HIGHER EDUCATION PRESS

Vasily E. Tarasov
Fractional Dynamics
Applications of Fractional Calculus to
Dynamics of Particles, Fields and Media
•■if Springer
НЮНЕЯ EDUCATION PRESS BBJNG — Г О

В.Е.Тарасов
Модели теоретической физики
с интегро-дифференцированием
дробного порядка
HIGHER EDUCATION PRESS
Москва ♦ Ижевск
2011

УДК 53:51 + 530.1
ББК 22.31 + 22.311
Т191
Интернет-магазин
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru
технологии
Тарасов В. Е.
Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного
порядка. — М.-Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований,
В книге излагаются основные физические концепции и математические
методы одного из современных направлений теоретической физики, называемого
дробной динамикой. В дробной динамике для описания физических систем, обладающих
такими свойствами, как степенная нелокальность, долговременная память и фрак-
тальность, используются производные и интегралы дробных порядков. На русском
языке большинство теорий и моделей, приведенных в книге, излагаются впервые.
Данная книга является переработанным переводом с английского языка монографии
«Fractional Dynamics» («Дробная динамика»), изданной в 2010 году двумя
издательствами: «Шпрингер» (Springer, Берлин, Германия) и «Высшее образование» (Higher
Education Press, Пекин, Китай).
Данная книга может быть полезной для студентов, аспирантов и
научных сотрудников, работающих в различных областях физики, механики и
прикладной математики, которым интересно познакомиться с применением интегро-
дифференциальных уравнений дробного порядка, дробных производных и
интегралов к описанию физических систем полей и частиц, сложных сред и процессов.
Изложение в книге является замкнутым, что позволяет ее использовать без
предварительного изучения материалов по дробному математическому анализу и теории
фракталов.
На обложке использована компьютерная модификация рисунка,
созданного Тарасовой Валентиной Васильевной © 2005
© В.Е.Тарасов, 2011
© Ижевский институт компьютерных исследований, 2011
© Higher Education Press, P. R. China, 2011
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
2011.-568 c.
ISBN 978-5-4344-0013-8
ББК 22.31 + 22.311

Оглавление
Предисловие 13
ЧАСТЬ I. ДРОБНО-ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
ФРАКТАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 17
Глава 1. Фрактальные множества 19
1.1. Введение 19
1.2. Метрическое и измеримое пространства 20
1.3. Мера Хаусдорфа 22
1.4. Размерность Хаусдорфа и фракталы 27
1.5. Клеточная размерность 30
1.6. Функции и интегралы на фракталах 33
1.7. Свойства интеграла на фрактале 36
1.8. Многократное интегрирование на фрактале 37
1.9. Интегрирование в пространстве с нецелой размерностью . . 38
1.10. Заключение 41
Глава 2. Дробно-интегральная модель фрактальных сред . ... 43
2.1. Введение 43
2.2. Дробные интегралы Римана-Лиувилля 45
2.3. Дробные интегралы Лиувилля 47
2.4. Дробный интеграл Рисса 49
2.5. Фрактальная массовая размерность 51
2.6. Простейшие модели фрактальных распределений 52
2.7. Фрактальное распределение массы 56
2.8. Плотность состояний в евклидовом пространстве 58
2.9. Интеграл дробного порядка и мера на действительной оси . 60
2.10. Дробное интегрирование и масса на действительной оси . . 63
2.11. Масса фрактальной среды 66
2.12. Электрический заряд фрактального распределения 69
2.13. Вероятность во фрактальных средах 71

6 Оглавление
2.14. Фрактальное распределение частиц 73
2.15. Заключение 77
Глава 3. Гидродинамика фрактальных сред 78
3.1. Введение 78
3.2. Закон сохранения массы 79
3.3. Полная производная по времени дробного интеграла .... 81
3.4. Уравнение неразрывности для фрактальной среды 84
3.5. Дробно-интегральное уравнение закона сохранения импульса 86
3.6. Дифференциальное уравнение закона сохранения импульса . 87
3.7. Дробно-интегральное уравнение закона сохранения энергии 88
3.8. Дифференциальное уравнение закона сохранения энергии 90
3.9. Уравнения Эйлера для фрактальной среды 92
3.10. Уравнения Навье-Стокса для фрактальной среды 94
3.11. Уравнение равновесия для фрактальной среды 96
3.12. Интеграл Бернулли для фрактальной среды 97
3.13. Звуковые волны во фрактальной среде 99
3.14. Одномерное волновое уравнение для фрактальной среды . . 100
3.15. Заключение 102
Глава 4. Динамика фрактальных твердых тел 104
4.1. Введение 104
4.2. Уравнения для моментов инерции фрактального твердого тела 106
4.3. Момент инерции фрактального твердотельного шара .... 108
4.4. Момент инерции фрактального твердотельного цилиндра ..111
4.5. Уравнение движения фрактального твердого тела 114
4.6. Маятник Максвелла из фрактального материала 115
4.7. Фрактальное тело, скатывающееся по наклонной плоскости 117
4.8. Заключение 119
Глава 5. Электродинамика фрактальных распределений зарядов
и полей 120
5.1. Введение 120
5.2. Электрический заряд фрактального распределения 121
5.3. Электрический ток во фрактальном распределении 124
5.4. Теорема Гаусса для фрактального распределения 125
5.5. Теорема Стокса для фрактального распределения 126
5.6. Закон сохранения заряда для фрактального распределения . 127
5.7. Законы Кулона и Био-Савара для фрактального распределения 128
5.8. Закон Гаусса для фрактального распределения 130

Оглавление
7
5.9. Закон Ампера для фрактального распределения 131
5.10. Уравнения Максвелла для фрактального распределения ... 133
5.11. Фрактальное распределение как эффективная среда 135
5.12. Мультипольное разложение для фрактального распределения 137
5.13. Дипольный момент фрактального распределения 138
5.14. Квадрупольный момент фрактального распределения .... 141
5.15. Магаитогидродинамика фрактального распределения .... 144
5.16. Заключение 149
Глава 6. Принцип стационарности действия для фрактальных
сред 150
6.1. Введение 150
6.2. Функционал свободной энергии для фрактальных сред ... 151
6.3. Уравнение Гинзбурга-Ландау из функционала свободной
энергии 152
6.4. Получение уравнения с дробными производными 153
6.5. Заключение 156
Глава 7. Уравнения Чепмена-Колмогорова и Фоккера-Планка
для фрактальных сред 158
7.1. Введение 158
7.2. Интегральное уравнение дробного порядка для средних
значений 159
7.3. Уравнение Чепмена-Колмогорова нецелого порядка 161
7.4. Уравнение Фоккера-Планка для фрактальных распределений 163
7.5. Стационарные решения обобщенного уравнения
Фоккера-Планка 167
7.6. Заключение 169
Глава 8. Статистическая механика фрактальных распределений
в фазовом пространстве 171
8.1. Введение 171
8.2. Фрактальное распределение в фазовом пространстве .... 172
8.3. Дробно-интегральное уравнение условия нормировки .... 173
8.4. Уравнение неразрывности в конфигурационном пространстве . 174
8.5. Уравнение неразрывности в фазовом пространстве 176
8.6. Дробно-интегральное уравнение для средних значений ... 178
8.7. Обобщенное уравнение Лиувилля 181
8.8. Редуцированные функции распределения 183
8.9. Заключение 184

8
Оглавление
ЧАСТЬ II. ДРОБНАЯ ДИНАМИКА
И НЕЛОКАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 187
Глава 9. Динамика систем со степенным нелокальным
взаимодействием 189
9.1. Введение 189
9.2. Уравнения осцилляции решетки и дисперсионный закон . . 191
9.3. Уравнения движения взаимодействующих частиц 197
9.4. Операция отображения дискретной модели в непрерывную . 199
9.5. Преобразование Фурье для дискретных уравнений движения 201
9.6. Альфа-взаимодействие частиц 204
9.7. Производные дробного порядка по координатам 209
9.8. Производная и интеграл Рисса 214
9.9. Непрерывный предел дискретных уравнений 217
9.10. Линейное взаимодействие ближайших соседей 219
9.11. Линейное альфа-взаимодействие целого порядка 222
9.12. Линейное нелокальное альфа-взаимодействие нецелого
порядка 225
9.13. Дробные реакционно-диффузионные уравнения 228
9.14. Нелинейное нелокальное альфа-взаимодействие 232
9.15. Уравнения для трехмерной решетки 236
9.16. Дробные производные из закона дисперсии 238
9.17. Нелокальное взаимодействие Грюнвальда-Летникова-Рисса 241
9.18. Заключение 244
Глава 10. Фрактальное нелокальное взаимодействие 245
10.1. Введение 245
10.2. Конечно-разностные операторы 246
10.3. Уравнение дискретной цепочки 247
10.4. Фрактальное взаимодействие 249
10.5. Фрактальный дисперсионный закон 251
10.6. Заключение 255
Глава 11. Дробный векторный математический анализ 256
11.1. Введение 256
11.2. Об обобщениях векторного математического анализа .... 257
11.3. Фундаментальные теоремы дробного математического
анализа 263
11.4. Дифференциальные векторные операции дробного порядка . 267
11.5. Дробные интегральные векторные операторы 271

Оглавление 9
11.6. Дробная формула Грина 272
11.7. Дробная формула Стокса 275
11.8. Дробная формула Гаусса 278
11.9. Заключение 280
Глава 12. Дробное внешнее исчисление дифференциальных форм 283
12.1. Введение 283
12.2. Дифференциальные формы целого порядка 284
12.3. Внешняя производная дробного порядка 288
12.4. Дробные дифференциальные формы 293
12.5. Оператор звезда Ходжа 299
12.6. Векторные операции через дифференциальные формы . . . 300
12.7. Дробные уравнения Максвелла и дробные k-формы 302
12.8. Производная Капуто в электродинамике 305
12.9. Дробные нелокальные уравнения Максвелла 306
12.10. Дробные уравнения электромагтоггные волны 308
12.11. Заключение 310
Глава 13. Дробные динамические системы 312
13.1. Введение 312
13.2. Градиентные динамические системы 313
13.3. Дробное обобщение градиентных систем 315
13.4. Примеры дробных градиентных систем 322
13.5. Гамильтоновы динамические системы 326
13.6. Дробные обобщения гамильтоновых систем 328
13.7. Заключение 333
Глава 14. Вариации дробного порядка в механике 335
14.1. Введение 335
14.2. Уравнения Гамильтона и вариации целого порядка 335
14.3. Вариации нецелого порядка и уравнения Гамильтона .... 338
14.4. Уравнения Лагранжа и вариации целого порядка 340
14.5. Дробные вариации и уравнения Лагранжа 342
14.6. Условия Гельмгольца и уравнения нелагранжевых систем . . 345
14.7. Дробные вариации и негамильтоновы системы 348
14.8. Устойчивость по отношению к возмущениям дробного
порядка 350
14.9. Заключение 354

10
Оглавление
Глава 15. Дробная статистическая механика 356
15.1. Введение 356
15.2. Уравнение Лиувилля с дробными производными 357
15.3. Уравнения Боголюбова с дробными производными 361
15.4. Уравнение Власова с дробными производными 365
15.5. Уравнение Фоккера-Планка с дробными производными . . . 368
15.6. Заключение 373
ЧАСТЫП. ДРОБНАЯ ДИНАМИКА
СО СТЕПЕННОЙ ПАМЯТЬЮ 375
Глава 16. Электродинамика со степенной памятью 377
16.1. Введение 377
16.2. Законы универсального отклика 378
16.3. Линейная электродинамика сплошных сред 379
16.4. Дробные интегро-дифференциальные уравнения для
законов универсального отклика 382
16.5. Дробное интегро-дифференциальное уравнение для закона
Кюри-фон Швейдлера 384
16.6. Дробно-дифференциальное уравнение для закона Гаусса . . 387
16.7. Дробно-дифференциальные уравнения для электрического
поля 390
16.8. Дробно-дифференциальные уравнения для магнитного поля 391
16.9. Степенное затухание магнитного поля 394
16.10. Заключение 395
Глава 17. Динамика неголономных систем с памятью 396
17.1. Введение 396
17.2. Неголономная динамика 397
17.3. Производные дробного порядка по времени 405
17.4. Динамика систем с памятью и неголономными связями . . .410
17.5. Неголономные связи с дробными производными 417
17.6. Уравнения движения с неголономными связями и памятью . 420
17.7. Примеры связей со степенной памятью 422
17.8. Условный экстремум для связей со степенной памятью . . . 426
17.9. Гамильтонов подход к неголономным связям с памятью . . . 428
17.10. Заключение 430

Оглавление 11
Глава 18. Дискретные отображения с памятью 432
18.1. Введение 432
18.2. Дискретные отображения без памяти 433
18.3. Производные Каггуто и Римана-Лиувилля 439
18.4. Сила трения с памятью и дискретные отображения 442
18.5. Отображения из уравнений с производными высших порядков 452
18.6. Универсальное отображение с памятью при 1 < а < 2 ... 456
18.7. Обобщение универсального отображения для а > 2 461
18.8. Производные Римана-Лиувилля и отображения с памятью . 464
18.9. Производная Каггуто и универсальное отображение с памятью 470
18.10. Отображения для ротатора с затуханием и памятью 475
18.11. Диссипативное стандартное отображение с памятью 478
18.12. Отображение Хенона с памятью 480
18.13. Заключение 481
ЧАСТЬ IV. КВАНТОВАЯ ДИНАМИКА И ОПЕРАЦИИ
ДРОБНОГО ПОРЯДКА 483
Глава 19. Дробная динамика гамильтоновых квантовых систем 485
19.1. Введение 485
19.2. Дробно-дифференциальное уравнение Гейзенберга 486
19.3. Свойства дробно-дифференциальной гамильтоновой
динамики 488
19.4. Дробно-дифференциальная квантовая динамика свободной
частицы 491
19.5. Дробно-дифференциальная квантовая динамика осциллятора 492
19.6. Заключение 494
Глава 20. Дробная динамика открытых квантовых систем . . . 496
20.1. Введение 496
20.2. Супероператор и квантовые операции 497
20.3. Дробная степень супероператора 501
20.4. Дробное марковское уравнение для квантовых наблюдаемых 504
20.5. Дробная динамическая полугруппа 507
20.6. Дробные марковские уравнения для квантовых состояний . 509
20.7. Дробное марковское уравнение для осциллятора с трением .511
20.8. Немарковская динамика квантовых открытых систем . . . .515
20.9. Заключение 518

12
Оглавление
Глава 21. Квантовые аналоги производных дробного порядка . 520
21.1. Введение 520
21.2. Вейлевское квантование дифференциальных операторов . . 521
21.3. Квантование производных Римана-Лиувилля 523
21.4. Квантование производной Лиувилля 526
21.5. Квантование не дифференцируемых функций 528
21.6. Заключение 531
Литература 533
Предметный указатель 566

Предисловие
В настоящее время зарождаются основные физические концепции
и создаются математические методы одного из современных
направлений теоретической физики, называемого дробной динамикой (fractional
dynamics). Фактически в настоящее время рождается новая естественная
наука, новая парадигма, новый раздел физики — дробная динамика. Правда
этот термин еще не является устоявшимся в русскоязычной научной
литературе, чего нельзя сказать об англоязычной. Дробная динамика,
аналогично нелинейной динамике и синергетике, теории колебаний и теории волн,
может рассматриваться не только как раздел физики, но и как наддисци-
плинарная наука, как новая надцисциплинарная научно-исследовательская
программа. Это связано с тем, что динамические структуры и свойства
движения, описываемые в дробной динамике, безразличны к материалу среды
или типу физической системы, на котором осуществляется это движение.
Дробная динамика отличается от других разделов физики тем, что в ней,
по сути, исследуются новые динамические свойства для систем различной
физической природы, относящихся к различным масштабам (от наносистем
до космологии), для квантовых и классических систем, для распределенных
и дискретных. При этом ключевыми свойствами и явлениями, которые
описываются в дробной динамике, являются (а) долговременная память, эриди-
тарность, немарковоская эволюция; (б) степенная пространственная
нелокальность взаимодействия; (с) фрактальность структуры и ее нецелая
топологическая размерность. В основе описания указанных явлений и свойств
в рамках дробной динамики лежат методы интегро-дифференцирования
дробного порядка и дробного математического анализа, история которого
насчитывает более трехсот лет.
Дробный математический анализ является теорией интегрирования
и дифференцирования произвольного порядка. Эта теория имеет длинную
историю, начиная с 30 сентября 1695 г., когда производная порядка а = 1/2
была упомянута Лейбницем в письме Лопиталю. Дробное
дифференцирование и дробное интегрирование восходит к исследованиям большого числа
известных математиков, таких как Лейбниц, Лиувилль, Риман, Абель, Рисе,
Вейль. Интегралы и производные нецелого порядка и дробные интегро-
дифференциальные уравнения находят множество применений в современ-

14
Предисловие
ных исследованиях в теоретической физике, механике и прикладной
математике.
Новые возможности в математике и теоретической физике появляются,
когда порядок а дифференциального оператора D% или интегрального
оператора 1£ становится произвольным параметром. Дробное математическое
исчисление является мощным инструментом для описания физических
систем, которые обладают памятью и нелокальностью. В общем случае
многие из обычных свойств дифференцирования целого порядка D% не
выполняются для операторов дробного дифференцирования D%. Например,
правило дифференцирования произведения, правило дифференцирования
сложной функции, полугрупповое свойство, очевидные для производной
первого порядка Dx, не применимы для операторов D%. Однако
существуют аналоги этих правил и свойств, задаваемые довольно громоздкими
соотношениями.
Многие процессы в сложных системах обладают нелокальностью и
характеризуются долгосрочной памятью. Дробные интегральные и дробные
дифференциальные операторы позволяют описывать некоторые из этих
характеристик. Использование дробного математического анализа может
быть полезным для получения динамических моделей, в которых интегро-
дифференциалъные операторы по времени и координатам описывают
степенную долгосрочную память и пространственную нелокальность сложных
сред и процессов.
Существует большое количество интересных книг, посвященных
дробному математическому анализу, дробным дифференциальным уравнениям
и их применениям в физике. Первой книгой, целиком посвященной теории
дробных интегралов и производных, является книга Олдхама и Спаниера,
опубликованная в 1974 году. Существует всесторонняя монография
энциклопедического типа Самко, Килбаса и Маричева, изданная на русском
языке в 1987 году и на английском в 1993. Книгами, посвященными целиком
дробным дифференциальным уравнениям, являются книги Миллера и
Росса (1993) и Подлубного (1999). В 2006 году Килбас, Сривастава и Трухильо
опубликовали монографию, в которой можно найти современное
энциклопедическое, детальное и строгое описание теории дифференциальных
уравнений дробного порядка. Эта книга может быть рекомендована в
качестве основного современного математического руководства для студентов,
аспирантов и ученых, которые интересуются исследованиями в этой
области. Существуют математические монографии, посвященные специальным
разделам дробного математического анализа. Например, книга МакБрида
(1979), работа Киряковой (1993), монография Рубина (1996),
рецензированный сборник Сриваставы и Ова (1989). Применения дробного анализа для
описания сложных сред и процессов рассматриваются в рецензированных

Предисловие
15
сборниках Карпинтери и Майнарди (1997) и Хилфера (2000). Книга Веста,
Бологна и Григолини, опубликованная в 2003 году, посвящена физическим
применениям дробного математического анализа к описанию фрактальных
процессов. Книга Заславского, опубликованная в 2005 году и переведенная
на русский язык в 2010 году, посвящена применению дробного
математического анализа к описанию динамического хаоса. Одной из книг,
посвященных применениям дробного интегро-дифференцирования, является
рецинзируемый сборник Сабатьера, Агравала и Тенреиро Мачадо,
изданный в 2007. В 2010 году опубликована книга Майнарди, посвященная
применению дробного математического анализа к описанию динамики вязко-
упругих материалов. Из новых книг, опубликованных на русском языке,
отметим книгу Нахушева (2003), посвященную дробному исчислению и его
применениям, и книгу Учайкина (2008) о применениях метода дробных
производных в различных областях физики. Отметим, что издаются
международные журналы "Journal of Fractional Calculus" и "Fractional Calculus
and Applied Analysis", "Fractional Dynamic Systems" и "Communications in
Fractional Calculus", которые целиком посвящены дробному
математическому анализу и его применениям.
Отмеченные книги и редактируемые сборники, посвященные
применениям дробного математического анализа в физике и механике, не
описывают всех современных теоретических моделей, методов и подходов.
Множество новых результатов и моделей теоретической физики, полученных
в дробной динамике, не отражены в книгах. В данной монографии
рассматриваются некоторые современные приложения дробного математического
анализа к описанию сложных физических систем и описываются новейшие
результаты последних лет. Большинство из этих приложений и результатов
не рассматривались в книгах, монографиях, учебниках или обзорах.
Поэтому данная книга может быть полезной для физиков и математиков, которые
интересуются современными теориями сложных сред и процессов.
Некоторые из важных разделов теоретической физики не рассматриваются в
данной монографии, поскольку невозможно реализовать полное описание всей
дробной динамики в рамках одной книги. Например, применения дробного
анализа к вязкоупругим средам и к процессам случайного блуждания не
рассматриваются в данной книге, поскольку существуют хорошие обзоры
и монографии, посвященные этим разделам.
Данна книга является переводом на русский язык монографии
"Fractional Dynamics" («Дробная динамика»), изданной на английском языке
в 2010 двумя издательствами: «Шпрингер» ("Springer" Берлин, Германия)
и «Высшее образование» ("Higher Education Press" Пекин, Китай). Перевод
выполнен с небольшими изменениями, а именно: убраны две главы; две
главы разделены на четыре; главы разбиты на четыре части вместо пяти.

16
Предисловие
Данная книга написана для студентов, аспирантов и научных
сотрудников, работающих в различных областях физики, механики и прикладной
математики, которым интересно познакомиться с применением интегро-
дифференциальных уравнений дробного порядка, дробных производных
и интегралов к описанию физических систем полей и частиц, сложных сред
и процессов. Текст книги является замкнутым и может быть использован
без предварительного изучения материалов по дробному математическому
анализу и теории фракталов. Необходимая информация, которая выходит
за рамки обычных курсов высшей математики для младших курсов,
предлагается в данной монографии. Поэтому эта книга может использоваться
при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов. В книге описаны
современные подходы и новые фундаментальные результаты последних лет
в электродинамике и магнитогидродинамике, в статистической механике
и физике конденсированных сред, в квантовой динамике и физической
кинетике, в динамике сложных и фрактальных сред, в теории дискретных
отображений с памятью и теории решетчатых моделей с дальнодействием,
в нелинейной динамике и теории динамического хаоса.
Книга состоит из четырех частей. Первая часть посвящена дробно-
интегральным моделям фрактальных распределений частиц, полей и сред.
Интегральные уравнения дробного порядка для описания фрактальных
распределений массы, заряда и вероятности. Во второй части рассматривается
дробная динамика систем со степенной нелокальностью. Доказана
взаимосвязь дискретных (решетчатых) моделей частиц со степенным
дальнодействием и уравнений сплошных сред с производными дробного порядка.
Дробные производные по координатам используются для описания
нелокальных свойств сложных сред. Развивается дробный векторный анализ
и дробное вариационное исчисление для описания обобщенных
динамических систем, для дробной статистической механики и физической
кинетики, для дробной электродинамики сплошных сред. В третьей части
описывается динамика систем со степенной памятью, для описания которых
используется интегро-дифференцирование дробного порядка по времени.
Строятся модели электродинамики сплошных сред с памятью,
проявляющейся в эффектах универсального отклика. Рассматриваются неголоном-
ные системы с обобщенными связями, описывающими долговременную
степенную память. Дискретные отображения с памятью выводятся из
дифференциальных уравнений с производными дробного порядка. В четвертой
части рассматривается применение дробных степеней инфинитезимальных
генераторов в квантовой динамике. Предлагается обобщение квантовой
марковской и немарковской динамики открытых и негамильтоновых
систем. Рассматриваются квантовые аналоги различных производных
дробного порядка и фрактальных функций.

Часть I
Дробно-интегральные модели
фрактальных распределений

Глава 1
Фрактальные множества
1.1. Введение
В прошлом математики и физики основное внимание уделяли
множествам и функциям, для которых можно применять методы
классического математического анализа. Первый пример всюду непрерывной, но
нигде не дифференцируемой функции был построен Карлом Вейерштрассом
в 1861 году. Такие функции сначала игнорировались математиками и
физиками как патологические. Дальнейшие исследования показали, что класс
непрерывных функций, не имеющих производной ни в одной точке, шире
класса дифференцируемых функций. Графиками таких не
дифференцируемых функций являются кривые, метрическая размерность которых является
нецелым числом. Оказалось, что непрерывные дифференцируемые
функции, которые изучались математиками в прошлом и применялись
физиками для описания природы, составляют пренебрежимо малый класс всех
непрерывных функций. В последние десятилетия отношение к функциям
и множествам, для которых не применимы методы классического
математического анализа, кардинально изменилось. Большую роль в популяризации
таких объектов сыграли работы Бенуа Мандельброта, и прежде всего его
книга «Фрактальная геометрия природы», вышедшая в 1977 году. Термины
«фрактальное множество» и «фрактал», появившиеся в конце 70-х годов,
с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и физиков. Слово
«фрактал» образовано от латинского fractus, означающего — состоящий из
фрагментов. Оно было предложено Мандельбротом в 1975 году. Под
фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие
нецелую метрическую размерность. Результаты различных ученых, таких
как Карл Вейерштрасс, Анри Пуанкаре, Георг Кантор, Феликс Хаусдорф
внесли огромный вклад в теорию фракталов. В наше время удалось
объединить их работы в единую систему.
В настоящее время активно формируется математический анализ на
фрактальных множествах как обобщение классического анализа на
гладких многообразиях (см., например, [173,321,450,464]). Обычно
исходным пунктом для математического анализа на фракталах является лапла-

20
Глава 1
сиан на фрактале [173,321,450,464]. Интересны также попытки
обобщения процедуры интегрирования на фрактальные множества (см., например,
[50,426, 466]), которая не является интегрированием в обычном
смысле слова. К теории интегрирования на фрактальные множества
примыкает теория интегрирования и дифференцирования в пространствах с
нецелой размерностью [272, 273, 406, 465, 466]. Математический анализ на
фракталах и интегрирование фрактальных областей может
использоваться для описания динамических явлений, которые происходят с
объектами, моделями которых являются фракталы [76,125,186,227,319] (см.
также [45,66,69,70,93,108,129]).
В данной главе рассматриваются некоторые понятия теории фракталов.
Более детальную информацию можно найти в книгах [65,76,120,221,228-
230,238,428].
В разделе 2 приводятся определения измеримых и метрических
пространств. В разделе 3 рассматривается мера Хаусдорфа и ее свойства. В
разделе 4 дается определение размерности Хаусдорфа и приводятся
примеры фрактальных множеств. В разделе 5 рассматривается клеточная
размерность и ее свойства. В разделах 6-8 обсуждаются понятия функции и
интеграла на фрактальном множестве и приводятся их свойства. В разделе 9
рассматривается интегрирование в пространствах с нецелой размерностью.
Краткое заключение приводится в разделе 10.
1.2. Метрическое и измеримое пространства
Часто бывает необходимо понятие метрики и расстояния между
двумя элементами множества. Разумно определять понятие метрики, которое
обладает важными свойствами обычного расстояния в Rn.
Определение. Метрическим пространством является множество W
с действительной функцией d( , ) на W х W такой, что выполняются
следующие условия:
1. d(x, у) ^ 0 для любых х, у Е W (условие неотрицательности).
2. d(x, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у.
3. у) = d(y, х) для любых х, у £ W (условие симметричности).
4. z) < d(x, у) + d(y, z) для всех x,y,z E\V (неравенство
треугольника).
Функция d( , ) называется метрикой на W.
Если Е\ и Е2 — непустые подмножества W, то расстояние между ними
определяется соотношением
d(EuE2) = inf{d(x,y) : х Е Еи у <Е Е2}.

1.2. Метрическое и измеримое пространства
21
Пара (W,B) называется сигма-кольцом, если В является семейством
подмножеств множества W такой, что:
(1) W С В.
(2) В С В подразумевает (W - В) С В.
(3) Вк £ В (к = 1,2,...) подразумевает U^=1Bk £ В.
Определение. Пусть (W, В) задает сигма-кольцо множеств на W.
Тогда тройка (W, б, /х) называется измеримым пространством, если /х
является неотрицательной, сигма-аддитивной мерой, определенной на В:
(1) /л(Е) > 0 для любого Е £ В.
(2) сигма-аддитивность /л:
оо оо
г=1 г=1
для любой непересекающейся последовательности {Bi, г £ N} множеств
из В.
(3) представимо в виде счетного объединения множеств Е\ £W таких,
что ii(Ei) < оо.
Значение ii(W) называется мерой множества W.
Пусть W является замкнутым подмножеством n-мерного евклидово-
го пространства Rn. Борелевскими подмножествами W являются элементы
наименьшего сигма-кольца подмножеств W, которое содержит каждое
компактное множество W. Неотрицательной борелевской мерой на W является
сигма-аддитивная мера, определенная для любого борелевского
подмножества W так, что мера любого компактного множества конечна. Борелевская
мера II называется регулярной, если для каждого борелевского множества
В имеем 11(B) = inf {//(£/) : В С U}, где инфимум взят по всем открытым
множествам Е, содержащим В. Если // — мера Бореля, тогда fJ>(B) < оо
для каждого компактного подмножества В из W.
Мера Лебега на Rn является расширением до широкого класса
множеств n-мерных объемов. Рассмотрим обобщенный параллелепипед
W = {(xi,x2,...,xn) £ Rn : di < я* ^ h).
Для этого параллелепипеда n-мерный объем определяется формулой
Vn(W) = (61 - ai)(62 - а2) • • • (bn - an).
Тогда n-мерная мера Лебега /л l определяется
оо оо
tiL(W,n)=inf{Y,Vn(Ei): Wc\JEt},
i=l i=l

22
Глава 1
где инфимум определен по всем покрытиям W с помощью счетных
множеств параллелепипедов.
1.3. Мера Хаусдорфа
При изучении геометрических свойств множеств часто требуется
выход за рамки того, что может быть описано в терминах меры Лебега.
Существуют множества с нулевой мерой Лебега, которые в некотором смысле
являются большими. Используя меру Хаусдорфа и размерность
Хаусдорфа [271], можно отличать множества с нулевой мерой Лебега. Мера
Хаусдорфа может рассматриваться как обобщение меры Лебега. В данном
разделе рассматривается мера Хаусдорфа и ее свойства. Более детальную
информацию можно найти в книгах [221,228,229,428].
Рассмотрим метрическое множество W. Элементы множества W
будем обозначать х, у, z,... и представлять п наборами действительных
чисел х = (xi, х2,..., хп) так, что W погружается в пространство Rn. Будем
полагать, что для множества W выполняются условия: (1) W является
замкнутым; (2) W является неограниченным; (3) W является регулярным
(однородным, равномерным) со случайным распределением точек.
Пусть W является непустым подмножеством n-мерного евклидового
пространства Rn. Диаметром Е С W называется наибольшее расстояние,
разделяющее любые две точки в Е. Диаметр определяется уравнением
Рассмотрим счетное множество {Ei} подмножеств диаметра, не
превышающего е, которые покрывают W, то есть
diam(i£) = sup{d(x, у) : х,у Е Е}.
Для метрики
диаметр определяется как
diam(ls) = sup{|x — у\: х,у G Е}.
оо
W С (J Ei, diam(JSi) ^ е.
г=1
Рассмотрим покрытие множества W счетным семейством {Ei)
произвольных множеств Ei с диаметрами меньшими е > 0 и возьмем инфимум

1.3. Мера Хаусдорфа
23
суммы диаметров [diam(^)]D. В этом случае мы получаем
оо оо
H?(W) = inf{^[diam(^)]D : W С (J Еи diam^) < е}.
i=l г=1
Таким образом, рассматриваются все покрытия W множествами
диаметрами, не превышающими е, и минимизируем сумму D-степеней диаметров.
Величина H^(W) увеличивается при уменьшении е. Поэтому существует
предел
HD(W) = HmWf (ИО.
Этот предел существует для любого подмножества И^вМп.В общем случае
предел HD(W) может быть нулем или бесконечностью. Величина HD(W)
называется D-мерной мерой Хаусдорфа. В частности, мы имеем
H?{W) ^ HD{W)
для любых е > 0.
Меры Хаусдорфа обобщают понятия длины, площади и объема.
Можно доказать, что n-мерная мера Хаусдорфа для борелевских подмножеств
Rn является, с точностью до постоянного множителя, n-мерной мерой
Лебега, то есть обычным n-мерным объемом. В общем случае n-мерная мера
Хаусдорфа Hn(W) в Rn равна мере Лебега //£,(W,n) с точностью до
постоянного множителя. Если W является борелевским подмножеством Rn,
то
HL(W,n)=u(n)Hn(W),
где //£,(W,n) — мера Лебега на W, а ш(п) — константа, которая зависит
только от размерности п, такая что
^(n) = 2пГ(п/2 + 1)*
Константа и(п) фактически является объемом n-мерного шара единичного
диаметра.
Определим меру /j>h(W, D) такой, что эта n-мерная мера борелевских
подмножеств W в Rn в точности равна n-мерной мере Лебега.
Рассматриваем n-мерную меру Хаусдорфа /лн(Щп) в Rn, равную мере Лебега
№ь{Щп)- Если W является борелевским подмножеством Rn, то
»H(W,n) = iiL(W,n), (1.1)
где п) — мера Лебега на W.

24
Глава 1
Для определения этой меры рассмотрим покрытия W счетными
семействами произвольных множеств с диаметром меньшим е и возьмем
инфимум (точную нижнюю грань) суммы uj(D)[d\am(Eij\D для положительного
действительного числа D и любого е > 0. Тогда получаем
оо оо
2 = 1 2=1
где
= 2»Г(^2 + 1)- (L2)
Таким образом, мы рассматриваем покрытия W множествами с диаметром,
не превышающим £, и ищем минимум суммы D-степеней диаметра с
учетом постоянного фактора и(D). Существует предел
V„(W,D)=^q$>{W,D).
Этот предел существует для любого подмножества W в Мп, хотя предел
V>h(WiD) может быть нулевым или бесконечным. Значение //#(W, £>)
будем также называть D-мерной мерой Хаусдорфа. Легко увидеть, что
»H(W,D)=u(D)HD(W).
В результате уравнения (1.1) позволяют рассматривать меру Хаусдорфа
/лн{Щ D) как обобщение меры Лебега /iz,(W, D) с целых значений D на
дробные. Для целых значений D получаем, что D-мерная мера Хаусдорфа
борелевских подмножеств равна D-мерной мере Лебега так, что выполнено
уравнение (1.1).
Начнем со списка свойств меры Хаусдорфа [221,228-230,428].
1) Монотонность: если W\ С W2, то /хя (Wi, D) ^ //яО^-О).
2) Субаддитивность:
оо оо
2 = 1 2=1
3) Если расстояние между множествами W\ и W2 положительно
d{Wi, W2) > 0, то iiH(Wx (J W2, D) = »h(WuD) + fiH(W2, D).

1.3. Мера Хаусдорфа
25
Ограничимся борелевскими множествами. Грубо говоря, борелевски-
ми являются множества, которые могут быть построены как счетные
объединения и пересечения открытых или замкнутых множеств. Заметим, что
V>h(W, D) является счетной аддитивной мерой при ограничении на боре-
левские множества. Если {Ei] является счетным семейством
непересекающихся борелевских множеств, то
оо оо
г=1 г=1
Рассмотрим некоторые свойства меры Хаусдорфа для борелевских
множеств.
Определение. Функция /, определенная на множестве W С Мп,
удовлетворяет условию Гёльдера с показателем т, если существует С > О
такое, что
\f(x)-f(y)\<C\x-y\m
для всех х,у е W. Это условие подразумевает, что / является
непрерывной функцией. Для т = 1 функция удовлетворяет условию Липшица на
множестве XV, если
|/(*)-/(»)|<С|*-!,|
для любых х,у eW.
Приведем некоторые важные утверждения о мере Хаусдорфа.
A. Пусть функция /, определенная на компактном множестве W,
удовлетворяет условию Гёльдера с показателем т > 0 и константой С > 0.
Тогда
/1я(/(П^)^%№т1))
для любого D.
B. Если функция /, определенная на компактном множестве W,
удовлетворяет условию Липшица с константой С > 0, то
»H{f{W),D)^CD»H(W,D) (1.3)
для любого D. Заметим, что неравенство (1.3) выполняется для любой
дифференцируемой функции с ограниченными производными, так как
такая функция удовлетворяет условию Липшица как следствие
теоремы о среднем значении.

26
Глава 1
C. Если / является преобразованием подобия (также называемым дила-
тацией) с отношением С, то
\№-т\ = с\х-у\,
и имеем уравнение
VtH(f(W),D)=CDiMH{W,D).
Это соотношение означает, что меры Хаусдорфа обладают
масштабным свойством и С является масштабным фактором.
D. Если / — преобразование изометрии, то есть
\№-f(V)\ = \x-y\,
тогда имеет место уравнение
liH(f(W),D)=viH(W,D).
Это соотношение приводит к тому, что меры Хаусдорфа являются
инвариантными относительно трансляций и вращений.
В результате можно отметить следующие важные свойства меры
Хаусдорфа на борелевых множествах [221,228-230,428].
1) Мера Хаусдорфа является трансляционно инвариантной
IAH(W + h,D) = nH(W,D),
где W + h = {х + h : х Е W}.
2) Мера Хаусдорфа является инвариантной относительно вращений
Hh{tW,D) = iih{W,D),
где г — преобразование вращения.
3) Мера Хаусдорфа удовлетворяет свойству масштабности
liH(XW,D) = XDfiH(W,D),
гле XW — множество W масштабировано с коэффициентом А.

1.4. Размерность Хаусдорфа и фракталы
27
4) Если vh(W, Di) < оо, то fih(w,d2) = 0 для d2 > £>ъ
5) Если iiH(W,Di) > 0, то /j,h(W,D2) = оо для 0 < D2 < Dx.
Из свойств 1-3 можно доказать, что диаметр множества W
инвариантен относительно трансляций и вращений и удовлетворяет соотношению
diam(AW) = A diam(VF) для А > 0. Заметим, что масштабное свойство
является фундаментальным для теории фракталов. Свойства 4-5
позволяют определить числовой инвариант для множества W, который называется
размерностью.
1.4. Размерность Хаусдорфа и фракталы
Для борелевского множества W из Rn существует единственное
число D такое, что
liH{W,D') = оо
для D' < D и
»H(W,D')=0
для D' > D. В результате существует критическое значение D, при котором
11h(W, D) скачком изменяется с оо на 0. Это значение называется
размерностью Хаусдорфа или размерностью Хаусдорфа-Безиковича и обозначается
D = dimtf(W), [170,271] (см. также [76,228,229]).
В результате размерность Хаусдорфа dimh(W) для борелевского
множества W из Rn определяется формулой
D = dimH(W) = sup{a € R : //Я(Ж а) = оо} (1.4)
или
D = dimH{W) = Ы{а £ R : tiH(W,a) = 0}. (1.5)
Из соотношений (1.4) и (1.5) мы получаем
•а) = \о,
. v^, если а < D = d\mH{W);
tiH\W,a) = {^ ^ (1.6)
^ v } л если а> D = dimH(W). v 1
Размерность Хаусдорфа и другие типы размерности являются
характеристиками, позволяющими различать фракталы между собой. Термин
«фрактал» является общим для множеств с дробной размерностью [76,228,229].
Размерность Хаусдорфа удовлетворяет следующим свойствам.

