МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. Н.Э. БАУМАНА

Ю.В. ПЕШТИ

РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТОТ
ВРАЩЕНИЯ ВАЛА

Методические указания
Издание 2-е, дополненное

Под редакцией И.Г. Суровцева

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2004
УДК 621.822.5

ББК 31.363

П31

Рецензент д-р техн, наук, проф. К.Е. Демехов

Пештн Ю.В.

П31 Расчет критических частот вращения вала: Методические указания
/ Подред. И.Г. Суровцева. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 39 с.:
ил.

ISBN 5-7038-2578-4

В методических указаниях кратко изложены теоретические сведения
о критических частотах вращения двухопорных валов и методах их расче-
та. Приведены приближенные графоаналитические расчеты критических ча-
стот бесконсодаиых, одно- и двухконсолъных валов, точный расчет 1,2 и 3-й
критических частот вращения валов произвольной формы с жестко и упру-
го закрепленными опорами. В приложении представлена программа расчета
первой критической частоты вращения на ЭВМ (пакет «Maple 7»), составлен-
ная Е.Н. Квзативой.

Для самостоятельной проработки студентами курсов «Динамика машин
на опорах С газовой смазкой», «Турбомашины низкотемпературной техни-
ки», «Динамика машин и прочность блоков СЖО», при выполнении КНИРС,
курсовых и дипломных проектов. Методические указания могут быть ис-
пользованы в учебном процессе других кафедр МГТУ им. Н.Э. Баумана, а
также для научно-исследовательской работы сотрудников МГТУ и других
предприятий.

Ил. 9. Табл. 2. Бибпиотр. 5 назв.

УДК 621.822.5

ББК 31.363

ISBN 5-7038-2578-4

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004
1.	ПОНЯТИЕ О КРИТИЧЕСКОЙ ЧАСТОТЕ
ВРАЩЕНИЯ ВАЛА

Несмотря на точную обработку, балансировку вала, колес и дру-
гих элементов ротора турбомашины, математически точного совпа-
дения главной центральной оси инерции ротора с его осью враще-
ния можно постичь лишь случайно. Обычно между этими осями
имеется эксцентриситет (дисбаланс), при вращении вала вызыва-
ющий динамическую неуравновешенность (появление центробеж-
ных сил). Роторы турбомашИн балансируют динамически. Точность
их балансировки соответствует 2-3-му классу по ГОСТ 22061-76
[1, с. 5,16], а эксцентриситет (удельный дисбаланс) между рассма-
триваемыми осями лежит в пределах 0,03... 20мкм (меньшие зна-
чения относятся к высокооборотным легким роторам, большие —
к тихоходным тяжелым роторам).

Рассмотрим действие центробежной силы на вертикальный
упругий вал с пренебрежимо малой массой и коэффициентом жест-
кости К и насаженным на него эксцентрично массивным тонким
диском массой т (рис. 1, а) [2,3]. На рис. 1 изображен вал с несба-
лансированным диском при угловой скорости вращения.

Ось вала выбрана вертикальной, чтобы исключить влияние соб-
ственного веса вала на его прогиб. Предположим, что центр масс
диска находится в точке О на расстоянии е от оси вращения вала
(рис. 1, а). Возникающая при вращении вала центробежная сила С
вызывает в среднем сечении деформацию (динамический прогиб)
a

б	в	г

Рис.1

вала у. Изогнутая ось вала вращается с угловой скоростью ш во-
круг оси, проходящей вертикально через подшипник (на рис. I ли-
ния А OiB). Тогда центр масс диска Оц движется по окружности
радиусом у + е, а центробежная сила диска С — т(у + е)о>2. Сила
упругости, действующая на диск со стороны вала, равна Ку.

Согласно принципу Д’Аламбера, центробежная сила численно
равна силе упругости вала при его прогибе, т. е. т(у + е)ш2 = Ку.
Отсюда

Из зависимости (1) следует, что прогиб вала становится беско-
нечно большим, если знаменатель обращается в нуль: К—mw2,=0.
Отсюда находим критическую угловую скорость вращения вала при
изгибе на абсолютно жестких опорах. Она равна собственной ча-
стоте изгибных колебаний системы «вал — подшипник» при отсут-
ствии вращения вала в опорах. С учетом этого формулу (1) можно
переписать в виде

= K/(m^) - I	(1а)
При критической частоте вращения вала диски в любом поло-
жении находятся в состоянии безразличного равновесия, а враще-
ние вала становится динамически неустойчивым. Этой частоте со-
ответствует явление резонанса, при котором частота вращения вала
совпадает с частотой собственных изгибных колебаний ротора.

Как следует из зависимости (1 а), на прогиб вала влияют эксцен-
триситет е (дисбаланс), частота w, К и не влияют силы тяжести ро-
тора. Следовательно, критическая угловая скорость вращения одно-
го и того же вала будет одинаковой как в земных условиях, так и в
условиях невесомости, например на борту спутника Земли.

На практике достижение валом критической частоты обнару-
живается благодаря тому, что при критической частоте возникает
значительная вибрация, приводящая при длительной работе к ава-
рии. В действительности по достижении Шцр поломка происходит
не сразу вследствие различных сопротивлений, возникающих при
колебаниях вала и в известной степени демпфирующих (гасящих)
их. К таким сопротивлениям относятся внутренние силы трения в
материале вала, трение диска и вала об окружающую среду, трение
в подшипниках. Силы сопротивления не позволяют возрасти про-
гибу вала до бесконечности. Из зависимости (1а) следует, что с уве-
личением w прогиб вала уменьшается и при ы —> у —> е. При
частоте вращения вала больше критической амплитуда колебаний
его уменьшается и турбомашина работает спокойнее, т. е. опасной
является частота вращения, равная или близкая к критической.

Валы, работающие при частотах больше критической, называ-
ют гибкими, а работающие при частотах меньше критической, —
жесткими.

Все предыдущие рассуждения сделаны для вертикального (не-
весомого) упругого вала, но они остаются в силе и для горизонталь-
ного упругого вала, прогнувшегося под действием силы тяжести
диска на величину А = у. Вращение происходит вокруг упругой
линии вала. Прогиб у при этом по-прежнему вызывается действием
центробежной силы С = m(j/+e)w2,T.e. значение не зависит от
расположения продольной оси вала в пространстве. Критическую
частоту определяют по статическому прогибу вала под действием
силы тяжести самого вала, колес и других элементов ротора турбо-
машин.

