Text
                    ЙМИ IB
С О Ч И Н Е НИЯ
ПЕРЕВОД АРАБСКИХ ТЕКСТОВ
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬДА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 9 6.2


ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА В настоящей книге переводчик попытался собрать все. что уцелело от произведений Архимеда. Перевод был сделан по тексту сочинений Архи- меда, изданному Гсйбергом (2-е издание). Кроме этого, переводчик добавил в комментариях вес относящиеся к Архимеду тексты, имеющиеся у Паппа и Геропа. Наконец, в предлагаемую книгу вошли арабские тексты Архи- меда, в частности сделанный с любезно предоставленной каирскими уче- ными рукописи перевод «Книги о семиугольнике», появляющиеся в печати впервые. Перевод с арабского выполнен Б. А. Розенфельдом. Есть дна способа переводить древних классиков математики: можно строго держаться характера изложения подлинника, как в случае Архи- меда сделал бельгийский норсводчик Ver Eecke, или же дать его в современ- ном изложении, как поступил Th. TTealh. Подготовляя настоящее издание, переводчик избрал средний путь: сохранив изложение Архимеда постольку, поскольку его чтение не затруднит’ читателя, он добавил современные алге- браические формулировки; правильно ли он поступил, об этом пусть судят читатели. В отдельных местах помещены переводы греческих текстов, не при- * надлежащих Архимеду (позднейшие интерполяции); такие тексты заключены в квадратные [ ] скобки. В угловых < > скобках стоят добавления переводчика. Числа в квадратных скобках (например, [2]) представляют ссылки па комментарий или па список литературы. В заключение переводчик должен выразить благодарность Издатель- ству за заботы об улучшении издания книги, Б. А. Розенфельду — за пере- вод арабских текстов Архимеда и хлопоты по их разысканию, М. Я. Вы- годскому и В. II. Зубову — за рецензии, оказавшие помощь переводчику в его работе над текстом, А. А. Коноплянкину — за подбор иллюстраций греческих рукописей и Л. Ю. Чернышевой — за ее работу по редакти- рованию перевода. И. Веселовский
Архимед. Один из античных бюстов.
I Жизнь Архимеда была описана неким Гераклидом, вероятно, его уче- ником (это имя упоминается в сочинениях Архимеда). Биография эта, суще- ствовавшая еще в шестом веке и. э. (ее читал комментатор Архимеда Евтокий Аскалонский), до нас не дошла, так что теперь обстоятельства жизни и дея- тельности Архимеда приходится восстанавливать по крайне скудным и отры- вочным упоминаниям у различных авторов. Если начинать с абсолютно достоверных дат, то мы располагаем лишь датой смерти Архимеда: он был убит в 212 году до н. э. при взятии Сиракуз римлянами во время второй Пунической войны Рима с Карфагеном. Визан- тийский писатель конца XII века н. э. Цеци, автор «Хилиад (тысяч) исто- рий», сообщает, что Архимеду в момент смерти было около 75 лет; тем самым определяется приблизительная дата его рождения — 287 год до н. а. Отцом Архимеда был астроном Фидий (упоминаемый им в «Псаммите»). Архимед жил в эпоху, когда греческая культура и язык получили миро- вое значение в связи с завоеваниями Александра Македонского и с образо- ванием эллинистических государств. Эпоха эллинизма занимает три века мировой истории: ее началом принято считать основание Александрии (332 г. до и. э.) и концом — завоевание Римом Египта, последнего остававшегося свободным эллинистического государства (30 г. до н. э.). Литература и искус- ство этого времени, конечно, не могли сравниться с классическими образ- цами эпохи демократической Греции V—IV веков до н. э., но в области точ- ных наук эллинистические ученые добились очень многого: III век до в. э. был, пожалуй, апогеем научного творчества Древней Греции в ряде спе- циальных областей. В математике в течение этого времени от Евклида, автора «Начал», до Аполлония Пергского, автора «Конических сечений», были созданы настоящие шедевры, остающиеся до нашего времени классическими образцами математического творчества. Главным центром научной деятельности в рассматриваемый период была Александрия с ее громадной библиотекой и музеем. В области точных наук (математики и естествознания) в III веке до н. э., а также в области филологии во II веке до н. э. александрийские ученые сделали очень много, и с александрийскими математиками Архимед ноддсрживал тесные связи. Из них в первую очередь надо назвать астронома Конона Самосского, известно- го главным образом по анекдоту с волосами Вереники *). Этот «галантный *) Когда в 24 6 году до и. э. египетский властитель Птолемей IfI Эвергет отправился в далекий поход на Антиохию и начал третью Сирийскую войну, его супруга Вероника, молись аа благо- получное окончание похода, принесла в жертву богам свои волосы. Через некоторое время после окончания похода оказалось, что се волос в храме кет; тогда галантный придворный астроном Нонои заявил, что эти волосы были помещены богами на небе в качестве нового созвездии «Волос Всрснини»,
6 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО астроном» был в действительности очень крупным ученым, оказавшим большое влияние па научное развитие Архимеда. Архимед мог познакомиться с Коионом или непосредственно в Сицилии, где Коион одно время произво- дил астрономические наблюдения, или в Александрии во время своего пре- бывания там. Конон давал Архимеду темы для научных работ, как, напри- мер, задачу о спиралях, о чем говорит в «Математическом собрании» Папп Александрийский (книга IV, 21); «эту теорему предложил (npouteiva) Ко- нон, самосский геометр, а доказал ее Архимед». Как мы зпаем из собствен- ных слов Архимеда, последний посылал Коиону для критики свои мате- матические работы, а с учеником его Досифеем поддерживал отношения и после смерти Коиона, которую относят к тридцатым годам III века до н. а. Другим александрийцем, с которым Архимед поддерживал связи, был Эратосфен Кирепский (285—205 гг. до н. э.). В 245 г. до н. э. Эратосфен был приглашен в Александрию упомянутым уже Птолемеем III Эвергетом в каче- стве воспитателя наследника престола Птоломея IV Филопатора. Эратосфен был весьма разносторонним ученым: он занимался арифметикой («решето Эратосфена» для нахождения простых чисел известно каждому школьнику), геометрией (об его решении делийской задачи мы еще будем говорить) и астро- номией (он составил описание звездного неба — «Катастеризмы»); он про- извел первое измерение дуги земного меридиана, положив тем начало мате- матической географии, занимался хронологией и заведовал Александрий- ской библиотекой. За разносторонность враги называли его о p-qra (бета — вторая буква греческой азбуки) — «во всем второй». К Эратосфену Архимед обратился со своим замечательным «Эфодом», излагающим те методы, при помощи которых Архимеду удалось сделать свои выдающиеся открытия; наконец, Эратосфену же была послана «Задача о быках». Родина Архимеда, Сиракузы, в течение всего Ш века до п. э. находи- лась между двумя, и даже тремя, враждующими пародами, боровшимися за обладание богатой и плодородной Сицилией, а именно греками, карфаге- нянами и римлянами. Когда Архимеду было около десяти лет, в Сицилии знаменитый эпирский царь Пирр, стремившийся основать новую монархию на западе греческого мира в Италии и Сицилии, вел войну с римлянами и кар- фагенянами. Война Пирра оказалась безрезультатной; в борьбе с ним выдви- нулся Гиерон (возможно, бывший родственником Архимеда), в 270 г. до н. э. сделавшийся правителем Сиракуз. Первая половина его царствования не была мирной: ему сначала пришлось отбиваться от мамертинцев -италийских наемников,— захвативших Мессину; затем в эту борьбу вмешались, с одной стороны, римляне, с другой — карфагеняне, и разразилась первая Пуниче- ская война (264—241 гг. до н. э.), в результате которой вся Сицилия, за исключением области Сиракуз, стала римской «провинцией». Во время этой войны Гиерон первоначально действовал в союзе с карфагенянами, по во- время вышел из войны, так что Сиракузы остались «свободными». С 241 г. до н. э. начинается мирный период царствования Гиерона, старавшегося поддерживать хорошие отпошения со всеми сторонами; тем не менее он дея- тельно готовился к отражению возможных покушений на свободу Сиракуз и усиливал обороноспособность родного города, привлекши к этой работе, как говорит Плутарх, и Архимеда. В 227 г. до и. э. Гиерон вместе с сопра- вителем Гелоном (своим сыном) оказали помощь Родосу после постигшего его землетрясения; интересно отметить, что в числе подарков были «пять- десят трехлоктевых катапульт» (Полибий, История, книга V, 88). Невольно приходит’ в голову, что эти катапульты представляли особую цен- ность потому, что были созданиями Архимеда.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И, Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 7 Вероятно, в течение этого мирного промежутка Архимеду удалось побы- вать в Александрии и познакомиться там с Кононом и Эратосфеном. Во время своего пребывания в Египте, как говорит историк Диодор (вторая половила I века до и. э.), Архимед изобретает к ох лею, или архимедов винт, служа- щий для поднятия наверх воды. Знакомство с Копоном, вероятно, послу- жило толчком к развитию огромных математических способностей Архимеда. Архимед. Доминико Фстя (XVII в.). Картинная галерея. Дрезден. Первые его произведения были посвящены механике; после же смерти Коно- па Архимед пишет ряд выдающихся математических произведений. Инте- ресно отметить, что в 240 г. до н. э. Архимеду было уже около сорока семи лет, так что дошедшие до пас его математические произведения написаны им уже по меныпеп мере » пнтидесятилетпем возрасте. Первое из дошедших до нас сочинений Архимеда «Квадратура параболы» можно предположи- тельно отнести к 235 г. до н. э.; Архимед умер в 212 г. до и. э. Таким обра- зом, расцвет математической деятельности Архимеда обнимает какие-нибудь 20—25 лет. Этот период был прерван начавшейся в 218 г. до н. э. второй Пунической войной между Римом и Карфагеном. Сиракузы были вовлечены в эту войну, и в 212 г. до н. э. Архимед, руководивший обороной Сиракуз, погиб от меча римского солдата. Каким рисовался образ Архимеда следующим поколениям? Полибий, описывавший осаду Сиракуз всего через какие-нибудь 50—60 лет поел©
8 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО смерти Архимеда, в дошедшем до нас и приведенном ниже (см. стр. 44) тексте говорит только об инженерной деятельности Архимеда, по соответ- ствующая часть истории Полибия дошла до нас только в извлечениях. Римский историк Тит Ливий, использовавший Полибия в своей истории Рима, называет Архимеда unions spectator coeli siderumqiie — «не имею- щий себе равных наблюдатель неба и звезд». Главным образом как об астрономе пишет об Архимеде и Цицерон; однако последний знал Архимеда и как математика, так как сумел найти могилу Архимеда по помещенному на ней изображению шара и цилиндра — в память одного из математических достижений Архимеда, которое послед- ний считал самым большим своим открытием. Диодор, историк середины I века до н. э., говоря об изобретении архи- медова винта пишет: «По не только поэтому нужно удивляться таланту Архи- меда. Мы обязаны ему еще многими другими более замечательными произ- ведениями, известными всему миру. Мы опишем их с тщательностью и в под- робностях, когда дойдем до описания эпохи Архимеда» (Историческая библио- тека, книга V, 37). К сожалению, часть истории Диодора, описывавшая эпоху Архимеда, до пас не дошла. В конце того же века знаменитый архитектор Витрувий говорит об Архи- меде как о разностороннем ученом. Во введении к первой книге «Архитек- туры» он пишет об идеальном архитекторе: «Но такие гении очень редки; мало людей, вроде Аристарха Самосского, Филолая, Архита Тарентского, Аполлония Пергского, Эратосфена Киренского, Архимеда и Скопина Сиракузского, которые сумели с помощью расчетов и знания тайн природы сделать большие открытия в механике и гномонике и оставили потомству об этом ученые труды». Интересны лица, с которыми Витрувий сопоставляет Архимеда: это Аристарх Самосский — математик, физик и астроном, созда- тель первой гелиоцентрической системы мира; затем пифагореец Филолай — философ, математик и тоже автор системы мира, согласно которой в сере- дине мира находился центральный огонь; Архит Тарентский — друг Плато- па, известен как математик, механик и замечательный полководец; Аполло- ний Пергский — автор ряда замечательных математических произведений ио арифметике и геометрии («Конические сечения»), и, по-видимому, творец астрономической теории эпициклов; об Эратосфене мы уже говорили; все зто люди больших и, главное, разносторонних интересов и способностей. Во второй половине первого века пашей эры Силий Италик — ученый поэт эпохи Флавиев, автор исторического зпоса о второй Пунической войне- ценит Архимеда как человека «поднявшегося своим гением далеко за пре- делы человеческого», «знавшего все тайны природы», которому известпог «является ли Земля неподвижной, или прикрепленной к оси вращения; по какой причине разлитое ио земному шару море остается прикованным к поверхности Земли; в чем заключается причина волнения его вод и различ- ных фаз Луны; какому закону следуют явления прилива и отлива». «Можно* верить, продолжает поэт, что Архимед исчислил все земные песчинки» и что- оп мог «руками одном слабой женщины спустить па воду корабль и поднять- вверх по наклону нагроможденные па нем скалы» (De ЬсПо punico secundo, книга XfV). Все эти отзывы рисуют Архимеда как всестороннего ученого — астро- пома, естествоиспытателя, механика, они мало говорят об Архимеде как- о математике, но это вполне попятно: математика нс была предметом, зна- комство с которым было распространенным среди широкой публики. Мы при- вели зти отзывы в противовес очень распространенной характеристике Архи- меда, данной Плутархом, который в противоположность этим авторам
Афипская школа, Рафаэль (XVI в.). Фреска. Ватикан. Рим. Архимед в правом ппжром углу склонился с циркулем над абаком,
40 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ и. И. ВЕСЕЛОВСКОГО рисует Архимеда преимущественно как математика. Причина этого заклю- чается совсем не в том, что Плутарх был математиком, или по крайней мере любил математику. Причина этого заключается в том, что все вы шеприведеп- ные авторы писали еще под очень сильным влиянием эллинистического образа мышления, в то время как деятельность Плутарха относится уже к совер- шенно другой эпохе. Плутарх жил в начале II века пашей эры в эпоху, когда консервативные настроения, зародившиеся еще во времена Августа, достигли своего полного развития. В эту эпоху классической реставрации забывается и реализм эллинистической литературы, и разносторонность научной деятельности эллинистических ученых. В качестве идеалов выста- вляются поэты, ораторы и философы классической эпохи Афинского госу- дарства, начинается возрождение философии Аристотеля и Платона. В обла- •сти науки развиваются лишь медицина и математика, прячем последняя не как самостоятельная наука, а скорее как служанка астрономии, или, верное, астрологии; при этом, конечно, много значил и культ математики, имевший место у Платона и пифагорейцев, возрождение философии которых как раз приходится па первые два пека нашей эры. Истинный ученый рисуется как человек не от мира сего, погруженный в созерцание идей выш- него мира, к которому принадлежат и математические образы. Все это сле- ,дует иметь в виду, читая характеристику Архимеда, данную Плутархом в биографии римского полководца Марцелла. «Архимед имел возвышенную душу и глубокий ум, и, обладая громад- ными богатствами геометрических теорий, он не хотел оставить пи одного сочинения относительно построения тех машин, которые доставили ему славу знания, не только доступного человеку, но почти божественного... Во всей геометрии нельзя найти более трудных и глубокомысленных задач, которые были бы решены так просто и ясно, как те, которыми занимался Архимед. Одни приписывают эту ясность его высоким дарованиям, другие же — тому напряженному труду, при помощи которого ему удавалось дать своим открытиям такое выражение, что они становятся доступными без труда. Если читатель сам не находит доказательства, то при изучении архи- медовых сочинений у него создается впечатление, что он и сам смог бы без труда найти решение,— таким легким и быстрым путем Архимед приводит к тому, что он хотел доказать. Поэтому не кажется невероятным, что он, Kai? рассказывают, будучи околдован геометрией, забывал о пище и пренебре- гал заботами о своем теле. Часто его насильно заставляли принимать ванну и натираться мазями, а он чертил на золе геометрические фигуры и на своем намазанном маслом теле проводил пальцем линии,— настолько он был охвачен этики занятиями и действительно одухотворен музами. И хотя у него было много прекрасных открытий, он, говорят, просил своих род- ственников и друзей начертить на его могиле только цилиндр и содержащийся в нем шар и указать соотношение между объемами этих тел. Таков был Архимед, который благодаря своим глубоким познаниям в механике смог, насколько это от него зависело, сохранить от поражения и себя самого и свой город». Отношение Архимеда к механике Плутарх рисует следующим образом: «Архимед не придавал большого значения всем этим (римским) маши- нам, которые, по слчцеству, не могли идти в сравнение с его собственными, и нс потому, что он как-нибудь особенно ценил свои изобретения; он сам рассматривал их лишь как простые геометрические игрушки, которыми он занимался в свободное время и то большей частью но настоянию царя Гиероиа, который постоянно старался направить его занятия от чисто интел- лектуальных предметов к материальным вещам и сделать ого рассуждения
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 11 в некоторой степени доступными чувствам и ощутимыми для среднего чело- века при помощи применения их к общежитейским занятиям». Стоит отметить наконец, также следующее свидетельство Паппа (Биб- лиотека, книга VIII, 3). «Причину же и количественные характеристики (т^тАоуот) всего этого (то есть механических и р и б о р о в) познал сиракузянип Архимед, как утверждают некоторые. Вплоть до наших времен только он один пользовался для всяких целей разнообразием и своих природных дарований и замысла, как говорит Гемин в книге «О порядке математических наук». Антиохиец Карп говорит где-то, что сиракузяпин Архимед сочинил только одну книгу по механике, а именно касающуюся построения небес- ного глобуса, считая все остальное недостойным описания». Опираясь па мнение Плутарха, иногда рисуют Архимеда как чистого математика, взявшегося за презираемую им технику только в тот момент, когда его родному городу стала грозить смертельная опасность. Такого рода оценка основана на однобокой характеристике Архимеда; если придержи- ваться фактов, то Архимед и начал свою научную деятельность как меха- ник, и закончил ее как механик же, и в математических его произведениях механика является могучим средством для получения математических результатов, да и сами эти результаты не являются бесплодно висящими в воздухе, а применяются для обоснования механических теорий. II Так как первые работы Архимеда были посвящены механике, то необхо- димо коротко остановиться на истории развития античной механики, тем более, что в настоящее время нет еще специальных работ, посвященных этому вопросу механики. Название «механика» произошло от греческого «pT)x<xvizT) (подразуме- вается Ti'/vT])» — механическое искусство. Самое слово ртдоахт; — машина — 1первоначально обозначало подъемную машину, употреблявшуюся в театрах; отсюда произошло известное выражение Deus ex machine — бог, спускаю- щийся на театральной машине для разрешения запутанного хода действия трагедии. Таким образом, «механическое искусство» родилось на сцене, но это не должно нас удивлять: в обществе, основанном на рабском труде, не •было и не могло быть никаких экономических стимулов для развития маши- ностроения. Что же касается специально театра, то нужно отметить, что в то же самое время, о котором идет речь (V век до и. э.), театр дал толчок к развитию еще одной математической науки, а именно геометрической опти- ки, или лучше сказать — перспективы, появление которой было вызвано нуждами сценических декораторов. Греки различали два вида движений — естественные и искусственные. Первые совершались сами собой без всякого постороннего вмешательства; к ним греки относили падение тяжелых и поднятие легких тел, а ташке круговые движения небесных светил. Что касается вторых, то они для своего осуществления непременно требовали некоторого двигателя. То, что мы теперь понимаем под термином «сила», в обоих этих видах движений носило различные имена. В естественных движениях пашей силе соответствовала ролц (от pEiraiv — тот же корень и смысл, что в нашем «ринуться», или лучше, «рыпаться»), что мы в дальнейшем, следуя Галилею, переводим тер- мином «момент» (этот смысл понятие momentum до известной степени сохра- нило в английской математической терминологии и в настоящее время). Эта рблт], вероятно, считалась присущим телам стремлением, неотделимым
12 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТА ТЕЯ И. П. ВЕСЕЛОВСКОГО от материи, хотя Аристотель сделал попытку и в случае естественного дви- жения искать причину его вне тела, в так называемом свойственном каждому роду тел «месте», к которому эти тела должны стремиться; так «местом» тяжелых тел была Земля, а «местом» легких тел — огня — находящаяся над воздухом огненная сфера. Что же касается искусственного или насиль- ственного движения, то причину его древние греки искали уже определенно вне движущегося тела: причина эта называлась dAvap-ig. Количественное определение fiwapig мы находим у Аристотеля: он определяет ее как вели- чину, пропорциональную весу движущегося тела и скорости его движения (вернее — пройденному пути, разделенному па время). Понимаемая в таком смысле 66vap.ig в точности соответствует нашему понятию «мощности», и действительно, па латинском языке термин fi’j'vap.ig передавался как potentia, откуда произоп1ло французское puissance — мощность. Было бы неправиль- ным толковать формулу Аристотеля в том смысле, как это делает Мах, кото- рый в ньютоновском определении силы как произведения массы па ускоре- ние, смело заменяет слово «ускорение» словом «скорость» и утверждает, что, по Аристотелю, сила равнялась произведению массы на скорость. Прежде всего, у Аристотеля отсутствует термин «равнялась»; затем наше понятие «массы» оставалось грекам неизвестным (его в механике заменяла чисто геометрическая piyeQog величина); что же касается веса, то все указывает на то, что греки не считали его постоянным; вес тела, по представлению даже средневековых механиков, мог увеличиваться при помещении тела на более длинное плечо рычага, затем при увеличении скорости движения (знаменитое vires acquirit eundo — приобретает силу от движения — вполне естественный вывод из наблюдения, что удержать падающее тело гораздо труд- нее, чем поддерживать покоящееся) и т. д. Это определение силы вполне отвечало уровню технического развития общества, в котором в качестве двигателей употреблялись животные и люди: если хочешь свезти вдвое бо- лее тяжелый груз, то запряги вдвое больше лошадей, если хочешь втрое увеличить скорость движения, возьми втрое больше живых двигателей. Такое понятие о «силе» еще до сих пор живет в нашем термине «лошади- пая сила». Очень трудпо ответить на вопрос, знал ли Аристотель принцип возмож- ных перемещений. Некоторые исследователи, в частности академик А. П. Крылов, решают зтот вопрос утвердительно; лично я нс мог найти ничего похожего ни в произведениях самого Аристотеля, ни в вышедших из его школы «Механических задачах» — первом дошедшем до нас произве- дении, посвященном механике. Следует, однако, заметить, что этот принцип совершенно естественно получается из аристотелевского определения fiovapig, если только считать коэффициент пропорциональности одинаковым у срав- ниваемых мощностей; равенство «сил» будет требовать и равенства произве- дении грузов на скорости. В этом убеждает нас сама формулировка так назы- ваемого «золотого правила» механики: «что выигрывается в силе, то теряется в скорости». Правда, эту формулировку мы в первый раз встречаем только в «Механике» Геропа (I век н. э.), но Герои, несомненно, воспроизводит более раннюю литературу. Во всяком случае нужно отметить, что греки приме- няли принцип возможных перемещений лишь к машинам, которые можно свести к рычагу; закона равновесия сил на наклонной плоскости они так и по смогли открыть, и он был впервые установлен только в Х1П веке н. э. Аристотелево определение «силы» как мощности страдало очень боль- шим недостатком: из него вытекало, что если сила равна нулю, то и ско- рость должна обратиться в нуль, если устранить двигатель, то прекратится и движение, а если движение существует, то всегда должна существовать
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 13 и вызывающая это движение сила. Такое воззрение годилось для объясне- ния движения повозок, везомых лошадьми, ни никак пе могло удержаться с развитием греческой артиллерии. Когда в 409 г. до п. э. карфагеняне начали завоевательные походы в Сицилии, то наемный характер их армий требовал быстрых военных действий и развития осадной техники. В борьбе с карфа- генянами в Сиракузах, родине Архимеда, возникла военная тирания Дио- нисия Старшего (IV век до и. э.), который произвел «мобилизацию промыш- ленности» для военных целей. Результатом этой мобилизации было изобрете- ние метательных орудий (катапульт и др.), усовершенствование осадных магнии и кораблестроения. Из западной Греции новые открытия перекину- лись и в восточную, которая в IV веке до н. э. тоже от гражданских ополче- ний перешла к наемным армиям; Филипп и Александр Македонские имели в своих «штабах» большое количество «военных инженеров», и поенная тех- ника играла уже большую роль в последующих войнах эллинистических государств; чтобы убедиться в этом, достаточно прочитать относящиеся к рас- сматриваемому периоду части истории Диодора Сицилийского. Быстрота тем- пов развития военной техники в течение IV века до н. э. характеризуется сле- дующим фактом: еще в V веке до п. э. вплоть до самого его конца господ- ствующим типом греческого судна была так называемая триера, имеющая три ряда весел, но уже около .300 г. до н. э. в морских флотах эллинисти- ческих государств употребляются декеры-корабли с десятью рядами весел и появляются еще более крупные суда. Возможно, что именно развитие воеппой техники вызвало в области математики интерес к делийской задаче и способствовало развитию теории конических сечений, в области же меха- ники оно привело к возникновению теории механического подобия, к по- явлению большого количества литературы по воеппой механике и, наконец, к крушению аристотелевой теории силы, которая, по существу, была уста- ревшей уже в самый момент своего возникновения; если полет стрелы еще можно было объяснять тем, что ее движет возмущенный спуском тетивы воз- дух (так называемая теория антиперистазнса), то искать в воздухе причину движения тяжелого камня, выброшенного из катапульты, было уже совер- шенно невозможно. Каково же было новое определение силы? Ввиду почти полного исчез- новения эллинистической литературы приходится отыскивать это новое определение в сочинениях более поздних авторов, главным образом коммен- таторов Аристотеля. Как упомянуто Галилеем, один из таких комментато- ров, Александр Афродизский (около 200 г. н. э.) сообщает, что знаменитый астроном древности Гиппарх (писавший и в области механики) объяснял дви- жение брошенного тела тем, что двигатель сообщает брошенному телу неко- торую «силу», которая поддерживает движение, постепенно расходуясь; ког- да эта сила полностью иссякнет, движение прекращается. Вряд ли можно считать, что Гиппарх действительно является автором такого определения силы; по всей вероятности, он, для которого механика пе была основ- ной специальностью, просто воспроизводит обычное в его эпоху опреде- ление силы (Галилей приводит это определение в своем юношеском неза- конченном произведении «De motu»). Это эллинистическое определение си- лы встречается ташке и в комментариях Симпликия и Иоанна Филонова к Аристотелю (VI век н. э.); через посредство этих комментаторов (Симпликий был переведен во второй половине XIII века Вильгельмом из Мербеке — переводчиком Архимеда) эллинистическое определенно силы становится известным и западноевропейским механикам позднего средневековья; под именем impetus это определение силы встречается у Альберта Саксонского, Николая Кузапского и Леонардо да Винчи. Понимаемая в таком смысле
14 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И- Н. ВЕСЕЛОВСКОГО «сила» полностью отвечает современному понятию о живой силе; еще Декарт измерял силу (если пользоваться современной терминологией) тон работой,, которую надо сообщить движимому телу, чтобы поднять его па определен- ную высоту. Можно думать, что укреплению этого определения па европей- ской почве способствовало развитие артиллерии, также как создание гречес- кой артиллерии было причиной его появления. Весьма вероятно, что Архимед пользовался общепринятым в его время определением силы при построении своих военных машин; однако в чисто теоретических его произведениях это определение силы не встречается. Ио- видимому, это объясняется тем, что вопросы динамики в то время математи- ческой трактовке еще не поддавались, я Архимед вполне правильно сосредо- точил свое внимание на вопросах, касающихся статического равновесия. Одним из ранних произведений Архимеда было какое-то (нс дошедшее до нас) сочинение по механике, точное название которого неизвестно, то ли это nept (о равноплечих рычагах), то ли просто pi]ywuvixa. Этим сочи- нением пе мог быть дошедший до нас трактат «О равновесии плоских фигур», так как он не соответствует тем ссылкам, которые содержатся в трудах Геропа, Паппа и самого Архимеда, и не содержит самого главного — опре- деления центра тяжести, которое Архимед, очевидно, считал в то время ужи вполне известным. Составить себе представление об этом раннем сочинении Архимеда позволяют фрагменты, сохранившиеся у Паппа, в «Механике» Геропа, а также у самого Архимеда. Стержневым понятием всей статики Архимеда является понятие о цен- тре тяжести, которое по всем данным самим Архимедом и было установлено. Действительно, пи Аристотель, ни «Механические проблемы», которые при- писываются третьему преемнику Аристотеля в управлении Лицеем Стратону Лампсакскому, ничего о центре тяжести по зпают, в то время как уже около 250 г. до н. э. если не раньше, Архимед свободно оперирует этим понятием*). Доархпмедовское происхождение понятия о центре тяжести отстаивает С. Я. Лурье в своем сочинении «Архимед» (стр. 71), опираясь па следую- щий отрывок из «Механики» Герона. «Стоик Посидоний дал центру тяжести, или момента, физическое объяс- нение, сказавши, что центр тяжести, или момента, есть такая точка, что если за последнюю подвесить даппый груз, то ок будет в пей разделен па две рав- ные части. Поэтому Архимед и его последователи в механике более подробно рассмотрели это положение и установили разницу между точкой подвеса и центром тяжести». Так как Архимед упоминается здесь после Посидония, то получается впечатление, что он и жил после Посидония, и исправил введенное Посидо- нием неправильное определение центра тяжести. Но следует, однако, иметь в виду, что «Механика» Геропа дотла до нас в арабском переводе сирийца Косты ибн-Лука из Баалбека и что у пас ист никакой гарантии, что в под- линнике действительно стояло tea (равные), а но iaopponou'vta (уравновеши- вающиеся). За последнее говорит упоминаемое в тексте «подвешивание за точку»; термин «равновесие относительно точки» мы у Архимеда встречаем, но «деление точкой тела па две равные части», да еще при «подвешивании» несколько нас удивляет; приходится помогать делу тем, что центр тяжести рассматривать как точку пересечения линий или плоскостей, делящих на две равные части данную плоскую фигуру или тело. ’) В связи с этим стоит отметить, что в своих ранних механических произведениях («Книга опор») Архимед понятия о центре тяжести еще не имел, чем и (.(л-нсинютсн некоторые его олтпйни и расчетах.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 15 С. Я. Лурье замечает, что указанное понимание центра тяжести повто- ряется и в других местах «Механики» Герона; так, на основании упомянутого неправильного определения находится центр тяжести треугольника (кни- га II, 35), затем деление тела па две уравновешивающиеся части плоскостью, проведенной через точку опоры, встречается при изучении подъема цилиндра по наклонной плоскости (книга I, 23) и при определении действия рычага на тело, опирающееся на землю (книга II, 9). Основываясь ла этих местах, а также на том, что Посидоний в тексте Герона упоминается раньше Архи- меда, С. Я, Лурье, следуя английскому историку математики Хису, пред- положи.;!, что автором вышеупомянутой теории является нс хорошо всем известный сирийский стоик 1 века до н. э. Посидоний Родосский, учитель Цицерона, а совсем почти неизвестный стоик Посидоний Александрийский, живший несколько ранее Архимеда; этому самому Посидонию и нужно при- писать честь введения в науку понятия о центре тяжести, причем сначала это понятие было получено из неправильного предположения, что линия, пли плоскость, делящая тело на две равные части, должна обязательно пройти через центр тяжести. При более тщательном изучении дела выясняются следующие обстоя- тельства. Второй и третий тексты, упомянутые С. Я. Лурье, а именно, тек- сты, относящиеся к рычагу и наклонной плоскости, должны быть просто устранены из рассмотрения на том основании, что они пе содержат никакого упоминания о центре тяжести (н примере с подъемом цилиндра по наклонной плоскости говорится только о «центре круга», в случае же с рычагом вообще никакой центр нс упоминается). Что же касается первого текста, приводи- мого С. Я. Лурье, а именно относящегося к центру тяжести треугольника, то детальное рассмотрение его является для теории С. Я. Лурье роковым. Этот текст представляет собой часть довольно большого отрывка, касаю- щегося определения центров тяжести некоторых плоских фигур*). В самом пачале автор действительно говорит, что треугольник АВС, положенный на медиану АГ), «не будет иметь момента пи в какую сторону, так как треугольники ABD и ЛГ)С равны» (подчеркнуто мной, И. В.), но все даль- нейшее изложение, касающееся определения центров тяжести четырех- угольника и пятиугольника, совершенно пе основывается на упомянутом ложном принципе; там, наоборот, везде подразумевается равенство не пло- щадей, а моментов. Все изложение может быть сделано совершенно правиль- ным, если в подчеркнутой фразе опять вместо слов «равны» читать «равпо- весягци». Можно, конечно, думать, что слона «равны» в рассматриваемом тексте являются подливными, по что Посидоний Родосский, который вряд ли шел далее определения центров тяжести самых простых фигур (параллело- граммов, треугольников, кругов), предпочел дать, если не совсем правиль- ное, то во всяком случае более короткое и наглядное объяснение; для периода упадка механики в конце эллинистической эпохи это но всяком случае вполне подходит. Правда, в рассматриваемой книге Посидоний упоминается раньше Архимеда, по порядок упоминания авторов в тексте сочинения не всегда совпадает с хронологическим порядком их опублико- вания: Герои мог начать с популярного произведения Посидония, а потом перейти уже к более серьезному и трудному тексту Архимеда. Таким обра- зом, предшественника Архимеда, стоика Посидония Александрийского, как автора понятия о центре тяжести можно целиком вычеркнуть из исто- рии механики. «) Этот отрывок помещен в нашем издании среди «Механических фрагментов» Архимеда (см... стр. 73—75),
16 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. И. ВЕСЕЛОВСКОГО Безусловно верным в тексте Герона является то, что понятие о центре тяжести как о точке подвеса он считает предшествующим всякому иному пониманию центра тяжести, но и определение центра тяжести как точки подвеса тоже принадлежит Архимеду. У Паппа (книга VL1I, 5) архимедово определение центра тяжести читается так: «Центром тяжести каждого тела является некоторая расположенная внутри него точка — такая, что если за нее мысленно подвесить груз, то •оп остается в покос и сохраняет первоначальное положение». Приблизительно такое же определение центра тяжести как точки под- веса мы встречаем у Евтокия и Симпликия (см. «Механические фрагменты», стр. 68, 72): варианты заключаются лишь в том, что подвешивание иногда заменяется подпиранием, как можно видеть из упомянутого текста Паппа и параллельного ему текста из «Механики» Герона (книга Т, 24), определенно восходящих к одному источнику. Что касается этого источника, то Папп называет два имени — Герона и Архимеда; поскольку в тексте Герона имеются некоторые неясности, а у Паппа все изложено правильно, то с ве- роятностью, близкой к достоверности, можно утверждать, что этим основным источником как для Паппа, так и для Герона является Архимед. Понятие о центре тяжести сложилось у Архимеда па основании чисто практических исследований распределения давления груза между поддер- живающими его опорами. Это можно видеть, с одной стороны, из выше- упомянутого текста Паппа — Герона, с другой — из того обстоятельства, что, как мы знаем из арабских источников, Архимед папнеал «Кингу опор», отрывки из которой содержатся в вышеприведенной «Механике» Герона. Правда, если судить по этим отрывкам, он пе оказался особенно счастливым в полученных результатах; его теория расчета многооиорпой балки («Меха- ника», Герона, книга I, 26) совершенно неверна, так как из приведенных там рассуждений вытекает, что в случае балки, лежащей на трех опорах, средняя опора будет всегда нести половину веса всей балки, независимо от своего положения; точно так же нельзя согласиться с архимедовским расче- том консольной балки (там же, 27—28). Удивляться этому7 не приходится; в распоряжении Архимеда пе было никаких приборов для измерения давле- ний на опоры. В связи с этим можно отметить, что Леонардо да Винчи тоже ошибался при определении давлений на опоры и подставки, хотя натяжения веревок определялись им совершенно правильно (конечно, в статически опре- делимых случаях). Работы Архимеда в области строительной механики не были единствен- ными плодами его технических занятий; Архимеду приписывается целый ряд механических изобретений. Правда, подробный список их, составленный его соотечественником историком Диодором Сицилийским, к сожалению, до нас не дошел, так что нам приходится собирать у античных писателей сохранившиеся отрывки этого списка. На первом месте среди этих изобретений следует поставить архимедов винт или кохлею (улитку). Вот тексты, касающиеся этого прибора. Об употреблении'его в Египте говорит историк Диодор (книга I, 34): «Нил после разливов наносит на поля новые количества ила, и обитатели легко могут орошать все поле при помощи изобретенной Архимедом Сира- кузским машины, которая по причине своей формы, носит название улитки». Об употреблении его в Испании тот же Диодор сообщает (книга V, 37): «Горнорабочие встречаются иногда с подземными реками, быстрое тече- ние которых они уменьшают, отводя их в наклонные рвы, и неутолимая жажда золота заставляет их доводить до конца свои предприятия. Самое удивительное заключается в том, что они могут целиком вывести всю воду
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 17 при помощи египетских винтов, которые изобрел Архимед Сиракузский во время своего пребывания в Египте. Они таким образом постепенно подымают воду вплоть до отверстия рудника и после осушения подземных галерей спокойно в них работают. Эта машина так искусно устроена, что с ее помощью можно поднять громадные массы воды и даже легко вывести целую реку из земных глубин на поверхность». Об этом же говорит писатель TI века пашей эры Атепей в своих «Демм- пософистах» (книга V): «Хотя бы отстойная вода (в трюме корабля) была бы л очень глубокой, ее отсасывал один человек при помощи изобретенного Архиме- дом бесконечного винта». Некоторые авторы оспаривают авторство Архимеда в этом изобретении на том основании, что пи географ Страбон, упоминающий об этой машине в своем описании Египта, ни Витрувий, ни механик Филон не называют при ее описании имени Архимеда; однако в этом случае можно поверить Диодору, по-видимому, специально занимавшемуся изобретениями своего великого земляка. Иначе обстоит дело с изобретением Архимедом винта. Его изобретение приписывает Архимеду тот же Атсней («ДеЙппософнсты», книга X), который, рассказывая известный анекдот о том, как Архимед либо вытащил на сушу корабль, либо наоборот спустил его на воду, говорит: «Кыда люди много трудились над тем, чтобы спустить этот корабль на воду, знаменитый механик Архимед сделал это один с помощью неболь- шого числа людей. Действительно, он добился успеха при помощи выдуман- ного им винта, так как именно ему мы обязаны этим изобретением». О том же говорит византийский автор XII века, известный комментатор Гомера, Евстафий, епископ Фессалоникийский: «Архимед считается первым изобретателем винта (eZig), причем эта машина доставила ему большую славу» (Комментарии к Илиаде, III). Приведенные свидетельства не могут считаться доказательными по сле- дующим причинам: 1°. Рассказ Атенея является второй версией известного рассказа Плу- тарха, с той только разницей, что у Плутарха в качестве машины упоми- нается полиспаст, что более вероятно. Мы имеем еще и третью версию у Сим- плиния (VI век и. э.) в комментарии к «Физике» Аристотеля, где знаменитое «дай точку опоры, и я приведу в движение Землю» связывается с изобрете- нием «харистиона» (нечто вроде десятичного рычага или весов) — прибора, который под названием «карастуна» был предметом исследований арабских и средневековых механиков, а у французского историка науки Дюэма изо- бретение «харистиона» приписывается сыну известного астронома Птолемея. По видимому, и Атеной, и Симпликий называли прибор Архимеда послед- ним словом механической пауки их времени. 2е. Свидетельство Евстафия сомнительно и в том отношении, что гре- ческое слово употреблялось для обозначения и винтовой линии, и спи- рали (о которой Архимед действительно писал), так что смешение в этом случае вполне вероятно. III Греческая геометрия в то время, когда к ее изучению приступил Архи- мед, была уже вполне сложившемся дисциплиной. Она уже имела свою кано- ническую книгу — дошедшие до пас «Начала» Евклида, завершившие собой целую эпоху, в течение которой вырабатывалась стройная система греческой 2 Архимед
18 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО геометрии. Можно отметить следующие три характерные черты грече- ской геометрии: это, во-первых, геометрические построения при помощи циркуля, во-вторых, воззрение на геометрические фигуры и тела как на некоторые величины и, наконец, в-третьих, строгие логические доказатель- ства в изложении геометрии. Геометрические построения при помощи циркуля, по всей видимости, были введены в ионийской геометрической школе, из представителей кото- рой нам известны Фалес и Эноннд Хиосский. Ионийская школа была тесно связана с вавилонской наукой, откуда были заимствованы и космологи- ческие представления милетцев, и астрономические предсказания затмений, и знаменитая теорема Фалеса о вписанном в круг угле, опирающемся на диа- метр, и, по-видимому, даже само употребление циркуля для геометрических построений. Результаты работ этой школы сохранились в первой половине книги I «Начал» Евклида и в большей части теорем книги III; характер- ными для нее являются исследование вписанных в круг прямолинейных фигур*), понимание равенства фигур в нашем современном смысле как сов- падающих при наложении и, наконец, отсутствие метрических элементов (одно и то же слово aspi^epeia употреблялось щл« обозначения и всей окруж- ности, и какой-нибудь ее части — дуги). Метрические понятия разрабатывались во второй греческой школе, которая восходит к Пифагору. Основным понятием пифагорейской мате матики было число, которое мыслилось материально как собрание единиц— монад. Из этих монад те, которые обладали положением, представляли маши точки, те же монады, которые были лишены положения, представляли наши арифметические единицы. Геометрия пифагорейцев была своего рода отде- лом арифметики, учением о специальных группировках единиц в виде квад- ратов, прямоугольников, линий, многоугольников, кубов, параллелепипе- дов и т. д. Понятие равенства фигур и тел в этой школе совпадало с нашим, понятием о равновеликости. Наиболее характерными чертами пифагорей- ской геометрии являются преобразования равновеликих фигур (квадратура, «приложение (ларароЛг) площадей», то есть построение на данной прямой прямоугольника, равновеликого заданной площади, и т. п.) и своеобразный математический атомизм, тесно связанный с идеей целочисленности отноше- ний между геометрическими величинами. Первоисточник пифагорейской математики мы можем искать в Египте с его модулярной теорией архитек- туры, где размеры всех деталей здания определялись через отношения к некоторой длине, взятой за единицу,— модулю. Если египетские жрецы могли сказать историку Геродоту (Г век до п. з.), что площадь грани Хеопсо- вой пирамиды равняется квадрату, построенному на высоте пирамиды, то они могли сказать то же самое и Пифагору во время пребывания последнего в Египте**), а это уже представляет первый пример употребления средней пропорциональной. Если первые две характерные черты греческой геометрии имеют негре- ческое происхождение, то третья — введение логических доказательств — является специфически греческой; по существу, именно оно сделало геометрию настоящей наукой, а не только собранием практических правил. Если вави- лонские и индусские математики дали очень точные приближенные значе- ния для квадратного корня из двух, то только греки могли доказать, что отношение длины диагонали квадрата к стороне последнего не может быть. *) Характерно, что диагональ квадрата или прямоугольника Евклид называет диаметром. .**) У нас нет серьезных оснований для сомнений в пребывании Пифагора в .Египте (см. ком- ментарии к третьему тому русского издания «Начал» Евклида, М.. 1050, стр. 297—-299).
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II. ВЕСЕЛОВСКОГО 19 выражено точно при помощи отношения двух целых чисел; таким образом, родилось понятие о несоизмеримых отношениях. Открытие иррациональности квадратного корня из двух имело очень важное значение в истории греческой математики. Оно нанесло такой удар пифагорейской философии, от которого последняя уже нс могла оправиться. Оказалась неверной ее исходная идея — математический атомизм,— и пифа- горейская школа со второй половины V века начинает быстро вырождаться, обращаясь в ту математическую мистику, которая характерна для пифа- горейцев эпохи Платона, много воспринявшего от идеалистической фило- софии пифагореизма. После крушения пифагореизма греческая математика получает определенный уклон в сторону геометрии, ибо если нельзя совер- шенно точно вычислить у 2, то можно всегда построить и его, и все другие квадратные иррациональности; таким образом, ионийские методы снова выступают на первый план; во второй книге «Начал» Евклида обыкновен- ные алгебраические преобразования трактуются чисто геометрически, создается столь характерная для греков и хорошо заметная также и у Архи- меда геометрическая алгебра. Объединителем ионийской и пифагорейской геометрии выступил в конце V века до и. э. Гиппократ Хиосский, автор первого учебника геометрии типа «Начал» Евклида. Символом такого объединения является впервые поста- вленная Гиппократом задача о квадратуре круга — построении квадрата, равновеликого данному кругу: чисто пифагорейское представление о квад- ратуре соединяется с употребительной у ионийцев фигурой круга (следы употребления круга в пифагорейской геометрии нам совершенно неизвестны). Поставленная Гиппократом задача о квадратуре круга была одним из пред- метов геометрических исследований Архимеда; последний в сочинении «О спиралях» дал способ построения прямой, длина которой равна длине окружности некоторого круга, а в «Измерении круга» вычислил (конечно, приближенно) отношение между длинами окружности круга и его диаметра. После крушения идеи целочисленности отношении между элементами геометрических фигур греческая геометрия конца V и начала IV веков до н. э. занялась исследованием квадратичных иррациснальностей, правильных многоугольников (в частности, пятиугольника и связанного с ним понятия о золотом сечении) и, наконец, пяти правильных многогранников. Этот этап развития греческой математики тоже, отразился в творчестве Архимеда, который занимался обобщением теории правильных многогранников (три- надцать архимедовых полуправильных многогранников); сюда же можно отнести материал «Стомахия», в котором идет речь о слежении фигур из раз- личных заданных элементов и о разделении площади на части, находящиеся с пой в рациональных отношениях. Нужно, однако, иметь в виду, что то, что для пифагорейцев представляло предмет серьезных исследований, у Архимеда разрабатывалось п связи с математической игрой типа наших головоломок. Математический атомизм Пифагора был также отправной точкой иссле- дований великого материалиста древности Демокрита, который высоко ста- вил самого Пифагора. Однако материалистическая философия Демокрита была. диаметрально противоположной пифагорейскому идеализму. Если у Пифагора основой было «число», применение которого к физическим явле- ниям приводило к математическому атомизму, то отправной течкой всей философии Демокрита были реальные физические атомы — «неделимые», из которых составляются все тела природы, в том числе и математические, тела и фигуры. Даже в математике Демокрит пошел дальше Пифагора; он рискнул определить объем нирамиды и конуса при помощи разбиения на весьма малые элементы — «неделимые». Архимед хорошо знал великого
20 ВСТУПИТЕ,! |,ПАЯ СТАТЬЯ И. II. ВЕСЕЛОВСКОГО атомиста и с похвалой упоминает его в «Эфоде»; однако атомистические ме- тоды он считал пригодными лишь для предварительных исследований, после чего полученные геометрические предложения должны были доказываться при помощи строго логических методов; в математике учителем Архимеда был пе Демокрит, а Евдокс- Евдокс Книдский (около 410—356 гг. до п. э.) является одним из вели- чайших математиков всех времен и народов. Трудно переоценить заслуги этого математика, результаты работ которого мы имеем в V, VI, второй половило XI и в ХП книгах «Начал» Евклида. В книге V «Начал» излагается евдоксова теория отношений для несоизмеримых величии, полное значение которой было попито в широких математических кругах лишь в XIX веке мосле создания Дедекиндом теории иррациональных чисел. Евдокс построил первую кинематическую модель планетных движений (гомоцентрические сфе- ры Евдокса), положил начало сферической геометрии. Он же, по-видимому, дал тс методы определения сравнительных величин и расстояний Солнца, Лупы и Земли, которыми впоследствии воспользовался «Коперник антично- го мира» Аристарх Самосский (III век до и. э.). В геометрии Евдокс создал метод исчерпывания, который для Архимеда был единственным строго науч- ным методом определения площадей и объемов криволинейных фигур и тел. Поскольку евдоксов метод исчерпывания по всегда правильно пони- мается, не будет лишним более детально рассмотреть его сущность. Теория Евдокса дошла до пас в книгах XI (вторая половина) и XII «Начал», где методом Евдокса доказываются следующие теоремы: 1) Площади двух кругов относятся, как квадраты диаметров. 2) Объемы двух треугольных пирамид с равными высотами относятся, как площади оснований. 3) Конус равен третьей части цилиндра с теми же основанием и высотой. 4) Объемы двух равновысоких конусов или цилиндров относятся, как площади их оснований. Г>) Объемы подобных конусов или цилиндров относятся, как кубы их диаметров. Для нашей цели достаточно будет проанализировать доказательство одной из этих теорем, хотя бы первой из вышеупомянутых, поскольку метод доказательства всех их является, по существу, одним п тем же. Этот анализ полезно будет провести, сопоставляя рассуждения Евдокса с современным доказательством. Мы сначала определяем площадь круга как предел площадей вписанных и описанных многоугольников при неограниченном удвоении их сторон; Евдокс ограничивается лишь вписанными многоугольниками и опирается при доказательстве на следующие два предложения: 1у. Если от некоторой величины отнять больше половины, от остатка тоже отнять больше поло- вины и так делать постоянно, то можно получить остаток, меньший любой заданной величины. 2Э. Площадь треугольника, вписанного в сегмент, больше половины площади этого сегмента. Евдокс доказывает, что разность между площадью круга и площадью вписанного в этот круг многоугольника при неограниченном удвоении числа стороп последнего может быть сделана мень- ше любой заданной величины. Мы доказываем, что площади подобных вписанных многоугольников относятся, как квадраты диаметров; Евдокс делает то же самое. После этого мы говорим, что если две переменные величины находятся все время в одинаковых отношениях, то в тех же самых отношениях будут находиться и их пределы, так что, поскольку площади двух подобных вписанных многоугольников относятся, как квадраты диаметров описанных
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 21 около них кругов, то, следовательно, площади этих кругов толю будут отно- ситься, как квадраты их диаметров. При этом паше исходное положение о переменных и их пределах долгое время принималось почти за аксиому. Евдокс же доказывает положение, равносильное нашему. Доказательство Евдокса может быть изложено следующим образом. Пусть мы имеем две последовательности величии «1, «з...... Ь.,, &3, .... bIL, ..., соответственные члены которых связаны соотношением а^—кЪ^ где к — некоторое постоянное пиело. При увеличении и члены первой последовательности неограниченно приближаются к некоторой величине Л’„, а члены второй последователь- ности точно так же приближаются к величине Sb, оставаясь все время меньше своих соответственных пределов. Требуется доказать, что эти пределы Sa и Sb будут тоже связаны соотношением sa-k.sb. Допустим, что это неверно, по одна из этих величин, например 3',., будет меньше, чем k-,Sb, и равна Т: [Sa—T<k-Sb. Увеличивая п, мы всегда можем добиться, чтобы разность Sb—bn сде- в лилась меньше любого заданного числа —: К Sb Отсюда kbn > kSb — е. Так как число е может быть выбрано сколь угодно малым, то мы всегда можем сделать, чтобы кЪп>Т. Но ап—кЪп-, следовательно, <in>T = Sa, что невозможно, ибо величина ап приближается к своему пределу, оставаясь всегда меньше его. Таким образом, мы показали, что Л а kSb. Представив основное равенство «П = в виде ' - Ьп=-^-ап^к'ап, мы можем аналогично показать, что Sb>k’Sa,
22 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО ИЛИ . . kSb>Sa. Оба эти неравенства показывают то, что требовалось доказать: kSb = Sa. Рис, 1. У Архимеда мы можем проследить дальнейшую эволюцию метода Евдокса. Во второй (чисто математической) части «Квадратуры параболы» Архи- мед, совершенно так же как и Евдокс, пользуется последовательностью вели- чин, приближающихся к предельной величине снизу — площадь параболы постепенно «исчерпывается» вписываемыми в рассматриваемый сегмент тре- угольниками. Но уже в механической части доказательства (первой) Архи- мед заключает исследуемую площадь между двумя суммами трапеций, из которых одна больше, а другая меньше ее. В трактате «О inapo и цилиндре» Архимед показывает, что отношение ука- занных двух сумм может быть сделано сколь угодно близким к единице. В сле- дующих за этим произведениях «О спира- лях» и «О коноидах и сфероидах» доказа- тельство приобретает другой вид: Архимед показывает, что разность рассматриваемых двух сумм может быть сделана сколь угодно малой. Так как имеппо эта форма метода исчерпывания применяется н в «Измерении круга», то мы получаем осно- вание думать, что «Измерение круга» напи- сано не лозжо двух последних упомяну- тых произведений (в трактате «О спиралях» Архимед дает геометриче- ское построение прямой, длина которой равняется длине окружности), и во всяком случае пе раньше двух книг «О шаре и цилипдре». К Евдоксу же, или во всяком случае к его школе, следует отнести и соз- дание совершенно новой отрасли геометрии, а именно теории кривых вто- рого порядка, пли, если пользоваться термином греческой математики, конических сечений. Причины, вызвавшие к жизни этот новый отдел математики, можно видеть в следующем. Одним из наиболее важных вопросов геометрии V века было определе- ние, или, лучше сказать, сравнение между собой различных площадей. Вся- кий многоугольник можно разбить на треугольники, площадь каждого тре- угольника равна площади прямоугольника со сторонами, равными основа- нию и половине высоты. Чтобы представить площадь многоугольника в виде одной фигуры, надо уметь складывать друг с другом площади различных прямоугольников, а для этого нужно уметь строить их па одном основании, после чего суммирование площадей приводится к простому суммированию высот. Операция «приведения площадей к одному основанию» называлась у греков «приложением (лараРоА./;)» и производилась так: Пусть OABG — заданный прямоугольник (рис. 1), ОТ) — то осно- вание, к которому нужно «приложить» этот прямоугольник. Продолжаем НО и откладываем на ее продолжении OD, затем дополняем прямоугольник ОПТА и проводим в нем диагональ ТО до пересечения в точке Н с продол- жением другой стороны GB заданного прямоугольника. Получив точку .11, дополняем прямоугольник DJTZB — продолжения сторон АО и ВО выделят
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. П. ВЕСЕЛОВСКОГО 23 в нем прямоугольник 0DE7Jy который и будет искомым; он построен па осно- вании OD и имеет площадь, равную площади заданного прямоугольника OABG. Алгебраически, нахождение второй стороны ОЕ, как нетрудно видеть, сводится к нахождению четвертой пропорциональной для линий О А, ОВ и 01): др _ О А ОБ ОВ ’ При помощи «nagapoZr» любой многоугольник может быть преобразован в прямоугольник. Дальнейший шаг на этом пути заключался в преобразова- нии полученного многоугольника в квадрат. Эта операция выполнялась при помощи нахождения третьей, или, как мы теперь гово- рим, средней пропорциональной, равносильной реше- нию уравнения . ж2 — ab, где а и b — стороны заданного прямоугольника, а х — сторона равного ему квадрата. При помощи упомянутых пропорциональных можно было построить квадрат, площадь которого равна площади любого многоугольника, так что оставалось лишь сравнивать между собой различные квадраты. Для этого строился ряд квадратов, площади которых относились бы как числа натурального ряда. Если некоторый квадрат мы принимаем за единицу (рис. 2), то квадрат, равный двум, получался на диагонали |/ 2 этого квадрата. Чтобы Рис- 2- построить квадрат, равный трем, нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого равняются стороне =1 и диа- гонали - у 2 первого квадрата. Продолжая таким образом, можно получить сколько угодно квадратов, образующих натуральный ряд чисел. Существо- вание такой операции доказано для древних египтян, употреблявших два локтя в 20 и в 28 дюймов (чтобы удвоить данный квадрат, или вообще данную площадь, надо размеры его, измеренные в двадцатидюймовых локтях, пере- строить в двадцативосьмидюймовые: отношение 28: 20=14 : 10—1,4 = р 2); ее знали вавилоняне, помещавшие в своих строительных справочниках довольно точное значение у 2; ее применяли индусы первого тысячелетия до н. э., которым приходилось, сохраняя форму жертвенника, увеличивать его площадь от 2 до 7 раз. Когда эта теория была построена, встал вопрос о распространении ее на многогранники и в первую очередь на параллелепипеды. Первым шагом на этом пути было построение натурального ряда кубов и в первую очередь построение куба, равного удвоенному данному кубу. Необходимость реше- ния этой задачи вызывалась еще тем, что в самом конце V века возникла метательная артиллерия и для увеличения дальности полота выбрасываемых стрел и камней требовалось пропорциональное увеличение объема упругих тяжей, приводивших в движение катапульту. Уже Гиппократ Хиосский показал, что задача удвоения (или вообще увеличения в произвольное число раз) куба может быть выполнена при номо1ци нахождения двух средних пропорциональных ж, у между задан- , а ными величинами а и о, отношение -р которых представляло то, в котором следовало увеличить объем заданного куба: а: х~ х: у == у : Ь.
24 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И- Н. ВЕСЕЛОВСКОГО Эта задача могла быть решена при помощи пересечения каких-нибудь двух из трех следующих кривых: ж2 = ау, у2 — Ьх; ху — аЬ. Первые две представляют параболы с взаимно перпендикулярными осями, а третья --- равностороннюю гиперболу. Такова, конечно, точка зрения современного нам математика, владеющего в полной мере алгебраи- ческим знакоположением; для нас уравнение является гораздо более удоб- ным к употреблению, чем изображаемая им кривая: для греков же, пе имев- ших такого символического аппарата, любивших конкретность и нагляд- ность, наоборот, кривая линия была более удобным орудием для математических и сел едований. Греки пользовались двумя способами получения новы х кри- вых. Во-первых, кривая могла быть образована движением некоторой точки; первым при- мером таких «геликоидальных», как их называли греки, кривых была квадратриса софиста Гип- пия Элидского (V век до и. э.), придуманная им, по всей види- мости, для деления угла на про пзвольпое число частей. Во-вто- рых, кривую можно было полу- чить, рассекая какую-нибудь из- вестную кривую поверхность: это были так называемые «выгнутые» (хпрлблш) кривые. Мы знаем, что Евдокс решил задачу об удвоении куба именно при поме щи таких xctpnuAai ypappat. Решение его до нас по дошло, но его брат и ученик Мепехм решал задачу при помощи пересечения двух парабол или гиперболы с параболой, и в «Конических сечеппях» Аполлония (книга I, определение 4 и сл.) под именем харлоХш урацаей понимаются именно конические сечения. Таким образом, именно Евдокс указал один из способов, которым могли быть получены соответствующие кривые; они получались при помощи сече- ния различных конусов, образующие которых яри вершине составляли пря- мой, тупой или острый угол. Известный историк математики Цейтсн очень убедительно рисует кар- тину получения параболы у2—2рх как «сечения прямоугольного конуса»; под этим именем знает параболу Архимед; оно употреблялось вплоть до Аполлония, который первый ввел современное привычное нам название. Возьмем конус OEF (рис. 3) с прямым углом при вершине О, пересе- чем его плоскостью, проходящей через точку А и перпендикулярной к обра- зующей ()Е\ эта плоскость в сечении с поверхностью конуса дает параболу NAP, ось симметрии которой будет прямая AKL — сечение проведенной плоскости с другой, проведенной через ось конуса перпендикулярно к пер- вой секущей плоскости. Следуя современной терминологии, будем назы- вать абсциссами х расстояния А К, AL, измеряемые по этой оси, а перпендикулярные к ней прямые, вроде LM'— ордината м и у *). ♦) Последнее слово представляет переделку латинского ordinatim applicatac, что в свою очередь является переводом греческого иаюхуцёуал, проведенные правильным, упорядоченным образом; так назывались прямые, перпендикулярные к оси параболы, проведенные до пересечении с кривой, или вообще половины корд, соответствующих какому-нибудь диаметру.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 25 Через какую-нибудь точку Л оси параболы проводим плоскость, пер- пендикулярную к оси конуса; она в пересечении с конической поверхно- стью даст окружность CMD, и мы по известному свойству окружности можем написать: у* = ЕМ* = СЕЕП_] Но для гипотенузы CL равнобедренного прямоугольного треугольника ACL имеем CL = ЛЕ\/ 2;’ точно так же, если через вершину А перпендикулярно к оси конуса про- вести АВ, то LD -_-AB -=AKV 2. где точка А' представляет пересечение оси AKL параболы с осью ОК конуса. Таким образом, если положить ЛК- ~р, то получим г/2 - Я Л |Л2 ЛК\/ 2 =- 2рх, где x=AL — абсцисса точки М параболы. Правильность этой реконструкции Цейтена подтверждается древней терминологией: у Архимеда параметр р=ЛК параболы называется ps/Qi той a£ovog — прямой, проведенной до оси, т. е. до оси того конуса, сечение которого образует нашу параболу. Самоназвание «парабола»связано с операцией «приложения» (ларароЛт|'): площадь квадрата у2, будучи «приложена» к прямой 2р как к основанию, дает высотой абсциссу х. Остальные две кривые связаны с так называемыми «приложениями с недостатком или с избытком»; возможно, одпако, что сна- чала были исследованы геометрические свойства тех кривых, которые полу- чаются в сечениях тупоугольного и остроугольного конуса, а потом уже сопоставлены с указанными типами «приложений». Пусть OEF (рис. 4) будет осевое сечение конуса с тупым углом при вер- шине О, а прямая ОК — его ось. Через какую-нибудь точку А проведем плоскость, перпендикулярную к образующей ОЕ; эта плоскость в сечении с поверхностью конуса образует кривую AAJK. Продолжим другую образующую OF конуса до пересечения в точке А' с прямой AQ — линией пересечения проведенной секущей плоскости с осе- вым сечением OEF конуса; прямая AQ, очевидно, будет осью симметрии нашей кривой. Возьмем на этой оси какую-нибудь точку L на расстоянии х от вершины и попытаемся найти связь между абсциссой х и соответ- ствующей ей ординатой y~~LM нашей кривой. Через точку L перпендику- лярно к оси конуса проведем плоскость, которая в сечении с поверхностью конуса образует круг с диаметром CD. Тогда \y2^LM^CLLD.\ Так как СА перпендикулярна к AQ, a CD перпендикулярна к DQ, про- веденной параллельно оси конуса, то все четыре точки С, A, D, Q будут лежать на окружности, построенной па CQ как па диаметре; тогда по свой- ству секущих в круге, проведенных через одну точку, будем иметь . CL LD — AL-LQ. Если К — точка пересечения. AQ с осью конуса, прямая АВ парал- лельна CD, а ВР параллельна оси конуса, то из подобия треугольников
26 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II. ВЕСЕЛОВСКОГО DLQ и АВР, Л'АВ и ALT) мы получим следующие соотношения: LQ : АР -= DL : АВ = A'L : А'А, откуда LQ^A’L—. х АЛ или, если принять во внимание, что АР—2АК’. Отрезок АК, как и в случае параболы, представляет параметр р, отре- зок АА' обозначим через 2а; если учесть, что AL=x, то уравнение кривой принимает вид y*=AL LQ -x (2a-i-z)g-, пли ,,2 9 nr 4- 2р т* 2 nr -I- (2рт> (2лж) Мы получим, что данный квадрат уй равняется «приложенному» к 2р прямоугольнику 2рх, к которому прибавляется площадь, подобная прямо- угольнику, стороны которого суть 2р и 2а. Сторона 2р носила название «пря- ' мой стороны, фигуры» (opftia too etSoug лЛесра-latus rectum), сторона 2a называлась поперечной стороной фигуры (rtXayia той etfioug rtlerpu'-latus transversum). Так как квадрат прикладывался к 2р с избытком (илерраХХегу— превосходить), то полученная кривая иосила название гиперболы; р — ее параметр, а 2а — действительная ось (у Архимеда она называется также яотаогоа T(o decovo — дополняющей ось).
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II. ВЕСЕЛОВСКОГО 27 Уравнение гиперболы Архимед употребляет в виде У2 _ Р х (2а-}- х) а ’ что можно выразить так: прямоугольник па отрезке х оси и том же отрезке, сложенном с «дополняющей ось», находится в постоянном отношении к квад- рату на соответствующей ординате (рис. 5). Аполлоний брал уравнение гиперболы в виде у~ — 2рх X2. Аналогично мы можем получить и уравнение эллипса, рассматривая сечение конуса с острым углом при вершине плоскостью, перпендикулярной к его обра- зующей (рис. б); теперь точка Л' получится уже на самой образующей OF, а не па ее'про- должении. Повторяя тс же самые рассуждения и сохраняя вышеприведенные обо- значения, будем иметь у2 = LM2 = CL • LD = AL LQ. Опять из подобия треугольников находим A'L : LQ = LQ : LD HA : АВ ~= АА' : АР, откуда LQ=A'L- 4 АА Если /1А'—р, АА'=2а и AL^x, то получим в виде у2==х (2а— что можно привести к уравнению меда у2 _ р_ х(2а—х) а ’ то есть отношение прямоугольника па ках оси к квадрату па соответств ординате есть величина постоянная ( . 7), или к уравнению Аполлония у2—2рх---х2;
28 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. И. ВЕСЕЛОВСКОГО так как теперь при «приложении» у2 к прямой 2р «недостает» (^aAsihei) пло- щади, подобной прямоугольнику со сторонами 2а, 2р, то полученная кривая носит название «эллипса». Прямая 2а является большой осью этого эллипса. Если положить х—а, то получится выражение для малой оси эллипса. Если через b обозначить ее половину, то дни будем иметь Ь2=2ра— ра=ра, откуда получается известное выражение для параметра эллипса: Классическими книгами ио теории конических сечений во времена Архимеда были «Начала теории конических сечений», составленные Евкли- дом, а также друган книга, принадлежащая геометру Аристою. Па ту или другую из этих книг ссылается Архимед везде, где оп без доказательства приводит теоремы, полученные своими предшественниками. Обе эти книги до нас, не дошли, но о содержавшемся в них материале мы можем составить себе представление, читая первые четыре книги «Конических сечений Апол- лония», в которых он резюмирует труды предшествующих ему авторов. Во всяком случае Архимеду были известны следующие свойства кони- ческих сечении: 1°. Середины хорд, параллельных какому-нибудь направлению, лежат на одной прямой — диаметре, сопряженном этому направлению. Диаметр в общем случае не будет перпендикулярным к сопряженным с ним хордам, но в косоугольных координатах с началом в точке пересечения диаметра с кривой и осями, направленными соответственно по диаметру и касатель- ной к кривой в точке — начале координат, уравнение кривой будет иметь, тот же вид, только соответствующий этому направлению параметр р будет иметь другую величину. Если учесть, что Архимед знал, что касательная к коническому сече- нию, проведенная в конце диаметра, будет параллельна хордам, сопряжен- ным с этим диаметром, то можно сказать, что Архимеду были известны урав- нения всех трех кривых второго порядка, отнесенных к косоугольным осям координат, а именно диаметру и касательной в его вершине. 2°. Бее диаметры параболы параллельны. Но Архимед рассматривает гиперболу как состоящую только из одной ветви; центр гиперболы и свой- ства сопряженных диаметров были открыты только Аполлонием. 3°. Свойства касательных к коническим сечениям, а именно, что каса- тельная к параболе пересекает ось в точке, расстояние которой от вершины параболы равно абсциссе точки касания и что для эллипса это расстояние будет больше, а для гиперболы — меньше соответствующей абсциссы. Затем он знал, что поднормаль к параболе имеет постоянную величину. 4°. Если из какой-нибудь точки провести касательные к любому кони- ческому сечению, а из другой точки внутри или вне кривой провести парал- лельные зтим касательным две секущие, то произведения отрезков этих секу- щих относятся, как квадраты параллельных им касательных. 5°. Существование асимптот у гиперболы, а также, что площадь прямо- угольника па прямых, проведенных из какой-нибудь точки гиперболы парал- лельно ее асимптотам до пересечения с последними, является величиной постоянной (наше уравнение ату—const). Точно так же Архимед знал, что отрезки касательной к гиперболе между точкой касания и асимптотами равны, как можно видеть из найденного Евтокием доказательства Архимеда одной леммы из второй книги «О шаре и цилиндре».