28
Глава 1
1) Если W является счетным множеством, то dimh(W) = 0.
2) Если W С Rn является открытым множеством, то dim#(VF) = п.
3) Если W С Rn является гладким m-мерным многообразием в Rn, то
dirritf = т. В частности, гладкие кривые имеют размерность
равную 1. Гладкие поверхности имеют размерность равную двум.
4) Если Wi с W2, то dinitf (Wi) ^ dimH(W2).
5) Если W С Rn и / удовлетворяет условию Гёльдера с показателем т,
то
&mHU(W))^±&mH(W).
6) Если W С Rn и / удовлетворяет условию Липшица, то dim# (/(VF)) ^
^ dimtf(W)-
7) Если W С Rn и / удовлетворяет двойному условию Липшица
Ci\x-y\ ^ \f(x)-f{y)\^C2\x-yl
где 0 < Ci ^ С2 < оо, тогда dimH(/(^)) = dimH(W).
Последнее утверждение описывает фундаментальное свойство
размерности Хаусдорфа. Размерность Хаусдорфа является инвариантной
относительно преобразований, для которых выполняется двойное условие
Липшица. Можно сказать, что два фрактальных множества являются
одинаковыми, если существуют отображение между ними и выполняется двойное
условие Липшица. Размерность Хаусдорфа и другие размерности являются
характеристиками, позволяющими различать фракталы.
Простейшими примерами фракталов [76,120,238] являются Канторово
множество, ковер Серпинского, губка Менгера.
1) Множество Кантора. Множество Кантора получается повторением
удаления средней трети в отрезке.
а) Начнем с удаления средней трети из единичного отрезка [0,1],
оставляя [0,1/3] и [2/3,1].
б) Оставшееся точечное множество состоит из двух отрезков.
Удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть.

1.4. Размерность Хаусдорфа и фракталы
29
в) Продолжая этот процесс бесконечно, получим множество
Кантора.
Множество Кантора состоит из всех точек интервала [0,1], которые не
удалены во время этих шагов в этом бесконечном процессе удаления
средней трети.
2) Треугольник Серпинского. Треугольник Серпинского можно
получить, используя следующий алгоритм:
а) Берется сплошной равносторонний треугольник. Из центра этого
треугольника удаляется внутренность треугольника, образованная
серединами сторон исходного треугольника.
б) Оставшееся множество состоит из трех сплошных треугольников.
Удалим теперь из центров этих треугольников внутренние
треугольники, образованные серединами сторон исходных
треугольников.
в) После бесконечного повторения этой процедуры от сплошного
треугольника остается треугольник Серпинского.
3) Губка Менгера. Губка Ментера является трехмерным обобщением
множества Кантора и ковра Серпинского. Построение губки Ментера
можно описать следующим образом:
а) Делим исходный куб плоскостями, параллельными его граням, на
27 равных кубов.
б) Из куба удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по
двумерным граням кубы. Получается множество, состоящее из 20
оставшихся кубов.
в) Поступаем точно так же с каждым из этих 20 кубов. Получим
множество, состоящее из 400 кубов.
г) Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Ментера.
Приведем размерности Хаусдорфа для перечисленных примеров
фракталов.
• Хаусдорфова размерность канторова множества равна D = In 2/ In 3 «
« 0.631.
• Треугольник Серпинского имеет размерность Хаусдорфова D =
= In 3/ In 2 « 1.585.

30
Глава 1
• У губки Ментера размерность Хаусдорфа равна Z) = ln20/ln3«
« 2.727.
1.5. Клеточная размерность
Сначала отметим, что существуют различные классы покрывающих
множеств, которые определяют меры, приводящие к размерности
Хаусдорфа. Например, можно использовать покрытие шарами В\. В этом случае,
используя
оо оо
Bf(W) = inf{£ \Bif : W С (J Bit \Bt\ < e],
i=l i=l
где {В,} является е-покрытие области W шарами, получим меру
BD(W) = lim в?.
£—►0
Можно определить размерность, при которой BD(W) скачком изменяется
от бесконечности до нуля. Заметим, что
так как любое е-покрытие области W шарами является разрешенным
покрытием в определении .
Приведем доказательство данного утверждения. Если {Ei} является
5-покрытие области W, тогда {Bi} является 2^-покрытие W шарами Bi
такое, что каждый Bi есть шар радиуса \Ei\ ^ е, содержащий Ei. Тогда
имеем
г г г
Взяв точную нижнюю грань (инфимум), получаем
Bg(W) ^ 2DH?(W).
Перейдя к пределу е —► 0, имеем
HD(W) ^ BD(W) ^ 2DHD(W).
Эти неравенства приводят к тому, что значения Д при которых HD(W)
и BD(W) скачком изменяются от нуля до бесконечности, являются
одинаковыми. Поэтому размерности, определенные этими двумя мерами, равны.

1.5. Клеточная размерность
31
В результате получаем одинаковые меры Хаусдорфа и размерности
Хаусдорфа при использовании B^(W) и H^{W).
Существуют другие типы фрактальных размерностей для подмножеств
евклидова пространства W1. Клеточная (box-counting) размерность
является одной из наиболее широко используемых размерностей из-за ее
относительной простоты вычисления и эмпирической оценки. Клеточная
размерность иногда называется размерностью Миньковского (см. главу 5 в [65]).
Определение. Пусть W является произвольным непустым
ограниченным подмножеством в Rn, a N£(W) — наименьшее число множеств
с диаметром, не превышающим е, которые покрывают W. Клеточная (box-
counting) размерность множества W определяется уравнением
где полагает, что е > О и т(е) < 0.
Существуют различные эквивалентные определения клеточной
размерности, которые могут быть более удобными при использовании.
Рассмотрим счетное семейство е-кубов в W1 вида
Eii...in = {(хь...,хп) £ W : ike^xk^ {ik + ik € N}.
Заметим, что diam(£'i1...in) ^ 6y/n.
Для положительного числа D и любого е > 0 рассмотрим покрытие
множества W счетными семействами 5-кубов {Eix.„in} и возьмем точную
нижнюю грань (инфимум) суммы [diam(Ei1,„in)]D. Тогда имеем
dimeiW) = — lim
\nNe(W)
hm ————
е->о ln(e)
(1.7)
(W) =
оо
оо
Определим меры
CD(W) = lim С?
и
»b(W,D)=u;(D)Cd(W),
где
u(D) =
2пГ(£>/2 + 1)'

32
Глава 1
Для клеточной размерности dimB(W) множества W С Rn имеем
D = dimB{W) = sup{a G R : fiB(W,a) = оо},
-D = dimB(W) = inf{a € R : iiB(W,a) = 0}.
Будем писать, что £> = diniB(W).
Эта версия определения широко используется для эмпирического
определения. Для нахождения клеточной размерности множества W на
плоскости R2 рисуют клетки размером е и считают число N£(W) клеток,
покрывающих элементы множества W. Уменьшение е приводит к увеличению
числа клеток, необходимых для покрытия W. Размерность является
логарифмической скоростью, с которой растет Ne(W) при е->0и может быть
определена по наклону графика, если по осям отложить In N£(W) и ln(£_1).
Можно использовать определение клеточной размерности, которая
получается подсчетом наименьшего числа произвольных кубов со стороной
в, необходимых для покрытия W. Аналогично получаем то же самое
значение фрактальной размерности, если в уравнении (1.7) берется N£(W) как
наименьшее число закрытых шаров радиуса е, которые покрывают W.
Важно отметить взаимосвязь между клеточной размерностью и
размерностью Хаусдорфа. Если W может быть покрыто N£(W) множествами
с диаметром е, то из определения H^iW) получаем
H?(W) ^N£(W)eD.
В результате имеем
dimH(W) ^dimB(W)
для W С Rn. В общем случае равенство не выполняется. Хотя
размерность Хаусдорфа и клеточная размерность равны для большого числа
регулярных множеств, существуют примеры, для которых выполняется строгое
неравенство.
Отметим, что гладкое m-мерное подмногообразие в Rn имеет
размерность d\mB{W) = т. Клеточная размерность dimB(W) является
инвариантной относительно преобразований, для которых выполняется двойное
условие Липшица. Аналогично клеточные размерности ведут себя так же,
как и размерности Хаусдорфа при преобразованиях Гёльдера.
Клеточная размерность определяется покрывающими множествами
одинакового размера. В силу этого клеточная размерность может быть
вычислена легче, чем размерность Хаусдорфа. Помимо этого клеточная
размерность может быть более эффективной для множеств W, которые
могут быть покрыты малыми множествами равных размеров, тогда как

1.6. Функции и интегралы на фракталах
33
размерность Хаусдорфа предполагает использование покрытия наборами
маленького, но возможно широко меняющегося размера.
1.6. Функции и интегралы на фракталах
Отметим, что математический анализ на фрактальных множествах
как обобщение анализа на гладких многообразиях в настоящее время
активно исследуется [173,321,450,464]. Обычно исходным пунктом для
математического анализа на фракталах является лапласиан на
фрактале [173,321,450,464]. Это, оказывается, не дифференциальный оператор
в обычном смысле. Однако он имеет многие из желательных свойств. Есть
много подходов к определению оператора Лапласа на фрактальных
множествах: вероятностный, аналитический, из теории меры. Исследуется также
интегрирование на фракталах (см., например, [50,426,466]), которое тоже не
является интегрированием в обычном смысле слова. Математический
анализ на фракталах и интегрирование фрактальных областей может
использоваться для описания динамических явлений для объектов, моделируемых
фрактальными множествами [69,76,93,125,186,227,319].
Пусть W является непустым подмножеством n-мерного евклидова
пространства Rn и пусть {Ei} — счетное семейство подмножеств с
диаметрами, не превышающими е и покрывающими W, то есть
где diam(E'i) ^ е для всех г. Отправной точкой будет понятие
характеристической функции для подмножества Ei, которая определяется уравнением
Функция f(x), определенная на множестве W, называется простой
функцией, если существует конечное число непересекающихся множеств {Ек},
и
оо
Wc\jE4
если х е Ei,
если х £ Ei.
(1.8)
JK*' \0, если x<£{j™=lEk.
Простые функции f(x) на W могут быть представлены суммой
(1.9)
ОО
(1.10)

34
Глава 1
где fi £ R — константы. Заметим, что произведение двух простых и любая
конечная линейная комбинация простых функций тоже являются простыми
функциями. Для непрерывной функции f(x):
lim f{x) = f(y) (1.11)
x—>y
всякий раз, когда
\imd(x,y) = 0. (1.12)
х—>у
Простая функция / = f(x) на множестве W является интегрируемой, если
Ин(Ег) < оо для любого г, для которого fi ф 0.
Интеграл Лебега-Стильтьеса для непрерывных функций (1.10) можно
определить [466] соотношением
/оо
f(x) dfiH(x) = J2fi »*(Ei, D). (1.13)
w *=1
Поэтому
/ f(x)dfjlH(x)=u;(D) lim S^f(xi)[d\am(Ei)]D. (1.14)
j diam(E.)—0
w ei
Отметим, что существуют и другие классы покрывающих множеств {Ei},
которые определяют меры, приводящие в размерности Хаусдорфа.
Рассмотрим покрытие множествами равных размеров, для
использования клеточной (box-counting) размерности. Существует несколько
эквивалентных определений клеточной размерности, которые могут быть
более удобными для использования. Например, можно использовать набор
£-кубов для покрытия W С Rn. Аналогично получаем в точности то же
самое значение клеточной (box-counting) размерности, если будем
использовать закрытые шары радиуса е для покрытия W.
Всегда можно разделить подмножество W С Rn на £-кубы
(параллелепипеды) вида
Eix...in = {(хь...,хп) € W : ike^xk ^ (г* + гк € N}.
Тогда
dfjiB{x) = lim a;(JO)[diam(jE?i)]D. (1.15)
di&m(eil in)—>0

1.6. Функции и интегралы на фракталах
35
Область интегрирования W можно параметризовать полярными
координатами с г = d(x, 0) = |х| и углом Q. Тогда Ег& может рассматриваться
как сферически симметрическое покрытие вокруг центра. В пределе
функция uj(D)[&\bm(Er&))D дает
фв(г,П) = lim cj(D)[diam(£r,n]D = dtop^r^dr. (1.16)
d\&m(Er.n)—>0
Это ограничение сферически симметрическим покрытием может не дать
корректное значение меры Хаусдорфа и размерности Хаусдорфа.
Нижняя граница (инфимум) в уравнении для меры Хаусдорфа берется по
всем возможным покрытиям. Использование сферически симметрических
^-покрытий W приводит к клеточной (box-counting) мере с^/в(г, О) и
клеточной размерности dimB(W) ^ dim# (W).
Рассмотрим функцию /(#), которая симметрична относительно
некоторого центра хо G W, то есть f(x) = const для всех х таких, что
d(x, хо) = \х — xq\ = г для любых значений г. Тогда преобразование
W->W' = T-X0W : х -> х' = х - х0 (1.17)
может быть выполнено для сдвига центра симметрии. Поскольку
множество W не является линейным пространством, (1.17) не должно быть
отображением W на себя, и преобразование (1.17) сохраняет меру. Тогда
интеграл по /Э-мерному метрическому пространству может быть
представлен [466] в виде
оо
/ = mk) i f{r)rd~4r- (l18)
w о
Этот интеграл известен в дробном математическом анализе [101,307,444]
как правосторонний дробный интеграл Римана-Лиувилля, который
определяется формулой
оо
(/-/)(*) = y^jyj J (х- z)D~1f(x)dx (D>0). (1.19)
z
Для z = 0 уравнение (1.19) принимает вид
оо
(I- /)(0) = J xD~lf{x)dx. (1.20)
о

36
Глава 1
Легко увидеть, что уравнение (1.18) может быть представлено
соотношением
/фв = К'{р/2)){1-!Ш (1-21)
w
Это уравнение связывает интеграл на фрактале с интегралом дробного
порядка. В результате интеграл дробного порядка может интерпретироваться
как особый тип интеграла на фрактале с точностью до числового
множителя r(D/2)/[27rD/2r(D)]. Эта интерпретация позволяет применять
различные методы дробного математического анализа для фрактальных
распределений частиц.
1.7. Свойства интеграла на фрактале
Интеграл, определенный уравнением (1.14) (см., также (1.18))
удовлетворяет следующим свойствам:
1) Линейность: для любых действительных чисел а и ь
J (а/г + b/2)dfjlh = a j /\^н + bj /2фя, (1.22)
W WW
где /i и /2 являются произвольными функциями на W.
2) Трансляционная инвариантность:
j /(x + x0)dfiH(x) = J /(x)dfiH{x), (1.23)
w w
поскольку имеет место соотношение dfinix — хо) = (rr),
являющееся следствием однородности.
3) Масштабное свойство:
J/(Xx)dfjiH(x) = X~D J/(x)dnH(x) (1.24)
w w
для любых положительных Л, так как djiH^x/X) = X~DdjiH^x).
4) Интеграл также инвариантен относительно вращений.

1.8. Многократное интегрирование на фрактале
37
Заметим, что эти свойства являются естественными и необходимыми
для приложений. Рассматривая интеграл функции f(x) = ехр(—ах2 + Ьх),
можно показать, что условия (1.22)-(1.24) определяют интеграл с
точностью до нормировки:
J exp(-ax2 + 6x)d/itf(x) = (Д^ехр^. (1.25)
w
Заметим, что для 6 = 0 уравнение (1.25) совпадает с результатом (1.21),
который может быть получен непосредственно без условий (1.22)-(1.24).
1.8. Многократное интегрирование на фрактале
Интегрирование в (1.18) определяется для одной переменной. Оно
используется для интегрирования сферически симметричных функций.
Рассмотрим интегрирование для нескольких переменных, используя
произведение пространств и произведение мер [406,465].
Рассмотрим п = 3 измеримых множеств (И^, D) с к = 1,2,3 и
образуем декартово произведение W = W\X W2 х W3 множеств Wk.
Определение произведения мер и применение теоремы Фубини обеспечивает меру
для произведения множеств W = W\ х W2 х W3 в виде
fie(W) = (М1 х /i2 х fi3)(W) = fii(Wi)fi2(W2)fi3(W3). (1.26)
Тогда интегрирование функции / по множеству W имеет вид
J f(xi,x2,x3)diJiB = J J J f(xi^x2,x3)dfi1{x1)dfjL2(x2)diJ/3(x3).
W Wi w2 w3
(1.27)
В этом случае можно использовать одномерные меры из (1.18) для каждой
координаты хк, которым соответствуют размерности ак:
dfik(xk) = *fh/* \хк\ак-Чхк, к = 1,2,3. (1.28)
Тогда полная размерность области W = W\ х W2 х W3 равна сумме
размерностей
D = on +a2 + a3. (1.29)
Воспроизведем результат для одномерного интегрирования по одной
переменной (1.18) из W\ х W2 х W3. Для сферически симметричных
функций f(xi,x2,x3) = /(г), где г2 = (х\)2 + (х2)2 + (х3)2, можно выполнить

38
Глава 1
интегрирование в сферических координатах (г, 0, в). В этом случае
уравнение (1.27) становится
w
= A(aua2,as) jdxxj dx2 J dxs ы^ы"*-1^*-1 f(xux2,x3) =
wi w2 w3
= A(aua2,as) J dr J йф J d0J3(r,0) г"1+"2+"з-з.
•(cos0)ai-1(sin0)a2+a3-2(sin^)Q3-1/(r), (1.30)
где
Atr. r, ^ \ 2ttQ1/2 2тга2/2 2тгаз/2 (л ~u
Л(01'а2'аз) = 1^ГЫ2)ГМ) {1-31)
и ./з(г, ф) = r2sin0 является якобианом замены переменных. Поскольку
функция зависит только от радиальной переменной и не зависит от угловых
переменных, можно использовать формулу
Tsin^4cos-^^=^f)r(^, (1.32)
J 2Г(^ + И/2)'
о
где (j, > 0 и v > 0. Из (1.29) получаем
J dfjl1(x1)dfi2(x2)dfis(xs) /(г) = j f{r)rD-4r. (1.33)
w
Это уравнение описывает £>-мерное интегрирование сферически
симметричных функций и воспроизводит результат (1.18).
1.9. Интегрирование в пространстве с нецелой
размерностью
Интегрирование в £>-мерных пространствах с нецелым D активно
используется в квантовой теории поля. Размерная регуляризация является

1.9. Интегрирование в пространстве с нецелой размерностью 39
одним из основных методов устранения расходимостей в фейнмановских
диаграммах при расчетах в теории квантованных полей [67]. Полагается,
что размерность пространства-времени равна D, которое не обязано быть
целым числом. Часто оказывается, что интегралы (в импульсном
пространстве), экстраполируемые до произвольной размерности, сходятся.
-* dwldDpHp)- (1м)
Определение /Э-мерного интегрирования через обычное интегрирование
задается следующим соотношением:
оо
q(d) О
где используем
2тг°/2
/ ~" Г(£>/2)"
q(d)
dQ =
В результате имеем [67] точное определение продолжения интегрирования
с целого п на произвольное нецелое D в виде
оо
/d°x /{|х|) = т{Щ jdx x°~l my (L36)
0
Это уравнение сводит D-мерное интегрирование к обычному
интегрированию. Поэтому линейность и трансляционная инвариантность следует из
линейности и трансляционной инвариантности обычного интегрирования.
Масштабная ковариантность и ковариантность относительно вращений
являются прямыми следствиями определения.
Интеграл, определенный уравнением (1.35), обладает следующими
свойствами:
1) Линейность:
J[af1(x) + bf2(x)]dDx = a J h{x)dDx + b J f2(*)dDx, (1.37)
где а и b являются произвольными действительными числами.

40
Глава 1
2) Трансляционная инвариантность:
J /(x + h)dDx = j f(x)dDx (1.38)
для любого вектора h.
3) Масштабное свойство:
j /(Ах) dDx = \~D J /(х) дРх (1.39)
для любого положительного А.
4) Ковариантность интеграла относительно вращений.
Эти свойства должны накладываться на функционал от /(х) для того,
чтобы рассматривать его как D-мерное интегрирование [67]. Эти свойства
являются естественными и необходимыми при применении размерной
регуляризации в квантовой теории (см. раздел 4 в [67]).
Приведем пример использования уравнения (1.36) в качестве
определения. Для этого выберем функцию
Xz + 0
где А и В — некоторые действительные числа. Интеграл можно точно
вычислить
dDx £l±5 = (VB)D'2T(\ - £>/2)5-=Л (1.40)
/
Другим примером является интеграл
/>г х2° ,_ тгр/2Г(а + £>/2)Г(/3-а-£>/2) D+2a_w
J V + Г(Л/2)Г(0) • {1Л1)
Заметим, что интегрирование и уравнения движения в пространствах
с нецелой размерностью обсуждаются в [272,273,406,465,466].
Интерпретация дробного интегрирования может быть связана с
дробной размерностью [476]. Эта интерпретация следует из формулы (1.36),
записанной в виде
оо

1.10. Заключение
41
и применяемой при размерной регуляризации. Интеграл Лиувилля
дробного порядка
в точке z = 0 можно рассматривать как интеграл в пространстве с дробной
размерностью
с точностью до числового фактора T(D/2)/\2-kd/2T(D)).
В результате дробный интеграл Лиувилля может рассматриваться как
интеграл в пространстве с нецелой размерностью с точностью до
множителя r(D/2)/[27rD/2r(D)].
1.10. Заключение
В данной главе рассматривались некоторые основные понятия
теории фракталов. Были даны определения меры и размерности
Хаусдорфа, и рассмотрены их основные свойства. Рассматривалась также
клеточная размерность и ее свойства. Обсуждались понятия функции и
интеграла на фрактальном множестве. Дополнительную информацию о
фрактальных множествах можно найти в книгах [65,76,120,221,228-230,238,428].
В этой главе рассматривалось и интегрирование в пространствах с
нецелой размерностью. Информацию об интегрировании и уравнениях
движения в пространствах с нецелой размерностью можно почерпнуть в
статьях [272,273,406,465,466].
Фрактальные множества могут использоваться для моделирования
различных физических процессов [69,76,93,125,186,227,319]. Размерность
Хаусдорфа и клеточная размерность определяются как локальные свойства
в том смысле, что она измеряет свойства множеств точек в пределе исче-
зающе малого диаметра используемых для покрытия множеств.
Определение размерности Хаусдорфа множества частиц требует бесконечно (сколь
угодно) малого диаметра покрывающего множества. В общем случае
физические системы обладают наименьшим характеристическим размером,
таким как радиус частицы (например, атома или молекулы). У реальных
физических объектов фрактальная структура не может наблюдаться на всех
масштабах. Она обычно существует при тех масштабах r, для которых
оо
z
(1.43)

42
Глава 1
Rq < R < Rm, где Ro — характерный размер частицы среды и Rm —
макроскопический масштаб исследуемой структуры и процесса. В связи с этим
важно иметь физический аналог размерности Хаусдорфа, не требующий
перехода к пределу бесконечно малых диаметров покрывающих множеств.
В качестве такой размерности можно привести массовую размерность,
которая будет рассмотрена в следующей главе.

Глава 2
Дробно-интегральная модель
фрактальных сред
2.1. Введение
Теория интегрирования и дифференцирования нецелого порядка имеет
длинную историю, начинающуюся с 1695 года, когда производная порядка
а = 1/2 была упомянута Лейбницем в письме Лопиталю [101,398,429,444].
Первая теория интегралов и производных нецелого порядка восходит
к работам Лиувилля и Римана [97,429]. Существует множество
интересных книг о дробном математическом анализе и дифференциальных
уравнениях дробного порядка [83,95,101,307,367,398,411,444] (см.
также [60,306,359,360,395,434,458]). Производные и интегралы нецелого
порядка и дробные интегро-дифференциальные уравнения находят множество
различных применений в современных исследованиях в физике и
механике (см., например, книги [4,19,48,124,347,530,559,572], редактируемые
сборники [189,279,308,441] и обзоры [362,363,379,571]) и других
областях современной науки. Сейчас можно утверждать, что дробная динамика
(fractional dynamics) формирует новую парадигму в науке.
Дробные интегралы имеют различные определения [101,307], и их
применения зависят от граничных условий и особенностей
рассматриваемых физических систем и процессов. Отметим, что некоторые
вероятностные, геометрические и физические интерпретации дробных
интегралов и производных обсуждаются в работах [86,99,100,109,342,343,424,
425,462,476,533,567] и [164,258,278,300,350,378,412,530].
Размерность Хаусдорфа и клеточная (box-counting) размерность
определяются как локальные свойства в том смысле, что они измеряют свойства
множеств точек в пределе исчезающе малого диаметра покрывающих
множеств.
Определения размерности Хаусдорфа и клеточной размерности [82,
221,228-230,428] для множества частиц требуют бесконечно (сколь
угодно) малого диаметра покрывающего множества. У реальных сред и физи-

44
Глава 2
ческих систем фрактальная структура не может наблюдаться на всех
масштабах. Среды и системы обладают наименьшим характеристическим
размером, таким как радиус частицы (например, атома или молекулы).
Фрактальная структура обычно существует при тех масштабах R, для которых
Ro < R < i?m, где До — характерный размер частицы среды и Rm —
макроскопический масштаб исследуемой структуры или процесса. Поэтому
важно использовать такой физический аналог размерности Хаусдорфа, который
не требует предельного перехода к бесконечно малым диаметрам
покрывающих множеств. В качестве такой размерности можно использовать
массовую размерность и размерность числа частиц [530]. Фрактальными
являются среды, распределенные в пространстве Rn, где п = 1,2,3, массовая
размерность D которых меньше размерности пространства п. Фрактальные
среды могут быть найдены среди пористых материалов, полимеров,
коллоидных агрегатов, аэрогелей [69,76,93,125,238]. Например, существуют
экспериментальные доказательства [299] того, что поровое пространство ряда
образцов песчаника является фракталами на нескольких порядках
величины R, начиная от Ro = 1 нанометра до Rm = 105 нанометров. Отметим,
что недавно была создана первая синтетическая фрактальная молекула на-
норазмеров [389]. Исследовательская группа, возглавляемая Дж. Ньюкомом
использовала технику молекулярной самосборки для синтезирования
молекулы в лаборатории. Молекула, связанная с ионами железа и рутения,
формирует шестиугольную прокладку. Чтобы подтвердить создание фрактала,
молекулы распылили на куске золота, охладили их до 6 градусов по
Кельвину, чтобы сделать их устойчивыми, а затем рассмотрели их с помощью
туннельного микроскопа.
В данной главе будут рассматриваться основные понятия дробно-
интегральных моделей фрактальных сред. Интегрирование нецелого
порядка используется для описания фрактальных распределений массы, заряда,
части и вероятности. Динамика и уравнения движения фрактальных сред
и распределений рассматриваются в следующих главах.
В разделах 2-4 приводятся определения и основные свойства
интегралов дробного порядка, определенных по Риману-Лиувиллю, по Лиувиллю
и по Риссу. В разделе 5 кратко обсуждается понятие массовой
размерности. Простейшие модели фрактальных распределений частиц и
разрешенных состояний приводятся в разделе 6. В разделе 7 обсуждается описание
фрактального распределения массы, использующее интегрирование
дробного порядка. Понятие плотности состояния рассматривается в разделе 8.
В разделах 9-10 рассматривается применение интегрирования дробного
порядка для описания фрактального распределения массы на действительной
оси. В разделах 11-14 обсуждаются методы описания массы, заряда, чис-

2.2. Дробные интегралы Римана-Лиувилля
45
ла частиц и вероятности для фрактальных сред и распределений. Краткое
заключение приводится в разделе 15.
2.2. Дробные интегралы Римана-Лиувилля
Наиболее известными интегралами дробного порядка являются так
называемые интегралы Римана-Лиувилля и интегралы Лиувилля. Рассмотрим
определение дробного интегрирования Римана-Лиувилля на конечном
интервале действительной оси. Более подробную информацию можно найти
в книгах [101,307].
Приведем сначала формулу n-кратного интегрирования. Если f(x)
является непрерывной функцией на действительной оси, то можно задать
определенный интеграл от а до х:
x
(I1 /)(*) = J /(*!) dxu
а
Повторение этого процесса дает
x x х\
(I2f)(x) = J (I1 f){Xl)dxi = JdxxJ dx2f(x2), (2.1)
a a a
и это может быть реализовано п раз
x х\ хп-1
(Inf)(x) = j dx\ Jdx2... J dxn f(xn).
a a a
Формула Коши для повторного интегрирования имеет вид
х
(Inf)(x) = ^ЗТ)! /(Х ~ *)П-1/(2) dz- (2-2)
а
Доказательство этой формулы реализуется по индукции. Уравнение (2.2)
может быть обобщено на нецелые значения п. Используя гамма-функцию
Г(п) = (п — 1)! для устранения дискретной природы факториала, получим
дробное обобщение интегрирования
х
(Iaf)(x) = щ/(*~ 2)а_1/(г) dz (а > 0).

46
Глава 2
Это уравнение может рассматриваться как определение дробного
интеграла.
Рассмотрим конечный или бесконечный интервал [а, Ь] на
действительной оси R. Обозначим через Lp(a, b), где р ^ 1, множество таких
действительных функций / = /(х), измеримых по Лебегу на интервале [а, Ь], для
которых выполняется соотношение
ь
[J |/(x)|"dx)1/P<oo.
а
Если на конечном интервале [a, Ь] задана функция f(x) е Za(a, 6), то
левосторонний и правосторонний дробные интегралы Римана-Лиувилля будут
определяться формулами
x
(«#/)(*) = а12Ы№ = ^ /(X - *)«-7(*)cfc, (2.3)
a
6
(x/f/)(х) = x№/(z) = f^) /<* " x)a-1f(z)dz. (2.4)
Дробные интегральные операторы a4° и J6° с a > 0 являются
ограниченными [101] в Lp(a,b) для всех р ^ 1. Отметим взаимосвязь между
операторами а1£ и х1", задаваемую соотношениями
Q а^х = xlffQi
QxI?=a%Q,
где оператор Q определяется соотношением
(Qf)(x) = f{a + b-x).
Отметим важное свойство дробных интегральных операторов (см.
теорему 2.6 в [101]). Дробные интегральные операторы а1£ и xIf? образуют
полугруппу. Если а > 0 и /3 > 0, тогда уравнения
(в£ л /)(*) = {а%+<> /)(х), (XJ? х J? /)(х) = (х1^ /)(х) (2.5)
выполняются почти в каждой точке х € [а, 6] для f(x) Е Lp(a, 6) при р ^ 1.
Если а + /3 > 1, тогда соотношения (2.5) выполняются в любой точке

2.3. Дробные интегралы Лиувилля
47
интервала [а, 6]. Эти уравнения с а > 0 и /3 > 0 выполняются в любой
точке из [а, Ь] при / е С(а, 6), то есть если / непрерывна на [а, Ь]. Это
и есть полугрупповое свойство дробного интегрирования.
Некоторые дробные интегралы могут быть вычислены в терминах
элементарных функций. Например, для интегралов Римана-Лиувилля
при /3 > — 1 и а ^ 0. Для константы с имеем
а1*с = щ£рг){х-а)°> (2-8)
Г(а + 1)'
*1%с=^гглъ-*)а- (2-9)
Для а = 1 уравнение (2.6) приводит к обычным соотношениям
Jl{x ~ аТ = F^Ti)(х " а)П+1 = ^ТТ(х " а)П+1' (2Л0)
где использовали T(z + 1) = zT(z).
Другие соотношения приведены в таблице 9.1 в книге [101].
2.3. Дробные интегралы Лиувилля
Рассмотрим дробные интегралы, определенные на всей
действительной оси R. Левосторонние и правосторонние интегралы Лиувилля имеют
вид
х
(*?/)(*) = -ooffi/W = Щ J (* - z)a-lf{z)dz, (2.11)
— ОО
ОО
(/?/)(*) = */£[*]/(*) = ^ j{z - x)a-1f(z)dz. (2.12)

48
Глава 2
Дробные интегральные операторы Лиувилля 7± определяются для функций
/Gip(R), 0<а<1, 1<р<1/а. (2.13)
Уравнения (2.11) и (2.12) могут быть представлены с помощью операции
конволюции
оо
уш*) = ¥t\ff(x^z) z°~l dz' (2-14)
Г(а) J
о
Преобразование Фурье дробного интеграла Лиувилля задается
следующим утверждением. Если f(x) £ £i(R) и 0 < а < 1, тогда имеет место
соотношение
IZf = Г-1 {(tlx)'" Г {f}}, (2.15)
где
(Тгх)~а = \x\-°exp(±sgn(x)^y
Функция sgn(x) равна +1 при х ^ 0 и — 1 при х < 0. Через т обозначен
оператор Фурье преобразования
= j f(z)eixzdz, (2.16)
Rn
а через т~1 — обратное Фурье-преобразование
т~х {/} = фг im e~ixzdz- (2л7)
В результате дробные интегралы Лиувилля могут определяться
формулами (2.15) через преобразование Фурье.
Взаимосвязь между интегралами (2.11) и (2.12) имеет вид
Qllf = I°Qf, (2.18)
где
Qf(x) = /(-*).
Следующие свойства дробных интегралов Лиувилля используют
трансляционный оператор 7\ и дилатационный оператор Щ, определенные
формулами
Thf(x) = f(x + h), (2.19)
Па f(x) = /(Ах), А > 0. (2.20)

2.4. Дробный интеграл Рисса
49
Операторы 7± удовлетворяют коммутационным соотношениям
ТН1Ц = J£ Th /, (2.21)
Щ ii f = ха /£ Щ /. (2.22)
Для дробных интегралов выполняются уравнения
ii li f = i^p /, (2.23)
если / G LP(R), где
a>0, /3>0, а + /3<±.
Это полугрупповое свойство для интегралов Лиувилля дробного порядка.
Приведем несколько примеров дробного интегрирования Лиувилля.
Для а > 0 интегрирование Лиувилля дает
ja е±ах = а-*е±ах (0 > Q, а > 0), (2.24)
J£ sin(bx) = Ь~а sin (bx т 9f^. (2.25)
Для левостороннего интеграла имеем
/° (Ъ - axf = ri~°_~pf\b ~ ax)a+V, (2.26)
где 0,Ь — ах>0иа + /3< 1. Для правостороннего интеграла Лиувилля
I" И = ^=^**+ff> (2-27)
где а + /3<1иа>0. Другие соотношения приведены в таблицах 9.2-9.3
в [101].
2.4. Дробный интеграл Рисса
Дробный интеграл Рисса для действительной оси R определяется
формулой
+оо

50
Глава 2
где а > 0, а ф 1,3,5,... Этот интеграл определяется для функций
f(x) е LP(R), 0<a<n, 1^р<%.
Интеграл Рисса может быть представлен через интегралы
Римана-Лиувилля
1а =
(2.29)
2cos(a7r/2)
На интервале а ^ х ^ b дробный интеграл Рисса для действительной
оси (см. раздел 12.4 в [101]) определяется как
ъ
Aaf =
zi уа) cosyan/z)
а
2T(a)cos(an/2) J \х - z\
f f(z)dz
JwHr" a>0- <2'30)
Для случая многих переменных (х G R>) интеграл Рисса определяется
формулой
Z-ХГ
где а > 0 (а ф n, п + 2, гг + 4,...) и
7п(а)
2аттп/2Г(а/2)/Г(?
-), a^n + 2fc, пф-2к,
(2.32)
1, гг = -2fc,
(_l)(n-a)/22a-l7rn/2 х
[ хГ(а/2) Г(1 + [а - n]/2), а = гг + 2fc.
Интеграл Рисса можно определить с помощью Фурье-преобразования:
(Г7)(х) = jr-i { |кГ т {/}}, (2-33)
где — оператор преобразования Фурье
^{/}(к) = J /(x)eikxdx (2.34)
и 1 — оператор обратного преобразования Фурье
—гкх
(2.35)

2.5. Фрактальная массовая размерность
51
Интеграл Рисса для произвольного а > О может быть определен через
конволюцию
Здесь 7п(а) определено уравнением (2.32).
2.5. Фрактальная массовая размерность
Определения размерности Хаусдорфа и клеточной размерности
множества частиц требуют бесконечно (сколь угодно) малого диаметра
покрывающего множества. В общем случае физические системы обладают
наименьшим характеристическим размером таким, как радиус частицы (например,
атома или молекулы). У реальных физических объектов фрактальная
структура не может наблюдаться на всех масштабах. Она обычно существует при
тех масштабах Д, для которых Ro < R < Rm, где До — характерный размер
частицы среды и Rm — макроскопический масштаб исследуемой структуры
или процесса. Поэтому важно рассмотреть физический аналог размерности
Хаусдорфа, не требующий перехода к пределу бесконечно малых диаметров
покрывающих множеств. В качестве такой размерности можно
рассматривать массовую размерность.
Для многих случаев можно записать асимптотическую форму для
соотношения между массой среды, содержащейся в области W, и наименьшим
радиусом R сферы, содержащей эту область среды:
для R/Rq ^> 1. Константа Мо зависит от того, как сферы радиуса До
упакованы. При этом параметр D не зависит от формы системы или от того,
является ли упаковка сфер радиуса До плотной, случайной или пористой
с однородным распределением пустот. В этом случае число D называется
массовой размерностью.
Массовая размерность является мерой того, как система заполняет
пространство, которое она занимает. Факт, что система является пористой или
(2.36)
где ка(х) — ядро Рисса такое, что
aW~7n(a) \|хГ»
a-n^0,2,4,...,
ln(l/|x|), а-п = 0,2,4,...
(2.37)

52
Глава 2
со случайным распределением частиц не обязательно подразумевает, что
система фрактальная. Фрактальные системы обладают свойством, согласно
которому масса увеличивается с увеличением размера системы в
соответствии с законом, задаваемым соотношением масса-радиус.
Массовая размерность является количественной характеристикой
одной из особенностей системы, а именно заполнения ею пространства.
Существуют и другие характерные особенности фрактальных систем,
отличные от фрактальной размерности, которые допускают количественное
описание. Например, разветвленность системы является мерой числа связей,
которые нужно разорвать, чтобы изолировать произвольно большую части
этой системы.
Реальная фрактальная структура среды характеризуется чрезвычайно
сложной и нерегулярной геометрией. Хотя фрактальная размерность не
отражает полностью геометрических свойств фрактала, она, однако,
позволяет изучать поведении фрактальных структур для широкого класса явлений.
Фрактальными средами будем называть среды с нецелой массовой
размерность. Фрактальные среды могут быть найдены среди пористых
материалов, полимеров, коллоидных агрегатов, аэрогелей [69,76,93,125,238].
Например, существуют экспериментальные доказательства [299] того, что
поровое пространство ряда образцов песчаника является фракталами на
нескольких порядках величины R, начиная от 1 нанометра до 105
нанометров. Отметим, что недавно была создана первая синтетическая
фрактальная молекула наноразмеров [389]. Исследовательская группа, возглавляемая
Дж. Ньюкомом использовала технику молекулярной самосборки для
синтезирования молекулы в лаборатории. Молекула, связанная с ионами железа
и рутения, формирует шестиугольную прокладку. С целью подтвердить
создание фрактала, молекулы распылили на куске золота, охладили их до
6 градусов по Кельвину, чтобы сделать их устойчивыми, а затем
рассмотрели их с помощью туннельного микроскопа.
2.6. Простейшие модели фрактальных распределений
Канторово множество, ковер и треугольник Серпинского, губка
Ментера могут рассматриваться как простейшие модели фракталов. Построение
этих фракталов требует неограниченно большого числа итерации, и
использование размерности Хаусдорфа предполагает, что диаметр покрывающих
множеств стремится к нулю. В общем случае физические системы
обладают характерным минимальным размером, таким как радиус До частицы
(например, атома или молекулы). В реальных физических объектах фрак-