Различают частоты прямотой обратного движения, или прямой
и обратной прецессии. Частотой прямой прецессии называют ча-
стоту, при которой направление вращения диска совпадает с напра-
влением вращения плоскости с изогнутой осью вала. Если напра-
вления вращения диска и плоскости с изогнутой осью вала проти-
воположны, имеет место обратная прецессия.

Если жесткость вала различна по двум осям, то такая система
будет иметь две критические частоты

Изменяя значения Е, J, т, расстояние между опорами вала 1Р
и жесткость опор ротора турбомашины, можно изменять критиче-
скую частоту вращения вала в опорах. На частоты собственных ко-
лебаний валов влияют зазоры в подшипниках, изменение жестко-
сти опоры, несимметричность жесткости опор, массы вала, опор,
корпусов, вид их подвески в системе всего агрегата и т. п. Расчеты
критических частот, выполненные без учета указанных факторов,
дают завышенные результаты по сравнению с действительными.

Для вычисления щхр применяют несколько методов. Среди них
как точные, так и приближенные методы определения wKp: точное
решение дифференциальных уравнений изгибных колебаний вала
и приближенные методы — энергетический метод (метод Релея),
метод Релея — Ритца, метод Галеркина, аналитический метод Сто-
лоды, метод динамических жесткостей и др. Приближенные мето-
ды сбычно применяют на практике из-за простоты решений, когда
нет программы для решения точных уравнений с помощью ЭВМ.
Из приближенных методов наибольшее распрос транение получил
графоаналитический энергетический метл Релея, поэтому в дан-
ном пособии <111 ПрИНЯ! М основу при 1НН.ЧС1С и)Яр.
2.	ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ
КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТОТ ВРАЩЕНИЯ
ДВУХОПОРНЫХ ВАЛОВ

Энергетический метод сводится к определению шкр из условия
равенства максимальных значений потенциальной и кинетической
энергии системы за один оборот вала при заранее заданной фер-
ме кривой основного вида колебаний. Как показала практика, впол-
не удовлетворительный по точности результат получается, если за
кривую основного вида колебаний принять упругую линию вала,
обусловленную действием статической нагрузки, в качестве кото-
рой берут силы тяжести участков горизонтального вала в гравита-
ционном поле (например, поле Земли). Расчетную зависимость по-
лучают следующим сбразом.

Например, при гармонических свободных колебаниях невраща-
ющегося вала по первой форме (первая критическая частота Ai)
все его массы одновременно достигают максимального удаления
от положения равновесия и одновременно через него проходят. По-
этому, если обозначить через уг,У2,Уз» • • •, У г статические прогибы
отдельных частей горизонтального вала под действием сил тяже-
сти , (72, G3,..., Gi, то потенциальная энергия деформации ва-
ла, накопленная за время максимального отклонения его от положе-
ния равновесия, може^быть определена согласие зависимости

Пэ = 0,5(G, + G2 + G3 + ... + G.) = 0,5 22 G.»,.

Поскольку колебания масс ротора считают гармоническими, то
перемещения отдельных масс относительно положения равновесия
в любой момент времени равны	...; j£*”A1T,

где Ai — круговая частота, с-1; т — время, с.

Когда центры масс участков ротора проходят через положение
равновесия, их скорости достигают наибольшего значения:

}	= У1 Ai; У2 Ai; йзА1 • • • Z/iAi •
Максимальная кинетическая энергия ротора в этот момент

Кэ = 0,5Al(miyl +т2у2 +rnsyf +...	= 0,5А?	т^-

Приравнивая максимальные значения потенциальной и кинети-
ческой энергии ротора за одно колебание (один оборот вала), опре-
деляем круговую частоту колебаний, т. е. критическую угловую ско-
рость:

Ai

U-кр

2тг

= 29,9

(2)

где Gi подставляют в формулу (2) в ньютонах, тг—в килограммах,
yt — в метрах.

2.1. Определение критических частот вращения
двухопорпого вала без консолей

Для определения критической частоты вращения вала вначале
необходимо выбрать форму упругой линии вала. Так, для первой
критической частоты шхр1, характеризующейся наибольшими про-
гибами у вала, упругую линию можно изобразить в виде полуволны
колебаний между опорами вала (рис. 2, с), для второй—в виде вол
ны (рис. 2, б), для третьей — в виде 1— волны (рис. 2, в) и т. д. При
этом силы тяжести Gt участков вала и других внешних нагрузок
следует направлять так, как показано на рис. 2.

Опишем графоаналитический метод построения упругой линии
„	_ Г метр натуры I

вала при определении	. Для этого в масштабе pe I	черте^|

вычерчиваем схему вала (рис. 3). Далее вал разбиваем на ряд участ-
ков с постоянной жесткостью EI (где Е — модуль упругости ма-
териала участка вала, Н/м2; I — момент инерции сечения участ-
ка вала, м4) длиной не более 1,5 диаметров вала. В центрах масс
участков приложены сосредоточенные силы G*, включающие в се-
бя силы тяжести участков вала и элементов ротора (колеса, втулки,
полумуфты, кольца и другие элементы), если они на этом участке
Рис. 2

имеются. Под схемой вала строим эпюру изгибающих моментов.
Для этого из произвольной точки А' справа от схемы вала на вер-

[Н 1

--------—- последовательно
м чертежа J

откладываем силы Gs. Отмечаем границы, на которых они действу-
ют, цифрами (например, отрезок 1—2 представляет в определенном
масштабе силу тяжести Сг). Далее на произвольном расстоянии
Hl от вертикали AID1 выбираем полмс Oi.

Соединив точки 0,1, 2, 3, 4 с полюсом Oj прямыми линиями,
получим треугольники сил, по которым строим эпюру изгибающих
моментов. Для построения эпюры изгибающих моментов через
произвольно расположенную точку А на вертикали, проходящей
через центр левой опоры вала, проводим прямую, параллельную
лучу Oi — О, до встречи ее с направлением действия сил тяжести
Gi (точка а). Из точки а опять проводим прямую линию, парал-
лельную лучу Oi — 1, до пересечения ее в точке б с направлением
действия силы G% и так до точки В. Затем прямой линией соеди-
няем точки А н В и получаем эпюру изгибающих моментов Ми
Рнс.З

как результат определения графоаналитическим методом двойных
интегралов Мора. В этом многоугольнике любая ордината (вер-
тикальное расстояние между ломаной линией АабвгВ и замыка-
ющей прямой линией АВ) соответствует значению изгибающего
момента в определением масштабе в том поперечном сечении ва-
ла, через которое она проведена. Замыкающая АВ в пространстве
может иметь любое положение, отличающееся от горизонтального.
Изгибающий момент берем по абсолютной величине.

