Author: Ковтуненко А.П. Шершнев Н.А.
Tags: вооруженные силы
Text
А.П. КОВТУНПНКО
Я. А.ШЕ РШНЕЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОСТРОЕНИЯ
И МОДЕЛИРОВАНИЯ
ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ сложных
СИСТЕМ ВООРУЖЕНИЕ
Системы зенитного
управляемого
ракетного оружия
МИНИСТЕРСТВО ОБОРОНЫ УКРАИНЫ
ВОЕННАЯ ИНЖЕНЕРНАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ
АКАДЕМИЯ ПРОТИВОВОЗДУШНОЙ ОБОРОНЫ
ИМЕНИ ГОВОРОВА Л. А
А п. КОВТУНЕНКО, Н. А. ШЕРШНЕВ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ПОСТРОЕНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ
ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ
СЛОЖНЫХ СИСТЕМ ВООРУЖЕНИЯ
СИСТЕМЫ ЗЕНИТНОГО УПРАВЛЯЕМОГО
РАКЕТНОГО ОРУЖИЯ
Утвержден начальником Управления военного образования
Министерства обороны Украины в качестве учебника
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОСТРОЕНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ
ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ ВООРУЖЕНИЯ
(СИСТЕМЫ ЗЕНИТНОГО УПРАВЛЯЕМОГО РАКЕТНОГО ОРУЖИЯ)
А. П. Ковтуненко, Н. А. Шершнев
Корректор Т. В. Фомина
Поди, в печать 28.09.92.
Уч.-издл. 11,7. Формат бумаги 60x90/16.
Печ. л. 14,6.
Заказ 548-91.
Типография В ИР Т Л
ВВЕДЕНИЕ
Современные системы зенитного управляемого ракетного оружия
(ЗУРО) представляют собой одну из разновидностей сложных технических
систем и способны вести борьбу со средствами воздушного нападения
практически всех типов. В зависимости от дальности действия системы
ЗУРО подразделяются на системы ближнего действия, малой, средней и
большой дальностей. В зависимости от способа наведения зенитных управ-
ляемых ракет системы ЗУРО подразделяются на системы с телеуправлени-
ем и системы с самонаведением ракет активным или полуактивным. К
основным составным частям системы ЗУРО любого типа относятся: команд-
ный пункт, зенитные ракетные комплексы и технические средства для хра-
нения и подготовки к боевому применению зенитных управляемых ракет. Ос-
новными элементами командного пункта системы ЗУРО являются радиолока-
ционные средства обзора воздушного пространства и пункт боевого уп-
равления. Зенитный ракетный комплекс включает в себя радиолокационные
средства обнаружения и сопровождения воздушных целей, зенитные управ-
ляемые ракеты и стартовое оборудование. Конструкционно система ЗУРО
представляет собой симбиоз оборудования различных типов, к основным из
которых относятся радиоэлектронная аппаратура, электромеханические и
механические агрегаты и устройства. Современный этап развития зенитного
ракетного вооружения характеризуется интенсивным внедрением в систе-
мы ЗУРО новейших достижений в области аэродинамики, радиоэлектро-
ники, радиолокации, механики и других научных направлений.
Другой характерной тенденцией в создании систем ЗУРО является
переход к их многофункциональности и мобильности. Качественное освое-
ние современного зенитного ракетного вооружения невозможно без глубо-
кого понимания теоретических основ его построения и знания математиче-
ских методов анализа процессов боевого функционирования систем ЗУРО
в целях априорного оценивания их боевых возможностей.
Предлагаемый учебник содержит три раздела. В первом разделе
3
излагаются теоретические основы построения систем ЗУРО, второй раздел
посвящен вопросам анализа ряда боевых свойств системы в целом и зенит-
ных управлгэмых ракет в частности, в третьем разделе излагаются теоретиче-
ские основы моделирования процессов функционирования систем ЗУРО
различного класса.
Учебник написан по материалам, опубликованным в открытой отече-
ственной и зарубежной литературе.
Разделы А и 2 написаны Н. А, Шершневым, раздел 3 - А. П. Ковту-
ненко.
4
1. ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫ
ЗЕНИТНОГО УПРАВЛЯЕМОГО РАКЕТНОГО ОРУЖИЯ
1.1. Назначение и классификация систем
зенитного управляемого ракетного оружия
Система зенитного управляемого ракетного оружия (ЗУРО), или зенитная
ракетная система, представляет собой совокупность зенитного ракетного комплек-
са и средств технической позиции, обеспечивающих хранение, подготовку и боевое
применение зенитных управляемых ракет. Зенитный ракетный комплекс (ЗРК)
есть совокупность зенитных управляемых ракет (ЗУР), систем и устройств, обес-
печивающих сопровождение цели, подготовку данных для стрельбы, старт ракеты,
измерение параметра рассогласования, наведение ракеты на цель и поражение
цели. Перечисленные выше ЗУР, системы и устройства образуют систему управ-
ления, в которой ракета является объектом управления. Классификация систем
ЗУРО производится по типу ЗРК, которые, в свою очередь, различают по типу
системы управления ЗУР, по дальности стрельбы, по виду старта ЗУР, по мобиль-
ности. В зависимости от принятой системы управления различают ЗРК с телеуп-
равлением, самонаведением и комбинированным управлением. По дельности
стрельбы ЗУР различают ЗРК дальнего действия (ДД), средней дальности (СД),
малой дальности (МД) и ближнего действия (БД). По виду старта ЗУР могут быть
ЗРК с вертикальным и наклонным стартом ЗУР. При наклонном старте угол старта
может быть переменным или постоянным. По мобильности ЗРК подразделяются
на самоходные, буксируемые и переносные. Немобильные ЗРК называют стацио-
нарными.
1.2. Системы управления зенитным ракетным оружием
Техническую основу зенитного ракетного комплекса составляет система
управления ЗУР, которая включает систему наведения и систему стабилизации
ракеты. Система наведения обеспечивает управление полетом ЗУР в соответствии
с выбранным методом наведения. Система стабилизации включает ракету и авто-
пилот и обеспечивает придание ракете нужных динамических свойств как объекту
управления. Различают следующие системы управления ЗУР: командные теле I-
равления, теленаведения, самонаведения, комбинированные (рис. 1.1)
Командными системами телеуправления называют такие, в которых коман-
1 5
Рис. 1.1. Системы управления ЗУР
ды управления полетом ЗУР формируются в пункте управления и передаются на
борт ракеты по линии радиоуправления. В зависимости от способа получения
информации о параметре рассогласования (управления) различают командные
системы телеуправления I и П видов или типов (ТУ-I, ТУ-П соответственно). В
системе ТУ-I параметр рассогласования определяется с помощью устройств, нахо-
дящихся в составе пункта управления, в системе ТУ-П для измерения параметра
рассогласования используются также бортовые устройства (например, бортовые
радиоие”енгаторы, рис. 1.2).
Командная система ТУ-1 имеет в составе пункта управления устройства
сопровождения цели и ракеты, устройство выработки команд (УВК), радиопере-
датчик линии радиоуправления и пусковую установку. С помощью устройств
сопровождения измеряются координаты цели и ракеты, значения которых подают-
ся в УВК. Здесь в соответствии с выбранным методом наведения определяется
момент пуска ракеты и вычисляется параметр рассогласования. Этот параметр %
вместе с составляющими, предназначенными для некоторой компенсации ди-
нам1 веских ошибок управления, используется при формировании команд
управления. Команды управления в аналоговом или цифровом виде в радиопе-
редатчике ЯРУ преобразуются в радиосигналы, которые через антенну передают-
ся на борт стартовавшей ракеты, где снова преобразуются в видеосигналы и посту-
пают в систему стабилизации. Происходит отклонение рулей и ракета развивает
нормальное ускорение, под действием которого она изменяет свое положение,
уменьшая величину параметра рассогласования.
б
Рис. 1.2. Структурные схемы командных систем телеуправления I вида (а) и И вида (б): I *
устройство сопровождения цели; 2 - устройство сопровождения ракеты; 3 - устройство
выработки команд (УВК); 4 - радиопередатчик команд линии радиоуправления (РПК Л РУ); 5
пусковая установка; б - бортовой координатор
Достоинствами командной системы ТУ -1 являются: возможность реализа-
ции помехоустойчивых методов наведения, приемлемая точность наведения ЗУР
при стрельбе на малые и средние дальности, сравнительно небольшой объем и
простота бортовой аппаратуры, возможность наведения на одну цель нескольких
ракет; недостатками - уменьшение точности наведения при увеличении дальности
стрельбы, большой объем аппаратуры пункта управления.
7
мм
Рис. 1.3. Структурные схемы систем теленаяедснив: а - однолучевой; б - двухлучевой; 1 •
устройство сопровождения цели; 2 - пусковая установка; 3 - устройство наведения ракеты
Командная система ТУ-L отличается от ТУ-I наличием на ракете бортового
координатора и радиолиния передачи информации с бортовых устройств в пункт
управления. Данные о цели после преобразования и обработки бортовой аппара-
турой по радиолинии передаются на пункт управления и вводятся в УВК. Здесь
осуществляется оценка качества информации о параметре рассогласования, изме-
ренном наземными и бортовыми координаторами, и придание ей соответствующе-
го веса при формировании команд управления. Дальнейший процесс аналогичен
управлению в системе ТУ-1.
К достоинствам системы ТУ-П относятся: высокая точность наведения,
менее, чем в системе ТУ-I, зависящая от дальности стрельбы ЗУР, возможность
измерения координат постановщиков активных помех методами пассивной радио-
локации, возможность наведения на одну цель нескольких ракет одновременно; к
недостаткам - наличие на борту ракеты большего количества аппаратуры.
Системы теленаведения представляют собой системы управления ракетами,
в которых команды управления формируются на борту каждой ракеты. При этом
8
в качестве параметра рассогласования принимается отклонение ракеты от равно-
сигнального направления (РСН), создаваемого лучом устройства сопровождена
цели и наведения ракеты (рис. 1.3). Такие системы называют еще системами
наведения по радиолучу. Они могут быть однолучевыми и двухлучевыми.
Рис. 1.4. Структурные схемы систем самонаведение: а - активной; б - полуахтивной; а -
пассивной; 1 - бортовой координатор; 2 - счетно-решающий прибор; 3 - автопилот; 4 - станция
подсвета цели; 5 - пусковая установка
Системы самонаведения отличаются от командных систем тем, что измере-
ние параметра рассогласования и формирование команд управления производится
в бортовых устройствах (координаторах и счетно-решающих приборах).
По месту расположения источника энергии системы самонаведения под-
разделяются на активные, полуакгнвные и пассивные.
Активными называют системы самонаведения, в которых бортовой коорди-
натор работает в активном режиме. Облучение цели осуществляется с борта ракеты.
Отраженные от цели сигналы принимаются и обрабатываются в бортовом
9
координаторе, а затем используются для измерения параметра рассогласования
(рис. 1.4,а).
В полуактивных системах самонаведения источник энергии размещен в
станции подсвета цели, расположенной вне ракеты (рис. 1.4,6), поэтому бортовой
координатор работает в полуактивном режиме.
Пассивными называют системы наведения, в которых бортовой координатор
работает в пассивном режиме, используя энергию, излучаемую целью (рис. 1.4,в).
Это может быть тепловая (лучистая), световая, радиотепловая или другая энергия.
В состав такой системы помимо бортового координатора входят счетно-ре-
шающий прибор (СРП) и автопилот. При этом наведение бортового координатора
на выбранную для уничтожения цель, а также захват ее на автосопровождение
осуществляются во время нахождения ракеты на пусковой установке. После
старта ЗУР координатор непрерывно измеряет параметр рассогласования, с по-
мощью которого в СРП формируются команды управления. Эти команды подают-
ся в автопилот, вызывая отклонение рулей ракеты.
Комбинированные системы управления представляют комбинацию не-
скольких систем, работающих последовательно на определенных участках траек-
тории полета ЗУР, например, комбинацию командной системы телеуправления на
начальном участке траектории и самонаведения на конечном или наведение по
радиолучу на начальном участке и самонаведение на конечном. Подобная комби-
нация систем управления обеспечивает наведение ракет на цели с достаточной
точностью при больших дальностях стрельбы. Поэтому комбинированные системы
управления могут находить применение в зенитных ракетных комплексах дальнего
действия.
1.3. Методы наведения зенитных управляемых ракет
$
1.3. 7. Требования к методам наведения
Наведение ЗУР на движущуюся цель представляет собой процесс автомати-
ческого управления ее полетом, итогом которого является вывод ракеты в точку
подрыва боевого заряда, обеспечивающего поражение цели. При этом подразуме-
вается, что процесс автоматического управления происходит при соблюдении не-
которых условий, определяющих характер (траекторию) движения ракеты. Таки-
ми условиями могут быть: равенство угловых координат рякеты угловым коорди-
натам цели, равенство нулю угловой скорости вращения линии ракета-цель И
другие.
ю
Условие или закон сближения ракеты с целью называют методом наведения
ЗУР. Метод наведения устанавливает детерминистскую связь между характером
движения цели и характером движения ракеты. Мера нарушения этой связи пол-
учила название параметра рассогласования, или параметра управления. Управле-
ние движением ракеты осуществляется в двух взаимно перпендикулярных плоско-
стях. Для этого координатор измеряет два параметра рассогласования: Д1 и Д 2
А 1.2(0 = А 1.2 (О-В 1.2(f), <1-1>
где А1 (0, В i (0 - параметры заданного и фактического законов движе-
ния ракеты в 1-й плоскости управления (наведения).
Вцд параметра рассогласования определяется методом наведения. Это мо-
жет быть разность угловых координат цели и ракеты, линейное отклонение
ракеты от линии визирования цели, угловая скорость вращения линии ракета-цель
ит.д.
Если при наведении ракеты на цель выполняются требования метода наве-
дения и параметр рассогласования равен нулю, то говорят, что ракета движется по
кинематической (расчетной) траектории. Реально из-за перемещения воздушных
масс, изменения скоростного напора, ошибок измерения параметра рассогласова-
ния, изменения параметров аппаратуры системы управления и других причин
движение ракеты происходит по так называемой динамической траектории.
Измерение параметра рассогласования осуществляется наземными или бор-
товыми устройствами, получившими название координаторов. Структура коорди-
натора определяется видом параметра рассогласования, т. е. методом наведения.
При наведении ракет на движущиеся воздушные цели траектории их дви-
жения в общем случае оказываются криволинейными. В связи с этим лучшим
считается метод наведения, при использования которого траектория движения
ракеты имеет наименьшую кривизну. Это объясняется тем, что ракета развивает
определенные нормальные ускорения
где V р - скорость ракеты:
рт - радиус кривизны траектории движения ракеты.
Однако с увеличением кривизны траектории движения ракеты возрастают
потребные нормальные перегрузки
Ппэтр»—31 , <1.2>
где g - ускорение свободного падения.
Для обеспечения приемлемой точности наведения ЗУР потребные нормаль-
ные перегрузки не должны превышать располагаемых перегрузок ракеты, под
которыми понимают максимальные нормальные перегрузки, развиваемые ракетой
на данной высоте.
Все отмеченное выше позволяет сформулировать основные требования,
предъявляемые к методам наведения*.
обеспечение минимальной кривизны траектории движения ракеты, в том
числе и при стрельбе по маневрирующей цели;
возможность технической реализации помехоустойчивых координаторов;
обеспечение заданной дальности стрельбы ЗУР.
Методы наведения подразделяют на двухточечные и трехточечные. К двух-
точечным методам относятся: метод прямого наведения, метод прямого наведения
с постоянным углом упреждения, метод погони, метод параллельного сближения,
метод пропорционального сближения (пропорциональной навигации). Трехточеч-
ными методами являются: метод трех точек, методы упреждения, в том числе
методы с постоянным или переменным коэффициентами упреждения.
1.3.2. Двухточечные методы наведения
Двухточечные методы наведения налагают связь на положение вектора
линейной скорости ракеты или ее продольной оси по отношению к линии, соеди-
няющей ракету с целью, либо к некоторому, фиксированному в пространстве
направлению. Эти методы находят применение в системах самонаведения или в
командных системах телеуправления П вида.
Метод прямого наведения требует, чтобы в течение всего времени управ-
ления полетом ракеты ее продольная ось OX i была направлена на цель. Это
условие определяет связь между углом тангажа $ ракеты и углом наклона е
линии ракета - цель (рис. 1.5)
0)=Е. (1.3)
Из (1.3) и рис. 1.5 следует, что параметром рассогласования при этом
методе является
12
Aft-e-ft.
(1.4)
Поэтому в качестве бортового координатора можно использовать следящий
пеленгатор, формирующий на выходе сигнал рассогласования
U со ж К nAft ,
(1Л)
где К в - коэффициент передачи пеленгатора .
Для определения пара-
метра рассогласования не требу-
ется звать дельность и скорость
цели, поэтому координатор мо-
жет обеспечить систему управ-
ления информацией о параметре
рассогласования не только при
стрельбе ЗУР по цели без по-
мех, но и по цели - постановщи-
ку активной помехи. В то же
время с уменьшением дальности
Рис. 1 Л. К определению параметра рассогласомим
при методе прямого наведен*»
ракета - цель, с увеличением
скорости цели или при ее манев-
ре возрастают потребные пере-
грузки. В этой связи рассмотренный метод можно реализовать при наведении
ракет по неподвижным или малоскоростным неманеврирующим целям.
Методом прямого наведения с постоянным углом упреждения называют
такой, при котором в течение всего времени управления полетом ракеты поддер-
живается постоянным угол между ее продольной осью и линией ракета - цель. Как
видно из рис. 1.6 уравнение связи для этого метода представляется в виде
ft -f «qo,
(1.6)
где q - текущее значение угла мг еду продольной осью ракеты OX f и
линией ракета - цель;
q о - заданный угол упреждения.
Параметром рассогласования для системы управления является
Aq =Чо -q.
(1.7)
13
Если задаться значением постоянного угла упреждения q о, то измерение
Ду можно производить также с помощью следящего пеленгатора.
Использование постоянного угла упреждения q 0 # 0 не приводит к умень-
шению потребных перегрузок на малых дальностях ракета - цель, но обеспечивает
спрямление траектории полета ракеты на большие дальности. Поэтому в ЗРК метод
прямого наведения с постоянным углом упреждения может найти применение
только как вспомогательный в сочетании с другими, требующими меньших потреб-
ных перегрузок в районе точки встречи ракеты и цели.
Метод погони - это такой метод наведения ракеты, при котором вектор ее
скорости совпадает с линией ракета - цель. Из определения метода и с помощью
рис 1.7 можно записать уравнения связи
£=0; (1.8)
в = Е‘, (1.9)
q=c, (1.10)
где а - угол атаки ракеты.
Отсюда следует, что параметрами рассогласования могут быть
Дп=Г, (111)
Дп=0-е; (1.12)
Дп=Ч-а- (1-13)
14
ряс. 1.7. К определению параметра
рассогласования при методе
наведения по кривой погоне
Для определения любого параметра рассогласования из (1.11)-(1.13) не-
обходимо не только измерять угловое положение цели, но также знать направление
вектора скорости ракеты V р. Для этого на ЗУР должно быть, например, силовое
флюгерное устройство, ориентирующее ось ОХ к следящего пеленгатора по
вектору воздушной скорости ракеты (набегающему потоку).
Метод погони с постоянным углом упреждения требует такого движения
ракеты, ири котором между вектором ее скорости и линией ракета - цель образуется
постоянный угол (угол упреждения £о). Уравнением связи для этого метода
является
£в£о
(1.14)
Реализация методов погони, как и методов прямого наведения, осуществима
при больших располагаемых перегрузках ракеты. Поэтому использование их при
стрельбе ЗУР по маневрирующим целям нецелесообразно.
Методом параллельного сближения называется такой, при котором в тече-
ние всего времени управления полетом ракеты линия ракета - цель остается
параллельной заданному направлению. Иными словами, метод предполагает дви-
жение ракеты, обеспечивающее равенство нулю угловой скорости вращения ли-
нии ракета - цель (рис- 1.8 )
ё =0.
(1.15)
В соответствии с приведенным определением метода, кроме (1.16), имеются
еще две формы записи уравнения связи (1.8):
е = £ до;
(1.16)
V ц sin Цц = V р sin Цр,
(1.17)
15
где £ до - угол наклона линии ракета - цель в момент начала наведения;
4ц, 4р - угол между линией ракета - цель и вектором скорости цели и ракеты
соответственно.
Уравнениям (1.15) - (1.17) соответствуют следующие формы записи пара-
метра рассогласования
А пс ~
Апс =£ ~£до;
/уп
\ Апс = fln-arcsmНт1 sin Он!
(1.18)
(1.19)
(1.20)
- - ^¥р -j
Каждая из приведенных форм записи Апс определяет свою структуру
координатора. Для систем самонаведения или командных систем телеуправления
II вида наиболее простая структура координатора получается при использовании
параметра рассогласования (1.18). В этом случае координатором может быть сле-
дящий пеленгатор, угловая скорость вращения гиростабилизированной антенны
которого равна ё.
Метод параллельного сближения может применяться и в командных систе-
мах телеуправления I вида. В этом случа ' в качестве параметра рассогласования
для каждой плоскости наведения используется линейное отклонение
16
Д he — Dp[(fi ц — E 4--₽ Ц — E » (1-21)
Д h^ = Dp^(sy -Epj 4- UQp ₽ (flu “Лдо)] > (1.22)
где £ц , Ep - уголместа цели и ракеты в сферической системе координат с
началом в точке стояния пункта управления;
А» > flp - азимут цели и ракеты;
D4, Dp - дальность до цели и ракеты соответственно.
Из (1.21)-(1.22) следует, что в составе координатора наземного пункта
управления должны быть измерители угловых координат и дальности цели и
наводимой на нее ракеты. Кроме того, должно быть устройство определения и
запоминания угла едо наклона линии ракета - цель в момент начала управления.
Методом пропорционального сближения (пропорциональной навигации)
называется такой метод наведения, при котором в течение всего времени управле-
ния полетом ракеты угловая скорость вращения вектора ее скорости остается
пропорциональной угловой скорости вращения линии ракета - цель.
В соответствии с определением метода уравнение связи между параметрами
движения ракеты и цели, например, в вертикальной плоскости (рис. 1.9) записы-
вается в виде:
0 = Ье, (1.23)
где 6 - угловая скорость вращения вектора скорости ракеты;
ё - угловая скорость вращения линии ракета - цель;
b - навигационная постоянная.
Рис. 1.9. К определению параметра
рассогласования для метода
пропорционального сближения
17
Параметром рассогласования является величина
Дпрс=Ь£-0. . 0.24)
Видно, что реализация метода пропорционального сближения требует изме-
рения угловых скоростей ё, А Первую можно определять бортовым следящим
пеленгатором. Для измерения в на борту ракеты необходимо иметь флюгерное
устройство. Величина 0 может быть измерена также косвенным путем по
значениям нормального ускорения и скорости Vp ракеты
Рассматриваемый метод, как и метод параллельного сближения, предпола-
гает наличие переменного угла упреждения, закон изменения которого находится
из (1.23).
В отличие от метода параллельного сближения, требующего мгновенного
парирования углового вращения линии ракета -цель, при пропорциональном сбли-
жении допускается уменьшение угловой скорости вращения этой линии. При этом
для Vp/Vjj >1 и b > 4 потребные нормальные перегрузки ракеты в районе точки
встречи стремятся к нулю независимо от начальных условий ее старта.
Из (1.23) следует, что методы параллельного сближения и погони можно
получить из уравнения методе пропорционального сближения. При b -* « это
уравнение переходит в уравнение идеальной связи параллельного сближения
(е=*ЕДо=0), а при Ь = 1 - в уравнение метода погони (£«#. При Ь“4...6
траектория метода приближается к траектории метода параллельного сближения.
L3.3. Трехточечные методы наведения
Трехточечными называют методы, определяющие в процессе наведения
взаимное положение трех объектов (то<.ек): пункта управления, цели и ракеты. К
их числу относятся метод трех точек и методы упреждения.
В ЗРК пункт управления находится на земной поверхности, поэтому поло-
жение цели и ракеты относительно этого пункта определяется, как правило, в
сферической системе координат (угловыми координатами £ц, fp, /5ц, и на-
клонной дальностью Оц , Dp). Взаимное положение цели и ракеты оценивается
18
разностью этих координат Ле = ец-ер ; Д/J =/Зц -Д,; AD = Du -Dp.
Методом трех точек называют такой, при наведении по которому ракета в
процессе движения к цели должна находиться на линии пункт наведения - цель (на
линии визирования цели). Из определения метода и рис. 1.10 следует, что угловые
координаты ракеты в любой момент времени должны быть равны угловым коор-
динатам цели. Это можно представить системой уравнений*.
где £к , Де - угловые координаты точек кинематической траектории.
При точном выполнении этого условия ракета будет двигаться по кинемати-
ческой траектории (рис. 1.10). В случаях отклонения ракеты от линии визирования
появляется параметр рассогласования:
Де— Ец — Ер;
~Рр-
(1.27)
Рис. 1.10. Траектория движения ракеты при наведении ее по методу трех точек
Однако при использовании (1.27) для формирования команд управления
не обеспечивается одинаковая точность наведения ЗУР при различных дальностях
стрельбы. В связи с этим в качестве параметра рассогласования при наведении
19
ракеты по методу трех точек используют линейное отклонение ракеты от линии
пункт наведения - цель:
Jl=n₽SitntV (1.28)
tyf = Dp sinAp.
Учитывая малость Де, Д/I , (1.28) можно преобразовать к виду:
^вп₽лй’ (1.29)
h/5 = Dp Д/З.
К достоинствам метода трех точек относятся:
сравнительно простая техническая реализация метода и его помехоустойчи-
вость;
возможность использования оптических измерителей угловых координат
цели.
Недостатками этого метода являются: значительная кривизна траектории
полета ракеты, что требует больших располагаемых перегрузок и приводит к
снижению точности наведения и дальности стрельбы; при стрельбе по низколетя-
щим целям возможно столкновение ракеты с местными предметами, находящимися
на линии визирования цели, что приводит к необходимости усложнения аппарату-
ры пункта управления.
Методами упреждения называют такие, при наведении по которым текущая
точка кинематической траектории упреждает линию пункт управления - цель. Для
этих методов характерна меньшая кривизна траектории движения ракеты, чем для
метода трех точек (рис. 1.11), в результате чего увеличиваются точность и даль-
ность стрельбы.
В общем виде уравнение идеальной связи представляется системой:
Е* ш Ец + Еупр ;
Дк =Дц +Дупр •
Углы упреждения Еупр, /Зунр пропорциональны скорости изменения угло-
вых координат цели ёц , Дц и времени сближения кбл ракеты с целью
Еупр в Ёц tt&i;
/%пр = (Рц COS f-ц) кбл .
(1.31)
Учитывая то, что время сближения равно
20
*, _Рц-Рр ДР
тал-----;—в —г,
AD AD
выражение <131) можно записать в виде:
А-
£упр ~ . ДО;
4D п я»
AD
1де AD- скорость сближения ракеты и цели;
cos £ц - множитель, позволяющий пересчитать скорость изменения азиму-
та цели, измеренную в горизонтальной плоскости, в наклонную плоскость наведе-
ния.
Рис. 1.11. Траектория движения ракеты
при наведении ее по методу упреждения
В линейном отклонении величина упреждения определяется как
heупр ® А Р 'Dp»
, „ &COS£n . _
tyJynp- . A D'Dp.
(1.33)
Метод наведения, в котором учитывается полное упреждение в соответствии
с (1.33), называется методом полного спрямления траектории. При данном методе
траектория движения ракеты имеет минимальную кривизну.
2
21
Метод наведения, при котором величина упреждения равна
O,5fy9ynp, получил название метода половинного спрямления.
Достоинствами методов упреждения являются:
меньшая кривизна траектории полета ракеты и, следовательно, меньшие ее
потребные перегрузки;
возможность наведения ЗУР на быстролетящие или маневрирующие цели;
большие по отношению к методу трех точек дальности стрельбы.
К недостаткам методов упреждения относятся:
необходимость измерения дальности до цели и ракеты, а также скорости
сближения ракеты и цели, что требует наличия в пункте управления помехоустой-
чивых дальномеров;
увеличение ошибок наведения вследствие наличия ошибок измерения ско-
ростей изменения координат цели и ракеты.
1.4. Основы управления зенитными ракетами
1.4.1. Этапы управления зенитной ракетой
Процесс управления зенитной ракетой можно разделить на такие этапы, как
управление стартом, управление полетом ракеты и управление подрывом боевого
заряда (рис. 1.12). На каждом этапе решается определенный объем задач автома-
тически или с участием операторов. От своевременности, полноты и качества
решения этих задач зависят результаты стрельбы ЗУР.
Рис. 1.12. Этапы управления
। зенитными ракетами:
КБ - управление стартом;
БВ • вывод ракеты на траекторию
метода наведении; ВГ - наведение
ракеты на цель; ГД - управление
подрывом боевого заряда
На этапе управления стартом могут производиться: визуальный контроль
готовности ракеты к старту, постановка ее на подготовку и контроль основных
22
параметров бортовой аппаратуры, введение в эту аппаратуру необходимой инфор-
мации, определяемой средствами пункта управления, наведение систем сопровож-
дения бортового координатора на цель, снятие ступеней предохранения и др. Этот
этап может занимать единицы-десятки секунд.
На этапе управления полетом ракеты осуществляется вывод ее на траекто-
рию метода наведения и управление движением по этой траектории до момента
встречи с целью. Для этого в системе управления вырабатываются команды управ-
ления, поступающие в систему стабилизации ЗУР. На этапе управления полетом
ракеты осуществляется защита системы управления от различных противодейст-
вий противника, направленных на снижение точности наведения или исключаю-
щих завершение указанного этапа. Длительность этапа зависит от дальности
стрельбы ЗУР.
Этап управления подрывом боевого заряда характеризуется выбором спо-
соба и момента подрыва заряда, управлением его характеристиками для обеспече-
ния поражения цели с заданной вероятностью. Управление подрывом боевого
заряда происходит в основном в районе точки встречи ракеты и цели, и поэтому
продолжительность этапа составляет единицы-десятки секунд.
J.4.2. Управление стартам зенитной ракеты
Управление стартом включает в себя подготовку ЗУР к старту и ее старт в
определенный момент времени.
В ходе подготовки ракеты к старту в общем случае производится:
выбор пусковой установки, с которой должна стартовать ракета;
начальное прицеливание ракеты с наклонным стартом, установленной на
пусковая установке;
приведение бортовой аппаратуры в состояние готовности ракеты к старту и
ее полету на неуправляемом участке траектории.
Выбор пусковой установки производится таким образом, чтобы исключить
возможность поражения средств зенитного ракетного комплекса стартовавшей
ЗУР. При выборе пусковой установки также учитывается тот факт, что в зависи-
мости от направления полета цели относительно ЗРК старт ракет с некоторых
пусковых установок может быть запрещен.
Начальное прицеливание ракеты за счет выставки направляющих пусковой
33
установки в нужном направлении объясняется стремлением сократить время вы-
вода ракеты на кинематическую траекторию. Это время определяется величиной
рассогласог шия направления линии старта ракеты и направления на цель в момент
старта. Дело в том, что за время старта кт и время неуправляемого полета
ракеты tH. л цель пролетит некоторое расстояние Л Su = УЦ (кт+1н.п), в ре-
зультате чего линия визирования цели займет в пространстве новое положение. В
этой связи линия визирования цели не будет совпадать с линией старта.
У странение указанного рассогласования производится введением некоторо-
го упреждения в направление линии старта путе разворота пусковой установки
по азимуту и углу места на углы (рис. 1.13):
( Доу =Да + Ди ( кт + 1и.п ) >
t Спу “ Гц. + ёц (кт + 1н.а) + к гор,
(1.34)
где Дц, Ец - азимут и угол места пели в момент старта ракеты;
Дц , ёц - скорости изменения угловых координат цели;
к тр - слагаемое, учитывающее явление "провисания" ракеты после
схода ее с пусковой установки ( тр - масса ракеты; к - коэффициент пропорци-
ональности) .
Рис. 1.13. Прмиеликание пусковой
установки: 1 - положение цели »
момент пуска ракеты; 2 - направление
Линин старта ракеты; 3 - положение
ракеты в момент начала управлении
Приведение бортовой аппаратуры в состояние готовности ракеты к старту
предусматривает вывод на рабочий режим бортовых источников питания, приве-
дение системы стабилизации ЗУР в рабочее состояние, снятие ступеней предохра-
нения. Вместе с этим в бортовую аппаратуру и устройства могут быта введены
начальные данные, определяющие, например, режим работы двигательной уста-
новки, метод наведения, порядок срабатывания боевого заряда и т. д. В ЗУР с
бортовым координатором, как правило, до старта осуществляется наведение уст-
24
ройств сопровождения цели на сигнал, отраженный от нее, н захват на сопровож-
дение.
Некоторые из перечисленных операций по приведению бортовой аппарату-
ры и устройств в режим готовности к старту ракеты производятся по заранее
разработанной программе, другие изменяются в зависимости от условий воздуш-
ной обстановки.
1.4.3. Управление полетом зенитной ракеты
Управление полетом зенитной ракеты осуществляется системой автомати-
ческого управления. Автоматизация процесса управления полетом ракеты обус-
ловлена большими скоростями движения цели и ракеты, необходимостью обеспе-
чения высокой точности наведения. Системы автоматического управления подраз-
деляются на обыкновенные и адаптивные. Среди адаптивных систем и соответст-
вующих им контуров управления различают самонастраивающиеся и самооргани-
зующиеся системы (контуры) управления. В самонастраивающемся контуре с
учетом информации о параметрах внешних воздействий, динамических характе-
ристиках контура производится настройка параметров элементов контура управ-
ления в целях повышения качества управления.
Рис. 1,14. Схема
самонастраивающегося
контура управления
На рис 1.14 представлена обобщенная структура самонастраивающегося
контура управления полетом ракеты. Основной контур образован объектом управ-
ления Р (ракетой) с выходной величиной X , характеризующей его состояние, и
системой управления полетом СУ. На ракету действует команда управления А и,
как правило, помеха П. На вход СУ подается управляющее воздействие в виде
параметра рассогласования А . В основном контуре не предусмотрены оптималь-
ные приемы обработки информации о состоянии объекта управления, поэтому
управление полетом ракеты с его помощью осуществляется не лучшим образом.
В адаптивной системе в составе контура имеется устройство анализа А
25
производящее анализ информации в процессе функционирования контура управ-
ления. По результатам анализа производится изменение (настройка) вектора па-
раметров Y элементов системы управления или команды управления А .
Самонасгрийка контура обеспечивает минимум ошибки наведения ЗУР,
при этом она производится с поиском или без поиска. В поисковых самонастраи-
вающихся системах путем пробного отклонения Л или Y оценивается прираще-
ние ошибки наведения. По результатам оценки производится изменение А или
Y в направлении, обеспечивающем получение минимального значения ошибки
наведения ракеты. В беспоисковых системах выполнение условия минимума ошиб-
ки наведения достигается применением принципа управления по отклонению или
по возмущению с использованием априорной и текущей информации о входных
воздействиях и состоянии системы. Эти системы обеспечивают меньшее время
адаптации по сравнению с поисковыми.
• Рмс. 1.15. Схема контура телеуправления: УИКЦ(Р) - устройство измерения координат цели
(ракеты); УИК - устройство выработки команд; ЛРУ - мюч радяоуправления; АП - автопилот
Структура обыкновенной системы управления зенитной ракетой зависит от
ее вида. На рис. 1.15 приведена схема контура командной системы телеуправления
для одной плоскости наведения. На ней кроме функционально необходимых эле-
ментов изображены кинематические звенья 1 и 2. Первое кинематическое звено
характеризует зависимость между координатами цели ец , Du и ее скоростью Уц и
углом наклона вектора скорости цели вц . Второе звено описывает связь между
координатами ракеты ер , Dp и параметрами ее движения Vp, . Устройства
измерения координат цели (УИКЦ) и ракеты (УИКР) осуществляют оценки ко-
ординат, необходимых для определения параметра рассогласования в соответствии
с методом наведения. В устройстве выработки команд (УВК) по оценочным значе-
ниям координат цели ( £ц, 6Ц ) и ракеты ( Ер, Dp ) вычисляется параметр
рассогласования А. С помощью этого параметра и компенсационных составляю-
щих формируются команды управления, которые затем преобразуются в сигналы,
пригодные для передачи по линии радиоуправления (ЛРУ) на борт ракеты.
26
Особенностью командной системы телеуправления является наличие в ее
составе командной линии радиоуправления, которая в общем виде представляем
собой линейный преобразователь с запаздыванием.
На борту ракеты принятые сигналы преобразуются в команды управления
А , которые в автопилоте (АП) используются для отклонения рулей ракеты. В
результате отклонения руля ракеты на величину др возникает угол атаки (угол
скольжения) и ракета развивает нормальное ускорение WH.p , изменяя параметры
движения ракеты fy>, Vp (направление вектора скорости ракеты).
Рис. 1.16. Схема контура самонаведения
Функциональная схема контура системы самонаведения показана на рис.
1-. 16. В соответствии с принципом самонаведения в состав системы входят: борто-
вой координатор, измеряющий в данном случае угловую скорость г вращения
линии ракета - цель, счетно-решающий прибор и ракета с автопилотом. При
наведении ракеты по методу пропорционального сближения кинематические
звенья 1, 2 характеризуют кинематические связи между’ составляющими
ёц , fp скорости вращения ё линии ракета - цель, обусловленными соответст-
венно движением цели и ракеты, и нормальными ускорениями WH1U , WK,p це-
ли и ракеты.
Бортовой координатор производит оценку ё , которая поступает в счетно-
решающий прибор. В СРП в соответствии с величиной f и значениями компен-
сационных составляющих формируются команды управления А . Эти команды
подаются на вход системы стабилизации и вызывают отклонение рулей
ракеты.
Таким образом, при использовании в системе самонаведения метода про-
27
порционального или параллельного сближения параметр е является входным
воздействием контура управления. При достоянных значениях
0ц, вр, Уц, Ур величина его будет изменяться тем быстрее, чем меньше рас-
стояние D между ракетой и целью. Поскольку коэффициент усиления контура
самонаведения пропорционален 1/D, то его возрастание с уменьшением D обес-
печивает высокую точность наведения ЗУР. Это положение составляет принципи-
альное отличие рассматриваемой системы от командной системы телеуправления
I вида, в которой по мере удаления ракеты от пункта управления точность наведе-
ния уменьшается.
Однако, начиная с некоторой дальности D .коэффициент усиления контура
становится настолько большим, что система самонаведения становится неустойчи-
вой и управление ракетой становится невозможным.
Другой причиной появления "мертвой" зоны в системе самонаведения мо-
жет явиться срыв сопровождения цели следящими измерителями бортового коор-
динатора из-за быстрого изменения угловых координат и скорости цели на малой
дальности.
1.4.4. Управление подрывом боевого заряда зенитной ракеты
Прямое попадание ракеты в цель на больших расстояниях от пункта управ-
ления маловероятно. Оно имеет место только в ЗРК ближнего действия, особенно
при стрельбе самонаводящимися ракетами. Поэтому для поражения цели на ЗУР
устанавливается боевой заряд, для подрыва которого применяют контактные и
неконтактные взрыватели.
Основной характеристикой боевого заряда является область поражения, под
которой понимают примыкающую к ракете область пространства, где должна
находиться цель в момент подрыва заряда, чтобы возможно было ее поражение.
Важной характеристикой неконтактного взрывателя считается его область
срабатывания. Она представляет собой также область пространства, примыкаю-
щую к ракете, при появлении в которой цели неконтактный взрыватель вырабаты-
вает сигнал подрыва боевого заряда.
Таким образом, неконтактный взрыватель определяет момент подрыва бо-
евого заряда.
Для нанесения максимального ущерба цели принимаются меры для согла-
сования положений указанных областей. К таким мерам относится управление
28
областью срабатывания, управление областью поражения, одновременное управ-
ление областями срабатывания и поражения.
При согласованном положении областей срабатывания и поражения подрыв
боевого заряда осуществляется в момент, когда обеспечивается максимальное
накрытие цели поражающими элементами (рис. 1.17).
Рис. 1.17. К управлению подрывом боевого заряда:
V, - вектор скорости поражающего элемента;
Vom - вектор относительной скорости
Задача управления областью срабатывания неконтактного взрывателя и
областью поражения боевого заряда может решаться как бортовыми, так и назем-
ными устройствами зенитного ракетного комплекса.
1.5. Классификация и устройство зенитных управляемых ракет
Зенитная управляемая ракета - это беспилотный управляемый летательный
аппарат с реактивным двигателем, предназначенный для поражения воздушных
целей.
Основными признаками классификации ЗУР являются: аэродинамическая
схема, количество ступеней, способ управления.
29
Рис. 1.18. Аэродинамические схемы управляемых ЗУ Р
Различают следующие аэродинамические схемы ЗУР: нормальная, "бесхво-
стка", "утка", "поворотное крыло" (рис. 1.18).
При нормальной схеме (рис. 1.18,а) рули расположены позади крыльев.
Отличительная особенность нормальной схемы состоит в том, что для создания
положительного угла атаки ракеты требуется отклонить рули на отрицательный
угол. В связи с этим подъемная сила, вызванная отклонением рулей, вычитается из
подъемной силы, вызванной углом атаки ракеты, т. е. происходит некоторая потеря
подъемной силы.
Компенсация потери подъемной силы в нормальной схеме путем увеличения
площади крыльев приводит к росту бортовой хорды крыльев. При предельном ее
увеличении рули и крылья оказываются сомкнутыми. При этом они могут быть
связаны конструктивно. Самостоятельное хвостовое оперение в данном случае
отсутствует. Такая схема расположения коыльев и рулей получила название "бес-
хвостка" (рис. 1.18,6) и является частным случаем нормальной схемы. Схема
может применяться для особо высотных ракет.
м
В ЗУР, выполненных по схеме "утка", рули размещаются впереди
крыльев (рис. 1.18,в),
При данной схеме для создания положительного угла атаки необходимо
рули отклонять на положительный угол. Поэтому потери подъемной силы в связи
с балансировкой ракеты не происходит. Однако за счет вызываемого рулями скоса
воздушного потока на крыльях возникает отрицательная подъемная сила. По этой
Причине выигрыша в подъемной силе схема "утка" не обеспечивает. Более того,
наличие скоса воздушного потока после рулей вызывает большие моменты крена.
Достоинством схемы является удобство компоновки ракеты, так как имеется воз-
можность размешать в разных отсеках механизмы управления рулями и агрегаты
двигательной установки, что важно для малогабаритных ракет ЗРК ближнего
действия.
Особенность схемы "поворотное крыло" состоит в том, что создание подъ-
емной силы может происходить при нулевом угле атаки за счет поворота крыльев
относительно корпуса. Такая схема улучшает динамические свойства ракеты при
переходном процессе. Недостатком схемы является низкая несущая способность
конструкции, обусловленная тем, что носовая часть ракеты при нулевом угле атаки
не участвует в создании подъемной силы. Стабилизаторы же из-за наличия скоса
воздушного потока создают отрицательную подъемную силу.
Аэродинамические поверхности - рули, стабилизаторы, крылья размеща-
ются на корпусе ЗУР по плюс- либо иксообраэной схеме относительно местной
вертикали (рис. 1.19). к
Схемы не имеют аэродинамических преимуществ. Их выбор осуществля-
ется из соображений удобства размещения ЗУР на пусковой установке.
Рис. 1.19. Схемы размещения аэродинамических поверхностей
31
По числу степеней ЗУР могут быть одно- и двухступенчатые. В двухступен-
чатой ракете под первой ступенью понимается полностью собранная ракета, под
второй ступенью - часть ракеты без стартового ускорителя.