2.6. Простейшие модели фрактальных распределений
53
тальная структура не реализуется на всех масштабах. Она существует
только на таких масштабах, для которых R > Ro, где Ro — характерный размер
частиц. Поэтому математическое канторово множество, как подмножество
единичного отрезка вещественной прямой, должно быть заменено
линейной цепочкой атомов или молекул (см. главу 3 книги [125]).
Опишем простейшие модели фрактальных распределений частиц,
предложенные в [530]. Рассмотрим линейную цепочку, состоящую из двух
типов частиц А и В с массами
Мл - М0, Мв^О
и радиусами
Ra — Rb — До-
Цепочка будет строиться по следующему алгоритму:
Лп+1 =Ап-Вп-Ап, (2.38)
Вп+1 — вп — вп — вп,
где п > 0 и Ао — А, Во = В. Линией между частицами обозначена связь
этих частиц. Для п = 1
А — В - А.
Для п = 2
А-В-А-В-В-В-А-В-А.
Для п = 3
А-В-А-В-В-В-А-В-А-
-В-В-В-В-В-В-В-В-В-
-А-В-А-В-В-В-А-В-А.
Видно, что длина цепочки равна
Дп = ЗпДо. (2.39)
Полная масса цепочки данной длины равна
Мп = 2пМ0. (2.40)
Уравнения (2.39) и (2.40) дают
= п In 2,

54
Глава 2
ln(!)=nln3.
Исключая п, эти уравнения можно представить в виде
где
D =
In 2
1пЗ
0.63..
(2.41)
В результате получаем
D
мп = м0
(2.42)
Предлагаемая линейная цепочка может рассматриваться как пример
фрактального распределения частиц на прямой R с массовой
размерностью (2.41). Эта цепочка является физическим аналогом канторова
множества на единичном отрезке. В общем случае последовательность (порядок)
размещения частиц на цепочке может быть случайным. Другие примеры
фрактальных распределений на плоскости R2 и в пространстве R3 могут
строиться аналогично. Легко могут быть получены аналоги ковра
Серпинского и губки Ментера. Соответствующие фрактальные распределения
частиц А и В будут иметь массовые размерности, равные
Эти распределения могут рассматриваться как простейшие модели
фрактальных распределений.
Рассмотрим рандомизированные фрактальные цепочки. В этом случае
полагаем, что число Л-частиц равно Nn = 2п для сегмента длиной Rn =
= 3nRo. отметим, что число частиц каждого типа полагается равным числу
частиц в регулярной фрактальной цепи. В результате соотношение (2.42)
выполняется для рандомизированных фрактальных цепочек.
В линейной цепочке можно рассматривать пустые ячейки типа А и В
вместо частиц А и В. Ячейка В будет описывать неразрешенные
положения для частиц, а ячейка А — разрешенные положения. Например, А могут
представляться как открытые кубические коробки, в которые могут
помещаться частицы, а В — закрытые коробки. Будем предполагать, что ячейки
(коробки) имеют одинаковые размеры и расположены вдоль одной линии
DSc
In 8
1.89..., DMs =
In 20
« 2.73
1пЗ

2.6. Простейшие модели фрактальных распределений
55
без промежутков. Линейная цепочка, состоящая из коробок, будет
фрактальной, если выполняется соотношение
при Na > 1, где через Na и Nb обозначены количества коробок типа А
и В, (NA + Nb) — общее число коробок. Параметр D (О < D < 1) является
фрактальной размерностью цепочки. В этом случае имеется соотношение
где Nn — число открытых коробок и Д& — линейный размер коробки (Яд =
= Rb = Rb), которая много больше радиуса частиц (Rb » До). Через Rn
обозначен участок линейной цепочки (Rn ^> Rb), содержащий N коробок
типа А и В, то есть Rn = Rb(NA + Nb)-
Случайная фрактальная линейная цепочка, состоящая из ячеек А и В,
может рассматриваться как простейшая модель распределения
разрешенных состояний вдоль линии. Понятие плотности состояний описывает то,
как плотно упакованы разрешенные состояния частиц (открытые коробки,
ячейки А) в пространстве Ш1. Отметим, что понятие плотности состояния
является хорошо известным в статистической физике и физике
конденсированного состояния вещества. Оно обычно рассматривается как число
разрешенных состояний на единицу энергии или волновой вектор (см.,
например, [61]). Помимо функции плотности для состояний, представляемых
пустыми ячейками, будем рассматривать функцию распределения частиц и их
физических характеристик (например, массы, электрического заряда,
вероятности или числа частиц) на множестве разрешенных состояний (ячеек)
вдоль линейной цепочки. Функция распределения числа частиц
описывает плотность распределения тождественных частиц по открытым коробкам
типа А. Если имеется распределение такое, что каждая коробка А
содержит одинаковое число частиц, то масса линейной цепочки удовлетворяет
соотношению
где М0 — масса частицы, a iV0 — число частиц в одной коробке. Здесь
параметр D является массовой размерностью цепочки. В общем случае можно
рассматривать частицы, которые распределены с плотностью р(х) вдоль
рандомизированной линейной цепочки с фрактальной размерностью D.
NA = (NA+NB)D,

56
Глава 2
В этом случае на масштабах много больших размера коробки можно
использовать интегральные уравнения, в которых помимо плотности
распределения р(х) используется функция плотности состояний (разрешенных
положений) c\(D,x) в области W С R1. При этом х является безразмерной
координатой, такой что х' = xRb — обычная координата.
2.7. Фрактальное распределение массы
Масса, распределенная на метрическом множестве W С R3 с
плотностью p'(r',t), определяется уравнением
M3(W) = J p'{v',t)dV^ (2.43)
w
где
dVl = dx'dy'dz'
для декартовых координат х', у', z', измеряемых в метрах с системе СИ.
Отметим, что единицами измерения M3(W) является килограмм, а
единицами р' будет килограмм на кубический метр. Для обобщения
уравнения (2.43) введем безразмерные координаты
х = х'/Яо, у = у'/Яо, z = z'/Ro, г = г'/Яо,
где Яо — характерный масштаб, и определим новую плотность
р(г,*) = ДоРЧгЯо,*).
такую что единицами измерения p(r,t) в системе СИ будет килограмм.
В результате получаем
M3(W) = j P{r,t)dV3, (2.44)
w
где dV3 — dxdydz. Это представление позволяет обобщить уравнение (2.44)
на фрактальные среды и фрактальные распределения массы.
Рассмотрим массу, распределенную в области W фрактальной среды
с массовой размерностью D. Будем полагать, что плотность этого
распределения описывается функцией р(г, £), где единицами измерения р в
системе СИ является килограмм. В этом случае масса определяется формулой
MD(W) = J p(v,t)dVD, (2.45)
w

2.7. Фрактальное распределение массы
57
где г, х\ = х, Х2 = у и хз = z — безразмерные переменные, и
dVD -с3(Дг№,
(2.46)
где сП/з = dxdydz для декартовых координат, а сз(£),г) — некоторая
функция плотности состояний в R3. Отметим, что в системе СИ единицами Мо
будет килограмм.
В результате для массы фрактальной среды получили формулу,
содержащую дробный интеграл. Отметим, что уравнения, которые связывают
физические переменные, не зависят от числового множителя в функции
сз(/},г). Однако зависимость от радиус-вектора г важна для этих
уравнений. Заметим, что симметрия функции cs(D^r) должна определяться
симметрией среды, то есть симметриями распределения разрешенных
состояний.
Уравнение (2.45) используется для описания фрактальных сред в
рамах дробно-интегральной модели [480,485,530]. Среда с фрактальной
массовой размерностью представляется специальной сплошной средой, для
описания которой используется интегрирование дробного порядка. В этой
модели интегрирование дробного порядка по области евклидова
пространства Rn используется вместо интегрирования по фрактальному множеству.
Отметим, что реальные фрактальные среды не могут рассматриваться как
фрактальные множества. Фрактальная структура среды не может
наблюдаться на всех масштабах. Уравнения, которые определяют фрактальную
размерность Хаусдорфа и клеточную размерность, содержат переход к
пределу и требуют, чтобы диаметр покрывающих множеств стремился к
нулю. Этот переход осложняет практическое применение этих понятий для
реальных фрактальных сред. В эмпирических исследованиях обычно
используются другие размерности, которые могут быть вычислены из
экспериментальных данных. Например, массовая размерность фрактальных сред
и систем может быть легко измерена экспериментально. Масса выделенной
конечной области фрактальной среды Мр подчиняется степенному закону
где R — размер ячейки (или радиус сферы), к — коэффициент
пропорциональности. Величина D в этом соотношении называется массовой
размерностью среды. При этом размерность среды не зависит от формы
выделенной области или от того, является распределение частиц плотным,
случайным или содержит равномерно распределенные пустоты.
Фрактальная размерность среды служит количественной характеристикой того, как
MD = kRD,
(2.47)

58
Глава 2
частицы среды заполняют занимаемое ею пространство. Следует
подчеркнуть, что если среда является пористой или случайной, то это само по себе
еще не означает, что она фрактальная. Фрактальная среда отличается тем
свойством, что с ростом объема выделяемой области W С Rn полная масса
среды, заключенной в этой области, подчиняется степенному закону
Если D < п, то масса фрактально гомогенной среды увеличивается
медленнее, чем происходит увеличение объема. Асимптотическая форма для
соотношения между массой среды и объемом области, который
оценивается по радиусу наименьшей сферы, содержащей эту часть среды, имеет
вид (2.47). Размерность D фрактальных сред может быть эмпирически
получена методом поклеточного счета (box-counting method). Для оценки
массовой размерности логарифмируется уравнение (2.47):
По графику зависимости массы Mjj от радиуса R, построенным в
логарифмических осях, определяется наклон прямой, который и будет равен
массовой размерности D.
2.8. Плотность состояний в евклидовом пространстве
Для описания фрактальных сред с помощью дробно-интегральных
моделей используются два основных понятия, такие как плотность состояний
Cn(D, г) и функция распределения p(r, t).
Функция Cn(D, г), являющаяся плотностью состояния, описывает то,
как плотно упакованы разрешенные состояний в евклидовом
пространстве Rn. Выражение сп(Ь, r)dVn представляет собой число состояний
(разрешенных мест) в элементарном объеме dVn. Функция р(г, t), являющаяся
функцией распределения, описывает распределение физических величин
(например, таких как масса, электрический заряд, вероятность, число
частиц) на множестве разрешенных состояний в евклидовом пространстве Rn
в момент времени t. Для плотности числа частиц будет использоваться
обозначение n(r, t). Число частиц в области с объемом dVn определяется
уравнением
В общем случае нельзя рассматривать выражение n(r, t)cn(D, г) как новую
функцию распределения или как плотность числа частиц.
D/n
\n(MD) = D 1п(Д) + 1п*.
dN(r,t) = n(T,t)cn(D,r)dVn.

2.8. Плотность состояний в евклидовом пространстве
59
Понятия плотности состояний и функции распределения являются
независимыми. Нельзя свести описание всех свойств системы или среды
к использованию функции распределения. Этот факт является хорошо
известным в статистической физике и физике конденсированного состояния
вещества (см., например, [61,135]), где плотность состояний обычно
рассматривается как число состояний на единицу энергии или на единицу
длины интервала частот. Плотность состояний является свойством, которое
описывает то, как плотно упакованы разрешенные энергетические уровни.
Для фрактальных распределений частиц в области W нужно использовать
плотность состояний в этой области.
В дробно-интегральной модели фрактальных сред плотность
состояний Cn(D,r) в евклидовом пространстве Rn выбирается так, что
выражение
d/xD(r,n) = Cn(D,r)dVn
описывает число состояний в dVn. Будем использовать следующие
обозначения:
dVD = c3(D, r)dV3, dSd = c2(d, r)dS2, dip = ci(/?, r)dh
для описания количества состояний в n-мерных евклидовых пространствах
с п = 1,2,3.
Отметим, что свойства симметрии функции плотности состояний
Сп(£),г) должны определяться свойствами симметрии фрактальной среды,
то есть симметрией распределения разрешенных состояний в ней.
Например, если рассматривается сферическая область
W = {г : |г| ^ R}
со сферически симметричным распределением вещества (р(г, t) = р(г, £)),
тогда можно использовать плотность состояний в форме Рисса с точностью
до числового множителя:
2з-.г(3/2)
31 ' ; r(D/2) 11
Для области в виде параллелепипеда
W := {(хг,х2,х3) G R3 : ак ^ хк ^ Ък, к = 1,2,3}
и соответствующего распределения вещества с фрактальной размерностью
D = а\ + с*2 + аз, где ак фрактальные размерности в направлении оси хк,

60
Глава 2
то можно использовать плотность состояний по Риману-Лиувиллю
с3(Дг) =
|*i - ail01"1!^ - a2\Q2-1\x3 - аз!"3"1
Г(а1)Г(а2)Г(а3)
где х\, х2, х3 — безразмерные декартовы координаты. Отметим, что
уравнения, которые связывают различные физические величины, не зависят от
числового множителя в функции сз(£),г). Однако зависимость от радиус-
вектора г и его компонент х, у, z важна для этих уравнений.
2.9. Интеграл дробного порядка и мера на действительной
оси
Фазовый объем области W = {х : х Е [а; Ь]} в евклидовом
пространстве R1 определяется формулой
ь
/XI (W) = J dx = J dx. (2.48)
W a
Это уравнение может быть представлено как
у ь
VH(W) = J dx + J dx (a < у < b). (2.49)
а у
Приведем формулы, определяющие левосторонний и правосторонний
интегралы Римана-Лиувилля
У
У
Используя эти обозначения, перепишем выражение (2.48) в виде
МЮ= all[x}l+ у1Цх]1. (2.51)

2.9. Интеграл дробного порядка и мера на действительной оси 61
Обобщение уравнения (2.51) может быть представлено как
1*d(W) = aIy[x]l + yl?[x]l (а^у^ b). (2.52)
Подставляя выражения (2.50) в (2.52), получаем
»d(W) = - x^-'dx, + J(x2 - у)°-Ых2^ , (2.53)
где а ^ х\ ^ у ^ х2 ^ Ь и W = [а, Ь).
Уравнение (2.53) может быть представлено в виде
U у
Используя \у — х\ = \х — у\, получаем
ь
ЫЮ = Y^j\x- у\°-Чх. (2.54)
а
Можно определить d/ioix — у) таким образом, что
dfiD(x-y) = ^-)\x-y\D-1d(x-y). (2.55)
Используя
d\x — y\D = D\x — y\D~l sgn(x — у) dx
и DT(D) = T(D + 1), можно представить (2.55) в виде
{\х — 1
где функция sgn(x) равна -1-1 для х ^ 0 и — 1 для х < 0. Если х > 0, то
djiD(x) может рассматриваться как дифференциал функции

62
Глава 2
Интегрирование (2.53) и DT(D) = Г(£> + 1) дают
№([а, 6]) = ^^^у {(У " «)D + (ft - y)D}, (2.57)
где а ^ у ^ 6.
Меру будем выбирать из требования выполнения маштабного свойства
М[Аа, Aft]) = AD/iD([a, 6]) (2.58)
и свойства трансляционной инвариантности
МкЛ]) = AD/iD([a2,ft2]), (2.59)
где |Ь2 — a2| = |6i — а\ |. Для выполнения этих условий будем полагать у = а.
Если использовать у = а в уравнении (2.57), то
ы|а,61)=г(в+1)(6"а)Д (2l60)
Используя а ^ х ^ 6, имеем sgn(x — а) = 1 и |х — а| = х — а. Тогда
уравнение (2.56) при у — а дает
фр(Е-а)= 1 d(g-a)°. (2.61)
В результате получам
- а) = d/i£>([a,x]),
где х £ [а, 6].
Используя плотность состояний
ci(D,x) =
Г(Я)
в одномерном евклидовом пространстве R, имеем
d/j,D(x) = C\(D,x)dx.
Рассмотрим преобразование подобия с коэффициентом подобия А > О
и преобразование трансляции на вектор h для области W = [а, ft].
Используя оператор дилатации Пл и оператор трансляции такие, что
Па/(х) = /(Лх), Thf(x) = f(x + h)

2.10. Дробное интегрирование и масса на действительной оси 63
для функции /(х) = х, получаем
Плх = Ах, Thx = x + h. (2.62)
Можно использовать эти операторы для описания преобразований подобия
и трансляции интервала [а, Ь] таким образом, что
Щ [а,Ь] = [Аа, АЬ], Th [а,b] = [a + h,b + h).
Если а ^ х ^ Ь, то
Пл [а, я) U [х, 6] = [Аа, Ах) U [Ах, АЬ],
7/Ja, х) U [ж, b] = [а + h, х + h) U [х -f h, 6 -f h],
то есть для любого х £ [а, 6] выполняется соотношение (2.62).
В результате получаем, что масштабное свойство
ПЛ = M[Aa, АЬ]) = AD/iD([a,6])
и трансляционная инвариантность
Th /xd([a, Ь]) = A*d([g + h, Ь + Л]) = /хо([а, Ц),
выполняются для меры /jld(W) области W = [a, 6].
Рассмотрим меру dpo(x), которая определяется уравнением (2.61).
Эта мера является трансляционно инвариантной
Thd/j,D{[x,a]) = dpo{[x + h, а + h]) = dpD([x,a\),
поскольку трансляция х —> х + h для любого х означает, что а —> а + h.
Для меры выполняется масштабное свойство
U\d/j,D{[x,a\) = d/xd([Ax, Aa]) = ADd/i£>([x,a]),
поскольку преобразование х —> Ах для любого х означает, что a —> Aa.
2.10. Дробное интегрирование и масса на действительной
оси
Рассмотрим распределение массы с плотностью р(х) в области W =
= {х : х £ [a; Ь]} одномерного евклидова пространства R. Полная масса
этой области равна
ь
MX(W) = J p(x)dx = J p(x)dx, (2.63)
W a

64
Глава 2
где х — безразмерная переменная, а единицами р(х) в системе СИ является
килограмм. Используя интегрирование дробного порядка
а
у
представим (2.63) в виде
Mi (W) = all Шх) + yll [х}р(х), (2.66)
где у Е [а, Ь]. Обобщение уравнения (2.66) может быть представлено в виде
MD(W) = J° [х}р(х) + yIbD [х]р{х). (2.67)
Здесь используются безразмерные переменные х и у для того, чтобы
масса Md имела обычную физическую размерность (килограмм в единицах
системы СИ). Подставляя (2.64) и (2.65) в (2.67), получаем
где а ^ у ^ Ь. Это уравнение можно переписать как
ъ
a
Для того чтобы выполнялись условия (2.58) и (2.59), исключим в формуле
для Мо([а,Ь}) явную зависимость от у, используя у — а. Тогда
уравнение (2.69) имеет вид
ъ
MD(W) = J p(x)d/xD([a,x]), (2.70)

2.10. Дробное интегрирование и масса на действительной оси 65
где
diiD([a,x\) = dpo(x — a), dpo(x) = c\(D,x)dx,
и используем плотность состояний
Легко убедиться, что свойство фрактальной гомогенности и
свойство фрактальности будут выполняться. Рассмотрим постоянную плотность
р(х) = ро.В этом случае фрактальная гомогенность описывается условием
MD([aubi\) = MD([a2M\),
которое выполняется для фрактальных сред, если |&i — а\\ = \Ь2 — а2\.
Свойство фрактальности означает, что
MD([alM]) = \DMD([a2M),
если |6i — а\\= Х\Ь2 — а2|. Эти свойства позволяют использовать
интегрирование дробного порядка D для описания фрактальных сред, в которых
эти свойства имеют место.
Формулу (2.70) можно обобщить на случай параллелепипеда
W := {{хг,х2,х3) Е К3 : ак ^ хк ^ Ък, к = 1,2,3}
и соответствующего распределения вещества с фрактальной размерностью
D = а\ + а2 + аз, где ак — фрактальные размерности в направлении оси
хк. В этом случае имеем
MD(W) = j p{v)c3(D,v)dV3, (2.71)
w
где
г = xiei + х2е2 -f- хзез, dV3 = dx\dx2dx3,
где х\, х2, х3 — декартовы координаты. Плотность состояний можно
использовать по Риману-Лиувиллю в виде
сз(Дг) =
\хг - ai|ai_1|x2 - а2\а2-1\х3 - аз!"3"1
Г(а!)Г(а2)Г(а3)

66
Глава 2
В этом случае фрактальная гомогенность описывается условием
MD(Wl) = MD(W2),
которое выполняется для фрактальных сред, если равны объемы тих
областей Vd{W\) = Vd{W2). Свойство фрактальности означает, что
если W2 = \W\.
2.11. Масса фрактальной среды
Краеугольным камнем фрактальных сред является нецелая массовая
размерность. Эта размерность может быть лучше всего вычислена методом
поклеточного счета (box-counting method). Масса гомогенной фрактальной
среды удовлетворяет степенному закону М ~ RD, где М — масса ячейки
размером R (или шара радиуса R). Число D называется массовой
размерностью. Степенной закон М ~ RD может быть естественно получен,
используя интегрирование нецелого порядка, в котором порядок интегрирования
равен массовой размерности.
Рассмотрим область W в 3-мерном евклидовом пространстве R3.
Масса фрактальной среды, заключенной в области W, обозначается через
Mq(W). Фрактальность среды означает, что масса этой среды в любой
конечной области W С Ш3 увеличивается более медленно, чем 3-мерный
объем этой области
Введем понятие фрактальной гомогенности. Распределение массы, при
котором любые две геометрически одинаковые области среды содержат
одинаковые массы, называется фрактально гомогенным (см. раздел III.9,
стр.132 в книге [76]). Следовательно, фрактальная среда является
гомогенной, если степенной закон (2.72) является трансляционно инвариантным.
Другими словами, свойство гомогенности среды может быть
сформулировано в следующем виде: для любых двух конечных областей W\ и W2
гомогенной фрактальной среды с равными объемами Vq(Wi) = Vo(W2) массы,
заключенные в этих областях, тоже равны Mo(W\) = Me>(W2). Для
широкого класса фрактальных сред выполняется свойство гомогенности. Многие
фрактальные пористые среды, полимеры, коллоидные агрегаты и аэрогели
могут рассматриваться как гомогенные фрактальные среды. При этом тот
MD{W2)^\DMD{W1),
d/3
(2.72)

2.11. Масса фрактальной среды
67
факт, что среда является пористой или случайной вовсе не означает сам по
себе, что она является фрактальной.
Концепция фрактальной гомогенности в общем случае гораздо шире.
Она применима к любому фракталу, для которого положительна и конечна
хаусдорфова мера в размерности D. В этом случае фрактальная
гомогенность означает, что масса, распределенная на некотором множестве,
пропорциональна хаусдорфовой мере этого множества (раздел III.9, стр.132
в книге [76]).
Для описания фрактальных сред, предлагается использовать дробно-
интегральную модель. В этой модели фрактальность и гомогенность могут
быть реализованы в следующем виде:
• Гомогенность: локальная плотность гомогенной фрактальной среды
может описываться постоянной плотностью p(r) = ро = const. Это
свойство означает, что уравнения с постоянной плотностью массы
должны описывать гомогенные среды. При этом если p(r) = const
и V(Wi) = V(W2), то MD{Wi) = MD{W2).
• Фрактальность: масса шарообразной области W гомогенной
фрактальной среды подчиняется степенному закону M~RD, где 0<D<3,
a R — радиус шара. Если V^(Wi) = \nVn(W2) и среда является
гомогенной (p(r,£) = const), то фрактальность означает, что Mo(W\) =
= \DMD(W2).
Эти два условия не могут быть выполнены, если интегральные
уравнения, описывающие массу конечной области среды, имеют целый порядок.
Эти два требования могут быть реализованы, если использовать дробно-
интегральное уравнение
MD(W,t) = j p{v,t)dVD, dVD = c3(D,r)dV3, (2.73)
w
где r — безразмерный радиус-вектор. Отметим, что p(r, t) — функция
плотности распределения массы, a c3(D,r) — плотность состояний в
евклидовом пространстве R3. Эти понятия являются различными и не сводимыми
одно к другому. Нельзя описать все свойства фрактальной среды,
используя лишь понятие функции распределения, без применения понятия
плотности состояния. В общем случае физические величины, характеризующие
фрактальные среды, не могут быть описаны интегрированием целого
порядка без применения функции плотности состояний cn(D, г). Вид
функции c3(D, г) и свойства ее симметрии определяются свойствами
фрактальной среды, симметриями распределения разрешенных состояний. Отметим,

68
Глава 2
что уравнения, связывающие физические величины, не зависят от
числовых множителей в функции c3(D, г). Однако зависимость от безразмерного
радиус-вектора г принципиальна для этих уравнений.
Фрактальная массовая размерность D равна порядку дробного
интегрирования (2.73). При этом существует множество различных
определений дробных интегралов. Все эти интегралы отличаются свойствами
симметрии соответствующих ядер, которые интерпретируются как плотности
состояний. Для области в виде параллелепипеда
W := {(хих2,х3) еШ3 : ак^хк^Ьк, к = 1,2,3}
и соответствующего распределения вещества с фрактальной массовой
размерностью D = а\ +а2+аз (0 < D ^ 3), где ак фрактальные размерности
в направлении оси хку можно использовать интеграл Римана-Лиувилля и
плотность состояний
СЗ(АГ) Г(а1)Г(а2)Г(а3) ' (2'?4)
где х\9 Х2, хз — безразмерные декартовы координаты. Отметим, что для
D = 2 имеется фрактальное распределение массы в 3-мерном евклидовом
пространстве R3. В общем случае это распределение не эквивалентно
распределению на двумерной поверхности.
Для сферически симметричного распределения вещества (p(r,t) =
= p(r, t)) в сферической области
W = {r: |r| ^ R}
можно использовать интегрирование Рисса. Если использовать ядро
интеграла Рисса в качестве функции плотности состояний
C3(D,r)= п T}}J2) |r|D-3, (2.75)
К ' 20тг3/2Гф/2)'
то получим, что в пределе D —+ 3 плотность состояний отлична от единицы
^lim c3(D,r) = (47Г3/2)-1. (2.76)
Поэтому удобно применять функцию

2.12. Электрический заряд фрактального распределения
69
Эта плотность состояний задает интегрирование Рисса с точностью до
числового множителя. При этом множитель, используемый в формуле (2.77),
позволяет получить обычный интеграл целого порядка в пределе D —► 3.
Отметим, что уравнения, связывающие физические величины между собой
(например, массу, момент инерции), не зависят от числового множителя.
Для фрактально гомогенной среды (p(r) = р0 = const) и
шарообразной области W = {г : |г| ^ R} уравнение (2.73) дает
MD(W) = ро2^Ш J \r\°-*dV3.
W
Используя сферические координаты, получаем
w
В результате имеем M(W) ~ RD, то есть получили степенной закон с
точностью до числового множителя
o4-D-2D/3oD/3_3/2-D/3 / \ d/3
Md{w)=-—щщ—<w>) •
где использовали объем шара Уз(И^) = (47г/3)#3 и формулы
Г(3/2) = (1/2)Г(1/2), Г(1/2) = ^.
Применение дробно-интегрального уравнения порядка D позволяет нам
описывать фрактальные среды с нецелой массовой размерностью,
равной D.
При этом локальная плотность гомогенной фрактальной среды может
описываться постоянной плотностью массы p(r) = р0 = const, а масса
шарообразной области W гомогенной фрактальной среды подчиняется
степенному закону Md(W) ~ RD.
2.12. Электрический заряд фрактального распределения
Рассмотрим заряженные частицы, которые распределены с некоторой
плотностью во фрактальной среде с размерностью D. В гомогенном случае
электрический заряд Q подчиняется степенному закону Q(R) ~ RD, тогда
как для регулярных n-мерных евклидовых объектов Q(R) ~ Rn.

70
Глава 2
Полный заряд, распределенный в области W среды с целой
размерностью D = 3 и плотностью р'(т', t), вычисляется по формуле
Qs(W) = j p'(r',t)dVi, (2.78)
w
где
dVi = dx'dy'dz'
для декартовых координат х', у', z', единицами измерения которых в
системе СИ является метр. Единицами измерения заряда Q3 в системе СИ
является Кулон, а единицами плотности заряда р' служит Кулон на
кубический метр.
Для обобщения уравнения (2.78) запишем это уравнение, используя
безразмерные координаты
х = а//Но, У = </'/До, z = z'/Ro, г - г'/Яо,
где Ro — характерный масштаб, и новую плотность заряда
р(г,0 = ДоР,(гДо>0,
единицами измерения которой будет Кулон. В результате получаем
Q3(W) = j p{v,t)dV3, (2.79)
w
где dV3 = dxdydz для безразмерных декартовых координат. Это
представление позволяет обобщить уравнение (2.79) на фрактальные распределения
заряда.
Рассмотрим фрактальное распределение электрического заряда в
рамках дробно-интегральной модели. Предположим, что плотность
электрического заряда описывается функцией р(г,£), единицами измерения которой
в системе СИ будет Кулон. В рамках дробно-интегральной модели полный
заряд фрактального распределения, заключенного в области W,
определяется формулой
Qd(W) = j p(r,t)dVD, (2.80)
w
где
dVD =c3{D,r)dV3,

2.13. Вероятность во фрактальных средах
71
и dVs — dxdydz для безразмерных декартовых координат, и сз(Дг) —
плотность состояний. Отметим, что единицами измерения заряда Q& в
системе СИ останется Кулон. Отметим, что уравнения, связывающие
физические величины (например, заряд и дипольный момент), не зависят от
числового множителя в функции c3(D, г). При этом важна зависимость этой
функции от г.
Функция cs(D, г), описывающая плотность состояний, определяется
свойствами (например, симметриями) фрактального распределения.
Рассмотрим шарообразную область W = {г : |г| ^ R} и сферически
симметричное распределение заряда (р(г, t) = p(r, t)). В этом случае полный
заряд равен
3-d r
QD(R) = 4n2 ~г{^2) Jp(r,t)rD-4r.
о
Для гомогенного распределения заряда p(r, t) = ро и
23"Dr(3/2) rd
Распределение заряженных частиц называется гомогенным, если для
любых двух конечных областей W\ и W2 с равными объемами Vb(H^i) =
= Vd(W2) полные заряды, заключенные в них, равны Qd(W\) = Qd(W2).
Степенной закон Qd(R) ~ RD фактически задает размерность D
гомогенного фрактального распределения зарядов. Мы будем
рассматривать этот степенной закон как определение зарядовой размерности,
аналогично массовой размерности фрактальных сред. Если все частицы
фрактального распределения идентичны, то есть имеют равные массы и
заряды, то зарядовая размерность равна массовой размерности распределения.
В общем случае эти размерности не совпадают и являются различными
характеристиками фрактальных распределений. В общем случае массовая
и зарядовая размерности могут существенно отличаться друг от друга,
например, если распределение содержит большое количество нейтральных
частиц.
2.13. Вероятность во фрактальных средах
Рассмотрим распределение вероятности во фрактальных средах,
описываемых дробно-интегральными моделями, в которых используется
интегрирование дробного порядка.

72
Глава 2
Вероятность, которая распределена в 3-мерном евклидовом объекте
или среде, определяется формулой
P3(W,t) = J p(r,t)dV3, (2.81)
w
где p(r, i) — плотность распределения вероятностей такая, что
j p(r,t)dV3 = l, pM)^0,
R3
и dV3 = dxdydz для безразмерных декартовых координат.
Рассмотрим вероятность, которая распределена с некоторой
плотностью р(г, t) во фрактальной среде с размерностью D. В этом случае
вероятность для области W определяется дробно-интегральным уравнением
PD(W,t) = J p(r,t)dVD, (2.82)
w
где г, х,у, z — безразмерные радиус-вектор и его координаты,
dVD=c3(D,v)dV3, (2.83)
а функция c3(D,v) описывает плотность состояний. Плотность
распределения вероятности р(г, t) удовлетворяет условиям
j p(r,t)dVD = l, p(r,t)>0.
R3
Уравнение (2.82) позволяет рассматривать стохастические процессы
во фрактальных средах в рамках дробно-интегральной модели. Для
описания фрактальных сред в этой модели используются понятия плотности
состояний c3(D, г) и плотности распределения вероятности р(г, t).
Плотность состояний является функцией, описывающей, как плотно упакованы
разрешенные состояний в пространстве. Функция р(г, t) описывает
распределение вероятности по разрешенным состояниям. Для вычисления
вероятности различных процессов во фрактальных средах используется
интегрирование дробного порядка, которое позволяет учесть степенное
распределение состояний во фрактальной среде.

2.14. Фрактальное распределение частиц
73
2.14. Фрактальное распределение частиц
Фрактальным называется распределение точечных частиц с нецелой
размерностью числа частиц. Размерность Хаусдорфа и клеточная
размерность требует, чтобы диаметр покрывающих множеств стремился к
нулю. В реальных распределениях частиц фрактальная структура не может
наблюдаться на всех масштабах. Физические системы и среды
обладают характерным минимальным размером, таким как радиус Ro частицы,
(например, атома или молекулы). Поэтому для описания реальных
распределений частиц необходимо использовать размерность отличную от хау-
сдорфовой и клеточной. Для определения этого аналога заметим, что число
частиц фрактального распределения увеличивается при увеличении
размера согласно степенному закону. Для широкого класса распределений
можно рассматривать асимптотическую форму для соотношений между
числом частиц N и радиусом R наименьшей сферы, содержащей эти частицы
для R/Ro ^> 1. Постоянная iVo зависит от того, как упакованы частицы
радиуса Ro. При этом параметр D не зависит от того, является ли
упаковка частиц плотной, случайной или содержит равномерно распределенные
пустоты. Используя соотношение (2.84), можно определить размерность
распределения как меру того, как частицы заполняет пространство. Эта
размерность может быть названа частичной размерностью или размерностью
числа частиц.
Фрактальность распределения частиц означает, что число частиц в
конечной области W евклидова пространства W1 увеличивается более
медленно, чем п-мерный объем этой области. Для шарообразной области
фрактального распределения, это свойство может быть описано степенным
законом Nd(W) ~ RD, где R — радиус шара.
Фрактальное распределение частиц называется гомогенным, если
степенной закон Nd(W) ~ RD не зависит от переноса области W или выбора
геометрически такой же области в другом месте этого распределения.
Свойство фрактальной гомогенности распределения частиц может быть
сформулировано в следующем виде: для любых двух конечных областей W\ и W2
гомогенного фрактального распределения с равными объемами Vb(Wr) =
= Vd(W2) число частиц в этих областях равно Nd(W\) = Nd(W2). Для
описания фрактальных распределений используем дробно-интегральную
модель, в которой свойства фрактальности и гомогенности реализуются
в следующем виде.
внутри,
(2.84)

74
Глава 2
• Понятие гомогенности означает, что локальная плотность числа частиц
п(г) для гомогенного фрактального распределения может описываться
постоянной величиной п(г) = uq — const. Это свойство означает, что
уравнения с постоянной плотностью числа частиц должны описывать
гомогенные распределения. При этом если п(г) = const и =
= V(W2), то ND(W!) = ND(W2).
• Понятие фрактальности означает, что число частиц в шарообразной
области W гомогенного фрактального распределения должно
описываться степенным законом N(W) ~ RD, где 0 < D < п, a R — радиус
шара. Если V^(Wi) = XnVn(W2) и п(г,£) = const, то фрактальность
означает, что ND(W\) = \dNd(W2).
Эти требования могут быть реализованы через использование
интегральных уравнений дробного порядка, равного D. При этом ядра дробно-
интегральных уравнений интерпретируются как плотности разрешенных
состояний.
Реальные фрактальные структуры различных распределений частиц
характеризуются огромной сложностью и нерегулярностью геометрии.
Хотя частичная размерность D (размерность числа частиц) не отражает всей
сложности геометрических свойств фрактальных распределений частиц,
тем не менее она позволяет описывать особенности поведения этих
распределений.
Число частиц, которые распределены в области W С W1 с плотностью
n'(r', t) и целой размерностью D = п = 1,2,3, определяется формулой
Nn(W) = j n\v\t)dV^ (2.85)
w
где
dV^=dx\...dx'n
для декартовых координат х'к, к = 1,...,п, измеряемых с системе СИ
в метрах. Отметим, что единицами измерения п'(т' ,t) в системе СИ
является meter~n. Для обобщения уравнения (2.85) представим это уравнение
через безразмерные координаты
хк = x'k/Ro, г = г'/До,
где Rq — характерный масштаб, и безразмерную плотность числа частиц
п(г,0 = ДоП,(гЯо,0-

2.14. Фрактальное распределение частиц
75
В результате уравнение (2.85) записывается в виде
Nn(W)= j n(r,t)dVn, (2.86)
w
где dVn = dx\... dxn для безразмерных декартовых координат. Это
представление может быть обобщено на фрактальные распределения частиц.
В дробно-интегральной модели фрактального распределения
используются интегралы дробного порядка по области евклидова пространства Rn
вместо интегрирования по фрактальному множеству. Для описания
фрактальных распределений в рамках дробно-интегральной модели
используются два независимых понятия, такие как плотность состояний cn(D,r)
и плотность числа частиц п(г, t). Функция плотности состояний Cn(D, г)
описывает то, насколько плотно размещены разрешенные состояния
(положения частиц) в евклидовом пространстве Rn. Отметим, что Cn(D, г)
является такой функцией радиус-вектора г, что выражение cn(D, r)dVn
представляет число состояний (разрешенных положений) в элементарном
объеме dVn. Плотность числа частиц п(г, t) описывает распределения числа
частиц на множестве разрешенных состояний в евклидовом пространстве Шп.
Используя эти понятия, число частиц в области dVn определяется
уравнением
dN{r,t) = n{r,t)cn(D,r)dVn.
В общем случае понятия плотности состояний и плотности числа частиц
являются независимыми. Нельзя свести описание всех свойств
фрактального распределения частиц к функции плотности числа частиц. Этот факт
хорошо известен в статистической физике и физике конденсированного
состояния вещества, в которых плотность состояний обычно
рассматривается в энергетическом пространстве или пространстве волновых векторов.
Плотность состояний, например, описывает, как плотно упакованы
энергетические уровни. Для фрактальных распределений частиц в области W
нужно использовать плотность разрешенных размещений в этой области.
В дробно-интегральной модели фрактального распределения частиц
плотность состояний Cn(D,r) в пространствах Rn выбирается таким образом,
что выражение
d/iD(r,n) = Cn(D,t)dVn
описывает число состояний в элементарном объеме dVn. Для п = 3
используется обозначение
dVD=c3(D,r)dV3

76
глава 2
для описание плотности состояний в 3-мерном евклидовом
пространстве R3.
Используя дробно-интегральную модель, можно рассматривать
распределение частиц в области W С Шп, частичная размерность (размерность
числа частиц) для которой равна D. Полагаем, что плотность числа
частиц для этого распределения описывается безразмерной функцией n(r,t).
Полное число частиц в области W С Rn обозначается через No{W). В
дробно-интегральной модели полное число частиц определяется формулой
ND(W) = j n(v,t)dVD, (2.87)
w
где г, Xfc, к — 1,..., п являются безразмерными радиус-вектором и
координатами, а
dVD=Cn{D,t)dVn. (2.88)
Отметим, что следует различать плотность числа частиц п(г, t) и плотность
разрешенных состояний cn(D, г) в области W С W1. Функция cn(D, г)
определяет ядро интеграла дробного порядка, равного D. В общем случае
средние значения физических величин для фрактального распределения не
могут быть получены интегрированием целого порядка без использования
функций cn(D,r). Вид и свойства функции cn(D, г) определяются
свойствами и симметриями фрактального распределения.
Фрактальная частичная размерность D определяет порядок дробного
интегрирования в (2.87). Существует множество различных определений
дробного интегрирования, ядра которых интерпретируются как плотности
разрешенных состояний. Симметрия плотности состояний сз(£>,г)
должна быть связана с симметрией распределения. Например, для сферически
симметричного распределения (п(г, t) = п(|г|, t)) в пространстве М.п можно
использовать дробное интегрирование Рисса [101,307,444]. В этом случае
МАг)= rD((n:D)/2) |гГ", (2.89)
V } 2DW2r(L>/2)' ' V ;
где D < п. Для фрактально гомогенного стационарного распределения
частиц (п(г,£) = no = const) и шарообразной области W = {г : |г| ^ R}
уравнение (2.87) с плотностью состояний (2.89) дает
ND(W) = noT«n-D)/2) [\т\°-»*Уя.
т > 02О7г"/2Г(£)/2)У ' '
w

2.15. Заключение
77
Используя сферические координаты, имеем
ND(W) =
Щп-Б)/2)
2D-1T(n/2)T(D/2)
w
T((n-D)/2)
n0RD.
D2D-lT{n/2)T(D/2)
В результате получаем соотношение Nd(W) ~ RD с точностью до
числового множителя.
2.15. Заключение
В данной главе рассматривались основные понятия
дробно-интегральных моделей фрактальных сред. Фрактальными являются среды,
распределенные в пространстве Rn, где п = 1,2,3, массовая размерность D
которых меньше размерности пространства п. Размерность фрактальных
сред может быть эмпирически получена методом поклеточного счета (box-
counting method). Интегрирование нецелого порядка используется для
описания фрактальных распределений массы, заряда и вероятности. Порядок
интегрирования равен соответствующей (массовой, зарядовой, частичной)
размерности фрактального распределения или среды. Для описания
фрактальных сред с помощью дробно-интегральных моделей используются два
основных понятия, такие как плотность состояний cn(D, г) и функция
распределения p(r,t). Функция cn(D,r), являющаяся плотностью состояний,
описывает то, как плотно упакованы разрешенные состояний в
евклидовом пространстве Шп. Отметим, что свойства симметрии функции
плотности состояний cn(D, г) должны определяться свойствами симметрии
фрактальной среды, то есть симметрией распределения разрешенных состояний
в ней. Функция p(r,t), являющаяся функцией распределения, описывает
распределение физических величин (например, таких как масса,
электрический заряд, вероятность, число частиц) на множестве разрешенных
состояний в евклидовом пространстве Rn в момент времени t. Динамика
и уравнения движения фрактальных сред и распределений
рассматриваются в следующих главах. В этих главах будет рассмотрено применение
дробно-интегральных моделей фрактальных распределений в
гидродинамике, в механике абсолютно твердого тела, в теории случайных процессов,
в электродинамике, в статистической механике.

