Предельное равновесие хрупких тел с трещинами - Панасюк В.В.

Предельное равновесие хрупких тел с трещинами
3. Краткий обзор развития исследований по теории трещин
4. Продолжение обзора. Элементы теории макротрещин
Глава I. Постановка задач о статическом равновесии хрупких тел, ослабленных трещинами
2. О расчете технической прочности твердых тел
6. Основные положения теории макроскопических трещин
7. Предельное равновесие бесконечной плоскости с прямолинейной трещиной, когда к ее берегам приложены сосредоточенные силы
Глава II. Методы определения эффективной поверхностной энергии
2. Экспериментальное определение эффективной поверхностной энергии хрупких материалов
3. Определение величины у на основе формул теории распространения трещин
4. Применение метода трещин для определения величины γ на образцах небольших размеров
5. О влиянии поверхностно-активной среды на изменение эффективной поверхностной энергии материала
6. Об оценке склонности металла к хладноломкости
Глава III. Растяжение и сжатие пластин с трещинами
2. Определение предельных напряжений для бесконечной пластины с двумя коллинеарными трещинами
3. Предельное равновесие пластины с прямолинейной произвольно ориентированной или криволинейной трещиной
4. Одноосное растяжение пластины с произвольно ориентированной прямолинейной трещиной
5. Двухосное растяжение — сжатие пластины с прямолинейной трещиной и построение диаграммы предельных напряжений
6. Критерии прочности при двухосном растяжении
7. Растяжение пластины с дугообразной трещиной
Глава IV. Предельное равновесие пластин, ослабленных остроконечными отверстиями
2. Растяжение пластины с отверстием в виде гипоциклоиды
3. Определение упругих напряжений в окрестности угловых точек пластины с отверстием в виде гипоциклоиды
5. Приближенное определение предельных напряжений для пластины, ослабленной круговыми отверстиями и трещинами, выходящими на его контур
6. О предельной нагрузке для полуплоскости с трещиной, выходящей на ее боковую грань
1. Общие замечания
2. Определение напряжений в окрестности трещины при изгибе полосы
3. Вычисление предельных нагрузок при изгибе полосы с трещинами
4. Продолжение. Определение предельной нагрузки при изгибе консольной балки с трещиной
Глава VI. Некоторые соотношения статики трехмерного упругого тела
2. Контактные задачи для полупространства и определение напряжений около плоской трещины
3. Определение нормальных смещений берегов дискообразной трещины
Глава VII. Предельное равновесие хрупкого тела с плоской трещиной, имеющей в плане форму круга
2. Обсуждение некоторых теоретических и экспериментальных данных
3. Случай макроскопических трещин в трехмерном теле
4. Определение разрушающей нагрузки для тела, ослабленного внешней круговой трещиной
Глава VIII. Определение предельных напряжений для неограниченного хрупкого тела с плоской трещиной, имеющей в плане форму эллипса
2. Определение растягивающих напряжений в плоскости эллиптической трещины
Глава IX. Распространение трещин, имеющих в плане форму, близкую к круговой
2. Исходное уравнение для определения растягивающих напряжений в окрестности контура трещины
3. Некоторые допущения и преобразования исходного уравнения
4. Интегральное уравнение задачи и метод его решения
5. Основные формулы для определения разрывающих напряжений и предельной нагрузки
6. Случай плоской трещины, имеющей в плане форму эллипса
7. Чистый изгиб балки с внутренней плоской трещиной, имеющей в плане форму эллипса
8. О разрушающей нагрузке при растяжении хрупкого тела с плоской трещиной, близкой по форме к круговой
Author: Панасюк В.В.
Tags: физика механика монография физика твердого тела
Year: 1968
Similar
Прочность и критерии хрупкого разрушения стохастически дефектных тел
Сухое трение и односторонние связи в механике твердого тела
Курс теории упругости
Ударное нагружение и разрушение твердых тел
Text
                    АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
В. В. ПАНАСЮК
ПРЕДЕЛЬНОЕ
РАВН ОВЕСИЕ
ХРУПКИХ ТЕЛ
С ТРЕЩИНАМИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО „НАУКОВА ДУМКА"
Киев • 1968

6.05
П16
2-4-2
76-67М
В монографии изложены основы теории квазистатического
равновесия хрупких тел с трещинами; дан анализ развития работ
в этой области. Обобщены результаты исследований автора по
теории распространения трещин в деформируемом хрупком теле и
сформулированы расчетные схемы-модели для решения таких за¬
дач; приведены решения новых плоских и пространственных за¬
дач о предельном равновесии хрупких тел с трещинами; сделана
попытка сформулировать элементы теории хрупкого разрушения
деформируемых твердых тел с дефектами типа трещин.
Предназначена для научных и инженерно-технических ра¬
ботников, занимающихся вопросами прочности твердых тел; может
быть полезна также преподавателям, аспирантам и студентам
вузов, специализирующихся в области механики и физики твер¬
дого тела.
Ответственный редактор академик АН УССР Г. Н. САВИН
КИЕВСКАЯ ФАБРИКА НАБОРА

ОТ РЕДАКТОРА
Предлагаемая вниманию читателя монография посвящена рассмо¬
трению элементов теории деформации и разрушения твердых тел
с остроконечными концентраторами напряжений типа трещин
(прямолинейные или криволинейные узкие щели— трещины, от¬
верстия с угловыми точками возврата на контуре и т. п.)* В про¬
цессе деформации твердого тела, ослабленного такими концентра¬
торами напряжений, в окрестности острия концентратора воз¬
никает высокая интенсивность напряжений, в результате чего
наступает или пластическое течение материала, или распростра¬
нение хрупкой трещины. Изучение этих явлений и определение
предельных, т. е. допустимых с точки зрения прочности тела,
внешних нагрузок (особенно, когда имеется возможность разви¬
тия хрупкой трещины) представляет большой научный и практи¬
ческий интерес. Это особенно важно для хрупкого и квазихруп-
кого разрушения деформируемых твердых тел.
В рамках механики сплошных сред исследования в этом на¬
правлении являются дальнейшей разработкой проблемы концен¬
трации напряжений в деформируемом упругом теле с особым ви¬
дом концентратора напряжений — трещиной.
Теория трещин возникла более 40 лет тому назад. Первыми
работами в этом направлении были работы А. А. Гриффитса. Од¬
нако значительное развитие теория трещин получила лишь в те¬
чение последних двух десятилетий, в частности в работах совет¬
ских исследователей С. А. Христиановича, Г. И. Баренблатта,
М. Я. Леонова, Г. П. Черепанова и их последователей.
Важный цикл исследований по теории трещин выполнен также
на Украине В. И. Моссаковским, В. В. Панасюком и др. Обоб¬
щающие работы по этому разделу механики еще отсутствуют.
Первой попыткой такого рода является монография В. В. Панасю-
ка. Автор не ограничивается изложением новых данных по теории
трещин, полученных в его работах и работах его сотрудников, а,
синтезируя результаты других исследователей, в едином плане
излагает основные достижения теории квазистатического равно¬
весия деформируемых хрупких тел с концентраторами напря¬
жений типа трещин.
Большая актуальность исследований по теории трещин для
проблемы хрупкого разрушения твердых тел, а также научная
новизна постановки задач позволяют надеяться, что монография
3

В. В. Панасюка принесет большую пользу лицам, работающим в
области прикладной теории упругости и теории расчетов на проч¬
ность элементов инженерных конструкций и будет способство¬
вать дальнейшему развитию исследований по теории трещин.
Она будет полезной преподавателям, аспирантам и студентам
вузов, специализирующимся в области механики деформируе¬
мых твердых тел.
Академик АН УССР Г. Н. Савин

ПРЕДИСЛОВИЕ
Прочность реальных твердых тел определяется не только их
физико-химической природой, а существенным образом зависит
и от дефектности структуры. В структуре реальных твердых тел
всегда имеются различного типа дефекты — концентраторы
напряжений, такие как, например, микро- и макротрещины, раз¬
личного происхождения полости и включения, границы зерен и
блоков структуры, скопления дислокаций, вакансий и др.
В процессе деформации твердого тела в окрестности таких
дефектов происходит высокая концентрация напряжений, что
приводит к образованию зародышевых и росту уже имеющихся
в теле трещин, т. е. к локальному или полному разрушению тела.
В деформируемом твердом теле такие дефекты приводят к локаль¬
ному или полному его разрушению в результате формирования и
распространения магистральной (наиболее опасной) трещины раз¬
рушения. Как показывает опыт, такое явление особенно харак¬
терно для случая хрупкого (линейно-упругого) или почти хруп¬
кого (квазихрупкого) разрушения деформируемых твердых тел.
Таким образом, разработка теории и методов определения
сопротивляемости материала развитию в нем трещин, а также ве¬
личины предельной (разрушающей) нагрузки для деформируе¬
мого твердого тела с дефектами типа трещин (остроконечных по¬
лостей — щелей) является одним из важных этапов построения
общей теории деформации и разрушения твердых тел, в частности
теории хрупкого или квазихрупкого разрушения. Создание та¬
кой теории имеет большое научное и прикладное значение, поэ¬
тому усилия многих исследователей направлены на изучение
процессов образования и развития (распространения) различных
дефектов — трещин в деформируемом твердом теле.
На протяжении последних двух десятилетий большое раз¬
витие получили исследования по механике деформируемых хруп¬
ких тел с концентраторами напряжений типа остроконечных по¬
лостей — трещин. Предложены расчетные модели для решения
таких задач, определены значения предельных нагрузок для неко¬
торых случаев деформации твердого тела с указанными дефектами,
намечены перспективы решения новых задач подобного рода.
В настоящей монографии делается попытка осветить в еди¬
ном плане некоторые основные результаты статики хрупких тел
с трещинами. Излагаются физические основы теории трещин;
развиваются элементы теории расчета предельных нагрузок для
5

деформируемого хрупкого или квазихрупкого тела, ослабленного
дефектами типа остроконечных полостей — трещин заданной кон¬
фигурации. Значительное внимание уделяется рассмотрению
расчетных моделей и постановкам задач теории трещин как за¬
дач механики деформируемого твердого тела; дается решение
некоторых новых (плоских и пространственных) задач статики
хрупкого тела с дефектами типа трещин, а также формулируются
некоторые элементы теории неразрушимости (прочности) хруп*
кого тела с трещинами при его плоском напряженном состоянии.
В монографии изложены в основном результаты, полученные
автором и его сотрудниками в Физико-механическом институте
АН УССР. Автор отмечает, что важное значение для развития
его исследований по теории трещин имело сотрудничество с ака¬
демиком АН Кирг. ССР М. Я. Леоновым, под руководством ко¬
торого были выполнены первые работы автора в этой области, и
благодарен ему за полезное обсуждение многих вопросов, изло¬
женных в монографии.
Автор выражает глубокую благодарность академику АН
УССР Г. Н. Савину за научное редактирование настоящей моногра¬
фии, а также за постоянный интерес и внимание к его работе по
теории трещин. Автор признателен сотрудникам отдела физических
основ прочности Физико-механического института АН УССР кан¬
дидатам физ.-мат. наук Л. Т. Бережницкому, П. М. Витвицкому,
инж. С. Е. Ковчику за помощь в подготовке книги.
Все замечания и пожелания автор просит направлять по
адресу: Киев, Репина, 3, Издательство «Наукова думка».

ВВЕДЕНИЕ
1.	Простейшая задача теории трещин
Важнейшая особенность задач о распространении трещин в дефор¬
мируемом хрупком теле * состоит в том, что в окрестности тупико¬
вой (концевой) области распространяющейся трещины материал
тела всегда деформируется за предел упругости. В связи с этим ко¬
личественное описание процесса деформации в такой области в рам¬
ках классических положений теории упругости не представлялось
возможным. Для решения задач теории распространения трещин в
деформируемом твердом теле необходимо было ввести некоторые но¬
вые понятия в механику сплошных уп-	р
ругих сред и создать физически обосно-	І і I	1 I I I	I I
ванные расчетные модели.	" * І	І і І I	I I
Рассмотрим простейшую задачу тео¬
рии распространения трещин. Пусть
хрупкая бесконечная пластина, ослаб¬
ленная сквозной изолированной прямо¬
линейной трещиной длиной 21 (рис. 1),
растягивается монотонно возрастающими
внешними напряжениями р, приложен¬
ными в бесконечно удаленных точках
пластины и направленными перпендику¬
лярно к плоскости расположения тре-	| | |	| | | |	| |
щины* Толщину пластины принимаем	р
равной единице. Необходимо определить
наименьшее значение напряжения р =	Рис. 1.
= р* (в дальнейшем это напряжение
будем называть предельным, а трещину	будем	рассматривать	как
разрез в упругом континууме), по достижении	которого	трещина
начнет распространяться и пластина потеряет свою несущую способ¬
ность (разрушится)**.
Введем прямоугольную систему декартовых координат хОу
(см. рис. 1) и попытаемся решить задачу в рамках классической
теории упругости. Использовав известные приемы теории упру¬
гости [103], найдем формулы для определения напряжений в
21
*	Хрупким называется такое твердое тело, для которого связь между напря¬
жениями и деформациями подчиняется закону Гука до момента начала его раз¬
рушения.
** Подробное решение этой задачи дано в параграфе 4 гл. I.
7

рассматриваемой пластине. Так, в плоскости трещины (у = 0)
упругие разрывающие напряжения
о„(х, 0) = /?-y^L_	(\х\>1).	(1)
Анализ формулы (1) показывает, что напряжения оу (х,0) при
х = /, т. е. разрывающие упругие напряжения в тупиковой части
трещины, получаются бесконечно большими для любой длины тре¬
щины I Ф 0 и р > 0.
Поскольку реальное тело может выдерживать только конечные
растягивающие напряжения, то из приведенного решения вытека¬
ет следующий факт: при как угодно малой (но не равной нулю)
растягивающей нагрузке* р пластина, ослабленная трещиной,
должна немедленно разрушаться. Однако данные опытов показы¬
вают другое: разрушающая нагрузка зависит от размеров имеющей¬
ся в теле трещины, а при нагрузке, меньшей некоторой (предельной)
величины, трещина не распространяется и тело сохраняет свою не¬
сущую способность. Таким образом, формальное применение схемы
классической теории упругости к решению сформулированной за¬
дачи приводит к физически неоправданному результату.
Указанное выше противоречие между классической теорией
упругости и опытными данными объясняется следующим. Модель
теории упругости неполно учитывает межчастичные силы сцепления,
действующие между противоположными берегами раскрывающейся
трещины в ее тупиковой (концевой) части, т. е. в той области тела,
в которой возникают деформации, превосходящие предел упругих
деформаций. Учет сил межчастичного сцепления в тупиковой части
развивающейся трещины при исследовании равновесия деформи¬
руемых твердых тел, ослабленных трещинами, и составляет главное
отличие задач теории трещин от классических задач теории упру¬
гости. Учет этих сил позволяет построить необходимую расчетную
модель деформируемого твердого тела, в рамках которой можно на¬
йти решение задачи о распространении трещин, согласующееся с
экспериментом.
2. Основные положения теории Гриффитса
Задача о разрушении пластины с прямолинейной трещиной, когда
пластина растягивается внешними напряжениями р, впервые бы¬
ла изучена Гриффитсом [190, 1911. Для определения величины пре¬
дельной (разрушающей) нагрузки р = /?* Гриффитс предложил
так называемый энергетический метод. Для выяснения сущности
этого метода рассмотрим потенциальную энергию деформирован-
*	Нагрузкой принято называть внешние усилия (напряжения), приклады-
ваемые к телу.
8

ного хрупкого тела, ослабленного трещиной длиной 21 и подверг¬
нутого растяжению внешними напряжениями р. Эту энергию мож¬
но представить в следующем виде:
где П0— потенциальная энергия деформируемого твердого тела
без трещины; W (/?, /) — энергия упругих деформаций, обусловлен¬
ная раскрытием трещины длиной 21 при воздействии на тело напря¬
жений р\ U (/) — поверхностная энергия трещины.
Пользуясь этим выражением энергетический метод Гриффитса
можно сформулировать так: для распространения трещины, т. е.
для увеличения ее длины 21 при заданной нагрузке р = р*, необ¬
ходимо, чтобы с ростом / энергия Я деформированного тела не уве¬
личивалась. Следовательно, предельные напряжения р = р* для
тела с трещиной длиной 2 / должны удовлетворять уравнению
Уравнение (2) — основное уравнение гриффитсовской теории
распространения трещин. На основе этого уравнения Гриффитс
исследовал задачу о разрушающей нагрузке для пластины с пря¬
молинейной трещиной (рис. 1). Для этой задачи изменение упругой
энергии W (/, р) вычисляется на основе известных соотношений
теории упругости (см., например, [103]) и выражается следующи¬
ми формулами *:
для плоской деформации
где Е — модуль Юнга; v — коэффициент Пуассона.
Поверхностная энергия трещины в данном случае определяется
равенством
где у—плотность эффективной поверхностной энергии материала.
Подставив равенства (3) и (4) в уравнение (2), после несложных
преобразований получим формулы для определения предельных
напряжений р = р*:
для плоской деформации
*	При вычислении функции W (/, р) Гриффитс использовал результаты иссле¬
дований Инглиса [194].
±-\U(l)-W(l, />*)] = 0.
(2)
W(l, р) = Лр-( 1-v2);
(3)
для плоского обобщенного напряженного состояния
(4)
г
Л (1 — V2) /	’
(5)
9

для плоского обобщенного напряженного состояния
Примечание. Если при заданной длине трещины 21 внешнее напряжение
достигает величины р = р*, то его дальнейшее увеличение (даже сколь угодно ма¬
лое) приведет к распространению трещины, т. е. к увеличению ее длины. При этом
распространение трещины будет спонтанным (неустойчивым), так как для всех
прямолинейных трещин длиной 211 Z> 21 предельное напряжение р^ <С р*. Таким
образом, для рассматриваемой задачи (см. рис. 1) по достижении внешним напря¬
жением величины р = р* распространение трещины становится неустойчивым,
следовательно, это напряжение является разрушающим.
Уравнения (5) и (5а) — известные формулы Гриффитса. Их мож¬
но записать еще так:
р* YT = const.	(56)
Равенство (56) проверялось Гриффитсом экспериментально сле¬
дующим образом. В стенках стеклянных сферических колб и ци¬
линдрических труб, диаметр которых был достаточно велик, а
толщина стенок составляла соответственно 0,25 и 0,5 мм, образо¬
вывали трещины различной длины. Затем колбы и трубки отжигали
при температуре 450° С для снятия остаточных напряжений. Под¬
готовленные таким образом колбы и трубки нагружали внутренним
гидравлическим давлением до разрушения и измеряли величину
разрушающего напряжения р* для каждой трещины длиной 21.
Результаты опыта (табл. 1) подтвердили постоянство величины
/?* YT согласно формуле (56) и тем самым теоретическую схему
Гриффитса [190].
Таблица 1
Сферическая колба
Трубка
Длина
трещи¬
ны 21,
см
Диа¬
метр,
см
Разрушающее
напряжение
Длина
трещи¬
ны 21,
см
Диа¬
метр,
см
Разрушающее
напряжение
Р*.
н/см2
p.Vi
Р*.
н/см‘
Р* //
0,371
3,78
594
258
0,635
1,50
465
262
0,685
3,88
428
250
0,815
1,81
406
253
1,370
4,06
331
274
0,965
1,88
361
250
2,260
5,07
251
266
0,710
1,55
450
267
0,660
1,57
463
265
0,762
1,55
423
259
В теоретической схеме Гриффитса при выводе уравнения (2)
действие межчастичных сил сцепления в тупиковой части трещины
определяется интегрально (путем рассмотрения баланса поверхно¬
стной и упругой энергии трещины в процессе ее распространения).
Ю

Такой подход к решению задачи о распространении трещин в
деформируемом хрупком теле хотя и дает возможность определить
величину предельного напряжения, однако не позволяет решить
другие вопросы теории трещин: о напряжениях в тупиковой части
трещины, о структуре края этой части трещины и т. п. При расчете
по формулам (5) и (5а) имеет также место следующая физически
неоправданная особенность: при уменьшении размеров трещины
до нуля значения предельных напряжений стремятся к бесконеч¬
ности, хотя в этом случае (при / = 0) разрушающая нагрузка без¬
дефектного материала должна быть конечной. Это явление не на¬
ходит надлежащего объяснения в рамках теоретической схемы
Гриффитса.
Ниже задача о распространении трещин будет сформулирована
нами как «силовая» задача механики (без привлечения энергети¬
ческого метода Гриффитса) и на этой основе будут даны более об¬
щие решения простейших задач теории трещин —решения, свобод¬
ные от указанных недостатков.
3.	Краткий обзор развития исследований
по теории трещин
Исследования упругого равновесия бесконечной изотропной плос¬
кости, ослабленной эллиптическим вырезом (в частности, прямоли¬
нейным разрезом), впервые были проведены Колосовым [60]
(1909 г.), а затем Инглисом [194] (1913 г.) и Мусхелишвили [103]
(1919 г.). Наиболее общее и эффективное решение указанной зада¬
чи дано в работах Мусхелишвили, которые имели большое значе¬
ние для последующих исследований в области теории распростра¬
нения трещин. Однако в этих работах еще не рассматриваются во¬
просы самой теории распространения трещин в деформируемом
твердом теле.
Первыми работами в области теории распространения трещин
в деформируемом твердом теле были работы Гриффитса [190]
(1920 г.), [191 ] (1924 г.), в которых развивалась идея о необходимо¬
сти учета сил межчастичного сцепления в тупиковой части трещи¬
ны. Это позволило Гриффитсу сформулировать так называемый
энергетический метод определения предельно равновесного состоя¬
ния хрупкого тела (пластины) с трещиной и впервые найти решение
задачи о разрушающей нагрузке для тела сизолированной прямо¬
линейной трещиной (см. рис. 1).
Гриффитс впервые сделал также попытку анализа структуры
края трещины в ее тупиковой области. Этот анализ, однако, выпол¬
нен им на основе классического решения теории упругости (без уче¬
та сил ослабленных межчастичных связей в тупиковой части трещи¬
ны) в предположении, что трещина имеет эллиптическую форму.
11

Такой анализ структуры тупиковой части трещины, как это будет
показано ниже, нельзя признать правильным.
Вопрос о структуре края развивающейся трещины до последне¬
го времени не имел надлежащего математического анализа. Но,
тем не менее, некоторые исследователи, исходя из физических предпо¬
сылок, отмечали, что трещины в деформируемом твердом теле не
являются эллипсоидом (даже с очень малым радиусом закругле¬
ния на концах). В тупиковой части стенки развивающейся трещины
должны смыкаться плавно, так как расстояние между стенками
трещины должно постепенно переходить в межатомное расстояние.
Вскоре после выхода в свет работ Гриффитса Смекал опублико¬
вал статью [220], посвященную обсуждению гриффитсовской теории
и некоторым аспектам ее приложений. В частности, Смекал сделал
попытку объяснить на основе этой теории причины столь большого
(на два-три порядка) расхождения между наблюдаемой (техниче¬
ской) прочностью макроскопических твердых тел и их теоретиче¬
ской прочностью, вытекающей из теории межатомных связей в кри¬
сталлической решетке. Причиной этого расхождения, как известно,
считается наличие в реальном твердом теле дефектов типа трещин.
В изданной в 1923 г. работе Вольфа [2281 были уточнены неко¬
торые расчеты Гриффитса [190], а также использован его метод для
решения задачи о чистом изгибе полосы (балки) с внутренней тре¬
щиной * (рис. 2). Кроме того, в этой работе рассматривался вопрос
о взаимосвязи между гриффитсовской теорией разрушения и выдви¬
нутыми ранее феноменологическими теориями прочности.
К этому же периоду относятся работы А. Ф. Иоффе [52] и
Я. И. Френкеля [162], в которых содержится анализ некоторых
вопросов теории прочности твердых тел и обсуждаются в связи с
этим результаты исследований Гриффитса. Опыты А. Ф. Иоффе
и его сотрудников (см. [52]) по исследованию прочности кристаллов
показали, что кристаллы каменной соли (NaCl), разорванные в во¬
де после того, как их поверхностные (наиболее дефектные) слои
растворились, обладают высокой прочностью на разрыв. В отдель¬
ных случаях эта прочность достигала 160 • 9,81 н/мм2, т. е. при¬
*	Решение задачи, найденное Вольфом, приближенное. В этом решении не
учтены контактные напряжения, которые возникают между берегами трещины при
изгибе полосы. Более полное решение задачи с учетом контактных напряжений да¬
но в работе [122].
Рис. 2.
х
О
Такие представления о структу¬
ре реальных трещин (клиновид¬
ных щелей) впервые были вы¬
двинуты в работах П. А. Ребин¬
дера [147] в связи с анализом
влияния физико-химических про¬
цессов поверхностно-активной
среды на деформацию и разру¬
шение твердых тел.
12

ближалась к теоретическим значениям (200 • 9,81 н/мм2). Этими
опытами впервые была показана реальность расчета теоретической
прочности по величине сил межчастичного сцепления.
В работе И. В. Обреимова [211] (1930 г.) рассмотрена задача
о распространении трещины при отщеплении тонкого лепестка 1
слюды от исследуемого образца 2 с помощью скользящего кли¬
на 3 (рис. 3). На основе приближенных методов теории изгиба
тонких балок в этой работе установлена формула, связывающая
плотность эффективной поверхностной энергии материала, его
упругие постоянные и параметры
развивающейся трещины. Расчет¬
ные и экспериментальные данные,
полученные в [211], впоследствии
были уточнены в работах [45, 62].		'^\У///////Аз
Из последующих исследований
по теории трещин необходимо от¬
метить работы Вестер гарда [223,
224]. В этих работах излагается
метод решения классических задач	Рис-	3.
теории упругости о растяжении —
сжатии пластин с трещинами, дается анализ распределения напря¬
жений в пластине с полубесконечной трещиной и отмечается воз¬
можность существования ограниченных напряжений в окрестности
тупиковой части трещины. Однако в работах Вестергарда вывод
о конечности напряжений в окрестности тупиковой части трещины
не связывается с определением предельной нагрузки для пластины,
ослабленной трещинами.
В 1945 г. Мотт [208] рассмотрел задачу Гриффитса как динами¬
ческую задачу теории трещин и определил скорость распростране¬
ния трещины. С этой целью он ввел в энергетическое уравнение
Гриффитса (2) кинетическую энергию единицы поверхности тре¬
щины:
-i{*p(()v(-b-J-^ + 4v/} = 0,	(6)
где р —плотность материала; k —безразмерный множитель.
Согласно этому уравнению получается следующая формула для
определения скорости = ^ распространения макротрещины:
где /0 —начальная полудлина трещины; / —полудлина распростра¬
няющейся трещины.
Анализ формулы (7) показывает, что скорость хрупкого разру¬
шения (распространения) трещины возрастает при увеличении длины
13

трещины, составляя в пределе (/ -> оо) некоторую часть скорости
распространения продольных волн*.
В 1946 г. Сак [216] применил энергетический метод Гриффитса
для решения пространственной задачи о разрушении хрупкого те¬
ла, ослабленного макроскопической дискообразной трещиной, ког¬
да тело подвергнуто на бесконечности растяжению полем однород¬
ных напряжений р, направленных перпендикулярно к плоскости
трещины.
Вычислив упругую энергию W(a, р) трещины** при действии
напряжений р и применив энергетический принцип Гриффитса,
Сак установил следующую формулу для определения значений
предельных напряжений [2161:
где а —радиус трещины.
Задачи Гриффитса и Сака были рассмотрены затем в 1947 г.
Эллиотом [184] без привлечения энергетического принципа. В этой
работе наряду с вычислением предельных значений р = р* сделана
попытка определить структуру края трещины. Для этого была
рассмотрена классическая задача теории упругости для плоскости
с прямолинейным разрезом длиной 21 (см. рис. 1) или для упругого
пространства с дискообразной круговой трещиной радиусом а,
когда каждое из указанных тел на бесконечности растягивается
напряжением р перпендикулярно к плоскости трещин. Для каждой
задачи рассчитывались нормальные растягивающие напряжения оу
в плоскостях, параллельных плоскости трещины и удаленных от
этой плоскости на расстояние ± -у Х0, где Х0 —нормальное меж¬
атомное расстояние. Кроме того, вычислялись нормальные смеще¬
ния 2и, возникающие между этими плоскостями, и строилась зави¬
симость оу(2и), включающая в виде параметров напряжение р и
размеры трещины 2а (или 21).
Реальное хрупкое тело, ослабленное трещиной, рассматривалось
затем как тело, состоящее из двух полубесконечных блоков, удален¬
ных друг от друга на нормальное межатомное расстояние Х0 и притя¬
гивающихся друг к другу силами межчастичного сцепления, дейст¬
вующими только вне области трещины. Для такого тела зависи¬
мость oy(2v), установленная в результате решения соответствующей
упругой задачи, рассматривается как истинная зависимость изме-
*	Динамические задачи теории трещин рассматривались в последние годы
многими авторами. Библиография исследований в этой области содержится в ра¬
боте Г. И. Баренблатта [8].
** В работе [216] для определения значений W (а, р) использованы результа¬
ты работ [157, 222]. Однако общее эффективное решение осесимметричной задачи
теории упругости для тела с дискообразной трещиной дано ранее М. Я- Леоновым
(8)
[63].
14

нения сил межчастичного сцепления от расстояния между поверх¬
ностями указанных блоков. Предполагается, что распространение
трещины (разрушение тела) наступает тогда, когда максимальное
значение напряжения оу (2v) достигает величины теоретической
прочности для данного материала.
Вычисленные таким путем в работе [184] значения предельной
(разрушающей) нагрузки для задач Гриффитса и Сака оказались
немного отличающимися (числовым коэффициентом) от предельных
нагрузок, установленных для этих задач в работах Гриффитса
[191] и Сака [216]. Форма развивающейся трещины, согласно
[184], отождествляется с поверхностью, описываемой функцией
смещений v ± -у
При решении задач о распространении трещин в деформируемом
твердом теле Эллиот неоправданно пренебрег силами межчастично¬
го притяжения между берегами развивающейся трещины по всей
ее поверхности. Поскольку расстояние между берегами тупиковой
части раскрывающейся трещины соизмеримо с межатомным рассто¬
янием, то в этой части трещины действуют еще силы межчастичного
сцепления достаточной величины, которые, естественно, должны
быть учтены при рассмотрении предельно равновесного состояния
тела. Таким образом, распределение напряжений и смещений в
окрестности тупиковой части трещины может существенно отличать¬
ся от соответствующих распределений, полученных Эллиотом. В свя¬
зи с этим нельзя считать строгим анализ структуры края раскрыва¬
ющейся трещины, приведенный в работе [184], а также выбор рас¬
стояния ± -у V
Исследованием структуры края развивающейся трещины и об¬
суждением теории Гриффитса занимался Я. И. Френкель (1952 г.)
[163]. Он рассмотрел задачу о полубесконечной трещине при рас¬
клинивании пластины и применил к определению формы такой
трещины теорию изгиба балок. Приближенная трактовка задачи
и допущенные неточности в вычислениях не позволили Я. И. Френ¬
келю найти правильное решение *.
Решение новых задач о распространении трещин в деформи¬
руемом хрупком теле — пластине, подвергнутой на бесконечности
растяжению однородным полем напряжений, дано Уилмором
(1949 г.) [227] и Бови (1956 г.) [177]. В работе [227] в рамках теоре¬
тической схемы Гриффитса рассмотрена задача о разрушении бес¬
конечной пластины, ослабленной двумя коллинеарными трещина¬
ми **, а в работе [177] —задача о разрушающей нагрузке для пла¬
стины с круговым отверстием, когда на контур отверстия выходят
одна или две равные трещины, направленные перпендикулярно
[108]* ^еточности» Допущенные Я- И. Френкелем, отмечены в работах [148] и
** Эта задача более просто решена в работе [123].
15

к линии растяжения. Задача Бови впоследствии была распростра¬
нена на случай других отверстий в работах А. А. Каминского
[53, 54]; аналогичная задача о квазихрупком разрушении пластины с
круговым отверстием и малыми (зародышевыми) трещинами рассмот¬
рена в работах П. М. Витвицкого и М. Я. Леонова [30, 31].
Важным этапом в развитии исследований по теории трещин яви¬
лись работы Ирвина [195—203] и Орована [213, 214, 186], в которых
теория Гриффитса распространяется и на случай хрупкого разру¬
шения пластичных материалов. Как известно, непосредственное
применение теории Гриффитса в изучении хрупкого разрушения
пластичных материалов усложняется из-за того, что такое разру¬
шение всегда сопровождается микропластическими деформациями
в области разрушения тела, хотя в целом макроскопическое разру¬
шение тела остается хрупким. Ирвин и Орован обратили внимание
на то, что в процессе распространения трещины в квазихрупком ма¬
териале микропластические деформации всегда сосредоточены в
тонком слое материала, прилегающем к поверхности трещины раз¬
рушения. В связи с этим было предложено изменить теорию Гриф¬
фитса для изучения распространения трещины в квазихрупком
материале таким образом: наряду с поверхностной энергией мате¬
риала учитывать также удельную работу (энергию) пластической
деформации, затрачиваемую на образование единицы новой по¬
верхности трещины. В этом случае формула Гриффитса для опре¬
деления величины предельных напряжений принимает следующий
вид [214]:
где Уп — удельная работа пластической деформации на единицу по¬
верхности трещины при квазихрупком разрушении; Y0 — поверх¬
ностная энергия материала.
На основе рентгеноструктурных исследований поверхности
хрупких изломов малоуглеродистой стали установлено, что уп =
2 . 10е эрг!см2. Поверхностная энергия металлов, как известно [164],
по порядку величины равна 103 эрг/см2, т. е. она на три порядка
меньше Yn. Учитывая это, в формуле (9), согласно Оровану, можно
пренебречь величиной У0.
В работе Фелбека и Орована [186] описаны специальные экспе¬
рименты по изучению хрупкого разрушения малоуглеродистой ста¬
ли. Сущность этих экспериментов такова. Были изготовлены образ¬
цы — пластины из малоуглеродистой стали, ослабленные трещиной
перпендикулярно к боковой грани. Указанные трещины образовы¬
вались следующим путем. В пластине (плите) перпендикулярно к
(9)
Тогда
(10)
16

ее боковой грани делался тонкий надрез, затем пластина охлажда¬
лась жидким азотом и в надрез забивался клин. В результате на
дне надреза образовывалась трещина. После этого верхняя часть
пластины вместе с поверхностным надрезом срезалась, и таким об¬
разом получалась плита, ослабленная трещиной. Для получения
плиты с внутренней трещиной две плиты с поверхностными трещи¬
нами сваривались так, чтобы трещины стыковались между собой и
образовывали плиту с внутренней трещиной. Плиты с поверхност¬
ными и внутренними трещинами были подвергнуты одноосному рас¬
тяжению до разрушения. Для каждой длины трещины определялись
значения разрушающих внешних напряжений.
Проведенные эксперименты показали [186], что разрушающие
напряжения действительно обратно пропорциональны квадратно¬
му корню из начальной длины трещины. Однако рассчитанные со¬
гласно данным эксперимента и формуле (10) значения Yn (при Е =
.= 2 . 106 • 9,81 н/см2) таковы: 3,4 . 10е для внутренних трещин
и 4,9 . 10* эрг!см2 для поверхностных. Полученные значения Yn боль¬
ше величины 2 . 10е эрг/см2, определенной на основе рентгенострук¬
турных измерений. Анализ поверхностей трещин разрушения в
этом случае показал, что при комнатной температуре распростра¬
нение исходной трещины в процессе нагружения пластины проис¬
ходит так: сначала в ее тупиковой части протекают значительные
микропластические сдвиги — вязкий разрыв, а затем наступает хруп¬
кий (кристаллический) разрыв; через некоторое расстояние кристал¬
лический разрыв вновь сменяется вязким.
Фелбек и Орован [186] отметили также, что для развития в пла¬
стичном материале хрупкого разрушения важную роль играет
скорость распространения трещины. Пока эта скорость мала, хруп¬
кий излом пластичного материала не реализуется. Когда скорость
распространения трещины достигает необходимой величины, на¬
ступает хрупкий разрыв, который может перейти в вязкий, если
освобождающейся упругой энергии в процессе распространения
трещины окажется недостаточно для обеспечения непрерывного
продвижения трещины с требуемой скоростью.
Концепция Ирвина —Орована о квазихрупком разрушении зна¬
чительно расширила область применения результатов теории иде¬
ально хрупкого распространения трещин.
В последние годы задача о появлении и развитии начальных ста¬
дий пластических деформаций в процессе распространения квази¬
крупкой трещины рассмотрена на основе новой модели твердого
тела в работах М. Я. Леонова и его сотрудников [28 —31, 74, 78, 149].
Экспериментальные исследования по распространению трещин в
металлах освещены в монографии Б. А. Дроздовского и Я- Б. Фрид¬
мана [47], а также Б. С. Касаткина [57].
Общий анализ энергетического подхода к изучению хрупкого и
кйазихрупкого распространения трещин в деформируемом твердом
теле выполнен в 1958—1960 гг. Бюкнером 1179]. В [179] в рамках
2 Ь. Панасюк
17

теоретической схемы Гриффитса —Ирвина —Орована отмечено,
что наличие массовых (объемных) сил не усложняет расчеты при
определении значений предельных нагрузок для тела с трещинами, а
также рассмотрены некоторые примеры разрушения вращающихся
дисков с трещинами.
Решение новых задач о распространении трещин в деформируемом
хрупком теле и, в частности, исследование случаев, когда поле внеш¬
них напряжений неоднородно, долгое время было затруднительно из-за
сложности вычисления скорости dW (/, p)/dl освобождения упру¬
гой энергии в результате раскрытия трещин. Некоторое развитие
исследований в этом направлении дано в работе Ирвина [196—199,
203]. Здесь установлены формулы, позволяющие связать значения
скорости освобождения упругой энергии трещины с коэффициента¬
ми интенсивности * упругих напряжений вблизи ее тупиковой ча¬
сти, и на этой основе получены решения задач для новых случаев
нагружения тела и расположения трещин. В частности, в работах
Ирвина [195, 197] сформулировано также утверждение о том, что
распространение трещины в хрупком или квазихрупком теле на¬
ступает тогда, когда коэффициент интенсивности упругих напряже¬
ний в окрестности контура трещины достигает некоторого постоян¬
ного для данного материала при заданных условиях значения, а в
работах [179, 199, 225] рассмотрены задачи о растяжении и изгибе
пластин (полос), с поверхностной трещиной.
Существенный прогресс в развитии теории равновесия твердых
тел, ослабленных трещинами, достигнут лишь в последние годы
в работах Ю. П. Желтова и С. А. Христиановича [49], Г. И. Барен-
блатта [4—9], М. Я. Леонова [66, 67] и других советских исследова¬
телей [10—15, 19—22, 28—32, 38, 48, 53—56, 58, 70—73, 75—77,
83—88, 91—94, 97—102, 110—139, 142, 152, 153, 166—169].
В течение 1958—1964 гг. авторами работ [5—15, 31, 70—73,
110—118] была выдвинута и проиллюстрирована рядом примеров
идея о том, что для исследования распространения трещин в дефор¬
мируемом хрупком теле, а также для построения адекватной ко¬
личественной теории этих процессов могут быть использованы
методы математической теории упругости и модель сплошной упру¬
гой среды, если межчастичные силы сцепления, действующие в ту¬
пиковой части трещины, рассматривать, как некоторые внешние
силы. В этом случае задача о распространении трещин может быть
сформулирована как силовая задача механики деформируемого твер¬
дого тела (без привлечения энергетических соображений). При таком
подходе к решению задач о распространении трещин можно пока-
*	Упругие напряжения в окрестности контура; (концов) трещины можно пред-
N
ставить в виде —=+ 0(1), гдея — малое расстояние от контура трещины, N —
У S
коэффициент интенсивности напряжений, 0 (1) — ограниченная величина при
s -*• 0.

зать, в частности, что разрывающие напряжения в тупиковой части
трещины конечны, а противоположные ее берега смыкаются плавно,
т. е. решить вопрос о структуре края трещины, а также получить
более простые уравнения предельного равновесия деформируемого те¬
ла с трещинами.
Необходимо отметить, что утверждение о конечности напряже¬
ний в тупиковой части трещины впервые было выдвинуто в работе
Ю. П. Желтова и С. А. Христиановича [49], посвященной теории
гидравлического разрыва нефтяного пласта. Использование этой
гипотезы в работах [4, 49] позволило решить некоторые задачи
о размерах раскрывающейся трещины в горных массивах, когда в
трещине создается заданное гидростатическое давление (однако,
в упомянутых работах межчастичные силы сцепления непосредст¬
венно не учитывались). Конечность напряжений в тупиковой части
трещины в этом случае ( в условиях горного массива) обеспечивает¬
ся за счет действия сжимающих сил горного давления. Работы
[4, 49] имели существенное значение для понимания структуры края
трещины и развития теории равновесных трещин.
При исследовании равновесия хрупких тел, ослабленных тре¬
щинами, а также при изучении хрупкого разрушения элементов
инженерных конструкций (когда объемные силы сжатия пренебре¬
жительно малы) весьма существенно учитывать силы межчастично-
го сцепления в тупиковой части трещины. В работах Г. И. Барен¬
блатта (1959—61 гг.) [5—7] была уточнена и дополнена постановка
задач о равновесных макротрещинах хрупкого разрушения и пред¬
ложена новая теоретическая схема решения таких задач, как задач
механики деформируемого твердого тела. Это в значительной мере
способствовало развитию исследований по теории трещин в течение
последних лет. Основные положения теоретической схемы Г. И. Ба-
ренблатта изложены в следующем параграфе.
В 1959—1961 гг. были опубликованы также исследования
М. Я. Леонова и автора [70, 71, 112], посвященные формулировке
некоторых расчетных моделей реального твердого тела для ре¬
шения задач о распространении трещин в деформируемом хруп¬
ком теле.
Расчетная модель (в дальнейшем называемая нами б^-модель
хрупкого тела), выдвинутая в работах [70, 71, 112], отличается от
теоретической схемы Г. И. Баренблатта. На основе предложенной
модели имеется возможность в едином плане исследовать равновес¬
ное состояние твердого тела, ослабленного как микро-, так и макро¬
трещинами, а также получить данные о влиянии микротрещин на
прочностные свойства твердого тела. В случае макроскопических
трещин 6^-модель хрупкого тела приводит, в частности, к тем же
результатам, что и схема Г. И. Баренблатта. Описание и применение
этой модели к решению некоторых задач теории распространения
трещин в деформируемом твердом теле дано в настоящей моно¬
графии.
2*
19

Другие подходы к решению задач о предельном равновесии хруп¬
ких тел с трещинами изложены в работах М. Я- Леонова и К- Н. Ру¬
синко [76, 77], Я. Б. Фридмана и Е. М. Морозова [165], Г. П. Чере¬
панова [168, 169], Л. М. Качанова [58]. Достаточно обширная биб¬
лиография работ по теории трещин, выполненных зарубежными
исследователями, содержится в статье [175].
4.	Продолжение обзора. Элементы теории
макротрещин
Для решения задач о предельном равновесии хрупких тел с макро¬
трещинами советскими исследователями выдвинуты новые расчет¬
ные схемы, в основу которых положено условие конечности напря¬
жений в вершине трещины и некоторые гипотезы о характере сил
взаимодействия между противоположными берегами трещины в ее
тупиковой (концевой) части. Наиболее
последовательное изложение такого.под¬
хода для макротрещин дано в работах
Г. И. Баренблатта [8].
Теоретическая схема, предложенная
Г. И. Баренблаттом,основана наследую¬
щих гипотезах.
Первая гипотеза. Ширина d (рис. 4)
концевой области трещины (т. е. об¬
ласти, в которой действуют значительные
силы межчастичного сцепления) мала
по сравнению с размерами всей тре¬
щины.
Эта гипотеза, по существу, опреде¬
ляет класс рассматриваемых трещин,
так как к некоторым микротрещинам эта гипотеза неприменима.
В дальнейшем трещины, для которых справедлива эта гипотеза,
будем называть макротрещинами.
Вторая гипотеза. Форма нормального сечения поверхности тре¬
щины в концевой области (и, следовательно, локальное распределе¬
ние сил сцепления по поверхности трещины) не зависит от действу¬
ющих нагрузок и для данного материала при данных условиях (тем¬
пературе, составе и давлении окружающей атмосферы и т. п.)
всегда одинакова (под нормальным сечением здесь понимается се¬
чение плоскостью, нормальной по отношению к контуру трещины).
Согласно этой гипотезе, область тупиковой (концевой) части тре¬
щины при ее распространении должна поступательно перемещаться,
сохраняя свою начальную форму. Это так называемая гипотеза
автономности концевой области трещины [5]. Она применима только
для тех точек контура трещины, для которых достигнута максималь¬
но возможная в данных условиях интенсивность сил сцепления.
20

/
Если на контуре равновесной трещины имеется хотя бы одна точ¬
ка, в которой достигнута предельно возможная интенсивность сил
сцепления, такая трещина называется подвижно-равновесной.
Внешние напряжения, по достижении которых равновесная трещина
переходит в подвижно-равновесную, называются предельными или
критическими.
Таким образом, вторая гипотеза и опирающиеся на нее выводы
применимы только для исследования подвижно-равновесного со¬
стояния трещины в деформируемом
твердом теле и определения пре¬
дельной нагрузки.
Третья гипотеза. Противопо¬
ложные берега трещины на ее кром¬
ках плавно смыкаются, или напря¬
жения в конце (в тупиковой части)
трещины конечны.
Эта гипотеза, как уже отмеча¬
лось, впервые выдвинута С. А. Хри-
стиановичем [49]; затем более чет¬
ко она сформулирована в работе
[5]; впоследствии в работах [6, 13]
показано ее соответствие общим
теоремам механики деформируе¬
мых тел. Гипотеза о конечности напряжений в тупиковой части
трещины, по сути, отражает тот факт, что любое реальное тело
может выдерживать только конечные напряжения растяжения.
Принятые в работе [5] гипотезы существенно упрощают анализ
равновесного состояния хрупкого тела с макротрещинами (особенно
с точки зрения определения предельных нагрузок для заданной
конфигурации трещин) и позволяет сформулировать некоторые
новые положения теории распространения трещин.
Для примера рассмотрим хрупкое (линейно-упругое вплоть
до разрушения) тело, ослабленное плоскими трещинами. Пусть
такое тело нагружается симметрично относительно плоскости тре¬
щин некоторой системой внешних напряжений, включая и силы
межчастичного сцепления G (л;) в тупиковой части трещин. Тогда
в окрестности произвольной точки М (/) (рис. 5) контура трещины
нормальные растягивающие напряжения оу (х) и вертикальные сме¬
щения v(x, 0) ее берегов выражаются формулами [8, 103]
Рис. 5.
Oy(sl) = -^ + G(l) + 0(Vs1);
V	Si
v (s2) = ± 4(1~V2)iV- У7, +о (s|/2),
(11)
(12)
где N — коэффициент интенсивности напряжений в окрестности
точки М (/) контура трещины, который зависит от характера
21

действующих нагрузок, конфигурации тела и формы трещины; и
s2 — малые расстояния от контура трещины, указанные на рис. 5;
О	OKs/) -> 0 при st -> О (і = 1; 2).
Поскольку рассматриваемое тело принимается линейно-упругим
вплоть до разрушения, значение коэффициента N можно представить
в виде суммы:
N = N0 + Nmi	(13)
где N0 —коэффициент интенсивности растягивающих напряжений
в окрестности контура рассматриваемой трещины, вычисленный в
результате решения этой задачи как задачи классической теории
упругости (без учета сил межчастичного сцепления); Nm —коэф¬
фициент интенсивности напряжения оу (sx) для такого же тела с
трещиной, но нагруженного только силами межчастичного сцепления
G(x).
Согласно третьей гипотезе растягивающие напряжения оу fo)
в тупиковой части трещины (т. е. при sl -> 0) должны быть ограни¬
чены, а берега трещины при s2 0 должны плавно смыкаться.
Из формул (11) и (12) видно, что это условие будет выполняться толь¬
ко в том случае, если коэффициент N = 0. Тогда выражение (13)
принимает вид
N0 + Nm = 0.	(14)
В соответствии с первой гипотезой ширина d (см. рис. 4) конце¬
вой (тупиковой) части трещины, в которой действуют силы сцепле¬
ния G (.х), мала по сравнению со всей областью трещины. Поэтому
для определения коэффициента интенсивности Nm напряжений
av(st) можно применить формулы плоской теории упругости для беско¬
нечной плоскости с полубесконечным разрезом, когда на берегах
разреза на участках 0 t С d действует нормальное давление
—G(t). В таком случае (после вычислений) найдем
Итг*-	(15)
о 9
Согласно	второй	гипотезе	распределение	сил	сцепления	G(t)
и ширина d концевой	области	в окрестности точек	контура	трещи¬
ны, где силы сцепления достигают максимального значения, не за¬
висят от приложенной нагрузки, т. е. d — d* = const. Для таких
точек интеграл в формуле (15) представляет собою константу,
характеризующую свойства материала при заданных условиях.
Эта константа, обозначаемая в работах Г. И. Баренблатта через /С,
называется модулем сцепления:
K=^GJ^dt	(1б)
о	^ *
Значение модуля сцепления К определяется экспериментально.
22

Таким образом, для точек контура трещины, в которых дости¬
гается максимально возможная интенсивность сил сцепления, имеет
место следующее равенство:
Nm = --^K,	(17)
а для точек, где интенсивность сил сцепления меньше максимально
возможной,—неравенство
\Ыт\<-^К.	(18)
При монотонном возрастании нагрузки, приложенной к хрупко¬
му телу с трещиной, силы сцепления в тупиковой (концевой) обла¬
сти трещины возрастают, обеспечивая конечность напряжений и
плавность смыкания ее берегов на контуре трещины. Но это возра¬
стание происходит до тех пор, пока силы сцепления не достигнут
такого максимально возможного значения, при котором будет вы¬
полняться равенство (17). Дальнейшее увеличение внешней нагруз¬
ки (даже сколь угодно малое) приведет к распространению трещины
(к перемещению ее контура) в окрестности точек, где выполняется
условие (17), а точки контура трещины, для которых сохраняется
неравенство (18), останутся неподвижными.
Таким образом, на основе равенств (14) и (17) для определения
внешних напряжений, по достижении которых трещина переходит
в состояние подвижного равновесия, получим следующую формулу:
(19)
где N о—максимальное значение коэффициента интенсивности N0
упругих напряжений на контуре трещины.
Как отмечалось выше (см. стр. 18), условие, аналогичное форму¬
ле (19), предложено в работах Ирвина [195, 197] в несколько другой
интерпретации (без анализа межчастичных сил сцепления в тупико¬
вой части трещины).
Пользуясь условием (19), можно сформулировать удобный при¬
ем для вычисления значений предельной нагрузки для хрупкого
тела, ослабленного макротрещинами. Действительно, предположим,
что хрупкое тело, ослабленное трещинами, подвергнуто нагружению
некоторой системой монотонно возрастающих внешних нагрузок Q,
симметричных относительно плоскости трещин. Пусть далее ау
(Q, s) —упругие растягивающие напряжения в окрестности
контура одной из рассматриваемых трещин, где s— малое расстоя¬
ние между некоторой точкой тела, расположенной в плоскости тре¬
щины, и контуром трещины, а, —совокупность параметров, опре¬
деляющих размеры контура трещины.
23

Напряжения Gy (Q, ah s) можно представить по аналогии с фор¬
мулой (11) в таком виде:
oy(a,,s)=	+0(1).	(20)
Vs
Внешняя нагрузка Q = Q* становится предельной для заданной
конфигурации трещины, если равенство (19) выполняется хотя бы
в одной точке ее контура. Для таких точек выражение (20) можно
записать так:
Оу (Q*, щ, s) = ~-= + 0(1).
я у S
Пользуясь этим равенством и полагая, что s 0, получаем
lim Wso'y (Q„ аі, в)|=*	(21)
s->0	31
где a* (Q*, aiys) —максимальные растягивающие упругие напря¬
жения, определенные в рамках классической модели теории упру¬
гости.
Такой силовой подход к определению предельной нагрузки для
деформируемого тела, ослабленного трещинами, не противоречит
энергетическому подходу, но он более эффективен и позволяет на¬
йти решение ряда новых задач теории распространения трещин
[5, 8]. Покажем это на примере задачи, рассмотренной в параграфе
1	(см. рис. 1). В этом случае упругие растягивающие напряжения
av(*, 0) в окрестности конца трещины рассчитываются по форму¬
ле (1). Подставив значение этих напряжений в уравнение (21) и
осуществив предельный переход при х / (х > /, s =-= х —/), на¬
йдем решение задачи:
Так как силовой подход не противоречит энергетическому [5],
то, сопоставив последнее равенство с формулами (5), получим сле¬
дующую связь между модулем сцепления /С, упругими констан¬
тами £, v и плотностью У эффективной поверхностной энергии
материала сответственно для случая плоской деформации и плос¬
кого обобщенного напряженного состояния:
к = Кг ■= Уи К = К, = |/W-	(22)
Методы экспериментального определения значений модуля сцеп¬
ления К или эффективной поверхностной энергии y описаны в рабо¬
тах [5, 59, 129].

Глава I
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ О СТАТИЧЕСКОМ
РАВНОВЕСИИ ХРУПКИХ ТЕЛ, ОСЛАБ¬
ЛЕННЫХ ТРЕЩИНАМИ
1.	Некоторые исходные понятия и опреде¬
ления
В механике деформируемых твердых тел различают две категории
сил: внешние и внутренние силы. Внешние силы (напряжения)
представляют собой различные (внешние по отношению к телу)
механические воздействия, вызывающие деформацию тела —отно¬
сительное изменение расстояния между его частицами. Внутренни¬
ми называются силы взаимодей¬
ствия (сцепления) между части¬
цами тела, проявляющиеся в ре¬
зультате его деформаций.
Силы сцепления, как извест¬
но, существенно зависят от рас¬
стояния между частицами твер¬
дого тела. Зависимость интен¬
сивности этих сил g от расстоя¬
ния г между двумя смежными
атомными плоскостями в идеаль¬
ном кристалле схематически	Рис‘
изображена на рис. 6. Функция
S(rо) ^ 0» гДе /о —нормальное межатомное расстояние, т. е. ког¬
да тело находится в недеформированном состоянии.
При увеличении расстояния г(г>г0) силы сцепления g(r)
быстро возрастают, достигая при некотором значении г = гт мак¬
симальной величины g(rm) = gm, а при дальнейшем увеличении
расстояния (г > гт) эти силы быстро убывают. Для аморфных тел
зависимость сил межчастичного сцепления имеет такой же качест¬
венный характер.
Подробное изучение зависимости g (г) — весьма трудная задача,
полного решения которой не найдено еще ни для одного материала.
Однако известно [52, 164], что площадь, ограниченная кривой
g(r) и осью Or при г > гт (см. рис. 6), равна удвоенной плотности
поверхностной энергии Yft твердого материала. Эта энергия числен¬
но равна работе, которую необходимо затратить на образование
25

двух новых единиц поверхности при идеально хрупком разделении
тела на части:
2Yo = j g (г) dr.	(1-1)
rm
Известно [52,	164]	также, что при изменении	г	в	пределах	г0 С
<	г< гт зависимость	сил межчастичного сцепления	приближенно —
/ г — го \2
с точностью до малых величин I—2 J —соответствует закону
Гука (упругая область), т. е.
g(r) = Ee,	(1.2)
где Е —модуль Юнга; є = г~"-г°	упругая деформация (отно-
го
сительное изменение расстояния г).
Максимально возможное значение упругой деформации для иде¬
альной кристаллической решетки определяется равенством
Следовательно, на основании уравнения (1.2) максимальное значе¬
ние интенсивности межчастичного сцепления можно рассчитать по
формуле
gm ^ ЕЕт-	(1-3)
Максимальное значение интенсивности сил сцепления gm опре¬
деляет теоретическую прочность тела, т. е. прочность, которую
имело бы твердое тело, если бы его структура была идеальным кри¬
сталлом. Оценка величины gm, полученная в рамках теории идеаль¬
ной кристаллической решетки [26, 52, 164], показывает, что значе¬
ния теоретической прочности кристаллических тел равны (0,01 -f-
-М),1)Е. Опыты А. Ф. Иоффе и др. [52] по изучению прочности на
разрыв монокристаллов каменной соли при растворении поверхно¬
сти образцов водой впервые показали реальность теоретической
прочности, так как в отдельных опытах была обнаружена проч¬
ность, близкая к теоретической. К такому же выводу приводят и
опыты на растяжение нитевидных кристаллов [105]. В частности,
при растяжении нитевидных кристаллов максимальное значение
упругой деформации ет достигает величины порядка 0,05, что в
соответствии с формулой (1.3) дает значение прочности, близкое
к теоретической.
2.	О расчете технической прочности твер¬
дых тел
Техническая прочность реальных макроскопических твердых тел
на два-три порядка ниже теоретической. Причиной этого, как из¬
26

вестно, является дефектность структуры реальных макроскопи¬
ческих тел.
Реальные твердые тела, как правило, неоднородны. В структуре
таких тел всегда имеются различные дефекты: скопления дислока¬
ций или вакансий, границы блоков или зерен, различные включе¬
ния, поры, трещины и т. п. Дефекты возникают при образовании
твердого тела из жидкого состояния и в процессе его деформации.
Из-за неоднородности материала в областях, где расположены де¬
фекты, происходит концентрация внутренних напряжений, в резуль¬
тате чего в отдельных областях тела внутренние напряжения до¬
стигают величины теоретической прочности, хотя средние значе¬
ния напряжений сравнительно малы. Это приводит к тому, что в
перенапряженных областях деформируемого твердого тела обра¬
зуются мельчайшие трещины (локальное разрушение).
Появление мельчайших трещин в объеме деформируемого тела
еще не означает, что целиком исчерпана его несущая способность.
Как показывают опыты, сопротивление такого тела воздействию
внешней нагрузки сохраняется до некоторых пределов и после появ¬
ления мельчайших трещин. Отсюда следует, в частности, то принци¬
пиальное научное и практическое значение, которое имеет разработ¬
ка теории развития дефектов типа трещин в деформируемом теле,
а также разработка методов определения сопротивляемости мате¬
риала развитию в нем трещины.
Согласно атомистической природе реальных твердых тел для
определения их прочности требуется изучить при заданном внешнем
воздействии характер распределения внутренних деформаций и
соответствующие им силы взаимодействия между частицами тела.
Если в качестве элементарной (исходной) частицы реального твер¬
дого тела принят атом, ион или молекула, такое исследование де¬
формаций и напряжений практически осуществить невозможно.
В механике деформируемых твердых тел в качестве исходного
объекта исследования напряжений и деформаций в реальном твер¬
дом теле принимается малый его объем, но такой, что практически
он может включать много атомов (иногда даже много зерен). В ма¬
тематическом отношении этот объем предполагается настолько
малым, что к нему применим метод математического анализа беско¬
нечно малых. Такой объем тела обычно считается упругим, т. е.
обладающим основным свойством реальных твердых тел, а именно:
способностью до определенных пределов обратимо деформироваться
под действием внешних сил. Предполагается также, что напряжения
и деформации являются непрерывными и дифференцируемыми функ¬
циями времени и координат точки тела. Таким путем в механике
деформируемого твердого тела вводится понятие «непрерывной упру¬
гой среды» или «упругого материального континуума» как расчет¬
ной модели реального твердого тела.
Переход от дискретного строения твердых тел к модели упру¬
гого материального континуума означает, что характеристика
27

прочности и деформативности реальных твердых тел осуществляет¬
ся только через усредненные значения внутренних напряжений и
деформаций по площадкам элементарных объемов.
В этом случае, т. е. в рамках модели «непрерывной упругой сре¬
ды», упруго-деформированное состояние твердого тела характери¬
зуется тем, что для каждой температуры тела существует однозначная
зависимость между напряжениями и деформациями в произвольном
сечении (точке) тела. Эта зависимость обычно считается линейной и
выражается законом Гука. В рамках такой модели эффективные
методы математической теории упругости позволяют определять
напряжения и деформации в твердом теле, если внешние воздей¬
ствия на тело не вызывают деформаций, превосходящих предел
упругости материала [33, 90, 103, 140, 150, 157, 160].
Однако прочностные свойства реальных твердых тел, как отме¬
чалось выше, существенно зависят от напряженно-деформирован¬
ного состояния в тех областях, где деформации превосходят предел
упругости. Например, в процессе нагружения твердого тела с тре¬
щинами в окрестности острия трещины деформации тела всегда
превосходят предел упругих деформаций. Следовательно, к таким
областям тела классическая модель теории упругости непримени¬
ма. В связи с этим для разработки элементов количественной теории
прочности реальных твердых тел, в частности для решения задач
о распространении трещин в деформируемом хрупком теле, модель
упругой среды необходимо дополнить некоторыми новыми свойст¬
вами, т. е. требуется сформулировать новую расчетную модель.
3.	Расчетная модель хрупкого тела
В процессе деформации твердого тела, ослабленного трещинами
или другими дефектами такого типа, в некоторых его областях (на¬
пример, вблизи острия трещины) возникают деформации, превосхо¬
дящие предел упругости, т. е. в теле появляются прослойки (обла¬
сти), в которых не выполняются условия закона Гука. В хрупких
материалах такие области представляют собой малые объемы (про¬
слойки) по сравнению с той частью тела, которая деформируется
упруго. Учитывая это и основываясь на выводах предыдущего
параграфа, реальное твердое тело, деформируемое системой внешних
сил, будем рассматривать как некоторое сплошное упругое тело
(материальный континуум), деформируемое упруго всюду, кроме
некоторых прослоек материала, в которых деформации тела превос¬
ходят предел упругости. Такие «перенапряженные» прослойки те¬
ла, где материал деформирован за предел упругости, можно мыслен¬
но удалить из тела, образовав таким образом в теле некоторые ще¬
ли — трещины, к поверхностям.которых приложены напряжения,
соответствующие действию удаленного материала.
28

Если в реальном твердом теле имеются начальные дефекты типа
трещин (узких щелей), в упругой модели твердого тела такие де¬
фекты можно представить в виде разрезов, противоположные берега
которых не взаимодействуют между собой *.
Таким образом, задачу о напряженно-деформированном состоя¬
нии твердого тела, когда в теле имеются начальные трещины, а так¬
же прослойки «перенапряженного» материала, можно свести к
задаче о напряженно-деформированном состоянии в идеально упру¬
гом теле, ослабленном трещинами, поверхности которых взаимодей¬
ствуют между собой по некоторому закону. Если силы взаимодей¬
ствия между берегами трещин определены, задача сводится к неко¬
торой смешанной задаче математической теории упругости.
При таком подходе к решению задачи прежде всего необходимо
выяснить зависимость между силами и деформациями в той части
деформируемого тела, где деформации превосходят предел упруго¬
сти. В общем случае решение такой задачи наталкивается на боль¬
шие трудности. Однако при исследовании задач о предельно равно¬
весном состоянии хрупких тел, ослабленных трещинами, при¬
ближенное определение сил взаимодействия между берегами трещины
возможно.
Действительно, рассмотрим хрупкое тело, ослабленное трещиной.
Пусть такое тело подвергнуто растяжению системой внешних сил.
Тогда при сколь угодно малой, но не равной нулю, внешней нагрузке
в окрестности острия трещины возникнут деформации, превосхо¬
дящие предел упругости. Такие области тела будем рассматривать
как мельчайшие трещины, т. е. трещины, противоположные берега
которых взаимодействуют между собой. Так как рассматриваемое
тело хрупкое, то силы взаимодействия (притяжения между бере¬
гами мельчайших трещин) определяются интенсивностью межча-
стичных сил сцепления g(r) при г > гт (см. рис. 6), где г —гт —
расстояние между берегами трещин.
Поскольку силы g (г) при г > гт изучены неполно, то, основы¬
ваясь на описанных выше общих свойствах функции g(r) и имея в
виду макроскопическую упругую модель, введем следующую ги¬
потезу.
Основная гипотеза. Для идеально хрупкого тела в рамках мо¬
дели сплошной среды силы ослабленных межчастичных связей
(g(r) при г> гт) определяются так: если расстояние между бере¬
гами трещины не превосходит некоторой величины 6k (постоянной
для данного материала при заданных условиях), они равны постоян¬
ной величине а0; если же расстояние между берегами трещины боль¬
ше 6Ь силы притяжения между ними равны нулю (рис. 7).
*	Представление трещины в виде разреза в материальном континууме (упру¬
гой модели) можно считать оправданным, поскольку характерный линейный раз¬
мер реальной трещины всегда значительно больше максимального расстояния
между ее берегами.
29

