • BD — с • CD
Рис. 160.
а
2R
Отрезки BD и CD можно определить по теореме Пифагора,
так как они являются катетами прямоугольных треугольников
ABD и ACD, в которых известна гипотенуза AD = 2R и катеты
b и с.
В своих расчетах Птолемей использовал хорды, длина кото¬
рых была известна из геометрии. Этими хордами были стороны
правильных многоугольников, вписанных в круг: треугольника
(хорда дуги в 120°), квадрата (90°), шестиугольника (60°), пя¬
тиугольника (72°) и десятиугольника (36°). Взяв хорду, соответ¬
ствующую 120°, и применив свою теорему, Птолемей вычислил
1° 3°
хорды дуг 12°, 6°, 3°, 1 -«р. “^-Хорду дуги в 1° Птолемей вычис¬
лил с большой точностью, показав, что она меньше хорды®
3° 2 3°
и больше у хорды в
331
Техника тригонометрических вы¬
числений достигла дальнейшего зна¬
чительного развития в астрономиче¬
ских трудах индийских ученых V—
XII вв. В отличие от Птолемея, они
вычисляли уже не хорды, а полухор-
ды, линии синуса, основываясь на вы¬
ражении длин сторон правильных впи¬
санных многоугольников через длину
радиуса круга.
О дальнейшем развитии тригоно¬
метрии и техники составления таблиц
с учащиеся узнают в старших классах.
Рис. 162.
о
ДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
РАВНОВЕЛИКИХ ФИГУР
(VIII класс)
Рис. 163.
Задача деления площадей фигур
с помощью прямых, пересекающих
их, и превращения одной фигуры в
другую путем разрезания и пересо-
ставления их частей возникла еще в древности из потребностей
практики, землемерия и архитектуры 1. В одном из вавилон¬
ских текстов дано правило нахождения длины отрезка х, па¬
раллельного основаниям а и b трапеции (рис. 161), если пло¬
щадь этой трапеции делится отрезком пополам:
о а? + Ь2
В сохранившемся на арабском языке сочинении Евклида
«О делении фигур» рассматривается вопрос о том, как можно с
помощью прямой линии, проходящей через данную точку, раз¬
делить пополам или в некотором отношении площадь данного
многоугольника. В этом сочинении встречается также вышеука¬
занная вавилонская задача.
Проблема деления площадей особенно интересовала матема¬
тиков эпохи Возрождения. Вот (рис. 162) один из простейших
способов, применявшихся для деления пополам площади тре¬
угольника ЛВС прямой, проходящей через одну из его вер¬
шин А: из А проводится медиана АЕ. Треугольники ВАЕ и САЕ
равновелики, гак как они равносоставлены, то есть состоят из
попарно равных частей 1 4- 2 и 1' + 2'.
См. [90], [92], [93].
332
Автор французских руко¬
водств по геометрии Пельтье
(1515—1582) так решает (рис.
163) задачу деления пополам
треугольника прямой, прохо¬
дящей через данную точку F
стороны АС. Соединяя F с Е
(серединой ВС), проводим
AD || FE. Отрезок FD — иско- о
А
Рис. 164.
в
с
р
с
мый, так как:
В «Началах» содержатся
задачи на преобразование пло¬
щадей, то есть на построение
фигур определенной формы,
равновеликих данным фигу- а
в
рам.
Рис. 165 (а, б).
Одной из самых простых и
удобных для измерения пло¬
щадей фигур является квадрат. Поэтому издавна появилось-
стремление превращать любую фигуру в равновеликий квад¬
рат. Евклид, например, ставит и решает задачу о построении
квадрата, равновеликого данному многоугольнику.
Для решения этой задачи проще всего исходить из того, что
любой многоугольник можно разбить на некоторое число тре¬
угольников, а всякий треугольник можно превратить в паралле¬
лограмм с тем же основанием и высотой, равной половине
высоты треугольника (рис. 164). Параллелограмм легко пре¬
вратить в прямоугольник. Далее на рис. 165 показан пример
превращения прямоугольника в квадрат.
Возможность превращения двух квадратов в один квадрат
вытекает из многих доказательств теоремы Пифагора, в кото¬
рых показано, что квадрат на гипотенузе не только равновелик,
но и равносоставлен с вместе взятыми двумя квадратами на
катетах. В итоге, превращая многоугольник в треугольники, ка¬
ждый из треугольников в равновеликий ему параллелограмм —
прямоугольник — квадрат, складывая затем попарно квадраты,,
получаем один квадрат, равновеликий исходному многоуголь¬
нику. Конечно, на практике нет необходимости проходить всегда
через все указанные этапы.
Задачи на разрезание фигур на части и конструирование из
них других фигур представляли на протяжении веков не только
теоретический, но и практический интерес. Они применялись в
вопросах землемерия и строительства.
33£
В своей «Книге о геометриче¬
ских построениях» арабский ма¬
тематик X в. Абу-л-Вафа писал:
«В настоящей книге мы зай¬
мемся разложением фигур; воп¬
рос этот необходим многим прак-
н тикам и составляет предмет осо¬
бенных их разысканий. К таким
вопросам мы приходим, когда
требуется разложить квадраты
так, чтобы получились меньшие
G квадраты, или когда из несколь¬
ких квадратов требуется соста¬
вить большой квадрат. Ввиду
этого мы дадим основные нача¬
ла, которые относятся к дан¬
ным вопросам, так как все ме¬
тоды, применяемые рабочими, не
основанные на каких-либо нача¬
лах, не заслуживают доверия и
Рис.-166 (а, б). весьма ошибочны».
Вот одна из задач Абу-л-Вафа:
Задача 205. «Составить квадрат из двух данных и равных
между собою квадратов.»
Решение: Разрезав каждый из первых двух квадратов по¬
полам по диагонали (рис. 166), прикладываем гипотенузу ка¬
ждого из полученных четырех треугольников соответственно к
каждой из сторон третьего квадрата. Тогда HGFE — искомый
квадрат. Действительно, «выступающий» треугольник HLK ра¬
вен «внутреннему» треугольнику KED, так как ZHLK= ZEDK=
= 45°, ZHKL = ZEKD, а заключенные между ними стороны
LK и KD равны и т. д.
Задачи преобразования равновеликих фигур занимали умы
ученых и в новое время, и поныне интересуют математиков.
В настоящее время они широко могут быть использованы в во¬
просах рационального раскроя тканей, кожи и т. п.
Ж ПРИБОРЫ II ИНСТРУМЕНТЫ В ИЗМЕРЕНИЯХ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЯХ.
ИЗМЕРЕНИЕ МЕРИДИАНА
Для практических измерений расстояний и высот в землеме¬
рии первоначально применялись некоторые примитивные сред¬
ства: шаги, веревка, деревянный прут и т. п. Для построения
прямого угла употреблялась веревка с узлами, делящими ее в
/
'/
/
/
1 /
II '
✓
/
/
/
/
У
/
/
У
/
/
-334
отношении 3:4:5, а позже — деревянный прибор, частично на¬
поминающий современный угольник плотника.
Известно, что в древнем Египте и древней Греции строились
великолепные храмы и памятники, однако о применявшихся
строителями приборах и инструментах, как и.вообще об их тех¬
нических знаниях, до нас дошли очень скудные сведения. На
родине Пифагора, на острове Самосе, был еще в 530 г. до н. э.
построен для водопровода туннель через гору Кастро, сложен¬
ную из известняков. Геродот так описывает самосский туннель:
«Это подземный ход, пробитый на высоте полутораста саженей
от подножия высокой горы и имеющий два входа по своим кон¬
цам; весь этот подземный ход имеет семь стадий в длину, во¬
семь футов в вышину и восемь футов в ширину; везде по всей
его длине тянется непрерывно водосток двадцати локтей глу¬
бины и трех футов ширины, через который бежит в изобилии
ключевая вода и по трубам достигает города Самоса. Строите¬
лем этого сооружения был Евпалин, сын мегэрца Навстрофа».
В конце XIX в. занимавшиеся раскопками в Самосе архео¬
логи нашли описанный Геродотом туннель, длина которого 1 км,
ширина и высота 2 м. Современный голландский математик и
историк математики Ван дер Варден считает, что туннель ко¬
пали с обоих концов и вместе с тем он оказался почти прямо¬
линейным. Можно предполагать, что строители пользовались
прибором вроде диоптра Герона.
В сочинении «О диоптре» Герон изложил правила земельной
съемки, фактически основанные на использовании прямоуголь¬
ных координат. Описанный Героном диоптр представлял собою
горизонтальную линейку с двумя смотровыми отверстиями. По¬
ворачивая эту линейку, можно было визировать на плоскости
прямые углы. На рис. 167 изображен реконструированный
диоптр Герона. Горизонтальность установки достигалась при
помощи сообщающихся сосудов. Вот одна из задач, содержа-
щихся в сочинении Герона:
Задача 206. Через гору АВГА прорыть прямолинейный
туннель с выходами в В и Д», рис. 168).
Герон так ее решает: Через точку В проводится произволь¬
ная прямая BE и с помощью диоптра строится ломаная
BEZH0KA, звенья которой взаимно перпендикулярны. Далее
перемещаем диоптр по прямой КА, пока, где-то на стороне пря¬
мого угла в точке М, не увидим точки Д. Строим AN ДВЕ. После
этого расстояния AN и BN определяются следующим образом:
AN = EZ — (Нв + КМ); BN = (ZH + 0К) — (ЕВ + AM). При
В и А строятся прямоугольные треугольники ВОе и ДРП так,
чтобы
Ог РП AN
~ОВ~ РД BN ’
335
после чего гипотенузы этих тре¬
угольников еВ и ПД дают напра¬
вление, в котором нужно рыть тун¬
нель, для того, чтобы он был пря¬
молинейным.
Потребность в приборах изме¬
рения возникла и в связи с астро¬
номией, с измерением земли и ее
меридиана. Еще в VI в. до н. э. у
Анаксимандра Милетского, ученика
Фалеса, была мастерская, где изго¬
товлялись из дерева разные прибо¬
ры, в том числе и небесные глобу¬
сы. В основу измерения земного
меридиана в древней Греции была
положена следующая идея: изме¬
рить длину L и амплитуду а некото¬
рой дуги большой окружности, на
основе чего можно вычислить дли¬
ну всей окружности — меридиана
(рис. 169). Если верить преданиям,
то Пифагор был первым ученым,
„ утверждавшим, что Земля — шар,
ис. . Диоптр ерона. расположенный в центре Вселенной.
В своем произведении «О небе»
Аристотель писал: «Математики, вычислявшие длину окружно¬
сти Земли, утверждают, что ее длина сорок мириад» (то есть
400 000 стадий). От Аристотеля до величайшего астронома
древности Птолемея были четыре замечательных попытки изме¬
рения земного меридиана. О второй из них упоминает в своем
«Псаммите» Архимед, который называет число 30 мириад, то
есть 300 000 стадий. Третья попытка была сделана Эратосфе¬
ном в III в. до н. э. О ней известны некоторые подробности.
Эратосфен Киренский был известен не только как много¬
гранный ученый, математик, географ, астроном, историк, фило¬
соф и поэт, но и как спортсмен, который достиг замечательных
результатов в различных областях спорта, за что получил про¬
звище «пентатлос», то есть атлет-пятиборец. Одно время он был
директором знаменитой Александрийской библиотеки, что дало
ему возможность получить всестороннее образование и собирать
необходимые материалы для своей географической карты мира
и других работ. Для измерения земного меридиана Эратосфен
наметил в качестве двух пунктов земной поверхности (А и С)
города Александрию и Сиену. В этом случае L = 5000 стадии,
а = 7° 12', найденная длина меридиана 25 мириад.
В I в. до н. э. ученый Посидоний, применяя метод Эрато¬
сфена к городам Александрия и Родос, получил для длины зем¬
336
ного меридиана 240 ООО стадий. По¬
следнее древнегреческое измерение
меридиана предпринял Птолемей
около 150 г. н. э., его результат —
180 000 стадий. Семь веков спустя
попытки измерения меридиана воз¬
обновились в Багдаде придворны¬
ми учеными халифа ал-Мамуна. В
одной из своих работ математик и
астроном Абу-л-Вафа описал раз¬
ные приемы измерения расстояний
с помощью градуированной доски
с вращающимся визиром. Однако
лишь с изобретением телескопа
(1608), микроскопа и точных угло¬
мерных инструментов измерения ме¬
ридиана стали совершаться с боль¬
шой степенью точности (рис. 170).
Для измерения в градусах, ми¬
нутах и секундах дуги между дву¬
мя точками Земли, находящимися
на одном меридиане, вычисляют
разность их широт, определяемых
астрономией. Расстояние же между
точками в линейной мере, например в километрах, измеряется
методом триангуляции, изобретенным в начале XVII в. гол¬
ландским математиком и астрономом В. Снеллиусом. Термин
«триангуляция» происходит от латинского слова «триангулум»—
треугольник. Дело в том, что вычисление длины дуги меридиа¬
на производится путем вычисления у последовательного ряда
треугольников длины сторон, покрывающих измеряемое рас¬
стояние К В XVIII в. одно из важнейших измерений меридиана
было произведено Мешеном и Деламбром.