Глава 3
Гидродинамика фрактальных сред
3.1. Введение
В общем случае реальные среды характеризуются чрезвычайно
сложной и нерегулярной геометрией. Поскольку методы евклидовой
геометрии, которая обычно имеет дело с регулярными множествами,
используются для описания сплошных сред, то для описания реальных сред
с нерегулярной геометрией часто применяются стохастические модели
[25,26,80,81,132,404,552]. Другой возможный способ описания сложной
структуры среды связан с использованием теории фракталов, то есть
множеств с нецелой размерностью [76,125,238]. Хотя нецелая размерность не
отражает все геометрические и динамические свойства фрактальных сред,
это, однако, позволяет делать важные заключения о поведении фрактальных
сред. Отметим, что масса фрактальной среды, заключенной в области с
характерным размером R, удовлетворяет масштабному закону M(R) ~ RD,
тогда как для регулярных n-мерных евклидовых объектов M(R) ~ Rn.
Фрактальную среду можно определить как среду с нецелой массовой
размерностью. В общем случае фрактальная среда не может определяться как
среда, которая распределена по фракталу. Естественно, в реальных средах
фрактальная структура не может наблюдаться на всех масштабах. Только на
тех масштабах R9 для которых R\ < R < R2, где R\ является характерным
размером частиц (молекул), a R2 является макроскопическим масштабом
исследуемой структуры или процесса.
В общем случае фрактальные среды не могут рассматриваться как
сплошные среды. Существуют точки и области, которые не заполнены
частицами среды. В работах [480,485,530] было предложено описывать
фрактальные среды с помощью специальных (дробно-интегральных)
моделей. Реальные фрактальные среды с нецелой массовой размерностью
описываются не как фрактальные множества, а как особые сплошные
среды, для описания которых применяется интегрирование дробного
порядка [101,307,444]. В некотором смысле эта процедура является обобщением

3.2. Закон сохранения массы
79
подхода, предложенного для композиционных материалов в книге [64]
(параграф 2.1). Интегрирование нецелого порядка, равного массовой
размерности среды, позволяют учесть фрактальные свойства среды.
Во многих задачах и проблемах реальной фрактальной структурой
можно пренебречь и описывать фрактальные среды с помощью дробно-
интегральной модели. В рамках этой модели для описания среды с нецелой
массовой размерностью используется дробное интегрирование
(интегрирование нецелого порядка). Порядок этого интегрирования определяется
фрактальной массовой размерностью среды. Дробно-интегральная модель
позволяет описывать динамику фрактальных сред. Интегралы дробного
порядка используются [480,530] для получения обобщений уравнений законов
сохранения [17] на фрактальные среды.
В разделах 2-8 выводятся обобщения интегральных уравнений,
описывающих законы сохранения массы, импульса и внутренней энергии, на
фрактальные среды. Используя дробно-интегральную модель, получаем
соответствующие дифференциальные уравнения с производными целого
порядка для описания законов сохранения массы, импульса и внутренней
энергии в дифференциальной форме для фрактальных сред. В разделах
9-10 рассматриваются обобщения уравнений Навье-Стокса и уравнений
Эйлера для фрактальных сред. В разделах 11-12 предлагаются
уравнения равновесия для фрактальных сред и обобщения интеграла Бернулли.
В разделах 13-14, используя дробно-интегральную модель,
рассматриваются звуковые волны во фрактальных средах. Краткое заключение приводится
в разделе 15.
3.2. Закон сохранения массы
Дробно-интегральные модели могут использоваться не только для
вычисления физических величин, таких как масса, электрический заряд или
число частиц. Они могут применяться и для описания динамики
фрактальных сред.
Рассмотрим обобщения интегральных уравнений законов сохранения
со сплошных сред [17] на фрактальной среде. Выделим некоторую
область W в среде. Граница этой области будет обозначаться через 3W.
Предположим, что среда в области W имеет массовую размерность, равную D,
а размерность среды на границе 3W равна d. В общем случае размерность d
не равна ни 2, ни (D — 1).
Фрактальные среды будем описывать с помощью дробно-интегральной
модели, в которой используются понятие плотности состояний Cn(D, г)

80
Глава 3
и функция распределения р(г, t), где г — безразмерный радиус-вектор.
Плотность состояний cn(D,r) является функцией в n-мерном евклидовом
пространстве Шп, которая описывает то, как плотно упакованы
разрешенные состояния в пространстве Rn. Выражение cn(D, r)dVn описывает
число разрешенных мест (состояний) между Vn и Vn+dVn. Будем использовать
следующие обозначения:
dVD = c3(D,r)dV3, dSd = c2(d,r)dS2, dip = ci(/J,r)cfli
для описания плотностей состояний в n-мерных евклидовых пространствах
с п = 1,2,3 соответственно. Плотность массы p(r,t) является функцией,
которая описывает распределение массы на множестве разрешенных мест
(состояний) в пространстве Rn.
Рассмотрим распределение массы в области W фрактальной среды
с массовой размерностью D. Плотность распределения массы будем
описывать функцией р = р(г, t) такой, что г является безразмерным вектором,
а плотность р(г, t) в единицах СИ измеряется в килограммах. В дробно-
интегральной модели фрактальных сред масса, заключенная в области W,
определяется формулой
MD(W) = j рМ)ЛЪ, (3.1)
W
где можно использовать dVb в виде
dVD=C3(D,r)dVs.
Функция сз(£), г) задает плотность состояния в М3. Для сферически
симметричного случая можно использовать функцию вида
Отметим, что Mq в системе СИ измеряется, как обычно, в килограммах.
Закон сохранения массы описывается уравнением
jtMD(W) = 0. (3.2)
Используя выражение (3.1), уравнение (3.2) можно представить в виде
£tjp(r,t)dVD=0. (3.3)
w

3.3. Полная производная по времени дробного интеграла
81
Интеграл (3.3) берется по области W, которая движется вместе со средой.
Поле скоростей обозначается вектором и = и(г,£). Заметим, что в
единицах СИ вектор и измеряется в секундах в минус первой степени. Отметим,
что в дробно-интегральной модели используется интегрирование дробного
порядка [101,307,444] по области W в пространстве Rn вместо
интегрирования по фрактальному множеству. Порядок D интегрирования в
интегральных уравнениях равен массовой размерности фрактальной среды.
Можно получить дифференциальные уравнения, которые связаны с
интегральными уравнениями дробного порядка законов сохранения [480]. Для
получения этих дифференциальных уравнений необходимо иметь формулу
для полной производной по времени для объемных интегралов дробного
порядка и соответствующее обобщение теоремы Гаусса.
3.3. Полная производная по времени дробного интеграла
В дробно-интегральной модели фрактальных сред полная производная
дробного объемного интеграла от величины А = Л(г, u, t) определяется
формулой
j-t j AdVD = J ^dVD + J AundSd, (3.4)
w w aw
где u = Uk&k — векторное поле скоростей, un = un(r,t) определяется
как un = (u, n) = Ufcrib a n = n^e^ — вектор нормали. Поверхностный
интеграл по границе dW может быть представлен как объемный интеграл
по области W, используя обобщение теоремы Гаусса.
Для сплошной среды теорема Гаусса записывается в виде
dW W
где
div(^u) =
j AundS2 = Jdiv{Au)dV3, (3.5)
д(Аик)
дхк
Здесь и далее подразумевается суммирование по повторяющимся индексам
к и / от 1 до 3. Рассматривая второе слагаемое в правой части
уравнения (3.4) и используя выражение
dSd = c2(d,r)dS2, c2(d,r) = -¥-£-\r\d-2,
r(d/2)

82
Глава 3
получаем
J AundSd= J c2(d,r)AundS2.
dW dW
Для d = 2 имеем c2(2, г) = 1. Из теоремы Гаусса (3.5) получаем
j c2(d,r)AundS2 = JdiY(c2{d,r)Au)dV3. (3.6)
dW w
Подставляя выражение
dVD = c3(D,r)dV3, са(Дг) = 23^^2)|r|0"3
в виде dV3 = Czl(D,r)dVD в уравнение (3.6), получаем
j AundSd = Jc^(D,t) div(c2(d,r)A\i)dVD. (3.7)
dW w
Это уравнение можно рассматривать как обобщение теоремы Гаусса на
фрактальные среды.
В результате полная производная по времени (3.4) объемного
интеграла дробного порядка представляется как
| j AdVD = J(24 +Сз1(Дг) div(c2(d,r)Au)) dVD. (3.8)
w w
Для целых размерностей d = 2 и D = 3 получаем обычное уравнение [17]
и/ ж
Для упрощения вида уравнений введем обозначения
где
c(Ad,r)=cJ1(Ar)c2(d,r). (3.10)

3.3. Полная производная по времени дробного интеграла
83
Для сферически симметричного случая функция (3.10) имеет вид
с(и,а,т) r(3/2)r(d/2) I'l
Отметим, что правило почленного дифференцирования произведения для
оператора (3.9) выполняется
(i)B<")-'(i)D*+,,k(&)B'- (311)
Уравнение (3.9) определяет обобщение полной производной по времени
для дробно-интегральных моделей. Отметим, что для сред с целыми
размерностями (D = 3, d = 2) имеем c(D, d, г) = 1 и
Определим обобщенную дивергенцию
DivD(u) =cf1(Ar)div(c2(d,r)u). (3.13)
Отметим, что оператор (3.13) не является дивергенцией дробного порядка.
Дифференциальные и интегральные векторные операции дробного порядка
были предложены в статье [515]. Для сферически симметричного случая
выражение (3.13) имеет вид
Используя производные функции А = Л (г, t) по координатам
x?da -im Mc2(d,v)A)
VkA = c3 \DiT) -fak » (3-15)
обобщенная дивергенция (3.13) может быть представлена в виде
DivD = efcVf, DivD(Au) = Vf (Auk).
Для D = 3 и d = 2 имеем

84
Глава 3
Отметим, что правило почленного дифференцирования для оператора VjP
не выполняется
V?(AB)*AV?(B) + BV?{A).
Оператор Vj^, примененный к произведению, подчиняется правилу:
V^(AB) = AVj>{B) + c(D, d, т)В VkA. (3.16)
В общем случае V^(l) ф О и получаем
Vf(l) = c(Ad,r)(d-2)2|.
JAdVD = J(QQ Л + Л DivD(u))dVb. (3.17)
Используя (3.9) и (3.13), уравнение (3.8) может быть переписано в
виде
А
dt,
W W
Это уравнение описывает полную производную по времени от
объемного интеграла дробного порядка для физической величины А = Л(г, u, t)
в рамках дробно-интегральной модели фрактальных сред. При D = 3
получаем обычное выражение, используемое в механике сплошных сред [17].
3.4. Уравнение неразрывности для фрактальной среды
Получим дифференциальное уравнение, которое связано с
интегральным уравнением дробного порядка
W
dVD = 0. (3.18)
Для этого рассмотрим функцию А = p(r, t) и уравнение (3.17). Подставляя
А = p(r, t) в уравнение (3.17), получаем
£jpdVD = J((±) P + PDbD{u))dVD.
w w
Поэтому уравнение (3.18) принимает вид
/((*) P^PDWoH)dVD=0. (3.19)

3.4. Уравнение неразрывности для фрактальной среды
85
Полагая, что уравнение (3.19) выполняется для любых областей W,
получаем
(А)
\dtJo
р + pDivD(u) =0. (3.20)
Уравнение (3.20) можно рассматривать как уравнение неразрывности, то
есть закон сохранения массы для фрактальных сред в дифференциальном
виде. Уравнение (3.20), которое получено из дробного интегрального
уравнения закона сохранения массы, не является дробным дифференциальным
уравнением. Отметим, что дифференциальное уравнение дробного
порядка, описывающее закон сохранения массы, обсуждается в работе [558].
В качестве примера рассмотрим сферически симметричный случай.
Выражение (3.14) позволяет переписать (3.20) в виде
t + С^Й?/?И-° div(lrl-V) = 0. (3.21)
dt Г(3/2)Г(<*/2) 11 v 1
Используя соотношение
grad |r|«-2 = = {d- 2)|r|d-3^i = (d - 2)|r|«-4r,
уравнение (3.21) представляется как
dt
+ c(Ad,r)(u,gradp) + c(Ad,r)p(div(u) + (d-2)^^) =0, (3.22)
где (u,r) = ukxk.
Рассмотрим случай гомогенной фрактальной среды. Фрактальная
среда называется гомогенной, если степенной закон Mo(W) ~ RD не зависит
от перемещения области W в среде. Фрактальная гомогенность среды
означает [530], что для любых двух областей W\ и W2 среды с равными
объемами Vd{W\) = Vd(W2) массы этих областей равны Md(W\) — Md(W2).
В дробно-интегральной модели плотность массы гомогенной фрактальной
среды описывается постоянной плотностью р(г) = ро = const.
В случае сферически симметричного распределения разрешенных
состояний и гомогенных фрактальных сред уравнение (3.22) дает

86
Глава 3
В результате поле скоростей гомогенной фрактальной среды является несо-
леноидальным полем, то есть div(u) ф 0.
Отметим, что уравнение неразрывности включает плотность
импульса р(г, t) и u(r,£). Для получения уравнения закона сохранения импульса,
необходимо рассмотреть массовые и поверхностные силы.
3.5. Дробно-интегральное уравнение закона сохранения
импульса
Скорость изменения импульса в области W с конечным объемом
должна быть равной потоку импульса через границу [17]. Используя дробно-
интегральную модель фрактальной среды, можно получить [480,530]
уравнение для плотности импульса среды. Пусть сила f = fk&k является
функцией безразмерного вектора г и времени t. Сила FM(W), которая действует
на массу Mjj{W) области W фрактальной среды, задается формулой
<(W) = J p(r,t)f(r,t)dVD. (3.23)
FM(
w
Сила FS(W), действующая на границу dW области W, задается
FS(W)= j Pn(r,t)dSd, (3.24)
aw
где р = р(г, t) — плотность поверхностных сил и рп = р^п^е/, а п =
= Пк^к — вектор нормали.
Если масса dMjj{W) = р{т,£)йУо движется со скоростью и, то
импульс этой массы равен
dP(M) = dMD(W) u(r, t) = p(r, t) u(r, t) dVD.
Импульс P массы Md(W), заключенной в области W, определяется как
P(W) = J p(r,t)u{r,t)dVD. (3.25)
w
Уравнение закона сохранения импульса имеет вид
j?{W) = FM{W) + FS(W). (3.26)

3.6. Дифференциальное уравнение закона сохранения импульса 87
Подставляя уравнения (3.23)-(3.25) в уравнение (3.26), получаем
^ J p(r,t)u(r,t)dVD = J p(r,t)f(r,t)rfVb+ j Pn(r,t)dSd. (3.27)
W W dW
Это интегральное уравнение дробного порядка описывает закон сохранения
импульса фрактальной среды. Для D = 3 и d = 2 уравнение (3.27)
приводит к обычным интегральным уравнениям [17] закона сохранения импульса
сплошной среды.
3.6. Дифференциальное уравнение закона сохранения
импульса
Получим дифференциальное уравнение, которое следует из
интегрального уравнения (3.27) для закона сохранения импульса. Используя
обобщенную теорему Гаусса (3.7), поверхностный интеграл (3.27) можно
представить в виде
j PndSd= j c2(d,r)pndS2 =
dW dW
/ dxi 3 \D^T'dVD = J 1 P/rfV^'
w w
а уравнение (3.27) запишется в виде
ftJp udVD = J (p f + vPpi) dVD. (3.28)
w w
Для компонент векторов u = ukGk, f = и pi = ры^к, уравнение (3.28)
дает
J рик dVD = J(pfk + VPpw) dVD (k = 1,2,3). (3.29)
A
dt
w w
Используя полную производную по времени объемного интеграла (3.17)
дробного порядка от функции А — рик, получим
A Jри^Уо = J(QQ (pufc) + (pufc) DivD(u))dVb.
dt
w w

88
глава 3
В результате уравнение (3.29) можно представить как
/ ^ + {fmk) DiVD(u) " Pfk ~ V°Pkl) dV° = °"
w
Поскольку это уравнение выполняется для любых областей W, получаем
(рик) + (рик) DivD(u) - pfk - V?pkl = 0. (3.30)
GO,1
Используя правило почленного дифференцирования (3.11) для обобщенной
полной производной по времени (3.9), уравнение (3.30) можно представить
в виде
Р{ш) duk + uk((£) dp + р DiVD(u)) -Ph- V?P« =0- (3*31)
Уравнение неразрывности (3.20) для фрактальной среды приводит (3.31)
к виду
p(j^^uk-pfk-VPpkl=0 (к = 1,2,3). (3.32)
Эти дифференциальные уравнения описывают закон сохранения
импульса фрактальной среды в дифференциальной форме в рамках
дробно-интегральной модели.
3.7. Дробно-интегральное уравнение закона сохранения
энергии
Выделим некоторую область W фрактальной среды с массовой
размерностью, равной D. Скорость изменения энергии внутри этой области
среды напрямую зависит от скорости подвода энергии в область W. В общем
случае плотность внутренней энергии для неоднородной среды зависит от
пространственно-временной точки (г,£), то есть е = e(r,t). Внутренняя
энергия dE(W) массы dMo(W) равна
dE(W) = e(r,t)p(r,t)dVD.
Для конечной области W фрактальной среды полная внутренняя энергия
равна
E(W) = j e(r,t)p(r,t)dVD.
w

3.7. Дробно-интегральное уравнение закона сохранения энергии 89
Кинетическая энергия dT(W) массы dMo(W) = p(r,£)dVb, которая
движется со скоростью u = u(r, £), равна
dT(W) = \dMDu2(r,t) = ±p(r,t)u2(r,t)dVD.
Для области W кинетическая энергия
T(W) = J ^Up(t,t)dVD.
w
В результате полная энергия, являющаяся суммой кинетической и
внутренней энергий, задается соотношением
U(W) = J (H*M+e(Pft)) р(г,*)ЛЬ.
w
Изменение энергии описывается формулой
dU(W) = AM{W) + As(W) + QS(W), (3.33)
где Am(W) — работа массовых сил, Am (W) — работа поверхностных сил,
Qs(W) — количество тепла, поступающего в область W через поверхность
S = dW за бесконечно малый интервал времени dt.
Используя дробно-интегральную модель фрактальной среды, можно
утверждать, что масса dMo(W) — pdVo подвержена действию силы
fpdVo- Тогда работа этой силы равна (u, f)pdVndt, где (и, f) = ukfk- В
результате работа массовых сил для области W определяется соотношением
dAM(W) = dt J (u,f)p(r,t)dVb. (3.34)
w
Дробно-интегральная модель позволяет рассмотреть элемент
поверхности dSd, подверженный действию силы pndS<f. Работа этой силы равна
(pn, ujdSddt. В результате работа поверхностных сил для области W
задается уравнением
dAs(W)=dt j (u,Pn)dSd. (3.35)
dW

90
Глава 3
Количество тепла, поступающего в область W через поверхность dW, рав-
Qs(W) = dt J qndSd, (3.36)
dW
где qn = (n, q) = пьЯк — плотность потока тепла, an — вектор нормали.
Подставляя выражения из уравнений (3.34), (3.35) и (3.36) в
соотношение (3.33), получим
А
dt
w
w
= J(u,t)p(r,t)dVD + J (u,pn)dSd+ J qndSd. (3.37)
W dW dW
В результате скорость изменения полной энергии равна сумме мощности
массовых сил, мощности поверхностных сил и потока энергии через
поверхность. Уравнение (3.37) является интегральным уравнение дробного
порядка, которое описывает закон сохранения энергии во фрактальных
средах. Для D = 3 и d = 2 уравнение (3.37) дает обычное интегральное
уравнение [17] баланса энергии в сплошной среде.
3.8. Дифференциальное уравнение закона сохранения
энергии
Получим дифференциальное уравнение, следующее из
дробно-интегрального уравнения баланса энергии во фрактальной среде. Используя
уравнение (3.17) для А = р(и2/2 + е), перепишем левую часть
уравнения (3.37) в виде
W
=/((!)сЧт+«)+'(т+*)ю-»К
W
Используя правило почленного дифференцирования, получаем
W

3.8. Дифференциальное уравнение закона сохранения энергии 91
-/(>(*)„ (т +«) + -Ж
W
Уравнение неразрывности для фрактальной среды дает
Ц (£+•) =/(*.'> (т-
W W
= /K£Lu4£)/(r^- ^
w
Используя обобщенную теорему Гаусса для фрактальных сред,
поверхностные интегралы в правой части уравнения (3.37) представляются в виде
объемных интегралов дробного порядка
J (u,pn)dSd = J VP(pi,u)dVb, (3.39)
dW W
j QndSd = j V%qkdVD. (3.40)
aw w
Подставляя уравнения (3.38)-(3.40) в соотношение (3.37), получаем
/("u(l)Du+^(l)De^))^ =
w
= j ((u,f)p + VP(pbu) + VP(zfc)dVb. (3.41)
w
Для компонент вектора и = икек, f = Де* и р/ = Pkiek, имеем уравнение
/('»'(s)D"'+''(s)DeK =
и/
= J (fMkfk + VP(pWttfc) + V?qk)dVD. (3.42)
Используя правило (3.16) в форме
VfipkiUk) = UkVfpki + c{D,d,r)pklViuk,
w

92
Глава 3
уравнение (3.42) представляем в виде
= J[pukfk + UkVfpki + c(Д d, T)pkiViuk + Vfflb) dVb. (3.43)
Уравнение (3.43) можно переписать следующим образом:
/ (р (ш) 6 " с(Дd'г)№V№" v^*) dv°=
w °
= - J uk(p uk + pfh + V|Dp«) dVb-
Используя закон сохранения импульса (3.32), получаем
/(р (а) 6"с(дd'г)№vluk ~ v°qk) ^d = °* (3*44)
w D
Данное равенство выполняется для любой области W, а это возможно
только в том случае, когда подынтегральное выражение рано нулю. В результате
получаем
P{jt) e = c(D'd>r)Pki Vitifc + (3.45)
Дифференциальное уравнение (3.45) описывает закон сохранения энергии
для физически бесконечно малой области фрактальной среды.
3.9. Уравнения Эйлера для фрактальной среды
В рамках дробно-интегральной модели фрактальных сред были
получены интегральные уравнения законов сохранения. Эти уравнения
содержат интегрирование дробного порядка. При этом порядок интегрирования
равен массовой размерности D фрактальной среды. Соответствующие
дифференциальные уравнения являются уравнениями с производными целого
порядка. Выпишем эти уравнения.

3.9. Уравнения Эйлера для фрактальной среды
93
1) Уравнение неразрывности, или закон сохранения массы
(l)/=-'v"Ufe- (3-46>
2) Закон сохранения импульса
p{di)DUk = pfk + V°Pkl- (3'47)
3) Закон сохранения энергии
P(jtt) e = <Did'T)PkiVluk + V%qk. (3.48)
В уравнениях (3.46), (3.47) и (3.48) подразумевается суммирование по
повторяющимся индексам к и / от 1 до 3. Обобщенная полная производная
по времени определяется формулой
(l)D=I+c(jD'd'r)u'v" <3-49>
где
c(D,d,r) = c3_1(D,r)c2(d,r). (3.50)
В уравнениях также использовался обобщенный оператор набла
V^ = e3-4Ar)^f^, (3.51)
где г = |г| и хк, к = 1,2,3, являются безразмерными переменными. Для
сферически симметричного случая выражения (3.50) и (3.51) имеют вид
V°A = a(D,d)r3-DVk(rd-2A),
c(D,d,r) = a(D,d)rd+1-D,
где
2Р-Л-1Г(£>/2)
a(Ad)= Г(3/2)Г(й/2) •
При D = 3 и d = 2 получаем a(D, d) = 1, c(D, d, г) и Vf = V£.

94
Глава 3
Дифференциальные уравнения законов сохранения массы, импульса
и энергии образуют систему их пяти уравнений, которая не является
замкнутой. Помимо гидродинамических полей р(г, £), u(r,t), е(г,£),
уравнения (3.47) и (3.48) содержат тензор вязкого напряжения ры(г> t) и вектор
потока тепла #fc(r, t).
Рассмотрим специальные случаи системы уравнений (3.46)-(3.48).
Предположим, что для фрактальной среды выполняются условия
где р = р(г, t) — давление. Такую среду называют идеальной жидкостью.
Уравнения (3.46)-(3.48) для этой среды принимают вид
Данная система является замкнутой системой уравнений (3.53)-(3.55) для
полей р(г, t), itfc (г, t), р(г, t), которые описывают гидродинамику
фрактальной идеальной жидкости (3.52). Эта система является обобщением
уравнений Эйлера на фрактальные среды.
3.10. Уравнения Навье-Стокса для фрактальной среды
Уравнения Навье-Стокса являются системой дифференциальных
уравнений в частных производных, описывающей движение вязкой
ньютоновской жидкости. Ньютоновской называется вязкая жидкость,
подчиняющаяся в своем течении закону вязкого трения Ньютона, то есть касательное
напряжение и градиент скорости линейно зависимы. Коэффициент
пропорциональности между этими величинами называется вязкостью.
Уравнения законов сохранения (3.46)-(3.48), помимо
гидродинамических полей p(r,t)9 u(r,t), e(r,t), включают тензор вязких напряжений
Pki{r,t) и вектор потока тепла qk(r,t). Рассмотрим специальный случай
тензора ры = Рм(г, t). Согласно закону вязкого трения Ньютона, сила
вязкого трения пропорциональна градиенту соответствующих компонент
скорости. Можно предположить, что тензор рм(г,£) является симметричным
Ры = -phi, Qk = 0,
(3.52)
(3.53)
(3.54)

3.10. Уравнения Навье-Стокса для фрактальной среды
95
и характеризует диссипацию, обусловленную вязким трением. Общий вид
тензора вязкого напряжения, который удовлетворяет указанным
требованиям, зависит от двух постоянных р и £ следующим образом:
Pkl = -Phi + /^(V/ltfc + VkUt - |feVmlim) + ^SkiVmUm. (3.56)
Коэффициент p называется коэффициентом динамической вязкости.
Коэффициент £ называется коэффициентом внутренней вязкости, поскольку он
отражает существование внутренней структуры частиц. В случае
бесструктурных частиц £ = 0.
Для фрактальных сред можно рассматривать обобщение закона Сток-
са (3.56) в виде
Ры = -Phi + р{у?ик + Vfui - !*wV£tim) + £8ы\?»*т> (3-57)
где оператор определяется формулой (3.51). В общем случае
обобщение закона Стокса может содержать производные дробного порядка [307]
по координатам вместо V*.
Вектор потока тепла qk = qk(r,t) может описываться эмпирическим
законом Фурье
qk = -AVfcr, (3.58)
где Т = Т(г, t) — поле температур, а А — коэффициент теплопроводности
В общем случае следует рассматривать обобщения закона Фурье (3.58) на
фрактальные среды. Например, можно предположить, что закон Фурье для
фрактальных сред имеет вид
дк = -AVj?T. (3.59)
Обобщение закона Фурье также может содержать производные дробного
порядка [307] по координатам вместо V*.
В результате получили замкнутую систему уравнений (3.46)-(3.48),
(3.56) и (3.58) для полей р(г, t), ик(г, t), Т(г, t). Эти уравнения могут
рассматриваться как система гидродинамических уравнений для фрактальных
сред.
Рассмотрим специальный случай гидродинамических уравнений
фрактальных сред (3.46)-(3.48), (3.56) и (3.58), где коэффициенты /х, £ и А
являются постоянными. Для гомогенных вязких сред уравнение (3.46) имеет
вид

96
Глава 3
В результате имеем несоленоидальное поле вектора скорости (div(u) ф 0),
которое удовлетворяет соотношению
div(u) = Vmum = {2~xdlXtkUk. (3.60)
Уравнение (3.47) при qk = 0 и (3.56) приводит к обобщению уравнения
Навье-Стокса для фрактальных сред, имеющему вид
p(^ + c(D,d,t)UlViuk) =
= Pfk ~ Vj? р + v VfViuk + ft vPVfc«j + - |/i) Vf Vjuj. (3.61)
Уравнения (3.60) и (3.61) образуют замкнутую систему из четырех
уравнений для четырех полей ик(т, t), к = 1,2,3, и р(г, £). Уравнения (3.61) могут
быть переписаны в эквивалентном виде
p{^-+c{D,d,r)UlViuk) =
= pfk - c(D, d, г)Vfcp + /1 c(D, d, r)Vf ufe +
+ (£ + |)c(Ad,r)VfeV№ + AiOi,€,u)VP (1), (3.62)
где
AfcGu, £,u) = p, (Vj«fe + Vfeu;) - p<$f + ^ - |/^) Vsus5f
V1D(l) = c3-1(D,r)V1c2(rf,r).
Если c(D, d, r) = 1 и VP(1) = 0, то уравнения (3.62) принимают обычный
вид уравнений Навье-Стокса.
3.11. Уравнение равновесия для фрактальной среды
Равновесие описывается условиями, при которых ни состояния
движения, ни внутренняя энергия не изменяется с течением времени.
Равновесные состояния среды определяется условиями

3.12. Интеграл Бернулли для фрактальной среды
97
для гидродинамических полей А = {р, ик, е}. В этом случае
гидродинамические уравнения представляются в виде
Pfk + V?Pki = 0, Vf qk = 0.
Уравнение (3.56) с дщ/дхк = 0 дает pki = —pSki. Используя
уравнение (3.47), получим
Л = -p^kP- (з.бз)
Из закона Фурье имеем
Vf (AVfeT) = 0. (3.64)
Уравнения (3.63) и (3.64) являются обобщениями уравнений равновесия на
фрактальные среды.
Отметим, что уравнение (3.63) можно переписать в виде
Vfc(c2(d,i» = pc3(D,r)fk.
Для гомогенной фрактальной среды плотность постоянна р(г, t) = ро =
= const и
c3(D,r)fk = ±Vk(c2(d,r)p).
Если fk является такой непотенциальной силой, что
с3(Дг)Д = -^С/, (3.65)
то
c2(d, r)p + poU = const. (3.66)
Это уравнение описывает равновесие фрактальных сред в силовом
поле (3.65). Если сила Д является потенциальной, то равновесия во
фрактальной среде не существует.
3.12. Интеграл Бернулли для фрактальной среды
Интеграл Бернулли для уравнений гидродинамики является
интегралом, который определяет давление в каждой точке стационарного потока
идеальной однородной жидкости или баротропного газа в терминах
скорости потока в этой точке и потенциальной энергии единицы массы. Для
получения интеграла для фрактальных сред рассмотрим уравнение закона

98
Глава 3
сохранения импульса (3.47) с тензором ры = —pSki. Используя
соотношение
(i)DT=Uk{i)DUk
и уравнение (3.47), получаем
(г)0т = *л-Ь^* (3-67)
Если потенциальная энергия U и давление р не зависят от времени
dt и' dt и'
то
(i)D=c^if <3-68>
Для непотенциальной силы
fk = -c(D,d,r)VkU (3.69)
уравнения (3.69) и (3.67) приводят к соотношению
dt
где
В результате получаем
(^. + U(D,d) + P(d)) = 0,
P(d) = } d{C2id'r)p)
c2(d, r)p
po
3 2
^2\ + и+p^ = const* (3,7°)
k=i
Этот интеграл движения может рассматриваться как обобщение интеграла
Бернулли на фрактальные среды. Если силы fk потенциальны, то данного
обобщения интеграла Бернулли не существует. Для плотности
p(r,t)=p0C2l(d,r) (3.71)

3.13. Звуковые волны во фрактальной среде
99
интеграл (3.70) дает
2
+ poU(D, d) + c2(d, r)p = const. (3.72)
Отметим, что уравнение (3.72) при и = 0 приводит к уравнению
равновесия (3.66) для непотенциальной силы (3.69) и плотности (3.71).
3.13. Звуковые волны во фрактальной среде
Звуковые волны существуют как изменения с течением времени
давления и плотности в среде. Они создаются колебаниями тела, которые
вызывают колебания окружающей тело среды. Рассмотрим малые вариации
(возмущения) плотности и давления
Р = Ро + р', Р = Ро+ р\ ик = и'к, (3.73)
где р' <С ро и р' ро- Величины р0 и ро описывают равновесное
состояние:
^Г=0, Vfcpo = 0, ^=0, Vfcpo = 0.
Для фрактальных сред уравнения (3.53) и (3.54) с fk = 0 имеют вид
^ + с( Д d, г)щ V/p = -р Vf tifc, (3.74)
^ + с( Д d, r)ui V,t* - i Vfp. (3.75)
Подстановка (3.73) в уравнения (3.74) и (3.75) приводит к уравнениям
первого порядка по возмущениям:
^ = -ft,Vf «i, (3.76)
£vfrr. (3.77)
Получим два независимых уравнения для возмущений р' и р'. Для этого
рассмотрим частную производную уравнения (3.76) по времени:

100
Глава 3
Подставляя (3.77) в (3.78), получаем
dt2
Для адиабатических процессов
p = p(p,s), р' = v2p',
где
аУ = V?VJV. (3.79)
В результате получаем уравнения
^=„»У?У£У, (3.80)
^=,2VfVfeV (3.81)
Эти уравнения описывают волны во фрактальной среде. Для D = 3
получаем обычные волновые уравнения.
3.14. Одномерное волновое уравнение для фрактальной
среды
Для одномерного случая (n = 1), где D < 1 и с2 = 1, уравнения (3.80)
и (3.81) имеют вид
^хФ^шЫ°^шУ (3-82)
где и(х, t) обозначает возмущения р' и р', a ci (D, х) — плотность состояния
в одномерной среде такая, что
\x\D~l
ci(D,x)
T(D)
Уравнение (3.82) описывает волну, распространяющуюся вдоль
фрактальной одномерной среды. Получим решение для волнового уравнения (3.82).
Рассмотрим область 0 < х < I и условия:
u(x,Q) = a(x), ^(х,0) = Ь(х),

3.14. Одномерное волновое уравнение для фрактальной среды 101
u(0,t) = 0, u(l,t) = 0.
Решение уравнения (3.82) имеет вид
u(x,t) = (ап cos(Xnt) + —^=:sm(Xnt)jyn(x).
п=\ vAn /
Здесь an и bn являются коэффициентами Фурье для функций а(х) и Ь(х):
i I
ап = \\Уп\\~2 J a{x)yn(x)dlD = \\уп\\~2 J cl{D,x)a{x)yn{x)dx,
о о
/ i
Ъп = \\Уп\\ 2 J b(x)yn(x)dlD = \\уп\\ 2J ci(D,x)b(x)yn(x)dx,
где dlo — c\{D,x)dl\, dl\ — dx, и
i
\\Уп\\2 = J yl(x)dlD = J Cl(D,x)y2(x)dx.
о 0
Собственные функции yn(x) удовлетворяют условию
i
J yn{x)ym{x)dlD = Snm.
Собственные значения An и собственные функции уп(х) определяются как
решения уравнения
v2Dlx (ci (D, x)Dly(x)) + A2Cl (D, x)y(x) = 0, y(0) = 0, y(l) = 0,
где D™ = dn/dxn. Это уравнение можно переписать в виде
v2xD2xy{x) + (D - 1) Dly(x) + \2ху{х) = 0. (3.83)
Решение уравнения (3.83) имеет вид
»(х) = Сгх^2Ц^) + С2х^2¥^),

102
Глава 3
где Jv(x) — функции Бесселя третьего рода, a Yl/(x) — функции Бесселя
второго рода и v = |1 — D/2\.
Рассмотрим частный случай
/ = 1, v = 1, 0 < х ^ 1, а(х) = х(1 — я), Ь(х) = 0.
Для обычных волн D = 1 и решение имеет вид
°° _ (_j^n^
и(х, t) = ^ 2~з sin(nnx) cos(7rn£).
Если D = 0.5, то
Собственные значения Ап являются нулями функции Бесселя
Например,
Ai ~ 4.937, А2 ~ 9.482, А3 ~ 13.862, А4 ~ 18.310, А5 ~ 22.756.
Приближенные значения собственных функций ап равны
аг ~ 1.376, а2 ^ -0.451, а3 ~ 0.416, а4 ~ -0.248, а5 ~ 0.243.
Решение волнового уравнения для фрактальной одномерной среды
'л/2Апх>
п=1
u(x,t) = ]Р ап cos(Ant) J3/4 ( ^*теД? ).
Эта функция описывает волны в одномерных фрактальных средах с
массовой размерностью D = 0.5.
3.15. Заключение
В этой главе рассматривалась гидродинамика фрактальных сред,
которые описывались в рамках дробно-интегральной модели [480,485,530].

