А. Б. ШКАРИН,
А. М. ФЕДЯНОВ, Б. Г. САНДЛЕР
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ
В ТЕХНИКЕ
(сборник задач)
Пособие для учителей
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО '
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва — 1962
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие............................................... 3
Уравнения первой степени .................. .	........ 5
Системы уравнений первой степени ........................ 10
Квадратные уравнения...................................   17
Прогрессии............................................... 28
Логарифмы................................................ 31
Неравенства.............................................. 35
Бином Ньютона...........................................  39
Производная. Исследование функций на максимум и минимум 41
Решения задач
Уравнения первой степени	.............. 46
Системы уравнений первой степени......................... 51
Квадратные уравнения..........................•	. . . .	59
Прогрессий..............................................  95
Логарифмы................................................ 99
Неравенства............................................  102
Бином Ньютона........................................... 104
Производная. Исследование	функций на максимум и минимум. 107
Александр Борисович Шкарин,
Алексей Михайлович Федянов, Борис Григорьевич Сандлер
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ТЕХНИКЕ
Редактор Л. А. Сидорова
Художественный редактор Б. Л. Николаев
Обложка художника В. Т. Сидоренко
Технический редактор Т. Н. Зыкина
Корректор О. М. Суздалова
Сдано в набор 12/1V 1961 г. Подписано к печати 22 /VIII 1961 г.
84 X Ю81/з2- Печ. л. 7,25 (5,95). Уч.-изд. 4,70 л. Тираж 50 тыс. экз.
А07968
Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41
Полиграфкомбинат Саратовского совнархоза, г. Саратов, ул. Чер-
нышевского, 59. Заказ № 2345
Цена без переплета 13 коп., переплет 5 коп.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В связи с перестройкой обучения в средней школе на основании
закона «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнешем раз-
витии системы народного образования в СССР», принятого 24 декаб-
ря 1958 года на второй сессии Верховного Совета СССР, возникает
необходимость создания новых учебников и учебных пособий по всем
дисциплинам, в том числе и по математике.
Настоящий сборник задач технического характера по отдельным
вопросам алгебры, по нашему мнению, может оказать известную
помощь учителям средней школы в преподавании математики. Часть
задач сборника может быть использована для внеклассной и круж-
ковой работы.
При его составлении авторы стремились на конкретных приме-
рах показать приложение элементарной математики к решению тех-
нических задач и обеспечить познавательный характер всем задачам
сборника.
Постановка задач как по форме, так и по содержанию носит, как
правило, тот характер, какой реально возникает в инженерной
практике. Поэтому все обозначения заданных и искомых величин
взяты в том виде, в каком они встречаются в технической лите-
ратуре.
Следует обратить внимание читателя на тот факт, что во всех
технических расчетах, как правило, оперируют приближенными чис-
ленными значениями величин. Это объясняется тем, что первоначаль-
ные исходные данные обычно получаются путем измерений. А как
известно, всякое измерение, встречающееся в природе, нельзя произ-
вести абсолютно точно. Степень приближения значения измеренной
величины к точному зависит ог методов измерений и точности самих
измерительных приборов и инструментов, но во всех случаях должна
обеспечивать правильность производимых расчетов. Однако эта сто-
рона вопроса в технических расчетах не всегда подчеркивается.
В известной мере это допускалось и при решении ряда задач настоя-
3
щего сборника. Большинство решений доведено до числового резуль-
тата; некоторые из них имеют и другие варианты.
Для облегчения понимания содержания задач они иллюстрирова-
ны рисунками и чертежами. Специальные термины и понятия сопро-
вождаются краткими пояснениями.
Авторы выражают свою признательность тт. Ларичеву П. А.,
Колосову А. А., Дормидонтову Н. Д., Кудрявцеву С. В., Сорки-
ну Ю. И. и Хотимской О. В., замечания и советы которых при работе
над рукописью были для нас ценными.
Авторы просят читателей свои замечания и пожелания направ-
лять в адрес редакции математики Учпедгиза.
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
1.	При измерении кронциркулем толщины стенки дета-
ли иногда оказывается невозможным вынуть кронциркуль,
не раздвигая ножек (рис. 1, а). В этом случае к измеряемой
Рис. 1.
величине при помощи линейки прибавляют некоторый от-
резок / (рис. 1, б), получившееся таким образом рассто-
яние L между ножками кронциркуля замеряют (рис. 1, в).
Какова толщина стенки детали, если измерения указанным
способом дали L = 37 мм и / — 25 мм ?
5
2.	Из какого количества секций, т. е. отдельных труб,
должен состоять пульповод (трубопровод) земснаряда,
(рис. 2), чтобы он мог подавать песок с водой для намы-
Центробежный насос
Рис. 2.
ва плотины на расстояние 350 м от места забоя, если дли-
на каждой секции равна 8 ле, а длина трубопровода вну-
три самого земснаряда равна 46 метрам?
3.	Из стального листа необходимо вырубить 25 круг-
лых шайб (рис. 3) с наружным диаметром, равным 50 мм,
Заштрихованы участии полисы,
которые идут в отход
Рис. 3.
и внутренним диаметром — 22 мм. Какую площадь должен
иметь лист, если 35 °/0 площади этого листа идет в отход?
4.	В резервуар (рис. 4) налита жидкость. На глубине
h = 1,5 м от ее поверхности определено давление
кг
р= 1,15 — •
г ’ см2
Определить удельный вес жидкости, если давление над
поверхностью равно атмосферному.
Указа ние. При решении задачи воспользоваться основным
уравнением гидростатики р = р0 + где Р — давление в данной
точке жидкости; р0 — давление на ее поверхности; у — удельный
вес жидкости; h — высота столба жидкости над точкой, где изме-
ряется давление.
6
5.	Найти положение центра тяжести по длине детали,
которая в точке А (рис. 5) опирается на неподвижную
призму, а в точке В часть веса детали передается на ве-
сы, показания которых дают = 12 кг. Вес детали
G = 27 кг и расстояние между
| —-	 ч призмами / = 45 см.
6.	Одна из конструкций весов
_ ..	...	схематично показана на рисунке 6.
Рис. 4.
Рис. 5.
Во сколько раз вес гирь Р будет меньше груза Q?
7.	Из стальной проволоки диаметром 5 мм следует из-
готовить винтовую цилиндрическую пружину высотой
122 мм. Определить ко-
личество витков такой
пружины, если зазор
между витками йена-
груженной пружины а'
должен равняться 8 мм.
8.	Скорость хода ча-
сов с маятником зави-
сит от периода колеба-	4
ний маятника, который б/
определяется формулой:
Т = 2л ~\f ~ сек,
r g
Рис. 6.
где / —длина маятника в см;
g— ускорение силы тяжести в —
сек2
Определить, на сколько надо укоротить маятник (пере-
двинуть диск маятника по его стержню вверх), если перед
этим длина маятника равнялась 20 см и часы отставали
на 12 минут в сутки. Принять g = 980	.
сек2
7
9.	Брус шириной Ь =» 236 мм требуется распилить на
доски, толщина которых Ьг = 20 мм. Ширина реза t = 4мм.
Сколько досок получится из этого бруска?
10.	Коэффициент трения скольжения железнодорожного
подвижного состава определяется по эмпирической формуле:
f = _—1— , где v—скорость движения в — ; k — коэф-
фициент трения скольжения при покое, равный для сухих
рельсов
Определить скорость поезда, при которой коэффициент
трения скольжения колес вагонов об рельсы достигнет 0,15.
11.	Измерение больших диаметров может производить-
ся пссредствсм штангенциркуля (рис. 7). Размер h для
данного штангенциркуля обычно известен или может быть
легко измерен. Размер / получаем при измерении штанген-
циркулем. Требуется определить диаметр детали D.
12. Большие диаметры
могут измеряться также
по методу измерения по
хорде и высоте сегмента.
Для этого применяется
прибор, показанный на ри-
Рис. 8.
сунке 8. Вывести формулу для определения диаметра ок-
ружности, если расстояние между роликами /, высота
сегмента Н и радиусы роликов г.
13.	Для контроля правильной обработки конических
участков валов производят измерение диаметральных раз-
меров в нескольких сечениях по длине участка.
Определить диаметр d в сечении на расстоянии % от
наибольшего диаметра конусного участка, если известно,
что длина конусного участка /, наибольший диаметр
наименьший диаметр d2 (рис. 9).
8
14.	Определить, на сколько глубже погрузится арео-
метр весом Q (рис. 10) в жидкость с удельным весом у
по сравнению с известной глубиной его погружения в жид-
кость с удельным весом у0. Площадь сечения цилиндриче-
ской части ареометра /. Считать, что в обоих случаях у
ареометра погружается и цилиндрическая часть.
Рис. 9.
Рис. 10.
Примечание. Ареометром называется прибор для определе-
ния удельного веса жидкости по глубине погружения.
15.	Определить величину е смещения геометрической
оси внутренней поверхности трубы (рис. 11) относительно
геометрической оси наружной поверхности трубы (эксцен-
триситет), если наружный диаметр О, внутренний диа-
метр d, а наименьшая толщина стенки
Рис. 12.
16.	Определить эксцентриситет трубы е, если известно,
что наименьшая толщина стенки а наибольшая толщи-
на стенки S2 (рис. 12).
9
17.	Для измерения больших диаметров в ряде случаев
применяйся метод опоясывания. Деталь охватывается
стальной лентой (рис. 13), к концам которой прикрепле-
ны угольники. Длина ленты измеряется заранее и подби-
рается таким образом, чтобы была несколько меньше дли-
ны окружности измеряемой детали.
Определить наименьший возможный зазор между конца-
ми ленты, если ее длина L, а наименьший возможный диа-
метр детали, измеряемой данной лентой, равен D.
18.	В сосуде сжимается газ за счет перемещения пор-
шня площадью S (рис. 14 ).
Определить начальный объем газа в сосуде Vo, если ход
поршня /, степень сжатия газа т, а зависимость между
степенью сжатия и объемом газа выражается формулой:
где Vk— конечный объем газа; а — показатель степени,
определяемый опытным путем.
(Степенью сжатия называется отношение давления сжатого
газа рк к начальному давлению
Рк
р0, т. е. m =
ро
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
19.	Два параллельных вала соединяются между собой
при помощи двух зубчатых колес (рис. 15). Требуется сме-
нить шестерни таким образом, чтобы сумма чисел их зубь-
ев осталась неизменной и равной ZCf а отношение — числа
„2
оборотов валов (передаточное отношение) равнялось I.
10
20.	Рассмотрим два цилиндрических зубчатых колеса,
находящихся в зацеплении (рис. 16). На этих колесах все-
гда можно найти две такие окружности, которые при вра-
щении колес как бы катятся одна по другой без скольжения.
Окружные скорости на этих окружностях, называемых
начальными, у обоих колес одинаковые.
Рис. 15.
Рис. 16.
Можно доказать, что между числами оборотов зубчатых
колес и диаметрами начальных окружностей существует
зависимость -di = п2 -d2.
Найти диаметры начальных окружностей двух находя-
щихся в зацеплении зубчатых колес, число зубьев которых
равно Zi и Z2. Межцентровое расстояние у этих колес
равно А.
21.	Две цилиндрические винтовые пружины (рис. 17) раз-
личных диаметров и одинаковой высоты вставлены одна в
другую и сжимаются силой Р кг.
Определить, какая часть силы Р действует на внутрен-
нюю пружину и какая часть силыР действует на внешнюю
кГ
пружину, если жесткость первой из них Сг—, а жесткость
см
о кГ
второй С 2-— .
см2
(Жесткостью пружины С называется та сила, которая уко-
рачивает пружину на 1 см.)
22.	Равнобокий уголок с шириной полок b = 75 мм и
толщиной стенок t = 8 мм приварен в узле фермы к ко-
сынке двумя боковыми швами.
11
Определить возможно наименьшую длину этих швов,
если растягивающее усилие N = 15 т приложено к верти-
кальной стенке уголка так, как показано на р< сунке 18. До-
пускаемое напряжение на срез швов равно 1тэ] =1000—.
см*
23.	Стержень длиной L — 2000 мм был сварен по
длине из двух различных марок стали: сталь 1Х18Н9Т с
коэффициентом линейного расширения (ij = 17-10""6 и
сталь 20 с коэффициентом линейного расширения а2 =
= 12,1 -10~6. После сварки стержень проточили по нару-
жной поверхности. В дальнейшем
\Р	потребовалось определить положе-
|	ние сварного шва, а так как он
1	стал незаметен после проточки,
поступили следующим образом.
Рис. 18.
Рис. 17.
Стержень нагрели до температуры t = 200° С и измерили
его температурное удлинение, которое оказалось равным
Д£ = 0,58 мм. По имеющимся данным необходимо опреде-
лить длину каждого из участков стержня.
24.	Допускаемое окружное усилие Р ременной переда-
чи равно разности натяжений и S2 ведущей и ведомой
ветвей ремня (рис. 19) при рабочем ходе на малой скорос-
ти, т. е.
Предварительное натяжение ремня So в состоянии покоя
связано с Si и S2 соотношением:
О __ ^>2
12
Определить натяжения ведущей, и ведомой ветвей рем-
ня Sjl и S2, если Р = 20 кг и So = 25 кг.
Рис. 19.
25.	Коэффициент трения f ременных передач в зависи-
м
мости от скорости V— скольжения ремня выражается
формулой: f = a-\-bv.
Определить постоянные величины (константы) а и Ь для
кожаного ремня, если путем опыта были найдены значения
коэффициента /:
= 0,4 при скорости скольжения = 0,1 и
м
f2 = 0,5 при скорости скольжения v2 — 0,5— .
26.	При расчете двигателей внутреннего сгорания при-
ходится определять состав продуктов сгорания жидкого
топлива при различных значениях коэффициента избытка
воздуха а, представляющего отношение действительного ко-
личества воздуха к теоретически необходимому для полного
сгорания.
Определить состав продуктов сгорания 1 кг бензина
по весу при а = 0,9 (недостаток воздуха). Состав бен-
зина по весу в процентах: углерода С — 8з,4, водоро-
да Н2—14,2, кислорода О2— 0,3, примеси—0,1.
Примечание При решении задачи иметь ввиду, что из-за не-
достатка воздуха сгорание углерода прои-юйдет в СО2 и СО; что тео-
ретически необходимое количество воздуха Lit определяется по формуле
Lq = — (—С -ф 8Н2 — О2 j кг
0	0,23 \ 3	1	/
13
4
и что для сгорания 1 кг С в СО необходимо — кг О г» Для сгора-
о
8
ния 1 кг С в СО2 необходимо —- кг О2, при сгорании 1 кг С в СО
и
7	11
получится — кг СО и при сгорании 1 кг С в СО2 получится ------кг
3	3
СО2. В формуле для £0 обозначают: С, Н2, О2 — соответственно веса
углерода, водорода, кислорода в топливе в килограммах.
27.	Два автомобиля движутся со скоростью и
(рис. 20), причем Uj > и первый автомобиль догоняет
Рис. 20.
второй. На расстоянии Д1 от второго автомобиля шофер
первого автомобиля начинает обгон и заканчивает его, обо-
гнав второй автомобиль на расстояние Л2. Длина первого
автомобиля L2, второго — Ц. Определить х — длину участ-
ка дороги, просматриваемого шофером первого автомоби-
ля, если она должна быть вдвое больше L пути обгона из
условий обеспечения безопасности, так как обгон произво-
дится на дороге со встречным движением, и скорость
встречного автомобиля может быть не меньше скорости
обгоняющего.
28.	При испытаниях на дальность самолет пролетел от
заводского аэродрома до заранее намеченного пункта S ки-
лометров, потратив на это часов; затем он повернул и
за время t2 пришел обратно на заводской аэродром. Во
все время полета летчик держал одну и ту же скорость
по прибору, а разница во времени объясняется влиянием
ветра, который был сначала попутным, а потом встречным
Определить истинную скорость самолета относительно
воздушной масса и, скорость ветра ve и путь, пройденный
самолетом относительно воздушной массы, 5ИСТ>
14
29.	В закрытом сосуде находятся под давлением жид-
кость и газ (рис. 21). Измерением определено давление в
точке А, равное Pi—~ , и в точке 5, равное р2 — . Опре-
делить давление газа в сосуде, расстояние точки А от по-
верхности жидкости и расстояние между точками А и В,
«	кг
если ее удельный вес равен у —- , и расстояние точки В от
см
поверхности равно й2. Для решения взять основное урав-
нение гидростатики из задачи 4.
30.	Определить усилия в ножках проектируемого ме-
таллического стола (рис. 22), на который должна укла-
дываться литая деталь весом G = 300 кг. Расстояние меж-
ду ножками стола / = 1 м и равнодействующая веса де-
тали проходит через точку С на расстоянии t = 10 см от
средних линий стола.
31.	На строительстве гидроэлектростанции потребова-
лось переместить подъемный кран весом в 25 Т с эста-
кады на соседнюю с ней монтажную площадку. Для этого
был сооружен помост, опирающийся на три параллельно
уложенные балки на расстоянии I = 2 м друг от друга
(рис. 23).
Определить нагрузку на каждую балку от веса крана, ес-
ли его центр тяжести находился на расстоянии 0,5 м от
средней балки.
15
32.	Пролетное строение железобетонного моста уло-
жено на три опоры так, как показано на рисунке 24.
Определить усилия на опорах от веса моста, если длина
моста I = 20 м и на каждый метр этой длины приходится
16 т веса моста.
Рис. 23.
33.	Жесткий брус АВ (рис. 25) подвешен в горизон-
тальюм положении на двух стальных стержнях одинако-
вой длины; левый конец бруса шарнирно прикреплен к
стене. В точке D к брусу приложен груз весом Q =5,7 т.
Рис. 24.
Рис. 25.
Определить усилия в стальных стержнях 1, 2 и в опоре
А, если а = 1 м, b = 2 м, с= 1 м, податливость перво-
СМ
го стержня kt = 0,00005 ~ , податливость второго стер-
жня k2 = 0,000025
кг
16
Податливостью называется величина, на которую удли-
няется стержень (в сантиметрах) под действием силы в
1 кГ.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
34.	В прямоугольном листе жести со сторонами а —
= 600 мм и b — 400 мм требуется вырезать
ное отверстие плршадью S = 1000 ои2 так
края были на одинаковом расстоянии от
краев листа.
Определить с точностью до 1. мм это рас-
стояние.
35.	На токарном станке с трехкулачко-
вым самопентрирующим патроном требует
ся обточить короткий эксцентричный валик
(рис. 26). Величина эксцентриситета (сме-
щения осей цилиндрических участков) е —
= 10 мм. Диаметр участка вала, зажимае-
мого в кулачках D = 100 мм. Угол между
кулачками а = 120°.
Определить толщину пластины х, котооук
при этом надо подложить под один из кулач-
ков (рис. 27).
