О.В.Руденко, С.И.Солуян
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ
Монография содержит систематическое изложение теории нелинейных
звуковых волн и эффектов, связанных с их распространением. Рассмотрение
большинства проблем проводится на основе единого методического подхода —
приближения медленно меняющейся формы волны. Широко используются
нелинейные уравнения типа Бюргерса. Даны точные и приближенные решения,
их физический анализ. Наряду с подробным изложением основ в книге отражены
последние достижения теории нелинейной акустики.
Книга рассчитана на физиков — научных работников, аспирантов и студентов
старших курсов, а также на лиц, интересующихся теорией нелинейных волн в
слабодиспергирующих средах. Она может быть использована в качестве учебного
пособия.
Содержание
Введение 5
§ 1. Линейная акустика. Уравнения и границы применимости (9). § 2.
Сведения из теории ударных волн A6).
Глава I. Плоские волны конечной амплитуды в средах без дисперсии . 19
§ 1 Спектральный подход к нелинейным волнам A9) § 2. Простые
волны в нелинейной акустике B2). §3. Графический анализ
деформации профиля простой волны B6). § 4. Образование разрывов
в простой волне C0). § 5. Распространение волн Римана (в рамках
второго приближения) C3)
Глава II. Плоские волны конечной амплитуды в средах без дисперсии 42
(вязкая теплопроводящая среда).
§ 1. Вывод уравнения Бюргерса D2). § 2. Решение уравнения
Бюргерса для периодического возмущения D6). § 3. Решение
уравнения Бюргерса для периодического возмущения (строгое
решение) E0). § 4. Решения уравнения Бюргерса для непериодических
возмущений E7).
Глава III. Сферические и цилиндрические волны конечной амплитуды 65
§ 1. Вывод уравнений F5). § 2. Среда без диссипации F7). § 3.
Диссипативная среда. Квазистационарные решения G1). § 4.
Структура цилиндрической ударной волны. Автомодельный подход
G3). § 5. Общая структура пространственно-симметричных волн с
учетом нелинейности и диссипации G6). § 6. Особенности
распространения сходящихся и расходящихся волн G8).
Глава IV. Звуковые волны в диспергирующих средах 82
§1.0 дисперсионных свойствах среды. Среда с релаксацией (82). § 2.
Слабая и сильная дисперсия (88). § 3. Распространение конечных
возмущений в релаксирующей среде (92).
Глава V. Взаимодействие звуковых волн 101

§ 1. Коллинеарное взаимодействие плоских волн A01). § 2. Рассеяние
звука на звуке A13). § 3. Стоячие волны конечной амплитуды A27). §
4. О взаимодействии звука с волнами иного вида A38)
Глава VI. Параметрические явления в звуковых волнах 145
§1.0 трехчастотном параметрическом взаимодействии A45). § 2.
Параметрическое усиление звука в средах без дисперсии A53). § 3.
Параметрическое усиление звука в искусственных системах с
дисперсией A68).
Глава VII. Нелинейное самовоздействие волн. Эффекты высших 177
порядков
§ 1. Газодинамический подход к теории распространения волн
конечной амплитуды A77). § 2. Расчет отраженных от разрывов волн
A80). § 3. Постоянная составляющая как следствие нелинейного
самовоздействия волн A86). § 4. Модифицированный нелинейно-
акустический подход. Простые волны с учетом отражения A89).
Глава VIII. Акустические течения . 197
§ 1. Вывод системы уравнений для акустических течений A97). § 2.
Эккартовские течения B02). § 3. Неодномерные течения B08). § 4.
Другие типы течений B17). § 5. Законы подобия и классификация
акустических течений B22).
Глава IX. Распространение ограниченных звуковых пучков 224
§ 1. Уравнение нелинейной акустики ограниченных пучков B24). § 2.
Параболическое уравнение. Некоторые задачи линейной теории
дифракции B27). § 3. Нелинейные эффекты в звуковых пучках B32). §
4. Приближенные решения при больших и малых числах N B35). § 5.
Нелинейная геометрическая акустика. Искажение однополярных
возмущений B40).
Глава X. О статистических явлениях в нелинейной акустике 251
§ 1. Случайно-модулированные звуковые волны B51). § 2. Общая
теория нелинейной эволюции спектров случайных звуковых полей
при отсутствии диссипации B61). § 3. Взаимодействие
модулированных волн B67). § 4. О квазигармонических сигналах при
наличии только фазовых флуктуации B70). §5.0 взаимодействии
регулярных волн со случайнымиB73).
Цитированная литература 283

ВВЕДЕНИЕ
Нелинейная акустика сформировалась на стыке не-
нескольких наук; именно поэтому довольпо трудно дать
строгое определение как предмета, изучаемого ею, так и
момента ее возникновения и выделения в относительно са-
самостоятельную ветвь. Вместе с тем в рамках монографии
введение таких разграничений принципиально необходи-
необходимо; надо лишь всегда иметь в виду их условность.
Итак, будем называть нелинейной акустикой раздел
физики, изучающий поведение настолько мощных звуко-
звуковых и ультразвуковых возмущений (а также различных
эффектов, связанных с их распространением), что описа-
описание процессов с помощью линейных дифференциальных
уравнений становится непригодным.
Поскольку здесь приходится иметь дело с нелинейными
уравнениями, принцип суперпозиции решений нарушается.
Иными словами, волны начинают влиять друг на друга,
т. е. взаимодействовать между собой. Это приводит к появ-
появлению ряда новых физических явлений, порой настолько
существенных, что их нельзя считать малыми поправками
к линейной теории. Так, всем знакомы неприятные ощуще-
ощущения, вызванные ударной волной от летящего сверхзвуко-
сверхзвукового самолета. К счастью, волна затухает по нелинейному
закону — тем сильнее, чем больше ее амплитуда; в против-
противном случае звуковой импульс у поверхности земли был бы
гораздо более интенсивным.
Центральное место в задачах нелинейной акустики за-
занимают вопросы распространения механических колебаний
и их взаимодействий друг с другом. Естественно поэтому
считать нелинейную акустику — точпо так же, как и ли-
линейную — одним из разделов механики сплошных сред
[1-5].

6 ВВЕДЕНИЕ
Нужно заметить, однако, что акустика к тому же
является частью радиофизической науки. Она тесно связа-
связана с проблемой передачи информации, и поэтому здесь
большую роль играют вопросы спектрального анализа.
В этом состоит известное отличие акустики от чистых
гидродинамических задач, в которых преимущественно
употребляется пространственно-временное рассмотрение.
^ Но даже без спектральной трактовки явлений нелиней-
нелинейная акустика в ее теперешнем виде [6—9] выходит далеко
за рамки традиционной гидродинамики. Это связано преж-
прежде всего с бурным прогрессом, произошедшим в смежных
областях — нелинейной оптике [10, 11], радиофизике [12],
физике плазмы [13, 14] и т. д. Интерес к нелинейным вол-
волнам различной природы вызвал естественное стремление
обобщить многочисленные результаты в целях создания
общих математических методов исследования нелинейных
волновых процессов [15—17]—так, как это было сделано
когда-то в теории нелинейных колебаний [18, 19]. С общей
точки зрения акустические среды представляют собой важ-
важный частный случай нелинейных распределенных систем,
так как в них почти полностью отсутствует дисперсия.
Специфика таких задач подчеркивает роль нелинейной аку-
акустики в теории нелинейных волн в целом тем более, что
полученные здесь физические результаты могут быть
использованы в ряде других областей физики.
Нелинейная акустика, понимаемая в широком смысле,
занимается также изучением взаимодействия звуковых волн
с волнами иной природы — светом, потоком электронов и
т. д. Круг таких явлений очень широк. Они обусловлены
наличием нелинейностей смешанного (например, акусто-
оптического) типа и могут быть в равной мере отнесены
как к акустике, так и к соответствующему смежному разде-
разделу физики.
Прохождение звука через нелинейную среду может
вызывать в ней вторичные явления неволнового характе-
характера — кавитацию, акустические течения, химические реак-
реакции, фазовые переходы и др. Если добавить сюда нелиней-
нелинейные явления, связанные с генерацией звука, а также чисто
микроскопические нелинейные эффекты, то станет ясно,
что круг интересов нелинейной акустики чрезвычайно
широк.

ВВЕДЕНИЕ 7
Изложение всех этих вопросов привело бы к созданию
энциклопедического труда (который под силу только боль-
большой группе авторов) и, кроме того, явилось бы весьма не-
неблагодарной задачей, поскольку жизнь быстро идет впе-
вперед и такое издание неминуемо устареет к моменту своего
выхода в свет. Авторы ограничились выборочным, но
детальным изложением лишь тех вопросов, которые со-
составляют основу нелинейной акустики. Формирование
единой точки зрения на простейшие явления может послу-
послужить, на наш взгляд, платформой для исследования более
сложных проблем.
Нелинейная акустика в ее теперешнем понимании
может быть отнесена к числу молодых, быстро развиваю-
развивающихся физических наук; наиболее полные и интересные
результаты здесь получены в течение последних десяти —
пятнадцати лет. Несмотряна то, что нелинейная акустика
выделилась в относительно самостоятельную ветвь срав-
сравнительно недавно, ряд работ, лежащих в ее основе, был
выполнен еще в прошлом веке. Эти работы, принадлежа-
принадлежащие Пуассону [20], Стоксу [21], Эйри [22], Ирншоу [23],
Риману [24], посвящены теории простых волн и образуют
мостик между двумя традиционными разделами гидроди-
гидродинамики — линейной акустикой и теорией ударных волн.
Ограниченность и несовершенство этих двух несвязан-
несвязанных точек зрения на один и тот же предмет изучения осо-
особенно четко проявились в 1860 г., когда Риман отыскал
точное решение одномерной системы гидродинамических
уравнений для идеальной среды в виде простых волн [24].
Оказалось, что профиль сколь угодно малого, но конечно-
конечного возмущения ведет себя не так, как предсказывают урав-
уравнения линейной акустики. Области сжатия движутся бы-
быстрее областей разрежения. Происходит необратимое накап-
накапливающееся нелинейное искажение профиля волны вплоть
до появления неоднозначности, после чего решение ста-
становится физически бессмысленным.
Именно накапливающийся характер искажений при-
приводит к тому, что стационарные волны возможны лишь как
исключение при наличии конкурирующих факторов — дис-
диссипации, дисперсии или геометрической расходимости
(в случае, если волны не плоские). Присутствие же неод-
неоднозначности соответствует образованию ударной волны —

8 ВВЕДЕНИЕ
разрыву в первоначально гладком профиле, и дальнейшее
изучение его эволюции должно, вообще говоря, прово-
проводиться в соответствии с теорией ударных волн [1—5].
Однако в силу математических трудностей, связанных
с решением нелинейных уравнений в частных производных,
дальнейшее сближение двух указанных областей протека-
протекало крайне медленно. Бурный прогресс произошел недав-
недавно в связи с появлением источников мощного ультра-
ультразвука и когерентных электромагнитных волн [6, 10], что
вызвало всеобщий интерес к нелинейным волновым про-
процессам и стимулировало появление большого числа теоре-
теоретических и экспериментальных работ. В этот период и
сформировалась, в частности, промежуточная область
механических волновых процессов — нелинейная аку-
акустика. Большой вклад в ее развитие внесен советскими
учеными.
В настоящее время уже имеется несколько монографий
[б—8], включающих в себя обзор работ [25—461, посвя-
посвященных так называемому второму приближению теории
волн конечной амплитуды. Остановимся на этом вопросе
подробнее.
Решение Римана, как уже говорилось, есть точное ре-
решение системы уравнений Эйлера. Но гидродинамические
уравнения без учета вязкости и теплопроводности — и
это известно давно — плохо отражают свойства реальных
сред (достаточно вспомнить парадокс Эйлера — Далам-
бера о равенстве нулю суммарной силы, действующей на
обтекаемое тело). Точно так же римановское решение
унаследовало все недостатки исходных уравнений. Оно
несправедливо в области неоднозначности, и, кроме того,
реальную ценность представляет не само решение, а его раз-
разложение в ряд по числу Маха. Это связано с необходимо-
необходимостью учета диссипативных процессов в соответствующих
членах разложения.
Такой учет был сделан в работах, посвященных второму
приближению, что позволило установить ряд интересных
эффектов, как-то: законы нарастания и спада гармоник,
зависящие от величины акустического числа Рейнольдса
Re, существование области стабилизации волн и др. Не-
Неоднозначность в профиле уже не возникает благодаря на-
наличию диссипации, которая приводит к образованию ква-

8 1. ЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА 9
заударного фронта конечной ширины и в дальнейшем —
к его рассасыванию. Все эти результаты могут быть полу-
получены на основе единой точки зрения — всестороннего
анализа нелинейного уравнения Бюргерса [47], которое
допускает преобразование к линейному уравнению типа
диффузии и, следовательно, решается точно [48, 49].
Идею применить уравнение Бюргерса для объяснения
поведения волн умеренной амплитуды можно встретить в
работах [50, 51], однако впервые оно было строго получено
в радиофизике при изучении волн в нелинейных линиях
передачи [52]. Суть асимптотического метода работы [52]
заключается в предположении медленности изменения фор-
формы профиля в сопровождающей системе координат на рас-
расстояниях порядка длины волны. Этот метод был вскоре при-
применен к проблемам нелинейной акустики; уравнение
Бюргерса удалось получить из системы гидродинамиче-
гидродинамических уравнений, учитывающих вязкость и_ теплопровод-
теплопроводность среды [53]. Дальнейшие успехи теории связаны с
обобщением уравнения Бюргерса на цилиндрически- [54]
и сферически-симметричные волны [55], на случай среды
с релаксацией [56], на слабо-неодномерные задачи нели-
нелинейной дифракции ограниченных пучков [57] и, нако-
наконец, на задачи более высоких приближений [58]*).
i Достаточно мощный математический аппарат, разра-
разрабатывавшийся в течение ряда лет академиком
Р. В. Хохловым и учениками [52—58], все еще, к сожале-
сожалению, слабо отражен в имеющейся монографической лите-
литературе и, следовательно, мало известен широкому кругу
научных работников. Авторы в своей книге попытаются
хотя бы частично восполнить этот пробел.
§ 1. Линейная акустика.
Уравнения и границы применимости
При изучении произвольных, в том числе и волновых,
движений сплошных сред исходной системой уравнений
*) Классификация этих и других работ указанного направле-
направления проведена в обзоре [132].

Ю ВВЕДЕНИЕ
являются уравнения Эйлера:
¦¦ — Vp, (ВАЛ)
= 0, (В.1.2)
Р = Р (Р), (В.1.3)
справедливые для идеальной среды. Система является
полной и состоит из уравнения движения (В.1.1) в форме
Эйлера, уравнения непрерывности (В.1.2) и уравнения
состояния (В.1.3), которое будем записывать в виде
— = ( —) , где г = — для газов и эмпирическая кон-
. . / 9еЛ ро
станта у = 1 + ( у- j—- для конденсированных сред.
В тех случаях, когда требуется дать математическое
описание вязкойтепдопроводящей среды, функций v(r, t),
p(r, t), p(r, t), характеризующих распределение скорости,
плотности и давления, уже недостаточно. Необходимо
ввести дополнительные параметры s{r, t)— энтропию и
T(r, t)— температуру и описывать среду системой урав-
уравнений Навье — Стокса:
-7-г + (vV) v\ = — V/5 + r]Av + (S + ^-) grad div v,
(B.1.4)
= 0, (B.I.5)
(B.I.6)
Здесь ц, t, — сдвиговая и объемная вязкости, % — коэф-
коэффициент теплопроводности.
Для получения волновых уравнений следует предпо-
предположить, что относительные возмущения исходного со-
состояния являются малыми величинами порядка ц (где

§ 1. ЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА Ц
jj, — некоторый малый параметр):
Ро ро .Ро ро *"
При этих условиях скорость v, с которой колеблются гид-
гидродинамические частицы, есть малая величина порядка
jj, по сравнению со скоростью звука.
Рассмотрим вначале среду без диссипации. Подставляя
выражения р = ро ¦+- р', р = Ро "Ь Р в систему (В.1.1) —
(В. 1.3), получим
Po-!r = -Vi>', (B.1.9)
-J!-
+ p0divt> = 0, (В.1.10)
^p'=r_Pip'. (B.1.11)
При переходе к уравнениям (В.1.9)—(В.1.11) мы всюду
пренебрегаем малыми членами — |д,п, где п^> 1, т. е.
нелинейными членами, содержащими произведения и
степени величин р', р', v. Тем самым мы ограничились
рамками линейной акустики. Для сведения этой системы
к одному уравнению удобно ввести скалярную функцию
Ф — потенциал скоростей:
г;=уср. (ВИ.12)
Уравнения (В.1.9) и (В.1.10) дадут при этом
Исключая из (В.1.11), (В.1.13) переменные р', р', получим
волновое уравнение
Здесь через с\ обозначено выражение у^о/Ро- Общим реше-
решением уравнения (В.1.14) в одномерном случае является
функция вида ф = <&i(t — х/с0) + Ф2(? + х/с0), описы-
описывающая произвольные возмущения Ф1( Ф2, первое из
которых есть волна, распространяющаяся без изменения

12 ВВЕДЕНИЕ
своей формы в положительном направлении оси х, вто-
второе — в отрицательном направлении. Таким образом,
константа с0 имеет смысл скорости звука.
В линейной акустике выполняется принцип суперпо-
суперпозиции: волны, бегущие по среде, никак не влияют друг
на друга. Из (В.1.12)—(В.1.14) вытекает также, что волно-
волновому уравнению удовлетворяет любая из величин v, p',
р', ф и между ними существует простая линейная связь:
JL = ^ = J^. (в.1.15)
Со ро .РО V '
Если необходимо проследить за поведением возмуще-
возмущения, бегущего только в одном направлении (например,
вправо), то следует рассматривать уравнение первого
порядка:
получающееся из (В.1.14) выделением дифференциального
оператора "яГ + со у~ • Наблюдать за возмущением удобно,
двигаясь вместе с волной со скоростью с0, т. е. переходя
к сопровождающей системе координат
* = *—J-, *==*. (В.1.17)
Выполняя замену переменных, получим простое уравне-
уравнение
дх
(В.1.18)
решением которого является стационарная (не изменяю-
изменяющая своей формы при распространении) волна: ф = Ф (т).
В силу простоты уравнений и наглядности сопровождаю-
сопровождающих координат, их удобно использовать и в дальнейшем
при рассмотрении однонаправленных волн в нелинейных,
диссипативных и других средах.
Для вязкой теплопроводящей среды можно получить
аналогичное уравнение. Предполагая возмущения малыми
и отбрасывая нелинейные члены, преобразуем систему

§ i. ЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА 13
(В 1.4)—(В.1.7) к виду
Ро ~ = - Vp' + л Av + (с + -j-) grad div v, (B.I.19)
^- + Po div v = 0, (B.1.20)
(В.1.22)
Положив в последнем уравнении 7" = (-д—) р'и восполь-
зовавшись (В.1.13), (В.1.12), выразим
2pl div v. (В.1.23)
dp /s v '
Подставляя это выражение в форму (В.1.21) и используя
уравнение состояния идеального газа для вычисления
, v 1 / др\ I дТ\ v
коэффициента-^-!-^- (-^—Ь получим модифицированное
уравнение состояния:
(^--^)div^. (B.I.24)
Как нетрудно заметить, в процессе вывода (В.1.24)
были использованы соотношения, справедливые для волн
в идеальной среде. Такой приближенный подход возможен
только в случае, когда вязкость среды слабо влияет на
распространение волны; иными словами, когда затухание
волны мало на расстояниях порядка длины волны (—Я).
Предполагая движение безвихревым (rot v ~ 0), с помощью
(В.1.24) приведем (В.1.19) к виду
^ (B.I.25)
где

14 ВВЕДЕНИЕ
Из уравнений (В.1.25), (В.1.20) можно исключить, напри-
например, переменную р' и получить волновое уравнение для v:
<92У '-~ 2л ' Ь д а г. m / пп\
¦w,~c° v~~*stAv = 0- (вл-27)
Если искать решение этого уравнения в виде бегущей
плоской волны: v = уо-е11-ы~кх\ то между волновым
вектором и частотой получим связь:
) (вл'28)
где мнимая добавка, характеризующая затухание звука,
является малой величиной. Для волны, бегущей вправо,
в дисперсионном уравнении (В.1.28) следует взять знак
плюс и тогда
Выражение (В.1.29) описывает монохроматическую волну,
амплитуда которой уменьшается по закону
/ ко2
v = v0 ехр ( —
Величина *Д 2с*р0
o = ^L. (B.1.30)
2соРо
называется коэффициентом затухания звука. Поскольку
все выводы получены при условии малости поглощения на
длине волны (это предположение физически вполне оправ-
ч асо 6@ ^ л
дано), отношение =С1
w
Одномерное уравнение первого порядка, описываю-
описывающее только правую волну (в частности, (В. 1.29)), имеет вид
dv . dv Ъ d2v n ,„ , „,N
Переходя к сопровождающим координатам (В.1.17),
найдем
1?- (ВЛ-32)

§ 1. ЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА 15
Это — параболическое уравнение теплопроводности. На-
Наличие затухания приводит к тому, что его периодическое
решение (В.1.29) не является стационарной волной.
Общее решение уравнения (В. 1.32) при заданном началь-
начальном условии v (О, т) = v0 (т) имеет вид
v(x,x) = г 1 [exy\-{x'~^]-vo(r')dx'. (B.I.33)
Если начальное возмущение представляет собой уеди-
уединенный импульс, то на больших расстояниях его поведе-
поведение определяется асимптотическим выражением
v = jHwjpjr ^ {ВЛМ)
У 4яг6/2с03р0 J
которое показывает, что профиль импульса является
гауссовой кривой. Преимущественное поглощение высо-
высокочастотных составляющих (поскольку а •—- и2; см.
(В. 1.30)) спектра Фурье начального возмущения приво-
приводит к тому, что ширина кривой растет, как ух, а энер-
энергия и амплитуда уменьшаются пропорционально 1/~)/~х.
При переходе от системы уравнений (В.1.4) — (В.1.7)
к линейному уравнению (В.1.31) мы пренебрегли рядом
нелинейных членов. Необходимо исследовать, всегда ли
допустима такая операция. Рассмотрим, например, типич-
типичный нелинейный член —-^г ¦ Оценим порядок этого вы-
выражения по сравнению с другими членами уравнения
(В.1.31).
Принимая v = v0 Ф [и (t — (х/с0))], получим
v dv со
со dt °о со vo
= -sM (B.I.35)
CO V '
v dv 2 jo_
CO dt _ VO CO _ ГОСОРО „Re_ (B.I.36)
6уо 6co
xrw2

16 ВВЕДЕНИЕ
Таким образом, уравнение линейной акустики правомер-
правомерно применять только в тех случаях, когда безразмерные
числа М, Re <§^ 1 (М называется числом Маха). Во всех
задачах как линейной, так и нелинейной акустики требо-
требование М <^ 1 выполняется. Зато второе условие — ма-
малости акустического числа Рейнольдса Re <^ 1 — часто
нарушается, и линейная акустика становится неприме-
неприменимой.
Эти оценки являются весьма грубыми. Для более кор-
корректного определения границ применимости необходимо
наряду с линейным решением знать (хотя бы приближен-
приближенно) решение соответствующей нелинейной задачи.
§ 2. Сведения из теории ударных волн
В нелинейной акустике часто приходится иметь дело
с такими распределениями скорости, плотности, давле-
давления и т. д., которые включают в себя резкие скачки этих
параметров между двумя постоянными (или медленно из-
изменяющимися) значениями. Абстрагируясь от конеч-
конечности «толщины» этих скачков, т. е. считая их математи-
математическими разрывами, можно существенно упростить
рассмотрение ряда вопросов, связанных с их распростране-
распространением и взаимодействием. Дело в том, что сложные диффе-
дифференциальные соотношения, описывающие гладкое изме-
изменение параметров в тонком фронте ударной волны, при-
таком подходе заменяются более простыми интеграль-
интегральными законами, связывающими значения параметров по
обе стороны от разрыва.
Теория ударных волн представляет собой большой
раздел механики сплошных сред. Она рассматривает
существенно нелинейные явления и смыкается с акусти-
акустикой только там, где нелинейность мала (слабые ударные
ВОЛНЫ).
Выберем такую систему координат, в которой рассмат-
рассматриваемая поверхность разрыва покоится. Потребуем, что-
чтобы при переходе через эту поверхность скачки всех ве-
величин были связаны фундаментальными законами сохра-
сохранения потока массы вещества
Pi г>1 = Р2г>2> (В.2.1)

§ 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ УДАРНЫХ ВОЛН
17
потока импульса
и потока энергии
+ Pivt =
— .
(B.2.2)
(B.2.3)
Здесь индексом 1 отмечены параметры, относящиеся к точ-
ке среды, находящейся непосредственно перед ударным
фронтом, индексом 2 — к точке непосредственно за фрон-
фронтом. Величина w представляет собой свободную энергию
единицы объема. Исклю-
Исключая из (В.2.3) с помощью
(В.2.1), (В.2.2) скорости vlt
v2, получим уравнение
(B.2.4)
определяющее связь между
термодинамическими вели-
величинами по обе стороны по-
поверхности разрыва. Если
задано состояние среды рх,
pv то уравнение (В.2.4)
устанавливает зависимость
между р2 и р2, т.е. опреде-
определяет то состояние, в кото-
которое переходит среда после
прохождения ударной вол-
волны. Эту зависимость назы-
называют ударной адиабатой или адиабатой Ранкина — Гю-
гонио.
Из сравнения ударной адиабаты (ГГ') и адиабаты Пуас-
Пуассона (изоэнтропы ПП') на рис. В.1 легко видеть, что при
фиксированных plt px заданному сжатию соответствует
большее давление, чем по изоэнтропе. Это означает, что
при переходе через разрыв энтропия также изменяется
скачком, причем в силу необратимости процесса s2 ^> sv
Рис. В.1. Относительное распо-
расположение ударной адиабаты (ГГ')
и адиабаты Пуассона (ПП').

18 ВВЕДЕНИЕ
Вычислим изменение энтропии для ударной волны
слабой интенсивности, в которой р2 — pt — |л. Для этого
выражение w2 (s2, p2) — w1 (sv рг) разложим в ряд до
линейных членов по скачку энтропии и до кубичных —
по скачку давления:
ЩУ-Р1)' + Щ){Л-Р,Г. (В.2.5,
Согласно термодинамическому тождеству dw = Tds -]— dp
имеем следующие формулы для производных:
*?Л =т, (^-) = — . (В.2.6)
Выпишем аналогичное разложение в ряд для выражения
J 1_ .
Р2 Р1
(В.2.7)
Подставляя (В.2.5) и (В.2.7) в уравнение для ударной
адиабаты (В.2.4), получим формулу
-*-и [^l <*-*¦>¦•
согласно которой скачок энтропии в слабой ударной волне
является малой величиной третьего порядка по сравнению
со скачком давления.
Таким образом, образование в среде разрывов приво-
приводит к диссипации энергии уже в рамках модели идеальной
среды. Разумеется, имеют место необратимые процессы,
происходящие в тонком слое порядка длины свободного
пробега молекул. Однако существенно, что эти процессы
описываются одними только законами сохранения
(В.2.1)— (В.2.3).

ГЛАВА I
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ
§ 1. Спектральный подход к нелинейным волнам
Как было показано во введении, решением обычного
волнового уравнения (В. 1.14) является стационарная
волна, т. е. такая волна, которая может быть описана
функцией вида Ф (t — х/с0). В реальных условиях в силу
ряда обстоятельств график функции Ф не остается не-
неизмененным и деформируется по мере распространения
волны. Это означает, что Ф зависит не только от «бегущей»
координаты t — xlc0, но и еще от пройденного расстояниях.
Причиной, вызывающей деформацию профиля волны,
может быть обычное затухание. Если источник звука
испускает не строго монохроматическую волну, а сигнал,
состоящий из многих волн различной частоты со, то про-
профиль может деформироваться вследствие дисперсии, т. е.
из-за того, что волны с различными со распространяются
с разными фазовыми скоростями. Такой случай в этой
главе мы рассматривать не будем. И наконец, важнейшим
механизмом, приводящим к искажению исходного профи-
профиля, является нелинейность. Сейчас мы покажем качест-
качественно, с помощью простых рассуждений, к какого рода
влиянию приводит наличие нелинейных членов в исходных
уравнениях.
Будем по-прежнему исходить из системы уравнений
Эйлера (В. 1.1) — (В. 1.3). Как и во введении, предполо-
предположим, что возмущения р', р' основного состояния малы
и скорость v много меньше скорости звука. Однако нели-
нелинейными членами теперь пренебрегать не будем. Исклю-
Исключая из трех уравнений переменные р', р', можно получить

20 ГЛ. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
одно уравнение для v:
где через L2 (г>2) обозначено выражение, содержащее квад-
квадратичные по v члены, через La (г>3) — кубичные и т. д.
Приведем, в частности, явный вид (см., например, [115])
выражения для L2 (г>2):
Считаем, что нелинейные члены малы по сравнению
с линейными. Тогда уравнение A.1.1) можно решать мето-
методом последовательных приближений:
v = y(i) _i_ г;'2) + г/3> + . . .
Предполагая, что граничное условие имеет вид:
при х = 0 v = v0 sin at, A.1.3)
получим решение уравнения первого приближения:
г/1) = v0 sin со (t — xlc0). A.1.4)
Уравнение второго приближения получается подста-
подстановкой A.1.4) в правую часть A.1.1):
g
С°
A.1.5)
Отсюда видно, что во втором приближении квадратичная
нелинейность L2 может привести к появлению волны
с частотой со + со = 2со (генерация второй гармоники)
и волны со — со = 0, т. е. появлению постоянной состав-
составляющей (акустическое детектирование). Эти процессы
будем называть двухфононными.
Кубичная нелинейность L3 обусловливает следующие
процессы: со+со-|-со = Зсо — генерация третьей гар-

§ 1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПОДХОД К НЕЛИНЕЙНЫМ ВОЛНАМ 21
моники, со+со — со = со — нелинейная добавка к волне
основной частоты. Эти процессы назовем трехфононными
процессами. Аналогично членам высших нелинейностей
мы обязаны появлением четвертой, пятой и т. д. гармо-
гармоник уже во втором порядке теории возмущений.
Следующие порядки теории возмущений еще более
усложнят картину, приводя к появлению новых вкладов
в постоянную составляющую, основную частоту и гар-
гармоники.
Теперь предположим, что L3 = Li = ... =0. Огра-
Ограничимся только квадратичной нелинейностью и иссле-
исследуем, к чему сводится ее влияние, если учесть все поряд-
порядки теории возмущений. Во втором порядке мы имеем
волны 2со = со -|- со, 0 = со — со. В третьем порядке по-
получим 2со + со = Зсо, 2со — со = со, т. е. третью гармо-
гармонику и нелинейную добавку к волне основной частоты
(в точности то же самое получалось в результате взаимо-
взаимодействия трех фононов, обусловленного кубичной нели-
нелинейностью), а также процессы 2со -|- 2со = 4со, 2со —
— 2ю = 0, 0 +2со = 2со.
Рассуждая дальше таким же образом, мы придем к выво-
выводу, что в результате действия одной лишь квадратичной
нелинейности, вызывающей последовательность двухфо-
нонных процессов, также вносится вклад в волну ос-
основной частоты и появляются волны с частотами 0, 2со,
Зсо, 4со,..,
Для того чтобы эта и без того необычайно сложная
картина стала полной, надо еще учесть «перекрестные»
процессы от нелинейностей всех степеней во всех поряд-
порядках теории возмущений.
Совершенно очевидно, что в такой постановке задача
не может быть решена. Более того, представляется не-
невозможным определить явный вид выражений для
всех Ln.
Таким образом, подход к нелинейным акустическим
волнам с точки зрения спектрального анализа удобен
не всегда. Он весьма плодотворен в тех случаях, когда
можно ограничить число взаимодействующих гармоник
за счет выбора специальных свойств среды, в которой
распространяется волна. Это часто имеет место в случае
нелинейных электромагнитных волн [10].

22 ГЛ. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
§ 2. Простые волны в нелинейной акустике
Точное решение^уравнений Эйлера, описывающее бе-
бегущие плоские волны, было найдено Риманом еще в 1860 г.
При отыскании этого решения можно не предполагать
нелинейность малой. Поэтому в смысле учета нелинейно-
нелинейности Риман разрешил проблему даже более сложную, чем
та, которую мы рассматривали в § 1.
Простой волной обычно называют такой волновой
процесс, в котором все описывающие этот процесс парамет-
параметры могут быть выражены в функции одного из них:
Подставляя эти выражения в уравнения (В.1.1), (В.1.2),
получим (индексом обозначено дифференцирование по
соответствующей переменной)
~Pv)-vx =0,
р A2 2)
Р = 0
Заметим, что систему A.2.2) удается проинтегриро-
проинтегрировать в том случае, если выражения A.2.1) будут явно
определены. Поступим следующим образом: из A.2.2)
следует, что
_A = u + Zl, _ А = у _|_ рур. A.2.3)
По правилу дифференцирования неявной функции левые
части выражений A.2.3) представляют собой производ-
производную dxldt, в первом случае взятую при постоянном v,
Ъо втором — при постоянном р. Но в силу A.2.1)
дх\ I дх \ . . /т о /\
-г:— I =1-^-1 = С ((/), A.2.4)
dt /„ \ dt
поскольку фиксированное значение v однозначно опреде-
определяет р. Следовательно, равны и правые части уравнений
A.2.3):

§ 2. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКЕ 23
Используя формулу с2 = др/др, приведем A.2.5) к виду
с2 р„ = рЧ, A.2.6)
откуда получается уравнение
позволяющее явно определить выражения, связывающие
Подставляя A.2.8) в уравнения A.2.3), получим решение
x = f(v) +lv± c(v)\ U A.2.9)
где / (v) — произвольная функция скорости, а выражение
с (v) определяется уравнением состояния и формулой
A.2.8).
В случае адиабатического уравнения состояния
С т:== I л I ~~= " — \ '! I == Cq I
Отсюда следует, что
Приведем также формулы A.2.1), полученные с по-
помощью A.2.8) для адиабатического уравнения состояния:
Л, - fl -J_ l^JLV'1 _?. _ fi
V IY-1
Все эти выражения справедливы для двух типов волн —
бегущих как в положительном, так и в отрицательном
направлении оси х. Рассмотрим волну, бегущую вправо.
В формулах A.2.7) — A.2.12) ей соответствует знак плюс.
Выражения A.2.9), A.2.11) показывают, что относительно

24
ГЛ I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
неподвижной системы координат возмущерио среды дви-
движется со скоростью
A.2.13)
Т + 1
U — с (v) + v = с0 -\ ^— v,
т. е. скорость перемещения точек профиля волны не-
гдипакова. Те точки, у которых v > 0, движутся со
Рис. Ы. Трансформация профиля синусоидального возмущения в
нелинейной среде: х — сопровождающая координата, х — пройден-
пройденное волной расстояние.
скоростями U > с0 и соответствуют областям сжатия.
Наоборот, в области разрежения кОи поэтому эти
области движутся со скоростью U < с0.
Исходный профиль волны по мере его распространения
деформируется. Эту деформацию удобнее всего наблюдать,

§ 2. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКЕ
25
двигаясь вместе с волной со скоростью с0. Тогда те
точки профиля, у которых v — 0, будут неподвижны
относительно наблюдателя, а все прочие точки будут
т +1
иметь относительную скорость U0Tn — ^~v- На рис. 1.1
показано, какие изменения будет претерпевать профиль
х=0
х=х.
б)
-со
В)
Рис. 1.2. Изменение спектрального состава волны за счет нель-
нейного искажения профиля.
волны, заданный на входе в систему (при х = 0) в виде
v = v0 sin at.
Поскольку мы знаем, что пренебрежение нелинейными
членами в уравнениях Эйлера приводит нас к линейному
волновому уравнению и в конечном итоге — к стацио-
стационарным волнам, следует сделать вывод, что искажение

26 ГЛ. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
исходного профиля вызвано учетом имонно этих нелиней-
нелинейных членов.
На спектральном языке это означает прогрессивное
накапливающееся обогащение спектра волны высшими
гармониками: волна, заданная при х = 0 в виде v =
= v0 sin at, при х ^> 0 будет описываться выражением
оо
оида v = ^ Bn sin гесот. Этот процесс изображен на рис. 1.2,
71=1
представляющем собой спектральный аналог предыду-
предыдущего рисунка. I
§ 3. Графический анализ деформации профиля
простой волны
Существует несколько удобных способов описать пове-
поведение простой волны с помощью графических построений.
В отличие от тех качественных соображений, которые
послужили основой для рис. 1.1, здесь будут использова-
использованы точные формулы.
Рассмотрим выражение
представляющее собой формулу A.2.9), в которой сделан
переход от произвольной функции/ к обратной ей функ-
функции Ф.
Несмотря на то, что все последующие рассуждения
пригодны для функции Ф любого вида, нам придется
строить график для вполне определенного начального
возмущения. Поэтому рассмотрим конкретный пример:
при х = 0 v = v0 sin at. Гармонический вид возмущения
выбран ввиду его особой важности. Согласно A.3.1) де-
деформация этого профиля описывается выражением
v = v0 sin со \t -. д — 1 . A.3.2)
}¦
Выделяя здесь сопровождающую координату т == t —
— х/с0, т.е. переходя к системе координат, движущейся

§ 3. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЕФОРМАЦИИ ПРОФИЛЯ 27
вместе с волной со скоростью с0, получим
, х еМ
v = vQ smco
со 1 + еМ
)¦
A.3.3)
где е = (-у 4- 1)/2, М = vlc0 — число Маха. Заметим,
что выражение A.3.3), неявно определяющее v, может быть
явно разрешено относительно сот:
V СО
cot = arcsm
¦ s e™^/;° (i.3.4)
Vo Co 1 + 8\\э (V/Vo) V '
Здесь Мо = (vo/co) — амплитудное число Маха. Это выра-
выражение проанализируем графически.
Рис. 1.3. Графический анализ формулы A.3.4): а) отдельно построе-
построены оба слагаемых формулы A.3.4); б) выполнено графическое сло-
сложение.
На рис. 1.3, а построены графики функции сот =
= arcsm (vlv0), а также второго члена правой части выра-
выражения A.3.4) для двух различных значений xv x2 пара-
параметра х. Интересующие нас деформированные профили
получены на рис. 1.3, б с помощью простого сложения
графиков начального возмущения сот = arcsin (v/vQ) и со-
соответствующей гиперболы.
Как видно дз рисунка, области сжатия и разрежения
искажаются по-разному, и область разрежения оказыва-

28
ГЛ. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
ется деформированной сильнее. Нелинейные искажения
носят накапливающийся характер, т. е. растут с увели-
увеличением пройденного волной расстояния. В случае гармо-
гармонического начального возмущения они пропорциональны
х — = 2л — числу длин волн, укладывающихся на рас-
Со А,
стоянии х. Искажения тем сильнее, чем больше число Маха
Мо. Поэтому Мо может служить мерой нелинейности аку-
акустического волнового процесса. В том случае, когда
Рис. 1.4. Графический анализ, основанный на факте существова-
вия критической скорости; поворот прямых с течением времени.
среда недиссипативная, число Маха является критерием
подобия: изменение формы профиля при распространении
волн в различных средах будет одним и тем же при усло-
условии равенства чисел еМ0.
Второй способ графического анализа основан на факте
существования так называемой критической скорости
акустического возмущения. Поскольку скорость распро-
тт , "! +1 2со
странения равна и = с0 Ч §— v' ПРИ v = Укр = — т + 1
это возмущение распространяться не будет.
Линейный характер зависимости U (v) приводит к то-
тому, что любая прямая, представленная на рис. 1.4, с тече-
течением времени будет оставаться прямой, повернутой на

§ 3. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЕФОРМАЦИИ ПРОФИЛЯ
29
некоторый угол вокруг пересечения с «линией приведе-
приведения» v = vKp. Это дает нам возможность на рис. 1.5 про-
проследить за изменением формы волны.
Выберем на исходном профиле нужное нам число
точек и проведем касательные к ним до пересечения с ли-
линией приведения. Можно, вообще говоря," воспользовать-
воспользоваться любыми прямыми, проходящими черезАэти точки, од-
однако, очевидно, что касательные значительно удобнее
Рис. 1.5. Изменение формы волны, прослеженное с помощью
рис. 1.4.
для построения профиля, поскольку определяют не толь-
только положение выбранных точек, но и локальную форму
кривой.
На рис. 1.5 изображен профиль волны для момента
времени t = 0 и на нем выбраны точки А, В, С. Форму
профиля для момента t = t1 определяют новые касатель-
касательные ОХА', О3В', О2С, построенные с помощью точек
пересечения Ох, О2, О3 касательных ОХА, О3В, О2С, поло-
положение которых однозначно определяется моментом вре-
времени tx: ААХ = ВВ1 = ССХ = cotx.
В заключение рассмотрим метод характеристик, нахо-
находящий широкое применение в гидродинамике. Будем ис-
исходить из формулы A.3.3). Вычисляя производную дх/дх,

30
ГЛ. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
взятую при фиксированном значении v, получим
(Р~) = -ГТТ1. A-3-5)
\ дх /v со 1 -f еМ ' v '
»^.~т5й- (I-3-6)
или-
Формула A.3.6) определяет семейство прямых в плоско-
плоскости х, т, наклон которых зависит от заданной начальной
Рис. 1.6. Графический анализ нелинейных искажений по методу
характеристик.
скорости. Прямые эти называются характеристиками.
Они представляют собой траектории движения возмуще-
возмущений скорости v в плоскости х, т.
На рис. 1.6 для начального профиля v = v0 sin сот
построено семейство характеристик, позволяющее про-
проследить, за его искажением, а также деформированные
профили в точках хх и ж2- Отметим, что в линейном прибли-
приближении (е —>¦ 0 в выражении A.3.6)) все характеристики
являются прямыми, параллельными друг другу и оси х.
Следствием этой картины является тот факт, что профиль
при распространении не изменяет своей формы.
§ 4. Образование разрывов в простой волне
Необратимый процесс накопления нелинейных иска-
искажений приводит к тому, что на достаточно большом рас-
расстоянии профиль простой волны становится неоднознач-
неоднозначной функцией т. Это показано на рис. 1.3, б, 1.5 и 1.6,

§ 4. ОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВОВ В ПРОСТОЙ ВОЛНЕ 31
где неоднозначность соответствует той области, в которой
пересекаются характеристики.
С математической точки зрения неоднозначные решения
вполне приемлемы, так как представляют собой следст-
следствия исходных уравнений Эйлера. Однако совершенно
очевидно, что эти решения неверно описывают поведение
продольной волны, поскольку заданные момент времени
и точка пространства должны единственным образом
определять параметры v, р, р. Дело в том, что уравнения
Эйлера не учитывают наличия вязкости и теплопроводно-
теплопроводности и поэтому плохо описывают поведение реальной среды.
Когда профиль волны сильно искажается и становится
крутым, эти неучтенные процессы начинают играть
значительную роль. Их влияние сводится к тому, что вме-
вместо неоднозначного «захлеста» в профиле скоростей поя-
появится разрыв (отмеченный на рис. 1.1, в штриховой ли-
линией) и профиль станет однозначной функцией т. Для
того чтобы последовательно и строго описать нарастание
крутизны волны, формирование ударного фронта и его
структуру, надо решить систему уравнений Навье — Сток-
са (В. 1.4) — (В.1.7). Это проделано в главе II. А пока
что мы ограничимся тем, что определим положение раз-
разрыва простой волны и поведение волны после образования
разрыва.
Рассмотрим эту задачу во втором приближении по
числу Маха. Предварительно условимся относительно
терминологии. Во всех задачах нелинейной акустики чис-
число Маха М = vlc0 является малым параметром. Значения
чисел Маха, достигаемые в эксперименте, порядка
10~4 —10~2<<с;1, т. е. нелинейность является слабой.
Поэтому мы часто будем пользоваться разложениями точ-
точных формул в ряд по числу Маха. В тех случаях, когда
влиянием конечности числа Маха при решении задачи
пренебрегают, мы будем говорить о решении в первом
приближении.
Обращаясь к A.3.3), мы видим, что оно соответствует
линейному случаю: v — v0 sin eot. Аналогично, если со-
сохранить линейные по числу Маха члены, мы получим вто-
второе приближение. Формула A.3.3), например, примет вид
v = y0sinco (т + — еМ ) . A.4.1)
\ Со /

32 ГЛ. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Местонахождение фронта в профиле простой волны
однозначно определяется с помощью первого условия
на разрыве (В.2.1), т. е. условия сохранения плотности
потока массы вещества через разрыв:
Pi (»i ~ иф) = р2 (», - иф). A.4.2)
Здесь ?/ф — скорость распространения фронта. Условие
A.4.2) записано относительно неподвижной системы ко-
координат. Разрешая A.4.2) относительно ?/ф, получим
выражение
— Pi»! /т л оч
которое позволяет вычислить скорость распространения
скачка по заданному перепаду скоростей. Пусть в общем
случае скорость в точке, находящейся непосредственно
перед фронтом, равна vv а скорость в точке, находящей-
находящейся непосредственно за фронтом, равна t>2. Зная vv v2,
но формулам A.2.12) находим рх и р2 во втором прибли-
приближении:
Ро со & с*
Подставляя A.4.4) в A.4.3), получим с той же точностью
Гф = С0
тт A + ЛЛг) М2 — I
U А == С а ь
A.4.5)
Этот результат позволяет сформулировать наглядное гео-
геометрическое правило, определяющее положение фронта.
Обратимся к рис. 1.7.
Пусть в данный момент разрыв занимает положение
т = т0. Площадь, заштрихованная на графике, равна
Юг
\ [т (у) — т0] dv. Дифференцируя это выражение по х

§ 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН РИМАНА
33
и'учитывая, что согласно A.3.5) -j-= и согласно
ах ,.?
A.4.5)
dx
dXg
dx
со-U,
= — 8-
получим
d
~dx~
= 0. A.4.6)
Итак, заштрихованная площадь равна нулю при любом
значении х, т. е. от обеих частей неоднозначного «захле-
ста» отсекаются равные пло-
площади.
Правило «равенства пло-
площадей» мы будем использо-
использовать для того, чтобы просле-
проследить за поведением волны в
той области, где решение
Римана становится непри-
непригодным.
§ 5. Распространение
волн Римана(в рамках
второго приближения)
Рис. 1.7. Определение положе-
положения фронта по правилу «ра-
«равенства площадей».
На основе ранее описан-
описанных методов проследим за по-
поведением некоторых конкрет-
конкретных волн при распростране-
распространении их в нелинейной среде.
Начнем с гармонической волны: при а; = 0 v=v0 sin сот.
Как мы уже отмечали A.4.1), точное римановское ре-
решение во втором приближении принимает вид v =
= y0sin(o(T+ — еМ) . Записав это выражение в форме
cot = arcs in з—, (l.o.l)
где а = —— cov0x, применим способ графического анализа,
проиллюстрированный на рис. 1.3. Как показано на

34
ГЛ. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
сот
рис. 1.8 гипербола во втором приближении вырождается
в прямую, тангенс угла наклона которой увеличивается
пропорционально х. Когда р = arctg о станет равным
я/4, в профиле появится неоднозначность, соответствую-
соответствующая образованию разрыва.
Поэтому условие а = 1 опре-
определяет то расстояние, на ко-
котором волна из гладкой сину-
синусоиды трансформируется в
разрывную волну почти пи-
пилообразной формы. Безраз-
Безразмерное расстояние о=1 отве-
отвечает длине пути формирова-
формирования разрыва Яр, равной
Х (L52)
На длине xv укладывается
1
т о „ v .. 71 и ДЛИН ВОЛН.
Рис. 1.8. Графический анализ 2леМ "
выражения A.5.1). Проследим за изменением
спектра исходного возмуще-
возмущения на первом этапе, от з = 0 до 6=1. Для этого выра-
выражение A.4.1), записанное в форме
A.5.3)
vo
надо разложить в ряд Фурье, т. е. представить его в виде
A.5.4)
п=1
где
п
Вп = —V sin (сот + о —) sin тот d (сот). A.5.5)
о
Обозначим | = сот -\-о (v/v0), тогда согласно A.5.3) v/v0 ~
= sin | и
п
Вп = —V sin^-sin(^ — паsinQ-(l — ocosi) at,. A.5.6)

§ 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН РИМАНА
35
Это выражение сводится к вычисляемым интегралам вида
Т.
Л :»
— \ cos (vl — пз sin t) d^ = /v {па). A.5.7)
о
Воспользовавшись рекуррентными соотношениями для
функции Бесселя, получим результат
A.5.8)
геа
Окончательная формула (так называемое решение Бес-
Бесселя — Фубини)
2Jn
vo
nz
sm п-лх
A.5.9)
позволяет проследить за процессом нарастания гармоник
(см. рис. I.-9), генерируемых квадратичной нелинейностью.
02
2,0 0
Рис. 1.9. Амплитуда гармоник (га—номер гармоники) на различ-
различных расстояниях от входа системы (о — безразмерная координата).
Это решение справедливо только в области 0 < о < 1,
как и исходное выражение A.5.3).
При о = 1 начинается формирование разрыва. Во
втором приближении фазы сжатия и разрежения искажа-
искажаются одинаковым образом, поэтому в силу правила ра-
равенства площадей фронт все время проходит в точке
Ит = 0, двигаясь вместе с волной со скоростью с0.

36
ГЛ. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
В области о ^> 1 мы имеем дело с почти пилообразной
волной, которая, как видно из рис. 1.10, быстро затухает
а=2
-cut
д)
G=4
-^~cut
Рпс. 1.10. Динамика обращения синусоидальной волны в пилооб-
пилообразную на больших удалениях от источника возмущения.
по амплитуде. Полагая в формуле A.5.1) сот = 0, получим
трансцендентное уравнение
arcsm —- =
vo
A.5.10)

§ 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН РИМАНА
37
дозволяющее определить амплитуду разрыва vv (с). С nor
мощью рис. 1.8 это уравнение можно решить графически.
Как показано на рис. 1.11, в области 1 < а < я/2 ампли-
амплитуда разрыва нарастает, и затем при о ^> я/2 начинается
' n/2 2 3
Рис. 1.11. Зависимость амплитуды разрыва
координаты а.
а
от безразмерной
ее монотонное убывание, которое удобно описать асимп-
асимптотической формулой
A.5.11)
р
1+3
Выражение A.5.11) следует из уравнения A.5.10). Учи-
Учитывая, что при больших s прямая ovp/v0 пересекается
с функцией arcsin (vp/v0) на ее пологом участке, мы мо-
можем записать: arcsin (vp/va) c=z я — (vp/v0) = в (vv/vu), от-
откуда сразу получается A.5.11).
Разложение арксинуса в ряд в окрестности vp/v0 = л
до линейного по аргументу члена, по существу, означает,
что мы полностью пренебрегли кривизной профиля и счи-
считаем, что он состоит из фронта и прямолинейных участ-
участков. Выражение A.5.11), следовательно, является точной
формулой, описывающей уменьшение разрыва пилообраз-
пилообразной волны. Его удобно использовать как приближенное
при таких з, когда в исходной гармонической волне раз-
разрыв сформируется полностью, т. е. при о > я/2.
В этой области профиль может быть описан выраже-
выражением
¦я), — я<ют<0,
у = 1_ A-5-12)
0 <^ сот <^ я,
?<-«¦

38
ГЛ. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
периодически продолженным по сот (рис. 1.12). Исполь-
Используя формулу A.5.11), получим
V =
(—СОТ —Я), — Я<^О)Т<^0,
(—сот 4- я), 0<^сот<^я.
A.5.13)
После разложения в ряд Фурье выражение A.5.13) при-
примет вид
00
v vi 2
п A + а)
sm иют.
A.5.14)
Совокупность решений A.5.9), A.5.14) дает представле-
представление об изменении спектрального состава волны почти
О гг
шт
Рис. 1.12. Периодическая волна пилообразного профиля в сопро-
сопровождающей системе координат. Построение проведено в соответствии
с формулой A.5.12).
во всей области 0 < а < оо, за исключением небольшого,
участка 1 < сг <я/2, где аналитическая форма описания
менее удобна *).
Теперь рассмотрим, как изменяется средняя по време-
времени энергия единицы объема среды, связанная с наличием
звуковой волны:
Е = pot;2.
A.5.15)
*) Выражение A.5.9) для амплитуд гармоник удается обобщить
на область с > 1, используя неполные функции Бесселя [133].

§ 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН РИМАНА 39
271
Л <¦
Для того чтобы вычислить v2 = -^— V (;2(coT)(i (сот),
о
надо воспользоваться найденными решениями либо в фор-
форме A.5.3), A.5.13), либо разложениями в спектр A.5.9),
A.5.14). Мы используем оба этих приема. При вычисле-
вычислении энергии на первом этапе распространения волны,
при 0<сг<<1, удобнее взять выражение A.5.3). Тогда
а ап 2
^^ = ^-. A.5.16)
Таким образом, до образования разрыва энергия при
распространении не изменяется и равна своему началь-
начальному значению. Несмотря на возникновение гармоник,
энергия в простой волне остается такой же, как и энергия
монохроматической волны. Это означает, что происходит
процесс перекачки энергии из основной частоты в высшие
гармоники (см. рис. 1.9), причем так, что
2 Erm = 9ovl + Ро4о + Ро^зо. + ¦•••= -у2- = const. (I.5.17)
Соотношение A.5.17) выражает закон сохранения энер-
энергии. Он, естественно, в нашем случае имеет место, по-
поскольку мы исходили из системы уравнений Эйлера для
идеальной среды.
На втором этапе, там, где волна становится разрывной,
воспользуемся решением в форме A.5.14). Вычисляя v2,
получим
или
E=~. A-5.19)

40
ГЛ. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ^АМПЛИТУДЫ
Уменьшение энергии волны на этапе о* > 1, описывае-
описываемое формулой A.5.19), связано с возникновением ударно-
ударного фронта. Отметим, что принятие нами условия на раз-
разрыве A.4.2), дополняющего уравнения Эйлера, по сущест-
существу, означает учет неидеальности среды.
Аналогичным образом можно исследовать, как изменя-
изменяется средний импульс единицы объема:
A.5.20)
Г i Р°
) = (Ро + Р') v = р0У + -у- V
Величину 2jto = \ v (cot) d (сот) удобно интерпретиро-
о
вать как площадь, заключенную между кривой v (cot)
Е О
Рис. 1.13. Изменение формы одиночного треугольного импульса.
и осью сот. Поскольку во втором приближении положи-
положительный и отрицательный полупериоды волны искажа-
искажаются одинаковым образом, а фронт проводится по ра-
равенству площадей, v = 0 и в области 0 < а < 1 (см.
рис. 1.8), и в области а ^> 1 (см. рис. 1.10), / = (Ё/с0).
Все сказанное в этом параграфе относилось к пове-
. дению периодического сигнала в нелинейной среде, гармо-
гармонического на входе в систему. В заключение рассмот-
рассмотрим процесс распространения одиночного возмущения.
Пусть профиль начального возмущения имеет вид рав-
равнобедренного треугольника ABC, изображенного на
рис. 1.13. Разрыв в нем сформируется в точке <У = сото/2.
Легко видеть, что в области 0 < а < сот0/2 площадь
профиля не изменяется и равна сот0/2. Когда импульс

§ 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН РИМАНА 41
пройдет путь а = сот„/2, его передний фронт СВ займет
положение СВ', а затем при некотором сг _> ито/2 — поло-
положение СВ".
Как мы уже знаем, вместо СВ" реализуется разрыв
ED, проведенный так, чтобы площади треугольников
CEF и FDB" были равны. Но это означает, что равны
и площади треугольников ABC и ADE, т. е. в низшем
приближении имеет место закон сохранения импульса.
Образование разрыва, следовательно, приводит к расплы-
ванию возмущения и «размазыванию» его импульса по
всей среде.
Из условия равенства площадей ABC и ADE:
2
1 . „,. 1 Л?2 ..
= -н-AE2tga = -д ; -гц можно установить формулы,
описывающие расплывание при а^>сот0/2:
и уменьшение амплитуды разрыва ?7) = АЕ tg a:
1 . A.5.22)
—+^
Наконец, найдем выражение для энергии возмущения,
приходящейся на единицу площади его фронта:
d(cox). (I.5.23)
Поскольку (v/v0J ф 0 только на отрезке АЕ, интеграл
берется в пределах от — cot01/ -s—h з/сот0 + сото до сот0.
После несложных выкладок придем к выражению
Е - . Ео , A.5.24)
1/-L.I- —
Г 2 "+" сото
которое показывает, что закон убывания энергии более
медленный, чем для периодической волны (см. A.5.19)),
несущественно зависит от длительности начального воз-
возмущения.