Выбранное произвольно полюсное расстояние Hi в масштабе
сил тяжести составляет {j.gHi (ньютонов). Истинный изгибающий
момент Мя можно найти, умножив ординату г (в метрах) эпюры
изгибающих моментов, измеренную в масштабе длин вала рв j,
на полюсное расстояние Hi, измеренное в масштабе сил тяжести

PG > т- е. Ми = z^ugHi.

Для учета переменного диаметра вала примем один из его участ-
ков (обычно с наибольшим диаметром d) за основной и увеличим
ординаты z других участков эпюры изгибающих моментов М„ в от-
ношении моментов инерции сечения вала	где J4 =

64

— момент инерции вала с диаметром d;	— —(d^ —	— м°-

мент инерции вала с диаметром df,	и d^ — наружный диаметр

вала; da и dBi — внутренний диаметр вала, если он выполнен в виде
трубы. Отсюда следует, что, например, на участке с диаметром ва-
<Й-<Й
ла di ординаты эпюр изгибающих моментов увеличены в

раз. Скорректированная таким образом эпюра изгибающих момен-
тов М' расположена выше первой эпюры Мк, которая для сравне-
ния здесь же выделена густой штриховкой.

Далее, проведя из полюса на треугольниках сил Gi пунктирную
линию О\В', параллельную линии АВ на вертикали A'D', получим
реакции левой и правой опор Ri и 7?г. Но можно поступить наобо-
рот: рассчитать реакции, отложить их на вертикали А’О', провести
линию О\В' н сравнить ее с линией АВ.

Графическое интегрирование для определения прогибов вала
выполняют аналогично построению эпюры изгибающих момен-
тов. Отличие в том, что подынтегральной функцией являются не

_	Ми	.

нагрузки Gi, а величина -—, которую назовем фиктивной нагруз-
кой. Для ее нахождения поступим следующим образом. Поделим
эпюру изгибающих моментов М'а на ряд площадей /j, соседние
из которых на эпюре М* заштрихованы в противоположные сто-
роны под углом 45°. В центре тяжести каждой площадки условно
приложим силу Qj, численно равную площади данного участка
j. Если площадь /5- участка j в масштабе чертежа равна /j м2, то
сила Q3 = fjuliiQHi. Участки, на которые мы поделили эпюры
изгибающих моментов AfB', представляют собой простые фигуры:
треугольники, трапеции или пятиугольники. Центры тяжести пло-
щадей этих эпюр определяют по известным зависимостям, приве-
денным в соответствующих разделах механики. Результаты расчета
сил Qj, как и других найденных величин, заносим в таблицу, соста-
вленную для каждого участка. Затем (справа от эпюр изгибающих
моментов для нашего случая) на произвольно выбранной вертикали

_ ГНм21	.	„	„

в масштабе /iq -----1 откладываем из точил Аз силы Qi - -. Qe

EId

в виде векторов. По формуле Н% = ----вычисляем полюсное

расстояние Нъ. значение которого получается слишком большим
и не может быть отложено на чертеже. Поэтому уменьшаем его в

Е1л
произвольное число Kj раз. Тогда Лгчертежа = —

После этой операции на чертеже выбираем произвольную точ-
ку О2, расположенную на расстоянии Hz от вертикали с вектора-
ми Qj, которую соединяем прямыми линиями с концами и началом
векторов Qj. Далее строим многоугольник прогибов тем же спосо-
бом, что и многоугольник эпюры изгибающих моментов: на вер-
тикали, проходящей через левую опору, произвольно откладываем
точку С, из которой проводим прямую линию С а', параллельную
лучу А3О2, до пересечения с линией действия вектора Qi, на эпюре
изгибающих моментов Ми', пересечение которых дает точку а'; из
точки а проводим прямую линию а1 б', параллельную лучу G1O2, до
пересечения с линией действия вектора Q2 на эпюре изгибающих
моментов Мя, пересечение которых дает точку б’ и т. д. до точки D.
Соединяем между собой прямой линией точки CD. Получаем эпю-
ру, ординаты которой d в определенном масштабе являются проги-
бами вала в соответствующих сечениях, а ломаная линия C — d —
б' — е' — d — д' — е' - ж' — D представляет собой упругую линию

вала.

Ординаты Z},г* находятся на вертикалях, являющихся
продолжением векторов Gj..G4. Они представляют собой про-

гибы, увеличенные в ~ раз. Поэтому истинные значения проги-

KS
бов

yt определяют из зависимости — х/

Далее для каждого

к,-

участка определяют значение произведений Gtyi и тп<у?, которые

затем суммируют, а результат их подстановки в формулу (2) позво-
ляет рассчитать 1-ю критическую частоту вращения бесконсольно-

говала.

В этом расчете не учитывались жесткость втулок, посаженных
на вал колес, гироскопический эффект вращающихся дисков и дру-
гие факторы. При посаженных на вал с натягом колес, втулок н
других элементов прогиб yi, найденный без учета натяга, следует
уменьшить в каждом таком сечении на величину Ду», определяе-
мую по формуле



>“Ё[d-x)«P-n^], (з)

где 1Р — расстояние между серединами радиальных опор вала, м;
а—расстояние от опоры до данного сечения, м; х—коэффициент,
определяемый из графика на рис. 4; I — расстояние от продольной
оси данного диска (втулки), м; Ми — изгибающий момент в месте
посадки на вал с натягом диска (втулки), Н • м; I — момент инер-
ции сечения вала в месте посадки на вал диска (втулки), м4; пкр —
критическая частота вращения вала без учета посадки на вал дета-
лей с натягом, об/мин; i—номер участка, отсчитываемый от левой
опоры.

Вычислив по формуле (3) △у/, для нескольких значений Мк,
строят истинную упругую линию вала с прогибали уя^ = у%~ Ь.у„
по которым определяют критическую частоту вращения вала.

Методика и порядок расчета 2-й критической частоты несколько
другие н выполняются в такой последовательности.

