Смирнов В. А.
ГЕОМЕТРИЯ
Стереометрия

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ
В.А.Смирнов
ГЕОМЕТРИЯ
Стереометрия
Пособие для подготовки к ЕГЭ
Под редакцией А. Л. Семёнова, И. В. Ященко
Москва
Издательство МЦНМО
2009

УДК 514.11
ББК 22.151.0
С50
Смирнов В. А.
С50 Геометрия. Стереометрия: Пособие для подготовки
к ЕГЭ / Под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. — М.:
МЦНМО, 2009. — 272 с. — (Готовимся к ЕГЭ).
ISBN 978-5-94057-553-5
Пособие предназначено для тех, кто хочет научиться решать
задачи по геометрии и подготовиться к ЕГЭ по математике. Оно
содержит более семисот задач, решение которых способствует выработке
вычислительных навыков, развивает пространственные представления
учащихся. Все задачи сопровождаются рисунками. В начале каждого
раздела помещен необходимый теоретический материал. В конце даны
ответы ко всем задачам.
ББК 22.151.0
Владимир Алексеевич Смирнов
Геометрия. Стереометрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ
Под редакцией А. Л. Семёнова, И. В. Ященко.
Подписано в печать 11.09.2009 г. Формат 60 χ 90 ι/ιβ· Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 17. Тираж 5000 экз. Заказ №18391.
Книга издана в авторской редакции
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-74-83
Отпечатано по CtP-технологии в ОАО «Печатный двор» им. А. М. Горького.
197110, Санкт-Петербург, Чкаловский проспект, 15.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-72-85. E-mail: biblioQmccme.ru
(fipp:> © Смирнов В. Α., 2009.
ISBN 978-5-94057-553-5 © МЦНМО, 2009.

Оглавление
Введение 4
1. Расстояние между двумя точками в пространстве 6
2. Расстояние от точки до прямой в пространстве 16
3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве 47
4. Расстояние между прямыми в пространстве 71
5. Угол между прямыми в пространстве 108
6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве 147
7. Угол между плоскостями в пространстве 188
8. Объем фигур в пространстве 212
9. Площадь поверхности 250
Ответы

Введение
Как известно, в основе общего образования человека лежат
умения читать, писать и считать. От того, насколько хорошо
сформированы эти умения на начальном этапе школьного образования, зависят
результаты всего дальнейшего обучения.
В основе школьного геометрического образования лежат
аналогичные умения, а именно:
— умение «читать», т.е. воспринимать и понимать изображения
геометрических фигур;
— умение «писать», т.е. изображать геометрические фигуры,
проводить дополнительные построения;
— умение «считать», т. е. находить геометрические величины,
элементы геометрических фигур.
Перечисленные умения составляют основу, базу геометрического
образования, необходимого каждому человеку, как для повседневной
жизни, так и для продолжения образования в вузе.
ЕГЭ по математике (в геометрической части), в первую очередь,
направлено на проверку этих умений.
Данное пособие предназначено для всех тех, кто хочет научиться
решать задачи по геометрии и подготовиться к ЕГЭ по математике.
Его целями являются:
— показ примерной тематики и уровня трудности геометрических
задач, включенных в ЕГЭ;
— проверка качества знаний и умений учащихся по геометрии, их
готовности к сдаче ЕГЭ;
— развитие представлений учащихся об основных геометрических
фигурах и их свойствах, формирование навыков работы с рисунком;
— повышение вычислительной культуры учащихся, подготовка их
к решению геометрических задач с числовым ответом.
Пособие содержит более семисот задач на вычисление расстояний
и углов в пространстве, нахождение объемов и площадей
поверхностей пространственных фигур. Решение этих задач не только
способствует выработке соответствующих вычислительных умений и
навыков, но, что более важно, развивает пространственные представления
и пространственное мышление учащихся.
Все задачи разбиты на три уровня: А, В и С. Задачи уровня А, как
правило, одношаговые, на непосредственное применение теорем,

Введение
5
свойств или формул. Они носят подготовительный характер и
направлены на повторение геометрического материала, необходимого
для решения более трудных задач.
Для решения задач уровня В требуются дополнительные
построения или составление несложных уравнений с искомыми величинами.
В этих задачах, также как и в задачах уровня А, предполагается ответ
в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Отметим, что
в учебниках геометрии таких задач не так много и данное пособие
восполняет этот пробел. Предлагаемые задачи группы В развивают
геометрические представления, лежат в основе решения многих
других задач, позволяют сформировать и отработать необходимые
навыки решения задач с числовым ответом. Умения решать эти задачи
во многом определяет успешность решения и других более трудных
геометрических задач.
Задачи уровней А и В соответствуют геометрическим задачам
части В ЕГЭ по математике.
Уровень С содержит задачи повышенной трудности, решение
которых включает в себя дополнительные построения, составление и
решение уравнений с неизвестными величинами. Ответ в этих задачах
может иметь произвольную форму.
Задачи уровня С служат подготовке учащихся к решению
геометрических задач части С ЕГЭ по математике.
Все предлагаемые в пособии задачи сопровождаются рисунками,
помогающими лучше понять условия задач, представить
соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, при
необходимости провести дополнительные построения и вычисления.
В начале каждого раздела помещен необходимый теоретический
материал. В конце книги даны ответы ко всем задачам.
Отметим, что лучшим способом подготовки к ЕГЭ по геометрии
являются систематические занятия по учебнику геометрии. Данное
пособие не заменяет учебника. Оно может быть использовано в
качестве дополнительного сборника задач при изучении геометрии, а
также при организации обобщающего повторения или самостоятельных
занятиях по геометрии.

1. Расстояние между двумя точками
в пространстве
В этом параграфе рассмотрены задачи на нахождение длин
отрезков и расстояний между точками, связанными с различными
пространственными фигурами. Предлагаемые задачи носят
вспомогательный характер и будут использоваться при решении задач
следующих параграфов.
Задачи
1. Найдите диагональ куба, все ребра которого равны \/3.
А Q
Αι
у' \ Βι
d\
у
2. Найдите ребро куба, диагональ которого равна д/З.
Pi Q
Αι '
S^ - β1
d\
/
3. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, ребра
которого, выходящие из одной вершины, равны 2, 3, 6.
Αι. '
D
Sl/4
У

1. Расстояние между двумя точками в пространстве 7
4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из
одной вершины, равны 4 и 6, а его диагональ равна 14. Найдите третье
ребро, выходящее из той же вершины.
DA
Q
5. Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб со
стороной 3 и острым утлом 60°. Боковое ребро равно 4. Найдите
меньшую диагональ призмы.
Dt
Ах
D\
О.
6. Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб со
стороной 6 и острым утлом 60°. Меньшая диагональ призмы равна 10.
Найдите боковое ребро.
^
А
Ait
D\.

8
1. Расстояние между двумя точками в пространстве
7. Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб со
стороной \/3 и острым утлом 60° Боковое ребро равно 4. Найдите
большую диагональ призмы.
Οι
Αχ
D\
Ci
8. Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб
с острым утлом 60° Боковое ребро равно 1, а большая диагональ — 2.
Найдите сторону основания призмы.
Ах
/ \ в,
d\
•
•
•
^
9. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl стороны
оснований равны \/3, боковые ребра равны 2. Точка D — середина ребра
ВгСг. Найдите расстояние между точками А и D.
-Pi

1. Расстояние между двумя точками в пространстве 9
10. В правильном тетраэдре ABCD, ребра которого равны \/2,
найдите расстояние между серединами противоположных ребер АВ и CD.
11. Найдите расстояние между противоположными вершинами
октаэдра, ребра которого равны </2.
12. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, найдите расстояние между точками А и D.

10 1. Расстояние между двумя точками в пространстве
13. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, найдите расстояние между точками В и Е.
14. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, найдите расстояние между точками С и F.
15. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, найдите расстояние между точками Л и С.

1. Расстояние между двумя точками в пространстве 11
16. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, найдите расстояние между точками В и D.
17. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, найдите расстояние между точками С и Е.
18. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, точка G —
середина ребра SE. Найдите расстояние между точками В и G.

12 1. Расстояние между двумя точками в пространстве
19. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между точками А и D.
Ег
.д
ви
,Я
*с
в
20. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между точками В иЕ.
21. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между точками С и F.
\
3ι—
J£_ .
}
1^^
В
1
--Н
с,

1. Расстояние между двумя точками в пространстве 13
22. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны \/3, найдите расстояние между точками Л и С.
23. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны \/3, найдите расстояние между точками В и D.
Ει
А
\а, ! в
\Е
Ϊ-—
L,—"
ъ
\
1
1
1
\
X
с,
24. В правильной шестиугольной призме A...Fly все ребра которой
равны л/3, найдите расстояние между точками С и Е.
Е,
,Д
Βι,
\С1
ж
в

14 1. Расстояние между двумя точками в пространстве
25. В правильной шестиугольной призме A...FXi все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между точками А и Сг.
\
л
\
Е^
\л : в
\Е..
\ "
1 1
1^
В
"^
\
\|
<к
26. В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между точками В и Dj.
27. В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между точками С и Ej.
Ел
,Д
*ь
\ci
\Е
■Ц

1. Расстояние между двумя точками в пространстве 15
28. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны л/5, найдите расстояние между точками А и Όλ.
Ει
t
BL.
В
с,
в
29. В правильной шестиугольной призме A...F-ί, все ребра которой
равны v% найдите расстояние между точками В и Ег.
Ел
,Д
1
BL·
Ε
-Ρ
*с
в
30. В правильной шестиугольной призме A...Fly все ребра которой
равны νΊ>, найдите расстояние между точками С uFl.

2. Расстояние от точки до прямой
в пространстве
В этом параграфе рассмотрены задачи на нахождение расстояния
от точки до прямой в пространстве. При этом используются
теорема Пифагора, свойства равнобедренного треугольника, подобие
треугольников, тригонометрические функции углов треугольника и др.
Общие сведения
Определение. Расстоянием от точки до прямой, не проходящей
через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из
данной точки на данную прямую.
Аш А.
Для нахождения расстояния от точки А до прямой а сначала
находят основание А' перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую
а. Если нахождение длины перпендикуляра АА! не вытекает
непосредственно из условия задачи, то на прямой α выбирают какие-нибудь
точки В, С и рассматривают треугольник ЛВС, в котором АА' является
высотой. Для нахождения высоты АА! используют теорему Пифагора
или другие теоремы и формулы.
А С

2. Расстояние от точки до прямой в пространстве 17
Если точка А' находится вне участка прямой а, данного в задаче,
то через точку А проводят прямую с, параллельную прямой а, и
выбирают на ней более удобную точку С, ортогональная проекция которой
С' принадлежит данному участку прямой а. Длина отрезка СС будет
равна искомому расстоянию от точки А до прямой а.
В качестве примера для правильной шестиугольной призмы A...Fl9
все ребра которой равны 1, найдем расстояние от точки В до
прямой АРг.
Ει η
Q
Ж
£'_
D'
Пусть Ог — центр верхнего основания призмы. Прямая ВОг
параллельна АРг и, следовательно, расстояние от точки В до прямой AFX
равно расстоянию от точки Ог до прямой AFX. В треугольнике АОгРг
имеем АОг =AFX = \/2, ΟλΡλ = 1. По теореме Пифагора находим, что
Γη
высота этого треугольника, опущенная на сторону 0{РЪ равна -=-.
Используя формулу площади треугольника, получаем, что для
высоты h этого треугольника, опущенной на сторону AFl9 выполняется ра-
венство ν 2 · h = -γ- и, следовательно, искомое расстояние равно —т-.

18 2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
Задачи
Уровень А
1. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние от точки В до
прямой AD.
*>ι
Аг
у^
D
•
В
'
уЛ
/
Q
2. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние от точки В до
прямой CD.
01
А,
А
/^ ! в
d\
* ι
^"1
V
о.
3. В единичном кубе A...DX найдите расстояние от точки β до
прямой ААг.
А
Αχ
/
D
L
В
1
\у\
V
о.

Уровень А
19
4. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние от точки В до
прямой ССг.
01
А:
А
/
D
В
I
ν/Ί
1^
Q
5. В единичном кубе A...D! найдите расстояние от точки В до
прямой АгВг.
DA
Αι
/
D
κ
κ
κ
Β
ι
^\
J
Q
6. В единичном кубе Α...Ώλ найдите расстояние от точки В до
прямой Β^ι.
А
Ах
/^
D
L
В
1
^ч
^
Q

20 2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
7. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние от точки В до
прямой ΑΌλ.
Αι
' I
1
1
1
1
1
1
1
' D
/ У
it-1
в
1
^\
/
Q.
8. В единичном кубе Α.,.ϋγ найдите расстояние от точки В до
прямой CD^.
Αι.
D
\ В
Q
9. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние от точки В до
прямой B1D1.
А
Q
Z)

Уровень А
21
10. В правильной треугольной призме АВСАгВгС1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ААг.
11. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ССг.
12. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl) все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой АгВг.

22 2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
13. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl) все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ВгСг.
14. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ААг.
15. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ССг.