Рис. 7.
Согласно формуле (1.1) значения <т0, 6k и Y связаны между со¬
бой равенством
2у = <т06*,	(1.4)
Величина а0 равна пределу хрупкой прочности для данного ма¬
териала [16, 1581. В дальнейшем будет показано, что при решении
задач теории макротрещин, т. е. при исследовании распространения
начальных трещин, характерные линейные размеры которых до¬
статочно велики, существенно не
само значение величины а0, а значе¬
ние произведения oQ6k = 2Y.
Таким образом, расчетная модель
реального хрупкого тела представляет
собой сплошное упругое тело, кото¬
рое характеризуется следующими
свойствами:
1) максимальные растягивающие
напряжения, возникающие в таком
теле, не превосходят величины а0 —
предела хрупкой прочности матери¬
ала;
2)	зависимость между напряжениями и деформациями выража¬
ется законом Гука, если растягивающие напряжения не достигают
величины а0;
3)	в теле образуются микротрещины (области ослабленных меж-
частичных связей), если максимальные растягивающие напряжения,
вычисленные на основе линейной теории упругости, достигают ве¬
личины а0;
4)	противоположные берега таких микротрещин притягиваются
с напряжением сг0, если расстояния между берегами микротрещины
не превышают величины 6^, и не взаимодействуют между собой,
если это расстояние больше 6k. Для хрупкого материала, например
для стекла, параметр 6k определяется из условий равенства значе¬
ний плотности эффективной поверхностной энергии рассматривае¬
мого реального тела и поверхностной энергии сформулированной вы¬
ше модели, т. е. из равенства (1.4). Эта модель сформулирована
в работах [66, 70, 71, 112].
Описанная выше расчетная модель хрупкого тела с трещинами
(6^-модель) определяется помимо упругих коэффициентов (зако¬
на Гука) еще двумя характеристиками: пределом хрупкой проч¬
ности а0 и критическим интервалом 6к. В рамках этой модели можно
сформулировать общую задачу о возникновении и развитии (распро¬
странении) трещин в реальном хрупком теле как соответствующую
силовую задачу статики деформируемого упругого тела.
Для формулировки такой задачи заметим следующее. Трещина
(щель) в реальном твердом теле в рамках сформулированной моде¬
ли представляется как разрез. Область трещины, где расстояние
30

между ее берегами превосходит величину т. е. область разорван¬
ных межчастичных связей, соответствует участкам разреза, проти¬
воположные берега которого не взаимодействуют друг с другом.
Тупиковые участки трещины, т. е. области тела, где материал
деформирован за пределы упругости (области ослабленных межча¬
стичных связей) соответствуют в 6^-модели разрезам, противопо¬
ложные берега которых притягиваются с напряжением а0 пока рас¬
стояние между ними меньше 6/j.
Следовательно, распространение реальной трещины (развитие
хрупкого разрушения) в 6^-модели определяется как процесс пере¬
хода точек области ослабленных
межчастичных связей в область
разорванных связей. Следователь-
но, условие распространения ре¬
альной трещины в деформируемом
хрупком теле можно записать так
(см. рис. 8):
2Р/> (/0, /, <7*) = б*.	(1.5)
где vn (l0, I, q) —нормальная со-	Рис.	8.
ставляющая вектора смещений то¬
чек берегов трещины, вычисленная методами линейной теории
упругости в рамках сформулированной модели при q = <7*; /0 —
характерный линейный размер области начальной трещины;
<7* —параметр, характеризующий внешнюю нагрузку, q* — q (на
рис. 8/—/0—характерный линейный размер тупиковой части
трещины).
Наименьшее значение внешней нагрузки q = <7* для хрупкого
тела с трещинами, при достижении которого реализуется условие
(1.5) и, следовательно, наступает возможность распространения
трещины, называется предельной нагрузкой. Начальная трещина,
для которой выполняется условие (1.5) хотя бы в одной точке ее
тупиковой части, называется предельно равновесной трещиной.
Таким образом, изучение распространения трещин в деформи¬
руемом хрупком теле при монотонно возрастающей внешней нагруз¬
ке в этом случае сводится к решению задачи линейной теории упру¬
гости в рамках сформулированной расчетной модели и определению
параметров внешней нагрузки, удовлетворяющим условию (1.5).
4.	Обобщенная задача Гриффитса
Рассмотрим в рамках б^-модели хрупкого тела задачу о предель¬
ном равновесии бесконечной пластины, ослабленной изолированной
прямолинейной трещиной 2 /0 (рис. 9), не вводя ограничений на
длину рассматриваемой трещины.
Пусть в бесконечно удаленных точках такой пластины прило¬
жены внешние растягивающие напряжения р, направленные перпен¬
31

111111111
11
11
p
Рис. 9.
дикулярно к линии расположения трещины. Определим предельное
значение напряжений р = р*, т. е. такое их значение, по достиже¬
нии которого трещина перейдет в подвижно-равновесное состояние
и появится возможность распространения ее по сечению пластины.
Кроме того, исследуем структуру тупиковой части трещины.
Отнесем рассматриваемую пласти¬
ну к прямоугольной системе декарто¬
вых координат хОу, полагая, что тол¬
щина пластины равна единице, а тре¬
щина расположена вдоль оси х на
отрезке | х | < /0 (рис. 9). Заметим, что,
как бы ни были малы напряжения р, в
окрестности концов реальной трещины
напряжения av (.х, 0), определенные со¬
гласно линейной теории упругости,
превышают предел хрупкой прочности
материала, т. е. в этой части тела
возникают области ослабленных свя¬
зей. На основе симметрии задачи и
свойств б^-модели хрупкого тела эти
области можно рассматривать как
разрезы вдоль оси х при /0 с |*| </, противоположные берега ко¬
торых притягиваются с напряжением а0. Значение параметра / пока
неизвестно.
Таким образом, задача о напряженно-деформированном состоянии
в пластине с трещиной сводится к следующей задаче математической
теории упругости. В упругой плоскости хОу (см. рис. 9)имеется разрез
длиной 21 (—/ < х < /). На поверхностях этого разреза действуют
напряжения
0 при |а-|</0;
,ст0 при /0 <\х\</,
а в бесконечно удаленных точках плоскости
Оу(Х. оо) ^ р.
Если из напряженного состояния, возникающего в упругой плос¬
кости с разрезом 21 при граничных условиях (1.6) и (1.6а), вычтем
однородное напряженное состояние ох = хху — 0 и оу (л;, у) = р,
то получим некоторое дополняющее (вспомогательное) напряженное
состояние, исчезающее на бесконечности. На поверхности разреза
это состояние определяется граничными условиями
т,(*.0)-0; ЯМ~\Р	„.7,
I р — <т0 при /0 < I * | < /,
где qn (.х) = — ау (х, 0) —нормальное давление на поверхностях
разреза для вспомогательной задачи.
Однородное напряженное состояние не зависит от размеров тре¬
щины, поэтому при исследовании развития трещины существен¬
*ху 0) = 0; Оу (х, 0) =
(1.6)
(1.6а)
32

ным является дополняющее (вспомогательное) напряженное состо¬
яние *.
Учитывая это, определим вертикальные смещения v (.х, 0) при
\х\ </и напряжения оу (х, 0) при |дс| > / для рассматриваемой пла¬
стины с трещиной, когда на контуре трещины заданы граничные
условия (1.7). Для этого восполь¬
зуемся результатами работы [701,
где показано, что вертикальные
смещения v (jc, 0) берегов разреза
длиной 21 в упругой бесконечной
плоскости JtOу (рис. 10), когда в
точках (£, +0) и (£, —0) разреза
приложены нормальные сосредо¬
точенные силы Р, равные по вели¬
чине и противоположные по направлению, выражаются формулой
*•(*. 0) = — сРГ (I, х, £),
Здесь с—постоянная, которая для обобщенного плоского на¬
пряженного состояния равна а для плоской деформации —
О—у»)
я Е
Напряжение о£ (х, 0) при |-с| > / определяется так:
о0 (X, 0) = —.Р.У? — Р— .	(1.9)
»	я У Xі —Р |дс —К '
Если к	берегам	разреза длиной 21 приложено	нормальное давле¬
ние Цп (■*)>	представленное равенством (1.7), то в	соответствии	с вы¬
ражениями (1.8) и (1.9) вертикальные смещения v(x, 0) берегов это¬
го разреза при |дс| С / и напряжения ау (х, 0) при х > / определяют¬
ся по формулам
и (х, 0) = - с J qn (Б) Г (/, jc, 6) dt (| х | < /);
—I
' Яп (!)
(1-Ю)
Оу (х, 0)
я УXs
dl (х>1).	(1.11)
*	Такой подход к изучению напряженного состояния в теле с трещинами, по
существу, означает представление напряженного состояния в виде суммы: 1) на¬
пряженного состояния в теле без трещины при заданной системе внешних напря¬
жений; 2) напряженного состояния в таком теле с трещинами, к берегам которых
приложены нормальные давления, равные по величине напряжениям, возникаю¬
щим в сплошном теле в области расположения трещин.
Поскольку первое напряженное состояние не зависит от размеров трещины,
условия распространения трещины целиком определяются на основе второго на¬
пряженного состояния.
3 В Панасюк
33

Подставив в формулы (1.10) и (1.11) выражение для qn (Q из ра¬
венства (1.7) и вычислив необходимые интегралы, получим
v (*, 0) = 2пер У /2 — хг + сст0 |(х — /0) Г (/, х, /0) —
—	(х + 1<>) Г (/, дс, — /0) — 4 УР—х2 arccos -у-j (| х | -< /);	(1.12)
°у(х'0) = я yh^n Iя(р — °о) (х~ Vх2 — р) +
+ 2стоДСarcsin-j- + а0Ух2 — /2 X
/2 _!_ W 1ч
(*>/).	(1.13)
г •	/2	—*/0	•	l2	+	xl о
X [arcsin 7Т^ - arcsin J(7T7J
Напряжения ay (x, 0), представленные формулой (1.13), при про¬
извольном значении параметра / становятся неограниченными, если
х -> /. Однако, учитывая свойства расчетной модели, эти напряже¬
ния должны быть ограниченными. Следовательно, параметр / дол¬
жен быть таким, чтобы условие конечности напряжений ау (х, 0)
выполнялось при х -+L Необходимым (а также достаточным) ус¬
ловием ограниченности напряжений ау(х, 0) при х /, как это сле¬
дует из формулы (1.13), является равенство нулю выражения в фи¬
гурной скобке этой формулы. Полагая, что х = / и приравнивая
полученное в этом случае выражение в фигурной скобке нулю, полу¬
чаем следующую формулу для определения параметра /:
р — —a0 arccos-у- или / = /0 sec .	(1-14)
JT	I	zo0
Пользуясь равенством (1.14), формулу (1.12) можно преобразо¬
вать к такому виду:
у (X, 0) = са0 ((х - /0) Г (/, х. У - (X + /0) Г (/, *, -/„)}, (1.15)
где — I < X < I.
Дифференцируя равенство (1.15) по х и принимая во внимание,
что
дГ (I, х, I) _	2	УIі —
дх	~ У Іг —Xі (х — 1)
(1.16)
получим	'
v' (х, 0) = ccJq\Г(1,х,.\) +Г(/, х, — /„)}.	(1.17)
Из уравнений (1.15) и (1.17) следует:
v(l,0) = v'x(l,0) = 0 (»; = ■!).	(1.18)
Равенства (1.18) показывают, что (в отличие от представлений
Гриффитса о закругленности концов развивающейся трещины [190])
34

противоположные берега реальной равновесной трещины на ее кон¬
туре смыкается плавно (с нулевым углом раскрытия).
Пользуясь формулами (1.14) и (1.15), легко определить расстоя¬
ние 2и (jc, 0) между противоположными берегами равновесной трещи¬
ны при \х\ < / для любого значения внешней нагрузки р < а0.
В частности, расстояние между противоположными берегами трещи¬
ны в точках с абсциссой х = ± /0 выражаются так:
6 = 2і>(± /0, 0) = — 8/0ca0ln(cos-|£-j .	(1.19)
В соответствии с принятой моделью предельное значение внеш¬
ней нагрузки для тела с трещиной определяется из равенства (1.5).
Следовательно, для определения величины предельной нагрузки
р = р^ при заданной длине /0 начальной трещины (см. рис. 9) на
основе равенства (1.19) и условия (1.5) получим следующую формулу:
6* = 2v (± /0, 0) = — 8/0со0 In |cos -^~ j
или
2 (	?i_\
Рх = —о0 arccos \е 8/«а«с ).	(1.20)
Формула (1.20) получена в работе [112], а также другим путем —
в работе [32].
Если начальная длина трещины /0 достаточно велика, так что
можно считать /0 > 6Ь то, сохраняя в формуле (1.20) величины
только первого порядка малости и принимая во внимание равенство
(1.4), получаем известную формулу Гриффитса:
При /0	0 формула (1.21) дает бесконечно большое значение
р*. Из формулы же (1.20) при /0	0 имеем р* -► о0, т. е. пластина
с трещиной «нулевой длины» имеет прочность бездефектной пласти¬
ны. Этот физически тривиальный результат не следует из других,
существующих в настоящее время, обобщений теории Гриффитса.
5.	Структура края равновесной трещины
Рассмотрим более подробно структуру края равновесной трещины
в хрупкой пластине (см. рис. 9). Этот вопрос, как уже отмечалось,
имеет принципиальное значение, в частности, он весьма важен при
исследовании воздействия поверхностно-активных сред на деформа¬
цию и разрушение твердых тел [81, 82, 147].
Формулы (1.8) и (1.9) позволяют представить смещения v(x, 0)
берегов трещины и напряжения ау (х, 0) вне этой трещины для лю¬
бой нормальной нагрузки, приложенной к берегам трещины. Имея
3*
35

это в виду, предположим, что к берегам трещины (рис. 11) приложе¬
но произвольное нормальное давление qQ (де), а в тупиковой части
трещины (/0 < \х\ < /) действуют ослабленные силы молекулярно¬
го сцепления общего вида G (дс), которые характеризуют напряжен¬
ное состояние материала, деформированного за пределом упругости.
Таким образом, к берегам разреза будет приложено нормальное дав¬
ление
*w = |*,w	(,.22,
1<7о(*) — О(х) при /0<|*|</.
Тогда, согласно (1.6), (1.8) и
(1.9), получим
v(x, 0) =
= -cU«(6)r(/,*,6)dg
—і
(І де I </);	(1.23)
1 p
a„ (де, 0) = я yXі — l-
in® VP-Vdj
x-l
(1.24)
Поскольку в рамках принятой модели в любой точке тела растя¬
гивающие напряжения оу (х, 0) не должны превышать величины
хрупкой прочности, то, как это следует из выражения (1.24), долж¬
но выполняться условие
lim
x-W+0
с я*®УР-У<К о
J	х — 1
—I
(1.25)
При достаточно общих предположениях относительно функции
qn (£) интеграл, входящий в формулу (1.24), можно представить в
следующем виде:
J Яп&УР-Г. dt = щп (X) vXх—Iі + 1И-Д»(х) (х > I), (1.26)
где і = У —1; Аса (де) — главная часть [1031 функции qn (г) У Р — г2
при \г\ -> оо, когда г — х + itf, У 0.
Согласно формуле (1.26) условие (1.25) будет выполнено, если
Лте(/) = 0.
(1.27)

В этом случае напряжения оу (х, 0), определяемые формулой
(1.24), будут не только ограниченными (равными qn (/)), но и непре¬
рывными в точке х = L
Дифференцируя формулу (1.23) по х, получаем
<W«/>.	(1.28)
Интеграл, входящий в эту формулу, аналогично (1.26) опреде¬
ляется равенством
У	dt = niAoo (X) (\х\< I),	(1.29)
где Лес (х) имеет то же значение, что в формуле (1.26).
Из формул (1.27)—(1.29) следует, что при х -> / имеем
lim v' (х, 0) = 0.	(1.30)
х-*1
Таким образом, согласно (1.30) можно установить общее свойст¬
во структуры края равновесной трещины: противоположные бере¬
га равновесной трещины на ее контуре смыкаются плавно (с нуле¬
вым углом раскрытия). Кроме того, равенства (1.25) и (1.30) пока¬
зывают, что условие плавности смыкания берегов трещины на ее
контуре равносильно условию конечности растягивающих напря¬
жений в этих точках *.
Проверим последнее утверждение на примере обобщенной зада¬
чи	Гриффитса.	Для	этого продифференцируем	формулу	(1.12) по
х и приравняем	нулю значение v'x (х, 0) при х ==	/. В результате по¬
лучаем равенство
I 		h
1~—(1.31)
cos-^-
2(т0
Пользуясь равенством (1.31), формулу (I. 12) легко преобразовать
к виду
v (х, 0) = са0 {(лс — /0) Г (/, х, /0) — (* + /0) Г (/, х, — /0)).	(1.32)
Здесь
—	/ X ^ /,'
Г (/. х, У = Ш P-*-/t*»-*)tP-_g>.
/г-*Іо+/(*2-*2И*2-52)
где |о = ± lo■
*	Эти свойства структуры края равновесной трещины установлены на основе
других соображений для случая достаточно развитых трещин также в работах
[5 и 8].
37

Таким образом, формула (1.32) совпадает с формулой (1.15).
На примере обобщенной задачи Гриффитса исследуем структуру
края равновесной трещины на границе между областью ослаблен¬
ных и нарушенных межчастичных связей, т. е. в окрестности
точек х = ± /0 (см. рис. 9). Для этого заметим, что v (х, 0) при
х = ± /0 есть функция ограниченная, а производная этой функции
по х выражается равенством (1.19). Согласно свойствам функции
Г (I, X, у, где £о = ± /0, имеем
lim v (х, 0) -* оо,	(1.33)
х-,о±0
а вторая производная от функции v (х, 0) изменяет знак при переходе
через точку х=±10. Это значит, что точки (+/0, 0) и (—/0, 0) являют¬
ся точками перегиба этой функции. Функция v (х, 0), представлен¬
ная формулой (1.32), в интервале —/<* С / других особых точек
не имеет. Граница между областью разорванных межчастичных свя¬
зей (областью начальной трещины) и областью ослабленных меж¬
частичных связей (тупиковой частью трещины) характеризуется в
рамках принятой б^-модели наличием особых точек (точек пере¬
гиба) в структуре края равновесной трещины
Для иллюстрации изменения структуры края равновесной тре¬
щины в пластине (см. рис. 9), когда внешнее напряжение р = кр*
монотонно возрастает, рассмотрим следующий пример. Пусть /0 =
= 0,1 см\ Е = 107 н/см2\ У = 2 • 10-4 дж/см2\ а0 — 0,01 Е. Тогда,
пользуясь формулой (1.20) и равенством а06к = 2у, легко найдем
р* = 0,0113945<т0.
Отсюда и по формуле (1.32) для каждого значения нагрузки
р = kp* получим значения параметра / = /0(1 + 10-56x), где вели¬
чину находят из приведенных ниже данных:
k .... 0,1	0,5	0,8	1,0
бі ... 0,16	4,00	10,25	16,02
Для удобства вычислений формулу (1.32) запишем в следующем
виде:
Пользуясь этой формулой и приведенными выше данными, мож¬
но рассчитать значение функции	Для каждой точки х в интер¬
вале \х\ С /. На рис. 12, а по данным табл. 2 построены графики,
характеризующие изменение формы (структуры) края равновес¬
ной трещины при монотонном возрастании нагрузки р -- кр* (на
рис. 12, б приведены графики раскрытия только тупиковой части
трещины для рассматриваемого примера).
38

Таблица 2
V
(t)
MM
X
k = 0,1;
6 = 0,5;
k = 0,8;
k= 1,0;
^0
6f = 0.16
5, = 4,00
6, = 10,25
6, = 16,02
0,00
7,15538
35,77656
57,28336
71,61830
0,25
6,92818
34,64057
55,46417
69,34571
0,50
6,19674
30,98359
49,60928
62,02333
0,80
4,29332
21,46643
34,37182
42,97497
0,90
3,11896
15,59554
24,97282
31,22361
0,95
2,23428
11,17261
17,89237
22,37160
0,99996
0,064636
0,367284
0,731400
0,947328
1,00000
0,006400
0,159998
0,410060
0,640750
1,0000008
0,001702
—
—
—
1,00002
—
0,042624
—
—
1,00003
—
0,014081
0,197925
—
1,00004
—
—
—
0,344235
1,00005
—
—
0,113738
—
1,00008
—
—
—
0,171058
6.	Основные положения теории
макроскопических трещин
Если характерный линейный размер начальной трещины D (рис. 13,
где плоскость чертежа —плоскость трещины) достаточно велик по
сравнению с параметром 6k данного материала, то характерный ли¬
нейный размер области ослабленных межчастичных связей (ли¬
нейный размер тупиковой части трещины d) мал по сравнению с D:
6* «А ^«D.	(1.34)
39

Начальные трещины, для которых справедливы неравенства
(1.34),	будем называть макроскопическими. При таком определении
макроскопические трещины представляют собою класс трещин,
подчиняющихся первой гипотезе теории Г. И. Баренблатта [81
(см. параграф 4).
Оценку минимальной величины характерного линейного разме¬
ра макроскопической трещины можно осуществить на примере
обобщенной задачи Гриффитса. Для это¬
го формулу (1.20) запишем в следующем
виде:
4'’"arccos^ '' -	(1.35)
—	k	=	JU.
Рис. 13.	\	/
Для макроскопической трещины справедливы неравенства
(1.34).	Поэтому, согласно формуле (1.35), с точностью до малых
величин -у- имеем
А-36»
На рис. 14 приведены графики изменения предельных напря¬
жений р* в зависимости от ве- ^
личины X = -х- , где кривая 1 (С
построена по данным формулы
(1.35),	а кривая 2 — по дан¬
ным формулы (1.36). Согласно
этому графику, начиная с °>75
X = 10, кривые изменения
предельной нагрузки р* прак¬
тически совпадают, так как 0,25
различие между ними не пре¬
вышает 2% (табл. 3). Отсюда
следует, что применение фор¬
мулы (1.36) для определения величины предельной нагрузки мож¬
но считать оправданным, если /0> 10d*.
Таким образом, приходим к следующей приближенной оценке
величины характерного линейного размера D начальной макроско¬
пической трещины:
D>10d, = -^-.	(1.37)
ЙС00
Для макроскопических трещин по б^-модели хрупкого тела лег¬
ко получим соотношения, указанные в параграфе 4 введения. Рас¬
смотрим это на примере.
40

Пусть в пластине имеется прямолинейная изолированная мак¬
ротрещина длиной 2/0. Введем прямолинейную систему декартовых
координат хОу так, как это показано на рис. 11, и предположим, что
к берегам трещины приложено нормальное давление q0 (х) при
\х\ < d (d < /0), а в бесконечно удаленных точках пластины напря¬
жения отсутствуют. В силу свойств расчетной модели и аналогично
Таблица 3
/о
d*
p<2)
♦
O0
P(1)
		*_
Оо
# •
р<»
*
0,00
1,000000
0,05
4,026337
1,000000
3,0263
одо
2,847050
0,999971
1,8471
0,20
2,013168
0,995710
1,0218
0,40
1,423525
0,947684
0,5021
0,60
1,162303
0,879031
0,3222
0,80
1,006584
0,815013
0,2350
1,00
0,900316
0,760168
0,1394
2,00
0,636620
0,585121
0,0880
3,00
0,519798
0,491457
0,0577
4,00
0,450158
0,431656
0,0428
5,00
0,402634
0,389356
0,0341
6,00
0,367552
0,357433
0,0283
7,00
0,340287
0,332246
0,0242
8,00
0,318310
0,311722
0,0211
9,00
0,300105
0,294580
0,0187
10,00
0,284705
0,279984
0,0168
50,00
0,127324
0,126900
0,0033
100,00
0,090032
0,089881
0,0017
тому, как это сделано в параграфах 4 и 5, вертикальные смещения
v (.х, 0) берегов трещины для рассматриваемой задачи представим в
таком виде:
v(x,0 ) = -cJ qn(l)T(l,x,l)dl (І де I </),
-Z
(1.38)
где / — абсцисса границы контура трещины.
Нормальное давление^ (|) в формуле (1.38) определяется равен¬
ством
(<7о (I) при 111 < а;
Яп (5) =	0	при а < 111 < /0;
. — о0 при /0 < | де | < I.
Для рассматриваемого нами случая
М*. 0) = -^L_j
Яп (Ю Уіг-Іг
nVx*
(1.39)
dt (*>/).	(1.40)
-і
41

Из-за ограниченности напряжений ау (х, 0) при х -> / + 0 долж¬
но выполняться равенство
Пт Г Ян(^уР — 1* dl = 0.	(1.41)
*-►/+0	х	ъ
Воспользовавшись выражением (1.39), равенство (1.41) можно
записать так:
ли* {? ^+І *) -	■*
(1.41а)
Введем параметр
є =	.	(1.42)
‘О
Рассматриваемая нами трещина макроскопическая, поэтому
(I — Iq) С	~	2/0 « 21) и, следовательно, є< 1. Имея это
в виду, равенство (1.41а) с точностью до величины порядка є можно
представить в виде
2/О0О У2е = J	d£.	(1.43)
—а
Аналогично предыдущему, из формулы (1.38) с точностью до
малых величин є получаем
у (/0, 0) — — 4с/о0ое + 2с У2г J	|2 d|.	(1.44)
—а
Если параметры, определяющие внешнюю нагрузку qQ(x), тако¬
вы, что рассматриваемая трещина становится предельно равновес¬
ной, то выполняется условие (1.5), т. е. и(10, 0) = -^-б*. В этом случае
величина є достигает некоторого предельного значения е* = —~
*о
и на основании равенства (1.5), (1.43) и (1.44) выражается формулой
е* = • <L45>
Отсюда и на основе равенства (10) получаем
(1-46)
где /* —значение параметра I для предельно равновесной трещины.
В правой части формулы (1.46) содержатся величины, не завися¬
щие от характера нагрузки и начального размера трещины, поэтому
можно сделать вывод, что для данного материала при заданных ус¬
ловиях размер тупиковой области предельно равновесной макроско¬
42

пической трещины — величина постоянная. Таким образом, для
макроскопических трещин справедлива гипотеза об автономности
концевой (тупиковой) области предельно равновесной трещины.
В рамках сформулированной модели хрупкого тела в случае
макроскопических трещин справедлива следующая формула для
определения величины предельной нагрузки:
где сту (s, <7*) —разрывающие напряжения, вычисленные для рас¬
сматриваемого тела на основе классической модели теории упруго¬
сти ііри нагрузке q <7*; s —расстояние точек тела, расположен¬
ных в плоскости трещины, от контура трещины; К —модуль сцеп¬
ления [8].
Осуществив предельный переход в левой части равенства (1.41а)
и вычислив входящие в эту часть интегралы, это равенство можно
представить с точностью до малых величин (порядка е включитель¬
но) в следующем виде:
где оу (лс, q) — упругие разрывающие напряжения для пластины
с макроскопической трещиной длиной 2/0, когда к берегам этой
трещины при \х\ С а приложены внешние нагрузки q0 (*),
Формула (1.48) справедлива для любой нагрузки, не превосхо¬
дящей-предельного значения. Если же внешняя нагрузка достига¬
ет величины предельного значения (в рассматриваемом нами слу¬
чае q = <7*), параметр е рассчитывается по формуле (1.45). Имея
это в виду, а также учитывая равенство (1.49), для определения ве¬
личины предельной нагрузки в случае макроскопической трещины
получим следующее равенство:
(1.47)
Кроме того,
У&-Щ = V s У 2/0 -f- s,
(1.49)
где
s = (x — /0).
ІІШ (у say (s, ?*)) =	у	.
(1.50)
43

Используя уравнения (1.4) и (1.42), правую часть равенства
(1.50)	приведем к следующему виду:
<l51>
где для плоской деформации
для плоского обобщенного напряженного состояния
К = У^Ёу.
В дальнейшем для определения величины предельной нагрузки
для хрупкого тела, ослабленного макроскопической трещиной, бу¬
дем пользоваться в основном равенством (1.47) или же равенством
(1.50).
7.	Предельное равновесие бесконечной
плоскости с прямолинейной трещиной,
когда к ее берегам
приложены сосредоточенные силы
Рассмотрим бесконечную пластину единичной толщины, ослаблен¬
ную прямолинейной изолированной трещиной длиной 2/0 (рис. 15).
Введем систему прямоугольных декартовых координат хОу, пола-
пластины совпадает с координатной
плоскостью хОу, а трещина распо¬
ложена вдоль оси х на отрезке а0 <
<	х < 60, гдеа0, Ь0 — абсциссы кон¬
цов трещины (2/0 = Ь0 — а0). К бе¬
регам трещины в точках (£lt +0)
и (£х,—0) приложены равные по
величине и противоположные по
направлению сосредоточенные си¬
лы Р. (Если толщина пластины
равна hy а приложенная к бере-
сила равна Ри то Р = -у- .j
Определим для такой задачи значение предельной нагрузки. Для
этого воспользуемся сформулированной 6^-моделью хрупкого те¬
ла. В соответствии со свойствами этой модели рассматриваемая за¬
дача сводится к следующей задаче математической теории упруго¬
сти. В упругой плоскости хОу (рис. 16) имеется трещина длиной Ь—
а, где а, b —абсциссы граничных точек между упруго деформиру¬
ющейся частью материала и трещиной. На границе этой трещины
в точках (glf +0) и (|х,— 0) действуют нормальные растягивающие
гая, что срединная плоскость
гам трещины сосредоточенная
44

сосредоточенные силы Р а на участках а < Jt < а0 и 60 < х < 6 —
нормальное давление (—ст0). Необходимо определить вертикальные
смещения v (х, 0) берегов трещины и параметры Ь и а.
Если воспользоваться выражением (1.8) и преобразовать* функ¬
цию Г(/, Ху £) применительно к системе координат, указанных на
рис. 16, то для определения вертикальных смещений v(xt 0) берегов
рассматриваемой трещины получим
следующую формулу:
и(*, 0) = — сРН (a, b, X, I) +
+ са01 j Н (а, Ь, х, £)	+
Ь
+ |Я(в, Ь,х, l)dl
, (1.52)
*
Ов
Рис. 16.
где а < х С b ; с — постоянная, равная для обобщенного плоского
напряженного состояния Н (а, Ь, х, £) —функция влияния
(функция Грина), для рассматриваемой трещины
Н {а, Ь, х, I) =
' а + Ь
= In
ф — х) (х — а) + (| — х) | а~*~ - — xj + У(Ь — х) (х — а) (Ь — |) (£ — а)
(1.53)
Для облегчения дальнейших расчетов заметим, что
2 \-a-b
j Н (а, Ь, х, \)dl=2V(b — x)(x— a) arccos 21 ь^а
—	{х — Ъ)Н (а, Ь, х, Б);
Их (а, Ь, х, Б) =
Hi (а, Ь, х, Б) =
2 У (Ь-1)(1-а)	.
(х-%)У ф-х)(х-а) ’
2	У (fr-x)(I^j~
(1.54)
*	Для указанной цели необходимо заменить переменные х и £ в формуле
(1.8) на переменные соответственно х — / — а и £ — I — а и положить / =	.
45

Воспользовавшись формулами (1.54) и вычислив интегралы,
входящие в уравнение (1.52), найдем
v {х, 0) = — сРН (а, Ь, х, h) + сст0 |(х — b0) Н {а, Ь, х, Ь0) —
— (х — а0) Н (а, Ь, х, а0) + 2 У (b — x)(x — a) ^arccos-2д°^>~а —
—	я — arccos 2&0а"'"")] (а ^ *•<&)•	(1.55)
Согласно формуле (1.30) на контуре раскрывающейся трещины
всегда должны выполняться условия
lim v'x (х, 0) = 0; lim v'x (*, 0) = 0.	(1.56)
x-ya	x-*b
Дифференцируя выражение (1.55) по x и удовлетворяя равенст¬
вам (1.56), получаем
_ 2Р У(Ь-Ши-^_ +	{ф_а) f (Qt b< Ь ) + 2f {а, b, а0,b0)| =0;
а — ьі.
— 2Р	+ ао j _ ф _ а)	(а> Ь> до>	+
+ 2/2 (а, Ь, а0, &0)} = 0,	(1.57)
где
г /	#	1 ч	—	Ъ	—	а	2bn — b — а
fi(а, Ь, а„, b0) = arccos \_а	п — arccos \_а	;
/2 (а, Ь, а0, &0) = ]/ (b — b0)(b0 — a) — V(b — а0) (ай — а).
Равенства (I.57) выражают связь между нагрузкой Р и параме¬
трами b и а при любом значении Р <; Р*. Пользуясь этими равенст¬
вами и вычитая из первого равенства второе, найдем
Р = — a0V (&-Ex) (Si-*)/і (а, 6, feo).	(1.59)
На основе выражения (1.59) первое уравнение системы (I.57) мож¬
но записать так:
2/2 (a, b, а0, b0) — (b +а — 2|х)	(а, Ь, а0, Ь0) = 0.	(I.60)
Согласно равенству (I.59), формулу (I.55) можно привести к
виду
v(х, 0) = са0 [V (b — lJih — a)(а, Ь, а0, b0)Н(а, Ь, х, |х) +
+ (х — b0) Н (а, Ь, х, Ь0) — (х— а0) Н (а, Ь, х, а0) +
+ 2 У(Ь — х) (х — а) (а, Ь, а0,60)}.	(I.61)
Поскольку для рассматриваемой задачи внешняя нагрузка Р
несимметрична относительно концов трещины и (gx—а)<С(Ь—^),
46

условие (1.5) для определения предельной нагрузки Р = Р* при¬
нимает вид
v (а, 0) =	б*.
Пользуясь формулой (1.61), это условие запишем так:
V Фі — У (Si — а*) fi (я*> К а0, ь0) Н (a*, bv а0, у —
Фо #о) И (^*>	^0>	Ь0)
+ 2 Уфі — а0) (а0 — а*) /г (а*, Ьг, а0, Ь0) =	,	(1.62)
где Ьх —значение абсциссы Ьу когда параметр а достигает предель¬
ной величины а*.
Это	одно из	уравнений	для определения параметров	Ьх	и а*.
Другое	уравнение	получим из (1.60), полагая, что Ь = Ьхк	а	= а#:
2/2 (а,,,	а0, 60) =	(by + а* — 2у /х (а*. bv а0, b0),	(1.63)
где функции fx и f2 представлены равенствами (1.58).
Если параметры Ь1 и а* определены, то согласно равенству
(1.59) значение предельной нагрузки Р = Р* для рассматриваемой
задачи (рис. 16) рассчитывается по формуле
Р* =	°0 КФ\	£і) (^і	я*) /1 (я*> ао> К).	(1*64)
Частный случай этой задачи, когда силы Р приложены по сере¬
дине трещины, исследован в работе [ИЗ]. Ниже более подробно
исследован случай макроскопической трещины (практически сосре¬
доточенные силы могут быть приложены лишь к берегам таких тре¬
щин). Введем следующие параметры:
Є1 = h	а°	И Є2 =	Ь°~а	■	(1‘65)
Oq	а0	о0 — а0
Для макроскопической трещины параметры ех и е2 положитель¬
ные величины, они малы по сравнению с единицей. Из равенств
(1.65) находим
b = b0 + (b0 — а0) Ej; а = а0 — (Ь0 — а0) е2;
Ьг = Ь0 + (Ь0 — а0) е°; а* = а0 — (Ь0 — а0) є*.
Выражения (1.58) можно преобразовать к виду
h к, о», К) = - arccos 4^- - arccos	;	(16?)
/2 (а1( 6*, а0, 6о) = (b0 — а0)	\У (1 +	—	]/	(1 + е«)	],
где t|j = є*	є°;	Т]2 = є°	+ є*;	значения ej и	є*	определяются	ра¬
венствами (1.66).
47

Выражая в формулах (1.62)—(1.64) величины bt и а* через
параметры соответственно и el, разлагая полученные выражения
в ряды по малым параметрам е° и є* и пренебрегая величинами по-
/ ї±і\
рядка 0 п J, где п > 1, получаем
(Ь0-2|, + Оо) е* + 2 (Ь0 - yj/efe; =
Ф0~1дУ^=
(1.68)
Р* = 2а0 VФо - ii) (h - а0) (/е° + V4’ )•	(1-69)
Решение системы (1.68) имеет вид
2/0е2 — а0 а* — gc^ ;
.о _ Ь-Ьщ _ (ti~а,)2
*1 “	2/0	~	(6#-Ы2 2'
(1.70)
2/0 — &о Оо. 5i а0	5i-
Выражение (1.70) для е* подобно формуле (1.46) и показывает
автономность тупиковой части предельно равновесной макроско¬
пической трещины для рассматриваемой задачи.
Согласно равенствам (1.69) и (1.70)
г> 	 ^*1* 		1Г (*0 аа) (ьі о»)	/і 71 \
** - А - ^ у ь,,—^	*	(L71'
где Л —толщина пластины.
Для практических расчетов предельной нагрузки Р = Р* в
случае макроскопической трещины длиной 2/0 = Ь0 —а^, (см.
рис. 15), когда сосредоточенные силы Р приложены к берегам
трещины несимметрично относительно ее концов, формулу (1.71)
целесообразно записать так:
Р’ = К	(р.=т).	С-72)
где |0 —минимальное расстояние между точками приложения сил
Р и концами трещины, £0 = її — ао-
Формулу (1.72) легко получить также непосредственно из урав¬
нения (1.47). Действительно, преобразовав выражение (1.9) к систе¬
ме координат, указанных на рис. 15, получим
о0 (*, 0) = Р / (*>о-Іі)(!і-До)	(1	73)
»v ’	я/(&„-*) (а,-|’
где а0 < 5і < Ь0) х < а0, или х > Ь0.
Подставляя выражение (1.73) в равенство (1.47) и замечая, что
при jc-<a имеем s = (а0 —jc), после несложных преобразований
48

получаем формулу (1.71). Полагая, что а0 = —Ь0 и ^ = 0, получа¬
ем формулу для определения нагрузки Р1#, когда сосредоточенные
силы приложены симметрично относительно концов трещины:
Рх* = hK /Щ,	(1.74)
где /0 = Ь0 -—полудлина трещины. (Формула (1.74) получена ранее
в работах [5, ИЗ.])
Из формулы (1.74) следует, что, чем больше длина прямолиней¬
ной трещины в бесконечной пластине, тем больше величина сосредо¬
точенных сил Рг = Р1#, необходимых для ее распространения.
Это значит, что в данном случае проис¬
ходит устойчивое распространение тре¬
щины (для сравнения см. стр. 10).
Из равенства (1.71) легко получить
формулу для определения величины пре¬
дельной нагрузки Рх = Ры, когда бес¬
конечная пластина ослаблена прямоли¬
нейной полубесконечной трещиной
(рис. 17), а на расстоянии |0 от конца
трещины приложены сосредоточенные СЮ1Ы Рх. Для этого необхо¬
димо принять, что — а0 = и Ь0 -> со. Выполнив также преоб¬
разование в формуле (1.71), получим
=	(1.75)
Для пластины с полубесконечным разрезом, полагая, что Ь0
со, а0 -> 0, h = |0, из формулы (1.73) найдем
а° (*, 0) =	^при х<0.	(1.76)
Кроме того, используя формулу (1.52), можно построить также
функцию влияния Н0 (х, £). Для этого в уравнении (1.52) следует
принять а = 0, Ъ -> оо и осуществить необходимые преобразова¬
ния. Тогда
Я(0, оо, X, I) = Н0(х, I) = 2 In	.	(1.77)
у х + У s
С помощью этой функции можно определить форму раскрыва¬
ющейся трещины в виде полубесконечного разреза в пластине
(см. рис. 17), когда к берегам трещины приложены произвольные
нормальные нагрузки, исчезающие в бесконечно удаленных точках.
Функция (1.77) получена ранее другим путем в работе [64].
4 В. Панасюк
49

Глава II
МЕТОДЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОЙ
ПОВЕРХНОСТНОЙ ЭНЕРГИИ
1.	Вводные замечания
Для определения предельных значений внешней нагрузки для твер¬
дого тела с трещинами необходимо знать величину эффективной
поверхностной энергии у данного материала. Эта энергия в числен¬
ном выражении представляет собой работу, которую необходимо
затратить на образование единицы поверхности данного материала
при заданных условиях (температуре, давлении, окружающей сре¬
де). Такая характеристика материала связана с модулем сцепления
К формулами (22).
В случае идеально хрупкого отрыва, когда новая поверхность
образуется без микропластических деформаций, эффективная по¬
верхностная энергия является усредненным значеним истинной по¬
верхностной энергии материала. Если же образование поверхности
тела сопровождается появлением микропластических деформаций
в приповерхностном слое новой поверхности, т. е. когда образова¬
ние новой поверхности является квазихрупким, то значение эффек¬
тивной поверхностной энергии будет больше истинного значения
удельной поверхностной энергии данного материала. В этом случае
величина у представляет собой сумму удельной поверхностной энер¬
гии материала Уо и плотности энергии микропластических дефор¬
маций уп, возникающих в приповерхностном слое образующейся
поверхности.
Прямое измерение величины у сопряжено с большими трудностя¬
ми, поэтому до сих пор не создано эффективных методов ее измере¬
ния. Обзор исследований по данному вопросу содержится в работах
[34, 62, 187]. Ниже обсуждается возможность использования для
этой цели результатов теории равновесных трещин.
2.	Экспериментальное определение
эффективной поверхностной энергии
хрупких материалов
Для прямого измерения величины у весьма важен выбор схемы
нагружения пластины с трещиной. Схема нагружения должна
быть такой, чтобы распространение трещины в теле (образование
50

новых поверхностей) было устойчивым, а не спонтанным. При таких
условиях в любой момент деформации тела распространение трещи¬
ны можно остановить, прекратив увеличение внешней нагрузки, раз¬
грузить тело и определить
работу, затраченную на обра¬
зование новой поверхности.
Имея это в виду, эффектив¬
ную поверхностную энергию Y
можно определить следующим
образом [129]. Из хрупкого
материала изготовляют образ¬
цы — пластины размером а X
.X 2L (рис. 18). В центре каж¬
дой пластины просверливают
небольшое отверстие. По диа¬
метру отверстия в пластине
создают макроскопическую
трещину длиной 2/0. Пластину с трещиной нагружают с помощью
специального устройства (рис. 19) силами Р в соответствии со схе¬
мой, указанной на рис. 18. При такой схеме нагружения имеющаяся
Рис. 18.
Рис. 19.
в пластине макроскопическая трещина при возрастании сил Р сна¬
чала раскрывается, достигая предельно равновесного состояния,
а затем начинает распространяться по сечению пластинки (пунктир¬
ная линия на рис. 18). В рассматриваемом нами случае нагружения
пластины распространение трещины будет устойчивым, если /0« L
(см. формулу (1.74)).
4*
51

Рассмотрим две точки В и А (см. рис. 18), расположенные на
противоположных берегах трещины в окрестностях отверстия. Пусть
v—смещение этих точек относительно друг друга в процессе деформа¬
ции пластины силами Р. Если для каждого значения Р будет изме¬
рена величина v, то в плоскости (Р, v) можно построить кривую Рп
(рис. 20). Площадь, ограниченная этой кривой, осью Ov и верти¬
кальной прямой v= vny равна работе, совершенной силами Р
при увеличении их от нуля до зна¬
чения Рп.
Обозначим эту работу через Лх.
Пусть в результате увеличения сил Р
от 0 до Рп длина трещины увеличи¬
лась от 2/0 до 2/л. Разгружая плас¬
тину, т. е. уменьшая нагрузку Р,
измеряем величину v для Р,- < Рп.
Согласно полученным данным, в плос¬
кости (Р, и) строим кривую Рг (рис. 20).
Площадь, ограниченная кривой
Ph осью Ov и прямой v = vn, равна
работе А2, которая освободилась
системой в процессе разгрузки.
Таким образом, при нагружении пластины с трещиной силами
Рп (см. рис. 18), в результате чего произошло распространение тре¬
щины на величину 2А/ = 2 (1п —/в), и последующей разгрузке
системы имеем следующий баланс работы:
(Н.1)
АЛ = Ах — А2.
Величина необратимой работы АЛ в этом случае представляет
собой в численном выражении площадь, ограниченную кривыми
Рп и Pi (заштрихованная область на рис. 20). В результате деформа¬
ции пластины с трещиной (нагрузка — разгрузка силами Р) в пла¬
стине образуются новые поверхности общей площадью
AS = 2А2 (In — /0),
(П.2)
где h —толщина пластины.
Если у — плотность эффективной поверхностной энергии дан¬
ного материала (эффективная поверхностная энергия, приходящаяся
на единицу поверхности), то работа, затраченная на образование
в этом материале поверхности площадью AS, определяется равенст¬
вом
Ш = yAS - 4yh (In — О.	(II.3)
Поскольку для принятой схемы нагружения при плавном уве¬
52

ZL
Г
1 н
цп;
Рис. 21.
личении нагрузки Р происходит плавное (без динамических воз¬
мущений) раскрытие и распространение трещины, то
АЛ = MJ.	(II.4)
Если нагрузка Р = Рп мала и распространения трещины не
происходит (/0 = /;1), то, согласно (II.3), Ш = 0. В этом случае,
как показывает эксперимент, и необратимая работа АЛ тоже равна
нулю.
На основании равенства (II.3)
и (II.4) получаем следующую фор¬
мулу:
Таким образом, для определе¬
ния плотности эффективной поверх¬
ностной энергии хрупких материа¬
лов необходимо растянуть пласти¬
ну (образец) в соответствии со схе¬
мой нагружения, указанной на
рис. 18, определить величину АЛ,
измерить прирост трещины АI =
= К—А» а затем по формуле (II.5) вычислить величину y-
Формула (II.5) может быть использована также для определения
величины у и по другой схеме нагружения пластины, например
по схеме, указанной на рис. 21, но в этом случае
Д/= -(1,-1,).
Следовательно, методика прямого измерения эффективной по¬
верхностной энергии хрупких материалов основывается на измерении
необратимой работы, которая сопровождает процесс распростране¬
ния прямолинейной трещины в хрупкой пластине, когда пластина
нагружается монотонно возрастающими сосредоточенными силами,
приложенными к берегам трещины, а затем разгружается в резуль¬
тате монотонного уменьшения этих сил. Такая методика нагруже¬
ния обеспечивает устойчивое распространение трещины по сечению
пластины и позволяет непосредственно измерять работу, затрачен¬
ную на образование новых поверхностей данного материала, т. е.
непосредственно измерять величину Y-
Измерение величины y Для силикатного
стекла. Описанная выше методика была использована в ра¬
боте [129] для определения эффективной поверхностной энергии
силикатного стекла. С этой целью из листового стекла в состоянии
поставки были изготовлены пластины-образцы (см. рис. 18) таких
размеров: а = 40 см\ L = 25 см.
Стекло имело следующий химический состав: 72,68% Si02,
1,17% R203> 7,73% CaO, 3,8% MgO, 13,73% Na20, 0,89% S03.
53

В центре каждой пластины сверлили отверстие диаметром при¬
мерно 1 см, после чего по диаметру отверстия с помощью стекло¬
реза образовывали трещину (надрез). Затем пластину нагружали
согласно схеме, приведенной на рис. 18, на специальном жест¬
ком приспособлении (см. рис. 19), в результате чего трещина рас¬
крывалась по всей толщине пластинки вдоль надреза 2/0. Подготов¬
ленную таким образом пластину нагружали на специальной уста-
Рис. 22.
новке (рис. 22), где измеряли действующие на образец силы Р и
соответствующее им расстояние V.
Для этой цели использована установка (рис. 22 и 23), схема
которой приведена на рис. 23, б. Две двутавровые балки 6 и 9 соеди¬
нены между собой четырьмя стойками 7. На балке 6 установлена
червячная пара. При вращении ручки червяка 4 в ту или другую
сторону червячное колесо — гайка сообщает плавное поступатель¬
ное движение винту 5. На балке У установлен динамометр /, с по¬
мощью которого можно фиксировать значение сил Р. Пластину 10
нагружают через тяги — захваты 3 и 2, соединенные с пластин¬
кой через отверстие. Тяга 3 соединена также с винтом 5, а тяга 2 —
с динамометром 1. Между стояками установки вмонтирован микро¬
скоп (типа ПМТ-3), с помощью которого измеряют величину рас¬
крытия трещины, т. е. расстояние v между точками Aw В. Ванночка 8
54

служит для удержания жидкой среды, если требуется, например,
изучить ее влияние на величину у.
На этой установке стеклянные пластины-образцы нагружали при
комнатной температуре до тех пор, пока начальная длина трещины
2/0, увеличиваясь, дости¬
гала некоторого значе¬
ния 21п\ при этом из¬
меряли расстояние v для
фиксированных значе¬
ний Р < Рп и строили
по этим данным кривую
Рп. Затем нагрузку пре¬
кращали увеличивать и
измеряли конечную дли¬
ну трещины. После этого
Рис. 23.
пластину разгружали и для фиксированных значений Р < Рп опять
измеряли величину V И строили кривую Pj. По данным измерений
для каждой пластинки строили диаграмму необратимой работы.
Потом с помощью планиметра вычисляли площадь диаграммы, т. е.
величину Л А. Согласно полученным данным (АЛ, А 1п) и по формуле
(II. 5) рассчитывали значение эффективной поверхностной энергии
для материала каждой пластины (табл. 4). На рис. 24 приведен
график необратимой работы для одной из пластин этой серии при
55

А/ = 2,6 см\ АЛ = 2,3 • 10~4 дж\ у = 2,01 • 10~4 дж/см2 (зату¬
шеванные кружки на рисунке соответствуют нагружению, незату-
шеванные — разгружению).
На рис. 25 представлена кривая изменения нагружения — раз-
гружения пластины с трещиной, когда нагрузка Р не вызвала рас-
Рис. 24.	Рис.	25.
пространения трещины (Р < Я*), т. е. когда А 1п = 0. В таком слу¬
чае, как видно из рис. 25, в пределах точности эксперимента АЛ = 0.
Среднее значение эффективной поверхностной энергии силикатного
стекла Yep = 2,1 • 10-4 дж/см2 (табл. 4).
Таблица 4
N° пла¬
стины
h, см
2/0. см
2 \п, см
2Д/, см
дд- ю4,
дж
т-ю4,
дж/см2
1
0,26
8,0
9,9
1,9
2,2
2,2
2
0,25
4,8
7,6
2,8
3,2
2,3
3
0,25
7,6
14,2
6,6
6,6
2,0
4
0,22
13,6
16,3
2,7
2,4
2,0
5
0,22
16,3
18,8
2,5
2,0
1,8
6
0,22
18,8
21,2
2,4
2,6
2,4
7
0,22
21,2
23,8
2,6
2,3
2,0
8
0,22
23,8
28,1
4,8
4,2
2,2
Аналогичным образом была измерена величина y для силикат¬
ного стекла и по схеме нагружения, указанной на рис. 21. При та¬
кой схеме нагружения получены аналогичные диаграммы необра¬
тимой работы АЛ (рис. 26). Результаты измерений приведены в
табл. 5 (Yep = 2,2 . 10~4 дж/см2).
Определение величины y Для органиче¬
ского стекла. По указанной выше методике (аналогично тому,
как это делалось для силикатного стекла) были проведены измере¬
ния величины y для органического стекла (плексигласа). Испыта¬
ния проводили на пластинах размером 23 х 47 см (табл. 6). Со¬
56

гласно полученным данным, для органического стекла vco =
= 1,5 • 10—2 джісм2.
Если подставить это значение уср в формулу для определения
модуля сцепления Кср = VяЕуср и принять во внимание, что для
органического стекла Е =
Таблица 5	=	2)45	.	Ю5	я/сж>> то п0_
лучим Кср » 1100 н/см3/2.
Это значение близко к
значению К = 1500 н/см3/2,
приведенному в работе [5].
0,28
2,28
0,28
0,28
0,28
0,53
0,53
0,53
4.3
6,2
5.2
6.4
4.2
5.9
6.9
7,7
5,5
7.8
6,4
7.2
5.2
6.9
7,7
9,0
1,2
1,8
1,2
0,8
1,0
1,0
0,8
1,3
1.3
2,2
1,7
1,1
0,9
2.3
1,9
3,1
1,9
2,2
2,6
2,4
1,6
2,2
2,2
2,2
Таблица 6
ІЗ
SB
а
•с
а
о
CS
8
04
8
<
<м
о
4
і
0,58
2,5
4,4
1,9
3,6
1,6
2
0,58
4,4
6,7
2,3
3,4
1,3
3
0,58
6,7
8,8
2,1
3,9
1,6
4
0,58
8,8
14,3
5,5
8,2
1,3
5
0,59
3,0
5,5
2,5
4,3
1,4
6
0,59
5,5
8,5
3,0
5,5
1,6
7
0,59
8,5
11,3
2,8
5,4
1,6
8
0,59
11,3
14,6
3,3
6,4
1,6
Р,н
150
100
50
/
А
/
//
7
/
/
/
/
0	4	в	цмкм
Рис. 26.
3.	Определение величины у
на основе формул
теории распространения трещин
В параграфе 7 гл. I показано, что в случае растяжения бесконеч¬
ной пластины с прямолинейной макротрещиной длиной 2когда
сосредоточенные силы Р приложены к берегам трещины на равном
удалении от ее концов, связь между длиной трещины и величиной
предельной нагрузки выражается формулой
P*i = KhV% (i = 0, 1,2, 3...),
где Л —толщина пластины.
57

Из этой формулы находим
К = Р*‘— •
hVW, ’
р2
V	= 			(ІІ-6)
Y	2ИїяЕ^і •	'
Здесь для обобщенного ПЛОСКОГО напряженного СОСТОЯНИЯ El =
£
= Е\ для плоской деформации Ег =	где	Е	—модуль Юнга;
v —коэффициент Пуассона.
Если начальная длина 21} трещин не слишком велика и в ограни¬
ченной пластине напряженно-деформированное состояние, вызван¬
ное силами Р в окрестности трещины, можно считать совпадаю¬
щим с таковым в бесконечной пластине с трещиной такой же длины
и при тех же нагрузках, то формула (II.6) может быть использова¬
на для определения эффективной поверхностной энергии материа¬
ла. Для этого необходимо определить значение Р*, для фиксирован¬
ной длины трещины 2/;, а затем вычислить величину у по форму¬
ле (II.6).
Приложить сосредоточенные силы непосредственно к берегам
прямолинейной трещины затруднительно. Однако это затруднение
легко устранить, если в пластине просверлить небольшое отверстие
(см. рис. 18) и рассматривать пластину как ослабленную круговым
отверстием с радиальными трещинами. Такая задача отличается
от рассматриваемой нами, но, как показывают расчеты [8, 117]
(см. гл. V), зависимость нагрузки Р* от длины 2lL для указанных
задач практически совпадает, если > 1,5, где R — радиус кру¬
гового отверстия. Имея это в виду, в работах [127, 129] формула
(II. 6) была использована для определения величины у силикатного
стекла. Полученные таким путем средние значения у сопоставле¬
ны с данными параграфа 1 настоящей главы.
Определение величины у Для силикат¬
ного стекла. Для проведения экспериментов была изготовле¬
на партия стеклянных пластин размером 25 х 25 см (химический
состав стекла указан на стр. 53). В центре каждой пластины сверли¬
ли отверстие диаметром примерно 1 см. По диаметру отверстия
в пластине была образована сквозная прямолинейная трещина дли¬
ной 4—5 см. Такие пластины нагружали (см. рис. 18) на специаль¬
ной установке (см. рис. 23). В процессе нагружения пластины сила¬
ми Р для фиксированных значений 2/,• > 2/0 измеряли величину
предельной силы Р^і (і = 1, 2, 3...) до тех пор, пока не начинало ска¬
зываться влияние края пластины.
Результаты экспериментальных измерений величины Р^ (сред¬
ние по каждой пластине) приведены в табл. 7.
58

Пользуясь этими данными и формулой (II.6), можно легко
определить плотность эффективной поверхностной энергии. Зна¬
чения у у рассчитанные таким (не прямым) методом для силикатно-
10е н/сма-
»
Таблица 7
го стекла (табл. 7, уср = 2,1 . 10джісм2', Е = 6,7
v = 0,24) хорошо согласуются
с результатами прямого из¬
мерения этой характеристики
(см. табл. 5).
Определение ве¬
личины у для угле¬
родистой стали [59].
Значение модуля сцепления К
и эффективной поверхностной
энергии y Для углеродистой
стали У8 определяли на образ¬
цах листовой стали размером
36 X 18 см у изготовленных
из пластин толщиной 2—
2,5 мм. В центре каждой
пластины-образца создавали
определенной длины перво¬
начальный концентратор-над -
рез и вырезали отверстие для
присоединения тяг в процес¬
се нагружения пластины. Для
обеспечения квазихрупкого
разрушения образцы с над¬
резом сначала нагревали до
температуры 810 Т 10° С в электропечи, а затем охлаждали (зака¬
ливали) в масле при температуре 20—25° С. Затем образцы подверга¬
ли отпуску: нагревали до температуры 190° С и охлаждали вместе
с печью. После этого, чтобы снять окалины и волнистость, пласти¬
ны-образцы сошлифовывали с обеих сторон до толщины 1,5 мм.
Шлифовка производилась на плоско-шлифовальном станке с мини¬
мальной вертикальной подачей и обильным охлаждением во избе¬
жание наклепа и нагрева приповерхностного слоя. Для проверки
однородности образцов после термической обработки определяли
их твердость по Роквеллу, которая находилась в пределах 62—
66 HRC.
Подготовленные таким образом пластины-образцы нагружали
силами Р согласно схеме, указанной на рис. 18.
Чтобы получить исходный надрез естественной остроты в тупи¬
ковой части трещины, перед началом эксперимента каждую пласти¬
ну нагружали на разрывной машине без динамометра (см. рис. 23)
до такой величины нагрузки Я, при которой длина надреза увели¬
чивалась по всей толщине пластины на 6—10 мм. После этого пласти¬
ну нагружали так, как это показано на рис. 23 (с подключением тяг
№ пла¬
стины
5
сч
3
•е
і
•
а. ї
Ї ;?
1
5,0
0,22
34
69
2,1
2
6,0
0,22
37
69
2,1
3
6,6
0,22
38
67
2,0
4
5,7
0,28
44
66
2,0
5
6,0
0,28
47
68
2,1
6
5,5
0,28
43
66
2,0
7
4,7
0,28
39
64
1,8
8
4,9
0,28
41
66
2,0
9
5,7
0,28
46
69
2,1
10
5,5
0,27
47
74
2,5
11
6,0
0,27
48
72
2,3
12
7,4
0,27
53
72
2,3
13
3,9
0,40
58
73
2,4
14
5,8
0,40
68
70
2,2
15
8,4
0,40
76
66
2,0
16
5,3
0,56
88
68
2,1
17
6,3
0,56
98
70
2,2
18
7,2
0,56
108
72
2,3
19
4,6
0,58
83
67
2,0
20
6,1
0,58
98
68
2,1
21
7,7
0,58
106
66
2,0
59

к динамометру) и измеряли величину Р*, для каждой трещины с
фиксированной длиной 2lt (точки на рис. 27).
По данным измерений и формуле (II.6) вычислено среднее значе¬
ние модуля сцепления: Kcv = 2,27 . 104 нісм?12. При данном значе¬
нии КСр кривая, рассчитанная по формуле (1.74), хорошо согласу¬
ется с экспериментальными точками на рис. 27.
На основании этих данных (К
ср
6800
= 2,27 • 104 h/cmW и Е =
== 2,06 • 107 н/см2) для за¬
каленной углеродистой ста¬
ли марки У8 имеем уср =
= 7,5 • 10-2 джісм2.
Полученные таким об¬
разом значения у во много
раз больше предполагаемо¬
го значения истинной по¬
верхностной энергии метал¬
лов (примерно 10 ~Адж1см2).
Это объясняется тем, что
в приповерхностном слое
металлов процесс образования новой поверхности сопровождается
микропластическими деформациями, на что расходуется энер¬
гия значительной величины. В работе [186] отмечено, что для
малоуглеродистой стали тонкий слой, прилегающий к поверхности
разрушения, пластически деформирован даже тогда, когда макро¬
скопическое разрушение можно считать практически хрупким.
Согласно рентгенографическому анализу, проведенному Фел-
беком и Орованом [186], для малоуглеродистой отожженной стали —
удельная работа пластической деформации уп = 2 • 10-1 дж!см2.
Следовательно, при квазихрупком разрушении доминирующей в
затратах работы на образование единицы новой поверхности будет
работа пластической деформации в зоне разрушения.
4.	Применение метода трещин
для определения величины у
на образцах небольших размеров
Выше описана методика определения эффективной поверхностной
энергии хрупких материалов, когда из данных материалов можно
было изготовить пластины-образцы достаточно больших размеров.
В некоторых случаях (например, при определении величины y мо¬
нокристаллов) образцы изготовляют сравнительно малых размеров,
в связи с чем к таким образцам нельзя применять непосредственно
аналитические решения, полученные для бесконечной пластины с
трещиной, а получение пластин —монокристаллов больших разме¬
ров затруднительно. В связи с этим для экспериментального опре¬
деления величины y целесообразно использовать аналитические
60

соотношения, характеризующие распространение трещин в пласти¬
нах (полосах) конечной ширины.
Распространение прямолинейной трещи¬
ны в полосе. Пусть полоса конечной ширины 2 L и толщины
h (рис. 28), ослабленная прямолинейной сквозной изолированной
трещиной длиной 2/0, растягивается сосредоточенными силами Р,
приложенными к берегам трещины на равном удалении от концов.
Определим значение предельной нагрузки Р = Р*.
Точное решение задачи сопряжено с большими математическими
трудностями. Поэтому ниже будет приведено приближенное реше¬
ние, полученное в работах [5, 12] на осно¬
ве метода последовательных приближений,
развитого в работах [95 и 172]. В качестве
первого приближения принимается поле
напряжений в полосе (— L < * < L;
—оо <г/ < оо) бесконечной пластины с пе¬
риодической системой трещин длиной 2/0,
расположенных вдоль прямой (оси Ох)
с центрами в точках х = ± 2я/, где п —
целое число. Предполагается, что к бере¬
гам каждой трещины приложены внешние
нагрузки такие же, как и для рассматривае¬
мой полосы (см. рис. 28). В этом случае
на линиях х = ± L касательные напряже¬
ния равны нулю, а нормальные отличны от нуля. Как было отме¬
чено в работе [8], нормальные напряжения, совпадающие с направ¬
лением плоскости трещины, не оказывают существенного влияния
на распространение прямолинейной трещины. В связи с этим можно
ограничиться только первым приближением.
Упругие разрывающие напряжения ау (.х, 0) для рассматривае¬
мой полосы (рис. 28) в первом приближении легко определяются сог¬
ласно решению, полученному в работе [197]:
л/0
Рис. 28.
Р sin
Оу (х, 0) =
2 L
2hL sin ■
2 L
sirr
лх
~2L
— snr
Jt/0
2 L
-1/2
(H-7)
Вблизи концов трещины, т. е. при х = ± (/0 + s), где s —ма¬
лая величина, имеем
М*,0)=		1	,	.	J—	+	0(1).	(II.7а)
й|/ 2nLsin^- Г*
Тогда на основе равенства (1.47) в рассматриваемом нами слу¬
чае
Р*==К1ГУ 2я£ sin ■
(II.8)
61