ГЛАВА II
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ
(ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА)
§ 1. Вывод уравнения Бюргерса
Теория распространения волн конечной амплитуды
в вязкой теплопроводящей среде является более сложной
по сравнению с теорией распространения волн в идеаль-
идеальной среде. При наличии диссипации энергии уравнение
состояния среды, вообще говоря, нельзя считать адиаба-
адиабатическим. Вместе с тем известно, что даже при переходе
через ударный фронт волны энтропия претерпевает ска-
скачок третьего порядка малости (В.2.8). Это дает возмож-
возможность линеаризовать уравнение переноса тепла (В.1.7)
и привести его к виду (В.1.22). Иными словами, мы счи-
считаем, что диссипативные процессы линейны или, что более
строго, диссипативные коэффициенты ?, r\, x являются
(наряду с числом Маха) величинами первого порядка
малости (~ (х). В этой главе рассматриваются вопросы
второго приближения. Поэтому при упрощении исходной
системы уравнений следует сохранять члены до второго
порядка малости (~ jli2) включительно.
Приближенное уравнение состояния примет вид
Используя несложные преобразования, которые во вве-
введении привели к формуле (В. 1.24), найдем

§ 1. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА 43
Первые два члена в правой части этого уравнения
описывают адиабатическое изменение давления и могут
быть вычислены при помощи уравнения изоэптропы:
Третий член учитывает неадиабатичность процесса. По-
Поскольку он содержит только коэффициент х, изменение
энтропии будет происходить лишь за счет теплопровод-
теплопроводности.
Предполагая движение потенциальным, после подста-
подстановки выражения (II.1.2) в уравнение движения (В.1.4)
приведем последнее к виду
Совокупность (II.1.4) и (В.1.2) образует полную систему
уравнений для решения проблемы во втором приближе-
приближении. Эта система записана в удобной форме, однако содер-
содержит лишние члены, порядок малости которых выше чем
(I2. Отбрасывая их и переходя к одномерной записи (так
как мы интересуемся плоскими волнами), получим
(Ро + Р ) -qI + PoV -^ =
2 д,;/ (y-i-)cl , dp' , , дЧ /тт , г.
FI^P —
Поскольку в этой главе рассматриваются волны,
бегущие в положительном направлении оси х, следует
перейти к сопровождающей системе координат (В. 1.17).
При этом необходимо учесть, что искажения профиля
волны, вызванные как диссипацией, так и нелинейностью,
малы на расстояниях порядка длины волны и процесс дол-
должен описываться функцией вида Ф (цх, г). Это разумное
предположение вполне согласуется с анализом распро-
распространения волн в идеальной нелинейной среде (см. гл. I)
и в неидеальной линейной среде (см. введение, § 1).

44 ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
В соответствии с заменой (В. 1.17) имеем
д д д ±±+и д
Поскольку координата х — медленная, мы считаем, что
каждая производная д/дх увеличивает порядок малости
на единицу (если производная dv/дх -— [X — малая вели-
величина первого порядка малости, то dvldx является величи-
величиной второго порядка малости (~ \i2)). Выполняя замену
переменных, находим
ро со I дХ
Ъ дЧ со I , , , ?
•Ъо с'Т2 • ро \ ' ро / дх ро
^l)L + |2. = 0. (И.1.9)
ро / дх ' дх ч '
Эта система может быть сведена к одному уравнению.
Для этого достаточно уравнение (П. 1.9) умножить на с0,
сложить с уравнением (II.1.8) и заменить во всех членах
второго порядка малости р'/р0 на v/c0. Члены первого по-
порядка малости при этом взаимно уничтожаются. Таким
образом, приходим к уравнению, называемому уравне-
уравнением Бюргерса [47, 52]:
Обратная подстановка v/c0 = р'/р0 приводит к тому же
уравнению для приращения плотности р'.
Уравнение Бюргерса (П.1.10) позволяет детально ис-
исследовать различные эффекты, возникающие при распро-
распространении волн в диссипативных средах с квадратичной не-
нелинейностью. Теория второго приближения, которой по-
посвящены работы [25—46], с помощью уравнения Бюргерса
может быть изложена в рамках единой точки зрения.
Предлагаемый подход свободен от ограничений на
величину акустического числа Рейнольдса. Упрощая
исходную систему гидродинамических уравнений, мы
сохраняем как нелинейные, так и диссипативные члены,

§ 1. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА 45
соотношение между которыми в рамках получающегося
одного укороченного уравнения может быть произволь-
произвольным. Как было показано во введении (В.1.36), их отно-
относительное влияние на процесс искажения волны можно
охарактеризовать числом Re, которое не отличается от
общепринятого гидродинамического числа R = vdl\, где
v — скорость потока, d — характерный размер и v =
= Vpo — кинематическая вязкость; только в качестве
скорости берется амплитуда скорости смещения, в качест-
качестве характерного размера — длина волны и, помимо сдви-
сдвиговой вязкости, учитываются теплопроводность и объем-
объемная вязкость, т. е. берется диссипативный коэффициент Ь.
Итак, акустическое число Рейнольдса имеет вид
2я6/р Ь(й
При значениях Re <§^ 1 «вязкие» члены преобладают
над нелинейными: большая диссипация приводит к по-
поглощению волны раньше, чем успеют накопиться нели-
нелинейные эффекты. Напротив, при значениях Re ^> 1 пре-
преобладают нелинейные эффекты и распространение волн
по своему характеру близко к распространению волн
в идеальной среде.
Важно отметить, что в диссипативной среде не сущест-
существует связей типа v (p) или р (v), характерных для простой
волны.
В работе [53] были предложены приближенные «само-
«самосогласованные выражения», дополняющие разложения
римановских решений A.4.4) членами второго порядка
малости, учитывающими наличие диссипации:
р' _ v тг~з / у V ь ду
Ро - со 4 \ со) 2с«Ро дх ¦
Как показывают формулы (II.1.12), (II.1.13), связь
между параметрами оцределяется не только их мгновен-
мгновенными значениями, но и первыми производными, т. е.
является нелокальной. Если профиль достаточно пологий,

46 ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
то д/дх мала и связь параметров почти такая же, как в
простой волне. Напротив, при наличии крутых скачков
д/дх велика, диссипация сказывается сильно и волна
существенно отличается от простой.
Таким образом, выражения (II.1.12), (II.1.13) представ-
представляют собой обобщение понятия простой волны на ди-
сипативные среды (иногда говорят о «квазипростых» вол-
волнах). Легко убедиться, что при подстановке любого из
этих выражений в любое из уравнений (II.1.8), A1.1.9)
получается уравнение Бюргерса.
§ 2. Решение уравнения Бюргерса
для периодического возмущения
Уравнение (II.1.10) замечательно тем, что оно может
быть линеаризовано и приведено к виду обычного урав-
уравнения теплопроводности. Тем самым имеется возможность
проследить за распространением начального возмущения
произвольной формы. Однако анализ общего решения
уравнения Бюргерса сравнительно сложен. Этим мы зай-
займемся в следующем параграфе, а здесь рассмотрим, как
ведет себя возмущение, заданное на входе в виде гармо-
гармонической волны, при различных значениях числа Рей-
нольдса. Будем пользоваться приближенными методами.
При малых Re <^ 1, когда влияние нелинейного члена
мало, уравнение Бюргерса можно решать методом после-
последовательных приближений. Решение уравнения первого
приближения, учитывающее затухание основной частоты,
нами уже рассматривалось (В. 1.29). Уравнение второго
приближения имеет вид
Ъ
дх о,.з„„ дт* " л дх
QV(D ?0».
где i><4—-з— = —S—е~2а-т sin 2сот. Ищем решенке (II.2.1)
в виде v^ = A (x) sin2u>T. Для амплитуды А(х) получает-
получается обыкновенное дгфференциальное уравнение
А' + ЫА= -^- е-2й-\ (И .2.2)
2

§ 2. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ
47
Граничное условие А (х = 0) = 0 соответствует отсутст-
отсутствию второй гармоники на входе в систему. Решая (II.2.2),
найдем
??^! (И.2.3)
и
sin
На рис. П.1 изображена кривая, иллюстрирующая
ход отношения А2/А10 с координатой х. Амплитуда второй
гармоники вначале нарастает по линейному закону вслед-
вследствие нелинейной перекачки энергии из волны основной
i
Рис. II.1. Динамика генерации второй гармоники при малых
числах Рсйнольдса.
частоты, а затем начинает убывать за счет преобладаю-
преобладающего влияния диссипативиых процессов.
Случай больших чисел Рейнольдса (Re !j§> 1) представ-
представляется наиболее интересным. Однако здесь пользоваться
методом возмущений нельзя, поскольку малый пара-
параметр — диссипативный коэффициент Ъ — стоит при стар-
старшей производной. Здесь плодотворным оказывается путь
поэтапного рассмотрения процесса, который будет строго
обосновап в следующем параграфе.
На первом этапе, когда поглощение мало, можно счи-
считать волну слабо отличающейся от простой и пренебречь
правой частью уравнения Бюргерса:
dv ё dv «
^ —— V —т— = U.
дх ,2 дх
(II.2.4)
Составляя уравнение характеристик, получим следующие
интегралы:
v = Cl4 r + ~vx= C2. (II.2.5)

48 ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
Определяя связь между константами Су, С2 по гранично-
граничному условию v (х — 0) = vosin сот, найдем искомое выра-
выражение
v = yosin (сот + <з —) » (II.2.6)
которое уже рассматривалось в гл. I, § 5.
На втором этапе, когда решение становится разрыв-
разрывным, его получают с помощью «сшивания» формул, описы-
описывающих структуру фронта и пологих участков профиля.
Фронт стационарной ударной волны можно определить
как решение «стационарной» (не содержащей производ-
производных по х) части уравнения (II.1.10). Последнее принимает
вид
dv Ь * сРо ,тт г» гтЧ
— еи-г- = -= 5-5-. (II.2.7)
dx 2соро &%г v
Во втором приближении фронт звуковой волны про-
проводится по равенству площадей и движется со скоростью с0.
Согласно A.4.5) в этом случае Мг = — М2, т. е. для урав-
ния (II.2.7) надо поставить симметричные краевые усло-
условия на бесконечности:
v (шт = + оо) = vv, v (сот = — оо) = — г?р. (И.2.8)
Соответствующее решение уравнения (II.2.7):
— = th(e Re-сот) (И.2.9)
«расшифровывает» структуру того самого скачка, который
в гл. I трактовался просто как математический разрыв.
На рис. II.2? сплошными линиями изображено решение
(П.2.9) и прямая v/vv — — сот. Складывая эти две функ-
функции (штриховая линия на рис. II.2), можно получить
кривую, которая очень похожа на профиль одного перио-
периода искаженной волны. Для того чтобы еще больше усо-
усовершенствовать эту качественную модель истинного ре-
решения уравнения Бюргерса, учтем «затухание» амплитуды
разрыва vp согласно формуле A.5.11):
- л < сот < я, (П.2.10)
1 + а

§ 2. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ
49
где б = —о безразмерная ширина фронта ударной
волны. Замечательно, что сконструированное выражение
Рис. II.2. Результирующий профиль одного периода искаженной
синусоиды (штриховая кривая) как результат сшивания стационар-
стационарного решения (П.2.9), определяющего структуру фронта, с пологи-
пологими участками профиля пилообразной волны.
Г=0,1
Рис. П.З. Волновые профили, описываемые точным решением
(II.2.10) при различных значениях Г = Bе Re).
(И.2.10) есть точное решение уравнения (II.1.10), в чем
можно убедиться непосредственной подстановкой.
На рис. II. 3 изображены два профиля при различных
Re, построенные с помощью (II.2.10). В силу простоты этой

50 ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
формулы ее легко разложить в ряд Фурье:
sin и сот
л. б) •
au 2s Re
Выражение (II.2.11), известное как решение Фея [60],
позволяет проследить поведение гармоник в области ста-
стабилизации волны, т. е. там, где нелинейное «укручение»
профиля и его диссипативное сглаживание относительно
уравновешивают друг друга. Решение Фея описывает
медленное затухание гармоник, амплитуда которых при
о ^з> 1 уменьшается приблизительно по закону е~П0(Ж
(п — номер гармоники), а не е~п2ах, как это следует из
линейной теории, что связано с «подкачкой» энергии от
низших гармоник к высшим.
Решение (П.2.10) (а следовательно, и (II.2.11)) теряет
смысл, когда толщина 6 ударной волны занимает фазовый
интервал — л. Эта формула описывает процесс именно при
малом 6 (большие Re). В предельном случае Re -> оо вы-
выражение (II.2.10) приводит к пилообразной волне A.5.13),
подробно рассмотренной в гл. I.
На третьем этапе, когда энергия волны уменьшилась
настолько, что стали преобладать диссипативные эффекты,
волна снова превращается в синусоидальную — главным
становится первый член ряда. (II.2.11):
'2Ьы --^ sin сот. (П.2.12)
Интересно, что амплитуда этой волны от v0 пе зависит.
§ 3. Решение уравнения Бюргерса
для периодического возмущения
(строгое решение) [53]*)
Найдем периодическое по х при любом значении х ре-
решение уравнения (П. 1.10) с граничным условием
при х -= 0 v == v0 sin ют. (П.3.1)
*) См. также [134].

§ 3. СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ 51
Посредством замены
1; = -^—|-(lni7) (И.3.2)
уравнение (П.1.10) и граничное условие (II.3.1) приводят-
приводятся соответственно к следующему виду:
dU Ь дП1 ,тт о оч
При ж = 0
U = ехр Г-^уЦ у @, т) dt] = ехр (- eRe cos ют). (П.3.4)
Периодическое по сот решение уравнения (П.3.3) с гранич-
граничным условием (П.3.4) может быть представлено в двух
формах: в виде интеграла и в виде ряда Фурье, т. е.
У
U=
= S W— !)" 7» (е Re) ехР (- м2и26.г/24о0) cos исот, (П.3.5)
п=0
Ро = 1, рп = 2 для и>0.
Второе представление решения в точности совпадает
с решением Мендоусса [50], а при e~'JX <^ 1 переходит в ре-
решение Фея [60]. Однако представление в виде ряда имеет
практическую ценность лишь при х ^> I/a. Действитель-
Действительно, если принять х ^> х0, где х0 = 2/сс, то можно ограни-
ограничиться двумя первыми членами ряда (П.3.5) и получить
для скоростР1 v (x, т) приближенное выражение
J (II.3.6)
8 Re
Экспоненциально-затухающая волна (II.3.6) удовлетво-
удовлетворительно описывает процесс лишь при небольших числах
Рейнольдса. Исключая из рассмотрения область х < х0,
мы, по существу, исключаем из рассмотрения процесс
формирования ударной волны. При малых числах Рей-
Рейнольдса граница х = х0, хоть и находится вблизи источ-
источника гармонических пульсаций (II.3.1), но соотношение

52
ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
между нелинейными и диссипативными членами уравнения
Бюргерса таково, что проявление нелинейных эффектов
в области 0 < х < х0 несущественно. При больших числах
Рейнольдса граница х = х0 отодвигается далеко вправо от
входа системы. Действительно, расстояние х0, измерен-
измеренное числом длин волн, укладывающихся в интервале
[О, х0], равно
кг -А —
(П.3.7)
где к = &»/с0 — волновое число.
Из соотношений (П.3.6) и (П.3.7) следует весьма су-
существенный вывод, характерный для распространения
волн конечной амплитуды с
образованием разрывов. На
расстояниях (П.3.7) ампли-
амплитуда затухающей волны
(II.3.6) не зависит от ампли-
амплитуды колебаний v0 источника
звука, поскольку число Рей-
Рейнольдса само пропорциональ-
пропорционально v0 (см. (II.1.11)). Иначе го-
говоря, нелинейные искажения
в среде ограничивают сверху
максимальные интенсивности,
которые могут быть переданы
на заданное расстояние. Ког-
Когда расстояние образования
разрыва меньше, чем рассто-
расстояние между источником и
приемником звука, поглоще-
поглощение пилообразной волны столь
велико, что дальнейшее по-
повышение излучаемой звуко-
звуковой энергии не повышает
звуковую энергию в точке приема. К этому следует
добавить, что и само расстояние кх0 (И.3.7) не зависит
от амплитуды на входе системы. При фиксированной час-
частоте это расстояние, как следует из формулы (II.3.7), опре-
определяется исключительно значением скорости звука с0,
плотности р0 и диссипативным коэффициентом Ь.
Рис. 11.4. Подынтегральное
выражение формулы (И.3.5)
как функция х' на таких рас-
расстояниях от источника, когда
разрыв в волновом профиле еще
не наступил.

§ 3. СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ 53
Обратимся теперь к интегральной форме решения
(II.3.5). Предыдущее исследование, во-первых, практи-
практически исключало область 0 < х < х0 и, во-вторых, удов-
удовлетворительно описывало процесс при значениях числа
Рейнольдса Re<^l. Положим Re ^> 1 и ограничимся
пока что значениями х < хо/2. Интеграл (П.3.5) может
быть взят методом перевала. Действительно, подынтег-
подынтегральное выражение как функция т' имеет вид, представ-
представленный на рис. II.4. Главной частью интеграла является
интеграл по малому участку вблизи экстремальной точки
Tq, в которой должно выполняться соотношение
з?0, (И.3.8)
где
Y --= е Re cos сот' + (%> ~^' V°-. (И.3.9)
Из условия (II.3.8) следует соотношение
v0 sin сот0 = с0 . (II.3.10)
Подставляя разложение Y в ряд Тейлора в точке т0
под знак интеграла A1.3.5), легко найдем следующее зна-
значение U:
лГ ()
у 1 — a cos шт0
Здесь а = ecoxvjcl, a Yo определяется соотношением
(II.3.9), в котором т' следует заменить значением т^.
Согласно формуле (П.3.2) искомая функция v (x, т) по
данному значению и (II.3.11) может быть представлена
в виде
Выражая т как функцию v и х из соотношений A1.3.12)
(II.3.10), найдем
сот = arcsin Ф — сгФ, (II.3.13)
где Ф = sin ©т^ = vlv0.

54
ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
Формула (II.3.13) представляет искомое решение по-
поставленной задачи. Анализ соотношения (II.3.13) уже
проводился нами графически в первой главе, где подоб-
подобное же соотношение было получено для распространения
гармонического сигнала в недиссипативной идеальной
среде. Совпадение результатов на данном этапе исследова-
исследования свидетельствует о том, что в области х < хо/2 сущест-
существует некий интервал, где еще не сказываются диссипа-
тивные эффекты, тогда как
нелинейные искажения вол-
волнового профиля проявляются
в полной мере. Этот интер-
интервал как расстояние от входа
системы до точки образова-
образования разрывов в профиле зву-
звуковой волны можно опреде-
определить, исходя из значения уг-
углового коэффициента прямой
в решении (II.3.13), равного
единице, т. е. а = 1, что
в длинах волн дает
При значениях а _> 1 по-
Рис. П.5. Вид подыптогралг,- дынтегральное выражение
ного выражения формулы как функция т' имеет вид,
(И.3.5) в окрестности кстрди- представленный на рис. II.5.
наты разрыва з "^"Т. m
^ 1еперь главное значение ин-
интеграла не может быть взято
по малому участку в окрестности экстремальной точки
to, так как точка т0 не является экстремальной. Однако
уже при значениях сг таких, что о — 1 — 1/е Re, значе-
значение подынтегрального выражения в точке т0 мало по срав-
сравнению со значениями подынтегрального выражения в точ-
точках i[ и %'г- Следовательно, главное значение интеграла
может быть вычислено как сумма его значений по малым
участкам вблизи точек х'г и т.2, т. е.
(И.3.15)
— 3 СО? МТ,
5 СОЗ ШТ„

§ 3. СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ
55
V = Vn
(Н.3.16)
Найденное выражение уже может быть непосредст-
непосредственно использовано для анализа формы волны после обра-
образования «разрывов». Однако наиболее просто этот анализ
может быть, произведен, если положить сг ]> л/2. В этом
случае, ;как мы уже показывали на примере аналогичной
задачи для идеальной среды, форма волны становится
почти пилообразной и допускает аналитическое представ-
представление
сот = я — Фх — 0фх при 0 < сот < я, (II.3.17)
сот = л — Ф2 — 0Ф2 при — я < сот < 0. (II.3.18)
Разделив в выражении (II.3.16) числитель и знамена-
знаменатель на e~Yi, после оценки при помощи формул (II.3.17)
и (II.3.18) соотношения
e Re (cos сот-! — cos сот2) -)-
(т'г — Т)г — (Т2 — tK
2Ьх
нетрудно получить
(И.3.19)
(И.3.20)
= -т-~^— — ыТ ~ я 1п ( ~тг) | иРи ~ я ^ cot ^ л' (И-3.21)
и
где б имеет смысл безразмерной ширины фронта ударной
волны и определяется следующим соотношением (ср.
с формулой (II.2.10)):
6= i+ps . (И.3.22)
яе Re ч '
Как следует из формулы (II.3.22), ширина фронта,
являющаяся обратно пропорциональной числу Рейнольд-
са, может быть весьма узкой, стремясь в пределе по поряд-

56
ГЛ. П. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
ку величины к длине свободного пробега молекул. Вместе
с тем она не остается постоянной, а растет пропорциональ-
пропорционально расстоянию от входа системы. Фронт размывается
и при некоторых значениях х может занимать фазовый
интервал порядка я. Естественно, что при такой ширине
фронта само понятие фронта становится бессмысленным
и это означает, что волна вновь становится почти сину-
синусоидальной. Пренебрегая в формуле (II.3.22) единицей
Рис. II.6. Три характерных этапа процесса распространения вол-
волны конечной амплитуды в диссипативной среде.
по сравнению с величиной безразмерного параметра 0,
что вполне законно при больших числах Рейнольдса,
мы получим оценку, с точностью до коэффициента совпа-
совпадающую с формулой (П.3.7). Решение (II.3.21) при этом
также переходит в решение (П.3.6).
Проведенный анализ позволяет строго выделить три
этапа в распространило! волны конечной амплитуды
в диссипативной среде (рис. II.6). Первый этап — от
входа системы до координаты хр, удовлетворяющей соот-
соотношению (II.3.14),— это этап, на котором накапливаются
нелинейные искажения, но фронты еще недостаточно
круты, а потому диссипативные эффекты несущественны.
Второй этап — от координаты хр до координаты х0,
удовлетворяющей соотношению (II.3.7),— это этап, на
котором одновременно проявляются и нелинейные, и дис-
диссипативные эффекты. Здесь происходят необратимые по-
потери энергии, все время поддерживаемые за счет нелиней-
нелинейных искажений волны. К концу второго этапа волна при-
приходит уже как волна бесконечно малой амплитуды, так
что на третьем этапе при х ^> х0 справедливо описание

§ 4. НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 57
процесса по линейным законам акустики. Полезно отме-
отметить, что решение (II.3.21) является точным, в чем можно
убедиться непосредственной подстановкой (П.3.21) в урав-
уравнение (II. 1.10).
§ 4. Решения уравнения Бюргерса
для непериодических возмущений
Пусть на входе системы задано возмущение скорости
в виде
при х = 0 v = v0 th (т/т0), (П.4.1)
где т изменяется в пределах от — оо до +°°' а значение
т0 принимается таким, чтобы область фронта была доста-
достаточно пологой, т. е. т0 ^> (ev0 c^Jb)'1 = т'. Тогда функ-
функция U, для которой имеет место уравнение теплопровод-
теплопроводности (II.3.3), может быть записана в виде
У ЫхЬ/2с30р0
X
х
При (to/t') 2^> 1, т. е. при больших акустических чис-
числах Рейнольдса, интеграл (II.4.2), как и в предыдущем
параграфе, вычисляется методом перевала, так что из со-
соотношения, определяющего седловую точку у0 и значе-
значения v (II.3.2) в ней, можно найти решение в виде
— = Arcth Ф - -^ Ф. (И.4.3)
Графический анализ полученного решения, приведен-
приведенный на рис. II.7, наглядно демонстрирует искажение про-
профиля начального возмущения по мере распространения
волны. При этом степень искажения определяется значе-
значением углового коэффициента Z = evox/c\xo, растущего
прямо пропорционально пройденному волной расстоянию
от входа системы. Точка «разрыва» соответствует расстоя-
расстоянию х1 = т0со/ег>0, и при х ^> хх функция становится много-

58
ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОНРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
значной, чго свидетельствует о неправомерности решения
A1.4.3). Главное значение интеграла теперь следует вы-
вычислить как сумму его значений по малым участкам вбли-
вблизи экстремальных точек уг и у2. Следуя схеме, изложенной
в предыдущем параграфе, найдем значения Ux и U%,
<0
Рис. II.7. Графический анализ решепия (II.4.3).
подставим их в формулу (П.3.2) и определим значение v
после образования «разрыва»:
„ ., 'h (i/i/tu)
I? = ь0
,,-r
1 +е~
(П.4.4)
где
У\ =
То
thzdz-
' — УгJ — (т — yiJ з
. (II.4.5)
Значение | Y | нетрудно подсчитать, если учесть, что в
перевальных точках^Гг — г/Ь2) — -г гтох1с%, и разложить
интегралы от гиперболических тангенсов по степеням т,
ограничившись первым приближением. Тогда v =
= yoth (т/t'), где параметр т' имеет смысл длительности
фронта ударной волны и после приведения к безразмер-
безразмерному виду дает значение 1/е Re.
Таким образом, ширина фронта ударной волны L$ =
= Со^Ф' установление которой осуществляется вблизи точки
Xj, остается затем (в отличие от синусоиды) стационарной
и определяется формулой

§ 4. НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 59
Особый интерес представляет рассмотрение следующей
граничной задачи [61]:
f-^o, -~<t<0, (ПА7)
( Vo, 0<Т<оо,
т. е. когда в начальной точке скорость задана в виде раз-
разрывной функции с шириной фронта Ьф — с0Тф = 0. Есте-
Естественно ожидать, что здесь с самого начала скажется пре-
преобладание диссипативных процессов, так что простран-
пространственный масштаб установления стационарной ширины
фронта будет теперь иным по сравнению с предыдущей
задачей.
Итак, пусть в начальной точке скорость v определена
соотношением (II.4.7). Тогда
(t - у)*
*-l/?-[W-*-
— со
(у (Т — уJ
ехр "j"^
о
или после приведения выражений, стоящих в экспо-
экспонентах, к квадратичной форме получим
U = —уг=- ехр |
(Н.4.9)
где
, (II.410)
У 2Ьх/с30р0
Теперь анализ пространственного изменения v, прово-
проводимый в соответствии с (П.3.2), не представляет труда.
Прежде всего, для достаточно больших х, так чтобы в об-
области t > V 2bx/clp0 выполнялось условие х > cot/evo,
скорость просто определяется формулой
v = roth (т/т'). (II.4.11)

60 ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
Величина х', как и выше, определяет длительность фронта
ударной волны и после приведения к безразмерному виду
равна 1/е Re. Следовательно, и для этой задачи ширина
фронта ударной волны не обнаруживает зависимости от
х и остается стационарной.
Зная стационарную длительность фронта ударной вол-
волны т =тотац, можно указать то значение х', начиная
с которого х = тотац, а именно
х> = foo/e2pozi (II.4.12)
Тем самым определен интервал установления стационар-
стационарной ширины фронта ударной волны [0, х'], существенно
отличающийся от интервала установления в предыдущей
задаче [0, xj, где х1 = rcl/sv0.
Остается лишь определить закон, описывающий изме-
изменение Тф на интервале [0, х'\. Этот закон легко усмотреть
исходя из следующих простых рассуждений. Для х <
<^ ТСо/ег;о и для достаточно больших | х | одним из интегра-
интегралов в выражении (II.4.9) можно пренебречь как интегра-
интегралом с равными пределами и получить v = | vQ |. Считая
такое пренебрежение возможным, когда нижние пределы
у интегралов в выражении (II.4.9) по абсолютной вели-
величине больше единицы, можно выразить т как функцию х:
х = V2bx/clp0 + evQx/cl (II.4.13)
Однако даже в предельной точке (II.4.12) второе слага-
слагаемое в формуле (П.4.13).в }^2 раз меньше первого, так что
закон установлениа-'Стационарной ширины фронта удар-
ударной волны можно просто определить как
?ф = сохф = с0 V2bx/clp0, (II.4.14)
т. е. нарастание ширины фронта ударной волны пропор-
пропорционально квадратному корню из пройденного волной
расстояния от входа системы, пока Ьф не достигнет ста-
стационарной величины.
В заключение рассмотрим распространение произ-
произвольного одиночного импульса, затухающего npnt = -\- оо,
с различных точек зрения, допустимых при решении урав-
уравнения Бюргерса.

§ 4. НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
61
Пусть на некотором интервале [0, р] задан импульс
треугольного профиля, как это показано на рис. II.8, а
[62]:
2/>ор-а A ~ 1Г/Р), 0<т<3,
О, т<1, т>3,
Р (П.4.15)
Импульс выбран так, чтобы при сохранении площади
треугольника Ро возмущение скорости оставалось ма-
малой величиной.
Точное аналитическое выражение v, получаемое в со-
соответствии с (II.3.2) после вычисления функции U и лога-
логарифмической производной,
однако весьма громоздко,
поэтому целесообразно, не
выписывая последнего,
ограничиться графичес-
графическим представлением за-
зависимости v от х для раз-
различных расстояний от вхо-
входа системы, полученных
на основе точного решения.
Прежде всего, для до-
достаточно малых расстоя-
расстояний х < х' = 6с0р2/4р082Р2
искажение импульса тако-
таково, что его профиль может
быть разбит на четыре ха-
характерные области (рис.
Рис. II.8. Трансформация профи-
профиля импульса треугольной формы
при распространении в нелиней-
нелинейной поглощающей среде.
II.8, б), так что с одновре-
одновременным смещением макси-
максимума амплитуды импульса
вправо от точки т = 0 у его краев образуются пологие
участки (области / и IV), на которых профиль импульса
описывается следующими соотношениями: .
гъх
при т
гъх
(П.4.16)
<>

62 ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕНЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
4Ро
ь
при т>р. (И.4.17)
При этом границы первой и четвертой областей соответ-
соответственно определяются как Ti = — 2 У 2bx/c0p0 и Try =
= Р + У 2Ьж/соРо- Вторая область, соответствующая зна-
значениям т в пределах + У 2йж/с*р, отсчитываемых от точки
т = О, является областью переднего фронта импульса.
При х -= х' она достигает величины 1/eRe (в безразмер-
безразмерных единицах). В третьей области при х <^ х' отклонение
импульса от первоначальной конфигурации еще незна-
незначительно.
Дальнейшее распространение импульса приводит к
смещению максимума v в направлении т —>¦ р, к расшире-
расширению областей I и IV, а также области переднего фронта
за счет уменьшения третьей области (рис. II, 8, в). Им-
Импульс, затухая, стремится к симметричной форме, так что
длительность фронта не остается стационарной, а нара-
нарастает по закону Тф = У 2bx/clp0, пока вообще рассмотре-
рассмотрение Тф физически оправдано. При достаточно больших х,
а именно при х ;> х2 = Re CqP2/2P0 для всех четырех
областей (рис. II.8, г) справедливо соотношение
2Р0 Г C — тJ] 1 /ТТ , ,оч
у = ^т-ехр — —\ (П.4.18)
3 Ч гуф/ Y^VP/^l
Здесь параметр ж2 совершенно аналогичен соответст-
соответствующему параметру х0 (П.3.7) в граничной задаче
v — vQ sir сот, а параметр х' — соответствующему параметру
граничной задачи (II.4.7).
Отметим, что площадь Р одиночного возмущения, за-
затухающего на + оо, при распространении не изменяется
(см. гл. I, § 5). Чтобы это показать, достаточно записать
уравнение Бюргерса в виде
дг> = а ( е ъя \ ь dv\ Ш4Ш

§ 4. НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 63
и проинтегрировать по dx от —оо до -{-оо. Учитывая, что
г;2(+ сю) = 0, -т— (+ оо) --•= 0, получим
—- = О, Р= Ро = const. (II.4.20)
Наконец, укажем на то обстоятельство, что преобра-
преобразование переменных вида v —v Xav, х —v Хьх, х —v Хсх
оставит уравнение (П.1.10) без изменения, если а — —1,
Ъ = 2, с = 1. Исходя из инвариантности уравнения Бюр-
герса по отношению к указанному преобразованию,
сконструируем инвариантную автомодельную подста-
подстановку:
Введение констант х0, х0 выражает собой тот факт, что в
уравнение Бюргерса не входят явно переменные х, т, т. е.
оно переходит в себя при преобразовании сдвига. С по-
помощью этой замены уравнение (II.1.10) сводится к обык-
обыкновенному дифференциальному уравнению для функции
Ф (|). Интегрируя его один раз, получим уравнение типа
Риккати:
Ь ->' + —Ф2 + 4-5ф = С0. (П-4.22)
Константу Со можно положить равной нулю, если потре-
потребовать, чтобы функция ф обращалась в нуль на бесконеч-
бесконечности. Второе интегрирование дает результат [63]:
(Т + ТоJ
У1
х ГФ / . Т + То ¦) + с]'1. (Н.4.23)
L [У 2Ь (х + хо)/с3оро / J
где Ф — интеграл ошибок. Формула (II.4.23) описывает
несимметричное колоколообразное возмущение, причем
при с ^> 1 это импульс сжатия, при с < 1 — импульс
разрежения.

64 ГЛ. П. ВЯЗКАЯ ТЕШТОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
Величина константы | с | характеризует степень асим-
асимметрии. При | с | ^ 1 импульс имеет крутой фронт, а при
/ с | !Э§> 1 его форма близка к гауссовой кривой. При рас-
распространении (х растет) импульс расплывается. Однако
поскольку решение автомодельное, существует система
Рис. II.9. Профили возмущений, отвечающих
автомодельному решению уравнения Бюргерса.
координат, в которой импульс имеет «застывшую» форму
(см. рис. II.9).
Формула (II.4.23), разумеется, может быть получена
и из общего решения уравнения Бюргерса. Из нее следует,
что асимптотическая фопма профиля (при достаточно боль-
больших х) является унидгерсальной для довольно широкого
класса начальных возмущений.

ГЛАВА 111
СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
§ 1. Вывод уравнений
Процесс распространения сферических и цилиндриче-
цилиндрических волн конечной амплитуды, излучаемых пульсирую-
пульсирующими сферой и цилиндром, с качественной точки зрения
во многом подобен процессу распространения плоских
волн. Накапливающиеся нелинейные искажения приво-
приводят, как и в случае плоских волн, к образованию разры-
разрывов, сопровождаемому интенсивным поглощением звука.
Различия количественного характера обусловлены тем,
что амплитуды сферических и цилиндрических волн не
остаются постоянными вследствие их расхождения (или
схождения). Это приводит к тому, что нарастание нели-
нелинейных искажений происходит в ином темпе по сравнению
с плоскими волнами. Помимо количественного отличия
характерных параметров — координат — в сходящихся
цилиндрических и сферических волнах возможно дву-
двукратное формирование ударной волны, чего никогда не
может быть при распространении плоских и расходящих-
расходящихся сферических и цилиндрических волн.
Следуя схеме изложения, принятой при описании рас-
распространения плоских волн в диссипативной среде, за-
запишем уравнение движения, которое теперь имеет вид:
и уравнение непрерывности:

66 ГЛ. III. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
где п = 2 для сферических и п = 1 для цилиндрических
волн. В силу пространственной симметрии в уравнения
(III.1.1) н (III.1.2) вошла только радиальная компонента
скорости г',., которая нами просто обозначена через v.
Диссцпативиый коэффициент Ь совпадает с соответствую-
соответствующим коэффициентом, введенным в предыдущей главе.
Уравнения (III.1.1) и (III.1.2) следует дополнить прибли-
приближенным адиабатическим уравнением состояния вида
Следуя схеме, изложенной во второй главе, нетрудно
получить в сопровождающей системе координат гит (где
х = t — (г — го)/со для расходящихся волн и т = t -j-
+ (г — го)/со для сходящихся волн) следующее прибли-
приближенное уравнение:
dv , и б dv Ь 82v
При п = 2 это уравнение, полученное с точностью до
малых членов второго порядка малости, описывает
распространение сферически-симметричных волн, при
п = 1 — цилиндрически-симметричных волн. При выводе
уравнения (III. 1.4) наряду с разложением по малому
параметру (числу Маха) учитывалось, что аналогичный
порядок малости имеет величина 1/кг, где к — волновое
число, т. е. уравнение (III.1.4) справедливо всюду в обла-
области кг ^> 1.
Производя замену в уравнении (III.1.4) U = v (r/r0)
и z = In (r/r0) при п = 2 и замену U == vY r/r0 и z —
= 2yrr0 при п = 1, получим следующие уравнения [54,
55, 62j:
dll его Tj 8U __ bra „ d2t/
Любопытно отметить, что в приведенных выше обозна-
обозначениях расходящиеся сферические волны адекватны пло-

§ 2. СРЕДА БЕЗ ДИССИПАЦИИ 67
ским волнам в среде с экспоненциально нарастающей вяз-
вязкостью, сходящиеся — с экспоненциально убывающей
вязкостью. Для цилиндрических волн вязкость изменяется
по линейному закону. Приведенная аналогия не является
вполне точной, поскольку в процессе вывода уравнений
(III.1.5) и (III.1.6) произведены нелинейные преобразо-
преобразования координат z = In (r/r0) и z = 2j/Vr0, что сущест-
существенным образом сказывается в определении действитель-
действительных масштабов пространственных искажений волнового
профиля.
Переходя к анализу процесса распространения про-
пространственно-симметричных волн на основе уравнений
(III.1.5) и (III.1.6), подчеркнем с самого начала, что в силу
отсутствия точных решений этот анализ будет носить пре-
преимущественно качественный характер. При этом мы будем
постоянно опираться на результаты аналогичного анализа,
выполненного на основе точных решений в теории плоских
волн.
§ 2. Среда без диссипации
Рассмотрим распространение расходящейся или схо-
сходящейся бегущей сферической (или цилиндрической)
волны конечной амплитуды, гармонической в точке г = г0:
v = v0 sin сот. (III.2.1)
На первом этапе распространения звуковой волны
конечной амплитуды диссипативные процессы не играют
существенной роли, если интенсивность волны достаточно
велика, а вязкость и теплопроводность малы. То есть при
больших числах Рейнольдса можно пренебречь правыми
частями уравнений (III. 1.5) и (III.1.6), а решения полу-
полученных укороченных уравнений с граничным условием
(III.2.1) записать в виде
Г Vr ~] 8 1 Г Г 1>Г 1 /ттт п п\
сот = arcsm coyoro In — , (III.2.2)
• Г» i/~l
сот = arcsm — I/ —

68 ГЛ. III. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Графический анализ полученных решений ничем не
отличается от аналогичного анализа в теории плоских
волн. Поэтому мы остановимся только на отличительных
особенностях в «темпах» накопления нелинейных иска-
искажений в расходящихся и сходящихся сферических и ци-
цилиндрических волнах по сравнению с плоскими волнами
конечной амплитуды.
Как известно, решения принимают разрывный характер
при обращении безразмерных угловых коэффициентов
Z8 . Г
1 =-т(оу0г01п—г
2е
в единицу. Сравнивая значения коэффициентов Zj и Z2
с соответствующим значением коэффициента для плоских
волн, видим, что нелинейные эффекты в расходящихся
сферических и цилиндрических волнах выражены суще-
существенно слабее. Нелинейные искажения в сферической
волне накапливаются как натуральный логарифм отноше-
отношения расстояния, пройденного волной от излучателя г к ра-
радиусу излучателя г0. Для цилиндрической волны накоп-
накопление нелинейных эффектов с расстоянием пропорцио-
пропорционально | 1 — Vr/ro\. Несмотря на то, что одновременно
с накоплением нелинейных эффектов происходит умень-
уменьшение амплитуды волн из-за сферической или цилиндри-
цилиндрической расходимости, ударная или разрывная волна все
же теоретически обязана сформироваться, поскольку
мы пренебрегли диссипацией энергии.
Итак, с точки зрения накапливающихся нелинейных
эффектов сферические и цилиндрические расходящиеся
волны конечной амплитуды являются «ухудшенными»
аналогами плоских волн. В сходящихся волнах картина
обратная. Здесь накопление нелинейных эффектов проте-
протекает весьма бурно, но не только в силу схождения. В фор-
формулах (III.2.2) и (III.2.3) схождение и расхождение волн
учтено в соотношениях, стоящих в квадратных скобках,
когда пропорциональное уменьшение отношения, напри-
например г к г0, компенсируется соответствующим увеличением

§ 2. СРЕДА БЕЗ ДИССИПАЦИИ
69
отношения v к v0, т. е. выбранный масштаб позволяет нам
рассматривать амплитуды сходящихся и расходящихся
волн как неизменные. В то же время сами нелинейные
параметры | In (r/r0)
и | 1 — Yrlro\ ПРИ значениях г <С г0
уже не являются столь медленными, как это имеет место
для расходящихся волн.
Остановимся еще на одной особенности, присущей
только сходящимся цилиндрическим волнам: при опре-
определенных значениях исходных параметров в сходящейся
цилиндрической волне ударная волна не возникает во-
вообще. В самом деле, разрыв возникает при значении угло-
углового коэффициента
=2t
-У11
г го
= 1.
(III.2.4)
Поэтому если параметры излучающей цилиндрической
поверхности выбраны так, что (е/с«) мг;ого < 1/2, то ни
при каких значениях г < г0 условие образования удар-
ударных волн (III.2.4) не может быть реализовано. Отсюда
следует, что для существенного накопления нелинейных
эффектов в сходящейся цилиндрической волне необходимо,
чтобы радиус, частота и начальная амплитуда пульси-
пульсирующего цилиндра были достаточно велики, чтобы вы-
выполнялось условие (е/ср к>г>ого ^> 1.
Процесс изменения спектрального состава сферических
и цилиндрических волн, обусловленный нелинейными
искажениями их формы при распространении, может быть
описан аналогично тому, как это делалось ранее приме-
применительно к плоским волнам. Гармоническая в точке г = г0
волна изменяет свой профиль согласно формулам (III.2.2)
и (III.2.3). Переписывая эти формулы в виде
^— = sin [сот + 4- «му0 In — {—}] , (Ш.2.5)
voro L ca ro I voro )у к '
— 1/ — = sin сотН—5-соу0г0 1—1/ — I— I/ —М '
(Ш.2.6)
мы найдем решения этих трансцендентных уравнений в

70
ГЛ. III. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
виде рядов Фурье:
п=1
П=1
™ sin «сот,
тот.
(Ш.2.7)
(III.2.8)
,B)
Входящие сюда коэффициенты Бп и Вп' представ-
представляют собой совокупность двух членов, первый из которых
доминирует в области значений угловых коэффициентов
0 ^ Zx, Z2^ 1 и соответствует амплитуде п-ж гармоники
в решении Бесселя — Фубини в случае плоской волны,
а второй дает основной вклад в области Z1: Z2 ^> 1 и при
значении Z1; Z2 ^> 1 принимает особенно простой вид.
Таким образом,
Jn
0 5=:
1,
(III.2.9)
где Jn — функция Бесселя п-то порядка.
Последние соотношения позволяют рассмотреть изме-
изменения гармонического состава волны. На начальном уча-
участке распространения волны Z1J <sg; 1 после разложения
в ряд функций Бесселя в области малых значений аргу-
аргумента получим для сферической и цилиндрической волн
следующие соотношения:
= sin cot
ч
- = sin сот -( ^- 1 — l/ — sin 2cot + . . .
О с T To
(III.2.11)
Из приведенных формул видно, что нарастание гармо-
гармоник в сферических и цилиндрических волнах происходит

§ 3. ДИССИПАТИВНАЯ СРЕЦА 71
по-разному. Этот изложенный на спектральном язы-
языке факт находится в полном соответствии с результатами
гидродинамического рассмотрения проблемы, проводив-
проводившегося в первой половине этого параграфа.'
§ 3. Диссипативная среда.
Квазистационарные решения
Выше показано, что, за исключением специально вы-
выбранной сходящейся цилиндрической волны, во всех слу-
случаях распространение сферических и цилиндрических
волн сопровождается образованием разрывов, т. е. при-
приводит к возникновению ударных волн, когда неправомерно
пренебрежение диссипативными эффектами.
Не имея возможности дать точные аналитические ре-
решения уравнений (III.1.5) и (III. 1.6), мы пойдем по пути
поэтапного упрощения задачи. На первом этапе, когда
были отброшены правые части уравнений (III.1.5) и
(III.1.6), мы получили решения, справедливые вплоть до
образования разрывов, покуда гидродинамические пара-
параметры волны еще однозначны. На следующем, втором
этапе мы решим вспомогательную задачу о распростране-
распространении одиночного скачка уплотнения в среде. Такое решение
позволит нам найти структуру фронтов сферической и
цилиндрической волн.
Граничные условия для задачи о распространении оди-
одиночного скачка уплотнения в переменных U, z, т для урав-
уравнений (III.1.5) и (III.1.6) можно сформулировать следую-
следующим образом:
U (г, +оо) = Uo, U(z, -оо) = ^Uo. (III.3.1)
Мы ограничимся получением приближенного квазистацио-
квазистационарного аналитического решения сформулированной за-
задачи, которое находится в хорошем согласии с результа-
результатами численного интегрирования.
Полагая, что производная dU/dz в уравнениях (III.1.5)
и (III.1.6) много меньше остальных членов уравнений,
мы получим укороченные уравнения, которые являются
уже обыкновенными дифференциальными уравнениями и
легко интегрируются. В теории плоских волн такая опе-
операция вполне правомерна. Она позволяет найти профиль

72 ГЛ. III. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
стационарной волны, распространяющейся в среде без
искажения формы. Для сферических и цилиндрических
волн это не так, поскольку изменение амплитуды при
схождении и расхождении волн препятствует формиро-
формированию стационарных волн.
Стационарная плоская волна возникает вследствие
уравнивания диссипативных и нелинейных эффектов, когда
нелинейное «захлестывание» компенсируется диссипатив-
ным «рассасыванием» фронтов. В сферических и цилин-
цилиндрических волнах к этим факторам добавляется еще яв-
явление схождения и расхождения. И все же можно выделить
некоторый интервал на пути следования волны, когда
решения, которые, в отличие от точного стационарного
решения в теории плоских волн, мы называем квазиста-
квазистационарными, справедливы с достаточной степенью точ-
точности.
Эти решения для сферических и цилиндрических волн
имеют соответственно вид
А условия применимости их могут быть представлены в
виде
Эти условия применимости квазистациопарпых решений
несколько различны для цилиндрических и сферических
волн. Квазистационарное решение для цилиндрических
волн справедливо всегда при условии
которое получено из формулы (III.3.4) домиожением чис-
числителя и знаменателя на частоту со независимо от того,
является волна сходящейся или расходящейся. Для
сферических волн соотношение (III.3.4) преобразуется

§ 4. АВТОМОДЕЛЬНЫЙ ПОДХОД 73
в безразмерных координатах к виду
Z0Re > zfZ0, Zo = ешгуо/с<> (Ш.3.6)
и, если только оно справедливо в точке г0, то для сходя-
сходящейся сферической волны оно справедливо всегда. Для
расходящейся сферической волны на некоторых расстоя-
расстояниях Znp соотношение (Ш.3.6) перестает быть справед-
справедливым. Определяя предельное значение Znp из условия
Znp = ZoRe, легко видеть, что в практически наиболее
интересном случае больших чисел Рейнольдса и не малых
значений Zo пределы применимости квазистационарного
решения достаточно широки и для расходящихся сфери-
сферических волн.
Найденные квазистационарные решения вместе с ре-
решениями укороченных уравнений, полученными в § 2,
позволят нам сконструировать общие приближенные
решения, справедливые во всей области распространения
волны от момента формирования ударных фронтов. Преж-
Прежде, однако, мы найдем одно точное решение уравнения
(III.1.6), имеющее характер стационарного скачка воз-
возмущения и свободное от ограничений, свойственных ква-
квазистационарным решениям.
§ 4. Структура цилиндрической ударной волны.
Автомодельный подход
Уравнение (III.1.6) с помощью замены U = <р (?), где
\ = xlz, приводится к обыкновенному дифференциаль-
дифференциальному уравнению [63]:
Решая это уравнение и возвращаясь к исходным перемен-
переменным U, т, z, получим
(IH.4.2)

74
ГЛ. III. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Приведенная параметрическая форма решения наиболее
удобна для анализа. На рис. III.1 построена подкоренная
функция / (г|) = г) — се ~2Я и ее асимптотика при с = 0.
Заметим, что при значении константы с = 0 формулы
(III.4.2) и (III.4.3) дают решение линейного уравнения
аи bz д2и г,
— — т-j- = 0 , справедливого для систем, характе-
°z 4cgpo?-o °x
ризуемых бесконечно малым числом Рейнольдса. Зада-
Задаваясь определенным значением постоянной с, можно рас-
рассматривать системы с произ-
произвольным соотношением меж-
между нелинейными и диссипа-
тивными свойствами среды,
т. е. при произвольных зна-
значениях числа Рейнольдса,
за исключением бесконечно
больших, когда в исходном
уравнении (II 1.1.6) можно
положить Ъ = 0.
Значение параметра г\0 со-
соответствует обращению в нуль
функции / (г|). Именно в ок-
окрестности точки Т1О наиболее
сильно проявляются нелиней-
нелинейные свойства. При умень-
уменьшении числа Рейнольдса точ-
точка Ti0—>-0 и функция / (г|)
о
Рис. II 1.1. Вид функции
/ (л) = Ч — С охр (—2г|) и ее
асимптотики (прямая линия)
при С = 0.
слабо отклоняется от линейного закона. Поэтому наи-
наибольший интерес представляет исследование поведения
найденных решений (III.4.2) и (III.4.3) в окрестности
точки г|0, где подкоренная функция / (г|) с помощью раз-
разложения по малому параметру jx = т] — г|0 может быть
представлена в виде
/(т!) = т1-се-^^^A + 2т10). (Ш.4.4)
После замены с помощью соотношения (Ш.4.4) подкорен-
подкоренного выражения в формулах (III.4.2), (III.4.3), интегри-
интегрирования и исключения малого параметра ц найдем
и =
( }

§ 4. АВТОМОДЕЛЬНЫЙ ПОДХОД
75
Автомодельное решение (III.4.2), (III.4.3) и справед-
справедливое при малых' значениях параметра |i выражение
(III.4.5) одинаково применимы как к расходящимся, так
и к сходящимся цилиндрически-симметричным возму-
возмущениям в среде. При росте z (расходящаяся волна) кру-
крутизна фронта уменьшается. Когда z уменьшается (схо-
(сходящаяся волна), крутизна фронта растет. Последнее яв-
явление имеет место при фокусировке сигнала, и решения
в этом случае справедливы
в пределах ограничений,
принятых при выводе при-
приближенного уравнения
(III.1.6).
Несмотря на то, что
автомодельнин^подход по-
позволил рассмотреть лишь
частную задачу о распро-
распространении одиночного ска-
скачка уплотнения, следует
подчеркнуть, что решение
(III.4.2) - (III.4.3) - это
единственное точное реше-
решение уравнения (III. 1.6),
полученное аналитически.
О
Ф
Рис. III.2. Автомодельное реше-
решение аналога уравнения Бюргерса
для цилиндрически-симметричных
волн, отвечающее различным зна-
значениям числа Рейнольдса.
К тому же это решение
свободно от ограничений
на величину числа Рей-
Рейнольдса за счет произво-
произвола в выборе константы с.
На рис. III.2 приведены три кривые, из которых кри-
кривая 1 соответствует значениям числа Рейнольдса Re ^> 1,
кривая 2 — случаю Re —' 1 и кривая 3 — значениям
Re<^l. Зависимость решения от значения числа Рей-
Рейнольдса учтена неявно также и в выражении (III.4.5)
с помощью параметра т]0 — корня трансцендентного урав-
уравнения т] — ее" = 0. Подобно тому, как формулы (III.4.2)
и (III.4.3) при с = 0 давали решение линейного уравнения,
выражение (III.4.5) при значении параметра i]0—>-0 так-
также переходит в решение линейного уравнения.
Точное решение (III.4.2) и (III.4.3), равно как и приб-
приближенная формула (III.4.5), в силу своей структуры

76 ГЛ. III. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
представляет особый интерес и при изучении распростра-
распространения синусоидальных возмущений в цилиндрически-
симметричных системах.
В предыдущем параграфе'мы нашли приближенные ква-
квазистационарные решения, на основе которых с учетом за-
законов нелинейного искажения сконструируем профиль
сферической и цилиндрической волн по аналогии с пло-
плоскими волнами. Для этого необходимо ударный фронт
бесконечной крутизны в волне пилообразной формы заме-
заменить узкой областью конечных размеров и определенной
структуры в соответствии с квазистационариыми реше-
решениями. Строго говоря, в цилиндрически-симметричной
волне следовало бы область фронта построить на основе
решений (III.4.2) и (III.4.3) или хотя бы на основе форму-
формулы (III.4.5). И то, что мы этого не будем делать, продик-
продиктовано исключительно соображениями физической наг-
наглядности и укоренившимся в литературе единым под-
подходом, несомненно, весьма полезным с методической точки
зрения.
§ 5. Общая структура
пространственно-симметричных волн
с учетом: нелинейности и диссипации
Возвращаясь к задаче о распространении первоначаль-
первоначально гармонической волны конечной амплитуды, заданной
в точке г — г0 соотношением (III.2.1), напомним, что в соот-
соответствии с решениями (III.2.2) и (III.2.3) при достижении
угловыми коэффициентами Zx и Ъг значений, равных еди-
единице, в волне возникают разрывы. При значении тех же
угловых коэффициентов, равных я/2, профили волн ста-
становятся почти пилообразными и пиковые значения при-
приведенных переменных для сферической и цилиндрической
волн, как это можно установить из формул (III.2.2) и
(III.2.3), изменяются в соответствии с формулами
-/^|). (HI.5.2)