1.	На линии статического прогиба, соответствующей 2-й фор-
ме колебаний вала (см. рис. 2, б), намечают положение узловой точ-
ки (У (условной дополнительной опоры вала), отстоящей от левой
Рис. 4

опоры вала на расстоянии Х<у, так как действительное положение
точки О пока неизвестно.

2.	По формуле (2), определяют п,ф1 для участков АО’ и О’Б,
т. е. п'кр1ло' и п'муб-

3.	Если положение точки О' выбрано правильно, то п'^дао1 —
— п'крЮ' = пкр2- Если n'xpiAO' п'крю», то принимают

п'кргло' _ f

икр1АО' X Х& J

Т. е. П крТАО' — пкР1 АО

(ё)

3/2

/ I -X \3/2

Аналогично	 Из уравнения

ПКР1АО'	= ПадАОВ	получают Хо.

.	( х X3/2

. 4. Определяют = пкрыо' = пкр1Ао' )  Дия кон-
троля изменяют положение точки О' н вновь выполняют все расче-
ты, а затем проверяют, остались ли одинаковыми пкр2-

Методика определения 3-й критической частоты такая же, но
расчет ведется с учетом формы упругой линии вала (см. рис. 2, в).
Значение пхр с учетом гироскопических моментов определяют ме-
тодом последовательных приближений. Для этого задаются величи-
нами прогибов и углами поворота сечений вала для разных частот
вращения вала, подставляют их в выражения для определения цен-
тробежных сил и гироскопических моментов, определяют, уточня-
ют прогибы вала и углы поворота сечений н т. д. Далее строят гра-
фик у = п (пкр) для одного из дисков и при Утах определяют пкр
[2, с. 363].

2.2.	Определение критических частот вращения
двухопориого однокоисольного вала

Как и в предыдущем случае, для определения любой критиче-
ской частоты вращения вала вначале нужно выбрать форму упру-
гой линии вала. Первая критическая частота характеризуется наи-
большими прогибами вала, поэтому упругая линия вала между ра-

диальными подшипниками изображается в виде полуволны коле-

баний (рис. 5, а), для второй — в виде волны (рис. 5, б), для третьей
— в виде 1— волны (рис. 5, в) и т. д. При этом силы тяжести вала и
других внешних нагрузок направлены так, как показано на рис. 5.

От предшествующего расчета, приведенного в параграфе 2.1, этот
случай отличается лишь методикой построения эпюр моментов и
прогибов.

Определим 1-ю критическую частоту вращения вала [4]. Нагру-
жение однокоисольного вала конкретных размеров силами Gi пока-
зано на рис. 6 и осуществлено по принципу рис. 5, а. На треуголь-
никах сил сила Gi, отложена в вида отрезка 0-1. сила Ga — в виде
отрезка 1 - 2 и т. д., а сами нагрузки имеют значения, приведен-
ные в табл. 1. Масштаб длин вала д, — 5 м/м, масштаб сил тяжести
PG = 1000 Н/м, полюсное расстояние Hi = 0,05, максимальный
диаметр приведения d — 0,175 м.

Построение эпюры изгибающих моментов, как обычно, начи-
наем с точки Ai, причем линия Ail1 параллельна линии t>iO, а ли-
нию 7'С, параллельную 7Oi, проведем до пересечения с вертикаль-
ной линией, проходящей через правую опору вала (точка С). Линия
С является замыкающей линией [2, с. 383J.
Gi|G24G3| G*jGs

e

Рис. 5

ppppppppppppp
Таблица I

Номер участка	Сила тяжести участка G».H	Площадь участка в масштабе чертежа fi  104, м2	Приведенная площадь Ли.»"’	Истинное значение прогибов у  105, м	упйд • 106, кг-м	mty?-1Q10, кг-№
1  2	0,37  1.34	0,21	0,249	0,032	1,224	0,004
		4,90	3,930	0,128	17,550	0,225
3	1.88	21,02	8,600	0,151	28,900	0,437
4	0,53	16,48	9,280	0.048	2,551	0,012
5	0,53	8,80	4,960	0,056	3,060	0,017
6	2,36	12,90	4,550	0,326	80,900	2,718
7	4,93	4,28	0,536	0,704	354,000	24,925
Многоугольник эквивалентных сил Qj (площадей) строим ана-
логично бесконсольному ротору, значения площадей заносим
в табл. 1.

Упругую линию строим тем же способом. Масштаб фиктивных
нагрузок hq ~ 4 -103 Н-м/м, полюсное расстояние Я2 = —- =

VQ

0,2 • 10ю  4590 • 10~8	_ „ , ,

= -------1Q-3-----*—“* ~ 2300 м. Коэффициент уменьшения

Я2

К/ = 2,5 -104, поэтому йачвртежа =	= 0,092 м. Замыкающую

Kf

пинию на эпюре прогибов проводим от точки А% через точку Аз пе-
ресечения упругой линии с вертикалью, проходящей через правую
опору. Здесь все прогибы берем по абсолютной величине незави-
симо от их истинного направления. Первая критическая частота
вращения ротора для нашего случая

пк₽1 = 29,9

/Г&ц / 0,488 -10~Г
у z ’ у 2fi>338 • 10~'“

—12420 об/мин.

Методика расчета 2-й, 3-Й и т. п. критических частот, как и при
определении аналогичных Частот бесконсольного вала, разница
лишь в характере приложения нагрузок (см. рис. 5).

2.3.	Определение критических частот вращения
двухопориого двухкоисольиого вала

Расчетная схема определения шк₽1 показана на рис. 7. В прин-
ципе методика расчета wKpi для двухконсольного вала мало отлича-
ется от таковой для одноконсольного ротора. При определении 1-й
критической частоты вращения вала необходимо учесть особенно-
сти (рис. 8) построения эпюры изгибающих моментов:

1)	в начале — из точки А проводят луч, параллельный линии 1

2)	в конце из точки В проводят прямую линию, параллельную
линии? -01-
Рис. 7

Рис.8

Из точки А проводят прямую линию, параллельную О — Oi. до
пересечения с вертикалью, проходящей через левую опору. Точки
С и D соединяют между собой прямой. Силу Gy откладывают вниз
от точки О (2, с. 384].
3.	АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА
КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТОТ ВРАЩЕНИЯ
ДВУХОПОРНЫХ ВАЛОВ ПРОИЗВОЛЬНОЙ

ФОРМЫ

Обычно турбомашины установок для получения холода выпол-
няют с двумя подшипниками, закрепленными в корпусе жестко
либо упруго, и вал является двукопорным. Расчетная схема такого
двухконсольного вала с шарнирно-закрепленными в корпусе ра-
диальными подшипниками и непрерывно распределенной по его
длине массой показана на рис. 9. Для определения собственной ча-
стоты колебаний такого вала, а следовательно, н его критических
частот воспользуемся методом, изложенным в книге И.А. Биргера
и др. [5, с. 507—524].