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 29 IV Новый период деятельности Архимеда начался, вероятно, после 240 г. до и. э., когда с наступлением мира Архимед получил возможность побывать в Александрин и завязать дружеские отношения с Эратосфеном и Колопом (Архимеду в это время было уже около пятидесяти лет). За это время (при- близительно тридцатые годы III века до н. э.) Архимед создал ряд произве- дений, доставивших ему бессмертную славу. Первым из этих произведении является «Квадратура параболы», написанная вскоре после смерти Конона и открывающая ряд «посланий» Архимеда к ученику и другу Конона мате- матику Досифсю, с которым Архимед, как видно из вступлений к посланиям, поддерживал переписку. Эта «досифееиская» группа сочинений Архимеда состоит из «Квадратуры параболы», первой и второй книг сочинения «О шаре и цилиндре», составлявших первоначально два совершенно самостоятельных произведения *), затем книги «О спиралях» и, наконец, сочинения «О конои- дах и сфероидах». Порядок появления этих произведений легко устанавли- вается на основе тех сведений, которые дают нам введения к этим посланиям. Самым ранним произведением в этой группе является «Квадратура пара- болы», представляющая, как можно видеть из вступления, первое послание к Досифею, написанное после получения известия о смерти Конона. В этом послании Архимед использует открытый им механический метод определе- ния площадей и объемов геометрических фигур и тел, разнообразные при- ложения которого он описывает позднее в своем «Эфоде». Из вступления к «Эфоду» видно, что нахождение площади параболического сегмента было первой задачей, решенной Архимедом при помощи механического метода. За «Квадратурой параболы» идет первая книга сочинения «О шаре и цилин- дре»; во вступлении к этой книге Архимед упоминает о посланном уже ранее сочинении «Квадратура параболы». Задачи, исследуемые во второй книге сочинения «О шаре и цилиндре», как видно из предисловия, были поста- влены Архимедом еще до смерти Конона, равно как и те, которые были разо- браны в первой книге; в этом сочинении «О шаре и цилиндре» Архимед обе- щает «как можно скорее» прислать предложения, касающиеся спиралей и коноидов. Как мы знаем из «Эфода», теоремы, касающиеся объема шара и его частей, а также коноидов и сфероидов, были первоначально найдены .механическим методом; однако в отличие от того, что было сделано в «Квад- ратуре параболы», Архимед теперь дает только окончательный строго мате- .матический вывод установленных теорем. После сочинения «О шаре и цилин- дре» была написана работа «О спиралях», тема которой была дана Архимеду еще Коионом. Во вступлении Архимед говорит, что после смерти Конона уже «прошло много лет», однако тот факт, что Архимед работал над темой, начатой им еще до смерти Конона, не позволяет понимать это «много» иначе как 5—10 лет. В том же самом предисловии Архимед говорит о «Коноидах и сфероидах» как о еще не посланной книге. Содержащиеся в этой работе предложения доставили Архимеду при доказательстве много труда, так что эта книга, которая по первоначальному плану должна была идти перед кни- гой «О спиралях», оказалась самым последним произведением рассматривае- мой группы: математические доказательства теорем, содержащихся в сочи нении «О коноидах и сфероидах» Архимед нашел только после того, как им ужо была решена поставленная задача относительно спиралей. •) Предложения нерпой книги Папп цитирует просто как «О шаре и цилиндре», ив называя книгу «первой».
30 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. И. ВЕСЕЛОВСКОГО Все предложения, доказываемые в посланиях к Досифею, представляют собой целостную группу. Как таковую их рассматривал и сам Архимед (см. вступление к книге «О спиралях»), причем объединяющим звеном для Архи- меда было то, что соответствующие задачи были поставлены им еще до смерти Конопа и, по всей вероятности, обсуждались в переписке с последним, а может быть, в той или другой мере и были поставлены Коионом Архимеду. Вот это единство всей группы и не позволяет растягивать на слишком боль- шой промежуток времени работу, произведенную Архимедом при решении этих задач. В отношении следующих произведений Архимеда мы находимся в не- сколько более трудном положении, так как далеко не все из них дают доста- точно материала, позволяющего нам совершенно точно определить их хро- нологическую последовательность. Среди этих произведений можно выде- лить «механическую» группу, состоящую из трех произведений: двух книг «О равновесии плоских фигур», послания к Эратосфену о механических тео- ремах (так называемый «Эфод») и, наконец, двух книг «О плавающих телах». Что касается произведения «Равновесие плоских фигур», то, следуя за Гейбергом, большинство исследователей (Хис, у нас С. Я. Лурье) считают его самым ранним из дошедших до пас сочинений Архимеда и разбивают его на два самостоятельных произведения: первую книгу, содержащую общие теоремы о нахождении центра тяжести, и вторую книгу, касающуюся нахо- ждения центра тяжести сегмента параболы, причем эта последняя поме- щается после «Квадратуры параболы». Вряд ли молото согласиться с таким разделением на две части рассматриасмого произведения. Во-первых, «Рав- новесие плоских фигур» по структуре очень похоже на сочинение «О плаваю- щих телах», которое тоже разбито па две книги, первая из них посвящена общим теоремам, а вторая — одному частному вопросу, а именно условиям равновесия плавающего сегмента параболоида. Во-вторых, первую книгу «Равновесия» трудно рассматривать как самостоятельное произведение, спе- циально посвященное вопросу о нахождении центра тяжести: в ней нет далее определения понятия о центре тяжести, не рассматривается положение центра тяжести круга, неправильного четырехугольника и вообще многоугольника; по существу, даются лишь положения центров тяжести тех фигур (прямо- угольник, треугольник, трапеция), которые нужны для доказательства теорем второй книги; затем основную теорему — о равновесии рычага — Архимед доказывает три раза: для соизмеримых и несоизмеримых прямоугольников в первой книге и для криволинейных площадей, могущих быть приведен- ными к прямоугольникам (квадрируемых) в предложении I второй книги. Наконец, формально-математический характер самого произведения не позволяет считать его первым наброском теории центра тяжести; есте- ственнее всего считать основной целью этого произведения определение пептра тяжести сегмента параболы, а первую книгу рассматривать как своего рода введение. Само собой разумеется, что если рассматривать обе книги как единое произведение, то они должны быть написаны после «Квад- ратуры параболы». По .можно думать, что они паписаны и после «Коноидов и сфероидов»: действительно, в последнем сочинении Архимед сформулировал • новые определения подобия кривых второго порядка и как раз этими опре- делениями он пользуется при доказательстве теорем второй книги (подроб- ности см. в комментарии к рассматриваемому сочинению); кроме того, при доказательстве предложения V второй книги «Равновесия плоских фигур» Архимед пользуется предггожением XXXI «Коноидов». Точно так же после «Коноидов» написан и «Эфод». Это вытекает из сле- дующих соображений:
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II.' ВЕСЕЛОВСКОГО 31 1°. Во вступлении к «Эфоду» Архимед, говоря о посылаемых в этом сочинении новых теоремах, указывает, что они отличаются от найденных им ранее теорем, в которых объемы коноидов, сфероидов и их частей срав- нивались с объемами конусов и цилиндров. 2е. Последней леммой 11 «Эфода» является предложение, доказанное в сочинении «О коноидах». 3°. В первом предложении «Эфода» содержится ссылка на сочинение «О равновесии» и ряд лемм текстуально повторяют предложения первой книги «Равновесия плоских фигур»; таким образом, получается, что «Эфод» написан после «Равновесия плоских фигур». Трактат «О плавающих телах» написан после «Коноидов», в тексте которых находятся предложения XX HI и XXIV, являющиеся основными при выводе условий равновесия плавающего сегмента параболоида. Далее, во втором книге «О плавающих телах» цитируется сочинение «О равнове- сии», в связи с определением центра тяжести сегмента параболоида; это. позволяет думать, что «О равновесии плоских фигур» — первая часть более общего сочинения «О равновесии» — была уже написана. Затем механи- ческий способ определения центра тяжести сегмента параболоида дается в предложении V «Эфода»; таким образом, вполне естественно предполо- жить, что трактат «О плавающих телах» написан после «Эфода». То обстоя- тельство, что вторая книга трактата «О плавающих телах» имеет вид незакон- ченного сочинения, позволяет думать, что мы имеем дело с самым послед- ним произведением Архимеда. Два оставшихся произведения Архимеда «Измерение круга» и «Псам- мит» своим характером резко выделяются из ряда остальных произведений Архимеда; в пих па первое место выступает вычислительная сторона мате- матики. Достоверно лишь то, что «Псаммит» написан после «Измерения круга», поскольку в последнем сочинении имеется ссылка на первое. Что касается «Измерения круга», то нужно отметить следующее: 1°. Одна из основных тем «Измерения круга» — определение длины окружности — тесно связана с предложением XVIII книги «О спиралях»; мы уже говорили выше, что форма, в которой применяют метод Евдокса, является одинаковой в обеих рассматриваемых книгах. 2е. Во втором предложении «Эфода» упоминается о том, что площадь круга равна площади треугольника, основание которого равно окружности, а высота — радиусу (первое предложение «Измерения круга»); отсюда видно, что Архимед во время написания «Эфода» во всяком случае уже работал над этим вопросом. 3°. При доказательстве предложения ХП1 «Эфода» Архимед стоял на пороге открытии центра тяжести полукруга, который ои обязательно полу- чил бы, если бы знал числовую величину площади полукруга. То обстоя- тельство, что в предложении XIV он избрал обходный путь для доказатель- ства теоремы об отношении площади полукруга к квадрату на диаметре при помощи введения вспомогательной параболы, позволяет думать, что число- вая величина отношения окружности к диаметру была еще ему неизвестна,, и это свидетельствует о том, что «Эфод» был написан до «Измерения круга». Так как «Псаммит» посвящен умершему в 216 г. Гелону, сыну и сопра- вителю царя Гисрона, то он должен был быть написанным до этого года. Общий хронологический порядок сочинений примерно таков: Г'. Квадратура параболы. 2°. О шаре и цилиндре. 3°. О спиралях. 4°. О коноидах и сфероидах.
32 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 5°. О равновесии плоских фигур. 6°. Эфод. 7°. О плавающих телах. 8'. Измерение круга. ГГ. Псаммит *). Первые четыре произведения относятся к периоду, когда Архимед переходил от механики к математике, стараясь добиться наибольшей воз- можной строгости доказательств, даже задерживая ради этой цели опубли- кование уже полученных результатов, как это вмело место с «Коноидами». Следующие три произведения относятся к новому периоду деятельности Архимеда, когда он выступил в роли создателя математической физики, прилагая строгие математические теории к объяснению физических явле- ний. Эту сторону деятельности Архимеда тем более важно отметить, что, по мнению Плутарха, Архимед был ученым, готовым забыть ради матема тики и практическую деятельность, и материальный мир, и прозу окру- жающей жизни. На самом деле вышедший из технической среды Архимед снова в нее вернулся, причем он сделал это не только под влиянием грозив- шей родному городу опасности. Таким образом, в научной деятельности Архимеда мы можем различить следующие периоды: 1°. Период инженерной деятельности — введение понятия о центре тяжести и его определение в случае простейших фигур и тел. 2е. Период посланий к Досифею — разработка методов определения площадей и объемов математических фигур и тел. 3°1 Период запцтий математической физикой — установление матема- тической теории рычага, центров тяжести и равновесия плавающих тел. 4е’. К последнему периоду относятся арифметико-астрономические работы, которыми в дальнейшем нам еще придется заняться более детально; пока же перейдем к описанию других сочинений Архимеда, дошедших до пас а отрывках или в отдельных цитатах позднейших писателей. Па первом месте мы должны поставить опубликованную в 1773 г. изве- стным немецким писателем .Лессингом «Задачу о быках», принадлежность которой Архимеду некоторыми исследователями оспаривается. Если она действительно принадлежит Архимеду (таково мнение и автора этих строк), то ее можно отнести к четвертому периоду деятельности Архимеда. Затем по упоминаниям в «Математическом собрании» Паппа нам изве- стно сочинение «О полуправильных многогранниках». Вероятно, в некото- рой связи с этим произведением находится «Стомахий», от которого до пас дошло дна отрывка: один в арабском переводе, а другой, открытый Гейбер- гом в Константинопольском палимпсесте вместо с «Эфодом». * Наконец, в «Метрике» Герона сохранилось несколько отрывков сочи- нений Архимеда, посвященных измерению площадей и объемов правильных и неправильных тел, которые тоже можно отнести к последнему периоду деятельности Архимеда. К их числу принадлежат сочинения «О призмах и цилиндрах» и «О неправильных поверхностях и телах». К разряду астрономических работ Архимеда относятся «Катоптрика», «О величине года» и, наконец, «Об изготовлении небесной сферы». Кроме того, в том же «Псаммите» Архимед упоминает еще об арифме- тическом сочинении «Послании к Зевксиппу»nepi'agxti/v—«О началах», в кото- ром излагались основы придуманной Архимедом системы суислепия. *) Два последних произведения могли быть написаны и ранее (после 3° и 4°).
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 33 Арабские источники относят к Архимеду еще следующие произведения: 1) 6 круге, 2) О семиугольнике в круге, 3) О взаимно касающихся кругах, 4) О параллельных прямых, 5) О треугольниках, 6) О свойствах прямоуголь- ных треугольников, 7) Данные. Из этих книг нам в какой-то степени известно содержание «Книги о семи- угольнике» по публикации немецкого исследователя Карла Шоя в 1927 г. [22J. Рассмотрение этой книги показывает, что она в целом не принадлежит Архимеду, но содержит ряд извлечений из сочинений Архимеда в перера- ботанном виде. Оригинал этой книги был наиисап большим знатоком Архи- меда, харрапским астрономом и математиком Сабитом ибн Курра (он же написал «Книгу лемм», впервые изданную в 1(559 г. Фостером в латинском переводе); возможно, что материал последней в какой-то мерс заимствован из сочинения «О круге», доказательства из которого приводятся аль-Бируни в «Книге нахождения хорд в круге»*). Нам остается теперь дать общую характеристику математических дости- жений Архимеда. Говорят, что Архимед был гений, далеко опередивший свое время. Конечно, гениальность Архимеда оспаривать не приходится, но нужно еще подчеркнуть, что вся математическая деятельность Архимеда представляет непосредственное продолжение и развитие тех идей, которые были заложены его предшественниками. Основная идея всей математической деятельности Архимеда второго периода заключалась в определении пло- щадей и объемов различных тел и фигур. Определение площадей много- угольников удалось свести к определению площадей квадратов: оставалась лишь площадь круга, которую сквадрировать не сумели. В области стерео- метрии еще пифагорейцами была поставлена задача об объемах параллеле- пипедов и призм; сведение их к кубам повлекло за собой постановку делий- ской задачи. Исследования Евдокса показали, что определение объемов пирамид, а следовательно и многогранников вообще, может быть сведено к кубатурам, а нахождение объема конуса — к объему цилиндра, во времена Евклида еще ничего не было известно ни об объеме, пи о поверхности шара. Архимед показал, что определение поверхностей конуса, цилиндра **) и шара может быть сведено к нахождению площади круга, что определение объе- мов шара и его частей, а также объемов эллипсоида, гиперболоида и пара- болоида вращения, тоже сводится к определению объема конуса, а следо- вательно в конечном счете к определению объема цилиндра. Таким образом, элементарными фигурами для Архимеда оказались квадрат и круг и куб и цилипдр. Дальнейшей задачей исследования стало выражение площади круга в виде некоторого прямоугольника, для чего понадобилось опреде- лить длину окружности круга. Соответствующая задача была поставлена и решена Архимедом в трактате «О спиралях» (предложение XV1II, дающее построение прямой, равной длине данной окружности) и в «Изме- рении круга», где та же задача решалась вычисление м. Для цилин- дров соответствующая задача, по всей вероятности, была разрешена Архи- медом в по дошедшем до нас сочинении «О призмах и цилиндрах». Таким образом, были заложены основы измерения поверхностей и объемов; в не дошедшем до нас сочинении «О неправильных поверхностях и телах» (упо- мпниомом в «Метрике» Герона) Архимед дял практические способы и для самого общего случая. *) Перевод отрывка ив Бируни, а также «Книги о кругах», выполненный Б. А. Розенфельдом помещен в этом издании. •*) Обратите внимание на своеобразную формулировку в первой книге «О шаре и цилиндре» предложений, в которых Архимед дает боковые поверхности цилиндра и конуса. 3 Архимед
34 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II. ВЕСЕЛОВСКОГО Нельзя сказать, что математические исследования в духе Архимеда полностью оборвались с его смертью, исследование неизвестного автора о сферических спиралях (Папп, книга IV, 35) определенно находится и круге идей Архимеда. Равным образом доказанная Архимедом теорема, что из всех шаровых сегментов с одинаковой выпуклой поверхностью наибольшим является полушарие, нашла свое продолжение в аналогичной задаче для полукруга (Папп, книга V, 11—18) и, наконец, в исследованиях Зенодора об изоперимстрических фигурах и телах. Только в области математической физики Архимед стоит совершенно одиноко: ни до пего, ни^ после идея возможности представить математи- чески процессы природы не приходила в голову ни одному греческому ученому; это сделали вави- лонские астрономы, приблизительно в то же вре- мя, что и Архимед. Новым в исследованиях Архимеда был также своеобразный метод, применявшийся им для ис- следонапия и предварительного решения задач, а именно метод механического интегрирования, изложенный им в «Квадратуре параболы» и в «Эфоде». Для того чтобы яснее показать в современ- ном обозначении основную идею механического метода Архимеда, применим его к решению сле- дующей простой задачи. Пусть требуется найти площадь, заключен- ную между осью абсцисс, дугой параболы, за- данной уравнением у = ах2, и ординатой ее, соответствующей абсциссе ОА—1 (рис. 8). Представим себе равноплечий рычаг AOG длины 21 с точкой опоры в О; па одной из его половин расположим интересующую нас площадь ОАВ и разобьем ее на ряд весьма тонких полосок ширины Ах. Пусть KL будет одна из этих полосок, соответствующая абсциссе ОК=х‘, тогда ордината y~KL будет ах2 и вся площадь полоски Д5 = ах2 • Ах. Если мы сдвинем ее на конец рычага А, то момент этой полоски относи- тельно точки О будет I AS = I ах2Ах. Постараемся теперь уравновесить этот момент при помощи подвешива- ния полоски MN Ах к левой стороне рычага па таком же расстоянии ОМ=х от точки О. Величину соответствующей ординаты MN определим, сравни- вая моменты относительно О обеих полосок. Таким образом, будем иметь х - A/N • Ах = l-ах2- Ах, откуда MN = alx.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 35 Поступая так с каждой полоской, мы получим на левом плече рычага ряд полосок, непрерывно распределенных по длине GO. Так как ординаты полосок па левом плече рычага будут пропорциональны расстояниям х, то концы их расположатся по прямой линии ONT', величина последней ординаты GT будет aZ2. После того как распределение полосок по левому плечу OG рычага будет закончено, мы получим, что вся интересующая нас площадь ОАВ, сосре- доточенная на конце А, будет уравновешена треугольником OGT, прикреп- ленным к стороне OG. Площадь этого треугольника равна -^-aZM, расстояние от вершины О его центра тяжести будет Следовательно, сравнивая момент этого треугольника с моментом от во сительпо О искомой площади S, сосредоточенной в А, мы будем иметь О Z откуда находим величину 5: О Но соответствующая абсциссе ОА=1 ордината будет al2=AB; таким образом: S = ±OA-AB, О то есть искомая площадь равна одной трети площади прямоугольника, построенного на абсциссе ОА и конечной ординате АВ. Мы видим, что успех вывода получается в результате понижения сте- пени рассматриваемой кривой — нахождение площади, ограниченной кривой 2-й степени и двумя прямолинейными отрезками, сводится к опре- делению ц е п т р а тяжести площади, ограниченной кривой первой степени, то есть прямом. Этот механический метод, конечно, являлся индивидуальным достоя- нием Архимеда, несомненно пришедшего к нему в результате своих предше- ствующих занятий в области механики. В этой связи уместно остановиться на вопросе об отношении Архимеда к двум своим великим предшественникам Демокриту и Евдоксу. Их обоих Архимед упоминает в своих сочинениях; во введении к «Эфоду» Архимед говорит о Демокрите как о первом авторе, нашедшем теорему об объеме пирамиды и конуса, а в первой книге «О шаре и цилиндре» оп, говоря о той Mie самой теореме, упоминает только Евдокса. На основании этих фактов проф. С. Я. Лурье выставил гипотезу о том, что после сочинения первой книги «О шаре и цилиндре» Архимед «впервые познакомился с работами Демокрита», на которые он «несомненно с жадностью набросился», оказав- шись «у истоков того атомистического интегрирования, которое ему с тру- дом и по частям приходилось реставрировать из отдельных намеков и прие- мов в трудах по механике, написанных его предшественниками», и в кото- рых он нашел «как раз то, что он искал и чего пе хватало ему в математике». (С. Я. Лурье, «Архимед», стр. 138—139). 3*
36 ВСТУЛИТЕЛЫНЛП СТАТЬЯ И. II. ВЕСЕЛОВСКОГО С- Я. Лурье можно сделать следующие два возражения: Во-первых, он забывает, что своеобразный механический способ инте- грирования был в полной мере использован Архимедом уже при написании «Квадратуры параболы» и при доказательстве предложений первой книги сочинения «О шаре и цилиндре», когда, как признает сам С. Я. Лурье, Архимед «не знал еще трудов Демокрита». Во-вторых, можно заключить, что Архимед был знаком с атомистиче- ской математикой даже при написании первой книги «О шаре и цилиндре». Во втором предложении первой книги «О шаре и цилиндре» Архимед доказывает, что для двух данных неравных величии можно всегда найти две такие неравные прямые, чтобы отношение большей прямой к меньшей было меньше отношения большей величины к меньшей. Даваемое Архимедом доказательство носит очень искусственный характер: если две заданные величины суть А и В (А>В), то искомое отношение мы просто получили бы, взяв отношение (' Л—В\ г. . / .. . >4— А-----—j '-В ,1ЛИ ----------— j . Однако доказательство Архимеда, избегающее деления разности А~В становится вполне целесообразным, если он учитывал возможность, что две бесконечно близкие друг к другу величины А и В разнятся па одно неде- лимое. При доказательстве предложения IX этой книги Архимеду нужно пока- зать, что выпуклая поверхность конуса между двумя образующими будет больше площади треугольника, заключенного между теми же образующими. Для этого он опирается на положение, что в трехграпной пирамиде одна боковая грань всегда будет меньше суммы двух других граней. Соответ- ствующее положение может быть очень легко усмотрено из следующего рассуждения: так как одна сторона треугольника всегда меньше суммы двух других, то же самое будет иметь место для каждого из тех треугольников, на которые можно будет разбить пирамиду плоскостями, параллельными основанию. Таким образом, или Архимед совершенно не думал о доказатель- стве вспомогательной теоремы, считая ее очевидной, или же он употребил изложенное доказательство по той простой причине, что другого доказатель- ства пет и не может быть, так как указанная вспомогательная теорема в общем случае является неверной (см. комментарий к этому месту, стр. 451 —453); изложенного же доказательства Архимед не хотел поме- щать, не считая его (и совершенно правильно) вполне строгим ввиду его атомистичности *). Таким образом, то, что Архимед умолчал о Демокрите в книге «О шаре и цилиндре» и упомянул о нем в «Эфоде», проще всего объясняется тем, что, давая описание предварительного метода получения решения, Архимед счел возможным упомянуть и о Демокрите; что же касается стро- гих математических доказательств, то для Архимеда образцом был нс Демо- крит, по Евдокс. Но и по отношению к Евдоксу Архимед сохранил свою индивидуальт ность. В то время как в чистом методе Евдокса к предельному значению приближались только с одной стороны, «исчерпывая» определяемую вели- чину, Архимед при доказательстве большинства теорем, связанных с опре- делением площади фигуры, подлежащую определению величину заключает ♦) Нужно, впрочем, отмстить, что в разобранном Архимедом частном, случае теорема будет впол- не правильной.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО :®7 между двумя фигурами — вписаппой и описанной,— разность площадей которых может быть сделана меньше любой наперед заданной величины; затем он определяет величину, которая заключается между площадями вписанной и описанной фигур, и доказывает, что эта величина и предста- вляет определяемую площадь. По существу, он делает то же, что и мы при введении понятия об интеграле. Таким образом, Архимедом были вычислены интегралы, равносильные нашим . sin ж dx при определении поверхности шара и ж2йжи (axa~t~bx)dx при определении поверхности, описанной спи- ральной линией, и объема сегментов параболоида, гиперболоида и эллипсоида вращения. Можно, кроме «предвосхищения» интегрального исчисления, как выра- жается Хис, найти у Архимеда известное предвосхищение и основных поня- тий дифференциального исчисления,— того, что мы назвали бы теперь опре- делением отношения беско- нечно малых величин. С с---- этой точки зрения инте- респо предложение XVIII книги «О спиралях», в г 'ч. котором длина окружпо- / f \ сти сравнивается с дли- I \ . ной подкасательной к спи- \______о ________] ради. Пусть точка О пред- “ I V । 1. ставляет полюс спирали, \ \ J / ' радиус-вектор которой за \ / время первого оборота \ / . сделался равным г=ОЛ, а ' прямая АО является каса- тельной в точке А к спира- 1’ис- 9- ли. Пусть CD и АС пред- ставляют перемещения описывающей спираль точки по радиусу и 'перпен- дикулярно к нему (рис. 9). Проводим ОВ перпендикулярно к О А ипродол1 жаем касательную АО до пересечения в В с этой прямой; тогда длина ОБ будет представлять дл ину окружности радиуса г. Доказательство сводится к установлению пропорции ОЛ-.ОВ^ AC-.CD. Треугольник АСО по существу представляет не что иное, как диффе7 репциальный треугольник Барроу — Ньютона, и не исключена возможу ность, что идея этого треугольника появилась у Исаака Барроу именно в результате изучения сочинений Архимеда, которые были изданы Барроу в 1675 г. с переделанными доказательствами. Во всяком случае изучение Архимеда математиками XVII века было необходимой подготовительной работой к появлению классического анализа бесконечно малых. Еще с большим правом мы можем видеть в Архимеде основателя мате- матической физики: как творения его колоссального инженерного таланта в сочетании с математической подготовкой появляются работы третьего «механического» периода деятельности Архимеда, когда он определил поло1 жение центров тяжести сегмента параболы («О равновесии плоских фигур»), а также конуса и сегментов параболоида, гиперболоида и эллипсоида вращения («Эфод»); знание положения центра тяжести сегмента параболоида позво- лило ему математически определить положения равновесия плавающего
38 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. 11. ВЕСЕЛОВСКОГО! в жидкости сегмента параболоида («О плавающих телах»). Инженерная интуиция Архимеда была настолько велика, что, как показывает детальный разбор его выводов (см. комментарий к предложениям II—X второй киши «О плавающих телах»), в основе его исследований, по существу, лежат те самые теоремы, которые были установлены только во второй половине XIX века проф. Московского университета А. Ю. Давыдовым и француз- ским математиком Дюпеном. Основным отличием метода Архимеда от сов- ременного является то, что Архимед определяет устойчивые положения равновесия не при помощи формального критерия метацентра, а непосред- ственно исследуя поведение плавающего тела при его отклонениях от поло- жения рановесия. При таком чисто физическом методе исследования у Архи- меда, естественно, получаются только положения, соответствующие устой- чивому равновесию. Эта «физичность» мышления совершенно исключает представление об Архимеде как о гениальном математике-формалисте. В «Псаммите», есть одно место, па которое комментаторы-математики не всегда обращают вни- мание. Архимед пытается определить видимый диаметр Солнца. Он хорошо знает, что «получить точное значение этого угла — дело нелегкое, потому что ни глаз, ни руки, ни приборы, с помощью которых производится отсчет, не являются достаточно надежными для точности результата». Искомую величину он находит не из умозрительных соображений, а чисто экспериментальным способом, вводя даже поправку на ширину зрачка. Найденная им величина углового диаметра Солнца оставалась непревзой- денной вплоть до XVII века (результат Архимеда 32’55',5 — верхняя гра- ница и 32°27' — нижняя граница; Коперник считал 31° 48'; истинные зна- чения 31°28' в апогее и 32°37' в перигее. Таким образом, верхняя граница, полученная Архимедом, пе хуже величины, найденной Коперником). V К последнему периоду творчества Архимеда мы отнесли «Измерение круга» и «Псаммит». Специфически новым моментом в этом периоде является то, что Архимед от геометрических построений определяемых величин пере- ходит к вычислению их; это подводит нас к рассмотрению еще недостаточно изученного вопроса о греческой арифметике, или, лучше сказать, логис- тике — искусству вычислений *), так как под арифметикой у греков пони- малось то, что мы теперь назвали теорией чисел. Однако Архимед не только использовал достижения современной ему науки относительно способов вычисления; он был и в этой области актив- ным создателем повых научных ценностей. Так как греческая система счис- ления не позволяла удобно изображать большие числа, Архимед в не дошед- шем до нас сочинении nepi 'zpyoiv — «О началах» — заложил основание новой системы счисления, усовершенствованной им в дошедшем до нас «Псаммите», где он дал систему счисления, пригодную для изображения дей- ствительно астрономических чисел, могущих выразить количество песчи- нок, содержащееся в объеме вселенной. «Астрономическая направленность» «Псаммита» позволяет нам дать ответ па вопрос о том, какие причины заста- вили Архимеда под конец его жизни, примерно в двадцатых годах 111 века до н. э., заинтересоваться вычислительной математикой и создать системы счисления, приспособленные к обозначениям очень больших чисел. О том, ’) О способах вычислений у греков см. Приложение I.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 39 что эти причины заключались не только в индивидуальных интересах Архи- меда как ученого, говорит тот факт, что Архимед пе был единственным мате- матиком той эпохи, интересовавшимся способом записи очень больших чисел. В дошедшем до нас отрывке второй книги «Математической библиотеки» Паппа имеется пересказ одного из арифметических сочинений младшего современника Архимеда и, вероятно, его соперника Аполлония Пергского, автора известных «Конических сечений». Это сочинение, называвшееся, вероятно, Qzurixiov (средство для ускорения родов), говорило о способах умножения больших чисел и о новой системе счисления, позволявшей запи- сывать эти большие числа. Как мы знаем из комментария Евтокия к «Изме- рению круга», Аполлонии дал более точное значение отношения окруж- ности к диаметру, чем то, которое приводится в «Измерении круга»; воз- можно, что полемика между Архимедом и Аполлонием повела к появлению «Задачи о быках». Эти «вычислительные» тенденции в греческой математике еще более усиливаются в последующем ее развитии. Творения Архимеда и Аполлония являются своего рода венцом гречеркой геометрии, но вместе с тем они озна- меновали и ее завершение; после Аполлония развитие греческой геометрии как-то сразу обрывается: «род» великих математиков по иссякает, по они начинают заниматься совершенно другими вопросами. Эратосфен является творцом математической географии, Гиппарх кладет начало сферической тригонометрии и вычислительной астрономии. После Гиппарха математику приблизительно на две тысячи лет «берет под опеку» астрономия, причем это имеет место не только у греков, но и у индусов, и у арабов, и у средне- вековых математиков, вплоть до времен Коперника, Кеплера и Ньютона. Создается впечатление, что греческая математика испытала какие-то мощ- ные влияния нового фактора, который коренным образом изменил весь дальнейший процесс ее развития. Таким фактором, как показали исследо- вания первой половины двадцатого века, была вавилонская планетная астрономия, которая начала развиваться примерно с VI века до н. э. Этот век в истории науки явился такой же переломной эпохой, какой в дальней- шем ее развитии был, например, XVII век. Именно в этом веке произошла ликвидация старого религиозного миропонимания. В Греции он был озна- менован рождением светской науки — материалистической и рационали- стической философии ионийской школы и основанной на строгих логических доказательствах математики. На востоке тот же самый процесс шел иначе. Точно так же были сданы в архив все старые легенды о божественном сотво- рении мира. Религия сосредоточилась всецело в области морали и ушла из области естествознания. Боги перестали быть творцами и деспотическими правителями мира; переселившись на небо и разместившись по различным планетам, они стали лишь подчиненными и толкователями какой-то высшей силы — фатума, предначертания которой можно открыть по движениям планет; их движения стали рисоваться настолько закономерными, что их уже можно заранее предсказать и нрсдвычислить. Начиная с VI века до н. э., вавилоняне предвычисляют небесные явления и к 111—II векам до н. э. достигают таких успехов, что оказываются в состоянии предсказывать нас- тупление затмений, противостояний и соединений планет. Вавилонские астрономы Набурианпу и Кидинну определяют длину года, продолжитель- ность различных видов месяца и периоды планетных обращений. Восточная философия в лицо стоицизма с его пестрой смесью материалистических пред- ставлений с фатализмом и астрологией начинает господствовать в греческом мире; обоснованием зтой философии считалась не знающая никаких богов вавилонская вычислительная астрономия. Крушение эллинистических
40 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II. ВЕСЕЛОВСКОГО государств под железной пятой римских завоевателей еще более усиливает и тяжелое настроение среди порабощенных народов, и надежды на лучшее будущее, время наступления которого можно будет определить, если суметь надлежащим образом прочесть веления фатума, выраженные в закономер- ных движениях планет не только в течение настоящего, но — самое важ- ное — в течение будущего времени. Но для того чтобы предсказывать' движения планет, нужно уметь их предвычислять, а для этого уже недостаточно было «домашней логистики», дававшей правила счета в пределах только первой тысячи; необходимо было познакомиться с той математикой, которой пользовались вавилонские астрономы, а эта математика оперировала с числами, гораздо большими тех, которые могло представить себе воображение среднего грека. Перед наукой поэтому встала задача разработки новых методов вычислений. Работы Архи- меда и Аполлония являются первыми шагами в этом направлении, когда из вавилонской системы счисления берется лишь основной принцип пози- ционности. В дальнейшем следование вавилонским способам вычислений становится все более и более рабским и закапчивается принятием целиком вавилонских способов вычислений для всех астрономических расчетов. Вскоре после смерти Архимеда, в самом пачале II века, автор так называе- мой XIV книги «Начал» Евклида алексапдриец Гипсикл в своем «Анафо- рике» пользуется введенным вавилонским астрономом Кидипну способом представления постепенного изменения скорости движения планет при помощи арифметической прогрессии — нечто аналогичное введенному Гали- леем равноускоренному и равнозамедленному движениям. Немного позже великий греческий астроном Гиппарх пользуется вавилонскими данными относительно продолжительности года и месяца. От греков вавилонская астрономия и математика переходят и к римлянам. Как широко было рас- пространено у ппх знание астрономии, показывают, например, следующие факты. Накануне решительного сражения при Пидне во время Персеевой войны Сульпиций Галл предсказал наступление лунного затмения. В I веке до и. э. друг Цицерона Нигидцй Фигул, астролог и математик, уже вполне усвоил методы вавилонской вычислительной астрономии; немного позже появление вавилонской астрологии в Риме отличено у Горация: Tu пе quaesieris, scire netas, quern mihi quern tibi Fincm di dedcrint, Lenconoe, nec Babylonios: Temptaris nurneros...*) В эпоху Птолемея вавилонские шестидесятсричные дроби являются уже основным средством астрономических вычислений. Как показывают схолии к Евклиду, византийским математикам XI—ХП веков п. э. эти дроби были очень хорошо известны, а в Западной Европе гаестидесятерич- пые дроби под названием minutiae physicales, в противоположность обык-. повенным дробям (minutiae vulgares), были в употреблении вплоть до XVII ве- ка, и в настоящее время еще живут в наших минутах и секундах. VI Когда Тит Ливий называл Архимеда «единственным в своем роде наб- людателем неба и звезд», то он, возможно, повторял высказывания об Архи- меде ближайших к пому поколений, в первую очередь, вероятно, Полибия, изложению которого Ливий следует, рассказывая события второй Пуни- •) Не спрашивай ты> ведать грешно, какой мне и тебе Левконоп» пошлют боги конец, и вавилоя- М.сла не пытай. (Сды, книга I, И).
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 41 ческой войны. Для Полибия, бывшего прежде всего государственным дея- телем, тонко понимавшим взаимную связь политических событий, а не уче- ным, Архимед, конечно, был важен в первую очередь как защитник Сира- куз; общую характеристику Архимеда Полибий дал, вероятно, в соответ- ствии с теми представлениями о нем, которые сложились в кругах широкой публики, помнившей только последние работы Архимеда пород самой осадой Сиракуз. Если ото верно, то Архимед занялся астрономией уже на склоне лет; чтобы правильно оценить значимость полученных им результатов в обла- сти астрономии лучше всего сравнить их с результатами измерения расстоя- ния Солнца и Луны от Земли, которые были получены его непосредственным предшественником, а именно упоминаемым им в «Псаммите» Аристархом Самосским. Согласно исследованиям Аристарха, диаметрСолпца - 7 диаметрам Земли. 1 7 Диаметр Лупы — диаметра Солнца = диаметра Земли. Расстояние Лупы от 3омли=30 диаметрам Луны^Ю-^- диаметрам Земли. Расстояние Солнца от Земли—210 диаметрам Земли. Интересно сравнить результаты исследований Аристарха с работой Архимеда. Пршкде всего, Аристарх считал Землю за точку, иными словами, считал, что наблюдатель находится в центре Земли, а Архимед учитывал, что наблюдатель находится па поверхности Земли, и поэтому приводил наблюдения к центру. Затем Аристарх давал только относительные размеры мира, Архимед ввел величину земного радиуса и, таким образом, получил и абсолютные размеры мира. С другой стороны, Аристарх искал верхнюю И нижнюю границы измеряемых величин (у него, например, отношение диа- 1 1 метра Солнца к диаметру Земли заключается между пределами бу в 7у), в то время как Архимед брал одну только верхнюю границу. Расстояние от центра Земли до центра Солнца у него составляет 5000 диаметров Земли и диаметр Солнца в 30 раз больше диаметра Земли; что касается Луны, то он просто принимает ее диаметр равным диаметру Земли; так как угол, под которым виден диаметр Луны с поверхности Земли равен 30', то расстояние от Земли до Луны будет равно диаметру Лупы, деленному на sin 30', то есть 120 диаметрам Луны (в четыре раза больше, чем у Аристарха), или, так как Архимед считает диаметры Земли и Луны равными — 120 диамет- рам Земли. Астрономические сочинения Архимеда не ограничиваются «Псаммитом», им было написано сочинение, посвященное построению небесной сферы; инженерные устремления были настолько сильны в Архимеде, что они про- явились даже в области чистой астрономии. Историю этой сферы лучше всего рассказать, цитируя известные нам источники. На первом месте надо поставить диалог Цицерона «О государстве»; описываемые в нем события происходят во второй половине П века до н. э. Упоминаемый в нем Сульпиций Галл был очень образованным римлянином. В первой книге «О государстве» мы читаем (книга I, 14): «Я вспоминаю, как К. Сульпиций Галл, как вы хорошо знаете, один из самых ученых людей пашей страны, находился однажды в гостях у М. Мар- целла, бывшего недавно консулом вместе с пим, и разговор зашел о чудесном явлении, в точности похожем на случившееся недавно. Галл заставил при- нести ту знаменитую сферу, единственную добычу, которой предок
42 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО Марцелла захотел украсить свой дом после взятия Сиракуз, города полного всяких сокровищ и диковинок. Я часто слышал разговоры об этой сфере, считавшейся шедевром Архимеда, и признаюсь, что с первого взгляда опа мне пе показалась чем-то особенно выдающимся. Марцелл пожертвовал в храм Доблести другую архимедову сферу, которая была гораздо более известна и имела более представительный вид. Но когда Галл начал с не- обыкновенным знанием дела объяснять устройство этого прекрасного про- изведения, я не мог не подумать, что в этом сицилийце был гений, равняться с которым человеческая природа не казалась способной. Галл рассказывал нам, что изобретения таких сплошных сфер относятся к глубокой древности, что первый образец такой сферы был построен Фалесом Милетским, что в дальнейшем учепик Платона Евдокс Книдский изобразил на ее поверх- ности различные созвездия, прикрепленные к небесному своду, и что много лет спустя не бывший астрономом, но имевший известный поэтический талант Арат описал в стихах все небо по Евдоксу. Он прибавил, что для возможности представления движений Солнца, Луны и пяти звезд, которые мы называем блуждающими, пришлось отказаться от употребления сплош- ной сферы, па которой было бы невозможно их воспроизвести, и придумать другую совершенно отличного вида; и что в изобретении Архимеда чудес- ным было искусство, с которым оп мог объединить в одной системе и вос- произвести при помощи одного вращения все очень отличающиеся друг от друга движения и различные периоды обращения различных светил. Когда Галл приводил сферу в движение, то при каждом обороте можно было видеть, как Луна появлялась вслед за Солнцем на земном горизонте, подобно тому как опа появляется каждый день на небе; далее можно было видеть, как Солнце исчезает так же, как и па пебе, и затем понемногу Луна погружается в земную тень в тот самый момент, когда Солнце с противоположной стороны...». На этом интересном месте к сожалению обрывается дошедший до нас текст Цицерона. Сфера Архимеда, пожертвованная Марцеллом в храм Доблести, по-види- мому, для многих римлян была основным пособием для изучения астроно- мии. Следы знакомства с этой сферой можно установить в течение долгого времени после эпохи Цицерона. Во второй половине II века н. э. мы встречаемся с несколько загадоч- ным свидетельством неистового карфагенского пресвитера Тертуллиана: «Обрати внимание на изумительное чудо Архимеда; я говорю об этой гидравлической машине, где столько колес, столько различных деталей, столько сочленений, столько выходов для голоса, и целые армии флейт соста- вляют одну неразличимую массу». Обыкновенно это понимают в смысле изобретенного Архимедом гидра- влического органа. Однако такому толкованию препятствуют следующие соображения: 1°. Архимед нс является изобретателем гидравлического органа; все историки древности признают в этом вопросе приоритет александрийца Ктесибия. 2°. Вряд ли можно допустить, чтобы гидравлические органы III века до н. э. могли уцелеть в конце II века п. э. 3°. Собрание «колес» не подходит к гидравлическому органу. С другой стороны, мы знаем, что сфера Архимеда приводилась в движе- ние «скрытым внутри воздухом» (spiritus inclusus), согласно описанию нозта Клавдиана (V век п. э.). Так как от такого врага науки, каким был Тертул- лиан, нельзя ожидать очень большой точности, то можно думать, что «изу-
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 43 . митсльпым чудом» Архимеда была именно сохранявшаяся в храме Доблести астромомичсская сфе ра. Через каких-нибудь сто лет в эпоху Диоклетиана об архимедовой сфере говорит Лактанций (De niortibus persecutoruin, книга 111, 5): «Я вас спрашиваю, ведь мог же сицилиец Архимед воспроизвести образ и подобие мира в выпуклой округлости меди, где он так разместил и поста- вил Солнце и Луну, что они как-будто совершали каждодневно неравные движения и воспроизводили небесные вращения; он мог нс только показать восход и заход Солнца, рост и убывание Лупы, по сделать так, чтобы при вращении этой сферической поверхности можно было видеть различные тече- ния планет; так неужели же Вог пе мог воспроизвести и сотворить натураль- ные вещи, подобие которых мог сделать человек своим искусством и хит- ростью». В конце IV века, когда при Грациане и Феодосии I христианство одер- жало окончательную победу над язычеством, о сфере Архимеда вспоминает один из последних языческих писателей Макробий в комментарии ко «Сну Сципиона», книга И, 3): «Так же и Архимед считал, что он определил число стадий, на которое от поверхности Земли удалена Луна, а от Луны — Меркурий, от Мерку- рия — Вейера, от Венеры — Солнце, от Солнца — Марс, от Марса — Юпитер и от Юпитера — Сатурн; все же расстояние от Сатурна до самого звездоносного неба он думал измерить только рассуждением». Для определения расстояния Солнца от Земли Архимед, как мы знаем, прибег к измерению при помощи опыта. Задача действительного определе- ния расстояний между различными планетами была в его время совершенно непосильной; их можно было определить только предположительно, исходя из периодов их обращений. Для «звездоносного неба» у него не было даже и этих числовых даппых, поэтому ему, конечно, пришлось ограничиться лишь рассуждением. Единственной целью, для достижения которой такие вычисления были необходимы, является только построение небес- ной сферы. Еще раз мы встречаемся с этой сферой в произведениях последнего талантливого римского поэта Клавдиапа (начало V века п. э.), который посвятил ей одну из своих эпиграмм: «Неба устав, законы богов, гармонию мира — Все Сиракузский старик мудро па Землю принес. Воздух, скрытый внутри, различные движет светила Точно но данным путям, сделав творенье живым. Ложный бежит зодиак, назначенный ход выполняя, Лик поддельный Лупы вновь каждый месяц идет. Смелым искусством гордясь, свой мир приводя во вращенье, Звездами вышних псбсс правит умом человек». Вскоре после написания этого гордого стихотворения в 410 г. готы захватили Рим; в последовавшем грабеже языческих храмов, вероятно, погибла и небесная сфера Архимеда. VII В самом конце своей жизни Архимеду снова пришлось вернуться к тому, чем он занимался в начале своей творческой деятельности: ему пришлось применить свои инженерные и механические познания для обо- роны родного города. Во время второй Пунической войны Сиракузы
.44 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II. ВЕСЕЛОВСКОГО оказались вовлеченными в борьбу Карфагена с Римом и римский пол- ководец Марцелл осадил Сиракузы, душой обороны которых стал семи- десятипятилетнпй Архимед. Дальнейшее течение событий лучше всего из- ложить языком подлинных источников, каковыми в данном случае явля- ются Полибий, Тит Ливий и Плутарх. Наиболее ранний источник — «История» Полибия, написанная при- мерно через 50—60 лет после разрушения Сиракуз. В книге VTII его «Исто- рии», дошедшей до нас во фрагментах, мы читаем следующее: «Когда Епикид и Гиппократ *) завладели Сиракузами, то сами прервали дружбу с римлянами и прочих граждан принудили к тому же. Римляне, раньше еще уведомленные о насильственной смерти сиракузского тирана Гисропима **), выбрали в проконсулы Аппия Клавдия, дали в его распоря- жение сухопутное войско, а начальство над флотом возложили на Марка Клавдия ***). Начальники расположились станом невдалеке от города и реши- ли, что сухопутное войско поведет приступ против города со стороны Гек- сапил, а флот—против Ахрадины ****) у портика, именуемого Скитским, где стена тянется вдоль моря. Приготовивши шалаши *****), метательные орудия и все прочее, нужное для осады, римляне надеялись при многочис- ленности рабочих рук покончить с приготовлениями в течение пяти дней и не дать неприятелю подготовиться. По при этом они не приняли в расчет искусства Архимеда, не догадались, что иногда дарование одного человека способно сделать больше, чем огромное множество рук. Теперь они убеди- лись в этом по опыту. Город был достаточно крепок уже тем, что окружаю- щая его стена покоилась на высотах и поднимающемся перед городом утесе; к ним трудно было подойти, за исключением немногих определенных пунктов, даже и тогда, если бы осаждаемые не оказывали никакого со- противления. Кроме того, упомянутый Архимед заготовил внутри города, а равно и против нападающих с моря такие средства обороны, что защитникам не было необходимости утруждать себя непредусмотренными работами на случай неожиданных способов нападения; у них заранее готово было все к отражению врага в любом случае. Итак, А1ШИЙ сделал попытку приблизиться с шалашами и лестницами к той части стеньг, которая с востока упирается в Гексапилы, г1 Марк сшестью- десятью пятипалубными судами направился против Ахрадипы. Находив- шиеся на каждом судне люди вооружены были луками, пращами и легкими дротиками, чтобы прогонять врага, нападающего с зубцов стен. Вместе с тем римляпе сняли у восьми пятипал убпых судов весла, у одних с правой стороны, у других с левой, открытыми стенками связали суда попарно и, действуя веслами только с наружных боков, стали подвозить к городской степе так называемые самбуки. Устройство этого осадного орудия следую- щее: делается лестница в четыре фута ширины и такой длины, чтобы опа при установке достигала верхнего края стены, с обеих сторон ее ограждают и закрывают высокими перилами, йотом кладут ее наискось вдоль сопри- касающихся стенок связанных между собою судов, так что лестница высту- пает далеко за корабельные носы. На вершинах мачт укрепляют блоки с канатами. Когда нужно действовать, канат привязывают к верхнему •) Вожди демократической антирммской партии в Сиракузах. ♦*) Пятна дцатилетпего внука Гиерона, последнего отпрыска его династии. •••) Марцелла. •*♦*) Часть города Сиракуз. •♦*•*) так назывались подвижные крытые галереи, подвозимые или подносимые к стенам для прикрытия осаждавших.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 45 краю лестницы, и люди, стоящие иа корме, тянут его на блоке, а другие, находящиеся на передней части корабля, следят за правильным подъемом лестницы и подпирают со шестами. Наконец, при помощи гребцов, разме- щенных по обоим наружным бортам, римляне подходят с кораблями к суше и стараются только что описанное сооружение приладить к стене. Иа вер- шине лестницы находится доска, с трех сторон огороженная плетнем; на ной стоят четыре человека, которые и ведут борьбу с неприятелем, находя- щимся на зубцах степы и противодействующим установке самбуки. Как только лестница установлена так, что эти четыре воина возвышаются над стелой, боковые стенки плетня снимаются, и воины тотчас с двух сторон взбираются на зубцы или башни: прочие товарищи их следуют за ними но самбуке, надежно прикрепленной канатами к обоим кораблям. Сооружение зто не без основания получило такое название: когда ма- шина поднята, то корабль в соединении с лестницей напоминает по виду самбуку *). Итак, по изготовлении самбуки римляне решились подойти к башням. Однако Архимед соорудил машины, приспособив их к метанию снарядов на любое расстояние. Так, если неприятель подплывал издали, то Архимед поражал его из дальнобойных кампеметальниц тяжелыми снарядами или стрелами и повергал в трудное и беспомощное положение. Когда же снаряды начинали летать поверх неприятеля, то Архимед употреблял в дело мень- шие машины, каждый раз сообразуясь с расстоянием, и наводил на римляп такой ужас, что они никак пе решались идти иа приступ или приблизиться к городу па судах. Наконец, Марк, раздосадованный неудачами, вынужден был сделать попытку тайком ночью подойти к городу па кораблях. Когда римляне подошли к берегу на расстояние выстрела, Архимед употребил другое средство, направленное против воипов, сражавшихся с судов, именно: он велел сделать в степе приблизительно на высоте человеческого роста множество отверстий, с наружной стороны имевших в ширину пальца четы- ре; у отверстий изнутри стены он поставил стрелков и маленькие скорпи- оны**), через отверстия обстреливал корабельных воипов и тем отнимал у них всякую возможность сделать что-нибудь. Таким образом, далеко или близко находился неприятель, Архимед не только разрушал все его планы, по и производил в его рядах большие опустошения. Как только римляне покушались поднять самбуки, Архимед приводил машины в бое- вое состояние по всей степе. Все время они оставались невидимы, но лишь только требовалось употребление их в дело, машипы изнутри выдвигались за зубчатые укрепления. Некоторые машины метали камни весом не менее десяти талантов***), другие выбрасывали груды свинца. Каждый раз, как только самбуки приближались, жерла архимедовых машин отклонялись вместе с подставкой вправо или влево, смотря ио надобности, и при помощи освобождаемого блока сбрасывали камни на неприятельское сооружение. Вследствие этого не только ломалась машина римлян, но и корабль, и нахо- дившиеся на нем солдаты подвергались большой опасности. Некоторые машины отражали нападение неприятеля, защищенного и прикрытого плетнем от стрел, выпускаемых через отверстия в стене; в таком случае бросаемые камни соответствующей тяжести прогоняли напа- дающих римлян с передних частей корабля. Кроме того, с машины спуска- лась прикрои лепная к цепи железная лапа; управлявший жерлом машины •) Самбукой назывался музыкальный инструмент. Стреломсты небольшого калибра!. •••) Около 2Ъ0 кг.
46 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. 11. ВЕСЕЛОВСКОГО захватывал в каком-нибудь месте этой лапой нос корабля и потом опускал вниз находящийся внутри города конец машины. Когда нос судна был таким, образом поднят и судно поставлено отвесно на корму, то плечо рычага за- креплялось неподвижно, а лапа вместе с цепью отделялись от машины осво- бождающего приспособления. Вследствие этого некоторые суда ложились, на бок, другие совсем опрокидывались, большинство же от падения носом с значительной высоты в море погружались и наполнялись водой, внося большой беспорядок и ужас среди экипажа. Изобретательность Архимеда приводила Марка в отчаяние; с прискорбием он видел, как осажденные глу- мятся над его усилиями и какие они причиняют ему потери. Однако, под- шучивая пад своим положением, Марцелл говорил, что Архимед уго- щает его корабли морской водой, а его самбуки как бы с позором про- гоняются с попойки палочными ударами. Так окончилась осада Сира- куз с моря. Аппий с сухопутным войском очутился в столь же трудном положении, и потому совсем отказался от приступа. Действительно, находясь еще на далеком расстоянии от города, римляне сильно терпели от камнеметальниц и катапульт, из которых были обстреливаемы; ибо сиракузяне имели в за- пасе множество превосходных и метких метательных орудий. Оно и понятно, так как Гиероп дал па них средства, а Архимед изобрел и мастерски построил машины. Итак, когда римляне приближались к городу, то одни были непрерывно обстреливаемы через отверстия в стене, о которых было сказано выше, терпели урон и не могли продолжать наступление, другие же, рас- считывавшие пробиться вперед силой и огражденные плетенками, гибли под ударами камней и бревен, падавших сверху. Много бед римлянам сиракузяне причиняли и теми лапами у машин, о которых я говорил раньше; лапы поднимали воинов в полном вооружении и кидали их оземь. Наконец, Аппий с товарищами возвратился па стоянку, устроил совещание с трибу- нами, на котором и было принято единогласное решение испытать всевоз- можные другие средства, но только отказаться от надежды взять Сиракузы приступом; согласно принятому решению, они так и действовали. Римляне оставались под степами города в течение восьми месяцев, и пе было такой уловки или отважного дела, перед которым они остановились бы, по па при- ступ идти они уже ни разу не осмеливались. Такова чудесная сила одного человека, одного дарования, умело напра- вленного на какое-либо дело. Вот и теперь: располагая столь значительными силами сухопутными и морскими, римляне могли бы быстро овладеть горо- дом, если бы кто-либо изъял из среды сиракузян одного старца. Ио так как этот один был среди сиракузяп, то римляне не дерзали нападать на город или по крайней мере употреблять те способы нападения, отразить кото- рые Архимед был в силах». Приведенный текст Полибия интересен в следующем отношении. Иногда приходится слышать, что Архимеда, бывшего, по супщству, замечательным математиком и склонным, по свидетельству Плутарха, лишь к теоретиче- ским паукам, только опасность, грозящая родному городу, заставил а взяться за практическую деятельность по его обороне. Внимательное чтение приве- денного отрывка Полибия показывает, что оборона Сиракуз Архимедом не была и не могла быть импровизацией; наоборот, Архимед готовился к пей очень давно и по заданию и па средства царя Гиерона построил ряд военных машин. В связи с этим очень интересно то, что Архимед имел ряд метательных орудий, действовавших на различные расстояния; это уже пред- полагает известный математический расчет. Какого рода этот расчет был,.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 47 мы можем составить себе представление на основании сохранившейся воен- ной литературы. Считалось, что длина полета выброшенного ядра прямо пропорциональна объему того упругого тяжа, который приводил в движение детали машины, сообщающие скорость ядру. Между прочим, этот расчет совершенно правилен, так как можно очень просто показать, что при посто- янстве угла возвышения орудия дальность полета ядра будет прямо про- порциональна его начальной живой силе, последняя же получается из потенциальной энергии закрученного тяжа, которая при одинаковой сте- пени напряженного состояния прямо пропорциональна объему тяжа. Таким образом, на основе некоторого числа опытов вполне возможно конструиро- вать камнеметы и стреломсты, действующие на заданном расстоянии; Архи- мед, очевидно, это хорошо знал. То обстоятельство, что зта теория была известна около 240 года до н. э., доказывается упоминанием о ней в письме Эратосфена к царю Птоломею Эвергету, касающемся задачи об удвое- нии куба. То, что Архимед не был кабинетным ученым, убедительно доказы- вается той необычайной его изобретательностью в организации оборонных мероприятий, которая так ярко изображена в приведенном ниже рассказе Полибия. Полибий был одним из источников для описания истории второй Пуни- ческой войны у Тита Ливия (1 век до н. э.). Мы находим в книге XXIV его римской истории: «После этого началась осада Сиракуз и с суши — от Гсксапил — и с моря — от Ахрадиньт, степы которой омываются морем. При этом рим- ляне, взявшие Леонтины с первого же натиска под действием только ужаса, были вполпе уверены, что в каком-нибудь месте они прорвутся в обширный и разбросанный по большому пространству город, и придвинули к стенам всю наличность осадпых машин. И начатое с такой силой предприятие увенчалось бы успехом, если бы в то время пе было одного человека. Этим человеком был Архимед, единственный в своем роде созерцатель неба и светил, но еще более удивительный изобретатель и конструктор военных машин и сооружений, при помощи которых он с очень небольшим усилием*) мог делать тщетными все попытки врагов, даже если эти попытки стоили колоссальных усилий. Стена города проходила по неровной и холмистой местности; многие части ее были очень высокими и трудно доступными, но в некоторых местах она была ниакой и пологие стены делали возможным восхождение. Поэтому Архимед поставил па стене в качестве защиты раз- личного рода метательные оружия, сообразуя их с природой местности. На стену же Ахрадины, которая, как сказано было выше, омывалась морем, Марцелл вел наступление с шестнадцатью пентерами **). Находившиеся же па других судах лучники, пращники и легковооруженные велиты***), мета- тельные орудия которых очень трудно отражать для неопытных воинов, не позволяли никому безнаказанно оставаться на степах. Так как для мета- тельных орудий требуется некоторое расстояние, то эти корабли стояли вдали от стен. Другие пентеры были соединены попарно бок к боку, причем внутренние весла были сняты и оба корабля как один приводились в движе- ние лишь внешними веслами; на них стояли многоэтажные башни и другие приспособления для разрушения стен. Против всего зтого морского воору- жения Архимед расположил по стенам метательные орудия различной *) Parvo momento — выражение, ваимствованное ив механики. ••) Пантера — судно с пятью рядами весел. •••) Велиты — род войска у римлян.
