п. А. КУРБАТОВ, С. А ЛРИНЧИН
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ПОЛЕЙ
ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ

П. А. КУРБАТОВ, С. А. АРИНЧИН
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ
электромагнитных
полей
МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1984
ББК 31.222
К 93
УДК 621.3.013.001.24:681.3.06
Рецензент В. Н. Шахтарин
Курбатов П. А., Аринчин С. А.
К93 Численный расчет электромагнитных полей,—
М.: Энергоатомиздат, 1984.— 168 с., пл.
50 к. 6000 экз.
Изложены численные методы расчета магнитостатических и ква-
зистационариых электромагнитных полей, базирующиеся на инте-
гральных уравнениях. Значительное место отведено способам орга-
низации вычислительнных алгоритмов. npoipaMM расчета на ЭВМ и
их применению для анализа электромагнитных процессов при реше-
нии конкретных технических задач.
Рассчитана на Широкий круг инженеров и научных работников,
занимающихся расчетом электромагнитных полей в электро- и ра-
диотехнике.
2302010000-467	ББК 31.222
К051(01)-84	,,О-М	6П2.1.08
(g) Энергоатомиздат, 1984
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга посвящена численному расчету электромагнитных
нолей в электротехнических и радиотехнических устройст-
вах и включает как вопросы теории интегральных методов
расчета стационарных и квазистационарных полей, так и
вопросы реализации этих методов на современных ЭВМ.
Электромагнитные системы нашли применение практи-
чески во всех отраслях промышленности, поэтому прило-
жения рассматриваемых в книге методов расчета весьма
разнообразны. Для иллюстрации возможностей этих мето-
дов подобраны конкретные примеры расчетов магнитных
систем электротехнических устройств, электронных прибо-
ров, электрических машин, электрических аппаратов, опор
и подвесов, приведены результаты исследований процессов
электромагнитного контроля импульсного намагничивания
ферромагнитных деталей и др.
За два последних десятилетия в печати опубликовано
значительное число работ по усовершенствованию теории
интегральных уравнений в приложении к электромагнит-
ным полям. Постепенно возрастает число работ, где рас-
сматриваются способы практической реализации этих ме-
тодов, но все же заметен разрыв между теорией и ее прак-
тическим воплощением. При численном расчете электро-
магнитной системы тесно переплетаются вопросы построе-
ния математических моделей, разработки экономичных вы-
числительных алгоритмов и оптимального использования
ресурсов ЭВМ. В книге описаны два основных подхода
к формулировке интегральных уравнений, приводящих
либо к граничным, либо к пространственным уравнениям,
иначе — к уравнениям относительно источников, распреде-
ленных по границам раздела разнородных сред и границам
исследуемых областей, или к уравнениям относительно про-
странственно распределенных источников. При решении
конкретной задачи необходимо использовать сочетание
этих уравнений.
Сложность алгоритмической и программной реализации
численного метода расчета электромагнитного поля по от-
ношению к возможностям инженера, у которого возникла
3
подобная задача, сейчас остается еще гланпым препятст-
вием па ну in ею широкого in ноль юпапня. Выход из этой
ситуации известен — эю создание фондов программ и об-
мен ими в рамках писпнуы, отрасли, ораны. По для того
чтобы фондовые программы полно оптечалн своему назна-
чению, па них накладывается ряд дополнительных требо-
ваний, важнейшее из которых универсальность. На разра-
ботку именно таких программ, точнее, управляемых ком-
плексов программ, ориентируют материалы книги.
Эффективность численных методов расчета оценивается
по конечным параметрам: точности и производительности
программ, простоте реализации. К сожалению, в печати
встречаются работы, в которых забывают об этих крите-
риях в погоне за оригинальностью математических фор-
мул. Свой вклад в рассматриваемую проблему авторы ви-
дят в доведении в большей части известных методов до
конкретной реализации, развитии этих методов для ис-
пользования при анализе как можно более широкого круга
устройств, решения связанных с этим вопросов универса-
лизации алгоритмов по отношению к геометрии и свойст-
вам элементов.
Главы 1—5 содержат материалы по расчетам магнит-
ных систем со стационарными полями. Эти материалы про-
шли длительную апробацию и имеют высокий уровень реа-
лизации— на их основе создан и успешно эксплуатируется
комплекс программ анализа магнитных систем, который не
содержит существенных ограничений на форму п свойства
комплектующих деталей.
Первые пять глав можно рассматривать как базу, па
которой построены гл. G—8, посвященные методам расчета
квазпетациоиарных полей электромагнитных систем. В це-
лом задача анализа квазистацпопариого поля оказывается
в 2—3 раза более громоздкой для ЭВМ, чем анализ ста-
ционарного поля, но тем не менее вполне посильной. Конеч-
но, и уровень реализации численных методов анализа элек-
тромагнитных систем с квазистационарными полями пока
ниже, чем со стационарными полями.
Главы 1—5 написаны П. А. Курбатовым, гл. 6—8 — со-
вместно обоими авторами.
Авторы глубоко признательны сотрудникам кафедры
общей электротехники МЭИ, в чьем коллективе была под-
готовлена книга, и выражают благодарность рецензенту
доктору техн, наук В. Н, Шахтарину и редактору канд.
техн, наук, доценту Ю. Я. Останину за рекомендации, спо-
собствовавшие улучшению содержания книги.
Авторы
4
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ИСХОДНЫЕ ПОСЫЛКИ ДЛЯ РАСЧЕТА МАГНИТНЫХ
СИСТЕМ СО СТАЦИОНАРНЫМ ПОЛЕМ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ
МЕТОДАМИ
1.1. ДИСКРЕТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТОВ
МАГНИТНЫХ СИСТЕМ
При расчете магнитных систем (МС) со стационарным
полем учитываются магнитная арматура, выполненная из
магнитно-мягкого материала, постоянные магниты и про-
водники с неизменным во времени током. Постоянные маг-
ниты и проводники с током выступают в качестве первич-
ных источников поля, а магнитная арматура—вторичных.
В то же время с точки зрения расчета МС все ее элементы
разделяются па элементы с известным п неизвестным рас-
пределением источников ноля. Обычно заранее известно
распределение тока в обмотках и реже — распределение
источников поля в постоянных магнитах. Характерный при-
знак таких постоянных магнитов — независимость распре-
деления источников в них от внешнего поля [1].
Численный расчет МС строится относительно формаль-
ных источников поля, анализируемых па макроскопическом
уровне. Совокупность таких источников, заключенных
в объеме элемента системы, составляет основу его матема-
тической модели. Определенная свобода выбора математи-
ческой модели всегда существует, но целесообразно выби-
рать такую модель, которая позволяет решить поставлен-
ную задачу с минимальными вычислительными затратами.
Общие закономерности распределения в пространстве
источников магнитного поля представлены системой урав-
нений Максвелла [2]
—0,	\1.1)
где В, И— соответственно индукция и напряженность маг-
ии гною поля; J —объемная плотность токов в обмотках.
5
С учетом связи векторов В. Н и намагниченности веще-
ства М
В=^(Н+М)	(1.2)
для истоков вектора Н получаем
УЯ=—VM	(1.3)
Таким образом, истоки вектора напряженности поля рас-
положены внутри ферромагнитных элементов, а его вих-
ри— в проводниках с током. У поля вектора индукции ис-
токи отсутствуют, а вихри располагаются в проводниках
с током и в ферромагнитных элементах, так как
' уХЯ = уХ1М# + ^Я = М + рч,?Х7И. 0-D
Знания истоков и вихрен векторного поля во всем про-
странстве при условии отсутствия поля на бесконечности
достаточно для определения самих векторов в любой точке.
Согласно теореме разложения Гельмгольца поле представ-
ляется суммой безвихревой и солсноидальной составляю-
щих, причем первая задастся истоками векторов, а вто-
рая— вихрями [3]
Н =Н^-Н",
где II" и Н'—безвихревая и соленоидальная составляю-
щие.
По определению для Нп и II" должны выполняться ра-
венства
\>ХН"-0, ?№ = 0.
Распределение в пространстве безвихревой составляю-
щей может быть выражено через скалярный потенциал ер,
так как всегда справедлива связь
- Н"-=— Угр.	(1.5)
Истоки вектора намагниченности создают потенциал,
который подчиняется интегральному соотношению [4]
=-----• Г—ds\ (1.6)
4п I J г	Jr	I
\v	S	/
Составляющая И" напряженности поля согласно (1.5),
(1.6) имеет вид
/7П=.—[C-^)r-dV - f-(—)r-dS~|	(1.7)
4л J	г3	.1	г’
Liz	s	J
где г=гРу=Гр—rQ — радиус-вектор, соединяющий точку на-
блюдения Q с текущей точкой интегрирования Р; V, S —
соответственно объем и поверхность всех ферромагнитных
О
> (смешон MC; n — внешняя нормаль к поверхности S
н гонке интегрирования.	>
Для соленоидального поля Н" вводится понятие вектор-
шип потенциала
Вскторный потенциал Дь созданный токами в провод-
никах, подчиняется интегральному соотношению
Д •=—?— [ — dV,
4п J г
»'п
где интегрирование производится по объему всех провод-
ников с током.
Так как поле вектора индукции чисто соленоидальное,
то его также можно выразить через векторный потенциал
B=--vX^	О-8)
и из (1.4) получить интегральные выражения для Д и В-.
(1.10)
В интегральных методах расчета использование проме-
жуточных параметров поля — скалярного и векторного по-
тенциалов— дает возможность дополнительно к граничным
значениям векторов напряженности и индукции поля зада-
вать граничные условия для потенциалов без увеличения
числа неизвестных в уравнениях (см. § 2.2 и 6.2).
Распределение намагниченности в ферромагнитных эле-
ментах системы и плотности токов в проводниках отражает
физические явления на макроскопическом уровне, иначе го-
воря, усреднение в объеме таких размеров, которые хотя и
тоступны непосредственному наблюдению, но представля-
ются нам в виде непрерывных распределений [2]. Расчет
ноля по выражениям (1.6), (1.7), (1.9), (1.10) и тем более
расчет самих источников в реальных задачах па таком
уровне провести невозможно из-за слишком большого чис-
ла неизвестных. Необходимо усреднение в более крупных
масштабах, когда расчет ограничивается конечным числом
операций, доступных ЭВМ, а возникающая при этом по-
7
грешность не превосходит допустимых значений. Этой цели
служат дискретные математические модели элементов МС.
В табл. 1.1 приведено условное изображение ферромаг-
нитного элемента МС, где стрелки показывают направле-
ние вектора намагниченности. Проследим изменение выра-
жения для напряженности создаваемого им поля (1.7) при
различных приближенных представлениях распределения
намагниченности в его объеме.
Наиболее грубое приближение получаем при усреднении
вектора намагниченности по всему объему элемента, т. е.
при Af=const. В этом случае VM=0, объемный интеграл
в (1.7) равен пулю и напряженность поля в любой точке
пространства, включающего сам элемент, рассчитывается
интегрированием нормальной составляющей намагниченно-
сти по поверхности элемента
V—1
где ASV—площадь v и грани элемента; / — число гранен.
На практике такое приближение оправдано при расчете
топографии поля систем без магнитно мягкой арматуры
с магнитами из высококоэрпитпвных сплавов редкоземель-
ных элементов с кобальтом пли некоторых марок бариевых
ферритов, у которых вектор намагниченности в рассматри-
ваемом диапазоне изменения полей можно принять посто-
янным.
Расчет систем с магнитно-мягкой арматурой часто стро-
ится в предположении постоянства относительной магнит-
ной проницаемости по объему элемента p,=const. Такая
идеализация свойств также приводит к исключению объ-
емного интеграла из (1.7), так как согласно (1.3)
VM=— V	V [В/ (р,.| ।,) ] =0.
Однако вектор намагниченности нельзя вынести из-под
знака поверхностного интеграла вследствие того, что рас-
пределение намагниченности сохраняет непрерывный ха-
рактер и остается пространственной функцией координат.
Сделаем еще одни шаг в сторону упрощения модели—про-
ведем кусочно-постоянную аппроксимацию нормальной со-
ставляющей вектора намагниченности у поверхности
элемента. Тогда формула для вычисления напряженности
поля примет более простой вид
т
'	С")
/=1
S
Тпблицн 11 Математические модели элементов магнитны#
ПК 1ГМ
М” I- it. лл.менга
Выражение для индукции и напряженности поля
II-const
Tl AS>
В=^^(«,ХЛПХ ji‘/S
jnr—const ,
"--iSW
/-I
m
«=-&S(zt/XAf/)X f dS
i i	^sj
A' lj
"=-iSS("’'A,/) f ~^lis
/ l> I	ASj
N li
e=iSS(^xMj)x f ^dS
У I ' l	д^\/
JA rj -COnSt
N "4
H —iSSl"A).f ^tls
i Ik ।
N "4
B=i S S f ilIS
^.k
9
где tn — общее число элементарных площадок, выделенных
на гранях ферромагнитного элемента, в пределах которых
(rijMj)— const.
Такая дискретная модель вполне пригодна для анализа
массивных ненасыщенных магнитопроводов, выполненных
из сплавов с высоким значением относительной магнитной
проницаемости. Для магнитно-мягких элементов систем,
работающих в режиме, близком к насыщению, эта модель
пригодна только в однородных полях, например эллипсоид
во внешнем однородном поле, замкнутая магнитная цепь
и т. д.
Болес правильным приближением к точному описанию
распределения источников в ферромагнитном элементе слу-
жит кусочно-постоянная аппроксимация намагниченности
по элементарным объемам 2И(—const, где /=1, 2, ..., N —
номер элементарного объема. В этом случае интегрнрова
пне производится по всем поверхностям \Svf, ограничива-
ющим элементарные объемы:
N 'j
J ("12)
/=| v=i
где /j —число граней j-ro элементарного объема.
Такая модель элемента даст приемлемую в инженерных
расчетах точность представления сложных распределений
вектора намагниченности для большинства конструкции
МС и в постоянных магнитах, и в магнитно-мягкой арма-
туре. Универсальность модели достигается путем вариации
форм и размеров элементарных объемов, н тем самым
обеспечивается асимптотическое приближение к реальному
распределению источников.
Ограничиться при расчете напряженности поля вычис-
лением только поверхностных интегралов позволяет еще
одна, по-внднмому, более точная модель ферромагнитного
элемента системы, у которой в каждом элементарном объ-
еме принимается prj=const. Подобно (1-11) здесь также
приходится разбивать поверхности элементарных объемов
на малые элементарные площадки, и размерность сумм
в выражении для напряженности поля становится больше,
чем в (1.12):
N tnj
«= iES'"'*"'*’ ,f ~^dS- (ll3>
/=1 *=l	bsjk
где nij — число элементарных площадок на поверхности,
ограничивающей j-й элементарный объем.
10
В последних двух формулах интегрирование по поверх-
1нн him ра «биения выполняется дважды для каждого из со-
прикасающихся элементарных объемов. Поэтому более
прог iой вид формулы приобретают после группировки чле-
нов. Например, для (1.12) имеем
т
Н^-±~Упь(Мек- М\) f -^-rfS.
4л	.1 r’
*='	*Sk
i ic m — общее число площадок па всех поверхностях раз-
биения, включая границы всего объема; Mrh и М'ь— Ha-
м. п пиченпости прилегающих к /г-й элементарной площадке
областей.
('качки нормальной составляющей вектора намагничен-
ности па поверхности раздела двух разнородных сред, ко-
торые согласно (1.3) равны по абсолютному значению
скачкам нормальной составляющей напряженности поля,
по аналогии с электростатикой называют поверхностным
магнитным зарядом
пк(Мск-М1к)^-^а.	(1.14)
где Ом — плотность поверхностного магнитного заряда.
Использование при анализе поля фиктивных магнитных
зарядов, так же как и других рассматриваемых ниже фин-
ишных источников, предназначено исключительно для бо-
лее компактных записей интегральных соотношений. Физи-
ческая же сущность поверхностного магнитного заряда за-
ключается в скачкообразном изменении вектора намагни-
ченности.
До сих пор рассматривались модели ферромагнитных
элементов, содержащие только поверхностные источники.
Уточнение дискретных моделей приводит к необходимости
учета объемных источников в (1.7)—истоков вектора на-
магниченности или объемных магнитных зарядов
VM=-pM/po,	(1.15)
где рм — объемная плотность магнитного заряда.
Простейшая модель с объемными источниками строит-
ся с помощью кусочно-постоянной аппроксимации дивер-
генции намагниченности по выделенным элементарным
объемам, т. е. в пределах элементарного объема принима-
лся pH=const. Однако ввиду осложнения интегрирования
подобные модели не нашли широкого применения.
Гели расчет МС строится относительно вектора магнит-
ной индукции, то модели с кусочно-постоянной аппрокси-
11
мацией вектора намагниченности также существенно упро-
щают интегральные выражения, которые по своей струк-
туре повторяют рассмотренные выше. Принципиальное
отличие состоит в том, что для В имеем нс скалярные
источники, а векторные, которые называют объемным и по-
верхностным током намагниченности:
JM = VX>W. /м==лХ(>Ис- М1).	(1.16)
где JM и «Л! —объемная и поверхностная плотность тока
намагниченности соответственно.
Формулы для расчета индукции и напряженности поля
для различных математических моделей ферромагнитных
элементов МС сведены в табл. 1.1.
Выбор дискретной модели элемента МС непосредствен
но связан с обеспечением требуемой точности расчета. На
различных этапах расчета можно оценить погрешности,
вносимые дискретизацией области, численным интегрирова-
нием, приближенным решением систем нелинейных урав-
нений и т. п., но оценка погрешностей не дает возможно-
сти определить степень адекватности модели оригиналу.
При этом можно говорить лишь о погрешности нахождения
параметров выбранной модели. Объективную же оценку
точности расчета в целом дает сопоставление его с экспе-
риментом. Расхождение результатов расчета с истинными
параметрами объекта вызывается двумя причинами: во-
первых, различием заложенной в расчет и эксперимент ис-
ходной информации о МС (магнитные свойства и геомет-
рические соотношения деталей МС), во-вторых, наличием
методической погрешности модели, связанной с существу-
ющими ограничениями. Например, модель с pr=const по
всему объему ферромагнитного элемента принципиально не
может обеспечить наперед заданную погрешность в зада-
чах с изменяющейся цг. В то же время модели с ц,,—const
или Mj=const в пределах элементарных объемов допуска-
ют снижение этой погрешности до требуемого минимума
при уменьшении шага дискретизации, конечно, при соот-
ветствующем снижении вычислительных погрешностей.
Практика показывает, что основная причина расхождений
результатов расчета и эксперимента, трудно поддающаяся
исключению, кроется в задании магнитных свойств ферро-
магнитных элементов МС.
1.2. МАГНИТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ
МАГНИТНЫХ СИСТЕМ
Наибольшую трудность при расчете МС по любой методике
представляет определение магнитного состояния ферромагнитных
12
 к мешок, поскольку оно чаще всего заранее не известно к приводит
к шлипсйиым и неоднозначным зависимостям. При формальном числен-
ном исследовании процессов намагничивания необходимо знать связь
меж ту какими-либо двумя из векторов, характеризующих поле: В, М,
II Опившийся неизвестным вектор однозначно определяется из со-
oiuoHiciiiiH (1.2). Такая связь должна отражать свойства магнитного
м.исриала, используемого в конкретном изделии, в реальных услови-
ях воздействия неоднородных магнитных полей, накладываемых в
определенной последовательности. Для ЭВМ допустимо задание ее в
аналитическом виде, в виде таблиц чисел, а также в неявном виде,
например системой уравнений. Математическое описание свойств из-
телнй из магнитных материалов — сложная и далеко еще не решен-
ная задача, так как экспериментальные сведения ограничиваются ре-
.пльгатамн отдельных, в основном простейших испытаний: в одно-
ро шых полях, в замкнутой магнитной цепи, для образцов простой
формы и т. д.
С той пли иной степенью приближения ферромагнитный матери-
ал по способу математического описания его свойств можно отнести
к одной из трех групп:
1)	изотропные безгпетерезпепые (магнитно-мягкие); ,
2)	анизотропные безгпстсрезисные;
3)	анизотропные гистерезисные (магнитно-твердые).
Гермины «изотропные» и «анизотропные» материалы здесь пони-
маются только в отношении магнитных свойств, связанных как со
структурой материала, так и .с историей его намагничивания. Для
к но ровных в магнитном отношении материалов в отличие от анизо-
тропных принимаем коллинеарность векторов В, М, И. Очевидно, что
изменение режима работы МС (изменение тока в проводниках, изме-
нение геометрии) может привести к переходу материалов в другую
1 руппу по свойствам. Например, если изотропный в структурном от-
ношении предварительно размагниченный гистерезисный сплав помес-
тить в магнитное поле, то его состояние будет определяться кривой
начального намагничивания и он поведет себя подобно изотропному
без! истерсзиспому материалу. Последующее уменьшение или измене-
ние направления внешнего поля изменит магнитное состояние сплава
и соответствии с кривыми размагничивания, и при анализе этого про-
цесса такой материал следует характеризовать как анизотропный ги-
стерезисный. Несмотря на то чю разделение магнитных материалов
>ы указанные три группы носит условный характер, оно играет важ-
ную, а зачастую принципиальную роль при разработке алгоритмов
численного расчета МС.
Наиболее просто вводятся в расчет свойства изотропных безгисте-
резиспых материалов. Для них экспериментально определяется зави-
I нмость

13
Рис. 1.1. Кривая намагничивания изотроп-
ного безгистерезисного ферромагнитного ма-
териала
в одном удобном направлении а, которая
в предположении об однородности свойств
испытуемого образца по объему трансфор-
мируется в зависимости для модулей век-
торов (рис. 1.1)
(1.17)
Часто в расчетах используют относительную магнитную прони-
цаемость цг или магнитную восприимчивость V.:
В=\^Т(Н)Н, М—к(П)Н.
(118)
н
В=Г,(Н), М=Ь\(Н).
Для анизотропных материалов, как гистерезисных, так и безги-
стерезисных, требуемую длч расчета информацию о свойствах фор-
мально отражает запись искомых зависимостей в виде [5]
В=7’1(Я);ь(Я)Я, М=Т2(Я)и(Я)Я,	(1.19)
где Т,(Н). Тг(Н)—тензоры, определяющие взаимную ориентацию в
пространстве векторов В, М Н.
Существенно, что в (1 19) Т(, Т2, р, и и представляют собой
функции от вектора Н и в то же время характеризуют «наследст-
венные» свойства среды—историю намагничивания. Запись (1.19)
выражает не отдельно снятую кривую на измерительной установке
и не ограниченное семейство таких кривых Это — математическое
обобщенное выражение процесса изменения магнитного состояния ве-
щества в произвольном поле, включающего кривые первоначального
намагничивания, предельные циклы перемагничивания и множество
частных циклов перемагничивания во всех направлениях (рис 1.2).
Рис. 1.2. Часть области, определяющей возможные состояния анизо-
тропного ферромагнитного материала в двумерном поле:
а — безгистерезнсный материал; б — гистерезисный
14
i nt дошпелыю, такая зависимость не может быть задана ЭВМ конеч-
ным иибором чисел в отличие от свойств изотропного безгистерезис-
iiiiiit мн триала, где существует одна кривая, асимптотически стремя-
iiiinii и к предельной при Й->-оо.
I опори о свойствах магнитных материалов, обычно имеют в виду
. । pi шсиные по объему свойства специально подготовленнного образ-
ин, чю обусловлено методикой производственных испытаний. При рас-
Ч1-1С МС речь идет о конкретных изделиях из этих материалов, и ис-
шиц, 1<»1.-)Нпе усредненных свойств дает дополнительную погрешность,
<щг||ц||> которую крайне сложно. На основе анализа асимметрии то-
ii<>ipiii|>iiii поля в готовых системах получены данные, косвенно ука-
1Ы1ЫЮЩПС на довольно ощутимую объемную неоднородность свойств
кик 1 нетерезпеных, так и безгнстерезисных материалов [6]. Для соз-
uiiiiih метода расчета, учитывающего такую объемную неоднородность,
необходимо включить зависимости (1.17)—(1.19) в качестве незави-
«имых переменных координаты точки наблюдения.
Даже если исключить последнее замечание об объемной неодно-
родности, получение зависимостей (1.19) только путем экспериментов
нс представляется возможным, поэтому следует признать перспектив-
ным комбинированный подход к построению характеристик анизо-
 ройных материалов. При этом создается достаточно общая теорети-
ческая модель механизма намагничивания ферромагнитных матсриа-
лон, свободные параметры которой подбираются так, чтобы получить
наибольшее приближение к оригиналу в доступной эксперименту об-
лает. По такому принципу построена модель анизотропного магнит-
ною материала в [5]. Свойства каждого элементарного объема среды
выражаются здесь через свойства совокупности идеализированных
магнитных частиц, обладающих одноосной анизотропией. Поведение
отдельной частицы во внешнем поле подчиняется уравнению, устанав-
ливающему энергетически наиболее выгодное состояние. Вектор на-
м.и иичепности частицы сохраняет неизменное значение, а процесс
перемагничивания сведен к повороту этого вектора. Средняя намаг-
ниченность элементарного объема определяется через вероятностные
арактернстикн намагниченности отдельных частиц. Совместное реше-
ние энергетического и стохастического уравнений позволяет получить
в числовом выражении семейство характеристик перемагничивания при
различных законах распределения осей легкого намагничивания и на-
пряженности поля анизотропии частиц. Настройка модели на конкрет-
ный материал производится подбором этих законов распределения, а
 акже значения намагниченности частицы так, чтобы модель нанлуч-
iiiHM образом отвечала характеристикам исследуемого материала во
всей доступной эксперименту области. После проведения настройки
модель способна выдать в полном объеме информацию, предусмотрен-
ную зависимостью (1.19). Вопрос о достоверности данных модели в
области, не доступной эксперименту, остается открытым. Он требует
15
методической проработки и модели, и экспериментов с целью полу-
чения вероятностных оценок адекватности модели оригиналу.
Применительно к решению последней задачи, а также задачи ис-
следования неоднородности свойств ферромагнитных материалов по
объему актуальными представляются работы по созданию аппаратуры
для испытаний элементов МС в разомкнутой маишгпой цепи [8, 9].
В [9] поставлена цель определения параметров общей математической
модели изделия из магнитного материала (1.12), для чего в качестве
неотъемлемой части процесса испытаний вводится анализ поля на
ЭВМ и на его основе формулируется обратная задача магнитостати-
ческого поля. Рассчитывается распределение намагниченности в эле-
ментарных областях уединенного или помещенного во внешнее поле
изделия по экспериментальным данным о топографии поля, создавае-
мого этим изделием в ограниченной области внешнего пространства.
Такая задача некорректна в математическом понимании [10], но раз-
решима при использовании дополнительных физических условий.
Выполняя последовательно расчеты распределения намагниченно-
сти и напряженности поля в элементарных областях для различных
значений параметров внешнего поля, можно построить зависимости
М(Н) в отдельных частях изделия. Этот метод предоставляет большие
возможности для детального изучения свойств ферромагнитных изде-
лий, чем традиционные испытания в замкнутой магнитной цени.
При расчете МС упрощение магнитных характеристик анизотроп-
ных материалов часто достигается ограничением сферы применения
этих характеристик. Так, значительное преобладание одного направ-
ления поля в элементе МС дает возможность без существенной по-
грешности записать характеристику материала отдельно для каждой
координатной составляющей
=	(1-20)
где а — направление основного намагничивания, а 0 и у—перпеидн
кулярные ему направления.
Зависимости (1.20) получают экспериментальным путем па серии
ных установках [12]. Еще меньший объем информации о свойствах
анизотропных материалов имеют стандартизованные справочные дан-
ные, которые содержат сведения только о предельной кривой разма>
ничивання материала в основном направлении а, что требует приня-
тия различного рода допущений, приводящих в конечном итоге к рас-
хождению расчетных и экспериментальных данных. В дальнейшем
при рассмотрении методов расчета МС будем предполагать, что ха-
рактеристики ферромагнитных материалов в том пли ином виде за-
даны. Метод же расчета МС необходимо построить достаточно гиб-
ким по отношению к способу представления и виду магнитной ха-
рактеристики.
16
I JI A II A IJ Г 6 Г А Я
ИНН ТРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА
МАГНИТНЫХ СИСТЕМ СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПОЛЯМИ
1 1 ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МЕТОДОВ
РАСЧ1ГА
Расчет МС интегральным методом разделяется на само-
t ||»>пелы1ые части: расчет неизвестных источников ноля и
р.п ч< 1 параметров МС, определяемых создаваемым сю по-
п-м Последняя часть сводится к вычислению векторов по-
ля по известным формулам (см. табл. 1.1) и реализуется
Cio.'ire пли менее эффективным способом в зависимости от
квалификации программиста. В этой главе мы ограничим-
ся анализом методов решения первой части задачи.
К настоящему времени широкую практическую апроба-
ции» прошли два принципиально различающихся подхода
к формулировке математического описания МС на основе
шпегралы1ых уравнений, которые в силу своей универсаль-
ное in могут быть признаны перспективными.
Первый подход, который обьединпм названием «методы
ipaiiiiHiibix интегральных уравнений (ГИУ)», использует
как основу для математического описания краевые условия
и.। ।рапице исследуемой области и на границах раздела
ра шородных в магнитном отношении сред. Теоретические
положения этих методов хорошо исследованы и подробно
освещены в [18—22], где иногда они фигурируют под па-
nianiicM «методы вторичных источников» (под вторичными
источниками понимается плотность фиктивных поверхност-
ных н объемных магнитных зарядов, токов или магнитных
моментов). Математическая формулировка задачи расчета
неизвестных вторичных источников сводится к ГИУ второго
или первого рода [3], вывод которых опирается на теорию
шненциала. Для приведения ГПУ к уравнениям в конечных
суммах используются модели ферромагнитных элементов
системы в виде областей с постоянными или кусоч-
но постоянными значениями относительной магнитной про-
ницаемости или в более общем случае — с кусочно-посто-
iiniioii аппроксимацией объемной плотности магнитных за-
рядов— истоков вектора намагниченности. Преимущества
I НУ проявляются в полной мере только при расчете МС
с линейными свойствами элементов, так как при этом об-
лип ь интегрирования ограничивается их поверхностями.
Важное достоинство методов ГИУ—возможность ограниче-
ния области исследования в МС поверхностями с известны-
2 3367	17
Мй Граничными условиями. При расчете МС, содержащих
детали с нелинейными магнитными свойствами, преимуще-
ства ГИУ в значительной мере теряются, поскольку опре-
деляющее влияние на объем вычислений начинает оказы-
вать итерационный процесс решения нелинейных уравне-
ний. Введение же характеристики материала в ГИУ требу-
ет дополнительного пересчета от вторичных источников
к основным векторам поля в ферромагнитных областях.
Второй подход включает методы, которые в дальней-
шем будем называть «методы пространственных интеграль-
ных уравнении (ПрИУ)». Они базируются на общем инте-
гральном выражении напряженности поля (1.7) или ин-
дукции (1.10) через намагниченность деталей МС и не
используют никаких дополнительных краевых условий.
Расчет проводится по итерационной схеме с учетом нели-
нейной характеристики элемента МС. В качестве исход-
ного пулевого приближения задается некоторое распреде-
ление вектора намагниченности внутри ферромагнитных
элементов, которое последовательно корректируется по из-
вестной магнитной характеристике в соответствии с полу-
чаемой напряженностью поля в рассматриваемом объеме
[13- 17J. Главные достоинства метода — общность исполь-
зуемого математического аппарата для всех конструкций
МС и простота введения в расчет м'Эгннтных характери-
стик. Недостаток—невозможность ограничения исследуе-
мой области поверхностями с известными граничными
условиями. Наиболее часто используется дискретная матема-
тическая модель элемента МС с кусочно-постоянным рас-
пределением намагниченности по объему, поэтому при лю-
бых свойствах ферромагнитных деталей область интегриро-
вания в ПрИУ включает поверхности всех выделенных эле-
ментарных объемов. Таким образом, для линейных сред
этот подход требует больших вычислительных затрат, чем
при использовании ГНУ.
Оба подхода взаимно дополняют друг друга, и эффек-
тивная программа расчета МС безусловно должна иметь
их в распоряжении одновременно и тем самым полно и
экономично загружать представляемые вычислительные
средства. Комбинация различных методов в одном алго-
ритме производится на основе выделения в анализируемой
МС характерных областей и выбора для них наилучшего
математического описания. К таким областям относятся
границы всей исследуемой области МС, детали МС с ли-
нейными магнитными свойствами и детали МС с нелиней-
ными свойствами.
18
I I H< ПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
ДЦ44 ОГРАНИЧЕНИЯ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ
< >i ||,||||1чсп|1с области преследует единственную цель—
ниши, вычислительную работу при анализе МС. Подоб-
iiini миграция возможна в нескольких случаях. Во-первых,
при п.1 Шмиц симметрий в МС, которые характерны извест-
ным расположением силовых (отсутствуют нормальные ком-
iioiieiiii.i индукции) и эквипотенциальных поверхностей.
Ни iiinpux, при наличии эквипотенциальных экранов и маг-
ии i он рпводов, т. е. деталей МС, у которых приближенно
принимается бесконечная относительная магнитная прони-
п н моегь; расчет поля внутри таких элементов чаще всего
пг представляет интереса. В-третьих, применяется искусст-
венное ограничение области, когда вводятся границы, на
которых хотя и нс известны истинные значения парамет-
ров поля, но считается допустимым задать их прибли-
женно.
В § 1.1 введены понятия векторного и скалярного по-
1гпцпалов магнитного поля. Из уравнений Максвелла (1.1)
п СВЯН1 векторов поля (1.2) следует, что для скалярного
пон'пцнала выполняется уравнение Пуассона
V2q>=VM=—рм/ц(1.	(2.1)
В области V, ограниченной поверхностью 5Г (рис. 2.1),
не laniiciiMo от того, односвязная она или многосвязная, об-
щи решение уравнения (2.1) дает формула Грина [2]
(2.2)
° V '
LiMeiiiM, что границы области при расчете по этой фор-
муле просто учитываются поверхностными интегралами от
п<»1снипала и нормальной производной потенциала па Sr.
Вид интегралов таков, что граничные значения функций
Рп< 2.1. Ограниченная область исследования:
л одпосвязная; б — многосвязная
2*
19
трактуются как распределенные источники магнитного по-
ля: простой слой зарядов [первое слагаемое в поверхност-
ном интеграле (2.2)] и двойной слой зарядов (второе сла-
гаемое). Иначе говоря, ограничение области равносильно
размещению на границе фиктивных источников указанного
типа с плотностью, равной граничным значениям потенци-
ала и его производной. В реальных МС весьма редко па
границах исследуемых областей известны две функции,
поэтому непосредственное использование формулы (2.2)
невозможно и расчет фиктивных источников выливается
в самостоятельную задачу.
Предположим, что в заданной области МС, внутренней
или внешней по отношению к <S'r, известны все источники
магнитного поля. Будем иметь в виду МС, не содержащую
обмоток с током, г. е. конструкцию, у которой поле всюду
однозначно определяется через скалярный потенциал (см.
§ 1.1). Рассмотрим задачу учета границы, когда на Sr за-
дан только потенциал или его нормальная производная.
Первая краевая задача (задача Дирихле) возникает,
если на границе задан потенциал qr. Чтобы получить ГПУ,
па Sr помещают двойной слой зарядов с не известной за-
ранее плотностью т. Обозначим буквой S? интегральный
оператор вида
(2.3)
4п J г	'	'
S
тогда, учитывая, что
дЦда — пу[,	(2.-1)
потенциал в исследуемой области запишем в виде
? (Q) — (Жт)/р.о -ф- %ст,	(2.5)
где ф„ст — потенциал, созданный всеми остальными источ-
никами в области.
Помещая точку наблюдения Q на Sr и приравнивая
(2.5) заданному значению qr, получаем ГПУ второго рода
относительно т:
для внутренней задачи
?г = с/(2Ро) + «pVq (-^) 'Но + ?oct	(2-6)
и для внешней
- V(2P-o) +	+?ост-	(2-7)
Раскрытие несобственного интеграла, входящего в (2.5),
в уравнениях (2.6) и (2.7) дало дополнительные слагае-
20
мыс, которые в конечном итоге позволили свести задачу
 иискания т к решению ГНУ второго рода. Знак дополни-
1ел1.пых слагаемых зависит от того, с какой стороны при-
ближаться к заряженной поверхности относительно вы-
бранного положительного направления нормали к поверх-
ности. В этой книге всегда используется внешняя нормаль.
Из указанного свойства следует, что потенциал двойного
слоя зарядов при переходе через заряженную поверхность
меняется скачком в отличие от его нормальной производ-
ной, которая непрерывна [23].
Аналогичным образом выводятся ГИУ второго рода для
нюрой краевой задачи (задачи Неймана) при известной
нормальной производной д^/ди. На 5Г помещается простой
слой зарядов плотностью о и потенциал в области опреде-
ляется выражением
ф=2’о/ро+<РОСТ*	(2.8)
Приравняв нормальную производную потенциала (2.8)
щданпому значению на границе н исключив особенности
несобственных интегралов, получаем ГИУ второго рода для
о в случаях:
внутренней задачи
d^rldiiQ - o/(2pj + (WНо + «qVqVoct (2-9)
и внешней
= - °/(2р-о) + «qVq Wl*. + ¥ос (2-10)
Отметим вытекающий из (2.9), (2.10) факт, "Что нор-
мальная производная потенциала простого слоя зарядов
при переходе через заряженную поверхность меняется скач-
ком, а сам потенциал непрерывен. Последнее следует из
свойств интегрального оператора S’.
ГИУ второго рода для простого и двойного слоев заря-
тов относятся к уравнениям Фредгольма, так как входя-
щие в них несобственные интегралы сходятся в обычном
смысле. Известные теоремы Фредгольма [23] указывают,
что сформулированные краевые задачи имеют единствен-
ное решение и разрешимы всегда только для внутренней
первой и внешней второй задач. В то же время уравнения
для внешней первой и внутренней второй краевой задач
разрешимы только при определенных дополнительных усло-
виях, которые полностью согласуются с законами стацио-
нарного магнитного поля. Для внутренней второй краевой
21
задачи в качестве дополнительного условия используется
равенство нулю суммарного заряда на границе
f adS = 0.	(2.11)
5
г
В [18] разработай способ учета дополнительных усло-
вии вида (2.11), который приводит к решению ГИУ второ-
го рода с регулярнзованным ядром
^r/^Q = 0/(2Ho) + «QVQ(^)/Ho4- «yVQ?OCT. (2-12)
где
1 Л / ц г	\
Sr
— регулярнзованный интегральный оператор.
Дополнительные условия могут быть просто введены
в расчет и на этапе численного решения уравнений (см.
§2.4).
Распределение в пространстве векторного магнитного
потенциала подчиняется векторному уравнению Пуассона.
Из (1.1) и (1.8) получаем
VX//--vX(B.'p.o Л4)-=7ХуХЛно vx^f — J
Поскольку никаких ограничений на истоки векторного
потенциала не накладывается, примем VA=0, тогда
V2A = -	+	(2-13)
При анализе векторного уравнения Пуассона удобно
использовать векторный аналог формулы Грина [24]
f[F(vXvX<?) G(vXvXF)]dV=:
V
= $n|GX(vXF) FX(vXG)]dS, ,(2.14)
s
г
где F и G — векторные функции координат, обладающие
непрерывными первыми и вторыми производными в объе-
ме V и на поверхности Sr.
Для стационарного магнитного поля примем F — А,
а в качестве функции G — произведение функции Грина
для неограниченного пространства Gi—\]r на некоторый
произвольно направленный вектор a=const. Подставим
эти функции в (2.14) и проведем тождественные векторные
22
преобразования. После исключения особенности с учетом
(2.13) получаем формулу для векторного потенциала
л (Q) = -L	f S~M-±--dV +
MJ г
V
- 5>«jX^_7q (-Ljx(nX^)ps}.