§ 5. ОБЩАЯ СТРУКТУРА 77
Если в следующей, второй области распространения
волн выполняются условия применимости квазистацио-
квазистационарных решений, то структура разрывов в сферической
и цилиндрической волнах пилообразного профиля может
быть описана с помощью квазистационарных решений
(III.3.2) и (III.3.3) с учетом того, что амплитуда разрывов
изменяется в соответствии с выражениями (II 1.5.1) и
(Ш.5.2). у
Тогда в пределах одного периода «^- я <; сот <J я кон-
конфигурация сферически-симметричной волны приближенно
описывается соотношением
^0^0 / it! COT \ /Т1Т С О\
vr — -г , „ ..—. , . , — сот 4- я tb. —г— , (Ш.о.о)
1 + Zo | In (г/га) \ \ ' 6 / ' к '
где величина
«, 1 + Zo | In (r/rp) | / 7-
Л Re
Ш
есть безразмерная ширина фронта волны.
Совершенно аналогично для цилиндрической волны
имеем
л/— Vt> Vr0 I , , u Ш1Г \ /ттт г c\
vy r = r I — сот + я th -r- I , (III.5.5)
где
g = 1 + 2Zo I 1 - /r/ro 1 -i f r_ (Ш.5.6)
2я Re V ri) v '
Сопоставляя формулы A11.5.3) — (III.5.6) с формула-
формулами (II.3.21) и (II.3.22), нетрудно установить, что в реше-
решениях (Ш.5.3) — (Ш.5.6) сохранены все те особенности,
которые были отмечены еще при выводе приближенных
уравнений, описывающих распространение простран-
пространственно-симметричных волн. Подобно решениям (П.3.21),
(II.3.22) они передают динамику процесса формирования
и рассасывания ударных фронтов, определяют изменения
амплитуды волны с учетом схождения (расхождения) и
нелинейного захлестывания. В этом, а также в единооб-
единообразии и компактности записи их несомненные достоинства.
Вместе с тем, в отличие от точных решений (П.3.21),
(II.3.22), решения (Ш.5.3) — (Ш.5.6) лишь приближен-
приближенно удовлетворяют уравнениям (III.1.5) и (III.1.6) и это

78 ГЛ. Ш. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
приближение в точности совпадает с условиями приме-
применимости квазистационарных решений (III.3.6) и (III.3.5).
Разлагая в ряд Фурье решения AJ 1.5.3) и (III.5.5),
можно получить решения, аналогичные решениям Фея
для плоских волн. Эти решения имеют вид
сю
v-Jl_(JL\y sin ;шт ПИ 5 7^
Re ( Го ' ?&\ni + Zo^{r/ro)l ( r )}
для сферических волн и
i -_ (Ш.5.8)
для цилиндрических волн.
§ 6. Особенности распространения сходящихся
и расходящихся волн
Проанализируем соотношения (III.5.4) и (III.5.6),
определяющие ширину фронта сферической и цилиндри-
цилиндрической ударных волн. Ширина фронта не остается посто-
постоянной по двум причинам.
Во-первых, происходит «рассасывание» фронта удар-
ударной волны, обусловленное уменьшением ее амплитуды из-
за поглощения. Так что безразмерная ширина фронта 8
растет, как [ In (r/r0) [ для сферических волн и как
| 1 —"|Ar/r01 для цилиндрических волн. Этотдиссипативный
механизм рассасывания полностью аналогичен соответ-
соответствующему механизму, действующему в случае плоских
волн. Он одинаков как для сходящихся, так п для рас-
расходящихся пространственно-симметричных воли.
Во-вторых, и главным образом, ширина фронта 8 не
остается постоянной из-за наличия в формулах (II 1.5.4) и
(III.5.6) множителей (г/г0) и Y~r/r0 соответственно. Обус-
Обусловленное этими множителями изменение ширины фронта
ударной волны проявляется по-разному для расходя-
расходящихся волн (г/г0) ^> 1, j/V/r0 ^> 1 и для сходящихся волн

6. СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНЫ 79
Определив, таким образом, общую структуру
ранственно-симметричных волн на втором этапе их рас-
распространения при одновременном учете нелинейных и
диссипативных эффектов, можно дать полное описание
распространения сферических и цилиндрических волн,
которое будет проведено отдельно для расходящихся
и сходящихся волн.
Расходящиеся сферическая и цилиндрическая волны
при определенных условиях образуют ударную волну,
а именно, при надлежащем подборе радиусов пульсирую-
пульсирующих сферы и цилиндра, амплитуды и частоты гармони-
гармонических пульсаций. Так как обе тенденции изменения ши-
ширины фронта ударной волны в расходящихся волнах
однонаправленны, то образовавшиеся ударные фронты весь-
весьма быстро «рассасываются» и при достижении безразмер-
безразмерной шириной фронта б величины порядка л волны вновь ста-
становятся синусоидальными. Амплитуды волн при этом
уменьшаются, как vo/Re, так что за координатой «расса-
«рассасывания» ударного фронта (в третьей области распростране-
распространения волны) вполне правомерно описание распространения
расходящихся волн законами линейной акустики.
Однако легко может быть реализован и такой случай,
когда начальные условия таковы, что координата форми-
формирования ударного фронта находится дальше от источника
гармонических пульсаций, чем координата рассасывания
разрыва. Это абсурдное, на первый взгляд, положение
означает лишь то, что за счет расходимости волна конеч-
конечной амплитуды раньше превращается в волну бесконечно
малой амплитуды, чем в ней успеют сколь-ипбудь заметно
проявиться накапливающиеся нелинейные эффекты.
В сходящихся волнах нелинейные параметры и фак-
факторы схождения влияют противоположно. Нелинейные
параметры по-прежнему вызывают увеличение ширины
фронта, тогда как факторы схождения сужают ударный
фронт. На рис. Ill.3 приведены три кривые, дающие
зависимость ширины ударного фронта от безразмерного
расстояния, пройденного волной от источника возмуще-
возмущения к фокусу системы. Все три кривые имеют максимумы,
хотя построены для различных излучающих систем.
В точном соответствии с решением (III.5.6) цилиндри-
цилиндрическая волна образует фронт максимальной крутизны

80
ГЛ. III СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
порядка -~1 /л Re при достижении параметром нелинейных
искажений величины та л/2. В то же время безразмерная
ширина фронта как функция пройденного волной расстоя-
расстояния имеет максимум, равный A + 2ZOJ/16 л Re Zo, ко-
который достигается в точке rmax = A + 2 Zo)Vo/16Zo-
Затем ширина фронта убывает и стремится к нулю в фо-
фокусе системы.
Если не рассматривать тот специальный случай, о ко-
котором упоминалось в § 3, когда цилиндрическая сходя-
сходящаяся волна не успевает образовать ударный фронт, то
Рис. 111.3. Ширина фронта сходящейся ударной волны как функ-
функция безразмерного расстояния; точки Z'1' и Z^ соответствуют зна-
значениям б = п.
наше описание вполне справедливо. Напомним, что за
вычетом упомянутого специального случая, для сходящей-
сходящейся цилиндрической волны условия применимости квази-
квазистационарного решения^ выполняются всегда. А это озна-
означает, что сходящаяся цилиндрическая волна формирует
ударный фронт дважды и""процесс фокусировки разби-
разбивается на три этапй: первичное формирование ударного
фронта, его частичное или полное «рассасывание» и вто-
вторичное и окончательное формирование ударного фронта
при приближении к фокусу системы.
Кривые 1 и 2 на рис. III.3 как раз иллюстрируют ча-
частичное рассасывание ударного фронта. Величина и по-
положение их максимумов различны в зависимости от на-
начальных параметров 'фокусирующей системы. Кривая 3

§ 6. СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНЫ
81
относится к случаю полного рассасывания ударного фрон-
фронта, а ее пунктирная часть к той области распространения
волны, когда ширина ударного фронта 8 формально за-
занимает фазовый интервал больше я. При достижении же
фронтом волны фазового интервала в я, волна перестает
быть волной конечной амплитуды и превращается в бес-
бесконечно малую звуковую волну.
Следовательно, кривая 3 не только иллюстрирует дву-
двукратное формирование ударного фронта, но и отмечает
весьма любопытный факт:
при определенных условиях
сходящаяся волна конечной
амплитуды может за счет
диссипации превратиться в
волну бесконечно малой ам-
амплитуды, а затем за счет
схождения к фокусу системы
вновь стать волной конечной
амплитуды вплоть до прев-
превращения в ударную волну.
Не следует полагать, что этот
процесс может быть повторен
многократно. Ширина фрон-
фронта ударной волны имеет един-
единственный максимум.
На рис. III.4 приведена
зависимость амплитуды ско-
скорости в сходящейся цилиндрической волне от расстояния
от излучателя — амплитудная часть решения (Ш.5.5).
Для сравнения там же пунктиром приведена кривая,
соответствующая линейной теории. Область (ZA> — Z<2))
как раз соответствует области диссипативного расширения
ударного фронта.
Все изложенное на примере цилиндрической сходящей-
сходящейся волны в paBHOHj степени относится и к сходящимся
сферическим волнам, для которых без труда можно во-
воспроизвести все выполненные выше оценки, исходя из
формул (III.5.4) и (III.5.3).
Рис. III.4. Зависимость ампли-
амплитуды скорости в сходящейся
цилиндрической волне от рас-
расстояния (сплошная линия).
Штриховая кривая соответст-
соответствует линейной теории.

ГЛАВА IV
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ
СРЕДАХ
§ 1. О дисперсионных свойствах среды.
Среда с релаксацией
В главе I при рассмотрении римановых волн было по-
показано, что между переменными р, р, v существует связь
Р = Р (v), P =P И , (IV.1.1)
т. е. значение скорости v в некоторый момент времени и в
фиксированной точке пространства однозначно опреде-
определяет соответствующие давление и плотность. Локальный
характер связи (IV.1.1) приводит к отсутствию дисперсии
в акустике идеальной и безграничной среды: волны беско-
бесконечно малой амплитуды, имеющие различную частоту со,
распространяются с одной и той же скоростью с0. Зави-
Зависимость волнового числа к от аз при этом линейна:
ft = + —• (IV.1.2)
— Со v '
Однако уже при учете слабого поглощения получается
выражение (см. (В. 1.28))
в котором мнимая добавка ответственна за диссипацию
волны (иногда поглощение, зависящее от аз, называют
мнимой дисперсией). Соответствующие связи волновых
параметров становятся нелокальными (П.1.12), (П.1.13).
Вообще говоря, соотношение (IV. 1.3) является неточным,

is 1. СРЕДА С РЕЛАКСАЦИЕЙ 83
и следует писать
а = ± -J- [1 + Р' N + Ф" HI. (iv-1 л)
где действительный |3' (со) и мнимый г'|5" (со) члены, опре-
определяющие дисперсию и поглощение, связаны фундамен-
фундаментальными соотношениями, вытекающими из принципа
причинности (аналогичными формулам Крамерса — Кро-
нига в электродинамике). Отсюда следует, что дисперги-
диспергирующая среда принципиально является средой поглощаю-
поглощающей и для определения |3" (со) достаточно знать частотную
зависимость |3' (со).
Из физических соображений также ясно, что восполь-
воспользовавшись законом дисперсии (IV.1.3), где учтено только
поглощение, мы совершили некоторую ошибку. Действи-
Действительно, одним из эффектов, вызванных затуханием звука,
будет возникновение акустических течений (см. гл. VIII).
В результате поглощения волны среде передается опре-
определенный импульс, и она приходит в движение. Скорость
распространения волны в движущейся среде уже отли-
отличается от с0, что эквивалентно появлению дисперсии.
В общем случае, для линейной среды, связь между
параметрами волны, например р' и р', выражается функ-
функционалом
р' = J df Jx(r, r', t, t')9'(r', f)dr'. (IV.1.5)
— oo
Если среда однородна и не изменяет со временем своих
свойств, то ядро к (г, г', t, t') зависит только от раз-
разности пространственных и временных переменных г — г',
t —t'. В тех случаях, когда поле в данной точке не опре-
определяется полем в других точках, ядро
х (г - г', t— t') = б (г — г')•% (t - t'), (IV.1.6)
т. е. процесс обладает свойством локальности в простран-
пространстве.
Это условие выполнено при длинах волн %, которые
много больше характерного внутреннего размера — дли-
длины свободного пробега молекул в жидкостях и газах, или
размеров кристаллической решетки в твердых телах.

,84 ГЛ. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
Условие локальности в пространстве выполняется для
волн ультразвукового диапазона, но может нарушаться
для гиперзвука либо в случае среды с искусственной не-
неоднородностью.
С помощью (IV.1.6) функционал (IV.1.5) приводится
к виду
р' =-. \ %(t-t')9' (t')dt'. (IV.1.7)
По аналогии с (IV. 1.7) можно записать нелинейные
члены, получающиеся при разложении р' по степеням р':
где
( v
р'«= \ а? \ %{t-t'-q9'(t')9'(t")dt"
ОС —ОО
описывает квадратичные нелинейные эффекты, а
р'(з) == ^ rf*' S dt" I Q{t — t' — t" — V") p' (f) p' (t") x
хр'(Г)Г (I V.I.9)
— кубичные. В нелинейной акустике обычно ограничи-
ограничиваются рассмотрением квадратичных нелинейных членов,
поскольку в силу малости числа Маха выполнены нера-
неравенства
Для нахождения явного вида выражений %, %, 0 не-
необходимо, вообще говоря, учитывать внутреннюю струк-
структуру среды и применять методы микроскопической тео-
теории. Однако ряд важных результатов может быть получен
с помощью феноменологического подхода, предложенного
Мандельштамом и Леонтовичем (см., например, [1]).
Рассмотрим среду, в которой распространение звуко-
звуковых волн нарушает состояние термодинамического рав-
равновесия. В силу второго начала термодинамики среда
стремится вернуться к равновесному состоянию при но-

§ 1. СРЕДА С РЕЛАКСАЦИЕЙ 85
вых, измененных волной значениях параметров. Если
характерное время т релаксации к равновесному состоянию
много меньше, чем период осцилляции Т, среда успевает
полностью «приспособиться» к изменениям, вносимым
волной, и распространение звука в этом предельном слу-
случае происходит так же, как и в среде без релаксации —
со скоростью с0. Если же т ^> Т, релаксационные процес-
процессы «заморожены» и звук распространяется со скоростью
Соо, причем Со, ^> с0.
В качестве релаксационных процессов, вносящих за-
запаздывание, могут выступать химические реакции, дис-
диссоциация, фазовые переходы, обмен энергией между
различными степенями свободы молекул и т. д. При фе-
феноменологическом подходе можно отвлечься от конкрет-
конкретной природы внутренних процессов. Будем считать, что
в среде имеется один механизм релаксации (обобщение на
случай нескольких механизмов не представляет труда),
наличие которого может быть учтено введением «внутрен-
«внутренней координаты» |. Если в обычных средах р — р (р, s), то
теперь необходимо писать
р^р (р, s, I). (IV.1.11)
Закон приближения ? к равновесному значению ?0
при начальном условии | (t = 0) = ? @) примем в про-
простейшей экспоненциальной форме
I = 10 + [?@) - ?„]*-<*. (IV.1.12)
Нетрудно видеть, что это выражение является решением
дифференциального уравнения
§ = -1^1, (IV.1.13)
которое называют уравнением реакции. Ограничиваясь
рассмотрением небольших отклонений от состояния рав-
равновесия, будем считать величины
—, —, -Ц=^— и-
со Ро ?о '
Ограничимся также рассмотрением таких сред, в кото-
которых величина m = {cL — с\Iс\ является малой. Точное

86 ГЛ. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
уравнение состояния (IV.1.11) удобно представить в виде
разложения по степеням р', | — |0, s — s0. Пренебрегая
при этом малыми членами ~ jis и выше, в том числе и чле-
членами, обусловленными приращением энтропии, получим
(IV.1.15)
Здесь необходимо учесть, что само равновесное состояние
является функцией плотности: |0 = ?0 (р), поэтому
дР\ __ i дР \ , / дР
Еоо — это невозмущенное волной значение внутреннего
параметра |. По смыслу ясно, что (др/др)^ = cL, a
(др/др)^ = Cq. Дифференцируя (IV. 1.15) по времени,
придем к соотношению
dp' a rfp' j, (<>P
Если теперь в формуле (IV.1.15) заменить выражение
E — So) на —xd%,ldt (с помощью уравнения реакции)
и исключить из полученного соотношения и (IV.1.17)
член, содержащий производную dydt, можно получить
следующую взаимосвязь давления и плотности в релакси-
рующей среде во втором приближении:
Это выражение удобно представить в интегральной форме
или, преобразуя интеграл по частям, в виде [64]

§ 1. СРЕДА С РЕЛАКСАЦИЕЙ 87
Таким образом, сравнивая полученный результат с функ-
функционалами (IV.1.7), (IV.1.8), можно (установить явный
вид выражений для к, %:
Прежде чем переходить к рассмотрению нелинейных
задач, покажем, как релаксационные процессы влияют на
распространение волны в линейном приближении. Вос-
Воспользуемся линейными уравнениями гидродинамики
(В.1.9), (В.1.10) и уравнением состояния (IV.1.19), в ко-
котором отбросим нелинейный член. Исключая переменные
v и р, получим волновое уравнение для р':
V _ с*Др' _ тс1А U -gl e-(«')/, df = о. (IV.1.22)
Если умножить (IV.1.22) на т и продифференцировать по
t, а затем сложить результат с (IV. 1.22), придем к урав-
уравнению в дифференциальной форме |
(IV.1.23)
Для получения дисперсионного уравнения ищем решение
в виде р' = poe!'cof~'?a). Подстановка этого выражения в лю-
любое из уравнений (IV.1.22), (IV.1.23) дает
ШХ
« = ± сок 1/ 1 +
Воспользовавшись тем фактом, что константа т является
малой величиной, преобразуем это выражение к виду
= Н 1 гг- -г—.——— i -тг- -. т-г . (IV. 1.2о)
— с0 [ 2 1 -|- со2т2 1 1 |- со2тг J ч '
Результат (IV.1.25) показывает, что релаксационные про-
процессы в среде приводят к появлению дисперсии скорости

ГЛ. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
звука и связанному с ней поглощению:
[, т (О2Т3 i пь
1 + — i + ^ J' а = ^7Т
Кривые для фазовой скорости с (сот) и коэффициента
cot
0 1 cot
Рис. IV. 1. Коэффициент затухания и фазовая
скорость в среде с релаксацией.
затухания а (шт) изображены на рис. IV.1 в соответствии
с выражениями (IV. 1.26).
§ 2. Слабая и сильная дисперсия
В нелинейной акустике обычно имеют дело со слабой
дисперсией, т. е. с такими средами, в которых искажение
профиля начального возмущения за счет различия фазо-
фазовых скоростей у разных гармоник значительно слабее,
чем искажения из-за других причин: нелинейности, погло-
поглощения, дифракции и т. д.
Покажем на примере простейшей задачи теории нели-
нелинейных волн — генерации второй гармоники, — к каким
физическим явлениям приводит наличие дисперсии.

§ 2. СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ 89
Уравнение, описывающее поведение второй гармоники,
аналогично A.1.5):
-с0;-
Здесь сх, с2 — фазовые скорости волн с частотой со и 2со
соответственно. Правая часть уравнения (IV.2.1) имеет
смысл «вынуждающей силы», наличие которой может
привести к появлению не только второй гармоники (со +
+ со = 2со), но и постоянной составляющей (со — со = 0).
Поскольку акустическое детектирование здесь не рас-
рассматривается, надо оставить лишь фурье-компоненту
правой части на частоте 2со, и уравнение (IV.2.1) примет
вид
(IV.2.2)
где Л, q, — константы, определяемые явным выражением
для /у2. Общим решением уравнения (IV.2.2) будет сумма
решений однородного уравнения (А = 0) и частного
решения неоднородного уравнения (А ^= 0). Соответ-
Соответствующие волны, описываемые этими решениями, могут
быть названы собственной и вынужденной волнами:
v{i) = ii% + iuu; (iv.2.3)
здесь
42об = 4об (х = 0) -sin Bcof — kzx -\- 9i), /с2 = -^-, (IV.2.4)
{ Л 2k1x + ff), fei = Y-. (IV.2.5)
Чтобы удовлетворить граничному условию — отсут-
отсутствию второй гармоники в начале координат (при х — 0),
положим произвольные константы равными
Фг=Ф, v^(x=0) = - 8../.,г. ¦ (IV.2.6)
После несложных преобразований уравнений (IV.2.3) —

90
ГЛ. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
(IV.2.6) придем к выражению
cos
согласно которому амплитуда волны частоты 2со не остает-
остается постоянной, а испытывает биения в пространстве.
Амплитуда и пространственный период этих биений опре-
определяются величиной расстройки А = | к2 — 2кг |.
Как показано на рис. IV.2, с уменьшением А период
и амплитуда биений |возрастают. Предельпый случай
и
/
/
/
/
/
¦ч
/
¦У
т
/
1=1
"г4
/
у
1 [
1
—
/-
1
—
1
si
Is
Рис. IV.2. Процесс генерации второй гармоники в зависимости от
дисперсионных свойств системы.
А -> 0 соответствует синхронному, накапливающемуся
взаимодействию: при этом раскрытие неопределенности
вида sin (-о-) ~2~в формуле (IV.2.7) приводит к линей-
линейному закону нарастания амплитуды второй гармоники.
В общем же случае, при А ф 0, монотонное возрастание
амплитуды происходит только на отрезке 0 ^ х ^ l
где
ьког 9. —
2ш | С! —
(IV.2.8)

§ 2. СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ 91
— так называемая «длина когерентного взаимодействия»
(см. [10]) между волнами ш, 2м. По аналогии можно вве-
ввести когерентные длины /когз, ^Ког4> • • •, Vn. • • •
С помощью выражения (IV.2.8) мы сформулируем,
следуя [10], условие разделения сред на сильно- и слабо-
диспергирующие.
О сильной дисперсии говорят, когда расстояние жр (см.
A.5.2)), на котором в недиспергирующей среде (обладаю-
(обладающей теми же нелинейными свойствами, что и рассматри-
рассматриваемая реальная диспергирующая среда) образуется раз-
разрыв, много больше, чем все /ког„ (за исключением, быть
может, небольшого числа когерентных длин для низших
гармоник, т. е. п ^> 2—3). Случай сильной дисперсии ре-
реализуется в подавляющем большинстве практически инте-
интересных задач: в нелинейной оптике [10], волнах в плазме
[13], в теории поверхностных волн [65, 66] и т. д. Волнам
в сильнодиспергирующих средах посвящена обширная
литература, в которой отражены как физические резуль-
результаты, так и математические методы их получения (см.,
например, обзоры [15, 16]). На этих методах мы коротко
остановимся в гл. VI, где будет рассматриваться случай
сильной дисперсии применительно к проблемам нелиней-
нелинейной акустики.
В тех случаях, когда выполнено обратное неравенство
жр</„огп, (IV.2.9)
о среде говорят как о слабодиспергирующей. Поскольку
для формирования пилообразной волны можно взять ко-
конечное число гармоник N ~ 10, достаточно потребовать
выполнения неравенства (IV.2.9) только для первых
~ N когерентных длин.
Покажем, что условие (IV.2.9) выполняется для среды
с релаксацией. Для этого заметим, что
и неравенство (IV.2.9) накладывает следующее ограни-
ограничение на величину чисел М, т, т. е. на соотношение между
нелинейными и дисперсионными свойствами среды:
тп<.яеМ. (IV.2.11)

92 ГЛ. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
Это ограничение является сильным в том смысле, что
выполнение его гарантирует условие (IV.2.9) для любого
номера п независимо от конкретной формы дисперсионной
характеристики (IV.1.26) и выбранной частоты со первой
гармоники. В дальнейшем при рассмотрении волн в ре-
лаксирующих средах будет всюду предполагаться, что
неравенство (IV.2.И) выполнено. Это предположение поз-
позволит использовать при анализе тот же асимптотический
метод (основанный на факте медленности искажения про-
профиля волны в сопровождающей системе координат), ко-
который применялся ранее в гл. II, III.
§ 3. Распространение конечных возмущений
в релаксирующей среде
Схема получения основных уравнений теории нелиней-
нелинейных волн в среде с релаксацией стандартна и уже исполь-
использовалась в других разделах (см., например, гл. II, § 1).
С помощью нового уравнения состояния (IV.1.19)
из уравнения движения (В.1.4) можно исключить пере-
переменную р'. Затем, переходя в одномерном случае к сопро-
сопровождающей системе координат, отбрасывая малые члены
выше чем второго порядка малости, придем к двум урав-
уравнениям вида (II.1.8), (П.1.9). После освобождения от
членов первого порядка малости и замены во всех членах
второго порядка величины р'/р0 на v/c0 получим одно
нелинейное интегро-дифференциальное уравнение для
переменной V.
^L-^V^^J^A. С IlL eAv-v)h dy' (IV 3 1)
дх c* v эу 2C0 ay ) ay ау \yy-°-1)
0 —oo
Поскольку буква t обозначает характерное время релак-
релаксации, всюду в этой главе бегущая координата будет обоз-
обозначаться через у. у = t — (х!с0). Полезно также иметь
в виду уравнение в дифференциальной форме, которое
следует из (IV.3.1) [56, 67]:
v __е_

§ 3. КОНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В РЕЛАКСИРУЮЩВЙ СРЕДЕ 93
К сожалению, уравнения] (IV.3.1) и (IV.3.2) пока не уда-
удалось решить аналитически. Поэтому анализ процессов
искажения формы волны будет носить преимущественно
асимптотический и качественный характер.
Прежде всего заметим, что в релаксирующей среде мо-
может существовать стационарная волна типа симметрич-
симметричного скачка. Пренебрегая в (IV.3.2) производными по
х, придем к обыкновенному дифференциальному уравне-
уравнению
^4-^ + -тР-зЧ = 0. (IV.3.3)
dy L dy 2т 2s dy J v '
Интегрируя его и определяя константу из условий:
dvjdy -> 0; у -> у0 при у —>- оо, получим
2 2
Щ. — _L _° /TV 3 41
Л/ 2t mco/2e+y ' У >
Решение уравнения (IV.3.4) имеет вид
У + У» =, in A + vlv^'X (IV.3.5)
где г/0 — постоянная интегрирования, а
D = tSt (iv-3-6>
— параметр, учитывающий относительный вклад дис-
дисперсии и нелинейности.
Форма функции v (у) имеет качественно различный вид
для случаев D ^> 1 и D < 1. При Z) ^> 1, что соответ-
соответствует слабым проявлениям нелинейных эффектов (при
этом условие (IV.2.11), вообще говоря, нарушается), вы-
выражение (IV.3.5) сводится к выражению v = yoth (г//2/)тг),
характерному для структуры скачка в обычной
вязкой среде (рис. IV.3, а). Приуменьшении/) (при/) > 1)
форма скачка уплотнения становится несимметричной
относительно среднего уровня (рис. IV.3, б), а при
D < 1 функция v (у) вообще становится неоднозначной
(рис. IV.^3, в). Ввиду^ физической абсурдности такого
положения нужно ожидать, что решение приобретает в
этом случае разрывный характер.

94 ГЛ. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
Разрывные решения дифференциальных уравнений
можно рассматривать как пределы непрерывных решений
более точных уравнений высшего порядка при стремле-
стремлении к нулю значений «паразитных» параметров, являю-
являющихся коэффициентами при высших производных. В слу-
случае релаксирующеи среды в качестве «паразитных»
Сжатие
Рис. IV.3. Одиночный стационарный скачок в релаксирующеи
среде при различных значениях числа D.
процессов естественно учесть влияние сдвиговой вязкости
и теплопроводности, как это делалось при выводе урав-
уравнения Бюргерса. Тогда вместо (IV.3.2) получим
д
ду
dv
~дх
dv
\ V ду
2<>
dv

§ 3. КОНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 95
Пренебрегая производными dvldx, придем к уравнению,
описывающему стационарную волну
| + -i^=0, (IV.3.8)
d2v
тсо
где б = Ь/2есоро. Легко видеть, что при стремлении б
к нулю уравнение (IV.3.8) переходит в (IV.3.4). Наибо-
Наиболее просто проанализировать
поведение решения уравне-
уравнения (IV.3.8) на фазовой пло-
плоскости (v; dvldy) с помощью
метода изоклин [56!.
Обозначая через w^dv/dy,
можно получить уравнение
траекторий на фазовой пло-
плоскости:
dw
~dv
.1
тсо
~2г~
w
2t
(IV.3.9)
Рис. IV.4. Анализ структуры
скачка уплотнения на фазовом
плоскости.
На рис. IV.4 представле-
представлена интегральная кривая, опи-
описывающая структуру скачка
уплотнения в случае малого
значения б,— жирная кривая, а тонкой линией изобра-
изображена изоклина горизонтальных касательных. При боль-
больших значениях производной dvldy уравнение (IV.3.8) пе-
переходит в уравнение
Первый интеграл этого
= - [(v+
уравнения имеет вид dv/dy =
8, где А = -v0 + (тсо/2е) -
константа интегрирования. Из этого соотношения видно,
что интегральная кривая, описывающая разрывное реше-
решение, при 6=0 должна возвращаться из бесконечности в
точку vx, расположенную симметрично v0 относительно

96 ГЛ. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
v = —тсо/2е. Это значение v1 будет значением скорости
сразу за точкой разрыва. Оно равно г\ = v0 — тсо/г.
Полученные уравнения (IV.3.1), (IV.3.2) позволяют
также рассмотреть задачу о распространении периодиче-
периодических возмущений.
Пусть на входе в систему при х = О волна задана в
виде
v = v0 sin coz/. (IV.3.11)
При рассмотрении процесса искажения синусоидального
возмущения удобно в исходных уравнениях перейти к
безразмерным переменным
8 = coz/, о =~ avox, V = -?-. (IV.3.12)
Уравнение (IV.3.1), более удобное для анализа, в этих
переменных приводится к виду
О _ 9—6'
dV V dV П { dV p~~™~df)'
Рассмотрим сначала периодическое возмущение скоро-
скорости с такой частотой со, чтобы выполнялось условие сот<^ 1.
В этом случае уравнение (IV.3.13) может быть упро-
упрощено. В основу упрощения следует положить тот факт,
0П'
0-П'
что экспонента е шт , стоящая под знаком интеграла в
правой части (IV.3.13), при малых сот изменяется гораз-
гораздо быстрее, чем dV/dQ'. Поэтому dV/dQ' можно разложить
в ряд по малому запаздыванию 8' — 8 в окрестности
точки 8:
Подставляя первые два члена разложения (IV.3.14) в
уравнение (IV.3.13) и выполняя интегрирование, получим
0V у 0V
до д*э

§ 3. КОНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 97
— это так называемое уравнение Кортевега — де Вриза —
Бюргерса [17]. Первый член его правой части связан
с наличием диссипации, второй — дисперсии.
Как известно (см., например, [17]), при отсутствии
диссипативного] члена уравнение (IV.3.15) описывало
бы процесс распада (Начального возмущения произвольной
Рис. IV.5. Пульсации у вершины пилообразной волны.
формы на ряд слабо взаимодействующих между собой оди-
одиночных импульсов — солитонов. Наличие достаточно
сильной диссипации приводит к «сглаживанию» процесса
распада, и солитоны могут не образоваться. Именно
этот случай реализуется для волн в релаксирующей среде,
поскольку сот <gS; 1 и первый член в правой части уравне-
уравнения (IV.3.15), как правило, много больше второго.
Тем не менее при не слишком малых сот (сот ^ 1 —
этот случай наиболее труден для аналитического рас-
рассмотрения) и при наличии достаточно крутых перепадов
в профиле волны, на которых d3V/dQ3 ^> 32V/dQ2, дисси-
пативный и дисперсионный члены могут быть сравнимы
по величине. Именно влияние дисперсии, по-видимому,
ответственно за образование слабых пульсаций около
4 О. В. Руденко, С. И. Солуян

98
ГЛ. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
вершины пилообразной волны (рис. IV.5), наблюдаемых
в эксперименте [35].
Для качественного описания искажения волны в пре-
предельном случае сот<§с!1 заметим, что на первом этапе рас-
распространения волны (до момента образования разрыва)
правой частью уравнения (IV.3.15) можно пренебречь.
При этом деформация профиля происходит точно так же,
как и в обычной недиссипативной среде. В окрестности
точки а — 1 пренебрежение релаксационными процес-
процессами уже неправомерно, и форму профиля можно получить
с помощью «сшивания» ста-
стационарного скачка ((IV.3.5),
рис. IV. 3), описывающего
структуру фронта, и прямо-
прямолинейного участка пилообраз-
пилообразной волны [68]:
V.
Ту)
а)
(IV.3.16)
где б = A + ст)/(я/2сот7^) -
безразмерная ширина фрон-
фронта ударной волны. Выраже-
Выражение (IV.3.16) отличается от
решения (II. 2.10) ддянерелак-
сирующей среды только вто-
вторым членом в квадратнойскоб-
ке, где вместо гиперболичес-
гиперболического тангенса, описывающего
структуру слабого разрыва
в среде с обычной вязкостью,
стоит выражение / (щ), взя-
взятое из формулы (IV.3.5). Полученные па основе такого
сшивания профили одного периода волны изображены на
риг. IV.6, а, б для D > 1, D < 1.
Заметим, что влияние релаксационных процессов при
ют ^ 1 приводит лишь к появлению асимметрии волны.
Однако эта асимметрия по мере распространения волны
уменьшается, и на больших расстояниях ударная волна
превращается в синусоидальную.
Рис. IV.6. Профили одного
периода волны в случае пре-
преобладания дисперсионных (а) и
нелинейных (б) свойств
среды.

§ 3. КОНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 99
В другом предельном случае, когда а>т^§>1, для упро-
упрощения уравнения (IV.3.13) нужно заметить, что экспонен-
экспонента g-C-o')'^ B пределах одного периода волны меняет-
меняется незначительно по сравнению cdVldQ' и ее можно раз-
разложить в ряд: 1 -\- (8' — 8)/<ат ¦-{-... Тогда вместо
(IV.3.13) получим уравнение
G5
которое еще более упростится, если перейти к повой со-
сопровождающей системе координат: о*' = о1, 8' — со (t —
— (ж/Соо)), бегущей со скоростью сх:
n\ i~i\ 7I/
° T/ ° * /Л\Т О A Q\
— V ¦'¦, ;- :=L — . (IV.O.lo)
00 aU tOT"
Решение этого уравнения при начальном возмущении
V — sin 8' (при а' — 0) имеет вид [69]
Da' Da' Da'
8' = arcsin (Ve~) - -^ A - e~~ ^") (Ve~). (IV.3.19)
Соотношение (IV.3.19) записано в форме, удобной для
графического анализа. Действительно, отложив по оси
Лз'
абсцисс Veax , а по оси ординат 8' (так, как это делалось
на рис. 1.8 при анализе выражения A.5.1)), можно про-
проследить искажение полного профиля в зависимости
от расстояния, пройденного волной, так как 0' нахо-
находится сложением двух функций — арксинуса и линейной
функции, описывающей прямую с угловым коэффициентом
Z = jjll — е шт ). Угловой коэффициент Z имеет смысл
приведенного расстояния. На расстояниях, соответст-
соответствующих Z~ 1, начинается процесс формирования разрыва,
который заканчивается при Z= л/2. Приведенное расстоя-
расстояние зависит от о* нелинейно, имея характерную область
насыщения, где Zoo = ат/D.
Если начальная амплитуда v0 достаточно мала, так что
на любых расстояниях значение Z < 1, то разрыв не фор-
формируется вовсе. Если же начальная амплитуда столь

100 ГЛ. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
велика, что Z^^>i, нелинейные эффекты вначале прева-
превалируют над эффектами диссипации энергии, и формирует-
формируется ударная волна. Сформированная пилообразная волна
уменьшается с расстоянием по амплитуде. Следует подчер-
подчеркнуть, что хотя волна может иметь разрыв и при очень
больших о*, на расстояниях, удовлетворяющих соотно-
Рэ'
шению еш~ ^g> Z^, процесс распространения описывается
уже линеаризованными уравнениями. В этой области
(в отличие от случая ют<^1) в рассматриваемом прибли-
приближении нет никаких сил, приводящих к расплывапию
сформировавшегося разрыва, и он сохраняется вплоть до
очень больших значений а'.
Наконец, исходя из условия существования разрыв-
разрывных решений Zdo ^> 1, можно определить критическое значе-
значение входной амплитуды vKp. При начальных возмущениях
^о < ^кр разрыв не может сформироваться пи на каких
расстояниях даже в пренебрежении диссипацией энергии.
Критическая величина амплитуды возмущения скоро-
скорости на входе системы, таким образом, определяется из значе-
значения Zx = 1 и равна акр = 2 гтсо/юг.

ГЛАВА V
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
§ 1. Коллинеарное взаимодействие плоских волн
Нарушение принципа суперпозиции возмущений в не-
нелинейной акустике приводит к тому, что исходные волны
могут взаимодействовать друг с другом. Так, например,
если источник звука излучает в среду две волны с часто-
частотами о)г и со2, то на некотором расстоянии от него в среде
появятся, помимо кратных гармоник волн со1; <а2> еЩе
и комбинационные частоты шп1 + т(а2 (где п, т — на-
натуральные числа). В общем случае, при произвольных
со1 и со2, картина движения оказывается весьма сложной.
Однако большинство физически интересных задач может
быть решено до конца.
Этот параграф посвящен рассмотрению процесса вза-
взаимодействия плоских волн, бегущих строго в одном нап-
направлении. В гл. I, II уже говорилось об общих методах ре-
решения такого рода задач. Поскольку уравнение Бюргерса
(П.1.10) описывает искажение начальных возмущений
произвольной формы и может быть решено точно в общем
виде, никаких принципиальных трудностей при рассмот-
рассмотрении волновых взаимодействий такого типа не суще-
существует. Достаточно найти решение уравнения (II.1.10).
при заданном условии на границе, а затем произвести его
гармонический анализ. Однако в силу сложного вида по-
получаемого решения реализация этой схемы часто бывает
сопряжена со значительными математическими трудно-
трудностями. Поэтому целесообразно получать физические ре-
результаты более простыми путями, используя специфику
каждой конкретной задачи.
Рассмотрим вначале процесс взаимодействия двух близ-
близких по частоте плоских волн (а1 ж со2), т. е. проследим

102 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
за деформацией возмущения, заданного в точке х = 0
в виде
v — г;01 cos о^т -f ^02 cos W2T- (V.I.I)
При таком взаимодействии комбинационный тон, соответ-
соответствующий разностной частоте й = w1 — со2, в среде со
стоксовыми вязкостью и теплопроводностью затухает го-
гораздо медленнее взаимодействующих волн (так как й<^ со.2,
(Oj). Это может привести к тому, что на некотором рас-
расстоянии от излучателя интенсивность комбинационного
тона превысит интенсивности исходных волн, т. е. произой-
произойдет смещение спектрального максимума процесса в об-
область низких частот. Совершенно аналогичное явление
должно иметь место и при распространении амплитудно-
модулированного сигнала:
v = v0 A -j- m sin йт) sin сот. (V.1.2)
Возникающая вследствие нелинейных эффектов волна
частоты модуляции Q, слабо затухая, может постепенно
превысить по интенсивности волну несущей частоты.
Поскольку уравнение Бюргерса свободно от ограни-
ограничений на величину числа Рейнольдса, мы рассмотрим
здесь два предельных случая: когда число Рейнольдса
много меньше или, напротив, много больше единицы
[70].
Если Rs<^;l (это физически означает, что интенсив-
интенсивность волн не слишком велика), то, представляя скорость
v в виде ряда v ~ г/1' 4- ^'2> + • • •> можно разбить урав-
уравнение Бюргерса на линейное уравнение первого приб-
приближения (В. 1.32) (для переменной г?A)) и уравнение вто-
второго приближения (П.2.1). Тогда решение уравнения
(В. 1.32), описывающее в первом приближении распро-
распространение волны, излучаемой колеблющейся по закону
(V.1.1) плоскостью, можно записать в виде
= v01 exp | ^f- j cos (oxt + v02 exp | ^-^- ) cos щх.
(V.1.3)
Подставляя выражение (V.1.3) в правую часть урав-
уравнения (П.2.1) и удерживая в полученном выражении

§ 1. КОЛЛИНЕАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН 103
только интересующий нас член, содержащий разностную
частоту Q = о»! — ю2, получаем
Ь
{" 2^ГП
ехр f——— sinQt. (V.I.4)
Решение уравнения (V.I.4), состоящее из суммы частного
решения и общего решения однородного уравнения, мо-
может быть легко найдено (на границе х = 0 требуем v&> = 0):
= ехр ^ — ж - ехр — —г- х\\:<
— Q2)
sinQt. (V.I.5)
Как показывает выражение (V.1.5), амплитуда волны Q
вначале нарастает от нуля (при х = 0), достигает макси-
максимума в точке
К + ш')
а затем убывает; затухание волны определяется коэффи-
коэффициентом поглощения ?>Q2/2coPo, соответствующим разно-
разностной частоте Q.
Отношение амплитуды волны разностной частоты к
корню квадратному из амплитуд исходных волн пропор-
пропорционально выражению
Г («2 + и? - 2W)r 1
ехр Ь — — ехр
L 4coP» J
оно растет с увеличением х. Это означает, что максимум
спектра смещается в область низких частот. При этом ам-
амплитуда волны (V.1.5), являющаяся величиной второго
приближения, может превысить амплитуду г^. Это об-
обстоятельство, однако, не означает здесь неприменимость

104 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
метода последовательных приближений, так как величины
более высоких приближений, как показывает соответствую-
соответствующий расчет, остаются малыми. Простая количественная
оценка отношения амплитуды волны Q, взятой в области
ее максимального значения, к корню квадратному из
произведения амплитуд исходных волн, приводит к вы-
г<2) Q
ряженит — — Re <^tА, т. е. при малых числах Рей-
V V01VC2 Ш
нольдса эффект незначителен.
В случае амплитудно-модулированного сигнала (V.1.2)
вычисления, аналогичные тем, которые проводились выше
для граничной задачи (V.1.1), позволяют получить во
втором приближении решение ..
у __ уB) __ 9 ° \/
2>bofi
г / 6Q2 \ / Ьсо2 \ и ,-. п
X ехр / — х\ — ехр / —х\ cos ilx. (V.1.6)
у \ 2cjjp0 J \ соро )\
В соответствии с решением (V.1.6) при распростра-
распространении амплитудпо-модулированной волны в нелинейной
среде выделяется волна с частотой модуляции, амплитуда
которой сначала нарастает, проходит через максимум, а за-
затем затухает медленнее, чем поглощается волна несущей
частоты. Количественная оценка отношения #шах к ам-
амплитуде одной из волн боковой частоты, взятой у излу-
излучателя, здесь та же, что и в задаче о взаимодействии двух
волн.
Если числа Рейнольдса велики, Re ^§> 1, то в уравне-
уравнениях первого и второго приближений следует опустить
вязкостные члены. Решения второго приближения, опи-
описывающие волну разностной частоты (граничная задача
(V.1.1)) и волну частоты модуляции (граничная задача
(V.1.2)), имеют соответственно вид
Qt, (V.1.7)
va = y(«) = —-° x cos Qt. (V.1.8)
2co

§ 1. КОЛЛИНЕАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН 105
Решения (V.1.7) и (V.1.8) применимы, однако, лишь
вблизи излучателя на расстояниях, не превышающих по
y v0lv02 й
величине отрезка L = cl/eay v0lv02 для граничной за-
задачи (V.1.1) и L = Co/ecoyo для граничной задачи (V.1.2).
На расстояниях х = L формируется ударная волна. Та-
Таким образом, при Re J^> 1 и амплитуда разностной
Рис. V.I. Амшштудномодулированная волна на входе системы
(а) и ее аналог треугольного профиля (б).
частоты и амплитуда частоты модуляции на участке х < L
растут линейно с расстоянием, пройденным волной от из-
излучателя.
Рассмотрим гармоническую компоненту частоты моду-
модуляции на больших расстояниях от излучателя, х ^> L.
Такое рассмотрение невозможно на основе закона, описы-
описывающего пространственное искажение волн. Следуя гл. I,
запишем решение задачи о распространении амплитудно-
модулированных колебаний в виде
сот = — (eax/cl) Ф + Ф"
(V.1.9)
где Ф — функция, заданная в форме (V.1.2) (рис. V.1, а),
а Ф~1 — функция, обратная Ф.

106
ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
Решение (V.1.9), описывающее пространственное иска-
искажение волны Ф, справедливо лишь до тех пор, пока
функция Ф = Ф (ют) однозначно зависит от ют. На таких
расстояниях от излучателя, где однозначность Ф (ют) на-
нарушается, следует вводить линии разрыва, геометриче-
геометрическое условие определения которых сводится, как изве-
известно, к правилу равенства площадей.
На рис. V..2, а (тонкая линия) представлен один
период высокочастотной волны, которая вследствие
Рис. V.2. Один период амплитудно-модулированной волны в об-
области существования разрыва (я) и его аналог треугольного про-
профиля (б).
модуляции несимметрична относительно точки v = 0.
Естественно, что и пространственное искажение обоих
полупериодов такой волны в соответствии с формулой
(V.1.9) различно: искажения пропорциональны амплитуде.
Жирной линией на рис. V.2, а отмечен профиль волны
на некотором расстоянии х от излучателя, а пунктиром
отмечена линия разрыва, определяемая из условия равен-
равенства площадей. Скорость фронта несимметричной слабой
ударной волны может быть вычислена как полусумма
скоростей, обозначенных на рис. V.2, а через vt (ютр) и
v4 (ютр). Тогда
Ч = 4- (yi (fflTp) + v* (cotpI- (V.I.10)

i 1. КОЛЛИНЕАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН Ю7
Рассматривая аналогично второй, третий и так далее
периоды высокочастотной волны, можно найти последо-
последовательность значений, определяющих, по существу, за-
закон смещения нулевых уровней, относительно которых
высокочастотная компонента расположена симметрично.
Переходя к следующему периоду волны модуляции, не-
нетрудно получить ту же последовательность значений г?ф,
которая тем самым является периодической функцией
Qt. Таким образом, определяя значения v$ как функцию
расстояния, пройденного волной от изучателя, мы фак-
фактически найдем закон, описывающий распространение
волны с частотой модуляции ип = % в области существо-
существования периодических ударных волн.
Количественная оценка эффекта наиболее простым
способом может быть произведена путем замены синусои-
синусоидальной волны высокой частоты волной треугольного
профиля, как показано на рис. V.1, б. Пространственное
искажение одного периода такой волны изображено на
рис. V.2 б, где, как и в случае синусоиды, тонкой линией
отмечен первоначальный профиль волны, жирной ли-
линией —¦ профиль волны на расстоянии х от излучателя,
пунктиром — линия разрыва.
Обозначив через vr (ют), v2 (ют) и г>3,4 (<»т) каждый
из линейных отрезков, на которые разбивается в соответ-
соответствии с рис. V.2, б конфигурация волн, найдем скорость
движения фронта по формуле (V.1.10), определяя ютр
из условия равенства площадей:
Vi (<отр) — у3 (ютр) | • /сотр — -?- + 4-
= 1>1 (Л) /—-?- + "V
+ [МЯ)—Мй>Тр)-г-|1>з(С0Тр)|](Я —СОТр). (V.1.11)
Линейные функции v (ют) в соответствии с принятыми
на рис. V.2, б обозначениями могут быть представлены
в виде
JT 8
~2—I й~

108 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
~2~"
- —
.
¦ +
wo A -
av
'•o
— cor
f «2)
ox A + ffi2)
1
I)T A -|- HI 2)
(сот-2я),
где тх= т sin (яй/2со) м т.2 = т sin CnQ/2co). Подстав-
Подставляя соотношения (V.1.12) в уравнение (V.1.11), имеем с
точностью до малых членов порядка т\у.
i — гщ
Я 8
о \2 / / \
— 2яJ — 4 (соТр — я) —
(т2 — тО /-|- + — ®vox\ = 0. (V.I.13)
В том же приближении формула (V.1.10) дает
1 + — iJ (wt n — я).
4 Я ,8 'Р
+
_ -f _ со _
О "О
(V.I. 14)
*
После подстановки решения уравнения (V.1.13) в
(V.1.14) с точностью до малых членов порядка mj, по-
получим
vo (/иг— mi)
Проведенные вычисления справедливы для любого
и-го периода высокой частоты, т. е. при любых пгп —/n.n-!.
Раскрывая разность пгп — тп^1 и заменяя при (Q/co) -^1

§ 1. КОЛЛИНЕАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН Ю9
значение sin(jtQ/2co) значением аргумента, найдем Va — v$:
cos Qx.
(V.I.16)
Значение амплитуды скорости волны с частотой моду-
модуляции, определяемой формулой (V.1.1E), совпадает в
точке х — L со значением амплитуды скорости волны мо-
модуляции, вычисляемой на основе соотношения (V.1.8)
п й
Рис. V.3. Динамика роста волны частоты модуляции.
(с точностью до постоянного коэффициента, что обус-
обусловлено заменой синусоиды высокой частоты волной тре-
треугольного профиля). При дальнейшем распространении
сигнала (х р- L) амплитуда волны модуляции, как видно
из формулы (V.1.16), растет, превышая на бесконечности
вдвое значение амплитуды в точке разрыва, в которой
(Еа>1}ох/сц) = я/2. На рис. V.3 приведена зависимость
амплитуды волпы с частотой модуляции от расстояния,
пройденного сигналом от излучателя.
Таким образом, в нелинейной гидродинамической сре-
среде осуществляется детектирование сигнала. При больших
числах Рейнольдса низкочастотная гармоническая со-
составляющая, нарастая линейно до точки формирования
разрыва, обнаруживает также рост и в области существо-
существования периодических ударных волн. Сравнение амплитуды

110
ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
волны модуляции на больших удалениях от излучателя
{х^> L) с амплитудой одной из боковых частот у источника
излучения приводит к количественной оценке valv^-a =
= jtQ/2co, т. е. при больших Re эффект детектирования
выражен гораздо сильнее.
Значительный интерес представляет также и другая
группа задач, относящаяся к таким возмущениям на
границе нелинейной среды, которые могут быть представ-
представлены в виде совокупности бесконечного числа монохро-
монохроматических волн (сплошной спектр Фурье). Заранее оче-
очевидно, что в результате нелинейного взаимодействия меж-
между гармониками заданный спектр может расшириться в
Рис. V.4. Искажение гауссова импульса в нелинейной среде.
обе стороны: как в сторону более низких, так и в сторону
более высоких частот. Этот процесс имеет довольно слож-
сложный характер, и применять спектральный подход с само-
самого начала, по-видимому, нецелесообразно.
Вместе с тем, как нетрудно заметить, сплошной спектр
может отвечать некоторому регулярному возмущению
Ф (сот), заданному на границе среды. Поэтому удобно
производить анализ нелинейных искажений следующим
образом: вначале отыскать каким-либо способом решение
Ф (ют, а), описывающее деформацию начального воз-

§ 1. КОЛЛИНЕАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН 1Ц
мущения, а затем разложить полученное решение в спектр.
Как было показано в гл. I, II, искажение импульса во
всей области значений а @ < а < оо) можно описать
либо графическим способом (при Re !^e> 1), либо с помо-
помощью уравнения Бюргерса (при произвольных Re).
В качестве примера рассмотрим здесь, как изменяется
сплошной спектр, отвечающий импульсу гауссовой формы
на границе среды Г71]. Искажение формы импульса про-
проиллюстрировано на рис. V.4. Кривые с параметром а =
= 1, 2, 3 на этом рисунке получены с помощью кривой
при а — 0 графическим методом, описанным в гл. I (см.
рис. 1.8); образовавшийся разрыв проводился в соответст-
соответствии с правилом «равенства площадей». Результаты гар-
гармонического анализа кривых рис. V.4 представлены на
рис. V.5.
Рис. V.5. Трансформация спектра гауссова импульса.
Как нетрудно видеть, для а < ор преимущественно
происходит перекачка энергии из низкочастотной части
спектра в высокочастотную. Аналогичные построения
проведены на рис. V.6 для начального возмущения тре-
треугольного профиля в области как до, так и после образо-
образования разрыва.
Анализ искажения треугольного импульса в области
<Т ^> 1 имеет более общее значение, выходящее за рамки

112
ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
данного конкретного примера. Дело в том, что треуголь-
треугольный импульс с крутым передним фронтом является асим-
асимптотически универсальной формой одиночного импульса
для довольно широкого класса начальных возмущений.
Как можно заметить на рис. V.4, профиль гауссова
/
/ /1
^0*^
0=0 0,5 -
w
/
//
'А
i
У
/
/
-* 9 --''•'
t ?." '
^ -* /
/
/
/
У
/
_ ^—
Рис. V.6. Искажение треугольного импульса в нелинейной среде.
Рис. V.7. Трансформация спектра треугольного импульса.
импульса при а = 3 близок к треугольному; в дальнейшем
эта разница еще больше сглаживается. Поэтому и для
него имеет место тенденция сжатия спектра (вызванного
более быстрым затуханием гармоник высокой частоты),
отмеченная на рис. V.7 (этот рисунок представляет собой
спектральный аналог рис. V.6).

§ 2. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА ЗВУКЕ ИЗ
§ 2. Рассеяние звука на звуке
Следуя традиции, установившейся в литературе по
нелинейной акустике, мы будем говорить о рассеянии зву-
звука на звуке в тех случаях, когда колебания комбинацион-
комбинационных частот riWy ± пш3 существуют не только внутри
области пересечения пучков исходных волн с частотами
оI? ш2, но и вне этой области.
Мы покажем, что такое понимание процесса рассея-
рассеяния несколько отличается от других определений, при-
принятых в смежных областях теории волн (например, в не-
нелинейной оптике). Это отличие в терминологии явилось
одной из причин того, что вопрос о существовании эффек-
эффекта рассеяния звука па звуке долго дискутировался в ли-
литературе. Имеется большое количество работ, содержащих
прямо противоположные решения этого вопроса. Обзор
этих работ (среди которых немало ошибочных) не входит
в нашу задачу, но интересующиеся могут без труда вос-
восстановить предысторию проблемы по имеющимся в дан-
данном параграфе ссылкам.
Необходимо также подчеркнуть, что здесь будет идти
речь только о трехфононном (трехволновом) рассеянии
звука на звуке, при котором рассеянная волна комби-
комбинационной частоты (о3 возникает в результате взаимодей-
взаимодействия двух волн с частотами со1? со2. Процессы, в которых
участвует большее число волн (например, четыре), здесь
не рассматриваются.
В предыдущем параграфе уже рассказывалось о вза-
взаимодействии двух плоских волн с частотами ш1; со2, бе-
бегущих в одном направлении. В условиях же эксперимен-
эксперимента, разумеется, невозможно получить идеальные плоские
волны, поскольку реальные излучатели формируют вол-
пу в виде пучка с конечными поперечными размерами.
Поэтому та область, в которой пересекаются волны со1;
ш2, всегда является ограниченной. Величина рассеянного
звука, т. е. амплитуда волн комбинационных частот,
обнаруживаемых вне области взаимодействия, может по-
разному зависеть от размеров этой области. Такое раз-
различие позволяет говорить о возможности существования
двух типов рассеяния звука па звуке, которые мы будем
называть сипхронным и дифракционным рассеяниями.