Для случая плоского обобщенного напряженного состояния
(тонкая пластина) К = YпЕу и, следовательно, формулу (II.8)
можно записать так:
Y =
2Eh2L sin
я/о
(I I-9)
Пользуясь приближенной формулой (II.9), легко определить
значение y для образцов сравнительно небольших размеров.
Примечание. Если поперечный размер 2 L полосы (см. рис. 28) намно¬
го больше 2/0, т. е. /0 <С L, то (с точностью до малых величин -j- включительно)
из формул (II.8), (II.9) следуют формулы
(II.6).
Интересно было сопоставить значения
у, рассчитанные согласно эксперименталь¬
ным данным по формулам (II.6) и (И.9).
С этой целью была подготовлена и испы¬
тана (по методике, описанной в параграфах
1	и 2) при комнатной температуре серия
пластин из силикатного стекла с различ-
2,0
KS
І—От--
0,15
0,25
Рис. 29.
Т
ным соотношением ~ . Затем по формулам
(ІІ.6), (11.9) для каждой пластины рассчи¬
таны значения у [Рис* 29, где кривая 1
построена по результатам формулы (II.9), а кривая 2 — по результатам фор¬
мулы (ІІ.6)]. Согласно рис. 29, формула (11.6) может быть использована для опре¬
деления величины у только при С 0,25. Приближенная формула (II.9) может
быть использована для определения у хрупких материалов на пластинах с любым
соотношением Однако для точного определения величины у на образцах ма-
лых размеров необходимо строгое решение задачи для случая распространения
макротрещин в пластине ограниченных размеров (см., например, работы [24, 25,
79, 80, 173]).
Определение величины y на образцах
монокристаллов NaCl. Для подготовки образцов таких
монокристаллов для эксперимента * была использована установка,
работающая по принципу Киропулоса [3, 61]. В качестве исходно¬
го материала для выращивания монокристаллов применяли соль
марки ХЧ, содержащую около 1% примесей. При выращивании
из такого материала монокристаллов NaCl большая часть приме¬
сей остается в остатке расплава в тигле. Для получения более чис¬
тых монокристаллов применяли двойную кристаллизацию. Снача¬
ла выращивали несколько кристаллов с повышенной скоростью
*	В подготовке образцов NaCl и проведении эксперимента принимали участие
инженеры Б. Т. Дяченко и С. Т. Баранович.
62

роста, затем при соблюдении оптимальных условий роста из полу¬
ченных небольших кристаллов выращивали один кристалл для
опытов. Выращенные таким путем кристаллы отжигали при темпе¬
ратуре 740—750° С в течение 12—16 чу а потом медленно охлаждали
с заданной скоростью 50 градіч до температуры печи 200°С, после
чего дальнейшее охлаждение печи происходило самостоятельно.
Таким путем были подготовлены монокристаллы NaCl в виде
цилиндров со средним диаметром примерно 50 мм и высотой 80 мм.
Цилиндрический кристалл раскалывали на диски толщиной 1 —
3	мм. Острым ножом из дисков выкалывали прямоугольные пластины
(табл. 8). В центре каждой	Таблща	g
№ пла¬
стины
5
•с
5
о
сч
з
Cl
аГ
оІ
Zl
1
0,28
0,65
1,70
53,4
470
2
0,26
0,50
1,30
32,6
270
3
0,28
0,70
1,40
48,3
440
4
0,26
0,65
1,40
42,6
400
5
0,30
0,70
1,40
45,0
330
6
0,29
0,75
1,80
43,3
260
7
0,24
0,55
1,38
37,0
370
8
0,27
0,65
1,82
45,1
350
9
0,30
0,75
1,15
41,4
380
10
0,20
0,68
1,17
27,5
340
11
0,26
0,64
1,27
30,4
220
12
0,20
0,62
1,38
34,8
460
измеряли под микроскопом
пластины с помощью сверла,
смоченного водой, высверли¬
вали небольшое отверстие
(диаметром 2 мм). По диаметру
отверстия лезвием безопасной
бритвы в пластине создавали
небольшую трещину длиной
2/0. Чтобы при образовании
начальной трещины кристал¬
лическая пластина не раска¬
лывалась надвое, по краям
пластины (перпендикулярно
к направлению трещины) на¬
матывали с небольшим уси¬
лием нить, которую убирали
после нанесения трещины. Раз¬
меры каждого образца и трещины
с точностью до 0,1 мм.
Подготовленные образцы монокристаллов NaCl нагружали си¬
лами Р согласно схеме, указанной на рис. 30, и для каждой длины
трещины (2/0) измеряли предельную нагрузку Р (с точностью до
25 г). Все измерения проводили при комнатной температуре. По
данным этих измерений для определения эффективной поверхност¬
ной энергии Y (или К) была использована формула (11.9) (для
NaCl имеем Е = 4,87 . 106 н/см2).
По результатам экспериментов установлено, что для NaGl
Yep = 360 . 10~7дж/см2 (табл. 8). По данным табл. 9 можно заклю¬
чить, что значения у для NaCl, полученные на основе метода трещин,
согласуются с экспериментальными данными работ [62, 174, 193,
2051. Расхождение экспериментальных и теоретических данных, по-
видимому, объясняется тем, что теоретические значения поверхно¬
стной энергии ионных кристаллов типа NaCl рассчитаны для крис¬
таллов идеальной структуры при температуре абсолютного нуля.
Использованные же в экспериментах монокристаллы NaCl не имели
идеально совершенную структуру. Величину у измеряли при комнат¬
ных условиях (температуре и влажности), что могло обусловить
63

неидеально хрупкии отрыв, и, следовательно, некоторую затрату
энергии на образование микропластических деформаций в припо¬
верхностном слое распространяющейся трещины.
В связи с этим представляет инте¬
рес изучение свойств приповерхност¬
ного слоя развивающейся трещины и
определение величины Y при изменении
(повышении или понижении) темпера-
'/////,
ZL
га
Таблица 9
Теоретическое
значение
V*H>7 ,
дж/см2
Источник
Эксперимен¬
тальное зна¬
чение у •10?,
дж/см2
Источник
150
[176]
276
[174]
164
[162]
366
[193]
130
[35]
381
[205]
187
[229]
300
[621
155
[218]
360
По дан¬
172
[50]
ным
213
[51] -
табл. 8
Рис. 30.
туры тела, а также при воздействии на тело окружающей его по-
вер хностно-активной среды.
5.	О влиянии поверхностно-активной среды
на изменение эффективной поверхностной
энергии материала
Несущая способность деформируемых твердых тел в некоторых слу¬
чаях существенно зависит от окружающей тело рабочей (поверх¬
ностно-активной) среды. Для деформируемого твердого тела с тре¬
щинами это влияние сказывается в первую очередь на изменении
эффективной поверхностной энергии данного материала. Как впер¬
вые было отмечено П. А. Ребиндером [147], поверхностно-активная
среда влияет на характер деформации и разрушения твердых тел
главным образом в окрестности острых (тупиковых) концов разви¬
вающихся трещин. Именно в этих областях деформируемого тела
адсорбционное влияние среды, вызывающее изменение величины
Y, и приводит к изменению прочностных свойств твердого тела в
целом.
Следовательно, помещая образцы в различные среды и определяя
в каждом конкретном случае величину уу можно получить оценку
влияния этих сред на прочностные свойства материала образцов
при квазистатическом нагружении. Такие исследования по изуче¬
нию влияния некоторых поверхностно-активных сред на измене¬
64

ние эффективной поверхностной энергии силикатного стекла про¬
ведены в работах [127, 128].
По методике, описанной в параграфах 2 и 3 настоящей главы,
были определены значения эффективной поверхностной энергии
для силикатного стекла в сухом воздухе и в поверхностно-активной
среде (воде, метиловом спирте, вазелиновом масле) при комнатной
температуре. Химический состав стекла был следующий (%):
72,7 Si02; 1,45 А1203; 7,6 СаО; 3,73 MgO; 14,05 Na20; 0,1 Fe203; 0,37 S03.
Опытные пластины, вырезанные из листового стекла в состоянии
поставки, имели такие размеры: 2L х а = 36 х 22 см (см. рис. 18).
В центре каждой пластины
просверливали небольшое Р,н
отверстие диаметром при¬
мерно 8 мм у по диаметру от- шд
версти я создавали сквозную
начальную трещину длиной
2/ < Подготовленные
таким образом пластины-
образцы нагружали через
отверстие тягами 7 и 8
(см. рис. 22). Для каждого
значения I определяли силы Р*, а затем по формуле (II.6) рас¬
считывали величину у.
На рис. 31 показана зависимость силы Р от длины трещины
для случая, когда пластину испытывали сначала в сухом воздухе
при комнатной температуре (рис. 31, кривая /), а затем в воде при
комнатной температуре (кривая 2), после чего она была высушена
при температуре 30° С в течение 5 ч и опять испытана при комнат¬
ной температуре в сухом воздухе (кривая 3). Для материала указан¬
ной пластины среднее значение эффективной поверхностной энергии
силикатного стекла в сухом воздухе и в воде соответственно было
равно 2 • 10~4 и 1,5 • 10дж/см2. Аналогично были испытаны
12 пластин. Средние значения эффективной поверхностной энергии
по всем пластинам следующие: в воздухе у = 2,4 • 10~* дж/см2,
в воде у = 1,8 • 10-4 дж/см2.
Таким же образом было исследовано влияние метилового спирта
и вазелинового масла на изменение величины у для силикатного
стекла. В результате этих исследований установлено [127, 128],
что при погружении стекла в воду последняя как весьма поверхност¬
но-активная среда [1, 2] по отношению к силикатному стеклу су¬
щественно (примерно на 25%) уменьшает величину у» метиловый
спирт — приблизительно на 15%, а вазелиновое масло не снижает
величины у-Полученные данные соответствуют результатам рабо¬
ты [18].
Рис. зі.
5 В. Панасюк
65

6.	Об оценке склонности металла
к хладноломкости
Эффективная поверхностная энергия у> как уже отмечалось, есть
сумма истинной поверхностной энергии (y0) данного материала и
энергии пластических деформаций (уп) в тонком слое материала,
прилегающем к поверхности трещины. В целом энергию y можно
трактовать так же, как характеристику (меру) сопротивляемости
материала распространению в нем трещины разрушения. Это сле¬
дует, в частности, из формул для определения значений предельных
нагрузок для деформируемого твердого тела с макротрещинами
(см., например, формулу (II.8). Согласно этим формулам, чем боль¬
ше значение y данного материала при заданных условиях его дефор¬
мации, тем труднее осуществить в нем распространение трещины.
Это наводит на мысль, что для деформируемых металлов при сниже¬
нии температуры (или при наличии других факторов, способству¬
ющих уменьшению величины Yn) получим уменьшение предельной
нагрузки, т. е. нагрузки, вызывающей распространение в теле тре¬
щины. Следовательно, если построить график зависимости величины
Y	данного металла от температуры (ее понижения), то его темпера¬
турный порог хладноломкости [44, 159] (когда, например, металл
склонен к хладноломкости) должен характеризоваться некоторой
температурой Т = Ткр, начиная с которой (Г < Ткр) происходит
существенное уменьшение значения y (Т).
Таким образом, оценку склонности металла к хрупкому разру¬
шению при понижении температуры, т. е. определение температуры
хладноломкости металла, можно получить следующим образом.
Из данного металла необходимо изготовить образцы-пластины с тре¬
щинами, разорвать такие образцы по схеме, указанной на рис. 18
и определить для каждой (пониженной) температуры испытания
Т величину предельной нагрузки Р = Я*, а затем по формуле
(II. 9) рассчитать значение y = Y (Т)- Согласно полученным данным,
можно построить график изменения y (Л- Пользуясь этим гра¬
фиком, можно найти температуру Т = Ткр, при которой происходит
резкое изменение значений у(Т).Эта температура является темпера¬
турным порогом хладноломкости для данного металла. Если на гра¬
фике у(Т) не наблюдается характерной точки Т Гкр, то, значит,
металл не склонен в данном интервале температур к хладно¬
ломкости.
На основе изложенного приема автором и С. Е. Ковчиком *
была определена температура хладноломкости стали марки У8.
Для этого из стальных листов были вырезаны образцы-пластины
размером 100 х 120 х 2,5 мм. В центре каждой пластины высвер¬
ливали отверстие для присоединения к пластине захватов разрыв¬
*	Панасюк В. В., К о в ч и к С. Е.— Заводская лаборатория, 1967,
№ 4.
66

ной машины. Далее образцы подвергали термической обработке:
закалке при температуре 810° С в масле с последующим низко¬
температурным отпуском при Т = 150° С.
Для создания исходной трещины образец покрывали бакелито¬
вым лаком и высушивали. Затем с помощью бритвы в направлении
диаметра отверстия и симметрично относительно его центра (парал¬
лельно основанию пластины) лак процарапывали, в результате чего
образовывалась узкая щель вплоть до металла. Длина такой щели
соответствовала желаемой длине исходной трещины в пластине.
Подготовленную таким обра¬
зом пластину погружали в
сосуд с электролитом (25%-
ный водный раствор серной
кислоты) и насыщали водоро¬
дом, присоединяя к пластине
отрицательный полюс выпря¬
мителя тока (анодом служила
платиновая проволока, погру¬
женная в электролитический
раствор). В течение 5—10 мин
через пластину пропускали
ток 2 а, после чего ее выни¬
мали из раствора, промы¬
вали и растягивали до обра¬
зования трещины заданной
длины.
После образования трещи¬
ны образцы подвергали от¬
пуску при температуре 400°С
в течение 2 ч для получения желаемой твердости металла, в ре¬
зультате чего твердость пластин составляла примерно 45 HRC.
Затем с помощью микроскопа измеряли длину (2/0) исходной
трещины.
Подготовленный таким образом образец-пластину 1 (рис. 32)
помещали в термостат 2, закрепленный на разрывной машине, и
посредством тяг 3 и 5 соединяли с захватами этой машины. К испы¬
туемой пластине в вершине трещины прижимали медь-константа-
новую термопару 4, рядом с которой устанавливался контрольный
термометр. Для удобства установки и закрепления образцов боко¬
вая стенка термостата была съемной. Когда пластина-образец была
установлена в термостате и присоединена к захватам разрывной
машины, ее охлаждали до определенной температуры и выдержива¬
ли при этой температуре 10—15 мин. После этого пластину разры¬
вали и фиксировали значение предельной нагрузки Р = Р*. Та¬
ким образом осуществлялся эксперимент в диапазоне от темпера¬
туры жидкого азота (—196° С) до комнатной температуры с интерва¬
лом через 20 град.
ПК захвату
машины
Ц \К захвату
4=9разрывной машины
Рис. 32.
5*
67

Согласно данным эксперимента по формуле (II.9) были рассчита¬
ны значения у (Г) для стали марки У8 с твердостью примерно
45///?С‘(рис. 33, а). Было установлено, что изменение эффективной
поверхностной энергии в интервале температур—196-	40° С
незначительно. Поверхность разрыва образцов в этом интервале
была характерной поверхностью хрупкого отрыва.
При повышении температуры около Т = —40° С наблюдается
резкое изменение (увеличение) значений у (Г) по сравнению со зна¬
чениями у (Т) при Т < —40° С. Дальнейшее повышение температу¬
ры в интервале —20 -f- +20° С незначительно влияет на измене¬
ние у (Т) по сравнению с Т < — 20° С. Экспериментальные данные
32
2Ь
16
'dm/cl
\
і
о *
j
ООО
' о 1
і
о
> (
о
о
о
о
о
о
о
(
1
-ио о
б
Рис. 33.
показывают, что поверхность излома образцов в этом интервале тем¬
ператур имеет вязкий характер.
Таким образом, согласно экспериментальным данным (рис. 33, а)
для стали марки У8 с твердостью примерно 45HRC температура
(порог) хладноломкости Гкр = —40° С.
Для сравнения была сделана попытка определить порог хлад¬
ноломкости при стандартных испытаниях надрезанных образцов
на ударную вязкость. На рис. 33, б точками показаны значения
ударной вязкости акУ определенные для исследуемой стали в резуль¬
тате испытания при пониженных температурах стандартных образ¬
цов с надрезами на копре типа МК-ЗОА (поперечное сечение образ¬
цов 10 X 10 мм, глубина надреза 2 мм, радиус закрепления 1 мм).
Экспериментальные данные показывают, что для высокоуглеро¬
дистых сталей около порога хладноломкости имеет место значитель¬
ный разброс значений ударной вязкости. Следовательно, на основе
полученных значений ak затруднительно определить температуру
68

хладноломкости этой стали. По изменению величины у(Т) при по¬
нижении температуры испытания температуру хладноломкости
(Т = 7"кр) можно определить достаточно эффективно.
В заключение отметим, что представляет также интерес изуче¬
ние изменения эффективной поверхностной энергии при повышен¬
ных скоростях деформации металла и повышенных температурах,
если механизм разрушения близок к квазихрупкому. Изменение
у (Т) для силикатного стекла при повышении температуры исследо¬
вано в работе [130J.

Глава III
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ ПЛАСТИН
С ТРЕЩИНАМИ
1.	Основные соотношения плоской
теории упругости.
Формулы Колосова — Мусхелишвили
Упругое равновесие твердых тел описывается уравнениями пло¬
ской задачи теории упругости * в следующих случаях напряженно-
деформированного состояния тела: 1) в случае плоской деформации
тела, т. е. при деформации цилиндрических или призматических
тел постоянного поперечного сечения, когда тело подвергнуто де¬
формации внешними силами, нормальными к его оси и одинаковыми
для всех поперечных (нормальных) сечений указанного тела; 2) в
случае деформации тонких пластин силами, действующими в ее пло¬
скости («обобщенное плоское напряженное состояние»).
В таких случаях для определения напряженно-деформирован-
ного состояния в произвольной точке деформируемого упругого
изотропного тела необходимо найти три компонента тензора напря¬
жений— оХУ сгу, тп, (рис. 34) и три компонента тензора деформа¬
ций — еХУ еу, exv. Для задач плоской теории упругости указанные
компоненты — функции только двух переменных: х и уу если система
декартовых координат хОу выбрана так, что она совпадает или с
поперечным сечением стержня, или со срединной плоскостью пла¬
стины.
Компоненты тензора деформаций в произвольной точке дефор¬
мируемого тела выражаются через проекции и и v вектора смещений
этой	точки	формулами	Коши:
ди	dv	1	(ди	.	dv\	/П1
Єх~~ дх'	Єц~ ду''	Єхи	~	2	\ ду	+	дх)'	(ІН-0
где и	и	v —	компоненты	вектора смещений	соответственно по направ¬
лению ОСИ X И у\ и = и{ху у)\ V = V (х, у).
В работах Г. В. Колосова [601 и Н. И. Мусхелишвили [1031
показано, что компоненты тензора напряжений (ст^, сту, тгу) и про¬
*	Подробное изложение плоской задачи теории упругости дано в монографии
Н. И. Мусхелишвили [103] (см. также книги Г. Н. Савина [150], Л. А. Галина
[33], М. П. Шереметьева [170], С. И. Белоносова [17]).
70

екции вектора смещений (и, и) в плоской задаче теории упругости
определяются через две аналитические функции — <рх (г) и (г):
ох + оу=: 2 |Ф; (г) + ФЩ] = 2 [ф(г) + Ф(г)];	(ИІ.2)
о,	- а, + 2ітху = 2 \z% (z) + г|>; (z)] = 2 [ІФ' (г) + V (г)]; (ІІІ.З)
dz
2 G (и + iv) = хФі (г) —
__ гф! (г) — ^ (г).
(Ill .4)
Здесь г — комплексная пере¬
менная в плоскости хОу, 2 = х +
+ iy\ г = л; —iy\ х— постоянная*
которая выражается через коэф¬
фициент Пуассона v, для плоской
деформации х = 3—4v; для обоб¬
щенного плоского напряженного
3 — v п
состояния х = ■ ^ v ; G — модуль
, _ «Ч>1 (*)
}
dz
У
/L
%£* Й.
о
W//Z
— <5
*п
сдвига, G =
где Е — мо-
(S)
Рис. 34.
2(1 +v)’
дуль Юнга.
Функции Фі (2) и (2) удовлетворяют следующим граничным ус¬
ловиям.
1.	В случае первой основной задачи, т. е. когда на контуре L
(см. рис. 34) области S заданы внешние напряжения, имеем
		s
Фх (0 + it) + Ч'і (t) = і j (X„ + iYn) ds = Д (/) + if.J (/), (III.5)
0
где Xn и Yn—заданные проекции внешнего напряжения, действу¬
ющего на контуре L, как функции дуги s, Хп= Хп (s), Yп =	(s)
(индекс «т> обозначает, что указанные величины относятся к пло¬
щадке с внешней нормалью п (см. рис. 34); fx (/), f2 (t) — извест¬
ные функции; t — аффикс точки контура L области S.
2.	В случае второй основной задачи,т. е. когда на контуре L
области S заданы перемещения, граничные условия имеют вид
*Фі (0 - Лр1 (0 - V (0 = 2G [q, (t) + iq2 (/)],
(HI-6)
где qx (t) и q2 (t) — известные функции \qY (t) = и (/); q2(t) = у (/)]
на контуре L. Если заданы граничные условия на контуре L обла¬
сти S, т. е. задана правая часть уравнения (II 1.5) или (II 1.6) и най¬
дены аналитические в области S функции фх (г) и ^ (2), удовлет¬
воряющие на контуре области заданному граничному условию
(II 1.5) или (II 1.6), то тем самым решена задача об упругом равно¬
71

весии области S. Действительно, если функции (г) и грх (2) или
Ф (2) и Ч* (г) известны, по формулам (III.2) — (III.4) можно
определить компоненты тензора напряжений и вектора смещений
в любой точке области S.
На основании формул (II 1.2) и (ІІЇ.З) легко убедиться, что
напряженное состояние в теле (в области S) не изменится, если
функцию фі (2) заменить на фх (2) -f Ciz + С0, а функцию ^ (2) —
на г})! (2) + Со, где С и С0, С0 — соответственно вещественная
и комплексные постоянные. Далее, пользуясь формулой (II 1.4),
можно показать, что слагаемые Ciz - С0 и Со характеризуют переме¬
щение тела как жесткого целого. Следовательно, эти постоянные
могут быть определенным образом зафиксированы [103].
Напряжения и смещения однозначны, поэтому аналитические
функции фх (г) и г|?! (г) в конечной односвязной области также долж¬
ны быть однозначны и регулярны. Для бесконечной области (пла¬
стины) с отверстием, т. е. для области, состоящей из всей плоскости
хОу, из которой удалены конечные ее части (аналогично для ко¬
нечной двухсвязной области), функции фх (г) и (2) имеют следу¬
ющий вид:
Фі (г) = — 2if(i + x) 1п г +	+	‘Ог + Фо (z) (Г = В + гС); (III.7)
^ ІП 2 + (В’ + ІС) 2 + % (2) (Г' = B’+iC)’ (IIL8)
где X и Y — компоненты главного вектора внешних напряжений,
приложенных к границе рассматриваемой области; В, В', С и С' —
вещественные постоянные; ф0 (г) и г|?0 (2) — голоморфные функции
в окрестности бесконечно удаленной точки.
Постоянные В + іС и В' + ІС' определяются из условий на¬
пряженного состояния в бесконечно удаленной точке деформиру¬
емого тела:
lim (ох + Оу) = 4В и lim (оу — ох + 2irxy) = 2 (В' + іС').
|2|-»оо	\2\ -*00
Обозначив через р и q (р > q) значения главных напряжений в бес¬
конечно удаленных точках пластины, а через а — угол между
осью Ох и направлением напряжений р, получим
Re г = В = £±*-; Г' = В' + iC' = -^.{p-q) (II1.9)
Величина постоянной С обусловлена вращением бесконечно уда¬
ленной части плоскости и не влияет на распределение напряжений.
В дальнейшем примем С = 0.
Если 2 = со (Q — рациональная функция, конформно отобра¬
жающая внешность (или внутренность) единичного круга |£| > 1
в параметрической плоскости I на область S, занятую телом, фор¬
72

мулы (111.2)—(111.6) можно преобразовать к новой переменной
I	= ре*»:
<тр +	=	2	[Ф	(С)	+	Ф	(£)];
— tip -f- 2і'т,
PD
Р2<0' (О
2 G (и + iv) = Хф (0 - -Щ, ф' (£) -* (Q,
w (О
(ШЛО)
где
Ф(0 = Ф1[со(С)Ь ^(0 = ^[®(0Ь
Ф(0
со' (£)’
<*р, три — компоненты тензора напряжении в криволинеинои
системе (р, и) ортогональных координат. Эти компоненты совпада¬
ют соответственно с компонентами ох, Оу и хху при условии, что
подвижная прямолинейная система декартовых координат с на¬
чалом в рассматриваемой точке ориентирована так, что ось Оу пред¬
ставляет собою касательную к кривой р = const в данной точке.
Граничные условия (III.5) и (II 1.6) в преобразованной области,
когда вводится переменная І (г = со (£)), имеют вид
Ф (а) +-4==-ф'(а)+ ♦(*) = /! + */* ПРИ Ш = 1
со (а)
Щ (о) — ==• ф' (а) — ф (а) = 2 G (gt + g2) при |£|= 1,
ш (а)
(III. 11)
где |£| = 1 — окружность единичного радиуса в плоскости £, ко¬
торая соответствует контуру L рассматриваемой области S; о = eiX) —
произвольная точка на окружности |£| = 1; функции /х и /2, ха¬
рактеризующие внешние напряжения на границе области S, суть
известные функции переменной t, но теперь t = со (а), поэтому /х и /2
в (II 1.11) представляют собою известные функции переменной ст; ана¬
логично этому в случае второй основной задачи функции g1 и g2
являются также известными функциями а.
При конформном отображении z = со (£) функции ф (D и 'Ф (С)
имеют ту же структуру по переменной £, что и функции фх (2) и
^ (z) по переменной г.
2.	Определение предельных напряжений
для бесконечной пластины
с двумя коллинеарными трещинами
Решение задачи о предельном равновесии пластины с двумя
коллинеарными трещинами неравной длины и установление рас¬
четных формул изложено в работе [125J. Системы коллинеарных
73

mi
-<т
трещин равной длины, расположенные вдоль прямой в упругой
плоскости рассмотрены в работах [20, 851.
Случай двух трещин неравной	длины.
Рассмотрим бесконечную упругую плоскость (пластину) с дву¬
мя макроскопическими трещинами неравной длины, расположен¬
ными вдоль одной прямой. Введем систему декартовых прямоуголь¬
ных координат хОу таким образом, что ось Ох (рис. 35) совпадет
с линией расположения трещин, и обозначим через —d, —с, а, Ь абс¬
циссы точек концов трещин. Тол-
| 1	1	1	1	|	і	щину пластины примем равной еди-
т	'	'	нице.
^	Пусть	такая пластина на беско-
0 а 	 ь нечности растягивается монотонно
' X возрастающими внешними напря¬
жениями р. Тогда минимальное
•	значение	напряжения, по достиже-
} I I | | | I	I	J	}	J	\р	нии которого возможно распро¬
странение (увеличение длины) хотя
Рис.	35.	бы одной из указанных трещин
(рис. 35), будет р*.
Если через р(а\ р(с\ р№ обозначить напряжения ау = р,
при которых распространение трещин идет в направлении абсцисс
соответственно а, 6, —с, —d, то получим
p* = min{pi*\ р(ь\ P[d)\-	(III.12)
В соответствии с результатами параграфа 6 гл. I для определения
напряжений р(°), p(b)t р(с) и p{d) имеем следующее уравнение:
lim \±У\х-х,\ау(х, 0)1 =-£-	(/ = 1, 2, 3, 4), (III. 13)
x-*{Xj± 0)	71
где Xj — абсцисса конца трещины (соответственно а, 6, —с, —d)\
а* (х, 0) — компонента тензора упругих напряжений в плоскости
у = 0 (для рассматриваемой задачи).
Таким образом, для решения сформулированной задачи вначале
необходимо определить компоненту напряжения оу(х, 0). В усло¬
виях плоской задачи компоненты тензора упругих напряжений
можно определить по формулам (III.2) и (II 1.3), если известны
функции напряжений Ф(г)иТ(г). Для рассматриваемой задачи эти
функции имеют следующий вид [1031:
Ф(г) = —=г*? + с* + с* 	І г (г = х + іу)-, пи
V(z-a)(z-b)(z+c)(z+d)	2	Г	(III.	14)
V	(Z) = Q (2) - Ф (2) - 2Ф' (2) (Q (2) = Ф (2) + Г),
где Q (2) — функция, принимающая значения, сопряженные с
Q (г) в точках z = х — iy, т. е. в точках, представляющих собой
74

зеркальное отображение точек г в действительной оси; Г' = ~р\
с0 = -j-p; коэффициенты ct и сг определяются из условий однознач¬
ности смещений [103]. Для рассматриваемой задачи имеем
СС	С0Х2	+	Cj* + Cj	dx = 0;
v (b -X)(x + d) (x - a) (x + c)
f	c0x2	-f CjX + c2	Иг = О	(ПІ.15)
J y(b-x)(x + d)(x-a)(x+c)
На основании формул (111.2), (III.3) и (111.14) получим
Оу (х, 0) =	2(c^ + cl* + ^
у (х - а) (х - Ь) (дс + С) (* + #
р (х2 -f AjX + Л2)		(HI.	16)
V(x -а)(х- Ь) (х + с) (х + d)
Здесь х принимает значения, соответствующие точкам вне тре¬
щины, а коэффициенты Л, и А, выражаются так:
Лх = Л.г = —.
1	с0 z с0
Согласно равенствам (II 1.15):
Л, = — -у (а + Ь — с — d)\
At = -L(a + b + 3d-c)(b + d)^p-~	(Ш.17)
- (b +	-Ld (a + b + d-c).
Здесь F (k), П (n, k) — полные эллиптические интегралы I и III
рода с модулем k\
Я
2
U(n,k)= f 	d\ ■	—,	(III.18)
5 (1 + n sin2 ф)2 Y\ — k2 sin2 ф
где модуль k и параметр n выражаются через значения абсцисс
концов трещины:
fe2 = 4ІгхаІЙІсі ; « =	(HI.19)
(о + с) (d + о)	d	+	а
Подставляя выражение (II 1.16) в равенство (III. 13) и осущест¬
вляя предельный переход при X->-Xj|ДЛЯ каждого из концов трещины,
75

получаем формулы для р(а\ р(ь\ ри p(d). Так, для концов тре¬
щины (а, 0) и (6, 0) соответственно* имеем
\х — Xj | = а — х при х -> а — 0;
\х — Xj\ = х — Ь при х -> b + 0.
На основе этих равенств и формул (III.13) и (III.16) получим
где коэффициенты Ах и А2 определяются по формулам (111.17)—
(III.19). Аналогичные формулы можно получить и для значений
р(с) и p<dK
Случай двух трещин равной длины. Если
в равенствах (II 1.20) положить с = a, d = b, получим формулы
для определения предельной нагрузки в случае пластины, ослаб¬
ленной двумя коллинеарными трещинами равной длины, когда
в бесконечно удаленных точках пластины приложены внешние рас¬
тягивающие напряжения р, направленные перпендикулярно к ли¬
нии расположения трещин (рис. 36).
Для получения простых расчетных формул необходимо осущест¬
вить сложные преобразования равенств (III. 17)—(II 1.19) при
с = a, d = Ь. Однако такие формулы можно получить и более
простым способом.
При с = а и d = Ь напряженное состояние в пластине симмет¬
рично относительно ПЛОСКОСТИ * = 0, поэтому Оу (х, 0) = О у (—х,0).
Тогда на основании формулы (III.16) имеем сг =0. Таким об¬
разом, для пластины с двумя коллинеарными трещинами равной
длины (см. рис. 36) получаем
где коэффициент с2 определяется согласно равенству (II 1.15) из
уравнения
К_ ' V Ф — а) (а + С) (а + d) .
я	а2	+	-j-	А2	*
(111.20)
«»	_К_ V(b-a)(b + c)(b+dj
V.	я '	Р+А^ + А,
(III.21)
b
(q = 0). (III.22)
Полагая в уравнении (III.22), что
x2 = b2 — (b2 — a2) sin2 ф
и осуществляя простые преобразования, находим
(II 1.23)
76

где Е (ё) и F {ё) — полные эллиптические интегралы соответствен-
■т/~f)2 	 д2
но II и I	рода	с	модулем е =-—^—	,
я	л
2	2
F(e)	=	J	—-=|==;	£(«)	=	j	К1 — е* sin*
g	У 1 — е2 sin2 ф	g
Следовательно, для рассматриваемой задачи
А, - -S. - 0 и А, =
= <ш-24>
Тогда на основании формул
(III.20) получим
_(а) _ be У 2aF (е)	К_
^* b2E (е) — a2F (е)	я ’
(111.25)
мь) =, _УЫ(е) . JL
/ b[F (е) — Е (в)]	п
(111.26)
Формулы (III.25) и (III.26) по¬
лучены другим путем в работе
[123, 227].
Полезно провести анализ неко¬
торых предельных случаев, вы¬
текающих	из формул (II 1.25)	и
(III. 26).	Так, если а -»■ 0, то е -»■	1
lim -Flf{e)Ft, = 1,	lim	“	f	аг^\	, = 0.
и	F(e) — E(e)	e^xb2E(e) — a2F (е)
При а = 0, т. е. для пластины с одной трещиной длиной 26,
из формул (II 1.25) и (II 1.26) получим
pw = 0;	.	(111.27)
Как и следовало ожидать, формула (II 1.27) совпадает с извест¬
ной формулой Гриффитса для одной изолированной трещины
длиной 2Ь.
Рассмотрим другой предельный случай, когда коллинеарные
трещины равной длины расположены на значительном расстоянии
друг от друга так, что можно считать а-^оои6->оо,но Ъ — а =
77

= 21 = const, где 21 — длина отдельной трещины. В этом случае
е -»■ 0 и формулы (II 1.25) и (II 1.26) принимают вид
pw = p(b) = jQL,	(III.28)
•	*	луї
т. е. в этом случае каждая трещина ведет себя как самостоятель¬
ная изолированная трещина длиной 21.
На рис. 36 построены кривые изменения напряжения р{а) (1)
и рМ(2) в соответствии с формулами (III.25) и (III. 26) в зависимости
от соотношения А = -у-. Согласно этим кривым, значения предель¬
ной нагрузки р{а) всегда меньше значений р{Ь\ т. е. развитие двух
коллинеарных трещин сначала происходит навстречу друг дру¬
гу в результате разрушения перемычки, затем (после их слияния)
в действие вступает уже одна трещина длиной 2Ь.
Если перемычка 2а между трещинами достаточно мала по срав¬
нению с длиной 21 отдельной трещины, т. е. когда < А*, где
А* — некоторое критическое значение отношения -у-, то разрушение
перемычки (достижение внешними напряжениями р величины р{а))
еще не влечет за собой разрушения всей пластины. В этом случае
разрушающая нагрузка для пластины определяется по формуле
Гриффитса, когда длина трещины равна 26, т. е. формулой (II 1.27)
для р{Ь). Когда -у->АН{, разрушение перемычки влечет за собой
разрушение всей пластины.
На основании формул (III.25) и (III.27) для определения пара¬
метра К =^f имеем уравнения
р(а) = р(г) или 	(eJ	 =	(III.29)
Ь2Е (£>*) — a2mF (<?*) у b
Имея в виду, что
1	  а*  	^а*	и   п 2 Ч~	  2 у 1 -|~ А» /іті ол\
К- і —ъ_а^	°	—	а*	^	и	е*	_	2	+	К	•	(111.30)
уравнение (II 1.29) можно записать так:
г/1 ч_ 2	(1	+	Я»)	(2 + Я*) F (eJ ,	/пт?п
ПК)- Ъ+К)‘ЕЫ-ЫЫ- '■	(1И'31)
Решив уравнение (III.31) относительно А*, найдем
А*^0,11.	(111.32)
Таким образом, разрушающая нагрузка р = р** для пластины
с двумя коллинеарными трещинами равной длины, растягиваемой
78

на бесконечности монотонно возрастающими напряжениями (см.
рис. 36), определяется по формуле
р** —
pw при	А.*,
/7<г) при -у- < А*,
(III.33)
где р(а) и р<г) вычисляются по формулам соответственно (II 1.25) и
(III.27).
Если перемычка между трещинами такова, что у- > 3 (рис. 36),
трещины практически можно считать изолированными (не влия¬
ющими друг на друга), а разрушающую нагрузку следует опреде¬
лять по формуле (III.28).
3.	Предельное равновесие пластины с
прямолинейной произвольно ориентированной
или криволинейной трещиной
Выше были рассмотрены задачи о предельно-равновесном состоянии
пластины с прямолинейными трещинами, когда плоскость трещин
совпадает с плоскостью симметрии поля внешних напряжений.
В таких случаях, очевидно, распространение трещины в изотропном
теле направлено вдоль плоскости симметрии внешних напряжений и,
как это показано в гл. I, внешняя нагрузка становится предельно¬
равновесной, если выполняется условие (1.47) (для макроскопиче¬
ских трещин).
Ниже дана формулировка задачи о предельном равновесии пла¬
стины с макротрещиной, когда плоскость трещины не совпадает с
плоскостью симметрии внешних напряжений.
Рассмотрим бесконечную пластину, ослабленную прямолиней¬
ной (или криволинейной) макроскопической трещиной (разрезом),
полагая, что края трещины свободны от внешних напряжений, а в
бесконечно удаленных точках пластины приложены во взаимно
перпендикулярных направлениях монотонно возрастающие внеш¬
ние растягивающие напряжения р и q. Предположим, что материал
пластины подчиняется закону Гука вплоть до момента разрушения.
Необходимо определить предельные значения напряжений р = р.¥
и Я = Q*-
Однако определение предельных напряжений только по урав¬
нению (1.47), вообще говоря, невозможно. Это связано с тем, что,
когда плоскость трещины не совпадает с плоскостью симметрии
внешних напряжений, направление начального распространения
трещины заранее неизвестно, т. е. неизвестно, в каком направле¬
нии величина s в уравнении (1.47) стремится к нулю. В таком случае
79

для определения начального направления распространения трещи¬
ны необходимо еще сформулировать дополнительные условия. Если
ввести полярную систему координат г, р с началом в вершине тре¬
щины и полярной осью, направленной вдоль касательной к берегам
трещины (рис. 37, а)у то компоненту разрывающих упругих напря¬
жений ар (г, р) в окрестности
вершины трещины можно	Р
в окрестности рассматриваемой вершины, который зависит от харак¬
тера действующих нагрузок, конфигурации тела, формы трещины и
угла Р; 0(1) — ограниченная часть компоненты напряжения ар (г, р)
при г 0.
Имея это в виду, введем следующую гипотезу: начальное рас¬
пространение трещины происходит в плоскости, для которой нор-
мальные разрывающие напряжения ар имеют максимальное зна¬
чение коэффициента интенсивности *.
Таким образом, на основе принятой гипотезы для определения
предельных значений внешних напряжений получаем уравнение
где ар (г, р) — напряжения ар (г, р) при /? = /?* и q = угол
Р = р*, определяющий начальное направление распространения
трещины, находим в соответствии с принятой гипотезой из урав¬
нения
* Эта гипотеза выдвинута в работах [22, 131]. Аналогичные предположения
выдвинуты также в работах [167, 185].
представить так:
стз(г> Р) = "7= + 0(1),
У г
где N0 — коэффициент интен¬
сивности напряжений ар (г, р)
S
а
р
Рис. 37.
lim {Vrolir, р*)1
К_
п ’
(III.34)
(111.35)
80

Таким образом, если при заданной системе внешних нагрузок
установлено значение упругих напряжений (или значение коэффи¬
циента N0) в окрестности вершин макроскопической трещины, ТО,
пользуясь уравнениями (III.34) и (111.35), можно вычислить пре¬
дельные значения этих нагрузок.
4.	Одноосное растяжение пластины с
произвольно ориентированной прямолинейной
трещиной
Формулировка и решение задачи. Пусть не¬
ограниченная изотропная пластина с прямолинейной трещиной
(разрезом) длиной 21 (рис. 37, б) растягивается монотонно возра¬
стающим внешним напряжением р, приложенным в бесконечно
удаленных точках пластины и направленным под углом а к пло¬
скости расположения трещины. Предположим, что пластина отнесе¬
на к прямоугольной системе декартовых координат хОу, трещина
расположена вдоль оси Ох при —/ < Jt < / (см. рис. 37, б), а пло¬
скость хОу совпадает со срединной плоскостью пластины (толщина
пластины принята равной единице).
Для сформулированной задачи необходимо определить предель¬
ное значение напряжений р. Сначала найдем компоненты ох, оу,тху
тензора упругих напряжений в окрестности концов рассматриваемой
трещины. Эти компоненты выражаются через комплексные потен¬
циалы Ф (г) и Q (г) [1031:
ох + оу = 2 [Ф (г) + Ф (г)] (г = л: + iy> z = x — iy); (III.36)
°y —	+ 2iTxy = 2 \(z — z) Ф' (2) + Q (2) — Ф (2)],	(IH.37)
где функция й(2) связана с функцией W (z) в формуле (II 1.3) ра¬
венством
W (2) - Q (2) - Ф (2) - 2Ф' (2).	(III.38)
Для рассматриваемой задачи функции Й (z) и Ф (2), определен¬
ные в работе [1031, имеют следующий вид:
Ф(г) = ^+£^5— І-Г; 0(2) = ф(г) + г	(111.39)
(lim z 1 у 22 _ /2 = Л
\|2|-*~ /
где Г и Г' — постоянные, характеризующие напряженное состояние
в бесконечно удаленных точках пластины. Эти постоянные, выражен¬
ные равенствами (III.9), для рассматриваемой	задачи имеют вид
Г={лГ' = —тРе~ш-	(11U0>
6 В. Панасюк.
81

Чтобы определить напряжения в окрестности концов трещины,
целесообразно перейти от системы координат хОу к системе коорди¬
нат хіОху1 (см. рис. 37, 6) с началом в вершине трещины. При пере¬
носе начала координат из точки О в точку 0t, т. е. при переходе к
новой системе координат х101у1 функции Ф, (zх) и £2^), играющие
ту же роль в системе координат ххОху^ что и функции Ф (г) и Q (г)
в системе координат хОу, можно определить по известным формулам
[1031:
Если ввести полярную систему координат г, р с началом в точке
Ор принимая за полярную ось касательную к берегам трещины в
этой точке, то компоненты (тг, ар, тгр тензора напряжений в полярной
системе координат можно выразить через функции Фх (zx) и (zj
так [1031:
О,	+ Стр = 2 [Фг (2Х) +	(2.)] {zl = re%	(III.42)
(тр - сг + 2»Т,Р = 2 \(zt - г,) ф; (г,) + ^ (г,) - Фг (zJJ е2ф. (111.43)
На основании формул (III.39) — (III.43) имеем
ог + сгр = р Re |(1 — eta) Z±±L=\ + р cos 2а;
\	V	2/zj + zfj
Рассмотрим малую область в окрестности концов трещины,
т. е. рассмотрим совокупность точек, для которых справедливо не¬
равенство \ zv \ ^ I (г /)• Для такой области можно записать:
Подставив выражение (III.45) в (III.44), после несложных преоб¬
разований определим компоненты тензора напряжений в окрестности
концов трещины, т. е. при zL = г /:
Фі (zi) — Ф (2i + 2о)>*	(2i)	—	^	(2i	+	го)	+
+ (z0 — г)Ф7(г1 + г0).
(III.41)
(III.44)
V{2lz1 + zjf 2V2
(Zl — ZX) /2	_	_J_
ар = 4^1Г [kl (3 C0S “2" + C0S ^2~) ~ 3^2 (Sin "І" + sin +
82

+
ar = ^у= ]ki (b cos — cos + k2 5 sin + 3 sin
+ P cos2 p cos 2a + О (У±);	(III.47)
T,p = T^[fel(Sin"2"+ sinf-) + ^(cos4 + 3cos4-) -
—	p sin p cos P cos 2a + o(j^-j).	(HI-48)
Здесь 0 ^ У-j-j — составная часть компоненты тензора напряже¬
ний, которая имеет порядок [^jJ2 (г 0;
К = Р Y I s^n2 a- k2 = pV I sin a cos a,
где &2 — коэффициенты интенсивности напряжений, или коэф¬
фициенты концентрации- напряжений у вершины трещины, соот¬
ветственно при симметричном и несимметричном распределении на¬
пряжений по углу р. Эти коэффициенты зависят от приложенных
к телу нагрузок, формы тела и трещины.
Формулы, аналогичные формулам (II 1.46)—(II 1.48), могут
быть получены и другим путем [219, 226].
Пользуясь формулами (III.34), (III.35) и (III.46) легко найти
соотношения для определения величины предельного напряжения
р = р*:
j/~ y jsin2 a 3 cos + cos	— 3 sin a cos a j^sin -y- +
+siniH=4;	<"U9>
ft1[sin-y- + sin^|i-
-f £2|^cos-y- + 3 cos = 0. (111.50)
Решив уравнение (III.50) относительно (3*, найдем те значения
угла Р*, при которых напряжения стр (г, р) достигают максимально
возможной интенсивности. Значения угла р* определяются по сле¬
дующей формуле:
где
а о і 1 т /1+8п2	С1,
Р* = 2 arctg	v—n	,	(HI-51)
п — -г- = ctg а.	(111.52)
В формуле (II 1.51) знак «+» соответствует значениям kx < 0,
знак «—»—значениям > 0.
6*	83

Таким образом, в соответствии с формулами (III.49)—(III.52)
для рассматриваемой задачи (см. рис. 37) находим
К V~2
Р* =
1
ЛУ I cos3 — sin2 ct
2
1 — 3 ctg a tg
(III.53)
где 0 < а < -5-; угол р* определяется по формуле
Р* = 2 arctg
1 — у 1 4- 8 ctg2 а
4 ctg а
(III.54)
я/1
Полагая в формулах (III.53) и (III.54), что а = получим
известную формулу Гриффитса для пластины с прямолинейной тре¬
щиной, когда пластина растягивается внешними напряжениями р,
направленными перпендикулярно к линии расположения трещины:
KV2
Р* =0, /?* =
я У I
В соответствии с формулой (II 1.54) на рис. 38 построен график
изменения начального направления распространения трещины,
(изменения величины угла р* в зависимости от ориентации трещины
при 0 < а С ~). Согласно этому графику, для рассматриваемой
задачи начальное направление распространения трещины близко
к направлению, образующему прямой угол с линией действия внеш¬
них напряжений.
я \г ~Т~
На рис. 39 показано изменение величины -р*=— в зависимости
V	2 К
отуглаа(0 <а<-|-). Пользуясь этим рисунком или формулами
84

(III.53)	и (III.54), для рассматриваемой задачи легко найти значение
предельных напряжений р = р* при заданном значении угла
а (0 < а С -J-). Минимальное значение р* = 0,97 К	(в зависи-
2	я \ I
мости от ориентации трещины) имеет место при	1,19 рад.
Экспериментальная проверка решения.
Поскольку формула.(II 1.54) получена на основе равенства (III.35),
которое следует из принятой гипотезы, то сопоставление результатов
расчета с данными эксперимента представляет значительный инте¬
рес. Для проверки результатов расчета предельных значений р = р%
и угла р* согласно формуле (II 1.54) были проведены следующие
эксперименты [22, 132]. Из листового стекла (силикатного и орга¬
нического) были вырезаны пластины, размеры которых указаны в
табл. 10и 11, где а и 2L соответственно продольный и поперечный
размер пластины, a h — ее толщина. В центре каждой пластины было
высверлено небольшое отверстие диаметром примерно 6 мм. С по¬
мощью стеклореза в пластине образовывали начальный прямоли¬
нейный надрез, проходящий через центр отверстия под некоторым
углом а к продольной оси пластины. Такая пластина на специальном
приспособлении с жесткими тягами нагружалась через отверстие
перпендикулярно к линии надреза монотонно возрастающими си¬
лами (см. рис. 18), в результате чего надрез превращался в трещину
по всей толщине пластины. Затем измеряли длину 21 начальной
трещины и угол а между плоскостью трещины и продольной осью
пластины. Таким образом были подготовлены группы пластин из
силикатного и органического стекла с различным направлением
трещины относительно продольной оси пластины, т. е. с различ¬
ными углами а при 0 < а <; и различной длиной трещин 21
(табл. 10 и 11).
Такие пластины-образцы растягивали затем в направлении про¬
дольной оси пластины на разрывной машине типа МР-0,5 со ско¬
ростью растяжения 6,6 • 10~ь м/сек. Соединение образцов с захва¬
тами машины осуществляли двумя способами:	1) высверливая
небольшие отверстия в верхней и нижней частях пластины (вдали
от трещины) и зажимая пластины через эти отверстия в металличе¬
ских захватах; 2) наклеивая на концах пластин специальные
дермантиновые полосы, с помощью которых закрепляли пластины в
захватах машины. Оба способа крепления образцов в пределах точ¬
ности измерений при эксперименте давали одинаковые резуль¬
таты.
В ходе растяжения пластины с трещиной, направленной под
углом а к ее продольной оси, фиксировалась величина силы Q = Q*,
по достижении которой наступало распространение трещины и пла¬
стина разрушалась. На образцах из силикатного стекла наблюда¬
лось незначительное распространение (поворот) исходной трещины в
окрестности ее концов при Q = (0,95 -f- 0,97) Q*, однако это про-
85

Таблица 10
№ пла¬
стины
§
о
8
Й
а?
*
■с
/, мм
а, рад
•
CL
<3
Cl
ч *
ас.
а
CL
с *
ас.
рад
L«
•
Cl
в
S
1
25,0
24,9
2,2
44,0
Я
~2~
132,5
0
0
0
1,61
1,01
2
23,8
17,9
1,7
35,5
Л
~2
81,4
0
0
0
1,57
0,99
3
23,8
17,8
1,7
34,0
л
~2~
84,8
0
0
0
1,61
1,01
4
*23,8
17,8
1,7
33,4
л
5І2
83,8
0,472
0,492
0,482
1,61
1,01
5
23,8
17,8
1,7
31,0
СЛ
ьо| й
85,3
0,485
0,357
0,421
1,58
0,99
6
25,0
15,0
2,1
32,5
л
5 12
69,8
0,439
0,389
0,414
1,53
0,96
7
25,0
15,0
2,1
32,5
СЛ
84,8
0,363
0,347
0,355
1,54
0,97
8
25,0
15,0
2,1
33,0
л
7нГ
77,5
0,424
0,460
0,442
1,43
0.90
9
25,0
15,0
2,1
35,9
Л
7 "ПТ
90,7
0,597
0,523
0,560
1,72
1,08
10
23,8
17,8
1,7
34,8
я
т
91,2
0,755
0,714
0,734
1,76
1,10
11
23,8
17,8
1,8
31,5
Л
т
83,8
0,606
0,719
0,662
1,48
0,92
12
25,0
15,0
2,0
36,3
Л
т
71,2
0,723
0,760
0,741
1,41
0,88
13
23,8
17,8
1,8
34,9
Л
“Г
95,7
0,788
0,853
0,820
1,76
1,12
14
23,8
17,8
1,9
37,3
я
~т
112,8
0,939
0,925
0,932
2,01
1,26
15
23,8
17,8
1,8
36,0
я
~
110,4
0,830
0,809
0,820
2,07
1,30
16
25,0
17,9
2,0
56,5
я
тг
114,7
0,933
1,064
0,998
2,39
1,50
17
25,0
18,0
2,2
55,6
я
1Г
144,2
1,119
1,078
1,098
2,69
1,69
18
25,0
18,0
2,2
80,2
я
1Г
98,1
0,922
1,001
0,962
2,27
1,42
19
30,0
18,0
2,2
92,7
я
І2
224,5
1,065
1,018
1,042
5,42
3,40
86

Продолжение табл. 10
<3
1 в
№ пла
СТИНЫ
8
<3
8
й
з
а?
•с
з
<3
Cl
в
a
•
Cl
о.
с;*
аа
о.
с*
со.
Q.
а’
и *
ас.
V
•
Cl
в
с
20
30,0
12,4
1.8
44,2
Jl
І2
213,0
1,169
1,073
1,121
3,96
2,48
21
30,0
12,1
1,9
82,7
я
І2
103,0
1,195
1,123
1,159
4,05
2,54
22
30,0
12,0
1.9
117,7
я
36
270,0
1,227
1,225
1,226
12,95
8,12
Таблица 11
№ пла¬
стины
5
<з'
2 L, см
3=
■G
а, рад
X
<3
•
о.
а
о.
ас.
<3
Cl
С*
ас.
<3
Cl
S'*
ОС.
L*
•
Cl
в
5
1
39
25
1.0
53,0
Я
Т
114,9
0
0
0
3,28
1
2
39
25
1,1
42,1
Я
5ТГ
131,0
0,398
0,392
0,395
3,00
0,92
3
39
25
1,1
43,9
я
X
129,0
0,661
0,779
0,720
3,08
0,94
4
44
25
1,1
41,2
я
Т~
168,0
0,944
0,916
0,930
3,82
1,16
5
37
25
1,0
45,2
я
~6~
183,5
1,013
1,070
1,042
4,93
1,51
6
48
25
1.1
62,9
я
72
285,0
1,213
1,226
1,220
8,37
2,55
7
34
16
1,0
120,8
я
45
219,5
1,220
1,192
1,206
14,45
4,41
8
52
17
1,0
138,8
я
~36
423,0
1,193
1,287
1,240
28,30
8,63
исходило только в том случае, если значение угла а было близко к
На образцах из органического стекла начальное распростра¬
нение трещины немедленно приводило к полному разрыву пластины.
По экспериментальным значениям предельной силы Q* предель¬
ные напряжения вычисляли по формуле
Q(a)
Р*а = 2 HL ’
где h и 2L — соответственно толщина и поперечный размер пласти¬
ны-образца; индекс а указывает на то, что данные величины отно-
87

сятся к пластине, у которой прямолинейная трещина направлена
под углом а к ее продольной оси.
После разрыва пластины начальная длина трещины 2/адля уточ¬
нения измерялась на горизонтальном компараторе типа ИЗА-2.
Для каждой пластины по данным экспериментальных измерений
рассчитывалась величина р^а|//а и отношение
Кроме того, для каждой пластины измерен угол Р*, характери¬
зующий начальное направление распространения исходной тре¬
щины. Измерения осуществляли на большом инструментальном
микроскопе типа БМИ-1.
Угол Р* (см. рис. 37) представляет собою угол между плоскостью,
в которой расположена исходная трещина, и касательной к траекто¬
рии ее начального распространения в вершине (кончике) исходной
трещины. При экспериментальном определении углов р* принима¬
лось, что касательная к траектории начального распространения
трещины есть прямая, проходящая через вершину исходной трещины
и точку, расположенную на траектории начального распространения
на расстоянии 0,3 мм от ее начала. На рис. 40 показаны тупиковая
ным приспособлением инструментального микроскопа.
Таким путем для всех разорванных пластин были определены
значения углов р* как для левого (Рл), так и для правого (Р^) конца
для каждой группы пластин в виде точек представлены на рис. 38,
где незатушеванные кружки соответствуют пластинам из силикат¬
ного стекла, а затушеванные — пластинам из органического стек¬
ла. Сплошная линия — это зависимость угла р* от а в соответствии с
формулой (II 1.54).
Экспериментальные данные, приведенные на рис. 38 и 39, хорошо
согласуются с результатами теоретического анализа предельно¬
(*30)
Рис. 40.
Усредненные значения т (а) для
каждой группы пластин с трещинами
при одинаковом значении углов а пред¬
ставлены на рис. 39, где незатушёван-
ные кружки соответствуют пластинам
из силикатного стекла, а затушованные—
пластинам из органического стекла,
сплошная линия представляет собою
изменение функции т (а) согласно фор¬
муле (III.53).
увеличенная в 30 раз проекцион-
трещины (табл. 10 и И). Средние значения углов р^р	+	Р?)
88

равновесного состояния пластины с произвольно ориентированной
прямолинейной трещиной. Аналогичные зависимости для углов 0*
установлены в работе [185] для пластин из органического стекла,
ослабленных произвольно ориентированными макротрещинами.
5.	Двухосное растяжение—сжатие пластины
с прямолинейной трещиной и построение
диаграммы предельных напряжений
Пусть бесконечная изотропная пластина единичной толщины ослаб¬
лена прямолинейной трещиной длиной 21 и подвергнута растяже¬
нию — сжатию в бесконечно удаленных ее точках внешними напря¬
жениями р и q, действующими
во взаимно перпендикулярных
направлениях, при этом напря¬
жения р направлены под углом
а к плоскости трещины (рис. 41).
Требуется определить значения
предельных напряжений р* и q*.
Для решения задачи бу¬
дем пользоваться уравнениями
(III.34) и (II 1.35). Сначала най¬
дем компоненты тензора упругих
напряжений в окрестности кон¬
цов рассматриваемой трещины.
С этой целью введем прямоуголь¬
ную систему декартовых коор¬
динат хОу так, как это сдела¬
но в предыдущем параграфе, и
У
у,
0
м. .
21
0f X} дг
Р
/777
Рис. 41.
рассмотрим отдельно: 1) случай
раскрывающейся трещины, т. е. когда берега трещины не контакти¬
руют между собой ау (л:, 0) = 0 и хху (.х, 0) = 0 и 2) случай, когда
берега трещины соприкасаются — ау (х, 0) ф 0, хху(х, 0) ф 0.
Случай раскрывающейся трещины. Пред¬
ставим напряженное состояние в рассматриваемой пластине (рис. 41)
в виде суммы напряженного состояния в сплошной пластине (без
трещины), когда в бесконечно удаленных ее точках действуют на¬
пряжения* р и <7, и напряженного состояния в пластине с трещиной
при — / < х < /, когда на берегах ее заданы следующие граничные
условия:
—	ау (х, 0) = qn = р sin2 a + q cos2 а,
—	хху (х, 0) = qx = (р — q) sin a cos а,
(III.55)
*	В этом случае в плоскости расположения трещины компоненты тензора
напряжений выражаются так:
О	у (х, 0) — р sin2a+ q cos2 a, ax (x, 0) = pcos2 a+q sin2 a, xyx (x, 0) =
—	(p — Q) sin a cos a.
89

а в бесконечно удаленных точках пластины напряжения отсутствуют.
При этом, очевидно, для раскрывающейся трещины должно выпол¬
няться условие
р sin2 а + q cos2 а > 0.	(III.56)
Первое напряженное состояние не зависит от размеров трещины
и характеризуется ограниченными компонентами тензора напряже¬
ний во всех точках пластины. Второе напряженное состояние, в
свою очередь, можно представить как сумму напряженных состоя¬
ний в пластине с трещиной-разрезом (—/ < х < /) при следующих
граничных условиях на ее берегах:
1)	— оу (х, 0) = qn = р sin2 а + q cos2 а, хху (х, 0) = 0;	(111.57)
2)	ау (х, 0) = 0,	— хху (х, 0) = qx = (р — q) sin а cos а. (II 1.58)
Пользуясь методом Н. И. Мусхелишвили [103] (см. параграф 1
гл. III), на основе граничных условий (III.57) и (III.58) для опреде¬
ления компонент тензора напряжений получим следующие комп¬
лексные потенциалы:
®.<*»-,yw=,f+V7=n-	<*>	=	:	(,,|'59)
Ф4(*)=	_‘9х/2
2 у 2*-/* (г+/*-/*)’	(111.60)
2	(z2 — /2) 2 (z +
где функции (II 1.59) соответствуют задаче с граничными условия¬
ми (III.57), а функции (III.60) — задаче с граничными условиями
(III.58).
Введем локальную систему полярных координат г, р с началом
в вершине трещины и полярной осью, совпадающей с касательной
к берегам трещины в этой точке (рис. 41). В этой системе координат
вычислим компоненты напряжений аг, ар, тЛр в окрестности кон¬
цов рассматриваемой трещины, т. е. в точках г = ± / + гх, где
zx = г I. Пользуясь формулами Колосова — Мусхелишвили
и функциями (111.59) и (II 1.60) определим (аналогично тому, как
это сделано в предыдущем параграфе) компоненты а*2), а(р2) и х%
для второго напряженного состояния, а затем прибавим к ним
соответствующие компоненты а*1*, ар° и т*р для первою напря-
90

женного состояния. В результате получим
=	cos	^	~005 Т-)+
"Ь ^2 ^— 5 sin —(- 3 sin -у j J + 0(1),
°Ь = rp1^{^1(3c0s^' + c0s?)— 3*2(sinT+ sin^jj+0(l), (111.61)
TrP = rF^h(sin^ + sin?) +
+ k2 ^COS у + 3 COS “~2"jJ + 0(1),
где
ki = pV /(sin2 a + r]0cos2a), k2 = p( 1—r\0)V I sin a cos a; (III.62)
0	(1) — ограниченная часть компоненты тензора напряжений при
г -> 0; Ло = Аналогичные выражения для компонент тензора
напряжений в окрестности концов прямолинейной трещины при
плоском растяжении пластины получены другим путем в рабо¬
те [2191.
Пользуясь далее формулами (111.61), уравнения (111.34) и (II 1.35)
можно записать так:
k' (з cos Ц- + cos^j + 3ft* (sin-^ + sin^jp) = AK д ^ ,	(111.63)
(sin -y + sin j + k2 (cos
Pi.
2
3cos-^) = 0,	(111.64)
где коэффициенты интенсивности напряжений k\ и k2 определяются
по формулам (III.62) при р = p+ti и q = q^t.
Таким образом, для рассматриваемой задачи при выполнении
условия (II 1.56) на основе уравнения (II 1.63) получим следующую
формулу для определения величины предельных напряжений
Р*.> и q^tt:
1
я ^ ^ cos2 |cos -у- (sin2 a+rfo cos2 a) —
P*
—	З (1 — T]0) sin a cos a sin —
(<7.„ = Ло P.J.
(III.65)
91

где угол р* находят из уравнения (III.64). Значения угла р*, обес¬
печивающие максимальное значение интенсивности упругих напря¬
жений ар, вычисляются по формуле
р. = 2 arctg ‘ T>/4‘n+ 8п* ,	(111.66)
где знак «+» соответствует значениям &x< 0; знак «—» — значе¬
ниям kx > 0;
п = А = (1,-^5Іпас°5СТ .	(II	1.67)
kx sin2 a -f % cos2 a	v
Формулы (III.65)—(III.67) установлены в работах [120, 133].
Этими формулами решается также задача о величине предельных
напряжений при растяжении — сжатии бесконечной пластины,
ослабленной остроконечной узкой щелью, если в процессе деформа¬
ции пластины берега щели не контактируют между собой.
Аналогичные задачи для пластины с раскрытой трещиной рас¬
смотрены в работах [56, 138].
Случай закрывающейся трещины. Когда
пластина с трещиной (рис. 41), подвергнута растяжению — сжатию
внешними напряжениями р и q так, что имеет место неравенство
р sin2 a + q cos2 a < 0,	(III.68)
то, очевидно, в процессе деформации пластины берега трещины-
разреза будут соприкасаться между собой по всей ее длине.
Аналогично предыдущему случаю, напряженное состояние в
пластине с трещиной при условии (II 1.68) представим в виде суммы
напряженного состояния в сплошной (без трещины) бесконечной пла¬
стине, подвергнутой деформированию внешними напряжениями р и q
и напряженного состояния в пластине с трещиной ( — / <; х <; /),
когда на ее берегах заданы граничные условия
оу (ху 0) = 0,	— хху (х, 0) = (f& = (р — q) sin a cos a —
—	p0 (p sin2 a + q cos2 a),	(III.69)
где p0 — коэффициент трения скольжения, которое может возник¬
нуть между берегами трещины при их соприкасании [см. (III. 68) ] и
проскальзывании друг относительно друга; в бесконечно удаленных
точках пластины напряжения отсутствуют.
Для вычисления компонент тензора напряжений в случае гра¬
ничных условий (III.69) имеем комплексные потенциалы (III.60),
где следует положить qx = q^]. Пользуясь формулами Колосова —
Мусхелишвили и функциями (II 1.60) при qx = q(*\ а также учи¬
тывая ограниченность компонент напряжений первого напряженного
состояния, для рассматриваемой задачи при условии (III.68) в окре¬
стности концов трещины компоненты тензора упругих напряжений
92