(2-1%
Ila основании формулы (2.15) делаем вывод, что для
учета границ исследуемой области необходимо знать век-
юрпын потенциал и его вихрь па 5Г. Вид входящих
в (2.15) интегралов таков, что при расчете мы как бы при-
нимаем существование на границах источников ноля про
гюго слоя токов плотностью rtX(VX^), слоя магнитных
моментов плотностью п\А и слоя скалярных источников
плотностью nA.
Как уже отмечалось в § 1.1, формулировка задачи с по-
мощью векторного .потенциала оправдана, если МС содер-
жит обмотки (проводники) с током. В таких МС на грани-
цах областей, как правило, известна либо касательная со-
ставляющая векторного потенциала лХЛг, либо касатель-
ная составляющая его вихря «X(VX^)r.
Поэтому непосредственное использование формулы
(2.15), так же как и (2.2), невозможно и учет границы
подобно задаче для скалярного потенциала сводится к ре-
шению ГПУ второго рода относительно распределенных по
Sr фиктивных источников, но в данном случае векторных.
Если на Sr задана функция «Х4 (и реальных МС час-
то имеем п X Аг~- const), то для учета границы области на
Sr помещают слой магнитных моментов с не известной за-
ранее плотностью tn, тогда в исследуемой области
Д)Сг-	(216)
где Л|1(Т — векторный потенциал, созданный остальными
источниками в области.
Поместим точку наблюдения на границу и выразим ка-
сательную составляющую векторного потенциала. Получим
ГПУ второго рода
для внутренней задачи
nQXA= i\m'2 + MQX(VQX^)4-nQX4:T (2.17)
и для внешней .
nQ X А, = щт 2-j-	X (VQ X^w)+	X Лост. (2.18)
23
Аналогичным образом формулируется краевая задача
при известной функции nX(VxA)r [например, на экви-
потенциальных поверхностях лХ (VXAr) = const. В этом
случае на границе вводится простой слой тока плотностью
i, а векторный потенциал отыскивается в виде
+	(2.19)
Определив из (2.19) касательную составляющую вихря
векторного потенциала на S,., получаем искомые ГИУ вто-
рого рода относительно i:
для внутренней задачи
«Q X(vXH)r = -p.?72 + MQX (VQX ^) + «QX (vX^oct)
(2.20)
и для внешней
nQ X (V X Л)г = im/2 4- ^onQ X (VQ X У IV X AocJ.
(2.21)
Из выражений (2.17), (2.18), (2.20), (2.21) следует,
что касательные составляющие векторного потенциала при
переходе через слой магнитных моментов и вихря вектор-
ного потенциала при переходе через простой слои тока из-
меняются скачком, причем скачки пропорциональны плот
пости источников. Касательные составляющие вихря век-
торного потенциала слоя магнитных моментов и векторного
потенциала простого слоя тока остаются непрерывными.
Единственность решения и разрешимость интегральных
уравнений для векторных источников в трехмерной области
устанавливается в [18].
До спх пор при ограничении области исследования ис-
пользовались ГИУ второго рода, по, очевидно, подобные
задачи можно сформулировать и на основе ГПУ первого
рода. Для этого достаточно заменить вид источника, кото-
рый помещается па граничной поверхности. Например, если
для краевой задачи с условием лХЛг использовать выра-
жение векторного потенциала через слой тока (2.19), то
в результате получим ГИУ первого рода относительно I.
В ряде практических приложений, когда в МС присутству-
ют эквипотенциальные поверхности, хорошо зарекомендо-
вали себя ГИУ первого рода, построенные па выражении
скалярного потенциала через простой слой зарядов [37].
Эквипотенциальными поверхностями заменяются ненасы-
щенные магннтопроводы или плоскости симметрии МС.
24
Уравнение для расчета неизвестной плотности заряда со-
i .iacuo (2.8) записывается в виде
2’а=р,офг—Ро’Рост.	(2.22)'
inc cpr=const— потенциал эквипотенциальной поверхности.
Чаше всего потенциал <[,- известен заранее и равен иу-
ио, в противном случае для решения уравнения (2.22) при-
влекается дополнительное условие о равенстве нулю сум-
марного заряда на этой поверхности (2.11).
Решение ГИУ первого рода не вызывает дополнитель-
ных трудностей по сравнению с ГНУ второго рода, так как
v обычно используемых дискретных моделей шаг дискрстп-
шцин достаточно велик, чтобы известное свойство неустой-
чивости решения ГПУ первого рода не проявлялось.
2.3. ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА
ДЕТАЛЕЙ МС С ЛИНЕЙНЫМИ МАГНИТНЫМИ СВОЙСТВАМИ
При формулировке краевых задач расчета МС па основе ГИУ
шорого рода используются математические модели ферромтиигиих
областей, опирающиеся па приближенные аппроксимации относитель-
ной магнитной проницаемости вещества по объему. Простейшая мо-
дель (см. § 1.1) детали из изотропного безгпстерезисного материала
строится при допущении постоянства относительной магнитной прони-
цаемости по всему объему, что позволяет свести задачу к расчету ис-
точников, распределенных только по поверхностям раздела разнород-
ных элементов МС.
Согласно уравнениям Максвелла (1.1) па границе раздела разно-
родных сред, в данном случае на поверхности S детали, для нор-
мальных составляющих напряженности поля выполняется равенство
.%Р-Гг (яЯс) = Р-оР-'г («#)-	(2-23)
Так как напряженность поля представляется суммой вихревой п
потенциальной составляющих, то условие (2.23) для скалярного по-
|епцпала принимает вид
р-'г	=°-	<2-24>
В отличие от условий па границе области, использованных в § 2.2,
\словня (2.23), (2.24) указывают не значение компоненты вектора, а на
свойство непрерывности. Подставив в (2.24) интегральные выра-
жения для нормальных производных скалярного потенциала с внут-
ренней (2.9) п внешней (2.10) сторон ограничивающей поверхности,
получим интегральное уравнение для расчета плотности магнитных
урядов а [22]
я + 2Л (/IqVq2?c) = 2р.сХ (ПдНост)>	(2-25)
2$,
где Яогт — напряженность поля, созданная всеми остальными источ-
никами МС, как вихревыми, так п потенциальными; Х=
= (И'г—Рсг)/(ц'г+ц<’г) —коэффициент, характеризующий свойства
граничащих сред.
В [18] подробно исследованы свойства уравнения (2.25) н пока-
зано, что при конечных значениях ц', такое уравнение имеет единст-
венное решение. Однако ц, большинства элементов МС из магнитно-
мягких материалов очень высока, а в ряде случаев при расчетах при-
нимается бесконечное значение р.'г. При этом уравнение (2.25) ста-
новится близким или полностью аналогичным уравнению (2.9) для
внутренней второй краевой задачи, которое не может быть разрешимо
без дополнительных условий. Достаточное дополнительное условие,
указывающее на дипольный характер источников в ферромагнитных
областях, заключается в равенстве нулю суммарного заряда на зам-
кнутой, ограничивающей деталь поверхности (2.11). Регулярпзованное
уравнению (2.25) с учетом условия (2.11) имеет единственное реше-
ние и вполне корректно описывает распределение о при любых зна-
чениях цг [см. также (2.12)]:
° 4" 2? ('IqVqS7^°) — 2р.о7, (ирЛ/ОСг).
(2.26)
Если деталь из ферромагнитного материала заменяется набором
элементарных объемов с постоянным значением ц,. то вид расчетного
уравнения остается таким же (2.26), но интегрирование теперь про-
изводится уже по всем поверхностям, образующим элементарные
объемы.
Известна (см. § 1.1), что ферромагнитную деталь с непостоянной
gr по объему при расчете можно рассматривать как совокупность
объемных и поверхностных зарядов Используя определение объемно
го магнитного заряда (1.15) и основные соотношения между векто
рамп стационарного магнитного поля, нетрудно получить выражение,
связывающее рг, которая выступает как функция точки наблюдения
Цг(хр, ijq, Zq), и объемную плотность магнитного заряда:
(i = Mo(V|irH)/Hr	(2.27)
Напряженность поля записывается через объемный н поверхност-
ный заряд:
4пр.(
ист-
(2.28)
Далее (2.28) подставляем в (2.27) и получаем ГИУ второго рода
для объемной плотности магнитного заряда
1
Р + 44л|хг
ц.„
dS =-^ (vHrZ/ост). (2.29)
гт
V	S
Вывод ГИУ для поверхностной плотности заряда аналогичен
изложенному выше, но появляется еще слагаемое от объемных заря-
26
ЛАП. Улучшение свойств разрешимости таких ГИУ проводится путем
yicr.i априорно известных интегральных свойств вторичных источни-
ке »и— равенства нулю суммарного магнитного заряда в ферромагнит-
ном теле:
о dS
s
+ J pdV = 0.
v
Кроме ГИУ относительно скалярных источников (2.26), (2.29) в
лоциях, когда реальная магнитная среда заменяется моделью с ку-
сочно постоянным распределением Ji,, оказывается возможным фор-
мулирование Г11У второго рода относительно векторных вторичных
источников: слоев токов и магнитных моментов. Такие источники долж-
ны быть помещены на всех поверхностях ограничивающих области с
постоянным значением цг. Используя понятие рг н соотношение меж-
ду оспоппымп векторами магнитного поля (1.2), равенство (I.IG) для
простого слоя токов перепишем в виде
рЛ. — I	р'г — I
i = «X (vXA) -	«4Х (V X А,).	(2.30)
г	Р-оР- г
Вихри векторного потенциала в (2.30) при расположении точки
наблюдения с внешней или внутренней стороны поверхности с током
определены формулами (2.20), (2.21). После подстановки этих фор-
мул в (2.30) получим искомое ГПУ
/ + 2>«qX(VqX2() -= -2Х(П(2ХвМт) Но- (2-31)
тле Вост — индукция, созданная остальными источниками поля.
Свойства такого уравнения при больших значениях ji‘, отмечены
и предыдущем параграфе.
Наряду с рассмотренными основными способами получения ГИУ
для расчета отдельных элементов МС со стационарным полем отме-
тим еще существующую возможность формирования ГИУ для эле-
ментов МС из анизотропного материала при постоянном значении
|спзора цг (pr=consl). Здесь используется принцип разделения зада-
чи па области: в каждой из областей вводится свои поверхностный
источник, который рассчитывается из условии «сшивания» параметров
ноля на границе (28, 29].
2.4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Наиболее простой по сути и чаще всего используемый па практике
метод численного решения приведенных в § 2.2, 2.3 ГИУ предполага-
ет сведение их к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
|25]. Основная идея этого метода заключается, например, для урав-
нения (2.26) в кусочно-постоянной аппроксимации плотности заряда о
по элементарным площадкам, составляющим поверхность 5, и после-
2 7
доватеЛыгом помещении точки наблюдения Q в средние точки nets
выделенных площадок. В результате получаем СЛАУ относительно о,
размерность которой равна числу искомых неизвестных:
w
1 С / нг ।2п \
k~+Trs = Wlntfocr). (2.32)
/=1	^s.
где »=1, 2,...,N— номер элементарной площадки, для которой за!
писано уравнение, A.S'j— поверхность /-н элементарной площадки.. 1
Для решения на ЭВМ систему уравнений (2.32) удобно записать
в матричном виде
Со=Г,	(2.33)
где С—матрица размером составленная нз интегралов по эле-
ментарным площадкам от ядра уравнения £2.32), а к диагональным
элементам добавлены единицы, причем помер строки матрицы соот-
ветствует номеру площадки, па которой располагается точка наблю-
дения Q,; 0=Ноу11, /=1, 2,..., А' — вектор-столбец, компоненты кото-]
рого образованы искомыми значениями плотности зарядов иа элемен-
тарных площадках; F=|ILII, /=1, 2, ,.N — вектор-столбец,
определенный правой частью системы уравнений (2.32).
Аналогично получаются СЛАУ для ГИУ первого рода. Здесь
важно отмстить, что на,том уровне дискретизации поверхностных нс-1
точипков, па котором проводится расчет МС, существующие особенно-
сти ГНУ первого рода [1(1] не проявляются и СЛАУ имеет хорошо
обусловленную матрицу.
Па этапе численного решения удобно вводить требуемые допол-
нительные условия. Предположим, имеем СЛАУ (2.33) и набор из k \
условий вида (2 11), записанных в матричном виде
So=0,
где S=||s,J|; /=1, 2,...Д’; y=Pii,..., р2г — матрица, составленная из]
площадей элементарных площадок.
Обозначим
тогда СЛАУ примет вид
C,o=F|.
Если число дополнительных условий достаточно, чтобы ранг мат-
рицы С, стал не менее числа искомых неизвестных о, то решение
системы уравнений с прямоугольной матрицей С| находится стандарт-
ными методами после применения первой трансформации Гаусса [38]:
Ст|Со= CT,F],
где СТ1 — транспонированная матрица С1#
28
Указанное преобразование соответствует нахождению решения П
• »и.п,1с метода наименьших квадратов, полому возникающая из-за
приближенного представления ГИУ несовместимость системы (2.33)
юполнптельиымн условиями не играет роли, так как матрица
1 / । — положительно определенная [20].
При небольшой размерности матрицы, когда они полностью по-
ы шлются в основной памяти ЭВМ, решение СЛАУ проще всего про-
। niiii прямым методом по одной из схем исключения для несиммет-
ричных матриц [26]. При большой размерности матриц выгоднее пс-
nii'ii.шнать итерационные алгоритмы с промежуточным хранением
nipiiil па внешнем накопителе ЭВМ с поблочной обработкой (см.
। । 3). В простом итерационном методе задается начальное прпблп-
гппс о0, и дальнейшие вычисления выполняются по рекуррентной
(юрмуле [27]
оп+1 _ап_ ц(Со’'—Г),
в- п — номер итерации.
( ходимость такого процесса к искомому решению обеспечивается
< о скоростью геометрической прогрессии со знаменателем [27]
£=||Е—аС||<1,	(2.34)
и1 I единичная матрица.
Выполнение условия Е<1 обеспечивается подбором параметра
пн рационного процесса а. Значение J- зависит от коэффициента мат-
роны С, которые в свою очередь определяются геометрией МС, ха-
рп. (ером разбиения поверхностей па элементарные площадки, а также
шиитками магнитных материалов. Сходимость итерационного нроцес
। для псех ।существующих материалов строго доказывается [18], при-
чем важно подчеркнуть, что в результате введения рсгулярпзующей
пишки в ядро уравнения (2.32) значительно ограничена возможная
и 1рп.щпя коэффициентов матрицы С н существует вполне конечное,
। не бесконечно малое а, которое удовлетворяет условию (2.31).
Численное решение ГНУ для объемных источников сложнее, чем
1я поверхностных, так как уравнение (2.29) содержит обьемпые ин-
ом ралы, вычисление которых для сложных ядер в большом количест-
С1/кс па современных высокопроизводительных ЭВМ требует апа-
чи |(>лыюп> времени. По главная причина, которая не позволяет эф-
фективно использовать такие уравнения для расчета МС, состоит в
,ом. что объемно иеодпоро шая ферромагнитная среда в реальных ус-
иншях существует за счет нелинейных свойств материала и заранее
иг iiiucCTHO установившееся значение р, в исследуемой области.
Сведение векторного ГИУ (2.31) с поверхностными источниками
1 . 1ЛУ проводится с помощью разбиения поверхностей, несущих ток,
Ц'1 малые элементарные площадки, па которых вектор плотности тока
принимается постоянным. Уравнения записываются для составляющих
I и поэтому размерность системы уравнений получается больше, чем
29
для скалярных источников. Для каждой элементарной площадки з
дается своя естественная система координат, в которой плотность та
имеет в трехмерном случае две составляющие, а в двумерном — одн
Следовательно, векторные уравнения в трехмерных задачах дают у.
военную размерность СЛАУ и, если не накладываются
ограничения на вид уравнений, не могут быть
пользования. В двумерных и осесимметричных
векторных и скалярных источников становятся
ходимому объему вычислительной работы.
Вычислительным аспектам решения па ЭВМ ГИУ посвящены ма
териалы гл. 3.
друхи
рекомендованы для Ш ,
задачах уравнения дл
равноценными по иеЯ
2.5. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ИХ РЕШЕНИЕ ПРИ ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ
МАГНИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
ио искомых значений намагниченности. В матричной запи-
। п «на имеет вид	Н = АМфНост,	(2.36)
к1 многомерные векторы Н, М п Н0Ст содержат компонен-
|.| векторов напряженности поля и намагниченности
каждом элементарном объеме:
Н=||ЯХ1-, Hyi, Hz№;	Mvj, MJ’;
HOCT=||77'yi, H'yi, H'zi]\\
Матрица А состоит из ЗМХЗМ элементов A=||«gJ)||, ко-
юрые рассчитываются по формуле
Ч
а<1Р —
При организации расчета МС на основе интегрально!
формулы (1.7), которую можно рассматривать как ПрПМ
первого рода относительно намагниченности ферромагни!
ных детален, отпадает необходимость введения краевых j i
ловнп на поверхностях разнородных в магнитном отпои;J
нии областей, как это делается при формировании ГИЗ
второго рода. Напряженность поля, вычисленная по (1.7)
автоматически удовлетворяет краевым условиям непрерьц
ности касательных составляющих, а пересчет по (1.2) к вс-1
тору индукции обеспечивает выполнение условия лепре
рывности его нормальных составляющих. Для дальнейщц
выводов примем дискретную математическую модель фер
ромагнитного элемента системы с кусочно-постоянной ан
проксимацпсн вектора намагниченности по объему как нац
более универсальную и чаще всего используемую на прак
тике. Выражение для напряженности поля запишем в вид
(см. табл. 1.1)
V=1	Д<4/
9=3(i-l)+r], Р=3(/-1)ф4>,
 '!< t=l, 2, ..., M — номер элементарного объема, в кото-
рым располагается точка наблюдения; /=1, 2, ..., N— но-
мер элементарного объема, от намагниченности которого
рассчитывается вклад в напряженность поля; т)=1, 2, 3 co-
ni нгтствует х, у, z составляющей определяемого вектора
II <)= 1, 2, 3 соответствует х, у, z составляющей намагни-
ченности, от которой рассчитывается вклад в напряжен-
ность поля:
1 N 4
</чМ) J
/=1 11=1	^Svj
где под Н„С1 понимается напряженность поля, создаваема!
всеми остальными источниками поля: катушками с током
и фиктивными источниками, введенными для расчета дру-|
гих элементов МС.
Помещая точку наблюдения Q последовательно в среди
ние точки каждого выделенного в ферромагнитных деталяя
элементарного объема, намагниченность которого зарано<
не известна, всякий раз будем записывать соответствующей
равенство (2.35). В результате получим СЛАУ относитель
30
OCT*
(2 3d
® ®— (вх, Gy, е?г) 
Очевидно, что для расчета неизвестного распределения
намагниченности по элементарным объемам недостаточно
системы уравнений (2.36) и ее необходимо дополнить маг-
ии тыми характеристиками элементов МС. Чем проще маг-
ии гная характеристика, тем легче ее учесть в уравнениях
("36). Рассмотрим вначале алгоритмы расчета для изо-
топного бсзгистерезнсного магнитно-мягкого материала.
Выделим из системы (2.36) три уравнения, которые вы-
ражают напряженность поля рассматриваемого /г-го эле-
ментарного объема как функцию от собственной намагни-
ченности и напряженности поля внешних по отношению
нему источников:
НXk == ^3 ’( - 2. 3k - 2 ^k "4“ &3k - 2. sfe - 1 Myk ф~
к
1
yk ®з/г - 1, з/г- 2 Mxk Ф" Afjfe _ , jfe-j ^yk Ф" I
a3k-i. 3k ^zk-]-HByk',	|
Hzk ask.\k-i Mxk ф-я5*. ,k i	|
--	•	» rRfTI	I
)
(2.37)
31
где /твш— напряженность поля, созданная всеми внешний
по отношению к А-му элементарному объему источникам
Для изотропного материала справедлива следуют.;
связь составляющих вектора напряженности поля с соста
ляющимн намагниченности, вытекающая из коллнпсарп
сти этих векторов:
nh=MhIHh.	(2.38]
Проведем преобразования уравнений (2.37) с помощы
(2.38), после перестановки и группировки членов получи
3k - 2. sfe 2
^3fe-2. sfe-1 Myk 4~
+ «aft-2.SftAIzft=-^;
^Sfc-l. 3fc-2 ^xk 4“	1. 3k-I )
\	*fe /
4“fl3fe-l. 2*	- — Hyk’l
3k -2	4“ U>ft. 3k - 1 ^k 4 ’	3k ^zk
инш
— — nzk-
Выполнив такие же преобразования для всех
тарных объемов из изотропного материала, запишем
(2.3C
элемси
систе
му уравнении для расчета намагниченности в окончателл
пом виде:
(Ац—D) М— —Ноет П,
(2.40:
где Ан и D — прямоугольные матрицы размером ЗАг1Х37м
Ni—число элементарных объемов из изотропного матери
ала; D составлена из коэффициентов 1/zj,, А=1, 2, ..., М|
помещенных на главную диагональ, остальные элементы--!
нули. Индекс «и» в (2.40) указывает, что из системы (2.3б1
взяты уравнения для элементарных объемов из изотропно!
го материала.
Если в других элементах МС намагниченность извести!
и определен вектор Пост или эти параметры зафикспров J
ны на рассматриваемом шаге общего итерационного про-
цесса, то решение (2.40) дает искомое распределение ши
магннчснностп в элементах из изотропного материала. Ос-
тановимся па способах решения системы (2.40) для различ-.
пых по степени идеализации представлений характеристик
изотропных магнитно-мягких материалов (рис. 2.2).
Линейная характеристика изображена на рис. 2.2,а и
имеет место, когда принимаем постоянной относительную
33
Pin ?.2. Идеализированные магнитные характеристики изотропного
Лгипстерезисного материала:
к линейная; б—Г-образная
мнгпитную проницаемость, а следовательно, и магнитную
ши приимчивость материала. Предельный случай — беско-
нечная относительная магнитная проницаемость—наиболее
чисто используется в практике расчетов.
Так как элементы матрицы D — известные постоянные
коэффициенты, то система уравнений (2.40) представляет
гибок СЛАУ и намагниченность элементарных объемов рас-
щипывается путем прямого или итерационного решения
noil системы уравнений. Итерационный способ удобен при
недостаточном объеме основной памяти ЭВМ для разме-
щения матриц, так как позволяет уменьшить число обра-
пц ний к внешней памяти и сократить время счета на ЭВМ.
Для определенности примем одну из возможных схем
решения СЛАУ—простой итерационный процесс [27], ко-
|ц|>ый построим по блочному принципу. На примере этой
। \емы будем проводить все дальнейшие рассуждения. Рас-
4(1 намагниченности выполняется по рекуррентной фор-
муле
М„"+'=М%+а(М*„—М"и),	(2.41)
где
М*п=— (А'ди—Dz)~1 [ (Au-—Ади) М"+Ност.п]
рассчитываемые на каждом шаге итерационного про-
цесса значения намагниченности элементарных объемов,
указывающие направление изменения полученной па пре-
дыдущем шаге вычислений намагниченности для достиже-
ния искомого решения системы (2.40); п — номер итерации;
и стационарный параметр итерационного процесса; А'ди—
диагональная клеточная матрица, составленная из диаго-
нальных клеток размером 3X3 матрицы Ап, т. е. из коэф-
фициентов, характеризующих вклад в напряженность поля
собственной намагниченности элементарных объемов из
и ютропного материала; Aj„ —дополненная нулями до раз-
мерности матрицы Ан матрица A'rf,,; D' — диагональная ма-
грпца, построенная на главной диагонали матрицы D.
3—3367	33
Алгоритм поиска решения по (2.41) состоит из следу»
щих этапов:
1.	Задание исходного нулевого приближения распред
лення намагниченности в ферромагнитных деталях ci
стемы.
2.	Организация последовательного просмотра каждого
элементарного объема с неизвестной намагниченностькг
Для рассматриваемого k-vo объема составляется систем
из трех уравнений (2.39), которая решается относительн
намагниченности прямым методом обращения [26], в pt
зультате чего получаем вектор
3.	После расчета всех k=\, 2, ..., Л((, строите
полный вектор Wl*II=[|Af*Z1||, указывающий направление и!
менения намагниченности при движении к искомому реш»
нию.
4.	Расчет нового приближения намагниченности I
(2.41). Шаг приращения задает параметр итерационное
процесса а.
5.	Проверка условия достижения решения с заданно»
точностью на основе сравнения значений намагниченности
получаемых на двух соседних итерациях:
ц м"-»1 — М" II
------------- <7 Е.
(2.42
II Мп+’ ||
Значение е>0 устанавливает точность решения системы
уравнений. Если условие (2.42) не выполнено, то расчет,
повторяется начиная со второго этапа.
Параметр итерационного процесса а должен обеспечи
вать наиболее быструю сходимость к решению. В соответ
ствин с (2.41) такой процесс сходится со скоростью гео
метрической прогрессии со знаменателем
В=||Е—а [Е-|- (А'а„—D')-« (Аи— Ad„)] ||<1,	(2.43'.
где Е — единичная матрица.
У большинства магнитно-мягких материалов магнитна»
восприимчивость велика (хЗ>100), поэтому коэффициента
матрицы D' малы и не оказывают влияния на сходимосл
итерационного процесса.
Можно представить два типа сходящегося процесса: ко-
лебательный н апериодический (рис. 2.3). Критерий (2.42'
имеет смысл только для апериодического процесса, только
тогда уменьшение г. гарантирует увеличение точности ре-
шения. Таким образом, параметр а должен обеспечивать
наиболее быструю сходимость процесса, т. е. минимум Е,
при обязательном условии апериодичности,
34
I’nc 2.3. Два типа сходящихся итера-
ционных процессов.-
/ колебательный; 2 — апериодический
Предельный случай бесконеч-
ной х материала отличен от рас-
смотренного тем, что в (2.41),
(2.42) матрица D' равна нулю и
сходимость процесса определяет-
• я только коэффициентами матрицы А, т. е. геометрией МС
и характером разбиения па элементарные объемы. Конеч-
ные значения х при прочих равных условиях улучшают
сходимость итерационного процесса, так как коэффицпен-
1Ы матрицы D' при вычитании из матрицы Azd„ увеличива-
ют по абсолютной величине диагональные коэффициенты
последней и множитель (А'<(И—D')1 в (2.43) уменьша-
емся.
Сопоставляя рассматриваемый метод расчета МС с ли-
нейными свойствами элементов с методом, основанным на
ГИУ второго рода (см. § 2.4), отметим, что размерность
матриц в (2.40) большая, чем в (2.33), так как в первом
случае интегрирование производится по поверхностям,
ограничивающим каждый элементарный объем, а во вто-
ром коэффициенты матриц в (2.33) вычисляются для эле-
ментарных площадок, расположенных на поверхности всей
детали МС. Поэтому в первом случае требуется проведение
шметно большего объема вычислений. К достоинствам рас-
смотренного в этом параграфе метода относится непосред-
сшсиный расчет распределения намагниченности в объеме
ферромагнитных деталей.
Г-образная характеристика, показанная на рис. 2.2,6,
дает более точное, чем линейная, и достаточно простое при-
ближение к истинной характеристике изотропного безгисте-
решеного материала. Ее использование показывает непло-
хие результаты при работе материала в средних (В>
10 3 Тл) и сильных (й>10 1 Тл) полях. Построение та-
кой характеристики производится по справочным данным
например [33]: начальный наклонный участок определя-
шется Хтах (если утах—оа, то начальный участок верти-
кальный), а горизонтальный — намагниченностью насыще-
ния Ms. Алгоритм расчета строится по итерационной схеме
и следующей последовательности:
1.	Задание исходного распределения намагниченности
ио элементарным объемам ферромагнитных деталей.
2.	Определение компонент матрицы D в системе урав-
нений (2.40) по магнитной восприимчивости начальных
jtictkob используемых Г-образных характеристик.
J-	35
3.	Выполнение одного шага расчета по приведенному
выше алгоритму для линейных характеристик (со второгЗ
по четвертый этап).
4.	Введение ограничений на максимальную намагничен-!
ность после определения нового приближения. Если модуль
нового значения векторов намагниченности в каких-то эле-
ментарных объемах превосходит Ms, то производится
уменьшение их до величины Ms без изменения направления:
ML
Мы = -- Ms; » — у, z,
Mk'
где М'дк — полученные на n-й итерации значения состав-;
ляющих вектора намагниченности в А-м элементарном объ-1
еме при расчете с линейными характеристиками;	—•
скорректированные значения составляющих вектора намаг-
ниченности по намагниченности насыщения.
5.	Расчет нового значения коэффициентов матрицы D,
для чего по формуле
Н”и=АиМ-+Ност.и
определяется напряженность поля в элементарных объе-
мах, где проведена коррекция по намагниченности насы-
щения и вычисляются новые значения Zk—HJMk.
6.	Проверка условия (2.42) достижения заданной точ-
ности решения. Если условие (2.42) не выполняется, то
возвращаемся к этапу 2 с новым приближением намагни-
ченности и магнитной восприимчивости.
Недостатком алгоритма является то, что из-за Г-образ-
ного вида кривой намагничивания коррекция х в п. 5 на
каждом шаге может привести к нарушению сходимости
процесса. Б [15] итерационный расчет по Г-образным ха-
рактеристикам проводится без коррекции х на каждом ша-
ге вычислений. Естественно, если материал входит в насы-
щение (под насыщением материала в этой книге мы пони-
маем достижение намагниченности насыщения, а не часто
используемое понятие, связанное со значительным умень-
шением магнитной восприимчивости материала), то полу-
чаемый при завершении итерационного процесса результат
не удовлетворяет исходной системе уравнений с матрицей
Do, заданной величиной хтах- В качестве решения прини-
мается такой вектор М, который минимизирует функцио-
нал
Ф(М) = ||(АИ— Dn)M+H
ост,и II,
при ограничениях Mk<Ms, k=\, 2, .... Nb
36
1еоретическое обоснование правомерности такого допу-
щения провести затруднительно. Практические результаты
п ряде случаев получаются приемлемыми.
1.6.	РЕШЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПРИ РЕАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ МАГНИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Изотропные материалы. Первые попытки построения
лгорнтма, учитывающего нелинейные свойства магнитного
материала при расчете по интегральным соотношениям
(1.7) или (1.10) (см. [13, 14]), предполагали последова-
1сльное выполнение следующих действий:
1.	Задание нулевого приближения распределения на-
магниченности в ферромагнитных деталях.
2.	Расчет с помощью равенств (1.7) или (1.10) напря-
женности поля или индукции в средних точках выделенных
>лементарных объемов.
3.	Определение по кривой намагничивания направления
н (менения намагниченности, т. е. вектора М*, компоненты
которого соответствуют точкам на кривой намагничивания
материала, определенным по рассчитанным значениям на-
пряженности поля.
4.	Расчет нового приближения распределения намагни-
ченности, например для простых итераций по (2.41).
5.	Проверка условия достижения искомого решения;
если условие не выполняется, то повторение расчетов с п. 2.
Недостатки такого алгоритма, существенно ограничн-
нающие его возможности, — плохая сходимость итерацион-
ного процесса и сильная зависимость скорости сходимости
(и вида кривой намагничивания материала и места распо-
ложения на ней рабочего участка. Проиллюстрируем это
для идеализированного материала с линейной кривой на-
магничивания (см. рис. 2.2), когда М=ъН (х—const). Под-
павляя (2.36), получаем выражение для М* на n-й ите-
рации
М*=х(АМ'’+Ност).
В этих условиях сходимость к искомому решению про-
цесса (2.41) обеспечивается со скоростью геометрической
прогрессии со знаменателем
|=||Е+а(хА-Е)||<1.	(2.44)
Из анализа (2.44) следует, что при больших значениях
х материала обеспечить хорошую сходимость рассматрива-
। мого процесса весьма затруднительно, так как для выпол-
нения условия |<1 параметр а должен быть мал, т. е.
37
должен быть мал шаг итерационного процесса, а число
итераций велико.
Для расчета М элементов МС, работающих при боль-
ших значениях х, в некоторых работах [14, 15] предлага-
ется использовать так называемый «обратный итерацион-
ный процесс», где вычисления производятся в обратной по-
следовательности.
1.	Задание нулевого приближения распределения на-
магниченности.
2.	Определение по характеристике материала напря-
женности поля в элементарных объемах.
3.	Расчет по (2.36) вектора М*, указывающего направ-
ление изменения намагниченности па текущей итерации
при определенном в п. 2 значении Напряженности поля
М* = А '(Н"—Ноет),
где Нп — напряженность поля в элементарных объемах
ферромагнитных деталей, определенная по характеристике
материала при Мп.
4.	Расчет по (2.41) нового приближения намагниченно-
сти
Для линейной характеристики Н”= М"/х критерий схо-
димости указанного процесса представляется в виде
g=||EH-«(A Vx Е)||<1.
(2.45)
Из (2.45) видно, что чем больше значение х, тем боль-
ше может быть выбран шаг итерационного процесса, т. е.
сходимость улучшается. Наоборот, при малых значениях х
хорошую сходимость процесса обеспечить не удается.
Таким образом, прямой итерационный процесс приме-
ним на пологом участке магнитной характеристики, а об-
ратный -на "крутом. Умелое использование этих двух про-
цессов в одном алгоритме в ряде случаев позволяет решить
задачу, по так как заранее по известно, каким участкам
характеристики соответствуют те или иные элементарные
объемы ферромагнитных деталей системы, то такой метод
нельзя рекомендовать для построения универсальных про-
грамм расчета МС.
Приведенные выше итерационные процессы последова-
тельно используют в вычислительном алгоритме характе-
ристики материала и уравнения связи (2.36). Это приводит
к тому, что область поиска решения не ограничивается точ-
ками кривой намагничивания, а охватывает все простран-
ство чисел Я>0, А1<Л4., Принципиальное решение пробле-
мы учета нелинейных характеристик, вероятно, следует ис-
кать в сужении области поиска магнитного состояния ве-
38
пксгва н ограничении ее множеством точек, находящихся
и.। кривой намагничивания. Алгоритм, сходимость которого
< ибо зависит от вида характеристики материала и распо-
1ожепня на ней рабочего участка, на этапе определения
1кк гора М* должен решать задачу отыскания такого век-
юра, который одновременно удовлетворяет и уравнению
сняли (2.36), п характеристике материала [17]. Рассмот-
рим подробнее этот алгоритм.
При решении СЛАУ (2.39) намагниченность элементар-
ного объема можно рассматривать как нелинейную функ-
цию напряженности поля в этом объеме (от Н зависит х
п соответствии с характеристикой материала). В то же
время намагниченность непосредственно определяется по
характеристике материала. Поэтому компоненты вектора
М*, одновременно удовлетворяющие указанным функциям,
могут быть найдены с помощью минимизации их невязки
ФДЯД=|ММЯД-М,((Д,,)|,Л=1, 2, ...,м,	(2.46)
। де	—функция намагниченности ft-го элементарно-
н> объема, получаемая из решения системы (2.39);
—характеристика материала.
Очевидно, минимизацию функционала	рацио-
нально проводить в ограниченном интервале 0</Д</Двш,
I де Дквш— напряженность поля в /г-м элементарном объе-
ме, созданная всеми внешними -по отношению к нему ис-
точниками. Качественный вид функций, образующих функ-
ционал, показан па рис. 2.4. Для минимизации ФД/Д)
пригодны любые методы нелинейного программирования,
предназначенные для поиска минимума одиоэкстрсмаль-
ных функций одной переменной (золотого сечения, деления
пополам и т. д.) [34]. Учитывая, что качественный харак-
iep функционала известен заранее, экономичный алгоритм
минимизации можно построить так.
1.	Задание верхней //п и нижней Ни границ интервала
поиска минимума Ф^Нц) и расчет &Н=НК—Ни.
2.	Задание пробной точки по формуле 7/I,.T=WIr|-A///2.
3.	Определение по характеристике материала х/, и Mllt
решение системы (2.39) в нахождение Л1сл.
4.	Расчет функционала ФДН/,).
5.	Проверка выполнения условий выхода из процесса
минимизации по значению функционала Фк(Нп) <ел или по
размеру интервала поиска: Д//<Е2.
6.	Если условие выхода из процесса минимизации нс
наполняется, то определяется новый интервал поиска; при
Л1'11>Мк принимаем Нл—Нпг, а /7П остается прежним,
И противном случае полагаем Нв—Нп<г, а Ни—прежнее;
39
Рис. 2 4 К определению функционала
невязки для изотропного материала:
1 — кривая намагничивания материала; 2 —ре-
шение СЛАУ (2.39) как функция Hk
далее вычисляем А/7 и возвра-
щаемся к выполнению п. 2.
Минимизация невязки (2.46)
не требует проведения значитель-
ного объема вычислений и не
приводит к заметному возрастанию времени счета на
ЭВМ. Один шаг итерационного решения системы уравне-
ний (2.40) состоит в расчете по указанному алгоритму со-
ставляющих вектора намагниченности всех элементарных
объемов при фиксированных внешних по отношению к ним
полях. Влияние намагниченности объемов друг на друга
учитывается с помощью повторения расчетов по (2.41),
где
М*=- [A'dn- (D') »] -• [ (A„-AdlI) М"+НОСТ1П].	(2.47)
Эта формула отличается от формулы для расчета рас-
пределения намагниченности в линейных средах только тем,
что матрица D' меняется от итерации к итерации. В обыч-
ных условиях работы деталей из изотропных безгистерезис-
ных материалов х^>10, поэтому вычитание величин, обрат-
ных и, из диагональных элементов матрицы A'du в (2.47)
не так заметно, как в (2.44) или (2.45), и вид кривой на-
магничивания оказывает слабое влияние на сходимость
процесса. Более того, если обратиться к критерию сходи-
мости для линеаризованного процесса (2.43), то видно, что
отличие от нуля D' приводит к уменьшению множителя
[A'dn—(D')n]-*. Поэтому выбор параметра итерационного
процесса допустимо проводить, приняв D'=0, что не при-
ведет к расходящемуся процессу при конечных значениях
(D')n и не дает заметного замедления его.
Помимо магнитной характеристики на выбор параметра
итерационного процесса оказывают существенное влияние
геометрические соотношения деталей МС и способ их раз-
биения на элементарные объемы, которые определяют ко-
эффициенты матрицы А в (2.36) и последующих формулах.
Эффективное решение проблемы сходимости требует ком-
плексного подхода: подбора наилучшей дискретизации,учи-
тывающей ожидаемый характер поля в конкретной задаче,
выбора итерационной схемы и нахождения оптимального
параметра итерационного процесса. Некоторые вопросы вы-
бора оптимального а будут рассмотрены в § 3.4. Здесь от-
метим еще одну схему итерационного решения, исподьзую-
40
тую последовательную верхнюю релаксацию [27], когда
коррекция намагниченности производится последовательно
для каждого элементарного объема по формуле
МГ1 = < - a {Mnk 4- [A'd„ - (О')"]?1 X
X [Аи - Аа,)Л 4- Яост,4},	(2.48)
где k пробегает номера всех элементарных объемов из изо-
гоппого материала с нелинейными характеристиками;
М"к= (Л1пж*., M^yk, MnZk) — вектор намагниченности в k-ы
элементарном объеме; М? — || Л1"+1.... Л!*!/.. Л1л...
AIjv, ||	— вектор-столбец намагниченности элементар-
ных объемов, у которого первые k—1 компонент имеют
уже скорректированные значения.
Анизотропные материалы. Свойства деталей МС, вы-
полненных из анизотропного материала, задаются в систе-
ме координат, привязанной к осям 'анизотропии а, р, у.
Естественно, в исходных данных к расчету должны присут-
ствовать параметры, указывающие направление осей ани-
зотропии в каждой детали. С алгоритмической точки зре-
ния выгодно задавать направление осей а, ₽, у в виде ма-
1|)пц направляющих косинусов 5=11x^11. Если ех, еу, ez —
единичные орты, связанные с исходной системой коорди-
нат, а еа, ер, eY — единичные орты, определяющие направ-
ление осей анизотропии, то x,j= (е,, ej); i=l, 2, 3 соответ-
ствует осям х, у, z исходной системы координат; / = 1, 2, 3
соответствует осям системы координат анизотропии а, р, у.