Рис. 26.
прямоуголь-
цто^ы его
36.	На цилиндрическом участке вала диаметром D,
равным 52 мм, имеется паз шириной Ь, равной 16 мм-
Глубина паза Н задана на чертеже (рис. 28). Ее измере-
17
ние с точностью до 0,1 мм произвели по боковой поверх-
ности паза. Допустим ли этот способ измерения?
37.	На рисунке 29 показано фрезерование плоской
поверхности детали торцевой фрезой. На сколько путь,
проходимый фрезой, больше длины фрезеруемой прямо-
угольной поверхности шириной b — 80 мм, если диаметр
фрезы D = 100 мм?
38.	Определить высоту радиомачты h (рис. 30), необ-
ходимую для уверенного приема телевизионных программ
из Москвы в Волгограде. Показать невозможность тако-
го проекта. При решении следует иметь в виду, что уль-
тракороткие волны, на которых ведутся телевизионные
передачи, не огибают земной поверхности, поэтому уве-
ренный прием возможен только в зоне прямой видимости,
т.е. наблюдатель в Волгограде должен видеть верхушку
радиомачты, установленной в Москве. Приближенно по-
Рис. 29.
лагаем, что расстояние I от верхушки мачты до Волго-
града равно расстоянию между Москвой и Волгоградом
I = 680 км. Радиус Земли /? = 6368 км.
39.	При перевозке длинного груза по железной доро-
ге на поворотах конец груза отклоняется от середины
пути. Эго отклонение не должно превышать допустимой
величины. Определить величину отклонения на закругле-
нии пути радиуса R = 300 м, если расстояние между
тележками платформы 2Ь = 9880 мм. Конец груза вы-
ступает от середины платформы на величину / = 15 500 мм.
40.	Ножки штангенциркулей, служащие для измере-
18
ния диаметров отверстий (рис. 31,а), делают скруглен-
ными по радиусу меньшему, чем радиус наименьшего из
измеряемых отверстий.
Определить, чему равна ошибка измерения диамет-
ра отверстия, если ножки штангенциркуля сделать плос-
кими, и при измерении был получен размер а = 15 мм.
Ширина ножек штангенциркуля Ь = 6 мм (рис. 31,6).
о)	б)
Рис. 31.
41.	При расчете выпуклых днищ паровых котлов важ-
ным расчетным размером является высота днища h
(рис. 32). По нормам расчета элементов паровых котлов
на прочность этот размер должен
быть не меньше, чем 0,2 D. Однако
в чертежах обычно задают радиусы
г, /? и диаметр D.
Определить высоту днища h по
размерам, задаваемым на чертежах.
42.	Два стержня длиной 1 =
300 мм каждый шарнирно закреп-
лены в точках А и В, лежащих на
одной высоте, и связаны шарнир-
но между собой в точке С, которая
расположена на h = 100 мм ниже
точек А и В. Найти величину
вертикального перемещения точки
С при нагреве стержней на
t = 120° С. Коэффициент линейного
расширения материала стержней
а = 12.10-в.
43.	Определить положение ползуна кривошипно-ша-
тунного механизма (рис. 33), если длина кривошипа г,
19
шатуна I и кривошип повернут на угол ср от горизонталь-
ного положения.
Рис. 33.
44.	Поперечное сечение канала имеет форму равнобоч-
ной трапеции (рис. 34) с меньшим основанием а = 2 м.
Боковые стенки канала наклонены к вертикали под уг-
лом а = 30°. Определить глубину канала /z, если для
обеспечения требуемой скорости течения воды необходима
площадь поперечного сечения F = 4,5м2.
45.	Определить толщину стенки стальной трубы с
наружным диаметром d = 140 мм, идущая на изготовле-
ние вышек буровых установок, если известно, что по
условиям прочности площадь ее поперечного сечения F =
== 25 см2.
Рис. 35.
46.	Среднее расстояние между Землей и Луной I =
= 3,84 10ь км. Масса луны в 81,5 раза меньше массы
Земли На каком расстоянии от центра Земли силы при-
тяжения Земли и Луны равны между собой.
20
47.	В прсцессе работы механизма требуется произво-
дить регулировку углового положения вала 1 относитель-
но вала 2 (рс*. 35) с точностью до 6°. Для обеспечения
регулировки между валами установлена дифференциальная
зубчатая муфга, состоящая из двух пол>муфт 3 и 5,
имеющих на торцах разное число зубьев и зубчатого
промежуточного кольца 4. При регулировке одну из по-
лумуфг сдвигают вдоль оси вада; валы устанавливают в
требуемое положение, вращением кольца 4 достигают сов-
падения зубьев кольца с зубьями полумуфт, после чего
полумуфты устанавливают в первоначальное положение
и закрепляют на валу.
Определить наименьшее число зубьев обоих полумуфт,
при котором обеспечивается заданная точность регулиров-
ки, если известна их разность AZ = Zj —Z2.
48.	В машиностроении широко применяются электро-
сварочные швы с нормальным очертанием (рис. 36). Дли-
на катета шва нормального очертания называется его
толщиной и обозначается через К. Длина перпендикуля-
ра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу,
носит название расчетной толщины шва. Расчетной пло-
щадью шва называется произведение его расчетной тол-
щины на длину шва.
Какой толщины надо сделать шов с нормальным очертанием
для приварки проушины.к трубе, диаметр которой с1=60мм,
если его расчетная площадь F = 5,2 см2 (рис. 37)? При ре-
шении задачи принять cos 45° ^0,7.
49.	При проверке указателя скорости самолета часто
применяют так называемый метод петель, который состоит
в следующем (рис. 38). Самолет летит вдоль мерной базы
21
{показано на рисунке жирной линией) по траектории
ABCDE, выдерживая постоянную скорость по прибору.
Первый наблюдатель пускает секундомер в начале прямого
Направление ветра
В
Прямой заход
А
D
Е
Створы /
2й наблюдатель
Обратный
заход
1й наблюдатель
Рис. 38.
захода (точка Л) и выключает-в конце обратного (точка Е),
измеряя t]—время прохождения большой петли ABCDE.
Второй наблюдатель точно так же измеряет время t2 прохо-
ждения малой петли BCD. Считая длину мерной базы L и
скорость ветра ив известными (направление ветра показано
на рисунке стрелкой), определить скорость самолета отно-
сительно воздуха v (воздушную скорость).
50.	Поперечное сечение понтона имеет форму равнобоч-
ной трапеции (рис. 39). Вес понтона с грузом Q = 3,8 Т\
длина / = 6 м\ ширина днища а — 1,5 м\ угол наклона
Сортов к вертикали а=8° и удельный вес воды у=1 -
Определить глубину погружения понтона в воду, если
считать, что его сечение постоянно по всей длине.
51.	Поплавок в виде усеченного конуса (рис. 40) весом
22
Q должен погрузиться в жидкость с удельным весом у на
глубину h. Радиус основания поплавка, погруженного в
жидкость г.
Определить радиус поперечного сечения поплавка на
уровне поверхности жидкости.
52. На рисунке 41 схематично показан фрикционный
молот с доской. Доска (/) у этого вида молотов расположе-
на вертикально между двумя роликами. При работе моло-
та ролики (2) вращаются в разные
стороны и производят подъем ба-
бы (<?), скрепленной с доской. Пос-
ле достижения требуемой высоты
подъема ролики выключаются и
под действием собственного веса
баба падает вниз, производя удар.
Подъем бабы распадается на
три периода: разгон, установив-
Рис. 41.
шееся движение с постоянной скоростью и замедлен-
ное движение в конце подъема.
Определить скорость установившегося движения, при
которой подъем бабы на высоту Н=\А№мм происхо-
дит за время Т = 0,9 сек, если ускорение при разгоне
а1==9 -2L и замедление а2= 10	.
сек2	сек2
53.	Сечение стержня представляет квадрат со сторо-
ной а. Определить высоту х прямоугольного ребра, шири-
ной b из того же материала, которое необходимо приварить,
чтобы переместить центр тяжести на величину с.
54.	Валик выполнен в виде ступенчатого цилиндра с
диаметрами Dud. Длина толстой части валика /. Какой
длины должна быть тонкая часть, для того чтобы центр
тяжести отстоял на расстоянии сот середины толстой части.
23
55.	Балка длиной Z=6 м лежит на опоре А (рис. 42).
<3 одной стороны балка от конца до опоры загружена рав-
номерно распределенной нагрузкой интенсивностью q =
= 250 кГ/м, с другой стороны силой Р=1 Т, приложен-
ной на конце. Найти положение опоры балки, при котором
она будет находиться в равновесии. Весом балки пренебречь.
56.	Вывести формулу для определения показаний
индикатора* г, которым измеряется биение эксцентричного
вала, если е — эксцентриситет, 7? — радиус вала, <р— угол
между прямыми ОА и ОС (рис. 43).
57.	При проектировании теребильного аппарата для
выдергивания стеблей льна из земли необходимо знать
путь Зс, который проходит точка С захвата стебля ремня-
ми теребильного аппарата (рис. 44.) Точка С, перемещаясь
с постоянной скоростью, удаляется от точки О, в которой
Рис. 43.
Рис. 44г
укреплен корень стебля, и при этом происходит его вы-
дергивание из земли. Если а—длина корня, Zo— длина
комлевой части СО стебля, то теребление закончится,
когда точка С оюйдет от точки О с расстояния СО = 10
до расстояния CiO = /0 4~ а, переместившись на Sc. Найти
это расстояние, если известны aL, 10 и углы у и 0С.
* Индикатор — измерительный прибор (схематично показан на
рис. 43) служащий для измерения длин проверки взаимного распо-
ложения деталей и правильности их формы У индикаторов линейное
.перемещение измерительного штифта преобразуется в угловое пере-
мещение стрелки Наибольшее распространение получили механические
•индикаторы у которых цена деления 0.01 мм и диапазон измерения
О — 10 мм Наряду с ними применяются электрические индикаторы.
24
Угол у определяет направление скорости, а 0С — началь-
ное положение стебля.
58.	Ремни клиноременных передач изготовляются
определенной длины.
Определить расстояние между центрами шкивов клино-
ременной передачи (рис. 45), если длина ремня L, а диа-
метры шкивов сЦ и d2.
В подавляющем большинстве случаев угол наклона
ветвей ремня к прямой, проходящей через центры шкивов,
Ф достаточно мал, поэтому можно положить синус этого
угла, равным величине этого угла в радианах sin ф.^ ср,
а косинус
cos ф =	— sin2? 1-------
2
59.	Груз весом Q, падая с высоты h
(рис. 46), ударяет по упору, закреплен-
ному на конце стержня АВ. Длина стерж-
ня /; площадь поперечного сечения F и мо-
дуль упругости материала Е. Найти наибольшее напряже-
ние в стержне при ударе а, считая, что гея энергия падаю-
щего груза обращается в потенциальную энергию растяже-
ния стержня.
При решении весом стержня по сравнению с весом
груза пренебречь; груз считать абсолютно жестким. Потен-
циальная энергия растяжения стержня:
п = °-^.
р ЧЕ ’
А г
величина растяжения при ударе: Д/ = —
Е
25
60.	На середину деревянного бруса, лежащего на двух
опорах (рис. 47), падает груз весом Q = 20 кГ с высоты
кГ
h = 0,5 м. Жесткость бруса с = 500 — . Определить ве-
см
личину сосредоточенной силы Р, статически приложенной
посередине бруса, которая вызывает такой же прогиб, что
и падающий груз.
Рис. 47.
Указание. При решении задачи принять, что потенциальная
энергия, накопленная в брусе при его изгибе:
Массой бруса по сравнению с массой стержня пренебречь. Груз
считать абсолютно жестким.
61.	При пахоте отваленные пласты почвы (рис. 48, а)
должны занимать устойчивое положение. Положение отва-
D
Е
Dn^~
Положение
сто до подреза -	~
ния	°) Устойчивое поло-
жение отваленного
пласта
пласта
Рис. 48.
ленного пласта называется устойчивым, когда его диаго-
наль BD будет наклонена в сторону от борозды. Если
диагональ отваленного пласта станет вертикально (рис. 48, б)
или будет наклонена в сторону борозды, то такое поло-
26
жение называется неустойчивым, так как пласт может
завалиться в борозду. Найти соотношение между шириной
пласта b и глубиной пахоты а, при котором отваленные-
пласты занимают устойчивое положение.
62.	По трубопроводу А
(рис. 49) протекает q = 25	g
литров воды в секунду.	х -п—»
Трубопровод В имеет дли-	_
ну 30 м\ диаметр dx —	О
= 50 мм. и коэффициент
гидравлического сопротив-	Рис 49
ления Xi = 0,04. Для трубо-
провода С соответственно L2 = 50 м\ d2 —100 мм и Х2 =
0,03. Потеря напора в трубопроводе определяется форму-
ла
лой: h = 0,083 XL 4 •
а*
Определить количество воды, протекающей в каждом из
параллельных трубопроводов В и С в единицу времени. В
параллельных трубопроводах потери напора h одинаковы.
63.	При переходе электрической линии через реку
проводов на левой опо-
ре hi = 15 м\ расстоя-
ние между опорами I =
= 200 м, провисание
провода по отношенику
к левой опоре / = 5 м-
и горизонтальная сос-
тавляющая натяжения,
провода (определяемая
из условий прочности)
Н — 1000 кГ. Вес одно-
го метра провода q =
= 2 кГ/м. Определить
необходимую высоту точ-
ки подвеса В на правой
опоре.
Указание. При решении задачи воспользоваться применяемой,
в инженерной практике формулой:
ql2 . Hh2 h
f —----+ ~—г — ~ , где h — разность высот точек подвеса.
' 8Н 1 2ql2 2
64.	Звук удара камня о дно шахты доходит до наблю-
дателя, находящегося на поверхности, через t секунд от-
момента бросания.
(рис. 50) высота точки подвеса
В
Рис. 50.
27
Определить глубину шахты Н и время паления камня т,
^сли v — скорость звука и g — ускорение силы тяжести.
Камень был брошен без начальной скорости. Сопротивле-
нием воздуха его движению пренебречь.
65.	Выполняя затяжной прыжок, парашютист покинул
самолет на высоте Н = 5000 м и через /0 = 5 мин призем-
лился в заданном районе. Средняя скорость снижения
на парашюте и = 7 —, Ускорение силы тяжести
сек.
g = 9,81 —
сек2
Определить время tr снижения без пара-
шюта и время t2 снижения с парашютом. Сопротивлением
воздуха на участке снижения без парашюта пренебречь.
66.	Деталь состоит из двух соосных цилиндров, диа-
метры которых D = 180 мм и d = 100 мм (рис. 51). Вес
Рис. 51.
детали Р = 85 кГ\ расстояние от торца цилиндрического
участка диаметром D до центра тяжести а = 280 мм\
удельный вес материала детали у = 7,85	>
Определить длины цилиндрических участков.
ПРОГРЕССИИ
67.	На барабан лебедки (рис. 52) навито п слоев ка-
ната. Диаметр барабана — D, диаметр каната—d, по
длине барабана помещается т витков. Вывести формулу
для определения длины каната, навитого на барабан. Вели-
чиной смятия каната пренебречь.
68	При проектировании ферменной консоли1 (рис. 53)
ее вылет I был разделен на п равных частей для установ-
ки п—1 стоек. Для того чтобы определить вес фермы,
1 Часть конструкции, выступающая за опору (например, балкон).
28
конструктору необходимо знать сумму длин ее элементов.
Найти формулу для определения общей длины стоек фер-
мы, если размер ВС равен Л. Воспользовавшись этой
формулой, определить общую длину стоек, если h = 1 м
и и = 5.
Рис. 52.
69.	Одноцилиндровый поршневой компрессор* приво-
дится в движение со скоростью п = 150 об/мин (рис. 54). За
время каждого оборота компрессор нагнетает AV = 0,5 дм3
воздуха в ресивер**, имеющий объем Vp = 100 дм3. Опре-
делить время, необходимое для доведения давления в ре-
Рис. 54.
сивере до р = 4 апгм, полагая что воздух не нагревается.
Первоначальное давление в ресивере равно атмосферному.
70.	Найти работу, необходимую для подъема тяжелой
цепи до вертикального положения. Вес всей цепи — Q,
длина цепи — L (рис. 55).
* Машина для сжатия и перемещения газов.
** Промежуточный резервуар для сглаживания пульсации давле-
ния.
29
71.	Известно, что период полураспада радиоактивного
газа радона равен Т = 3,825 суток. Определить, какое ко-
личество радона осталось в запаянной ампуле через /=38,25
суток, если его первоначальное количество Л70 = 0,5 кГ.
72.	В грузоподъем-
ных устройствах для
выигрыша в силе часто
используются полиспас-
ты, т. е. системы под-
вижных и неподвижных
Рис. 55.	Рис. 56.	Рис. 57.
блоков, группируемых в обоймах и огибаемых канатом
или цепью.
Определить усилие в ходовом конце каната Р поли-
спаста, представленного на рисунке 56. Полиспаст нагру-
жен силой Q, число ветвей (без ходового конца каната)—
п, коэффициент сопротивления блока — k. Следует иметь
в виду, что коэффициент сопротивления блоиа k есть ве-
личина, обратная коэффициенту полезного действия блока
k = —.
'П
	73. Динамометр D поставлен у за-
Г крепленного («мертвого») конца по-
: ~лиспаста (рис. 57). Число ветвей
-	-—-" полиспаста (без ходового конца) —п =
—- — J = 4. Динамометр показывает усилие
М	S =243 кГ.
П*	Определить величину поднимаемо-
го груза Q и натяжение ходового кон-
Рис. 58.	ца Р, если коэффициент сопротивле-
ния блока—k = 1,02.
74.	Из бака, наполненного до уровня Нг (рис. 58),
через небольшое отверстие в днище вытекает мазут. За-
30
висимость между секундными расходом q и напо-
ром И (высотой свободной поверхности жидкости над
уровнем отверстия) может быть выражена линейной функ-
цией q = АН, где А—коэффициент пропорциональности,
зависящий от рода жидкости и диаметра отверстия.
Вывести формулу для общего расхода мазута через t
секунд, если площадь свободной поверхности жидкости в
баке равна F. Полагаем приближенно, что величина напора
в течение каждой секунды остается неизменной.
ЛОГАРИФМЫ
75.	1 кг воздуха расширяется при постоянной темпе-
ратуре в 100°С, причем его объем увеличивается в 5 раз.
Определить работу расширения, используя для этого
формулу теплотехники:
А = ЯЛп
V,’
где Л—работа расширения; —некоторая постоянная вели-
чина, зависящая от молекулярного веса газа и для возду-
ха, равная 29,27 —• Т—абсолютная температура газа;
кГ град
— объем газа до расширения (сжатия); У2 — объем га-
за после расширения (сжатия).