Уровень А
23
16. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ΑλΒλ.
г
f{
\ ;
Ux ;
El..
Ι ^, *·
-Ι"
λν—ι
—^
ί^ι
\
\
\|
ъ
^]
Γ
17. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ВгСг.
к
>
я,
1
1
Ах !
Βχ
ή
^
£>'
А
Сх
%

24 2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
Уровень В
1. В кубе A...Dl} все ребра которого равны >/2, найдите расстояние
от точки В до прямой АС.
Л
Αι
А^
/
D
* —
В
.'-''"
^\
- " ""/^
Q
2. В кубе A...Dl} все ребра которого равны л/2, найдите расстояние
от точки В до прямой АВг.
01
Αχ
/^; в
^г •
*^Ч
^
Q
3. В кубе A...Db все ребра которого равны >/2, найдите расстояние
от точки В до прямой СВг.
о.
Ах
А
D,
у' ; в
d\
* I
И
Ν
1^

Уровень В
25
4. В кубе А...ВЪ все ребра которого равны >/2, найдите расстояние
от точки В до прямой AlDl.
Di
Ах
/
D
Б
1
^/1
/
Q
5. В кубе A...Dl5 все ребра которого равны V2, найдите расстояние
от точки В до прямой C1D1.
А
Аг
D
ш
В
1
^У^
/
Q
6. В кубе A...Dl} все ребра которого равны >/2, найдите расстояние
от точки В до прямой DDj.
Di
Αχ
/^
D
lr
В
ι
ν^Ί
^
Q

26 2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
7. В кубе A...Dl} все ребра которого равны V6, найдите расстояние
от точки В до прямой А1С1.
А^
8. В кубе A...Dl} все ребра которого равны V6, найдите расстояние
от точки В до прямой ΌΑλ.
Л
Αι
/
\
\
\
\
\
\
\
N
в
Р.
ъР\
у
Су
9. В кубе A...Dl} все ребра которого равны Уб, найдите расстояние
от точки В до прямой Ό0λ.
Су
Di
Ly^
^/v\
B,/? \
/
/
/
/
/
Dy_
I •
lL^
r •
•
•
•
--χ1
yr
s^
s^
s£

Уровень В
27
10. В правильной треугольной призме АВСА^^С^, все ребра
которой равны л/2, найдите расстояние от точки В до прямой АВг.
11. В правильной треугольной призме ABCAiBiCl} все ребра
которой равны >/2, найдите расстояние от точки В до прямой СВг.
12. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl) все ребра
которой равны л/7, найдите расстояние от точки В до прямой АгСг.

28 2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
13. В тетраэдре ABCD, все ребра которого равны \/3, найдите
расстояние от точки В до прямой CD.
14. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны \/3, найдите расстояние от точки S до прямой ВС.
15. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны \/3, найдите расстояние от точки В до прямой SA.
S

Уровень В
29
16. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны </3, найдите расстояние от точки В до прямой SC.
17. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны \П, найдите расстояние от точки В до прямой АС.
18. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой SD.

30 2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
19. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны л/2, найдите расстояние от точки S до прямой АС.
20. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 10, а боковые ребра равны 13, найдите
расстояние от точки S до прямой АВ.
21. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны л/3, найдите расстояние от точки В до
прямой AF.

Уровень В
31
22. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны \/3, найдите расстояние от точки В до
прямой EF.
S
23. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны \/2, найдите расстояние от точки В до прямой АВг.
24. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны </2, найдите расстояние от точки В до прямой СВг.
|\ДХ ! в
Е'_
L—''"
Ή
.D1

32 2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
25. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны \/3, найдите расстояние от точки В до прямой AF.
Я,
^<^^ '
г
f[
\
\А ! в,
El..
*> "
\ "
i 1
Π
ι
\
\
В
~]
(7
26. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны \/3, найдите расстояние от точки В до прямой FE.
3ι—
Г
н
\А ! в
£L_.
^. "
4 "
у 1
~Ί\
^ ι
ι
D'
\
\
\|
Β
Q
27. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны \/3, найдите расстояние от точки В до прямой DE.
я,
*л<^^ '
г
fL
\
^
\дх : в,
£L_.
I ^. **
4"
ί 1
в
I
I
\
\
В
^i
Г

Уровень В
33
28. В правильной шестиугольной призме А...ЕЪ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ЕЕг.
Si
F1^^^ '
Κα, Ι в
f[
I
El..
A''
? 1
π
1
1
\
Ъ
^1
С
29. В правильной шестиугольной призме A...Flf все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ElFl.
30. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ΌλΕλ.
Я,
^^^ '
г
f[
\
\А ! в
Е\ .
,' '
4"
1 1
л
1
1
\
\
ъ
^1
г

34 2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
31. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой АЕ.
32. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой СЕ.
\
д1|
\А ! в,
#L--
ί ■
—f
ι
ι
"* ** - Ν
Q
33. В правильной шестиугольной призме A...Flf все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой АС.

Уровень В
35
34. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой OF.
ч
Е^
\А ' в
Е\._.
1—
Ρ
1
1
X
<\
35. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны \/3, найдите расстояние от точки В до прямой AD.
ч
Е*---
1^—-
—t
I
I
^ " " N
36. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны \/3, найдите расстояние от точки В до прямой CF.
я,
F,^^ '
f
FL
\AX ! В
El
i_I_J
π
l\
I
I
в

36 2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
37. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой АЕг.
38. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой СЕг.

Уровень С
37
Уровень С
1. В кубе A...Dl9 все ребра которого равны 1, найдите расстояние
от точки В до прямой АСг.
А
Αι
/^ \ В
s
1 '
•
1 •
1 '
''''
Л/г s
/
f
J
Ъ
2. В кубе A...Dl9 все ребра которого равны 1, найдите расстояние
от точки В до прямой САг.
3. В кубе Α...Όλ, все ребра которого равны 1, найдите расстояние
от точки В до прямой ΌΒλ.
А
Αι
/
D
•
В
/
/
/
/
/
/
/
/
V
^
/
Сг

38 2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
4. В правильной треугольной призме АВСАгВгС1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой АСг.
5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки S до прямой BF.
6. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки S до прямой BE.
S

Уровень С
39
7. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки В до прямой SA.
8. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки В до прямой SD.
9. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки В до прямой SE.

40 2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
10. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой АгРг.
щ.
J),
BL.
Έ
I
I
■i°l
в
11. В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки β до прямой C1D1.
Ε,
,Д
вх.
[.Е_
<к
*С
В
12. В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой С1Е1.

Уровень С
41
13. В правильной шестиугольной призме A...F1; все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой А1Е1.
14. В правильной шестиугольной призме A...Flt все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой C1F1.
Я,
,Д
ЯГ
SL
•Р
<\
*с
в
15. В правильной шестиугольной призме Α-..F^, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой A1D1.
FVi
5V—
Г1 !
£._
У—
β 1
1
та
\
с,

42 2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
16. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой D^.
17. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой АгСг.
18. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой FEX.

Уровень С
43
19. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ΌΕλ.
20. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой АСг.
а
>д
Hi
в
Ε ,.
■Ρ
Сг
В
21. В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой САХ.
5ι—
Г
f[
\
\ДХ ! в,
Е'Г - ;
1 ^ -*
Л "
ί 1
—j>
*" I
** ** N
** J
ъ

44 2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
22. В правильной шестиугольной призме A...FX) все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ΑΌλ.
23. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой СРг.
.А
FV
1
Αγ.. ! в,
*» 1
1\
1
ъ
с,
24. В правильной шестиугольной призме А...^, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой 0Όλ.
Ε,
Рл^^^ '
1
F
\
ί
А, ', В,
El..
г>
\\\
"" ι \
I 1
----£;
\\
\
ъ
с,

Уровень С
45
25. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ΡΌλ.
26. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой Ό¥λ.
Рл*^
f
f{
Саг
1 -*
l·-
S,
4-J в
£'__.
-·«..
Ή
Л
К
1
1
\
27. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой РСг.

46 2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
28. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ΌΑΎ.
29. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой РАг.
Е,
Л
Vk.
а
в
\Е
Сг
?С
В
30. В правильной шестиугольной призме A...FX, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой DC^.
Ex
,Α
Их
\С1
В,
El.
Μ
\l
Jc
В

3. Расстояние от точки до плоскости
в пространстве
В этом параграфе рассмотрены задачи на нахождение расстояния
от точки до плоскости в пространстве. При этом используются
теорема Пифагора, свойства равнобедренного треугольника, подобие
треугольников, тригонометрические функции углов треугольника и др.
Общие сведения
Определение. Расстоянием от точки до плоскости, не
проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного
из данной точки на данную плоскость.
Для нахождения расстояния от точки А до плоскости а находят
перпендикуляр АА', опущенный из точки А на плоскость а. Если
нахождение длины перпендикуляра АА' не вытекает непосредственно
из условия задачи, то на плоскости а выбирают какую-нибудь
прямую а, проходящую через точку А', и находят длину перпендикуляра
АА'', опущенного из точки А на прямую а. Для этого используют
теорему Пифагора или другие теоремы и формулы.

48 3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
Если точка А! находится вне участка плоскости а, указанного в
задаче, то через точку А проводят прямую с, параллельную плоскости а,
и выбирают на ней более удобную точку С, ортогональная проекция
которой С принадлежит данному участку плоскости а. Длина отрезка
СС будет равна искомому расстоянию от точки А до плоскости а.
В качестве примера для правильной шестиугольной призмы A...Fl9
все ребра которой равны 1, найдем расстояние от точки В до
плоскости AFFX.
Ει
Пусть О — центр нижнего основания призмы. Прямая ВО
параллельна прямой AF и, следовательно, расстояние от точки В до
плоскости AFFX равно расстоянию от точки О до плоскости AFFX. В
треугольнике AOF имеем AO=AF = OF = 1. Высота ОН этого треугольника
л/3 ^ л/3
равна -γ. Следовательно, искомое расстояние равно -γ.

Уровень А
49
Задачи
Уровень А
1. В единичном кубе A...D1 найдите расстояние от точки В до
плоскости ΑΌΌλ.
Dl С.
2. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние от точки В до
плоскости СВВг.
Dl Г.
Αχ
/
D
it
Βχ/^ I
——__——
у
кости AXBXCX
3. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние от точки В до плос-
А,.
•
-»
•
*
*
*-
£
<Л
1
[^

50 3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
4. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости ΑλΒλ€ι.
5. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости А1В1С1.
6. В правильной шестиугольной призме А...РЪ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости АЕЕг.

Уровень А
51
7. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны X найдите расстояние от точки В до плоскости СЕЕг.

52 3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
Уровень В
1. В кубе A...Dl9 ребра которого равны л/2, найдите расстояние от
точки В до плоскости АССг.
2. В кубе A...Dl9 ребра которого равны л/2, найдите расстояние от
точки В до плоскости АВ1С1.
3. В кубе A...Dl9 ребра которого равны л/2, найдите расстояние от
точки В до плоскости CDAi.

Уровень В
53
4. В единичном тетраэдре ABCD точка Ε — середина ребра CD.
Найдите расстояние от точки D до плоскости ABE.
5. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра
которой равны л/3, найдите расстояние от точки В до плоскости АССг.
6. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны л/2, найдите расстояние от точки S до плоскости ABC.
S

54 3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны у/2, найдите расстояние от точки В до плоскости SAC.
8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точка Ε — середина ребра SB. Найдите расстояние от
точки В до плоскости АСЕ.
9. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равна \/3, найдите расстояние от точки В до плоскости ΌΕΕλ.

Уровень В
55
10. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равна л/3, найдите расстояние от точки В до плоскости Ε¥¥λ.
Μι ' В:
L—
L^
В
Ά
11. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равна л/3, найдите расстояние от точки В до плоскости CDD^
12. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равна л/3, найдите расстояние от точки В до плоскости AFFi.

56 3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
13. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равна \/3, найдите расстояние от точки В до плоскости CFF^
Ει
ίΡι
F
\
ax : вг
ι
I
El_.
U
Ι
ι Ι
\
Χ
Β
с,
14. В правильной шестиугольной призме A...Flf все ребра которой
равна \/3, найдите расстояние от точки В до плоскости ΑΌΌλ.
15. В правильной шестиугольной призме А...РЪ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости АССг.
А ' В

Уровень В
57
16. В правильной шестиугольной призме A...Fb все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости DFFi.
17. В правильной шестиугольной призме А...РЪ все ребра которой
равна л/2, найдите расстояние от точки В до плоскости ΑΕΌλ.
18. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равна л/2, найдите расстояние от точки В до плоскости CEFi.

58 3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
Уровень С
1. В единичном кубе А.. .Όλ найдите расстояние от точки В до
плоскости АСВг.
Οι
/\ в,
/ Х-О· — — — —
\ X ■* — ""*
l/^
- ""χ^
2. В единичном кубе А.. .Dx найдите расстояние от точки В до
плоскости DAjQ.
°1 Г.
^^ \ ^~~-~~~~~~^'\
Ь^^^Г^Ъ/'' I
А
С j
V
ч '
ч 1
\ ι
ч '
Ч 1 •
Dm'
11» _ —
•
- *" ~^^
3. В единичном кубе A...Dj найдите расстояние от точки В до
плоскости ACDX.
Dl Г.
Ал
А
1 ' >
/ I
I 1
/ |
t |
1 £>»--
/ " „ - - ■"
l/^
N
ч
ч
ч
ч
ч
- - "Z^

Уровень С
59
4. В единичном кубе A...D1 найдите расстояние от точки В до
плоскости ΑΒχΌι.
Di г.
Αι
У' / '
I
ι ι
/ I
/
/ ι
/ А
ι /г\
ι/'
5. В единичном кубе А.. .Όλ найдите расстояние от точки В до
плоскости CB1Dl.
6. В единичном тетраэдре ABCD найдите расстояние от точки D до
плоскости ABC.
D.
'В

60 3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
7. В правильной треугольной призме АВСА1В1СЪ все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости АСВг.
8. В правильной треугольной призме АВСА1В1СЪ все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости АВ1С1.
9. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости СА1В1.

Уровень С
61
10. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости SAD.
11. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости SCD.
12. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точка Ε — середина ребра SD. Найдите расстояние от
точки В до плоскости АСЕ.

62 3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
13. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки S до плоскости ABC.
14. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки В до плоскости SEF.
15. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки В до плоскости SDE.

Уровень С
63
16. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки В до плоскости SAF.
17. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки В до плоскости SCD.
18. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки В до плоскости SAD.

64 3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
19. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки В до плоскости SCF.
20. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки В до плоскости SAE.
21. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки В до плоскости SCE.

Уровень С
65
22. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки В до плоскости SAC.
23. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки В до плоскости SDF.
24. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости DEA1.