114 гл. "V. взаимодействие звуковых волн
Для более строгого разграничения этих двух типов
рассмотрим отношения LA; (i = 1, 2, 3), где L — харак-
характерный размер области пересечения; Xv А,2, Я3 — длины
волн с частотами u>v ш2, со3. Если считать, что пучки
волн (dj и со2 идеально коллимированы и имеют резкие
границы, то Ь/Х1 ^> 1 и 1Д2 ^> 1 — иначе начнет ска-
сказываться дифракционная расходимость пучков (см. гл. IX).
Однако при этом величина отношения L/X3 может быть
как больше, так и меньше единицы. Если Ы'к3 ^ 1, т. е.
размеры области пересечения пучков сравнимы с длиной
волны А,3, начинает играть роль дифракция комбинацион-
комбинационной волны. Явление дифракции в этом случае и приводит
к появлению волны с частотой ш3 вне области взаимодей-
взаимодействия. Естественно поэтому такое «рассеяние» назвать
дифракционным. Очевидно, что увеличение размеров L
области взаимодействия при прочих неизменных услови-
условиях приведет к возрастанию отношения ЫК3, дифракция
волны со3 будет при этом сказываться мало и явление долж-
должно исчезать.
Определение второго типа рассеяния — синхронного —
соответствует термину- «рассеяние» в его обычном по-
понимании. Поскольку в результате взаимодействия волн
cox, со2 внутри области их пересечения возбуждаются вы-
вынужденные волны комбинационных частот, в принципе
возможно излучение из этой области. Необходимо только,
чтобы существовало такое направление, вдоль которого
«вынужденные» распределенные источники могли синх-
синхронно возбуждать вторичную комбинационную волну.
Однако в обычных акустических средах без дисперсии
такого направления не существует и синхронного рассея-
рассеяния звука на звуке нет.
Для того чтобы это показать, предположим, что пучки
волн coj, ш2 пересекаются под произвольным углом 0,
как это изображено на рис. V.8. Ось х направим вдоль
первого из пучков. Тогда в линейном приближении для
возмущения плотности среды р' имеем
р' =
+ p'2sJnw2 (t — -^-

§ 2. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА ЗВУКЕ
113
В результате наличия квадратичной нелинейности L2 [p' ]
в правой части волнового уравнения для рассеянной
волны, наблюдаемой под некоторым углом ср к оси х,
появится «вынужденная сила» на частоте сох — со2:
0B С0 a
= — /1 sin
— co2) t — ~^-(щ — co2 cos 9) + -^-co2 sin 9 j .
(V.2.2)
Здесь ц __ пространственная координата, отсчитываемая
вдоль направления угла ср. Уравнение типа (V.2.2) уже
обсуждалось в гл. IV, § 2;
было показано, что линей- Ул
ный рост р' с координатой
т) возможен только в том
случае, если фазовые ско-
скорости «вынуждающей» и
«собственной» волн равны
между собой (т. е. выпол-
выполнено условие синхрониз-
синхронизма). В данном случае нуж-
нужно потребовать, чтобы
&ш,ш = (М1 — СО.,J/с'о, ИЛИ
(сох — со2 cos 8J -f
4-(со2 sin 0J = (coj— со2J.
(V.2.3)
Нетрудно видеть, что условие (V.2.3) выполняется
лишь при 0 = 0, когда имеет место коллипеарное распро-
распространение всех трех волн: сох, со2, сох — со2 (т- е- это взаи-
взаимодействие волн, а не рассеяние). В противном случае,
0 ^ь 0, условие синхронизма не выполнено, появляются
пространственные биения (см. рис. IV.2), и амплитуда р'
рассеянной волны не может стать значительной по вели-
величине.
Отсутствие синхронного рассеяния в недиспергирую-
щей среде можно показать еще проще, если прибегнуть
к помощи фононных представлений. Процесс образования
Рис. V.8. Пучки волн, пересека-
пересекающиеся в плоскости х, у под уг-
углом 6.

llfi ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
фонона комбинационной (например, суммарной) частоты
должен удовлетворять законам сохранения энергии и
квазиимпульса:
Scoj + %щ = Йю3, hki + 1i&2 = Tikz. (V.2.4)
Поскольку дисперсии нет, | fcj | = <uJc0 (i = 1, 2, 3), и
вместо (V.2.4) получаются простые соотношения
сох + щ = со3, е^\ + е.гщ = е3со3, (V.2.5)
где ех, е2, е3 — единичные векторы в направлении рас-
распространения волн w1, o).2, оK. Очевидно, что система
(V.2.5) совместна только тогда, когда ех || е21| е3; в про-
противном случае фононы не могут, эффективно взаимодей-
взаимодействовать между собой.
Выяснив, что в недиспергирующеи среде синхронного
рассеяния нет, рассмотрим некоторые особенности диф-
дифракционного рассеяния звука на звуке, следуя в основном
работам [72, 73].
В качестве исходной системы уравнений воспользуем-
воспользуемся уравнениями Эйлера (В.1.1) — (В.1.3), которые вы-
выпишем с точностью до членов второго порядка малости
включительно:
^¦ + Podivt;=-div(p'«), (V.2.6)
до ¦¦> , , dv , cl (T — 1)
Ро-^+ c^VP = — Р -и — Po(vv)*' — ——~>—VP2-
(V.2.7)
Из уравнения (V.2.7) переменная^', как обычно, исклю-
исключена с помощью приближенного уравнения состояния
р' = dp' +с20 (у - 1)р''/2р0. Систему (V.2.6), (V.2.7) удоб-
удобно свести к одному уравнению; для этого надо взять div
от обеих частей уравнения (V.2.7) и вычесть из этого
уравнения (V.2.6), предварительно продифференцирован-
продифференцированное по времени:
(V.2.

§ 2. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА ЗВУКЕ 117
Если не учитывать нелинейные члены второго порядка
малости, стоящие в правой части (V.2.8), придем к обыч-
обычному волновому уравнению, описывающему распростра-
распространение невзаимодействующих друг с другом волн (av co2:
I f_
4- у, cos9-sin со» | t — cos0 — sin 0 )
1 " \ Co A) /
v,, = 1-2 sin 0-sin со, [t —cos 9 — sin9 ) , (V.2.9 ;
p' = -^ vx sin oh It —
+ ±!L у, Sin co2 ft __^cos0 — ^-sin0) .
Co "¦ \ Co Co /
Используя выражения (V.2.9) в качестве решения первого
приближения и подставляя их в правую часть уравнения
(V.2.8), можно получить уравнение второго приближения
следующего вида:
(V.2.10)
Правая часть этого уравнения
— ^Щ — -^-г Ро ((И1 — игJ cos 0 — cojox-, (I — cos 0J +
+ ^j— (coj — 2ш1со.2 cos 0 + tog)} x
X cos (fflj — co2) t — ('j)i — co2cos6) -f -—(o2sin0 (V.2.11)
играет роль источника вторичных волн с плотностью q,
появляющихся в результате взаимодействия. В выраже-
выражении (V.2.11) сохранена компонента «вынуждающей силы»
только на разностной частоте Q = (Oj — со2.
Рассмотрим вначале более простой случай 0 = 0, ког-
когда исходные пучки распространяются в одном направле-
направлении. Длину области взаимодействия вдоль продольной
оси х можно ограничить специальным акустическим

118 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
фильтром, непрозрачным для частот ш1, ш2 и прозрачным
для рассеянных сигналов. При 0 = 0 выражение (V.2.11)
примет более простой вид
2c*
2cos Q (t — — ) . (V.2.12)
После несложных преобразований формула (V.2.12), ес-
естественно, может быть сведена к правой части уравнения
(V.1.4).
Как известно, решение уравнения (V.2.10), определяю-
определяющее вторичное поле вдали от области взаимодействия —
в некоторой точке М (ж, у, z) в момент времени t — пред-
представляется в виде запаздывающего потенциала
где г — расстояние между точкой М' в области пересече-
пересечения и точкой М наблюдения:
г = У(х — x'f + (у — у'у + (z — z')z яг; г0 — ж' -^- —
— у'— — z'— . (V.2.14)
Здесь г0 = ]^х2 + г/2 + z2 — расстояние от начала коор-
координат до точки наблюдения (см. рис. V.9). Введем для
удобства вспомогательную сферическую систему коор-
координат, полярная ось которой совмещена в осью х; сфе-
сферические и декартовы координаты точки М связаны меж-
между собой следующими соотношениями:
х = r0 cos ф, у = r0 sin ф cos ip, z = r0 sin ф sin ip.
(V.2.15)
Подставляя в формулу (V.2.13) выражение (V.2.12) для
плотности источников и полагая в амплитуде подынтеграль-
подынтегрального выражения г = г0 (для фазовых членов необходимо
использовать более точное разложение (V.2.14) и (V.2.15)),

§ 2. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА ЗВУКЕ
119
придем к следующему интегралу:
Р^(фИ|,) ™ 2!L21 * L' Т dy'{ dz'- cosfQ lt-*-
po VT'Ty 2 со со AVoJ J J J L \ fo
0 —a/2 —b/2
+ ж' — (cos ф — 1) + y' — sin ф ¦ cos i|3 + z' — sin m sin ip .
Co Co Co J
(V.2.16)
Здесь Л = 2nco/Q — длина волны рассеянного звука;
интегрирование ведется по области пересечения пучков
Рис. V.9. Вспомогательная сферическая система координат
с полярной осью, совмещенной с осью х.
волн с частотами (Oj, со2 : 0 <^ х ^ /, —а/2 <^ у <С а/2,
—b/2 <^ z ^ Ь/2. Вычисляя интеграл (V.2.16), получим
следующий результат:
р'('2' __ яг vx
abl
( Г ь 1
sin я —г- sin ф • sin i|)
2 С2 Л2г0 I b
о I я —.г- sin ф sin i|)
X
X
Га I Г Z
sin я -д- sin ф cos 1|з sin я -д- A — cos ф)
Я —г- sin ф cos \p
г
я -д- A — cos ф)
(V.2.17)

120 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
Как и следовало ожидать, для Л <^ a, b, l рассеяния
па достаточно большие углы не происходит, так как в
этом случае решение (V.2.17) стремится к нулю при
Л -> 0. Эффект носит дифракционный характер и заме-
заметен при длинах волн Л, сравнимых с размерами области
взаимодействия. Рассеянное излучение имеет направ-
направленность; зависимость р'<2> от углов ср, я|) описывается
множителями типа (sin |)/Е, заключенными в решении
(V.2.17) в фигурные скобки. Главный максимум рассеян-
рассеянного звука соответствует ф = 0, т. е. приходится на на-
направление оси х.
Теперь перейдем к рассмотрению более сложной си-
ситуации, когда угол 0 между осями двух скрещивающихся
пучков не равен нулю (см. рис. V.8). В том случае, если
взаимодействуют волны с близкими частотами <лг та ш2,
наглядное представление о распределении источников
рассеянных волн можно получить с помощью картины
муара, которая возникает при наложении под некото-
некоторым углом двух дифракционных решеток с близкими пе-
периодами, каждый из которых соответствует плоской волне.
Как показано на рис. V.10, в области пересечения по-
появляются черные и белые муаровые полосы, определяю-
определяющие положение источников равной фазы. Поскольку ре-
решетки находятся в движении, движутся и муаровые поло-
полосы со скоростью с = с0 (Я2 — hj)/V A,j -f-^l — 2ЯХЯ2 cos 8 <^
<^ с0. (Если бы имела место противоположная ситуация:
с > с0, вторичные источники двигались бы со сверхзву-
сверхзвуковой скоростью. Вследствие этого могло бы наблюдаться
явление, аналогичное черепковскому излучению, когда
источники синхронно возбуждают волну под некоторым
углом к направлению своего движения *).)
С помощью рис. V.10 можно дать качественное описание
зависимости уровня рассеянного излучения от угла пере-
пересечения пучков, имеющих поперечные размеры а. Если
угол 0 мал, 0 <^ A,lj2/2a, в области взаимодействия ук-
укладывается только одна «зона Френеля», т. е. фазы вто-
вторичных источников изменяются мало. В этом случае
должно наблюдаться максимальное рассеяние примерно
такого же уровня, как и при 0 = 0. С увеличением 0
*) Такая -ситуация встречается в нелинейной оптике [135].

§ 2. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА ЗВУКЕ
121
I
о
а
о
о
Ч
о
В
о
а
о
н

122 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
увеличивается число зон внутри области взаимодействия
и уменьшаются размеры каждой из зон; вследствие этого
падает и уровень рассеянного звука.
Для колргаественного рассмотрения явления необходимо
вычислить интеграл (V.2.13) при тех же самых предполо-
предположениях, что и в случае 0 = 0; нужно только вместо
(V.2.12) воспользоваться более общим выражением (V.2.11).
В результате расчета можно получить следующее решение:
po
_
- 2 ca AV0 [6
c
3 J l
co/'J
Здесь для простоты положено ip = 0, т. е. рассеянное поле
рассматривается лишь в плоскости (х, у). Через б, р
обозначены выражения
б = -к- [(fcj — fc2) cos ф — (&i — fc2 cos 9)],
(V.2.19)
p = -|- f(/iX — fc>) sin ф + k.2 sin 8].
Решение (V.2.18) справедливо для произвольных углов
0, в том числе и для случая 0 = 0, когда взаимодейст-
взаимодействуют параллельные звуковые пучки. Результат (V.2.18)
при этом согласуется с (V.2.17). Из выражения (V.2.18)
видно, что значение амплитуды рассеянного сигнала для
0 = 0 в максимуме (ф = 0) будет максимальным по срав-
сравнению со случаями других углов 0. Анализ этого выра-
выражения показывает также, что для высоких и близких частот
со1; со2, когда на поперечных размерах области пересече-
пересечения укладывается много длин волн исходных колебаний Хх и
Я2, р';2) резко убывает с ростом угла 0. В то же время
при малых 0 < Кь 2/2а амплитуда р будет близка к
величине, которая достигается при 9 = 0. Это полностью
согласуется с выводами, следующими из рассмотрения
физики явления.
В заключение этого параграфа рассмотрим вопрос о
возможности существования в акустических средах син-
синхронного рассеяния звука на звуке. Поскольку диспер-
дисперсия скорости звуковых волн, как правило, мала, на пер-

2. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА ЗВУКЕ
123
вый взгляд кажется, что и синхронное рассеяние будет
наблюдаться под малыми углами, т. е. эффект практиче-
практически не отличается от коллинеарного взаимодействия. Мож-
Можно показать, однако, что для случая пересечения двух
волн с близкими частотами сох ж со2 угол ф, под которым
будет наблюдаться рассеянная волна разностной частоты,
может иметь заметную величину.
В качестве одного из конкретных физических механиз-
механизмов, ответственных за наличие слабой дисперсии,
рассмотрим релаксационные процессы [64]. Пусть в релак-
сирующей нелинейной среде под углом В пересекаются
два интенсивных звуковых
пучка с частотами со2, а>2,
как это показано на рис.
V.8. Будем считать, что
для исходных частот вы-
выполнено неравенство со:,
ftJ!Sg>l/T, т. е. внутренний
параметр g «заморожен», и
скорость волн (й2, сог рав-
равна Ссо (подробнее об этом
см. в гл. IV). Для разно-
разностной же частоты мы потре-
потребуем Qt <C 1, т. е. для час-
частот порядка Я дисперсией
скорости звука пренебрегать нельзя; фазовая скорость
волны Q равна с (Qt)
х
Рис. V.11. Схема определения
угла ф при синхронном взаимо-
взаимодействии.
Для того чтобы взаимодействие трех волн оэ,
со.,.
Q = со2 — <й2 было эффективным, необходимо потребовать
выполнения условия синхронизма (V.2.4), которое в дан-
данном случае нужно записать в виде
^7 Tf СОх С02 оа /~\ 7" О ОГ~1\
i —"*~ К"у '—¦ -t\- * ИЛИ с/! ^~^~ — с>о ' ~ — &я ^~~~ • \ V . lj • lj\J )
Как следует из (V.2.20), три волновых вектора kv k2, К
при синхронном взаимодействии должны образовать зам-
замкнутый треугольник, изображенный на рис. V.11. По-
Поскольку | к11 ж | к21, элементарные геометрические по-
построения рис. V.11 показывают, что угол ф может быть
не мал даже при малой дисперсии т = (с% — c\)/cl.

124 гл. v. взаимодействие звуковых волн
Более точные оценки для величины угла ф будут получены
ниже в результате вычислений.
Вывод основного уравнения для случая среды с ре-
релаксацией аналогичен выводу уравнения (V.2.8) с той
лишь разницей, что переменную р' здесь нужно исключить
с помощью уравнения состояния (IV. 1.20). Полученное
уравнение имеет вид
(V.2.21)
где —4nq дается формулой (V.2.11); в последней надо лишь
заменить всюду с0 на с^. Осциллирующий множитель
cos
(щ — оJ) t — (Ml _ М2 cos 0) -f ¦!!— щ sin Э
выражения (V.2.11) показывает, что рассеянная волна с
частотой Q = сох — со2 в принципе может наблюдаться в
направлении, определяемом вектором
jr _ . coi — со2 cos 9 _ . согэш 9 у „ qon
го *"зо
Для того чтобы получить информацию о поведении ампли-
амплитуды рассеянной волны по направлению К, ориентируем
вдоль вектора К новую ось ц. В результате этого вместо
(V.2.11) в правой части уравнения (V.2.21) появится
следующее выражение:
- Алд = ^1 роА ф,щ, oj2) cos Q U - т Л.) ; (V.2.23)
где у = V <л\ -\- ©2 — 203^^@2 cos Э/(со1 — со2); для крат-
краткости через А (Э, со1; со2) обозначено то выражение, ко-
которое в формуле (V.2.11) заключено в фигурные скобки.
Ищем решение уравнения (V.2.21) с правой частью
(V.2.23) в виде р'B) = с (т)) exp (iQt). Используя факт
малости константы т, получим приближенно следующее

2. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА ЗВУКЕ 125
выражение:
р'B) __ ViV2_A(Q, coi, co2)
0
[-<?(<+*
^T11)} (V'2-24)
где
9 Л »l I ¦ "lilt ,лт г, р.-.
а = ! - TW + l ГТЖ5. (V-2.25)
которое позволяет проанализировать поведение рассеян-
рассеянной волны как при выполнении условия синхронизма,
так и при наличии расстройки. Синхронизм выполняется
при условии
1 + 2(rfW) = Т. (V-2.26)
что возможно при вполне определенном, малом значении
угла Э = Эс, где
Формула (V.2.27), в частности, показывает, что дисперсия,
создаваемая в среде процессами релаксации, в случае
(OjT ;?>> 1, со2т ^> 1 не может привести к рассеянию волны
суммарной частоты. Действительно, заменяя в формуле
(V.2.27) всюду со2 на — со2, получим Эс < 0, что невозмож-
невозможно. Рассеянная волна разностной частоты должна наблю-
наблюдаться под углом ф, для которого
tg<p=^-^ (V.2.28)
и, с учетом формулы (V.2.27),
Как следует из выражения (V.2.29) и векторной диа-
диаграммы, изображенной на рис. V.11, угол рассеяния вол-
волны Q может быть не малым по величине, что удобно для
наблюдения эффекта.

126 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
При выполнении условия синхронизма решение
(V.2.24) принимает вид
l\), (V.2.30)
ро 2cl V со / v '
что совпадает с (V.1.7). Если же условие синхронизма
не выполняется, то, как видно из решения (V.2.24), по-
появляются характерные биения, пространственный период
которых зависит от величины расстройки.
В предельном случае т —>¦ 0 или т —»- ос мы имеем не-
диспергирующую среду. Тогда Эс = 0, т. е. взаимодейст-
взаимодействие возможно только в параллельных пучках, и ф = О,
т. е. рассеянная волна будет наблюдаться в направлении
оси х.
Помимо процесса релаксации к появлению эффекта
синхронного рассеяния звука могут привести и другие
причины. Если, например, распространение интенсивных
волн сопровождается значительной передачей их импуль-
импульса среде, возникают акустические течения (см. гл. VIII).
Конфигурация и величина скорости акустического потока
сильно зависят от геометрии системы, однако для просто-
простоты мы будем считать, что течение возникает лишь внутри
области, занятой пучком со: со скоростью uv и внутри
области, занятой вторым пучком — со скоростью щ.
Выкладки, аналогичные проделанным выше, приводят
здесь к следующему волновому уравнению:
Др B) - — -^- = —^- А (8, сох, со2) cos \ilt -
— 77 (?i«i — ?2«2 cos 9) + т^ ^2»2 sin el , (V.2.31)
где Si = 1 — ujco, t,2 — 1 — ujco — слабо отличаю-
отличающиеся от единицы числа, учитывающие влияние движения
среды на скорость распространения звука. Для того чтобы
имело место излучение волны разностной частоты, не-
необходимо потребовать Q = с0 | К [, откуда следует
tg "р = -

§ 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 127
Как и в предыдущем случае среды с релаксацией, здесь
невозможно рассеяние волны суммарной частоты. Эффект
рассеяния будет осуществляться и в том случае, если
течение наложено извне, т. е. носит неакустический ха-
характер.
В заключение следует отметить, что в настоящем па-
параграфе для вычисления рассеянного поля всюду при-
применялся метод последовательных приближений. Как мы
подчеркивали ранее, этот метод несвободен от существен-
существенных недостатков. Прежде всего, он не учитывает нелиней-
нелинейных искажений и истощений волн a>v co2, которые могут
быть существенны при больших числах Рейнольдса. Но
именно в этом случае должен быть максимальным и эффект
рассеяния, поскольку и искажение, ж рассеяние своим
происхождением обязаны одной и той же нелинейности.
Было бы интересно получить аналогичные результаты
для Re ^> 1 с помощью метода, находящего применение
при описании искажения ограниченных звуковых пучков
(см. гл. IX). По-видимому, из-за значительных математи-
математических трудностей эта задача может быть решена только
численно.
§ 3. Стоячие волны конечной амплитуды
До сих пор при описании движения сплошной среды
использовался способ Эйлера, в котором все величины
считаются функциями координат х, у, z неподвижного
пространства и времени t. Таким образом, эйлерово опи-
описание позволяет следить за движением различных частиц
жидкости в определенных точках пространства.
Возможен принципиально иной (лагранжев) способ сле-
слежения за средой, индивидуализирующий частицы среды
посредством выбора начальных (при t = t0) координат
частицы х0 = а, у0 = b, z0 = с в качестве независимых
переменных. При этом текущие координаты частицы х,
у, z будут являться функциями от своих начальных зна-
значений а, Ь, с и времени t.
Как ясно уже из определения, лагранжевы координаты
а, Ь, с, t удобны для задания граничных условий; именно
поэтому в нелинейной акустике они преимущественно
употребляются при описании стоячих волн.

128 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
Уравнения гидродинамики в форме Лагранжа отлича-
отличаются от уравнений в форме Эйлера. Для того чтобы про-
проиллюстрировать технику перехода от одних координат
к другим, рассмотрим вывод уравнений неразрывности и
движения.
Пусть при t = t0 плотность некоторой частицы среды
есть р0, тогда масса среды, находящаяся в объеме dV =
= dadbdc, будет paFiia dm — podadbdc. В последующий
момент времени t эта масса будет выражаться соотноше-
соотношением dm = pdxdydz. Отсюда
podadbdc = pdxdydz. (V.3.1)
Поскольку х, у, z являются функциями а, Ъ, с, t, можно
написать
dx = xada -f Xbdb -f xcdc -\- xtdt; (V.3.2)
аналогично выразятся dy и dz. Заменяя в соотношении
(V.3.1) dx, dy, dz через их выражения (V.3.2), получим
уравнение неразрывности в форме Лагранжа:
Ро==Р
та
Уа
Z
а
xi
Zb
X
У
(V.3.3)
Уравнение движения при отсутствии внешних сил имеет
простой вид
P (V34)
Здесь В = {х, у, z} — радиус-вектор лагранжевой части-
частицы; операция V производится по координатам х, у, z.
Однако это уравнение значительно усложняется при заме-
замене производных по х, у, z производными по а, Ь, с. По-
Поскольку, например, для др/дх имеем
др п да _i_ п db _l т, дс Ра л- Рь л. Ре /v ч ^
(X О С
(аналогичные выражения получаются и для др/ду, dpldz),
уравнение (V.3.4) становится нелинейным. С помощью
(V.3.5) и (V.3.3) оно может быть сведено к следующей

§ 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 129
системе:
*ttxa + УиУи + ZttZa + -у- = О,
+ УиУъ + zttzb + -^- = О, (V.3.6)
+ УПУС + ZttZc + -у- = 0.
В акустике часто используется такая форма лагранже-
вых уравнений, где в качестве зависимых переменных
берутся смещения ?, r\, Z, из начального положения а,
Ь, с. Тогда
х = а + Ъ(а, Ь, с, t), у = Ъ + г\ (а, Ь, с, t),
(V.3.7)
z = с + I (a, b, с, t).
С помощью замены (V.3.7) уравнения (V.3.3) и (V.3.6)
могут быть преобразованы к более удобному виду. Однако
в многомерном случае они все еще остаются достаточно
сложными и поэтому используются редко. Простой вид
эти уравнения приобретают для плоского движения:
рA+У = Ро, (V.3.8)
Ро-?„ + Ра = О. (V.3.9)
С помощью адиабатического уравнения состояния можно
получить рп = СоРа (p/po)Y ' и исключить в последнем
уравнении переменную р:
Дифференцируя теперь (V.3.8) по а, придем к соотноше-
соотношению 1,аа = — раро/ра, которое вместе с (V.3.8) позволяет
избавиться в (V.3.10) от переменной р и получить одно
нелинейное уравнение
описывающее волны, бегущие в обе стороны — как вправо,
так и влево,— и их взаимодействие между собой.

130 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
В том случае, если жидкость является вязкой, то вол-
волновое уравнение приобретает сложный вид. Однако на
основе качественных соображений часто дополняют урав-
уравнение (V.3.11) диссипативным членом, содержащим стар-
старшую производную:
Е»~ AДГ1^+-^- (V-3.12)
При малых |а <^ 1 пользуются уравнениями, полученны-
полученными из (V.3.11) разложением члена A -\- D~(Y+1) в степен-
степенной ряд:
I» = cl [1 - (т +.1) 1а + (Т + 1}2(Т + 2) И - • ¦ •] laa. (V.3.13)
Для точного перехода от лагранжевых координат к
эйлеровым необходимо располагать явными решениями
уравнений. В нелинейной акустике, однако, часто поль-
пользуются приближенным переходом. Так, если задана не-
некоторая функция L(x,t) в лагранжевых координатах, а
смещение равно ?, то
L (х, t) = Е (х + U) = Е (х, t) + %ЕХ + Ц- Ехх + . ..,
(V.3.14)
где Е (х, t) — значение этой же функции в координатах
Эйлера. Обратное преобразование имеет вид
Е (х, t) = L(x — t t) = L (a, I) - Ца + Ц- Laa + ... (V.3.15)
Займемся теперь непосредственно рассмотрением стоя-
стоячих волн. Поскольку это явление стоит ближе скорее к
колебательным, нежели к волновым процессам, естест-
естественно предположить, что асимптотические методы, приме-
применяемые в теории колебаний нелинейных систем с сосредо-
сосредоточенными параметрами, могут быть эффективны и здесь.
Вопрос о сведении колебаний акустических систем, яв-
являющихся всегда системами с распределенными парамет-
параметрами, к колебаниям системы с сосредоточенными пара-
параметрами, по-видимомому, может быть разрешен, но он до
сих пор не рассматривался [74]. Основным и, пожалуй,

§ 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 131
единственным методом решения уравнений (V.3.11) —
(V.3.13), который до сих пор применялся при изучении
етоячих волн конечной амплитуды, был метод последова-
последовательных приближений. Представляя смещение ? в виде
?W -|- 1B' + • • ч можно получить уравнения первого
^4 = 0 (V.3.16)
да? С2 dt2 \ '
и второго
даг с2 дп да да? ' ' '
приближений (для случая среды без диссипации). При
задании начальных и граничных условий нужно учесть
специфику задачи, допускающей несколько различных
постановок.
Рассмотрим вначале собственные колебания. Пусть
между двумя неподвижными жесткими стенками, рас-
расположенными при а = 0 и а = I, задано звуковое поле
в начальный момент t = 0. Требуется определить воз-
возмущение во все последующие времена [75]. При наличии
жестких стенок граничные условия имеют вид
g(i) = |B) = 0 при а = 0 и й = /. (V.3.18)
В качестве начального условия выберем стоячую
волну обычного синусоидального вида между этими гра-
границами. Таким условиям удовлетворяет решение первого
приближения
!« = A sin ка- sin ©it, (V.3.19)
где к = со/с0) а © определяется из условия I = Я/2 =
= ясо/ю. Вычисляя через ?W правую часть в уравне-
уравнении (V.3.17), получим
2е -^ -^- =-- - -у- к*A2 sin 2*а A - cos 2arf). (V.3.20)
Общее решение уравнения второго приближения с
правой частью (V.3.20) находится просто и имеет вид
|B) = -| кА2 sin 2ка A —сой sin 2at 4- Dj sin 2at + D2 cos 2cof).
(V.3.21)

132 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
Здесь Dx и D2 — произвольные константы. Переходя от
смещения !¦ к колебательной скорости v = d%ldt и выби-
выбирая Dv D2 таким образом, чтобы при t — 0 г/2> равнялось
нулю и отсутствовали бы ненарастающие члены, осцил-
осциллирующие с частотой 2со, получим
— = — sm ka ¦ cos at т- —) sm Ika ¦ ш • cos 2cor.
Co со 4 \ со /
(V.3.22)
Как нетрудно видеть, происходит нарастание ампли-
амплитуды второй гармоники. Это явление имеет ясный физи-
физический смысл [75]. В самом деле, уравнения гидродина-
гидродинамики могут быть выведены из статистической теории как
некоторое ее приближение и должны обладать существен-
существенными ее свойствами. Как видно из граничных условий,
рассматривается замкнутая система; рано или поздно
она должна прийти к равновесному состоянию, и получен-
полученное решение есть первый шаг к его установлению. Это
осуществляется как раз вследствие того, что система
нелинейна. Однако решение (V.3.22) справедливо в пре-
пределах лишь очень малого отрезка времени.
Для получения более физичного результата предполо-
предположим, что в резонаторе могут взаимодействовать только
две основные моды, и будем искать решение уравнения
(V.3.12) в следующем виде:
I = Аг (t) sin ka + А2 (t) sin 2ka. (V.3.23)
Собирая выражения, стоящие при sin ka и sin 2ka, при-
придем к двум уравнениям
(V.3.24)
Если считать далее, что нелинейные и диссипативные чле-
члены в уравнениях (V.3.24) малы (~ \i), то решение можно
приближенно искать в форме
Ax{t) = B
Аг @ = В2 (lit) ei2ai + к.с. (V.3.25)

§ 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 133
Здесь Bi и В2 — медленно изменяющиеся комплексные
амплитуды первой и второй гармоник. Сохраняя всюду
члены не выше первого порядка малости, получим
dBl ' Ъ k*B = — imkB\Bt,
dt ' 2ро
(V.3.26)
В уравнениях (V.3.26) удобно перейти к действительным
амплитудам и фазам. Полагая для этого В\ = Ci exp (iSj),
В2 = С2 exp (iS2) вместо (V.3.26) имеем следующую си-
систему:
4^ JL k*Ci = - eakdd sin Д,
4^
at
l + JL- ikC2 = гак A
= гак A sin Д, (V.3.27)
Здесь А = 2S1 — S2. Уравнения (V.3.27) образуют систе-
систему укороченных уравнений, широко применяемую в не-
нелинейной оптике [10]. Как известно, получить аналитиче-
аналитическое решение уравнений (V.3.27) при Ъ ^ 0 не удается.
Поэтому пренебрежем затуханием гармоник — положим
Ъ = 0. Из первых двух уравнений (V.3.27) при этом полу-
получается интеграл энергии:
С\ (t) + ACl (t) = const, (V.3.28)
что естественно, так как рассматривается взаимодействие
только двух мод. Для нахождения решения удобно подста-
подставить первые два уравнения системы (V.3.27) в третье:
dt sin A dt
Уравнение (V.3.29) легко интегрируется, что позволяет
получить следующее выражение;
С\Сг cos А = С\ @) С% @) cosA @). (V.3.30)

134 гл. v. взаимодействие звуковых волн
Если положить С2 @) = 0 при t = 0, то из (V.3.30) сразу сле-
следует: cosA = 0, А = + -у + 2ятг. Третье уравнение (V.3.27)
показывает, что для таких А производная dA/dt равна
нулю, т. е. это значение А сохраняется: Вся же система
(V.3.27) для случая А = л/2 (когда нарастание идет
наиболее эффективно) приводится к виду
= eeoft-^f- . (V.3.31)
При наличии интеграла (V.3.28) можно воспользоваться
лишь одним из уравнений (V.3.31) (например, вторым)
и получить
jt — ^» i л ^a i • (V.0.32)
Отсюда имеем
Сг (t) = -^P- th [4- eAd @) at I ,
L J (V.3.33)
C\ (t) = Cx @) ch [-i- efcd @) oa<] .
Решение (V.3.33) изображено на рис. V.12. Как видно
из рисунка, при t ->- оо происходит полная перекачка
энергии во вторую гармонику. Этот результат есть след-
следствие нашего предположения о том, что взаимодействуют
только две моды. На самом же деле, если не принять спе-
специально мер для подавления высших гармоник, закон
нарастания С2 (t) будет иметь более сложный вид, чем в
(V.3.33). Полученное решение также справедливо для
небольших отрезков времени, пока С2 <§: С\.
Тем не менее решение (V.3.33) позволяет оценить
характерное время изменения С2 (t), которое оказывается
равным (гкСх @) со). Это большая величина, поскольку
ACj @) = 2пСг @)А <^ 1 (смещение во много раз меньше
длины волны), и нарастание С2 (Й оказывается медленным
по сравнению с периодом осцилляции. Интересно отме-
отметить, что полученное характерное время совпадает со
временем образования разрыва.

§ 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
135
Переходя от ? к колебательной скорости v, имеем
— = — sin ка ¦ ch [4- екСг @) at] cos at —
со со L 2 v ' J
sin 2ka ¦ th [-1- гкС1 @) coif] cos 2coif. (V.3.34)
Co
Если в этом выражении ограничиться очень малыми вре-
временами и разложить th, ch в ряд по малым значениям
Рис. V.12. Процесс перекачки энергии из одной моды в другую
в соответствии с решением (V.3.33).
аргумента, то в первом приближении можно получить
в точности результат (V.3.22).
Более интересными представляются_задачи о вынуж-
вынужденных колебаниях резонаторов, поскольку именно со
случаем вынужденных колебаний часто приходится иметь
дело на практике.
Для того чтобы выяснить физические особенности та-
такого типа движений, ограничимся рассмотрением одной
задачи о конечных колебаниях столба воздуха в от-
открытой трубе [76]. Пусть источник звука в виде поршня,
колеблющегося по закону ? @, t) = A cos at, располо-
расположен при а = 0. Другой же конец трубы а = I открыт, и
граничное условие на этом конце имеет вил
dl (I, t)lda = 0.

136 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
В качестве решения уравнения первого приближения
(V.3.16), удовлетворяющего данным граничным услови-
условиям, можно взять выражение
Резонансные частоты определяются из условия cos kl =
= 0, или
AZ = -4pBn —1), /1 = 1,2,3,... (V.3.36)
Для случая, когда резонатор возбуждается на частоте,
близкой к резонансной, решение (V.3.35) непригодно.
В противном же случае, располагая выражением (V.3.35),
можно вычислить правую часть уравнения (V.3.17):
3?() 92^(D 8 sm2k(l — a) ,. . „ .,
2е —| ^~ = ^-РЛ2 ~-—'- 1 + cos2«if}
да да2 2 cos2 kl l ' '
(V.3.37)
и найти частное решение для ?^2\ удовлетворяющее
граничным условиям ?B) @, t) = 0, 9gB> (Z, t)/da — 0:
{sin 2A (z -а) -sin
?г ~"ка cos 2к (г ~" а)] cos 2с04 • (v-3-38)
Переходя, наконец, к колебательной скорости, имеем
v vn cos к U — а) . . е / vo \ a
со со cos kl 4 \ со /
Г sin 2ka , „, ,, ,"] sin 2ш* ,тг о ОПч
X Го ^п kacos2k(l — а) ^rr • (V.3.39)
|_ 2 cos Ikl v 'J cos2 kl K '
Как показывает полученное решение, в нелинейном
резонаторе возникают колебания удвоенной частоты.
Применение метода последовательных приближений воз-
возможно при условии ?B) <^ ?A). Из формулы (V.3.39)
видно, что по мере приближения к одному из резонансов
(V.3.36) это условие не выполняется, так как величина
второго порядка малости ?<2) и, следовательно, колебания
удвоенной частоты при этом нарастают быстрее, чем \Ы.

§ 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
137
Решение перестает быть пригодным тем дальше от резонан-
резонанса, нчем больше к А = vo/co.
Помимо нелинейных резонансов первого порядка,
как видно из выражения (V.3.39), есть еще резонансы,
удовлетворяющие условию
Ы=^г- <2п — 1), (V.3.40)
при которых также не выполняются условия применимо-
применимости метода последовательных приближений. В этих точках
|(г) —у сю, в то время как ?(т> конечно. Эти резонансы,
0,25ф
4
и
II
I
_и
3
I
4 1
5 ||
11
4
5 !
0,75
Рис. V.13. Резонансы различных порядков, возникающие при ко-
колебательном движении поршня в открытой трубе; /—частота.
в отличие от резонансов по (V.3.36), могут быть названы
нелинейными резонансами второго порядка [74]. Физиче-
Физический смысл их довольно прост: несмотря на то, что часто-
частота возбуждения не совпадает ни с одной из собственных
частот резонатора, возникающие из-за нелинейности гар-
гармоники 'попадают на одну или 'несколько собственных
частот резонатора и из-за его высокой добротности вы-
вызывают колебания на этих частотах.
Решение задачи в более высоком приближении, чем
второе, должно привести к появлению резонансов третье-
третьего, (четвертого, пятого и более высоких порядков. Эти
резонансы с соответствующими цифрами показаны на
рис. V.13.

138 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
Следует заметить, что возбуждение унтертоном резо-
нансов высших порядков представляет значительный
практический интерес, поскольку при наличии высоко-
высокодобротных акустических резонаторов в них можно нако-
накопить значительную энергию гармоники и реализовать
таким образом эффективные умножители частоты. Кроме
того, в резонаторах, по-видимому, гораздо легче осу-
осуществить избранный тип взаимодействия между ограни-
ограниченным числом мод, чем в условиях бегущих волн. На-
Наконец, возбуждая систему на частотах, близких к резо-
резонансным, можно даже при слабом источнике получить
амплитуду колебаний настолько большой, что различные
нелинейные эффекты будут проявляться достаточно четко.
Подводя итог сказанному выше, можно утверждать,
что исследования стоячих волн конечной амплитуды яв-
являются одним из наиболее перспективных направлений в
нелинейной акустике. К сожалению, в настоящее время
эти исследования тормозятся из-за отсутствия достаточно
мощного математического аппарата, сравнимого с методом
уравнения Бюргерса для бегущих волн.
§ 4. О взаимодействии звука с волнами иного вида
Круг явлений, рассматриваемых нелинейной акусти-
акустикой, в основном ограничивается взаимодействиями зву-
звуковых волн. С точки зрения исследования различных
свойств вещества большой интерес представляют также
нелинейные взаимодействия акустических волн с вол-
волнами другой природы. Изучение таких явлений составля-
составляет, по-существу, самостоятельный раздел нелинейной
акустики, тесно связанный с рядом других областей фи-
физики: твердым телом, оптикой, физикой плазмы и т. д.
В качестве примера можно указать на вынужденное рас-
рассеяние Мандельштама -— Бриллюэна (ВРМБ) [77], ко-
которое может быть предметом изучения как нелинейной
оптики, так и акустики, или на акустоэлектрические
явления [78], изучением которых занимаются физики са-
самых различных специальностей. Ясно, что даже краткий
обзор всех таких вопросов выходит за рамки основ не-
нелинейной акустики. Поэтому мы остановимся лишь на

§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВОЛНАМИ ИНОГО ВИДА 139
анализе взаимодействий, описываемых системой гидроди-
гидродинамических уравнений (В. 1.4) — (В. 1.7).
В нелинейном приближении, как известно, уравнения
гидродинамики допускают существование трех незави-
независимых типов колебаний; это обычные звуковые волны,
энтропийные (температурные) волны и волны завихрен-
завихренности [79, 6]. Если интенсивность какого-либо из этих
возмущений перестает быть малой, в уравнениях необ-
необходимо учитывать нелинейные члены, что приводит к по-
появлению различных взаимодействий между указанными
тремя типами возмущений. Взаимодействия звуковых
колебаний со звуковыми же составляют традиционный
круг вопросов, рассматриваемых нелинейной акустикой.
Взаимодействие «звук — энтропия» — это, по-существу,
рассеяние звука на температурных неоднородностях [80,
81]. Наконец, к взаимодействиям типа «звук — завих-
завихренность» можно отнести такие важные явления, как
акустический ветер (см. гл. VIII), аэродинамическая
генерация звука [82, 83], спонтанное рассеяние звука
турбулентностью [84] и т. д.
Заметим, что спонтанное рассеяние звука происходит
на заранее созданных в среде турбулентных потоках и,
следовательно, может быть учтено в линейном приближе-
приближений. Принципиально рассеяние на вихревых волнах воз-
возможно и в покоящихся газах и жидкостях. Если в каче-
качестве возбуждающего звука взять очень мощную волну,
то при рассеянии на флуктуационных вихрях покоящейся
среды рассеянная волна может достичь заметной величины.
Если при этом ее интенсивность окажется достаточной для
того, чтобы совместно с падающей волной оказать замет-
заметное обратное воздействие на ту вихревую волну, на кото-
которой она рассеялась, то это приведет к усилению данной
вихревой волны, что в свою очередь повлечет за собой
дальнейшее усиление рассеяния и т. д. Мы приходим, таким
образом, к вынужденному рассеянию звука на вихревых
волнах [85].
Рассмотрим эту задачу более подробно, поскольку
она носит принципиально нелинейный характер и ин-
интересна с методической точки зрения.
Считая процесс распространения звука близким к ади-
адиабатическому, запишем систему уравнений гидродинамики

140 гл. v. взаимодействие звуковых волн
в следующей форме:
р
Здесь обозначено: deiv = (dvildXj) + (dvj/dxi); сдвиговая
вязкость т] предполагается зависящей от температуры:
dr[ = (dx\ldf)Tadt. В системе (V.4.1) удобно исключить
одну из неизвестных, например плотность р, а для давле-
давления р ввести безразмерную переменную Р = (р— РвIуРо-
Введем далее две новые независимые переменные
q = div v, Q = rot v. (V.4.2)
Как известно, любое векторное поле, в том числе и поле
скоростей v, можно представить в виде суммы потенциаль-
потенциального и соленоидального полей: v = grad ф -f- rot А (где
Ф — скалярный и А — векторный потенциалы). Поэтому
легко видеть, что величина Q будет характеризовать
волны завихренности, q же относится к потенциальному
движению и связана со звуковой волной. С помощью этих
переменных система (V.4.1) приводится к виду
l-iv0A)-^, (УАЗ)
^ (V.4.5)
Здесь v0 = т]/р0 — кинематическая вязкость,
Po

§ i. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВОЛНАМИ ИНОГО ВИДА 141
Уравнение (V.4.3) представляет собой нелинейное зву-
звуковое уравнение, (V.4.5) — нелинейное уравнение для
вихревой компоненты. Линеаризуя последнее, т. е. от-
отбрасывая правую часть [V/], можно получить следующее
решение: 2
Q = Оов"***0'"**0', (V.4.7)
где (Q0Jcq) = О, fi0 — комплексная амплитуда, 7сп —
волновой вектор вихревой волны. Это выражение показы-
показывает, что возникающие в среде неоднородности непотен-
непотенциальной части скорости затухают со временем экспонен-
экспоненциально, т. е. вихревые волны являются релаксационны-
релаксационными колебаниями, время релаксации которых зависит от
сдвиговой вязкости.
Следует заметить, что в исходных уравнениях (V.4.1)
не учитывалась объемная вязкость. Нетрудно видеть, что
в этой задаче она несущественна, поскольку вихревые
волны не связаны с изменением объема среды, а связаны
только со сдвигами.
Совместное решение уравнений (V.4.3) — (V.4.5) долж-
должно описывать процесс вынужденного рассеяния звука
на вихревых волнах. Предполагая, что сильная звуковая
волна при х = 0 падает на плоскую границу среды вдоль
оси х, ищем решение системы уравнений в виде
Р = />о.е*(*о*-»о9 _J- р1ег(к,г-он1) _j_ p2ei(fc^-w,o-f- К. С. (V.4.8)
Здесь Ро — амплитуда возбуждающей волны, Риг —
амплитуды так называемых стоксовой и антистоксовой
рассеянных звуковых волн. При этом предполагаем, что
выполняются следующие соотношения: «0 ^ «j -(- cog ^
х; со2 — «й, «й <^ «0.
Используя (V.4.8), из уравнения (V.4.5) для вихревой
моды в стационарном режиме получим выражение
pO[-toQ+Vo(ft2-fc0)«]

142 гл. v. взаимодействие звуковых^волн^
Здесь AU2 = А A — cos 81J) — 2/3 r\, 8Ь2 — углы рас-
рассеяния (углы между 7с0 и к12), А = {йг[1йТ)та ° " .
срРо
Ограничимся таким приближением, когда стоксова
и антистоксова компоненты не взаимодействуют между
собой. Это условие хорошо выполняется при не слишком
малых углах рассеяния. В этом случае, подставляя вы-
выражение (V.4.8) в уравнение (V.4.3) и пренебрегая, где
возможно, членами, содержащими малый параметр
Vo&i/co (i = 0, 1, 2), получим следующую систему укоро-
укороченных уравнений для медленно изменяющихся с коор-
координатой х амплитуд звуковых волн:
dx ' u u
,-, r, COsOl , гт. r. ,r^* n COS 02
-^ COS0! +
dx
- cos 02 + a2P2 = [k0k2] fi02 Po •
,2
Здесь Oi = 2/3 vofe?/co, felQ = fe0 — йц ^2й = fe2 — feo- Из
двух последних уравнений системы (V.4.11) совместно
с (V.4.9) следует, что усиление в стоксовой области воз-
возможно при Ау cos 6j < 0, в антистоксовой — при Аъ cos 02 >
^> 0. Считая Ро -х. const (что вполне оправдано в самом
начале развития процесса), из формул (V.4.9), (V.4.11)
получаем следующее выражение для пороговой интенсив-
интенсивности вынужденного рассеяния, т. е. интенсивности воз-
возбуждающего звука, при которой начинается экспонен-
экспоненциальный рост рассеянных волн:
3 oiiQ (Т) ш т.
h = 5-! , (V.4.12)
где ti = (vokfa)'1, i = 1 или 2 соответственно для сток-
совой и антистоксовой компонент.
Из выражения (V.4.12) видно, что порог имеет ми-
минимум на частоте «g = ti. Это значит, что рассеянный

§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВОЛНАМИ ИНОГО ВИДА 143
звук смещен по частоте относительно падающего на ве-
величину Аи ж т^1 (Аи <^J и0).
Численные оценки по формуле (V.4.12) показывают,
что, как правило, пороговая интенсивность газа (деся-
(десятые и даже сотые доли Вт/см2 в ряде газов при и0 ^
ж 2я4.04 гц) существенно ниже порога в жидкостях.
Из уравнений (V.4.11) видно, что не может быть рас-
рассеяния назад и под углом я/2 к направлению распростра-
распространения возбуждающего звука. Этот факт хорошо известен
из теории спонтанного рассеяния звука турбулентной
атмосферой. Отсутствие рассеяния на угол я связано с
несжимаемостью турбулентного движения, отсутствие же
на угол я/2 может быть интерпретировано на основании
формул Френеля [84].
Выражение (V.4.12) для порога получено в предполо-
предположении Ро — const. Систему уравнений (V.4.11) можно
решить в более общем случае, когда Ро нельзя считать
постоянной. Подставляя в систему (V.4.11) значение
й01 из (V.4.10) (рассматриваем только стоксову волну)
и пренебрегая затуханием, получим
/JPn D ( Vofc?n\
2 cos0i I '-'¦"— ' -цЛ|2,
где
D
Умножая первое из уравнений (V.4.13) на Ро, а второе —
на Pi, после элементарных преобразований будем иметь
 % ^ o- (V-4.15)
cos 0i
Здесь ^Ojl = | Роа |2. Поскольку система (V.4.15)] име-
имеет интеграл $-0 + $"i cos ^1 = const, интегрирование ее
не представляет труда. Учитывая, что $-0 @) ^> ^ @),

144 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
можно записать решение в следующем виде:
. (V.4.16)
Этот результат позволяет определить расстояние х = х0,
на котором рассеянная волна по порядку величины станет
равной #-„ @):
*„ = In Ш \^ЬЩ1 . (V.4.17)
Л@) L созб J v
Для обычных жидкостей величина х0 оказывается
слишком большой, чтобы эффект можно было наблюдать
экспериментально при практически достижимых интенсив-
ностях звука. В газах же х0 может быть существенно
меньше [85].
Интересной особенностью рассмотренного процесса
является то, что рассеяние имеет место как в стоксовой
области, так и в антистоксовой, в приближении, когда сток-
сова и антистоксова компоненты не взаимодействуют
между собой. Аналогичная ситуация известна в нелиней-
нелинейной оптике [86] в случае вынужденного рассеяния света,
связанного с поглощением.

ГЛАВА VI
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ
ВОЛНАХ
§1.0 трехчастотном параметрическом
взаимодействии
Понятие о параметрических процессах, как известно,
возникло в радиотехнике. Суть этих явлений состоит
в том, что при достаточно сильном периодическом изме-
изменении энергоемких параметров, например индуктивности
или емкости в колебательном контуре, можно добиться
возбуждения или усиления слабых электрических коле-
колебаний.
При переходе к распределенным системам параметри-
параметрические процессы приобретают волновой характер и вме-
вместе с ним ряд особенностей, однако их физическая трак-
трактовка остается прежней. Для того чтобы параметрическое
взаимодействие имело место, необходимо присутствие
в среде по крайней мере двух неравноправных воли:
мощной волны накачки и слабой сигнальной волны. Свой-
Свойства (параметры) среды оказываются про модулирован-
модулированными полем бегущей интенсивной накачки, и если выпол-
выполнены условия фазового синхронизма, энергия может эф-
эффективно перекачиваться в слабую волну.
К числу параметрических эффектов в широком смысле
слова можно отнести и взаимодействия акустических волн
с волнами иной природы, о которых коротко рассказы-
рассказывалось в гл. V, § 4. Например, дифракция света на ультра-
ультразвуке есть, по-существу, рассеяние света в среде, плот-
плотность которой изменена под действием ультразвуковой
полны. Однако таких эффектов мы здесь рассматривать
не будем, а ограничимся случаем чисто акустической

146 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
«параметрики», когда все взаимодействующие волны яв-
являются звуковыми.
При рассмотрении параметрических явлений приме-
применяется исключительно спектральный подход. Он очень
удобен в радиотехнике или в нелинейной оптике, где на-
наличие сильной дисперсии позволяет реализовать взаимо-
взаимодействие только между несколькими волнами; в акустике
же спектральные методы используются гораздо реже.
Вместе с тем проблема реализации параметрических уси-
усилителей и генераторов ультразвука остро поставила
вопрос о создании искусственных систем с дисперсией,
поскольку только в таких системах усиление может быть
значительным (см. §§ 2, 3). Поэтому необходимо начать
изложение именно со спектрального подхода к задаче.
Рассмотрим трехчастотное невырожденное параметри-
параметрическое взаимодействие. Пусть в среде с квадратичной
нелинейностью могут существовать волны только трех
частот: накачки co3i сигнала «^ и волны разностной час-
частоты со3, причем между ними имеется связь:
со3 = «! + со2. (VI.1.1)
Предположим также, что эти волны распространяются
по среде в одном направлении и с одинаковыми фазовыми
скоростями, т. е. они находятся в синхронизме: к3 =
= fcj + k2. Заметим сразу же, что создать такие условия,
при которых было бы возможно указанное взаимодействие
в чистом виде,— довольно сложная проблема для нели-
нелинейной акустики (обычно наряду с параметрическим
процессом происходит эффективная генерация гармоник
и волн комбинационных частот). Мы не будем здесь об-
обсуждать конкретные способы, позволяющие практически
осуществить эти условия, а перейдем сразу к анализу
свойств самого трехчастотного параметрического процесса.
Если искать решение уравнения Бюргерса (II.1.10)
в виде суммы трех волн:
v (х, X) = Ах (х) eia* + Аг (х) e™lX + ^з 0*0 е1шзТ + к. с,
(VI.1.2)
где Ац А2, А3 — комплексные амплитуды, изменяющиеся
по мере распространения волн по среде как в результате

§ 1. О ТРЕХЧАСТОТНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 147
взаимодействия между ними на квадратичной нелиней-
нелинейности, так и вследствие диссипации, можно получить
следующую систему из трех укороченных уравнений
dAi f, . . ecoi л* л
~ х 1 = 1Т 2 3'
82A2 = i-^AlA3, (VI.1.3)
dx
dA3
¦— i ¦
dx ' ^3 " Л
co
Здесь для краткости принято: Sj = 6со?/2соро
(/ - 1, 2, 3).
В тех случаях, когда влияние диссипации пренебре-
пренебрежимо мало, т. е. бх = 62 = б3 = 0, система (VI.1.3)
имеет интеграл энергии. Для того чтобы показать это,
нужно умножить уравнения соответственно на AJ^1%
All (o2, А3/(а3 и сложить их с комплексно-сопряженными
выражениями. После интегрирования получаются следу-
следующие соотношения, справедливые при любом значении х:
|Л1|г \^ = const,
= const, (VI. 1.4)
(Ol @2
I A, |2 , I A, I!
COl Шз
= const.
©2 tt>8
Умножая второе из соотношений (VI.1.4) на и>1,
третье — на со2 и складывая полученные выражения,
придем к закону сохранения энергии:
Mi |2 + \А2 |2 + \А3 |2 = const. (VI.1.5)
Нужно отметить, что параметрические явления могут
быть наглядным образом интерпретированы на квантовом
языке как процессы расщепления высокочастотных фо-
нонов волны накачки Йсо3 на Два фонона Нса1, Йсо2 более
низкой частоты. Если умножить соотношение (VI. 1.1)
и условие синхронизма на постоянную Планка Н, их
можно трактовать как законы сохранения энергии и ква-
квазиимпульса при элементарном трехфононном взаимодей-
взаимодействии.

148 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
Наконец, энергетические соотношения (VI.1.4) (по
аналогии с теорией нелинейных реактивных систем с со-
сосредоточенными параметрами их называют соотношениями
Мэнли — Роу [10]), которые удобно также представить
и в дифференциальной форме
d\Ai\* _ d\Az\t d\Ai\* _ d | As |2
COl @2 Wl Юз
djjzl = _ d 1 As |» (VI.1.6)
©2 ©8 У
на квантовом языке могут быть переписаны так:
AVj = ^У2, dNx = -dN3, dN2 = ~dN3. (VI. 1.7)
При наличии граничных условий выражения (VI.1.6),
(VI. 1.7) позволяют оценить эффективность нелинейного
взаимодействия. Если, например, на входе в нелинейную
среду задана мощная волна со3, то процесс распада со3 -»¦
->- сох + со2 будет преобладать над процессом слияния:
к>х + И2 ->- «з- Это означает, что знаки у приращений
dNlt dN2 будут положительные, а знак у dN3 —• отрица-
отрицательный. При этом энергия, теряемая высокочастотной
волной накачки, будет распределяться между волнами
сох, со2 в отношении
d Mi Р _Ш_ ,ут л о\
Cl j /Jg p @2
Как показывает формула (VI.1.8), преобразование
частоты «вверх» происходит значительно эффективнее пре-
преобразования частоты «вниз», и при сох/сог <§^ 1 приращение
энергии низкочастотной волны мало.
Проанализируем вначале решение уравнений (VI. 1.3)
в приближении постоянного поля накачки. Полагая
в (VI. 1.3) А3 = Ан = const и переходя к действительным
амплитудам и фазам А1 = i^exp (iSJ, Аг = ?2ехр (iS2),
получим следующую систему:
С0
dH% | с D I ^©2 /I D ¦ Л А
-^г- + °2 i г" ^h^i sin A = U,
dr
,?) cos A = 0.