Ракета включает в себя следующие основные системы и агрегаты: планер,
боевое снаряжение, бортовую аппаратуру управления полетом, двигательную ус-
тановку, систему электроэнергоснабжения.
Планер является несущей конструкцией ракеты и состоит из корпуса и
аэродинамических поверхностей. Корпус планера имеет цилиндрическую форму с
конической или оживальной носовой частью.'
Корпус ракеты соединяет все ее системы и агрегаты в единую конструкцию.
Корпус ракеты может быть одновременно оболочкой топливных баков, боевой
части твердотопливного ракетного двигателя. Корпус должен обладать высокой
прочностью, что связано со значительными перегрузками, перепадами температу-
ры и давления, испытываемыми ракетой в полете. Варианты размещения систем и
агрегатов ЗУР в корпусе ракеты приведены на рис. 1.20.
Рис. 1.20. Варианты схем агрегатной компоновки
К аэродинамическим поверхностям относятся крылья (9), рули (6) и стаби-
лизаторы (1). В отдельных конструкциях крылья и стабилизаторы могут отсутст-
вовать. Крылья создают в процессе полета ЗУР подъемную силу, рули обеспечи-
32
вают управление по курсу и тангажу, стабилизаторы придают продольную устой-
чивость ЗУР.
Бортовая аппаратура управления полетом (II, 19) обеспечивает управле-
ние вектором скорости ракеты по направлению. В зависимости от способа управ-
ления ЗУР данная аппаратура решает одну из следующих групп задач: прием
команд управления с пункта управления и их отработка; автономное формирова-
ние команд управления и их отработка; передача на пункт управления информации
о координатах цели, прием команд управления с пункта управления и их отработка.
Для решения данных задач в составе бортовой аппаратуры используются:
приемная аппаратура (8) командной радиолинии (КРУ), автопилот, координатор,
счетно-решающий прибор, передающая аппаратура линии передачи данных, руле-
вые машины (4), источники энергоснабжения (10,16), баллон со сжатым возду-
хом (17).
При старте ракеты используется стартовый ускоритель (2) с воспламените-
лем (3), а после разгона маршевый двигатель (7) с воспламенителем (6) или ЖРД
(13) с турбонасосным агрегатом (14), баками окислителя (15) и горючего (18). Вид
и структура двигательной установки определяются гактико-такническими требо-
ваниями, предъявляемыми к ЗУР: дальностью и скоростью полета, высотой при-
менения, маневренными характеристиками. Двигательная установка состоит из
реактивного двигателя и вспомогательных систем (топливной и воздушной систе-
мы, системы регулирования таги и др.). Реактивным называется двигатель, созда-
ющий силу тяги в результате истечения из него реактивной струи. Кинетическая
энергия струи образуется в результате превращения различных видов энергии
(химической, ядерной и др.). Реактивные двигатели, использующие для создания
реактивной тяги окружающий воздух, называются воздушно-реактивными, не
использующие - ракетными двигателями.
Воздушно-реактивные двигатели подразделяются на прямоточные воздуш-
но-реактивные (ПВРД) и турбореактивные двигатели (ТРД).
В первых воздух для реакции горения поступает без дополнительного сжа-
тия, во вторых - через компрессор.
Схема ПВРД приведена на рис. 1.21. В ПВРД набегающий поток воздуха
(I) попадает в диффузор (3), где его скорость падает, а давление, плотность и
температура возрастают. Сжатый в диффузоре воздух поступает в камеру сгорания
(5) и смешивается с впрыскиваемым через форсунки горючим (2). Продукты
сгорания (6) вытекают через реактивное сопло (7), создавая реактивную тягу. В
начале камеры сгорания устанавливается стабилизатор пламени (4), турбулизиру-
fT') , 33
ющий воздушный поток и образующий затененные зоны, в которых осуществля-
ется поджиг топливно-воздушной смеси. Высокая эффективность ПВРД достига-
ется при высоких скоростях полета ЗУР. Такие двигатели могут использоваться в
ракетах с большой дальностью стрельбы, так как на борту ЗУР необходимо иметь
только горючее. Для использования ПВРД, однако, необходимо иметь стартовый
ускоритель.
Рис. 1.21. Схема прямоточного воздушно-реактивного двигатели
Схема ТРД приведена на рис. 1.22. Принцип действия ТРД состоит в том,
что набегающий поток воздуха (1) через входное отверстие (диффузор) попадает
в компрессор (2), который приводится во вращение газовой турбиной (4),
подвергается сильному сжатию. Далее сжатый воздух поступает в камеру сгорания
(3), куда впрыскивается через форсунки (5) топливо. Продукты сгорания топлива,
вытекая из камеры, вращают турбину и связанный с ней вал компрессора. Отдав
таким образом часть энергии, газы вытекают через реактивное сопло, создавая
реактивную тягу. Форсажная камера (6) позволяет увеличить скорость газовой
струи путем сжигания дополнительного количества топлива.
Воздушно-реактивные двигатели могут использовать жидкое и твердое го-
рючее. При скоростях полета 2...2,5 м ТРД имеет преимущество перед ПВРД.
Наряду с ПВРД и ТРД в ракетах применяются и двухконтурные ТРД. Оли
имеют преимущество при небольших скоростях полета ракет.
Недостатком воздушно-реактивных двигателей является невозможность их
использования на больших высотах.
В ракетных двигателях ЗУР в качестве первичных источников энергии
34
используют химическую энергию компонентов топлива. Химические ракетные
двигатели подразделяются на жидкостные ракетные двигатели (ЖРД), ракетные
' двигатели твердого топлива (РДТТ) и смешанные двигатели.
Рис. 1.22. Схема турбореактивного двигателя
Схема двигательной установки с ЖРД приведена на рис. 1.23.
Рве. 1.23. Схема двигательной установки с ЖРД
Для подачи компонентов топлива из баков в камеру сгорания ЖРД приме-
няют газовытеснительную либо насосную систему. Возможно и совместное исполь-
зование таких систем (1.23). Газовытеснительные системы подачи основаны на
33
принципе вытеснения топлива из баков (3) сжатым воздухом. Насосные системы
реализуются на основе турбонасосных агрегатов (ТНА), состоящих из центробеж-
ных на с осс.. и турбины и приводимых в действие газогенераторами (5). Топливо
(как правило горючее (1) и окислитель (2) ), подаваемое из баков через ТНА (6)
и редукторы (4) в камеру сгорания, распыляется с помощью форсунок (7), пере-
мешивается и самопроизвольно воспламеняется. Один из компонентов топлива,
как правило, поступает в форсунки через двухслойные гофрированные стенки
камеры сгорания, обеспечивая их охлаждение. В результате сгорания химическая
энергия топлива преобразуется в энергию газов высокой температуры, истечение
которых через сопло (8) создает реактивную тягу.
Жидкостные реактивные двигатели, как правило, используются в качестве
маршевых двигателей. Регулирование тяги ЖРД обеспечивается либо изменением
секундного расхода топлива в камере сгорания, либо выключением части работа-
ющих камер (в многокамерном двигателе).
Схема РДТТ приведена на рис. 1.24. Такой двигатель включает в себя
электровоспламенитель (1), корпус (2), камеру сгорания с реактивным соплом (3)
и заряд топлива (5), размещенный в камере сгорания.
Ък. 1.24. Схема РДТТ
Твердые ракетные топлива подразделяются на двухосновные и смесевые.
Дв. хосновные (гомогенные) топлива представляют собой твердые растворы орга-
нических веществ, содержащие горючее и окислитель (например, нитроцеллюло-
зу, растворенную в нитроглицерине), а смесевые (гетерогенные) - механические
смеси горючего и окислителя, скрепленные пластической связкой (например,
полисульфид и перхлорат калия).
Скорость горения твердых топлив зависит от температуры заряда. Для
исключения зависимости тяги двигателя от температуры топлива изменяют крити-
ческое сечение сопла в различные периоды года. Технически это осуществляется
36
путем применения сменных вкладыше* (4) (рис. 1.24) в соплах либо сменных
сопел.
Рис. 1.25. Геометрические формы зарядов твердого топлива,
обеспечивающие различные законы изменения тяги
Регулирование тяги в РДТТ достигается несколькими способами, и частно-
сги, путем применения специальной геометрической формы заряда (рис. 1.23).
Заряды, горящие по торцу (рис. 1.25,а), обеспечивают постоянную по времени тягу
IИ применяются в двигателях относительно низкой тяги и с длительным временем
| работы. Заряды, горящие по боковым' поверхностям, дают различные законы
1 Изменения тяги: при горении с наружной цилиндрической поверхности обсспечв-
| вается спад тяги (рис. 1.25,6), при горении с внутренней поверхности - нарастание
J Тяги (рис. 1.25,в), при однезременном горении с внутренней и наружной поверх-
ностей - постоянная тяга (рис. 1.25,г).
з
31
Другие способы регулировки тяги - это отсечка и реверс тяги, применение
топлив с различной скоростью горения, применение многокамерных двигателей.
1.6. Бортовая аппаратуре управления полетом зенитной ракеты
1.6.1. Назначение и состав аппаратуры
Бортовая аппаратура управления полетом (ЛУП) предназначена для обес-
печения управляемого полета ЗУР к точке встречи с целью. В зависимости от
используемых методов управления и наведения ЗУР бортовая ЛУП может решать
различные частные задачи и отличаться по составу.
В системах командного телеуправления первого вида бортовая ЛУП обес-
печивает управляемый полет ракеты по командам с пункта управления. Команды
управления формируются по данным наземных источников. В состав ЛУП вкодят
бортовая аппаратура КРУ и автопилот.
В системах командного телеуправления второго вида особенности бортовой
ЛУП обусловлены тем, что команды управления формируются пунктом управле-
ния по данным бортового источника информации. В данном случае в состав борто-
вой АУП входят: координатор (для измерения параметра рассогласования), бор-
товая аппаратура КРУ и линии передачи данных, автопилот.
В системах теленаведения и самонаведения управляемый полет ракеты
обеспечивается по командам, формируемым бортовой АУП. В состав АУП систем
телеиаведения и самонаведения входят: координатор, счетно-решающий прибор
(СРП), автопилот.
В системах комбинированного управления в состав бортовой АУП входят
элементы, характерные для методов управления, используемых в комбинации.
1.6.2. Координатор
Бортовой координатор ЗУР предназначен для измерения параметра рассог-
ласования, который характеризует меру нарушения связей, налагаемых методом
наведения на закон движения ракеты. Вид параметра рассогласования зависит от
принятого метода наведения и в свою очередь определяет струк уру координатора.
При методах погони, наведения с постоянным углом упреждения координатор
измеряет угловые величины, при методах параллельного и пропорционального
сближения - угловую скорость вращения линии "ракета - цель".
Зв
Координаторы различают: неподвижные и подвижные; следящие и неследя-
щие; активные, пассивные и полуактивные; радиолокационные и оптические (све-
товые и инфракрасные).
В неподвижных координаторах их оси совмещены с осями связанной систе-
мы координат ракеты. Неподвижные координаторы являются неследящими и могут
использоваться при теленаведении. Данные координаторы измеряют, например,
угловое отклонение продольной оси ракеты от направления на цель. Формируемый
на основе измерения такого углового отклонения сигнал рассогласования исполь-
зуется для получения команд управления, которые обеспечивают требуемую в
соответствии с методом наведения ориентацию ЗУР (относительно координатора)
в пространстве.
Подвижными называют координаторы, положение осей координат которых
может изменяться относительно осей координат ракеты. Различают неследящие
подвижные координаторы и следящие.
В неследящих подвижных координаторах ориентация осей координат (на-
целивание координатора) осуществляется под действием управляющих сигналов с
пункта управления до пуска ЗУР. После пуска положение координатора остается
фиксированным относительно, например, вектора скорости ракеты. В данном слу-
чае координатор измеряет угловое рассогласование направления на цель и вектора
скорости. Неследящие подвижные координаторы могут применяться при методах
погони и наведения с постоянным углом упреждения.
Следящими подвижными называют координаторы, оси координат которых
ориентируются по линии "ракета - цель" путем непрерывного слежения координа-
тора за целью. Следящие подвижные координаторы применяются в системах само-
наведения и телеуправления второго вида при различных методах наведения, в
частности, при реализации метода пропорционального сближения. При этом коор-
динатор измеряет величину угловой скорости вращения линии "ракета - .чедь t
непрерывно отслеживая положение цели в пространстве.
В зависимости от размещения источника энергии, используемой для пол-
учения информации о цели, различают активные, полуактивные и пассивные
координаторы.
Активные координаторы для сопровождения цели используют отраженную
от цели энергию, источником которой является передатчик, размещенный на
борту; полуактивные - отраженную от цели энергию, источником которой является
специальный радиолокатор подсвета цели; пассивные - энергию, излучаемую са-
мой целью.
39
В зависимости от диапазона используемых электромагнитных волн коор
дииаторы подразделяются на радиолокационные, световые и инфракрасные.
Состав и структура координатора определяются типом системы управле-
ния и видом сигнала, используемого для сопровождения.
Вариант структурное схемы активного радиолокационного координатора
изображен на рис. 1.26.
Ряс. 1.26. Структурно смш активною доиглошдоююп» координатора
Пунктиром указаны элементы, которые используются в полуактивной сис-
теме самонаведения.
Передающее устройство сигнала подсвета цели связано с антенной через
переключатель приема-передачи. Отраженный, от цели сигнал преобразуется и
усиливается в пеленгационном устройстве. Важнейшими элементами пеленгатора
являются: антенна, приемное устройство и выходное устройство.
Сигнал рассогласования на выходе пеленгатора представляет собой напря-
жение, пропорциональное угловому отклонению цели от равносильного направле-
ния (РСН). Под действием усиленного ио мощности сигнала рассогласования
40
привод разворачивает антенну, обеспечивай совмещение РСН с направлением на
цель Пеленгатор, усилитель мощности и привод образуют угломерное устройство
координатора, формирующее измеренные значения углов курса и тангажа, а также
угловые скорости вращения линии визирования в плоскостях курса и тангажа.
Измеренные значения данных параметров подаются в счетно-решающий прибор,
где используются для формирования команд управления полетом ракеты.
Помимо измерений в блоках угломерного устройства осуществляется про-
странственная, поляризационная и частотная селекция цели. Дополнительная се-
лекция цели производится с помощью автоселектора. В координаторах активного
типа автоселектор представляет собой автодальномер, который вырабатывает стро-
бирующий импульс, открывающий приемное устройство на время прихода сигнала
от выбранной цели.
Команды целеуказания передаются в координатор с пункта управления до
пуска ЗУР. Данные команды обеспечивают предварительное наведение координа-
торе на цель по угловым координатам, дальности и скорости.
В координаторе полуактивного типа передающий тракт отсутствует, а для
синхронизации автоселектора при необходимости используются сигналы канала
синхронизации, который предназначен для приема сигналов подсвета цели. При
импульсном сигнале подсвета и использовании селекции по частоте следования
наличие канала синхронизации не обязательно. При непрерывном сигнале подсве-
та дополнительная селекция осуществляется по скорости сближения ракеты с
целью. Каждому значению скорости сближения соответствует определенное до-
плеровское смещение частоты принимаемое сигнала. Выделение сигналов произ-
водится в результате взаимодействия отраженного от цели сигнала, принятого по
пеленгационному кляалу, и сигнала подсвета с выхода канала синхронизации. В
приемнике или автоселекторе устанавливается узкополосный фильтр, пропускаю-
щий лишь сигнал, доплеровская частота которого соответствует скорости сближе-
ния с заданной целью. При изменении частоты Доплера производится перестройка
фильтра либо частоты гетеродинного напряжения.
В координаторах пассивного типа передатчик и канал синхронизации отсут-
ствуют.
Сопровождение цели по направлению, реализуемое в координаторах, мо-
жет осуществляться по методу интегральных и мгновенных равноевптльных зон.
Последний считается наиболее предпочтительным, так как обеспечивает более
высокую точность сопровождения. При методах мгновенных равносигнальных зон
производится амплитудная, фазовая или амплитудно-фазовая обработка радиоло-
41
кацноншх сигналов. Соответственно в координаторах используются амплитуд-
ные, фазовые или амплитудно-фазовые пеленгаторы.
В амплитудных пеленгаторах сигналы, принятые антенной, поступают
устройство суммарно-разностной обработки, где формируются разностный Up (t)
(в соответствующей плоскости) и суммарный Uc (t) сигналы:
Up(I)-U [F, (ft + y) -Fj-У)1 coa 2лГ01;
Uc (t) • Ua [F, ф+y) + Fj (Д>-у)] сов 2лft. t»
где U« - амплитуда сигнала, соответствующая направлению на цель
максимума парциальной диаграммы направленности пеленгатора;
Fi (ft + у), Fj (jfo - у) - значения нормированных парциальных диаграмм
направленности амплитудного пеленгатора в направлении на целы» (рис. 1.27);
Д» - угловое рассогласование максимума парциальной диаграммы направ-
ленности и равяоемгнального направления;
у - угловое рассогласование равносигнального направления я направле-
ния на цель;
fa * несущая частота сигнала.
Рас. 1,27. Парциальные диаграммы направленности амплитудного пеленгатора
Информация об угловом рассогласовании равносигнального направления
пеленгатора и направления на цель заложена в разностном сигнале и определяется
соотношением амплитуд сигналов, принимаемых парциальными диаграммами на-
правленности.
42
В фазовых пеленгаторах разностный я суммарный сигналы имеют вид:
Up(t) UoF(у) [сое 2лfet-сое (2xfot+'F)J ;
Uc(t)"UoF(y) [сое 2nfot+coa(2xfot+Ф)] ,
где F (у) * значение нормированной диаграммы направленности фазового
Млеигктора в направлении на цель (рис. 1.28);
у - угловое рассогласование равнофазкого направления и направления
м цеЖ
Рис. 1.23. Дюгрваои «апреыеяжхтв фазового нелеипгтара
Информация об угловом рассогласовании РФЧ и направленна ни цель за-
ложена в фазовом сдвиге V, определяемом разностью путей распространения
радиоволн до центра раскрыва антенн и равном
«F-lxdalny/A,
где d - база между антеннами пеленгатора;
А - длина волны.
Формирование сигнала ошибки, пропорционального углу у, осуществля-
ется, как правило, в фазовых детекторах.
Применительно а амплитудному пеленгатору с учетом АРУ каналов по
суммарному сигналу выходной сигнал фазового детектора
Uwi (у1 w Кл ~.^з (А> ~ Т1 /| ад
где Кд - коэффициент пропорциональности.
Применительно к фазовому пеленгатору с учетом АРУ каналов по суммар-
ному сигналу и фазового сдвига разностного сигнала выходной сигнал будет иметь
43
вид
(у)~КфР(у)мпФ,
где Кф - коэффициент пропорциональности.
(1.36)
Выражения (1.35) и (1.36) определяют пеленгационные характеристики,
т.е. зависимости величины сигнала ошибки на выходе пеленгатора от углового
рассогласования РСН (РФН) и направления на цель.
Оптические координаторы устанавливаются на ракетах малой дальности
стрельбы. Они компактны и имеют малую массу. В состав координатора входят,
оптическая система, установленная под светопрозрачным обтекателем, анализатор
поля изображений цели, фотоприемник, усилитель фототока, оконечное устрой-
ство и устройство отработки сигнала рассогласования (рис. 1.29).
Рис. 1.29. Структурная схема оптического координатора
До принципу измерения координат цели оптические координаторы делятся
на частотные, амплитудные, времяимпульсные и др.
В частотном координаторе анализатор поля изображения представляет
собой вращающийся диск, разделенный на прозрачные и непрозрачные области.
При вращении диска происходит модуляции потока, в результате на выходе фото-
приемника выделяются импульсы фототока, частота следования которых будет
определяться положением изображения цели на поверхности диска. При отклоне-
нии цели влево от оси ОХК частота импульсов увеличивается, при отклонении
вправо - уменьшается. В результате на выходе усилителя фототока имеет место
44
переменный ток определенной частоты, соответствующей положению изображе-
ния цели относительно оси ОХ* • В оконечном устройстве устанавливаются
электрические фильтры, настроенные на определенные частоты. После разделения
и преобразования фототока формируется напряжение, которое поступает в устрой -
ство отработки рассогласования. В результате изменяется положение оптической
системы и ее ось оказывается совмещенной с направлением на цель.
Координаторы других типов отличаются- рисунком модулирующих дисков
и конструкцией оконечных устройств. Большинство оптических координаторов
являются следящими. В процессе сопровождения цели они, как правило, выраба-
тывают напряжение, пропорциональное угловой скорости вращения линии "ракета
- цель". При реализации методов параллельного и пропорционального сближения
данное напряжение используется в СРП для формирования команд управления.
1.6.3. Счетно-решающий прибор
Счетно-решающие приборы (СРП) используются в системах автономного
управления, теленаведения и самонаведения и предназначены для формирования
команд управления полетом ракеты. Команды управления формируются на основе
сигнала рассогласования Л , выдаваемого координатором, с учетом компенсацион-
ной составляющей . В общем случае функционирование СРП можно описать
формулой
Лера ш (Д + Д к)' Керл (р) •
где Лера - команда управления на выходе СРП,
Ксрп(р) - передаточная функция СРП.
Вид сигнала рассогласования определяется используемым методом наведе-
ния ЗУР. Сигналом Л может быть сигнал, пропорциональный угловой скорости
вращения линии "ракета - цель' (при параллельном и пропорциональном сближе-
нии) , углу между вектором скорости ракеты и линией "ракета - цель" (при методах
погони н наведении с постоянным углом упреждения) и т. д.
Компенсационная составляющая сигнала рассогласования Д к предназна-
чена дя снижения ошибок наведения ЗУР на цель. Она учитывает действие на
ракету силы тяжести, продольное ускорение ракеты, ошибки, обусловленные на-
личием обтекателя. Передаточная функция СРП определяется уравнением связи
метода наведения, а также требованиями к устойчивости контура наведения в
целом.
45
1.6.4. Автопилот
Автопилот выполняет функции элемента системы управления ракеты, а
также функции системы стабилизации. Он предназначен для управления положе-
нием центра масс ракеты в пространстве в соответствии с командами управления и
стабилизации угловых вращений ракеты относительно центра ее масс.
Автопилот представляет собой трехканальную систему автоматического уп-
равления, позволяющую производить управление и стабилизацию ракеты по курсу
и тангажу, а также стабилизацию во крену.
В каждом канале управления имеются преобразовательно-усилительные
устройства, исполнительные устройства (рулевые машины), а также чувствитель-
ные элементы (рис. 1.30).
Чувствительные
элементы
Команды управления
от СРП (КРУ)
Рис. 1.30. Структурная схема автопилота
Чувствительные элементы автопилота измеряют угловые отклонения раке-
ты по курсу, тангажу и крену, ее скорость и скоростной напор. В качестве чувст-
вительных элементов используются гироскопические измерители, датчики линей-
ных ускорений (акселерометры), датчики скоростного напора и др.
Основу гироскопического измерителя составляет гироскоп - быстро враща-
ющийся маховик (ротор), ось которого закреплена в рамке, называемой рамкой
гироскопа. Ротор приводится во вращение электродвигателем. Для измерения
угловых отклонений используют интегрирующие гироскопы. Для измерения угло-
вых скоростей используют дифференцирующие гироскопы.
Чувствительным элементом акселерометра является инерционная масса,
закрепленная между двумя пружинами. Ось чувствительности акселерометра ори-
ентируется в требуемом направлении. Измеряемое ускорение пропорционально
величине линейного перемещения инерционной массы.
Чувствительным элементом датчика скоростного напора является мембра-
на. связанная через передаточный механизм с датчиком (индукционным, емкост-
ным и г. д.). С датчика снимается напряжение, пропорциональное скоростному
напору.
Преобразовательно-усилительные устройства, как правило, пред-
ставляют собой электронные преобразователи токов и напряжений.
Исполнительные устройства (рулевые машины) преобразовывают электри-
ческую энергию команд управления в углы поворота рулей планера ракеты. Руле-
вые машины могут быть пневматическими, гидравлическими и электрическими.
Сущность стабилизации ракеты сгхгтоит в следующем. С появлением, напри-
;мер, под действием внешних сил угла крена команды управления по курсу и
тангажу отрабатываются с ошибкой. Это влечет за собой увеличение ошибок
, ваведения. При наличии системы стабилизации по крену на выходе чувствитель-
ного элемента - интегрирующего гироскопа - появляется сигнал, пропорциональ-
. ный углу крена. После усиления л преобразования этот сигнал поступает на
'рулевые машины, которые обеспечивают разворот рулей таким образом, чтобы
* свести угол крена к нулю. Аналслично осуществляется стабилизация по курсу и
- тангажу.
, 1.7. Боевое снаряжение зенитных управляемых ракет
> Боевое снаряжение ЗУР включает боевую часть, неконтактный взрыватель
4 W предохранительно-исполнительный механизм, являющийся промежуточным ус-
s тройством между взрывателем и боевой частью и обеспечивающий безопасность
$ обращения с ракетой, а в необходимых случаях и ее самоликвидацию.
' 1.7. /. Боевые части зенитных управляемых ракет
<
В зенитных управляемых ракетах, как правило, применяются ядерные,
кумулятивные и осколочно-фугасные боевые части (ОФ БЧ) направленного дей-
ствия. Общая масса поражающих элементов составляет около половины суммар-
ной массы БЧ. В качестве взрывчатого вещества обычно используется смесь тро-
тила и гексогена в соотношении 1:4, В перспективе повышение могущества БЧ
может быть достигнуто применением взрывчатых веществ с высокой энергией
(заменой гексогена на октоген и тринитротолуола на термопластические связую-
щие материалы), а также использованием боеприпасов объемного взрыва. В каче-
стве готовых поражающих элементов используются кубики, шарики, стержни.
Образование осколков определенной массы и размера достигается также дробле-
нием наружной оболочки при взрыве (наружная оболочка имеет соответствующие
нарезы). Важными характеристиками ОФ БЧ являются: количество осколков, их
форма, материал и масса, от которой существенно зависит кинетическая энергия
осколка. Обычно осколки имеют диаметр (размер ребра) 5 - 10мм и массу 3 - 8г.
Поражение воздушных целей достигается путем поражения экипажа (для
пилотируемых целей), вывода нз строя жизненно важных агрегатов (органов уп-
равления, двигателей, топливного и кислородного оборудования), разрушения
конструкции целей, воспламенения топлива, детонации или воспламенения бое-
припасов или топлива авиационных ракет на борту самолета.
47
Поражение цели может быть следствием фугасного или осколочного дейст-
вия боевой части, а также за счет совместного воздействия обоих факторов. При
взрыве взрывчатого вещества (ВВ) образуется нагретый до температуры 3000 -
5500° С газ (до 1м из 1кг ВВ), который создает местное давление до 10 кг/см и
вызывает ударную волну, распространяющуюся со скоростью до 104 м/с. Оценка
радиуса фугасного воздействия может быть произведена по формуле (результат -
в метрах)
Кфв2^вГе-ЬНц> (137)
\АРф
м кг 1/16
где о » 2 - 2,25-—------коэффициент, учитывающий форму и конструкцию
боевой части;
Q, кг - тротиловый эквивалент, примерно равный массе взрыв-
чатого вещества;
А Рф - избыточное давление во фронте ударной волны, прово-
дящее к разрушению цели ( для широкого класса воздушных целей
ДРф = 0,3-0,5-^j );
см
b » 0,025 км1- коэффициент, характеризующий падение радиуса по-
ражения с высотой (вследствие падения плотности и давления воздуха);
Нц, км - высота точки подрыва.
Расчеты показывают, что радиус поражения цели за счет фугасного воздей-
ствия не превышает 10 - 12м для наиболее мощных боевых частей ЗУР.
Действие плотного ( Лз = 20- 50 1/м^) потока осколков совместно с рас-
каленными продуктами взрыва и аэродинамическими силами за счет скоростного
напора вызывает разрушение конструкции целей. Оценка радиуса поражения
Rnn цели при воздействии потока осколков плотностью Лц может быть произ-
ведена по формуле г-----------1
Rnn=l/------’ <L38>
У 2 уст Ля sin -у
где Ыэ - число эффективных (убойных) осколков, составляющее пример-
но 0,9 их общего количества;
о ст - статический угол разлета осколков в продольной (меридиональ-
ной) плоскости симметрии ракеты (рис. 1.31); ‘
у ст - суммарный статический угол разлета осколк эв в радиальной (эква-
ториальной) плоскости ракеты.
48
Рис. 1.3кСтвтжчесжмоблатркмтоашлм№веесечешш
Радиус поражения за счет разрушения конструкции цели плотным потоком
осколков не превышает 10 - 15м даже для наиболее мощных боевых частей.
Скорость разлета осколков в статике (для неподвижной ракеты)
Vct
V*
5LE5 Г}
ш вв
(1.39)
1де ¥*«*2400 - 2800м/с - величина, определяемая типом ВВ я конструкцией
БЧ;
ш вч/ш вв - отношение массы БЧ к массе ВВ, равное примерно
двум для широкого класса БЧ.
49
При небольших промахах достигается достоверное поражение цели за счет
совместного действия плотного потока осколков и ударной волны. В основном же
поражение цели осуществляется за счет воздействия одиночных осколков (плот-
ностью А 3 2-5 1 /м 2 ) по уязвимым агрегатам (отсекам) цели. В современных
средствах воздушного нападения применяется ряд мер, снижающих вероятность их
поражения: ввод в горючее добавок - ингибиторов, уменьшающих возможность его
воспламенения; применение топливных баков с самозатягивающимся покрытием;
создание смесевых зарядов для бортового оружия, не детонирующих и не возгора-
ющихся при попадании в них осколков; создание устойчивого к поражающему
воздействию ракетного топлива для авиационных ракет.
При анализе осколочной области поражения боевой части рассматривают
(рис. 1.32): статическую область разлета осколков РАВ, характеризуемую шири-
ной сектора разлета (%т и положением биссектрисы сектора Ф ст ; динамическую
область разлета осколков (РА’В”), построенную с учетом скорости движения
ракеты и характеризующуюся углами ад и %; область поражения в относитель-
ном движении (РА"В"), построенную с учетом движения цели и характеризующу-
юся углами и Фот. Таким образом скорость осколка в относительном движе-
нии
Рис 1.31. Сечение области разлета осколков
Область разлета осколков можно представить как пространство между двумя
конусами (частями конусов) с общей вершиной в центре боевой части, т. е. как
пространство, образованное поворотом области РА" В" на угол у, характеризую-
щий разлет осколков в радиальной плоскости.
Наклон области разлета осколков (изменение угла Ф) осуществляется за
счет использованья нескольких точек инициирование, расположенных на про-
дольной оси симметрии ракеты. При подрыве передней точки инициирования
50
область разлета осколков наклоняется назад. Уменьшение угла разлета осколков
а достигается переходом от шарообразной формы БЧ к бочкообразной и цилинд-
рической, выбором формы и усилением торцевых заглушек. Уменьшение угла
разлета осколков в радиальной плоскости у может быть достигнуто асимметрич-
ным расположением точек инициирования относительно оси ракеты, усилением
части оболочки заряда. Прн несимметричной относительно продольной оси обла-
сти разлета осколков перед подрывом боевого заряда необходимо развернуть
ракету по крену (или выбрать надлежащие точки инициирования) в соответствии
с информацией о направлении промаха, например, по знаку сигнала ошибки угло-
вого сопровождения цели в момент срыва наведения. Для ракет, наведение которых
осуществляется в одной плоскости, необходимо увеличить плотность потока ос-
колков именно в этой плоскости.
4.7.2. Неконтактные радиолокационные взрыватели
зенитных управляемых ракет
Подрыв боевой части ракеты в районе цели может быть осуществлен двумя
способами: по команде с земли или с помощью неконтактного взрывателя. Первый
способ применяется при использовании на ракетах ненаправленных ядеряых или
осколочно-фугасных боевых частей с большим радиусом поражения, а также при
невозможности определения взаимного положения ракеты и цели в точке встречи.
Команда подрыва вырабатывается, когда расстояние ракета - цель будет равно
заданному.
Второй способ является основным, его использование позволяет применять
ОФ БЧ, обладающие высокой направленностью.
По месту расположения источника используемой энергии различают некон-
тактные взрыватели, пассивные, полуактивные и активные. Первые используют
энергию самой цели (электромагнитную, тепловую, световую, звуковую). В полу-
активных взрывателях, как правило, радиолокационных, используется энергия
подсвета источника, расположенного вне ракеты. Активные взрыватели (радиоло-
кационные, световые) имеют в своем составе соответствующий источник энергии.
По характеру энергии неконтактные взрыватели подразделяются на оптические
(светоконтрастные и инфракрасные), акустические, электростатические и элект-
ромагнитные (радиовзрыватели). Радио- и оптические взрыватели находят наибо-
лее широкое применение, причем наибольшая надежность своевременного подры-
ва боевой части, особенно в условиях помех, достигается комплексированием
неконтактных взрывателей различного типа. В ракетах переносных ЗРК исполь-
зуют контактные взрыватели в качестве и основных, и дублирующих.
По принципу действия радиовзрыватели (РВ) разделяют на две группы:
дальномерные и пеленгационные. Дальномерные предназначены для определения
дальности между целью и ракетой Аги выдачи на соответствующем расстоянии
51
команды подрыва БЧ. Это - активные радиовзрыватели с импульсными или непре-
рывными частотно-модулированными сигналами. Структурная схема дальномер-
ного РВ приведена на рис. 1.33. Модулятор по сигналу синхронизатора формирует
модулирующую функцию, управляющую работой высокочастотного генератора.
Сигналы передатчика РВ излучаются передающей антенной, отражаются от цели,
принимаются приемной антенной и поступают на смеситель, куда подключено
также напряжение местного гетеродина. Сигнал с выхода смесителя, задержанный
относительно зондирующего на время Ат , пропорциональное дальности Аг
цель - ракета, поступает на каскад совпадений, куда приходит также сигнал синх-
ронизатора, задержанный на линии задержки относительно зондирующего на вре-
мя A fopi , пропорциональное оптимальной дальности подрыва. При
Ar » г opi на предохранительно-исполнительный механизм и далее на детонатор
БЧ подается команда подрыва. Для исключения преждевременного срабатывания
радиовзрывателя генератор строба закрывает усилитель для сигналов, отраженных
от целей, находящихся на больших дальностях.
Рис. 1.33. Структуре»» схема рвджо»зры»,*гел» далыюмермого типа
Пеленгации :ые радиовзрыватели измеряют угловое положение цели в
связанной системе координат ракеты. Рассмотрим простейший случай, когда век-
тор скорости разлета осколков в статике V ст совладает с биссектрисой секторе
разлета и перпендикулярен продольной осп ракеты О Xi , вектор скорости ракеты
V р направлен по продольной осн ракеты, а вектор скорости цели V ц - встречно
ему, центр боевой части - в точке 0. Видно (рнс. 1.34), что подрыв БЧ ЗУР должен
производиться (без учета времени задержки команды подрыва в радиовзрывателе,
предохранительно-исполнительном механизме и детонаторе) в момент времени,
когда цель окажется на линии вектора относительной скорости осколка V отя ,
т. е. под утлом по отношению к продольной оси ракеты О Xi .
ytp »агссоа -т— Л?—.,* arcctg .
l/vkvlr vo
(141)
S3
Рис, 1.34. К расчету угла
срабатывания радиовзрывателя
Угол Яср определяет биссектрису области срабатывания радиовзрывателя,
его значение вычисляется на наземном командном пункте ЗРК в соответствии с
(1.41) для точки встречи и передается на борт ракеты непосредственно перед
встречей ракеты с целью (при отсутствии линии связи с ракетой значение угла
срабатывания вводится в радиовзрыватель до старта ракеты). Определение поло-
жения цели относительно продольной оси ракеты осуществляется либо с исполь-
зованием метода максимума с установкой оси диаграммы направленности радио-
взрывателя под углом ^tp (рис. 1.35,а), либо с использованием метода мгновен-
ной равносигаальной зоны с амплитудной (рис. 1.35,6) или фазовой (рис. 1.35,в)
пеленгацией. В последнем случае в приемные каналы радиовзрывателя до старта
или перед включением выдается разность фаз
-cos^p),
(1.42)
где d - расстояние между фазовыми центрами приемных антенн радио-
взрывателя;
Рис. 1.35. К принципу работы радиовзрыватслей пслешацношюготиоа
S3
4
С учетом <1.41)
w „ 2 л<1
.ср А
<1.43)
При использовании для пеленгации цели метода максимума положение
линии, характеризующей середину области срабатывания радиовзрывателя, зави-
сит от мощности принимаемого сигнала, а следовательно, от величины промаха.
При малых промахах радиовзрыватель срабатывает преждевременно.
На рис. 1.36 приведена зависимость угла срабатывания радиовэрывателя от
относительной скорости сближения ракеты с целью для различных скоростей
разлета осколков. Пунктирной линией показана часто используемая на практике
линейная аппроксимация указанной зависимости.
Рис. 1.36. Зависимость угла срабатывания от относительной скорости
В некоторых радиовзрывателях угол срабатывания устанав тивают постоян-
ным, рассчитанным для максимальной для данного ЗРК относительной скорости.
При меньших скоростях сближения вводят задержку подрыва боевой части отно-
сительно момента срабатывания радиовэрывателя.
На рис. 1.37 изображена зависимость <1.43) фазового сдвига в приемных
каналах радиовэрывателя от скорости сближения. Пунктиром показана часто реа-
лизуемая в радиовзрывателях кусочно-линейная аппроксимация.
54
Структурная схема полуактивного радиовзрывателя с фазовым методом
пеленгации приведена на рис. J .38. Каждый канал содержит смеситель и усилитель
с АРУ. Сопровождение по скорости (частоте Доплера) осуществляется следящей
системой (CCV), изменяющей чистоту гетеродина. Один нз каналов содержит
управляемый фазовращатель (ФВ), куда вводится фазовый сдвиг, соответствую-
щий расчетному углу срабатывания. Когда разность фаз в каналах сравняется с
заданной, фазовый детектор (ФД) выдает сигнал подрыва.
Рис. 1.38. Структурная схема радиовзрыватсля с фазовым методом пеленгации
S5
Доплеровское смещение частоты отраженного сигнала в приемнике ракеты
для систем с полуактивным самонаведением в соответствии с рис. 1.39 может быть
найдено из '•©отношения
Рд «-^созр + ^созб» (1.44)
где б - угол отклонения вектора скорости цели от линии подсвета.
Рис. 1.39. К определению доплеровского смешения частоты
На больших расстояниях цели от РЛС подсвета & e const, а на большом
расстоянии ракеты от цели cos = 1. При сближении ракеты с целью величина
доплеровского сдвига частоты снижается до нуля, а затем меняет знак (рис. 1.40).
На этом принципе построены пеленгационные радиовзрыватели с одним или не-
сколькими доплеровскими каналами (рис. 1.41). Каждый канал содержит смеси-
тель, УПЧ с АРУ и узкополост ле фильтры (УПФ1 и УПФ2). Следящая система
по скорости поддерживает на большом удалении ракеты от цели постоянство
частоты гетеродина. После срыва слежения по скорости начинается резкое изме-
нение промежуточной частоты в обоих каналах (рис. 1.42) в соответствии с зави-
симостью
АРД e^( 1 -cosf). (1.45)
Узкополосные фильтры отстроены от номинала промежуточной частоты
приемника радиовэрывателя на величины А Рупф i и A Рупф j. В моменты вре-
меня, когда А Рд =? А РупФ t и А Рд *= А Рупф i , в каналах вырабатываются сиг-
налы, поступающие на схему И. При их последовательном появлении выдается
сигнал подрыва. Использование двух или более каналов повышает надежность и
помехозащищенность радиовэрывателя.
Оптимальное значение отстройки частоты фильтра определяется из соотно-
шения (1.45) с учетом (1.41) при ф = 9^ .
AFcp«^ (1 - ) . (1.46)
36
Рис. 1.41. Структурная схема пеленгационного взрывателя с двумя доплеровскими каналами
Зависимость Л Fcp (Vo) показана на рис. 1.43. В некоторых радаовзры-
вателях значения отстройки фильтров выбираются постоянными. Прн этом усло-
вия согласования области срабатывания взрывателя с областью поражения боевой
части ухудшаются.
57
Рве. 1.43. Зависимость &Fq> (Vq)
58
Момент срабатывания доплеровского радиовзрывателя мохво также опре-
делить из зависимости скорости изменения доплеровской частоты от угла срабаты-
вания (рис. 1.44) при ?*рср
где h - величина промаха.
Рас. 1.44. Зшшзшостъ F* (jp) при
Vo-1000 м/с, A-410“jm
В двухканальных доплеровских радиовзрывателях, где определяется вели-
чина б F - Рупф 2 ~ Руяф i к разность во временя срабатывания фильтров
Л t - (упф а - «упф а , фактически гычисляется значение скорости изменения до-
плеровской частоты
F
F* dt •
По разнице времени срабатывания фильтров и по длительности сигнала в
фазовом и доплеровских каналах радиовзрывателя можно судить о величине про-
маха и линейных размерах цели.
В некоторых типах ЗУР применяются радиовзрыватели, в которых для
Повышения эффективности боевого снаряжения используется несколько различ-
ных методов согласования области срабатывания с областью поражения.
Определение момента подхода ракеты к цели и выдача команды включение
(ближнего взведении) радиовзрывателя могут быть осуществлены по командам с
земли (в ЗРК с телеуправлением) или по изменению параметров сигналов на борту
ракеты (в ЗРК с самонаведением). При подходе ракеты к цели и наличии хотя бы
небольшого промаха происходит резкое увеличение угловой скорости вращения
линии ракета - цель (рис. 1.45), которая уже не отрабатывается головкой самона-
ведения
. hV0
(1.48)
59
В приемнике радиовзрывателя при подлете ракеты к цели возрастает отно-
шение сигнал тшум
где Ао, — - энергетическая характеристика радиовзрывателя (в ЗРК с
Vm
полуактивным радиовзрывателем и РЛС подсвета);
S3, м2 - эффективная отражающая поверхность цели;
Гц и D , км - дальности РЛС подсвета - цель и ракета - цель соответст-
венно (для активных радновзрывателей гц = D ).
. _ Ри Оп СпрА2
*•' М^Р« • (,Лв>
где Ри, Вт - мощность радиопередатчика РЛС подсвета или взрывателя;
Gn и Gnp - коэффициенты усиления передающей и приемной антенн;
X, м - длина волны;
Ри, Вт - чувствительность приемника.
Рис. 1,44. Иамеаеивеотмжвежшатми-шум» приемяхже ЗУР
На ряс. 1.46 приведены звисимости отношения сигнал - шум в приемника
полуактивного рддиовзрывателя от дальнос.-и ракета - пел», вычисленные при
Гц» 100км, А*»50^.
Команды ближнего взведения радилэрывателя выдаются (ряс. 1.45 и 1.46)
оря F шу*в или q *qn . Использус (1.48) ж (1.41), получим выражение для
момента срабатывания взрывателя в ядавсимости от скорости сближения и рассто-
яния ракета - цель
У* Уст
** n/vi+VS'
(1.51)
Аналогичное соотношение для скорости изменения отношения сигнал - шум
• _ ^5эуЗ
rjD’/W+vL
(152)
/.7.J. Оптические взрыватели зенитных управляемых ракет
Неконтактные оптические взрыватели обычно применяются в ЗУР ЗРК
малой дальности и ближнего действия. Их преимуществами являются: малая масса,
компактность, высокая степень защищенности от активных и пассивных радиопо-
41
мех. Оптические взрыватели имеют меньшую дальность действия по сравнению с
радиолокационными. Наиболее часто используются светоконтрастные активные и
инфракрасные пассивные взрыватели.