В первой половине XIX в. в Прибалтике были произведены
совместные русско-скандинавские измерения меридиана, кото¬
рые были затем продолжены на север и на юг. В Прибалтике и
Финляндии работами руководил выдающийся русский ученый,
академик В. Я. Струве (1793—1864). Измеренная в общей слож¬
ности дуга от устья реки Торнео (на Скандинавском полу¬
острове) до Измаила (УССР) составляла 25°20' и была на¬
звана «дугой Струве». Благодаря усилиям ученых разных стран
в начале XX в. было закончено измерение дуги меридиана про¬
тяжением свыше 25° от мыса Игольного (южная оконечность
Африки) до озера Танганьика (восточная Африка). Результаты
новых градусных измерений показали среди прочего, что Земля
1 См. [27], стр. 76—77,
337
Рис. 170. Прибор для измерения долготы
в XVIII в.
имеет форму, близкую к
сфероиду (сплюснутому эл¬
липсоиду вращения),. Истин¬
ную форму Земли, пока еще
не вполне выявленную, при¬
нято называть геоидом (от
греческих слов «ге» — Зем¬
ля и «еидос» — вид). В по¬
следние десятилетия в на¬
шей стране широко разверз
нулись градусные измере¬
ния и другие геодезические
работы. В настоящее время
в СССР разработана новая
схема построения триангу¬
ляций.
В средние века приме¬
нялись различные геометри¬
ческие инструменты и при¬
боры, среди них самый про¬
стой — так называемый «гео¬
метрический квадрат». Он
изображен на рисунке 171,
взятом из одной «Практиче¬
ской геометрии» середины
XVI в.
Пусть требуется найти расстояние АВ. Прикладываем ин¬
струмент так, как показано на рисунке. Зная AF и АС и осно¬
вываясь на подобии треугольников AFC и ABC, находим:
АВ
АС2
AF
Другой очень простой и распространенный в средние века
прибор назывался «жезл Якова» или «посох — крест». Он со¬
стоял из линейки АВ, длиною около 1 м (рис. 172), по которой
скользит брусок CD, перпендикулярный к АВ. Чтобы опреде¬
лить угол MAN = а, двигают CD так, чтобы М оказалась на
СО
продолжении АВ, а N — на А С. Тогда = tg а.
Другое применение этого прибора видно на рис. 173.
При решении геометрических задач на построение обычно
пользуются линейкой и циркулем.
Ограничение средств геометрических построений только цир¬
кулем и линейкой восходит к древнегреческим математикам.
338
Этих ограничений строго при¬
держивается Евклид, хотя в «На¬
чалах» названия циркуля и линей¬
ки он нигде не упоминает. Циркуль
и линейка рассматривались грека¬
ми всегда совместно как совершен¬
но равноправные, неотделимые
друг от друга инструменты. Нико¬
гда они не ставили вопрос о роли
каждого из этих инструментов в от¬
дельности и о преимуществах од¬
ного из них.
Абу-л-Вафа (X в.) является ав¬
тором, оригинального сочинения, из¬
вестного под названием «О геомет¬
рических построениях» К В нем
впервые проводится систематиче¬
ское ограничение классических ин¬
струментов и ставится условие, что¬
бы геометрические построения выполнялись с помощью одно¬
сторонней линейки и циркуля постоянного раствора. Такими
построениями пользовались знаменитые живописцы Леонардо
да Винчи и Альбрехт Дюрер, их стали применять известный
итальянский математик Тарталья и другие ученые. Давно бы¬
ло замечено, что циркуль более точный инструмент по сравне¬
нию с линейкой 2 и что многие геометрические построения мож¬
но выполнить одним только циркулем без помощи линейки. Вот
несколько примеров:
1. Разделить окружность на шесть равных частей.
2. Разделить окружность на три равные части.
Решение этих задач известно из школьного курса.
Задача 207. Найти точку, диаметрально противоположную
данной точке В окружности.
Решение: Отложив от В три дуги радиусом г окружно¬
сти, найдем искомую точку В' (рис. 174) и заодно длину диа¬
метра окружности В В'.
Задача 208. Через данную точку А внутри крута радиуса г
провести хорду, делящуюся в этой точке пополам (требуется
построить концы В, С искомой хорды).
Решение: Предположив задачу решенной (рис. 175), кон¬
статируем, что OBDC — ромб, сторона которого равна радиусу
окружности. Поэтому для построения проводим из А окруж¬
ность радиусом АО и строим точку D диаметрально противо-
1 Полное название: «Книга о том, что необходимо ремесленнику из гео¬
метрических построений». См. [125], стр. 263 и сл,
3 См. [90]; [93], стр. 5 и сл.
339
Рис. 171. «Геометрический
квадрат».
/N
/
D
Рис. 172. «Жезл Якова».
Рис. 173. «Жезл Якова».
ттоложную точке О. Из точки D радиусом г делаем засечку в
искомых точках В и С.
Тот факт, что многие задачи поддаются решению с помощью
одного только циркуля и что циркуль является более совершен¬
ным инструментом чем линейка, послужил толчком к постанов¬
ке общей проблемы: какие задачи на построение можно ре¬
шить с помощью только одного циркуля.
На этот вопрос дал ответ итальянский математик Лоренцо
Маскерони. В изданной им в 1797 г. книге «Геометрия циркуля»
Маскерони доказал следующую теорему: всякая задача на по¬
строение, разрешаемая циркулем и линейкой, может быть ре¬
шена и одним только циркулем. Следует учесть, что эта теоре¬
ма предполагает прямую линию построенной, если построены ее
любые две точки1. В 1928 г. была найдена в одном из книжных
магазинов Копенгагена книга датчанина Г. Мора, изданная в
1672 г. в Амстердаме под названием «Датский Евклид». В ней
дано полное решение проблемы, которую через сто лет с лиш¬
ним вновь решил Маскерони. Вот почему теорема, сформулиро¬
ванная выше, носит название «теоремы Мора — Маскерони».
Вот одно из построений Мора:
Задача 209. «Построить перпендикуляр к прямой АВ в ее
точке В» (рис. 176).
1 Предполагается также, что фигура состоит из конечного числа точек,
прямых, окружностей и их дуг,
Рис. 174.
Рис. 175.
Рис. 176.
Решение. Из точки В радиусом В А = г опишем окруж¬
ность и найдем точку D, диаметрально противоположную точке
А. Из этих двух противоположных точек проводим любые две
пересекающиеся дуги. Точка их пересечения С и точка В опре¬
деляют искомый перпендикуляр.
В некоторых практических вопросах линейка более удобна,
чем циркуль К Применение построений, выполняемых одной
только линейкой, имеет большое значение, например, в работе
на обширных земельных участках, где употребление циркуля с
большим раствором практически не осуществимо, в то время
как с помощью вех легко осуществляется проведение прямых
линий.
Отдельные задачи на построение с помощью одной только
линейки решались в XVI—XVIII вв. в связи с нуждами живо¬
писи и учением о перспективе.
Однако общая проблема о том,
какие построения можно выпол¬
нять одной только линейкой, бы¬
ла поставлена и решена лишь в
первой половине XIX в. В 1833 г.
вышла в свет (переведена на
русский язык) работа знамени¬
того швейцарского геометра Яко¬
ба Штейнера — «Геометрические
построения, производимые с по¬
мощью прямой линии и непо¬
движного круга», в которой бы¬
ло доказано, что любая задача
на построение, разрешаемая
1 См. А. С. Смогоржевский,
Линейка в геометрических построениях,
ГИТТЛ, М., 1957. Якоб Штейнер.
341
циркулем и линейкой, может быть решена одной линейкой, если
дана в плоскости чертежа некоторая постоянная окружность
(и ее центр).
Советский математик Д. Мордухай-Болтовской показал, что
вместо окружности достаточно иметь какую-то произвольно ма¬
лую ее дугу. Вопросы геометрических построений были изучены
и развиты в трудах других советских ученых, среди которых от¬
метим С. О. Шатуновского, Н. Ф. Четверухина и др.Г
Sb О РАЗВИТИИ ГЕОМЕТРИИ. ГЕОМЕТРИЯ
у ЛОБАЧЕВСКОГО
Разнообразные пространственные формы, образы и фигуры
окружают человека всюду. Геометрические точки, прямые, кри¬
вые и ломаные линии, плоскости, поверхности, многоугольники,
круги и их части, многогранники и тела вращения — это аб¬
страктные понятия, которые формируются в нашем сознании
вследствие длительного общения с конкретными предметами и
наблюдениями над реальными объектами, встречающимися в
домашней обстановке, в природе и на производстве. Люди на
протяжении тысячелетий изучали свойства геометрических форм
в первую очередь для того, чтобы использовать их свойства для
своих практических потребностей.
Известно, что геометрия, как и другие науки, возникла из
практики. При этом уже на первых стадиях своего развития
она стояла близко к искусству (живописи, архитектуре), ото¬
бражающему действительность в художественных образах. Это
видно, например, из употребления некоторых простых геоме¬
трических форм при плетении корзин из камыша, при изготовле¬
нии одежды, палаток и ковров первобытными народами. О свя¬
зи геометрии с искусством свидетельствуют дошедшие до нас
украшения на стенах и предметах домашнего обихода, возраст
которых исчисляется в тысячелетиях. Сохранившаяся старин¬
ная посуда древнего Египта, Кипра, Индии и других стран древ¬
ности дает представление о развитии геометрических украшений
от простейших фигур, состоящих из системы параллельных от¬
резков до сложных комбинаций прямых и кривых линий
(рис. 177, 178).
Таким образом, практика в широком смысле слова, то есть
не только потребность в предметах быта и орудиях труда, но
и искусство, живопись, архитектура подготовили путь к геомет¬
рии, как науки. Наукой геометрия стала в древней Греции в
VII—IV вв. до н. э., после того, как в ней стали систематически
применяться логические доказательства и были приведены в
1 См. [104], [105], [106].
342
систему геометрические предложения,
последовательно выводимые одно из дру¬
гого путем умозаключений, в основе ко¬
торых лежало несколько аксиом. Среди
принимаемых без доказательств аксиом,
и постулатов, изложенных в «Началах»,
имеются следующие:
1. Через всякие две точки всегда
можно провести одну и только одну пря¬
мую линию.
2. Из данной точки данным радиусом
можно описать окружность.
3. Целое больше части и др.
В качестве аксиом и постулатов Ев¬
клид выбрал такие предложения, кото¬
рые — как он считал — можно непосред¬
ственно проверить простейшими инстру¬
ментами или иным путем и выражаю¬
щие очевидные, по мнению ученых, свой¬
ства фигур, проверенные многовековой
человеческой практикой. Длительный
тысячелетний человеческий опыт пока¬
зал ученым, в том числе и Евклиду, ка¬
кие именно истины (предложения) сле¬
дует считать исходными и положить в
основу логического построения науки
геометрии. От того, какие предложения
приняты за аксиомы, зависит все содер¬
жание геометрии. Среди постулатов в
«Началах» Евклида пятый по порядку
по своему содержанию совпадает с изу¬
чаемой в VI классе аксиомой параллель¬
ности прямых: на плоскости через точку,
взятую вне данной прямой, можно провести не более одной пря¬
мой, параллельной данной. Евклидова аксиома параллельности
с древних времен обратила на себя внимание и вызывала сомне¬
ние у ученых по следующим причинам:
а) Долгое время, до XIX в., господствовало мнение, соглас¬
но которому аксиомы верны потому, что они очевидны сами по
себе и не нуждаются в доказательстве. Против очевидности ак¬
сиом «Начал» вроде таких, как «от всякой точки до всякой точ¬
ки можно провести прямую линию», «равные одному и тому же,
равны между собой», «целое больше части» и др., никто не воз¬
ражал. Пятый же постулат с самого начала его появления по¬
казался далеко не очевидным, так как он был значительно
сложнее не только остальных аксиом, но и многих теорем.
Ясно можно себе представить лишь ограниченную, небольшую
Рис. 177. Геометрические
украшения на египетских
сосудах VI в. до н. э.
Рис. 178. Кувшин III в.
до н. з., найденный на
острове Кипре.
343
часть прямой, плоскости или пространства. С такой именно
ограниченной, конечной частью пространства мы и имеем все¬
гда дело на практике. Пятый постулат Евклида, как и само
понятие параллельных прямых, содержит известную трудность,
заключающуюся в том, что в них речь идет о всей прямой, о
всей плоскости. Чтобы убедиться, что данные прямые не пере¬
секаются нигде, надо продолжить их «до бесконечности». Не¬
посредственно опытным путем этого выполнить нельзя, а сле¬
довательно, и аксиому проверить нельзя.
в) Первые 28 теорем «Начал», как и теоремы о смежных и
вертикальных углах и о равенстве треугольников в наших учеб¬
никах, доказываются без помощи аксиомы параллельности.