ог, ар, тга в полярной системе координат г, р выражаются форму¬
лами (III.61), если в этих формулах положить
fti = 0; k2 = У I [(р — q) sin a cos а — р0 (р sin2 а + q cos2 а)]. (III.70)
Ha основании уравнений (III.34), (111.35) и выражений (111.61),
(III.66), (III.67) и (II 1.70) для вычисления предельных напряжений
Р — Р.. 2 и <7 = q,.2 при выполнении условия (III.68) имеем формулы
_	/*2К	1(1 — Ло)	sin a cos	а — р„ (sin2 а + ti„ cos2 а)]-1 .	ММ7П
"	’	{ ’
w	О	sin	—	cos^
2	2
я.. 2 = Лор,. 2.- ло = -у;
р* = 2 arctg	(Р* «70° 30').	(Ш.72)
Согласно равенству (III.72) формулу (III.71) можно записать так:
/1К /1	. .
Р.,2 = — ±-7= • -Ч- 1(1 — T)0)s»iacosa —
Луї *
—	р0 (sin2 a + Т)0 cos2 a)]-1,	(III.73)
<?.. 2	=	2-
В случае одноосного сжатия, например, когда р < 0, q = 0,
Ч0 = 0, из формулы (II 1.73) находим
~ р-2 = ^77 ' ж*(cos а~Ро sin аГ>'	{IIL74)
Результаты расчета по формулам (III.72) и (III.74) легко сопо¬
ставить с данными эксперимента.
Таким образом, для рассматриваемой задачи значения предель¬
ных напряжений определяются так: при выполнении условия (II 1.56)
Р*	—	Р*. ь	<7* = <7*. і и при выполнении условия (III.68)	/?*	= Р" 2,
<7*	=	<7*. 2,	где величины ptt j и q^t у вычисляются по	формулам
(III.65) для / = 1 и формулам (III.73) для / = 2.
Диаграмма предельных напряжений. Фор¬
мулы (III.65) и (III.73) для определения величины предельных на¬
пряжений при двухосном растяжении — сжатии пластины с тре¬
щиной (см. рис. 41) можно еще записать так:
Р.. і = Rfj (а. По); Я., і = ЛоP.. b	(111.75)
t = р (sin2 a + т]0 cos2 a),
где при t > 0 имеем / = 1, а при t < 0 — j = 2.
93

В формуле (111.75)
* = 77T;	<IIL76>
/і (а. Ло) =	'-a- cos ■% (sin2 a + Ло cos2 a) —
cos2 —L
2
 1" (1 — Ло)Sin 2a sin -y-j-';	(HI.77)
i/~3
/2 (a> Ло) =	2“ [(1 — Ло)sin a COS a —
—	p0 (sin2 a + r]0 cos2 a)]“l,	(III.78)
где г]0 =	угол	P*	определяют по формулам (III.65)	и	(III.66).
Если известны	значения параметров /, т)0, р0 и	а,	то,	пользуясь
приведенными выше формулами, можно определить напряжения
/?* и <7* в каждом конкретном случае.
Важное значение имеет построение на основе формул (III.75) —
(III.78) диаграмм предельных напряжений при плоском напряжен¬
ном состоянии или плоской деформации тела. В плоскости pOq они
представляют собой границу области изменения напряжений р и qt
безопасных в отношении распространения произвольно ориентирован¬
ных прямолинейных трещин заданной длины в деформируемом теле.
Диаграммы такого типа могут оказаться полезными для оценки
опасности разрушения деформируемых твердых тел, когда не могут
быть использованы обычные феноменологические гипотезы [161].
Это относится, главным образом, к хрупкому разрушению твердых
тел, в структуре которых имеются дефекты типа трещин. В таких
случаях хрупкое разрушение, как известно, связано с возникнове¬
нием условий, при которых дефекты типа трещин приходят в состоя¬
ние предельного равновесия и, следовательно, при малых возму¬
щениях поля внешних напряжений реализуется возможность их
распространения по сечению тела.
Построим диаграммы предельных напряжений при плоском на¬
пряженном состоянии хрупкого тела, ослабленного дефектами типа
прямолинейных трещин. Пусть в исходном (недеформированном)
хрупком теле имеются внутренние дефекты типа трещин, характер¬
ный линейный размер которых равен 2/, и пусть такие дефекты произ¬
вольно ориентированы и рассеяны по всему объему тела так, что
их можно принять изолированными друг от друга. Если такое тело
подвергнуто одноосному растяжению внешними напряжениями /?,
то, принимая характерный линейный размер дефекта за длину тре¬
щины и пользуясь формулами (III.75)—(III.77), при т)0 = 0 най¬
дем, что минимальное значение растягивающих напряжений выра¬
жается равенством
р(т\т = Щ 0) * 0,97/?, ^min> = 0.
94

Здесь а* — значение угла а, при котором функция /(а, 0), пред¬
ставленная равенством (111.77), принимает минимальное значение.
Для рассматриваемого случая значение этого угла равно 1,19 рад
(рис. 39). Поскольку в теле имеются дефекты (трещины) различной
ориентации, то в их числе всегда должны существовать трещины,
для которых а = а*.
В соответствии с формулами (II 1.76) для данного материала при
заданных условиях (температуре, окружающей среде, характере не¬
однородности структуры и др.)
R — постоянная величина.
При рассматриваемых ус¬
ловиях величина /?™,п пред¬
ставляет собою среднее зна¬
чение технической прочности
данного материала при одно¬
осном его растяжении:
р(т\п) = 0,97 R^ob,
где аь—техническая проч¬
ность хрупкого материала при
одноосном растяжении.
Отсюда
/?« 1,03а*.
Если тело с трещинами
подвергнуто двухосному рас¬
тяжению — сжатию напряже¬
ниями р и q (rj0 =/= 0), значе¬
ние угла а = а*, при котором
предельные напряжения /?* и q# имеют минимальное значе¬
ние, заранее неизвестно. Но и в этом случае, в числе всевозможно
ориентированных трещин средней длины 21 такое направление
должно быть. Оно определяется некоторым углом 0 < а* < -£ ,при
котором минимальное значение принимает (при заданном значении т]0)
или функция /j (а, т]0), когда t > 0, или функция /2(а, т]0), ког¬
да t < 0.
Рассмотрим случай, когда t > 0. Тогда угол а* должен удовлет¬
ворять условиям
f[ (а*. Ло) = 0. Гг (а*> По) > 0,	(111.79)
где штрихи обозначают дифференцирование по а.
Если угол а* определен, то по формулам (III.75)—(III.78)
можно определить величину предельных напряжений р{™т) и ^тш).
Определение углов а* из уравнений (111.79) в общем случае за¬
труднительно. На рис. 42 построены графики изменения функции
Рис. 42.
95

fi (a> Ло)» когда 0 < a < Пользуясь этими графиками, можно
определить величины	q{™\n)	для	указанных	на	рис.	42	Звечо¬
ра in)	^(min)
ний Tig, а затем по формулам (II 1.75) найти величины -*’1 и •'1 .
Таким путем составлена табл. 12, по данным которой на рис. 43, а
построен график изменения предельных напряжений в зависимости
р.
5
а, і
90
45
О	-1	-2	~3fi0
б
Рис. 43.
р( min)
от параметра т]0, где по оси абсцисс отложены значения	—, а по
оси ординат — значения
Jmin)
(а, = 0,977?).
Кривая 1 на рис. 43 представляет собой диаграмму предельных
напряжений р(™т) и </фт1П) при t > 0.
Эта диаграмма справедлива для всех щелей — трещин, берега
которых в процессе деформации тела не соприкасаются друг с дру-
p(min)	^(min)
гом. При этом величины —5	 и —	следует рассматривать как
&b	Qь
относительные значения главных напряжений, возникающих в
деформируемом теле при плоском напряженном состоянии.
96

Таблица 12
“Пв
_(min)
р*, 1
R
(min)
Я*, 1
R
а.
Р*
Ло
(min)/ Jmin)
р* 1 1 д* 1
R \ Я '
а. =0; Р. = о]
— оо
0,00
—2,58
53° 38'
—84° 54'
1,00
1,00
—12,98
0,17
—2,17
54° 49'
—79° 58'
1,20
0,83
—6,616
0,29
—1,94
55° 38'
—77° 20'
1,50
0,67
—3,860
0,43
-1,65
56° 57'
—74° 08'
2,00
0,50
—2,43
0,55
—1,35
57° 59'
—70° 28'
3,00
0,33
—1,06
0,75
—0,80
59° 59'
—62° 40'
4,00
0,25
—0,47
0,88
—0,41
62° 17'
—50° 30'
6,00
0,17
0,00
0,97
0,00
68° 18'
—34° 43'
8,00
0,13
0,50
1,00
0,50
90°
0°
10,00
0,10
Построим диаграммы предельных напряжений для t < 0. При-
мем, что р < О, q > 0 (0 > г|0 > — оо). Очевидно, что диаграммы
предельных напряжений при /? < О, </ > 0 и /? > О, ? < О симмет¬
ричны по отношению к биссектрисе первого и третьего квадрантов
плоскости pOq.
Аналогично предыдущему минимизируем функцию /2 (а, г|0),
представленную формулой (III.78), по углу а, когда 0<а<у и
р(sin2а + г|0cos2а) <0, р> О, 0>т|о> —со. (111.80)
В этом случае найдем, что функция /2 (а, т^) принимает мини¬
мальные значения при а =.а#, где
(111.81)
1	, 1
a.=^-arctg—•
Ha основании равенства (III.81) и формул (111.75) имеем
p(min) —	^
= n0p<_m‘n>. (111.82)
..2
(111.83)
(I — По) V\ + Ро — Ро (1 + Ло) ’
Условие (I II .80) при р < 0 можно записать так:
а>а0; р< 0,	0	>	>	—	оо,
где а0 = arctg V—По-
Формулами (II 1.83) можно пользоваться только в том случае,
если при заданных значениях параметров г]0 и р0 угол а = а, удов¬
летворяет неравенству (111.83). При некоторых значениях пара¬
метров г)о и Ро условие (II 1.83) для углов а = аг не выполняется.
Это значит, что трещины, ориентированные под углом а’ при задан¬
ных значениях т]0 и р0 не являются закрывающимися и, следова¬
тельно, для таких трещин предельные нагрузки нельзя вычислять
по формулам (II 1.82). В этом случае локальное разрушение тела
7 В. Панасюк.
97

может предопределяться распространением раскрывающейся тре¬
щины (t > 0).
В общем случае плоского напряженно-деформированного состоя¬
ния хрупкого тела с трещинами, т. е. когда 0<[рос1,0>т|о>
> — оо, предельными напряжениями р(™т) и ^тш) будут наимень¬
шие значения напряжений p^t} и у, вычисленные по формуле
(II 1.75) как при t > 0, так и при t < 0. Имея это в виду, на рис. 43, б
построены графики изменения углов а0 и а* в зависимости от
величины т]„ [углы а* удовлетворяют условию (III.79)]. Пунк¬
тирными линиями на рисунке изображено изменение углов а, для
Ро = 0 и Ро = 1.
Пользуясь графиками на рис. 43, б и формулами (III.75) для
рассматриваемого нами случая (р < 0, q > 0, 0 > т]0> — оо),
получаем, следующие формулы:
I.	Если > а0 и а* > а0, то
р(тіп) = min {/^ Ло); p(min)); ^min) = т^тіп^ (Ш.84)
где
а0 = arctg У — т]0>
II.	Если а+ < а0 и а* > а0, то
р(тіп) = min j^/i (а0) n0); Rf2 (а0, п0)). д[тт> = г|0р<тіп>. (Ш.85)
III.	Если а, < а0 и а* <; а0, то
pimin) = mjn (pfmin).	^	q(min)	= ^(min) (III.86)
IV.	Если а, > а0 и а* <; а0, то
р(тin) = min (p(min);	q(m\n)	=	(Ш.87)
где функции fx (а, г|0) и /2 (а, ц0) представлены равенствами (II 1.77)
и (III.78); значение р{™'2п) определяется по формуле (111.82), а
р(™!п) вычисляется на основе формулы (III.75) (табл. 12). Для
рассматриваемого нами случая по формулам (III.84) — (III.87)
на рис. 43, а построена диаграмма предельных напряжений р(™1П)
и ^m,n) при р0 = 0 (кривая 2), р0 = 0,3 (кривая 3) и р0= 0,5 (кри¬
вая 4).
Положительной особенностью диаграмм предельных напряжений
является то, что они получены в результате анализа развития при¬
сущих материалу дефектов — трещин и, следовательно, они отра¬
жают один из физических процессов разрушения.
В заключение отметим, что в работе [100] также предпринята по¬
пытка построить диаграмму предельных напряжений, исходя из
энергетического принципа Гриффитса и гипотезы о том, что рас¬
пространение исходной трещины всегда (при любом направлении
действующих нагрузок) происходит в плоскости расположения
трещины. Однако эта гипотеза не подтверждается эксперименталь¬
ными данными.
98

6.	Критерии прочности при двухосном
растяжении
Вопрос о выборе критерия прочности при хрупком разрушении мате¬
риалов, находящихся в двухосном напряженном состоянии, до сих
пор окончательно не решен. В качестве наиболее приемлемых крите¬
риев следует отметить гипотезу наибольших нормальных (растяги¬
вающих) напряжений [46] и теорию Гриффитса [191].
Теория Гриффитса о хрупком разрушении при двухосном напря¬
женном состоянии, как известно, основана на анализе упругих
напряжений около вытянутой эллиптической полосы в пластине,
подвергнутой двухосному растяжению. Предполагается, что радиус
кривизны такой полости в ее вершине хотя и мал, но имеет конечное
значение * (по этому вопросу см. работы [204, 207, 209, 210]).
Физические предпосылки данной теории состоят в следующем.
Принято, что реальный материал во всех направлениях содержит
эллиптические полости — трещины одинаковой длины. Разрушение
такого тела наступает тогда, когда наибольшее местное растягиваю¬
щее напряжение для самой опасной ориентировки полости — трещи¬
ны достигает величины ав.
Определив максимальные растягивающие напряжения на кон¬
туре эллиптического отверстия в упругой пластине, подвергнутой
двухосному растяжению внешними напряжениями р и q при наибо¬
лее невыгодном расположении полости в поле действующих напря¬
жений и использовав указанные выше соображения, Гриффитс
[191] сформулировал следующие критерии хрупкого разрыва при
плоском напряженном состоянии тела:	1) если Зр + q > 0, раз¬
рушение происходит при р = ав; 2) если Зр + q < 0, разрушение
наступит тогда, когда
Графическая интерпретация приведенных уравнений дана на
рис. 44 в виде линии 2. Критерий хрупкой прочности по гипотезе
наибольших нормальных напряжений достаточно простой р =ов
или q = ов (линия 3). На этом рисунке линия 1 — диаграмма пре¬
дельных напряжений, построенная по уравнениям (III.65) (см. кри¬
вую 1 на рис. 43).
Сопоставим диаграммы на рис. 44 с опытными данными, получен¬
ными при испытании хрупких тел. Вначале рассмотрим некоторые
экспериментальные результаты, полученные при испытании (раз¬
рушении) трубчатых чугунных образцов при плоском напряженном
состоянии ** [181, 182, 188].
*	Выше дан анализ предельно-равновесного состояния трещины с нулевым
радиусом кривизны в ее вершине, т. е. рассмотрен случай остроконечной трещи¬
ны—полости.
** Плоское напряженное состояние в трубчатых образцах осуществляется пу¬
тем наложения осевого растяжения — сжатия q и внутреннего давления р в раз-
(p — qf + 8а„ (р + д) = 0.
личных соотношениях
7*
99

Чугун представляет собою материал с достаточно ограниченной
пластичностью и при определенной термической обработке в его
структуре имеются многочисленные (произвольно ориентированные
в объеме тела) графитовые включения в виде тонких пластинок.
Графитовые пластинки имеют ничтожно малую
прочность на разрыв по сравнению с ферритной
основой чугуна, следовательно, их можно рас¬
сматривать в первом приближении как дефекты типа
остроконечных полостей — трещин в основной
структуре материала.
Таким образом, чугуны с пластинчатым графи¬
том в первом приближении подходящий реальный
объект сформулированной выше расчетной модели
хрупкого тела с трещинами. В связи с этим резуль¬
таты испытания чугунных образцов (материал ко¬
торых имеет указанную структуру) при плоском
напряженном состоянии интересно сопоставить с
теоретическими данными.
На рис. 44 в координатах — и — приведены ре-
G в	<*в
зультаты опытов [181, 182, 188] по разрушению
чугунных трубчатых образцов при плоском напря¬
женном состоянии. Точки 1 относятся к образцам
из модифицированного чугуна (ав = 345,3 н/мм2),
а точки 2 и 3 — к образцам из серого чугуна
(соответственно ав = 185,4 и ав = 228,6 н/мм2).
Как видно из рис. 44, при р > 0 и q > 0 опытные
данные хорошо согласуются с результатами теории,
а при q < 0, р > 0 они располагаются немного
ниже кривой 1.
Некоторые прочностные характеристики ука¬
занных выше чугунов (техническая прочность при
одноосном растяжении гтв и отношение техниче¬
ской прочности при сжатии аж к технической проч¬
ности при растяжении — коэффициент k0 = —) и
<*в
средний линейный размер графитовых включений I
приведены в табл. 13. Для этих материалов экспе¬
риментальное значение коэффициента k0 изме-
“5
/
U-
-Ъ-
I
-8
/
-22L-
Рис. 44. няется в пределах 2,5-=—3,3, теоретическое значе¬
ние, рассчитанное по формуле (III.65), равно 2,7,
а вычисленное на основе теории Гриффитса, равно 8.
В случае, когда берега исходной (ответственной за разрушение)
трещины контактируют между собой, коэффициент k0 зависит от
величины коэффициента трения р0 (см. диаграммы на рис. 43),
при ро > 0 имеем k0 > 1,7.
Точки 4 и 5 на рис. 44 — это результаты, полученные Давиден-
100

ковым и Ставрогиным [46] при испытании на разрушение гипсовых
и стеклянных трубчатых образцов при плоском напряженном со¬
стоянии. Полученные данные в первом квадранте (q > 0, р > 0)
хорошо согласуются с диаграммой предельных напряжений, во
втором квадранте (q < 0, р > 0) они отклоняются от этой диаграм¬
мы. Прочность стеклянных образцов во втором квадранте лучше
описывается линией 3 (хотя при этом не ясен механизм разрушения
в условиях, близких к чистому сжатию), а прочность гипсовых
находится в области между линия¬
ми / и 2. Согласно данным Дави-
денкова и Ставрогина, для гип¬
совых образцов ав=4,12 дан! мм2,
К = 7,5; для стеклянных ав«
«3,92 дан!мм2, k0 = 22.
Таким образом, теоретически
установленные (на основе моде¬
ли идеально хрупкого тела с
трещинами) общие закономер¬
ности разрушения хрупких материалов при плоском напряженном
состоянии подтверждаются экспериментально. Более того, для хруп¬
ких материалов с явно выраженной дефектностью структуры в виде
узких щелей — трещин (как это, например, имеет место в первом при¬
ближении для чугунов с пластинчатыми графитовыми включениями)
диаграмма предельных напряжений (кривая 1 на рис. 44) удовлет¬
ворительно согласуется с результатами экспериментов и в количест¬
венном отношении, если иметь в виду, что она характеризует
напряжения р* и q#, необходимые для локального разрушения распро¬
странения трещины в хрупком теле. Однако локальное распростране¬
ние трещины не всегда приводит к полному разрушению тела. Полное
разрушение тела наступает тогда, когда по достижении внешними
напряжениями их предельных значений происходит неустойчивое
(спонтанное) распространение трещины (см. примечание на стр. 10).
При действии сжимающих напряжений локальное распространение
трещины, вообще говоря, устойчиво, в связи с чем для разрушения
тела с дефектами типа трещин при сжатии необходимо приложить
напряжения	и	9	>	Следовательно,	в	таком	случае, раз¬
рушающие напряжения будут характеризоваться в плоскости pOq
точкой, расположенной за диаграммой предельных напряжений
(см. рис. 44).
Теория распространения трещин в деформируемом хрупком теле
дает возможность также предсказать значительное превышение
прочности материала при сжатии по сравнению с прочностью при
растяжении. Это явление наблюдается также при испытании хруп¬
ких тел.
Вероятно, для хрупких тел, в структуре которых не имеется до¬
статочно развитых дефектов типа трещин, модель хрупкого тела с
прямолинейными (остроконечными или закругленными в вершине)
Таблица 13
Материал
ов,
н/мм2
*0
1, мм
Серый чугун . . .
185,4
3,2
0,64
Серый чугун . . .
228,6
3,3
0,57
Модифицированный
чугун
345,3
2,5
0,38
101

трещинами не достаточно полно отражает поведение таких тел в
условиях плоского напряженного состояния при больших сжимаю¬
щих напряжениях (см., например, точки 5 на рис. 44).
В таких случаях существенную роль в разрушении хрупких мате¬
риалов могут играть и дефекты другой конфигурации, а именно,
криволинейные трещины, остроконечные полости, скопления за¬
родышевых прямолинейных трещин и т. п. По этой причине для
более полного описания поведения хрупких тел под нагрузкой, осо¬
бенно в области больших сжимающих напряжений и построения
соответствующих критериев хрупкой прочности необходимо изу¬
чение закономерностей развития дефектов различной структуры в
процессе деформации твердого тела, выяснение их взаимного влия¬
ния и построение затем диаграмм предельных напряжений *.
Вместе с тем, уже на основе проведенных в этом параграфе со¬
поставлений результатов теории и эксперимента можно заключить,
что рассматриваемая теоретическая схема хорошо описывает пове¬
дение различных хрупких тел в условиях плоского напряженного
состояния, если главные напряжения /? > 0 и <7 > 0. В этом случае
подтверждается то положение, что разрыв хрупких тел управляется
развитием дефектов типа трещин в структуре деформируемого мате¬
риала. Характерно, что в указанной области напряжений (р > О,
q >0) полученные диаграммы предельных напряжений (см. рис. 44)
практически подтверждают широко известную в инженерной прак¬
тике гипотезу наибольших нормальных (растягивающих) напря¬
жений.
7.	Растяжение пластины с дугообразной
трещиной
Исследованию предельного равновесия бесконечной однородной
плоскости с трещинами (разрезами) вдоль дуг окружности посвяще¬
ны работы [13, 131, 134, 136]. В этих работах на основе уравнений
(111.34) и (111.35) установлены формулы для подсчета величины
предельных нагрузок в случае одной [131], двух [19] и системы
{136] дугообразных трещин.
Ниже дано решение задачи о предельном равновесии бесконеч¬
ной плоскости с одной дугообразной трещиной и устанавливаются
некоторые особенности распространения дугообразных трещин в
пластинах.
Рассмотрим трещину в виде разреза вдоль дуги окружности.
Пусть бесконечная пластина единичной толщины ослаблена дуго¬
образной трещиной (разрезом вдоль дуги окружности радиусом R)
так, что 20—центральный угол дуги разреза — трещины. Отне¬
сем пластину к прямоугольным декартовым координатам хОу и
*	Некоторые из таких исследований изложены в последующих параграфах.
102

примем, что начало координат совпадает с центром дуги разреза,
а плоскость хОу — со срединной плоскостью пластины; ось Ох на¬
правлена к середине трещины. Далее предположим, что края тре¬
щины свободны от внешних напряжений, а в бесконечно удаленных
точках пластины действуют во взаимно перпендикулярных направ¬
лениях равномерно распределенные напряжения р и qy при этом
напряжения р направлены под углом а к оси Ох (рис. 45).
Задача состоит в определении предельных значений внешних
напряжений р = р* и q = <7*.	п
Для решения задачи сначала най¬
дем распределение напряжений в
окрестности концов рассматривае- ;
мой трещины. Заметим, что функ- ^
ции Мусхелишвили Ф(£) и Q (£),	>
определяющие напряженно-дефор¬
мированное состояние пластины
с разрезом вдоль дуги окружности
радиуса /?, имеют следующий вид
[103]:
ІІШ
Ф(0
і
+
о,
чхЩ tc°£ + ci +
(111.88)
л.	_1_ г'
п	2	'	2£2
Рис. 45.
2Х ©
где
Здесь под X (£) подразумевается ветвь, для которой lim С-‘Х(Є) =
= 1 при £ оо. В этом случае имеем X (0) = —1. Отсюда лег¬
ко установить следующее равенство:
(111.90)
Постоянные с0У си D0, Dlt D2 для рассматриваемой задачи опре¬
деляются соотношениями
 	0	0
4Г + (Г' + Г') sin2 — cos2
— 0 . П v ^ 2	2
c0 = -f (Г-Г) sln»-2- +
С\ = — с0 cos 0, D0 = 2Г — с0;
Dx = — Г' cos 0, D2 = Г',
(II 1.91)
103

где величины Г и Г' связаны с главными напряжениями на беско¬
нечности формулами
Аналитическая формула W (£), которая встречается в выраже¬
ниях для определения компоненты тензора напряжений, связана с
функциями Ф (£) ий (£) следующим образом:
На основе формул (111.88), (111.89) и (111.93) легко установить
выражение
Имея в виду изучение напряженного состояния в окрестности
конца трещины, перейдем к новым координатам с началом в ее вер¬
шине. Ось OjXx (/ = 1, 2), соответствующую оси Ох в системе
хОу, направим вдоль касательной к поверхности трещины у ее конца
0Х или 02 (см. рис. 45).
ФункцииФ^) hYj (2х) (2t = хх + iyv = гё$)у играющие ту же
роль в новой системе координат xxOjyly что функции Ф (г) и W (г)
в системе координат хОуу определяются следующими формулами
перехода:
При расположении начала новых координат в вершине трещины
01У в формулах (III.96) следует принять г0 = /?г*е, со = -у+ 6.
Если же начало новых координат поместить в вершине трещины
Г = -Г (Р + q)\ Г = -±-(р- q) e-2ia. (111.92)
Т(0 = -£-Ф (£)--	(111.93)
V(z) =
+ fiL
5D2 <
X
(2 =/г».
Согласно выражению (II 1.88), имеем
(111.94)
Ф(г) =
2	Yг2 — 2zR cos 9 + R2
(111.95)
фі (Zi) = Ф (2^“ + z0);
(2i) = [T (2/* + г0) + 2„Ф' (2іЄ‘“ + 20)] Є2‘“
(111.96)
104

Компоненты тензора напряжений аг, <тр, тгр в полярных коор¬
динатах (г, Р) (см. рис. 45) определяются формулами [103]
стг + стр = 4ИеФ1(г1);
ав - iTrt = 2 Re Ф, (2l) + і;Ф; (г,) + h-	(111.97)
Поскольку нас интересует распределение напряжений в окрест¬
ности концов трещины, т. е. в точках гх = г№ при г<^ R и 0<
< 0 < я, то в дальнейшем используем следующие разложения:
при г = ггеш + г0 = ReiQ + irei($+e) имеем
2" = Rnenbi (l + — ie^n = Rn<*%l [ 1 + n Uf* + 0 j;
_j±e	(111.98)
1	ie 2 Г,	г	e~^P+e)
V(z— ReiB) (z — Re~ie)	/ 2Rr sin 0 [	R	4 sin в +
+ °W];
при z = Re~m — t're<P_9>1 получаем
2" = RnernBi 11	=
=	1 — n іеф + 0 j|;
1	ie	г	1	f
1	5" x
K(2- 7?e,e) (z — Яе~ів)	/ 2/?/- sir! в [ R
е(Р-Є) і	j	ra	\	l
X 4sin 0 +	(ж)]'
Пользуясь соотношениями (111.98), на основе формул (III .94)—
(III.97) после необходимых преобразований найдем следующие
выражения для компонент тензора напряжений вблизи концов
Oj(j= I, 2) дугообразной трещины:
°г = І7¥ [Кі [5 005 "2" “ C0S “5" Р] + h- і [- 5 sin -Г +
+ 3 sin P J + 4Aj cos2 p + 0	(111.99)
°e = 4~y~^r~ {kl'' [3 cos "2" + cos “Г P]— 3*2-' [sin "I" + sin T" ^]} +
+ 4Aj sin2 P + 0 (г1/*);
TrP = 4^717{*'*1 [sin4 + siniP + *2- /[cos4* + 3cos T- P]}—
— 2^sin2p + 0(r'/>).
105

Здесь коэффициенты k\tj и fc2, / (у = 1, 2) определяются по таким
формулам: в окрестности вершины трещины Ох имеем
k{ tl = YR sin 0фг (а, 0); fe2, і = YR sin ®ф2 (а> ®);
• 2 0
sin2 —-
Л(«. 0) =-г(Р + ^)
1 4- sin2
+
+
0	0
cos 2а sin2 — cos2 —
	2	2_
1 + sin2 —
2
(III. 100)
cos 2 (а — 0)
где
Фі(а, 0) = -s-
Є Є
p + q — (p — q) cos 2a sin2 —- cos2
1	+ sin2 —
+ (p — q) sin 2a sin3 -f (p — q) cos (2a	0j
0 ,
C0ST +
(111.101)
<p2(a, 0) = -s-
0 0
P + Я — (p — Я) cos 2a sin2 — cos2 — Q
	e	5іпт-
1	+ sin2 —
0 0 /
—	(p — q) sin 2a sin2 -y cos 	(p — q) sin 2a —
(P >
в окрестности вершины трещины 02 имеют место соотношения
k\, 2 = VR sin ®Фі (а> — 0);	*2,2 = К Л Sin 0ф2 (а, — 0);
А2 (а, 0) =	(а, — 0).
(III.102)
Если отвлечься от конкретных значений k1Jf k2jy Ajt то видно,
что выражения (II 1.99) совпадают с аналогичными выражениями для
прямолинейной трещины [см. (111.61)]. Поэтому можно заключить,
что напряжения в окрестности вершины криволинейной трещины
при плоском растяжении определяются выражениями (III.99) в
общем случае нагружения пластины. Качественно это подтвержда¬
ется также экспериментальными исследованиями [215].
Для нашей задачи (см. рис. 45) коэффициенты и fe2, / найде¬
ны непосредственно из рассмотрения распределения напряжений
106

вблизи вершины дугообразной трещины. Согласно формулам (II 1.97)
и (II 1.99), этй коэффициенты можно определить также из соотно¬
шения
Использовав разложения (II 1.98), правую часть равенства
(II 1.103) можно представить в виде, аналогичном ее левой части.
Затем простым сравнением легко определить при одинаковых гар
мониках значения коэффициентов k\t\y k2,\ и Ах. Величины felt2,
fe2 2 и А2 получаются автоматически на основании соотношений
(III.102).
Идея использования соотношения (II 1.103) для определения
коэффициентов интенсивности напряжений была выдвинута в ра¬
боте [219]. Там же приведены выражения для коэффициентов kit\
и k2, і для некоторых случаев нагружения пластины с трещиной.
Однако приведенные в работе [219] выражения для коэффициентов
k\, і и fe2, і У одного конца (Oj) дугообразной трещины в бесконечной
пластине, растягиваемой на бесконечности усилием р под углом
а к оси Ох ( в наших обозначениях), неточны. В этом случае, согласно
формулам (III.100) и (III.101), имеем такие .выражения:
+	=	ki,	і	Vу cos	— k2, і Vу sin + 4ЛХ +
+ 0(r,/«) = 4Re<D1(z1).	<
(111.103)
и	р/	У?	sin 0
Яі, 1 —	о
— cos 2а sin2	cos2 —
2 2
(III. 104)
, p \f R sin 0
K2, 1 = 	9
1 — cos 2a sin2 — cos2 —
2 2
2
В случае всестороннего растяжения (р = q) имеем
р у R sin 0 в

Если определены значения k\,/ и &2./ (/ = 1, 2), то, пользуясь
уравнениями (III.34) и (III.35), легко получить формулы для опре¬
деления величины предельной нагрузки. Действительно, для рас¬
сматриваемой задачи, подставив в эти уравнения выражение для
ар (г, р) из формул (II 1.99) и выполнив необходимые преобразова¬
ния, найдем
k\, і (з COS -тр + cos -J- P*| — 3*2, / (sin-y- +
,	• з о \	4	У~2К .
+ Sin 2 P*j — я .
/6 з \	(II1106)
fel./(sin-^- + sin-g P*J +
+ ft2i/(cosb. + 3cos4p*) = 0	(/=1,2),
где коэффициенты k\, j и ki, j (j = 1,2) определяют	по	формулам
(111.100)—(III.102),	a k\,j и k2j —по тем же формулам, если
положить, что р — р% и q = q4.
Значения угла р*, которые обеспечивают максимальное значение
интенсивности упругих напряжений ар (г, Р), определяются по фор¬
мулам
Р* = ± 2 arcsin 6П/ \ (эя?+1)' + 1 ПрИ *'•1 > °’ (ШЛ07)
л f 6п? + 1 + у 8п2, + 1
Р* = ± 2 arcsin 1/	, 2	(	 при £,,/ < 0,
2 + 1)
где знак «+» соответствует значениям k^ j < 0, а знак «—» — зна¬
чениям k2j > 0; nf =	(j	= 1,2).
*i. /
Таким образом, пользуясь этими формулами и соотношениями
(111.100)—(III.102)	и (III.106), можно рассчитать величину пре¬
дельной нагрузки для пластины, ослабленной изолированной кри¬
волинейной трещиной в виде разреза вдоль дуги окружности и под¬
вергнутой двухосному растяжению напряжениями р и <7 (см. рис. 45).
Рассмотрим некоторые частные случаи задачи.
1.	Бесконечная пластина, ослабленная внутренней прямолиней¬
ной трещиной длиной 2/, растягивается равномерно распреде¬
ленными напряжениями q, приложенными в бесконечно удаленных
точках пластины под углом а к линии расположения трещины.
Требуется определить, предельное значение напряжений q = <7*.
Для решения задали используем формулы (III.100)—(111.102),
а также уравнения (III.106) и (III.107). Полагая в формулах
108

(III. 100)—(111.102), что p = 0, q Ф 0, a 0	0	и R-+ оо, но
так, что RQ = / = const, легко находим
k\.j = qV / sin2 a, £2, / = <71^"/sin a cos a (/ = 1,2); (III. 108)
Л2. і і
go,
*>./
P* = — 2 arcsin
(III. 109)
Тогда, согласно формулам (III. 107):
/6ctg2a + 1 — /8 ctg2 a + Ї
2	(9 ctg2 a + 1)
Пользуясь далее равенствами (III.106) и (III.108) для определе¬
ния предельных значений напряжений д = q^, получим
Я* —	-л-т • «г 7	а	г	>	(III. 110)
'	cos3	—— sin2 а / і — 3 ctg a • tg -у-)
где (^определяется выражением (III.109).
Таким образом, как и следовало ожидать, формулы (ІІІ.109)
и (III.110) совпадают с формулами (III.53) и (111.54).
2.	Пластина с дугообразной трещиной в виде полукруга растя¬
гивается на бесконечности напряжениями р, действующими под
углом а к оси Ох (рис. 46).
Полагая в формулах (III.100)—(III.102), что q = 0, 0 = -у, най¬
дем следующие выражения для коэффициентов k\t ,■ и ft2, j-
k\ і = p* [4 — 7 cos 2a + 9 sin 2a];
1 12/2 1
kl, і =	[4	+	5	cos	2a	+	3	sin	2a];
k\, 2 =
12/2
P.VR
12/2
— [4 — 7 cos 2a — 9 sin 2a];
kl 2 = — P-*	[4 + 5 cos 2a — 3 sin 2a].
12/2 1
В этом случае значения параметра п} (j = 1, 2) определяются
(III.111)
так:
пл =
ги =
4 + 5 cos 2а + 3 sin 2а #
4 — 7 cos 2а + 9 sin 2а ’
4 + 5 cos 2а — 3 sin 2а
’ 4 — 7 cos 2а — 9 sin 2а ’
(III.112)
(III. 113)
где 0 < а < -у.
На основе формул (II 1.107), (III.Ill), (III.112) и (III.113) легко
рассчитать значение угла р*. Кривая / на рис. 46 изображает изме¬
нение начального направления распространения трещины у ее
109

конца Oj в зависимости от угла а, а кривая 2 — зависимость угла
Р* от а у конца трещины 02.
Зная значения угла р* и пользуясь равенствами (III.106),
(III.Ill), (III.112) и (III.113), можно определить предельную ве¬
личину внешних напряжений
р = р*. Зависимость от на¬
правления (а) для концов тре¬
щины Ох (кривая 1) и 02 (кри¬
вая 2) показана на рис. 47. Из этого
рисунка видно, что предельная
величина напряжения p0t і, не¬
обходимая для развития трещи¬
ны у ее конца Ох, значительно
меньше величины p0t 2, по до¬
стижении которой трещина на¬
чинает распространяться у кон¬
ца 02. Таким образом, при
0 < а < -— трещина в виде дуги
полуокружности начинает распространяться у конца Ох раньше, чем у
конца 02. Развитие трещины у обоих концов одновременно возможно
в двух случаях: внешнее напряжение р действует под углом а = 0
к оси Ох или а =	.
3.	Экспериментальное
исследование распро¬
странения дугообразной
трещины при растяжении
пластины. Для проверки
зависимости изменения пре¬
дельных напряжений p\t4
и р2, * для дугообразной
трещины в виде разреза
вдоль дуги полуокружнос¬
ти были проведены следую¬
щие эксперименты. Из ли¬
стового силикатного стекла
были вырезаны прямоугольные пластины размером а х 2L х Л, где
а = 35 см, 2L = 20 см, a h = 0,2 см. В каждой пластине с помощью
стеклореза, укрепленного на вращающемся диске, образовывали
трещину — надрез в виде полуокружности радиусом R = 20 мм,
ориентированную под углом а к продольной оси пластины. Такие
пластины растягивали * на разрывной машине типа МР-0,5 до тех
пор, пока в окрестности вершины Ох или 02 не начиналось распрост¬
ранение трещины по сечению пластины, в результате чего насту¬
*	Образование трещин и крепление образцов в захватах машины осуществля¬
лось так, как это описано в параграфе 4 настоящей главы.
110

пало разрушение пластины. При этом фиксировалось значение пре¬
дельной нагрузки Q{j\ а затем по формуле
= W (/ = 1. 2>
рассчитывалось значение предельных напряжений /?„ / (а).
Таблица 14
2
X
S
н
и
СО
§
£
I a. pad
I
а*
7
о
СУ* х
Р.а ' ‘О-1.
н/см2
(сред)
Рфа
(сред)
Р л
* 2
1
0,000
184
0,472
2
0,000
172
—
0,443
1,05
3
0,000
178
—
0,454
4
0,174
221
0,558
5
0,174
—
204
0,538
1,27
6
0,174
—
227
0,553
7
0.349
_
245
0,617
8
0,349
—
243
0,628
1,43
9
0,349
—
237
0,611
10
0,524
157
—
0,407
11
0,524
150
—
0,387
12
0,524
133
—
0,339
0,85
13
0,524
127
—
0,337
14
0,698
_
250
0,530
15
0,698
—
236
0,568
1,38
16
0,698
—
234
0,598
17
1,047
130

0,331
18
1,047
151
—
0,384
19
1,047
159
—
0,405
0,85
20
1,047
145
—
0,359
21
1,222

253
0,645
22
1,222
—
258
0,676
1,50
23
1,222
—
244
0,628
24
1,396

253
0,650
25
1,396
—
235
0,570
1,41
26
1,396
—
231
0,615
27
1,571
167
0,409
28
1,571
179
—
0,445
1,00
29
1,571
180
—
0,448
111

Согласно рис. 47, при 0 < а < — всегда имеет место неравенство
Р*. t (а) < t (а)* Как и предусматривает теоретический анализ,
при растяжении указанных пластин развитие трещины всегда на¬
чиналось из вершины Oj. Чтобы получить развитие трещины из
вершины 02, в вершине Ох высверливали небольшое отверстие, что
блокировало развитие трещины из вершины 0Х, и трещина начинала
распространяться из вершины 02 при напряже-
ниях р.,, (а) > р.,, (а).
Экспериментальные значения усилий Q , і (а)
и Q*. 2 (а), полученные указанным способом
при растяжении стеклянных пластин, приведены
в табл. 14. Здесь р* (а) — напряжения при за¬
данном угле а, отнесенные к среднему значе¬
нию напряжений p%t ^ 0,44 н/мм2. Средние
« Рл% і (<*)
значения предельных напряжении
М И 1
Р„ 2 (Д)
Рис. 48.
’Ат)
(кружки на рис. 47) установлены в ре-
зультате эксперимента (табл. 14) и умножены на коэффициент *, рав¬
ный 1,6.
Сопоставляя теоретические и экспериментальные данные, можно
заметить, что теоретические результаты качественно согласуются
с результатами эксперимента.
4.	Влияние искривления контура трещины на величину пре¬
дельной нагрузки. Сопоставим значения предельных напряжений
для пластины, ослабленной дугообразной трещиной в виде разреза
вдоль дуги окружности (см. рис. 48, где R — радиус, а 20 — цент¬
ральный угол дугообразной трещины), когда пластина подвергнута
одноосному растяжению полем однородных напряжений ру на¬
правленных вдоль линии симметрии разреза — трещины, и для
такой же пластины, но ослабленной прямолинейной макротрещи¬
ной длиной 21 = 2R sin 0 (пунктирная линия на рис. 48). Для второй
задачи, т. е. для пластины с прямолинейной макротрещиной длиной
2R sin 0, величина предельных напряжений выражается формулой
Гриффитса:
KV 2
т(г) _ .
л YR sin 0
(III. 114)
Для первой задачи значение предельных напряжений р = р*
* Р, (а)
У	і	,	V
	;= f (<»);
я vr
ІтУ
1.6.
112

найдем по формулам (III.104), (III.106) и (III.107). Полагая в
(III.104), что а = 0, найдем
k\, j =
pVRsin 0
1 — sin2
0 e 0
cos2 —-
2 2
0
1 + sin2 —
-cos-^- + cos-|-0 I;(III. 115)
&2. і =
P YR sin 0
1 — sin2 —— cos2
1 + sin2 -5-
2.0,. З Л
— Sin-g- 4- sin “2"0
При этом, согласно равенству
(111.102), имеем
2 = k
1. ь
fe, 2 = — &2, \.
Отсюда на основе уравнений
(III.106) и (III.107) получим
1,0
Р* =
Л YR sin 0
Здесь
/(в) •
(III. 116) цд
Ж
6
Рис. 49.
f (0) = ~К 1 (з cos + cos Р.) — 3*2. 1 (sin + sin у Р.), (III. 117)
где
*1.1 =
2k
1. 1
&2. 1 =
2k
2, 1
Р* =■ —2 arcsin
р YR sin 0 ’
1^/	+1	—	V	+	1
pYR sin 0 ’
2(9n? + l)
Tiy =
*2, 1
V1
(значения k\t і и ft2, і определяются по формулам (III.115)).
Сравнивая равенства (III. 114) и (111.116), легко найдем
л<г>
f(0)’
(III.118)
где функция / (0) определяется равенством (III.117).
На рис. 49 построен график (сплошная линия) изменения соот¬
ношения (III.118) при 0 < 0 <-тр Отклонение этой линии от еди¬
ницы характеризует влияние искривления контура трещины на ве¬
личину предельной нагрузки. Если центральный угол дугообразной
трещины 2 0 такой, что 0 <-£, то, как показывает рис. 49, пре-
В. Панасюк.
113

дельные значения внешних напряжений, вычисленные по формулам
(II 1.114) или (111.116), практически совпадают.
Некоторые дополнительные данные о влиянии искривления кон¬
тура начальной трещины на характер ее распространения опубли¬
кованы в работах [134, 136, 215, 2171.
Исследования упругого равновесия неоднородной пластины с
разрезами вдоль дуг окружности можно найти в работах [41, 42,
145, 146, 151, 1661.

Глава IV
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ПЛАСТИН,
ОСЛАБЛЕННЫХ ОСТРОКОНЕЧНЫМИ
ОТВЕРСТИЯМИ
1.	Введение
Ниже рассмотрены некоторые задачи о предельно-равновесном со¬
стоянии пластин, ослабленных отверстиями с угловыми точками
(точками возврата) на контуре. Решение таких задач представляет
интерес как с точки зрения выяснения влияния подобных дефектов
на несущую способность деформируемых хрупких тел, так и с точки
зрения определения различий в значениях предельных нагрузок
для тела, ослабленного полостью с острыми (трещиноподобными)
концами, и тела, ослабленного прямолинейной трещиной соответст¬
вующей длины.
Ход решения таких задач подобен тому, что приведен выше:
вначале при заданном внешнем воздействии определяют поле упру¬
гих напряжений в окрестности острых концов рассматриваемой по¬
лости, а затем, использовав уравнения (III.34) и (III.35), находят
величину предельной нагрузки для поставленной задачи.
Однако, необходимо отметить, что для определения поля упругих
напряжений в пластине, ограниченной контуром с угловыми точ¬
ками, непосредственное использование метода Н. И. Мусхелишвили
ПОЗ], вообще говоря, затруднительно *.
В некоторых случаях решение задачи теории упругости для
области, ограниченной контуром с угловыми точками возврата,
можно получить также путем предельного перехода в решении для
области, ограниченной гладким контуром (зависящим от некоторых
параметров), когда этот контур стягивается в остроконечный контур.
Например, решение задачи для пластины с прямолинейным разре¬
зом (трещиной) можно получить [103] путем предельного перехода
в решении задачи теории упругости для пластины с эллиптическим
отверстием, а решение задачи теории упругости для пластины с полу-
*	В общем случае угловых точек на контуре, ограничивающем рассматривае¬
мую область, при решении задач плоской теории упругости необходимо или сгла¬
дить угловые точки контура [150] (если это возможно для рассматриваемой зада¬
чи) и применить метод Н. И. Мусхелишвили, или же использовать другие перспек¬
тивные приемы [17, 143, 144].
8*
115

бесконечным разрезом — путем предельного перехода в решении
соответствующей задачи для области вне параболического контура.
Некоторые другие примеры такого типа будут приведены ниже.
2.	Растяжение пластины с отверстием в
виде гипоциклоиды
Рассмотрим бесконечную пластину единичной толщины, ослаблен¬
ную отверстием в виде гипоциклоиды, т. е. вырезом, граница (кон¬
тур) которого L описывается в плоскости хОу уравнениями
х = A ^cosfl + -^-cos rtftj; у = A ^sin	,	(IV.	1)
где 0 <	<	2я;	А	=	^	;	а	>	0;	п	—	целое положительное
число.
На рис. 50 и 51 согласно уравнениям (IV. 1) изображены контуры
L соответственно при п = 2 (гипоциклоида с тремя вершинами) и
п = 3 (гипоциклоида с четырьмя вершинами). Вершины гипоциклои¬
ды, как это непосредственно следует из уравнения, являются угло¬
выми точками возврата и, следовательно, при фиксированном зна¬
чении п контур L имеет п + 1 точку возврата.
Пусть пластина с отверстием в виде гипоциклоиды подвергнута
на бесконечности растяжению внешними напряжениями р и q,
действующими во взаимно перпендикулярных направлениях. При
этом напряжения р направлены под углом а к оси Ох. Контур от¬
верстия считается свободным от внешних напряжений. ^Определим
напряженно-деформированное состояние в пластине, т: е. найдем
для указанной задачи функции <рх (г) и (z).
Контур L свободен ст внешних напряжений, поэтому для опре¬
деления функций фА (z) и гр^г) имеем следующее контурное условие
[1031:
Фі (г) + гф' (г) + % (г) = 0 на L.	(IV.2)
Вспомогательная задача (отверстие в виде гипо¬
трохоиды). Рассмотрим функцию
2 = ©(0 = ^(S + -^-); Аг = rqr^-.	(IV.3)
где г — х + iy; £ = | +	0 < /л < —; п — целое поло-
жительное число.
Эта функция реализует конформное отображение внешности
единичной окружности СА (р = 1) в плоскости £ на внешность гипо¬
трохоиды В ПЛОСКОСТИ 2. Легко убедиться, что при т = функция
(IV.3) отображает внешность единичной окружности в плоскости £
116

на внешность гипоциклоиды. В этом случае контур L в плоскости г
получим из уравнения (IV.3) при т = — и |£| = 1.
Таким образом, если при заданных условиях в бесконечно
удаленных точках пластины с отверстием в виде гипотрохоиды
будет решена задача теории упругости, решение соответствующей
задачи теории упругости для пластины с отверстием в виде гипо-
Рис. 50.
циклоиды с (п + 1)-й точкой возврата на контуре получим, пола¬
гая т = Пока примем тп < 1.
Контурное условие (IV.2) при конформном отображении (IV.3)
принимает вид
со (а)
Ф (о) +
со' (а)
ф' (а) + ^ (о) = 0, на СА
(IV.4)
где
Ф' (г) _
“ w ш'(0
ф' (г) = -т-
^1 W	(Q -
функция со (£) определяется равенством (IV.3).
Пользуясь выражением (IV.3), находим
ц)(р)
oj'la)
,я+1
+ т
1 — тпап+і
<■>(<?)
О)'(СГ)
= оп
1 + mgn+1
ДЯ+1 —
тп
(IV.4а)
Для рассматриваемой бесконечной области с отверстием функ¬
ции ф (£) и г|) (£) имеют следующий вид:
ф (С) = А,п + Фо (£); Ф (0 = АП + % (0,	(iv.5)
где г|50 (£) и ф0(£) — функции голоморфные в области |£| > 1, т. е.
вне единичной окружности Ct. Для определенности можно принять.
117

что ф0 (оо) = 0, а Г и Г"— постоянные, определяющие напряженное
состояние в бесконечно удаленных точках пластин (см. гл. III),
г = Г = -І- (р -f q)\ Г' =	L(p — q)e-*a (IV.5a)
Таким образом, на основании равенств (IV.4) и (IV.5) имеем
1	4- tn
% (°) + g„ (1 _ т^+1)- Фо (о) + % (Р) - /. И. (IV.6)
где тп < 1; Лх > 0;
f0(a) - - Л,Г
ст+ «"? + ”
а" (1 — тпвп+ )
_AE!.	(IV.6a)
Функция г|?0 (а) представляет собою граничное значение функции
г|?0 (С), голоморфной вне единичной окружности С,. Тогда на основе
известных теорем [103], из контурного условия (IV.6) находим
_ ,УЧ -I Г/о(Д)^ ,	1	Г	Рп+1	+	т	do	IV7
2яі ^ а — £ 2лі £ ал(1 — mnan+l) 1	^	^
где | £ | > 1 •
Далее, поскольку <р0 (сг) — граничное значение функции ф0 (£),
голоморфной вне окружности С,, то из контурного условия (IV.6)
получим
* (п-	1 с М5) da , 1 f a" (1 +
+•<«-	w.)^=Td0+2sr3	a*+._m„	x
C,	Cl
при ICI > 1.
Следовательно, если интегралы, стоящие в правой части формул
(IV.7) и (IV.8), будут определены, то будут определены и функции
Фо (0 и % (£)• Постоянную % (сю) в формуле (IV.8) можно опу¬
стить, так как она не влияет на распределение напряжений в
пластине.
Для вычисления интегралов
'*<»= sr.f ^IT"	(,V''01
С)
рассмотрим следующие две функции комплексной переменной £:

где при I Cl > 1
при ICI < 1
Фо (С) =	+	*^г	+	•	•	•»
фі(0 = —-гг--..;
ф' (4-) = — «іС2 — 20SC* - .
Легко заметить, что подынтегральная функция в 1г (£) представ¬
ляет собою граничное значение на контуре единичной окружности
С1 первой из функций (IV. 11), а подынтегральная функция в /., (£) —
граничное значение на окружности Cv второй из функций (IV.11).
Функция
jl. ?+1+?-ір(±\
ln 1 — тп%п+' °\ I I
голоморфна внутри окружности Cv за исключением точки £ = О,
где она имеет полюс с главной частью
С0(0 = 1
M|JL , «Л ,	(п-2)ап_2
— /72 гп—2 + * <•«—3 + • • • +
—і I "	«•«—«З I * . • I	*■
' о *	(,V12>
при n > 2;
. О при я < 2,
где п — целое положительное число.
Следовательно, согласно данным 11031, интеграл
МО = — G0(C) при |С| > 1,	(IV.13)
где G0 (£) определяется равенством (IV. 12).
Вторая из функций	(IV. 11) голоморфна вне	окружности	за исклю¬
чением точки £ = оо,	где она	имеет	полюс	с	главной	частью
| — т [о,^-2 + 2аг£,п~3 +...+(«— 1) а„_,|
G..(£) = { при	я >2;	(IV.14)
[ 0 при	п < 2.
Поэтому
мо = -	<1+1)	ф;(о + с-(о при \t\> і. (IV.15)
— тп 0
Таким образом, на основании формул (IV.7)—(IV.10), (IV.13)
и (IV. 15) имеем
*<0=--5г|
119

где |£| > 1, f0(o), G0 (£) и Goo (£) определяют соответственно по
формулам (IV.6a), (IV. 12) и (IV.14).
Вычислив интегралы, фигурирующие в формулах (IV. 16), по¬
лучим
где |£| > 1, G0 (£) и Goo (£) определяются соответственно по форму¬
лам (IV.12) и (IV.14); п = 1,2, 3, ...; т < 1.
Из равенств (IV.12), (IV.14) и (IV.17) видно, что при п = 1,2
функции <р (£) и *ф (£) полностью можно определить по формулам
(IV. 17). При п > 2 в формулах (IV. 17) будут фигурировать неизвест¬
ные коэффициенты ап (п = 1, 2, 3...). При |£| > 1 имеем
Приравнивая это выражение к выражению для ф0(£) в формулах
(IV.17), при п > 2 найдем
Полагая в формулах (IV. 17), что п = 1, т < 1, получаем из¬
вестные [1031 комплексные потенциалы ф (£) и г|)(£) для пластин с
Отсюда согласно формулам (IV.5) и (IV. 16) имеем
ф(С) = ЛіГ£ + <р0(£);
£" (1 + mgn+l) .
£n+1 — mn	0
(0-Лг[-1-+ <IVI7>
(1 + т*п)£п'
£n+1 — mn ’
a
Atr
1 — m2 (n — 2) ’
■^тГ'
an = — т^Г.
”	1	_	m2 (П _ 2) ’	“n-2	—	1	_	m2	(n	—	2)	’	~
Тогда на основании формул (IV.17) при п> 2 имеем
(£) = А,Г'С -	j	2Г£" + -т_
X [(п-2)тГ'£ + ГГ-2]}.
(IV.18)
120

эллиптическим отверстием, в частности, при т = О — для плас¬
тин с круговым отверстием.
Если в формулах (IV.17) положить т = ~ = 1, легко найти
функции ф (£) и (£) для пластины с прямолинейным разрезом
(трещиной), т. е. для пластины с отверстием, контур которого имеет
две угловые точки возврата.
Определение функций ф(£)иг|)(£) для пла¬
стины с отверстием в виде гипоциклоиды.
Полагая в формулах (IV.12), (IV.14) и (IV.17), что т =
Т <!
(т ;> 0), получаем (как и в случае пластины с прямолинейным разре¬
зом) функции ф (£) и \р (£), характеризующие напряженное состоя¬
ние в пластине с отверстием в виде гипоциклоиды с (п + 1)-й точкой
возврата на его контуре.
В этом случае
Ф(0 =	l-^	+	j
Ч>(0 = ЛГ'С + С»(0-
І1
-АГ
1Т +
£п+1 _ ,
(| + -г)с*
^п+1 _ ,
_ (IV.19)
где
Ф0(0 = -й(0-л
JL + 1L\ а = —
пЪп • е j ’	«
па
Go(0 =
<h
п—2
+ 1 '
(п — 2)ап_2
а > 0;
при л > 2;
0	при л < 2;
с; (о = | я[(Xlt
0 при л < 2
л-2 + 2а2£п_3 + ... + (л — П а„_|] при п > 2;
(я= 1,2, 3, ...).
1
При /г > 2 и m = — формулы (IV. 18) принимают следующий вид:
*® = ттт{г (г
^(Г + лГ'Е-8)},
(и» — л + 2) с.
па
(IV.20)
Я -f" 1
Г'£-
sn+i _ !
2ГС" +
+ ^--T+Ti(»-2)r'C + «r
'Г-2]}.
121

Ниже подробно рассмотрены случаи растяжения бесконечной
пластины с отверстием в виде гипоциклоиды с тремя вершинами
(п = 2) и в виде астроиды, т. е. гипоциклоиды с четырьмя вершинами
(п = 3). Отметим, что упругое равновесие пластины с отверстием
в виде астроиды рассмотрено другим путем в работе С. М. Белоно-
сова [17].
Для указанных частных случаев согласно формулам (IV.19)
и (IV.20) функции ф (£) и гр(£) имеют следующий вид:
1. При п = 2 (см. рис. 50):
Ф(0 = -|в{г(с-agi-)—£) (Ш>1);
4>(C) = 4-efr't
3£2
р 2 -{- £3 р,) ах
1	2	(С3	—	1)	J	2	*
(IV.21)
3 ~ у * 1 £3.
где а > 0. В формуле для г|: (£) аддитивную слагаемую — можно
опустить, так как она не влияет на распределение напряжений в
пластине.
II. При п = 3 (см. рис. 51):
Ф(0 = -¥-Г'С-
£4-1
2ГСЗ—
где
9а
(IV.22)
(IV.23)
3.	Определение упругих напряжений в
окрестности угловых точек пластины с
отверстием в виде гипоциклоиды
Случай отверстия в виде гипоциклоиды с
тремя вершинами. Для определения напряжений в окре¬
стности угловых точек (точек возврата) границы рассматриваемой
пластины (см. рис. 50) используем известные формулы Колосова —
Мусхелишвили [103], выражающие компоненты напряжения в соот¬
ветствующих криволинейных координатах р, Ф через комплексные
потенциалы Ф(£) и Ч1^) , т. е. воспользуемся формулами
Ор + а* = 2 [Ф (0 + Ф(£)] (С = р^*);	(IV.24)
ст# _ Стр + 2/Тр<> =	{аЙ£)Ф' (£) + со' (£) V (С)).	(IV.25)
р2<*> (С)
Здесь ар, о#, тР0 — компоненты тензора упругих напряжений в
криволинейной системе координат (р), (О); если в данной точке
тела взять подвижные прямолинейные, прямоугольные координа¬
122

ты х'О'у' такие, что ось О'х' совпадает с осью ф), где (р)—касательная
к линии Ф = const, а ось О'у' — с осью О, то
Op = оХ'\ о$ =	Тр<$ = Txfyf\	(IV.26)
Ф (£) и ^ (С) — комплексные потенциалы, связанные с функциями
Ф (О и ЯН£) соотношениями
<iv-27)
где (о (Q — функция конформного преобразования, г = со (£).
Для рассматриваемой задачи функции ф (£) и ^ (£) представлены
формулами (IV.21), а связь между переменными z и £ осуществляет¬
ся по формуле (IV.3). если в ней положить т = и п = 2, т. е.
г = о)(0 = ха(^ + ^)‘	<IV-28>
Согласно формулам (IV.21) и (IV.26) — (IV.28)
Ф(0 = -£Йп 1«3+1)Г + СП, ю'(С) = 4а&р1; (IV 29)
ф' (» = (6РГ + 2£3Г + г (;
чіт /£\	 І І£3Г' 4-	^	г	j	:L_	г7!
£з — і	^ (;з—і)2	^	2 (^з —1)21 [•
В дальнейшем нас будет интересовать распределение упругих
напряжений в пластине в малой окрестности угловых точек (г0.,
/=1,2,3) контура отверстия, поэтому для удобства вычислений
полезно ввести или новую систему прямоугольных декартовых коор¬
динат Xj OjUj (j ~ 1, 2, 3) с началом в угловой точке (0^) и ориен¬
тированной так, что ось OjXj совпадает с биссектрисой угла в вер¬
шине угловой точки и направлена во внутрь пластины, или же ввести
полярную систему координат (г, р) с началом в точке z0J и полярной
осью OjXj. Заметим также, что для рассматриваемого примера угло¬
вые точки Oj(j = 1, 2, 3) определяются в плоскости г — х + iy
(см. рис. 50) следующими координатами zQj (j = 1, 2, 3):
гоі = а + Ю; г02 = — -|-(1 — і
^03 		J-d +«/3).	(IV.30)
Для этих точек ось О х, (У = 1, 2, 3) образует с осью Ох угол
2	2
bj (j = 1, 2, 3), где = О, О., = —я, д., = —j- я соответственно
для первой О., второй О, и третьей О., вершин рассматриваемой ги¬
поциклоиды.
123

Согласно конформному преобразованию (IV.28), этим точкам в
плоскости £ = £ + іт] (рис. 52) соответствуют следующие точки еди¬
ничной окружности:
	і /у і О
а. = е
или
Оо = е
giv
О* = е
а = і, 2, з).
(IV.31)
Рассмотрим теперь малую область D пластины (рис. 50) в окрест¬
ности угловой точки г01 (/ = 1, 2, 3). Аффиксы г и г, точек этой
области соответственно в системе
координат хОу и хр,у, связаны
между собой равенством
г = 20/+г/'д; (|*,|«а). (IV.32)
Согласно конформному преоб¬
разованию (IV.28), малая область
D плоскости г (см. рис. 50) в ок¬
рестности угловой точки z0J пере¬
ходит в некоторую малую область
Dx в плоскости £ (см. рис. 52) в
окрестности соответствующей точ¬
ки Oj (/ = 1, 2, 3). При этом связь
между аффиксами £ и £;. точек об¬
ласти D* можно записать так:
ilj = р/\ рJ « 1),	(IV.33)
где £ — комплексная переменная в системе координат £0?i, а —
в системе координат	с	началом	в точке оу; значения опре¬
деляются равенством (IV.31).
Подставляя равенства (IV.32) и (IV.33) в (IV.28) и разлагая
затем правую часть полученного выражения в ряд по степеням
tj (I I) «С 1). находим
о*г, = аЦ + 0(| Is) (У =\l, 2, 3).
Отсюда и на основе равенства (IV.31) с точностью до малых вели¬
чин (1£у|3) имеем формулу
-О/
f~zi
£/	\/	а	(гі
= ге^
І = 1, 2, 3),
(IV.34)
где знак радикала определяется условием Re £, > 0.
В случае я-угольного отверстия аналогичную формулу можно за¬
писать так:
с,
2г,
(п = 2, 3, 4 ..
(IV. 34а)
124