66 3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
25. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости EFB^
26. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости CFAX.
ч
]
Ε,
\Аг ! В
L
JjmJ
Ή
Л
К J
1 \
1
27. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости ADC^

Уровень С
67
28. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости DEFi.
29. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости EFA^
30. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости АСВ1.
Να ! вг
еУ
Ж""—
Ή
Μ.
J>c

68 3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
31. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости Ό¥Αλ.
32. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости Ό¥Βλ.
\
Ел
\а : в,
-'"к.
1 "* "* "" *
i 1
Π,
κ ι
ι\
SS-\-M
— "* \
33. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости CFE^

Уровень С
69
34. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости ΑΌΕλ.
Ε,
35. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости ACDX.
36. В правильной шестиугольной призме-A...F1? все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости DFEX.

70 3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
37. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости АСЕг.
38. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости AEFX.
39. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости CEDX.

4. Расстояние между прямыми в пространстве
В этом параграфе рассмотрены задачи на нахождение расстояния
между параллельными и скрещивающимися прямыми в
пространстве. При этом используются теорема Пифагора, свойства
равнобедренного треугольника, подобие треугольников, тригонометрические
функции углов треугольника и др.
Общие сведения
Определение. Расстоянием между двумя непересекающимися
прямыми в пространстве называется длина общего перпендикуляра,
проведенного к этим прямым.
Если одна из двух данных скрещивающихся прямых лежит в
плоскости, а другая — параллельна этой плоскости, то расстояние между
данными прямыми равно расстоянию между прямой и плоскостью.
Если данные скрещивающиеся прямые а и Ъ лежат соответственно
в параллельных плоскостях а и β, то расстояние между прямыми а
и Ъ равно расстоянию между плоскостями а и β. В этом случае длина
перпендикуляра CD, опущенного из произвольной точки С плоскости
α на плоскость β, будет равна расстоянию между прямыми а и Ь.
В качестве примера рассмотрим задачу нахождения расстояния
между прямыми ААг и ВСХ для правильной шестиугольной призмы
A...FX, все ребра которой равны 1.

72 4. Расстояние между прямыми в пространстве
Пусть О и Ог — центры оснований призмы. Плоскость АООъ в
которой лежит прямая АА1} параллельна плоскости ВССЪ в которой
лежит прямая ВСг. Из точки О опустим перпендикуляр ОН на плоскость
л/3
ВССг. Его длина равна -ζ- и, следовательно, искомое расстояние меж-
л/3
ду прямыми А4Х и ВСХ равно -^-,

Уровень А
73
Задачи
Уровень А
1. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние между прямыми
АВ и CD.
/ \ в,
d\
•
л
у
2. В единичном кубе A...Dl найдите расстояние между прямыми
АВиА1В1.
βι Q
Αχ
/Ι в,
ό\
•
•
у
л
У
3. В единичном кубе A...DX найдите расстояние между прямыми
АВ и ССХ.
DA С
Ах
/\ в,
d\
•
^

74 4. Расстояние между прямыми в пространстве
4. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние между прямыми
ABuDDx.
/
D
κ
κ
Вг
/А
/
5. В единичном кубе A...D1 найдите расстояние между прямыми
АВиВ1С1.
Аг
/ \ в,
d\
•
^
/
6. В единичном кубе A...D1 найдите расстояние между прямыми
Αχ
/ \ вх
ό\
•
^
J

Уровень А
75
7. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние между прямыми
ВАг иСОг.
% С
8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AD и ВС.
9. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АВ и CD.
S

76 4. Расстояние между прямыми в пространстве
10. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BD
иАЕ.
S
11. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BF
и СЕ.
S
12. В правильной треугольной призме АВСА^В^С^, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АС и АгСг.

Уровень А
77
13. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ААг и ВВг.
-Pi
14. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и ССг.
15. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ААг и ВВг.

78
4. Расстояние между прямыми в пространстве
16. В правильной шестиугольной призме A...Fb все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВС и ВгСг.
Я,
ел<^^^ !
Г
FV
/
\Аг ! В
Е\
„- '
\ '
i 1
в
ί\
I
1
\
X
В
Q
17. В правильной шестиугольной призме A...Fb все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми BD и АЕ.
F,<r
l·
Я,
\А ; Β
ε!-..
I «- **'
к-—
η
i\
/ N
В
с
ч
с
18. В правильной шестиугольной призме A...FX, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми BF и СЕ.
Ег
Ί
\Аг
Ε
fc^
β]
π
ι
ο;
^ ^ ^ \
"* - ^ \
Β
с,
с

Уровень А
79
19. В правильной шестиугольной призме A...Fb все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ΒΌλ и АЕг.
20. В правильной шестиугольной призме A...Fb все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми BFX и СЕг.

80 4. Расстояние между прямыми в пространстве
Уровень В
1. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние между прямыми
ABnCDl.
Di Q
D
*
ч
ч
ч
ι
уЛ
\
\
ч
ч
\
ч
\
У
2. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние между прямыми
ABhDC^.
Di Q
Αι
/
D
κ
κ
Вг
/
/
/
/
s
s
ν
•
•
•
У
3. В единичном кубе A...D1 найдите расстояние между прямыми
АВиА^Сг.
А»

Уровень В
81
4. В единичном кубе Α.,.Ό^ найдите расстояние между прямыми
ABhBjDj.
DA С
Αχ
D
*
J
5. В кубе Α...Όλ, ребра которого равны </2, найдите расстояние
между прямыми АВ иСгОг.
Di
Αχ
Q
D
*
*
*
Β
J
6. В кубе Α...Όλ, ребра которого равны у/2, найдите расстояние
между прямыми АВ и СВг.

82 4. Расстояние между прямыми в пространстве
7. В кубе A...Db ребра которого равны у/2, найдите расстояние
между прямыми АВ и ΌΑλ.
8. В кубе Α...Όλ, ребра которого равны л/2, найдите расстояние
между прямыми АВ и САг.
D,
О.
Ах
AL
// \ В}
1
** 4.
£
•
s^
s^
•6
9. В кубе A...Dlf ребра которого равны л/2, найдите расстояние
между прямыми АВ и DBX.
D,
Q
Αι.
β,
Dv

Уровень В
83
10. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние между прямыми
ΒΑλ nDC^
DA С
11. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны \/3, найдите расстояние между прямыми ВС
nEF.
S
12. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АВ и В1С1.

84 4. Расстояние между прямыми в пространстве
13. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ВС и А^С^.
14. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВС и CiD1.
я,
F^<r^^ '
г
л
\
/
\Аг ' В
Е\
1 ^ -*
«4"
1 1
μ^"
_ _ .
в
Г)
\
"" 1
1
1
- — \
\
\|
Сг
15. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВС nD1E1.
E,
Ε1(Τ^^''
τ
f[
\
\A, '. В
El..
1 ^ -*
λ '
I 1
л
1
--.D\
\
\
В
■ ι
С

Уровень В
85
16. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВС иЕгРг.
А
я,
Να ! в
Е\ .
У——
ί.^-"
в
^^ 1
1
1
%
17. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВС и А^.
F1f
τ
f[
\
Ε,
\А ' В
Ε\
А "
I 1
π
\
\
\|
Β
18. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВС и А1В1.
я,
рл<^^^ !
Г
fL
\
/
\А ; β
Я!
·] "
ί 1
п
ι
ι
\
\|
Б
^]
(7

86 4. Расстояние между прямыми в пространстве
19. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны \/3, найдите расстояние между прямыми ВС и EF.
Е,
Fi<^^^
к
f[
\
\А, 1 В
Е\___
1 ^ -*
λ "
1 1
в
1
\
\
\
в
*"1
(7
20. В правильной шестиугольной призме A...Fb все ребра которой
равны \/3, найдите расстояние между прямыми BBj и DDj.
Я,
,д
νΑι
1
'iCi
Si
Я'
£>'
%
В
21. В правильной шестиугольной призме A...Fj, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ΒΒλ и ΕΕλ.
Ε,
F,<^^
Г
f{
\
\Αι
ч
^ "
γ
I—
Τ)
ί\
Βχ^^^
-\-J>\
\
\
Β
с
4
с

Уровень В
87
22. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны \/3, найдите расстояние между прямыми ΒΑλ и ΌΕλ.
Vi . в
\ Е\
Т^
U-*
В
Л
ν Ι
\ .
\
\
Q
с
23. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны \/3, найдите расстояние между прямыми ВСг и FE2.
24. Ребро октаэдра равно 1. Найдите расстояние между его
противоположными ребрами.

88
4. Расстояние между прямыми в пространстве
Уровень С
1. В единичном кубе A...D1 найдите расстояние между прямыми
ВАг иСВ2.
01 Q
2. В единичном кубе A...D1 найдите расстояние между прямыми
ВАг и АС.
3. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние между прямыми
ΒΑλ hBjDj.
Pi G

Уровень С
89
4. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние между прямыми
ВАг ΥίΑΌλ.
5. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние между прямыми
ΒΑλ иАСг.
6. В единичном кубе Α...Όλ найдите расстояние между прямыми
ВАг πΌΒλ.

90 4. Расстояние между прямыми в пространстве
7. В единичном тетраэдре ABCD найдите расстояние между
прямыми AD и ВС.
8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SB и АС.
9. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SB и AD.
S

Уровень С
91
10. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SB и CD.
11. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние между прямыми SB и AF.
12. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние между прямыми SB и EF.

92 4. Расстояние между прямыми в пространстве
13. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние между прямыми SB и CD.
14. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние между прямыми SB и DE.
15. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние между прямыми SB и АС.

Уровень С
93
16. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние между прямыми SB и DF.
17. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние между прямыми SB и АЕ.
18. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние между прямыми SB и СЕ.

94 4. Расстояние между прямыми в пространстве
19. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ССг и АВ.
20. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и АС.
21. В правильной треугольной призме АВСА^В^^, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ААг и ВС.

Уровень С
95
22. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и АСг.
23. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и АгСг.
24. В правильной треугольной призме ABCA^^i, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АВ и СВг.

96 4. Расстояние между прямыми в пространстве
25. В правильной треугольной призме АВСА^В^^, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АВг и ВСг.
Вг
Αι
л
| \/\
у· *
А \
'Б
26. В правильной треугольной призме АВСАХВХСЪ все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АВг и САг.
27. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВС и ЕЕг.

Уровень С
97
28. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и СХВХ.
τ
fL
\Αι ' β
E\ _.
-J'
ί 1
l^-*
В
""^ ι
1
1
D1
\
\
ш 1
с
29. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и ΌλΕλ.
Ε
^с-^^"^ '
г
\А ! В
Е'___
^ - "
ί
в
1\
1
\
\
X
в
30. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и ЕгРг.
я,
F,<^^ !
Г
f[
\
\а, ; в
4х---
1 ^ -*
4"
ϊ 1
L^"
Я
п
"^ I
1
1
D1
\
\
X
^]
с

98 4. Расстояние между прямыми в пространстве
31. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и АгРг.
Ъ*>
ί
f{
Ελ
\α, : в
El__
ι ^ **
4 "
Ι 1
д
·\
ι
\
\|
Β
с,
32. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и CD^
Г
f{
\
/
\Аг ! В
Я! ..
л '
i 1
—^
^ ι »
ι ι
\»
>
в
^]
С
33. В правильной шестиугольной призме Α...Ρλ, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и Ό0λ.

Уровень С
99
34. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и ΌΕλ.
35. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и ΕΌλ.
36. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и EF^

100 4. Расстояние между прямыми в пространстве
37. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и FEX.
38. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и AFX.
39. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и FAX.

Уровень С
101
40. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и СЕг.
41. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и ЕСг.
¥л<^
Υ
f[
\
Υ'
\ "
Υ-
е\
К
в,
•
•
в
Л
\
1
1
Р\
42. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и Ό¥λ.

102 4. Расстояние между прямыми в пространстве
43. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и ¥Όλ.
44. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и ЕАг.
45. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и АЕг.

Уровень С
103
46. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и СГХ.
47. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и РСг.
48. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и ΌΑλ.

104 4. Расстояние между прямыми в пространстве
49. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и ADX.
50. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВАг и EDX.
51. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВАг и СВг.
Я,
Flt^^"^ '
г
л
\
/
\А ! В]
\Л - -
π " ^Ч
[1—λΙ
J>
\
^^ 1
в

Уровень С
105
52. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВАг и DCX.
Ел
F,c^^^ '
Г
f[
\
А
VA, ; В,
\ Е^ _ .
Ί ' N^
[1—л1
π
Ί
\
\
Б
^]
Г
53. В правильной шестиугольной призме A...F1? все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВАг и FEX.
54. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВАг и АРг.
ч
А
VA, ! В,
1 \ ■# - -
ы
^^
в
kD
~\
"""^ 1
1
1
\
X
<\

106 4. Расстояние между прямыми в пространстве
55. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВАг и ΌΒλ.
Ε,
Fii^^·
Г
Η
Ν
/
\Α ! Bt
\El _ .
\' N.
j ^J
π
^ 1
v ^ ι
\
в
~1
Г
56. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВАг и АЕг.
f
F\
/
\А, / ! Bi
\ ^ *" " ^\
it—л1
—^
^^^ I
^^ I
Id
\
В
^1
(7
57. В правильной шестиугольной призме A...Fb все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВА1 и ΑΌλ.
,Д
FVi
ΛΑ, ' Βι
/
/
s
в
1
-id
V
Q

Уровень С
107
58. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ΒΌλ и ЕАг.