48 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. II. ВЕСЕЛОВСКОГО величины. В далекие корабли он метал громадного веса камни, а близкие осыпал более легкими, а вследствие этого и в большем количестве, метатель- ными снарядами. Наконец, для того чтобы сиракузские воины безнаказанно могли обстреливать неприятеля, он проделал в стене снизу до верху отвер- стия шириной почти в фут, из которых они, оставаясь скрытыми, могли поражать врага стрелами и среднего калибра скорпионами *). Пате же кораб- ли, которые подходили ближе, чтобы выйти из пора7каемой орудиями обла- сти, он при помощи выступающего за стену рычага, набрасывал прикреплен- ную крепкой цепью железную лапу: когда последняя захватывала пос корабля, то при помощи опускающегося до земли тяжелого свинцового противовеса нос корабля подымался и последний становился па корму; затем после внезапного освобождения корабль, как бы сброшенный со стены, к громадному ужасу матросов так ударялся о морскую поверхность, что набирал воды даже в том случае, когда падал в прямом положении. Таким образом, был отражен приступ с моря и всю надежду римляне возлагали на нападение всеми силами с суши. По и эта часть стен была вооружена раз- личного рода метательными орудиями, которые в течение долгого времени изготовлялись за счет Гиерона единственным в своем роде искусством Архимеда. Последнему помогала также п природа местности, так как скала, на которой находились фундаменты степ, большей частью была настолько крутой, что врагу тяжелый урон причиняли снаряды не только выбро- шенные из орудия, по даже двигавшиеся только под действием собствен- ного веса. По той же самой причине подъем был очень труден вследствие крутизны и движение было очень опасным. Таким образом, после обсуждения, видя тщетность всякого рода попыток, римляне постановили прекратить штурм и только при помощи блокады с суши и с моря отрезать осажденных от подвоза провианта». Наконец, третью версию истории Сиракузской осады мы читаем у Плу- тарха, автора начала II века н. в его жизнеописании Марцолла. «Марцелл производил нападения и с суши, и с моря. Аппий водил в сра- жение сухопутные войска, Марцелл командовал шестьюдесятью пентерахми, наполненными всякого рода оружием и стрелами. Он приказал связать между собой восемь больших кораблей, поставил на них осадную машину и под- плывал с нею к стенам, надеясь на успех ввиду обширности и тщательности своих приготовлений и славы своего имени. Но все это было пустяками для Архимеда и архимедовых машин. Последний до сих пор еще не создал ничего, заслуживающего внимания. Большая часть того, что он сделал, было сде- лано мимоходом,— оп занимался математикой как бы для забавы. Первым польстил самолюбию царь Гиерон. Он убедил Архимеда, вместо занятий отвлеченными предметами, заняться хотя бы отчасти предметами реальными и, соединив свои теоретические построения с практикой, сделать их понят- нее и яснее для обыкновенных люден. Механике — науке, любимой многими и пользующейся широким распространением,— положили начало Евдокс и Архит. Они желали сделать геометрию интереснее, менее сухой, и нагляд- ными примерами, с помощью механики, решали задачи, которые не легко получались путем логических доказательств и чертежей. Так, например, они решили посредством механики задачу о двух средних пропорциональ- ных линиях, задачу, на которую необходимо ссылаться в математике во многих случаях, и решили ее при помощи «месографа» **), проводя кривые ** *) *) См. примечание на стр. 45. Прибор для черчения средних пропорциональных (от цЛоц — срсдиян). •♦*) В подлиннике к разряду которых относились конические ссчспин.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 49 и делая сечения тел. Платон был недоволен. Он укорял их в том, что они уничтожают математику и .'пинают ее достоинств, переходя от предметов умопостигаемых, отвлеченных, к реальным, и снова сводят ее к занятию реальными предметами, требующему продолжительной и трудной работы ремесленника *). Тогда механика отделилась от чистой математики. Фило- софы долгое время не интересовались ею, пока она ле сделалась одной из наук, находящих себе применение на войне. Архимед, между прочим, писал однажды своему родственнику и другу, царю Гиерону, что данной силой (fim’apei) можно поднять данную тяжесть (Papog). В юношески смелом доверии к силе своего доказательства он сказал, говорят, что, если бы у него была другая земля, он перешел бы на пее и сдвинул с места нашу. Удивлен- ный Гиерон стал просить его доказать свои слова и привести в движение какое-либо большое тело малой силой. Архимед приказал посадить на цар- скую грузовую триеру, с громадным трудом с помощью многих рук выта- щенную па берег, большой экипаж, положить на нее обыкновенный груз, и, усевшись на некотором расстоянии, без всяких усилий, спокойно двигая рукой конец полиспаста, стал тянуть к себе триеру так тихо и ровно, как будто она плыла по морю. Пораженный этим, царь оценил важность меха- ники и упросил Архимеда построить для него машины, которые служили бы и для наступления и для обороны от какой угодно осады. Царю но приш- лось употреблять их — почти вся его жизнь протекла в мире и спокой- ствии; по теперь машины эти пригодились сиракузцам, а вместе с машинами и их изобретатель. Когда римляне осадили город с двух сторон, сиракузцы испугались. От страха каждый молчал, потому что не надеялся оказать сопротивление такой грозной силе. Но когда Архимед привел в действие свои машины, то в неприятельскую пехоту понеслись пуще иные им различного рода стрелы и камни невероятной величины, которые летели с таким шумом и силой, что ничто не могло выдержать их удара; опрокидывая всех задетых ими, они приводили в смятение ряды воинов. Со стороны моря он разместил на стенах другие машины, которые опускали сразу па корабли громадные бревна в виде лапы, захватывали их, подымали силой противовеса, затем выпускали их и погружали в волны. Другие корабли он зацеплял за нос железными лапами или носами наподобие журавлиных и, поставив на корму, топил. /Некоторые корабли он притягивал к земле при помощи тянувших в разные стороны веревок; там, повертевшись немного, они разбивались о скалы, находившиеся под городской стопой, и большая часть экипажа погибала. Часто .можно было видеть поднятый в воздух корабль, который к ужасу окружающих вертелся с большой быстротой; когда его экипаж был разбросан в разные стороны, как камни из пращи, то корабль разбивался о стену, или, мосле освобождения от крюка, падал в море. Машина, кото- рую Марцслл поставил на восьми кораблях, связанных вместе, называлась самбукой, по сходству ее с музыкальным инструментом того же имени. Она находилась на довольно далеком расстоянии от стен, когда Архимед бросил на псе камень в десять талантов, а за ним другой и третий, которые ударив машину со страшным шумом и силон, разбили се связи и так расша- тали корабли, что они отделились друг от друга. Марцслл, не знак что делать, поспешно отступил с флотом и приказал также отойти и пехоте. *1 Знаменитое место, повторяющееся и л других сочинениях Плутарха, из которого в середине XIX лека возникла легенда, что греческие математики, в частности Платон, запрещали пользоваться каким бы то ни было инструментами, кроме циркуля и линейки. В этом отношении верно лишь то, чггв в «Началах» Евклида нет других построении. Как мл увидим ииже. Архимед совершеянч спокойно пользовался так называемыми vt-icreu; (вставками) для решения задач, приводившихся к кубическим уравнениям. 4 Архимед
50 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. И. ВЕСЕЛОВСКОГО Ла военном совете было решено па следующий день до наступления утра, если удастся подойти поближе it стенам, чтобы дальнобойные машины Архимеда бросали стрелы поверх их голов, а те, которые он мог бы употре- бить на близком расстоянии оказались бы бесполезными, так как удар на таком малом расстоянии не мог бы получить большой силы. Но Архимед уже заранее приготовил для этой цели машины, которые могли действовать на всех расстояниях, и короткие стрелы, вылетавшие-друг за другом почти непрерывно*). Он проделал в стенах отверстия па небольшом расстоянии друг от друга и поставил в пих среднего калибра скорпионы, которых враги не могли заметить и которые часто поражали всех приближающихся. Когда римляне подошли вплотную к стенам и уже думали, что находятся в безо- пасности, то на них посыпался дождь стрел и па их головы полетели отвесно падающие камни, так что не было ни одного места в стене, откуда бы в них не стреляли. Они решили отступить, но едва они удалились на некоторое расстояние, как Архимед обрушил на отступающих такое количество стрел, что истребил большое количество воипов и разбил много кораблей, в то время как сами они не могли причинить врагу никакого уропа, так как Архимед большую часть своих машин расставил в укрытии за стенами;- поражаемые отовсюду римляне, не видя, откуда наносятся удары, казалось, сражались с богами. Между тем Марцелл, избавясь от опасности, шутил над своими техниками, говоря, что они дерутся с математиком Бриареем **), который, как бы играя, погружает их корабли п море и с позором прогоняет их, а, бро- сая разом столько стрел, оставляет далеко позади мифических сторуких великанов. Все остальные сиракузяпс были только телом для архимедовых машин — один оп был душой, которая все двигала и всех направляла. Все другие средства защиты были оставлены; город и для защиты, и для нападения пользовался только машинами Архимеда. Наконец, видя, что римляне так напуганы, что при одном виде спускавшейся со стены веревки или бревна обращались в бегство, крича, что это какая-нибудь новая маши- на, которую Архимед хочет па них направить, Марцелл прекратил всякие нападения и превратил осаду в блокаду». После этого следует та характеристика Архимеда, которая была при- ведена нами в самом начале статьи. Нетрудно видеть, что рассказ Плутарха, восходящий в конечном счете к Полибию, представляет не совсем грамотную амплификацию простого рассказа Полибия. Восемь попарно связанных судов Полибия с четырьмя самбуками превратились в одну колоссальную самбуку, носимую всеми восемью судами, связанными имеете. В рассказе появились поднятые в воздух корабли, приводимые во вращение и разбрасывающие экипаж в стороны, как будто из пращи; ничего подобного у Полибия пет и сам по себе этот факт невероятен. Еще; хуже та ретушировка, которой Плутарх подвергает Архимеда. В его рассказе есть определенное противо- речие. В начале оп говорит, что «последний до сих пор еще не создал ничего, заслуживающего внимания»; можно подумать, что только опасность, грозив- шая родному городу, заставила Архимеда запяться механикой. В дальней- шем же, говоря о первой встрече Архимеда с Гиероном, он употребляет вы- ражение: «в юношески смелом доверии (veuviE-u^dpevog ***)) к силе своего доказательства»; иными словами, можпо думать, что Архимед занимался механикой с самого юношества. Мы видели, что Архимед действительно •) Такие прототипы пулемета, или, лучше сказать, стрел омета, действительно были в эллинистической военной технике (полнболы). *•) -Мифический сторукяй гигаит. ***) От veavueuogrzi поступать или говорить, как юноша. известны
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО 51 обратился к чистой математике сравнительно поздно; первой его специаль- ностью была именно механика. Для всякого беспристрастного читателя, познакомившегося с рассказами Полибия и Тита Ливия, совершенно ясно, что Архимед был тем, что мы сейчас назвали бы главным военным инжене- ром царя Гиерона, и его работа по подготовке военных машин была выпол- нена во всяком случае до 216 года до н. — года смерти Гиерона, т. е. ио крайней мерс за четыре года до осады Сиракуз Марцеллом. При установлении порядка, в котором были написаны сочинения Архи- меда, мы видели, что после «Досифеевских» сочинений Архимед снова воз- вращается к механике, пишет трактат «О равновесии», определяет положение Смерть Архимеда. Мозаика, вероятно, из школы Рафаэля. Городская галерея во Фрапкфурте-па-Майпе. центров тяжести различных тел и, наконец, закладывает основы гидро- статики. Внимательное чтение рассказа Полибия позволяет сделать, как кажется, довольно вероятное предположение о причинах такого возвращения Архимеда к механике. Полибий говорит о машине, которая, захватывая нос корабля, ставила его на корму и приподымала. Для того чтобы рассчитать такую машину, нужно, кроме знания законов рычага, иметь совершенно ясное представление о потере веса, которую испытывает погруженное в воду тело, иными словами, знать известный закон Архимеда, изложенный в пер- вой книге его трактата «О плавании». В связи с этим позволительно сделать предположение, что причиной, заставившей Архимеда вернуться к механике, были именно военные заказы царя Гиерона. Если этот царь, как мы знаем из истории Полибия (книга V, 88) и Диодора (книга XXVI, 8), помог Родосу после землетрясения 227 г. до л. э. также и военными машинами *), то в это время Архимед уже должен был работать у Гиерона; таким образом, *) «Гаеров и Гелон . . . даровали им свободу от пошлин дли идущих к ним судов родии и пять- десят трех локтевых катя пульт» (Полибий, V, 88), 4*
52 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ II. И. ВЕСЕЛОВСКОГО двадцатые годы II века до п. э. будут наиболее вероятным временем, к которому мы должны отнести механические произведения Архимеда второ- го периода. У Плутарха же мы находим и наиболее полное описание обстоятельств смерти Архимеда, погибшего во время грабежа римлянами взятых Сиракуз. «Всего более жалел Марцелл о смерти Архимеда. Последний находился дома, рассматривая какую-то геометрическую фигуру; так как он погрузился в это исследование всем своим умом и всеми чувствами, то не заметил шума, производимого бегавшими туда и сюда римлянами, и не знал, что город уже был в их власти. Вдруг перед ним явился солдат с приказом следовать за ним к Марцеллу. Архимед отказался идти, пока не найдет доказатель- ства своей задачи. Раздраженный римлянин вытаскивает меч и убивает его. Другие говорят, что какой-то солдат пошел на него с мечом чтобы убить, а Архимед настоятельно стал просить его подождать немного, пока он закончит задачу, но солдат, которому было мало дела до его доказательства, пронзил ого мечом. Третьи говорят, что Архимед сам пошел к Марцеллу, неси в ящике математические инструменты — солнечные квадранты, небес- ные глобусы и угломеры для измерения видимой величины Солнца, но попав- шиеся ему по дороге солдаты подумали, что он несет в ящике золото, и убили его, чтобы овладеть этим золотом. Во всяком случае, все историки признают, что Марцелл был очень опечален смертью Архимеда, сторонился убийцы, как святотатца и, приказавши отыскать родственников Архимеда, милостиво с ними обошелся». У Тита Ливия (книга XXV7, 31) говорится только, что Архимед был убит не знавшим его солдатом, в то время, как он занимался геометрическими исследованиями, от которых его не мог отвлечь шум, происходивши во взя- том городе. VIII Так погиб Архимед, один из величайших математиков всех времен и народов. Нам остается проследить за дальнейшей судьбой его математи- ческого наследства. Мы уже говорили, что эпоха Архимеда и его младшего современника Аполлония была временем наивысшего расцвета классической греческой геометрической школы; со II века до н. э. характер греческой математики резко изменяется, па первый план выдвигаются вычислительные методы, и греческая математика становится, если можно так выразиться, «служан- кой астрономии». Мы видели, что это течение проявилось уже в конце науч- ной деятельности Архимеда, который отдал ему дань в «Псаммите»; после него эта сторона математического развития настолько усиливается, что Архимеда как математика просто забывают. Цицерон, открывший заново могилу Архимеда во время свой службы в Сицилии, знает Архимеда как инженера и «открывателя числовых соотношений»; Тит Ливий, как мы видели, считает Архимеда только астрономом и конструктором военных машип. Однако сочинения Архимеда продолжали жить; в I веко н. э. их знает Герои Александрийский, в конце III века Архимедом много занимается Лапп Александрийский; но уже в VI веке строитель Св. Софии Исидор Милетский и его ученик и комментатор Архимеда Евтокий Аскалонский знают только трактаты «О равновесии плоских фигур», «О шаре и цилин- дре» и в очень фрагментарном виде «Измерение крута». В IX. веке в эпоху расцвета при Македонской династии Константинопольского университета Архимеда начинают зпать гораздо больше; к этому времени относятся две
Страница из найденного Райбергом в иерусалимском монастыре Константи- нопольского палимпсеста (X в.).
54 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. И. ВЕСЕЛОВСКОГО основные рукописи сочинений Архимеда; утраченная рукопись, принадле- жавшая в XV веке Георгию Валле, и недавно (1907 г.) найденный констан- тинопольский палимпсест, которые являются основой всех современных изданий текстов Архимеда. Несколько более посчастливилось Архимеду у арабов. Здесь на первом месте следует поставить харранца Сабита ибп Курра (836—901 гг.), пере- водчика сочинения Архимеда «О шаре и цилиндре» и «Геометрии» Евклида. По-видимому, он был единственным арабским математиком, от которого оста- лись специально механические произведения; ого особенно интересовал вопрос об определении условий равновесия неравноплечего рычага с учетом веса последнего, необходимый для правильной конструкции десятичных весов. От Сабита до нас дошли две архимедовские антологии; одна из них «Книга лемм» в средневековом латинском переводе (Liber assumptorum) была известна очень давно (впервые издана Фостером в Miscellanea — Лон- дон, 1659), другая же «О семиугольнике» найдена очень недавно и в составе собрания сочинений Архимеда публикуется нами впервые. Кроме того, Сабит самостоятельно занимался и другими темами из работ Архимеда: ему принадлежит «Книга о правильном четырнадцатиграниике», предста- вляющем одно из полуправильных архимедовых тел. Около 1000 г. н. э. знаменитый каирский астроном ибп аль-Хаптам, «Оптика» которого была настольной книгой всех западноевропейских астро- номов вплоть до Кеплера, тоже занимался архимедовскими темами, вполне владея интеграционными методами Архимеда. Он определяет объем сегмента параболоида вращения, причем делает это другим способом, чем Архимед, и независимо от него, так как «Коноиды и сфероиды» оставались неизвест- ными арабским математикам. Он также решает задачу об определении объема параболического веретена — так называлось тело, полученное от вращения параболы вокруг хорды, перпендикулярной к се оси — и правильно опре- - я гг деляет его объем как объема цилиндра, описанного около веретена. Кроме того, он занимался теорией правильного семиугольника, давши его построение при помощи конических сечений, отличное от того, которое мы находим в трактате ибн Курры. В Западную Европу сочинения Архимеда попали только после кон- стантинопольского погрома 1204 г., когда, вероятно, и был перевезен в Евро- пу манускрипт, находившийся позже у Георгия Валлы. Первый перевод сочинений Архимеда на латинский язык был сделан францисканцем Виль- гельмом из Мербеке, другом Фомы Аквинского. Этот перевод, законченный в 1269 г., был найден Розе в Ватикане только в 1884 г. Этот перевод настолько буквален, что передаются даже греческие члены (6, т,, тс), так что может служить независимым источником для установления текста Архимеда, но в существе дела ученый францисканец вряд ли разбирался. Для пас пере- вод этот важен тем, что до самого недавнего времени мы лишь ни него знали трактат «О плавающих телах» Архимеда; только открытие константинополь- ского палимпсеста Гейбергом познакомило нас примерно более чем с двумя третями греческого текста. Часть перевода Мербеке была напечатана Лукой Гауриком в Венеции в 1503 г. (первое печатное издание сочинений Архи- меда); однако это издание осталось настолько незамеченным, что знаменитый Тарталья смело присвоил его себе и опубликовал в 1543 и 1565 гг. как «пере- вод с греческого». Около 1450 г. был выполнен второй латинский перевод Архимеда Яко- вом Кремонским. В 1468 г. его переписал зпамепитый Региомонтан и привез в Нюренберг для опубликования. Однако ранняя смерть Региомоптапа по
к Ъ ^Й.^ЙНЙ*’’ _^; к *₽•»</• Rl-GIS п f м ы,- М I lvm, via 1ас&Ь«а, ^vb-4»-** Титульный лист сочинений Архимеда издания Рино (Париж, 1<> •))
56 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО позволила ему выполнить свое намерение, так что первое издание греческого текста Архимеда было выпущено только в 1544 гг. в Базеле на основе рукописей, происходящих от текста Георгия Валлы). После итого рабо- ты Архимеда входят в обиход ученого мира. В 1558 г. выходит в Вене- ции перевод Комманднно (второе издание с добавлением трактата «О пла- вающих телах» вып гл о в Болонье в 1565 г.), который уже вполне понимал Архимеда. К 1548 г. относится переработка сочинений Архимеда фра Мавролико из Мессины. Последний не только вполне понимал Архимеда, но даже использовал его методы для получения новых результатов. К трактату «О равнонесии» Мавролико добавил книгу о равновесии пространственных тел, в которой были определены центры тяжести шара и его частей, паралле- лепипеда, призмы, октаэдра с параллельными гранями, пирамиды и сег- мента параболоида. Это первое самостоятельное применение метода инте- грации Архимеда, к сожалению, было напечатано только в 1685 г. Поэтому первым появивлтмся в печати самостоятельным исследованием при помощи методов Архимеда было De Centro gravitatis solidorum («Книга о центре тяжести тел» Комманднно (Болонья, 1565)), в котором даются положения центров тяжести призмы, цилиндра, конуса, шарового сегмента (иным способом, чем у Мавролико), усеченной пирамиды п конуса (вместо с их объемами), правильных многогранников и сегмента параболоида вращения. Начиная с этого времени, появляется целый ряд сочинений, посвященный вопросу о нахождении центра тяжести. В числе их нужно назвать одно из первых научных произведений Галилея, опубликованное им только в виде приложения к Discorsi е dimosttazioni matcmatiche, посвященное определе- нию центра тяжести пирамиды (в дошедших до нас сочинениях Архимеда этот центр нс определен). Затем идет не представляющее ничего нового по сравнению с Комманднно «Beghinselcn der Weeghkonst« («Основания статики») Стевипа (Лейден, 1586), «In duos Archimedi aequiponderantiurn libros paraphrasis» («Переложение двух архимедовых книг о равновесии» Гвидо Убальди (Пезаро, 1588), De centre gravitatis li'bri tres» («Три книги о центре тяжести») Луки Валерио (1604), «Theoremata de Centro Gravitatis solidorum» («Теоремы о центре тяжести тел») Жана Шарля делля Файль (Антверпен, 1632) и, наконец, венчающие весь ряд таких произведений четыре тома «Do Centro Gravitatis» («О центре тяжести») венского иезуита Гульдена (Вена, 1635—1641). Из этих произведений наибольший интерес представляет сочинение Луки Валерио. В нем даются положения центров тяжестей тетраэдра, октаэдра, трапеции, усеченной трехгранной пирамиды, причем определение производится при помощи алгебраических формул, так что Валерио является своего рода предшественником предельного перехода; данный им способ определения объема шара перешел в наши школьные учебники геометрии. После определения объемов сферических сегментов и усеченных пирамид даются положения центра тяжести полушара и сфе- рического сегмента (как мы теперь знаем, они были найдены Архимедом, но решения его стали нам известными только после открытия «Эфода»). Затем рассматриваются параболоид и гиперболоид вращения (так же и усе- ченные), сферические пояса и, наконец, центры, тяжести сегментов сфероида и гиперболического коноида. Небольшая книжка делля Фаиля интересна тем, что в ней впервые определяются центры тяжести круговых сектора и сегмента. В XVII веке на первое место выступают общие интеграционные методы Архимеда, а также его гидростатические работы; в этом смысле Архи- меда можно было бы назвать ведущим математиком XVI! века. Галилей,
Фронтиспис к оксфордским изданиям классических математических произведений (Евклид, Архимед и др.). Перевод надписи: «Аристипп, сократический философ, будучи выброшен после .кораблекрушения па берег Родоса и увидев начерченные геометрические фигуры, как пере- дают, сказал громко своим спутникам; «Будем надеяться на лучшее, ибо я вижу следы людей». Витрувий, Об архитектуре, предисловие к fi-ii книге».
58 ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО довольно пренебрежительно относившийся к Аристотелю, не называет Архи- меда иначе как «divinissimo Archimcdc». Занятия Галилея бесконечно малы- ми величинами, о которых мы узнаем из его писем и упоминаний в первом диалоге «Бесед и доказательств...», были продолжены его учениками: Тор- ричелли, первым определившим длину дуги параболы, и Кавальери в его «Геометрии неделимых» (Болонья, 1635). Крупным архимедистом был уже упомянутый выше Стевии. Отдал дань Архимеду и молодой Гюйгенс, про- долживший работы Архимеда по исследованию равновесия плавающих тел (этой теме была посвящена одна из оставшихся не напечатанными юноше- ских работ Гюйгенса) и определению длины окружности. Мы встречаемся с бесконечно малыми у Кеплера, не стремившегося к строгости опубликован- ных произведений Архимеда, в его «Stereomelria doliorum». В этом отно- шении интересно отметить, что хотя «Эфод» был найден только в 1906 г., но описанный в нем метод квадратур Архимеда был, по существу, угадан и Гюйгенсом, и другими архнмсдистами. Архимедова строгость, например, характерное заключение определяемой криволинейной площади или тела между двумя прямолинейными фигурами — вписанной и описанной — была оценена значительно позже, чуть ли не Эйлером, или даже только с начала XIX века, когда встал вопрос о строгом обосновании основных теорем интегрального исчисления. В связи с этим встает интересный вопрос, почему греческая математика, так далеко продвинувшаяся вперед в лице Архимеда, не дошла до открытия анализа бесконечно малых. Иногда зто объясняют статичностью, уравнове- шенностью классического идеала, исключающей всякую возможность изме- нения, которая является характерной особенностью современного исчисле- ния бесконечно малых. Дело, однако, объясняется не особенностями грече- ского национального характера, но особенностями греческой математической мысли эпохи Архимеда и ему предшествующего времени. Как мы видели выше, основной идеей ионийской школы была идея гео- метрического построения, исключающая всякие метрические элементы. С другой стороны, основной идеей пифагорейской математики была идея ч и с л а; с точки зрения пифагорейской школы геометрия была учением о фигурах — об известных формах распределения единиц в пространстве. Понятие о psysOog — геометрической величине, представляющей часть континуума,— носило тоже вполне определенный количественный характер и исключало идею об изменении: числа и фигуры могли быть больше или меньше одна другой, по нс могли увеличиваться или уменьшаться. Идея изменения у греков была связана с совершенно другой категорией — кате- горией качества: два человека не могли быть более д в у м я, чем два яблока, но л гобой предмет мог быть более или менее красным, теплым, тяжелым и т. д. Таким образом, идея изменения лежала вне области математики и попала в последнюю очень отдаленным обходным путем. В эпоху позднего европейского средневековья в XIV веке у англичанина Суиссета в его «Cal- culator» и несколько позднее у француза Николая Орема появилась идея графического изображения изменения качеств — появились произведения, носившие заглавия «De latitudinibus formarum, De intensiono et remissione formarum» («Об увеличении и уменьшении качеств»), в которых равномер- ное движение изображалось прямоугольником — ширина (latitude) формы оставалась неизменной (uniformis), откуда, между прочим, и произошло позднейшее латинское название равномерного движения — motus unifor- mis; равномерно-переменное изменение изображалось в виде треугольника или трапеции и называлось uniformitcr — difformis и т. д. Конечно, из такой чисто словесной классификации различных типов изменения, которую мы
•„.АРХИ ME ДА ; '• ДВЬ КНИГИ : 6 ШАР'Ь и. ЦИЛИНДР%^ ИЗМЕРЕН IE кругл и л Е м м ы М"... ПВ?Е 8 ОДЪ СЪ Г РЕЧЗВСК а (Леммы t* л*твисклго) ’ «'л в. п Е Т Р у шЕ В С К А Г О. : Съ прим4чаи1ямн и доаолр.с-иямв. ' V х; Титульный лист первого перевода сочинений Архимеда на русский язык (СПб., 1823L
АО ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО находим в сочинениях Орема (из них не нее еще опубликованы или даже описаны), вряд ли могло получиться что-нибудь серьезное, но самый шаг — объединение качественного изменения с геометрической интерпретацией — был очень важным: идея изменения выражалась в геометрической интерпре- тации*). Конечно, в настоящий момент мы не можем показать, каким образом из идей Суиссета и Орема возникли (или даже могли возникнуть) современ- ные нам понятия переменной величины, но дальнейшее развитие математики второй половины XVII века пошло именно по линии развития понятия о переменной величине; если Архимеда можно считать родоначальником интегрального исчисления, то открытие дифференциального исчисления Лейбницем и Ньютоном дало такие простые и сильные методы, что способы прямого интегрирования Архимеда оказались выброшенными за борт, и Архимед оказался в ряду почитаемых, по не читаемых классиков мате- матической науки, которыми занимаются лишь филологи, но не математики. Вслед за базельским изданием последовало издание учителя Людовика XIII француза Риво (Rivaltus), дающее лишь греческим текст предложений, за которым следует латинский перевод доказательств с произвольными изме- нениями (Париж, 1615). Третьим по счету было оксфордское издание Торел- ли (1792), за которым последовало издание датского филолога Гейберга в трех томах (1880—1881); второе издание гейберговского текста вместе с повопапденным «Эфодом» и другими сочинениями Архимеда появилось в 1910—1913 гг.; с этого последнего издания и сделан предлагаемый перевод. *) Основная идея предшествующего наложения заимствована мной из доклада В. П. Зубово на семинаре по истории математики прн МГУ, которому л приношу свою благодарность.
СОЧИНЕНИЯ

МЕХАНИЧЕСКИЕ ФРАГМЕТ1 ТЫ Наиболее ранние произведения Архимеда были посвящены механике. Они по дошли до лас, но некоторое представление о них (правда, далеко не полное) можно составить но цитатам из сочинений Архимеда у более поздних авторов. ' К числу таких авторов относятся: 1°. Герои Александрийский, эпоху жизни которого в настоящее время относят к I веку нашей эры. От него мы имеем «Механику», которая дошла до нас в арабском пере- воде Косты ибн ..Гуки ал-Ба’лбакки (т. е. из Баальбека); опа была пайдспа в конце XIX века и впервые опубликована в тейбнеровском издании Герона (т. I, Лейпциг, 1900 г.) в арабском подлиннике и немецком переводе. Не все места в этом тексте понятны и верны, и мы не всегда можем точно установить авторов имеющихся ошибок. Может быть, некоторые из этих ошибок сделаны самим Архимедом, ио еще более вероятно, что они принадлежат Герону млн Косте ибн Луке. 2е. Лапп Александрийский (III век и. э.), автор «Математической библиотеки», последняя (восьмая) книга которой посвящена механике. R этим двум авторам нужно добавить Симпликия, византийского комментатора Аристотеля (VI век н. э.) и его близкого современника Евтокия Аскалолского, оставив- шего важные комментарии к сочинениям Архимеда; эти комментарии принято помещать в полных изданиях сочинений Архимеда. Сам Архимед в трактате «О плавании» упоминает свое механическое сочинение «О равновесии (iaoQQonixa). Это, очевидно, трактат «О равновесии плоских фигур», но ряд ссылок (касающихся центров тяжести круга, цилиндра, призмы, конуса, параболоида вращения) не может относиться к этому сочинению. Возможно, что оно дошло до лас в неполном виде и, что, кроме книг о равновесии плоских фигур, были и книги, посвя- щенные равновесию телесных фигур; однако можно утверждать, что дошедшее до пас сочинение «О равновесии плоских фигур» не могло быть первым сочинением Архимеда по механике. Вторая книга этого сочинения совершенно определенно должна быть напи- сана после «Квадратуры параболы». Поэтому некоторые авторы считают, что первая книга «О равновесии плоских фигур» представляла самостоятельное сочинение, предшествовав- шее «Квадратуре параболы». Но даже и в этом случае оно не могло быть первым сочи- нением Архимеда по механике. Действительно, в нем нет определения центра тяжести, которое, очевидно, предполагается известным; затем, самые доказательства часто (центр тяжести прямоугольника и треугольника) ведутся искусственным способом от против- ного, так что они скорее обращены к любящим строгость математикам, чем к механикам- практикам; первоначальный способ нахождения центров тяжести прямоугольника и тре- угольника, конечно, был совершенно отличным и может быть заключался в разложении площади на ряд «неделимых» прямых (см. отрывок из «Механики» Герона, II, 35—41). На существование более раннего сочинения но механике Архимеда указывают и ссылки, имеющиеся в «Квадратуре параболы». Этим сочинением, посвященным опре- делению центра тяжести простейших фигур, могло быть упоминаемое Паппом сочинение «О рычагах» (Пед! £vy«>v • собственно «О равноплечих рычагах»). Возможно, что в нем п давилось то определение центра тяжести, которое мы находим у Паппа (VIII, 5) и Геро- на («Механика», 1, 24): оба последних текста настолько близки друг к другу, что в выс- шей степени вероятно, что они восходят к одному и тому же источнику, которым и явля- лось упомянутое сочинение Архимеда. Вероятно, к нему же относится и упоминание
<64 АРХИМЕД nevTQopaQizi («О центрах тяжести») у Симпликия, так что нет надобности принимать гипотезу об особом сочинении под указанным заглавием. Наконец, в арабской «Механике» Геропа имеются ссылки па «Книгу опор» Архи- меда («Механика», I, 25, 26—28, 30—31). В указанном тексте имеется довольно значи- тельное количество ошибок и несообразностей, и если уж приписывать их в какой-то доле Архимеду, то мы должны признать «Книгу опор» самым ранним его сочинением. Сопоставив все сказанное, можно высказать следующее предположение. Самым ранним произведением Архимеда была вышеупомянутая «Книга опор». Изучение вопросов распределения давлений и устойчивости равновесия привело Архи- меда к введению понятия о центре тяжости, причем соответствующая теория (вероятно, с точки зрения практической механики) была развита в книге «О рычагах». Наконец, математическое изложение теории центра тяжести было дало им в сочинении «О равно- весии», которое было значительно больше дошедших до нас двух книг «О равновесии плоских фигур». Распределение механических фрагментов в настоящем издании произведено сле- дующим образом. Па первом месте помещен большой отрывок из «Механики» Геропа, соответствую- щий архимедовой «Книге опор». Изложение в нем еще детское. Вес мпогоопорной балки для каждого пролета считается распределенным поровну между ограничивающими этот пролет опорами. В случае копсольпой балки считается, что опора под консолью выдер- живает нагрузку, соответствующую удвоенной длине выступающей части плюс половина длины оставшейся части; вес этой части, таким образом, считается распределенным по- ровну между опорой под консолью и оставшейся опорой как и в случае простой мпого- опорпой балки. Только в случае сосредоточенных нагрузок давления на опоры нахо- дятся правильно. Это показывает, что во время написания «Книги опор» Архимед (если вышеупомянутые ошибки принадлежат ему, а не Городу) еще ле знал, что нес тела можно считать сосредоточенным в его центре тяжести. Рассмотрение давлений па опоры естественно привело Архимеда к одпоопорпой балке или рычагу; следующие фрагменты относятся к предполагаемой книге «О равно- плечих рычагах». Здесь на нервом месте стоят две цитаты из Паппа, касающиеся архи- медова доказательства закона рычага; доказательство, имеющееся у Геропа, отнести к Архимеду можно только условно. Далее помещен отрывок из комментария Ентокия, важный для уяснения понятия о мамонте (рол»]). Затем идут два текста из Геропа и Паппа, касающиеся определения цоптра тяжести, относительно которых можно сказать с уверен- ностью, что их источник восходит к Архимеду; места в них, восходящие к Архимеду, отмечены курсивом. Оба последних текста важны в том отношении, что они раскрывают самый процесс возникновения понятия о центре тяжести из рассмотрения давлений па опоры. После них дап небольшой фрагмент из Симпликия. Затем идут две цитаты из «Квадратуры параболы» и большой отрывок из Г крона, касающийся определения центра тяжести треугольника и многоугольников и показы- вающий начальные стадии развития способов его нахождения; какая-то часть его может восходить к Архимеду. Наконец, последними идут цитаты из «Эфода» и «О плавающих телах», проливаю- щие некоторый свет па то, что содержалось в не дошедших до пас книгах сочинения «О равновесии». КНИГА ОПОР I. ГЕРОИ, МЕХАНИКА, КН. 1, 25—28, 30—31*) (25) Лам совершенно необходимо разъяснить кое-что о давлении, передаче и переносе с количественной стороны в той мерс, как это нужно для введения. Архимед применял в этой части (механики) искус- ство, доведенное им до совершенства в книге, озаглавленной «Книга опор». Мы разъясним то из нее, в чем мы нуждаемся для других вопро- сов; воспользуемся из нее тем, что относится к количественной стороне В той мерс, в которой это нужно для изучающих. Постановка (задачи) здесь такова: если имеется несколько колони, па которых находятся поперечные балки или стена, причем положения на краях одинаковы или различны, то есть балка или стена *) См. [31J, стр. 71—85.
МЕХАНИЧЕСКИЕ ФРАГМЕНТЫ 65 могут выступать за один из концов или за оба конца, а расстояния между колоннами могут быть равны или пе равны, то мы хотим узнать, сколько веса приходится на каждую колонну. Пример этого: люди несут длинное бревно, равномерное по весу, (встав) па равных расстояниях по длине бревна, причем выступает один из концов или оба конца; мы хотим узнать, сколько веса прихо- дится на каждого человека; это требуется (узнать) и при обоих (выступающих концах) и при одном. (26) Пусть на колоннах находится груз АВ равномерный по тол- щине и однородный {рис. 1}. Если он находится на двух колон- нах АС и BD, то на каждую из них приходится половина веса АВ. Пусть имеется еще одна колонна EF, делящая расстояние АВ как угодно, и мы хотим узнать, сколько веса приходится на каждую из колонн АС, EF и BD. Представим себе, что груз АВ разделен в точке Е вертикальной линией но колонне {EF), тогда нам ясно, что со стороны АЕ на каждую из колонн АС и EF приходится половина ее веса, а со стороны ЕВ на каждую из колонн EF и BD приходится половина ее веса, так как лет никакой разницы в том, как распреде- ляется (вес) на колоппы, находится ли на них целая или разделенная (тя- жесть), поскольку как целая, так и разде- ленная все равно находится на колоннах. Следовательно, па колон- ну EF приходится половина веса ЕВ, и половина веса АЕ, то есть поло- вина всего веса АВ, па колонну АС приходится половина веса АЕ, а па колонну BD половина веса ЕВ. Поэтому если мы разделим половину АВ в отношении расстояния АЕ к расстоянию ЕВ, то вес части, пропорциональной (расстоянию) АЕ, придется па АС, а вес (части), пропорциональной расстоянию ЕВ, — на BD. Если мы поставим еще одну колонну HG, то нам ясно, что на АС придется половина (веса) АЕ, на BD — половина (веса) ИВ, на EF — половина АН, а па ПС — половина BE. Половина АЕ, поло- вина НВ, половина АН и половина ЕВ вместе (равны) АВ, то есть тому, что находится на всех колоннах. Если колони еще больше, мы узнаем, сколько веса получает каждая из лих, с помощью того же способа. (27) Если так, то предположим, (что имеются) две одинаково расположенные опоры АВ и CD {рис. 2} и пусть на них находится тело АС, равномерное по размерам и весу. Мы уже говорили, что на каждую из опор АВ и CD приходится половипа веса АС. Перенесем теперь опору CD, приблизив ее к АВ, пусть ее положение — EF. Мы хотим узнать, сколько веса теперь приходится на долю АВ и EF. Заметим, что расстояние АЕ или равно расстоянию ЕС, или меньше его, или больше его. Пусть сначала {АЕ) равно {ЕС). Тогда нам ясно, что вес АЕ уравновешивается весом ЕС. Поэтому, если мы уберем опору АВ, груз АС останется в том же состоянии (равнове- сия), поэтому нам ясно, что на опору АВ не придется никакого веса и весь вес АС придется (только) на одну (опору) EF. Если расстояние СЕ больше расстояния ЕА, груз АС опустится со стороны С. Архимед
66 АРХИМЕД Если же расстояние СЕ меньше ЕА, пусть СЕ равна ЕН {рис. 3}. Тогда СН находится в равновесии на одной (колонне) ЕЕ. Поме- стим (в точке Н} колонну HG и представим себе, что груз разделен в точке Н. Тогда (вес) СН придется (только) па одну EF, а на каждую из опор АВ м HG— по половине (веса) А И. Поэтому, если мы уберем опору HG, к точке Н будет приложена вся сила, (которая приходилась) на эту опору, если тело (груза) соединено. Поэтому на (опору) АВ i придется половина веса НА, а на (опору) EF — все остальное, то есть С И и половина АН. Если мн представим себе, что (груз) АС разделен пополам в точке К, то КЕ — половина АН. Поэтому если опора, которая сначала была под Е, теперь будет под точкой К, на пес придется весь вес АС, и чем больше удалится опора от точки, делящей груз пополам, тем большая часть веса придется па (опору) АВ, остальной же вес (придется) на другую опору. (28) Если так, то предположим, что две опоры АВ и EF расположены, как указано в предыдущем случае, и пусть груз ЕС избыточный. Разделим груз АС пополам в точке К. Мы доказали, что на опору АВ (приходится) вес КЕ, а на опору EF — остальная часть веса АС. Предположим теперь, что под точкой С (помещена) опора CD {рис. 4). Уже Рис. 4. доказано, что (в этом случае) на опору АВ придется половина веса АЕ, на опору DC — половина веса ЕС, а на опору EF — половина (всего) веса АС. Перед тем, как мы поставили опору CD, мы показали, сколько веса приходится па каждую из (опор) АВ и EF. Поэтому пам ясно, что после того, как под грузом помещена опора {CD}, на опору АВ придется веса больше, чем раньше, на половину ЕН, то есть на половину ЕС, а (опора) EF получит веса меньше, чем опа получала сначала, на величину ЕС. В силу сказанного иа (опо- ру) DC придется вес половины ЕС, так как после того, как под груз была помещена добавочная опора, па опору EF приходится меньше (веса) па величину, равную ЕС, а на опору АВ приходится больше веса на половину ЕС. Поэтому на (опору) CD придется остальная половина веса ЕС. Та же величина получится и по другому способу. Поэтому нам ясно, что если груз находится па опорах, которые • поддерживают его, и к этим опорам добавлена еще одна опора, то на одни из первоначальных опор будет приходиться больше веса, чем
MEХАНИЧКСКИЕ ФРАГМЕНТЫ 67 до добавления (опоры), а на другие опоры — меньше веса, чем до добавления. Так, если были опоры АВ, EF и CD и на АВ приходилась половина веса АЕ, то как мы видели, после того как (опора) CD убра- па, па АВ приходится половина веса АК. Нам яспо, что (часть гру- за) ЕС повиснет и станет действовать, как рычаг. Поэтому опа снимет часть тяжести, (приходящейся) на АВ, а на ЕЕ придется (тяжести) больше, чем на ней было /-1 А р сначала, и груз АВ останется на своем месте. п ГТ“ J (30) Предположим, что на опорах АВ и CD {рис. 5} находится тело EF, однородное по весу и равномерное по толщине, и пусть оно выступает со стороны обеих опор. Мы я В хотим узпать, сколько веса приходится на , _ каждую из опор. Так как мы доказали, что если груз AF находится на (опорах) CD и АВ, то CD получает больше веса, чем АВ, на удвоенную величину CF, а если (груз) СЕ находится на (опорах) CD и АВ, то АВ получает больше веса, чем CD, на удвоенную величину АЕ, нам ясно, что на CD приходится настолько больше веса, чем на АВ, па сколько удвоенная величина CF превышает удвоенную величину АЕ. Если CF и АЕ равны, то па каждую из (опор) CD и АВ приходится одина- ковый вес; чем больше одно расстояние по сравнению с другим, тем больше веса придется на соответствующую опору. Из сказанного нами следует, что если на колоннах или опорах находятся поперечные балки или степа, равномерные по толщине и однородные по весу, и расстояния между опорами различны, мы можем узнать, па какую из опор приходится больший вес и каков избы- ток веса. Если на опорах находятся поперечные балки или нечто подоб- ное, это уяснится для нас благодаря тому же самому способу. Точно так же если люди песут дерево или камень на руках или на веревках. причем некоторые из них находятся посередине, а некоторые — на концах, и груз выступает с одной сто- роны или с обеих сторон, для нас ясно, сколько веса приходится на каждого. (31) Пусть другой груз АВ, также равномерный (по толщине) и однород пый но весу, находится на одинаковых опорах АС и BD {рис. 6}. Тогда нам ясно, что каждая из опор получит половину веса АВ. Подвесим к АВ в точке Е груз. Если точка Е делит АВ Гис. 6. пополам, нам ясно, что па каждую из опор приходится половина веса АВ и половина веса груза, подвешенного или положенного в точке Е. Если же точка Е пе делит (АВ) пополам, то разделим вес груза в отношении BE к АЕ, тогда часть веса, пропорциональная ЕВ, при- ходится на (опору) АС, а часть веса, пропорциональная ЕА, на (опору) BD^ii, кроме того, каждая из опор получает половину (веса) $ AS. Если мы подвесим другой груз в точке F и разделим его вес в отношении AF к FB, то на (опору) DB придется часть веса, пропорциональная AF, а на (опору) АС — часть веса, пропор- циональная FB и, кроме того, на каждую из опор придется поло- вина (веса)' АВ. О том, (чему равно) отношение FB к АС, уже
68 АРХИМЕД сказано, сказано и о том, какие веса приходятся на опоры до подве- шивания грузов в Е и F, следовательно, сказано о полной нагрузке, которая приходится па опоры АС и BD. Тем же способом мы узнаем, сколько веса приходится на каждую из них и при подвешивании дру гих грузов. О РЫЧАГАХ И. ПА1Ш, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА, КН. V1U, 24*) «В книге «О рычагах» Архимеда, а также в «Механике» Фило- на* **) и Геропа доказано, что большие круги пересиливают меньшие, если вращение происходит около одного и того же центра». III. ГЕРОИ, МЕХАНИКА, КН. II, П. 7***) Представим себе два круга с одним и тем же центром Л {рис. 7), пусть линии ВС и DE — их диаметры. Пусть оба круга могут вра- щаться около точки А, являющейся их центром, и установлены перпендикулярно горизонту. Если мы подвесим в точках В и С равные грузы F и И, то пам ясно, что круги не наклонятся пи в одну сторону, так как веса F и II равны, расстояния ВА и АС также равны, так что ВС — коромысло весов, которое может вращаться около точки подвеса Л Если же перепости груз, находящийся в С, и подвесить его в Е, то груз F опустится вниз и наклонит оба круга. Если мы добавим [в точку/?] груз G, то он уравновесит груз F, если груз G относится к грузу F как расстояние ВА к рас- стоянию АЕ. Поэтому мы можем рассматривать линию BE как весы, которые могут вращаться около точки подвеса Л. Это доказал Архимед в своей книге о равновесии (книга первая, предложения VI и VI1). Отсюда ясно, что можно сдвинуть большую величину малой силой. IV. ПАПП, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА, КН. VIII, 11****) «Т? той же самой теории*****) относится задача: как двинуть данный груз заданной силой******); это механическое изобретение Архимеда, о котором он, как передают, сказал «дай мне где стать, и я сдвину Землю». V. ЕВТОКИЙ, КОММЕНТАРИЙ К ТРАКТАТУ «О РАВНОВЕСИИ ПЛОСКИХ ФИГУР»*******) «Момент (рстг»|)... является общеродовым понятием для тяжести и легкости, как говорит Аристотель и, следуя ему,— Птолемей. Тимей же у Платона утверждает, что всякий момент рождается лишь от тяже- •> См [32]. стр. 1OGB. 19 и сл. **) Филон Византийский (II век до н. э.), автор большого курса «Механики» (из которого до нас дошли фрагменты двух книг). **») См. [31]. стр. 111— '13 **•*) См. [32]. стр. 1080. »••**) Подразумевается теория поднятия тяжелых тел. ♦ »»***) ,В подлиннике бНарк. что соответствует нашей «мощности» (см. вступительную статью). >•»•**•) см. [15], 1-е издание, т. HI, стр. ЗОВ.
МЕХАНИЧЕСКИЕ ФРАГМЕНТЫ 69 сти, а легкость он считает лишением*). Любители паук могут прочитать об этих мнениях в составленной Птолемеем книге о момен- тах, в физических сочинениях Аристотеля, в Платоновой «Тимее» и в комментариях к ним. В рассматриваемой книге Архимед называет центром момента (zevxpov -tv); pwvj;) плоской фигуры точку, при подвешивании за которую фигура остается параллельной горизонту; цен- / X. тром момента или тяжести двух или более пло- / X. ских фигур он называет точку подвеса рычага, / л X. остающегося параллельным горизонту, если -------------------Хе прикрепить к его концам упомянутые фигуры. Пусть, например, дан треугольник АВС {рис. 8} _ с — и в середине его точка D, обладающая тем -----------•"----- свойством, что при подвешивании за нее тре- угольник остается параллельным горизонту. Гис- В таком случае ясно, что части его А, В и С уравновешивают друг друга и ни одна из них не будет иметь боль- шего момента (р-z..lov penei) к горизонту. Точно так же, если дан рычаг АВ и к нему подвешены такие величины А и В, что при подве- шивании за С части А и В рычага уравновешивают друг друга, то он останется параллельным горизонту и точка С будет центром подвеса для величия А и В». VI. ГЕРОИ, МЕХАНИКА, КН. I, I, 24**) ' Никто не отрицает, что о наклонении и отклонении в действитель- ности говорят только о телах. Если же мы говорим о плоских или телес- ных геометрических фигурах, что некоторая точка является их цен- тром поворота и центром тяжести, то это достаточно разъяснено Архи- медом. Это будет понятно после того, что мы сооб|цим. Посидоний***) из школы стоиков дал физическое определение центра наклона и тяже- сти: он сказал, что центр тяжести или наклона это такая точка, что если подвесить в пей груз, он разделится на две равные части. Архимед и его последователи в искусстве механики уточнили эти слова и уста- новили разницу между точкой подвеса и центром наклона. Точка под- веса — это такая точка тела или другого предмета, что если подвесить его в этой точке, все его части будут находиться в равновесии, а не будут качаться и наклоняться; равновесие же наступает тогда, когда один предмет уравновешивает другой, как это имеет место в случае весов, колеблющихся в плоскости горизонта или в параллельной ей плоскости. Архимед сказал, что грузы не наклоняются {если они под- вешены} на некоторой линии или в некоторой точке. Это бывает па линии, когда груз (подвешен) в двух точках этой линии, причем эта линия не наклонена и плоскость, проведенная через эту линию перпен- дикулярно горизонту, остается перпендикулярной (горизонту), как бы ни перемещалась линия; тогда груз, (подвешенный) па линии, не наклоняется. Когда мы говорим, что груз наклоняется, мы имеем в виду его падение вниз, т. е. движение к земле. Равновесие в точке бывает, когда груз подвешен в нем и при всяком движении части тела *) (пвстртс — технический термин аристотелевской физики; в данном случае подразуме- вается лишение тяжести. •*) См. [31], стр. 63—71. *•*) См. вступительную статью, главу II. . . .:
70 АРХИМЕД движутся одинаково по отношению друг к другу. Груз уравновешивает другой груз, если они подвешены в двух точках линии, разделенной (точкой опоры) пополам, или в точке, делящей ее (в другом отно- шении), причем линия становится параллельной горизонту, если величины грузов относятся друг к другу обратно расстояниям точек, в которых они подвешены, (от точки опоры). То, что подвешенные таким образом грузы будут находиться в равновесии по отношению к наклону, доказал Архимед в своих книгах о равновесии фигур, поль- зуясь при этом рычагами. Точка подвеса и опоры — одно и то же, так как и точка подвеса и опоры оказывают одно и то же силовое действие: опора, к которой подвешен груз, несет его; только опор может быть много и даже беско- нечно много. Что же касается центра наклона, то это единственная точка в каждом теле, в которой сходятся перпендикуляры (к горизонту), проведенные из точек подвеса*). У некоторых тел центры наклона бывают впе их самих, как это имеет место в случае сводов и запястий. То, что линии подвеса сходятся в одной общей точке, нам будет ясно, если мы представим себе плоскость, перпендикулярную горизонту, рассекающую тело на уравновешивающие друг друга части**). Тогда нам ясно, что эта плоскость делит тело пополам, поэтому она проходит через тело. Если мы представим себе другую плоскость, делящую тело так же, как эта плоскость, она также пройдет через тело. Эти две плоскости пересекутся по линии и если бы эта линия пересечения не прошла через точку подвеса, оказалось бы, что тела и уравновешивают и не уравновешивают друг друга. Применим эти выводы к опорам. Представим себе тело, опираю- щееся на линию в плоскости***). Пусть части тела находятся в равно- весии (относительно) этой линии. Если продолжить эту линию, она пройдет внутри тела. Если бы она находилась вне тела, то впе тела находилась бы и плоскость, но мы видели, что это невозможно. Следо- вательно, линия пройдет внутри тела и разделит его на части, уравно- вешивающие друг друга. Если мы представим себе в качестве точки равновесия другую точку, отличную от этой, окажется, как в первом случае, что линия, проходящая через эту точку, пройдет внутри тела, поэтому эти две линии различны. Если провести через них две пло- скости, они не {обязательно) пересекутся, так как через две линии можно провести две пепересекающиеся плоскости****). Получится то же самое, что в первом случае, поэтому это невозможно. Таким образом, мы узнаем, что эти плоскости пересекаются и линии встречаются', поэтому эти линии находятся в одной плоскости. Если продолжить эту плоскость до поверхности тела, то точки пересечения образуют линию. Тогда имеется третья точка, попадающая вне этой липни. Представим себе, что эта точка — также точка равновесия, то есть *) Имеется в виду обычный спос< б определения центра тяжести путем подвешивания тела в различных точках и нахождения точки пересечения вертикалей, проходящих через точки подвеса. •*) Дальнейший текст Герона следует читать вместе с приведенным ниже текстом Паппа. Курсивом отмечены места совпадающие в обоих текстах, ати места с наибольшей вероятностью можно считать текстом самого Архимеда. Отметим, что текст Паппа лучше текста Герона, у кото- рого встречаются несообразности и неясности. ***) Необходимость вставки итого слова видпа из текста Паппа (п. 7). *•••) По-вицимому. мысль автора такопа: если имеются две точки равновесия, ие находящиеся на одной вертикали, через них можно провести дпе вертикали, а через них — дпе непсресекакщие друг друга плоскости. Так как каждая такая плоскость должна делить тело на две уравновешиваю щие друг друга части; в таком случае получилось бы. что одна и та же часть тела находилась бы одновременно в равновесии с двумя частями тела, одна из которых превосходит другую на часть тела, находящуюся между двумя параллельными плоскостями.
МЕХАНИЧЕСКИЕ ФРАГМЕНТЫ 71 что тело (подвешенное) в этой точке, находится в равновесии*). Проведем через эту точку линию (равновесия) внутрь тела. В силу сказанного нами если провести эту линию., она встретит две линии (подвеса), через которые проведена плоскость, и притом только в точке их пересечения, так как если линия встречает две пересекающиеся линии, а сама находится в другой плоскости, она встречает их в их точке пересечения, ибо если бы опа встречала их пе в их точке пере- сечения, то необходимо часть этой линии находилась бы в одной пло- скости, а остальная часть — в другой плоскости. Следовательно, все линии подвеса встречаются в одной точке' эта точка и называется центром наклона и тяжести. VH. ПАПП, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА, КН. VITI, 5-8**) (5)... Мы говорим, что центром тяжести некоторого тела является некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свой- ством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно остает- ся в покое и сохраняет первоначальное поло- жение. Эта точка, существующая пе только в УН----------------\в геометрически правильных телах, но и в телах неправильной формы, может быть найдена при помощи следующих рассуждений. Вообразим некоторую вертикальную пло- скость ABCD {рис. 9], направленную к центру с*---------------щ мира, куда, по-видимому, имеют стремление (обхту) все тела, обладающие весом; пусть пря- Рис' 9‘ мая АВ параллельна той плоскости, на кото- рой мы находимся***). Если какое-нибудь обладающее весом тело поло- жить па прямую АВ так, чтобы оно полностью рассекалось продолже- нием упомянутой плоскости, то оно может иногда занять такое положе- ние, что будет оставаться в покое, не вращаясь и пе падая вниз. Если это случилось и мы мысленно продолжим плоскость A BCD, то она рассечет лежащее тело на две части, обладающие одинаковыми моментами и взаимно уравновешивающиеся, если тело как бы под- переть этой плоскостью****). Если затем переставить груз так, чтобы он касался прямой АВ другой своей частью, то можно при поворачива- нии дать ему такое положение, что он, будучи отпущен, останется в покое и не упадет. Если снова вообразить плоскость ABCD продолжен- ной, то она разделит груз на две взаимно уравновешивающиеся части и пересечется с первой плоскостью, делившей тот же груз на две взаимно уравновешивающиеся части; если бы эти плоскости не пересеклись, то те же самые части были бы и уравновешивающимися и не уравновешивающимися, что нелепо. (7) После этих предпосылок вообразим прямую АВ, перпендику- лярную к горизонтальной плоскости {рис. 10} и, следовательно, направленную к центру мира; затем аналогичным образом положим груз на точку А так, чтобы он, пользуясь прямой АВ в качестве *) Ымскь автора такова: он нашел две точки подвеса, провел через них две линии подвеса, которые отказались в некоторой плоскости, образующей в сечении с поверхностью тела кривую, на которой находятся обе первые точки подвеса. Он берет третью точку подвеса, не находящуюся на этой кривой, и доказывает, что линия подвеса, проходящая через эту точку, проходит через точку пересечения мерных двух линий подвеса. ♦•) См. [32 J, стр. 1030 и ел, ** *) То есть горизонтальной. •* **) То есть плоскостью ABCD ' •
72 АРХИМЕД подставки, когда-нибудь остался в покое па точке А, как он оставался неподвижным на проведенной через нее плоскости. Если теперь, сохра- няя тело неподвижным, продолжить прямую АВ, то некоторая ее часть будет находиться внутри рассматриваемого тела. Вообразим, что последнее стало в некотором положении неподвижным; тогда снова наложим его на указанную прямую другой частью так, чтобы оно опять стало неподвижным', я утверждаю, что тогда продолженная прямая АВ встретится с первоначально заключавшимся внутри тела отрезком. Действительно, если бы она tie встретилась, то оказалось бы возможным, что некоторые плоскости, проведен- ные через каждую из этих прямых, не пересекаются друг с другом внутри тела, причем каждая из них разделяет груз на части, которые одновременно являются и уравновешивающими- ся и не уравновешивающимися, что нелепо', следовательно, упомянутые прямые встретятся внутри тела. Точно так же д если в других положениях помещать груз на точку А так, чтобы он оставался в покое, то снова продолженная АВ обя- ис' ‘ зательно встретится с заключающимися внутри тела отрез- ками первоначальных прямых. Из этого ясно, что такие вооб- ражаемые прямые будут пересекать друг друга в одной и той же точке-, эта точка и называется центром тяжести. Яспо, что если груз мысленно подвесить за центр тяжести, то он не перевернется, но будет сохранять любое приданное ему в начале положение, так как все плоскости, проведенные через эту точку, будут разделять груз на взаимно уравновешивающиеся части, у которых не будет никакой причины для переворачивания. (8) Вот в этом и заключается сущность теории центра тяжести; доказываемые ею элементарные свойства последнего ты можешь узнать, познакомившись с книгами Архимеда «О равновесии» и с «Механи- кой» Герона; в дальнейшем же мы изложим лишь то, что не является известным большинству. VIII. СИМПЛИКИЙ. КОМЕПТАРИИ К КНИГЕ АРИСТОТЕЛЯ «О НЕБЕ» «Теория центра тяжести, относительно которой много и хорошо написали Архимед и многие другие, имеот своей целью определить центр данной тяжести, то есть некоторую точку на теле, при подве- шивании за которую веревкой тело остается в том же положении без изменения наклона». IX. АРХИМЕД, КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ, 6*) «Действительно, каждое из подвешенных тел, укрепленное в ка- кой-нибудь точке, остается неподвижным в таком положении, когда точка подвеса и центр тяжести подвешенного тела находятся на одном перпендикуляре; это тоже доказано». X. ГЕРОИ, МЕХАНИКА, КН. П, 35—41**) (35) Нам необходимо доказать кое-что... о более важных вещах, которые разъясняли Архимед и другие. *) См. стр. 81 этого издания. •*) См. [32J, стр. 189—19».
МЕХАНИЧЕСКИЕ ФРАГМЕНТЫ 73 Рис. 11. В • * С Рис. 12. Прежде всего сообщим, как определяем центр тяжести треуголь- ника, равномерного по толщине и однородного по весу. Пусть данный треугольник — треугольник АВС {рис. 11}. Разделим линию ВС пополам в точке D и соединим точки А и D. Если опереть треугольник на линию AD, он не наклонится ни в ту, ни в другую сторону, так как треугольники ABD и ADC равны*). Точно так же, если мы разделим линию АС в точке Е и соединим точки В и Е и если опереть треуголь- ник на линию BE, он также не наклонится ни в ту, ни в другую сто- рону. Так как треугольник, будучи оперт на каждую из линий AD и BE, находится в равновесии своих частей и не наклоняется ни в ту, ни в другую сторону, общая точка, в которой эти две линии пересекаются, является центром тяжести, это — точка F. Необхо- димо представлять себе точку F в середине толщины треугольни- ка АВС. Поэтому нам ясно, что если мы соединим точки А и D, разделим линию AD в точке F на такие две части, (одна) из которых AF — удвоенная (другой)/7), то точка F будет центром тяжести. Действительно, если мы соеди- ним точки D и Е, линия АВ будет параллельна линии DE, так как линии АС и ВС разделены в точках D и Е (пополам); таким обра- зом, отношение АС к СЕ равно отношению АВ к ED, но линия АС — удвоенная линия СЕ, откуда следует, что линия А В — удвоенная ED. Но линия АВ X относится к ED как линия AF к DF, сле- довательно, AF — удвоенная FD, в силу того, что фигуры ABF и DFE обладают равными углами. (36) Мы хотим определить то же самое для четырехугольника. Пусть данный че- тырехугольник — четырехугольник ABCD В {рис. 12}. Соединим точки В и D и разде- лим BD пополам в точке Е, соединим также (точки) А и Е, Е и С и разделим линии АЕ и ЕС в точках F и Н таким образом, что- бы AF была удвоенной/7?, а СИ — удвоенной НЕ. Тогда центр (тя- жести) треугольника ABD — точка F, а центр треугольника ВВС — — точка /I. Мы получим то же самое, если будем представлять себе весь вес треугольника ABD (сосредоточенным) в точке F, а весь вес треугольника BCD — в точке II. Тогда линия FH становится веса- ми, па концах которых находятся зти величины. Поэтому если мы разделим линию FH в точке G таким образом, что GB относится к FG как вес F, то есть вес треугольника ABD, к весу И, т. е. весу треуголь- ника BDC, то точка G, в которой оба веса уравновешиваются, являет- ся центром (тяжести) этого четырехугольника. (37) Мы хотим определить то же самое для пятиугольника ABCDE {рис. 13}. Соединим BE и определим центр тяжести треугольника *) Под равными треугольниками здесь имеются в виду равновеликие треугольник-? (кон- груэнтные треугольники назывались «равными и подобными треугольниками»). В подлиннике могло также стоить «равиовссящис».
74 АРХИМЕД АВЕ, пусть это будет точка F-, пусть центр тяжести четырехугольника BCDE будет в точке Н. Соединим точки F и И и разделим линию FII па две части таким образом, чтобы часть HG относилась к GF, как вес треугольника АВЕ к весу четырехугольника BCDE. Поэтому точка G — центр тяжести фигуры ABCDE. Такой же способ мы будем применять и для всех многоугольников. (38) . Если дан треугольник АВС, равномерный по толщине и весу, и под точками А, В и С находятся одинаково расположенные опоры {рис. 14}, то мы хотим определить, ка- кую величину веса треугольника АВС Разделим линию ВС пополам в точке D, несет каждая из этих опор. соединим точки А и D и разделим линию AD на дне части в точ- ке Е таким образом, что часть АЕ — удвоенная ED. Тогда точ- ка Е — центр тяжести всего треугольника. Нам нужно распределить этот вес по опорам. Если мы пред- ставим себе линию AD в равно- весии подвешенной в точке Е, то вес в D будет удвоенным весом в А, так как линия ЛЕ — удвоен- ная линия ED. Если мы предста- вим себе, что вес в D распреде- лен л образом, чтобы линия ВС находи- лась в равновесии, то на каждую из точек В и С придется половина веса в D, так как линии BD и DC был удвоенным весом в А. Следовательно, веса во А, В и С равны и, значит, опоры будут нести по точкам В и С таким равны. Но вес в D всех трех точках равные нагрузки. (39) Пусть дан и толщине и находящийся на одинаково расположенных опорах {рис. 15}, и пусть в точке Е, расположенной где угодно, положен или подвешен груз. Мы хотим определить, какую долю веса, (поме- щенного) в Е, несет каждая из опор. Соединим (точки) А и Е и про- должим АЕ до D. Разделим вес в Е на две части таким образом, чтобы треугольник находился в равновесии, будучи оперт па линии AD. Тогда отношение веса в D к весу в А равно отношению линии АЕ к ли- • пии ED. Далее разделим вес в D так, чтобы (линия) ВС находилась в равновесии, будучи подвешена (в Z>). Тогда отношение веса в С треугольник АВС, также равномерный по весу
МЕХАНИЧЕСКИЕ ФРАГМЕНТЫ 75 к весу в В равно отношению линии ВВ к линии СВ. Вес в В найден, следовательно, найдены и веса в В и С; вес в А также найден. Следо- вательно, найдены веса во (всех трех) опорах. (40) Если дан треугольник АВС и подвешены известные грузы в точках А, В и С {рис. 16}, то мы хотим определить внутри тре- угольника такую точку, что если подвесить треугольник в этой точке, оп будет находиться в равнове- сии. Разделим линию АВ в точ- ке В таким образом, что линия ВВ относится к АВ как вес в Л к ве- су в В. Тогда точка В будет общим центром тяжести обоих грузов. Соединим точки D иС ли- нией ВС и разделим ее в точке Е таким образом, что отношение ли- 8 нии СЕ к линии ЕВ равпо отно- шению веса в В к весу в С. Тогда точка Е будет общим центром тяжести всех трех грузов. Следовательно, опа и будет точкой подвеса. (41) Мы хотим определить то же самое и для многоугольников. Пусть фигура АВСВЕ — многоугольник {рис. 17}. Подвесим в точ- ках А, В, С, В и Е известные грузы. Разделим линию АВ в точке F таким образом, что отношение линии BF к FА равно отношению веса в Л к весу в В. Тогда точка F — (об- щий) центр (тяжести) двух грузов, нахо- дящихся на АВ. Разделим также ли- нию BE в точке Н таким образом, что отношение линии ВН к линии НЕ равпо отношению веса в Е к весу в В. Тогда точка Н — общий центр тяжести точек Е и В. Соединим FH и разделим FH в точ- ке G таким образом, что отношение об- щего (веса) в Л и В к общему (весу) в В и Е равно отношению HG к GF. Тогда точка G — общий центр тяжести точек Л, В, В и Е. Соединим точки С и Рис. 17. сится к KG как (общий) G линией CG и разделим ее в точке К таким образом, что липия СК отно- вес в Л, В, В и Е к весу в С. Тогда, следовательно, точка К будет общим центром тяжести всех грузов. XI. АРХИМЕД, КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ, 6 / Разделим липию ВС в Е так, что- г- бы СЕ была вдвое больше ЕВ, прове- 1 дем КЕ параллельно ВВ, и разделим ее в G пополам {рис. 18}; тогда точ- ка G будет центром тяжести треуголь- ника ВВС\ зто действительно доказа- но в «Механике»*). F Рис. 18. *) Архимед не говорит: «доказано в книге «О равновесии»: следовательно, в момент написания трактата «Квадратура параболы» книга «О равновесии» еще не существовала.
76 АРХИМЕД XII- АРХИМЕД, О ПЛАВАНИИ, КП. II, 2*) «Действительно в «Началах механики» доказано, что если отпять какую-нибудь величину, пе имеющую одного и того же центра тяжести с целой величиной, то центр тяжести остатка будет находиться на прямой, соединяющей центр» тяжести целой и отнимаемой величин, если продолжить ее в ту сторону, в которой находится центр тяжести целой величины»**). О РАВНОВЕСИИ XIII- АРХИМЕД, ЭФОД, ЛЕММЫ***) 7. Центром тяжести круга является точка, которая одновременно является и геометрическим центром круга. 8. Центр тяжести всякого цилиндра находится на середине его оси. 9. Центр тяжести всякой призмы находится на середине ее оси. 10. Центр тяжести всякого конуса находится па ого оси в точке, делящей последнюю так, чтобы отрезок, прилегающий к вершине, был втрое больше остатка. XIV. АРХИМЕД, ЭФОД, 1***») «Разделим прямую ГК (медиану треугольника AVZ) в точке X так, чтобы ГА была втрое больше АХ; тогда точка X будет центром тяжести треугольника AZT; это действительно доказано в книге «О равновесии» taoppoKizon;)». XV. АРХИМЕД, О ПЛАВАНИИ, КН. II, 2»****) * ш «Действительно, в книге «О равновесии» доказано, что у вся- кого сегмента прямоугольного коноида (-параболоида вращения) центр тяжести будет находиться на оси в точке, разделяющей послед- нюю так, чтобы отрезок, прилегающий к вершине, был вдвое больше остатка». •) См. стр. 336 этого издания. ** ) См. предложение VIII первой книги «О равновесии плоских фигур». Однако употреблен- ный в рассматриваемой книге способ Доказательства от противного, а также употребленные Архи- медом при цитировании выражения позволяют думать, что в данном случае Архимед имел в виду более раине?, сочинение, тем более, что он несколькими строками выше, говори о центре тяжести сегмента параболоида вращения. цитирует трактат «О равновесии» (см. ниже, фрагм. XV). *“) См. стр. 299 этого издании. •♦♦*) См. стр. 301 этого издания. •••**) см. стр. 336 этого издания.
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ Архимед Досифею желает благоденствия! Узпавши о смерти Коиона, делавшего все для пас из дружбы, и о том, что ты был близок к Конону и сведущ в геометрии, мы очень опечалились о покойном и как о друге и как о выдающемся матема- тике. Поэтому мы решили написать тебе, подобно тому как обычно писали Конону, и послать некоторые геометрические теоремы, оставав- шиеся ранее неизвестными, а теперь полученные нами; они были сначала обнаружены нами при помощи механических методов, а затем доказаны также и геометрически. Некоторые из занимавшихся ранее геометрией пытались доказать, что возможно найти площадь, ограниченную прямыми линиями и рав- ную заданному кругу или его сегменту; затем они пробовали пре- вратить в квадрат площадь, заключающуюся между прямой и сече- нием целого конуса*), пользуясь нри этом не вполне дозволенными предположениями, вследствие чего большинство математиков и не признало за ними решения этой задачи. Что же касается сегмента, ограниченного прямой и параболой, то, насколько пам известно, никто из предшествующих математиков не пытался его квадрировать, нами же эта квадратура в настоящее время найдена. Действительно, можно доказать, что всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с сег- ментом одно и то же основание и равные высоты. При этом доказатель- стве принимается следующее предположение. Если имеются две неравные площади, то, постоянно прибавляя к самому себе избыток, на который большая площадь превосходит менишую, можно получить площадь, которая была бы больше любой заданной ограниченной площади. Этой леммой пользовались также и жившие рапсе геометры. При помощи именно этой леммы они доказали, что круги находят- ся друг к другу в двойном отношении их диаметров, шары — друг к Другу в тромпом отношении их диаметров, и также что всякая пира- мида составляет третью часть призмы, имеющей с пирамидой одно *) 1Год несколько струйным выражением «сечение целого конуса» (следовало бы сказать «остроугольного конуса*), по леей видимости, подразумевается эллипс.
78 АРХИМЕД и то же основание и одинаковую высоту. Доказательство того, что всякий конус составляет третью часть цилиндра, имеющего с конусом одно и то же основание и одинаковую высоту, они изложили, приняв некоторое предположение, подобное упомянутой лемме. При этом каждая из упомянутых теорем считается ничуть нс менее правильной, чем другие, доказываемые без помощи упомянутой леммы; поэтому совершенно достаточно, чтобы такую же степень достоверности имели и теоремы, излагаемые нами теперь. При доказательстве мы сначала показываем, как эта теорема была обнаружена нами при помощи меха- й ники, а затем уже, как она доказывается геометрически. Предварительно излагаются основные свойства конических сечений, не- обходимые для доказательства. Будь здоров! Рис. 1. I Если А13Г {рис. 1) — парабола, прямая ВД параллельна диаметру или сама, является диаметром*), а прямая АГ параллельна каса- тельной к параболе в точке В, то АД будет равна ДГ; и если АД рав- на ДГ, то прямая АГ и касательная к параболе в В будут параллельны* II Если АВГ {рис. 2} — парабола, прямая ВД параллельна диаметру или сама является диаметром, прямая АДГ параллельна касательной к параболе в точке В и ЕГ — касатель- ная к параболе в точке ВД и BE будут равны. Г, то прямые III Если АВГ {рис. прямая ВЛ параллельна 3} — парабола, диаметру или и параллельно касательной то сама является диаметром, ле в точке В проведены какие-нибудь прямые АД и EZ, линий ВД и BZ будет равно отношению квадратов на АД Все эти теоремы доказаны в «Началах теории конических сече- ;ний» [1]. к парабо- отногаение и EZ. “) Под диаметром здесь и ниже подразумевается ось параболы
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ 79 IV Пусть АВГ {рис. 4.} будет сегмент, заключающийся между прямой и параболой, пусть прямая ВА проведена из середины АГ параллель- но диаметру или сама является диаметром, и соединя/ощая прямая ВГ продолжена. Если параллельно ВД провести в какую-нибудь другую прямую Z0 так, что- бы она пересекала прямую, проходящую через / \ Рис. 4. точки В и Г, то Z© будет иметь к ©Н то же самое отношение, что ДА к &Z- Действительно, через точку II проведем прямую КП параллельно АГ; тогда отношение линий ВД и ВК будет таким же, как отношение квадратов на ДГ и КН; вА = ага ВК кн2 это доказано (в предложении III). Следовательно, отношение линий ВГ и В1 будет равно отношению квадратов па ВГ и па В8, вг вга Bi ве2 так как AZ равна КН; значит, линии ВГ, В© и BI будут составлять пропорцию*). Таким образом, ВГ к В© имеет то же самое отноше- ние, что Г© к ©I; вг _ Г0 *») ве - ei значит, как ГД относится к AZ, так и ©Z будет относиться к 0Н***). гд ez AZ OH Но ДГ равна ДА; тогда ясно, что ДА будет иметь к AZ то же самое отношение, что Z0 к 0Н. ЛА _ ZO az ~ ен V Пусть АВГ {рис. 5} будет сегмент, заключающийся между пря- мой и параболой, из точки А параллельно диаметру проведена пря- мая ZА, а из точки Г — касательная 1'Z к параболе в точке Г. Если в треугольнике ZAT параллельно AZ провести какую-нибудь прямую, •) Так как ВГ ; BI-- ВД : ВК = ДГ2 : КП2 = (ДГ : AZ)2 — (ВГ : В©)2, т<.. значит, вг-ве2-вг2-вх, т. е. ве2=вг-вг и вг:ве=ве:В1. **) Имеем ВГ ; ВО — Вв : BI; отсюда ВГ : ве =~ (ВГ i ВО) : (ВО ± BI) = ГО : HI. «♦•) В самом деле, ГЛ : AZ ВГ : ВО — ГО : ei = ez : ОН.