Формулами (IV.32)—(IV.34) будем пользоваться в дальнейшем
при вычислении поля упругих напряжений в окрестности угловых
точек рассматриваемой области, а также при переходе в функциях
ф (С)» Ф (С) и 'Ф(С)» ^ (С) от переменных £ к переменным 2 в окрест¬
ности угловых точек Zqj.
На основе формул (IV.24), (IV.25), (IV.28) и (IV.29) для коорди¬
натной плоскости ft = 0 (£ = р) имеем
= ^=7 I2 (Рэ + О Г + р (Г + Г')); (IV.35)
о# — Ор + 2ітРо = --j{Г + (р» — i)2 1(6р + Зр4 — 6р3 — 3)Г +
+ -±- (9р* - 4р« - 4р3 - 1) Г'] j.	(IV.36)
Для малой окрестности Dx (см. рис. 50) при 0 = 0 значения р
можно представить согласно равенству (IV.29) так:	р = 1 + рх,
где рА < 1. Подставляя в формулы (IV.35) и (IV.36) значения р =
= 1+ рА и разлагая полученные выражения в ряд по степеням рх,
находим
Ор + Оф = ра~~Т ^	1	+	Р?)	^	+
+ (і+Рі)(Г' + г')},
Оф — Ор	+ 2/тр^ =	^ |г'	+	(рз _ 1)2' K^PJ	+ 3pJ) Г —	(IV.37)
_(9p2 + 6p3 + 0(pj))f']}.
Заметим далее, что
рз — і = зрГ (1 — Рі + Трі Грі + 0
(рЗ— 1)2 =	(	1	- 2р1 + ~Т Р1 ~ 2р? + °(pi))-
На основе этих равенств формулы (IV.37) легко преобразовать к
виду
Ор + 0« = -^- [Р + q — (Р — Я) cos 2а} +0(1);
2	(IV.38)
а# — <тр + 2tTp# =	(і (р — q) sin	2а) + 0(1),
где 0 (1)	— ограниченная часть	компоненты	тензора напряжений
при pt ->■ 0.
Пользуясь формулами (IV.34) и (IV.38), а также замечая, что
в плоскости г на линии у = 0 (Ф = 0) имеют место равенства ор=стх,
125

a# = av и тР0 = rvv , окончательно получаем
ах = а = -^L\p + q — (р — <7)cos2a) + 0(1);
ЗК*\_	(IV.39)
т*у = Т7Р^(Р — <7)sin2a + 0(l),
3	у Xj
где = Г (г 1).
Формулы (IV.39) дают значения коэффициентов интенсивности
Напряжений в окрестности угловой точки (точки возврата 01 на
рис. 50) при плоском растяжении пластины с отверстием в виде ги¬
поциклоиды с тремя вершинами только вдоль координатной линии
у = 0 (х > а). Построение формул для определения этих коэф¬
фициентов в произвольной точке области D на основе уравнений
(IV.24)—(IV.27) связано с большими вычислениями. Такие фор¬
мулы можно построить сравнительно просто, если заметить сле¬
дующее.
Рассматриваемые угловые точки 0} (/ = 1, 2, 3, ...) на границе
бесконечной пластины с отверстием (см. рис. ^0 и 51) являются точ¬
ками возврата. В малой окрестности таких точек, как это показано
выше (см. также работы [154, 2191), при плоском растяжении — сжа¬
тии пластины с отверстиями компоненты (аг, ар, тгр) тензора напря¬
жения в полярной системе координат (г, Р) с началом в угловой точ¬
ке Oj определяются следующими соотношениями:
= wtr І*1-' (5 008 4-_ cos4 р) +
+ &2, / (— 5 sin —h 3 sin -g- j + 0 (1);
°3 = TjhH*!|,/(3cOS~^' + COS~T P)—	(IV.40)
—	3&2, / (sin -g—1- sin -g- pjj —f- 0(1);
Trp=тН іki•1 (sin + sin 4- p) +
+ &2, / (cos -jj	1- 3 COS -g- pjj + 0(1),
где k\t j и k2,j (j = 1, 2, 3...) — коэффициенты интенсивности
упругих напряжений в окрестности угловой точки. Согласно форму¬
ле (III.103):
cos т - *2- / sin т + 0 (1) =4 Re ф/	<rVA1 ]
Здесь Фу (Zj) — функция Ф (г), отнесенная к локальной системе
полярных координат (г, Р), где Zj = re
126

Функции Фf(zj) для малых областей D в окрестности угловых то¬
чек г0у (см. рис" 50) легко построить. Эти функции в соответствии с
формулой (II 1.96) можно записать так:
где у = 1, 2, 3; Zj =	=	р,	(г	<	а,	р,	<	1);	г,	и
связаны между собой формулой (IV .34); Сту = е'О' — определяется
равенствами (IV.31).
Отсюда и на основе формул (IV.27), (IV.28) и (IV.34) находим
—	/— - —
Ф,{г,&=*±-(2Г + е*іГ')У ±е ' ■ +0(1)
(/ = 1, 2, 3),	(IV.42)
или, принимая во внимание равенства (IV.5а), имеем
Ф/(л Р) =-g-(Р — Я)ет+*^\е 2 +0(1),
где j = 1, 2, 3...
Подставив значение функции Фу (г, Р) в уравнение (IV.41) и
сравнив коэффициенты k\,7 и k2, /при одинаковых гармониках, по¬
лучим
К і =	\Р + q — (р — <7) COS (2а + О,)];
*2. / =	ІР — q) sin (2а + ФД
(IV.43)
где значения 0;. (/ = 1, 2, 3) определены равенствами (IV.31).
Легко проверить, что при р = 0 из формул (IV.40) и (IV.43) выте¬
кают, как частный случай, формулы (IV.39). Полагая в формулах
(IV.43) q = 0, получим значения коэффициентов k\mj и й2,/» уста¬
новленные другим путем в работе [40].
Случай отверстия в виде астроиды (см.
рис. 51). Аналогично предыдущему определим значения коэффи¬
циентов интенсивности напряжений в окрестности угловых точек
контура бесконечной пластины, ослабленной отверстием в виде аст¬
роиды и подвергнутой двухосному растяжению. В этом случае на
основе формул (IV.3) и (IV.22) функцию напряжения Ф (г) можно
записать так:
Ф|г|д-Яг°е+|'Г^‘ + Г + Р^-	• <IV-44>
где связь между переменными £ и г осуществляется по формуле
г = а>(£) = ^£ + -з^],	(IV	.45)
127

а постоянная а, определяется равенством (IV.23) предыдущего па¬
раграфа, которое для рассматриваемого случая приводит к выра¬
жению
Вершины Oj (j — 1, 2, 3, 4) рассматриваемого отверстия в плос¬
кости z (см. рис. 51) имеют следующие координаты zoj (j = 1,2,3, 4):
z01 = a\ z02 = ia\ z03 = —a\ z04 = —ia. При конформном преобра¬
зовании (IV.45) эти точки переходят в точки единичной окружно¬
сти Oj на плоскости £ = £ + пі, т. е.
Если ввести локальную систему прямоугольных координат
xpjtj (/ = 1, 2, 3, 4) с началом в угловой точке, то можно записать
Для малой области пластины в окрестности угловой точки
z0y (см. рис. 51) на основе выражений (IV.45) и (IV.47), найдем
с точностью до малых величин О (р?) следующую зависимость между
переменными Zj и [см. также формулу (IV.34а)]:
Подставляя выражения (IV.47) в (IV.44) и приняв во внимание
равенства (IV.48), получим
При использовании этого выражения и соотношения (IV.41)
легко получить формулы для определения коэффициентов интен¬
сивности напряжений в окрестности точек 0; (у = 1, 2, 3, 4) при
Qn
al — -gg- (Р — Я) (2 cos 2а + і sin 2а).	(IV	.45a)
Oj = Л O' = 1, 2, 3, 4),
(IV.46)
где
г = гоі + гіе‘в>	(zj = геФУ’
і = + С,Л	(і, = р/л).
(IV.47)
(IV.48)
(IV.49)
Отсюда и на основе равенств (IV.46) находим
4	Re Фу (Zj) = j Р + Я	j- (Р — Я) 2 cos 20, cos 2а
	1-(р — q) cos 20у sin 2а sin -|-| + 0 (1).
128

плоском растяжении пластины с отверстием в виде астроиды (см.
рис. 51):
*і. / = {р + Я — ^{Р — q) cos 20;. cos 2а];
k2, j = 3 ^63д {р — q) cos 20y sin 2a,
(IV.50)
где j = 1, 2, 3, 4; 0t = 0; 0.,	03 = я; 04 =	5-.
Следовательно, главные значения компонентов (ar, op, тгР) тен¬
зора напряжений в окрестности угловых точек Oj(j — 1, 2, 3, 4)
для рассматриваемого примера определяются на основе формул
(IV.40) и (IV.50).
4.	Вычисление предельных напряжений
Согласно результатам параграфа 3 гл. III, а также в соответствии с
формулами (IV.40) для определения величины предельных напряже¬
ний р*, q = Ло) ПРИ плоском растяжении пластины, ослаблен¬
ной гипоциклоидальным отверстием с угловыми точками возврата,
имеем следующие уравнения:
р„ = min(p„), <?* = ту>* (ло = "4");
\	’	(IV	.51)
lim W rap (л, р*, /?* ., л0) = — •
г-+0
Здесь / = 1, 2, 3... — номер угловой точки;
1	і 1 Н- Snj
р* = 2 arctg	r—	L t	(IV.51a)
где знак «+» соответствует значениям kXt; < 0, а знак «—» — зна¬
чениям ku j > 0; параметр tij = k2t / !kle /.
Случай гипоциклоидального отверстия
с тремя вершинами. Пользуясь формулами (IV.43),
(IV.50) и уравнениями (IV.51), можно определить величину предель¬
ных напряжений пластин, показанных на рис. 50 и 51.
Для пластины с отверстием в виде гипоциклоиды с тремя верши¬
нами (рис. 50) имеем
Р*	min \р%, і, р%, 2, р*, з)»	*7*	ЛоР*» |	(IV 52)
Р*. /	/j (^» Ло’	і	/•
^ В Чанасюк.
129

Здесь /= 1,2,3;	t]0	=	;	R,	=	;
н	л	у	а
f, (а, Ло- Р.. */) = 6 /2	1 + Ло “ С1 - По) cos (2а + О,)] (з cos А- +
+ cos — 3 (1 — Ло) sin (2а + Ъ,) (sin is. + sin -§-	(lv-53)
угол р* определяется по формулам (IV.51а), если в эти формулы
подставить значение
__ *2./ _	(1	—Ли) sin (2ос + 0у)
nj “ Л1§/	1	+	Ло—(1— Ло) cos (2а +	’	*	*	*
где
/=1,2,3; #, = 0; #* = -?-я; *>3 =	|-я.
3	’	3	з
В частном случае, когда пластина ослаблена отверстием в
виде гипоциклоиды с тремя вершинами и подвергнута всестороннему
растяжению (р = q, Ло = I). из формул (IV.52)—(IV.54) находим,
что локальное разрушение пластины наступает одновременно во
всех угловых точках О . (/ = 1, 2, 3), если внешние Напряжения
достигают величины
(IV.55)
21/ 2 я V а .. я у а	' і
В этом случае р* = 0;	2	=	=	р*.
Когда рассматриваемая пластина (рис. 50) подвергнута одно¬
осному растяжению напряжениями р (q = 0, г\0 = 0), то на основе
формул (IV.52)—(IV.54) имеем
р* = min jpt, ,■) (j =	1, 2, 3);	(IvW
P*/ = Rif j («. 0, P*. Oj)	(9*;- = 0),
где
fj (a, 0,	p*, Oy) = 6 У 2 j 2 sin (a — fl,)	3 sin (a —	+
+ sin (a — 0,	1- P*) — 2 cos (a	— sin p* ]“',
а угол p* определяется по формулам (IV.51), если в этих формулах
положить Ло = 0. Я/ = ctg (a — <^).
В частности, при a = -у- из формул (IV.56) находим, что локаль¬
ное разрушение пластины наступает в окрестности точки 01 (см.
рис. 50), когда внешние напряжения р достигают величины
3	К VI . _
*' 1 ' 2 У 2 я V a
130

Легко заметить, что эта формула совпадает с формулой (IV.55).
(Значения напряжений p^t 2 и	при	а = больше р*§1.)
Рассмотрим теперь тело, в структуре которого имеется множество
дефектов в виде гипоциклоидальных (остроконечных) полостей
(рис. 53) и будем предполагать, что эти дефекты разноориентирсва-
ны и рассеяны по всему объему тела. Кроме того, будем принимать,
что характерный ликейний размер а гипоциклоидальных полостей —
Рис. 53.
дефектов — это средний радиус окружностей, которые можно опи¬
сать около указанных дефектов. В этом случае = ^2-— по-
я у а
стоянная величина для данного материала при заданных условиях
(температуре, структуре и химическом составе материала).Пользуясь
формулами (IV.51) — (IV.54), можно построить диаграмму пре¬
дельных напряжений в случае двухосного растяжения — сжатия
такого тела. С этой целью найдем для каждой вершины указанной
полости минимальное значение функции (а, По» Р*> ^j) ПРИ задан¬
ной величине параметра г)0, когда а принимает значения в интервале
О	< а < -£, Имея минимальные значения функций f.(a,r)0, р*, й;.)
и пользуясь формулами (IV.52), определим предельные значения
внешних напряжений р = и q = для рассматриваемого тела.
На рис. 54 и 55 построены графики изменения функции
fj (а, г)0, р*, ft;), когда ^ = 0 и й2= -^-я, а угол а принимает зна¬
чения в интервале 0<а<у. На основе таких графиков можно
определить минимальные значения функции fj (а, т]0, р*, Оу) и соот¬
ветствующие им величины углов а = а* и р = р*. Эти величины
Для ^ = 0 и фиксированных значений т]0 приведены в таблице 15.
9*
131

По значениям а*, Р* и формулам (IV.52) для рассматриваемой за¬
дачи (рис. 50) можно вычислить предельные напряжения р{™т) и q{™in)
(табл. 15).
По данным табл. 15 в координатной плоскости qOp построена
диаграмма предельных напряжений р*, q# для тела, ослабленного
дефектами типа разноориентированных гипоциклоидальных поло-
Таблица 15
Ло
а*, рад
Р*. рад
„min
Р*
оо
0,385
0,622
0,000
1,061
15,0000
0
0,000
0,071
1,061
14,0000
0
0,000
0,076
1,061
12,0000
0
0,000
0,088
1,061
10,0000
0
0,000
0,106
1,061
8,0000
0
0,000
0,133
1,061
5,0000
0
0,000
0,212
1,061
3,0000
0
0,000
0,354
1,061
2,0000
0
0,000
0,530
1,061
1,0000
—
0,000
1,061
1,061
0,5000
1,571
0,000
1,061
0,530
0,0000
1,186
—0,622
1,028
0,000
—0,4680
1,087
—0,894
0,931
—0,436
— 1,0602
1,041
—1,062
0,804
—0,852
— 1,9555
1,019
—1,187
0,650
— 1,271
—3,8603
0,988
—1,303
0,454
— 1,753
-6,6160
0,978
— 1,326
0,313
—2,069
— 12,9750
0,973
— 1,410
0,182
—2,355
— оо
0,966
—1,466
0,000
—2,741
132

стей (см. рис. 53) и подвергнутого двухосному растяжению — сжа¬
тию монотонно возрастающими внешними напряжениями р и
на рис. 43.
Отметим, что на основе данных табл. 13 и 15 имеем следующее
равенство:
Это равенство можно получить непосредственно из анализа формулы
(IV.56), а также формул (III.64) и (III.65).
Случай гипоциклоидального отверстия
с четырьмя вершинами. Для тела с отверстием в виде
астроиды (гипоциклоидальная полость с четырьмя вершинами,
рис. 51) на основе уравнений (IV.51) и (IV.51а) и формул (IV.50)
найдем
ветственно для точек Ov 02 , 03 и 04 (см. рис. 51); величина р* опре¬
деляется по формулам (IV.51), если в эти формулы подставлены зна¬
чения коэффициентов k\tj, k2,j> представленные равенствами (IV.50);
а — угол, определяющий ориентацию отверстия по отношению к
линии действия напряжений р.
В частном случае, когда q = 0, р 40 (т) = 0) и а = т. е.
когда пластина с отверстием в виде астроиды подвергнута одноос¬
ному растяжению напряжениями р, направленными перпендику¬
лярно к горизонтальной оси астроиды, из формул (IV.57) и (IV.58)
находим
диаграмма (рис. 56) однотипна с диаграммой /
1	061
Rl ’ R ’
Р* min (р*, і, с, 2» Р%, Зг р%, 4}»	<7*	Ло
(IV.57)
Здесь
fj (а, Ло. Р*. 0у) = у=ъ) 1 + Ло — -5- (1 — Л,) cos 20у cos 2а X
X (3 cos -&• + cos р* j	і" (1 — Ло)cos 20, sin 2а х
COS -7Г-
где / = 1, 2, 3, 4; т]0—	2а — расстояние между противополож¬
ными вершинами астроиды; 0у. — угол, равный 0, у, л и — соот-
133

или, вычислив значение функции Ft О, О, 0^, имеем
/>* = -Ц- R, * 0,92	.	(IV.58а)
уЗ	я	У а
Эту формулу полезно сопоставить с формулой Гриффитса
, Г) = yjjК_	(/ = а)
Я )	/
полагая, что расстояние 2а между вершинами астроиды равно
длине 21 изолированной прямолинейной макротрещины.
Такое сопоставление показывает, что прочность пластины с от¬
верстием в виде астроиды при одноосном растяжении немного
меньше прочности пластины, ослабленной прямолинейной трещиной
соответствующей длины, т. е. в этом случае несущественно влияние
размера полости, на изменение величины предельных напряжений.
На основе формул (IV.57) и (IV.58) и аналогично приведенному
выше можно построить диаграмму предельных напряжений для тела,
ослабленного дефектами типа астроидальных отверстий и подвергну¬
того двухосному растяжению — сжатию (см. работу [137]). В ра¬
ботах [27, 56, 138, 139] также даны решения задач о предельном
равновесии пластины, ослабленной отверстием (раскрытой трещи¬
ной) с одной или двумя точками возврата на его контуре.
5.	Приближенное определение предельных
напряжений для пластины, ослабленной
круговыми отверстиями и трещинами,
выходящими на его контур
Задача о предельном равновесии пластины, ослабленной круговым
отверстием и радиальными трещинами, выходящими на его контур,
впервые рассматривалась Бови в работе [1771. В этой работе дано
приближенное (численное) решение задачи для случая одной и двух
равных трещин. Точное решение задач такого класса затруднитель¬
но. Ниже приводится приближенное решение указанной задачи,
изложенное в работе [1191.
Случаи двух неравных трещин. Пусть в не¬
ограниченной пластине (упругой плоскости хОу, рис. 57) имеется
круговое отверстие радиусом R и две макротрещины длиной 1Х и U
(/2 < /t), расположенные на продолжении диаметра отверстия и вы¬
ходящие на его контур.
Предположим, что толщина пластины равна единице, а трещины
расположены на отрезках — а < х < — R и R < х < 6, где b —
= R + /і, а = R + /2. Пусть далее такая пластина растягивается
системой внешних напряжений, симметричных относительно плос¬
кости расположения трещин (например, в бесконечно удаленных
134

ttmimn
точках пластины приложены монотонно возрастающие напряжения
оу = р). Определим предельное значение напряжений р = р
Найдем интенсивность разрывающих упругих напряжений
Оу (.х, 0) в окрестности концов трещины. Для рассматриваемой зада¬
чи точное определение этих напряжений затруднительно. В связи
с этим представим упругие напряжения оу (х, 0) приближенно
в виде суммы
Оу (х, 0) с- 40) (х, 0) + а{у ) (X, 0),
(IV .59)
где х С —а или х > Ь\ а|,0) (х, 0) —
упругие растягивающие напряжения,
возникающие в упругой пластине
с круговым отверстием, когда такая
пластина на бесконечности растягива¬
ется напряжениями оу=р\ оУ* (х, 0) —
упругие растягивающие напряже¬
ния, которые возникают в упругой
плоскости с прямолинейным разрезом
вдоль оси Ох при — а С х < 6, ког¬
да к берегам этого разреза на участ¬
ках — а < х —R и R < х b
приложено нормальное давление
рп (*) = <> (а', 0).	(і V.60)
Представление напряжений оу (х, 0) в виде суммы (IV.59) впол¬
не оправдано, если #<< lL. Если радиус отверстия соизмерим
с длиной трещин, сумма (IV.59) дает лишь некоторое приближенное
значение напряжений av (х, 0) для рассматриваемой задачи *.
Напряжения о(у] (х, 0), входящие в равенство (IV.59), легко
вычисляются для произвольной нагрузки [103], поэтому в дальнейшем
будем считать, что они известны. Напряжения о(у1) (х, 0) можно
определить согласно результатам работы [70] по такой формуле:
ь
и 111 н і і 11
Р
Рис. 57.
°{у]) (*» 0) =
1
Рп (І) У(Ь-І) (а + I)
я у (х — b) (х + а)
где х <; —а, х > Ь, а •<; Ь\
dt (IV.61)
Д,(£) =
°<0) (і 0)
0
oJ(i, 0)
при —a<Ct<—R;
при — Я < g < R;
при R < | < Ь.
(IV.62)
*	Такой подход к определению напряжений оу (х, 0) можно рассматривать как
некоторый аналог метода последовательных приближений, предложенный в рабо¬
тах [95, 172].
135

Таким образом, в соответствии с результатами, приведенными
выше, и на основе формул (IV.59)—(IV.62) для приближенного
определения величины предельных напряжений р = р* получим
следующее уравнение:
lim | ± ]/| х — Xj
Ь Рп(1)У(Ь-1) (а + 1)
Оу0) (х, 0) -\	1	==.	х
я V (х — Ь) (х + а)
X
(* ип vw у ~~~ ь; і- s;
\ 	пт=г	dl
4.	<IV-63>
где	значение	р*п (£) определяется	по формуле	(IV.62),	когда
р = р^\ Xj — абсцисса одного из концов трещин (я, Ь на рис. 57).
Величина напряжений а^0) (jc, 0) не зависит от параметров, ха¬
рактеризующих размеры трещин, т. е. от абсцисс а и 6, поэтому
уравнение (IV.64) легко преобразовать к виду
lim ( *	С	+	(IV.64)
х-+х.±0	[У (х — Ь)(х + а)^а	\х~ Si	j
Отсюда для определения величины предельных значений внеш¬
них напряжений р = р\, по достижении которых наступает распро¬
странение трещин в направлении абсциссы 6, имеем равенство
у=р j Рп (1)	{а +1)	= К'	(IV.65)
—а
где величина рп (£) определяется по формуле (IV.62) при р = р(*Ь).
Аналогичным путем из уравнения (IV.66) можно получить ра¬
венство для определения напряжений р = р[а) , по достижении ко¬
торых наступает распространение трещины в направлении абсцис¬
сы а. Но, поскольку для рассматриваемой задачи а < Ь (Ь < IА),
то,	очевидно,	р[Ь) < р[а). Поэтому	ограничимся	определением
только напряжения р* = р[Ь).
Рассмотрим более подробно следующие задачи.
I.	Случай, когда в бесконечно удаленных точках пластины,
ослабленной круговым отверстием с радиальными трещинами 1Х
и /2 (см. рис. 57), действуют растягивающие напряжения av — 0,
°х = 0, а Хху = 0.
II.	Случай, когда в бесконечно удаленных точках такой пла¬
стины действуют напряжения оу = q, ох = qy а хху = 0 (всесторон¬
нее растяжение), а контур кругового отверстия в задачах I и II
свободен от внешних напряжений.
136

Для указанных задач напряжения а£0) (x, 0) имеют следующий
вид ПОЗІ:
<)(*.o) = iP(i + 4^-+4-^):	<iv-66)
o<°>(*,0) = ?(l + -[J-).	(IV.67)
На основании формул (IV. 62) и (IV. 65)—(IV.67) для определе¬
ния величины предельных напряжений р — и q = получаем
следующие формулы:
/,{а, 6) = j (1 +	У	ihrf	+
—а
+ |(і + -^г+-|	р-)	(IV.69)
где
-R
R
Вычислив интегралы (IV.69) и (IV.70) для функций fx уа, Ь) и
/i(Cjfr) - f 1 + -|г) уГ+
+І(' + -!-ЖїїИ <iv-7o>
R
•алы (IV.69) и (
/2 (a, b), получим такие выражения:
fx (a, b) = A (a, b, R) V(a + R){b-R) -
—	A (a, b, -R)V(a-R)(b + R)~
- в «.,*,*) In	+
(v«»+K(o+«)№—«)) +R’
a + b j	.	a—b — 2 R	. a—b-\-2R\ /ТЛ/71ч
+ —(я+ arcsin jqrj,	arcsin a + b ) ■ <IV-71)
/,(а, *>) = (< + 4) K(a + R) (b - R) - (l - у) У<a - *№+*) -
R* Vri /, , ьч ■„ (^ + /(a - j?) (b + R))2 + R« ,
2eft« +	(у^ + K(a +*>(*_*)), + ** +
, fl+И .	.	a —b — 2R	.	a	—	b-\-2R\	ли 70^
+ -Г" (Л + аГС5Ш —Г+*	3rCSln a + b -) '	<ҐVJ2)
137

В (я, Ь, R) - —^ |W (а + 6) + Ж (7в° - За‘Ь + 5а»1 - 6’)|;
cl — R L>', b — R I.
Задача Бови. Пользуясь
формулами (IV.68), (IV.71) и (IV.72),
легко получить решение задач, рас¬
смотренных в работе Бови [1771.
Так, если радиальные трещины имеют
одинаковую длину, т. е. 1г = L = I
и, следовательно, а — Ь, на основании
этих формул имеем
к 1 -
Р*
ІНІІІІІІІІ
р
Рис. 58.
<7* =
/2Я(1 +е)
К
fі (е)
1
/2Я(1+е) /г (е)
где
/2(Є) = -nr —arctg
2є + є2
1
1/2Г+"
+
У 2є + є2
(1 + е)2
(IV.73)
(IV.74)
(IV.75)
Когда бесконечная пластина, ослабленная круговым отверстием
и одной радиальной трещиной (рис. 58), растягивается в бесконечно
удаленных ее точках напряжениями ау = р и ах = 0 или ау = q
и ох — q, а хху = 0, предельные значения этих напряжений легко
вычисляются по формулам (IV.68), (IV.71) и (IV.72), если в этих
формулах положить /2 = 0, а 1Х Ф 0. В таком случае (а — R)
имеем
р.=4У'
і
VR (1 + h (*■) ’
//?(i+8l) Мі)'
Здесь
/і (X) = А (К) У 2k (I — I) — В (Я) In
1 -J- А.
і я
1 + А,
(і + /2(1 — X))2 +*■
1 — ЗХ\
(IV.76)
+

/i,4_i+i(2K»(i-4-xyitajrT7i^BFrr +
. я .	.	1	—	ЗЯ
+ -гг- + arcsin
где
2	1	1	-f-	X
Л(Л) = -і-( 16+ 15*,+ 14Л*+ 15Я3);
В (к) =	(5 + 23Я — 9Я.2 + 21X3);
Я = -J- = т4— ; єх = А- •
&	1 -г єх 1 R
В соответствии с формулами (IV.73)—(IV.77) на рис. 59 постро¬
ены графики изменения предельных нагрузок лр*1 R и	R
Л	Л
В зависимости ОТ соотношений Є = И 8j = ~ (сплошные линии),
К	н
где кривые 1 соответствуют случаю одной радиальной трещины
= -j^j, а кривые 2 — случаю двух радиальных трещин одинако¬
вой длины /^е = На этих графиках пунктирной линией пред¬
ставлены зависимости указанных предельных нагрузок, установ¬
ленные в работе [177]. Сравнение графиков показывает, что при¬
ближенное решение по формулам (IV.73)—(IV.77) при 4- > 0,5 хо-
н
рошо согласуется с расчетами Бови.
Если длина радиальных трещин мала по сравнению с радиусом
кругового отверстия, распространение таких трещин, очевидно,
определяется величиной разрывающих напряжений, действующих
непосредственно на контуре отверстия. Как легко заметить из
формул (IV.66) и (IV.67), в случае одноосного растяжения наиболь¬
шие разрывающие напряжения на контуре отверстия равны 3р,
а в случае всестороннего растяжения — 2q. Отсюда следует, что
для рассмотренных задач отношение предельных напряжений
-* 4- ПРИ 1	0-
я* з
Пользуясь формулами (IV.73)—(IV.75), легко найдем
lim — = lim
о	є-+о	fi	(е)	3
т. е. эти формулы — в пределе при /	0 (є -> 0) дают ожидаемый
.результат. Такой же результат дают и формулы (IV.75) — (IV.77),
когда /j -* 0	(г1-^	0).
Если длина радиальных трещин достаточно велика (/ > R)
и можно принять, что є — оо, R	0 (eR = I = const), то по
формулам (IV.73)—(IV.75) или (IV.76)—(IV. 7*7) получаем из¬
вестные формулы Гриффитса для изолированной трещины.
139

Для сравнения на рис. 59,а построены также графики (кривые 3)
/7?
изменения критическои нагрузки	для	случая,	когда в
пластине имеется изолированная прямолинейная трещина длиной
2	(R [) или 2 (^R +-І- /j, а в бесконечно удаленных точках пласти¬
ны действуют внешние растягивающие напряжения сту = р.
Рис. 59.
Сравнение кривых на рис. 59, а показывает, что при 1/R > 0,5
предельное значение напряжений р = для пластины, ослаблен¬
ной круговым отверстием и радиальными трещинами, выходящими
на его контур, и для пластины, ослабленной прямолинейной тре¬
щиной соответствующей длины 2 (R -\- [) или 2 (^R -f -і- /j, очень
близки, так что наличие отверстия почти не влияет на изменение ве¬
личины предельного напряжения.
В работах [21, 53—55, 1351 предложены другие методы прибли¬
женного вычисления предельных напряжений для бесконечной пла¬
стины, ослабленной криволинейным отверстием (круговым, эллип¬
тическим, гипоциклоидальным) и макротрещинами, выходящими
на его контур, и рассмотрены конкретные примеры. В частности, в
работе [21 ] подробно исследован случай пластины к круговым от¬
верстием, когда на контур отверстия выходит п трещин равной
длины, а пластина подвергнута всестороннему растяжению. Пока¬
зано, что наименьшее значение предельных напряжений для такого
случая получается тогда, когда на контур отверстия выходит три
симметрично расположенные трещины.
Случай распространения прямолинейных трещин, выходящих
на контур криволинейного отверстия в хрупком теле, когда тело
подвергнуто антиплоской деформации, исследован в работах
[И, 1521.
140

6.	О предельной нагрузке для полупло¬
скости с трещиной, выходящей на ее
боковую грань
Задача о предельном равновесии упругой полуплоскости с прямоли¬
нейной трещиной, выходящей на ее свободную границу (рис. 60)
рассматривалась в работах Уиглсуэрта [225], Ирвина [199] и Бюкне-
ра [179]. Поскольку на контуре рассматривае¬
мой области имеются угловые точки, отличные
от точек возврата, то, как отмечалось выше, точ¬
ное решение соответствующей задачи теории
упругости для указанной области затруднитель¬
но. В связи с этим трудно построить точные фор¬
мулы для определения величины предельных
напряжений.
В работах [179, 199, 225] различным путем
построены приближенные выражения для опре¬
деления поля упругих напряжений в полупло¬
скости в окрестности концевой части рассматри¬
ваемой трещины *. Эти решения могут быть ис¬
пользованы для приближенного определения
величины предельной нагрузки рассматриваемой
задачи. Так, на основе результатов работы
[2251 для определения упругих напряжений
вблизи конца рассматриваемой трещины имеем
следующие соотношения:
ггн
I
шип
Р
Рис. 60.
ах + Оу = 1,586/7 ]/у sin-у + 0(1);
	 Э|р
ах — CTV + 2лХу = - 0.793р У ■— Є 2 sin р + 0 (1),
(IV.78)
где р — полярный угол, отсчитываемый от нижнего берега трещины
против движения часовой стрелки; г — полярный радиус с началом
в вершине трещины; / — длина трещины (см. рис. 60).
На продолжении трещины, т. е. при р = л, из соотношений
(IV.78) находим
оу = ах = 0,793р У -у + 0(1), тгР =
0.
(IV.78a)
*	В работе [112] рассмотрена задача теории упругости для полуплоскости с
разрезом (см. рис. 60), когда полуплоскость подвергнута одноосному растяжению.
В этом случае компоненты тензора напряжений представлены в виде квадратур
от функции, которая является решением некоторого интегрального уравнения.
Но построить решение этого уравнения в замкнутой форме не удается, поэтому
практически задача сводится к приближенному рассмотрению.
141

Отсюда и на основе уравнения (1.47) для определения величины
предельной нагрузки р = р* имеем формулу
0.9^у=-	(IV .79)
В работе [8] определены значения предельных напряжений
р = Рх для рассматриваемой задачи на основе результатов 1179,
1991. При сравнении этих данных установлено, что во всех случаях
полученные приближенные значения Рх близки к значениям, пред¬
ставленным формулой (IV.79).

Глава V
ИЗГИБ ПОЛОС (БАЛОК), ОСЛАБЛЕННЫХ
ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ ТРЕЩИНАМИ
1.	Общие замечания
Ниже рассмотрены некоторые задачи о предельном равновесии
полос (балок), ослабленных сквозными прямолинейными макроско¬
пическими трещинами, когда полоса изгибается в ее плоскости за¬
данной системой внешних нагрузок, например, постоянными изги¬
бающими моментами, равномерно распределенным давлением или
сосредоточенной силой. Ход решения таких задач, как и в предыду¬
щей главе следующий: вначале решается соответствующая задача
теории упругости и определяются разрывающие напряжения в ок¬
рестности концов трещины, а затем на основании уравнений (И 1.34)
и (И 1.35) строятся формулы для определения величины предельных
нагрузок. Результаты, излагаемые в этой главе, в основном опуб¬
ликованы в работах [86, 87, 122, 1241.
2.	Определение напряжений в окрестности
трещины при изгибе полосы
Рассмотрим упругую изотропную полосу (балку), ослабленную
сквозной трещиной, направленной перпендикулярно к боковым
граням полосы (рис. 61). Обозначим через 2h и 2т соответственно
ширину и толщину полосы, а через 21 — длину трещины. Введем
прямоугольную систему декартовых координат хОу и примем, что
в плоскости хОу трещина расположена вдоль оси х при —а <; х < Ь,
где а , Ь — абсциссы концов трещины (21 = b + а).
Пусть на такую полосу действуют внешние нагрузки (изгибаю¬
щие моменты, равномерно распределенное по длине полосы давле¬
ние или сосредоточенные силы), расположенные в срединной плос¬
кости полосы; грани полосы, параллельные плоскости хОу, приняты
свободными от внешних напряжений. Под действием внешней на¬
грузки в зоне сжимающих напряжений берега трещины на некотором
участке < х < А,2, где —а < и А,2 < b, войдут в контакт, что
приведет к появлению контактных напряжений на данном участке
берегов трещины. Вне этого участка берега трещины будут свободны
от контактных напряжений. Следовательно, на границе области кон¬
такта напряжения должны быть ограниченными. Параметры и А..,,
143

определяющие границу области контакта между берегами трещины,
должны быть найдены в ходе решения задачи *.
Задача состоит в определении контактных напряжений на участ¬
ке (^, Х2), напряженно-деформированного состояния вне трещины,
а также в определении величины внешней нагрузки, по дости¬
жении которой трещина начинает распространяться по сечению
полосы.
Для рассматриваемой задачи на контуре трещины имеем следую¬
щие граничные условия:
на участке контакта, т. е. при у = О, А^С * < ^2»
ву (х, 0) = Оу (*, 0),	(х, 0) = іГ (*, 0) = 0,	(V.1)
где	*
at (х, 0) = ctv (х,	+	0);	aj (х, 0) = ау (х,	—	0);
v±(x, 0)=v(x,	±0);
М	на участках берегов трещины,
N	свободных от внешних напря-
/	жений,
о^ (х, 0) = <j7 (х, 0) = 0.	(V.2)
Кроме того, примем, что ка¬
сательные напряжения на бере¬
гах трещины подчиняются зако¬
ну Кулона, т. е.
у (*, 0) = р0ву (*, 0) при —a<x<b,	(V.3)
где р0 — коэффициент трения.
Как известно [1031 (см. также гл. II), компоненты ох> ау, т^тен-
зора напряжений и компоненты ы, v вектора смещений в условиях
плоской задачи теорем упругости выражаются через две аналити¬
ческие функции Ф (г) и £2 (г) следующими формулами:
ох + оу = 2 [Ф(г) + Ф(г)) (z = х + iy)\	(V.4)
° у — ітху = Ф (г) + Q (7) + (г — г) Ф' (г);	(V.5)
2G (и' + ivf) = кФ (г) — Q (г) — (г — г) Щг)	(V.6)
/ , ди , dv\
[U - дх 9 V ~ дх ) '
Функции Ф (z) ий (г) должны быть определены на основании
*	Для рассматриваемого класса задач можно заранее сказать, что область
контакта между берегами трещины будет всегда начинаться с крайней (концевой)
точки трещины, находящейся в области сжимающих напряжений. Следовательно,
один из параметров, \г или будет заранее известен.
144

граничных условий задачи. Для сформулированной выше задачи
рассмотрим вначале две вспомогательные функции следующего вида:
Ф0 (г) = А0г3 +	Atz2 + А2г + Л3;
Й0 (г) = V +	Вхг* + B2z + Ва.	(V.7)
Эти	функции	в зависимости	ог значений коэффициентов	Лу и
Bj(j = О,	1,	2,	3) определяют	напряженное состояние	в	полосе
без трещин. Например, полагая
в формулах (V.7)
А0 = 0; Ах = 0;
А, = 0;
А,=
4/
в0 = 0;
3М .
4/ ’
Bi = 0;
В3 = 0,
(V.8)
111111111111111111
2L
-а
где J — момент инерции полосы,
, 4тЛ3
J = —~—и, пользуясь соотноше-
Рис. 62.
ниями (V.4)—(V.5), легко убедиться, что в этом случае функции
Ф0 (г) и Q0 (г) дают решение задачи о чистом изгибе моментами М
бесконечной полосы (балки) без трещины (см. рис. 61).
Аналогично предыдущему, на основании формул (V.4)—(V.5) и
(V.7) найдем, что при
ь-ш'- л- = 0; A^ = ir(L2+4i)* А* = Яг'
вп = -4гг ; Вх = 0; B2=.iL(3Z.2-i{£); Б3 = —
(V.9)
24/
12/
(обозначения указаны на рис. 62) функции Ф0 (г) и й0 (г) дают ре¬
шение задачи об изгибе балки длиной 2L без трещины, когда балка
нагружена равномерным давлением интенсивности q. При этом
предполагается, что балка свободно расположена на двух опорах,
а опорные реакции определяются как касательные усилия, прило¬
женные к торцам балки. Не трудно показать также на основании
формул (V.4), (V.5) и (V.7), что, если
А — п- А —	— • А — —Q{2L — d).	^	д.
ло “ и» Л1 — 8/	’	2	“	4J	3
в0 — 0;	—
8/
5t'Q
8/
4/
— 3Q (2L — d)
4 J
— iQh2
2/
(V.10)
(обозначения указаны на рис. 63), то функции Ф0 (г) и £20 (г) дают
решение задачи об изгибе жестко защемленной консольной полосы
(без трещины) под действием постоянной поперечной силы Q,
приложенной на ее свободном конце.
10
В. Панасюк
145

ZL
Наличие в полосе концентратора напряжений в виде трещины
приведет к возмущению поля упругих напряжений в окрестности
этой трещины. Вдали от трещины напряженно-деформированное
состояние в полосе для указанных нагрузок определяется формулами
(V.4)—(V.7), если значения коэффициентов Aj и Bj(j = О, 1, 2, 3)
определены равенствами (V.8)—(V.10), а на контуре трещины
имеют место граничные условия (V.l)—(V.3).
Напряженно-деформированное состояние в окрестности трещины
будем определять приближенно в том смысле [103, 1501, что будем
удовлетворять граничным услови¬
ям задачи на контуре трещины,
т. е. условиям (V.l)—(V.3), и тре¬
бовать, чтобы на значительном рас¬
стоянии от трещины напряженное
состояние в полосе совпадало с на¬
пряженным состоянием, определяе¬
мым функциями (V.7):
lim Ф (г) = Ф (г),
\Z |-оо
lim £2(г) = £2 (г).	(V.	11)
U 1-00
Если в формулах (V.4) и (V.5) перейти к граничным значениям
на контуре трещины, т. е. положить у -> ±0, и принять во внимание
граничные условия (V.l)—(V.3), то получим следующую задачу
линейного сопряжения граничных значений искомых функций
Ф (г) и Q (г):
[Ф (/) + Q (/)]+ + [Ф (t) + Q (/)]- = 2р (/);
[Ф (/) - Q (/)]+ - [Ф (t) - Q (01" = О,
где —а < t < b\ t — аффикс точки контура трещины (t = х)\
1(1 —гр0) <т+ (t, 0)— на участке контакта (Я, < / < Я2);
^ ^ (О	—	на неконтактирующих участках бере¬
гов трещины.
Решив эту задачу [1031 и приняв во внимание поведение функций
Ф (г) и Й (г) при | z\ оо, найдем
^<8 .
Рис. 63.
Ф(2) =
■І—Г
а\ lz — b) ?
У (а + 0 (t-b)
2ni У (z + а) (г — Ь) у t — г
Рп{г)
Р (0 dt +
+у(;+:;;^+-|ф»(г)-а^
0(г) =,		1	<*	/<°+<)«=»)
+
2 пі У (г + а) (г — Ь) к
Рп (г)	1_
У(г + а)(г-Ь)	2
t — г
P(t)dt +
(Ф0(2)-Йв(2)],
(V.12)
(V.13)
146

где функции Ф0 (г) и Q0 (z) определяются равенствами (V.7), а по¬
лином Рп (z) имеет вид
Рп (*) = Cnzn + cn^zn~l + ... + с0.
(V.14)
Степень полинома (V.14) и его коэффициенты с0,	...,	сп опре¬
деляются из условий поведения функций Ф (z) и Q (г) в окрест¬
ности ТОЧКИ | 2Г | = СО. Функции Ф (z) и £2 (z) голоморфны в об¬
ласти вне трещины и, согласно условиям (V. 11), при больших зна¬
чениях I z | имеют вид
где X, Y — компоненты главного вектора внешних усилий, при¬
ложенных к контуру трещины (для рассматриваемых задач X = О
и Y = 0).
Таким образом, для определения коэффициентов с0, с1У с2, сп
необходимо функцию Ф (г), представленную формулой (V.12), раз¬
ложить в ряд по степеням z в окрестности точки | г \ = со и сопоста¬
вить это разложение с выражением (V.15). Принимая во внимание
формулы (V.7)—(V.13) и осуществляя необходимые вычисления,
коэффициенты полинома (V.14) можно определить так:
1)	при чистом изгибе полосы с трещиной (обозначения даны на
рис. 61)
2)	при изгибе полосы с трещиной под действием равномерно рас¬
пределенной нагрузки (обозначения см. на рис. 62)
Ф(2)=ф0(2)-
X + iY
2л (1 х)
Q (г) = Ц, (z) +
х(Х + *У)
2л (1 +х)
М	,	42	М	,,	V
с° = ~ 1S7 (Ь + й) ’ Сі = — ~ТГ{Ь ~~ а);
(V.16)
с2 = ~27 •' сп = 0 при П > 3;
с«= _ dr(а + ь)iS L% ~ “ігЛ2 + ж(5fl2 — 6аЬ + 56г) :
{a-b)\(a + b)*+ 12	Л2)];
^	4Йг[С« + Ь)-—-1-Л»)];
(V.17)
= їіг (° — Ь); C* = W; °п = 0 при ,l >5:
10*
147

3)	при изгибе консольной балки с трещиной (обозначения см. на
рис. 63).
со = - $-■(ь - а> К6 +	- 8Л21 + ШГ'(2L - d)<b +	а>2;
С, = - з§- [ф + а? + 8Л2	+ 8/ (Ь - а) (2L - d)] ;
о г	1	I	<УЛ8>
c2 = --g-[4(2Z,-d) + (6-a)tj;
Сз = 17 ’ с„ = 0 при л>4.
Определение контактных напряжений.
Для окончательного определения функций Ф (г) и Q (г) не¬
обходимо еще найти контактные напряжения (/0) Ip (t0) =
= (1 — ф0) o$(t0)] на участке контакта между кромками тре¬
щины, т. е. при А,, < t0 С Х2. С этой целью рассмотрим формулу
(V.6) и сопряженную ей формулу. На основе этих формул, осущест¬
вив предельный переход на контур трещины при у -> ± 0, получим
следующее контурное соотношение:
4G (о'+ - у'-) = X |ф+ (д - ф- (д + ф+ (д - <F (gi	+
+ [Q+ (д -	от (д + or*- (д - sr (gi,	(V. 19)
где — a <	<	b.	_
Для установления связи между функциями Ф (г), Q (г) и Ф (г),
Q(z) на основе формулы (V.5) и контурных условий (V. 1) при
z ->	± 0 получаем следующую задачу линейного сопряжения [98|:
[(1 +/Ро)ф + (1 _іро)ф_(1 +Фо)0_(1 -tp0)Q]+ =
= К1 + ф„) ф + (1 - Фо) Ф - (1	+ Ф„) Q - (1 - Фо) ОГ;	(V.20)
[(1 + ф0) ф - (1 - Ф0) ф +_(1	+ ф0) Q - (1 - ф0) Q]+ =
= -[(1 + фо)ф_(1_фо)ф + (1 +ф0)О-(1-ф0)ЙГ.
Решив эту задачу [1031, найдем
(1 + Ф0) [Ф (г) - а (2)1 + (1 - ф0) [Ф (2) - Q (2)1 = Rn (2);
(1 + Фо) [ф (?) + й (2)] — (1 — Ф0) [ф (2) + Q (2)] =	(V.21)
£>„ (г)
У (г + а) (г — Ь) ’
где
Я„(г) и D„(2) -
полиномы степени п (для рассматриваемых здесь задач п < 4),
Rn (г) = r0 + гjZ + r2z®	г^3+ ... + rnz”,
D„ (г) = d0 + d,2 + d2z2 +	d./J + dizi+ ... + dazn.
148

Коэффициенты rjy djy (j = 0, 1, 2, n) и степень этих поли¬
номов определяются на основе равенств (V.21) и условий поведения
функций Ф (г), Q (г) и Ф(г),й(г) в окрестности бесконечно
удаленной точки полосы, т. е. из условий, что при г -> со имеем
Ф(г)^Ф0(г), Q(z)->Q0(2), Ф (г) -»■ Ф0 (г), Q (г)Q0 (г).
В частности, пользуясь этими соотношениями и равенствами
(V.7), (V.15) и (V.21), для определения коэффициентов df (j =
= 0, 1, 2, 3, 4) полинома Dn (z) имеем следующие выражения*:
(1 + ф0) (А0 + В0) — (1 — Ф0Н Л0 + В0) = а^;
(* + ф0) (Ах + Вх) — (1 — г'р0) (Л, + Вг) = axds + a2d4;
(1 + Фо) (А2 + В2) — (1 — г'р0) (А2 + В.г) =
= axd2 + a2d3 -f a3d4^	}	(V.22)
(1 + Фо) (^3 "Ь ^з) 	( *	Фо) (А3 + В3) =
= axdx + a2d2 -j- a3d3 4- o4d4;
аЛ + Mi + aA + aA + аЛ = о,
где
	 Ь — а „	2	(**	+	„*)+(*-а)*
и1 — 1 » и2 — о » и3 —	о
_ 4 (Ь3 — a3) -j- (6 — а)з
2* —	їв ;
35а4 — 20аЗЬ + 18а2й2 — 20 ой* + 3564
а. =
128
Отсюда и на основе формул (V.8)—(V. 10) полиномы для рас¬
сматриваемых задач можно представить так:
1.	При чистом изгибе полосы с трещиной (см. рис. 61) внешние
нагрузки симметричны относительно плоскости расположения тре¬
щины и, следовательно, тху (х, 0) = 0. Поэтому
Р0 = 0, Dn (г) = 0.	(V.23)
2.	При изгибе полосы с трещиной (см. рис. 62) под действием
равномерно распределенной нагрузки аналогично пункту 1
Ро = 0. Dn (2) --= 0.
3.	При изгибе консоли с трещиной (см. рис. 68)
Ро ^	(z)	—	D3	(z)	—	dsz3
d2z2 -f- dxz -j- d0, (V .23a)
*	В дальнейшем значения коэффициентов полинома Rn (z) не нужны.
149

(V.24)
где
do = - ш - Q) № +Q)2 - 8Л2і + -ir (2L ~	+	a>2;
d, = -	[8Л2 - 8p0 (2L - d) (b - a) + (b + a)2];
d3 = -y-; d2 = --§-[4p0(2L-d) + (fr-a)].
Складывая и вычитая соотношения (V.21), найдем
Ф(2) - |±£ай +	;
= -fifc'® w ■- лпЬй [«• и + у>^_и] ■
По формулам (V.24) легко определить граничные значения функ¬
ций Ф (г) и Q (г) на контуре трещины, т. е. при у — ± 0. Если гра¬
ничные значения Ф (г) и Q (г) подставить в контурное условие
(V.19) и принять во внимание, что
ф+ (О - ф- (О = а+ (О - от (О
(см. формулы (V.12) и (V.13)), то в результате несложных преобра¬
зований получим
ф+ (/0)-Ф-(/0)-
Dn (А))
2 Gi(v'+ -и'-) =
1 — »!>«
-],	(V	.25)
2 У (to + a) (to — b)
где t0 — аффикс контура трещины.
Пользуясь далее формулами Сохоцкого — Племеля 1103], на
основе выражения (V.12) находим
Ф+ (/„) — Ф“ (L) =	X
0	YUo + а) (/„ - Ь)
х Ї V{t + a^~b)p(t)dt + 2рп(g|.
І	і, >
Подставив это выражение в уравнение (V.25) и приняв во внима¬
ние, что, согласно контурным условиям (V.1), на участке контакта
между берегами трещины, т. е. при \ < t0 < ^2, vx+ = Vх- =
= 0, получим для определения контактных напряжений p(t0) =
= (1 — Ф0)а^ (^о> 0) следующее сингулярное интегральное урав¬
нение:
_J_ | Yit + ant-Ь) р {f) dt + 2 (g _J_Dn (gj = 0,	(V.26)
150

или
"Кі
"яГ I ^ ^ Vo	^ р (0 ^ + 2 ( 1 — ф0) (s0 + Vo + S2/q
Х|
+ Vo + Vo) = О,
где Лі < г0 < К
В уравнении (V.26) коэффициенты Sj(j = 0, 1, 2, 3, 4) выра¬
жаются такими равенствами:
1)	при изгибе	полосы с	трещиной постоянными	моментами М
(см. рис.	61)	или	при изгибе полосы равномерно	распределенной
нагрузкой q (см. рис. 62)
Sj = Cj (/ = 0, 1,2, 3,4),	{V.21)
где значения Cj представлены равенствами (V.16) и (V.17);
2)	при изгибе консольной балки с трещиной (см. рис. 63)
Sj = Re(Cj),	(V.28)
где значения Cj определяются равенствами (V.18).
Если учесть, что
р (/„) = (1 - ф0) о,+ (д (X, < t0 - XJ,	(V.29)
то интегральное уравнение (V.26) можно преобразовать к виду
X.
1	cV(t + a)(t-b)o;(t)
HTJ		/-/„ dt + 2(s0 + sit0 +
+ Vo + Vo Vo) = 0»	(V.30)
где <; t0 С	о$	(t0) — искомые контактные напряжения.
Решив это	уравнение * и удовлетворив условиям	ограничен¬
ности контактных напряжений при t0 = и t0 = Л2, найдем необ¬
ходимые формулы для подсчета напряжений of (t0).
1.	При чистом изгибе постоянными моментами М полосы с тре¬
щиной (см. рис. 61) имеем
°,+(у - -w <*.+«-»+»,+»,) V	■ (V-3I)
где < t0 С Л2; величины Хг и определяются по уравнению
З^2 + 2\к + 3*1 + 2 (а — b) {X, + К) — (Ь +- а)2 = 0. (V.32)
Очевидно, для рассматриваемого случая (см. рис. 61, а также
замечания на стр. 144) началом области контакта между берегами
трещины является вершина трещины, расположенная в области
сжимающих напряжений. Поэтому в данном случае можно записать
—	— a.	(V.32a)
*	Метод решения интегральных уравнений вида (V. 30) изложен в работах [69,
104].
151

Отсюда на основании уравнения (V.32) находим
К = -±ь.
(V.33)
2.	При изгибе полосы с трещиной под действием равномерно
распределенной нагрузки q (см. рис. 62) получаем
°у (to) — [тзй + тг*о + тЛ + то) У ^ (°/0 + а) (/о — Ь) '	(^ ^)
Здесь < t0 < Хо, где A,j = — а (аналогично предыдущему);
к2 определяется из уравнения
20Ь%% — 6Ь% - 4Ь3Хг — ЬЬ4 +
+ 24 {L2 — -|-/t2J (ЗЯ2 — 2ЬК — Ьг) = 0;
коэффициенты nij(j = 0, 1, 2, 3) выражаются равенствами
=	|5Я|	- Ш\ - b% -Р + 12 (L2 - -f - b)j.
[зЯ2 — 2ЬХ2 — Ьг+ 12 ^L2	/t2)j;
(V-35)
т,
тл =
24/
...	v
ms— ЗУ
(V.36)
3)	При изгибе консоли с трещиной под действием сосредоточен¬
ной силы Q (см. рис. 63) находим
(U) —	§j (2^ — d) (2t0 + a — b +
++»*> V■ <vз7»
Здесь Aj с tQ с X2, где X2= b (для этой задачи сжимающие на¬
пряжения действуют в области л: > 0), а находится из уравнения
(V.32) при >„2 = 6,
К = !га.
(V.37a)
Вычисление комплексных потенциалов
Ф (г) и ІІ (г). С этой целью в формулы (V.12) и (V.13) необходимо
подставить значения р (*0) в соответствии с (V.29)—(V.37), а затем
вычислить соответствующие интегралы типа Коши. В результате
таких вычислений установлены следующие формулы для функций
Ф (г) и й (г).
152

1.	При чистом изгибе полосы с трещиной (см. рис. 61)
ф (*) = -§Г(3г - 2b) VZ7^T ~ТГг>
(V.38)
Й(г) = Ф(2) + ^2	^	=	—І-6).
2.	При изгибе полосы равномерно распределенной нагрузкой
интенсивности q (см. рис. 62)
	 ко
ф (Z) = 4-	+	"V2	+	тхг	+	т0)	У^
Я
8J
23 + ^L2	Л2j 2 +	Л3|;	(V.39)
Q(2) = 0(2) + ^k + (^--^/l2)2+4^
(V.39a)
где ^определяется из уравнения (V.35), а коэффициенты тр
(у = 0, 1, 2, ...) представлены равенствами (V.36).
3.	При изгибе консоли с трещиной (см. рис. 63)
Ф м _ _	.	4 да, _	(,	+	«. „)	+
+	+	^+ с'г +с’ + "~|Ы1С1 <2/- — ^1 X
X [8г2 — 4 (6 — а) 2 — (6 + a)2j]	g- [З22 +
8У
+ 2t(2Z, — d)2— 2Л2];	(V.40)
Q (2) = Ф (2) + -g- [З22 + 2t (21 — d)z — 2h\	(V.40a)
где ^1 = 4" а; коэффициенты су (/ = 0, 1, 2, 3) определяют по
формулам (V.18).
На основании формул (V.4), (V.5) и (V.38) — (V.40) можно найти
компоненты ov, оу, хху тензора напряжений в окрестности рассмат¬
риваемых трещин при изгибе полосы. Так, в плоскости расположения
трещины, т. е. при у = 0, имеем следующее.
1.	При чистом изгибе полосы с трещиной (см. рис. 61)
о,(х,0) = в(і-4)|/^	(в = і
ох (х, 0) = о„ (.V, 0) — -у- -V (j =	;	(V.41)
Txj, (x, 0) = 0,
где Аг =—і-b\ — /г<х<	^-b или 6<x</z.
153

2.	При изгибе полосы с трещиной равномерно распределенной
нагрузкой (см. рис. 62)
х — А.О
-Ъ ’
Оу (х, 0) = (т3х3 + щх2 + щх + Щ) у
ох (х, 0) = Оу (х, 0)	^л:3 + [L — у Л2) х +	/г2
Txv (X, 0) = 0,
(V.42)
где — h < х С Я.2, Ь < х < Л, Я,2 определяется из уравнения
(V. 36), а коэффициенты m0, mv т, и т3 выражаются равенствами
(V.36).
3.	При изгибе консоли с трещиной (см. рис. 63)
х — к2 .
х + а у
Оу (х, 0) = — 37(21 — d) (Зх + 2а) ]/
ох (х, 0) = Оу (х, 0) + -j- (2L — d) х\
хху (х, 0) = р0оу(х, 0) - 4"у	(x^jIх3 ~
-±(b-a)x2-
+ о)г — 8/г2] + р„
(Ь + а)*
8
+ /г2
x-^L[(b +
— 2(2 L — d) Xі + (2 L — d)(b —
(V.43)
-d)x+-L(2L-d) (b + a)2
где — Л<х< — а, k1 < x < /і, z= — a.
Чтобы получить некоторое представление о быстроте затухания
поля упругих напряжений, обусловленных наличием трещины в
изгибаемой полосе, на рис. 64 построены в соответствии с формулами
(V.41) графики (сплошные линии) изменения компонент тензора
напряжения о (ху 0), о (х, 0), т (х, 0) в зависимости от расстоя-
1
ния х при х > b и х С —g-б. Пунктирной линией показано изме¬
нение напряжений
о°у(х, 0) = В^, о°х(х, 0) = 0,	х%{х,	0)	=	0
(V.44)
которые возникают при чистом изгибе такой же полосы, но без тре¬
щины.
Анализируя графики, приведенные на рис. 64, легко заметить,
что при х > 26 возмущенное напряженное состояние можно принять
совпадающим с невозмущенным, т. е. с напряженным состоянием,
которое определяется функциями (V.7).
154

Представляет интерес также изучение напряженно-деформиро¬
ванного и предельного состояния полос (балок), ослабленных произ¬
вольно ориентированными щелями-трещинами и криволинейными
отверстиями. Подобные задачи рас¬
смотрены в работах [23, 83, 84, 88,
106, 1491. Определение напряжен¬
но-деформированного состояния в
полосе, ослабленной остроконеч¬
ным отверстием в виде гипоциклои¬
ды, можно осуществить на основе
результатов настоящего параграфа
и параграфа 2 гл. IV (см. также
работу [1061).
3. Вычисление
предельных на¬
грузок при изги¬
бе полосы с тре¬
щинами
Для определения предельных зна¬
чений внешней нагрузки при изги¬
бе полосы с трещинами будем
пользоваться уравнениями, приведенными в гл
lim
г-0
r°l(r, Р*)| =
К
г—о I V дР /В=3J
(V.45)
(V.45a)
где г, Р — полярные координаты с началом в вершине трещины;
ар(г» Р) — компонента тензора напряжений в этой системе коорди¬
нат (угол Р отсчитывается от плоскости расположения трещины про¬
тив движения часовой стрелки).
Очевидно (см. гл. III), если плоскость трещины является
плоскостью симметрии внешних нагрузок, то распространение тре¬
щины должно идти вдоль этой плоскости и, следовательно, угол
Р* = 0. В таком случае
lim \УТа'і/(г, 0)) -	(V.46)
Г-v о	л
где г = х — хjy Xj — абсцисса рассматриваемой вершины трещины
в прямоугольной системе координат хОу, когда трещина расположена
вдоль оси Ох (см. рис. 61).
155

Полоса с центрально расположенной
трещиной. Найдем величину предельной нагрузки при изгибе
полосы с центрально расположенной трещиной (рис. 61 и 62).
Для решения такой задачи упругие напряжения в окрестности тре¬
щины можно определить на основе формул (V.4), (V.5) и (V.38),
(V.39) (см. также формулы (V.41) и (V.42).
Так, напряжения а,. (х> 0) выражаются следующими формулами:
1)	при чистом изгибе полосы с трещиной (см. рис. 61)
„,,,.0)_	(*,	4-*). (V-47)
где М — изгибающий момент; J — момент инерции полосы;
Ъ < х < ft;
2)	при изгибе полосы с трещиной (см. рис. 62) под действием рав¬
номерно распределенного давления интенсивности q
Оу (X, 0) = (тях3 + т2х2 + mvx + m0) j/~	^ ^ ^	(V.48)
где значения X2 и m0, m,, m2, m3 определяются равенствами соответст¬
венно (V.35) и (V.36).
Таким образом, предельные нагрузки для таких задач можно
определить по основе формул (V.47) и (V.48) по уравнению (V.46).
Подставив для каждого из рассматриваемых примеров значения
упругих напряжений ау (х, 0) в уравнение (V. 45а), а затем осущест¬
вив в	этом	уравнении' предельный переход при х	Xj	=	Ь	или,
что то же самое, при г 0, получим формулы для определения ве¬
личины предельной нагрузки (М = Мq = qM) при изгибе полосы
с трещиной:
_ з V3J _к_	(J _ 4rft3\ .
2Ь я Vb	3	)'
_	тк	{Vb—it)-'
У* ~	Г	/2
л (Ь + Xj) 5X2 _ 2M.JS + 5*2 _|_ 12 hi	— h2
где параметр Х2 определяется из уравнения
35Я-2 — 206^ — 6 b2ll — 4 tfiK — 5 б4 +
+ 24 (L2 — — Л2) (ЗЯ-2 — 2M.> — ft2) = 0.
Из формул (V.49) и (V.50) непосредственно вытекает следую¬
щее: для рассматриваемых задач (рис. 61, 62) предельные значе¬
ния нагрузок М = М* и q = <7* не зависят от параметра а, а при
прочих равных условиях зависят только от параметра 6, т. е. от
характерного линейного размера той части трещины, которая рас¬
положена в области растягивающих напряжений.
Полоса с трещиной, расположенной в
области растягивающих напряжений. Пусть
(V.49)
(V.50)
156

полоса с нецентрально расположенной макроскопической трещинои
подвергнута изгибу моментами М (рис. 65) или равномерно распре¬
деленным давлением q (рис. 66) и пусть в каждом из указанных слу¬
чаев трещина целиком расположена в зоне растягивающих напря¬
жений. Определим величину предельной нагрузки, т. е. найдем соот¬
ветственно значения М* и q#.
При рассмотрении такой задачи будем пользоваться прямоуголь¬
ной системой декартовых координат хОу (рис. 65 и 66), полагая, что
трещина расположена вдоль оси
Рис. 65.
Ох при ах < х < Ь, где alf b —
абсциссы концов трещины (b >
>аА >0, длина трещины 2/, =
= b — ах).
По условию сформулирован¬
ной задачи трещина расположе¬
на в области растягивающих
напряжений, поэтому в процес¬
се изгиба полосы противополож¬
ные берега трещины не контактируют между собой и, следова¬
тельно, контактные напряжения между ними отсутствуют. Имея
это в виду и пользуясь результатами параграфа 2 настоящей главы,
для указанных задач легко вычислить комплексные потенциалы
Ф (г) и £2 (г). Эти функции получим на основе формул (V.7)—
(V.9) и (V. 12)—(V.17), если положить, что р (t) = 0 и а = — аг:
1)	при чистом изгибе поло¬
сы с нецентрально расположен¬
ной трещиной (см. рис. 65)
Ф (z) = М * -
X
16/
8z2 — 4 (<Z| -h Ь) г — (b — Qj)2
у (Z — a}) (г —Ь)
М
4	J
— -тт-г;
Рис. 66.
М
0(2) = ф (z) + _2,	(V.51)
где
J =
4т /г3
2)	при изгибе полосы с нецентрально расположенной трещиной
под действием равномерно распределенной нагрузки q (см. рис. 66)
ф <*> = / <*> - Ь [*•+і12- f ■h2)'г + тh3\’
Q (г) = f (z) +	[z*	+	-	-f	h2j	z	+	і-Л» j,
(V.52)
157