С помощью матрицы s легко провести пересчет компонент
вектора из одной системы координат в другую:
з
2^-
i=I
п наоборот:
з
/=i
Предположим, что для некоторого k-ro элементарного
объема из анизотропного материала известна матрица на-
правляющих косинусов s. Перепишем равенства (2.37),
связывающие напряженность поля в центре объема с его
намагниченностью, для составляющих векторов в системе
координат аь, Ph, уи-
з	з
2^- = 2ЬЧМ,^Н^.	(2.49)
/=1 /=1
41

ГДе
з
bij — 2 aqrSPj’ ? —3A-J-Z —3, r-- 3k-\-p— 3.
P=1
Проведя подобные преобразования для всех элементар-
ных объемов из анизотропного материала, получим систе-
му уравнений, которую в матричном виде запишем сле-
дующим образом:
sHa=A(sMa)+H
ОСТ»	(2.50)
где индекс «а» указывает, что вектор определен в системе
координат, привязанной к осям анизотропии.
Поскольку у каждого элементарного объема могут быть
свои осп анизотропии, матрица s представляет собой клет-
чатую диагональную матриц)' с клетками 3X3 — матрица-
ми направляющих косинусов осей а*, р*. ylt.
Совместное решение уравнения (2.50) с характеристи-
кой материала возможно только при условии однозначно-
сти характеристики. Для анизотропного безгистерезнспого
материала это условие выполняется. Процесс намагничи-
вания представляется однозначной гиперповерхностью на-
магничивания. Для случая двух координат примерным вид
поверхности намагничивания анизотропного безгистерезис-
ного материала показан на рис. 1.2,а. Отличительная осо-
бенность гистерезисных материалов — зависимость от пре-
дыстории намагничивания, т. е. принципиальная неодно-
значность. Однако знание предыстории дает возможность
выделить однозначные участки характеристики, на кото-
рых находятся искомые рабочие точки элементарных
объемов деталей из гистерезисных материалов. Такие
участки по аналогии с одномерным случаем можно на-
звать гиперповерхностями размагничивания. На рис. 1.2,6
показана предельная гиперповерхность размагничивания
в случае двумерного поля.
Среди бесконечного множества всех возможных состоя-
ний материала, задающих предысторию его намагничива-
ния, с практической точки зрения наиболее интересны три,
которые связаны с технологией изготовления МС:
1. Намагничивание постоянных магнитов производится
в собранной МС до достижения намагниченности насыще-
ния в направлении осей легкого намагничивания а.
2. Постоянные магниты намагничиваются раздельно в
уединенном состоянии до насыщения, а затем производит-
ся сборка МС.
42
3. Намагничивание собранной МС производится в на-
ир.тлениях, не совпадающих с направлением осей легкого
намагничивания постоянных магнитов.
Первое состояние постоянных магнитов однозначно
определяется предельной гиперповерхностью размагничи-
вания, при втором магниты будут работать па частных
циклах, а для их определения требуется предварительный
расчет магнита в уединенном состоянии по предельной
кривой размагничивания, который дает точки отхода част-
ных циклов. В третьем состоянии для определения харак-
нрпстики каждого элементарного объема в размагничи-
вающих полях необходим предварительный анализ про-
цесса намагничивания постоянных магнитов в собранной
i пстеме, который должен быть построен на основе харак-
н-рнстик первоначального намагничивания. Такой анализ
но своей сути аналогичен анализу магнитного состояния
<еталей из анизотропного безгистерезисного материала.
Обобщая выводы о сходимости итерационных процес-
сов, полученные при анализе изотропных материалов, сле-
дует также признать, что решение рассматриваемой здесь
шдачп рационально искать также на множестве точек, при-
надлежащих гиперповерхности намагничивания или раз-
магничивания анизотропных материалов. С этой целью
1ля каждого элементарного объема составляем функцио-
нал невязки между значением вектора' намагниченности
M'h, полученного при решении системы (2.50), как функ-
ции напряженности поля в центре объема, и вектора на-
магниченности определенного векторной характеристи-
кой материала (1.19):
Ф/ (Я*) = || Mck(Hk) - Mk (Hk) II .	(2.51)
Возможный диапазон изменения напряженности поля
в центре каждого объема известен — он не превосходит на-
пряженность внешнего поля
Функционал (2.51) содержит три независимые перемен-
ные HXh, Hyk, Hzit, что, конечно, усложняет нахождение его
минимума, но эта задача достаточно эффективно решается
современными методами нелинейного программирова-
ния [34].
Если минимум функционала Ф'к(Нк) получен при зна-
чении напряженности поля в центре элементарного объема
//*,„ то решение системы (2.50) Мск при таком H*h ука-
пывает направление изменения намагниченности на сле-
1ующем шаге итерационного процесса. Расчет нового при-
ближения намагниченности и замыкание итерационного
43
процесса осуществляются аналогично расчету изотропного
материала [см. (2.41)]. Трудность использования этой мо-
дели заключается в том, что предприятия — изготовители
анизотропных магнитных материалов пока не дают разра-
ботчикам МС требуемых для построения характеристик
вида (1.19) экспериментальных данных. Поэтому, напри-
мер, задачу расчета МС, содержащей постоянные магниты,
с учетом особенностей векторного гистерезиса удается
сформулировать только в немногочисленных случаях, опи-
раясь на данные, полученные при экспериментальном ис-
следовании отдельных образцов в лабораторных условиях.
С точки зрения все возрастающих потребностей производ-
ства в высокоточных численных расчетах МС приобретает
исключительную актуальность решение проблемы созда-
ния и внедрения в промышленность многоннформативных
методов и аппаратуры для исследования свойств анизо-
тропных магнитных материалов.
В настоящий момент, опираясь на справочные данные
для постоянных магнитов, мы можем располагать в луч-
шем случае только предельной кривой размагничивания в
направлении оси легкого намагничивания [33]
Ma=F(Ha)
(2.52)
и оценить х начальных участков кривых намагничивания
в поперечных направлениях при условии, что материал
предварительно был намагничен до насыщения в основном
направлении:
Afp=xpWp, Mv=xvHv.	(2.53)
Несомненно, использование этих данных в расчетах мо-
жет быть оправдано только в тех случаях, когда постоян-
ные магниты работают в полях, имеющих преимуществен-
ную ориентацию вектора напряженности поля в направ-
лении оси легкого намагничивания материала. Многие
хорошо спроектированные МС отвечают этому требова-
нию, и поэтому приводимый ниже более простой алгоритм
их расчета имеет достаточно широкую область применения.
Подставим линеаризованные характеристики намагни-
чивания в поперечных направлениях (2.53) в систему урав-
нений (2.49) для k-ro элементарного объема из анизотроп-
ного гистерезисного материала. После перестановки и груп-
пировки членов уравнения получим
5,^ = 6,.^+ 2 (6,/-51//х/)М/-|-/<ш.	(2.54)
1=2.3
Решение системы уравнений (2.54) Ма, Мр, Му пред-
ставляется линейной функцией от скалярного аргумента
44
1'пг. 2.5. К определению функционала
in низки анизотропного гистерезисного
материала:
I кривая размагничивания в направлении
нионного намагничивания; 2 — решение
t ЛЛУ (2.64) как функция На
Нл. Так как в дополнение к
С’54) известна кривая размаг-
ничивания в направлении оси
легкого намагничивания а (2.52),
то итерационный про-
цесс поиска распределения М в элементарных объемах по-
стоянных магнитов на множестве точек, принадлежащих
кривой размагничивания,’реализуется с помощью мини-
мизации на каждом шаге более простого, чем (2.51), одно-
мерного функционала невязки
Ф"н(Нак) = \Mcah(Hah)—Mak(Hah) |,	(2.55)
1де Mcah(Hah) — решение системы (2.54); Mah(Hal<) — кри-
вая размагничивания материала постоянного магнита
(2.52).
Па рис. 2.5 показан вид линейной зависимости Л4сал от
Ifah и кривой размагничивания Маь(Нац), откуда можно
сделать вывод об одпоэкстремальности функции Ф"к(Нак),
чю дает основание использовать для его минимизации из-
псстные [34] простые методы поиска экстремума функции
одной переменной, например метод, предложенный выше
для минимизации функционала (2.46). Диапазон измене-
ния переменной при поиске экстремума в нормальных
условиях работы постоянного магнита лежит в пределах
II. м^На^.О, где Нем — коэрцитивная сила материала по
намагниченности. Дальнейшая структура итерационного
решения полностью аналогична изложенным выше мето-
дам.
Подчеркнем отличия алгоритма расчета анизотропных
материалов от изотропных.
1.	Расчет распределения намагниченности в деталях
МС, выполненных из анизотропных материалов, проводит-
ся в системе координат, отслеживающей за направлением
осей анизотропии каждого элементарного объема.
2.	В общем случае расчет постоянных магнитов, если они
работают не на предельных гиперповерхностях размагни-
чивания, должен включать анализ процесса намагничива-
ния, который необходим для однозначного определения
частных гиперповерхностей размагничивания.
3.	Векторный характер математического описания
свойств анизотропного материала усложняет решение про-
блемы ограничения области поиска распределения намаг-
45
нпченности множеством точек, соответствующих характе
ристике материала. Расчет по упрощенным характеристп
кам постоянных магнитов по объему вычислений близок
к расчету изотропных материалов.
Развернутая общая рекуррентная формула итерацион
лого алгоритма расчета анизотропного материала с уче
том того, что составляющие вектора намагниченности
окончательно должны быть определены в исходной системе
координат х, у, г, имеет вид
M?+I — М" — а {М" — s (A'dT s)-'X
X [sHa — (Ат — AdT) М" — Ност т|},
(2.
где индекс «т» указывает на то, что рассматриваются урав-
нения, записанные для элементарных объемов из анизо-
тропного материала; матрицы Ат, А,/г, АХ следует пони-
мать в том же смысле, что н в (2.47), с той лишь разни-
цей, что составляющие их коэффициенты относятся ь
анизотропным элементарным объемам. Анализируя схо-
димость процесса (2.56), отметим, что вектор Hnd указы-
вает положение рабочих точек на гиперповерхностях раз-
магничивания пли намагничивания элементарных объемов
из анизотропного материала и, естественно, ограничен
вполне конечными пределами изменения, которые соизме-
римы с другими слагаемыми в квадратных скобках. По-
этому характеристика материала не оказывает определяю-
щего влияния на сходимость итерационного процесса.
Рекуррентная формула, реализующая метод последо-
вательной верхней релаксации для намагниченности эле-
ментарных объемов из анизотропного материала, записы-
вается по аналогии с формулой (2.48).
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГОРИТМА
И ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА МАГНИТНЫХ СИСТЕМ
СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПОЛЯМИ
3.1.	СИСТЕМА РАСЧЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ И СТРУКТУРА ПРОГРАММЫ
Вопрос о создании универсальных программ остается
предметом дискуссий, где в качестве альтернативы выдви-
гается создание узкоспециализированных программ, кото-
рые можно составлять для расчета отдельных типов кон-
46
. । рукций МС, обладающих упрощающими вычислительный
биоритм свойствами. Среди достоинств узкоспециализиро-
i> иппых программ следует выделить высокую производи-
сльность, относительную простоту структуры и, следова-
кглыго, программирования, простую систему задания ис-
ходных данных. Основной же недостаток заключается в
их ограниченной применимости, что служит существенным
препятствием для эффективного использования программ
при проектировании МС в производственных условиях.
Рассматривая вопросы расчета МС сложной трехмерной
конфигурации в имеющемся диапазоне свойств магнитных
материалов, мы неизбежно приходим к проблеме универ-
алпзации программ. В то же время структура универсаль-
ной программы должна быть достаточно гибка и управляе-
ма, чтобы учитывались упрощающие свойства конкретных
анализируемых типов конструкций МС и производи-
(слыюсть расчета приближалась к узкоспециализирован-
ным программам. Современные ЭВМ позволяют создавать
комплексы управляемых программ-модулей, па основе ко-
к>|)ых строятся оптимальные структуры для расчетов са-
мых различных классов МС. Как показывает накопленный
опыт, именно универсальные программы способны в пол-
ном объеме решить задачу быстрого и широкого внедре-
ния численных методов расчета в практику научных пс-
лсдоваинй и проектно-конструкторских разработок.
Выделим основные требования к универсальным про-
|р.1ммам. Они должны:
1)	обеспечивать расчет требуемых параметров как мож-
но более широкого по геометрической конфигурации и
нюйствам материалов круга МС;
2)	давать возможность для управления структурой про-
1раммы через исходные данные с целью организации опти-
мального алгоритма расчета исследуемого класса МС;
3)	иметь достаточно высокий уровень сервисного обес-
печения ввода-вывода данных.
В этой книге подробно рассматриваются только вопро-
сы, отмеченные в и. 1 указанных требований, а также ча-
стично затрагивается п. 2.
Математический аппарат, закладываемый в программу,
определяется возможным составом МС и принятыми ма-
гматическими моделями отдельных ее деталей. В этом
отношении достаточно общий состав МС предполагает на-
личие следующих элементов-
1)	постоянных магнитов с фиксированным, известным
качением вектора намагниченности по всему объему
Л1С—const;
47
2)	обмоток (проводников) с заданным значением пло^
ности стороннего тока Jcr — const;
3)	постоянных магнитов (анизотропных гистерезисны
материалов) с нелинейной зависимостью намагниченное!
от напряженности поля М(Н);
4)	элементов, выполненных из анизотропного безгисп
резисного материала, магнитные свойства которого заданЦ
нелинейной зависимостью М(Я);
5)	элементов, выполненных из изотропного безгистер(
зисного (магнитно-мягкого) материала с нелинейной за
висимостыо М (И);
6)	магнитно-мягких элементов, у которых можно при
нять постоянство р.,. по объему как в силу свойств мата
риала, так и вследствие возможного режима работы; ।
7) эквипотенциальных поверхностей, определяемых
условием <p=const для безвихревых полей или условием
Для произвольного характера поля.
В пп. 1, 2 представлены внешние источники, на интен-
сивность которых не влияет магнитное состояние осталь-
ных деталей системы. Создаваемая ими напряженность по-
ля во всех уравнениях фигурирует только в правой части,
т. е. среди известных членов уравнения. Для расчета рас-
пределения неизвестных источников поля в МС, имеющих
в составе элементы из пп. 3, 4, 5, используем метод, бази-
рующийся на ПрИУ (см. § 2.6), как наиболее эффектив-
ный при расчете нелинейных сред. Линейные среды, т. е.
элементы МС, отмеченные в п. 6, с постоянным значением
цг представляют возможность для формулировки эконо-
мичных ГИУ второго рода относительно плотности поверх-
ностных зарядов (2.26). В п. 7 подразумевается присутст-
вие в МС различного рода ненасыщенных экранов с высо-
ким значением рг эквипотенциальных поверхностей, опреде-
ленных симметрией системы, ненасыщенных магнитопро-
водов концентраторов, т. е. элементов, задающих границы
области исследования. В статических полях такие поверх-
ности удобно учитывать с помощью размещения на них
простого слоя зарядов, определяемого ГИУ первого рода
(2.22). Если в МС присутствуют катушки с током, то ска-
лярный магнитный потенциал теряет однозначность и рас-
чет проще осуществить, исходя из условия отсутствия ка-
сательных составляющих напряженности поля на эквипо-
тенциальных поверхностях, которое приводит к ГИУ
второго рода относительно простого слоя токов (2.20),
(2-21).
В результате проведения кусочно-постоянной аппрокси-
мации всех источников поля в МС сведем ГИУ й ПрИУ
48
(3.1)
к двум системам алгебраических уравнений: нелинейной
для расчета распределения намагниченности в элементар-
ных объемах ферромагнитных деталей с нелинейными ха-
рактеристиками
Н—AM-ф-С'а Д-А"МС;
i=-l,2,.., N
и линейной, дающей значения плотностей поверхностных
источников элементов с линейными параметрами,
Со= — А'М— А'"МС.	(3.2)
Для определенности примем, что элементарные объемы
имеют вид многогранников, а элементарные площадки —
плоских многоугольников. Раскроем введенные в (3.1) и
(3.2) обозначения матриц в декартовой прямоугольной си-
стеме координат (ех, ev, ez);
Н=||/Д.(, HVi, Azi||T (i=l, 2, ..., N) — вектор-столбец,
содержащий составляющие результирующей напряженно-
сти поля в центрах элементарных объемах с нелинейными
свойствами; N — общее число таких объемов;
M=||A43fj, Mvj, 7WZj||T (/= 1, 2, ..., N) — вектор-столбец
искомых составляющих намагниченности элементарных
объемов с нелинейными свойствами;
A=||aft;|| (Л=1, 2, ..., 3N-, 1=1, 2, ..., ЗА) — квадрат-
ная матрица коэффициентов, характеризующих вклад в
напряженность поля в центральных точках элементарных
объемов с нелинейными свойствами от намагниченности
этих же объемов [см. (2.36)];
/л
i3-3)
4=1
где номер строки k матрицы А, так же как и остальных
матриц системы уравнений (3.1), задается номером эле-
ментарного объема i=l, 2, ..., А, в котором располагается
точка наблюдения, и номером составляющей вектора на-
пряженности поля т]=1, 2, 3 (что соответствует осям х,
у, z): k=3 (i—l)+n. a номер столбца l рассчитывается
no номеру элементарного объема /==1, 2.....А, от кото-
рого определяется вклад в напряженность поля, и номеру
составляющей намагниченности -f>=l, 2, 3 (х, у, г)-, 1=
=3(/-1)-Н>; I,- — число граней /-го элементарного объе-
ма; Пу —нормаль к v-й грани /-го элементарного объема;
^dS- <3-4)
4—3367
49
здесь ASV/ — поверхность v-й грани /-го элементарного
объема;
Mc=[]A4a;j, Mzj, Jхд, Jуд, /zg||T (/=1, 2, . . pl', Q-~
= 1, 2, ..., p2) — вектор-столбец из Зр элементов, которые
определены составляющими векторов М в объемах с по-
стоянной намагниченностью и векторов J в объемах со
сторонним током р=р1-|-р2 — общее число объемов с по-
стоянной намагниченностью и сторонним током;
А"=||а"ы11 (Л=1, 2....ЗА; /—1, 2......Зр) — прямо-
угольная матрица, коэффициенты которой определяют
вклад в напряженность поля в центральных точках эле-
ментарных объемов с нелинейными свойствами от магни-
тов с постоянной намагниченностью и обмоток с неизмен-
ным током. Значения коэффициентов вычисляются для
магнитов аналогично матрице А, а для токов они опре-
деляются с учетом того, что объем обмотки разбит на мно-
гогранные области с постоянной плотностью тока по фор-
муле [35]
i
(3.5)
V=1
где l=3(j—1)+б; v — номер грани /-го объема с током;
б —номер координатной составляющей плотности тока;
(3-6»
здесь ASv/ — поверхность v-й грани /-го объема с током;
0=110/11 (/=1, 2, ..., Ai-J-A2)—-вектор-столбец значе-
ний плотности зарядов на всех элементарных площадках,
выделенных на поверхностях, ограничивающих детали МС
с постоянной рг> и на эквипотенциальных граничных по-*
верхностях, причем если в МС присутствуют катушки с
током, то о включает вместо плотности зарядов компонен-
ты векторов плотности простого слоя токов на граничных
поверхностях; Ni — число элементарных площадок на по-
верхностях деталей с pr=const; N2 — число площадок па
эквипотенциальных граничных поверхностях. При исполь-
зовании поверхностной плотности тока для каждой пло-
щадки отводятся два элемента вектора о и размерность
вектора возрастает;
С'=||с'/,/|| (6=1, 2, .... ЗА)—прямоугольная матрица
коэффициентов, определяющих вклад в напряженность по-
ля в центральных точках элементарных объемов с нели-
50
I'nc. 3.1. Расположение естественной сн-
ими координат на площадке интегри-
рования
пенными свойствами от источни-
ков о, которые вычисляются по
формулам:
для зарядов
CM=/n/Ho; /=/==1, 2, ..., N,+N2-	(3.7)
для составляющей плотности поверхностного тока, на-
правленной по е'х в естественной системе координат, при-
низанной к площадке интегрирования (е'х, e'v, e'z)
(рис. 3.1),
c'hl=^(e^'z)Iv'-(ei}e'y)/z'-, /=2(/-1)+1;	(3.8)
для составляющей плотности тока, направленной пое'у,
c'hi—(e1}e'x)Iz'—(erie'z)Ix'\ /=2(/—1)4-2,	(3.9)
ie Д', I,,', Iz определены аналогично (3.4), но в системе
> ««ординат (е'х, e'v, e'z).
В (3.8), (3.9) j=JVi4-l, Mt4-2, ..., /Vi4-^2 — номер эле-
ментарной площадки, по которой проводится интегрирова-
нно;
<
квадратная матрица, предназначенная для
расчета источников о;
См=||С/;|| (/=1, 2.....М; /=1, 2, .... /Vi) — квадрат-
ная матрица, определенная левой частью системы уравне-
нии (2.26), ее коэффициенты дают вклад в нормальную
«•оставляющую напряженности поля на поверхности эле-
ментов с постоянным значением ц,. от зарядов, распреде-
к ппых по тем же поверхностям;
с-ч =- 2Л, [(п,ех) I к 4- (п,еу) 1У 4- (ntez) Iz -]-
+ AS//(2S,)],	(3.10)
। ie i — помер площадки, на которой располагается точка
наблюдения; j — номер площадки, по поверхности АЗ/ до-
трон проводится интегрирование; 3,— полная поверхность
кчали МС с jxr=const, на которой располагается точка
наблюдения.
Согласно (2.26) от диагональных элементов матрицы
( „ отнимаются единицы [при компоновке матриц знаки в
(.’ 26) изменены на обратные];
С'(р=||с17|| (i=l, 2, ..., Nt)—прямоугольная матрица,
коэффициенты которой характеризуют вклад в нормаль-
I	51
ную составляющую напряженности поля на поверхности
элементов с p.r=const от зарядов или токов на эквипотен-
циальных граничных поверхностях:
для зарядов
с и [(я,^х) Ix 4~ ly -f-	/г]. / — /; (3.11)
для составляющей плотности тока, направленной пое'х,
Си = 2р.о1/ [(П/в/) ly — (rtiCy') 1г.]\
/ = 2 (/-1)4-1;	(3.12)
для составляющей плотности тока, направленной пое'и, I
с,1 = 2p..2i [(«<<?/) 1г> - (я,е/) Л-];
/ = 2(/-1) + 2.	(3.13)
В формулах (3.11) —(3.13) /=1, 2, .. ., ЛГ2 —номер эле-1
ментарпой площадки па поверхности, по которой прово-
дится интегрирование;
С'ц = Цс/i/ll (/=1, 2./V\)—прямоугольная матрица, *
коэффициенты которой указывают вклад в потенциал или
касательную составляющую напряженности поля на экви-
потенциальных граничных поверхностях, если на них вве-
дены соответственно поверхностные заряды или токи от
зарядов на элементах с |4r=const. Для потенциала полу-
чаем
Л/цо, k=i.	(3.14)
Для касательной составляющей напряженности поля
ck, =е; (Q) [(л, X ех) fx + (nt х еу) 1У + (п,- Xег) (3.15)
где /г=2(1—1)-И]; т;=1, 2.
В (3.14), (3.15) i=l, 2, ..., Л/2 — номер элементарной
площадки поверхности, на которой располагается точка
наблюдения;
С<р==Цсл/|| — квадратная матрица для определения источ-
ников на эквипотенциальных граничных поверхностях, по-
лученная из (2.22), если расчет проводится относительно
зарядов, пли из (2.20), если расчет проводится относитель-
но токов. В первом случае коэффициенты вычисляются по
(3.14), когда /=1, 2, .... N3. Во втором случае — по вы-
ражениям:
для составляющей поверхностного тока, направленной
по е'х,
cki = Нов' (Q) [(я, X е'г) Л' - («< X е'у) 1г>\;
/=2(/-1)4-1;	(3.16)
52
Л (я составляющей тока, направленной по е'«
=	(Q) [(п, Хе\)/г' - Хе'г) Л-];
/_2(/-1)+2,	(3 17)
. и- Z’=2(i—1)4-Щ i] = I, 2, (х', у'); i= 1, 2, ..N2 — но-
мср элементарной площадки на эквипотенциальной гра-
ничной поверхности, на которой располагается точка на-
подеиия Q; e'UQ) —единичные орты естественной систе-
мы координат, привязанной к площадке с точкой Q; /=
I, 2, ..Л/2 — номер площадки, по которой проводится
интегрирование.
Если рассчитываются токи, то от диагональных коэф-
фициентов вычитается постоянное число р0/2;
а;
Л
— прямоугольная матрица, составленная из мат-
риц-блоков;
А'ц=||а,,(11 (4=1, 2.........Л^ь /=1, 2, ..., ЗА)—прямо-
мольная матрица, определяющая вклад в нормальную со-
 ынляющую напряженности поля на поверхности деталей с
и, const от намагниченности объемов с нелинейными
। нонствамн,
I.
а’ц--= ^(л./^Кя,^)/* + (»,<) Л,+ («^J/J. (3.18)
V=I
ite /=3(/—1)4-0; 0=1, 2, 3(х, у, г); /=1, 2, ..., А —
иомер элементарного объема, от намагниченности которого
рассчитывается вклад в поле; I— текущий номер элемен-
i.ipnofi площадки на поверхности детали с pr=const;
А'(р=||а'Л/|| (/=1, 2 ,..., ЗА) — прямоугольная матрица,
арактеризующая вклад в потенциал или касательную со-
। । являющую напряженности поля на эквипотенциальных
 риничных поверхностях от намагниченности объемов с
нелинейными свойствами. Коэффициенты для потенциала
гмоют вид
а’ы = S е») Л (А =- г).	(319)
л для касательной составляющей напряженности поля
li
n'ki = £ (п.-, е») {е; (Q) [я,- X ех) 1Х + (л, X еу) 1у +
+ («.Хег)7г|},	(3.20)
53
где k=2(i—1)+г]; т] = 1, 2(x', у')-, i—1, 2, ..N2 — номер
элементарной площадки, па которой располагается точка
наблюдения Q;
Ар. ’
А”'
— прямоугольная
матриц-блоков;
матрица,
составленная
из
Ац" = || dii |1 (i— 1, 2.	/=], 2..... Зр) - прямо-
угольная матрица, коэффициенты которой дают вклад в
нормальную составляющую напряженности поля на по-
верхности детален с jir=const от постоянных магнитов с
неизменной намагниченностью и обмоток с неизменным
током.
Для магнитов коэффициенты рассчитываются по (3.18),
где /=1, 2, ..., pi — номер объема постоянного магнита,
а для токов
I.
«'"и = 2	(3.21)
»=i
где /—3(/—1)-H>; /=р|-|-1, pj-J-2./>;
А'" = ||я"\;|| (/— 1 • 2. Зр)	— прямоугольная матрица,
указывающая вклад в потенциал или касательную состав-
ляющую напряженности поля соответственно от постоян-
ных магнитов с Af=const или от объемов с J — const. Для
Рис. 3.2. Схема программы расчета МС со стационарными полями
54
Митингов а"'м вычисляются по (3.19), (3.20). где j—
»• I, 2, ..., pi, а для токов
<3-22)
V=1
। ц- I определено аналогично (3.21), a k—аналогично
<3.20).
Как видно из (3.3) — (3.22), вычисление коэффициентов
тех матриц, входящих в систему уравнений (3.1), (3.2),
.целость к вычислению поверхностных интегралов от фупк-
чпи 1/г н от составляющих ее градиента гп/г3. Способы
вычисления таких интегралов рассматриваются в § 3.3.
Общая схема программы расчета МС со стационарными
полями изображена на рис. 3.2. Наиболее значительной
1Н1ЫО программы является блок расчета матриц системы
* равнений (3.1), (3.2). Уравнения решаются в двойном
пцрацпонном цикле: внутреннем, реализующем алгоритм
решения системы уравнений (3.1) по методике, изложенной
в § 2.6, и внешнем, который дополнительно включает ре-
шение СЛАУ (3.2). Остановимся подробнее на основных
вопросах реализации предложенной структурной схемы
прог раммы.
11. ЧИСЛОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВ
.ЦЕМЕНТОВ МАГНИТНЫХ СИСТЕМ
Разработка способа числового кодирования входной информации
ц. (1б\однма для того, чтобы ЭВМ однозначно воспроизводила форму
и. следуемого объекта и требуемые для его расчета характеристики.
11. и.зя сказать, что сейчас уже найдено оптимальное решение этой
Рис 3.3. Шестигранный объемный элемент МС и принятый способ
|.цбпеппя его на элементарные объемы:
невырожденный; о — вырожденный
55
Рис. 3.4. Четырехугольный элемент поверхности МС и принятый спо
соб разбиения его на элементарные площадки;
а — невырожденный; б — вырожденный
задачи, хотя работы в этом направлении ведутся довольно интенсив
но, особенно по созданию систем автоматизированного проектировании
электромагнитных устройств [36]. Сложность кодировки в общем слу-
чае объемных трехмерных систем определяется известными основны-
ми требованиями: приемлемостью с точки зрения выбранного числен
иого метода расчета магнитной системы; универсальностью по отно-
шению к форме и свойствам описываемого объекта; минимальностью
объема вводимой в ЭВМ числовой информации.
Для универсальной программы расчета МС авторами разработан
способ кодировки объемных элементов МС сложной геометрии в виде
координат вершин набора шестигранников и поверхностей в виде ко-
ординат вершин четырехугольников [17, 35] (рис. 3.3 и 3.4). В двумер-
ном случае соответственно имеем четырехугольники и отрезки прямых.
Для большей универсальности этих фигур принято, что грани шести-
гранника и стороны четырехугольника могут вырождаться: грань — в
треугольник, линию'.или точку, а сторона четырехугольника — в точку.
В то же время дли обеспечения однозначности введены ограничения
иа допустимые формы: шестигранник и четырехугольник могут быть
только выпуклыми, а грань шестигранника и четырехугольник в невы-
рожденном случае должны представлять собой трапеции. Последнее
ограничение не иосит принципиального характера, но необходимо для
более быстрого интегрирования ядер уравнений.
Применяемая при численном решении интегральных уравнений дис-
кретизация областей производится разбиением шестигранников на
элементарные объемы плоскостями, делящими противоположные реб-
ра на пропорциональные части, а четырехугольники разбиваются на
элементарные площадки прямыми линиями (см. рис. 3.3, 3.4). Дис-
кретизация деталей системы на элементарные объемы и площадки
представляет собой, как уже указывалось в § 1.1, первый шаг Ил
пути численного решения задачи. К сожалению, именно этот шаг не
имеет строгого теоретического обоснования. Неудачная дискретизация
ведет к получению грубого приближения к искомому решению, даже
56
.in остальные этапы алгоритма выполняются с высокой точностью.
I чошчательиый выбор характера дискретизации областей может быть
произведен только после выполнения решения с помощью вычисли-
Н'лыюго эксперимента с изменяемым шагом дискретизации или по
инюставленню результатов расчета с экспериментальными данными.
I г 1ественно, что для более или менее осознанного выбора характера
шгкретизации перед решением задачи необходимы некоторые априор-
ные сведения о характере поля в расчетной области. В этом отноше-
нии методы, основанные на интегральных уравнениях, имеют неоспо-
римое преимущество перед методом сеток или методом конечных эле-
митов. Наличие «осязаемых» с физических позиций интегральных
формул, связывающих источники с векторами поля, дает возможность
। ntc до решения задачи оценить ожидаемую картину распределения
ПИЛЯ.
Конкретизация алгоритма и написание программы всегда иачина-
|ц|ся с идентификации исходных данных. Излагаемые здесь принципы
числового кодирования геометрии и свойств элементов МС прсдпо-
। и нот задание вполне определенного комплекта исходных данных,
шпорый необходим для формирования системы расчетных уравнений
(3 I), (3.2) и определения конечных результатов расчета. Первое, что
«рсбуется задать, — это общее число шестигранников и четырехуголь-
ников, с помощью которых аппроксимированы объемные и поверхност-
ные элементы конструкции МС, а также координаты их вершин в
пыбрапной исходной системе координат. Если принять определенный
порядок задания координат, когда сначала располагаются объемы из
i|ii рромагнитного материала с нелинейными характеристиками, затем
постоянной намагниченностью и, наконец, обмоток с током, то
принадлежность шестигранника к той или иной группе элементов МС
по свойствам устанавливается введением еще двух чисел: числа фер-
римагнитных шестигранников с нелинейными характеристиками и об-
щею числа ферромагнитных шестигранников. Принадлежность четы-
рехугольника к конкретному типу поверхностных элементов системы
иыявляется заданием для каждого четырехугольника своего числа —
кота, иапрнмер а=0, если элемент поверхности имеет cp=const и рас-
чет источников проводится по уравнению (2.22); а=—1, если поверх-
ность с пхИ=О и расчетное уравнение (2.20); fl=gr>0, если по-
исрхность ограничивает элементы с p,=const и расчетное уравнение
(2.26). Указателем способа разбиения иа элементарные области слу-
жит массив чисел, где для каждого шестигранника или четырехуголь-
ника приведены в соответствие три или два числа, определяющие по-
лосы разбиения между вершинами этих фигур.
Свойства материала, из которого выполнены ферромагнитные де-
тили с нелинейной характеристикой, могут быть заданы различными
i пособами. Чаще всего кривые иамагничиваиия и размагничивания
представляются в виде таблицы, в которой приведены пары чисел
М и Н — узлы аппроксимаций кривых. Между узлами проводится ли-
57
нейная интерполяция или, если это необходимо, интерполяция более
высокого порядка. В исходных данных на расчет для каждого шести
градинка указывается номер характеристики из библиотеки таблнч
пых характеристик, постоянно хранящихся на внешних накопителя»
ЭВМ. Библиотека характеристик формируется и пополняется пела
впсимо от работы программы расчета МС. Для анизотропных маге
риалов наряду с магнитными характеристиками требуется задание
информации о расположении в пространстве осей аинвотропии. Поэт
му в комплекте исходных данных присутствует массив направляющих
косинусов осей анизотропии. Параметры источников в объемах с пн
стоянной намагниченностью и со стационарными токами задаются I
отдельном массиве составляющими соответствующих векторов и ш
пользуются в программе как неизменные константы.
Компактность вводимой в ЭВМ числовой информации о конструк
цин МС достигается путем учета различных симметрий в основной п
вспомогательных (локальных) системах координат, что позволяет огр i
дичиться данными об одной симметричной части МС и небольшой по
объему информацией о характере существующих симметрий. В основ
нои исходной системе координат (х, у, г) (ИСК) определены следую
щие типы симметрий.
1.	Осевая симметрия вокруг оси х для задания тел вращения, их
частей, а также магнитных систем многогранной, звездообразной и
тому подобной формы (рис. 3.5). Введение симметрии этого типа
производится путем задания угла и числа образов Л(а в азиму
тальнон плоскости, т. е. тело вращения приближенно заменяется мио
гограипнком. В магнитном отношении осевая симметрия подраздели
ется на полную, когда топография поля для всех выделенных секто
ров остается неизменной в подвижной системе координат, отеле !
живающей за углом поворота относительно исходного состояния, и
только геометрическую, когда нарушается симметрия поля. В свою
очередь как разновидность полной симметрии определяются знакоио
стоянная и знакопеременная осевая симметрии. В последнем случае
имеем чередование знака у векторов поля при неизменном модуле
Рис. 3.5. Разновидности осевой симметрии тел:
с —тело вращения (фА—30\ WA = I2); б — часть тела вращения (фА=30°,
-6); в — звездообразное тело (фА=60“, ЛГд—6)
58
О	X
I’uc. 3.6. К определению периодической симметрии
по 11>бпо многополюсной электрической машине. Характер симметрии
.ч<> шруется для каждого шестигранника двумя числами, например:
( 0 — полная;
ai ~ \ .
( 1—только геометрическая;
| 1 — знакопостоянная,
1	( — 1 — знакопеременная.
В плоском случае имеем аналогичное определение центральной
। имметрии для четырехугольников и отрезков прямых.
2.	Периодическая симметрия вдоль осп х показана на рис. 3.6.
1(.|блюдается у МС, имеющих периодические повторяющиеся элемен-
п.!, например периодические фокусирующие системы электронных при
Пиров. Здесь необходимо задать ЭВМ длину периода Т и число сим-
морнчных по периоду образов Nn. В магнитном отношении подобно
пеной симметрии имеют смысл полная, геометрическая, знакопосто-
iiidi 1я и знакопеременная симметрии Характер симметрии кодируется
пиплогично п I.
3.	Зеркальные симметрии относительно координатных плоскостей
р<) п xoz изображены иа рис. 3.7. При наличии симметрий такого
luit.i (они обычно присутствуют в МС очень часто) симметричная
чи п. получается зеркальным отражением относительно заданной плос-
кости. В магнитном отношении такие симметрии принимаются только
полными и подразделяются на два вида: негативную, когда плоскость
спибражеиия — эквипотеициаль, и позитивную, когда отображение
производится относительно силовой плоскости. Вид симметрии опре-
|с.'1яет изменение знака векторов поля при отображении, модуль со-
храняется неизменным. В исходных данных к расчету каждую из зер-’
। ильных симметрий удобно задавать одним числом:
— 1 — зеркальная симметрия отсутствует;
О—зеркальная симметрия позитивная;
•	1 — зеркальная симметрия негативная.
4.	Осевые симметрии во вспомогательных локальных системах
координат Xi, у,, Z\ (ЛСК), так называемые локальные осевые сим-
метрии, изображены на рис. 3.8. Задаются они подобно основной,
। е углом срл и числом образов JVa, а также дополнительным масси-
59
Рис. 3.8. Построение четырех кру-
гов с помощью одного треугольно-
го элемента поверхности при одно-
временном использовании осевых
симметрий в ЛСК (<Рл=30°, Л'л =
= 12) и в ИСК (фл=90°, Л,л=4)
Рис. 3.7. К определению зер-
кальных симметрий: негативной
относительно осн у и позитив-
ной относительно оси х
вом чисел направляющих косинусов осей ЛСК и координатами начала
ЛСК. С помощью локальной осевой симметрии можно задавать не
сколько несоосных тел вращения, например смещенные положения ро-
тора и статора в магнитных муфтах, подвесах и других устройствах.
По характеру топографии источников в симметричных образах такая
симметрия бывает полной только для элементов с постоянной намаг-
ниченностью или постоянной плотностью тока, а ферромагнитные эле-
менты с нелинейными свойствами полной магнитной симметрией в ЛСК
обладать не могут, п для1 них она определяется как геометрическая.
С точки зрения получения минимального комплекта исходных дан-
ных для представления конструкции МС в рассматриваемом матема-
тическом описании слабым звеном выглядит задание тел вращения:
значительно проще в таких случаях воспользоваться цилиндрической
системой координат. В ЭВМ вводятся координаты (р, г) сечения тела
вращения, а в целях согласования с алгоритмом расчета уже про-
граммным путем производится пересчет к координатам шестигранника.]
Важную задачу при создании универсальных программ представ-
ляет отыскание способа управления через исходные данные выходной
информацией, т. е. задание требуемого 'набора результатов расчета.
При расчете топографии вектора напряженности поля, на наш взгляд,
удачной формой можно признать определение в комплекте исходных
данных координат начальных и конечных точек отрезков прямых, на
которых в ряде точек с равным шагом вычисляются искомые состав-
ляющие Н. Универсальность этой формы обеспечивается путем варьи-
рования ориентацией отрезков в пространстве, числом отрезков и чис-
лом точек расчета поля на них.
60
13. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Расчет коэффициентов и формирование матриц систем
алгебраических уравнений (3.1), (3.2)—наиболее трудоем-
кая для программирования и громоздкая при расчетах
часть задачи. Именно трудоемкость вычисления коэффи-
циентов матриц считается рядом авторов [69] главным и
принципиальным недостатком интегральных методов рас-
чета по сравнению с конечно-разностными методами и ме-
юдом конечных элементов. Однако практика показывает,
чю современные ЭВМ позволяют решить эту задачу доста-
|очно эффективно как для двумерных, так и для трехмер-
ных задач. Рассмотрим схему разработанной авторами про-
|раммы расчета матриц в том варианте, который оправдал
себя при анализе самых различных типов МС.