76.	Выбор радиального шарикоподшипника (рис. 59),
работающего при нормальной температуре, со спокойной
31
нагрузкой и с вращающимся внутренним кольцом*, про-
изводится по формуле:
С = (/? + mA) (n/z)0’3,
где С — коэффициент работоспособности, определяется из
таблиц подшипников в зависимости от типа и номера
выбранного подшипника; /? — радиальная нагрузка в кг\
А — осевая нагрузка в ка; т — коэффициент приведения
осевой нагрузки в радиальную, определяется из специаль-
ных таблиц в зависимости от типа и размеров подшипни-
ка; п — число оборотов, ———, h—долговечность подшип-
мин
ника в часах.
Пусть на подшипник 321 средней серии с коэффициен-
том работоспособности С = 210 000 действует радиальная
нагрузка R = 700 кГ и осевая А = 100 /сГ, т = 1,5. Вал
вращается со скоростью и = 5000
мин
Определить долговечность подшипника.
77 Выбор упорного шарикоподшипника (рис. 60), ра-
ботающего при нормальной температуре и со спокойной
нагрузкой, производится по следующей формуле: C—A(nh)^
(обозначения входящих в формулу величин см. в условиях
предыдущей задачи). Выбрать подшипник, если Л=1000яГ;
п=700 и 10 000 часов.
мин
Указание. Для подбора подшипника воспользоваться приве-
денной ниже выдержкой из таблицы упорных шарикоподшипников.
Условное обо- значение подшипника	Габариты подшипника			Коэфф рабо- тоспособности С	Допускаемая ста гическ на- грузка кГ	В с под- шипника кГ
	d мм j	| D мм	J Н мм			
8215	75	НО	27	92 000	12 000	0,86
82164-	80	115	28	96 000	12 600	0,95
8217	85	125	31	116 000	16 800	1,25
82184-	90	135	35	140 000	19 500	1,77
8220	100	150	38	170 000	23 500	2,4
78 При обработке углеродистой стали на токарных и
револьверных станках экономическая скорость резания опре-
деляется по формуле:
* Повышенная температура, неспокойная нагрузка с ударами и
вращение наружного кольца учитываются специальными коэффициен-
тами, снижающими долговечность подшипника.
32
55,6 м
V9K ~-----------------’
^0,26 £0,66	MUH
где vbK —скорость резания, соответствующая наивыгодней-
шей стойкости резца (т. е. времени его работы между двумя
переточками), условно принятой равной 60 мин; t — глубина
резания в мм-, S — подача* в — (миллиметров на оборот).
об
Вычислить v9K , если t = 1,5мм, aS = 0,3—.
об
79.	Определить экономическую скорость резания при
обработке серого чугуна на токарном станке, если глубина
резания t = 2 мм, а подача S — 0,4 —. Формула для оп-
об
ределения экономической скорости в этом случае:
32.6 м
= -----1---- --- .
^0,16 £0,38 MUH
80.	Определить максимальную подачу, допускаемую
токарным станком по следующей формуле:
1
2000 М \ур мм
CptxV D / об"
где М = 30 кГм— крутящий момент станка; t = 5 мм —
глубина резания; D = 50 мм—диаметр обрабатываемой
детали;
коэффициенты, характеризующие обрабатывае-
мый металл, в данном случае сталь 20.
81.	Известно, что усилие резания на токарном станке
может быть найдено по формуле:
Рг = С/р8Ур кГ,
где Р2— вертикальное усилие, действующее на резец в кГ\
t — глубина резания в мм\ S — подача в Ср, хр ур —
коэффициенты, характеризующие обрабатываемый металл.
Для конструкционной стали марки 35 были произведе-
ны измерения Р2 при различных значениях глубины реза-
ср= 157,
хр = 1,
УР = 0,78,
* Подача —величина относительного перемещения инструмента
и обрабатываемой им на станке заготовки.
33
ния и подачи. Пользуясь результатами этого эксперимента
представленными в таблице, определить величину Ср, хр и ур.
t мм	S ммюб	р кГ Z
2	0,2	97,5
3	0,3	200
5	0,4	419
82.	Количество теплоты, передаваемой в час на участке
трубы (рис. 61) длиной L, рассчитывается по формуле:
__j-	2tcX]L(/bb— /в) ккал
2,301g— Час
P/f A vA	^ВН
—Y/t где — коэффициент теплопровод-
'\г// ности материала трубы;/вн — темпе-
ратура внутренней стенки трубы;
t	tH — температура наружной стенки
трубы; dBH — внутренний диаметр
Рис. 61.	трубы, dR — наружний	диаметр
трубы.
Определить количество теплоты, передаваемое тру-
бой длиной L = 5 м с внутренним диаметром dBH =
= 20 мм, наружным dR = 25 мм, изготовленной из
стали с коэффициентом теплопроводности X = 49 -----,
час-м -град
если внутри 1рубы протекает нагретая вода; температура
внутренней стенки /вн = 70°С, а температура наружной
стенки /н = 68°С.
Рис. 62.
83 Пользуясь формулой из предыдущей задачи, найти
толщину стенки трубы (змеевика) теплообменника (рис. 62).
34
Внутри змеевика движется нагретая вода; температура
внутренней стенки /вн = 100°С, температура наружной
стенки /н = 95°С. Змеевик должен быть изготовлен цз
латуни, коэффициент теплопроводности которой X =
100 -----------, длина змеевика L = 4 м, наружный диа-
час-м-град
метр = 10 мм.
Проектная мощность теплообменника (количество пере-
даваемой в час теплоты) Q = 40 000
час
84.	Тяга и мощность воздушного винта самолета опреде-
ляются по формулам: Р = apn| О4 кГ\ N = ppnj? О5
где а — коэффициент тяги; р— коэффициент мощности;
п3 — секундные обороты винта, —; D—диаметр винта, м;
кГ сек2
р — плотность воздуха, ------.
л4 •
Вычислить тягу и мощность винта, если а = 0,18;
па = 25 об/сек\ 6 = 0,28; D = 2,1 м; р = 0,125 (у по-
Л4
верхности Земли).
85.	Определить вязкость v машинного масла при 20°
Цельсия, пользуясь формулой: Iglg (v-f-0,8) = /l— BlgT,
где Т — абсолютная температура. Коэффициенты А и В
принять равными: А = 25,44; В = 10,39.
НЕРАВЕНСТВА
Разрушение детали наступает в тот момент, когда
сила, приходящаяся на единицу площади поперечного се-
чения (напряжение), достигает определенной величины.
Для того чтобы при работе не произошла поломка дета-
ли, фактические напряжения, возникшие при работе, не
должны превышать некоторого значения, допускаемого по
условиям работы.
Это напряжение называется допускаемым и обознача-
ется [о], в то время, как действующие напряжения обо-
значаются просто буквой греческого алфавита о (сигма).
86.	Требование прочности для растянутого стержня
(рис. 63)
N
35
где N — растягивающая стержень сила; F— площадь по-
перечного сечения стержня.
Определить, какому требованию должен удовлетворять
диаметр d стержня круглого сечения, если он изготовлен
кГ
из стали СтЗ с допускаемым напряжением [о] = 1600 —
см2
и растянут силой М==4000 кГ.
	А		87. Наиболее напряжен-
(__________________________Ф Ж ным сечением в КОНСОЛЬНОЙ
й	J балке (рис. 64) является се-
чение заделки Л=Л, в кото-
— • 	ром появляется остаточная де-
*	формация,	если напряжение
।	превзойдет	предел текучести
1	материала	балки. Напряже-
ние в сечении АА в случае
силы, приложенной на кон-
це, определяется по формуле:
Р1
а = —, где а— максимальное напряжение изгиба; Р —
сила, изгибающая балку; / — длина консоли; W— момент
сопротивления балки; для прокатных профилей, таких, как
Рис. 64,
швеллеры, двутавры и уголки, дается в специальных таб-
лицах и ГОСТах.
Требование прочности:
Pl 1
(Т = — <[о].
W 1 J
Определить, какому требованию должна удовлетворять
приложенная на конце балки сила Р,если / = 150 см и
балка изготовлена из швеллера АН4а, момент сопро-
тивления которого W == 80,5 см3. Материал балки—сталь
Ст. 3 с допускаемым напряжением [aj = 1600
36
88.	Определить, какую эксцентричную нагрузку Р мож-
но приложить к прямому стержню, площадь сечения которо-
Рис. 65.
го F, момент сопротивления сечения изгибу W, эксцентри-
ситет приложения нагрузки е (рис. 65), если допусти-
мые напряжения в стержне [о], напряжения от изгиба
Ре	Р
(уиз = —, напряжения от сжатия стержня сгсж = у.
89.	При расчете устойчивости подъемного крана
(рис 66.) определяют так называемый коэффициент ста-
тической устойчивости, как отношение восстанавливающе-
го момента:
^BOCcT = Gk(/k + 6)-G5 (l-b)f
где GK — вес крана; G§ — вес блочной обоймы с крюком;
/к — расстояние от центра тяжести крана до оси его пово-
рота; I — расстояние от центра тяжести груза до оси по-
37
ворота крана; Ь — половина ширины колеи рельсового пути
к опрокидывающему моменту:
ЛГолр = Р(/-&),
где Р — грузоподъемность крана.
По правилам Госгортехнадзора коэффициент статиче-
ской устойчивости должен быть не менее 1,4.
„ Мюсст СА1к+Ь)-СЬ(1-Ь)	1 4
мопр	P(l-b)
Полагая все параметры крана заданными, определить
пределы его грузоподъемности.
90.	Определить требование, которому должно удовлет-
ворять сечение медных проводов воздушной линии электро-
передачи, если потеря напряжения в них не должна пре-
вышать 5%. Потеря напряжения находится по формуле:
At7% = — (- +&V
U2 \ s 1	)
гд$ U =0,220 — напряжение; S =0,01—нагрузка; I =0,5—
длина линии; s — сечение проводов в мм\ а= 1430 — для
медных проводов; 6 = 24 — для воздушных линий.
Рис. 67.	Рис. 68.
91.	Тяжелое тело весом Р находится на плоскости,
наклоненной под углом а к горизонту (рис. 67.) Коэффи-
циент трения между данным телом и плоскостью — /.
При каких значениях угла а данное тело будет: а) дви-
гаться по плоскости вниз и б) находиться в равновесии?
92.	В двухколодочном тормозе (рис. 68) колодки при-
жимаются к барабану равными силами W посредством си-
стемы рычагов, которая на нашей схеме не показана. Рас-
четный тормозной момент 7ИТ должен быть в £ раз больше
крутящего момента на валу 7И, подлежащего погашению:
AfT где р = 1,75 —коэффициент запаса торможения.
38
Определить усилие Af, если М = 3000 кГсм, диаметр
тормозного барабана D = 50 см, а коэффициент трёния
между чугунной колодкой и стальным барабаном f — 0,15.
93.	Известно, что вертолет (рис. 69) может поднимать-
ся и опускаться вертикально, а также неподвижно висеть
в воздухе. При этом сила тяги несущего винта вертолета
р = a^nsDii где а — безразмерный коэффициент тяги,
зависящий от шага винта; р— плотность воздуха; ns —
число оборотов винта в секунду; D—диаметр винта.
При каком значении секундных оборотов ns вертолет
весом G будет: а) подниматься, б) неподвижно висеть в
воздухе и в) опускаться?
Шаг винта полагаем постоянным, следовательно, и а =
= const.
94.	Подъемная сила крыла самолета вычисляется по
формуле:
Y =CySp-^-,
где Су—коэффициент подъемной силы, зависящий от уг-
ла атаки крыла; S — площадь крыла; р— плотность воз-
духа; v — скорость самолета.
Полагая угол атаки крыла постоянным, определить
скорость, при которой самолет весом G (рис. 70) будет
лететь на режиме: а) набора высоты, б) горизонтального
полета и в) снижения.
БИНОМ НЬЮТОНА
95.	Пользуясь формулами задачи 62, определить, во
сколько раз изменится потеря напора в трубе при увели-
чении ее диаметра на 5 мм, считая все остальные величи-
ны в формуле неизменными.
39
96.	Усилие в ходовом конце каната полиспаста
(рис. 57):
k"—\
где Q — вес поднимаемого груза; k= 1,02 — коэффициент
сопротивления блока; п — число ветвей полиспаста. Выве-
сти упрощенную формулу для вычисления Р и, применив
ее, определить Р, если Q = 1500 кГ и п = 5.
97.	Газ сжимается в сосуде, стенки которого хорошо
проводят тепло. При этом абсолютная температура и дав-
ление газа связаны следующим уравнением:
/'Г	\ п
р*. — [ И ]п—1
Pi /
где п= 1,2—показатель политропы; рг и р2 — соответст-
венно давления первого и второго состояния; 7\ и Т2—
соответственно абсолютные температуры первого и вто-
рого состояния.
Температура в сосуде измеряется посредством помещен-
ной в нем термопары. Пусть во втором состоянии при сжа-
тии температура получила небольшое приращение А/ = 5°
против первого состояния. Определить, какое приращение
получило при этом давление. Температура 7\ = 300° и
кГ
давление р± = 2— первого состояния известны.
см2
98.	Тяга, воздушного винта и потребляемая им мощ-
ность вычисляются по формулам: Р = apzf D4; W ~|3(7i^D5,
где D—диаметр винта; ns — число оборотов винта в се-
кунду; р — плотность воздуха; аир — коэффициенты, за-
висящие от конструкции винта.
При ремонте винта (рис. 71) для удаления с его кон-
цов царапин и зазубрин пришлось уменьшить его диаметр
на величину AD, которая значительно меньше диаметра D.
Определить, на сколько снизилась тяга этого винта и
потребляемая им мощность при тех же секундных оборо-
тах, если полагать все остальные параметры, входящие в
формулы, неизменными.
99.	Известно, что Т\—долговечность вала, вращаю-
щегося с постоянной угловой скоростью, при приложении
к нему поперечной нагрузки (рис. 72), равной
40
Определить, на сколько уменьшится долговечность ва-
ла, если нагрузка увеличится на AQ. Зависимость между
нагрузкой и долговечностью устанавливается формулой:
Л _
?2 \Qj ’
где Q2 и Т2— нагрузка, отличающаяся от Qj и соответст-
вующая ей долговечность.
ПРОИЗВОДНАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ
100.	Прочность бруса прямоугольного сечения при ра-
боте его на изгиб прямо пропорциональна ширине и кубу
высоты. Найти ширину бруса наибольшей прочности, ко-
торый можно вырезать из бревна диаметром D ~ 30 см.
(рис. 73.).
101.	Вращающий момент, получаемый пароходом от
поворота руля на угол ср, может быть выражен формулой
М = asin2cpcos(p. При каком угле поворота получается
максимальный момент?
102.	Из решения задачи 65 имеем общее время сни-
жения парашютиста: = /14-12,
.	* '	< И gt*
где — время снижения без парашюта; /2 =----------— —
и2 2v2
время снижения с парашютом; Н — общая высота;
v2 = 7 —-----средняя скорость снижения на парашюте;
сек,
g = 9,81 —------ускорение силы тяжести.
сек2
41
Определить, через сколько времени после прыжка пара-
шютист должен открыть парашют, чтобы возможно доль-
ше продержаться в воздухе.
103.	При переходе электрической линии через реку
(рис. 50) провисание провода по отношению к левой опо-
ре выражается формулой:
f = ql2 I Hh2 h
'X	2*
где g = 2 — — вес одного метра провода; / = 200 м —
м
расстояние между опорами; Н = 1000 кг — горизонтальная
составляющая натяжения провода; h — разность высот
точек подвеса.
Определить разность высот правой и левой опор А, при
которой провисание Д будет минимальным.
104.	Объем открытого цилиндрического резервуара для
хранения жидкости (рис. 74) равен V = 10 м3. Определить
диаметр Dm и высоту Нп. при которых его вес будет наи-
меньшим, если толщина стальных листов, идущих на из-
готовление цилиндрической части и плоского днища, по
конструктивным соображениям, принята одинаковой.
105.	Отношение площади поперечного сечения трубо-
провода к его смачиваемому периметру называется гидрав-
лическим радиусом. Чем больше гидравлический радиус,
тем меньше потеря напора (давления) по длине трубопро-
вода. Определить стороны прямоугольного сечения трубо-
провода, при котором потеря напора будет наименьшей,
если площадь поперечного сечения его F.
106.	Требуется передвинуть груз весом Q по горизон-
тальной площадке (рис. 75.). Под каким углом а к гори-
42
зонту выгоднее всего приложить сдвигающую силу Р, ес-
ли коэффициент трения между грузом и площадкой равен
/ = 0,2.
107.	При расчете поршневого насоса важной величиной
является максимальная скорость поршня. Поршень М
(рис. 76) приводится в движение посредством кривошипно-
длина
в начальный
<Р
Рис. 77.
шатунного механизма ОАВ через крейцкопф В и
вой шток ВМ. Кривошип ОА длиной г вращается
янной угловой скоростью со относительно оси О.
лить максимальную скорость поршня, если
АВ = Z, а отношение ~ = X = 0,25. Угол
I
момент равен нулю.
108.	При производстве геологоразве-
дочных и буровых работ из скважин
постоянно приходится брать пробы грун-
та. Натяжение каната Т (рис. 77) скла-
дывается из веса грунтоноски Р и веса
каната, опущенного в скважину. Для
конструктора, проектирующего лебедку,
важно знать максимальный момент на
барабане. На первый взгляд кажется,
что момент должен быть наибольшим
в первое мгновение подъема, когда весь
канат смотан с барабана и сила Т мак-
симальна. Однако по мере наматыва-
ния каната плечо действия силы Т от-
носительно оси барабана увеличивается
и в результате максимальный момент
получаем не в самом начале подъема,
а в каком-то промежуточном положении. Определить чис-
ло слоев каната п на барабане, при котором момент си-
лы Т наибольший.
поршне-
с посто-
Опреде-
шатуна
43
Примечание. При решении воспользоваться выведенной в за-
даче 67 формулой для определения длины п слоев каната, навитого
на барабан: L — nmn(D -[• nd). Полагать вес всего каната равным Q,
вес единицы длины его q, диаметр барабана D, диаметр каната d,
по длине барабана помещается т витков.
109.	Прогиб балки, нагруженной сосредоточенной си-
лой Р (рис. 78), описывается уравнением:
у = — х [2/ (/ — х) — 62 — (/ — х)2],
где С —постоянная, характеризующая жесткость данной
балки. Определить положение и величину максимального
прогиба балки.
ПО. Из прямоугольного листа жести шириной b =
= 4 дм требуется изготовить желоб прямоугольного сече-
ния (рис. 79.) Определить наибольшую площадь попереч-
ного сечения желоба.