Рис. 1.47. Структурна! схема оптачоского взрывателя
Структурная схема простейшего активного оптического взрывателя ЗУР
ближнего действия приведена на рис. 1.47. После старта ракеты предохранитель*
но-исполнительный механизм (ПИМ) выдает команду взведения, которая вклю-
чает источник импульсного тока, питающий лампы, расположенные радиально в
носовой части ракеты. Световые импульсы фокусируются объективами, попадают
на цель и, отражаясь, поступают в фотоприемник, объективы которого расположе-
ны также радиально. В фотоприемнике происходит преобразование световых сиг-
налов в электрические, усиление последних и сравнение с порогом, при превыше-
нии которого выдается команда подрыва. Для повышения надежности срабатыва-
ния взрывателя излучение и прием сигналов производятся в узком спектре частот,
применяется компенсация фонового излучения.
Рис. 1.48. Схема
пассивного
взрывателя
инфракрасного типа
42
Пассивный оптический взрыватель инфракрасного типа (рис. 1.48) имеет
оптическую систему, формирующую область приема лучистой энергии в виде
двойного конуса с вершиной в фокусе системы. Оптическая система (ОС) разме-
щена в головной части ракеты и прикрыта светопрозрачным обтекателем. Инфрак-
расное излучение цели попадает в фотоприемник (ФП), преобразуется в электри-
ческие сигналы, которыепосле усиления поступают в предохранительно-исполни-
тельный механизм, где и формируется команда подрыва боевой части.
Наиболее эффективные (с высокой помехозащищенностью, обеспечиваю-
щие хорошее согласование области срабатывания взрывателя с областью пораже-
ния боевой части) неконтактные взрыватели создаются путем комплексирования
радиотехнических и оптических устройств пеленгации цели.
1.7.4. Предохранительно-исполнительные механизмы
и устройства самоликвидации зенитных управляемых ракет
Предохранительно-исполнительный механизм (ПИМ) является промежу-
точным устройством между неконтактным взрывателем и боевой частью и пред-
назначен для обеспечения полной безопасности обращения с боеготовой ракетой
до ее пуска, предотвращения подрыва боевой части в непосредственной близости
от стартовой позиции, предотвращения преждевременного срабатывания некон-
тактного взрывателя при воздействии помех, взведения взрывателя в районе встре-
чи ракеты, а также для принудительного подрыва (самоликвидации) ракеты.
Предусматривается несколько ступеней предохранения системы подрыва,
последовательно снимающихся при запуске стартовых ускорителей, запуске мар-
шевого двигателя, достижении определенного значения продольного ускорения
ракеты ( в» " 5-25), достижении динамическим давлением установленного
уровня (обычно 13-6 атм). В момент старта в ракетах малой, средней дальности
к дальнего действия включается программный (часовой) механизм для выдачи в
заданные моменты времени команд дальнего взведения взрывателя и снятия запре-
те на подрыв. В зенитных ракетах, предназначенных для подрыва только на боль-
ших высотах, снятие одной из ступеней предохранения осуществляется сигналом
барометрического датчика, срабатывающего при падении статического давления в
соответствии с высотой полета ракеты. Самоликвидация ракеты осуществляется по
команде от часового механизма (при превышении ракетой максимально допусти-
мого полетного времени) или после окончания работы бортового источника пита-
ния. В некоторых типах ЗУР самоликвидация производится по команде с земли
после пролета ракетой цели или принудительно (при аварийном пуске). Для
обеспечения безопасности наземных объектов перед самоликвидацией предусмат-
ривается выдача команд на резкое увеличение высоты ракеты. В ЗУР, предназна-
ченных для боевого применения только на больших высотах, самоликвидация ЗУР
может производиться по сигналу барометрического датчика. В ЗУР ближнего
действия находят также применение как в качестве основных, так и дублирующих
контактные взрыватели. Их действие основано на выдаче электрического импульса
в момент разрыва магнитной цепи составного типа.
6J
1 СТРЕЛЬБА ЗЕНИТНЫМИ УПРАВЛЯЕМЫМИ РАКЕТАМИ
11. Системы координат и параметры данхенш объектов
1 /. /. Системы координат и параметры движения
баллистических и аэробаллиапических объектов
Геоцентрическая прямоугольная систем* OXYZ. За начало координат О
щмшкмается центр масс Земли, ось 0Y направлена ио оси вращения Земли
(раю. 2.1), а оса ОХ и OY образуют вместе с OY правую систему координат.
В геоцентрической сферической системе координат ОгуА положение объ-
екта определяется длиной радиуса-вектора г, геоцентрической широтой у» и дол-
готой!
Связь между геоцентрическими прямоугольными и сферическими коор-
динатами:
Х-гсоар ala А,
Y»raia*\
Z - г со* f со* А .
(2.1)
Y
Рас. 1-1. Геоцентрически
система координат
Траектория полета баллистических целей (БЦ) включает (рис. 2.2): актив-
ный участок движения ракеты с работающим двигателем (АВ) от точки пуска А
до окончания работы двигателя (точка В), где осуществляется разгон до требу-
емой скорости Vo, а ракета приобретает запас кинетической энергии; пас-
м
сивный участок свободного полета ВС по баллистической траектории и пассив*
ный участок CD, на котором ВЦ движется в платных слоях атмосферы.
Проекция полета БЦ на поверхность Земли представляет собой сумму про-
екций трех описанных выше участков
D “ Da + Db + De .
Обычно Da » Da + De, тогда дальность полета
Рве. 2.2. Траектория баллистической цели
Связь между проекцией дальности D полета БЦ на поверхность Земли,
скоростью Vo в конце активного участка и углом бросания 6Ь для БЦ малой
и средней дальности выражается формулой
р V§R3sin26b
Из g - Vj cos’ 6b ’
(2.3)
где g-9,81 м/с’ - ускорение свободного падения для средних широт.
Pwc. 2.3. Дальность полета баллпстпческо* цела
Рис. 2.3 иллюстрирует приведенную зависимость. Оптимальные углы бро-
сания близки к 45°, при меныпях углах траектория будет настильной, а при
больших - навесной. Углы входа БЦ в тропосферу и скорости входа примерно
равны начальным углам бросания и скоростям. Для траекторий тактических
баллистических ракет и аэробаллисгических целей (АБЦ) имеют место соотноше-
ния
нмх - Но ; Т ; (2.4)
гдеНщлх - максимальная высота траектории;
Но - начальная высота (конец активного участка для БЦ и высота
самолета в момент пуска для АБЦ);
Т - время полета БЦ или АБЦ;
Dmax гимальная дальность полета.
2.I.2. Системы координат и параметры движения
аэродинамических целей (летательных аппаратов)
Поверхностная прямоугольная (х, у, х) и сферическая (г, fl, е) земные
системы координат имеют центр О в определенной точке земной поверхности
(например, в центре позиции РЛК, ЗРК). Ось координат оу направлена верти-
кально вверх (против 'направления силы тяжести), ось абсцисс ох - на север по
вертикальной линии координатной сетки или на какой-либо ориентир. Ось аппли-
кат oz позволяет получить правую систему координат. В сферической системе
координат положение объекта определяется наклонной дальностью г, азимутом
fl и углом места е (рис. 2.4 д).
66
Рис. 2.4, Поверхностные (земные) свстеыы координат
Связь между поверхностными прямоугольными и сферическими коорди-
натами выражается формулами:
r-^х’ + у2+ к2;
/J-arc(g|;
(2.5)
Подвижные параметрические системы координат (зависящие - от пара-
метров движения пели) широко используются в теории стрельбы ЗУР. Прямо-
угольная система координат OLHP имеет начало в условном центре ЗРК. Ось
курсовой дальности OL направлена встречно курсу цели (OLI 1Ущ), ось высоты
, ОН параллельна местной вертикали (ОН Ilf), ось курсового параметра ОР до-
полняет систему координат до правой. Плоскость LOP является горизонтальной
। плоскостью, а плоскость LOH называют биссекторной плоскостью. Сферическая
‘ подвижная система координат Оге q аналогична земной неподвижной системе
координат, при этом q называют курсовым углом (рис. 2.4,160), а расстояние d -
' горизонтальной дальностью. Связь между координатами прямоугольной и сфе-
рической системы определяется формулами:
r-Vl?+H3 + P’;
d -^т,-Н3'»7ь1 +Р2;
н
e»arcsin =~;
(2.6)
«7
. р
q « arcsta .
Удобство использования прямоугольной подвижной параметрической си-
стемы координат заключается в том, что в случае движения целя прямолинейно
в на постоянной высоте две координаты (Н и Р) остаются неизменными, а
изменяется только курсовая дальность. При постоянной скорости цели
(17 >
L = U — Vqt.
Данные соотношения точны только при небольших дальностях до цели,
когда можно пренебречь кривизной Земли, т.е. при
н »А
Н« ** 2Яз *
(2.«)
Производные координат для неманеврирующих целей, т.е. при Н w const,
Р» const, Vй const, L - Lx) - Уц t, Н«0, Р-0 ,.L « - V, запишутся следующим
образом.
Рис. 2.5. Законы изменения дальности и ее производных
Для дальности:
« V L • VL
г « - V cose cosq « -^ej===p=s=j; d - - V cosq • (2.9)
V2 ( H2 + P2 ) - V2 P2
V(LJ + P2+H’f;de
(2.10)
68
Экстремальные значения (рве. 2.5);
Г mu “ -V , г min " 0 при L-* оо;
(2.11)
Г min “О,
- V2
г max «7- ,.f при L-0.
УН’ +Р
Для угла места:
V Н V L
в " ~ sine cosq “ —z-5-•> Л? ->'
r (L2+H2+P2)VL2+P2
(2.12)
V3 iii
g «-pp tge ( 2cos e cos q - sin q)
V3 H [ -2L4 + P3 ( L2 - H2 -P3) ]
(I? + H3 + P3) 2 (ft2 + P2) 3
. (2.13)
Экстремальные значения (рис. 2.6)
(2.14)
Для курсового угла:
• V . VP п 1М
Q’dshxqajL3Vp2‘ ’ <2Лб>
’ V3 . 2V2 Р L 171
’"o’ 24 (L’+P1)"’ <2”
и
Экстремальные значения (рис. 2.7)
q»0, q "О при PeO; q «О при L~O. (2.18)
4пих-у при L«O; ш • ±3ПРН L"±^’ <219)
2.1.3. Измерительные системы координат
Измерение координат целей и ракет локационными средствами ЗРК, изме-
рение параметров рассогласования в системах наведения ЗУР, формирование
команд управлеь я осуществляются, как правило, в специфических системах
координат.
В бинлоскостной системе координат (рис. 2.8) проводится наклонная пло-
скость через точку цели Ц и ось аппликат O2L Положение цели в пространстве
определяется наклонной дальностью г, углом у в наклонной плоскости между
осью OZ и направлением на цель, углом di между осью OY и плоскостью
UOZ.
В биконической системе координат .положение, пели гщред&гяетс^; dtpeg-
ком Or, являющимся общей образующей двух конусов, описанных вокруг осей OZ
дОУ, утлому и углом б, отсчитываемым от осн OY до направления ОЦ.
Связь между сферическими, биконическими и биплоскостными коорди-
7®
ватами определяется соотношениями
cos di * sin 81;
cos д • sin £; (2.20)
cos у • tin q cos e;
sine sin у «sine,
> где a - угол между наклонной ж горизонтально* плоскостями.
Рис. 18. Бнксюгаесш ж бкплоаиктвая системы координат
В радиолокационных визирах с линейным сканированием луча, с фази-
рованными антенными решетками гаходкт применение относительная бипло-
скостная система координат. Отсчет угловых координат осуществляется в верти-
кальной tyb) и наклонной (fa) плоскостях к опорной оси OXi, в качестве которой
выбирается либо нормаль к полотну ФАР, либо центр сектора сканирования, либо
его начало. Положение самой оси относительно земной системы координат
определяется углами £| (рис. 2.9).
2. /. 4. Подвижные системы координат,
связанные с летательным аппаратам
Связанная система координат OjXiYiZ; позволяет определить ориента-
цию в пространстве летательного аппарата, в частности, зенитной ракеты. На-
чало координат Oj совмещено с центром массы ракеты, ось OiXi направлена
вперед по продольной осн ракеты, ось 01 Y| расположена в вертикальной пло-
скости аэродинамической симметрии ракеты (плоскости тангажа), а ось OjZi - в
горизонтальной плоскости симметрии (плоскости курса), образуя правую сис-
тему координат.
Рис. 2.9. Относительная измерительная система координат
Ориентация связанной системы координат O1X1Y1Z1, а следовательно, и
самой ракеты относительно земной системы координат OXYZ определяется с
помощью углов Эйлера , 0, у (рис. 2.10).
Угол рыскания V определяет поворот связанной системы координат (ее
«ей OiXi и ОiZi) вокруг оси 0Y и измеряется между осью OiX и проекцией
OiXi' связанной оси ракеты OiXi на горизонтальную плоскость земной системы
координат. Другими словами, угол рыскания ^определяет положение продоль-
ной оси симметрии ракеты относительно направления ОХ.
Угол тангажа 0 определяет положение продольной осн симметрии ракеты
OiXi относительно горизонтальной плоскости земной системы координат XOZ,
образуется путем вращения связанной системы координат (осей OiYi и OiX/)
вокруг оси 01 Zi' и измеряется между ocuoOiXi и ее проекцией OiXi' на горизон-
тальную плоскость.
Угол крена у определяет поворот плоскостей аэродинамической симмет-
рии ракеты относительно вертикальной или горизонтальной плоскостей земной
системы координат, образуется путем поворота ракеты вокруг оси OiXj и изме-
ряется между осями 01 Yi и O|Yi'.
Полный вектор угловой скорости разворота ракеты
Ш“^ + 4 + у. (2.21)
72
Проекции его га оси связанной системы координат
«л “У + ф»1п0;
«уУ1 * ф cos# cosy+ 0»1пу;
o>it " ©cosyсов# siny.
(2.22)
Pec. 2.10. Земная связанная системы координат
Угловые скорости разворота ракеты:
“ CSC 0(<У у, cosy - Ш ц siny),
0«<wyi siny + й/ц cosy;
(2.23)
у-Шц -tg0(a)yi cosy -cat] siny).
Скоростная (поточная) система координат ориентирована по вектору ско-
рости ракеты Vp (или по обратному ей направлению набегающего потока возду-
73
ха). Начало системы координат - в центре масс ракеты, ось OiXv направлена
по вектору скорости ракеты, ось OiYy • в вертикально! плоскости
симметрии ракеты, а ось OjZv - дополняет систему координат до правой
(рис. 2.11).
* Скоростная система координат повернута относительно связанной на угол
Удобно представить этот разворот а виде двух последовательных поворо-
те* кв углы а и /9 так, что cqsi? "*cO$acos/L
Здесь а - угол атаки, отсчитываемый от проекции вектора скорости ракеты
ш вертякалькую плоскость симметрии ракеты до связанной оси О] X», а Д - угол
скольжения, лежащий между вектором скорости и вертикальной плоскостью сим-
метрии ракеты.
Положение скоростной системы координат относительно земной опре-
деляется (рис. 2.12) углом курса ф (характеризующим направление вектора
скорости ракеты а горизонтальной плоскости), углом наклона вектора скорости
ракеты (траектории ракеты) к горизонтальной плоскости 0 и углом крена Г >
между осью OYv и вертикальной плосксхлгыо, проходящей через вектор скорости
V.
Рис. 2.11. Слизанная я скоростная системы координат
Имеют место соотношения между углами Ф, О, Г я 9, у, выражен-
ные через углы атаки и скольжения:
sin^cos0"sln^cos0cosaco^3 + sin© siny sLn/Э + sin6tosysinaco^9 +
74
+ cos^(»inysinaco^9'-coea*ln0)’, (2.20
в!пв »sln0 cosa co^9-cos# stay sky? + сову sinaco^;
в1пГ совв"» stay cosfl cosfi - сову corf staa sky? + sta0 cosa sk$
При малых углах атаки и скольжении выражения упрощаются:
е-в-а; (2.25)
Г-у.
Л
Pfc.-J,12; Земин скорости системы коорджмт
Приведенные соотношения используются при составлении уравнений дви-
жения ракеты.
75
2.1.3. Общее выражение для вероятности поражения
одиночной цели одной ракетой
Стрельбой отзывают процесс боевой работы зенитных ракетных подаю
делений, направленный на уничтожение воздушных целей. Эффективность про-
цесса боевой работы ЗРК определяется показателями боевой эффективности,
среди которых различают пространственные (зоны обстрела, поражения и пуска,
положение их границ и глубина), временные (работное время боевого расчета или
время реакции, время приведения в боевую готовность, цикл стрельбы, время
переноса огня) и вероятностные (вероятность обстрела цели, вероятность ее
поражения при стрельбе, вероятность использования стрельбовых каналов и др.).
Задачей стрельбы по одиночной цели является ее поражение, поэтому
показателем эффективности стрельбы в данном случае является вероятность
поражения цели. Стрельба ведется одной или несколькцми ракетами. Основным
показателем эффективности будет вероятность поражения одиночной цели одной
ракетой Р>.
Для вычисления указанной вероятности выберем (рис. 2.13) начало коор-
динат в условном центре цели О. Перенесем^цвижение цели на движение ракеты,
введя вектор относительной скорости У® » Ур - Уц. Ось абсцисс ОХ проведем
параллельно вектору относительной скорости (0X1IV®). Плоскость YOZ., в
которой на расстоянии г от центра лежит мгновенная точка встречи (МТБ),
будем называть картинной плоскостью. (Правильнее картинной плоскостью на-
зывать плоскость, перпендикулярную линии визирования цели).
Рис. 2.13. К определению
вероятности поражения цели
Координаты точки Р подрыва ракеты х, у, z есть случайные величины,
трехмерная плотность распределения вероятности которых обозначается р(х, у,
z) и называется законом распределения ошибок стрельбы. Этот закон представ-
ляет собой обобщенную статистическую характеристику систем управления раке-
той, измерения координат цели и ракеты, системы управления подрывом боевой
части ракеты, степени воздействия помех, условий стрельбы, маневра цели и др.
76
Введем условную вероятность поражения пели, которая зависят от коорди-
нат точки подрыва, обозначается О(х, у, z), называется условным координатным
законом поражения цели и представляет собой обобщенную характеристику
могущества боевой части и уязвимости цели.
Для одной произвольно выбранной точки пространства можно записать
безусловную вероятность поражения цели
dPi" G(x,y,z) f(x,y д) dx, dy, dz.
Учитывая, что подрывы ракеты в тех или иных точках пространства есть
события несовместные, то с использованием теоремы сложения вероятностей для
случая непрерывного пространства можно записать
+о»^«Я-оо
Ft-/ J / G(x, y,z)p(x, у, z)dxdydz. (2.26)
ОФ 00
Ряс. 2.14. Ошибся наделения > картинной плсскостж
В зенитных ракетных комплексах пропяосамолетной обороны управле-
ние ракетой ведется только путем изменения направления вектора ее скорости,
при этом изменяются координаты у и г мгновенной точки встречи в картин-
ной плоскости. Управление подрывом ведется с помощью неконтактного
взрывателя или дистанционно по командам с земли, при этом изменяется коор-
дината х точки подрыва. К тому же управление подрывом по времени начи-
нается, как правило, после прекращения управления ракетой. На основании
изложенного, можно использовать теорему умножения вероятностей и предста-
вить плотность вероятности ошибок стрельбы как произведение плотности веро-
ятности ошибок наведения (в картинной плоскости) y>(y,z) на плотность вероят-
ности ошибок f(x) подрыва боевой части
77
1Р<к,у ,х) - y<y, x) f(K) .
(2,27)
В окно очередь,
f(x)-fi(x/y,i)fa(y,i), (2.28)
где Л(х/у,а) - условная плотность вероятности точек срабатывания не-
контактного взрывателя вдоль оси ОХ при заданных ошибках наведения у, z;
fi(y,z) - вероятность срабатывания радиовзрывателя в зависимости
от ошибок наведения.
Подставим (2.27) и (2.28) в (2.26) и введем понятие условного координат-
ного закона поражения цели
+«
G (уд) - / G (х. у, к) fi (х/у, г) dx, (2.29)
где функция G(y,z) есть обобщенная характеристика уязвимости цели и
могущества боевого снаряжения, включая качество функционирования взрывате-
ля.
Тогда вероятность поражения одиночной цели одной ракетой можно пред-
ставить в виде
+«Н-оо
Pj«/ /G(y,z) р(у,з) fa(y,z)dyda. (2.30)
—»-»
Если считать рассеивание мгновенных точек встречи в картинной плоско-
сти круговым, а вероятность срабатывания радиовзрывателя и условную веро-
ятность поражения цели зависящими только от величины промаха г в / у2 + к2 и
не зависящими от его направления, то можно перейти к круговым функциям и
получить соотношение
Pi «JG (г) (г) f3 (г) dr, (2.31)
где G(r) - условный круговой закон поражения цели;
^>(г) - круговой закон распределения промахов;
fa (г) -вероятность срабатывания взрывателя в зависимости от промаха.
2.7.6. Закон распределения ошибок наведения
Ошибкой наведения называется отклонение действительной траектории
движения ракеты or кинематической траектории, проходящей через цель. Оцен-
ка ошибок наведения производится в районе точки встречи в плоскости YOZ.
Ошибки наведения порождаются в результате воздействия большого числа
73
примерно равновлияющих и слабо зависящих друг от друга факторов, поэтому
на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей можно счи-
тать распределение ошибок близким к нормальному
где hy и hz - систематические составляющие ошибок наведения;
<гу и <% - средние квадратические значения ошибок наведения.
Следует отметить, что при стрельбе в помехах, особенно дезинформи-
рующего типа, при обстреле маневрирующих или низколетящих целей закон
распределения ошибок наведения может существенно отличаться от нормального.
Распределение ошибок, как правило, будет асимметричным, а иногда и полимо-
дальным. Приведение эллиптического рассеивания (рис. 2.14) к круговому осу-
ществляется путем усреднения средних квадратических ошибок с использованием
одного из соотношений
o-jfr j; o»VoyC%'; о-^(о$ +<£)» (2.33)
Тогда
,|(у'1} elp {~ -"‘J*} «-34’
Если две случайные величины ортогональны и распределены по нор-
мальному закону, то модуль их геометрической суммы (промах) распределен по
закону Релея-Райса
VMy)- (135)
где h hy + hj - математическое ожидание промаха;
Ь(х) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
Графики плотности распределения промахов, приведенной к виду
*«-»{(?) +(г)1 «•[(»);(г)]}-
показаны на рис. 2.15.
Функция распределения промахов, определяющая вероятность попада-
ния ракеты в круг радиусом R, определяется интегралом
F(rsR)-J F(r)dr. (2.37)
о
79
Рас. 2.15. Заков (мюорежслевш ошибок шмдаои Релкк-Palca:
1-h/O-0; 2-h/G-l; 3-h/a-2;
4 -h/or-3; S-h/a-5.
80
Для закона распределения Релея-Райса этот интеграл через элементар-
ные функции не выражается, поэтому вычисление вероятности попадания в
круг производят либо пографикам (рис. 2.16), либо по таблицам (табл. 2.1), либо
методами численного интегрирования, например, с использованием формулы
парабол Симпсона
Др, + +... +
+3,^M)+4r(M)+v(R)J.
где я - четное, а р(о) -О.
(2.38)
Таблица 2.1
Значения вероятности попадания в круг F (г s R)
(десятичные доли единицы)
h о R /ст
0.5 1,0 1,5 -Л0- 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5.0 5.5 6.0
0 1175, 3935 6753 8647 9561 9889 9978 9997
.0*5 1045 3573 6309 8309 9383 9822 9959 9993 9999
1,0 0735 2671 5120 7310 8791 9563 9874 9971 9995 9999
1А 0408 1638 3563 5763 7679 8962 9626 9892 9976 9996 9999
2,0 0179 0819 2092 3965 6059 7856 9047 9659 9902 9978 9996 9999
2,5, 0062 0332 1021 2321 4184 6230 7963 9100 9679 9909 9979 9996
з~о1 0017 0108 0408 1133 2461 4325 6343 8035 9136 9693 9913 9980
3,5 0004 0028, 0006 0132 0034 0454 0147 1206 0485 2556 1259 4424 2626 6424i 8087 9162 9704 9916
4,0 0001
4497 6484 8126 9182 9711
4,5 0001 0007 0038 0158 0508 1299 2680 4.554 6532 8157 9198
5,0 0001 0008 0041 0166 0526 1330 2722 4599 6569 8181
5,5 0001 0009 0044 0173 0540 1354 2756 4636 6600
6,0 0001 0009 0045 0178 0552 1375 2784 4666
6,5 0002 0010 0002 0047 0010 0182 0048; 0562 0186 1392 0570 2808 1407
7,0
7,5 0002 0010 0049 0189 0577
8,0 0002 0010 0050 0191
При отсутствии систематических ошибок h -*0, Ь (0) = 1, ошибки распре-
делены по закону Релея
г___г _ г
?(г)“р е 2о»; F(rfiR)=l-e . (2.39)
Значения функции е х приведены в табл. 2.2.
81
Таблица 2.2
Значения функции е-* (тысячные доли единицы)
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0 1,00 990 980 970 961 951 942 932 923 914
0.1 905 896 887 878 870 861 852 844 835 827
0,2 819 811 802 794 787 779 771 763 756 748
0.3 741 733 726 719 712 705 698 691 684 677
0,4 670 664 657 605 644 638 631 625 619 613
' 0.5 606 600 594 589 583 577 571 565 560 554
0.6 549 543 538 533 527 522 517 512 507 502
0.7 497 492 487 482 477 472 468 463 458 454
0,8 449 445 440 436 432 427 423 419 415 411
0.9 407 402 398 395 391 387 383 379 375 372
1*0 368 364 361 357 353 350 346 343 340 336
1.1 333 330 326 323 320 317 313 310 307 304
1.2 301 298 295 292 289 286 284 281 278 275
1.3 272 270 267 264 262 259 257 254 252 249
1.4 247 244 242 239 237 235 232 230 228 225
1.5 223 221 219 216 214 212 210 208 206 204
1Л 202 200 198 196 194 192 190 188 186 184
_и_ 183 181 179 177 175 174 172 170 169 167
1.8, 165 164 162 160 159 157 156 154 153 151
ьЗО 148 147 145 144 142 141 139 138 137
го 135 134 133 131 130 129 127 126 125 124
2,1 122 121 120 119 118 116 115 114 113 112
2,2 111 ПО 109 107 106 105 104 103 102 101
2.3 100 099 008 097 096 095 094 093 093 092
2.4 091 090 089 088 087 086 085 085 084 083
2,5 082 С'1 080 080 079 078 077 076 076 075
2,6 074 073 073 072 071 071 070 069 069 068
2,7 067 066 065 065 065 064 063 063 062 061
061 060 060 059 058 058 057 057 056 056
< 2,9 , 055 054 054 053 053 052 052 051 051 050
3,0 050 050 049 048 048 047 047 046 046. 045
В другом частном случае при h > а распределение Релея-Райса прибли-
жается к нормальному.
г rh 1 fr-hf
**^"7 е .2^ 1оуг72^е Ъ? ’ (2Л0?
Тогда вероятность попадания в круг
81
о f / ч
К i U~nj ] /т> _ u \
F(rSR)-/ —L- e“ la ^.«+^ *^“1
0 vEi a 2 \ >
(2.41)
1 “1^/2
где Фо (x) -—-. J e dt - интеграл Лапласа-Гаусса (табл. 2.3 ) .
Лл О
Зависимость (2.35) целесообразно использовать в качестве кругового закона рас-
пределения ошибок наведения при расчете вероят ности поражения цели по (2.31).
Систематические ошибки наведения имеют в своем составе данами ческие
инструментальные составляющие:
hy hya + hyu;
hi w Ьад + htM .
(2.42)
Динамические составляющие Ьуд и Ьзд систематической ошибки на веде-
ния определяются, в основном, кривизной траектории ракеты, погрешностями
ввода компенсационных поправок в команды управления Ьдк и дополнительными
ошибками Ьдм, вызванными маневром цели. Для каждой из плоскостей наведения
Ьд Ид? + Ьдж + Иди » (2.43)
где Ъдт - траекторная (кинематическая) составляющая динамической
ошибки наведения, определяемая законом движения цели, методом наведения на
цель и динамическими свойствами системы управления.
Инструментальные составляющие Ьуж и Ьги возникают вследствие огра-
ниченной точности систем измерения координат цели и ракет, выработки и пере-
дачи команд управления, бортовых счетно-решающих устройств, автопилота и
других элементов системы управления ракетой. Сюда же относятся ошибки опе-
. риторов ручного сопровож дения цели, погрешности компенсации углов рассогла-
сования мзме ригельных и исполнительных систем координат, погрешности, вно-
симые обтекателями бортовых антенных систем ЗУР. Величина инструментальных
составляющих динамических ошибок наведения зависит от состояния вооружения
и военной техники, своевременности и качества технического обслуживания.
Средние квадратические ошибки наведения имеют в своем составе, в основ-
ном, динамические, инструментальные и флюктуационные составляющие:
Оу = \[&уд + о^и + оуф;
(2.44)
Оад + С^И + (£ф
Случайные составляющие динамической ошибки наведения Од возникают
вследствие случайного разброса параметров движения ракеты (в основном, из-за
флюктуации скорости оакеты од ур), что вызы вается разбросом аэродинамиче-
ских характеристик ракет и флюктуациями тяги аршевого двигателя; изменени-
ем коэффициента усиления разомкнутого управления (<%к), а также из-за случай-
ных ошибок в формировании компенсационных сигналов
аз
Таблица 2.3
1 f ~ t^/2
Значения функции Фо (х) ----- J е dt (тысячные дали единицы)
/1л о
X 0 1 2 4 5 6 «
0,0 ООО 004 008 012 016 020 024 028 032 036
0,1 040 044 048 052 056 060 064 067 071 075
0,2 079 083 087 091 095 099 103 106 ПО 114
0,3 118 122 125 129 133 137 141 144 148 152
0,4 155 159 163 166 170 174 177 181 184 188
0,3 191 195 197 202 205 209 212 216 219 222
0,6 226 229 232 236 239 242 245 249 252 255
0,7 258 261 264 267 270 273 276 279 282 285
0,8 288 291 294 297 299 302 305 308 311 313
0,9 316 319 321 324 326 329 331 334 336 339
1,0 341 344 346 348 351 353 355 358 360 362
1,1 364 366 369 371 373 375 377 379 381 383
1.2 385 387 389 391 392 394 396 398 400 400
1.3 403 405 407 40S 410 411 413 415 416 418
1,4 420 421 422 424 425 426 428 429 431 432
1,5 452 446 447 448 449 450 451 452 453 454
м 455 456 457 458 459 460 461 461 462 463
1,7 464 465 466 466 467 468 469 469 470 471
1,8 464 465 466 466 467 468. 469 469 470 471
1,9 471 472 473 473 474 474 475 476 476 477
2,0 477 478 479 479 480 480 480 481 481 482
2,1 482 4 3 483 483 484 484 485 485 485 486
2,2 486 486 487 487 487 488 488 488 489 489
2,3 489 490 490 490 490 491 491 491 491 492
2,4 492 492 492 492 493 493 493 493 493 494
2,5 494 494 494 494 495 495 495 495 495 495
2,6 495 496 496 496 496 496 496 496 496 496
2,7 496 497 497 497 497 497 497 497 497 497
2,8 497 497 498 498 498 498 498 498 498 498
2,9 498 498 498 498 498 498 498 498 499 499
1. 30 499 499 499 499 499 499 499 499 — 499 |
Од - к •
(2.45)
Случайные составляющие инструментальных ошибок и наведения обус-
ловлены разбросом параметров устройств измерения координат и выработки ко-
манд управления, разбросом характеристик бортовых радиолокационных уст-
ройств. Флюктуационные составляющие случайных ошибок наведения оф вызы-
ваются случайными возмущениями в контуре управления из-за флюктуаций отра-
женного от цели сигнала, внутренних шумов аппаратуры, естественных и специ-
ально организованных помех. Основной вес во флюктуационной ошибке наведе-
ния имеют ошибки измерения угловых координат.
2.1.7. Ошибки в системах, использующих трехточечные методы наведения
Систематическая составляющая динамической ошибки неведения может
быть приближенно определена для каждой координаты из соотношения
Ьд
(2.46)
где Whk - нормальное кинематическое ускорение ракеты;
Ко - коэффициент усиления разомкнутого контура управления.
Для метода трех точек
WHsy ц + Гр ( ё ц 4-^ siar ц cose ц ); (2 47)
Whkx “ - cose ц - rp (j? cose ц - 2 Дц ё ц sine ц ,
• Vn
где х в 2гр — гр - параметр, зависящий от летно-баллистяческих ха-
рактеристик ракеты.
Для окрестности точки встречи (при гр » гц)
, WHxy • WHuy +(х* 2гц)ёц; (2 48)
Whkx e Wwmt “ (х ” 2Гц )Дд СОЗЕ ц .
При методе трех точек нормальные ускорения ракеты зависят от маневра
цели (от ее нормальных ускорений WHKy и WHKz) и увеличиваются по мере
сближения ракеты с целью. Компенсация динамических ошибок осуществляется
приближенно
Ьдку Цдо “
(2.49)
Л СОЗЕ ц .
Применение метода трех точек, простого в реализации и поэтому характе-
ризующегося низким уровнем случайных ошибок, целесообразно при стрельбе
□о малоскоростным неманеврнрующим целям и при большом коэффициенте уси-
ления контура наведения.
Наибольшее применение в системах телеуправления находит метод поло-
винного спрямления, кинематические уравнения которого не зависят от вторых
производных угловых координат, а следователь но, от маневра цели. В районе
точки встречи
Wmcy » 0,5# ц +тц (OjSA^en + 0,250цcoseцsineц) ;
ЛГ/ Аг- • ч ’ <2Л0>
W№ » -ОД|0цСозец -Гц ( 0,5—0ц cose ц -О,5сц0цХ1п£ц ) ,
где Аг “Гц-Гр - разность дальностей между целью и ракетой, а
Аг-г-гр, Аг-Гц-гр.
Величина динамических ошибок и сигналов их компенсации вдвое мень-
ше, чем в методе трех точек:
Ь»У "2Й;
CUI)
При методе полного спрямления нормальные ускоренна зависят почти толь-
ко от вторых производных угловых координат
Witry “ Гц ( — 2 ц + ~т ё ц) ж — Гц ё ц,
- // <М»
W„—г.(Л+^-Л)М«.гД<с«...
Компенсация весовых составляющих динамических ошибок заведения осу-
ществляется с использованием приближенных соотношений:
Ьжку ^cosy; fl Briny, (2ЛЗ)
Л0 Л0
где у - угол скручивания между измерительной и исполнительной система-
ми координат.
у ш J Aiiine цйД. (2.34)
Случайная составляющая динамических ошибок наведения для широкого
класса ЗРК, испсльзующих трехточечные методы наведения, лежит в пределах
<%у “Зад »Г.
Флюктуационная ошибка наведения определяется, в основном, ошибками
измерения угловых координат цели оц » о^>:
s Котр Oj<>, (2.55)
где Котр - коэффициент отработки контуром управления ошибок сопро-
вож- дения, величина которого для большинстве ЗРК близка к единице.
Значения систематических и случайных составляющих инструментальных
ошибок наведения лежат в пределах 0.5 - Г . Для большинства ЗРК с телеуправ-
лением суммарные ошибки наведения составляют по каждой из плоскостей при-
мерно 3 - 5', что на дальности 40-50 км дает линейные отклонения, примерно
30-60 м, и ограничивает использование трехточечных методов наведения.
35
2.1.8. Ошибки в с истемах, использующих двухточечные
методы наведения
Анализ двухточечных методов наведения обычно проводится для плоско*
го движения ракеты, когда за счет поворота ракеты по крену цель постоянно
удерживается в плоскости наведения, например тангажа.
Положение ракеты относительно цели (рис. 2.17) в плоскости наведения
определяется в полярной системе координат расстоянием D и углом е, а их
взаимное перемещение - величинами D и ё. Введем вектор относительной ско-
рости Vo “ Vp - Уц, т.е. перенесем движение цели на движение ракеты, тогда
относительное движение ракеты можно записать в виде уравнений, представляю-
щих проекции вектора относительной скорости на линию ракета-цель и нормаль
к ней:
D » - V«n сот|р « V4 cosjft, - Vpcos^,;
ё D - V sinjp = Уц sin^u - Vp sinpp. v '
Так как бц - е, то
D «Уцсо8(^1 -е)-Vpcos (fy-е);
ёП »Vusin(flt-£)-Vpsin(^-£).
Запишем уравнения движения через ускорения, продифференцировав вто-
рое уравнение и учтя, что
^р=^-ё,
D ё + D ё * Уц sin^u + Уц ftx cos^u - Vp sinysp -
, - Vp + ё (Vp cos^Pp - Уц cos^).
Учитывая, что Уц 6Ц • Wq, Ур 6^ = Wp, и подставляя первое уравнение
на (2.56) вместо выражения в круглых скобках, получим
2D £ + D Ё = Уц sLn^ + Wq со»/^ - Vp sin^p - Wpcos^pp. (2.58)
Покажем, что полученное соотношение есть полное нормальное ускоре-
ние ракеты в относительном движении Wo “ Vo в « Vo (ё + <р).
Так как Ь = -V0cos^, то W0co$^ =-Ь(ё + #>). Из соотношения
sin^ = ^- найдем у> = Ё ( 1Ё~ё+^гё, т.к.
Vo V Vo D W D
— D « 1 , to Wo cose>" Wo = 2Df + De .
Vo D
Выделим из нормального ускорения ракеты весовую составляющую
>7
Wp cos? « f cow + W?.
Тогда
Wo-Vusin^u+WnCO9?u-Vpsin?p-gcose-Wj. * (2.5$)
Ряс. 2.17. К определению мгновенного и фактического промахо»
Полное нормальное ускорение ракеты в относительном движении зави-
сит от продольных ускорений цели и ракеты Уц и Vp, нормальных ускорений
цели и ракеты Wu и Wp, от ускорения силы тяжести.
Для оценки динамических ошибок в системах, использующих двухто-
чечные методы, вводят понятия мгновенного и фактического промаха. Мгновен-
8S
ый промах (расстояние от цела до мгновенной точки встречи МТВ на рис. 2.17)
определяется углом отклонения $ вектора относительной скорости от линии
ракета-цель в момент срыва наведения:
D n1 D1
йм»Вайш, slop" — i, hM•—~ ё.
Vo Vo D
Добавка за счет движения ракеты с нормальным ускорением будет равна
.. Ш»Д? р2 . WqDS
bw ——— Д I " - “ , nv " .
2 D1 2t>a
Суммарный фактический промах
h-hM+hw--^ ). (2.60)
D ' 2D'
Из (2.59) и (2.60) видно, что любой маневр цели, а также продольное
ускорение ракеты и ускорение земного притяжения влияют на величину фак-
тического промаха. В большинстве ЗРК, использующих двухточечные методы
наведения, осуществляется компенсация продоль ного ускорения ракеты (в
плоскостях наведения) и ускорения земного притяжения (в двух плоскостях),
принимая cose "• 1:
_ Vp Д» t < г _gstny _ gcosy
2D 2D 2D 2D
где е г sin^p - угол между продольной осью ракеты xi и линией ракета-
цель, а у-угол крена.
Компенсация динамических ошибок наведения, вызванных маневром це-
ли, в существующих ЗРК не производится. Уменьшение мгновенного промаха
ракеты достигается максимальным снижением величины угловой скорости вра-
щения линии ракета-цель е в районе точки встречи.
В процессе наведения ошибка за счет маневра цели с перегрузкой Пц
принимает большие значения и определяется располагаемыми перегрузками ра-
кеты пр и инерционностью контура управления г. Приближенно можно считать
h(t)»
03 пц g t2 при t < т;
0,5Пц р -r)*j при tit.
где t - время, отсчитываемое от начала маневра.
Максимальный промах (рис. 2.18) наступит при
^"Г-Пц/Пр
(2.61)
(2.62)
89
и будет иметь величину
(163)
ь““"2(1-5ц7йрГ
Минимальная величина промаха h 0 будет при
(2.64)
Рас. 2.18. Ошибка явмдепш и
счет маиеара цела
Случайная составляющая динамической ошибки наведения определяется
внутренними шумами контура управления и аэродинамическими возмущениями.
Ее величина не превышает одной угловой минуты.
Инструментальные ошибки в системах наведения с бортовыми радиопелен-
гаторами (головками самонаведения), в основном, определяются влиянием радио-
прозрачного обтекателя, вносящего ошибки в измерение углов и угловых скоро-
стей. Ошибки возникают из-за отличия формы обтекателя от сферической, раз-
личной толщины стенок обтекателя, отличия диэлектрической проницаемости
материала обтекателя от диэлектрической проницаемости среды. Характер за-
висимости угловой ошибки Де, вносимой обтекателем от угла Дег поворота
аНтенны бортового пеленгатора относительно продольной оси ракеты и назы-
ваемой пеленгационной характеристикой обтекателя, приведен на рис. 2.19.
Систематическая составляющая ошибки за счет влияния обтекателя определяется
экспериментально и приближенно компенсируется. При перестройке частоты
бортового пеленгатора более чем на 5% необходимо менять обтекатель, ибо
диэлектрическая постоянная его материала зависит от частоты.
Флюктуационные составляющие ошибок наведения определяются, в ос-
новном, случайными ошибками измерения координат и их производных. Угло-
вые ошибки обусловлены перемещениями энергетического центра отражения
00
целя и могут быть определены через характерный размер целя L я расстояние
ракета-цель (ряс. 2.20)
oh-KL/D,
где К - коэффициент, равный 1/6 при нормальном и 1 /2/*3 при ааконе
равномерной плотности распределены угловых флюктуаций вдоль характерно-
го размера цели.
Ряс. 119. Таимые пелеипшкмные характеристики обтекателе*
ка различных частотах (fi... Ю
В целом ошибки наведения в зенитных ракетных системах с использова-
нием двухточечных методов значительно меньше ошибок наведения систем с
трехточечными методами. Уровень ошибок может быть дополнительно снижен,
если вычисление координат цели, параметров я сигналов рассогласования, сиг-
налов или команд управления осуществляется по информации от нескольких
источников, например, от наземного Ки и бортового Кб координаторов одновре-
менно. При этом средневзвешенное значение команды управления может быть в
виде
К-СКб+(1 -С)КВ, (2.65)
где С - весовой коэффициент, зависящий от соотношения дисперсий изме-
ряемых величии иля от отношения сигнал/шум.
Ня рис. 2.21 показаны зависимости дисперсий измерения координат назем-
ного (1) и бортового (2) координаторов и весового коэффициента (3) от
времени полета ракеты от точки пуска до встречи.
91
весоюго коэффициента
2.1.9. Закон распределения точек подрыва ракет
В 2,1.1'был о показано /(2.27) и (2.28)/, что плотность распределения
точек подрыва боевой части зависит от условной плотности распределения точек
срабатывания неконтактного взрывателя fi (x/y,z) н от вероятности срабатыва-
ния взрывателя от ошибок наведения fj(y,z).
92
Рас. 2.22. Замен распределешы версмгпюсте* точек срвбатывапш (мдаоаарышичла
вдоль ося {1 - при у-0, х"0; J-пря уИ 0, х ИО)
Для условной плотности распределения точек срабатывания вдоль оси ОХ
принимают нормальный закон (рис. 2.22), что подтверждается практикой:
1 > - “»} • (Х6*>
где к (у.к) - математическое ожидание отклонения точек срабатывания
взрывателя от центра с*лк, зависящее от ошибок наведения;
(Муд) -среднее квадратическое отклонение точек срабатывания, уве-
личивающееся от ошибок наведения.
В сферической системе координат
»• *МЮфaW)
где р - среднее значение угла срабатывания;
су> - среднее квадратическое отклонение углов срабатывания (для боль-
шинства ЗУР <ф « 2... 6°).