На рис. 3.9 изображена общая схема расчета коэффи-
циентов матриц. Независимо от типа матрицы последова-
юльность выполняемых в программе операций одна и
ia же: задаются все требуемые положения точки наблюде-
ния в центрах элементарных объемов или элементарных
площадок, а затем каждому положению точки наблюдения
ставится в соответствие одна строка матрицы, если опреде-
ляются поверхностные скалярные источники, две строки,
если определяются поверхностные векторные источники, и
Рис. 3.9. Схема алгоритма расчета коэффициентов матриц
61
Рис. 3.10. Отслеживание вспомогательной системой координат за сим-
метричным образом при осевой (а) и периодической (б) симметрии
в ИСК
три строки, если уравнения записываются относительно ко-
ординатных составляющих вектора намагниченности.
Для задания координат точки наблюдения организуют-
ся циклы: по номерам шестигранников (четырехугольнп-
Рис. 3.11. Схема программы расчета
62
ков) (/), по полосам разбиения их на элементарные обла-
сти (2, 3, 4), по осевым симметричным образам в ЛСК (5)
и ИСК (6) и по периодическим симметричным образам
(7), причем циклы по осевым и периодическим симметрич-
строки коэффициентов матриц
63
ным образам в ИСК имеют место, когда симметрия только
геометрическая. В случае полной симметрии уравнения за-
писываются для точек наблюдения, располагаемых в одной
симметричной части МС, а коэффициенты матриц, относя-
щиеся к симметричным элементам, суммируются со знака-
ми, определяемыми характером симметрии. При геоме-
трической осевой и периодической симметрии в ИСК
координаты точки наблюдения определяются в подвижной
системе координат (ПСК) х{, yv <zt, отслеживающей за рас-
сматриваемым образом, как это показано на рис. 3.10.
Параметры циклов 1—7 однозначно задают расположение
рассматриваемого элементарного объема (площадки) и по-
зволяют провести вычисления координат вершин и цен-
тральной точки.
Для каждой точки наблюдения рассчитываются коэффи-
циенты, составляющие строки матрицы, и запоминаются
в специальном служебном массиве—блоке обмена, нахо-
дящемся в основной памяти ЭВМ и необходимом для про-
межуточного хранения информации, поскольку для всех
рассчитываемых матриц в основной памяти недостаточно
места. Поэтому принята схема, по которой получаемые
в цикле коэффициенты вначале заносятся в блок обмена
ограниченной длины, а при его полном заполнении, т. е.
при выполнении условия 8, переписываются на внешний
накопитель ЭВМ (магнитные диски, ленты). Далее блок
обмена зануляется, в него заносятся следующие коэффи-
циенты и т. д. Схема с хранением информации в промежу-
точном блоке обмена используется на всех этапах работы
программы — как при формировании матриц, так и при ре-
Рис. 3.12. Ориентация ТСК по от-
ношению к сечению шестигранника
или четырехугольному элементу
поверхности при интегрировании
Рис. 3.13. Ориентация ТСК по
отношению к отрезку интегри-
рования в двумерных задачах
64
Г л блица 3.1. Аналитические выражения однократных интегралов
Подынтегральная функция	Первообразная функция
1 г ~ 	1		Inpx + r)
J "(Хр—XQ)S+(l/p—J/Q)s+(2p—ZQ)S	
rX r3 ~ =	Xp-XQ		1 г
1Г (Xp—xQy+(yp—yQy+ (Zp — ZQ)2)]	
r3	rlfx
=	yP—yQ			(r\+r^r
llZ(-*p—Xq)2+(</p—f/Q)2+(zP + zQ)2)]	
rz	 ra —	
__	ZP~ZQ		(г^+^г) r
[|/ (Xp -Xq)2+(1/p </q)2+(zp	zQ)=)1	
пении систем уравнений. Гибкую программу удается по-
строить, когда блок обмена представляет двумерный массив
фиксированной длины, ио с изменяющимися размерностя-
ми строк п столбцов в зависимости от числа выделенных
и МС элементарных объемов и типа рассчитываемой ма-
1|>ПЦЫ.
В схеме на рис. 3.9 двойной рамкой отмечен расчет
cipOKH коэффициентов матриц. Более подробная схема этой
части программы приведена на рис. 3.11. В основу алгорит-
ма расчета коэффициентов положен тот факт, что поверх-
ностный интеграл по четырехугольнику с двумя парал-
лельными сторонами или по треугольнику от функций 1/г
и r-q/t3, во всех используемых ИУ сводится к двукратному
интегралу, у которого внутренний интеграл имеет простое
,—3367	65
аналитическое выра/кенпе В этой связи наиболее удобно
проводить интегрирование в текущей системе координат
(ТСК), ориентированной по отношению к площадке так,
как это показано на рис. 3.12. Тогда поверхностный инте-
грал преобразуется к виду
J GclS — J у Gdx’dy' = J {F (у')\ — FJa/, (y')]}dij',
bS	а к', (д’)	а
(3.23)
где G— подынтегральная функция, записанная в ТСК;
x'i(z/') и х'2(у') —уравнения линии АВ, CD на рис. 3.12 —
соответственно верхний и иижппй предел интегрирования
по координате я'; F — первообразная внутреннего инте-
грала
Аналитические выражения первообразных F для всех
необходимых при расчете МС подынтегральных функций
приведены в табл. 3.1. Второй» интеграл по у' также имеет
аналитическое выражение, но, если площадка интегриро-
вания отличается от прямоугольника, аналитические выра-
жения становятся слишком громоздкими и для допустимой
погрешности порядка 0,1% применение численного инте-
грирования выглядит предпочтительнее по объему вычисли-
Таблица 3.2. Аналитические выражения поверхностных
интегралов для прямоугольных площадок
Подынтег-
ральная
функция
Пенообразная функция
У
arctg
66
Таблица 3.3. Аналитические выражения линейных интегралов
Подынтегральная функция
Первообразная функция
__________1__________
(Хр — Xq)2+(&p — 0q)S
rx __	Xf> -XQ
'	('-p—Xq)2 + ({/p —i/Q2)
Ур~Уд
(Хр—ХдГ+^Ур — УцУ
— (Xp —XQ) + (</p —
Xp — Xq
atciS^-+
4~_2- (Ap~-^) in !(*/> *q)’4"
+ (Ур Уд) 1
~y-lnI(\p— q)’ + (Ур — Уд) J
Xp Xq
aictg——
Ур Уд
юльных операций. Для частного случая—прямоугольных
площадок — аналитические выражения интегралов, приве-
денные в табл. 3.2, достаточно просты и использование их
в программе уменьшает время счета. При анализе плоско-
параллельных полей поверхностные интегралы в уравне-
ниях трансформируются в линейные, которые также имеют
простые аналитические выражения (табл. 3.3). При этом
интегрирование удобно выполнять в ТСК, у которой ось
к' ориентирована параллельно отрезку интегрирования
(рис. 3.13).
Использование ТСК, определенным образом ориентиро-
ванной относительно площадки пли отрезка интегрирова-
ния, помимо некоторого упрощения выражений полезно
еще и тем, что дает возможность унифицировать задание
пределов интегрирования и сам алгоритм численного инте-
грнрованпя. Вычисления же, связанные с определением
юкущей системы координат в любом алгоритме неизбеж-
ны, так как в выражения коэффициентов матриц входят
скалярные произведения ортов ИСК и ТСК (см. § 3.1).
Расчет коэффициентов строки матрицы для заданной
[Очки наблюдения начинается с последовательного про-
мотра в цикле 1 всех выделенных шестигранников пли
Четырехугольников. Параметр этого цикла позволяет вы-
брать из исходных данных необходимую информацию о ко-
,	67
ординатах вершин рассматриваемой области и характере
симметрии.
Следующий цикл 2 задает номер симметричного образа
в ЛСК, после чего проводится расчет координат вершин
шестигранника (четырехугольника) при повороте его на за-
данный угол в ЛСК.
Согласно принятой модели поверхностями интегрирова-
ния у шестигранника являются все грани и плоскости, де-
лящие его на элементарные объемы. Обход поверхностей
интегрирования организован в следующем порядке. Внача-
ле просматриваются все сечения между гранями ABCD и
EFGH (см. рис. 3.3), естественно, включая сами грани, да-
лее— сечения между гранями ABEF и CDGH и сечения
между гранями AECG и BDFH. Конкретное сечение опре-
деляют параметры двух циклов: внешнего (3) —по номеру
грани, прилегающей к первой вершине, который определяет
одну из трех возможных ориентаций указанных сечений,
и внутреннего (4) — по номеру плоскости разбиения в вы-
бранном направлении. Координаты вершин четырехуголь-
ного сечения рассчитываются через координаты вершин
шестигранника по заданному числу полос разбиения в каж-
дом из направлений. Для выбранного сечения или исход-
ного четырехугольника, если интегрирование проводится нс
по объемным элементам, вычисляется матрица направляю-
щих косинусов осей ТСК, а координаты вершин и коорди-
наты точки наблюдения пересчитываются в ТС1\. После
указанных преобразований получаем ориентацию элемента
в системе координат, подобную изображенной па рис. 3.12,
и можем приступать к выполнению интегрирования по каж-
дой элементарной площадке четырехугольного сечения.
Пределы численного интегрирования определяются коор-
динатами у' горизонтальных полос разбиения на элемен-
тарные площадки. Задание номера полосы и, естественно,
пределов интегрирования по у' выполняется в цикле 5.
Повторение расчетов для осевых, периодических и зеркаль-
ных симметричных образов в ИСК осуществляется в цик-
лах 6, 7 и условными переходами 8, 10.
Принципиально возможны две схемы действий по учету
симметрий: пересчитать координаты шестигранников и ма-
трицы направляющих косинусов ТСК для каждого симме-
тричного образца или ввести одну промежуточную подвиж-
ную систему координат (ИСК) (см. рис. 3.10), в которой
координаты образа остаются такими же, как и в исходном
положении, и пересчитываются только координаты точки
наблюдения, но добавляется пересчет результатов интегри-
рования по каждому образу в ИСК. Второй путь по
68
объему вычислений существенно экономичнее первого, П0-
»гому он и принят в программе. Внутри циклов 1—1 про-
тводится пересчет координат точки наблюдения из ИСК
и ИСК и затем в ТСК, причем ориентация ТСК относитель-
но ИСК для всех осевых и периодических симметричных
образов неизменна.
Следующий этап расчета, помеченный на рис. 3.11 двой-
ной рамкой, непосредственно заключается в численном
интегрировании по всем элементарным площадкам, распо
юженным в зоне рассматриваемой полосы по осп у' в ТСК.
Выделение расчета интегралов по площадкам в полосе по
//' связано с тем, что у этих площадок одинаковые пределы
интегрирования по у' и одинаковые критерии выбора шага
численного интегрирования, что позволяет проводить инте-
грпрование одновременно для всех площадок в полосе. По-
лученные значения интегралов в ТСК, если они выражают
составляющие векторных величин, преобразуются в ИСК
путем умножения на скалярные произведения соответст-
вующих ортов и запоминаются в промежуточном массиве,.
। ю допускается накапливание (суммирование) результата.
Последнее необходимо для сокращения вычислении при
Учете зеркальных, осевых И периодических симметрий. То,
по накопление данных происходит не в блоке обмена,
и н промежуточном одномерном массиве, позволяет вынести
пл циклов заметное число операции, связанных с расчетом
скалярных произведений, номера столбца матрицы и т п.,
чи> снижает затраты машинного времени на расчет. Обхот
лих операций реализуется условиями 8—15.
Заполнение блока обмена по столбцам должно выпол-
няться в полном соответствии с очередностью перемещения
|очкп наблюдения по элементарным объемам (площад-
кам), т. е. с номерами строк. Но поскольку интегрирование
организовано независимо от нумерации элементарных объе-
мов, возникает задача расчета номера столбца, где необ-
ходимо поместить вычисляемый коэффициент, чтобы сохра-
нить указанное соответствие. Параметры циклов 1—7, 16
ыют полную информацию о местоположении площадки
ниюгрирования, и по ним довольно просто строятся фор-
мулы для расчета номера столбца Однако следует иметь
п виду, что каждая элементарная площадка внутри сече
нпя шестигранника граничит с двумя элементарными объе-
мами, поэтому один и тот же коэффициент, конечно, с раз-
ными знаками, заносится в два столбца матрицы.
Схема численного интегрирования по четырехугольным
•лсментарным площадкам приведена на рис. 3.14. Так как
расчет коэффициентов матриц вынужденно строится по
G9
_________ I
Определение Верхнего у^
и нижнего у„ пределаб
интегрирования по (А
Расчет числа шагов и длины
начального шага интегрирования
Цикл па номеру
шага интегрирования
Цикл по номерам линий
разбиения четырехугольного
сечения [чвтырвхуголь ника)
на элементарные площадки
В направлении оси х'
x i	I
Определение Вл ины
текущего шага интегрирования
Цикл по номеру узла г
интегрирования
пи формуле Симпсона
Расчет координаты у'
узла интегрирования
Вычисление
подынтегральных функций
при у'=у'ъ и у'=ул и суммирование
Во Вспомогательном массиве
с учетом коэффициентов,
определенных формулой трапеций
Цикл по намерим
линии разбиения
четырехугольного сечения
[четырехугольника)
на элементарные площадки
в направлении оси х’
Расчет зночений интегралов
по Всем элементарным площад-
кам расположенным В зоне
рассматриваемой полосы раз
биения В направлении оси у'ТСК.
Запоминание результата
В промежуточном массиве
_____
* * ~
Вычисление
подынтегральных функций
В узлах и суммирование их
с учетом коэффициентов
формулы Симпсона.
Запоминание результата
В а вспомогательном массиве

т
Рис. 3.14. Схема программы численного интегрирования по четырех
угольным площадкам
циклической схеме, а численное интегрирование выполня-
ется в самом внутреннем цикле, то к этой части алгоритма
и реализующей его программы предъявляется жесткое
требование — число выполняемых операции должно быть
минимальным, но, естественно, не в ущерб точности вычис-
лений. При заданной погрешности интегрирования число
необходимых операций, определяемое числом узлов исполь-
зуемой квадратурной формулы, зависит от характера
подынтегральных функций. Следовательно, экономия време-
ни счета может быть достигнута только на основе всесто-
роннего анализа этих функций. Характер подынтегральных
функций таков (см табл. 3.1), что их значение и значение
их высших производных быстро убывают при удален! н
70
।очки наблюдения от точки интегрирования в направлении
координатных осей у' и z' [координата х' не является не-
1.ПИ1СИМОЙ переменной согласно формуле (3.23)]. В связи
с этим использование симметричных квадратурных формул,
например формулы Гаусса, на всем отрезке нерационально
и экономию времени вычислений можно ожидать в алго-
ритме, который имеет переменный шаг интегрирования,
увеличивающийся при удалении точки наблюдения, т. е.
при расчете по формуле вида
b	N
а	Л=1
2 WiF
-/=1

। ie N — число подынтервалов, на которые разбит весь от-
резок интегрирования; w,— весовой коэффициент; Ау* —
длина Аьго подынтервала; выражение в скобках —квадра-
1урная формула с р узлами.
Оптимальный алгоритм интегрирования должен решать
следующую задачу: определять наибольшую длину текуше-
н> подынтервала А//Л, которая обеспечивает заданную точ-
ность интегрирования при использовании выбранной
квадратурной формулы, одинаковой для всех подынтерва-
лов. Эта задача с теоретических позиций имеет известное
решение. Так, например, у квадратурной формулы Симп-
сона [3]
b	N
[ F (У) dy ъ £ 4- [F (yfe0) + 4F (//fel) + F (у/;5)|. J
я	fe=l
‘ ic f/ю, Ук\, Ук2 — координата начальной, средней и конеч-
ной точек подынтервала &ук, для погрешности пнтегриро-
Н.11П1Я А/ в пределах k-ro подынтервала выполняется нера-
венство ।
Л/[max Л*) (//)].
Поэтому подынтервал
Az/fe < |/90Д/3/тах F<*> (у)	(3.24)
обеспечивает необходимую точность, если А/3 — заданная
пбеолютная погрешность интегрирования.
В пашей задаче известны аналитические выражения
подынтегральных функций и соответственно четвертых про-
п 1В0ДНЫХ. Учитывая указанные выше свойства функций
/'(»/), можно показать, что maxF(4)(i/) находится в бли-
жайшей к точке наблюдения границе подынтервала
71
О Уа Уа	Уь У
Рис. 3.15. Выбор шага численного инте-
грирования
byh : max Л4) (у) =<|
=Л4)(уЛо). На этой
основе легко програм
мируется расчет дли
ны подынтервала Ду*
Однако такие опера
цпн все же требуют за-^
метного объема вы
числений в сравнении
с вычислением подын
тегральпых функций в
формуле 0-23). Ун
рощенный алгоритмический прием предполагает апрн
ориое задание закона изменения Ду/, в зависимости
от удаления точки интегрирования. Подбор закона
производится па основе анализа формулы (3.24), а окон-
чательная проверка и настройка точности интегри-
рования осуществляются на тестовых задачах, имеющих
простое аналитическое решение. В качестве примера тако-
го закона для выбора Дуй приведем соотношения, построен-
ные на геометрической прогрессии со знаменателем 3/2.
На рис. 3.15 в системе координат yoz изображены точ
ка наблюдения и отрезок интегрирования [я, 6J. Длина те
кущего подынтервала интегрирования рассчитывается п<>
формуле
Дуе=(3/2)й-'Ду|,	(3.25)
а начальный подынтервал Ду1 при известном общем числе
подынтервалов определяется из условия о размещении
в отрезке [о, 6] целого числа подынтервалов /V, т. е.
N
/ з \fe_i
Д//.	=^Уь~Уи<
ИЛИ
А!/, = (й-!/.)/{2[(4)''-1) }• (З-Л
Подставив (3.26) в (3.25), окончательно получаем
= (4)*’’^ - / {2[(4)" - ч} • (3-р
В программе для каждого конкретного отрезка ннтегри
рования вычисляется необходимое число подынтервале!)
путем решения неравенства относительно N на множеств*-
натуральных чисел
К(z0 - *Q)2 -j- (у„ - у^Г> byJ2,	(3.28)
7?
|де в левой части стоит проекция радиуса-вектора на пло-
скость yoz в ТСК, т. е. решается задача нахождения наи-
меньшего Л/, при котором выполняется неравенство (3.28).
(’ вычислительной точки зрения такая задача содержит не-
жа чительное число операций. Суммарная погрешность
интегрирования с использованием приведенных соотноше-
ний при учете накопления погрешностей на подынтервалах
ц'жит в пределах 0,1—0,5%. Эти цифры получены по ре-
<ультатам решения простых тестовых задач, имеющих ана-
штнчсское решение (однородно намагниченные кольца,
призмы и др.). Увеличение точности интегрирования дости-
ыется усилением неравенства (3.28).
Изображенная на рис. 3.14 схема реализует такой алго-
ритм с единственным дополнением, что при значительном
V тлении точки наблюдения от отрезка интегрирования,
когда выполняется условие /, для сокращения времени сче-
ы применяется простейшая формула трапеций
J F (у) dy = |F (у„) + Г (у„)| (yh - уп)/2.	(3.29)
а
Схемой предписывается следующая последовательность
действий. Для каждой полосы разбиения по у определя-
кися верхний и нижний пределы интегрирования, а по фор-
мулам (3.28), (3.26) рассчитываются число шагов и длина
начального шага интегрирования. При попадании точки на-
•> подення внутрь отрезка [уп, Уь] (см. рис. 3.15) он разбп-
пается на два [уа, yQ], [z/q, уь], интегралы для них вычис-
Няются раздельно и суммируются Если при этом и
'<>—£« = 6, т. е. точка наблюдения лежит па площадке
интегрирования, то интеграл становится несобственным;
численное интегрирование его по приведенному алгоритму
ьнрудпепо. Чтобы исключить этот эффект, применяется
искусственное смещение точки наблюдения Q по z па ма-
цю величину от площадки интегрирования, после чего
алгоритм работает без затруднений. В то же время такой
прием не вызывает заметной дополнительной погрешности,
1к как смещение па несколько порядков меньше размеров
и ющадки интегрирования. Смещение точки наблюдения
при формировании матриц для решения интегральных
уравнений второго рода позволяет получить сразу требуе-
мые значения диагональных элементов с учетом особеппо-
( ни интегралов.
Цикл 3 схемы задает номер текущего шага интегриро-
н ншя, по которому с помощью формулы (3.27) рассчиты-
|иегся его длина. Цикл 4 служит для задания узловых то-
73
чек формулы Симпсона: границы плюс середина подын-
тервала. Последовательное вычисление интегралов о?
функций F (у) на линиях разбиения вдоль оси х' задают
циклы 5, 2, а интегралы по элементарным площадкам со-
гласно (3.23) рассчитываются как разности между значе
ниями интегралов па правой и левой линиях разбиения
по у. Результат накапливается в промежуточном массиве,
из которого впоследствии берутся данные для формирова
ния блока обмена.
Иногда по условиям задачи необходимо вычисление поля вблизи
поверхности ферромагнитных детален. В этом случае па точность рас
чета оказывает значительное влияние погрешность, вызванная кусоч
непостоянной аппроксимацией распределения намагниченности в близ
лежащих элементарных объемах. Нарушается плавный характер поля,
возникают резкие скачки напряженности поля у границ элементарных
объемов. Эффективным способом снижения вычислителей погрешности
от дискретизации области представляется интерполяция функции на-
магниченности по рассчитанным ее значениям в центрах элементарных
объемов. Наиболее просто и экономично использование линейной пи
терполяции. В выбранной области исследования заданные в виде шести
гранииков ферромагнитные детали МС заменяются набором тетраэдров,
вершины которых помещают в центры элементарных объемов. Внутри
тетраэдра составляющие вектора намагниченности вычисляются через)
его значения в вершинах, т. е. значения намагниченности в прежних цен
трах элементарных объемов, по формуле [68]
Мв = ||1.х, У. z||C-*M'e,
де Л/'#; 0 = X, у, г— линеаризованная функция 8-й составляющей на-
магниченности внутри тетраэдра;
1
1
1
1
X, У1 г1
Хг У г
х, У3 г,
х4 yt
— матрица, составленная из координат вершин
тетраэдра (вершины I, 2, 3 образуют основание тетраэдра; обход — про
тив часовой стрелки, если смотреть от вершины 4); М,в = ||Л1^|,
Л1в3, Мщ || т — значения 8-й составляющей намагниченности в вершиим
тетраэдра.
Использование линейной интерполяции выгодно тем, что, так ж»
как при кусочно-постоянной функции намагниченности, удается щ
74
опочить объемное интегрирование при расчете поля. Для линейной
функции намагниченности дивергенция постоянна:
уЛГ = С2 ’М'я + Cj	+ С4 *М'г = const,
। те индекс у матрицы С указывает помер строки, которая участвует
в вычислениях. Поэтому объемный интеграл в (1.7) легко преобразу-
ется к поверхностному:
fMOr м С п
j ' г» d\ = — yAf I — dS.
v	3
i де S — поверхность тетраэдра, который вычисляется по рассматри-
ваемому алгоритму.
Что касается интеграла от нормальной компоненты намагничен-
ности, то при использовании итсрполяцнн он вводится только на по-
верхности ферромагнитной детали, а не как было ранее — на поверх-
ностях элементарных объемов, при этом линейный вид функции (пМ)
не осложняет интегрирование.
3.4. ИТЕРАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
НАМАГНИЧЕННОСТИ В ДЕТАЛЯХ МС С НЕЛИНЕЙНЫМИ
МАГНИТНЫМИ СВОЙСТВАМИ
Схема этой части программы приведена на рис. 3.16.
После выполнения первой части программы (см. рис. 3.2)
имеем все матрицы системы уравнений (3.1), (3.2), храня-
щиеся на внешних накопителях ЭВМ. Кроме того, в пре-
дыдущем блоке рассчитаны текущее приближение источни-
ков поля, сгруппированных в векторе а, и вектор-столбцы
С'о и A"Mf. Все эти величины на данном шаге вычислений
принимаются неизменными, т. е. расчет намагниченности
» деталях с нелинейными свойствами проводится при фикси-
рованном внешнем поле.
Алгоритм решения нелинейной системы уравнений (3.1),
изложенный в § 2.6, предписывает последовательное реше-
ние троек собственных уравнений для каждого выдсленно-
г<> элементарного объема в ферромагнитных деталях с не-
линейными характеристиками. Формирование таких троек
.уравнений осуществляется с помощью циклов 1—7, задаю-
щих параметры элементарных объемов: номер шестигран-
ника, номера полос разбиения на элементарные объемы,
номера осевых и периодических симметричных образов.
Матрицы коэффициентов системы уравнений считываются
поблочно с внешних накопителей ЭВМ и в уравнениях для
данного элементарного объема в матрице А выделяются
75
Рис. 3.16. Схема программы итерационного расчета распределения
намагниченности в деталях с нелинейными магнитными свойствами
76
шагональные клетки размером 3X3
А=||А,-,||; i=l, 2, .... N- j=l, 2, .... N,
характеризующие поле собственной намагниченности.
Диагональная клеточная матрица, построенная на клет-
ках А,„ где i — номера элементарных объемов из изотроп-
ного материала, суть матрица А'^н в матричной формуле
итерационного процесса (2.47). Если i пробегает номера
элементарных объемов из анизотропного материала, то по-
лучаем матрицу А',/т в формуле (2.56).
Первый шаг итерационного алгоритма заключается
в построении вспомогательной системы уравнений на вы-
деленной диагональной клетке
N
Л„Л1,--2	(3.30)
/=|
i^i
i де М=(Мг/, М„,, 7VU), а Яост< — напряженность поля от
источников о и М,.; Я, — напряженность результирующего
поля.
Если рассматриваемый элементарный объем состоит из
анизотропного материала (условие 10), то система уравне-
ний (3.30) приводится к осям анизотропии [см. (2.49)]
с помощью матрицы направляющих косинусов осей анизо
I ролии. '
Следующая операция — выбор диапазона изменения ре-
зультирующего поля при минимизации функционала невя-
зок (2.46), (2.55). Диапазон определяется полем, создан-
ным всеми внешними по отношению к рассматриваемому
щементарному объему источниками. Для безгистерезисно-
10 материала 0^Н^.Нвш, а для гистерезисного в общем
случае —НВШ^Н^.НВШ. В условиях конкретной задачи эти
диапазоны могут быть уменьшены с учетом ожидаемого
режима работы магнитного материала.
Блок минимизации функционалов невязок вида (2.46)
пли (2.55) построен по схеме, приведенной в § 2.6. Для
каждой пробной точки алгоритма минимизации Н„
в тройке уравнений (3.30) для изотропного материала из
диагональных элементов вычитаются величины, обратные х
п определенные по характеристике материала при Нп,
а в уравнениях для анизотропного гистерезисного мате-
риала заносятся пробные значения результирующей на-
пряженности поля в направлении оси легкого намагничи-
вания, умноженные на соответствующие направляющие
косинусы осей анизотропии. После этого решается получен-
77
пая система из трех линейных алгебраических уравнений
относительно намагниченности элементарного объема. По
заданной таблично характеристике материала определяет-
ся значение намагниченности при пробном значении на-
пряженности поля. Разность полученных значений намаг-
ниченностей дает функционал невязок в пробной точке.
Для минимизации функционала невязок трех перемен-
ных, имеющего место при введении в расчет векторных ха-
рактеристик магнитных материалов, применяются спе-
циальные стандартные методы нелинейного программиро-
вания для многомерных функций [34].
Следующий блок рассматриваемой схемы — определе-
ние наилучшего значения параметра итерационного про-
цесса а [см. (2 41), (2.48), (2.56)], обеспечивающего наи-
более быстрое продвижение к искомому решению.
Итерационные формулы (2.41), (2.48), (2.56) соответст-
вуют стационарному методу расчета, т. е. методу построе-
ния циклического расчета с неизменным параметром а
В настоящее время хорошо развиты и освещены в литера-
туре (см., например, [27]) теоретические вопросы нахожде-
ния оптимальных а для линейных систем, которые сводятся
в основном к вычислению границ спектра матрицы. С неко-
торым приближением эти результаты могут быть примепе
вы для решения нашей задачи. Однако нахождение спек-
тра матрицы требует построения итерационного процесса,
который сходится медленно, поэтому указанный подход
определения п„пт удобен только при массовых расчетах
конструкций МС одного типа, где достаточно однократного
его расчета. Следует отметить, что в этих условиях оказы-
вается достаточно эффективным и экспериментальный под-
бор а„пт.
Большей универсальностью и экономичностью облада-
ют нестационарные итерационные методы, т. е. методы,
когда на каждом шаге определяется свое оптимальное
значение параметра а"с,Пт.
В нестационарном итерационном процессе критерием
выхода из циклического расчета не может служить норма
невязки между соседними циклами (2.42), так как она уже
не характеризует близость к искомому решению. В этих
условиях мы вынуждены использовать более общий крите-
рий— норму невязки между левой и правой частями систе-
мы уравнений. Объединим уравнения для изотропного
62.40) и анизотропного (2.50) материала одной матричной
записью
Bn2Mn=fn2,
78
где индексы п у матриц указывают иа то, что их коэффй‘
циенты зависят от номера итерации.
Тогда критерий выхода из итерационного процесса при-
мет виц
(3.31)
Опираясь на критерий (3.31), выбор а"ОПт можно сфор-
мулировать как задачу нелинейного программирования.
В самом деле, на каждом шаге итерационного процесса
определяется вектор М*, который указывает направление
изменения предыдущего значения вектора М" при движе-
нии к искомому решению. Если в основу положить закон
изменения М в направлении М*—М" как функцию и", па-
пример по формуле (2.41), то оптимальное значение аЛ‘0Пт
будет решением следующей оптимизационной задачи; ми-
нимизировать критерий (3.31) как функцию одной пере-
менной а". Подчеркнем, что в (3.31) коэффициенты всех
матриц зависят от намагниченности и, следовательно,
от ап. Решение указанной задачи осуществляется стандарт-
ными методами [34]. Результаты сопоставления стацио-
нарного и нестационарного итерационных процессов приве-
чены в гл. 5 (см. рис. 5.19).
После того как сошелся внутренний итерационный про-
цесс расчета распределения намагниченности по объемным
деталям МС, производится проверка условия получения
решения по норме невязки между соседними итерационны-
ми циклами источников о, расположенных на поверхност-
ных элементах МС. Выполнение последнего условия //
указывает на получение искомого решения.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
РАСЧЕТ СИЛ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ между элементами
МАГНИТНЫХ СИСТЕМ
4.1. РАСЧЕТ СИЛ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ ПО ИСТОЧНИКАМ ПОЛЯ
По методам расчета силовых взаимодействий между намагничен-
ными телами имеется значительное число публикации, например [39—
42]. В то же время не все методы можно применить при численном
анализе поля, поэтому разработка эффективных способов расчета си-
ловых взаимодействий остается актуальной. Отметим основные пути
получения расчетных формул и оценим возможности их применения
для анализа сил при использовании принятых в прочытущпх главах
книги математических мотелей элементов ’АС
79
Кусочно-постояпное распределение намагниченности по элементар-
ным объемам детален МС можно рассматривать как распределение
поверхностных токов или зарядов, а силы, действующие на подобно-
го рода источники, вычисляются по известным формулам [2)
лг	N .
j liXB*lS = - J («/ x Mj) X B.jlS, (4 1)
N	N „
A’=S J = j (rtjAfj) H2dS. (4.2)
/=i sj	i=' sj
где Af; — намагниченность j-го элементарного объема; ’Sj — поверх-
ность, ограничивающая j-ii элементарный объем; Bit Иг — индукция и
напряженность поля, создаваемые одной нз взаимодействующих групп
элементов, причем интегрирование в (4.2) производится по источни-
кам, расположенным па поверхностях элементарных объемов другой
группы элементов МС.
Здесь под группой элементов понимают механически жестко свя-
занные детали, например неподвижный статор п вращающийся ротор
магнитного подшипника, т. е. когда внутри группы силы магнитного
взаимодействия скомпенсированы реакциями механических связен.
Если расчет МС опирается на дискретную модель ферромагнитных
деталей с объемными источниками — токами или зарядами, то фор-
мулы (4.1), (4.2) приобретают более сложный вид
Л'	N г
J (vXM/)X^'-£ J	(4.3)
/=1 vj	j=i sj
N f
J (п;Л4у) H,dS.
j=i si
(4.4)
Формулы (4.1), (4.2) были первоначально использованы автора-
ми для разработки программы расчета усилий, возникающих между
элементами статических МС. Первый этап расчета—определение дис-
кретных распределенных источников в системе — производится по про-
грамме, разобранной в гл. 3, эта же программа использовалась для
вычислений параметров поля в интегральных выражениях сил. Оце-
нивая полученные результаты реализации рассматриваемого метода,
следует отметить, что как по производительности программы, так и по
точности хороших результатов достичь не удалось.
Низкая производительность вызвана значительными размерами об-
ласти интегрирования, поскольку алгоритм расчета предусматривает
численное интегрирование по всем ограничивающим элементарные объ-
емы поверхностям функций напряженности или индукции магнитного
поля, которые в свою очередь сами вычисляются по интегральным
формулам. Дискретный характер источников в (4 1), (4 2) вносит до-
80
1юлнитёльиые трудности, так как не позволяет снизить общее чИслб
умов в квадратурной формуле. С целью увеличения производитель-
ности программы расчета сил разработан вспомогательный алгорит-
мический прием, состоящий в том, что на месте одной из вваимодей-
i гвующих групп элементов МС строится пространственная сетка, <в
узлах которой рассчитываются значения всех трех составляющих на-
пряженности (индукции) магнитного поля, создаваемого другой вза-
имодействующей группой элементов. При вычислении силы виаченпя
и.шряжепности поля в узлах квадратурной формулы определяются с
помощью интерполяции рассчитанных ранее значений. Этот прием по-
шоляет использовать свойство непрерывности функции В2 и Н2 для
сокращения вычислений. Интерполяция нс требует проведения боль-
шого объема вычислительных операций, в то же время при одинако-
вой точности интегрирования оказывается возможным иметь сущест-
венно меньшее число узлов сетки по сравнению с числом узлов квад-
ратурной формулы.
Значительно сложнее добиться снижения методической погреш-
ности, связанной с самим принципом построения дискретной матема-
1ической моделью намагниченного вещества. Поскольку интегрирова-
ние производится по дискретному распределению источников поля,
подынтегральная функция имеет разрывной характер, а вычисления
производятся в области максимальной погрешности модели. Увеличе-
ние точности возможно только повышением степени дискретизации
ферромагнитных элементов МС, что приводит к квадратичному воз-
растанию объема вычислений как па этапе расчета распределения
намагниченности, так и па этапе расчета сил.
В заключение этого параграфа отметим, что расчет сил возможен
по иной формуле, эквивалентной (4.4):
Г=Ио J (AfV)(4.5)
v
Алгоритм расчета по (4.5), реализованный в [42], обладает теми
же недостатками, что и алгоритм по (4.4), и, кроме того, требует
имчпслеппя объемного интеграла и дифференцирования функции на
пряженности поля, в результате чего увеличивается время зачета.
4.2. РАСЧЕТ СИЛ МЕТОДОМ ОГРАНИЧЕНИЯ ОБЛАСТИ
ПЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Избежать трудностей, связанных с прерывистым характером под-
ынтегральной функции при вычпслепип силы по формулам (4.1), (4.2),
можно только путем удаления поверхностей интегрирования от днс-
►р< тиых источников. Эта идея лежит в основе метода расчета сил с
помощью ограничения области взаимодействия (рис. 4.1).
Выделим в МС ту деталь или группы деталей, на которую дей-
|»ует искомая сила. Вначале ограничимся простейшим случаем, ког-
ь 3367	81
Рнс. 4.1. Ограничение об-
ласти взаимодействия: |
а—с помощью плоскости,
б — замкнутой поверхность™
I — первая группа деталей
МС: 2 — вторая группа де
талей МС
да между взаимодействующими деталями может быть проведена плос-
кость, не нарушающая существующих механических связей (рис. 4.1,с).
Суть метода ограничения области взаимодействия состоит в том, чю
отбрасывается одна из взаимодействующих частей МС, а ее влияние
па напряженность поля учитывается введением поверхностных источ-
ников на разделяющей плоскости, в данном случае — простого слоя
зарядов. Тогда напряженность поля в оставшейся части МС вычис-
ляется по формуле
Sr
причем значение плотности зарядов в для рассматриваемого частного
случая определяется нормальной составляющей напряженности поля
на плоскости, созданного отброшенной частью МС. Последнее легко
доказать, если сформулировать краевую задачу в оставшейся части
МС на основе ГИУ второго рода (см. § 2.2), где в качестве краевого
условия использовать нормальную составляющую напряженности поля
на ограничивающей плоскости Из (4.6) н (2.6) следует, что
а 1 Г а (пг)
(пНУ =(«Я.)г+ 2^-Т^ j ~^dS.	(4.7)
sr
Интеграл по Sr для плоскости равен нулю, так как (лг)=0. По-
этому
° = 2Р-о [« (ff ~ ^i)lr = 2р-0 (п Н2)г.
Для расчета силы, действующей на выделенный элемент МС,
воспользуемся формулой (4.2), но, принимая во внимание, что вта
сила равна по величине и противоположна по направлению силе, дей
ствующей на плоскость Sr, интегрирование будем производить по раз
деляющей плоскости:
F = — [ aHldS = — 2р.о [ (nHJH.dS.	(4 8)
Если па ограничивающей плоскости ввести пе скалярные, а век
торные источники, например простой слой тока i, то поле в вы.те
82
Ясиной части системы определится выражением
Сформулировав краевую задачу для касательной составляющей
напряженности поля на Sr [см. (2.21)], получим значение плотности
гок а
/ = 2(пХ^г).
ми. как в этом случае п X (* X Н = °*
Подставим выражение для i в формулу (4.1) определения силы:
Г = - J (i.X В.) dS= - 2 [ (я X "г) х B,dS.
Sr	'Sr
(4.9)
Главное достоинство формул (4.8), (4.9) по сравнению с форму-
лами (4.1) и (4.2) в том, что из-за непрерывности подынтегральных
функций и их производных появляется возможность построить более
жоиомичный алгоритм численного интегрирования и значительно сни-
жаются погрешности, связанные с дискретным представлением источ
пиков в ферромагнитных деталях МС. С теоретических позиций огра
иичивающая плоскость должна быть бесконечной, но ее можно огра
иичнть, так как поле быстро убывает при удалении от источников.
Распространим принцип ограничения области взаимодействия на
расчет сил в общем случае, когда невозможно отделить детали МС
друг от друга плоскостью. Для этой цели окружим деталь замкну-
той поверхностью, например, как показано на рис. 4.1,6. Если исполь-
ювать прежний подход и разместить на ограничивающей поверхности
простои слой зарядов, то в выражении (4.7) не пропадает поверх-
ностный интеграл и для определения о необходимо решать ГИУ вто-
рого рода. Последнее потребует дискретизации области, приведет к
появлению дополнительных погрешностей и значительному возрастанию,
объема вычислительных операций. То же относится и к векторному
источнику — слою токов.
У МС, не содержащей проводников со сторонним током, поле
определяется скалярным магнитным потенциалом (см. § 2.2), который
п выделенной области выражается с помощью формулы Грина (2.3)
через потенциал, нормальную производную потенциала на ограничива-
ющей поверхности Sr и потенциал <pi, созданный источниками остав-
шейся части системы:
9=4^Ф[^’г4'_*гбг(4')]г/5+*'-	(4ло)
li*
83
Рис. 4.2. К расчету силы, действующей
на двойной слой зарядов
Как уже отмечалось в § 2.2,
формуле (4.10) часто дают физи-
ческую интерпретацию, согласно ко-
торой функции д^г/дп п (рг суп-
плотности поверхностных скалярных
источников: простого и двойного слоя
зарядов. Другими словами, поверхностные источники, знание ко-
торых необходимо для расчета силы и которые заменяют действие
отброшенной части МС, выражаются через значения параметров поля
на ограничивающей поверхности. Сила, действующая на простой слой
зарядов, вычисляется по формуле (4.2), которая уже была нами ис-
пользована выше. На двойной слой зарядов действует сила, опреде
ляемая в результате предельного перехода от простого слоя. На
рис. 4.2 изображен двойной слой зарядов как совокупность двух прос-
тых слоев с плотностью ±0. По определению плотность т двойного
слоя зарядов равна
т = lini оД/.