И среди других теорем геометрии имеются такие, для доказа¬
тельства которых нет нужды в этой аксиоме. Таковы, например,
почти все теоремы о форме и положении окружности, о взаим¬
ном расположении прямой и окружности или двух окружно¬
стей и др. Однако имеется ряд теорем, которые опираются на
пятый постулат. Таковы теоремы о сумме углов треугольника,
о вписанных углах и др. Таким образом, евклидова геометрия
как бы разбивается на две части. Одна часть состоит из сово¬
купности теорем, независимых от пятого постулата, названной
«абсолютной геометрией»1. Другая часть содержит теоремы,
доказательство которых опирается либо непосредственно на пя¬
тый постулат, либо на теоремы, доказанные на основании этого
постулата (так называемая «собственно евклидова геометрия»).
Естественно возникал вопрос: нельзя ли освободиться от пя¬
того постулата как аксиомы и доказать его, превратить его
в одну из теорем. Попытки доказательства этого постулата на¬
чались еще в древности и безрезультатно продолжались на про¬
тяжении двух с лишним тысячелетий. Следует уяснить себе точ¬
ный смысл слов «доказать пятый постулат». Это значит: не
вводя никаких новых аксиом, путем рассуждений вывести его
как логическое следствие из других имеющихся в евклидовой
геометрии аксиом.
Математики древности Гемин и Посидоний, жившие до на¬
шей эры, знаменитый астроном Птолемей (II в.), математики
Прокл (V в.), Насирэддин ат-Туси (XIII в.), Дж. Валлис
(XVII в.), Дж. Саккери (Италия), И. Ламберт (Швеция), Ла¬
гранж и Лежандр (XVIII—XIX вв.) и многие другие ученые
всех времен и разных народов пытались доказать пятый посту¬
лат. Много сил и времени затрачено на эти попытки, но все они
окончились неудачей. Иногда кое-кому казалось, что он достиг
цели, однако более глубокий анализ всегда обнаруживал ка¬
кую-то скрытую ошибку.
1 Это название ввел венгерский математик Янош Бояй в 30-х гадах
XIX в.
344
В XIX в. исключительно большим успехом пользовался учеб¬
ник Лежандра «Элементы геометрии», который только при жиз¬
ни автора выдержал более 20 изданий. В этих разных изданиях
Лежандр давал все новые и новые «доказательства» пятого по¬
стулата, но ни одно из них самого его не удовлетворило. Все
попытки таких доказательств оканчивались неудачей.
О знаменитом французском математике Лагранже расска*
зывают, что он представил Парижской Академии решение во¬
проса, но во время устного доклада внезапно прервал изложе¬
ние и сошел с кафедры, заявив: «Мне надо еще об этом поду¬
мать...»
Несмотря на провал всех попыток доказательства пятого
постулата, никто до начала XIX столетия не сомневался в спра¬
ведливости евклидовой аксиомы параллельных и всей геомет¬
рии, на ней основанной. Огромный авторитет Евклида и господ¬
ствовавшие на протяжении тысячелетий старые идеи, основан¬
ные на привычных наглядных представлениях об окружающем
нас пространстве, на повседневной практике, постоянно напра¬
вляли умы в одну сторону: снова и снова искать доказательства
пятого постулата. Однако эта проблема оставалась нерешенной.
Для того чтобы выйти из тупика и найти правильный путь ре¬
шения вопроса, нужно было не бояться авторитетов, обладать
революционным духом, выдающейся научной смелостью; нужен
был гений математического мышления, способный порвать с
многовековыми предубеждениями и по-новому понять и решить
проблему.
Таким гением и революционером в науке оказался наш ве¬
ликий соотечественник Николай Иванович Лобачевский.
* *
*
Николай Иванович Лобачевский родился 1-го декабря
(20 ноября) 1792 г. в Нижнем Новгороде (ныне г. Горький)
в семье мелкого русского чиновника. После смерти отца осиро¬
тевший Николай был определен благодаря стараниям матери
в Казанскую гимназию. По окончании гимназии, в 1807 г., Ни¬
колай Иванович, 16-летним юношей, был зачислен студентом
незадолго перед тем открытого Казанского университета. С это¬
го момента вся жизнь Лобачевского была тесно связана с Ка¬
занью и ее университетом (рис. 179).
Этот университет в то время еще не стоял на должной ака¬
демической высоте, но физико-математические науки препода¬
вались в нем хорошо благодаря руководству попечителя
С. Я. Румовского и математиков-педагогов М. Ф. Бартельса
(учителя Гаусса), астронома И. А. Литтрова и др.
Молодой студент Николай Лобачевский работал с огромным
энтузиазмом и уже за первые два-три года овладел обширным
23 Г. И. Глейзер
345
Рис. 179. Казанский университет в 30-х годах XIX в.
материалом из области точных наук. Он был одним из способ¬
нейших студентов университета и принадлежал к прогрессивной
молодежи того времени. А это было время патриотического
подъема, вызванного Отечественной войной, и пробуждения
русского общества. Во вторую половину царствования Алексан¬
дра I, ввиду усиления реакции, был установлен строгий надзор
за поведением студентов. Против Н. И. Лобачевского, прояв¬
лявшего «признаки безбожия», было возбуждено дело об ис¬
ключении его из университета. Лишь энергичное вмешательство
профессоров, высоко ценивших выдающиеся способности Ни¬
колая Ивановича, спасло его от грозящего несчастья.
Н. И. Лобачевский быстро выдвинулся на научно-педагоги¬
ческом поприще благодаря не только выдающимся способно¬
стям, но и настойчивому труду. Он глубоко изучал старые и
новые классические произведения выдающихся математиков.
С 1816 г., уже в качестве профессора, Н. И. Лобачевский
читал в университете специальные курсы элементарной матема¬
тики, дифференциального и интегрального исчисления, а позже
ему было поручено и преподавание физики, механики и астро¬
номии. На протяжении свыше 40 лет Н. И. Лобачевский при¬
нимал самое активное участие в общественной жизни, органи¬
зации и строительстве Казанского университета. Дважды до
1825 г. он избирался деканом физико-математического факуль¬
тета, а с 1827 г. в течение 19 лет состоял ректором Казанского
университета. По инициативе Лобачевского был создан
научный журнал, существующий и поныне: «Ученые за¬
писки Казанского университета». Один из историков Казан¬
ского университета — Загоскин — писал, что в стенах Казан¬
ского университета «все дышит памятью Н. Й. Лобачевского,
все восстанавливает перед нами симпатичный облик великого
346
ученого и неутомимого труженика — ректора». Н. И. Лобачев¬
ский отдавал много сил и времени задачам воспитания юноше¬
ства и внес ценный вклад в дело развития русской педагогиче¬
ской мысли.
Параллельно с просветительной, общественной, педагогиче¬
ской и административной деятельностью развивалось и научное
творчество Н. И. Лобачевского (рис. 180).
Много нового внес он в разные области математики, физики
и астрономии. Однако мировая слава Н. И. Лобачевского зиж¬
дется на его работах в области геометрии 1, на создании новой
геометрической системы.
Подобно другим математикам, Николай Иванович вначале
тоже пытался доказать пятый постулат. Применяя метод дока¬
зательства от противного, он отвергает пятый постулат и вме¬
сто него присоединяет к остальным аксиомам евклидовой гео¬
метрии новую аксиому о параллельности прямых, прямо
Рис. 180. Факсимиле из рукописи «Геометрия» Н. И. Лобачевского.
1 О научной и педагогической деятельности Н. И. Лобачевского и его
мировоззрении см. статьи, опубликованные в Историко-математических иссле¬
дованиях, вып. II, III, IV, IX.
23*
347
противоположную евклидовой
аксиоме, называемую ныне
«аксиомой Лобачевского»: в
плоскости через точку вне пря¬
мой можно провести по край¬
ней мере две прямые, не пе¬
ресекающие данной прямой.
Если бы пятый постулат
был следствием других евкли¬
довых аксиом, то аксиома Ло¬
бачевского должна была бы
привести к противоречию. Ме¬
жду тем, выводя все новые и
новые следствия из сделанно¬
го им допущения, Лобачевский
констатировал, что ни к како¬
му логическому противоречию
оно не приводит, а наоборот,
полученные выводы и след¬
ствия образуют новую логи¬
чески стройную геометрию.
Это убедило его в том, что
пятый постулат не зависит от
других аксиом евклидовой гео¬
метрии, из них не вытекает и
поэтому его доказать нельзя.
Так была решена проблема пятого постулата.
Новая, построенная Н. И. Лобачевским, геометрия была на¬
звана «воображаемой». Гаусс ее назвал «неевклидовой», мы же
в настоящее время называем ее «геометрией Лобачевского».
Вот некоторые ее положения (теоремы), вытекающие из
аксиом геометрии Лобачевского:
1. В отличие от геометрии Евклида, в которой сумма углов
треугольника равна 2d, и в отличие от сферической геометрии,
в которой сумма больше 2d, в геометрии Лобачевского сумма
углов треугольника всегда меньше 2d и убывает по мере воз¬
растания площади треугольника.
2. Подобных фигур не существует. Если два треугольника
имеют соответственно равные углы, то и стороны их соответ¬
ственно равны.
Эти факты Лобачевский изложил в своих произведениях:
«О началах геометрии». (1829), «Новые начала геометрии»,
«Пангеометрия» Г
1 С идеями неевклидовой геометрии можно ознакомить учащихся в X—
XI классах. См., например, Г. И. Глейзер, Понятие о геометрии Лобачев¬
ского в средней школе, «Ученые записки Тираспольского пединститута», № 1.
Кишинев, 1966,
348
Идеи Лобачевского были
настолько оригинальны и нео¬
жиданны и до того опередили
свой век, что их не поняли да¬
же крупные математики того
времени 1.
Геометрия Лобачевского не
была признана современника¬
ми, она была встречена с пол¬
ным равнодушием или даже
с иронией. Презрительное от¬
ношение к новой геометрии не
изменилось на протяжении
всей жизни ее творца. Но да¬
же оставшись в одиночестве,
Н. И. Лобачевский не отказал¬
ся от своих идей. Он не только
был убежден в логической не¬
противоречивости новой гео¬
метрии, но твердо верил и в ее
применимость к реальному фи-
зическому пространству. Он Рш. 182 Памятник н и Ловачев.
утверждал, что только опыт- скому в Казани,
ным путем можно проверить,
соответствует ли та или иная
геометрическая система законам физики и астрономии. С этой
целью он производил астрономические наблюдения и измерения,
чтобы установить, чему же равна сумма внутренних углов тре¬
угольника. Однако такие измерения не могли и не могут дать
определенного результата в силу недостаточной точности ин¬
струментов и приближенного характера любых измерений. Ни¬
колай Иванович упорно искал оправдание своей теории в меха¬
нике и астрономии. Хотя развитие науки и техники в то время
не позволяло подтвердить высказанные положения, Н. И. Ло¬
бачевский не переставал верить, что торжество его идей рано
или поздно наступит, и даже незадолго до смерти, уже слепой,
он диктует свою «Пангеометрию».
Лобачевский умер в 1856 г. непризнанным, казалось забы¬
тым. Но уже в 70-х годах прошлого столетия имя Лобачев¬
1 Лишь два современника Лобачевского полностью разделяли его взгля¬
ды. Первый из них, молодой венгерский математик Янош Бояй, независимо
от Лобачевского, сам пришел к созданию той же неевклидовой геометрии.
Лобачевский впервые доложил о своих результатах на заседании физико-
математического факультета 23 февраля 1826 г., а в 1832 г. появилась книга
Бояй «Аппендикс», в которой изложены принципы той же новой геометрии.
Вторым ученым, разделявшим идеи Лобачевского, был великий немецкий
математик К- Ф. Гаусс, который, однако, не выступил открыто в их защиту.
349
ского было на устах математиков всего
мира, а его работы были переведены и
распространены во всех культурных стра¬
нах (рис. 181; 182; 183).
После того как идеи Лобачевского
получили признание, его геометрия стала
бурно развиваться, особенно в трудах
Римана, Кэли, Клейна, Гильберта. Не¬
смотря на то, что геометрия Лобачевско¬
го и открытая за нею неевклидова гео¬
метрия Римана прочно вошли в совре¬
менную науку, геометрия Евклида сохра¬
няет свое полное значение в вопросах
практики, строительства и техники. Не¬
евклидовы геометрии находят себе при¬
менение в некоторых более сложных тео¬
ретических и практических вопросах со¬
временной математики, физики и тех¬
ники.
Открытие гениального русского уче¬
ного Николая Ивановича Лобачевского
дало решающий толчок грандиозному
развитию науки, способствовало и спо¬
собствует поныне более глубокому пониманию окружающего нас
материального мира.
ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Из 1-ой книги «Начал» Евклида.
210. «Данный прямолинейный угол рассечь пополам».
211. «Данную ограниченную прямую (то есть отрезок) рас¬
сечь пополам».
Из 3-ей книги «Начал» Евклида.
212. «Найти центр данного круга».
213. «Рассечь данную дугу пополам».
Из 4-ой книги «Начал» Евклида.
214. «В данный круг вписать хорду данной длины».
Из 6-ой книги «Начал» Евклида.
215. «Для данных двух отрезков найти средний пропорцио¬
нальный».
216. «Для трех данных отрезков найти средний пропорцио¬
нальный».
350
Рис. 183. Медаль памяти
Н. И. Лобачевского, вы¬
битая в 1895 г.
Задача Брахмагупты.
217. «Зная высоту свечи и высоту вертикального шеста,
а также расстояние между ними, найти длину тени шеста».