111. На рисунке 80 показана консольная балка пере-
менного сечения, нагруженная на конце сосредоточенной
силой Р. Ширина балки Ь, наименьшая высота hlt наиболь-
44
шая — h2 и Длина А. Напряжения изгиба в любом попереч-
ном сечении можно найти по формуле:
6М
а =----,
bh*
где М — изгибающий момент, действующий в рассматри-
ваемом сечении; h — высота этого сечения. Сечение, в ко-
тором напряжение изгиба наибольшее, называется опасным.
Определить положение опасного сечения и величину на-
пряжения в этом сечении.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
1.	Неизвестную толщину стенки обозначим через х.
Тогда x-\-l = L. Подставим в полученное уравнение числа:
х-]-25 = 37. Отсюда находим: х— 12 мм.
2.	Искомое число секций пульповода обозначим через
х. Тогда длина всех секций равна 8 х. Если сюда приба-
вить длину трубопровода самого земснаряда, то получим
все расстояние 350 м, т. е. 8х Ц- 46 = 350. Отсюда 8х —
- 304 и х = — = 38.
8
3.	Площадь одной шайбы F = ~ (Z)2 — d2) = ^-^-(52 —
4	4
— 2,22^^ 15,8 см2. Если площадь листа х, то отход соста-
вит 0,35 х. Вычтя из всей площади листа х площадь от-
хода 0,35 х, получим площадь 25 шайб, равную 15,8 X
X 25 = 395 см2. Таким образом, составляем уравнение:
х — 0,35x^- 395. Решаем его и находим: 0,65х = 395 и
х = 610 см2.
4.	В нашем случае == 1 —> поэтому, подставляя
СМ2
заданные величины в основное уравнение гидростатики,
получим: 1,15 = 1	150у.
Отсюда у = 0,001 —.
СМ3
5.	Пусть искомое расстояние центра тяжести С от пра-
вой опоры А равно х. Если на опору В действует Gj =
= 12 кГ, то на правую опору А приходится остальная часть
веса детали, т. е. G2 = G—	15 кГ.
Вес детали между опорами А и В распределяется обратно
пропорционально расстоянию точки С от опор, т. е.
46
61	62	12
= —— или — =
X I — X X
15
45 — х
Отсюда 12(45 — х) = 15х и х = 20 см.
6.	Вес груза Q прикладывается к рычагу АС в двух
точках Лий (рис. 6). Рычаг будет находиться в рав-
новесии, когда — • а= -^ (/ — a) -j-P • b.
2	2
Q 26
Откуда 7 " 77?
7.	Обозначим искомое число витков через х. Видимо,
число зазоров будет на единицу меньше числа витков пру-
жины и потому можно составить уравнение: 5х + 8 (х —
- 1) = 122.
Его решение дает х = 10 витков.
8.	Найдем период колебаний отстававших часов:
т
= 2.3,141/ — ^0,89714 сек.
’ V 980
Затем определим, каким должен быть период колебаний 7*0
при правильном ходе часов. Переведем 12 минут в секун-
ды и разделим на число минут в сутках, т. е. на 1440.
Получим, что за одну минуту часы отставали на 0,5 сек.
г» 1	60	60	оо ,,
В 1 минуту совершалось п = — = —^66,88 колеба-
0 5
ний. За одно колебание часы отставали на А/ = — =
п
= сек. ^0,00748 сек. Теперь очевидно, что TQ = Т —
66,88
—А/ = 0,88966 сек. Обозначим величину, на которую надо
укоротить длину маятника, через х. Тогда новая дли-
на маятника будет равна /0 = I —х. Поскольку Го =
= 2лр/~то получаем уравнение:
То = 2л1/ —, или 0,88966 = 6,281/
° V g	’ И 980
Решаем его и находим х^0,4 см.
9.	Число резов будет на единицу меньше числа досок х-
Следовательно, Ь^х — i) = b.
47
как уравне-
k i
v = у— 1 и
км в час.
Откуда х = —= —i— = 10.
J	+ t 20 + 4
k
10.	Рассматриваем формулу f — ~~~~03 -
ние, которое решаем относительно v : 0,03
k-f	0,22-0,15 _ .г а м
v =------ = —-——— ~ lo,o------, или 56
0,03/	0,03-0,15	сек2
11.	Пусть радиус детали R = у. Из прямоугольного
треугольника ОАВ по теореме Пифагора следует
ОА2 = ОВ2 4- АВ2,
или /?2 = (/?-/г)24-(-^г = R2 — 2/?/г4-Лг4-^-.
Откуда 2R = h 4- Так как D = 2R, то D = h 4- —.
Рассмотрим числовой пример. Пусть непосредственным
измерением найдено, что h — 4 см и I 40 см. Тогда по
выведенной формуле находим диаметр детали:
D = 4 4- — = 104 см.
1 4-4
Примечание. Задачи 11 и 12 можно решить также, приме-
нив теорему о делении гипотенузы прямоугольного треугольника ос-
нованием перпендикуляра, опущенного из вершин прямого угла.
12.	Из прямоугольного треугольника ОСЯ* (рис. 81)
видно, что
* Смотри примечание к решению задачи 11.
48
4+[т_(г+"1]'
Для сокращения вычислений при преобразованиях введем
D
новое неизвестное: х =-----г.
2
Тогда будем иметь уравнение:
хг=(Я + (х-//)2,
или хг = -—|- х2— Wx^-H2.
Отсюда х — - + 4—.
8Н
Рис. 82.
Подставим вместо х его значение — г и получим:
D = /7 4-— + 2г.
4Н 1
В случае измерения наружного диаметра (рис. 82) исход-
ное уравнение принимает вид:
Откуда D = Н ---------2г.
Как видим, отличие от первого результата состоит только
в знаке последнего слагаемого правой части.
49
13.	Из рисунка 9 нетрудно установить, что d— d2- =
Откуда d = di — d^~d^- X.
Например, если известно, что — 50 мм\ d2 = 30 мм\
I = 200 мм\ X — 50 мм, то d = 50 — —30 . 50 —45 мм.
200
14.	На основании закона Архимеда объем части арео-
метра, погруженной в жидкость с удельным весом у0, ра-
вен —, а объем погруженной в жидкость части с удель-
7о
ным весом у равен
Учитывая, что во
первом, на величину
получаем:
Q_
втором случае объем больше, чем в
объема цилиндрической части
2-= -5-+/.Х.
7 7о 1 7
7о ~~ 7
77о
гч	Q
Отсюда х = —
15.	Непосредственно из рисунка 11 следует, что ОВ =
= ОО± + ОХА + АВ.
Заменяя ОВ = —, ООХ = е, ОгА = -, АВ =
2	2	’
D । d । Q
получим: — = е-|---ор
Откуда е = d-—Si.
16.	Пусть R—наружный, а г —внутренний радиусы
трубы (рис. 12).
Тогда:
R -- Sg “Г г — е == И- г или 5g — в = 5,	с.
Откуда е =
17.	Наименьшая возможная длина окружности детали
Отсюда х =	— L.
Примечание Как при определении наименьшего возможного
зазора, вычисление которого необходимо для проверки возможности
50
применения ленты заданной длины, так и при определении диамет-
L 4- х
ра изделия по формуле D = —-— значение к = 3,14... может ока-
заться недостаточно точным и его надо брать с большим числом зна-
ков, например: тс= 3,1416...
18.	Объем газа в конце сжатия Vk = Vo—S-/, поэтому
можно записать, что та = ———.
V0~5./
В полученном уравнении неизвестным является начальный
объем Vo, который будет равен:
чт	т* • 5• I
0	/иа — 1
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
19.	По условию —' = i. В то же время	поэто-
/?2	/^2 Zj
му — = i и ?1 4- ?2 = Zc.
21
В результате получаем систему двух уравнений:
Z2
— = г,
2i
Z1 ^2 =
совместное решение которых дает	и z2 =	•
i + 1	i + 1
Нередко получается, что после вычислений числа Zj и
z2 оказываются дробными. Тогда число зубьев одного из
колес округляют до ближайшего целого числа, а число
зубьев второго колеса находят из уравнения: zx Ц- z2 ~ zc .
После этого проверяют полученное передаточное отношение.
Если отклонение от заданного значения получается допус-
тимым по условию работы механизма, то на этом подбор
числа зубьев шестерен заканчивается.
Рассмотрим числовой пример. Пусть ?с = 64, i = 2.
Число зубьев первой шестерни
Z, = -2- = -- = 21,33.
i + 1	2+1
Принимаем после округления zx = 21. Тогда число зубьев
второй шестерни z2 = zc — Zi — 64 — 21 = 43.
Фактическое передаточное отношение i — — = — == 2,05
приемлемо.
51
20.	Числа оборотов зубчатых колес связаны с числом
их зубьев зависимостью .
Применяя здесь зависимость между диаметрами начальных
окружностей и числом оборотов зубчатых колес, получим:
2* 1^2*
С другой стороны, А ==
Затем решаем систему уравнений и находим:
. 2Л	.
di _-----—9 а2 _
\ + ^
2Л
<2
Z‘>dt — Zid-2 — 0,
di —|- йг = 2/1,
21.	Обозначим силу, сжимающую внутреннюю пружи-
ну через а силу, сжимающую наружную пружину,
через Р2. Но так как в сумме эти силы равны Р, то мож-
но записать уравнение: Р±-\- Р2 — Р.
Для нахождения второго уравнения используем то усло-
вие, что при сжатии обе пружины укоротятся на одина-
ковые величины, т. е. tx = /2.
Укорочения первой и второй пружин определяются по
.	/ Р1 4 Р2
формулам: = -X и t2 = -2.
Ci	с2
Так что второе уравнение имеет вид:
или С2Р, = С,Р2.
Сг С2
Решаем совместно систему уравнений:
Р1 + Рг = Р, 1
С2Р1 = С.Р2 J
и получаем:
?! = С1  Р кГ, Р2 = - -Ci Р кГ.
^1 + ^2	£1 + ^2
22.	Обозначим длину одного шва череза длину дру-
гого—через /2 (рис. 18) и общую длину боковых швов обоз-
начим через U , т. е. h = Л + 4-
Возможно наименьшая длина /§ найдется из того условия,
что наибольшие напряжения в швах ттах не превзойдут
величины допускаемого напряжения [тэ L т. е. ттах<С[тэ ].
Это записано так называемое условие прочности. Так
52
как наибольшие напряжения на срез для швов в Tex-
нике определяются формулой ттах =----------, то условие
0,7/Zs
N / г I
прочности примет вид:--------[тэ J.
0,7 th
~	N	15000
Отсюда ь >------------—-------------
0,7/[тэ ]	0,7-0,8-1000
26,8 СМ.
Итак, имеем: /14-/2 = 26,8 см.
В то же время усилия, приходящиеся на каждый из
двух швов, распределяются обратно пропорционально рас-
стояниям их от линии действия силы /V, т. е. — =--
^2	20
Величины b и zQ находятся в специальных таблицах
(см., например, Н. М. Беляев, Сопротивление материа-
лов), называемых сортаментом. По сортаменту находим
г0 = 2,1 см и b = 7,5 см.
Таким образом, для нахождения длин /х и /2 имеем два
уравнения:
h -f" ^2 =
l_i = 6~2q
1г	*о ’
или
h + /2 = 26,8;
^2,57.
1%
Решение этой системы дает: = 16,4 см и /2= 10,4 см.
23.	Обозначим: х—длина первого участка из стали
1Х18Н9Т; у—длина второго участка из стали 20.
Составим уравнения:
х + у = L,
ах/ • х	«2 • t • У = AL,
совместное решение которых дает:
a2Z ~L
х =--------- = 100 мм и у = L—х = 100 мм.
24.	Для нахождения величин Si и S2 надо совместно
решить уравнения:
Si— S2 = 20,1
Si + S2 = 50./
Ответ. Si = 35 S2 = 15 кГ.
53
25.	Подставляем в формулу f = a-]-bv сначала значе-
ния Л и v19 а затем значения /2 и v2 и получаем два урав-
нения:
/0,4 = а-\- 0,1 Ь,
/0,5 = а + 0,5 Ь.
Из которых находим: а = 0,375 и Ь = 0,25.
26.	Обозначим долю углерода топлива, сгоревшего в
СО через х, а сгоревшего в СО2 — через у.
Всего в 1 кг бензина содержится 0,854 кг С, поэтому
у = 0,854.
При сгорании бензина с а < 1 можно считать, что во-
дород бензина вследствие большего химического сродства
к кислороду (по сравнению с углеродом) будет сгорать
полностью. Углерод же вступит в реакцию с оставшимся
кислородом и сгорит в СО и СО2.При этом продукты сго-
рания топлива при а < 1 будут состоять из Н2О, СО, СО2
и N2. Азота в воздухе содержится 77°/0, водорода в топли-
ве Н2 = 0,142 кг и кислорода О2 = 0,003 кг.
Поэтому при а = 1:
Lo = —	-0,854 4-8-0,142 —0,003= 14,83 кг.
Но так как а = 0,9, то на 1 кг бензина будет израсхо-
довано 0,9-14,83 = 13,25 кг воздуха, в котором содер-
жится О' = 0,23-L-a = 0,23-14,83-0,9 = 3,069 кг кисло-
рода. С другой стороны, количество кислорода, необходи-
мое для сгорания 1 кг бензина, можно выразить такой
формулой:
О' = у х+^-«/+8Н2-О2= | х4-у4-8-0,142 — 0,003.
Полученные два количества для О' приравняем:
-х + - 1/+ 1,133 = 3,069.
3	3
Получим два уравнения:
г х+ у = 0,854,
-х4--у = 1,936.
( 3	3
из которых находим: х = 0,598 кг и у = 0,256 кг.
Таким образом, при сгорании 1 кг бензина при а = 0,9
будем иметь:
54
С02 — -0,256 = 0,94 кг,
О
СО у. 0,598 = 1,40 кг.
Н2О 9Н2 = 9-0,142 = 1,28 кг,
Л/2 0,77-13,35 = 10,25 кг,
примесей воздуха 0,1-13,35 = 1,34 кг.
27.	Путь обгона равен
L = -^ = Ai 4~	• t -|- Л2 4
где t — время обгона и
L = | =
Решая эти уравнения совместно, получаем:
I =	+ М "Ь ^2.
'2»
V, — Vn
х = 2V А + ^2 + ^1 + ^2
1 Vi - Кп
Например, если Аг — 20 м, А2 = 30 м, L2 = 4 м, Li = 6 м,
У] = 60 —, Уп = 40 ~, то
час ’	час 9
х=2.60.2°-|-30 + , + 6- 360л<.
60 — 40
28.	При прямом полете к скорости самолета относи-
тельно воздушной массы прибавлялась скорость ветра, а
при обратном полете скорость ветра отнималась. Поэтому
скорость самолета относительно поверхности Земли была
при прямом полете V 4~ VB, а ПРИ обратном — V — Рв.
Теперь легко составить уравнения:
—-—= Л.
v + vB
—-—= t2.
И-ив
Их решение дает:
v = ±/±+Ч,
2\l,	1,1	2 U <,/'
Пусть £ист, самолет пролетел за G 4~ h часов, летя со
скоростью V. Поэтому можно записать, что
^ист = У (6 4~ h) = 2L (fi —12) VB.
55
29.	Применим основное уравнение гидростатики к точ-
кам А и В и получим:
Pi = Ро+Йь
Рг = Ро + ТЛ2-
Из рисунка 21 видно, что й2 — hi = h. Поэтому для на-
хождения р0, h и hx имеем систему трех уравнений:
( А + Ро = Pi.
•! ТЛ2 + р0 = р2,
( h2 — hi = h ,
решая которую, получим:
Ро = Р2 — уйз, h — Р1~Рг , Л1 = Л2 —
30.	Обозначим усилие в ножке 1 через X, в ножках
2 и 4 через Y (эти усилия одинаковы вследствие симмет-
ричного расположения ножек 2 и 4 относительно диаго-
нали 1 — 5), в ножке 3 — через Z. Очевидно, что сумма
усилий в ножках стола равна весу детали, т. е.
Х + 2У Z = G.	(1)
Если взять сумму моментов всех сил относительно диаго-
нали 2—4, то получим второе уравнение:
х. g. tyi—z .2К1 = о,
или IX —2Gt — IZ = O:	(2)
Будем считать, что крышка стола под действием груза G
займет положение, изображенное пунктиром А—А; эта
значит, что укорочение ножек 2 и 4 равно среднеарифме-
тическому укорочению ножек 1 и 3. Но укорочения но-
жек пропорциональны действующим сжимающим усилиям,
поэтому
= 2Y, или X + Z = 4Y.
2
В результате имеем систему трех уравнений:
I X + 2K-f-Z = 300,
< X — Z = 60,
(X — 4F4-Z= 0.
Отсюда находим: X = 130 «Г, Y = 50 кГ, Z = 70 «Г.
56
31.	При решении задачи будем пользоваться схемой,
<зображенной на рисунке 83. Обозначим реактивные уси-
тия на опорах через Л?2 и /?3. Эти усилия вызывают-
ся весом G, поэтому
/?1 +	/?3 — G.	(1)
Второе уравнение по-
1учим, если составим
сумму моментов отно-
сительно опоры 2:
Рис. 83.
Рис. 84.
/?т/—/?3/— Ga = 0.	(2)
Третье уравнение, составленное с помощью уравнения
изогнутой оси балки, мы приводим в готовом виде
6/?1 + /?2-48 = 0.	(3)
Решим полученные уравнения:
-j- Rs =~ 25,
22?! — 27?2	= 12,5,
62?! + /?2	= 48.
Откуда находим: /?] = 4,2 т , /?2 = 22,9 т , /?3 = — 2,1 т .
Знак (—) перед 7?3 говорит о том, что эта реакция дей-
ствует в направлении, противоположном изображенному на
чертеже.
32.	Условно можно изобразить мост схемой (рис. 84,а),
где q означает вес 1 м длины моста, называемый интен-
сивностью распределенной нагрузки. Реактивные усилия
на опорах обозначим буквами R2 и R3. Очевидно, сум-
ма усилий /?i, R2 и /?3 равна весу моста G, т. е.
Ъ + Кг + R^G.	(1)
57
Составляем сумму моментов всех сил, действующих на мост,
относительно, например, третьей опоры:
+	=	(2)
Для получения третьего уравнения схему моста предста-
вим в виде двух балок, изображенных на рисунке 84, б.
Наложение этих двух схем друг на друга и дает исходную
схему. Балка схемы 84, б прогнется в точке 2 (рис. 24)
от распределенной нагрузки (собственного веса) вниз на
величину /х, определяемую формулой:
f = 5	*
'1 “ 384 EJ ‘
Здесь произведение EJ называется изгибной жесткостью.