Силу, действующую на двойной слой зарядов, выразим через сум-|
му сил, действующих на два простых слоя:
Г	Г Н+ — Н-
о (Я+ - Н ) dS = 4 т --------- dS,
S	S
где Н+ и Я_— напряженности 'поля на положительном и отрицатель-
ном'слоях зарядов.
Устремив Д/-Ю, получим
Г дя „
~ J т дп ds'
. s
Поэтому полная сила, действующая па замкнутую ограничиваю-
щую поверхность, вычисляется по формуле
^=Н>ф(?г	<4 И>
Формула (4.11) обладает существенно большей универсальностью
по отношению к геометрии МС, чем формулы (4.8), (4.9), и может
быть использована там, где справедливо описание поля с помощью
скалярного потенциала. Вместе с тем мы получили более сложный
вид подынтегральной функции в выражении для силы. Для ее расче-
та требуются три параметра поля: потенциал, напряженность и нор-
мальная производная напряженности поля на ограничивающей по-
верхности. Но прн удачной алгоритмической реализации указанный
84
недостаток не приводит к заметному возрастанию объема вычислений
1.1К как в выражения для этих параметров входят однотипные ком-
поненты н расчет всех трех функций осуществляется в едином про-
цессе.
Более общая, чем (4.11), формула может быть получена из вск-
lopnoii формулы Грина (2.14).
Повторив вывод формулы (2.15), по для вектора напряженности
магнитного поля с учетом того, что в воздухе VXW -О, получим следу-
ющее выражение для Н внутри ограничивающей поверхности:
Нормальные п касательные составляющие Н на Sr в (4.12) дают
вклад в поле такой, как простой слон зарядов и простой слой токов
с плотностью <т=ро пН н /= пу Н соответственно. Следовательно, со-
ыасно (4.1) искомая сила может быть вычислена по формуле
Г=н> $ [(;///)//, + («XH)X//,]dS.	(4.13)
sr
Сила, действующая на Sr со стороны первой группы элементов,
равна по значению и протпвополо/кпа по знаку силе, действующей на
.S’,, со стороны второй группы элементов, расположенной с внешней
стороны Sr. Если оставить направление нормали к Sr такое же, как
и в (4 13), н повторить вывод во внешней области, для искомой силы
можно записать подобное выражение
F =	[ [(,///) Н2 + (п X Я) X Нг\ dS. (4.14)
Сложим почленно равенства (4.13) и (4.14). Учитывая, что Н=
получаем
2Г= ц, J [(nff) Н + (nXtf)%H] dS.	(4.15)
Sr
Раскрыв в (4.15) двойное векторное произведение, получаем извест-
ную формулу для попдеромоторпой силы, выведенную в [2] через на-
аяження,
F=p, [ [(пН)Н — 0,5«W2]dS.	(4 16)
«г
I дипственное ограничение на использование в расчетах формулы
(1.16) состоит в том, что поверхность Sr должна быть расположена
полностью в воздухе. Но и оно в необходимых случаях легко обхо-
дится с помощью введения малых воздушных зазоров в ферромагнит-
ных телах и проводниках с током в зоне пересечения с ограничиваю-
щей поверхностью.
85
Рис. 4.3. Схема программы расчета сил но методу ограничения области
взаимодействия
Приведенные выше формулы дают выражения для результирую-
щих сил. Приблизив ограничивающую поверхность к детали МС, с ко-
торой определяется силовое взаимодействие, получим также распре
деление силы по поверхности детали.
Методика расчета сил с помощью ограничения области взаимо-
действия реализована в виде программы, ориентированной па иссле-
дование магнитных подшипников. Программа составлена в соответст-
вии со схемой на рис. 4.3. Решение первой части задачи по опреде-
лению неизвестных распределений источников поля рассмотрено в
гл. 3 и на схеме отмечено одним блоком. Исходными данными для
расчета сил помимо данных, необходимых для решения первой части
задачи, служат массивы чисел, характеризующих форму ограничива-
ющей поверхности и принадлежность элемента
взаимодействующих групп, ротору или статору
ника.
В программе использованы ограничивающие
пов: плоскость п цилиндр. Для первою типа расчет выполняется по
формуле (4.8), для второго — по (4.16). Ориентация ограничивающих
поверхностей в пространстве задается отрезками прямых линий (в
ЭВМ вводятся координаты начала и конца каждого отрезка), при
этом подразумевается, что отрезки прямых суть образующие поверх-
ности, а сама поверхность получается вращением всех заданных от-
резков вокруг координатной оси. Интегрирование осуществляется в
цилиндрической системе координат: вдоль образующей — в пределах
МС одной
магнитного
из двух
подшип-
поверхности
двух ги
86
ладанных отрезков по формуле Гаусса или Лагерра для бесконечною
предела с числом узлов, определенных в исходных данных; по углу —
с фиксированным равномерным шагом по формуле Ньютона — Котеса
[3]. Субъективный фактор в выборе числа узлов квадратурной форму-
лы оставлен с целью использования априорной информации о харак-
тере поля для экономии машинного времени. Если МС имеет осевую
симметрию, например когда в подшипнике нет радиальных смещений,
ю численное интегрирование по углу не проводится, а результат инте-
грирования вдоль образующей умножается на 2л. Для анализа ра
диальных подшипников при радиальных смещениях интегрирование по
углу производится в пределах от 0 до л и результат удваивается.
Погрешность расчета сил по (4.8), (4.16) определяется погреш
иостыо численною интегрирования и погрешностью расчета парамет-
ров поля. Если при численном интегрировании нетрудно добиться
требуемой точности, чтобы оно tie оказывало влияния на конечный
результат, то к точности расчета поля предъявляются повышенные
требования, обусловленные квадратичным нарастанием погрешности
расчета сил, и обеспечение заданного уровня погрешностей вызывает
большие затраты машинного времени на этапе расчета поля. Иллю
страцпи использования программы расчета усилий па трех различных
конструкциях МС приведены в следующей главе. Там же дается оцен-
ка погрешности расчета сил по сопоставлению с экспериментальными
данными.
ГЛАВА ПЯТАЯ
АНАЛИЗ ИНФОРМАЦИИ, ПОЛУЧАЕМОЙ
ПРИ ЧИСЛЕННОМ РАСЧЕТЕ МАГНИТНЫХ СИСТЕМ
СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПОЛЯМИ
5.1.	ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА МАГНИТНЫХ СИСТЕМ
Отладка программы, написанной и переведенной на но-
ситель информации ЭВМ, включает два взаимосвязанных
этапа: исправление грамматических ошибок в записи опе-
раторов и проверку логического соответствия исходному
алгоритму выполняемых математических операций. На со-
временных ЭВМ, допускающих использование языков про-
граммирования высокого уровня и диалоговых средств,
грамматическая отладка ие вызывает особых затруднений.
Иначе обстоит дело с отладкой логики алгоритма, которая
выполняется на основе анализа числовой информации, по-
лучаемой при решении конкретных задач. К сожалению, не
поддается прямой проверке результат расчета распределе-
87
Ния намагниченности по элементарным объемам ферромаг
нитных деталей, хотя именно этот результат составляет
основу расчета МС интегральными методами. Возможна
только косвенная экспериментальная оценка точности рас-
чета намагниченности по сопоставлению потоков в отдель-
ных частях МС, топографии поля в воздухе, силовых взаи-
модействий и др. Поэтому в оценку погрешности численного
расчета МС включается процесс сопоставления рассчи-
танных и полученных при экспериментальных исследова-
ниях па измерительной аппаратуре значений. Выделим ос-
новные составляющие noiрешностей, влияющие на резуль-
тат сопоставления:
1)	методическая погрешность, связанная с идеализа-
цией физического процесса на стадии вывода расчетных
уравнений;
2)	вычислительная погрешность, которая складывается
из погрешностей численного интегрирования, приближенно-
го итерационного решения уравнений и дискретного пред-
ставления источников поля,
3)	погрешности исходных данных, вызванные отклоне-
ниями геометрических размеров и магнитных свойств дета-
лей МС в расчете и эксперименте;
4)	погрешности измерительной аппаратуры
Рассматривая проблему повышения точности расчета,
мы ставим перед собой цель снизить имеющиеся в програм-
ме погрешности, отмеченные в пп. 1, 2, до уровня погрешно-
стей пп. 3, 4, с которыми нам известны параметры иссле-
дуемого объекта. При отладке составленной программы
есть возможность воздействовать на вычислительную по-
грешность путем корректировки погрешности численного
интегрирования, варьирования относительной невязки при
выходе из итерационного процесса и степени дискретиза-
ции ферромагнитных деталей МС.
В первую очередь требует всесторонней проверки рас-
чет коэффициентов матриц: непосредственно численное
интегрирование и заполнение массивов. На этом этапе луч-
ше использовать в качестве тестовый такие задачи, кото-
рые имеют простое аналитическое решение, например опре-
деление поля от однородно намагниченных прямоугольных
параллелепипедов, дисков и колец. На тестовых задачах
производится отладка алгоритма автоматического выбора
шага численного интегрирования (см. § 3.3). Интегральный
метод расчета МС предъявляет высокие требования к точ-
ности вычисления коэффициентов матриц, так как при
итерационном решении матричных уравнений возможно
накопление и усиление ошибки. Снизить влияние этой
88
погрешности удается, если точность интегрирования на по-
рядок выше требуемой точности расчета МС (0,1 0,5%).
Сопоставление результатов аналитических и численных
расчетов поля для тел вращения дает возможность также
проверить правильность отработки в программе осевых
симметрии в основной и локальных системах координат.
Различные комбинации взаимного расположения тел про-
стой формы позволяют составить тестовые задачи для кон-
троля правильности учета зеркальных и периодических
симметрий.
Выбор значения критерия выхода из итерационного про-
цесса решения уравнений, а также размеров элементарных
объемов ферромагнитных деталей МС производится на
основе анализа результатов серии расчетов одной и той же
конструкции при вариации этих параметров. Необходи-
мость в этом обычно возникает на начальной стадии рабо-
ты с программой, когда отсутствует достаточный опыт рас-
четов, или при анализе полей в МС сложной конфигурации.
Указанные расчеты выполняются при последовательном
уменьшении критерия выхода из итерационного процесса
пли при более мелком разбиении деталей МС на элемен-
тарные объемы, а получаемые результаты сопоставляются
с предыдущими. МЙлые расхождения по выходному пара-
метру МС указывают на приемлемость ранее выбранной
схемы разбиения или критерия. Для такого вычислитель-
ного эксперимента указанные параметры необходимо изме-
нять на заметную величину, например критерий выхода из
итерационного процесса изменять на порядок, а дискрет-
ность— вдвое, иначе остается неуверенность в однозначно-
сти выводов.
В случаях медленной сходимости стационарного итера-
ционного процесса решения уравнений (см. § 3.4) возмож-
но накопление погрешности округления [43] и нарушение
сходимости. При этом условие (2.42) выхода из итерацион-
ного процесса не выполняется. Тем не менее решение зада-
чи, пусть приближенное, но наиболее близкое к искомому,
желательно получить для последующего анализа. Это до-
стигается ограничением максимального числа итерацион-
ных циклов, при превышении которого начинает сказывать-
ся накопление погрешности округления и решение необхо-
димо остановить. Определенным ориентиром для проверки
стационарного итерационного процеса могут служить ха-
рактерные средние цифры, полученные при расчетах раз-
личных МС. Если критерий выхода из процесса лежит
в пределах 0,1—0,3%, то сходимость считаем удовлетвори-
тельной при попадании в указанный диапазон за 15—
89
30 итерационных циклов. Погрешность округления начина
ет сказываться на уровне 0,5% для расчетов с семью дсся
точными знаками при числе циклов более 70—90.
5.2.	ПРИМЕРЫ ПОСТАНОВКИ И РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Пример 5.1. На рис. 5.1 изображена МС магнетронной
установки для ионного распыления, состоящая из кольце
вого магнита 1 из сплава ЮН15ДК24 и магнитопровода 2
из конструкционной стали. Сразу отметим неудачную кон
струкцию МС, так как магниты из литого сплава имеют
низкую рабочую точку из-за разомкнутое™ системы. С точ
Рис. 5.1. Кольцевая МС для уста- Рис. 5.2. Выделение шестпгран
иовкп ионного распыления	инков в кольцевой МС установ
ки ионного распыления
Рис. 5.3. Распределение намагниченности по элементарным объемам
деталей МС
90
Рис. Б.4. Расчетные и эксперименталь-
ные зависимости напряженности поля
н рабочей зоне МС для установки
псиного распыления:
сплошная линия — расчет; штриховая —
эксперимент; 7 —х=37 мм; 2 —х=47 мм:
3 —х=57 мм
ЭВМ ее конструкции вы-
ки зрения проверки работы
программы такая задача пред-
ставляет интерес для анализа
сходимости итерационного
процесса: па крутых участках
кривых размагничивания. МС
осесимметрична, и при задании
делен сектор с углом 18°, в пределах которого цилиндри-
ческие области аппроксимированы шестигранными призма-
ми, как показано на рис. 5.2. Шестигранники 1 и 2 опре-
деляют магнитопровод, а 3—постоянный магнит. Им в со-
ответствие приведены заданные таблично характеристики
материалов. Принятый способ разбиения ферромагнитных
областей на элементарные объемы показан на рис. 5.3,
там же проиллюстрированы результаты расчета распреде-
ления намагниченности (в каждом элементарном объеме
изображен в масштабе рассчитанный вектор намагничен-
ности). Такое представление результатов расчета позво-
ляет сделать на этапе предварительного анализа некоторые
выводы о взаимосвязи точности аппроксимации распреде-
ления намагниченности с характером дискретизации обла-
стей. Выходным параметром МС задана функция напря-
женности поля в рабочей зоне над системой. По отноше-
нию к распределению намагниченности это — интегральный
параметр, у которого сглажено влияние дискретного ха-
рактера источников. В связи с этим предъявляются более
мягкие требования к характеру дискретизации, в чем за-
ключается одно из существенных преимуществ интеграль-
ных методов расчета. На рпс. 5.4 изображены зависимости
напряженности поля в рабочей зоне, полученные расчетом
и в эксперименте. Эксперимент по измерению поля здесь и
и последующих примерах выполнен на установке, имеющей
суммарную погрешность 2,0—2,5%. Расхождение между
результатами расчета и эксперимента не превышает 5%„
Пример 5.2. На рис. 5.5 приведена трехмерная фокуси-
рующая МС, состоящая из двух редкоземельных постоян-
ных магнитов из сплава КС37, магнитных наконечников
сложной формы и магнитопровода из электротехнической
91
И
1
Рис. 5.5. Фокусирующая МС:
/ — полюсные наконечники; 2 — постоянные
магниты; .?— магпптопронод
стали. По заданию требовалось определить топографию
поля в зазоре между наконечниками. Для описания геоме-1
трии МС использованы симметрии трех типов: зеркальная
негативная относительно координатной плоскости yoz\
зеркальная позитивная относительно координатной плоско
сти xoz; полпая знакопостоянная осевая симметрия вокруг
осн х в исходной системе координат с углом 180° и числом
образов 2, т. е. в исходных данных определялась восьмая
часть МС. Учитывая, что магиптопровод ненасытен и имеет
высокое значение щ, он заменен при расчете эквипотен-
циальными поверхностями с пулевым потенциалом, распо-
ложенным по его внутреннему контуру. Рассчитанное рас
пределение намагниченности по сечению наконечника, по-
казанное на рис. 5.6, отличается резкой неоднородностью
и широким диапазоном размещения рабочих точек на крп-
Рис. 5.6. Рассчитанное распреде-
ление намагниченности в сечении
полюсного наконечника фокусиру-
ющей МС
Рис. 5.7. Расчетные и эксперимен-
тальные значения напряженности
поля на оси фокусирующей МС: ।
/ — расчет; 2 — эксперимент
92
33
Рис. 5.8. Магнитная система геркона
ной намагничивания — от слабого намагничивания в обла-
сти соприкосновения с магнитом до глубокого насыщения
и тонких частях. Показательно, что этот факт не отразился
па сходимости итерационного процесса. На рис. 5.7 прове-
Юно сопоставление зависимостей продольного поля па оси
системы, полученных при расчете и в эксперименте. Отли-
чие между ними не превышает 3%.
Пример 5.3. На рис. 5.8 изображена МС геркона, ко-
юрая в качестве первичного источника поля имеет токо-
вую обмотку, а взаимодействующие контактные стержни
ге выполнены из конструкционной стали. Для задания ЭВМ
н-ометрии МС использованы следующие симметрии: зер-
кальная позитивная для контактных стержней и соответст-
исипо для объемов токовой обмотки относительно коорди-
натной плоскости уог\ полная осевая знакопостоянная во-
круг осп х для контактных стержней с углом 180° и числом
симметричных образов 2; полная осевая в локальной системе
координат вокруг осн х', которая совпадает с осью у
исходной системы координат, с углом 18° и числом обра-
ти 10 для описания образующего токовую обмотку полу-
цилиндра. При плотности тока в обмотке 7=4,3 А/мм2 ха-
рактерно высокое насыщение контактных стержней. Рас-
пределение намагниченности вблизи области взаимодепст-
распредсление намагниченности в контактном
Рис. 5.9. Рассчитанное
i п р/кие геркона
93
Рис. 5.10. Рассчитанное распреде-
ление напряженности поля в зазо-
ре между контактными стержнями
геркона:
/-Я2; 2~Ну
Рис. 5.11. Распределение маги*
ного потока вдоль контактной
стержня геркона:
/ — расчет; 2 — эксперимент
вия в таком режиме приведено на рис. 5.9. С помощью
расчета удалось выяснить топографию напряженное ;н
поля в малом зазоре (0,07 мм) между контактными стерж
нямп (рис. 5.10), где невозможно выполнить эксперимеи-
тальные исследования. Несмотря па близкое расположенно
точек наблюдения к дискретным источникам использование
линейной интерполяции рассчитанного распределения на
магниченности в близлежащих объемах позволило пол™
чнть плавный характер изменения поля. В этом также про-
являются сглаживающие свойства интегральных функции
Оценка точности расчета геркона выполнена по сопостаи
ленню распределения магнитного потока вдоль контактно-
го стержня с экспериментальными данными (рис. 5.11)
Расхождение расчетных и экспериментальных данных и>
превышает 2%. Кривые на рис. 5.11 позволяют судии
о глубине насыщения различных участков стержня.
Определенные результаты дает использование числен
ных методов расчета иа основе интегральных уравнений
при анализе стационарных режимов работы электрически.»
машин.
Пример 5.4. На рис. 5.12 изображена половина полюс
ного деления магнитоэлектрического генератора, у котором
полюсный наконечник на роторе и статоре выполнен и>
электротехнической стали. Полезный магнитный поток со-
здается редкоземельными постоянными магнитами из спла-
ва КС37, расположенными на роторе. Пазы статора шуи
тированы клиньями из магнитно-мягкого феррита. Цель
расчета: исследование распределения намагниченности, по
94
Рис. 5.12. Рассчитанное распреде-
ление намагниченности в деталях
магнитоэлектрического генератора
Рис. 5.13. Зона расположения ра-
бочих точек на кривой намагничи-
вания ферритового клина магнито-
электрического генератора
О 2 Ч 6 в 10 х,нп
Рис. 5.14. Рассчитанное распреде-
ление индукции в зазоре магнито-
электрического генератора:
1 — с клиньями; 2 — без клиньев
юков в магнитной цепи генератора н влияния тока стато-
ра на топографию поля в зазоре. Расчет выполнен в пло-
ском приближении. Для ограничения исследуемой области
сектором, охватывающим четверть полюсного деления,
использовано условие равенства нулю касательной состав-
ляющей напряженности поля на контуре АВС, на котором
для компенсации действия отброшенной части МС введен
простой слой токов, направленных ортогонально плоскости
рассматриваемого сечения. Кроме того, учтено наличие по-
штивной зеркальной симметрии относительно оси у (для
нэков — негативная симметрия). Способ дискретизации
области и рассчитанные значения векторов намагниченно-
< ц| в элементарных объемах представлены на рис. 5.12.
Распределение намагниченности носит сложный характер и
содержит зоны с глубоким насыщением материала (цен-
|ральная часть ротора, зубцы статора, расположенные на
<ц-и симметрии, и ферритовые клинья). Зона, где располо-
95
Рис. 5.15. Магнитная система для ЯМР томографа:
/ — токовая обмогка; 2 — магнит опровод; 3 — подвижные концентра горы магнит
кого потока
жены рабочие точки элементарных объемов клина, отмене
на на характеристике материала на рис. 5.13. Наличие на
сыгцепных ферромагнитных материалов характерно для со
временных облегченных электрических машин. На рис. 5. II
приведены рассчитанные зависимости индукции магнитно
го поля в зазоре 0,8 мм между ротором и статором
Рис. 5.17. Зона расположения р>
бочнх точек на кривой намагнн'ш
ванпя элементарных объемов мат
ннтопровода МС для ЯМР темп
графа
Рис. 5.16. Рассчитанное распред»
ленне намагниченности в МС члт
ЯМР томографа
96
Рис. 5.18. Зависимость отклонения поля от
ыдаииого постоянного значения в МС для
ЯМР томографа от положения подвижных
।опцентраторов магнитного потока
с клиньями и без них. Результаты
численных расчетов сопоставлены
с результатами расчетов традици-
онными методами по цепной схеме
смещения [33]. Поток с полки по-
люса отличается на 2,5% • Несом-
ненно, сопоставление по потоку не
чает достоверной информации о погрешности, но в усло-
виях, когда невозможно выполнить расчетные исследо-
вания либо экспериментальные измерения распределения
индукции в зазоре машины другими методами, прихо-
дится ограничиваться подобной оценкой. В нашей задаче
расхождение с экспериментом по потоку не превышает 2%^.
Пример 5.5. В МС для ЯМР томографа, изображенной
на рис. 5.15, в протяженной рабочей зоне вдоль оси х со-
। щется поле высокой интенсивности и однородности. Рас-
чггы показали, что минимальная масса МС получается,
когда участки магнитопровода, на которых расположены
токовые обмотки, работают в режиме глубокого насыще-
ния. Рассчитанное распределение намагниченности в маг-
иитопроводе показано на рис. 5.16, а на рис. 5.17 указан
шапазон изменения рабочих точек элементарных объемов
кривой). На рис. 5 18 приведена регулировочная кривая,
на кривой намагничивания материала (жирный участок
кривой). На рис. 5.18 приведена регулировочная кривая,
определяющая зависимость относительного отклонения на-
пряженности поля от заданного постоянного значения
/О кА/м па участке оси х длиной 240 мм от положения под-
вижных концентратов магнитного потока.
Гис. 5.19. Зависи-
мость нормы на
ципшченностн фер
ромагпитных де-
i.iJicH МС (рис.
115) от числа ите-
р 1ЦПОННЫХ циклов
ври различных а:
I -S — стационарный
нотационный про-
цесс; 6 — нестацио-
«прный процесс с оп-
имальным сп0ПТ
97
Z -3367
Таблица 5.1. Оптимальные значения параметра нестационарно!<i
итерационного процесса аповт при расчете МС (рис. 5.15)
Номер итерации	п °опт	Номер итерации		Номер итерации	<Т|
1	1 11	11	0,81	21	3,14
2	0,55	12	0,30	22	0,39
3	0 41	13	1,(8	23	0,41
4	0,46	14	0,28	24	0,44
5	0,47	15	1,62	25	0,52
6	0,40	16	0,26	26	0,37
7	0,55	17	2,78	27	0,66
8	0 37	18	0,24	28	0,32
9	0,65	19	5,43	29	0 87
10	0,33	20	0,24	30	0,29
Влияние значения параметра итерационного процесса 1
на сходимость иллюстрируется рис. 5.19, где показано измс
ненне нормы намагниченности ферромагнитных деталей
при расчете МС, изображенной на рис. 5.15, в зависимое! и
от номера итерации N для различных а. Из кривых 1—<
относящихся к стационарному итерационному алгоритму
следует, что существует оптимальное значение аопт~0,4.>
так как при больших значениях а процесс не сходится и
имеет характер незатухающих колебаний, а при меньше
сходится медленнее. Сопоставление указанных кривых таи
же показывает необходимость усиления критерия выдои
из процесса (2.42) (уменьшение е) при снижении а, чп
в свою очередь затягивает итерационный процесс и можс!
сделать его несходящимся из-за накопления погрешностей
округления. Кривая 6 на этом же рисунке относится к не
стационарному процессу, когда на каждом шаге определи
ется свое сьлопт минимизацией критерия (3.31) (апОПт при
ведены в табл. 5.1). Сопоставление приведенных зависимо
стей однозначно указывает на сокращение числа циклоп
у нестационарного итерационного алгоритма, что позволя
ет рекомендовать его и предлагаемый способ выбора а'1,|„
для практического использования.
Следующие три примера относятся к расчету усилий
между элементами МС со стационарным полем по методн
ке, изложенной в § 4.2.
Пример 5.6. На рис. 5.20 и 5.21 представлены резуль
тэты расчетных и экспериментальных исследований про
стейшей МС, состоящей из двух кольцевых редкоземелм
ных магнитов (сплав КС37). При расчете сил по (4.8)
плоскость интегрирования размещалась в зазоре между
магнитами. Эксперимент осуществлен следующим образом
Рис. 5.20. Сопоставление зависимо-
tleft осевых усилий между кольце-
кыми магнитами от размера зазо-
ра б2(6р =0):
I расчет; 2 — эксперимент
Рис. 5.21. Сопоставление радиаль-
ных усилий между кольцевыми
магнитами от размера радиально-
го смещения при б,=3 мм:
/ — расчет; 2 — эксперимент
Одпн магнит жестко закреплялся на немагнитном основа-
нии, а другой подвешивался над ним на длинной нити,
через которую осевые усилия передавались на тензодатчи-
ки Радиальные усилия задавались смещением подвижного
магнита от соосного положения и регистрировались пру-
жинным динамометром. Смещения определялись визуально
г помощью микроскопа, оборудованного микрометрической
шкалой.
Пример 5.7. На рис. 5.22 изображена осевая электро-
магнитная опора, состоящая из подвижного диска, магни-
I'nc 5 22. Осевая электромагнит
ши опора:
i магннтопровод;	2— подвижный
0<iia; 3 — обмотка электромагнита
Рис. 5.23. Сопоставление зависимо-
стей осевых усилий от зазора при
различных значениях тока в об-
мотке электромагнитной опоры:
штриховая линия — расчет; сплошная —
эксперимент
99
Рис. 5.24 Распределение
напряженности поля в за-
зоре электромагнитной
опоры прп /=1 А:
сплошная линия — расчег.
штриховая — эксперимент
электро-
изготов-
топровода
магнита,
ленных из конструк
ционной стали, и то-
ковой обмотки (w =
=900 витков). Ис
следовалась зависи
мость осевого yen
лия от тока в об
мотке и от размера
воздушного зазора.
Несмотря на то что
МС содержит токо
вую обмотку, здесь
такой же метод рас
(4.8), как и в пре-
магнитами
оказалось возможным использовать
чета силы, основанный на формуле
дыдущем примере с двумя постоянными
Плоскость интегрирования располагалась в зазоре меж-
ду диском и электромагнитом. При осевой симметрии
объем вычислений при численном интегрировании незна-
чителен. Для той же опоры выполнены эксперименталь
ные измерения усилий и напряженности поля в зазоре
Рис. 5.25. Радиальный магнитостатический подшипник
100
Результаты сопоставления расчета
и эксперимента иллюстрируются
рис. 5.23 и 5.24.
Пример 5.8. На рис. 5.25 приве-
дена конструкция МС радиальной
магнитостатической опоры, состоя-
щая из кольцевых радиально-намаг-
ниченных редкоземельных магнитов
(сплав КС37), охваченных концент-
раторами магнитного потока из ва-
надиевого пермендюра (сплав
49К2ФВИ). Рассчитывались по ме-
тоду ограничения области взаимо-
Рис. 5.26. Расчетная за-
висимость радиального
действия осевые и радиальные уси- усилия от смещения
лия, возникающие между неподвижными боковыми кольца-
ми и подвижным центральным кольцом при осевых и ра-
диальных смещениях последнего. Результаты представлены
па рис. 5.26. Выполнить достоверные экспериментальные
исследования усилий в такой конструкции весьма затруд-
нительно из-за малых зазоров и больших абсолютных уси-
лий. Поэтому при оценке точности расчета опираемся на
результаты использования программы для других задач,
г. е. оцениваем измерения силы в пределах 6%.
5.3.	ОПТИМИЗАЦИЯ МАГНИТНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ
ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА ПОЛЕЙ
Оптимизация предварительно выбранного типа конструкции со-
ставляет основное содержание процесса машинного проектирования
МС в том виде, в котором это доступно в настоящее время. Узость
такой постановки задачи связана, с одной стороны, с технологиче-
скими возможностями производства и, с другой, с возможностями
современных ЭВМ и существующим уровнем теоретической разработки
этих вопросов. Это заставляет проектировщика вводить существенные
ограничения на область поиска решения, опираясь па накопленную
информацию по типовым конструкциям МС. В то же время именно
высокоточные численные методы анализа поля дают возможность на-
учно обоснованно проводить расчет оптимальных конструкций и в ко-
нечном итоге добиваться полной автоматизации проектирования МС.
Для оптимизации па ЭВМ кроме чисто интуитивных методов
перебора вариантов конструкций МС используются методы планиро-
вания эксперимента [44, 45] и методы нелинейного программирования
|34, 46, 47]. Здесь под экспериментом 'понимается численный расчет
па ЭВМ. Различия между этими методами с теоретических позиций
весьма условны, но принципиальны при алгоритмической реализации.
Проиллюстрируем использование указанных методов на примере ре-
шения конкретных задач.
101
Рис. 5.27. Конструкция Магнитио-жндкост-
ного уплотнения:
/ — постоянный магнит; 2 — магнитно-мягкий на-
конечник; 3 — магнитная жидкость; 4— вал
Оптимизация МС магнитно-жидкост-
ного уплотнения (МЖУ), изображенной па
рис. 5.27, выполнена на основе методов
планирования эксперимента. МЖУ состоит
из кольцевого постоянного магнита, к
торцевым поверхностям которого примыкают два плоских наконечника
с заостренными кромками, установленные с зазором б относительно
вала и концентрирующие магнитный поток. В замкнутую полость, об-
разованную кольцевым постоянным магнитом и полюсными наконец
Пиками, помещается магнитная жидкость. Кольцевой магнит, полюс
иые наконечники, рабочие зазоры между полюсными наконечниками
и валом, заполненные магнитной жидкостью, а также участок вала
между полюсными наконечниками образуют замкнутую магнитную
цепь. Силы, возникающие в результате взаимодействия магнитной жид-
кости с полем в рабочем зазоре, препятствуют ее вытеканию под дей-
ствием внешнего перепада давлений. Этим обеспечивается надежное
уплотнение вала. Поскольку основным элементом конструкции МЖУ
выступает постоянный магнит, изготовленный нз дорогостоящих мате-
риалов, выдвигаемое при проектировании требование оптимальности
сформулировано как обеспечение требуемых технических и эксплуа-
тационных характеристик при минимальной массе магнита.
Поставлена задача определить размеры I м магнитной систе-
мы, дающие наименьший объем магнита при условиях, что индукция
магнитного поля в равномерном радиальном воздушном вазоре при
отсутствии жидкости равна заданному значению В3, а значение гм
фиксировано. Решение се состоит из двух этапов: первый — построе-
ние приближенной математической модели функции отклика и вто-
рой— проектирование оптимальной МС.
Функцией отклика служит абсолютное значение индукции магнит-
ного поля в рабочем зазоре В, а в качестве факторов приняты гео-
метрические размеры кольцевого постоянного магнита Вм, itM. Мате-
матическая модель функции отклика — интерполяционный полином,
определяющий возможность МС создавать в рабочем зазоре поле
определенной интенсивности во всей интересующей нас области изме-
нения геометрических размеров — в данном случае принят второго по-
рядка:
п	п	п
?=*.+ 2*4*1 + S ЬИХ1Х1 + 2> b“X'i- (5J>
1=1	i. /=|	i=i
KI
где — функция отклика; n=2— число факторов; Xi=Lu, Х2=
=Rm — факторы.
102
При проектировании оптимального МЖУ в полученном полиноме
(5.1) фиксируется заданный уровень поля В3, а затем минимизирует-
ся критерий оптимальности — функция цели, в качестве которой при-
нят объем кольцевого постоянного магнита
Уы=лХ1(Л22-^2н).
Поиск минимума функции цели производится при ограничениях
п< рвого и второго рода. К ограничениям первого рода относятся гра-
ницы диапазонов изменения факторов, в качестве ограничения второ-
го рода выступает преобразованная функция отклика.
Алгоритм построения математической модели функции отклика
включает следующие этапы:
1)	ориентировочный расчет МЖУ;
2)	расчет однофакторных зависимостей
при /?м=сопз1;
B=f(Rn) при /.K=const
и выбор диапазона изменения каждого фактора;
3)	планирование эксперимента [44];
4)	проведение эксперимента — расчет МЖУ на ЭВМ,
5)	расчет коэффициентов интерполяционного полинома и проверка
их значимости;
6)	проверка адекватности полученной математической модели; ес-
ли модель оказалась неадекватной, то необходимо выбрать новые
диапазоны изменения факторов и повторить вычисления с п. 3.
В качестве иллюстрации метода приведем результаты расчета оп-
тимальной МС МЖУ с магнитом из сплава КС37 (материал нако-
нечников— сплав 49К2ФВИ, материал вала — конструкционная сталь),
создающей в зазоре поле 2Тл при диаметре вала 20 мм.
На рис. 5.28 изображены полученные однофакторпые зависимости
В=[(£м) при трех фиксированных значениях Ям=сопз1, которые по
называют, что с увеличением длины или внешнего радиуса магнита
рост индукции магнитного поля замедляется. Диапазон изменения
факторов выбирался так, чтобы индукция магнитного поля изменя-
лась от 1,7 до 2,6 Т. Далее согласно приведенному выше алгоритму
рассчитывалась функция отклика, которая получена в виде
р=_ 14,665+0,448Х, + 1,121 Х2—0,006Х|Х2- 0,011	0,02Х2г.	(5.2)
Адекватность этой модели проверялась путем контроля отклоне-
ний:
Д=(У—Р)/У,
1де У—функция отклика, полученная численным расчетом на ЭВМ
в плановых и внеплановых контрольных точках, которые выбираются
случайным образом.
Расчеты показали, что для плановых и контрольных точек откло-
нения А не превышают 5%, что признано допустимым для данной
конструкции.
ЮЗ
Рис. 5.28. Рассчитанные однофак-
торные зависимости индукции маг-
нитного ноля в рабочем зазоре
МЖУ от длины магнита при раз-
ных значениях /?н:
7 — 27 мм: 2 — 25 мм; 3 — 21 мм
Рис. 5.29. Рассчитанная завися
мость объема магнита МЖУ от
его длины при В3—2 Тл
Экстремальная задача сформулирована следующим образом, найти
минимум объема магнита Ры при ограничениях
6<Х1<12, 21<Х2<26; Р=В3 = 2.
Нахождение минимума Уы проведено с помощью сведения фуик
цип цели к функции одной переменной, для чего из (5.2) получена
зависимость второго фактора от первого при Р=2 и минимум пай
деп стандартным методом поиска экстремума пелнпеппой функции
одной переменной. На рис. 5.29 изображена рассчитанная зависимость
объема магнита от его длины, которая имеет четко выраженный экс
тремум. В результате получены оптимальные геометрические размеры
МС: |£м=6 мм, /?м=23,5 мм.
Другой подход к оптимизации МС, основанный па методах не-
линейного программирования, проиллюстрируем па примере каскадной
фокусирующей системы рнс. 5.30. Конструкция МС задается набором
размеров: Xj — расстояние от оси z системы до поверхностен отдель-
ных ступеней магнитов, Azj — длины ступеней по оси Zj, где j=l>
Рис. 5.30. Варьируемые размеры при оптимизации каскадной фокуси-
рующей системы
IQ4
2,М, М — число ступеней, s — расстояние от осп z до магННтО*
провода; lz— общая длина магнитов по осп г; lv — ширина магнитов
но оси у. Размеры lv, lz и Azj выбираются до начала расчетов и при
оптимизации не варьируются. Оптимизируемыми переменными выбра-
ны размеры Xj, которые образуют искомый М мерный вектор X, п га
баритный размер s.
Предположим, требуется обеспечить заданные значения коорди-
натных составляющих вектора Н в N контрольных точках при мини-
мальном размере s Обозначим JV-мерными векторами: Н-.— заданные
и Н — текущие значения составляющих Н, е — допустимые отклоне-
ния поля от заданного в контрольных точках. Тогда условие создания
МС заданного поля будет выполнено, если удовлетворяется неравен-
ство
|Н -Н3|<е.	(5.3)
Расчет составляющих напряженности поля в контрольных точках
рабочей области проводился с помощью быстродействующей спецна
лизированной программы анализа МС каскадного типа с ненасытен
ним магпптопроводом (37J. Для оценки близости полученного поля
системы к заданному использовался критерий Чебышева для компонент
векторов Н и Н,
Д(Х)=шах,|//,—A/3i|, i=1, 2...../V.	(5.4)
Задача определения размеров МС Xj, обеспечивающих создание
заданного поля при минимальном габаритном размере s, сформулиро-
вана как задача нелинейного программирования минимизировать га
баритный размер s при условии, что Д(Х)<е, и состоит из двух оп-
тимизационных задач: внешней — собственно минимизации s, и внут-
ренней — минимизации Ц (X)
Алгоритм решения внутренней задачи выбора из всех возможных
конструкций МС с .фиксированным размером s той, которая соответ-
ствует минимуму функционала (5.4), т. е. определения минимума вы-
ражения
min(maXi|Wi—Я31|). »=1, 2.....JV	(5.5)
при ограничении (см. рнс. 5 30)
min
построен по схеме крупношагового метода поиска экстремума.
Шаг 1. Начальный выбор произвольного допустимого значения
искомого вектора Х°.
Шаг 2. а) На итерации k определение вектора D* — направления
изменения вектора X11, дающее наибольший эффект при стремлении
/((X) к минимуму.
б) Определение длины шага th, позволяющее найти минимальное
значение Д(Х) на всех допустимых точках, лежащих па выбранном
направлении Dft.
105
Шаг 3. Вычисление Нового значения вектора Хй+1. Для нового
значения вектора Хй+' проверяют неравенство (5.3). Условием дости-
жения экстремума является илн выполнение (5.3), или практическая
неизменность Ц (X) от итерации к итерации:
|Д(Хй+‘)-Д(Хй)|<б,	(5.6)
где 6>0 — заданная малая величина.
Если неравенства (5.3) или (5.6) не выполняются, возвращаются
к выполнению шага 2.
Операция а) шага 2 не всегда может быть выполнена за один
цикл с наперед заданной точностью, так как сложная неявная зависи-
мость составляющих напряженности поля от размеров системы Н =
= /?(Х) должна быть приближенно заменена более простой функцией,
аппроксимирующей ее в рассматриваемой точке Xй. При этом направ-
ление изменения вектора Xй определяется не по истинному функцио-
налу Z/(X), а по более простой зависимости — по гиперплоскости, ка
сательпой к поверхности 2/(Х) в точке Xй. Уравнение касательной
гиперплоскости получено разложением функции Ц(Х) в ряд Тейлора
с использованием только первых производных. Использование такого
приема сводит нелинейную задачу к вадаче линейного программиро-
вания. Минимизация линеаризованного функционала Д*(Х) при огра-
ничениях проводится с помощью линейного симплексного метода [34].