Вероятность срабатывания взрывателя в зависимости от величины прома-
ха г * у1 + г3 обычно аппроксимируется (рис. 2.23) одним и? выражений:
G(г)-IФо (~т^) . где Фо(х)--~/ e^’^dt ; <2.6S)
2 ' 1 Ля О
ь(г)~ ’ "р* rs!>’
11' ' [0, при г > Rpa;
(2.69)
W
MO-e’aJ ,
(2.70)
где Rp* - эффективны! радиус срабатывания взрывателя, численно рав-
ны! промаху , при котором вероятность срабатывания составляет 0,5 (для соот-
ношения (2.70) - 0,606).
Рве. 2.23. Аийроксмыами! шрсмтккта срабатывания радайвзрнвателв
При расчете вероятности поражения цели наиболее часто используют со-
отношения (2.69) и (2.70). Методы согласования области срабатывания некон-
тактных взрывателей с областью поражения боевой части описаны в подраздела
1.7.
2.1.10. Координатный закон поражения отдельного агрегата и цели
Поражение цели, как было показано в 1.7, может быть достигнуто за счет
фугасного воздействия и за счет осколков (поражающих элементов). Вероят-
ность поражения 1-го агрегата (отсека) цели в зависимости от ошибок стрельбы
имеет вид
Oi - (х, у, в) -1 - (1 - Рфуг) (I - Роя), (2.71)
где Рфуг - вероятность поражения за счет фугасного воздействия, а Р«» -
за счет осколочного.
В свою очередь,
Роос w 1 ~(1 - Рмех) О — Рааж) (1 ~ Рннжц),
(2.72)
где Рмех, Рмж, Ржмхц - вероятностж поражения агрегата эа счет механиче-
ского, зажигательного инициирующего воздействия осколков.
Рис. 2.24. Кришне равно* мрсжпюсга
двумерного условного идеи
поражены цела
При средних промахах Рфуг «О, Рааж^О, Р|пиц*0, тогда
О* (х.уд) • р мех (x,y,z).
Используя тот факт, что число убойных' (обладающих достаточной кжне-
п|чвскрй энергией) осколков, попавших в 1-й агрегат цели распределено по
закону Пуассона, получают вероятность поражения этого агрегата:
Oi(x,y,x)-J-е4*^. (2.73)
где А (х,уд) - плотность потока убойных осколков, попавших на уязвимую
площадь агрегата St (х,у,х)
Для дали, имеющей несколько уязвимых агрегатов общей площадью
5ц(х,у,г) при постоянной плотности потока осколков Я (x,y,z):
0(х.у,з)-1 -еЧ(ж’*,)8’(ж’*1). (2.74)
Плотность потока осколков определяется характеристиками боевой части
ЗУР н зависит от расстояния до цели.
Используя соотношения (2.29), (2.67) и (2.74), получим выражение для
условного кругового закона поражения цели:
W
О (у, i) “ 1 -е
(2.75)
График указанной зависимости в виде кривых равной вероятности,
представляющих собой горизонтальные сечения функций (2.75), приведен на
рис. 2.24.
Переходя к полярной системе координат, получим при r«)y^+zJ^
н /S-arctgz/у
О(г,Й-1-е~ rJ ,
(2.76)
где ед (jff) ’ параметр условного закона поражения цели, являющийся обоб-
щенной характеристикой эффективности боевого снаряжения и уязвимости цели.
Считаем, что вероятность поражения зависит, в основном, от величины промаха г,
Вводя усредненную величину
ед-^7ед0)<^, (2.77)
получим выражение для условного кругового закона поражения цели
4
О (г) -1 -е " гз , (2.78)
где ед - эффективный радиус поражения, численно равный величине про-
маха, при котором условная вероятность поражения цели равна 0,632.
Используют также более удобную для расчетов аппроксимацию условного
кругового закона поражения цели
- га
О(г)*е ж2, (2.79)
где R® - параметр условного кругового закона поражения цели, или эффек-
тивный радиус поражения, численно равный величине промаха, при котором ус-
ловная вероятность поражения составляет 0,606. При соотношении Ro ** 1,1 Зед
функции Оо (г) и О (г) отличаются не более чем на 7 %, а при ординатах около 0,2;
0,8 и 1 - совпадают (рис. 2.25).
Значения параметров ед и Ro определяются, в основном, качеством бое-
вого снаряжения (мощностью боевой части, характеристиками потока осколков,
степенью согласования области срабатывания взрывателя с областью поражения),
уязвимостью цели и высотой (рис. 2.26) точки встречи (на малых высотах падает
96
скорость осколков, на больших - отсутствует фугасное воздействие и не возгора-
ется авиационное топливо).
Рис.1.23. Кривые условного вакона поражения цели
Ряс. 2.26. Параметры ^июяного кругового мкошжфаяшмивдлкмЕлмтшм^В
(1 -ЗРК ДД. 3 - ЗРК СЛ, 3-ЗРК ЫД)
*1
2.1.11. Расчет вероятности поражения одиночной цели
одной ракетой и очередью ракет
Используем основное расчетное выражение (231)
Pi "/G (г )qp( г )fj(r )d г,
О
а также выражения для условного кругового закона поражения (2.79), вероят-
ности срабатывания взрывателя (2.70) и кругового закона ошибок наведения
(235). После подстановки и вычисления интеграл путем приведения подынтег-
рального выражения к форме закона Релея-Райса получим
F ~rT- 2i^ ’ <28О>
гае Rj-Rjo’+Rjeo’ + RreR^ .
Если радиус срабатывания взрывателя велик (Rpa > Ro и R™ >о), то
Если использовать в качестве вероятности срабатывания взрывателя пря-
моугольную функцию (2.69), то »
R« h*
гас Р(х) - вероятность срабатывания радиовзрывателя, рассчитываемая
как вероятность попадания в круг радиусом Rpb при значениях ошибок
• h rI a О* Ro
b °Rj + <? * +(? по графикам рис. 2.16 или табл. 2.1. При больших
значениях радиуса срабатывания взрывателя (Rpa>h и R₽b>o) вероятность
поражения одиночной цели определяется соотношением (2.81). Графики ука-
занной зависимости, приведенной к виду
Р1 -тчЬм • а
показаны на рьс. 2.27.
При h /Rq < н/Тфункция является монотонно убывающей, ее максимум
будет при о «0. При других значениях h /R® максимум смешается вправо и
имеет место прио/Ro - J-5-? -1 .
I 2R$
98
Рис. 2.27. Вероятность поражения цели одной ракетой
I - h/Ro=O; 2- h/Ro«l; 3-h/Ro=2
Вероятность Рв поражения цели очередью из п ракет рассчитывается по
формуле
Ра»1 -П (1 -Pli) , (2.84)
l-i
где I" 1,2,...,п - номер ракеты в очереди;
Рн - вероятность поражения цели i-й ракетой.
‘ к
В простейшем случае, когда вероятности одинаковы, т.е. Ph «Рь соотно-
шение упрощается:
Ра»1 -(1 -Pip (2.85)
При этом предполагается, что вид закона распределения промахов <р (г )
одинаков для всех ракет в очереди, между промахами ракет отсутствует корре-
ляционная связь. Д ля исключения влияния подрыва предыдущей ракеты на наве-
дение и работу взрывателя последующей ракеты между ними при пуске должен
выдерживаться определенный интервал
ти = ( Д + Д 1рв + З^с^сг +о?р j 0 + » (2.*б)
где Д Ъ - время захвата ракеты (в ЗРК с телеуправлением примерно соот-
99
нетствует протяженности селектирующего импульса Ata **Cj^ ). лежащее в
пределах 1-Зс;
AtpB- интервал времени, соответствующий расстоянию между ракетами,
при кагором исключается срабатывание неконтактного взрывателя по облаку
разрыва предыдущей ракеты (Atp> « лежащий в пределах 1-2 с;
Щст - среднее квадратическое отклонение времени старта ракеты
<0,1.. 0,2 с);
<Лр - среднее квадратическое отклонение полетного времени ракеты до
точки встречи, обусловленное флюктуациями скорости ракеты и зависящее от
дальности полета г» («р-^^тв; «0.0!...0,04 с /км).
v₽ VP
Интервалы пуска лежат в пределах от 2 с в ЗРК ближнего до 20 с в ЗРК
дальнего действия.
При выводе <2.85) предполагалось, что при стрельбе очередью ракет
отсутствует накопление ущерба, т.е. каждая ракета или уничтожает цель, или
не наносит ей никакого ущерба. На практике принято накопление ущерба учиты-
вать средним для всех ракет в очереди приращением вероятности поражения
A Pi, тогда
Ь ’ 1 - ,[l - (Pj + A Pi)]a. <2.87)
Добавку A Pi можно определить из соотношения
APi - I - Pi -^1-Р^ (2.88)
1де Рп - вероятность поражения цели, определяемая по результатам моде-
лирования или стрельб, большая по сравнению с исходной вероятностью Ра>
Графики зависимости АР) (Pi) приведены на рис. 2.28.
Вероятность поражения одиночной целя определяется с учетом того, что
ЗРК боеготов. Учет же надежности общей части аппаратуры ЗРК и общей части
пускового комплекса производится вероятностями безотказной работы
Ро и Рико, а надежность канальной части пускового комплекса и надежность
ракет - значениями Рпкк и Рр, которые представляют вероятность того, что за
время стрельбы в соответствующих элементах ЗРК отказов не произойдет.
Таким образом,
Рп - Ро Рпко (1 “ [1 ~ Рпкк Рр ( Pi + A Pi)]DJ . (2.89)
Точный учет влияния радиоэлектронных помех и маневра, существенно
iob
снижающих вероятность поражения цели, очень сложен и производится путем
математического моделирования с вводом новых, рассчитанных для конкретных
условий, законов распределения ошибок наведения, срабатывания взрывателя
я поражения цели. Методика приближенного учета противодействия цели заклю-
чается в следующем. Если воздействие помех не вызывает срыва сопровождения
цели и ракет, а в результате маневра цель не выходит из зоны пуска, то проти-
водействие учитывается увеличением ошибок наведения b и а и соответствую-
щим снижением вероятности поражения цели Рь В противном случае вводят
вероятности нормального функционирования общей части ЗРК Рио и канальной
части Рпк , а также вероятность выхода цели из зоны пуска или из луча подсвета
Рвых. Тогда вероятность поражения цели за стрельбу (без учета надежности и
накопления ущерба) примет вид
Рп « Рпо {1 - [1 - Рпк ( 1 - Рвых ) Pi]“} . (2.90)
Рис. 2.28. Зависимость Aft ( Pi ) для стратегического бомбардировщика (1),
стратегического разведчика (2) и истребителя-бомбардировщика (3)
Вероятности надежного функционирования могут быть рассчитаны через
вероятности срыва работы отдельных устройств в целевых Pep j и ракетных Pep |
каналах:
Ш0
Рпо=/ (1 -Pcpi); Рпк = / (1 - Pcpi), (2.91)
J=1 i=i
где Bio и шк - число устройств в общей и канальной части ЗРК, срыв
функционирования одного из которых приводит к срыву работы общей или ка-
нальной части в целом. В свою очередь, вероятность срыва можно определить как
произведение вероятностей организации помех Рорг. попадания помехи в при-
емники Рдоп и подавления устройства Рпод'-
Рср — Рорг ’ Рпоп ' Рнод «
(2.92)
101
7
Вероятность организации помех определяется путем сопоставления коли-
чественного и качественного состава группировки ЗРВ и удара СВН. При масси-
рованных упарах современных СВН значения Рорг для ЗРК, длительное время
состоящих на вооружении, близки к единице. Вероятность попадания помехи в
приемники определяется путем анализа частотных диапазонов передатчиков
помех и РЛС и возможности их перестройки. Вероятность подавления уст-
ройств измерения координат оценивается соотношением
Рпод^йС'ь/Ом»)3 , (2.93)
где Цэ-отношение сигнал-помеха в приеь тике, а Цгр ~ его значение, при
котором происходит срыв сопровождения.
2.2. Экономичность с рельбы
Под экономичностью стрельбы будем понимать математическое ожида-
ние числа уничтоженных целей на одну израсходованную ракету
с Мр
где Мп - математическое ожидание числа пораженных целей;
Мр - математическое ожидание числа израсходованных ракет.
Показатель, обратный описанному выше, является средним расходом ракет
на одну уничтоженную цель.
Существуют три вида стрельбы по воздушной цели: одиночными раке-
тами (когда пуск каждой последующей ракеты производится только после
оценки результатов стрельбы предыдущей и непораження цели), очередью ракет
(когда пуск ракет производится последовательно с установленными интервалами,
меныпими, чем полетное время ракеты) и смешанный (когда пуск части назначен-
ных ракет осуществляется очередью, а других - одиночными). При любом виде
стрельбы по одиночной цели математическое ожидание числа пораженных целей
равно вероятности поражения цели назначенными ракетами:
Мп = Рп = 1 -(1 -Pi )а . (2.95)
Математическое ожидание числа израсходованных ракет зависит от вида
стрельбы и рассчитывается по известной формуле
Mp-iiPi, (2.96)
i «1
где i - случайное число расходуемых ракет;
192
Pi - соответствующая этому числу вероятность.
р
При стрельбе одиночными ракетами Мр =очередью ракет - Мр » п, а
при стрельбе смешанным способом Мр = Pi + n (1 -Pi)=n-Pi(n-1) (если
сначала ведется стрельба одиночной ракетой, а затем очередью) или
Мр“(д~1)Рв-1+п(1 “Рр-1)вП”Рв~|»п-р - (1 - Pi )“~lj (если
сначала стрельба ведется очередью ракет).
Экономичность стрельбы одиночными ракетами составит зуод = Рь оче-
редью ракет - ijb4 “ ~ в ~*n Р' , а смешанным способом - в соответст-
вии с общей формулой (2.94) и выбранным порядком пуска ракет. Соотношение
показателей экономичности для различных видов обстрела иллюстрируется гра-
фиками рис. 2.29, рассчитанными для п = 3: 1 -»£>д (режим пуска 1-4-14-1);
Z-лсм (режим 1+2); З-ijtM (режим 2+1); 4-$>ч (режим 3+0).
Стрельба одиночными ракетами является самой экономичной, а оче-
редью ракет - самой скоротечной.
С увеличением наряда ракет в показатель боевой эффективности (веро-
ятность поражения цели) Рц = 1 - (I - Pi)° увеличивается, а показатель эко-
номичности i? снижается (рис. 2.30). Показатель, учитывающий обе тенденции
и представляющий произведение обоих показателей, является обобщенным по-
казателем эффективности стрельбы, учитывающим в равной степени я боек.., ю
эффективность, и экономичность
£ = >/Рп (2.97)
юз
Функция $ (п) имеет максимум ври
где Popt * 0,715 интерпретируется как оптимально достижимая при данном
виде обобщенного показателя вероятность.
Графики зависимостей 7 (Pi ) и nopt (Pi) приведены на рис. 2.31 и 2.32.
Видно, что при Р) % 0,6 наивысшее значение показателя эффективности будет
при в «1 (т.е. оптимальным в смысле выбранного показателя будет назначение
одной ракеты), при 0,4 s Pj < 0,6, nopl = 2 и т.д.
В табл. 2.4 приведены показатели эффективности для четырех видов
стрельбы, рассчитанные при Рл “ 0,973. ’
Таблица 2.4
Вид стрельбы мп Мо и $
Одиночными ракетами 0,973 1,39 0,7 0,68
Смешанным способом <1 +2) 0,973 1,6 0,61 0,59
Смешанным способом (2 + 1) 0,973 2,09 0,466 0,45
Очередью ракет 0,973 3 0,32 0,31
Если выбрать обобщенный показатель эффективности в виде
104
(2.98)
то, изменяя коэффициент а, можно придать больший вес либо боевой эффек-
тивности (при а < I), либо экономичности (при а > 1) стрельбы.
Рис. 2.31. К выбору отпалыюго наряда средств
Рис. 2.32. Зависимость ( Pi )
LOS
* * * Расчет наряда средств и распределение огневых средств
Задача расчета средств относится к классу обратных задач оценки эффек-
тивности, когда за ш показатель эффективности, а требуется определить количе-
ство средств, необходимых для его достижения.
При обстреле одиночной цели задают вероятность поражения цели за
стрельбу Рзад и находят необходимое количество ракет п как целое число с
округлением в большую сторону
п »1+ ent • Q.W)
V (1 ~ Pi)
Если задано математическое ожидание доли уничтоженных целей или сред-
Мп
няя вероятность поражения любой цели из группы в N целей /<здд то
получим число ракет, назначаемых на каждую цель:
п*1 + ent ’ Ш00)
и общее число расходуемых ракет n£ >= N • а .
Если задана вероятность поражения всех N целей из состава налета
Рзад Рй, то
а -1 , n£ = N • п . (1101)
Ш \ * • I )
Задача рационального распределения средств (целевых и ракетных кана-
лов) заключается в отыскании целочисленного набора значений nj (количества
каналов из общего их числа ш, назначаемых на каждую j цель из общего числа
N
целей N) при условии, что 2 aj =s п,, где j“l ,2,...,N.
j = l
В качестве показателя эффективности целераспределения чаще всего ис-
пользуют математическое ожидание предотвращенного ущерба:
N
Мну =2 Cj Ц - (1 -Pj)11’] , (2.102)
j-1
где Cj - относительная важность целей;
106
Pj - вероятность поражения j-й цели одной ракетой.
Если важность всех целей и вероятности их поражения одинаковы
<Cj 1 , Pj “Pi), то математическое ожидание предотвращенного ущерба будет
равно математическому ожиданию числа уничтоженных целей:
Мпх-Мп-t I»-(1 -N-S (1 -Ptfi . (2.103)
j-l j“l
Наибольшее значение выбранного показателя Мп в этом случае будет до-
стигнуто при равномерном распределении средств, когда сначала назначают на
каждую цель n “ ent средств, а оставшиеся m* « m - Nn распределяют произ-
вольно на любые га* из N целей.
Математическое ожидание числа пораженных целей составит
Мп “Ш* [1-( I-Pj )" + 1 1+(N ~m*) [1-(1-Pi )" J . (2.104)
Распределение средств при различных значениях Pj и Cj осуществляется
с использованием теории нелинейного целочисленного программирования, я
частности, методом последовательного распределения для аддитивных функций
типа (2.102). Заметим, что метод шаблонного перебора требует анализа №
вариантов, в то время как метод последовательного (итерационного) распреде-
ления - всего Nm вариантов.
Сущность метода заключается в том, что на каждом К-м шаге распределе-
ния, начиная с первого, для каждой цели рассчитывается приращение показате-
ля эффективности
ДМПу-CjPj( 1-Р)Л(ж”15 , (2.105)
где nj (к -1) - число средств, назначенных на j-ю цель на предыдущем
шаге распределения.
Затем средство (канал, ракета) назначается на ту цель, где приращение
показателя будет максимальным. На следующем шаге вновь рассчитываются
приращения для всех целей.
Процесс останавливается, когда будут распределены все ш средств или
когда прирост показателя эффективности будет меньше некоторой заданной
величины.
Данный метод обеспечивает наивысшее значение показателя эффективно-
сти на любом шаге распределения.
107
2.3. Зоны обстрела, порахсниая^кик
2.3.1. Общие положения
Под боевыми возможностями ЗРК понимается его способность перейти В
состояние боевой готовности, обеспечить уничтожение воздушных целей и сохра-
нить свою боевую готовность. Основными показателями боевых возможно-
стей ЗРК являются размеры расчетных и реализуемых зон поражения, время
перехода в боевую готовность, цикл стрельбы, время переноса огня, вероятность
поражения цели в различных условиях и степень уязвимости ЗРК. По своему
характеру показатели боевых возможностей - принято подразделять на про-
странственные, временные и вероятностные показатели эффективности,
Зоной обстрела называется часть пространства, примыкающего к ЗРК, в
пределах которого возможно наведение ракет на цели и поражение их с вероят-
ностью, хотя бы отличной от нуля. Эта зона определяется предельными возмож-
ностями зенитных управляемых ракет.
Зоной поражения принято называть часть пространства вокруг ЗРК (часть
зоны обстрела), в пределах которого обеспечивается поражение воздушных
целей зенитными управляемыми ракетами с вероятностью не ниже заданной.
Зоны поражения являются важнейшими обобщенными характеристиками бое-
вых возможностей ЗРК по уничтожению воздушных целей в различных условиях.
Зоны обстрела, поражения и пуска принято отображать в подвижной пара-
метрической системе координат OLHP (рис. 2.33) и в подвижной сферической
системе координат Ore/? (см. 2.1).
Н
Рис. 2.33. Система координат для зон поражения и пуска
108
Рж. 154. Зона пораленм при стрельбе навстречу
Зоны воряженая имеют сложную пространственную конфигурацию
(рис. 2.34), поэтому на практике обычно рассматривают, так называемые,
плоские аоиы поражения, представляющие собой вертикальные (Р * Ро) или
горизонтальные (Н*Но) сечения (рис. 2.35). Зоны поражения характеризуют
границами: верхними, нижними, дальними, ближними, а также максимальными
значениями курсового параметра (Райх), угла места (стах) и курсовог о угла
(<|тах )• Расстояние между ближней и дальней границами по курсу цели называют
глубиной эоны поражения
Г-La-U, (2.106)
а отношение Тжр • Г /Va - временем пребывания цели в зоне поражения.
Зоной пуска называется часть простоансгва вокруг ЗРК, при нахожде-
нии цели в пределах которого в момент старта ракеты обеспечивается ее встре-
ча с целью в эоне поражения. Для построения зоны пуска при стрельбе по
маневрирующей сели каждая точка зовы поражения должна быть смещена по
линии движения цели на расстояние, пройденное целью за время полета ракеты
до выбранной точки эоны поражения, т.е. на величину АЦ * Vut^ (рис. 2.36).
Другими словами, ординаты и аппликаты точек эон пуска равны ординатам я
аппликатам соответствующих точек зон положения, а абсциссы смещены на вели-
чину ДЦ:
Hinyaui " Hinop ;
Pjayaca • Pfoop > (2.107)
Ъпуска “ Ьйпор + Д Lj .
109
Рис. 2.35. Вертикальное я горизонтальное сечения зон поражения
Горизонтальные и наклонные дальности до любой точки зоны пуска связа-
ны с горизонтальными и наклонными дальностями соответствующей точки зоны
поражения соотношениями ________________________ ,
Спуска =^( \/dn0p—Рц +Уц tp )2 +Рц ;
'_________ (2.108)
Гпуска = 'хДпор “ Рц ~ Нц + Уц tp / +?ц 4- Нц .
Если граница зоны поражения в горизонтальной плоскости представляет
собой, например, часть окружности радиуса dnopc центром в точке стояния ЗРК,
то граница соответствующей границы зоны пуска будет являться также дугой
окружности того же радиуса, но с центром, смещенным по оси OL на величину
AL =00" (рис. 2.36), т.е. на расстояние, которое пройдет цель за время полета
ракеты до точки встречи.
Глубина зоны пуска больше глубины зоны поражения на величину, про-
110
порциональную разности полетного времени до дальней tpj я ближней tpjt
границ зоны поражения:
Гпусжа ЖГ +VH(tpj ) , (2.109)
Ряс. 2.36. Построение жж пуска
111
Если ввести понятие средней горизонтальной скорости ракеты для всей
зоны поражения tp L /Vp, то приближенно
Гдуска ЖГ( 1 + Уц/Vp) ; Тпусм-Т ( I + VB/Vp) . (2.110)
Множитель (1 + Уц /Vp) называют коэффициентом трансформации зоны
поражения в зону пуска.
Интервалы между моментами подрыва ракет Гподр и моментами пуска Кц
связаны при стрельбе навстречу соотношением
Гпод₽“Г+К7^ • (1Ш)
При стрельбе вдогон знак отношения скоростей в знаменателе нужно из-
менить.
Определение момента пуска ракет может осуществляться двумя спосо-
бами. Первый заключается в сравнении положения цели по дальности гв по
отношению к ближней П5.пусы и дальней гд.Пусм границам эоны пуска, т.е. пуск
возможен, если н&пуска < гв s гд.Пусжа • Второй, наиболее часто используемый
способ, заключается в сравнении положения упрежденной точки встречи гт.»
с границами зоны поражения, т.е. пуск возможен, если < гт.а £ г*, где даль-
ность до точки встречи приближенной вычисляется по формуле
Гтв “TTVB7Vp • am>
Зоны поражения и пуска принято делить на расчетные и реализуемые.
Под расчетной зоной поражения понимают область пространства, в которой
возможно поражение цели с определенной эффективностью при заданных пара-
метрах движения цели. Расчетные зоны поражения характеризуют предельные
возможности комплексов по уничтожению воздушных целей в наиболее простых
условиях. Границы или опорные точки расчетных зон поражения заложены в
алгоритмах вычислительных средств ЗРК (автоматнзированннычх приборов пу-
ска) и отображаются вместе с точкой встречи на индикаторах общего назначе-
ния (обзора, наведения) или специальных (рис. 2.37).
Реализуемые зоны поражения отображают реальные возможности ЗРК
по уничтожению конкретных целей в реальных условиях стрельбы. Здесь допол-
нительно учитываются: тип цели (ее размеры, эффективная отражающая повер-
хность, степень уязвимости); условия размещения ЗРК на позиции (величина
углов закрытия и наклона местности, характер подстилающей поверхности, нали-
чие местных предметов, их размеры и удаленность); противодействие против-
ника (маневр, наличке активных и пассивных помех, их интенсивность); условия
распространения радиоволн (затухание их по трассе локации, наличие гядрообра-
112
зований) и др. Реализуемая зона поражения лежит, как правило, внутри расчет-
ной (для легко уязвимых крупноразмерных малоскоростных целей реализуемые
зоны поражения могут выходить за границы расчетных).
Ж & Л
L /
—•............."* ...*.-..у—.,
Рис. 2.37. Отображение границ зон поражения на индикаторах:
а - растровом (наклонные дальности);
• б - линейном (горизонтальные дальности).
Возможности ЗРК по обстрелу маневрирующих целей оцениваются по
размерам гарантированной зоны пуска, под которой понимают область про-
странства, где необходимо произвести пуск ракеты по маневрирующей цели,
чтобы их встреча произошла в пределах расчетной зоны поражения. Посколь-
ку определение момента пуска производится путем сравнения границ зоны пора-
жения с упрежденной точкой встречи, то для оценки возможностей по обстрелу
целей, обладающих высокими маневренными возможностями, рассчитываются и
отображаются границы гарантированных зон поражения.
2.3.2. Расчетные зоны поражения
Основным обобщенным фактором, определяющим положение границ зон
поражения, является требование, чтобы потребные для наведения ракеты на цель
перегрузки Пц были меньше располагаемых пр;
' йр > Пп = Лкии + йком + пфд , (2.113)
где слагаемые в первой части уравнения характеризуют соответственно
потребные кинематическую (обеспечивающую движение ракеты по заданной тра-
ектории), компенсационную (обеспечивающую компенсацию динамических
ошибок) и флюктуационную (расходуемую на парирование случайных возмуще-
ний) составляющие.
'ТЛ ИЗ
Для ЗУР прстивосамолетной обороны проеденное соотношение приво-
дит к неравенству
VPfc(l,2...1,4)Vn . (2.114)
Характер изменения скорости ракеты показан на рнс 2.38 (I - для двухсту-
пенчатой ракеты дальнего действия, где 1 - участок разгона со стартовым
ускорителем; 2 - участок полета с работающим маршевым двигателем; 3 -
пассивный участок полета; II - для одноступенчатой ракеты средней дальности
с твердотопливным двигателем)..
Верхние границы эон поражения определяются величиной располагаемых
перегрузок, снижающихся нз-за падения плотности атмосферы. Для высот более
11 км н стандартной атмосферы
пр “ ; р ра , (2.115)
где С - коэффициент аэродинамической силы, зависящий от скорости раке-
ты, угла атаки и угла отклонения рулей (обычно, С «(1...2) * 1С— 2);
р - плотность воздуха (для сухой атмосферы р» •» 1 ,293кг/м3;
« ♦
Sp - характерная площадь ракеты;
тр - масса ракеты;
Н, км - высота полета ракеты.
Из (2.115) можно, задаваясь необходимым значением перегрузки Пр, найти
высоту верхней границы расчетной зоны поражения ЗРК:
114
Hmax - 6,371n . (2.116)
Хшр Пр g
Ближняя граница зоны поражения определяется, в основном, протяженно-
стью участка выхода ракеты на траектории метода наведения
М а» ?V1A£ (2.117)
Hpg
где Др - отрабатываемый угол рассогласования;
Vo - относительная скорость сближения ракеты с целью.
Расстояния до ближней и дальней границ случайны и характеризуются
соответственно релеевским
t (rd) - е" <21 »*>
<4 .
и нормальным
.z ч 1 — Га~~уд)3
/(Гд)’Ж^е ЗоЗ ’ (2.119)
распределениями, гдегу - дальность начала управления;
о® - среднее квадратическое отклонение дальности вывода ракеты на тра-
екторию метода наведения (обычно, ОБ m 0,5...3 км для ЗРК СД и ДД);
гд - среднестатистическое значение расстояния до дальней границы;
- среднее квадратическое отклонение расстояния до дальней границы.
В качестве табличных (рис. 2.39) принимают значения дальней и ближней
границ, реализуемые с заданной вероятностью.
Рис. 2.39. К определению границ эоны поражения
tis
2.3.3. Дальность действия радиолокационных средств
зенитного ракетного комплекса
При отсутствии радиопомех дальность действия рассчитывается по изве-
стным формулам радиолокации
r«A<Se-w“*4- Р“О"ДУ а-120)
64л3 Рш
где Vp - коэффициент различимости (видимости), численно равный отноше-
нию сигнал-шум по мощности, при котором обеспечиваются заданные вероят-
ности правильного обнаружения и ложной тревоги (или правильного и ложного
захвата на сопровождение) с учетом накопления энергии и потерь при обработке;
S3 - эффективная отражающая поверхность цели;
fl - коэффициент затухания радиоволн в тропосфере (для РЛС сантимет-
рового диапазона /3 - 0,002...0,03 дБ/км. Первое значение для сухой погоды,
последнее - для дождя или мокрого снега большой интенсивности);
Рп и Оц - мощность передатчика и коэффициент усиления передающей
антенны РЛС с учетом потерь;
(ЭЙр - коэффициент усиления приемной антенны РЛС в направлении на цель
с учетом всех потерь;
Л - длина волны РЛС;
Рщ - чувствительность приемника РЛС.
Выбрав усредненное значение/) для рабочего диапазона дальностей конк-
ретной РЛС н учитывая, что 0,115 Д г « 1, получим
г • (2121)
S£jT+0,115/3 Ao
где А - энергетическая характеристика РЛС, численно равная дальности
обнаружения (захвата на сопровождение) цели с эффективной отражающей по-
верхностью Sg = 1 м2.
Для удобства расчетов дальность выражают в километрах, отражающую
поверхность в квадратных метрах, тогда коэффициент А имеет размерность —.
Vm"
Для радиолокационных средств ЗРК дальнего действия: Аж200...250 км/УЙ~; сред-
ней дальности: А"100...150км/уй"; малой дальности: Ав30...50 км /Vm~, Для
полуактивных радиолокационных головок самонаведения ЗРК ДД
А « 130 — 150 км /у£Г; СД в50 ~ 70 км />/м. При обстреле низколетящих це-
116
лей н захвата их на сопровождение до старта ЗУР нужно учитывать уменьшение
дальности действия радиолокационных ГСН проникающими сигналами передат-
чика подсвета. Для оценки дальности захвата можно воспользоваться эмпири-
ческим соотношением:
Амв =
А » ПРИ Е Ц > О»1
A v20f ц (1 — Se ц) , при £ ц £ 0,1
(2.122)
Дальность обнаружения цели на фоне активных шумовых помех доста-
точной эффективности (когда мощность помехи на входе приемника РЛС
больше собственных шумов РИом > Рш) можно определить из уравнения противо-
радиолокации
.Н PnGnSa
у 4л чр Д (пр
A fnn inn
Рпп Gnn
Ggp
Gnn
пр
(2.123)
Кап ,
где Afnp и Д fnn - ширина полос пропускания приемников РЛС и пере-
датчика помех соответственно (полагаем, что Д fnp £ Д fnn );
гПп - дальность до постановщика помех;
Рпп и Gnn - мощность передатчика помех и коэффициент усиления его
передающей антенны соответственно;
Gup - коэффициент усиления приемной антенны РЛС в направлении на
постановщик помех;
Кдп - коэффициент подавления активной помехи в устройстве помехоза-
щиты (например, автокомпенсатором помех).
Для помех самоприкрытия г = гПп , Gnp = Gnp, Кдп = 1 , тогда
- «- / Рп Gg
г Тпп V 4лгрДГпр
(2.124)
где Nn ~ ~~гё---- - спектральная плотность мо лости помехи;
Л Inn
В - энергетическая характеристика помехозащищенности РЛС, числен-
но равная дальности вскрытия (захвата) цели с эффективной отражающей повер-
хностью Sa = 1мг на фоне активной шумовой помехи с цели плотностью
1 Вт/МГц, Для современных и перспективных ЗРК значения коэффициента ле-
Г Вт
жат в пределах 30 -130 км /м J •а для устаревших - на порядог меньше.
Для помех взаимного прикрытия от одного постановщика с одного направ-
IJ7
&
ления из (2.123) имеем
г SC ^-^гипКап ,
(2.125)
ц / Gu
где С « JB1—- пространственно-энергетическая характеристика поме-
’ Gap
хозащищенности РЛС, зависящая от взаимного углового рассовмещения поста-
новщика помех и лоцируемой цели.
Отношение <Ю » —характеризует уровень боковых лепестков прием-
Опр
ной антенны РЛС относительно основного. Для современных РЛС при воздейст-
вии помех по первым боковым лепесткам С ” 20-40,
, для устаревших
- на порядок меньше.
Если постановщиков помех несколько и они воздействуют с различных
направлений и дальностей, то параметры РЛС (коэффициент С) и помех (Nn)
можно привести к первому постановщику помех.
Тогда ___________
J’/Sa «пи1 Каш ,
Г S Cl \/----55----- ;
У Nna
n„-n., Г1 +5 2!г1 ifa тпг тНЯ
L j«jNni r^jj <»Gj KxnjJ
(2.126)
(2.127)
где Nna - спектральная плотность мощности эквивалентного постановщика
помех, совмещенного с первым;
j 1,2, ...,х - номер постановщика помех.
При моделировании боевых действий и оперативно-тактических расчетах
целесообразно приводить помехи к одной эквивалентной с плотностью мощно-
сти 100 Вт/МГц на дальности 100 км, действующей по боковому лепестку с
коэффициентом усиления в 100 раз меньше основного. Коэффициент юдавления
эквивалентной помехи принимается равным единице.
Тогда
г s ЮоЖД J d Nro »г ~ • (2‘128)
у <5 Nna j s । riinj <5 Gj Kxnj
H8
Возможен в третий способ, когда для каждого постановщика помех рассчи-
тывают дальность rj по (2.125), а затем вычисляют дальность вскрытия цели при
воздействии всех постановщиков по формуле
/у 1/4
г - Z 4 (2.129)
У*1 п)
9се радиолокационные средства ЗРК имеют режимы пеленгации поста-
новщиков помех. Дальность пеленгации определяют из соотношения
Гпп S ; D - , (2.130)
VlfarPmVp
где D - коэффициент, численно равный дальности пеленгации постанов-
щика помех со спектральной плотностью мощности 1 Вт/МГц.
ГмТц
Для различных РЛС D 25...400кму “g^4 .
Д альность обнаружения цели на фоне пассивных помех можно определить
по формуле
rSAVSa-S^, (2.131)
где Snn- суммарная отражающая поверхность пассивной помехи в разре-
шаемом объеме РЛС;
Кцп - коэффициент подавления пассивной помехи в приемном устрой-
стве РЛС
Snn w 0,01 Snau А Г Пни , (2.132)
где Бпач - эффективная отражающая поверхность одной пачки проти-
ворадиолокацнонных отражателей (для расчетов можно принимать
8пач«25-100 м2);
Аг - разрешающая способность РЛС по дальности (для станций, не имею-
щих разрешения по дальности, Аг соответствует либо протяженности всего об-
лака пассивной помехи, либо той его части, которая попадает в луч РЛС);
Ппп - плотность пассивной помехи (количество пачек на 100 м пути).
Если преобразовать уравнения (2.124), (2.125), (2.130) в логарифмиче-
скую форму, то будут получены соотношения для оценки помехозащищенности
радиолокационных средств ЗРК, которые удобно отобразить графически (рис.
2.40... 2.42), задав некоторые параметр д (дальности до ближней и дальней границ
зоны поражения, эффективную отражающую поверхность цели и др.).
119
Рис. 2.41. Дальность действия в помехах взаимного прикрытия
Рис. 2.42. Дальность пеленгации постановщиков помех
120
lg Nn w 21gB + IgS - Ig г;
(2.133)
1g Nn e 41g C + lg S + 21g Tim + 41g Kra - 41g r ; (2.134)
lg Nn = 21g гпп - 21g D . (2.135)
Рис. 2.43. Дальность действия РЛС ЗРК пассивных помехах
Оценка степени защищенности РЛС ЗРК от пассивных помех в пределах
зоны поражения может производиться по плотности сброса помех (рис. 2-43).
n < IQOSj Кип п
пп Sna4H>Ar ' <2Л36)
2.3.4. Учет влияния Земли на дальность действия радиолокационных
средств зенитного ракетного комплекса
Воспользуемся рис. 2.44, гае использованы следующие обозначения:
OD ОЕ " OF “ ON ** Из - эквивалентный радиус Земли;
A D » На - географическая высота электрического центра антенны РЛС;
FC - MN » Нц - высота полета цели;
ВВ ' Ну - географическая высота укрытия;
Су - угол укрытия;
Сг - угол горизонта;
АВ-гпв- дальность прямой видимости с учетом укрытия;
АВ ** Гу - дальность до гребня укрытия.
121
Рис. 2.44. К определению дальности прямой цдамостж
Из треугольников ОАС в ОА'С, учитывая, что R3 > Нц л R3 > На, пол-
учим
Готах “ — йз sine у + ^81п1Су+2йз(Нц - На) . (2.137)
При отсутствии укрытий е у = £ Г) тогда из треугольника АОЕ следует
sin £у = - VlHa/кз и
гпв “ V2 Ra (а/ТТц^ + VH> ), (2.138)
йз ж 6371 км при нулевой рефракции;
где R3 « 3 а 85QQ км ПрИ нормалъной рефракции.
Если значения высот в метрах, то
=
3,57 : при нулевой рефракцни;
Vm
4,12 — при нормальной рефракция.
Нулевая рефракция характерна для оптического диапазона излучения, а нор-
мальная - для радиолокационного, включая миллиметровые волны. Углы укрытия
определяются на местности или вычисляются
«у
Ну-Иа гу
Гу 2йз
(2.139)
Графики зависимости г max (е у , Нц) приведены на рис. 2.45.
122
2.3.5. Реализуемые дальние границы эон пуска и поражения
Из всех рассчитанных в предыдущем параграфе дальностей захвата цели на
сопровождение выбираем наименьшую и рассчитываем курсовую дальность до
дальней границы зоны цумз--------------,
Uyc - у г£с - (Н2 + Р2) - Va Тпп , (2.140)
где Тпп - время подготовки ракеты к пуску (от захвата цели на автосопро-
вождение до пуска ракеты).
Можно рассчитать также горизонтальную и наклонную дальности
dnyc ” \/l«yc + Рц '» Гпус “ Lnyc + Рц + Нц . (2.141)
Курсовая дальность до реализуемой дальней границы зоны поражения
Ц-Uyc-Vutp , (2.142)
где tp - время полета ракеты на дальность г<
» „Гх УЦ + Н2 + Р?
*₽ Vp Vp ’ <2143)
Vp - средняя скорость полета ракеты.
Решая совместно (2.142) и (2.143), получим
Если Гэс < Рц и Гас < Нн, то приближенно
123
г тг гпус
Гд 1 + Уц / Vp •
(2.145)
Из (2.144) видно, что дальность до дальней границы реализуемой зоны
поражения возрастает при увеличении высоты и курсового параметра цели.
2.3.6. Реализуемые ближние границы зон пуска и поражения
Реализуемые ближние границы ограничиваются максимальными курсо-
выми углами qmax, при которых еще возможен пуск ракеты. Учитывая (2.144)
и соотношения
1$ — Рц ctg Цшах ~ tp.6 ‘ Уц ; tp.fi = у~ у L& + Рц + Нц ,
получим ___________ ____________1
Рц Ctg qmax — yl^Ctg2 Qmax + (н2 + ^1 —
U=----------------5-----------2----------------(2.146)
i-^
Vp
Наклонная дальность до реализуемой ближней границы
Рц [ ~ у^" ct8 Qmax + М 1 + ctg1 Qmax “777^
d6=--------£---------------------, (2.147)
где Ург—Урсозац - горизонтальная скорость ракеты.
При допустимых углах пуска, близких к 90°,
dgx—.——дг . (2.148)
1/1-^
* . Vpr
Допустимые углы пуска в некоторых зарубежных ЗРК определяются ми-
нимально допустимой радиальной скоростью цели Ураддоп на момент пуска
ракеты*.
Чиуска max == arccos '^°П • (2.149)
* ша* уц cosf Ц
2.3.7. Построение гарантированных зон пуска
Наиболее просто гарантированные зоны пуска могу- быть построены для
целей, маневрирующих скоростью в пределах Ушах s Уц 5 Vmtn, как общая часть
зон пуска (рис. 2.46), построенных для крайних значений скоростей.
114
Зона Зона пуска Зона пуска
Рис. 2.46. Построение зоны пуска по цели, совершающей маневр скоростью 45°
При маневре цели в вертикальной плоскости задается угол пикирования
или кабрирования 0, рассчитываются составляющие скорости
Vl и Уц cos# и Ун я Уц sin#, затем каждая точка расчетной зоны поражения сме-
щается на расстояние
AL- Уц (tp cos# + A t) ;
(2.130)
AH » Уц tpsin# ,
где tp - время палета ракеты до точки встречи;
A t - время реакции летчика.
По вычисленным координатам строится зона пуска по маневрирующей
цели и находится ее общая часть с расчетной зоной пуска. Полученная гарантиро-
ванная зона пуска трансформируется затем в гарантированную зону пораже-
ния, координаты последней закладываются в вычислительные средства ЗРК для
определения момента пуска методом сравнения положения точки встречи с
: границами гарантированной зоны поражения.
Расчет и построение гарантированных зон пуска и поражения для стрель-
бы по целям, маневрирующим курсом, иллюстрируется рис. 2.47. Если радиус
разворота цели мал по сравнению с глубиной зоны (время разворота много
Меньше времени пребывания цели в зоне), то траекторию полета можно предста-
вить в виде линий с углом излома ^Зв- Тогда гарантированная зона пуска
будет представлять собой общую часть трех зон: для цели, летящей с нулевым
параметром, и для целей, совершающих разворот на углы ±^зв-
115
Рис. 2.47. Построение зовы пуска по цели, соаершавщеА разворот на 45°
Обстрел цели будет возможен, если
р„ Vn
^изв <;arcsin~J+arctgy£ .
(2.151)
Отсюда можно найти максимальный курсовой параметр, при котором воз-
можен обстрел цели, маневрирующей курсом, и необходимую дальность до
пуска ракет.