По размерам, снятым с чертежа вала, рассчитывают массовые
и жесткостные характеристики ротора. Для этого вал разбивают на
ряд участков, каждый из которых имеет постоянный диаметр, на-
гружен либо собственной силой тяжести участка, либо собственной
силой тяжести н внешней нагрузкой (например, колеса), которую
заменяют распределенной по соответствующему участку массой.

Обозначим через т(г) массу, кг/м, приходящуюся на единицу
длины вала х, м. Тогда суммарная интенсивность нагружения неде-
формированного цилиндрического участка вала может быть опре-
делена из зависимости

где р — плотность материала, кг/м3; Пд, и — наружный и
внутренний диаметры г-го участка вала, м; Mi — масса внешнего
устройства (детали), расположенного на i-м участке вала, м; —
длина места посадки детали массой Mi, м.

Интенсивность нагружения недеформированного £-го кониче-
ского участка вала можно определить согласно зависимости

т(«) — +

-Pbi +	+	1)] + ~ц-
Ш.

Рис. 9
Будем считать также, что и массовый момент инерции на еди-
ницу длины вала Jm(x) является переменной величиной. Тогда мо-
мент инерции сечения цилиндрических участков

Л^ = ^(Ои-Ов>)-

Для участков, представляющих собой тонкие цилиндрические
оболочки, момент инерции поперечного сечения вычисляют по
формуле

J(x) “ Se (Dhi + Вш)3 (Г>Н1" Вш)'

По этой же формуле определяют момент инерции сечения ко-
нических участков вала. При этом момент инерции сечения вычи-
сляют для середины участка. При прецессионном вращении (коле
баниях) с круговой частотой а> каждое сечеине упруго деформиро-
ванного вала с прогибами у (ж) будет нагружено на единице длины
dx распределенной нагрузкой от центробежных сил

q(x) — т(х)у(х)ш2	(4)

и распределенным моментом

(ч

ах

где х — текущее значение длины упругой линии вала, м; у'(х) =
d [1/(3:)]

— —d®------УГОЛ повоРота сечения вала [5, с- 498].

Начало координатных осей X и Y расположим со стороны ле-
вого конпа вала (см. рис. 9).

Под воздействием указанных нагрузок в сечении вала, располо-
женном на расстоянии х от левого конца вала, действуют перерезы-
вающая сила

Q(x) — 6(х, а1 )Rt + 6(х, a2)R2 + f q(x1)dx1 (6)
и изгибающий момент

М(х) = j j q(x2)dx2dxi+
о о

+5(®,ai)(a:—О1)Я14 б(а:,а2)(®—«2)^2+J	(7)

о

где си — координата левой опоры вала, м; аг — координата правой
опоры вала, м; Ri — реакция в левой опоре вала, Н; Я2 — реакция
в правой опоре вала, Н; JTO(®) =	—распределенный момент

инерции участка, кг-м; х^ и ®г—переменные интегрирования (сна-
чала интегрирование по х2, а затем — по scj), м; 6(х, ах) и 6(к, а2)
— единичные функции.

Единичная функция <5(ж, aj) = 0, если г < ej и 6(x,ai) — 1,
если х ej. Следовательно, если перед каким-либо выражением
стоит S(x. Oj), то это значит, что выражение учитывается только при
® 5s Оъ а до этого сечения оно считается равным нулю. Таким же
образом ведется учет фуикпий <5(а.,а2): <5(®, о,2) = 0, если х аг и
й(®, a2) = 1, если х > а2.

Введение единичных разрывных функций 6(x,Oi) и 6(х, а2)
значительно упрощает схему расчета, так как позволяет записать в
единой для всего вала аналитической форме выражение для пере-
резывающей силы Q{x) и изгибающего момента М(к).

Внося в уравнения (6) и (7) значения д(ж) и М (sc) из равенств
(4) и (5), запишем в более краткой форме:

Q{x) ~ w2Aiv(x) + 6(х, aj)^ + 6(х, a.2)R2-	(8)

М (я?) = ы'2А2у(х) + 6(х, ОцУЯ^х — ai) + <5(ж, a2)R2(x — a2),

(9)

где

= У т(ху)у(х^Х1,

о
« X1



А^х) ~ J У m(®2)2/(aj!)da,-2d«i + j	(10)

Используя зависимости (8) и (9), из краевых условий Q(l) — 0
и М(1) = 0 для конца вала получим:

ш2Л1У(1) + Ri + Rz= 0;

Л2,(1) + Rid - ад) + я2(; - щ) = о.

Определим реакции Ri и Rs вала, вращающегося в опорах:

Яу = ——— [(1-а2)Л1М-Лг„(1)]-,	(11)

«2 —О,\

(1-01)41,(1)],	(12)

где

I

ЛИО = У m(x1)y(x1)dx1;

о
I XI	I

Azv(l) = j У m(x2)y{x2)dx2dxi + j Jm(xj)y\x)dxv

Подставляя значения реакций R\ и R% из зависимостей (11) и
(12) в уравнение (9), получим выражение для изгибающего момен-
та:

М (аг) — ы2Ау(х),

где

Ау(х) = Ла(ж) + <5(®,	_ д* IG ~ °г) Ai„(l) ~ Д2»(01 +

+ 6(Ж,а2)^^- [Л2,(1) - (I - a,) Ale(l)] -
&2 ~~ °1
В выражении А%у(х) /см. зависимость (10)/ последний интеграл
отражает влияние гироскопического момента, поэтому в него вхо-
дит производная у'(х), равная углу поворота сечения вала.

Для определения критической круговой частоты u>i методом по-
следовательных приближений находим соответствующую ей соб-
ственную функцию прогиба у{х) из уравнения изгиба вала;

rf2 [nW) _ м(х)	,,,,

dx2 ~ ЕЦх)'	11

где Е — модуль упругости рассматриваемого г-го сечения вала,
Н/м2; Е1{х) — жесткость сечения вала на изгиб, Н-м2.