Из задач Архимеда.
218. «Площадь круга, описанного одоло квадрата, вдвое
больше площади вписанного в квадрат круга. Доказать!»
219. «Если в круге хорды АВ и CD пересекаются под пря¬
мым углом, то сумма квадратов отрезков АЕ, BE, СЕ и DE
равна квадрату диаметра. Доказать!»
Задачи ал-Караджи.
220. «Найти площадь прямоугольника, основание которого
вдвое больше высоты, а площадь численно равна периметру».
221. «Найти диаметр круга, площадь которого равна 100».
Из «Книги абака» J1. Пизанского.
222. «Две башни, одна высотой 40 футов, а другая — 30 фу¬
тов, расположены на расстоянии 50 футов одна от другой.
К расположенному между ними колодцу слетают одновре¬
менно с обеих башен две птички и, летя с одинаковой скоро¬
стью, одновременно прибывают к колодцу. Найти расстояние
колодца от башен».
Задача Леонардо да Винчи.
223. «Если два равных кр'чга пересекаются друг с другом,
то прямая, проходящая через точки их пересечений, будет
в любой части своей длины находиться на одинаковых рас¬
стояниях от того и другого центра. Доказать!»
Доказать теорему Эйлера.
224. «Во всяком четырехугольнике сумма квадратов сторон
равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетве¬
ренным квадратом отрезка, соединяющего середины диагона¬
лей».
Задача Я. Штейнера.
225. «Если соединить точку Е пересечения диагоналей тра¬
пеции с точкой F пересечения ее непараллельных сторон, то
большее ее основание разделится пополам линией EF. Дока*
зать!»
т
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
1. 28 .Указание: 1) у + ^- + у = 2) 1~Ц'=="Ж’ 3)3:-^-= 28.
2. з|| дня.
3
3. 2-g-. Указание: гели первой смеси взять вчетверо больше, то она
будет стоить 4*3(3 + 6) = 108 дяо. Отсюда, сравнивая со второй смесью,
получается, что 20 фунтов второго сорта стоит 52 дяо. Итак, фунт второго
52 _ 3
сорта стоит "2Q = ~5" д‘
‘4, 15. Указание:
2) 1:TS = 15‘
5. 48. Автор решает задачу, прибегая к «правилу ложного положения»
(гл. 2, § 4), полагая искомое равным 3.
6. 2376 денежков.
7. Ответ у Анания дается в виде записи «египетскими» дробями:
1111 1,1, 1 . 1 6
4 6 12 22 ’ Т° ССТЬ 4 6 12" 22 11 ЧЗСа’
8. 19-^-. Автор решает задачу методом ложного положения.
1 1 1
9. 35 дней. Указание: в день жена выпивает -щ- — уу = yg- кади.
10. 48 гривенников. 11. 375. 12. 315 быков.
15. 2. Указание: 102 + II2 + 122 = 132 + 142 = 365.
16. 287. 18. (1792—1856). 19. 7; 49; 343; 2401; 16 807; 19 607.
20. 7 + 49 + 343 + 2401 + 16 807 + 117 649 = 137 256. 21. 75.
22. «Придет в восьмой день, на один ночлег сошлися».
23. Пять, семь, двадцать пять, девяносто шесть, сто.
24. Два, четыре, восемь, шестнадцать, десять, двадцать пять.
25. в) l-f-2-f-3-f- ... -J- п — (1 -f- п) -f (2 -f- п — 1)+...=—i—П.
352
26. В общем виде: 1+3 + 5+ ... + (2/г+ 1)- .£L±J) ^
= (« + I)2-
27. 3 = 22—I2, 5 = З2 — 22, ... в общем виде (2п + 1) = (n + I)2 — п2.
30. 12 кроликов, 23 фазана.
31. Индийцы решили задачу «методом инверсии»: начиная с последнего
данного, производятся в обратном порядке действия, обратные тем, которые
указаны в условии задачи. В данном случае: У4 = 2; 2+1=3; З2 = 9;
9 — 6 = 3; 3-5 = 15; 15 : 3 = 5.
Этот метод позаимствовали ученые стран ислама, а затем и Европы.
35 — + — • — + — + —* —+ —+ — 36 2—' 7 —
2 ‘ 5 ’ 2 5 10 ’ 2 3 ‘ 15 2 ’ 2 *
21 21
37. 172в рукописи представлена в виде суммы единичных дро-
беи: 2 ’ 8 ’ 48 ’ 96 '
1 1 1 1 75 75 Q
38. 84. Решение: 1) -g- + -y?y У ~2 ~ 84 ’ ^ * ^ ^
+ 4 = 9, 4) 9:^ = 84.
39. 7-i-. Указание: промежуток между 0 ч ночи до момента, о котором
идет речь в задаче, относится к промежутку времени между этим моментом и
2 2
12 ч дня как -g-г g- или, как 5:3. Сумма обоих промежутков 12 ч. Искомое
12 * 7 1
показание часов ^-+ g~
3 0 118
42. 0,4. 43. 2,7. 44. 3-g . Указание: 45. 4
47. 75; 63. Решение: 1) 5- 138 = 690 руб., 2) 690 — 540= 150 руб., 3) 5 —
— 3 = 2 руб., 4) 150 : 2 = 75 (арш.) ,5) 138 — 75 = 63 (арш.).
48. Сын должен получить в два раза больше жены, жена — в два раза
больше дочери. Имение следовало разделить между сыном, женой и дочерью
прямо пропорционально числам 4:2: 1.
49. 9 человек. Стоимость курицы 70.
50. Указание: дети переправляются на другой берег. Один из них там
остается, а другой возвращается с лодкой. Потом переезжает один солдат
и посылает обратно лодку с мальчиком. Снова дети едут на противополож¬
ный берег и т. д., пока вся рота не будет перевезена.
51. 20. Указание: назовем «пайком» количество травы, съедаемое 1 коро¬
вой в 1 день. За 24 -дня 70 коров съедят 24-70 = 1680 пайков. В эти
1680 пайков входит и прирост травы за 24 дня. 30 коров за 60 дней съедят
60-30= 1800 пайков. В обоих случаях была съедена вся трава на лугу, та¬
ким образом, 1800 —1680 = 120 пайков составляют прирост за 60 — 24 =
= 36 дней, значит, прирост за 24 дня 80 пайков, а первоначальный запас
1680 — 80 = 1600 пайков. За 96 дней будет прирост 1600 + 320 = 1920 пайков.
За 1 день съедают 1920; 96 = 20 пайков, то есть за 96 дней всю траву по¬
едают 20 коров.
52. 7; 49 000. Указание: так как все сыновья получили поровну, то
-g часть = 1000 рублей, а остальные 7000 получил младший сын, который,
таким образом, был седьмым сыном. Итак, сыновей было 7, а всего денрг
7000 • 7 = 49 000 рублей.
353
53. Указание: на первом лугу косны проработали ~ дня — вся бригада
1 3
и -у дня — половина бригады, что составляет -у рабочего дня. На втором лугу
в первый день работала бригады в течение ~ дня, то есть затрачено
1
у рабочего дня целой бригады. Так как по площади второй луг в 2 раза
меньше первого, то для того чтобы выкосить его, вся бригада должна была
бы работать -у дня. Следовательно, на второй день на меньшем лугу осга-
3 1 1
нется -g -у = у часть работы целой бригады за день. А так как эту ра¬
боту выполнил один косец, значит, вся бригада состояла из 8 косцов.
54. 6. 55. (2х + 1) (Зх — 2) = 6х2 — х — 2. 57. 76.
. . 58. 4. В рукописи задача решается «методом ложного положения»: если
бы первый дал 1, то следующие дали бы 2; 6; 24, все же вместе 33, но
они дали 132, вчетверо больше, следовательно, первый дал 4, второй 8, тре¬
тий 24, четвертый 96.
59. 1480 ф.
65. х = ^. . Указание: пусть первый имеет а вещей и 6 монет,
второй же — с вещей и d монет. Из условий задачи следует: ах + 6 = сх + d.
1 9
. 68. 4; 2. 69. 8; 2. 76. 5-у дня. 72. 12; 8. 78. 4 уу. Указание: х = 4, у = 5,
ab
6 = 36. 129. х = 4. 130. х =
2 6 — а
.п. 3а-\-b а — 6
131. * = ■—-—; у
132. х--
4 ’ 4 '
6 (а — cd) т с (bd — а)
Ъ — с ’ b — с
133. х — 98; у = 94. 134. = У = •
135. х = у = ^-. 136. х = у = 0. 138.120.
139. 70; 40. Вводя вспомогательное неизвестное, Бхаскара принимает, что
первый имеет 2х—100, тогда, по условию задачи, второй имеет х + 100.
Второе условие задачи приводит к уравнению: 6 (2л:— 100— 10) = х + 100 +
+ 10, откуда х — 70.
140. 36. 141. 5-I-. 142. 28 ф. 143. 9 4* ф- 144. 12 000; 8000; 4000.
5 о
145. 11. 146. 9^.
О/
148. 7 человек; стоимость вещи — 53. (См. зад. 67.)
13 5
149. Вес воробья 1 уд- лана, вес ласточки 1 jg лана.
150. У мула 7, у ослицы 5 мешков.
151. Решение: х + 5 = а2, х — 11 = Ь2\ а2 — Ь2 = (а + Ь) (а — Ь) = 16.
Имеется две возможности: 1) а + 6 = 8, а — 6 = 2, с = 5, 6 = 3, х = 20.
2) а + 6 = 16, а — 6 = 1, а — ~, Ь = ~, х — Ш
354
Это отличающееся от изложенного в наших учебниках евклидово по¬
строение допускает два решения: треугольник может быгь построен по обе
стороны DE.
211. Чтобы разделить отрезок АВ пополам, Евклид строит на нем равно¬
сторонний треугольник ABC, делит угол АСВ пополам прямой CD (см.
зад. 210). Точка D — середина отрезка АВ.
212. Доказательство Евклида (методом от противного) сводится к тому,
что центр круга лежит на перпендикуляре, восстановленном из середины
хорды.
213. Евклид делит пополам хорду АВ, стягивающую данную дугу. Из
точки С, середины хорды, он строит перпендикуляр к АВ, пересекающий
дугу в искомой точке D.
214. Проведя диаметр ВС, Евклид откладывает отрезок СЕ, равный дан¬
ному отрезку D. Из центра С раствором СЕ опишем окружность, пересекаю¬
щую данную окружность з точке А. СА — искомая хорда.
Задача является, конечно, неопределенной.
215. Решение Евклида этой, как и следующей задачи, изложено в со¬
временных учебниках.
217. Обозначив через Н, h, d соответственно высоту свечи, высоту шеста
и расстояние между ними, находим из подобия треугольников: длина тени
hd
равна __
220. 3.
1400 22
221. Ответ ал-Караджи d2 = ■ ^ . Итак, для я взято значение —,р указан¬
ное Архимедом.
222. 18 ф., 32 ф.
225. Указание: пусть М, N — точки пересечения прямой FE с АВ, боль¬
шим основанием и CD, меньшим основанием трапеции. Из подобия треуголь¬
ников MFA и NFD, MFB и NFB и т. д. выводится: AM = MB.
\
ЛИТЕРАТУРА
1. Б введению
1. Академия наук СССР, Математика, ее содержание, методы и значение,
т. I—III, М., 1956.
2. Александров А. Д., Геометрия, БСЭ, изд. 2, т. 10.
3 Б а р с у к о в А. Н., Исторический элемент в курсе математики
V—VII классов, МШ1, 1956, № 1..
4. Бобынин В. В., Цели, формы и средства введения исторических
элементов в курсе математики средней школы. Труды I Всероссийского
съезда преподавателей математики т. II, Спб., 1913.
5. Глейзер Г. И., Историзм на уроках арифметики. «Ученые записки
Тираспольского госпединститута», вып. II, VII, VIII, IX, X, 1956—1960.
6. Г н е д е н к о Б. В., Краткие беседы о зарождении и развитии матема¬
тики, изд. АПН, М.—JL, 1946.
7. Гнеденко Б. В., Вводная лекция, МШ, 1963, № 1.
8. Д е п м а н И. Я., Рассказы о математике, Детгиз, 1954.
9. Колмогоров А. Н., Математика, БСЭ, изд. 2, т. 26. 1954.
10. Колосов А. А., Книга для внеклассного чтения по математике
в старших классах (VIII—X), Учпедгиз, М., 1963.
11. Малыгин К. А., Элементы историзма в преподавании математики
в средней школе, Учпедгиз, М., 1958.
12. Молодший В. Н., Элементы истории математики в школе, Учпед¬
гиз, М., 1953.
13. Хохлов А. Т., О проблеме историзма в преподавании математики
в средней школе, «Ученые записки Щербаковского госпединститута», вып. 1,
ч. 1, 1956.
14. Ч и с т я к о в В. Д., Исторические экскурсы на уроках математики
в средней школе, Минск, 1959.
15. Шевченко И. Н., Элементы историзма в преподавании математики,
«Известия АПН РСФСР», вып. 92, 1958.