где
+ 2
/(z) = ——=Ц=^ 16г*-8(а,+6)гз +
96J у (2 — ad (г — b) (.
121L2 — І-Л2) — (6 — ax)2j z2 — (a, + b) [l2 JL2 —	ft2) +
+ (f> - a,)2] z -	[24	(l2	-	-§-	ft2j	+
+ 5flj + 6a,6 + 562
(V.52a)
На основании уравнений (V.4) и (V.5), а также формул (V.51) и
(V.52) находим:
1) для первого примера (см. рис. 65)
м
М*>°)= аг
8л:2 — 4(а1 -f- b) х — (b — а^2
/(•* — ai) (•* — b)
М
ох (х, 0) = а у (х, 0)	J-х, тХу(х, 0) = 0,
где — h < х < av b < х < ft;
2) для второго примера (см. рис. 66)
Оу (х, 0) = 2/ (*),	(х,	0)	=	0;
(V .53)
Ох (*^>	2у
д:3 Ч- /Z-2	1-Л2) л: -Ь Л3
(V .54)
где — /і < л: < ах\ Ь < л: < /г, / (л:) — определяется по формуле
(V.52a) при г = х + Ю.
Аналогично тому, как это сделано при рассмотрении предельного
равновесия полос, ослабленных центрально расположенными тре¬
щинами, на основании формул (V.46), (V.53) и (V.54) имеем
8J 				(V.55)
л У b — аг ’
<7*
384//С (Уb — Oj)"
л |з5Ь3 4* 15а^2 + 9а\Ь + 5аЗ _|_ 24 (3Ъ 4- ах) (l2 — -jj- /i2j |
(V .56)
Из формул (V.49), (V.50), (V.55) и (V.56) следует, что при увели¬
чении параметра 6, т. е. увеличении длины трещины (21 = Ь н- а,
2lx = b — ах) значения предельных нагрузок М*, <7* уменьшаются,
и,	следовательно, происходит неустойчивое распространение тре¬
щин. Таким образом, в рассматриваемых задачах предельная на¬
грузка М = Л1*, q = по достижении которой начальная трещи¬
на становится подвижно равновесной, совпадает с разрушающей
нагрузкой. Аналогичные задачи о предельном равновесии полосы,
ослабленной двумя коллинеарными трещинами неравной длины,
расположенными в зоне растягивающих напряжений, рассмотрены
в работе [1261.
158

4.	Продолжение. Определение предельной
нагрузки при изгибе консольной балки с
трещиной
При изгибе консольной балки с макроскопической трещиной длиной
2/ = b 4- а (рис. 63) плоскость расположения трещины не является
плоскостью симметрии действующих нагрузок. Касательные напря¬
жения в этой плоскости не равны нулю (см. формулы (V.43)), и,
следовательно, эта плоскость не является, вообще говоря, плоско-
Рис. 67.
стью начального распространения трещины, когда внешние нагрузки
достигают предельной величины.
Таким образом, в случае поперечного изгиба консольной балки
с трещинами определение начального направления распространения
трещины и вычисление предельных значений внешней нагрузки
необходимо производить на основе уравнений (V.45). Для этого,
как известно, вначале необходимо вычислить компоненты тензора
упругих напряжений в окрестности того конца трещины, который
расположен в зоне более высоких растягивающих напряжений.
Имея в виду сказанное, определим значения предельной нагрузки
для некоторых случаев рассматриваемой задачи.
Случай центрально расположенной тре¬
щины (рис. 67, а). Рассмотрим схему, представленную на
рис. 67, а. В этом случае на основе формул (V.43) при а = b = /,
имеем следующие комплексные потенциалы:
ф (2) = _ -Q{2L6J~d) (1 - ф0) (Зг + 21)	+
+ 4- YW^\z3-2^2L-d^z-(-f + h2)z +
+ р/ (2L - d)l	g- [Зг2 + 2і (2L ~d)z - 2Лг1;
J.	(V.57)
£2 (г) = Ф (2) + -g- [Зг2 + 2і (2L — d)z — 2A2],
159

где
я, = JL ^ = 4тЛЗ
3	«	-3	(остальные	обозначения	указаны	на
рис. 67, а).
Для рассматриваемой задачи наибольшие растягивающие на¬
пряжения будут в окрестности конца трещины 02. В малой окрест¬
ности точки 02 (рис. 67, а) компоненты (ап ар, тЛр) тензора упругих
напряжений в полярной системе координат (г, р) можно определить
на основе формул (III.96), (III.99), (III.103) и функций (V.57).
В частности имеем
(r> Р) =	—
Р ^	4	V	2	г
*1./
о	2
3	cos + cos-g- р
— 3k
2-І
О	^
sin-|- + sin-g-p
+ 0(1).
(V.58)
Здесь коэффициенты k\,/ и ki. / определяются из уравнения
(см. гл. IV)
j/^-cos— k2.jYyr^n^ + 0(1) = 4ReO;(z;), (V .59)
где Фу (zj) = Ф (20у + 2y^’®/);	20у — аффикс вершины трещины;
2у =	— комплексная переменная в новой системе координат
(гР); (Оу — угол поворота новой системы координат по отношению
к старой.
Для вершины 02 (рис. 67, а) имеем
г0/ = г02 = — /; со,- = со2 = я; г2 = ге‘р.
Пользуясь этими равенствами и формулами (V. 57), найдем
Ф,(г2) = Ф(-1-геф) =
Q VT
4 J
- -'т
4 (1 - Фо) (2Z, - d) /
3/6"
+
+ ТГ
--T-9J (2L-<*)][ +0(1).
(V.60)
Подставляя выражение Ф2 (г2) в правую часть равенства (V.59)
и сравнивая коэффициенты k\, 2и^,2 при одинаковых гармониках
в левой и правой части этого равенства, получаем
,	4QI	уТ(2L - d)
К\,2 = -
&2,2=
3	1/6 У
р0/ (2L - d) W - 2р0/ (2L -d)-l
3|/б 16
(V.61)
Таким образом, на основе формул (V. 58) и (V. 61) можно опре¬
делить главную часть напряжений ар (г, Р) в окрестности рассматри¬
ваемой вершины 02 сквозной центрально расположенной трещины
в консоли, подвергнутой поперечному изгибу (см. рис. 67, а).
Пользуясь этими формулами, а также уравнениями (V.45) и
(V.46), для определения величины предельной нагрузки в случае
160

поперечного изгиба консольной балки получим следующие соотно¬
шения:
k[,2 (з COS + COS	Р*j — 3*2,2 (sin + Sin Р*) =
= -• (V-62)
*1.2 (sin + sin	+ *2,2 (cos -Ь- + 3 COS 0* j = 0.	(V.63)
где коэффициенты k\t 2 и k2t2, определяют по формулам (V. 60), a k\t2
и k'2t 2 — по тем же формулам, положив Q = Q*.
Решая уравнения (V. 63), находим [см. (III. 107)1 формулу для
расчета угла Р*, определяющего направление начального распрост¬
ранения трещины в рассматриваемом случае:
р* = 2arctg 1	.	(V.64)
где знак «+» соответствует значениям k\t2 < 0, а знак «—» — зна¬
чениям k\%2 > 0;
_ *2.2 _	3/6	2/i2	—	2р0 (2L — d) I2
П~ kU2 _Ро 16	l(2L-d)
Подставив в уравнение (V.62) значения коэффициентов k\t2 и k2,2
в соответствии с равенствами (V.61) при Q = Q* и осуществив неслож¬
ные преобразования, получим формулу для определения величины
предельной нагрузки Q = Q*:
Q* 		3 |/3 KJ	, (V.65)
2л YI (2L — d)l cos2 -у- jcos	— 3 sin	р0	+
, З I'6 W ~ 2/Ро (2Z- — d) — /2
+ 16- '	(2L~d)l
где угол Р* определяют по формуле (V.64).
В каждом конкретном случае изгиба консольной балки с макро¬
скопической трещиной (см. рис. 67, а) при заданных значениях пара¬
метров L, d, /, и ро по формулам (V.65) можно рассчитать значение
предельной нагрузки Q = Q*, по достижении которой трещина на¬
чинает распространяться вдоль сечения балки.
Если принять, что при поперечном изгибе консольной балки с
с макроскопической центрально расположенной трещиной направ¬
ление начального распространения трещины практически совпадает
с плоскостью расположения трещины, т. е. принять, что в первом
приближении Р* « 0, то из равенства (V.65) легко получить следую¬
щую простую приближенную формулу:
е.» —п^—. Щ,	(V.66)
2/2(2 L — d)l nVl	'
11 В. Панасюк.
161

где
7 _ 4тЛЗ
Формула (V.66) другим путем получена в работе [86].
Сопоставим значения предельных нагрузок Q = Q*, рассчитан¬
ные по формулам (V.65) и (V.66), для следующих соотношений меж¬
ду параметрами L, d, Л, / и р0:
d= L\ h = ml (т = 2, 3, 4, 5, ...); р0 = 0; Ро =	Ро	=	1	»*
L= 10"/ (л= 1, 2,3, ...).
В этом конкретном случае формулы (V.65) и (V.66) можно преоб¬
разовать соответственно к виду
<3. = У,г Л, (т, п. P.);	(V	,66а)
<v'666>
где
Л1(т,л,Р#) =	. , 3Г*	-г	; (V.66B)
2	• 10" cos2 Ь (cos-f - 3 sin -f [- P„ +
3/6	2m2 - 2ро10л - 1 11
+ 16 '	10" Jj
(«) =	~	2.598	-	KT*.
Значения функции Лх (m, л, P*), а также угла P* для различных
соотношений между параметрами L, d, Л, / и р0 приведены в табл. 16
Таблица 16
h = 2l
h =
51
Ро
п
Р*
Л,
Р*
л,
1
30° 32'
0,2233
62° 19'
0,07951
0
2
3° 40'
0,02528
23°Л6'
0,02366
3
0° 22'
0,002532
2° 34'
0,002531
1
29° 16'
0,2231
62° 13'
0,07950
0,01
2
1°29'
0,02530
2° 32'
0,02366
3
—1°50'
0,002532
0° 23'
0,002532
1
14° 19'
0,2306
61° 35'
0,07802
0,1
2
—17° 19'
0,02574
0° 23'
0,02525
3
—20° 03'
0,002636
—18° 15'
0,003288
162

Сопоставляя значения Лх (m, /г, Р*) и Л2 (/г), не трудно заметить,
что при L > I формула (V.66) может быть использована для оценки
величины предельной нагрузки в случае поперечного изгиба кон¬
сольной балки с центрально расположенной трещиной (рис. 67, а).
Случай, когда трещина расположена в зо¬
не растягивающих напряжений. Пусть изоли¬
рованная макротрещина целиком находится в зоне растягивающих
напряжений, когда консольная балка подвергнута поперечному
изгибу силой Q (рис. 67, б). В результате рассуждений, аналогичных
тем, которые приведены выше, и на основе формул (V.10), (V.12) —
(V. 14) и (V. 18), в которых следует положить/? (/) = 0, Ь = —Ьх (Ьх >
> 0), получим следующие выражения Ф (z) и Q (z) для рассматривае¬
мой задачи:
Ф(г) =	116г* + [8 (а + Ьл) + 2,21 (2L - d)\ z2 +
64/ V (z + a) (z + by)
+ [ 16t (а + bx) (2L — d) — 16Л2 — 2 (a — 6X)2| z + (a + 6X) [(а — Ьг)2 —
-	8ft2]—4{ (2L - d) (a—bt)2}	§■
3z2 + 2i(2L-d)z—2h2
,(V.67)
£2 (z) = Ф (z) + -jj- [З22 + 2» (2L — d)z — 2h2\.
На основе формул (V.59) и (V.67) вычислим коэффициенты
k2,2 интенсивности упругих напряжений в окрестности вершины тре¬
щины с абсциссой х = —а, т. е. при z = —а — гё&, где г <£ а. Фор¬
мулы для определения этих коэффициентов имеют вид
(V.68)
Отсюда согласно уравнениям (V.62) и (V.63) находим
8JK
л Уa — bx cos2
Q* 		—	£ |(2L - d) (3а + Ьг) cos Ь- -
2
_ з ( 2А’_	) sin Ь}'1,	(V.69,
где угол Р# можно определить по формуле (V.64) при условии, что
коэффициенты k\t 2 и k2t2 вычислены по формулам (V.68).
Принимая для рассматриваемой задачи, что начальное распро¬
странение трещины происходит вдоль плоскости ее расположения,
И*
163

т. е. принимая в первом приближении р*«0, из формулы (V.69)
имеем [124]
(3a + bl)(2L-d) '	(V'70)
В заключение отметим, что задачи об определении предельной
нагрузки для полосы (балки) с трещиной, расположенной в зоне
растягивающих напряжений при изгибе полосы (см. рис. 65, 66,
67, б), исследованы также на основе 6* - модели в работе [87]. В част¬
ном случае, когда длина трещины макроскопическая (достаточно
развитая), из результатов работы [87] следуют формулы (V.55),
(V.56), (V.70).

Глава VI
НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ СТАТИКИ
ТРЕХМЕРНОГО УПРУГОГО ТЕЛА
1.	Формулировка задач теории упругости
в перемещениях
Пространственные задачи теории упругости и методы их решения
сформулированы в ряде учебников и монографий по теории упру¬
гости (см. например [33, 67, 89, 90, 140, 157, 160]). Ниже выводятся
лишь некоторые соотношения статики трехмерного упругого тела,
необходимые в дальнейшем при исследовании предельного равнове¬
сия хрупких трехмерных тел, ослабленных внутренними или по¬
верхностными дискообразными трещинами.
Исходные уравнения. Пусть упругое тело зани¬
мает некоторый объем Vs и на его поверхности S заданы внешние
напряжения. Решение задачи теории упругости для такого тела,
т. е. определение в теле напряжений и деформаций, сводится к
отысканию трех функций:
u = u(x,y,z); v = v(x, у, z) и w = w(x, у, z), (VI.1)
которые представляют собою компоненты (проекции) вектора упру¬
гих смещений точек деформируемого тела соответственно по оси
Ох, Оу и Ог в прямоугольной системе декартовых координат Оху?,
связанной с рассматриваемым телом.
При отсутствии массовых сил функции и, v и w должны удовлет¬
ворять заданным на поверхности тела граничным условиям и сле¬
дующим уравнениям равновесия (уравнениям Лямэ):
где v — коэффициент Пуассона; А — трехмерный оператор Лапла¬
са; 0 — относительное объемное расширение.
А» + Т=2ї
(VI.2)
дх2 + ду2 + дг>
~ du . dv . dw \
•	0=<*+^ + 1*)
165

Если на всей поверхности S, ограничивающей рассматриваемое
тело V, заданы перемещения, то граничные условия для функций
и,	v и w имеют следующий вид:
и = us, v = vs, w = ws.	(VI.3)
Когда на всей поверхности тела заданы внешние напряжения
(Fn}), то граничные условия для функций и, v и w выражаются так:
G [2 (l7 + r^2v 0)cos (n- x) + (w + lfc) C0S (л’У) +
G [(-£ + it) C0S (n’ X) + 2(it + Ї=2Ї 0) C0s <п’ «ї +
+ (l + t)C°S^^] = ^
G [(ж + Ir) cos <я- x) + (^t + -£)cos <л* уї +
+ 2(?r + r^ve)cos("-2>
_ r(s)
	 г riZ’
(VI.4)
Здесь n — внешняя нормаль к поверхности S; FJ2, Fnl и Fjfj —
проекции внешнего напряжения на координатные оси; G — модуль
сдвига- G = 2(TfVy
Когда на одной части поверхности тела (Sj) заданы смещения,
а на другой (S., =S —Sx) — внешние напряжения (так называе¬
мая смешанная задача теории упругости), то на поверхности SL
необходимо удовлетворять граничным условиям (VI.3), а на поверх¬
ности S2 — граничным условиям (VI.4).
Если функции и, v и w определены для деформируемого тела,
то компоненты ох, ау, <xz, тху, xyz, т2Х тензора напряжений в любой
точке тела можно подсчитать на основе закона Гука и соотношений
Коши, т. е. по формулам
ди
*	= 20(£ + Г^&в)’
хч~ °(а* + а*):
*-«(£ +у):
r [dw ди
r** = G(w + ж
(VI.5)
Следовательно, задача теории упругости в перемещениях сво¬
дится к решению системы дифференциальных уравнений (VI.2),
удовлетворяющих заданным граничным условиям (VI.3) и (VI.4)
на поверхности деформируемого тела. Однако, найти решение си¬
166

стемы уравнений (VI.2), удовлетворяющее заданным граничным
условиям на поверхности тела произвольной конфигурации затруд¬
нительно. Это можно осуществить лишь для некоторых простейших
форм тела и простейших видов внешних воздействий (напряжений
или перемещений) на его границе.
В дальнейшем при изучении предельного равновесия хрупких
тел с внутренними дискообразными трещинами необходимо решать
задачи теории упругости для трехмерного пространства с плоскими
поверхностями; ниже рассмотрены некоторые из таких задач.
Упругое пространство с плоской гра¬
ницей (трещиной). Рассмотрим упругое тело Vs, занимающее
все трехмерное пространство, за исключением области S плоскости
г = 0 (область S рассматривается как разрез в упругом теле). Пусть
к границе области приложено нормальное давление интенсивности
q (ху у)у а в бесконечно удаленных точках тела напряжения отсут¬
ствуют. Требуется определить напряжения oz(xy у, 0) в плоскости
z = 0 вне области S и компоненту w(x,y, 0) вектора смещений для
точек области S.
Для рассматриваемой задачи внешняя нагрузка симметрична
относительно плоскости z = 0, поэтому, очевидно, в этой плоскости
касательные напряжения отсутствуют, а смещения по направлению
оси Oz равны нулю. Для всех точек плоскости z = 0 вне области S.
Следовательно, имеем следующие условия:
Xzx — xzy = ® ПРИ г = 0;	(VI.6)
о2	(ху	у у 0) =	—	q(x, у) в области	S;	(VI. 7)
w(x, у,	0)	= 0 в	области Soo,	(VI.8)
где Sec — внешность области S плоскости 2 = 0.
Дифференциальные уравнения равновесия (VI.2) и условия
равенства нулю касательных напряжений в плоскости z = 0, т. е.
условия (VI.6), будут удовлетворены, если компоненты вектора уп¬
ругих смещений представить в следующем виде:
г	дфо	г	дфо
и - фі - 2(1-V)	'	ST ’	у - Ф2 - 2(1-V) ' ~df'	9)
г	дф3
гг' = Фз- 2(Г^Г “£■'
где ф1? ф2 и фз—гармонические функции переменных х,у,г, связан¬
ные между собой равенствами
дфі _	1	—	2v	афз	.	д^2_ _ _ 1	дфз	(VT • m
dz	2(1	—v) дх ' dz	2(1— v) * ду *	1	j
Следовательно, при заданном значении функции w в плоскости
2 = 0 сформулированная задача сводится к определению гармони¬
ческой функции фз по ее значению на границе полупространства
г > 0, т. е. к решению задачи Дирихле.
167

Согласно приведенным выше рассуждениям и на основе фор¬
мул (VI.5), (VI.9) и (VI. 10) компоненты ох, ау, o2J тхуі ту2, х2Хтензора
напряжений можно представить так:
2(1 — у2) _ _ _^Фз _ ^ д2Фз .
Е	dz
2-ii^>a, = 2v^ + 2<]-v)^-Z
2-H^a, = 2v%+2(l-v)^_z
dz2 ’
д2Фз
(VI.ll)
E
2 (1 — Vа)
dz
X =_2^Ї1-
т"	г	dxdz	'
dy * '
дгфз
дх2 ’
2(1 -v*) т _
2 (I ~ v2) _	.	<?2Фз
E гу	dydz
<?2Фз
E -^у = (\-^)(^-Л-Щ-гдхду,
где, согласно равенствам (VI. 10), имеем
(VI.12)
при z > 0.
Таким образом, если к телу Vs с разрезом S в плоскости 2 = 0
приложены внешние нагрузки, симметричные относительно плос¬
кости 2 = 0, то решение задачи теории упругости сводится к оты¬
сканию одной гармонической функции ф3 по заданным условиям
В ПЛОСКОСТИ 2=0.
Из формул (VI.9), (VI.11) и (VI.12) легко заключить, что в пло¬
скости 2 = 0 условия (VI.6) удовлетворяются тождественно, а
компонента о2 тензора напряжений и компонента w вектора сме¬
щений выражаются через гармоническую функцию ср3 следующими
равенствами:
фЗг (X, У, 0) = 2 (Х Е V2) • Ог (X, у, 0),
(VI.14)
где
Фз(*> У, °) = w(x. у, 0),
дфз (*■ У, z)
фЗг (X, У, 0) =
дх
]z=-f 0
Отсюда, согласно равенствам (VI.7) и (VI.8), для определения
гармонической в области функции ф3 (х, у, г) имеем такие сме¬
шанные граничные условия:
в области 5
фзг (х, у, 0) = — 2 {-~2) q(x,y);	(VI.	15)
в области 5»
Фв(*. У> °) = о*
168

Рассматриваемая нами задача теории упругости свелась к сме¬
шанной задаче теории потенциала об определении гармонической
в полупространстве z > 0 функции ф3 (ху у, г), исчезающей в
бесконечно удаленных точках тела и удовлетворяющей в плоскости
2 = 0 смешанным граничным условиям (VI. 15). Следовательно,
для определения функции фз (х, уу z) необходимо решить смешанную
задачу теории потенциала для полупространства z > 0. С этой
целью представим искомую функцию в виде интеграла
Фз (*. </.*)=■' Km і $ q di,dH . (VI.16)
S-oo(S)
где
г2 = (X — £)2 + {y — I])2 + z2.
Этот интеграл, как известно, представляет собой гармоническую
функцию во всем пространстве, кроме области S плоскости 2 = 0.
В плоскости 2 = 0 справедливо следующее равенство:
_ 2_(j_ —.У,.) д ^у^ в области
дфз
дг
2=—|—0	■ . _
0	вне	области	S,
(VI.17)
где фз2(х, у, 2) — гармоническая функция.
На основании формул (V 1.16) и (VI. 17). делаем вывод, что гар¬
моническую функцию фз (х, у, г) можно определить по заданному
ее граничному значению в плоскости 2 = 0 так:
Фз (х, у, г) = - ±- Нт $5	>-+0)	(VI-18)
(S)
Дифференцируя формулу (VI. 18) по г, найдем
4Р	,VI,9)
(S)
Принимая во внимание, что интеграл в первой части равенства
(VI. 19) есть функция гармоническая и учитывая соотношения
(VI. 14), получаем [641
(*. У' 0) = 4я(1£-^) lim	f 5	v> ’	(VL20)
VJ s-*c*=	У (x — 1У + (у — я)2
где Axy — двумерный оператор Лапласа,
A	d2	_L
*ху -- дх2 + -gjr •
Следовательно, если для рассматриваемого тела Vs в плоскости
2	= 0 известна функция w (х, у, 0), то компонента напряжения
oz (ху у, 0) определяется по формуле (VI.20). Если же в плоскости
2	= 0 известны напряжения oz (х, у, 0) = —q(x, у), то компонента
перемещения w(x,y, 0) определяется по формулам (VI. 14) и (VI. 16).
Когда в плоскости 2 = 0 заданы смешанные граничные условйя,
какими и являются условия (VI.7)—(VI.8), то, применяя формулу
169

(VI.20), получаем следующее уравнение для определения функции
w (х, у, 0) в области S (вне области 5 функция w (х, у, 0) = 0):
д(г,у)= ~Е --АГ,Д{ a>(S.,il.0)d£rfn (VI.21)
(	) ,JS) У(х-1Г + (У-г\Г
где точки х, у — принадлежат области S плоскости z = 0.
Решив уравнение (VI.21) для заданной области S и нагрузки
q(x, у) и удовлетворив условиям непрерывности функции w(x>y> 0)
на контуре области S, найдем окончательно решение рассматривае¬
мой задачи.
2.	Контактные задачи для полупространства
и определение напряжений около плоской
трещины
Пусть упругое тело занимает все пространство, находящееся с од¬
ной стороны некоторой плоскости, например, плоскости z = 0.
Такое тело будем называть упругим полупространством, а плос¬
кость z=0 — поверхностью или границей полупространства. Ось
Oz прямоугольной системы декар¬
товых координат Oxyz направим
внутрь полупространства так, что
для всех точек тела z > 0. Кроме
того, обозначим через S и Soo соот¬
ветственно внутреннюю и внеш¬
нюю области плоскости 2 = 0, на
которые разделяется поверхность
упругого полупространства неко¬
торым замкнутым контуром L
Рис. 68.	(Рис-	68).
Пусть на поверхности упругого
полупространства в области Scо расположено абсолютно жесткое
тело — штамп с плоским основанием (это тело можно считать
сцепленным с упругим основанием, но так, что в плоскости 2 = 0
возможно проскальзывание точек упругого тела), а в области S
действуют напряжения oz(x, у, 0)= —q(x, у). Предполагается, что
силы трения между соприкасающимися телами отсутствуют.
Необходимо определить напряжения ог (х, у, 0) в области Sоо,
т. е. под основанием штампа, и смещения w (jc, у, 0) для точек пло¬
скости 2 = 0 вне штампа (в области S).
Для решения этих задач на поверхности упругого полупростран¬
ства имеем следующие граничные условия:
при 2 = 0
TZJc — Ъгу = 0;
о2(х, у, 0) = —q(xf у) в области S;	(VI.22)
w (х> Уу 0) = 0 в области Soo
170

(в бесконечно удаленных точках тела напряжения и смещения
отсутствуют).
Граничные условия (VI.22) сформулированной контактной за¬
дачи для упругого полупространства целиком совпадают с гранич¬
ными условиями (VI.6)—(VI.8) задачи о распределении напря¬
жений в трехмерном упругом теле с плоским разрезом — трещи¬
ной, когда приложенные к телу силы симметричны относительно
плоскости расположения трещины и сводятся в области трещины
к нормальному давлению q(x, у). Отсюда делаем вывод, что эти
задачи эквивалентны.
Следовательно, определение напряжений в трехмерном беско¬
нечном теле с внутренней плоской трещиной S в точках области S
(когда тело нагружено системой сил, симметричных относительно
плоскости расположения трещины) равносильно решению контакт¬
ной задачи для полупространства, когда требуется определить дав¬
ления (напряжения) под основанием плоского идеально глад¬
кого штампа, расположенного на поверхности упругого полупро¬
странства в области Soo, возникающие в результате действия
давления q(x, у) в области S.
Если трещина расположена в области Soo и необходимо опре¬
делить напряжение в области S трехмерного тела, то, проводя ана¬
логичные рассуждения, приходим к выводу, что такая задача сво¬
дится к определению давления под основанием плоского идеально
гладкого штампа, который расположен на поверхности упругого
полупространства в области S, а внешние силы приложены в области
Soo (рис. 68). Однако, следует иметь в виду, что для такой зада¬
чи внешняя нагрузка q(x, у) должна стремиться к нулю при х2 +
+ У2 -> со, поскольку в ходе постановки задачи предполагалось,
что в бесконечно удаленных точках тела отсутствуют напряжения
(смещения).
Рассуждая так же, легко установить, что смещения w (х, у, 0)
берегов трещины S в трехмерном теле соответствуют смещениям
w (Ху У> 0) поверхности упругого полупространства, расположенного
вне области штампа, при действии заданной нагрузки q(xy у) в
этой области.
Смешанные (контактные) задачи теории упругости для полу¬
пространства исследовались многими авторами (см. работу [33]).
Полученные результаты могут быть использованы при вычисле¬
нии напряжений в трехмерных телах с трещинами. Ниже рассмот¬
рим задачу для полупространства, когда область S является
кругом.
Задача для круговой области. Известно [33,
651, что, если на поверхности упругого полупространства свободно
расположен штамп с плоским идеально гладким основанием, име¬
ющий в плане (область S плоскости г = 0) форму круга, а вне
области контакта, т. е. в области Soo плоскости г = 0, действует
нормальное давление q (дет, у), то возникающие в этом случае
171

нормальные напряжения о2{х, у, 0) под основанием штампа вы¬
ражаются формулой
о2 (X, у, 0) =		1	J J q-f	dldr\,	(VI.23)
*	я2/а2	—	jc2	—	і/2	(£J}	(x	—	S)	+ (У — Л) b 1
где	X2	+	f/2 < a2;	£2 + Л2 > Д2-
Замечая далее, что в формуле (VI.23) переменные х, у, £, г] вхо¬
дят симметрично, приходим к выводу, что если идеально гладкий
штамп с плоским основанием расположен на поверхности упругого
полупространства вне окружности х2 + у2 — а2, а нормальные
давления q(x, у) действуют в области х2 + */2 < а2, то напряже¬
ния g2(jс, у, 0) при л:2 + У2 > я2 определяются из равенства
<т2 (А-, у, 0) = 		.	.	\	?	мЛ	,	—я*" <*£*), (VI.24)
*	я2	yV	+	і/2	—	a2	(*	—	I)2	+	(у	—	Л)2	ь	1	v	;
J		 j j’ Я (Е. Л) /а2 — I2 — Л2
(5)
где
х2 + у2 > я2; |2 + л2 < я2*
Таким образом, разрывающие напряжения о2 (х, у, 0), возникаю¬
щие в трехмерном теле с плоской (круглой в плане) трещиной, когда
к берегам	трещины приложено нормальное давление	q(x,	у),	опре¬
деляются	по	формуле (VI.23) или (VI.24). Эти формулы	можно
упростить, вводя полярную систему координат (г, р, р, а) и пола¬
гая, что
I	= р cos а, У] = р sin а, I2 + л2 = Р2;
х — г cos р, У = г sin р, X2 + у2 = г2,
где
0	< а < 2л;	0	<	р	<	2я.
(VI.25)
В этом случае формулу (VI.24) можно записать так:
Л /г О Пч	1	Г	Г	уЛа2 — р2? (р, а) ргіаф	,	.
*	я2	у>2	—	fl2" j j г2-г р2 — 2гр cos (а — Р)	^	^
(VI.26)
Аналогичным образом можно записать и формулу (VI.23).
Предположим, что давление выражается формулой
q [р, а] = f\m (р) sin т а + /2т (р) cos та,	(VI.27j
где т — целое положительное число.
172

Подставив выражение (VI.27) в (VI.26), получим
а
аг (г, р, 0) =	‘	J	р	Vа2 — р2 [/im (р) I in, (р, р) +
я2 у г2 — а2 $
+ /2m(p)/2m(p,P)]dp,	(VI.28)
2Я
,	. Q4 Г	sinmada
' ш (Р,Р) = J 72
где
г2 + ра — 2гр cos (a — Р) ’
2я
«>• » = 1 ^ + p=l°W(---F'	(VI'28a)
Интегралы (VI.28) легко вычислить на основе теории вычетов
[1561. Эти интегралы могут быть представлены в следующем виде:
/im (Р, Р) =	sin	m Р = Iі* (Р) sin т р;
h,n (Р, Р) =	•	(—cos = № (Р)cos (VI-29)
r І" P	JLl	у	1	—	JLl
где
2rp
U =
/• + p» •
Подставив выражения (VI.29) в формулу (VI.28), найдем
аг(г, р, 0) =	1	[Ая(г) sin тр + Вт (г)cosmp|, (VI.30)
я у г — а2
где
Ат (Г) = J К°2 — Р2/'п} (Р) f\m (Р) РФ>
(г) = §Va3 — рг1т (р) hm (р) Рdp.
0
Если приложенное к берегам трещины нормальное давление
<7[р, а] осесимметрично, т. е. в разложении (VI.27) имеем т = 0,
то для такого случая на основании формулы (VI.30) получим
(л. р. 0) =	\	UWf-	(VI.31)
где
г > а.
Аналогичным образом может быть преобразована и формула
(VI.23).
173

3.	Определение нормальных смещений
берегов дискообразной трещины
Смещение w(xty> z) берегов круглой (дискообразной) трещины в
трехмерном теле, когда внутри трещины действует нормальное
давление q(xt у), можно определить по уравнению (VI.21). Однако
в общем случае нагрузки q(x,y) при решении этого уравнения встре¬
чаемся с большими трудностями. Эти трудности иногда можно пре¬
одолеть, если воспользоваться решением одной осесимметричной
контактной задачи теории упругости для упругого полупростран¬
ства. t
Решим такую задачу для случая, когда в упругое полупростран¬
ство г >> 0 вдавливается штамп в виде произвольного тела враще¬
ния, ось симметрии которого нормальна к поверхности полупро¬
странства и совпадает с осью Ог. При этом предположим, что силы
трения между соприкасающимися телами отсутствуют. Соприкаса¬
ние штампа с упругим полупространством произойдет по некоторому
кругу радиуса а.
Внутри этого круга известна «осадка» штампа, т. е. смещения
w(xtyy 0), которые вследствие осевой симметрии штампа будут
функцией только полярного радиуса г:
Вне области контакта поверхность упругого полупространства
свободна от внешних напряжений и, следовательно, напряжения
а. (г, р, 0) = 0 при г > а.
Под основанием штампа возникает нормальное давление р(х, у),
которое является также функцией только расстояния г, т. е.
Задача состоит в определении давления р(г). На основании фор¬
мул (VI.14) и (VI.16), а также согласно условиям (VI.32) для опре¬
деления искомого давления имеем следующее интегральное урав¬
нение:
расстояние между точками М и N области Sa\ ds — элемент
площади.
Введем [631 новые переменные у, а, так как это показано на
рис. 69. Тогда
w (X, у, 0) = W (г, 0) (г = Vx2 + У2).	(VI.32)
р (х, у) = р (г) при г < а,
(VI.33)
(VI.34)
где Sa — область круга хг + у2 < а3;	/	(г)	=	w	(г,	0);
г mn = V{x — V)2 + {y — л)2 —
р = У г2 sin2 а + у2; ds — rMNdyda.
(VI.35)
174

В новых переменных (VI.35) уравнение (VI .34) можно записать
так:
я/2 Уа2—г2 sin* а
/ (О = 4 j | РІК''2 sin2 а + у2) dyda. (VI.36)
В работе [631 показано, что общее решение интегрального урав¬
нения (VI.36), непрерывное в области 0 < г < а и ограниченное
на ее контуре, выражается формулой
я/2 Vа2—т2 sin а
p(r) = —	j	Дг/(]/а2 sin2 а + у2) dyda, (VI.37)
где Д rf — двумерный
Лапласа,
1
оператор
Рассмотрим теперь задачу, по¬
ставленную в начале параграфа.
Пусть на поверхности г = 0 упру¬
гого полупространства в области
Soo (х2 + у2 > а2) вертикальные
смещения w (ху у, 0) равны нулю,
а в области Sa (х2 + у2 < а2) дей¬
ствует нормальное осесимметрич¬
ное давление q (г). Необходимо определить вертикальные смещения
w (х, у, 0) точек поверхности z = 0 в области Sa.
Для этой задачи формулу (VI.20) можно записать так:
А, И -><Р) d- - — 4я2<7 (г)
&«> MN
аИ
(5оо)
f (Р) ds
rMN
(VI.38)
где обозначения те же, что и в формуле (VI.34).
В области Sco по условию задачи /(р) = 0. Следовательно, ин¬
теграл в правой части уравнения (VI.38) равен нулю, а интеграл
в левой части этого уравнения можно преобразовать так, как это
сделано с формулой (VI.34). В результате таких преобразований
уравнение (VI.38) принимает вид
я/2 У а2—г* sin* а
Дг I |	/(|/V2sin2а + у2)dyda = — n2q(г) (г<а). (VI.39)
Кроме того, известно [631 следующее тождество
д JJ Ж* =Jj
rMN
bXyf (P) ds
(sa)
(sa)
MN
(VI.40)
175

Используя тождество (VI.40) в уравнении (VI.39) и принимая
во внимание формулы (VI.36) и (VI.37), а затем снова (VI.40),
получаем следующее выражение для определения смещений:
2. я/2/а*-г* sin а
ш(г,0)=-^—^—ї-j	j	q (Y г2 sin2 а + у2) dyda. (VI.41)
о	о
В области г <; а эти смещения непрерывны, а при г = а они
обращаются в нуль.
Эта формула впервые установлена М. Я. Леоновым в работе
163) при решении осесимметричной контактной задачи теории упру¬
гости для полупространства.

Глава VII
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ХРУПКОГО
ТЕЛА С ПЛОСКОЙ ТРЕЩИНОЙ,
ИМЕЮЩЕЙ В ПЛАНЕ ФОРМУ КРУГА
1.	Одноосное растяжение трехмерного
тела с внутренней круглой трещиной
Пусть в однородном хрупком теле имеется внутренняя круглая в
плане трещина. Трещину можно представлять в виде сплющенного
эллипсоида вращения, ось которого совпадает с осью Ог, а плос¬
кость трещины — с плоскостью хОу(г = 0) прямоугольной системы
декартовых координат Охуг (рис. 70).	р
Предположим, что в бесконечно удален-	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	I
ных точках этого тела приложены мо-	І	І	І	І	1	І	і	!	I	I	I
нотонновозрастающие растягивающие на¬
пряжения интенсивности р (oz (х,у> оо) =
= р)Уш направленные перпендикулярно б0
к плоскости трещины. Необходимо
определить величину предельных на- НИ
пряжений р = р*.
Обозначим через а радиус начальной
трещины (рис. 70). Если предположить,
что этот радиус достаточно велик, так	І	І	і	і	і	і	і	і	і	j	і
что трещину можно считать макроско-	І	I	І	I	І	І	1	1	І	I	}
пической (см. параграф 6 гл. I), реше-	0
ние сформулированной задачи можно	рис
было бы осуществить энергетическим
методом Гриффитса, как это сделано в работе Сака [2161.
Однако мы не будем делать таких предположений, а попытаемся
найти решение указанной задачи для произвольной величины ра¬
диуса а дискообразной трещины. В результате решения обобщенной
задачи появится возможность указать границы применимости ре¬
шения Сака, а также выяснить некоторые особенности разрушения
хрупких тел с мельчайшими трещинами *.
Указанную задачу о разрушении хрупкого тела с внутренней
круглой трещиной радиусом а, будем решать в рамках сформули¬
*	Такая обобщенная постановка сформулированной задачи предложена в ра¬
боте М. Я. Леонова и автора [71], где установлены основные результаты, изло¬
женные в настоящем параграфе.
12 в. Ианаскж.	177

рованной расчетной модели (б^-модели) хрупкого тела" (см. гл. I).
В соответствии со свойствами этой модели в окрестности контура
реальной трещины, находящейся в поле растягивающих напря¬
жений, всегда образуются области ослабленных межчастичных
связей, которые рассматриваются как ультрамикротрещины. Проти¬
воположные стенки таких трещин притягиваются друг к другу с
постоянным напряжением а0, если расстояние между ними не пре¬
вышает некоторой величины 6*, и не взаимодействуют, если это
расстояние больше 6*. Величина 6* связана с напряжениями а0 и
эффективной поверхностной энергией у данного материала таким
равенством:
Для рассматриваемой задачи (рис. 70) область ультрамикротре¬
щины будет иметь вид кольца
вокруг контура начальной трещины г = ау где г — полярный ра¬
диус точек деформируемого тела, расположенных в области трещи¬
ны; R — радиус границы между упруго деформирующимся мате¬
риалом и микротрещиной.
Растягивающие напряжения, установленные методами линей¬
ной теории упругости, в деформируемом теле с микротрещинами не
должны превышать предела хрупкой прочности а0, т. е. они должны
быть ограниченными.
Далее, в соответствии со свойствами расчетной модели хруп¬
кого тела внешние напряжения р = р* будут предельными, т. е.
при таких напряжениях трещина приходит в подвижно-равновесное
состояние, если выполняется следующее равенство:
где w(r, 0, р) —нормальные смещения берегов трещины (г < R)
при действии заданных напряжений р.
Таким образом, задача о разрушении хрупкого тела с внутрен¬
ней (круглой в плане) трещиной (рис. 70) сводится к определению
функции w(r, 0, р) в области трещины (г < R) и параметра R при
соответствующих граничных условиях, т. е. к рассмотренной ниже
задаче теории упругости.
Пусть в упругом трехмерном теле имеется плоская круглая в
плане трещина радиусом R. На поверхности этой трещины действуют
нормальные напряжения
а в бесконечно удаленных точках тела — напряжения а2 (г, оо)=р.
Требуется определить смещения берегов трещины и напряжения
вне трещины, удовлетворяющие условию ограниченности.
(VII.1)
< R
(VII.2)
2w(a9 0, р*) = 6*,
(VII.3)
при г<а;
при а < г < R,
(VII.4)
178

Определение смещений и напряжений в
плоскости трещины. Если вычесть из напряженного
состояния, возникающего в теле с трещиной при г с /? (см. рис. 70)
и граничных условиях (VII.4), однородное напряженное состоя¬
ние о2 = ру возникающее в теле без трещины, когда такое тело
подвергнуто одноосному растяжению напряжениями интенсивности
ру то в результате получим некоторое вспомогательное напряженное
состояние в теле с трещиной, которое исчезает на бесконечности,
а на поверхности трещины характеризуется следующими условиями:
q(r) = [P	ПРИГ<";	(VII.5)
1	р — а0 при а < г < /?,
где q(r) = —az(r, 0) — нормальное осесимметричное давление на
поверхности трещины для вспомогательной задачи.
При одноосном растяжении неограниченного тела без трещины
смещения точек плоскости г = 0 (плоскости симметрии) отсутству¬
ют, поэтому и смещения берегов трещины для исходной задачи сов¬
падают со смещениями берегов трещины для вспомогательной за¬
дачи, а компоненты тензора напряжений для исходной задачи от¬
личаются от компонент тензора напряжений для вспомогательной
задачи на постоянную величину az = р.
Следовательно, смещения w (г, 0) берегов трещины для рас¬
сматриваемой задачи (рис. 70) можно определить по формуле (VI.41),
т. е. по формуле
л/2 V R2—r2 sin а
Ш(Л’ °) = 1	I	q{Vr2s\n2a +y2)dyda, (VII.6)
о	о
где функция q — нормальное давление на поверхности трещины.
Для удобства вычислений формулу (VI 1.6) следует преобразо¬
вать, полагая (см. рис. 70), что
р2 = г2 sin2 a + у2.
После преобразований получим
0 г Sin a f
где q(р) — нормальное давление на поверхности круглой трещины
(0 < р< R), представленное равенством (VII.5).
Согласно соотношениям (VII.5), внутренний интеграл в формуле
(VII.7) принимает следующие значения:
1)	если 0 < г < а, то
Я sin a	/	v	j
с	Я	(р)	pdp
J У р8 — гг sin2 a
/■Sin a ' r
p У R2 — r2 sin а при 0 С a С arcsin ;
(p— ct0) R2 — r2 sin a + 0O У a2 —r2 sin2 a
при arcsin < a <	;
12*	179

R sin a
і
sin a
2)	если a < r < R, to
p	1Ґ R2 —	r2 sin a	при	0 <	a	<	arcsin	;
(p — ct0) YR2 — r2 sin	a +	ст0	У a2 —	r2 sin2 a
9 (p) pdp	в	.	.	.a
K = I	при	arcsin	-7Г	<a<	arcsin	—;
^p2_r2Sjn2<X	«	Г
(p — o0) Y R* — r% s>n a
при arcsin — С a < — .
Пользуясь этими выражениями и формулой (VII.7), найдем
при 0 < г < а
4(l-v*)	°) = VR2-r2(p-a0 VR-f-a*) +
Я/2
+ a0 j \ra2 — л2 sin2 ada;
(VII.8)
arcsin ——
R
при a < г < R
w(r, 0) = vw=? [p - a„v>z^!) +
4(1
a
arcsin —
r
+ ct0 j	V a2 — r2 si
sin2 ada.
(VI 1.8a)
arcsin
M\
Дифференцируя формулу (VI1.8a) по г, получаем
лE	dw (r, 0)
4(1— v2)
a
arcsin —
~ra0 J '	(VII.9)
У a2 — r2 sin2 a
arcsin —
A
Для окончательного определения функции w(r, 0) необходимо
еще найти значение параметра R, входящего в формулы (VIЬ8)
и (VII.8а). G этой целью вычислим напряжения о2(г, 0) приг> R-
Эти напряжения в соответствии с изложенным и на основании
формулы (VI.31) можно представить так:
Р*(г’ 0)\j Р V*-~9*pi q(р)dp + Pl (VII10)
180

где г > R\ q (р) — нормальное осесимметричное давление, пред¬
ставленное равенством (VI 1.5).
Тогда, пользуясь формулами (VII.5) и (VII.10), находим
°°> - і" (* - -
— о0 [vR2 — а2 — vг2—R2arctg	j| + P. (VII. 11)
где г > R.
Согласно формуле (VII.И), при произвольном значении пара¬
метра R напряжения ог (г, 0) стремятся к бесконечности, если г R.
Но, в соответствии со свойствами 6Л-модели хрупкого тела, пара¬
метр R должен обеспечить ограниченность напряжений в упругом
теле вне дефекта — трещины. На основании формулы (VII.11) на¬
ходим, что необходимым условием для этого является обращение
в нуль выражения, стоящего в фигурных скобках формулы, при
г = R. Тогда для определения параметра R имеем равенство
lim [р ( R — У г2 — R2 arctg ■ ~— \ —
-	а0 {vw^a2 - VT^R2 arctg -Щ= J = 0.
Отсюда находим
pR — a0V R2 — a2 = 0.	(VII. 12)
По условию (VII.12) и определяется значение параметра R. При
этом из формулы (VI 1.11) находим, что
lim a2(r, 0) = a0,	(VII. 13)
т. е. в этом случае напряжения на контуре трещины не только
ограничены, но и непрерывны.
На основе равенства (VII. 12) формулам (VI 1.8) и (VI 1.8а) можно
придать следующий вид:
У
w (г, 0) =	a0 J \/Ъ2 — г2 sin2 ada (r< R), (VII. 14)
a
arcsm —
H
где при 0<r <a = при a •< r < R ty — arcsin ~.
При выполнении условия (VII. 12), согласно формуле (VII.9),
имеем
hmR(dWdr0) ) = 0 (1*т сс»(г# 0) = 0^,	(VII. 15)
181

т. е. в этом случае (как и в случае плоской задачи) имеем плавное
смыкание противоположных берегов трещины при г = R. Не¬
трудно также заметить, что на основе формулы (VI 1.9) условие
(VII.12) можно рассматривать как требование плавного смыкания
берегов трещины на ее контуре при г = R.
Определение предельных напряжений. На
основе равенства (VII. 12) для определения границы (г = R) между
упругой областью тела и трещиной имеем формулу
° -=-■	(VII.16)
іMi)
Эта формула выражает зависимость параметра R от внешних
напряжений р при р < р
Далее, пользуясь формулой (VI 1.14), легко находим
2w (а, 0) -	-л~ v2) аст0^ 1 — -jj-j .	(VII.17)
Таким образом, на основании соотношений (VII.3), (VII.16)
и (VII.17) для определения величины предельной нагрузки р р*
в случае рассматриваемой задачи (см. рис. 70) имеем следующее
уравнение:
v
где
а* 8(1— V2)CT0 •	(VII.	19)
Очевидно, что уравнение (VI 1.18) имеет действительное решение
для искомой функции р*, если радиус трещины а > а*. В таком слу¬
чае из этого уравнения находим
Р*
a°V^Vl~	(а>а*>• (VIL20)
Дифференцируя формулу (VI 1.20) по а, получаем
-^ < 0 при а > а*.
Отсюда, а также на основании формулы (VI 1.20) заключаем,
что значения предельных напряжений р# уменьшаются с увеличе¬
нием радиуса трещины а при а > ат. е. в этом случае по дости¬
жению внешними напряжениями р предельной величины р = р*
в теле наступает неустойчивое распространение трещины. Следо¬
вательно, предельная нагрузка р*, определяемая по формуле
(VII.20), является разрушающей нагрузкой для хрупкого тела с
дискообразной трещиной радиусом а > а*.
182

Рассмотрим случай, когда а < а*. Заметим, что согласно фор¬
муле (VII.16) при действии на тело внешних напряжений р = о0
граница R области ослабленных межчастичных связей уходит в
бесконечность. В этом случае (при а < д*, р = сг0, R = со) из
формулы (VI 1.17) находим
2w(a, 0) = 8 ‘ ~EVJ р0а <8 ‘ ~^-Р0а« = 6*.	(VII.21)
Соотношение (VII.21) показывает, что, если в хрупком теле имеет¬
ся внутренняя дискообразная трещина радиусом а < а*, то при
растяжении такого тела внешними
напряжениями р, равными даже пре¬
делу хрупкой прочности а0 данного
материала, на контуре такой трещи¬
ны фронт разрушения не возника¬
ет. Следовательно, величина пре¬
дельных напряжений не зависит от
наличия в теле круглой трещины,
если а < а*. Хрупкое тело с таким
дефектом обладает прочностью без¬
дефектного материала, т. е.
Р* = о0 при а < а*. (VII.22)
Таким образом, на основании со¬
отношений (УII.20) и (VI 1.22) для
определения величины разрушающих напряжений р при одноос¬
ном растяжении хрупкого тела с внутренней трещиной получаем
следующую формулу:
где
я* =
в»
2а
я£6ь
при а <а*;
при а
(VII.23)
8(1 — V2) сг0
Предположим, что рассматриваемая круглая в плане трещина
достаточно велика (макроскопическая) и для такой трещины спра¬
ведливы соотношения
/'-S-
1.
В этом случае из формулы (VI 1.23) вытекает известная формула
Сака [2161:
183

Примечание. В работе [99] дано решение задачи Сака для неоднород¬
ного хрупкого тела, представляющего собой два склеенных полупространства с
различными упругими свойствами, когда в плоскости склейки имеется круглая
в плане макротрещина. При решении задачи предполагается, что распространение
трещины происходит вдоль плоскости расположения трещины. Случай кольцевой
(круглой в плане) макротрещины в однородном теле рассмотрен в работе [43].
Полученные в упомянутых работах формулы для определения величины предель¬
ных напряжений р = P# отличаются от формулы (VI 1.24) числовыми множителями.
р
На рис. 71 представлены графики изменения величины — в за-
ао
висимости от отношения где сплошная линия построена по фор¬
муле (VI 1.23), а пунктирная — по формуле (VI 1.24). Из сопостав¬
ления графиков на этом рисунке следует, что формулы (VI 1.23)
Р
и (VII.24) практически дают одинаковые значения величины—
ао
если радиус а рассматриваемой трещины удовлетворяет неравен¬
ству
-> |0°« - щй%. •	tvll-25>
Соотношение (VI 1.25) может быть использовано для оценки ве¬
личины минимального радиуса круглой в плане макротрещины в
случае пространственной задачи.
2.	Обсуждение некоторых теоретических
и экспериментальных данных
Формула (VI 1.22) показывает, что в реальном твердом теле могут
существовать микроскопические дискообразные трещины, которые
не влияют на уменьшение разрушающей нагрузки в процессе моно¬
тонного растяжения хрупкого тела. Максимальный диаметр такой
«не влияющей на прочность» стабильной дискообразной микротре¬
щины определяется на основе соотношений (VI 1.23) следующей
формулой:
2а* = л пПЕЬХ п =	nEy , •	(VII.26)
*	4(1— v*)<x0	2(1— v2)a2	v	7
Такое «невлияние» малых концентраторов напряжений на проч¬
ность твердого тела наблюдается, например, у чугунов, так как
у них не изменяется хрупкая прочность цри создании в теле малого
концентратора напряжения. Существование нераспространивших-
ся, стабильных, микротрещин наблюдали И. А. Одинг и В. С. Ива¬
нова при исследовании усталостной прочности некоторых сталей
[107].
Вывод о существовании микроскопических трещин, не влияю¬
щих на статическую прочность твердого тела, установленный в рам¬
ках расчетной модели хрупкого тела, согласуется с аналогичными
184

выводами работ [141, 148], сделанными авторами также на основе
энергетических соображений, которые можно сформулировать так.
Распространение внутренней микроскопической (круглой в плане)
трещины диаметром 2а < 2а* для деформируемого твердого тела
энергетически не выгодно. Это связано с тем, что в процессе локаль¬
ного распространения такой трещины количество освобождающей¬
ся упругой энергии, связанной с раскрыти¬
ем трещины, меньше количества эффектив¬
ной поверхности энергии, аккумулирую¬
щейся на ее свободных поверхностях.
Некоторое качественное подтверждение
описываемого явления, по-видимому, на¬
ходим также в исследованиях Л. А. Глик-
мана [36], посвященных изучению цикли¬
ческого ударного воздействия на хрупкую
прочность стали при одностороннем растя¬
жении образцов. В упомянутой работе на
цилиндрических образцах, изготовленных
из углеродистой стали (кривая 1 на рис. 72),
хромоникелевой (кривая 2) проводились
следующие эксперименты. На цилиндриче¬
скую поверхность образцов наносился внеш¬
ний кольцевой концентратор. Затем для
получения однородной структуры образцы
подвергали термической обработке.
В дальнейшем такие образцы подвергались деформации растя¬
жения путем приложения периодических ударных нагрузок. После
некоторого числа таких ударных воздействий образцы подвергались
статическому разрыву при температуре жидкого воздуха. Целью
испытаний являлось изучение относительного изменения хрупкой
прочности вследствие ударного уставания материала.
Нетрудно заметить, что экспериментальные графики на рис. 72
подобны теоретическим графикам на рис. 71. При этом, согласно
экспериментальным данным, некоторое малое число ударных цик¬
лов растяжения не изменяет величины хрупкой прочности данного
материала. Это, по-видимому, объясняется тем, что малое число
ударных циклов приводит к развитию лишь малых (микроскопиче¬
ских) трещин, которые по указанным выше соображениям не долж¬
ны (см. рис. 72) влиять на хрупкую статическую прочность образца.
Проведем еще одно сопоставление формулы (VI 1.26). В теории
разрушения твердых тел, выдвинутой Коттреллом [183], в структуре
тела предполагается наличие исходных микротрещин. Длина наи¬
большей стабильной микротрещины определяется уравнением
Количество ударов
Рис. 72.
2а* =
я(1 — V2) а;*’
(VII.27)
185

где величины у, а0, Е и v обозначают то же, что и в формуле
(VI 1.26).
Сопоставляя формулы (VII.26) и (VI 1.27), находим, что формула
(VI 1.26) отличается от формулы (VI 1.27) только числовым множи-
Я2
ТЄЛЄМ -у .
В работе [192] опубликованы результаты низкотемпературных
испытаний на растяжение образцов, изготовленных из двух марок
стали и феррита вакуумной плавки с различной величиной зерна.
При изучении образования микротрещины в таких материалах
авторы работы [192] пришли к выводу, что длина наблюдаемых ста¬
бильных микротрещин в указанных материалах составляет 1—2
диаметра зерна структуры материала. По данным работ [183, 192,
206] и согласно результатам расчета по формулам (VII.26) и (VII.27),
если принять, что Е — 21 • 107 н/см2, Y = 18* 103 эрг!см2> то в соответ¬
ствии с результатами [1831, можно составить следующую таблицу:
о0, н/см2		7,2.104(183]	5,3-104 [206]
Диаметр зерна,	мм	0,025	0,11
2а*, мм		0,0026	0,0049
2а*, мм		0,012	0,022
Эти данные показывают, что размеры стабильных микротрещин,
рассчитанные по формуле (VI 1.27), на порядок меньше размеров
зерна соответствующей структуры, а размеры таких же трещин,
вычисленные по формуле (VII.26), ближе по порядку величины к
диаметру зерна структуры материала.
Учитывая изложенное, можно предположить, что формула
(VI 1.23) и связанные с ней выводы могут оказаться полезными для
объяснения некоторых явлений механики хрупкого разрушения
твердых тел.
3.	Случай макроскопических трещин в трех¬
мерном теле
Некоторые особенности хрупкого разрушения твердых тел с микро¬
скопическими дискообразными трещинами рассмотрены выше.
В этом параграфе на примере дискообразной трещины (см. рис. 70)
рассмотрим характерные особенности предельно-равновесного со¬
стояния трехмерных хрупких тел с макроскопическими (достаточно
развитыми) трещинами.
Предположим, что рассматриваемая круглая в плане дискообраз¬
ная трещина макроскопическая, т. е. характерный линейный раз¬
мер а этой трещины достаточно велик. В этом случае (см. гл. I)
можно полагать, что
я* С a, R — a<Ca,	(VII.28)
186

где а — радиус окружности, ограничивающей макротрещину; R —
радиус контура микротрещины, т. е. радиус границы между об¬
ластью ослабленных межчастичных связей и упруго-деформирую-
щейся частью тела; а* — величина, представленная формулой
(VII.19).
Примечание. Если контур рассматриваемой дискообразной макроскопи¬
ческой трещины не является окружностью, а является некоторой замкнутой глад¬
кой кривой L, то в окрестности точки О, на кривой L радиус а следует рассматри¬
вать как радиус кривизны aj контура L в этой точке. При этом контур L предпола¬
гается достаточно гладким, так что выполняется условие (VI 1.28).
Для макроскопической трещины характерно также, как это следует
из формулы (VII.24), следующее неравенство:
/>*«<Т„.	(VI 1.29)
Для макроскопической трещины, имеющей в плане форму круга,
на основании формул (VII.16), согласно неравенствам (VI 1.28) и
(VI 1.29), находим
где величины	0	опущены, как малые	по	сравнению с .
Формула	(VI 1.30)	справедлива для произвольного значения мо¬
нотонно возрастающей нагрузки р С /?*. Если нагрузка р достигает
предельной величины р*, то, очевидно, параметр R также дости¬
гает некоторой предельной величины R*. Следовательно, на осно¬
вании равенства (VII.30) для определения наибольшего значения
концевой области макроскопической дискообразной трещины в
трехмерном теле (в момент предельно-равновесного состояния тре¬
щины) служит формула
=	(VII.308)
Отсюда и на основании формулы (VII.24) находим
R* — a = a*= а/,л£б1	■	(VII.31)
*	*	8(1—v2)a0	v
Параметр a* —величина постоянная для данного материала.
Этот параметр не зависит от размеров трещины и распределения
внешних нагрузок, поэтому из формулы (VII.31) следует, что для
данного материала при заданных условиях (температуре, давлении,
окружающей среде и т. п.) размер концевой области в окрестности
точек предельно-равновесного состояния трещины есть величина
постоянная. При этом отметим, что формула (VII.37) совпадает
р формулой (1.46). Следовательно, величина концевой области в
окрестности точек предельно-равновесной макроскопической тре¬
щины как для плоской задачи (в случае плоской деформации),
так и для пространственной задачи имеет одинаковое значение.
187

Таким образом, формула (VII.31) показывает, что для макроско¬
пических трещин в трехмерном теле в окрестности точек контура
трещины, в которых достигнуто предельно-равновесное состояние,
имеет место автономность концевой области трещины. Это обстоя¬
тельство будем использовать в дальнейшем при определении вели¬
чины предельной нагрузки для хрупкого трехмерного тела с плос¬
кой трещиной, ограниченной гладким криволинейным контуром.
Покажем теперь, что, если трехмерное хрупкое тело с плоской
макротрещиной подвергнуто растяжению монотонно возрастающи¬
ми внешними нагрузками, симметричными относительно плоскости
расположения трещины, то в Ътом случае величина предельной
нагрузки должна удовлетворять уравнению:
lim {flja2(sh 0, <7*)) =	(VII.32)
Sy-vO	71
где к —модуль сцепления; Sj —малое расстояние между точ¬
ками тела, расположенными в плоскости трещины, и контуром тре¬
щины в окрестности точки 0}\ о2 (s/, 0, q*)— упругие растягиваю¬
щие напряжения в плоскости расположения трещины (плоскость
2	= 0) при нагрузке q = q
Сначала рассмотрим случай, когда хрупкое тело ослаблено мак¬
роскопической дискообразной трещиной, имеющей в плане форму
круга радиусом а. Пусть к берегам такой трещины приложено мо¬
нотонно возрастающее осесимметричное давление q (р).
Тогда, согласно граничным условиям (VII.5), напряжения а2(г,
0, q) на продолжении трещины можно представить так:
<'•“■Л{] ?(р)ф-
R
Г РУ/?2 — р2 .
г*-/- dp
а
где г > R.
Поскольку напряжения аг(г, 0, q) при г > R должны быть огра¬
ниченными, то, как отмечалось выше, должно выполняться следую¬
щее равенство:
й (1	»<р>*	-	о.|	-W4=о.
Отсюда после вычисления второго интеграла имеем
lim J
r-+R [
а2 {г, 0, <7)1 = 0„ V R2 - а\ (VII.33)
т

o2(rt 0, q) —упругие растягивающие напряжения, возникающие в
точках тела, расположенных на продолжении трещины (см. пара¬
граф 2 гл. VI)
При этом следует иметь в виду, что рассматриваемая трещина
макроскопическая, т. е. для нее спра-
где s = г —а.
Значение — а в силу автономности концевой области макро¬
скопической трещины величина постоянная, поэтому пользуясь
формулами (VI 1.31) и (VI 1.35), находим
что и требовалось доказать для макроскопической трещины, имею¬
щей в плане форму круга.
Рассмотрим теперь случай, когда плоская макроскопическая
трещина в трехмерном хрупком теле ограничена гладким криволи¬
нейным контуром L и к берегам ее приложено нормальное давление
q (х, у). Возьмем на этом контуре произвольную точку О/ (рис. 73).
Часть дуги А В контура L в малой окрестности точки О, можно рас¬
сматривать как дугу окружности радиуса а/. Следовательно, при¬
нимая во внимание формулы (VI.23) и (VI.30), упругие напряжения
а+ (s/, 0, q) в окрестности точки О/ можно представить в следующем
виде:
где Si — малое расстояние между точками тела, расположенными в
плоскости трещины, и точкой контура трещины О/; Nf — коэффи¬
циент интенсивности упругих напряжений в точке О/, который за¬
висит от формы контура L и вида действующих нагрузок q.
ведливы соотношения
Заметим, что соотношение (VI 1.33)
должно выполняться при всех зна¬
чениях q С <7*, а при q = q* это со¬
отношение принимает вид
Рис. 73.
6
lim [Vs аг (s, 0, ?*)) = ^ V~R^a, (VII.35)
S-*0	П
lim I Vs a, (s. 0.,.)} - -і- V	-	4	■	(VII.36)
at (sh 0, q) = —7=- + 0(1),
Vs і
(VII.37)
189

Поскольку рассматриваемая трещина макроскопическая, харак¬
терный линейный размер Rj —а/ области этой трещины, т. е. об¬
ласти, где действуют силы сцепления а0, намного меньше радиуса
aj(Rj —cij < aj). В связи с этим можно принять, что напряжения
о- (Sj, 0, а0) вне трещины, вызванные действием сил сцепления а0,
совпадают с напряжениями, возникающими в бесконечном теле с
полубесконечным разрезом (см. рис. 17), на поверхности которого
приложено симметричное нормальное давление q{x) = —а0 при
О	< х <:/?/— а/. Учитывая это, а также на основании формулы
(1.76) имеем
оГ (S/, 0, а0) =	VR^i + 0(1).	(VII.38)
nVSj
Сумма напряжений (VII. 35) и (VI 1.36) должна быть ограничена
в любой точке О/ контура L. Поэтому, как отмечалось выше, долж¬
но выполняться равенство
lim Wsjot (Sj, 0, <7)| = — lim WslaT (s/, 0, o0)} = ^-VRi — Щ.
Sj-* 0	Sj-* 0	П
Если внешняя нагрузка q = q* такова, что в окрестности неко¬
торой точки О/ параметр Rj достигает предельной величины R =
= Rj*, то в окрестности такой точки наступает предельно-равновес-
ное состояние трещины и, следовательно, нагрузка q = <7* становит¬
ся предельной.
Таким образом, из последнего равенства имеем, что внешняя
нагрузка q q* будет предельной для данной точки О/ контура
трещины, если
lim (VsiOz(sh 0, <7#)) = VRr—ah (VII.39)
Sj-* 0	л
где or(sy, 0, q*) — упругие напряжения в окрестности точки О,
контура L при q = q*.
Для макроскопических трещин величина /?/,— aj есть величина
постоянная и выражается формулой (VII.31). Подставляя в правую
часть уравнения (VI 1.39) значение Rj0 —aj из формулы (VI 1.31)
и осуществляя очевидные преобразования, приходим к уравнению
(VII.32). Следовательно, уравнение (VII.32) справедливо для пло¬
ской макроскопической трещины, ограниченной произвольной глад¬
кой кривой L. Этим уравнением и будем пользоваться в дальнейшем
при исследовании предельного равновесия трехмерных хрупких
тел с плоскими макротрещинами.
190