80 АРХИМЕД то эта прямая разделится параболой в том же самом отношении, в каком АГ разделится проведенной прямой, причем отрезок прямой АГ, прилежащий к А, будет соот- ветствовать ближайшему к А отрез- ку проведенной прямой. Проведем параллельно AZ ка- кую-нибудь прямую ДЕ, и пусть сначала ДЕ разделит АГ пополам. Тогда, так как АВ Г есть парабола, прямая БД проведена параллельно диаметру, а прямые АЛ и ДГ рав- ны, то АГ будет параллельна каса- тельной к параболе в точке В (пред- ложение 1). Далее, так как АЕ параллельна диаметру и из точки Г проведена касательная ГЕ к параболе в точке Г, а прямая ДГ параллельна каса- тельной к параболе в точке В, то ЕВ будет равна ВД (предложение II); таким образом, АД к ДГ имеет то же самое отношение, что ДВ к BE. АД _ АВ ВГ ~ BE Рис. 5. Теперь, если проведенная пря- мая сечет АГ пополам, то теорема уже доказана; в противном случае проведем параллельно AZ какую- нибудь другую прямую КА; следует доказать, что АК будет иметь к КГ то же самое отношение, что К© к ©Л. ак _ ко кг " ел Действительно, так как BE равна ВД, то и 1Лбудст равна KI; значит, ЛК относится к КТ, как АГ к ЛА. лк _ дг КГ ДА Но KI так же относится к К©, как ДА к ЛК. кг _ да к© ак что доказано в предыдущем*); таким образом, К® к ©А и АК к КГ име- ют одно и то же отношение**) кв АК ел кг Итак, предложение доказано [2]. ») Согласно предложению IV. имеем: KI: 1© = ЛА : КД Отсюда, «переворачивая», (KI - 16) : KI = (А А - KD) : АА, т. с. Кб : KI - АК . Л А. • *) Действительно, ин предыдущисй пропорции, имеем: КА: Кб-АГ: АК. -Отсюда (КА - Кб) : КЙ-- (АГ - АК) : ЛК, т. е. Лб : К0= КГ : ЛК.
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ 81 VI Вообразим, [как это делается в теоретических исследованиях]*), что лежащая перед нами [видимая] плоскость перпендикулярна к горизонту, [затем] представим, что та ее часть, которая от линии АВ {рис. 6} простирается в сторону А, будет нижней, простирающая- ся же в противоположную сторону — верхней; пусть ВАГ будет прямоугольный треугольник с пря- р, р мым углом при В, сторона ВГ кото- рого равна половине равноплечего рычага; [предполагается, конечно, что АВ равна В Г]; подвесим рас- сматриваемый треугольник в точках В и Г, а с другой стороны рычага, в точке А, подвесим некоторую пло- j щадь Z, и пусть площадь, подве- Рис. 6. шейная в точке А, уравновешивает треугольник ВАГ в том положении, какое оп теперь имеет. Я утверж- даю, что площадь Z будет третьей частью треугольника ВАГ. Действительно, так как рычаг предполагается уравновешенным, то мы можем считать, что линия АГ параллельна горизонту, а прямые в плоскости, перпендикулярной к горизонту, проведенные под прямым углом к АВ, будут тоже перпендикулярны к горизонту. Разделим линию ВГ в точно Е так, чтобы ГЕ была вдвое больше ЕВ: параллельно АВ проведем прямую КЕ и разделим ее пополам в точке 0; тогда, как доказано в «Механике»**), точка 0 будет центром тяжести треуголь- ника ВАГ. Если теперь у треугольника ВАГ уничтожить подвесы в В и Г и подвесить его в точке Е, то треугольник останется в том же самом положении, какое оп имел перед этим; действительно, доказано так- же и то, что каждое тело, подвешенное в какой угодно точке, будет оставаться неподвижным в таком положении, когда точка подвеса и центр тяжести подвешенного тела находятся на одном перпендикуля- ре. Так как положение треугольника В ГД относительно рычага остает- ся тем же самым, то оп будет продолжать уравновешивать площадь Z. Если же подвешенная в точке А площадь Z и подвешенный в точке Е треугольник ВАГ находятся в равновесии, то ясно, что они будут обратно пропорциональны длинам (соответствующих плеч), и получится, что, как АВ относится к BE, так и треугольник ВАГ будет относиться к площади Z: но АВ втрое больше BE; значит, и треугольник ВАГ будет втрое больше площади Z. Очевидно также, что и обратно, если треугольник ВАГ будет втрое больше площади Z, то равновесие сохранится. VII Пусть будет опять равноплечий рычаг АГ {рис. 7} с серединой в точке В; подвесим его за точку В. Пусть ГАП — тупоугольный тре- угольник с основанием АН и высотой, равной половине рычага; под- весим треугольник А ГН в точках В и Г, и пусть подвешенная в точке А •) ё'тг eCTiv то 4v та йЕГйр’а—неясное место, которое Гейберг считает позднейшей вставкой и поятому ставит в квадратных скобках. *•) Это может быть вообще каким-нибудь сочинением по механике; но более вероятно, что это одно иг ранних сочинений самого Архимеда, например, Hepi 6 Архимед
82 АРХИМЕД площадь Z будет уравновешивать треугольник ГАН в занимаемом им положении. Докажем точно так же, что площадь Z будет третьей частью треугольника ГАН. Действительно, подвесим в точке Л еще некоторую площадь (Л), являющуюся третьей частью треугольника ВГП; тогда треугольник ВАГ уравновесится с площадью Z-J-A. Теперь, так как треугольник ВГН урав- новешивается с Л, а треугольник В ГА с площадью Z вместе с Л, и площадь Z-J-A является третьей частью треугольни- ка ВГА, то ясно, что треугольник ГАН будет также втрое больше площади Z, VIII Рис. 8. Пусть будет равноплечий рычаг АВГ {рис. 8} с серединой В, подвешенный за точку В; пусть ГАЕ будет прямо- угольный треугольник с прямым углом при Е, подвешенный к рычагу в точках Г и Е; подвесим в точке А некоторую площадь Z, и пусть она уравновешивает треугольник ГАЕ в занимаемом положении; пусть отношение АВ к BE будет равно отношению треугольника ГАЕ к некоторой площади К. Я утверждаю, что площадь Z будет меньше треугольника ГДЕ, но больше площади К. Действительно, возьмем цептр тяжести треугольника АЕГ — пусть он будет в точке О — и параллельно ДЕ проведем прямую ГДЕ уравновешивает площадь Z, то площадь ГАЕ имеет к Z то же самое отношение, что АВ к ВН: так что Z будет меньше площади ГАЕ. Поскольку же треугольник ГАЕ относится к Z, как ВА к ВН, а к площади К — как ВА к BE, то ясно, что треугольник ГАЕ имеет к К большее отноше- ние, чем к Z, таким образом, Z будет больше К. 6П. Так как треугольник IX Пусть АГ {рис. 9} бу- дет опять равноплечий рычаг с серединой В, а ГАК — тупоугольный треугольник с основанием АК и высотой ЕГ; подвесим его к рычагу в точках Г и Е, а в точке А подвесим площадь Z, и пусть она уравнове- шивает треугольник АГК в занимаемом положении; пусть отношение АВ к BE будет равно отношению треугольника ГАК к некоторой пло- щади Л. Я утверждаю, что площадь Z будет больше Л, но меньше . треугольника АГК. Доказывается это точно так же, как предыдущее. •
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ 83 Пусть АВ Г {рис. 10} будет опять равноплечий рычаг с середи- ной В, а ВДНК — трапеция с прямыми углами при В и Н и со сторо- ной КД, стремящейся к точ- ке Г*), пусть отношение АВ к ВН будет равно отношению трапеции ВДКН к некоторой площади А. В точках В и Н подвесим к рычагу трапецию ВДНК, а в то’же А — площадь Z, и пусть она уравновешивает трапецию ВДКН в занимаемом ею поло- жении. Я утверждаю, что площадь Z будет меньше. А. Разделим прямую АГ в точке Е так, чтобы ЕН имела к BE такое же отношение, как удвоенная ДВ и КП к удвоенной КН и ВД. ЕН _ 2ДВ+КП BE ~2KH-i-BA Затем проведенную через Е параллельно ВД прямую EN разделим в точке ©.пополам; тогда, как доказано в Механике**), точка © будет центром тяжести трапеции ВДКН. Если теперь подвесить трапецию в Е, а в точках В и Н освободить, то на основании того же, что и в пре- дыдущем, она будет оставаться н покое в том же самом положении и уравновесит площадь Z. Так как теперь подвешенная в Е трапеция ВДНК уравновешивает подвешенную в А площадь Z, то отношение АВ к BE будет равно отношению трапеции ВДНК к площади Z; так как АВ имеет к BE большее отношение, чем к ВН, то значит и трапеция ВД1ТК будет иметь к Z большее отношение, чем к А; таким образом Z будет мепыпе А. XI Рис. 11. Пусть АГ {рис. 11} будет равноплечий рычаг с серединой В, а КДТР — трапеция, у которой стороны КД, ТР стремятся к точке Г, а ДР и КТ перпендикулярны к В Г, причем сторона ДР попадает в точку В. Пусть отно- шение АВ к ВП будет равно отношению трапеции ДКТР к некоторой площади А. Подвесим к рычагу трапецию ДКТР в точках В, Н, а площадь Z — в точке А, и пусть Z уравновешивает трапецию ДКРТ в занимаемом ею положении. Тогда подобно предыдущему докажем, что площадь Z будет меньше Л. «) В тексте употребляется техническое выражение греческой математики—veiowa— стремя- щаяся, склоняющаяся; так называлась прямая, продолжение которой проходило через заданную- точку. [См. комментарии к работе «О спиралях», стр. 51 9.] »•) В сохрэнивтпихсн сочинениях Архимеда соответствующее доказательство имеется в XV пред- ложении первой книги трактата «О равновесии плоских фигур». • - 6*
84 АРХИМЕД Рис. 12. XII Пусть АГ {рис. 12} будет опять равноплечий рычаг с серединой В, а ДЕКН — трапеция с прямыми углами при точках Е, II и со сторо- нами КД и ЕН, стремящимися к точке Г. Пусть отношение АВ к ВП будет равно отношению трапеции АКЕН к некоторой площади М; пусть также отношение АВ к BE будет равно отношению трапеции ДКЕН к некоторой площади Л. Под- весим к рычагу трапецию ДКЕП в точках Е, Н, а площадь Z — в точ- ке А, и пусть Z уравновешивает трапецию в занимаемом ею положе- нии. <7 утверждаю, что площадь Z будет больше Л, но меньше М. Действительно, я взял центр тя- жести трапеции АКЕН, и пусть он будет © (оп находится подобно пре- дыдущему); затем я провожу пря- мую ©I параллельно ЛЕ. Теперь если подвесить трапецию к рычагу в точке I, а в точках Е и Н освободить, то она останется в покое в том же самом положении, и на основании того же, что и выше, будет по- прежнему уравновешиваться площадью Z. Но так как трапеция, под- вешенная в точке I, уравновешивает площадь Z, подвешенную в точ- ке А, то трапеция будет иметь к площади Z то же самое-отношение, что АВ к BI. Теперь ясно, что трапеция АКЕН имеет к Л большее отношение, чем к Е, а к М меньшее, чем к Z; та- ким образом, площадь Z бу- дет больше Л, но меньше М. а в точке А XIII Пусть АГ {рис. 13} бу- дет опять равноплечий рычаг с серединой В, а КДТР — трапеция, у которой стороны КД, ТВ стремятся к точке Г, а стороны ДТ, КР перпенди- кулярны к В Г. Подвесим ее к рычагу в точках Е и П, подвесим площадь Z, и пусть она уравновешивает трапецию ДКТР в занимаемом ею положении. Пусть отношение АВ к BE будет равно отношению трапеции ДКТР к некоторой площади Л, и пусть отно- шение АВ к ВП будет равпо отношению этом же самой трапеции к некоторой площади М. Тогда подобно предыдущему докажем, что площадь Z будет больше Л, но меньше М. XIV Пусть ©à {рис. 14} будет сегмент, заключенный между прямой и параболой. Пусть сначала прямая В Г будет перпендикулярна к диаметру параболы; иа точки В параллельно диаметру проведем пря- мую ВД, а из точки Г проведем касательную ГД к параболе в Г; тогда
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ 85 треугольник В ГД будет прямоугольным. Разделим прямую В Г на какое-нибудь количество равных отрезков BE, EZ, ZH, HI, 1Г и из точек деления параллельно диаметру параболы проведем прямые EZ, ZT, НГ, 13, затем из точек пересечения этих прямых с парабо- лой проведем к Г соединительные прямые и продолжим их. Я утвер- ждаю, что треугольник ВДГ будет меньше утроенных трапеций КЕ, AZ, МП, NI вместе, с треуголь- ником 31Г, но больше утроенных трапеций Z<I>, 110, Ill с тре- угольником ЮГ. Действительно, проведем прямую АВГ, отложим АВ, равную В Г и вообразим равно- плечий рычаг АГ с серединою В; подвесим ею за В; подвесим также к рычагу треугольник ВДГ в точках В и Г, а с другой стороны рычага, и точке А под- весим площади Р, X, V, Q, и пусть площадь Р уравнове- шивает трапецию ДЕ в занимае- мом сю положении, площадь X уравновешивает трапецию Z2, площадь Y — трапецию TH, площадь Q — трапецию П и, наконец, площадь £ — треуголь- ник ЕТГ; тогда и все площади справа уравновесят все площади слева, так что треугольник ВДГ окажется втрое больше площади P+X+T-j- -f- Q+£ (предложение VI). Так как ВГ0 есть сегмент, заключенный между прямой и параболой, из точки В параллельно диаметру прове- дена прямая ВД, а из точки Г — касательная ГД к параболе в Г, и также проведена некоторая прямая ХЕ, параллельная диаметру, то ВГ будет иметь к BE то же самое отношение, что ХЕ к ЕФ {предло- жепие V); также и прямая ВА будет иметь к BE то же отношение, что трапеция ДЕ к КЕ*). Подобным же образом докажем, что прямая АВ относится к BZ, как трапеция XZ к AZ, что она же относится к ВН, как трапеция TH к МН и, наконец, к В1 — как трапеция П к N1. Теперь, так как имеется трапеция ДЕ с прямыми углами при точках В, Е и со стремящимися к точке Г сторонами, уравновешенная в занима- емом сю положении площадью Р, подвешенной к рычагу в точке А, и так как отношение ВА к BE равно отношению трапеции ДЕ к трапе- ции КЕ, то значит, как было доказано (предложение X), площадь КЕ будет больше площади I’. Далее, имеется трапеция ZS с прямыми углами при точках Z, Е и со стремящейся к Г стороной 2Т, уравновешенная в занимаемом ею положении площадью X, подвешенном к рычагу в точке А, и отношение АВ к BE равно отношению трапеции ZE к Z®**), а отношение АВ к BZ «) В самом деле, ВА = ВГ; кроме того: ЕФ: EZ — ВК : Вд = (ЕФ + ВК): (ЕХ + ВД) — трап. КЕ : трап. ДЕ. *•) Действительно, АВ : BE = Е2: Еф = трап. Z2 : трап. ЕФ.
86 АРХИМЕД равно отношению трапеции ZE к AZ*); тогда, как тоже было доказа- но (предложение XII), площадь X будет меньше трапеции AZ, но больше ZO. На том же основании и площадь V будет меньше трапеции МН, но больше ©Н, площадь £2 будет меньше трапеции NOITI, но больше Ш, и так же площадь £ будет меньше треугольника Е1Г, но больше треугольника ПО (предложение VIII). Теперь, так как трапеция КЕ больше площади Р, трапеция AZ больше X, трапеция ММ больше Т, трапеция N1 больше Q и треугольник 01Г больше то ясно, что все первые упомянутые площади будут больше площади Р (вместе с) X, Чг, 0(н) Но площадь Р (вместе с) X, 4f, Q (и) £ составляет третью часть треугольника ВДГ; значит, ясно, что треугольник В ГА будет меньше взятых вместе утроенных трапеции KE, AZ, МН, NI и тре- угольника Е1Г. Далее, так как трапеция 2Ф меньше площади X, тра- пеция ©П меньше Чг, трапеция 1П мспыпе О и треугольник ЮГ меньше то ясно, что все упомянутые выше площади (вместе взятые) будут меньше площади £ (вместе с) Q, Чг (и) X; теперь ясно, что треугольник ВАГ будет больше взятых вместе утроенных трапеций ZO, ©II, 1П и треугольника 1Г0**), но меньше взятых вместе утроен- ных (площадей) поименованных ранее. XV Пусть опять ©à {рис. 15} будет сегмент, заключенный между прямой и параболой, но только теперь прямая В Г уже нс будет пер- пендикулярна к диаметру параболы. Тогда ВГ необходимо образует тупой угол или с параллельной диаметру прямой, проведенной в сто- рону сегмента из точки В, или с прямой, проведенной таким же обра- зом из точки Г. Пусть тупой угол образуется с прямой, проведенной из В. Из точки В проведем прямую ВД, параллельную диаметру, а из точки Г — касательную ГЛ к параболе в Г, прямую В Г разделим на какое-нибудь количество равных отрезков BE, EZ, ZH, III, I Г, из точек Е, Z, Н, I параллельно диаметру проведем прямые EX, ZT, II Г, 1Е и из точек пересечения этих прямых с параболой проведем к Г сое- динительные прямые и продолжим их. Я утверчедаю, что треугольник ВАГ будет меньше утроенных тра- пеций ВФ, AZ, МН, NI вместе с треугольником. Г1Е, но больше утро- енных трапеций Z<$, II©, 1П вместе с треугольником Г01. Продолжим ВД в обратную сторону. Проведя перпендикуляр ГК, я откладываю АК., равную ГК. Теперь опять вообразим равно- плечий рычаг АГ с серединой К и подвесим его за К; к одной половине рычага подвесим треугольник ГКА в точках ГК в том положении, какое он теперь занимает, а с другой стороны рычага в точке А подве- сим площади Р, X, У, Q, и пусть площадь Р уравновешивает тра- пецию АЕ в занимаемом положении,площадь X уравновешивает тра- пецию Z2, площадь Т — трапецию ТП, площадь £2 — трапецию П и, наконец, площадь £ — треугольник Г13; тогда все площади справа *) Аналогично AB: BZ = ZT: Z© = EX: EA~(ZT + EX); (ZO + ЕД> = трап. ZX : трап. ZA. ** ) Действительно, треугольник ВГД, равный утроенной сумме площадей Р+Х+'Ч'Ч £2 | ^, будет более чем втрое больше суммы этих площадей, без первой Р, а значит, и подавно более чем втрое больше суммы трапеций Z®, 6Н, 1Г1 и треугольника 1Г0-
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ 87- уравновесят все площади слева, так что треугольник ДВГ окажется втрое больше площади Р (вместе с) X, Ч*-, Q (и) £ (предложение VII). После этого подобно предыдущему*) докажем, что трапеция ВФ будет больше площади Р, трапеция 0Е будет больше площади X, а трапеция ZO меньше ее; трапеция МН будет больше площади Ч*1, a IT0 меньше ее; затем трапеция N1 будет больше площади Q, а 1П меньше ее; и, наконец, треугольник Е1Г будет больше площади 0, а треугольник ГЮ меньше ее; теперь это ясно. XVI Пусть опять ВОГ {рис. 46} будет сегмент, заключенный между прямой и параболой: через точку В проведем прямую ВД, параллель- ную диаметру параболы, а через Г — касательную к параболе в Г. Пусть площадь Z будет третьей частью треугольника ВДГ. Я утверждаю, что сегмент В0Г будет равен площади Z. Действительно, если он не равен, то будет или больше, или же менытте. Пусть сначала оп будет, если возможно, больше; тогда избыток, на который сегмент В0Г превосходит площадь Z, будучи складываем сам с собой, когда-нибудь станет больше треугольника ВГА. Следова- тельно, можно взять некоторую меньшую этого избытка площадь, кото- рая была бы какой-то частью треугольника ВДГ. Пусть треугольник ВГЕ будет меньше упомянутого избытка, и одновременно является некоторой частью треугольника ВДГ; тогда прямая BE будет такой же *) Т. е. как в предлежении XIV, е той лишь разницей, что вместо предложений VIII, X, XII придется использовать предложения XX, XI, XIII.
88 АРХИМЕД частью от ВД. Разделим ВЛ на части, равные BE и пусть точки делений будут Н, I, К; из точек Н, I, К проведем к Г соединительные прямые; они, конечно, пересекут параболу, так как прямая ГЛ является касатель- ной к ней в точке Г. Через точки пересечения этих прямых с параболой проведем параллельно диаметру прямые МФ, NP, Е©, ПО; они будут параллельны и прямой ВЛ. Теперь, так как треугольник 13ГЕ меньше избытка, на который сегмент В0Г превосходит площадь Z, то ясно, что площадь 2 и треугольник ВГЕ, вместе взятые, будут меньше сег- мента. Но треугольник ВГЕ равен трапециям ME, ФЛ, ©Р, 00, через которые проходит парабола, взя- тым вместе с треугольником ГОХ, действительно, трапеция ME яв- ляется общей, трапеция МЛ равна трапеции ФЛ, трапеция ЛЗ равна 0Р, трапеция ХЕ равна 00 и тре- угольник ГХП равен треугольнику ГОХ; следовательно, площадь Z будет меньше вместе взятых тра- пеций МЛ, ЕР, П© и треугольни- ка НОГ ♦). Но треугольник ВДГ втрое больше площади Z; тогда треуголь- ник ВДГ будет меньше утроенных трапеций МЛ, ЕР, 0П и треуголь- ника ПОГ, а это невозможно, так как доказано (предложения XIV и ХШ), что оп будет более чем втрое больше. Итак, сегмент В0Г пе будет больше площади Z. Теперь я утверждаю, что он не будет и меньше. Действительно, пусть он будет, если возможно, меньше. Значит, и в данном случае избыток, па который площадь Z превосходит сегмент В0Г, будучи прибавляем сам к себе, когда-пибудь превзойдет и треугольник ВДГ. Но можно взять некоторую меньшую этого избытка площадь, которая была бы какой-то частью треугольника ВДГ. Пусть треугольник ВГЕ будет меньше этого избытка и одновременно некоторой частью тре- угольника ВДГ, все остальное сделаем так же, как раньше. Теперь, так как треугольник ВГЕ меньше избытка, на который площадь Z превосходит сегмент В0Г, то вместе взятые треугольник ВЕГ и сег- мент В0Г будут меньше площади Z. Но площадь Z меньше вместе взятых четырехугольников ЕМ, ФР1?, ТЕ, ПТ и треугольника ГПХ, так как треугольник ВДГ, втрое больший площади Z, одновременно меньше утроенных упомянутых площадей, вместе взятых, как это доказано в предыдущем (предложения XIV, XV); значит, треуголь- ник ВГЕ вместе с сегментом ©à будут меньше четырехугольников ЕМ, ФХ, ЕЧГ, ПТ и треугольника ГПХ. Таким образом, по отнятии *) ME -f- NO -f- З'Г -|- ПТ ПГГ > сегм. ВОГ, ме+фл+ев+ео+гох=вге, откуда, вычитая, мл + ер + пе 4- пог > вег - ВГЕ> Z-
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ 89 общего сегмента треугольник ВЕГ оказался бы меньше оставшихся площадей; зто же невозможно, так как доказано, что треугольник ВЕГ равен вместе взятым трапециям ЕМ, ФА, ©Р, 60 и треугольнику ГО2, которые больше оставшихся площадей. Значит, сегмент ВОГ не будет меньше площади Z [3]. Но также доказано, что он не будет и больше; значит, этот сегмент равен площади Z [4|. XVII После того как это доказано, ясно, что всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с сегментом то же самое основание и равную высоту. Действительно, пусть будет сегмент, заключенный между прямой и параболой, пусть его вершина*) будет в точке 0 {рис. 17}. Впишем в него треугольник ВОГ, имеющий с сегментом то же основание и равную высоту. Так как точка О есть вер- шина сегмента, то прямая, проведен- ная из О параллельно диаметру, разделит ВГ пополам и ВГ будет параллельна касательной к пара- боле в точке О (предложение I). Проведем Е0 параллельно диаметру; затем из В также параллельно диа- метру проведем прямую ВА, а из Г — касательную ГД к параболе в Г. Так как КО параллельна диамет- ру, ГД — касательная к параболе в Г, а ЕГ параллельна касательной к параболе в 0, то треугольник ВДГ будет в четыре раза больше треу- гольника ВОГ**). Но так как тре- угольник ВДГ втрое больше сегмен- та В0Г (предложение XVI) и вчет- веро больше треугольника ВОГ, то ясно, что сегмент ВОГ будет состав- лять четыре трети треугольника ВОГ. Рис. 17. Для сегментов заключенных между прямой и какой-нибудь кри- вой линией***), я называю основанием эту прямую, высотой — наи- больший перпендикуляр, который можно опустить из точки кривой на основание сегмента, а вершиной — ту точку, из которой проводится па ибол ы п ий перпендикуля р. *) Интересно 'отметить, что Архимед уже п атом месте пользуется термином «вершина пара- болического сегмента», определение которого будет дано ниже (перед предложением XV1I1). Это вначит. что остальная часть трактата (предложения XAI11—XXIV) первоначально составляла осо- бое сочинение. ** ) Действительно, Кб —®К «предложение 11>,и значит, Вд — 4 Ев. так как ВЕ = ЕГ. ** *) яарэтй'Ход yoapixac. В трактате «О шаре и цилиндре» (кв. I аксиома 1) Архимед употре- бляет итог термин для обозначения кривой линии. Стоит отметить, что в некоторых местах «Кони- ческих сечений» Аполлония, а также, вероятно, и в тексте Евдокса (см. вступительную статью, гл. 111) под етим термином понимались маши кривые второго порядка.
90 АРХИМЕД Рис. 18. XVIII о Если в сегменте, заключенном между прямой и параболой, провести из середины основания прямую, параллельную диаметру, то вершиной сегмента будет та точка, в которой прямая, проведенная параллельно диа- метру, пересекает параболу. Пусть АВГ {рис. 18} будет сег- мент, заключенный между прямой и параболой; из середины АГ проведем прямую ЛВ параллельно диаметру. Так как в параболе прямая ВЛ проведена параллельно диаметру, а прямые АД и А Г равны, то ясно, что прямая АГ и касательная к параболе в точке В будут параллельны (предложе- . ние 1). После этого ясно, что из перпендикуляров, опущенных на АГ с параболы, наибольшим будет проведенный из 13; таким образом, точка В будет вершиной сегмента. XIX В сегменте, заключенном между прямой и параболой, линия, про- веденная из середины основания {параллельно диаметру), будет составлять четыре трети прямой, про- веденной {таким же образом) из середины половины основания. Пусть АВГ {рис. 19} будет сегмент, заключенный между прямой и параболой; из середины прямой АГ параллельно диаметру проведем прямую ВД, а из середины АД — прямую EZ, а также проведем прямую Z0 параллельно АГ. Теперь, так как в параболе прямая ВЛ проведена параллельно диаметру, а прямые АД, Z0 параллельны касательной к параболе в В, то отношение линий ВД и ВО будет равно отношению квадратов на АЛ и Z0 (предложение 111); зна- чит, линия ВД будет в четыре раза больше ВО*). Теперь ясно, что ли- ния ВЛ будет составлять четыре тре- ти от EZ**). л Рис. 20. XX Если в сегмент, заключенный ме- жду прямой и параболой, вписать треугольник, имеющий с сегментом одно и то же основание и равную высоту, то вписанный треугольник будет больше половины сегмента. Пусть АВГ {рис. 20} будет упомянутый сегмент; впишем в него треугольник АВГ, имеющий с сегментом то же самое основание и рав- ную высоту. Так как этот треугольник имеет с сегментом то же самое *) Так как ZO является половиной АД. **) Так как ОД -=ЗВ6 и 6& = EZ.
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ 91 основание и ту же высоту, то точка В необходимо будет вершиной сегмента; значит, АГ будет параллельна касательной к параболе в точке В. Через В параллельно АГ проведем прямую АЕ, а из точек А и Г параллельно диаметру проведем прямые АА и ГЕ; они по- падут: вис сегмента. Теперь, так как треугольник АВГ составляет половину параллелограмма ААЕГ, то ясно, что он будет больше половины сегмента. Следствие После доказанного ясно, что в данный сегмент можно вписать такой многоугольник, чтобы остающиеся (по краям) сегменты были меньше всякой наперед заданной площади; действительно, если отни- мать все время больше половины, то на основании доказанного ясно, что, постоянно уменьшая остающиеся но краям сегменты, мы можем сделать их меньше всякой наперед заданной площади*). XXI Если в сегмент, заключенный между прямой и параболой, вписать треугольник, имеющий с сегментом то же самое основание и ту же высоту, а в оставшиеся сегменты вписать другие треугольники, имею- щие те же самые основания и высоты, что и у этих сегментов, то треугольник, вписанный в весь сегмент, будет в восемь раз больше каждого из треугольников, вписанных в сегменты, оставшиеся (по краям). Пусть АВГ {рис- 21], будет сегмент такой, как сказано выше; пря- мую АГ разделим пополам в точке А и параллельно диаметру проведем прямую ВД; тогда точка В будет вер- шиной сегмента (предложение XVII1). Значит, треугольник АВГ имеет с сег- ментом то же самое основание и ту же \/| высоту. Затем разделим прямую АД попо- / /\ 1 лам в точке Е и проведем прямую EZ, 4г/ ' / / \ I параллельную диаметру параболы и пере- г / / ч? секающую АВ в точке 0; тогда точка Z Ева будет вершиной сегмента AZB. Таким образом, треугольник AZB имеет то же ис‘ самое основание и ту же высоту, что и сегмент [AZBJ. Требуется доказать, что треугольник АВГ будет в восемь раз больше треугольника AZB. Прямая ВД составляет четыре трети от EZ (предложение XIX) и вдвое больше Е0; значит, Е0 будет вдвое больше 0Z**). Таким образом, треугольник АЕВ вдвое больше треугольника ZBA, так как треугольник AE0 вдвое больше A0Z***), а треугольник 0BE вдвое *) На основании леммы Евдокса («Начала» Евклида, X, I). 12 ** ) Действительно; Е0 =—Бд = —-EZ; значит, ...-— -------- --- 2 & ez = -1- ez и ке = 20Z. ***) Треугольники AE0 и AZ© имеют одну и ту же вершину А и лежащие на одной прямой основания Z0 и ЕО = 2ZO. Точно также треугольники ZB0 и 0BE имеют общую вершину В и ле- жащие на одной прямой основания Е0 и ZO, ,
92 АРХИМЕД больше ZOB. Таким образом, треугольник АВГ будет в восемь раз больше треугольника AZB*). Подобным же образом проведем доказа- тельство и относительно треугольника, вписанного в сегмент ВНГ. XXII Если имеется сегмент, заключенный взято любое количество площадей, между прямей и параболой, составляющих непрерывную {пропорцию) в отношении четырех к одному, причем наибольшая из этих площадей равна треугольнику, имеющему с сегментом то же самое основание и ту же высоту, то все эти площади, вместе взятые. будут меньше сегмента. Пусть АЛВЕ Г {рис. 22} будет сегмент, заключенный между пря- мой и параболой, и взято несколько площадей Z, Н, ©, I, составляю- щих непрерывную пропорцию, в которой каждая предыдущая площадь в четыре раза больше последующей; пусть наиболь- шая из них Z равна треугольнику, имею- щему с сегментом одно и то же основание и равную высоту. Я утверждаю, что сегмент будет больше площадей Z, Н, ©, I (вместе Рис. 22. взятых). Пусть В будет вершина всего сегмен- та, а А и Е — вершины сегментов, остаю- щихся (по краям). Так как треуголь- ник АВГ в восемь раз больше каждого из треугольников АД В и ВЕГ, то ясно, что он будет в четыре раза больше их обоих вместе. И если треугольник АВГ равен площади Z, то вследствие этого треугольники АД В и ВЕГ вместе будут равны площади II. Точно так же дока- и жем, что треугольники, вписываемые в остающиеся во краям сегменты, имеющие с ними те же самые основания и высоты, будут все вместе равны площади ©, а треугольники, вписываемые в сегменты, получаю- щиеся после этого, будут равны площади I; значит, все эти взятые площади будут вместе равны некоторому многоугольнику, вписанному в сегмент. После этого ясно, что они будут меньше этого сегмента. ХХШ Если взять несколько величин, образующих непрерывную пропор- цию в отношении четырех к одному, то все эти величины вместе, сло- женные с третьей частью наименьшей, составят четыре трети наи- большей {рис. 23}**). *) Если треугольник AZB есть половина А ЕВ, а ДЕВ—половина АБД и> наконец, А ВД—по- ловина АВГ, то следовательно; AAZB= ААВГ. О •*) В рукописях ати величины изображены отревками прямых.
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ 93 Пусть будет взято в непрерывной пропорции несколько величин А, В, Г, Д, Е, из которых каждая в четыре раза больше последующей, и пусть Л будет наибольшей; затем пусть Z будет третью от В, Н — третью от Г, © — третью от Л и I — третью от Е. Tai? как Z — треть В, а В — четвертая часть А, то обе величины В и Z вместе составят третью часть А. На том же ос- новании Н и Г вместе составят треть В, за- тем, © и А вместе соста- вят треть Г и, наконец. I и Е вместе составят треть Д; тогда вместе взятые В, Г, Д, Е, Z, Н, 0, I составят третью часть от вместе взятых г Рис. 23. А, В, Г, Д. Но величи- ны Z, Н, 0 составляют третью часть от В, Г, Д; значит, оставшиеся величины В, Г, Д, Е, I будут третьей частью остатка Л. После этого ясно, что величины А, В, Г, Д, Е, взятые вместе с I — третьей частью от Е,— составят четыре трети от А. XX Г V Всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, состав- ляет четыре трети треугольника, имеющего с ним одно и то же осно- вание и равную высоту. Пусть АД BE Г {рис. 24} будет сегмент, заключенный между пря- мой и параболой, а АВГ — треугольник, имеющий с сегментом одно и то же основание и равную высоту; пусть площадь К со- ставляет четыре трети тре- угольника АВГ. Требуется доказать, что эта площадь равна сегменту ААВЕ Г. Действительно, если она не равна, то будет или боль- ше, или меньше. Пусть сна- чала сегмент АД BE Г будет, если возможно, больше пло- щади К. Итак, я вписал треуголь- ники АД В, ВЕГ, как было сказано выше, в оставшиеся по краям сегменты вписал другие треугольники, имею- щие с этими сегментами те же самые основания и высоты, и затем в получающиеся после этого сегменты постоянно вписываю по два треугольника, имеющие с этими сегментами те же самые основа- ния и высоты; тогда остакицисся сегменты сделаются когда-нибудь меньше того избытка, на который сегмент А ДВЕ Г превосходит
94 АРХИМЕД площадь К, так что вписанный многоугольник будет больше площади К, а это невозможно. Действительно, имеются площади, образующие непрерывную пропорцию в отношении четырех к одному, а именно первая — треугольник АВГ, в четыре раза больший обоих треуголь- ников АДВ и ВЕГ вместе взятых, затем эти самые треугольники, которые в четыре раза больше треугольников, вписываемых в следую- щие сегменты, и так все время далее; яспо, что все эти площади вместе будут меньше, чем четыре трети от наибольшей площади (АВГ), тогда как К составляет четыре трети от наибольшей площади. Значит, сегмент АД BE Г ис будет больше площади К. Пусть теперь, если возможно, он будет меньше. Возьмем площадь Z, равную треугольнику АВГ, затем пло- щадь Н, равную четверти Z, далее — 0, равную четверти И, и будем так брать постоянно в непрерывной пропорции до тех пор, пока по- следняя площадь не окажется меньше того избытка, на который пло- щадь К превосходит сегмент; пусть эта меньшая площадь будет I; тогда площади Z, Н, 0, 1 вместе с третью от I составят четыре трети от Z (предложение ХХ1П). Но и К также составляет четыре трети от Z; значит, К будет равна площадям Z, Н, 0, I, взятым вместе с третьей частью от I. Так как площадь К превосходит площади Z, II, 0, 1 на величину, меньшую 1, а сегмент (АДВЕГ) — на величину, большую I, то ясно, что пло- щади Z, П, ©, I будут больше сегмента. Это же невозможно, так как доказано, что если взято любое количество площадей, образующих непрерывную пропорцию в отношении четырех к одному, причем наибольшая равна вписанному в сегмент треугольнику, то все эти площади . вместе будут меньше сегмента (предложение XXII); зна- чит, сегмент АДВЕГ ис меньше площади К. По доказано также, что он не будет и больше; значит, он будет равен площади К. Но площадь К составляет четыре трети треугольника АВГ; значит, сегмент АДВЕГ равен четырем третям треугольника АВГ [5].
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ [1] КНИГА I Архимед Досифею желает радоваться! Я уже послал тебе запись наших открытий вместе с доказатель- ством, что всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с сегментом одно и то же основание и одинаковую высоту; позднее, когда нам пришли на ум другие стоящие внимания теоремы, мы потрудились над их доказа- тельствами. Теоремы эти таковы: во-первых, поверхность всякого шара в четыре раза больше его большого круга-, затем, поверхность всякого шарового сегмента равна кругу, радиус которого равен прямой, проведенной из вершины сегмента к окружности круга, ссставляюгцего основание сегмента-, кроме того, для всякого шара цилиндр, имеющий основанием боль- шой круг этого шара, а высотой — прямую, равную диаметру шара, и сам,*) будет в полтора раза больше этого шара, и поверхность его тоже в полтора рала больше поверхности этого шара. Конечно, эти свойства были и раньше по самой природе присущи упомянутым фигурам, но они все же оставались неизвестными тем, кто до нас занимался геометрией, и никому из них не пришло на ум, что все эти фигуры являются соизмеримыми друг с другом; поэтому я не поколебался бы сравнить эти теоремы с теми, которые были откры- ты другими геометрами, и в частности с наиболее выдающимися теоре- мами, которые были установлены для тол Евдоксом, а именно, что вся- кая пирамида составляет третью часть призмы, имеющей с пирамидой одно и то же основание и одинаковую высоту, и что всякий конус со- ставляет третью часть цилиндра, имеющего с конусом одно и то же осно- вание и одинаковую высоту; действительно, хотя эти свойства по самой природе всегда были присущими указанным телам, новее же оказалось, что они остались неизвестными многим жившим до Евдокса знамени- тым геометрам и ни одному из них не пришли на ум. Теперь же их могут усмотреть все, имеющие к тому силы. Было бы очень хорошо, * То есть объем его.
96 АРХИМЕД если бы они были обпародовапы еще при жизни Конона; он был, как мы считаем, наиболее способным продумать их и дать о них подходя- щий отзыв. Полагая, что было бы очень хорошо передать их сведущим в математике людям, мы посылаем тебе запись их доказательств; теперь их могут рассмотреть все занимающиеся математикой. Будь здоров! Прежде всего излагаются аксиомы и необходимые для доказатель- ства их допущения. Аксиомы [2] 1. На плоскости существуют некоторые ограниченные кривые*) линии, которые или целиком находятся, по одну сторону от прямых, соединяющих их концы, или ничего не имеют по другую их сторону. 2. Тогда выпуклой в одну и ту же сторону я называю такую линию, для которой прямые, соединяющие две произвольные ее точки, будут или все находиться по одну сторону этой линии, или же неко- торые по одну ее сторону, другие же на самой линии, но никакая такая прямая не. будет находиться по другую ее сторону. 3. Подобным же образом существуют некоторые ограниченные поверхности, которые не лежат сами на плоскости, ио имеют на плоскости свои границы, причем эти поверхности будут или целиком, находиться по одну сторону от плсскссти, содержащей их границы, или ничего не будут, иметь по другую сторону от нее. 4. Выпуклыми в одну и ту же сторону я называю такие поверх- ности, для которых прямые, соединяющие две произвольные их точки, будут или все находиться по одну сторону этой поверхности, или же некоторые по одну сторону, другие же на самой поверхности, но ника- кая из них не будет находиться с другой ее стороны. 5. Телесным сектором я называю фигуру, ограниченную поверхно- стью конуса, отсеченного шаром с центром в вершине конуса, и той частью поверхности шара, которая лежит, внутри конуса. б. Телесным ромбом я называю фигуру, состоящую из двух конусов, имеющих одно основание, вершины, расположенные по разные стороны от плоскости основания, а оси — на одной прямой. Допу щ опия Я принимаю следующее: 1. Из всех линий, имеющих одни и те же концы, прямая будет наименьшей. 2. Две другие линии, расположенные на плоскости и имеющие те же самые концы, будут всегда неравными, если обе они выпуклы в одну и ту же сторону, и одна из них или целиком, обьемлется другой линией и соединяющей их концы прямой, или же часть ее объемлется другой, часть же является общей обеим линиям; при этом меньшей будет объем- лемая линия. 3. Подобным же образом из поверхностей, имеющих общую грани- цу, расположенную на плоскости, наименьшей будет плоскость. *) Как видно из далытейшего текста, пол словом кривые (харлфХаО Архимед попинает здесь вообще любые лилии, отличающиеся от прямой.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 97 4. Две другие поверхности, имеющие общую границу, расположен- ную на плоскости, будут всегда неравными, если обе они выпуклы в одну и ту же сторону и одна из них или целиком объемлется другой поверх- ностью и плоскостью, содержащей их общую границу, или же часть ее объемлется другой, часть же является общей обеим поверхностям', при этом меньшей будет объемлемая поверхность. 5. Далее, большая из двух неравных линий, поверхностей или тел превосходит меньшую на такую величину, которая, будучи складываема сама с собой, может превзойти любую заданную величину из тех, кото- рые могут друг с другом находиться в определенном отношении [3J. При наличии этих допущений ясно, что если мн впишем в круг многоугольник, то периметр вписанного многоугольника будет меньше окружности круга, так как каждая из сторон д этого многоугольника будет меньше отсекав- мой ею дуги окружности. Вх^ Если около круга описать многоугольник, то периметр описанного многоугольника будет больше периметра круга. Опишем около круга многоугольник, как ух. предполагается {рис. 1}. Я утверждаю, что \ периметр описанного многоугольника будет больше периметра круга. * Действительно, прямые В А, ДА, вместе Рис- взятые, будут больше дуги ВА вследствие того, что они объемлют эту дугу, имеющую с ними те же самые концы; по- добным же образом вместе взятые прямые ДГ и ГВ будут больше дуги ДВ, а вместе взятые АК и КО больше дуги АО, вместе взятые ZH, ПО больше Z0 и, наконец, вместе взятые ДЕ, EZ больше AZ; следо- вательно, весь периметр рассматриваемого многоугольника будет больше окружности круга. Если даны две неравные величины, то можно найти две неравные прямые таким образом, чтобы большая прямая имела к меньшей отно- шение меньшее, чем отношение большей величины к меньшей. Пусть будут две неравные величины АВ и Д, и пусть большей бу- дет АВ {рис. 2}. Я утверждаю, что можно найти две неравные прямые, которые удовлетворяли бы высказанному требованию. Пользуясь построением второго предложения первой книги Евклида, отложим ВГ, равную Д, и возьмем некоторую прямую ZH; тогда, складывая ГА с самой собой, мы когда-нибудь превзойдем Д. Возьмем се нужное число раз кратпой; пусть полученная линия бу- дет АО. Определим теперь НЕ так, чтобы ZH была больше НЕ во столь- ко же раз, во сколько АО больше АГ; значит, как ©А к АГ, так и ZH к НЕ, 6А _ ZH АГ ^НК и обратно — как ЕП (относится) к HZ, так и АГ к АН. ЕН АГ hz ле 7 Архимед
98 АРХИМЕД Поскольку же Л0 больше Д, или, что то же, больше ГВ, то, значит, ГА имеет к Л© отношение меньшое, чем ГЛ к ГВ. ГА ГА АО <ГВ По как ГА (относится) к А0, так и ЕП к IIZ; значит, ЕН к HZ имеет Е А Н - Г - отношение меньшее, чем ГА к ГВ; тогда, «присоединяя»*), най- дем, что EZ к ZT.I будет иметь отношение меньшее, чем АВ к В Г. Пр В Г равна Д; значит, EZ имеет к ZIT отношение меньшее, чем АВ к Д. Итак, найдены две неравные прямые, удовлетворяющие поставленному условию, [т. с., что большая имеет к мень- шей отношение, меньшее того, которое большая величина имеет к меньшей] [4]. III Если даны две неравные величины и, круг, то можно впи- сать в круг многоугольник и описать около него другой та- ким образом, чтобы сторона описанного многоугольника имела к стороне вписанного многоугольника отношение меньшее, чем отношение большей величины к меньшей. Пусть обе заданные величины будут Л, В (рис. 3}, за- данный же круг расположен выше. Я утверждаю, что можно выполнить задание. В г в Рис. 2. Найдем две прямые 6 и КА, из которых большей пусть будет 0, таким образом, чтобы 0 находилась к КА в отно- шении меньшем, чем большая величина (Л) к меньшей (В); из точки Л под прямым углом к ЛК проведем ЛМ, а из К проведем КМ так, чтобы КМ равнялась 0; [это ведь возможно]. Затем в круге проведем под пря- мым углом два диаметра ГЕ и AZ. Те- перь, разделив угол ДНГ пополам, половину его еще раз пополам и про- должая такое деление все время, мы придем к некоторому углу, мспыпему, чем удвоенный угол ЛК. М. Пусть таким углом будет NHT. Соединим точки N, Г; тогда NT будет стороной равностороннего мно- гоугольника с четным числом сторон [действительно, поскольку угол Nil Г целое число раз измеряет прямой угол ДНГ, то н дуга NT целое число раз измеряет четверть окружности ГД, а значит целое число раз измеряет и всю окружность. Таким образом, NT, оче- видно, является стороной равностороннего многоугольника]. Разделим *) Это яяаяят составляв производную пропорцию со сложением: КН + HZ _ АГ I- ГВ HZ 'С ГВ
О ШЛИК И ЦИЛИНДРЕ 99 угол THN пополам прямой НН, проводом из точки S касательную ОНП к кругу и продолжим линии HJN11 и НГО; тогда ПО будет стороной описанного около круга равностороннего многоугольника; [очевидно, что этот многоугольник будет подобен вписанному многоугольнику со стороной NT]. Теперь, поскольку угол NHT меньше удвоенного угла ЛКМ и равен удвоенному углу ТПГ, то угол ТНГ будет меньше угла ЛКМ. Углы же при Л и Т прямые; значит, МК будет иметь к ЛК отно- шение, большее, чем ГН к НТ. МК ГН *) лк > нт Но ГН равна HS; значит, отношение HS к НТ, а также ПО к НГ, будет меньше, чем отношение МК к ЛК. нв = по МК НТ NF ' КЛ Далее, МК находится к КЛ в отношении меньшем, чем А к В, мк л кл в и ПО есть сторона описанного многоугольника, a NT — вписанного, что и требовалось найти. IV . Далее, если, имеются две неродные величины и сектор, то можно описать вокруг сектора многоугольник и вписать в него другой так, чтобы сторона описанного многоугольника находилась к стороне вписан- ного в отношении, меньшем того, кото- рое большая величина имеет к меньшей. Пусть будут опять две неравные величины Е и Z {рис. 4}, и пусть боль- шая из них Е; пусть будет некоторый круг АВГ, имеющий центр в А, и при точке А построен сектор АДВ; требует- ся около сектора АВА описать и в пего вписать многоугольник, имеющий рав- ными все стороны, за исключением сто- рон ВД, ДА* **), так, чтобы выполнить задание. Пайдем две неравные прямые Н и ОК (пусть большая будет Н) такие, чтобы Н имела к 0К отношение мень- шее, чем большая величина к меньшей H Е ОК ' Z [это ведь возможно]; и точно так же, проведя из © под прямым углом к К© прямую ©Л, построим КЛ, равную II [это возможно, поскольку Н больше ОК]. Разделяя угол ЛДВ пополам, половину его опять попо- лам и продолжая так все время, мы придем к некоторому углу, ♦) С нашей точки зрения, это равносильно утверждению» что если ос < р, то вес ос > see р. **) Предполагается, что боковые радиусы сектора входят в периметр обоих многоугольников как вписанного, так и описанного. 7*
100 АРХИМЕД I который будет меньше удвоенного угла КЛ®. Пусть таким углом будет АДМ: тогда ЛМ будет стороной многоугольника, вписанного в круг. Если рассечем угол АДМ прямой AN пополам и из N проведем каса- с , тельную к кругу прямую N3O, то ата прямая будет стороной описап- г . ного около того же круга многоугольника, подобного вышеупомянутому; : тогда совершенно так же, как и раньше, покажем, что SO будет нахо- диться к AM в отношении меньшем, чем отношение величины Е к Z. ЕО Е AM Z V 1 ' Дан круг и две неравные величины', описать около круга многоуголь- ник и вписать в него другой так, чтобы описанный имел к вписанному*) отношение меньшее того, которое большая величина имеет к меньшей. Пусть будут круг А {рис. 5} и две неравные величины Е, Z, из которых большая Е; требуется вписать в круг многоугольник и описать Около него другой так, чтобы выполнялось поставленное задание. Я беру две неравные прямые Г, А, из которых большей пусть бу- дет Г, таким образом, чтобы Г имела к А отношение меньшее, чем '• Е к Z; Д Z если взять для Г и А среднюю пропорциональную Н, н д , то Г будет больше Н. Опишем около круга многоугольник и впишем в него другой так, чтобы сторона описанного многоугольника имела к стороне вписанного ; отношение меньшее, чем Г к Н, [как мы уже выучились]; тогда ква- !драт**) первого отношения будет меньше квадрата второго. Но квад- рат отношения сторон равен отношению (площадей) многоугольников, [так как по- следние подобны], квадрат же отношения Г к П равен отношению Г к А. Таким образом, описанный многоуголь- ник имеет к вписанному отношение мень- шее, чем Г к А; значит, и подавно, описан- ный многоугольник имеет к вписанному отношение меньшее, чем Е к Z. Рис. 5. первому, так, чтобы VI Подобным же образом докажем, что, если даны две неравные величины и сек- тор, то можно описать около сектора мно- гоугольник и вписать в него другой, подобный отношение описанного многоугольника ко вписан- ному было меньше того, которое большая величина имеет к меньшей. Точно так же ясно, что если даны круг, сектор и некоторая пло- щадь, то можно, вписывая в круг или в сектор равносторонние много- *) Мы сказали бы: «чтобы площадь описанного имела к площади вписанного». = **) В подлиннике diTtftaaioS : W^og—двойное отношение:: у греков сложение отношений было фаидосильно их умножению. ' 1
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 101 угольники и продолжая делать то же самое с получающимися по краям сегментами, дойти до такого сегмента круга или сектора, кото- рый был бы меньше заданной площади: это доказано в «Началах»*). Требуется доказать, что если даны круг, сектор и некоторая пло- щадь, то можно около круга или сектора описать многоугольник та- ким образом, чтобы оставшиеся по краям части**) описанной фигуры были меньше заданной площади; достаточно будет доказать это для круга и провести то же рассуждение и для сектора. Пусть будут даны круг А {рис. 6} и некоторая площадь В. Около этого круга можно описать многоугольник так, чтобы его части, оста- ющиеся между многоугольником и окружностью, взятые вместе, были меньше площади В; ибо если имеются две неравные величины, из которых боль- шая равна вместе взятым кругу и заданной пло- щади, а меньшая одному только кругу, то опи- шем около круга многоугольник и впишем в него другой так, чтобы описанный имел но вписанному отношение меньшее, чем упомянутая большая величина к меньшей. Тогда этот описанный мно- гоугольник и будет тем, остающиеся части кото- рого будут меньше заданной площади В. Действительно, если описанный многоуголь- ник имеет ко вписанному отношение меньшее того, в котором вместе взятые круг и площадь В на- ходятся к этому же кругу, и круг больше впи- Рис. 6. санного многоугольника, то описанный много- угольник и подавно будет иметь к кругу отношение меньшее, чем вместе взятые круг и площадь В имеют к этому же кругу; тогда после «выделения»***) части описанного многоугольника будут иметь к кругу отношение меньшее, чем площадь В к кругу; значит, части описанного многоугольника будут меньше площади В. Или таким образом, поскольку описанный многоугольник имеет к кругу отношение меньшее, чем вместо взятые круг и площадь В к кругу, то вследствие этого описанный многоугольник будет меньше указанных величин, вместе взятых; таким образом, и все его части (лежащие вне круга) будут меньше площади В. То же самое и относительно сектора. VII Если в равнобедренный конус****} вписать пирамиду, имеющую основанием равносторонний многоугольник, то поверхность этой пира- миды за вычетом основания равна треугольнику, имеющему основание равным периметру основания пирамиды, а высотой — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на одну из сторон основания. *) Евклид, ХИ, 2. **) Буквально: отрезки. •, . ***) Это значит—составления производной пропорции с вычитанием: *4-) Опис. мн-к—А (А Ч- В) - А А ' А ****) То есть конус, имеющий в осевом сечении равнобедренный треугольник, иными словами, обыкновенный прямой круговой конус.
.102 АРХИМЕД Пусть будет равнобедренный конус, основание которого есть круг АВГ {рис. 7} и в него вписана пирамида, имеющая основанием равносторонний многоугольник АВГ: я утверждаю, что поверхность се за вычетом основания равна вышеназванному треугольнику. Так ьак конус является равнобедренным и в <с овании пирамиды лежит равносторонний многоугольник, то высоты ограничив ю.ьих пирамиду треугольников будут равны меж- ду собой. Основаниями этих треугольников являются АВ, ВГ, ГА, (общая) высота же упомянутая; таким образом, эти треуголь- ники вместе, [то есть поверхность пирамиды за вычетом треугольника АВГ{, будут рав- ны треугольнику, имеющему основание, рав- ное вместе взятым АВ, В Г, ГА, высотой же — упомянутую прямую. [Более ясно другое доказательство*). Пусть будет равнобедренный конус, основанием которого является круг АВГ {рис. 8}, вершиной же точка А: пусть в этот конус вписана пирамида, имеющая основа- нием равносторонний треугольник АВГ, и проведены линии АА, АГ, АВ; я утверждаю, что треугольники АДВ, АДГ, ВДГ равны треугольнику, основание которого равно периметру треугольника АВ Г, а опущенный нз верппшы на это осно- вание перпендикуляр равен перпендикуляру, опущенному из А на сторону В Г. Проведем перпендикуляры ДК, АЛ, ДМ; они, конечно, равны между собой. Возьмем треугольник EZH, имеющий основание EZ равным периметру треугольника АВГ и высоту Н(н) равной /кА. Так как прямоуголь- ник на ВГ, АЛ вдвое больше треугольни- ка АВГ, прямоугольник между /кВ, ДК вдвое больше треугольника АВА и прямо- угольник между АГ, ДМ вдвое больше тре- угольника АДГ, то, зпачит, прямоугольник между периметром треугольника АВГ, то есть между EZ, и ДА, или НО, будет вдвое больше треугольников АДВ, ВАГ, /ХАГ, вместе взятых. Также и прямоугольник между EZ,H0 вдвое больше треугольника EZII; значит, треугольник EZH будет равен треугольникам /ХАВ, ВДГ и АДГ, вместе взятымJ. VIII Если около равнобедренного конуса описана пирамида, то поверх- ность пирамиды за вычетом основания равна треугольнику, имеющему основанием прямую, равную периметру основания {пирамиды}, а высо- той — сторону конуса. '»)' Из' этих слов индии, что шпкепомещенное доказательство ие принадлежит Архимеду.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ ЮЗ Пусть будет конус, основание которого есть круг АВГ, и около конуса описана пирамида {рис. 9], так что ее основание, то есть много- угольник AEZ, будет описано около круга АВГ. Я утверждаю, что поверхность этой пирамиды за вычетом основания равна вышеупомянутому тре- угольнику- Действительно, так как [ось конуса перпен- дикулярна к основанию, т. е. к кругу АВГ, и[ прямые, соединяющие центр этого круга с точ- ками касания, перпендикулярны к касатель- ным, то прямые, соединяющие вершину конуса с точками касания, будут перпендикулярны к АЕ, EZ.ZA. Таким образом, вышеупомянутые перпен- дикуляры ПА, ПВ, ИГ равны между собой, ибо они являются сторонами конуса. Возьмем тре- угольник (Н)КА, имеющий сторону ©К равной периметру треугольника AEZ, а перпендику- ляр AM равным НА. Так как прямоугольник между АЕ, АН вдвое больше треугольника ЕАИ, прямоугольник между AZ, НВ вдвое больше треугольника AZH и прямоугольник между EZ, ГП вдвое больше треугольника EHZ, то, значит, прямоугольник между ©К и АП, или МА, вдвое больше треугольников ЕАН, ZAH, EHZ вместе взятых. Также и прямоугольник между ©К, AM вдвое больше треугольника AK0; вследст- вие этого поверхность пирамиды за вычетом основания будет равна треугольнику, имеющему основанием прямую, равную периметру AEZ, а высотой сторону конуса. IX Если прямая линия пересекает круг, явля- ющийся основанием некоторого равнобедренного конуса, и от ее концов проведены прямые линии к вершине конуса, то треугольник, заключенный между, этой секущей и прямыми, соединяющими ее концы с вершиной, будет меньше поверхности конуса между этими соединяющими с вершиной прямыми. Пусть круг АВГ {рис. 10} будет основа- нием равнобедренного конуса, а точка А — его вершиной; проведем в круге какую-нибудь пря- мую АГ и соединим точки А, Г с вершиной прямыми АА, А Г. Я утверждаю, что треуголь- ник АДГ будет меньше конической поверхности, заключенной между АД, АГ. Разделим дугу АВГ пополам в точке В и проведем соединяющие прямые АВ, ГВ, ДВ; тогда треугольники АВА, ВГД вместе будут больше треугольника АДГ. Пусть 0 будет величина, на которую выше- упомянутые треугольники превышают треугольник АДГ; тогда © будет или меньше (суммы) сегментов АВ, ВГ, или же пет. Рис. 10.
104 АРХИМЕД Пусть сначала © будет не меньше их (суммы). e^sAEB+SBzr Так как имеются две поверхности — коническая между АД, АВ вместе с сегментом ЛЕВ и треугольник АДВ — и обе они имеют одну и ту же границу — периметр треугольника АДВ, то объемлющая поверхность будет больше объемлемой: значит, коническая поверхность между АД, ДВ вместе с сегментом АЕВ будет больше треугольника АВД. Точно так же (коническая поверхность) между ВД, ДГ вместе с сегментом TZB больше треугольника ВДГ; тогда вся коническая поверхность вместе с площадью © будет больше обоих упомянутых треугольников. Но упомянутые треугольники равны треугольнику АДГ вместе с площадью 0. Отнимем общую площадь ©; тогда остав- шаяся коническая поверхность между АД, ДГ будет больше треуголь- ника АДГ. Пусть теперь © будет меньше (суммы) сегментов АВ, ВГ. Разделяя пополам дуги АВ, ВГ, а затем пополам их половинки, . мы придем к сегментам (в сумме), меньшим площади ©*). Пусть это будут сегменты (£де +Seb +£bz+<$zr < ограниченные прямыми АЕ, ЕВ, BZ, 7>Г. Проведем ДЕ и AZ. Тогда по той же причине поверхность конуса между7 АД, ДЕ вместе с сегментом па АЕ будет больше треугольника АДЕ, а поверхность между ЕД, ДВ вместе с сегментом па ЕВ больше треугольника ЕД В; значит, поверхность (конуса) между АД, АВ вместе с сегментами на АЕ, ЕВ будет больше треугольников АДЕ, ЕВА. Поскольку же, согласно доказанному, треугольники АЕД, ДЕВ больше треугольника АВД, то значит, и подавно поверхность конуса между АД, ДВ вместе с сегментами на АЕ, ЕВ будет больше треуголь- ника АДВ. На том же основании и поверхность конуса между ВД, ДГ вместе с сегментами на BZ, ZT больше треугольника ВДГ; значит, вся поверхность между АД, А Г вместе с упомянутыми сегментами будет больше треугольников АВА и АВГ. Но эти треугольники равны тре- угольнику АД Г и площади ©, причем упомянутые сегменты (в сумме) меньше площади ©; значит, остающаяся поверхность конуса между АД, ДГ будет больше треугольника АДГ 15, 6]. X Если к кругу, являющемуся, основанием конуса, мы проведем каса- тельные, лежащие в одной плоскости с кругом и пересекающиеся между собой, а затем полученные точки касания и пересечения касательных соединим прямыми с вершиной конуса, то треугольники, заключаю- щиеся между касательными и прямыми, соединяющими с вершиной конуса, будут больше отсекаемой ими части конической поверхности. Пусть будет конус, основанием которого является круг АВГ {рис. 11}, а вершиной — точка Е; к кругу АВГ проведем касатель- ные АД и ГД, расположенные в той же самой плоскости, и вершину конуса Е соединим с точками А, А, Г прямыми ЕА, ЕА, ЕГ. Я утвер- ждаю, что треугольники ААЕ, АЕГ**) будут больше конической поверх- ности, находящейся между прямыми АЕ, ГЕ и дугой АВГ. • На основании предложения Vf. •* То есть сумма этих треугольников.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 105 Разделим дугу ЛВГ в точке В пополам и проведем к кругу касательную HBZ, параллельную АГ; точки Н, Z соединим с Е пря- мыми НЕ, ZE. И так как прямые ДН, AZ, взятые вместе, боль- . ше HZ, то добавим к обеим НА, ZF, тогда АД и ДГ вместе будут боль- ше АН, HZ, ZE АД + ДГ > АН 4- HZ + 2Г Так как АЕ, ЕВ, ЕГ суть образующие*) конуса, то они равны между собой, поскольку конус равнобедренный; точно так же они перпенди- кулярны**); [прямоугольники ?ке между вы- сотами и основаниями вдвое больше соответствую- щих треугольников;] следовательно, треугольни- ки АЕА, ДЕГ будут больше треугольников АНЕ, IIEZ, ZEF, [ибо АП, НГ, ZF меньше ГА, ДА, высоты же у тех и других равны.] [Ясно, что прямая, соединяющая вершину прямого ко- нуса с точкой касания иа основании, будет перпен- дикулярна к касательной.!***) Пусть треугольники АЕА и ДЕГ превышают треугольники АЕП, HEZ, ZET на площадь в. Тогда площадь 0 будет ил и меньше отрезков АП ВК й BZTA (между касательными и окружностью круга), или же не меныпе их. Пусть сначала опа будет пе меныпе. Так как имеются две составленные поверхности, а именно поверхность пирамиды с основанием — трапецией HAFZ и вершиной Е и коническая поверхность междуАЕ, ЕГ вместе с сегментом АВГ, и обе они Рис. 11. имеют одну и ту же границу — периметр треугольника ЛЕГ, то ясно, что поверхность пирамиды за вычетом треугольника /ХЕГ будет больше конической поверхности вместе с сегментом АВГ. Отнимем общий сег- мент ЛВГ; тогда оставшиеся треугольники АЫЕ, HEZ, ZET вместе с отрезками по краям ЛПВК, BZTA будут больше конической поверх- ности между прямыми АЕ, ЕГ. Но площадь 0 не менее отрезков АПВК, BZTA; значит, и подавно треугольники АНЕ, HEZ, ZET вместе с 6 будут больше конической поверхности между ЛЕ, ЕГ. Но треугольники АНЕ, HEZ, FEZ вместе с 0 равны треугольни- кам АЕД, ДЕГ; значит, треугольники АЕА, ДЕГ больше упомянутой конической поверхности. Пусть теперь 0 будет меньше этих отрезков по краям. Тогда, точно так же описывая все время около сегментов много- угольники, разделяя пополам остающиеся по краям дуги и проводя касательные, мы придем к некоторым отрезкам, которые будут меньше площади 0. Пусть полученные такие отрезки будут АМК, KNB, ВЕЛ, ЛОГ, которые вместе меньше площади 0. Соединим полученные точки с Е. Тогда опять ясно, что треуголь- ники АНЕ, HEZ, ZET, взятые вместе, больше треугольников АЕМ, MEN, NEE, ЕЕО, ОЕГ, [ибо основания у первых больше, а высоты оди- наковы]. Кроме того, пирамида, имеющая основанием многоугольник •) Буквально: стороны (лХЕясаО. **) К карательным AH, HZ. Zr. •**) Отмеченная Гейбергом двойная интерполяция.