2.3.8. Цикл стрельбы и работное время
Одной из важнейших характеристик ЗРК, определяющей его боевые воз-
можности, является длительность цикла стрельбы. Под циклом стрельбы одного
канала Тц понимается время, необходимое для проведения одного обстрела
То и переноса огня на последующую цель Тп (или для подготовки обстрела)
Тц»Т0+Тп. (2.152)
Под работным временем Траб зенитного ракетного подразделения (расче-
та) понимают время, длящееся от какой-либо начальной операции (обнаружения
цели, приема или выдачи целеуказания, переключения передатчиков на антен-
ну, включения полной мощности) до заключительной (принятия решения на
обстрел, пуск ракет). Работное время может быть определено только для
конкретного ЗРК и конкретных условий стрельбы. Можно также записать
Тц в Траб + ter +1₽+Ти (п — 1) + ton , (2.153)
где 1ст - время от момента пуска ракеты до схода ее с пусковой установки;
tp - время полета ракеты до точки встречи;
гм - интервал между пусками ЗУР;
12Ь
fl - число ЗУР * очереди;
(оц - время оценки результатов стрельбы.
Основными факторами, определяющими цикл стрельбы являются: даль-
ность выдачи и точность целеуказания; тип цели и параметры ее движении
(Уц, Нц, Рц); режим работы локационных средств ЗРК; наличие ЗУР них
готовность; число ракет в очереди и интервалы между пусками; слаженность
боевых расчетов и время выполнения отдельных операций.
Все составляющие цикла стрельбы и работного времени являются случай-
ными величинами, их обычно считают распределенными приближенно по нор-
мальному, логарифмически нормальному или обобщенному релеевскому зако-
нам с математическим ожиданием Мц и средним квадратическим отклонением
о ц. Если суммарное время определяется с надежностью 0,5, то
Тц-^МЙ1 (2.154)
1-1
а если с надежностью 0,84, то
, 2
Тц«2 Ма+ —, (2.155)
1-1 1
где 1-1,2,...,! - номер операции ^составляющей цикла).
В многоканальных ЗРК циклы стрельбы отдельных каналов перекрыва-
ются, поэтому основной характер# .такой их скорострельности является время
переноса огня
Тц — 1цу * tux* + tnoar , (2.156)
где 1цу- время отработка целеуказания, поиска и обнаружения цели;
tux* - время захвата fj сопровождение локационными средствами ЗРК
(с учетом времени опозвавалуя государственной принадлежности цели);
1падг - время подлтовки ЗУР к стрельбе, исходных данных для обстрела
и оценки готовности к пуску.
Перенос огня одноканальным ЗРК на последующую цель (повторный
обстрел) возможен, &ля интервал между целями Тм удовлетворяет условию
Т* i Tqi + Тп2 +Тц2 (п — 1) ~Тцр2 , • (2.157)
где ТПр - время пребывания цели в зоне пуска, а индексы 1 и 2 относятся
к первой и второй целям соответственно.
По среднестатистическому работному времена с учетом степени освоения
вооружения и военной техники рассчитывают и приводят к четырехбалльной
системе оценки временные нормативы для войск.
127
3. ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ
ЗЕНИТНОГО УПРАВЛЯЕМОГО РАКЕТНОГО ОРУЖИЯ
3.1. Основные 1 ринципы построения математических моделей сложных систем
3. /. /. Основные понятия, определения
Начало формирования понятийного аппарата системных исследований свя-
зывают с работами австрийского ученого Людвига фон Берталанфи. В. дальней-
шем научное направление - системотехника, объектом изучения которой являют-
ся большие (сложные) системы, развивалось под влиянием работ Г.Гуда, Р.Мдк-
кола, Н.П.Буслеько, Д.С.Конторова, В.В.Калашникова, И.Н.Коваленко и др. В
ходе исследований формировалось все более ясное понимание того, что собой
представляют сложные системы. Одно из наиболее содержательных определе-
ний принадлежит Н.П.Бусленко /8/, в соответствии с которым сложной систе-
мой называется иерархически организованная и целенаправленно функциониру-
ющая совокупность большого числа информационно связанных и взаимодей-
ствующих элементов. В соответствии с этим определением выделим основные
свойства сложной системы.
1. Целостность и членимость. Система есть целостная совокупность раз-
дельно различаемых элементов.
2. Наличие устойчивых связей (отношений) между элементами системы.
3. Иерархическая организация - членение системы имеет многоуровне-
вый характер. При этом обычно используется постулат: мощность связей к-го
уровня членения не больше мощности связей (k+I)-го уровня членения.
К этим трем свойствам добавляют еще два, отличающие сложную систему
от простого конгломерата большого числа элементов.
4. Энтропия системы не превосходит (как правило, меньше) совокуп-
ной энтропии ее элементов.
5. Существование интегративных (системных) качеств, то есть качеств,
присущих системе, но не свойственных ни одному из элементов в отдельности.
Наличие специфических, системных свойств 4 и 5 означает, что изучение
свойств элементов системы не может дать полного представления о свойствах
самой системы.
Структура и функции системы. Структура системы отражает уст ойчивую
упорядоченность в пространстве и во времени ее элементов и связей. С точки
зрения пространственной организации, различают плоские и объемные, локально
сосредоточенные н рассредоточенные, сетевые, скелетные, центристские струк-
туры. С точки зрения тенденции в развитии различают экстенсивные структуры (с
U8
течением времени происходит рост числа элементов системы) и интенсивные (рас-
тет число связей и их мощность при неизменном числе элементов). Структура -
наиболее консервативная, стабильная, характеристика системы.
Функция - есть действие, целенаправленное поведение, деятельность сис-
темы в соответствии с ее назначением. Функция элемента - реализация его
свойств, функция системы - специфическое порождение всего комплекса функ-
ций и свойств элементов. При изучении процесса функционирования системы
обычно исходят из следующих общих предположений:
1) система функционирует во времени; в каждый момент времени она нахо-
дится в одном из возможных своих состояний;
2) на вход системы могут поступать входные сигналы;
3) система способна выдавать выходные сигналы;
4) состояние системы в данный момент времени определяется предыдущими
состояниями и входными сигналами, поступившими в данный и предшествую-
щий моменты времени.
Первое предположение отражает динамический характер процесса функ-
ционирования системы.Второе и третье - характер взаимодействия с внешней
средой. Четвертое и пятое - характеризует реакцию системы на взаимодействие
внешней среды с учетом внутренних факторов. При этом, с одной стороны, учиты-
вается, что система может обладать последействием (зависимость будущего пове-
дения системы не только от настоящего, ио и от прошлого), а с другой - отражается
принцип "физической реализуемости" (настоящее не зависит от будущего).
3.2.2. Задачи исследования систем
Все задачи исследования систем могут быть разбиты на два класса: задачи
анализа и задачи синтеза.
Задача анализа состоит в изучении структуры, элементов поведения и
свойств системы в зависимости от характеристик и поведения внешней среды.
Часто задачи анализа сводят к оценке эффективности системы.
Задачи синтеза заключаются в выборе оптимальных, в каком-то опреде-
ленном смысле, структуры и функции системы при заданных характеристиках и
поведении внешней среды. Иногда задача синтеза формулируется как задача
отыскания элементов структуры, обеспечивающих экстремальное значение кри-
терию эффективности системы с учетом ограничений на какие-то параметры
системы,
Для решения задач анализа систем используются микроподход и макро
подход.
(29
Микроподход. При использовании этого подхода решаются следующие
задачи:
1) выявление элементов системы;
2) раскрытие и изучение функции каждого из элементов;
3) выявление связей между элементами;
4) раскрытие и изучение структуры системы;
5) раскрытие и изучение функции системы;
6) анализ поведения системы в зависимости от поведения внешней среды.
При реализации микроподхода приходится преодолевать диалектическое
противоречие между желанием более детального изучения системы путем соот-
ветствующего ее членения на элементы и возникающими при этом трудностями
анализа многочисленных связей между ними. .
Макроподход. При использовании этого подхода система рассматривается
как "черный ящик". При этом анализируются отклики (реакция) системы на
разнообразные внешние воздействия. Совместный анализ входных и выходных
сигналов позволяет, в принципе, выявить структуру и характер функционирова-
ния системы, описать ее функцию.
Существуют ограничения на условия проведения и реальное число испы-
таний системы, связанные со следующими обстоятельствами:
1) некоторые испытания могут носить разрушающий характер;
2) стоимость каждого эксперимента может быть непомерно высока;
3) на результаты экспериментов обычно накладываются случайные ошиб-
ки, закон распределения которых часто неизвестен;
4) условия т доведения испытаний могут неконтролируемым образом из-
меняться.
В связи с этим возникает необходимость в рациональном планировании
совокупности экспериментов, обработка результатов которых может дать необ-
ходимую информацию для анализа системы.
3.1.3. Формальное представление системы
Система функционирует во времени. Множество моментов времени t, в
которые рассматривается функционирование системы, обозначим через Т. Если
Т - конечное или счетное множество, то говорят, что система функционирует в
дискретном времени. В каждый момент времени tcT система находится в одном
130
из возможных состояний z(t). Множество состояний z(e) обозначим Z.
На практике состояние системы часто определяется числовыми значениями
набора характеристик (например, положение цели определяется тройной коор-
динат: fl - азимут, е - угол места, г - наклонная дальность)* Иногда в качестве
характеристики состояния системы используются объекты более сложной при-
роды (набор операций ЭВМ или программ), В общем случае будем полагать, что
состояние Z системы описывается набором объектов zi, zj, , zn, таких, что
zj € Zi, 1 м 1, 2, ...а. Рассмотрим прямое произведение Z = Zi Z? Zn.
Множество Z будем называть пространством состояний системы. Если Z -
конечно млн счетно, то говорят, что система функционирует в дискретном про-
странстве. Иногда рассматривают пространство T Z, точками которого являются
□ары (t,z). Это пространство обычно называют фазовым.
входные и выходные сигналы
На вход системы могут поступать входные сигналы хе X, где X - множество
входных сигналов системы. В общем случае будем считать, что входной сигнал х
описывается набором объектов xi, xj,.... хщ, где х; е Xj, i = 1, 2,... m.Прямое
произведение X “ Xi • Xj ... Xm называется пространством входных сигналов.
Система способна выдавать выходные сигналы yeY. Выходной сигнал опи-
сывается в общем случае набором характеристик
У1. Уз,... Уп yieYi, i ® 1,2,..., г. Прямое произведение Y » Yi • Yi •... ‘Yr на-
зывают пространством выходных сигнлов. Входной и выходной сигналы в момеягг
времени teT обозначим соответственно x(t) и у (t).
Операторы переходов и выходов
Здесь будет рассмотрен важный подкласс систем - системы без последей-
ствия, будущее поведение которых зависит только от настоящего состояния и
не зависит от прошлого. Иначе, состояние z(t) системы в момент t >Ь определя-
ется ее состоянием z(fo) и фрагментом входного сигнала x(t) на полуинтервале
(to, t), но не зависит от того, как система попала в z (to).
Будем считать, что z(t) определяется следующим образом:
z (t) Н [z (to), х (t), t (to , t) 1 ,
где H {- J называется оператором переходов системы. Совокупность упо-
рядоченных пар t,z(t) называют фазовой траекторией системы.
Будем считать, что выходной сигнал y(t)eY для моментов времени
t сТ, t > to, определяется следующим образом:
y(t)-0 (»(«»), x(t), t ( , t)J ,
где GIr-j - оператор выходов системы.
13J
Между операторами Нив имеется различие, состоящее в следующем?
Оператор Н каждому taT ставит в соответствие определенный элемент zcZ, (то
есть система в каждый момент времени находится в каком- то состоянии). В то же
время из физических соображений ясно, что выходные сигналы системы не обя-
зательно выдаются в каждый момент времени teT. Для устранения этого различия
дополним множество Y "пустым сигналом" у, который физически можно трак-
товать как отсутствие сигнала. Так как операторы Н и G имеют одну и ту же
область определения, можно ввести оператор F следующим образом:
х(0, У (t) “F (=(to), х(t), t (Ц>, 1)J ,
который реализует отображение
(Z-X(t), t (to, t))-Z-Y .
Оператор F, обозначаемый как F H • О, называют оператором функ-
ционирования системы.
Заметим, что операторы Н и G задают детерминированное отображение
состояния системы и входного сигнала в новое состояние системы и ее выходной
сигнал. Вместе с тем, в теории и практике систем большую роль играют стоха-
стические системы, поведение которых описывается стохастическими оператора-
ми Н и О.
Пусть Q за» - пространство элементарных событий с вероятностной мерой
Р(А), где ас А - система подмножеств множества £1. Элементы а множества А
называют событиями, a Q - пространством элементарных событий.
Случайным оператором Н, переводящим X в Z, называется оператор
2>“Н(х,4о). Это означает, что каждому фиксированному <у’с Q ставится в соответ-
ствие некоторый неслучайный оператор Н (х^о'), реализующий отображение
X -» Z. Таким образом, Н(х,о») определяет набор отображений, зависящих от
шйО.. С другой стороны, каждому хяХ случайный оператор Н(ххи) ставит в
соответствие не одно определенное wZ, а некоторое множество Z* я Zc распре-
делением вероятностей на нем, зависящим от Р (<в) и вида оператора И. То же
можно сказать и в отношении оператора G?
3.1.4. Агрегаты
Пусть
Т - множество моментов времени,
X - множество входных сигналов,
Y - множество выходных сигналов,
Г - множество управляющих сигналов,
Z - множество состояний системы.
132
Состояние, входной, выходной и управляющий сигналы в момент време-
ни! будем обозначать соответственноz(t), x(t), y(t),g(t). Под агрегатом будем
понимать объект, определяемый множествами T,X,Y,r,Z и операторами Н к G
переходов и выходов. Удобно ввести дополнительно пространство параметров
агрегата В. Элемент этого пространства Д = (ft , Д2, .... Д>)еВ .
Рассмотрим реализацию оператора выходов О. Представим его в виде сово-
купности операторов О ’ и О ". Оператор О ’ вырабатывает (задает) множество
моментов выдачи непустых выходных сигналов, а оператор О " - содержание этих
сигналов. Операторы О ’ и G ” строятся следующим образом. В пространстве
состояний Z агрегата для каждого значения Де В и gef определим некоторое
множество 2^,Д), которое зависит от параметров Д и меняется в момент
пос+упления управляющего сигнала g(t>. Множество 2^,Д) определяет момент
выдачи очередного выходного сигнала. Именно, если для данного момента време-
ни t состояние z (O)eZ^g, Д) ,где t - е < 0 < t, е - малое положительное число, а
z 0)е2^,Д) , то t является моментом выдачи непустого выходного сигнала
y-G"(t, z(t), g(t), Д) . (3.1)
В общем случае G ” является случайным оператором, ставящим в соот-
ветствие набору t,z(i), g(t), Д не одно определенное значение у, а некоторую
совокупность значений с соответствующим распределением вероятностей, зада-
ваемым G”. Момент достижения траекторией z(t) подмножества ^.Д) опреде-
ляется оператором G *.
Таким образом, выходной сигнал у зависит от последнего управляющего
сигнала g(t) и набора параметров Д непосредственно через оператор G ", а также
через множество 2^,Д), момент достижения которого определяется оператором
G'.
Рассмотрим теперь оператор переходов Н. Наряду с состоянием агрегата
z(О будем рассматривать также состояние z(t+O), в которое агрегат переходит
за малый интервал времени. Представим оператор Н в виде совокупности трех
операторов V , V ’, V ”.
Пусть t’ - момент поступления в агрегат входного сигнала х ’.
Тогда
z (t ’ + 0) • V ’(t ’, z (t ’), g (t'), x ’, Д) . (3.2)
Здесь под g(t ’) понимается последний управляющий сигнал, поступив-
ший в момент времени t < t
Пусть теперь t" - момент поступления г агрегат управляющего сигнала
9
133
Тогда
z (t ”+0) » V ” (t " , z(t”), g”, £) (3.3)
Если t - момент одновременного поступления в агрегат входного сигнала х
и управляющего сигнала g, то
z(t+O)«V*(t, V ”(t, z(t),g,0)g,x,$-V’(t,z’(t+O),g,x,0), (3.4)
где z '(НО) определяется соотношением (3.3) для t, z(t), g, Д
Таким образом, предполагается, что при одновременном поступлении вход-
ного и управляющего сигналов сначала изменяется состояние системы, а затем,
в' соответствии с этим состоянием, вырабатывается выходной сигнал.
Наконец, если некоторый полуинтервал (to, to + г) не содержит моментов
поступления входного или управляющего сигнала, то для t [to, to + И
z(t)»V(t, to. z(<o+O), g(to), Д) . (ЗЛ)
где g (to) - последний управляющий сигнал, поступивший в момент t s to.
В некоторых случаях удобно рассматривать "расширенное" состояние агре-
гата (z(t), g(t)) Z • Г.
Перейдем к описанию типичного процесса функционирования агрегата.
Пусть в некоторый начальный момент времени to агрегат находится в состоянии
(г (to), go) и пусть в моменты ti’ и h’ поступают входные сигналы Xi' и х?', а
в момент tt" - управляющий сигнал gi" и для определенности ti’ <t(" <tj.
Рассмотрим полуинтервал (to, tf) .
Состояние агрегата z(t) изменяется по закону
z (t) « V (t, to, z (to), go , fi) • (3.6)
Предположим, что в момент t* такой, что to < t* <ti* , состояние гОГ)
достигнет множества Тогда в момент t* агрегат выдает выходной сигнал
yi “G"(t*> 2(’Г), go, Р) •
Если в течение (to, ti’) состояние агрегата, например, ко раз достигнет
Z^go /)), то всякий раз будет выдаваться соответствующий этому моменту време-
ни и состоянию z(t) выходной сигнал. При этом z(t) определяется в соответствии
с (3.6).
Пусть в момент ti’ в агрегат поступает входной сигнал xi’. Тогда
z(ti’+O) = V’(tr, z(ti’), go, хЛЯ .
1Л4
Здесь x(ti’) также определяется (3.6).
Далее, в полуинтервале (ti’, ti”) состояние z(t) определяется как
i(t)-V(t, ti’, z(h’+O), go, Д) • (3.7)
Если в моменты £, такие, что ti’ < £ < h”, к “kq + 1, .... ко + К], со-
стояния агрегата z (к) достигают множества /7), в каждый из этих моментов
к выдается выходной сигнал
YK-G"(tL ж(£), go, Д),
где z(ts) определяется из (3.7).
В момент ti” в агрегат поступает управляющий сигнал gi”. Тогда состоя-
ние агрегата
B(tj"+O)-V*’(ti”, z(tt”), fiM. Л .
где z (tj ”) также определяется из (3.7).
Далее в полуинтервале (ti" , t2’) состояние агрегата
z (t)« V (t, ti” , z (ti”+ 0), gt" , Д) . (3.8)
Если в моменты £, такие, что ti” < tj < t2, k“ko + ki+l,...,ko +
+ kj+k2, состояния агрегата z(t£) достигают множества Zfai^p), в каждый из
этих моментов выдается выходной сигнал
Ук “ G” (£ , X (k), g* , Д) .
Когда в момент t2 в агрегат поступает входной сигнал х2*, состояние
агрегата
z (tj + 0) = V’(t2’. z(t2’), gi”, х2, p) ,
где z(t2') определяется из (3.8).
Йаконец, в полуинтервале (t2’, tj), где tj - момент поступления очеред-
ного входного или управляющего сигнала, состояние меняется по закону
z (t) • V (t, t2’, z (t2’+о), gi” , p) .
С использованием агрегатов можно создавать удобные модели функцио-
нирования сложных систем, что и определяет их широкое практическое приме-
нение.
135
3.2. Аналитические модели функционирования сложных систем
3.2. i. Марковские модели функционирования сложных систем
3.2.1.1. Общие положения
Наибольшее распространение в теории систем и ее приложениях получи-
ли марковские процессы, представляющие собой типичную вероятностную мо-
дель систем без последействия. Выдающуюся роль в развитии теории марковских
процессов сыграли русские, советские ученые (А. А. Марков, А. Н. Колмогоров и
др.). Случайный процесс будем обозначать f(t), где £eZ, teT. Конкретное
значение г (t), принимаемое процессом £ (t) в момент времени t, будем назы-
вать состоянием процесса, множество Z - пространством состояний, функции
Z (I), t еТ - траекториями (реализациями) процесса £ (t).
Будем считать, что для любых ti и t, ti < t существует вероятность
Р (th ti, t, D) » Р (£ D (Z/£ (ti) ~ Z] ) того, что, находясь в момент времени ц в
состоянии zi = £ (Ъ), процесс £ (t) в момент t > Ъ перейдет в одно из состояний,
принадлежащих DeZ.
Если для любого конечного набора ti, h, ..., tn, где tt < t,
i i, 2 , , n ,
P(£(t>D/£(ti) = Zi, £(t2) = z2, £(tn-1) = zn-1, £(tn)”Za)«
- p (£ (t)sD/e (tn) - 2n) - P (tn, Zn , t, D) 4 (3.9)
то случайный процесс £ (t) называется марковским.
3.2.1.2. Дискретный марковский процесс
Пусть множества Z и Т - конечные или счетные. В этом случае процесс
£ (Г) является дискретным во времени и в пространстве. Такой марковский
процесс называется цепью Маркова. При этом значения случайного процесса
£(t) в моменты времени tj, i я 1, 2, ... обозначим £i, а соответствующие
реализации zj. Теперь соотношение (3.1), описывающее марковское свойство
процесса, приобретает вид
Р(£и + 1 “Zn+1/£1 “21 , ♦ ..» £п~1 “2а-1. £п-2п) e Р (£n+i e2n+i/£n“Zn) .
Удобно вместо zj писать просто j .Введем *Р (£n+i “
“ j/£n “1), i, j • 0, 1, 2, .... При фиксированных i и j (п) представляет
собой условную вероятность того, что в момент n +1 система находится в состоянии
j, при условии, что в момент п она была в состоянии - i. Если (п) зависят только
от 1 и j , но не зависят от п, вероятности axj называют стационарными
вероятностями перехода из состояния i в состояние j, а цепь Маркова называют
ОДНОРОДНОЙ. При ЭТОМ Wij(n)“<4J .
136
Совокупность вероятностей переходов сиц для всех 1, j »0, 1, 2, ...
образует матрицу вероятностей переходов W, которую называют стохастиче-
ской. Элементы этой матрицы обладают свойством
Jfcfllj-l, ieZ, (3.10)
где Z - множество возможных состояний цепи.
Для того, чтобы задать марковскую цепь (МЦ), необходимо и достаточ-
но определить распределение начальных состояний Р(0)*
“ (Р (fo “ 1)) • (Pi), i£Z и стохастическую матрицу W. Тогда эволюцию систе-
мы можно описать следующим образом. Пусть ' Р (0) “ (Pi), 16 Z. Тогда
>())-Р(0) • W,
Р(2)-₽ (1) W-F (0)W2
и вообще
Р (ш) - Р (0) • W® . (3.11)
Наряду с вероятностями перехода шу за один шаг введем вероятности
перехода за 1 шагов. Если у - некоторое промежуточное состояние, - веро-
ятность перехода из состояния 1 в состояние у за ш шагов, a - вероятность
перехода из у в j за к шагов, то
1, j Z. (3.12)
У
Уравнения (3.12) называются уравнениями Колмогорова-Чепмена. В мат-
ричной форме это соотношение имеет вид
Каждой паре состояний 1 и j поставим в соответствие число Ry следую-
щим образом:
_ . [ 1, если <иц > 0,
0, если <«ij *0.
Введем несколько определений.
Состояние j достижимо из состояния i, если существует к такое, что
вДО > о.
Состояние называется возвратным, если вероятность того, что система,
выйдя из этого состояния, когда-либо вернется в него, равна 1. Если эта вероят-
ность меньше 1, то состояние называется невозвратным.
137
Состояние i называется поглощающим, если вероятности перехода из этого
состояния в любое другое равны 0, то есть яц «О, jeZ, j »i
Возвратное состояние называется периодическим, если возвращение в него
возможно лишь через число шагов, кратное некоторому целому d > I, называе-
мому периодам. Возвратное состояние, не являющееся периодическим, называ-
ется эргодическим.
Подмножество С множества возможных состояний Z называется замк-
нутым, если за один шаг невозможен переход из состояния, входящего в С, в
состояние, не входящее в С, то есть = 0, icC , jeZ/C .
Цепь называется неприводимой, если соответствующее ей множество воз-
можных состояний Z не содержит ни одного замкнутого подмножества, кроме
самого себя.
Множество возможных состояний системы Z может быть конечным или
бесконечным. В дальнейшем, если это не оговорено, будем считать, что это мно-
жество содержит конечное число элементов.
Рассмотрим асимптотическое поведение системы, описываемой марков-
ской цепью. Введем распределение {лк}, которое будем называть стационарным,
если
nj=S^a»j, jeZ. (3.14)
Это соотношение в матричной форме имеет вид
n=»n-W, (3.15)
где П = (Я1, Лз, ль, •••) - стационарное распределение.
Стационарное распределение существует, если все состояния неприводи-
мой цепи являются эргодическими. Заметим, что стационарное распределение в
неприводимой эргодической марковской цепи может быть получено из (3.11)
следующим образом:
П = lim Р (m) ~ Р (0) • Ilia Wm .
т -» оо т -* оо
При этом, как можно показать, если Z » а, то
Л| ла • Яп
Я1 Лз • Яд
Л1 Л} - Яд 1
Um Wa= • • • л] jeZ,
Ш -• 00 . . . Ч
*1 Л2 ... Лд
где tj - среднее время возвращения в состояние j.
134
Отсюда ясно, что предельный вектор не зависит от начального распреде-
ления вероятностей Р (0), а целиком определяется матрицей переходов W.
Матрице переходов марковской цепи можно поставить в соответствие направлен-
ный граф, вершины которого отображают возможные состояния системы, а дуги
- возможные переходы.
Рассмотрим асимптотическое поведение марковских цепей, содержащих
поглощающие состояния. Для описания предельного состояния таких марковских
цепей стационарного распределения х уже недостаточно, так как оно будет
различным для разных исходных состояний. В связи с этим введем матрицу В,
строки которой определяют предельные распределения вероятностей различных
состояний системы, причем номер строки соответствует номеру исходного со-
стояния. По определению В lira Непосредственно перемножая, имеем
1-мо
B|"(I + Q + Q’ + -•+Ql-i)R“ ‘
I U £ J
-(1 -Q)"‘(l +Q)(1 +Q + Q’ + ... +Ql“‘ )R -(1 -Q)“‘ (1 -Q1)» •
Введем
В*-lira B|-(l -Q)"1 R-NR .
J-*oo
При этом
(1-Q)B*»R, B*-R+QB*
и
B-itaw®-ita(o°M-(0l!*Me R+.QIH •
j-»® |-мо|^ 0 I J ^0 1] ^0 1 J
Полученное соотношение может быть использовано для непосредствен-
ного расчета элементов матрицы В. Однако необходимость обращения матри-
цы (1 - Q) в случае, если число поглощающих состояний велико, заметно
усложняет соответствующую вычислительную процедуру, некоторое упрощение
которой достигается следующим образом. Из последнего равенства следует, что
для отыскания В можно использовать соотношение
B-WB. <3.16)
Действительно, WB - (j * j QB+Rj «В .
Матричное уравнение (3.16) трансформируется в совокупность уравне-
ний вида
139
WPj«Pj, jcZ, (3.17)
которые решаются обычным путем, путем преобразования в систему линейных
алгебраических.
Таким образом, последовательно решая системы (3.17) для j «0,1, 2,...,
заполняем матрнцуВ по столбцам.
Заметим, что исходное состояние системы обычно известно, поэтому инте-
рес представляет только одна соответствующая сторона матрицы В. Рассмотрим
возможность отыскания соответствующего предельного распределения, не ис-
пользуя при этом громоздкую процедуру вычисления всех элементов матрицы В.
Преобразуем исходную марковскую цепь в псевдоэргодическую путем
введения фиктивных переходов из поглощающих состояний в начальное состоя-
ние, приписав им некоторую вероятность а.. Предельный вектор такой цепи
уже может быть рассчитан обычным путем в результате решения векторного
матричного уравнения
Можно показать, что искомый предельный вектор может быть получен в
результате предельного перехода по
П =Um П(а).
а-*0
3.2Л.З. Непрерывный марковский процесс
Рассмотрим теперь марковский процесс (МП), непрерывный во времени,
но, по-прежнему, дискретный в пространстве. Состояние процесса £ (t) в каж-
дый момент времени t характеризуется распределением (Pk (t) , keZ ) веро-
ятностей пребывания системы на множестве возможных состояний Z, а его
эволюция задается матрицей. Интенсивности переходов МП вводятся следующим
образом. Пусть Fij (t) = Р (Тц < 1) - вероятности того, что случайная продолжи-
тельность Tij пребывания МП в состоянии i до перехода в j окажется меньше t
(это условный закон распределения случайной продолжительности пребывания
в состоянии 1 при условии, что переход произойдет в состояние j ). Тогда вероят-
ность отсутствия перехода в состояние j на интервале ft, t + rj определяется
соотношением
Qij С) ’
140
а вероятность перехода из i в j на этом интервале
®Ц (И +0“ 1 -Qij(t, t + г) -1 “
Qil (t) - Qu (t + т) (1 -Qu (t * т))-~ (1 - Qu (4)
Qu (t) Qu(O
Рц((4-г)-Рц(1)
QU (О
Рассмотрим теперь величину
в« г-0
. to luAt’bJML- 11m
S T-Qu(0 QiHOjSj T
IM , ,
* ———- * —— I M i (3 18)
Qlj(t) ' '
где !ц (t) - плотность распределения случайной величины Тц.
Введенная таким образом Ац (0 называется интенсивностью перехода. Из
соотношения (3.18) следует, что интенсивность перехода есть условная плот-
ность вероятности перехода, определяемая при условии, что до этого момента
переход не произошел.
Для совокупности вероятностей переходов должно выполняться условие
нормировки:
2 (ИДМ+Q-l Л, J Z,
i Z
причем
•ца1+»)"ji; !:]’•
Вычислим производную от Имеем
wton + e!im +
*** At-Ю At-*O
Отсюда для малого At получим
fiJU(t,t + At)-l +^^-At+O(At) . (ЗЛ9)
Одновременно из (3.18) следует, что для малого At
141
Wij(t,t + At)«Дц(t)At +0(At), j*l. (3.20)
a <t ДЦ ft 0
Функцию ——L назовем интенсивностью невыхода процесса из состоя-
ния 1 в момент t и по аналогии с (3.18) обозначим через Л1 (t).
Тогда в силу условия нормировки
2 <иц(1,t + At)«a«(t,t+At)+2 44i(t»t + At)«
teZ j*l
-1+Ail(t)At+2 A(t)At+O(At)-l ,
откуда Л1 (t)“ -S Л)(t) .
Если для пары состояний i и j соответствующая интенсивность перехода
(t) # 0, то возможен переход из 1 в j. В соответствии с этим введем
g „ ж 1, если непосредственный переход из 1 в j возможен,
' ’" О-в противном случае.
Для непрерывного во времени и дискретного в пространстве марковского
процесса по аналогия с (3.12) могут быть записаны уравнения Колмогорова*
Чепмена, которые для трех последовательностей моментов времени
te<t<t + At имеют вид
CiAk (to, t + At) = 2 <4i (to, 0<4k (t> t + At), i, keZ .
RZ
С другой стороны, для малого A t из (3.19) и (3.20) следует
<Mk(t, t+At)»=(ijk+ljk(t)dt .
Подставляя это соотношение в уравнения Колмогорова-Чепмена, пол-
учим
0Лк (to, t + At) -2 (to, t) I<jk +Ajk (i) At) «
jcZ
«a*k(to,t) + At 2 Ajk(t)алj(to, t) ,
jeZ
откуда
1 jeZ
И
j atj(te.t)-2jk(t), i, fceZ.
142
Умножая полученные соотношения слева и справа на соответствующие
вероятности из начального распределения (pt (to) ) и суммируя по 1, запишем
2 йМ-^^Й- 2 2 им«ч(ьОЛчС)
teZ at teZJeZ
или
Л С |«и (1в)** °’’ °] ~lz [ uz" ’
откуда
Pj (0 Лк (9 “k^/k₽J (0 Лк (t) + Рк (О Л* (9 •
Так как
Лй(9--Х Akj(9,
feZ/k
то
Mr^“ S Аж (9 • Р< (9 - Pk (9 2 М9- . (3.21)
jcZ/k JeZ/k
Будем рассматривать в дальнейшем МП, для которых
Ау(О-Ац, ijeZ,
и не зависят от времени.
Для произвольного k-го состояния МП введем ZiT - множество всех
состояний МП, из которых возможен непосредственный переход в к ~е состояние,
Zi’-{j:j£Z, R(|, k)-lj .
Z* - множество всех состояний МП, в которые возможен непосредствен-
ный переход из к-го состояния,
Zk -{j:j€Z, R(k,j)-1}.
Теперь систему дифференциальных уравнений (3.21) запишем следующим
образом:
Рк(9- S AjkPl(t)-Рк(О S 2кЬ к Z.
JeZk
(3.22)
143
Заметам, что при анализе МП удобно использовать граф переходов, вер-
шинам которого соответствуют состояния процесса, а дугам приписаны нс
вероятности переходов, как это было для марковской цепи, а соответствующие
интенсивности переходов, С использованием этого графа переходов формуляру*
ercs удобное мнемоническое правило для составления системы уравнений
(3.22).'** Производная d pt /dt вероятности пребывания системы в состоянии
Х1 равна алгебраической сумме нескольких членов; число членов этой суммы
равно числу стрелок на графе состояний системы, соединяющих состояние xj с
другими состояниями. Если стрелка направлена в состояние хц то член берется
со знаком плюс; если стрелка направлена из состояния х», то со знаком минус.
Каждый член суммы равен произведению вероятности того состояния, из ко-
торого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего сис-
тему по данной стрелке. Число отрицательных членов равно числу стрелок, направ-
ленных из состояния xj; число положительных членов равно числу стрелок,
направленных в состояние хГ. Полученную таким образом систему дифферен-
циальных уравнений можно решить с использованием преобразования Лапласа.
Как известно, преобразованием Лапласа функции u (t) называется функция
оо
L(u (t))«F (s) • / и (t) • е~м d t.
G
Преобразование Лапласа производной u* (t) от некоторой функции u (t)
определяется соотношением
L(u’(t))»/ u' (t)e~s,dt .
О
Интегрируя по частям, получим
L(u’(t)) = fe“stu’(t)dt»
, 0
00 00
“u(t)e"” +з/ u(t)e~8tdt®s • L(u(t))-и(0).
о а
Преобразование Лапласа интеграла от некоторой функции определяется
соотношением
t 00 t
Ь(/и(т)бт) ~/e~sl (ju(r)di) dt®
'О < о 1
J uW«*r) -/e~8,u(t)dl] -|L(u(t)).
5 u ' g f £ 0 j a
144
S — Si 8 —В» В -81
A< 1 . A
где , i-1,
После приведения подобных членов получим
m П (S-SJ)
ас + ai в +...+am в j wi j»j________
(8 - S1) ... (в - si) (s-S1)... (3-S1) •
Неизвестные коэффициенты <%, tzi,..., Ош отыскиваются в результате ре-
шения системы уравнений, получающихся после приравнивания коэффициен-
тов при одинаковых степенях слева и справа.
Б. Кория действительные кратные.
Тогда
ар +ai в+ ... +атви ац + «и + + fli ki +
(8-81/’ (8 Sr)1* (8-31) (8-81)’ (8-81/“ '
. «а . «п . . at ka . . Чг kr
(3-8») (8 “81/ (8-S2)kl (8-8гГ
Здесь к|, к», ... . кг - кратность корней Si, в», ... , sr.
Неизвестные коэффициенты отыскиваются так хе, как и ранее.
В. Среди корней имеются комплексные.
Тогда
___________ар 4-й[ s + .. 4-аш 5Ш____ci аг +
(8-8i)(3-8j)...(81+pi8+gi)...(s2+pkS +gk) s“81 8 - 3j
। Дз+yi + )
В1 4-pi В+Д1 ”* 8J +Pk8+gk ’
Неизвестные коэффициенты отыскиваются тем же способом. Далее по
таблицам соответствия оригиналов и изображений отыскиваются искомые фун-
кции p(t).
Определим закон распределения продолжительности пребывания системы
на выделенном подмножестве состояния. Из множества состояний Z выделим
непустое незамкнутое подмножество Z© и подмножество Zi, дополняющее 2еДо
Z, тс есть
ZeUZi-Z, Zo Л Z: » Ф .
Преобразуя по Лапласу соотношения (3.22), получим
в Як (а) - Рк (0) - S &*j(s)-ak(8) S . (3.23)
JcZk" RZk”
гае як (а)« L (рк (t)) .
После приведения подобных членов система алгебраических уравнений
(3.23) приобретает вид
ЬсоЯо(з) +Ьм Я] (•) + ... + bon*п (») шс«,
Ьюль(а) + Ьн »1 (а) + ... + bIB*h(а)-с,,
Ьпо Ло (а) + bni Л] (а) +... + ban Ла (*) “Сд.
По правилу Крамера имеем
гае Dt(s) и (Ds) - определители соответствующих матриц.
Заметим, что при решении системы (3.23) необходимо учитывать условие
нормировки X Рк (()“!, которое после преобразования Лапласа имеет вид
kcZ
S 4(s) ; ИЛИ 8 5 4(8)"1 .
kcZ 8 keZ
Обратное преобразование Лапласа выполняется с использованием разло-
жения дробно-рациональной функции (3.24) на элементарные дроби следующим
образом. Пусть, например,
, v А«+А| а+...+Аиа“ .
?(s)»—----!--------=-г , 1>т.
Вв + Bi а .. + Bi я^
Найдем корни полинома, стоящего в знаменателе. Дли этого решим урав-
нение
Вс + Вц+...+Bis‘-0 .
Пусть эти корни равны s>, si,..., st .
Теперь возможны следующие ситуации:
А Все корни действительные равные.
Тогда
/ i я, -4- A) s •(... + Ат ат ар + ai а 4-... + ат 8Д
B0 + B1s+...+B1S1 (s-si)(s -и2)... (s-8J>
146
Таблица соответствий некотоых функций и их преобразований Лапласа
N п/п f<0 F(s>
1 1 1 a
2 — t* вГ 1 Sm + I
3 с’* 1 s +b
4 -1 ta~1e~b< 1 .... _.(B + bf
5 7 sin at a 1 „2 . „2 a + s
6 cosat 8 a1 + s2
7 7sinate~b< a 1 (s + b? + a2
8 cos ate-1* s + b (e+b? +a2
9 d(t-a) c-«
Предположим, что в момент Ю система находится в одном из состояний
подмножества Zo, то есть £ pi (О) 1. Обозначим через Т случайную продолжи-
IsZq
тельность блуждания по состояниям подмножества Z® до первого выхода из
Zo. Так как Z® не замкнуто, случайная величина Т - конечна. Из подмножества
Zi выделим подмножество Zoi, содержащее те состояния, в которые возможен
непосредственный переход из состояний подмножества Zo, то есть
Zoi ” (j: jfiZr, £ R (i, j) >Ok Ясно, что время блуждания МП по состояниям
1 l?Zo J
Za равно времени до первого попадания в Zoi. С другой стороны, заметим, что
закон распределения случайной величины (СЬ) Т не изменится, если все состоя-
ния подмножества Zqj сделать поглощающими, для чего положим
Ау-О, jeZoi, teZ .
Теперь понятно, что для отыскания закона распределения СВ Т интерес
представляют только те состояния, которые входят в Zo U Zoi •
Функция распределения СВ Т, по определению, равна F (i) “ Р (Т S I).
Эта функция в момент времени t равна вероятности того, что система к этому
моменту окажется в одном из состояний подмножества Zsi< Поэтому
F(t)»S Pj (») .
j«Zoi
147
Найдем плотность распределения СВ Т.
Pj(i). «3.25)
<Н feZoi
С другой стороны, используя (3.22), с учетом того, что
"О, jeZoi, i'eZ ।
имеем
Pj (0 " S Ац pi (0. jc Z . (3.26)
kZo
Поэтому, подставляя (3.26) в (3.23), получим
f(t)«s Xtypift}. (3.27)
JeZoieZo
Для отыскания вероятностей pi (t) необходимо проинтегрировать систему
уравнений для вероятности пребывания системы в состояниях подмножества
Za с учетом того, что переход из подмножества Z& возможен только в состоянии
подмножества Zqi, каждое из которых является поглощающим. При этом
pi(t)-S tyPj(t)“Pi(t) S Pi(t) E Aij-
jcZfl jeZo jcZei
"S tyPj(*)-Pi(O J . l£Zo •
JeZe RZoU Zoi
Эту систему необходимо решать с начальным условием
2pjP)-i.
KZq
3.2Л .4. Марковские модели функционирования систем
зенитного управляемого ракетного оружия
Рассмотрим примеры использования аппарата дискретных марковских це-
пей для по строения моделей функционирования систем ЗУРО с телеуправлени-
ем и с полуактнвньш самонаведением.
Будем полагать, что средства разведки и целеуказания в системе ЗУРО
обеспечивают выдачу координатной информации о всех целях, действующих в
зоне досягаемости системы ЗУРО. Система Зуро одноканальная.
Пусть в зону обслуживания системы ЗУРО поступает пуассоновский поток
групповых целей случайного состава с параметром 2 к распределением целей в
группе (ш, а»), где ш 1, К р - максимально возможное число .целей в
14S
группе. Цели, заставшие канал обслуживания системы ЗУРО занятым, находятся
в очереди случайное время, распределенное по показательному закону с парамет-
ром v. Обслуживание целей производится но одной в порядке поступления (время
обслуживания одной цели есть случайная величина с функцией распределения
В (t)« 1 - е-/М!1, fit > 0). Если в момент окончания обслуживания очередной
цели в очереди имеется хотя бы одна цель, то система ЗУРО немедленно присту-
пает к обслуживанию цели, стоящей в очереди первой. В противном случае система
ЗУРО ожидает появления в зону обслуживания очередной цели и начинает обслу-
живать ее немедленно после поступления.
Под состоянием системы ЗУРО будем понимать число целей {i}, связан-
ных с ней. При этом цель будем называть связанной с системой ЗУРО, если
она либо обслуживается, либо ожидает в очереди. Поскольку число целей S,
ожидающих обслуживания в очереди, может быть сколь угодно большим, си-
стема имеет бесконечное число состояний. Представим процесс функционирова-
ния системы в виде графа (рис. 3.1), где состояния системы изображены
кружками (в них записывается число, соответствующее номеру состояния систе-
мы), а возможные переходы системы из состояния в состояние - стрелками,
соединяющими соответствующие кружки. Каждой стрелке приписано число,
соответствующее интенсивности перехода из одного состояния в другое. В граф
переходов не включены дуги, ведущие из состояния (i) обратно в состояние (i),
так как каждая из них дополняет до нуля сумму интенсивностей соответствующих
дуг, исходящих из данного состояния.
Рис. 3.1
Применение закона сохранения потока переходов /9 / к этому графу
непосредственно приводит к рекуррентным соотношениям между стационарными
вероятностями состояний марковской системы, минуя обычный этап составления
конечно-разностных уравнений и переход к дифференциальным уравнениям.
Пусть рк - вероятность пребывания системы в состоянии к. Имеем;
Лро +Дз Pi *0 > (3.28)
min (I + з, р}
-(1+/ij+B*i)pi+3+А X ampi+з-ш + +(s + l)t*i Jpi-H-i *0» (3.29)
m =1
в »0,1,2,....
10
149
Введем а-4; , Систему уравнений (3.28), (3.29) можно пе-
реписать в виде
pi «др» ; (3.30)
1 г mta(i+«. р) л
Р>+« " l’+'[(а + 1+s^)pt+в-а ampi+»-m] ,(3.31)
8-0, 1, 2......