После первого интегрирования уравнения (13) в пределах 0... х
получим

И'(х)	(14)

0

После второго интегрирования уравнения (13) для прогиба вала
в i-м сечении получим зависимость

х Х1

у(х) = to2 f [ ^^-rdx2dx\ + 1Z(O)® + 3/(0).	(15)

0 0

С учетом жесткости опор ротора условия равновесия сил в них
следующие:

(16)

где Ci и С% — соответственно жесткость левой и правой опор, Н/м;
р(О]) и у(а2) — соответственно максимальное значение перемеще-
ний вала в левой и правой опоре, м.

В связи с этим уравнение (15) при податливых опорах для усло-
вий (16) будет иметь вид

О1 41

w2 / / rrzZ2>‘tra'fal +	=

J J EI(x2)	Ci

ran	(17)

+ »'(0)о2 + !/(°) =

J J Е1{х2)	Сз

ОО
Из системы уравнений (17) определяют значения постоянных
интегрирования j/'(0) — & и 2/(0)'-

9(0) =

Л«(®2) , j f [ А/(Ж2)л j 1
ад/ / Л, Л2&1

EI(x2)	J J EI(x2)

0 0	J

' r2

0^-02-

(18)

2/'(0) =

XI	«2 5S1

[	- f l

J EI(x2)	J J EI(x2)

Q2 — Ci

(19)

После подстановки зависимости (19) в выражение (14) полу-
чим:

^’=“7М>+

[7	+

Я2-«1 \J J EI{x2) J J EI(x2)

Lo й	oo	J

(20)

«2 — «1 \bi 02/

После подстановки зависимости (18) в (15) получим:

у(х) = (Kv + К*у),

(21)
где

K«-/Jlhw*2‘b;1+
о о

Г ад ®2	аз Xi	1

+—— f [	+

«2-«1 / J ЕЦх2) J J ЕЦх2)

Lo о	со	J

+ 1 L1 / f ^.^tfaadgt -02 f f	,

<12-01 I J J EI(x2)	J J EI(x2)

Loo	oo	J

, 1 x2 {-^7^ IG - «2) Av(0 - A2y(L)] +

(«2 - O1) I C]

+5L__E [д2 (Q - (Z - O1) Aia(Z)]|.

02	J

Коэффициент K»v учитывает податливость опор. Для расчета тре-
буется знать производную у*{х). Ее значение определяют по фор-
муле у'(х) = о>2 (K'f, + К'^), тре

\]	- J J,

02-01 |J / EI(x2) J J) EI(x2) J

"j	” E ♦!/ —	X

dx	y a2-ai

X {O- [(/ - <«) Л„(|) - Л2,(1)] - О [Л2,(0 _ (| - О1) Л1„(1)] j .

Для определения критических частот вращения валов реша-
ют уравнения изгибных колебаний в интегральной форме мето-
дом последовательных Приближений с использованием условий
ортогональности форм колебаний. В качестве ненулевого пер-
вого приближения для вала с распределенной массой при опре-
делении первой частоты изгибных колебаний задаем функцию
^(0)(ж) ~ а^п~а-------a—* 66 пРоизводаая имеет вид 3/\о)(ж) =

7Г	7г(ж — «1)

=---------sin---------.

(12 — Oj 42 — 41

При ортогональности форм колебаний форма прогибов, соот-
ветствующая второй критической частоте, должна удовлетворять
условию ортогональности функции

У yi(z)V2(x)m(x)dx = 0.

Первую критическую частоту ыц в i-м приближении определя-
ем по методу сравнения максимальных значений ординат колеба-
ний

= Я. ц1/.1 I

11	К«В1) ' К-»(4 1)	'

где Жщах*—абсцисса сечения вала, соответствующая наибольшему
значению |^»(»—i) +

Значения yt(x) находим после определения ?л(ж) =
= Им [^(.-1) + к:„(,--1)] 

Для вычисления 2-й частоты собственных изгибных колебаний
вала, равной 2-й критической частоте, решаем видоизмененное ин
тегральное уравнение (20), а именно:

й(»)(ж) = ь&Къ,/ =	[К„ + К.. - /31?л(ж)1,

Й(«)(®) =	= <4 [Ку + к'ч ~ /М(®)] >

где слагаемое /3iyi(x) «очищает» оператор | Ку + КФЗ/| от составля-
ющей по 1-й форма колебаний, а коэффициент /Зх определяется из
условия ортогональности функций с учетом гироскопического мо-
мента

/ (я)зй(аО - fyc)y\(x)y'2(x)]dx = 0.

Jo
Здесь yi(x) и yz(x) — формы прогибов при 1-й и 2-й критических
скоростях. Отсюда

01 = ---------------------------- X

J [т(г)з/?(х) - Д®)«/?(®)] dx
о

I

X у {т(ж) [^(ж) + Кй$'(®)] ?л(г)~
о

-/(ж) {Kvy\x) + к^у'(х)) у'(х)} dx.

При определении 2-й формы собственных частот изгибных ко-
лебаний вала (2-я критическая частота вращения вала) за ненулевое
приближение принимают функцию, которая кроме опорных точек
должна содержать один узел и быть ортогональной к первой фор-
ме:	_

J/2(0)(®) = вЬд2 _ Д 27Г - А(0)^1(ж),
производная которой

, * 2тг	х — Oj Л .

&2(О)(®) = -------соз2тг----------01(0)2/1 (®)-

02 — О1 02 — О1

Коэффициент /?1(о) находим из условия ортогональности:

I

j [™(®)1/1(я)У2(0)(®) - I(®)»\(®)1/2(0)(а)] Лс = 0.

о

Отсюда

01(0) = --------------------------х

/	- ifcWi (х) J <fe

х I I т(ж)у1(ж) + sin2w-------

J L	02-01

о

г/ \T/ x 2r о ® “ al 1 J
~y'(x)l (x)— --cos 2tt-----1 dx.