5. Угол между прямыми в пространстве
В этом параграфе рассмотрены задачи на нахождение углов
между двумя прямыми в пространстве. При этом используются
теорема о трех перпендикулярах, признак перпендикулярности прямой
и плоскости, тригонометрические функции углов треугольника и
теорема косинусов. В ответах будем указывать только численные
значения величин углов без знака градуса.
Общие сведения
Определение 1. Углом между двумя пересекающимися прямыми
в пространстве называется наименьший из углов, образованных
лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
Для того чтобы найти угол между двумя пересекающимися
прямыми, выбирают какой-нибудь треугольник, одним из углов которого
является искомый угол. Если этот треугольник прямоугольный, то для
нахождения угла используют тригонометрические функции, если
треугольник произвольный, то используют теорему косинусов.
Определение 2. Углом между двумя скрещивающимися прямыми
называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно
параллельными данным.
Определение 3. Две прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90°
Теорема 1. Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна
ортогональной проекции наклонной к этой плоскости, то она перпен-

5. Угол между прямыми в пространстве
109
дикулярна и самой наклонной.
В;
Теорема 2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся
прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна любой
прямой, лежащей в этой плоскости.
Для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми а
и Ь, выбирают какую-нибудь точку С и проводят через нее прямые а',
Ь', соответственно параллельные а, Ъ. Искомый угол будет равен углу
между пересекающимися прямыми а' и Ъ'
В качестве примера для правильной шестиугольной призмы А.. .Fb
все ребра которой равны 1, найдем угол между прямыми ΑΒλ и CDX.
Заметим, что прямая AFX параллельна прямой CDX и,
следовательно, искомый угол равен углу B1AF1. В треугольнике BjAFj АВг =Α¥λ =
= л/2, ΒλΡλ = л/3. По теореме косинусов получаем, что косинус искомо-

no
5. Угол между прямыми в пространстве
го угла равен -7.

Уровень А
111
Задачи
Уровень А
1. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямыми АВ и ССг.
βι Q
Αι
/: я,
d\
•
•
•
•
•
•
-\
/
2. В кубе Α...Ολ найдите угол между прямыми АВ и В1С1.
βι Q
/
D
•
•
•
L
^1
\s
3. В кубе Α...ϋλ найдите угол между прямыми АВ и DD1.
βι Q
D
•
•
•
•
в,
У

112
5. Угол между прямыми в пространстве
4. В кубе Α.,.ϋγ найдите угол между прямыми АВ и A1D1.
/
D
•
•
•
•
S,
^
/
5. В кубе А...Т)Х найдите угол между прямыми АВ и DC^.
Αι.
/: в,
Ι у
I •
•
1 '
I •
D V-. _ _ _
/
•
•
•
•
/
/
у
6. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямыми АВ и CDX.
Dj С,
^Ss
Αι.
^!\*,
1 S
1 S
d\
•
s
s
s
s
s
s
s
V

Уровень А
113
7. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямыми АВ и AxCi.
βι Q
Αι.
^^
D
•
•
•
•
•
•
%
^Ί
J
8. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямыми АВ и B1D1.
Αχ
d!
1
^
9. В кубе A...Dj найдите угол между прямыми ВС1 и ΌΑλ.
DA С

114
5. Угол между прямыми в пространстве
10. В кубе A...Dl найдите угол между прямыми СВг и ΑΌλ.
11. В правильном тетраэдре ABCD точки Ε и F — середины ребер
соответственно BD и CD. Найдите угол между прямыми АВ и EF.
12. В правильном тетраэдре ABCD точки Ε и F — середины ребер
соответственно ВС и BD. Найдите угол между прямыми AD и EF.

Уровень А
115
13. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1) все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямыми АВ и^^.
14. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1) все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямыми ΒΒλ и АС.
15. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1) все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямыми ВВг и АСг.

116
5. Угол между прямыми в пространстве
16. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол SAC.
17. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямыми SB и AD.
18. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямыми SC и АВ.
S

Уровень А
117
19. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми АВ и В1С1.
20. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми АВ nClDl.
Ε,
Е,<^^^ !
f
f[
/
\Αι '< в
El_.
^*-'~
λ "
i 1
π
\
\
В
^1
С
21. В правильной шестиугольной призме A...Fi, все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми АВ и ССг.
Ел
fm^^ !
Г
f[
\
\А, \ В
Е1_.
^ "
λ "
1 1
η
I
\
\
\
В
^]
С

118
5. Угол между прямыми в пространстве
22. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми АВ и ΌΕλ.
Ε
д,^^^!\
Г
f[
\А ! В,
Е\ _.
1—1
S
s
В
η
λ
-^ I
Ν Ι
S .
\
\
^]
с
23. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми ВАг и ССг.
Е<
F,^^^ !
Г
Л
у
\А, ! В
\£L_.
iJ—А
η
I
1
;о
^1
С
24. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми ΒΑλ и ΕΌλ.
ч
31—
vax ; в
ί—-^
\D
У 1
'Р
\
\
в
с,
с

Уровень А
119
25. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми АВ иА1С1.
26. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми АВ и ΑλΌλ.
27. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми АВ иА1Е1.

120
5. Угол между прямыми в пространстве
28. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми АС и В1Е1.
29. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол ASD.
30. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол
между прямыми БАи ВС.

Уровень В
121
Уровень В
1. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямыми АВ и СВг.
DA С
/
D
•
•
я,
К
^Г
2. В кубе A...Dl найдите угол между прямыми АВ и ΌΑχ.
DA С
3. В кубе A...D-ι найдите угол между прямыми ΒΑλ и СВг.
βι G.
Αι.

122
5. Угол между прямыми в пространстве
4. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямыми ВАг и BlDl.
DA G
Αι
**·1
Α
• Χ^
ΓΊ
5. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямыми ВАг и АС.
DA G
Ζ)ί\___
• — — X.""
• — "" Χ
\ ' — *" "" Χ
Л
1
' *" "" "'./^
AUi
6. В кубе A...D1 найдите угол между прямыми ВАХ и AD1.
D± С
Αι
**·1
Α
^r Ι
Ν. / ι
/ Ν. ι
/ >u
αχ
' '' Χ
1 •' χ
ι ' χ
/1
f

Уровень В
123
7. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямыми АС и BDX.
f— ' х
ι \
1 \
1 \
1 \
1 \
1 \
' - - " *
\ ' — —'
л
1
, — ■"" ^^
J с
А^-
8. В кубе A...Dj найдите угол между прямыми АС и ΌΒλ.
01 Q
Aj
/
1 /
1 /
I /
I /
I '
d'/
•
• — "" ""
\ ' — ■"" """
л
1
- ""* ~yr
-J с
A^-
9. В кубе A...D1 найдите угол между прямыми ВСг и САг.
DA С
Αι
Г11
А
** 4.
d!
•
•
•
*
ΰ1 /
/"-^

124
5. Угол между прямыми в пространстве
10. В кубе A...D1 найдите угол между прямыми ВСг и ΌΒγ.
DA Q
Αχ
/\
/
1 '
Ι /
Ι /
| /
/
•
•
•
•
1 /
11. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямыми САг и DCX.
^r I >v
^r ι / /
S \ Βχ/.'
Г ^ ι
** -* ι
^4. /
| ^ ^ •
1 ^*
' "*
I •
ι '
dL:
/
•
•
•
L
•
•
•
* ^
"* ^
"* ^.
-^>
_s^
s^
h
12. В кубе A.-.D-l найдите угол между прямыми ΒΌλ и DC^.
D
•
•
•
•
\ в.
\
\
\ /
• \
r '
/
/
/
{/

Уровень В
125
13. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямыми ВАг и АСг.
βι Q
s' ! Βλ
^4. ι '
\
« . _ _ >
•
14. В кубе A...Dj найдите угол между прямыми BAj и ΌΒλ.
15. В кубе A...Dx найдите угол между прямыми ΑΏλ и ϋΑχ.
,^/Ί в,
Γ ^ ^ ; '
/ ** ί ^
1 ' ^ ^ ^
/ ι ** ^
/Ι
/ d\
LLi
-^
V*
ϊ&

126
5. Угол между прямыми в пространстве
16. В кубе A...DJ найдите угол между прямыми ΑΌχ и DB1.
Αι у .'; в
D<
17. В кубе Α.,.ϋχ найдите угол между прямыми Αχϋχ и ϋΒχ.
DA С
D
18. В кубе Α.,.Όχ найдите угол между прямыми AxCi и BDj.
Д.

Уровень В
127
19. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между прямыми
АВ и CD.
20. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между прямыми
АС и BD.
Ζλ
21. В правильном тетраэдре ABCD точки Ε и F — середины ребер
соответственно ВС и BD. Найдите угол между прямыми АВ и EF.

128
5. Угол между прямыми в пространстве
22. В правильном тетраэдре ABCD точки Ε и F — середины ребер
соответственно BD и CD. Найдите угол между прямыми AD и EF.
23. В правильном тетраэдре ABCD точки E,F,G — середины ребер
соответственно ВС, ΒΌ, AD. Найдите угол EFG.
24. В правильном тетраэдре ABCD точки E,F,G — середины ребер
соответственно АВ, AD, CD. Найдите угол EFG.

Уровень В
129
25. В правильной треугольной призме ABCAlBlCli все ребра
которой равны 1, точка D — середина ребра ВС. Найдите угол между
прямыми ВВг и AD.
26. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl, все ребра
которой равны 1, точка D — середина ребра ВС. Найдите угол между
прямыми АгСг и AD.
.А
27. В правильной треугольной призме АВСАгВгС1} все ребра
которой равны 1, точка D — середина ребра ВС. Найдите угол между
прямыми ВгСг и AD.

130
5. Угол между прямыми в пространстве
28. В правильной треугольной призме ABCAjBjCj, все ребра
которой равны 1, точка D — середина ребра ВС. Найдите угол между
прямыми СВг и AD.
29. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl, все ребра
которой равны 1, найдите косинус утла АСгВ.
30. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямыми SB и АС.
S

Уровень В
131
31. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точки Е, F — середины ребер соответственно АВ, ВС.
Найдите угол между прямыми SA и EF.
32. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точка Ε — середина ребра SC. Найдите угол между
прямыми AD и BE.
33. В правильной шестиугольной призме A...FXi все ребра которой
равны 1, найдите угол ΑΒΌλ.

132
5. Угол между прямыми в пространстве
34. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите тангенс утла АВЕг.
35. В правильной шестиугольной призме А...РЪ все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми АС и В^.
36. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми АС и ΒλΌλ.
\
Е\ _.
L·^
f
в
—тР
Ά
1
1
\
V
<к

Уровень В
133
37. В правильной шестиугольной призме A...FXi все ребра которой
равны 1, найдите тангенс угла между прямыми АВ и CFX.
38. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите угол ACDX.
*Ί
F
К
J
Ах
3
Ε
,'"
---
Β
«.-■""
ν^^
Β
-!?
^ H
ι ι
ι ι
Ν»
\
ς
Γ
39. В правильной шестиугольной призме A...F1; все ребра которой
равны 1, найдите угол AC1D1.
&
Л
Vk_
Βι
lCi
s!_,_J Q[
Jc
в

134
5. Угол между прямыми в пространстве
40. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите тангенс утла между прямыми ССг и ВЕг.
41. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми BFX и ССг.
42. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми ВАг и ВгЕ.

Уровень В
135
43. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми АС и DFX.
44. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, точка G —
середина ребра SD. Найдите угол между прямыми AG и ВС.
45. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол
между прямыми SA и BF.

136
5. Угол между прямыми в пространстве
46. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
утла между прямыми SA и DE.
47. Найдите угол между скрещивающимися ребрами октаэдра.

Уровень С
137
Уровень С
1. В кубе Α...Όλ найдите косинус угла между прямыми АВ и САг.
Αι.
А^
D
В
2. В кубе Α.,.ϋχ найдите тангенс угла между прямыми АВ и DB1.
βι Q
Αχ
/^ ! β]
/
1 /
Ι /
Ι /
| /
. /
ώ\Ί
■*
/
3. В кубе A...D1 найдите косинус угла между прямыми BDj и DB^.
Ai.
^^i\ в,
1 \ /
ι \/
Ι Λ
1 ' N
ι/ N
L·"

138
5. Угол между прямыми в пространстве
4. В кубе A...D-ί найдите косинус угла между прямыми АСг и САг.
DA С,
Αι '
>г ^У*
S \ в,
К ^ |
"* ^ ,
^4, •
, ^ •
1 ■*
I • ** ^
. •
'•
УЛ....
/ *
/ '
к
/
/
"* ^
"" S
^
S
5. В правильном тетраэдре ABCD точка Ε — середина ребра AD.
Найдите косинус угла между прямыми АВ и СЕ.
6. В правильном тетраэдре ABCD точка Ε — середина ребра ВС.
Найдите косинус угла между прямыми АВ и DE.
'В

Уровень С
139
7. В правильном тетраэдре ABCD точки Е, F — середины ребер
соответственно АВ и ВС. Найдите косинус угла EOF.
8. В правильном тетраэдре ABCD точка Ε — середина ребра AD.
Найдите косинус угла ВЕС.
9. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl) все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и СВг.

140
5. Угол между прямыми в пространстве
10. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl) все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВг и ВСг.
11. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точка Ε— середина ребра SC. Найдите тангенс утла
между прямыми SAn BE.
12. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точка Ε — середина ребра SC. Найдите косинус утла
ABE.
S

Уровень С
141
13. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точки Е, F — середины ребер соответственно SC и SD.
Найдите косинус угла BEF.
14. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точки Е, F — середины ребер соответственно SC и SD.
Найдите косинус угла между прямыми AF и BE.
15. В правильной шестиугольной призме A...Fb все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла ABFX.

142
5. Угол между прямыми в пространстве
16. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и CDX. /
17. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и СЕг.
.А
V ! в
] ι
е[_.
t—
Ч
\ ^
S
S
S
>
в
<\
18. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла АСЕг.

Уровень С
143
19. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите синус угла Α0¥λ.
20. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямыми АС и ΌΕλ.
\
^— s
\А : в
Е\ .
L·^^
~1
s ^—
S .
...Ιιφ
\
\
в
С:
С
21. В правильной шестиугольной призме A...Fb все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямыми ВАг и СВг.
Ел
^г-"""^^ !
Г
л
\
/
\Ал ; в
\ Е\
Л * ' ^ч
Ϊ -^
η
\
в
с,

144
5. Угол между прямыми в пространстве
22. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите косинус утла между прямыми ВАг и ВСХ. J
А
я,
да, : в
К 1
N. 1
VEl..
У—±
Я
Ν
β:;
*c
23. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите косинус утла между прямыми ВАг и ΌΒλ.
31—
г
fL
\
/
\д, ; в
\я!_
Ί ' ^Ч
[1—\J
—^
\
Б
^]
Г
24. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите косинус утла между прямыми ВАг и FCX.

