БИБЛИОТЕЧКА KIW» • 2005 © БИБЛИОТЕЧКА ИНГШ" • 2005
GGGGGGGGG&
Выпуск № 12
к
ч\
цм
.
Ecolier
Benjamin
Cadet
К
©
©
V	MVjflK ivvr MjflT	vFJV	МЖЖВ
•x-l^ SBA ® '"J 4 € CljfMui
«»*. к л. к л. л. %.
о	<О	’	4 °	^О	^О	\О	^О	'О	^О	VO




ви
б>
IIHII
ИПГг f|
6>
N'© N' © N'©
'жлте
<5 G G
г\
КНИЖКА О ДЮЙМАХ
/ВЕРШКАХ И САНТИМЕТРАХ ,«
мдтав теда т©ов
<5>
6>
( \	1\	'	t\	$х	v\	гХ	iX	iX
©
©
©
&
G
G
G
&
©
&
G
©
©
©
©
©
©
©
Вы держите в руках очередной выпуск библиотечки Мате-
матического клуба «Кенгуру». Эта книжка заметно отлича-
ется от остальных. Во-первых, в ней почти нет математики,
а во-вторых, в ней совсем нет традиционных для нашей серии
«переменок», то есть коротких занимательных рассказов, ис-
торий или игр. Дело в том, что вся эта книжка получилась как
одна большая «переменка», посвященная истории возникнове-
ния и развития единиц измерения хорошо знакомых вам вели-
чин: длины, площади, объема, веса, времени и углов. Вы узнаете,
когда и как возникли эти единицы, как они менялись, как они
связаны друг с другом. Надеемся, вам будет интересно.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
то жаде i>sw
Жучка тяжелее кошки в 6 раз, мышка легче кошки в
20 раз, репка тяжелее мышки в 720 раз. Во
сколько । аз репка тяжелее Жучки?
(А)300	(В)30	(С)9	(D)6
(Е) Жучка тяжелее репки
В одном литре морской воды содержится 0,00001
миллиграммов золота. Сколько килограммов зо-
лота содержится в 1 км3 морской воды?
(А) 1кг (В) 0,1 кг (С) 10 кг (D) 0,01 кг (Е) 100 кг
Два ковша - это половина ведерка, а три чашки -
это половина ковша. Тогда два ведерка - это
(А) 24 чашки (В) 48 чашек (С) 12 чашек
(D) 36 чашек (Е) 72 чашки
Старые часы отстают на 20 секунд в час. Сколько
времени они покажут через сутки после того, как
стрелки установили на 12 часов?
(А) 12 час 8 мин (В) 12 час 12 мин (С) 11 час 52 мин
(D) 11 час 50 мин (Е) 11 час 10 мин
На пиратском рынке бочка рома стоит 800 дублонов
или 100 пиастров, а пистолет стоит 100 дублонов
или 250 дукатов. Сколько пиастров нужно запла-
тить за попугая, за которого просят 100 дукатов?
(А) 2	(В) 5	(С) 10	(D) 25	(Е) 50
Присмотритесь внимательно к этим задачам: что в них
общего?
Вы легко заметите, что в них во всех сравниваются ка-
кие-то величины. И почти в каждой из задач указано, в ка-
ких единицах эти величины измеряются (правда, иногда
эти единицы довольно странные - например, попугаи).
Попробовав решать эти задачи, вы заметите, что вам
надо знать, как связаны между собой разные единицы из-
мерения.
Давайте теперь подумаем: а что это такое - измере-
ние величин? Например, что значит, что длина отрезка
равна 3 см?
Это значит, что если мы возьмем линейку с сантимет-
ровыми делениями и приложим ее край к нашему отрезку
так, что нулевая отметка на линейке совместится с одним
из концов отрезка, то другой конец совпадет с отметкой
«3 см».
А если мы возьмем две линейки и приложим их друг к
другу, совместив нулевые отметки? Ну, конечно же, все
остальные деления при этом тоже должны совместиться!
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
А почему это происходит? Потому что все линейки с сан-
тиметровыми делениями сделаны по одному образцу.
Итак, измерить - значит сравнить с образцом и понять,
во сколько раз измеряемая величина больше или меньше,
чем образец.
Образец, с которым сравнивают другие предметы при
измерении, обычно называют эталоном (французское
слово etalon как раз и означает образец, мера).
Эта небольшая книжка познакомит вас с тем, как в раз-
ные времена и в разных странах люди измеряли разные
величины: расстояния, площади, объемы, углы, время...
Как только люди стали людьми, как только они стали
изготавливать инструменты и оружие или строить жили-
ща, им сразу же понадобилось сравнивать размеры раз-
личных предметов. Например, надо было научиться опре-
делять, какого размера дерево нужно, чтобы сделать лук
или копье, а какого - чтобы построить жилище. А ведь это
уже и есть измерения!
Но настоящие меры длины, веса или времени должны
быть одинаковыми для всех. Представьте только, что слу-
чится, если разные магазины станут использовать разные
значения килограмма, а разные швейные фабрики - раз-
ные значения метра? Как трудно будет выбрать нужную
вещь или понять, сколько же килограммов картошки надо
купить на неделю!
Договориться об одинаковых для всех мерах очень
трудно, поэтому настоящие единицы измерения, с точно
установленными значениями, с образцами-эталонами
появились довольно поздно. И установлением таких об-
разцов всегда занималось только государство.
Ведь правительства с самой глубокой древности зани-
мались организацией войска, строительством крупных
сооружений и сбором налогов. А для этого обязательно
нужны признанные всеми единицы измерения.
Но в повседневной жизни, когда не нужна большая точ-
ность, и нет необходимости точно договариваться со все-
ми, использовались народные единицы. Эти единицы
иногда были, на наш современный взгляд, довольно за-
бавными. Например, мерой длительности служило время
«пока закипит котел воды».
Разные меры использовались для разных целей - одни
для измерения больших расстояний (их иногда называли
путевыми мерами), другие для измерения кусков тканей,
третьи при изготовлении оружия...
А в Китае в древности для измерения тканей применя-
лись даже различные меры для мужской и женской одеж-
ды: дуанъ - для одежды мужчин (13,82 метра) и пи - для
одежды женщин (11,06 метра).
Вот какие пословицы о мерах
записал В.И. Даль:
Одни лапти
без меры плетутся,
да на всякую ногу приходятся
* * *
Что город, то вера,
что деревня, то мера
¥ ¥ ¥
Без весу, без меры нет и веры
з
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
иаиаа шша аии
14 июля 1789 года восставший
французский народ взял штурмом
Бастилию — главную тюрьму
страны. Так началась Великая
Французская революция, которая
очень сильно изменила течение
жизни не только во Франции, но и
во всей Европе. Революционные
власти стали решительно переус-
траивать жизнь страны. Появле-
ние новой системы мер было толь-
ко небольшой частью этих ново-
введений.
Конечно, главными новшества-
ми были Декларация прав человека
и гражданина и новые законы, ос-
нованные на ней. Но изменения
коснулись буквально всего. Напри-
мер, был введен новый календарь.
В этом календаре все месяцы по-
лучили новые названия, в каждом
месяце было по 30 дней, разбитых
на 3 декады по 10 дней (в каждой
декаде выходным был только один,
десятый, день). Новый отсчет
времени начинался с 22 сентября
1791 года — дня провозглашения
республики.
Однако, новый календарь не
прижился, — когда революция за-
вершилась, он был отменен. А вот
метрическая система мер оказа-
лась настолько удачным изобрете-
нием, что постепенно распростра-
нилась на весь мир.
Какие единицы длины вы знаете? Метры, километры,
дециметры, сантиметры и, наконец, миллиметры. Все эти
слова происходят от греческого metron (мера). Но дело
здесь не только в похожих словах, все эти единицы очень
просто связаны между собой: дециметр - это десятая до-
ля метра, сантиметр - сотая доля, миллиметр - тысячная,
а километр в тысячу раз больше метра.
Эти величины вам хорошо знакомы, напомним только,
как образуются их названия, ведь точно так же образуют-
ся новые единицы измерения не только от метра, но и от
других величин. Приставка милли... (от латинского слова
mille - тысяча) используется для обозначения тысячных
долей. Приставка санти... (от латинского слова centum -
сто) означает сотую часть, а если слово начинается с при-
ставки деци... (от латинского слова decern - десять), то оно
означает десятую долю основной величины.
А вот приставка кило... происходит от греческого слова
chilioi, которое тоже переводится как «тысяча», но приме-
няют ее для обозначения единиц, которые в 1 000 раз
больше основной.
Но что такое метр? 26 марта 1791 года Учредительное
собрание Франции приняло проект метрической системы
мер. В этой системе в качестве единицы длины была при-
нята одна десятимиллионная доля от одной четверти Па-
рижского меридиана. Это и есть метр.
Конечно, никто не сравнивал размеры дома или рост
человека и другие величины, которые приходится изме-
рять в повседневной жизни, с длиной меридиана. Вместо
этого из очень прочного сплава двух дорогих и редких ме-
таллов (платины и иридия) был изготовлен образец метра,
который хранится в Международном бюро мер и весов во
французском городе Севре (недалеко от Парижа). Он-то и
служит образцом для бесчисленных линеек, рулеток,
портновских метров и других инструментов измерения
длины. А система единиц измерения, в основу которой по-
ложен метр, называется метрической.