3.15. Заключение
103
В общем случае фрактальные среды не могут описываться как сплошные
среды. Существуют точки и области во фрактальной среде, которые не
заполнены частицами среды. В статьях [480,485] предлагается
рассматривать фрактальные среды как особый тип сплошных сред. Для описания
среды с фрактальной массовой размерностью применяются некоторые
модели, использующие интегрирование дробного порядка. При этом порядок
интегрирования равен массовой размерности фрактальной среды. Заметим,
что дробное интегрирование может рассматриваться как интегрирование
в пространстве с нецелой размерностью с точностью до числового
множителя [476,490,492,530]. Дробные интегралы используются для учета
фрактальности среды.
Дробно-интегральные модели фрактальных сред могут иметь
широкое применение. Это связано, в частности, с относительно малым
числом параметров, которые определяют фрактальную среду, обладающую
огромной сложностью и богатством структур. Во многих случаях
реальной фрактальной структурой можно пренебречь и описывать среду с
помощью дробно-интегральной модели, использующей интегрирование
дробного порядка. Порядок интегрирования равен массовой размерности
среды. Дробно-интегральная модель позволяет описывать динамику
широкого класса фрактальных сред в силу малого числа параметров,
характеризующих такие среды. Отметим применения дробно-интегральных
моделей Остоя-Старжевским (Ostoja-Starzewski) к теории термоупругости [399]
и термомеханике [400], турбулентности во фрактальных средах [401],
упругим и неупругим средам с фрактальной геометрией [402], фрактальным
пористым материалам [403] и фрактальным твердым телам [328].
Гидродинамическая аккреция во фрактальных средах [430-432]
рассматривалась Роем и Реем с использованием дробно-интегральной модели.
Отметим, что гравитационное поле фрактального распределения частиц и полей
также может рассматриваться в рамках дробно-интегральных моделей [505]
(см. также [186]). Применение дробно-интегральных моделей для описания
фрактальных твердых тел, фрактальных распределений электрических
зарядов, полей и вероятностей рассматривается в следующих главах. Дробно-
интегральные модели могут быть также сформулированы для описания
фрактальных сред в рамках теории упругости [452] и неравновесной
термодинамики [39,47].

Глава 4
Динамика фрактальных твердых тел
4.1. Введение
Абсолютное твердое тело является идеализацией твердых тел
конечных размеров, в которых пренебрегают деформацией. Абсолютно твердое
тело характеризуется как недеформируемое, в противоположность
деформируемым телам. Напомним, что абсолютно твердым телом называется
система материальных точек (точечных частиц), расстояния между которыми
сохраняются в процессе любых движений, совершаемых этим телом,
независимо от внешних сил, действующих на него. Здесь предполагается, что
абсолютно твердое тело не только не изменяет свою форму, но и сохраняет
неизменным распределение массы внутри.
Для описания положения абсолютно твердых тел достаточно знать
положения трех частиц, не лежащих на одной прямой. Абсолютно твердые
тела занимают некоторую область и обладают пространственными
свойствами. Основным свойством твердых тел являются моменты инерции,
которые характеризуют распределение частиц тела в пространстве.
В классической механике абсолютно твердое тело часто
описывается как сплошная недеформируемая среда, как непрерывное распределение
массы (или частиц) в некоторой области (см. главу VI в [92]). Однако в
реальности твердые тела состоят из точечных частиц, таких как атомные ядра
и электроны. В общем случае распределение массы в твердом теле может
быть охарактеризовано как целой, так и нецелой массовой размерностью.
Фрактальным твердым телом называется твердое тело с нецелой
массовой размерностью. Фрактальное твердое тело, как распределение точечных
частиц, может рассматриваться как фрактальная среда в широкой области
масштабов. Предлагаемый подход к описанию фрактальных твердых тел
является в некотором смысле обобщением подхода Кристенена [64],
которое позволяет представить фрактальное тело как некоторую
специальную сплошную среду. Во многих случаях можно пренебречь
особенностями реальной фрактальной структуры и использовать для описания дробно-
интегральную модель [530]. В качестве модели фрактального твердого тела

4.1. Введение
105
предлагается использовать модель специальной сплошной среды, для
описания характеристик которой используется интегрирование дробного
порядка [480,481,485,486,530]. Порядок интегрирования равен массовой
размерности тела. Интегрирование нецелого порядка позволяет учитывать
основные фрактальные свойства сред. В рамках дробно-интегральной модели
фрактальные абсолютно твердые тела описываются, используя
интегрирование дробного порядка. Отметим, что дробные интегралы могут
рассматриваться как приближения интегралов, определенных на фрактале [426].
Дробное интегрирование также можно рассматривать [476,490,492,530]
с точностью до числового множителя как интегрирование по пространству
с дробной размерностью. В дробно-интегральной модели [480,481,485,530]
характеристики фрактальных твердых тел определены везде внутри тела,
при этом они подчиняются обобщенным интегральным уравнениям,
порядок которых равен массовой размерности фрактальных тел.
Законы движения абсолютно твердого тела могут быть
представлены [34,92] в виде уравнений движения центра масс и уравнений Эйлера,
описывающих изменение момента импульса твердого тела под действием
моментов сил, приложенных к телу. В статье [481] было доказано, что
уравнения движения фрактальных твердых тел имеют тот же вид, что и
уравнения для обычных твердых тел. При этом моменты инерции
фрактальных тел отличаются от моментов инерции обычных твердых тел той же
формы и массы. В рамках дробно-интегральной модели для фрактального
твердого недеформируемого тела предлагается метод вычисления моментов
инерции фрактальных тел. Описываются возможные эксперименты по
проверке дробно-интегральной модели [530], и рассмотрено уравнение волны
на струне [483].
Отметим, что дробные интегралы и производные [101,444] и интегро-
дифференциальные уравнения нецелого порядка [307] находят множество
применений в современных исследованиях в механике сплошных сред [124,
188,189,347,530]. Механика фрактальных материалов без применения
дробного математического анализа обсуждается в [28,55,69,407,455,539,577].
В разделе 2 предлагаются интегральные уравнения дробного
порядка для вычисления моментов инерции фрактальных твердых тел. В
разделах 3-4 рассматриваются примеры вычислений моментов инерции шара
и цилиндра, сделанных из фрактальных неупругих материалов. В разделе 5
обсуждаются уравнения движения фрактальных твердых тел. В разделе 6
описывается динамика маятника Максвелла с фрактальным твердым телом.
В разделе 7 рассматривается задача о скатывании по наклонной плоскости
недеформируемого шарообразного фрактального твердого тела. Краткое
заключение дано в разделе 8.

106
Глава 4
4.2. Уравнения для моментов инерции фрактального
твердого тела
Момент инерции является мерой сопротивления тела изменениям
угловой скорости. Он может определяться в следующих двух формах.
Скалярная форма используется в случае, если ось вращения известна. В тензорной
форме не требуется знания оси вращения.
Скалярный момент инерции (часто называемый просто моментом
инерции) позволяет анализировать простейшие задачи вращений твердых
тел относительно заданной неподвижной оси. Обозначим через г' радиус-
вектор точки твердого тела
з
где х'к,к= 1,2,3, проекции вектора г' на оси координат. Для твердого тела
с плотностью p'(r', t) скалярный момент инерции относительно данной оси
определяется объемным интегралом
/'(<) = j p'{v\t) {v')\dVl
w
где через {т')\ обозначен квадрат расстояния от оси вращения и
dV3 = dx\dx'2dx3.
Тензор момента инерции для распределения массы, описываемого
функцией p'(r',t), имеет вид
1Ш = J P'(r', t) ((т')Чы ~ хМ) dVi, (4.1)
w
где Ski — символ Кронекера. Отметим, что момент инерции Гк1 в системе
СИ измеряется в кд • т2, то есть [1к1] = кд • т2.
Для обобщения уравнения (4.1) на фрактальные среды введем
безразмерные величины
Xk = х'к/1о, г = г;//о,
где 1о — характерный масштаб, и новую плотность распределения массы
p(r,t) = l%(/(rl0jt).

4.2. Уравнения для моментов инерции фрактального твердого тела 107
В системе СИ p(r, t) измеряется в килограммах. Определим тензор момента
инерции и скалярный момент инерции следующими формулами:
ikl(t) = i;2ikl(t), m = i^i'(t).
В результате получаем
hi(t) = jp(r,t) (r26kl - xkx^j dV3, (4.2)
w
где в декартовых координатах dV3 = dx\dx2dx3, а величины хк, к = 1,2,3,
являются безразмерными. Отметим, что в системе СИ единицей измерения
для Iki будет килограмм. Это представление позволяет обобщить
уравнение (4.2) на фрактальные твердые тела.
Для описания фрактальных тел будем использовать
дробно-интегральные модели [480,481,485,530], в которых применяются интегралы
дробного порядка D, где D — массовая размерность среды. Обобщение
уравнения (4.2) имеет вид
*ы Ч*) = J Р(г> *) (г2*** " Wi) dVD, (4.3)
w
где
dVD=c3{D,v)dV3.
Функция c3(D,r) описывает плотность разрешенных состояний в
области W. Скалярный момент инерции фрактального тела относительно
заданной оси определяется уравнением
J<D>(*) = |p(r,*)(r)idVb, (4.4)
W
где D — массовая размерность фрактального твердого тела. Эти
интегральные уравнения дробного порядка описывают моменты инерции
фрактальных абсолютно твердых тел [481]. Тензор момента инерции является
симметричным
t{d) _ j{d)
*kl — £lk '
В уравнении (4.3) 1^ обозначает момент инерции относительно
fc-оси, когда тело вращается вокруг /-оси. Диагональные элементы
тензора то есть при к = I, называются главными (осевыми) моментами

108
Глава 4
инерции. Величины при к Ф I называются центробежными
моментами инерции. Главные оси вращения тела определяются через решение
задачи на собственные значения
Гк1 cot = \ujk,
где uj = и;к&к — аксиальный вектор угловой скорости. Тензор момента
инерции можно диагонализовать путем преобразования системы координат.
4.3. Момент инерции фрактального твердотельного шара
Моменты инерции фрактальных тел могут быть вычислены по
формулам (4.3) и (4.4). Рассмотрим фрактальный абсолютно твердый шар
радиуса R и массой М. Выберем в качестве оси вращения г-ось. Радиус,
перпендикулярный оси z, в сферических координатах представим в виде
т\ = (г sin0)2,
где ф — угол с осью z. Используя уравнение (4.4) и функцию плотности
состояний сз(£), г) для сферически симметричного случая, скалярный момент
инерции можно записать как
3-D Я 2тг тг
liD) = 2 ^ff ///РМ) (г вгпфГ т^^тфйфйвйт.
ООО
Это уравнение можно переписать в виде
3D Я 2тг тг
I(ZD) = 2 г(д^)2) /// P{T't)rD+1 (1 _COS2 Ф) ФёФМ ^ (4-5)
ООО
Используя переменные
u = cos0, du = — sin ф (1ф, (4.6)
интегралы (4.5) принимают простой вид и могут быть явно вычислены.
Для фрактально гомогенного шара (р(г, t) = ро) имеем
3-D R 2?Г +1
4D) = 2 ц1%2)Ро J / />+1 (l-«a)*.d»dr.
0 0-1

4.3. Момент инерции фрактального твердотельного шара
109
Перепишем это уравнение в виде
0 0-1
Интегрирование по переменным и, 9, и г дает
rim *2«-рГ(3/2) D+2
П -3(D + 2)r(D/2)P°R ■ (4'7)
Уравнение (4.7) определяет момент инерции через плотность ро-
Представим l[D>) через массу Mq фрактального тела.
Масса фрактального твердого тела определяется формулой
Md — J p(v,t)dVD. (4.8)
w
Для сферических координат ф9 9, г уравнение (4.8) для шара принимает
вид
3-D Я 2тг тг
Мв = 2 г(д)2)2) ///р(М) rD~lsi*<t>d<t>dedr-
ооо
Делая замену переменных (4.6), для гомогенного шара (р(г, t) = ро)
получаем выражение
0 0-1
Перепишем это уравнение в виде
о 0-1
Интегрирование по переменным и, 0, и г дает
Видно, что параметр D равен массовой размерности твердотельного шара.

110
Глава 4
Подстановка ро из (4.9) в (4.7) дает момент инерции для фрактального
твердотельного шара в виде
'<°' - wkM°R2- (4Д0)
В силу симметрии шара все главные моменты инерции равны. Поэтому
моменты инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара
(содержащей диаметр), определяются формулой (4.10). Для D = 3
получаем обычное соотношение
if) = (2/5)МД2.
Для D = (2 + 0) уравнение (4.10) дает
= (1/3)МЯ2.
Отметим, что шар, заполненный фрактальным материалом с массовой
размерностью D = (2 + 0), нельзя рассматривать как сферическое полое тело
с моментом инерции
Jj2> = \mr\
о
Для фрактального твердотельного шара с массовой размерностью D =
= (2 4- 0) мы имеем фрактально гомогенное распределение материи по
всему объему.
Из уравнения (4.10) получаем, что 1^ и 1^ связаны соотношением
/<р> 2(Д-3)
j(3) +3(£> + 2)-
Легко убедиться, что выполняются неравенства
6 < г(3) ^ 1
для массовых размерностей 2 < D ^ 3. Например, получаем /ii3^ =
= 10/11 для £> = 2.4. Отметим, что максимальное отклонение от 1^
не превышает 17 %.

4.4. момент инерции фрактального твердотельного цилиндра 111
4.4. Момент инерции фрактального твердотельного
цилиндра
Рассмотрим фрактальный твердотельный цилиндр W с осью, лежащей
на координатной оси z. Момент инерции цилиндра с целой массовой
размерностью D = 3 определяется уравнением
/<2> = ро j r2±dV3, (4.11)
W
где dVs = dS2dz и
2 2.2
rj_ = xz + гД
Уравнение (4.11) может быть переписано как
li2) =Poj(х2 + y2)dS2 J dz, (4.12)
S L
где dS2 = dxdy и x = x\, у = x2, z = x% являются безразмерными
декартовыми координатами. Определим обобщение уравнения (4.12) на
фрактальные цилиндрические тела в виде
Iia) = Ро Js(x2 + y2)dSQ J dip, (4.13)
где
dSa = c(a)(^x2 + y2)a-2dS2, (4.14)
dl0=F{0)'dZ' 0<^L
Подставляя уравнение (4.14) в (4.13) получим
S L
Мы используем такой числовой множитель с(а) в уравнении (4.13), чтобы
предел а —► (2 — 0) и /3 —> (1—0) приводил к обычному интегральному

112
Глава 4
выражению (4.12). Для а = 2 и /3 = 1 уравнение (4.13) дает (4.12).
Параметр а является фрактальной массовой размерностью поперечного сечения
цилиндра. Этот параметр может быть определен эмпирически, используя
метод поклеточного счета (box-counting method) для поперечного сечения
цилиндрического тела.
Рассмотрим цилиндрическое абсолютно твердое тело W вида
L = {z: O^z^H}, S = {{x,y): 0^x2+y2^R2}. (4.16)
В цилиндрических координатах (0, г, z) имеем
dS2 = dxdy = rdrd</>, (х2 + у2)а/2 = га. (4.17)
Подставляя (4.17) в (4.15), получим
Я Я
{) 2W(q) [ro+idr[ze-idz.
Ц0) J J
о о
Интегрирование по z иг дает
= 2тгр0с(а) Ra+2He
* (а + 2)^Г(/3)Л
(4.18)
Это уравнение определяет моменты инерции фрактального твердотельного
цилиндра. Если а = 2 и /3 = 1, уравнение (4.18) дает хорошо известное
соотношение
/® = \*poRAH.
Масса однородного цилиндра (4.16) с целыми размерностями D = 3,
а = 2, /3 = 1 определяется
я я
М = ро J dS2 J dz = 2тгр0 J rdr J dz. (4.19)
S L 0 0
Тогда мы имеем
я я
М = 27гр0 J rdr J dz = npoR2H.
о 0

4.4. Момент инерции фрактального твердотельного цилиндра ИЗ
Рассмотрим обобщение уравнения (4.19) на фрактальные тела. Масса
цилиндра (4.16), сделанного из фрактального материала, определяется из
соотношения
j dSa J dip, (4.20)
S L
где dSa и dip задаются соотношениями (4.14). Используя цилиндрические
координаты, получаем формулу для массы фрактального тела
цилиндрической формы в виде
r н
о о
Интегрируя по переменным гиг, получаем
Подстановка выражения (4.21) в формулу (4.18) дает
4а) = -^MDR\ (4.22)
где а — массовая размерность поперечного сечения цилиндра (1 < а < 2).
Отметим, что уравнение (4.22) не содержит параметра /?. Если а = 2, то
уравнение (4.22) приводит к хорошо известному выражению
/i2) = \мв?
для однородного цилиндра с целой массовой размерностью D = 3.
Рассмотрим два цилиндра с одинаковыми массами и радиусами, один
из которых имеет целую, а другой — дробную массовые размерности. Тогда
моменты инерции этих цилиндров могут быть связаны формулой
j(*) = _2g< /(2). (4<23)
2 а + 2 z v 7
(2)
Здесь Iz — момент инерции цилиндра, сделанного из однородного
материала с целой массовой размерностью D = 3 и а = 2. Если 1 < а ^ 2,
то
9 iia) .

114
Глава 4
В результате моменты инерции твердых тел цилиндрической формы,
имеющих равные массы и размеры, но различные массовые размерности
поперечных сечений равные а и 2, связаны соотношением
/(а) а - 2
Параметр а может быть определен эмпирически, применяя метод покле-
точного счета, для поперечного сечения цилиндра.
4.5. Уравнение движения фрактального твердого тела
Момент импульса является аксиальной векторной физической
величиной, позволяющей описывать вращения твердого тела. Уравнения
движения центра масс определяются стандартным образом. Момент импульса dL
массы
dMD(W) = p(r,t)dVD,
которая движется со скоростью v, задается формулой
dL = [г, v] dMD.
Момент импульса L = L^k всего твердого тела с массовой размерностью
D = 3 определяется уравнением
L = J[r,v]p(r)dV3, (4.25)
w
где [ , ] обозначает векторное произведение векторов, а г = хк&к —
безразмерный радиус-вектор. В рамках дробно-интегральной модели обобщение
уравнения (4.25) на фрактальные тела имеет вид
(г) dVD. (4.26)
w
Используя v = [и;, г], получаем, что момент инерции 1^ связан с
моментом импульса L соотношением
где и = ujk&k — аксиальный вектор угловой скорости.

4.6. Маятник Максвелла из фрактального материала
115
Рассмотрим движение фрактального абсолютно твердого тела с одной
фиксированной точкой. Если момент импульса L измеряется в системе
отсчета вращающегося тела, то уравнение для L имеет вид
<gi + [u,,L]=N, (4.27)
где N = Nkek — момент сил. Для декартовых компонент уравнение (4.27)
записывается в виде
^ + SklmUlLm = Nk, (4.28)
где Skim — абсолютно антисимметричный единичный тензор (символ
Леви-Чивиты). Для главных осей уравнение (4.28) и Lk = 1^ик
приводят к формуле
+ ек1т *i и™ 4D) = Nh, (4.29)
T{D) T(D) T(D) T{D) T{D) T{D)
где I\ ' = Ix , /2 = lу и Iз = Iz являются главными моментами
инерции. В результате получаем
I(D)^ + {I<D)_I(D))WyUJz = Nxt {4Щ
I^ + (liD)-liD))^ = Ny, (4.31)
IiD)d^ + {I(D)_I(o)huJxWy = Nz_ (432)
Уравнения (4.30)-(4.32) являются уравнениями движения Эйлера для
фрактального твердого тела [481,530]. Видно, что уравнения движения
фрактальных тел имеют ту же форму, что и уравнения для тел с целой массовой
размерностью [481]. Единственное отличие заключается в различных
величинах моментов инерции фрактальных и нефрактальных тел.
4.6. Маятник Максвелла из фрактального материала
В статье [486] было предложено использовать маятник Максвелла
с фрактальным твердым телом для проверки дробно-интегральной
модели фрактальных тел. Обычно этот маятник используется для
демонстрации преобразований между гравитационной потенциальной и кинетической
энергиями.

116
Глава 4
Простейшая модель маятника Максвелла представляет собой цилиндр,
на который намотана невесомая и нерастяжимая нить. Пусть ось z является
осью цилиндра, тогда уравнения движения этого маятника имеют вид
MDay{a) = MDg - Т, (4.33)
1™ег = ЯГ, (4.34)
где ау(а) = dvy/dt — ускорение цилиндрического фрактального тела, ez =
= djjjzjdt, ад — ускорение свободного падения (д ~ 9.81m/s2). Используя
ay(a) = ezR, уравнение (4.34) задает силу натяжения нити
T=-jg-ay(a). (4.35)
Подставляя (4.35) в уравнение (4.33), получаем
Ас.)
MDay(a) = MDg - -j^-ay(a). (4.36)
Уравнение (4.36) задает ускорение
ay(a) = —2 . (4.37)
1 + йа)/{Мо&)
Подставляя (4.22) в (4.37), получим
««(<*) = S (1<а<2). (4.38)
Для цилиндра с целой массовой размерностью поперечного сечения (а = 2)
имеем ау(2) = (2/3)д ~ 6.54 (m/s2). Используя уравнение
~~2~ -Ь'
где L — длина нити, получаем период колебаний маятника в виде
T0(Q)=4*0 = 4 (4.39)
V av(a)

4.7. Фрактальное тело, скатывающееся по наклонной плоскости 117
Уравнения (4.38) и (4.39) приводят к соотношению
(4.40)
4а) /4(а + 1)
Если 1 < а ^ 2, тогда
^0
В результате два цилиндрических тела с равными массами и
размерами обладают моментами инерции такими, что выполняется
соотношение (4.24), где а — фрактальная размерность поперечного сечения
цилиндра (0 < а ^ 2). Параметр а может быть найден, используя метод поклеточ-
ного счета для поперечного сечения цилиндра. Период колебаний маятника
определяется уравнением (4.40). Отметим, что отклонений от не
превышает 6 %. Поэтому точность проведения эксперимента должна быть
высокой. Отметим, что эти уравнения можно использовать для
экспериментального определения массовой размерности фрактальных материалов
через измерения периодов колебаний.
4.7. Фрактальное тело, скатывающееся по наклонной
плоскости
Возьмем шар массой Mq и радиуса R, сделанный из фрактального
материала с массовой размерностью D. Рассмотрим движение этого шара без
проскальзывания по наклонной плоскости с заданным углом а к горизонту.
Условие скатывания без проскальзывания означает, что в каждый момент
времени точка шара, касающаяся плоскости, неподвижна и шар
вращается относительно своей оси. При этом центр масс однородного цилиндра
движется по прямой линии.
Используя закон сохранения энергии, получаем
MDv2 I{zD)u (А
MDgh = —у— + —rj—, (4-42)
где момент инерции IZD>) определен соотношением (4.10). В силу
предположения, что тело только катится без проскальзывания, имеем
Ш=± (4.43)

118
Глава 4
где R — радиус шара. Подставляя соотношения (4.43) и (4.10) в
уравнение (4.42), получаем
Высота h и длина L наклонной плоскости связаны соотношением
h = Lsina, (4.45)
где а — угол наклона плоскости. Катящийся шар имеет постоянное
ускорение а, поэтому движение является равноускоренным и можно использовать
уравнения
L=<£, a=l (4.46)
Подставляя (4.45) и (4.46) в (4.44), получаем уравнение для скорости
v{D) = 3bD + 26 9t $inq- (4'47)
Для D = 3 имеем
В результате получаем
v(3) = - gt sin а.
v{D)_21(D + 2) (448)
v(3) 5(5D + 6)
Отметим, что отклонение скорости фрактального твердого шара v(D) от
скорости обычного шара v(3) не превышает 5 %.
Можно рассматривать цилиндрическое фрактальное тело массой Мр
и радиусом R, скатывающееся по наклонной плоскости, имеющей угол /3
с горизонтом. Используя момент инерции (4.22), получаем
2{а + 1)
Для а = 2 уравнение (4.49) дает
17(2) = !$* sin/3.

4.8. Заключение
119
В результате имеем соотношение
«(а) 3(а + 2)
W) = ц^тгу (4*50)
При этом отклонение скорости движения фрактального твердого
цилиндра v(a) от скорости обычного цилиндра v(2) не превышает уже 8.4
процентов.
В силу указанных величин максимальных отклонений точность
экспериментов должна быть достаточно высокой. Полученные уравнения
позволяют экспериментально измерять нецелые массовые размерности
фрактальных материалов через измерения скоростей.
4.8. Заключение
В данной главе рассматривалась механика абсолютно твердых тел,
выполненных из фрактальных материалов. Для описания фрактальных
твердых тел использовалась дробно-интегральная модель [480,481,483,485,
530]. В общем случае фрактальное тело не может рассматриваться как
сплошная среда, поскольку существуют области, не заполненные
частицами среды. Для описания фрактальных тел предлагается [480,485,530]
использовать специальную (дробно-интегральную) модель. В рамках этой
модели среда с нецелой массовой размерностью представляется как
некоторая особая сплошная среда, для описания которой используется
интегрирование дробного порядка. Дробное интегрирование используется для того,
чтобы учесть основные фрактальные свойства твердого тела. При этом
порядок интегрирования равен массовой размерности тела.
В рамках дробно-интегральной модели предлагается метод
вычисления моментов инерции твердых тел, выполненных из фрактальных
материалов. Предложенные эксперименты [486,530], позволяют проверить
дробно-интегральные модели [480,481,485,530] фрактальных тел.
Полученные уравнения могут быть использованы и для экспериментального
определения массовой размерности фрактальных тел путем измерения периодов
колебаний и скоростей.

Глава 5
Электродинамика фрактальных
распределений зарядов и полей
5.1. Введение
Жозеф Лиувилль был первым, кто применил дробный математический
анализ к электродинамике [340]. В настоящий момент теория производных
и интегралов дробного порядка [101,307,444] активно применяется к
различным задачам и проблемам классической электродинамики (см.,
например, [52,93,114,179,223,368,515,524,530]). В данной главе в рамках дробно-
интегральных моделей рассматривается электродинамика фрактальных
распределений электрических зарядов и полей [478,479,495,499,530].
Линейные, поверхностные и объемные распределения заряженных
частиц могут описываться как непрерывные распределения электрического
заряда вдоль линии, по поверхности или в объеме [38,290]. В общем
случае распределения заряженных частиц могут быть фрактальными, то есть
заряженные частицы могут образовывать множества с нецелой
размерностью. Для описания электрических и магнитных полей фрактальных
распределений частиц предлагается использовать дробно-интегральные
модели [478,479,495,499,530]. В общем случае фрактальные
распределения частиц не могут описываться как сплошные среды, так как
существуют точки и области, в которых не содержатся частицы. Для
описания электрических и магнитных полей фрактальных распределений частиц
применяются дробно-интегральные модели [478,479,495,499,530], в
которых используются непрерывные распределения электрического заряда,
описываемые интегральными уравнениями дробного порядка. Используя
дробно-интегральную модель для фрактальных распределений, были
описаны электрические и магнитные поля, создаваемые этими
распределениями [478,479,495,499,530].
В разделах 2-3 рассматриваются полный электрический заряд и сила
тока фрактальных распределений зарядов. В разделах 4-5 в рамках дробно-
интегральной модели формулируются теоремы Гаусса и Стокса для фрак-

5.2. Электрический заряд фрактального распределения
121
тальных распределений. В разделах 6-9 рассматриваются простые примеры
полей, создаваемых гомогенными фрактальными распределениями. Законы
Кулоны и Гаусса, Био-Савара и Ампера формулируются для фрактальных
распределений в рамках дробно-интегральной модели. В разделе 10
рассматриваются интегральные уравнения Максвелла нецелого порядка. В
разделе 11 фрактальное распределение представляется как некоторая
эффективная среда. В разделах 12-14 предлагаются примеры вычислений
электрического дипольного и квадрупольного моментов фрактальных
распределений зарядов. В разделе 15 обсуждаются уравнения
магнитогидродинамики фрактальных распределений заряженных частиц. Краткое заключение
приводится в разделе 16.
5.2. Электрический заряд фрактального распределения
В электродинамике сплошных сред полный электрический заряд,
распределенный в некоторой области W с плотностью //(г',£), определяется
формулой
Q3(W) = j p\r\t)dVi, (5.1)
w
где
dV£ = dx'dy'dz'
для декартовых координат х', у1z\ единицами измерения которых в
системе СИ является метр. Отметим, что в системе СИ единицами измерения Q$
является Кулон, а единицами р1 в системе СИ будет Кулон на кубический
метр.
Для обобщения уравнения (5.1) введем безразмерные переменные
х = x'/Zo, У = у''//о, z = z'/k, г = г'/'о,
где /о — характерный масштаб, и новую плотность заряда
p(r,t) = l%p'(rlo,t),
для которой единицами измерения в системе СИ будет Кулон. В результате
получаем
Qs(W) = J p(r,t)dV3, (5.2)
w
где dV$ = dxdydz для безразмерных декартовых координат. Данное
уравнение можно обобщить на фрактальные распределения заряда.

122
Глава 5
В дробно-интегральной модели фрактальных распределений зарядов
и полей используется интегрирование дробного порядка по области в
евклидовом пространстве W1 вместо интегрирования по фрактальному
множеству. Для описания фрактального распределения в дробно-интегральной
модели используются понятия плотности состояний Cn(D,г) и плотности
заряда р(г,£). Функция Cn(D,г) характеризует плотность допустимых
состояний в n-мерном евклидовом пространстве Rn. Плотность состояний
описывает то, как близко упакованы разрешенные состояния в пространстве
Еп в момент времени t. Плотность заряда p(r, t) описывает распределение
электрического заряда на множестве разрешенных состояний в евклидовом
пространстве W1. Таким образом, определяются линейная, поверхностная
и объемная плотности заряда для п = 1,2,3. В дробно-интегральной
модели плотность состояний Cn(£>, г) в W1 выбирается так, что
описывает число состояний в dVn. Будем использовать следующие
обозначения
для описания плотности состояний в пространстве М3, на плоскости 1R2, на
линии 1R1 соответственно. Линейная, поверхностная и объемная плотности
заряда часто обозначаются через A(r, t), a(r, t) и p(r, t) соответственно.
Рассмотрим фрактальное распределение электрического заряда в
рамках дробно-интегральной модели. Плотность распределения заряда будем
описывать функцией p(r, i) такой, что в системе СИ единицами измерения
р является Кулон в силу безразмерности координат. В дробно-интегральной
модели полный заряд, находящийся в области W фрактального
распределения, определяется формулой
dp,D(r,n) = cn(D,y)dVrt
п
dVD = c3(D, г) dV3, dSd = c2(d, r) dS2, dip = a (/3, r) dlx
(5.3)
w
где
dlb = C3(Ar)dV3
и dVz = dxdydz для безразмерных декартовых координат, а сз(Дг) —
плотность состояний. В системе СИ единицами Qd является, как обычно,
Кулон.

5.2. Электрический заряд фрактального распределения
123
Отметим, что свойства симметрии функции плотности состояний
сз(£>,г) должны определяться свойствами симметрии фрактального
распределения, то есть симметрией распределения разрешенных состояний.
Например, если рассматривается сферическая область
W = {г : |р| < R}
со сферически симметричным распределением вещества (p(r, t) — р(г, £)),
тогда можно использовать плотность состояний в форме Рисса с точностью
до числового множителя:
2з^Г(3/2)
3[ ' ' Г(£»/2) 11 •
Для области в виде параллелепипеда
W := {(х1,ж2,х3) е М3 : ак^хк ^Ък, к = 1,2,3}
и соответствующего распределения вещества с фрактальной размерностью
D = ai + OJ2 + £*з> где фрактальные размерности в направлении оси хк,
можно использовать плотность состояний по Риману-Лиувиллю
Сз(Дг) =
\xi - а!\а1~1\х2 - а2\а2~1\х3 - аз\аз~г
Г(а1)Г(а2)Г(а3)
где xi, Х2, хз — безразмерные декартовы координаты. Отметим, что
уравнения, которые связывают различные физические величины, не зависят от
числового множителя в функции сз(£>,г). Однако зависимость от радиус-
вектора г и его компонент ж, у, z важна для этих уравнений.
Интегральное уравнение (5.3) дробного порядка описывает заряд,
распределенный в пространстве К3. Отметим, что для D = 2+ мы имеем
фрактальное распределение в пространстве, а не на плоскости. Другими
словами, фрактальное распределение в пространстве при D = 2 не
эквивалентно распределению на двумерной поверхности.
Рассмотрим простой пример распределения заряженных частиц. Пусть
область W является шаром, таким что W = {г : |г| ^ R}. Для
стационарного сферически симметричного распределения заряда (p(r, t) = р(г))
получаем
3-D R
Qd(R) = 47Г2 r(jj^2) Ip{r)rD-4r. (5.4)

124
Глава 5
Если это распределение является гомогенным р(г) = ро, то интегрирование
в уравнении (5.4) дает
Распределение заряженных частиц называется гомогенным, если для
любых двух областей W\ и W2 с равными объемами Vd(W\) = Vd(W2) мы
имеем равные полные заряды внутри этих областей, Qd(W\) = Qd(W2).
Для гомогенного фрактального распределения электрический заряд Q
удовлетворяет степенному закону Q(R) ~ RD9 тогда как для
однородного нефрактального распределения имеем Q(R) ~ Rn, где п = 1,2,3. Это
свойство можно использовать для измерения размерности D
фрактального распределения зарядов. Мы будем рассматривать этот степенной закон
как определение зарядовой размерности, которая аналогична массовой
размерности фрактальных сред. Если все частицы фрактального
распределения идентичны, то есть имеют равные массы и заряды, то зарядовая
размерность равна массовой размерности распределения. В общем случае эти
размерности не совпадают и являются различными характеристиками
фрактальных распределений. Массовая и зарядовая размерности могут
существенно отличаться друг от друга, например, если распределение содержит
большое количество нейтральных частиц. Аналогичная ситуация
возникает, когда в заданной области содержатся два распределения двух разных
типов частиц, частичные размерности (размерности числа частиц) которых
различны.
5.3. Электрический ток во фрактальном распределении
Рассмотрим распределение заряда в пространстве с плотностью р(г, t)
и движущегося со скоростью и = и(г,£). В этом случае плотность
электрического тока J(r, t) определяется уравнением
J(r,t)=p(p,t)u(p,t).
Электрический ток 7(5) определяется как поток Ф./(5) электрического
заряда. Поток поля J(r,£), описывающего плотность электрического тока
сквозь поверхность S = dW с размерностью d = 2, определяется
формулой
h(S) = *j(S) = I (J(r, t), dS2), (5.5)
s

5.4. Теорема Гаусса для фрактального распределения
125
где (IS2 = dS2n и dS2 — безразмерный элемент поверхности, ап = п^к —
вектор нормали. Можно предположить, что поле J(r, t) проходит не через
всю поверхность S = dW, а только через фрактальное подмножество
размерности d < 2. В этом случае следует учесть плотность состояний на
поверхности. Используя дробно-интегральную модель, обобщение
выражения (5.5) для электрического тока имеет вид
Id(S)= |(Л(г,*)А), (5.6)
s
где
dSd = c2(d,r)dS2, (5.7)
и c2(d, г) — плотность состояний на поверхности S = dW. Для d = 2
имеем с2(2,г) = 1. В общем случае размерность d границы dW отлична
от 2 и не равна (D — 1).
5.4. Теорема Гаусса для фрактального распределения
Рассмотрим теорему Гаусса для дробно-интегральной модели
фрактального распределения зарядов и полей. Используя (5.7), получаем
j (J(r,*),dSd)= J (c2(d,r)J(p,*),dS2),
dw dw
где вектор J(r, i) = Jk&k является векторным полем. Отметим, что
с2(2, г) = 1 для размерности d = 2. Используя хорошо известную формулу
Гаусса, получаем
J (c*(d,r)J(p,*),dS2) = jdiv(c2(d,p)J(p,0)d^3.
dw w
Соотношение
dV3 = <b1(D,r)dVD
позволяет записать
jdiv(c2(d,r)J(r,t))dV3 = f ^■1(D,p)div(cs2(d,p)J(p,*)) dVD.
w w

126
Глава 5
В результате получаем
J (J(r,*),dSd) = j^■1(Dlp)div(c2(d,p)J(p,t)) dVD. (5.8)
dw w
Уравнение (5.8) можно рассматривать как теорему Гаусса для дробно-
интегральной модели фрактального распределения зарядов и полей.
5.5. Теорема Стокса для фрактального распределения
Теорема Стокса связывает поверхностный интеграл для ротора
векторного поля Е по поверхности 5 в евклидовом пространстве М3 с
криволинейным интегралом этого векторного поля по границе L = 8S:
j (Е,Д!) = j (rot(E),dS2), (5.9)
L s
где E = E(r, t) — вектор напряженности электрического поля в точке г.
Отметим, что обобщение теоремы Стокса на фрактальные распределения
не может быть представлено в виде
j (Е, <Л7) = J (rot(E), dSd), (5.10)
L s
поскольку это уравнение противоречит (5.9). Для того чтобы получить
обобщение теоремы Стокса, рассмотрим левую часть уравнения (5.10).
Используя выражение
dl7 = ci(7,r)dli,
где 01(7, г) — плотность состояний на границе, определяемая формулой
21-Т(1/2)1_п_1
С1(7'Г)= Г(7/2) |Г
получаем
/(Е,ЛТ)= /с1(7,г)(Е,Л1). (5.11)
J L JL
Отметим, что Ci(7, г) — 1 для размерности 7 = 1. Уравнения (5.9) и (5.11)
приводят к выражению
£С1(7,г) (E,cfli) = j(rot(ci(7,p)E),dS2).