16. Balada Frantisek, Z dejin elementarni matematiky, Praha, 1959.
17. Debron et Jtard, Mathematiques et mathematiciens, Paris, 1959.
18. Freeb,ury H. A., A history of mathematics of secondary schools,
London, 1958.
1 МШ — журнал «Математика в школе», Учпедгиз, Москва.
357
II. К главе 1
19. Архимед, Сочинения. Перевод, вступительная статья и коммента¬
рии И. Н. Веселовского, Физматгиз, 1962.
20. б а ш м а к о в а И. Г., Арифметические книги «Начал» Евклида,
ИМИ ', вып. II, М., 1949.
21. Башмакова И. Г. и Юшкевич А. П., Происхождение систем
счисления. Энциклопедия элементарной математики, ГИТТЛ, кн. 1, М.—Л., 1951.
22.-Б е л л ю с т и н В., Как постепенно дошли люди до настоящей ариф¬
метики, М., 1940.
23. Берман Г. Н., Число и наука о нем, Физматгиз, 1960.
24. Выгодский М. Я., Алгебра и арифметика в древнем мире, М.—Л.,
1941.
25. Выгодский М. Я., Происхождение знака нуля в вавилонской ну¬
мерации, ИМИ, вып. XII, М., 1959.
26. Гнеденко Б. В., Первые шаги в развитии счета, МШ, 1963, № 4.
27. Депман И. Я-, Возникновение системы мер и способов измерения
величин, вып. 1, Учпедгиз М., 1956.
28. Депман И. Я-, История арифметики, Учпедгиз, М., 1959.
29. Депман И. Я., Вопросы истории математики в научно-атеистической
работе учителя, МШ, 1960, № 2.
30. Джемшид Гиясэддин ал-Каши, Ключ арифметики. Трактат об
окружности, пер. Б. А. Розенфельда, М., 1956.
31. Евклид, Начала, кн. VII—X, пер. и комментарии Д. Д. Мордухай-
Болтовского, ГИТТЛ, М.—Л., 1949.
32. За вельский Ф, С., Время и его измерение, Физматгиз, 1961.
33. 3 у б о в В. П., Кирик Новгородец и древнерусские деления часа,
ИМИ, вып. VI, М., 1953.
34. «Из истории вычислительных устройств», ИМИ, вып. XIV, М., 1961.
35. Л е н и н В. И., Социализм и религия. Сочинения, изд. 4, т. 10,
стр. 65—69.
36. М а й с т р о в Л. Е., О математических знаках и терминах, встречае¬
мых в археологических памятниках древней Руси, ИМИ, вып. X, М., 1957.
37. М а й с т р о в Л. Е., Первый арифмометр П. Л. Чебышева, ИМИ,
вып. XIV, М., 1961.
38. М е д о в о й М. И., Об арифметическом трактате Абу-л-Вафы, ИМИ,
вЫп. XIII, 1960.
39. М и н к о в с к и й В. Л., Научно-атеистическое воспитание учащихся
в связи с преподаванием математики, МШ, 1957, № 6.
40. Р а и к А. Е., Уральский математик Иван Михайлович Первушин,
ИМИ, вып. VI, 1953.
41. Раик А. Е., Две лекции о египетской и вавилонской математике,
ИМИ, вып. XII, М., 1959.
42. С е р п и н с к и й В., 100 простых, но одновременно и трудных во¬
просов арифметики, Учпедгиз, М., 1961.
1 ИМИ — «Историко-математические исследования», Физматгиз, Москва*
43. Спасский И. Г., Происхождение и история русских счетов, ИМИ,
вып. V, М., 1952. Л
44. С у ш к е в и ч А. К., Обозначение чисел у разных народов, МШ, 1948,
№ 4. \
45. Тропфке И., История элементарной математики в систематическом
изложении, т. 1, ч. 1, М., 1914.
46. Швецов К. И., Славянская нумерация, МШ, 1952, № 2.
47. Ш в е ц о в К. И., О характерных чертах арифметических рукописей
XVII столетия, МШ, 1954, № 5.
48. Ю ш к е в и ч А. П., Арифметический трактат Мухаммеда бен Муса
ал-Хорезми. Труды Ин-та истории естествознания и техники, т. 1, М., 1954.
49. Яновская С. А., К теории египетских дробей. Труды Ин-та истории
естествознания и техники, т. 1, М., 1947.
III. К главе 2
50. Андронов И. К., Деятельность Л. Н. Толстого в области матема¬
тического образования и его особый интерес к предмету математики, МШ,
1960, № 6 и 1961, № 1.
51. Баш маков а И. Г. и Юшкевич А. П., Леонард Эйлер, ИМИ,
вып. VII, 1954.
52. Беляев В. И., «Универсальная арифметика» Л. Эйлера — прототип
учебников элементарной алгебры, сб. «Из опыта преподавания математики
в VIII—X классах средней школы», Учпедгиз, 1955.
53. Березкина Э. И., О «Математике в девяти книгах» и Математика
в девяти книгах (пер. Э. И. Березкиной), ИМИ, вып. X, 1957.
54. Б е м Д. и Струве Р., Полный сборник упражнений и задач по
элементарному курсу алгебры, изд. 3, 1924.
55. В и л е й т н е р Г., Хрестоматия по истории математики, составленная
по первоисточникам, пер. П. С. Юшкевича и А. П. Юшкевича, 2-е изд.,
ОНТИ, М.—Л., 1935.
56. Воронцова Л., Софья Ковалевская, изд. «Молодая гвардия», М.,
1955.
57. Выгодский М. Я., Происхождение «правила двух ложных поло¬
жений», ИМИ, вып. XIII, 1960.
58. Декарт, Геометрия. Перевод, примечания и статья А. П. Юшкевича,
М.—Л., 1938.
59. Делоне Б. Н., Математика и ее развитие в России, М., 1948.
60. Ковалевская С. В., Воспоминания детства и автобиографические
очерки, изд АН СССР, 1948.
61. К о в а л е в с к а я С. В., Воспоминания и письма, изд. АН СССР,
М., 1961.
62. Кольман Э., Бернард Больцано, изд. АН СССР, М., 1955.
63. К о р д е м с к и й Б. А., Очерки о математических задачах на сме¬
калку, Учпедгиз, 1958.
64. К о тек В. В., Леонард Эйлер, Учпедгиз, М., 1961.
359
65. М е л ь н и к о в И. Г., Леонард Эйлер и элементарная математика,
МШ, 1957, № 4. /
66. Молодший В. Н., Основы учения о/числе в XVIII и начале
XIX века, изд. 2, Учпедгиз, М., 1963. /
67. Н ь ю т о н И., Всеобщая арифметика. Перевод и комментарии
А. П. Юшкевича, изд. АН СССР, 1948.
68. Омар X а й я м, Трактаты. Перевод, вступительная статья и ком¬
ментарии Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича, Изд. вост. лит., 1961.
69. Омар Хайям, Рубаийат, ч. 1—2, 1959.
70. Омар Хайям, Математические трактаты, пер. Б. А. Розенфельда,
ИМИ, вып. VI, 1953, там же: Б. А. Розенфельд и А. П. Юшкевич,
Примечания к математическим трактатам Омара Хайяма.
71. Остроградский М. В., Педагогическое наследие и документы
о жизни и деятельности, под ред. И. Погребысского и А. П. Юшкевича.
Физматгиз, 1961.
72. Отрадных Ф. П., Жизнь и творчество П. Л. Чебышева, изд. «Со¬
ветская наука», М., 1953.
73. Отрадных Ф. П., Математика XVIII века и академик Л. Эйлер,
изд. «Советская наука», 1954.
74. Полубаринова-Кочина П. Я-, Софья Ковалевская, Гостех-
издат, М., 1955.
75. Ремез Е. Я., О математических рукописях академика М. В. Остро¬
градского, ИМИ, вып. IV, 1951.
76. Симонов Р. А., Борьба Т. Ф. Осиповского против мистики в ма¬
тематике, МШ, 1955, № 5.
77. Ш рейдер С. Н., Начала западноевропейской алгебры в сочинении
Иордана Неморария «О данных числах», ИМИ, вып. XII, 1959.
78. Ю ш к е в и ч А. П., О математике народов Средней Азии в IX—XV вв.,
ИМИ, вып. IV, 1951.
79. Юшкевич А. П., Омар Хайям и его «Алгебра», Труды Ин-та исто¬
рии естествознания и техники, т. II, изд. АН СССР, 1948.
80. Ю ш к е в и ч А. П., Математика и ее преподавание в России
в XVIII—XIX вв., МШ, 1947—1949 гг.
81. Юшкевич А. П. и Баш макова И. Г., «Алгебра или вычисление
конечных» Н. И. Лобачевского, ИМИ, вып. II, 1949.
IV. К главе 3
82. Алимов Н. Г., Величина и отношение у Евклида, ИМИ, вып. VII,
1955.
83. Белый Ю. А. и Швецов К. П., Об одной русской геометрической
рукописи первой четверти XVII в., ИМИ,# вып. XII, М., 1959.
84. В а й м а н А. А., Вавилонские геометрические рисунки пространст¬
венных фигур, ИМИ, вып. XIII, 1960.
85. Веселовский И. Н.,.Архимед, Учпедгиз, М., 1957.
86. Выгодский М. Я., «Начала» Евклида, ИМИ, вып. 1. М., 1948.
87. Депман И. Я., Забытое издание «Начал» Евклида на русском языке,
ИМИ, вып. III, 1950.
360
88. Депман И. Я., Геометрия практика, ИМИ, вып. VIII, 1955.
89. Евклид, Начала, пер. с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-
Болтовского, ГИТТЛ, кн. IrVI, М.—Л., 1948; кн. XI—XV, М.—Л., 1950.
90. Зетель С. П., Геометрия линейки и геометрия циркуля, Учпедгиз,
М., 1957.
91. Каган В. Ф., Лобачевский, изд. 2, изд. АН СССР, М.—Л., 1948.
92. К о р д е м с к и й Б. А. и Русал ев Н. В., Удивительный квадрат,
Гостехиздат, М., 1959.
93. К ос то веки й А. Н., Геометрические построения одним циркулем,
Физматгиз, 1959.
94. Лигцман В., Теорема Пифагора, пер. с немецкого В. С. Бермана,
под ред. И. М. Яглома, Физматгиз, М., 1960.
95. Л у р ь е С. Я., Архимед, изд. АН СССР, М.—Л., 1948.
96. М а й с т р о в Л. Е., О статье М. Я. Выгодского «Начала» Евклида,
ИМИ, вып. II, 1949.
97. М а р к у ш е в и ч А. И., О классификации иррациональностей
в X книге «Начал» Евклида, ИМИ, вып. 1, 1948.
98. М о л о д ш и й В. Н., Был ли Евклид последователем Платона?,
ИМИ, вып. II, 1949.
99. Р о з е н ф е л ь д Б. А.. О математических работах Насирэддина
Туси, ИМИ, вып. IV, 1951.
100. Рудио Ф., О квадратуре круга, пер. с немецкого, ОНТИ, М.—Л.,
1936. В этой же книге: Архимед, Измерение круга; А. М. Лежандр,
Доказательство того, что отношение окружности к диаметру и его квадрат
суть иррациональные числа.
101. Рыбкин Г. Ф., Материализм — основная черта мировоззрения
Н. И. Лобачевского, ИМИ, вып. III, 1950.
102. Сабо А., О превращении математики в дедуктивную науку и о на¬
чале ее обоснования, ИМИ, вып. XII, 1960.
103. Слюсарев Г. Г., О возможном и невозможном в оптике, Физмат¬
гиз, М., 1960.
104. Четверухин Н. Ф., Геометрические построения и приближения.
Учпедгиз, М., 1935.
105. Четверухин Н. Ф., Чертежи пространственных фигур в курсе
геометрии, Учпедгиз, М.. 1946.
106. Шатуновский С. О., Об измерении прямолинейных отрезков и
построении их при помощи циркуля и линейки, 1926.
V. Общие сочинения по истории математики
107. Б а ш м а к о в а И. Г., Лекции по истории математики в древней
Греции, ИМИ, вып. XI, 1958.
108. В а й м а н А. А., Шумеро-вавилонская математика, изд. вост. лит.,
М., 1961.
109. Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука. Математика
древнего Египта, Вавилона и Греции, пер. с голландского И. Н. Веселовского,
Физматгиз. М.. 1959.
24 Г. И. Глейзер,
361
110. Веселовский И. Н., Вавилонская математика. Труды Ин-та
истории естествознания и техники, т. 5, М., 1955. /
111. Вилейтнер Г., Как рождалась современная математика, пер.
с немецкого под ред. А. Я. Хинчина, М.—Л., 1927.
112. В и л е й т н е р Г., История математики от Декарта до середины
XIX столетия, пер. с немецкого, под ред. А. П. Юшкевича, Физматгиз, М.,
1960.
113. Гнеденко Б. В., Очерки по истории математики в России, Гостех-
издат, М., 1946.
114. Кольман Э., История математики в древности, Физматгиз, М.,
1961.
115. Кэджори Ф., История элементарной математики, пер. с англий¬
ского, под ред с примечаниями и прибавлениями И. Ю. Тимченко, изд. 2,
Одесса, 1917.