Балка схемы 84, в тоже прогнется в точке 2 от реактивно-
го усилия Т?2 вверх на величину /2, определяемую формулой;
f = /?2/3*
'2	48 EJ ’
Но так как при наложении схем б) и в) прогиб
2 должен отсутствовать, то это возможно при
что /1 = /2, или
б?/* R2l3
384 EJ WEJ ‘
Таким образом, имеем систему трех уравнений:
+ + =
^/ + ^2- “у = 0,
5 д!> ______ /?2/3
384 К/ 48 EJ *
Из третьего уравнения находим, что
о
Из первого и второго уравнений определяем:
в точке
условии,
(3)
(1)
(2)
(3)
* Формулы выводятся в курсе сопротивления материалов.
58
После подстановки числовых значений будем иметь:
7?i = R3 = 60 т и R2 = 200 m.
33.	Обозначим растягивающие усилия в стержнях / и 2
(рис. 85) соответственно через и N2 и реакцию опоры А
через Ra. Тогда, очевидно,
Ra + N1-\-N2 = Q.	(1)
Далее запишем сумму моментов сил относительно точки А
N, • а-\-N2(a-\-b) — Q(a^c) = 0.	(2)
Под действием груза стер-
жни 1 и 2 растянутся и
жесткий брус АВ повер-
нется около точки Л, за-
няв положение, изображен-
ное пунктиром на рисун-
ке 85. Отрезки СС± и BBt
являются удлинениями
стержней 1 и 2 и соот-
ветственно равны СС± =
Рис. 85.
= ki • A/i, ВВ{ = k2 • N2.
Из подобия треугольников ABBt и АССГ следует, что
ЛВ	k2N2 a + b
CCt ~ AC ’ ИЛИ krNi ~ a
После подстановки числовых значений имеем:
/?a + ^ + W2 = 5,7,
-р 3TV2 — 11,4 = 0,
N2 = QNl
Решая эту систему, получим:
/?а=1,5/п, Nx = 0,6 т и У2 = 3,6т.
(3)
(1)
(2)
(3)
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
34.	Обозначим через х расстояние между краями лис-
та и отверстия. Площадь отверстия S = (а— 2х) (Ь— 2х),
или 4х2— 2 (а 4- Ь)х 4- (ab—S) = 0,
откупа х _(a + b)±V(a + by-4(ab-S)t
о1 куда Х1,2 —------------------------------
Величина, стоящая под корнем, больше нуля. В этом
можно убедиться, если представить решение уравнения в
виде:
59
_ (a + &)±/(a-t)2 + 4S
ХЬ 8------------
Условию задачи удовлетворяет только один корень
(a + fc)_/(a_fc)a + 4S
Х1= _
так как
(о + &) + К(д - &)2 + 4S а + b > Ь_,
4	4^2*
Рис. 86.
где b — меньшая сторона листа.
Геометрический смысл обоих
корней ясен из рисунка 86. Пос-
ле подстановки числовых зна-
чений
Рис. 87.
_ (60 + 40) - /(60 - 40)2 + 4-1000 _
X j	О г СЛъ •
4
35.	У самоцентрирующих патронов (рис. 27) все кулачки 1
перемещаются одновременно, при этом их поверхности 2, ко-
торыми зажимается обрабатываемая деталь, находятся на
одинаковых расстояниях от оси вращения шпинделя (точ-
ка С). Это значительно упрощает и ускоряет установку
деталей с цилиндрическими поверхностями, у которых гео-
метрические оси всех участков должны совпадать (рис. 87).
При обработке эксцентричных деталей геометрическая
ось зажимаемого в кулачках патрона цилиндрического
участка должна быть смещена относительно оси враще-
ния на величину эксцентриситета е. Для этого под один
из кулачков необходимо подложить мерную пластину.
Из косоугольного треугольника ОСА (рис. 88)
ОН2 = АС2 4- ОС2 — 2ОС • ЛС.	(1)
60
В прямоугольном треугольнике АКС
^КСА = — =	= 60° и
2	2	2
Учитывая, что при принятых обозначениях
ОА=~, DC = e, АС =-А-х — е,
2	2 1
и после подстановки в равенство (1) получим:
О2 id 1	\2 । 2 /О ।	\
Рис. 88.
Рис. 89.
или у2 — еу —	---е2) = 0,
D ,
где у = —~е-\-х.
(2)
Решая полученное квадратное уравнение, имеем:
Л. = f ± У7 + (т~е!) " 7 ± У®573®-
Подставим вместо у его значение из (2) и из получен-
ного уравнения найдем толщину пластинки:
Х1 2 =	D*Зе*--(Р —Зе) 9
,2	2
D Г г__________ 1
или х1)2 = - I ± у 1 — зе2 _ 0 _ з8) I
е
где е =----относительный эксцентриситет.
61
При рассматриваемом методе обработки эксцентричных
деталей наибольшая величина эксцентриситета ограничи-
вается возможностью закрепления детали в кулачках.
Теоретически предельный случай показан на рисунке 89.
Из прямоугольного треугольника СОА теоретически наи-
большая возможная величина эксцентриситета:
D
е _-------
т 2/Т ’
Соответствующий относительный эксцентриситет:
вт	1
е-=р =^~°>288-
На практике обработку эксцентричных деталей в трех-
кулачковых самоцентрирующих патронах производят при
относительных эксцентриситетах: 0 < е < 0,2.
При указанных ограничениях в величине относитель-
ного эксцентриситета условию задачи удовлетворяет
только один корень:
Х = Xi = -y[i/T^3F—(1-3/)].
Второй корень
= ~(1 ~ Зе) ]
при этом получается отрицательным, что не имеет физи-
ческого смысла.
В нашем случае относительный эксцентриситет
и толщина пластинки
X =	1-3-0,12 — (1 — 3 - 0,1) ] ^7,12 мм.
36.	В результате кривизны поверхности, вала измерен-
ный размер h (рис. 28) не соответствует заданному на
чертеже размеру Н. Для того чтобы судить о допусти-
мости данного способа измерения, найдем величину абсо-
лютной ошибки: х = Н — А.
Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме
Пифагора ОС2 = ОВ2-\-ВС2.
62
Учитывая, что ОС = —; ОВ = — —х\ ВС = —, пос-
2	2	2
ле подстановки получаем:
D	, т /~ D2 — ь2
откуда	— — х = ± |/ —-—
Знак плюс перед корнем не отвечает условиям задачи,
так как ошибка не может быть больше радиуса вала.
Следовательно,
Ь2
Величина — мала
по сравнению с единицей. Это по-
зволяет воспользоваться приближенной формулой:
/1 —а~1—
Ошибка во много раз превышает точность измерений,
что совершенно недопустимо. Для того чтобы не допу-
скать подобных ошибок, на чертежах более правильно
вместо размера Н указывать размер t (рис. 90).
63
Пазы, подобные показанному на рисунке 28, доводы о
часто встречаются на валах. В них устанавливают приз-
матические шпонки, служащие для крепления на валах
различных деталей, например зубчатых колес, шкивов, ру-
кояток и т. д.
37.	Из прямоугольного треугольника ОАВ (рис. 91)
О А2 — АВ2 = ОВ2,
где х — искомое увеличение пути.
Извлекая из обеих частей уравнения квадратные корни,
получаем:
-у-х = ±-^VD^-b\
откуда х = D + i/£)2 _	\.
1,2	2 \	}
Условию задачи удовлетворяет только корень
Х =	(1)
так как х не может быть больше радиуса фрезы, что по-
лучается, если перед корнем взять знак плюс. Геометри-
ческий смысл второго корня
х2 = -^(D+|/D2_62)
ясен из рисунка.
В нашем случае
X = ~ ( юо — у 1002 — 802 ) = 20 мм.
Представим зависимость (1) в виде
(2)
Из формул (2) видно, что с увеличением отношения
— дополнительный путь, проходимый фрезой, увеличи-
64
вается и достигает наибольшего значения при -~= 1. В
D
последнем случае х = —.
Если 1, то обработка за один проход невозмож-
на, так как фреза не может перекрыть всю ширину обра-
батываемой поверхности и приходится делать несколько
проходов. Уравнение при этом не имеет вещественных
корней.
Для сокращения времени обработки стремятся к тому>
чтобы путь, проходимый фрезой, был возможно меньшим.
Это можно достигнуть, увеличивая диаметр фрезы. Одна-
ко существуют и другие пути для достижения этой цели:
последовательное расположение деталей на близком рас-
стоянии и т. п.
38.	На основании теоремы о квадрате касательной
(рис. 30) NS2 = NO2 — МО2, или, учитывая, что согласно
допущению, принятому в условии задачи, NS = /, имеем:
= +
откуда /? + Л = ±]Л?2 + /2 и Л, а = - /? ± ]Л/?г + /2.
Знак минус перед корнем не удовлетворяет условию
задачи, так как высота телевизионной мачты не может
быть отрицательной, следовательно,
h =
или й = /?[/ 1 + ^-1 ].
/2
Учитывая, что величина — мала по сравнению с еди-
R2
ницей, воспользуемся приближенной формулой:

Р
В нашем случае а =— , тогда
R2
. I2 8802
йяа— =--------«61 км.
2R 2-6368
3 Заказ 2345
6$
Если воспользоваться точной формулой, то для полу-
чения результата с такой же степенью точности во всех
промежуточных вычислениях необходимо было бы сохра-
нять не менее пяти значащих цифр, так как здесь имеет
место разнссть близких величин.
Из ответа видно, что поставленная задача практически
нереальна.
39	Для решения задачи воспользуемся теоремой о
свойстве секущих, проведенных из одной точки к окруж-
ности. Из рисунка 92
АК (AK + W^AB-AD.
Учитывая, что АК = х; АВ = I — b\ AD = l-\-b,
где х—величина отклонения. Подставляя в первоначаль-
ное равенство, получим:
х(х + 2/?) = (/-&)(/ + Ь),
или х2 -|- 2/?х — (Р — Ь2) = О,
откуда Х1.2 = — 7? ± VR2 + (P—b2).
Знак минус перед корнем не отвечает условию задачи,
так как отклонение не может быть отрицательным, следо-
вательно,
х = Xi = R 1 +
/2 —fe2
R2
/2 _ (j2
Величина обычно мала по сравнению с едини-
цей. В этом случае воспользуемся приближенной формулой

где а =
/2 — 62
R2 ’
/2 — 62
тогда х .
27?
Для удобства вычислений при помощи логарифмичес-
кой линейки приближенную зависимость представим в
виде;
х
(/-£)(* 4-6)
2R
66
В нашем случае
15,5 —
(15,5 +
2 • 300
0,36 м.
Величина смещения получилась весьма значительной, и
если длинный груз имеет также большую ширину, то на
поворотах его конец может выйти за железнодорожный
габарит, что недопустимо.
40.	Обозначим ошибку, получаемую при измерении
диаметра отверстия штангенциркулем с плоскими ножка-
ми, через х (рис. 93).
Из прямоугольного треугольника АВС
сР = а2-\-Ь2.
Учитывая, что d = a-\-x
после подстановки получаем: ~(ах)2 = а2Ь2,
откуда *1,2 = ± У~а2 -\-Ь2 — а.
Отрицательный корень не отвечает условию задачи,
следовательно,
х =	= уа* + Ь*-а =/ 15»-I- 6» — 15^ 1,16 мм.
Такая ошибка является совершенно недопустимой, так
как во много раз превосходит точность измерения разме-
ров штангенциркулем, которая колеблется для различных
видов штангенциркулей от 0,1 до 0,02 мм.
32 Заказ 2345
87
41.	Из прямоугольного треугольника О АВ по теореме
Пифагора (рис. 32) находим:
0В2 = 0424-ЛВ2,
или (/? —г)2 = (Я —Л)2+ (у‘~г) ’
откуда R — h = ±]/(R — г)2—	— г)2,

Л, =/? -]/(/? - г)2 - (-у - г)2,
A2«R+/(/?-r)’- (4“г)2,
Рис. 94,
моугольного треугольника
Геометрический смысл
корней уравнения показан
на рисунке 32. Очевидно,
что второй корень не удов-
летворяет условиям за-
дачи.
42.	Из прямоугольного
треугольника ADC (рис. 94)
XD2 = /2 —й2.
После нагревания стерж-
ней точка С переместит-
ся в положение Изпря-
ADC1
AD2 = (/ 4- /а/)2 — (й + х)2.
Исключив из этих уравнений AD, получим:
Р _ й2 = (/ + /а/)2 — (й + х)2.
откуда
й + х = ± V/2(2 + at) a t+h*,
Х1.2 = ± У Р (2 at) at 4* й2—й,
Xj = //2 (2 4- at) at 4-й2 — й,
х2 = —У /2 (2 4- а/) а/ 4- й2 — й.
68
Геометрический смысл корней показан на рисунке 94.
Условиям задачи удовлетворяет первый корень хх. После
простейших преобразований и подстановки числовых зна-
чений получим:	______________
* - X, - л [ |/21(2 + О(П + 1 -1
= 100II/''1".
. У юо*
(24-12. 10-6 . 120)12. Ю-6
120 4-1 —
— 1
1,3 мм.
При вычислении числового значения корня целесообраз-
но воспользоваться приближенной формулой:
+1-
43. Расстояние от ползуна В до оси вращения криво-
шипа О обозначим через х (рис. 33). По теореме ко-
синусов из косоугольного треугольника ОАВ
/2 = г2 4~ х2 — 2rx-cos <р,
или х2— 2rx.cos(p — (/2 —г2) = 0,
откуда хх ,2 = г • cos ф ± Vг2 cos2 ф 4- (Р — г2).
После простейших преобразований получим:
Х1>2 = Г.СО8ф ± УI2 —Г2.8Ш2ф .
Рассмотрим геометрический смысл полученной зависи-
мости. Первое слагаемое представляет проекцию криво-
шипа О А на прямую ОВ, второе — проекцию шатуна АВ
на ту же прямую. В зависимости от знака перед корнем
видим, что одному и тому же положению кривошипа, опре-
деляемому углом ф, соответствует два положения ползу-
на. Условию задачи удовлетворяет только первое положе-
ние, когда перед корнем берем знак плюс, т. е.
х = Xi == г • cos ф + /Z2— г2-8т2ф.	(1)
В тех случаях, когда у кривошипно-шатунного механиз-
ма — >5, в технических расчетах часто пользуются при-
г
ближенной зависимостью. Из равенства (1) находим:
х = г [cos ф 4- — j/1 — Zi sin2 ф]	(2>
з2*
69
или приближенно, учитывая, что величина— sin2<p при
— > 5 мала по сравнению с единицей, и используя при-
ближенную формулу
1/' 1 —sin2 ф 1---------— 51*п2ф,
Г Z2	2Z2 Y
[I / л2 \ 1
cos ф -|---I 1 — — sin2 ф) ,
откуда
х^г Г— -|-cosф-------— . —	— • — cos 2ф].	(3)
[г	4	14 I J	V 7
Приближенная зависимость особенно удобна для на-
хождения скоростей и ускорений ползуна аналитическим
путем. Для оценки ее точности найдем х по обеим зави-
симостям, приняв — = — и ф = 45°.
По точной зависимости:
х = г cos 45° 4~	1----р" • sin2 45°	5,6569г,
по приближенной:
х^г\5-------!------ + cos 45° + -----cos 90° ] ^5,6571г.
L 4	5	1 4	5 J
Из сравнения результатов видим, что расхождение в
величине х весьма незначительное.
44. Длина большего основания (рис. 34) b = а 4~ 2й tg а.
Площадь поперечного сечения канала
s = а + b а + (а + 2/г > tg а)
2	2
откуда tga • й2 4~ ah —S = 0.
h -	+ tg a
1,2	2 tg a
Глубина канала не может быть отрицательной величи-
ной, следовательно,
h = hl =	= i^+^S-tg 30^-2^	6л{>
2 tga	2>tg30°
70
45. Площадь поперечного сечения трубы
F = -^-(d2-dB2),
4
где dB— внутренний диаметр трубы.
Учитывая, что dB — d — 2х,
где х — толщина стенки, после подстановки получаем:
F = (d —2x)2j,
откуда (d — 2x)2 = d2 ——.
Извлекая из обеих частей квадратный корень, имеем:
Х1’2 = т ± т
Толщина стенки трубы не может быть больше радиу-
са наружной поверхности, следовательно,
х=х2 = A_J_l/d2--^ =
2	2'	гс
= —------ 1/ 142— 4'25 ^0,59 км.
2	2 Г	л
Трубы изготовляются с вполне определенной толщиной
стенок. Наиближайшая толщина стенки равна 0,6 см.
46. Тело массой т, находящееся на расстоянии х от
центра Земли, притягивается к земле силой
Р ___k • т - тх
где k — коэффициент пропорциональности; /Пх — масса
Земли.
Если эта масса находится на прямой, соединяющей
центры Земли и Луны, то к Луне она будет притягивать-
ся силой
г. kmm9
F2 = ----
(/-*)*
где т2 — масса Луны. По условию задачи = F2>
kmm. kmm9	х ,
следовательно, ----L =------ , или -----= ± 1/ ЛЬ..
х2	(/—х)а	1 — х Г т2
Решая полученное уравнение относительно х, получаем
два корня:
71
106
1^81,5
1 + |/8L5
«3,46- IQFkm
и x2— I
= =3,84 • 105 X8!5 .^4,32 • 105 KM.
I	V 81,5—1
Очевидно, что первый корень показывает точку, рас-
положенную между Землей и Луной (рис. 95), а второй—
Земля
Рис. 95.
точку, расположенную дальше Луны. В первой точке силы
притяжения к Земле и Луне равны между собой, но на-
правлены в противоположные стороны и уравновешивают
друг друга. Во второй точке силы притяжения Земли и
Луны будут складываться.
47. Будем считать вал 2 неподвижным (рис. 35). Если
переставить дифференциальную зубчатую муфту относи-
тельно вала 2 на один зуб, то вал I повернется на угол
8 = 3600
Z2
Произведя перестановку зубчатой муфты относительно ва-
ла 1 на один зуб в обратную сторону, получим угол по-
ворота вала 1 относительно муфты:
.	360е
о2 —----.
72
Угол поворота вала 1 относительно вала 2
360°	360°
8° = 8, —82, или после подстановки 8° =----------,
*3	*1
&° г, — z2	Аг
откуда — = —---------— —---------— .
360° гг • г2 га (г2 + Аг)
После преобразования z2 4- Д г • г2 — 360° р- = 0.
Решая это квадратное уравнение, находим:
г2 = ± ]/^-+360°^- -
Отрицательный корень не удовлетворяет условию зада-
чи. Следовательно,
т Г Аг2 . ОСЛО Аг Аг
2.= ]/— +36°	------
Легко видеть, что при 360°	= 0, величина гг тож-
дественно равна нулю и с увеличением Д г число зубьев
г2 возрастает. Для того чтобы иметь возможно меньшее
число зубьев при заданной точности регулирования, обыч-
но принимают Д z = 1.
Чтобы судить о порядке получаемых величин, разбе-
рем числовой пример.