Правда, когда физики стали изучать строение атома, а
инженеры научились изготавливать и использовать сверх-
тонкие пленки, оказалось, что старый образец (эталон)
метра не может обеспечить точность, необходимую для
новых измерений. Поэтому в 1960 году было принято но-
вое определение метра, но оно опирается на довольно
сложные свойства мельчайших частиц вещества - атомов,
и вы познакомитесь с ним гораздо позже.
Однако, длины и расстояния люди измеряли и до того,
как появился метр. Как же они это делали? А точно так же,
только образцы у них были другие.
Прежде всего люди стали использовать как измери-
тельный инструмент собственное тело - руки, ноги, паль-
цы... У каждого народа были свои единицы длине Многие
из них сохранились и до сих пор.
4
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
Вы, наверное, слышали такие слова, как ярд, фут,
дюйм, пядь, вершок, локоть. Это все старинные меры дли-
ны, связанные с размерами человеческого тела.
Так, ярд - это английская мера. Считается, что за эталон
ярда принималось расстояние, от кончика носа до кончика
среднего пальца вытянутой в сторону руки английского ко-
роля (правда, по другим легендам эта величина определя-
лась как окружность талии короля или длина его меча). При
смене короля менялась и величина ярда. Это было очень
неудобно, и король Генрих I приказал изготовить бронзо-
вый эталон ярда и больше не менять его. По всей видимо-
сти, это был самый древний эталон. Благодаря ему, более
чем за 800 лет, прошедших с тех пор, величина ярда изме-
нилась всего на 1,016 мм, - сейчас он равен 0,9144 м.
Одна из самых древних мер - это длина стопы. В раз-
ные времена у разных народов эта величина называлась
по-разному и имела разные значения. Но, как нетрудно
догадаться, все эти значения были близкими к 30 см. Так,
во Франции эта величина называлась пье и равнялась
32,48 см, в Италии - пьеда (29,76 см), а в Испании - пи
(27,86 см). В Англии такая мера используется до сих пор,
называется она фут (от слова foot - ступня), и значение
ее равно 30,48 см.
Для измерения меньших размеров издавна употребля-
лась величина верхней фаланги большого пальца. До появ-
ления метрической системы мер эта единица была основ-
ной почти во всех странах Европы. Самое известное назва-
ние для такой величины - дюйм, происходит от голланд-
ского слова duim (большой палец). Современное значение
дюйма в англо-американской системе мер равно 2,54 см.
Очень часто для измерения расстояний использова-
лась величина шага. Но поскольку для измерения больших
длин и расстояний величина шага маловата, использова-
ли двойные шаги. В Древнем Риме использовалась мера,
равная тысяче двойных шагов. Эта мера получила назва-
ние миля, от латинского слова rnille - тысяча, древнерим-
ская миля равнялась 1478,7 метра.
Этим же словом до введения метрической системы мер
назывались основные путевые меры длины в большинстве
европейских стан. Но значения этих единиц очень сильно
различались. Например, в Дании миля равнялась 7 532,5
метра, в Норвегии - 11 294,7 метра, а в Швеции - 10 688,6
метра. В англо-американской системе мер используются
сухопутная миля, равная 1 609 м, и морская миля, равная
1852 м. Сейчас эта морская миля принята всеми странами
как единица расстояния на воздушном и морском транс-
порте.
Десятая часть морской мили называется кабельтов
(от голландского слова kabeltouio - морской канат). Это на-
звание связывают с длиной якорного каната, и вы, наверня-
ка встречали его в приключенческих книгах и фильмах.
Еще одна знаменитая старинная мера, связанная с
ходьбой, - греческая стадия (или стадий). В программу
Олимпийских игр Древней Греции входил бег на стадий
(192,27 метра), - такую длину имел стадион в Олимпии.
Вспомните сказку Г.Х. Андерсена
и попробуйте выразить рост
Дюймовочки
в сантиметрах.
В Риме миля была равна примерно
1488 м, а во Флоренции — 1633 м.
Если расстояние от Рима до Фло-
ренции равно 180 римским милям,
сколько флорентийских миль
нужно проехать от Флоренции
до Рима?
Если миля -
древнеримская,
сколько метров
составляет
семимильный
шаг?
г
5
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
Считается, что эта мера была заимствована греками из
Вавилона. Стадием называли расстояние, которое взрос-
лый мужчина проходит спокойным шагом за промежуток
времени от появления первого луча солнца при его восхо-
де, до момента, когда солнечный диск целиком окажется
над горизонтом (на широте Вавилона Солнце поднима-
ется приблизительно за 2 минуты).
В старину многие единицы длины были связаны с ору-
жием. Например, в Индии использовалась единица длины
дхануш, равная расстоянию между концами лука. Ее зна-
чение равно 183 см.
Персидская мера длины нейзе, равная примерно 4-5
метрам, - это расстояние, которое пролетает копье, бро-
шенное воином.
Китайская мера инь (примерно 32 метра) - это длина
полета стрелы, выпущенной из лука.
У славян тоже была подобная мера длины, и называ-
лась она перестрел. К еще у наших предков была едини-
ца свержение камня» - расстояние, на которое может
быть брошен камень.
Вы, наверное, слышали выражение: «Да его на пушеч-
ный выстрел подпускать нельзя!». Так говорят о человеке,
с которым лучше бы не иметь дела. Оказывается, это не
просто образное выражение, а упоминание об еще одной
старинной мере длины - морской лиге. В XVIII веке значе-
ние этой единицы длины определялось как дальность пу-
шечного выстрела, которым может быть обстрелян ко-
рабль, находящийся в прибрежных водах. Это расстояние
было принято за ширину территориальных вод, оно равня-
лось примерно 5 560 м.
У древних египтян была уже целая система мер длины:
1 ладонь равнялась 4 пальцам, 6 ладоней составляли ло-
коть. Локоть определялся как расстояние от кончиков
пальцев руки до сгиба локтя.
Правда, кроме такого, простого локтя использовался
локоть царский, равный семи ладоням или 28 пальцам.
Например, строители пирамид использовали простой ло-
коть. Но когда переходили к сооружению внутренних по-
мещений, предназначенных для саркофага с мумией фа-
раона, для расчетов применяли царский локоть.
Для измерения длины использовались и другие, очень
разнообразные величины. Многие народы мерили путь
дневными переходами.
У жителей Тибета была мера, равная расстоянию, кото-
рое проходит человек за то время, пока чашка горячего
чая остынет настолько, что этот чай станет можно пить.
В старинных русских грамотах о пожаловании земель
можно прочитать: «во все стороны на бычачий рев». Это
6
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
значило - во все стороны от данного места, на такое рас-
стояние, на котором еще слышен рев быка.
Похожие меры были и у других народов: «коровий крик»,
«петушиный крик». А в Сибири в стародавние времена бы-
ла мера под названием бука - расстояние, на котором че-
ловек перестает видеть раздельно рога быка.
А у финнов была мера пенникуулума, равная пример-
но 10 километрам, - на таком расстоянии охотники слы-
шали собачий лай.
Можно насчитать еще великое множество способов из-
мерения расстояния. На наш современный взгляд многие
из них кажутся странными, но все они были очень тесно
связаны с повседневной жизнью людей. Например, когда
в Японии еще не подковывали лошадей, им надевали на
ноги специальную соломенную обувь. С этим обычаем бы-
ла связана мера «соломенный башмак», то есть расстоя-
ние, на котором лошадь снашивала такую обувь.
Для измерения малых длин использовались другие
единицы, например, в Древнем Египте использовали как
меру длины волос с морды осла.
Нередко длину небольших предметов измеряли с по-
мощью зерна какого-то злака.
Понятно, что все эти меры длины не могли быть очень
точными, но для измерения больших расстояний (для пу-
тевых мер) большая точность и не была нужна, а вот для
измерения меньших длин нередко надо было добиваться
большей точности.
Конечно, главным неудобством было то, что единицы,
связанные с размерами человеческого тела, или с разме-
рами каких-то предметов, сильно зависели от конкретного
образца. Например, размер ступни у разных людей может
отличаться весьма сильно, и такая величина, как фут могла
заметно колебаться в зависимости от условий измерения.
Поэтому король Эдуард II ввел новую единицу - шток,
равную «длине ступней 16 человек, выходящих из храма
после утренней службы в воскресенье». А фут стали счи-
тать равным одной шестнадцатой части штока. Дело в
том, что воскресную службу посещали самые разные лю-
ди, и если взять подряд 16 человек, выходящих один за
другим из храма, то среди них, скорее всего, окажутся лю-
ди и с большой ступней, и со ступней поменьше. При сло-
жении размеров их ног получается некоторая усреднен-
ная величина, которая уже гораздо меньше меняется от
одного измерения к другому.
Этот же прием был применен и для уточнения размеров
английского дюйма: его стали измерять не размером
большого пальца, а длиной трех ячменных зерен, вынутых
из средней части колоса и приставленных одно к другому
концами. Вам, наверное, уже понятно, что зерна выбира-
лись из средней части колоса, потому что там они меньше
отличаются одно от другого.