116. Никола Б у р б а к и, Очерки по истории математики, пер. с француз¬
ского И. Г. Башмаковой, под ред. К. А. Рыбникова, ИЛ, М., 1963.
117. Попов Г. Н., Сборник исторических задач по элементарной мате¬
матике, изд. 2, ОНТИ, М.—Л., 1938.
118. П рудников В. Е., Русские педагоги-математики XVIII—XIX вв.,
Учпедгиз, М., 1956.
119. Раик А. Е., Новые реконструкции некоторых задач из древнееги¬
петских и вавилонских текстов, ИМИ, вып. XI, М., 1958.
120. Рыбников К. А., История математики, I—II, изд. МГУ, 1960—
1963.
121. Цейтен Г. Г., История математики в древности и в средние века,
пер. А. П. Юшкевича, Гостехиздат, М.—Л., 1938.
122. Цейтен Г. Г., История математики в XVI—XVII вв., ОНТИ, М.,
1938.
123. Ш е р е м е т е в с к и й В. П., Очерки по истории математики, Учпед¬
гиз, М., 1940.
124. Юшкевич А. П., Главы по истории математики в книге «История
естествознания в России», т. 1, изд. АН СССР, М., 1957, т. 1, 2, М., 1960.
125. Юшкевич А. П., История математики в средние века, Физматгиз,
М., 1961.
126. Lori a G., Storia delle matematiche, dall’alba della civilta al seco-
le XIX, sec. ediz., Milano, 1950
127. Smith D. E., History of mathematics, vol. 1—2, Boston—London,
1930.
128. Struik D. J., A concise history of mathematics, vol. 1—2, N. Y.,
1948.
129. Tropfke J., Geschichte der Elementarmathematik in systematischer
Darstellung, Bd. 1—7, 2 Aufl., Berlin—Leipzig, 1921—1934; Bd. 1—4, 3 Aufl.,
1930—1940.
130. Wussing Hans, Mathematik in der Antike, Leipzig, 1962.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ*
Абель (Abel N. Н„ 1802—1829) 1/i
Абу-л-Вафа (940—998) 90, 287, 288,
334 337 339
Абу Камил (ок. 850—930) 137
Александров А. Д. 357
Александров П. С. 173, 201
Алимов Н. Г. (1900—1960) 360
Алькуин (Alcuin, 735—804) 121, 174,
248, 355
Ампер (Ampere А. М., 1775—1836)
235
Анаксагор (ок. 500—428 до н. э.)
307, 319
Анаксимандр (610—543 до н. э.) 336
Анания Ширакаци (VII) 40, 352
Анариций (IX—X) 328
Андронов И. К. 359
Аньези (Agnesi М. G., 1718—1799) 193
Апиан П. (Petrus Apianus, XVI) 223,
224
Аполлоний Пергский (265?—170? до
н. э.) 106, 151, 206, 267, 282, 283,
309, 317, 318, 325, 327
Араго (Arago D. F., 1786—1853) 193
Ариабхатта I (V) 38, 72, 149, 150,
161, 171, 186, 278, 300
Аристарх Самосский (IV—III вв. до
н. э.) 316
Аристотель (384—322 до н. э.) 84,
263, 272, 274, 293, 298, 308, 310, 311,
319, 336
Аристофан (452—380 до н. э.) 319
Архангельский Н. А. 109
Архимед (287—212 до н. э.) 20—22,
37, 63, 76, 106, 121, 171, 194, 206,
216, 272, 276, 277—279, 284, 289,
292—295, 307, 309, 312—319' 323,
336, 351, 356, 359
Архит Тарентский (ок. 428—365 до
н. э.) 275, 282, 296, 308, 325
Ахмес (ок. 2000 до н. э.) 31, 32, 61,
121, 123, 142, 243, 253, 254, 260,
°63, 276, 292
Байрон А. (1815—1852) 193
Бари Н. К. (1901—1961) 202
Барроу (Barrow I., 1630—1677) 229
Барсуков А. Н. (1891—1958) 357
Бартельс (Bartels М. F., 1769—1836)
345
ал-Баттани (ок. 850—929) 288
Башмакова И. Г. 358, 359, 361
Беда Достопочтенный (ок. 673—735)
78
Белли (Belli S., XVI) 265
Белый Ю. А. 360
Беллюстин В. К. (1862—1925) 358
Беляев В. И. 359
Бенедиктов В. Г. (1807—1873) 176
Березкина Э. И. 49, 359
Берман Г. Н. (1908—1949) 358
Бернулли (Bernoulli D., 1700—1782)
231, 232
Бернулли (Bernoulli Jakob, 1654—
1705) 171, 230, 231
Бернулли (Bernoulli Johann, 1667—
1748) 168, 230, 231
Бернулли (Bernoulli N., 1687—1759)
231
Бернштейн С. Н. 241
Бертран (Bertrand J. L. F., 1822—
1900) 240
Бертран (Bertrand L., 1731—1812)
146, 330
Бескин JI. Н. 254
1 Указаны страницы. Курсивом набраны номера страниц, содержащих
биографические сведения.
24*
363
Бехаэддин (1547—1622) 124, 244
Бион (Bion N., XVIII) 291
ал-Бируни (973—1048) 137
Бобынин В. В. (1849—1919) 89, 357
Боев Г. П. (1898—1959) 106
Болгарский Б. В. 285
Больцано (Bolzano В., 1781 —1848)
168, 169
Бомбелли (Bombelli R., XVI) 130,
138, 145, 164
Бонфис И. (XIV) 218
Бороздкин К. Г. 26
Боэций (Anicus Manlius Boethius,
ок. 480—524) 20, 45, 47, 78, 106,
274, 286, 301
Бояй (Bolyai J., 1802—1860) 344,
349
Брадвардин (Thomas Bradwardinus,
ок. 1290—1349) 216
Брадис В. М. 152
Брауэр (Brouwer L.) 201
Брахмагупта (род. 598) 38, 72. 133,
161, 162, 183, 186, 278, 300, 351
Брашман Н. Д. (1796—1866) 237, 238
Брианшон (Brianchon Ch., J., 1785—
1864) 289
Брокар (Brocard Н„ 1845—1922) 290
Бруно (Bruno G„ 1548—1600) 117,
119
Бубнов Н. М.. (1859—?) 89
Буняковский В. Я. (1804—1889) 238
Бураттини (Burattini Т., 1615—1682)
93
Бутлеров А. М. (1828—1886) 197
Бухштаб А. А. 88, 190
Бхаскара II (род. 1114) 38, 39, 72,
133, 134, 162, 186, 244, 270, 278, 287,
300, 301, 330, 354
Бюффон де (de Buffon G. L., 1707—
1788) 102
Вайман A. A. 360, 363
Валлис (Wallis J., 1616—1703) 60,
84, 137, 211, 226, 229, 330, 344
Ван дер Варден Б. JI. 207, 282, 305,
335, 361
Ван Ромэн (Van Roomen А., 1561—
1615) 278
Ван Фань (229—267) 277, 278
Вейерштрасс (Weierstrass R. Th. W.,
1815—1897) 195, 196, 197, 235
Вейль (Weyl G., 1885—1955) 201
Веселовский И. Н. 282, 315, 357, 360,
361
Видман (Widman Jan, XV) 67, 69,
217 223
Виет (Viete F„ 1540—1603) 53, 130,
131, 136—140, 145, 150, 164, 172,
173, 192, 210, 218, 225, 226 228
237, 274, 278, 288
Вилейтнер (Wieleitner Н„ 1874
1931) 159, 359, 361
Виноградов И. М. 25, 26, 63, 241
да Винчи (da Vinci L., 1452—1519)
216, 257, 339, 351
Витрувий П. (I в. до н. э.) 257, 275
325
Вольтер (Voltaire, 1694—1778) 193
Воронцова Л. 359
Выгодский М. Я. 359—360
Гайдук Ю. М. 289
Галилей (Galilei G., 1564—1642) 116,
118, 220, 274, 283, 284, 317
Гамильтон (Hamilton W. R., 1805—
1865) 146
Гарриот (Harriot Т., 1560—1621) 67,
137, 140, 145, 164, 211, 226
Гаусс (Gauss К. F., 1777—1855) 60,
63, 122, 153, 193, 194, 235, 240, 290,
345, 348, 349
Гейберг (Heiberg J., 1854—1928) 34
Гей-Люссак (Gay-Lussac, 1778—1850)
193
Гейне (Heine Н., 1797—1856) 326
Гельфанд И. М. 173
Гельфонд А. О. 63, 190
Гемин (ок. 150 до н.э.) 344
Герберт (Сильвестр II, 940—1003)
46, 107
Гернет Н. Н. (1876—1943) 200
Геродиан (II) 37
Геродот (V) 298, 307, 335
Герон Александрийский (I в. до н. э.)
90, 147, 158, 170, 244, 253, 267,
271—280, 291—293, 301, 302,304,318,
325, 335, 336
Герхард Фридерикус (XV) 217
Герцен А. И. (1812—1870) 119
Гильберт (Hilbert D., 1862—1943)
201, 350
Гипатия (370—415) 119, 192
Гиппарх (II в. до н. э.) 286, 318
Гиппий Элидский (V в. до н. э.) 321
Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.)
276, 282, 296, 307, 319, 320, 324
Глейзер Г. И. 348, 357
Гнеденко Б. В. 110, 357, 358, 361
Головин М. Е. (1756—1790) 234
Голубев В. А. 87
Гольдбах (Goldbach Ch., 1690—1764)
24—27, 234
Гончаров В. Л. (1896—1955) 82
Гораций (65—8 до н. э.) 30
Горнер (Horner W. G., 1786—1837)
170, 171
364
Грацианская Jl. М. 196
Греффе (Graeffe К- Н.. 1799—1873)
172
Григорий XIII (XVI) 113
Гунтер (Gunter Е., 1581—1626) 157,
287
Гюйгенс (Huygens Ch., 1629—1695)
229
Давидов А. Ю. (1823—1885) 329
Даламбер (d’Alembert J., 1717—1783)
20 229 230
Данделен (Dandelin G., 1794—1887)
172
Дарвин (Darwin Ch. R., 1809—1882)
119
Дезарг (Desargues G., 1593—1661)
297
Декарт (Descartes R., 1596—1650) 71,
119, 130, 135, 137, 138, 140, 145,
150, 151, 160, 164, 167, 168, 171,
173, 192, 211, 226—229, 296, 318,
359
Деламбр (Delambre J. — B. J., 1749—
1822) 28, 29, 62, 94, 337
Делоне Б. H. 63, 109, 173, 199, 241,
359
Демокрит (ок. 460—370 до н. э.)
119, 274, 292, 296, 298, 304, 307
Депман И. Я. 357, 358, 360
Деталь (Dechales CI., 1621—1678)
137
Джонс (Jones N., 1675—1749 ) 278
Джонсон (XVII) 67
Динострат (IV в. до н. э.) 321
Диоген (III) 325
Диофант (III) 55, 56, 63, 76, 90,
124, 133, 136—138, 142, 143, 146,
147, 149, 150. 153 160 161 166,172,
183—185, 189—191, 240, 242, 243,
246, 247, 280, 312, 355
Дирихле Лежен (Dirichlet P. G. Бг-
jeune, 1805—1859) 169, 191
Дюбуа Раймон (Du Bois-Reymond,
P., 1841—1889) 198
Дюрер (Diirer А., 1471—1528) 57—
60, 339
Евдем Родосский (IV в. до н. э)
256, 259, 262
Евдокс Книдский (ок. 408—355 до
н. э.) 70, 76, 274, 280, 282, 284, 292,
293, 296, 304, 306, 308—310, 325
Евклид (365?—300? до н.э.) 21, 23,
24, 63, 70, 76, 86, 87, 139, 146, 203,
205—208, 214, 216, 240, 242, 252,
253, 256, 260—263, 266, 267, 270—
277, 279—282, 289—296, 302, 304.
305, 307—312, 317, 325—328, 330,
332, 339, 343—345, 348, 350, 356,
358, 360
Жермен (Germain S., 1776—1831)
193, 194
Жирар (Girard А., 1595—1632) 135,.
160, 164
Жуковский Е. Н. (1847—1921) 199
Завельский Ф. С. 358
Зайцев Б. И. 109 т
Запольская Л. Н. (XIX—XX) 200
Зетель С. Н. 291, 360
Золотарев Е. И. (1847—1878) 63, 153,.
241
Зубов В. П. (1899—1963) 42, 216,
358
Ибн ал-Банна (XIII—XIV) 183
Ибн Сина (980—1037) 122, 248
Иоанн Севильский (XII) 218
Иоганн из Гмундена (ок. 1380—
1442)- 218
Кавальери (Cavalieri В., 1591?—1647)
60, 229
Каган В. Ф. (1869—1953) 360
ал-Каласади (ум. в 1486) 90
Кантор (Cantor G., 1845—1918) 25'
ал-Караджи (X—XI) 76, 90, 137, 244,
247, 351, 356
Кардано (Cardano G., 1501—1576)
130, 164, 171, 206, 221, 222
ал-Каши (XIV—XV) 50—53, 76, 137,.