Уровень С
145
25. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямыми ВАг и РВг.
26. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямыми ВАг и СВг.
27. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
угла ASC.
S

146 5. Угол между прямыми в пространстве
28. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
утла между прямыми SA и BD.
29. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
утла между прямыми SA и BE.

6. Угол между прямой и плоскостью
в пространстве
В этом параграфе рассмотрены задачи на нахождение углов между
прямой и плоскостью в пространстве. При этом используется методы
нахождения угла между пересекающимися прямыми,
тригонометрические функции углов треугольника и теорема косинусов. В ответах
будем указывать только численные значения величин углов без знака
градуса.
Общие сведения
Определение. Углом между наклонной и плоскостью называется
угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную
плоскость.
Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости,
образует с этой плоскостью прямой угол.
Для нахождения угла между наклонной а и плоскостью а,
пересекающей эту наклонную в некоторой точке О, выбирают какую-
нибудь точку А на прямой а и опускают из нее перпендикуляр АА'
на плоскость а. угол АОА* будет искомым углом между прямой а
и плоскостью а. Для его нахождения можно использовать значения
тригонометрических функций острых углов прямоугольного
треугольника АОА* или теорему косинусов.
Если точка пересечения прямой α и плоскости а находится вне
рисунка, данного в задаче, то выбирают какую-нибудь точку плоскости
и проводят через нее прямую а', параллельную данной. Искомый угол
будет равен углу между новой прямой и плоскостью а.
В качестве примера рассмотрим задачу нахождения угла между
прямой CDX и плоскостью АВВг для правильной шестиугольной приз-

148 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
мы A...Fl9 все ребра которой равны 1.
Пусть Ог—центр верхнего основания, прямая ОгН
перпендикулярна А1В1. Прямая ВОг параллельна CDX. Искомый угол φ равен
углу НВОг. В прямоугольном треугольнике НВОг имеем ВОг = л/2,
ОгН=-^-. Следовательно, sin φ = -τ-.

Уровень А
149
Задачи
Уровень А
1. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой АВг и плоскостью
ABC.
2. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой ΑΌλ и плоскостью
ABC.
3. В кубе Α...Όι найдите угол между прямой CDl и плоскостью
ABC.
"ζ
S
S
S
\
S
S
β
л
1
S
S
S
S
S
S
si
/

150 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
4. В кубе Α...Όι найдите угол между прямой ВВг и плоскостью
ABC.
/
Ι *
Ι *
Ι *
Ι χ
£ _.
Λ
1
5. В кубе Α...ΌΧ найдите угол между прямой ΑΑλ и плоскостью
АХЪХСХ.
Dx п
А
Ι *
Ι χ
Ι s
fi
71
1
^
6. В кубе A...DX найдите угол между прямой ВАХ и плоскостью
Ат
/\
' Χ
χ Χ
χ \
π

Уровень А
151
7. В кубе Α.,.Όι найдите угол между прямой DAt и плоскостью
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
£
71
1
^
8. В кубе A...Dj найдите угол между прямой ВСХ и плоскостью
AjBjQ.
А,
А
/
D
*
в,
S
•
•
•
•
•
•
•
•
\s
9. В кубе A...DX найдите угол между прямой ВС] и плоскостью
AjB^j.
δι
Ζλ

152 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
10. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой АВ и плоскостью
ΑΌΌλ.
DA а
Αι
//
*
Βι
Й
/^
/
11. В кубе Λ..-Dj найдите угол между прямой ABj и плоскостью
12. В кубе A...DX найдите угол между прямой А1С1 и плоскостью
ADDi.
Q
Βι
£.

Уровень А
153
13. В кубе A...DX найдите угол между прямой CD^ и плоскостью
ADD!.
Dx_ r_
А;
//
+
ч
ч
ч
Р_
уЛ
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
S
14. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой DB и плоскостью
ΑΌΌλ.
15. В кубе A...DX найдите угол между прямой АВ и плоскостью
BCDlm
>*~^ ./1
>^ ш ч у^ 1
А,
А
/ ! ч βι
#i\
χ χ
χ Χ
χ Χ
* Χ
4
>
4
4
4
4

154 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
16. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой ААг и плоскостью
BCDX.
17. В кубе A...Dl найдите угол между прямой ССг и плоскостью
ВСВХ.
18. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой АВг и плоскостью
BCD^

Уровень А
155
19. В кубе A...D1 найдите угол между прямой ААг и плоскостью
АВСг.
//! Βι
>и
/J
20. В кубе Α...ΌΎ найдите угол между прямой ВС и плоскостью
АВСг.
Αι
/ί β>
/ в!
^Α
/J
Q
21. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой СВг и плоскостью
J>i
*ι
£>
7 ^'
/ ^

156 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
22. В кубе Λ..-Dj найдите угол между прямой АВ и плоскостью
ΒΌΌλ.
D[
1
\s
23. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой ВХСХ и плоскостью
24. В кубе A.-.Dj найдите угол между прямой АС и плоскостью
ΒΌΌλ.
D1

Уровень А
157
25. В правильном тетраэдре ABCD Ε — точка пересечения
медиан треугольника ABC. Найдите угол между прямой DE и плоскостью
ABC.
Ζλ
26. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 найдите угол
между прямой ССг и плоскостью ABC.
27. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямой АСг и плоскостью ABC.

158 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
28. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямой СВг и плоскостью ABC.
29. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 найдите угол
между прямой АС и плоскостью ВССг.
30. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямой SC и плоскостью ABC.

Уровень А
159
31. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямой АС и плоскостью SBD.
32. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол
между прямой SA и плоскостью ABC.
33. В правильной шестиугольной призме А...^ найдите угол
между прямой ВВг и плоскостью ABC.
Сг
F4
1
Ει
\ i
El _ _
С—
-J.
fR ■
I
D{
\
в

160 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
34. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой ВСг и плоскостью ABC.
35. В правильной шестиугольной призме A...Fj найдите угол
между прямой АС и плоскостью ВЕЕг.

Уровень В
161
Уровень В
1. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой АС и плоскостью
BCD!.
2. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой BD и плоскостью
BCD^
3. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой DAX и плоскостью
BCDX.

162 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
4. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой ΑΌλ и плоскостью
BCD^
5. В кубе Α...ΌΎ найдите угол между прямой АгСг и плоскостью
BCD^
6. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой ВСг и плоскостью
BCD^

Уровень В
163
7. В кубе Α.,.ϋχ найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью
ABC!.
S/\ в,
1 ; ' У
I 1 /
i 1 /
ι ι/
/ ]f
' /'' "
8. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой АС и плоскостью
АВСг.
ВЛ Q
А,
А
>г 1Х .*г 1\
/ :\ в,
1 '
/ ·
/ ι
/ 1
/ 1
/ |
/ ■
' D\
у*
1 у _ - -
~~J'^~-~~\у
9. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой АВХ и плоскостью
BDD^
Di

164 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
10. В кубе Α...ΌΎ найдите угол между прямой ВСг и плоскостью
BDD^
11. В кубе Α...Όι найдите угол между прямой САг и плоскостью
АВ^.
12. В кубе Α...Όλ найдите угол между прямой ΒΌλ и плоскостью
АСВг.
da a

Уровень В
165
13. В тетраэдре ABCD, все ребра которого равны 1, точка Ε —
середина ребра AD. Найдите угол между прямой AD и плоскостью ВСЕ.
14. В тетраэдре ABCD, все ребра которого равны 1, точка Ε —
середина ребра AD. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью ВСЕ.
15. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямой SA и плоскостью SBD.
S

166 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
16. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямой АВ и плоскостью SBD.
17. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, боковые ребра равны 2, SH — высота.
Найдите тангенс угла между прямой SH и плоскостью SBC.
18. В правильной шестиугольной призме А...РЪ все ребра которой
равны 1, найдите тангенс угла между прямой ВЕг и плоскостью ABC.

Уровень В
167
19. В правильной шестиугольной призме А...РЪ все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой ΒΌλ и плоскостью ABC.
20. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой АВ и плоскостью ВССг.
21. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой AF и плоскостью ВССг.
F1C
Г
FV
\
1
Ел
у, : в,
Е\
,-'
J "
i—ι
η
ι\
ρ;
\
\|
Б
с,

168 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
22. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой BF и плоскостью ВССХ.
23. В правильной шестиугольной призме А...РЪ все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой BE и плоскостью ВССг.
24. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой BD и плоскостью ВССХ.
'М

Уровень В
169
25. В правильной шестиугольной призме A...FX, все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой FBX и плоскостью ВССг.
26. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой АВ и плоскостью ΒΌΌλ.
27. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой ВАг и плоскостью ΒΌΌλ.

170 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
28. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой FB и плоскостью ΒΌΌ^
FH
V
λ
1
у,
t
Ε1
! в]
Ε\
~--.._
>
У
•
R
Ι
\
Γ,
Μ
с
29. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой AF и плоскостью ΒΌΌλ.
30. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой АВ и плоскостью ВЕЕг.
Ν Λ
Г1 '
Е\ _
- " ^
II *-" v
ί—у
■°1
Я
1 >
I
\
ς
с
FH

Уровень В
171
31. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой AD и плоскостью ВЕЕг.
32. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой ВВХ и плоскостью ВСЕг.
Е1
V
\
А
Лх
^ «* " \
Si
\
\
\
\
В
N
1
1
1
\0'
д
Q
33. В правильной шестиугольной призме A...Flf все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой BF и плоскостью ВСЕг.
Jb
ч
^•^"^ , \
^^"^^
*f^
\t
У
А
\
\
\Е
\
\
#1>
^ ^ ** \
■ „. Ч
И
\
^ 1
Ч '
\ 1
^
Ч
д
Q

172 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
34. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой ССг и плоскостью ΒΌΕλ.
35. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой АВ и плоскостью ΒΌΕλ.

Уровень С
173
Уровень С
1. В кубе Α...Όλ найдите синус угла между прямой ΒΌλ и
плоскостью ABC.
Di
У\\ в,
Г ι \
1 \
I \
1 \
| \
| \
ι х
23
''' ~ "\
уЛ
У
с.
2. В кубе Α...Όλ найдите косинус угла между прямой ΌΒλ и
плоскостью ΑΌΌλ.
AL
у^
D
Ι *
Ι *
β,
/
/
/
/
/
/
/
/
ν
уЛ
у
3. В кубе Α...Όλ найдите тангенс угла между прямой АСг и
плоскостью BCDX.
А,
А
\
\*.
ч
л
•
•
•
•
1 X
,D\ χ
' ' X
' ' X
\
t J
у*
^У^S
S
S
\
S
ч

174 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
4. В кубе Α...Όλ найдите тангенс угла между прямой ΌΒλ и
плоскостью АВСг.
Di
5. В кубе Α...Όλ найдите тангенс угла между прямой САг и
плоскостью ΒΌΌλ.
6. В кубе А.. .Dj найдите синус угла между прямой ВС и плоскостью
ABiD-L.
А,
ι ι /
1 1 /
Χ1/'
^/^
У
Q

Уровень С
175
7. В кубе Α...Όλ найдите синус угла между прямой ССг и
плоскостью AB1D1.
8. В кубе A...Dj найдите синус угла между прямой CD и
плоскостью ABlD1.
9. В кубе A...Dj найдите синус угла между прямой АС и
плоскостью AB1Dl.

176 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
10. В кубе Α...Όι найдите синус угла между прямой ВАг и
плоскостью AB1D1.
11. В кубе Α...Όι найдите синус угла между прямой СВг и
плоскостью AB1D1.
12. В кубе Α...Όλ найдите синус угла между прямой ΒΌλ и
плоскостью AB-J)^

Уровень С
177
13. В кубе A...DX найдите синус угла между прямой ΌΌλ и
плоскостью АСВг.
s' ! βι
\ s * — -
У *" — """ "**
^^
14. В кубе A..DX найдите синус угла между прямой A1D1 и
плоскостью АСВ1.
*>1
Αι
А^
./^ ! β]
У' χ — _ —
/ *
\ У ' — "
у * — ■—
1/^ — — ""
— *" ~^/^
Q
15. В кубе Α...Όλ найдите синус угла между прямой C{DX и
плоскостью АСВг.
А,
Д
s' ! βι
у^ ^,1 _ .. _ _
У' *" «. -
/X — — ""
// — —
νν- ^ — ""
- "" ~^^

178 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
16. В кубе Α...Όλ найдите синус угла между прямой ВАг и
плоскостью АС В г.
17. В кубе Α...Όλ найдите синус угла между прямой B1D1 и
плоскостью АСВг.
Al
S * ι — — ^S
/χ _- — I v^
— ■" " l^»^C
Q
-><?
18. В кубе A...DX найдите синус угла между прямой САХ и
плоскостью ACBV
DA
Αι
y' χ I — ■"" ""χ"*
/x — — "" I ^^
Q

Уровень С
179
19. В правильном тетраэдре ABCD найдите косинус угла между
прямой AD и плоскостью ABC.
Ώ
20. В правильном тетраэдре ABCD точка Ε — середина ребра АВ.
Найдите косинус угла между прямой DE и плоскостью ABC.
21. В правильном тетраэдре ABCD точка Ε — середина ребра CD.
Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью ABC.

180 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
22. В правильном тетраэдре ABCD Ε—точка пересечения медиан
треугольника BCD. Найдите синус угла между прямой АЕ и
плоскостью ABC.
Ώ
23. В правильной треугольной призме ABCAXBXC^ все ребра
которой равны 1, найдите синус угла между прямой ΒΑλ и плоскостью
ВССХ.
24. В правильной треугольной призме ABCA^^i, все ребра
которой равны 1, точка £ — середина ребра Β^λ. Найдите тангенс угла
между прямой АЕ и плоскостью ABC.
-А
^г I
Ai^— 'т^^В1

Уровень С
181
25. В правильной треугольной призме АВСА^В^Сх, все ребра
которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой ААг и плоскостью
26. В правильной треугольной призме ΑΒΟΑχΒχΟχ, все ребра
которой равны 1, найдите синус угла между прямой ΑχΒχ и плоскостью
АВлСг.
Si
27. В правильной треугольной призме ΑΒϋΑχΒχϋχ, все ребра
которой равны 1, найдите синус угла между прямой ВАг и плоскостью
ABxd.
JPi

182 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
28. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точка Ε — середина ребра SB. Найдите синус угла
между прямой АЕ и плоскостью SBD.
29. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямой АВ и плоскостью
SBC.
30. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите синус угла между прямой АС и плоскостью
SBC.
S

Уровень С
183
31. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точка Ε — середина ребра AD. Найдите косинус угла
между прямой SE и плоскостью SBC.
32. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, SE — высота. Найдите синус угла между прямой SE
и плоскостью SBC.
33. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
угла между прямой АВ и плоскостью SBC.