5.6. Закон сохранения заряда для фрактального распределения 127
Используя соотношение (5.7) в виде
dS2 = C21(d,r)dSd,
получаем
J (rot(ci(7,p)E),dS2) = J c2-1(^r)(rot(c1(7,r)E),dSd).
5 5
В результате имеем уравнение
У (E,dl7) = J c2-1(d,r)(rot(c1(7,r)E),dSd). (5.12)
5
Данное уравнение можно рассматривать как теорему Стокса для дробно-
интегральной модели фрактального распределения зарядов и полей.
5.6. Закон сохранения заряда для фрактального
распределения
Закон сохранения заряда утверждает, что скорость изменения заряда
в области ограниченной поверхностью 5 = dW, равна потоку заряда
через эту поверхность. Уравнение закона сохранения заряда имеет вид
Для фрактального распределения заряда этот закон в рамках
дробно-интегральной модели описывается уравнением
jtQo{W) = -Id(S), (5.13)
где Qd(W) и Id(S) определяются формулами (5.3) и (5.6) соответственно.
Подставляя (5.3) и (5.6) в уравнение (5.13), получаем
ft j P(r,t)dVD = -j (J(r,t),dSd). (5.14)
В результате закон сохранения электрического заряда для фрактальных
распределений описывается интегральным уравнением дробного порядка.
Используя обобщенную теорему Гаусса, можно получить
дифференциальные уравнения, вытекающие из интегрального уравнения дробного

128
Глава 5
порядка (5.14). Теорема Гаусса (5.8) для дробно-интегральной модели дает
j (J(r,*),dSd) = j c3\D,v)^(Kc2{d,v)Jk{t,t)yVD. (5.15)
Если поверхность S = dW фиксирована, то левая часть уравнения (5.14)
может быть записана как
|/,M)<^ = /%^W (5.16)
W W
Подставляя уравнения (5.16) и (5.15) в (5.14), получаем
jc3(D,v)^^-dV3 = -J ^(c2(d,r)Jfc(r,*)) dV3. (5.17)
w w
Это интегральное уравнение дробного порядка описывает закон
сохранения электрического заряда. В силу того, что уравнение (5.17) должно
выполняться для любой области W, получаем
с3(Д r)^^ + ^ (c2(d, г) Л(г, *)) = 0. (5.18)
Это уравнение представляет собой закон сохранения заряда в
дифференциальной форме для фрактальных распределений, описываемых в рамках
дробно-интегральных моделей. Отметим, что дифференциальное
уравнение (5.18), в отличие от интегрального уравнения (5.14), является
уравнением целого порядка. Для D = 3 и d = 2 уравнение (5.18) имеет вид
что является хорошо известным дифференциальным уравнением закона
сохранения заряда в электродинамике сплошных сред.
5.7. Законы Кулона и Био-Савара для фрактального
распределения
Рассмотрим закон Кулона для фрактальных распределений
электрического заряда в рамках дробно-интегральной модели. Электрический заряд
dQD = P(r')dVD,

5.7. Законы Кулона и Био-Савара
129
находящийся в окрестности точки с радиус-вектором г , создает в точке г
электрическое поле с напряженностью dE(r), равной
dE(r)-dQD r-r'
/13'
47Г£0 |Г-Г'(
где г и г7 — безразмерные векторы, а ео — электрическая постоянная. В
декартовых координатах dV3 — dx'dy'dz'.
Для распределения электрического заряда с плотностью р{т') и целой
зарядовой размерностью D = 3 напряженность электрического поля в
точке г описывается уравнением
Е(Г) = ^ / 0Г* (5-19)
W
где г и г' — безразмерные радиус-векторы. Для области W фрактального
распределения напряженность электрического поля в точке г равна
EW^^/iff^^W, (5.20)
W
где dVp = сз(£),r')dV3. Уравнение (5.20) является обобщением (5.19).
Уравнение (5.20) является законом Кулона для стационарных
фрактальных распределений электрического заряда в рамках дробно-интегральной
модели.
Рассмотрим закон Био-Савара для фрактальных распределений
зарядов в рамках дробно-интегральной модели. Закон Био-Савара
связывает магнитное поле и силу электрического тока, служащего его
источником [78,290]. Для плотности электрического тока J(r') с зарядовой
размерностью D = 3 индукция магнитного поля в точке с радиус-вектором г
равна
Шч Mo f [«1(0, г- г'] Алт,
B{r) = ^J |r-r'|3 dVs> (5-21)
w
где гиг'— безразмерные радиус-векторы, квадратные скобки [, ]
обозначают векторное произведение, а ро — магнитная постоянная. Интегрирование
в уравнении (5.21) производится по всем точкам области W, где имеются
объемные токи, характеризуемые плотностью J(r'). Уравнение (5.21)
выражает собой закон Био-Савара. Обобщение уравнения (5.21) на фрактальные

130
Глава 5
распределения в рамках дробно-интегральной модели имеет вид
w
(5.22)
Это уравнение представляет закон Био-Савара, записанный для
стационарных потоков фрактальных распределений зарядов. Уравнение (5.22)
описывает индукцию магнитного поля, порождаемого стационарными
фрактальными токами, то есть потоками с фрактальным распределением
электрического заряда.
5.8. Закон Гаусса для фрактального распределения
В классической электродинамике закон Гаусса также называется
электростатической теоремой Гаусса. Этот закон устанавливает связь между
потоком напряженности электрического поля сквозь замкнутую
поверхность и электрическим зарядом, находящимся внутри [78,290].
Электростатическая теорема Гаусса утверждает, что поток напряженности Фе(5)
электрического поля Е через замкнутую поверхность 5 = dW прямо-
пропорционален полному электрическому заряду Qd(W), находящемуся
в области W:
В дробно-интегральной модели поток электрического поля через
поверхность S = dW равен
где Е(г, t) — вектор напряженности электрического поля, dSd — элемент
поверхности, п — вектор нормали и dSd = dSdn. Полный электрический
заряд Qd(W) области W фрактального распределения с зарядовой
размерностью D определяется уравнением (5.3).
В рамках дробно-интегральной модели закон Гаусса (5.23) для
фрактальных распределений принимает вид
*e@W) = ±Qd(W).
(5.23)
s
s
w
где p(r, t) — плотность электрического заряда, dVo = cz{D,r)dVz,
a cs(D, г) — плотность состояний.

5.9. Закон Ампера для фрактального распределения
131
Рассмотрим простейший пример применения закона Гаусса к
сферически симметричному распределению и шарообразной области. Если p(r, t) =
= p(r) nW = {г : |г| ^ и}, то имеем
3-D R
Q(W) =4irjp(r)c3(D,r)r2dr = 4тг2 jp(r)rD-ldr. (5.26)
о 0
Для d = 2 и сферической поверхности S = dW = {г : |г| = R},
ФЕ(д\У) = 4ttR2E(R). (5.27)
Подставляя (5.26) и (5.27) в уравнение (5.23), получим
(5'28)
Для фрактально гомогенного распределения (р(г) = ро) уравнение (5.28)
дает
E{R) - Р° e0DT(D/2) R ■
Для фрактальных распределений в пространстве с зарядовой размерностью
D = 2+ напряженность электрического поля постоянна E(R) = const.
5.9. Закон Ампера для фрактального распределения
Закон Ампера [290] описывает свойства магнитного поля в
пространстве вокруг электрического тока. В электродинамике закон Ампера также
называется законом полного тока [78]. Для статического электрического
поля криволинейный интеграл от индукции магнитного поля вдоль
замкнутого контура пропорционален электрическому току, проходящему сквозь этот
контур. Закон Ампера эквивалентен интегральному уравнению Максвелла
(при dE(r, t)/dt = 0) и записывается в виде уравнения
(B,dl1) = /i0/2(5), (5.29)
IL
где d\\ — элемент контура L = 3S и
J2(S) = J(3(r,t),dS2).
s

132
Глава 5
В дробно-интегральной модели закон Ампера для фрактального
распределения зарядов и полей представляется уравнением
^(B,cOy)=/io/d(5), (5.30)
где dl7 — элемент контура с дробной размерностью 7. Используя
уравнение (5.6), определяющее электрический ток /^(5), запишем закон
Ампера (5.30) в виде
^(B,dl7) = 1ю j (J(r,*),dSd). (5.31)
L s
Это интегральное уравнение дробного порядка описывает закон Ампера
для фрактального распределения в рамках дробно-интегральной модели.
Рассмотрим простейший пример фрактального распределения. Для
цилиндрически симметричного распределения с 7 = 1 имеем
r r
Id(S) = 2ttJ J(r)c2(d,r)rdr = 4тг^^у J J{r)rd-ldr,
о о
где плотность состояний с2 (d, г) определяется уравнением. Можно
использовать функцию
Для контура в виде окружности L = dW = {г : |г| = R} имеем
(B,dli) =2тгД B(R).
В результате получаем
о
Для гомогенного распределения (J(r) = Jo) интегрирование в (5.32) дает
Это уравнение описывает индукцию магнитного поля, создаваемого
цилиндрически симметричным фрактальным распределением. Для d = 1+ имеет
постоянное магнитное поле B(R) = const.

5.10. Уравнения Максвелла для фрактального распределения 133
5.10. Уравнения Максвелла для фрактального
распределения
Интегральные уравнения Максвелла являются фундаментальными
уравнениями, описывающими электрические и магнитные поля. Эти
уравнения представляют собой интегральную форму закона Гаусса, закона Фа-
радея, отсутствие магнитного монополя и закон Ампера с током
смещения. Используя дробно-интегральную модель, получим обобщение
интегральных уравнений Максвелла для электрических и магнитных полей на
фрактальные распределения зарядов и полей. Эти обобщенные уравнения
являются интегральными уравнениями дробного порядка.
Для фрактальных распределений заряженных частиц в евклидовом
пространстве R3 интегральные уравнения Максвелла имеют вид
^(E,dS2) = ^ J pdVD,
S w
£(E,dl!) = -| J(B,dS2),
£(B,dS2)
5
o,
L s s
Эти уравнения описывают фрактальные распределения только заряженных
частиц. Возможность фрактального распределения полей в данных
уравнениях не учитывается.
Используя дробно-интегральную модель, можно рассмотреть
обобщенные фрактальные распределения, а именно распределения зарядов и
полей. Рассмотрим случай, когда поля существуют только во фрактальной
среде. Мы полагаем, что напряженность электрического поля Е(г, t) и
индукция магнитного поля В(г,£) определены только во фрактальной среде
и не существуют за ее пределами в евклидовом пространстве R3. В этом
случае следует использовать обобщенные интегральные уравнения
Максвелла вида
f(E,dSd) = ± JpdVD, (5.33)
w

134
Глава 5
У'(Е,ЛУ) = -^ f(B,dSd), (5.34)
L s
j>(B,dSd) = 0, (5.35)
£(B,dl7) = /хо ^(J,dSd) +£0MoJ^ У(E,dSd). (5.36)
Эти уравнения являются интегральными уравнениями дробного порядка,
которые описывают электромагнитное поле фрактального распределения
зарядов и полей.
В дробно-интегральной модели можно получить дифференциальные
уравнения, соответствующие интегральным уравнениям Максвелла
дробного порядка. Используя теоремы Стокса и Гаусса (5.8), (5.12), можно
переписать уравнения (5.33)-(5.36) в виде
J c^Ar)div(c2(d,r)E)dlb = ±J pdVD,
w w
j c2-1(d,r)(rot(c1(7,r)E),dSd) = -ftJ (B,dSd),
J C31(Ar)div(c2(d,r)B)dyd=0,
w
j c2-1(d,r)(rot(c1(7,r)B),dSd)-/io J{J,dSd) + e0po^ J(E,dSd).
s
В результате получим
div(c2(d,r)E) - ^c3(Ar)p, (5.37)
rot(d(7,r)E) = -c2(d,r)^B, (5.38)
div(c2(d,r)B) =0, (5.39)
rot^ci(7,r)B^ =/x0c2(d,r)J + eo/ioc2(d,r)^. (5.40)

5.11. Фрактальное распределение как эффективная среда
135
Эти дифференциальные уравнения описывают электромагнитное поле
фрактального распределения частиц и полей в рамках дробно-интегральной
модели. Видно, что дифференциальные уравнения (5.37)-(5.40), в отличие
от соответствующих интегральных, не являются уравнениями дробного
порядка.
Отметим, что закон отсутствия магнитного монополя (5.39) можно
переписать в виде
divB = -(B,grad c2(d,r)).
В общем случае (d ф 2) вектор градиента grad (c2(d, г)) отличен от нуля
и div В ф 0. Для d = 2 получаем div(B) ф 0 только для несоленоидального
поля В. Поэтому магнитное поле является несоленоидальным. В результате
поле обобщенного фрактального распределения может рассматриваться как
поле с некоторым «фрактальным магнитным монополем»
qm ~ (В, Vc2),
определяемым градиентом плотности состояний c2(d,r).
5.11. Фрактальное распределение как эффективная среда
В дробно-интегральной модели уравнения Максвелла (5.37)-(5.40) для
фрактального распределения зарядов и полей могут рассматриваться как
уравнения для некоторой эффективной среды
dw(p) = ре//ее, (5.41)
rot(Ee") = -J^Be", (5.42)
div(Be//)=0, (5.43)
rot(H) =Зе" + Щ. (5.44)
Эффективные уравнения Максвелла (5.41)-(5.44) показывают, что
фрактальное распределение создает некоторую поляризацию и
намагниченность. В этих уравнениях используются эффективные поля
Ee^(r,4)=c1(7,r)E(r,t),
Be"(r,t)=c2(d,r)B(r,t).

136
Глава 5
Из формул для полей Ее^ и Ве^ видно, что электромагнитные поля Е и В
изменяются за счет плотностей состояний фрактального распределения.
Уравнения (5.41)-(5.44) содержат эффективные плотности свободных
зарядов и токов
Р/г{е(Г^) = С3(Дг)р(г,0,
Je^(r,^)-c2(d,r)J(r,t).
Существование ре//ее и J€^, за счет неединичных плотностей состояний
фрактальных распределений, можно интерпретировать как эффект
изменения свободного заряда и плотности тока фрактальным распределением. Это
изменение существует в дополнение к эффекту появления поляризации или
намагниченности. В результате фрактальное распределение зарядов и
полей может рассматриваться как среда, относительная диэлектрическая
проницаемость и магнитная проницаемость которой имеют вид
£eff = c2(d,r)q1(7,r),
Peff =C2(d,r)Ci1(y,r).
Поля D и H связаны с эффективными Ее«^f и Ве«^ посредством обычных
соотношений:
D = £e//£()Ee//,
Н = тг^тт-В6".
Отметим, что уравнение неразрывности (5.18) для фрактального
распределения можно представить в виде
Фе//М)
dt
+ div(je//(r,*)) =0.
Отметим, что обобщенные уравнения Максвелла для фрактальных
распределений зарядов и полей являются инвариантными относительно
преобразований Лоренца, записанных для эффективных полей Ее^ и Ве^Л
В результате фрактальное распределение зарядов и полей можно
рассматривать как особую среду, которая изменяет поля, свободные заряды
и токи, помимо порождения некоторой поляризации и намагниченности.
Уравнения для электромагнитных полей фрактального распределения
можно интерпретировать как эффект порождения некоторой поляризации и
намагниченности этим распределением. Более того, сами электромагнитные

5.12. мультипольное разложение
137
поля тоже меняются фрактальным распределением. Из обобщенных
уравнений Максвелла виден эффект изменения свободного электрического
заряда и плотности электрического тока за счет плотности состояний
фрактального распределения. Это изменение существует в дополнение к эффекту
появления поляризации и намагниченности. Эффективная диэлектрическая
проницаемость ее// и магнитная проницаемость /хе// фрактального
распределения определяется плотностью состояния и зарядовой размерностью
фрактального распределения.
5.12. Мультипольное разложение для фрактального
распределения
Рассмотрим мультипольное разложение для фрактального
распределения заряженных частиц в R3. Для этого будем использовать дробно-
интегральную модель. Обозначим через R = Хь&к вектор, проведенный из
начала координат в точку наблюдения, а через г = Хк&к — вектор,
соединяющий начало координат и точку фрактального распределения. Скалярный
потенциал электрического поля фрактального распределения определяется
уравнением
w
где (R — г) является вектором, проведенным из точки фрактального
распределения в точку наблюдения. Используя теорему косинусов, получаем
|R
где г = |г|, R = |R|, а в
г2 +R2 - 2rR cos 9,
(5.45)
полярный угол, определенный так, что
COS0 =
(r,R)
М lRl
Используя уравнение (5.45), имеем
Определим новые переменные

138
Глава 5
Тогда
_J_ = i(1_2e{ + e2)-'2. ,5.46)
Правая часть уравнения (5.46) является производящей функцией для
полиномов Лежандра Рп(£):
-1/2 00
(l-2e£ + e2) =£€»Рпй),
п=0
что позволяет получить
|R-r
п=0
В результате скалярный потенциал электрического поля можно представить
в виде мультипольного разложения
оо
¥>(R) = 5>„(R), (5.47)
n=0
где
*»(R> = Ш^фг Irnpn^os9)p(r)dVD.
w
Отметим, что n-e члены разложения обычно называются следующим
образом: п — мультиполь, 0 — монополь, 1 — диполь, 2 — квадруполь, 3 —
октуполь. Используя Pq(x) = 1, монополь имеет вид
Qd(W)
w
Электрический дипольный и квадрупольный моменты фрактального
распределения рассматриваются в следующих разделах.
5.13. Дипольный момент фрактального распределения
Если полный заряд Qd(W) фрактального распределения в области W
равен нулю, то монопольное слагаемое ^o(R-) исчезает. В этом случае
важно знать электрические дипольные моменты фрактального распределения.

5.13. дипольный момент фрактального распределения
139
Воспользуемся такой системой координат, что 9 описывает угол между
линией, соединяющей заряды диполя, и линией, выходящей из середины
отрезка между диполями. Тогда слагаемое в (5.47) с п = 1 имеет вид
Vl(R) = ^ J. у rPl{cose)p{v)dVD.
Используя
получаем
Pi (сое в) =cos0 = ^5^,
rR
w \ w I
(5.48)
Для непрерывного распределения заряда с зарядовой размерностью равной
трем электрический дипольный момент определяется формулой
р<3> = J rp(r)dV3, (5.49)
w
где г — вектор, соединяющий отрицательный и положительный заряды.
Определяя дипольный момент фрактального распределения уравнением
j rp(r)dVD, (5.50)
w
получаем
ида = ^™„_1_!^, ,5.51)
где
(p(d),R)
COS OL =
|PW||R|
Уравнение (5.50) определяет дипольный момент фрактального
распределения электрических зарядов.

140
Глава 5
Пример. В работе [479] рассматривался пример электрического ди-
польного момента для фрактально гомогенного (р(г) = ро) распределения
электрических зарядов в параллелепипеде. Для области в виде
параллелепипеда
W := {(хьХ2,хз) Е R3 : ак ^ хк ^ Ък, к = 1,2,3} (5.52)
и соответствующего распределения вещества с фрактальной размерностью
D = а\ + а2 + аз, где ак фрактальные размерности в направлении оси хк,
можно использовать плотность состояний по Риману-Лиувиллю
сз(#,г)
\х\ - ail01"1!^ - а2\а2'1\х3 - аз|аз_1
Г(а!)Г(а2)Г(а3)
где xi, х2, хз — декартовы координаты. Для плотности состояний
Римана-Лиувилля с ак = а = D/3 получаем
{D) _ p0(L1L2L3)Q Lk
Рк ~ Г3(а) a2(a+l)' (5'53)
где Lk = bk — ak, a D = 3a — зарядовая размерность фрактального
распределения. Используя выражение для полного электрического заряда
области (5.52) вида
Qd(W) =PoJ dVD =
po(LiL2L3)Q
а3Г3(а) '
w
получаем дипольный момент (5.53) в виде
№ = ^?+\Q{w)Lk (fc = 1'2'3)-
Используя a/(a + 1) = D/(D + 3), имеем
P{D} = 2^G(W0> (5-54)
где L — длина диагонали параллелепипеда. Уравнение (5.53) описывает
дипольный момент фрактально гомогенного распределения заряда в
параллелепипеде. Используя соотношение 2 < D ^ 3, получаем неравенство
0.8 < ^— ^ 1, (5.55)
рКЛ)

5.14. квадрупольный момент фрактального распределения
141
где р^3) = |р(3) | — дипольный момент для однородного распределения с
зарядовой размерностью равной трем. В результате отклонение величины
р(&) от р(3) для фрактальных распределений заряженных частиц в
области (5.52) не превышает 20%.
5.14. Квадрупольный момент фрактального
распределения
Рассмотрим электрический квадрупольный момент фрактального
распределения электрического заряда, используя дробно-интегральную
модель. Электрический квадрупольный момент задается формулой
ЫК) = ilktf /r2P2(cose)p(r)dVD,
W
где £о — электрическая постоянная, a R — расстояние до зарядов
фрактального распределения. Применяя
i(w.-i)-J(^-i).
получаем
^2(R) = iku? /(^№')а - г2) p(r)dVD. (5.56)
W
Используя безразмерные декартовы координаты Хк вектора R и
безразмерные координаты Xk вектора г, квадрупольное слагаемое (5.56) можно
представить в виде
к,1=1
где тензор Qki является тензором квадрупольного момента, который
определяется формулой
Qki = j (зхкХ1 - r24z) p(r)dVD,
w
(5.58)

142
Глава 5
где Xk = х, у или z. Видно, что тензор Qki удовлетворяет условиям
3
Qki = Qik, ]Г<2^ = 0. (5-59)
k=i
Пример 1. В статье [479] рассматривается пример вычисления квад-
рупольного момента для фрактально гомогенного (р(г) = ро)
распределения электрического заряда в параллелепипеде (5.52). Используя плотность
состояний по Риману-Лиувиллю, диагональные элементы тензора
электрического квадрупольного момента Q^} фрактального распределения можно
записать в виде
(3)
где Qm — квадрупольный момент однородного распределения с зарядовой
размерностью D = 3. Недиагональные элементы тензора Qjj.'f \ (к ф I),
имеют вид
■j(D) _ AD2 п{ъ)
(D + З)2
Используя 2 < D ^ 3, получим неравенство для диагональных элементов
*Г = 7КТЪ2<гЯ (*/0- (5-60)
0{D)
0.75 < < 1
и для недиагональных элементов
OiD)
0.64<^-<1 (* ф I).
Off
В общем случае отклонение от Q$ Для фрактальных распределений
заряженных частиц в области параллелепипеда (5.52) не превышает 36%
для недиагональных элементов.
Пример 2. В статье [479] рассматривается пример вычисления
квадрупольного момента для фрактально гомогенного (р(г) = р0)
распределения электрического заряда в эллипсоиде
2 2 2
W:={(xux2,x3)em3: Ц + Ц + Ц^Л. (5.61)
1 а( aj aj >

5.14. Квадрупольный момент фрактального распределения 143
Отметим, что в координатах zk = хк/ак этот эллипсоид превращается
в шар единичного радиуса. Полный электрический заряд, заключенный
в области W, равен
w
Используя соотношения
тг/2
J dx cosn(x)sinm(x) =
Г(п/2 + 1/2)Г(ш/2 + 1/2)
2Г(п/2 + т/2 + 1) '
были получены диагональные элементы тензора квадрупольного момента
в виде
<2(А, I/) = з^Гб<2я(^) (Аа? + /ial + i/a§), (5.62)
где используются обозначения
Q(A, /х, I/) = У (\х\ + /хх^ + р(г) dVb, (5.63)
и/
такие что
Qi?) = Q(2,-l,-l)) = Q(-lf2,-l), q£>=Q(-1,-1,2).
В результате
^) = з5Тб^} <* = 1'2'3>-
Для недиагональных элементов тензора квадрупольного момента
Qm } = 3Ро У а*х/ dVD (к ф X)
W
получаем соотношения
Qh] =9{<*)Qd{W) акаи
где
„(п\ = 6 Г2(а/2 + 1/2)
5W За+ 2 г2(а/2) '

144
Глава 5
В результате имеем
0(d) = 57Г Г2(Р/6+1/2) (3)
Чы D + 2 Г2(£)/6) ы'
где к ф I. Здесь использовалось то, что Г(1/2) = ^/п.
Для 2 < D < 3 получаем неравенство
г o(D) 0{D)
\<Щ-<\, 0.6972 <^<1
6 off off
В общем случае отклонение от QJ^ для фрактального распределения
заряда в области в эллипсоиде (5.61) не превышает 31 % для
недиагональных элементов.
5.15. Магнитогидродинамика фрактального
распределения
Вывод уравнений магнитогидродинамики фрактальных
распределений
Магнитогидродинамика, возникшая на пересечении электродинамики
и гидродинамики, является разделом физики, в котором изучается динамика
электрически проводящих жидких сред [320]. Примерами таких сред
являются плазма, жидкие металлы и соленая вода. Турбулентное движение
таких сред может обладать фрактальной структурой, поэтому
соответствующие уравнения должны описывать фрактальные среды. Система уравнений
магнитогидродинамики, является комбинацией гидродинамических
уравнений и уравнений Максвелла [320].
Воспользуемся дробно-интегральной моделью для рассмотрения
магнитогидродинамики фрактальных распределений зарядов и полей. Будем
полагать, что поля определены только во фрактальной среде размерности D
и не существуют за ее пределами в евклидовом пространстве R3. Для
описания фрактального распределения в рамках дробно-интегральной модели
используется понятие плотности состояний cn(D,r) и плотности заряда
р(г,£). Плотность состояний cn(D,r) описывает то, как плотно упакованы
разрешенные состояния в Rn. В дробно-интегральной модели
используются следующие обозначения:
dVD = c3(D, г) dV3, dSd = c2(d, r) dS2, dl0 = ci(/?, r) dh

5.15. Магнитогидродинамика фрактального распределения 145
для описания числа состояний в n-мерном евклидовом пространстве с п =
= 1,2,3. Уравнения гидродинамики и уравнения Максвелла для
фрактальных распределений частиц и полей имеют следующий вид.
1) Уравнение неразрывности
(l)^ = -"v*ttfc- (5-64)
2) Закон сохранения импульса
p(£)duk = pfk-^p. (5.65)
3) Закон отсутствия магнитных монополей
div(c2(d,r)B) =0. (5.66)
4) Закон Ампера
rot(ci(7,r)B) = /xoc2(d,r)J, (5.67)
где пренебрегаем током смещения.
5) Закон Фарадея
rot(ci(7,r)E) = -c2(d,r)J^B. (5.68)
В уравнениях (5.64) и (5.65) используются обозначения
(Л =А
\dt)D dt
+ c(D,d,r)uk-^-, (5.69)
У?А = с3-(Дг)*2|^1. (5.70)
Основной идеей магнитогидродинамики является то, что магнитное
поле может порождать токи в движущейся проводящей жидкости, которые
создают силы, действующие на жидкость, и изменяют само магнитное поле.
Система уравнений (5.64)-(5.68) не является замкнутой. Получим
замкнутую систему уравнений, описывающих магнитогидродинамику
фрактальных сред. Рассмотрим линейную зависимость между J и Е*,
описываемую законом Ома:
J(r,*) =<7E.(r,t), (5.71)

146
Глава 5
где а — электрическая проводимость среды, а Е* — электрическое поле
в движущейся системе координат. Если |и| с, то
Е = Е* — i[u, В]. (5.72)
Используя (5.72) и закон Фарадея (5.68), получаем
rot(d(7,r)E* -Cl(7,r)i[u,B]) = -c2(d,r)^B. (5.73)
Закон Ампера (5.67) и линейное соотношение (5.71) дают
^ = ^fe^rot(Cl(^r)B)- (5-74>
Подставляя (5.74) в (5.73), получаем
+ rot(ci(7,r)i[u,B]^. (5.75)
Эти уравнения описывают диффузию магнитного поля.
Подставляя плотность силы Лоренца
pf = [J,B]
в уравнение (5.65) закона сохранения импульса, получаем
4!),u+v^=[J'B]- (5-76)
Это уравнение описывает баланс плотности импульса, в котором учтены
силы Лоренца.
Уравнения (5.75) и (5.76) позволяют заменить закон Фарадей (5.68)
и уравнение баланса импульса (5.65). В результате получаем [499, 530]
следующие уравнения для описания магнитогидродинамики фрактальных
сред.
1) Уравнение неразрывности

5.15. Магнитогидродинамика фрактального распределения 147
2) Закон сохранения импульса
Ki).u+vZ3p=lJ'B1- (5-78)
3) Закон отсутствия магнитных монополей
div(c2(d,r)B) =0. (5.79)
4) Закон Ампера
rot(ci(7,r)B) = fi0c2(d,r)J. (5.80)
5) Уравнение диффузии магнитного поля
c2Wr)|B = _г„е(-^^Го,(с1(7,,)в)) +
+ rot^d(7,r)i[u,B]). (5.81)
Уравнения (5.77)-(5.81) образуют замкнутую систему из И уравнений
для 11 переменных, включающих р, р и компоненты векторов u, J и В. Эти
уравнения можно рассматривать как магнитогидродинамические уравнения
фрактальных распределений заряженных частиц и полей [499,530],
описываемых в рамках дробно-интегральной модели.
Стационарные состояния в магнитогидродинамике фрактальных
распределений
Рассмотрим стационарные фрактальные распределения в
магнитогидродинамике. Стационарные состояния определяются условиями
(IV=0' (I),""0- 1в=°- <5-82>
В этом случае уравнение (5.78) имеет вид
VDp= [J,B]. (5.83)
Подставляя закон Ампера (5.80) в форме
j=s^rot(c,h-')B) {5м)

148
Глава 5
в уравнение (5.83), получаем
VDp= ]— [rot(Cl(7,r)B),B]. (5.85)
/zoc2(d,r) L V J J
Для упрощения преобразований будем полагать, что в = {О, О, Bz}. В этом
случае уравнение (5.85) дает
\J-BzVk{cl{1,t)Bz) = V, к = 1,2. (5.86)
Используя (5.70) и (5.82), уравнение (5.86) принимает вид
Vfcc2(cf, г)р + СЗ(^Г\ Bz Vfc(d (7, т)Вг) =0, fc = 1,2.
Moc2(d, г)
Правило почленного дифференцирования произведения позволяет
представить эти уравнения в виде
Y7 (п (и *\п j. сз(Дг)С1(7,г) Л
Vfc ^<*'>* + Moc2(d,r) =
= ci(7,r)B,Vfcf Сз(^Г\дЛ = 1,2,
\Мос2(а,г) у
V2(c2(d,r)p)=0. (5.87)
В результате получаем
<*(*, Ф + СЗ(ДГ);(7:Г)№)2 = const. (5.88)
Уравнение (5.88) описывает стационарное решение магнитогидродинами-
ческих уравнений для фрактальных распределений [499]. Это уравнение
для стационарных состояний существует лишь при выполнении условия
о c2(d,r)
£>7
са(Дг)
Видно, что не существует обычных инвариантов для фрактальных
распределений заряженных частиц и полей. Поэтому равновесие во фрактальной

5.16. Заключение
149
среде существует для магнитного поля, подчиняющегося степенному
закону
Bz ~ Rd~D+l.
Для D = 3 и d = 2 получаем обычные соотношения для стационарных
состояний в магнитогидродинамике.
5.16. Заключение
Для фрактально гомогенного распределения заряженных частиц
полный электрический заряд Q удовлетворяет степенному закону Q(R) ~ RD,
тогда как для однородного n-мерного распределения с целым значением п
имеем Q(R) ~ Rn. Это свойство может быть использовано для
определения размерности D фрактальных распределений зарядов, которая названа
зарядовой размерностью. Если все частицы идентичны, то зарядовая
размерность равна массовой размерности распределения. В общем случае эти
понятия не совпадают и должны рассматриваться как различные
характеристики фрактальных распределений.
Дробно-интегральная модель фрактального распределения позволяет
использовать интегралы дробного порядка для описания
электромагнитных полей, создаваемых фрактальными распределениями. В рамках данной
модели получены интегральные уравнения Максвелла дробного порядка.
Уравнения для электромагнитных полей фрактальных распределений могут
быть проинтерпретированы как эффекты поляризации и намагниченности,
создаваемые фрактальным распределением. Более того, и само
электромагнитное поле также изменяется фрактальным распределением. Из
обобщенных уравнений Максвелла виден эффект изменения фрактальным
распределением свободных электрических зарядов и плотности тока. Это
изменение существует в дополнение к эффекту появления поляризации и
намагниченности токов. Эффективная электрическая проницаемость е и
эффективная магнитная проницаемость \х фрактального распределения
определяются плотностью состояний и зарядовой размерностью распределения.
Магнитное поле в этом случае может рассматриваться как поле с
некоторым эффективным магнитным монополем [495]. Дробно-интегральная
модель фрактальных распределений заряженных частиц позволяет вычислять
электрические дипольные и квадрупольные моменты для этих
распределений [479,530]. Отметим, что дробно-интегральная модель фрактальных
распределений использовалась для описания магнитных свойств плазмы
в работе [357]. Гравитационные поля фрактальных распределений частиц
и полей рассматривались в рамках дробно-интегральной модели в
работе [505] (см. также [186,530]).

Глава 6
Принцип стационарности действия для
фрактальных сред
6.1. Введение
В данной главе применение принципа стационарности действия для
фрактальных сред будет рассматриваться на примере получения уравнения
Гинзбурга-Ландау [32,254] как одного из наиболее изучаемых
нелинейных уравнений в физике [154]. Это уравнение описывает широкий класс
явлений, включающий нелинейные волны и фазовые переходы второго
рода, сверхпроводимость и сверхтекучесть, бозе-конденсацию и жидкие
кристаллы. Уравнения Гинзбурга-Ландау можно получить [73] из функционала
свободной энергии. Определим функционал свободной энергии в виде
F{9{r)} = Fo + \j (pCD1*)2 + аФ2 + |ф4)<^3, (6.1)
w
где Ф = Ф(г) — вещественнозначная функция (поле). В уравнении (6.1)
интегрирование реализуется по области W сплошной среды. Здесь Fo —
функционал свободной энергии нормальных состояний, то есть F{^(r)} =
= Fo при Ф(г) = 0. Используя вариационное уравнение Эйлера-Лагранжа
-щ--^ (6-2)
получаем уравнение Гинзбурга-Ландау
рБ2Ф - аФ - ЬФ3 = 0.
Используя дробно-интегральную модель, рассмотрим обобщение
функционала (6.1) двух видов: интегрирование дробного порядка в
уравнении (6.1) и дробные производные поля Ф(г) по координатам.
Уравнение Гинзбурга-Ландау с дробными производными было предложено в
статье [556] и рассмотрено в работах [369,489,498,503,530]. Это уравнение

6.2. Функционал свободной энергии для фрактальных сред 151
может быть использовано для описания динамических процессов в средах
с дисперсией. Поскольку фракталы могут быть реализованы в природе как
фрактальные процессы или фрактальные среды, можно получить
обобщение уравнения Гинзбурга-Ландау, используя соответствующее обобщение
функционала свободной энергии [489] на фрактальные среды и процессы.
Вариационное уравнение Агравала [145,149] и его обобщение на
фрактальные среды [489,530] применяется для получения уравнения
Гинзбурга-Ландау с производными дробного порядка.
В разделе 2 предлагается обобщение функционала свободной энергии
на фрактальные среды. В разделе 3 получено уравнение Гинзбурга-Ландау
для фрактальных сред вариацией функционала свободной энергии. В
разделе 4 уравнение Гинзбурга-Ландау с дробными производными выводится
из вариационного уравнения. Получены простейшие решения одномерного
уравнения Гинзбурга-Ландау для фрактальных сред. Краткое заключение
приводится в разделе 5.
6.2. Функционал свободной энергии для фрактальных
сред
Рассмотрим функционал F{4/(r)} для неравновесных состояний
фрактальной среды, где Ф(г) — скалярное вещественнозначное поле. Известно,
что функционал свободной энергии для сплошной среды задается
соотношением
F{*(r)} = F0 + yVwrXD1*^))^,
w
где Т{Ч?(т), D1^(r)) — плотность свободной энергии, имеющая вид
Г(Щт),Т>гЩт)) = ^(D1*)2 + |Ф2 + |Ф4. (6.3)
Здесь используется обозначение
D*» = «*!*.
Уравнение (6.3) может рассматриваться как первые члены разложения
функции Т в ряд по малым значениям поля Ф(г) и ее производным D14>(r)
первого порядка.
Для описания фрактальной среды с размерностью равной D будем
использовать дробно-интегральную модель, в которой учитывается плотность

152
Глава 6
состояний c3(D,r). Функция c3(D,r) описывает то, как плотно упакованы
разрешенные состояния в евклидовом пространстве R3. В рамках этой
модели функционал свободной энергии для фрактальных сред определяется
формулой
F{9(r)} - F0 + J Г(Щт),Т>г9(т))<1У0, (6.4)
w
где г — безразмерный радиус-вектор
dVD = c3(D,r)dV3, (6.5)
а функция c3(D, г) описывает плотность состояний в Е3.
Для плотности (6.3) функционал свободной энергии (6.4) имеет вид
F{*(r)} = Fo + \j(<7(D^(r))2 + аФ2(г) + |ф4(г)) dVD. (6.6)
w
Уравнение (6.6) является обобщением (6.1) на фрактальные среды.
Рассмотрим гомогенную фрактальную среду без внешних полей. Тогда
поле Ф(г) = Ф не будет зависеть от координат и уравнение (6.6) дает
FW = F0 + ^*2 + ^r*4, (6-7)
где Vq является D-мерным объемом фрактальной среды в области W.
Стационарные значения Ф соответствуют минимуму для (6.7). Если а/Ь > О, то
потенциал свободной энергии имеет единственный минимум в точке Ф = 0.
Если а/Ь < 0, то существуют два минимума при Ф = ±у/—а/Ь.
6.3. Уравнение Гинзбурга-Ландау из функционала
свободной энергии
В общем случае равновесное значение Ф(г) определяется условием
стационарности функционала (6.4), которое имеет вид вариационного
уравнения Эйлера-Лагранжа
к=1 хк
для плотности свободной энергии Т — ^(Ф(г),02Ф(г)). Для
плотности (6.3) уравнение (6.8) принимает вид
gc^(D,r)Dlk (са(Д r)X?it*) - аФ - 6Ф3 = 0. (6.9)

6.4. Получение уравнения с дробными производными
153
Уравнение (6.9) может рассматриваться как уравнение Гинзбурга-Ландау
для фрактальных сред в рамках дробно-интегральной модели.
Отметим, что уравнение (6.9) можно переписать в виде
дВЧ + qk(D,r)DlkV - аФ - 6Ф3 = 0, (6.10)
где
qk(D,r) = £-ln\c3(D,r)\.
Для описания фрактального распределения вдоль оси R1 с размерностью
0 < D < 1 используется понятие плотности состояний ci(7,a),
описывающее то, как близко друг к другу упакованы разрешенные состояний
на координатной оси R1. В этом случае уравнение Гинзбурга-Ландау для
фрактального распределения (6.10) можно представить в виде
D*9(x) + l^±Dl9{x) - (а/д)Щх) - {Ъ/д)&{х) = 0. (6.11)
Отметим, что уравнение (6.11) аналогично уравнению для
нелинейного осциллятора с трением. Это позволяет заключить, что уравнение
Гинзбурга-Ландау для фрактальных сред описывает нелинейные осцилляции
с диссипацией для поля Ф(г).
6.4. Получение уравнения с дробными производными
Рассмотрим получение дифференциальных уравнений с
производными дробного порядка из вариационного принципа стационарности
функционала. В общем случае плотность свободной энергии может зависеть и от
производных дробного порядка [101,307] по координатам. В этом случае
можно использовать обобщение вариационного уравнения, предложенного
в статье [145], обсуждаемое в [147-150]. В работе [489] вариационное
уравнение с дробными производными было обобщено на случай фрактальных
сред с размерностью D.
Рассмотрим функционал свободной энергии с интегрированием и
дифференцированием дробных порядков [307] в виде
F{*(r)} = F0 + J ^(Ф(г),БаФ(г))ЛЪ, (6.12)
w
где Da — производная дробного порядка а и
dVD = cs(D,r)dV3,

154
Глава 6
а сз(1), г) — плотность состояния в М3. В общем случае размерность
фрактальной среды не связана с порядком дробной производной а, то есть
ВфЪос.
Стационарные состояния потенциала свободной энергии (6.12)
приводят к следующему уравнению Эйлера-Лагранжа с производными дробного
порядка:
+ Е°"*(сз(Аг)^У =0- (6.13)
к=1 Хк
Рассмотрим плотность потенциала в виде
ЛФ(г),БаФ(г)) = ip(Da*)2 + |Ф2 + |ф4. (6.14)
Тогда уравнение (6.13) дает
з
^^(Д^^В^^Д^Ф) +аФ + 6Ф3 = 0. (6.15)
Уравнение (6.15) является уравнением Гинзбурга-Ландау для
фрактальных сред, описываемых в рамках дробно-интегральной модели.
Дробные производные по координатам позволяют учесть степенную
нелокальность [493,496,503,530].
Пример 1. В одномерном случае Ф = Ф(ж) и имеется только одна
дробная производная D£, то есть
Плотность потенциала имеет вид
Т = | (Di?*)2 + |Ф2 + |ф4. (6.16)
Используя формулы интегрирования по частям для дробных интегралов
оо оо
У f(x)I>Zg(x)dx = j g{x)H%f(x)dx, (6.17)
—ОО —оо
получаем уравнение Эйлера-Лагранжа
^Н^ав-*) +*(ъ*)$ = о, (6.18)

6.4. Получение уравнения с дробными производными
155
где Ci(7, х) — плотность состояний в R1. Используя для Т формулу (6.16),
получаем
^q1(7,x)D^(ci(7,x)D^) + аФ + ЬФ3 = 0.
Для случая 7 = 1 имеем с\ = 1, и уравнение (6.22) принимает вид
0(Б£)2Ф + аФ + 6Ф3 = 0, (6.19)
где D£ — производная Рисса. Отметим, что в общем случае
(Dx)2 = V%T>% ф Т>2ха.
Пример 2. В общем случае функционал свободной энергии зависит
от Ф = Ф(г), где г е Ш3 а В££Ф — производные дробных порядков ак по
координатам хк, то есть
т = я*, Ц?! ф. Ц?22ф> Ц?3зф)- (6-2°)
Плотность потенциала имеет вид
Т = \ f>(D£*)2 + |Ф2 + |Ф4- (6-21)
Используя (6.17), получаем уравнение Эйлера-Лагранжа
fc=l Xfc
Для плотности (6.21) уравнение для фрактальных сред имеет вид
з
сз !(Др) ]T>D£ (с3(Д г)Б^ф) + аФ + 6Ф3 = 0.
Сумма а А: может быть равной размерности D фрактальной среды
«i + OL2 + а3 = D.
Однако в общем случае выполняется неравенство а\ + с*2 + аз ф D.