171, 172, 223, 278, 287, 358
Келдыш Л. В. 202
Кеплер (Kepler J., 1571—1630) 54,
274, 288
Кирик Новгородский (XII в.) 42
Китов А. И. 109
Клавиус (Clavius Ch., 1537—1612)
54, 282
Клейн (Klein F., 1849—1925) 350
Клеро (Clairaut А. С., 1713—1765)
193, 211
Кобринский Н. Е. 109
Ковалевская С. В. (1850—1891)
194—200, 234, 359
Ковалевский В. О. (1842—1883) 196
197
Колмогоров А. Н. 173, 357
Колосов А. А. 357
Кольман Э. Я. 5, 359, 361
Кондорсе (de Condorcet М., 1743—
1794) 233
Кондратов А. 109
365-
Конт (Comte О., 1798—1857) 102
Коперник H. (1473—1543) 116, 119,
220, 274, 284, 286, 288
Копиевский И. Ф. (XVII) 47
Кордемский Б. А. 57, 177, 359, 360
Короленко В. Г. (1853—1921) 176
Костовский А. Н. 360
Котек В. В. 359
Котельников С. К. (1723—1806) 234
Кочина (Полубаринова-Кочина)
П Я 9П9 ЧЗД
Коши (Cauchy A. L., 1789—1857)
234 235
Крайчик М. (1882—1957) 177
Краснопольский И. 176
Крафт (Krafft G. W., 1701—1754)
304
Кронекер (Kronecker L„ 1823—1891)
170
Крылов А. Н. (1863—1945) 64, 65,
199, 241
Куммер (Kummer Е. Е., 1810—1893)
191
Курант Р. 201
Курош А. Г. 173
Кэджори (Cajori F., 1859—1930) 361
Кэли (Cayley А., 1821—1895) 350
Кюри (Curie Р., 1859—1906) 257
-Лагранж (Lagrange J. L., 1736—1813)
63, 94, 147, 153, 190, 194, 198, 230,
240, 344, 345
Ладыженская О. А. 202
Лакруа (Lacroix S. F., 1765—1843)
280
Лаланд (de Lalande М., XVIII) 193
Ландау (Landau Е., 1877—1938) 201
Ламберт (Lambert J. Н., 1728—1777)
60, 320, 344
Лаплас (de Laplace P. S., 1749—
1827) 94, 106, 193, 229—231, 235
Лебедева-Миллер В. 202
■Леви-Чивита (Levi-Civita Т., 1873—
1942) 199
Лежандр (Legendre А. М., 1752—
1833) 146, 191, 240, 257, 275, 280,
281, 320, 329, 344, 345
Лейбниц (von Leibniz G. W., 1646—
1716) 67, 71, 99, 108, 109, 145—147,
151, 164, 167, 168, 229, 317
Лелон-Ферран Ж. 202
Лемуан (Lemoine Е. М. Н., 1840—
1912) 290
Ленин В. И. (1870—1924) 60, 358
Лепот Г. (XVIII) 193
Линдеманн (Lindemann F., 1852—
1939) 320
Литвинова Е. Ф. (1845—1919) 196
-366
Литтров (von Littrow J. Е., 1781—
1840) 345
Литцман В. (1880—1959) 360
Лобачевский Н. И. (1792—1856) 117
121, 130, 169, 172, 234, 253, 262
263, 297, 342, 345—350
Ломоносов М. В. (1711—1765) 49
232
Лопиталь (de L’Hospital G. F.,
1661—1704) 137
Лория (Loria G„ 1862—1954) 361
Лурье С. Я. 360
Ляпунов А. М. (1857—1918) 241
Магавира (IX) 278
Магницкий Л. Ф. (1669—1739) 47—
49, 54, 62, 67, 72, 78, 83, 91, 140,
176, 181, 245, 248, 287, 304
Маджини (Maggini G., 1555—1617)
54
Майкельсон (Michelson А., 1852—-
1931) 95
Майстров Л. Е. 358, 360
Максвелл (Maxwell J., 1831—1879)
95
Маклорен (Maclaurin С., 1698—1746)
232
Малыгин К- А. 357
Мальцев А. И. 173
ал-Мамун (ум. в 833) 337
Мануцци А. (XV—XVI) 52
Марков А. А. (1856—1922) 63, 241
Маркушевич А. И. 360
Мартынов Д. Я- 112
Маскерони (Mascheroni L., 1750—
1800) 340
Медовой М. И. 358
Мезириак де Баше (Bachet de Mezi-
• riac С. G., 1587—1638) 126, 175,
176, 191
Мельников И. Г. 359
Менделеев Д. И. (1834—1907) 29,
94, 95, 197
Менелай Александрийский (I—II)
318
Менехм (IV в. до н. э.) 321
Мерсенн (Mersenne М., 1588—1648)
87, 227
Меций Адриан (XVI) 278
Мешен (Mechain P. F., 1744—1804)
28, 62, 94, 337
Миклухо-Маклай Н. Н. (1846—1888)
97
Минковский В. Л. 358
Миттаг-Леффлер (Mittag-Leffler М.,
1846—1927) 197, 239
Михельсон В. С. 109
Молодший В. Н. 357, 359, 360
Монж (Monge G., 1746—1818) 94,
295, 297
Mop Г. (1640—1697) 340
Мордухай-Болтовской Д. Д. (1876—
1952) 267, 310, 342
Муравьев Н. Е. (1724—1770) 147
Мутон (Mouton G., 1618—1694) 94
ан-Найризи (X) 330
Нарышкина Е. Н. (1895—1940) 202
ан-Насави (ум. ок. 1030) 90
Нейгебауэр О. 33, 207
Нейман Г. 202
Неморарий Mordanus Nemorarius,
XIII) 215, L74
Непер (Neper J., 1550—1617) 54, 106,
107, 108, 225
Нетер (Noether А. Е., 1882—1935)
200, 201
Никитин Н. Н. 262
Никомах из Геразы (I—II) 20, 36,
45, 55, 68, 86
Никомед (II в. до н. э.) 322, 323,
325
Ньютон (Newton I., 1643—1727) 65,
70, 126, 130, 135—141, 144—149,
164, 167—172, 184, 211, 226, 229,
242, 245, 249, 274, 280, 355, 359
Обреимов В. И. (1843—1910) 176
Однер В. Т. (1845—1905) 20, 109
Озанам (Ozanam J., 1640—1717) 245
Олейник О. А. 202
Орем (Oresme N.. 1323?—1382) 216,
217
Осиповский Т. Ф. (1765—1832) 235
Остроградский М. В. (1801—1861)
195, 196, 231, 234, 235—238, 359
Отрадных Ф. П. (1900—1955) 359
Оутред (Oughtred W., 1574—1660)
67, 71, 137, 157, 211, 226
Папп (III) 254, 260, 275, 277, 289,
309, 318, 325
Паскаль (Pascal В., 1623—1662) 108,
223, 224, 297
Пастер (Pasteur L., 1822—1895) 257
Пастори М. 202
Пачиоли (Pacioli L., 1445 — ok. 1514)
45, 84, 216, 220, 223
Пейрбах (Peurbach G., 1423—1461)
218
Пелль (Pell J., 1610—1685) 67, 190
Пельтье (Peltier J., 1515—1582) 333
Первушин И. М. (1827—1900) 87
Перельман Я. И. (1882—1942) 177
Петров Н. П. (1836—1920) 237
Пикар С. 202
Питиск (Pitiscus В. 1561—1613) 183,.
285
Пифагор (500—580 до н. э.) 35, 37,
47, 54, 55, 63, 68, 69, 76, 84, 85,
122, 191, 256, 260, 262, 269, 270,
290, 296, 298—300, 304—306, 320,
325—329, 331, 333—336
Платон (427—347 до н. э.) 259, 275,
307, 308, 311
Плутарх (ок. 46 — ок. 126) 269, 312,.
314, 315, 319, 325
Подашов А. П. 121
Полетт-Либерман 202
Полибий (II в. до н. э.) 312—314
Понселе (Poncelet J. V., 1788—1867)
107, 289, 297
Понтрягин Л. С. 173
Попов Г. Н. (1878—1930) 361
Посидоний (135—51 до н. э.) 267,
336, 344
Прокл (410—485) 258, 259, 262, 263,
266—269, 275, 277, 289, 305, 309,
325, 326, 344
Прудников В. Е. 361
Птолемей (И) 119, 151, 183, 216, 286,
287, 309, 318, 330—332, 336, 337,
344
Пуассон (Poisson S. D., 1781—1840)
235
Пудловский С. (1597—1647) 94
Раик А. Е. 276, 358, 361
Рамус П. (1515—1572) 274
Региомонтан (Ioannes Regiomonta¬
nus, 1436—1476) 67, 87, 218, 223,.
246, 263, 266, 274, 287, 288
Рекорд (Recorde R., 1510—1558) 67,
164, 165, 225, 260
Ремез Е. Я. 359
Ренч (Wrench J. W.) 279
Ризе (Riese А., 1492—1559) 47, 53,
83, 244
Риман (Riemann G. F. В., 1826—
1866) 235, 297, 350
Ринд (Rhind А. Н., XIX) 31
Розенфельд Б. А. 360
Рудио (Rudio F., 1856—1929) 360
Рудольф (Rudollf К., 1500?—1545?)
53, 159, 160, 202, 224, 244, 247
Румовский С. Я. (1734—1812) 234,.
345
Руффини (Ruffini Р., 1765—1822)
170, 171
Рыбкин Г. Ф. 360
Рыбников К- А. 361
367
Сабо А. О. 360
Саккери (Saccheri G., 1667—1733)
344
Сервуа (Servois F., 1767—1847) 146
Серпинский В. 358
Сеченов И. М. (1829—1905) 197
Сильвестр (Sylvester J. J., 1814—
1897) 241
Симонов Р. А. 359
Сл юса рев Г. Г. 360
Смирнов А. Д. 109
Смирнов В. Л. 65
Смогоржевский А. С. 341
Созиген (I в. до н. э.) 113
Сомервиль М. (1780—1872) 193
Спасский И. Г. 358
Спиноза (Spinoza В., 1632—1677) 119
Сриддхара (XI) 38, 72, 278, 300
Стевин (Stevin S., 1548—1620) 50,
53, 135, 160, 218, 281
Стеклов В. А. (1863—1926) 119, 199,
241
Столетов А. Г. (1839—1896) 197
Страннолюбский А. Н. (1839—1903)
196
Струве В. В. 31
Струве В. Я. (1793—1864) 337
Сушкевич А. К. (1889—1961) 358
Тарталья (Tartaglia N.. ок. 1499—
1557) 130, 145, 164, 171, 220—223,
274 339
Тебо ’(Thebaux V.) 290
Теон Александрийский (IV) 192
Теэтет Афинский (IV в. до н. э.)
70, 296, 305, 310
Толстой Л. Н (1828—1910) 122, 126
Торричелли (Torricelli Е., 1608—
1647) 229
Трахтенброт Б. А. 206
Тропфке (Tropfke J., 1866—1939)
358, 361
Тураев Б. А. (1868—1920) 31
Тургенев И. С. (1818—1883) 197
ат-Туси Насирэддин (1201—1274) 69,
76, 288, 344
Тюро-Данжен (Thureau-Dangin F.)
33
Улугбек (1393—1449) 50—52
Урысон П. С. (1898—1924) 201
Ушаков (XIX) 280
Фалес Милетский (ок. 624—548 до
н. э.) 256—259, 265, 275, 276, 282,
296, 304, 305, 336
-368
Фейербах (Feuerbach К., 1800—1834)
289, 290
Фергюсон (Ferguson D. F.) 279
Ферма (de Fermat P., 1601—1665)
57, 60, 63, 87, 123, 151, 153, 168,
190—192, 229, 234, 240, 318
Феррари (Ferrari L., 1522—1565) 171,
222
дель Ферро (del Ferro S., 1465—1526)
171, 219, 220—222
Фибоначчи (Fibonacci L., 1180?—
1250?) 72, 76, 82, 84, 90, 134, 147,
163, 181, 215, 217, 246—248, 266,
274, 292, 330, 351
Финк (Fink T„ 1561—1656) 288
Фиоре (XVI) 219, 220
Фурье (Fourier J. B. J., 1768—1830)
234 235
ФуссН. И. (1755—1826) 234
ал-Хабаш (ок. 770 — ок. 870) 288
Хайям Омар (1048—1123) 69, 76,
137, 171, 211—215, 359.
ал-Хассар (XII) 90, 147
Хованский А. Н. 289
ал-Хорезми (ок. 780 — ок. 850) 43,
44, 72, 76, 88, 130, 137, 143, 144,
155, 162, 163, 180, 209, 210, 217,
247
Хохлов А. Т. 348
Цезарь (Caesar J., 100—44 до н. э.)
113, 114
ван-Цейлен (Ludolph van Ceulen,
1540—1610) 278
Цейтен (Zeuthen Н. G., 1839—1920)
361
Цзу Чун-чжи (428—499) 278
Цицерон (Cicero М., 106—43 до н. э.)