Предположим, минимум	наблюдается в точке, характеризуемой
вектором X*. Компоненты X* могут значительно отличаться от ком-
понент Xй, полученного на предыдущей итерации, и для этой точки
принятая аппроксимация Z/(X) является плохой, тем не менее ввиду
непрерывности £((Х) и ее частных производных должен существовать
допустимый по ограничениям вектор
Х«+' = ХЙ+/ЙОЙ,
где Dh = X*—Xй; 0;^/й^1, при котором
Ц(Хй+')^/](Хй).
Чтобы определить оптимальную длину шага /й, необходимо ре-
шить вспомогательную оптимизационную задачу: минимизировать
Z/(X) как функцию параметра /й при ограничениях 0^/й^1, которая
решается известными методами поиска экстремума нелинейной функ-
ции одной переменной [34].
Если выход из внутренней задачи произошел при выполнении
условия (5.3), значение габаритного размера s па следующем шаге
вычислений может быть уменьшено, в противном случае — увеличено
Следовательно, алгоритм решения внешней задачи поиска оптималь-
ного s просто реализуется на основе метода последовательного деле-
ния пополам, где направление движения указывают результаты реше-
ния внутренней задачи.	__
106
Рис. 5.31. Синтезированная конструкция акустического преобразователя:
I — активный элемент из магнитострикционного сплава. 2 —постоянные магниты;
3 — магнитопровод
На рис. 5.31 приведена конструкция МС акустического преобра-
зователя, полученная с помощью оптимизации по приведенному алго-
ритму. МС состоит из постоянных магнитов (материал 28DA190), маг-
пптопроводов (материал 49К2ФВИ) и стержня из магнистострикцион-
ного сплава. По техническому заданию необходимо было создать МС,
которая однородно намагничивает стержень вдоль оси г до 400 кА/м
(е=5%). Задача решалась в два этапа. На первом этапе синтезиро-
валась конструкция МС без стержня, где минимизировался габарит-
ный размер s при условии, что система па оси создает напряженность
однородного поля Нз, достаточную для промагнпчивання стержня (Н3
определялась нз характеристики материала стержня и корректировалась
с учетом собственного размагничивающего поля). Напряженность поля
на оси МС без стержня по расчету и эксперименту изменяется, как
показано на рис. 5.32. На втором этапе проводился поверочный рас-
чет МС со стержнем — исследовалось
распределение намагниченности в стер-
жне и напряженности поля вдоль
стержня. Результаты приведены на
рис. 5.32.
Рис. 5.32. Распределение напряженности
поля на оси магнитной системы акусти-
ческого преобразователя-
сплошная линия — расчет; штриховая —
эксперимент:
I — без стержня активного элемента; 2 — в
стержне активного элемента
107
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИСТЕМ
С КВАЗИСТАЦИОНАРНЫМИ ПОЛЯМИ
6.1. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЕЙ
Различие квазистационарных и стационарных полей сво-
дится к зависимости векторов квазпетационарного поля от
времени. В соответствии с законом электромагнитной
индукции это приводит к возникновению нового источника
поля — иаведенного вихревого тока в проводящих деталях
электромагнитной системы (ЭМС). Переменное поле
в ЭМС возбуждается различными способами: индукциопно,
посредством проводников со сторонним переменным током;
контактно, за счет пропускания тока по деталям ЭМС;
емкостным способом и др. В зависимости от способа воз-
буждения заданными оказываются различные первичные
источники поля. К неизвестным же вторичным источникам
поля кроме вихревых токов относятся намагниченность
ферромагнитных деталей ЭМС, наведенные на поверхности
проводника электрические заряды и в ряде задач токи сме-
щения в полупроводниках и диэлектриках. С повышением
частоты уменьшается глубина проникновения поля внутрь
проводящих деталей ввиду влияния вихревых токов, а из-за
явления магнитной вязкости вещества хуже намагничива-
ются ферромагнитные детали ЭМС. В квазистационарных
полях магнитная вязкость по сравнению с действием вихре-
вых токов проявляется слабо, и в расчетах допустимо
использовать статические магнитные характеристики (см.
§ 1-2).
Если поле в проводнике возбуждается не емкостным
способом, то в квазистационарной частотной области обыч-
но пренебрегают магнитным полем токов смещения по
сравнению с магнитным полем токов проводимости |2].
При этих условиях справедлива система уравнений Мак-
свелла
(6.1)
(6.2)
где J= JB-\-JCT в общем случае — сумма плотностей вих-
ревого и стороннего тока; Е — вектор напряженности элек-
трического поля.
Кроме (6.1), (6.2) в систему уравнений переменного
электромагнитного поля входят уравнения непрерывности
108
линий магнитной индукции и полного тока
VB = 0;	(6.3)
V/ = 0.	(6.4)
Уравнения (6.1) —(6.4) записаны для мгновенных зна-
чений векторов поля. К действующим значениям удается
перейти, используя комплексную форму записи, когда ЭМС
скомплектована деталями, обладающими постоянными зна-
чениями проводимости и относительной магнитной прони-
цаемости. При синусоидальном характере возбуждающего
поля во времени пли при анализе отдельных гармониче-
ских составляющих переход к действующим комплексным
значениям векторов поля дает систему линейных урав-
нений
vX£ = — 1°’1А.Нг^ •
где а=2л[—круговая частота электромагнитного поля;
у — удельная электрическая проводимость.
Вывод ИУ для анализа переменных полей возможен,
как и для стационарных полей, двумя различными путями,
которые приводят либо к граничным, либо к пространствен-
ным интегральным уравнениям [18, 48]. ПрИУ записыва-
ются относительно пространственно-распределенных источ-
ников, имеющих физическое толкование: вихревого тока,
намагниченности и электрического заряда, а ГИУ —отно-
сительно некоторых фиктивных поверхностных источников,
распределенных по границе исследуемой области ЭМС и
границам деталей с линейными электрофизическими свой-
ствами. Если граница области исследования в ЭМС распо-
лагается в воздухе, то ее учет полностью аналогичен ста-
ционарным полям (см. § 2.2).
В отличие от стационарных полей использование для
расчетов ГИУ не всегда дает явные преимущества с вычис-
лительной точки зрения даже для линейных сред вследст-
вие усложнения ядер уравнений. В то же время ядра
уравнений в ПрИУ сохраняют прежний вид. И в ГИУ, и
в ПрИУ значительно увеличивается число неизвестных
источников, возрастает размерность систем уравнений, но
их решение все же доступно современным ЭВМ. Остается
в силе и другой, полученный для стационарных полей вы-
вод о том, что универсальная программа анализа.квазиста-
ционарных полей должна иметь в своем распоряжении ма-
тематические модели, построенные на основе как ГИУ, так
п ПрИУ.
109
6.2. ОБЩАЯ СИСТЕМА ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО поля
Из определения векторного потенциала (1.8) и системы
уравнений Максвелла (6.1), (6.2) следует, что в объеме
ферромагнитной проводящей детали ЭМС (рис. 6.1) для
А выполняется линейное уравнение теплопроводности
v X (vX^ - МО = — YPo (дд!dt) — YP0We-
где фе — скалярный электрический потенциал.
Произвольность выбора истоков векторного потенциала
позволяет приравнять
— - HoY?«'
и уравнение принимает вид
V2/4 P„Y '&) — — bVX^ •	(6.6)
В средах с постоянными значениями электрофизических
параметров щ и у при синусоидальном характере возбуж-
дающего поля векторный потенциал удовлетворяет урав
нению Гельмгольца
72Л-|-А2Л —0,	(6.7)
где k2=—/шцоРгу получено из-системы уравнений Максвел-
ла (6.5) при условии, что —РоЦгУФс-
Напряженность электрического поля в линейной среде
при такой калибровке истока векторного потенциала опре-
делится из первого уравнения системы (6.5) через вектор-
ный потенциал
Ё = - 7«>H4-VV^/(f1oPTY)-	(6-8)
Общее решение уравнения (6.7) в объеме V ферромаг-
нитной Проводящей детали с поверхностью S, помещенной
во внешнее возбуждающее ноле (рис. 6.1,а), дает формула
Рис. 6 1. Ферромагнитная проводящая область исследования:
а — одиосвязная; б — из двух разнородных контактирующих материалов
ПО
Грина (2.14). С ее помощью, учитывая (6.7), запишем
искомое выражение в виде
А -= - $	X(пХА) - {nA) yQg„+пХ(^ХА) gH -
з
- п (VpA) g„] dSPf
(6-9)
где gH — функция Грина, представляющая собой решение
векторного дифференциального уравнения
7г	=5 (** rQ)«- *	<6J0)
где 6(r —rQ)- пространственная дельта-функция; a—const;
п — внешняя нормаль к S.
.Физически функция Грина gH определяет поле точечно-
го источника. В бесконечном однородном проводящем про-
странстве решение уравнения (6.10) известно [4]:
agH=a exp (—jkr)/(4nr).	(6.11)
Для ряда простых расчетных областей и некоторых ча-
стных условий возбуждения целесообразно использовать
функции источников специального вида [4, 18, 48, 49]. Что-
бы оставить возможность рассматривать поверхности с про-
извольными границами, в дальнейшем под gn подразуме-
вается функция трех координат (6.11).
Отличие (6.9) от соответствующей формулы стацио-
нарного поля (2.15) сводится к появлению дополнительно-
го интеграла по истокам векторного потенциала, и, что наи-
более существенно, иной вид приобретает функция Гри-
на gH- Аналогичные (6.9) формулы справедливы для век-
торов напряженности электрического и магнитного полей,
так как для них также выполняется уравнение Гельмголь-
ца (6.7).
Равенство (6.9) связывает значение векторного потен-
циала в произвольной точке объема проводящей детали
с его значением и значениями его производных на поверх-
ности детали. Граничные значения параметров поля могут
трактоваться как неизвестные фиктивные поверхностные
источники. Для вывода ГИУ относительно фиктивных
источников используются свойства непрерывности векторов
поля на границах раздела разнородных элементов ЭМС.
Запишем аналогичную (6.9) формулу для вектора на-
пряженности электрического поля. С учетом того, что
в однородном проводнике |ir=const, у—const и VE --0, по
лучим выражение
Ё (Q) = - vQ X Ж (пХЕ) + iwrM (п х Н) 4- v/f (л£),
(6.12)
где <2^— линейный интегральный оператор вида
3ff = \fg,flS.	(6.13)
s
Напряженность магнитного поля в объеме проводника
определится подобным (6.12) образом:
н (Q) - - - vQ X ж (« X Н) - № {п X Ё) +	(nfi).
(6-14)
Для расчета векторов поля в проводнике по формулам
(6.12) и (6.14) необходимо знать как касательные, так и
нормальные составляющие этих векторов на ограничиваю
щей поверхности. Согласно условиям единственности реше-
ния уравнений Максвелла такой набор граничных условий
избыточен [2]. Подставим (6.13) и (6.14) в первое уравне-
ние системы (6.5). После раскрытия операции двойного
ротора и сокращения подобных членов получаем интеграль-
ное соотношение
VQ.%' («£) = - -у- VqVq.7C (я \Н).	(6.15)
С помощью второго уравнения из (6.5) приходим к ра-
венству
(6-16)
Наблюдающаяся в (6.13), (6.14) избыточность гранич-
ных условий проявилась во взаимосвязи касательных и нор-
мальных составляющих векторов. На основании (6.15),
(6.16) выражения для векторов поля в проводнике приоб-
ретают вид
Ё (Q) = - vQX^ (п X Ё) 4- j	Ж (п X //) -
(6-17)
/HQ) = -vQXWXtf)~Y^('»X£) +
(6.18)
Рассмотрим задачу расчета поля в ЭМС, состоящей из
двух соприкасающихся проводников с различными электро-
112
физическими параметрами (jm, щ и р,2, Тг), в которых си-
нусоидальное поле возбуждается находящейся в воздухе
катушкой со сторонним током (рис. 6.1,6). На поверхности
проводников, включая границу соприкосновения их между
собой, справедливы условия непрерывности касательных
составляющих векторов Е и Н, следующие из (6.5).
ЛХ(Я.-я1)=0; «Х(Д-^)=о.	(6.19)
Если обозначить фиктивными поверхностными источни-
ками: iM = п X — п X — плотность слоя магнитного
тока; ie — п X = п X ~ плотность слоя электрическо-
го тока, то одни и те же комплексные источники iM и it
будут определять векторы поля в обеих граничащих обла-
стях.
Выразим предельные значения касательных составляю-
щих Е и Н на границе соприкосновения проводников при
подходе к границе из первого и второго проводников. При
этом примем во внимание, что свойства интегрального опе-
ратора Эв, входящего в (6.17), (6.18) при стремлении ра-
диуса-вектора к нулю, совпадают со свойствами интеграль-
ного оператора [18], исследованного в стационарных
полях, так как функция ехр(—/Лг)->1 при г->0. Следова-
тельно (см. § 2.2), первые слагаемые в правых частях
(6.17), (6.18) имеют исключаемую особенность, равную по-
ловине плотности источника, а у вторых и третьих слагае-
мых исключаемая особенность равна нулю, причем третьи
слагаемые имеют сингулярный характер и сходятся в смыс-
ле главного значения по Коши [3], что проще установить
и проанализировать на основе тождеств (6.15), (6.16).
При подходе к границе соприкосновения из области
первого проводника имеем
ie = Ц- — П X (v X	+ Мчнп (п X	—
--7-гаХ(^^?Л1);
11	4
*Л1=n X(V X	SW +
(6.20)
4 —-— п х (vv^Jc)-
q /“P-oPri	I e>'
где нормаль — внешняя к первой области, т. е. направлена
пнутрь второго проводника; Ж\— интегральный оператор
(<• 13), действующий на поверхности первого проводника.
к 3367
113
При подходе к границе соприкосновения из второго про-
водника и прежнем направлении нормали изменяются зна-
ки в правых частях равенств (6.17), (6.18), поскольку при
их выводе использовалось понятие внешней нормали
к области [см. (6.9)], а также изменяются знаки у исклю-
чаемых особенностей:
ie — -------F « X (V X /'“VoPti (га X 4~
+	« X.(vv^m);
12
+ п х (v X	X ад> -
(6.21)
1
п X
где <Ж2— интегральный оператор (6.13), действующий на
поверхности второго проводника.
Для улучшения свойств ГИУ (6.20) и (6.21) и исключе-
ния сингулярных слагаемых умножим первые уравнения
в этих системах соответственно на щ и у2. а вторые—на
ц,1 и Щ2, после чего почленно сложим первое уравнение
в (6.20) с первым в (6.21) и второе уравнение в (6.20) со
вторым в (6.21). В результате получим систему ГИУ вто
рого рода для фиктивных источников на границе раздела
проводников
1е -=	” X |V X КМ - Y.^ЛЛ “
I1T 12
- П Х	- Y1^Mm) +
Г у _|_ у2~ n X IVV
*Л1 =	ц'~ П X |v X (Рт’^Лм 1М 4“
л| Р-n Т ИТ?
(6.22)
-J---2Г~77—WX^YsPrs^s^e	YiP'ri'^i^e)
J*n 1 Ртг
2
iwPo (Pri + Ртг)
«XIvv (ад —ад)]-
В воздушной среде напряженность магнитного поля под-
чиняется векторному уравнению Лапласа
У2Яо=0.
(6.23)
114
Поэтому для Но справедлива подобная (2.15) формула
с интегральным оператором для стационарного поля
Нв = -vX^« X Я.) + V# («Я.) +	(6.24)
где 9?— интегральный оператор (2.3), определенный на по-
верхности воздух — проводник; Яст— напряженность поля
в воздухе, создаваемая катушкой со сторонним током:
Для напряженности электрического поля в воздухе так-
же выполняется уравнение Лапласа
V2Eo=O.	(6.25)
Решение (6.25) дает следующая из (2.15) формула
-= - vX-S? {п X £,) +	(п X Нв) +	(пЁв) + Ё",
(6.26)
где £ст— напряженность электрического поля от катушки
со сторонним током.1
Расчет Ест в воздухе при пренебрежении гоками сме-
щения представляет определенные трудности, так как те-
ряется связь, выраженная в первом уравнении Максвелла
VX^’ гЛ
где ео — диэлектрическая проницаемость воздуха, и возни-
кает необходимость решать самостоятельную краевую за-
дачу для Ест.
Учет токов смещения позволяет получить формулу
[48]
£ст= _ j*
'vk
+	- [ (jtTV0) Vo (dv'
vk
где р — ш VXeo.
Подставляя выражения для векторов поля "(6.24),
(6.26) во втором уравнение системы (6.5), получаем- по-
добное (6.16) соотношение
VQ<Z (пН „) - -Д_ VqVqX (я X *.).	(6.27)
8*
115
которое используем в формуле для напряженности магнит
ного поля (6.24).
На границах воздух — проводник внутри проводника
отсутствуют нормальные компоненты электрического поля
и выражение (6.17) упрощается:
Ek — — Vq X ЭДkh + /“Р-оР1 rk к*м>	(6.28)
где индекс Л=1,2 указывает на принадлежность точки на-
блюдения к первому или второму проводнику.
Система ГИУ для границы воздух — проводник строит
ся следующим образом. Для магнитного тока повторяются
преобразования, проведенные для границы проводник— |
проводник, но с формулами (6.18), (6.24) (нормаль на-
правлена в воздух):
О
*Л1 = 7^+ГпXIVX(^ -	-
~ v-rk+ 1 nys{ki‘ ~ /сор. (Р.гА4-1) X 1
о
X « X |W - ЭДЛ)1 - —т-г П X //ст,	(6.29)
Н-гА I 1
а уравнение для плотности электрического тока получаем
из (6.28), записывая значения касательной составляющей
Ек иа границе воздух — проводник со стороны провод-
ника:
<с/2 = — п X (уХЭДЛ) + /“’Р-оРт* (га X 3fkiM).	(6.30)
Совместное решение уравнений (6.22), (6.29), (6.30)
дает искомое распределение фиктивных источников в рас-
сматриваемой задаче, которые однозначно определяют па-
раметры поля. Но для расчета электрического поля в воз-
духе требуется решение дополнительного ГИУ относитель-
но скалярного источника С = (пЕ0), для которого, как это
следует из (6.26), справедливо уравнение
С/2 = — n (vXW + m (nSCiM) + га (?£С) + пЁс\	(6.31 j
где п направлена в проводник.
Последовательность вывода ГИУ (6.22), (6.29) — (6.31)
совпадает в основном с разработанной в [48, 50] примени
тельно к решению волновых уравнений, отличающихся
иной функцией Грина. Применительно к квазистационар
ным полям, но с иными исходными посылками, подобные
ГИУ были получены в [18].
Неоспоримым достоинством этих уравнений представля
ется общность формулировки и непосредственная связь
116
фиктивных источников с векторами поля на поверхностях
деталей ЭМС.	,
6.3. СНИЖЕНИЕ РАЗМЕРНОСТИ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
В системе ГИУ (6.22), (6.29)— (6.31) участвуют все источники,
крсдусмотрениые векторной формулой Грина (6;9) и определяющие
Электрическое и маиштное поля. Сужение задачи н сведение ее к ана
лнзу только магнитного поля или поэтапный расчет сначала магнит-
ного, а затем электрического поля позволяют снизить размерность
систем, решаемых па каждом этапе уравнений. Последнее достигается
применением так называемого метода разделения задачи па области.
Основная идея метода состоит в исключении в каждой из рас
сматрпваемык областей (воздушное пространство, детали с различ-
ными свойствами) тех типов источников, которые для данной задачи
избыточны. Такой метод дает возможность получать экономичные ма-
тематические модели для конкретных конструкций ЭМС, менее общие,
но более приспособленные для численного решения Согласно методу
разделения задачи на области в каждой нз областей выбирается свой
тип фиктивных источников, которые определяются условиями «сшива-
ния» векторов поля на границах раздела. При этом, очевидно, возни-
кает проблема выбора такого типа источника, который обеспечил бы
н единственность решения, и разрешимость получаемых ГИУ в усло-
виях конкретной ЭМС.
Ь [18] получена система ГИУ для расчета магнитного поля в
массивных однородных проводниках при нерезко выраженном поверх-
ностном эффекте меньшей, чем (6.22), (6.29), (6.30), размерности. Она
справедлива для индукционного возбуждения поля в односвязных
областях, и ее основная особенность заключается в формулировке
)адачп только для магнитного поля. Напряженность его в области,
запятой проводящей деталью (см. рис. 6.1,а), выражена через простой
слой тока плотностью i , распределенный по поверхности детали,
// = VX.%’/,	(6.32)
н напряженность поля в воздухе — через простой слой зарядов плот-
ностью а. распределенный по той же поверхности, и объемный сто-
ронний ток:
Г/о =—у ° Р*о “Ь //ст,	(6.33)
где //ст определена в (6.24).
Граничные условия для векторов магнитного поля удовлетворены
следующей системой ГИУ второго рода, при выводе которой исполь-
ювались предельные свойства потенциалов простого слоя токов и
ырядов (2.21), (2.9)
117
-4 2+«Х (vX^ + 4-V^0
\	Но
(6.3-1)
— о 2 + п
пН\
Выделяя положительное качество системы ГПУ «минимальной
размерности» (6.34), отметим, что к недостаткам ее по сравнению 
(6.22), (6.29), (6.30) кроме ограниченной области применения отно
снтся то, что интеграл сов первом уравнении и интеграл с I /и»
втором уравнении сингулярны. Это накладывает особые требования
на алгоритм их вычисления. Определение вектора напряженности элек
трического поля в воздухе требует решения дополнительных IПУ.
Принцип разделения задачи на области позволяет получить болп
экономичные ГИУ второго рода и в случае, когда ме?кду двумя pa i
породными деталями ЭМС существует электрический контакт (см
рис. 6.1,6). В объеме проводящей детали 1 напряженность поля опрс
делим с помощью слоя токов на
Я,=?Х^А.	(6 435)
а в проводящей детали 2 — в виде суммы полей от слоя магнитных
моментов на поверхности соприкосновения проводящих деталей и слоя
тока на границе воздух — деталь 2:
/72 = ^’s-1/« + vX^j-oG.	(6.36)
Правомерность использования выражений (6.35), (6.36) в качс
стве решений доказывается подстановкой в уравнение Гельмгольнп
для Н. С целью вывода ГИУ относительно неизвестных источникоя
воспользуемся граничными условиями непрерывности векторов поля
иа границах раздела разнородных сред
пХ(Лг,-лго)=0:
п X (Нг - Н„) = 0;
И(и.Г1Я1-//в)=0;
Выполнение граничных
ность решения задачи. Последнее легко доказать, если воспользова п.
ся методикой, изложенной в [18], в приложении к рассмотренной вы
ше задаче с одной проводящей областью (см. рис. 6.1). Подставляя
(6.33), (6.35), (6.36) в (6.37) и учитывая предельные свойства пите
тральных операторов, получаем систему ГИУ второго рода для всех
неизвестных источников. На поверхности соприкосновения проводивши!
-4|/2 + nX(vXW.)-«X^ i'«-
-«X(vX^2-oG) = O;
b/2-v-nX(vXvX^.‘.) +
11
+ «Х (vX^«-!«) + п X (vX vX^-M = 0,
где нормаль направлена во вторую область.
118
«X (ЛГ2-//1)=0;
«X (vX^s/Y2—vX ^i/Ti) = °;
Я (Руй^2 о) 0.
условий (6.37) обеспечивает единствен
(6.37)
(6.38)
На границе Ьоздух— проводник 1
-i, 2 + nx<(vX.^1i> + 7j-v5?0') = «х^ст;
\	го /
— ’/ 2 + п (|J-nv X Л?,*,	= и//ст-
на границе воздух — проводник 2
— ^2 2 4- П X (^2-i>4 + V X -tSz + ТГ~
\ ‘° /
= лх^ст;
— ° 2 + п [|хг2 (2^2- tin + vX^t -0^2) + ,, V“2-о ] -
L	‘° J
= n/fcr,
(6.39a)
(6.396)
где нормаль направлена в воздух.
Система ГИУ (6.38), (6.39) имеет меньшую размерность, чем
I ПУ для этой же ,задачи (6.22), (6.29), (6.30), так как в пей для
расчета поля в воздухе использован скалярный источник, а де век-
торный.
Анализ условий разрешимости линейных ГИУ второго рода ква-
знстацноиарпого поля достаточно провести для предельных значений
параметра 1г. При низкочастотном приближении (/г-*0) ГИУ относи-
тельно простого слоя токов, слоя моментов и слоя зарядов повторя-
ют уравнения для подобных источников в стационарных полях (см.
§ 2.2) и, естественно, имеют такие же условия разрешимости. 11ри
конечных значениях параметра множитель ехр(—jkr) в ядре улучша-
ет разрешимость ГИУ, так как обеспечивает более быстрое, чем в
статическом случае, затухание поля. При численном решении этот
факт проявляется в увеличении доли диагональных коэффициентов
матриц СЛАУ по отношению к остальным коэффициентам, т. е. в
улучшении обусловленности матриц. Последнее подтверждается дру-
HIM крайним приближением — высокочастотным (/г-»-оо). При этом
интеграл с ядром gu или его производными равен нулю всюду за
исключением особой точки (г->-0) и ГИУ вырождаются в алгебраи-
ческое тождество. Случай k~>-oo соответствует, в частности, детали
-)МС со свойствами материала, близкими к сверхпроводнику, в ко-
торый, как известно, никаких составляющих переменного электромаг-
нитного поля не проникает.
Алгоритм численного решения ГИУ квазнстацноиарного поля во
многих чертах повторяет алгоритм решения ГИУ стационарного поля.
IJ простейшем виде он сводится к разбиению всех поверхностей с
распределенными источниками па малые элементарные площадки, в
пределах которых источники принимаются постоянными. Далее нз
уравнений для этих источников путем последовательного размещения
119
Точки наблюдения в центрах всех Элементарных площадок получаем
СЛАУ, решаемую прямым или итерационным методом. Преимущество
ГИУ минимальной размерности (6.38), (6.39) для тех задач, где до
пустимо их использование, проявляется в том, что количество вычнс
ляемых интегралов при заполнении матрицц коэффициентов СЛАУ
меньше, чем при решении уравнений (6.22), (6.29), (6.30). При прочих
равных условиях это дает выигрыш в скорости решения вадач и тре
буемых ресурсах ЭВМ.
6.4.	ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
В случае взаимодействия несннусоидального переменного поля с
линейными средами возможны два алгоритма численных расчетов за
дач на ЭВМ: во-первых, получение результатов в частотной области
с последующим переходом во временную, во вторых, решение непо
средствеппо во временной области. На сегодняшний день преимущества
этих алгоритмов по отношению друг к другу не выявлены, поэтому
ниже рассмотрим и тот, п другой [48, 49].
Решение в частотной области. Периодическую несннусопдальную
функцию времени можно разложить в ряд Фурье, содержащий посто-
янную составляющую, первую гармонику с частотой ь»,, равной часто
те самой функции, и высшие гармоники, частоты которых в целое-
число раз (1=2, 3, ...) больше частоты первой гармоники [3].
Для каждой пз сииус-косииусных гармоник векторов электромаг
иитного поля в проводящей среде выполняются уравнение Гельмголь
ца и соответственно ГИУ, полученные в предыдущих параграфах
Разница лишь в том. что изменяется параметр интегрального опера
тора Ж Для пй гармоники
^n/= J -//-пГ- dS,	(6 10)
5
где *„ = / —/ЫпНоРтГ-
Возможный алгоритм расчета ЭМС с первичным» источниками,
заданными периодическим» несинусоидальными функциями времени
складывается из следующих операций:
1)	заданная функция времени /Ст (0 возбуждающего поля par
кладывается в ряд Фурье;
2)	для каждой из гармонических составляющих /ст-(/) решаете»
задача с комплексными векторами для выбранной системы ГИУ с опе-
ратором (6.40);
3)	при необходимости получения изменения картины поля во вре-
мени производится суммирование мгновенных значений для заданных
моментов времени по всем рассчитанным гармоникам.
120
Если возбуждающее воздействие представлено непериодической
функцией времени, то для решения задачи в частотной области ис-
пользуется спектральный метод, основанный на прямом и обратном
преобразованиях Фурье этой функции;
00
JLT (jeo) = J exp (jeo/) JtT (/) dt\
оо
(/“) dw, |
(6.41)
которые в дальнейшем будем обозначать F{JCT) и F'[Jcr}.
Единственное отличие в разложении периодических и
днческпх функций в том, что в первом случае анализируется
неперио-
днекрет-
кий набор частот, во втором случае спектр частот непрерывен. Прямое
н обратное преобразования Фурье для ряда функций времени можно
получить, используя таблицы преобразований Лапласа и достаточно
простой переход от одного преобразования к другому. Но аналити-
чески преобразование Фурье осуществляется далеко ие всегда. Обыч-
ные же квадратурные формулы в применении к расчету интегралов
(6.41) оказываются менее эффективными с вычислительной точки зре-
ния по сравнению с формулой дискретного преобразования Фурье
1
Л'7 2- I
ехр (—/2пмя/Л<)/1Т (яч),
n=—N/2
где Т — область изменения
t; s — период выборки; N=T/s
(6.42)
(четное).
Для этой формулы существует алгоритм так называемого «быст-
рого преобразования Фурье», обеспечивающий значительный выигрыш
машинного времени даже при не очень больших N (7'/~10'1) [48]
После расчета дискретного набора частот первичного поля по форму-
ле (6.42), так же как и для периодических функций, осуществляется
расчет вторичных источников па основе ГПУ, а затем и параметров
ноля. Получение временных зависимостей векторов [например, H(t)
и т. п.] предполагает применение к рассчитанным на N частотах зна-
чениям обратного дискретного преобразования Фурье с последующей
интерполяцией. С помощью такого подхода и для непериодических
функций решение задач расчета квазнстациопарного поля в линейных
ЭМС сводится к расчетам ГИУ с ядрами £н- Затраты машинного
иремеии в том и другом случае растут пропорционально числу гар
моник, с вкладом которых в общую картину поля приходится счи-
таться.
Решение во временной области. Для использования пространствен-
но временной области определим вид функции Грина gT для уравне-
ния теплопроводности
+ IM Р (а£т) /дЦ =- «8 (гр — г0) 8 (t — Q ,	(6.43)
где 6(1—10) — временная дельта-функция; I—временная координат
точки наблюдения.
Применим к уравнению (6.43) прямое преобразование Фурье iki
временной координате
v’aF {gT} + кгаГ {g,} aS (rp — rQ) exp (— /<о/„),
откуда па основании общего вида решения уравнения Гельмгольца
(6.П)
/(Д'т) =ехР (—)<•>/») охр (—/Ат)/4лг.
Возвращаясь во временную область с помощью обратного преоб
разования Фурье, получаем [51]
^P-oY	Г	1-	* 1Г ...
^=8[П(/-<)Р^ехр1 4ТГ=АГ] <6-44)
Функция Грина ит (6.44) есть функция и расстояния г, и про
межутка времени между моментами определения параметров поля I
и включения б-импульса возбуждения /о Опа удовлетворяет иачаль
ному условию: gT = 0 при tsgJo.
Для векторного магнитного потенциала, отвечающего однородному
уравнению теплопроводности (6.6), фундаментальное решение в огра
ниченном пространстве — времени в линейной среде при нулевых на
чальных условиях [А(0+)=0] имеет вид, подобный (6.9):
t
A(t)=~\ (И» X V/>X А (/„)] + Vq X l«X А (/„)]—
о
- V,/ [A (/«) n]-T [n\PA (/„)]} dtB,	(6.45)
где T — линейный интегральный оператор вида
?’/ =
S’
действующий на поверхности проводника. Следовательно, можно пои
торить вывод уравнений, выполненный для синусоидальных полей и
§ 6.2, 6.3, но с интегральным оператором Т.
Запишем па примере (6.34) систему ГИУ в пространственио-вре
менноп области. Для момента времени t при нулевых начальных у»
ловиях она приобретает вид
t
[ { ~ i (/.)/2 + п X [V X Ti (/,)]} dt, +
б
+wX(v5?°(0J н = "Х"ст;
t
-а(0'2+« J [(xfV X Ti (/.)! dt, +
О
+ « [v^a (01 До = ПН™.
12?
(6.46)
Такне же уравнения получаются, если непосредственно к (634)
применить обратное преобразование Фурье по переменной /сот т=
=/—10. Использование пространственно-временной области для расче-
та предполагает дискретизацию источников не только в пространстве,
но и во времени.
Алгоритм решения ГИУ во временной области состоит из следую-
щих операций:
1)	задаются начальные условия (в частном случае нулевые);
2)	при заданном моменте времени t выбирается шаг дискретиза-
ции (в частном случае равномерный) &t=t/N, где Л' — число шагов
но координате времени;
3)	проводится решение системы ГИУ для момента времени /=0+;
4)	осуществляется последовательный переход во времени с шагом
Л/ от /=0+ до требуемого значения времени /.
ГИУ с функцией (6.44) имеет смысл формировать и для анализа
полей . в ЭМС с нелинейными магнитными характеристиками. В Ртом
случае система ГИУ может быть получена при пространственной ку-
сочиой-постоянной аппроксимации относительной магнитной проницае-
мости Частотную область для решения нелинейных задач мешает ис-
пользовать прежде всего то, чго достаточно сложно- получить функцию
изображений Г{щ)	па которую должен замыкаться про-
цесс расчета.
6.5.	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Вывод ПрИУ квазпстационариого поля, так же как и
стационарного, опирается на известный факт, что знания
истоков и вихрей векторного поля достаточно для его одно-
значного определения 14]. Из (6.1) для векторного потен-
циала магнитного поля с учетом принятых допущений сле-
дует выражение
A(t) =
j /(Q+vXAf (Qf/V
v
(6.47)
потенциал, созданный сторонним
(1.9) дополнительным интегралом по
s
где Аст — векторный
юком.
Оно отличается от
распределенным в объеме проводящей детали V вихревым
гокам и временной зависимостью векторов A, J, М Отме-
тим, что в интегральном выражении (6.47) для переменно-
го поля сохранилась функция Грина £=1/(4лг) такая же,
как в стационарных полях.
123
Напряженность электрического поля в соответствии
с уравнением (6.2) определяется через векторный магнит
ный потенциал с точностью до градиента скалярного элек-
трического потенциала
Е = — dA[dt — v<pe.	(6.48)
Истоком потенциальной составляющей £п=—V<pr при постояв
ной электрической проводимости у служит простой слой электриче-
ских зарядов с плотностью £, наведенных на поверхности проводящей
детали:
<6®>
S
ПрИУ для определения вторичных источников переменного поля
строятся нз (6.47) (6.49). Принципиальная особенность вывода ПрИУ
состоит в априорном выполнении граничных условий для вихревого
тока н объемной намагниченности в исходных соотношениях. Подста
вим (6.47) и (6.49) в (6.48) и умножим левую и правую части полу
ценного равенства па проводимость среды, в которой находится точка
наблюдения. Эти преобразования приводят к ПрИУ относительно
распределенного в объеме проводника вихревого тока
J = -yv-о^г [sru(-Z + vXAf)-£ («ХЛ1)+-^АСТ]—
(6.50)
где S’y — интегральный оператор, действующий в объеме проводника
Чтобы рассчитать неизвестное распределение намагин
ценности в ферромагнитном проводнике, составим нелииен
ную систему уравнений, для чего из (6.47) выразим индук-
цию магнитного поля и дополним полученное равенстш.
магнитной характеристикой материала
в=ь [vQX^v (J + vX^) - vQX^ (пХМ)\ + X Лгт.
M^=f(Bj.	(6.7111
Уравнение для скалярного электрического заряда выно
дится по методике ГИУ по известному граничному уело
вию пЕ — 0 в проводнике. Устремив точку наблюдения
к поверхности со стороны проводника, с учетом предельны
свойств интегрального оператора 3? получаем ГИУ второю
124
ПрИУ
значе-
рода для определения £
^=-л{но^рМ/ + ?ХЛ!)-2(лХЛ1) +
+ 4- Лст] + 4- ) 	(6-52)
Но J о J
В системе ПрИУ (6.50) — (6.52) искомыми оказываются
два пространственных источника J и М и поверхностный
£, что делает ее размерность даже для линейных ЭМС вы-
ше, чем соответствующие системы ГИУ. Ио для ЭМС с ли-
нейными характеристиками материалов система ПрИУ мо-
жет быть упрощена. Из первого уравнения Максвелла
(6.5) п связи векторов магнитного поля (1.2) следует, что,
если В=рощЯ, то
vX^ = (»*r —0^-
Уравнение (6.51) сводится к ГИУ второго рода, анало-
гичному (2.31) относительно поверхностного источника
п\М в соответствии с равенством
пХВ = 44-(лХЛ1).
Нг 1
После указанных преобразований системы
(6.50) — (6.52) в частотной области для комплексных
ний приобретает следующий вид:
L	Но	»
С/2е0 = п j /шр0 (p.rJ) 4 XiM 4- 4 ЛСт j -I-
»м = 44 X [vX^r М + ?Х4и + 4 ?ХЛСТ1,
L	Но	J
где на границе ферромагнетик—воздух
4и = (Рт ~ 1)/(Рт+ D-
Многочисленные варианты ПрИУ (6.53) неоднократно
служили предметом исследования различных авторов [18,
52, 53] В [19] система ПрИУ дополнена уравнением отно-
сительно объемного источника
—fiXWr/(p.oHr)-
и предположении, что рг есть функция пространственных
координат.
(6.53)
125
ПрИУ обладают незаменимым для создания универ-
сальных программ свойством — общностью модели. Так,
для расчетов контактного возбуждения в многосвязной
области в системе (6.53) достаточно изменить правую
часть в уравнении для скалярного источника £ в соответст-
вии с заданным граничным условием и дополнить ПрИУ
слагаемыми, обусловленными границами соприкосновения
областей с различными электрофизическими параметрами:
ч
k
iM = - 2ZAJn X J] VX^v/ (Pt/j) +	+
(6.54)
^vX^CT
Ho
^/2-f-ju)p.0e02e/l
4-яе —
so*^k. n^Ye' если Q £3 SK n (Ze
О, если Q^SK n,
где i=l, 2, ..., k — номер области, где располагается точ-
ка наблюдения; S\, S2 — интегральные операторы, дейст-
вующие на поверхностях раздела сред с различными щ п
с различными электрическими проводимостями (соответст-
венно) Лм=(р.‘г—цег)/(р’г+рсг); Ае=(у,—уе)/(?«+?<>);
JK п —плотность подводимого стороннего тока на кон-
тактной площадке £к,п.
Значительное упрощение системы ПрИУ (6.53) проис-
ходит при расчете ЭМС с неферромагнитными деталями
(р,=1). В таком случае в системе остаются лишь уравне-
ния относительно J и £.
Сведение системы ПрИУ (6.53) к СЛАУ, необходимое
при численном решении задачи на ЭВМ, может произво-
диться с помощью различных методов [25, 54, 55]. Наибо-
лее общий из них, по-видимому, метод аппроксимирующих
функций [3]. Простейшая модификация этого метода, к ко-
торой мы постоянно обращаемся в этой книге, предполага-
ет кусочно-постоянную аппроксимацию источников J , g. М
в пределах выбранных дискретных элементов (поверхности
126
или объема) и расчет поля в центрах этих элементов.
Использование такого подхода делает однотипным форми-
рование СЛАУ как для стационарных, так и для квазиста-
ционарных полей. Отличительные особенности системы
ПрИУ квазистационарного поля от ПрИУ, рассмотренных
в § 2.5, заключаются только в размерности: решение (6.53)
необходимо проводить для действительной и мнимой со-
ставляющих источников. Существенное затруднение при
численном решении (6.53), связанное с расчетом больших
массивов объемных интегралов для трех составляющих
вектора J, исключается при его кусочно-постоянной
аппроксимации в пределах объемных дискретных элемен-
тов проводника. Такой вычислительный прием избавляет от
объемных интегралов с помощью преобразования [3]
N	N	lj
i SJ'	Е	Е	f (655)
/=1	iV’/	/—I	v=l
где суммирование производится по всем выделенным эле-
ментарным областям с = const; ДУ/— объем /й эле-
ментарной области; ASV/ — поверхность v й грани j-й обла-
сти; lj — число граней /-й области (см. § 1.1, 7.2).