106 АРХИМЕД AMNHOr, а вершиной Е, точно так же будет, если вычесть тре- угольник АЕГ, иметь поверхность большую, чем коническая поверх пость между /ХЕ, ЕГ, взятая вместе с сегментом АВГ. Отнимем общий сегмент АВГ; тогда оставшиеся треугольники АЕМ, MEN, NEH, ЕЕО, ОЕГ вместе с отрезками по краям АМК, KNB, ВЕЛ, ЛОГ будут больше конической поверхности между АЕ, ЕГ. Но площадь 0 больше упомянутых отрезков по краям; треугольники ясе АЕН, HEZ, ZET, как показано, больше треугольников АЕМ, MEN, NE3, ЕЕО, ОЕГ; значит, и подавно треугольники /ХЕН, HEZ, ZET вместе с площадью 0, то есть треугольники АДЕ, АЕГ, будут больше конической поверхно- сти между прямыми АЕ, ЕГ [6]. XI Рис. 12, Если на поверхности прямого цилиндра имеются две прямые, то поверхность цилиндра между этими прямыми больше параллелограмма, заключающегося между находящимися на поверхности цилиндра пря- мыми и другими, соединяющими их концы. Пусть будет прямой цилипдр, основание которого круг АВ, а противоположное — круг ГА*) {рис. 12}; проведем соединяющие прямые АГ и ВЛ; я утверждаю, что цилиндриче- ская поверхность, отсеченная прямыми АГ, ВД, больше параллелограмма АГВА. Разделим каждую из дуг АВ, ГА пополам в точках Е, Z и проведем соединяющие прямые АЕ, ЕВ, PZ, ZA. Так как АЕ и ЕВ вместе больше АВ, и построенные па них параллелограммы равновы- соки, то параллелограммы, основания которых АЕ и ЕВ, а высота та же, что и у цилиндра, вместе взятые, будут больше параллелограмма АВГА. На сколько же они будут больше? Пусть опи больше на площадь Н. Тогда площадь Н будет или мень- ше плоских сегментов АЕ, ЕВ, TZ, ZA, или же не меньше. Пусть сначала она будет не меньше. Так как отсеченная прямыми АГ, ВД цилиндрическая по- верхность вместе с (сегментами **)) AEB, TZA имеет границей плоскость параллелограмма поверхность, составленная из параллелограммов АГВА, и так как с основаниями АЕ, ЕВ и высотой той же, что у цилиндра, и [плоских фигур] ЛЕВ, BZA, имеет границей (ту же самую) плоскость парал- лелограмма АВА Г, и первая поверхность объемлет вторую, причем обе они выпуклые в одну сторону, то отсеченная прямыми АГ, ВЛ цилиндрическая поверхность вместе с плоскими сегментами AEB, TZA будет больше поверхности, составленной из параллелограммов с осно- ваниями ЛЕ, ЕВ и с той же высотой, что у цилиндра, и из треуголь- ников AEB, TZA. Отнимем общие треугольники АЕВ, TZA; тогда оставшаяся цилин- дрическая поверхность, отсеченная прямыми АГ, ВА, вместе с плоскими сегментами АЕ, ЕВ, TZ, ZA будет больше поверхности, составленной *) dvP'Joig |isv б ЛВ ибхХок. «tnEvavTiov йе ГД-терминология «Начал» Квклица. Мы сказали бы просто- с основаниями ЛВ и ГД- •• ) Сегмент ЛЕВ—сегмент, опирающийся на хорду АВ и содержащий точку К.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 1.07 из параллелограммов с основаниями АЕ, ЕВ и с той же высотой, что у цилиндра. Но параллелограммы с основаниями АЕ, ЕВ и с высотой той же, что у цилиндра, равны параллелограмму АГВА вместе с площадью II; значит, оставшаяся цилиндрическая поверхность, отсеченная прямыми АГ, ВД, будет больше параллелограмма АГВА. Пусть теперь площадь Н будет меньше плоских сегментов АЕ, ЕВ, TZ, ZA. Разделим пополам каждую из дуг АЕ, ЕВ, TZ, ZA в точках 0, К, А, Ми проведем соединяющие прямые А0, GE, ЕК, КВ, ГА, AZ, ZM, МА; [таким образом, от плоских сегментов АЕ, ЕВ, TZ, ZA отнимутся треугольники AGE, EKB, TAZ, ZMA, не меньшие их половин!- Если мы будем действовать так все время, то получатся некоторые сегменты, которые будут меньше площади И. Пусть они получены и будут А0, GE, ЕК, КВ, ГА, AZ, ZM, МА- Тогда подобным же образом докажем, что параллелограммы, основания которых суть AG, GE, ЕК, КВ, а высота —та же, что и у цилиндра, будут больше параллелограммов, основания которых суть АЕ, ЕВ, а высота — та же, что и у цилиндра. И так как цилиндрическая поверхность, отсекаемая прямыми АГ, ВА, вместе с плоскими сегментами AEB, TZA, имеет границей плоскость параллелограмма АГВА, а поверхность, составленная из параллело- граммов, основания которых суть AG, GE, ЕК, КВ, а высота — та же, что и у цилиндра, и из прямолинейных фигур А0ЕКВ, 1AZMA (тоже имеет границей плоскость параллелограмма АГВА, то отсекаемая пря- мыми АГ, ВА цилиндрическая поверхность вместе с плоскими сегмен- тами AEB, I'ZA будет больше поверхности, составленной из параллело- граммов, основания которых суть AG, 0Е, ЕК, КВ, а высота — та же, что и у цилиндра, и из прямолинейных фигур AGEKB, TAZMA)*). Отнимем общие прямолинейные фигуры A0EKB, EAZMA; тогда оста- ток — отсекаемая прямыми АГ, ВА цилиндрическая поверхность вместе с плоскими сегментами АО, 0Е, ЕК, КВ, ГА, AZ, ZM, МА будет боль- ше поверхности, составленной из параллелограммов, основания кото- рых суть AG, GE, ЕК, КВ, ГА, AZ, ZM, МА, а высота — та же, что и у цилиндра. Параллелограммы же, основания которых суть AG, 0Е, ЕК, КВ, а высота — та же, что и у цилиндра, больше параллелограммов, осно- вания которых суть АЕ, ЁВ, а высота та же, что и у цилиндра; значит, и цилиндрическая поверхность, отсекаемая прямыми АГ, ВА, вместе с плоскими сегментами АВ, ОЕ, ЕК, КВ, ГА, AZ, ZM, МА, будет боль- ше параллелограммов, основания которых суть АЕ, ЕВ, а высота — та же, что и у цилиндра. Но параллелограммы, основания которых суть АЕ, ЕВ, а высо- та — та же, что и у цилиндра, равны параллелограмму АГАВ и пло- щади Н; значит, и цилиндрическая поверхность, отсекаемая прямы- ми АГ, ВА, вместе с плоскими сегментами AG, GE, ЕК, КВ, ГА, AZ, ZM, МА будет больше параллелограмма АГВА и площади Н вместе взятых. После же отнятия сегментов AG, GE, ЕК, КВ, ГА, AZ, ZM, МД, меньших площади Н, оставшаяся цилиндрическая поверхность, отсе- каемая прямыми АГ, ВД, будет больше параллелограмма АГВА. *) Оборванный конец фразы восстанавливается Гейбергом_согласмо сделанному в XIII веке латинскому переводу Вильгельма из Мербеке.
408 АРХИМЕД хп Если на поверхности какого-нибудь прямого цилиндра имеются две прямые и от конца этих прямых к кругам, являющимся основаниями цилиндра, проведены некоторые касательные, находящиеся в плоскости оснований и (попарно) пересекающиеся, то параллелограммы, заклю- ченные между касательными и сторонами цилиндра, будут больше поверхности цилиндра между обеими прямыми, находящимися на поверхности цилиндра. Пусть круг АВГ {рис. 13} является основанием некоторого прямого цилиндра, и пусть на поверхности последнего имеются две прямые, концы которых суть А и Г; из то- чек А и Г проведем касательные к кругу, лежащие в его плоскости, и пусть они пересекутся в Н. Вообразим также, что и на другом основании цилиндра из концов тех же самых прямых па его поверхности проведены прямые, касательные к соответ- ствующему кругу. Требуется доказать, что параллелограммы, заключающиеся между касательными и сторонами цилиндра, будут больше поверхности цилиндра, со- ответствующей дуге АВГ. Проведем касательную EZ и из точек Е, Z параллельно оси цилиндра проведем прямые до [поверхности] другого основа- ния; тогда параллелограммы, заключаю- щиеся между АН, ПГ и сторонами ци- линдра, будут больше параллелограм- мов, заключающихся между АЕ, EZ, ZT и боками цилиндра, [ибо ЕН, HZ более EZ, и после прибавления ЛЕ, ZT общих, НА, ИГ взятые вме- сте будут больше АЕ, EZ, ZT вместе взятых]. Тогда пусть площадь К будет то, на сколько первые параллелограммы больше вторых. Поло- вина площади К будет или больше вместе взятых фигур, заключенных между прямыми АЕ, EZ, ZT и дугами АА, АВ, В®, ®Г, или нет. Йусть сначала опа будет больше. Поверхность, составленная из параллелограммов на ЛЕ, EZ, ZT, трапеции AEZT и (трапеции), противолежащей ей на другом основании цилиндра, имеет границей периметр параллелограмма на АГ. Но тот же самый периметр будет границей и поверхности, составленной из поверхности цилиндра, соответствующей дуге АВГ, сегмента АВГ и (сегмента), противо- лежащего ему; таким образом, обе упомянутые поверхности оказывают- ся имеющими одну и ту же границу, которая расположена на плоско- сти, обе они являются выпуклыми в одну сторону и одна из них объем- лет другую и имеет с ней некоторую общую часть; значит, объемлемая поверхность будет меньше. Тогда после отнятия общих сегмента АВГ и противолежащего ему поверхность цилиндра, соответствующая дуге АВГ, будет меныпе поверхности, составленной из параллелограммов на АЕ, EZ, ZT, фигур AEB, BZI' и им противолежащих. Но поверхно- сти упомянутых параллелограммов вместе с упомянутыми фигурами меньше поверхности, составленной из параллелограммов на АН, НГ, (ибо они были бы равны только после прибавления площади К, боль- шей упомянутых фигур]; после этого ясно, что параллелограммы,
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 109 заключающиеся между ATI, ГН и боками цилиндра, будут больше поверхности цилиндра, соответствующей дуге АВГ. Если же половина площади К ле больше упомянутых фигур, то к сегменту проводятся касательные до тех пор, пока остающиеся по краям фигуры не сделаются меньше половины К, и все остальное докажется совершенно так же, как и раньше. После доказанного ясно, что если в равнобедренный конус вписать пирамиду, то поверхность пирамиды за вычетом основания будет меньше конической поверхности, [так как каждый из треугольников, ограничивающих пирамиду, будет меньше конической поверхности, заключенной между сторонами треугольника; значит, и вся поверх- ность пирамиды за вычетом основания будет меньше поверхности конуса, тоже за вычетом основания], и что если около равнобедренного конуса описать пирамиду, то поверхность пирамиды за вычетом осно- вания будет больше поверхности конуса за вычетом основания. Из доказанного также ясно, что если в прямой цилиндр вписать призму, то поверхность призмы, составленная из параллелограммов, меньше поверхности цилиндра за вычетом обоих оснований, [так как каждый параллелограмм призмы меньше соответствующей ему части цилиндрической поверхности], и что если около прямого цилиндра описать призму, то составленная из параллелограммов поверхность призмы больше поверхности цилиндра за вычетом обоих оснований. XIII Поверхность всякого прямого цилиндра аа вычетом оснований равна кругу, радиус которого является средней пропорциональной между сто- роной цилиндра и диаметром его основания. Пусть круг А {рис. 14} будет осно- ванием некоторого прямого цилиндра; пусть прямая ГД равна диаметру круга A, a EZ рав- на стороне цилиндра; пусть Н будет средней пропорциональной между ГД, EZ, и круг В имеет радиус, равный Н; требуется дока- зать, что круг В равен поверхности цилин- дра за вычетом оснований. Действительно, если он не равен, то будет или больше, пли меньше. Пусть сначала он будет, если возможно, меньше. Тогда име- ются две неравные величины, а именно поверхность цилиндра и круг В, и мы можем в круг В вписать равносторонний многоугольник и около пего описать другой Рис. 14. так, чтобы описанный имел ко вписанному отношение, меныпее того, которое поверх- ность цилиндра имеет к кругу В. Нред- ставим себе, что первый многоугольник вписап, а второй описан; около круга А опишем прямолинейную фигуру, подобную той, которая опи- сана около В, и на этой прямолинейной фигуре построим призму; опа, конечно, тоже будет описанной около цилиндра. Пусть периметр пря- молинейной фигуры, описанной около круга А, будет равен КД, пусть прямая AZ равна КД, а ГТ составляет половину ГД; тогда треугольник КДТ будет равен прямолинейной фигуре, описанной около круга А.
ЙО АРХИМЕД [таи как он имеет основание, равное ее периметру, а высоту, равную радиус^7 круга А], параллелограмм жо ИЛ равен (боковой) поверх- ности призмы, описанной около цилиндра, [так как он заключается между стороной цилиндра и прямой, равной периметру основания призмы]. Отложим прямую ЕР, равную EZ; тогда треугольник ZPA будет равен параллелограмму ЕЛ, а, следовательно и (боковой) поверхности призмы. И так как описанные около кругов А и 13 прямо- линейные фигуры подобны, то [эти фигуры] будут иметь то же самое отношение, что и квадраты на радиусах; значит, треугольникКТД будет относиться к прямолинейной фигуре, описанной около круга В, как квадрат на ТА к квадрату на 11, [ибо ТД и Н равны радиусам соответ- ствующих кругов]. Но отношение квадрата на ТД к квадрату на Н равно отношению линий ТД и PZ. тдз тд Н2 “ PZ [ибо Н, будучи средней пропорциональной для ГД и EZ, будет также средней пропорциональной и для ТА и PZ. Это по следующей причине: так как ДТ равна ТГ, а РЕ равна EZ, то ГД вдвое больше ТД, a PZ вдвое больше РЕ; значит, как ДГ (относится) к ДТ, так будет и PZ к ZE. Следовательно, произведение ГД и EZ равно произведению ТД и PZ. Но произведение ГД и EZ равно квадрату 11; значит, и произве- дение TA, PZ равно квадрату Н. Следовательно, как ТД к Н, так будет и Н к PZ; значит, как ТД к PZ, так и квадрат ТД к квадрату И, ибо если имеются три прямые в непрерывной пропорции, то первая будет относиться к третьей, как фигура, построенная па первой, относится к фигуре, подобной и подобно построенной на второй прямой*)]; отно- шение же липин ТД и PZ равно отношению (площадей) треугольни- ков КТД и PAZ, [ибо КД и AZ равны]; следовательно, треугольник КТД будет относиться к прямолинейной фигуре, описанной около кру- га В, как треугольник ТКД к треугольнику PZA. Значит, треугольник ZAP будет равен прямолинейной фигуре, описанной около круга В; таким образом, (боковая) поверхность призмы, описанной около цилин- дра Л, будет равна прямолинейной фигуре, описанной около круга В. И поскольку прямолинейная фигура, описанная около круга В, к фигу- ре, вписанной в этот же круг, имеет отношение, меньшее того, которое поверхность цилиндра А имеет к кругу В, то и (боковая) поверх- ность призмы, описанной около цилипдра, к прямолинейной фигуре, вписанной в круг В, будет иметь отношение меньшее, чем (боковая) поверхность цилипдра к кругу В; и после перестановки (боковая поверхность призмы к боковой поверхности цилиндра будет иметь отно- шение мепыпее, чем вписанная в круг В фигура к кругу В), а это невозможно, [ибо доказано, что поверхность призмы, описанной около цилиндра, больше поверхности цилиндра, а вписанная в круг В фигура меньше круга В]. Таким образом, круг В не будет меньше (боковой) поверхности цилипдра. Пусть теперь, если возможно, он будет больше. Тогда опять вообра- зим прямолинейную фигуру, вписанную в круг В, и другую, описан- ную около пего таким образом, чтобы описанная имела ко вписанной отношение меньшее, чем круг В к поверхности цилиндра; в круг А впишем многоугольник, подобный вписанному в круг В, и на много- *) Из пропорции а : Ъ=Ъ : с следует а : с — ай : б2.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 111 угольнике, вписанном в этот круг (А), построим призму. Пусть опять прямая КД будет равна периметру прямолинейной фигуры, вписанной в круг А, и ZA равна КД. Тогда треугольник КТД будет больше прямо липсйпой фигуры, вписанной в круг А, [так как основанием он имеет ее периметр, а высота его больше перпендикуляра, опущенного из центра на одну из сторон многоугольника], а параллелограмм ЕД равен составленной из параллелограммов поверхности призмы, [так как он заключается между стороной цилиндра и прямой, равной периметру прямолинейной фигуры, являющейся основанием призмы]; таким обра- зом, и треугольник PAZ будет ранен поверхности призмы. Но так как прямолинейные фигуры, вписанные в круги А и В, подобны, то они относятся друг к другу, как квадраты радиусов соответствующих кру- гов. Но и треугольники КТД, ZPA находятся друг с другом в двойном отношении*) радиусов этих кругов; следовательно, прямолинейная фигура, вписанная в круг А, будет иметь к прямолинейной фигуре, вписанной в В, то же самое отношение, что треугольник КТД к тре- угольнику AZP. По прямолинейная фигура, вписанная в круг А, меньше треуголь- ника КТД; следовательно, и фигура, вписанная в круг В, будет меньше треугольника ZPA, а следовательно, меньше и (боковой) поверхности призмы, вписанной в цилиндр, а это невозможно, [так как прямолиней- ная фигура, описанная около круга. В, имеет ко вписанной фигуре меньшее отношение, чем круг В к (боковой) поверхности цилиндра, и после перестановки (описанная около круга В фигура имеет к кру- гу В меньшее отношение, чем вписанная фигура к боковой поверхно- сти цилиндра). По фигура, описаппая около круга В, больше круга В; значит, вписанная в круг В-фигура больше (боковой) поверхности цилиндра, а следовательно, и (боковой) поверхности призмы]. Итак, круг В будет не больше поверхности цилиндра. Доказано же, что оп и по меньше; значит, он будет ей равен [7]. XIV Поверхность всякого равнобедренного конуса за вычетом основания равна кругу, радиус которого есть средняя пропорциональная между стороной конуса и радиусом круга, являющегося основанием конуса. Пусть будет равнобедренный конус, основа- ние которого круг А {рис. 45}; пусть радиус этого круга будет Г, а сторона конуса Д; пусть Е будет средней пропорциональной между Г и Д, и круг В имеет радиус, равный Е; я утверждаю, что круг В равен поверхности конуса за вычетом основания. Действительно, если оп по равен ей, то бу- дет или больше, или мэньше. Пусть сначала он будет меньше. Тогда имеются две неравные величины — поверхность конуса и круг В, причем большей является поверхность конуса; значит, можно вписать в круг В равносто- ронний многоугольник и описать около него другой, подобный вписанно- му, так, чтобы описанный имел ко вписанному отношение меньшее того, *) То есть как квадраты радиусов.
112 АРХИМЕД которое поверхность конуса имеет к кругу В. Теперь вообразим, что около круга Л описан многоугольник, подобный описанному около круга В, и па многоугольнике, описанном около круга А, построена пирамида, имеющая ту же вершину, что и конус. Так как многоуголь- ники, описанные около кругов Л и В, подобны, то они имеют друг к другу отношение, равное двойному отношению их радиусов, то есть двойному отношению Г и Е, или (отношению) линий Г и А. Но отношение линий Г и А равно отношению многоугольника, описанного около круга Л, к (боковой) поверхности пирамиды, описанной око- ло конуса, [ибо Г равна перпендикуляру, опущенному из центра на одну из сторон многоугольника, а А равна стороне конуса; периметр же упомянутого многоугольника будет общей высотой двух прямоуголь- ников, половины которых соответственно равны многоугольнику, опи- санному около круга А и боковой поверхности пирамиды, описанной около конуса}*). Значит, прямолинейная фигура, описанная около круга А, к прямолинейной фигуре около круга В имеет то же самое отношение, что и к (боковой) поверхности пирамиды, описанной около конуса; таким образом, (боковая) поверхность пирамиды рав- на многоугольнику, описанному около круга В. Теперь так как много- угольник, описанный около круга В, ко вписанному многоугольнику имеет меньшее отношение, чем поверхность конуса к кругу В, то и (боковая) поверхность описанной около конуса пирамиды будет к многоугольнику, вписанному в круг В, иметь меньшее отношение, чем (боковая) поверхность конуса к кругу В, а это невозможно, [ибо доказано, что поверхность пирамиды больше поверхности конуса, тогда как многоугольник, вписанный в круг В, меньше круга BJ. Итак, круг В не будет меньше (боковой) поверхности конуса. Теперь я утверждаю, что он нс будет и больше. Действительно, пусть, если возможно, он будет больше. Тогда опять вообразим много- угольник, вписанный в круг В, и другой, описанный около пего, так, чтобы описанный имел ко вписанному отношение менынее того, которое круг В имеет к (боковой) поверхности конуса, вообразим много- угольник, вписанный в круг А и подобный вписанному в круг В, и по- строим на нем пирамиду, имеющую ту же вершину, что и копус. Теперь так как вписанные в круги А и В многоугольники подобны, то они будут находиться друг к другу в двойном отношении их радиусов; значит, отношение одного многоугольника к другому будет равняться отношению линий Г и А. Но Г имеет к А большее отношение, чем то, которое многоугольник, вписанный вокруг Л, имеет к (боковой) поверх- ности пирамиды, вписанной в конус, [ибо радиус крута Л к стороне конуса имеет большее отношение;, чем перпендикуляр, опущенный из центра на одну из сторон многоугольника, имеет к перпендикуляру, опущенному на эту сторону из вершины конуса]; значит, многоуголь- ник, вписанный в круг А, к многоугольнику, вписанному в В, будет иметь большее отношение, чем к (боковой) поверхности пирамиды; так что (боковая) поверхность пирамиды будет больше многоуголь- ника, вписанного в круг В. Но многоугольник, описанный около кру- га В, имеет ко вписанному мепыцее отношение, чем круг В к (боковой) поверхности конуса; значит и подавно описанный около круга В много *)'В тексте просто xol-voV М -i^oG -fj то» vroXry*ovou та тщлот) T<uv ennprxvei&v. -TaK как 0то темное место наверняка нс принадлежит Архимеду, то я счел себя в праве дать более рас- пространенный и имеющий смысл перевод. ‘ '
о ШЛРИ И ЦИЛИНДРЕ 113 угольник будет к (боковой) поверхности пирамиды, вписанной в конус, иметь меньшее отношение, чем круг В к (боковой) поверхности конуса, а это невозможно, [так как описанный многоугольник больше круга В, (боковая) же поверхность пирамиды в конусе меньше (боко- вой) поверхности копуса]. Значит, круг В не будет больше поверх- ности конуса. Но уже доказано, что он по будет и меньше; значит, он ей равен. XV Поверхность*) всякого равнобедренного конуса имеет к основанию такое же отношение, как сторона конуса к радиусу его основания. Пусть будет равнобедренный конус, основание которого — круг А {рис. 16}; пусть прямая В равна радиусу круга А, а Г равна стороне конуса; требуется доказать, что поверхность конуса имеет к кругу А такое же отношение, как Г к В. Возьмем В — среднюю пропорциональную между В и Г — и построим круг Д, имеющий радиус, равный Е;значит, круг Д будетравен( боко- вой) поверхности конуса; [это доказало п преды- дущем]. Доказано также, что круг Д имеет к кругу А отношение, равное отношению линии Г и В, [ибо каждое из этих отношений равно двойному отношению Е и В, так как круги будут относиться друг к другу, как квадраты на диаметрах или на радиусах, а диаметры относятся, каких половины, или радиусы; последние же равны В и Е]. Теперь ясно, что (боковая) поверхность конуса имеет к кругу А отношение, равное отношению линий Г и В. XVI Если рассечь равнобедренный конус плоскостью, параллельной основанию, то поверхность конуса между обеими параллельными плос- костями будет равна кругу, радиус которого является средней пропор- циональной для стороны конуса между параллельными плоскостями и прямой, равной вместе взятым радиусам обоих кругов, лежащих в параллельных плоскостях. Пусть будет конус, у которого треугольник осевого сечения есть АВГ {рис. 17}; рассечем его параллельной основанию плоскостью: пусть она образует сечение ЛЕ; осью конуса пусть будет ВЦ; построим круг, радиус которого является средней пропорциональной между АЛ и вместе взятыми AZ и ПА; пусть это будет круг 0; я утверждаю, что круг 0 будет равен поверхности конуса, заключенной между ЛЕ и АГ. Действительно, построим круги Л и К так, что радиус круга К квадрирует прямоугольник между ВД, AZ, а радиус круга А квадрирует прямоугольник между ВА, АП; тогда круг Л будет равен (боковой) поверхности конуса АВГ, а круг К — (боковой) поверхности кону- са ЛЕВ. Так как (прямоугольник) между ВЛ, АН равен (прямо- угольнику) между ВЛ, AZ (вместе с прямоугольником) между АД *) Подразумевается боновая поверхность. S Архимед
114 АРХИМЕД и вместе взятыми AZ и АН, ВА- А Н — ВЛ - AZ 4- АД (AZ + ЛИ) вследствие параллельности AZ и АН*), а прямоугольник между АВ, АН квадрируется радиусом круга Л, прямоугольник Рис, 17. между ВД, AZ квадрируется радиусом круга К и (прямоугольник) между ДА и вместе взятыми AZ, АЙ квадрируется радиусом круга ©, то, значит, квадрат на радиусе круга А равен вместе взятым квадратам на радиусах кругов К и 0; таким обра- зом, и круг Л будет равен вместе взятым кругам К, ©. Но кругЛ равен (боковой) поверхности конуса ВАГ, а круг К — (боковой) поверхности конуса ДВЕ; значит, остаток—поверхность конуса между параллельными плоскостями ДЕ, АГ — будет равен кругу 0. [Пусть имеется параллелограмм ВАН [рис. 18}, и пусть ВН будет его диаметр. Рассе- чем сторону ВА в какой-нибудь точке Д и че- рез Д проведем Л© параллельно АП, а через Z проведем КЛ параллельно ВА; я утверждаю, что (прямоугольник) между ВА, АН равен вместе взятым (прямоугольнику) между ВД, AZ (и прямоугольнику) .между АД и вместе взятым AZ, АН. Действительно, так как (прямоугольник) между В А, АН пред- ставляет весь параллелограмм ВИ, (прямоугольник) между ВЛ, AZ—параллелограмм BZ и прямоугольник между ДА и вместе взятыми AZ,AH — гно- мон (ибо (прямоугольник) между ДА, АН представляет параллелограмм КН вследствие равенства «дополнений»**) К© и ДЛ,: а (прямоугольник) между ЛА, AZ — параллелограмм ДА), то, следовательно, весь параллелограмм ВН, то есть (прямо- угольник) между- ВА, АН, равен прямо- рИС1 is. угольнику между ВД, AZ вместе с гномо- ном MNS, который в свою очередь равен прямоугольнику между ДА н вместе взятыми AH, AZ]***). Л е м м ы 1. Конусы, имеющие равные высоты, относятся друг к другу, как основания; имеющие же равные основания относятся, как высоты (Начала, XII, 11, 14). 2. Если цилиндр рассечен плоскостью, параллельной основаниям, то один из получившихся цилиндров относится к другому, как одна из соответствующих осей к другой (Начала, XII, 13). *) Имеем ВЛ АН = Вл-АН -1- ДА-АН и АН : AZ — АВ : Вд, откуда АН-ВД —AB-AZ, т. о. ВЛ•АН — AB-AZ -Г АД-АН = ВД-AZ | АД (AZ !- АН). ** ) — термин «Начал» Евклида (1,43). ** *) Эта теорема, вспомогательная к предложению XVI, является поздпейтей вставкой. Бего- ний имел рукопись Архимеда бея этой теоремы, так как оп дает специальное пояснение к предложе- цю XVI.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 115 3. Конусы, имеющие с цилиндрами одни и те же основания {и рав- ные высоты), имеют друг к другу то же самое отношение, что и цилин- дры (Следует из предложения 10 книги XII «Начал»}. 4. У равных конусов основания обратно пропорциональны высотам-, и конусы, у которых основания обратно пропорциональны высотам, будут равны (Начала, XII, 15). 5. И конусы, диаметры оснований которых относятся, как оси, [то есть как высоты], будут друг к другу в тройном*) отношении диаметров (Начала, XII, 12). Все это доказано предшествующими писателями. XVII верхности к одному ние], то, пию AEZ, так будет и поверхность AEZ к Если даны два равнобедренных конуса и поверхность одного конуса равна основанию другого, а перпендикуляр, опущенный из центра основа- ния первого конуса на сторону, равен высоте {второго конуса), то оба конуса будут равны. Пусть будут дпа равнобедренных конуса АВГ, AEZ {рис. 19}, и пусть основание копуса АВГ равно поверхности конуса AEZ, высо- та же АН равна перпендикуляру К0, опущенному из центра 6 основа- ния на одну из сторон конуса, например ДЕ; я утверждаю, что оба конуса будут равны. Так как основание (конуса) АВГ равно по- (конуса) AEZ, [равные же величины и тому же имеют одно и то же отноше- значит, как основание ВАГ к осиова- ос нова- цию AEZ. Но поверхность конуса относится к своему основанию, как А© к ©К, [ибо доказано, что поверхность всякого равнобедренного конуса иднмгг к основанию то же самое отношение, как сторона конуса к радиусу основания, то | есть как ДЕ к Е©. Но как ЕД к ©А, так будет и Е© к ©К, ЕД Е0 , . од = ек Рис. 19. ибо соответствующие треугольники] имеют] равные углы!. Затем ©К равна АН; значит, основание ВАГ бу- дет к основанию AEZ, как высота AEZ к высоте АВГ. Таким образом, у конусов АВГ, AEZ основания иорциональпы высотам; значит, конус ВАГ равен конусу AEZ. XVIII обратно и [!0- Всякий ромб, составленный из двух равнобедренных конусов, равен конусу, имеющему основание, равное {боковой) поверхности одного из конусов, составляющих ромб, а высоту, равную перпендикуляру, опущен- ному из вершины второго конуса на сторону первого конуса. Пусть будет составленный из двух равнобедренных конусов [рис. 20] ромб АВ ГД, основание которого есть описанный на диаметре ВГ *) То есть в возведенном в третью степень.
116 АРХИМЕД круг, высота же АЛ; возьмем также некоторый другой (конус) ТЮК, имеющий основание, равное (боковой) поверхности конуса АВГ, высоту же, равную перпендикуляру, опущенному из точки А на АВ или на ее продолжение; пусть этот перпендикуляр будет AZ, высота же конуса ©НК будет 0А; тогда ©А равна AZ; я утверждаю, что этот конус будет равен вышеназванному ромбу. Построим другой конус MNE, имеющий основание, равное осно- ванию конуса АВГ, а высоту, равную АА; пусть эта высота будет NO. Так как NO равна АД, то значит — как NO к ДЕ, так и АД к ДЕ. NO АД де” лк Но как АД к ДЕ, так и ромб АВГД к конусу ВГД, АД ромб АВГЛ ЛК “ конус ВГД а как NO к ДЕ, так и конус MNB к конусу ВГД, NO _ конус MNS ЛЕ ~ конус ВГД [ибо основания их равны]; значит, как конус MN3 к конусу ВГД, так и ромб АВГД к конусу ВГД; конус MNE ромб АВГД леону с ВГД — конус ВГД следовательно, конус равен ромбу АВГД. Но так как поверх- ность конуса АВГ равна основанию конуса H0K, то, значит, как поверхность конуса АВГ к его основанию, так и основание конуса H0K к основанию конуса MNE, [ибо основание конуса АВГ равно осно- Рис. 20. ванию конуса MNSJ. Но как поверхность ко- нуса АВГ к его основанию, так будет и АВ к BE, или АД к ZA [вследствие подобия треуголь- ников]; значит, как основание И ©К. к основа- нию MNS, так и АД к AZ. Но АД равна NO [по предположению], а AZ равна ©Л; значит, как основание конуса H0K к основанию конуса MNE, так и вы- сота NO к ©Л. Значит, у конусов Н©К, MN- основания обратно пропорциональны высотам; следовательно, эти конусы равны. Но дока- зано, что конус MNE равняется ромбу АВГД; значит, и конус НОК равен ромбу АВГД. XIX Если равнобедренный конус рассечен пло- скостью, параллельной основанию, затем на полученном круге построен конус, имеющий вершиной центр основания, и образовавшийся ромб отнят от всего конуса, то Окаймление будет равно конусу, имеющему основание, равное поверхности конуса, заключенной между параллельными плоскостями, а высоту, равную перпендикуляру, опущенному из центра основания на одну из сторон конуса. Пусть будет равнобедренный конус АВГ {рис. 21}; рассечем его плоскостью, параллельной основанию; пусть полученное сечение
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 117 будет ДЕ, а центр основания Z; на круге к диаметром ДЕ построим конус, имеющий вершину Z, тогда ромб BAZE будет составлен из двух равнобедренных конусов. Возьмем еще некоторый конус К0А, осно ванис которого равно поверхности (конуса ЛВГ, заключенной) между ДЕ, АГ, а высота равна перпендикуляру ZH, опущенному из точки Z на АВ. Я утверждаю, что если ромб BAEZ вообразить отнятым от кону- са АВГ, то окаймление будет равно ко- нусу ©КЛ. Построим два конуса ММВ, ОПР та- кие, чтобы основание конуса М№ было равпо поверхности конуса ЛВГ, а высота равнялась ZH, [тогда вследствие этого конус MNS будет равен конусу АВГ; действительно, если имеются два равнобед- ренных конуса, у которых поверхность одного конуса равна основанию другого и перпендикуляр, опущенный из центра основания первого конуса на сторону его, равен высоте второго, то оба конуса будут равны], и чтобы основание конуса ОПР было равно поверхности конуса ДВЕ, а высота равнялась ZH; [тогда ко- нус ОПР будет равен ромбу BAEZ, как уже было доказано выше]. Так как по- верхность конуса АВГ складывается из поверхности конуса ДВЕ и той, которая заключается между ДЕ и АГ, и поверх- й ность конуса АВГ равна основанию ко- нуса MNB, поверхность конуса АВЕ равна основанию копуса ОПР, а по- верхность между ДЕ, АГ равна основанию конуса ОКА, то. значит, основание конуса MNS равно (вместе взятым) основаниям конусов ОКА и ОПР. И все конусы имеют одинаковую высоту; значит, ко- нус MN3 равен конусам ОКА и ОПР. По конус MNS равен кону- су ЛВГ, конус же ОПР — ромбу BAEZ; значит, остающийся конус ОКА будет равен окаймлению. XX Если в составленном из равнобедренных конусов ромбе рассечь один конус плоскостью, параллельной основанию, и на полученном круге построить конус, имеющий ту же вершину, что и другой конус, затем полученный таким образом ромб отнять от всего ромба, то окаймление будет равно конусу, имеющему основание, равное поверхности, заключен- ной между параллельными плоскостями, а высоту, равную перпенди- куляру, опущенному из вершины второго конуса на сторону первого конуса. Пусть будет ромб АВ ГД, составленный из равнобедренных конусов {рис. 22}; один из этих конусов рассечем плоскостью, параллельной основанию, и пусть полученное! сечение будет EZ; на круге, описанном на диаметре EZ, построим конус, имеющий вершину в Д; пусть полу ченный ромб будет EBAZ. Вообразим, что он отнят от целого ромба, и построим конус ОКА, имеющий основание, равное поверхности между
118 АРХИМЕД Рис. 22. АГ и EZ, а высоту, равную перпендикуляру, опущенному пл точки Д па прямую ВА или ее продолжение; я утверждаю, что конус 0КЛ будет равеп вышеупомянутому окаймлению. Построим два конуса М.№ и ОПР; пусть основание конуса MNE будет равно поверхности конуса АВГ, высота же равна АН; [тогда, согласно доказанному выше, конус MNE будет равен ром- бу АВГД]; у конуса же 0111’ основание пусть будет равно поверхности конуса EBZ, а вы- сота равна ДП; [тогда точно так же конус ОПР будет равняться ромбу EBAZj. Но подобно (вы- ше доказанному) поверхность конуса АВГ складывается из •Г поверхности конуса EBZ и той, которая заключена мопеду EZ, АГ; поверхность конуса АВГ равна основанию конуса MNE, поверхность копуса EBZ равна основанию конуса ОПР, и но верхность между EZ и АГ равна основанию конуса ОКА; значит, основание конусе MNE равно (вместе взятым) основаниям конусов ОПР и ОКА. Й все эти конусы имеют одинаковую высоту; значит, конус MNS равен конусам 0КЛ, ОПР. Но конус МНЕ равен ромбу АВГД, конус же ОПР равен ром- бу EBAZ; значит, остающийся конус ОКА будет млению. Рис- 23. равен остающемуся окай- XXI круг вписан многоугольник Если в с четным числом равных сторон и в нем проведены б прямые, соединяющие стороны многоугольника, и все парал- лельные какой-нибудь ‘одной из стяги- вающих две стороны этого многоуголь- ника, то все соединяющие {взятые вместе) будут иметь к диаметру круга то же отношение, какое прямая, стя- гивающая число сторон, на единицу меньшее половины всего их числа, име- ет к одной стороне многоугольника. Пусть будет круг АВГД и в него AEZBHOrMNAAK {рис. 23}; проведем соединяющие прямые ЕК, ZA, ВА, HN, ОМ; ясно, что они будут параллельны прямой, стяги- вающей две (смежные) стороны многоугольника; я утверждаю, что все упомянутые прямые (взятые вместе) будут к диаметру круга иметь то ясе отношение, что ГЕ к ЕЛ. Проведем соединяющие прямые ZK, ЛВ, ПА, 0N; тогда ZK будет параллельна ЕЛ, ВЛ параллельна ZK, затем АН параллельна ВЛ ON же АН и ГМ параллельна 0N. . вписан многоугольник
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 119 [Поскольку имеются две параллели ЕА, KZ и проведены две пере- секающие ЕК, АО, то], значит, как ЕЕ к ЕА, так и КЕ к ЕО. ЕВ КЕ ' ' ВА SO’ Но как КЕ к ЕО, так и Z1I к ПО, КВ ZH so “° ио как же Z1I к ПО, так и АП к ПР, 211 лп по _ ПР и как АП к ПР, так и BS к SP, АП ВТ ПР' ‘ ХР и далее, как BS к SP, так и AS к ST, НТ = ДГ ХР ~ ST как же AS к ST, так и НГ к ГТ, AS ПГ ST ' ГТ затем как НГ к ГТ, так и NT к ГФ, ПГ _ NT ГТ ГФ как яге NT к ГФ, так и ©X к ХФ, кг _ ех_ ГФ ' ХФ и наконец, как ©X л ХФ, так и MX к ХГ. ох мх ХФ ХГ [И как все (предыдущие) ко всем (последующим), так и один (из предыдущих) к одному (своему последующему)]; значит, как ЕЕ к ЕА, так и ЕК, ZA, ВА, HN, ОМ (вместе взятые) к диаметру АГ ЕВ EE + BK + Zn-l-nA + BS + SA-f-HT + rN + eX-l-XM ЕК 4- ZA ВД -J-HN 4-ОМ ВА АЕ + НО + ОП + ПР + РГ + ХТ+ТГ + ГФ + ФХЧ-ХГ ' АГ" Но как ЕЕ к ЕА, так и ГЕ к ЕА; значит, как ГЕ к ЕА, так и все ЕК, ZA, ВД, HN, ОМ к диаметру АГ [8]. ГЕ ЕК I- ZA 4- ВД 4- HN4- ОМ ЕЛ ~ АГ ’ XXII Если в круговой сегмент вписан многоугольник, имеющий кроме основания четное число равных сторон, и проведены прямые, параллель- ные основанию сегмента, соединяющие стороны многоугольника, то все проведенные прямые и половина основания будут иметь к высоте сегмен- та то же отношение, какое прямая, соединяющая (конец) диаметр(а) круга со стороной многоугольника, имеет к этой стороне много- угольника. В круге ЛИГА {рис. 24} проведем какую-нибудь прямую АГ и па АГ построим вписанный л сегмент АВГ многоугольник, имеющий кроме основания АГ четное число равных сторон; проведем ZH, ЕО,
120 АРХИМЕД который будут параллельны основанию сегмента; я утверждаю, что ZTI, Е0, АЕ будут к ВВ, как AZ к ZB. ZH + ЕЙ-!- АЕ _ AZ ВВ ZB Опять, так же (как и выше), проведем соединяющие прямые НЕ, Л.&; они, конечно, будут параллельны BZ; тогда, вследствие того же, как KZ к КВ, так и НК кКЛ, и ЕМ к МЛ, и МО к MN, и ВЛ к SN kz нк _ ем _ ме ал КВ ’ кл МЛ "" MN ~ SN [и как все ко всем, так и один к одному); значит, как ZH, Е0, АВ к ВВ, так и ZK к КВ. ZH-bKH+AS ZK bs "кв- Но как ZK к КВ, так и AZ к ZB, zk az кн _ ZB значит, как AZ к ZB, так и ZH, Е0, АЕ к ВВ [8). AZ _ ZH ЬВв+АВ ZB SB ХХШ Пусть АВ ГА будет большой круг шара {рис. 25}, и в него впи- сан равносторонний многоугольник, и пусть число сторон его являет- ся кратным четырех*); пусть АГ, АВ будут (два взаимно перпендику- лярных) диаметра. Тогда если круг АВГА, вмещающий этот много- угольник, будет вращаться около неподвижного диаметра АГ, то- ясно, что окружность этого круга будет перемещаться по поверхности шара, вершины же многоугольника, кроме тех, которые находятся в точках А, Г, будут двигаться по окружности кругов, описанных на *) В подлиннике д.втре<<Юв> олй те-грабое-пусть будет измеряться четверкой. Как замечает ком- ментатор Архимеда, Евтокий, требование, чтобы число сторон вписанного многоугольника было кратным четырех, равносильно требованию, чтобы вес стороны многоугольника двигались только по коническим повсрхиостнм; если бы число сторон многоугольника было кратным только двух, то две средние стороны описывали бы цилиндрическую поверхность, для которой не выведены теоремы, равносильные предложениям XVII—XX.
О 1ПАРВ И ЛИЛИЦДРЕ 121 поверхности сферы и перпендикулярных к кругу АВГД; диаметрами этих кругов будут служить параллельные ВД прямые, соединяющие вершины многоугольника. Стороны многоугольника будут двигаться по некоторым конусам, а именно AZ и AN по поверхности конуса, основанием которого является круг на диаметре ZN, а вершина нахо- дится в точке А; затем ZII, MN будут двигаться ло некоторой кони- ческой поверхности, имеющей основанием круг ла диаметре МП, а вер- шиной — точку пересечения продолжений ZTT и MN друг с другом и с АГ; стороны ВН, МД будут двигаться но конической поверхности, основанием которой является круг на диаметре ВД, перпендикулярный к кругу АВГД, а вершиной — точка, в которой продолжения ВН и ДМ пересекаются между собой и с ГА. Точно так же и в другом полукруге стороны будут двигаться по коническим поверхностям, тоже подобным вышеуказанным. Таким образом, получится некоторая вписанная в шар и ограниченная упомянутыми коническими поверхностями фигу- ра, поверхность которой будет меньше поверхности шара. Если рассечь шар проходящей через ВД и перпендикулярной кругу АВГД плоскостью, то поверхность каждого полушария и поверх- ность вписанной в пего фигуры будут иметь общую границу, лежащую на одной плоскости; действительно, границей обеих поверхностен является окружность круга, построенного па диаметре 13Д и перпенди- кулярного к кругу АВГД; обе эти поверхности будут выпуклыми в одну сторону, причем одна из них объемлется другой поверхностью и плоскостью, заключающей их общую границу. Подобным же обра- зом, и поверхность заключенной во втором полулхарии фигуры будет меньше поверхности полушария. Таким образом, вся поверхность фигуры, заключенной в шаре, будет меньше поверхности шара [9]. XXIV Поверхность фигуры*), вписанной в шар, равняется кругу, радиус которого квадрирует прямоугольник между стороной фигуры и прямой, Рис. 2К. равной всем вместе взятым линиям, соединяющим вершины много- угольника и параллельным прямой, стягивающей две его стороны {рис. 26}. Пусть АВГД будет большой круг шара, и пусть в пего вписан равносторонний многоугольник, число сторон которого есть крат- ное четырех; на этом вписанном многоугольнике; вообразим фигуру, ') О которой шла речь в XXIII.
122 АРХИМЕД вписанную в шар, и проведем соединяющие прямые EZ, II©, ГД, КЛ, MN, параллельные прямой, стягивающей две стороны много- угольника; построим круг Е, радиус которого квадрировал бы прямо- угольник между АЕ и прямой, равной вместе взятым EZ, Н0, ГД, КЛ, MN; я утверждаю, что этот круг будет равен поверхности фигуры, вписанной в шар. Построим круги О, П, Р, 2, Т, Е; пусть радиус- О квадрирует прямоугольник между ЕА и половиной EZ, радиус П квадрирует прямоугольник между ЕА и половиной вместе взятых EZ, II©, радиус Р квадрирует прямоугольник между ЕА и половиной вместе взятых Н© и ГД, радиус 2 квадрирует прямоугольник между ЕА и полови- ной вместе взятых ГД, КЛ, радиус Т квадрирует прямоугольник между АЕ и половиной вместе взятых КА, MN, радиус Е квадрирует прямо- угольник между АЕ й половиной MN. Тогда вследствие этого круг О будет равняться поверхности конуса AEZ, круг II — поверхности конуса, заключающейся между EZ, II©. круг Р — между II©, ГД, круг 2 — между ДГ, КЛ, затем круг Т будет равен конической поверхности между КЛ, MN, и круг Г равен поверхности конуса MBN; значит, все эти круги вместе взятые будут равны поверхности вписанной фигуры. Затем ясно, что радиусы кру- гов О, И, Р, 2, Т, Е квадрируют прямоугольник между АЕидваж ды взятыми половинами EZ, Н©, ГД, КЛ, MN, или просто на EZ, II©. ГД, КЛ, MN; значит, вместе взятые квадраты на радиусах кругов О, II, Р, 2, Т, Е будут равняться прямоугольнику между ЛЕ и все- ми EZ, Н©, ГД, КЛ, MN. По также и радиус круга Е квадрирует прямоугольник между ЛЕ ' и составленной из всех EZ, Н©, ГД, КЛ, MN прямой; значит, радиус круга S квадрирует все вместе взятые квадраты на радиусах кругов С. II, Р, 2, Т, Е, следовательно, круг Е будет равен всем кругам С, II, Р, 2, Т, Е. Но, как показано, круги О, 11, Р, 2, Т, Е взятые вместо равны поверхности вышеупомянутой фигуры; таким образом, круг Е будет равен поверхности рассматриваемой фигуры [9]. XXV Поверхность вписанной в шар фигуры, ограниченной коническими поверхностями, меньше учетверенного большого круга шара {рис. 27}. Пусть АВ ГД будет большим кругом шара, и пусть в него будет вписан равносторонний [и равноугольный]*) многоугольник, число сторон которого есть кратное четырех; вообразим (построенную) на нем фигуру, ограниченную коническими поверхностями; я утверждаю, что поверхность вписанной фигуры будет меньше учетверенного боль- шого круга шара. Проведем El, ©М, стягивающие две стороны многоугольника, и параллельные им ZK, ДВ, НА; построим круг Р так, чтобы его ради- ус квадрировал прямоугольник на ЕА и на прямой, равной всем вместе взятым El, KZ, ВЛ, НА, ©М. ряд. Г)2---еа (Ei+kz+вд+нл ’ ем} Тогда, согласно доказанному выше, этот кру!' будет равен поверхности *) В подлиннике 'ccQTioytoviv—четноугольный.
II ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 123 упомянутой фигуры. Но поскольку доказано, что прямая, рапная всем El, KZ, ВД, HA, 0М, относится к диаметру АГ круга, как ГЕ к ЕА, ля + zk -i- ва + ил+ем __ ГЕ АГ ЕА то, значит, прямоугольник па прямой, равной всем упомянутым вместе взятым, и на ЕА, или квадрат па радиусе круга Р, будет равен прямоугольнику между АГ и ГЕ. Но прямоугольник между АГ, ГЕ меньше квадрата на АГ, зна- чит, и квадрат на радиусе Г’ меньше квадрата на АГ; [значит, радиус круга Р будет меньше АГ; таким образом, диаметр круга Р меньше удвоенного диаметра круга АВГД; следовательно, два диаметра круга АВГД больше диаметра круга Р, и учетверенный квадрат на дна метре круга АВГД, то есть АГ, больше квадрата па диаметре круга Р. Но как учетверенный квад- рат АГ к квадрату на диаметре круга Р, так будут и четыре круга АВГД к кругу Р; значит, четыре, круга АВГД •больше круга PJ; значит, круг Р мень- ше учетверенного большого круга. Но круг Р, по доказанному, равен по- верхности вышеупомянутой фигуры; значит, поверхность этой фигуры бу- дет меньше учетверенного большого круга шара [9[. XXVI Вписанная в шар фигура, ограничен- ная коническими поверхностями, равна конусу, имеющему основанием круг, рав- ный поверхности фигуры, вписанной в шар, а высотой прямую, равную перпен- дикуляру, опущенному из центра шара на одну из сторон многоугольника. Пусть будет шар, в нем большой круг АВГД {рис. 28} и все остальное, как выше; пусть будет прямой конус Р, имеющий основанием поверхность вписанной в шар фигуры, а высоту. равную перпендикуляру, опущенному из центра шара на одну из сторон многоугольника; требуется доказать, что конус Р равен вписанной в шар фигуре. На кругах, диаметры которых ZN, НМ, 0А, ГК, построим конусы, имеющие вершину в центре шара; получится телесный ромб, состав- ленный из копуса, основание которого есть построенный на диаметре ZN круг, вершина же — точка А, и из конуса, основанием которого является тот же самый круг, вершиной же точка X; он будет равен конусу, имеющему основанием поверхность конуса NAZ, высоту же, равную опущенному из X на AZ перпендикуляру. Далее, окаймление ромба, ограничепносповерхностыо конуса, заключающейся между парал- лельными плоскостями, проведенными через ZN, НМ, и двумя кони- ческими поверхностями ZNX, IIMX, будет равно конусу, имеющему основание, равное поверхности конуса между параллельными плоско- стями через МП, ZN, а высоту, равную перпендикуляру, опущенному
124 АРХИМЕД из X на ZH, как это уже было доказано. Затем окаймление конуса., ограниченное конической поверхностью между параллельными пло- скостями через НМ, ВЛ, поверхностью конуса МИХ и кругом па диаметре .ВД, будет равно конусу, имеющему основание, равное поверхности конуса между плоскостями через НМ, ВД, а высоту, равную опущенному из X на ВН перпендикуляру. Подобным же обра- зом и в другом полушарии ромб ХКГ1 и окай- мления конусов будут равны таким же и в та- ком же числе конусам, как и те, которые были рассмотрены выше. Теперь ясно, что и вся впи- санная в шар фигура будет равна всем упомяну- тым конусам. Но конусы эти равны конусу Р, так как конус Р имеет высоту, равную высок; каждого из упомянутых конусов, основание же, равное всем их основаниям. Итак, ясно, что вписанная в шар фигура будет равна построен- ному конусу [9]. XXVII Вписанная в шар фигура, ограниченная коническими поверхностями, будет меньше учетверенного конуса, имеющего основанием большой круг шара, а высоту, равную радиусу шара. Пусть будет конус I* {рис. 29}, равный вписанной в шар фигуре, имеющий основа- ние, равное поверхности вписанной фигуры, а высоту, равную пер- пендикуляру, опущенному из центра шара на одну из сторон впи- санного мн огоугольника; пусть еще будет копус Е, имеющий основание, рав- ное кругу АВГД, а высо- ту. равную радиусу круга АВГД. Теперь, пус Р имеет основание, равное поверхности вп н- саипой в шар фигуры, а высоту, равную перпенди- куляру, опущен гному из X на AZ, и, по доказанному, поверхность вписанной фигуры меньше учетверен- ного большого круга в шаре, то, значит, основа- ние конуса Р будет меньше учетверенного основания конуса Е. Также нуса Е; поскольку же конус Р имеет основание, меныпое учетверен ного основания конуса Е, и высоту, меньшую высоты последнего, то ясно, что и сам копус Р будет меньше учетверенного конуса Е. Но конус Р равен вписанной фигуре; значит, вписанная фигура меньше учетверенного конуса Е [9J. и высота конуса Р меньше высоты ко •гак как ко-
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 125 XXVIII Пусть АВГД {рис. 30] будет большим кругом шара; опишем около круга АВГД равносторонний и равноугольный многоугольник, и пусть число сторон его будет кратным четырех; затем вокруг много- угольника, описанного около круга, опишем еще один охватывающий его круг с тем же центром, что и у круга АВГД. Затем плоскость EZlI(->, в которой находятся многоугольник и круг, будем вращать около неподвижной (оси) ЕН; тогда ясно, что окружность круга АВ ГЛ будет перемещаться по поверхности шара, а окружность круга EZHC-) пойдет но поверхности другого шара, имеющего тот же центр, что и меньший шар, точки касания сторон многоугольника опишут па поверхности мепьшего шара кручи, (плоскости которых) перпендикулярны (плоскости) круга АВГД, углы яге многоугольника, кроме тех, которые при точках Е, Н, пойдут по окружпо стям кругов, начерченных на поверхно- сти большого шара и перпендикуляр- ных кругу' EZHO, а стороны много- угольника будут двигаться ио кониче- ским поверхностям совершенно так же, как и в предшествующем; таким обра зом, фигура, ограниченная копиче -сними поверхностями, будет описана около меньшего шара и вписана в боль- ший. А что поверхность описанной фи- гуры больше поверхности шара, дока- жется так. Пусть КД будет диамет- ром некоторого крута на меньшем шаре, причем К и Д суть точки. в которых (две) стороны описанного многоугольника касаются кру га АВГД. Рассечем шар плоскостью, проходящей через КД (и) пер- пендикулярной к плоскости круга АВГД; тогда топ же плоскостью рас- •сечется и поверхность описанной около шара фигуры. Ясно также, что (обе поверхности отсеченных частей — и шара, и фигуры —) будут иметь одни и те же границы, лежавшие на плоскости, так как границей обеих поверхностей будет окружность круга, построенного на диаметре КД и перпендикулярного к кругу АВГД; затем обе поверхности будут выпуклыми в одну и ту же сторону, и одна из них объемлется другой поверхностью и плоскостью, имекмцеп те же границы; объомлемая поверхность сегмента шара будет меньше поверхности описанной около него фигуры. Подобным же образом и поверхность другого сегмента шара будет меньше поверхности описанной около пего фигуры; следо- вательно, ясно, что и вся поверхность шара будет меньше поверхности описанной около него фигуры [10]. XXIX Поверхность фигуры, описанной около шара, равна кругу, радиус которого квадрирует прямоугольник между одной стороной много- угольника и прямой, равной всем вместе взятым прямым, соединяющим углы многоугольника и параллельным какой-нибудь прямой, стягиваю- щей две стороны многоугольника.
126 АГХНМКД Действительно, фигура, описанная около меньшего шара, будет одновременно вписанной в больший; но доказано, что поверхность вписанной в шар фигуры, ограниченной коническими поверхностями, равна кругу, радиус которого квадрирует прямоугольник между одной стороной многоугольника и прямой, равной всем соединяющим углы многоугольника прямым, параллельным какой-нибудь стягиваю- щей две стороны многоугольника прямой; так что ясно и высказанное выше. XXX Поверхность описанной около шара фигуры больше учетверенного- большого круга в шаре. Пусть будут шар, круг и все остальное так же, как и рапыпе, и пусть круг Л будет равен поверхности заданной фигуры, описанной около меньшего шара [рис. 31}. Так как в круг EZH0 вписан равносторонний многоугольник с четным числом углов, |.то все (вместе взятые) прямые, соединяющие- стороны многоугольника, являясь параллельными Z0, будут иметь, к Z0 то же отношение, как 0К к KZ; значит, прямоугольник между одной стороной многоугольника и прямой, равной всем (прямым), соединяющим стороны многоугольника, будет равен прямоугольнику между Z© и 0К; поэтому радиус круга Л будет квадрировать прямо- угольник между Z© и ©К; значит, радиус круга Л будет больше ОК. Но ©К равна диаметру^круга АВГД, [ибо она в два раза больше ХМ — радиуса круга АВ ГД].^Теперь ясно, что кругЛ, или поверхность фигу- ры, описанной около меньшего шара, будет больше учетверенного- большого круга в этом шаре [101. XXXI Фигура, описанная около меньшего шара, равна конусу, имеющему основанием круг, равный поверхности (фигуры, а высоту, равную радиусу шара. Действительно, описанная около меньшего шара фигура будет одновременно вписанной в больший шар; вписанная же фигура, огра-
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 127 ниченная коническими поверхностями, будет, согласно доказанному, равна конусу, имеющему основанием круг, равный поверхности фигуры, а высоту, равную перпендикуляру, опущенному из центра шара на одну из сторон многоугольника; этот же перпендикуляр равен радиусу меньшего шара; теперь предложенное ясно. С л е д с т в и е Из этого ясно, что описанная около меньшего шара фигура более учетверенного конуса, имеющего основанием большой круг (меньшего} шара, а высоту, равную радиусу (того же} шара. Действительно, так как этой фигуре равен конус, имеющий осно- вание, равное ее поверхности, высоту же, равную [перпендикуляру, опущенному из центра шара на одну из сторон многоугольника, то есть] радиусу меньшего шара, и так как поверхность фигуры, описанной около того же шара, больше учетверенного большого круга в шаре, то, значит, описанная около шара фигура будет более учетверенного кону- са, имеющего основанием большой круг, а высотой радиус шара, так как конус, равный фигуре, будет более учетверенного упомянутого конуса, [так как при равных высотах он имеет более чем в четыре раза большее основание]. XXXII . Если в шар вписана фигура и около него описана другая такая же,, построенная, как и раньше, на подобных многоугольниках, то поверх- ность описанной фигуры к поверхности вписанной будет иметь {отноше- шение, равное} двойному отношению стороны многоугольника, опи- санного около большого круга, к стороне вписанного в тот же круг многоугольника, сама же {описанная) фигура будет иметь ко вписанной тройное отношение*) тех же прямых. Пусть АВГД будет (большим} кругом шара {рис. 32}; в пишем в не- го ранносторопггий многоугольник с числом сторон, кратным четырех. Рис. 32. и опишем другой, подобный вписанному,, так, чтобы стороны'1 опи- санного многоугольника касались круга в серединах дуг, отсекаемых сторонами вписанного многоугольника; пусть в круге, охватывающем описаппый многоугольник, ЕН, Z0 будут взаимно перпендикулярные диаметры, одинаково расположенные с диаметрами АГ, ВД; вообразим *) ТсГесть возведенное в третью степень.
128 АРХИМЕД прямые, соединяющие противоположные углы многоугольника и парал- лельные друг другу и прямой ZBA0. При вращении периметров много- угольников но дугам окружностей около неподвижного диаметра ЕН получатся две фигуры — одна вписанная в шар и другая— около него описанная. Требуется доказать, что поверхность описанной фигуры имеет к поверхности вписанной отношение, равное двойному отноше- нию ЕЛ к АК, сама же описанная фигура имеет ко вписанной отноше- ние, равное тройному тому же самому. Пусть круг М будет равен поверхности фигуры, описанной около шара, а круг N равен поверхности вписанной; тогда радиус круга М будет квадрировать прямоугольник между ЕЛ и прямой, равной всем (прямым), соединяющим углы описанного многоугольника, радиус же круга N будет квадрировать прямоугольник между АК и прямой, равной всем (прямым), соединяющим углы вписанного многоугольни- ка. И так как упомянутые многоугольники подобны, то будут подобны и прямоугольники, построенные на упомянутых линиях, [то есть со- единяющих углы или стороны многоугольников, так что они будут иметь друг к другу то же отношение, как квадраты сторон многоуголь- ников. Но отношение прямоугольников между упомянутыми линиями будет одинаково с двойным отношением радиусов кругов М, Ь1; таким образом, диаметры кругов М, N будут находиться в том же отношении, что и стороны .многоугольников, круги же имеют друг к другу отно- шение, равное двойному отношению диаметров, сами же круги равны поверхностям описанной и вписанной фигур]; отсюда ясно, что поверх- ность фигуры, описанной около шара, к поверхности фигуры, вписан- ной в шар, имеет отношение, равное двойному отношению ЕЛ к АК. Возьмем еще два конуса О, Е; пусть конус Е имеет /юнованием круг Е. равный кругу М, а конус О — круг О, равный кругу N; пусть высота конуса Е будет равна радиусу шара, а высота О равна перпендикуляру, опущенному из центра шара па АК; тогда, [как уже было доказано,] конус Е будет равен фигуре, описанной около шара, а конус О — вписанной. Но так как оба многоугольника подобны, то ЕЛ имеет к ЛК такое же отношение, как радиус шара к опущенному из центра шара на АК перпендикуляру; значит, высота конуса Е имеет к высоте конуса О такое ясс отношение, как ЕЛ к АК. Также и диаметр круга М относится к диаметру круга N, как ЕЛ к АК; значит, диаме- тры оснований конусов Е и О имеют с высотами одинаковое отношение; [значит, конусы этн подобны]; поэтому конус Е к конусу О будет иметь отношение, равное тройному отношению диаметра круга А[ к диаметру круга X. Теперь ясно, что описанная фигура ко вписанной имеет отношение, равное тройному отношению ЕЛ к АК. XXXIII 11 оверхностъ всякого шара равна его учетверенному большому кругу. Пусть будет какой-нибудь шар, и пусть Л — его учетверенный боль- шой круг; я утверждаю, что круг А равен поверхности шара {рис. 331. Действительно, если он не равен, то будет или больше, или меньше. Пусть сначала поверхность шара будет больше круга А. Тогда имеются две неравные величины — поверхность шара и крут А; значит, можно взять две неравные прямые так, чтобы отношение большей к меттыпей было меньше того, в каком поверхность шара находится к кругу (А). Возьмем такие прямые В и Г, и пусть А будет средней пропорциональ-
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 129 Рис. 33. пой между В и Г. Вообразим, что шар рассечен по кругу EZIIO пло- скостью, проходящей через центр; вообразим также вписанный в этот круг и описанный около него многоугольники такие, чтобы описанный был подобен вписанному и чтобы сторона описанного имела к стороне вписанного отношение, меньшее того, которое В имеет к Д; [значит, двойное отношение сторон будет меньше двойного отношения прямых. Но двойное отношение В к Д будет равно отношению В к Г, и двойное отношение стороны описанного многоугольника к стороне вписанного будет отношением поверхности описан- в ной фигуры к поверхности вписанной!; значит, поверхность фигуры, описанной около шара, к поверхности вписанной фигуры имеет меньшее отношение, чем поверхность шара к кругу А, а это не- возможно; действительно, поверхность описанной фигуры больше поверхности шара, поверхность же вписанной фигу- ры меньше круга А, [так как доказа- но, что поверхность вписанной фигуры меныпе учетверенного большого круга в шаре, круг же А равен учетверен- ному большому кругу]. Значит, поверх- ность шара не будет больше круга А. Теперь я утверждаю, что опа не будет и меньше. Действительно, пусть опа будет меньше, если это возможно; таким же образом найдем прямые В и Г так, чтобы В имела к Г отношение, меньшее того, в котором круг А нахо- дится к поверхности шара, и среднюю пропорциональную между В и Г пря- мую Д; затем снова впишем и опишем два многоугольника таких, чтобы сто- рона описанного имела (к стороне впи- санного) отношение, меньшее В к Д, [что будет и после удвоения*) обоих отношений]; таким образом, поверхность верхности вписанной будет иметь отношение меньшее, [чем В к Г. Но В имеет к Г отношение меньшее], чем круг А к поверхности шара, а это невозможно; действительно, поверхность описаппой фигуры боль- ше круга А, а поверхность вписанной меньше поверхности шара. Таким образом, поверхность шара нс будет и меньше круга А. Доказано же, что она и не больше; значит, поверхность шара равна кругу А, то есть учетверенному большому кругу. описанной фигуры к по- XXXIV Всякий шар в четыре раза больше конуса, имеющего основание, равное большому кругу шара, а высоту, равную радиусу шара. Пусть будет некоторый шар и в нем большой круг ДВГД {рис. 34}. Теперь если шар не будет {ровно) в четыре раза больше упомянутого *) То есть возведения в квадрат. 9 Архимед
130 АРХИМЕД конуса, то пусть, если возможно, он будет более чем в четыре раза больше. Пусть будет конус S, имеющий основание, в четыре раза боль- шее круга АВГД, высоту же, ранную радиусу шара; тогда шар будет больше конуса Е. Итак, имеются две неравные величины — шар и конус; значит, можно взять две неравные прямые так, чтобы большая имела к меньшей отношение, меньпгес того, в каком шар находится к конусу S. Пусть это будут К и Ц. Возьмем I и 0 так, чтобы К от I, I от О и 0 от II разнились бы на одно и то же; к - - н вообразим также, что, как и раньше, в круг АВГД вписан многоуголь- ник с числом сторон, кратным четырем, и около него описан другой, подобный вписанному, и пусть сто- К ^•^-'^'"''''^55', рона описанного многоугольника 7 имеет к стороне вписанного отноше- й I \л ние, меньшее того, в котором К бу- Н л/д______________Г\к дет к I. Пусть АГ, ВД будут взаим- \К” Ту по перпендикулярные диаметры. V. /I Если теперь около неподвижного диаметра АГ будем вращать лло- .11* скость, в которой находятся оба мно- гоугольнлка, то лол учатся две фи- гуры, из которых одна будет описа- на, другая же вписана в шар, при- чем отношение описанной фигуры к вписанной будет равняться тройному Рис. 3-4. отношению стороны многоугольника, описанного около круга АВГД к сто- роне вписанного в него. По сторона к стороне имеет отношение, мень- шее чем К к I; значит, описанная фигура имеет к вписанной отноше- ние, меньшее тройного отношения К к I. Но отношение К к Н больше тройного отношения К к I; к . к3 Н J» [это ясно из сделанных предположений] £11]. Значит, и подавно опи- санная фигура имеет к вписал нон отношение, меньшее того, которое К имеет к Я. Но К имеет к Н отношение меныпее, чем шар к конусу Е: (зна- чит, описанная фигура имеет к вписанной отношение меньшее, чем шар к конусу S), и после перестановки (описанная фигура к шару . имеет отношение меныпее, чем вписанная к конусу Е); это же невоз- можно, так как описанная фигура больше шара, вписанная же меньше конуса Е [вследствие того, что конус Е в четыре раза больше конуса, имеющего основание, равное кругу АВГД, а высоту, равную радиусу шара, вписанная же фигура меньше четырежды взятого упомянутого конуса]. Таким образом, шар не будет более чем в четыре раза больше упомянутого конуса. Пусть теперь, если возможно, он будет менее четырежды взятого упомянутого конуса: иными словами, шар будет меньше конуса Е. Возьмем прямые К и Н так, чтобы К была больше II и имела к пей отно- шение меныпее того, в каком копус Е находится к шару, затем постро- им такие же прямые 0 и I, как и раньше. Вообразим многоугольник,
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 131 вписанный в круг АВГД, и другой, описанный около него, такие, что- бы сторона описанного многоугольника имела к стороне вписанного отношение меньшее, чем К к I, и все остальное устроим так же, как и раныпэ. Таким образом, отношение описанной телесной фигуры ко впи- санной будет равняться тройному отношению стороны многоугольника, описанного около круга АВГД, к стороне вписанного. Но сторона к стороне имеет отношение меныпее, чем К к I; значит, описанная фигура к вписанной будет иметь отношение, меньшее тройного отно- шения К к I, Но К к Н имеет отношение, большее» тройного отношения К к I; к . кя н гя значит, описанная фигура будет иметь к вписанной отношение мень- шее, чем К к Н. Но К к Н имеет отношение меньшее, чем конус Е к шару: (значит, описанная фигура имеет к вписанной отношение меныпее, чем конус Е к шару); это же невозможно, ибо вписанная фигура меньше шара, описанная же больше конуса Е. Значит, шар не будет меньше четырежды взятого конуса, имеющего основание, равное кругу АВГД, а высоту, равную радиусу сферы. Но доказано, что оп не будет и больше; значит, шар будет равняться упомянутому конусу, четырежды взятому. [С л е д с т в и е]. Из доказанного ясно, что всякий цилиндр, имеющий основанием большой круг шара, а. высоту, равную его диаметру, будет в полтора раза больше шара, и что поверхность его вместе с осно- ваниями будет в полтора, раза больше поверхности шара. Действительно, вышеупомянутый цилиндр в шесть раз больше конуса, имеющего то же самое основание и высоту, равную радиусу шара, а шар, по доказанному, будет в четыре раза больше того же конуса; отсюда ясно, что цилиндр будет в полтора раза больше шара. Затем поверхность цилиндра за вычетом основания, по доказанному, равна кругу, радиус которого является средней пропорциональной между стороной цилипдра. и диаметром его основания, сторона же упомянутого обнимающего сферу цилиндра равна диаметру основания [так что, очевидно, их средняя пропорциональная будет тоже равна диаметру основания]. Далее, круг, имеющий радиусом диаметр осно- вания, будет в четыре раза больше этого основания, то есть боль- шого круга шара. Таким образом, поверхность цилиндра за вычетом оснований будет в четыре раза больше упомянутого круга, а значит, вся поверхность цилиндра вместе с основаниями — в шесть раз больше большого круга. Поверхность же шара в четыре раза больше большого круга; значит, вся поверхность цилиндра в полтора раза больше поверх- ности шара. XXXV Поверхность фигуры, вписанной в сферический сегмент, равна кругу, радиус которого квадрирует прямоугольник, построенный на одной стороне многоугольника, вписанного в соответствующий сегмент большого круга, и прямой, равной всем прямым, параллельным основанию сегмента, вместе с половиной этого основания. Пусть будет шар и в пем сегмент, основанием которого является построенный на АН круг {рис. 35}. [Впишем в шар, как было сказано раньше, фигуру, ограниченную коническими поверхностями); 9*-
132 АРХИМЕД пусть также будут большой круг АП0 и многоугольник АГЕбХАП с четным числом (равных) сторон за исключением стороны АИ; возьмем круг Л, радиус которого квадрирует прямоугольник между стороной АГ и прямой, равной всем EZ, ГД, взятым вместе с половиной основания, то есть АК; (рад. Л)* = ЛГ(Е2 | ГД+АЮ требуется доказать, что этот круг равняется по- верхности вписанной фи- гуры. Возьмем круг М, ра- диус которого квадрирует ” прямоугольник между сто- ' - роной Е0 и половиной EZ; :(’рад.- М)2-=Ев-| EZ ; круг М будет тогда равен поверхности конуса, основанием которого г является круг, построенный на EZ, а вершиной точка 0. Возьмем и дру- гой круг N, радиус которого квадрирует прямоугольник между ЕГ и половиной вместе взятых EZ, ГА; (рад. N)2=Er-|(HZ + rA) •” ‘ он будет равен поверхности конуса между проведенными через EZ, ГД параллельными плоскостями. Так же возьмем еще круг Е, радиус кото- рого квадрирует прямоугольник между АГ и половиной вместе взя- ; тых ГА, АН; (рад. Е)г = ЛГ-^(ГД+АП) он будет равен конической поверхности между параллельными плоско- стями через АН, ГА. Теперь все круги вместе будут равны полной поверхности фигуры и квадраты на их радиусах равны прямоугольнику между одной сторо- ной АГ и прямой, равной EZ, ГД, взятым вместе с ЛК — половиной основания. (рад. М)®+(рад. Юг + (рад. Е)*=АГ (еИЧ-ГЛ + |лн) Но также и радиус круга Л квадрирует ту же самую площадь; значит, круг А будет равен всем кругам М, N, Е (вместе взятым), а следовательно, и поверхности вписанной фигуры. XXXVI Рассечем шар плоскостью, не проходящей через центр; пусть AEZ {рис. 30} будет его большой круг, пересекающий под прямым углом секущую плоскость; в сегмент АВГ впишем равносторонний много- угольник с четным числом сторон за исключением основания АВ. Если, подобно предыдущему, будем вращать фигуру около неподвиж- ной (оси) TZ, то углы А, Е, Л, В будут двигаться по кругам с диамет- рами АЕ и АВ, стороны же многоугольника — по коническим; поверх-
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ ГЗЗ ностям; таким образом, получится ограниченная коническими поверх- ностями телесная фигура, имеющая основанием круг на диаметре АВ и вершину в Г. Подобно предыдущему, эта фигура будет иметь по- верхность, меньшую поверхности охватывающего сегмента; действительно, и фигура, и сегмент име- ют одну и ту же лежащую в плоскости границу, а именно окружность круга, построенного па диа- метре АВ; кроме того, обе поверхности являются выпуклыми в одну и ту же сторону и одна из них объемлстся другой. XXXVII Поверхность вписанной в сферический сегмент. 1ис‘ А ' фигуры -меньше круга, радиус которого равен пря- мой, проведенной из вершины сегмента до окружности круга, являющегося основанием сегмента. Пусть будет шар и в нем большой круг ABEZ (рис. 37]; возьмем сферический сегмент, основанием которого служит описанный на диаметре АВ круг; [впишем затем в шар упомянутую фигуру, а в сегмент круга— многоугольник], и также все остальное, причем ©А будет диаметром шара; затем по- сле проведения АЕ и ©А построим круг М, радиус которого будет равен А0. Требует- ся доказать, что круг М будет больше по- верхности {вписанной) фигуры. Действительно, было доказано, что поверхность фигуры равна кругу, радиус которого квадрирует прямоугольник меж- ду Е 0 и вместе взятыми EZ, ГД, КА, и так- же было доказано, что прямоугольник меж- ду Е0 и вместо взятыми EZ. ГД, КА равен прямоугольнику между ЕД и К©*); Е6 (EZ + Г А + КА) -ЕЛ К© (прямоугольник) же между EzV и К© меныпе (квадрата) па. АО, вл-ке< л«а [то есть (прямоугольника) между Л0 и К©]**). , 1 Теперь видно, что радиус круга, равного поверхности (вписан- ной) фигуры, будет меньше радиуса круга М; следовательно, ясно, что круг М больше поверхности (вписанной) фигуры. XXXVIII Вписанная в сегмент {меньший полушария} фигура, ограничен- ная коническими поверхностями, взятая вместе с конусом, имеющим основание одно и то же с фигурой, а вершину в центре шара, будет равна конусу, имеющему основание, равное поверхности фигуры, а высоту, *) Согласно предложению XXII. * * ) J (ейст нительно, де®~ке-ле > ко- ел.