§1.0 ТРЕХЧАСТ0ТН0М ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 149
Здесь А = —Sx — iSa. Из первых двух уравнений можно
выразить
С2 и Bi sin A & v 1 ¦"
° , (VI.1.10)
о
Подставляя эти соотношения в третье уравнение системы
(VI. 1.9), придем к интегралу следующего вида:
2?i (жJ?2 (x)cos Д (ж) e<5i+S2)-x = const =
= Вх @) 52 (O)cos Д @). (VI.1.11)
В задачах о параметрическом усилении наиболее ти-
типичны такие условия на границе, при которых в среду
вводится слабый сигнал и мощная волна накачки, а не-
необходимая для усиления волна разностной частоты воз-
возникает внутри самой среды. Полагая в (VI.1.11) амплиту-
амплитуду Вг @) равной нулю, можно получить cos А (ж) =
= const — 0; при этом система (VI.1.9) должна быть пе-
переписана в форме
dBi _] с d I 8t°i л р — О
С° (VI.1.12)
(IBi .ел , EW2 , т> « (\
Поскольку уравнения (VI.1.12) линейны, будем искать
их решения в виде Вг ~ Схехр (gx), Вг = С2 exp (gx).
В результате получим систему из двух однородных алге-
алгебраических уравнений относительно неизвестных вели-
величин Сг, С2- Для нахождения нетривиальных решений
нужно потребовать, чтобы определитель этой системы был
равен нулю:
Соотношение (VI. 1.13) позволяет определить два значения
gi, ?2 и записать решение системы (VI. 1.12):
.14)

150 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
Явный вид констант С# можно установить из граничных
условий: Вх (ж = 0) = Вх @), В2 (я = 0) = 0 (эти выра-
выражения несколько громоздки и поэтому здесь не приво-
приводятся). Для того чтобы решения были нарастающими, дей-
действие нелинейных эффектов должно проявляться сильнее,
чем нежелательное влияние диссипации. Это возможно
только при достаточно интенсивной накачке, амплитуда
которой превышает некоторое пороговое значение Апор.
Как нетрудно установить с помощью формулы (VI. 1.13),
выражение для Anov имеет вид Anov> = с\у б
В Рй
р v v
Вводя число Рейнольдса волны накачки, равное ReH =
= c0p0AJb(u3, можно записать условие параметрического
усиления в следующей форме:
Поскольку правая часть неравенства (VI. 1.15) в силу
соотношения оз1 -|- со2 = со3 изменяется в пределах от 0
до 0,5, при больших числах ReH усиление всегда имеет
место. В этом случае можно положить 6Х = б2 = 0 и
получить из (VI.1.14) простые выражения для нарастаю-
нарастающих амплитуд:
В, (х) =У%В1 @) sh
Решение (VI. 1.16) показывает, что процесс идет наиболее
эффективно при совпадении частот усиливаемых волн:
И1 = И2 = о>3/2. Такой режим называется вырожденным;
он обратен по отношению к генерации второй гармоники,
поскольку представляет собой процесс распада высоко-
высокочастотного фонона Йсо на два одинаковых фонона часто-
частоты со/2.
Приближение заданного поля накачки удовлетвор итель-
но описывает только начало параметрического усиления.
Экспоненциальный рост амплитуд слабых волн должен
вскоре привести к тому, что начнет сказываться реакция —

§ 1. О ТРЕХЧАСТОТНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 151
их обратное воздействие на накачку — иу1н уже нельзя бу-
будет считать константой.
Для исследования эффектов насыщения нужно учиты-
учитывать, помимо уравнений (VI.1.12), также и уравнения,
описывающие изменения амплитуды и фазы волны на-
накачки [10]. Эти уравнения нетрудно вывести из системы
(VI. 1.3), перейдя к действительным амплитудам и фазам
для всех трех взаимодействующих волн. Выполняя ука-
указанную процедуру, получим
dB%
dx
кг а
cos А = 0.
Здесь А' = Ss — 5Х — 5. В общем случае система
(VI.1.17) может быть решена только численным способом.
Для нахождения аналитических результатов рассмотрим
простейший вариант, когда Sj = 62 =* S3 = 0. Будем
считать, что при х = 0
Bl (х = 0) = Вг @), 52 (х = 0) = 0, 53 (я = 0) = В3 @),
А' = — я/2 = const. (VI.1.18)
Из первых двух уравнений (VI.1.17) в рассматриваемом
случае имеем dBjdBi = (ЧхВо/ю^Вх. Интегрируя это со-
соотношение с использованием на границе (VI. 1.18), при-
придем к выражению
Комбинируя другие пары уравнений (VI.1.17), можно
аналогичным путем получить следующие результаты:
Вй == — — В2 + Bs @),
(VI.1.20)
l0

152 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
Если подставить выражения (VI.1.19), (VI.1.20) во вто-
второе уравнение системы (VI.1.17), получим уравнение
с разделяющимися переменными
Здесь введены обозначения для констант: w2 = со25з @)/со3,
v2 = (И2В\ @)/%. Проинтегрируем (VI. 1.21) и введем но-
новую переменную w2 — В\ -- W-y1, в итоге имеем
г-тй^-тЕЯГ = 4-^^fc*-. (VI-1-22)
\
Левая часть этого равенства содержит эллиптический
интеграл первого рода, через к% обозначено выражение
w2/(v2 + юг). Обращая эллиптический интеграл, можно
прийти, как известно, к эллиптическим функциям Якоби.
Это позволяет записать решение в следующей форме:
1
где К = \[A — у-)A — А:2;/2)! '2 dy. Пользуясь найден-
о
ным решением и выражениями (VI.1.19), (VI.1.20), можно
получить формулы, описывающие изменение в простран-
пространстве амплитуд Вг, Б2:
v 6 ,/
+ Т
(VI.1.24)
В3 (х) = В3 @)sd (К + 4/вд^ х) .
Как показано на рис. VI.1, взаимодействие волн в рас-
рассматриваемом случае носит характер пространственных
биений. Когда Вх, 52 становятся сравнимыми по величине
с В3, экспоненциальный рост замедляется. Амплитуды
волн сигнала и разностной частоты достигают своего мак-
максимального значения, после чего начинается обратная

§ 2. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 153
перекачка энергии в волну накачки. Если же б3 Ф 0, то
наряду с биениями начнется монотонное убывание
/О
Рис. VI.1. Параметрическое взаимодействие при учете обратного
воздействия на пакачку.
амплитуд взаимодействующих волн и при достаточно
больших потерях амплитуды Вг, В% будут иметь только
по одному максимуму.
§ 2. Параметрическое усиление звука
в средах без дисперсии
Идеализированный случай чистого трехчастотного
взаимодействия, рассмотренный в предыдущем параграфе,
в нелинейной акустике обычно не реализуется.
Специфика акустики состоит в отсутствии частотной
дисперсии скорости звука, откуда следует линейность
зависимости волнового числа от частоты: к = со/с0.

154 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
Совокупность условий со3 = о^+сог, А/3 = A/i+A/2 приво-
приводит в этом случае к тому, что в жидкостях и газах эффек-
эффективно взаимодействуют лишь волны, распространяющиеся
в одном направлении. Поскольку при этом условие син-
синхронизма ks = kt -f- k2 становится тривиальным след-
следствием соотношения^ со3 = а)х + со2, нетрудно сделать
вывод о возможности^усиления сигнала любой частоты
%, лежащей в промежутке от 0 до со3. Таким образом,
параметрические процессы в акустике характеризуются
отсутствием узкой полосы пропускания, которая суще-
существенна для сред с дисперсией [10].
Широкополосность эффектов взаимодействия звуковых
волн является главной трудностью на пути реализации
параметрических усилителей, поскольку наряду с коге-
когерентным процессом распада фононов со3 -> и>1 + со2 про-
происходит процесс слияния фононов (или генерация гармо-
гармоник), особенно интенсивный для волны накачки. Это
приводит к большим энергетическим потерям волны со3
и в конечном счете к ослаблению параметрического
процесса.
Как отмечалось еще в монографии [10], характерное
расстояние образования разрыва в волне накачки опре-
определяет инкремент нарастания усиливаемой звуковой вол-
волны, и поэтому коэффициент усиления не может быть зна-
значительным. Необходимо заметить, однако, что, поскольку
образование разрыва еще не означает полного затухания
волны накачки, этот вывод не следует распространять на
усиление очень слабых сигналов.
Указанные трудности стимулировали исследования
параметрического усиления в акустике в основном на пути
отыскания специальных способов создания дисперсии
с целью подавления паразитных процессов истощения на-
накачки (об этих работах будет идти речь в следующем па-
параграфе). Вместе с тем представляет интерес рассмотрение
этого явления при естественных условиях, когда интере-
интересующий нас трехчастотный параметрический процесс
«замазан» на фоне множества других паразитных эффек-
эффектов [87].
Распространение звука конечной амплитуды с учетом
трехфононных процессов (квадратичной нелинейности)
и поглощения описывается, как известно, уравнением

§ 2. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 155
Бюргерса:
?5S
Здесь использованы безразмерные переменные V = vlvo,
0 = со (t — х/с0), а = есог7ож/со. Величина Г равна BeRe)-a,
где Re = сорог?о/Ьсо — акустическое число Рейнольдса.
Поскольку уравнение (VI.2.1) может быть решено
точно в общем виде, принципиальных трудностей при
рассмотрении любых (в том числе параметрических) трех-
волновых взаимодействий не существует. Достаточно за-
задать граничные условия: при а = О V = j53@)sin — 0 -{-
+ Вг @) sin ( — 0 + 54, где В3 @)*^>Bi @), найти соответ-
соответствующее решение уравнения (VI.2.1), а затем с помощью
гармонического анализа вычислить фурье-компоненты
волн В3 (a), Bi (о), заданных на границе, и компоненту
волны разностной частоты В2 (а), возникающей в среде.
Однако в силу сложного вида получаемого решения реа-
реализовать эту схему затруднительно.
Прямой спектральный подход (столь плодотворный
в нелинейной оптике [10]), когда решение уравнения
(VI.2.1) ищется в виде заранее заданного спектра, в аку-
акустике не приводит к успеху, так как при этом требуется
решать систему из бесконечного числа связанных нели-
нелинейных уравнений. Тем не менее этот способ позволяет
описать начальную стадию процесса, на которой можно
пренебречь истощением накачки. Рассматривая для про7
стоты вырожденный случай: со3 = со, % = со2 = со/2,
ищем решение (VI.2.1) в виде
V = sin 9 + #i (s) sin [-|- + S (с)] . (VI.2.2)
После несложных выкладок получим два укороченных
уравнения
i*L+ Г 5__В1_cog25 (VI.2.3)
da 4 4 ч '
^- = -1-sin 25, (VI.2.4)
которые позволяют сделать* ряд важных выводов.

156 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
Прежде всего заметим, что наибольшее усиление до-
достигается при начальном сдвиге фаз S @) = я/2. Из урав-
уравнения (VI.2.4) получается при этом S (а) = const =
= я/2, а уравнение (VI.2.3) дает следующий закон изме-
изменения амплитуды сигнала: Bi (а) — Вх (О)ехр [A — Г) X
X о/4]. Нетрудно видеть, что усиление имеет место для
Г <^ 1, т. е. при больших числах Re. Если же начальный
сдвиг фаз S @) равен нулю, то усиление вообще невозмож-
невозможно и амплитуда заданной на входе волны быстро умень-
уменьшается. При произвольном S @) пороговое условие может
быть записано в виде Г <^ —cos 2S @).
Итак, самым интересным является случай больших
чисел Рейнольдса, когда сильно выражены нелинейные
эффекты, и вполне определенного начального сдвига фаз
S @) = я/2, при котором энергия накачки перекачи-
перекачивается в субгармонику наиболее эффективно.
Для изучения процесса во всей области значений о
целесообразно воспользоваться графическими методами,
наиболее удобными при больших числах Re.
Рассмотрим два случая: S @) = я/2 и S @) = 0, по-
положив Bi @) = 0,2. Как показывают графические по-
построения, поведение исходных профилей волн оказы-
оказывается в этих случаях принципиально различным.
При S @) = я/2 начальное возмущение, заданное
в виде V = sin 6 + 0,2sin I у + -о-)» имеет два несиммет-
несимметричных полупериода (рис. VI.2). После образования
разрыва этот факт приводит к асимметрии фронтов отно-
относительно нулевого уровня, и скорость движения фронтов
становится отличной от с0. Поскольку два соседних
фронта движутся с различными скоростями (причем
скорость одного С/ф, > с0, а второго С/ф2 < с0), начальная
асимметрия усиливается.
Как показано на рис. VI.2, один из полупериодов
полностью вырождается при а ~ 26 и исходная волна
трансформируется в пилообразную с основной часто-
частотой со/2.
Напротив, при S @) = 0, когда возмущение задается
в виде V = sin 6 + 0,2sin (9/2), образуются симметрич-
симметричные фронты и влияние субгармоники на поведение про-
профиля сказывается мало (рис. VI.3).

§ 2. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ ВЕЗ ДИСПЕРСИИ 157
Результаты гармонического анализа графиков рис.
VI.2,3 изображены на рис. VI.4. Кривая Bs {я/2} иллю-
иллюстрирует поведение амплитуды волны накачки в случае
наиболее эффективного взаимодействия. Как видно из
е=о
Рис. VI.2. Вырожденный параметрический процесс на простран-
пространственно-временном языке при оптимальном сдвиге фаз S @) = л/2.
76
-0 I ?
Рис. VI.3. Вырожденный параметрический процесс при S @) = 0.
графика, амплитуда Bs {я/2} уменьшается до нуля, а
затем становится отрицательной, т. е. волна со начинает
генерироваться в противофазе — уже как вторая гармо-
гармоника усиленного сигнала со/2. Амплитуда же волны

158 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
сигнала Bi {я/2} вначале несколько нарастает, но затем
ее рост тормозится истощением энергии накачки. В ре-
результате Вг {я/2} уменьшается из-за действия затухания.
Однако это уменьшение достаточно медленное, что поз-
позволяет В1 {я/2} превысить В3 {я/2}. Эффект усиления ска-
сказывается вплоть до очень больших а, как зто видно из
0,6
0,4
0,2
4 8
20 24 <з
я №-'
Рис. VI.4. Результаты гармонического анализа кривых рис. VI.3
и VI.4.
сравнения кривой В± {я/2} и кривой, описывающей изме-
изменение амплитуды волны со/2 при отсутствии нелинейного
взаимодействия (штриховая линия на рис. VI.4).
В случае S @) = 0 перекачка энергии идет в обрат-
обратном направлении — из субгармоники в волну со, поэтому
амплитуда субгармопики быстро уменьшается (кривая
Z?i{0} на рис. VI.4). Однако вследствие малости началь-
начальной амплитуды субгармоники ее энергия дает малый вклад
в энергию накачки, и на кривой В3{0} это нелинейное
взаимодействие практически не сказывается.

§ 2. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 159
Как показывает рис. VI.4, при сравнимых по величине
амплитудах входного сигнала и накачки коэффициент
усиления невелик; он едва превышает единицу даже в наи-
наиболее благоприятном случае. Однако ситуация может
существенно измениться, если амплитуда сигнала vc0
во много раз меньше амплитуды v0 волны накачки. Это
предположение позволяет получить ряд аналитических
результатов и оценить величину коэффициента усиле-
усиления [88].
Итак, будем считать, что в рассматриваемой области
значений а выполнено неравенство FH (а, 9) ^> Vc (a, 0)
и наличие субгармоники Fc никак не сказывается на пове-
поведении волны FH. Поэтому волна накачки теряет свою
энергию только на генерацию собственных гармоник, но
не на усиление сигнала. Справедливость этого предполо-
предположения мы обсудим позднее. Учитывая, что функции FH
и V = FH + Vc каждая по отдельности должны удовлет-
удовлетворять уравнению (VI.2.1), нетрудно получить уравнение
для Fc:
-^ = -?<W + rf?.. (VI.2.5)
В силу малости величины Fc в уравнении (VI.2.5) отбро-
отброшен нелинейный член VcdVJdQ, ответственный за нели-
нелинейные искажения субгармоники. В качестве FH здесь
можно использовать известные решения уравнения Бюр-
герса: решение Бесселя — Фубини A.5.9) (в области до
образования разрыва, на первом этапе) и решение Фея
(П.2.11) (в области после образования разрыва). Пред-
Представим эти выражения в виде
со
Fh = -%г 2 [Aa(o)]n{eiM - е~ш). (VI.2.6)
71=1
Здесь
———— при 0 <^ c <fi,
т (VI.2.7)
Г sh^reF (I -f- с) при б^>1.
Если искать решение уравнения (VI.2.5) в виде Fc =
1 [ л I № \ .. I ге \1
= Г ехР V~2~I — ехР \ 2") ' для комплексной

160 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
амплитуды сигнала можно получить следующее уравнение:
А± = -^*1 L.A. (VI.2.8)
Через Ав обозначена амплитуда первой гармоники вол-
волны накачки, выражение для которой дает формула
(VI.2.7) при п = 1. Подставляя в уравнение (VI.2.8)
А = В exp (iS), т. е. переходя к действительной амплитудеi?
и фазе 5, придем к двум уравнениям
^^-—±-cos2S-~B, (VI.2.9)
ds 4 4 v '
-f^L = 45-sin25. (VI.2.10)
Aз 4 v '
Уравнение (VI.2.10) удобно интегрировать, вводя новую
переменную г|з = —cos 25. Его решение имеет вид
о
= th 4" [in tg2 5 @) + J AH (a
Здесь S @) — начальное (при а — 0) значение сдвига фаз
между волнами субгармоники и накачки. С помощью ре-
решения (VI.2.11) уравнение (VT.2.9) легко проинтегри-
проинтегрировать и получить следующий результат:
Чтобы найти окончательный вид решения, необходимо
вычислить интегралы, входящие в формулу (VI.2.12),
используя при этом явное выражение (VI.2.7) для Ан
(при п = 1). Заметим, что в области 0 <^ а <^ 1 функция
2A (ff)/^ ~ 1, поэтому заменим ее единицей; это сделает
результат менее громоздким, не изменяя его физического
смысла.

2. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 161
Выполняя интегрирование, придем к искомому выра-
выражению для коэффициента усиления волны и/2:
при 0
е tg2 s @) th« — A -f а) ~|- t!i« Г
<VL2J3)
. (VI.2.14)
Решения (VI.2.13), (VI.2.14) изображены соответственно
на рис. VI.5, VI.6 для различных значений S @). Как
нетрудно заметить, величина начального сдвига фаз S @)
играет существенную роль в поведении субгармоники.
При 5 @) = я/2 волна со/2 усиливается наиболее аффек-
аффективно, напротив, при S @) = 0 имеет место наиболь-
наибольшее ослабление.
Другой важный вывод, который можно сделать при
рассмотрении рис. VI.6, заключается в том, что при
больших числах Рейнольдса главный вклад в процесс
усиления дает область а ^> 1 (ото именно та область, где
волна накачки сильно затухает из-за образования в ней
разрывов). Так, при построении графиков рис. VI.6
полагалось eRe равным 50, что для максимального коэф-
коэффициента усиления дало ВПтх = 7. В общем же случае,
как можно установить из анализа решения (VI.2.14),
наибольшее усиление достигается в точке агаах, опреде-
определяемой из уравнения shF (I -f ст,пах) = Г, или сттах та
ж 1,4/Г; при этом ?тах ж 0,7/)/Т.
Располагая выражениями (VI.2.13), (VI.2.14), обсу-
обсудим правомерность сделанных предположений и область
применимости полученных решений.
Требование отсутствия реакции на накачку, очевидно,
эквивалентно требованию В (о)<^:_Ан (а); все решения
справедливы только для таких значений ст, при которых
выполняется это неравенство. Поскольку в области 0 <^
<С ст <Г Сттах функция В (о) является монотонно возра-
возрастающей, а Ан (а) — убывающая функция, выполнение
указанного неравенства при а = сттах влечет за собой
его справедливость и во всей области @, отах). Но при

162 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
1
1
1
\
[
1
\
\
-
-
сз
1
a
ЮЕ
\ II
\
о
К
н
с
ш
ч
н
а
циент
о
ji при
>&
CD.
О
К
сть
о
ft
о
в
со
CD
к
ft
а
р<
о
о
к
в
о
м
р<
ф
ю
в
со
ш
ю
>
OSJ 1>-
to

§ 2. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 163
о = отах с помощью выражений (VI.2.7), (VI.2.14) можно
получить
-^-<Г3/\ (VI.2.15)
В тех случаях, когда условие (VI.2.15) не выполнено,
но все же i'c0 ¦<; г;0, начинает сказываться реакция на на-
накачку. При этом решение (VI.2.14) перестает выполняться
при некотором атах <^ сттах, и коэффициент усиления
Вта_х оказывается меньшим, чем Z?max. Так как истоще-
истощение волны накачки за счет усиления субгармоники на-
наступит быстрее при больших начальных значениях vm,
здесь должна иметь место следующая зависимость i?max
от г-'со: чем больше г;с0, тем меньше Z?max-
Второе наше допущение, благодаря которому в урав-
уравнении (VI.2.5) был отброшен нелинейный член, будет
справедливо, если crmax меньше расстояния образования
разрыва в волне субгармоники: 1,4Т <^vo/vco. Нетрудно
видеть, что нри больших Re это неравенство слабее,
чем (VI.2.15).
До сих пор мы обсуждали формальную сторону дела,
не касаясь вопроса о том, какие конкретно физические
механизмы ответственны за наличие начального возму-
возмущения vco.
Если в среду (при х = 0) специально вводится слабый
регулярный сигнал, изменение его амплитуды В (о),
как было показано выше, описывается решением (VI.2.13),
(VI.2.14).
Кроме того, начальным возмущением на частоте суб-
субгармоники может служить шум источника, расположен-
расположенного на границе среды. Накачку, естественно, и в этом
случае следует считать регулярным процессом, амплитуда
которого зависит только от координаты о". Субгармоника
же на границе считается теперь стационарным случайным
сигналом [89]. Для • определенности предположим, что
спектр «шума» источника имеет гауссовскую форму
с шириной Л и максимумом на частоте субгармоники:
(VI.2.16)

164 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
Здесь Q = Дсо/со — относительная отстройка от цен-
центральной частоты со/2. Полагая амплитуду субгармоники
в уравнении (VI.2.5) зависящей медленно и от 6:
с помощью обычной процедуры укорочения получаем
следующее уравнение:
Одновременной заменой переменной и функции
а __Г_
AB(o')da', А=Ве T°
о
оно преобразуется в уравнение с постоянными коэффи-
коэффициентами:
Ж = ^^~^В'- <VL2-20>
Наконец, используя уравнение, комплексно-сопряженное
к (VI.2.20), приходим к гиперболическому уравнению
для амплитуды В:
д*в 1 :э*в в
Для нахождения интересующей нас средней интенсив-
интенсивности субгармоники в различных сечениях среды можно
воспользоваться теперь аппаратом метода огибающих
или спектральным методом [89]. В первом случае мы дол-
должны получить точное решение задачи Коши для урав-
уравнения (VI.2.21) с помощью метода Римана. Это нетрудно
сделать, однако полученный результат имеет достаточно
громоздкую форму и, кроме того, несет избыточную для
нас информацию. Поэтому разложим комплексную амп-
амплитуду субгармоники в фурье-спектр:
ОО
В (?, в) = —Д= [ Ф (g, О) ein9 dQ. (VI.2.22)

§ 2. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 165
и получим уравнение для фурье-амплитуды уже в обык-
обыкновенных производных:
Полоса усиления достаточно широка, |Q|<^l/2, что
в размерных переменных соответствует полосе @, со),
однако реально ее существенно обрезает, во-первых, спа-
спадание инкремента нарастания а = A/4 — й2I/* /2 при
отходе от центральной частоты и, во-вторых, конечная
ширина «спектра» источника на границе среды.
Сохраняя в решении уравнения (VI.2.23) только на-
нарастающие фурье-компоненты, можно записать выражение
для амплитуды сигнала с помощью обратного фурье-
преобразования:
В= { C(Q)ea<Q>*+«MdQ. (VI.2.24)
Используя теперь стационарность сигнала на границе:
С {Q)C* (Qr) = g (QN (Q — Q'), находим среднюю ин-
интенсивность субгармоники
— а(-)
1
= Л1\1 X e-^+Mdu. (VI.2.25)
—ОО
Если спектр на границе уже, чем полоса усиления
(О, со), в показателе экспоненты можно положить a (Q) ж
« A - 2Й2)/4, тогда
[Jp = 4(l + 2Д2!)~ ~e""(i)+^. (VI.2.26)
Решение (VI.2.26) показывает, что шумовой сигнал с ко-
конечной шириной спектра А нарастает по закону, несколько
более медленному, чем регулярный сигнал при S @) =
= я/2.
Необходимо заметить, что усреднение в формуле
(VI.2.26) проводится по достаточно большому (по срав-
сравнению со временем корреляции) промежутку времени.
В экспериментальных же условиях может получиться

16G ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
так, что временная разрешающая способность приемника
звука позволяет следить за флуктуациями интенсивности
(обусловленными конечными временами корреляции фазы)
от ее среднего значения (VI.2.26). В силу того, что спектр
шума предполагается узкополосным, сигнал на входе
можно представить в виде Vc = А (8) sin [9 + <р F)],
где А, ф — медленно изменяющиеся случайные амплитуда
и фаза. Теперь очевидно, что незначительные изменения
фазы ф F) вызовут сильные флуктуации амнлитуды уси-
усиленного (или ослабленного) сигнала и приемник будет
в этом случае регистрировать субгармонику крайне нере-
нерегулярным образом.
Большой интерес представляет проблема возникнове-
возникновения субгармоники в толще среды при отсутствии возму-
возмущения на границе. Аналогичное явление (так называемая
«параметрическая люминесценция») хорошо изучено в не-
нелинейной оптике [90]; здеоь затравочными возмущениями
служат квантовые шумы, равномерно распределенные по
объему среды. В ультразвуковом же диапазоне шумы
носят тепловой характер, и для объемной плотности
энергии шума в интервале частот А/ справедливо выра-
выражение
AW ^^-kTf^Af. (VI.2.27)
'о
Здесь к = 1,37 • 10~23 Вт-сек/град — постоянная Больц-
мапа, Т — абсолютная температура.
Прежде чем решать эту задачу, необходимо более под-
подробно обсудить ее постановку. Для простоты мы рассмат-
рассматриваем вырожденный случай, когда в формуле (VI.2.27)
2л/ — со/2 (где со — частота волны накачки). В отличие
от других задач, рассмотренных в настоящем разделе, на-
начальное возмущение считается заданным не при а = 0,
а при а — - а0. Для этого случая решение (VI.2.13),
(VI.2.14) с помощью переменной % удобно записать одной
формулой
Здесь А0, ф0 — амплитуда и фаза в точке о = о0- По-
ек@льку фв для теплового шума является случайной

§ 2. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ ВЕЗ ДИСПЕРСИИ 167
величиной, равномерно распределенной в промежутке
[О, 2я], решение (VI.2.28) необходимо усреднить по фазам.
В результате такого усреднения получается выражение
Л2 = А\еГ~а^"Ы ch ^~^° . (VI.2.29)
Поскольку среда предполагается нагретой равномерно,
интенсивность шума А\ не зависит от координаты |0.
Для вычисления наблюдаемой интенсивности в некотором
сечении \ нужно просуммировать все «сигналы», вышед-
вышедшие из точек ?0 (О <С, ?о "\ ?)> т- е- взять интеграл
ch -|- #• (VI.2.30)
Здесь интегрирование является сложной задачей, так
как выразить явно а через | затруднительно. Однако нас
интересуют только приближенные оценки, которые по-
помогут ответить на вопрос о возможности эксперименталь-
экспериментального обнаружения этого эффекта, и потому точное вычис-
вычисление интеграла (VI.2.30) необязательно. Если пренебречь
затуханием, то интеграл, легко берется
sh-f- = 2Alsh [4
J •
(VI.2.31)
Как показывает выражение (VI.2.31), максимальное
усиление достигается при а -* оо. При этом коэффициент
усиления по порядку величины равен 2sRe — точно такой
же результат получается, как мы видели, и в том случае,
когда источник сигнала локализован на границе. Таким
образом, распределенный источник не дает почти никакого
выигрыша, за исключением небольшого, быть может, из-
изменения численного коэффициента, стоящего перед 2eRe.
Итак, интенсивность усиленного шума можно определить
по формуле
j = J± kTf Be Re) A/. (VI.2.32)

168 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
Следует отметить, что ширина полосы приемника А/
ограничивается лишь требованием узкополосности сиг-
сигнала, и поэтому при больших числах Рейнольдса эффект
может быть доступен наблюдению.
В заключение укажем, что все результаты этого пара-
параграфа получены без учета ограниченности звуковых
пучков. Влияние дифракции — в тех случаях, когда оно
существенно (см. гл. IX),— приведет к уменьшению ам-
амплитуд волн на оси пучков и, следовательно, к ослаблению
нелинейного взаимодействия.
§ 3. Параметрическое усиление звука
в искусственных системах с дисперсией
Процесс параметрического усиления является одним
из наиболее интересных нелинейных эффектов в системах
с распределенными параметрами, пригодным для исполь-
использования в различных практических устройствах. Так,
применяемые в акустике приемники ультразвука в боль-
большинстве случаев состоят из акустической антенны, элек-
электромеханического преобразователя и усилителя электри-
электрических колебаний. Пределы чувствительности такого
приемника в значительной меце определяются собствен-
собственными шумами преобразователя. Непосредственное уси-
усиление акустического сигнала до преобразования повысит
чувствительность приемного устройства. Поэтому про-
проблема прямого усиления ультразвука представляет осо-
особый интерес.
Сравнивая результаты § 1 и § 2, нетрудно видеть, что
«широкополосность» свойств акустических сред являет-
является вредным фактором, уменьшающим эффективность па-
параметрического процесса. Это обстоятельство привело
к появлению большого количества работ, посвященных
отысканию специальных способов создания дисперсии.
В качестве примеров можно указать на предложенный
в работе [91] усилитель на твердом теле, в котором син-
синхронизм осуществляется между продольными и сдвиговы-
сдвиговыми волнами, скрещенными под углом друг к другу. Был
построен параметрический усилитель на кристаллах MgO
с примесями парамагнитных ионов [92]; здесь необходи-
необходимая дисперсия создавалась за счет магнитно-акустического

§ 3. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СИСТЕМАХ С ДИСПЕРСИЕЙ 169
резонанса. Среди недавних находок следует отметить
схему [93], в которой среда является недиспергирующей,
а нужные сдвиги фаз вносятся при отражениях на гра-
границах из-за частотно-зависимых импедансов. Наконец,
в работах [94, 95] были теоретически предложены и
практически осуществлены параметрические усилитель
и генератор ультразвука, использующие факт различия
фазовых скоростей для различных мод акустического
волновода. Этот перечень можно было бы продолжить.
С методической точки зрения нам представляется
целесообразным рассмотрение лишь одной такой задачи
[96] — о расчете усилителя в воде с распределенными
пузырьками воздуха.
Ультразвуковая волна, проходя через жидкость, со-
содержащую пузырьки воздуха, вызывает пульсации пу-
пузырьков. Проблема пульсации воздушной полости нахо-
находится в центре внимания одного из важнейших разделов
акустики, изучающего явления кавитации. Наша задача
отличается от традиционных в теории кавитации задач
тем, что мы не рассматриваем схлопывание пузырька и
сопутствующих этому схлопыванию явлений. В этом смысле
среда находится в докавитационном режиме. Предпола-
Предполагается, что жидкость насыщена воздухом так, что во всем
объеме жидкости постоянно поддерживается определен-
определенная концентрация воздушных пузырей. Под воздействием
ультразвуковой волны, проходящей через эту среду,
стенки воздушных полостей совершают вынужденные
колебания. Подобно тому как это принято в теории кави-
кавитации, мы пренебрегаем взаимодействием пузырьков и
ограничиваемся рассмотрением одиночного воздушного
пузырька.
Для изучения нелинейных волновых процессов в рас-
рассматриваемой среде уравнения гидродинамики должны
быть дополнены уравнением малых колебаний пузырька
воздуха в воде. Считая жидкость идеальной, в одномерном
случае имеем
f +
dt дх р дх

170 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
где р — плотность смеси вода -\- воздух, р — давление
и w — скорость среды. Движение стенки пузырька в при-
приближении несжимаемой жидкости описывается уравне-
уравнением Рэлея [8]:
дд + -|-Да=~(Рг-р). (vi.з.З)
Здесь R — радиус пузырька, р0 — плотность жидкости,
ре — давление газа в пузырьке, р — давление в среде,
окружающей пузырек. Точками обозначены производные
по времени. Запишем уравнение (VI.3.3) для объема пу-
пузырька V = 4/3лЛ3:
aV-lkV-^-V-i!3V2 = pr-p, ' (VI.3.4)
где а = ро/31/зDяJ/з.
Изменение давления в окружающей среде вызывает
пульсацию пузырька. Предположим, что отклонение дав-
давления от равновесного значения, а также колебания пу-
пузырька малы, т. е.
Р = Ро +Р', V=V0 +V, (VI.3.5)
-il<l, 4-<l. (VI.3.6)
Po v°
Если пренебречь теплообменом между воздушной по-
полостью и окружающей средой, то процесс можно считать
адиабатическим и записать уравнение состояния для воз-
воздушной полости в следующем виде:
Рг = Ро(^гУ- . (VI.3.7)
Подставляя выражения (VI.3.5) и (VI.3.7) в уравнение
(VI.3.4) и сохраняя малые члены порядка (F7F0J, получим
уравнение для малых колебаний идеального пузырька:
— аУ* — р BVV + F2) = - ер. (VI.3.8)
г. /- 9 т (т -f-1) p Зт/л
одесь введены обозначения: а -— -g——^ ^-, со^ =
= 1/8яЛо, е = AnRjQn, где Ro — равновесное значение

i 3. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СИСТЕМАХ С ДИСПЕРСИЕЙ 171
радиуса пузырька. Переменные V и р, штрихи над кото-
которыми опущены, здесь и в дальнейшем характеризуют воз-
возмущение объема и давления.
Как следуетиз уравнения (VI.3.8), нелинейный харак-
характер малых колебаний воздушной полости обусловлен
двумя причинами: нелинейностью уравнения состояния
газа в пузырьке aV2 и динамической нелинейностью
Р [2VV -\- V2]. В наиболее общем случае необходимо также
учесть диссипацию энергии в процессе колебания воздуш-
воздушного пузырька. Для этого дополним уравнение (VI.3.8)
членом, пропорциональным скорости изменения объема
пузырька:
У + со*У — aV2 - р BVV + V1) + /У = - &р. (VI.3.9)
Расчет показал, что нелинейность, обусловленная на-
наличием пузырьков воздуха, в 103—104 раз превышает
нелинейность гидродинамического характера. Поэтому
уравнения (VI.3.1) и (VI.3.2) могут быть линеаризованы.
При этом плотность смеси р в нелинейном члене уравнения
(VI.3.1) и справа в уравнении (VI.3.2) может быть отож-
отождествлена с равновесной плотностью воды р0. Здесь учет
отклонения значения плотности смеси р от значения р0
приведет лишь только к нелинейным поправкам, не су-
существенным при линеаризации уравнений. Однако при
вычислении производной dp/dt необходимо иметь связь
плотности смеси с другими макроскопическими характе-
характеристиками среды.
Плотность смеси при концентрации пузырьков п
может быть в равновесном случае представлена так:
-ц- = Рж A ~ nV0) + РвозЯУо- (VI.3.10)
Изменение объема смеси под воздействием поля уль-
ультразвуковой волны или при пульсации пузырьков опре-
определяется выражением
2- = Уж + VB03 = U- nV0U — n(U- nV0U) p + nVU =
= (С/ _ nV0U) (I — кр) + nVU. (VI.3.11)

172 гл. vi. параметрические явления в звуковых волнах
Здесь, как и в: формуле (VI.3.10), т — полная масса
смеси, U — полный объем. Коэффициент х характеризует
\ dV г,
сжимаемость воды и =—Т"я~ • расчете на единицу
объема выражение (VI.3.11) дает
Подставляя в формулу (VI.3.12) значение mlU в соот-
соответствии с выражением (VI.3.10), найдем при условии
nV0 << 1 и рж A — nV0) + pB03nV0 ж рж х р0:
f 1 — х/> + nV
Теперь из линеаризованных уравнений (VI.3.1) и (VI.3.2)
с учетом (VI.3.13) следует
где с0 — скорость распространения звука в жидкости.
Покажем, что среда, описываемая уравнениями (VI.3.9)
и (VI.3.14), обладает дисперсионными свойствами. Для
этого опустим временно в уравнении (VI.3.9) нелинейные
члены и член, ответственный за диссипацию энергии, т. е.
ограничимся уравнением
и примем возмущения давления и объема в виде гармони-
гармонических функций с частотой со, т. е. р ~ eiu>t hF~ еш.
Из формул (VI.3.14) и (VI.3.15) следует дисперсионное
соотношение
4г = -^г+ M2ATLcoV <VL3-16)
О 0 ^ 'О'
Откладывая по оси абсцисс'значения со, а по оси ординат
1/с2, мы получим дисперсионную кривую, представленную
на рис. VI.7.
Таким образом, полученные уравнения и проведенный
предварительный анализ их свидетельствует о том, что

§ 3. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СИСТЕМАХ С ДИСПЕРСИЕЙ
173
жидкость с пузырьками воздуха обладает нелинейными,
дисперсионными и диссипативными свойствами.
Как известно, для осуществления параметрического
усиления необходимо добиться эффективного взаимодей-
взаимодействия только двух волн: волны сигнала и волны накачки.
Если воздушные пузырьки, распределенные в воде, имеют
w
Рпс. VI.7. Дисперсионная кривая жидкости, содержащей
пузырьки воздуха с собственными частотами со0.
собственную частоту колебаний со0, то необходимое усло-
условие эффективного взаимодействия волны сигнала и волны
накачки может быть реализовано, если частота волны на-
накачки сон = 2со, где (о —• частота сигнала, и (он -\- (о да
да (о0. Тогда волна частоты 3<в будет в силу дисперсион-
дисперсионных свойств среды (см. рис. VI.7) сильно отличаться по
скорости от взаимодействующих волн.
Однако наряду с резонансными пузырьками (<в0 да
да 3(о) в среде будут присутствовать пузырьки меньших
размеров с более высокой частотой [96]. Вносимые этими
нерезонансными пузырьками расстройки по скоростям
малы, однако наличие их в воде существенно влияет на
нелинейные свойства среды. Если учесть наличие резо-
резонансных и нерезонансных пузырьков непосредственно

1?4 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЙ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
в уравнении (VI.3.14), то мы получим
Индекс 1 относится к нерезонансным пузырькам, 2 —
к резонансным, причем со2О ~ Зю и <»10^>(о20. Вместо
уравнения (VI.3.9) мы получим два уравнения, связыва-
связывающих давление в среде, окружающей пузырек, с движе-
движением воздушной полости:
p 2^
r 62 62 dt2
Первое уравнение устанавлизает нелинейную связь между
возмущением давления в среде и изменением объема не-
нерезонансной полости. Второе уравнение (VI.3.19) не со-
содержит нелинейный член, поскольку проведенные оценки
нелинейных и дисперсионных свойств резонансных пу-
пузырьков показали, что дисперсионные эффекты выражены
сильнее.
Решение уравнений (VI.3.17) — (VI.3.19) будем искать
в виде трех волн: волны сигнала, волны накачки и волны
суммарной частоты. Комплексные амплитуды этих волн
являются медленно меняющимися функциями х. Напишем
укороченные уравнения
dx
= — iAi^i -\- iv (p[ рг -\- p3pl), (VI.3.20)
^ = -;Д2^, (VI.3.21)
i2, ¦ (VI.3.22)
где pv p2, p3 — комплексные амплитуды волны сигнала,
накачки и суммарной волны соответственно, р\ и р\ —
комплексно-сопряженные амплитуды соответствующих

§ 3. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СИСТЕМАХ С ДИСПЕРСИЕЙ 175
ВОЛН
л Рп^2С°@Б2 а
1 = / ^у ' А2 = -
Ш20'
С° ZC020
Написав решение уравнений (VI.3.20) — (VI.3.22) в виде
- — Ах -t — Дж
(VI.3.24)
мы получим уравнения для Вг и В3:
r>* r r> \ с1Вз
Vi + Вз), -7- = — г
(VI.3.25)
где
Ai = Ai ~ V2A2, Д; = А3 - 3/2А2. (VI.3.26)
Представляя решение уравнений (VI.3.25) в виде
Вх = Се^ + ^ех*ж, ?3 = Gex^ + Яе>-**, (VI.3.27)
мы приходим к характеристическому уравнению
у1 + (г2 + 1 + 5а;2) уг + 9ж4 - 6га2 - а;2 + г2 = 0, (VI.3.28)
где у = л7Д3, ж = Vy4/A3, г = Aj/Дз.
Пусть Зсо отличается от со20 на 10%, тогда (A3/Ai) = 30,
и при 0,03 <^ х <^ 0,365 величина у является действи-
действительной. Следовательно, существует нарастающее решение
для волны сигнала Вг. Волна суммарной частоты В3
также увеличивается по амплитуде, но в этой области
ВЪ1ВХ -0,1.
Определим теперь функцию распределения резонанс-
резонансных воздушных полостей, которая обеспечила бы усиление
волны сигнала.

176 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
Пусть имеется некоторое распределение пузырьков
по частотам; п (со0) da0 — концентрация пузырьков, соб-
собственные частоты которых изменяются в пределах от со0
до со0 + dw0. Тогда удельный объем, занимаемый пу-
пузырьками, является функцией частоты:
Von (©„) dco0 = / (со0) cko0. (VI.3.29)
Введем расстройку по скоростям между волнами анало-
аналогично формулам (VI.3.23), считая со0 да Зсо:
. 9рос0(о^Ф . 9р,сош5Ф
1Ь (VI.3.30)
3
соо
Здесь ? — сжимаемость воздуха, Ф = j / (co0) d&0 —
полный объем, занимаемый пузырьками; черта означает,
что берется величина средняя по распределению / (со0).
Из выражения (VI.3.30) можно найти Дх и А3 согласно
формулам (VI.3.26). При Аз/А! = 30 имеет место усиление
волны сигнала.
Чтобы обеспечить A3/Ai = 30, распределение пузырь-
пузырьков по частотам (по размерам) должно быть таким, чтобы
Асо/юо я?. 0,1.
Как известно, основной вклад в затухание волны вно-
вносят резонансные полости. Поглощение звука пузырьками
нерезонансных размеров составляет обычно менее 5%
от поглощения при резонансе 196]. В нашем случае
(со20 да Зсо) это приведет к интенсивному поглощению
волны частоты Зю.
Приведем численные оценки возможного усиления
волны, распространяющейся в такой гипотетической среде.
Допустим, что концентрация перезонанспых пузырьков
обеспечивает следующее содержание воздуха: 10~5 частей
воздуха на одну часть воды и амплитуда волны накачки
равна 0,1 атм (мощность 10~3 Вт/см,2). Тогда можно ожи-
ожидать увеличения амплитуды сигнала в е раз на расстоя-
расстояниях, равных примерно 10 длинам волн.

ГЛАВА VII
НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН.
ЭФФЕКТЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
§ 1. Газодинамический подход
к теории распространения волн
конечной амплитуды
В основе исследований разнообразных физических
явлений, относящихся к нелинейной акустике, которые
были проведены в предыдущих главах, лежит единый
методический подход, характерный для нелинейной аку-
акустики вообще. Во всех случаях мы имеем дело с так назы-
называемым вторым приближением теории волн конечной
амплитуды. Об эффективности этого приближения сви-
свидетельствует в первую очередь хорошее совпадение теоре-
теоретических и экспериментальных результатов исследований.
Кроме того, второе приближение явилось как бы
связующим звеном для двух самостоятельных разделов
механики сплошных сред: физики ударных волн, исполь-
использующей нелинейный аппарат конечно-разностных соот-
соотношений, и акустики, ршеющей на вооружении математи-
математический аппарат нелинейных дифференциальных уравнений
в частных производных. Следует заметить, что при решении
ряда проблем нелинейно-акустический и газодинамический
подходы одинаково эффективны. В частности, правило
«равенства площадей» может быть получено как с помощью
интегральных соотношений на разрыве (см. гл. I, § 4),
так и предельным переходом Re-^-oo в решениях урав-
уравнения Бюргерса, (но не в самом уравнении!).
Однако в рамках второго приближения ценность газо-
газодинамической точки зрения еще невелика, поскольку

178 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
соотношения, связывающие параметры в простой и в
ударной волнах, оказываются одинаковыми с точностью
до членов второго порядка малости включительно.
В членах же третьего порядка малости появляется
различие, и это коренным образом меняет дело. Разрыв
перестает органически вписываться в профиль простой
волны. Для гладких областей профиля, наплывающих
на разрыв вследствие нелинейного искажения, связь па-
параметров изменяется скачком, что приводит к появлению
отраженных от разрыва волн. Картина движения сильно
усложняется, так как волна перестает быть бегущей
в одном направлении. Если гладкие участки профиля
могут быть описаны соотношениями Римана,.то разрывы
уже необходимо считать ударными волнами и описывать
их с помощью разностных газодинамических соотно-:
шений.
Эти и другие явления, присущие всем высшим при-
приближениям, начиная с третьего, требуют для своего
рассмотрения одновременного использования методов не-
нелинейной акустики и теории ударных волн [58, 97].
Поэтому если второе приближение иногда называют при-
приближением квазипростых волн [17], то все более высокие
уместно было бы называть газодинамическими прибли-
приближениями.
Итак, при распространении достаточно сильных зву-
звуковых волн конечной амплитуды в профиле образуются
разрывные участки, которые можно рассматривать как
слабые ударные волны. Сними взаимодействует падающая
на разрыв простая волна (гладкие участки профиля)
в области сжатия и в области разрежения. Взаимодей-
Взаимодействие оказывается возможным, поскольку все волны рас-
распространяются с различными скоростями: в первом случае
простая волна догоняет поверхность разрыва, а во вто-
втором — поверхность разрыва настигает простую волну.
Представим падающую волну произвольной формы
в виде совокупности ступенеобразных простых волн мень-
меньшей амплитуды, как это изображено на рис. VII.1. Тогда
весь процесс можно рассматривать как сумму «элементар-
«элементарных» взаимодействий, в каждом из которых элементарная
простая волна должна считаться малой величиной следу-
следующего порядка малости по сравнению с «амплитудой»

§ 1. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД
179
разрыва. Единичный акт такого взаимодействия представ-
представлен на рис. VII.2, иллюстрирующем очевидные соотноше-
соотношения между параметрами падающих на разрыв простых и
Pi
Рис. VII.1. Качественная
картина формирования
ударного фронта.
Рис. VII.2. Схема одиночного
(элементарного) взаимодействия.
отраженной волн и параметрами самого разрыва:
р;=ря+рш+рот-
v'i = v2 + vm + vm, (VII.1.3)
v'1 = v1 + vn. (VII Л.4)
Здесь v и р — соответственно скорость и возмущение
плотности среды. Индексом 1 помечены величины, кото-
которые относятся к точке, находящейся непосредственно
перед фронтом ударной волны, а индексом 2 — к точке
непосредственно за фронтом. Нештрихованные величины
характеризуют амплитуду скачка до взаимодействия,
штрихованные — после взаимодействия.
Для того чтобы рассчитать элементарный акт взаимо-
взаимодействия, т. е. получить выражение для отраженной

180 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
волны в виде функции от параметров скачка и падающих
на него простых волн:
Рот = Рот(р1, р2. Рш, Рпг). (VII.1.5)
соотношений (VII.1.1) — (VII.1.4) недостаточно. Нужно
воспользоваться также и выражениями, связывающими
параметры v и р на разрыве (v (p), v' (f>'))> в падающих
(Vni (Pni), vn2 (9т)) и отраженной (>от (p0T)) волнах.
§ 2. Расчет отраженных от разрывов волн
Прежде чем приступить к вычислениям, необходимо
условиться относительно порядков малости всех встреча-
встречающихся переменных. Поскольку величины, характеризу-
характеризующие взаимодействия, являются малыми величинами
первого порядка малости, т. е.
ро ро ро Ро со со со со г
надо все параметры, характеризующие простые падающие
волны, считать малыми величинами второго порядка:
iHi, fHL, IHL, iHL^u». (VII.2.2)
Ро ро ' со ' со r v ;
В целях упрощения последующих выкладок в настоящей
задаче параметры, характеризующие отраженную волну,
приняты малыми величинами четвертого порядка малости
(~ и4), как это и есть на самом деле в соответствии
с оценками (VII.1.1), (VII.1.2).
Займемся теперь выводом связей между параметрами
v и р, недостающих для решения поставленной задачи.
Поскольку падающая волна является простой, для
нее справедливо соотношение A.2.12), которое понадо-
понадобится нам в приближенной форме:
Щ+ ] (VIL23)
ро L 4 ро J • v '
Здесь необходимо учесть, что простая волна движется
по среде, предварительно сжатой (или разреженной)

I 2. РАСЧЕТ ОТРАЖЁННЫХ ОТ РАЗРЫВОВ ВОЛН 181
ударной волной, и поэтому последнюю формулу следует
переписать в виде
M^M (VH.2.4)
где (для определенности берем волну, догоняющую разрыв
сзади — в области сжатия):
l / Р (Ро)
Ро = Ро + Рг, с0 = I/ T r-
r pn
Подставляя (VII.2.5) в выражение (VII.2.4) и совершая
ряд преобразований, отбрасывая при этом члены — \v>
и более высоких порядков малости, придем к одной из
искомых связей:
Pro
Po
f'l 1
T
—
2
3
P2
Pn
1
1
1
(T
T
—
4
3)
3
(T
Pro
Po
-5)
'-^-Y\. (VII.2.6)
Выражение, связывающее vn\ и рп1, имеет в точности такой
же вид и получается из (VII.2.6) заменой индекса 2 при
всех параметрах на индекс 1:
.!2L = ZHL fi 4- т~3 -Hi 4- т~ Pnl 4-
со Pn L 2 ро 4 Ро
Несколько более сложным путем можно прийти к со-
соотношению между параметрами р и v на разрыве. Будем
исходить из двух механических условий (В.2.1), (В.2.2),
связывающих скачки величин р, v, p при переходе через
фронт ударной волны. Эти условия запишем в неподвиж-
неподвижной системе координат, учитывая скорость движения по-
поверхности разрыва С/ф:
(Ро + Pi)K - иф) = (р0 + р2)(г;2 -
Рх + (Ро + PiK^i - ЩУ = р2 + (р0 + р2)(гл2-С/фJ.

182 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
Первое из этих выражений позволяет исключить скорость
С/ф в выражении (VII.2.9), а затем избавиться в нем и от
переменной р с помощью адиабатического уравнения
состояния, разложенного в ряд до членов порядка — jj3
включительно:
, = ft + * + ii^i p. + ilzi!.» Z5i p.. (УИ.2Л0)
После нескольких, простых по своей схеме, но довольно
громоздких преобразований получим искомый результат
о со / \ Ро ро / ' 4 L V Ро / " V Ро /
5гг„ЗОг + 61 Г/ pi У' /_Р2\3
+ 90 [V ро ) \ Ро J
32 p2 V p0
Это выражение связывает параметры разрыва до элемен-
элементарного взаимодействия, т. е. до того момента, когда на
разрыв наплывут две ступенеобразные простые волны.
После взаимодействия значения параметров, разумеется,
изменятся, однако связь между ними останется той же
самой:
т-з[/Р;у /р.;
со Ро / \ ро ро ' 4 1Л ро / \ ро
5т2- 30т + 61
96 L\ ро / \ ро
32 р2 \ р0 р0
В качестве пояснения заметим также, что хотя на
первый взгляд формально в соотношениях (VII.2.И),
(VII.2.12) удержаны только малые члены третьего порядка
малости, но структура этих соотношений такова, что при
последующих преобразованиях учтенные в них порядки
малости повышаются, так что удержание последующих
членов разложения оказывается излишним.

§ 2. РАСЧЕТ ОТРАЖЕННЫХ ОТ РАЗРЫВОВ ВОЛН 183
Напишем, наконец, связь плотности и скорости для
отраженной волны:
Ро со
Знак минус здесь принят, поскольку отраженная волна
распространяется в сторону, противоположную направ-
направлению распространения взаимодействующих простых и
ударной волн. Соотношение (VII.2.13) принято линейным
в силу малости величины отраженной волны по сравнению
с величинами других возмущений. Отраженные волны,
вообще говоря, должны нелинейным образом взаимодей-
взаимодействовать с гладкими участками профиля, однако такая
постановка задачи выходит за рамки принятых в настоя-
настоящей работе приближений. Мы будем рассматривать отра-
отраженные волны как невзаимодействующие друг с другом
и с бегущей волной.
Таким образом, полная система уравнений для реше-
решения задачи об элементарном взаимодействии состоит из
девяти соотношений (VII.1.1) — (VII.1.4), (VII.2.6),
(VII.2.7), (VII.2.11) - (VII.2.13). Обратимся непосред-
непосредственно к решению этой системы, считая заданными следу-
следующие величины, характеризующие единичное элементар-
элементарное взаимодействие: рп1, рп2, pi и р.,. Чтобы определить
рот, вычтем выражение (VII.1.3) из выражения (VII.1.4)
и с помощью уравнений (VII.2.И) — (VII.2.13), (VII.2.6),
(VII.2.7) получим соотношение, в которое не входят
гидродинамические скорости взаимодействующих волн.
Затем с помощью уравнений (VII.1.1), (VII.1.2) исключим
параметры р^ и р2. При всех преобразованиях опускаются
малые члены, порядок которых ^б и выше. Окончательно
для отраженной волны получается выражение
Ро 64 \ ро Ро / V Ро ро / ч '
из которого нетрудно видеть, что последняя действительно
является малой величиной четвертого порядка малости
по сравнению с ударной волной.
Выражение (VII.2.14) полностью описывает задачу
об элементарном взаимодействии в принятых предполо-
предположениях о порядках малости величин. Обращаясь теперь

184 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
к более сложной задаче о взаимодействии простых волн
произвольной формы с ударной волной, когда параметры,
описывающие эти волны, являются малыми величинами
одинакового порядка малости (— \х,), следует вернуться
к рис. VII.1. Взаимодействие волн одинакового порядка
малости сводится к предыдущей задаче, если простую
волну первого порядка малости разбить на ряд «ступенек»
второго порядка (~^,2). Математически это означает, что
соотношению (VII.2.14) ставится в соответствие следую-
следующее дифференциальное уравнение:
ро / 64 \ ро ро / L V Ро I V Ро
(VII.2.15)
Интегрируя его, получим формулу
Ро 192
позволяющую вычислить отраженную волну по известной
величине «амплитуды» разрыва *).
Таким образом, образующиеся в профиле волны разрывы
можно рассматривать как «генераторы» отраженных волн
разрежения, распространяющихся в обратном (по сравне-
сравнению с исходной волной) направлении — к источнику звука.
При этом амплитуда суммарной отраженной от одного
разрыва волны является величиной третьего порядка
малости. Но точно такой же порядок ц3 имеет величина
скачка энтропии, как это показано во введении, § 2.
Поэтому для строгого решения настоящей задачи прин-
принципиально необходимо использовать неизэнтропическое
уравнение состояния и третье условие (В.2.3) на разрыве
198].
Более корректный расчет основан на применении
уравнения политропы:
р = (Т _ 1) рге Жтгц f
которое, будучи разложенным в ряд до членов ~ ц3,
*) Отраженная волна непосредственно наблюдалась на модели
линии передачи типа фильтра низких частот [136].