— O]	02 — Oi J
Для определения 3-й критической частоты и формы собствен-
ных изгибных колебаний вала методом последовательных прибли-
жений решаем следующее интегральное уравнение:

Узг(®) = wfi [*» + K*v	“ 02»2(®)] •

Значение производной этой функции будет им еть вид

^з»(®) =	[к'и + К'„у - 0\у\(х) - 0Wa(®)] •

Здесь коэффициенты (Э\ и 0'2 определяются из условия ортогональ-
ности не только к первой, но и ко второй форме колебаний, а имен-
но:

[т(ж)2/3(ж)р1(®) - Д®)^з(ж)^1(ж)] dx = °;

о

[этг(®)уз(®)у2(®) -	dx = О-

о

Коэффициенты и /3'2 определяют так:

Л = т------------ -	--------х

J	- J(a;)y'i(a;)] dj:

I I

X У {т(г)<К„ I K.„)ai(:<) '(s.)(K'„ I
о

Л-т-----------------------------x

J	dx

0 L	J

x У {m(x) (Къ -f- Л.„) ю(х) - I(x) {K'„ t K'n) y2\r}}dx.

0
При очень сильном влиянии гироскопического момента дисков
(например, при расположении дисков вблизи опор) может случить-
ся, что при решении уравнения (20) расчет сведется к 1-й форме
У1 (а?), но соответствующая ей критическая частота оч оказывается
мнимой < 0). Не останавливаясь на математической стороне
вопроса, укажем, что в этом случае нужно перейти к расчету 2-й
критической частоты, используя, как обычно, условие ортогональ-
ности по отношению к полученной форме прогибов

Для такой системы 2-я расчетная критическая частота будет 1-й
действительной критической частотой.

Все выведенные зависимости не учитывают влияния началь-
ного дисбаланса ротора с распределенными массами, где прогибы
вала ?/(ж) вызываются распределенными центробежными силами
и>2т(х)у{х), в свою очередь, зависящими от прогиба вала.

Изложенным способом можно определить более высокие кри-
тические частоты. Однако уже определение 3-й критической часто-
ты требует повышенной точности, а расчет 4-й и 5-й частот слиш-
ком трудоемок и требует большой затраты машинного времени. В
большинстве конструкций криогенных турбомашин определение
частот выше третьей не требуется, так как они лежат далеко за
пределами рабочих частот.

В приложении приведена программа расчета критической ча-
стоты в математическом пакете «Maple 7», в которой осуществля-
ются:

1)	ввод и печать исходных данных;

2)	расчет распределенной массы участков вала, изгибной по-
датливости, распределенного момента инерции участков вала;

3)	формируются массивы исходных данных;

4)	определяются координаты расчетных сечений;

5)	расчет вспомогательных параметров;

6)	формирование массивов данных вспомогательных величин;

7)	расчет значений частот;

8)	печать результатов.

Для упрощения расчетов в программе используются условные
операторы и циклы. В табл. 2 приведена система имен исходных ве-
личин, которые применяются в программе.
Таблица?

№ п/п	Параметр	Наименование параметра	Единица измерения
1	i	Число участков	-
2	L	Длина вала	м
3	Dbh	Внутренний диаметр вала	м
4	Dh	Наружный диаметр вала	м
5	М	Масса внешнего устройства	кг
6	Ло	Плотность материала вала	кг/м3
7	1	Длина места посадки детали на вал	м
8	Е	Модуль упругости	Н/м5
9	al	Координата левой опоры	м
10	а2	Координата правой опоры	м
11	xli, x2i	Координаты начала и конца г-го участка	м
ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРОГРАММА ДЛЯ РАСЧЕТА ПЕРВОЙ
КРИТИЧЕСКОЙ ЧАСТОТЫ ВРАЩЕНИЯ

> restart:

1.	Ввод исходных данных

Число участков i, длина вала L

>i:=;L:=;

1.1.	Диаметры внутренний и наружный DBHi, Dhi,
масса внешнего устройства Mi,
длина места «осадки li,
плотность материала,
модуль упругости Е

>	Овн:=Аггау(1.д);

>	DH:=Array(l..i);

>	M:=Array(l..i);

>	lnoc:=Array(l..i);riio:=r; E:=e;

Введите значения парамеров п 1.1. Dbh[1 ]:= ;...DBH[iJ:=; Dh[1]:=
;...DH[i]:=;	;...M[i]:=; lnoc[l]:= ;...lnoc[i]:=; rho:=; E=; и.т. д.

1.2.	Коэффициент формы участка: phi =1 - ионический участок,
phi =0 - цилиндрический участок; цилиндр, участок chi:=l; chil:=0;
тоик. цилиндр, оболочка: chi:=0; chil:=l.

>	phi:=Array(l..i);

>	chi:=Array(l..i);

>	chil:=Array(l..i),

Введите значения phi, chi, chil: phi[l]-.= ;...phi[i]:= ; chi[l]:»
:..xhi[i]:=: chi ![!]:= ;...chil[i]:=;

1.3.	Координаты участков xl [i] x2[i]« опор вала al и a2.

>	xl:=Array(l..i+l);

>	x2:=Array(l..i);

Введите значения xl[i]:=; и опор вала al:=; и а2:=;

>	j:—2;

>	for j to i+1 x2|j-l]:=xl|j] end do:
>	print(xl);

>	print(x2);

2.	Расчет

>	mm:=Array(l..i);

>	for j to i do

mm(j]:=3*Pi*iho/12*(DH[jr 2-Dbh|j]'‘ 2)- phi[j]*(2*Pi*rho/12*
(DH[jr 2- DBHjjF 2))+-phi|j]*(DH|j-ir 2 +Dh|j]*Dh|j-1]+Dbh|j- 1Г
2+DBH(j]*DBH[j-l])+ M[j]/lnoc[j] end do:

>	print(m);

>	J:=Array(l..i);

>	Jmm:=Array(l..i): j:=l;

for j to i do J|j]:=chi|jJ*Pi/64*(DH[j]'' 4- БвнЦГ 4)+chil |j]*(Dh|j]+

Dbh[j|)'	end do:

print(J),

>j:=l;

for j to i do

Jmm[j]:=J|j]*iho

end do:

print(Jmm);

>	z:=;

>	x:=Array(l..z); x[l]:=0;

for j to z-1 do x[j+l]:=j*L/(z-l)

end do:

print(x[101]);

>	for к to i do

for j to z do

if x[j]>=xl[k] and x[j]<x2[k] then m[z]:=mni[k]

and

Jm[z]:=Jmm(k]

end do:

print(m);

> yx:=Array(l..z);

>	yxd:=Array(l ..z);

>forjtozdo
у x [j I :=sin(Pi*(x[j]-al)/(a2-al))

end do:

print(yx);

>	for j to z do yxd|j]:=(Pi/(a2’ al))*cos(Pi*(x[jl-al)/(a2-al)) end do:
print(yxd);