1А4 АРХИМЕД равную перпендикуляру, опущенному из центра шара на одну из сто- рон многоугольника {образующего вращением фигуру}. Пусть будет шар и в нем большой круг с центром Е и сегмент АВГ, меньший полукруга {рис- 38.}. Подобно предыдущему, в сегмент АВГ впишем многоугольник с четным числом (равных) сторон за исключением АГ; пусть при вращении шара около неподвижной (прямой) ВЛ получится ограниченная коническими поверхностями фигура; па круге с диамет- ром АГ построим конус, имеющий верши- ну в центре (шара), и возьмем конус К, имеющий основание, равное поверхности фигуры, а высотой перпендикуляр, опущен - ный из центра Е па одну из сторон много- угольника. Требуется доказать, что конус К будет равен ограниченной (кониче- скими поверхностями) фигуре, взятой вместе с конусом АЕГ. На кругах с диаметрами ®Н, AZ по- строим конусы, имеющие вершину в точ- ке Е; тогда телесный ромб 1IB0E будет Рис. 38. равен конусу, основание которого равно поверхности конуса HB0, а высота равна перпендикуляру, опущенному изЕ па НВ, окаймление же, ограниченное (конической) поверхностью между параллельными плоскостями, (про- веденными) через П0, ZA и конусами ZEA, НЕ®, будет равно конусу, основание которого равно (конической) поверхности между парал- лельными плоскостями через 110, ZA, а высота равна перпендикуляру, опущенному из Е на ZH. Далее, окаймление, ограниченное (кониче- ской) поверхностью между параллельными плоскостями через ZA, АГ и конусами АЕГ, ZEA, будет равно конусу, основание кото- рого равно (конической) поверхности между параллельными плоско- стями через ZA, АГ, а высота - - перпендикуляру, опущенному из Е на ZA. Теперь (все) вышеназванные конусы будут1 равны рассматривае- мой (вписанной телесной) фигуре вместе с конусом ЛЕГ. Действи- тельно, они имеют высоту, равную перпендикуляру, опущенному из Е на одну- из сторон многоугольника, а основания, равные (вместе) поверхности фигуры AZHB0AT; также и конус К имеет ту же высо- ту и основание, равное поверхности тон же фигуры; значит, этот конус будет равен всем упомянутым конусам. Ио было доказано, что упомя- нутые копусы равны рассматриваемой фигуре вместе с конусом АЕГ; и значит, конус К равен рассматриваемой фигуре вместе с кону- сом АЕГ. С л о д с т в и е Из этого ясно, что конус, имеющий основанием круг, ради- ус которого равен прямой, проведенной из вершины сегмента к окружности круга, являющегося основанием сегмента, а высоту, равную радиусу шара, будет больше упомянутой вписанной фигуры, взятой вместе с конусом (АЕГ). Действительно, упомянутый конус больше конуса, равного рассматриваемой фигуре, взятой вместе с конусом, имеющим то же основание, что и сегмент, а вершину в цент-
О ШАРЕ и ЦИЛИНДРЕ 135 ре шара, иными словами, больше конуса, имеющего основание равным поверхности фигуры, а высоту, равную перпендикуляру, опущенному из центра па одну из сторон многоугольника; в самом деле [как уже было доказано!, основание, первого конуса больше основания второго, и его высота больше высоты второго. XXXIX Пусть будет шар и в нем большой круг АВГ {рис. 39}; пусть прямая АВ отсечет сегмент, меньший полукруга; пусть центр будет в Д; из центра Д до А, В проведем соеди- няющие прямые АД, ДВ и около полу- чившегося сектора опишем многоуголь- ник (с четным числом равных сторон), а около пего круг; тогда последний будет иметь тот же центр, что и круг АВГ. Если вращающийся около непо- движной прямой ЕК многоугольник вернется в исходное положение, то опи- санный круг будет перемещаться по поверхности шара, углы многоуголь- ника опишут окружности с параллель- ными АВ диаметрами, соединяющими углы многоугольника, а точки каса- ния сторон многоугольника с меныпим кругом опишут окружности на меньшем шаре, диаметрами которых будут пря- мые, параллельные АВ, соединяющие эти точки касания и, наконец, стороны многоугольника будут пере- мещаться по коническим поверхностям. Так будет образована огра- ниченная коническими поверхностями описанная фигура, основанием которой будет построенный на Z11 круг. Поверхность упомянутой фигуры будет больше поверхности меньшего сегмента, основанием которого является построенный на АВ круг. Действительно, проведем касательные AM и BN; они будут дви- гаться по конической поверхности, и фигура, образованная много- угольником AM0EANB, будет иметь поверхность большую, чем сфе- рический сегмент, основанием которого является построенный па диаметре АВ круг; [действительно, они имеют одну и ту нее лежащую в одной плоскости границу, а именно круг па диаметре АВ, и сегмент объемлется фигурой]. Но коническая поверхность, образованная ZM, HN, будет больше поверхности, образованной МА, NB; действитель- но, ZM будет больше МА [ибо она стягивает прямой угол], и NH больше NB, а если так, первая поверхность будет больше второй, [как это принято в постулатах]. После этого ясно, что поверхность описанной фигуры будет больше поверхности сегмента в меньшем шаре. Следствие Кроме того, ясно, что поверхность фигуры, описанной около сектора, равна кругу, радиус которого квадрирует прямоугольник между одной стороной многоугольника и всеми прямыми, соеди- няющими углы многоугольника, взятыми вместе с половиной
136 АРХИМЕД основания упомянутого многоугольника, [так как описанная около сегмента фигура является одновременно вписанной в сегмент большо- го шара]; [все это ясно из вышеизложенного]. XL Поверхность описанной около сектора фигуры, больше круга, радиус которого равен прямой, проведенной из вершины, сегмента к окружно- сти круга, являющегося его основанием. Пусть будет шар с большим кругом АВГД и центром Е; опишем около сектора многоугольник AKZ и около последнего круг; пусть будет образована фигура, как и раньше {рис. 40]. Пусть N будет круг, радиус которого квадрирует прямоуголь- ник между одной стороной мпогоуголь- . ника и всеми соединяющими прямыми, взятыми вместе с половиной КА. Но упо- мянутая площадь равняется прямоуголь- нику между MQiiZII; [последняя является высотой сегмента большего шара]; зна- чит, радиус круга N квадрирует прямо- угольник между М0 и IIZ. рад. N)3=Me-HZ По HZ больше, чем Д 3, [которая является высотой меньшего сегмента. Дей- ствительно, если мы проведем соединяю- щую KZ, то она будет параллельной ДА. И АВ параллельна KA, a ZE общая; зна- чит, треугольник ZKH подобен треуголь- нику ДДЕ. Далее, ZK более АД; значит, и ZH больше Да], М8 же равна диаметру ГД; [действительно, проведем соединяю- щую прямую ЕО; поскольку МО равна OZ, а ©Е равна EZ, то, зна- чит, ЕО будет параллельна М©п, следовательно, М© в два раза боль- ше ЕО. Но и ГД в два раза больше ЕО; значит, М0 равна ГД], и прямоугольник между ГД и ДЕ равен квадрату на АД. ГД.ДВ = АД2 Таким образом, поверхность фигуры KZA будет больше круга, радиус которого равняется прямой (АД), проведенной из вершины сег мента к окружности круга, являющегося его основанием, а именно, построенного на диаметре АВ; действительно, круг N равняется поверх- ности фигуры, описанной около сектора. Следствие! Описанная около сектора фигура, взятая вместе с конусом, основанием которого служит круг, построенный на диаметре КА, а вершиной — центр шара, оказывается равной конусу, основа- ние которого равно поверхности фигуры, а высота — перпенди- куляру, опущенному из центра на сторону многоугольника, [которым, конечно, равен радиусу шара, так как описанная около сектора фигура будет и вписанной в сегмент большего шара, имеющего тот же самый центр; сказанное ясно из предыдущего].
о ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 137 Следствие 2 Из этого же ясно, что описанная фигура, взятая вместе с конусом, будет больше конуса, имскяцего основанием круг, радиус которого равен прямой, проведенной от вершины сегмента меньшего шара к окружности круга, являющегося его основанием, а высота равна радиусу (меньшего шара), так как конус, равный фигуре, взятой вместе с конусом, будет иметь основание, большее выше- сказанного круга, высоту же, равную радиусу меньшего шара. XLI Пусть будут опять шар и в нем большой круг, сегмент АВГ, мень- ший полукруга, и центр Д {рис. 41} угольник с четным числом (равных) другой, ему подобный, так, чтобы стороны одного были параллельны сторонам другого, затем около опи- санного многоугольника опишем круг, и пусть подобно предыдущему при вращении обоих кругов (вместе с многоугольниками) около непо- движной прямой НВ образуются фигуры, ограниченные коническими поверхностями. Требуется доказать, что поверхность описанной фигуры имеет к поверхности вписанной отношение, равное двойному отно- шению стороны описанного мно- гоугольника к стороне вписанного, отношение же самих фигур, взятых вместе' с соответствующими конуса- ми, будет равпо тройному тому же отношению. Действительно, пусть будет круг М, радиус которого квадрирует прямоугольник между одной сто- роной описанного многоугольника и всеми прямыми, соединяющими его углы, вместе с половиной EZ; круг М будет равен поверхности описанной фигуры. Затем возьмем другой круг IN, радиус которого квадрирует прямоугольник между од ; впишем в сектор АВГ много- сторон и опишем около него Рис. 41. стороной вписанного многоу- гольника и всеми прямыми, соединяющими его углы, вместе с половиной АГ; и он будет равен поверхности вписанной фигуры. Но упомянутые площади относятся между собой, как (квадраты) на сторонах ЕК и АА [и, следовательно, как многоугольник к многоугольнику, так будет и круг М к кругу N]; теперь ясно, что поверхность описанной фигуры к поверхности вписанной имеет отношение, равное двойному отноше- нию ЕК к АА, [тому же самому, что и у многоугольников]. Пусть будет еще конус Е, имеющий основание, равное кругу М, а высоту, равную радиусу меньшего шара; этот конус равен описанной
i3H АРХИМЕД фигуре вместе с конусом, основанием которого является круг на EZ, а вершина в Д. Пусть будет другой конус О, имеющий основание, равное N, а высоту, равную перпендикуляру, опущенному из Д па АЛ; он равен вписанной фигуре вместо с конусом, основанием которого являет- ся круг на диаметре АГ, вершиной ?ке центр Д; обо всем этом было напи- сано раньше,. Теперь (поскольку!*) ЕК относится к радиусу меньшего шара, как АЛ к перпендикуляру, опущенному из центра [Л] на АЛ; доказано же, что как ЕК к АЛ, так будет и радиус круга М к радиусу круга N [и один диаметр к другому]; тогда получится, что как диаметр круга, являющегося основанием конуса 3, к диаметру круга, являю- щегося основанием конуса О, так и высота конуса 2 к высоте конуса О; [следовательно, конусы подобны]. Значит конус 2 к конусу О имеет отношение, равное тройному отношению одного диаметра к другому. Теперь ясно, что описанная фигура вместе с конусом ко вписанной фигуре с конусом же имеет отношение, равное тройному отношению ЕК к АЛ. XLII Поверхность всякого сферического сегмента., меньшего полушария, равна кругу, радиус которого равен прямой, проведенной из вершины сегмента до окружности круга, являющегося основанием сегмента. Пусть будет шар, в нем большом круг АВГ {рис. 42} и сегмент, меньший полушария, основанием которого является построенный на АГ круг, перпендикулярный к кругу АВГ; возьмем круг Z, радиус которого равен АВ; требуется доказать, что поверхность сегмента АВГ равна кругу Z- Действительно, если они не равны, то пусть эта поверхность будет больше круга Z. Возьмем центр Л и продолжим прямые, соединяющие Д с А и Г. Затем, имея две неравные величины — поверхность сегмента и круг Z — впишем в сектор АВГ равносторонний многоугольник с четным числом сторон и опишем другой, ему подобный, так, чтобы описанный многоугольник имел ко вписанному отношение меньшее, чем отношение поверхности сферического сегмента к кругу Z. После вращения круга, как и раньше, получатся две ограниченные коническими поверхностя- ми фигуры, из которых одпа будет описанной, а другая вписанной, *) Как видно из комментария Евгения, слова «поскгшг.ку» (cnei) в тексте Архимеда, которым ов располагал, не было.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 139 и поверхность описанной фигуры будет относиться к поверхности вписанной, как описанный многоугольник ко вписанному, так как каждое из этих отношений равняется двойному отношению стороны описанного многоугольника к стороне вписанного. Но, (согласно предположению), описанный многоугольник имеет ко вписанному отношение меныпее, чем поверхность упомянутого сегмента к кругу Z, и поверхность описанной фигуры больше поверхности сегмента; сле- довательно, поверхность вписанной фигуры больше круга Z, а это невозможно, так как доказано, что упомянутая поверхность фигуры меньше круга такой величины. Пусть теперь круг (Z) будет больше поверхности (сегмента); тогда опишем и впишем подобные многоугольники, и пусть описанный будет ко вписанному иметь отношение меньшее того, которое круг (Z) имеет к поверхности сегмента*). (Так как многоугольники отно- сятся, как поверхности соответствующих фигур, то поверхность опи- санной фигуры к поверхности вписанной будет иметь отношение, мень- шее отношения круга Z к поверхности сегмента, и следовательно, после перестановки — отношение поверхности описанной фигуры к кру- гу Z будет меньше отношения поверхности вписанной фигуры к поверх- ности сегмента; но так как поверхность вписанной фигуры меньше поверхности сегмента, то и поверхность описанной фигуры должна быть меньше круга Z, а это невозможно). Итак, поверхность сег- мента не будет меньше* **) круга Z. Доказано же, что и не больше***), значит, обе эти поверхности равны. XU11 Далее, если сферический сегмент больше полушария, то его поверх- ность точно так же будет равна кругу, радиус которого равен прямой, проведенной из вершины сегмента к. окружности круга, являющегося его основанием,. Пусть будет шар и в нем большой круг (АВГ) {рис. 43}; вообразим шар рассеченным плоскостью, перпендикулярной к той, Рис. 43. которая проходит через АТ?; пусть сегмент АВА будет меньше полуша- рия и диаметр В Г перпендикулярен к АА; точки В и Г соединим с А ♦) II атам месте текст представляет лакуну» которая заполняется примерно так» как показано в угловатых скобках. **) В тексте ошибочно «больше». ***) В тексте ошибочно «меныпе».
140 АРХИМЕД прямыми ВА и АГ. Пусть Е будет круг, радиус которого равен АВ, a Z — круг, радиус которого ранен АГ, и Н — круг, радиус которого равен В Г; следовательно, круг П будет равен кругам Е, Z*). Но круг II равен всей поверхности тара, [так как он в четыре раза боль- ше круга, построенного на диаметре ВГ], а круг Е равен поверхности сегмента АВД, [это ведь доказано для сегмента, меньшего полушария]; значит, остающийся круг Z будет равен поверхности сегмента А ГД, который уже больше полушария. ,>, • XLIV Всякий сферический сектор равен конусу, имеющему основание, равное поверхности сферического сегмента, соответствующего &тому сектору, а высоту, равную радиусу шара. Пусть будет шар и в нем большой круг АВД {рис. 44} с центром Г: пусть еще будет конус, имеющий основанием круг, равный поверх- • ности (сегмента), соответствующей дуге АВД, и высоту, равную ВГ; требуется доказать, что сектор АВГД будет равен упомянутому конусу. Если это не так, то пусть сектор будет больше конуса; пусть упомя- нутый конус будет 0; тогда, имея две неравные величины — сектор и конус,— найдем две линии Д, Е, и пусть Д будет больше Е и имеет к Е отношение меньшее, чем сектор к конусу. Возьмем еще две. прямые Z, Н та- кие, чтобы Д от Z, Z от Н и Н от Е отличались на равные (отрезки); д-Z=Z-H=H-Е затем около плоского сектора кру- га опишем равносторонний много- угольник с четным числом сторон и впишем в него ему подобный так, чтобы сторона описанного имела к меныпее того, которое Д имеет к Z; затем, подобно предыдущему, вра- щая круг, образуем две фигуры, ограниченные коническими поверх- ностями; тогда описанная фигура, взятая вместе с конусом, имеющим вершину в Г, будет иметь ко вписанной фигуре’с соответствующим кону- сом отношение, равное тройному отношению стороны описанного мно- гоугольника к стороне вписанного. Но сторона описанного много- угольника (к сторопе вписанного) имеет отношение меньшее, чем Д к Z; значит, упомянутые телесные фигуры (описанная ко вписан- ной с их конусами) будут иметь отношение меньшее, чем тройное д отношение Д к Z. Но Д к Е имеет отношение, большее тройного отно- шения Д к Z**); значит, телесная фигура, описаштая около сектора, будет иметь ко вписанной отношение меньшее того, какое прямая Л * ) Действительно, Н = rt • ВГ2 - я (А В2 I • А Г2) — Е -|- Z. *•) См. комментарий [11] к аналогичному месту в предложении XXXIV.
О ШАРЕ If ЦИЛИНДРЕ 141 имеет к Е. А (согласно предположению) Д к Е имеет отношение . . меньшее, чем телесный сектор (АВГД) к конусу 0; значит, телесный сектор (АВГД) к конусу 0 будет иметь отношение большее, чем описанная около сектора фигура ко вписанной. И после перестановки: . (сектор АВГД к описанной фигуре вместе с конусом будет иметь отно- шение большее, чем отношение конуса 0 ко вписанной фигуре вместе с ее конусом); но описанная телесная фигура (вместе с ее конусом) . больше сектора (АВГД)*), и, значит, вписанная в сектор фигура (с ее конусом) будет больше конуса О, а это невозможно; действительно, выше было доказано, что она меньше такого конуса, [имепно имеющего основанием круг, радиус которого равен прямой, соединяющей верши- ну сегмента с (какой-нибудь точкой) окружности круга, являюще- гося основанием сегмента, а высотой — радиус шара; таким же кону- сом будет упомянутый конус 0, ибо основанием он имеет круг, равный . поверхности сегмента, то есть упомянутому кругу, а высота его равна радиусу шара]. Итак, телесный сектор не будет больше конуса 0. Тогда пусть конус 0 будет больше телесного сектора (АВГД). Опять точно так же пусть Д, будучи более Е, имеет к ней отношение, меньшее того, которое конус (0) имеет к сектору (АВГД); затем точно та!£ же возьмем прямые Z и Н так. чтобы их разности были оди- наковы, д z=.z —н=п-в f и пусть сторона многоугольника с четным числом (равных) сторон, описанного около плоского сектора, имеет к стороне такого же вписан- ного отношение, меньшее того, которое Д имеет к Е, [и образуем вокруг телесного сектора соответствующие телесные фигуры]. Теперь точно так же докажем, что описанная около сектора телеспая фигура имеет ко вписанной отношение, меньшее того, которое прямая Д имеет к Е и конус 0 имеет к сектору (АВГД); [таким образом, этот сектор имеет к конусу (0) меньшее отношение, чем вписанная в сектор**) телесная (фигура) к описанной]. Но- сектор больше вписаппой в него фигуры; значит, и конус 0 больше описанной фигуры, а это невозможно; [действительно, доказано, что такой конус меньше этой фигуры, описанной около сектора]; значит, рассматриваемый сектор будет равен конусу 0. . . КНИГА II Архимед желает радости Досифею Ты уже просил меня написать доказательства для тех проблем, формулировки которых я посылал к Конону; при изложении большей части их приходится пользоваться теоремами, доказательства которых я уже послал тебе, а именно; (1) что поверхность всякого шара в четыре раза больше его боль- шого круга, (2) что поверхность всякого сферического сегмента равняется кругу, радиус которого равен прямой, проведенной из вершины сегмента к окружности основания, *) В тексте написано ошибочно «тцтдостос;» (сегмента). •*) В тексте опять ошибочно написано «в сегмент».
142 АРХИМЕД (3) что для, всякого шара цилиндр, имеющий основанием большой круг шара и высоту, равную диаметру шара, и сам будет по величине в полтора рала больше шара, и его поверхность в полтора, раза больше поверхности шара, и (4) что всякий телесный сектор равен конусу, имеющему основа- нием, круг, равный поверхности сферического сегмента, находящегося в этом, секторе*), а высоту, равную радиусу соответствующего шара. В этой, книге я посылаю тебе запись доказательств тех теорем и задач, которые получаются из вышеупомянутых теорем; что же касает- ся тех, решение которых находится при помощи других исследований, а именно относительно спиралей и коноидов, то я постараюсь послать их тебе возможно скорее. Первая из вышеупомянутых проблем была такая. Для заданного шара найти плоскую фигуру, равную поверхности этого шара. Ее решение непосредственно получается из вышеупомянутых теорем: действительно, учетверенный большой круг шара будет плоской фигу- рой и равен поверхности шара. I Вторая задача была такова: для заданного конуса или цилиндра найти шар, разный этому конусу или цилиндру. Пусть Л будет данный конус или цилиндр, а В — шар, равный этому А {рис. 45.}. Возьмем цилиндр TZA, в полтора раза больший ГДЗ НО2 конуса, или цилиндра А, и другой цилиндр, в полтора раза больший ша- ра В; основанием этого цилиндра будет круг па диаметре 110, а ось КЛ равна диаметру шара В; тогда цилиндр Е будет равен цилиндру К. [У равных цилинд- ров основания обратно пропорциональны высотам]; значит, круг Е относится к кругу К, или (квадрат) на ГД к (квад- рату) на Н0, как прямая КЛ к EZ. КА EZ Но КЛ равна П0, [ибо у цилиндра, в полтора раза большего шара, ось равна диаметру шара, а круг К является большим кругом шара]; значит, как (квадрат) на ГД к (квадрату) па Н0. так будет и Н0 к EZ. Рис. 45. газ __ по не» ez Пусть квадрат на II© будет равен прямоугольнику между ГД и МД’; не» = гд ihn тогда как ГД к МЛ7, так и квадрат на ГД к квадрату на Н0, или 110 *) Речь идет, конечно, о сегменте шарм, опирающемся на ту же часть поверхности шара, что сектор.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 143 к EZ, после же перестановки — как ГД к НС), так и НС) к MN, и MN к EZ, гд не мк не ' MN ~ EZ Но обе прямые ГД и EZ даны; значит, Н8 и MN будут двумя средними пропорциональными для двух данных прямых; значит, будут данными и обе Н8, 'MIS. Синтез же задачи производится так: пусть данный копус или цилиндр будет А; требуется найти шар, который был бы равен конусу или цилиндру А. Для конуса или цилиндра Л построим в полтора раза больший ци- линдр, основанием которого будет круг на диаметре ГД, а осью — пря- мая EZ, и возьмем между ГД и EZ две средние пропорциональные П8, MN, так чтобы было — как ГД к НО, так и Н8 к MN и MN к EZ, ГА HO MN не " MN~— EZ и вообразим цилиндр, основанием которого был бы круг на диаметре НО, а ось КЛ равнялась диаметру НС); тогда я утверждаю, что цилиндр Е будет равен цилиндру К. Действительно, поскольку ГД будет к НО, как MN к EZ, ГА МЛ НО ” EZ и после перестановки, ГД к MN, как НС) к EZ, гл = по MN EZ а ПО равна КЛ, [следовательно, как ГД к MN, то есть как квадрат па ГЛ к квадрату на НО, так будет и круг Е к кругу K.J, то, значит, как круг Е к кругу К, так будет и КЛ к EZ, [следовательно, у цилин- дров Е и К основания обратно пропорциональны высотам]; значит, цилиндр Е равен цилиндру К. Но цилиндр К в полтора раза больше шара, диаметр которого 110; значит, и шар, диаметр которого равен ПО, то есть шар В, будет равен данному конусу или цилиндру А [1]. 11 Всякий сферический сегмент равен конусу, имеющему то же осно- вание, что и сегмент., а высотой прямую, которая к высоте сегмента имеет такое же отношение, как вместе взятые радиус шара и высота дополнительного сегмента к высоте дополнительного сегмента. Пусть будет шар и в нем большой круг, диаметр которого АГ (рис. 46); рассечем шар плоскостью, проходящей через BZ и перпенди- кулярной к АГ; пусть центр шара будет 8. Сделаем, чтобы отношение вместе взятых 8А, ЛЕ к ЛЕ равнялось отношению некоторой прямой ДЕ к ТЕ; ел + а к ли АЕ ~ ГЕ кроме того, сделаем, чтобы отношение вместе взятых 8Г, ГЕ к ГЕ равнялось отношению некоторой прямой КЕ к ЕА; Ы'4-ГЕ КЕ ГЕ ЕА'
«44 АРХИМЕД затем на круге с диаметром BZ построим два конуса, имеющих верши нами точки К, Д; и утверждаю, что конус BAZ равен сферическому сегменту при Г, а конус BKZ — сегменту при точке А. Проведем прямые В©, ©Z и вообразим конус, имеющий основанием круг па диаметре BZ и вершину в точке В; пусть еще будет конусМ, имеющий основанием круг, равный поверхности сферического сегмен- та BTZ, то есть круг с радиусом ВГ, а высоту, равную радиусу шара; тогда конус М будет равен телесному сектору BT0Z, как доказано в 1 книге. Поскольку же как ЛЕ к Е Г, так и вместе взятые 0А, АЕ к АЕ, ДЕ НА + АЕ КГ “ АЕ то, «выделяя» дБ - ЕГ (0А + АЕ) — АЕ ГЕ ~ АЕ получим, что как ГД к ГЕ, так и ©А к АЕ, то есть как Г© к АЕ, ГД _ оа _ ге ГЕ ~ "а'Ё А15 а после перестановки — как ДГ к Г©, так ГЕ к ЕЛ; АГ ГЕ ге ел и, «присоединяя», ДГ 4- ГН ГЕ + ЕА ег = ~ АЕ как ©А к ©Г, так и ГА к АЕ, то есть как квадрат на ГВ к квадрату на BE; ед _ га гл-ге гвз ,®Г — ЛЕ ’ЕЛ-ГЕ- BE2 значит, как Д© к Г©, так и квадрат на ГВ относится к квадрату на BE. де гв2 ге" ве» ' ’ ' "
JA /к/ » . ,' । ’.* сЛ%£ *&$* f£$ ом # А'*,л*?**’ ^*«6**^ ’SiT**»?** » A* t#» <^4м)( i А ntur-fi t* Adf члнмг ~* „.-•fj-it Ji » f»*i* irfff 9Tf> j-sft-x,: X-. »'iS^AC fKMfft • • SJW (угл у,*,, e^/*»Ar «Z'-. ! /ч. ‘ f- ’*♦ M f ♦’ »’« 1»- »*»/ •аЦм»,^ v**Z* 5^ t4* <ry><*' ^>v% иЙ> »jr* <::' .7-л> «t«*-# «W *><w"«’5r»»g?4 #*• 4*:W •&*$ •*/’?. I: -xД fc ’7* < <'*.< 7^» »?^,-'^<» r Sk^ar^A^tr ЛЯ* у 4.. * j а Л.Ч5^й* »<« !« .t *«•• if (''/••.j‘. .• »«,?>•• ?*-,-'S’ 1^4! Jfytik &7 /4Г# \ • • -z i "” ** ♦ - v • * j <?\ » л/ /V <£• /^’ /?» > «*’*'<•'«>-, «»f «*<^« <r :: Х^у6>/ '//Kt f >* f- Фотокопия страницы греческой р^укописи, содержащей отрывок сочипепня Архимеда «О шаре и цилиндре». 10 Архимед
146 АРХИМЕД Но ГБ равна радиусу круга М, а БЕ — радиусу круга на диаметре BZ; значит, как А© к 0Г, так будет и круг М к кругу на диаметре BZ. И ©Г равна оси копуса М; значит, как А© к оси конуса М, так и круг М к кругу на диаметре BZ; следовательно, конус, имеющий осно- ванием круг М, а высотой радиус шара, равен телесному ромбу BAZ©, [как доказывается в леммах 1 книги. Или же таким образом: поскольку как А© к высоте конуса М, так и круг М к кругу на диаметре BZ, то, значит, конус М равен коттусу, основанием которого является круг на диаметре BZ, а высотой Д0, ибо у них основания обратно пропор- циональны высотам. Ио конус, имеющий основанием круг па диаметре BZ, а высотой А©, будет равен телесному ромбу BAZ©J. По конус М равен телесному сектору BBZ©; значит, телесный сектор BTZ0 будет равен телесному ромбу BAZ©. Если отнять общий им конус, основанием которого является круг на диаметре BZ, а высотой Е0, то оставшийся конус BAZ будет равен сферическому сегменту BZT. Точно так же докажем, что копус BKZ равен сферическому сег- менту BAZ. Действительно, так как вместе взятые ©Г, ГЕ относятся к ГЕ, как КЕ к ЕА, ОГ + ГЕ _ КЕ ГВ ЕЛ то, значит, после «выделения» «Г КЕ - ЕА ГЕ ЕЛ как КЛ к АЕ, так и ©Г к ГЕ. кд _ ег ЛЕ ” ГЕ Но ©Г равна ©А; значит, после перестановки как КА к А©, так и АЕ к ЕГ; КА лв ле ~ ег отсюда же, «присоединяя», К Л + АО АЕ + ЕГ А.6 ЕГ как К© к ©А, так и АГ к ГЕ, то есть как (квадрат) на ВА к (квад- рату) на БЕ. ке _ лг _ ва*_ «Л — ГЕ — В В® Построим еще круг N, имеющий радиус, равный АВ; он будет, следовательно, равен поверхности сегмента BAZ. Затем вообразим копус N, имеющий высоту, равную радиусу шара; он будет равен телесному сектору B©ZA, как это доказано в первой книге. Поскольку же доказано, что как К© к ©А, так и (квадрат) на ЛВ к (квадрату) на БЕ, то есть как (квадрат) на радиусе круга N к квадрату на радиусе круга с диаметром BZ, или же как круг N к кругу на диаметре BZ, и так как А© равна высоте конуса N, то, значит, как К© к высоте копуса N, так и круг N к кругу на диаметре BZ; значит, конус N, или же сектор B©ZA, будет равен телу B©ZK. Добавим общий конус, основанием которого является круг на диаметре BZ, а высота Е©; тог- да весь сферический сегмент ABZ будет равен конусу BZK, что и тре- бовалось доказать.
о ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 147 Следствие Отсюда ясно, что и вообще сферический сегмент к конусу, имею- щему то же самое основание, что и сегмент, и равную высоту, отно- сится, как вместе взятые радиус шара и высота дополнительного' сегмента относятся к высоте дополнительного сегмента; таким образом,, как ДЕ к ЕГ, так и конус AZB, или сегмент BTZ, к конусу BFZ. При тех же самых предположениях докажем, что конус KBZ рав- няется сферическому сегменту BAZ. Пусть будет конус JN, имеющий основание, равное поверхности шара, а высотой — радиус шара; этот конус равен шару, [ибо как доказано, шар в четыре раза больше кону- са, имеющего основанием большой круг шара, а высотой его радиус. Но и конус N будет в четыре раза больше этого конуса, так как и его основание, и поверхность шара в четыре раза больше соответственно основания второго конуса, и большого круга в шаре]. Поскольку же вместе взятые. О А, АЕ будут к АЕ, как АЕ к ЕГ, 0А + АЕ _ АЕ АЕ ЕГ то, «выделяя» 0А АЕ - ЕГ АЕ — ЕГ и переставляя, получим, что как ©Г к ГД, так и АЕ к ЕГ. ег _ ае Та""" ег Затем, так как КЕ кЕА относится, как вместе взятые 0Г, ГЕ к ГЕ, ке ег + гЕ НА ' ГЕ то, «выделяя» КЕ - ЕЛ = -ОГ- ЛЕ ЕГ и переставляя, получим, что КА к ©Г, то есть к ©А, будет, как АК к ЕГ, КА _ АЕ ел ег то есть как ©Г к ГД. ка ег ел ' гл . После этого, «присоединяя», получим, KA-J-A0 ег + ГА ел лг 10*
148 АРХИМЕД поскольку же А0 равна ©Г, то как К© к ©Г, так и 0Д к ДГ, ке __ед_ ег " дг и вся КД будет к Д©, как Д© к ДГ, кд _ де до ~ дг то есть как К© к ©А; кд ке де ед значит, прямоугольник между ДК и ©А равен прямоугольнику менаду Д© к ©К. дк-ед = доек Далее, так как К© относится к ©Г, как ©Д к ГД, ке = ед ег дг или после перестановки: (К© к ©Д, кап ©Г к ГД), и доказано, что как ©Г к ГД, так и АЕ к ЕГ, ег _ АЕ ГД “ ЕГ . то, значит, как К© к ©Д, так и ЛЕ к ЕГ. _ке_ _ АЕ ед ег Следовательно, как (квадрат), на КД к (прямоугольнику) между К© и ©Л, так и квадрат на АГ к прямоугольнику между АЕ, ЕГ*). КД2 ЛГ2 кд-ле” ае ег Но (прямоугольник) между К© и ©Д, согласно доказанному, равен прямоугольнику менаду КД и А©; значит, как квадрат на КД к прямоугольнику между КД, А©, то есть как КД к А©, так и квадрат на АГ к прямоугольнику между АЕ, ЕГ, то есть к квадрату па ЕВ8. КД АГ® де‘ ев2 Но АГ равна радиусу круга JN; значит, как (квадрат) па радиусе круга N к (квадрату) на BE, то есть как круг N к кругу па диаметре BZ, так и КД к А©, то есть КД к высоте конуса N: значит, конус N, то есть шар, будет ранен телесному ромбу BAZK. [Или же так: посколь- ку круг N относится к кругу на диаметре BZ, как ДК к высоте конуса N, то, значит, конус N будет равняться конусу, основанием которого является круг на диаметре BZ, а высота ДК, так как у обоих основания обратно пропорциональны высотам. Но последний конус равен телес- *) Ото равенство может быть получено так. Из иропорцнп ке: ОД-- АН: ЕГ получаем сна- чала «присоединением» (Кб 4- ОД) : ед = (АТС 4 КГ): ГЕ Возводим оба члена к квадрат; КД2 : Д02 = АГ2 : ГЕ2. (I ) Первоначальную пропорцию КеЧИЛ—ЛЕгЕГ мы можем предотаппть в виде (ке-ел) : еД« = (АЕ-ЕГ) : ЕГ®. (2) Теперь на сравнения обеих пропорций (I) и (2) получаем КД® : (ке ед) «= АГ2 : (АЕ- ЕГ) .
О ЩЛРЕ И ЦИЛИНДРЕ 149 ному ромбу BKZA; следовательно, конус N, то есть шар, будет равен телесному ромбу BZKA]. Из конусов, составляющих последний, конус BAZ будет, согласно доказанному, равняться сферическому сегменту BBZ; значит, остающийся конус BKZ будет равен сферическому сег- менту BAZ. III Третья задача была такова: данный шар рассечь плоскостью так, чтобы поверхности, получившихся сегментов находились бы друг к другу в отношении, равном заданному. Пусть это уже сделано; пусть большой круг шара будет АЛВЕ, а его диаметр АВ. Проведем плоскость, перпендикулярную к АВ, и пусть Рис. 48. гл ГВ эта плоскость образует в круге АЛВЕ сечение ДЕ; проведем соединяю- щие прямые АД и ВД. Так как отношение поверхности сегмента ДАЕ к поверхности сег- мента ДВЕ (является данным), и круг, радиус которого равен АЛ, равен поверхности сегмента ДАЕ, а круг, радиус которого равен ДВ, равен поверхности сегмента ДВЕ и упомянутые круги будут друг к другу, как квадрат па А/Х к квадрату па ЛВ, то есть как АГ к ГВ, то, значит, будет данным и отношение АГ к ГВ; следовательно, будет данной и точка Г. Далее, АВ перпендикулярна к ДЕ; значит, будет дана поло- жением и проходящая через ДЕ плоскость. Синтез задачи производится так. Пусть будет шар, у которого большой круг ЛВДЕ и диаметр АВ; и пусть заданное отношение будет тем, которое прямая Z имеет к Н. Разделим АВ в точке Г так, чтобы отношение АГ к ГВ равнялось отношению Z кН; z н через полученную точку Г рассечем шар плоскостью, перпендикуляр- ной прямой АВ; пусть общее сечение будет ДЕ; проведем соединяющие прямые АД и ДВ и построим два круга К, 0 такие, чтобы круг 0 имел радиус, равный ЛА, а круг К — радиус, равный ДВ; тогда круг 0 будет равен поиерхпости сегмента ДАЕ, а круг К — поверхности сегмента ДВЕ, как уже доказано в первой книге. И так как угол АДВ — прямой и ГД — перпендикуляр, то будет, что как АГ к ГВ, то есть как Z к Н,
150 АРХИМЕД так и квадрат па АД к квадрату на ДВ, то есть квадрат на радиусе круга 0 к квадрату на радиусе круга К, то есть как круг 0 к кругу К, и, наконец, как поверхность сферического сегмента ДАЕ к поверхно- сти сегмента ДВЕ. IV Разделить данный шар так, чтобы его сегменты имели друг к дру- гу отношение, равное заданному. Пусть данный шар будет АВГД (рис. 49}; требуется рассечь его плоскостью так, чтобы сферические сегменты имели друг к другу отно- шение, равное заданному. Рассечем его плоскостью через АГ; тогда отношение сферического сегмента АДГ к сферическому сегменту АВГ будет заданным. Рассечем также шар через центр (плоскостью, перпендикулярной к АГ); пусть сечепием будет большой круг АВГД с центром К и диаметром ДВ; затем сделаем так, чтобы вместе взятые КД, ДХ имели к ДХ такое же отношение, как некоторая прямая РХ к ХВ, кд+дх_ рх дх — хв а вместе взятые КВ, ВХ имели к ВХ такое же отношение, как некоторая другая прямая АХ к ХД, кв+вх _ дх ””ВХ ХД* и проведем соединяющее прямые АЛ, АГ, АР, РГ; тогда копус АЛГ будет равен сферическому сегменту АДГ, а копус АРГ — сегменту АВГ; значит, будет заданным и отношение конуса АЛГ к конусу АРГ [2]. Но как один конус относится к другому, так будет относиться и АХ к ХР, [поскольку конусы имеют одно и то же основание — круг на диаметре АГ]; следовательно, отношение АХ к ХР является даппым. (1) . Па основании предыдущего, согласно построению, имеем, что ЛД будет к КД, как КВ к ВР и ДХ к ХВ. АД КВ ДХ КД ВР хв (2) . И так как РВ будет к ВК, как КД к АД, то после «присо- единения» РК будет к КВ, или к КД, как КЛ к ЛД; рв+вк _ кд+лл _ рк кл КВ АЛ КД ЛД \ значит, вся РЛ будет ко всей КЛ, как КЛ к ЛД, РК+КЛ _ РЛ = кл КДт-ДЛ ~ кл ЛД '
О ШАРИ И ЦИЛИНДРЕ 151 и, следовательно, (прямоугольник) между РА, АД равен квадрату на ЛК. Значит, как РЛ к ЛА, так будет и (квадрат) на КА к (квад- рату) на ЛД. гл кла ЛД — ЛА* (3) . И поскольку АЛ будет к ДК, как ДХ к ХВ, лл _ ДХ дк ЙГ то после «обращения» и'«присоединения» будет, как КЛ к ЛД, так и ВД к ДХ, КД4-ЛЛ = вх+хд кл _ вд ЛД ДХ ЛД ДХ [и, значит, как квадрат на КЛ к квадрату на ЛД, так будет и квадрат на ВД к квадрату на ДХ. (4) . Далее, поскольку ЛХ будет к ДХ, гсак вместе взятые КВ, ВХ к ВХ, то после «выделения» — как ЛД к ДХ, так и КВ к ВХ]. лх—хд лд _ кв ДХ " ДХ ВХ (5) . Теперь отложил» прямую BZ, равную КВ; ясно, что (ее конец Z) упадет далее Р, [и получится, что как ЛД к ДХ, так будет и ZB к ВХ; таким образом, как ДЛ к ЛХ, так и BZ к ZX]. (6) . Поскольку же отношение ДЛ к ЛХ является данным, то, значит, будет данным и отношение РЛ к ЛХ. Теперь, так как отношение РЛ к ЛХ составлено из отношений РЛ к ЛД и ДЛ к ЛХ, РА ГА АД ЛХ ' АД ’ ЛХ и РЛ будет к ЛД, как квадрат на ДВ к квадрату па ДХ, ГЛ АВД ЛД - дкд а ДЛ к ЛХ, как BZ к ZX, АЛ _ FZ ЛХ” ZX то, значит, отношение РЛ к ЛХ составится из отношения квадрата на ДВ к квадрату на ДХ и отношения BZ к ZX. гл _ ВД2 BZ лх — ДХ2 их (7) . Сделаем теперь, чтобы отношение РЛ к ЛХ равнялось отно- шению BZ к некоторой прямой Z0. 1’Л ЛХ = ~Й» Но отношение РЛ к ЛХ дано; значит, будет дано и отношение ZB к Z0. Дана также и прямая BZ, ибо опа равна радиусу; значит, будет дан- ной и Z0. Следовательно, отношение BZ к Z0 составляется из отноше- ния квадрата на ВД к квадрату на ДХ и отношения BZ к ZX. BZ ВД2 BZ ZW — ДХ2 ZX Но отношение BZ к Z& сложится из отношений BZ к ZX и ZX к Z0; HZ В7. 7V
152 АРХИМЕД [отбрасываем общее отношение BZ к ZXJ; тогда останется, что (квад- рат) па ВЛ, то есть заданная величина, так относится к квадрату (на) АХ, как XZ к Z0, то есть тоже к заданной величине. ВД2 JCZ ЛХ2 — По прямая ZA дана; следовательно, заданную прямую AZ требуется разделить в точке X так, чтобы отношение XZ к заданной прямой [Z0J равнялось отношению заданной площади [квадрата на BAJ к (квадрату) на АХ. Выраженная в таком общем виде задача требу- ет диоризма*), но при наличии условий, присущих рассматриваемой задаче, [а именно, когда АВ вдвое больше BZ и Z0 меньше ZB, как следует из произведенного анализа], диоризм пе требуется. Итак, дело сводится к такой задаче: Даны, две прямые ВД, BZ, причем ВД вдвое больше BZ, и на прямой BZ дана точка 0; требуется рассечь АВ в некоторой точке X так, чтобы (квадрат) на ВД относился бы к (квадрату) на ДХ., как отрезок XZ к Z0; анализ и синтез этой задачи будут даны в конце. Синтез же основной задачи производится так: Пусть заданное отношение представляется отношением большей прямой П к меньшей S; пусть дан некоторый шар, рассеченный через центр плоскостью, причем в сечении получается круг .АВГД с диаметром ВД и центром К. {рис. 50}. Отложим равную К.В прямую BZ и рас- сечем BZ в точке 0 так, чтобы 0Z относилась к 0В, как П к S, затем рассечем ВД в точке X так, чтобы XZ относилась к 0Z, как (квадрат) на ВД к (квадрату) на ДХ, хи вд» WZ. ДХ2 и проведем через X перпендикулярную к ВД плоскость. Я утверждаю, что эта плоскость так рассечет шар, что больший сегмент будет отно- ситься к меньшему, как прямая II к S. Действительно, сделаем, чтобы вместе взятые прямые КВ, ВХ от- носились к ВХ так же, как ЛХ к ДХ, квт-вх лх вх ~ дх а вместе взятые прямые КД, ДХ относились к ХД, как РХ к ХВ, кд+дх рх хд ” хв ') См. комментарий £2], стр. 483 и сл.
о шаре и ЦИЛИНДРЕ 153 и проведем соединяющие прямые АЛ, Л Г, АР, РГ; тогда, как мы дока- зали в анализе, согласно построению, (прямоугольник) между РЛ, ЛД будет равен (квадрату) на ЛК, рл-лд=лк2 и как КЛ к ЛЛ, так будет п ВА к АХ; КЛ _ вд ЛД ДХ таким образом, 'как (квадрат) на КЛ к (квадрату) на ЛД, так будет и (квадрат), на ВД к (квадрату') на ДХ. кл2 вда ЛД2“ ДХ2" Но так как (прямоугольник) между РЛ и ЛА равен (квадрату) на ЛК [и отношение РЛ к ЛД равно отношению (квадрата) на ЛК к (квадрату) наЛЛ], то получится, что РЛ относится кЛА,как (квадрат) на ВА к (квадрату) на АХ или как XZ к Z0. вл _ ИД2 XZ лд Далее, поскольку вместе взятые КВ, ВХ относятся к ВХ, как ЛХ к ХА, л КВ равна BZ, то, значит, ZX будет к ХВ, как ЛХ к ХА*). ки+ву _ 7Х _ ЛХ ВХ ХВ — хд После «переворачивания»**), как XZ к ZB, так и ХЛ к ЛЛ; хи _ хл ив — ЛД таким образом, как ЛА к ЛХ, так и BZ к ZX. Затем, поскольку РЛ к ЛА, как XZ к Z©, вл хи лд ~ и«' И АЛ к ЛХ, как BZ к ZX, л л _ их ДА Хд. то по равенству в «перемешанной» пропорции***) будет, что как РЛ кЛХ, так и BZ к Z0; гл ни лх ' и<-> и, следовательно, как ЛХ к ХР, так и Z0 к 0В. лх ze лх ze> РЛ-ЛХ“ВХ Z6 ' ХР “ НВ Но как Z0 к ©В, так и П к X; ИН _ II "мВ X и значит, как ЛХ к ХР, то есть как копус АГЛ к конусу АР Г или сфе- рический сегмепт АДГ к сферическому сегменту АВГ, так и прямая П к S. *) ZX=Zm-BX, лх=лд-ьдх. <2 С **) Операция «переворачивания (avcarrcei|’Ctvti)» состоит в том, что ив пропорции —=j- „ а с XZ ХЛ оОразуется Здесь ~ . •**) Си. «Начала», V. 21.
154 АРХИМЕД V Построить сферический сегмент, подобный одному и равный дру- гому, из заданных сферических сегментов. Пусть АВГ и EZII будут два заданных сферических сегмента; пусть у сегмента АВГ основанием будет круг па диаметре АВ, а верши- ной точка Г, и у сегмента EZH основанием будет круг на диаметре EZ, а вершиной точка II. Требуется найти сферический сегмент, который был бы равен сегменту АВГ и подобен сегменту EZH {рис. 51}. Пусть он найден и будет 0КЛ; пусть его основанием будет круг на диаметре ОК, а вершиной точка Л. В соответствующих шарах возь- мем (большие) круги ANBT, ©±КЛ, EOZH; пусть их диаметры TN, ЛЕ, НО будут перпендикулярны к основаниям соответствующих сегментов, а центры находятся в точках П, Р, 2. Сделаем, чтобы отношение вместе взятых прямых nN, NT к NT равнялось отношению некоторой прямой XT к ТГ; пи+хт XT КТ~ —ТГ отношение же вместе взятых РЗ, ЕГ к ЕГ равнялось отношению некоторой прямой ТГ к ГЛ РЕД ВГ _ ЧТ в Г — ГД и отношение вместе взятых 20, ОФ к ОФ равнялось отношению некото- рой прямой НФ к ФН, 2О+ОФ П ! оф чТн и вообразим конусы, основаниями которых будут круги на диаметрах ЛВ, OK, EZ, а вершинами точки X, У, Й; тогда кснус АВХ будет равен сферическому сегменту АВГ, конус W0K равен сегменту ОКА и конус EQZ — сегменту EIIZ; все это уже было доказано. Так как сферический согмепт ЛВГ равен сегменту ОКА, то, значит, и копус ЛХВ будет равен конусу Т ОК; |у равных же конусов основа- ния обратно пропорциональны высотам!; значит, круг на диаметре АВ
О JIIAPE И ЦИЛИНДРЕ 155 будет к кругу на диаметре ©К, как прямая ЧЕ к XT. Но первый круг относится ко второму, как (квадрат) на АВ к (квадрату) на ©К.; значит, как (квадрат) на АВ к (квадрату) па ©К, так будет и ЧЕ к XT. два йка ~ "хт" И так как сегмент EZH подобен сегменту ©КЛ, то, значит, и конус EZQ будет подобен конусу Ч©К [это еще будет доказано]*); следова- тельно, как ЙФ к EZ, так будет и ЧЕ к ©К. <гт EZ “«IT Но отношение ЙФ к EZ дано; следовательно, будет дано и отношение ЧЕ к ©К. Пусть это отношение будет таким же, как отношение XT к не- которой прямой А; Ч’Г _ хт нк д’ так как ХТ дана, то, значит, будет дала и А. И поскольку ЧТ к ХТ, или (квадрат) на АВ к (квадрату) на ©К, относятся, как прямые ©К и А, ч’г ав2 _ ек хт — ька ~ Ь то положим (квадрат) на ©К равным (прямоугольнику) между ЛВ и некоторой прямой 1; ОК2=АВ-1 тогда получится, что как (квадрат) на АВ к (квадрату) на ©К, так будет и АВ к I. AB2 АВ ока "" 1 Но доказало, что отношение (квадратов) на АВ и на ©К равно отно- шению ©К и А, и после перестановки отношение АВ к ©К будет равно отношению I к А. АВ I ек ’ а Но как АВ к ©К, так будет ©К к I ав «к ек ’ I [вследствие равенства (квадрата) па ©К (прямоугольнику) между АВ и I]; значит, как АВ к ©К, так и ©К к I и I к А. ав д ек I ек I ' д Следовательно, ©К и I будут двумя средними пропорциональными в непрерывной пропорции между двумя заданными прямыми АВ и А. Л синтез этой задачи производится так. Пусть АВГ будет тот сегмент, которому искомый должен быть равеп, a EZH — тот, кото- рому он должен быть подобен; пусть большие круги соответствующих шаров будут ABTN, EHZO, их диаметры TN, НО и центры П, Z. *) Для нас и, вероятно, длп Архимеда это является очевидным, но Евтокий дает этому поло- жению подробное доказательство. Это объясняется тем, что греки ле имели общего понятия о подобии фигур и определяли его для каждого типа фигур самостоятельно; так, условием подобия сегментов было равенство соответствующих им нейтральных углов, а условием подобия конусов — равенство отношений высот к диаметрам оснований.
156 АРХИМЕД Сделаем, чтобы отношение вместе взятых прямых ITN, NT к NT равня- лось отношению некоторой прямой XT к ТГ, HN-INT XT NT ТГ а отношение вместе взятых SO, Оф к ОФ равнялось отношению неко- торой прямой С2Ф к ФН; хо+оф по» ОЧ> ФН тогда конус ХАВ будет равен сферическому сегменту АГВ, а (конус) ZQE — (сегменту) EHZ. Сделаем, чтобы отношение ЙФ к EZ равня- лось отношению XT к некоторой прямой Л, йф хт EZ л и между двумя заданными прямыми АВ, Д возьмем две средние пропор- циональные 0К, I так, чтобы как АВ к ©К, так и К® к I и I к А; ав _ кн, I ек I а на ®К построим круговой сегмент ©КЛ, подобный круговому сег- менту EZH, затем дополним круг; пусть его диаметр будет AS. После этого вообразим шар с большим кругом Л0ЕК. и центром Р, и через 0К проведем перпендикулярную ЛЕ плоскость; тогда сферический сег- мент, расположенный со стороны Л, будет подобен сферическому сегменту EHZ вследствие того, что подобны и соответствующие кру- говые сегменты. Теперь я утверждаю, что этот сегмент будет также равен сфери- ческому сегменту АВГ. Сделаем, чтобы отношение вместе взятых РЕ, ЕГ к ЕГ равнялось отношению некоторой прямой гГГ к ГЛ; РЕ+5Г _ _ЧТ ЕГ — ГЛ тогда конус Чг0К будет равеп сферическому сегменту ®КЛ. И так как конус ЧГОК подобен конусу ZQE, то значит, как РФ к EZ, то есть как ХТ к А, так и ТТ к 0К; яф _хт _чт EZ “ Д “ ВК а после перестановки и «обращения» получится, что как *РГ к ХТ, так и 0К кА. чт ек хт ~ д’ И так как АВ, К®, I, А составляют (непрерывную) пропорцию, то отношение (квадратов) на АВ и ®К равно отношению ©К к А. лв* ек ек* д Но как ©К к Л, так и "ЕГ к ХТ; ек _ чт д ~ хт и, значит, как (квадрат) на ДВ к (квадрату) на К®, то есть как круг на диаметре АВ к кругу на диаметре ©К, так будет и прямая VY к ХТ; АВ* ЧТ КО* XT ....