Запишем соотношения (3.30) и (3.31) следующим образом:
Рк-ПРо (3.32)
1 / г 1 minjk, р) ,
где п + « L1 +e+ вшп-ej * <3.33)
к-1,2,..., п -1 » У< *•<* (3.34)
Применяя условие нормировки к (3.32), найдем выражение для р»:
Ро“Г2пГ . (3.33)
Lk -О J
Зная закон распределения вероятностей состояний системы ЗУРО, легко
рассчитать и другие вероятностные характеристики ЗРК.
Найдем абсолютную и относительную пропускные способности ЗРК, а
также средние времена пребывания цели в эоне обслуживания системы ЗУРО
Точ и Тзрк- Для этого сначала найдем математическое ожидание числа целей,
находяьиихся в области:
п»»ро Е (к. — 1)>к . (3.36)
к-2
. Теперь рассч таем вероятность Рв того, что цель покинет ЗРК необст-
релянной. В установившемся режиме эта вероятность определяется как отноше-
ние среднего числа целей, покидающих очередь необслуженными в единицу
времени, к среднему числу целей, поступающих в зову обслуживания системы
ЗУРО в единицу времени. При этом среднее число целей Ли, покидающих
ЗРК необслуженными в единицу времени, можно определить, зная среднее число
целей, ожидающих в очереди, ng и плотность "потока уходов" находящихся в
очереди целей vj:
Ля -V2 • пв .
Рассуждая аналогично, найдем среднее число целей, поступающих в зону
обслуживания ЗРК в единицу времени:
150
Ш — 1
Тогда
2 (k-l)n
„ _ Аи гни 4 к-2
Рж ф f “а. w р
A‘S т-аа х № £ т аш
т w 1 к "О ш«1
(3.37)
Относительную Q и абсолютную А пропускные способности ЗРК легко
определить, используя формулу (3.37)
Q-1-Рв ,
(3.38)
A-[AS щ аш] Q .
(3.39)
Среднее время пребывания цели в зоне обслуживания ЗРК др оконча-
ния обстрела или до выхода из-под обстрела Тзрк определим, используя формулу
Литтла /9/. Для этого сначала
произвольный момент времени
найдем число целей N, связанных с ЗРК в
Тогда
N-
оо
2 к'П
к-1
00
2 №
к-0
(3.40)
nn N
1 ЗРК —р—
A S ® ‘ ат
(3.41)
Среднее время пребывания цели в зоне обслуживания ЗРК до начала ее
обстрела или до выхода из-под обстрела Точ можно найти, воспользовавшись
формулой Литтла /9/:
2 ( к - 1) №
Точ « V~-p------------• (3-Ю)
A s П 2 и • ат
к-0 т -1
Определив характеристики пропускной способности системы ЗУРО, мож-
но определить и другие характеристики ее эффективности. Например, рассчитав
вероятность того, что каждая нз целей в налете будет принята к обстрелу,
можно легко определить математическое ожндииие числа уничтоженных целей
при известном значении вероятности поражения каждой цели.
*51
Рассмотрим модель функционирования системы ЗУРО более высокого
уровня сложности. Система ЗУРО одноканальная, но при построении модели
учтем тот факт, что ее средства разведки и целеуказания обладают ограничен-
ными возможностями. Иначе говоря, рассмотрим модель функционирования од-
ноканальной системы ЗУРО, которая, в отличие от предыдущей модели, допол-
нительно включает в себя такие этапы обслуживания цели, как обнаружение цели
средствами разведки и целеуказания, обработку данных по ней, целераспределе-
ние и выдачу целеуказания стрельбовому каналу ЗУРО. В этом случае однока-
нальную систему ЗУРО можно рассматривать в виде двухфазной системы сме-
шанного типа с блокировкой первой фазы. При этом первая фаза реализует этапы
обнаружения цели СРЦ, опознавания цели и обработки данных по ней, принятия
решения и выдачи целеуказания, вторая фаза - этапы захвата и обстрела цели.
Возможные состояния рассматриваемой модели системы ЗУРО обозна-
чим упорядоченной парой индексов (i, j), где i - означает число целей, связанных
с первой фазой обслуживания, j - число целей, обслуживаемых второй фазой.
Если поступающий поток целей пуассоновской интенсивности Л, а время обслужи-
вания целей первой и второй фазой распределено по экспоненциальному закону
с параметрами /ц и Д: соответственно, то случайный процесс, протекающий в
такой системе, является марковским. Граф состояний такой модели процесса фун-
кционирования системы ЗУРО имеет вид, представленный на рис. 3.2. -
Рж. 3.2.
Возможные состояния модели означают следующее:
состояние (i, 0): 1 целей связано с фазой 1 и 0 целей - в фазе 2;
состояние (i, 1): i целей связано с фазой 1 и одна цель обслуживается в фазе
2;
состояние (i, 2): i+1 цель в фазе 1 и одна цель - на обслуживании в фазе 2,
фаза 1 заблокирована.
152
В момент, когда прибор второй фазы оказывается занятым и завершено
обслуживание прибором первой фазы, наступает блокировка прибора первой
фазы, который приступает к обслуживанию очередной цели из очереди только
после того, как освободится прибор второй фазы, или когда цель, обслуженная
прибором первой фазы и ожидающая обслуживания второй фазы, выйдет из
зоны обслуживания прибора второй фазы. Блокировка прибора первой фазы
наступает из-за того, что первая фаза обслужила цель и выдает по ней целеука-
зание, а вторая фаза из-за своей занятости ие может принять ее на обслуживание.
Пусть p(l,j) - вероятность нахождения зрдн в состоянии (l,j). В принятых
обозначениях уравнения состояний зрдн можно записать следующим образом:
-Лр(0,0)+/43 0 9(0,0)-0. i-0. j-0; (3.43)
-{Л + (1 - 1)п +я) р 0,0)+Ар0 - 1,0)+/4jp0,l)+ii»i р 0 +1,0)-0; (3.44)
1-1,2,..., 1-0;
-(1 +дг)р(0,1) +/ц р (1,0) + (И1+^)Р(0,2)-0, i-0, j-1; (3.45)
— (2 + 0 — 1) в*1 +/<1 +/41) р 0,1) + 2р 0 — 1,1) +/4| р 0 + 1,0) +
+ 1V1 р 0 +1,1) + (из + *)р (1,2)-0, 1-1,2,..., 1-1 ; (3.46)
-(l+/n+»*)p(0,2)+/41p(l,l)+vtp(i,2)-0, 1-0, J-2; (3.47)
- (1 +?j + Ь- +/о) р 0,2) +2 р0 - 1,2) +/*t р0 + 1,1) + 0 + 1)пр(1 + 1,2) -0.(3. 48)
Анализ эффективности такой системы сопряжен с необходимостью реше-
ния системы с бесконечным числом уравнений и неизвестных. Для решения
системы используем метод производящих функций. Введем производящую
функцию:
«(«)-! Р(И)^ ,
8=0
Тогда исходные уравнения преобразуются к виду
г(1 - [2з(1 -г) +vj (1 -г) +Я zj ро(г) +/4jzps (z) -
» to (1 - к)-fii г] р(0,0) , (3.49)
Vi z(l " Ux(l -г) +Vi (1 -Х) + (И! + Uj)z] Pl (z) +
153
+/*i Ро (г) + (mj + **i) pj(z) « 0*1 - v & (1 - x) -fii Д x] p(0,0) , (3.50
V! x (1 - x) - U x (1 - z) + (hj +П) X] PJ (z) +M1 Pi (Z) - 2 p(0,0) , (3.51)
Из системы уравнений (3.49) - (3.31) и условия нормировки
X (3.52)
j«=0
можно найти Ро (х), Pi (х) и Pj (z). Однако можно заранее сказать, что эти выра-
жения будут сложны и трудно применимы. В то же время интересующие нас
а>
результаты можно получить путем вычисления величин Pj (1)« 2 P(i J), j«
l «О
0,1,2, которые представляют вероятности следующих состояний:
Ро(1)-Р {j-0)
Pi (1) Р {j" 1 и фаза 1 не заблокирована},
Рг (1) = Р (j" 1 и фаза 1 заблокирована).
Уравнения (3.49) - (3.51), в которых принято Z-1, сводятся к следующей
системе уравнений:
Я Ро (1) ”Я2 Pi (О -Я Р (0.0) . (3.53)
Ро (1) ~ 0*1 +/*2) Pi (1) + («1 + v) Рз (I) »)*1 (1 - Д) Р , (3.54)
Я1 Pi (1) ~ («2 + *0 Pj (1) Д Р(О,О) . (3.55)
В этой системе только два уравнения линейно независимы. Третьим неза-
висимым уравнением является условие нормировки (3.52), Таким образом, пол-
учили систему трех уравнений с четырьмя неизвестными. Для решения этой
системы необходимо предварительно найти одно из неизвестных
Ро (Ц Pi (1). Pj (1), р (0,0). Очевидно, что при j *0 первая фаза зрдн не заблоки-
рована и, следовательно, функционирование первой и второй фаз зрдн можно
рассматривать независимо друг от друга. Для определения Ро(1) необходимо
предварительно описать поток целей, обслуженных первой фазой зрдн. Поэтому
поставим задачу отыскания распределения промежутков времени между после-
довательными целями, обслуженными первой фазой зрдн.
При решении этой задачи целесообразно использовать преобразование
Лапласа. Пусть d(t) - плотность распределения промежутков времени между
последовательными целями, обслуженными первой фазой зрдн, D(S) - преобра-
зование Лапласа от d(t). Вычислим D(S) в момент, когда обслуженная первой
фазой цель покидает ее. При этом возможно одно из двух событий: либо в
154
очереди имеется цель, либо очереди нет. В первом из этих случаев промежуток
времени, через который очередная цель будет обслужена первой фазой, распре-
делен точно так же, как и время обслуживания, т.е.
“W'S+S- <’•«>
С другой стороны, если при уходе рассматриваемой первой цели первая
фаза оказывается незанятой, то приходятся ожидать в течение двух промежут-
ков времени: первый промежуток - время до поступления следующей цели и
второй - время обслуживания этой цели. Так как эти два промежутка времени
распределены независимо, то
Вероятность того, что в момент окончания выдачи целеуказания по очеред-
ной цели прибор первой фазы будет незанятым, равна вероятности того, что
поступающая цель застанет первую фазу свободной, а именно /3/:
Ро-Г1+ai+ai I -j-----------"Г1, (3-58)
L SwtFI(w A)J
-1
„ A A *
где Oi -jjj- , Д .
Тогда безусловное преобразование Лапласа для плотности распределения
промежутков времени между целями, обслуженными первой фазой, можно за-
писать следующим образом:
D (8) « Pe Di (S) + (1 - Ро)Di (8) . (3.59)
Подставим (ЗЛб) и (337) в (3.59) и найдем обратное преобразование
Лапласа от D(S). В результате вычислений получим
d (t) -/о е“* ‘ Ро — (3.60)
Из формулы (3.60) следует, что поток обслуженных первой фазой целей
отличен от пуассоновского. Поэтому для вычисления вероятности Ре (1) воз-
никает необходимость в исследовании системы с ограниченным временем ожида-
ния в очереди, распределенным по экспоненциальному закону с параметром г»
и входным потоком целей с плотностью распределения промежутков времени
между целями d(t). Исследование такой системы показывает, что для расчета
вероятности Ро (1) необходимо провести большой объем вычислительных опе-
раций, реализуемых на ЭВМ большой производительности, что является крайне
неудобным для проведения практических расчетов.
155
Рассмотрим отдельные частные случаи.
1. A»/lj (вероятность Pq близи к нулю). Топи d (1) е .
X. А«Я1 (ьсроятность Ро близи к 1). Топи d (() “ А е 1 .
Таким образом, для режимов малой (Ро~*1) и большой (Ро-*О) загруз-
ки закон распределения промежутков времени между обслуженными первой
фазой целями является экспоненциальным с параметрами соответственно
А и . Поэтому в режимах малой и большой загрузки (для прибора первой
фазы) можно считать, что поступающий на прибор второй фазы поток целей
является простейшим (с. параметром А| «А или Ai =Д1 соответственно) и, сле-
довательно, для вычисления вероятности того, что обслуженная первой фазой
цель застанет прибор второй фазы свободной, можно воспользоваться известным
соотношением /3/:
?,(!)• fl+nn+ai> S ——-----------Г‘ , (3.6D
-‘Й(1+Д)
-1 •
Ai л Pi
где о»2 I R •
При всех остальных соотношениях параметров А и /ц для приближен-
ных вычислений величины Ро(1) поток целей, поступающих на вторую фазу
обслуживания, можно заменить пуассоновским с параметром А<, обратно про-
порциональным математическому ожиданию случайной величины t с законом
распределенияd(0, т.е. А1 » (р Г1 + Ре • А”1)-* .
Решая уравнения (3.53), (3.54), (3.52) при известной величине Ро (1), пол-
учим следующие расчетные соотношения: .
р {0 о) = К? +АИ? Az.0..-W <з.б2)
* a(i +а +«2 +pi)
Pi (1) - а Ро(1) - ~ р.? Ю.Н1. (V ~g .Ш , (з.бз)
ж^РоСП _ («+<») Pod) 1(1 +&)(! +а)4-<?1 -а (3
1(1 +ft)(l +а +oi +fh)
где«"й’ °2“Я’ •
По известным величинам Р> (1) и Ра (1) можно приближенно вычислить
136
абсолютную относительную пропускные способности системы ЗУРО.
Рассмотрим несколько иной вариант использования аппарата дискретных
марковских процессов на примере моделирования функционирования системы
ЗУРО с полуактивным наведением ЗУР. Введем следующую совокупность воз-
можных состояний системы ЗУРО:
Еясх * исходное состояние (поступил сигнал "Тревога");
ЕГ1 * система ЗУРО перешла в состояние "Готовность N1" (аппаратура
включена, контроль функционирования всех систем прошел нормально);
Ел - поиск цели (выдано ЦУ и осуществлена отработка ЦУ);
Еасрпц -цель взята на автоматическое сопровождение радиолокатором под-
света цели (цель обнаружена и захвачена по всем координатам либо непосред-
ственно после отработки ЦУ либо в результате поиска);
Едется - цель взята на автосопровождение головкой самонаведения (ГСН)
ЗУР (следящие системы ГСН отработали ЦУ, цель обнаружена и захвачена по всем
координатам);
Ей - осуществлен пуск ракеты (проведена подготовка к пуску и старт
ракеты прошел нормально);
Era - процесс наведения прошел нормально и ракета выведена в точку
встречи;
Едюр - цель .юражена;
Ецз - цел* не поражена.
Соокгетствующии этой совокупности состояний граф переходов цепи изо-
бражен на джс. 3-3.
Заметим, что определенная таким образом цепь не является марковской,
так xi'i в реальном процессе, моделью которого служит рассматриваемая цепь,
вероятности переходов из одного состояния а другое зависят не только от самих
этих состояний, но и от времени пребывания во всех предыдущих состояниях, т.е.
будущее зависит не только от настоящего, но и от прошлого. В связи с этим
трансформируем модель, доопределив понятия состояний цепи таким образом,
чтобы она приобрела марковское свойство.
Цель может быть поражена, если точка встречи ракеты с целью находится
внутри зоны поражения. С другой стороны, точка встречи будет находиться внутри
зоны поражения, если в момент пуска цель будет находиться в зоне пуска. Как
известно, зоной пуска называется часть пространства, при нахождгнии цели в
которой в момент старта ракеты при заданных скоростях цели и ракеты обес-
157
осчиваетея встреч* ракеты с целью в зоне иоряяевш. Теперь, па аналогии, могут
быть введены:
эона АС ГСН (АС РПЦ) - часть пространства, при нахождении дели в
которой в момент захвата на автоматическое сопровождение ГСН (РПЦ) при
заданных скоростях цели и ракеты возможна встреча ракеты с целью в эоне
поражения;
эта поиска - часть пространства, при нахождении цели в которой в момент
начала поиска при заданных скоростях цели и ракеты возможна встреча ракеты
с целью в зоне поражения;
эона ТГ - часть пространства, при нахождении цели в которой в момент
перехода ЗРК в состояние “Готовность 1’ при заданных скоростях цели и
ракеты возможна встреча ракеты с целью в зоне поражения.
Заметим, что в отличие от зоны поражения и пуска, зоны АС ГСН (АС
РПЦ), поиска иГ1, как это следует из их определения, не являются замкнутыми.
Для заданной траектории полета цели каждая из этих зон представляет собой
полуоткрытый интервал (рис. ЗЛ). Левые границы полуинтервалов определяются
размерами плоской зоны поражения на высоте полета цели, траекторией полета
цели, скоростями цели и ракеты и минимальным временем выполнения всех
операций.
Определим теперь состояние цепи следующим образом. Система нахо-
дится в состоянии Erl (Ен, Еасрпц, Еасгсн. Ест, Еподр), если в момент, когда ком-
158
плехс перешел в состояние "Готовность 1" (соответственно начат поиск цели,
цель взята на автоматическое сопровождение РПЦ, цель взята на сопровождение
ГСН, произведен старт ракеты, осуществлен подрыв ракеты) цель находится в
зонеТГ (соответственно поиска, АС РПЦ, АС ГСН, пуска, поражения). Понят-
но, что при таком задании состояний цепи марковское свойство выполняется, так
как будущие состояния процесса определяются теперь только текущим состоя-
нием и не зависят от того, каким образом система пришла в это состояние
Рис. 3.4
Для заданных курса и параметра полета цели определим абсциссу Хвор
точки пересечения траектории цели с ближней границей эоны поражения (рис.
3.4). Тогда абсциссы точек пересечения траектории цели с границами зон пуска,
АС ГСН я т.д. рассчитаем по формулам:
х?г - х£ор + V, + Уц • - х5ор + Уц г ;
Хдсгсн “ Хвор + Уц (тст® + г йм);
X/tcpnu “Хвор + Уц(гЙ® +тстп + *пол) ;
Хп вХвор + Уц(^поиска+ТАСР1Ш + гSn° +Тст° +т®м);
Xri - xLp + Уц(гВ|®. + + Ж +тй₽цц +тйп +vSia +*пм),
159
1 где rRln - минимальное время выдачи целеуказания в кабину К9;
г ра» - минимальное время выдачи целеуказания из К 9 на РПЦ и отра-
ботки целеуказания;
г Йн - минимальное время обнаружения цели после отработки целеука-
зания без сканирования;
г поник - минимальное время поиска цели в режиме со сканированием
(зависит от точности целеуказания);
Глсрпц - минимальное время захвата цели на автоматическое сопровож-
дение по четырем координатам;
тпп*1- минимальное время проведения подготовки к пуску ракеты;
т Jrп ' минимальное время прохождения старта ракеты;
г пол - время полета ракеты до ближней границы зоны поражения для
заданных курса и параметра цели и скоростей ракеты Vp нцелиУц.
Для расчета вероятностей переходов введем совокупность следующих слу-
чайных величин.
Хг] - случайное значение абсциссы цели в момент, когда ЗРК перешел в
состояние "Готовность 1".
Значение Хг; зависит от величины абсцессы цели Хисх в момент подачи
сигнала "Тревога" и случайных значений времени включения аппаратуры Гш и
контроля ее функционирования гкф
Хг1 “ Хнсх ~ Vu (Твкл +тфк) • (3.65)
Хв - случайное значение абсциссы цели в момент начала поиска, когда
после отработки целеуказания цель не обнаружена.
Значение Хп зависит от случайного значения дальности до цели Xrj в
момент перехода ЗРК в состояние "Готовность 1", от случайных значений време-
ни, затрачиваемого на прием, обработку и выдачу целеуказания ткч, времени
обработки целеуказания г раз», а также от значений времени т$шх, отводимого
оператору на принятие решения об обнаружении или необнаружении цели после
отработки целеуказания соответствующим РПЦ:
1Ы>
Xo “Xrl - Уц(гк9 + t разе + т S&x),
(3.66)
Хасрпц/п - случайное значение абсциссы цели в момент, когда ЗРК пере-
шел в состояние АС РПЦ при условии, что предыдущим было состояние "Готов-
ность Г.
Значение Хдсрпц/п зависит от случайной дальности до цели Хн в момент
перехода ЗРК в состояние "Готовность 1" и от случайных значений времени
выдачи целеуказания в К9, отработки целеуказания, обнаружения цели и за-
хвата цели на автосопровождение РПЦ по всем координатам
Хдсрпц/п “ Xrl — Уц (t W + к раза + г оба + т асрпц) .
Хдсрпц/п - случайное значение абсциссы цели в момент, когда ЗРК перешел
в состояние АС РПЦ при условии, что предыдущим было состояние "Поиск
цели".
Значение Хдсрпц/п зависит от случайной дальности до цели Хп в момент
перехода ЗРК в состояние "Поиск цели" и от случайных значений времени
поиска цели и времени захвата цели на автосопровождение РПЦ по всем
координатам.
Тогда
Хдсрпц/п “ Хц - Уц (г поиска + т асрпц) (3.67)
Хдсгсн- случайное значение абсциссы цели в момент, когда ЗРК перешел
в состояние АС ГСН.
Значение Хдсгсн зависит от случайной дальности до цели Хдсрпц в момент
перехода ЗРК в состояние АС РПЦ и от случайного значения времени подготовки
к пуску ракеты.
С другой стороны, дальность захвата цели на автоматическое сопровож-
дение ГСН определяется чувствительностью приемника ГСН.
Тогда
Хдсгсн ж нгш (Хдсрпц ~ Уц ’ т пп , Хдсгсн) । (3.68)
ГД® Хдспсн = (Dactch)2 - Рг ;
Dactch “ а У$эф - дальность захвата цели и а автосопровождение
ГСН (а - коэффициент, Бэф - эффективная площадь
рассеивания цели).
Значение Хет зависит от случайной дальности до цели Хдеген > момент
перехода ЗРК в состояние АС ГСН и от случайного времени прохождения старта.
Тогда
Хст«Хлсгсн-Уц^ст. (3.65)
Для расчета численных значений вероятностей переходов необходимо зна-
ние законов распределения введенных случайных величин. Поскольку на каж-
дую из этих величин оказывает влияние большое число случайных факторов,
естественно считать закон распределения этих величин нормальным.
Параметры законов распределения случайных величии
т»кл, Ткф, ад, Тра». «обе, Тпмки, тлсищ. тпп, Ът могут быть получены с ис-
пользованием нормативов по боевой работе. В качестве математического ожидания
каждой из этих величин можно выбрать значение времени, соответствующее
оценке "хорошо*. Удвоенный диапазон между значениями, соответствующими
оценкам "удовлетворительно” и "отлично", примем за 6о.
Как известно, случайная величина, равная линейной комбинации незави-
симых нормально распределенных случайных величин V>, Vj, .... Vk, также
распределена по нормальному закону. При этом, если
и-Д|+А+У,+^У» + ...+АУк,
то
+ДУ» + ...
<3.7О)
*$<&+... ♦•Ж<& •
Тогда, имея в виду соотношения (3.65) - (3.70), составим таблицу формул
для расчета параметров законов распределения случайных величин
Xri, Ха, Хасрпц/г!, Хасрпц/яг Хдсгси, Хи (таблица 3.1).
Методика расчета перечисленных параметров поясняется рис. ЗЛ.
Здесь Хасрпп * Хлсрпн/г! • Роби + Хасрпц/в (1 - Роби),
ялсрпи • Олсрпц/г1 • Роби + Оасрпц/п • (1 - ?обн)2.
Теперь можно записать аналитические выражения для расчета вероятно-
стей перехода системы из одного состояния в другое.
162
Таблица 3.1
Параметры законов распределения
Случайная величина Ха Математическое оящдание (км)Хд Среднее квадратическое откло- нение (км) оХа
ХГ1 Х»СХ - У ц (Гакл + ОД Уц (ютвкл + Тфк)
Хц Хг! ~ +Тпя» +»0®Г) о$1 + Уц(от|д + отрази)
Хдсрпц/п ?г1 ~ Уц(?кд + Трезв +%би +Глстпц Уц (о2 *кд + °2 Тразв • G *обн + СГТАСРПЦ
ХлСРПЦ/п - Уц (Гповска +Гдсрпц) + Уц (G тщмкка +а гдсрпц)
Хдсгсн Хасрпн ~ Уц • Тпп оасрпц + Уц О Тпп
Хст Хдсгсн - Уц ’Гст dicrcH + Уц ’ атсг
Вероятность перехода WHCx, rl из состояния ЕИсх в состояние Ен зависит
от вероятности успешного прохождения контроля функционирования Рф» и
вероятности Р (Х®1 & Хг1) того, что в момент перехода ЗРК в состояние "Готов-
ность 1” цель будет находиться в зоне "Готовность 1"
WHCx, rl - Рфк ’ Р (ХЙ S ХГ1). (3.71)
Вероятность Whcx, ип дополняет Wecx.rl до единицы:
. Whcx, нп Ж1 “ Whcx, rl (3.72)
Вероятность перехода Wri.n из состояния ЕГ1 в состояние Еп зависит от
вероятности обнаружения цели Робн после отработки целеуказания и вероят-
ности Р (Хп » Хп)тогО, что в момент перехода ЗРК в состояние "Поиск цели" цель
будет находиться в зоне поиска:
Wri, я »(1 - Робн) • Р (Хп S Хп) • Рпоиск поД £, г • (3.73)
Вероятность перехода Wri,ACPnn из состояния Erl в состояние Едсрпп
также зависит от вероятности обнаружения цели Робн и от вероятности
Р (Хасрвц s Хдсрпц/ri) того, что в момент захвата цели на АС РПЦ она будет
находиться в зоне АС РПЦ:
163
/Р^ДО^ДООД^/
Рис. 3.5
164
Wrl, асрпц w Робн Р(Хлсрпц S Хасрпц/г1) Расрпц (3.74)
Вероятность перехода Wri.sa дополняет сумму вероятностей
Wrl.n + Wri, асрпц до единицы:
Wri , нп " 1 “ Wrl, n “Wri,асрпц- (3.75)
Вероятность перехода Wn, асрпц из состояния Еп в состояние Едсрпц
зависит от вероятности Р (Хдсрпц S Хасрпц/п) того, что в момент захвата цели
на АС РПЦ после обнаружения ее в режиме поиска цель будет находиться в зоне
АС РПЦ:
Wn, асрпц " Р (Хдсрпц 5 Хасрпц/п) Рп, асрпц • (3.76)
Вероятность перехода Wn, ид дополняет Wn, асрпц до единицы:
Wn.nn-1 -Wn, асрпц. (3.77)
Вероятность перехода Wасрпц, асгсн из состояния Еасрпц в состояние
Еасгсн зависит от дальности Длсгсн захвата цели на автосопровождение ГСН
и от вероятности Р (Хдсгсн £ Хдсгсн) того, что в момент захвата цели на авто-
сопровождение ГСН цель будет находиться в зоне АС ГСН:
WАСРПЦ , асгсн “
ж Р (Хдсгсн S ХасгснХ если (Дасгсн)2 - Р2 ~ Насгсн Хдсгсн; -gx
0> если (Даспсн)2 — Р2 - Н2 < Хасгсн •
Вероятность Wасрпц, нп дополняет WACpnn, асгсн до единицы:
WАСРПЦ, НП w 1 “ WАСРПЦ, АСГСН . (3.79)
Вероятность Wactch, ст перехода из состояния Еасгсн в состояние Ест
зависит от вероятности Per нормального прохождения ракетой предстартовой
подготовки и вероятности Р (Хет £ Хсг) того, что в момент пуска цель будет
находиться в зоне пуска:
Wасгсн, ст * Per * П (Хсг £ Хсг). (3.80)
Вероятность Wactch, нп дополняет Wасгсн, ст До единицы:
1«3
11
Wactch, ип 1 - Wactch.ct • (3.81)
Так как для случайных величин Хн, Хп, Хаснш/п, Хдсгсн. Хсг принята
гипотеза о нормальном законе их распределения, входящие в соотношения
(3.71) - (3.81) вероятности
Р (Х&S Ya), аЕ |г1, н, АСРПЦ/rl, АСРПЦ/п, ст}
вычисляются по формуле
, « (Xa-Sa?
dXe"
Х&
Xg-Xq
, ® j । 1^2 oica_ a
J е”* dt-x- — / е * di
)Й-К> 2 *
V2oka
3fc-X&
1
2
2 1 woxa j J
где Ф (x) «Лг / e~' d t - интеграл вероятности,
в
а вероятность
Р (Хасгсн S ХАсгсн/ХхстО > Х&гсм) “
I Хлстсн (Хлсгсн -Хасгсн)
2ЛОДСГСН J е 2о1стсн ЙХаСГСН-
Хлсгсн
-t'
X детей - Хлсгсн
с _L. аАГСГ°1-а ♦ я 1 Го> (сленги - Хлсгсн] , Л (Хлсгсн - Хлсгсн
* I, а t - J [ф 1 + Ф —
Хлсгсн ~ Хлсгсн 4 ' у
ОХсгсИ
5Ь6
Вероятность WCT. подр перехода из состояния Ест н состояние Еподр зави-
сит от вероятности успешного наведения Pm ракеты на цель:
WCT.„-P«,. (3.82)
Вероятность Wcr.an дополняет WCT, подр до единицы:
Wct. на • 1 — Wet, подр . (3.83)
Вероятность Wnonp. пор перехода системы из состояния Еподр в состояние
Епор равна условной вероятности поражения цели при условии выведения ракеты
в точку встречи:
Wnoap. пор " Рпор . (3.84)
Вероятность Wnojip. нп дополняет Wncup.nnp до единицы:
Wnqgp, щ 1 - Рпор.
(3.85)
Таким образом, матрица W вероятностей перехода системы имеет вид
табл. 3.2.
Таблица 3.2
Еисх 0 Erl 1 Ed 2 Едсрпп 3 Едсгсн 4 Вет 5 Еподр 6 Епор 7 Еип 8
Essex 0 Wei Woe
Erl 1 W12 Wl3 Wil
• Еп 2 Wi, wM
Едсрпп 3 WM WM
Едется 4 w« W«
Ест 5 WJ4
Еподр 6 w„ WJ8
Епор 7 1
Еип 8 1
Как видно из рассмотрения матрицы W переходов цели, она содержит по-
глощающие состояния и поэтому не является эргодической. Применим для
анализа такой цепи прием, предложенный в /8/.
Введем вероятности перехода, равные а, из поглощающих состояний в
167
исходное, уменьшив соответственно вероятности перехода для этих состояний в
себя. Матрица переходов при этом преобразуется к виду табл. 3.3.
Таблица 3.3
Еисх 0 Eri 1 Ea 2 Едсрпп 3 Едсгсн 4 Ecr 3 Еподр 6 Епор 7 Евд 8
Еисх 0 Ww Wm
Eri 1 Wu Wu Wti
E« 2 w» w»
Eacphu 3 ww W« |
Eactch 4 w« Wm j
Ест 5 Wm Wm |
Еподр 6 Ww W« I
' Едор 7 a 1 -a
Емн 8 a 1 -a
Теперь
П (я) - П (а) • W (я) . (3.86)
Векторно-матричное уравнение (3.86) трансформируется в систему линей-
ных алгебраических уравнений относительно компонентов предельного вектора
(л&(я),Л1 (и), ...,лй(а)):
л» (я) =я • (я, (а) +Я| (а) J;
Л1 (а)«л>(а)-WOi:
Xi (я) »л, (а) - Wu;
лз (а) » Я! (а) Wij л2 (а) • Waj; (3.87)
лй (я) »лэ (а) • W»;
л3 (а) »Я4 (а) • W*j;
• [ л*(а)«л3(а) • Ws»;
.т; (<х)«л*(а)W67+(1 +а)-л>(а);
я* (а) -=ль(а) W« +Л1 (я) W1# + л7 (а) WM +nj(«)W« + (3.88)
+x«(a)W4( +J&(a)Wj| +sj(a)WM +(1 -я)л|(а) .
Из (3.88)
awj(a)«4(flf)W4J;
(3.89)
am (a) = л} (a) Wu .
1 =0
168
С другой стороны, после преобразования (3.87) имеем
(а) -а [я, (а) + («)) • Wo,;
«а (а) » а [я, (а) + лк (а) ] • WO| Wn*,
(а) - а [я? (а) + л» (а)) • (Wo, Wu + Wo, Wn WM);
я» (а) - а [ят (a) + * (a) ] jfw0, W,3 + We, W,3 W«) WM;
Л; (a) - а [я, (a) + л» (a) ] • (W0l W,3 + Ww En WA Wu;
лк(а)-а(я>(а)+як(а)) • \ww W,3 + Ww W13 w£) WM W^ W*;
Подставляя (3.90) в (3.89), получаем
я, (a) - [я, (a) + ль (a) J (W01 W13 + WttI W,3 Wjj) W« W« W« Ww;
лк (a) - [я, (a) + Як (a) ] (W« + Wo, W« + W0I Wu Wa + (Wo, Wn +
+ Wo, W,3 Wa) WM + (W01 Wn + Wo, W13 WM) WM W« +
+ (We, W„ + We, W,2 WM) WM W« Ww +
. + (Woi W,j + WW Wn Wa) WM W« W« W«] .
Tax хак
Я, “ lint JSj (d) ,
a-°Q
ла « l‘m лк («) <
a^Q
lim |я» (а)+лк(а)) “ 1 •
то
я, - Вер.пор - (ww Wn + Wo, W,j Wo) Ww W« W» W« ;
як Вер.нп • £w« + We, Wn + We, Wn Wa +
+ (Wo, W,s + Wo, W,3 Wa) WM + (Wo, W,s + Wo, Wu Wa) •
• WM Wu + (Wo, w,3 + Wo, w,i Wa) WM W«j Ww +
+ (We, W,5 + Wo, W,3 Wa) Ww W« W« W« -
- 1 - (Wo, W,3 + Wo, W,3 WM) WM W« WMW„ .
Теперь, изменяя начальные условия и параметры задачи, можно анали-
тически исследовать влияние на эффективность комплекса летно-технических
характеристик цели (скорость, высота, отражающая поверхность цели) J тактико-
технических характеристик ЗРК (энергетический потенциал РПЦ, дальность за-
хвата цели на АС ГСН, точность наведения и т.п.) и многих других факторов
(например, точность целеуказания, эффективность поиска, время выполнения
всех операций по подготовке к стрельбе и т.д.)
!69
3,2.2. Полумарковские модели функционирования сложных систем
3.2.2.1. Способы задания полумаркоаскпго процесса (ПМП)
Полумарковский процесс, как известно, отличается от марковского тем, что
закон распределения времени пребывания в каждом из состояний не является
обязательно экспоненциальным, а может быть произвольным.
Существует несколько способов задания ПМП. Рассмотрим прежде всего
наименее требовательный, с точки зрения объема используемой информации.
Будем считать, что ПМП определен, если заданы:
1) множество Е возможных состояний и переходов процесса;
2) матрица Qij(t) независимых функций распределения времени пребы-
вания процесса в i-м состоянии до перехода в j-e состояние, ic Е, j еЕ;
3) начальное состояние процесса в момент t «0.
Qij(O - есть функция распределения продолжительности пребывания в i
до ухода в j при условии, что переход в это состояние является единственным.
Если tjj - случайная продолжительность пребывания в 1 до ухода в единственное
другое состояние j, то
Qy(O“P(ty<t).
В соответствии с функциями Qy(t), 1, jcE, существуют случайные мо-
менты tij переходов из состояния I во все смежные с ним состояния j, но
реализуется только один из них, соответствующий наименьшей продолжительно-
сти пребывания в i, то есть . 1
И « mln tij. (3.91)
jeE
Тогда вероятность Ру (t) перехода из состояния 1 в состояние j за время t
есть вероятность того, что за это время не произойдет перехода в какое-либо
другое состояние и что в момент t произойдет переход именно в j-e состояние.
Вероятность перехода из i в j в Окрестности момента г равна d Qy (т). Тогда
Pij 0W П (1 - Qik (»)) d Qy (г), 1 # j. (3.92)
Ок
В соответствии с определением
Pi(t)-P(£(t)»j, tjj < 1/1(0)»i), i#j.
функция Py(t) в отличие от Qij(t) - не есть функция распределения,
170
так хак Рц (о) £ 1 .Совокупность функций Рц(1),1,)ёЕ вместе с начальным
состоянием также однозначно задают ПМП.
Вероятность Рц («о) перехода из 1 aj за неограниченное время равна
Рц - Рц (*) -7 П (i -Qik (г))d Qij (г) (3.93)
a k#i
и определяет вероятность перехода вложенной в ПМП марковской цепи. Вложен-
ная марковская цепь (ВМЦ) порождается ПМП, если интересоваться только
моментами переходов из одного состояния в другое.
Поэтому
РЦ"Р(& + 1-j/61-i), 2 Рц1®! .
.
Введем условную функцию распределения Рц (t) продолжительности пре-
бывания в I до перехода в j при условии реализации именно этого перехода. По
определению,
Тогда
Pij(t)"Fij(t)-Pij . (3.94)
Матрица переходных вероятностей вложенной марковской цепи Р » (Рц)
вместе с матрицей условных функций распределения времени пребывания
F (t) - (Рц (t)) , i , jcE и начальным состоянием определяют третий способ
задания полумарковского процесса.
Определим теперь безусловную функцию распределения продолжительно-
сти пребывания в I до ухода в какое-либо состояние
Fi(t)=P(ti<t)-2 PijFy(t)-I Pij(t) . (3.95)
jeE
Эта же функция может быть определена иначе, через исходную матрицу
<0у(1»:
• (3.96)
icE
j
Соответствующее (3.95) выражение для плотности распределения про-
должительности пребывания в i имеет вад
£7Е
<3’7)
I# i 1
Введем, кроме того, матрицу условных вероятностей перехода
Q(0а(чц(0). 1. Je®.
Таким образом, qij(t) есть условная вероятность того, что ПМП J (t) попа-
дает в состояние J, пробыв в состоянии t время, равное tjj.
Ясно, что
Pij(t)-P@(t)»j, tij <tf (0)«i)* f qij (r> fi (т) d т .
Матрица условных вероятностей перехода (Qif(O), вектор функций рас-
пределения времени пребывания (Fi (t)), igE, и начальное состояние определя-
ют четвертый способ задания ПМП.
Все перечисленные способы задания ПМП абсолютно эквивалентны ж в
равной степени позволяют осуществить анализ поведения системы, описываемой
полумарковской моделью, но они далеко не равноценны с точки зрения объема
информации, необходимой для получения соответствующих исходных данных.
При этом, как отмечалось, наиболее просто получить матрицу независимых
функций распределения Qjj (t), i, jg В.
Рассчитаем теперь среднее время Ti пребывания в i до ухода в другие
состояния.
Имеем
Т) -*tfi{t)dt«S Ру PijTij , (3.98)
о jgE о jeE
где Ту-среднее время пребывания в i до ухода в j.
Введем функции
«б
-Fi(t)«f fi(t)dt«P(t!>0, ieE, (3.99)
t
которые понадобятся в дальнейшем. (t) определяет вероятность того, что яро-
172
цесс, находившийся в нулевой момент времена в состояния 1, за время t не
успевает покинуть это состояние.
3.2.2.2. Интервально-переходные вероятности
Пусть Фу (t) - условная вероятность того, что в момент 1 система находится
в состоянии J, если в момент 5 “ 0 она была в состоянии 1. эту вероятность
называют интервально-переходной.
Система, стартуя из 1, может попасть в состояние j в момент t разными
путями. Во-первых, если I “ j, то она может не покидать в течение всего времени
1, или, выйдя из 1, она, по меныпей мере однажды, возвратится в 1 к моменту L
Соответствующая интервально-переходная вероятность определяется соотноше-
нием
Фу (t) (t) +2 Pik J fit (г) • Фк (t -т>d г . (3.100)
ке Е о
' k^i
Во-вторых, если j I, система может попасть в это состояние j, занимая в
момент т<! некоторое промежуточное состояние к. При этом
?.
Фц(0-2 Ра J йк(О . (З.мм)
ксЕ О
Объединяя (3.100) и (3.101), имеем:
Фу (t)(t) + S Pik } Г|к(г)ФкИ’-Ю<^ . i , jeE . (3.102)
kc E a
kqfci
Здесь
*‘10, i*j.
Система линейных интегральных уравнений (3.102) позволяет отыскать
Интервально-переходное вероятности. Решение системы может быть получено с
использованием преобразования Лапласа.
Имеем
Фу (S) “ dy (S) + S Pik fik (Э>Фк1 (S) , i , JeE . (3.103)
к G E
k^i
m
Далее, применяя преобразование Лапласа к (3.99), получим
• г * • » (t I
е“п Г1 -dt-/ e“Mdt-J e"et /fi(r)d( •
о l о J о 0(0 I
dt»-f a-tf(S)) . (3.104)
Запишем теперь систему (3.103) в матричном виде. Для этого введем
матрицы Ф (1) “ (Фц (t)) , Р (Рц) , f (t) - (fц (t) X диагональные матрицы
W (t) • (Зц Л (0), Fi (t) » (дц Fj (t)), V (t) (dij 4 (t)) и соответствующие им пре-
образования Лапласа. Кроме того, для учета специфического вида суммирования
в (3.103), определим специальную операцию умножения матриц, обозначив ее
символом О >
В соответствии с этой операцией для квадратных матриц одинаковой раз-
мерности А , В и С запись С = А О В означает, что
су -ац • by, i, jeE . (3.105)
Тогда
Ф*(8)-Ф*(8)+[РО/*(8)]Ф*(3) ,
откуда
ф* (S) - [1 - Pof* (S>] Ч** (S) . (3.106)
Из соотношения (3.106) следует, что интервально-переходные вероятно-
сти зависят только от произведений Рц я fy, а не от каждого из сомножителей в
отдельности.
Используя (3.108), можно исследовать переходный процесс в системен
стационарное распределение вероятностей состояний.
С учетом (3.104),
4'(S)=|(1-W) .
Тогда
Ф* (S) - (1 -POf (S))“l|(l -W) .
174
3.2.2.3. Асимптотическое поседение полумарковского процесса
Решение уравнении (3.106) описывает переходный процесс в системе. С
другой стороны, практический интерес представляет анализ стационарного рас-
пределения вероятностей. Как уже отмечалось, в теории преобразования Лап-
ласа показано, что 11m Ф (t)«11m s Ф (з). Обозначим этот предел при t -♦ « через
j-ooe 8“*0
Ф. Тогда, используя (3.106), запишем
Ф - Um s ®e(s) - Um з [I - Р о Г* (в)] Um Ф*(з).
»-*С в-»0 »-»0
• (3.107)
Рассмотрим каждый из пределов в (3.107) отдельно. На основании (3.104)
можем записать
11тФ*(в)«ит| П-w’(s)J -
к-»0 е-Мг
(3.108)
Так как £ (•) J е-,‘ fj (t)d t,TO Um ff (s)«ff(O) fi(t)d t 1. Поэто-
o t-»0 •
му значение предела в правой части соотношения (3.108) становится неопреде-
ленным. Применяя правило Лопнталя для раскрытия неопределенности, находим
11m Ч^(«)
• *0
Ни Л(>-»*(«))
s-»Ca*_______
—з---:
(*п {
п »-0
Т,
• (О
0 1
та -Т .
Taj
(3.109)
Здесь Т - диагональная матрица средних значений безусловных времен
пребывания в каждом из состояний, вычисляемых по формуле (3.98).
Найдем теперь предел первого сомножителя в (3.107).
Вводя
H(s)»s [I-PO/*(»)$“’
173
можем записать
Н (») (I - Роf* (s) J « Н (S) - Н (») Рof* (s) - 8 -1
ли
Н (8) - 8 ’ I + Н (8) Р Of* (8) . (3.110)
Из условия нормировки плотности вероятности следует, что
Hm fn (s)«11m J e-,t fu(t)d t->/fu(t)dг “ 1 .
а-»0 »-*0® о
Поэтому при s-*0 все элементы матрицы f*(s) оказываются равными!.