184 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
34. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
угла между прямой AF и плоскостью SBC.
35. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
угла между прямой BF и плоскостью SBC.
36. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус
угла между прямой SA и плоскостью SBC.

Уровень С
185
37. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус
угла между прямой SF и плоскостью SBC.
38. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите синус угла между прямой ВАг и плоскостью ВССг.
к
\
А
А
Ел
ч Ε
В
1^--'
В
>
'^ 1
1
1
д
Сг
*С
39. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите синус угла между прямой Α¥λ и плоскостью ВССг.
Ег
F,f
\д : в
1 Е'---
Ы
1^^
В
1
А
Сх
*с

186 6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
40. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите синус угла между прямой ВгЕ и плоскостью ВССг.
41. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите синус угла между прямой АВ и плоскостью ВСЕг.
42. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите синус угла между прямой ВСг и плоскостью ВСЕг.

Уровень С
187
43. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите синус угла между прямой ΒΌλ и плоскостью ВСЕг.
44. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите синус угла между прямой ВгЕ и плоскостью ВСЕг.
45. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямой FCi и плоскостью ВСЕг.

7. Угол между плоскостями в пространстве
В этом параграфе рассмотрены задачи на нахождение углов между
двумя плоскостями в пространстве. При этом используется методы
нахождения углов между пересекающимися прямыми,
тригонометрические функции углов треугольника, теорема косинусов и др. В ответах
будем указывать только численные значения величин углов без знака
градуса.
Общие сведения
Определение 1. Двугранным углом в пространстве называется
фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной
прямой.
Определение 2. Линейным углом двугранного угла называется
угол, образованный лучами с вершиной на граничной прямой,
стороны которого лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны
граничной прямой.
Величиной двугранного угла называется величина его линейного
угла.
Определение 3. Углом между двумя пересекающимися
плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных
этими плоскостями.
Для нахождения угла между пересекающимися плоскостями aw β
выбирают какую-нибудь точку С, принадлежащую линии с их
пересечения, и восстанавливают перпендикуляры а и Ъ к линии с, лежащие
в плоскостях а и β соответственно. Угол между прямыми а и Ъ будет
искомым углом между плоскостями an β.
ft, /L·
a
с с
Если линия пересечения плоскостей а и β, указанных в задаче,
не дана или находится вне данного рисунка, то для нахождения угла
между плоскостями а и β выбирают какие-нибудь плоскости а' и β'
соответственно параллельные α и /3, линия пересечения которых
расположена на рисунке. При этом одна из плоскостей а' или β' может

7. Угол между плоскостями в пространстве
189
совпадать соответственно с α или β. После этого находят угол между
плоскостями о! и β'
В качестве примера для правильной шестиугольной призмы Α...¥λ
найдем угол между плоскостями АВВХ и CDDX.
Плоскость СВВХ параллельна плоскости ВЕЕЪ следовательно, угол
между плоскостями АВВг и €ΌΌλ равен углу между плоскостями АВВг
и ВЕЕг. Прямая ВВг является линией пересечения этих плоскостей,
АВ и BE перпендикулярны ВВг. Таким образом, искомый угол равен
углу ABE и равен 60°.

190
7. Угол между плоскостями в пространстве
Задачи
Уровень А
1. В кубе Λ..-Dj найдите угол между плоскостями ABC и ADDX.
Αι
у^\
I
Ι ρ
л
1
2. В кубе A...Dj найдите угол между плоскостями ΑΌΌΎ и CDDlu
3. В кубе A...Dj найдите угол между плоскостями ВССг и CDD^
А
Q

Уровень А
191
4. В кубе Α...Όλ найдите угол между плоскостями ABC и ΒΌΌλ.
\
D
5. В кубе A...D1 найдите угол между плоскостями АССг и BDD1.
£>ι
А!
Д
*■ >.
и--
6. В кубе Α...Όλ нацдите угол между плоскостями ABC и ABjCj.

192
7. Угол между плоскостями в пространстве
7. В кубе Α...Όλ найдите угол между плоскостями АВ1С1 и ВССг.
Dr
*ι /
tiy.
8. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 найдите угол
между плоскостями ABC и АССг.
А В
9. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 найдите угол
между плоскостями АВВг и АССХ.
Ci
Ах
Si
ύΒ

Уровень А
193
10. В правильном тетраэдре ABCD точка Ε — середина ребра ВС.
Найдите угол между плоскостями ABC и ADE.
A^zz"
11. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD найдите угол
между плоскостями ABC и SBD.
12. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF найдите угол
между плоскостями ABC и SAD.

194
7. Угол между плоскостями в пространстве
13. В правильной шестиугольной призме A...Ft найдите угол
между плоскостями ABC и ВССг.
14. В правильной шестиугольной призме A...F1 найдите угол
между плоскостями А-уВ^С-у и AFFy.
К
,д
\Δι
Ε
в^
А4
А1
Q
в
15. В правильной шестиугольной призме A...FX найдите
двугранный угол, образованный гранями АВВуАу и AFF1A1.
Ε,
Д
\Δι.
К
\°i
Е\
D\
R

Уровень В
195
Уровень В
1. В кубе Α...Όι найдите угол между плоскостями АВСг и ВССг.
D, r
Αι
1 /
/
/
/
/
/
/ Ρ
' ''
Вг
ι
Л
./\
2. В кубе Α...Όλ найдите угол между плоскостями СВВХ и ВСВХ.
А,
А
"1
N
\ · ч
X 1 Ч
Z)\ -_
с j
/
ч
ч
ч
ч
ч
N
3. В кубе A...D1 найдите угол между плоскостями АВ1С1 и ВСВХ.
#1
Вг /
Oy

196
7. Угол между плоскостями в пространстве
4. В правильном тетраэдре ABCD точка Ε — середина ребра AD.
Найдите угол между плоскостями ACD и ВСЕ.
А --
„~~*С
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точка Ε — середина ребра SC. Найдите угол между
плоскостями ABC и BDE.
6. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF найдите угол
между плоскостями SAD и SBE.

Уровень В
197
7. В правильной шестиугольной призме A...FX найдите угол между
плоскостями AFFX и АССг.
8. В правильной шестиугольной призме A...FX найдите угол между
плоскостями АВВг и АЕЕг.
Ел
пА
1 ι
F J '
ту,
9. В правильной шестиугольной призме A...Fl найдите угол между
плоскостями АССг и АЕЕ1.

198
7. Угол между плоскостями в пространстве
10. В правильной шестиугольной призме А...Рг найдите угол
между плоскостями AFF^ и ВССЛ.
Е,
VAi
Ε
,Д
D\
Q
>с
11. В правильной шестиугольной призме A...FX найдите угол
между плоскостями AFFX и ΌΕΕλ.
12. В правильной шестиугольной призме A...FX найдите угол
между плоскостями AFFX и ΒΌΌλ.
Ει
Λ
\Αι ! В,
] ι
я!
L
•
s
в
I
I
^c

Уровень В
199
13. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ΒΌΕλ.
14. В правильной шестиугольной призме A...FX найдите угол
между плоскостями АССг и BFFX.
15. В правильной шестиугольной призме А...Рг найдите угол
между плоскостями ΑΌΌλ и BFFX.

200
7. Угол между плоскостями в пространстве
16. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ВСЕг.
17. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите угол между плоскостями ВСЕХ и ВССг.
В

Уровень С
201
Уровень С
1. В кубе Α...ΌΎ найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1
hBDC^
D1
2. В кубе A...D1 найдите тангенс угла между плоскостями ABC
D1
3. В кубе A...Dj найдите тангенс угла между плоскостями ВССг
Αχ
\ В
Ά

202
7. Угол между плоскостями в пространстве
4. В кубе Α...Ότ найдите тангенс угла между плоскостями ΑΌΌλ
nBDC^
5. В кубе Α...ΌΎ найдите тангенс угла между плоскостями АВСг
Dl "1Q
6. В кубе Α...Όλ найдите косинус угла между плоскостями ΒΌΑΎ
nBDC^

Уровень С
203
7. В кубе A...Dj найдите косинус угла между плоскостями ВА1С1
иАВгВг.
А,
А
<^-~^~^ ' ^х
X ' ' ' /
Χ ι ' ' /
X. /у^
' /ЙХ-_-
X ^ X
jr ^ х^
■/ ~~/
8. В кубе Α...ΌΎ найдите угол между плоскостями АВСг и BCD^
9. В кубе A...Dj найдите угол между плоскостями ВСВ± и АССг.
Οι
А,
N. ^ ^ 4. ^
Z)!jx- -
_Ж-£1 — ·. — —
' Χ. "" "
ч
ч
\
ч
k ■»» ч
■*· ^ ч
^г
iJC
А^-

204
7. Угол между плоскостями в пространстве
10. В кубе Α...ΌΎ найдите угол между плоскостями АСВг и BCD^
D,
Αχ
П
"J*»
A '- —
11. В тетраэдре ABCD, все ребра которого равны 1, найдите косинус
угла между плоскостями ABC и ACD.
В
12. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями ABC и SCD.
А
В

Уровень С
205
13. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями SAB и SCD.
д;.-
А '
В
14. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями SAC и SBC.
15. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите косинус двугранного угла, образованного
гранями SAD и SCD.
S
D1
В

206 7. Угол между плоскостями в пространстве
16. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
угла между плоскостями ABC и SEF.
17. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
угла между плоскостями SAF и SCD.
18. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
двугранного угла, образованного гранями SAB и SAF.

Уровень С
207
19. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
угла между плоскостями SAF и SBC.
20. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
угла между плоскостями SBD и SDF.
21. В правильной треугольной призме АВСА1В1СЪ все ребра
которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и ВСАг.

208 7. Угол между плоскостями в пространстве
22. В правильной треугольной призме АВСАгВгСъ все ребра
которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и АВгСг.
23. В правильной треугольной призме АВСАгВгСъ все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями ВСАг и АВгСг.
24. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и ΑΕΈΎ.
Wz
%
'£>
В

Уровень С
209
25. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и САгЕг.
А В
26. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ΒΡΕΎ.
Ел
^^—
Να ' : вл
1 '
/ 1
V Е-
п
г1
А В
27. В правильной шестиугольной призме A...Fi, все ребра которой
равны X найдите угол между плоскостями AFD^ и CDF^.
В

210
7. Угол между плоскостями в пространстве
28. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и AFE^
29. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и BFD^
30. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между плоскостями ΑΡΕΎ и СВЕг.
А
В

Уровень С
211
31. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между плоскостями ΑΈΕλ и ВСВг.
А
В

8. Объем фигур в пространстве
В этом параграфе рассмотрены задачи на вычисление объемов
фигур в пространстве. При этом используются формулы объемов
параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара, отношения
объемов подобных фигур и др.
Общие сведения
Объем параллелепипеда
Если ребро параллелепипеда равно с и образует с его гранью
площади S угол ψ, то объем V параллелепипеда выражается формулой
V = Scsmil>.
Объем призмы
Если боковое ребро призмы равно с и наклонено к плоскости
основания под углом φ, то объем V призмы вычисляется по формуле
V = S · с · sin φ, где S — площадь основания призмы.

8. Объем фигур в пространстве
213
Объем пирамиды
Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади ее
основания на высоту, т. е. имеет место формула V = ~ S · h.
s
Объем цилиндра
Объем цилиндра, высота которого равна h и радиус основания
равен R, вычисляется по формуле V = nR2h.
Объем конуса
Объем конуса равен одной третьей произведения площади его
основания на высоту. В частности, для конуса, в основании
которого — круг радиуса R, и высота которого равна h, имеет место формула
V=\nR2h.

214
8. Объем фигур в пространстве
Объем усеченного конуса, основания которого — крути радиусов R
иг, а высота равна h, выражается формулой V = ~ nh (R2 + R · г + г2).
Объем шара
4
Объем V шара радиуса R выражается формулой V = χ nR . Объем V
шарового сегмента высоты h, отсекаемого от шара радиуса R,
выражается формулой V = nh2 (R — ~ h J.
GL
Д

Уровень А
215
Задачи
Уровень А
1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12.
Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем
параллелепипеда.
ι •
I /
I /
I /
V
2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его
ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда,
перпендикулярной этому ребру.
ι /
/
I /
I /
/
/
V
3. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь
одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда,
перпендикулярное этой грани.
/
/
/
/
/
/
V

216
8. Объем фигур в пространстве
4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из
одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите
третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
5. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из
одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.
6. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить
в три раза?
b_V

Уровень А
217
7. Основанием прямой треугольной призмы служит
прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите
объем призмы.
8. Основанием прямой треугольной призмы служит
прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите
ее боковое ребро.
9. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны \/3.

218
8. Объем фигур в пространстве
10. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если
все его ребра увеличить в два раза?
11. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а
основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4.
12. Основанием пирамиды является прямоугольник со
сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Уровень А
219
13. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны
основания которой равны 1, а высота равна у/3.
14. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны
основания которой равны 2, а объем равен V3.
15. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту
увеличить в четыре раза?
S

220 8. Объем фигур в пространстве
16. Найдите объем цилиндра, площадь основания которого
равен 1, а образующая равна 6 и наклонена к плоскости основания под
углом 30°
17. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды,
опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5
раза. Чему равен объем детали?
18. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см.
На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее
перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого?

Уровень А
221
19. Найдите объем конуса, площадь основания которого равна 2,
а образующая равна 6 и наклонена к плоскости основания под
углом 30°
20. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту
уменьшить в 3 раза?
21. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус
основания увеличить в 1,5 раза?