Пусть В° = 0,5° и Д z = 1, тогда
г2 = /^ + 360° W-T = 26’3-
Производить вычисления с большей точностью нецеле-
сообразно, так как полученный результат все равно при-
дется округлять в большую сторону до целого числа зубь-
ев. После округления принимаем г2 = 27.
Число зубьев с другой стороны муфты ?i = za -f- Дг =
= 27 4- 1 = 28.
В результате округления в большую сторону факти-
ческий угол регулирования будет несколько меньше тре-
буемого, что ведет к увеличению точности регулирования.
Действительно,
8° = 360° —— = 360 ——	0,476°.
• za	28 • 27
Если осуществить ту же точность регулирования про-
стой зубчатой муфтой (без промежуточного зубчатого коль-
ца), то необходимое число зубьев
г=
Ь° 0,5*
т. е. значительно больше, чем у дифференциальной. Такое
большое число зубьев практически трудно осуществимо.
48.	Расчетная толщина шва (рис. 36) ko = 0,7 k.
Средний диаметр шва dc = d-\-0,5k.
Расчетная площадь шва (рис. 37) F = л • kodc .
После подстановки входящих величин, получим:
F = n . 0,7 • £(d + 0,5£),
или
+	----— =0.
0,35 тс
Решение этого квадратного уравнения дает:
k = -d± Vd2+(pfe-
f	U, oD ТС
Если перед корнем взять знак минус, то толщина шва
получится отрицательной, что не имеет физического смыс-
ла, следовательно,
* =	4-	— 1 1
Г 1 О.Збтса2 J
F
или, учитывая, что величина а = - -  --- мала по сравне-
нию с единицей, и используя приближенную формулу
/14-а «1 + у,
получаем
-i— =	» 0,395 см^4мм.
,7 тс d 0,7 • тс •
49.	Время, затраченное самолетом на прохождение
прямолинейных участков L в прямом и обратном заходах
(рис. 38) t = tr—12.
При прямом заходе к воздушной скорости самолета
прибавилась скорость ветра. При обратном заходе абсо
лютная скорость самолета относительно земли меньше воз-
душной на скорость ветра.
74
Время прямого захода:
L
Ti = —;—
v + t>B
Время обратного захода:
т2 = —-—
V~VB
После подстановки
/ — Т1 4" ^2 ~	-----1------,
V + vB V — VB
2 2L	2
ИЛИ V2 — ---V — V =0.
t	в
Обозначим через vc = — среднюю скорость самолета,
2	2 П
тогда v* — VcV — vB = 0,
। 1 / с/2	।	2
откуда vlf2 = — ± |/ vb-
Знак минус перед корнем не удовлетворяет условиям
задачи, так как скорость самолета не может быть отри-
цательной. Следовательно,
-4 >+/1+—
2	‘ r ‘
Испытания такого рода обычно не проводятся при
4vl
сильном ветре, поэтому отношение а=—т— мало по срав-
Vc
нению с единицей и, используя приближенную формулу
j/l 4-а^ 1 4- —,
получаем:
В практике проведения испытаний полученную ско-
рость v сравнивают с приборной скоростью и находят по-
правку к показанию прибора.
Примем L = 10 км\ t = 95,6 се к и = 10 м/сек.
75
n	2L 2 • 10 • 108 onQ o м
Средняя скорость: vc = — == ——-------«209,2 —.
Скорость самолета относительно воздуха:
о= р, 4-	= 209,2 + -5^- 209,7 —.
с 1 Vc	209,2	сек
50. Обозначим через х глубину погружения понтона в
воду. Ширина понтона на уровне воды у = a -J- 2x-tga.
Объем воды, вытесненной понтоном,
У = £+±х/,
2
ИЛИ
F = ° + <а + 2х xi = (ax _|_ x'tga) I.
По закону Архимеда Q = yV,
«откуда Q = (ах х2 • tga) Zy,
или tga • ха 4- ox---— = 0.
Решая данное квадратное уравнение, получаем!
— a±jAit+4=>.!L tga
Х113 —--------------------.
2tga
Так как отрицательный корень не имеет физического
•смысла, то
+ tga-a 1/1,52 4-tg8“-1,5
X = Xi =-----------5-------------------------------
2tga	2 . tg8°
«0,405 м.
51. На основании закона Архимеда Q = yV, где V —
объем погруженной части поплавка.
Учитывая, что V = — (г2-f-r/?-|-7?2), после подстанов-
3
ки Q = y/(ra + ^ + ^), или Я24-г/?4-г2 — ^- = 0,
3	i^h
76
откуда ^i,2=-----------------Г—± 1/	j/-2-
2	у n^h.	4
Второй отрицательный корень не отвечает условиям за-
дачи (он соответствует конусу, представленному на рисун-
ке 96). Следовательно,
7? = 7?я = 1/ -^---г2—
|/ тсуН 4	2
52. Обозначим через v ско-
рость установившегося дви-
жения.
Время разгона:
Путь, проходимый при
разгоне: Sx = —.
Время замедленного дви-
жения: /2 = ~.
а2
V2
Путь, проходимый при замедленном движении: S2 = — .
2^2
Время установившегося движения: ty = T — (/i + /2)-
Путь, проходимый при установившемся движении:
Sy = vtr
Учитывая, что Н = Si + Sy 4~ $2, после подстановки
гт ГУ2 I [т	/ О I V \ 1	I V2
имеем: Н =---------Т — I---------1----1 и -|-----, или
2aj |_	\а1 аг! J 2о2
о2 — 2 - д,а<- T-v-\-2 а,Д2 Н = 0.
01 + а2	01 Н" ^2
Решением данного квадратного уравнения будет:
0102
01 + а2
Т
t»X,2 =
j /~Г	I2 72 2 Н
У L а1 + а2 J	а1 + а2
Условию задачи удовлетворяет только один корень:
V = Vi =  Q1°2 Т — 1 f [—Е1^_Г г2 _ 2 а'а- Н.
Л) 4-0? У Loi + ojJ	<114-02
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим выра-
жение
77
Vo==-W-T,
fli + ^2
которое получается, если в решении уравнения отбросить
радикал. Преобразуя это выражение, получаем:
Л1 а2
Следовательно, v0—такая скорость, при которой подъем
бабы молота будет состоять только из двух периодов: раз-
гона и замедленного движения. Если перед корнем взять
знак плюс, то скорость установившегося движения будет
выше, что не имеет физического смысла.
При заданных параметрах движения скорость устано-
вившегося движения бабы молота:
9+Ю у [9 + 10J	9+10
2,04 — .
сек
53.	При определении положения центра тяжести тела,
имеющего сложную конфигурацию, его разбивают на эле-
менты, положение центров тяжести которых можно легко
найти. В нашем случае имеем два таких элемента: приз-
му квадратного сечения (брус) и призму прямоугольного
сечения (ребро) (рис. 97).
Расстояние от центра тяжести тела до произвольной
оси можно найти по формуле:
с = Q1C1 + <?2С2	/|ч
Qi + Q2 ’	'
где Q1 = y/F1—вес бруса;	— вес ребра; у —
удельный вес материала; / — длина элементов; fх и F2 —
площади продольных сечений призматических элементов;
сг и с2 — расстояния от центров тяжести элементов до
оси, относительно которой производится определение
центра тяжести тела.
После подстановки в формулу (1)
Q =	7^ 1с1 + 7^2С2
или	(2)
^1 + ^2
78
Сравнивая равенства (1) и (2), видим, что они отли-
чаются только тем, что вместо весов элементов в (1) и (2)
стоят площади их сечений.
Примем, что ось, относительно которой определяем по-
ложение центра тяжести, проходит через центр тяжести
бруса, тогда = 0 и с2 =	.
Учитывая, что F± = а2 и F2 = bx, получаем:
Рис. 97.
или
— ь
с =---
Ьх 4- а2
Рис. 98.
2 f— —eV — 2— = о,
\2	/ b
откуда
Так как высота ребра не может быть отрицательной, то
54.	Направим ось, относительно которой определяем
положение центра тяжести, таким образом, чтобы она про-
ходила через центр тяжести участка с большим диамет-
ром Сь и была направлена перпендикулярно к оси ва-
79
лика (рис. 98), тогда по аналогии с предыдущей задачей
расстояние центра тяжести от этой оси
тс тс	о / D2 \ ’
-<Px + -D*l 2* + — Z
4	4	\ d2 /
или
—-V —2с —/ = О,
\	2 /
откуда *1,2
так как х не может быть меньше нуля, то
Х = Х1= (с--0 + |/(С_1^+2С/^.
55.	Равномерно распределенная нагрузка часто встре-
чается при решении различных технических задач. В ка-
честве примера можно привести нагрузку от веса деталей,
сечение которых постоянно по длине, от давления жид-
кости на дно сосудов, газа и т. д.
Для равновесия балки (рис. 42) необходимо, чтобы
момент от силы Р, вращающий балку по часовой стрелке,
был равен моменту от равномерно распределенной нагруз-
ки, вращающему балку против часовой стрелки.
Момент от силы Р:
где х — расстояние от конца балки, нагруженной равно-
мерно распределенной нагрузкой до опоры.
Равномерно распределенную нагрузку можно заменить
одной сосредоточенной силой qx, приложенной посередине
загруженного участка. Момент от этой силы: qx •
Приравнивая моменты, получаем:	—х),
или х2 4- 2 —* — 2—1 = О,
‘ Я Я
80
р / Р2 р
откуда хЬ2 =-------± 1 / - + 2 -I .
Я V я2 я
Отрицательный корень не отвечает поставленным усло-
виям задачи, следовательно,
х С= Х1 =
1-|-2—— 1
Р
250 [ у 1	1000
56.	Обозначим через р переменное расстояние от оси
вращения до точки установки индикатора, т. е. р = О А.
Из косоугольного треугольника СОА (рис. 43) получаем:
/?2 = et р2 — 2ер • cos ф,
или р2 — 2ер cos ф — (/?2 — е2) = 0.
Решение данного квадратного уравнения дает:
Р1,2 = е • cos ф ± ]/е2 • cos2 ср —(Z?2 — ^2) •
Если R > е, то нетрудно видеть, что второй корень
отрицательный и не удовлетворяет условию задачи, сле-
довательно,
р == pj = е • cos ф 4- V cos2 ф Ц- (У?2 — е2),
или, учитывая, что 1 —со$2ф = sin2 ф, и вынося из-под
корня, имеем:	____________
। г» -« Г1 е2 sin2
P = ecosq> + J?l/ 1------— .
Перемещение мерного конца индикатора (рис. 43}
z=(e-\-R)—р, или, подставляя вместо р его значение,
z = е (1 — cos ф) + 7?
е2 sin2
В подавляющем большинстве случаев величина
эксцентриситета мала по сравнению с радиусом. В этих
случаях можно воспользоваться приближенной формулой:

тогда
/1	Xi е2 sin2 ? fi	। 1 г . « 1
z^e (1 —cos(p) ------------- = е 1 — cos ф —|— • — sin3 ф I.
27?	[_	2	7? J
Если величиной — по сравнению с единицей мож-
27?
но пренебречь, то получаем еще более простую формулу:
zzze(l—cos(p), которой пользуются на практике, когда
для определения эксцентриситета по каким-либо причинам
невозможно измерить биение вращением детали на 360°.
Пусть требуется найти эксцентриситет установки сек-
тора, если при его повороте на 30° индикатор отклонился
от своего крайнего положения на 0,15 мм.
Используя приближенную формулу, получаем:
57.	Из косоугольного треугольника COClf на основании
теоремы косинусов (рис. 44)
(10 + а)2 = /: + S2C- SS^cos (0С 4- у),
или s; —2/0<Sc cos (0С 4- у) — (2а/0 -4 а2) = 0.
Решение этого квадратного уравнения дает:
<$4.2 = lo cos (0С 4- у) ± V /о cos2 (0С 4- у) + 2а/0 4- а2.
Перед корнем должен быть знак плюс, так как Sc — ве-
личина положительная, тогда
Sc =SC1 = /о COS (0С + Y) + К/20 cos2 (0С + у) + 2а/0 4- а2.
В частном случае при 0С = 80°; а=5,5сл; /0 = 23,9сл
и у — 60° получаем:
Sc = 23,9 • cos (80° 4- 60°) 4-
4- У23,92 • cos2(80°4-60°) 4- 2 • 5,5• 23,9 4- 5,52'^6,7 см.
58.	Длина ремня (рис. 45):
L = 2х • costp-j-(л — 2<р)4--^-(я4-2<р) =
82
= 2x • cos <p + Ф № — ^1)4
71
(d2 4~ ^i)>
2
HO
« do d.
(p^sin ф =	—1 ,
cos ф = V1—Sin2 <P 1--l— sin2 <p = 1 — -^44^
Подставляя значения <p и coscp, получаем:
L=2x +	+ T (da+dl)’
ИЛИ
x2---~ ------ (d2 4- di) j x 4—— (d2 — di)2 = 0.
Вводя обозначения
A1 = _L\l_JL №4-^)1
т: L	J
и Да = ±-(d2-dtf,
8
имеем: xl — 2Hi x + H2 = 0,
откуда x1>8 =A1 ± ]/"A*—A2 .
Рассмотрим геометрический смысл введенного параметра
Дх. Для этого представим зависимость, определяющую
этот параметр в виде
2А,= ~[L-л dc],
где dc = -4^- — сРед‘
ний диаметр шкивов.
Из рисунка 99 вид-
но, что правая часть
рассматриваемой зави-
симости выражает меж-
центровое расстояние
передачи с одинаковыми
шкивами, диаметры ко-
Рис. 99.
торых равны среднему
арифметическому действительных диаметров шкивов. Пара-
метр Ai является половиной этого расстояния.
65
В последнем можно убедиться непосредственно из рас-
смотрения решения квадратного уравнения. Действительно,
при = d2 = dc А2 = 0 и, если перед корнем взять з«ак
плюс, то
х = 2ЛР
При разных диаметрах шкивов второй параметр в решении
дает уменьшение межцентрового расстояния в результате
наклона ветвей ремня. Знак минус перед корнем не отве-
чает условию задачи, так как хотя оба корня и будут
положительными при Ai > 0 и Л2 > 0, что всегда имеет
место в реальных передачах, но при малых углах наклона
ветвей ремня, когда только выведенное уравнение и будет
справедливым при принятых допущениях, действительное
межцентровое расстояние не может быть меньше Д.
Следовательно,
X = ЛхН- КХ- .
При проектировании клиноременных передач расчет
обычно производят в следующей последовательности:
1)	из условия обеспечения требуемого передаточного
отношения и передачи необходимой мощности определяют
диаметры шкивов, округляя полученные значения до стан-
дартных;
2)	по конструктивным соображениям задаются меж-
центровым расстоянием;
3)	расчетом находят необходимую длину ремня;
4)	округляют расчетную длину ремня до стандартного
значения;
5)	считая длину ремня заданной, рассчитывают окон-
чательное межцентровое расстояние.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть диаметры шки-
вов di = 200 мм\ d2 = 560 мм и предварительно заданное
межцентровое расстояние хг = 600 мм.
Необходимая длина ремня:
L1 = 2Х1 +	+di) =
= 2.600 + (564°~2^0)- + у (560 4- 200) да 2440 мм.
84
Ближайшие стандартные длины клиновых ремней по
ГОСТу 1284-57: 1700 мм; 1800 мм; 1900 мм; 2000 мм;
2120 мм; 2240 мм; 2360 мм; 2500 мм; 2650 мм и т. д.
(1ОСТ О/Хватывает длины от 500 до 14 000 мм). Принимаем,
округляя до стандартного значения, длину ремня
L — 2500 мм.
Параметры:
А = -Ь [ L — у (d2 + di)] = Y [2500 - -^(560 + 200)
326,5,
А = — № — А)2 = — (560 — 200)2^ 16 200.
8	8
Уточненное межцентровое расстояние:
х = а +	— А	326,5 + j/326,52—16200
« 627,2 мм.
59.	При падении груз пройдет путь:
И = h + M.
Работа силы тяжести на этом пути:
A =<QH = Q(h + M).
В процессе удара вся работа перейдет в потенциальную
энергию растяжения стержня, т. е. А = Пр,
п [ 1 । а I \ а2 FI
или и | h Ч----=------- ,
\ Е / 2Е
откуда о2 2	о — 2~ • -~Е = 0.
Решая это уравнение, получаем:
Так как напряжение в рассматриваемый момент пол-
ного растяжения стержня не может быть отрицательным, то
4 (>+)/' ‘ + 2^4>
4 Заказ 234Б
85
Напряжения в стержне при статическом приложении
«	Q
силы Q, равной весу груза: о0 = — .
F
Удлинение стержня под действием той же силы:
После простейших преобразований для определения на-
пряжений в стержне при ударе груза имеем:
Если величина А/о мала по сравнению с h, то напря-
жения в стержне при ударе во много раз больше напря-
жений при статическом приложении такой же силы. Это
указывает на опасность динамических нагрузок для проч-
ности конструкций. Для того чтобы убедиться в этом,
рассмотрим числовой пример, приняв
Q = 50 кГ: F — 1 см?;
I = 800 мм; h = 500 мм и Е == 2 • 10	.
см2
В этом случае
„ _ о. (1 + /1 + 2^-) » 50 (1 +
~ 11 250—.
СМ2
Такие высокие напряжения могут выдержать только
стержни из высокопрочных сталей.
60.	При деформации бруса в пределах упругости его
Р
жесткость: с = —,
б
Где 6 — прогиб середины бруса под действием силы Р.
86
Высота падения груза с учетом прогиба бруса после
удара:
с
Работа силы тяжести на этом пути: А — QH.
При ударе вся эта работа перейдет в потенциальную
энергию изгиба бруса, т. е. А =ПИ,
После простейших преобразований Р2 — 2QP—2Q ch —О,
откуда Р = Q (1 ± 1/ 1 +	•
\	'	Q /
Если перед корнем взять знак минус, то сила Р полу-
чается отрицательной, что не имеет физического смысла
в данном случае, следовательно,
р = ^(1+/
или Р — Q,
где £д — коэффициент динамичности.
Коэффициент динамичности
Ъ = 14-/1 + ^-
показывает, во сколько раз сила Р больше веса груза Q.
В упругой области деформации бруса и напряжения
в нем будут пропорциональны действующей силе, следова-
тельно, 6 = 60 &д и а = а0
где о0 — напряжения в брусе при действии статически при-
ложенной силы Q; д0—деформации бруса при действии
той же силы Q.
Из формулы для определения коэффициента динамич-
ности видно, что он зависит от жесткости с. Чем меньше
жесткость, тем коэффициент динамичности будет также
меньше, т. е. тем мягче будет удар. Для смягчения уда-
ров вводят упругие элементы в виде пружин и рессор.
В рассматриваемом случае коэффициент динамичности:
Ъ = 1 + у 1 + -2-:^00-^~51
4*
87
И	р =	. 20 = 1020 кГ.