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 157 следовательно, конус ХАВ будет равен конусу V0K, так что и сфери- ческий сегмент АВГ будет равен сферическому сегменту 0КЛ. Итак, построен сегмент OKA, равный данному сегменту АГВ и подобный другому данному сегменту EZH. VI Для двух данных сегментов, принадлежащих одному или различ- ным шарам, построить сферический сегмент, подобный одному из дан- ' ных и имеющий поверхность, равную поверхности другого сегмента. Пусть на дугах АВГ и AEZ будут даны два сферических сегмента {рис. 52j, пусть дуге АВГ соответствует тот, которому должен быть в Рис. 52. подобен искомый, а дуге AEZ — тот, поверхности которого должна равняться поверхность искомого. Пусть требуемое будет выполнено и сферический сегмент КАМ подобен сегменту АВГ и имеет поверхность, равную поверхности сег- мента AEZ. Представим себе центры этих шаров и проведем через них плоскости, перпендикулярные к основаниям сегментов, и пусть в сече- ниях с шарами получатся большие круги KAMN, ВАГ0, EZHA, а в се- чениях с основаниями сегментов — прямые КМ, АГ, AZ; пусть AN, В0, ЕН будут диаметры шаров, перпендикулярные к КМ, АГ, AZ, и проведены прямые ЛМ, ВГ, EZ. Так как поверхность сферического сегмента КАМ равна поверх- ности сегмента AEZ, то, значит, круге радиусомЛМ будет равен кругу с радиусом EZ, [ибо поверхности упомянутых сегментов, как было доказано, равны кругам, радиусы которых представляют прямые, про- веденные от вершин сегментов к окружностям оснований], так что прямая МЛ будет равна EZ. Поскольку же сегмент КАМ подобен сег- менту АВГ, то АР будет к PN, как ВП к П0, ар вп pn ~ не тогда после «обращения» NP 6П РА ПВ . . L и «присоединения» NP+PA _ вп+ПВ АР - ВП - '
158 АРХИМЕД NA будет к ЛР, как ©В к ВП. кл ев лр ~ ви Но как РА к ЛМ, так будет и ВП к ГВ, рл вп лм гв [ибо соответствующие треугольники подобны]; значит, как NA кЛМ, или к EZ, так и 0В к В Г. NA NA OB ЛМ KZ ’" ВГ После перестановки {NA к В©, как EZ к ВГ}; _NA __EZ ве _ вг отношение ?ке EZ к ВГ дано, ибо даны обе прямые, следовательпо, будет дано и отношение AN к В©. И прямая В© дана; значит, дана и AN; таким образом, будет дан и соответствующий шар. А синтез производится так. Пусть данные два сферических сегмента будут АВГ, AEZ, причем искомый должен быть подобен сег- менту АВГ и иметь поверхность, равную поверхности сегмента AEZ. Выполним те же самые построения, что и при апализе, и сделаем, чтобы отношение ВГ к EZ равнялось отношению В© к некоторой прямой AN; вг ве EZ - AN на диаметре AN построим круг и вообразим шар с большим кругом AKNM; прямую NA разделим в точке Р так, чтобы NP была к РА, как 0П к ПВ, NP «П РА ПВ поверхность шара рассечем плоскостью, проведенной через Р и перпендикулярной к AN, и проведем соединяющую прямую AM; тог- да круговые сегменты, построенные ла прямых КМ, АГ, будут подобны, так что будут подобны и соответствующие сферические сегменты. И поскольку ©В будет к ВП, как NA к АР ©В _ NA ВП АР' (ибо так получается после «выделения»*)), и как ИВ к ВГ, так и РА к ЛМ, пв РЛ вг — лм то, значит, ©В будет к NA, как ВГ к ЛМ. ©в вг NA — ЛМ Но также было, что как ©В к AN, так и ВГ к EZ; ев вг AN EZ значит, EZ равна ЛМ, так что и круг с радиусом EZ будет равен кругу, радиус которого равен ЛМ. Но круг, имеющий радиусом EZ, равен *) В действительности после «присоединения» (0П4.ПВ) : В11=(МГ+РЛ): ЛР.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 159 поверхности сегмента AEZ, а круг, радиус которого равен ЛМ, равен поверхности сегмента КЛМ (это было доказано в первой книге); зна- чит, и поверхность сегмента КЛМ будет равна поверхности сфериче- ского сегмента AEZ, и сегмент КЛМ подобен сегменту ЛВГ. VI От данного шара отсечь плоскостью сегмент так, чтобы этот сег- мент имел заданное отношение к конусу, имеющему с сегментом одно и то же основание и равную высоту. Пусть дан шар с большим кругом АВГД {рис. 53}; пусть ВД будет его диаметр. Плоскостью, проходящей через ЛГ, требуется рассечь этот шар так, чтобы сферический сегмент ЛВГ имел заданное отно- шение к конусу АВГ. Пусть все это сделано; пусть центр шара будет в точке Е, и пусть отношение вместе взятых ЕД, AZ к AZ будет равно отношению неко- торой прямой HZ к ZB; EA-|-AZ_ HZ Д2 “ ZB тогда конус АГН будет равен сегмен- ту АВГ. Значит, дапо и отношение конуса АН Г к конусу АВГ, а следо- вательно, и отношение прямой HZ к ZB. Но HZ относится к ZB, как вместе взятые ЕД. AZ к AZ; значит, будет данным и отношение вместе взятых ЕД, AZ к AZ, [а также и отношение ЕД к AZ; следовательно, будет дана и AZ,], а также и АГ. И так как вместе взятые ЕД, AZ имеют к AZ отношение большее, чем вместе взятые ЕД, ДВ к ДВ, ЕД+Д2 _ ЕД ] ДВ '' ЛВ и вместе взятые ЕД, ДВ равны утро- енной ЕД, а ВД равна удвоенной ЕД, то, значит, вместе взятые ЕД, AZ имеют к AZ отношение большее, чем три к двум. И отношение вместе взя- тых ЕД, AZ к AZ равно заданному; значит, заданное больше, чем три к двум. Синтез проблемы произво- дится так. Пусть будет дан шар с большим кругом АВГД, диаметром ВД и центром Е {рис. 54], и пусть заданное отношение, равное отношению прямых 0К к КЛ, будет больше, чем три к двум. Но- отношение трех к двул! представляет отношение вместе взятых пря- мых ЕД, ДВ к ДВ; ЕА+ДВ _ 3 ДВ ’ 2 Рис. 54. Л7. при выполнении синтеза отношение должно быть
160 АРХИМЕД значит, ©К будет иметь к КЛ отношение, большее того, которое вместе взятые ЕД, АВ имеют к АВ; ек ЕА+ЛВ кл дв значит, после «выделения»*) ©Л будет иметь к ЛК большее отношение, чем ЕА к АВ. ел Ед лк > дв Сделаем, чтобы отношение ©Л к ЛК равнялось отношению ЕА к неко- торой прямой AZ; ед _ ед лк ~ AZ через полученную точку Z перпендикулярно к. ВД проведем прямую AZB, и через эту прямую ЛГ перпендикулярно к ВЛ проведем плос- кость. Я утверждаю, что сферический сегмент АВГ имеет к конусу АВГ то же отношение, что ©К к КЛ. Действительно, сделаем, чтобы отношение вместе взятых ЕД, AZ к AZ равнялось отношению некоторой прямой HZ к ZB; EA+AZ__HZ AZ~" ZB тогда конус ГАН будет равен сферическому сегменту АВГ. И так как ©К относится к КЛ, как вместе взятые ЕА, AZ к AZ, или как HZkZB, то есть как конус АН Г к конусу АВГ, и конус АН Г равен сферическо- му сегменту АВГ, то, значит, как сегмент ЛВГ к конусу ЛВГ, так будет и ©К к КЛ. VIII Если шар рассечен плоскостью, не проходящей через центр, то боль- ший сегмент имеет к меньшему отношение, которое будет меньше двойного, но больше полуторного отношения поверхности большего сегмента к поверхности меньшего [3]. Пусть будет шар и в пем большой круг АВГА с диаметром ВД {рис. 55); рассечем его плоскостью, проходящей через АГ и перпен- дикулярной к кругу АВГА; пусть больший сегмент шара будет АВГ. Я утверждаю, что сегмент АВГ имеет к АД Г отношение, меньшее двой- ного, но большее полуторного отношения поверхности большего сег- мента к поверхности метшего сегмента. > (ОК—КЛ) : ЛК > ЕЛ : ДВ.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 161 Действительно, проведем соединяющие прямые ВА и АА; пусть центр шара будет Е; сделаем, чтобы отношение вместе взятых ЕА, AZ к AZ равнялось отношению некоторой прямой ©Z к ZB, Ea+az ez az “ zb а отношение вместе взятых ЕВ, BZ к BZ равнялось отношению некото- рой прямой HZ к ZA, KB+BZ HZ bz — za и вообразим конусы, имеющие основанием круг на диаметре АГ, а вер- шины в точках би Н; тогда конус А© Г будет равен сферическому сег- менту АВГ, а конус АГН — сегменту АДГ, и поверхность сегмента АВГ к поверхности сегмента ЛАГ будет относиться, как (квадрат) на В А к (квадрату) па АД; ото уже было написано выше. [Требуется доказать, что больший сферический сегмент имеет к меньшему отно- шение, меньшее двойного отношения поверхности большего сегмента к поверхности меньшего сегмента.] Я утверждаю, что отношение кону- са АВГ к конусу АН Г, или прямой Z© к прямой ZH, будет меньше двойного отношения (квадрата) на В А к (квадрату) на АД, то есть отношения прямой BZ к прямой ZA. Так как отношение вместе взятых ЕЛ, AZ к AZ равно отношению ©Z к ZB, ед+az ez AZ — ZB [и отношение вместе взятых ЕВ, BZ к BZ равно отношению ZH к ZA], то BZ будет к ZA, как ©В к BE, bz _ oz _ ez—bz _ ев ZA E A - j- Л X ЕЛ BE ибо BE равна ДЕ; [все это уже было доказано раньше]. Далее, поскольку отношение вместе взятых ЕВ, BZ к BZ равно отношению IIZ к ZA, KB+BZ HZ bz za то пусть прямая ВК будет равна BE (ясно, что ©В будет больше BE, так как BZ больше ZA); тогда получится, что как KZ к ZB, так и IIZ к ZA. KZ 'HZ “zb _“za“ Но как ZB к ZA, так, согласно доказанному, будет и ©В к BE, zb _ ев za be и BE равна КВ; значит, как ©В к ВК, так и KZ к ZH. 0В^ _ KZ_ ВК ZII И так как ©Z имеет к ZK отношение меньшее, чем ©В к ВК, <->z _ ев zk- ВК а как 0В к ВК, так по доказанному и KZ к ZH, то, значит, ©Z имеет к ZK отношение меньшее, чем KZ к Z1I; ez _к?_ zk < zh 11 Архимед
162 АРХИМЕД значит (прямоугольник) между ©Z, ZH меньше (квадрата) на ZK. az-zh<- zk® Следовательно, (прямоугольник) между ©Z, ZII к (квадрату) па ZH, [то есть Z© к ZII], имеет отношение меньшее того, какое (квадрат) на KZ имеет к (квадрату) на ZII. HZ-ZH KZ* ZH® ZIP [Но (квадрат) на KZ к (квадрату) на ZH имеет (отношение, равное) двойному отношению KZ к ZH]; значит, 0Z имеет к ZIT отно- шение, меньшее двойного отношения K.Z к ZH. AZ , ( KZ “zh \ ZH ) [По K.Z к ZII (будет, как BZ к ZA; значит, ©Z к ZT[) имеет отноше- ние, меныпее двойного отношения BZ к ZA], а это мы и искали. И так как BE равна ЕД, то (прямоугольник) между HZ, ZA меньше (прямоугольника) между BE, ЕД*), BZ-ZA < BE-ЕД значит, ZB имеет к BE отношение меньшее, чем ЕД к AZ, или ©В к BZ; zb вд ев be < az ~ bz значит, (квадрат) на ZB будет меньше (прямоугольника) между 0В, BE или (прямоугольника) между 0В, ВК. ZB2 <ев-вк Пусть (прямоугольник) между 0В, ВК будет равен (квадрату) на некоторой прямой BN; ев - вк В№ тогда как ©В к ВК, так будет и (квадрат) па 0N к (квадрату) на NK**)'. ев ек® Вк"~ NK® Но (квадрат) на ©Z к (квадрату) на ZK имеет большее отношение, чем (квадрат) на ©N к (квадрату) на NK, HZ2 . AN® 7. ><2 '' NK® [и, значит, (квадрат) па ©Z к (квадрату) на ZK имеет отношение большее, чем ©В к ВК, или 6) В к BE, или же KZ к ZH]; значит, ©Z имеет к ZH отношение, большее полуторного отношения KZ к ZII; з AZ ( KZ \2 ZH ' ( ZH / [это (будет доказано) под конец] [4]. Но отношение 0Z к ZH равно отношению конуса АВГ к конусу АНГ, или сегмента АВГ к сегменту АДГ, отношение же KZ к ZII равно отношению BZ к ZA, или (квад- рата) на ВА к (квадрату) па ЛД, или поверхности сегмента АВГ к поверхности сегмента АДГ. Итак, больший сегмент имеет к меньшему отношение, меныпее двойного, но большее полуторного отношения поверхности большего сегмента к поверхности меныпего. *) Геометрически йго равносильно тому, что при равных периметрах площадь киадрата'Судет дольше площади соответствующего прямоугольника. '*) BN : ВК—АВ : BN^(OB+BN) : (BN+ BK)=AN : NK-
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ ieb Иным способом Пусть будет шар с большим кругом АВГД, диаметром АГ и цент- ром Е; рассечем его проходящей через ВД плоскостью, перпендикуляр- ной к АГ {рис- 56}. Я утверждаю, что больший сегмент ДАВ к мень- шему ВГД имеет отноше- ние, меньшее двойного, но большее полуторного от- ношения поверхности сег- мента АВД к поверхно- сти сегмента ВГД. Проведем соединяю- щие прямые /\В и В Г; тогда отношение одной поверхности к другой бу- дет таким же, как отноше- ние круга с радиусом АВ к кругу с радиусом В Г, или отношение прямой АО к ОГ. Положим, что каждая из прямых AZ и ГН будет равна радиусу круга. Тогда отно- шение сегмента ВАД к сегмепту ВГД составляется из того отношения, которое сегмент ВАД имеет к конусу с основанием, равным кругу на диаметре ВД и с вершиной в точке А, затем из того, которое этот копус имеет к конусу с тем же основанием и с вершиной и точке Г и, наконец, из того, которое только что упомянутый конус имеет к сегменту ВГД. сегмент ВАД сегмент ВАЛ кпнус ВЛД кпнус ВГД сегмент ВГД конус ВАЛ конус ВГД сегмент ВГД Но отношение сегмента ВАЛ к конусу ВАЛ есть отношение НО к ОГ, сегмент ВАД Н6 конус ВАЛ “ «Г отношение конуса ВАД к конусу ВГД есть отношение АО к О Г, конус ВАД _ А0 кон ус ВГД —’ 0Г и отношение конуса ВГД к сегмепту ВГД есть отношение АВ к OZ, КОцус ВГА _ АО сегмент ВГА — OZ отношение же, составленное из (отношений) НО к ОГ и АО к ОГ, будет отношением (прямоугольника) между НО, НА к (квадратур на О Г, не ай не-ел ег ег"' era отношение же (прямоугольника) между ПО, ОА к (квадрату) на ©Г, составленное с отношением АН к 0Z, будет отношением (прямо- угольника) между НО, ©А, (умноженного) на ОА, к (квадрату) на О Г, (умноженному) на 0Z, не-ел ле _ (не ель ле ег2 ' ez ’ er«ez а (прямоугольник) между ПО, ©А, (умноженный) на ОА, пред- ставляет (квадрат) па ОА, (умноженный) на ОП. Таким образом, (нужно доказать, что) квадрат на ОА, (умноженный) па ОН, имеет И*
164 АРХИМЕД к (квадрату) на ©Г, (умноженному) па ©Z, отношение, меньшее , двойного отношения А® к ©Г, йа2-йн _ де» era-oz • era [ибо двойное отношение А® к ®Г есть отношение (квадрата) на А® к (квадрату) на ®Г]. Следовательно, (квадрат) на А®, (умножен- ный) на ©Н, к (квадрату) на ®Г, (умноженному) на ®Z, (дол- жен) иметь отношение, меньшее, чем (квадрат) на А®, (умно- женный) на ®П, к (квадрату) на ®Г, (умноженному) на ©Н. АОа.ен ' ЛЙ2-ЙН era-ez - геа-ен Итак, (нужно доказать), что (квадрат) на ®Г, (умноженный) на Z©, больше (квадрата) на ®Г, (умноженного) на ©И, er2-z&> ег2-ен или что ©Z больше 0Н; (последнее же очевидно). Теперь я утверждаю, что больший сегмент имеет к меньшему отно- шение, большее полуторного отношения поверхностей. Ио доказанному, отношение сегментов равно отношению (квад- рата) на Л®, (умноженного) на ©Н, к (квадрату) на Г0, (умноженному) на 0Z, а полуторное отношение поверхностей равпо отношению куба на АВ к кубу на ВГ; итак, я утверждаю, что (квад- рат) па А®, (умноженный) па ©И, к (квадрату) на Г®, (умно- женному) на ©Z, имеет отношение большее, чем [куб па АВ к кубу на ВГ, или чем! куб па А® к кубу на ©В *), или чем отношение, составленное из отношения (квадрата) на /X® к (квадрату) на В©, и отношения А® к ©В. По отношение (квадратов) па А© к ®В, взятое с отношением Л® к ©В, равно отношению (квадрата) на А® к (прямоугольнику) между Г® и ©В **); Ай2 АЙ __ АЙ2 ев2' ев” ге-ев отношение же (квадрата) на Л© к (прямоугольнику) между В®, ®Г равпо отношению (квадрата) па А®, умноженного на 0Н, к (прямоугольнику) между 150, ©Г, (умноженному) па ©Н; АЙ2 Ай2-НН’ ве ег _ вй-йг йн я утверждаю, следовательно, что (квадрат) па А®, (умноженный) па ©Н, имеет к (квадрату) на Г®, (умноженному) на ©Z, отно- шение большее, чем [(квадрат) па А® к (прямоугольнику) между В0, ©Г или! чем (квадрат) па А©, (умноженный) на ©Н, к (пря- моугольнику) между В©, ©Г, (умноженному) на ©Н. АЙ2-ЙН АйЗ-ЙП гй2- ez > ве- ег- ен Значит, нужно доказать, что (квадрат) на ©Г, умноженный па ©Z, будет меньше (прямоугольника) между В®, ©Г, (умножен- ного) на П©, re2-ez < ве-ег-не а это то же самое, что доказать, что (квадрат) на Г0 имеет к (прямо- *) Это следует иа подобия треугольников АВГ и АВЙ. **) Так как ев'=АЙ.ЙГ.
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 165 угольнику} между В0, ©Г отношение меньшее, чем Н0 к ©Z во-ег «z [иными словами, нужно доказать, что П0 имеет к ©Z отношение большее, чем Г© к ©В]. Из Е перпендикулярно к ЕГ проведем прямую ЕК и из точки В опустим на нее перпендикуляр ВЛ. Нам остается доказать, что II© имеет к 0Z отношение большее, чем Г© к ©В. не г<-> 6Z > «В * Но 0Z равна вместе взятым Л© и КЕ; значит, нужно доказать, что Н0 к вместе взятым ©А и КЕ имеет отношение, большее, чем Г© к ©В; не ги АН+КЕ еВ если из 0Н отнять Г0, а из КЕ прямую ЕЛ, равную В©, то остается доказать, что полученные остатки ГИ и вместе взятые А© и КЛ имеют друг к другу отношение большее, чем Г© к 0В, или 0В к ©А, или же ЛЕ к ©А, гн _ ги _ нВ _ ЛЕ ' ле+кл^ йв ~ па ~ «а или после перестановки, что (ГН, или) КЕ имеет к ЕЛ отношение большее, чем вместе взятые КЛ, 0А к ©А, J<I!^ КЛ+иА ЕЛ > оЛ или же, после выделения, что КЛ имеет к ЛЕ отношение большее, чем КЛ к ©А. (Следовательно, остается доказать, что) ЛЕ меньше 0А; (это же очевидно) [4]. IX Из всех сферических сегментов, ограниченных равными поверхностя- ми, наибольшим, будет полушарие. Пусть будет шар с большим кругом АВГД и диаметром АГ, и дру- гой шар с большим кругом EZH0 и диаметром ЕП. Рассечем один шар плоскостью через центр, а другой — не через центр; пусть секущие пло- скости будут перпендикулярны к диаметрам АГ, ЕН и дадут сечения по линиям ДВ и Z0; тогда соответствующий духе ZE0 сферический сег- мент будет полушарием, [из сегментов же, соответствующих дуге ВАД (рассматриваемый может быть) па одном чертеже меньше полу- шария, а на другом, обозначенном звездочкой, больше полушария], пусть поверхности упомянутых сегментов будут равны. Я утверждаю, что полушарие, соответствующее дуге ZE0, будет больше сегмента, соответствующего дуге ВАД {рис. 57;. Так как поверхности упомянутых сегментов равны, то ясно, что ВА равна прямой EZ, [ибо доказано, что поверхность всякого сегмента равна кругу, радиус которого равняется прямой, проведенной из вершины сегмента к окружности круга, составляющего основание сегмента. Поскольку на чертеже со звездочкой дуга ВАД болыпеполуокружности], то ясно, что квадрат на ВА будет меньше удвоенного квадрата на АК,
166 АРХИМЕД но больше удвоенного квадрата на радиусе *). Пусть (квадрат) на ВА будет вдвое больше квадрата на АР; ВАг = 2ЛР2 пусть прямая ГЗ равна радиусу круга АВА, и отношение ГН к ГК равняется отношению некоторой прямой МА к АК, ГВ МА ГК АК и пусть на круге с диаметром ВА будет построен конус, имеющий вер- шину в точке М; тогда этот конус будет равен сферическому сегменту, соответствующему дуге ВАА. Пусть также EN будет равна ЕЛ, и на круге с диаметром 6Z построен конус, имеющий вершину в точке N; тогда и этот конус будет равен полушарию, соответствующему дуге 0EZ. Но прямоугольник между АР, РГ более прямоугольника между АК, КГ, АР РГТ'АК-КГ ибо его меньшая сторона больше меньшей стороны другого прямоуголь- ника**), и (квадрат) на АР равен прямоугольнику между АК, ГЗ; ар2=лкге действительно, он составляет половину (квадрата) на УКВ ***). *) Обозначим радиус круга через г; тогда BAS=AK-АГ=2г-АК- Если г<АК<.2г, то 2г2<ВА2< 2 А К®. Если бы дуга ВАД была меньше окружности, то АК<г 2r®> BA2> 2АК2. Отсюда видно. что в первоначальном тексте Архимед брал только один чертеж, именно тот, который позднейший комментатор обозначал звездочкой. ••) Если дуга АВ равна четверти окружности, то АР равна радиусу г, и АР-РГ—2/2. Если АВ больше четверти окружности, то АР..-r и, согласно ранее сказанному, меньше АК; следова- тельно. меньшими сторонами в обоих прямоугольниках будут Рг и КГ- причем ГТ;. КГ- Так как АР рРГ^ЛК+КГ, и из двух прямоугольников с равными периметрами больше будет тот, который ближе подходит к квадрату, то АР-РГ>АК-КГ. Если же дуга ЛВ меньше четверти окружности, то АР<т и АК<"ГК; следовательно, меныпими сто- ронами в обоих прямоугольниках будут лр и АК. Так как теперь АР будет больше АК (из равен- ства 2ДР2^=ВА2..>2Акг). то опять АР-РГ_>Л1£.КГ. *•*) Имеем ЛН2=АК-АГ=-АК-2Г2-
О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ 167 Теперь вместе взятые (левые части) будут больше вместе взятых (правых); АР-РГ -Ь АРг> АК-КГ -!-АК ГЗ [значит, (прямоугольник) между ГА, АР больше (прямоугольника) между ЕК, КА]. По (прямоугольник) между ЕК, КА равняется (прямоугольнику) между МК, КГ *), ЗК-КА = МК-КГ [так что (прямоугольник) между ГА, АР будет больше (прямоуголь- ника) между МК, КГ]; таким образом, ГА будет иметь it КГ отноше- ние большее, чем МК к АР. га . мк кг ар Но отношение АГ к ГК равно отношению (квадрата) на АВ к (квад- рату) на ВК**); АГ а в2 ГК ‘ вк2 теперь ясно, что половина (квадрата) на АВ, равная квадрату на АР, будет иметь к (квадрату) на ВК отношение большее, чем МК к уд- военной АР, которая равна AN***); ЛР2 . мк_ вк^йар значит, круг па диаметре Z0 к кругу на диаметре ВА будет иметь отно- шение большее, чем МК к AN. Таким образом, конус, имеющий основа- нием круг на диаметре Z0, а вершиной точку N, будет больше конуса, имеющего основанием круг на диаметре ВА, а вершиной точку М; теперь ясно, что полушарие, соответствующее дуге EZ0, будет больше сегмента, соответствующего дуге ВАЛ. „ ГН МА ЕГ4-ГК МЛ+ЛК *) Из пропорции получаем «присоединением» —----в---• » откуда ГК АК ГК ЛК 2К-АК=МК-КГ. **) Так как АВ’=ЛК ЛГ и ВК*=ЛК-КГ. ** ) Из ртизкетв 2ЛР*=ВА2 и ВЛ —EZ (условие равенства поверхностей сегментов) имеем: 2AP4=BA8=EZS—2ЛЕЯ, отсюда ЛГ=ЛЕ и AN—2 АР, так Как EN равна ЕЛ—радиусу круга EZ6H.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ Архимед Досифею желает благоденствия! В этой книге я посылаю тебе запись доказательств остальных пред- ложений, еще не имеющихся у тебя в посланном ранее, а также некото- рых других, найденных мною позднее, к рассмотрению которых я уже часто приступал, но должен был отступить, так как видел некоторые трудности в их исследовании; ио этой причине я не издал в свет эти предложения одновременно с другими. Потом уже, занявшись ими более тщательно, я разрешил те трудности, которые задерживали меня ранее. Это были оставшиеся от прежних теоремы, касавшиеся прямоугольного коноида *); к ним я добавил теперь найденные позже теоремы относи- тельно тупоугольного коноида **) и сфероидальных фигур, из которых одни я называю удлиненными, другие же сплющенными***). Предложения, касавшиеся прямоугольного коноида, были таковы: Если какое-нибудь сечение прямоугольного конуса ****), вращаясь около неподвижного своего диаметра *****), иерпстся в исходное поло- жение, то фигуру, описанную при этом сечением прямоугольного ко- нуса, мы будем называть прямоугольным коноидом, диаметр, оста- вавшийся неподвижным—его осью, а точку, в которой ось коноида доходит до его поверхности,—вергпипой коноида. Если какая-нибудь плоскость касается прямоугольного коноида, то всякая другая плоскость, проведенная параллельно касательной, отсечет от коноида некоторый сегмент; основанием отсеченного сегмента мы будем называть часть секущей плоскости, ограниченную линией пере- сечения с коноидом, вершиной — ту точку, в которой первая плоскость касается коноида, а осью — заключенную в сегменте часть прямой, проведенной через вершину этого сегмента параллельно оси коноида. Для рассмотрения было предложено доказать следующее. Если от прямоугольного коноида отсечь сегмент плоскостью, пер- пендикулярной к его оси, то отсеченный сегмент будет в полтора раза больше конуса, имеющего с этим сегментом те же самые основание и ось. *) То есть параболоида вращения. **) Гиперболоид вращения (двуполый). вернее, одна его полость. ***) Эллипсоиды вращения вокруг большой и малой осей. ****) Параболи. *****) Ось параболы.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 169 Также если от прямоугольного коноида отсечь два сегмента прове- денными произвольно плоскостями, то отсеченные сегменты будут иметь ДРУГ к другу отношение, равное двойному *) отношению их осей. Относительно же тупоугольного коноида мы предлагаем следующее. Если в плоскости имеются сечение тупоугольного конуса**), его диаметр***) и ближайшие к сечению тупоугольного конуса пря- мые****), и если около удерживаемого неподвижным диаметра вращать ту плоскость, в которой .находятся упомянутые линии, то после ее воз- вращения в исходное положение ближайшие к сечению тупоугольного конуса прямые, очевидно, опишут равнобедренный конус, вершиной . которого будет точка пересечения ближайших прямых, а осью — оста- вавшийся неподвижным диаметр. Фигуру, описанную сечением тупо- угольного конуса, будем называть тупоугольным коноидом, неподвиж- ный диаметр — его осью, а точку, в которой эта ось доходит до поверх- ности коноида,— его вершиной. Конус, описанный ближайшими к сечению тупоугольного конуса прямыми, мы назовем объемлющим коноид *****), а прямую, заключенную между вершинами коноида и объемлющего коноид конуса, назовем дополняющей ось******). Если какая-нибудь плоскость касается тупоугольного коноида и другая плоскость, проведенная параллельно касательной, отсечет некоторый сегмент коноида, то основанием, отсеченного сегмента мы будем называть часть секущей плоскости, ограниченную линией пере- сечения с коноидом, вершиной — ту точку, в которой касательная плоскость касается кспоида, а осью — заключенную в сегменте часть прямой, проведенной через вершины сегмента и конуса, объемлющего коноид, часть же этой прямой между упомянутыми вершинами будем называть дополняющей ось. Все прямоугольные коноиды будут подобными друг дру- гу а******). из тупоугольных же коноидов будем называть подобными тс, у которых подобны конусы, объемлющие коноид ********). Для рассмотрения и доказательства предлагается следующее: Если от тупоугольного ксноида отсечь сегмент плоскостью, перпен- дикулярной к его оси, то отсеченный сегмент к кспусу с теми же осно- ванием и осью, что и у сегмента, будет находиться в том же отношении, какое вместе взятые ось этого сегмента и утроенная прямая, дополняю- щая ось, имеют к оси сегмента и удвоенной прямой, дополняющей ось. Также если от тупоугольного коноида отсечь сегмент плоскостью не перпендикулярной к оси, то отсеченный сегмент к фигуре, имеющей с сегментом то же основание и ту же ось (эта фигура будет коническим сегментом), будет находиться в том же отношении, какое вместе взятые ось этого сегмента и утроенная прямая, дополняющая ось, имеют ко вме- сте взятым оси сегмента и удвоенной прямой, дополняющей ось. Относительно же сфероидальных фигур мы предлагаем следующее. Если сечение остроугольного конуса (эллипс), вращаясь около удерживаемого неподвижным наибольшего диаметра, вернется в исход- ное положение, то описанную фигуру назовем удлиненным сфероидом. *) То есть возведенному во вторую степень. *♦) Гипербола; вернее, одна ее ветвь, ***) Ось гиперболы. ****) Асимптоты гиперболы. Этот термин (буквально: несовпадающие) бил введен уже после Архимеда Аполлонием Пергским. ****•) Асимптотический конус. ••*♦**) Это будет дейстпительнап полуось гиперболы. ••*••*♦) Все параболы подобны. См. Аполлоний. Конические сечения, книга 'VT, 11. *•*•**••) Согласно Евклиду («Начала». книга XI, определение 24), подобными конусами навиваются те. у которых пропорциональны оси и диаметры оснований.
170 АРХИМЕД Если же эллипс вращается около удерживаемого неподвижным наименьшего диаметра (малой оси}, то фигуру, описанную после возвращения в исходное положение, назовем сплющенным сфероидом. Осью каждого из сфероидов назовем удерживаемый неподвижным диа- метр (ось эллипса}, вершиной — точку, в которой ось доходит до поверхности сфероида, центром — середину оси и диаметром — про- веденную через центр перпендикулярно к оси прямую. Если параллельные плоскости касаются какого-нибудь из сферои- дов, не пересекая его, и параллельно касательным плоскостям проведена другая плоскость, рассекающая сфероид, то основанием обоих образован- ных таким образом сегментов назовем часть секущей плоскости, содер- жащуюся внутри кривой сечения со сфероидом, их вершинами — точки, в которых параллельные плоскости касаются сфероида, и осями — за- ключенные внутри сегментов части прямой, соединяющей их вершины. Л что касательные плоскости имеют с поверхностью сфероида л ишь одну общую точку, и что соединяющая точки касания прямая проходит через центр сфероида, это мы еще докажем. Подобными мы назовем такие сфероиды, оси которых находятся в том же отношении, что и диаметры. Сегменты же сфероидов и коноидов мы назовем подобными, если они отсекаются от подобных фигур, имеют подобные основании, а оси их, которые или перпендикулярны к пло- скостям оснований, или образуют равные углы с соответствующими диа- метрами оснований, находятся в том же отношении, что и соответствую- щие оси диаметры оснований. Относительно сфероидов предлагается рассмотреть и доказать сле- дующее. Если рассечь какой-нибудь сфероид плоскостью, проходящей через центр и перпендикулярной к его оси, то каждый из получающихся сегментов будет в два раза больше конуса с теми же основанием и осью, что и у сегмента. Если же секущая плоскость перпендикулярна к оси, но не проходит через цептр, то наибольший из полученных сегментов будет относиться к конусу с теми же основанием и осью, как вместе взя- ты!! половина оси сфероида п ось меньшего сегмента относятся к оси мень- шего сегмента, а меньший сегмент будет относиться к конусу с теми же основанием и осью, что и у сегмента, как вместе взятые половина оси сфероида и ось большего сегмента относятся к оси большего сегмента. Если какой-нибудь из сфероидов рассечен плоскостью, проходящей через центр, но не перпендикулярной к оси, то каждый из получившихся сегментов будет в два раза больше фигуры с теми же основанием и осью, что и у сегмента (это будет конический сегмент). Если же сфероид рассечен плоскостью, не проходящей через цептр и не перпендикулярной к оси, то наибольший из полученных сегментов будет относиться к фигуре с теми же основанием и осью, что и сегмент, как вместе взятые половина прямой, соединяющей вершины сегментов, и ось меньшего сегмента относятся к оси меньшего сегмента, а меньший сегмент к фигуре с теми же основанием и осью будет относиться, как вместе взятые половина соединяющей вершины обоих сегментов пря- мой и ось большего сегмента относятся к оси большего сегмента. (Полу- чаемая фигура и в этик случаях будет коническим сегментом.) Если упомянутые предложения доказаны, то при их помощи можно найти и много других теорем и задач, как, например: подобные сфероиды и сегменты сфероидов и коноидов находятся друг с другом в тройном *) отношении их осей; J То есть вовведенном в третью степень.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 171 у равных сфероидов квадраты диаметров обратно пропорциональ- ны осям, и если у двух сфероидов квадраты диаметров обратно пропор- циональны осям, то эти сфероиды равны; а также задачи, как, иапример: от данного сфероида или коноида отсечь сегмент плоскостью, прове- денной параллельно заданной, так, чтобы отсеченный сегмент был равен данному конусу, цилиндру или тару*). Предварительно я напишу все необходимые для доказательства теоремы и указания, а затем перейду и к объяснению предложений. Будь счастлив! Определения Если рассечь копус плоскостью, встречающейся со всеми его сто- ронами (образующими), то сечение будет или кругом, или эллипсом. Если сечение — круг, то ясно, что часть, отнятая с той стороны, где находится вершина конуса, будет и сама конусом. Если же в сечении получается эллипс, то часть, отнятую от конуса с той стороны, где на- ходится вершина конуса, будем называть коническим сегментом. Основанием сегмента будем называть часть плоскости, ограниченную эллипсом, вершиной — ту точку, которая будет и вершиной конуса, а осью — прямую, соединяющую вершину конуса с центром эллипса. И если цилиндр рассечь двумя параллельными плоскостями, встре- чакицими все стороны (образующие) цилиндра, то сечения будут или кругами, или же равными и подобными эллипсами. Если сечения будут кругами, то ясно, что отсеченная параллельными плоскостями часть цилиндра тоже будет цилиндром. Если же сечения будут эллипсами, то часть цилиндра между параллельными плоскостями назовем цилиндри- ческим сегментом. Основаниями сегмента назовем части плоскостей, ограниченные эллипсами, а осью — прямую, соединяющую центры эллипсов-, эта ось будет находиться па одной прямой с осью цилиндра. (Л е м м а.) Лели имеется любое число величин, одинаково превы- шающих одна другую {составляющих арифметическую прогрессию), причем разность равна наименьшей из этих величин {первому члену}, а также одинаковое количество других величин, каждая из которых равна наибольшей из первых величин, то все величины, равные наиболь- шей, взятые вместе, будут меньше удвоенных всех величин, одинаково пре- вышающих одна другую, но больше удвоенных этих величин, оставшихся после исключения наибольшей. Доказательство этого очевидно**). I Если имеется любое количество некоторых величин и равное количе- ство других величин, причем одинаково расположенные {величины обоих - рядов} имеют, попарно одно и то же отношение, и если первые величины все, или только некоторые из них, находятся в каких-нибудь отношениях *) Архимедовы доказательства этих теорем и задач или нс сохранились, или, может быть, даже не были опубликованы. •*) В нашем обозначении 2{а+2а-Р . . . + (п—1)а}<п-гш<2 . 4-па} , или п(п-1)а<п!а<п(п-| 1 )а.
172 АРХИМЕД с третьими величинами, а соответствующие величины второго ряда находятся в тех же самых отношениях с величинами четвертого ряда, то все первые величины ко всем соответствующим им величинам (треть- его ряда} будут иметь то же самое отношение, как все величины второго ряда ко всем соответствующим им величинам (четвертого ряда} [1]. Пусть имеются некоторые величины А, В, Г, А, Е, Z и равное коли- чество других величин Н, 0, I, К, Л, М, имеющих с ними попарно одно и то же отношение, и пусть Л имеет к В то же самое отношение, как Н к 0, А П1 В ' О а В к Г (то же самое), как © к I в г — 1 и точно так же и все остальные; г _ _1 д 1 к д к Е ~ Л Е Л Z ~~ М пусть также величины А, В, Г, Д, Е, Z находятся в каких-нибудь отно- шениях с (третьими) величинами N, Е, О, П, Р, S, а величины П, 0, I, К, Л, М находятся в тех же самых отношениях с соответствующими величинами (четвертого ряда) Т, Г, Ф, X, V, Й, и пусть то отношение, которое А имеет к N, будет тем же самым, которое Н имеет к Т, _а_ п N ~ Т а отношение, которое В имеет к Е, будет тем же самым, которое 0 имеет к Г; в е Е Г и точно так же и все остальные {рис. 1}. Требуется доказать, что все А, В, Г, А, Е, Z вместе взятые ко всем N, Е, О, П, Р, S будут иметь то же самое отношение, как все вместе взятые Н, 0, I, К, Л, М ко всем Т, Г, Ф, X, Й. Поскольку N имеет к Л то же самое отношение, как Т к Н, n т А Н а А к В то же отношение, как Н к 0, а _ н - в ~ е
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 173 и В к Е то же, как в к Г, в _ е в — г то N будет иметь к Е то же самое отношение, как Т к Г; n__ т S — г вследствие того же, как Е к О, так будет и I* к Ф Л_ X. о Ф и точно так же и все остальные. о Ф п — х п_= 2L р w р _ S'- £2 Тогда все А, В, Г, Д, Е, Z имеют к А то же самое отношение, как все Н, 0, I, К, А, М к И, а + в+гч-д + е+2_ н + е i-i-i k+a+m А ~ И а А имеет к N то же отношение, как Н к Т, А Н N - Т и N ко всем N, Е, О, II. Р. S имеет то же самое отношение, как Т ко всем Т, Г, Ф, X, Т, Й; N Т N -h S + O т II-г Г -г— Т + Г-|-Ф+ X -j- Т + £2 теперь ясно, что все А, В, Г, A, Е, Z ко всем N, Е, О, П, Р, S будут иметь то же самое отношение, как все П, 0,1, К, А, М ко всем Т, Т, Ф, X, ¥, Я. А+- B + r + A+E-[-Z_ H + 0+H-K + A + M- N + Ё |-b + fl+P-i-X Т+Г4-Ф-КХ +V+B Так же ясно, что если из величин А, В, Г, Д, Е, Z выбрать А, В, Г, *Д, Е, имеющие отношения к N, Е, О, II, Р, причем Z не будет иметь отно- шения ни к одной величине, а из величии II, 0, 1, К, А, М, выбрать Н, 0, I, К, А, имеющие соответственно те же самые отношения к Т, Г, Ф, X, Т, причем М не будет иметь отношения пи к одной величине, то точно так же все А, В, Г, Д, Е, Z ко всем N, 3, О, П, Р будут иметь то же самое отношение, как все II, 0, I, К, А, М ко всем Т, Е, Ф, X, V. а + вч-г4-лч-вz _ н+е-м+к + л + м N + EtO + 11 + Р “ Т + Г + Ф —X + W II Если имеется некоторое количество равных друг другу линий и к каж- дой из них с избытком в виде квадрата прикладывается, некоторая пло- щадь, причем стороны этих избыточных {квадратов} будут одинаково превышать одна другую и разность {двух последовательных сторон}
174 АРХИМЕД будет равняться, наименьшей из них*), и если имеются другие пло- щади, количество которых равняется количеству первых, а величина каждой равняется наибольшей из первых, то эти площади его есем {взя- тым вместе первым.) будут иметь отношение, меньшее того, которое {прямая), равная вместе взятым стороне наибольшего избыточного {квадрата) и одной из {первоначально данных) равных друг другу прямых, имеет к {прямой), равной вместе взятым, третьей части сто- роны наибольшего избыточного {квадрата) и половине одной из рав- ных друг другу прямых, а если {из первых площадей) исключить наи- большую, то к оставшимся эти {вторые) площади будут иметь отно- шение, большее упомянутого**). Пусть имеется некоторое количество равных друг другу прямых, на которых стоит А {рис. 2}, п к каждой из них с избытком в виде .4 л Л Л л я л к я к / / ! / 1 0 н f) в е Рис. 2. квадрата прикладывается площадь, пусть стороны В, Г, Д, Е, Z, Н этих избытков одинаково превышают одна другую, и пусть разность их равна наименьшей; пусть наибольшая будет В, а наименьшая — Н; пусть также имеются и другие площади, на каждой из которых стоят 6, Т, К, Л, причем количество этих площадей равняется количеству первых, а величина каждой равняется наибольшей, (а именно) той, которая приложена к линии А + В; пусть прямая 0 вместе с I будет рав- на А, а К вместе с Л равна В, и каждая из линий 0 вместе с I будет вдвое больше I, а каждая из К вместе с Л втрое больше К. Требуется доказать, что все площади, которые обозначены (буквами) 0, I, К, А, ко всем *) Архимед пользуется терминологией так называемого «приложения площадей». «Приложить заданную площадь S к некоторой прямой а», значит на отрезке а построить ирнмоугольпик, пло- щадь которого раина S; другая сторона итого прямоугольника х определится из уракиспин ах — S. «Приложение с избытком в виде квадрата», с нашей точки зрения, равносильно решению квадрат- ного уравнения «л- ; ав_к. **) Архимед строит площади 0x4 №. я- 2х ; (2л)2, .... н-пд-;(пх)3 и утверждает, что « п {а-ях-;-(пх)Д!________ ,. nx-'j a (оа-: л-2).;-(«• 2х ! 4№)-j-. - .-| (0-п.х 1-п2.№) ' пх_ « .'. . "3 '2 п {а-7гх)-Цпз:)2> пх | а (ох; .№)’! (л.2х-|-4хХ) । . . ,4{« (n-i)x-(n- -|)S№} их , а 3 "*”2
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 175 другим площадям АВ, ЛГ, ЛД, АЕ, AZ, АН будут иметь отношение, меньшее того, которое прямая 0-|-1-]-К+Л имеет к прямой Ц-К, а к площадям, оставшимся после исключения наибольшей АВ, будут иметь отношение, большое упомянутого. Пусть имеются некоторые площади, обозначенные (буквой) А, одинаково превышающие одна другую, причем разность равняется наи- меньшей (из этих площадей), [ибо и прикладываемые площади и их ширины одинаково превышают одна другую]*), а ташке другие пло- щади, обозначенные 6, 1, количество которых равняется количеству первых, а величина каждой равняется наибольшей; тогда все площади 0,1, взятые вместе, будут меньше удвоенных всех площадей А, но боль- ше удвоенных всех таких площадей, оставшихся после исключения наи- большей **). Эти площади, обозначенные 1, меньше всех площадей А, но больше всех их за исключенном наибольшей***). Далее, имеются некоторые линии В, Г, А, Е, Z, Н, одинаково превышающие одна дру- гую, причем разность равна наименьшей (из пих), и другие линии, обозначенные К, Л, по количеству равные этим, а по величине равные каждая наибольшей (из пих); тогда квадраты па всех прямых, рав- ных друг другу и наибольшей, будут менее утроенных квадратен на прямых, одинаково превышающих одна другую, но более утроенных квадратов па этих прямых, если исключить квадрат на наибольшей; это доказано в уже изданной книге о спиралях****). Таким образом, все площади, обозначенные К, будут меньше всех площадей В, Г, А, Е, Z, Н, но больше площадей Г, А, Е, Z, И*****); так что псе площади, обозначенные 1, К, будут меньше всех площадей, обозначенных АВ, АГ, АЛ, АЕ, AZ, АН, но больше площадей ЛГ, АД, АЕ, AZ, АН******). Теперь ясно, что все площади 0, I, К, Л ко всем площадям АВ, АГ, АА, АЕ, AZ, АН имеют отношение, мспьптее того, которое прямая НА имеет к ТК, ко всем же таким площадям, кроме АВ, имеют отношение, большее упомянутого [1]. *) Гейбсрг устраняет фразу, поставленную в скобках, на основании языковых данных. Под «прикладываемой площадью» (ларарХтща) следует подразумевать приложенную н прямой А площадь прямоугольника, обозначенного буквой А. ** ) На основании леммы, стоящей перед первым предложением, мы можем написать: 2 { Ах + А,2х+ ... + Апх} ~>п (А-пх) > 2 { А^+А«2,т.-+ . . . гА (те—1)л} , где -г, как и выше, обозначает сторону наименьшего из избыточных квадратов, а Л=е-)-1 или а, как выше. ***) Мы имеем 1+2 +.. .и 1-,2+...+(п—1)—-. Архимед хочет ска- те (те+1) те те (ti— I) зать, что ——->п->—. *'*’) В предложении X. В наших обозначениях ото равносильно неравенствам 3 <х, + (2.т)2+. . .+(«»:)=} >те(тех)2> 3{х2 + (2х)2+. . .+(те—1)2а:а}. **»“) R наших обозначениях №+(2х)2+, . . -Гх2+(2х)2 Г . . . +(тех)2, _, (ПЛ’)2 так кгш площадь К——~ . •**♦**) Так как прямая I равна половине прямой А, то площадь 1~Л . Полученные неравен- ства в наших обозначениях запишутся таи: (Ях+х2)-(а-2х+4з:2)+. . . i {а(те-1)х j (те-1)2x2^ (^^'+’-^) , («ьх+х2)+(а-2л'+4л2)+. . ,-| (а тех+п2зс2)>те (—~ + дт^) .
176 АРХИМЕД III <1>. Если прямые, проведенные из одной и той же точки, каса- ются какого-нибудь конического сечения, и внутри конического сечения проведены другие прямые, параллельные карательным и пересекающие друг друга, то прямоугольники между их *) отрезками находятся между собой в том же отношении, как и квадраты на касательных, причем прямоугольник между отрезками каждой прямой соответствует квадра- ту на, касательной, параллельной этой прямой. Это доказано в «Началах теории конических сечений» [2]. < 2>. Если от одной и тойже.параболы каким-либо образом отсечь два сегмента, имеющих одинаковые диаметры, то будут равны и сами эти сегменты, и вписанные в них треугольники, имеющие те же основа- параболы. Возьмем прямую, на болы, вдвое большую (расстояния от вершины параболы) ния и высоты, что и соответствующие сегменты: диаметром же сегмента я называю прямую, делящую пополам все прямые, проведенные параллель- но основанию этого сегмента. Пусть будет парабола АВГ и от псе отсечены два сегмента ААЕ и 0ВГ; пусть AZ будет диаметр сегмента АДЕ, а ВН — диаметр сег- мента @ВГ, и пусть AZ и ВП будут равны. Требуется доказать, что бу- дут равны и сегменты АДЕ, 0ВГ и вписанные в них упомянутым обра- зом треугольники {рис. 3}. Пусть сначала прямая (Н)Г, от- секающая один из сегментов, будет перпендикулярна к диаметру (о с и) которой квадрируются абсциссы пара- до оси (производящего копуса); пусть эта прямая будет N. Из точки А опустим перпендикуляр АК на AZ. Так как AZ является диаметром сегмента, то прямая АЕ делится в точке Z пополам, и AZ будет парал- лельна диаметру параболы; значит, опа разделит пополам нее прямые, проведенные параллельно АЕ. Пусть отношение квадрата на AZ к квадрату на АК будет равно отношению некоторой прямой М к N. А 7? М АК2 N Тогда прямые, проведенные параллельно АЕ от кривой до AZ**), квадрируются, если на прямой, равной М, построить прямоугольник, ширина которого будет равна прилежащему к точке А отрезку, отсекае- мому ими от прямой AZ (это доказывается в теории конических сече- ний) ***), поэтому AZ, квадрируясь, будет равняться прямоугольнику между М и AZ. az2 m az Но и 0Н, квадрируясь, равняется прямоугольнику между N и ВН, ей2 -N BH *) Прямых, проведенных внутри конического сечения. **) Ото будут ординаты точек параболы в системе координат, обраяуемой диаметром пара- болы и касательной п се начале. ♦**) Речь идет об уравнении параболы в косоугольных координатах: у2~ 2р'х, где параметр 2р' и есть наша прямая N.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 177 так как 0Н перпендикулярна к диаметру; значит, поскольку мы пред- положили AZ и ВН равными, квадрат на AZ к квадрату на ©IT будет иметь отношение, как у М к N. AZ2 м он* ы ' Но квадрат на AZ имеет к квадрату па АК то же отношение, что М к N; значит, ©Н и АК равны. ен = ак > Также равны и ВП с AZ; значит, прямоугольник между ©Н и ВП будет равен прямоугольнику между АК и AZ. енвн=лк.лг Таким образом, треугольник ©НВ будет равен треугольнику AAZ; значит, будут равны и удвоенные треугольники (é и АЕА). Но сегмент АДЕ составляет четыре трети треугольника АДЕ, а сегмент ©ВГ — четыре трети треугольника ©ВГ. Таким образом, ясно, что будут равны и сегменты и вписанные в них треугольники*). Если ни одна из прямых, отсекающих сегменты, не будет перпен- дикулярна диаметру параболы, то отложим на диаметре параболы пря- мую, равную диаметру одного сегмента, и через конец - ----- прямой проведем перпендикуляр к диаметру; таким образом, получится сегмент, который будет равен каж- дому из данных сегментов. Теперь предложенное становится очевид- ным. отложенной Рис. 4. IV Всякая площадь, ограниченная эллипсом, имеет к кругу с диаметром, равным большему диаметру эллипса, то же самое отношение, что мень- ший диаметр эллипса к большему или к диаметру круга. Пусть будет [рис. 4} эллипс АВ ГА с наибольшим диаметром АГ и наименьшим ВД; пусть еще будет круг с диаметром АГ. Требуется доказать, что ограниченная эллипсом площадь имеет к кругу то же самое отношение, что ВА к ГА или к EZ. Пусть отношение ВД к EZ равняется отношению некоторого круга, обо- значенного 'F, к кругу AEFZ. Я ут- • верждаю, что круг Y будет равен эллипсу. Если круг УИ не равен площади, ограниченной эллипсом, то пусть сначала он, если возможно, будет больше. Тогда можно вписать в круг Y многоугольник с четным числом сторон, который был бы больше пло- щади АВГД. Представим, что он вписан; впишем также и в круг AETZ *) См. «Квадратура параболы», предложения XVII и XXIV.. 12 Архимед
178 АРХИМЕД прямолинейную фигуру, подобную вписанной в круг Y; через ее вер- шины проведем прямые, перпендикулярные к диаметру АГ и соединим прямыми точки пересечения этих перпендикуляров с эллипсом; полу- чится некоторая вписанная в эллипс прямолинейная фигура, которая будет относиться к прямолинейной фигуре, вписанной в круг AETZ, как ВА к EZ. Действительно, так как перпендикуляры ©Е и КЛ разделяются в точках Ми В в одном и том же отношении, то ясно, что трапеция ЛЕ будет иметь к трапеции ©М то же отношение, что ©Е к €)В. По той же причине и каждая из остальных трапеций в круге к соответствующей трапеции в эллипсе будет иметь то же отношение, что Е© к В©. Точно так же и прилежащие к точкам А и Г треугольники в круге будут иметь то же отношение к таким же треугольникам в эллипсе; но тогда и вся прямолинейная фигура, вписанная в круг AETZ, ко всех! прямолиней- ной фигуре, вписанной в эллипс, будет иметь то же отношение, что EZ к ВА. Эта фигура будет находиться в том же самом отношении и к впи- санной в круг Т, так как и оба круга находятся в том же самом отноше- нии; значит, прямолинейная фигура, вписанная в круг 'F, будет равна прямолинейной фигуре, вписанной в эллипс; а это невозможно, так как эта фигура больше всей площади, ограниченной эллипсом. Тогда пусть, если это возможно, круг У будет меньше эллипса. Опять можно вписать в эллипс многоугольник с четным числом сторон, который был бы больше круга ЧЕ Впишем его, проведем через его вер- шины прямые, перпендикулярные к АГ, и продолжим их до окружности круга; опять получится вписанная в круг АЕ прямолинейна^ фигура, которая будет ко вписанной в эллипс, иметь отношение, как EZ к ВА. Вписавши подобную ей фигуру в круг V, мы докажем, что эта вписанная в круг Чг фигура будет равна вписанной в эллипс, а это невозможно*); значит, круг V не будет и меньше площади, ограниченной эллипсом. Таким образом, ясно, что упомянутая площадь эллипса имеет к кру- гу AETZ то же отношение, что ВД к EZ. V Всякая площадь, ограниченная эллип- сом, ко всякому кругу имеет, такое же отношение, как прямоугольник между главными диаметрами эллипса к квадрату на диаметре круга {рис. 5}. Пусть будет некоторая площадь X, ограничен пая эллипсом, диаметры которо- го суть АГ и ВА, причем большим диа- метром будет АГ; пусть, кроме того, будет круг Чг с диаметром EZ. Требуется доказать, что площадь X к кругу Ч*" имеет то же отношение, что прямоугольник между АГ и ВА к квадрату на EZ. На диаметре АГ опишем круг. Тогда площадь X к кругу на диамет- ре АГ имеет то же отношение, как прямоугольник между АГ и ВА к ква- *) Тан как тогда вписанная в круг W фигура оказалась бы больше круга
О КОНОИДАХ и СФЕРОИДАХ 179 драту па АГ, так как уже доказано, что они относятся, как ВА к АГ. Далее, круге диаметром АГ к кругу с диаметром EZ имеет то же отно- шение, что квадрат на АГ к квадрату на EZ. Отсюда ясно, что площадь X от- носится к кругу Y, так же, как прямо- угольник между АГ и В А к квадрату на EZ. VI Площади, ограниченные эллипсами, на- ходятся друг к другу в таком же отноше- нии, как прямоугольники между диамет- рами эллипсов [рис- 6}. Пусть А и В будут площади, огра- ниченные двумя эллипсами, пусть ГА будет прямоугольник, построенный на диаметрах эллипса, ограничивающего пло- щадь Л, a EZ — прямоугольник на диа- метрах другого эллипса. Требуется дока- зать, что площадь А так относится к В, как ГА к EZ. Возьмем какой-нибудь круг 'Г; пусть КЛ будет квадрат на его диаметре. Пло- щадь Л относится к кругу Чг, как ГА кКЛ, круг же 'Г к площади В относится, как КЛ it EZ; таким образом, ясно,что площадь Л имеет к В то же самое отношение, что ГА к EZ. Следствие Отсюда обнаруживается, что площади, ограниченные подобными эллипсами, имеют друг к другу то же отношение, что и квадраты на соответственных диаметрах эллипсов. VII Если дан эллипс с прямой, восставленной из его центра перпендику- лярно к плоскости, в которой этот эллипс находится, то можно найти конус, имеющий вершиной конец восстановленной прямой, причем задан- ный эллипс будет находиться на поверхности этого конуса {рис. 7]. Пусть дан некоторый эллипс и из его центра восстановлена прямая, перпендикулярная к плоскости, в которой этот эллипс находится. Через восставленную прямую и наименьший диаметр эллипса про- ведем плоскость; пусть в этой плоскости АВ будет наименьший диа- метр, а А — центр эллипса, далее, ГА будет восставленная из центра перпендикулярная прямая и Г — ее конец; заданный же эллипс пред- ставим описанным на диаметре АВ в плоскости, перпендикулярной к ГА. Требуется найти конус, имеющий вершиной точку Г, на поверх- ности которого будет находиться заданный эллипс. Продолжим прямые, проведенные из Г к А, В и из А проведем AZ так, чтобы прямоугольник между ЛЕ и EZ относился к квадрату на ЕГ, как квадрат половины наибольшего диаметра относится к квадрату на АГ; это возможно потому, что рассматриваемое отношение будет больше 12*
180 АРХИМЕД отношения прямоугольника между АД и ДВ к квадрату на ДГ. AE.EZ АД-ДВ ЕГ2 ДГ2 Через AZ проведем плоскость, перпендикулярную к той, в которой находятся АГ и AZ; в этой плоскости опишем круг на диаметре AZ и пос- троим на этом круге конус, имеющий вершиной точку Г. Докажем, что за- данный эллипс будет находиться па поверхности этого копуса. Если оп нс будет находиться на поверхности этого конуса, то необхо- димо, чтобы на эллипсе существовала некоторая точка, которая не была бы на поверхности рассматриваемого ко- нуса. Представим, что на эллипсе взята некоторая точка 8, которая нс находится на поверхности этого ко- нуса. Через точку 0 проведем 0К перпендикулярно к АВ; проведенная прямая будет перпендикулярна и к плоскости, в которой находятся АГ и TZ. Продолжим проведенную из Г к К прямую; пусть она встретит AZ в точке Л. Через Л перпендикулярно к Z А в круге, описанном на AZ, проведем прямую Л М; точку М, находящуюся на окружности круга AZ, вообразим приподнятой (над плоскостью чертежа). Кроме того, через Л и Е параллельно АВ проведем ЕО и ПР. Так как прямоугольник между ЕА и EZ к квадрату на ЕГ имеет то же самое отношение, что квадрат на Половине наибольшего диаметра (нА) к квадрату на А Г, EA-EZ аАа ЕГ2 ДГ2 а квадрат па ЕГ к прямоугольнику между ЕП и ЕР имеет то же отно- шение, что квадрат на АГ к прямоугольнику между АД и АВ, ег2 _ дг2 ЕП-ЕР-АД АВ то прямоугольник между ЛЕ и EZ будет иметь к прямоугольнику между ПЕ, ЕР то же отношение, что квадрат па половине наибольшего диа- метра (аД) к прямоугольнику между АД и ДВ. AE-EZ «А2 ПЕ-ЕР АД-АВ Ио как прямоугольник между АЕ и EZ к (прямоугольнику) между ПЕ и ЕР, так и прямоугольник между АЛ и AZ относится к (прямоуголь- нику) между ЕЛ, АО, АЕ • EZ_ АЛ * AZ ПЕ-ЕР ~ 5Л-Л0 а как квадрат на половине наибольшего диаметра к (прямоугольнику) между АД и ДВ, так и квадрат на 0К относится к (прямоугольнику) между АК и КВ, ад2 ек® АД-ДВ АК-КВ .... ,
к* 7. tAty* ?«V /** ЛМЛГ** »#- im- <9Г»^1н Лл-.Л»л vryw^o «»»*»** - Лке*4* /4 мСм'мГ Лг^» U <<ziftyw •***’ д^*4**аДиМ**.^ »^л'^ •pt A tef»*1» & f <A*%* ч^^м>- »f чНй 1Л«4*^**'^**<,*>|* ж*й*г Л>*** Фотокопия страницы греческой рукописи, содержащей отрывок сочинения. Архимеда *0 коноидах и сфероидах».
182 АРХИМЕД значит, прямоугольник между АЛ и AZ к прямоугольнику между ЕЛ и ЛО имеет то же отношение, что и квадрат па 0К к (прямоугольнику) между АК. и КВ. ал-ля ек® SA-ЛО АК-КВ Но (прямоугольник) между ЕЛ и ЛО имеет к квадрату на ГЛ то же отношение, что прямоугольник между АК и КВ к квадрату па КГ, вл-ло_ лк-кв гл® кг® значит, (прямоугольник) между АЛ и AZ будет относиться к квад- рату на ГЛ как квадрат на ©К к квадрату на КГ. АЛ • Л2» _ 01^2 Но прямоугольник между АЛ, AZ равен квадрату на ЛМ, лл-лг=лм® так какЛМ проведена перпендикулярно к диаметру в полукруге на AZ; значит, квадратна ЛМ имеет к квадрату на ЛГ то же отношение, что квадрат па ОК к квадрату на КГ; лм® ек® лг® кг® таким образом, точки Г, О, М будут находиться на одной прямой. Но ГМ лежит на поверхности конуса; значит, яспо, что и точка 0 будет находиться на поверхности конуса. Но было предположено, что она пе находится; значит, на эллипсе не будет ни одной точки, которая не нахо- дилась бы на поверхности вышеупомянутого конуса. Таким образом, и весь эллипс будет находиться на поверхности .этого конуса [3]. VIII Если дан эллипс и прямая, восставленная из его центра, не перпен- дикулярная к плоскости эллипса, но лежащая в плоскости, проведенной через другой диаметр эллипса перпендикулярно к той плоскости, в ко- торой находится эллипс, то можно найти конус, имеющий вершиной конец восставленной прямой, причем заданный эллипс будет находиться на его поверхности {рис. 8j [4J. Пусть ВА будет диаметр эллипса, Л — его центр, а ДГ — восстав- леппая, как сказано, из центра прямая; сам эллипс вообразим себе расположенным па диаметре АВ в плоскости, перпендикулярной к той, в которой находятся ЛВ и ГЛ. Требуется найти конус, с вершиной в точке Г, на поверхности которого будет находиться заданный эллипс. Так как ГД не перпендикулярна к плоскости эллипса, то прямые АГ и ВГ пе будут равными. Пусть прямая ЕГ будет равна ГВ, a N равпа половине второго диаметра, сопряженного с АВ. Через А параллельно ЕВ проведем прямую ZH; на ЕВ восставим плоскость, перпендикулярную к топ, в которой находятся АГ и ГВ, и в этой плоскости на диаметре ЕВ опишем круг, если квадрат на N будет равняться прямоугольнику между ZA и ЛП, или же, если он нс будет равняться, то эллипс — так чтобы квадрат на другом диаметре относился к квадрату на ЕВ, так же как квадрат на N к прямоугольнику между ZA и АН. Затем возьмем конус, имеющий вершину в точке Г, на поверхности которого будут
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 183 находиться описанные на диаметре ЕВ круг или эллипс; это возможно, так как прямая, проведенная из Г к середине ЕВ, перпендикулярна к плоскости, проведенной через ЕВ; па этой же поверхности будет нахо- /к диться и эллипс, описанный на дна- //\ \\ метре АВ. / \ \\я Действительно, если бы он там / I \ /\\ не находился, то на эллипсе име- / I У \ \^ лась бы точка, которая по будет па д/ //Л \Z поверхности конуса. Вообразим, что /л?С \ /\ взята некоторая точка 8, не находя- / \ щаяся па поверхности конуса; из 8 у 7 \ на ЛВ опустим перпендикуляр ©К и \ соединяющую ГК продолжим; пусть ,/ опа встретится с ЕВ в Л, а через Л ' \ в плоскости, перпендикулярной*) \ к проходящей через ЕВ, проведем \ некоторую прямую ЛМ, перпепди- \ кулярпую к ЕВ; точку М на поверх- \ ности конуса представим себе припод- \ пятой (над плоскостью чертежа). •-------- Через Л проведем также параллель- т Р ную ЛВ прямую ПР; тогда как квад- Рис. 8. рат на N к прямоугольнику между ZA и ЛТТ, так и квадрат на Л М относится к прямоугольнику между ЕЛ и ЛВ, .N2 .ЛМа гд.дн. ел-лв и как (прямоугольник) между ZA и АН к (прямоугольнику) между ЛА и ЛВ, так и прямоугольник между ЕЛ, ЛВ к (прямоугольнику) между ПЛ, ЛР; хд-дн вл-лв АД ДВ ПД.ЛР тогда получится, что квадрат на N относится к (прямоугольнику) между АЛ и ЛВ, как квадратна ЛМ к (прямоугольнику) между ПЛ и ЛР. К» ЛМ2 ЛА-ЛВ ПЛ-ЛР . Но мы имеем также, что квадрат па N к прямоугольнику между АД иЛВ относится, как квадратна 8К к прямоугольнику между ЛК и КВ, № ек2 АА-АВ” А К-КВ так как в одном и том же эллипсе проведены два перпендикуляра (N и 0К) к диаметру АВ; значит, отношение квадрата наЛМ к прямоуголь- нику между ПЛ, ЛР будет таким же, как отношение квадрата на 8К к прямоугольнику между АК и КВ. лм2 = нка ПЛ АР АК КВ Но прямоугольник между ПЛ и ЛР относится к квадрату на ГЛ, как ) К прямым Л Г и ГВ.
184 • АРХИМЕД прямоугольник между АК и КВ к квадрату на КГ; ПЛ-ЛР ЛК-КВ гл3 ’ ’ кг2 значит, квадрат на ЛМ имеет к квадрату на Л Г то же отношение, что и квадрат на 0К к квадрату на КГ; дм2 ек3 лг3 кг3 . . . \ . отсюда следует, что точки Г, 0, М расположены на одной прямой. Но ГМ находится на поверхности конуса; отсюда ясно, что и точка 0 будет находиться на поверхности конуса; мы же предположили, что она там нс находится; таким образом, обнаруживается правильность утверж- дения, подлежащего доказательству. IX Если дал эллипс и прямая, восставленная из его центра, не перпен- дикулярная (к плоскости эллипса}, но лежащая в плоскости, проведен- ной через некоторый диаметр эллипса перпендикулярно к той плоскости, в которой находится эллипс, то можно найти цилиндр, имеющий ось на продолжении восставленной линии, причем заданный эллипс будет находиться на поверхности этого цилиндра (рис. 9}. Пусть ВА будет некоторым диаметром эллипса, Д — его цент- ром, а ГД — восставленной, как сказано, из центра прямой; сам эллипс вообразим себе расположен- ным на диаметре АВ в плоскости, перпендикулярной к той, в которой находятся АВ и ГД. Требуется пайти цилиндр, имеющий ось на пря- мой ГД, на поверхности которого будет находиться заданный эллипс. Из точек А и В параллельно ГД проведем прямые AZ и ВН; взятый диаметр эллипса будет или равен расстоянию между прямыми AZ, ВП, или больше его, или же меньше. Пусть он, во-первых, будет равен ZH, a ZH перпендикулярна 1£ ГД. Восставим па ZH плоскость, перпендикулярную к ГД; в этой плоскости пусть будет круг на диаметре ZH и пусть на этом круге будет цилиндр, имеющий осью ГД; на поверхности этого цилипдра и будет находиться заданный эллипс. Действительно, если бы он там не находился, то на эллипсе будет некоторая точка, которая не была бы на поверхности цилиндра. Пред- ставим себе, что взята такая не находящаяся на поверхности цилиндра точка эллипса 0; опустим из 0 на прямую АВ перпендикуляр ©К; он будет перпендикулярен и к плоскости, в которой находятся АБ и ГД. Через К параллельно ГД проведем КЛ и из Л восставим к ZH пер- пендикуляр ЛМ в описанном на ZH круге; точку М представим себе приподнятой (над плоскостью чертежа) па окружности полукруга на диаметре ZH; тогда одно и то же отношение будут иметь квадрат на перпендикуляре ©К к прямоугольнику между АК и КВ и (квадрат)
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 185 на 2Г к прямоугольнику между АД и ДВ, . WK® zr2 АК-К8” АД-ДВ так как ZH равна другому диаметру (эллипса согласно предположе- нию) *). Но прямоугольник между ZA и АН относится к прямоуголь- нику между АК и КВ, как квадрат на ZT к квадрату на АД**); ZA-AH Zr2 " АК-КВ ' АДа значит, прямоугольник между ZA, АН будет равен квадрату на ©К. гл.лн=ек2 Но он также равен и квадрату па ЛМ***); значит, перпендикуляры ©К и МЛ равны. Далее, прямые ЛК и М© параллельны****), так что будут параллельны и ДГ и М©- Следовательно, прямая ©М будет нахо- диться на поверхности цилиндра, так как она проведена параллельно оси цилиндра из точки, лежащей па его поверхности; после этого ясно, что и точка © будет находиться на поверхности цилиндра. Было же предположено, что опа там не находится; таким образом, обнаруживает- ся истинность предложения, которое требовалось доказать. Если другой диаметр эллипса равен расстоянию между прямыми, проведенными через концы первого диаметра параллельно прямой, вос- ставленной (из центра эллипса), то ясно, что цилиндр, объемлющий этот эллипс, будет прямым (круговым). Пусть теперь второй диаметр эллипса будет больше ZH (расстоя- ния между параллельными ГД прямыми, проведенными через концы диаметра эллипса Л и В); пусть прямая IIZ будет равна этому второму диаметру {рис. 10]. Восставим на IIZ плоскость, перпендикулярную к той, в KOTOpoii находятся прямые АВ и ГЛ; возьмем в этой плоскости круг с диаметром ITZ, и пусть на этом круге будет цилиндр с осью ДР. Тогда при помощи тех же самых рассуждений докажем, что заданный эллипс будет находиться на поверхности этого цилиндра. Пусть, наконец, второй диаметр будет меньше ZIT ’рис. 11). Пусть квадрат на Г5 представляет избыток квадрата на ZT (половине ZII) *) Точка А является центром эллипса, a Zr—^ZH перпендикулярным к АВ диаметром „ ZA AH Zr ‘*)Иа пропорции—= — = • г ***) По известному свойству круга. ****) Это следует из равенства перпендикуляров МЛ. ©К. восставленных к плоскости чертежа..
486 АРХИМЕД над квадратом на половине второго диаметра. Восставим из точки Е перпендикулярно к плоскости, в которой находятся АВ и ГА, пря- мую, равную половине этого диаметра; пусть это будет прямая EN; точку N представим приподнятой (над плоскостью чертежа); пря- мая ГМ будет равна TZ*). В плоскости, в которой находятся прямые . ZH и TN, опишем круг на диаметре ZH; он пройдет через точку N. На этом круге пусть будет цилиндр с осью ГА; на поверхности этого цилипдра и будет находиться заданный эллипс. Действительно, если бы он там не находился, то на нем была бы некоторая точка, не лежащая на поверхности цизгиндра. Возьмем на эллипсе такую точку в; перпендикулярно к прямой АВ проведем 0К; затем пусть из К параллельно ГД пройдет КЛ, а из Л в полукруге с диа- метром'ХН проведем прямую ЛМ перпендикулярно к ZH. Представим, что точка М находится па окружности полукруга, описанного на ZII; из точки М на продолжение прямой КЛ опустим перпендикуляр МО; оп будет перпендикулярен и к плоскости, в которой находятся АВ и ГД, так как КЛ перпендикулярна к ZII. Тогда (квадрат) па МО относится к (ква- драту) на МЛ, как квадрат EN к квадрату на NT**) мо2 _ мл2 кг2 Но квадрат на МЛ так относится к прямоугольнику между АК и КВ, как квадрат на L'N к квадрату на АД, мл8 г№ АК КВ~ АД2 так как квадрат на МЛ равен прямоугольнику между ZA и АН, а квад- рат на ГМ равен квадрату на rZ***); значит, квадрат на МО будет отно- ситься к прямоугольнику между АК и КВ, как квадратна EN к ква- драту на АД. МО2 _ SIM2 АК • КВ АД2 Но квадрат на К0 относится к прямоугольнику между АК и КВ, как квадрат на EN к квадрату на АД, Кб'* _ BN2 АК-КВ^ АД2 так как EN равна половине другого диаметра эллипса; отсюда ясно, что перпендикуляры МО и КО равны; следовательно, КО и ОМ будут параллельны. Так как МО параллельна оси цилиндра и точка М нахо- дится на поверхности последнего, то и МО необходимо будет находиться па поверхности цилипдра; отсюда ясно, что на поверхности последнего будет находиться и точка О. Этого же, (согласно предположению), не было; отсюда ясно, что эллипс необходимо должен лежать на поверх- ности цилиндра [3]. *) Так как NS будет половина второго диаметра и ГЕ«=ЯГг—№=. •*) Из подобия треугольников TEN и ЛОМ с параллельными сторонами. ***) Кроме того, А. *— — ГА ’ лрите ю АК кв Ад
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 187 X Более ранними математиками*) было доказано, что всякий конус имеет к другому конусу отношение, равное составленному из отноше- ний оснований и высот; таким же образом можно доказать, что всякий конический сегмент к другому коническому сегменту имеет отношение, равное составленному из отношений оснований и высот. Далее, что всякий цилиндрический сегмент в три раза больше кони- ческого сегмента с теми же основанием и высотой, может быть доказано тем же способом, как и то, что всякий цилиндр в три раза больше конуса •с теми же основанием и высотой, что и у цилиндра. XI (1) Если прямоугольный коноид рассечь плоскостью, проходящей через ось, или параллельной оси, то сечение будет параболой, и притом тождественной с той, которая охватывает упомянутое тело', ее диа- метр будет общей линией пересечения двух плоскостей, из которых одна является секущей фигуру, а другая проводится через ссь перпендикуляр- но к секущей плоскости. Если же рассечь его плоскостью, перпендикулярной к оси, то сече- ние будет кругом, имеющим центр на. сси. (2) Если тупоугольный коноид рассечь плоскостью, проходящей через ссь, или параллельно оси, или через вершину конуса, объемлющего коноид, то сечение будет гиперболой', при этом если секущая плоскость проходит через ось, то эта гипербола будет тождественна с той, кото- рая охватывает фигуру, если же сечение происходит параллельно оси, то только ей подобна, если же плоскость сечения проходит через вершину копуса, объемлющего коноид, то сечение не будет даже ей {то есть упо- мянутой гиперболе) подобно; диаметром гиперболы будет общая линия пересечения плоскости, секущей фигуру, с плоскостью, проведенной через ссь перпендикулярно к секущей. Если же рассечь его плоскостью, перпендикулярной к оси, то сечение будет кругом, имеющим центр на оси. (3) Если какой-нибудь из сфероидов рассечь плоскостью, прохо- ходящей через ось или параллельной оси, то сечение будет эллипсом, причем если плоскость сечения проходит через ось, то тождественным с охватывающим фигуру, если же она параллельна оси, то только ему подобным; диаметром эллипса будет общая линия пересечения плоско- сти, секущей фигуру, с плоскостью, проведенной через ось перпендикуляр- но к езкущей. Если же рассечь его плоскостью, перпендикулярной к оси; то сече- ние будет кругом, имеющим центр на оси. (4) Если какое-нибудь из упомянутых тел рассечь плоскостью, проходящей через ссь, то перпендикуляры, опущенные на секущую пло- ксстъ из точек, лежащих на поверхности тела, но не на линии сечения, упадут внутри сучения тела. Доказательства всех этих предложений очевидны [5]. *) Под этими «более ранними математиками» подразумевается Евдокс, труды которого дошли до нас и книге XII евклидовых «Начал».