Сопоставляя ПрИУ и ГИУ для расчета линейных сред
по размерности с позиций затрат машинного времени на
решение задач, можно сделать следующие выводы. При
расчетах ЭМС с материалами, имеющими постоянные элек-
трофизические свойства, некоторый выигрыш в размерно-
сти имеют ГИУ (6.34), справедливые для расчета индук-
ционого возбуждения в односвязных областях. Системы же
ГИУ для расчета многосвязных областей (6.22), (6.29) —
(6.31) сопоставимы с ПрИУ по числу неизвестных. При
численном решении размерность СЛАУ определяется для
ГИУ числом элементарных площадок на поверхности дета-
лей ЭМС, которое меньше, чем требуемое число элемен-
тарных объемов, выделяемых при решении ПрИУ. Но
в ГИУ для каждого положения точки наблюдения требует-
ся расчет большего числа различных интегральных коэф-
фпцентов, чем в ПрИУ. Кроме того, в ГИУ это — интегра-
лы от более сложных ядер, чем в ПрИУ.
Таким образом, в вычислительном плане до построе-
ния дискретной модели ЭМС в этом случае невозможно
выделить явные преимущества в методах ГИУ и ПрИУ.
127
6.6.	РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНЫМИ
МАГНИТНЫМИ СВОЙСТВАМИ ПРИ ПОМОЩИ ПрИУ
За основу модели расчета ЭМС с нелинейными магнит-
ными свойствами и переменным полем примем систему
ПрИУ (6.50), (6.51), (6.52). При выборе дискретной моде-
ли среды остановимся на кусочно-постоянной аппроксима-
ции распределения векторов намагниченности и плотности
тока по объему вещества [см. табл. 1.1 в формулу (6.55)].
Намагниченность’ вещества М, фигурирующая в ПрИУ,—
не известная заранее функция координат и времени. Одна-
ко введение в исходные данные задачи магнитной характе-
ристики материала в виде зависимостей М(В) позволяет
замкнуть эти ПрИУ так же, как и в стационарных полях
(см. §2.6).
При построении алгоритма численного расчета перемен-
ных полон требуется решить дифференциальное уравнение
по времени. В этих целях применяется известный метол
Рунге — Кутта [3], использование которого проиллюстрн
руем для простейшего случая одношагового процесса. За-
меним производную по времени формулой конечной разно
ста вида
4
дА (tk)/df |A (tk.,) - А (1к _.)]/(/* - tk _ J.	(6.56)
Другими словами, между узловыми точками по времени
tk и tk-i используем линейную интерполяцию векторного
потенциала. После пространственно-временной дискретиза-
ции система ПрИУ (6.50), (6.51), (6.52) с учетом (6.56)
принимает вид
J (/,) - = _ т *.(«-*('»-) _	(4).
-> +v*('4 ,657’
Д(и-?ХЛ(Д); )
Af(y=f[B(Ul. J
(6.58)
128
где
Ni — число элементарных объемов, выделенных в проводя-
щих деталях ЭМС; — число элементарных объемов, вы-
деленных в ферромагнитных деталях ЭМС; Мз — число
элементарных площадок, выделенных на поверхности про-
водящих деталей ЭМС.
Если в ЭМС присутствуют проводящие детали с ферро-
магнитными свойствами, то их вклад в векторный потен-
циал учитывается как в первом, так и во втором слагаемом
(G.59).
Алгоритм расчета складывается из «послойного» [56]
решения для /t=const системы нелинейных алгебраических
уравнений (6.57), (G.58) по следующей итерационной
схеме.
1.	Для момента времени /о=0 из предшествующего
установившегося режима определяются начальные значе-
ния источников поля/,(/„), Л1( (/о), £,(/о) (в частном случае
нулевые) и векторный потенциал от сторонних источников
в воздухе Аст(/о) 
2.	На /г-м шаге по времени осуществляется переход
к моменту времени tk по выбранному шагу АД:
&tk=tk—tk-\.
3.	Для момента времени tk выбирается начальное при-
ближение распределения намагниченности по элементар-
ным объемам ферромагнитных деталей ЭМС 7И°/(/*).
В этих целях лучше воспользоваться значениями Mj(tk-\)
из предыдущего шага по времени.
4.	На n-й итерации внешнего итерационного процесса
расчета источников поля в момент времени tk по известно-
му значению Аст(//г) и фиксированном приближении рас-
пределения намагниченности, полученном на предшествую-
щей итерации М/П-1(Д), а также по известным значениям
источников поля в предыдущий момент времени tk-i из
9—3367	129
СЛАУ (6.57) определяется новое приближение плотности
вихревого тока в элементарных объемах проводящих дета-
лей ЭМС J"/^) и электрических зарядов £"(/*) на их по-
верхностях.
5.	Полученные в п. 4 приближения J"j(tk) и £"(/*) фик-
сируются, и система нелинейных уравнений (6.58) решает-
ся итерационным методом (внутренний итерационный про-
цесс) относительно
6.	Проверяется условие выхода из внешнего итерацион-
ного процесса по норме невязки значений векторного по-
тенциала в центрах элементарных объемов проводящих и
ферромагнитных деталей между соседними итерациями
|| А«(М-А«-‘ (tk) Ц/I А"-‘ (tk) ||	(6.60)
где е>0 — заданная малая величина.
Если условие (6.60) не выполняется, то возвращаемся
к п. 4 и проделываем п-j-l итерацию внешнего процесса
и т. д. Если условие (6.60) выполняется, то считаем рас-
чет источников поля для момента времени tk выполненным
и переходим к следующему моменту времени tk+i, повто-
ряя вычисления с п. 2 алгоритма. Расчет производится до
тех пор, пока не будет достигнут заданный момент вре-
мени.
Решение СЛАУ (6.57) в п. 4 алгоритма производится
стандартными методами [27]. Однако необходимо иметь
в виду, что второе уравнение в (6.57) должно быть преоб-
разовано с учетом условия равенства нулю суммарного
электрического заряда на поверхности проводника с по-
мощью метода, приведенного в § 2.2.
Весьма существенно, что часть алгоритма — расчет рас-
пределения намагниченности по элементарным объемам
ферромагнитных деталей — не имеет принципиальных от-
личий от алгоритма расчета МС с нелинейными характери-
стиками магнитных материалов в стационарных полях и
полученные в § 2.6 выводы распространяются на расчет
квазистационарных полей. Различаются эти алгоритмы
только формой представления характеристики материала и
необходимостью учета в квазистационарном поле дополни-
тельного источника — наведенного вихревого тока.
Поместим последовательно точку наблюдения во все
элементарные объемы, выделенные в ферромагнитных де-
талях ЭМС. Записывая для каждого положения точки на-
блюдения уравнение (6.58), получим систему алгебраиче-
ских уравнений, которую представим в матричном виде
B=p0DM-|-B
ОСТ»	(6.61)
130
где B=||B1(/fe)||; Z=l, 2, ...» /V2 — индукция в центрах эле-
ментарных объемов в момент времени tk', D=||di/||; j=
= 1, 2, ..3^2; /=1, 2, .... 3>N2—матрица, характеризую-
щая вклад в индукцию от намагниченности элементарных
объемов согласно равенствам (6.58), (6.59), коэффициенты
которой зависят только от формы ферромагнитных деталей
ЭМС и сцособа разбиения их на элементарные объемы;
М=||Л4, (/Л) ||; г=1, 2, ..., М2— намагниченность элемен-
тарных объемов в момент времени tk', ВОст=1|Вост/(/*) II;
/=1, 2, ..., N2— индукция в центрах элементарных объ-
емов, созданная остальными источниками поля сторонним
и наведенным током.
Если ферромагнитный материал изотропный и безгисте-
резисный, то справедлива связь между векторами поля Гем.
(12), (1.18)]
Д=|К>Х/М,	(6.62)
где хг=Цг<7(цп—1) —нелинейная функция от индукции.
Система уравнений (6.61) с помощью (6.62) преобразу-
ется к виду
Po(D—Х)М=ВОСТ,	(6.63)
где X — диагональная матрица, коэффициенты которой —
известные функции
Таким образом, задача расчета распределения намаг-
ниченности в момент времени tk сведена к совместному
решению системы уравнений (6.63) с заданной характери-
стикой магнитного материала, выраженной зависимостью
М=[(В). Для улучшения сходимости итерационного про-
цесса решения этой задачи подобно методу, изложенному
в § 2.6, в каждом элементарном объеме при определении
следующего приближения вектора намагниченности форму-
лируется задача минимизации невязки между модулем на-
магниченности	полученным из решения (6.63) как
функции от модуля В,, и модулем намагниченности, опре-
деленным из характеристики материала при том же значе-
нии В,,
0/(B/) = |Mc/(B;)-f/(B/)|, J=l, 2, .... N2.	(6.64)
Минимизация (6.64) производится в интервале В,^
^В,ъш, где В/ЕШ — индукция, созданная всеми внешними
по отношению к рассматриваемому элементарному объему
источниками. По своему характеру невязка ФДД) близка
к функции невязки Фк(Нь) (2.46), использованной в § 2.6,
поэтому для минимизации (6.64) пригоден тот же простей-
ший метод, что и для (2.46). Применение промежуточной
131
минимизации (6.64) внутри итерационного процесса реше-
ния нелинейной системы (6.63) позволяет ограничить
область поиска М множеством точек на кривой что
существенно сужает возможные изменения коэффициентов
% и в конечном итоге снижает влияние вида характеристи-
ки материала на сходимость процесса.
Расчет распределения намагниченности в анизотропных
материалах сводится к рассмотренному в § 2.6 алгоритму
после преобразования системы уравнений (6.G1) к осям
анизотропии и замене минимизируемой функции (6.G4), за-
писанной для модулей векторов, нормой невязки векторов
Ф/(Б/) = ||Л1е/(В/)-Г/(В;-)||; /=1, 2....... Nt,
где Fj (Bj) — векторная характеристика анизотропного ма-
териала.
При анализе полей в ЭМС, ферромагнитные детали ко-
торых обладают гистерезисными свойствами, предыстория
намагничивания материала, требуемая для определения
однозначного участка магнитной характеристики, задается
предыдущим по времени tk-i шагом расчета наряду с на-
чальными условиями, поскольку расчет ведется с времен-
ным разделением.
Значительное преимущество применения ПрИУ для ре-
шения нелинейных задач состоит в том, что подынтеграль-
ные функции в них не зависят от времени. Иначе говоря,
интегральные коэффициенты расчетных матриц (см. § 7.3)
определяются один раз для всех слоев во времени. Эти же
расчеты во временной области с помощью ГИУ, например
(6.34), потребовали бы для каждого момента времени tk
пересчета всех интегральных коэффициентов. Зависимость
функции Грина gT от времени ведет к существенному уве-
личению времени счета.
Рассмотренный алгоритм решения ПрИУ делает воз-
можным решение нестационарных задач, учитывающих из-
менение удельной электропроводности со временем в ре-
зультате нагрева проводника. Если же по условиям задача
нелинейна и зависимость	то общую структуру ма-
тематической модели следует дополнить блоком, повторяю-
щим для этой функции подход, рассмотренный выше для
нелинейной связи	Для материалов, которые мо-
гут быть отнесены к классу магнитодиэлектрпков (ферриты
и т. п.), расчеты квазистационарных полей упрощаются и
при условии пренебрежения магнитной вязкостью на низ-
ких частотах полностью сводятся к анализу статических
полей.
132
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГОРИТМА
И ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
СИСТЕМ С КВАЗИСТАЦИОНАРНЫМИ ПОЛЯМИ
7.1.	ПРИНЦИПЫ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ
Остановимся на принципах организации универсальной
программы, исходными посылками для которой служат си-
стемы интегральных уравнений и алгоритмы их решения,
приведенные в гл. 6. Ставится цель — сформировать про-
грамму, обеспечивающую расчет в рамках рассмотренных
методов возможно более широкого класса ЭМС, с учетом
основных требований, продиктованных возможностями со-
временных ЭВМ, которые изложены в § 3.1. В связи с мно-
гообразием интегральных уравнений квазпстационарного
поля возникает необходимость ветвления единой универ-
сальной программы для обеспечения наибольшей произво-
дительности расчетов в условиях конкретных геометриче-
ских и электрофизических свойств ЭМС, требуемых выход-
ных данных и структуры поля. Поэтому первым этапом
создания программы становится определение ее составных
частей, обусловленных конструкцией и назначением ЭМС,
а также используемыми для расчетов математическими мо-
делями. Обобщая результаты гл. 6, выделим средн ЭМС и
соответственно среди их математических моделей следую-
щие группы в порядке возрастания сложности расчета.
1.	ЭМС с линейными электрофизическими свойствами
детален и синусоидальными возбуждающими полями, со-
держащие:
а)	детали в виде односвязных областей с однородными
по объему электрофизическими свойствами, параметры по-
ля от которых-определяются из системы ГПУ минималь-
ной размерности типа (6.34);
б)	детали в виде многосвязных однородных областей,
параметры поля которых при индукционном возбуждении
могут быть определены из системы ГИУ (6.38), (6.39) пли
(6.22), (6.29) — (6.31).
2.	ЭМС с линейными электрофизическими свойствами
деталей и несинусоидальным возбуждающим полем. Состав
деталей в таких ЭМС аналогичен рассмотренному в п. 1.
Для ЭМС с несинусоидальным возбуждающим полем при
использовании для расчетов частотной области остаются
в силе перечисленные в п. 1 системы ГИУ, по вычисления
производятся для ряда гармонических составляющих поля.
133
3.	ЭМС, имеющие в своем составе детали с нелинейны-
ми магнитными свойствами в виде одно- и многосвязных
областей с контактным и индукционным возбуждением. На-
личие деталей с нелинейными характеристиками
приводит к тому, что расчет поля в ЭМС не сводится к ана-
лизу гармонических составляющих и строится во времен-
ной области, исходя из системы ПрИУ (6.57), (.6.58). Связ-
ность областей и способ возбуждения не играют особой ро-
ли, поскольку математическую модель, построенную на
основе ПрИУ, отличает общность для всех рассмотренных
выше разновидностей областей и способов возбуждения.
Кроме указанных деталей в зависимости от условий за-
дачи перечисленные ЭМС могут включать катушки (про-
водники) с возбуждающим сторонним переменным током и
подмагничивающие катушки с постоянным током.
В соответствии с проведенной взаимной привязкой воз-
можных конструкций ЭМС с математическими моделями
для их расчетов универсальная программа компонуется
двумя модулями: один используется для расчетов с по-
мощью ГИУ ЭМС с линейными свойствами деталей в ча-
стотной области, другой — для расчета на основе ПрИУ во
временной области ЭМС, имеющих в своем составе детали
с нелинейными характеристиками.
Следуя принципам формирования универсальной про-
граммы стационарных полей (см. § 3.2), в качестве прост-
ранственного дискретного элемента, на базе которого
в ЭВМ воспроизводятся геометрические формы областей,
принимаем шестигранник, а в качестве дискретного элемен-
та поверхности — трапецию (см. рис. 3 3). Все расчеты при
этом осуществляются в декартовой системе координат
7.2.	ПРИВЕДЕНИЕ К РАСЧЕТНОМУ ВИДУ ГРАНИЧНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Расчет ЭМС по ГИУ согласно алгоритму, приведенному
в гл. 6, сводится в общем случае к решению матричного
уравнения
SI=F,
(7.1)
где S=I|St/-||; z=l, 2, ..., У; j=l, 2, .... М —квадратная
матрица коэффициентов, определяемая выбранной систе-
мой ГИУ; S,/ — квадратные матрицы-блоки (см. ниже);
1=||1,|| — вектор-столбец, составленный из компонент иско-
мых фиктивных источников на всех N выделенных элемен-
тарных площадках; F=||FI||— вектор-столбец, задающий
правую часть в ГИУ, чаще всего поля сторонних токов.
134
Рассмотрим подробнее компоновку расчетных -матриц.
Ij —Ц/у, о}.||т —при расчетах по ГИУ (6.34) представ-
ляет набор значений плотности тока и магнитного заряда
на поверхности.
—	°)’ т,1Г —при расчетах по ГИУ (6.38), (6.39)
дает набор источников па границах воздух — проводник
и проводник — проводник, причем если на данной элемен-
тарной площадке какой-либо из источников отсутствует
согласно принятой математической модели, то на его место
заносятся нули. Например, на границе проводник — провод-
ник магнитных зарядов нет, а вводится слой магнитных
моментов и I/— ||Zy, 0, znJ|T.
Векторные источники i и т— постоянные в пределах
плоского элемента поверхности AS, детали ЭМС — имеют
две составляющие в естественной системе координат (см.
§ 2.3) е'х, е'у, e'z, связанной с этим элементом. Кроме того,
каждый источник при решении задачи в частотной области
разделяется как комплексная величина на действительную
и мнимую части, например
o=Reo+/ Im о.
За счет этого общее число источников в ГИУ квазиста-
цпонарного поля удваивается.
Результирующая матрица S коэффициентов СЛАУ
(7.1) для ГИУ (6.38), (6.39) имеет размерность 10АХЮ.У
и состоит из матриц-блоков
	s'' sia	s'"'	
	sei sTO	gCTO	(7.2)
	I sm/ 0	gnzm	
где выделенная левая верхняя часть определяет матрицу
S,j- при расчетах односвязных областей по ГИУ (6.34) и
имеет в этом случае размерность 6X6.
Первый верхний индекс у матриц-блоков в (7.2) указы-
вает на источник, для которого записано уравнение, а вто-
рой— на источник, от которого рассчитывается поле. Ко-
эффициенты в общем случае, так же как и фиктивные
источники, — комплексные величины. Номера строк т для
коэффициентов в матрице S задаются номером элементар
ной площадки поверхности t, на которой располагается
точка наблюдения, и номером уравнения q для составляю-
щих источников на этой площадке. Номера столбцов п
рассчитываются по номеру j элементарной площадки, от
источников которой определяется поле, и по номеру р со-
135
ставляющих источников па j -й площадке. Принимая во
внимание комплексный характер чисел, для каждого коэф-
фициента и каждой координатной составляющей источни-
ков выделяются два элемента матрицы. Таким образом,
q и р пробегают номера от 1 до 10.
Положение коэффициентов блока S,/ вычисляется по
номерам площадок по формулам
zn=10(i—1)+?; п=10(/—1)+р.	(7.3)
Строки матрицы S,; (7.2) представляют собой коэффи-
циенты уравнений, записанных последовательно для дейст-
вительных и мнимых х' и у' составляющих векторных
источников, а также для действительных и мнимых состав-
ляющих скалярных источников, которые располагаются на
площадке с точкой наблюдения. Подобным же образом
составляются столбцы матрицы S,/, характеризующие
вклад в параметры поля соответствующих компонент
источников на текущей площадке интегрирования. Следо-
вательно, матрица-блок s” в (7.2) состоит из 4X4 коэффи-
циентов
S ' = ||Sgpll,
где 9=2 (т}—1)4-6; р=2($—1)4-/— индексы, входящие
в (7.3);	у'); &=1,2(х', у')—номера координат-
ных составляющих векторного источника на площадке на-
блюдения и интегрирования соответственно; 6=1,2; I—
=1,2 — порядковые номера действительных и мнимых
компонент тока на площадке наблюдения и интегриро-
вания.
Коэффициенты здр рассчитываются по формулам
s2 0)-i)+i,2 (в-о-и~ ~~ J a^ReUdS,
*si
s2 (4-i)+i,2 (в-i)+2 — J
4S/
где fl (е'в(я;г) — г (я,e'e)]/(4?t);	—нормаль к
щадке наблюдения;
exp [-hr (1 4-/)] [(1 4-/) hr — l]/r’;
где Ь~У^р.гу2.
(7-4)
пло-
(7.5)
Из (7.5) нетрудно получить действительную и мнимую
части подынтегральных функций в (7.4)
Re U — (cos (йг) 4~ hr У 2 sin (hr 4- ^/4)] exp (—hr)/г3;
ImU — [sin (hr) hr У 2 sin (hr — ^/4)] exp (—hr)Jr\
136
(7.6)
(7-7)
Из симметрии уравнений для действительных и мнимых
компонент токов следуют важные равенства
S2 (4-D + I.2 (в-1)+1 ~ S2 (4—0+S.2 (•—0+2’
S2 (ч-1) + 1,2(в-1)+2= — S2 (ч-1)+2, 2 («-1)
которые позволяют при заполнении матриц рассчитывать
только половину интегральных коэффициентов, например
для действительных составляющих источников.
Поэтому разделение действительных и мнимых частей
на этапе записи уравнений дает существенную экономию
машинного времени при расчете коэффициентов матриц.
Соотношения коэффициентов, аналогичные (7.6), справед-
ливы для всех комплексных источников, входящих в (7.1).
Формулы для вычисления коэффициентов блока smm
совпадают с (7.4), но в матрице st/ они занимают места,
смещенные по отношению к s’* па шесть строк и шесть
столбцов: (?=2(т)—1) +А+6; р=2(0—1)4-/+G.
Коэффициенты блока s""= llsQy> II Yz/vi; 9 = 2(1]—1) +
4-Л+6; р=2(‘&—1)+/ определяются выражениями
s2 (Л_1)+7,2 (•-!) + ! ~ —’ J е ч К”' X ft) RC^1 “
Д$у
— (л,ХН Re Щ dS;
S2 (ч—U+7.2 (»-l)+2~ J e ч 8) Imt'.-h
aS.
-b(rtiXf)(e'6r)lm(7s]dS;
Re Oi = [cos(/ir)+b-Rc]exp(—/?г)/(4лг3);
Im t?I=[sin(/ir)—d+f] exp (—hr)/(4nr3);
Re 6'2— [3 cos (hr) -R3c—6] exp (—hr) /(4№);
Im t)2= [3sin(ftr)+3f+d] exp (—йг)/(4лг5);
b = 2 (hr)1 sin (hr)\ с — ‘|л2 hr sin (hr-{-rd4);
d — 2 (hr)* cos (hr); f — У~21гг sin (hr — it'4).
Еще один тип коэффициентов при векторных источни-
ках сгруппирован в матрице-блоке si’n= |[sgp||; q=2X
X(n-i)+fe; p=2(fl-i)-H+6.
Для действительных компонент магнитного момента
имеем
s2 (ч—i)+i.2 (e-i)+7= f е	№gfldS,
*si
S2 (ч-Н + 1.2 (»—J ч (°'XeV ‘,П Sl^'
ДХ..
(7.8)
10-3367
137
где
Re gH— cos (hr) exp (—hr)/(4nr);
Im gn = —sin (hr) exp (—hr) / (4nr).
Матрицы, определяющие слагаемые поля от скалярных
магнитных зарядов, вычисляются по более простым фор-
мулам, совпадающим с соответствующими формулами для
стационарного поля, так как точка наблюдения в этом слу-
чае находится в воздухе и в подынтегральном выражении
отсутствует экспоненциальный множитель.
Матрица-блок s°° = ||s9p||; q=k+4\ р = 1+4 имеет раз-
мер 2X2 и ее коэффициенты рассчитываются по формулам
.. = с •= С я‘г rfS- '
‘ 6 -Ц 4кг‘ '	(7.9)
s5.	6 — s6 & — О-
В уравнениях для тока матрица-блок s‘° прямоуголь-
ная размером 4X2:
s'°=llsgpll; q = 2(rj—l)+h; p = l+4;
S2(^-l) + l,5 S2 (i)-l)+2,6 J
AS.
(7.Ю)
С	--С	--- 0
z (tj— I) 4-1,6-*2 (Tj—1)4-2.5
Коэффициенты при токах в уравнениях для зарядов
характеризует прямоугольный блок размером 2X4; s°' =
—||sgp||; q=k+4-, /?_2(0—1)4-/, коэффициенты которого
определяются формулами
Ч2(ч-1> + 1 = j ni(e\Xr)^UdS-,
aS.
(7.111
*5,2 («-.) +2 = - J «< (e\Xr) Im UdS,
где комплексная величина U определена в (7.5).
Матрицы S,j формируются одинаковым образом при
любых взаимных положениях точки наблюдения и площад-
ки интегрирования. Если S,j расположена на диагонали
результирующей матрицы S, т. е. i=j, то к ее диагональ-
ным коэффициентам согласно (6.38), (6.39) необходимо
добавить с соответствующим знаком числа Va. которые
задают значение исключаемых особенностей несобственных
интегралов в (7.4) и (7.9). Расчет несобственных обычных
и сингулярных интегралов в (7.10) и (7.11) просто произ-
водится и чисто вычислительными средствами (см. § 7.4).
138
Остановимся на способах расчета правой части в СЛАУ
(7.1) при возбуждении электромагнитного поля проводни-
ками со сторонним током, расположенными в воздухе.
В соответствии со схемой компоновки матрицы S,j (7.2)
составляющие F, вектора-столбца F запишем в виде набо-
ра функций F, = ||F‘, F°, 0||т, которые определяют правые
части в уравнениях для тока и заряда. В уравнениях для
магнитного момента в этом случае правая часть будет ну-
левая. Функции F°, F' представляют нормальные и каса-
тельные компоненты напряженности магнитного поля на
границах воздух — исследуемые проводящие детали ЭМС,
созданного возбуждающим током, причем, чтобы не ре-
шать краевую задачу для проводников со сторонним то-
ком, предполагаем плотность тока в них известной и рав-
ной JCT. Поэтому для расчета Fa и F' могут быть использо-
ваны формулы (3.21), (3.22) для стационарных полей.
Вычисление коэффициентов матриц СЛАУ (7.1) состав-
ляет наиболее трудоемкую и громоздкую часть задачи.
В совершенствовании алгоритмов ее решения состоит глав-
ный резерв повышения производительности программы
расчета ЭМС в целом.
7.3.	ПРИВЕДЕНИЕ К РАСЧЕТНОМУ ВИДУ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Рассмотрим формирование ПрИУ во временной области
для ЭМС с нелинейными магнитными характеристиками
деталей. В момент времени tk система ПрИУ для кусочно-
постоянного распределения источников поля сводится к
полученной из (6.57) СЛАУ относительно плотности вих-
ревого тока в элементарных объемах проводящих деталей
и плотности электрического заряда на элементарных пло-
щадках, составляющих поверхность этих деталей,
(Е + YSM) J = - ТС,С 4-	+
4-уА(^_1)Ж-уАст(ММ;
/ 1	\	(7-12)
(4 Е - Ср = - S.JM + D.M/Д^ +
А„ (lk _,)/— A J (7fe)/J
и системе нелинейных алгебраических уравнений (6.61)
для расчета распределения намагниченности по элементар-
ным объемам ферромагнитных деталей, которую запишем
в виде
b = dm+s,j + bct(4); 1	(713
M =	j
10'
139
Все источники поля в (7.12) и (7.13) определены в
одной системе координат (ех, еу, е~) в момент времени tk
и сгруппированы в векторы-столбцы:
J=||7Ty, JVj, Zz/IIT (/=1, 2, . .., М) — составляющие
плотности тока в проводящих деталях ЭМС, а М — число
выделенных элементарных объемов в них;
М = ||Л1Х/, Myj, М2у||т (/=1, 2, ..., N2)—составляющие
намагниченности в элементарных объемах ферромагнит-
ных деталей ЭМС;
£= ||£,|| (j= 1, 2, ..., Л(3)—плотность электрического
заряда на поверхности проводящих деталей ЭМС, а Мз—
число элементарных площадок, образующих эти поверхно-
сти.
Интегральные коэффициенты в уравнениях для указан-
ных источников составляют матрицы:
S= Hsqpll (q=l, 2, ..., ЗМ; р=1, 2, ..., ЗМ) — квадрат-
ная матрица коэффициентов, характеризующих слагаемые
векторного магнитного потенциала в центрах элементарных
объемов проводящих деталей от токов, протекающих по
этим же деталям. Согласно (6.54) вычисление коэффициен-
тов sl/p требует интегрирования по поверхности элементар-
ных объемов
= (7 14>
где
v=l AS,;
q=3(i— 1)+т]; р=3(/—1)-И> — индексы, определяющие
местоположение коэффициентов в матрице S и зависящие
от номера элементарного объема i=l, 2, . .., М, где рас-
положена точка наблюдения, и от номера элементарного
объема /=1, 2, .. ., от которого рассчитывается вклад
в параметры поля; т]=1, 2, 3(х, у, z); 0=1, 2, 3(х, у, z)—
номера координатных составляющих векторного источника
в точке наблюдения и в объеме, от источника в котором
рассчитывается вклад в параметры поля. Заметим, что для
вычисления девяти коэффициентов sqp при фиксированных
i и / требуется только однократный расчет интеграла Ь
по поверхности элементарного объема;
С1 = ||с,д/|| (/= 1, 2, ..., W3)—прямоугольная матрица,
определяющая напряженность электрического поля в про-
водящих деталях от зарядов £ на их поверхностях:
aS.
I
140
Oi = ||c?/9„1||; tn=3(j— !)+<}; j=l, 2, .... N2 — прямо-
угольная матрица, характеризующая вклад в векторный
потенциал от намагниченности элементарных объемов фер-
ромагнитных деталей
ч
К/х **)/.-
*=1
где значение Ii см. в (3.6);
C=||cftz|; k— 1, 2, ..., N3, I— 1, 2, ..., N3 — квадратная
матрица, коэффициенты которой определяют нормальную
компоненту напряженности электрического поля на по-
верхностях проводящих деталей от зарядов, распределен-
ных по тем же поверхностям
[ ^dS.
К‘ 4я I г’
где nk — нормаль на площадке с точкой наблюдения;
Si = ||s'Ap||—прямоугольная матрица, определяющая
нормальную компоненту векторного потенциала на поверх-
ностях проводящих деталей от токов в этих деталях:.
S kp —
D2=||d"ftm|| — прямоугольная матрица, характеризую-
щая нормальную компоненту векторного потенциала на по-
верхностях проводящих деталей от намагниченности эле-
ментарных объемов ферромагнитных деталей
Ч
d”k,n = и» 2 (пч X ;
V=1
D=||JAm||; /i=3(i—1)-(-ti; t=l, 2, ..., N2 — квадратная
матрица, коэффициенты которой определяют индукцию
магнитного поля в ферромагнитных деталях от намагни-
ченности элементарных объемов этих же деталей
Ч
v=l	AS,;-
S2 = IIs"np||—матрица, характеризующая индукцию в
ферромагнитных деталях от токов в элементарных объе-
мах проводящих деталей
Ч
141
Векторы-столбцы A(^-i), An(/fc_i) задают значения
векторного магнитного потенциала в элементарных объе-
мах проводящих деталей и его нормальной компоненты
к поверхности этих деталей в предшествующий рассматри-
ваемому момент времени. Их значения вычисляются с по-
мощью матриц, входящих в (7.12) по источникам, опреде-
ленным в момент времени th—i-
A (tk_,) = SJ (/ft- D.M (tk. ,) + A" (tk_,);
A„(/fc-.) = S,J(/ft ,) D2M(Zfc_.) +A" (/*_,)
Векторы-столбцы Аст и A,Tn составлены из значений
векторного потенциала в проводящих деталях и его нор-
мальной производной к их поверхности от стороннего тока
в рассматриваемый момент времени. Векторы-столбцы В
и В<т содержат значения результирующей индукции н ин
дукшш, созданной сторонними токами, в центральных точ-
ках элементарных объемов ферромагнитных деталей. Зна-
чения В определяются в процессе итерационного решения
(см. §66)
Анализ формул для вычисления коэффициентов матриц
ПрИУ для расчета квазистационарного поля ЭМС показы-
вает, что вычислительные затраты здесь при удачном по-
строении алгоритма незначительно превышают затраты на
расчет матриц ПрИУ в стационарных полях.
7.4.	РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИИ
Осциллирующий характер ядер ГНУ содержащих функции I рп
на (6.11) (рис. 7.1), создает определенные трудности при разра-
ботке алгоритма численного интегрирования, поскольку шаг интегри-
рования должен зависеть от частоты осцилляций или, что то же самое,
от значений обобщенного параметра k. В коэффициентах матричных
уравнений встречаются три типа функций (см. § 7.2)
ехр(— /И/г; V[exp(—jkr)/r];
W[exp (—jkr)/r].
Для первой функции не удалось
получить приемлемую аналитическую
формулу поверхностного интеграла пли
хотя бы произвести однократное ана-
литическое интегрирование.
Упрощает алгоритм интегриро-
вания использование разложения экс-
Рис. 7 1 Зависимость действительной
части ядра ГИУ от -г при разных k
142
поненциальной функции в абсолютно сходящийся степенной ряд в
центральной точке элементарной площадки, по которой выполняется
интегрирование* Прн требуемой точности расчетов допустимо сущест
венное ограничение числа членов ряда и применение алгоритма, близ-
кого к рассмотренному в § 3.3 для стационарных полей.
Когда использование упрощающих приемов невозможно, приходят
к необходимости выполнять двукратное численное интегрирование.
Естественно, имеет смысл интегрировать с изменяемым шагом [57] в
зависимости от удаления текущего интервала от точки наблюдения.
Для построения такого алгоритма представим формулу численного
интегрирования в виде
Л F (х, у) dx dy = 2 ф* 3	«/)]
fe=I 4=1
(7.15)
где Фх, Фу — формулы численного интегрирования по осям х и у в
системе координат, связанной с площадкой интегрирования (см.
рис. 3.12) в пределах текущих подынтервалов; Nx и — выбранные
числа подынтервалов по соответствующим осям.
При расчете по (7.5) последовательность действий следующая
1)	выбираем Nx и длину текущего подынтервала Дх*;
2)	для каждой узловой точки в Дх* выбираем Nv и длину те-
кущего подынтервала Др,, а затем вычисляем значения и сумми
руем по всем подынтервалам вдоль оси у;
3)	вычисляем значения Фх как функцию от внутренней суммы и
после повторения расчетов для следующих подынтервалов Дхл опре-
деляем значение внешней суммы по всем k.
Рассмотренный процесс двукратного численного интегрирования
позволяет как для внутренней, так и для внешней суммы задавать
параметры Nx, Дхх, Nv, Ду, по методике, изложенной в § 3.3 для
однократного интегрирования. Однако необходимо иметь в виду, что
увеличение шага численного интегрирования до величин, соизмеримых
с периодом пространственных (осцилляций функции gn, приводит к
снижению точности интегрирования Для исключения этой погрешности
требуется ограничение максимальной длины подынтервала Например,
при погрешности интегрирования 0,5% достаточно выполнить нера-
венства
Дх* л/(4й), Ду^л/(4Л),
где определение й дано в (7.5).
При интегрировании производных от функций gH есть возмож
кость аналитически выполнить однократное интегрирование части ин-
тегралов. Так, например,
dg.,	дВн
Vq8h= ~VpBh = ~~~дх'ех~~~ду~еи~~дзГ
143
и
bxt (у}	b
j j <fig„ldx)dxdy= j {gw [>, (i/)] — gH [x, (у)]} cly.
a x, (y)	a
Если точка наблюдения совпадает с площа гкоп интегрирования,
то обычные несобственные интегралы типа (7.4), (7.7) (7.9) равны
известным значениям исключаемых особенностей, а сингулярные ин-
тегралы (7.10), (7.11) в центральных точках симметричных площадок
равны нулю, так как они сходятся в смысле главного значения по
Копт [54]. При вычислениях выходных параметров ЭМС, когда не
гарантируется попадание точки наблюдения в центральную точку пло-
щадки, удобным универсальным приемом, исключающим сингулярные
интегралы, служит принудительное смещение точки наблюдения по
нормали к площадке интегрирования па малую величину, незначи-
тельную по сравнению с размерами площадки.
Большинство коэффициентов в уравнениях (7.12), (7.13) со-
держит интегралы, рассмотренные в § 3 3 при анализе стационарных
полей. Новая функция /, (7.14) допускает однократное аналитическое
интегрирование. В системе координат, связанной с площа (кой интег-
рирования,
ь х, (у}	ь	г
=	( 2^-dxdy = "g^- j* (zp— zq) |,n KXP — Xq) +
Xi (y)	a
*• ton
+ I Z (XP — xq)’ + (Ур — I/q)* + (гр—Zq)1]	? dy.
*i to)
Интеграл по у определяем численно.
7.5.	СХЕМА ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА
Схема программы расчета ЭМС с квазпстационарными
полями, приведенная на рис. 7.2, отражает полученные в
гл. 6, 7 выводы о наилучших интегральных математиче-
ских моделях для анализа основных типов конструкций.
В схеме выделены три логические цепочки, определяющие
используемый набор программных модулей при выполне-
нии конкретного задания на расчет. Из них две цепочки,
производящие расчет ЭМС с линейными или нелинейными
электрофизическими свойствами деталей (условие / на
рис. 7.2), полностью независимы, так как базируются на
принципиально различающихся между собой уравнениях:
ГИУ и ПрИУ. В свою очередь расчет ЭМС с линейными
электрофизическими свойствами деталей допускает различ-
ный характер возбуждающего поля (условия 2, 8): сину-
144
Пуск
Рис. 7.2. Схема программы расчета ЭМС с квазистациоиариыми полямп
145
соидальный и несинусоидальный. В последнем случае алго-
ритм сводится к многократному повторению в цикле 3
расчетов гармонических составляющих поля.
Для анализа односвязных областей с линейными свой-
ствами используется система ГИУ минимальной размер-
ности (6.34), которая заменяется СЛАУ (блок 5), рассма-
триваемой как частный случай более общей СЛАУ (7.1),
предназначенной для расчета многосвязных областей
(блок 6). Указанное разделение устанавливается услови-
ем 4. Блок 7 реализует стандартный итерационный алго-
ритм решения СЛАУ большой размерности с поблочной
обработкой матриц, хранящихся на внешних накопителях
информации ЭВМ. Выполнение операций блока 7 дает ис-
комое распределение фиктивных источников поля, по кото-
рым в блоках 9, 10 рассчитываются выходные параметры
ЭМС' для гармонических составляющих, если возбуждение
несинусоидальное, или окончательные при синусоидальном
возбуждении (см. условие 8). Для несинусоидальных по-
лей расчет результирующих значений выходных парамет-
ров выполняется после завершения цикла 3 по номеру
гармонической составляющей в блоке 11.
Расчет ЭМС с нелинейными электрофизическими свой-
ствами деталей производится во временной области и на-
чинается с вычисления коэффициентов матриц уравнений
(7.12), (7.13) в блоке 12. Последовательное развитие про-
цесса во времени задается циклом 13, внутри которого
осуществляется итерационное решение сначала СЛАУ
(7.12) в блоке 14, а затем — нелинейной системы (7.13) в
блоке 15 при текущих начальных значениях параметров
поля для рассматриваемого момента времени (см. § 7.3).
Заканчивается внешний итерационный процесс при выпол-
нении условия 16, проверяющего выполнение неравенства
(6.60), после чего в блоке 17 рассчитываются выходные
, параметры ЭМС для текущего момента времени Д и про-
изводится переход к следующему моменту времени.
Условия 1, 2, 4, 8, определяющие структуру программы
при решении конкретной задачи, проверяются с учетом
информации из исходных данных на расчет, т. е. управле-
ние структурой программы осуществляется через исходные
данные. Исходные данные включают также числовую ин-
формацию, кодирующую геометрическую конфигурацию
ЭМС, причем ЭМС с линейными свойствами задаются на-
бором четырехугольников, составляющих поверхности раз-
нородных деталей, а ЭМС с нелинейными свойствами —
набором шестигранников (см. в § 3.2).
146
По сравнению со стационарными полями дополнитель-
ной вводимой информацией в ЭВМ служат частота воз-
буждающего стороннего тока, относительная магнитная
проницаемость и удельная электрическая проводимость
материала В необходимых случаях задаются временная
зависимость возбуждающего тока и нелинейная магнитная
характеристика материала
Стержневыми элементами схемы, во многом определяю-
щими точность и производительность программы, высту-
пают блоки расчета коэффициентов матриц. Так как алго-
ритмы расчета в блоках 5, 6, 12 имеют много общих опе-
раций, то при программной реализации онп объединены
в одну подпрограмму, которая в зависимости от требуемо-
го блочного состава автоматически изменяет свою струк-
туру. Отдельную подпрограмму представляют блоки 7 и
14. В подпрограммы также выделен ряд более мелких эле-
ментов структурной схемы, решающих задачи расчета раз-
личного вида выходных параметров ЭМС. В целом же по-
строение такой громоздкой программы выгодно осущест-
влять по модульному принципу, когда загрузка ЭВМ
осуществляется только теми модулями, которые необходи-
мы для решения конкретной задачи.