222
8. Объем фигур в пространстве
22. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите
объем цилиндра, если объем конуса равен 10.
23. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите
объем конуса, если объем цилиндра равен 150.
24. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус
увеличить в три раза?

Уровень В
223
Уровень В
1. Диагональ куба равна λ/Ϊ2. Найдите его объем.
А~
Г ι \
1 \
1 \
1 \
| \
| \
' Х ~
-''
2. Объем куба равен 24л/3. Найдите его диагональ.
X X
S ' Х S
/ ' х /
ι \ Ι
ι \ I
ι \ I
M4J
3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из
одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6.
Найдите объем параллелепипеда.
\
\
1 \
1 \
I * \
ι \
• ^ - "
' х
V

224
8. Объем фигур в пространстве
4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из
одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите
его диагональ.
5. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится
на 19. Найдите ребро куба.
/О
6. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна у/6 и
образует утлы 30°, 45° и 60° с плоскостями граней параллелепипеда.
Найдите объем параллелепипеда.
/Л
X \
/ \
/ ' ч
/ | \
Г I \
I \
/ л- -
' ч
' ч
V

Уровень В
225
7. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым
углом 60° Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью
угол в 60° и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.
8. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра,
радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем
параллелепипеда.
9. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра,
радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 8.
Найдите высоту цилиндра.

226
8. Объем фигур в пространстве
10. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы
радиуса 2. Найдите его объем.
11. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около
сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.
12. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем
которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому
ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Уровень В
227
13. Через среднюю линию основания треугольной призмы
проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной
треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.
14. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат
правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2л/3
и наклонены к плоскости основания под углом 30°
15. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6,
боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

228 8. Объем фигур в пространстве
16. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12,
объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
17. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая
грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые
грани наклонены к плоскости основания под утлом 60°. Высота
пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.
18. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно
перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.
S
А
С

Уровень В
229
19. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды
равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.
20. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона
основания равна 1. Найдите боковое ребро.
21. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды
равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45° Найдите
объем пирамиды.

230
8. Объем фигур в пространстве
22. Объем параллелепипеда Α...Όλ равен 12. Найдите объем
треугольной пирамиды ВгАВС.
23. Объем куба Α...Όλ равен 12. Точки Е, F, Ег, Fx —середины
ребер соответственно ВС, CD, ВгС1} ClDl. Найдите объем треугольной
призмы CEFCiE^.
Dx а q
А,
А
D
/
s
/
S
S
с
k/l
..А.
N
'
»
N >
η
у
/
/η
/Ej
h
24. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной
пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр
куба.

Уровень В
231
25. От призмы ABCAlBlCl, объем которой равен 6, отсечена
треугольная пирамида СгАВС. Найдите объем оставшейся части.
26. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью
правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем
шестиугольной пирамиды.
SA
27. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD
равен 12. Точка Ε — середина ребра SB. Найдите объем треугольной
пирамиды ЕАВС.
S

232
8. Объем фигур в пространстве
28. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена
треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину
пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной
треугольной пирамиды.
S
29. Объем треугольной пирамиды SABC равен 15. Плоскость
проходит через сторону АВ основания этой пирамиды и пересекает
противоположное боковое ребро в точке D, делящей ребро SC в отношении
1:2, считая от вершины S. Найдите объем пирамиды DABC.
S
30. Найдите объем пространственного креста, изображенного на
рисунке и составленного из единичных кубов.

Уровень В
233
31. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая
в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки
к объему первой.
32. Объем конуса равен 12. Параллельно основанию конуса
проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите объем отсеченного
конуса.
33. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его
объем, деленный на π.

234
8. Объем фигур в пространстве
34. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине
осевого сечения равен 90° Вычислите объем конуса, деленный на π.
35. Конус получается при вращении равнобедренного
прямоугольного треугольника ABC вокруг катета, равного 6. Найдите его объем,
деленный на π.
36. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды
со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный
на π.

Уровень В
235
37. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной
четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту
пирамиду?
38. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара,
объем которого равен сумме их объемов.
39. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара,
деленный на π.

236 8. Объем фигур в пространстве
40. Около куба с ребром \/3 описан шар. Найдите объем этого
шара, деленный на π.

Уровень С
237
Уровень С
1. Основание прямой призмы — ромб, площадь которого равна 3.
Площади диагональных сечений равны 8 и 12. Найдите объем
призмы.
2. Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда
равны 2, 3, 6. Найдите объем параллелепипеда.
3. В параллелепипеде две грани имеют площади 4 и 6, их общее
ребро равно 2, и они образуют между собой двугранный угол 30°
Найдите объем параллелепипеда.

238
8. Объем фигур в пространстве
4. В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых
граней равна 12, а расстояние от нее до противоположного ребра
равно 3. Найдите объем призмы.
5. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны
и имеют общее ребро, равное 2. Площади этих граней равны 4 и 6.
Найдите объем призмы.
6. От куба A...Dl} ребра которого равны 3, отсечены четыре
треугольные призмы плоскостями, которые проходят через середины
смежных сторон грани ABCD параллельно ребру ААг. Найдите объем
оставшейся части.

Уровень С
239
7. Объем правильной шестиугольной призмы равен 12. Найдите
объем призмы, вершинами оснований которой являются середины
сторон оснований данной призмы.
8. Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной
около цилиндра, радиус основания и высота которого равны \/3.
9. Найдите объем правильной треугольной призмы, вписанной
в цилиндр, радиус основания и высота которого равны 2\/3.
L
ч
* —.^. *

240
8. Объем фигур в пространстве
10. Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной
около сферы, радиус которой равен \/3.
11. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, описанной
около цилиндра, радиус основания и высота которого равны \/3.
12. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, вписанной
в цилиндр, радиус основания и высота которого равны \/3.

Уровень С
241
13. Найдите объем правильной шестиугольной призмы,
описанной около сферы, радиус которой равен \/3.
14. В куб с ребром 6 вписан правильный тетраэдр таким образом,
что его вершины совпадают с четырьмя вершинами куба. Найдите
объем тетраэдра.
15. Одно ребро тетраэдра равно 3. Все остальные ребра равны 2.
Найдите объем тетраэдра.

242
8. Объем фигур в пространстве
16. Развертка треугольной пирамиды представляет собой квадрат
со стороной 6. Найдите объем этой пирамиды.
17. Два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны и
равны 3 и 4. Расстояние между ними равно 2. Найдите объем
тетраэдра.
18. Единичный тетраэдр ABCD повернут на 60° вокруг высоты ΌΌΎ.
Найдите объем общей части исходного тетраэдра и повернутого.

Уровень С
243
19. Два правильных единичных тетраэдра имеют общую высоту.
Вершина одного из них лежит в центре основания другого и
наоборот. Стороны оснований тетраэдров попарно параллельны. Найдите
объем общей части этих тетраэдров.
20. Единичный тетраэдр ABCD повернут на 90° вокруг прямой EF,
соединяющего середины двух противоположных ребер. Найдите
объем общей части исходного тетраэдра и повернутого.
21. От четырехугольной пирамиды, объем которой равен 12,
отсечены четыре треугольные пирамиды плоскостями, проходящими
через вершину пирамиды и середины смежных сторон основания.
Найдите объем оставшейся части пирамиды.

244
8. Объем фигур в пространстве
22. Центры граней куба, ребро которого равно 6, служат
вершинами октаэдра. Найдите его объем.
23. Найдите объем куба, вписанного в октаэдр, ребра которого
равны 3.
24. В каждой грани куба с ребром 6 проделано сквозное
квадратное отверстие со стороной 2. Найдите объем оставшейся части.
/
Δ /
/1
V
/
/

Уровень С
245
25. Через каждое ребро единичного куба, перпендикулярно
плоскости, проходящей через это ребро и центр куба, проведена
плоскость. Найдите объем многогранника, ограниченного этими
плоскостями.
VV
26. Через каждое ребро единичного тетраэдра параллельно
противоположному ребру проведена плоскость. Найдите объем
многогранника, ограниченного этими плоскостями.
27. Через каждую вершину тетраэдра, объем которого равен 1,
параллельно противоположной грани проведена плоскость. Найдите
объем многогранника, ограниченного этими плоскостями.

246
8. Объем фигур в пространстве
28. В основании прямой призмы лежит правильный треугольник
со стороной 4. Боковые ребра призмы равны 6. Найдите объем
цилиндра, вписанного в данную призму.
29. В основании прямой призмы лежит правильный треугольник
со стороной 2. Боковые ребра призмы равны 6. Найдите объем
цилиндра, описанного около этой призмы.
N
^ - -Ξ- -^ - — ^
■— —^
30. Во сколько раз объем цилиндра, описанного около правильной
треугольной призмы, больше объема цилиндра, вписанного в эту же
призму?
К
Ч
<^ | '
ч
N

Уровень С
247
31. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 1.
Боковые ребра равны 4. Найдите объем цилиндра, описанного около
этой призмы.
32. Во сколько раз объем цилиндра, вписанного в правильную
четырехугольную призму, больше объема цилиндра, описанного около
этой же призмы?
33. В правильную шестиугольную призму со стороной основания 1
и боковым ребром 6 вписан цилиндр. Найдите объем этого цилиндра.

248
8. Объем фигур в пространстве
34. Около правильной шестиугольной призмы со стороной
основания 1 описан цилиндр. Боковые ребра призмы равны 6. Найдите
объем этого цилиндра.
35. Найдите объем цилиндра, описанного около шара, объем
которого равен 1.
36. Разверткой боковой поверхности конуса служит полукруг
радиуса 1. Найдите объем конуса.

Уровень С
249
37. Объем шара равен 12. Найдите объем конуса, основанием
которого является большой круг данного шара, а высотой — радиус,
перпендикулярный плоскости этого круга.
38. Радиус основания конуса равен 1. Его высота, равная 3,
разделена на три равные части, и через точки деления параллельно
основанию проведены плоскости. Найдите объем средней части конуса.
39. Шар, радиус которого равен 5, пересечен плоскостью,
проходящей на расстоянии 2 от центра шара. Найдите объем отсеченного
шарового сегмента.

9. Площадь поверхности
В этом параграфе рассмотрены задачи на вычисление площадей
поверхностей фигур в пространстве. При этом используются
формулы площадей поверхностей многогранников, цилиндра, конуса, шара,
отношения площадей поверхностей подобных фигур и др.
Общие сведения
Площадью поверхности многогранника называется сумма
площадей, входящих в эту поверхность многоугольников.
Площадь поверхности цилиндра, радиус основания которого
равен R, а образующая — I, выражается формулой S = 2яЯ(Я + О·
Площадь поверхности конуса, радиус основания которого равен R,
а образующая — ί, выражается формулой S = яЯ(Я + I).
Площадь поверхности S шара радиуса R выражается формулой
S = 4nR2.
Площадь боковой поверхности шарового сегмента, радиуса R
и высотой ft, выражается формулой S = 2nRh.

Уровень А
251
Задачи
Уровень А
1. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной
вершины, равны 1, 2, 3. Найдите площадь его поверхности.
/
/
/
/
/
L·
2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из
одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого
параллелепипеда равна 52. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
3. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его
ребро увеличить в три раза?
п-7\
• /
/ /
I • /
I • /
\с ν

252
9. Площадь поверхности
4. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного
тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
5. Найдите площадь боковой поверхности правильной
шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 3, а высота — 6.
6. Основанием прямой треугольной призмы служит
прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите
площадь ее поверхности.

Уровень А
253
7. Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2.
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
8. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая
равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
9. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности
конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?

254 9. Площадь поверхности
10. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности
конуса, если радиус его основания уменьшить в 1,5 раза?
11. Площадь большого круга шара равна 1. Найдите площадь
поверхности шара.
12. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если его
радиус увеличить в два раза?

Уровень В
255
Уровень В
1. Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.
v_y
2. Площадь поверхности куба равна 8. Найдите его диагональ.
Ь_У
3. Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.
V V

256
9. Площадь поверхности
4. Объем куба равен 27. Найдите площадь его поверхности.
5. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из
одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6.
Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
/V
/ ч
/ ' ч
/ | \
Г ι \
ι \
/ ■* - -
/ ч
L·
6. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из
одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда
равна 16. Найдите его диагональ.
/Л
s \
/ \
/ ' ч
/ | \
Г ι \
ι \
/ л- -
' ч
--'

Уровень В
257
7. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то площадь его
поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба.
8. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из
одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите
площадь его поверхности.
ι •
9. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании
которой лежит ромб с диагоналями, равными 3 и 4, и боковым ребром,
равным 5.
ή~7\
;N._. J.-J
-' -:<: \/

258
9. Площадь поверхности
10. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями,
равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое
ребро этой призмы.
11. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы,
если стороны ее основания равны 3, а площадь поверхности равна 66.
А
/
/
/
/
/
12. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их
общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8.
Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Уровень В
259
13. Основанием прямой треугольной призмы служит
прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288.
Найдите высоту призмы.
*■
14. Через среднюю линию основания треугольной призмы,
площадь боковой поверхности которой равна 12, проведена плоскость,
параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой
поверхности отсеченной треугольной призмы.
15. Через среднюю линию основания треугольной призмы
проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой
поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь
боковой поверхности исходной призмы.

260
9. Площадь поверхности
16. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды
равны 6, боковые ребра равны 5. Найдите площадь поверхности этой
пирамиды.
17. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной
пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.
18. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды
равны 6, боковые ребра равны 5. Найдите площадь боковой поверхности
этой пирамиды.

Уровень В
261
19. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если
все его ребра увеличить в 3 раза?
20. Найдите площадь поверхности пространственного креста,
изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
/
fL
ζ
/
/
71
/
/
L
21. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь
его поверхности, деленную на π.

262
9. Площадь поверхности
22. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше
площади основания. Найдите угол между образующей конуса и
плоскостью основания.
23. Площадь поверхности конуса равна 12. Параллельно
основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите
площадь поверхности отсеченного конуса.
24. Объем шара равен 36π. Найдите площадь его поверхности,
деленную на π.