4. Определение разрушающей нагрузки для
тела, ослабленного внешней круговой тре¬
щиной
Рассмотрим неограниченное однородное хрупкое тело, ослабленное
плоской макротрещиной, которая занимает всю плоскость z = О
вне круга радиусом а (рис. 74). Отнесем такое тело к прямоуголь¬
ной системе декартовых координат Oxyz так, что плоскость хОу
(z = 0) совпадает с плоскостью тре¬
щины, а начало координат — с
центром круга. Пусть такое тело
растягивается вдоль оси Oz си¬
лами Р, приложенными в точках
(0, 0, А) и (0, 0, — А). Определим
предельную величину силы Р =
= Р*, по достижении которой внеш¬
няя круговая трещина начинает
распространяться по сечению тела
в плоскости z = 0.
В связи с тем, что рассматри¬
ваемая трещина макроскопическая,
для определения величины предельной нагрузки Р = Р* будем
пользоваться уравнением (VII.32). Для этого необходимо найти зна¬
чение напряжений аг(г, 0) в точках плоскости z = а при г С а.
Предварительно заметим, что, если в трехмерном теле без трещины
действуют растягивающие сосредоточенные силы Р так, как это
указано на рис. 74, то в плоскости z = 0 такого тела возникают
растягивающие напряжения [89, 90]
Р	Ь	З*»	+1-2УІ
,jS/f ^ ,2 1 Ь2 ^ 1	^	V	I
о*1’ (Г, 0) =--
4Л (1 	 V) (Л2_|_/12)в
(0<Г< сю).
/•а И- /г2
(VII.40)
По условиям симметрии для рассматриваемой задачи на всей
плоскости z = 0 касательные напряжения отсутствуют. В области
г С а плоскости г = 0 нормальные смещения w (г, 0) = 0. Эти
условия позволяют использовать для определения напряжений о2 (г,
0,	Р) решения некоторых контактных задач теории упругости для
полупространства (см. параграф 2 гл. VI) и представить искомые
напряжения в виде суммы следующих слагаемых:
<хг (г, 0) = а\1) (г, 0) + <т‘2) (г, 0) + о‘3) (г, 0),	(VI1.41)
где напряжения^1*, представленные формулой (VII.40), суть напря¬
жения, вызванные внешними силами Рв теле без трещины; а^2) (г, 0)
представляют собой напряжения, возникающие в области 0 С г С а
плоскости z = 0 упругого полупространства z > 0 в результате дей¬
ствия нормального давления q (г) = а(2!) (г, 0) вне этой области и при
191

условии, что бесконечно удаленные точки полупространства непо¬
движны; а(г3) (г, 0) —напряжения, возникающие и области 0<г<о
плоскости 2 = 0 упругого полупространства г >> 0, когда в этой
области w(r, 0) = 0, а вдали от плоскости г = 0 приложены растя¬
гивающие напряжения о2(г, А), суммарный вектор которых по всей
плоскости z = h (h ->оо) равен D (в этом случае бесконечно удален¬
ные точки тела не закреплены).
Постоянная D при заданном
значении h определяется из усло¬
вия
а 2л
J jаг(г, 0)rdadr — P. (VII.42)
Напряжения <^3> (г> о) выража¬
ются так [33]:
о*3* (г, 0) = 	j — —
2 л a Y& — г*
(г<а),	(VII.43)
а напряжения а[2) (г, 0) можно определить по формуле (VI.23),
если положить в этой формуле q(x, у) = q (г) = о[1) (г, 0).
В таком случае
(2)/ ЛЧ 1 Г? р/р2— «*вУ)(Р. 0) dadp
°г	~	яг	Yа* — г* j }	^	+	Р2	—	2/-р	cos	(а	—	Р)	’	^	^
где г < а.
В соответствии с формулами (VI.29) находим, что внутренний
интеграл в равенстве (VII.44) имеет вид
2л
(* 	da		 2л
J г2 + рз — 2гр cos (а — Р) “ р2 — /"2 ПРИ г ^ Р-
На основании последнего формулу (VII.44) можно записать так:
2 Г р/р2 —	(Р»	0)	dp
<'• °>- <'<«)• <VI145)
Вычислив по известным формулам [39] интеграл в формуле
(VII.45) и воспользовавшись затем равенствами (VII.40), (VII.41),
192

найдем
/t2 (2/t2 + За2 — л2)
+ (а2 + Л2) (r2 -f ft2)2
Y сР — г2
(г2 + /і2)3/г
1 -2* +	]■arcsin K-Srf) +
+	<VIU6)
где г < а.
Подставив выражение (VI 1.46) в равенство (VI 1.42) и осуществив
необходимые вычисления, получим
D = PD0 = P\—arcsin—J=	г.	— 1. (VII.47)
0	[я	//i2 + a2 Я(1 — V)(/l2 + fl2) J V	/
По формулам	(VI	1.40), (VII.46) и (VII.47) можно определить
искомые напряжения о2 (г, 0) для рассматриваемой задачи при г <
< а (см. рис. 76).
Пользуясь далее выражениями (VII.46) и (VII.47), легко най¬
ти формулу для определения величины предельной нагрузки Р = Р*.
Эта формула имеет вид
р _ 	я (2а)3/* (1 — у) /С (/і2 + а2)2	 ,уіТ 48>
*	ah (ЗЛ2 + а2 — 2v (Л2 + а2)] + я (1 — v) (Л2 + a2)2 D0 ’ ^	’
где величина D0 определяется из равенства (VI 1.47).
Когда бесконечно удаленная точка рассматриваемого тела не¬
подвижна, величина предельной нагрузки Р* определяется по фор¬
муле (VII.48) при D0 = 0 [114].
Эту формулу можно записать так:
Р* = я(1 — v) (2а)ЧгКН (п)	(п==т)’	(VIL49)
где
Н (п) =
(1 н
bn2)2
л [1 + Зл2 — 2v (1 + П2)] + (1 -1- п2)2
2(1 — V) arcsin —	г
у\ + /t2 1 +п\
На рис. 75 построен график изменения функции Н(п) при v =
-	0,25.
Из формулы (VII.49) следует, что при п -> оо(h ->оо, а = const)
для рассматриваемой задачи (см. рис. 74) величина предельной
нагрузки определяется формулой
Р* = 2a V2aK.	(VII.50)
В этом случае силу Р — Р* необходимо рассматривать как глав¬
ный вектор внешних напряжений, приложенных к телу вдали от
трещины.
ІЗ в. Наласюк.	193

Глава VIII
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАПРЯ¬
ЖЕНИЙ ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННОГО ХРУП¬
КОГО ТЕЛА С ПЛОСКОЙ ТРЕЩИНОЙ,
ИМЕЮЩЕЙ В ПЛАНЕ ФОРМУ ЭЛЛИПСА
1.	Постановка задачи
В реальном трехмерном хрупком теле трещины могут иметь про¬
извольное очертание. В связи с этим для построения общей теории
разрушения хрупких тел существенное значение имеет определение
предельных нагрузок для деформируемого хрупкого тела, ослаб¬
ленного трещинами произвольной конфигурации.
Рассмотрим однородное неограниченное хрупкое тело, внутри
которого имеется эллиптическая в плане (в плоскости 2 = 0) мак-
п	роскопическая	трещина	(рис. 76).
Введем прямоугольную систему
декартовых координат Oxyz так,
чтобы ось Ох совпадала с боль¬
шей осью (2а), а ось Оу—с
меньшей (2Ь). Трещину предста¬
вим как эллипсоидальную по-
р
Рис. 76.
лость, бесконечно сплюснутую
вдоль оси Ог.
Пусть в бесконечно удален¬
ных точках такого тела прило¬
жены монотонно возрастающие
растягивающие напряжения р>
направленные вдоль оси 0z[o2{x,
у9оо) = р]л Требуется опреде¬
лить величину предельных на¬
пряжений р = р*.
Напряженное состояние в теле с эллиптической трещиной пред¬
ставим в виде суммы: 1) напряженного состояния в теле без тре¬
щины, когда в бесконечно удаленных его точках действуют растя¬
гивающие напряжения о2 (.х, у, °о) = р, и 2) напряженного состоя¬
ния в теле с эллиптической трещиной, когда к поверхности этой
трещины приложено нормальное давление q (х, у) = р, а в беско¬
нечно удаленных точках тела напряжения отсутствуют.
Первое напряженное состояние характеризуется только одной
неравной нулю компонентой тензора напряжений:
оТкх,у,г) = p.	(VIII. 1)
194

Для второго напряженного состояния плоскость z = 0 является
плоскостью симметрии. В связи с этим определение напряжений и
деформаций в рассматриваемом теле (рис. 76) сводится к решению за¬
дачи теории упругости для упругого полупространства г > О, когда
на его поверхности (г = 0) заданы следующие граничные условия:
хХ2 = ху2 = 0	при	2 = 0;
О?)(х,у,0) = -р	при	£ + -£-< 1;	(VIII.2)
w (х, у, 0) = 0	при	•§- +	> 1,
где ххгУ туг, а[1) — компоненты тензора	упругих	напряжений	для
второго напряженного состояния; w (х, у, 0) —компонента век¬
тора смещений вдоль ОСИ 02.
На основе граничных условий (VIИ.2) можно определить вер¬
тикальные смещения поверхности упругого полупространства,
т. е. функцию
w(x,y, 0)	при	+-gj-< 1,
и компоненту напряжения
oil)(x,y, 0) при	+
Если эта задача будет решена, то напряжения oz(x, у, 0) для рас¬
сматриваемого тела с плоской эллиптической в плане трещиной
(рис. 76) можно представить (для точек, расположенных вне об¬
ласти трещины) так:
аг (х, у, 0) = о° (л;, у, 0) + о{г1) (х, у, 0).	(VIII.3)
На основании этой формулы и уравнения (VII.32) можно опреде¬
лить величину предельных напряжений р — р*.
2.	Определение растягивающих напряже¬
ний в плоскости эллиптической трещины
Для определения напряжений о[1)(х,у, 0) и смещений w(x,yt 0) в
плоскости расположения эллиптической трещины (рис. 76) будем
пользоваться уравнением (VI.20), которое согласно граничным ус¬
ловиям (VIII.2) принимает следующий вид:
021’ (X, У, 0) =
=	I	( д*. , ГГ	»(6.4. <9 4*1	дтт^
4n(l-v*)	ду*)	JJ	—	+	^	—	(	'	'
із*
195

j^2	п2
Для точек + -р- < 1, г = Означение напряжений/а,(х, у, 0)
известно (ст. = —р), следовательно, чтобы определить функцию
w (х, у, 0) при	1,	из	формулы	(VIII.4) получаем уравнение
-Е /а»	. д*\сс w(i,4,0)dtdr\	унт ^
Р 4я (1 - V*) { дх* + difiJJJ /(,_6). + (i,_t|).	<	И1-^
(£+■?<•)
□Р" ж + £ < '•
Непрерывное решение уравнения (VIII.5), обращающегося в нуль
на контуре рассматриваемой области, по аналогии с круговой тре¬
щиной, будем искать в следующем виде:
w(x,t/,0) = coy'l-£--g-,	(VIII.6)
где с0 —постоянная, которая может быть определена из уравнения
(VIII.5).
Подставив выражение (VII 1.6) в уравнение (VIII.5) и осуществив
необходимое интегрирование, а затем дифференцирование, полу¬
чим [110]
Здесь Е (k) — полный эллиптический интеграл второго рода,
Я/2
Е (k) = | У1 — k2 sin2 a da,
где
g2-b2
CL2	‘
Таким образом, для рассматриваемой задачи (рис. 76) смещения
w(x, у, 0), определенные во всей плоскости 2 = 0, выражаются фор¬
мулой
w (х, у, 0)
к1-І---* при +
(VIII .8)
Теперь пользуясь выражениями (VIII.4) и (VIII.8), для опре-
*2	у2
деления напряжений az (х, у, 0) ири-^- +	> 1 получаем выражение
196

я
После вычисления функции f(x, у) и выполнения преобразований
в соответствии с формулой (VII 1.9), найдем искомые напряжения
о2(х, у, 0).
Функция f(xf у) вычисляется следующим образом. Сначала при¬
ведем следующие соображения. Пусть непрерывная функция h(xt у)
задана во всей плоскости хОу. Тогда интеграл
Ml. r\)dldy - 7[Ь/Л	.Л]	(VIII. 10)
-	. V(x — і)2 + (у — Л)2
(«)
представляет некоторую функцию переменных X и у в этой же пло¬
скости. Для вычисления функции Z\h (х, у)] введем полярные коор¬
динаты (а, /), полагая, что
| = х 4- / cos а; ті = у + t sin а,
где	Z.	:	!	_	(VIII. и)
t = V(x — I)2 + (у — л)2-
В этом случае выражение (VIII.10) приобретает вид
Z [h (х, у)] — f f h [/, a] dtda,	(VIII. 12)
б -со
где
h [/, а] = h [| (t, a), r) (t, a)].
В формуле (VI11.12) внутренний интеграл
s(a)= J h[t,a]dt,	(VIII. 13)
—oo
взятый вдоль прямой a= const, представляет собой площадь s (а)
поперечного сечения некоторого тела, ограниченного плоскостью
хОу и поверхностью hit, а]. При фиксированных значениях пара¬
метров xf у площадь s(a) есть функция только угла а. Таким об¬
разом, формулу (VIII. 12) можно представить в следующем виде:
Z [h (х, у)] = J s (a) da,	(VIII. 14)
о
где s(a) определяется по формуле (VIII.13).

Рассмотрим теперь случай, когда
Л (х, у) =
1 —JL
Ь2	№
X2 . у2
при + -р-
1;
О
при
*2
а2
+ £->1.
(VIII.15)
Если выражение (VIII.15) подставить в (VIII.10), то получим
следующее:
f(x, у) = Z[h{x, у)].
Перейдем теперь к вычислению функций /(*, у). В системе пря¬
моугольных декартовых координат х, у, z функция (V 111.15) пред¬
ставляет поверхность половины эллипсоида, расположенного над
плоскостью 2 = 0. Сечения такого эллипсоида произвольной пло¬
скостью, перпендикулярной к координатной плоскости 2 = 0, бу¬
дут эллипсы. Для определения полуосей эллипсов перейдем в фор¬
муле (VIII.15) к полярным координатам (VIII.11). Тогда
А [/,«]= I/ 1
Vі
(х + t cos а)2
(у + t sin а)2
(VIII.16)
а2	№
После несложных преобразований выражение (VIII.16) можно
записать так:
h [/, а] = Ь*
1 —
t + С*\2
(VIII. 17)
где
Ь*
-Z1
а* =
b*ab
(х sin а — у cos а)2
а2 sin2 а + b2 cos Чі ’	~	уа2 sjn2 а	&2 C0S2 а
* Ъ2х cos а -f а2У sin а
а2 sin2 а I- b2 cos2 а
(VIII.18)
Следовательно, при фиксированных значениях х, у, а уравнение
(VIII.17) представляет дугу эллипса, полуоси которого а* и Ь*
можно определить по формулам (VIII. 18). Площадь s (а) такого по-
луэллипса выражается формулой
s(a) -
л а*Ь*
X
nab
1 —
(х sin a — у cos a)2
a2 sin2 a b2 cos2 a
X
,	(VIII.19)
У a1 sin2 a + b- cos2 a
При фиксированных значениях x и у площадь s (а) есть функ¬
ция угла а. Следует иметь в виду, что функция (VIII.19) имеет
смысл тогда, когда угол а (рис. 77) удовлетворяет условиям
0 < a < л при + -р- < 1;	(VIII.20)

Если значения угла а не удовлетворяют условию (VII 1.20а),
когда + -р- >■ 1, то функция hit, а], представленная формулой
(VIII.15), тождественно равна нулю и, следовательно, площадь
s (а) тоже равна нулю.
Углы ах и а2, фигурирующие
в условии (VIII.21), представля¬
ют собой углы между касатель-
X2	U2
НЫМИ К эллипсу -^2 +
проходящими через некоторую
точку М (X, у) при	+ -fr > 1,
и осью Ох (рис. 77). Принимая
это во внимание, найдем
«і (х, У) =
=Arctg
—Ь2х + уУ а2 у2 + ft2*2—'ІРЬ2
а2у -)- х У а2у2 + Ь2х2—а2Ь2 '
(VIII.21)
Рис. 77.
<ц (х, у) = Arctg
b2x + у Vа2у2 + Ь2х2 — а2Ь2
(VIII.21а)
—а2у х Vа2у2 + б2*2 — а262
Формулы (VIII.21) и (VIII.21a) можно преобразовать также к
виду (см. рис. 77)
«і (х, У) = Arctg —
— arctg
+ arctg
агу2 + b2x2
(х2 + у2) V а2у2 + Ь2х2 — а2Ь2 + ху (а2 — ft2) ’
У) = Arctg 4- +
а2у2 -j- Ь2Х2
(VIII.22)
(VIII.23)
(х2 + у2) Y °2У2 + Ь2х2 — а2Ь2 — ху (а2 — b2)
Таким образом, на основе формул (VIII.14), (VIII.15) и (VIII.19)
получаем
у)
Ну /Л   паЪ	f	Гі	(л	sin	а —ус
Г\х> У)—	2	J	a2 sin2 а + Ь2
аЛх. у) L
— у cos а)2
cos2 а
da
Yя2 sin2 а + b2 cos2 а
(VIII.24)
где параметры ах (х, у) п<х2(х, у) представлены равенствами (VI 11.22)
и (VIII.23) при
*2 4- у2 > 1
-*+
199

a2 — b2
а2
Полагая в выражении (VI11.24)
a =	+	0	и	k2
и осуществляя несложные преобразования, находим
г/ v А \	(*	dS	1	х2	С	cos2 0d0
/(«, у) = nb -g- ]
в.	ег
dS	1_ f_
в_ /1 — k2 sin2 0	2	о2	0J (1 _ *2 sin2 Є)а/.
_ ХУ f sin 0 cos 0 dS	1__ у2 Г sin2 QdS	І /л/тїт oc\
a2 в, (1 — *2 sin2 в)3/*	2	5Г	(1	—	ft2	sin2	0)*/* j
ГДЄ
01	= 0X (x, y) = ax (x, y)	Y ;
(VIII.26)
02	= 02 (x, y) = a2 (.v, г/)	.
Перейдем теперь к вычислению напряжений. В соответствии с
формулами (VII 1.9) и (VIII.25) определим напряжения (х, у, 0)
X2	U2
при -^2 + -|r> 1. Пользуясь этими формулами и подвергая функ¬
цию f(x, у) операции Дху, получаем
+
2 sin2 02 (х cos 02 + у sin 02) / dS2
а2 (1 — k2 sin2 02)*^2
sin3 0
дх
e.
. f
d0
+
I <1
— ft2 sin
2 0)J/*
cos 0X
dS1
+ dy
• sin 0!
)-
cos 02
і dS%
sin B2
1+
1 dy
т”—[— а2 (1 — k2 sin2 0Х) (2 — k2 sin2 0X) cos 0X +
2a2 (1 —k2 sin2 0t)
+ x2 cos 0, (2 cos 20x k2 sin2 0X + k2 sin4 0X) +
+ 2xy sin 0X (3 COS2 0X — sin2 ©J + k2 sin4 0X) + y2 sin2 0J cos 0X x
X (4 — k2 sin2 0X)
m+m
+
sin3 02
[a2(l -
2a2 (1 — ft2 sin2 02)‘/г
— k2 sin2 0») (2 — k2 sin2 02) cos 02 — x2 cos 02 (2 cos 202 + k2 sin2 0., -f-
-f k2 sin4 02) — 2xy sin 02 (3 cos2 02 — sin2 02 + k2 sin4 02) —
— y2 sin2 02 cos 02 (4 — k2 sin2 02)
dS2 \*	/	dS2	\2
dx
dy
, (VIII.27)
200

где
Si =
So =
—b2x + у У a2y2 + b2x2 — a2b2
a2y + x У a2y2 -f b2x2 — a2b2
b2x + у Y а2У2 + b2x2 — a2b2
—a2y + x Y a2y2 + b2x2 — a2b2
(VIII.27a)
0, = Arctg	02	=	Arctg	S2--=-.
Если подставить выражения (VI11.27a) в (VI11.27), то после
преобразований получим
f ©2
»(*, y) = nb — ~ j
to
+
+
(aV + *2*2) Vgi
Ni (x, y)
X
+ ■
(1 — Л2 sin2 0p
a
~ 2 (a2;/2 + ft2*2)3 gj
(*. У)
X
g2 Vа g2 + g2	g\	+	g?
(VIII.28)
где
gj = a2y2 + b2x2 — a2b2;	g.2 = a2y + x]/gt;
g3 = — b2x + y y~gx; gx = ь2х + yV~gi; gb = — a*y + * Vh;
N, (x, y) = -g3 (a2y2 + b2x2)2 [{a2 + b2) g\ + 2a2£2] +
+ x2a2g3 (2g*3 — 2gi + 2k2gt + k2g22 gl) —
—	2 xya2g2 (2 gl g23 + 3^ — gt + k2gt) +
+ y^gl ёз (4gl + igl - k2gl);	(VIII.28a)
N2(x>У) = Si (a2y2 + b2x2)2 [(a2 + b2)g\ + 2a2g\] —
—	x2a2gt (2 g* — 2 g* + 2 k2g\ + k2glg2&) +
+ 2xya2gb {2g\ g\ + Zgi —gl + k2gi) —
— yWgtgl (4g25 + 4g2 — k2g\);
k2 =
■ ft2
Таким образом, пользуясь соотношениями (VIII.7), (VIII.9),
(VIII.27), (VIII.28) для определения величины напряжений, полу¬
чаем выражение
о^Ч*. у, 0) =
—Р
Xа	U*
ИРИ -&+-Ж< 1;
Ьр
(VIII.29)
201

На основании этой формулы, а также равенств (VIII.2) и (VIII.3)
для определения упругих напряжений а2(х, у, 0) в хрупком теле
с плоской эллиптической трещиной (см. рис. 76), когда тело под¬
вергнуто однородному растяжению в бесконечно удаленных его
точках внешними напряжениями о2(х, Г/, ОО) = /?, имеем следующую
формулу:
(	0	при -£+-£< 1;
az{x,y,0) = \	,	.	(VIII.30)
‘ Р+йїад®(*'^ при +
где функция co(x, г/) выражается равенствами (VIII.27) или (VIII.28).
Примечание. Отметим, что задача о распределении напряжений в упру¬
гом теле с эллиптической трещиной рассматривалась также в работах [64, 189].
При этом в работе [64] эта задача сведена к нахождению гармонической функции
в упругом полупространстве, а в [ 189] решение дано в малоприемлемом виде для
вычисления напряжений в окрестности контура рассматриваемой трещины [200].
Изложенное здесь решение дано в работе [116].
Рассмотрим некоторые частные случаи решения задачи.
1.	Пользуясь формулой (VI 11.30), определим, например, для
задачи, схема которой представлена на рис. 76, распределение на¬
пряжений о2{х,у, 0) вдоль оси Оу при у > Ьу т. е. в точках пло¬
скости 2 = 0 при х = 0 и t/> ft. В этом случае на основании фор¬
мул (VI 11.22), (VI 11.23) и (VII 1.26)
0; = 0j (0, у) = - 4 + arctg У у3 Ь2
а
в; = 02 (0, у) =	-	arctg t*-». (VIII.31)
При х = 0, у b формула (VIII.28) принимает вид
в;
»(о.	_-L	{	а»—	і **»■+»■-*■
а Л (1—62sin26)/j ayY У2 — Ь2
І	і
(VIII.32)
Интеграл в формуле (VIII.32), согласно соотношениям (VIII.31),
после некоторых преобразований можно записать так:
4>i
j
-24
Е (k) — \ Yl — № sin2 г|) di|)
, (VIII.33)
А (1 — ft2 sin2 0)*/«	б2
е1
где
Tfi = arctg	;	k2 = — ~ 62- •	(VI 11.34)
202

Пользуясь далее формулами (VIII.ЗО), (VIII.32) и (VIII.33),
находим
«, (0. У. 0) = -г^г {j У і —**sin’4>*|i + ь‘}.
(VIII.35)
где у > Ь\ значения % и k рассчитываются по формулам (VIII.34).
Если в формуле (VIII.35) положить а ->• °°(k	1, b — const)
и заметить, что Е (1) = 1, то в результате несложных преобразова¬
ний получим
1М°> У> 0)]a_voo = р fsin^j -1	, Ь\ -у;") •
\	у	\	у2 — Ъ2 J
Отсюда и на основании соотношений (VIII.34) находим формулу
для определения напряжений в бесконечной пластине, ослаблен¬
ной прямолинейной трещиной и подвергнутой одноосному растя¬
жению. Эта формула (см. также формулу (1.1) имеет вид
[аг (0, у, 0)]а=со =	(У > Ь)-
2.	Определим величину напряжений oz(x, у> 0) при у = 0 и * >а.
Для точек плоскости z = 0 (см. рис. 76) при этих условиях функ¬
ции и ©2 согласно формулам (VIII.22), (VI1I.23) и (VIII.26)
принимают вид
0** = ©! (X, 0) = — -5	arctg
0** = 0, (х, 0) = — ~ + arctg -
V	х2-а2 (VIII.36)
V Xі —а2
При у = 0, х > а формулу (VI 11.28) после преобразований мож¬
но записать так:
е
і
ш (х, 0) = nb
	1_ f	dB	2а_ V X2 + Ь2 — (Iі
а* J. (1 — k2 sin2 Є),/і b2x ' у x2 — a2
0
1
(VIII.37)
Интеграл, содержащийся в этой формуле, выражается через
эллиптическую функцию таким равенством:
е**
І е,-/. =2-£|У|-^шч“ч..
J (1—^2sina0)
в
і
где
t|>2 = arctg р==== (х>а).
203

Следовательно, согласно формулам (VI 11.30), (VIII.37) и (VIII.38)
in2 ,
(VIII.39)
М*. 0, 0)-P +	Vy+/_ai--j	Kl-^sin2^^},
где
x > a.
3.	Рассмотрим случай, когда в хрупком трехмерном изотропном
теле имеется плоская, круглая в плане, макротрещина, а тело рас¬
тягивается в бесконечно удаленных его точках постоянными напря¬
жениями р, направленными перпендикулярно к плоскости трещины.
Для такой задачи напряжения (*, у, 0) можно определить на
основе формул (VIII.28) и (VIII.30), если положить а = bt где а —
радиус рассматриваемой трещины.
В этом случае из формул (VIII.22), (VIII.23) и (VIII.26) вытекают
равенства
@<0) (X, у) = —y '\~arcsin 1 /-гг-5— arcsin Нэт:
+ f	V*- + y> (VIII.40)
0<О) (х, у) =	+ arcsin ■ у + arcsin .. .
2	*	2	1	у-	хг	+ уг	у *2 + у2 ■
Кроме того, при а = b имеем
6	= 0, [£(£)]*=o=-f-.	(VIII.41)
Полагая, что в равенстве (VIII.28) а = b и пользуясь формулами
(VIII.40) и (VIII.41), находим
[<о (х, у)\а=ь =	arcsin	,	(VIII.42)
где х2 + у2 = г2 > а2.
Отсюда и на основании формулы (VIII.30) и равенства (VIII. 41)
при а = Ь и х2 + у2 = г2 > а2 получаем формулу для определения
напряжений
а,	(г, 0) = р + ^ Р (тт^і - arcsin Т) •	(VI11-43)
Эта формула совпадает с результатом, опубликованным в ра¬
боте [63].
3.	Определение предельных напряжений
Перейдем теперь к определению величины предельных напряжений
р = р* для плоской, эллиптической в плане, макротрещины, содер¬
жащейся внутри хрупкого тела, которое подвергнуто одноосному рас¬
тяжению монотонно возрастающими напряжениями ог(х, у, со) = р
204

(см. рис. 76). Поскольку рассматриваемая трещина макроскопиче¬
ская, то для вычисления напряжений р = р* можно воспользовать¬
ся уравнением (VII.32).
Пользуясь этим уравнением и результатами предыдущего пара¬
графа, найдем величину предельных напряжений р = р*, по до¬
стижении которых наступает распространение плоской, эллиптиче¬
ской в плане трещины в направлении меньшей или большей
ее оси.
Для меньшей ОСИ эллиптической трещины имеем X = 0, Sj = у —
—	6, а упругие разрывающие напряжения о2(о, у, 0) определяются
по формуле (VIII.35). Используя эту формулу и условие (VIII.32)
ДЛЯ определения величины предельной нагрузки P = рх(Ь), по
достижении которой эллиптическая трещина начинает распростра¬
няться в направлении ее меньшей оси, имеем уравнение
Осуществив в этом уравнении предельный переход при у -> bt
найдем
Легко заметить, что при а = oo(k = 1, Е( 1) = 1) из этой фор¬
мулы вытекает известная формула Гриффитса (см. гл. I) для пла¬
стины с прямолинейной трещиной, полудлина которой I = Ь.
Формула (VIII.44) установлена изложенным выше путем в ра¬
боте автора [1161; затем она была найдена на основе теории макро¬
напряжений в работе М. Я. Леонова и К. Н. Русинко [76], а также
получена другим путем Ирвином в работе [200].
ДЛЯ бОЛЬШеЙ ОСИ ЭЛЛИПТИЧеСКОЙ ТреЩИНЫ ИМееМ у = 0, Sj =
= х —а. Таким образом, на основании уравнения (VII.32) и фор¬
мулы (VIII.39) находим
Если в формулах (VIII.44) или (VIII.45) положить а = Ь, то,
как частный случай, получим формулу Сака [182]:
Очевидно, эта формула может быть получена непосредственно
на основании уравнения (VII.32) и формулы (VIII.43).
(VIII.45)
р(а) = р{Ь) = _К (а = Ь)
205

Пользуясь формулами (VII1.44) и (VI 11.45), можно построить гра¬
фики изменения предельной нагрузки	в	зависимости
от соотношения между полуосями [kl = -jj эллиптической трещины.
Такие графики представлены на
рис. 78, где кривая 1 соответствует
расчетам по формуле (VIII.44), а
кривая 2—по формуле (VIII.45).
На основании графиков на рис.
78 легко заметить, что ріЬ) < /?<а>
при Ь < а. Это значит, что плос¬
кая эллиптическая в плане трещи¬
на, содержащаяся внутри хрупкого
изотропного тела, подвергнутого
0	0>8	к=а	одноосному	растяжению	монотонно
Рис 78	возрастающими	напряжениями	о2(ху
у, оо) = р, направленными пер¬
пендикулярно к плоскости трещины, вначале распространяется в
направлении меньшей оси трещины, т. е. имеет тенденцию к об¬
разованию круглой трещины.
В заключение отметим, что нагрузка pib), при которой начальная
эллиптическая в плане трещина становится подвижно-равновес¬
ной, т. е. начинает распространяться в направлении ее меньшей
оси, не является, вообще говоря, разрушающей для тела с такой
трещиной. В этом случае, чтобы установить величину разрушающей
нагрузки, необходимо исследовать кинетику последующего распро¬
странения эллиптической трещины, т. е. необходимо найти пре¬
дельную нагрузку для трещины, получившейся из плоской эллип¬
тической трещины после того, как внешняя нагрузка р достигнет
величины pib) + А р. Приближенный анализ такой задачи изложен
в гл. IX.

Г л ава IX
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТРЕЩИН, ИМЕЮ¬
ЩИХ В ПЛАНЕ ФОРМУ, БЛИЗКУЮ К
КРУГОВОЙ
1.	Постановка задачи
Рассмотрим изотропное неограниченное хрупкое тело, предполо¬
жив, что в таком теле имеется плоская изолированная макротре¬
щина (рис. 79). Обозначив через 50 область, занимаемую трещиной,
а через L0—контур этой области, введем прямоугольную систему
декартовых координат Oxyz таким образом, чтобы плоскость тре-
Q
щины S0 совпала с плоскостью хОу, а начало координат — с центром
окружности, которую можно описать около контура L0 (рис. 80).
Кроме того, примем /?0(Р) —радиус-вектор контура L0, где р —
полярный угол; а —радиус окружности, описанной около контура
L0; А5 — область плоскости 2 = 0, которая дополняет область S0
до круга радиусом а.
Тогда функция
е(Р) = а-/?0(Р)	(IX.1)
есть неотрицательная и периодическая функция с периодом 2я.
Плоскую макротрещину, ограниченную замкнутым контуром
L0, будем называть трещиной, имеющей в плане форму, близкую к
207

круговой, если максимальное значение функции в (р) мало по сравне¬
нию с радиусом а.
Предположим, что хрупкое тело, содержащее внутреннюю мак¬
ротрещину, близкую в плане к круговой, растягивается монотонно
возрастающими внешними силами Q, направленными симметрично
относительно плоскости трещины. Задача состоит в определении
наименьшего значения внешней нагрузки Q = Q*, при котором
трещина с контуром L0 приходит в состояние подвижного равнове¬
сия хотя бы в одной точке этого контура.
Величину внешней нагрузки Q{J\ при которой контур трещины
L0 в окрестности ТОЧКИ /?о(Р*) приходит в состояние подвижного
равновесия, можем определить из уравнения (VIII.32).
Таким образом, решение задачи о предельной нагрузке для тре¬
щины, имеющей в плане форму, близкую к круговой, сводится к
определению упругих напряжений о2 (г, Р, 0) в окрестности контура
этой трещины.
Ниже по результатам работы [69] развивается метод прибли¬
женного решения указанного класса задач [115, 117, 118].
2.	Исходное уравнение для определения
растягивающих	напряжений в	окрестности
контура трещины
Определим напряжения oz(r, р, 0) в окрестности контура трещины
S0 (см. рис. 80). Представим эти напряжения в виде
„ (г в 0) = I	01 + °S"<r’ Р' 0) пр“ ' >	(IX.2)
-	'• l-g(r, Р)	при	R,	Ф),:: г-а,
где 0 < Р < 2я; а(20)(г, Р, 0) — нормальные растягивающие напря¬
жения в плоскости 2 = 0, возникающие в неограниченном упругом
теле с внутренней круглой трещиной с радиусом а при действии на
тело заданной системы нагрузок Q; g (г, Р) — искомое давление в
области	р,	0) —нормальные напряжения, возникающие
в плоскости z = 0 (в плоскости расположения трещины) при г >а
в результате действия на участках AS[#0(P) < г < а\ 0 < р < 2л]
поверхности круговой трещины нормального давления g(r, Р).
Поскольку для рассматриваемой задачи плоскость 2 = 0 яв¬
ляется плоскостью симметрии, то вычисление напряжений а(20)(г. р,
0) и (г, р, 0) при г > а сводится к решению следующей задачи
теории упругости. На поверхности 2 = 0 упругого полупростран¬
ства 2 > 0 заданы граничные условия
TxAr, Р, 0) = Tj,*(/•, Р, 0) =	0	при 0 < г < со,
до (г, Р, 0) = 0	при r>a,	(IX.3)
(r> P. °) = — / (r, P)	при r < a,
208

где 0 < Р< 2л; w (г, р, 0) —компонента смещения вдоль оси Oz;
f (г, Р) —известная функция.
Необходимо определить на основе граничных условий (IX.3)
напряжения о2(г, р, 0) при г > а, 0 < Р < 2я.
Решение такой задачи,, как известно, представлено формулой
(VI.26):
2я а
oz (г, р, 0) =	 1	( f f °2 7РУ(Р’ a) pdpd” ,	(IX.4)
я2 / г2 — a2 0J 0J ^ + Р2 — 2ф cos (a — Р) ’ v >
где г > а.
По этой формуле можно рассчитать напряжение о<0> (г, Р, 0)
при г > а:
стг0) (г» Р.	0) = ^У===.	(IX.5)
Здесь г|э (r, Р) — известная регулярная функция,
2я а
♦(г. » - і И	+	V*=7'lr.	В.
0	0	(IX.6)
где tx (р, а) —заданное внешнее давление, приложенное к стен¬
кам трещины; q (г, Р) — распределение нормальных напряжений
о2(х,у, 0),	возникающих в сплошном, без трещины, упругом	теле в
плоскости	z =	0	от	действия	внешних сил	Q,	приложенных вне
трещины. В дальнейшем функцию q(r, Р) будем считать известной.
Например, когда тело на бесконечности растягивается постоянными
напряжениями о2(х, у, оо) = р, имеем
МР. <*) = 0; q(r, р) =	ft = р;
Ч5! (Л Р) = "ТГ {a + VГ2 —а2	— arcsin -2-) J •	(IX.7)
Если упругое тело нагружается двумя равными по величине и
противоположно направленными силами Р, приложенными в точ¬
ках (0, 0, + h) и (0, 0, — К), то
Я2 (r-	Р) = 4л (і —V) ' (г2 + Л2)3/, (г2 + л2 + 1 — 2v) ’	(Р> а) =	°-
Отсюда и на основании формулы (IX.	6) находим
Ра
’k (Г* ^ 2яг (1 — v) (Л2 + Л2)2
2 1(1 — v)r2 + (2 — v)h2} —
_h24=_g— a.i(ra+h2) (i - 2v) 4- зh2\ у4^; x
a2 + hl	a	*	rl + h*
X arctg	-J-	У +	+ Vr2	— a2q.2(r,	p).	(IX.8)
H ь.	Ііанасюк	209

Согласно формулам (IX.2) —(IX.4) напряжение	(г, р, 0) выра-,
жается через искомое давление q(r, Р) так:
О0) (r, р, 0) =	,	1	fJ Jg=gl<PL-°?P^L (г з, а)> (IX.9)
2	я2 V г2 — a2 (AS) r + Р — 2гр cos (а — Р) v	v	'
где область AS показана на рис. 80.
На основании формул (IX.2), (IX.5) и (IX.9) формулу для
определения напряжения о2 (г, р, 0) при г^> а можно предста¬
вить в следующем виде:
гг (г ft m —	1	L/r а\ і JL ff / Q2 — p2 g (p, a) pdpda }
z ( » P> ) Y r2	a2 j *	я2	r2	+ P2 — 2rp cos (a — P) j *
(IX.10)
где
r > a\ R0 (P) < p < a; 0 < a; p < 2л.
Окружность радиусом a, описанная около контура L0 (см. рис. 80),
расположена в области упругого материала. Следовательно, на¬
пряжения о2 (г, р, 0), определенные по формуле (IX.10), на контуре
г = а должны быть непрерывны. Из этой формулы следует, что
необходимым условием непрерывности напряжения о2 (г, р, 0)
при г = а является равенство
„Х.П,
(AS)
Равенство (IX.11) представляет собой интегральное уравнение
для определения давления g (г, Р) или напряжений о2 (г, р, 0) =
= —g (г, Р) в области AS.
Такой подход к определению давления под основанием плоского
штампа, расположенного на упругом полупространстве и имеюшего
в плане форму, близкую к круговой, впервые предложен М. Я. Лео¬
новым, в дальнейшем он использован при решении некоторых
контактных задач теории упругости [68, 691.
3.	Некоторые допущения и преобразования
исходного уравнения
Для трещин, имеющих в плане форму, близкую к круговой
(см. рис. 80), искомое напряжение по аналогии с формулой (IX.5)
представим в таком виде:
£(r,p) = —(а> г >Я0(Р); 0 < р < 2я), (IX. 12)
Кг*-ярр)
где функция ср (г, Р) пока неизвестна.
210

Предположим, что ф (r, Р) — функция регулярная и, следова¬
тельно, ее можно разложить в ряд по степеням (г —а) в окрест¬
ности точек г = а. Это возможно, если уравнение контура L0 рас¬
сматриваемой трещины не имеет особых точек. В дальнейшем при¬
мем, что сделанные нами предположения относительно функции
ф(г, Р) выполняются. В таком случае уравнение (IX.И) можно за¬
писать так:
2л a
<р (р, a) pdpda
г|)(а, р) =	^ lim \ (	~\[	—	-
я —очі) V
■ R*(a) r<t + Р2 - 2rP cos (« — Р) ’
(IX. 13)
где г > а.
Преобразуем уравнение (IX. 13) аналогично тому, как это сде¬
лано в работе [69]. С этой целью разложим функциюф (г, Р) в ряд
по степеням (г —а) в окрестности точек г — а. Ограничиваясь в
таком разложении только первыми двумя слагаемыми, получаем
Ф (г, р) ^ ф (а, Р) + (г — а) ф; (а, р).	(IX. 14)
Подставив это выражение в уравнение (IX. 13), найдем
2л а
^(а, р) = — lim \ і л/ ———х
[ф (а, а) + (Р — а) ф' (а. «)] pdpda	jg.
^ г2 + р2 — 2rp cos (a — Р)
Так как а —р < е*, где е* = шахе(Р), можно прийти к выво¬
ду, что уравнение (IX. 15) отличается от уравнения (IX. 13) на малые
величины —порядка j2. Кроме того, заметим, что с такой же
точностью можно записать
е(р)
Р2-Я„г(р)
1 +
4 а
У Р — /?о (Р)
Следовательно, уравнение (IX. 13) для определения функций
Ф (a, Р) и ф' (а, Р) можно представить с точностью до включитель¬
но в таком виде:
2л
^ (а, Р) = — -L- lim ( ц (а) (ф (а, а) /0 (г, а, К) + ф^ (а, а) х
г-+а а
X Mr, а, Я,)} da,	(IX.	16)
14*	211

где
..	t , 8 (®) .	1 _ а —Р .
ц (а) = I +	.	X - —2— >
f0(r, а, Х)= J
pdp
Ro(a) г* + Р2 — 2ф cos (а — Р) ’
/	„ 1ч	f 1 / а — Р	р(р —a)dp
/, (Г, а, X) = j	у — ■ -дг^)-
Л,(а)
а
Яо(оО
■ 2гр cos (а — Р)
(IX.17)
(IX.18)
Если в выражениях (IX.18) ввести переменную интегрирования
ґ2 =
а — р
Р-Яо («)’
то после несложных преобразований получим
I	(г а	ЛЛ - -\R (а\ - аі	Т	<21* + <Ч> («))<"
/0(г, а,	Л)—	,/<0(а)	а	|	j	м
—оо
I	tr а ЛЛ-_Г/?	<4[о+^о(а)М/
/і (г, а,	Л)—	1к0(а)	а\	J	+ ру (At* + Bt2 + С)
(IX. 19)
где
А = г2 + Я2 (а) — 2г/?0 (а) cos 2А,;
В = 2R0 (а) (а — г cos 2А.) + 2г (г — a cos 2А,);
С = С (г, А,) = г2 + а2 — 2га cos 2Я.
(IX.20)
Интегралы (IX. 19) могут быть вычислены на основе теории вы¬
четов [156]. Тогда
/„ (г, а, к) = — я 1 —
e(g)fl0(q) + %(r, Х) + У С (г, X) X (г, к) \
V2Х (г, X)V Ус (Г, X) X (г. X) + R0 (a) D, (X) + rDt(X)l’
(IX.21)
/і (г, а, Я) = я
є (а) -f- 2 (а — 2г cos 2Д.)
+
2rDL (Я) [2/?0 (а) cos 2Я — г] — Я0 (а) (а2 — /•*) +
	+ (2r cos 2Х — а) V С (г, X) X (г, А.)
У2Х(г, X) Vv С(г,Х)Х (Г, X) + R0 (а) Z)j (X) + rD2 (X)
где параметр С (г, к) определяют по формуле (IX.20);
X (г, к) = RI (ос) + г2 — 2rR0 (а) cos 2к;
D1 (к) = а — г cos 2А,; D2 (А,) = г — a cos 2А,.
212
(IX.22)
(IX.23)

Выделяя в этих выражениях только члены, содержащие е (а)
и е2(а), получаем
При г = а интегралы (IX.21) и (IX.22) можно представить
в таком виде:
где значения /0(а, а, Х)у 1Х (а, а, Я) определяют по формулам
Заметим, что функция U (ау а, X) непрерывна в интервалах
О< а<Р—2т)! иР +2лі<а<2я, где г\1— малая величина. В этих
интервалах функции /0(ау а, X) и 11(ау а, А,) можно разложить
в ряд по степеням є (а). Пренебрегая в таком разложении членами,
порядок малости которых больше є (а), согласно (IX.24) и (IX.25),
получим
В интервале Р —2т]1с а С р -f- 2цг такое разложение функций
/0(а, а, Я) и IL(a, а, Л,) невозможно.
(IX.24)
/,(г, а, Я):^	^
ае2 (а)
(IX.25)
8 а2 -[ г1 — 2га cos 2/. ’
/0 (а, а, Я) = — я х
X
Iі
Кд [д —	(g)	+	4/?„	(а)	sin2	Х	+	2	У%	(д,	Я)	sin2	X]	|	.
в (2 sin2 X [2/?0 (а) — а — 4Я0 (а) sin2 А,] +
+ (1 — 4 sin2 A.) Yt (а, X) sin2 X
(IX.27)
V X(a, X)V Vt (о, X) sin2 X + [Я0 (а) + a] sin2 X j ’
где
X (а, Я) = \R0 (а) — а]2 4- 4aR0 (a) sin2 Я.
Введем теперь в рассмотрение функцию
(У(а, а, Я) = -^ 1 +	|ф(а,	а)/0(а, а, Я) +
+ Ф'(а, а)/, (а, а, Я)),
(IX.28)
(IX.26) и (IX.27).
{а' а' l) = SalSr + 0 <8-);	71	<а’	а>	*)	=	0	(«*)■	(IX.29)
213

Параметр г]1 определяем таким образом, чтобы функции
/0(а, а, X) и 1Х (а, а, Я,) при а = р ± 2т)! с точностью до величины
порядка є (а) удовлетворяли следующим равенствам:
/<> (а. р. ± Лі) =
ле (Р)
8а sin2 %
; Л (а, Р, ±Лі) = 0.	(ІХ.30)
Ha основании формул (IX.26) и (IX.27) можно убедиться, что
равенства (IX.30) с указанной точностью выполняются [691, если
Лі
v/£i
(а)
(IX.31)
Пользуясь выражениями (IX.28), (IX.29) и (IX.31), уравнение
(IX.16) с точностью до включительно можно записать в таком
виде:
Р—2л.	2Я
+ j U(а, а, К) da X = (а — (5)1
р-2л.	L	J
(IX.32)
Поскольку r]t—малая величина, то, не нарушая точности урав¬
нения (IX.32), интеграл от функции U (а, а, А,), входящий в это
уравнение, можно записать так:
f и (a, a, Я) da =	[ф (а, р) + ац>'г (а, р)] +
Р-2Ц.
1 +
е(Р)
4 а
(Ф(а. Р)ПЫ + аф>. Р)^)). (IX.33)
Здесь
= 2 j, - ] {е (а) + ^,(^к±2/1Ца. X) sin2 ХЫХ . (1ХМ)
S	/X (а. Л) Vk X (а, X) sin2 X + [Я0 (а) + а] sin2 X
{2 sin2 X |2/?0 (а) — а — 4/?0 (а) sin2 А.] +
Т, (г,,) =4 Va \	+	(1	—	4	sin2	X) |/ X (а, X)sin2X),a	?
б	КХ (а. X) V V'X- (а. Я) sin2 X + \Ra (а) + а] sin2 X
где
X (а, Я) = е2 (а) + 4aR0 (а) sin- Я; Я = (а — 0).
214

Если учесть, что функции є (а) и ф (а, а) имеют период 2 я по пе¬
ременной а, то легко показать, что с точностью до є* включительно,
справедливо тэкое равенство:
{ 3—2г||	2л	)
1 Г в (а) ф (а, ос)	е(а)	ф	(a	a)J	=
8яa	J sin2 к	J	sin2	к
I	0	Р+2тіі	)
(2л
f d I ./ ч /	41	^а— Р
4ла |J ^-1е(а)ф(а, а)]ctgda-
\ о
Р+2Л.
- 1 -ж[е (а) у(fl> ст)] ctg da +6 ф) LviL • і • (ІХ36)
0—2г|,	)
Функции є (а) иф(а, а) регулярны, а г|1—малая величина, ко¬
торая определяется равенством (IX.31), поэтому можно показать,
что
Р+2Л,
1	1е(а)ф(а-	a)]ctg^-^-da =	(IX.37)
Р—2г|і
Таким образом, на основании формул (IX.33), (IX.36) и (IX.37)
уравнение (IX.32) с точностью до величины порядка включи¬
тельно можно представить в следующем виде:
2л
Р) = “4Й5'І ~Ж [є (a) ф (a’	da	+
U
	И'+^Ь'И* &т<Мі) +а'КІЛ (I)Г, Ы1, (IX.38)
где функции Т0(цг) и ГЛлі) определяют по формулам (IX.34) и
(IX.35).
Поскольку уравнение (IX.38) строится с точностью до малых
величин порядка включительно, то целесообразно с такой же
точностью вычислить функционалы Го(Лі) и ТМЛіЬ которые пред¬
ставлены формулами (IX.34) и (IX.35). Имея это в виду, рассмотрим
следующие интегр алы:
и	Г Iе + 4 (а — е) sin2 к -|- 2 Y sin2 к [е2 -f- 4a (а — е) sin2 Я]} dk

где
Э0 (^) = V& + 4а (а — е) sin2 X; є = є (а).
Если вычислены интегралы (IX.39) и (IX.40), значение функций
Го(Лі)и ГіОіі) находим по формулам
Го Ы = 2]/а{ял%)-НтЯ0(Я)|;	(ІХ.41)
т, (Лі) = 4 1Га (Я, (Г,,) - lim Я, (Я)} •	(IX.42)
Для вычисления интегралов (IX.39) и (IX.40) вводим новую пе¬
ременную интегрирования
*= і/К e, + 4g(a-*>.f»	или tg Я = 4 -У- - V-- (IX.43)
У	sin я	&	Xа — (2а — к)2
Тогда интеграл Н0(Х) можно представить в следующем виде
я8 + 4едсв — 2 (4а2 *— 12ае + 7Є2) х4 +
Яп Ж - — 2 1/2 Г	+ 4е (2а - е)»х» + (2а - е)<|	 ,
по W	^	^ (2a_g + ^ [л.8 _ 2 (4а2 _ 4ае _ е2)	+ (2а — е)«1
Я.! (х) = Я0 (arctg ^_^_е)2 ).	(IX.44)
Разложив подынтегральную функцию в равенстве (IX.44) на
элементарные дроби, после вычисления интегралов от каждого
сл агаемого, н айдем
Но (х) = 2 У*1 (	1	.	.	arctg
X
\ У 2а — е	У 2а — є
_!_ ягсі0 /2 (VI + У~г)х	1_	.	У2(УЇ-У—Є)Х
У2~а g	(2а-е)-х*	у2а	8	(2а	- в) - *2
Переходя в этом выражении к переменной X в соответствии с
формулой (IX.43), получаем
cos X
sin я
_J		.	V	2	[Э0	(Л.)	+	g	COS	Я]	(У	а	+	У	а	—	в)Д	sin	Я
|/2а	—	е)	sin	Я	—	є	cos	Я	—	Э0	(Я)
1	nrrtr ^2 [Э°	+ е cos Я] (/а — ]/ а — е)2 sin Я | /iv дел
УЧГа	(2а	—	е)	sin	Я	—	є	cos	Я	—	Э0	(Я)	j	•
216

Аналогично предыдущему, заменив переменную интегрирования
в выражении (ІХ.40) по формуле (ІХ.43), найдем
[х* — 2 (4а2 — 4ае — е2) х* + (2а — е)4] X
Г 	X [х« + 4 (а - 28) х2 + (2а	- е)2]
я 1 W — — 4	Г ^ 8 J [(2а _ е) -I- X-] 1лг» — 2 (4а2 — 4ае-е2)	х4 + (2а-е)4]2
	16е2 [х* +4 (а - е) ж2 + (2а - е)2]х4	1	« .
[(2а —	е) + хЦ [х« — 2 (4а2 — 4ае — е2) х4 + (2а —	е)4]2	/
Разлагая в этом выражении подынтегральную функцию на про¬
стейшие множители, получаем следующее выражение:
//Г (X)	2/2 j;
dx	,	2a	К2a (a — е) + (2a2 — є2)	^
x2 + (2a — є) '	2a /2a (a — e)
ХІІтт^. -,+ L -.*.-^1 +
x2 + mx -j • (2a — e) Jx2 — mx 4- (2a — e) j
4_ 2a V a (a — e) — (2a2 — e2) | (*	dx	u (*	dx	} _^
2a /2a (a — e)	j Jx2 +лх4-(2a —e) "'j x2 — nx+ (2a — e) j
e2 (a 4- К о (a — e)) f (*	xdx
If
ma ]/^2a (a — e)
[x2 -f mx + (2a — e)]2
Xdx	]	e2	(a	—	]/	a	(a	—	e)) w
+
~ j |x2 - mx 4- (2a — e)]2 j	na y2a (a — e)
X { I [x2 + nx J- (2a — e)]2 J [x2 — nx 4- (2a — e)J2 ) ’	(IX-46)
= V 2(2a — є) — 4 Ya (a — є); n = V 2 (2a — є) + 4 у'я (a — 8)-
Вычисляя интегралы, входящие в выражение (IX.46), и выполняя
несложные преобразования, находим
и* / \	2	|/2	.	х	,
Ні (л:) =	arctg—= +
'	У 2а-е	6 У2а-є ^
где
т
1
2	а У а (а-е) -f (2а2 — е2)	2є2	(а	+	У	а	(а	—	е))	1	х
п	п3
а У 2а (а — е)
V arete пх -I-	1	[ 2а \ а (а е) (2а2	е2)
(2а — в) — х2 а у 2а(а — е) L	m
2е2(а-/а(а-е)) 1	■	тх
+	m3	J	агс1ё(2а—е) —л2
е У~2 х [(2а - е) - х2) [х4 4- 4ах2 4- (2а — е)2) /IX 47)
а ' х* — 2 (4а2 — 4ае — е2) х4 + (2а — е)4	’	*	'
где значения х определяют равенством (IX.43); е = е(а).
217

С помощью соотношений (IX.41), (IX.42), (IX.45) и (IX.47)
можно получить явные выражения функций Г0(Лі) и 7\ (Лі) от пара¬
метра Разлагая затем функции ГоСПі) и (Лі) в РЯД п0 степеням
г]1 и сохраняя только члены с % и т]2, получаем
т0 (Лі) = л (1 — Л?) + 2t1j + 0 (щз);
Ті (Лі) = 4Лі — 2яЛ? + о (л?)-
В дальнейшем выражения (IX.48) будут использованы для окон¬
чательного преобразования уравнения (IX.38).
4.	Интегральное уравнение задачи и метод
его решения
На основании формул (IX.31) и (IX.48) уравнение (IX.38) после
несложных преобразований можно представить с точностью до -^L
в следующем виде:
i|>(a, р) = —<р(а, р)+ -у-е(Р)(а, р) +
2л
+ -ш J «Р“)1 ct6 ^r-da- (1Х-49)
о
Уравнение (IX.49) представляет собой интегродифференциальное
сингулярное уравнение относительно функции ф (а, Р). Это и есть
искомое приближенное уравнение рассматриваемой задачи об опре¬
делении напряжений а2 (г, р, 0) в окрестности контура трещины;
оно аналогично уравнению, полученному в работе [69] для опре¬
деления контактных напряжений под основанием плоского штампа,
имеющего в плане форму, близкую к круговой.
При выводе уравнения (IX.49) мы пренебрегли величинами, по¬
рядок малости которых выше ■ Поэтому решение этого урав¬
нения тоже целесообразно искать с такой же степенью точности.
Это решение легко построить, использовав метод последовательных
приближений. Для этого уравнение (IX.49) запишем в виде
Ф(а, Р) = —г|з(а, Р) + ^-е(Р)ф;(а, Р) +
2л
+ Т5г/-ггI'(“)»<“'	№50)
По условиям задачи предполагается, что функции е(Р) и ф(г, Р)
регулярные в интервале [0 < Р < 2я]. Поэтому с точностью до
величины порядка е(Р) из уравнения (IX.50) получим
Фо(а, Р) = — 4>(а, р).	(IX.51)
(IX.48)
218

Поскольку радиус а окружности, описанный около контура L0
трещины, выбран произвольно, в частности, он может изменяться
в некотором малом интервале (а + Да), где Да > О, то для всех
значений г, близких к г = а, с точностью до малых величин порядка
е(Р) будет выполняться равенство
Фо (Г, Р) = — If (r- Р); ь (а. Р) = — ^ (я. Р)-	(IX.52)
Принимая равенства (IX.51) и (IX.52) за нулевые приближения
функции соответственно ф(а, р) и ф'г(а, р) и подставляя эти выра¬
жения в правую часть уравнения (IX.50), получаем
Ф (а, Р) = — t (а, Р) — -у- є (Р) Цр'г (а, Р) —
2л
—	~ШГ J ~Ж[е (а) У(а> a)I ctg da■	(IX.53)
Эта формула определяет функцию ф(а, р) с точностью до малых
величин порядка ~ включительно, т. е. дает решение уравнения
(IX.49) с необходимой точностью.
5.	Основные формулы для определения раз¬
рывающих напряжений и предельной на¬
грузки
В соответствии с формулами (IX.2) и (IX.12) нормальные напряжения
o2(r р, 0) в области AS (см. рис. 80) выражаются равенством
а, (г, р, 0) = —g(r, р) -ф(г’ Р) =г,	(IX.54)
Vr*-Rl®)
где/?0(Р) —радиус-вектор контура рассматриваемой трещины в
полярной системе координат, 0 < Р < 2я, #0(р) < г < а.
На основании формул (IX.14) и (IX.53) функцию ф(г, Р) при¬
ближенно (с точностью до	включительно) можно представить так:
—<р(г, Р) = 1|>(а, Р) +	є (Р)	(а,	р) + (Г — я)^(а, Р) +
2л
+	“ST	[є	(а)	V(а’ «)]ctg-^jp^da,	(IX.55)
где функцию tp(r, Р) определяют по формуле (IX.6).
Таким образом, на основании равенств (IX.54) и (IX.55) с точ¬
ностью до включительно получим следующую формулу для
219

определения напряжений области AS:
ог (г, Р, 0) =
1	j	г|>	(а,	Р)	+	-y	є	(Р)	\|з'	(а,	Р)	+
Vr*-RK$) \
+ (г — а) (а, Р) +	^	|е (a) i|> (a, a)] ctg -Ц-2 dctj,	(IX.56)
где Я0(Р) < г < а; 0 < Р < 2л;
функцию г|? (г, Р) определяют по
формуле (IX.6).
Следовательно, для заданной
внешней нагрузки Q, приложен¬
ной к хрупкому телу с макротре¬
щиной, близкой в плане к круговой
(см. рис. 79 и 80), при /?0(Р) < г<
<а напряжения а7(г, р, 0) опре¬
деляют по формуле (IX.56), а при
г > а —поформулам (IX.2), (IX.5)
и (IX.9).
Перейдем к составлению усло¬
вий для определения предельной
нагрузки для трещины, имеющей
в плане форму, близкую к круго¬
вой. С этой целью рассмотрим некоторую точку At на контуре тре¬
щины (рис. 81), где /?0 (Р«) —радиус-вектор этой точки.
Если в точке А і провести нормаль AtN к контуру трещины,
то расстояние st = AtNt между точкой At и точкой нормали N( выра¬
жается таким равенством:
St = Si (ДР) = п + К* (ft) - 2R0 (ft) г, cos Д?.
Здесь
Г і = Г (ft + ДР) =
где
Ro (Р/) Я0(М
х'% (р/) cos (Рі + Др) -і- у'0 (р,) sin (Р, 4- Др) ’
(IX.57)
(IX.58)
*о (ft) =» Ro (P/) cos Р/; y0 (P.-) - Ro (P/) sin ft.	(IX.58a)
Напряжения в точке Л/,, согласно выражению (IX.56), выража¬
ются формулой
<J2 (n, Р/ + др, 0) = ш/.	...	Ь	(а>	Р<	+	Ар)	+
V	Г\- RI (Рі + Ар)
+ -J- г (р, 4- Др) t|?; (а, р, + ДР) + (г, - а) $'г (а, р, + Ар) +
2	Л	\
+ ~4яа і ~Ж1е ♦ (а> a)1 Ctg У"" d<Xj ■	(1Х-59)
220

Подставляя выражения (IX.57) — (IX.59) в уравнение (VI 1.32)
и замечая (см. рис. 81), что стремление функции s, к нулю равно¬
сильно ДР, -> 0. получаем
lim (Д^—	U. (а, Р,- + ЛР) + 4- є (Р, + ДР) X
дР-° V	+
X Р, + ДР) + (г, — а) г|э;г (а, р, + Др) + X
+ Ар - а ,„\ ...
X І-Ie (а) % (а, а)| ctg --f-	da = К.
J da	2	I
Осуществляя в этом равенстве предельный переход при Др 0
и принимая во внимание равенство #0(Р/) —а — —е(Р/)> окон¬
чательно находим
V 2^0 (pi) l^*(a’	+
2л	\
+ 'Ш' і е (сс) У* (a’ a)1 ctg ^~т~ daj =	(IX.60)
где % (a, Р) обозначает функцию aj?(a, Р), представленную формулой
(IX.6), при внешней нагрузке Q = Q[°.
Уравнение (IX.60) является основным уравнением для прибли¬
женного определения (с точностью до включительно) величины
предельной нагрузки для точки #0(Р/) контура плоской изолиро¬
ванной трещины, имеющей в плане форму, близкую к круговой
(рис. 82).
6.	Случай плоской трещины, имеющей в пла¬
не форму эллипса
Рассмотрим пример, когда в хрупком изотропном теле имеется эл¬
липтическая в плане изолированная трещина и тело на бесконеч¬
ности растягивается напряжениями о2 (г, р, со) = р (см. рис. 76),
направленными перпендикулярно к плоскости трещины. Опре¬
делим величину предельных напряжений р = р* для точек
меньшей и большей осей эллипса. Кроме того, сопоставим значе¬
ния р*, вычисленные на основе развитого в настоящей главе
приближенного метода, со значениями р*, полученными на основе
точного решения указанной задачи [см. формулы (VI11.44)
и (VII1.45) ].
Для рассматриваемого примера уравнение контура трещины
(см. рис. 76) в полярной системе координат запишется так:
/?,(P)=-=L=^;	=	(IX.61)
у i_*2COS2p	a*	v	'
где а и Ъ — большая и меньшая полуоси эллипса.
221

В соответствии с формулой (IX. 1) имеем
<1Х-62)
где а —радиус окружности, описанной около контура трещины.
Подставив выражение (IX.62) в равенство (IX.60), получим
-р=|^ (♦.(*&>-4-..»)♦>,&>+
2Л	\
+ -4S5-J	a)]ctgSt=^daJ = /C.	(IX.63)
Для внешней нагрузки ог(г, р, оо) = р функция т|) (г, Р) опреде¬
ляется формулой (IX.7), пользуясь которой, находим
Ъ (а, Р) =	^	(а,	Р)	=	■	(1Х.63а)
Подставляя эти значения в равенство (IX.63) и выполняя неко¬
торые преобразования, получаем
2^)	IП /о\ I ЬЬ2 Г cos a sin a	p __ a , 1	„
	4(P)+T^	.-rrct&JL9-da\	=	K-
V	2/?э(Р) рэчг/ 1 4я J у (1 — k2 cos2 a)3	6	2
Отсюда
niP) = - к V 2Rs ^		(IX	64)
P 2{R3 (P) + /(P)] ’
где
2л
//Q\	f	cos a sin a , P —a ,	/ТУ
7r=FSrctg-V‘,a- ,1X'65)
Интеграл (IX.65) можно выразить через полные эллиптические
интегралы
/<В = -£-{*<*>- ->1^ ~	*>)• <1х65а>
где п = — Cos2'р~; ^	и П (п, k) —обычные обозначения
полных эллиптических интегралов соответственно первого, второго
и третьего рода.
Здесь
Л/2	Я/2
K(k)= f —r=M=\ E(k)= f к 1-А2 Sin2 a da;
$ Vl— fc2sin2a	Й*
Я/2
П (n, k) = ( 	.—	;	k2	=	a2~/2	,
0J (l + /isin2a)/ 1 — £2sin2a	a2
где
— _ 1
Л	COS2	p
222