91, 275, 312
Цхакая Д. Г. 13, 40
Чаплыгин С. А. (1869—1942) 199
Чеботарев Н. Г. (1894—1947) 173,
320
Чебышев П. Л. (1821—1894) 19,
22—24, 63, 109, 123, 153, 197, 199,
234, 238—241
Четверухин Н. Ф. 342, 360
Чехов А. П. (1860—1904) 125
Чжу Ши-цзе (XIII—XIV) 50, 222
Чикуини-Чибрарио М. 202
Чистяков В. Д. 351
Шатле Е. (1706—1749) 192, 193
Шатуновский С. О. (1859—1929) 342,
360
Швецов К. И. 358, 359
Шевченко И. Н. 357
Шейбель (XVI) 87
Шенке (Shanks W., XIX) 278, 279
Шеремегевский В. П. (?—1919) 361
Шиккард В. (XVII) 108
Шифф В. И. (?—1918) 202
Шмидт О. Ю. (1891—1956) 173
Шнирельман Л. Г. (1905—1938) 25,
26, 63
Шрейдер С. Н. (1878—1948) 359
Штейнер (Steiner J., 1796—1863)
341, 351
Штифель (Stifel М., ок. 1486—1567)
134—137, 145, 160, 164, 223—226,
242
Шюке (Chuquet N., XV) 69, 84, 145,
149. 159, 160. 217, 223, 246
Эйлер (Euler L., 1707—1783) 22.
25—27, 60, 63, 85, 87, 123, 126, 130,
135, 138, 145—149, 153, 168, 191,
192, 211, 229—233, 240, 242, 248,
278, 288, 289, 351
Энгельс (Engels F., 1820—1895) 85.
167
Эратосфен (276—194 до н. э.) 23,
24, 55, 62, 76, 87, 309, 312, 325,
336
Эригон (Herigone P., XVII) 254, 260
Эрмит (Hermite Ch., 1822—1901) 239,
320
Эссиг (Essig J.) 102
Юшкевич А. П. 5, 216, 358, 359, 361
Якоби Б. С. (1801 —1874) 29, 35
Ямблих (ок. 250—325) 84
Яновская С. А. 202, 358
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
-Введение 6
Глава I. АРИФМЕТИКА
История арифметики на уроках
V класс
1. Натуральные числа II
1. О происхождении арифметики. Счет и десятичная система счи¬
сления —
2. О происхождении и развитии письменной нумерации. Цифры раз¬
ных времен 13
3. О счетных приборах. Русские счеты. Вычислительные машины 17
4. О натуральном ряде. «Исчисление песчинок» Архимеда. Совре¬
менная запись больших чисел 20
5. О простых числах. Евклид и Эратосфен. Чебышев 23
6. О задаче Гольдбаха. Нерешенные задачи теории чисел 24
7. Возникновение и совершенствование мер длины. О метрической
системе мер 26
2. Обыкновенные дроби 30
8. О происхождении дробей. Дроби в древнем Риме —
9. Дроби в древнем Египте —
10. Вавилонская нумерация. Шестидесятеричные дроби 32
11. Нумерация и дроби в древней Греции 36
12. Древнекитайские задачи с дробями 37
13. Староиндийская задача с цветами и пчелами 38
14. Задачи с дробями у древних армян 40
15. Нумерация и дроби на Руси * 41
16. Ал-Хорезми и его «Арифметика» 43
17. Абацисты и алгоритмики в средневековой Европе 45
18. «Арифметика» Магницкого. Задачи с дробями 47
370
3. Десятичные дроби 49*
19. Происхождение десятичных дробей —
20. От шестидесятеричных к десятичным дробям. Ал-Каши .... 50
21. «Десятая» Симона Стевина 53-
22. Распространение десятичных дробей, их значение в жизни совре¬
менного общества 64
23. Фигурные числа —
24. Треугольные числа 55
25. Квадратные числа. Формула Диофанта •—
26. Магические квадраты .56
27. Магический квадрат А. Дюрера. Гравюра «Меланхолия» ... 57
28. Развитие понятия о числе. От натуральных к дробным числам 59
4. Совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями. От¬
ношение величин. Измерение величин 60
29. О периодических дробях —
30. Древнеегипетская задача с дробями 61
31. Из истории нуля —
32. Об измерении земного меридиана Эратосфеном 62
33. От эмпирической к теоретической арифметике 63
VI класс
5. Приближенные вычисления 64
34. О происхождении приближенных чисел —
35. «Правило А. Н. Крылова» —
6. Проценты 65
36. Проценты в прошлом и в настоящее время —
37. Арифметические знаки и обозначения. Знак процента 66
38. Об арифметических таблицах 68
7. Пропорции 69
39. Число и отношение —
40. Пропорции в древней Греции 70
41. Как записывали пропорции в прошлом 71
42. О тройном правиле 72
43. Задача на пропорциональное деление из «Арифметики» Л. Ф. Маг¬
ницкого —
44. О том, как дошли люди до настоящей арифметики 73
История арифметики на внеклассных занятиях
8. Пальцевый счет. Различные приемы умножения 77
9. Проверка действий с помощью девятки 81
10. Пифагор и его школа. О дружественных и совершенных числах. Про¬
блемы, ожидающие своего решения . 84
11. Из истории дробей £8
12. Старые русские, метрические и другие меры. Современная наука и
создание международной системы мер 91
13. Счет и системы счисления. Устная и письменная нумерация .... 96-
14. Счетные приборы. Вычислительные машины 106
371
15. Как научились люди измерять время (Из истории календаря). Новое
определение секунды . 112
16. О происхождении некоторых числовых суеверий 116
17. Исторические задачи 120
Глава II. АЛГЕБРА
История алгебры на уроках
VI класс
1. Алгебраические выражения 129
1. От арифметики к алгебре. —
2. Буквы и знаки. Алгебраические выражения 130
2. Рациональные числа. Уравнения 132
3. Возникновение отрицательных чисел —
4. «Люди не одобряют отрицательных чисел...» От Диофанта до
Бхаскары 133
5. Путь к признанию 134
6. Задача на составление уравнений из «Московского папируса» . . 135
3. Действия над алгебраическими выражениями. Из истории алгебраи¬
ческой символики 136
7. Начало буквенной символики. Возведение в степень —
8. О коэффициенте 137
9. От алгебры риторической к алгебре символической- —
10. Формулы умножения. Геометрическая алгебра в древности . . . 139
11. Алгебраические сведения в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого . . . 140
12. «Всеобщая Арифметика» И. Ньютона —
VII класс
4. Уравнения первой степени с одним неизвестным 141
13. Из истории уравнений. Метод ложного положения в Египте . . —
14. Решение уравнений в древней Греции и Индии 142
15. О происхождении слова «алгебра» 143
16. И. Ньютон о языке алгебры 144
5. Разложение многочленов на множители 145
17. Из истории скобок —
18. Об основных законах действий. Распределительный закон у Ев¬
клида 146
19. Об одной формуле Диофанта —
20. О записи и знаках умножения и деления —
-21. «Универсальная Арифметика» Л. Эйлера 147
6. Алгебраические дроби 148
22. И. Ньютон об алгебраической дроби —■
23. Обозначение ■— = огп 149
ап
24. Алгебраические дроби у Диофанта —
372
25. Одно тождество Эйлера 149
26. О буквенных коэффициентах. Задача Ариабхатты —
7. Координаты и графики 151
27. О координатах —
28. О методе координат и о графиках —
8. Система уравнений первой степени с двумя неизвестными 152
29. Неопределенные уравнения —
30. Система уравнений первой степени с двумя неизвестными и ее
решение в древности 153
31. Две задачи ал-Хорезми 155
32. Из «Греческой антологии» —
33. Учение об уравнениях и расширение понятия о числе 156
VIII класс
9. Счетная линейка 157
34. О счетной линейке —
10. Квадратный корень и квадратные уравнения 158
35. Извлечение квадратного корня из положительных чисел .... —
36. О знаке корня 159
37. Квадратные уравнения в древнем Вавилоне 160
38. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения —
39. Квадратные уравнения в Индии 161
40. Квадратные уравнения у ал-Хорезми 162
41. Квадратные уравнения в Европе XIII—XVII вв 163
42. О теореме Виета 164
43. О знаках равенства и неравенства —
44. Из истории решения системы уравнений, содержащей одно урав¬
нение второй степени и одно линейное .... 165
11. Функции и графики 166
45. Декартова переменная величина — поворотный пункт в развитии
математики —
46. Понятие функции 168
47. Дальнейшее развитие понятия функции —
48. О кубическом корне 170
49. О приближенном и графическом решении уравнений 171
50. Краткий обзор исторического развития алгебры 172
История алгебры на внеклассных занятиях
12. Старинные математические развлечения и действия над алгебраиче¬
скими выражениями 174
13. Алгебра в древней Индии и Китае -. . . 178
14. О Диофанте и диофантовых уравнениях. «Последняя теорема Ферма» 184
15. Женщины-математики 192
16. О термине и понятии «алгоритм» 202
17. Геометрическая алгебра и решение квадратных уравнений 206
18. Омар Хайям — математик и поэт 211
373
19. Арифметика и алгебра в Европе в XII—XV вв 215
20. Из истории развития алгебры в XVI в 218
21. Рене Декарт — великий математик и мыслитель XVII в 227
22. О величайшем математике XVIII в. — Леонарде Эйлере 230
23. О двух выдающихся русских математиках XIX в. Остроградском и
Чебышеве 235
24. Исторические задачи 242
Глава III. ГЕОМЕТРИЯ
История геометрии на уроках
VI класс
1. Основные' понятия 251
1. О происхождении геометрии —■
2. О геометрических фигурах. Вычисление отрезков 253
3. О происхождении некоторых терминов и понятий 254
2. Треугольники 256
4. О треугольниках —
5. О симметрии —
6. О равнобедренном треугольнике. Фалес Милетский 257
7. О признаках равенства треугольников 259
8. О прямоугольном треугольнике 260
3. Параллельность —
9. О параллельных прямых —
10. О построении прямой, проходящей через данную точку и парал¬
лельной данной прямой. Аксиома параллельности 261
11. О сумме углов треугольника 262
12. Геометрические инструменты 263
13. Об одном старинном способе определения недоступных рас¬
стояний 264
VII класс
4. Четырехугольники 266
14. О параллелограмме —
15. О трапеции ' 267
16. О задачах на построение —
5. Площадь многоугольника. Поверхность и объем призмы 268
17. Вычисление площадей в древности —
18. О теореме Пифагора. Геометрия в древней Индии 269
19. Измерение площадей в древней Греции. Герон Александрийский. 270
20. О призме и параллелепипеде , 272
21. Измерение объемов 273
6. Окружность ' 274
22. Об окружности и ее радиусе —
23. О касательных к окружности. Архит Тарентскик 275
24. О вписанных углах. Гиппократ Хиосский 276
374
25. О длине окружности и площади круга. Архимед 276
26. О числе я 277
27. О цилиндре, его поверхности и объеме 279
28. Об одной ошибке древних египтян —
VIII класс
7. Пропорциональные отрезки. Подобие фигур 280
29. Отношение и пропорциональность отрезков —
30. О делении отрезка в данном отношении 281
31. О подобии —
32. «Деление в данном отношении» Аполлония 282
33. О построении подобных фигур. Пропорциональный циркуль. Га¬
лилей . . 283
8. Тригонометрические функции острого угла 285
34. О происхождении тригонометрии . . . . : —
35. О тригонометрических таблицах —
36. О тригонометрических функциях и о развитии тригонометрии . . 287
9. Вписанные и описанные многоугольники 289
37. «Замечательные» точки треугольника. Геометрия треугольника . . —
38. О правильных многоугольниках 290
10. Вычисление площадей и объемов геометрических тел 291
39. О пирамиде и ее объеме —
40. О конусе 292
41. О шаре 293
42. Краткий обзор развития геометрии 295
История геометрии на внеклассных занятиях
11. Практическая геометрия у разных народов 298
12. О развитии геометрии в древней Греции до Евклида 304
13. Александрийская эпоха. Евклид 309
14. Архимед 312
15. Три знаменитых задачи древности 318
16. Сто доказательств. (Из истории теоремы Пифагора.) 325
17. Теорема Птолемея и составление тригонометрических таблиц . . . 330
18. Деление площадей и преобразования равновеликих фигур 332
19. Приборы и инструменты в измерениях и геометрических построениях.
Измерение меридиана 334
20. О развитии геометрии. Геометрия Лобачевского 342
21. Исторические задачи 350
Ответы, указания и решения 352
Литература 357
Именной указатель . .. ...... 363
Герш Исакович Глейзер
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ Ь ШКОЛЕ
Редактор А. А. Свечников
Оформление художника В. Г. Прохорова
Художественный редактор В. И. Рывчин
Технический редактор Т. И. Зыкина
Корректор Т. А. Кузнецова
* * *
Сдано в набор 21/1V 1964 г. Подписано к пе¬
чати 10/Х 1964 г. Формат бумаги 60x 907i6- Печ. л. 23,5-
Уч.-изд. л. 22,38. Тираж 46 тыс. экз. (Тем. пл. 1964 г.
№ 146). А-08179.
S* # #
Издательство „Просвещение" Государственного
комитета Совета Министров РСФСР по печати.
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Государственного комитета Совета Министров
СССР по печати. Измайловский проспект, 29-
Заказ № 366.
Цена без переплета 60 коп., переплет 15 коп.