156
Глава 6
Рассмотрим фрактальное распределение на оси Ж1 с размерностью
среды 0 < 7 < 1 и плотностью состояний, определяемой соотношением
ci(7,z) =
(6.22)
Уравнение Гинзбурга-Ландау для этого фрактального распределения имеет
вид
^Г1(7^)^(с1(7,^)£ф) -аФ-ЬФ3 = 0, (6.23)
где х — х\. Используя явный вид функции с\(ч,х), заданной
формулой (6.22), уравнение (6.23) можно переписать в виде
£>2ф(х) + 1^101щх) _ |ф(х) _ |фз(х) = о. (6.24)
Уравнение (6.24) аналогично уравнению для нелинейного осциллятора
с трением. В результате уравнение (6.23) описывает нелинейные
осцилляции с диссипацией во фрактальной среде [483,489]. Рассмотрим решение
уравнения (6.23) с параметром Ь = 0. В этом случае поле Ф(г) подчиняется
уравнению
gD1x^c1(j,x)D1x^(x)^ -aCl(7,х)Ф(:г) = 0,
где х G (0; оо), которое можно переписать как
gxD^{x) + (7 - 1) Г^Ф(х) - ахЪ(х) = 0. (6.25)
Решение уравнения (6.25) может быть представлено в виде
Ф(ж) = Ах^^Му/^фх) + Bxl-^!2Yu{^f^Tgx),
где v = \1 — 7/21, а функции Ju(x) и Yv(x) являются функциями Бесселя
первого и второго рода, а А и В — некоторые постоянные.
6.5. Заключение
Уравнение Гинзбурга-Ландау [369,489,530,556] с дробным интегро-
дифференцированием может использоваться для описания динамических
процессов в средах с дисперсией. Поскольку фрактальность может реализо-
вываться в природе в виде фрактальных процессов или фрактальных сред,

6.5. Заключение
157
то для получения уравнений Гинзбурга-Ландау можно использовать
обобщения функционалов и принципов их экстремальности [489]. Уравнение
Гинзбурга-Ландау дробного порядка и уравнение Гинзбурга-Ландау для
фрактальных сред были получены из соответствующих обобщений
функционала свободной энергии и вариационного уравнения Эйлера-Лагранжа.
Вариационное уравнение с производными дробного порядка по
координатам [145,148,489,530] может быть использовано для функционалов,
содержащих зависимость от дробного интегро-дифференцирования [101,307,
444] для описания нелокальных и фрактальных сред. Отметим применение
уравнения Гинзбурга-Ландау к описанию фазовых переходов во
фрактальных средах, обсуждаемое в статье [156].

Глава 7
Уравнения Чепмена-Колмогорова
и Фоккера-Планка для фрактальных
сред
7.1. Введение
Уравнение Чепмена-Колмогорова является интегральным тождеством,
которое должно выполняться [546] для вероятностей перехода
(условных вероятностей) марковского процесса. Уравнение
Чепмена-Колмогорова иногда называют обобщенным уравнением Маркова [33], поскольку оно
представляет собой распространение формулы для полной вероятности с
теории марковских цепей на теорию случайных процессов. Известно, что
уравнение Фоккера-Планка может быть получено из интегральных
уравнений Чепмена-Колмогорова [29]. Уравнение Фоккера-Планка описывает
изменение во времени функции плотности вероятности. Это уравнение
известно также как второе уравнение Колмогорова [33]. Одним из
первых применений уравнений Фоккера-Планка было статистическое
описание броуновского движения частиц в среде.
В работе [507] было предложено обобщение уравнения
Чепмена-Колмогорова на случай фрактальных распределений вероятности,
описываемых в рамках дробно-интегральной модели. Под фрактальным
распределением вероятности будем подразумевать такое распределение
вероятности во фрактальной среде, при котором вероятность найти частицу вне
этой среды равна нулю. Предложенное уравнение Чепмена-Колмогорова
представляет собой интегральное уравнение дробного порядка по
координатам [101,307,444]. Уравнение Чепмена-Колмогорова дробного порядка
может использоваться для описания марковских процессов во
фрактальных средах в рамках дробно-интегральной моделей. Обобщенное
уравнение Фоккера-Планка может быть получено из интегральных уравнений
Чепмена-Колмогорова дробного порядка [488,507,530]. Предлагаемые урав-

7.2. Интегральное уравнение дробного порядка
159
нения призваны описывать динамику фрактальных распределений в рамках
дробно-интегральных моделей.
В разделе 2 рассматривается обобщение уравнения среднего значения
физической величины на фрактальные среды. В разделе 3 используя
интегрирование дробного порядка, предлагается уравнение
Чепмена-Колмогорова для фрактальных сред. В разделе 4 уравнение Фоккера-Планка
выводится из интегрального уравнение Чепмена-Колмогорова дробного
порядка. Стационарные решения обобщенного уравнения Фоккера-Планка для
фрактальных распределений рассматриваются в разделе 5. Краткое
заключение приводится в разделе 6.
7.2. Интегральное уравнение дробного порядка для
средних значений
Рассмотрим функцию плотности распределения вероятности p'{x',t)
на числовой оси Ж такую, что
+оо
j p'(x',t)dx' = 1, p'(x',t)>0. (7.1)
—оо
Среднее значение физической величины А'(х') определяется уравнением
+оо
(А)г= j A'(x')p'(x',t)dx'. (7.2)
—оо
Для обобщения уравнения (7.2) запишем это уравнение для безразмерных
координат
х = х'//о,
где /о — характерный размер. Используя функцию распределения
p(x,t) = l0p'(xl0,t),
для которой выполняются условия нормировки и неотрицательности
J p(x,t)dx = 1, p(x,t) ^ О,
— оо

160
Глава 7
уравнение (7.2) можно переписать в виде
(Л>1 = j A(x)p(x,t)dx, (7.3)
—оо
где
А(х) = А'(10х).
Это представление позволяет обобщить определение среднего значения на
фрактальные распределения, рассматриваемые в рамках
дробно-интегральной модели [485,530].
Уравнение (7.3) можно записать в виде
у оо
(A)i= J A(x)p(x,t)dx + J A(x)p(x,t)dx. (7.4)
-оо у
Используя дробные интегралы Лиувилля [307], определяемые формулами
-~W*> = rfe/(F^ (»)
-оо
у
уравнение для среднего значения (7.4) записывается в виде
(А), = .00I1y[x)A(x)p(x,t) + yll[x]A(x)p(x,t). (7.7)
Обобщение уравнения (7.7) на интегрирование дробного порядка а
предлагается в виде
(А)а(у) = -ooi;[x]A(x)p(x,t) + yI^[x}A(x)p(x,t). (7.8)
Уравнение (7.8) можно переписать как
оо
(А)а(у) = J{(Ар)(у -x,t) + (Ар)(у + x,t)) dfiQ{x), (7.9)

7.3. Уравнение Чепмена-Колмогорова нецелого порядка
161
где
(Ар)(у -x,t) = А(у - х)р(у - х,
(Ар){у + x,t) = А(у + х)р(у 4- х,
dPa(x) = 1 ' . (7.10)
Г(а)
Для симметризации пределов интегрирования запишем уравнение (7.9)
в виде
(А)а(у) = \ j [(Ар)(у - x,t) + + х,О) dpQ(x). (7.11)
— со
Если а = 1, то получим обычное уравнение (7.3) для среднего значения
величины А(х).
Для упрощения формы записи уравнения (7.11) определим оператор
интегрирования дробного порядка
Ia[x]f(x) = \ j [f{x) + /(-*)] фв(х). (7.12)
— ОО
Используя этот оператор, уравнение (7.11) перепишется в виде
(A)a=iQ[x}A(x)p(x,t), (7.13)
где начальная точка у взята равной нулю (у = 0). Отметим, что обобщенное
условие нормировки является специальным случаем определения среднего
значения, поскольку (1)Q = 1.
7.3. Уравнение Чепмена-Колмогорова нецелого порядка
Уравнение Чепмена-Колмогорова [68,194,310] (см. также [29,33,115,
546]) может быть проинтерпретировано как условие на функции
распределения. Отметим, что интегральное уравнение Чепмена-Колмогорова
должно выполняться [546] для вероятностей перехода практически любых
марковских процессов. Оно фактически является обобщением уравнения
Маркова [33] для полной вероятности с теории марковских цепей на теорию
случайных процессов.

162
Глава 7
Пусть функция Р(х,£|хо,£о) описывает плотность вероятности найти
частицу в окрестности точки х в момент времени t, если частица
находилась в окрестности хо в момент времени to ^ t. Обозначим через р(х, t)
функцию распределения для t > to. В теории случайных процессов [33]
имеем уравнение
+оо
p(x,t)= J dx' P(x,t\x',t')p(x'',*') (7.14)
— со
и условия нормировки
+оо +оо
J p(x,t)dx = l, J P(x,t\x',t')dx = l. (7.15)
— оо —оо
Используя обозначения (7.12), перепишем уравнение (7.14) в виде
p(x,t) = Il[x'] P(x,t\x',t')p(x',t').
Условия нормировки (7.15) в этих обозначениях записываются как
Р[х] p{x,t) = 1, Il[x] P{x,t\x\tt) = 1.
Для описания фрактальных распределений вероятности
предлагается использовать дробно-интегральную модель. Будем полагать, что
плотность вероятности Р(х, £;хо,£о) и функции распределения p(x,t)
определены только во фрактальной среде и равны нулю вне этой среды. Другими
словами, вероятность найти частицу в окрестности точек х, которая не
заполнена фрактальной средой, в любой момент времени равна нулю.
Фактически рассматриваем случай, когда частицы не могут покинуть
фрактальную среду. Поэтому для описания фрактальных распределений в рамках
дробно-интегральной модели используется понятие плотности состояний,
которое описывает распределение разрешенных состояний (положений
частиц) в евклидовом пространстве. В дробно-интегральной модели
применяется обобщение интегрального тождества (7.14) следующего вида:
p(x,t) = 2аМ P{x,t\x',t')p(x',t'), (7.16)
где используется дробное интегрирование [307]. Уравнение (7.16) является
определением условной функции распределения Р(х,£|х',£'), отнесенной

7.4. Уравнение Фоккера-Планка для фрактальных распределений 163
Уравнение Фоккера-Планка описывает изменение плотности
вероятности найти частицу в окрестности некоторой точки пространства. Это
к различным моментам времени. Для дробно-интегральной модели условия
нормировки функций Р(х,t\x',t') и p(x,t) задаются уравнениями
Ia[x] p(x,t) = 1, Ia[x] P(x,t\x',t') = 1. (7.17)
Уравнения (7.17) являются интегральными уравнениями порядка а [101,
307].
Функция р(х\ t') может быть выражена через функцию распределения
р(хо, to) для более раннего момента времени
p{x',t') = Ia[x0] P(x',t'\x0,toMxo,t0). (7.18)
Подставляя (7.18) в (7.16), получаем
p(x,t) = Ia[x'] Ia[x0] P(x,t\x',t')P(x',t'\x0,t0)p(xo,to). (7.19)
Это интегральное уравнение дробного порядка включает промежуточную
точку х'. Используя выражение (7.19) и уравнение (7.16), записанное в
виде
р{х, t) = 1а[х0] Р(х, t\x0, t0)p(x0, t0), (7.20)
получаем замкнутое уравнение
7а[х0] P(x,t\xo,to)p(x0,to) =
= /а[х'1 /а[х0] P(x,t\x',t')P(x',t'\xo,to)p(xo,t0).
Поскольку это уравнение выполняется для любой функции распределения
р(хо, to), то получаем
P(x,£|x0,*o) = 1а\А P(x,t\x',t')P(x',t'\x0,to). (7.21)
Уравнение (7.21) является уравнением Чепмена-Колмогорова
дробного порядка [488, 507, 530]. Предлагаемое уравнение является дробно-
интегральным уравнение порядка а. Уравнение (7.21) описывает
марковские процессы во фрактальных средах в рамках дробно-интегральной
модели.
7.4. Уравнение Фоккера-Планка для фрактальных
распределений

164
Глава 7
уравнение известно также как второе уравнение Колмогорова [33].
Известно, что уравнения Фоккера-Планка могут быть получены из
интегрального уравнения Чепмена-Колмогорова [29,33,115,546]. Используя дробно-
интегральную модель, получим обобщение уравнения Фоккера-Планка из
интегрального уравнения Чепмена-Колмогорова дробного порядка.
Рассмотрим обобщенную формулу для среднего значения (7.13).
Подставляя уравнение (7.16) в виде
p(x,t) = ia[x0] P(x,t\xo,to)p(xo,t0) (7.22)
в формулу (7.13), получаем
(А)а = 1а[х] А{х) 1а[х0] Р(х,*|*0,*о)р(*о,*о). (7.23)
Уравнение (7.23) можно переписать в виде
(А)а = 1аЫ р(х<ь*о) *eN А(х) P(x,t\x0,t0). (7.24)
Известно, что любую вещественную переменную х можно записать
как произведение абсолютного ее значения |х| и функции sgn(x):
х = sgn(x) |х|,
где sgn(x) = 1 при i ) 0 и sgn(x) = — 1 при х < 0. Для получения
обобщенного уравнения Фоккера-Планка введем следующие обозначения:
ха = sgn(x) \х\а (7.25)
и
AxQ =ха-х%.
Рассмотрим функцию А = А(ха), зависящую только от (7.25). Разложение
в ряд Тейлора для этой функции по ха представляется в виде
А(ха) = А(х% + Ах") = А(х%) +
+ (DU А(х«))хо Д*« + I (D2xa А(х«))хо (Ах«)2 + ..., (7.26)
где использованы обозначения
Dla = lil'^a-'D'. (7.27)

7.4. Уравнение Фоккера-Планка для фрактальных распределений 165
Будем использовать интегрирование по частям в виде
+оо
/\т\а~1г1т
U-—-B(x)Dl„A(xa) =
Г (а)
— ОО
+оо
= / щв(*)°1л(*а) =
— оо
+оо
= Л-{В(х)А(х))±£- j ^A(xa)DlB(x) =
— ОО
+оо _1
= (В(х)А(х))+_~ - / ^рА(х-)^ад.
— оо
Для случая
lim (Л(х)В(х)) = О
|х|—*оо
имеем
IQ[x]B(x)DlxaA(xa) = -ia[x}A(x)DlxaB{x"). (7.28)
Отметим, что использование обычного ряда Тейлора относительно
переменной х вместо разложения (7.26) приводит к более громоздким
формулам интегрирования по частям (7.24).
Подставляя уравнение (7.26) в (7.24), получаем
(А)а = /а[х0] A(a%)p(x0,to)Ia[x] P(*,i|xo,*o)+
+ia[x0] (DlaA(xQ))xop(x0,t0)ia[x} AxaP(x,t\x0,t0)+
+ ±1аЫ (D2x„A(x«))xop(xo,t0)ialx} (Дха)2Р(х,«|х0,*о) + ... (7.29)
Определим функции
Mn(x0,Mo) = Ia[x] (AxQ)n P(x,t\x0,t0), (7.30)
где n e N. Использование формул (7.30) и (7.17) приводит к тому, что
уравнение (7.29) дает выражение
(А)а = 1а[х0] А(х%)р(х0,Ьо)+ГаЫ {Dlx„A{xa)) р{хоММх{х0,Ш+

166
Глава 7
+ ±Ja[x0] (D2xaA(xQ))XQ р(*о,*о)М2(*о,*,*о) + * •' (7-31)
Подставляя обобщенное среднее значение в виде
(А)а = 1а[х0} A(aQ)p(x0,t)
в уравнение (7.31), получаем
1а[х0] А(х0) (p(x0,t) - p(x0,t0)) =
= Ia[x0] (DlxaA(x))xop(x0,toWi(xo,t,to)+
+ |/a[x0] {D2xaA(x))xop(x0,to)M2(x0,t,to) + ... (7.32)
Будем полагать, что существуют следующие конечные пределы:
hm -г- = а(х,*0),
At-»0 Д£
М2(х,Мо) I / . v
ilmo й = ь(*-*>)'
Mn(x,Mo) л
lim — = О,
д*—о Д£
где п = 3,4,... и At = t — to. Умножим теперь уравнение (7.32) на (At)~l.
Тогда в пределе At —* 0 получим
to
= /а[х0] (DlxaA{x«))XQ р{хоМ)а{хоМ) +
+ ±/а[х0] (^«Л(ха))Х()/9(х0^оЖх0^о). (7.33)
Используя уравнение (7.28) и предел
lim р(х, £) = О,
х—>±оо
интегрирование по частям приводит к выражениям
Ia[x] p(x,t)a(x,t) DlxaA(xa) = -Г[х] A(xa)Dla(p(x,t)a(x,t)), (7.34)

7.5. Стационарные решения уравнения Фоккера-Планка
167
Ia[x] p(x,t)b(x,t) Dl„A(xa) = Ia[x] A(xa)Dla{p(x,t)b{x,t)). (7.35)
I*[x] A(xa) -?%-± + DUp(x,t)a(x)) - Ы„(р(х,1)Ь(х)) J = 0.
Поскольку функция Л — Л(ха) является произвольной, то в результате
имеем
В дробно-интегральной модели уравнение (7.36) является уравнением
Фоккера-Планка для фрактальных распределений вероятности [488,507,530].
Отметим, что уравнение (7.36) является дифференциальным уравнением
целого порядка. В тоже время это уравнение было получено из
интегральных уравнений (Чепмена-Колмогорова и среднего значения) дробного
порядка. Уравнение (7.36) описывает изменение функции плотности
вероятности положений частицы во фрактальных средах.
7.5. Стационарные решения обобщенного уравнения
Фоккера-Планка
Стационарные решения уравнения (7.36) описывают стационарное
распределение вероятностей положений частицы во фрактальной среде.
Для стационарного случая имеем Djp(x,t) = 0. Тогда уравнение
Фоккера-Планка (7.36) принимает вид
Подставляя (7.34) и (7.35) в уравнение (7.33), получаем
др{х, t)
dt
+ Dlxn (p(x,t)a(x,tj)
(p(x,t)b(x,t)} =0. (7.36)
Dlxa{p{x,t)a{x,i)) - \D2x»{p(x,t)b{x,t)) = 0.
(7.37)
Перепишем уравнение (7.37) в виде
(7.38)
В результате получаем
p(x,t)a(x,t) — -Dxc(p(x,i)b(x,t)) = const.
(7.39)

168
Глава 7
Если положим константу равной нулю, то уравнение (7.39) может быть
записано как
2а(х t)
D\a (р(х, t)b(x, t)) = -гг^-р(х, t)b(x, t). (7.40)
b(x, t)
Решение уравнения (7.40) имеет вид
Г 2а(хЛ)
ln(p(x,t)b(x,t)) = / L/v \Jdxa 4-const, (7.41)
J b(x,t)
где используем обозначение dxa := a\x\a~1dx. В результате получаем
*-'>-i£H/^H- <7-42)
где коэффициент N определяется из условия нормировки [488,507].
Уравнение (7.42) описывает стационарное распределение вероятности,
являющееся решением уравнения Фоккера-Планка для фрактальных сред (7.36).
Приведем некоторые специальные случаи [488] решения (7.42).
1) Если а(х) = к и b(x) — —D, то уравнение Фоккера-Планка (7.36)
имеет вид
+ kDl„p{x, t) + %Dl„p(x, t) = 0. (7.43)
Стационарное решение (7.42) задается функцией
p(x,t) = N.exp (7.44)
2) Для а(х) = к\х\& и b(x) = —D уравнение Фоккера-Планка (7.36)
принимает форму
Щ^- + kDU\xfp{x,t)) + %Dlnp(x,t) = 0. (7.45)
Стационарным решением этого уравнения будет
, ч / 2ак\х\а+0\ , ч
p(x,t)=N2exp 1--^-±±—\. (7.46)

7.6. Заключение
169
Если а 4- /3 = 2, то
р(х, t) = N2 exp
(7.47)
3) Для функций b(x) = —D и
а(х) = DlxaU{x) = М1-^-1^^)
получаем следующее стационарное распределение:
р(х, t) = АГ3 ехр
4) Если рассмотреть уравнение (7.37) с а(х) = к\х\а и b(x) = —D, то
стационарное распределение имеет вид
которое можно интерпретировать как обобщение распределения Гаус-
7.6. Заключение
Понятие фрактального распределения вероятности определяется как
распределение вероятности во фрактальной среде, при котором вероятность
найти частицу вне этой среды равна нулю. Для описания распределения
вероятности во фрактальных средах используется дробно-интегральная
модель. Интегрирование дробного порядка применяется для описания
стохастических процессов во фрактальных средах. Уравнение
Чепмена-Колмогорова является интегральным уравнением, позволяющим описывать
случайные марковские процессы в сплошных средах. Используя
интегрирование нецелого порядка, были получены дробно-интегральные уравнения
Чепмена-Колмогорова [507,530]. Эти уравнения с интегрирование дробного
порядка призваны описывать марковские процессы во фрактальных средах
в рамках дробно-интегральной модели. Используя дробно-интегральные
уравнения Чепмена-Колмогорова, было получено обобщение уравнения
са.

170
Глава 7
Фоккера-Планка [488,507,530] для фрактальных сред. Это уравнение
описывает изменения плотности распределения вероятности обнаружения
частицы в различных областях фрактальной среды. Отметим, что, используя
дробно-интегральную модель, можно получить обобщения уравнения Кра-
мерса-Мойала [546] для описания распределений вероятности во
фрактальных средах.

Глава 8
Статистическая механика фрактальных
распределений в фазовом пространстве
8.1. Введение
В данной главе рассматриваются фрактальные распределения
состояний в фазовом пространстве. Для описания таких распределений
применяется дробно-интегральная модель, в которой используются интегральные
уравнения дробного порядка для средних значений и нормировочных
условий. Ядром интегральных уравнений по координатам являются плотности
состояний в фазовом пространстве.
Дробно-интегральные аналоги средних значений и редуцированных
функций распределений были предложены в работах [476,490,492, 504,
511,530]. Обобщение уравнения Лиувилля для фрактальных распределений
получается из дробно-интегрального нормировочного условия. Известно,
что уравнения Боголюбова могут быть получены из уравнений Лиувилля
и определения среднего значения [7,8,11,12,40,119,351,408]. Для
фрактальных распределений уравнения Боголюбова были получены из обобщенного
уравнения Лиувилля и дробно-интегральных уравнений для среднего
значения в [476,490,492,504,511,530].
В разделе 2 определяется фрактальное распределение допустимых
состояний в фазовом пространстве. В разделе 3 предлагается дробно-
интегральное обобщение нормировочного условия и вводятся некоторые
обозначения. В разделах 4-5 получены уравнения неразрывности для
фрактального распределения частиц в конфигурационном и фазовом
пространствах. В разделах 6 определяются дробно-интегральные уравнения для
средних значений в конфигурационном и фазовом пространствах. В
разделе 7 обобщенное уравнение Лиувилля для фрактального распределения
рассматривается в рамках дробно-интегральной модели. В разделе 8
определяются дробно-интегральные аналоги одночастичных и двухчастичных
редуцированных функций распределения. Краткое заключение дается в
разделе 9.

172
Глава 8
8.2. Фрактальное распределение в фазовом пространстве
Обозначим через W некоторую область в 2п-мерном фазовом
пространстве R2n. Будем предполагать, что состояния динамической системы
образуют некоторое подмножество W3 множества W. В общем случае
размерность Хаусдорфа и поклеточная размерность множества W3 не является
целой
dinitf (И^) ^ 2п.
Эти фрактальные размерности определяется как локальные свойства в том
смысле, что они отображают свойство подмножества Ws точек фазового
пространства при стремлении диаметра покрывающих множеств к нулю.
В общем случае физические системы характеризуются наименьшим
размером фазового объема (ячейки). Например, объем равный (2-кЪ)п может
рассматриваться как наименьший фазовый объем в фазовом пространстве
R2n. В этом случае характерным наименьшим масштабом (размером) будет
Ro = л/2тгП.
В связи со сказанным фрактальная размерность может определяться
как асимптотическая форма для соотношения между числом состояний Ns
в фазовом пространстве и размером области фазового пространства Ws:
N3=Ns0(~lk) ' (8Л)
где Ro = y/2pifi, a R — наименьший радиус сферы, содержащей внутри
всю область Ws. Данное соотношение рассматривается при R/Ro ^> 1.
Постоянная iVso зависит от того, как упакованы шары радиуса Ro. При
этом параметр D не зависит от того является ли упаковка шаров радиуса Ro
плотной, случайной или упаковкой с равномерным распределением пустот
(глава 3, [125]).
В общем случае размерность «число состояний — радиус»,
определяемая соотношением (8.1), может быть нецелой, то есть фрактальной.
Фрактальная размерность является количественной характеристикой того, как
разрешенные состояния заполняют фазовое пространство. Подчеркнем, что
если множество разрешенных состояний в фазовом пространстве является
случайным или содержит пустоты, то это само по себе не означает, что
мы имеем фрактальное распределение. Фрактальное распределение
отличается тем свойством, что с ростом размеров области число разрешенных
состояний растет по степенному закону (8.1) с нецелым показателем D.
Размерность фрактального распределения служит количественной
характеристикой этого распределения, а именно заполнения пространства
разрешенными состояниями. Заметим, что, помимо фрактальной размерности,

8.3. Дробно-интегральное уравнение условия нормировки
173
существуют и другие характерные особенности фрактальных
распределений. Например, разветвленность распределения является мерой числа
элементарных ячеек, которые нужно удалить, чтобы изолировать произвольно
большую часть фрактального распределения.
8.3. Дробно-интегральное уравнение условия нормировки
Рассмотрим распределение вероятности с плотностью p(x,t) для х
в евклидовом пространстве R1. Будем полагать, что p(x,t) е Li(R1) при
любом фиксированном значении t > 0. Тогда условие нормировки имеет
вид
+оо
p(x,t)dx = l. (8.2)
— оо
Пусть р(х, t) € L^R1), где 1 < р < 1/а. Левосторонний и правосторонний
интегралы Лиувилля [307] дробного порядка определяются формулами
-ОО
+оо
р(х, t)dx
(8.3)
/то \/ л 1 / p(x,t)dx
у
Используя (8.3), перепишем уравнение (8.2) в виде
(I1+p)(y,t) + {llp)(y,t) = l, (8.4)
где у Е (—оо, -Ьоо). Дробно-интегральное обобщение условия
нормировки (8.4) на нецелые значения а можно определить в виде
(ВДЫ) + (ВДМ) = 1- (8-5)
Интегралы (8.3) можно переписать в виде
-Ьоо
(J£p)(y, t) = -Ц / аГ-гр(у т х, t)dx. (8.6)
1(a) J
Г(а)
о
Тогда уравнение (8.5) имеет вид
+оо
p(x,t)dpa(x) = 1, (8.7)
—оо
-1-ое
/

174
Глава 8
где
1 / \ Ыа-1
Используя (8.7) и (8.8), дробно-интегральное условие нормировки в
фазовом пространстве R2 принимает вид
+оо +оо
j J p(q,p,t)dpa(q,p) = h (8.9)
—оо —оо
где
\яр\а~г
dpa(q,p) = dpa{q) A dpa(p) = dq A dp. (8.10)
Г2(а)
Функция распределения p(q,p,t) задается формулой
p(q,p,t)=TqTpp(q,p,t), (8.11)
где операторы Тя и Тр определяются уравнением
TXkf(...,xk,...) = \(f(...,x'k-xk,...)+f(...,x,k + xk,...)). (8.12)
Эти операторы позволяют записать функцию распределения
V,t) = \ (f>(q' ~q,p' ~ Р, t) + p{q' + g, p' - p, t) +
+ P(q' ~q,p' + P, *) + P(q' + g, p' + P, *))
в более компактной форме (8.11).
8.4. Уравнение неразрывности в конфигурационном
пространстве
Рассмотрим фрактальное распределение в конфигурационном
пространстве Rn, используя дробно-интегральную модель. Возьмем инфини-
тезимальную область в конфигурационном пространстве. В гамильтоновой
динамической картине имеем
p{xut) dpa(xt) = р{х0,0) dpa(xo). (8.13)

8.4. Уравнение неразрывности в конфигурационном пространстве 175
Используя
dfJLct{x) = cn(a,x)dx,
где сп(а, х) — плотность состояний в Rn, приходим к уравнению
dxt
p(xt,t)cn(a,xt) — = p(x0,Q)cn(a,x0). (8.14)
OXq
Производная (8.14) по времени t дает
dt
В результате получаем
dp(xt,t)
dt
где
+ na(xt,t)p(xt,t) = Q, (8.15)
Va(xt,t) = ^ln(cn(a,xt)||). (8.16)
Функция (8.16) описывает скорость изменения объема области
пространства с течением времени. Уравнение (8.15) является уравнением
неразрывности для метрического пространства в гамильтоновой динамической
картине. Функция Qa может быть представлена в виде
dxt\ _ д(\п \cn(a,xt)\) dxt д dxt
dxt dt dxt dt
(8.17)
ne(zt,«) = |(lncB(a,xt) + ln Ц) =
Для уравнений движения
получаем формулу
Э(1п Ma,st)|) dFt(xt)
Qa(xt,t) = Ft(xt) ^ + . (8.18)
Для a = 1 имеем хорошо известное уравнение
dFt(xt)
Qi(x,t)
dxt
Эта функция описывает скорость изменения объема выделенной области
в конфигурационном пространстве.

176
Глава 8
8.5. Уравнение неразрывности в фазовом пространстве
Фрактальное распределение в фазовом пространстве будем описывать
используя дробно-интегральную модель. Аналог уравнения (8.13) для
фазового пространства имеет вид
Ptdpa(qt,Pt) = Podpa(qo,Po)- (8.19)
Используя
\qp\a~l
dpa{q,p) = dqAdp,
Г (a)
уравнение (8.19) дает
~ \qtPt\a~l j А , _ \qoPo\a~\ . , ,Q олч
Pt _2/ , rift Л dp* = po dg0 Л dpo- (8.20)
rz(a) Г^(а)
Известно, что
dft Л dpt = {qt,Pt}odqo A dp0, (8.21)
где {qt,Pt}o — якобиан, определенный соотношением
iw.it ju d(q0,Po) V dPktldqio dpkt/dpl0
Подставляя (8.21) в (8.20), получаем
Pt\qtPt\a'4QuPt}o = |«ЬРоГ_1А). (8.22)
Применение полной производной по времени к уравнению (8.22) дает
^ + Пар = 0, (8.23)
где
= ftln\qtPt\a-1{qt,pt}o = ^lnlftftl0"1 + |ln|{gt,p(}0|. (8.24)
Используя хорошо известное соотношение
In Det А = Sp In А

8.5. Уравнение неразрывности в фазовом пространстве
177
для выражения
получаем
В общем случае (а^1) функция Qa(q,p) отлична от нуля (Па(д,р) ^0)
для систем, которые являются гамильтоновыми. Если а = 1, то имеем
&а(я,р) Ф 0 только для негамильтоновых систем. Для уравнений
движения
^=G(qt,pt), ^=F(qt,pt) (8.27)
уравнение (8.26) дает
n«(q,p) = ^^(pG{q,p) +
+ QF(q,p)) + (8.28)
где
rA Б| = дАдВ^ _ дАдВ^
dq dp dp dq'
Эта формула позволяет получать явный вид функции Qa для любых
динамических систем (8.27). Видно, что для обычных недиссипативных систем
dq р_ dp =
dt ™' dt ПЯ)
функция £la(q,p) отлична от нуля и равна
= (р2 + mqf(qj).
В силу этого недиссипативные системы в фазовом пространстве
переменных (q, р) могут рассматриваться как диссипативные.

178
Глава 8
8.6. Дробно-интегральное уравнение для средних
значений
Дробно-интегральное уравнение для средних значений
в конфигурационном пространстве
В одномерном конфигурационном пространстве R1 средние значения
определяются уравнением
(А)г = J A(x)p{x)dx. (8.29)
— оо
Используя левосторонний и правосторонний интегралы Лиувилля дробного
порядка
—оо
оо
у
уравнение (8.29) может быть представлено в виде
(А)г = (1\Ар){у) + (lUp)(y). (8.32)
В дробно-интегральной модели средние значения классических
динамических переменных (наблюдаемых) определяются через дробные
интегралы
(А) а = (ПАр)(у) + (1°Ар)(у). (8.33)
Уравнение (8.33) является обобщением (8.32). Интегралы Лиувилля
дробного порядка (8.30) и (8.31) могут быть записаны в виде
оо
~J Г(а) J
о
оо
а-1
о

8.6. Дробно-интегральное уравнение для средних значений 179
Тогда (8.33) переписывается как
оо
(А)а = щ/((М(У - О + (Лр)(у + О) e-'di- (8.34)
О
Перепишем уравнение (8.34) в следующем виде:
оо
{А)а = J((Ар)(у - я) + (Ар)(у + я)) dpa(x), (8.35)
о
где
\x\a~ldx
dpa(x) = ' . (8.36)
Г(а)
Заметим, что уравнение (8.35) может быть записано как
о
(А)а = J ((Ар)(у -х) + (Ар)(у + x))d^(x). (8.37)
— ОО
Для того чтобы иметь симметричные пределы в интеграле рассмотрим
сумму интегралов (8.35) и (8.37) вида
оо
(А)а = | J((Ap)(y -х) + (Ар)(у + х)) dna{x) +
о
о
+ | J ((Ap)(y-x) + (Ap)(y + x))dlta(x). (8.38)
— ОО
В результате дробно-интегральное уравнение для средних значений
представляется уравнением
+оо
{А)а = \ J ({Ар){у - х) + (Ар)(у + х)) dna{x). (8.39)
—ОО
Заметим, что в общем случаем (8.39) является интегральным уравнением
дробного порядка [101,444].

180
Глава 8
Дробно-интегральное уравнение для средних значений в фазовом
пространстве
Введем следующие обозначения для рассмотрения средних значений
классических наблюдаемых в фазовом пространстве.
• Оператор ТХк определяется формулой
TXkf{...,xk,...) = !(/(..., Х'к~ *ь...) + /(•••> 4 + а*,...))-
Этот оператор позволяет записывать выражения
± (A(q' - q, р' - p, t)p{q' -q,p'-p,t) +
+ A(q' + g, p' - p, t)p(q' + q,p'-p,t) +
+ A{q' -q,p'+ p, t)p{q' - q,p'+ p, t) +
+ A(q' + q, p' + p, t)p{q' + g, p' + p, *))
в более компактной форме
ад(А(9,р,ф(д,р,*)).
• Для фазового пространства n-частичных систем будет использоваться
оператор
Г[1,...,п] = Г[1]...Г[п],
где одночастичный оператор Т[к] определяется формулой
Т[к] = ТЯк1ТРк1 .. - ТЯкгпТРкгп, (к = 1,... , п).
Здесь qks — обобщенные координаты, а ркз — обобщенные импульсы
fc-й частицы, где s = 1,..., га.
• Интегральный оператор 1£к дробного порядка а определяется
уравнением
+оо
= j f{Xk)dfia(Xk). (8.40)
— оо
В этом случае среднее значение (8.39) может быть записано в виде
(А)а = 12ТхА(х)р(х).