Кстати, попробуйте сами провести такой эксперимент:
возьмите какую-нибудь крупу (лучше рис с длинными зер-
нами), выберите, не сортируя, несколько кучек по 15-20
зерен, выложите каждую такую кучку в линию и измерьте
7
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
линейкой ее длину, а потом разделите полученную вели-
чину на число зерен в кучке. Вы заметите, что результаты
этих вычислений гораздо меньше отличаются друг от дру-
га, чем размеры отдельных зерен.
Мы начали этот разговор об измерении длин с метри-
ческих единиц, то есть единиц, связанных с метром. В на-
ше время они приняты повсеместно и почти полностью
вытеснили старинные единицы. Те метрические величи-
ны, которые используются чаще всего, - миллиметр, сан-
тиметр, дециметр, метр и километр вам хорошо знакомы.
Но иногда (обычно при научных исследованиях или тех-
нических расчетах) приходится иметь дело с очень ма-
ленькими расстояниями, для которых даже миллиметр
оказывается слишком большой величиной. В этих случаях
используют единицы, полученные делением метра на еще
большее количество равных частей: на миллион, милли-
ард и даже еще большее количество частей (число частей
при этом обычно выражается единицей с нулями:
1 000 000 000 или, например, 1 000 000 000 000 000). Боль-
шинство величин, полученных таким способом, не имеют
специальных названий, но некоторые все-таки получили
собственные имена. Например, величина, полученная де-
лением метра на 1 000 000 000 частей, называется нано-
метром (от греческого слова ndnos - карлик), сокращен-
но название этой величины записывают как нм. Таким об-
разом, нанометр - это миллионная часть миллиметра!
Собственное имя имеет и величина, равная десятой
части нанометра. Ее ввел в употребление в 1868 году
шведский физик и астроном Андерс Йонас Ангстрем, его
именем она и была несколько позже названа. Обознача-
ется она значком А: 1нм = 10А. Конечно, такие размеры
даже и через увеличительное стекло невозможно разли-
чить, они уже сравнимы с размерами мельчайших частиц
вещества - атомов и молекул. Чтобы представить себе,
насколько мала эта величина, заметим, что ангстрем
меньше метра примерно во столько же раз, во сколько
диаметр вишенки меньше диаметра Земного шара.
От Земли до Луны
примерно 384 400 км.
За сколько секунд проходит это
расстояние луч света?
Сколько световых секунд
в астрономической единице?
А вот для описания астрономических наблюдений
> слишком мал не только метр, но даже и километр, поэтому
> астрономы придумали специальные единицы. Одна из них
i так и называется - астрономическая единица, сокра-
i щенно а.е., она равна среднему расстоянию от Земли до
v Солнца: 1 а.е. =149600000 км. Но для наблюдений за звез-
> дами и эта величина мала, поэтому появилась еще боль-
1шая единица - световой год. Это расстояние, которое
проходит луч света за год. Один световой год равен
9 460 000 миллионов километров. Но иногда используется
еще большая единица расстояния - парсек (сокращенно пк),
она часто упоминается в книгах и фильмах о космических
путешествиях. Чтобы понять, как определяется эта
единица, надо довольно хорошо разбираться в том, как
движутся друг относительно друга звезды и галактики,
скажем только, что 1 пк = 3,263 светового года.
8
МАТЕМАТИЧЕСКИМ КЛУБ «КЕНГУРУ»

ШЕРИ дшм
Старинная русская система мер сложилась примерно в
X - XI веках. Ее основные единицы - верста, сажень,
локоть и пядь.
Самая мелкая из этих единиц - пядь. Слово это озна-
чало кисть руки (вспомните современное слово «за-
пястье»!). Определялась пядь как расстояние между
концами вытянутых большого и указательного пальцев, ее
значение равнялось примерно 18-19 см.
Локоть - более крупная единица, как и в большинстве
других государств, это была единица, равная расстоянию
от локтевого сгиба до конца вытянутого среднего пальца
руки. Древнерусский локоть равнялся примерно 46 - 47 см.
Это была основная единица в торговле холстом,
полотном и другими тканями.
Слово сажень происходит от глагола «сягать», в
современном русском языке он не употребляется, но
сохранились однокоренные с ним слова «досягать»,
«досягаемый», «достигать» и «достижимый». Единицы с
таким названием в разное время определялись по-
разному: и как расстояние между кончиками пальцев
раскинутых рук (маховая сажень), и как расстояние от
подошвы левой ноги до конца большого пальца
вытянутой вверх правой руки (косая сажень), и другими,
похожими способами.
Определить, чему же равна древнерусская сажень, по-
мог камень, найденный в 1792 году недалеко от станицы
Таманской на побережье Азовского моря. В X - XI веках на
этом месте стоял древний русский город Тмутаракань.
Находка получила название Тмутараканского камня. Он
представляет собой мраморную плиту с надписью на ста-
рославянском языке, повествующую об измерении шири-
ны Керченского пролива, который соединяет Черное и
Азовское моря: «...Глеб князь мерил море по леду от Тму-
таракана до Кърчева 10 000 и 4 000 сажен». Кърчев - это
современный город Керчь. Сравнив расстояние между
указанными городами и данные этой надписи, ученые
пришли к выводу, что древнерусская сажень примерно
равнялась 151,4 см. Хотя настоящих эталонов для этих
древнерусских единиц не существовало, но зато широко
использовались мерные веревки длиной в сажень. Чаще
всего сажень применялась при измерении расстояний и
при строительных работах.
Про кого говорят:
«У него семь пядей во лбу» ?
Как же должен выглядеть герой,
про которого говорят:
«В плечах косая сажень» ?
9
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
Что означает поговорка:
«За семь верст
киселя хлебать» ?
А сколько это в километрах?
Мерную линейку длиной в аршин
называли тем же словом (и сейчас <
обычно метровую линейку, кото- 2
рой в магазинах отмеряют ткани, £
называют просто метром). >
С этим связано выражение «словно
аршин проглотил», - так говорят <
про человека, который держится 2
неестественно прямо,
не сгибаясь.
движется
ю
Самой крупной из древнерусских единиц была верста
или поприще. Слово «верстать» означало «распреде-
лять», «уравнивать». От него, кстати, происходит слово
«сверстник» (ровесник). Верста упоминается в летописи
1097 года, она была в 750 раз больше сажени. Таким
образом, получается, что древнерусская верста равня-
лась примерно 1140 метрам.
Но, конечно же, на Руси, как и в других странах, был
большой разнобой в единицах измерений, - нередко
одновременно использовались разные единицы с одним
и тем же названием. Однако постепенно стали появляться
специальные управы (учреждения), которые должны были
следить за единством мер и средств измерения.
Например, по указу Ивана Грозного, с 1556 года стали
изготавливать специальные (их называли образцовыми)
гири, которые служили своеобразными эталонами. Их
клеймили казенной печатью и хранили в специальных
помещениях.
А в указе 1653 года говорится: «хлебным мерам и
всяким весам и саженям и аршинам на Москве и в
городах быти равными».
Постепенно менялись и основные меры длины: вместо
версты в 750 саженей стали применять две разных версты -
в 500 и 1000 саженей. Появились новые меры: аршин и
вершок, а локоть стал постепенно выходить из употреб-
ления.
Аршин появился в России вместе с купцами из Персии,
торговавшими тканями. Аршин - это древняя мера, рав-
ная первоначально длине всей руки. Ткани мерили, натя-
гивая их на собственную руку до плеча.
Название «вершок» происходит от слова «верх» («верх
перста», то есть пальца). Первоначально вершок считался
равным длине двух верхних суставов указательного паль-
ца, позже он стал равен шестнадцатой части аршина.
Пядь постепенно тоже вышла из употребления - ее за-
менила четверть аршина, то есть величина, равная 4 вер-
шкам.
В XVIII веке в России стали кроме прежних мер приме-
нять английские фут и дюйм. Дело в том, что фут и дюйм
были в это время самыми распространенными в мире ме-
рами длины, и для удобства торговли было важно уметь
сравнивать их с русскими мерами.
Чтобы упростить соотношения в такой системе мер,
которая включает в себя новые единицы, Петр I провел
реформу, в результате которой основной единицей длины
стал аршин, а размеры сажени и прочих единиц немного
изменились. Новые единицы длины были просто связаны
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
с английскими, что было важно не только для торговли, но
и для строительства нового российского флота, а также
для развития в России инженерного дела.
Вот какими стали эти меры:
1 сажень = 7 футов = 213,36 см,
1 аршин = 28 дюймов = 2 фута = 71,12 см,
1 фут = 12 дюймов,
1 вершок = 1 дюйма,
1 верста = 500 сажен.
Кроме того, использовались и совсем мелкие едини-
цы: линия, равная десятой доле дюйма и точка, равная
десятой доле линии.
В XIX веке система единиц практически не изменилась,
но много делалось для того, чтобы применение петров-
ской системы было повсеместным и одинаковым.