Опыт расчета ЭМС с квазистационарными полями по-
зволяет привести некоторые оценки требуемых ресурсов
ЭВМ для решения такого рода задач. Объем программы
в загрузочном модуле составляет примерно 220 Кбайт. По-
скольку решение средней по сложности трехмерной задачи
с помощью ГИУ приводит к необходимости расчетов ма-
триц размерностью около 600X000, возникают вполне
определенные требования к производительности ЭВМ, ко-
торая должна быть не менее 0,5 млн. операций в секунду.
В настоящее время этим требованиям удовлетворяют ЭВМ
типа ЕС-1050, ЕС-1060, основу математического обеспече-
ния которых составляет операционная система ОС ЭС ЭВМ
[58], а также ЭВМ БЭСМ-6. Повышение эффективности
использования ЭВМ в каждом конкретном случае тесно
связано с субъективным фактором — квалификацией и
творческой активностью программиста. Очевидно, далеко
не все приведенные в этой книге предложения по реали-
зации алгоритмов можно признать единственно возможны-
ми. Однако важно отметить, что рассмотренный способ
реализации интегрального метода расчета переменных по-
лей дает обнадеживающие результаты, так как, во-первых,
по требуемым ресурсам он пригоден для постановки и ре-
шения различных задач па существующих серийных ЭВМ
147
и, во-вторых, во многом сохраняется преемственность с ме-
тодами и программой расчета магнитных систем со стацио-
нарными полями, которые хорошо апробированы. На это
указывает и накопленный опыт эксплуатации разработан-
ных программ.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ВЫПОЛНЕНИЕ РАСЧЕТОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИСТЕМ
С КВАЗИСТАЦИОНАРНЫМИ ПОЛЯМИ
8.1. ПОГРЕШНОСТИ РАСЧЕТОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИСТЕМ
При расчетах ЭМС с квазистационарными полями, не-
сомненно, имеют силу выводы, полученные в § 5.1 для
стационарных полей, основным из которых представляется
понятное требование о допустимом уровне вычислитель-
ных погрешностей, соизмеримом с уровнем погрешностей
воспроизведения реальной конструкции ЭМС и погрешно-
стей ее экспериментального исследования. Вычислитель-
ные погрешности, связанные с дискретизацией занятых
источниками областей, погрешностями численного интегри-
рования и итерационного решения систем линейных и не-
линейных уравнений, практически всегда имеют определен-
ный диапазон регулирования, как правило, достаточный,
чтобы устранить их влияние на конечный результат рас-
чета.
Из-за сложности конструкций большинства ЭМС рас-
чет приходится начинать, имея лишь общее, весьма при-
ближенное представление о возможном характере искомых
величин. Модульная структура универсальной программы
упрощает отладку и позволяет варьировать отдельные
слагаемые вычислительных погрешностей независимо^ друг
ют друга. В этом плане важное значение приобретает пра-
вильный подбор тестовых задач, имеющих аналитическое
решение. Однако круг задач квазистационарного поля, ре-
шение которых производится аналитически без существен-
ных допущений, еще более ограничен, чем в статике. Фор-
мулы же, полученные при тех или иных приближениях
и допущениях, дают лишь косвенную оценку некоторых
выходных параметров ЭМС.
Другой путь оценки погрешностей расчета по програм-
ме состоит в сопоставлении с численными решениями, най-
денными другими способами, например методом сеток, и
не содержит такой однозначной информации о погрешно-
148
сти, как сравнение с аналитическим решением, поскольку
в случае расхождения между результатами невозможно
определить, какой из них более точен (см. § 8.2).
Самым убедительным способом проверки точности рас-
четов считается сравнение их с результатами эксперимен-
та Но высокоточные экспериментальные данные известны
далеко не для всех типов ЭМС (см. § 7.1), доступных для
анализа на ЭВМ. И даже тогда, когда такие данные име-
ются, без детального знакомства с методикой эксперимен-
та, без представления о технике измерений считать экспе-
риментальные результаты в качестве эталона недопустимо.
Это объясняется тем, что адекватность реального экспери-
мента и математической модели, положенной в основу
расчетов, должна быть доказана и проанализирована.
В этих условиях можно рассматривать только расхожде-
ние результатов расчета и эксперимента, т. е. приближен-
ную оценку погрешности расчета. Снижение погрешности
расчетов ЭМС ведет к дополнительным затратам машин-
ного времени, поэтому добиться существенного сокращения
времени расчета интегральными методами можно обо-
снованным выбором уровня вычислительной погрешно-
сти По сравнению с расчетом МС со стационарными поля-
ми и количество искомых источников в ГИУ и ПрИУ ква-
зистационарпого поля, и число анализируемых выходных
параметров ЭМС ощутимо больше. От правильной поста-
новки задачи во многом зависит необходимая степень ди-
скретизации деталей ЭМС и в конечном итоге реально до-
ступный расчету круг конструкций.
8.2. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИСТЕМ
На рис. 8.1 представлена упрощенная ЭМС вихретоко-
вого контроля, состоящая из проходного преобразователя
контроля:
X
Рис. 8.1 Модель системы электромагнитного
I — объект контроля; 2 — измерительная катушка
149
и протяженной исследуемой детали [59]. Проиллюстриру-
ем на примере расчета такой ЭМС основные этапы реше-
ния задач по приведенным выше алгоритмам. Задача фор-
мулируется следующим образом. Бесконечно-протяженный
немагнитный проводник кругового сечения помещен в
однородное синусоидальное магнитное поле соленоида, на-
правленное вдоль его оси. На поверхности цилиндрической
детали может существовать призматическая полость (де-
фект). Необходимо в качестве выходных параметров ЭМС
рассчитать топографию магнитного поля в проводнике в
в воздухе, а также напряжение, вносимое такой деталью
в соосный измерительный виток.
Эта задача выбрана для иллюстрации численного ме-
тода потому, что для нее известны некоторые результаты
теоретических и экспериментальных исследований. Так,
аналитически исследовано распределение магнитного поля
в бездефектном цилиндре и напряжение, вносимое им в со-
осный измерительный виток [59, 60]. Выполнены расчеты
непнтегральнымп численными методами и физическое мо-
делирование по определению отдельных зависимостей на-
пряжения в измерительном витке от параметров полости
бесконечной длины (/—>-оо) [60—63]. Экспериментально и
по приближенной методике получены зависимости модуля
приращения напряжения в измерительном витке от относи-
тельного положения дефекта конечной длины и витка [64].
Имеющиеся данные представляют необходимую информа-
цию для оценки погрешности численных расчетов в широ-
ком диапазоне режимов работы и геометрических пара-
метров ЭМС.
В основу расчетов положены системы ГИУ (6.34) и со-
ответствующая ей система матричных уравнений (7.1).
Поскольку решение проводилось в декартовой системе ко-
ординат, то по существу вместо кругового цилиндра к рас-
чету принят вписанный многогранник с заданным числом
граней (где это не отмечено особо, принят двенадцатигран-
ник). Для бездефектного цилиндра характерна полная
угловая электромагнитная симметрия, что учтено при за-
дании управляющих переменных в исходных данных про-
граммы.
Для расчетов ЭДС, вносимой в измерительный виток,
использовалась формула
ёв = — ф Adi,
То
где Lo — длина контура витка диаметром £)ик=£)ок
(О„.к, До.к — диаметры измерительной катушки и объекта
150
контроля соответственно), а вихревая составляющая век-
торного магнитного потенциала в проводнике определялась
в соответствии с (6.32):
N
А = i, ( g^S.
/=i is.
Решение тестовой одномерной задачи (бездефектный
проводящий цилиндр в поле соосного соленоида [59, 60])
показало, что максимальная погрешность расчета ЭДС по
модулю составила 4%, по фазе—1% во всем диапазоне
изменения обобщенного параметра X=kr(G<LX<Z<x>). Рас-
хождение в результатах можно объяснить отличием формы
сечения цилиндра, принятой к расчету, от круговой. С уве-
личением числа граней решение стремится к точному.
Рис. 8.2. Расчетные годографы, полученные различными численными
методами. Значения ft. указаны в процентах от Ро
— данные из [61); О —данные авторов; А—данные нз [631; □—данные из [62]
151
Рнс. 8.3. Г одографы, полученные расчетом и физическим моделирова-
нием (6 = 0,01£>о,к):
О — результаты расчетов авторов, X — результаты физического моделирования
из [60] □ — результаты аналогового моделирования из 162]
При сопоставлении данных все последующие рез\ льта-
ты пронормированы по ЭДС холостого хода измеритель-
ного витка еХх = —/(оцоДол/?2и,к.
Для одного из плоскопараллельных вариантов задачи
известны результаты, полученные разными авторами как
численным методом сеток [61—63], так и методами физи-
ческого моделирования [60, 61]. На рис. 8.2 приведены
годографы приращения вносимого напряжения в зависи-
мости от относительной глубины —/г» узкого (6 = 0) ра-
диального разреза, рассчитанные в [61—63]. Разброс зна-
чений, рассчитанных методом сеток различными авторами,
достигает 50% по амплитуде. Значения, полученные по
приведенному в данной книге алгоритму (см. рис. 8.2), в
среднем лежат в интервале между данными [61 и 63].
Сопоставление результатов экспериментов на моделях
из работ [60, 62] и результатов расчетов авторов выполне-
но на рис. 8.3.
На рис. 8.4 показана схема разбиения па элементар-
ные площадки поверхности цилиндра с круговой проточ-
кой для плоскомеридианной задачи. На рис. 8.5 приведены
рассчитанные годографы приращения напряжения в изме-
рительном витке при перемещении детали с проточкой от-
152
Рис. 8.4. Схема разбиения поверх-
ности цилиндра с круговой проточ-
кой на элементарные площадки
Рис. 8.5. Рассчитанные зависимо-
сти приращения напряжения изме-
рительной катушки от расстояния
до центра проточки Дх. прн раз-
ных X (ft=0.05Do,K; Z=0,15DOiK)
Рнс. 8.6. Зависимость относитель-
ного приращения напряжения в
измерительной катушке от длины
проточки (Л=0,05£>о.к, Х=3);
сплошная линяя — расчет, штриховая —
эксперимент
Рнс. 8.7. Годографы приращений
напряжений измерительной катуш-
ки в зависимости от расстояния до
центра дефекта Дх.. Глубина де-
фекта прямоугольного сечения
h=0,03/DOK1 ширина дефекта
fe O.Ol Х=2
носительно плоскости витка вдоль оси: Дх,=2Дх/7)„к
Полученные зависимости отражают динамику процесса
электромагнитного контроля [65]. Прн увеличении длины
проточки (рис. 8.6) сигнал стремится к соответствующему
по диаметру бесконечно длинному цилиндру.
По условиям задачи, поставленным в начале парагра-
фа, проведен расчет зависимостей (рис. 8 7), характери-
зующих взаимодействие электромагнит него ноля с де-
И-3367	153
Рис. 8.8. Распределение составляющих напряженности поля вдоль оси
цилиндра над дефектом глубиной h = 0,03Do к и длиной /=1,5£>„.к на
различной высоте над дефектом г. = 2г/£о К,Н,=Н/НВ (Х = 2)
а — продольная составляющая, б— вертикальная
талью, имеющей на своей поверхности трехмерный дефект
конечной длины (см. рис. 8.1). Учет зеркальной симметрии
задачи относительно плоскостей yoz, xoz дал возможность
в 4 раза сократить объем вводимых исходных данных и
размеры матриц.
Топография магнитного поля в воздухе требует для
расчетов гораздо больше времени, чем для расчетов ЭДС.
Особенно отчетливо это проявляется при решении трех-
мерной задачи. На рис. 8.8 представлено распределение х-
и z-составляющих вектора Н
чений Ах*.
вдоль оси х для разных зна-
Рис. 8.9. Зависимости длительно-
сти сигнала ти. на участке с при-
ращением напряжения в измери-
тельной катушке А(/тох/2 от дли-
ны проточки:
1 — эксперимент; 2 — расчет
Рис. 8.10. Зависимость приращения
напряжения в измерительной ка-
тушке от расстояния до центра
круговой проточки:
/ — эксперимент; 2 — расчет
Для осесимметричных и трехмерных задач эталоном
сопоставления послужили данные, заимствованные в [64].
На рис. 8.9 пунктиром проведена экспериментальная зави-
154
Рис. 8.11. Пластина с прорезью (/=240 мм, Ьв — 2 мм, Л = 80 мм / =
= 2 мм, /п=20 мм)
симость длительности сигнала, обусловленного проточкой,
на уровне ^Umax/2 при значении параметра Х=1. Отли-
чия экспериментальных данных от расчетных не превыша-
ют на этом графике 5% во всех диапазонах изменений
/» = //По,к- В [64] анализировалась лишь форма сигната
(т. е. изменение модуля Д6/ вдоль линии сканирова-
ния). На рис. 8.10 приведена расчетная форма сигнала при
наличии проточки /=0,3£>о,к; /г=0,05£>о.к при Х=2Х
X (Д>.к/£>и.к) 2 = 0,64. Разница между расчетами и данными
эксперимента и в этом случае не превышает 5%.
Выбор этого примера определялся желанием детально
показать как возможности универсальной программы, так
и особенности представления информации о квазпстацио-
парном поле и анализа получаемых результатов для не-
скольких типов задач (плоскопараллельных, осесимметрич-
ных, трехмерных). Широкий диапазон изменения в пара-
метре X по существу иллюстрирует расчет неспиусопдаль-
ных полей в частотной области (см. § 6.5).
Рис. 8.12 Распределение составляющих напряженности поля над пла-
стиной (z=I,55 мм) вдоль оси г (//=18 мм) Сплошная линия- рас-
чет, пунктир — эксперимент
В качестве еще одного примера рассмотрим расчет рас-
пределения электромагнитного поля при контактном воз-
буждении детали. Для решения задачи воспользуемся низ-
Рис 8.13. Электромагнитная система
для намагничивания ферромагнитных
детален:
I — образцы из технически чистого желе-
за; 2 — возбуждающие катушки; 3 — кар-
кас катушек; 4 — оправка для образцов;
5 — прокладка
стной мере затруднительна.
кочастотным приближе-
нием [66]. При этом ог-
раничиваемся решением
скалярного ГИУ (6.31).
На рис. 8.11 изображена
проводящая пластина с
прорезью. Возбуждение
моделировалось задани-
ем граничных условий
на торцах пластины. При
расчетах использовались
негативная и позитив-
ная зеркальные симмет-
рии. Экспериментальная
проверка расчетных дан-
ных о распределении
плотности тока в изве-
Кроме того, конечным
результатом по условиям поставленной задачи была
топография магнитного поля над прорезью. На рис. 8.12
представлено нормированное по максимуму распределение
трех составляющих напряженности магнитного поля вдоль
оси .г. Экспериментально полученные значения напряжен-
ности поля при сканировании датчика вдоль оси х пока-
заны пунктиром.
Следующий пример иллюстрирует расчет с помощью
математической модели (6.57), (6.58) переходных процес-
сов в нелинейной среде при намагничивании изделий из
Рис. 8.14. Зависимость тока в ка-
тушках и индукции в зазоре меж-
ду образцами от времени:
I—г—10 мм; 2— г—0 мм (сплошная
линия — расчет, штриховая — экспери-
мент)
Рис. 8.15. Распределение плотно-
сти тока по сечениям образца в
момент времени /=!,4 мс
156
Рис 8 16 Огибающие кривые рас-
считанных дискретных распределе-
ний плотности тока и намагничен-
ности в среднем сечении образца
при <=1,4 мс
Рис. 8.17 Огибающие кривые
рассчитанного дискретного рас-
пределения плотности электри-
ческого заряда по периметру
образца в момент времени /=
= 1,4 мс
ферромагнитных материалов. ЭМС представляла собой
(рис. 8.13) две соединенные согласно возбуждающие ка-
тушки, внутри которых располагались образцы для намаг-
ничивания. Исследовались образцы в виде прямоугольных
параллелепипедов из отожженного технически чистого
железа. Заданная зависи-
мость плотности тока в
возбуждающих катушках
от времени показана на
рис. 8.14. Расчет выпол-
нялся во временной обла-
сти с шагом 0.2 мс в ин-
тервале от 0 до 3 мс. На
каждом шаге вычисля-
лись три типа распреде-
ленных источников: век-
торы плотности наведен-
ного тока и намагничен-
ности в элементарных
объемах образцов, плот-
ность электрического за-
ряда на поверхности. В
момент времени /=1,4 мс
Рис. 8.18. Изменение распределения
индукции в зазоре между образцами
в процессе намагничивания
157
в среднем сечении образца источники имеют значения, по-
казанные на рис. 8.15—8.17. Одновременно рассчитывалось
распределение индукции в зазоре между образцами. Раз-
витие процесса по этому параметру показано нЪ рис. 8.18.
В ходе эксперимента с рассматриваемой ЭМС на экране
осциллографа с запоминанием регистрировалась функция
ЭДС от времени, которая наводилась в измерительной ка-
тушке, помещенной в зазор между образцами. Интегриро-
вание ЭДС дало зависимость индукции от времени, которая
сопоставлена с результатами расчетов на рис. 8.14. Суммар-
ная погрешность эксперимента, складывающаяся из по
грешностей механической обработки деталей ЭМС и изме-
рительной катушки, погрешностей в задании электрофизи-
ческих характеристик материалов, погрешностей измерения
сигнала и его последующего интегрирования, лежит в пре-
делах 5%. Расхождение расчетных и экспериментальных
данных также нс превышает 5%.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение книги попытаемся определить место, которое занн
мают интегральные методы расчета электромагнитных полей в обшем
ряду численных методов расчета Широко известны и имеют развитую
теоретическую базу и хорошие примеры практической реализации еше
два универсальных метода численного решения краевых задач: ко-
нечно-разностный метод (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ).
Сопоставление различных методов расчета полей — весьма сложная
задача не только потому, что существует масса модификаций этих
методов, а главным образом потому, что для иижеиера-пользователя
в качестве единственного объективного критерия сопоставления может
служить только точность и производительность программ, построенных
па этих методах Но различные реализации одного и того же метода
расчета по производительности программ могут отличаться на поряд-
ки. Отсюда вся сложность сопоставления и та сдержанность авторов
работ в оценке методов которая традиционно присутствует даже в
крупных публикациях. В области расчетов полей электромагнитных
систем лучшие практические результаты получены интегральными ме-
тодами, в других областях техники (механике, гидравлике) — при нс
пользовании МКР и /МКЭ
Известно [67], что основная идея МКР состоит в конечно-разност-
ной аппроксимации дифференциального уравнения в частных произ-
водных. Расчет сводится к решению систем нелинейных алгебраиче-
ских уравнений большого порядка с ленточной матрицей. Как и в
остальных методах, просматриваются три основных этапа решения
задачи. Первый этап — расчет коэффициентов матричных уравнений,
включающий построение дискретной модели на основе данных о гео-
158
метрии и свойствах анализируемого устройства. Второй этап — итера-
ционное решение полученной системы уравнений и третий этап —
расчет по результатам решения системы уравнений требуемых выход-
ных параметров устройства. По вычислительным затратам первый и
третий этапы расчета в МКР составляют незначительную часть от
второго, где итерационным методом решается система уравнений,
свойства которой сильно зависят от условий конкретной задачи. По-
строение устойчивых быстросходящихся итерационных схем решения
алгебраических уравнений представляет проблему для всех методов,
но, по мнению авторов,- в МКР она стоит наиболее остро.
Главная идея МКЭ заключается в том, что искомая непрерывная
в области функция аппроксимируется дискретной моделью, построен-
ной на множестве простейших функций в конечном числе подоблас-
тей. МКЭ относится к вариационно-сеточному методу, состоящему в
удовлетворении искомой функции иитегральному тождеству для обоб-
щенного решения рассматриваемой краевой задании иа множестве ку-
сочно-полиномиальных функций [68]. Сравнение МКЭ с МКР показы-
вает его преимущества, состоящие в простоте расчета распределения
поля в телах, составленных из нескольких материалов с различными
свойствами. Сложная криволинейная область сравнительно просто ап-
проксимируется с помощью прямолинейных элементов или описывается
точно криволинейными элементами. Не представляют труда измель-
чение сетки в области повышенных градиентов поля и учет граничных
условий различного типа. Принципиальными недостатками МКЭ, как
и МКР, представляются необходимость введения сетки и расчет зна-
чений функций в узловых точках во всей области, ограничение кото-
рой возможно либо при известных граничных значениях функций,
либо при начальном приближенном задании граничных значений и
последовательной их коррекции в процессе расчета. Формирование
матриц расчетных уравнений и определение выходных параметров в
МКЭ, так же как и в МКР, сводится к простейшим алгебраическим
операциям и не приводит к большим вычислительным затратам, в чем
просматривается одно из основных преимуществ этих методов. Мат-
рицы также получаются ленточными
В интегральных методах расчета весомым преимуществом высту-
пает то, что решается система уравнений меньшей размерности, чем
в МКР п МКЭ, по она имеет полностью заполненную матрицу и вы-
числение коэффициентом требует выполнения поверхностного интегри-
рования. Последнее значительно осложняет расчет и поэтому первый
и третий этапы алгоритма занимают существенно большее машинное
время, чем соответствующие этапы в МКР и МКЭ. Менее эффективно
в интегральных методах производится учет границ с известными гра-
ничными значениями функций, что в свою очередь также увеличивает
вычислительные затраты.
Поскольку любой из трех методов принципиально позволяет ре-
шать примерно один и тот же круг задач, имеющиеся у каждого из
159
нил преимущества и недостатки не столь абсолютны, так как в про-
цессе составления программы может быть найдено удачное алгорит-
мическое решение, изменяющее предварительную их оценку.
Именно в повышении производительности программ на основе со-
вершенствования вычислительных алгоритмов авторы видят ближай-
шую перспективу развития интегральных методов численного расчета.
Необходимо продолжение поисков эффективных способов итерацион-
ного решения больших систем нелинейных алгебраических уравнений
с учетом особенностей входящих в иих функций. Проявлению преи-
муществ интегральных методов расчета способствует развитие вычис-
лительной техники.
Определенную перспективу представляет использование интеграль-
ных уравнений для создания комбинированных численных методов
расчета, когда в одной части исследуемой области решение ищется
по МКР или МКЭ, а в другой — интегральным методом [69, 70]. Со-
пряжение подобластей производится на специально выделенной грани-
це, которая в панлучшем варианте должна совпадать с поверхностями
деталей ЭМС. Комбинированные методы призваны синтезировать по-
ложительные качества используемых в них методов.
ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В КНИГЕ
В—магнитная индукция, Тл
Л — векторный магнитный потенциал, Тл-м
Е — напряженность электрического поля, В/м
F— сила, Н
Н — напряженность магнитного поля, А/м
i е — плотность слоя электрического тока,* В/м
1-к — плотность тока слоя тока намагниченности (магнитного тока)*,
А/м
J — объемная плотность тока в проводнике, А/м2
/, — объемная плотность тока намагниченности,’ А/м2
М— намагниченность, А/м
т — плотность слоя магнитных моментов,* А
у — электрическая проводимость, См/м
5 — плотность слоя электрических зарядов,* В/м
х — магнитная восприимчивость
цг— относительная магнитная проницаемость
р„, р — объемная плотность магнитных зарядов*, Тл/м
<Тм, о — плотность простого слоя магнитных зарядов*, Тл
1—плотность двойного слоя магнитных зарядов,* Тл-м
<р — скалярный магнитный потенциал, А
<ре — скалярный электрический потенциал, В
со— круговая частота переменного поля, 1/с
Примечание. Звездочкой помечены фиктивные источники.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Сергеев В. В., Булыгина Г. И. Магнитотвердые материалы. М.:
Энергия, 1980. 224 с.
2.	Тамм И. Е. Основы теории электричества. М : Наука, 1976.
616 с
3.	Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных ра-
ботников и инженеров. М.: Наука, 1970. 720 с.
4.	Шимоии К. Теоретическая электротехника М.: Мир, 1964.
773 с.
5-	Толмачев С. Т., Ильченко А. В. О способах учета магнитных
свойств гистерезисных материалов. — Изв. АН СССР. Сер. Энергети-
ка и транспорт. 1977, № 3, с. 90—98
6.	Курбатов П. А., Щукина Т. И. Расчет распределения намагни-
ченности внутри постоянного магнита по его внешнему полю.—Гр.
МЭИ, 1976, вып. 295, с. 115—118.
7	Тозони О. В, Романович С. С О расчете постоянных магнитов
па ЭЦВМ. — Изв. вузов. Сер Электромеханика, 1975, № 8, с. 818—
826.
8.	Контроль распределения намагниченности внутри постоянного
магнита но его внешнему полю/ В В. Коген Далин, Е. И Каневский,
Э. В. Кузнецов, П А. Курбатов —Электронная техника. Сер. Элект
роннка СВЧ, 1977, вып. 8, с. 63—69.
9.	Лунин В. П Восстановление функции распределения намагни
ценности по внешнему полю постоянного магнита. — В ки.: Мето-
ды и приборы автоматического неразрушающего контроля. Рига: Риж-
ский политехи ин-т., 1980, с. 129—136
10.	Тихонов А Н., Арсеиин В Я Методы решения некорректных
задач. М.: Наука, 1974 224 с.
И. Курбатов П. А., Лунин В П Выбор параметра регуляризации
в задаче контроля магнитов по избыточной экспериментальной инфор-
мации.— Тр. МЭИ, 1980, вып. 453, с. 22- 26
12.	Сергеев В Г., Шихин А. Я Магнитоизмерительиые приборы и
установки. М.: Энергоиздат, 1982. 152 с.
13.	Пеккер И. И. Расчет магнитных систем путем интегрирования
по источникам поля. — Изв вузов. Сер. Электромеханика, 1969, № 6,
с. 618—623
14.	Пеккер И. И. Расчет магнитных систем методом интегрирова
ния по источникам поля. — Изв. вузов. Сер. Электромеханика, № 9,
1964, с 1047—1051
15.	Сараев В В. Методика расчета систем с редкоземельными
магнитами, учитывающая реальные кривые намагничивания материала
арматуры. — Тр. МЭИ, 1978, вып. 388, с. 34—37.
16.	Рабинович Я. Д. Расчет постоянных магнитов на ЭВМ. Изв.
вузов Сер Электромеханика, 1973, № 8, с 896—903
17.	Коген-Далин В. В., Курбатов П. А. Расчет сложных систем с
постоянными магнитами на основе интегральных уравнений. — Тр.
МЭИ, 1980, вып. 483, с 75—80.
162
18.	Тозони О. В„ Маергойз И. Д Расчет трехмерных электромаг-
нитных полей. Киев: Техшка, 1974., 352 с.
19	Тозоии О В Метод вторичных источников в электротехнике.
М.: Энергия, 1975. 295 с.
20	Коген-Далин В. В , Коняев Ю А, Курбатов П А. Расчет маг
нитных систем с редкоземельными магнитами и ненасыщенной армату-
рой методом интегральных уравнений — Электричество, 1975. Ks 7.
с. 65—67.
21.	Курбатов П. А., Каневский Е. И., Кузнецов Э. В Расчет поля
магнитной фокусирующей системы гребенчатого типа с редкоземель-
ными магнитами па ЭВМ методом интегральных уравнений. — Элек-
тронная техника. Сер. Электроника СВЧ, 1978, вып. 7, с. 55—63.
22.	Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории
электрических и магнитных явлений М : Изд АН СССР, 1948. 727 с
23.	Тихонов А. Н., Самарский А. А Уравнения математической
физики. М.: Наука, 1972. 736 с.
24	Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. М.: Гостехиздат,
1948. 539 с.
25.	Канторович Л. В., Крылов В И Приближенные методы выс-
шего анализа. М. — Л.: Физматгиз, 1962 708 с.
26	Ильин В. А, Позняк Э. Г. Линейная алгебра М.: Наука, 1974.
296 с.
27	Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука,
1980. 536 с.
28	Колесников Э. В Интегральные уравнения для расчетов поля
однородно-намагниченного постоянного магнита. — Изв. вузов. Сер.
Электромеханика, 1975, № 8, с. 343—347.
29.	Калинин И. И., Михайлов В В., Жуковский Ю. Г К расчету
трехмерного магнитного поля в линейной неоднородной среде методом
вторичных источников. — Изв вузов. Сер. Электромеханика, 1979,
№ 4, с. 318—321.
30	Reichert К. Ein numerisches Verfahren zur Berechnung magne-
iischer Felder insbesonders in Anordnungen mit Permanetmagneten. —
Archiv fur Elektrotechnik, 1968, Bd 2, № 3, S. 176—195.
31.	Zaky Safwat G., Robertson Stuart D. T. Integral equation for-
mulation for the Solution of magnetic field problems. — IEEE Trans.
Power App. and System, 1973, 92, № 2, p. 803—815
32.	Trowbridge C. W. Three-Dimensional Field Computation.—
IEEE Trans, on Magnetics, vol. MAG-18, № 1, 1982, p 293—297.
33.	Постоянные магниты. Справочник/ Под ред. Ю. М. Пятина.
М.: Эшртя, 1980. 488 с.
34	Вегнер Г Основы исследования операций. Т. 1, 2.—М.: Мир,
1973. Т 1— 335 с., Т. 2.-488 с.
35	Курбатов П А, Рослякова Е. И. Использование интегральных
уравнений для расчета магнитных систем магнитоэлектрических аппа-
ратов и машин. — Тр. МЭИ, 1980, вып 483, с. 80—83.
36.	Лукошкоп В С, Сазонов В П. О подотраслевом фонде алго-
ритмов и программ машинного анализа и машинной оптимизации в
СВЧ электронном приборостроении. — Электронная техника- Сер.
Электроника СВЧ, 1974, пып. 1, с. 3—8.
37	Курбатов П А Упрошенный метод расчета магнитных систем
с редкоземельными магнитами и тонкой ненасыщенной арматурой. —
Электричество. 1976. № 12, с. 65 66.
38	Фаддеев Д К , Фаддеева В Н Вычислительные методы линей-
ной алгебры —М: Фитиантн, 1963 734 с.
163
39.	Львов Е. Л. Связь между различными методами расчета ста-
тических тяговых сил в электромагнитных системах.—Тр. МЭИ, 1951,
вып. 7, с. 54—86.
40.	Поливанов К. М. Теоретические основы электротехники. Ч. 3.
Теория электромагнитного поля. М-: Энергия, 1969. 352 с.
41.	Базилевский В. В. Определение силового взаимодействия по-
стоянных магнитов прямоугольной формы. — В кн.: Проблемы тех-
нической электродинамики. Киев: Наукова думка, 1970, № 24,
с. 171 — 175.
42	Расчет магнитостатических подшипников с магннтомягкой ар-
матурой/ В В Коген-Далин, А. Н. Авдеев, В. И Волченсков, С. Б. Ря-
бинин. — Тр. МЭИ. 1980, вып. 483. с. 89— 93.
43.	Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука,
1971 248 с.
44.	Налимов В. В., Чернова Н А Статистические методы плани-
рования экстремальных экспериментов. М.: Наука, 1965. 340 с.
45.	Быстрицкая Н. Б., Волчеисков В И., Шильникова Е. А. При-
менение теории планирования эксперимента при автоматизации проек-
тирования серий оптимальных магнитных систем на заданные техни-
ческие условия-—Тр. МЭИ. 1980, пып. 483, с. 68—74.
46.	Курбатов П. А. Машинный синтез каскадных фокусирующих
систем с постоянными магнитами. — Тр. МЭИ, 1978, вып 386,
с. 104—107.
47.	Никитенко А. Г. Проектирование оптимальных электромагнит-
ных механизмов. М : Энергия, 1974. 136 с.
48.	Вычислительные методы в электродинамике/ Под ред- Р. Мит-
ры. М.: Мир, 1977. 485 с.
49.	Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлект-
ронике М Мир, 1979, т. 67, № 7, 127 с
50.	Алехин В. М., Олейникова Л. В. Интегральные уравнения для
кусочно однородных сред при решении граничных задач электродина-
мики — Изв вузов. Сер. Электромеханика 1973, № 4, с. 123—136,
51.	Электроразведка/ Под ред. А Г Тархова Справочник по гео-
физике. М. Недра, 1979. 518 с.
52.	Кессених В. Г. Теория скин-эффекта и некоторые задачи де-
фектоскопии.— ЖТФ. 1938, т. 8, № 5, с. 531—548
53.	Петрушенко Е. И. Постановка задачи по расчету вихревых
токов в телах произвольной формы. — Изв. вузов. Сер Электромеха-
ника, 1966, № 11, с. 1181—1184.
54.	Краснов Н Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные
уравнения. М.: Наука, 1976. 215 с.
55.	Метод ГИУ/ Под ред. Т. Круз, Ф. Риццо. М.: Мир, 1976 207 с.
56	Вычислительные методы и программирование Численные ме-
тоды в задачах электродинамики: Сборник работ вычислительного
центра МГУ/ Под ред. В. И. Дмитриева, А С. Ильинского. М : МГУ.
1965—1978
57.	Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К- Машинные методы
математических вычислений. М.: Мир, 1980. 279 с
58	Система математического обеспечения ОС ЕС ЭВМ/ Под ред.
А М. Ларионова. М.: Статистика, 1974. 216 с.
59.	Неразрушающий контроль качества изделий электромагнитны-
ми методами/ В Г. Герасимов, Ю Я Останин, А Д. Покровский и
др. М.: Энергия, 1978. 216 с.
60.	Неразрушающие испытания/ Под ред. Р. Мак-Мастера. Спра-
вочник. Ки. 2. М. — Л.: Энергия, 1965. 492 с.
164
61.	Ртищева Н. П, Сухоруков В. В. Численный анализ режимов
ВТП преобразователей проходного типа при дефектоскопии ферромаг-
нитных прутков. — Дефектоскопия, 1979, № 12, с. 57—65.
62.	Сухоруков В. В. Математическое моделирование электромаг-
нитных нолей в проводящих средах. М: Энергия, 1975. 152 с.
63.	Brudar В. The calculated high-frequency magnetic field distri-
bution round a radial crack in a steel bar. — In: 8th World conf.. Non-
destruct. Testing, Cannes, 1976, Sect.: 3D, 2A, IB, Paris, S. A., 1B7/1 —
1B7/6.
64.	Сухоруков В В., Чернов Л. А, Улитин Ю. М. Возможность
определения параметров дефекта при модуляционной вихретоковой де-
фектоскопии с помощью проходных преобразователей. — Дефектоско-
ия, 1977, № 1, с. 7—14.
65	Ариичии С. А., Кузнецов В. Б. К расчету спектров сигналов в
вихревой дефектоскопии. — В кн.: Методы и приборы автоматического
неразрушающего контроля. Рига. Рижский политех, ин-т, 1978, вып. 2,
с. 84 93
66.	Аринчин С. А., Курбатов П. А., Рогачев В. И. Распределение
тока в пластине с дефектом. — Тр. МЭИ, 1980, вып.'453, с. 18—22.
67.	Том А., Эйплит К. Числовые расчеты полей в технике и физи-
ке. М.: Энергия. 1964. 206 с.
68-	Сегерлинд П. Применение метода конечных элементов.—М.:
Мир, 1979. 329 с.
69.	Johnson Class, Nedelee !. Claude. On the coupling of boundary
integral and finite element methods. — Mathematics of Computation,
1980, 35, № 152, p. 1063—1070.
70.	Shaw Richard Paul. Coupling boundary integral equation me-
thods to other numerical techniques. — Recently Advancements Bounda-
ry Elements Methods. London — Plymouth. 1978 p. 137—147.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .	.	................................. 3
Глава первая Исходные посылки для расчета магнитных
систем со стационарным полем интегральными методами 5
1.1. Дискретные математические модели элементов магнит-
ных систем ................................. .	.	.	.	5
1.2. Магнитные характеристики элементов магнитных систем 12
Глава вторая. Интегральные уравнения для расчета маг-
нитных систем со стационарными полями	17
2	1. Основные направления развития интегральных методов
расчета................................................    17
2.2.	Использование граничных интегральных уравнении для
ограничения области исследования ......................... 19
2.3.	Граничные интегральные уравнения для расчета дета-
лей МС с линейными магнитными свойствами . . .	25
2.4.	Численное решение граничных интегральных уравнений	27
2.5.	Пространственные интегральные уравнения и их реше
пие при идеализированных характеристиках магнитных
материалов................................................ 30
2.6	Решение пространственных интегральных	уравнении
при реальных характеристиках магнитных	материалов	37
Глава третья. Построение универсальных алгоритма и
программы расчета магнитных систем со стационарными
полями	46
3.1	Система расчетных уравнений и структура программы 46
3.2. Числовое представление конструкции и свойств элемен-
тов магнитных систем .	.	............. 55
3.3.	Расчет коэффициентов матричных уравнений ...	61
3.4.	Итерационный расчет распределения намагниченности
в деталях МС с нелинейными магнитными свойствами 75
Глава четвертая. Расчет сил взаимодействия между эле-
ментами магнитных систем	79
4.1. Расчет сил интегрированием по источникам поля .	79
4.2. Расчет сил методом ограничения области взаимодей-
ствия	............. .	.	81
Глава пятая. Анализ информации, получаемой при числен-
ном расчете магнитных систем со стационарными полями 87
5.1. Погрешности численного расчета магнитных систем .	87
5.2 Примеры постановки и решения практических задач	90
5.3. Оптимизация магнитных систем на основе численного
анализа полей ....................................... [01
166
Глава шестая. Интегральные уравнения для расчета элек-
тромагнитных систем с квзистационарными полями	108
6.1.	Особенности расчета квазистационарных полей .	.	.	108
6.2.	Общая система граничных интегральных уравнений ква-
зистационарного поля...................................... НО
6.3.	Снижение размерности граничных интегральных урав-
нений ....................................................117
6.4.	Граничные интегральные уравнения для расчета неси-
иусоидальних полей...................................... .120
6.5.	Пространственные интегральные уравнения для расчета
электромагнитных полей	.	 123
6.6.	Расчет электромагнитных систем с нелинейными маг-
нитными свойствами при	помощи	ПрИУ .	128
Глава седьмая. Построение универсальных алгоритма и
программы расчета электромагнитных систем с квазиста-
ционарнымн полями	133
71 Принципы организации программы	.	133
7.2. Приведение к расчетному виду граничных интеграль-
ных уравнений ....	 134
7.3. Приведение к расчетному виду пространственных ин-
.	тегральных уравнений................................ 130
7 4	Расчет коэффициентов матричных	уравнений .	142
7.5.	Схема программы расчета .....	...	144
Глава восьмая. Выполнение расчетов электромагнитных си-
стем с квазистационарными полями	148
8 1. Погрешности расчетов электромагнитных систем .	148
8.2. Примеры расчета электромагнитных систем ....	149
Заключение................................................. .158
Основные физические величины, применяемые в книге .	.	161
Список литературы ...........................................162
Павел Александрович Курбатов
Сергей Александрович Аринчин
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ НОЛЕЙ
Редактор Ю Я Останин
Редактор издательства Н. Б. Фомичева
Художественный редактор В. А. Г о з а к-Х о з а к
Обложка художника В. А Г о з а к а-Х о з а к а
Технический редактор А. С. Давыдова
Корректор Л. С. Тимохова
ИБ № 3258
Сдано в набор 24.01.84	Подписано в печать 06.04.84	Т-08898
Формат 81ХЮ8*/ц Бумага типографская № 3 Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 8,82 Усл. кр.-отт. 9,14 Уч. над. л. 10,09
Тираж 6000 эка.	Заказ 3367	Цена 50 к.
Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая иаб., 10
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Зна-
мени Первая Образцовая типография имени А А. Жданова Союзпо-
лиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам изда-
тельств, полиграфии и книжной торговли 113054, Москва, М-54. Ва-
ловая, 28