188 АРХИМЕД XII Если прямоугольный коноид рассечь плоскостью, не проходящей через ось, а также не параллельной и не перпендикулярной к оси, то в сечении получится эллипс, большим диаметром которого будет заключенный внутри коноида отрезок линии пересечения плоскости, секущей фигуру, с плоскостью, проходящей через ось и перпендикулярной к ней, а меньший диаметр будет равен расстоянию между двумя проведенными через концы большого диаметра прямыми, параллельными оси. Пусть прямоугольный коноид будет расссчсп плоскостью, как указано {рис. 12}; пусть АВГ будет сечение коноида другой плоскостью, перпендикулярной к секущей и проходящей через ось, а прямая ГЛ — пересечением этой же плоскости с плоскостью, секущей фигуру; пусть прямая ВД будет осью коноида и диа- метром параболы. Требуется доказать, что сечение коноида плоскостью, проходящей через АГ, будет эллипсом, больший диаметр которого равен АГ, а меньший равен ЛА, если прямая ГЛ проведена параллельно ВД, а АЛ перпендикулярна к ГЛ. Рис. 12. Вообразим, что взята какая-нибудь точ- ка К сечения и из К опустим на ГА перпен- дикуляр К0; тогда К© будет также перпен- дикуляром к плоскости, в которой находится парабола ЛГВ, так каки секущая плоскость будет перпендикулярна к той же самой пло- скости. Через 0 под прямым углом к ВД проведем EZ, и через прямые EZ и К© проведем плоскость; последняя будет перпендикулярна к ВД; тогда коноид будет рассечен плоскостью, перпендикулярной к оси; так что полученное сечение будет кругом с центром в Д; значит, К© будет квадрировать прямоугольник на Z© и ©Е, ке’=2в.ев [ибо на EZ построен полукруг и перпендикуляр К© будет средней про- порциональной для отрезков Е0, 0Z]. Параллельно АГ проведем ка- сательную MN к параболе (пусть точкой касания будет N), а параллель- но EZ проведем прямую ВТ. Прямоугольник на А© и ©Г будет отно- ситься к прямоугольнику между Е©, ©Z, как квадрат на NT к квадрату на ВТ, ле-ег nt2 Ee-ez цт2 как уже было доказано (предложение III, 1). Но NT равна ТМ, так- как ВР равна ВМ; значит, и прямоугольник между Л© и ©Г имеет к квадрату на К© то же отношение, что квадрат на Т М к квадрату па ТВ; де.er _ тмя ке2 значит, квадрат на перпендикуляре ©К к прямоугольнику между А0, ©Г будет иметь то же отношение, что квадрат на ВТ к квадрату на ТМ. , ек2 ВТ2 Ав-©Г ТМ2
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 189 Так как треугольники ГАЛ и Т МВ подобии, то квадрат на перпенди- куляре (ЭК к прямоугольнику между АО и ОГ будет иметь то же отно- шение, что квадрат на АЛ к квадрату па АГ. (Ж2 АЛ2 Ав-ег- АГ2 Подобным же образом докажем, что квадраты на других перпендику- лярах, опущенных па прямую АГ с (линии) сечения, будут к пря- моугольникам между (соответствующими) отрезками АГ иметь то же отношение, что квадрат АЛ к квадрату АГ; таким образом, ясно, что сечение будет эллипсом, наибольшим диаметром которого будет АГ, а наименьший будет равен АЛ. . XIII Если тупоугольный коноид рассечь плоскостью, которая встречала бы все стороны конуса, объемлющего коноид, и не была бы перпендикуляр- на к сси, то сечение будет эллипсом, наибольшим диаметром которого является заключенный виу- три коноида отрезок ли- Л_Г''\т нии пересечения плоскости, секущей коноид, с плоско- s' стою, к ней перпендикуляр- ной, проведенной через ось. / Т'чхЧ Рассечем тупоуголь- ПЬШ КОНОИД плоскостью, как указано {рис. 13}. Пусть гипербола АВГ пред- ставляет сечение коноида ₽ис- 13- другой плоскостью, про- ходящей через ось, и перпендикулярной к первой секущей плоско- сти; пусть прямая АГ будет сечением плоскости, секущей фигуру, а ВД — осью коноида и диаметром гиперболы. Вообразим какую-ни- будь точку К, взятую на линии сечения и опустим из К па АГ перпенди- куляр КО; последний будет также перпендикуляром к плоскости, в ко- торой лежит гипербола АВГ. Через О перпендикулярно к ВД проведем EZ, а через прямые EZ и КО проведем плоскость, пересекающую коноид; таким образом, последний будет рассечен плоскостью, перпен- дикулярной к оси, так, что в сечении получится круг с центром в Д; следовательно, перпендикуляр па КО будет квадрировать прямоуголь- ник между ЕО, 0Z; кег-Ев-oz теперь проведем параллельно АГ касательную MN к гиперболе в точ- ке N и прямую ВТ, параллельную EZ; тогда прямоугольник между ВО и ®Z будет относиться к прямоугольнику между АО, ОГ, как квадрат на ВТ к квадрату на TN; ES-OZ^ ВТ2 Ав-’ёг “ та» таким образом, квадрат на перпендикуляре К® относится к прямоуголь- нику между АО и ОГ, как (квадрат) на ВТ к квадрату на TN. КО2 ВТ2 АО0Г~ TN2 Подобным же образом докажем, что квадраты других перпендикуляров,
190 АРХИМЕД опущенных с липни сечения на АГ, к прямоугольникам между отрез- ками, образуемыми этими перпендикулярами на АГ, будут относиться, как квадраты на ВТ и па TN. При этом ВТ будет меньше TN, так как и МТ меньше TN, (а МТ больше ВТ), поскольку МВ меньше, чем ВР; последнее же является характерным свойством гиперболы. Таким образом, ясно, что сечение будет представлять эллипс с наибольшим диаметром АГ [6]. XIV Если удлиненный сфероид рассечь плоскостью, не перпендикулярной к оси, то в сечении получится эллипс, наибольшим диаметром которого будет заключенный внутри сфероида отрезок общей линии пересечения, плоскости секущей фигуры с плоскостью, перпендикулярной к ней и про- ходящей через ось. Если сечение производится плоскостью, проходящей через ось или параллельной оси, то предложенное очевидно. Рассечем сфероид какой-нибудь другой плоскостью; скостыо, проходящей через ось и Рис. 14. Подобно предыдущему докажем, ели, кроме того, рассечь его пло- перпондикулярной к секущей, то в сечении со сфероидом получится эллипс АВГД, а в сечении с секу- щей плоскостью — прямая ГА. Пусть ВД будет осью сфероида и диаметром эллипса, точка X —цен- тром и ПР — наименьшим диамет- ром {рис. 14}. Проведем ВТ, пер- пендикулярную к ВД, и касатель- ную HN к эллипсу в точке N, параллельную АГ; через X парал- лельно АГ проведем также МА. то квадраты на перпендикулярах, опущенных из точек кривой сечения на АГ, находятся с прямоуголь- никами между отрезками АГ в том же самом отношении что квадрат на ВТ к квадрату па TN. BT2 Ав ОТ — Т№ Что полученное сечение будет эллипсом и АГ его диаметром, очевидно, а что АГ будет наибольшим диаметром, требуется доказать. Прямоугольник между ПХ, ХР имеет к (прямоугольнику) меяеду MX, ХА то же отношение, что (квадрат) на ВТ к (квадрату) на NT, пх хр _ нт® МХ-ХЛ ~ NT’» так как ПР и МЛ проведены параллельно касательным. Но прямоуголь- ник между ПХ, ХР будет меньше (прямоугольника) между MX, ХЛ, так как ХП меньше ХЛ; значит, и квадрат на ВТ будет меньше квадрата на TN; таким образом, и квадраты на перпендикулярах, опущенных на АГ из (точек) кривой сечения, будут меньше прямоугольников между отрезками ЛГ. ек»< леев Теперь ясно, что диаметр ЛГ будет наибольшим*). *) Действительно, если точка 0 будет совпадать с серединой Л Г, то мы имеем: ©К1 < / АГ Л Г , то есть—---полудиаметр, соответствующий АГ, — будет больше дерпепдшеуллрного- ему полудиамстра ©К.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 191 Если сплющенный эллипсоид рассечь плоскостью, то все получится так же, но отрезок внутри сфероида будет наименьшим диаметром. Из этого ясно, что во всех этих телах сечения параллельными друг другу плоскостями будут подобными, так как квадраты перпендикуля- ров {опущенных из точек линии сечопия) будут иметь одинаковые отношения к прямоугольникам между (соответствующими) отрезками. XV (1) В прямоугольном коноиде прямые, проведенные параллельно оси из любой точки на поверхности коноида, будучи продолжены в сторону выпуклости коноида, пройдут вне последнего, продолженные же в про- тивоположную сторону— попадут внутрь последнего. Действительно, если провести плоскость через ось и ту точку, через которую проводится прямая, параллельная оси, то в сечении получится парабола, диаметр которой будет и осью коноида; для параболы же пря- мая, проведенная параллельно диаметру через всякую точку кривой, со стороны выпуклости попадает вне параболы, с противоположной же стороны—внутри последней; таким образом, предложенное очевидно. (2) В тупоугольном коноиде прямые, проведенные из любой точки на его поверхности параллельно какой-нибудь линии, проведенной в ко- ноиде через вершину объемлющего коноид конуса, будучи продолжены в сторону выпуклости коноида, пройдут вне последнего, продолженные же в противоположную сторону попадут внутрь его. Действительно, осли провести плоскость через прямую, проведен- ную в коноиде через вершину объемлющего коноид конуса, и через ту точку, мз которой проводится рассматриваемая прямая, то в сечении получится гипербола, диаметром которой будет прямая, проведенная в коноиде через вершину объемлющего конуса*). Для гиперболы же прямая, проведенная через всякую точку кривой, идущая параллельно с прямой, проведенном указанным способом, и продолженная в сторону выпуклости кривой, пройдет вне ее, продолженная же в противополож- ную сторону попадет внутрь. (3) Если плоскость касается коноида, не пересекая его, то она касается только в одной точке, причем плоскость, проведенная через ось и точку касания, перпендикулярна, к касательной плсскести. Действительно, пусть, если возможно, она будет касаться конопда в нескольких точках. Если мы возьмем какие-нибудь две точки, в кото- рых эта плоскость касается коноида, и через каждую из них проведем прямую, параллельную оси, то плоскость, проведенная через эти пря- мые, будучи продолжена, или пройдет через ось, или же будет ей парал- лельна; таким образом, в сечении получится какое-нибудь коническое сечение, и взятые точки окажутся на некотором коническом сечении, так как они лежат и на поверхности коноида и на секущей плоскости. Тогда прямая, соединяющая взятые две точки, будет внутри конического сечения, а следовательно, окажется и внутри поверхности коноида. Но эта прямая находится па касательной плоскости, так как па последней лежат обе выбранные точки; значит, некоторая часть касательной пло- скости окажется внутри коноида; это же невозможно, так как предполо- жено, что эта плоскость пе пересекает коноида. Таким образом, рассмат- риваемая плоскость будет касаться коноида только в одной точке. ') См. комментарий 17].
192 АРХИМЕД А что плоскость, проведенная через точку касания и ось, будет перпендикулярна к касательной плоскости, то это очевидно, если каса- ние происходит в вершине коноида. Действительно, если через ось коноида провести две плоскости, то в сечениях получатся конические сечения, имеющие своим диаметром ось, и лежащие на касательной пло- скости прямые будут касаться этих конических сечений в конце диа- метра. Прямые же, касающиеся конических сечений в конце диа- метра, образуют с последним прямые углы; таким образом, в касатель- ной плоскости будут две прямые, перпендикулярные к оси. Значит, касательная плоскость будет перпенди- кулярна к оси, а поэтому и к всякой проходящей через ось плоскости. Пусть теперь плоскость будет ка- саться коноида не в вершине послед- него. Проведем плоскость через точку касания и ось; в сечении с коноидом получится коническое сечение АВГ {рис. 15). Пусть ВД будет осью (ко- ноида) и диаметром (сечения), сече- нием касательной плоскости будет пря- мая же E©Z, касающаяся конического сечения в точке ©.Из 0 опустим на ВД перпендикуляр ©К и проведем через К плоскость, перпендикулярную к оси; она образует в сечении круг с центром К, Сечение этой (последней пл оскости) и ка- касательпой к кругу прямой; значит, сатсльной плоскости будет последняя образует с ©К прямые углы; отсюда же следует, что она будет перпендикулярна и к плоскости, в которой находится К© и ВД. Таким образом, ясно, что к этой же самой плоскости будет перпенди- кулярна и касательная плоскость, так как расположенная в пей пря- мая*) будет перпендикулярна к этой же самой плоскости. XVI (1) Если какой-нибудь из сфероидальных фигур касается плоскость, не пересекающая этой фигуры, то она будет касаться только в одной точке, и плоскость, проведенная через точку касания и ось, будет пер- пендикулярна к касательной плоскости. Действительно, пусть она будет касаться в нескольких точках. Тогда, если мы возьмем точки, в которых эта плоскость касается сферо- ида, и через каждую из иих проведем параллельную оси прямую, и через эти прямые проведем плоскость, то ее сечение с коноидом будет эллип- сом, и эти точки окажутся па коническом сечении. Теперь прямая, соединяющая эти точки, будет внутри конического сечения, а следова- тельно, окажется внутри и поверхности сфероида. Но эта прямая нахо- дится па касательной плоскости, Tait как на ней же лежат и взятые точки; значит, какая-то часть касательной плоскости будет внутри сфероида. Но это не имеет места, ибо, согласно предположенному, опа не пересе- кает сфероида. Таким образом, ясно, что опа будет касаться только в одной точке. А что проведенная через точку касания и через ось пло- *) Речь идет о проведенной через 6 касательной к кругу.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 193 скость будет перпендикулярна к касательной плоскости, мы докажем подобно тому, как и для коноидов. (2) Если, какую-нибудь из коноидалъных или сфероидальных фигур рассечь проходящей через ось плоскостью и провести прямую, касаю- щуюся полученного сечения, и на касательной восставить плоскость, перпендикулярную к секущей, то она будет касаться фигуры в той же самой точке, в которой проведенная прямая касается конического сечения. Действительно, она пе коснется поверхности этой фигуры в какой- нибудь другой точке; иначе перпендикуляр, опущенный из этой точки на секущую плоскость, попал бы вне конического сечения, так как он попадет на касательную плоскость, поскольку упомянутые плоскости будут перпендикулярны друг к другу; это же невозможно, ибо дока- зано, что он упадет внутрь сечения *). (3) Если какой-нибудь из сфероидальных фигур касаются две парал- лельные плоскости, то прямая, соединяющая точки касания, пройдет, через центр сфероида. Действительно, это очевидно, если обе плоскости перпендикулярны к оси; пусть же они не будут перпендикулярны. Тогда плоскость, про- веденная через ось и точку касания одной пло- скости, будет перпендикулярна к касательной плоскости, а следовательно, и к плоскости, ей .s’" параллельной. Значит, необходимо, чтобы пло- [ / скость, проходящая через ось и каждую точку I-----у/- ----Д касания, была одной и той же. В противном слу- / J чае будут две плоскости, перпендикулярные к одной и той же плоскости, и проведенные через одну и ту же прямую, не являющуюся пер- нендикулярной к этой плоскости, ибо мы пред- ис* положили, что ось не будет перпендикулярной к параллельным плоскостям; значит, ось и обо точки касания будут находиться в одной и той же плоскости, и сфероид будет рассечен пло- скостью, проходящей через ось {рис. 16}. В таком случае сечение будет эллипсом, сечения же касательных плоскостей будут параллельными прямыми, касающимися эллипса в точках касания плоскостей; если же две параллельные прямые касаются эллипса, то центр эллипса и точки касания будут находиться на одной прямой. XVII Если к какой-нибудь из сфероидальных фигур провести две парал- лельные касательные плоскости и. кроме того, через центр сфероида про- вести плоскость, параллельную касательным, то прямые, проведенные через точки полученной линии сечения параллельно прямой, соединяющей, точки касания, попадут впе сфероида {рис. 17}. Предположим все сказанное уже существующим и возьмем на полу- ченной линии сечения какую-нибудь точку, затем через взятую точку и прямую, соединяющую точки касания, проведем плоскость; тогда последняя рассечет как сфероид, так и обо параллельные плоскости. •) Так как втот перпендикуляр лежит в касательной плоскости, то он должен обязательно попасть иа прямую, касательную к коническому сечению; все же точки касательной, кроме точки касания, будут находиться вне конического сечения. Доказательство, что указанный перпендикуляр попадет внутрь конического сечения, дано (или, вернее, подразумевается) в последней части пред- ложения XI. 13 Архимед
194 АРХИМЕД Пусть сечение сфероида будет [эллине] АВГД, сечения касательных пло- скостей — прямые EZ, (ЭН, взятая точка Л, прямая, соединяющая точки касания, пусть будет ВД (последняя, конечно, пройдет через центр), сечение же плоскости, параллельной касательным плоскостям, бу- дет ГЛ; эта прямая также пройдет через центр, поскольку через центр проходит и соответствующая плоскость. Теперь так как АВГД будет или кругом или эллипсом, и ее касаются две прямые EZ, П<Э, а через центр проведена параллельная им АГ, то ясно, что проведенные через АГ, парал- лельно ВД прямые будут касательными к сечению и попадут вне сфероида [8]. Если же параллельная касательным рис. и. плоскость пе будет проведена через центр, как, например, КЛ, то ясно, что из проводи- мых через точки сочепия(параллельно ВД) прямых те, которые будут со стороны меныпего сегмента, попадут вне сфероида, те же, которые с противоположной стороны — внутрь его. XVI11 Всякая сфероидальная фигура, рассекаемая плоскостью через центр, и сама рассекается этой плоскостью пополам, и ее поверхность. Действительно, рассечем сфероид через центр плоскостью; тогда он будет рассечен или через ось, или же перпендикулярно к ней, или же не перпендикулярно к оси. Если сфероид сечется через ось, или же перпендикулярно к оси, то ясно, что и сам разделятся пополам, так как одна совпадать с другой, а также и по- верхность одной его части с поверх- ностью другой. Так пусть теперь сфероид будет рассечен плоскостью, не проходящей через ось и не перпендикулярной к осп. Если мы рассечем сфероид плоскостью, перпендикулярной к секущей и проходящей через ось, то сечением самой фигуры пусть будет эллипс АВГД, его диаметр и ось сфероида — прямая ВД и центр — 0, сечением же плоскости, рассекшей сфероид через центр, пусть будет прямая АГ {рис. 18]. Возьмём еще оп и его поверхность его часть будет, очевидно, какой-нибудь другой сфероид. равный этому и подобный; пусть при сечении его плоскостью через ось получится эллипс EZITN, его диаметр и ось сфероида пусть будет ЕВ, а центр К {рис. 19); проведем через К прямую ZN, образующую угол К , равный углу 0, и пусть на ZN будет восставлена плоскость, перпен- дикулярная к той, в которой находится сечение EZHN; тогда полу- чатся два равных и подобных друг другу эллипса АВГА и EZIIN; они совпадут друг с другом, если совместить EII с ВД, a ZN с А Г. Тогда и плоскость, проходящая через NZ, совпадет с плоскостью через АГ, так как обе они проходят через одну и ту же прямую и перпендмку-
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 195 лярвы к одной и той лее плоскости. Тогда и сегмент, отсеченный по -NZ от сфероида и находящийся с той стороны, где Е, совпадет с другим сегментом, отсеченным по АГ от другого сфероида и находящимся с той стороны, где В; совпадут также и оставшиеся сегменты и поверхности одних сегментов с поверхностями других. Затем если мы поместим ЕН на ВА так, чтобы точка Е легла на Д, а Н — на В, прямая же между точ- ками N, Z—на прямую между точками А, Г, то ясно, что друг с дру- гом совпадут и оба эллипса и что Z попадет в Г, a N в А. Точно так же и проходящая через NZ плоскость совпадет с плоскостью, проходящей через АГ, и из отсеченных плоскостью по АГ сегментов тот, который находится со стороны Н, совпадет с тем из отсеченных плоскостью по АГ сегментов, который будет со стороны В, а тот, который находится со стороны Е, совпадет с тем, что со стороны А. Но так как один и тот же сегмент совпадает с каждым из двух сегментов, то ясно, что оба эти сегмента будут равны; поэтому же будут равны и поверхности (сегментов). XIX Если дан сегмент какого-нибудь ия коноидов, отсеченный перпендику- лярной к оси плоскостью, или же сегмент какого-нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно так же отсеченный, то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него дру- гую, состоящую из имеющих рав- ную высоту цилиндров, и притом так, чтобы, описанная, (фигура была больше вписанной на величину, меньшую любой наперед заданной телесной величины. Пусть дан сегмент, как, на- пример, АВГ, сечение его прове- денной через ось плоскостью бу- дет АВГД, сечение же отсекшей его плоскости пусть будет прямая АГ, а ось сегмента и диаметр сече- ния ВД {рис. 20}. Поскольку секу- щая плоскость предполагается перпендикулярной к оси, то сече- ние будет кругом с диаметром ГА. Пусть на этом круге будет ци- линдр, имеющий осью ВД; тогда его поверхность пройдет вне сег- мента, поскольку последний является сегментом коноида или сфероида, не большим половины сфероида. Если этот цилиндр мы будем постоян- но делить пополам перпендикулярной к оси плоскостью, то когда-нибудь получится остаток, меныпий заданной телесной величины; пусть таким его остатком будет цилиндр, имеющий основанием круг на диаметре АГ, а осью ЕД, и меньший заданной телесной величины. Разделим ВД в Р, О, 1.1, В на равные ЕД части, через точки деления параллельно АГ проведем к коническому сечению прямые, и на этих проведенных пря- мых восставим перпендикулярные к ВД плоскости; в сечениях получат- ся круги, имеющие центры па ВД. На каждом из этих кругов построим 13*
J96 АРХИМЕД два цилиндра, оба с осью, равной ЕД, один в ту сторону от круга, где находится Д, другой же в ту, где находится В; таким образом в сегменте получится некоторая вписанная телесная фигура, составленная из цилиндров, построенных в ту сторону, где находится Д, и другая опи- санная, составленная из цилиндров, построенных в ту сторону, где находится В. Остается лишь доказать, что описанная фигура превосхо- дит вписанную на величину, мепьшую любой заданной телесной вели- чины. Каждый из цилиндров во вписанной фигуре будет равен цилиндру, построенному на том же круге в ту сторону, где находится В, как, например, цилиндр &Н равен 01, цилиндр КЛ равен КМ и точно так же и остальные, причем все вместе взятые такие цилиндры одной фигуры будут равны всем цилиндрам другой. Теперь ясно, что описанная фигу- ра будет больше вписанной па цилиндр, имеющий основанием круг па диаметре АГ и ось ЕД; этот же цилипдр меньше заданной телесной вели- чины. XX Если дан сегмент какого-нибудь из коноидов, отсеченный плоскостью, не перпендикулярной к оси, или же сегмент какого-нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно так же отсеченный, то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него другую, составленную из цилиндриче- ских сегментов, имеющих рав- ную высоту, и притом так, чтобы описанная фигура была больше вписанной на величину, меньшую любой наперед задан- ной телесной величины. Пусть будет дан такой сег- мент, как сказано; рассечем его другой плоскостью через ось, перпендикулярной к отсекшей заданный сегмент плоскости; пусть сечение данной фигуры будет коническое сечение АВГ {рис. 21}, сечение же отсекшей сегмент плоскости пусть будет прямая ГА. Теперь, поскольку отсекшая сегмент плоскость предполагается не перпендику- лярной к оси, то сечение будет эллипсом с диаметром ЛГ. Пусть будет параллельная ЛГ касательная ФГ к коническому сечению, и пусть она касается в В; восставим наФГ плоскость, параллельную той, которая проходит через АГ; и эта плоскость будет в В касаться нашей ^фигуры. И если сегмент принадлежит прямоугольному коноиду, то из В параллельно оси проведем ВЛ, если же тупоугольному,то прямую, проведенную к В от вершины объемлющего коноид конуса, продолжим в виде ВД, если же сегмент принадлежит сфероиду, то пусть ВА будет отсеченной частью прямой, проведенной (из цептра) до В; ясно, что ВД разделит АГ пополам, так что В будет вершиной сегмента, прямая же ВД — его осью. Получится некоторый эллипс на диаметре АГ и линия ВД, восставленная из центра в плоскости, перпендикулярной к той,
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 1S7 в которой находится эллипс, и проходящей через другой диаметр (эл- липтической грани). Теперь можно найти цилиндр, имеющий ось ВЛ, на поверхности которого будет находиться эллипс, построенный на диа- метре АГ (предложение IX); поверхность этого цилиндра окажется вне сегмента, поскольку последний принадлежит коноиду или сфероиду и (в последнем случае) не больше половины сфероида. Получится неко- торый цилиндрический сегмент, имеющий основаниями эллипсы на диаметре АГ и осью прямую ВД; если этот сегмент мы будем делить пополам плоскостями, параллельными той, что проходит через АГ. то (в конце концов) получится остаток, меньший наперед заданной телесной величины. Пусть сегмент, имеющий основанием эллипс на диаметре АГ, а осью ЕД, будет меньше наперед заданной телесной величины. Разделим ДВ на части, равные ДЕ, через точки деления па- раллельно АГ проведем до конического сечения прямые и на этих проведенных прямых восставим плоскости, параллельные той, которая проходит через АГ; эти плоскости рассекут поверхность сегмента и об- разуют эллипсы, подобные тому, который ла диаметре АГ, вследствие параллельности соответствующих плоскостей. На каждом таком эллип- се построим два цилиндрических сегмента, имеющих ось, равную ДЕ, один в ту сторону от эллипса, где находится Д, другой же — в ту, где находится В; тогда получатся две некоторые телесные фигуры, одна впи- санная в сегмент, другая же описанная около него, составленные из цилиндрических сегментов, имеющих равную высоту. Остается дока- зать, что описанная фигура превосходит вписанную на величину, мень- шую наперед заданной телесной величины. Подобно предыдущему дока- жем, что описанная фигура превышает вписанную па сегмент, имеющий основанием эллипс на диаметре АГ и ось ЕД; последний же меньше па- перед заданной телесной величины. . . XXI Изложив все это, перейдем к доказательству теорем, предложен- ных относительно рассматриваемых фигур. Всякий сегмент прямоугольного коноида, отсеченный плоскостью, перпендикулярной к оси, будет в полтора раза больше конуса, имеющего те же самые основания и ось, что и сегмент. Пусть будет сегмент прямоугольного коноида, отсеченный пло- скостью, перпендикулярной к оси; рассечем его через ось другой пло- скостью, и пусть в сечении с поверхностью получится парабола АВГ, в сечении же с плоскостью, отсекшей сегмент, прямая ГА, ось сегмента будет ВД; пусть также будет конус, имеющий с сегментом тс же самые основание и ось, вершина которого В. Требуется доказать, что сегмент коноида будет в полтора раза больше этого конуса. Построим конус Т {рис. 22], который был бы в полтора раза боль- ше конуса, основанием которого является круг на диаметре АГ, а осью—прямая ВД; пусть также будет цилиндр, имеющий основанием круг на диаметре АГ и ось ВД; тогда копус Y будет половиной цилиндра, {поскольку конус Y в полтора раза больше упомянутого выше копуса]. Я утверждаю, что сегмент коноида будет равен конусу Y. Действительно, если он ему не равен, то будет или больше или меньше. Пусть сначала, если возможно, он будет больше. Впишем в сегмент телесную фигуру {рис. 23] и опишем около него другую^
198 АРХИМЕД составленную из цилиндров, имеющих одинаковую высоту, таким обра- зом, чтобы описанная фигура превосходила вписанную на величину, мепьшую той, на которую сегмент копоида больше конуса Уг, и пусть из цилиндров, составляющих описанную фигуру, наибольший будет иметь основанием круг на диаметре АГ и ось ЕД, наименьший ясе будет иметь основанием круг на диамет- ре ST и ось 131, а из ци- линдров, которые составляют вписанную фигуру, наиболь- шим будет имеющий основа- нием круг на диаметре КЛ, а осью ДЕ, наименьшим ясе — имеющий основанием круг на диаметре ST и осью 61; плоскости всех этих цилинд- ров продолжим до поверхно- сти цилиндра, имеющего ос- нованием круг на диаметре ЛГ и осью ВД; тогда весь цилипдр будет разделен на цилиндры, количество кото- рых равпо их количеству в описанной фигуре, и которые по величине равны наиболь- шему из этих цилиндров. И так как описанная около сег- мента фигура превосходит вписанную на величину, меньшую той, на которую сегмент больше конуса, то ясно, что и вписанная в сег- мент фигура будет больше ко- нуса У/1. Первый цилиндр из содержащихся в целом ци- линдре, а именно, имеющий осью ДЕ, с первым цилиндром во вписанной фигуре, имеющим осью ДЕ, находится в том же самом отношении, какое квадрат на ДА имеет к квадрату на КЕ; это яге отношение равно тому, которое ВД имеет к BE *), дла = ВА КЕа BE и тому, которое ДА имеет к ЕЕ. ВД ДА BE ' ЕЕ Точно так же докажем, что второй цилиндр из содержащихся в целом цилиндре, а именно имеющий ось EZ, со вторым цилиндром во вписан- ной фигуре с той же осью EZ будет находиться в том же отношении, что ПЕ, или АД. к ZO, и что каждый из остальных цилиндров, содср- *) На основании, основного свойства параболы, выражаемого па современном математичс- ^буду' *ЕГ УРапнСи11-см р“—'2jpx, абсциссами ж будут ВЕГ Вд} а соответствующими ординатами
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 199 жащихся в целом цилиндре и имеющих оси, равные ДЕ, с соответствую- щим цилиндром во вписанной фигуре с той же самой осью будет находить- ся в таком же отношении, как половина диаметра его основания к отрез- ку итого самого диаметра между прямыми А13 и ВД. Таким образом, все цилиндры, находящиеся в цилиндре, основание которого есть круг иа диаметре ЛГ, а ось — прямая Д1, со всеми цилиндрами во вписан- ной фигуре будут находиться в том же самом отношении, которое все взятые вместе прямые — радиусы кругов, являющихся основаниями упомянутых цилиндров, имеют ко вместе взятым всем прямым — отрезкам этих радиусов, содержащихся между ЛВ и ВЛ. Но все первые упомянутые прямые будут более чем вдвое больше вторых упомянутых прямых без АД*); таким образом, и все цилиндры, заключающиеся в цилиндре с осью AI, будут более чем вдвое больше вписанной фигуры; значит, и подавно целый цилиндр, ось которого ДВ, будет более чем вдвое больше вписапной фигуры. Но этот цилиндр был вдвое больше конуса 1Р ; значит, вписанная фигура меньше конуса *Е, а это невозможно, ибо доказано, что она боль- ше. Таким образом, коноид ле будет больше конуса Т, Точно так же он не будет и меньше. Действительно, снова впишем и опишем рассматриваемые две фигуры так, чтобы они различались между собой на величину, меньшую той, па которую конус Т больше коноида, и устроим все остальное совершенно так же, как и прежде. Теперь, поскольку вписанная фигура будет меньше сегмента и вписанная отличается от описанной па величину, меньшую той, па которую сег- мент меньше конуса Чг, то ясно, что описанная фигура будет меньше кону- са Т. Тогда точно так же первый из цилиндров в целом цилиндре, именно имеющий ось ДЕ, к первому из цилиндров в описанной фигуре с той же самой осью ЕД, будет иметь то же самое отношение, что квадрат на АД к себе самому; второй же из цилиндров целого цилиндра, имеющий ось EZ, ко второму цилиндру в описанной фигуре с осью EZ будет иметь то же самое отношение, что квадрат на ДА к квадрату на КЕ. Это же отношение будет тождественно с тем, которое имеют ВД к BE и ЛЛ к ЕЕ, Ада _ ВД ДА КЕ2‘ ~ BE “ КЗ и каждый из остальных цилиндров в целом цилиндре, имеющих оси равными ДЕ, к соответствующему цилиндру и описанной фигуре с той же самой осью будет иметь такое же отношение, как половина диаметра его основания к своему отрезку между прямыми АВ и ВД; таким обра- зом, все цилиндры в целом цилиндре, ось которого есть прямая ВД, ко всем цилиндрам в описанной фигуре будут иметь то же самое отно- шение, что все первые прямые ко всем вторым прямым. тлиндр АВГД_ п-АД -оп. фигГАВГД “ АД-?-ЕЕ i OZ ... г», раз *) Следует отметить небольшой недосмотр Архимеда. Если считать, что прямая ВЛ разделена на л частей, равных ЕА, то в написанную пропорцию входит всего и—1 цилиндров и соответственно прямых АД, а также ЕЕ, ZO и т. д. Пусть прямая АД будет равна пх, тогда п—1 прямых ЕЕ, ZO и т, Д. дадут в сумме: :t“4-2х-г ... -г (n— 1 )*х—- пх(п— 1), что будет ровно вдвое меньше (гг—1)АЛ 1)пх, Таким образом, вое цилиндры, заключающиеся в цилиндре с осью Д1, ровно вдвое больше вписанной фигуры; более чем вдвое больше будет только свесь цилиндр АВГ, состоящий из п цилиндрических сегментов.
200 АРХИМЕД Но все прямые, являющиеся радиусами кругов — оснований этих цилиндров, будут меньше всех удвоенных прямых, составляющих их отрезки, вместе с АА. Теперь ясно, что все цилиндры в целом цилиндре будут меныпе- удвоенных всех цилиндров в описанной фигуре; значит, цилиндр, имею- щий основанием круг на диаметре АГ и ось ВД, будет меньше удвоен- ной описанной фигуры. Но это не так: он будет более чем вдвое боль- шим, ибо он вдвое больше копуса Т, в то время как описанная фигура, согласно доказанному, мень- ше конуса V. Значит, сегмент коноида пе будет и меньше конуса Чг. Но доказано, что- он и не больше; значит, он будет в полтора раза больгао конуса, имеющего с сегмен- том те же самые основание и ось [9]. XXII И если- сегмент прямо- угольного коноида будет от- секаться плоскостью, не пер- пендикулярной к оси, он точ- но так же будет в полтора раза больше сегмента конуса, имеющего то же самое основа- ние и ту же ось, что и сег- мент коноида. Пусть будет сегмент пря- моугольного коноида, отсе- ченный указанным образом; рассечем его плоскостью, про- ходящей через ось и перпен- дикулярной к плоскости, от- секшей сегмент; пусть сечение фигуры будет парабола АВГ, а сечение плоскости, отсек- шей сегмент, — прямая А Г; пусть ФГ будет касательная к параболе в В, параллельная АГ; параллельно оси прове- дем ВА; последняя разделит АГ пополам; затем на ФТ восставим плоскость, параллельную той, которая проходит через АГ; эта плоскость будет касаться коноида в (точке) Б, причем точка В будет вершиной сегмента, а ВА его осью {рис. 24 и 25]. Теперь поскольку проходящая через АГ плоскость рассекла коно- ид, не будучи перпендикулярной к его оси, то в сечении получится эллипс, наибольший диаметр которого будет АГ. Тогда, имея эллипс па диаметре ГА и линию ВА, которая проведепа из центра эллипса в пло- скости, восставленной через диаметр перпендикулярно к той, в которой находится сам эллипс, мы можем найти цилиндр, имеющий ось на одной.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 201; прямой с ВД, на поверхности которого будет находиться этот эллипс (предложение IX); также можно найти и конус, имеющий вершиной точку В, на поверхности которого будет находиться рассматриваемый эллипс (предложение VIII); таким образом, получится некоторый цилиндрический сегмент, имеющий основанием эллипс на диаметре ЛГ и осью—прямую ВД, и вместе с ним конический сегмент, имеющий те же самые ось и основание, что и сегменты цилиндра и коноида. Требуется доказать, что сегмент коноида будет в полтора раза больше этого кони- ческого сегмента. Пусть будет конус Т, в полтора раза больший этого конического сегмента; тогда цилиндрический сегмент, имеющий те же основание и ось, что и рассматриваемый сегмспт, будет в два раза больше конуса Т, ибо последний в полтора раза больше конического сегмента, имеющего те же основание и ось, что и рассматриваемый сегмент, упомянутый же конический сегмент будет третьей частью цилиндрического сегмента, имеющего то же основание и ту же ось, что и конический сегмент. Необ- ходимо, чтобы сегмент коноида равнялся конусу Т". Действительно, если он не равен, то будет или больше, или меньше. Пусть сначала он, если возможно, будет больше. Тогда впишем в сег- мент телесную фигуру и опишем около него другую, составленную из цилиндрических сегментов, имеющих равные высоты, так, чтобы описанная фигура превосходила вписанную на вел ичину меньшую той, на которую сегмент коноида больше конуса Ч*-; и плоскости сечений продолжим до поверхности цилиндрического сегмента, имеющего те же основание и ось, что и сегмент коноида. Опять первый сегмент в целом цилиндрическом сегмспте, имеющий ось ДЕ, будет к первому сегменту вписанной фигуры с осью ДЕ иметь то же самое отношение, что квадрат па АД к квадрату на КЕ; ибо сегменты с одинаковой высотой имеют друг к другу то же самое отношение, что и основания, осно- вания же их, являясь подобными эллипсами, имеют то же самое отно- шение, что соответственные их диаметры в квадратах, и АД, КЕ будут половинами соответственных диаметров. Но какое отношение имеют АД к КЕ в квадратах, такое же отношение будет иметь и ВЛ к БЕ линейно, АЛ° ВД КЕД BE так как ВД параллельна диаметру, а АД и КЕ параллельны касатель- ной в В; какое же отношение ВД имеет к BE, то же самое имеет и АД к ЕЕ. ВД _ АД BE ЕЕ Таким образом, первый сегмент в целом цилиндрическом сегменте к первому ссгмспту вписаппой фигуры будет иметь то же самое отноше- ние, что АД к ЕЕ; и каждый из остальных сегментов в целом цилинд- рическом сегменте с высотой, равной ДЕ, к соответствующему сегменту во вписанной фигуре с той же осью будет иметь такое же отношение, как половина диаметра его основания к заключающемуся между АВ и ВД ее отрезку. Таким образом, подобно предыдущему докажем, что вписанная фигура больше конуса Т", а цилиндрический сегмент с теми же основанием и осью, что и у сегмента коноида, более чем в два раза больше вписанной фигуры; таким образом, он будет более чем в два раза больше и конуса Это же не так, но он только в два раза больше его. Значит, сегмент коноида не будет больше конуса У. При помощи
202 АРХИМЕД таких же рассуждений докажем, что он и не меньше; таким образом, ясно, что он будет ему равен. Итак, сегмент коноида в полтора раза боль- ше конического сегмента, имеющего то же самое основание и ту же ось, что и рассматриваемый сегмент. XX Ш Если от прямоугольного коноида отсечь два сегмента — один пло- скостью, перпендикулярной к оси, другой же — не перпендикулярной, так, чтобы оси обоих сегментов были равны, то будут- равны и сами сегменты. Отсечем от прямоугольного коноида два сегмента, как было ска- зано; рассечем также коноид плоскостью через ось [и другой плоско- стью, перпендикулярной к оси]; пусть сечение коноида будет пара- бола ЛВГ с диаметром ВД, сечеттия же обоих упомянутых плоско- стей —прямые AZ, ЕГ, причем ЕГ будет сече- нием плоскости, перпен- дикулярной к оси, а ZA — не перпендику- лярной; пусть равные друг другу оси этих сегментов будут ВО, КЛ, а вершины В, Л. Требуется доказать, что сегмент коноида с вер- шиной В будет равеп сегменту коноида с вер- шиной Л {рис. 2(5}. Действительно, так как от одной и той же параболы отсечены два сегмента AAZ и ЕВ Г, и их диаметры КЛ и В© равны, то и треугольник ЛАК будет равен Е©В; ибо уже доказано (предложение ТГТ), что треугольник AAZ ранен треугольнику ЕВГ. Опустим перпендикуляр АХ на продолжение КЛ. Поскольку В© и КЛ равны, то будут равпы и Е©, АХ*). Пусть в сегмент с вершиной В будет вписан конус, имеющий с этим сегментом то же самое основание и ту же ось, в сегмент же с вершиной Л пусть будет вписан конический сегмент, имеющий то же самое основа- ние, что сегмент коноида, и ту же ось; изЛ опустим па AZ перпендикуляр AN; он будет высотой конического сегмента с вершиной Л. Конический сегмент с вершиной Л и конус с вершиной В имеют друг к другу отно- шение, составленное из отношений оснований и высот; значит, опи будут иметь отношение, составленное из того, которое площадь, ограни- ченная эллипсом с диаметром AZ, имеет к кругу на диаметре ЕГ, и из того, которое NA имеет к В©. шг. с.егм. AZA_____эллипс AZ NA конус 1ПВК круг ЕГ В6 Из равенства площадей треугольников B0E и АКЛ следует Вв«Ев=КЛ»ЛХ.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 203 Площадь ясс, ограниченная эллипсом, к рассматриваемому кругу имеет то же самое отношение, что прямоугольник между обоими диа- метрами к квадрату на ЕГ, эллипс AZ AZ nz 'круг ЕГ — ЕГ2 [и конический сегмент с вершиной Л имеет к конусу с вершиной В отношение, составленное из того, которое КА имеет к Е©, и того, которое NA имеет к В©, е;он. сегм. AZA _ КЛ ХА •конус ГВЕ ~~ Е© " ВО ибо КА является половиной диаметра основания конического сегмента с вершиной А, а Е0 — полови пой диаметра основания конуса, в то время как AN, В© являются их высотами. Но AN имеет к В© то же самое отношение, что и к КЛ, так как В© равна КЛ; также и AN имеет к КА отношение, как ХА к AKJ*). AN _ ХА КА ~ АК Теперь конический сегмент имеет к конусу отношение, составленное из того, которое АК имеет к АХ (ибо АХ равно Е©), и из того, кото- рое AN имеет к В©**). леи. сегм. AZA АК AN конус ГВЕ . АХ ' В© Но одно из упомянутых отношений, а именно АК к АХ, будет тем же самым, что и отношение АК к AN, АК АК ЛХ AN значит, конический сегмент имеет к конусу отношение, как ЛК к AN и AN к В0. нои. ссгм. AZA_ЛК AN конус ГВЕ “AN" ВО Но В© равна КА; ясно, что конический сегмент с вершиной А будет равен конусу с вершиной В. Теперь очевидно, что рассматриваемые сег- менты будут равпы, ибо один из них будет в полтора раза больше кону- са, а другой — конического сегмента, равного упомянутому конусу. XX IVj Если от прямоугольного коноида отсечь два сегмента произвольно проведенными плоскостями, то сегменты будут иметь друг к другу такое же отношение, как и квадраты на их осях. Отсечем от прямоугольного коноида как-нибудь два сегмента, и пусть ось одного из них равна будет К, а другого — Л; требуется доказать, что эти сегменты будут иметь друг к другу то же самое отно- шение, что квадраты на К и Л {рис. 27]. Рассечем коноид плоскостью через ось сегмента, и пусть сечение бу- дет парабола ЛВГ с осью ВЛ; отложим ВД равной К и проводом через Д *) Гсйберг не считает стоящее в квадратных скобках место подлинным, так как оно не вяжется с общим ходом доказательства. ** ) Согласно предложению XII, диаметры оллипса AZ будут AZ и 2511, половинами которых будут АК и АХ. Радиус круга в основании конуса будет EG= АХ; таким образом, отношение пло- лцалей эллипса и круга будет: :ДК-АХ _ АК Е02 ах ’
204 АРХИМЕД плоскость, перпендикулярную к оси; тогда сегмент коноида, имеющим основанием круг на диаметре АГ и осью ВА, будет равен сегменту, имею- Рис. 27. щему ось, равную К. Теперь если К равна А, то очевидно, что и эти сегменты будут равны друг другу, ибо каждый из них равен одному и тому же; равны также и квадра- ты на К, А, так что сегменты бу- дут иметь такое же отношение, как квадраты на их осях. Если же А не равна К, то пусть А будет раи- на В©; проведем через 0 пло- скость, перпендикулярную к оси; тогда сегмент, имеющий основа- нием круг на диаметре EZ, а осью В©, будет равен сегменту, имеющему ось, равную А. Теперь впишем в них конусы, имеющие основаниями круги на диамет- рах АГ, EZ и вершиной точку В; тогда конус, имеющий ось ВД, к конусу, имеющему ось В©, будет иметь отношение, составленное из того, которое квадрат на АА имеет к квадрату на ©Е, и того, которое АВ имеет к ВО линейно. конус ВД _ АД2 ДВ конус ВО '" 6Е2 В0 Какое же отношение ДА имеет к ©Е в квадратах, такое же отношение будет иметь ВА к В© линейно, ДА2 __ вд 6Е2 ~ве значит, конус, имеющий ось ВД,к конусу с осью В© имеет отношение, составленное из того, которое АВ имеет к ©В, и вз того, которое ДВ имеет к В©; а это будет тождественно с тем, которое квадрат на АВ имеет к квадрату на ©В. Но отношение конуса, имеющего ось ВА, к копусу, имеющему ось ©В, будет тем же самым, какое сегмепт коно- ида с осью ДВ имеет к сегменту с осью 0В [ибо каждый в полтора раза больше соответствующего конуса]. И сегменту с осью ВД будет равен сегмент коноида, имеющий ось, равную К, сегменту же с осью ©В равен сегмент коноида, имеющий ось, равную А, и ВД равна К, а ©В равна А; после этого ясно, что сегмент коноида, имеющий ось, равную К, будет с сегментом коноида, имеющим ось, равную А, находиться в том же самом отношении, что квадрат на К к квадрату на А. XXV Всякий сегмент тупоугольного коноида, отсеченный плоскостью, перпендикулярной к его оси, к конусу, имеющему с сегментом одно и то> лее основание и равную высоту, имеет такое же отношение, какое прямая, равная вместе взятым оси сегмента и утроенной дополняющей ось*}, ) Действительной полуоси гиперболы.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 205 имеет к прямой, равной вместе взятым оси сегмента и удвоенной допол- няющей ось {рис. 28}. Пусть будет некоторый сегмент тупоугольного коноида, отсеченный плоскостью, перпендикулярной к оси; рассечем его другой плоскостью, проходящей через ось; пусть сечение самого коноида будет гипербо- ла АВГ, а отсекшей сег- мент плоскости — пря- мая АГ; пусть ось сег- мента будет ВА, а до- полняющая ось В©, и пусть прямой В© будут равны Z0 и ZII- Тре- буется доказать, что этот сегмент к конусу, имеющему с сегментом те же самые основание и высоту, будет иметь отношение, как НА к ZA. Пусть будет ци- линдр, имеющий с сег- ментом то же самое основание и ту же ось; пусть его стороны бу- дут ФА, Г Г; пусть так- же будет некоторый ко- нус Т, который к ко- нусу, имеющему с сег- ментом то же основание и ось ВД, имеет то же отношение, что НА к AZ; я говорю, что этот сегмент копоида будет равен конусу Чг. Действительно, если он не равен, то будет или больше, или мень- Рис. 28. ше. Пусть сначала оп, если возможно, будет больше. Впишем в этот сегмент телесную фигуру и опишем около пего другую, составленную из цилиндров равной высо- ты, так, чтобы описанная фигура превосход ила вписанную на вели- чину, меньшую той, на которую сегмент коноида больше конуса V; затем плоскости всех этих цилиндров доведем до боковой поверхности цилиндра, имеющего основанием круг на диаметре АГ и осью ВА; тогда целый цилиндр будет разделен на цилиндры, по количеству равные цилиндрам в описанной фигуре, а по величине равные наиболь- шему из этих цилиндров. И так как описанная фигура превышает впи- санную па величину, меньшую того, чем сегмент коноида превышает конус V, и описаппая фигура больше сегмента, то ясно, что и впи- санная фигура больше конуса V. Пусть ВР будет третьей частью ВА; ВР= ВА
206 АРХИМЕД тогда НД будит утроенной @Р *). НА—ЗОР И так как цилиндр, имеющий основанием круг на диаметре АГ и ось. ВД, к копусу с тем же самым основанием и той же осью имеет то же отношение, что НД к ©Р * **), цшшЯДР ВА__ НА «ойус ВА вр и упомянутый конус к конусу Чг относится, как ZA к НД, испуг ВА ZA конус Ч' НЛ то в переставленной пропорции трех величин ***) упомянутый цилиндр к конусу Т будет иметь такое же отношение, как ZA к 0Р. цилиндр BA 2Л_ конус Чг — НГ Отложим линии, обозначенные 3, количество которых равнялось бьь количеству отрезков прямой ВЛ, а величина каждой была бы равна ZB; к каждой из них приложим площадь с избытком в виде квадрата, и пусть наибольшая площадь будет равна прямоугольнику между ZA, ДВ, а наименьшая — прямоугольнику между ZI, IB, причем стороны, избытков одинаково превышают одна другую, [ибо равные им отрезки, находящиеся на прямой, тоже одинаково превышают один другого]; пусть сторона наибольшего избытка N равна прямой ВД, а наименьшего- равна BI****), пусть также будут и другие площади, обозначенные Q, количество которых равно количеству первых, а величина каждой равна, наибольшей из них — прямоугольнику между ZA и ЛВ. Тогда цилиндр, имеющий основанием круг на диаметре АГ и ось ЛЕ, с цилппдром,. имеющим основанием круг на диаметре КЛ и ось ДЕ, будет находиться в том же отношении, какое имеют квадраты на ДА и КЕ, цилиндр АГЕ _ ДА2 цилиндр КАД ~ КМ2 но это отношение будет тем же самым, которое прямоугольник между Z& и ВД имеет к прямоугольнику между ZE и BE, ДА2 ZA-ДВ КЕ2 'ZE-BE так как это имеет место для всякой гиперболы *****), [ибо удвоенная, «дополняющей», то есть прямой, проведенной из центра, является по- «) Так как НВ=ЗОВ и ВД--ЗВР. *•) То есть 3. так как НА—36)Г. »»*) См. «Начала» Евклида, книга V, предложение t8. »***) Таким образом, крайняя правая площадь будет равна EN-I № =-ZB.BA + BA2=ZA»AB, следующая за ней плево Я М -1- М2- ZB. ВЕ4-ВЕ‘=ZE-EB, и крайняя левая E-BH-BI’—ZB.BI+BI®=ZI-IB. Если череа х и у будем обозначать абсциссу и ординату гиперболы, отиесешюйс к действительной оси и касательной в вершине, а черев 2а обозначим длину действительной оси» то архимедова «уравнение» гиперболы мы записали бы так: ____________= У1 Д1(2о ' х,)_х,(2а-|-хв) В патом случае у(—АД, ;/3=КЕ. а1=ВЛ, лу-ВЕ, 2a=ZB, откуда и следует написанная} Архимедом пропорция: ЛА2 BA(ZB-PBA) КК2 = ВИ(ХВЧ-ВЕ) ‘
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 207’ перечной стороной фигуры]*). Теперь прямоугольник между ZA и ВД равен площади EN**), прямоугольник между ZE и BE равен площа- ди ЕМ, ибо Е равна ZB, М равна BE и N равна ВД; значит, цилиндр, имеющий основанием круг на диаметре ЛГ и ось ДЕ, с цилиндром, имеющим основанием круг па диаметре КЛ и ось ДЕ, будет находиться в таком же отношении, как площадь О с площадью ЕМ. Подобным же образом докажем, что и каждый из остальных цилинд- ров в целом цилиндре, имеющий ось, равную ДЕ, с цилиндром во впи- санной фигуре с той же самой осью будет находиться в таком же отно- шении, какое площадь Q имеет к соответствующей из площадей, при- ложенных к Е с избытком в виде квадрата. Таким образом, имеются некоторые величины, а именно цилиндры в целом цилиндре, каждый из которых имеет ось, равную ДЕ, и другие величины—площади О- в рав- ном с ними количестве, которые попарно имеют одно и то же с Q отноше- ние, так как и цилиндры равны друг другу, и площади тоже равны друг другу, и некоторые из этих цилиндров находятся в определенных отношениях с другими цилиндрами, а именно с теми, что во вписан- ной фигуре, последний же цилиндр не имеет отношения пи к чему***), а также и некоторые из площадей находятся в тех же самых отноше- ниях с другими соответствующими им площадями, приложенными к Е с избытком в виде квадрата, последняя же площадь не имеет отно- шения ни к чему; после этого ясно, что все цилиндры в целом цилиндре ко всем цилиндрам во вписанной фигуре будут иметь то же самое отно- шение, что все площади Q ко всем приложенным площадям за исклю- чением наибольшей. По доказано (предложение И), что все площади Q ко всем приложенным плолщдям за исключением наибольшей будут иметь отношение большее того, которое имеет (прямая) N вместе с Е к {прямой), равной вместе взятым половине Е и третьей части N; таким образом, и весь цилиндр ко вписанной фигуре будет иметь боль- шее отношение, чем ZA к 6Р****); но, согласно доказанному, последнее отношение имеет целый цилиндр к конусу Ч1'; значит, целый цилиндр ко вписанной фигуре имеет отношение большее, чем к копусу ЧЛ Таким образом, конус 4f будет больше вписанной фигуры; это же невозможно, так как доказано, что вписанная фигура больше конуса Ч?. Значит, сегмент коноида не будет больше конуса ЧЛ Но он также не будет и меньше. Действительно, пусть он, если воз- можно, будет меньше. Спова впишем в сегмент телесную фигуру и опи- шем около него другую, составленную из цилиндров, имеющих равную высоту, таким образом, чтобы описанная фигура превосходила вписан- ную на величину меньшую той, на которую конус больше сегмента; и все остальное сделаем таким же. Теперь поскольку вписанная фигура меньше сегмента, а описанная превосходит’ вписанную на величину, *) '« YctQ Ciaftaoux Tag лотеоуоас. tohtsoti, Tag, ex той xsvtqov, яХауса ёат? той £’6oi?g jtAerQa— дополнение интерполятора с терминологией эпохи Аполлония- Если мы перепишем уравнение гиперболы в виде где к- некоторая постоянная, то 2а будет горизонтальной, то есть поперечной» стороной прямо* J-голышка 2а4-хя к котор< й «прикладывается с избытком в виде квадрата» площадь ку%. ** ) То есть сумме пллгцадей с буквами N н Е. ** *) Тан как число цилиндров во вписанной фигуре па один меньше числа цилиндров в целом пил индре. ** **) мы имеем N—-Вл, E--ZB, N-|-S—ZA. Е N Е К V = -г = ВР’ т г-у’-ег.
208 АРХИМЕД меньшую той, на которую конус Т меньше сегмента, то ясно, что и опи- санная фигура будет меньше конуса Ч?. Тогда опять первый цилиндр в целом цилиндре, имеющий ось ДЕ, с первым цилиндром в описанной фигуре, тоже имеющим ось ДЕ, будет находиться в том же отношении, как площадь £2 с EN, [ибо они равны друг другу], и каждый из осталь- ных цилиндров в целом цилиндре, имеющих оси, равные ДЕ, с соответ- ствующим цилиндром в описанной фигуре, имеющим ту же самую ось, будет находиться в таком же самом отношении, как площадь £2 с соот- ветствующей ей площадью, приложенной к Е вместе с избытком, вслед- ствие того, что каждый из описанных цилиндров, кроме наибольшего, будет равен каждому соответствующему из вписанных, считая и наи- больший. После этого и целый цилиндр к описанной фигуре будет иметь то же самое отношение, что и все площади £2 к соответствующим им пло- щадям, приложенным вместе с избытками. И опять уже было доказано, что все площади Q ко всем другим имеют меньшее отношение, чем то, в котором прямая Е (вместе) с N находится к прямой, равной вместе взятым половине S и третьей части N; таким образом, и весь цилиндр к описанной фигуре будет иметь отношение меньшее, чем ZA к 0Р. Но как ZA к 0Р, так будет и весь цилиндр к конусу У; значит, тот же •самый цилиндр к описанной фигуре имеет отношение меныпее, чем к 'F. Таким образом, описанная фигура будет больше конуса Т, а это невозможно, так как доказано, что описанная фигура меньше конуса Т. Значит, сегмент коноида не будет и меньше конуса ЧА Поскольку же он не будет ни больше, ни меньше, то предложенное доказано [10]. XXVI И также, если сегмент тупоугольного коноида отсекается плоско- стью, не перпендикулярной к оси, то он к коническому сегменту с теми же самыми основанием и осью, что и у сегмента коноида, будет иметь такое же отношение, какое прямая, равная вместе взятым оси сегмента и утроенной дополняющей ось, имеет к прямой, равной вместе взятым оси сегмента и удвоенной дополняющей ось {рис. 29}. Действительно, пусть будет отсеченный, как сказано, сегмент тупоугольного коноида; рассечем эту фигуру другой плоскостью, проходящей через ось и перпендикулярной к плоскости, отсекшей сег- мент; пусть сечение фигуры будет гипербола АВГ, сечение же отсекшей сегмент плоскости — прямая ГЛ, вершина же конуса, объемлющего коноид, пусть будет точка 0; проведем через В параллельно АГ касатель- ную ФЕ к коническому сечению, и пусть она будет касаться его в точке В, затем продолжим прямую, соединяющую © с В; тогда последняя раз- делит АГ пополам, и вершиной сегмента будет точка В, осью его ВД и дополняющей ось — В0; пусть прямой В0 будут равны ©Z и ZH. Восставим на ФГ некоторую плоскость, параллельную той, которая проходит через АГ; она будет касаться коноида в В. И так как коноид рассекла плоскость через АГ, появляющаяся перпендикулярной коси, то сечение будет эллипсом с наибольшим диаметром ГА. Итак, имеется эллипс па диаметре АГ и линия ВД, проведенная из центра к плоскости, которая восставлена через диаметр перпендикулярно к той, в которой находится этот эллипс; тогда можно найти цилиндр, имеющий ось на одной прямой с ВД, на поверхности которого окажется рассматри- ваемый эллипс на диаметре АГ. Если мы построим его, то получится некоторый цилиндрический сегмент, имеющий то же самое основание
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 209 и ту же ось, что и сегмент коноида; другим основанием итого цилиндри- ческого сегмента будет плоскость, проходящая через ФГ. Затем можно также пайти конус с вершиной в точке В, на поверхности которого окажется рассматриваемый эллипс на диаметре АГ. Если мы построим Я я я Q его, то получится некоторый конический сегмент, имеющий те же самые основание и ось с сегментами коноида и цилиндра. Требуется доказать, что сегмент коноида к упомянутому коническому сегменту имеет то же самое отношение, что НД к AZ. Пусть то отношение, которое ПД имеет к AZ, будет иметь конус Ч; к коническому сегменту. Если сегмент коноида не равен конусу У, то пусть, если это возможно, он будет больше. Тогда в сегмент коноида впишем телесную фигуру и опишем около него другую, составленную из цилиндрических сегментов, имеющих одинаковую высоту, так, чтобы описанная фигура превосходила вписанную на величину, мень- шую той, на которую сегмент коноида больше конуса У. Теперь, так
210 АРХИМЕД как описанная фигура, будучи больше сегмента, превышает вписан- ную фигуру иа величину меньшую той, на которую сегмент коноида превышает конус 4е, то ясно, что вписанная фигура будет больше конуса V. Продолжим плоскости всех вписанных в сегмент цилиндрических сегментов до поверхности цилиндрического сегмента, имеющего те же самые основание и ось, что и сегмент- коноида, и пусть ВР будет третьей частью ВД; и все остальное устроим точно так же, как и раньше. Тогда опять первый цилиндрический сегмент в целом сегменте цилиндра, а именно имеющий ось ДЕ, к первому цилиндрическому сегменту во вписанной фигуре, тоже имеющему ось ДЕ, будет иметь такое же отно- шение, как квадрат на АД к квадрату КЕ, так как сегменты цилиндра, имеющие равные высоты, относятся друг к другу, как основания, осно- вания же их вследствие подобия эллипсов будут иметь друг к другу то же самое отношение, что квадраты на соответствующих диаметрах их. Но отношение квадрата на АД к квадрату на КЕ будет тем же самым, какое прямоугольник между ZA, ДВ имеет к прямоугольнику между ZE, ЕВ, ад* гд-дв KI^ ZE-ЕВ так как ZA проведена через 0 — точку пересечения асимптот, а ЛД и КЕ параллельны касательной в В. Но прямоугольник между ZA, ДВ равен площади Q, а прямоугольник между ZE, ЕВ — площади 3 (вместе с) М; тогда первый сегмент в целом цилиндрическом сегменте, имеющий осью ДЕ, к первому сегменту во вписанной фигуре с той же осью ДЕ будет иметь то же самое отношение, что площадь Q к пло- щади Е (вместе с) М. И каждый из других сегментов в целом цилиндри- ческом сегменте, имеющих ось, равную ДЕ, к соответствующему ему сегменту во вписанной фигуре с осью, равной ДЕ, будет иметь то же • самое отношение, что площадь Q к соответственной площади, прило- женной к Е с избытком в виде квадрата. Таким образом, снова имеются некоторые величины, а именно сегменты в целом цилиндрическом сег- менте, и другие величины — площади U в равном с цилиндрическими сегментами количестве, которые попарно имеют одинаковое отношение с первыми, и сегменты цилиндра находятся в определенных отношениях с другими сегментами во вписанной фигуре за исключением последнего, который не имеет себе соответствующего, а также площади Q, находя- щиеся в таких же отношениях соответственно с другими площадями, приложенными к Е с избытком в виде квадрата, причем последняя пло- щадь не имеет себе соответствующей; таким образом, ясно, что все пер- вые цилиндрические сегменты ко всем вторым цилиндрическим сег- ментам будут иметь то же самое отношение, что все площади Q ко всем . приложенным площадям за исключением наибольшей. Но все площади £> ко всем приложенным площадям за исключением наибольшей имеют . большее отношение, чем прямая Е (вместе с) N к прямой, равной вме- сте взятым половине Е и третьей части N. Таким образом, весь цилинд- рический сегмент ко вписанной фигуре имеет большее отношение, чем Е (вместе с; N к прямой, равной вместе взятым половине Е и третьей части N, а следовательно, большее и того отношения, какое ZA имеет к ©Р. Значит, весь цилиндрический сегмент ко вписанной фи- гуре имеет большее отношение, чем к конусу Чр, что невозможно, так как доказано, что вписанная фигура больше конуса V. Итак, сегмент коноида не будет больше конуса Т.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 211' Если бы сегмент копоида был мспыпе конуса V, то, вписавши в сег- мент телесную фигуру и описавши около него другую, составленную из цилиндрических сегментов, имеющих равную высоту, так, чтобы1 опи- санная фигура превосходила вписанную на величину меньшую той, на которую конус У больше рассматриваемого сегмента, опять подоб- ным же образом докажем, что описанная фигура будет меньше конуса 'Г и что цилиндрический сегмент, имеющий те же самые основание и ось, что и сегмент коноида, бу- дет иметь к описанной фи- гуре отношение меньшее, чем к конусу Чг, что не- возможно. Таким образом, сегмент копоида не будет и меньше конуса Т. Итак, предложенное является до- казанным. XXVII Если какую-нибудь сфероидальную фигуру рас- сечь плоскостью, проходя- щей через центр и перпен- дикулярной к оси, то по- ловина сфероида будет вдвое больше конуса, имею- щего то же самое основание и ту же ось, что и сегмент {рис. 30}. Пусть будет сферои- дальная фигура, рассечен- ная плоскостью, перпен- дикулярной к оси и про- ходящей через центр 0; если мы рассечем ее другой плоскостью, проходящей через ось, то сечением фи- гуры будет эллипс АВГД, его диаметром и осью сфе- роида будет прямая ВД, а их центром — точка 0; при этом безразлично, бу- дет ли ВД наибольшим диаметром эллипса или же наименьшим; пусть сечение плоскости, рассекшей фигуру, будет прямая ГА; тогда последняя пройдет через центр и будет перпендикулярна к ВД, так как плоскость предпола- гается проходящей через центр и перпендикулярной к оси. Требуется доказать, что половина сфероида, имеющая основанием круг на диа- метре АГ, а вершиной точку В, будет вдвое больше конуса, имеющего с сегментом то же самое основание и ту же самую ось. Пусть некоторый конус Т будет вдвое больше конуса, имеющего с сегментом то же самое основание и ту же самую ось 0В. Я говорю, что половина сфероида будет равна конусу Y. 14*
212 АРХИМЕД Действительно, если половина сфероида не равна конусу Т, то пусть она, во-первых, будет, если возможно, больше. Тогда и сегмент, равный половине сфероида, впишем телесную фигуру и опишем около пего другую, состоящую из цилиндров, имеющих равную высоту, так. Фотокопия страницы греческой рукописи, содержащей отрывок сочи- нения Архимеда «О коноидах и сфероидах». чтобы описанная фигура превышала вписанную на величину, меньшую той, на которую половина сфероида превосходит конус У. Теперь, поскольку описанная фигура, будучи больше половины сфероида, пре- восходит вписанную фигуру на величину, меньшую той, на которую половина сфероида больше конуса ¥, то ясно, что и фигура, вписанная в этот сегмент, равный половине сфероида, будет больше конуса Чг Пусть будет цилипдр, имеющий основанием круг на диаметре АГ
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ 213 и ось В0. Поскольку этот цилиндр втрое больше конуса с теми же осно- ванием и осью, что и у сегмента, а конус Т вдвое больше того же конуса, то ясно, что цилиндр будет в полтора раза больше конуса Т. Плоскости всех цилиндров, из которых складывается вписанная фигура, продолжим до поверхности цилиндра, имеющего то же самое основание, что и сегмент, и ту же самую ось; тогда весь цилиндр окажется разде- ленным па цилиндры, количество которых будет равно количеству цилиндров в описанной фигуре, а величина равна наибольшему из этих цилиндров. Отложим теперь линии, обозначенные Е, количество которых равно количеству отрезков прямой ВО, а величина каждой равна В0; на каждой из этих линий построим квадрат. От последнего из этих квадратов отнимем гномон *), имеющий сторону, равную В1; этот гномон будет равен прямоугольнику между BI и1Д**). От пред- шествующего квадрата отнимем гномон, ширина которого равняется удвоенной ВТ; он будет равен прямоугольнику между БХ и ХД. Затем от каждого следующего квадрата будем отнимать гномон, ширина которого па одни отрезок (ВТ) будет больше ширины предшествующего отнятого гпомопа; каждый из этих гномонов будет равен прямоуголь- нику, построенному на двух отрезках прямой ВД, один из которых равен ширине соответствующего гномона. Таким образом, остаток от второго квадрата будет квадрат, имеющий сторону, равную 0Е. Теперь первый цилиндр из составляющих целый цилиндр, а именно имеющий ось 0Е, с первым цилиндром во вписаппой фигуре с той же самой осью GE будет находиться в таком же отношении, как