61.	Вертикальное положение диагонали BD пласта
(рис. 48,6) является предельным, при котором пласт не
заваливается обратно в борозду. Из подобия треугольни-
ков BDE и ВАС следует, что
J	BD BE
так как ВС = b- BD =	BE = b и AC = а,
b	a
TO —ZZZZZZ- = --»
Ka2 + b2	b
или b2 = а У a2 4- ft2 .
Разделим обе части этого равенства на а2 и введем
обозначение:
ь
к — — ,
а
тогда
X2 = V 1	,
или
х4 —х2— 1 =0.
Введем новое неизвестное: t = х2,
тогда полученное биквадратное уравнение сведется к квад-
ратному: /2 — t — 1 =0,
решение которого дает:
Знак минус перед вторым слагаемым не удовлетворяет
условию задачи, так как решение не может быть мнимым,
поэтому
откуда Хх,2— ±
Отбрасываем отрицательное значение корня, как не
удовлетворяющее условию, и окончательно получаем:
88
a
» + У 5 ~ j 27.
2
Величина x зависит от конструкции плуга, размеры
которого обычно подбираются так, чтобы 1,27 < х < 2.
62.	Обозначим расход воды в трубе В через qlt в трубе
С через <?2-
Потеря напора в трубе В: hi = 0,083	,
d,
в трубе С : Л2 = 0,083 %2 L2 .
d2
По условию задачи потеря напора в параллельных вет-
вях трубопровода должна быть одинаковой, следовательно,
hi — h2,
1	2
Л г	. г Я<2
ИЛИ Al г — Ao к
4
Расход воды в трубопроводе: <7 = <71 + д2-
Таким образом, искомые величины qr и q2 могут быть
найдены из системы двух уравнений:
^2
2 A2L2
<11 + Я2 = д-
Для сокращения письма введем обозначение:
тогда	/4 =	6 Х2 L2 \	/
ql = Aqb
Qi +	== 7-
Решая второе уравнение относительно q2 и подставляя
полученное значение в первое уравнение системы, получаем:
(<7 —<7i)2 = A -ql
или, извлекая из обеих частей квадратные корни,
q — qi= ± У'А  qt,
89
откуда количество воды, протекающей в единицу времени
через трубу Вх:
91 = l±VA *
Количество воды, протекающей в единицу времени че-
рез трубу С: q2 = q — qi,
Я	+
или q2= q-------?= ~ ~ + -- q.
1±/Л	1±1< Л
Перед корнем следует взять знак плюс, так как в про-
тивном случае расход воды через одну из труб будет от-
рицательным, что не удовлетворяет условию задачи, тогда
Q	/Г
Qi =-----и
Отрицательное значение д1>2 показывает, что направ-
ление течения воды в соответствующей трубе обратно
заданному.
В рассматриваемом случае
Л = (AV = °’04 - 30 ( 100 V ~ 25 6-
Х2Л2 \ dY )	0,03 • 50 \ 50 /
У А	/25^6 5,06; ох = —-— ^4,13 —
1 + 5,06	сек
и о2 =  5,06  25 ~ 20,87	.
1 -|- 5,06	сек
Для проверки числовых результатов воспользуемся вто-
рым уравнением системы. После подстановки полученных
значений расходов имеем:
q = 4,13 + 20,87 = 25— .
сек
63.	Разность высот точек подвеса можно определить
непосредственно из заданной зависимости, которую пред-
ставим в виде
—й2 — — 4-	---f = 0,
2q I2 2 1 8 Н 1
90
,, о я ‘г i । <z21*	12 f n
ил»
/,	7/2\2 2ql*f
откуда (Л——) = —
Извлечем из обеих частей квадратные корни, тогда
=±//^Z
и
Учитывая, что высота второй точки подвеса над уров-
нем воды /г2 — Л] + h,
окончательно имеем: /г2 = Л, ± -^-4- I jZ .
В рассматриваемом случае
Л> = 15 +-Hss- ± 200 V2~ВГ » 55 ± 28.3
и оба корня h'2 = 83,3 м и h"2 = 26,7 м удовлетворяют
условию задачи. Так как вторую опору желательно
иметь возможно меньших размеров, то следует принять:
h2 = 26,7 м.
64.	Для определения глубины шахты Н и времени па-
дения камня т имеем систему двух уравнений с двумя не-
известными:
Н = c(t —т).
Исключая Н. получаем:
= c(t-x)9
или та -j- — т------= О,
S	g
91
откуда т1)2 =------ ± 1/	-J- AL .
g f gi ' g
Время падения камня не может быть отрицательным,
следовательно,
Подставляя найденное время т во второе уравнение
системы (1), найдем глубину шахты:
i+_2|L_i)p	(3)
Рассмотрим числовой пример, приняв t = 5 сек\ с=340—
сек
и ^ = 9,81 — .
сек*
При этих значениях исходных величин время падения
камня
340 Г-1 Г 1 . 2.9,8Ь5.	.1	,
т — 9,81 [У	+	340	1 J ~ 4,68 сек.
Для определения глубины шахты, когда время падения
камня известно, проще всего воспользоваться первым урав-
нением системы (1), тогда
it 9,81 • 4,68а inQ
г/ == —  ---—	108 м.
2
В тех случаях, когда требуется найти только глубину
шахты, удобней использовать формулу (3).
65.	Высота, потерянная парашютистом при свободном
падении: Нг —	.
Остаток пути, пройденный на парашюте: H2 = vt2.
Учитывая, что Н = Нх Н2, получаем систему из двух
уравнений с двумя неизвестными:
+ h = ^0»
92
откуда, исключая /2, после простейших преобразований
— (H — vta) = 0.
g g
Решая это квадратное уравнение, найдем время опуска-
ния без парашюта:
/ _ v ,	। 2(H-vt0)
tl~ т* и +	'
При мгновенном раскрытии парашюта Н = vt^.
Если имеет место затяжной прыжок, то И > v /0.
В последнем случае условию задачи удовлетворяет
только один корень:
— [1 + 1/ПЦЖЕ^Г],
g L ?	v |
так как если перед корнем взять знак минус, то время
опускания без парашюта будет отрицательным.
После подстановки числовых значений
= Г1 .X 1/1 + 2-9,81 (5000-7 .300) 1 ~ 25 сек.
9,81 [ ' V	72	J
Время опускания на парашюте:
t2 = t0 —	300 — 25 = 275 сек.
66.	Вес детали:
Р = Yy = VL (рх + D*y),
где х и у — соответственно длина участков детали диа-
метром d и D.
Расстояние от торца цилиндрического участка диамет-
ром D до центра тяжести детали:
7 —
4
а — --------
р
После преобразований получаем систему двух уравне-
ний с двумя неизвестными:
4Р
т: 7 d2
D2
d2
4аР
к 7 d2
х2 .	.1 D2 2
=------ь ху Ч--------- --у.
2 ' У 1 2 d2 *
93
Исключая из уравнений х, имеем:
у* — 2Ау-\-В = Q,
где для сокращения введены параметры:
D2
4Р	d2
А =	- -	и В = А ----~--------
D2	—	— \
d2
Параметр А имеет простой геометрический смысл. Он
представляет высоту цилиндра диаметром D, имеющего
вес Р.
Решая полученное квадратное уравнение, находим
длину участка диаметром D:
у = А±
или после преобразований
Так как 2а > А и D'yd, то оба корня вещественные,
нб А должно быть больше у. В противном случае вес детали
при принятой конструкции будет больше Р. Следовательно,
Длину участка детали диаметром d найдем из первого
уравнения системы:
D2 л D2 D2	.
х =----- А--------у =-------(А — у).
d2 d2 * d2
При заданных числовых значениях
„	4 • 85 • 103 с
Л — --------------^42,6 СМ\
___ к . 7,85 . 182
2 • 28	’
42,6 ~
182
102 ~
х % -1^- (42,6 — 26,6)	52 см.
1 —
42,6
26,6 ои;
У
94
ПРОГРЕССИИ
67.	Длина витка первого слоя (по средней линии)
л (D 4 d).
Длина витка каждого из последущих слоев на 2nd
больше предыдущего.
Длина всех витков первого слоя пт (D d).
Длина всех витков каждого из последующих слоев
на 2ndm больше предыдущего. Очевидно, общая длина
каната представится суммой первых и членов арифметической
прогрессии, разность которой суть 2ndm.
Первый член прогрессии nm(D d).
п-й член прогрессии:
пт (D -}-d) 4- (п— \)2ndm = nm [D (2п— l)d].
Общая длина каната:
L=	+	. п=птп(D + nd).
2
68. Из подобных треугольников АВС и АВ^ имеем:
t
п
BtCi = ВС
1	АВ
из А АВС и А АВ2С2 имеем:
В2С2 = ВС —* 2
2 2 АВ
h — =
nl
nl
2ft.
п
п
из Д АВС и Д АВп_\Сп-\ имеем:
Вп _ 1С„ _ j = ВС A8n~^—=h{n ~ 1)г=(п—
АВ	nl
Сумма длин всех стоек:
L=BlCr В2С2 4" • • . 4“ — 1 Сп
(п— 1)
--------±1=л(п-1) = 1 5а-_1 = 2 м.
2	2	2
69. Обозначим искомое время через х минут. Так как
компрессор делает в минуту п= 150 оборотов, то количе-
ство воздуха, поданное в ресивер в течение одной минуты
VMUH = П ’ .
Общий объем воздуха, поданного в ресивер за вре-
95
мя х минут вместе с тем воздухом, который был в реси-
вере до начала работы компрессора, представится послед-
ним	членом арифметической прогрессии, где пер-
вый член — Vpi а, разность прогрессии — VMUh :
V=VP + xVMUH.
Но в ресивере этот воздух сожмется до объема VP, при-
чем его давление вырастет.
При постоянной температуре по закону Бойля—Ма-
риотта	PVp = PQV,
где Ро = 1 атм — атмосферное давление.
Таким образом, V=—Vp, или Vp — ?-]/
Ро	Ро
откуда
Ур /р____1 \ Ур (р_________j
Vmuh\Po )	\Ро
100
150-0,5
4 Ля
-----1	4 мин.
1 /
70.	Пусть п — количество звеньев цепи. Усилие при
о Q
подъеме первого звена:	• Работа на подъем пер-
-	1	О	L QL ~	п	Q ,	Q
вого звена: Д	= — —--= —. Второе звено:	Р2	= — +	— ;
2 п	п 2п2	2п	п
д ___QL I QL
Г *
2п2 п2
'Г	п Q i Q Q л QL \ aQL
Третье звено: Р3 = — 4- 2 —; Л3 =	-ф- 2
н	2п п	2п2 п2
п-е звено: Рп = — 4-(п — 1) —; Ап——-\-(п — 1)^4-.
« 2п ।	п’ « 2na v 7 п2
Работа, затраченная на подъем всей цепи, представит-
ся в виде суммы п членов арифметической прогрессии:
Л= Al Л2 + Л34- . . • 4~ Лл=-п—
= 2/:. 2~ + ~2~ + П~1 п = QL
п3’	2	2 *
71.	Радон, помещенный в запаянную ампулу, будет
убывать вследствие распада по закону геометрической про-
96
грессии, первый член которой NQ = 0,5 кГ, знаменатель
1	*	।	1	38,25	.	. TZ
я = —, а число членов п =-----k 1 -------U 1 = 11. Коли-
7	2	Т	1	3,825	1
чество радона в ампуле через t == 38,25 суток будет равно
последнему (одиннадцатому) члену этой прогрессии:
N = Noqn — 1 = 0,5.0,5й - 1 ^0,00049 кГ.
Заметим, что полученное равенство было бы справед-
ливым и в том случае, если бы t не делилось на Т нацело.
Вообще равенство
i
N = NQqn-\ = д/о . о,5т
тождественно основному уравнению радиоактивного
распада:	N =
где е — 2,7183 — основание натуральных логарифмов;
X — постоянная радиоактивного распада, равная для ра-
дона 2,097. Ю”6^-
В тождественности указанных равенств читатель легко
может убедиться самостоятельно.
72.	Натяжения в ветвях полиспаста:
Q = P+Sr +S2 +
Sn = ~.
п k"
Получаем геометрическую прогрессию, знаменатель
которой-- » а число членов с учетом ходового конца (п+1).
k
Приложенная к нижней обойме сила Q уравновеши-
вается суммой натяжений ветвей и ходового конца каната:
Р
, с _	_ р^1-!
k
р __ Q (k 0 .
V kn + 1 — 1
откуда
97
73.	Натяжения ветвей полиспаста:
S
Получаем геометрическую прогрессию, знаменатель
которой , а число членов п.
Сила Q, приложенная к нижней обойме, уравновешивается
суммой натяжений ветвей:
Р ' Р
<2 = Si + S2+ . . . +£„=	,
1 ~~г
откуда
Р = Snkn = 243  1,024 « 263 кГ\
ЬП______ 1	1 094 _ 1
Q = Sn ----— = 243	ЮОО кГ.
4	" k— 1	1,02—1
74.	Расход в первую секунду:
qi = АН,.
Расход во вторую секунду:
д2 = АН, = А(н^\ =W1_2L).
\ F!	\ F /
Расход в третью секунду:
<7з = АН3 = Л(Я2—^ = ^[/7,(1 -£)-
— н, 4.(1 — -U = л/z, f 1 ——
F \ F /I	F )
Расход в четвертую секунду:
= Л/Л f 1 — —)3.
к / /
98
Расход в Z-ю секунду:
„ = .//,(.-А)'-,
Замечаем, что секундный расход уменьшается по убы-
вающей геометрической прогрессии, знаменатель которой
равен 1------I, первый член qr = АН1у последний член
/	д \ t— 1
qt — AHi 1------. Общий расход выразится суммой
\	F /
первых t членов этой прогрессии:
Так как FH± = Vj — первоначальный объем жидкости
в баке, формулу можно переписать в следующем виде:
ЛОГАРИФМЫ
75.	По условию задачи: — 5, Т = 100 -|- 273 = 373°,
поэтому А = 29,27 • 373 In 517 600 —.
76.
nh =
1
/ с \ 0,3
\ R + mA )
*ПриЛ < и / > 10 сек, т.е. в подавляющем большинстве
практических случаев, погрешность выведенной приближенной фор-
мулы по сравнению с точной формулой, полученной на основе инте-
грального исчисления
Q =	— е pt
не превышает 1%.
99
откуда
Ig(nA) =
—=
R + mA )
2-°--°-0-)за 7,9760,
0,3	\ 700 4- 1,5 . 100 )
тогда nh за 94 600 000.
n	,	94 600 000 юпла
Долговечность подшипника: Л за------за 18 900 час.
5000
77.	Логарифмируя формулу для определения коэффи-
циента работоспособности, получаем:
Igc = lg А -4-0.3 lg (nh) = 1g 1000 -4-0,3 Ig (700 • 10 000) за
за 3 4-0,3 • 6,845 за 5,05,
откуда с за 112 000.
По коэффициенту работоспособности выбираем из
таблицы подшипник №8217.
78.	Логарифмируя формулу, получаем:
1g у9К за 1g 55,6 — 0,26 lg t — 0,66 IgS = lg 55,6 —
— 0,261g 1,5 —0,661g 0,3 за 2,044,
откуда v3K за 110,6 —— .
мин
79.	Логарифмируя формулу, получаем:
1g Уэк = 1g 32,6 — 0,16 lg t — 0,38 Ig S = lg 32,6 - 0,16 lg 2-
— 0,38 lg0,43s 1,616,
откуда v9K?a41,3—.
мин
80.	Логарифмируя формулу, получаем:
1gЗгаах = 1 (1g 2000 4- lg М - lg Ср - Хр lg t - lg D) =
1 Ур
= — (lg 2000 4- lg 30 — lg 157 — 1 • lg 5 — lg 50) % 0,3643,
0,78
откуда Smax«2,3^.
об
81.	Составляем систему показательных уравнений:
97,5 = Ср • 2V> . 0,2^;
• 200 = Ср • &Р  0, ЗУ/’;
419 = Ср . 5*Р . 0,4^.
После логарифмирования получаем систему:
100
1,989 да lg Cp + 0,301 xp — 0,699 yp,
 2,302 да lgCp4~ 0,477 xp —0,523
2,622 да lg Cp + 0,699 xp — 0,398 yp.
Решая эту систему, получаем:
|gCp^ 2,233; Ср^Ш- хр^1; z/p^0,78.
£2 q____ 2 itXL (/вн /н) _ 2 т: 49 » 5 (70 — 68)	13800
2,3 lg A	2,3 1g^	чзс
dBH	20
83.	Из формулы Q =
2,3 IgA
^ВН
получаем:
|g А = 2nkA(fBH-ZH) 2 к 100-4(100-95)
ё 4н 2,3Q	2,3-40000
откуда А. ~ 1,37.
^ВН
Внутренний диаметр: dBH — ^А- = j-^-^7,3 мм.
Толщина стенки трубы: S = deH = 10 ~ 7,3 sa 1,35 мм.
84.	lgP = lga + lgp + 21g^ + 41gD = lgO,184-
4- 1g 0,125 + 21g 25 + 41g 2,1 да 2,4368,
откуда Р ~ 273,4 кГ.
1§М = ^Р + ^р + 31§п,4-5^О = 1§0,28-|-^0,125 4-
4- 31g 25 + 51g 2,1« 4,3488,
откуда N = 22 330— « 298 л. с.
сек
85.	Подставляем в формулу числовые значения:
lg lg (v -4-0,8) = 25,44 — 10,39 lg 293,
или
lg lg(v 4- 0,8) = 25,44—10,39.2,467^ — 0,215 =
= T,785,
затем потенцируем: lg(v 4- 0,8)^0,610,
потенцируя еще раз, получим: v 4-0,8да 4,07,
отсюда v да 3,27.
101
НЕРАВЕНСТВА
N	N
86.	Из неравенства ~<[о] получаем: F
itd2
но F±=—, следовательно,
V п [а] У TZ • 1 600
Р!
87.	Из неравенства — <[о] получаем:
ДД=.15..И ~858
I	150
88.	Суммарное напряжение, действующее в стержне:
О’ — оиз осж.
По условиям прочности действующее напряжение
должно быть меньше или равно допустимому, т. е.
[а] > о = аиз 4- асж.
После подстановки вместо напряжений изгиба и сжа-
тия их значений получаем:
г , Р . Ре
[a]>7 + V
п	[°]
откуда Р <------—5,
1 е
~F + W
Последняя формула находит применение при расчете
прямых стержней, нагруженных эксцентрично приложен-
ной силой.
89.	Из неравенства
6к (Ik + Ь) — Gb( I — b)i > | 4
P(l-b) " *
n - 6к( Ik b) — Gb (I — b)
получаем: P < ———— ----------------- .