Поскольку решение задачи состоит в нахождении значений пре¬
дельной нагрузки для точек меньшей и большей осей эллипса, то не¬
обходимо вычислить значение интеграла / (Р) при Р = 0 и Р = ~ .
В этом случае на основании формулы (IX.65) будем иметь
2	Я
/(п> =	*£	f	sin2a
4я(1-Л*) J J/'l-ftWu
da =
£*<*>];	(IX.66)
г ( Я \ 	 Ь/г2 j* COS
J\~27““4JTJ yr^
cos2 ada
• k2 cos2 a
= JL [/((*) _£(*)].
Согласно выражениям (IX.64)»
(IX.65а) и (IX 66) получаем
Р*
(0)
^ /С (k) - я (/г)
(IX.67)
(-т)~
яа*
1п+К(к)-Е(к)'
(IX.68)
где
а,
=	*	= ]/ я£У
У2Ї V 2(1 — v^)а
(П
Значения ^(()) и Рх \ * /, вычисленные на основе точного решения
этой задачи (см. гл. VIII), выражаются формулами
р*
(0) -
2а*
Е (k); />*
h=E(k).
(IX.69)
Я*.	'	”	™	«уТ,"
Для сопоставления решений (IX.67)—(IX.69) на рис. 82 по¬
строены графики изменения значений в зависимости от соотно¬
шений между полуосями (b/а) эллиптической трещины, где сплош¬
ные линии (7 и 2) соответствуют формулам (IX.69), а пунктирные —
формулам (IX.67) и (IX.68). Значения — , полученные на ос-
нове приближенных формул (IX.67) и (IX.68), хорошо согласуются
со значениями — , рассчитанными по формулам (IX.69) для всех
ъ	°к
значений — > 0,5.
а	*
ТА

Таким образом, рассмотренный пример показывает, что изло¬
женный выше метод может быть использован для приближенного
определения предельной нагрузки для случаев, когда область, занятая
трещиной и не очень близкая к круговой, т. е. величина є* соиз¬
мерима с радиусом а описанной
окружности.
Перейдем к рассмотрению слу¬
чая, когда хрупкое тело, содержа¬
щее внутреннюю трещину, эллип¬
тическую в плане, растягивается
двумя сосредоточенными силами Р
(рис. 83), приложенными (сим¬
метрично относительно плоскости
трещины) в точках (О, О, +Л),
(О, О,—Л). Определим величину
силы Р = Р*, по достижении ко¬
торой, точки, лежащие на меньшей
оси контура трещины, приходят
в состояние подвижного равно¬
весия.
Для такой задачи функция ^ (г, Р)
определяется выражением (IX.8),
на основании которого имеем
(а, Р) =
Л*
л2 (1 — у) а
1 — v
4-м2	(1	+	л2)2
Р [2(2 — у) п* — 6м2	2(1	—	у)]
2 1“’	“	Я2Д2	(1	—	у)	(1	+	М2)3
(IX.70)
где п2 =
hL
а2
Пользуясь далее формулами (IX.62) и (IX.63), для определения
величины предельной нагрузки Р = Р* получаем
р(р) К V2R3 (Р)
Л (р)
(IX.71)
Здесь
Л (Р) = л |г|)0	y [а — R3 (Р)] я|>' +	/	(Р)|,
Р% = г|з2 (а, Р); Рг|/ = г|з' (а, р);
величину /(Р) определяют по формуле (IX.65).
Для точек, расположенных на меньшем диаметре эллиптической
трещины имеем р = -у . В этом случае интеграл / (Р) вычисляется
по формуле (IX.66). Следовательно, на основании зависимостей
224

(ІХ.61), (ІХ.66) и (IX.70), функцию Л(р) при р = ". МОЖно пред-
ставить в таком виде:
л (-f) =я ^[К - Е (*)] - -г<1 -*«ч} •
Подставив это выражение в равенство (IX.71), найдем
-£-<*•*■*■>- —г-*.		■
*	А	(V,	п)	{1	+	[К	(k)	-	Е (fc)jj - (1 - к,) В (V, п)
(IX.72)
где
Pk = nKV№; = n =	&=l-kl;
М.. „Ч	(1—V)(l + n2) + n2 .	,,	і/ пЕу .
л (*.«) =	(Гм¥	’ к	к т^г;
П)	(1	+	м2)3
К (k) и Е (k) — полные эллиптические интегралы соответственно
первого и второго рода.
На рис. 84 построены графики изменения функции G(v, л, kj)
при v = 0,3 для некоторых значений параметра kx в зависимости
от отношения и, = —, где kt = k'.
а
Когда т. е. если неограниченное хрупкое тело ослаблено
плоской трещиной, имеющей в плане форму круга радиусом а
(см. рис. 76) при а = 6, из формулы (IX.72) находим
n + /TV7Q4
-	(1 — v) (1 4-Л2) +П2	•	11Л.М)
Эта формула другим путем установлена в работе [5].
Рассмотрим неограниченное хрупкое тело, ослабленное внутрен¬
ней изолированной трещиной, имеющей в плане (плоскость z = 0,
рис. 85) форму круга радиусом г0 с центром в точке О,. Пусть такое
тело растягивается двумя равными сосредоточенными силами Я,
линия действия которых проходит через некоторую точку О, от¬
стоящую от центра трещины на расстоянии 6, = 0,0. Введем си¬
стему декартовых координат Oxyz\ при этом начало координат сов¬
падает с точкой О, а ось х включает отрезок OvO. Примем, что силы
Р приложены к телу в точках с координатами (0, 0, h) и (0, 0, —Л).
Определим предельное (критическое) значение сил Р = Р*.
Для приближенного решения этой задачи поступим следующим
образом. Проведем в плоскости хОу окружность радиусом а = г0
4- с центром в точке О и будем считать контур трещины L0
близким к окружности радиусом а. В полярной системе координат
15 В. Панасюк
225

с центром в точке О уравнение контура L0 рассматриваемой трещины
можно записать так:
Ro (Р) = tf(P) = V г\ - 6? sin2 6 — 6, cos р, (IX.74)
где Р —полярный угол (рис. 85).
Тогда согласно равенству (IX.74)
имеем
Єі(р) = а —#(Р) = а —
—	\ r\ — 6* sin2 р + 6j cos Р;
6f sin R cos В
е1(Р) = 1/-	 — 6iSinP
V ^_62Sin2p
(a = r0 + 6,).	(IX.75)
Функции (a, P) и \|?' (a, P) для рас¬
сматриваемой задачи представлены фор¬
мулами (IX.70).
Подставляя выражения (IX.70) и
(IX.75) в уравнение (IX.60), получаем
формулу
К V 2R (В)
—	г1	 	г .	(IX.76)
Я {^0 —	(Р)	ti + Vi(P)|
/>* = Р* (Р) =
где
% =
1
I 1 — V
я2 (1 — v) а [ 1 + п‘
- +
л
(1 + л2)2 J ’
(ІХ.77)
2 (2 — v) л4 — 6л2 — 2 (1 — v)
л2а2 (1 —V) (1 + л2)з
(-#
/. (Р) =
sin a cos а
4яаг° о 1 — sin2 а
6?
2 2Я
М-
агл J і
б!
2л
ctg doc —
j* sin a ctg ^ 2 а da
4я А
о
(IX.78)
Первый интеграл в равенстве (IX.78) выражается через комби¬
нацию полных эллиптических интегралов первого, второго и третье-
226

го рода, а второй интеграл вычисляется элементарно. В частности,
при Р = О найдем
Пользуясь этим равенством, формулу (IX.76) для точки А кон¬
тура L0 (рис. 85) можно преобразовать к виду
где значения ^0, ^ и /ДО) определяют по формулам (IX.77) и (IX.79),
Пусть бесконечно длинная балка с поперечным сечением 2Л0 X 2d()
изгибается постоянными изгибающими моментами М (рис. 86
и 87). Отнесем балку к прямоугольной системе декартовых коорди¬
нат Охуг и примем, что ось z совпадает с осью балки, координатные
оси х и у параллельны ее боковым граням, а изгибающие моменты М
действуют в плоскостях, параллельных плоскости х = 0. Пусть
в балке в зоне растягивающих напряжений в плоскости z = 0
имеется эллиптическая трещина. Для этой задачи необходимо
определить предельное значение изгибающих моментов М --- М*.
Для упрощения вычислений примем, что эллиптическая трещина
ориентирована так, как это показано на рис. 87. В таком случае
уравнение контура рассматриваемой трещины имеет вид
где а и b —большая и меньшая полуоси трещины, которые малы по
сравнению с размерами Л0, d() поперечного сечения балки.
Кроме того, обозначим через с расстояние центра трещины от
плоскости у = 0, полагая, что с > а.
Чтобы решить сформулированную задачу, аналогично преды¬
дущим примерам, опишем около трещины в плоскости z = 0
окружность радиусом а и вычислим функции еэ (Р), %(а, Р), \^*(а, р).
В данном случае функцию еэ (Р) рассчитывают по формуле (IX.62),
а чтобы определить функции г|^(а, Р) и (а, Р) заметим, что для
рассматриваемой задачи упругие напряжения а2(г, р, 0) — q (г, Р)
в балке без трещины выражаются формулой
Л (0) =	К:I - X) К ш - Е (%)] + А..	(IX.79).
К V2 (rB - 6t)
(IX.80)
Я Мо— М>! +г|>оЛ (0)! ’
7.	Чистый изгиб балки с внутренней плос¬
кой трещиной, имеющей в плане форму
эллипса
(IX.81)
М
Я (Г, Р) - у-(rsinp + c),
(IX.82)
15*
227

4 з
где J = y hodft — момент инерции поперечного сечения балки от¬
носительно ОСИ X.
Пользуясь выражением (IX.82) и формулой (IX.6), получим
а 2л
ф(г R) = _iL_ Г f Vа2-Р2 (psina+C)pdpj_a	(	р)
’ Р' я2./ J ^ гг + p2 — 2фcos (a — Р)	к	(1X83)
Для вычисления интегралов, входящих в эту формулу, заметим
(см. формулы (VI.29), что
2л
Г	sin	nada
Пользуясь этими формулами и равенством (IX.83), получим
,1, (г ft\ - 1*1 sinP f V а2 — Р2 P3dP I ^ Г V а2 — Р2 pdp
^1 ’ V> ~~ яУ г J г2 — р2	J	г*	—	р«
I о	г	о	v	.
+
+ Vr2 — a2q(r, р) (r>a).	(IX.84)
Вычислив интегралы, входящие в равенство (IX.84), и осуще¬
ствив необходимые преобразования при г -> а, получим
(а, Р) =	(-§-	а*	sin	Р + ас) * 'С (а> Р) = ^7"(4а sin Р + 2с)’
(IX.85)
После подстановки в уравнение (IX.60) значений еэ (Р), г|з# (а, Р),
i|i'r (a, Р), представленных формулами (IX.62) и (IX.85), получим
следующее выражение для вычисления предельных значений из¬
гибающею момента М = /И*:
М*(Р) =
а; У 2 r3 (р)
Л(Р)
(IX.86)
228

Здесь
Л<Р) = Т-{4 a4 sin Р + ас —(2а sin р + с) (а — ^=====-) +
+ с/ (р) + а Іа/. (Р) - Ь (1 - &) /, (P)l j,	(IX.87)
где
2л
Ш^-srj cosactg-L-^da = 4sinP.‘
2я
/з(р) = і!г[ 	——i7-ctg-^^da.
3VK 4я (1-А* cos* а)'*	2
Входящий в формулу (IX.87) интеграл /, (Р) выражается через
комбинацию полных эллиптических интегралов согласно формуле
/ (Q) - sinP (	—П(пк\\-	I	(—) - Е(к)
1з(Р) - я(1-**С08*р) I 1-А» m	3(	2 ) - я (1-А*)
(обозначения см. на стр. 222).
Вычислим значения Л1* для точки А я| контура рассматривае¬
мой трещины (см. рис. 87). Полагая в равенстве (IX.86), что р =
= -у я, находим
M*(ir)=	’	(IX-88)
(т")
где
л ^ j = 4-{2afc ~ a2 ++ 1Г [сЛ^ № — (c + "Г a)E ^]) •
В том частном случае, когда контур рассматриваемой трещины
(рис. 87) является окружностью радиусом а, т. е. когда а = Ь, из
формулы (IX.88) получим
*•(■*)- ■ "ХЛ)
Пользуясь формулами (IX.88) и (IX.89) в каждом конкретном
случае можно определить предельное значение изгибающего момен¬
та М при чистом изгибе балки с внутренней трещиной, имеющей
в плане (плоскости трещины) форму эллипса или круга.

8.	О разрушающей нагрузке при растяже¬
нии хрупкого тела с плоской трещиной,
близкой по форме к круговой
При исследовании предельного равновесия хрупких теле трещинами
важное значение имеет определение величины разрушающей на¬
грузки, т. е. нагрузки, по достижении которой наступает спонтан¬
ное распространение трещины, приводящее к полному разрушению
тела. Как уже отмечалось, такая нагрузка не всегда совпадает
с предельной.
Ниже по результатам настоящей главы сформулирована задача
о приближенном вычислении разрушающей нагрузки для хруп¬
кого тела с трещиной, имеющей в
плане форму, близкую к круго¬
вой, когда тело подвергнуто одно¬
осному растяжению, перпендику¬
лярно к плоскости трещины [121].
В качестве примера рассмотрена
такая задача для случая эллипти¬
ческой в плане трещины.
Постановка задачи.
Пусть трехмерное хрупкое тело,
ослабленное трещиной SQ (рис. 88),
близкой по форме к круговой,
подвергнуто растяжению внешни¬
ми силами Q, приложенными к
телу симметрично относительно
плоскости расположения трещины
Рис. 88.	и	возрастающими пропорциональ¬
но некоторому параметру X'. Лля
такой задачи требуется определить размеры (форму) трещины для
каждого значения А/> 0, т. е. определить кинетику распростране¬
ния трещины S{) при возрастании этого параметра, а также найти
такое значение параметра к = Хт, по достижении которого распро¬
странение подвижпо-равновесной трещины 5() становится спонтан¬
ным и тело разрушается.
В процессе монотонного увеличения нагрузки Q — X' Q0, при¬
ложенной к рассматриваемому хрупкому телу с плоской трещиной
S0 (см. рис. 88), эта нагрузка при некотором значении парамет¬
ра X' достигает предельной величины X'Q0 Q*. Примем, что для
предельной нагрузки параметр X' =-- 1. При такой нагрузке (Q
~ Q*, *V= 1) хотя бы в одной точке контура L0 (этих точек мо¬
жет быть несколько) наступает предельно-равновесное состояние
трещины и, следовательно, в этих точках выполняется равенство
(IX.60).
На основанин формулы (IX.60), очевидно, можно определить
величину предельной нагрузки Q = Q* для хрупкого тела, ослаб-
230

ленного трещиной S() (см. рис. 88). Однако это лишь первый этап
в решении сформулированной выше задачи. Полное решение за¬
дачи состоит в определении разрушающей нагрузки Q = Q**, т. е.
нагрузки, по достижении которой распространение трещины при¬
водит к полному разрушению тела. Для определения нагрузки Q**
и формы развивающейся трещины S0 при Q* < Q < Q** заметим
следующее.
По достижении внешней нагрузкой Q величины Q* контур L()
начальной трещины S0 в окрестности точек RQ (р,) придет в подвиж¬
но-равновесное состояние и при дальнейшем (даже малом) увели¬
чении нагрузки Q > Q* в окрестности точек R0 (рі) начнет переме¬
щаться в плоскости расположения трещины.
Поставим задачу: определить контур L (пунктирная линия на
рис. 88) подвижно-равновесной трещины S, образовавшейся из тре¬
щины S0 в результате монотонного увеличения нагрузки Q до
величины
Q = Я/Q* при й/> 1.	(IX.90)
Радиус-вектор контура L можно представить в виде
ЖР) = Яо(Р) + МР),	(IX.91)
где гг (Р) — неизвестная непрерывная функция аргумента р и па¬
раметра А/.
Если функция ег (р) будет определена для заданной конфигура¬
ции контура L0 начальной трещины S0 и заданного значения пара¬
метра >/, то задача о контуре L подвижно-равновесной трещины S
будет решена.
Дуги Lj(j = 1, 2, 3...) контура L, не совпадающие с начальным
контуром L0, находятся в состоянии подвижного равновесия при
Q = ^Q*,	где	к	>	1,	поэтому для этих дуг	должно	выполняться
условие	(IX.60),	где функция є (р) для дуг Lj согласно	(IX.91) выра¬
жается так:
є (Р) = а - R (р) = е0 (р) - е, (Р),	(IX.92)
где е0	(р) —известная функция, е0(р) = а —RQ (Р).
Подставляя выражения (IX.91) и (IX.92) в (IX.60), находим урав¬
нение для определения функции ех (р)
рщ====Г (ф* («- Р) — т е« (Р) ^	Р) +
2л
+	Є1 (Р) Ъ'.г Р) + “4НН" і ""На" [е° (а) У* (а’ а)| ctg	da —
О
т 02/
-	-Щ- 21 ~Ж [е1(а) У*(а’ a>J ctg -^daj	= К’ (IX-93)
231

где Рі/ и р2/ — полярные углы, соответствующие начальной и конеч¬
ной точкам дуги Ly, Pi/ < Р <р2/.
На концах подвижно-равновесных участков L/ контура L функ¬
ция (Р) должна удовлетворять условиям, отражающим тот факт,
что для точек дуг Lj(j =1,2, 3...) функция е,(Р) непрерывная
и положительная, а на дугах L —L/, т. е. на участках L, совпа¬
дающих с начальным контуром L0, e^pj^O. Кроме того, дуги Ly-
плавно переходят в контур начальной трещины *. В силу этого,
функция (Р) должна удовлетворять условиям
7	= 1. 2, 3...);
Єї (Pi/) = є
l(P2/) =
Лі (P) 1
dt> j
P=»i / “
ТГ-Ц, = »•	<1Х-94>
Уравнение (IX.60) и, следовательно, уравнение (IX.93) состав-
е (В)
лены с точностью до величин, порядок малости которых —
где а — радиус окружности, описанной около контура трещины S
или S0.
Функция е^Р), подлежащая определению из уравнения (IX.93),
удовлетворяет неравенству 0	(Р)	<	є0 (Р) (см. рис. 88), т. е.
функция такого же порядка малости по сравнению с величиной а,
что и функция є0 (р). Поэтому, не нарушая точности уравнения
(IX.93), его можно упростить, сохранив только линейные члены
относительно Є j (Р) и е0(Р)* После упрощений это уравнение с точ-
Єі (В)
ностью до малых величин ^ можно представить в следующем
виде:
т 02/
/о (а, Р) ®і (Р) — -4^- 2 1Iе 1 (а)	(а> аМ х
Рі/
X Ctg da = h (а, V, Р),	(IX.95)
где
ш Р)=4-(к(в. р)- 2К
я у 2R0 (Р)
= у-{<{а, Р) —	+	0(8le0) |;
К
h (а, К', р) = ^V2R0 (Р) -	{а,	Р)	4-	е0	(Р)	tpl,	(а,	р)	-
2Я
Ш і	^	ctg	da;	(IX.96)
*	Плавность перехода дуг Lj в контур L0 — это требование отсутствия угло¬
вых точек на контуре L.
232

4* (а. Р). я|\г{а, р)—значения функций соответственно г|^(а, Р),
^v(a* Р) при Q = KQ*-
Уравнение (IX.95) —исходное для определения подвижно-рав-
новесной трещины S (см. рис. 88) при монотонном возрастании внеш¬
ней нагрузки .V Q*, когда А/> 1. Решая это уравнение относи¬
тельно функции гх (Р) при заданной конфигурации трещины R0 (Р)
и ^'>1, а затем, удовлетворяя условиям (IX.94), найдем окон¬
чательно функцию ех (р) и зависи¬
мость углов pi,/ и р2,/ от парамет¬
ра >/. Пользуясь далее найденным
выражением ех (р) и равенством
(IX.91), можно проследить за ки¬
нетикой распространения трещи¬
ны, имеющей в плане форму,
близкую к круговой, в процессе
увеличения параметра X' от X'=
= 1 жоХ' = X*, где X* —предель¬
ное (максимальное) значение пара¬
метра 1, при котором суще¬
ствует решение уравнения (IX.95)
и выполняется неравенство
max j/?0 (Р) + Єі (Р)} < а. (ІХ.97)
Если внешняя нагрузка X' Q* представляет собой однородное растя¬
жение на бесконечности и достигает величины X*Qто дальнейшее
распространение рассматриваемой трещины вследствие изложен¬
ного выше становится спонтанным, весь контур трещины становится
подвижно-равновесным и тело разрушается.
Таким образом, в указанном случае величина разрушающей
нагрузки Q = Q** для тела, ослабленного плоской изолированной
трещиной, близкой по форме к круговой, определяется равенством
Q** - К Q*.	(IX.98)
В качестве примера определим величину разрушающей нагруз¬
ки для хрупкого тела с плоской трещиной, имеющей в плане форму
эллипса (рис. 89). Предположим, что такое тело на бесконечности
подвергнуто растяжению монотонно возрастающими напряжения¬
ми Gz (х, у, оо) = Р.
В этом случае (см. гл. VIII) предельное значение внешних на¬
пряжений р = р* определяется формулой
pm = pi» = E(k)^gr,	(IX.99)
Я у b
где k2 = 1	k\; kx = — і а и & — соответственно большая и мень¬
шая полуоси эллиптической трещины; Е (к) — полный эллиптиче¬
ский интеграл второго рода.
16 В. Панаскж.
233

Если внешняя нагрузка р достигает величины Р(в точках,
расположенных на меньшем диаметре эллипса (точки Л на рис. 89),
контур трещины приходит в состояние подвижного равновесия.
Напряжение р по достижении величины p(bJ увеличивается пропор¬
ционально параметру А/, т. е.
р = Х'Р(.Ь) = Х'р^ (%' > 1).	(IX. 100)
Определим для данного случая контур распространяющейся по
сечению тела трещины, когда параметр X' монотонно возрастает,
а также найдем предельное значение этого параметра Х' = X*t по
достижении которого тело с эллиптической трещиной разрушается.
При некотором значении параметра X' = Х\ < К контур движу¬
щейся трещины характеризуется дугами Lx и L2 (см. рис. 89). Фор¬
мулу для определения радиуса-вектора R (Р) контура L можно пред¬
ставить в виде
( *о(Р) + МР) на L, и L2;
(W I Я. (ft	вне і, ні,. <IXI0I>
где
*.(В°*.<|»>-Утгк,.|г	<IXI02>
Пользуясь формулами (IX.92) и (IX.102), находим
е0 (ft) — Q — , Ь	.	(IX. 103)
Y	1 — Лг2 C0S2 p	dp	Y (1 — A;2cos2p)3
Функции гр* (a, P) и (a, P) для рассматриваемого нами вида
внешней нагрузки [ог (х, у, сю) = Xip^\ определяют согласно фор¬
муле (IX. 63а):
% (a, Р) = 2-^~;	(а,	р) =	.	(IX.104)
Подставляя выражения (IX.102)—(IX.104) в уравнение (IX.95),
находим
2
сі (Р)	2jT 2 J г[ (“) ctsda = А (a• ^ > Р)-	(ЇХ.І05)
/=1 Lj
Здесь р — полярный угол точек дуг Lj;
гЧгг\ dei(a) ■
Vа)-—
К Р* 1	'	'	\	К	Е	(*)	у''	1	—	£2	COS2	р
<ІХЛ06)
234

где
2л
у	2Г	sinacosa	■	_P-a
О У (1 — *2cos2p)3 К 2 аа~
= 4{К(*>-	-	-tSSf	п <„, *>) („ _ _.
Для рассматриваемой задачи дуги Lx и L2 симметричны относи¬
тельно полярной оси Ох% поэтому уравнение (IX. 105) можно за¬
писать так:
(Л-Эо	2л-р0
МР) — I e;(a)ctgA=^da + j e[(a) х
I	Ро	Я+Ро
X Ctg da = f, (а, Ц, р),	(IX. 107)
где ро—полярный угол (см. рис. 89), соответствующий началу ду-
ги Lx, р0 < р < я — р0, я + р0 < р < 2я — р0.
Предположим, что эксцентриситет k рассматриваемой трещины
мал, так что величинами, содержащими множитель k2n при п > 2,
будем пренебрегать, так как они значительно меньше единицы. В
таком случае уравнение (IX.107) принимает вид
' Я-Ро
Здесь
е1<Р>-^г( I e;(a)ctg!y^da +
2*-Э.	|
+ j e;(a)ctg-£f^da =В(р).	(IX. 108)
я+Ро	J
B(P) = B0 + B1cos»P,
где
= s‘-f" ,IX-109)
Полагая в уравнении (IX.108), что величины p = -^--fO иа =
= -у + ^1( а также принимая во внимание, что Для рассматривае¬
мого примера функция е,(Р) имеет период я, находим
*.
«і (#1 — j е' [dj ctg (fl — ФО = В0 + Bi sin2 #,	(IX. 110)
Go
где
Єї [Ф] = 6j І-у-	Pj ;	_O0<O<O0.
16*	235

Имея	в	виду построение приближенного решения	уравнения
(IX.110), заменим в этом уравнении переменные А и ft,, полагая
tgOi = t, tgO = *f tg% = x0.	(IX.111)
В результате таких преобразований получаем
Ж*)—^ J	= Во + ~г$:,	(IX.112)
—ЛТ0
где
—х0 < * < х0; g(х) = е1 [arctg х].
Для функции g (*) условия (IX.94) имеют вид
£(±*0) = 0; £(±*о) = 0.	(IX. ИЗ)
Приближенное решение уравнения (IX.112) будем	искать в сле¬
дующем виде [37, 109, 171]:
8(х)'
Для определения коэффициентов с0 и с2 подставим выражение
(IX.114) в левую часть уравнения (IX.112) и примем [109], что
полученное выражение равняется левой части уравнения (IX.114) в
точках х = 0 и х = -1- х0. В результате получим следующую систему
уравнений:
с0Щ (0) + с2т2 (0) = В0;
сото ^4" Xq) + ^ (4” х°) = В* ’	(IX. 115)
где
в- 4 (в . ад У а (х)	У1~Щ2	і
В*~ 4 + ^ [Во+ 4 + *? )'	°{ )	»+*2	**
т (х) =	-	]/l	-і-	(3—	J-V (IX.115a)
2W x2 П -I- x2)	'	xo	\	xZ	2	'	>
+ *2)
Решая эту систему, найдем
* = -%-; *=-%-,	(їх.	ив)
236

где
А, =
Vз До
2 (4 + *§)
Др + 2б2 .
4x„	’
D =
]/3
2 (4 + **)
6 /3 + 4 +		3^
d, = B.A і - 4- — в,
4x0 (4 + xg)
2 /3
4 -b *5
Чтобы функция g(*), представленная формулой (IX.114), удов¬
летворяла граничным условиям (IX.113), необходимо выпол¬
нение равенства с„ + с.г — 0.
между параметрами Я,- и х0.
Согласно выражению (IX.116)
оно имеет вид
0,3
1 —
4 + -*о \	2х°	,+
1
/
/
^-п
г-ч“
~h
/
/
И
»
, _3	3/3
'	/I	v
4*о	2(4	+	4)
+ в1
+
.?	3
Рис. 90.
1-^=0,
2х,
(IX.117)
(4 + *j)*
где параметры В0 и В1 представлены формулами (IX. 109).
На основании соотношений (IX.109) и (IX.117) с точностью до
величин порядка 0(&4) находим
Я! = 1 + 0,2562Я; (л:0) + 0 (/г4),	(IX.	118)
где
К (хо) =
(2*в — 3)
(4 + *о) [Здс§ + 2 (8 — 3 /3) х0 — 12) ’
*о = tg = tg hr — Ро I, *о > 0.
(IX. 119)
График изменения функции А,о(*0)при возрастании параметра х0
показан на рис. 90. Согласно этому графику, распространение эл¬
липтической трещины по достижении внешними напряжениями
величины X'.plb)t где Я, > 1 в начале неустойчиво, а затем (при
а:0> — 1,5) устойчиво. Для этой задачи предельное значение параметра
X, = X* определяется приближенно на основе выражения (IX.118) и
графика на рис. 90 по формуле
К ~ 1 + 0,14£2.
(IX. 120)
237

Таким образом, величина разрушающей нагрузки для хрупкого
тела, ослабленного внутренней плоской трещиной, имеющей в
плане форму эллипса, когда такое тело подвергнуто на бесконеч¬
ности растяжению монотонно возрастающими напряжениями р,
направленными перпендикулярно к плоскости трещины, опреде¬
ляют по формуле
+ 0,14£2)p(ft>.	(IX.121)
Отсюда, в частности, следует, что для рассматриваемого тела ве¬
личина разрушающих напряжений р** превосходит величину пре¬
дельных напряжений р{Ь) незначительно, если эксцентриситет k
эллиптической трещины мал по сравнению с единицей. В таком
случае практически можно принять, что величины р** и р[Ь) совпа¬
дают.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Асланова М. С.— ДАН СССР, 1954, 95, 6, 1215—1218.
2.	Асланова М. С., Р е б и н д е р П. А. — ДАН СССР, 1954, 96, 2,
299—302.
3.	Б а к л и Г. Рост кристаллов. ИЛ, М. 1954.
4.	Баренблатт Г. И— Изв. АН СССР. ОТН, 1956, 9, 101—105.
5.	Баренблатт Г. И.— ПММ, 1959, 23, 3, 434 — 444; 4, 706—721, 5,
ggg	9QQ
6.	Баренблатт Г. И.—ПММ, 1960,24,2,316—322.
7.	Баренблатт Г. И.— В кн.: Проблемы механики сплошных сред.
Изд-во АН СССР, М. — Л., 1961.
8.	Баренблатт Г. И.— Ж- прикл. механ. и техн. физ., 1961, 4,.3—53.
9.	Баренблатт Г. И.— ПММ, 1964, 28, 4, 630—643.
10.	Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П.— Изв. АН СССР. ОТН.
Механ. и машиностр., 1960, 3, 79—88.
И. Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П.— ПММ, 1961, 25, 6.
12.	Баренблатт Г. И.,Черепанов Г. П.— Изв. АН СССР. ОТН.
Механ. и машиностр., 1962, I, 153—154.
13.	Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П.— ПММ, 1961, 25, вып. 4,
752—753.
14.	Баренблатт Г. И., С а л г а н и к Р. Л., Черепанов Г. П.—
ПММ, 1962, 26, 2, 328—334.
15.	Баренблатт Г. И., Салганик Р. Л.— ПММ, 1963, 27, 6,
1075—1077.
16.	Б а р т е п е в Г. М., Разумовская И. В.— ДАН СССР, 1960,
133,	2, 341—344.
17.	Б е л о н о с о в С. М. Основные плоские статические задачи теории
упругости для односвязных и двухсвязных областей. СО АН СССР, Новосибирск,
1962.
18.	Берденников В. П.— Ж- физ. химии, 1934, 5, 2-3, 358—371.
19. Бережницкий Л. Т.— Физико-химическая механика материа¬
лов, 1965, 1, 99—108.
20.	Бережницкий Л. Т.— В кн.: Концентрация напряжений, 1.
«Наукова думка», К-, 1965.
21.	Бережницкий Л. Т.— Физико-химическая механика материалов,
1966, 1, 21—31.
22.	Бережницкий Л. Т., Панасюк В. В.—В кн.: Аннотации до-
238

кладов 2-го Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. «Нау¬
ка», М., 1964.
23.	Беркович П. Е.— Прикладная механика, 2, 5, 1966, 129—134.
24.	Б о в и О. Л.— Прикладная механика, 1964, 2 (перевод с английского).
25.	Б о в и О. Л.— Прикладная механика, 1964, 4 (перевод с английского).
26.	Борн М., X у а и К у н ь. Динамическая теория кристаллических ре¬
шеток. ИЛ, М., 1958.
27.	Б у й и а Е. В.— Физико-химическая механика материалов, 1966, 2,
3,	253—258.
28.	Витвицкий П. М.— В кн.: Концентрация напряжений, 1. «Науко¬
ва думка» К-, 1965.
29.	Витвицкий П. М., Леонов М. Я-— В кн.: Вопросы механики
реального твердого тела, 1. Изд-во АН УССР, К., 1962.
30.	Витвицкий П. М.,Леонов М. Я-— Ж. прикл. механ. и техн.
физ, 1962, 1, 109—117.
31.	Витвицький П. М.,Леонов М. Я*— ДАН УРСР, 1962, 2, 174—178.
32.	Витвицький П. М., Леонов М. Я.— Прикладна механіка
1961,7, 5,516—520.
33.	Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. Гостехиздат, 1953.*
34.	Гегузин Я. Е., Овча ренко Н. Н.— Успехи физ. наук, 1962, 76,
2,	283—328.
35.	Глауберман А. Е.— Ж- физ. химии, 1949, 23, 2, 124—130.
36.	Г л	и к м а н	Л.	А.— Ж- техн. физ. 1937, 7, 14, 1434—1451.
37.	Г о	л у б е в	В.	В. Лекции по теории крыла (гл. VII). Гостехиздат,
М., 1949.
38.	Гольштейн Р. В., Салганик Р. Л.— Ж- прикл. механ. и техн.
физ., 1963, 5, 62—68.
39.	Градштейн И. С., РыжикИ. М.— Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. Физматгиз. М., 1962.
40.	Г р е с ь к о А. П.— В кн.: Концентрация напряжений, 1. «Наукова
думка», К., 1965.
41.	Г р и л і ц ь к и й Д. В.— В кн.: Питання механіки і математики, 9.
Вид-во ЛДУ, Львів, 1962.
42.	Грилицкий	Д. В.— Прикладная механика, 1966, 2, 5,	12—18.
43.	Г р	и н ч е н	к о	В. Т., У л и т к о А. Ф.— Прикладная	механика,
1965,	1, 10, 61—64.
44.	Давиденков Н. Н. Проблема удара в металловедении. Изд-во
АН СССР, М. — Л., 1938.
45. Д а в и д е н к о в М. М.— Прикладна механіка, 1960, 6, 2, 138—142.
46. Давиденков Н. Н.,С т а в р о г и н А. Н.— Изв. АН СССР. ОТН,
1954,	8, 101—109.
47.	Д р о з д о в с к и й Б. А., Ф р и д м а н Я. Б. Влияние трещин на меха¬
нические свойства конструкционных сталей. Металл у ргиздат, М., 1960.
48.	Ж е л т о в Ю. П.— Изв. АН СССР, ОТН, 1957, 8, 56—62.
49.	Желтов Ю. П., Христианович С. А.— Изв. АН СССР. ОТН,
1955,	5, 3—41.
50.	3 а д у м к и н С. Н.— Изв. вузов. Физика, 1958, 2, 151—158.
51.	3 а д у м к и н С. Н., Хуламханов В. X.— Физика твердого тела,
1963,	5, 1, 48 — 51.
52.	Иоффе А. Ф. Физика кристаллов. Госиздат, М.— Л., 1929.
53.	К а м і н с ь к и й А. О.— Прикладна механіка, 1964, 10, 4, 375—381.
54.	Каминский А. А.— В кн.: Концентрация напряжений, 1. «Науко¬
ва думка» К-, 1965.
55.	К а м и н с к и й А. А.— Физико-химическая механика материалов,
1966,	1, 32—39.
56.	Каминский А. А. Прикладная механика, 1966, 2, 11, 63—67.
57.	К а с а т к и н Б. С. Структура и микромеханизм хрупкого разруше¬
ния стали. «Техника», К-, 1964.
239

58.	Качанов Л. М.— В кн.: Исследования по упругости и пластичности,
2.	Изд-во ЛГУ, Л., 1963.
59.	К о в ч и к С. Е.— В кн.: Вопросы механики реального твердого тела,
3.	«Наукова думка», К-, 1964.
60.	Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упру¬
гости. М.—Л., 1935.
61.	Кузнецов В. Д.— Кристаллы и кристаллизация. Изд-во АН СССР,
М.—Л., 1953.
62.	Кузнецов В. Д. Поверхностная энергия твердых тел. Гостехиздат,
М., 1954.
63.	Л е о н о в М. Я.— ПММ, 1939, 3, 2, 51—78.
64.	Леонов М. Я— ПММ, 1940, 4, 5-6, 73—86.
65.	Л е о н о в М. Я-— В кн.: Научные записки Ин-та машиновед, и авто¬
мат. АН УССР 1. Изд-во АН УССР, К-, 1953.
66.	Леонов М. Я-— Ж- прикл. механ. и техн. физ., 1961, 3, 85—92.
67.	Л е о н о в М. Я- Основі механики упругого тела. Изд-во АН
Кирг. ССР, Фрунзе, 1963.
68.	Л е о н о в М. Я-, П о с а ц к и й С. Л., Иващенко А. Н.— В кн.:
Вопросы машиноведения и прочности в машиностроении, 4. Изд-во АН УССР,
К., 1956.
69.	Л е о н о в М. Я-, Ч у м а к К- И.— Прикладна механіка, 1959, 3, 2,
191	— 199.
70.	Л е о н о в М. Ям П а н а с ю к В. В.— Прикладна механіка, 1959, 5,
4.	391—401.
71.	Л е о н о в М. Я., П а н а с ю к В. В.— ДАН УРСР, 1961, 2, 165—168.
72.	Л е о н о в М. Я., О н и ш к о Л. В.— ДАН УРСР, 1961, 4, 447—449.
73.	Леонов М. Я., ОнышкоЛ. В.— В кн.: Вопросы машиноведения и
прочности в машиностроении, 7. Изд-во АН УССР, К-, 1961.
74.	Л е о н о в	М. Я-, Ш в а й к о Н. Ю.— В кн.: Вопросы	механики	реаль¬
ного твердого тела,	1. Изд-во АН УССР, К-, 1962.
75.	Л е о н о в	М. Я., Р у с и н к о К. М.— ДАН УРСР,	1961,	12,	1582—
1586.
76.	Л е о н о в М. Я-, Ру с и н к о К- Н.— Ж- прикл. механ. и техн. физ.,
1963,	1, 104—110.
77.	Л е о н о в М. Я., Р у с и н к о К- Н.— Ж- прикл. механ. и техн. физ.,
1964,	5, 83—90.
78.	Леонов М. Я., В и т в и ц к и й П.М., Я р е м а С. Я.— ДАН СССР,
1963, 148, 3, 541—544.
79. Л и б а ц к и й Л. Л.— Физико-химическая механика материалов,
1965,	1, 95—98.
80.	Л и б а ц к и й Л. Л.— Физико-химическая механика материалов, 1965,
4,	410-418.
81.	Л и х т м а н В. И., Ребиндер П. А., Карпенко Г. В.— Влия¬
ние поверхностно-активной среды на процессы деформации металлов. Изд-во
АН СССР, М., 1954.
82.	Л и х т м а н В. И., Щукин Е. Д.. Р е б и н д е р П. А.— Физико¬
химическая механика металлов. Изд-:ю АН СССР, М., 1962.
83.	Лозовий Б. Л.— Прикладна механіка, 1962, 8, 1, 72—80.
84.	Л о з о в о й Б. Л.— В кн.: Вопросы механики реального твердого тела,
2.	«Наукова думка» К-, 1964, стр. 135—151.
85.	Л о з о в о й Б. Л.— В кн.: Вопросы механики реального твердого те¬
ла, 2. «Наукова думка», К-, 1964, стр. 59—63.
86.	Лозовой Б. JL, П а н а с ю к В. В.— Изв. АН СССР. ОТН. Механ.
и машиностр. 1962, 1, 138—143.
87.	Л о з о в о й Б. Л.,Панасюк В. В.— Изв. АН СССР. ОТН. Механ.
и машиностр., 1963, 2, 43—50.
88.	Л о з о в о й Б. Л., Щес ю к А. М.- Инж. ж., Механ. твердого тела,
1966,	4, 50—57.
240

89.	Лурье А. .И. Пространственные задачи теории упругости. Гостехиз¬
дат, М., 1955.
90.	Л я в А. Математическая теория упругости. М.— Л., 1935.
91.	Мал ышев Б. М., Салганик Р. Л.— Ж. прикл. механ. и техн.
физ., 1964, 5, 91 — 101.
92.	М	а р	к	у з о н	И. А.— ПММ, 1961, 25, 356—361.
93.	М	а р	к	у з о н И. А.— Ж. прикл. механ. и техн.	физ.,	1963,	5, 69—76.
94.	М	а р	к	у з о н	И. А.— Ж. прикл. механ. и техн.	физ.,	1961,	6, 93—98.
95.	М	и х	л	и н С.	Г.— В кн.: Тр. Сейсмологич. ин-та	АН СССР,	65. Изд-во
АН СССР, М., 1935.
96.	М и х л и н С. Г. Интегральные уравнения. Гостехиздат, М., 1949.
97.	М о р о з о в а Е. А., П а р т о н В. 3.— Ж- прикл. механ. и техн. физ.,
1961,	5, 112—114.
98.	Мосса ковски й В. И.,ЗагубиженкоП. А.— ДАН СССР, 1954,
94 3 409	412.
99.	Моссаковский В. И., Рыбка М. Т.— ПММ, 1964, 28, 6,
стр. 1061—1069;— В кн.: Концентрация напряжений, 1. «Наукова думка», К., 1965.
100.	Моссаковский В. И., Рыбка М. Т.— ПММ, 1965, 29, 2,
291—296.
101.	Моссаковский В. И., Загубиженко П. А., Берко-
в и ч П. Е.— Прикладная механика, 1965, 1, 8, 108—111.
102.	Моссаковский В. И., Загубиженко П. А., Берко¬
вич П. Е.,— В кн.: Концентрация напряжений, 1. «Наукова думка», К., 1965.
103.	Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математичес¬
кой теории упругости. «Наука», М., 1966.
104.	Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.
Физматгиз, М., 1962.
105.	Надгорный Э. М. и др.— Успехи физ. наук. 1959, LXVII, 4,
625—662.
106.	Н а й м а н М. И.— Труды ЦАГИ, 313, М., 1937.
107.	О д и н г И. А., И в а н о в а В. С.— В кн.: Механизм усталостного
разрушения металлов. М., 1962.
108.	Орлов А. Н.— Физика металлов и металловедение, 1959, 8, 4, 481 —
493.
109.	П а н а с ю к В. В.— В кн.: Вопросы машиноведения и прочности в
машиностроении, 3, 2. Изд-во АН УССР, К., 1954, 59—79.
110.	П а н а с ю к В. В.— Прикладна механіка, 1960, 4, 1, 14—19.
111.	Панасюк В. В.— В кн.: Вопросы машиноведения и прочности в
машиностроении. 7. Изд-во АН УССР, К-, I960.
112.	Панасюк В. В.—ДАН УРСР, 1960, 9, 1185—1189.
113.	П а н а с ю к В. В.— В кн.: Вопросы механики реального	твердого те¬
ла, 1. Изд-во АН УССР, К., 1962, 57—62.
114.	Панасюк В. В.— В кн.: Вопросы механики реального твердого тела,
1.	Изд-во АН УССР, К-, 1962, стр. 63—66.
115.	Панасюк В. В.— Ж- прикл. механ.	и	техн.	физ.,	1962,	6,	85—93.
116.	П а н а с ю к В. В.— Прикладна механіка, 1962, 8, 3,	248—257.
117	Панасюк В. В. — ДАН УРСР, 1962, 7, 891—895.
118.	Панасюк В. В.— В кн.: Вопросы механики реального твердого
тела, 2. «Наукова думка», К-, 1964.
119.	П а н а с ю к В. В.— ДАН УРСР, 1965, 7, 868—871.
120.	Панасюк В. В.— Прикладная механика, 1965, 1,	9, 26—34.
121.	Панасюк В. В.— В кн.: Концентрация напряжений, 1. «Наукова
думка», К., 1965 г.
122.	Панасюк В. В., Л о з о в и й Б. Л.— Прикладна механіка, 1961,
7, 6, 627—633.
123.	Панасюк В. В., Лозовий Б. Л.—ДАН УРСР,	1961, 7, 876—880.
124.	Панасюк В. В., Лозовий Б. Л.—ДАН УРСР,	1962, 8, 1032—
1036.
241

125.	Панасюк В. В., Лозовий Б. Л.— ДАН УРСР, 1962, 11,
1444—1447.
126.	Панасюк В. В., Лозовой Б. Л.— В кн.: Вопросы механики
реального твердого тела, 2. «Наукова думка», К-, 1964, стр. 49—58.
127.	Панасюк В. В., Ковчик С. Е.— ДАН GCCP, 1962, 146, 1,
82—85.
128.	Панасюк В. В., Ковчик С. Е.— В кн.: Влияние рабочих сред
на свойства материалов, 2. Изд-во АН УССР, К., 1963.
129.	Панасюк В. В., Ковчик С. Є.— Прикладна механіка, 1963, 9,
2,	183—189.
130.	Панасюк В. В.,Ковчик С. Е.— В кн.: Вопросы механики реаль¬
ного твердого тела. «Наукова думка», К., 1964.
131.	Панасюк В. В., Бережницкий Л. Т.— В кн.: Вопросы меха¬
ники реального твердого тела, 3. «Наукова думка», К*. 1964.
132.	Панасюк В. В..Бережницкий Л. Т.,Ковчик С. Е.— При¬
кладная механика, 1965, 1, 2, 48—55.
133.	Панасюк В. В., Бережницький Л. Т. — ДАН УРСР,
1965,	1, 36—40.
134.	Панасюк В. В., Бережницький Л. Т.— ДАН УРСР, 1966,
6,	36—40.
135.	Панасюк В. В., Бережницкий Л. Т.— Физико-химическая
механика материалов, 1965, 4, 424—434.
136.	Панасюк В. В., Бережницкий Л. Т.— Прикладная механи¬
ка , 1965, 1, 10, 52—60.
137.	Панасюк В. В., Буйна Е. В.— Физико-химическая механика ма¬
териалов, 1966, 2, 1, 15—20.
138.	Панасюк В. В., Буйна Е. В.— Физико-химическая механика
материалов, 1966, 2, 4, 394—401.
139.	Панасюк В. В., Буйна Є. В.— ДАН УРСР, 1966, 12, 1547—
1552.
140.	Папкович П. Ф. Теория упругости. Гостехиздат, Л—М., 1939.
141.	П и н е с Б. Я— ЖТФ, 1955, 25, 8, 1339—1404.
142.	Плишкин Ю. М.—Ж- прикл. механ. и техн. физ., 1962, 2, 95—103.
143.	Положий Г. Н.— УМЖ, 1949, 4, 16—41.
144.	Положий Г. Н. —УМЖ, 1950, 3, 115—124.
145.	Прусов I. О.— Прикладна механіка, 1962, 8, 5.
146.	Прусов И. А.— Прикладная механика, 1966, 2, 6, 11 —18.
147.	Ребиндер П. А.— Юбилейный сборник, посвященный ХХХ-ле-
тию Великой Октябрьской революции. Изд-во АН СССР, М., 1947.
148.	Ржаницын А. Р.— В кн.: Исследования по вопросам строитель¬
ной механики и теории пластичности. Стройиздат, М., 1956.
149.	Русинко К. Н.— В кн.: Вопросы механики реального твердого те¬
ла, 2. «Наукова думка». К., 1964.
150.	Савин Г. Н. Концентрация напряжений около отверстий. Гостехиз¬
дат, М.—Л., 1951.
151. С а в і н Г. М., Г р и л і ц ь к и й Д. В.—ДАН УРСР, 1965, 3,
309—313.
152.	Салганик Р. Л.— Ж- прикл. механ. и техн. физ., 1962, 3, 77—80.
153.	Салганик Р. Л.— ПММ, 1963, 27, 3, 957—962.
154.	Си Г. С.— Прикладная механика, 1963, 3 (перевод с английского).
155.	С и Г. С.— Прикладная механика, 1965, 1 (перевод с английского).
156.	Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. III, ч. 2. Гостехиз¬
дат, М., 1953.
157.	Снеддон И. Преобразование Фурье. ИЛ, М., 1955.
158.	У ж и к Г. В. Сопротивление отрыву и прочность металлов. Изд-во
АН СССР, М., 1950.
159.	У ж и к Г. В. Прочность и пластичность металлов при низких темпера¬
турах. Изд-во АН СССР, М., 1957.
242

160.	Уфл я нд Я. С.— Интегральные преобразования в задачах теории
упругости. Изд-во АН СССР, М.— Л., 1963.
161.	Филоненко-Бородич М. М. Механические теории прочности
(курс лекций). Изд-во МГУ, М., 1961.
162.	Френкель Я- И. Электрическая теория твердых тел. Изд
М. и С. Сабашниковых, Л. 1924.
163.	Френкель Я. И.— ЖТФ, 1952, 22, 1857—1866.
164.	Френкель Я- И. Введение в теорию металлов. Физматгиз, М.,
1958.
165.	Фридман Я-Б.,Морозов Е. М.— Изв. вузов. Машиностроение,
1962, 4, 56—71.
166.	Черепанов Г. П.— Изв. АН СССР, ОТН. Механ. и машиностр.,
1962,	1, 131—137.
167.	Черепанов Г. П.— ПММ, 1963, 27, 1, 150—153.
168.	Черепанов Г. П.— Ж- прикл. механ. и техн. физ.,	1965,	1,	139—
140.
169.	Черепанов Г. П.— ПММ, 1966, 30, 1, 82—93.
170.	Шереметьев М. П.— Изд-во ЛГУ, Львов, 1960.
171.	Шереметьев М. П.— В кн.: Проблемы механики	сплошных	сред.
Изд-во АН СССР, М.—Л., 1961.
172.	Шерман Д. И.— В кн.: Тр. Сейсмолог, ин-та АН СССР, 54. Изд-во
АН СССР, 1935.
173.	Ярема С. Я-, Крестин Г. С.— Физико-химическая механика
материалов, 1966, 1, 10—14.
174.	Benson G. С., Schreiber Н. P., Zeggeren F.— Canad. J.
Chem., 1956, 34, 11, 1553—1556.
175.	В 1 u h m J.— SAE Society of automotive engineers Journal, 1963, 655
C, 1—30.
176.	Born М.,Stern O.— Sitzber. preuss. Akad. Wiss Phys. math. K1-,
1919, 48, 901.
177.	В о w і e O. L.— J. Math, and Phys., 1956, 25, 60—71.
178.	Brace W. F., BombolakisE. G.—J. Geophys. Res., 1963, 68,12.
179.	Bueckner H. F.— Trans. ASME, 1958, 80, 1225—1230.
180.	С о f f і n L. F.— Trans. ASME, 1950, 72, 233—248.
181.	Cornet J., Gras si R. С.—Trans. ASME, 1955, 22, 2, 172—174.
182.	Cornet J., Gras si R.C.— Trans. ASME, ser. D, 1961, 1, 39—44.
183.	Cottrell A. H.— Trans. Metallurg. Sos. AIME, 1958, (1959), 212, 2,
192	203.
184.	Elliot H. A.— Proc. Phys. Soc., 1947, 59, 208—223.
185.	Erdogan F., Sih G. C.— Trans. ASME, ser. D, 1963, 4, 519—527.
186.	Fehlbeck D. K-, Orowan E. O.— Weld. Joum. Res. Suppl.,
1955, 34, 570—575.
187.	G і 1 m a n J. J.— J. Appl. Phys., 1960, 31, 12, 2208—2218.
188.	GrassiR. C.,Cornet J.— Trans. ASME, 1949, 71, 178—182.
189.	Green A. E., Sneddon J. N.— Proc. Cambridge Phil. Soc., 1950,
46,	159—164.
190.	Griffith A. A.— Phil. Trans. Roy. Soc., 1920, ser. A, 221, 163—198.
191.	G г і f f і t h A. A.— Appl. Mech. Delft, 1924, 55—63.
192.	H a h n G. T. et al.— Fracture. Proceedings of an international confe¬
rence on the atomie mechanisms of fracture held in Swampscott, Massachusetts,
April 12—16, 1959, 109—134 (см.— В кн.: Атомный механизм разрушения,
Металлургиздат, М., 1963).
193.	Hutchinson Е., Manchester К. Е.— Rev. Scient. Instrum.,
1955,	26, 4, 364—367.
194.	I n g 1 і s С. E.— Trans. Inst. Naval Arcitects London, 1913, LV, 55,
219	230.
195.	I г w і n G. R.— In «Fracturing of Metals» ASM, Cleveland, 1948, 147—
166.
243

196.	Irwin G. R.— Proc. 9th Int. Congr. Appl. Mech., Brussels, 1957,
245—251.
197.	I г w і n	G.	R.— J. Appl. Mech., 1957,	24, 361—364.
198.	I г w і n	G.	R.— Handbuch der Physik,	6, Springer, Berlin, 1958, 551—
590.
199.	Irwin G. R.— NRL Report, 1958,	5120.
200.	Irwin G. R.—Trans. ASME, ser.	E,	1962, 29,	4,	651—654	(cm. Приклад¬
ная механика, 1962, 4).
201.	Irwin	G.	R., Kies J. A.— Weld.	Journ. Res. Suppl.,	1952,	31,
95—100.
202.	Irwin	G.	R., Kies J. A.— Weld.	Journ. Res. Suppl.,	1954,	33,
193—198.
203.	Irwin G. R., KiesJ. A.,Smith H. L.— Proc. Americ. Soc. Test.
Mater., 1958—1959, 58, 640—657.
204.	J aeger J. C. Elasticity, Fracture and Flow with Engineering and geo-
logcal Applications, Methuens monographs on physical subjects, London— N.
Y., 1964.
205.	L і p s e t t S. G., J ohnsonF.	M. G., Mass	O.	— J.	Amer.	Chem.
Soc., 1927, 49, 8, 1940—1949.
206.	L о w J. R. Relation of Properties to Microstructure. Amer. Soc. Metals,
Cleveland, 1954, p. 169 (см.— В кн.: Структура металлов и свойства, Металлург-
издат, 1957, 57).
207.	Me ClintockF. A.,Walsh J. В.— Proc. 4th U. S. National Congr.
Appl. Mech., 1962, 2, 1015— 1021.
208.	Mo t t N. F.— Engineering, 1948, 165, 16—18.
209.	Murrell S. A. F.— Brit. J. Appl. Phys., 1964, 15, 10, 1195—1210.
210.	Murrell S. A. F.— Brit. J. Appl. Phys., 1964. 15, 10, 1211—1223.
211.	О b r e і m о v I. V.— Proc. Roy. Soc., 1930, ser. A, 127, 290—297.
212.	О r 1 о s Z.— Archiwum inzynierij l^dowej, 1960, 7, 1, 93—114.
213.	Orowan E. O.— Fatique and Fracture of Metals, Wiley, N. Y., 1950,
139—167.
214.	OrowanE. O.— Weld. Journ. Res. Suppl., 1955, 34, 157—160.
215.	Post D.— Soc. for Experimental Stress Analisis, 1954, 12, 1.
216.	S a с k R. A.— Proc. Phys. Soc., 1946, 58, 729—736.
217.	Schroder K., Packman P., Weis V.— Acta metallurgy 1964,
12, 12.
218.	Shuttleworth R.— Proc. Phys. Soc., 1949, 62, 351, A, 167—179.
219.	Sih G. С., Paris P. C., Erdogan F.—Trans. ASME, ser. E, 1962,
29,	2 (см. Прикладная механика, 1962, 2, 101 —108).
220.	S m e k a 1 A.— Naturwiss., 1922, 10, 799—804.
221.	Smith R. С. Т.— J. Math, and Phys., 1957, 36, 3, 223—233.
222.	Sneddon I. N.— Proc. Roy. Soc., 1946, A 187, 229—260.
223.	Westergaard H. M.— J. Americ. Concrete Inst., 1933, 5, 2,
93—102.
224.	Westergaard H. М.— J. Appl. Mech., 1939, 6, 2, A49—A53.
225.	Wigglesworth L. A.— Mathematika, 1957, 4, 76—96.
226. Williams M. L.— J. Appl. Mech., 1957, 24, 1, 109—114.
227. W і 1 1 m ore T. J.— Quart. Mech. Appl. Math., 1949, 2, 53—64.
228.	Wolf K.— Zeitschr. Ang. Math. Mech., 1923, 3, 107—112.
229.	Zeggeren F., Benson G. С.— С a n a d. J. Phys., 1956, 34, 9,
985—992.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора 		3
Предисловие 		5
Введение		7
1.	Простейшая задача теории трещин		7
2.	Основные положения теории Гриффитса		8
3.	Краткий обзор развития исследований по теории трещин		11
4.	Продолжение обзора. Элементы теории макротрещин		20
Глава I. Постановка задач о статическом равновесии хрупких тел, ослаб¬
ленных трещинами 		25
1.	Некоторые исходные понятия и определения		25
2.	О расчете технической прочности твердых тел		26
3.	Расчетная модель хрупкого тела		28
4.	Обобщенная задача Гриффитса		31
5.	Структура края равновесной трещины		35
6.	Основные положения теории макроскопических	трещин		39
7. Предельное равновесие бесконечной плоскости с прямолинейной
трещиной, когда к ее берегам приложены сосредоточенные силы . .	44
Глава II. Методы определения эффективной поверхностной энергии 50
1.	Вводные замечания 		50
2.	Экспериментальное определение эффективной поверхностной энергии
хрупких материалов		50
3.	Определение величины у на основе формул теории распространения
трещин 		57
4.	Применение метода трещин для определения величины у на образцах
небольших размеров		60
5.	О влиянии поверхностно-активной среды на изменение эффективной
поверхностной энергии материала		64
6.	Об оценке склонности металла к хладноломкости		66
Глава III. Растяжение и сжатие пластин с трещинами 		70
1.	Основные соотношения плоской теории упругости. Формулы Коло¬
сова — Мусхелишвили		70
2.	Определение предельных напряжений для бесконечной пластины с
двумя коллинеарными трещинами 		73
3. Предельное равновесие пластины с прямолинейной произвольно
ориентированной или криволинейной трещиной			79
4.	Одноосное растяжение пластины с произвольно ориентированной
прямолинейной трещиной 		81
5.	Двухосное растяжение — сжатие пластины с прямолинейной тре¬
щиной и построение диаграммы предельных напряжений		89
6.	Критерии прочности при двухосном растяжении		99
7.	Растяжение пластины с дугообразной трещиной	102
Глава IV. Предельное равновесие пластин, ослабленных остроконеч¬
ными отверстиями 	115
1.	Введение 	115
2.	Растяжение пластины с отверстием в виде гипоциклоиды	116
3.	Определение упругих напряжений в окрестности угловых точек пла¬
стины с отверстием в виде гипоциклоиды 	122
4.	Вычисление предельных напряжений	129
245

5.	Приближенное определение предельных напряжений для пластины,
ослабленной круговыми отверстиями и трещинами, выходящими на
его контур	134
6.	О предельной нагрузке для полуплоскости с трещиной, выходящей
на ее боковую грань	141
Глава V. Изгиб полос (балок), ослабленных прямолинейными трещи¬
нами 	143
1.	Общие замечания 	143
2.	Определение напряжений в окрестности трещины при изгибе полосы	143
3.	Вычисление предельных нагрузок при изгибе полосы с трещинами	155
4.	Продолжение. Определение предельной нагрузки при изгибе консоль¬
ной балки с трещиной 	159
Глава VI. Некоторые соотношения статики трехмерного упругого тела	165
1.	Формулировка задач теории упругости в перемещениях	165
2.	Контактные задачи для полупространства и определение напряжений
около плоской трещины	170
3.	Определение нормальных смещений берегов дискообразной трещины 174
Глава VII. Предельное равновесие хрупкого тела с плоской трещиной,
имеющей в плане форму круга	177
1.	Одноосное растяжение трехмерного тела с внутренней круглой трещи¬
ной 	177
2.	Обсуждение некоторых теоретических и экспериментальных данных 184
3.	Случай макроскопических трещин в трехмерном теле 	186
4.	Определение разрушающей нагрузки для тела, ослабленного внешней
круговой трещиной 	191
Глава VIII. Определение предельных напряжений для неограничен¬
ного хрупкого тела с плоской трещиной, имеющей в плане форму
эллипса	194
1.	Постановка задачи 	194
2.	Определение растягивающих напряжений в плоскости эллиптической
трещины 	195
3.	Определение предельных напряжений		204
Глава IX. Распространение трещин, имеющих в плане форму, близкую
к	круговой 	207
1.	Постановка задачи 	207
2.	Исходное уравнение для определения растягивающих напряжений
в окрестности контура трещины 	208
3.	Некоторые допущения и преобразования исходного уравнения . . .	210
4.	Интегральное уравнение задачи и метод его решения 	218
5.	Основные формулы для определения разрывающих напряжений и
предельной нагрузки 		219
6.	Случай плоской трещины, имеющей в плане форму эллипса		221
7.	Чистый изгиб балки с внутренней плоской трещиной, имеющей в пла¬
не форму эллипса 	227
8.	О разрушающей нагрузке при растяжении хрупкого тела с плоской
трещиной, близкой по форме к круговой	230
Литература 	238

Панасюк Владимир Васильевич
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ХРУПКИХ ТЕЛ С ТРЕЩИНАМИ
Печатается по постановлению ученого совета Физико-механического
института АН УССР
Редактор Н. М. Титова
Художественный редактор И. П. Антонюк
Оформление художника Г. М. Балюн
Технический редактор Н. С. Жандарова
Корректор J1. А. Панасенко
БФ 02212. Зак. № 653. Изд. №321. Тираж 2000. Бумага № 2, 60х90*/і..
Печ. физ. листов 15,5. Услови. печ. листов 15,5. Учетно-издат. лис¬
тов 14.01. Подписано к печати 10. I. 1968 г. Цена 1 руб. 21 коп.
Издательство «Наукова думка», Киев, Репина, 3.
Киевская фабрика набора Комитета по печати при Совете Министров
УССР, ул. Довженко, 5.

В издательстве «Наукова думка»
в 1968 г. выходят такие книги:
Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Язык
русский. 60 л. Ц. 4 руб. 20 коп.
В монографии подводится итог работы автора по проблеме
концентрации напряжений около отверстий свободных и подкреп¬
ленных пластин и оболочек. Рассматриваются задачи в линейной
и нелинейной постановках для изотропной и анизотропной сред,
влияние времени анизотропии, физической нелинейности материала,
закругления углов контуров отверстий, а также пластических зон
возле отверстий на коэффициент концентрации напряжений. Анали¬
зируются случаи наличия равновесных трещин возле отверстий
и установления предельных нагрузок, взаимное влияние отверстий.
Рассчитана на научных и инженерно-технических работников
специализирующихся в области расчета на прочность.
Концентрация напряжений. Вып. 2. Под редакцией академика
АН УССР Г. Н. Савина. Язык русский. 20 л. Ц. 1 руб. 60 коп.
В сборнике представлены доклады, прочитанные на II Симпози¬
уме по концентрации напряжений возле отверстий в пластинах и
оболочках. Результаты исследований даны в линейной и нелиней¬
ной постановках с учетом взаимного расположения отверстий, гео¬
метрической и физической нелинейности, анизотропии материала,
наличия пластических деформаций и др.
Предназначен для научных и инженерно-технических работни¬
ков, занимающихся вопросами расчета тонкостенных конструкций
в виде пластин и оболочек с отверстиями.
Предварительные заказы на издания принимают магазины
облкниготоргов, потребительской кооперации, а также магазин
издательства «Наукова думка» (Киев — 1, ул. Кирова, 4), который
вышлет заказанную книгу наложенным платежом без задатка.