§ 2. РАСЧЕТ ОТРАЖЕННЫХ ОТ РАЗРЫВОВ ВОЛН 185
имеет вид
Все дальнейшие преобразования вполне аналогичны
тем, которые привели к выражению (VII.2.И), с той лишь
разницей, что приходится исключать лишнюю переменную
(s2 — Sj) — величину скачка, который претерпевает эн-
энтропия при переходе через фронт ударной волны. Это
можно сделать, вычислив s2 — st по формуле (В.2.8)
(существенно использующей третье условие на разрыве)
с помощью уравнения состояния (VII.2.17):
Аналог выражения (VII.2.11) имеет вид
_У]___^2_\ _ /_?!_ Р2_\ , Т —3 Г/ рх \2 _ / р2 \21
сп со ) \ ро ро / ~^ 4 [\ ро / V ро / J
+ 57 Г/_р1\з_ /_Р2_ \31 _
L\ Ро / \ ?о) \
2т-3 В?2./Л_^\ (VII.2.20)
32 р2 V ро ро / ч ;
96
а для суммарной отраженной волны получается следующая
формула:
Рот (т4-1)Eт — 3) 3
ро ~ 192
(_P!_.PL) (VII.2.21)
\ Ро ро / v '
Сравнивая этот результат с результатом (VII.2.16) менее
корректного расчета, легко заметить, что структура са-
самого выражения не изменилась. Изменился лишь числен-
численный коэффициент, что никак не должно сказаться на ка-
качественной стороне явления.
В дальнейшем (см. § 4 этой главы) нам придется со-
сопоставить ряд результатов, полученных как с помощью
газодинамического подхода, так и обычными методами

186
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЁ ВОЛН
нелинейной акустики. Поскольку при втором подходе
затруднительно учесть неизэнтропичность, мы будем всю-
всюду ниже пользоваться адиабатическим уравнением состо-
состояния. Там, где оба метода приводят к одинаковым коли-
количественным результатам, нужно говорить только об экви-
эквивалентности этих методов, не забывая, однако, что сами
результаты справедливы лишь качественно.
§ 3. Постоянная составляющая как следствие
нелинейного самовоздействия волн
Формула (VII.2.16) может быть использована при
решении задач о распространении волн конечной ампли-
амплитуды различных профилей при условии, что волны доста-
достаточно интенсивны и пренебрежение эффектами высших ,
порядков неправомерно.
Поскольку нам понадобится выразить величину раз-
разрыва как функцию пройденного волной расстояния, для
\
Рис. VII.3. Профиль пилообразной волны на входе системы.
качественного рассмотрения проблемы удобно взять волну
симметричной пилообразной формы. (В волне, гармони-
гармонической на границе среды, амплитуда разрыва есть более
сложная функция координаты; см. рис. 1.11.)
Итак, пусть на входе системы х = 0 задается волна
в виде симметричной пилы, как это показано на рис.
VII.3. Разрыв в такой волне формируется при значении
безразмерной координаты а = (e/cg) wvox =1, а при
0^> 1 он уменьшается по закону р2 (о)/р0 = —Pi (o)/Po =
= 2 (г;0/с0)/A -\- а). С помощью формулы (VII.2.16), в ко-
которой перейдем от параметра р к параметру v, с учетом

§ 3. ПОСТОЯННАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ
187
убывания пикового значения волны при распространении
в среде, найдем волну, отраженную от одной поверхности
разрыва:
"от _ (Т + 1J [ *>ох3
со
3 A + аK
Со
(VII.3.1)
Координата о характеризует положение разрыва, форми-
формирующего отраженную волну.
При расчете полной отраженной волны необходимо
просуммировать волны, отраженные от всех поверхностей
разрыва. Поскольку ударные фронты возникают только
при значении параметра о = 1 и образующиеся отражен-
отраженные волны разрежения рас-
распространяются к излуча-
излучателю (последний следует
считать полностью прони-
проницаемым), передние фронты
отраженных волн для ка-
каждого периода возмущений
имеют место только в об-
области 0 <^ а <^ 1.
В области значения па-
параметра а ^> 1 отраженная
Рис. VII.4. Суммирование волн,
отраженных от различных разры-
разрывов, приводящее к возникновению
постоянной составляющей.
волна асимптотически стре-
стремится к нулю. Для наг-
наглядности эти рассуждения
проиллюстрированы на
рис. VI 1.4, где отражен-
отраженные волны рот/р0 представлены в зависимости от ко-
координаты а для следующих друг за другом периодиче-
периодических возмущений. Стрелкой указано направление рас-
распространения отраженных волн, так что первая из пред-
представленных на рис. VII.4 отраженных «ступенек» соот-
соответствует тому периоду возмущений, который раньше
достиг значения о* = 1.
Участок распространения волны от а = О до а = 1,
таким образом, все время «питается» новыми и новыми
отражениями от поверхностей разрыва, что создает об-
область разрежения вблизи излучателя, которая остается
постоянной до координаты х, соответствующей значению
параметра о = 1, н асимптотически спадает на бее-

188 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
конечности. Отраженная волна на участке а <" 1 перио-
периодична с тем же периодом, что и исходная пилообразная
волна. Это позволяет просуммировать отраженные волны,
так что полное течение может быть представлено в виде
ряда:
(VII.3.2)
Заменяя выражение (VII.3.2) интегралом, поскольку при
п стоит малый параметр v0/c0, получим
Z?I=_l+i(JM2 *_ ¦ (VII.3.3)
ро 6я \ оа ) A -f- бJ ч у
Учитывая, что формула (VI 1.3.3) остается справедли-
справедливой в области асимптотического спада отраженных волн
(область значения параметра а > 1), покажем, что при
значении параметра а <^ 1 суммирование элементарных
отраженных волн приводит к выводу о наличии постоян-
постоянной составляющей (обязанной своим происхождением
тому факту, что отраженная волна суть однополярный
импульс). Для этого возьмем интеграл по а от выражения
(VII.3.3) в пределах одного периода элементарной отра-
отраженной волны, т. е. от единицы до 1 -|- я (у -\- I)(v0/c0).
Такое интегрирование дает значение постоянной состав-
составляющей на участке а <^ 1. Постоянная составляющая,
как легко видеть, будет равна
Ро
от
Ро 24л
что совпадает с выражением (VII.3.3) при значении а = 1.
Распространение волн конечной амплитуды, таким
образом, сопровождается постоянным течением, извест-
известным в акустике как акустический ветер. Следует отме-
отметить, что рассмотренное в этом параграфе течение, в от-
отличие от классических акустических потоков (см. гл.
VIII), не связано с диссипацией волны и представляет
собой чисто нелинейный эффект.
Поскольку решалась одномерная задача, то сам факт
возникновения отраженных от поверхностей разрыва

§ 4. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ С УЧЕТОМ ОТРАЖЕНИЯ 189
волн разрежения, рапространяющихся по направлению
к источнику излучения, потребовал введения в целях
математической строгости предположения об абсолютной
проницаемости источника и условия излучения на отри-
отрицательной бесконечности. Разумеется, область разре-
разрежения, возникающая в звуковом луче, заполняется окру-
окружающими частицами среды, что может вызвать опре-
определенные циркуляционные эффекты, однако подобная
постановка проблемы выходит за рамки рассмотренной
задачи.
Отметим еще раз, что в области от излучателя до коор-
координаты 0 = 1 течение постоянно, а при значении а ^> 1
асимптотически стремится к нулю, сохраняя свое направ-
направление от излучателя к приемнику.
§ 4. Модифицированный нелинейно-акустический
подход. Простые волны с учетом отражения
Воспользуемся полной системой уравнений, описыва-
описывающих распространение волн конечной амплитуды в вяз-
вязкой, теплопроводящей среде (В.1.4), (В.1.5), (II.1.2) (по-
(Т — 1)(Т — 2) со /,
следнее уравнение дополним членом ^ -— р •* —
Ро
— (х3). Примем, как обычно, диссипативный коэффициент
Ь, а также возмущение скорости, плотности и давления
за малые величины первого порядка малости. Ограни-
Ограничимся рассмотрением эффектов, имеющих место при боль-
больших числах Рейнольдса. В предположении медленного
изменения профиля волны при ее распространении в си-
системе, введем сопровождающую систему координат цх
ит= i — {xlca), где [I — малый параметр первого порядка
малости, учитывающий факт медленного искажения.
Переходя к координатам т, цх после исключения р из
уравнения (В.1.4) с помощью уравнения (II.1.2), получим
с точностью до членов порядка и3:
J_ / 1 v_\ _дР^ , Л_ д?_ 4_ / 1 , _?_ \ dv_
Ро' \ со ) дт ~*~ ро дх со V ~*~ ро / 9т "¦"

190 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
дх ^ v дх
_ А. \\ 4- (г -1) _p11_?p1 i _A_ _?i _
ро L Ро J <^ с2р0 S^
(VII.4.2)
Умножим уравнение (VII.4.1) на с0 A — v/c0). После
сложения полученного уравнения с уравнением (VII.4.2)
и замены в малых членах второго порядка малости v
на р' на основе самосогласованных выражений, получен-
полученных во второй главе (см. (II.1.12), (II. 1.13)), найдем
L 2с» Ро
(т-3)
4с0 \ ро / J dt
т~3 Е!Лi!?l5& g2p'
2сзро L Т 2 ро J
Аналогичные преобразования приводят ко второму урав-
уравнению для переменной v:
L "*" 4 cojax^|_ 2co со ^ 8с0
Т + 1 г; I d*v 36
j
2c^p0 L " uo j ui- 4c-po
Полезно провести сравнение уравнений (VII.4.3) и
(VII.4.4) с уравнением (П.1.10). Отличие в уравнениях,
описывающих медленные изменения профилей скорости и
плотности звуковой волны, сказывается только в третьем
приближении, когда волны перестают быть простыми после
образования разрывов, Сведение уравнений (VII.4.3) и

§ 4. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ С УЧЕТОМ ОТРАЖЕНИЯ 191
(VII.4.4) к одинаковому виду на основе самосогласован-
самосогласованных выражений типа (II. 1.12) следующего приближения
невозможно. Это связано с тем, что в третьем приближе-
приближении формы волн скорости и плотности уже различаются.
Точное решение уравнения (VII.4.3), точно так же как и
уравнения (VII.4.4), не может быть получено аналитичес-
аналитически, поэтому проведем поэтапное рассмотрение процесса,
предполагая, что на входе системы задано краевое условие:
при х = 0 р'= pi sin сот. Тогда, как это принято в случае
больших чисел Рейнольдса Re J§> 1, на первом этапе рас-
распространения волны конечной амплитуды можно пренеб-
пренебречь диссипативными эффектами, опустив члены, стоящие
справа в уравнении (VII.4.3). Получающиеся таким спо-
способом уравнения в методе поэтапного упрощения принято
называть упрощенными. Решение упрощенного уравнения
с точностью до малых величин третьего порядка малости
имеет вид
cot = arcsm
' Ро
Решение уравнения (VII.4.5), анализ которого удобнее
всего провести графически, уже указывает на несимметрич-
несимметричный характер искажения профиля волны. Отложим, как
показано на рис. VII.5, а, по оси абсцисс значение р'/ро> а
по оси ординат — значение сот. Как видим, волновой про-
профиль в соответствии с формулой (VII.4.5) представляет со-
собой сумму трех функций: арксинуса, прямой и параболы.
При этом тангенс угла наклона прямой увеличивается по
мере распространения волны от источника, и это возра-
возрастание пропорционально х и амплитудному значению
плотности волны на входе системы.
Аналогичную зависимость по х обнаруживает и пара-
парабола, с той лишь разницей, что здесь эффекты сказываются
в следующем порядке малости — пропорциональны квад-
квадрату амплитуды волны на входе системы. На рис. VII.5, б
представлена сумма всех трех функций, дающих профиль
волны на некотором расстоянии х от входа системы. Этот
профиль сформирован из первоначально синусоидальной

192
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
волны и может быть построен на любом удалении от источ-
источника вплоть до точки формирования разрыва, когда функ-
функция становится многозначной.
На основе метода поэтапного упрощения эта вторая об-
область распространения волны может быть исследована с
Рис. VI1.5. Несимметричный профиль волны в соответствии с ре-
решением (VII.4.5): а) все три слагаемые формулы (VII.4.5); б) резуль-
результирующий профиль.
помощью вспомогательной задачи о распространении оди-
одиночного стационарного скачка плотности в среде, т. е. мы
ограничиваемся исследованием стационарного решения
уравнения (VII.4.3), когда производной по х можно пре-
пренебречь.
Упрощенное уравнение имеет вид
(Т -f-1) p' dp' Ъ с/у у — 1 Ъ
2с0 ро dx 2c*po й%г 4 сЪ
dp' \2
Чх~) ¦
(VII.4.6)

§ 4. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ С УЧЕТОМ ОТРАЖЕНИЯ 193
В отличие от аналогичного уравнения второго прибли-
приближения (II.2.7), правая часть уравнения (VII.4.6) не равна
нулю. Решение последнего существует лишь при условии
несимметричного скачка, и эта несимметрия сказывается в
следующем порядке малости, т. е.
р' = ро при х -» оо,
р' = — р0 — Д при х —> — >->,
где
На рис. VII.6 построен профиль одиночного скачка
плотности на основе аналитического решения уравнения
Д.
-шх
Ро
t
Рис. VII.6. Несимметричный стационарный скачок плотности,
движущийся со скоростью си.
(VII.4.6). Приведенный скачок плотности — квазистацио-
квазистационарный фронт волны — распространяется без искажения
со скоростью с0, что при наличии несимметрии эквивалент-
эквивалентно появлению постоянного течения в направлении рас-
распространения волны.
Действительно, вводя вместо х — t — (х/с0) новую
сопровождающую координату х' = t — [х/с0 A -j- б)], где
коэффициент б характеризует приращение скорости рас-
распространения волны, можно получить вместо (VII.4.6)

194 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
уравнение следующего вида:
2с0 ро dx' 2cj;po dx'% ~~
= (Т-1)Ь /rfpl^__8_ rfgl (VH.4.8)
4c2po ^ dx I c° dx '
Уравнение (VII.4.8) по сравнению с уравнением
(VII.4.6) содержит дополнительный член, позволяющий
найти решение, описывающее симметричный профиль вол-
волны. Такое решение возможно при значении коэффициента
Следовательно, достаточно интенсивный симметричный
одиночный стационарный скачок распространяется со ско-
скоростью, большей скорости звука; это приращение скорос-
скорости пропорционально квадрату акустического числа Маха.
Качественная оценка изменения скорости распростра-
распространения фронта волны проводилась в монографии [7], фор-
формула A.5.7). Однако при вычислении скорости фронта в [7]
использовались соотношения, справедливые для простых
волн. Квадратичные поправки в формуле A.5.7) определе-
определены благодаря учету малых членов третьего порядка малос-
малости по числу Маха. Естественно, формула (VII.4.9) не согла-
согласуется с формулой A.5.7), поскольку в последней не учтены
отраженные от поверхностей разрыва волны, сказываю-
сказывающиеся именно в третьем порядке малости.
Используя ранее найденное значение амплитуды отра-
отраженной волны (VII.2.16), дополним в третьем прибли-
приближении римановские соотношения для простой волны:
(VII.4.10)
M. м
Здесь Мо = Ро/Ро> индексом 1 помечены величины, отно-

§ 4. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ С УЧЕТОМ ОТРАЖЕНИЯ 195
сящиеся к точке, находящейся непосредственно перед
фронтом волны, а индексом 2 — к точке непосредственно
за фронтом. Поэтому отраженная от поверхности разрыва
волна включена в первые два из приведенных выше соот-
соотношений. Определяя скорость фронта с помощью выра-
выражений (VII.4.10), найдем
п _ Р° ( - гч) -f р^2 - p^'i _ г 2
* Z^V ° [
(VII.4.11)
Таким образом, приращение скорости фронта оказалось
численно равным значению б (формула (VII.4.9)), несмотря
на принципиально различный подход. Следует отметить,
что квазистационарное решение, дающее структуру фрон-
фронта, остается справедливым и для предельного перехода
# —> 0, однако такой предельный переход в исходных урав-
уравнениях (VII.4.3) и (VII.4.4) неправомерен, поскольку
приводит к неоднозначным результатам. Действительно,
полагая, например, Ь — р,2, при переходе к упрощенному
уравнению можно все члены уравнений (VII.4.3), (VII.4.4)
умножить на выражение вида 1 + (Av/c0), где А — кон-
константа. При этом изменится нелинейная часть упрощен-
упрощенного уравнения, тогда как диссипативная часть остается
без изменений. Эта неоднозначность устраняется как раз
благодаря удержанию малых членов третьего порядка
малости по диссипации.
Во втором параграфе были найдены соотношения, свя-
связывающие значения гидродинамической скорости v и воз-
возмущения плотности р' в ступенькообразной симметричной
ударной волне (VII.2.11), (VII.2.12). Эти соотношения
неявным образом учитывают наличие отраженной волны.
Подставляя соотношение (VII.2.И) в выражение для ско-
скорости фронта, после несложных преобразований приходим
к результату, точно совпадающему с формулой (VII.4.11).
Итак, при вычислении постоянной составляющей ско-
скорости оба метода дают совпадающие результаты. Прира-
Приращение скорости представляет собой акустическое течение,
имеющее место при распространении одиночного стацио-
стационарного скачка и являющееся следствием нелинейного са-
самовоздействия волны.

196
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИК ВОЛН
-СОХ
Рис. VII.7. Один период доста-
достаточно интенсивной волны, гармо-
гармонической на входе в систему.
Возвращаясь к волне синусоидального профиля, можно
было бы все разрывные участки волны заменить гладкой
функцией, представленной на рис. VII.6. Однако, в от-
отличие от задачи второго приближения, когда положение
фронта однозначно определяется по равенству площадей,
в настоящей задаче такое
построение неправомерно.
Равенство площадей не вы-
выполняется, и в соответст-
соответствии с квазистационарным
решением фронт волны
оказывается смещенным.
Синусоидальная волна
во второй области распро-
распространения может быть ка-
качественно представлена
так, как это показано на
рис. VII. 7. Такое постро-
построение проведено на основе
«сшивания» решений для
первой и второй областей
распространения волны. Пунктирной линией отмечена по-
постоянная составляющая плотности. Это постоянное тече-
течение, существующее в области распространения волны, ес-
естественно, затухает по мере ослабления звуковых возмуще-
возмущений, когда эффекты третьего порядка малости пренебре-
пренебрежимо малы. Волновые профили становятся симметричны-
симметричными, и при последующем рассасывапии фронтов волна вновь
превращается в синусоидальную на расстоянии, не зави-
зависящем от амплитуды сигнала на входе системы кх = 4Re/M.
Постоянное течение, найденное во вспомогательной зада-
задаче для одиночного стационарного скачка и не зависящее от
ст, при переходе к периодическим возмущениям обращается
в нуль на конечном расстоянии от излучателя. Это расстоя-
расстояние определяется диссипативными свойствами среды. Чис-
Число фронтов, участвующих в формировании отраженных
волн, п — Rc/M (процесс формирования течения рассмат-
рассматривался в § 2). Если учесть диссипативные свойства среды,
то интеграл в формуле (VII.3.2) нужно брать в конечных
пределах, и скорость постоянного течения обратится в нуль
при значении безразмерной координаты ст — Re.

ГЛАВА VIII
АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
§ 1. Вывод системы уравнений
для акустических течений
Распространение мощных звуковых волн в жидких и
газообразных средах часто приводит к появлению неперио-
непериодических движений среды типа потоков. Точнее, в каждой
точке пространства полное возмущение становится суммой
¦
-
¦
¦
-
¦
-
¦
-
-
¦
-
-
¦
¦
-
¦
Рис. VIII. 1. Возникновение медленного течения на фоне
осцилляции.
осциллирующего (с периодом звука) и некоторого квази-
квазипостоянного движения, показанного на рис. VII 1.1 штри-
штриховой линией в несколько преувеличенном виде.
Это полное движение можно усреднить по промежутку
времени Т, кратному 2 я/со; Т должно быть многр брлыод

198 ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
периода осцилляции 2 л/со, но, с другой стороны, много
меньше, чем характерное время изменения скорости пото-
потока т. «Огрубляя» таким образом истинный процесс, мы при-
придем к гидродинамической задаче о течении вязкой среды в
поле внешних сил. Однако появление поля сил, а следова-
следовательно, и течение, вызывается распространяющейся звуко-
звуковой волной и определяется акустическими характеристи-
характеристиками волны. Итак, при рассмотрении явления «звукового
ветра» акустические и гидродинамические параметры тесно
переплетаются между собой.
Исходная система уравнений состоит из уравнения дви-
движения в форме Навье — Стокса:
(VIII.1.1).
и уравнения непрерывности
Эта система может описывать произвольные движения
сплошной среды. Для изучения же медленных (по срав-
сравнению со скоростью звука) течений применимо приближе-
приближение несжимаемой жидкости. Как известно из гидродина-
гидродинамики [1], считать жидкость несжимаемой (р = р0 =
= const) можно при условии U/co<^ 1, где U — скорость по-
потока. При этом уравнение (VIII.1.2) примет простой вид
div?7 = 0, (VIII.1.3)
а уравнение (VIII.1.1) перейдет в следующее:
где F — сила, действующая на единицу массы. Отметим,
что в случае нестационарных течений для перехода к си-
системе (VIII. 1.3), (VIII. 1.4) необходимо выполнение еще од-
одного условия: характерное время т изменения скорости U
должно быть много больше того времени, за которое звук
успевает пробежать рассматриваемую область (условие
квазистационарности).

§ 1. ВЫВОД СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 199
Итак, пусть выполнены все указанные ограничения.
Покажем, как из исходных уравнений (VIII.1.1), (VIII.1.2)
получить систему (VIII.1.3), (VIII.1.4) в явном виде.
Представим параметры р, v, p в форме [99]:
Р = Ро + Ра, Р = Ра + Ра, V = V0 + Vi, (VIII.1.5)
где
о
т
^p*dt = O, (VIII.1.6)
о
т
= — \ V-Jt = 0.
Иными словами, усредненные значения параметров
Р == Ро> Р — Poi v = v0 должны характеризовать акусти-
акустические потоки. Однако нелинейный характер исходных
уравнений несколько усложняет картину, и линейная су-
суперпозиция волны и потока, предположенная при записи
(VIII.1.5), на самом деле не имеет места. В этом легко убе-
убедиться, подставляя выражения (VIII.1.5) в уравнение
(VIII.1.2) и усредняя его по времени. Получим
(VIII.1.7)
Сравнивая выражение (VIII. 1.7) с уравнением (VIII. 1.3),
можно заметить, что смысл скорости течения имеет ве-
величина U — v0 + Pa^a/Poi а не v0. Именно U характери-
характеризует средний перенос массы среды. Действительно, поток
массы через некоторую поверхность S определяется ин-
интегралом
vo -\

200 ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
Таким образом, вместо (VIII.1.5) надо писать
Р = Ро + Ра (Г, t), р = ра(Г, \lt) + Pb(r
v = U{r, \it) + va (r, t) - A!l..
Теперь сложим уравнения (VIII.1.1) и (VIII.1.2), ум-
умножив их на р и v соответственно. Получим
— (pv) + Р (г'Д) v + v div « =
( ) (VIII.1.9)
Подставляя в это уравнение выражения (VIII.1.8), усред-
усредним его по времени и сохраним члены до второго порядка
малости включительно, считая U/c0, vjco, pa/p0 — И-
В результате придем к уравнению (VIII. 1.4), в котором
F = — (vaV)va — va div va Д (pava) —
-~4-(?+4)graddiv(p^)- (viii.1.Ю)
Итак, задача об определении акустических течений дей-
действительно сводится к системе уравнений (VIII. 1.3),
(VIII. 1.4) для течения вязкой несжимаемой жидкости.
Найдем явный вид выражения F для некоторых част-
частных случаев. Если течение вызвано плоской бегущей вол-
волной, то va/c0 = ра/р0; в выражении (VIII.1.10) не равны
нулю только производные д/дх и оно принимает вид
'---q -тгт • (VIII.1.11)
ох росо oxL ч '
Для Re <C: 1 бегущая волна описывается выражением
(В. 1.29). Вычисляя v\, найдем
^=1°-е-***. (VIII. 1.12)
Если (M/ReJ «^ 1, то в выражении для F можно ограни-
ограничиться первым членом и
F = avte-%ax. (VIII. 1.13)

§ 1. ВЫВОД СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 201
Обычно предполагают, что размеры рассматриваемой об-
области много меньше 1/2а и изменением амплитуды волны
можно пренебречь. Тогда е~2ах я? 1 и [100]
F = av0. (VIII.1.14)
Естественно, что в этом случае (когда Re <s^L 1) при стрем-
стремлении коэффициента поглощения волны а к нулю сила F
обращается в нуль и акустические течения не возни-
возникают.
Для Re ;$•> 1 можно воспользоваться формулами A.5.3)
или A.5.9), описывающими волну на этапе 0 <Г сг <Г 1,
либо формулами (II.2.10), (II.2.11) на этапе ст > л/2.
Как было показано ранее (см. A.5.16)), при ст <Г 1
v2 = vl/2 и, следовательно, F = 0. В области же а ^> л/2
образуется крутой ударный фронт, и характер затухания
волны становится существенно иным; мы вправе ожидать
поэтому сильного отличия от выражений (VIII.1.12)—¦
(VIII.1.14). Решения (И.2.10), (И.2.И) в предельном слу-
* ее Re —» оо переходят в A.5.13), A.5.14).
Вычислим F в этом важном частном случае, когда тече-
течение вызывается распространяющейся идеальной пилооб-
пилообразной волной. Для «пилы» со сглаженным фронтом
(II.2.10), (П.2.И) выкладки вполне аналогичны и проде-
лываются без труда. (Лишь окончательный результат
оказывается несколько более громоздким.) Используя
выражение A.5.18) для v\, на основе (VIII.1.11) получим
Р=Щг-7^ГТ- (VIII. 1.15)
В формуле (VIII.1.11) мы ограничились первым членом,
предположив, что M2/Re<^l. Если к тому же рассматри-
рассматривать достаточно короткую область, в которой 3 ^
гк const, то F примет вид [101, 102]

202
ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
Величина константы G, как нетрудно видеть, зависит от
местонахождения рассматриваемой области. Очень суще-
существенно, что в этом случае (Re ^> 1) выражение (VIII. 1.16)
для F не зависит от коэффициента поглощения а. Это свя-
связано с особым характером затухания пилообразной волны,
что уже многократно подчеркивалось ранее. Итак, при
Re ^>> 1 силы, вызывающие акустические течения, формаль-
формально существуют и в предельном случае среды с нулевой вяз-
вязкостью.
§ 2. Эккартовские течения
Рассмотрим, следуя Эккарту [100], акустические пото-
потоки в области со следующей геометрией: звуковой пучок
радиуса rL распространяется в цилиндрической трубе ра-
радиуса г0 с жесткими стенками. В начале координат (при
Рис. VIII.2. Потоки в замкнутом объеме. Параллельными штрихо-
иыми линиями отмечена область эккартовского течения.
х = 0) находится непроницаемый торец, на котором рас-
расположен источник звука. Труба является полубесконеч-
полубесконечной, т. е. отраженной волны в ней не возникает. Этот ре-
режим можно осуществить, например, расположив идеаль-
идеальный поглотитель звука на некотором расстоянии от источ-
источника (см. рис. VIII.2).
В такой постановке задачу целесообразно решать в
цилиндрической системе координат. Исходная система

§ 2. ЭККАРТОВСКИЕ ТЕЧЕНИЯ 203
уравнений (VIII.1.3), (VIII.1.4) принимает вид
dt ' ~г дг ' х дх
_ р 1_ дро
%- + -k№-+w(T-k<rVr))]. (V....2.2)
ро дх
диг п диг тт диг
^ а/7о , г) г s2j/r ,_ a
~ ро
8UX , j__3
Этот параграф целиком посвящен так называемым эк-
картовским (одномерным) течениям, при рассмотрении ко-
которых пренебрегают зависимостью скорости потока от ко-
координаты х.
Итак, предположим, что имеется некоторая область,
заключенная между двумя поперечными сечениями трубы,
в которой производная dUJdx пренебрежимо мала (см.
рис. VIII.2). Из уравнения (VIII.2.3) следует, что при этом
Ur = 0, а уравнение (VIII.2.2) приводит к соотношению
dpjdr = 0. Таким образом, р0 есть функция только от х, t.
Обозначая Uх просто через U и принимая во внимание все
замечания, вместо уравнения (VIII.2.1) придем к следую-
следующему:
(rFg.
dt ро г дг \ дг I ро дх
Сила F, вызывающая поток, обусловлена поглощением
звуковой волны и в зависимости от характера поглощения
может быть записана по-разному (VIII. 1.14), (VIII.1.16).
Звуковой пучок считается коллимированным; при выбран-
выбранной-геометрии пучка для силы F справедливо следующее
представление:
F (г) = АЪ{гх—г),
где
В качестве константы А здесь можно взять любое из выра-
выражений (VIII.1.14), (VIII.1.16). Будем считать, что F от
времени не зависит, т. е. сила устанавливается мгновенно

204 ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
с приходом звука в точку наблюдения. Пусть этому мо-
моменту соответствует время t = 0.
Поскольку все члены в уравнении (VIII.2.4) зависят
1 8v0
только от г, t, следовательно, градиент давления ^
Ро °х
также есть функция г, t. Но было показано, что р0 от г не
зависит. Поэтому ¦—¦ = K(t) и уравнение для одномерных
Ро ох
акустических течений принимает вид
4^._JLi 3 (r^L)= F(r)-K(t).
Уравнение (VIII.2.6) вместе с граничными условиями
U (г0, L) = 0, | U @, ()|<« (VIII.2.7)
и нулевым начальным условием U (г, 0) = 0, а также с
дополнительным требованием равенства нулю полного по-
потока массы через поперечное сечение трубы:
позволяет определить искомую скорость течения U (r, t) и
неизвестную функцию К (t).
Рассмотрим вначале установившееся течение, когда
dUldt =0, К (t) = К (эо) = const. Уравнение (VIII.2.6)
превращается при этом в обыкновенное дифференциаль-
дифференциальное уравнение
Интегрируя (VIII.2.9) и используя условия (VIII.2.7),
(VIII.2.8) для определения двух произвольных констант и
величины К (ос), получим решение
и
и0
— ln-?i- При 0<r<rlf
(vm.2.io)

§ 2. ЭККАРТОВСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
205
Здесь
(VIII.2.11)
Профиль радиального распределения стационарной
скорости потока изображен на рис. VIII.3, кривая t3.
Скорость течения достигает максимального значения на
оси системы. При увеличении
г скорость уменьшается до
нуля (на расстоянии, вообще
говоря, не равном >\) и затем
меняет знак. Когда звуковой
пучок полностью заполняет
трубу, т. е.
j\— г
0,
скорость
потока тождественно обра-
обращается в нуль.
Теперь перейдем к рас-
рассмотрению процесса установ-
установления акустического ветра
[103]. Здесь удобно произве-
произвести следующее разбиение ис-
искомых функций:
Рис. VIII.3. Процесс
установления эккартовского
течения.
U (г, t)= U (г, *>) + Ua (r,t), К (t) = К (ос) + Кп (t),
(VIII.2.12)
U (г, ос), К (ос) — это уже известное стационарное ре-
решение, a Uu, Кп ¦— искомые нестационарные добавки. Вы-
Вычитая (VIII.2.9) из (VIII.2.6), получим уравнение для
ЯП м „ / ЛГГ \
.2.13)
8U,
at
—
ро
дг
Граничное условие на стенке трубы и дополнительное ус-
условие равенства нулю полного потока массы через попе-
поперечное сечение имеют место по-прежнему, зато начальное
условие становится неоднородным:
n (г, 0) - - U (г, оо).
(VIII.2.14)
Функцию Кн (t) удобно определить до того как будет
найдено явное решение уравнения (VIII.2.13). Для этого

20fi ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
следует умножить обе части уравнения (VIII.2.13) последо-
последовательно на г и г3 и проинтегрировать в пределах от 0 до г0.
Используя затем дополнительное и граничное условия,
можно получить два простых соотношения, из которых и
находится величина Кн:
= ±~\ r*UH(r, t)dr.
Подставляя (VIII.2.15) в уравнение (VIII.2.13) и решая его
методом разделения переменных, найдем
(VIII.2.16)
Здесь Цп — корни функции Бесселя второго порядка.
Коэффициенты Сп нужно определить из начального усло-
условия (VIII.2.14), разложив для этого стационарное решение
(VIII.2.10) в ряд по системе функций
J,{^'). (VIII.2.17)
Непосредственное разложение по функциям (VIII.2.17)
производить неудобно, поэтому вместо решения (VIII.2.10)
. . 1 d /U (г, оо)а
введем <р (г) = — -j— I —у-—- и разложим ш в ряд по пол-
ной и ортогональной с весом г3 на отрезке [0, г0] системе
собственных функций
B) \ / B)
\^-r) -Г^-г, 2/0=1 (VIII. 2.18)
краевой задачи
(VIII.2.19)
Возвращаясь затем от ф к стационарной скорости U (г, оо)
и сравнивая полученное разложение с формулой

§ 2. ЭККАРТОВСКИЕ ТЕЧЕНИЯ 207
(VIII.2.16), взятой при 1=0, найдем
С" = 477 ~—— (g)8 2 B) • (VIII.2.20)
Окончательное выражение для скорости акустического по-
потока имеет вид
X
X [/0 (-^ г) - /0 (и®)] . (VIII. 2.21)
Заметим, что в полученном выражении легко обнару-
обнаруживаются известные предельные переходы. Скорость по-
потока обращается в нуль при ?\ = г0 за счет выражения,
стоящего в квадратных скобках в формуле (VIII.2.20).
Чтобы в этом убедиться, достаточно воспользоваться ре-
рекуррентными соотношениями для функций Бесселя. Ско-
Скорость потока обращается в нуль и при г — г0. Это
сразу видно из второй квадратной скобки выражения
(VIII.2.21). Наконец, почленным интегрированием ряда
(VIII.2.21) легко проверить, что условие равенства нулю
полного потока массы (VIII.2.8) также выполняется.
В соответствии с выражением (VIII.2.21) на рис. VIII.3
построены профили скорости течения для трех моментов
времени tz^>t2^> tx. Характерное время установления
акустического ветра, как следует из решения, оценивается
формулой
г2
0 РО
^ „ • (VIII.2.22)
Для трубы радиусом 3 см, заполненной водой, т —
¦— 40 сек (в той области трубы, где справедливо приближе-
приближение одномерной задачи). Согласно (VIII.2.21) процесс
установления течения носит монотонный характер.
Для качественного рассмотрения проблемы в решении
(VIII.2.21) можно ограничиться первым членом ряда.

208 ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
§ 3. Неодномерные течения
В реальных условиях эккартовское течение осущест-
осуществить трудно. Дифракция и затухание звука приводят к
появлению зависимости силы F от координаты х. Зависи-
Зависимость от поперечной координаты г также оказывается более
•сложной, чем в формуле (VIII.2.5). Кроме того, на кон-
конфигурацию потока оказывает сильное воздействие геомет-
геометрическая форма области, занятой течением. В результате
реальные акустические течения становятся неодномерны-
неодномерными, и их следует описывать общими уравнениями
(VIII.1.3), (VIII.1.4). Но решить эти уравнения не пред-
представляется возможным (даже для простейших областей)
главным образом из-за их нелинейного характера. В § 2
такой трудности не возникало, так как для одномерной за-
задачи нелинейный член (?7V) TJ тождественно исчезал.
Аналогичное упрощение может быть сделано и по дру-
другим соображениям. Дело в том, что член (UV) U в уравне-
уравнении (VIII.1.4) имеет порядок величины U%/r0 (где Uo —
характерная скорость потока, 7*0 — его характерный
размер), а член —— ДС7 порядка величины--—-- ¦ Отноше-
Отношение первой из этих величин ко второй равно
(VIII.3.1)
и представляет собой гидродинамическое число Рейнольд
са. Оно будет в дальнейшем обозначаться через R (в отли
чие от акустического числа Рейнольде a Re).
В тех случаях, когда R мало, нелинейным членом в
уравнении движения можно пренебречь и система уравне-
уравнений для потока линеаризуется:
po '
div Z7 = 0. (VIII.3.3)
Для того чтобы исключить переменпую р0, нужно при-
применить операцию rot к обеим частям (VIII.3.2):

§ 3. НЕОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 209
Особенно простой вид система (VIII.3.3), (VIII.3.4) при-
принимает в случае плоского течения, когда вектор U лежит в
плоскости переменных х, у и все величины являются
функциями только х, у и времени. В декартовых коорди-
координатах операции rot и А коммутируют, поэтому в уравне-
уравнение (VIII.3.4) входит только одна переменная
ду
Уравнение (VIII.3.4) имеет только одну проекцию •—
на ось z, т. е. является скалярным. Введем для скорости
течения функцию тока г|> такую, что
При этом
уравнение (VIII.3.3) удовлетворяется тождественно, а
(VIII.3.4) принимает вид
ор ор
Решая это уравнение с конкретными начальными и гра-
граничными условиями, можно определить функцию тока г|>.
Заметим, что г|> имеет простой геометрический смысл.
Приравнивая г|з (х, у) произвольной постоянной, получим
семейство уравнений линий тока для стационарного тече-
течения: г|з (х, у) = С. Действительно, дифференцируя это урав-
уравнение: jr-dx + -jr-dy ¦— Он используя свойство (VIII.3.5),
придем к соотношению
представляющему собой дифференциальное уравнение для
линий тока.
При больших значениях гидродинамического числа
Рейнольдса (R !§> 1) нужно искать точные решения нели-
нелинейных уравнений (VIII. 1.3), (VIII.1.4) либо делать иные
упрощения, отличные от линеаризации.

210 ГЛ. Л'Ш. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
Как известно, точные решения уравнений движения
вязкой жидкости получены только в очень небольшом чис-
числе случаев. Математический аппарат, использованный при
отыскании одного из таких решений — стационарной за-
задачи Ландау о «затопленной струе» [1] — может быть
интерпретирован в теории акустических течений. Поэтому
необходимо остановиться на этом частном, но очень важ-
важном (в силу своей исключительности) примере.
Источник звука помещен в начале сферической системы
координат; полярная ось направлена вдоль оси звукового
пучка. В силу аксиальной симметрии ?/ф = 0, a Ur, Щ
являются функциями только от г и 8. Исходная система
уравнений (VIII.1.3), (VIII.1.4) должна быть при этом
записана в сферических координатах:
dUr Uu dU
г
r V'l Г 1 32 1
r» t it 0 oil ') dll r\ 2'' optrvfi
i clg" !_ - n_ L /ctg ° r/ I _
T v2 Л» ri ЯЙ ^2 ,2 " ' "
Po 9r
аг/„ г/. зг/„ г/ г7„ г 1
dU,
, ctg9 3f/fl 2 ЗР"Г ^o 1 ^
' г2 ае + г2 зе г2 sin2 e J
9г ' r SO
= 0. (VHI.3.11)
Ищем автомодельное решение этой системы в следующей
форме:
Уравнение (VIII.3.11) приводится при этом к виду
/' + q> + /ctge = o, (vin.3.13)

§ 3. НЕОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 211
а (VIII.3.9), (VIII.3.10) с учетом соотношения (VIII.3.13)
дадут соответственно
Ф" + Ф' (ctg 9 - /) + ф* + f- - 2Х = - -J- Fr, (VIH.3.14)
Поскольку левые части этих уравнений есть функции
только от 8, необходимо, чтобы сила F зависела от г вполне
определенным образом, а именно
Только в этом случае исходная система уравнений в част-
частных производных может быть сведена к системе обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Покажем, что требованию (VIII.3.16) удовлетворяет
сила!*7, вызванная поглощением сферической волны пило-
пилообразного профиля. Используя в качестве исходных вы-
выражения (III.2.7), (III.2.9), получим аналог формулы
A.5.18) для гА а затем (с помощью выражения (VIII.1.10))
для F, записанного в сферической системе координат:
Fr= —-j " аналог формулы (VIII.1.16)
Заметим, что при вычислении (VIII.3.17) были исполь-
использованы выражения для сферически-симметричных волн.
Вообще говоря, такая волна вызывает появление поля сил,
симметрично растягивающих среду, и поэтому не сопро-
сопровождается возникновением течений. В нашем же случае
следует предположить, что волна слабо зависит от Э (имеет
вид конического звукового пучка).
Кроме того, требование (VIII.3.16) может быть выпол-
выполнено для любого типа затухания, если только волна вызы-
вызывает силу JF1, отличную от нуля лишь в малой окрестности
начала координат. В этом случае можно считать, что волна
передает свой импульс среде в одной точке (при г = 0), и
движение рассматривать в области, где F = 0.

212 ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
В обоих случаях (VIII,3.15) интегрируется сразу и по-
позволяет исключить функцию Х + тг-ъ^г из (VIII.sS.14).
Решением полученного уравнения
Ф" + ф' (ctg 8-/) + Ф2 + 2ф = 0 (VIII.3.18)
и уравнения (VIII.3.13) являются, как нетрудно прове
рить, следующие выражения:
, 2 sin 6
Постоянная В связана с импульсом, выделяемым в среду
за единицу времени. Вычисляя с помощью полученного
решения поток импульса через сферическую поверхность,
охватывающую источник звука, получим
(VIII-3-20)
Величина SP находится по известной силе F и выражается
через интеграл от p0F по области, в которой F Ф 0. На-
Например, для силы F (VIII.1.13), вызванной цилиндричес-
цилиндрическим пучком плоских волн с площадью поперечного сече-
сечения S
оо 2
S\\ xdx = -^- S.
При SP -•> 0 (импульс мал) постоянная В стремится к
бесконечности, и для скорости потока получаются выраже-
выражения
?*! * ? (VIII.3.22)
В противоположном случае SP -^ оо, В стремится к едини-
единице: В = 1 + б2/2, где б2 = 64 nv2p0/3 5s. Выражения
?/r, Uo принимают вид
^. (VIII.3.23)
при малых значениях углов 9 @ — б) и
t/9^-^Lctg4-, Ur=-^- (VIII.3.24)

I 3. НЕОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
213
при больших значениях 0 @ — 1). Для нахождения линий
тока необходимо проинтегрировать уравнение (VIII.3.8),
записанное в сферических координатах: dr/Ur = Q/U
Интегрирование дает следующий результат:
r2 sin2 9
в — cose
= const, В > 1.
(VIII.3.25)
Линии тока, построенные при помощи (VIII.3.25), изоб-
изображены на рис. VIII.4. Несмотря на то, что полученное ре-
решение является точным, оно не дает исчерпывающего объ-
объяснения особенностям аку-
акустических течений при R^> 1.
Это связано прежде всего с
весьма жестким ограничени-
ограничением на вид силы F(VIII.3.16)
и со стационарным характе-
характером этого решения, це позво-
позволяющим рассматривать про-
процессов установления.
При изучении нестацио-
нестационарных акустических течений
можно воспользоваться упрощенной моделью, справедли-
справедливой для описания потоков вблизи оси звукового пучка
[104] *). Пусть движение в системе обладает аксиальной
симметрией. В отличие от эккартовской задачи, наличие
стенок (трубы) здесь не является обязательным. Полная
система уравнений для течения должна быть записана в
цилиндрических координатах (VIII.2.1)—(VIII.2.3). Рас-
Рассматривая течение вблизи оси (г —> 0), потребуем, чтобы
при г. = 0 выполнялись следующие условия (по существу,
соотношения симметрии):
Рис. VIII.4. Линии тока для
модели затопленной струи.
dU
г |г=о =
дг
= 0.
(VIII.3.26)
При этом уравнения (VIII.2.2), (VIII.2.3) приводят к оче-
очевидному соотношению (др/дг)г=0 = 0, а уравнение
(VIII.2.1) после раскрытия неопределенности dUJrdr
*) Нелинейные двумерные течения рассматривались также в
работе [137].

214 ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
принимает вид
dt дх к ' ро дх ' дх1 Or2
(VIII.3.27)
Здесь и ниже Uх обозначается просто через U.
В случае малости радиуса звукового пучка по сравне-
сравнению с поперечными размерами системы член dpjdx пре-
пренебрежимо мал и может быть положен равным нулю. Огра-
Ограничиваясь, по существу, качественным рассмотрением
проблемы, предположим, что решение исходной системы
уравнений можно с достаточной степенью точности запи-
записать в виде U (г, х, I) = / (г) U (х, t).
Будем нормировать функцию / (г) так, чтобы выполня-
выполнялось условие/ @) = 1. Заметив, что скорость потока на оси
имеет максимум и обозначая Ь2 = — 2/" @), приведем
(VIII.3.27) к виду
Ч- + U^T = F{x)^4^L-vVU. (VIII.3.28)
Уравнение (VIII.3.28) является асимптотическим и
справедливо только на оси звукового пучка. При отсутст-
отсутствии нелинейного члена UdUldx оно представляло бы собой
обычное уравнение теплопроводности для полубесконеч-
полубесконечного стержня с неравномерно распределенными источни-
источниками тепла, на боковой поверхности которого происходит
теплообмен с окружающей средой.
Пусть значение гидродинамического числа Рейнольдса
R <s^ 1. Тогда нелинейным членом в уравнении (VIII.3.28)
можно пренебречь. Примем силу, вызывающую поток, в
виде
F(x) = Ae-^. (VIII.3.29)
Если она вызвана поглощением звука малой интенсивнос-
интенсивности, то константа (В = 2х (см. (VIII.1.13)). Для силы, вы-
вызванной звуком конечной амплитуды, значение |3 целесо-
целесообразно подбирать на основе экспериментальных данных.
Решение линеаризованного уравнения с учетом выражения

§ 3. НЕОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 215
(VIII.3.29) имеет вид
{ t - ф
ф (р /^ + 2^_ ^| dl. (VIII.3.30)
Здесь ФB) = -^^e~y2dy. Выражение (VIII.3.30) удовле-
о
творяет нулевым граничным условиям ?/ @, t) = U (-х>, t) — 0
и начальному условию U (х, 0) = 0.
Процесс нарастания скорости акустического ветра,
определяемый решением (VIII.3.30), носит сложный ха-
характер. Время установления стационарного течения опре-
определяется несколькими факторами и не сводится к простой
формуле (VIII.2.22), справедливой для эккартовской зада-
задачи. Так, при слабом поглощении звука (|3 -> 0) характер-
характерное время установления можно оценивать выражением
%х ~ l/v62 (напомним, что 1/6 — размер поперечной не-
неоднородности потока), а при сильном поглощении (E —>
-^ ос) — выражением т2— l/v[32. Однако следует заметить,
что оба механизма в решении (VIII.3.30) действуют одно-
одновременно и, кроме того, т зависит от координаты х
(поскольку в решение входит величина т3 ~ z2/v). Поэтому
более точные оценки можно дать лишь с помощью числен-
численного расчета в каждод! конкретном случае [105].
Покажем, что процесс установления скорости потока,
определяемый выражением (VIII.3.30), является монотон-
монотонным, т. е. dU/dl ,> 0 для любых значений х, t. Действи-
Действительно, функция, стоящая под знаком интеграла в фигур-
фигурных скббках, положительна при любых значениях ?, по-
поскольку производная по •? от этой функции всегда отрица-
отрицательна, тогда как сама функция положительна при g = 0
и стремится к нулю при ? —> ос. Это и доказывает сделан-
сделанное выше утверждение.
Переходя в формуле (VIII.3.30) к пределу при t —> оо
или решая соответствующее стационарное уравнение
v -g?_ _ vb2U + Atr?* = 0 (VIII.3.31)

216
ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
с краевыми условиями U @) = 0, U (х>) = 0, получим вы-
выражение
U = т^Щ-(^х ~ e~bX)> (VIII.3.32)
которое описывает распределение скорости установивше-
установившегося течения вдоль оси х.
Как видно из формулы(VIII.3.32), при |3 ;s>> Ь (случай
сильно поглощающей среды) характер нарастания решения
5)
Рис. VIII.5. Два этапа цроцесса установления скорости течения
на оси звукового пучка.
при малых х определяется законом затухания звука, тогда
как при больших значениях х экспоненциальный спад
определяется характерным параметром Ъ оттока импульса
от оси системы. (Этот случай аналогичен модели «затоплен-
«затопленной струи».) При обратном соотношении Р«^ Ъ, т. е. в слу-
случае слабо поглощающей среды, когда силы действуют на

§ 4. ДРУГИЕ ТИПЫ ТЕЧЕНИЙ 217
всем протяжении звукового луча, мы имеем противополож-
противоположную картину.
Пусть теперь гидродинамические числа Рейнольдса ве-
велики: i?^>l. При больших R пренебрегать нелинейным
членом нельзя и нужно рассматривать уравнение самого
общего вида (VIII.3.28). Подчеркнем аналогию между
уравнением (VIII.3.28) и уравнением Бюргерса (II.1.10).
Оно также описывает два
конкурирующих процесса: 1/(х„Щ
во-первых, нарастание ско-
скорости потока и укручение
профиля скорости (члены
F (х) и UdU/dx) и, во-
вторых, процесс «диссипа-
«диссипации», сглаживания профи-
профиля как за счет диффузии Рис. vill.6. Кривая немонотон-
импульса от оси системы, ной зависимости скорости течения
так и за счет перераспре- от времени.
деления импульса вдоль
оси (описываются соответственно членами — vb2U,
\d2U/dx2 в уравнении (VIII.3.28)).
Две вышеуказанные тенденции проиллюстрированы на
рис. VIII.5, а, б. Если проследить за изменением скорости
потока в некоторой фиксированной точке х0 для различных
моментов времени tx <C t2 <^ t3 <C t4 <^ ts, исходя из гра-
графиков VIII.5, а, б, то окажется, что процесс установления
носит явно немонотонный характер. Кривая зависимости
U (х0, t) (см. рис. VIII.6) содержит значительный выброс,
и это качественно согласуется с результатами эксперимен-
экспериментов [106, 107].
§ ^- ДРУгие типы течений
Характерные размеры неоднородности потоков, рас-
рассматривавшихся в § 2, 3, определялись размерами L той
области, в которой они возникали. Поскольку обычно L
много больше длины звуковой волны X, такие потоки на-
называются крупномасштабными [6]. Существуют и другие
типы течений, в которых размер неоднородностей опре-
определяется длиной волны X (среднемасштабные) или толщиной

218 ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
акустического пограничного слоя б = у 2v/o> (мелкомас-
(мелкомасштабные течения).
Характерный масштаб L, X или б входит в гидродинами-
гидродинамическое число Рейнольдса R для соответствующего течения.
Обычно L ^> к ^> б и при всех прочих фиксированных па-
параметрах v, Uo для чисел R справедливо аналогичное не,-
равенство Rl^> R~k ^> R&- Это означает, что с уменьше-
уменьшением размеров неоднородности потока постепенно исчезает
возможность появления нелинейных гидродинамических
эффектов и все более правомерным становится применение
линеаризованных уравнений.
Рассмотрим акустические течения в пограничном слое.
В теории пограничного слоя предполагается, что вдали от
стенки имеется основной поток жидкости, которую можно
считать идеальной. На стенке же должны выполняться гра-
граничные условия прилипания (V = 0), и в тонком погра-
пограничном слое жидкость следует рассматривать как вязкую.
Эти два потока непрерывным образом сшиваются.
Чтобы получить уравнения движения для акустических
течений в пограничном слое, надо сделать ряд упрощений
в общих уравнениях (VIII.1.3), (V11I.1.4). Предположим,
что плоская граница обтекаемого тела совпадает с плос-
плоскостью х, z декартовой системы координат, причем ось х
направлена параллельно основному обтекающему потоку;
Ux, Uу от координаты z не зависят, т. е. движение является
двумерным. Общие уравнения, записанные в компонентах,
имеют вид
аи
at 1
at '
а*
у ду
BUx
л*
аиу
lUx
1
Ро
¦ дх'
F
... г
О
дро
дх
т
У |
2 ~Г
1
гих 1
>,• J

§ 4. ДРУГИЕ ТИПЫ ТЕЧЕНИЙ 219
Вдоль направления у скорость заметно изменяется на рас-
расстояниях порядка б. В направления же оси х изменения
более медленные — на расстояниях порядка /, где / — не-
некоторая характерная длина. Если считать 8/1 малым пара-
параметром (— ц), то из (VIII.4.3) следует UVIUX~ ц.
Оставляя в уравнениях (VIII.4.1), (VIII.4.2) члены
низших порядков малости по параметру ц, придем к урав-
уравнениям
dt x дх v ду Эг/2
1 dp» , p 1 дра „
ро дх ~t~ x' ро ду ~~ v
или, исключая отсюда переменную р0, к одному уравнению
М„ . „ ди . „ Э?/ дЮ„ я
(VIII.4.4)
которое вместе с (VIII.4.3) позволяет определить компо-
компоненты скорости Ux, Uу при заданных F, начальном и гра-
граничных условиях. Сила JPдолжна быть вычислена с по-
помощью общей формулы (VIII.1.10) на основе решения для
звуковой волны, которая касается стенки (т. е. колеба-
колебательная скорость па границе обращается в нуль).
Однако предложенная схема является чересчур слож-
сложной (даже если пренебречь нелинейными членами в
уравнении (VIII.4.4)), и поэтому при изучении течений в
пограничном слое обычно используется метод последова-
последовательных приближений.
В качестве исходной системы уравнений здесь берут
уравнения Навье — Стокса (VIII.1.1), (VIII.1.2), записав
их для случая несжимаемой жидкости. С помощью простых
оценок., уже проделанных выше, переходят к уравнениям
для пограничного слоя:
-5Г- + »х-тг- + »у-тг- - V4^== -— -ТГ-, (VHI.4.5)
dt ' х дх ' » ду ду2 ро дх к '
p = p(x,t), (VIII.4.6)
дг> dv,.
дх

220 ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
Поскольку вдали от стенки жидкость считается идеаль-
идеальной и несжимаемой, а поток U является одномерным, для
него имеет место интеграл движения d<p/dt -f~ U*/2 -f-
-f- jp/Po = const (см. [1]), где ф — потенциал скорости U.
Дифференцируя это выражение по х, получим
ро дх dt дх
Подставляя результат (VIII.4.3) в уравнение (VIII.4.5),
приведем его к виду
~Г т "* ~дГ -т "» ду у д^г ~ а* ^ " дх ¦
(VIII.4.9)
Ищем решение уравнений (VIII.4.9), (VIII.4.7) методом
последовательных приближений:
vx = v™ + v®+...,vy = vf + vf + ... (VHI.4.10)
Величины первого порядка малости vx9, vyf изменяются во
времени периодически и представляют собой акустическое
поле в линейном приближении. Постоянная составляю-
составляющая — собственно акустическое течение — появляется
лишь в членах второго порядка малости.
Поскольку представление (VIII.4.10) справедливо при
/1) §^ 1, метод последовательных приближений при-
пригоден только для очень медленных течений, скорость кото-
которых много меньше колебательной скорости в звуковой вол-
волне. Решение линейной задачи, описывающее стоячую вол-
волну, которая касается стенки, можно найти из уравнений
первого приближения
dt
дх vy
Здесь U = — v0 cos кх cos cot — стоячая волна вдали от
стенки.