В 30-е годы была создана специальная комиссия для
приведения в порядок мер и весов в России. По заказу
этой комиссии в Англии были изготовлены образцы фута,
ярда и сажени, тщательно сверенные с главным англий-
ским эталоном ярда. По этим образцам был изготовлен
эталон сажени в виде 6 платиновых полос на латунном ци-
линдре.
Указом от 7 ноября 1835 года этот эталон был признан
«главной государственной образцовой саженью». С этой
сажени были сделаны копии, по которым и создавались
многочисленные измерительные инструменты.
Для того, чтобы изготавливать сажени, аршины и дру-
гие образцы мер, мастер должен был иметь «дозволи-
тельные свидетельства» от губернского начальства. Такие
мастера обязаны были ставить на свою продукцию снача-
ла собственное клеймо, а потом представлять эту продук-
цию в городские управы для проверки и наложения казен-
ного клейма. Надзор за правильностью линеек, гирь и
прочих измерительных инструментов, которые использо-
вались в торговле, промышленности и строительстве,
был возложен на полицию.
Хотя в XIX веке Европа постепенно стала переходить на
метрическую систему мер, в России это делать не спе-
шили. Правда, в «Положении о мерах и весах» от 4 июня
1899 года основная российская единица - аршин выража-
лась уже не только через английские меры, но и через ме-
трические. Аршин равнялся 0,711200 метра при темпера-
2
туре 16ту градусов по шкале Цельсия (ведь при нагрева-
0
нии все тела немного расширяются, и для того, чтобы
сравнивать их размеры с большой точностью, это надо
делать при определенной температуре).
На метрическую систему мер Россия перешла в 1918
году. После этого старинные меры стали постепенно
забываться.
Наверное, многие из вас, читая
книги по истории, обратили вни-
мание на название «трехлиней-
ка». Так называли обычно винтов-
ки, которыми были вооружены
солдаты Российской, а потом и
Советской армии. А как вы думае-
те, что это название означает?
Это указание на калибр вин-
товки, то есть, на внутренний ди-
аметр ствола. Трехлинейка — это
винтовка, калибр которой равен
трем линиям. Трехлинейная вин-
товка, разработанная военным
инженером С.И. Мосиным, была
принята на вооружение в 1891 го-
ду и прослужила вплоть до Вели-
кой Отечественной войны.
Эта пушка
называлась
11
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
шм шшоади
Если сторону ГХ
квадрата
увеличить
в два раза,
то его площадь
увеличится
в 4 раза!
А как изменипи я
периметр?
Обратите внимание: в русском
языке словом «площадь» обознача-
ют не только участок поверхнос-
ти или его величину, но и ^Незаст-
роенное большое и ровное место
(в городе, селе), от которого обыч-
но расходятся в разные стороны
улицы».
(Словарь русского языка
С.И. Ожегова)

В метрической системе мер, как вы уже знаете, едини-
цы площади основываются на единицах длины: площадь
квадрата со стороной, равной метру, называется
квадратным метром (обозначается как м2 или кв. м),
а квадрат со стороной 1 сантиметр имеет площадь
1 квадратный сантиметр (см2 или кв. см). Точно так же
образуются и другие единицы площади. Но в тех странах,
где принята метрическая система мер, используются и
другие единицы, связанные с метром, например, ар и
гектар. 1 гектар = 100 ар = 10 000 м2. Считается, что сло-
во ар происходит от латинского area - площадь, поверх-
ность, сельскохозяйственная земля, ну а гектар полу-
чается из ара с помощью приставки, образованной от
греческого слова hekatdn (сто). Кстати, по-простому ар
называют соткой. Это слово всем хорошо знакомо, -
сотками измеряют площади дачных и приусадебных
участков.
Все такие меры по понятным причинам называют
квадратными - ведь они представляют собой площади
некоторых квадратов.
А теперь давайте посмотрим на квадрат со стороной 2 м,
чему равна его площадь? Конечно же, вы хорошо знаете,
что она равна 2x2 - 4 м2. Что отсюда следует? Во-первых,
если увеличивать сторону квадрата, то его площадь
растет гораздо быстрее, чем сторона - если мы,
например, увеличим сторону в 10 раз, то площадь
увеличится в 100 раз. Это значит, что при использовании
квадратных мер должны появляться большие числа,
обращаться с которыми в древности умели очень
немногие. Поэтому в древности, прежде чем люди стали
пользоваться квадратными мерами, они придумали
другие, гораздо более понятные и простые меры.
Похоже, что всерьез человеку понадобилось
измерять площади только с появлением земледелия.
Ведь от размеров и качества земли зависела жизнь и
самого земледельца, и его семьи. Именно поэтому
большинство самых древних мер площади так или иначе
связано с обработкой земли. Чаще всего эти единицы
обозначают либо площадь, которую можно вспахать за
день, либо площадь, которую можно засеять определен-
ным количеством зерна.
12
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
В Древнем Риме основной мерой площади был югер.
Название это происходило от слова jugum (ярмо, за-
пряжка). Югером называли площадь, которую упряжка
из двух волов могла вспахать за день, его величина
равнялась примерно 2518 м2. Одновременно с ним ис-
пользовалась и другая мера - актус, это борозда,
которую вол может пройти, не утомившись. Актус
равнялся половине югера. Для измерения более
крупных участков применялась центурия - величина,
равная 100 двойным югерам (название происходит от
латинского слова centum - сто).
Подобные единицы были у многих других народов. На-
пример, точно так же как югер определялись такие еди-
ницы, как джофт (от слова пара или чета) в Персии, и
феддан (от слов пара волов) в Древнем Египте. Только
значения у них были другие: 1 феддан равен примерно
4 201 м2, а джофт - 4 000 м2. Наверное, в Древнем Риме
пахать было труднее!
А вот в Исландии единицей площади служил дагслаут
(от исландского слова dagslatta - день сенокоса) - учас-
ток земли, траву с которого можно было скосить за один
день. Понятно, что определялась такая величина очень
неточно: ее значения колебались от 3200 м2 до 5700 м2.
В Индии была мера чарса - участок земли, который
можно оросить за один день, доставая воду кожаным
ведром из колодца, она равнялась примерно 420 м2.
Во Франции использовалась мера объема под назва-
нием буассо (от латинского слова buxta - коробка). Эта
мера равнялась примерно 13 литрам. Этим же словом на-
зывалась старинная мера земли, равная участку, который
можно засеять таким количеством зерна. Понятно, что
буассо тоже очень неточная мера площади - она колеба-
лась в пределах 3 600 - 18 000 м2.
Ну а старинная английская мера хайд попросту равня-
лась величине участка, который может прокормить одну
семью, - примерно 3240 - 4860 ар. Слово «хайд» и озна-
чало «земельный участок» или «надел».
Все меры, связанные с трудом земледельца, были
очень приблизительными, ими можно было пользоваться
только до тех пор, пока не понадобился точный учет
земель. Такой учет стал необходим тогда, когда начали
складываться крупные государства Ведь земля была
главным богатством любого древнего государства. С
земельных наделов подданные платили налоги деньгами
или продуктами. Поэтому точный учет земли был
важнейшим делом, и для него понадобились новые,
более точные меры площади.
На глиняных табличках, най-
денных в древнем городе Ашшуре
записаны законы, по которым Ас-
сирийское государство жило в се-
редине второго тысячелетия до
нашей эры. Вот одна из статей
этого законодательства.
«Если человек нарушил межу, и
его в том клятвенно обвинили и
уличили, он должен уплатить
один талант свинца, захваченное
поле он должен вернуть втройне.
Ему должно дать 50 палочных
ударов, и в течение месяца он
должен работать на царской
службе».
Талант - это мера веса, с ко-
торой мы познакомимся чуть
позже. Но из текста видно, что в
этом древнем государстве учет
земли был хорошо налажен, и на-
рушение границ участка сурово
каралось.
13
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
Для вычисления площадей древние
египтяне использовали те же
правила, что и мы с вами.
Площадь прямоугольника они
вычисляли как произведение
соседних сторон.
S = ab
b
с = ^4
д 2
Чтобы вычислить площадь
треугольника умножали длину
основания на половину
высоты.
Площадь трапеции
получалась так: половину суммы
параллельных сторон умножали
на высоту трапеции.
Проще всего было использовать для этих целей
квадратные меры. Ведь меры длины, на которых они
основываются, к этому времени уже были хорошо
разработаны.
Похоже, что первую систему таких мер создали жители
Древнего Египта. Мы уже знаем, что основной единицей
длины у них был локоть (царский или простой). Так вот, в
основу системы земельных мер был положен царский
локоть (дело-то очень важное!). Царский локоть равен
примерно 52,4 см, значит, квадрат с такой стороной
имеет площадь примерно 0,274 м2, это и есть основная
египетская единица площади. Но чаще всего использова-
лась более крупная единица - сот (или сета, а когда с
египетской цивилизацией познакомились древние греки,
они стали называть эту единицу арура египетская). Сот
равен площади квадрата со стороной в 100 царских лок-
тей, а значит, он в 100x100 = 10 000 раз больше квадрат-
ного локтя, то есть 1 сот = 2740 м2 = 2,74 ар.
Эта единица площади использовалась уже около трех
тысяч лет назад. Например, известно, что во времена XX
династии египетских фараонов (а это более 1000 лет до
нашей эры) семье воина жаловали участок земли
величиной 12 сот, за который не надо было платить
налоги.