102
90.	По условию задачи должно выполняться неравен-
ство At/°/0 < 5°/0,
Slid । / \ г
или + ь) < 5>
а	1430 -о _	9
откуда s > —---------= о—-------^58,7 мм\
~ST'5~b	0,01- 0,5 — 24
91.	Силу веса Р разложим на две составляющие (рис. 68),
параллельную и перпендикулярную наклонной плоскости:
Т = Psin а;
jV = Р cos а.
Сила трения: F = Nf = Pf cos а.
а) Условие движения: T>F,
или Psin а > Р/cos а,
откуда tg а > /.
Таким образом, для движения тела по наклонной плос-
кости тангенс угла наклона плоскости должен быть больше
коэффициента трения.
б)	Условие равновесия Т < Р,
или Psin а < P/cosa,
откуда tg a < /.
Для равновесия тела на наклонной плоскости тангенс
угла наклона плоскости должен быть меньше или равен
коэффициенту трения между телом и плоскостью.
92.	Сила трения на одной колодке: F — Nf.
Момент трения: Мт = FD — NfD,
После подстановки значения Мг в неравенство Мт > $N
получим: NfD > рЛ4,
откуда
^^.'73.3000 ^ к[.
fD 0,15-50
93.	а) Условия подъема: Р > G, или apn^D4 > G, отку-
да п, > 1 / —.
V apDf
б) Условия неподвижного висения: Р = G, или арлЛО4 = G,
откуда Пг = 1/	.
У apD*
103
в) Условия спуска: Р <G, или aprfD* < G,
откуда
/ G
П* V apD< '
94. а) Режим набора высоты: У>С, или CyS^> G,
1 / ?0 .
откуда v>y — .
б) режим горизонтального полета: Y = G, или CyS ~ G,
откуда v =
2G .
CyS?
в) режим снижения: Y < G, или CyS <G, откуда
v< l/"22-
V cys?
БИНОМ НЬЮТОНА
95. Формулу потери напора в трубе запишем в виде
h =
d5
Если первоначальный диаметр трубы d мм, то новый диа-
метр dv = d-\- 5 мм. Тогда находим соответствующие этим
трубам потери напора:
h — — и = —-—
d5	(d + 5)s
Отношение потерь напора:
h (0 5)5	5
Х = “1Г’=’1+7) ’
Полученное выражение раскроем по формуле бинома Нью-
тона:
А = ls-L-5. I4- + 10 . I3 •- 4-10.12—н-5. 1—+
Л, ' d '	(Р	d3 d*
. 5» _ . .25 . 250 . 1250 , 3125 . 3125
"Г —-1 -f- “7 ~г "Г “7- "Г~7Г ~г
а5	а а£ ал d4 d°
104
Полученная формула показывает, во сколько раз умень-
шится потеря напора hi по сравнению с /г. Здесь диа-
метр d следует брать в мм.
qr 1,02^(1,02—1)^ _	1,02” « 0,02 п
1,02" — 1	4	(14-0,02)"—
______________________1,02" - 0,02____________
п (п — 1)_____________________________________’
1 4- п • 1 • 0,02 +	—- * 1 • 0,022 4- . . . . 4- 0,02” — 1
Заметим, что 0,022 = 0,0004; 0,023= 0,000008 и т. д.
Таким образом, члены разложения по формуле Ньютона
быстро убывают. Практически достаточно учесть первые
три числа разложения, пренебрегая последующими.
Тогда
р_________Е02”  0,02 . Q_1,02”_____________
~п.0>02 + ^-"1).0С2Г и [14-(п~ 1)0,01]
2
Пользование этой приближенной формулой обеспечивает
более высокую точность при расчетах, так как в ней нет
разности высоких степеней, близких величин (kn—1)п,
имеющейся в точной формуле и крайне неудобной при
вычислениях. В нашем случае
Р = ---------------- 1500^318 кГ.
5 [1 +(5— 1)0,01]
97. Т2 = Тг A /, Ра = Pi -J- А р.
Подставляя значения Т2 и р2 в формулу, получаем:
Так как А/ Л, то “у" < 1 , следовательно,
м
все степени ______ выше первой малы сравнительно с еди-
Т|
ницей и ими можно пренебречь без ущерба для точности
расчета.
Тогда P1'l~Ag- = 1 + — ~ 1 + 6 — ,
Pi	Pi	Ti
105
откуда Д р 6 -О— Д t ~ 6 — 5 = 0,2 —.
7\	300	см2
98. Обозначим через Д Р величину снижения тяги,
через Д М величину снижения мощности,
тогда
Р — Д Р - ар п* (О — ДО)4 = ар ns2(O4 — 4О3ДО-|-
+ 6 О2 ДО2 — 4 О ДО3 + ДО4),
откуда
Д Р = ар п/(4 О3 Д О — 6 О2 Д О2 4 О Д О3 — Д О4) ==
Г AD ( AD \2	/ &D \з / AD VI
= р [4 7Г-6Ы)+“{^}	1-
Аналогично:
N — Ь N = ₽р/г/(О — ДО)5 = ₽рп/(О5 — 5О4ДО-|-
4- 10О3ДО2 — 10О2 Д О350 Д О4 — д О5),
откуда
ДМ = ₽рп/(5О4 —ДО—ЮО3ДО2-|- ЮО2ДО3 —
— 5ОЛС‘ + ЛО5) = /^5	— 10 (~)’+ 10
_5
\ D )	\ D ) \
Так как-^-< 1 , то с точностью, достаточной для нужд
практики, можно пренебречь
шения, кроме первой. Тогда
мулы:
Д Р^4Р— ;
D
99.	Пусть Q2 ~ Qi + Д Q,
где Д Т — искомое уменьшение долговечности.
Тогда ---Л + ^i1.
Л-Л г I «, I \ о. I
всеми степенями этого отно-
получим приближенные фор-
ДМ^5М—.
D
Т2=Т} — ЬТ,
откуда Д Т = 1\ 1 —
9
= Л 1-
+ l26(4-^),+ 82AQ)’+36(^f+9(^)+(^• .
\ xi /	\ 41 /	\ 4i /	\ 4i /	\ 41 /
106
Если — < 1, формула может быть упрощена, так как
Qi
степени — выше первой очень малы. В этом случае
•	1------L_
AQ
\ 1+9^
9Л
АО
1+9-^-
<21
ПРОИЗВОДНАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ
100.	Из рисунка 73 видно, что половина высоты вы-
резаемого бруса является катетом треугольника ОАВ и
потому (у) * +
_____ 1
Отсюда 0=21/Я2-- =2 |/?2-^)2.
V	4	\	4 /
Если обозначить прочность бруса при изгибе через W,
то из условия задачи можно записать, что W = kxy\ или
3
после соответствующей замены: W = 8 kx [r2— — )2
\	4 / •
Дифференцируем последнее выражение по х и приравнива-
ем к нулю:
з,	L
— =8А> (я2--)2 — бь//?2—-V = 0,
dx \	4 /	\	4 /
или 8k	р?2 — х2) =0.
Равенство нулю первой скобки нам дает: х = 27? = D =
= 30 см. Этот ответ не имеет смысла, так как брус такой
ширины не будет иметь высоты. Тогда приравниваем ну-
лю вторую скобку R2 — х2 = 0 и получаем ответ: х = R =
= 15 см В обоих случаях мы брали лишь положитель-
ные значения для х.
101.	Очевидно, для ответа на вопрос задачи надо взять
производную от момента М по углу ср и приравнять ее к
нулю, т. е.
107
dM n *	9.	*4 A
— =2a sirup cos2<p — asirrcp = 0,
do
или a sin cp (2 cos2cp — sin2 q?) = 0.
Так как по условию задачи <р =# 0, то приравниваем
нулю выражение в скобках: 2 cos2 ср — sin2<p = 0. Решаем
это тригонометрическое уравнение и находим:
tg<p=—!—- , <р= arctg—!—^35°16\
V 2	ут
102.	/0=л+у--|^.
Ug	^vg
Первую производную от выражения общего времени
по ti приравниваем нулю: — — 1 — — = 0,
rf/j	о2
откуда tt — — = — — 0,714 сек-, — = —— < 0, следо-
g 9,8	dt^	v2
вательно, имеет место максимум t0. Практически это ре-
шение означает, что парашют необходимо открывать не-
медленно после прыжка.
. r-т	£	#/2 I /7/z2 Л
103.	По условию задачи Д =	—
dft Hh 1 А	,	j/2
Решим уравнение:	= —— — = 0, откуда п ==	=
2-2002 ,п
~ ----- = 40 м.
2.1000
Так как	—1 = — >0, то при h =
d/i2 ql*
нимум для /ь т.е.
Zimin — 8H~y~2qP ' 4/72	2-2/7
— имеется ми-
2/7
-0.
Кривая провисания провода показана на рисунке 100.
104.	Вес резервуара: Q ==	4- DH J, (1)
где у — удельный вес стальных листов; 6 — их толщина.
Объем резервуара равен: V= ~D2H,	(2)
4
откуда DH == — . После подстановки в равенство (1)
itD
пи	п	I 4И
значения DH получим: Q = луб------------.
108
~	dQ я	\D 4V 1	n	o
Составляем	уравнение: — =	луо	-----— =	0.	(3)
r.	D 4V
Выражение —-------— приравняем нулю и диаметр резервуа-
ра D = Dm, при котором его вес будет иметь максимум
или минимум, равен:
D	d2Q с Г 1 I 8V 1	тл
Вторая производная = луб — -|----------— \ , при £> > О
d2Q
положительна, т.е. — > 0, и потому при D = Dm вес ре-
зервуара минимален. Из равенств (2) и (4) находится соот-
ветствующая высота резервуара:
т. е. Н = — D
1	т 2 j
105.	Обозначим через х и у стороны прямоугольного
сечения (рис. 101). Площадь поперечного сечения;
Р^х-у.	(1)
109
Периметр Р = 2(х + у) или, учитывая равенство (1), имеем:
Р =	+	(2)
Гидравлический радиус трубопровода:
По условию задачи потери будут наименьшими, когда
гидравлический радиус имеет максимум. Функция, обрат-
ная гидравлическому радиусу:
должна иметь минимум. Первую производную от и по х
— = 2(1------приравняем нулю и найдем оптимальное
dx \ х2 /
значение х = хт\
1-----V = 0 и хт = V~F •	(3)
хт f
Отрицательный корень не рассматриваем, так как он не
имеет физического смысла.
d2u	4F
Вторая производная ----=------ при положительном х
dx2	х3
также положительна. Следовательно, при х — хт имеет мес-
то минимум функции и и потери напора в трубопроводе.
Гидравлический радиус прямоугольного сечения при этом
имеет максимум.
Из равенств (1) и (3) непосредственно следует, что вторая
сторона трубопровода
Ут ~ ~ ~ F ~
хт
106.	Разложим силу Р на две составляющие (рис. 102).
Горизонтальная составляющая этой силы Рг —P-cosa.
Вертикальная составляющая Рв = Р sin а.
Сила давления груза на площадку: N = Q — PB=Q —Psin а.
Сила трения между грузом и площадкой:
F = /.Д/ = / [Q — Psina].
110
При равномерном движении груза сила трения равняется
горизонтальной составляющей силы Р, т. е. F = Рг,
или	Pcosa = f(Q — Р sin а) ,
о fQ
откуда	Р =-------—-------.
/ sin а + COS а
Сила Р имеет максимум, ког-
да знаменатель дроби имеет ми-
нимум. При максимуме знаме-
нателя сила Р будет минималь-
ной. Исследование на максимум
и минимум знаменателя дроби
вместо исследования самой дро-
би позволяет несколько упрос-
тить последующие операции. Зна-
менатель дроби: и = f sin a -J-
4~cos а.
Производную от и по а при-
равниваем к нулю:
— = f cos а — sin а — О,
da
откуда tg а = f и угол а == при котором знаме-
натель дроби имеет максимум или минимум —arctg/.
Вторая производная AiL =_ —/sin а — cos а ,
th2
при 0 < а < -у- отрицательна, поэтому при ат = arc tg/
знаменатель дроби и имеет максимум, а сила Р — минимум.
107.	Положение крейцкопфа определяется координатой
к = ОК -Ь КВ.
Обозначая угол, образованный шатуном с осью х, через |3,
получаем:	ОК = г cosrp; КВ = I cos |3.
Из треугольника ОАВ по теореме синусов имеем:
sin-З _ г
sin / ’
откуда
sin р = у sin <р = X sin <р; cos р = /i_sin»p = jA-^sin*?.
Hl
Число Vsin2 ср весьма мало по сравнению с единицей:
%2 = 0,0625, a sin2 ср < 1. В этом случае можно восполь-
зоваться приближенной формулой, обеспечивающей доста-
точную для нужд практики точность:
Vl-a = 1 — у. гдеа< 1.
Таким образом, cosf} = 1----X2sin2(p,
тогда	х = г cos ср -|- I(1-- X2 sin2 ср j .
Угол ср, образованный кривошипом с осью х, равен
произведению угловой скорости кривошипа со на время /,
т. е. ср = со/.
Следовательно, х = г cosco/ -ф- /р-l2sin2co/j,
Скорость крейцкопфа, а значит, и скорость поршня рав-
на первой производной от координаты х по времени t:
v = — = — rco sin со/ — /Х2со sin со/ cos со/ =
dt
= — Гео sin со/ (1 X cos co/).
Найдем максимум скорости. Для этого решим уравнение:
^- = — rco2 [cos со/ (1 + X cos со/) — 1 sin2 со/] = 0,
или 2 к cos2co/ + cos со/ — X = 0,
откуда
2	— 1 +]/'? + 4- 2Х2 Ч- У 1 4- 8 • 0,252 — 1
COS со/ =--—-----51-------------------------- ==
4Х	4 . 0,25
= ±/17-1.
Так как |cos со/| не может быть больше единицы, то
cosco/= /Г5—1^0,225 и со/± 77°.
Вторая производная от скорости по времени
— = — гео3 (—2 X • 2 cos со/ sin со/ — sin со/) =
dt2
rco3 (sin со/ 2Х sin 2со/)
отрицательна при со/ = —77°. Поэтому при этом значении
аргумента скорость имеет максимум:
^тах == — rco sin (— 77°) [ 1 4- 0,25 cos (— 77°)]« 1,03 гео.
112
108.	Длина п слоев каната, навитого на барабан:
L = л тп (D dri)\
вес п слоев каната, навитого на барабан: Qx = qL —
= nmqn (D nd)\
натяжение каната: Т = Q — Qr Р = Q -j- Р —
— nmqn(P -\-ndj.
За плечо силы Т будем принимать радиус витка (п-}~1)-го
слоя, полагая, что он только начал наматываться.
Увеличение плеча при этом происходит без снижения ве-
личины силы Т\
Г> + [2(л + 1)— l]d =- D . /	. 1 \ ,
г = -----—----------—	— 4- IпН------]d.
2	2	\	2 /	*
Момент силы Т относительно оси барабана:
М ='Тг = р? + Р —- л mqn (D nd)^ |jy + (п + у) d ]
=W+'>№ + '> _ [иСн',_к+Р)1|1_
Решим уравнение:
dA=_	—(Q-|-P)d] —-^(ЗР + ^ -2n-
dn	2	J	2
— ntnd2q • 3n2 = 0,
Так как отрицательный корень не отвечает условиям
задачи, то
1 / 1 D2 I 1 I Q + p___________________i_ _1_\ .
У 12 d2 ' 36 Зк н dq 2 \ d ‘ 3 /
ИЗ
Здесь п может получиться дробным, тогда его следует
округлить до ближайшего целого числа.
109.	Найдем первую производную от прогиба по дли-
не балки и приравняем ее нулю:
—(12/ (/ - х) - Ь* - (I - х)2] + х[- 2/ + 2 (/ - х) I1 =
dx Cl (L	J L	JJ
= ^.(/2 _ b2 _ 3x2) = Q>
откуда x = ± |/ -~(/2 — ^2) •
Отрицательный корень не удовлетворяет условиям задачи.
Следовательно, х =	— ^)-
Максимальный прогиб:

-62-
А (Р - б2)1/ 3(/2—б2).
Заметим; что если сила приложена посередине балки, то
и максимальный прогиб будет посередине. В самом деле,
Вообще максимальный прогиб расположен посередине бал-
ки во всех случаях приложения симметричной нагрузки
[рис. 103 а) б) и в)].
Полученное решение можно проверить при помощи
установки, которую нетрудно изготовить в школьных мас-
терских. Ее чертеж представлен на рисунке 104. Вся
установка может быть выполнена из дерева. В качестве бал-
ки используется рейка 1 квадратного сечения. Для сосно-
вой рейки с размерами сечения, указанными на рисунке 104
(сечение поД—Л), постоянная жесткости С = 5-104 кГсм2.
Вес груза Р не должен превышать 0,5 кГ во избежание
поломки рейки. Прогибы измеряются от струны 2, натяну-
той между упорами 3.
114
110.	Пусть длина основания поперечного сечения же-
Ь — х
лоба х (рис. 79). Высота желоба: h— ——;
/,_ у.
площадь поперечного сечения: F = xh = х ----------,
n	dF b
Решаем уравнение: — = у —
— х = 0,
6	Л
откуда - — хт = 0 и
Ь_
Хт~ 2
Вторая производная от F
/d2F
по х (--- = — 1 отрицатель-
\ dx2	I
на. Значит, при х = хт пло-
щадь желоба максимальна и
равна:
Рис. 103.
Ь
Ь — —
______2
2
62
8
~ х
т Л'т
— = 2 дмг.
8
Рис. 104.
111.	Возьмем сечение на расстоянии х от точки при-
ложения силы Р (рис. 105). Изгибающий момент в этом
сечении:
М = Р . х.
(1)
115
Высота сечения: h = fti -j- kx,
(2)
где k =
/12 -— hv
~L
Рис. 105.
После подстановки равенств (1) и (2) в формулу для опре-
деления напряжений получим:
6Р-Х
ст —-----------.
6(7?! + Тех)2
Исследуем полученную за-
висимость на максимум и
минимум. Обозначим
ц + И2.
X
В опасном сечении балки, где
напряжения наибольшие, и
имеет минимум. Решаем урав-
нение
- = —	4- k2= 0
dx	х2 1
и находим значение хт~ ±	,
k
при котором и имеет максимум
или минимум. Отрицательный корень не имеет физическо-
го смысла, следовательно, хт — — .
k
Вторая производная-----= —1 > 0 при х > 0 и функ-
dx2 х8
ция а имеет в этом месте минимум, а обратная ей функ-
ция напряжений — максимум.
Напряжение в опасном сечении равно:
6Р • —
а	_ _________k = ЗР
b(hx + kxin)2 /	l4\2 2bhxk'
ь «1 +
Необходимо отметить, что в очень пологих балках при
!h
k

напряжение все время возрастает, не дости-
гая своего максимума. В этом случае опасное сечение
.	6PL
будет у заделки и оно равно: о —------.
bhl