Уровень В
263
25. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько
раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности
второго?
26. Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь
поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

264
9. Площадь поверхности
Уровень С
1. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра,
радиус основания и высота которого равны 2. Найдите площадь
боковой поверхности призмы.
2. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра,
радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности
призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.
3. Найдите площадь боковой поверхности правильной
треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого
равен \/3, а высота равна 3.

Уровень С
2U5
4. Найдите площадь боковой поверхности правильной
треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен
\/3, а высота равна 3.
5. Найдите площадь боковой поверхности правильной
шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания
которого равен \/3, а высота равна 3.
6. Найдите площадь боковой поверхности правильной
шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания и высота
которого равны 3.

266
9. Площадь поверхности
7. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 2.
Найдите его площадь поверхности.
8. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда,
описанного около сферы, равна 54. Найдите радиус сферы.
9. Площадь осевого сечения цилиндра равна 1. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.

Уровень С
267
10. Площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в
правильную треугольную призму, равна 6. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра, описанного около этой призмы.
11. Высота правильного тетраэдра равна 4. Найдите площадь
поверхности шара, описанного около этого тетраэдра.
12. Площадь поверхности шара, описанного около правильного
тетраэдра, равна 9. Найдите площадь поверхности шара, вписанного
в этот тетраэдр.

268
9. Площадь поверхности
13. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого
равна 9. Найдите площадь поверхности шара.
14. Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого
равны 2, 4 и 6, описан шар. Найдите площадь его поверхности.
15. Во сколько раз площадь поверхности шара, описанного около
куба, больше площади поверхности шара, вписанного в этот же куб?

Ответы
1. Расстояние между двумя точками в пространстве
1. 3. 2. 1. 3. 7. 4. 12. 5. 5. 6. 8. 7. 5. 8. 1. 9. 2,5. 10. 1. И. 2.
12. 2. 13. 2. 14. 2. 15. г/3. 16. г/3. 17. л/3. 18. г/3. 19. 2. 20. 2.
21. 2. 22. 3. 23. 3. 24. 3. 25. 2. 26. 2. 27. 2. 28. 5. 29. 5. 30. 5.
2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
Уровень А
1. 1. 2. 1. 3. 1. 4. 1. 5. 1. 6. 1. 7. 1. 8. 1. 9. 1. 10. 1. И. 1. 12. 1.
13. 1. 14. 1. 15. 1. 16. 1. 17. 1.
Уровень В
1. 1. 2. 1. 3. 1. 4. 2. 5. 2. 6. 2. 7. 3. 8. 3. 9. 3. 10. 1. И. 1.
12. 3,5. 13. 1,5. 14. 1,5. 15. 1,5. 16. 1,5. 17. 1. 18. 1. 19. 1. 20. 12.
21. 1,5. 22. 3. 23. 1. 24. 1. 25. 1,5. 26. 3. 27. 3. 28. 2. 29. 2. 30. 2.
31. 1. 32. 1. 33. 0,5. 34. 1,5. 35. 1,5. 36. 1,5. 37. 1. 38. 1.
ι- л/7
9. л/3. 10. Ц-.
17. ^. 18. л/3. 1
25.ν|2. 26.ψ
4 4
3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
Уровень А
1. 1. 2. 1. 3. 1. 4. 1. 5. 1. 6. 1. 7. 1.
Уровень В
1. 1. 2. 1. 3. 1. 4. 0,5. 5. 1,5. 6. 1. 7. 1. 8. 0,5. 9. 3. 10. 3. И. 1,5.
12. 1,5. 13. 1,5. 14. 1,5. 15. 0,5. 16. 1,5. 17. 1. 18. 1.
Уровень С
1Лп2Л^ЛАЛ-Л.ч/б^г/21г/21
1в 3 ' * 3 ' ό- 3 ' 4· 3 · *" 3 · °· 3 ' Λ 7 · *' 7 ' У" 7 "
10. ^. 11. %. 12. 0,5. 13. УЗ. 14. ^. 15. ^. 16. ψ. 17. ^?.
3.
11
19.
ч/б
3 '
* 2 '
, г/3.
27.
4.
12,
20.
г/30
5 '
Уровень С
г/14
4 '
. г/2.
v7
4
28.
5.
13.
21.
г/30
5 '
г/13
2 '
г/2.
v7
4 ' ■
. 29.
6. г/3.
*.f
«о 2г/5
22. -^-.
5
^/зо ол
——. 30
4
-τ ^Ϊ5
7. ——·
4
в.£
«о 2г/5
23. -=-.
5
г/30
* 4 '
8.
16.
24.
г/39
4
ЛЗ
2
г/14
4

270
Ответы
18. ^. 19. f. 20. ψ. 21. ψ. 22. ^f. 23. ψ. 24. £.
25. f. 26. ^. 27. ^. 28. *£*. 29. ^. 30. f. 31. ψ. 32. ^1.
33. ^. 34. ψ. 35. ^. 36. ψ. 37. ^. 38. *£. 39. ψ.
4. Расстояние между прямыми в пространстве
Уровень А
1. 1. 2. 1. 3. 1. 4. 1. 5. 1. 6. 1. 7. 1. 8. 1. 9. 1. 10. I И. 1. 12. 1.
13. 1. 14. 1. 15. 1. 16. 1. 17. 1. 18. 1. 19. 1. 20. 1.
Уровень В
1. 1. 2. 1. 3. 1. 4. 1. 5. 2. 6. 1. 7. 1. 8. 1. 9. 1. 10. 1. 11. 3. 12. 1.
13. 1. 14. I 15. 1. 16. 1. 17. 1. 18. 1. 19. 3. 20. 3. 21. 2. 22. 3.
23. 3. 24. 1.
Уровень С
,. Δ. г. Л з. f 4. f. 5. q. β. ^. 7. f. 8. о* 9. f. ,0. f
л/3 2Л5 Л 2Л5 Л ЗЛ 2^/39
η· Τ· 12· "Τ"· 13· Τ· 14· "1~· 15· Τ· 16· "Γ· 17· "ΊΓ·
.8. »£. ,9. Л. л Л. 21. Л а Л л Л м. Л1. и. Л.
26. ^. 27. Л. 28. ^. 29. л/3. 30. Л. 31. Ц. 32. ^. 33. ^.
34. л/3. 35. л/3. 36. л/3. 37. л/3. 38. ^. 39. γ-. 40. 1. 41. 1. 42. 1,5.
43. 1,5. 44. 1. 45. 1. 46. γ. 47. γ-. 48. γ-. 49. γ-. 50. л/3.
51. ψ. 52. 2^. 53. *£. 54. ψ. 55. ^. 56. ψ. 57. ^. 58. 1.
5. Угол между прямыми в пространстве
Уровень А
I. 90. 2. 90. 3. 90. 4. 90. 5. 45. 6. 45. 7. 45. 8. 45. 9. 90. 10. 90.
II. 60. 12. 60. 13. 60. 14. 90. 15. 45. 16. 45. 17. 60. 18. 60. 19. 60.
20. 60. 21. 90. 22. 45. 23. 45. 24. 90. 25. 30. 26. 60. 27. 90. 28. 90.
29. 60. 30. 60.
Уровень В
I. 90. 2. 90. 3. 60. 4. 60. 5. 60. 6. 60. 7. 90. 8. 90. 9. 90. 10. 90.
II. 90. 12. 90. 13. 90. 14. 90. 15. 90. 16. 90. 17. 90. 18. 90. 19. 90.
20. 90. 21. 90. 22. 90. 23. 90. 24. 90. 25. 90. 26. 30. 27. 90. 28. 90.
29. 0,75. 30. 90. 31. 45. 32. 30. 33. 90. 34. 2. 35. 60. 36. 60. 37. 0,5.
38. 90. 39. 90. 40. 2. 41. 60. 42. 90. 43. 30. 44. 30. 45. 90. 46. 0,25. 47. 60.

Ответы
271
I. £. 2. П. 3. 1. 4. 1.
II. Л. 12. ^. 13. -^.
19. ^. 20. ^. 21. |.
27. |. 28. f. 29. 1.
Уровень С
5. f β. Λ 7. |. 8.
14. |. 15. 0,75. 16. Ц-
6 4
22. 1. 23. А 24. ^.
4 4 10
• г,. Ι. ιβ. £
2, f 26. |.
6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
Уровень А
I. 45. 2. 45. 3. 45. 4. 90. 5. 90. 6. 45. 7. 45. 8. 45. 9. 45. 10. 90.
II. 45. 12. 45. 13. 45. 14. 45. 15. 45. 16. 45. 17. 45. 18. 90. 19. 45.
20. 45. 21. 90. 22. 45. 23. 45. 24. 90. 25. 90. 26. 90. 27. 45. 28. 45.
29. 60. 30. 45. 31. 90. 32. 60. 33. 90. 34. 45. 35. 90.
Уровень В
I. 30. 2. 30. 3. 30. 4. 30. 5. 30. 6. 30. 7. 30. 8. 30. 9. 30. 10. 30.
II. 90. 12. 90. 13. 90. 14. 30. 15. 45. 16. 45. 17. 0,5. 18. 0,5. 19. 30.
20. 60. 21. 60. 22. 90. 23. 60. 24. 30. 25. 60. 26. 90. 27. 45. 28. 60.
29. 30. 30. 60. 31. 60. 32. 60. 33. 30. 34. 45. 35. 45.
Уровень С
2. ^. 3. у/2. 4. \/2. 5. у/2. 6. -
1, * 13. f. 14. *
20. i. 21. f. 22. |.
28. ψ. 29. f. 30. f
Л5 Л5 ^5
36· ib-· 37· —· 38· τ
44 ^ 45 ?
7. Угол между плоскостями в пространстве
Уровень А
I. 90. 2. 90. 3. 90. 4. 90. 5. 90. 6. 45. 7. 45. 8. 90. 9. 60. 10. 90.
II. 90. 12. 90. 13. 90. 14. 90. 15. 120.
Уровень В
I. 90. 2. 90. 3. 90. 4. 90. 5. 45. 6. 60. 7. 90. 8. 90. 9. 60. 10. 60.
II. 60. 12. 30. 13. 45. 14. 60. 15. 90. 16. 30. 17. 60.
1.
К).
18.
Ж
34.
42.
л/3
з ·
л/6
3
л/6
6
л/2Т
7 '
Л5
5
л/6
4 '
Л о
'· з
II.
ΙΜ.
27.
3S.
43.
о
л/6
3 '
л/3
3
л/42
7
л/S
5
л/3
loo
л/3 л/3 л/3
Τ' 7* Τ- 8· з *
.г- \/3 ^ л/6
15. -V- 16. -=-.
3 3
оо V^ 0„ 2л/3
23. —. 24. -г-.
4 3
3 0„ 1 ол л/3
-. 31. -. 32. —.
3 3
ол л/6 лл л/15
• 39. т. 40. —.
9.
17.
25.
33.
41.
л/6
3
л/б
3
Л
2
л/15
5
л/3
4

Уровень С
I. г/2. 2. г/2. 3. г/2. 4. л/2. 5. ^у. 6. |. 7. |. 8. 90. 9. 60. 10. 90.
II. |. 12. ^. 13. |. 14. г/2. 15. -|. 16. ^. 17. 0,6. 18. -0,6.
19. 0,2. 20. ^. 21. ^2. 22. ^р. 23. i. 24. 2. 25. |. 26. 45.
27. 60. 28. pp. 29. |. 30. \. 31. ±.
8. Объем фигур в пространстве
Уровень А
I. 48. 2. 8. 3. 5. 4. 4. 5. 6. 6. 27. 7. 120. 8. 4. 9. 4,5. 10. 8.
II. 24. 12. 4. 13. 0,25. 14. 3. 15. 4. 16. 3. 17. 3. 18. 2. 19. 2. 20. 3.
21. 2,25. 22. 30. 23. 50. 24. 27.
Уровень В
I. 8. 2. 6. 3. 32. 4. 7. 5. 2. 6. 4,5. 7. 1,5. 8. 32. 9. 2. 10. 64.
II. 3. 12. 8. 13. 20. 14. 18. 15. 256. 16. 13. 17. 48. 18. 4,5. 19. 12.
20. 7. 21. 48. 22. 2. 23. 1,5. 24. 2. 25. 4. 26. 6. 27. 3. 28. 3.
29. 10. 30. 7. 31. 1,125. 32. 1,5. 33. 128. 34. 9. 35. 72. 36. 16. 37. 2.
38. 12. 39. 4,5. 40. 4,5.
Уровень С
I. 12. 2. 6. 3. 6. 4. 18. 5. 6. 6. 13,5. 7. 9. 8. 27. 9. 54. 10. 54.
II. 18. 12. 13,5. 13. 36. 14. 72. 15. ^. 16. 9. 17. 4. 18. ^|. 19. ^.
ζ Ιο 4ο
20. -^f. 21. 6. 22. 36. 23. 2 г/2. 24. 160. 25. 2. 26. ^. 27. 27.
24 4
28. 8π. 29. 8π. 30. 4. 31. 2π. 32. 2. 33. γ. 34. 6π. 35. 1,5. 36. ^.
37. 3. 38. Щ. 39. 36π.
9. Площадь поверхности
Уровень А
1. 22. 2. 2. 3. 9. 4. 4. 5. 108. 6. 288. 7. 6. 8. 3. 9. 3. 10. 1,5.
И. 4. 12. 4.
Уровень В
1. 2. 2. 2. 3. 8. 4. 54. 5. 64. 6. 3. 7. 2. 8. 22. 9. 62. 10. 10. 11. 4.
12. 240. 13. 10. 14. 6. 15. 16. 16. 84. 17. 96. 18. 72. 19. 9. 20. 30.
21. 144. 22. 60. 23. 3. 24. 36. 25. 9. 26. 10.
Уровень С
I. 32. 2. 3. 3. 54. 4. 27. 5. 36. 6. 54. 7. 96. 8. 1,5. 9. π. 10. 12.
II. 36π. 12. 1. 13. 6. 14. 56π. 15. 3.