Для того, чтобы вычислить
площадь произвольного четыреху-
гольника, умножали полусуммы
противоположных сторон. Эта
формула - не точная, но если углы
четырехугольника не очень сильно
отличаются от прямых, то ошиб-
ка получается небольшой.
Как же все-таки измеряли участки земли в Древнем
Египте? Ведь образец единицы площади нельзя
приложить к измеряемому участку! Но оказывается,
египтяне уже в самой глубокой древности умели
вычислять площади прямоугольников, треугольников и
даже трапеций. А для вычисления площади круга или
произвольного четырехугольника они использовали
приближенные формулы. Эти формулы не давали точного
результата, но ошибки, которые получались при их
применении, были не очень большими.
Таким образом, египтяне могли измерять не площади,
а длины. И уже потом, зная размеры сторон участка, на-
ходили его площадь. Так возникла геометрия. Может
быть, вы уже знаете, что само это слово греческое и оз-
начает оно «землемерие». Как видите, в древности эта
наука вполне оправдывала свое название.
Позже, вслед за египтянами, и другие народы стали
употреблять квадратные меры площади, но старые, на-
родные меры сохранялись в большинстве стран очень
14
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
долго, только пользоваться ими стали более аккуратно.
Для этого обычно закрепляли значение старинной меры в
каких-то новых единицах. Например, в том же Египте уже
давно действует метрическая система мер, но крестьяне
до сих пор меряют свои участки в федданах. Только сейчас
всем известно, сколько квадратных метров в одном
феддане.
Как и в других странах, на Руси в древности не знали
квадратных мер площади. По названиям единиц того вре-
мени можно догадаться, как они возникли: плуг, соха,
копна, обжа (от слова жать) и другие. Вы уже не удиви-
тесь, услышав, что значения этих величин в разных частях
страны могли быть очень разными.
Со временем самой главной из величин такого рода ста-
ла четверть - площадь, засеять которую можно четвертью
ржи. Четверть - это специальная мера для измерения
количества зерна, она равнялась примерно 210 литрам.
С конца XIV века стала упоминаться новая земельная ме-
ра - десятина, равная площади квадрата со стороной,
равной десятой части версты, то есть 50 саженей (вы, на-
верное, помните, что версты были разные - в 500 саженей
и в 1000).
Примерно в это же время за четвертью закрепили
значение, равное половине десятины:
1 десятина = 2 четвертям.
Так на Руси появились квадратные меры площади.
Мы уже говорили о том, что точный учет земель нужен
был, прежде всего, для государства. Ведь он служил
основой для расчета налогов (податей). Для этих целей в
России применялись специальные «податные» единицы
соха и выть (слово «выть» происходит от слова «тягло», то
есть, тот, кто принимает на себя тяжесть, например, -
выплаты налогов). Заметьте, слово «тягло» - однокорен-
ное со словом «тянуть».
При определении размеров сохи и выти учитывалось
качество земли и трудоспособность ее владельца. Для
«худых» земель размер сохи был больше, а для «добрых» -
меньше. А при определении размеров выти учитывалось
еще и количество работников в семье, их возраст и
способность работать.
Размер сохи колебался от 500 до 1200 четвертей, а
выти - от 12 до 16.
При Петре I окончательно утвердились квадратные
меры площади, а в 1916 году было узаконено применение
в России метрических единиц.
Вы знаете, что монастыри на
Руси владели большим количест-
вом земли. Землю эту обрабаты-
вали крестьяне, которые должны
были выплачивать монастырю об-
рок. Вот что написано в Уставной
грамоте Соловецкого монастыря
крестьяна м села Никольского.
«Имати у вас оброк хлебной, с
тридцати вытей и с трех вытей,
на год с выти по четыре четверти
ржи да четыре четверти овса; да
с тех же вытей на год с выти по
сыру, да по пятьдесят яиц да по
хлебу да по калачу...»
15
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»

10 см
Точно так же, как и меры площади, меры объема можно
образовать двумя способами: на основе единиц длины и
пользуясь какими-то более или менее устойчивыми
образцами из повседневной жизни. У большинства
народов в разные времена встречаются и те, и другие
меры.
Мы с вами сейчас пользуемся метрическими единица-
ми объема. Это значит, что образец меры объема для нас -
это кубик, ребро которого равно одной из метрических
единиц длины. Например, кубический сантиметр - это
объем кубика с ребром 1 см. Его еще называют миллилит-
ром, потому что литр - это кубический дециметр, то есть
объем кубика, ребро которого равно 1 дециметру, или 10
сантиметрам (значит, в 1 литре 1 000 миллилитров). Вы
уже должны хорошо понимать, как образуются эти
величины и их названия. И, конечно, не удивитесь, узнав,
что такие величины называют кубическими.
Похоже, что в древности у многих народов меры
Jr объема и меры веса не всегда были четко отделены друг
от друга. Это и не удивительно - ведь измеряли, в
“С основном, «количество вещества». А уж по весу, или по
< объему, в те времена различить было трудно. Например,
название английской меры лоуд (loud) переводится как
jr «груз», «тяжесть». А применялась она для измерения
объема древесины и равнялась 40 куб. футам или
5, примерно 1,12 м3.
Зато, почти у всех народов различались меры объема
< для жидкостей (например, растительного масла или вина)
Jr и для сыпучих веществ (зерна или муки).
Были даже специальные меры только для масла или
S только для вина. Например, во Флоренции применяли
ж, единицу объема бокал (по-итальянски это слово означает
«кружка» или «кувшин»). Так вот, бокал масла равнялся
I 1,04 литра, а бокал вина - 1,14 литра!
А в Англии была специальная мера для измерения
>• количества дров корд (от слова cord - веревка). По всей
jL видимости, эти дрова можно было стянуть веревкой
Ч стандартной длины. Корд равнялся объему штабеля дров
I с размерами 4x4x8 футов = 128 куб. футам, то есть
JT примерно 3,624 м3.
Названия многих единиц объема происходят от
названий емкостей, в которых хранили измеряемые
продукты. Например, у многих народов для измерения
жидкостей использовались меры, названия которых
переводятся как бутыль, кружка, ведро или бочка.
16
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
А для измерения сыпучих продуктов применяли такие
меры, как ящик, короб, мешок, куль.
Но иногда и сыпучие вещества мерили бутылками или
бочками. Например, в Италии для измерения количества
зерна применялась мера стайо {stalo - чан, кадушка).
Причем в разных областях Италии ее значения сильно
отличались друг от друга. Так, в Милане она равнялась
18,28 л, в Генуе - 29,14 л, а в Венеции - 83,31 л.
Перечислить все подобные меры объема просто
невозможно, ведь в каждом крохотном государстве, в
каждом крупном городе была своя мера, да часто и не
одна. Познакомимся только с теми старинными мерами,
которые применяются или хотя бы упоминаются до сих
пор.
Одна из основных единиц объема в англо-американ-
ской системе мер - галлон. Сейчас значение галлона в
Англии принято равным 4,546 л, а в Америке до сих пор
используются различные значения галлона: 3,785 л для
жидкостей и 4,404 л для сыпучих веществ. И в Англии, и в
Америке галлонами продают топливо для автомобилей.
Четвертая часть галлона имеет специальное название -
кварта, а восьмая часть галлона называется пинта.
Все эти слова наверняка знакомы Вам по многим
фильмам и книжкам.
Еще одна широко известная мера емкости - баррель
(считается, что это слово происходит от французского
baril - маленькая бочка). Эта мера издавна применялась
во многих странах, и в зависимости от страны и от товара
ее значения колебались от 35 до 300 литров.
Сейчас 1 баррель жидкости в Англии составляет 36
английских галлонов, или 163,6 л, а один баррель в США -
это 31,5 американских галлонов, или 119,2 л. Но чаще
всего в наше время баррелями отмеряют нефть и
нефтепродукты, и для этого используются немного другие
значения: 1 баррель сырой нефти составляет в Англии
34,97 английских галлонов или 158,988 л, а в США -
42,2 американских галлона или 159,727 л.
Для измерения сыпучих веществ чаще используется
другая единица - бушель (это слово происходит от латин-
ского корня buxta - коробка, ящик). И в Англии, и в США
бушель равен 8 галлонам (соответственно, английским
или американским). В бушелях сейчас измеряют, в
основном, количество зерна.
На Руси меры объема возникали и менялись примерно
так же, как и в других странах.
Основной единицей объема сыпучих веществ была
кадь (часто эту же единицу называли бочка или оков).
В России, когда хотят сказать,
сколько топлива потребляет ав-
томобиль, называют, сколько ли-
тров бензина надо потратить на
100 км пути, а в США говорят,
сколько миль можно проехать на
одном галлоне бензина.
17
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
Выразите объем
казенного короба
в кубических метрах.
Найдите высоту
восьмивершкового ведра
в сантиметрах.
>. Слово кадь происходит от греческого слова, обозначав-
Л шего бочку, а название «оков» связано с тем, что мерные
бочки по краям оковывали железом, чтобы их нельзя было
обрезать по краю, уменьшив тем самым объем.