Тогда
POlimffo-P. (ЗЛИ)
Таким образом, из (ЗЛЮ) с учетом (ЗЛИ) имеем
H(0)-Um Is • I+Н (s)Pof (s)) ,
• -*0 »-*0
откуда
H(0)-H(0)P . (3.112)
Покажем, что в качестве И (0) может быть выбрана матрица, строки которой
пропорциональны финальным вероятностям вложенной в ПМП марковской цепи.
Как известно, вектор-строка финальных вероятностей Я"(л), Л1, .... ла)
ВМЦ может быть получена из уравнения
я»л-Р. (ЗЛ13)
Пусть Н (0)«(hy), 1, j Е. Тогда из (ЗЛ12) следует, что
L, НЕ . (3.114)
С другой стороны, из (3.113) имеем
л)“2^*4’Ру» JeE . (3.115)
Ясно, что если положить hy = kj л), то соотношения (3.114) преобразу-
ются к виду
kjjq* £ ki Pl Рц, i, JeE,
icB
откуда после сокращения на ki получаем (3.115). Объединяя теперь (3.112) и
(3.109), запишем (3.107) следующим образом:
па
Ф »Н(О)Т .
Отсюда следует, что элементы матрицы Ф должны удовлетворять соот-
ношению
Oij=hij(0)-Tj-kinjTj, 1» jeE . (3.116)
Для определения kj используем условие нормировки
1 Фу " 2 fa • «j Tj - ki § л, Tj - Ь.
I • I j ® l j«1
При этом
. 1-1,2.......n . (3.117)
Подставляя (3.117) в (3.116), получим
, j , j^E , (3.118)
X njTj
3.2.2.4. Время пребывания лолумврковского процесс» в подмножестве состояний
Пусть задан ПМП £ (!) с фазовым пространством состояний В и Ео -
фиксированное подмножество состояний процесса, т.е.
Ео £ В .
Обозначим & - время пребывания МПМ £ (t) в подмножестве Eq с на-
чальным состоянием к Ео до первого выхода из Ео. Зададим ПМП посредством
матрицы условных вероятностей
q(t)=(qij(t))
и вектора функций распределения времени пребывания в отдельных состояниях
F (!) = (Fj (t)J , i£E . Введем случайную величину Ikr (ОД - индикатор условного
перехода ПМП из состояния к в состояние г при условии, что время пребывания
в к-м состоянии до ухода из него равно ОД При этом
1кг (ОД =
1, если с вероятностью qkr (ОД переход из к-го состояния
в r-е произошел,
О, с вероятностью I - qkr (ОД - в противном случае .
Заметим, что условное математическое ожидание случайной величины
1кг (ОД при фиксированном ОД равно условной вероятности перехода Qkr (ОД то
есть
М Цкг(^Н ®qkr(&) ,
а безусловное математическое ожидание равно вероятности перехода из к в г
вложенной в ПМП марковской цепи, то есть
М [qkr (<Ш =7 qkr(t)fk(t)dt~Pkr(«) = Pkr .
о
Для продолжительности & пребывания ПМП, $ (0) « кс Ео в подмножестве
состояний Ее можно составить следующие стохастические уравнения:
Ikr^SrkcEo , (3.119)
ГЕЕо
в которых равенство понимается в смысле совпадения функций распределения
случайных величии, стоящих слева и справа от знака равенства. Эти соотношения
составляются из вероятностных соображений следующим образом: время пре-
бывания ПМП в Ее с начальным состоянием кбЕо состоит из времени пребы-
вания & в этом начальном состоянии, к которому добавляется после перехода в
некоторое состояние г с Ео (если индикатор перехода Ikr (&) ® 1) время пребы-
вания в этом состоянии до & ухода из Ео . Переходя к математическим ожиданиям
в (3.119) слева и справа и учитывая независимость индикаторов перехода
Ur (ЭД и £г , к , Г€Ео, получим
М [&] »М 1&+S 1кг(ЭД&1 “
геЕо
«м[эд +2 мцкг(ЭД1 -м од ,
гсЕо
откуда
ak = mk+S РкгЯг
гсЕо
или
ак “2 аг • Ркг «шк, ксЕо , (3.120)
геЕо
где
«к = М [£kJ , mk ® М [ft] .
Таким образом, получена система линейных алгебраических уравнений
относительно средних значений ак пребывания процесса в подмножестве Ео с
начальным состоянием кеЕо, Введем теперь ^pk(t) - плотность распределения
случайной величины Ск.3аметам,что преобразование Лапласа над ^(0 имеет вид
y£(s) = J e~slyv(t)d t =М [e“’^J .
о
Теперь перейдем от равенства (3.119) к
е“’ & - expf - S [fit + 2 Ik, Ф Ы У (3.121)
I гсЕо 1
Ясно, что если в. (3.121) перейти к математическим ожиданиям слева и
справа, то получим преобразование Лапласа от соответствующих плотностей
распределения. При этом
^(S) = M [е“*5') «М [exp^-S № + 2^1кг (Л) &•} }] -
«М [е"вЛ е“8 2 Ikr .
L r€Eo J
Для упрощения полученного соотношения используем следующее оче-
видное тождество:
е,* = (еа+(1 -I) = 1 +I(e8-1) ,
тде I - произвольный индикатор (случайная величина, принимающая значение
Онли 1).
Тогда перепишем (3.122) следующим образом:
^(S) = M[e's* •e-JEIk^)’s&] »
«М Ге"’^П е“1кг^’И «М [е~*^ П (1 + Ikr(^)(e“8^ -1)1 . (3.123)
L геЕо J *- г£Ео J
Учтем теперь, что 2 Ikr 5 1 и поэтому в множестве {Ikr}, г еЕо только один
геЕо
индикатор равен 2, остальные равны 0. Тогда
П (1+М^(е“8&-1))»1+2 1кгф)(е"в&-1) .
rtEo ' гсЕо
При этом (3.123) приобретает вид:
(S) = М Ге“8 * [1 + 2 Ikr (&) (е"8 -1 j] 1 -
L I гсЕо J J
4 «=мГе“8Л+2 е"8* 1кг(Л)(е“,5г-1)1-
L rtEo J
«М [е~8^] +2 М [е-8^1кг(Л) I М [е“8&-1] -
L J г€Ео L J *
179
-f£(S) + S /e“rtqkr(t)fk(t)dt krf(S)-l -
rcEoO L J
-fJ(S) + 2 Pkr (S) [pt (S) ~ 11 . (3.124)
rcEo L J
Здесь
Pkr(S)*7e"rtPkr(t)dt ,
me
Pkr (t) - ^7^ « j qkr (Г) fk (V) d 7 - qkr (t) • fk (0 •
Учтем теперь, что Fk (t)« 2 Pkr (0. откуда
геЕ
М)-Е Pkr(t) К fk(S)-2 Pkr(S).
геЕ геЕ
Тогда
Pk(S)=2 Pkr(S) + 2 Pkrp?(S)~2 Pkr(S)-
геЕ reEo
*2Pkr(S)+2 Pkr(S)j₽r(S), k Ec . (3.125)
reE/Ec rfiEo
Введем фуикцяк
pf°(S)« 2 Pkr(S).
FEE/Eq
Тогда система (3.125) принимает вид
?<(S)-2 Pkr(S) • (S)-Pf (S), keEo .
reEo
Так как
Fkr(t)«^ffl«P^(t),
то окончательно имеем
pt (S) - 2 P?(S) • Pkr (S) = 2 Pkr (S)
rfcEc Г£Е/Ео
ISO
или
?£(S)-| S rf(S)Pkr(S)-| ?Pkr(S). (3.126)
® reEo arcE/Eo
Решение системы дает набор <рк, после чего, используя обратное преобра-
зование Лапласа, получаем искомый набор уъ С)» кеЕо .
3.2.2.5. Время пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний
до попадания в фиксированное состояние
Введем £kr, ке Ео , г еЕо - время пребывания ПМП в подмножестве Ео при
условии, что начальным состоянием является ке Ео, а при выходе из Ео процесс
попадает в состояние г.
Пусть 6кг - время пребывания ПМП в к-м состоянии при условии непос-
редственного перехода в состояние г. При этом
Р (Фи- < t) - Fkr (t) .
Как и ранее, зададим процесс посредством матрицы (qy (г)) и вектора
(Fi(t)),
qij(t)»P($(t)=jMj»t, £(0) = i) ,
<t) , = .
При этом
P(£(t)=j, 6Ц < t /|(0) = i) = Pij (t) = /qij (T)fi (r) dr .
0
Используем введенную выше случайную величину
11, если с вероятностью произошел переход
из к-го состояния в г-е ,
0 , в противном случае .
Тогда стохастические уравнения для &г имеют вид
&г = Ikr (6k) • Фи- + S ^ГУЦФип+$mr) . (3.127)
mtEo
12
181
Переходя к математическим ожиданиям, получим
акт — pkr ’ ®kr + S Pkm (ткт + йтг) »
тс Ее
откуда
Йкг ~ S Ркт ашг = 2* (Ркт Шкт + Ркг Шкг) •
теЕо шсЕо
(3.128)
Введем теперь v’kr (t) - плотность распределения случайной величины
&г. Тогда, переходя в (3.127) к преобразованию Лапласа над фи (t) аналогично
предыдущему, получим следующую цепочку равенств:
?kr(S)-M [e“e^j-
-М
[ exp{ - S [ Ikr (Ok) 6kr +JEo1»™ (ОД (6km + Cmr)] } ] -
"M П +£")1
*> шсЕо -•
- М [(1 + (Ok) (e“s -1) ) * П (I +1кж (€k)(e's (^- + W -1) )] -
-М [1 +Ikr(6k)(e~S^-I) + Z Ikm(6k)(e”s(^+W-1)1 -
L mcEo J
J
-1+M [ikr (6k)e“s^J -M [ikr] +2^ [1km (6k)e“sQu" • e~s£“] -
M [lkm(^)] =1 +J e"rt qkr (t) • fkr (t) d t - pkr +
+ S (J е~л(1^т (0 • fkm (t)d t) • M [e“sM -2 Pkm »
mtEo4 0 ' L J mtEo
= 1 + pkr (S) — pkr + S Pkm ($) ’ iPwir (S) — J ркш •
meEo me Eq
Отсюда
(ptr (S) - X Pkm (S) ‘ ?mr (S) -Pkr (S) + 1 - Pkr - S pkm .
meEo meEo
182
Так как
00
pkr(S) = J e“stqkr(t)fkrdt«*
о
={е й <П Ркг d 1 “
/е"й -г? f qkr (t)fkr(t)d t
о 0T о
f e~st pkr (t) d t —r t
3* Q 3
то соотношение <3.129) преобразуется к виду
9V(S)-| S Pkm(S)A(S)“|pkr(S) + l-Pkr-S Pkm . (3.130)
a шбЕо 3 meEo
Записав полученное соотношение для всех keEo, получим систему урав-
нений, решение которой даст искомые плотности распределения продолжительно^
сти пребывания в Ео до ухода в фиксированное состояние ге Ео .
Понятно, что соотношение (3.130) можно непосредственно использовать
для расчета плотности распределения продолжительности пребывания процесса
в Ео с начальным состоянием кеЕо до попадания в некоторое фиксированное
подмножество состяний Ei&E/Е<>. При этом состоянии теЕо следует трактовать
как некоторое укрупненное состояние, объединяющее все состояния из Е>. Тогда
pkr “2 РИГ •
j Ej
Обозначим плотность распределения продолжительности пребывания в Ео,
начиная нз любого начального состояния до попадания в Ei, номером этого
начального состояния. Теперь
2 IPkJ (t) - <рк (0 и XjPmj (t) = iftn (t) ,
jeEt jgE
(3.130) преобразуется к виду
2 ptan(S)^ta(S)»| S Pkj + 1- X Pkj- X Pkm-
3 meEo 3 j£Ej j^Ei meEo
Ясно, что если Ei = E/Eo, то 2 pkm = 1 , и получаем
j E
<Pk (S) - г S Pkm (S) (pk (S) - к E pkj ,
3 meEo 3 jeEi
совпадающее с точностью до обозначений с (3.126), как и следовало ожидать.
Ш
3.2.2.6. Полумарковские модели функционирования
систем зенитного управляемого ракетного оружия
Рассмотрим порядок использования аппарата полумарковских процессов
для моделирования функционирования двух наиболее характерных по построе-
нию типов систем ЗУРО,
В первом варианте имеем многоканальную систему ЗУРО, на вход стрель-
бовых каналов которой поступают данные о потоке всех целей, действующих в
зоне досягаемости системы ЗУРО.
Во втором варианте на вход стрельбовых каналов системы ЗУРО посту-
пают данные о таком количестве целей, которое может быть принято к обстрелу
стрельбовыми каналами. Задачу обнаружения целей и их распределение по
целевым каналам решает подсистема разведки и целеуказания, являющаяся со-
ставной частью системы ЗУРО.
Сначала рассмотрим случай, когда поток целей, входящих в зону обслу-
живания системы ЗУРО, является простейшим с параметром А. Время обслужива-
ния отдельно взятого стрельбового канала системы ЗУРО будем представлять в
виде суммы г независимых экспоненциально распределенных случайных вели-
чин с параметром Известно, что определение состояния системы ЗУРО через
общее число этапов обслуживания всех целей, находящихся в этот момент в зоне
обстрела до полного завершения их обслуживания, приводит к очень громоздкому
графу переходов и не позволяет провести обобщение на произвольное число
этапов обслуживания и каналов обслуживания п.
Состояние системы ЗУРО с немарковским обслуживанием целей пред-
ставим в виде упорядоченного множества чисел (1, ni, ш, nj), где i -
число целей, связанное с системой, i" 0,1,2,..., a ns'- количество целей, прохо-
дящих s-й этап обслуживания, s «1, г, £ ns 5. п. Граф переходов определен-
s “1
ной таким об разом системы для частного случая г “ 3, п “ 2 приведен иа рис. 3.6.
На рис. 3.6 первые элементы, обозначающие состояния системы, вынесены в
обозначения "столбцов" графа. Заметим, что система из состояний (i,002), (1,020),
(1,200) переходит соответственно в состояния (1,011), (1,110), (1-1,100) с интен-
сивностью 2й* так как в этих состояниях две цели одновременно проходят один
и тот же этап обслуживания на двух приборах. Переходы из состояний (1,011),
(1,101), (1,110) в состояния (1,020) и (1,+01), (1,110). (1,200) соответственно
происходят с интенсивностью ц, так как они связаны с завершением этапа
обслуживания одним занятым прибором. Обозначим через Pi - множество всех
возможных состояний системы в случае, если с ней связано 1 це^ей, а ф - число
элементов этого множества. Число возможных состояний системы в Dj равно
числу сочетаний из min (п,1) + г -1 по min (n,i), т.е.
Ф = Cmm (n$+r-1 •
184
Рис. 3.6
Введем вектор-столбец Pi«{Р (1,Р Р (i, ф) }т вероятностей си-
стемы в состояниях Dj. Сформируем матрицу коэффициентов системы урав-
нений, записав их в последовательности Рр.М),1,2, ... (рис. 3.7). Из рис. 3.7
видно, что систему уравнений можно представить в следующей компактной
матричной форме:
Ai Pi + Сг Рг и 0;
Bi Pi + Аг Pj + Сз Рз = 0;
.......................................... (3.131)
Ba Pi—2 + Ai -1 Pi-i + Ci ft «О .
i-4, 5...
Здесь коэффициентами системы уравнений служат матрицы интенсивно-
стей переходов Ai, Bi, Ci размерности dn»dn за исключением матриц
At, Bi и Сг, которые в зависимости от параметров г и п могут иметь раз-
мерность, в общем случае, отличную от dQ«do. Так, в приведенной на рис.
3.7 системе уравнений для частного случая г " 3 и п и 2 матрицы Ai, В] и Сг
имеют размерность соответственно 4x4, 6x4 и 4x6, а остальные матрицы
Ai, Ci и Вг размерности (6x6) имеют следующий вид:
а(‘? О О О О О
а® О О О О
0/4 а® 0 0 0
О /* 0 ай 0 О
0 0 ц 2ц а® О
О 0 О О ц а®
(i-2> 0 fl 0 О 0 1
0 (i — 2> 0 0 ц 0
0 0 (i-2> 0 0 2ц
О О О (i-2> 0 О
0 О О 0 (i—2> О
0 0 0 0 0 (1-2>
Bi = ZL .
Заметим, что первое уравнение рассматриваемой системы имеет коэффи-
циенты иной размерности, нежели остальные. Рекуррентную процедуру для
нахождения векторов Pj, Iе 3,4... запишем в следующем виде:
А0) = _ С j 1 (Вг АМ + Ai-i A<i-') , (3.132)
где A^»-Ai lCi , .
136
Рис. 3.7
187
При этом
Р|=А^Р2, (3.133)
где Р2, в свою очередь, находим по соотношению
Pj “ ['£^Mi А® + Bi —г дО*"1) + Ai—j А^ + С) аФ] “1 • R , (3.134)
где 1 - максимальный номер итерации, определяемый по условию прекращения
итераций, матрицы Bi-j, Ai-1 и Ci получены из Bi—2, Ai-t и Ci путем за-
мены последней строки единичными элементами.
Определив по соотношениям (3.22) - (3.134) закон распределения {Pi},
1 (ГД, можно найти вероятность того, что с ЗРК связано ровно 1 целей
4
Pi»S Р(Ы).
}«=1
А «я (S ipi+n(l-S Pi) )~*r , (3.135)
Xi=0 x i-0 ' '
Q=| • (3.136)
Рассмотренную полумарковскую модель функционирования системы
ЗУРО с простейшим входным потоком целей обобщим теперь на случай, когда
входной поток целей является неординарным пуассоновским. Граф переходов
такой системы отличается от приведенного на рис. 3.6 наличием дополнитель-
ных переходов из состояний (1, гц , пг. ..., пг) в состояния
(i + m , nt, пг, ..., пг), ш в 2,3,..., р с интенсивностью аш 1 В соответствии с
этим изменением систему уравнений (3.131) можно записать следующим обра-
зом:
At Pj + Cj Pj =0;
Bi Pt+А2Р2+С3РЭ =0;
min(k,p)
X Вш Pk—m+1 + AfcPk+Ck+1 Pk+1 =0 , ^=3, 4, ....
m = 1
В этой системе уравнений все коэффициенты те же, что ив (3.131), за
исключением Bi = ai А1, i = 1, р и Bi, который отличается от коэффициента
Bi скалярным множителем аь
Заметим, что при определенном соотношении п и г матрица Сз системы
уравнений (3.131) может оказаться вырожденной. Тогда стандартную процедуру
вычисления Pi использовать нельзя. В этом случае решение системы уравне-
188 .
ний отыскивается следующим образом.
Выберем некоторое достаточно большое число h и найдем распреде-
ление Рр) для ограниченного множества Di, 1 &'ЛГ. Решение системы уравне-
ний (3.121) при фиксированном множестве 1 “ dt h можно получить, если пере-
писать ее в следующем виде:
А1 ₽! +CjP2
Bl Pl + Aj Pj
Bj Pj
+b3Pj +
+ СэРэ
+ Aj P3 +
-1 Pll -1 +
Bl Ph -2 + Al,
Bj Pl, -1
,.. Bl| Pl| « в
- 0
C4P* w 0
..... « 0
Ch Ph - 0
Ai, Plt - 0
(3.137)
гДе В -(1,0, 0, .... Of - вектор-столбец размерности dBx 1, матрицы
At и Сз получены из А] и Cj заменой всех элементов первой строки на 1, я
матрицы Bi, t “ 3, h имеют нулевые элементы, за исключением элементов пер-
вой строки, каждый из которых равен 1. Процедуру решения системы уравнений
(3.137) можно записать следующим образом:
Pi-A® Pi-, j
(3.138)
А®«-[Ai+Ci+i A^Jp'-Bi-!, 1-2, 3, .... h -1,
A0i)--Ah’• Bi ; (3.139)
Pi « [Ai + C2 A® + B3 A^A® +... + Bi, A^”*) •... • А^]”‘ • В . (3.140)
По соотношениям (3.138)-(3.140) найдем первое приближенное решение
Рр). После этого увеличиваем значение параметра h до h и опять проводим
расчет по приведенной рекуррентной процедуре (3.138)-(3.140) для 1 “ 2,3.Ъ.
Итерации продолжаем до тех пор, пока не будет выполнено условие прекращения
вычислений
1-ГХ,
где е - заданная точность вычислений.
Очевидно, что трудоемкость алгоритма вычисления Р, пропорциональна 1.
Поэтому целесообразно в качестве первого приближения взять значения веро-
ятностей состояний, получаемых при показательном распределении времени
обслуживания, разделив поровну вероятности между di этапами обслуживания.
Предлагаемая методика позволяет оценить пропускную способность сис-
темы ЗУРО с эрлангозским временем обслуживания произвольного порядка г для
простейшего и неординарного пуассоновского потоков целей с заданным рядом
распределения целей в группе.
189
Рассмотрим модель функционирования системы ЗУРО, имеющей в своем
составе подсистему разведки целей и их распределения по стрельбовым кана-
лам (второй вариант структурного построения системы ЗУРО). При такой
структуре построения системы ЗУРО цель проходит две фазы обслуживания.
Будем полагать, что закон распределения целей в обеих фазах является эрлан-
говским порядка Г. Обозначим состояние системы упорядоченным множеством
чисел 1, Hi, .....Пг, где! означает число целей, связанных с первой фазой
обслуживания, п$ (з == 1, г) - число целей, проходящих S- й этап обслуживания в
одном из приборов второй фазы. Графы переходов системы по возможным
состояниям для частного случая г - 3, п “ 2 приведены на рис. 3.8 и 3.9 соответст-
г
венно. Состояния (i, щ , пз, ..., Пг) при S Пз=Н означают, что п целей
s = I
находится на обслуживании в фазе 2,1 целей связано с первой фазой обслужива-
ния, первая фаза заблокирована. Состояния (i, щ , пз, ...» Пг)
г
при£ ns=j<n означают, что i целей связано с первой фазой обслуживания,
s = I
причем одна из них обслуживается прибором первой фазы с интенсивностью
j, j целей обслуживаются прибором второй фазы.
Обозначим через р 0, щ , nj, ..., пг) вероятность нахождения системы в
состоянии (i, Hi, П1, ..., Пг). Тогда по составленному графу переходов мож-
но записать систему уравнений для установившегося режима. Для нахождения
закона распределения вероятностей состояний полумарковской модели системы
ЗУРО воспользуемся следующим методом.
Выберем некоторый параметр 1. Для каждого j =2 п$ осуществим объ-
8я!
единение всех тех состояний ((i, щ , m, ..., пг), для которых i а 1 - j, в одно
состояние, которое будет обозначать (0 - j, ш , пз, ..., Пг).Этому состоянию
соответствует ситуация, когда с первой фазой связано не менее 1-j целей, а
на обслуживании во второй базе находится j целей. Из состояния
0 - j, nj, Пз, ..., Пг) возможны следующие переходы. Система переходит в
состояние (0 — j — 1, nj, пз, ..., Пг +1)> если цель, обслуженная прибором
первой фазы, поступает на обслуживание свободным прибором второй фазы. Си-
стема переходит в состояние 0 - j -1, щ , пз, .... пг), если в момент ухода
цели из очереди с первой фазой связано ровно 1-|целей н вторая фаза находится
в состоянии (П1, Пз, ..., пг). Система переходит в состояние
0 - j, щ , пз, .,., ns -1...Пг), если в момент окончания s-ro < s > 1) этапа
обслуживания любым из j занятых каналов второй фазы, с первой фазой связано
не менее 1 - j целей. Система переходит в состояние
0 -j, П] -1, из, ..., Пг), если в момент завершения обслуживания цели од-
ним из j занятых каналов второй фазы, с первой фазой связано не менее 1-j+l
целей, или в состояние 0 - j, m -1, пз, ..., йг), если в указанный момент с
J90
Рис. З.в
191
Рис. 3.9
193
первой фазой связано ровно 1 - j целей. Граф переходов этой системы представ-
лен на рис. 3.9.
Обозначим через $ число целей, связанных с первой фазой обслужива-
ния в произвольный момент времени. Известно, что стационарное распределе-
ние вероятностей состояний марковской системы обслуживания в моменты по- .
ступления, уходов или завершения обслуживания является одинаковым. Процесс
функционирования первой фазы при фиксированном числе занятых каналов
второй фазы j можно рассматривать независимо от второй для всех
j «О, ti -”1 . Первая фаза является одноканальной с ограниченным временем
ожидания в очереди, поэтому вероятность того, что в этой системе в произвольный
момент времени находится ровно 1 - j целей, имеет вид:
p(^»l-j)=^ ро Щ (I , (3.141)
где •
ро - вероятность того, что одноканальная система с ограниченным временем
ожидания в очереди свободна.
Если система находится в состоянии (1-j, п;, п2> ..., пД где
г ,
S На “ j» j “0, п-1, то в соответствии с вышесказанным £ >1 -j или £ = 1 -j.
я«1
Поэтому условная вероятность того, что в этом состоянии с первой фазой будет
связано ровно 1 - j целей, равна
ь . Р 381 з j) у»
После элементарных преобразований, используя (3.142), получим
<H-j« [1+S ( П_(1+ге#ц)) ’] , j=O,n-l . (3.143)
г
Тогда интенсивности переходов из (i — j, щ , Hi, ..., иг) при X Os “ j в
з = 1
состояния (1 — j + 1, n i — 1 , m, ..., nr), (1 — j, ni — 1, nj, ..., Пг) соответ-
ственно равны СЧ-j 0 “-j - 1) V , 01/42(1 -01-j). 01/4201-) .
В заблокированном состоянии первая фаза обслуживания целей не произ-
водит. Переходы прибора первой фазы из одного состояния в другое происходят
под воздействием двух простейших потоков случайных событий - входного
потока целей интенсивности А и потока ухода г^лей из очереди v. Рассматри-
ваемый процесс представляет собой процесс "гибели и размножения" с парамет-
рами Д =Л, к *0,1,2.. vk = kv, к •1,2,.... Применяя известное соотношение
ГТЛ «93
для предельных вероятностей такого процесса/6/, получим вероятность того,
что в произвольный момент времени в очереди х первой фазе находится ровно к
целей,
<3144)
где
*-[' - <зн5>
Из (3.144) следует
Рк-ро(|)кП • (3.146)
* Аналогично, из (3.145) получаем
<3147>
и, возвращаясь к равенству (3.144), находим вероятность Рк в виде
- Л
e“v , k«0, 1 , 2, .... (3.148)
Из соотношений (3.142) и (3.148) находим условную вероятность того,
что в заблокированном состоянии с первой фазой системы связано ровно 1 - п
целей
сч —в в Г1 + S (p)k (J1 (1-п. (3.149)
Таким образом, все интенсивности переходов системы определены. Те-
церь, следуя общей методике составления уравнений равновесия, можно по раз-
меченному графу записать их. Такая система содержит конечное число уравнений
и неизвестных и может быть решена обычными методами.
Пусть р (i, ni, пг, ..., Пг) - решение системы. Переобозначим состоя-
г
ния 0, ni, ni , ..., пг) при фиксированном j = S flj в состояния (i, к), где к“
8е!
- 1,2,..., oj, q » CS8n(g;$4T-i. Тогда вероятности состояний системы для ис-
ходного немарковского множества состояний (задаваемых числом j целей,
связанных с первой фазой обслуживания, и числом i занятых каналов второй
фазы обслуживания) можно определи.ь по формуле
P(i, j)=l P(i, k) . (3.150)
k = 1
£94
3.3. Имитационные модели функционирования сложных систем
3 3.7. Общие принципы
Одним нз наиболее мощных средств математического моделирования, при-
меняемых при анализе функционирования и синтезе структур сложных систем,
яВляегся имитационное моделирование.
Имитационное моделирование включает в себя процесс создания логико-
математической модели исследуемой системы, описывающей структуру и пове-
дение системы, а также процедуру проведения экспериментов с моделью на
ЭВМ с целью получения данных о функционировании системы в заданных
условиях.
В ходе имитационного моделирования исследователь имеет дело с тремя
основными элементами: реальной системой, имитационной моделью и ЭВМ.
Реальная система описывается некоторым множеством характеристик X, изменя-
ющихся в процессе функционирования системы (в простейшем случае - это
функции времени). Имитационная модель включает набор инструкций по из-
менениям значений множества характеристик X, выполнение которых позволяет
воссоздать с некоторыми приближениями процесс функционирования реальной
системы. Проведение экспериментов с моделью на ЭВМ, то есть имитация функ-
ционирования реальной системы включается в проведение машинных прогонов
с целью сбора, накопления и последующей обработки данных об изменении
значений характеристик X в различных условиях функционирования.
В зависимости от характера переменных различают дискретные непре-
рывные и комбинированные модели. В дискретных моделях переменные изме-
няются дискретно в определенные моменты имитационного времени. Перемен-
ная времени может быть дискретной или непрерывной в зависимости от того,
могут ли дискретные изменения переменных происходить в любой момент ими-
тационного времени или только в определенные моменты.
Имитационное моделирование включает в себя ряд основных этапов, по-
следовательность которых приведена на рис. 3.10.
Этап 1. Формируется проблема и принимается решение о целесообраз-
ности применения методов имитационного моделирования, от которых зависит
тип имитационной модели.
Этап 2, Определяются релевантные (существенные) элементы системы и
взаимодействия между ними с учетом наиболее существенных воздействий
внешней среды.
Этап 3. Осуществляется формализация описания имитационной модели.
J95
При этом с использованием выбранного математического аппарата разрабатывает-
ся моделирующий алгоритм, отображающий процесс функционирования системы.
Этап 4. Осуществляется программирование имитационной модели на одном
из универсальных алгоритмических или специальных имитационных языков.
Рис. 3.10
Этап 5. Проводится планирование эксперимента с целью уменьшения ма-
шинного времени, затрачиваемого на получение необходимых данных о поведе-
нии модели. При этом, кроме того, проводится обоснование числа необходимых
прогонов, количества наблюдаемых переменных, последовательность изменения
параметров модели и т.п.
Этап 6. Определяются начальные состояния имитационной модели в каж-
дом из экспериментов.
Этап 7. Подготовленные исходные данные и программы вводятся в ЭВМ.
Этап 8. Осуществляются прогоны модели на ЭВМ в соответствии с
выбранным планом имитационного эксперимента.
Этап 9. Полученные в результате прогонов статистические данные обраба-
тываются, интерпретируются и анализируются.
В случае необходимости осуществляют возврат к одному из более ранних
этапов моделирования.
Одним из наиболее сложных и ответственных этапов имитационного моде-
лирования является разработка моделирующего алгоритма. Каждый такой алго-
ритм представляет собой совокупность операций, выполняемых в определенной
последовательности. При разработке и описании моделирующих алгоритмов
группы элементарных операций объединяют в операторы. Выбор системы опе-
раторов играет существенную роль, так как определяет степень наглядности
изображения алгоритма и удобство его использования. К системе операторов
обычно предъявляют два основных требования. Во-первых, желательно, чтобы
каждый оператор имел ясный смысл; во-вторых, должна быть уверенность, что
любой оператор может быть выражен последовательностью элементарных опера^
ций.
Все основные практически используемые операторы моделирующего ал-
горитма принадлежат к одному из следующих типов.
I. Вычислительные операторы. Вычислительные операторы объединяют
совокупности элементарных операций, обеспечивающих вычисление значений
каких либо величин, например, корней линейных или нелинейных уравнений,
решений систем уравнении и т.п.
2. Операторы формирования реализаций случайных процессов. Для ими-
тации действия различных случайных факторов, сопровождающих исследуемый
процесс, возникает необходимость формировать реализации случайных собы-
тий, случайных величин, случайных функций. Исходным материалом для фор-
мирования реализаций, содержащих элемент случайности, служат случайные
числа, вырабатываемые специальными датчиками.
13
1S7
3. Операторы формирования неслучайных величин. При моделировании
сложных процессов приходится формировать различные константы и неслучай-
ные функции времени. Соответствующие операторы предназначены для имита-
ции отдельных элементарных актов исследуемого процесса и взаимодействия
между ними. Они реализуют соотношения математической модели, описываю-
щие процессы функционирования реаль ных элементов системы с учетом воздей-
ствия внешней среды.
4. Счетчики. Эти операторы предназначены для подсчета количества раз-
личных объектов, обладающих заданными свойствами. Результаты, выдаваемые
счетчиками, часто являются исходными данными для операторов, обеспечива-
ющих синхронизацию моделирующего алгоритма.
Компоненты имитационной модели в отличие от реальной системы дейст-
вуют последовательно. Поэтому важной частью моделирующего алгоритма явля-
ется механизм синхронизации событий.
Используются два основных метода синхронизации событий - поисковый
метод выбора очередного события ("принцип A t”) и метод планирования событий
("принцип особых состояний"). Поисковый метод выбора очередного события
основан на проверке через некоторый достаточно малый интервал A t имитаци-
онного времени совокупности условий возникновения событий посредством ана-
лиза текущего состояния ь одели. При соблюдении определенных условий счита-
ется, что соответствующее событие происходит, в противном случае не происходит.
Нд каждом шаге алгоритма необходима проверка всех условий. Так как размер
шага At должен быть достаточно малым, чтобы не пропустить каких-либо событий,
то этот метод связан со значительными затратами машинного времени.
Вместе с тем, при анализе процесса функционирования реальных систем
можно обнаружить существенную неравноправность состояний системы. При этом
можно выделить два типа состояний: обычные (неособые) состояния, в которых
система находятся почти все время, и особые состояния, характерные для системы
^некоторые изолированные моменты времени, совпадающие с моментами поступ-
ления в систему входных сигналов, выхода каких-либо характеристик системы на
границу области существования, достижения параметрами системы области, соот-
ветствующей переходу системы в новое состояние и т. п.
Заметим, что, как правило, свойства систем проявляются и оцениваются
именно в моменты пребывания в особых состояниях, а неособые большого инте-
реса для исследования не представляют. В соответствии с этим метод планиро-
вания событий состоит в определении моментов перехода системы в особые
состояния, по достижении которых происходит передача управления к соответ-
ствующей программе. Этот принцип лежит в основе построения моделей агрега-
тивных систем.
3.3.2. Моделирование испытаний в схеме случайных событий
Рассмотрим прием моделирования простейших случайных объектов ~ слу-
чайных событий н дискретных случайных величин.
Пусть в нашем распоряжении имеются случайные числа yt, iи 1,2,...к,
представляющие собой возможные значения случайной величины 7, распреде-
ленной равномерно в интервале 10; 1 ].
Предположим, что необходимо реализовать случайное событие А, насту-
пающее с заданной вероятностью р. Определим А как событие, состоящее в том,
что выбранное значение у случайной величины у удовлетворяет неравенству
ysp. (3.151)
Ясно, что вероятность события А равна
• Р (А) = Р (у S р) = Jd у =р . (3.152)
о
Процедура моделирования испытаний рассматриваемого вида состоит в
случайном выборе числа yi я сравнении его с величиной р. Если условие (3.151)
выполняется, то исходом испытаний будем считать событие А, в противном
случае - событие А. При этом
Р (А) “ 1-Р (А) = 1 - р .
Изложенные соображения легко обобщаются на группу событий.
Пусть Ai , Ai, .... Аа- полная группа событий, так что
1 p(Al) = S Pi = l ,
i=l i =!
Определим Ат как событие, состоящее в том, что выбраное значение у
случайной величины ij удовлетворяет неравенству
lm-l < у S im ,
где
Ir = 1 Pi. Х3.153)
i — 1
При этом
1ц Ш Ш == 1
P(Am)=J dy=2 Pi-2 Pi=Pm •
ia--i i = l i = l
Процедура моделирования в этом случае состоит в последовательном срав-
нении случайных чисел yi с величинами 1г. Исходом испытания считают событие
Ат, если выполняется условие (3.153).
199
Очевидно, та же процедура может быть использована для формулирова-
ния реализаций дискретной случайной величины 7, принимающей конечное
число возможных значений уi, уз............У» с вероятностями соответственно
Pi, Pj 1 ••i Ps •
3.3.3. Формирование возможных значений случайных величин
с заданным законом распределения
Для формирования возможных значений случайных величин с заданным
законом распределения используются случайные величины, равномерно распре-
деленные на интервале [0; IJ.
Методика получения случайных величин с заданным законом распределе-
ния основана на следующем. Пусть случайная величина распределена в соответ-
ствии с законом
F (х) = Р < х) • J f (х) d х * у , (3.154)
— 00
где f (х) - плотность распределения случайной величины
Найдем распределение случайной величины £
где функция F (£) задана соотношением (3.154).
По определению, закон распределения F(у) случайной величины 7 есть
F (у) «Р (ij <у) =*=Р (F (£) <F(x)) = Р (£ <x) = F (к) *у , . (3.155)
причем О s у s 1.
Отсюда следует, что случайная величина у равномерно распределена в
интервале [0; 1 ]. Используя (3.155), запишем
Pg<x)«J f(x)dx-y . (3.156)
~ со
Тогда, если yi, уг, , ук - последовательность значений случайной ве-
личины ij, равномерно распределенной в [0;1], то решая уравнение (3.156),
подучим соответствующую последовательность х(, xi, .... хк случайных чи-
сел, распределенных по закону (3.154), причем
Х|
f f(x)dx = у( . (3.157)
— 00
200
Рассмотрим примеры.
Пусть требуется получить случайные числа xi с показательным законом
распределения
Г(х)-А е“Ах , х>0 . (3.158)
Используя (3.157), получим
/ Л e~*xd х «yi ,
о
где yj - случайная величина с равномерным распределением на интервале
[0;1]. Отсюда
-е“^х I «1 -е”Лх’ -yi .
о
Тогда
xi--|ln(l-У1) . (3.159)
Пусть теперь нужно получить случайные величины, распределенные по
релеевскому закону с плотностью
2
f(x)«^ , х>0 .
Имеем
«I х к1 _хг Ч X?
J е 2<?<^х ж -е 2OZ*e“l~e 2ог*“У1«
Откуда
xi eaV-21n (I -yj) . (3.160)
Нужно иметь в виду, что в большинстве случаев уравнение (3.156) невоз-
можно решить точно (например, если требуется получить числа, распределен-
ные по нормальному закону). В связи с этим, на практике широко используют
приближенные методы получения чисел, распределенных в соответствии с задан-
ным законом. Рассмотрим один из таких алгоритмов.
Метод Неймана
Пусть f (х) - плотность распределения случайной величины, заданной на
конечном интервале (a.bj.
В предположении, что f(x) ограничена сверху, приведем ее значения к
интервалу (0;1), введя
f*(x) = |-^. (max = шахf(х), xefa.bj.
Imax
20t
При этом график f* (х) окажется вписанным в прямоугольник с коорди-
натами (а,0), (а, 1), (b, 1), (Ь, 0) (рис. 3.11).
Выберем пару чисел § и (1-1,2,... ) из равномерно распределенных
в интервале [0;1] последовательностей {§}, {^}. При этом пара чисел
Xi - а + (Ь - а) & и ф определяет случайную точку Mi (xi, тц) в указанном пря-
моугольнике. Теперь в качестве случайных чисел с заданной плотностью f(x)
будем принимать те Xi = а + (Ь - а) для которых s f * (xi). Если же это
неравенство не выполнится, то пара (|i , <д) отбрасывается и формируется сле-
дующая.
Докажем, что закон распределения отобранных таким образом чисел х
соответствует f (х).
Для доказательства выберем интервал [c,dl [a,b] и введем области
G -{(xi, >?):хе[а, Ы , jj<f*(x)} и
G0-{(x, ?):хе[с, d], 9<f*(x)}, GoeG.
Вычислим вероятность попадания неотброшенных точек в область Go. Так
как
Р I <«. ,)СОо/(«, ,)£OJ
а
J f*C*)d *
Н(», >1060.1 I М*
201
и
b f* (х) d х , b
₽((«.») 01 {'«•"<-
I
fmax (b ~ я)
то искомая вероятность
d
P [(«, ifi) Go/(xj, ijt) Gj «/f(x)dx .
c
Полученная вероятность равна вероятности попадания случайной вели-
чины, распределенной в соответствии с f <х> на интервал [c.d], откуда следует
требуемое.
3.3.4. Формирование реализации случайных векторов и функции
Пусть требуется получить последовательность возможных значений
yj, zi - составляющих (tj, £) случайного вектора, заданных совместной функ-
цией плотности f(y,z). Найдем частную функцию плотности случайной величи-
ны $
f$(z)f (у , z)d у . (3.161)
— »
Выберем из совокупности случайных чисел с равномерным распределе-
нием в интервале J0; 1) число xr,j-j и одним из способов, оговоренных выше,
определим соответствующее ему число zj, имеющее плотность распределения
(3.161). Затем найдем условную плотность распределения случайной величины
tj при условии, что случайная величина £ приняла значение 2< .
f<y/4)”^^‘ (3162>
Выберем из совокупности случайных чисел с равномерным распределе-
нием в интервале [0; 1 ] число хо и определим соответствующее ему число yi
с плотностью распределения (3.162). Задача решена.
Аналогичные соотношения можно записать и для многомерных векторов.
Заметим, однако, что описанный прием оказывается достаточно громоздким уже
в двумерном случае, а если размерность вектора более двух, становится совер-
шенно непригодным для практического использования.
Задача существенно упрощается, если случайные векторы задаются в рам-
ках корреляционной теории. Пусть, например, требуется получить компоненты
X) , ха, .... хп случайного вектора , £2, ..., £п)с математическими ожида-
203
ниями ai, а2, аа и корреляционной матрицей
кц ku ... kjn1
кц kss ... km
kni kni ... kon
(3.163)
Предположим, что в нашем распоряжении последовательность значений
{yi} некоррелированных случайных величин , ija с математическим
ожиданием, равным а, и дисперсией о3. Тогда реализации Xi составляющих
случайного вектора ($i, $п) можно получить, используя линейное
преобразование случайных величин уь
Xi «Сц (у* -а) +31,
ха =cij(yi-а) +си(у2-а) +а2 (3164)
xn»cm(yi - a) +C2a(yi-а) + ... + Спя (уа - а) + аа,
причем коэффициенты преобразования отыскиваются из условий
М (Й1 “кц »c?io\
М [ft Ы “ки = М [сц (yi -a)(ci2 (yi -а) +си (уз "а))] «
«Си -сзг? +Сц C12M [ (yi -a)(yi -а)) «сц сио3, (3.165)
М |j] «кЦ«(СЦССЦ +C21C2J + ... +CiiCij)0I, j > 1 .
Решение системы' уравнений (3.165) дает необходимый набор (qj) для
реализации преобразований (3.164).
Задача моделирования случайных функций в общем случае является чрез-
вычайно трудной, однако если эти функции изучаются в рамках корреляционной
теории, то она сводится к уже рассмотренной. В этом случае д ля моделирования
значений функциих (t) в случайные моменты времени ti, h , ..., tkдостаточно
сформировать случайный вектор, компоненты которого имеют математические
ожидания х (tj), х (tj), ..., х (tk) и связаны корреляционной матрицей К (Кц),
где kjj = М [х (ti), х (tj) J, используя уже описанный выше прием. К этой же
процедуре сводится моделирование случайной функции, заданной своим кано-
ническим разложением.
i(t)=m(t) + 2 vii«(t),
i = i
где m (t) - математическое ожидание х(1)в момент t;
pKt), 1«1- набор неслучайных координатных функций;
Vj, i - набор некоординатных случайных величин с математиче-
скими ожиданиями, равными нулю, и заданными дисперсиями Dj, 1« 1,2,..., ш.
2(И
3.3.3. Имитационная модель функционирования
системы зенитного управляемого оружия
Выше отмечалось, что задачи оценки эффективности широкого класса ре-
ально функционирующих систем, непосредственное аналитическое исследование
которых затруднительно, могут решаться методом статистических испытаний.