>	> yxal:=sin(Pi*(al-al)/(a2-al));

>	yxa2:=sin(Pi*(a2-al)7(a2-al));

yxO:= sin(Pi*(0-al)/(a2-al)); yxdal:=(Pi/(a2-

al))*cos(Pi*(al-

al)/(a2-al));

yxda2:=(Pi/(a2-al))*cos(Pi*(a2-al)/(a2-al));

yxd0:=(Pi/(a2-al))*cos(Pi*(0-al)/(a2-al));

yx22:=sin(Pi*(x22-al)/(a2-al));

yxl 1 :=sm(Pi*(xl 1 -al)/(a2-al));

yxlld:=(Pi/(a2-al))*cos(Pi*(xll-al)/(a2-al));

yx22d:=(Pi/(a2-ai))*cos(Pi*(x22-al)/(a2-al));

>Cl:=-Rl/yxdal;

C2:=-R2/yxda2;

>	Alyl:=Array(L.z);

>	A2yl:=Array(l .л);

>	Alyx:=Array(l..z);

>	A2yx:=Array(l..z);Ayx:=Array(l..z);

>	Ky:=Array(l..z);

>	Kyx:=Array(l..z); Kyd:=Anay(l..z);

>	Kyxd:=Array(l..z);

>for jtozdo

Alyig]:=evalf(Int(m|j]*sin(Pi*(xll-al)/(a2- al)),xll=0..L)) end
do;

>	for j to z do

A2yl|j]^Int(Int(mEj]*yx22,x22=0..xl l),xll=0..L)+( Int(Jm[j]*(Pi/

(a2-al))*cos(Pi*(xll -al)/(a2-al))^ll),xll=0.JL) end do;

> for j to z do

Al yx|j]:^Int(m|j]*yxl 1 .xl 1=0. л)

end do;

>for j tozdo
A2yx|j]:=Int(Int(ni|j]*yx22,x22=0. Jtl l),xl l=O..x)+I

nt(Jm|j]*yxl ld,xl l),xl l=O..x)
end do;

>forj tozdo

if x[j]<al then deltaal :=0 else deltaal I
and

if x£j]<=a2 then deltaa2;=0 else deltaa2:=l
and

Ayx |j]=A2y x|j]+deltaa 1 *(x|j]-al )/(a2-a 1 )*((L-a2)*A 1 yI-A2yl)+
deItaa2*(x[j]-a2)/(a2-al)*(A2yl|j]- (L-al)*Alyl|j]) end do;

> yd(0):=omega' 2/(a2-al)*(Int(Int(Ayx22/E*J,x2= O..xl),xl=
0..al)-Int(Int(Ayx22ZE*J,x2=0..xl),xl=0»a2))+l/(a2-al)*(Rl/Cl-
R2/C2);

> yd(x):=omega’' 2*Int(Ayxl I/E*J[j],xll=0..x)+yd(0);

>forj tozdo

KyU].-Int(Int(Ayx22(j]/E*J|j],x22=0..xl l),xl 1=0.. xg])+x|j]/(a2-
al)*(Int(Int(Ayx22|j]/E*J|j],x22=0..xll),xlI=0..al)- Int(Int(Ayx22[j]
/E*J|j],x22=0..xl l),xl l=0..a2))+l/(a2-al )*(al *Int(Int(Ayx22/E*J|j],
x22=0..xl l),xl l=0..a2)-a2*Int(Jnt(Ayx22(i]ZE*J]j],x22=
0..xll),xll=0..al)) and Kyx[jh=l/(a2-al)'' 2*( (a2-x[jJ)/Cl*((L-a2)*
Alyl|j]-A2yl[j])+(al-x[j])/C2*(A2yI|j]-(L-a])*AlylGJ)) and Kyd|j]:=
Int(Ayxl	l=O..x|j])+l/(a2-al)*(Int(Int(Ayx22|j]ZE*J|jl,

х22=0.л11),х11=0..а1 )- Int(Int(Ayx22[j]/E*J|j],x22=O..xll).xll=
O..a2))
and

Kyxd|j]:=l/(a2-al)*(l/Cl*((L-a2)*Alyl|j]-A2yl[j])-l/C2*
(A2yl|j]-(L-al)*Alyl[i])) end do;

>	h:-Kyd[l]+Kyxd[l] for j to z do if h<abs(Kyd[j]+Kyxd[j]) then
g:=j end do;

>	solve(omega* 2=yx[g]/(Kyd[g]+Kyxd[g]),omegaj;

>	print(omega);
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1,	Система классов точности балансировки (ГОСТ 22061—76 и методи-
ческие указания). М.: Изд-во стандартов, 1984.136 с.

2.	Скубачевскиб Г.С. Авиационные газотурбинные двигатели. Конструк-
ция и расчет деталей: Учеб. М.: Машиностроение,1981.550 с

3.	Локай В.И., Максутова М.К., Стрункин В.А. Газовые турбины дви-
гателей летательных аппаратов: Учеб. М.: Машиностроение, 1979.
448 с.

4.	Жирицкий Г.С., Стрункин В. А. Конструкция и расчет на прочность де-
талей паровых и газовых турбин. М.: Машиностроение.1968.520 с.

5.	Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Шнейдерович Р.М. Расчет на прочность де-
талей машин: Справ, пособие. М.: Машиностроение,1966.616 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ

1.	Понятие о критической частоте вращения вала........... 3

2.	Энергетический метод определения критических частот вращения
двухопорных валов......................................... 7

2.1.	Определение критических частот вращения двухопорного
вала без консолей......................................... 8

2.2.	Определение критических частот вращения двухопорного
одноконсольного вала..................................... 15

23.	Определение критических частот вращения двухопорного
двухконсольного вала..................................... 18

3.	Аналитический метод расчета критических частот вращения
двухопорных валов произвольной формы..................... 20

Приложение. Программа для расчета первой критической частоты
вращения................................................. 33

Список литературы........................................ 37
РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТОТ ВРАЩЕНИЯ ВАЛА

Методические указания

Редактор С.А. Серебрякова

Корректор ЛИ. Малютина
Компьютерная верстка В.И Товстоног

Подписано в печать 06,09.2004. Формат бОх 84/16 Бумага офсетная.

Печ. л. 2,5. Усл. печ. л. 2,33, Уч.-изд. л. 2,03.

Тираж 100 экз. Изд. № 88. Заказ J&6
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.

105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.