£ Объем кади был довольно большим - 839,64 литра.
4г Часто использовались доли кади - половник (половина
jh кади), четверть (четвертая часть кади) и осьмина или
мера (восьмая часть кади). Но после XV века половники
вышли из употребления, а четверть стали считать равной
половине кади.
<- В Новгороде Великом была своя система мер с основ-
/ ной единицей короб, который подразделялся на полуко-
ъ робья, четверники, получетверники и т.д. Эти меры ис-
* пользовались, в основном, для измерения объемов зерна.
Для измерения объемов угля применялась единица,
it которую также называли короб, ее применяли, в основ-
ном, на горных заводах. Вы уже, наверное, не удивитесь,
узнав, что на разных заводах значения этой величины
£ могли отличаться в 3 - 4 раза. А вот для казенных (то есть,
> государственных) заводов в середине XIX века короб был
определен как объем опрокинутой усеченной пирамиды с
основанием (в четвертях аршина) длиной 12 и шириной 3,
вверху длиной 14 и шириной 6, при высоте 6. Объем такой
< пирамиды равен примерно 22 656 куб. вершков или
i 5,53 куб. аршин.
Про меры, которыми измеряли объемы жидких ве-
> ществ в Древней Руси, известно очень мало. В сохранив-
ши шихся до наших дней письменных источниках упоми-
наются бочки, ведра, корцы, полуведра, братины,
кружки, ушаты, стопы, стаканы и чарки. Какими
были соотношения между ними, установить очень трудно.
Во всяком случае, в сборниках задач никогда не
требовалось переводить данные из одних мер такого рода
в другие.
Чаще других единиц этого ряда упоминалось ведро,
которое подразделялось на кружки (обычно ведро вме-
щало 10-12 кружек), а величина самого ведра определя-
лась его высотой и измерялась в вершках (например,
восъмивершковое ведро).
В 1835 году ведро было принято за основную единицу
объема. Его величина стала равна объему 30 фунтов
дистиллированной воды при температуре 16,9°, или 12,3
литра. В ходу были такие доли ведра: штоф или кружка
(десятая часть ведра), полуштоф, или пивная бутылка
(двадцатая часть ведра), винная бутылка (шестнадцатая
часть ведра), чарка (сотая часть ведра) и шкалик, или
получарка (двухсотая часть ведра). Основной единицей
для сыпучих веществ стал гарнец (от польского слова
garnek - горшок), это объем 8 фунтов дистиллированной
воды при той же температуре. Восемь гарнцев составляли
четверик или меру, а восемь четвериков - четверть.
Одновременно с этими мерами, начиная с реформы,
проведенной Петром I, стали применяться кубические
меры объема: кубические вершки, кубические аршины и
другие величины на основе линейных мер.
»
18
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»

В метрической системе мер за единицу массы принята
масса одного кубического дециметра дистиллированной
воды при температуре ее наибольшей плотности (это
около 4°С). Эта величина называется килограмм массы.
Тысячная доля килограмма называется граммом, а
тысячная доля грамма - это миллиграмм.
Эти слова вам, конечно, хорошо знакомы, так же, как и
слова центнер и тонна. Заметим только, что слова эти
значительно старше тех величин, которые они
обозначают. Словом грамм (или грамма) называли в
Древней Греции мелкую единицу веса. Центнером
называли торговую меру веса, которая долгое время была
в ходу по всей Северной Европе (слово это происходит от
латинского centenanus - содержащий сто единиц). Слово
тонна происходит от tuna - так на средневековой латыни
называлась бочка. Единица с таким названием
использовалась для измерения объемов во многих
европейских странах и их колониях, а в Дании и Швеции
так, кроме того, назывались единицы измерения
земельных участков. Тоннами измеряли, в основном,
количество зерна, и вы уже, наверное, можете сами
догадаться, как связаны между собой земельная и
зерновая тонны.
Те из вас, кто уже изучают курс физики, знают, что вес и
масса - это не одно и то же, Однако различие между
этими понятиями стало ясно не очень давно. Когда начала
развиваться экспериментальная физика, было замечено,
что если взвешивать один и тот же предмет одними и теми
же весами на разных высотах, то будут получаться разные
результаты. Так выяснилось, что надо различать количес-
тво вещества (массу тела) и силу, с которой это тело
притягивается к центру Земли (вес тела). Но в
повседневной жизни это несовпадение не играет
заметной роли, поэтому меры массы и веса обычно
различают только в научном обиходе и в учебниках. Тем
более не делали различия между ними наши далекие
предки.
Сравнивать, а значит, и измерять вес различных
предметов, человеку пришлось на самых ранних ступенях
Эталон килограмма находится
в Международном бюро по мерам и
весам в Севре под Парижем. Это
цилиндр из сплава 90% платины и
10% иридия диаметром около
39 мм и такой же высоты. Этот
сплав выбран, потому что он обла-
дает очень высокой химической
стойкостью и однородностью. Он
легко полируется и хорошо очища-
ется.
Но у него есть существенный
недостаток: сплав этот очень
плотный, — 1 см? этого металла
весит 21,5 г, поэтому даже очень
незначительные потери вещества,
которые происходят при чистке и
полировке эталона, приводят к за-
метному изменению массы.
По этой причине копии с этало-
нов массы, как правило, изготавли-
вают из стали или из латуни.
Для обеспечения единства изме-
рений массы было изготовлено мно-
го экземпляров эталона. Их масса
отличалась от массы главного про-
тотипа не более чем на 25 мкг (то
есть 0,000025 г). В Россию, как в
страну-участницу Метрической
конвенции, в 1889 г. был направлен
эталон № 12, который хранится
до настоящего времени во Всерос-
сийском научно-исследователь-
ском институте метрологии
им. Д.И. Менделеева (бывшая
Главная палата мер и весов Рос-
сии) в Санкт-Петербурге.
19
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
Заметим, что в древнем Вави-
лоне была в ходу мера объема, на-
звание которой переводится как
«ослиный вьюк». И значение ее бы-
ло всего около 84 литров.
цивилизации. Поэтому и единицы измерения веса тоже
появились в незапамятной древности.
Самые ранние меры веса, как и другие меры, брались
из повседневной жизни и, конечно же, были очень
приблизительными.
Очень часто за единицу принимался груз, который
может нести человек или животное.
Например, древняя китайская мера веса дань (около
60 кг) первоначально означала груз, который может нести
один человек. Само это слово переводится как «ноша»,
«бремя» или «вязанка». Аналогичная мера была и в
Японии.
Исландская ыерахестур (около 100 кг) - вес, который
может перевозить лошадь (это слово так и переводится -
лошадь).
Название персидской меры харвар переводится как
«вьюк одного осла», а ее значение - около 300 кг.
Вообще, названия многих старинных мер веса перево-
дятся как «вес», «вьюк» или «ноша», например, вог в Дании
и Норвегии или карга в Испании и странах Латинской
Америки.
А вот название еще одной древней китайской меры и
переводится как «полная пригоршня» - это примерно 890 г.
Другая, тоже очень древняя китайская мера веса цзинь
(около 600 г) первоначально равнялась весу металла, из
которого можно изготовить бронзовый топор.
Кроме того, очень многие меры веса получили свое
название от различных емкостей (мы уже говорили о
том, что в древности люди не всегда различали меры
веса и емкости). Так, в Индии применялась мера веса
гони (около 60 кг), ее название переводится как
«двойной мешок».
А название старой английской меры киль (около 21 т)
означает плоскодонное судно для перевозки угля.
Все меры веса, о которых мы пока говорили, -
довольно крупные и неточные, многие из них возникли в
самой глубокой древности. Но по мере развития
человеческого общества, когда возникают ремесла и
торговля, возникает потребность в более мелких и,
главное, более точных мерах веса.
Люди очень давно заметили, что размеры и вес
отдельных зерен одного и того же растения очень мало
отличаются друг от друга. А если сравнивать не одно
зерно с другим, а, допустим, пять зерен с другими пятью
зернами того же растения, то колебания будут еще
меньше.
20
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
Поэтому размеры и вес зерна очень часто становились
основой для единиц измерения. Для этого, конечно же,
выбирались зерна той культуры, которая выращивалась
данным народом.
Например, в средневековой Англии, где основной
сельскохозяйственной культурой был ячмень, использо-
валась единица длины барликорн (от слова barleycorn -
ячменное зерно). Причем таких единиц было даже две:
одна равнялась длине зерна, а другая - его ширине
(вспомните, английский дюйм - это длина трех ячменных
зерен, то есть, 3 барликорна).
Перечислить все единицы веса, название и величина
которых происходят от различных злаков, просто невоз-
можно, - они есть почти у всех народов. Чаще всего эти
единицы применялись в ювелирном деле для взве-
шивания драгоценных камней и металлов. Многие из
них с некоторыми уточнениями сохранились до наших
дней.
Например, в Южной Италии с XIII века известна мера
ачино (от латинского слова acino - виноградная косточ-
ка), ее значение равно 44,5 мг.
Название аптекарской меры веса камха (0,0487 г)
переводится с арабского как «зерно пшеницы».
Индийская мера веса дхан (0,0312 г) первоначально
равнялась весу двух рисовых зерен, слово это на языке
хинди означает «зерно неочищенного риса».