Использование этого метода позволяет отказаться от упрощающих предположе-
ний относительно характера входящего потока, а также структуры и свойств
самой системы обслуживания. Метод статистических испытаний позволяет более
полно, по сравнению с аналитическими методами, характеризовать зависимость
эффективности системы от параметре потока заявок и самой системы, позволяя
оценить не только простейшие показатели эффективности системы (вероятность
отказа, среднее значение доли отказов и т.п.), но и другие важные характеристи-
ки (значение дисперсии отказов, вероятность того, что значение доли отказов
будет не ниже заданной, и др.).
Сущность метода статистических испытаний применительно к анализу сис-
темы массового обслуживания, каковой является зенитный ракетный комплекс,
состоит в следующем. С помощью специальных алгоритмов формируются реа-
лизации потока заявок с заданным законом распределения интервалов между
заявками. Далее моделируется процесс функционирования обслуживающей сис-
темы. Все показатели работы системы, интересующие исследователя, фиксиру-
ются. Общий алгоритм модели многократно воспроизводит случайные реализа-
ции процесса функционирования системы при некоторых заранее заданных
условиях (характер и параметры входящего потока, параметры системы и т.д.).
Накопленная в результате информация статистически обрабатывается.
Рассмотрим кратко общие принципы построения таких моделей.
Входящий поток заявок однозначно задается последовательностью мо-
ментов времени поступления заявок в систему Ц , tj, ..., t,.Удобно вместо
величин ti, tj, ..., и рассматривать случайные величины опре-
деляющие длину интервалов между моментами поступления заявок. При этом
• Sir
(3.166)
tj «* $i +& + ... +й.
Теперь понятно, что для задания входящего потока достаточно получить
последовательность случайных величин .... ...с заданным законом
распределения. Пусть, например, на вход системы поступает простейший поток.
Плотность распределения длин интервалов между заявками для такого потока
имеет вид
Цх)~1е~Л* , х>0. (3.167)
Тогда, как показано в {4), для получения последовательности чисел
£i, &, ..., $, ... используется соотношение'
$ = -|1п(1 -/ц),
где Ti - случайное число из последовательности с равномерным распределением
в интервале (0; 11.
205
Аналогично может быть получена последовательность & , fe, ..., & и
для любых других законов распределения длин интервалов между заявками.
Тот же прием используется и для формирования случайных значений времени
обслуживания.
Принцип построения алгоритма, моделирующего процесс функциониро-
вания системы ЗУРО, рассмотрим в предположении, что его моделью является
система массового обслуживания с отказами. На рис. 3.12 представлена граф-схе-
ка моделирующего алгоритма. Опишем кратко назначение и работу отдельных
операторов алгоритма.
Оператор О осуществляет ввод исходной информации (число каналов сис-
темы, число целей в налете, параметры входящего потока и закона распределе-
ния времени обслуживания, вероятность поражения цели и т.д.).
Оператор 1 представляет собой счетчик числа реализаций процесса функ-
ционирования комплекса.
Оператор 2 фиксирует номер очередной цели, поступившей на вход системы.
Оператор 3 формирует по формулам (3.166) значение момента поступ-
ления очередной заявки в соответствии с законом распределения длин интерва-
лов между заявками.
Оператор 4 осуществляет сравнение между собой моментов освобождения
каналов системы и выбирает из них наиболее ранний. Пусть номер соответствую-
щего канала равен ко.
Оператор 5 производит сравнение величины ti (момент поступления оче-
редной заявки) со значением & (момент освобождения канала ко). Если
ti < значит в момент поступления заявки все каналы заняты и заявка получает
отказ; управление передается оператору 12. В противном случае канал ко, осво-
бодившийся первым, начинает обслуживание заявки; управление передается опе-
ратору 6.
Оператор 6 формирует случайное значение времени обслуживания заявки
(цикла стрельбы) в соответствии с законом распределения времени обслуживания.
Оператор? вычисляет время освобождения канала ко от обслуживания
очередной заявки, начавшегося в момент ее поступления и продолжавшегося в
течение интервала Гобь
Оператор 8 представляет собой счетчик числа целей, обслуживающихся
в очередной реализации налета.
Оператор 9 осуществляет сравнение выработанного случайного числа § ,
равномерно распределенного в интервале [0,1].
Оператор 10 осуществляет сравнение выработанного случайного числа $ с
хранящимся в памяти ЭВМ значением вероятности поражения цели, имитируя
таким образом случайное событие поражения цели: если §гРПор, т.е.
f э [Рпор; 1 ], то цель считается непораженной и управление передается оператору
206
jtaреалию
tOWpaqOM
/
r^-------1
<2^М^ЛЯ^-
/а
мог
Г a
&МЖШЛ/Ю-
жщемшз:
цме£
Г~^
Cv&WM/W-
ражемшт
Mfi? &&&>'
war <r
/айюеам-
МЛО £#
Г^
4
&
a
r~/tf'
pe£&&04&r
<^ЙЯ%43Г^
a&? #£№&
Рис. 3.12
207
12; в противном случае, если £е(0; Род], цель считается уничтоженной и уп-
равление передается оператору 11.
Оператор 11 представляет собой счетчик, числа пораженных целей.
Оператор 12 представляет собой счетчик числа пропущенных целей (пол-
учивших отказ или не уничтоженных в результате обстрела).
Оператор 13 осуществляет сравнение номера очередной цели с общим чис-
лом целей N, участвующих в налете. Если равенство I " N не выполняется,
управление передается оператору 2; в противном случае - оператору 14.
Оператор 14 проверяет, выполнено ли запланированное количество реали-
заций. Если число проведенных реализаций q еще не равно запланированному
Q, осуществляется переход к оператору 15, в противном случае -к оператору 16.
Оператор 15 осуществляет подготовку к очередной реализации. При этом
очищаются рабочие ячейки памяти ЭВМ, хранящие значения 1, а со-
держимое ячеек г4, пересылается в специальный массив для после-
дующей обработки.
Оператор 16 осуществляет статистическую обработку наборов
{г4}» , (Штк}. При этом вычисляются оценки параметров, характеризую-
щие эффективность системы.
Вероятность отказа может быть оценена через частоту отказов по формуле
йта
Рои» V*Q *
Средняя доля обслуженных целей из общего числа целей в налете вычис-
ляется по формуле
§ &
MM = ^Tq =Роб“1-Ротк.
Средняя доля уничтоженных целей из общего числа целей в налете рассчи-
тывается по формуле
£ г’
м *** ” ?T"q •
Вероятность того, что для уничтоженных целей будет не ниже заданной,
может быть оценена следующим образом. Пусть - заданная доля уничтожен-
Г<1
ных целей; Q]- количество реализаций, в каждой из которых й ъ .
Тогда
Р (v Stvs) = .
2W
3.4. Учет эксплуатационных факторов в моделях функционирования систем
зенитного управляемого ракетного оружия
3.4.1. Общие принципы
Рассмотренные s подразделах 3.1, 3.2,3.3 математические модели функци-
онирования систем ЗУРО позволяют рассчитывать оценки эффективности их
применения по назначению в заданных условиях боевой обстановки, однако
следует отметить, что получаемые оценки будут являться условными, поскольку
в изложенных моделях система ЗУРО полагается идеально надежной. Реально
надежность системы ЗУРО, хак и любой другой технической системы, является
конечной, она зависит от надежностных характеристик ее аппаратуры и обору-
дования и от степени воздействия на них эксплуатационных факторов, опре-
деляемых режимами и условиями эксплуатации системы ЗУРО. Основным по-
казателем надежности систем ЗУРО является их безотказность. Показатели без-
отказности подразделяются на комплексные и единичные. Наиболее распрост-
раненным комплексным показателем безотказности системы ЗУРО является ко-
эффициент готовности'(Кг). Под коэффициентом готовности понимают вероят-
ность того, что в любой произвольно выбранный момент времени между ее
техническими обслуживаниями она окажется готовой к использованию по назна-
чению.
Наиболее распространенным единичным показателем безотказности сис-
темы ЗУРО является вероятность того, что за время ее использования по
назначению (1ипи) она прорабатывает безотказно (Р (Ыин) ).
Произведение Кг’* Р(1цпн) называют коэффициентом оперативной готов-
ности (КОг). Для определения безусловных оценок эффективности функциони-
рования системы ЗУРО необходимо условные оценки, рассчитываемые на ос-
нове математических моделей ее функционирования, умножать на коэффициент
оперативной готовности системы ЗУРО.
Таким образом, для учета влияния на эффективность функционирования
системы ЗУРО необходимо, в первую очередь, определить комплексный пока-
затель ее безотказности Кг, затем текущее и прогнозируемое значение единич-
ного показателя безотказности Р 0ипн)> в конечном итоге, рассчитать
Ког (t, 1ипн) — Кг (t) Р (t + turn) - • (3.168)
3.4.2. Оценка комплексного показателя безотказности
систем зенитного управляемого ракетного оружия
Известны различные подходы к решению задачи расчета коэффициента
готовности технических систем. Наиболее широко используется подход, осно-
м
2ОТ
ванный на использования аппарата непрерывных марковских цепей, полагая,
что потоки отказов систем и потоки их восстановлений являются простейшими.
Введем следующие состояния системы.
Состояние Ео- комплекс вооружения работоспособен ,Ео - комплекс
вооружения не работоспособен; осуществляется его восстановление. Интенсив-
ность отказов комплекса вооружений равна А, интенсивность восстановления
работоспособности равна д.
Исходное состояние системы Ео- Введем ро (t) « Р(£ (t) “ Ео), pi (t) »
" Р (£ (О * Ei) и запишем систему дифференциальных уравнений для отыскания
Ро(0 и pi(t)
Ро (0 - - Apo (t) + др, (<),
Pi 0) =Аро (t) -ppt (t).
Преобразуем уравнения системы по Лапласу
, (sflfe(s)“Po(O)--Алб(з)+р«1(в),
1злг, (s) - р, (0) •Ляв (s) -ict\ (s).
После приведения к каноническому виду получим
[(a + (s)«po(0)«l,
|-Аль (s) + (s +д)ni (s) - Pi (0) «О .
Отсюда
(з +А) ло (s) (s) и 1.
Тогда
_ /-х _ 1 з +д
ЛЬ (Я) --------i и "5-----------.
+ з‘+з(А+д)
v ’ в
При этом
(s) и -5-------.
s’+8 0+д)
Найдем корни полинома, стоящего в знаменателе, для чего решим
уравнение
s2 +s (А +д) =0,
3| ==0 , S2 в - (А +д).
Тогда
{а) ~___В+/* ... а «Ц
Л®'-> S(s+A+^) s s+A+д в(8+Л+д)
2/0
Приравняем коэффициенты перед одинаковыми степенями S в числителе
слева и справа от знака равенства, получим
{он + а» e 1,
«J (Л +А) -Р»
откуда
®"Г+?: «"-rb-
При ЭТОМ
Используя таблицу соответствий изображений и оригиналов при
преобразовании Лапласа, получим
По определению po(t) и есть коэффициент готовности комплекса
вооружения Kr(t). Для больших значений используют формулу для
приближенного расчета
3.4.3. Оценка единичного показателя безотказности
системы зенитного управляемого ракетного оружия
по данным о результатах контроля ее работоспособности
Влияние эксплуатационных факторов (режимов и условий эксплуатации)
на показатели надежности реальных систем проявляется в том, что эти пока-
затели на практике являются функциями продолжительности эксплуатации и
численных значений совокупности параметров, задающих условия эксплуата-
ции. Поскольку условия, режим и продолжительность эксплуатации различных
систем могут существенно отличаться друг от друга (речь здесь идет о системах
одного и того же типа), соответствующие различия будут иметь и зависимости,
описывающие поведение их показателей надежности. По этой причине стати-
стические данные о результатах контроля разных систем не могут рассматривать-
ся хак выборки из одной и той же генеральной совокупности. При этом исполь-
зование традиционных методов статистической обработки результатов контроля
работоспособности систем, ориентированных на однородные выборки, приводит
к необходимости формирования групп объектов контроля, режимы и условия
эксплуатации которых одинаковы, то есть к дроблению исходного статистиче-
ского материала. Точность оценки показателей надежности систем вследствие
этого, естественно, уменьшается и, таким образом, чем более индивидуалязиро-
1U
ванным по режимам и условиям эксплуатации является прогноз работоспособ-
ности систем, тем хуже его качество. С другой стороны, к еще худшим резуль-
татам приводит шаблонное объединение в одну совокупность данных, относя-
щихся к неоднородным по условиям эксплуатации выборкам. Возникающее в
связи с изложенным диалектическое противоречие не может быть разрешено с
использованием традиционных подходов. Другой серьезный недостаток стати-
стической обработки с расслоением результатов на однородные выборки состоит в
невозможности получения каких бы то ни было оценок показателей надежности
систем, эксплуатируемых в условиях, для которых надлежащая статистическая
информация о результатах контроля отсутствует.
Оба указанные недостатка устраняются при использовании методики пара-
метризации, идея и существо которой состоит в следующем. Предположим, что
исследованию подлежит некий процесс, для аппроксимации эволюции исполь-
зуется функция отклика у =f (Ot). Здесь © = (бь, ©i, ..., бц) - набор пара-
метров, численные значения которых однозначно задают эволюцию процесса.
Пусть Y = (у 1, у2, .... у«) - набор результатов наблюдений процесса в
моменты времени tj , ta, .... tN. Статистическая обработка этих данных позво-
ляет получить оценки параметров €Ц>, ©> , .... ©Н- Если характер эволюции
процесса меняется в зависимости от условий, в которых протекает процесс, то
соответствующим образом будут изменяться и получаемые оценки вектора ©.
Пусть F = (f 1, f 2, .. , fn) - набор факторов, определяющих условия протека-
ния процесса. Введем далее функции
6b(F)=?(B0, F) ,
©1(F) = ^?(Bi, F) ,
eto(FW(Bd, F),
каждая из которых задается соответствующим числовым набором
Во, В] , ..., Bd. При этом для некоторого конкретного варианта условий Fk
протекания процесса имеем
QFk=^(Bi, Fk), 1=0, 1.......d ,
арезультатнаблюденияпроцессавэтихусловияхвмоментвремени1к может быть
записан в виде
y(Fk, tk)»f(y>(Bo, Fk)..y>(Bd, Fk), tk), j = l , 2, ..., N.
Теперь совокупность результатов наблюдений процесса в различных усло-
виях может обрабатываться совместно с целью оценки элементов наборов
Во, Bi , ..., Bd. Полученные при Этом оценки далее могут быть использованы
для расчета параметров ©Ь(Во, F), Qj (Bd , F), соответствующих любому
набору условий F и, следовательно, обеспечивают описание эволюции процесса
в этих условиях.
Проиллюстрируем применение изложенной методики совместной обра-
212
ботки неоднократных выборок аа примере оценки одного из показателей без-
отказности систем - вероятности безотказной работы Р(Т) на интервале (0,Т).
Как известно, эта вероятность безотказяой работы на интервале 0,Т связана с
интенсивностью отказов Л(<) соотношением
Р(Т) «екр| -/£<t)d tj
(3.169)
Действительно, по определению
1/*\е Ж,
P(t) P(t)
рФ) 4РФ
p(i) “ *t p®-
Отсюда
P(*>
= -A(l)dt
Интегрируя полученное соотношение слева ж сарма от яижа ряасяспа
ка интервале (О, Tj, получим
г Т
ln₽(t) .
9 б
Так как Р<0)-1,то
т
1нР(Т) = -,
9
откуда
т
Р(Т) = ехр| - J А(0<Ц .
Таким образом, для описания безвгказавая сиспен достаточно звать
закон изменения A(t). Будем считать, что этот закон может быть стакан тамишо-
мом степени d, то есть
d .
A(t) = X М- О170)
i =0
При этом естественно считать, что коэффициенты этого полинома зависят
от режима и условий эксплуатации системы, определяемых значениями совокуп-
ности факторов F = (fi, f2, .... fn). Пусть, например, для некоторого к-го ре-
жима эксплуатации имеем Fk = (hk, f2k, • • , fnk). Тогда интенсивность отка-
зов в этом режиме определяется соотношением
4k(t) = i ai(Fk)? . (3.171)
i =о
Предположим, что зависимости (Щ Fk) могут быть выражены регрессив-
14
213
вымя моделями вида
Hi(Fk)“biO + S biffik+S Sbijijjfj,kfhk + ... +
j = 1 ft * 1 J2>4
+5 2 ...2 (3.171,a)
Jl “ 1 jl>h fq>Hl ~ *
Здесь
ф - численное значение j-ro фактора для к-го режима эксплуатации
системы;
q - максимальная степень учитываемого взаимодействия факторов.
После введения одноиндексной нумерации и переобозначения факторов
перепишем соотношение (7.4) следующим образом:
Щ(Рк)«$ bjjfjk , N«5cL. (3.172)
f=0 1=0
Подставляя (3.172) в (3.173), получим
4(t)-f S bjjfikt1 . • (3.173)
i “Oj =0
Теперь вероятность безотказной работы системы на [О, TJ равна
।
P(T)«expf-J § bjjfjk^dtl"
l 0 i=0j=0 i
-«И4 §
I (=0 j«Q J Я 1 + 1 J
«exp (1ioAob,|M' (3.174)
где
Ti +1
Rijk ® fik -jyj- , i =0,1,..., d ; j =0,1,.... N ; k«l,2.
Совокупность неизвестных параметров (bip найдем, обрабатывая стати-
стическую информацию о всех имеющихся результатах контроля работоспособ-
ности систем.
Пусть результаты контроля работоспособности веек систем пронумерова-
ны по порядку и Ft = (fit, f2k.fak) - набор факторов, соответствующий
k-му контролю, к " 1,2,..., кю. Введем, кроме того, набор
2.14
Н “(hi, hj......hfcm) результатов контроля. При этом будем считать, что
О , если по результатам к-го контроля
система работоспособна,
1, если в результате к—го контроля
обнаружен отказ .
Предположим, что для каждого контроля известен временной интервал
Tk, k »1, 2...., к®, прошедший с момента предыдущего контроля; конт-
роль является достоверным (отказ выявляется с вероятностью, равной 1); при
обнаружении отказа работоспособность системы восстанавливается. Тогда фун-
кция правдоподобия, равная вероятности реализации наблюдаемых результатов
контроля, имеет вид
Р =П Р (Tk/1 ~*)(1 -Р (Tk)/1 “
к«1
jl.**®*))0 "м *
X [1 - ехр[ - £ |о bij Rijk} ]* . (3.175)
Теперь задача состоит в том, чтобы отыскать набор {bij}, максимирую-
щий (3.175). Обычно при этом переходят к логарифмической функции правдо-
подобия
L «а In Р = - S ЬЦ Rijk +
keEoi=0j=O
+ S in Г1 -ехр(£ S bijRijkl] , (3.176)
keEi *- ч =0 j =0 i —
где
Eo»(k:k£{l , 2......km}, hk=O} ,
Bi = {k:ke{i ,2......k®}, hk~l} .
При решении сформулированной оптимизационной задачи необходимо
учитывать естественные ограничения, налагаемые на элементы набора {bij},
которые записываются следующим образом:
min Ak (t) = min ^bjj fik , k » 1, 2 , ..., кш . (3.177)
Задача отыскания набора {bij}, максимизирующего (3.176) н удовлетво-
ряющего (3.177)>решается с использованием известных алгоритмов условной
оптимизации, например, методом Нелдера-Мида,
215
3.4.4, Прогнозирование единичного показателя безотказности системы
зенитного управляемого ракетного оружия
в заданном интервале использования по назначению
Состояние системы в произвольный момент времени определяется сово-
купностью значений набора параметров
X(t) = {xi(t)> x3(t)..xk(t)) .
Система работоспособна, если для любого компонента векторе X О) выпол-
няется соотношение
Чв £xi (t) sxj,> , i -1, 2, ..., k. (3.57B>
Будем считать, что параметры независимы. Тогда задача краткосрочного
прогнозирования безотказности системы сводится к расчету для каждого из пара-
метров в отдельные вероятности
Pi (t) - Вер (и >t) = Р (xj,H Xi (t) s xi.it < и) , (З.П9>
где n - случайная величина, определяющая момент первого выхода 1-го параметра
за пределы допустимого диапазона и последующего вычисления вероятности
невыхода ни одного из К параметров
р (t)я П pi (0 .
t = 1
При этом задача прогнозирования разбивается на две подзадачи:
а) используя исходную статистическую информацию о значениях каж-
дого из параметров, найти теоретико-вероятностное описание его поведения;
б) вычислить вероятность невыхода каждого из параметров за пределы
допустимого диапазона в течение заданного временного интервала.
Рассмотрим последовательно методику решения этих задач.
а) Методика отыскания теоретико-вероятностного описания поведения кон-
тролируемого параметра
Для вероятностного описания случайного процесса £(t), описывающего
поведение контролируемого параметра, используется последовательность конеч-
номерных функций распределения, определяющая для любого п вероятность
совместного наступления событий £ (ц) < xj, i« 1, 2,..., п, где t», i ~ - I, 2,..., n
- последовательность моментов наблюдения значений случайного процесса имеет
вид;
Ff (xi, х3, ..., х0; ti f t2.ta) “Р {П ($(ti) <х01 -
Такое же исчерпывающее описание поведения процесса дает п-мерная
плотность распределения значений процесса |(t)e точках tj, i“l,2,...,n
216
fg(xj, xa, .... x*; ti, И, .... «) .
Ясно, что получение такого описания для любого набора {h} по результа-
там наблюдений процесса является трудной задачей.
Более перспективным является другой подход. Естественно считать, что
плотность распределения значений наблюдаемого случайного процесса для раз-
ных временных сечений имеет одну и ту же структуру, хотя численные значе-
ния параметров могут меняться. Плотность распределения процесса во времен-
ных сечениях может быть выбрана вз какого-либо достаточно емкого многопа-
раметрического класса.
Таким распределением является, например, четырехпараметричСсхое рас-
пределение вада
^Cx.ft.ft.ft.ft)’* А
где
(I + ftsgn(x -ft))
,(3.180)
А -%* {^Г ’ f [0 -ф ) е’ж~ +
+о~ф~)}~i -
’ Ч 2ft// > УЖ VThST7/
нормирующая константа.
Важное свойство этого распределения состоит в том, что, варьируя числен-
ными значениями параметров ft, ft, ft, ft, можно в широких пределах изме-
нять соответственно его математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и
эксцесс. Кроме того, ясно, что частные случаем этого распределения' является
нормальное, если положить ft =0 и ft « 1. Экспериментально легко проверить,
что надлежащим выбором значений параметров ft , ft, ft, ft можно обеспечить
хорошую аппроксимацию значительного числа часто используемых на практике
распределений, например, Релея, Вейбулла, гамма-распределения, лог-нормаль-
ного, распределения экстремальных значений. Как указывалось, параметры
ft « ft » ft < ft распределения могут быть функциями времени. При этом числен-
ные ях значения в каждом временном сечении отыскиваются в результате обработ-
ки наблюдений реализаций процесса с использованием традиционных статисти-
ческих методов: метода моментов, максимума правдоподобия, х2 , е? и т.п. Далее
оценки значений параметров для различных временных сечений используются
для построения соответствующих уравнений регрессии, описывающих ft (t), i *
“ i, 2, 3, 4. Задача оценки параметров этих уравнений может решаться и по
результатам совместной обработки всех наблюдений.
С другой стороны, во многих практических задачах достаточно точное
описание процесса может быть получено с использованием моментных функций.
217
Моментной функцией k-го порядка случайной функции £(С) называется функ-
ция
00
, k-2, 3..................................... (3.181)
— ®
00
пц (t)" /х £g (х , t) dx ,
— 00
(3.182)
где (к, t) - плотность распределения случайных значений процесса £ в
момент L
При этом паз (г) характеризует поведение во времени математического
ожидания процесса, ma (t) * дисперсии, m3 (t) - асимметрии, пц (t) - эксцесса.
Предположим, что с достаточной для практики точностью каждая из момен-
тных функций может быть представлена в виде полинома, то есть
Шк(0“1 »ik > к = 1, 2.................. (3.183)
(=0
Теперь может быть поставлена и решена задача отыскания набора пара-
метров {ai k), i »0, 1, , dk, однозначно задающих соответствующую мо-
ментную функцию, к» 1,2,... с использованием, например, метода наименьших
квадратов.
Сначала по результатам наблюдений реализаций случайного процесса £ (t)
в моменты времени ti, tz....ta получим набор значений {хц}, где xjj -
значение 1-й реализации процесса £(t) в момент
t tj; 1«1, 2, .... 1ш; j -1, 2, ..., п. Далее, обрабатывая полученный на-
бор (хц) обычным образом, получим совокупность оценок ffikj значений момент-
ных функций mk (t), k“ 1,2,..., для всех tj, j~ 1,2,..,,п.
Принтом
1 , tm ,
Bi<S S/'l : ®Ч-ЦГ, к-2.3........
Введем теперь
Акв
ti t? ...
t2 ti ... tfk
tn <a ... t?
( D (Ski) 0
R = I D (nikl)
( О D (ffikn) t
218
mki
Sk2
Mk-
mkn
, к-1,2,
D <Ш^*Л ”2 • ®Ч ’ j -1, 2, ..., п.
(im - 1)1 —1
Тоща функционал наименьших квадратов имеет вид
1k - (Mk - Hk Akf R“1 (Мк - Нк Ак) . <3.134)
Xk-Argmlnlk-(HlR-IH)_1HTR"IMk . (3.185)
В тех случаях, когда моментные функции полностью определяют пове-
дение случайного процесса (например, для нормального случайного процесса),
для оценивания их параметров может быть использован метод максимального
правдоподобия. При этом вводится функция правдоподобия
Ь({х|Д, {Я1к})-П П Ц(ХЦ. fak}) , (3.186)
которая максимизируется по набору параметров fatk} любым известным мето-
дом, например, методом Нелдера-Мвда. Получаемый при этом набор {ail)
однозначно задает моментные функции процесса. Пусть, например, £ (0 нор-
мальный случайный процесс, то есть
ч I О)
f(x,t)-------— е •
У2л (пи (t)5)
Тогда функция прадоподобия (3.166) имеет вид
L<(xu, aik})
Предположим, что рассматриваемый процесс £(t) является стационарным,
то есть di - da - 0 и mt (t) « mi mj (1) « <А Тогда соотношение (3.187) упроща-
ется к виду
U п < (хц - шр
L ({кц} , ш, <?) = П П « го2 ‘ (3.188)
1 - и — 1 vbt а
Логарифмируя (3.187), получим
In L - 1m • n In (2л)2 - lm a Ina - ~~-= 2 (xij-tn)1. (3.189)
2сг 1 ® i
219
Максимумы функций (3.188) и (3.189) достигаются на одном и том же
наборе (ш , g*>. Поэтому дифференцируем in L по m и о2 и получим систему
уравнений
Из первого уравнения системы имеем
£ $ X]j ,
im n i = i j «= j
и из второго
im n leI J = 1
Итак, будем считать, что теоретико-вероятностное описание поведения
параметра получено и перейдем к рассмотрению методики решения задачи расчета
вероятности невыхода параметра за поле допуска.
*
б) Методика расчета вероятности невыхода параметра за пределы допусти-
мого диапазона в течение заданного временного интервала.
Введем Q (t) - вероятность выхода случайной функции § (t) за допусти-
мый диапазон [хн,хв] на интервале времени (0, t]. При этом
Q(t) = QH(t) + Q.(t),
где Qh (t) и QB (t) соответственно есть вероятности выхода за нижнюю и
верхнюю границы.
Рассмотрим, для определенности, QB (t) (рис. 3.13).
Выберем такой малый интервал di, на котором может произойти только
один выброс. Будем считать, что выброс произошел, если
$ (t) < хи , но | (t - dt) > х8 . (3.190)
Пусть $ (t) - дифференцируемая случайная функция и введем 7 (t) - случай-
ную функцию скорости изменения случайной функции { (t). Тогда условие
(3.190) выброса за хв на интервале [t,t + dt] можно записать в виде
5 (0 < хв, но £ (t) +1) (t) dt > х>, ij (t) > 0 . (3.191)
12»
X
Рис. 3.13
Здесь использовано разложение £ (t+dt) вряд Тейлора и учтено, что длина
интервала dt достаточно мала. Запишем условие (3.191) иначе:
х» - rj (t) dt < § (t) < xg . (3.192)
Тогда элементарная вероятность выброса на интервале [t,t + dt)
d Q, (t) = Вер {х» -(t) dt < £ (t) < хв} . (3.193)
Для вычисления этой вероятности необходимо знать совместную плот-
ность распределения значений случайных функций £ (t) и ij (t) для каждого мо-
мента !. Пусть эта плотность f (х (t), V (0 ) задана.
Тогда
* х«
dQ.(t)»/ / f(x(t), v(t))dxdv . (3.194)
О х»—v(i)dt
На рис. 3.14 область интегрирования заштрихована (при фиксированном
значении V (t) внутренний интеграл вычисляется в пределах от
х» - v (t) dt до хв).
Так как V (t) dt - м ало, то, используя теорему о среднем, для внутреннего
интеграла запишем
/ f(x(t), v (t) dt = v (t) dt -f(xe, v(t)) . (3.195)
xB - v (t) dt
Тогда
221
at>
d Q» (t) - dt / f <stB, v (t)) v (t) dt . (3.196)
0
Таким образом, на интервале (t,t + dtJ плотность вероятности выброса
определяется выражением
=1 f (х., v (0) v (t) dv . (3.197)
Аналогично получим плотность вероятности выброса за нижний уровень
хн. При этом условие выброса за хи на [t.t + dt) имеет вид
£ (t) > хн, но | (t + dt) < Хи ,
или
|(t)>xH, но f(t)-7(t)dt<xB ,
откуда
XH<S(t)<XH+jj(t)dt .
При этом
он Хи4*(1)<Н
6 0,(0-/ / f(x(t), v(0)dxdv-
О а*
-dt/ Г(хи, v(t))v(t)dv
О
222
и
- / f (х«, v (t) ) v (t) dv . (3.198)
01 0
Объединяя (3.197) и (3.198), получим плотность вероятности выброса за
пределы допустимого диапазона:
dt dt + dt
- J [f (хи, ¥ (t)) + f (x*, v (t)] v (t) dr . (3.199)
Тогда среднее число выбросов a (t) на интервале (0, t] определяется соот-
ношением
a(t)-}q(t)dt-/7ff(xB,v(t)) + f(x>,v(t))]v(t)dvdt . (3.200)
о О О L J
Предположим, что поток выбросов является пуассоновским.
Тоща
есть вероятность ровно т выбросов на интервале (0, t], а вероятность отсутст-
вия выбросов на этом интервале определяется по формуле
Po(t) = e-®W«
exp|~/J [f(x., v(t)) + f (ju, *(t))] v(t)dvdt| . (3.201)
Если a (t) мало, то
* 1 во
Po (t) 1 - j / Ft (xH, v (t)) + f (xB, v (t) )1 v (t) dv dt .
0 0 1 J
Рассмотрим частный случай, когда < (t) - стационарный случайный про-
цесс. При этом
m£,i (t) -т , т£ 2 (t) =с& , i(t)=0, т^, 2 (t) .
из
В силу стационарности плотность распределения f(x(t), V(t)> не зависит
от времени. Тогда соотношение (3.201) упрощается к виду
Ро (t) • ехр| -1 / [f (хя, v) + f (хв, v)] v dvj . (3.202)
Пусть, например, $ (t) - нормальный стационарный процесс. При этом
1 1
— е joj •—~е
/St Ох /St Оч
Тогда вероятность отсутствия выброса за допустимые границы
Po(t)-exp|-t/-—Ге +е ] х
* 0 у’ЗяОх L j
х e2^vdv} “
/Stay J
, I Г --f V . 1
•“’{"bS Г +е 20? Jj»‘ 2O?dv}'
Так как
„ 1 2 „
00 V у у ®°
20?dv = -^e 20?1=(*-
то
> t Л г fa-”1)2 fa-mf
Po(t) = expJ-^-^ [е +е *£ ]} •
Методика расчета вероятности невыброса случайного процесса сущест-
венно упрощается, если известны моментные функции этого процесса и они, а
также реализации случайного процесса, монотонны. Пусть в начальный момент
to значение параметра находится в допустимом диапазоне, то есть
Р(Ше[*и,кв] =1 .
Вероятность того, что параметр выйдет за поле допуска на интервале
[t,t+dt] найдем из следующих соображений. Пусть Т- случайное время до выхода
за поле допуска, a F(t)eP(T<t) - соответствующая функция распределения.
Тогда условная вероятность невыхода за поле допуска на (t,t + dt] равна
Р(м+ао-^.
откуда условная вероятность выхода
224
Q(t,t + dt) = l - p (t, 14- dt)« p ® *
P V/
V 1 -F(t)-I 4-F(t4-dt) F (t 4-dt) - F (t)
P (t) P (0
Тогда безусловная вероятность выхода параметра за поле допуска на ин-
тервале [t»t+dt] определяется соотношением
R(t, t4-dt) -Q (t, t + dt) • p (t) = F (t 4-dt) - F(t) »f (t)dt ,
где f (t) - плотность распределения времени до первого пересечения границ
поля допуска.
С другой стороны, эту вероятность можно рассчитать через закон распре-
деления значения £ (t) в момент t.
Пусть
<I»(x,t)-P(|(t)<x) .
Тогда
Р (хн s £ (t) £ хв)« Ф (хж, t) - Ф(хи, t) ,
и
Р (хн S £ (t 4- dt) £ Хв) = Ф (Хв, 14- dt) - Ф (хи, 14- dt) .
Так как для монотонного процесса £(t)
Р (хн (t) s хв) ™ 1 — F (t)
и
P(xeS|(t4-dt)SxB)»l -F(t4-dt) ,
то
F(t 4-dt) - F (t) «= f (t)dt = [1 -P (xH s£ (t 4-dt)Sхв)] ~
-[1 -P(xBi§(t)sxB)] =P(xH£g(t)sx.)-
-P (XH S£(t 4-dt) Sxb) “
= Ф (Хв, t) - Ф (xH, t) - Ф (Хв, t 4- dt) 4- Ф (Хи, t 4- dt) •
«d Ф (xH, t) -d Ф (хв, t) •
Отсюда
f(t)--d<X>fcflf\ (3.203)
Для упрощения процедуры практического дифференцирования введем
функцию Q (х, t), от которой Ф(х,0 зависит к^к от единственного параметра,
что во многих случаях легко сделать.
225
Если, например, £ (t) - нормальный случайный процесс и
Ф (х,!) ----------- J e~(»“®«(0) dx ,
^/TFox(t)
то
Тогда
i х-т?(0 ffix.t)
Ф (0(х, t)) f е о,(0 е 2 d0(x, t) .
Если f(t) - релеевский случайный процесс и
ха
Ф(х,0-1-е 2о?(1)’
то
<Ц*Л)ж7777л •
v 0а (t)
Тогда
Ф(0(х, <))**! -е 2
С использованием Q (х, t) имеем
4Ф£4г.!)д<1Ф(хг1).40^ (3204)
dt d0(x, t) dt ’
а также
1$.&г0 ж Д.Ф (xt *). d ? (xt 0 ntpfa rt (3 205)
dx dtf(x,t) dx W-л»^
гдер(х, t) - плотность распределения значений процесса в сечении, соответст-
вующем моменту t
Тогда с учетом (3.205) перепишем (3.203) следующим обрезом:
f ftx -- d ф (X, t) d Ф (X, 0 . d 0(х, t) У
dt d0(x,t) dt JI
d0(X,t)
Я t *•
dx
d 0(xB, t) d#(xa, t)
13-ш>
dx d x
226
Пусть например, £(t) - нормальный случайный процесс. При этом
( Л 1
^0»^ •
Так как
dfl(x, t) „ (<)°* (0 ~g (t) (x - mK (t)) ddfr.t) я1
dt <&(t) ’ dx 0x(t) •
TO
f(t)
1
vEroiC)
(x*-m»(t))a
(0
(mi (t) Ox (t) + oi (t) (x) (x* - mx (t)) -
(xB-rax(t))3 , ,
-e 2^(t) (n»x(t)c^(t)+ax(t)(xH-mx(t)) .
Если
mx(t)=nio-kmt , <%(t) = kot ,
TO
mx(t) = -km, a* (t) » ko .
При этом
fflx (t) • <hL <0 + <4 (t) (x - Шх (t)) =
®-kmkot +ko(x-mo + kmt) ch(x -mo) .
Тоода
f (t)Le <XB “mo) “
(хн-ЯЦ-Нш1)2 1
-« 2k3t3 (xM-mo>J.
Пусть теперь £ (t) ~ релеевский случайный процесс. При этом
___х2
г^,). •
Так как
227
dg(x,t)= x-^(t) d0(x,t)____L_
dt <£(t) ’ dx <%(t) ’
TO
,(0“§(o[X“e 2^(»)~x"e Mfr)]*
Таким образом, используя (3.206), получаем соотношение для f (t) - плот-
ности распределения времени до первого выхода за пределы поля допуска.
Теперь вероятность выхода параметра на интервале (0, t] определяется соотно-
шением
Q(t)-}f(T)dr,
О
а интенсивность параметрических отказов
1- Q(t) •
228
ЛИТЕРАТУРА
1. Вснтцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969.
2. Демидов В.П., Кутыев Н.Ш. Управление зенитными ракетами. - М.;
Воениздат, 1989.
3. Кледирок Л. Теория массового обслуживания. - М.: Наука, 1969.
4. Криницкий Е.И. Системы самонаведения. - М.: Машиностроение, 1970.
5. Неупокоев Ф.К. Стрельба зенитными ракетами. - М.: Воениздат, 1980.
6. Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания. - М.:
Сов, радио, 1969.
7. Палий А.И. Радиоэлектронная борьба. - М.: Воениздат, 1973.
8. Раскин Л.Г. Математические методы исследования операций и анализы
сложных систем вооружения. - Харьков: ВИРТА ПВО, 1968.
9. Рыжиков Ю.И. К вопросу о законах сохранения в теории массового
Обслуживания. - Кибернетика, 1976, N2.
15
229
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.................................................... 3
1. ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ ЗЕНИТНОГО
УПРАВЛЯЕМОГО РАКЕТНОГО ОРУЖИЯ.............................. 5
1,1. Назначение и классификация систем зенитного управляемого
ракетного оружия.......................................... 5
1.2. Системы управления зенитным ракетным оружием........... 5
1.3. Методы наведения зенитных управляемых ракет.......... 10
1.3.1. Требования к методам наведения................. 10
1.3.2. Двухточечные методы наведения.................... 12
1.3.3. Трехточечные методы наведениа:............... 18
1.4. Основы управления зенитными ракетами.................. 22
1.4.1. Этапы управления зенитной ракетой.............. 22
1.4.2. Управление стартом зенитной ракеты........... 23
1.4.3. Управление полетом зенитной ракеты............. 25
1.4.4. Управление подрывом боевого заряда зенитной ракеты.... 28
1.5. Классификация и устройство зенитных управляемых ракет..... 29
1.6. Бортовая аппаратура управления полетом зенитной ракеты.. 38
1.6.1. Назначение и состав аппаратуры.............. 38
1.6.2. Координатор.................................... 38
1.6.3. Счетно-решающий прибор...................... 45
1.6.4. Автопилот.................................... 46
1.7. Боевое снаряжение зенитных управляемых ракет........ 47
1.7.1. Боевые части зенитных управляемых ракет........ 47
1.7.2. Неконтактные радиолокационные взрыватели зенитных
управляемых ракет.................................. 51
1.7.3. Оптические взрыватели зенитных управляемых ракет. 61
1.7.4. Предохранительно-исполнительные механизмы и устрой-
ства самоликвидации зенитных управляемых ракет 63
2. СТРЕЛЬБА ЗЕНИТНЫМИ УПРАВЛЯЕМЫМИ
РАКЕТАМИ............................................... 64
2.1. Системы координат и параметры движения объектов.... 64
2.1.1. Системы координат и параметры движения
баллистических и аэробаллистаческих объектов........ 64
2.1.2. Системы координат и параметры движения
аэродинамических целей.............................. 66
2.1.3. Измерительные системы координат.............. 70
2.1.4. Подвижные системы координат, связанные
с летательным аппаратом............................ 71
2.1.5. Общее выражение для вероятности поражения цели
одной ракетой......................................... 76
2.1.6. Закон распределения ошибок наведения........... 78
2.1.7. Ошибки в системах, использующих трехточечные
методы наведения................................... 85
2.1.8. Ошибки в системах, использующих двухточечные
методы наведения................................ 87
2.1.9. Закон распределения точек подрыва ракет........ 92
2.1.10. Закон поражения отдельного агрегата и цели... 94
2.1.11. Расчет вероятности поражения одиночной цели
одной ракетой и очередью ракет........................ 98
2.2. Экономичность стрельбы.............................. 102
2.3. Зоны обстрела, поражения и пуска................. 108
2.3.1. Общие положения............................. 108
2.3.2. Расчетные зоны поражения...................... 113
2.3.3. Дальность действия радиолокационных средств зенитно-
го ракетного комплекса............................. 116
2.3.4. Учет влияния Земли на дальность действия радиолокаци-
онных средств зенитного ракетного комплекса......... 121
2.3.5. Реализуемые дальние границы зон пуска и поражения.... 123
231
2.3.6. Реализуемые ближние границы зон пуска и поражения. 124
2.3.7. Построение гарантированных эон пуска........ 124
2.3.8. Цикл стрельбы и работное время............... 126
3. ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ
СИСТЕМ ЗЕНИТНОГО УПРАВЛЯЕМОГО РАКЕТНОГО
ОРУЖИЯ................................................ 128
3.1. Основные принципы построения математических моделей
сложных систем........................................... 128
3.1.1. Основные понятия, определения............... 128
3.1.2. Задачи исследования систем................ 129
3.1.3. Формальное представление системы...*........ 130
3.1.4. Агрегаты.................................... 132
3.2. Аналитические модели функционирования сложных систем , 136
3.2.1. Марковские модели функционирования сложных
систем............................................... 136
3.2.1.1. Общие положения......................... 136
3.2.1.2. Дискретный марковский процесс........... 136
З.2.1.З. Непрерывный марковский процесс......... 140
З.2.1.4. Марковские модели функционирования систем
зенитного управляемого ракетного оружия......... 148
3.2.2. Полумарковские модели функционирования сложных
систем............................................ 170
3.2.2.1. Способы задания полумарковского процесса (ПМП) 170
3.2.2.2. Интервально-переходные вероятности...... 173
3.2.2.3. Асимптотическое поведение полумарковского про-
цесса........................................ 175
3.2.2.4. Время пребывания полумарковского процесса в под-
множестве состояний.............................. 177
3.2.2.5. Время пребывания полумарковского процесса в под-
множестве состояний до попадания в фиксирован-
ное состояние.................................... 181
232
3.2.2.6. Полумарковские модели функционирования систем
зенитного управляемого ракетного оружия............ 184
3.3. Имитационные модели функционирования сложных
систем.....................................................193
3.3.1, Общие принципы................................. 193
3.3.2. Моделирование испытаний в схеме случайных событий 199
3.3.3. Формирование возможных значений случайных вели-
чин с заданным законом распределения.................. 200
3.3.4. формирование реализации случайных векторов н функ-
ции.................................................. 203
3.3.3. Имитационная модель функционирования системы
зенитного управляемого оружия......................... 205
3.4. Учет эксплуатационных факторов в моделях функционирования
систем зенитного управляемого ракетного оружия............ 209
3.4.1. Общие принципы............................. 209
3.4.2. Оценка комплексного показателя безотказности систем
зенитного управляемого ракетного оружия............... 209
3.4.3. Оценка единичного показателя безотказности системы
зенитного управляемого ракетного оружия по данным
о результатах контроля ее работоспособности.......... 211
3.4.4. Прогнозирование единичного показателя безотказности
системы зенитного управляемого ракетного оружия на
заданном интервале использования по назначению....... 216
233