§ 4. ДРУГИЕ ТИПЫ ТЕЧЕНИЙ
221
Граничные условия: vx\v^0 = vy\v=:Q = 0, vx —> U при
у —.> ее. Искомое решение при и= у/8 имеет вид
v^ = — v0 cos кх [cos cot — e~x cos (o>? — x)],
Уу1 = — г'о^б sin fcx j ( x 2" I cos ^^ —
_ -i-sin at + e-Lsin (at - x + -J-)], (VIII.4.13)
Укажем на недостаток метода: несмотря на то, что при
описании волновых акустических движений среда принци-
принципиально должна быть сжимаемой, решение v^\ ^ нахо-
находится из уравнений (VIII.4.И), (VIII.4.12), пригодных
А - 1,96
Рис. VIII.7. Линии тока течения в пограничном слое.
для описания течений вязкой несжимаемой жидкости.
С помощью (VIII.4.13) вычисляется правая часть в стацио-
стационарных dv^ldt = 0 уравнениях второго приближения:
дуг
дх
Ox
— I
.A)
'dv®
(VIII.4.14)
(VIII.4.15)
дх ду '
которые позволяют определить искомую скорость течения
__jj_l (VIH.4.16)

222 ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
vf = -
2со
3 13 1
cos х + е"у' B + х) sin x + -у х Г~ '•
Линии тока этого течения изображены на рис. VIII.7.
В настоящее время имеется много решенных задач, по-
посвященных акустическим потокам в пограничном слое.
Несмотря на большое число практических применений,
теоретическое рассмотрение этих проблем в основном про-
проводится методом последовательных приближений, о досто-
достоинствах и недостатках которого упоминалось выше. По-
Поскольку задачи эти уже нашли отражение в прекрасных
обзорах Зарембо [8] и Ниборга [9], их более подробное
рассмотрение здесь не представляется целесообразным.
§ 5. Законы подобия и классификация
акустических течений
Как известно из гидродинамики, два течения вязкой
несжимаемой жидкости, находящейся в поле внешних
сил, являются геометрически подобными, если они обла-
обладают одинаковыми числами Рейнольдса (i?) и Фруда (Fr).
В силу полной математической аналогии указанный вывод
должен быть распространен и на акустические течения.
Действительно, выполняя в уравнении (VIII.1.4) сле-
следующее преобразование переменных:
х = 1хи у = 1уг, U = ийиъ
(VIII.5.1)
где /, Uo, A — некоторые характерные для данной задачи
постоянные, получим
-1пГ +(J7lVl) Ui~-r AlUl = ^Г Ti
(VIII.5.2)
Числа Рейнольдса и Фруда определяются выражениями

§ 5. ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ 223
В отличие от классических задач гидродинамики, где
обычно F имеет смысл константы g — ускорения силы тя-
тяжести, в акустических течениях F вызывается звуковой
волной и в .зависимости от геометрической формы области,
размеров и формы звукового пучка, нелинейных эффектов,
поглощения, дифракции и т. д. может принимать самые
разнообразные значения.
Итак, поскольку F в общем случае является сложной
функцией координат, весьма чувствительной к изменению
условий эксперимента, числа Fr для различных типов аку-
акустических течений могут сильно различаться и это необ-
необходимо учитывать при воспроизведении адекватных экспе-
экспериментальных моделей. Число Fr связано как с акустичес-
акустическими, так и с гидродинамическими параметрами. Исполь-
Используя, например, выражения (VIII.1.14), (VIII.1.16), можно
представить соответствующие числа в виде [108]
Un \а 1 ' Ь Re / С/о
(VIII.5.4)
Здесь М = vjco — акустическое число Маха.
Законы подобия дают основание классифицировать
акустические течения. Как уже неоднократно подчеркива-
подчеркивалось, число R характеризует вклад нелинейных членов
уравнений в поведение потоков. При малых R течения мож-
можно считать медленными и решать линейные уравнения. При
больших R существенны нелинейные гидродинамические
эффекты. Этот вывод не относится к эккартовским (одно-
(одномерным) течениям, так как там член (UV)U исчезает в си-
силу выбора геометрии задачи (в гидродинамике эккартов-
скому ветру отвечает известное течение Пуазейля).
При желания можно различать звуковой ветер по акус-
акустическим числам Рейнольдса, отношению скорости потока
Uo к колебательной скорости v0, по интенсивности звука,
вводимого в среду, и т. д. Однако все эти параметры входят
в число Fr, и поэтому полезно иметь в виду более общие
соображения (VIII.5.2), (VIII.5.3).
Наконец, широко принята классификация акустичес-
акустических течений по их масштабам (см. § 4) и геометрической
форме области, в которой они возникают.

ГЛАВА IX
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОГРАНИЧЕННЫХ
ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
§ 1. Уравнение нелинейной акустики
ограниченных пучков
Во всех предыдущих главах рассматривались лить
одномерные — плоские, сферические и цилиндрические
волны. Что же касается многомерных звуковых волн в не-
нелинейных средах, то их изучение началось сравнительно
недавно и число имеющихся публикаций на эту тему неве-
невелико [57, 109—112].
Дело не столько в неактуальности проблемы, напротив,
в акустике длина волны намного больше длины электро-
электромагнитной волны той же частоты и, как правило, не слиш-
слишком мала по сравнению с размерами источника звука. Учет
дифракционных эффектов, следовательно, здесь принци-
принципиально необходим. Главной причиной отсутствия зна-
значительных результатов в этой области являются чрезвы-
чрезвычайные математические трудности, с которыми приходится
сталкиваться исследователям.
Настоящая глава является, по-видимому, первым обоб-
обобщением результатов, посвященных ограниченным звуко-
звуковым пучкам, и поэтому включает в себя довольно много
оригинального материала.
Полная система уравнений, описывающих распростра-
распространение возмущений конечной амплитуды в газе или жид-
жидкости без затухания, состоит из уравнений (В.1.1)—(В.1.3).
Пусть ограниченный двумерный пучок распространяется
вдоль оси х. Вектор скорости имеет две компоненты: vx и

§ 1. ВЫВОД ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ 225
vy; поперечная компонента vy связана с расходимостью
пучка. Представляя плотность р как р0 4- р', приведем
уравнения непрерывности и движения к следующей
форме:
''.¦&-о,
at * ox u oy р ay
1 При рассмотрении различных задач будем задавать на-
начальное возмущение при i=0b виде р' = г[) (t, у). Счи-
Считая среду полубесконечной в направлешш х, ограничимся
отысканием решений уравнений (IX.1.1)—(IX.1.3) (сов-
(совместно с уравнением состояния) в виде бегущих вправо
волн.
Как показано в гл. II, в случае плоских волн конечной
амплитуды система гидродинамических уравнений имеет
решения вида
t
--?-). (IX.1..4)
Ограниченность пучка совместно с нелинейностью при-
приведут к медленным изменениям формы волны но только
вдоль направления распространения, но и поперек. По-
Поскольку переход в область тени происходит довольно рез-
резко, естественно предположить, что изменения всех величин
поперек пучка происходят быстрее, чем вдоль, и искать
решение уравнений (IX.1.1)—(IX.1.3) (предварительно
исключив, как обычно, р с помощью приближенного урав-
уравнения состояния р' = Сор' + (у — 1) Сор'72ро) в виде
у, р'= F (цз, У1Г у,т ==*--!-). (IX. 1.5)

226 ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
В результате несложных преобразований получим с точ-
точностью до членов порядка ц2:
др' ро dvx vx dp' .
дх Со дх со дх
п' ov or ov,,
^ - Ро -т~ - ро -г1- , (IX.1.6)
со дх ' дх ги дц ч '
др' __ ро <>vx _ р'
дх со дх со
При выводе уравнений (IX.1.6)—(IX.1.8) предполагается,
что поперечная компонента скорости vy имеет порядок
[Л у \i, так как она связана с расходимостью пучка.
Уравнения (IX.1.6) и (IX.1.7), как нетрудно видеть,
содержат малые члены первого порядка малости, стоящие
слева, и малые члены второго порядка малости. Ограничи-
Ограничиваясь малыми членами только первого порядка, можно по-
получить известные линейные соотношения, выражающие
возмущения скорости и плотности в виде функций друг от
друга: р' = Ро^х/со, vx = сор'/ро.
При распространении волн конечной амплитуды между
vx и р' должна существовать более сложная связь, и в эти
проссейшие соотношения войдут дополнительные члепы
второго порядка малости. Существование дополнительных
членов первого порядка малости исключается, ибо в первом
приближении задача в точности соответствует задаче рас-
распространения плоских волн бесконечно малой амплитуды.
Заметим, что левые части уравнений (IX.1.6), (IX.1.7)
одинаковы, поэтому приравняем правые части уравпений,
содержащие члены только второго порядка малости, и иск-
исключим vx при помощи соотношения vx = с0р7р0:
s , др' др' ро dvy _ n av . q,
1^7р ~дх Тх 277 ~ЩГ ~ (А 'J
Из двух уравнений (IX.1.8), (IX.1.9) можно исклю-
исключить переменную vv и получить искомое уравнение для

§ 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 227
переменной р' [57]:
Как будет показано ниже, это уравнение учитывает
одновременно и нелинейные искажения, и поперечные из-
изменения возмущения, обусловленные дифракционной рас-
расходимостью. Поэтому можно утверждать, что оно описыва-
описывает во втором приближении распространение ограниченных
двумерных пучков в нелинейных средах без потерь.
В том случае, когда пучок является трехмерным, т. е.
все три компоненты скорости — продольная vx и две по-
поперечные vv и vz (связанные с расходимостью пучка) —
отличны от нуля, аналогичные выкладки приводят к урав-
уравнению
Э I Эр' 8 ,!Эр' \ со
Легко видеть, что правая часть содержит оператор Лапла-
Лапласа по поперечным координатам и ее можно символически
представить в виде -у Aj_p'. Если пучок обладает аксиаль-
аксиальной симметрией, то удобно ввести одну поперечную коорди-
координату г = \fz2 -\- у2 и записать уравнение (IX.1.11) в следу-
следующей форме:
др^\ со / д*р' 1 гдр' \
дХ ) 2 V Эт-г "г г дг )'
дХ \ дх спро ^ дХ
(IX.1.12)
К сожалению, в настоящее время не найдено сколько-
нибудь интересных физически точных решений уравнений
(IX. 1.10) — (IX.1.12). Поэтому все дальнейшие разделы
этой главы посвящены рассмотрению различных прибли-
приближенных решений и предельных случаев.
§ 2. Параболическое уравнение. Некоторые задачи
линейной теории дифракции
Если нелинейность среды проявляется гораздо слабее,
чем дифракция, можно пренебречь нелинейными члена-
членами в уравнениях (IX.1.10), (IX.1.12) и рассматривать

228 ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
соответствующие линейные уравнения
av_ со av
со /3V 1 dp'
Покажем более строго, в каких случаях такой переход
правомерен. Для этого введем безразмерные переменные
R = р'/ро, о" = е(ороя;/с0р0, 9 = сот, | = у/а (для плоского
пучка) или % = rla (для аксиально-симметричного пучка).
Здесь ро, с», а — некоторые характерные константы. Так,
например, если начальное возмущение на границе (при
х = 0) ^задано в виде р' = р'о ехр (— r2/a?) sin от, то р'о
имеет смысл начальной амплитуды волны; со — частоты и
а — характерной ширины пучка гауссовой формы. В но-
новых переменных уравнения (IX.1.10), (IX.1.12) примут вид
а гад _
ае Las ~~ ""~99~J ~Т~Щг
N
ад-| _ ту гэ2Д
ае |. as ±l ae
Здесь
— число, характеризующее относительный вклад нелиней-
нелинейных и дифракционных эффектов в искажение профиля вол-
волны [110]. Оно определяется в основном двумя величинами:
отношением длины волны Я к ширине пучка а и числом
Маха М. По смыслу число N аналогично акустическому
числу Re, учитывающему относительный вклад нелиней-
нелинейных и диссипативных эффектов.
При N —> оо преобладают дифракционные эффекты, и в
полученных уравнениях можно пренебречь нелинейным
членом RdR/dQ.
Рассмотрим вначале задачу о распространении двумер-
двумерного пучка, заданного на границе среды в виде плоской
неоднородной волны:
Л =-e-v sin в. (IX.2.6)

§ 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 229
Если искать решение соответствующего линейного урав-
уравнения в форме R = Im А (а, ?) ei9, то для комплексной
амплитуды А получим параболическое уравнение с мни-
мнимым коэффициентом диффузии [113]:
дА _ N д*А ту „ „
которое просто решается с помощью метода разделения
переменных. Записав частное решение уравнения (IX.2.7)
в виде А (о, ?) = 2 (<r)-S (?), подставим это выражение в
(IX.2.7) и после разделения переменных придем к двум
обыкновенным дифференциальным уравнениям
Е-и2Е = 0, ?S'+-^ «22 = 0. (IX.2.8)
Они имеют следующие решения:
N
in' а
Е = А(п) cosnl + B (n) sinn|, 2 = е * . (IX.2.9)
Поскольку уравнение (IX.2.7) линейно, an — произволь-
произвольный параметр, для удовлетворения начальному условию:
при а = 0 А = е<г сконструируем решение этого уравне-
уравнения в виде линейной комбинации найденных частных ре-
решений:
°° • N
\ en * °dn. (IX.2.10)
Коэффициенты А (п), В (п) однозначно определяются из
условия на границе:
' = § [A{n)cosnl+B{n)smnl\dn.l (IX.2.11)
о
Поскольку левая часть (IX.2.11) есть функция четная,
В (п) = 0. Коэффициент А (п) можно найти, воспользо-
воспользовавшись обратным косинус-преобразованием Фурье от
начального условия для амплитуды А @, ?):
e-V = [ ?^L cos nl dn. (IX.2.12)

230 ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
Сравнивая последнее выражение с выражением
(IX.2.11), найдем
Л(л)=-^. (IX.2.13)
Теперь достаточно взять интеграл (IX.2.10) и вернуться к
действительным переменным, чтобы получить искомое ре-
решение
л
я = у х 2 sin [е - ^21 „f^+4"arctg ^6] •
(IX.2.14)
Формула (IX.2.14) описывает постепенный переход от
плоской (при Na = 0) к цилиндрической расходящейся вол-
волне (при Na—> ос).
Как легко видеть, дифракция приводит к увеличению
ширины пучка: а (о) = a ]/"l -{- N^a2, уменьшению ампли-
амплитуды волны: ро (а) = p,/j/l + Л^ст2 и искривлению по-
поверхностей равной фазы.
Аналогичная задача для аксиально-симметричного
трехмерного пучка может быть решена точно таким же об-
образом. Отличие состоит лишь в'том, что решение, удовлет-
удовлетворяющее начальному условию (IX.2.6), вместо (IX.2.10)
ищется в следующем виде:
A=\.c{n)J0 (nl) en'~°dn, (IX.2.15)
о
а константа с (п) определяется из сравнения этой формулы
взятой при а = 0, с обратным преобразованием Ханкеля
от функции ё~1":
В результате всех вычислений придем к выражению
v ехр [— ?2/A -
(IX.2.17)

§ 2. некоторые задачи Теории дифракций
231
описывающему превращение плоской волны в сферическую
расходящуюся. Этот процесс изображен на рис. IX. 1.
Штриховыми линиями отмечены поверхности равной фазы,
сплошными — равной амплитуды (по отношению к макси-
максимальной в данном сечении).
Сопоставляя полученные решения (IX.2.14), (IX.2.17),
можно заметить, что степень дифракционного искажения
2
1
0
!
г
\
__ "
0,3
1 ,
/
1—¦—-
\
ч
\
\ .
1
1
1
/
/
-----—-*
\>
ч
\
1
\
ч
ч
ч
ч
\
\
2 ] N6
Рис. IX.1. Дифракционное превращение плоской волны в сфериче-
сферическую расходящуюся.
воли зависит только от одной переменной — безразмерного
расстояния Л^сг. Поэтому удобно обозначить
= jVcs =
(IX.2.18)
Расстояние б = браСх = 1 условно будем считать дли-
длиной пути, на котором исходная плоская волна превращает-
превращается в расходящуюся. Поскольку для другой безразмерной
координаты а значение о*р = 1 соответствует длине пути
формирования разрыва, числу N можно придать следую-
следующий смысл:
(IX.2.19)

232 ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
Таким образом, если хр ^> жрясх (т. е. расстояние, на
котором в волне мог бы сформироваться разрыв, гораздо
больше, чем длина пути, на котором волна становится
расходящейся), то N^>1 и справедливо линейное прибли-
приближение. Напротив, если выполнено обратное неравенство
хр <^ ХрцСх, то N <^ 1, дифракция волны сказывается ма-
мало и преобладают нелинейные эффекты.
§ 3. Нелинейные эффекты в звуковых пучках
Этот параграф посвящен анализу решений, получен-
полученных с помощью уравнений (IX.2.3), (IX.2.4) в предельном
случае N —> 0 [111]. Как уже отмечалось, при N = 0 до-'
минируют нелинейные эффекты. В уравнениях можно пре-
пренебречь правой частью и получить решение (с начальным
условием (IX.2.6)) в виде римановской волны второго (по
числу Маха) приближения:
i? = е-52 sin (9 + si?). (IX.3.1)
Последнее выражение удобно разложить в ряд Фурье по
sin пВ, как это делалось при выводе решения в форме Бес-
Бесселя — Фубини (гл. I, § 5):
l
3inre9. (IX.3.2)
/га
Разложение (IX.3.2) позволяет проследить за эволюцией
профилей радиального распределения амплитуд всех гар-
гармоник при различных значениях а. Результаты для первой
и второй гармоник изображены на рис. IX.2, а, б. Ширина
пучка ап га-й гармоники (по уровню ё~х от максимального
значения) определяется из трансцендентного уравнения
/„ (поё~Ъ2) = e~xJn (па) и при малых а равна
ап = a/Vn, (IX.3.3)
т. е. чем выше номер гармоники, тем в более узкой приосе-
вой области она локализована. Заметим, что а„, вообще
говоря, зависят от а. Зато ширина пучка средней по вре-
времени энергии единицы объема среды Ё = p0v2 = Ро^о-Я
не изменяется. Это можно показать, воспользовавшись

I а. нелинейные эффекты в звуковых пучках 233
выражением (IX.3.1):
sin« @
dQ =
- бе-v cos n) dri = ^ е-й«. (IX.3.4)
Отсюда видно, что при любых а вплоть до образования раз-
разрыва (в области применимости решения (IX.3.1)) ширина
0,5
2 г/а
Z г/а
5)
Рис. IX.2. Эволюция профилей радиального распределения амп-
амплитуд первой и второй гармоник при различных значениях б.
пучка энергии остается постоянной. Это связано, во-пер-
во-первых, с тем, что среды в акустике являются недиспергиру-
ющими и скорость звука зависит от мгновенных значений
величины возмущения. Во-вторых, основной в акустике
является квадратичная нелинейность (как известно из не-
нелинейной оптики [114], самофокусировка или дефокуси-
дефокусировка пучков возможны в средах с кубичной нелиней-
нелинейностью). Вывод о невозможности самовоздействия за счет
обычного нелинейного механизма справедлив только для
периодического сигнала. В то же время однополярные им-
импульсы, локализованные в пространстве в виде пучков,
могут расплываться или сужаться (это будет доказано в

ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
§ 5 настоящей главы) при распространении в нелинейной
среде.
Рассмотрим теперь, как изменяется ширина пучка энер-
энергии после того, как в волне образуется разрыв. Расстоя-
Расстояние Ср образования разрыва можно определить с помощью
решения (IX.3.1). Поскольку волна искажается симмет-
симметричным образом^фронт проходит в точке 9 = 0 и амплиту-
амплитуi? R ^' i R
да разрыва Rv определяется из условия
4
Rp =
sin aRp
0,5
О
г f t ~ п
1 С. {ц и,
1
1
1
.., 1.
/
/
/
/
^1 /
3J /
/ -^__
/ ¦
/
;
а .
• mi-.
Г"
1
2
4
5
Рис. 1Х.З. Зависимость от а энергии единицы объема среды при
различных |. Штриховой кривой
= exp (I?).
изображена функция <з =
Таким образом, разрыв начинает образовываться при Rp ^
ss 0, т. е. на расстоянии
бр = е^. (IX.3.5)
Длина Стр существенно зависит от ?, а именно чем дальше
от оси, тем позже формируется разрыв. На рис. IX.3
штриховой линией построена кривая с = ехр (|г), а сплош-
сплошными кривыми показана зависимость от а энергии единицы
объема среды (при различных |). Поскольку вблизи оси
ударная волна формируется раньше (при а = 1), начина-
начинается ее интенсивное затухание, приводящее к уменьшению
средней энергии Е. В то же время в более удаленных от оси
областях разрыв еще не образовался, и $ = const. Таким

I 4. РЕШЕНИЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЛАХ N
235
образом, происходит деформация профиля радиального
распределения Ё (?). Как показано на рис. IX.4, более
сильное затухание в приосевой области приводит к увели-
увеличению ширины пучка энергии, и волна постепенно превра-
превращается в плоскую волну
малой амплитуды — ради- т/Ро ио
альное распределение ста- ' г
новится более однород-
однородным *).
§ 4. Приближенные
решения при больших
и малых числах N
В том случае, когда
N велико, нелинейность
учесть довольно просто.
Для этого нужно отыскать
второе приближение по ма-
малому параметру IIN в ре-
решении уравнения (IX.2.4),
используя в качестве пер-
первого приближения выра-
выражение (IX.2.17). Вводя новую безразмерную координату
б = No, запишем уравнение второго приближения в виде
0,5
1,5
Рис. IX.4. Деформация профиля
радиального распределения в об-
области после образования разрыва.
_
~ 1Г\ ~~ж1 г
1+52
1
N
Для отыскания решения уравнения (IX.4.1) удобно пред-
представить его правую часть в комплексной форме. Затем ана-
аналогично тому, как это делалось при отыскании первого
приближения с подстановкой RW — AA/V) А^ ei2°,
надо перейти к уравнению для комплексной амплиту-
амплитуды — теперь уже второй гармоники. В результате получим
*) Это явление наблюдалось экспериментально [138].

236
ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
неоднородное уравнение диффузии
- AХА2>
Решая уравнение (IX.4.2) с условием на границе: при б =
= О ЛB> = 0 и возвращаясь к i?<2>, найдем [111]
B) _ охр [-
„B) _
X
»)]
Щ
х
+4-—«• - 4-
¦)]•
Таким образом, при больших значениях ./V решение
уравнения (IX.2.4) находится с помощью метода последо-
последовательных приближений. С точностью до членов порядка
1/./V2 оно имеет вид Л =
**' = В/) + ДB), где (Л1) и
2 (- ЛB> даются соответственно
выражениями (IX.2.17) и
(IX.4.3).
Перейдем к физическо-
физическому анализу полученного
результата. Как видно из
формулы (IX.4.3), генера-
q ~? ^ ~б ^ Ция второй гармоники в
ограниченномпучкепроис-
Рис. IX.5. Изменение амплитуды ходит существенно иначе,
второй гармоники на оси пучка. чем в плоской волне. На
рис. IX.5 изображена
функция Ф (б) = {[1пг A + б2) + 4 arctg2 б]/A + б»)}1/.,
определяющая изменение амплитуды второй гармоники на
оси звукового пучка. Вначале (при малых б) амплитуда
нарастает по линейному закону, как и в плоской волне.
Однако в дальнейшем дифракция приводит к стабилиза-
стабилизации, а затем и к уменьшению амплитуды. Следует отме-
отметить, что имеется некоторое сходство между кривой на
рис. IX.5 и кривой, иллюстрирующей поведение амплиту-
амплитуды второй гармоники в нелинейной среде с диссипацией
(см. рис. II.1). Эта аналогия, однако, является чисто внеш-

§ 4. РЕШЕНИЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЛАХ У 237
ней, поскольку дифракция, в отличие от процессов дис-
диссипации, не может составить конкуренции нелинейному
искажению профиля волны и при достаточно больших о*
решение становится разрывным. Как известно, в методе
последовательных приближений расстояние образования
разрыва определяется из условия | А^ \ I ( AW [ = 1/2
или, в нашем случае,
^ = -L- (IX.4.4)
Поскольку N^>1, то и бр = Лгбр^>1 и формула
(IX.4.4) приводит к простому соотношению ар = eN/N.
Сравнивая выражения (IX.2.17) и (IX.4.3), можно заме-
заметить, что ширина пучка второй гармоники:
(IX.4.5)
увеличивается пропорционально ширине пучка основной
частоты, оставаясь при всех б в |/~2 раз меньше по величи-
величине. Отсюда видно, что генерация гармоники интенсивнее
всего идет вблизи оси звукового пучка.
В другом, наиболее интересном предельном случае ма-
малых чисел N, нелинейность сказывается сильно и решение
должно, по-видимому, слабо отличаться от римановского
(IX.3.1).
Будем искать это асимптотическое (при N —» 0) реше-
решение уравнения (IX.2.4). Предварительно преобразуем по-
последнее, перейдя к новым независимым переменным
0 = 0, 5 = 5, Т = 9 + aR. (IX.4.6)
Уравнение примет вид
• (IX.4.7)
При N = 0 придем к порождающему уравнению
Rot + <з (RoRtt — RtRot) = 0 (IX.4.8)

238 ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
которое в переменных (IX.4.G) имеет простое решение
R = A (I) sin [T 4- S (I)}. (IX.4.9)
Отправляясь от (IX.4.8), (IX.4.9), будем искать решение
уравнения (IX.4.7) в виде
Л = A sin л^ +^[j + ^1 +^
(IX.4.10)
Здесь г|) = Т -f- S; A, D, S, Е, С — искомые функции двух
переменных б = Na, |.
Сохраняя при всех преобразованиях члены, содержа-
содержащие множитель N не выше чем в первой степени,- подставим
значения производных, вычисленных на основе (IX.4.10),
в уравнение (IX.4.7). В силу выбранного специального
вида решения (IX.4.10) члены при Л™ отсутствуют, и все
сохраненные в уравнении члены имеют порядок малости
N. Собирая выражения, стоящие при множителях б° sin 1|з,
о0 cost)), a sin 2я|з, о cos 2i|), псстоянной составляющей,
02sin\j), о2 cos if, о2 sin 3i|3, a2 cos 3i|), получим девять
уравнений, из которых независимыми оказываются только
пять. Заметим, что члены при а3 также сокращаются в си-
силу специального вида решения (IX.4.10).
Итак, имеем пять независимых уравнений для пяти
переменных A, S, D, Е, С:
Аь = 4
Уравнения (IX.4.И), (IX.4.12) связаны и имеют в точнос-
точности такой же вид, как и для линеаризованного уравне-
уравнения (IX.2.4), если решение последнего искать в виде

§ 4. РЕШЕНИЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЛАХ У 239
R = A sin (9 -f- S). Поэтому их решениями, как легко
проверить, являются выражения для амплитуды и фазы,
взятые из формулы (IX.2.17):
(IX.4.16)
Уравнения (IX.4.13)—(IX.4.15) позволяют вычислить Е,
D, С по известным значениям Л, 5:
„ _ _ ехр[- 2^/A + 62)] „ _ 6ехр[-2^/A+бг)]
2A+62J ' ^ 2A + 62J '
Таким образом, задача решена с точностью до членов,
содержащих множитель N'2. Выражение для R при не-
небольших N действительно слабо отличается от формулы
(IX.3.1).
Проанализируем теперь более точное решение (IX.4.10),
(IX.4.16), (IX.4.17). Вычисление величины Л2 вполне ана-
аналогично по схеме тем операциям, которые привели к вы-
выражению (IX.3.4). Опуская выкладки, запишем оконча-
окончательную формулу для Е-
Существенно, что это выражение не содержит членов по-
порядка N. Изменение ширины пучка энергии происходит
только вследствие дифракции — ширина пучка растет.
Несмотря на наличие нелинейных членов в выражении для
R, формула (IX.4.18) имеет в точности такой же вид, как
и в линейном приближении.
Аналогичным образом можно показать, что величина Я
равна нулю также с точностью до членов порядка N2.
Это означает, что, несмотря на деформацию профиля пер-
первоначально гармонической волны, площади ее положитель-
положительного и отрицательного полупериодов равны, т. е. профиль
постоянной составляющей не содержит.

^40 ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
В заключение отметим, что все полученные в настоящей
главе результаты справедливы только для'бесконечно боль-
больших акустических чисел Рейнольдса Re. Удержание дис-
сипативных членов в уравнениях (IX.2.3), (IX.2.4), как
известно, при N = О позволяет учесть конечность ширины
фронта ударной волны и описать процесс его рассасыва-
рассасывания. Одновременный учет диссипативных процессов и диф-
дифракции, возможный на основе решения более общего урав-
уравнения [1151
д I др' 8
дх \~дГ соро
др' Ь 9V \ _ со А
)ap (IX.4.19)
может дать дополнительные сведения об особенностях фор-
формирования и рассасывания фронтов в квазиплоских огра-
ограниченных пучках звуковых волн конечной амплитуды.
§ 5. Нелинейная геометрическая акустика.
Искажение однополярных возмущений
Вопросы, сформулированные в названии этого парагра-
параграфа, наиболее подробно рассматривались в работе [112].
Соответствующие материалы можно отыскать также и в
статьях [57, 109]. В своем изложении мы будем главным
образом следовать работе [112], но дадим несколько ме-
менее громоздкий вывод основных уравнений.
Для перехода к приближению нелинейной геометри-
геометрической акустики удобно в исходном уравнении (IX.1.12)
совершить замену переменных. Считая t новой независимой
переменной:
t = S (х, r, р') (IX.5.1)
и дифференцируя выражение т = S (x, r, р'[(х, r, t)) для
вычисления производных, входящих в (IX. 1.12), можно
получить следующее уравнение:
д
др'
со I 9S_y
2 \ дг )
дх ^ 2 V дг I "Г" СоРо
_ _со_ ( &?_ i I as \
~ Т \ IPf "*" г дг )'
dS
др'
(IX.5.2)

§ 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА 241
Как нетрудно убедиться, выражения
51== —хр', (IX.5.3)
с0ро r v '
S2 = -—ж1п —р'+ V^- (IX.5.4)
являются точными решениями уравнения (IX.5.2), а сле-
следовательно, и исходного уравнения (IX.1.12). Ценность
этих решений состоит в том, что они представляют собой
фазы плоской и сферической волн, распространяющихся в
нелинейной среде. Однако сами по себе точные формулы
(IX.5.3), (IX.5.4) мало интересны. Для отыскания более
интересных решений, описывающих поведение различных
начальных возмущений, целесообразно, отправляясь от
(IX.5.3), (IX.5.4), искать приближенные решения в виде
й=--^*Р' + -5-Л<*,г,р'), (IX.5.5)
* = ~ 75ST Х Ь ^ р' +
Подставляя эти выражения в уравнение (IX.5.2) и пренеб-
пренебрегая членами, нелинейными по F, получим
дхдр'
«(*? +_L »*) = о, (IX.5.7)
dx dp' ^ x drdp' x \ Qp>' + p' 9p' j
Совершив переход к линейным уравнениям, мы тем
самым ограничились рамками геометрической акустики,
что справедливо для достаточно больших радиусов пучка
по сравнению с длиной волны. Дифракционные эффекты
при этом выпадают, так как они описываются членами,
квадратичными и кубичными по F. Таким образом, пред-
предполагается, что поперечные изменения, обусловленные не-
нелинейными свойствами среды, превосходят дифракцион-
вые эффекты. Несмотря на проведенные упрощения, урав-

242 ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
неиия (IX.5.7), (IX.5.8) остаются достаточно сложными,
но они уже могут быть решены в ряде представляющих
интерес случаев.
Рассмотрим вначале решение уравнения (IX.5.7) для
квазиплоской волны. С помощью замены переменных
= р' —
(IX.5.9)
где C — коэффициент, имеющий размерность [р//а], (IX.5.7)
приводится к гиперболическому уравнению вида
Однако решить общую задачу для линейного гиперболи-
гиперболического уравнения (IX.5.10) с произвольными граничными
условиями не удается, так как в результате замены
(IX.5.1) граничные условия для функции F становятся не-
неоднозначными. Поэтому построим частное решение урав-
уравнения (IX.5.10). Вводя новую переменную Q = У
представим (IX.5.10) в виде
Выбор переменной Q в виде определенной комбинации
переменных р и | существенно сужает класс решений урав-
уравнения (IX.5.10).
Решение уравнения (IX.5.И) может быть представлено
в виде
Здесь Фх — произвольная функция аргумента Q -\- q. По-
Полагая <?>! равной V2 (Q -j- q) Ф (Q + q), где Ф — другая
произвольная функция, и возвращаясь к прежним пере-
переменным, получим
4Ppo
—— r- -t- \p — px')
„ X
X Ф

§ 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА
243
Для анализа выражения (IX.5.13) выберем функцию
Ф в виде, представленном на рис. IX.6. По оси абсцисс
отложен весь аргумент функции Ф:
л =
Функция Ф определена до значений г\, равных А.
С ростом жиг значения р', при которых Ф отлична от
Рис. IX.6. График
функции Ф (ц).
Рис. IX.7. Нелинейная ре-
рефракция импульса сжатия.
нуля, уменьшаются отршах = -4/2 (при х = 0 и г = 0)
до нуля при х и г, связанных соотношением
г =
Определяя коэффициент |3 через полуширину пучка г0
на границе нелинейной среды:
8Ртах
(IX.5.15)
получим выражение для ширины пучка:
'¦ = ±'
¦/
(IX.5.16)

244
ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
Выражение (IX.5.16) показывает, что импульс сжа-
сжатия, локализованный в пространстве в виде пучка, по мере
распространения расплывается. Этот факт известен в
геометрической акустике как нелинейная рефракция лу-
лучей. Зависимость ширины пучка от пройденного рассто-
расстояния представлена на рис. IX.7.
При ro-v оовеличина f5 стремится к нулю, и выражение
(IX.5.13) переходит в решение Римана для плоской вол-
волны: Fx = Ф (р').
Р
3
t t t
Рис. IX.8. Форма импульса р' (t) на границе нелинейной среды при
различных значениях г.
p
p.
2
P'
3
р
Рис. IX.9. Зависимость р' (т) на некотором расстоянии жх
границы среды в разных точках поперечного сечения.
0 от
На рис. IX.8, IX.9, IX.10 представлены зависимости
p' (т) при различных значениях х в разных точках попе-
поперечного сечения г. Рис. IX.8 изображает форму импуль-
импульса р' (t) на границе нелинейной среды (х = 0) при различ-
различных значениях г : г — 0 — кривая 1, г = гг ]> 0 — кри-
кривая 2 и г = г2 ^> гг — кривая 3. С увеличением попереч-
поперечной координаты «амплитуда» импульса уменьшается по
параболическому закону:
Р
Ртах 1 Г"
(IX.5.17)

§ 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА
245
Кроме того, к краям пучка несколько сокращается дли-
длительность импульса.
На рис. IX.9 показана зависимость р' (т) на некотором
расстоянии Xi ^> 0 от границы нелинейной среды в раз-
различных точках поперечного сечения: кривая 1 соответст-
соответствует значению г = 0, кривая 2 — г = гх, кривая 3 —¦
г = г2, кривая 4 — г = г3; г3 ^> г2 (значения гх и г2 те же
самые, что и на рис. IX.8).
A
p
Рис. IX.10. Форма импульса на расстояниях хч, 2>> хх.
Форма импульса на расстояниях ж2^>.% представлена
на рис. IX.10. Поперечная координата принимает здесь
следующие значения г = 0 (кри-
(кривая 2), г = т1! (кривая 2), г =г3
(кривая 3) и г = г4 (кривая ^).
Проведенное построение по-
показывает, что квазиплоский им-
импульс сжатия с «амплитудой»,
спадающей к краям пучка, при
распространении становится
расходящимся: центральные
точки уходят вперед, а перифе-
периферийные отстают. Кроме того,
имеет место сокращение дли-
длительности импульса, так как пе-
передний его фронт движется с
меньшей скоростью, чем задний. Причиной этому является
пространственная расходимость импульса; зависимость
р' от х качественно изображена на рис. IX.11. Сжатие им-
импульса во времени определяется множителем, стоящим
перед произвольной функцией в выражении (IX.5.13).
На оси пучка, т. е. при г = 0, выражение (IX.5.13)
Рис. IX.11. Качественная
зависимость р' от х.

246 ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЬ1Х ПУЧКОВ
принимает вид
Fi = 91Ч~— Ф (Р'). (IX.5.18)
Р' + i—
При х Ф О множитель перед функцией Ф меньше едини-
единицы. С ростом х этот множитель уменьшается, что и озна-
означает сокращение длительности импульса по мере распро-
распространения.
Аналогичным построением можно показать, что
импульс разрежения, локализованный в виде пучка,
распространяясь в нелинейной среде, сужается в про-
пространстве. Ширина пучка определяется выражением
г =
Решение (IX.5.13) описывает распространение импульса
разрежения до координаты х = oVpp
Наряду с пространственным сужением происходит и
процесс увеличения длительности импульса.
В тех случаях, когда мы имеем дело с квазисфериче-
квазисферической волной, функция S явным образом зависит от ко-
координаты г (см. выражение (IX.5.6)) и вместо (IX.5.7)
необходимо рассматривать более сложное уравнение
{IX.5.8). С помощью замены переменных
x = p's, u = JL(l + lnJL), л = -?-- (IX.5.20)
последнее приводится к следующей форме:
dv.dk
Уравнение (IX.5.21) приводится к стандартному гипер-
гиперболическому уравнению
dq2 ' di? ? &c, dp2

§ 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА 247
если воспользоваться новыми переменными q, p, ?, свя-
связанными со старыми соотношениями
?-^ (IX.5.23)
Здесь C — параметр, имеющий размерность [pZ2]. Вводя
новую переменную Q = у ф -\- ?2, представим уравнение
(IX.5.22) в виде
8Q* + Q dQ dp* ~~ AЛ..Э.41)
Решение этого уравнения, аналогичное (IX.5.13), может
быть получено таким же способом. Окончательное выра-
выражение имеет вид
¦ + —ll+ln-
X
(IX.S.2S)
Это решение описывает в акусто-геометрическом прибли-
приближении распространение почти сферической волны конеч-
конечной амплитуды, ограниченной в пространстве в виде
параксиального конического пучка, и позволяет рассмо-
рассмотреть сходящиеся и расходящиеся звуковые волны.
Для анализа выражения (IX.5.25) в случае расходя-
расходящегося пучка выберем произвольную функцию Ф в виде,
представленном на рис. IX.6, только теперь по оси абс-
абсцисс следует отложить другую величину
Рассуждая так же, как и при рассмотрении квазиплоской
волны, можно определить угловую ширину пучка:
A + ь-Ч. AХ-5-26)

248
ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
Величина А выражается через (р'ж)тах, т. е. через зна-
значение р'х на оси пучка. Определяя величину размерного
параметра C через угловую полуширину пучка ф0 (при
X = Xq)'.
получим окончательное выражение для угловой полуши-
полуширины пучка:
Зависимость ф2 (х/х0) представлена на рис. IX.12. Аргу-
Аргумент произвольной функции Ф позволяет определить рас-
распределение «амплитуды» импульса по сечению пучка.
Рис. IX.12. Изменение угловой полуширины расходящегося пучка.
При х = х0 амплитуда прямоугольного импульса сжатия
уменьшается к краям пучка:
Р=Р'
(IX.5.29)
здесь р'щах — амплитуда импульса на оси. Таким об-
образом, сферический импульс сжатия, расходящийся из
точки х=0, ограниченный в пространстве в виде пучка с
угловой шириной 2ф0 (при х = х0), с амплитудой, умень-
уменьшающейся к краям пучка, при распространении в
нелинейной среде становится более расходящимся. Угло-

§ 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА 249
вая ширина пучка увеличивается, стремясь асимптотиче-
асимптотически при х -*¦ оо к постоянной величине ф^, равной
< = <?% + — ¦ AХ.5.30)
Так как на оси пучка величина возмущения больше, то
центральные точки уходят вперед, а периферийные отста-
отстают, и пучок расходится сильнее. Однако на достаточно
больших расстояниях амплитуда волны уменьшается,
нелинейность уже не играет существенной роли, и это
приводит к стабилизации угловой ширины пучка.
Длительность сферического импульса сжатия при этом
уменьшается и при х ->- оо становится постоянной. Здесь
так же, как и в случае квазиплоской волны, дополнитель-
дополнительная расходимость обусловливает более медленное дви-
движение переднего фронта импульса по сравнению с зад-
задним. Множитель перед произвольной функцией, опреде-
определяющий изменение длительности импульса, при х —v оо
стремится к постоянной величине, равной 1. На достаточно
больших расстояниях от х0 выражение (IX.5.25) при-
принимает вид t\ = Ф (р'ж) или
р' = J-0-
При этом распространение сферической волны происходит
по прямым линиям (r/x) = const, на каждой из которых
Рг является функцией р'ж. Таким образом, при больших
х ограниченность пучка не сказывается.
Для х, изменяющихся от значений х = — оо до нуля,
выражение (IX.5.25) с произвольной функцией Ф, изо-
изображенной на рис. IX.6, описывает распространение
сходящегося сферического импульса сжатия. Этот им-
импульс имеет прямоугольную форму при х = — х0 и
ограничен в пространстве в виде пучка. Амплитуда им-
импульса уменьшается к краям пучка по закону (IX.5.29).
Задавая ширину пучка ф0 при х = — х0, можно опреде-
определить его ширину в любой точке х:
] (ix.5.32)
1_A + 1п

250
ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
Эта зависимость изображена на рис. IX.13. Как видно
из рис. IX.13, пучок сходится быстрее, чем в линейной
среде. При выпуклом распределении амплитуды импуль-
импульса по сечению пучка центральные точки отстают, а крае-
краевые выдвигаются вперед, и волна становится более расхо-
расходящейся. При этом длительность сходящегося импульса
сжатия увеличивается.
Рис. IX.13. Изменение угловой полуширины сходящегося пучка.
В заключение отметим, что в точках х, близких к фо-
фокусу, решение (IX.5.25) перестает быть справедливым.
При ширине пучка, сравнимой с длиной волны, сущест-
существенную роль начинают играть дифракционные эффекты.

ГЛАВА X
О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
В НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКЕ
§ 1. Случайно-модулированные звуковые волны
Предыдущие главы были посвящены рассмотрению
нелинейных волновых процессов, протекающих в регу-
регулярных звуковых полях. Когда речь шла об одном или
нескольких гармонических возмущениях на границе сре-
среды, то подразумевалось, что исходный спектр представ-
представляет собой совокупность дельта-функций. Точно так же
бесконечно узкими считались спектральные линии воз-
возникающих в среде гармоник и комбинационных частот.
Случай широкого исходного спектра соответствовал им-
импульсному возмущению, форма которого тоже вполне
детерминирована.
Вместе с тем естественно применить аппарат нелиней-
нелинейной акустики к анализу распространения случайных
звуковых возмущений. Рассмотрение деформации формы
начального спектрального распределения, динамики раз-
различных нелинейных взаимодействий представляет и здесь
несомненный интерес. Важность этих исследований обус-
обусловлена в первую очередь наличием реальных источников,
являющихся, по существу, источниками шумовых волн.
В качестве примеров можно указать на такие явления,
как кавитация [8], электрические разряды в воде [116],
взрывы, мощные струйные течения и т. д., сопровождаю-
сопровождающиеся излучением интенсивных шумов. Более того, обыч-
обычные источники ультразвука, с которыми приходится иметь
дело в повседневной лабораторной практике, также не
вполне монохроматичны. Несмотря на высокую доброт-
добротность линий, они имеют все же конечную ширину, что

252 ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
обусловлено наличием амплитудных и фазовых флуктуации.
Случайный характер входного возмущения может
существенно повлиять на протекание нелинейных про-
процессов, так что с этим обстоятельством часто нельзя не
считаться.
Нужно заметить, что в смежной с нелинейной акус-
акустикой области волновых процессов — в нелинейной оп-
оптике — статистические явления изучены весьма полно
[117]. Математический аппарат здесь во многом более
прост, так как из-за сильной дисперсии в оптике возмож-
возможно оперировать медленно изменяющимися комплексными
амплитудами нескольких квазимонохроматических волн.
Относительная простота, а также наличие важных прак-
практических приложений стимулировали исследования во-
вопросов статистики мощного лазерного излучения. В нас-
настоящее время статистическая нелинейная оптика [117]
представляет собой довольно развитую область, резуль-
результаты которой многократно подвергались эксперименталь-
экспериментальной проверке. Поэтому всюду, где это возможно (а именно
в задачах о модулированных звуковых волнах в области
до образования разрывов), мы будем сопоставлять ре-
результаты этой главы с выводами монографии [117].
Обратимся сперва к наиболее простой задаче о распро-
распространении случайно-модулированной квазимонохромати-
квазимонохроматической звуковой волны [118]. Пусть на входе в нелинейную
среду при х = 0 задан узкополосный случайный процесс:
v @ = v0 (Q«)sin [®of + ф (Ш)]. (Х.1.1)
Здесь v — колебательная скорость, v0 и ф — медленно
изменяющиеся амплитуда и фаза; Q/co0 — ц, <^ 1. В со-
соответствии с уравнением
dv 8 dv /V . оч
(где у = t — х/с0, е = (у + 1)/2), описывающим деформа-
деформацию волны произвольного профиля, решение v (x, t)
получается из условия на границе (Х.1.1) с помощью
замены аргумента t на у + zvx!c\. Поскольку характерное
время Q'1 изменения функция v0, ф велико (по сравне-
сравнению с coq1), искажением амплитуды у0 и фазы <р можно

§ 1. СЛУЧАЙНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ 253
пренебречь и решение представить в виде
v (у, х) = v0 (Qy) sin \щу + ~ ®ov (у, х) х + ф (&у) 1. (Х.1.3)
Для упрощения записи последующих выкладок удоб-
удобно ввести безразмерные переменные 6 = аоу, z =
= E(noax/cl, V = via, А — v0lo (где а = ]/"уг), тогда
V F, г) = А F) sin [6 + zV + ф (в)]. (Х.1.4)
Неявная функция типа / = sin [В + zf] может быть
представлена в виде ряда Бесселя — Фубини A.5.9),
поэтому вместо (Х.1.4) можно написать
^ 2Jn[nzA{Q)]
^(Q.z)= S nz sin га [6 + 9F)]. (X.1.5)
Воспользуемся разложением (Х.1.5) прежде всего для
вычисления корреляционной функции В (х, z) сигнала
V (В, z) в произвольном сечении нелинейной среды:
n, m=l о О
X sinп [9 + ф] sin т[9' + ср'] W4 (А, А', ф, ф') dtpdq>', (X.I.6)
Где В' = В + соот, А = А (В), ср = ф (9) и А' = А (9'),
ф' = ср (В'). Расчет выполним для стационарного нор-
нормального процесса (Х.1.1), у которого четырехмерная
функция распределения WA (А, А', ф, ф') равна [89]
Здесь b — b (%) — огибающая корреляционной функции
сигнала на входе:
В (т, z = 0) = Ъ (т) cos щх. (Х.1.8)

254 гл. х. о статистических явлениях
При вычислении внутреннего интеграла по dq> dq>'
нужно воспользоваться соотношением
Г АА'Ь . ,
ехР (l-fcz C0S (ф ~~ ф ~
СО
= 2 гз4 (т="ь« ) cos/ (Ф' — Ф — «от); (Х.1.9)
АА'Ь
3=0
здесь Б; = 1 для / = 0 и е,- = 2 для / ^> 0. При этом по-
получается следующий результат:
sin rccp sin mcp ехр< __ cos (ф —ср — «vOr «ф«ф =
о ^ ~" .
оо
= Jt2 ^j Ej8nj8mjli I ~т тг I COS /COot. (X.I.10)
i=o Vb ~ .
Наконец, интегрируя по cL4 d^', придем к искомому
выражению [119]
предельный переход г->0 в формуле (Х.1.11),
мы, естественно, получим входную корреляционную функ-
функцию Ь (т) cos соот = В (т, 0). Г1"'' I | ¦ ]
Выражение (Х.1.11) позволяет выявить различие в
процессах генерации гармоник случайной и детермини-
детерминированной исходными волнами. Наибольший интерес, оче-
очевидно, представляет сравнение темпа нарастания гармо-
гармоник при одинаковых интенсивностях Е исходных волн;
для детерминированного сигнала Е = v%!2 (где г>0 —
амплитуда сигнала), а для случайного сигнала EW =
= г>2 = а2. Для интенсивностей гармоник имеем
^GlZl) {ХЛЛ2)
в случае чисто гармонического возмущения на границе и
(X.I .13)

§ 1. СЛУЧАЙНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ 255
для случайного сигнала; • (Х.1.13) следует (Х.1.11) при
0. В формулах (Х.1.12), (Х.1.13) zx = гщхУ2Е1с
т
Е =
1с\,
Графики функций (Х.1.12) и (Х.1.13) для п = 1, 2, 3
изображены на рис. Х.1 соответственно штриховыми и
сплошными линиями. Вид-
Видно, что поведение гармо- "
ник случайного сигнала
существенно отличается от
того, что имеет место при
чисто гармоническом воз-
возмущении на границе сре-
среды. Как истощение основ-
основной, так и нарастание выс-
высших гармоник в первом
случае происходит более
быстрыми темпами.
Здесь уместно провести
аналогию с нелинейной оп-
оптикой [117] и отметить,
что при малых расстояни-
расстояниях zx (nz1 <^ 1) генерация
акустических гармоник
шумовым сигналом эффек-
эффективнее, нежели детермини-
детерминированным сигналом,точно
во столько же раз, как и
при возбуждении световых
гармоник квазимонохро-
квазимонохроматическим излучением
в так называемом прибли-
приближении заданного поля.
Другими словами, на ма-
малых расстояниях % отно-
отношение *)
»и! (Х.1.14)
'.о г,
Рис. Х.1. Зависимость интенсив-
интенсивности первой A),второйB)и треть-
третьей C) гармоник в нелинейной сре-
среде от приведенного расстояния zx =
= еаох У 2le~2 = У Ъ при одина-
одинаковых интенсивностях исходных
сигналов. Узкополосному шумово-
шумовому сигналу соответствуют сплош-
сплошные кривые, гармоническому сиг-
сигналу — штриховые кривые.
*) Это соотношение было установлено экспериментально в ра-
работе [139].

256 гл. х. о статистических явлениях
Теперь остановимся на анализе ширины спектральной
линии гармоник шума. Предположим, что форма линии
исходного шумового сигнала лоренцева, т. е. на границе
нелинейной среды
&(т)=ехр{-|т|/т0}; (Х.1.15)
т0 — время корреляции сигнала. В этом случае время
корреляции тп п-й гармоники подчиняется трансцендент-
трансцендентному уравнению
n [4" ("*i)a еЧт»|;то]= е~Чп [-1-
Аналитический результат удается получить лишь при
малых п%<^ 1; в этом случае имеем тп = т„/ге. Таким
образом, при nz1 <^ 1 ширина спектральной линии гар-
гармоники Асо„ » 1/тп растет с увеличением п (см. также
[117]). С ростом z ширины линий гармоник увеличиваются,
причем это уширение также растет с увеличением п. Так,
например, при п = 1 время корреляции уменьшается с
Tl = %1 (z! = 0) = т0 до ъ = %! (% = 1) « 0,97т0, при
п = 2 — с т2 = 0,5т0 до т'г я^ 0,41т0 и, наконец, при п =
= 3 -=- с т3 = 0,33т0 до Тз ~ 0,21т0.
Подобным образом ведут себя и ширины линий гармо-
гармоник в случае, когда исходный сигнал имеет гауссову
форму линии; здесь, однако, при пгг <^ 1 время корреля-
корреляции тп = xo/Vn-
Тенденция к «расплыванию» спектральных линий яв-
является важным эффектом, который не может быть уста-
установлен в рамках приближения заданного поля. Он явля-
является следствием сложных (в том числе и реактивных)
взаимодействий между полями основного излучения и
высших гармоник и представляет собой — в соответст-
соответствии с законами статистической физики — первый шаг к
установлению состояния термодинамического равновесия.
Рассмотрим законы распределения огибающей шумо-
шумовых гармоник. Согласно формуле (Х.1.5) амплитуда Ап
п-й гармоники равна
4П = =!¦/„[«« А (9)], (Х.1.17)

§ 1. СЛУЧАЙНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ 257
где A (G) в соответствии с (Х.1.7) имеет релеевский закон
распределения
W(A) = А ехр{- АЧ2}. (Х.1.18)
В общем случае произвольных nz получить аналитическое
выражение для распределения W (Ап) не удается. Для
= /
Рис. Х.2. Функции распределения огибающей исходного сигнала
A), второй B) и третьей C) гармоник: A) — распределение Рслея,
{2) — экспоненциальное распределение.
значений nz <^ 1 при п ^> 2 получаем, что закон распре-
распределения W (Ап) сильно отличается от релеевского (Х.1.18)
(а .
(п-1)\е
(Х.1.19)
причем амплитуда аг второй гармоники имеет экспонен-
экспоненциальное распределение: W (а2) = а\г ехр {— ajo\}.
В формуле (Х.1.19) ап = nzAJ2, a = nzA/2 = аъ о1 =
= mil. Графики распределений W (ап) для входного

258 ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
сигнала, второй и третьей гармоник представлены на
рис. Х.2.
Из рис. Х.2 следует, что в области малых и больших
значений амплитуд ап (относительно среднего ап) плот-
плотность вероятности значений ап больше, чем для возбу-
возбуждающего сигнала. Вероятности превышения среднего
значения в а„ = ап/ап раз, например, в исходном сигнале
и второй гармонике равны соответственно
Р (od) = \ W (ос) da = е'^\ Р (а.2) = е-". (Х.1.20)
0.1
Таким образом, флуктуации исходного сигнала в
гармониках подчеркиваются; подобная ситуация имеет мес-
место и при генерации оптических гармоник [117].
Обсудим теперь границы применимости формулы
(Х.1.11) и вытекающих из нее результатов. Строго гово-
говоря, одновременное использование динамического урав-
уравнения для простых волн (Х.1.2) (описывающего волны
только в области до образования разрывов) и функции
распределения (Х.1.7) нормального шума приводит к
противоречию. Дело в том, что в соответствии с релеев-
ским распределением (Х.1.18) амплитуда некоторых «пе-
«периодов», входящих в состав полной реализации V (В, z =
= 0), может принимать сколь угодно большие значения.
Поэтому уже в непосредственной близости от источника
волна содержит разрывные участки. Вместе с тем веро-
вероятность выбросов с большими амплитудами мала, что
позволяет на больших расстояниях использовать полу-
полученные результаты в качестве приближенных.
Простым, но довольно грубым критерием применимости
может служить расстояние zx = 1 образования ударного
фронта в регулярной волне равной интенсивности. Более
корректный путь состоит в «обрезании» крыла релеев-
ского распределения при некоторой А = Агр (в соответ-
соответствии с наперед заданной допустимой величиной ошибки)
и оценке длины образования разрыва для волны с А =
= Агр по формуле хр = /-^-да^\
\ /
Эти затруднения не возникают, если в качестве дина-
динамического уравнения вместо (Х.1.2) использовать урав-

§ 1. СЛУЧАЙНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ 259
нение Бюргерса. Пусть имеется решение этого уравнения,
соответствующее регулярному возмущению на границе
(А = vo/a и ф фиксировании):
оо
V = 2 AFn (Az) sin n F + Ф). (Х.1.21)
Здесь AFn — амплитуда п-ж гармоники, явные выражения
для которой на различных этапах даются, например,
формулами Бесселя — Фубини A.5.9) и Фея (II.2.11).
Наличие решения (Х.1.21) позволяет в принципе рассчи-
рассчитать корреляционные функции гармоник для произволь-
произвольного сечения нелинейной среды:
Вп (х, z) = Ц dA dA' Ц AA'Fn (Az) Fm (A'z) sin n F + <p) X
0 "o
X smm(Q' + <f')Wi(A, ^',ф, ф')йфйф'. (X.I.22)
Однако наглядный аналитический расчет в общем виде
невозможен из-за отсутствия удобных выражений для
Fn (Az), допускающих точное вычисление интеграла
(Х.1.22). Тем по менее такая задача может быть решена
численно для любых значений числа Рейнольдса.
На рис. Х.З штриховыми кривыми представлены ре-
результаты расчета [118] средних интенсивностей Е^ (z) =
= В @, z) гармоник узкополосного шума для значений
Re -> оо.
При вычислении интеграла (Х.1.22) использовались
численные данные для Fn, полученные с помощью фу-
рье-анализа искаженных профилей волны, построенных
графическим способом. Соответствующие интенсивности
E\f регулярного возмущения изображены на рис. Х.З
сплошными линиями. Расчеты Е\[ выполнены для ста-
стационарного нормального процесса.
Относительное расположение штриховых и сплошных
кривых рис. Х.З можно объяснить следующим образом.
Поскольку амплитуда А исходного процесса флуктуиру-
флуктуирует, наличие больших выбросов (относительно среднего Ж)
приводит к более быстрому убывапию интенсивности
основной частоты и эффективному росту гармоник шума

260
ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
по сравнению с регулярным возмущением такой же ин-
интенсивности. Деформация выбросов с большими амплиту-
амплитудами приводит в дальнейшем к уменьшению их величины
из-за образования разрывов; в то же время малоамплитуд-
малоамплитудные флуктуации практически не деформируются. Это
Рис. Х.З. Результаты численного расчета интенсивностей гармо-
гармоник случайно-модулированного сигнала: z± — 1 соответствует рас-
расстоянию образования разрыва в детерминированной волне той же
интенсивности.
обстоятельство «затягивает» уменьшение интенсивности
MN) (z)i которая может превысить значение Е^ (z).
Рассмотренная физическая картина явления объясняет
также тот факт, что максимальные интенсивности шумовых
гармоник оказываются меньше регулярных.