Многие из вас, наверное, слышали слово карат -
слово это происходит от греческого названия стручка
рожкового дерева, семена которого во многих странах
служили мерой веса. Сейчас эта мера обычно использу-
ется для взвешивания драгоценных камней. Современное
значение карата равно 0,2 г.
Название персидской меры ноход (0,193 г) переводит-
ся как «горошина».
Сколько миллиграммов
в барликорне?
Сколько примерно рисовых зерен
надо взять, чтобы получить
один грамм?
Обычно древние меры веса не были связаны с
линейными. Однако, вес малого кубического локтя
(91,125 л) воды ровно в 1 000 раз больше, чем основная
египетская мера веса тен (или дебен). И многие
исследователи считают, что это совпадение не слу-
чайно.
Точно так же, значение одной из главных единиц массы
в древнем Вавилоне - мины очень близко к весу кубика
воды с ребром, равным пятой части локтя (это
вавилонский вариант ладони - кат).
21
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
Сколько килограммов
в одном таланте?
А чему равен вес
денежной мины,
выраженный в килограммах?
В древности, многие единицы веса одновременно
использовались и как денежные единицы. До того как
стали чеканить настоящие монеты, в качестве денег очень
часто употребляли слитки серебра или золота стандарт-
ного веса. Поэтому назывались такие деньги тем же
словом, что и мера веса.
Впервые такая система мер веса и денежных единиц
возникла, по всей видимости, в Вавилоне. Самой крупной
единицей веса был талант (слово это означает «весы»).
Как и многие другие единицы, талант существовал в двух
вариантах: талант тяжелый и талант легкий, легкий
талант был в два раза легче тяжелого.
2
Тяжелый талант составлял ровно от веса малого еги-
О
На глиняных табличках, кото-
рые дошли до наших дней, сохрани-
лись не только своды законов и дру-
гие важные государственные текс-
ты, но и множество сведений о по-
вседневной жизни подданных древ-
нейших государств: судебные ре-
шения, договоры о купле и продаже
и многое другое. Вот некоторые из
текстов, по которым можно по-
нять какие деньги и за что плати-
ли жители древнего Вавилона.
«Если лекарь сделал человеку
тяжелую операцию бронзовым но-
жом и спас человека, то он может
2
петского кубического локтя воды, или 666тен.
О
Шестидесятая часть таланта - это мина. Шестидесятая
часть тяжелой мины - сикль (сигль, шекель) весила
примерно 16,8 г и была одновременно и весовой, и
основной денежной единицей. Впрочем, денежная
тяжелая мина равнялась уже не 60 сиклям, а только 50. Так
что денежные единицы хотя и произошли от весовых, но
очень быстро стали самостоятельными.
Вавилонскую систему мер переняли жители соседних
государств - Сирии и Финикии, а оттуда они попали в
Древнюю Грецию.
получить 10 сиклей серебра.
Если это раб человека, то хозя-
ин раба должен дать лекарю 2 сик-
ля серебра».
«В месяце абу 1-го года Нергал-
шар-уцура, царя Вавилона, я про-
дала своего раба Базузу за полови-
ну мины и 5 сиклей серебра Набу-
аххе-иддину, сыну Шулы».
«Дом Бел-иддина, сына Набу-
этира, южную, восточную части и
верхний этаж, Амату добровольно
сдала на четыре года Ки-Набу, ра-
бу Арад-Набу, для жилья за 12 ле-
пешек в день и половину сикля сере-
бра в год».
Переходя из одной страны в другую, меры заметно
изменялись, и во времена Гомера в Древней Греции
талантом уже называли величину, равную тяжелому
вавилонскому сиклю. Правда, применяли ее только для
взвешивания золота.
В то же время мина служила у древних греков и
весовой, и денежной единицей, хотя монеты с таким
названием никогда не были в ходу. Чеканились только
монеты, значения которых были равны долям мины:
1 мина - это 25 тетрадрахм, или 50 дидрахм,
или 100 драхм, или 150 тетроболов, или 200 триоболов,
или 300 диоболов, или 600 оболов, или 1200 полуоболов,
или 2 400 дихалков, или 4 800 халков, или 33 600 лепт.
Весовое значение греческой мины было различным в
различных частях Греции, но в конце VII века до н.э. была
проведена реформа греческих мер, в результате которой
мина стала равна 655 г.
22
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
Система весовых мер в Древнем Риме заметно
отличалась от древнегреческой. Основной единицей веса
была либра (от латинского слова libra - весы), ее вес
равен 327,45 г. Иногда эту же величину называли ас.
Либра делилась на 12 унций (от латинского uncia -
двенадцатая часть). Использовались и более мелкие еди-
111	1
ницы: 2 унции, унции, часть унции и часть унции.
Все они имели специальные названия, например, часть
унции называлась скрупул (от латинского слова scrupulus -
маленький острый камешек).
То, что основная единица делилась на 12 частей, а те
тоже делились на 12 или 24, указывает на связь этой
системы с древними вавилонскими мерами. Только
пришли эти меры на Апеннинский полуостров не через
Грецию, а другими путями.
X Вот какими были фунты и их доли
jL в некоторых европейских странах.
Jh Австрийский фунт весил 561,336 г
и делился на 2 венские марки,
jL или 32 лота, или 128 квент,
или 512 пфеннигов.
it Баварский фунт весил 560 г
или 4 фирлинга.
ж, Баденский фунт весил 500 г,
или 10 ценлингов,
или 100 центов, или 1000 дек,
JF или 10000 асов.
X Бременский фунт весил 498,5 г,
или 2 марки, или 16 унций,
X* или 32 лота, или 128 квент.
* Гамбургский фунт весил 484,609 г,
что равнялось 50 декаграмм
> или 500 граммам (обратите
внимание, какой был грамм в
Гамбурге!).
От римской либры произошли единицы веса почти во
всех странах Европы. Только называться она стала по-
другому - фунт (от латинского слова pondus - вес,
тяжесть). Об этом происхождении напоминает и деление
фунта на унции, и его стандартное обозначение.
Например, в Англии в XII была серебряная монета с
названием либра. Позднее ее вес стал основной весовой
единицей, это и есть английский фунт. Сокращенно его
обозначают буквами lb, отсюда же идет и обозначение
английского денежного фунта - £.
А во Франции аналогичная единица называлась ливр
(примерно 490 г), так же называлась и денежная единица.
Наверное, вам попадалось это слово в книжках.
До введения метрической системы мер фунт был
основной единицей практически во всех странах Европы.
Но как всегда, значения его в разных странах были
различными. А нередко и в одной стране одновременно
использовалось два (или даже больше!) различных
фунтов.
Чаще всего разные значения фунта использовались в
торговле, ювелирном деле и для аптекарских целей.
До сих пор, например, вес драгоценных металлов
измеряют специальными, тройскими мерами веса:
фунтами, унциями и т.д. Название это связано с
французским городом Труа (Troyes), где в средние века
Норвежский фунт весил 498,212 г,
или 12 унций, или 96 драхм,
или 288 скрупулов,
или 5960 гран.
А теперь попробуйте сосчитать,
сколько норвежских скрупулов
было в баварском фирлинге!
23
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
проходили знаменитые ювелирные ярмарки Современ-
ное значение тройского фунта равно 373,2 г, а торговый
фунт в Англии равен 453,59 г. Причем тройский фунт
делится на 12 унций, а торговый - на 16!
Унции делятся на более мелкие единицы, причем
разные унции и фунты делятся на различное количество
частей, названия которых часто совпадают, так что
запутаться в этой системе весов очень легко.
Обратите внимание, из этой
записи понятно, что анцъгръ
и фунт - это одно и то же,
и что они бывают разные:
«старый» (128 золотников)
и «новый» (96 золотников).
А слова «пол три гривенки»
означают «две с половиной
гривенки».
Точно так же
«полтретья фунта» -
это два с половиной фунта.
Теперь попробуйте понять,
сколько почек в безмене?
Как и в других странах, в России тоже было великое
множество разнообразных мер веса.
В летописях, начиная с XII века упоминаются капъ,
берковец и пуд. Несколько позже упоминаются
четверть вощаная, гривна, гривенка, почка,
золотник, безмен и анцырь (или фунт).
Берковец сначала использовался только для воска, а
потом как мера торгового веса для любых товаров. Этим
словом называли большую плетеную из прутьев корзину
(ее обычно носили за плечами, как современный рюкзак).
В Торговой книге начала XVII века записано: «берковец
10 пуд. четверть вощаная 12 пуд, анцырь весит пол три
гривенки и 8 золотников, а всего в анцыре 128
золотников, а нынешний анцырь весит фунт в 96
золотников, в фунте одна большая гривенка и две малых,
в золотнике 25 почек, безмен весит полтретья фунта, 5
малых гривенок, 240 золотников; в пуде безменов 16,
гривенок больших фунтовых 40».
А еще были такие меры, как бочка и ласт. Бочка
равнялась 6 пудам, а ласт - 12 бочкам
На самом деле, значения всех этих мер менялись со
временем, и вполне могли быть разными в разных частях
страны. Система мер, единая для всего государства была
введена только в 1845 году. Основной единицей веса был
выбран фунт, который определили с большой точностью.
Было установлено, что кубический дюйм воды весит
368,361 долей (долей называли часть золотника), а
объем российского фунта воды равен 25,019 кубических
дюймов.
Таким образом, значение фунта было установлено
409,51241 грамма. Для получения более мелких единиц
фунт делили на 96 золотников или 32 лота. Золотник
делили на еще более мелкие единицы - доли, по 96 долей
в золотнике
24
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
ЗРМ и мы
Сравнивать, а значит, и измерять промежутки времени
люди стали в незапамятной древности. Как и все
остальные измерения этой эпохи, эти первые измерения
времени были очень приблизительными. Для них
использовались какие-то повседневные процессы: «пока
закипит котел воды», «пока будет выкурена трубка» и
другие, похожие единицы.
Но уже в очень глубокой древности люди заметили, что
многие природные процессы повторяются очень
регулярно: день сменяется ночью, сменяют друг друга
времена года... И постепенно эти природные эталоны
времени стали использоваться для измерения
В древнем Египте уже около 4000 лет назад была
вполне стройная система измерения времени.
Год (то есть время от одного весеннего равноденствия
до другого) делился на 12 месяцев. В каждом месяце
было 30 суток. В конце года были дополнительные 5 дней,
не входившие ни в один из месяцев. Всего египетский год
содержал 365 суток. Но настоящий год, то есть время, за
которое Земля делает полный оборот вокруг Солнца,
равен примерно 365,25 суток. В современных календарях
для того, чтобы учесть это, раз в 4 года добавляют 29-й
день к февралю (год с таким «лишним» днем называется
високосным). Сутки делились на день и ночь (от восхода и
до заката солнца - день, и от заката до восхода - ночь). И
день, и ночь делились на 12 часов.
Но вы уже, знаете, что продолжительность дня и ночи
меняется в течение года, поэтому дневные и ночные часы
отличались друг от друга, и, кроме того, они были
различными в разное время года.
Похожая система сложилась и в древней Вавилонии,
только месяцы там имели различную длительность,
причем иногда их было 12. а иногда - 13. Измерение
времени неделями тоже берет начало в Древнем
Вавилоне. Дело в том, что вавилонский календарь был
лунно-солнечным, то есть учитывал не только солнечные
циклы, но и лунные. А лунный месяц, то есть время от
одного новолуния до другого, равен примерно 28 дням.
Таким образом, неделя - это четверть лунного месяца.
Названия дней недели также идут от вавилонской
традиции. В Вавилоне была очень развита астрология -
учение о влиянии расположения звезд и планет на судьбы
отдельных людей и целых народов. Астрологи связывали с
каждым днем недели определенную планету. По этой
планете и называли день недели, затем эти названия
перешли в римские календари, а оттуда - в календари
почти всех стран Европы.
Первые инструменты для из-
мерения времени появились, по
всей вероятности, в Египте. Уже в
XV веке до нашей эры там исполь-
зовались простейшие солнечные
часы, которые состояли из верти-
кального стержня и гори-
зонтальной линейки с де- q
лениями. Часы распола-
гали так, чтобы тень от
вертикального стержня
падала на линейку, и по
величине этой тени опре-
делялось время суток.
Для измерения времени
в средневековой Европе
использовали длинные
(около метра) свечи,
которые горели
очень долго и рав-
номерно. На та-
кую свечу наноси-
ли шкалу с делени-
ями, и по тому,
какая часть свечи
сгорела, определя-
ли, сколько времени прошло с того
момента, как ее зажгли. Иногда к
такой свече прикрепляли метал-
лические штырьки или шарики, а
свечу ставили в подсвечник с ме-
таллической чашей. Когда свеча
догорала до шарика, он падал, и
звук, который при этом раздавал-
ся, был звуковой сигнализацией
времени, вроде современных часов
с боем.
25
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
Например, английское название субботы (Saturday)
означает «день Сатурна».
Вавилонские астрономы, которым для наблюдений
требовалась довольно большая точность в измерении
времени, ввели в употребление градусы времени.
двойной час делился на 30 градусов. То есть, градус
времени - это 4 современных минуты. Позже час стали
делить на 60 минут, а минуту - на 60 секунд.
Для повседневной жизни такая точность обычно была
не нужна, и время измеряли стражами (то есть,
промежутками между двумя сменами стражи). И день, и
ночь делились на три стражи, а каждая стража делилась
на половины, или даже четверти.
Измерение углов очень тесно связано с представ-
лением о круглом циферблате, а значит, и с измерением
времени Оказывается, что самый привычный для нас
способ измерения углов - градусами, также возник в
древнем Вавилоне.
Звездное небо изображалось в виде круга, на который
наносились 12 созвездий северного полушария, (эти соз-
вездия называют знаками зодиака) С каждым соз-
вездием связывали тот месяц, в течение которого Солнце
восходит в этом созвездии. Каждый знак зодиака делился
на 30 градусов, так что всего в круге содержится 360
градусов. Каждый градус делился на 60 минут, а каждая
минута - на 60 секунд. Как видите, это деление дошло до
наших времен без всяких изменений. Вот какую удачную
систему придумали ученые древнейшей цивилизации!
Гораздо позже было придумано измерение углов,
которое чаще всего используется в математике -
радианная мера. Вам уже, наверное, известно, что
отношение длины окружности к ее радиусу одинаково для
всех окружностей. Это отношение обозначают греческой
буквой Я. известно, что я~ 3,14.
Выберем на окружности с центром О произвольную
точку Л, возьмем ниточку, длина которой равна радиусу
окружности, и закрепим один ее конец в точке А.
Проложим эту ниточку вдоль окружности и отметим точку В,
в которую попадет второй ее конец. Величина угла АОВ,
построенного таким образом, и есть единица измерения
углов в радианной мере, а короче просто радиан. Эта
единица стала применяться со второй половины XIX века,
26
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»
Во времена Великой французской революции во
Франции вместе с метрической системой мер была
введена новая система измерения углов. В ней прямой
угол делится на 100 градусов («градов»), градус на 100
минут, минута на 100 секунд. Сейчас эта система чаще
всего применяется в геодезических измерениях.
Еще один способ измерения углов, точнее, направле-
ний придумали моряки. Они определяют направления с 4
помощью румбов Прежде всего, выделяются четыре
главных направления: на север - N (читается «норд»), J
на юг - S (читается зюйд), на запад - W (вест) и на восток -
О (ост). Это главные румбы.	J
Направления, получаемые делением пополам каждой J
четверти горизонта, образованной главными румбами, J
называются четвертными румбами: норд-ост (NO) - севе- J
ро-восток, зюйд-ост (SO) - юго-восток, зюйд-вест (SW) - J
юго-запад и норд-вест (NW) - северо-запад.	j
Средние направления между главными и четвертными J
румбами обозначаются тремя буквами, составленными J
из обозначений соседних румбов (их называют трехбук- j
венными румбами). Например, средний между NO и О ]
румб называется ост-норд-ост (ONO) и т.д. Итак, мы уже
получили 16 румбов.
Но каждый из полученных 16 углов можно разделить
еще пополам (угол между соседними направлениями при
этом будет равен тХ части окружности, или 11,25°).
О/—
Для обозначения этих новых направлений между двумя
старыми вставляют слово «тень».
Например, норд-тень-ост (NtO) соответствует норду с
увеличением угла на один румб (11,25°) к осту, норд-ост- 7
тень-ост (NOtO) - норд-осту с увеличением угла на один 7
румб к осту (при этом получается угол 45°+ 11,25°= 56,25° 7
с направлением на норд - север).
Сейчас такие обозначения углов можно встретить, в л
основном, в приключенческих книжках, а в навигации
используются новые инструменты и другие единицы из- л
мерения.
Но метеорологи до сих пор используют румбы для ука- л
зания направлений ветра. Ведь для этого не нужна боль- Ч
шая точность, не нужно даже использовать все 32 румба, ч
а достаточно всего 16.
Если угол равен ЗОР,
сколько градов он содержит?
27
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КЛУБ «КЕНГУРУ»

ЧТО ТАКОЕ МЕРА? .....................................2
КАКАЯ МИЛЯ ДЛИННЕЕ?..................................4
СТАРИННЫЕ РУССКИЕ МЕРЫ ДЛИНЫ ........................9
МЕРЫ ПЛОЩАДИ .......................................12
МЕРЫ ОБЪЕМА.........................................16
МЕРЫ ВЕСА ..........................................19
ВРЕМЯ И УГЛЫ .......................................25
Математический клуб «Кенгуру»
Выпуск № 12 (3-8 классы).
Санкт-Петербург, 2005 г.
Составитель Н.А. Жарковская
Редактор А.И. Плоткин
Компьютерная верстка Ю.В. Смирнов
Рисунки Е.В. Савик
Оригинал-макет подготовлен Институтом продуктивного обучения
и Центром технологии тестирования «Кенгуру-Плюс».
197198, Санкт-Петербург, а/я 581.
Печать офсетная.
Отпечатано в типографии издательства «Левша. Санкт-Петербург».
197376, Санкт-Петербург, Аптекарский пр., 6.
Тираж 1000 экз.