§ 2. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭВОЛЮЦИИ СПЕКТРОВ 261
Обсуждавшиеся выше границы применимости формулы
(Х.1.11) наглядно проясняются на рис. Х.З, на котором
кривые интенсивностей гармоник шума (Х.1.13) изобра-
изображены штрих-пунктирной линией. Видно, что выражением
(Х.1.11) можно пользоваться па приведенных длинах
% = г/2<0,7.
Полученные в этом параграфе результаты относятся к
плоским волнам, однако их легко перенести па случай
шумов с цилиндрической или сферической симметрией.
Хотя здесь рассмотрен процесс распространения лишь
нормального случайного процесса, такой подход позво-
позволяет, вообще говоря, исследовать поведение узкополос-
узкополосной волны с любым видом случайной модуляции.
§ 2. Общая теория нелинейной эволюции
спектров случайных звуковых полей
при отсутствии диссипации [120]
То счастливое обстоятельство, что в нелинейной акус-
акустике имеются простые решения типа (Х.1.21), позволило
в § 1 сделать ряд важных выводов о процессе распростра-
распространения случайного узкополосного возмущения. Однако уже
для задачи о взаимодействии двух квазимонохроматиче-
квазимонохроматических волн операция усреднения оказывается существенно
более громоздкой. В случае сложных спектров на границе
прямой расчет не удается провести вообще.
Проблема аналитического описания трансформации
спектра немонохроматического входного возмущения при-
привлекает к себе внимание давно [121]. Имеются интерес-
интересные результаты, полученные либо для недиссипативной
среды методом последовательных приближений [121],
либо при учете слабой нелинейности, что справедливо
для Re<; 1 [122].
Нужно указать на принципиальное отличие в самой
постановке задачи об изменении формы шумового спектра
от аналогичных задач для детерминированных возмуще-
возмущений. Дело в том, что задание исходного спектрального
распределения и статистики излучения на входе однознач-
однозначно определяет процесс эволюции спектра случайной
волны. Для детерминированных возмущений такая пос-
постановка вопроса некорректна, поскольку между его

262 ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
пространственно-временной формой и спектральным ра-
распределением нет взаимно однозначного соответствия;
спектр возмущения деформируется по-разному в зависи-
зависимости от фазовых соотношений между фурье-компонентами.
Это тривиальное, казалось бы, замечание необходимо
иметь в виду потому, что во многих оригинальных
работах эти два типа задач не разделяются.
Для рассмотрения динамики изменения спектра про-
произвольной ширины и формы запишем решепие уравнения
(Х.1.2) в общем виде
Здесь ? (т]) — произвольная функция, заданная на входе
среды при х = 0.
В соответствии со свойствами б-функции можно на-
написать
(X.2.2)
Подставим (Х.2.1) в (Х.2.2), при помощи замены
у' — т] ^- х^(ц)я интегрирования по частям v (у, х)
удается представить как явную функцию от g (tj):
оо
v(y,x)= ^Ц Н(т,)х
X ехр {- *«> [ti- -J-х\ (ifl -?/]} — d4. (X.2.3)
Для расчета корреляционной функции
В (yv у2; х) = v (yv х) v (у2, х) (Х.2.4)
на основе решения (Х.2.3) нужно воспользоваться четы-
четырехмерной функцией распределения W^ [S, (¦%), I, (r\2),
t ("Hi)' I (Лг)]; эт0 связано с чрезвычайно громозд-
громоздкими вычислениями. Вместе с тем структура выражения
(Х.2.3) позволяет ввести оператор
L(соь т|1; со2, %) = -^^ + ко!-^ -1щ— + (о,^ (Х.2.5)

§ 2. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭВОЛЮЦИИ СПЕКТРОВ 263
и с его помощью проделать операцию усреднения, поль-
пользуясь только двумерным распределением W2 [? (гц),?; (%)].
Эта значительно облегченная схема расчета приводит к
следующему выражению для корреляционной функции:
X ^ L (соь %; со2, г)) <^ехр Ггсо
L C
— ico, ~ x\ (%) \e-iwiYli+im»Y1»d'n1d'n2 • (X. 2.6)
Таким образом, операция усреднения сводится к на-
нахождению двумерной характеристической функции
С (соь— со2) = <(ехр (-4-ж [со^ (%) — со2? (%)]] N . (Х.2.7)
Пусть Ъ, (t) есть стационарный гауссов случайный про-
процесс со средним значением ? = 0, тогда
С (соь — со2) = ехр | y [Mi + «а — 2со1со2Л (% — %)]|,
(Х.2.8)
где z = -^- ох; а2 — интенсивность и R (-ц) — коэффициент
корреляции процесса | (г/).
Для корреляционной функции (Х.2.4) в произвольном
сечении нелинейной среды таким образом получается вы-
выражение
(Х.2.9)
Производя замену (^> (tj) = exp [(zcoJ Л (tj)] и инте-
интегрируя, можно привести (Х.2.9) к виду
(Х.2.10)

264 ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
где Ф (т|) — функция ошибок. Согласно теореме Винера -
Хинчина для спектральной плотности процесса из (Х.2.10)
получим
* a2 f •
S (со, z) = -— e-'2<i>'- \ R (v) е(гмJЯ(г>) sin сот] dr\ (X.2.1 \)
XLCO *>
О
или, в другой форме,
[е{гш)°-я{г,) — i j C03 ШТ| ^_ (Х.2.12)
Выражения (Х.2.9) — (Х.2.12) позволяют проследить
за искажением спектра начального возмущения с произ-
произвольной шириной и видом спектрального распределения.
Удобство пользования (Х.2.11) или (Х.2.12) зависит от
конкретного выражения для функции R (т|). Разлагая
экспоненту под интегралом (Х.2.12) в ряд, получим
оо со
¦ S (со, z) = -fi- е-<->2 2 ^^ 5 Д" A1) e-ь* dn. (X.2.13)
Отсюда следует, что по мере распространения исходной
волны (ей соответствует п = 1) ее спектральная плотность
уменьшается. Спектральная же плотность возбуждаемых
гармоник с ростом z сначала нарастает. Для широкого
исходного спектра спектры всех гармоник перекрываются,
и характер его трансформации в целом существенно за-
зависит от формы исходного распределения.
Если, например, спектр S (со, 0) сосредоточен вблизи
нулевой частоты со = 0, то в нелинейной среде он деформи-
деформируется таким образом, что спектральная плотность па низ-
низких частотах уменьшается, а на высоких возрастает.
Другими словами, идет процесс перекачки энергии из
интенсивных длинноволновых компонент в коротковол-
коротковолновые. Если же максимум спектральной плотности при-
приходится на частоту со = соо Ф 0, то происходит как
процесс преобразования в более коротковолновый (относи-
(относительно к0 = юо/с) спектр, так и параметрическая подкач-
подкачка его длинноволновой части.

2. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭВОЛЮЦИИ СПЕКТРОВ
265
Сказанное иллюстрируется кривыми рис. Х.4, по-
построенными *) для R (т]) = A — 2у2т|2) ехр (— yh\2).
Задачи описания трансформации широких исходных
спектров в литературе получили название проблемы
акустической турбулентности (см. [123, 124]). Особый
интерес здесь представляет нахождение равновесной формы
о
Рис. Х.4. Изменение формы широкополосного исходного спектра
~ т /it"
(кривая 1 )S (со, 0) = S (со, 0) —^—=
вне-
линейной среде для различных значений приведенного расстояния
yz: кривая 2—1/6, 3—1/2/3, 4—1?
спектрального распределения или универсального закона
спадания S (со, z) при со —>• оо.
Пользуясь выражениями (Х.2.11), (Х.2.12), нетруд-
нетрудно показать, что спектральная плотность при о —>¦ оо
изменяется по закону со [125]. Этот результат формально
следует из полученных выражений при р = zY\ R @)
(где —R @) ~ А со2, А со — ширина исходного спектра).
Однако при р ^> 1 эти выражения неправильно описывают
форму спектра, поскольку при этом интенсивность Е (z) =
= В @, z) не остается постоянной. Непосредственно же
*) Похожая картина наблюдалась в эксперименте [140].

266 ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
из (Х.1.2) следует, что в недиссипативном случае значение
Е (z) = v% должно сохраняться.
Указанное расхождение обусловлено тем, что вслед-
вследствие флуктуационного характера возмущений в некото-
некоторых выбросах образуются разрывы, не описываемые,
однако, принятой моделью. Решение (Х.2.1) становится
неоднозначной функцией переменной у и, строго говоря,
не может быть разложено в спектр. Вместе с тем такая
процедура при E <; 1 приближенно верна. Отклонение нее
В @, z) от своего первоначального значения а2 растет с
увеличением р, и критерием применимости формулы
(Х.2.12) может служить заданное отклонение В @, z)
от а2.
Более корректный, анализ явления при 3 ^> 1 должен
основываться на решении уравнения Бюргерса, содержа-
содержащего старшую производную. Учет же низкочастотных по-
потерь может быть проведен введением члена —б v в правую
часть уравнения (Х.1.2). Этот случай сводится к рассмо-
рассмотренному выше с помощью замены переменных
U = ve~*x, щ = -^~- ¦ (X .2.14)
Как нетрудно видеть, при 8х ^> 1 здесь достигается
стационарное по форме спектральное распределение.
Когда постановка задачи является более ограниченной
и требуется определить равновесную форму спектра, не
интересуясь его динамикой, возможен принципиально
иной подход [16, 123] к проблеме акустической турбулент-
турбулентности. Предполагая, что фазы различных фурье-компонент
спектра слабо коррелированы, можно от динамических
дифференциальных уравнений перейти к кинетическому
уравнению для средних значений квадратов амплитуд.
Такой подход позволяет наряду с процессами самовоз-
самовоздействия, приводящими к возникновению коррелирован-
коррелированных гармоник и переходу гармонической волны в пило-
пилообразную, учесть еще и процессы перемешивания волн,
бегущих в различных направлениях. Это перемешивание,
связанное с неодномерным характером явления, может
привести к размытию фронта пилообразной волны и в
этом смысле действует подобно турбулентной вязкости.
Как показано в работе [126], стационарный спектр в

§ 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОДУЛИРОВАННЫХ ВОЛН 267
общем случае разбивается на два участка, первый яз ко-
которых, со [124], определяется спектром пилообразной
волны, а второй, со"8/2 [123], соответствует турбулентно-
турбулентному перемешиванию.
§ 3. Взаимодействие модулированных волн [127J
Общие выражения, полученные в предыдущем парагра-
параграфе, позволяют рассмотреть широкий класс задач, соот-
соответствующих различным спектральным распределениям
на границе нелинейной среды. В частности, полагая в
формуле (Х.2.12) Л (r\) = b (ц) cos со0т] (где Ъ (ц) — мед-
медленно изменяющаяся за время 2л/со0 функция), можно
другим способом вывести результат (Х.1.11) для корреля-
корреляционной функции узкополосного шума.
Интересно рассмотреть также невырожденное трехвол-
новое взаимодействие, когда на входе в нелинейную среду
задан спектр, состоящий из трех спектральных линий с
центрами <ov со2, со3, причем со3 = сох + со2. Нужно
предположить, что ширины этих линий AtOj малы по срав-
сравнению с расстояниями | % — a>j | (/, / = 1, 2, 3; i ^ /)
между ними. Тогда корреляционная функция исходного
шумового возмущения должна иметь вид
° СП) = ~Т «Wi) cos <O1T1 "I Г  (Ч) COS СО2Т] -j-
9 2 i 2 i 2
a2 = a\ + a2 + a3.
Подставляя выражение (Х.3.1) в общее решение (Х.2.12)
и используя формулу (Х.1.9), получим
S (со, z) = — (ш)г \ cos cor| c?Ti i
j гпгтгк х
п,т,к=о
X In ((zcoJ1- Ъг) Im ((zcoJ 4 h) /, ((шJ 4 Ъв) X
X cos п^хц cos тщг[ cosfeoo3T] — 1 . (Х.3.2)
В приближении узкополосности входных сигналов
(«медленности» огибающих bv b2, b3) член подынтеграль-

268 гл. х. о статистических явлениях
ной суммы с п = т = к = 0 может быть положен равным
единице. Остальные члены дают комбинационные частоты
и гармоники трех исходных волн. Поскольку наибольший
интерес представляет рассмотрение взаимодействия имен-
именно этих волн — с частотами со15 со2, со3,— сохраним в
(Х.3.2) только нужные нам члены. Совершая косинус-
преобразование Фурье, можно получить следующее вы-
выражение для корреляционной функции на частоте Юр
Г / 5i
I/1 ((zC0lJ "^bl
х
X Iо ( (zcoiJ -±- b2 (t) ) • /0 ((zcoj)'2 ~ b3 (т)
^ Ьа (t)) /х ((гсоО2 -J- Ь3 (г))] cos <olT. (X.3.3)
X 1
Аналогичные выражения на частотах со2, со3 получаются
из (Х.3.3) с помощью очевидной перестановки индексов.
Для анализа параметрического процесса <в3 ->¦ <»! +
+ со2 предположим, что волны a>v <а2 — слабые, т. е.
02/о2, al/a2 <^ 1 и el/a* та 1. Одновременно полагаем
т = 0 и переходим к интенсивностям волн ?\, Е2, Е3:
(X.3.4)
= 2
При наиболее типичном задании исходного возмущения
одна из слабых волн (например, <в2) на границе отсутст-
отсутствует и возникает в нелинейной среде как результат взаи-
взаимодействия между волнами a>v со3. Именно этот случай
отражен на рис. X.5, а, построенном в соответствии с
формулами (Х.3.4) для 02 = 0, o"i/02 = 0,1, а>1/а>3 = 0,2.
В качестве следующего примера рассмотрим процесс
генерации суммарной частоты и>1 -f~ co2 ->- со3- Здесь уже

§ 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОДУЛИРОВАННЫХ ВОЛН 269
нужно считать слабой водной ш3, т. е. положить
Оя/о2 ~ 0. Полученные таким образом выражения для
Efaj) },
а)
[____
L-?
У
0,4
JOE,
' 0,2Е,
1,0 7
10 г
О
Рис. Х.5. а) Параметрический процесс при У?±
б) генерация суммарной частоты в поле двух квазигармонических
случайных волн.
интенсивностей волн:
„-(zwiI
?i =2-
^ /1 (^J9-' (х-3-5>

270 ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
проанализированы на рис. Х.5, б при а\ = at — ст2/2,
1
Следует обратить внимание на особенность в поведении
кривых рис. Х.5 и на их существенное отличие от анало-
аналогичных результатов для сред с сильной дисперсией.
Дело в том, что в нашем случае, помимо рассмотренного
«полезного» процесса (л1 -\- щ ^± со3, одновременно с ним
протекает множество «паразитных», к которым следует
отнести генерацию гармоник и комбинационных частот,
отличных от «>!, со2, со3- Наличие дополнительных каналов
нелинейных потерь энергии значительно ослабляет эф-
эффективность полезных процессов и, как нетрудно видеть,
является главной причиной спадания кривых, рис. Х.5.
Примерно таким же способом можно проследить за
динамикой искажения других, более сложных спектров.
В частности, интересной с физической точки зрения явля-
является задача о взаимодействии узкой и слабой спектральной
линии с интенсивным широким спектром, сосредоточен-
сосредоточенным вблизи нулевой частоты. Эта задача может соответ-
соответствовать, например, распространению квазигармониче-
квазигармонической волны через среду со случайными неоднородностями.
Можно показать, что перекачка энергии в линию при-
приводит к ее уширению, причем в основном растет высоко-
высокочастотное крыло, а граница со стороны низких частот
практически неподвижна. Такое взаимодействие может
значительно сместить энергетический центр линии 5 (z) =
= ^ ti)S (со, z) dw в область более высоких со.
— оо
Рассмотренные в этом параграфе примеры носят ил-
иллюстративный характер и, разумеется, не исчерпывают
всех возможностей, содержащихся в общем результате
(Х.2.12).
§ 4. О квазигармонических сигналах
при наличии только фазовых флуктуации [128]
Ультразвуковые волны большой интенсивности в жид-
жидкостях обычно получают с помощью электромеханических
преобразователей различного типа. Их немонохроматич-
немонохроматичность определяется главным образом флуктуациями радио-

§ 4. О КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИХ СИГНАЛАХ 271
генераторов, всегда обладающих малой нестабильностью
частоты. У сигналов реальных генераторов флуктуируют
амплитуда А и фаза ф, однако, как правило, малыми из-
изменениями А можно пренебречь (A ш const). Флуктуации
же фазы ф (t) в основном ответственны за конечную ши-
ширину спектра сигнала.
Рассмотрение вопроса о форме спектральных линий
гармоник, возникающих в среде, при наличии на границе
квазигармонического возмущения
%(t) = A sin [aot + ф (t)] (X.4.1)
можно провести на основе общей теории, изложенной в
§ 2. Чтобы проделать усреднение и определить функцию
корреляции в произвольном сечении нелинейной среды,
необходимо рассчитать характеристическую функцию
(Х.2.7). Такой расчет нетрудно выполнить, пользуясь
двумерным распределением случайной фазы ф, = ф {Ц)
[89]:
оо
L. {i + 2 2 ег^тг-ч cos п (ф1 __ фа)}
w2 (ф1, ф2) = -L. {i + 2 2 ег^тг-ч cos п (ф1 __ фа)},
(Х.4.2)
где D —¦ коэффициент диффузии фазы. При этом полу-
получается результат
х, — С02) = /0 ((OiZ) /0 ((O2Z) +
+ 22 e~n'D'-Jn (coxz) Jn {щг) cos пщх. (X .4.3)
n=i
Здесь введены обозначения z = Ахъ1с%, т = | г\1 — ц2\.
Зная корреляционную функцию (Х.2.6) сигнала и поль-
пользуясь теоремой Винера — Хинчина, находим спектраль-
спектральную плотность сигнала в нелинейной среде:
С/ \ V 0/12 ''пУШ) ПЮ ,„ . ..
S (со, z) = ^ 2А* -^- я[(и^ + (т_июо)а] • (Х.4.4)
Это выражение является строгим в рамках дифференци-
дифференциального уравнения (Х.1.2), поэтому условие его приме-
нимости—J-4соож <^ 1. При n?D -> 0 последний множитель
в (Х.4.4) дает дельта-функцию 6 (со — псоо). При этом

272 гл. х. о статистических явлениях
(Х.4.4) переходит в выражение, которое получается для
гармонического (ср = const) исходного сигнала при раз-
разложении решения (Х.4.1) в ряд Бесселя —- Фубини.
В пределе z—>-0 результат (Х.4.4) дает лоренцеву
спектральную плотность исходного сигнала
В нелинейной среде спектральное распределение сигнала
и возникающих гармоник отличается от распределения
Лоренца, и максимум спектра несколько смещается в
сторону высоких^частот со ^> жо0. Однако эта деформация
весьма мала, и с точностью до (Z)/co0) <^! 1 все распределе-
распределения можно считать лоренцевыми.
Ширина спектральных линий гармоник с номером п
растет, как я2,— ситуация, сходная с умножением час-
частот в сильно диспергирующих средах [117]. Интенсивность
генерируемых гармоник оказывается такой же, как и в
случае распространения в нелинейной среде чисто гар-
гармонического сигнала.
Возможна и другая постановка рассмотренной задачи.
Пусть есть возможность проследить за деформацией каж-
каждого из периодов сигнала вплоть до образования в них
разрывов. Тогда имеет смысл введение случайной длины
образования разрыва [129]:
"' ' " \ (Х.4.6)
статистику которой W AР) нетрудно найти, зная функцию
распределения девиации частоты Q (t) = dq>/dt. Для рас-
рассматриваемого нами случая [89]
ИГ(П)==-* ехр(_»1 (х.4.7)
-ехр
2л Q2 — A
с.
•1 '"р
о
.(Х.4.8)
Интегральная функция от плотности распределения
W Aр) характеризует вероятность обнаружения импуль-

§ 5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИГНАЛА С ШУМОМ 273
сов с разрывными фронтами для заданного расстояния
х = L в нелинейной среде:
i-4
i - ф f
. (Х.4.9)
где Ф — функция ошибок. Из последнего результата
следует, что на расстоянии L = cl/еАоз 50% импульсов
имеют крутые фронты. В случае же гармонического сиг-
сигнала на указанной длине все формируемые импульсы
претерпевают разрыв.
§ 5. О взаимодействии регулярных волн
со случайными [130]
Наиболее интересной с точки зрения физических при-
приложений является задача о распространении в нелинейной
среде смешанного возмущения, представляющего собой
суперпозицию сигнала и шума. Сложная спектральная
картина взаимодействия этих возмущений обычно и на-
наблюдается в экспериментах. Поэтому наличие точного
спектрального представления соответствующего решения
нелинейного уравнения (Х.1.2) открывает возможности
как иного понимания уже известных явлений, так и
изучения новых проблем. Многообразие всех интересных
типов взаимодействий исключает возможность их
общего рассмотрения. В § 5 будут подробно рассмотрены
некоторые важные частные случаи.
В соответствии с предметом настоящего параграфа,
сформулированным в его названии, положим в формуле
(Х.2.6)
ИЛ) = N(v) + S (г)), (Х.5.1)
где S (г|) — детерминированный сигнал, а N (г\) — слу-
случайный процесс.
Для определенности будем рассматривать нормальный
шум N (ц) с нулевым средним значением N = 0 и интен-

274 ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
сивностью а2. Статистическое усреднение в выражении
(Х.2.6) приводит в этом случае к характеристической
функции (Х.2.8). Усредняя далее выражение (Х.2.6)
по переменной у (у = у.г, г/2 = г/х -f- т), получим
B(*>*) = \ ibxe "й ' ош^(Ф1 + Ф2 + Фз)х
—оо
X ехр |?<в (т]2 — ill) + (—5- зсож ] 7? (г)! — гJ) +'
T]idT]2, (X.5.2)
о
где обозначено
8
2
= —б2
л dS dR fdS ]
_ _ _ _j, (Х.5.3)
dS dS
Дальнейшие упрощения в общем виде провести не
удается. На этом этапе необходимо конкретизировать
регулярную часть S {ц) полного возмущения g (ц). При-
Примем сигнал S (г\) монохроматическим:
S (ц) = A sin озот|. (Х.5.4)
Переходя теперь в выражении (Х.5.2) к новым перемен-
переменным '
1i — Ла = Л. Ла = Ъ (Х.5.5)
и "выполняя интегрирование по переменной гJ, можно
получить следующий результат для спектральной плот-
плотности процесса в произвольном сечении х нелинейной
среды:
S (о, х) = Sx + S2 + S3, (X.5.6)

5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИГНАЛА С ШУМОМ 2?5
где
(е Д2
X exp jY-|- sax\ R — mr\\ dr\, (X.5.7)
(
X
X exp IY-5- бсож\ R — icorj) di], (X.5.8)
l\ C5 / J
/ e \2 «
Us"")
X exp I7-|- acoaif /i — ico^l dr\. (X.5.9)
l\ co / J
Аргументом aj) функций Бесселя Jo, /15 /2, стоящих под
знаками интегралов, является выражение
- 2 -i- ^«ж • sin ^- г). (Х.5.10)
Каждый из трех полученных членов Sv S2, S3 имеет
наглядный физический смысл. Так, выражение S± (о, х)
описывает процесс нелинейного искажения спектральной
плотности шума (ср. с (Х.2.9)), «подправленный» под
знаком интеграла (Х.5.7) множителем /0, который учи-
учитывает наличие регулярной компоненты S (г\).
Устремляя амплитуду А гармонического сигнала к
нулю, нетрудно вместо (Х.5.7) прийти к соответствующему
выражению (Х.2.9). Формула для S3 (ю, х) описывает
нелинейные искажения регулярной части S (f\) с поправ-
поправкой на шум. Если перейти в выражении (Х.5.9) к пределу
а -> 0, можно получить результат, отвечающий решению
Бесселя — Фубини. Наиболее интересен, пожалуй, член
iS (о, х), дающий информацию о перекрестном взаимо-

276 гл. х. о статистических явлениях
действии сигнала с шумом. Однако детальный анализ
показывает, что аналогичная информация содержится и
в членах Slt S3.
Для выделения интересующих нас выражений нужно
воспользоваться теоремой сложения для цилиндриче-
цилиндрических функций, которая позволяет разложить функции-
Бесселя /0, Jv /2 от аргумента (Х.5.10) в ряд по
парным произведениям функций Бесселя от
аргумента —- Аоух.
со
При этом из выражения (Х.5.7) удается получить фор-
формулу, описывающую в чистом виде искажение шумовой
компоненты:
(со, х) = - *- Л (±. Лих] \ R'e
я
¦ аи>х \ (Д-1)
(Х.5.11)
Результат (Х.5.11) отличается от соответствующего ему
выранления (Х.2.11) наличием множителя J\, который
учитывает нелинейные потери из-за присутствия регуляр-
регулярной части возмущения {А Ф 0).
Более сложные выкладки связаны с выделением членов,
описывающих рождение новых участков спектра в про-
процессе взаимодействия сигнала с шумом. Удерживая во
всех трех выражениях (Х.5.7) — (Х.5.9) члены при
sin соот] или cos соот], после ряда преобразований придем
к следующему результату:
d
ш — шо
(Х.5.12)
Заметим, что структура интегралов в выражении для
iSW и S(N'S) одинакова. Этот факт значительно облегча-
облегчает физический анализ полученных формул.

§ 5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИГНАЛА С ШУМОМ 277
Наконец, разложение (Х.5.9) в ряд содержит член,
описывающий динамику спектральной линии сигнала:
б (со — соо).
е \
—— А(ИаХ \
О / _ж
(Х.5.13)
Легко видеть, что в результате нелинейного взаимодейст-
взаимодействия с шумовой компонентой и генерации собственных гар-
гармоник величина спектральной плотности сигнала умень-
уменьшается, однако форма спектра S^ сохраняет свой дель-
таобразный вид.
В качестве иллюстрации нелинейных процессов, опи-
описываемых полученными формулами, рассмотрим конкрет-
конкретный пример.
Пусть корреляционная функция шума на входе равна
R (ц) = A — 2tV) е-"'2 (Х.5.14)
(в точности такая же R (г\) рассматривалась в § 2). Вы-
Вычисляя для этого случая интегралы (Х.5.11), (Х.5.12),
придем к результатам, изображенным на рис. Х.6 в без-
безразмерных координатах Q = о/2у, § = YnyS/o*. При
построении графиков полагалось Qo = соо/2у = 5, А —
= а/2, а переменная X = гс^аух принимала последова-
последовательно значения Хо = 0, Хх= 1/48, Хг = 1/36, Xs =
= 1/24, Х4 = 1/12, Хъ = 1/6.
На расстоянии от Хо до Хъ исходный спектр шумового
возмущения претерпевает относительно слабые искажения,
обнаруживающие тенденцию (см. § 2) к перераспределению
энергии как в область более низких, так и в область более
высоких частот.
Особый интерес представляет рассмотрение динамики
новой области спектра, рождающейся в окрестности
Q = Qo. Ширина этого «пьедестала» на малых расстоя-
расстояниях равна примерно удвоенной ширине спектра шумового
возмущения; каждое из «крыльев» по обе стороны й0 повто-
повторяет исходную форму шумового спектра. Принципиально
важно отметить несимметричную (относительно Q = Qo)

278
ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
форму пьедестала. Его высокочастотное крыло имеет боль-
большую амплитуду и быстрее растет в результате нелинейной
подкачки энергии, что является проявлением тенденции
Мэнли — Роу. Постепенно впадина между двумя
крыльями исчезает при X ш Х3, и оба крыла пьедестала
сливаются в единую широкую линию, энергетический
Рис. Х.6. Процесс взаимодействия шумового спектра S' ' со спек-
спектральной линией S^ регулярного сигнала. Происходит как дефор-
деформация исходных спектральных распределений 5' Л S' ', так и
рождение новых участков спектра 5(Л-S).
центр которой смещен в область частот Q ^> Qo. В даль-
дальнейшем эта линия еще больше увеличивается по амплитуде
до ^l ~ Xt, а затем наступает этап растекания по спектру
(см. X = Хъ), причем опять-таки наибольшая доля энер-
энергии перекачивается в высшие частоты.
Движение энергетического центра вверх по спектру
в процессе взаимодействия с низкочастотным шумом ана-
аналогично известному эффекту ускорения Ферми. Такая

§ 5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИГНАЛА С ШУМОМ 279
аналогия очевидна в случае, если спектральная линия
сигнала имеет сколь угодно малую, но конечную ширину.
При этом линия рано или поздно сольется с образовав-
образовавшимся у ее подножия пьедесталом, и говорить о положе-
положении линии будет уже невозможно. На этом этапе нужно
следить за движением энергетического центра всего ком-
комплекса как целого.
Полная картина, однако, оказывается более сложной.
Учет высших членов в разложениях формул (Х.5.7) —
(Х.5.9) дает новые спектральные комплексы в окрест-
окрестности частот 7гсоо {п = 1, 2, 3, . . .).
Нужно подчеркнуть, что при рассмотрении нелинейной
динамики суперпозиции регулярной и шумовой волн с
целью упрощения специально все время говорилось о
таком расположении спектральной линии сигнала, когда
она не перекрывается со спектром случайного возмущения.
Разумеется, полученные решения позволяют рассмотреть
и общий случай. Если исходные спектральные распреде-
распределения сигнала и шума перекрываются, то динамика про-
процесса оказывается более сложной и разбиение S (о, х)
на составляющие S<-N\ S(N> s\ S<-s) при х Ф 0 стано-
становится формальной процедурой.
Именно последний случай часто встречается на прак-
практике. Так, спектры кавитации [81, реактивных двигателей
и некоторых других источников интенсивного шума сос-
состоят из дискретных линий, расположенных на фоне широ-
широкополосных шумов. Поскольку в соответствии с изложенной
выше теорией широкий спектр воспроизводится у подно-
подножия каждой дискретной составляющей, нетрудно сделать
вывод о быстром нарастании сплошной части спектра по
мере распространения звука в среде. Кроме того, по из-
измерениям «усиленного» широкополосного шума можно
судить о структуре исходного спектра.
В заключение обсудим вопрос о нелинейном затухании
звука, происходящем из-за его взаимодействия с шумо-
шумовыми волнами. Уменьшение интенсивности звукового
сигнала описывается формулой (Х.5.13). Множитель в
квадратных скобках ответствен за истощение сигнала в
результате генерации его собственных гармоник. При
малых амплитудах А —>- 0 он может быть опущен.
Экспоненциальный множитель в (Х.5.13) описывает

280 гл. х. о статистических явлениях
уменьшение S(S~> за счет нелинейного взаимодействия с шу-
шумом, заданным на входе.
Важно отметить, что для этого механизма в среде без
дисперсии несуществен конкретный вид корреляционной
функции R (ц), т. е. скорость затухания не зависит от
спектра шума, а лишь от его полной интенсивности а2.
В общем случае шум а2 можно представить в виде супер-
суперпозиции теплового шума о*т, вызываемого тепловыми уп-
упругими волнами среды, и стороннего (или внешнего)
шума (Тс> обязанного своим происхождением другим ис-
источникам (а2 = а2 -j-с2,).
Наиболее эффективно с сигнальной волной взаимодейст-
взаимодействуют те шумовые волны, которые распространяются от-
относительно сигнала под углом, меньшим чем ширина угла
синхронного взаимодействия В. Для изотропных сред
(см., например, (V.2.24))
02 ~ 2яс0 (со + <»0) /оз(йах. (Х.5.15)
Величина Щ = ро02 в (Х.5.13) есть объёмная плотность
энергии шума «в синхронизме». Для тепловых волн следу-
следует положить Щ = р0сг2 -т—, где AQ •— телесный угол эф-
эффективного взаимодействия. Поскольку обычно со ^> соо,
02 ~ 2ясо/соож, то
^ = ?^= ™ . (Х.5.16)
4я 4.ТТ 2шо.г' v
Тогда коэффициент затухания звука согласно (Х.5.13)
равен
а = -^— ^со0. (Х.5.17)
Эта формула применима в том случае, когда звуковая и
тепловая волны могут бесконечно долго распространяться
и "взаимодействовать друг с другом. Если же время жизни
т0 тепловой волны конечно, результат (Х.5.17) необходимо
умножить на соото/л [131]. В результате имеем

§ 5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИГНАЛА С ШУМОМ 281
Нелинейная трактовка процесса затухания на языке
фоноп-фононных взаимодействий преимущественно исполь-
используется для вычисления коэффициентов а в твердых телах.
Однако во многих случаях эта точка зрения может
оказаться полезной при анализе диссипативиых процессов
в жидкостях и газах. Это связано с возможностью учета
стороннего шума, что может привести к аномально боль-
большим коэффициентам затухания звука, учета процесса
генерации гармоник и ряда других факторов [141]
Строго говоря, вопрос о взаимодействии детерминиро-
детерминированного возмущения с распределенными шумами выходит
за рамки подхода, принятого в этой главе. Здесь обсужда-
обсуждались те задачи, в которых волновой процесс описывался
регулярным дифференциальным уравнением, а их статис-
статистический характер был обусловлен случайным возмуще-
возмущением на границе. Если распространение звука происходит
в среде, параметры которой сами являются случайными
величинами, то приходится иметь дело с уравнениями,
содержащими случайные члены или коэффициенты.
Этот круг вопросов, называемый условно «статистикой
среды» (по терминологии [142]), наряду с рассмотренными
в гл. X нелинейными задачами, связанными со «статисти-
«статистикой поля», начал изучаться недавно [143, 144] *). Учи-
Учитывая большой интерес к проблемам статистической
нелинейной акустики и их практическую значимость,
можно в дальнейшем ожидать здесь появления новых
интересных результатов **).
*
* *
В заключение авторы хотели бы подчеркнуть, что при-
принятый характер изложения и объем книги не позволили
отразить в ней многие важные вопросы, которые обычно
относят к нелинейной акустике. По этим же причинам
библиография ни в коей мере не претендует на полноту.
Так, например, задачи расчета параметрических излу-
излучателей и приемников ультразвука (устройств, находя-
находящих все большее применение), удельный вес которых в
*) Краткий обзор этих результатов дан в [145].
i **) g работе [146] обсуждается подход, основанный на кинети-
кинетических уравнениях для функции плотности вероятности.

282 гл. х. о статистическихнявлениях
литературе последних лет очень велик, не отражены
в книге вовсе. Среди других проблем, исследование ко-
которых с нашей точки зрения обещает быть перспективным,
можно отметить описание процессов лазерной генерации
звуковых возмущений [147, 148], распространения не-
нелинейных волн в волноводах [149], вынужденных коле-
колебаний резонаторов. Некоторые из рассмотренных в книге
вопросов, такие как распространение пучков нелиней-
нелинейных возмущений, исследованы в настоящее время недо-
недостаточно; здесь предстоит еще разобраться в особенностях
фокусировки и самовоздействия (прежде всего теплового)
периодических ударных волн. Проблема создания эффек-
эффективно работающего параметрического усилителя также
далека от завершения.
Наконец, мы совершенно не касались нелинейной
акустики твердых тел [150, 151]. Здесь возникает большое
количество дополнительных взаимодействий, связанных
с наличием многих типов волн и разнообразием свойств
реальных сред. Изучение этого круга явлений важно
как само по себе, так и применительно к проблемам
физики твердого тела, поскольку зависимость процессов
от интенсивности волны дает в руки исследователей
новый параметр для познания свойств и структуры ве-
вещества.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гос-
техиздат, 1954.
2. Кочин И. Е., Нибелъ И. А., Розе Н. В., Теоретическая гид-
гидромеханика, Физматгиз, 1963.
3. Курант Р., Фридрихе К-, Сверхзвуковое течение и ударные
волны, ИЛ, 1950.
4. Зельдович Я. В., Райзер Ю. П., Физика ударных волн и вы-
высокотемпературных гидродинамических явлений, «Наука»,
1966.
5. Станюкович К. П., Неустановившиеся движения сплошной
среды, «Наука», 1971.
6. Зарембо Л. К-, Красилъников В. А., Введение в нелинейную
акустику, «Наука», 1966.
7. Остроумов Г. А., Основы нелинейной акустики, Изд-во ЛГУ,
1967.
8. Мощные ультразвуковые поля, под ред. Л. Д. Розенберга,
«Наука», 1968.
9. Физическая акустика, под ред. У. Мэзона, т. II, ч. Б, «Мир»,
1969.
10. Ахманов С. А., Хохлов Р. В., Проблемы нелинейной опти-
оптики, ВИНИТИ, 1964.
11. Ярив А., Квантовая электроника и нелинейная оптика, «Сов.
радио», 1973.
12. Катаев И. Г., Ударные электромагнитные волны, «Сов. ра-
радио», 1963.
13. Цытович В. II., Нелинейные эффекты в плазме, «Наука», 1967.
14. Гуревич А. В., Шварцбург А. В., Нелинейная теория распро-
распространения радиоволн в ионосфере, <<Наука», 1973.
15. Гапонов А. В., Островский Л. А., Рабинович М- И., Изв.
ВУЗов, Радиофизика 13, 2, 163 A970).
16. Кадомцев Б. Б., Карпмаи В. И., УФН 103, 2, 193 A971).
17. Карпман В. И., Нелинейные волны в диспергирующих сре-
средах, «Наука», 1973.
18. Боголюбов Н. Н., Митро польский Ю* А.," Асимптотические
методы в теории нелинейных колебаний, Физматгиз, 1958.
19. Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и элект-
электрических системах, ИЛ, 1952.
20. Poisson S. ?,, J. ecole^polytehn. (Paris) 7, 364 A808).
21. Stokes G. G., Phil. Mag. 33, 349 A848).

284 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
22. Ayry G. В., Phil. Mag. 34, 401 A849).
23. Earnshow S., Trans. Roy. Soc. (London) 150, 133 A860).
24. Riemann В., Gotting. Abhandl. 8, 1860. (Русский перевод:
Риман Б., Сочинения, Гостехиздат, 1948).
25. Эйхешалъд А. А., УФН 14, 552 A934).
26. Мясников Л. Л., ЖТФ 8, 1869 A938).
27. Михайлов Г. Д., ДАН СССР 89, 4, 663 A953).
28. Горелик А. Г., Зверев В. А., Акуст. ж. 1, 4, 339 A955).
29. Зарембо Л. К., Красилъников В. А., Шкловская-Корди В. В.,
ДАН СССР 109, 3, 485 A956).
30. Зарембо Л. К., Красилъников В. А., Шкловская-Корди В. В.,
Акуст. ж. 3, 1, 29 A957).
31. Зарембо Л. К., Красилъников В. А., Шкловская-Корди В. В.,
ДАН СССР 109, 4, 731 A956).
32. Гольдберг 3. А., Акуст. ж. 3, 4, 322 A957).
33. Наугольных К. А., Акуст. ж. 4, 2, 115 A958).
34. Наугольных К. А., Романенко Е. В., Акуст. ж. 4, 2, 200 A958).
35. Буров В. А., Красилъников В. А., ДАН СССР 118, 5, 920
A958).
36. Полякова А. Л., ДАН СССР 122, 1, 51 A958).
37. Наугольных К. А., Акуст. ж. 5, 1, 80 A959).
38. Полякова А. Л., Акуст. ж. 5, 1, 85 A959).
39. Романенко Е. В., Акуст. ж. 5, 1, 101 A959).
40. Голъдберг 3. А., Акуст. ж. 5, 1, 118 A959).
41. Буров В. А., Красилъников В. А., ДАН СССР, 124, 3, 571
A959). '
42. Зарембо Л. К., Акуст. ж. 6, 1, 43 A960).
43. Голъдберг 3. А., Акуст. ж. 6, 2, 307 A960).
44. Полякова А. Л., Акуст. ж. 6, 3, 356 (I960).
45. Романенко Е. В., Акуст. ж. 6, 3, 374 (I960).
46. Романенко Е. В., Акуст. ж. 7, 1, 103 A961).
47. Burgers J. M., Advances in Mech., v. 1, 1948. (Русский пере-
перевод: В сб. «Проблемы механики», иод ред. Р. Мизеса и Т. Кар-
Кармана, ИЛ, 1955.)
48. Hopf E-, Comm. Pure Appl. Math. 3, 201 A950).
49. Cole J. D., Quart Appl. Math., 9, 3, 225 A951).
50. Mendousse J. S., JASA 25, 1, 51 A953).
51. Lighthill M. /., Survey in Mechanics, Cambridge, 1956.
52. Хохлов Р. В., Радиотехн. и электроника 6, 6, 1116 A961).
53. Солуян С. Я., Хохлов Р. В., Вестн. МГУ, Физ., астр., № 3,
52 A961).
54. Наугольных К. А., Солуян С. И., Хохлов Р. В., Вестн. МГУ,
Физ., астр., № 4, 54 A962).
55. Наугольных К. А., Солуян С. И., Хохлов Р. В., Акуст. ж.
. 9, 1, 54 A963).
56. Полякова А. Л-, Солуян С. И., Хохлов Р. В., Акуст. ж- 8, 1,
107 A962).
57. Заболотская Е. А., Хохлов Р. В., Акуст. ж. 15, 1, 40 A969).
58. Руденко О. В., Солуян С. И., Хохлов Р. В., Вестн. МГУ,
Физ., астр., № 5, 33 A969).
59. Fubini-Ghiron S., Alta Frequenza 4, 530 A935).

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 285
60. Fay R. D., JASA 3, 222 A931).
61. Солуян С. И., Хохлов Р. В., ЖЭТФ 41, 2, 8, 534 A961).
62. Khokklov R. V., NaugoVnych К. A., Soluyan S. /., Acustica
14, 5, 248 A964).
63. Руденко О. В., Солуян С. И., ДАН СССР 190, 4, 815 A970).
64. Руденко О. В., Солуян С. Л., Акуст. ж. 18, 3, 421 A972).
65. Стокер Дж. Дж., Волны иа воде, ИЛ, 1959.
66. Сб. «Нелинейная теория распространения волн», под ред. М.
Дж. Лайтхилла, «Мир», 1970.
67. Руденко О. В., Солуян С. И., Акуст. ж. 16, 1, 161 A970).
68. Солуян С. И., Хохлов Р. В., Акуст. ж. 8, 2, 220 A962).
69. Khokhlov R. V., Soluyan S. I., Acustica 14, 5, 241 A964).
70. Наугольных К. А., Солуян С- Д., Хохлов Р. В., Акуст. ж.
9, 2, 192 A963).
71. Новиков Б. К., Солуян С. И., Вестн. МГУ, физ., астр.
№ 5, 568 A974).
72. Зверев В. А., Калачев А. И., Акуст. ж. 14, 2, 214 A968).
73. Зверев В. А., Калачев А. И., Акуст. ж. 15, 3, 369 A969).
74. Зарембо Л- К., Автореф. докт. дисс, МГУ, физ. ф-т, 1971.
75. Андреев Н. Н., В сб. «Исследования по экспериментальной и
теоретической физике. Памяти Ландсберга», Изд-во АН СССР,
1959, стр. 53.
76. Зарембо Л. К., Акуст. ж. 13, 2, 298 A967).
77. Старунов В. С, Фабелинский И. Л., УФИ 98, 3, 441 A969).
78. Физическая акустика, под ред. У. Мэзона, т. IV, ч. А, «Мир»,
1969.
79. Boa-Tek-Chu, Kovasznay L. S. G., J. Fluid Mech. 3, 494
A958).
80. Фабелинский И. Л., Молекулярное рассеяние света, «Наука»
1965.
81. Пушкина Н. И., Хохлов Р. В., ЖЭТФ 57, 1263 A969).
82. Lighthill М. /., Proc. Roy. Soc. (London) A 211, 564 A952).
83. Lighthill M. /., Proc. Roy. Soc. (London) A 222, 1 A954).
84. Татарский В. //., Распространение волн в турбулентной ат-
атмосфере, «Наука», 1967.
85. Пушкина Н. И., Хохлов Р. В., Акуст. ж. 17, 1, 167 A971).
86. Зельдович Б. Я., Собелъман И. И., УФН 101, 1, 3 A970).
87. Руденко О. В., Акуст. ж. 20, 1, 108 A974).
88. Ляхов Г. А., Руденко О. В., Акуст. ж. 20, 5, 738 A974).
89. Рытое С- М., Введение в статистическую радиофизику, «На-
«Наука», 1966.
90. Клышко Д. Я., Письма в ЖЭТФ 6, 1, 490 A967).
91. Заболотская Е. А., Солуян СИ., Хохлов Р. В., Акуст. ж.
12, 2, 188 A966).
92. Shiren N. S., Appl. Phys. Lett. 4, 4, 82 A964).
93. Зарембо Л. К., Сердпболъаюая О. Ю., Чернобай И. П., Акуст.
ж. 18, 3, 397 A972).
94. Островский Л. А., Папилова И. А., Акуст. ж. J9, 1, 67 A973).
95. Островский Л-А., Папилова. И. А., Сутин А. М., Письма
в ЖЭТФ 15, 8, 456 A972).
96. Заболотская Е. А., Солуян С. И., Акуст. ж. 13, 2, 296 A967)..

286 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
97. Руденко О. В., Солуян С И., Хохлов Р. В., Акуст. ж. 15, 3,
414 A969).
98. Руденко О. В., Солуян СИ., Труды МИНХ 96, 7 A970).
99. Ивановский А- И., Теоретическое и экспериментальное изу-
изучение дотоков, вызванных звуком, Гидрометеоиздат, 1959.
100. Eckart С, Phys. Rev. 73, 1, 68 A948).
101. Наугольных К. А., ДАН СССР 123, 6, 1003 A958).
102. Статников Ю. Г., Акуст. ж. 13, 1, 146 A967).
103. Руденко О. В., Солуян С. И., Акуст. ж. 17, 1, 122 A971).
104. Руденко О. В., Солуян СИ., Акуст. ж. 17, 2, 273 A971).
105. Rudenko О. V., Semenova N. G., Soluyan S. I., VII Int. Congr.
Acoust., Budapest, 4, 401 A971).
106. Pigott M. Т., Strum R. C, JASA 41, 3, 662 A967).
107. Семенова H. Г., Труды VI Всес. акустич. конф., Москва, 1968.
108. Руденко О. В., Солуян С. И., Труды МИНХ 96, 108 A970).
109. Заболотская Е. А., Хохлов Р. В., Акуст. ж. 16, 1, 49 A970).
110. Руденко О. В., Солуян С И., Хохлов Р. В. Труды VIII Всес.
акуст. конф., Москва, 1973.
111. Руденко О. В., Солуян С И., Хохлов Р. В., Акуст. ж. 19,
6, 871 A973).
112. Заболотская Е. А., Автореф. канд. дисс, МГУ, физ. ф-т,1968.
ИЗ. Малюжинец Г. Д., УФН 69, 2, 321 A959).
114. Ахманов С. А., Сухорукое А. П., Хохлов Р. В., УФН 93,
19 A967).
115. Кузнецов В. П., Акуст. ж. 16, 4, 548 A970).
116. Наугольных К. А., Рой Н.А., Электрические разряды в во-
воде, «Наука», 1971.
117. Ахманов С. А., Чиркин А. С, Статистические [Явления в не-
нелинейной оптике, Изд-во МГУ, 1971.
118. Руденко О. В., Чиркин А. С, Акуст. ж. 20, 2,297 A974).
119. Руденко О. В., Чиркин А. С, Труды VIII Всес. акуст. конф.,
Москва, 1973.
120. Руденко О. В., Чиркин А. С, ДАН СССР 214, 5, 1045 A974).
121. Зарембо Л. К., Акуст. ж. 7, 2, 189 A961).
122. Кузнецов В. П., Труды VI Всес. акуст. конф., Москва, 1968.
123. Захаров В. Е., Сагдеев Р. 3., ДАН СССР 192, 2, 297 A970).
124. Кадомцев В. Б., Петвиашвили В. И., ДАН СССР 208, 4,
794 A973).
125. Кузнецов В. П., Акуст. ж. 16, 1, 155 A970).
126. Наугольных К. А., Рыбак С. А., Акуст. ж. 20, 1, 157 A974).
127. Руденко О. В., Чиркин А. С, Труды VI Всес. симп. по дифр.
и распр. волн, Ереван, 1, 457 A973).
128. Руденко О. В., Чиркин А. С, Радиотехн. и электроника
19, 10, 2170 A974)
129. Пелиновский Е. И., Фридман В. Е., Акуст. ж. 18, 4, 590 A972).
130. Руденко О. В., Чиркин А. С, ЖЭТФ 67, 5, 1903 A974)
131. Клеменс П., Динамика решетки (Физическая акустика, под
ред. У. Мэзона, т. 3, ч. Б), «Мир», 1968.
132. Руденко О. В., Солуян С. И., Хохлов Р. В., Акуст. ж. 20, 3,
449 A974).

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
287
133. Blackstock D. Т., JASA 39, 6, 1019 A966)
134. Blackstock D. Т., JASA 36, 3, 534 A964). '
135. Абдуллин У- А., Ляхов Г. А., Руденко О. В., Чиркин А. С,
ЖЭТФ60, 3A974).
136. Во/1як К. Д., Горшков А. С, Руденко О. В., Вестн. МГУ,
Физ., астр. № 1, 68 A975)
137. Островский Л. А., Папилова И. А., Акуст. ж. 20, 1, 79 A974).
138. Shooter J. А., Мшг Т. G-, Blackstock D. Т., JASA, 55 1
54 A974).
139. Pernet D. F., Payne R. C, J. Sound Vib. 17, 3, 383 A971).
140. Pestorius F. M., Blackstock D. Т., 1973— Symposium on fini-
finite amplitude wave effects in fluids, 1.3, Copenhagen A973).
141. Красилъников В. А., Руденко О. В., Чиркин А. С, Акуст. ж.
21, 1, 124 A975).
142. Ахманов С. А., Изв. вузов, Радиофизика 17, 4, 541 A974).
143. Ноше М. S., J. Fluid Mech. 45, 4, 785 A971).
144. George A. R., Plotkin К. I., Phys. FJuids 14, 3, 548 A971).
145. Пелиноеский Е. Н., Саичев А. И., Фридман В. Е., Изв. ву-
вузов, Радиофизика 17, 6, 875 A974).
146. Малахов А. Н., Саичев А. И., Изв. вузов, Радиофизика 17,
5, 699 A974).
147. Бункин Ф. В., Комиссаров В. М., Акуст. ж. 19, 3, 305 A973).
148. Руденко О. В., Письма в ЖЭТФ 20, 7, 445 A974).
149. Nayfeh A. H., Tsai M.S., JASA 55, 6, 1166 A974).
150. ЗарембоЛ. К., Красилъников В. А., УФН 102, 4, 549 A970).
151. Леманов В. В., Смоленский Г. А., Акуст. ж. 20, 3, 426A974).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 5
§ 1. Линейная акустика. Уравнения и границы приме-
применимости (9). § 2. Сведения из теории ударных волн
A6).
Глава I. Плоские волны конечной амплитуды в средах
без дисперсии 19
| 1. Спектральный подход к нелинейным волнам A9). § 2.
Простые волны в нелинейной акустике B2). §3. Графи-
Графический анализ деформации профиля простой волны B6).
§ 4. Образование разрывов в простой волне C0). § 5.
Распространение волн Римана (в рамках второго при-
приближения) C3)
Глава П. Плоские волны конечной амплитуды в средах
без дисперсии (вязкая тепло про водящая среда) .... 42
§ 1. Вывод уравнения Бюргерса D2). § 2. Решение урав-
уравнения Бюргерса для периодического возмущения D6).
§ 3. Решение уравнения Бюргерса для периодического
возмущения (строгое решение) E0). § 4. Решения урав-
уравнения Бюргерса для непериодических возмущений E7).
Глава III. Сферические и цилиндрические волны конеч-
конечной амплитуды 65
| 1. Вывод уравнений F5). § 2. Среда без диссипации
F7). § 3. Диссипативная среда. Квазистационариые
решения G1). § 4. Структура цилиндрической удар-
ударной волны. Автомодельный подход G3). § 5. Общая
структура пространственно-симметричных волн с учетом
нелинейности и диссипации G6). § 6. Особенности рас-
распространения сходящихся и расходящихся волн G8).
Глава IV. Звуковые волны в диспергирующих средах 82
§ 1. О дисперсионных свойствах среды. Среда с релак-
релаксацией (82). § 2. Слабая и сильная дисперсия (88).
§ 3. Распространение конечных возмущений в релакси- .
рующей среде (92).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Взаимодействие звуковых волн 101
§ 1. Коллинеарное взаимодействие плоских волн A01).
§ 2. Рассеяние звука на звуке A13). § 3. Стоячие вол-
волны конечной амплитуды A27). § 4. О взаимодействии
звука с волнами иного вида A38)
Глава VI. Параметрические явления в звуковых волнах 145
§ 1. О трехчастотном параметрическом взаимодействии
A45). § 2. Параметрическое усиление звука в средах
без дисперсии A53). § 3. Параметрическое усиление
звука в искусственных системах с дисперсией A68 ).
Глава VII. Нелинейное самовоздсйствис волн. Эффекты
высших порядков 177
§ 1. Газодинамический подход к теории распрострапе-
ния волн конечной амплитуды A77). § 2. Расчет
отраженных от разрывов волн A80). § 3. Постоянная
составляющая как следствие нелинейного самовоздей-
самовоздействия волн A86). § 4. Модифицированный нелиней-
нелинейно-акустический подход. Простые волны с учетом отра-
отражения A89).
Глава VIII. Акустические течения 197
| 1. Вывод системы уравнений для акустических тече-
течений A97). § 2. Эккартовские течения B02). § 3. Не-
Неодномерные течения B08). § 4. Другие типы течений
B17). § 5. Законы подобия и классификация акусти-
акустических течений B22).
Глава IX. Распространение ограниченных звуковых пуч-
пучков 224
§ 1. Уравнение нелинейной акустики ограниченных пуч-
пучков .B24 ). § 2. Параболическое уравнение. Некоторые
задачи линейной теории дифракции B27). § 3. Нели-
Нелинейные эффекты в звуковых пучках B32). § 4. Приб-
Приближенные решения при больших и малых числах N B35).
§ 5. Нелинейная геометрическая акустика. Искажение
однополярных возмущений B40).
Глава X. О статистических явлениях в нелинейной аку-
акустике 251
§ 1. Случайно-модулированные звуковые волны B51).
§ 2. Общая теория нелинейной эволюции спектров слу-
случайных звуковых полей нри отсутствии диссипации
B61). § 3. Взаимодействие модулированных волн B67).
§ 4. О квазигармонических сигналах при наличии только
фазовых флуктуации B70). § 5. О взаимодействии ре-
регулярных волн со случайнымиB73).
Цитированная литература 283