8.7. Обобщенное уравнение Лиувилля
181
• Интегральный оператор 1а [к] для фазового пространства к-и частицы
определяется формулой
(8-41)
Это вьфажение дает
Ia[k}f(4k,Pk) = J f(4k,Pk№a(4k,Pk), (8.42)
где
dfia(4k, Рк) = (r(a))"2m|^Pfcb • • qkmPkm\dqkihdpkiA.. .AdqkmAdpkm.
Здесь через d/iQ(qfc, р^) обозначен элементарный 2ш-мерный фазовый
объем. Для фазового пространств n-частичной системы
/в[1,...,п] = /а[1].../>].
• Дробно-интегральное уравнение для среднего значения классической
наблюдаемой n-частичной системы записывается в виде
(А)а = /а[1,..., п]Т[1,..., п]Арп. (8.43)
Отметим, что обобщенное условие нормировки в этом случае может
быть определено через среднее значение единицы (1)Q = 1.
8.7. Обобщенное уравнение Лиувилля
Рассмотрим системы с фиксированным числом п идентичных частиц
таких, что к-я частица описывается обобщенными координатами =
= (Qki, • • •, Якт) и обобщенными импульсами = (ры> • • • >Pfcm)» где к —
= 1,..., п. Будем полагать, что уравнения движения для этой п-частичной
системы имеют вид
^=G*(q.p), ^f=Fsfc(q,P,t), (8.44)
где и Fsfc — обобщенные силы. Состояние этой системы будем описывать
безразмерной n-частичной функцией распределения рп = pn(t, q, р).
Функция рп описывает плотность вероятности найти систему в фазовом объеме

182
Глава 8
dfJ.a(ci,p). Изменение рп — pn(£?q?p) во времени описывается уравнением
Лиувилля
^ + nQ(q,p)pn = 0, (8.45)
где pn(t, q, р) = Т[1,..., n]pn(t, q, р). Это уравнение может быть получено
из дробно-интегрального условия нормировки
/a[l>...,n]pn(q>P,t) = l. (8.46)
В уравнении Лиувилля через d/dt обозначена полная производная по
времени
d_ = д_ + <ккз__д_ + у^ dpks д
dt dt л^л dt dqks л^л dt дркз'
/с,s=l к,3=1
Функции Qa (q, р) определяется уравнением
71,771
fi«(q,p)= ^((a-lWGj+p^^ + iGj.pfc.l + ie*..^}), (8-47)
к,s=l
где используются скобки Пуассона
71,771 , v
Используя (8.45) и (8.47), можно представить уравнение Лиувилля
в виде
^Г=Лпрп, (8.49)
где Лп — оператор Лиувилля, определяемый выражением
ЛпРп = - ^ + J -(a-1) Gs+pfcs Fs )pn.
(8.50)
Это уравнение является обобщенным уравнением Лиувилля в
операторной форме. Отметим, что оно не является дифференциальным уравнением
дробного порядка. Уравнение Лиувилля с производными дробного порядка
по координатам было предложено в работах [494,508,530].

8.8. Редуцированные функции распределения
183
8.8. Редуцированные функции распределения
Для описания динамики распределений частиц в статистической
механике используются редуцированные fc-частичные функции [11,12,119,
330,351]. Будем полагать, что п-частичные функции распределения рп =
= Рп(£>Ч>р) являются инвариантными относительно перестановки
тождественных частиц:
р(---,чьрь---,<1ьрь •••>*) = р(---,qbPb рь ••-,*)•
В этом случае средние значения классических наблюдаемых существенно
упрощаются. Например, среднее значение аддитивной наблюдаемой
п
Ап = 5^i4i(qfc,pfc,t),
k=l
используя преобразования
(Ап) = 1а[1,...,п]Т[1,...,п]АпРп =
п
= 1а [1,..., п]Г[1,..., п] ]Г ill (я*, pfc, «К =
k=l
= nla [1,..., n]T[1,..., n]Ai (qi, pi, £)pn =
= n/a[l]T[l]i4i(qi, Pl, t) (>[2,..., n]T[2,..., n]pn),
можно записать в виде
(An) = nla [1]Г[1]ill (qi, pi, (qi, pi, t),
где одночастичная функция распределения определяется формулами
Pi (q, р, t) = p(qi, pi, t) = Ia[2,..., n]T[2,..., n]pn(q, p, t). (8.51)
Используя обозначения
pn(q, P, *) = T[l,..., n]pn(q, p, t), (8.52)
определим функцию
Pi(q,P,t) =P(qi,PbO = /a[2,...,n]/5n(q,p,t). (8.53)

184
Глава 8
Функция (8.53) называется одночастичной редуцированной функцией
распределения, которая определена на 2ш-мерном фазовом пространстве.
Очевидно, что (8.53) удовлетворяет условию нормировки
7°[l]pi(q,p,t) = l. (8.54)
Можно определить следующую функцию распределения:
P2(q, P, t) = p(qi, pi, q2, P2, t) = Ia[3,..., n]pn(q, p, t). (8.55)
Эта функция является двухчастичной редуцированной функцией
распределения, которая определяется интегрированием дробного порядка п-частич-
ной функции по всем переменным q*. ирь кроме к = 1,2.
Отметим, что уравнения Боголюбова являются уравнениями для
редуцированных функций распределения [11,12,119,330,351,408]. Поэтому эти
уравнения могут быть получены из рассмотренных обобщений уравнений
Лиувилля [476,490,492,530]. Уравнения для редущпэованных функций
распределения pi(q, р, t) и P2(q,P>0 были предложены в статьях [490,492].
8.9. Заключение
Обобщения фазового объема и элемента фазового объема строились на
основе интегральных уравнений дробного порядка. Ядра этих интегралов
интерпретируются как плотности состояний в фазовом пространстве. Это
приводит к обобщению фазового пространства, которое может
интерпретироваться как пространство с нецелой (фрактальной) размерностью.
Для получения обобщений уравнений Лиувилля и Боголюбова [476,
490,492,530] используются дробно-интегральные нормировочные условия
и выражения для средних значений классических наблюдаемых. В этих
обобщениях используются интегралы дробного порядка, позволяющие
учитывать степенную плотность состояний. Интерпретация дробных
интегралов по координатам связана с нецелой размерностью пространства [476].
Порядок дробного интегрирования равен фрактальной размерности «числа
состояний»
В статьях [476,492] была предложена вторая интерпретация
обобщенного фазового пространства. Эта интерпретация вытекает из меры дробного
интеграла по фазовому пространству. Обобщенное фазовое пространство
может рассматриваться как пространство, описываемое дробными
степенями обобщенных координат и импульсов [490,492]. Динамические
системы в этом пространстве были названы дробно-степенными. Эти системы

8.9. Заключение
185
рассматриваются как эффективные системы в фазовом пространстве целой
размерности. Используя дробные степени в виде sgn{x)\x\a, был
рассмотрен широкий класс негамильтоновых систем, являющихся обобщением га-
мильтоновых систем. В этом случае дробно-интегральное условие
нормировки и дробно-интегральное выражение для средних значений
рассматриваются как условия и значения для обобщенных гамильтоновых систем,
которые являются негамильтоновыми в обычном фазовом пространстве.
Уравнения Боголюбова для дробно-степенных систем [490,492] были
получены, с помощью обобщенных уравнений Лиувилля [476,492], дробно-
интегральные средние значения и обобщенные редуцированные функции
распределения. Используя обобщенные уравнения Боголюбова, были
получены уравнения переноса Энскога [504]. Обобщенные гидродинамические
уравнения были получены из первого уравнения Боголюбова. В статье [511]
были получены обобщения уравнений Фоккера-Планка из уравнения
Боголюбова для дробно-степенных систем. Отметим, что дробные
размерности фазового пространства были использованы для описания молекулярных
жидкостей в работах [414,415].

Часть II
Дробная динамика и нелокальное
взаимодействие

Глава 9
Динамика систем со степенным
нелокальным взаимодействием
9.1. Введение
Динамика систем с нелокальным взаимодействием является
объектом исследований в различных областях науки. Нелокальное
взаимодействие изучалось как в дискретных системах, так и в их непрерывных
аналогах. Модели классических спинов с нелокальным
взаимодействием изучались в работах [216-218,241,298,381-384,453]. Одномерная
модель Изинга с нелокальным взаимодействием была рассмотрена Дайсоном
в статьях [216-218]. Дискретная d-мерная классическая модель Гейзенбер-
га с нелокальным взаимодействием описывается в работах [241,298], а ее
квантовое обобщение рассмотрено в статьях [381-383]. Кинки в модели
Френкуля-Конторовой с нелокальным взаимодействием частиц были
изучены в работе [176]. Солитоны в одномерной решетке с нелокальным
взаимодействием типа Леннарда-Джонса были рассмотрены в [288]. Бризе-
ры в дискретных цепочках со степенным образом спадающим
нелокальным взаимодействием были изучены в работах [234,256]. Энергия и
распад дискретных бризеров в системах с нелокальным взаимодействием
также изучалась для нелинейных уравнений Клейна-Гордона [5,158,175,234]
и дискретных нелинейных уравнений Шредингера [247,248,373,374,421].
Синхронизация в хаотических системах с нелокальным взаимодействием
обсуждается в статье [534]. Неравновесные фазовые переходы в
термодинамическом пределе для систем с нелокальным взаимодействием
рассматриваются в [155]. Статистическая механика и динамика точно решаемых
моделей с нелокальным взаимодействием обсуждаются в [159,187].
Динамика систем, описываемых уравнениями с производными
дробного порядка по пространственным координатам, может быть
охарактеризована решениями с хвостами степенного типа. Те же особенности
наблюдаются в решетчатых моделях с нелокальным взаимодействием степенного
типа [142-144,234,256,413]. Как было показано в работах [323,493,496,501,

190
Глава 9
503,530], уравнения с дробными производными могут быть
непосредственно связаны с моделями решеток и цепочек с нелокальным
взаимодействием. Дробная динамика систем с нелокальным взаимодействием и памятью
также обсуждалась в работах [314,339,506,510,530,545,574].
В данной главе рассматриваются цепочки и решетки с нелокальным
взаимодействием, а также непрерывные пределы этих дискретных моделей.
Определяется отображение моделей дискретных систем в модели
сплошных сред. Обсуждается широкий класс нелокальных взаимодействий в
решетках и цепочках, которые в непрерывном пределе приводят к
дифференциальным уравнениям с производными дробного порядка. Показано, что
существует взаимосвязь [493,496,530] между динамикой систем с
нелокальным взаимодействием частиц и дифференциальными уравнениями
дробного порядка для сплошных сред. Рассматривая решетку связанных
нелинейных осцилляторов и переходя к непрерывному пределу, получаем дробные
дифференциальные уравнения, описывающие динамику сложных
сплошных сред. Показываем, как в непрерывном пределе для систем
осцилляторов с нелокальным взаимодействием получаются дифференциальные
уравнения с производными нецелого порядка. Уравнения движения для
цепочки с нелокальным взаимодействием отображаются в уравнения с дробными
производными Рисса.
В разделах 2-3 рассматриваются уравнения движения для систем
частиц с нелокальным взаимодействием. В разделе 4 определяется
оператор отображения дискретных уравнений движения в уравнения динамики
сплошных сред. В разделе 5 описывается преобразование Фурье для
уравнений дискретных систем с нелокальным взаимодействием. В разделе 6
рассматривается широкий класс нелокальных взаимодействий, которые
могут приводить в непрерывном пределе к дифференциальным уравнениям
с производными дробного порядка. В разделах 7-8 приводится краткий
обзор производных дробного порядка. В разделе 9 обсуждаются непрерывные
пределы дискретных уравнений. В разделе 10 рассматриваются
простейшие примеры, демонстрирующие применение оператора перехода к
непрерывному пределу в хорошо известных случаях локального взаимодействия
(взаимодействия ближайших соседей). В разделе 11 рассматриваются
нелокальные альфа-взаимодействия с положительными целыми показателями.
В разделе 12 обсуждаются нелокальные альфа-взаимодействия с
нецелыми показателями и соответствующие уравнения сплошных сред. В
разделе 13 рассматриваются реакционно-диффузионные уравнения с
дробными производными по координатам. В разделе 14 нелинейное нелокальное
альфа-взаимодействие для дискретных систем используются для получения
обобщений уравнений Бюргерса (Burgers), Кортевега-де Фриза (Korteweg-

9.2. Уравнения осцилляции решетки и дисперсионный закон 191
de Vries) и Буссинеска (Boussinesq), содержащих производные дробного
порядка. В разделе 15 рассматриваются дробные 3-мерные решетки с
нелокальным взаимодействием. В разделе 16 описывается получение
уравнений с дробными производными по координатам из дисперсионного
закона. В разделе 17 описывается нелокальное взаимодействие типа Грюн-
вальда-Летникова-Рисса. Краткое заключение приводится в разделе 18.
9.2. Уравнения осцилляции решетки и дисперсионный
закон
Кристаллическое состояние вещества отличается от других состояний
(газов, жидкостей и аморфных тел) тем, что кристаллы обладают
периодической пространственной структурой, называемой кристаллической
решеткой. В неограниченном кристалле можно определить три наименьших
некомпланарных вектора a*, i — 1,2,3, таких что смещение решетки как
целого на любой из этих векторов совмещает ее саму с собой. В результате
все узлы кристаллической решетки могут быть определены вектором п =
= (^ъ^г^з), где щ, i = 1,2,3, являются целыми числами. Если выбрать
начало координат в одном из узлов, то вектор произвольного узла решетки
с n = (ni, П2, пз) записывается как
3
Г(п) = Гп = ]Гпгаг. (9.1)
г=1
В кристаллической решетке узлы нумеруются также, как и частицы,
поэтому вектор п является в тоже время «вектором номера» соответствующей
частицы. Объем элементарной ячейки равен
Vo = ai[a2,a3],
остается неизменным при любом выборе векторов а*, г = 1,2,3.
Будем предполагать, что равновесное положение частиц решетки
совпадает с ее узлами г(п). Координаты узла решетки г(п) отличаются от
координат соответствующей частицы, когда частицы смещаются
относительно своего равновесного положения. Для задания координат частицы
необходимо указать ее смещение по отношению к положению равновесия.
Обозначим смешение частицы, характеризуемой вектором п, относительно
ее равновесного положения векторной функцией u(n, t). Существование
кристаллического состояния означает, что в широком диапазоне
температур относительное смешение частиц мало по сравнению с константой а,

192
Глава 9
которая определяется как наименьшее значение векторов щ. Заметим, что
в кубической решетке ai = а2 = аз = а. Будем рассматривать колебания
кристаллической решетки для случая малых колебаний:
|u(n,£)| < |а|.
Пространственной кристаллической решетке, описываемой векторами
a*, i — 1,2,3, можно также сопоставить некоторую периодическую
структуру, называемую обратной решеткой [61]. Обратная решетка строится из
векторов bi, г = 1,2,3, связанных с векторами а* посредством соотношения
a^bj = 27t(Sij,
где Sij — символ Кронекера. Вектора Ь* выражается через векторы а*
формулой
27г
где ек1тп — единичный полностью антисимметричный тензор.
Параллелепипед, построенный на векторах Ь$, называется единичной ячейкой обратной
решетки. Объем элементарной ячейки обратной решетки равен обратному
значению объема элементарной ячейки Vo регулярной решетки
По = Ь,[Ь2,Ьз] = ^.
Пространство, в котором определена обратная решетка, называется
обратным пространством. По аналогии с вектором трансляций г = г(п)
регулярной решетки можно определить трансляционный вектор для обратной
решетки:
g = g(m) = ^2гПгЪ{,
г
где m — (ш1,Ш2,шз) ит,- целые числа. Вектор g называется вектором
обратной решетки.
Рассмотрим малые колебания кристаллической решетки [16] при
условии, что в кристалле действуют только потенциальные силы. В этом случае
можно рассмотреть потенциальную энергию кристалла, в котором
частицы смещены из равновесных положений, и выразить их через смещения
u(n, t). В общем случае энергия кристалла зависит от координат атомных
ядер и электронов [61]. В каждый заданный момент времени электронные
состояния можно описать с помощью функции, зависящей от положения

9.2. Уравнения осцилляции решетки и дисперсионный закон 193
атомных ядер. Исключение электронных координат электронов из
выражения для энергии кристалла лежит в основе так называемого
адиабатического приближения. Это приближение можно использовать при изучении
гармонических колебаний и при рассмотрении осцилляции с малой
нелинейностью. Рассмотрим потенциальную энергию кристалла U как функцию
только координат атомных ядер. В этом случае можно разложить
потенциальную энергию U по степеням u(n, t) и ограничиться первыми
ненулевыми членами разложения. Полагая, что кристаллическая решетка находится
в равновесном состоянии при u(n, t) = О, представим [61] потенциальную
энергию в виде
n,n'
где Uo = const и суммирование производится по всем узлам регулярной
решетки. Индексы /с, / являются координатными. Будем подразумевать
суммирование по повторяющимся координатным индексам от 1 до 3. Поскольку
считаем, что решетка при u(n, t) = О находится в равновесном состоянии,
то матрица Jw(n, п') должна быть положительно определенной. В
частности, должно выполняться следующее неравенство:
Jfcfc(n,n)^0 (А: = 1,2,3).
Положительно определенная матрица с элементами J^(n, п') называется
матрицей (потенциальных) силовых постоянных или динамической
матрицей кристаллической решетки.
Уравнение движения частиц под действием потенциальных сил имеет
вид
Md2Uk(ll,t) = QU
dt2 дик(п)Х
где М — масса частицы. Используя общее выражение для потенциальной
энергии (9.2), получаем
= -£jW(n,nV(n',t). (9.3)
П7
Отметим еще одно важное свойство коэффициентов J^(n, п7).
Предположим, что решетка сместилась как целое: ик(п, t) = ик = const. Тогда
внутреннее состояние решетки не изменится, если внешние силы отсутствуют.

194
Глава 9
В результате уравнения (9.3) дают
£jw(n,n')=0, £jfc|(n',n)=0. (9.4)
п' п'
Эти уравнения следуют из закона сохранения полного импульса решетки.
Другое свойство решетки связано с законом сохранения полного момента
импульса, выполняющегося в случае отсутствия внешних сил. Будем
полагать, что вращение решетки описывается аксиальным вектором П*.. Тогда
ufc(n,t) = eWmft|Xm(n), (9.5)
где ек1т — единичный полностью антисимметричный тензор, a xm(n)
являются координатами вектора г(п). Это вращение не изменяет
внутреннего состояния решетки, если внешние силы отсутствуют. Подставляя (9.5)
в уравнения движения, получим
eWmn,53j<fc(n,n,)xw(n')=0.
п'
В силу произвольности вектора 0.к получаем
£ Jki(n, п')хт(п') = £ Jfcm(n, n')x'(n').
П' П'
Эти условия должны выполняться для любой частицы в решетке, то есть
для любого вектора п.
Отметим свойство однородной неограниченной кристаллической
решетки. Для такой решетки матрица Л/(п, п') имеет вид
Jw(n,n') = Jki(n - п'),
где элементы «7&|(п, п') удовлетворяют условиям
£ J« (п - и') = £ J« (п - п') = 0. (9-6)
п' п
В простой решетке каждая частица может рассматриваться как центр
инверсии, что приводит к равенству
Jw(n-n') = Jw(n'-n).

9.2. Уравнения осцилляции решетки и дисперсионный закон 195
Используя условие (9.6), можно представить уравнения движения (9.3)
в виде
M^(2M) = jw(n,n')[«W) -ul(n',t)}. (9.7)
Эти уравнения отражают инвариантность кристаллической решетки по
отношению к перемещению ее как целого.
Уравнения движения (9.7) записаны для трехмерных векторов
смещения ul(n, t). В этой главе будет рассматриваться упрощенная модель
решетки, в которой все частицы могут смещаться только в одном направлении.
В этом случае смещения из положения равновесия определяются как
скалярные, а не векторные величины. Эта модель позволяет описывать
основные свойства колебаний кристаллической решетки, используя уравнения
более простого вида.
Рассмотрим стационарные колебания решетки, для которых смещения
всех частиц зависят от времени только через множитель ехр{— iu>t}, то есть
?/(n,£) = uk(n)exp{-iu;t}.
Для таких колебаний уравнения движения (9.7) дают
Mu;V(n) = Y, Л/(п - пУ (п')- (9.8)
п'
Решения этих уравнений типа плоской волны имеют вид
и1(п) = и1 ехр{гкг(п)}. (9.9)
Вектор к аналогичен волновому вектору и называется квазиволновым
вектором. При этом к рассматривается как свободный параметр, который
определяет решение. Подставляя (9.9) в (9.8), получаем уравнения
Ми>2ик = ^ Л/(п - п') и1 ехр{гк[г(п') - г(п)]}. (9.10)
п'
Эти уравнения линейны по смещению ик. Используя определение (9.1),
имеем
з
г(п') - г(п) = -п\]^ = г(п - п').
г
В результате получаем
Ми2ик - jki{k)ul =0, (9.11)

196
глава 9
где
jkl(k) = ^Л/(п)ехр{-гкг(п)}.
п
Векторы п или г относятся к реальному пространству узлов или
координат в решетке. Векторы к относятся к обратному пространству решетки.
Величина Jfcz(n) является силовой динамической матрицей в
представлении узлов (n-представлении), а Jki (к) — та же матрица в к-представлении.
Условие совместимости для уравнений (9.11) имеет вид
Det \\Ми>Чы - Jw(k)|| = 0. (9.12)
Это соотношение является характеристическим уравнением для
собственных частот. Его решение связывает частоту возможных колебаний
кристаллической решетки с квазиволновым вектором к. Зависимость волнового
вектора от частоты называется дисперсионным законом, а
характеристическое уравнение — дисперсионным уравнением. Решая дисперсионное
уравнение, получаем дисперсионный закон и = u;(k) для колебаний решетки.
Отметим, что матрица Jki (к) является вещественной:
jki (к) = ^ Jfc/(n)cos(kr(n)).
п
Используя свойство (9.4) силовой матрицы, можно записать
Л,(к) = £Л|(п)[сов(кг(п)) _ 1].
П
В результате колебания в виде плоской волны (9.9) могут
распространяться в кристаллической решетке, если их частота ш связана с квазиволновым
вектором к дисперсионным законом (9.12). В скалярной модели вместо
системы уравнений (9.11) существует только одно уравнение, и
дисперсионный закон может быть записан точно:
u2(k) = М"1 J(n)exp{-tkr(n)} = М"1 J(n)[cos(kr(n)) - 1].
п п
Из этого уравнения можно увидеть, что дисперсионный закон определяет
частоту о;(к) как периодическую функцию квазиволнового вектора к с
периодом g обратной решетки, то есть
u;(k + g) =и>(к).

9.3. Уравнения движения взаимодействующих частиц
197
Это соотношение является одним из основных отличий дисперсионного
закона колебаний решетки от закона колебаний сплошной среды.
Существуют также отличия квазиволнового вектора к от обычного волнового
вектора. Только значения вектора к, лежащие внутри элементарной ячейки
обратной решетки, соответствуют физически неэквивалентным состояниям
кристалла.
Решение дисперсионного уравнения (9.12) является кубическим
алгебраическим уравнением относительно и2. Корни уравнения (9.12)
определяют три ветви для колебаний кристаллической решетки, задаваемые
дисперсионным законом: и = u;i(k), i = 1,2,3, где i — номер ветви. Отметим,
что характеристическое уравнение (9.12) определяет только квадрат
частоты о;2. В результате г-я ветвь дисперсионного закона связывает каждое
значение вектора к с двумя частотами: ш± = ±Ш{(к). Как вытекает из (9.12)
дисперсионный закон инвариантен относительно изменений знака
квазиволнового вектора: о;2(к) = о;2(—к). Поэтому волна с квазиволновым
вектором к и частотой о;_ = — |о;(к)| описывают то же состояние колебаний
решетки, что и волна с вектором —к и частотой о;_ = — к)|. В
результате для описания независимых состояний решетки достаточно
рассматривать частоты для одного знака к, который соответствует всем возможным
векторам к внутри элементарной ячейки обратной решетки. Это позволяет
рассматривать только колебания с положительной частотой.
9.3. Уравнения движения взаимодействующих частиц
Рассмотрим одномерную решетчатую систему взаимодействующих
частиц, которые описываются уравнениями движения
d2un(t) fk
dt2
= gLnuk(t) + F(un(t)), (9.13)
где un(t) — смещения из положения равновесия. Функции F(un)
характеризуют взаимодействие частиц с внешним силовым полем. Оператор L£
определяется формулой
+оо
Lknuk{t)= J{n,m)um{t), (9.14)
т=—оо
тфп
где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.

198
Глава 9
Пример 1. Если функция J(n, ш) имеет вид
J(n,m) = 5n+i,m — £n,m,
то
Lkuk(t) = un+l{t) - un(t) = Aun{t),
где A — конечная разность первого порядка.
Пример 2. Используя
J(n,m) — 5n+l,m — 28п,т + 5п-1}ГП,
получаем
Lknuk{t) = un+l{t) - 2un{t) + Un-xit) = A2tin(*),
где оператор А2 является конечной разностью второго порядка.
Пример 3. Рассмотрим нелокальное взаимодействие, задаваемое
степенной функцией вида
J(n) = |n|"(1+a),
где а — положительное вещественное число. Константа а является
физическим параметром. Некоторые целые значения а соответствуют
хорошо известным физическим случаям: кулоновский потенциал соответствует
а = 0; диполь-дипольно е взаимодействие соответствует а = 2; а предел
а —► оо приводит к взаимодействию ближайших соседей.
Замечание 1. Для слагаемого, описывающего взаимодействие в
уравнении (9.13), условие трансляционной инвариантности имеет вид
+оо
]Г J(n, т) = 0 (пе Z). (9.15)
т= —оо
Если (9.15) не выполняется, необходимо определить оператор (9.14) в виде
+ 00
Lkn= (9.16)
Т71= —ОО
где б* — символ Кронекера. Для этого оператора слагаемое, описывающее
взаимодействие, является трансляционно-инвариантным. Отметим, что неинвариантные
члены могут приводить к расходимостям при переходе к непрерывному пределу.

9.4. Операция отображения дискретной модели в непрерывную 199
Замечание 2. В общем случае можно рассматривать нелинейное
нелокальное взаимодействие, определяемое уравнениями
^=9Lknf(uk) + F(un),
с оператором (9.16). Например, функции /(и) = и2 и f(u) = и — ди2
приводят [493,496, 530] в непрерывном пределе к уравнениям Бюргерса (Burgers),
Кортевега-де Фриза (Korteweg-de Vries) и Буссинеска (Boussinesq) и
соответствующим обобщениям, содержащим частные производные дробного порядка.
9.4. Операция отображения дискретной модели
в непрерывную
В данном разделе будет определена операция преобразования
уравнений движения для un(t) дискретной системы в уравнение для скалярного
поля и(х, t), описывающего сплошную среду.
Для получения уравнения сплошной среды из дискретного уравнения
для un(t) будем полагать, что un(t) являются коэффициентами ряда Фурье
для некоторой функции u(k,t). Определим поле u(h,t) на интервале к G
[—К/2, К/2] уравнением
+оо
fi(M)= Yl un(t)e~ikXn =^K(t)}, (9.17)
П — — 00
где хп = пАх, а Ах = 2-к/К — расстояние между частицами. Обратное
преобразование, задающее коэффициенты ряда Фурье, определяется в виде
+аг/2
^(t) = J dk u(k,t) eikXn = F^iufct)}. (9.18)
-K/2
Уравнения (9.17) и (9.18) являются основными для разложения функции
в ряд Фурье. Интегралы Фурье можно получить из ряда Фурье
преобразованием дискретной переменной в непрерывную в пределе Ах —► 0 (К —► оо).
Преобразование Фурье можно получить из уравнений (9.17) и (9.18) в
пределе Ах —> 0. Заменим дискретную функцию
un{t) = -£:u(xn,t)

200
Глава 9
непрерывной u(x,t), полагая
хп — пАх = Щр~ х.
К
Тогда сумма перейдет в интеграл, а уравнения (9.17) и (9.18) примут вид
+оо
в(М)= J dxe-ikxu(x,t)=f{u(x,t)}, (9.19)
— сю
u(x,t) = ± J dkeikxu(k,t) = F-l{u{k,t)}. (9.20)
—сю
Мы полагаем, что
й(к, t) = Cu(k,t),
где через С обозначен переход к пределу Ах -> 0 (К —> оо). Отметим,
что u{k,t) является преобразованием Фурье для поля и(х, t), a u{k,t) —
функция, коэффициентами ряда Фурье которой являются un(t), где un{i) =
= (2тг/К)и(пАх, t). Функция й(к, t) может быть получена из й(к, i) в
пределе Ах —» 0.
В результате получаем отображение дискретной модели в
непрерывную посредством следующей операции преобразования [493,496,530].
Определение. Операция ДН-преобразования Т является комбинацией
следующих операций:
(1) Восстановление функции по коэффициентам ряда Фурье:
Fa : un(t) -> fA{un(t)} = u(fc, t). (9.21)
(2) Переход к пределу Ах —* 0:
С : u(fc, t) -> С{й{к, t)} = u(fc, t). (9.22)
(3) Обратное Фурье преобразование:
Т~х : й(М) ~» T-l{u{k,t)} = u(x,t). (9.23)

9.5. Преобразование Фурье для дискретных уравнений движения 201
Операция Т = Т~1С Та будет называться операцией ДН-преобразова-
ния, поскольку она позволяет реализовать преобразование дискретных
моделей взаимодействующих частиц в непрерывные модели, в модели
сплошных сред. В следующих разделах главы будут рассмотрены применения
операции Т к слагаемым L^Uk(t) и F(un(t)) из уравнений движения (9.13).
9.5. Преобразование Фурье для дискретных уравнений
движения
Рассмотрим дискретную систему неограниченного числа частиц с
межчастичным взаимодействием. Следующая теорема описывает Фурье-
преобразование слагаемого, определяющего взаимодействие.
Теорема. Пусть J(n, га) удовлетворяет условиям
J(n, га) = J(n — т) = J(m — п), (9.24)
сю
£|J(n)|2<oo. (9.25)
71=1
Тогда преобразование Фурье Та отображает уравнения
+оо
Lhnuk{t)= Y, J(n,m)[un(t)-um(t)}, (9.26)
m= —оо
тфп
где ип — un(t) — смещение п-й частицы, в уравнение
TA{Lknuk(t)} = [Ja(0) - МкАх)]й(к, *), (9.27)
где
u(k,t) = TA{un(t)},
Ja(kAx)=TA{J(n)}.
Доказательство. Для получения преобразования Фурье для
выражения (9.26), описывающего взаимодействие, умножим (9.26) на
ехр(—гкпАх) и просуммируем по п от —оо до +оо. Тогда получаем
Н-оо +оо -(-оо
£ e-iknAxLknuk= £ e'iknAxJ(n,m)[un-um\ =
71=— СЮ 71=— СЮ 771= — СЮ
тфп

202
Глава 9
+ОО +00 -f оо +оо
Е Е e-ifcnAlJ(n,m)U„- £ Е e"ifcnAx^(n,m)Uro.
(9.28)
71=—оо т=—оо п=—оот=—оо
тфп тфп
Используя условия (9.24) и (9.25), введем обозначения
+оо
Ja(kAx) = e~iknAxJ(n), (9.29)
п=—оо
пфО
+оо
u(k,t)= e-iknAxun(t). (9.30)
n=—оо
В силу свойства J(—n) = J(n) функция (9.29) может быть представлена
в виде
+оо +оо
Ja(kAx) = Y, J(n) (e~iknAx + eiknAx) = 2 ^ J(n) cos (fcAx). (9.31)
71=1 71=1
Из уравнения (9.31) видно, что Ja(kAx) является периодической функцией
Ja(kAx + 27гш) = Ja(kAx),
где т — целое число. Используя (9.30) и (9.29), первый член в правой
части (9.28) дает
+оо +оо
Е Е e-iblAV(n,m)Un =
71= — ОО 771= — ОО
тфп
+оо +оо
^2 e-iknAxun 53 J(m') = й(МШо). (9.32)
n=-oo m =-oo
Здесь мы использовали (9.24), (9.25), свойство J(ra' + n, n) = J(ra') и
+oo
Ja(0) = Yl J(n) = 2^J(n). (9.33)
n=—oo n=l

9.5. Преобразование Фурье для дискретных уравнений движения 203
Применяя J(ra, п' -f га) = J(n'), второе слагаемое в правой части
уравнения (9.28) запишется в виде
£ £ e-ifcnAV(n,m)«m= £ «m £ e-ifc"AlJ(n,m)-
п=—оо m=—оо m=—оо n=—оо
тфп пфт
Н-оо Н-оо
= urne~ikmAx e~iknAxJ(n') = u(k,t)Ja(kAx). (9.34)
m=-oo n' = -oo
п'фО
Уравнения (9.32) и (9.34) дают выражение
TA{Lknuk(t)} = [Ja(0) - J«(fcAx)]u(M), (9.35)
где Ja(kAx) определяется уравнением (9.29). □
Следующая теорема описывает преобразование Фурье для
уравнений (9.13).
Теорема. Преобразование Фурье ТА отображает уравнения
движения
-^-=9 £ J(n,m)[un(t)-um(t)} + F(un(t)), (9.36)
771= — CO
тфп
где J(n, га) удовлетворяет условиям (9.24) и (9.25), ип — смешение п-й
частицы и F — внешняя сила, в уравнение
дЧ^Ь) = g[ja(0) - Ja(kAx)}u(k,t) + FA{F(un)}, (9.37)
где
u(k,t)=TA{un(t)},
Ja(kAx) = TA{J(n)}
и Та — преобразование Фурье, восстанавливающее функцию по
коэффициентам ряда Фурье.
Доказательство. Для получения уравнения для поля u(k, t)
умножим уравнение (9.36) на ехр(—iknAx) и просуммируем по п от —оо

204
Глава 9
до +оо. Тогда получаем
-Ьоо -Ьоо +оо
= 9 Е Е e-iknAxJ(n,m)[un-um}+ £ e-iblA*F(U„). (9.38)
п=—ОО
Используя
п=—оо т=—оо
тфп
+оо
й(М) = ^ e-^'unW,
п=—оо
левая часть уравнения (9.38) принимает вид
п=—оо п=—оо
Второе слагаемое в правой части уравнения (9.38) равно
+оо
£ e~iknAxF(un) = FA{F(un)}.
Преобразование Фурье ТА отображает слагаемое (9.26), описывающее
взаимодействие, в выражение (9.27). В результате получаем уравнение (9.38)
в виде
d2u(kt) = ^(Q) _ ja(kAx)]u(k,t)+FA{F(un)}, (9.39)
at
где TA{F(un)} — операторное обозначение для преобразования функции
F{un). □
9.6. Альфа-взаимодействие частиц
Преобразование Фурье ТА слагаемого, описывающего
взаимодействие, определяется уравнением (9.27), где
-Ьоо оо
Ja(k)= 53 e-iknJ(n) = 2^J(n)cos(kn) (9.40)
п=—оо п=1
пфО

9.6. Альфа-взаимодействие частиц
205
и й{к,Ь) = Тд{ип({)}. Если функция Ja(k) задана, то J(n) может быть
определена по формуле
J(n) = 1 J ja{k)cos(nk) dk. (9.41)
о
Дадим определение специального класса взаимодействий частиц.
Определение. Слагаемое
+оо
Lknuk(t)= Yl J(n-m)[un(t)-um(t)}, (9.42)
т=—оо
тфп
для которого выполнены условия (9.24) и (9.25), называется а-взаимо-
действием, или нелокальным альфа-взаимодействием, если функция (9.40)
удовлетворяет условию
ja(k) - Щ
£15—\kj°— = Ла' (9-43)
где а > 0 и 0 < \Аа\ < оо.
Условие (9.43) означает, что
J«(k)- Ja(0) = 0(\к\а).
В результате для к —> 0 имеем
J«(k)- Ja(0) = Aa\k\a + Ra(k),
где
r Ra{k) n
lim —-— = 0.
Используя уравнение (9.41), можно определить функцию J(n),
описывающую а-взаимодействие.
Пример 1. Используя (9.41) с функцией
Ja(k) = Aa\k\a,

206
Глава 9
получаем
J(n) =
((-l)n7Ta+1 (-D^TT1/2 \
= A« (Ч+Г- - (aV iM*»/*L«a + 3/2> 1/2'та))' (9-44)
где Li(/x,i/, — функция Ломмеля [335]. В результате слагаемое (9.42)
с функцией J(n — m) вида (9.44) определяет a-взаимодействие с а > 0.
Пример 2. Взаимодействие, определяемое функцией
j(n) = Л'
может рассматриваться как a-взаимодействие. Используя (см. раздел 5.4.2.12
в справочнике [94])
+оо
71=1
получаем
Ja(k) = 2 У = Ык2 - бжк + 2тг2], (0 ^ к < 2тг)
lim : = —7Г.
/с—.-о к
Поэтому функция J(n) = п~2 определяет a-взаимодействие с a = 1.
Пример 3. Рассмотрим взаимодействие с функцией
(-1)п
J(n) = Ц^. (9.45)
гг
Используя (раздел 5.4.2.12 в справочнике [94]) соотношение
Е cos(nfc) = i (*2 - т)' ^
получаем
+°° ( — 1)п л 2
Ja(fc) = 2 £ i-^- cos(fcn) = \к2 - |fc| ^ 7Г,
п=1 ^

9.6. Альфа-взаимодействие частиц
207
что приводит к уравнению
Ja(k)- Jtt(Q) = J
к2 2'
В результате имеем альфа-взаимодействие с а = 2.
Пример 4. Если рассмотреть функцию
(9.46)
(-1)п
а"2 - тг
то уравнение (9.40) даст
J(k)= * cos(ak)-\.
asin(7ra) аг
Для к —» 0 получаем
lim JaW"jQ(Q) = —(9.48)
fc—o A:2 2sin(7ra)
В результате функция (9.47) определяет a-взаимодействие с а = 2.
Пример 5. Для нецелых нечетных чисел 5
j(n) = |n|-(*+Di 5>о, (9.49)
определяет a-взаимодействие с параметром
п Is' 0
\2, s
< s < 2;
> 2.
(9.50)
Для 0 < s < 2 (s ф 1) имеем
•4(fc) - 4(0) = 2r(-s)cos(7rs/2) |jfc|s.
Для s = 1 уравнение (9.41) дает
Ja(k) - Ja(0) =к.

208
Глава 9
Для нецелых s > 2
Ja(k) - 4(0)
= -а» -1).
к2
где — дзета-функция Римана.
В результате функции (9.49) определяют а-взаимодействие с
параметром а, задаваемым условием (9.50).
Пример 6. Можно непосредственно проверить, что функция
W-rv + w-n) <9'51)
при а — 2/3 — 2 > — 1 определяет а-взаимодействие. Используя ряды (см.
раздел 5.4.8.12 в справочнике [94])
00 (-1)"
Е— гттт г COs(nk) =
п=1 Г(а + 1 + п)Г(а + 1 - n) v у
22S"! -sin-
(*Л L
V27 2Г2(5
Г(2з + 1) ~" \2j 2Г2(5 + 1)'
где s > — 1/2 и 0 < fc < 2тт, получаем
^(*)-^(0) = Г(^1)™в(|)-
Предел А: —» 0 дает
lim ^ЬАй = 1 . (9.52)
fc-o |A;|Q Г(а + 1) v '
Функция (9.51) с /3 > 1/2 определяет а-взаимодействие с параметром а =
-2/3-2 > -1.
Пример 7. Для функции
J(n) = 1/п!
воспользуемся соотношениями
g COS^n) = ecosfc cos(sin fe)) (9 53)
71=1

9.7. Производные дробного порядка по координатам
209
где |к| < оо. Переход к пределу к —» 0 дает
Ja(k)~Ja(0)
lim
-4е.
В результате имеем а-взаимодействие с а = 1.
Примеры функций J(n) для альфа-взаимодействия можно
суммировать в таблице.
J(n)
а
п-2
1
— 7Г
J(n) = (n!)-1
1
-4е
(-l)nn-2
2
1/2
|„|-(/3+D (0> 2, 0*3,4,...)
2
-С(а - 1)
(-l)n[a2 -п2]-1
2
(па/2) sin_1(7ra)
|„|-W+i) (о</?<2, 0ф 1)
Г(-/3)со8(тг/3/2)
(-1)П7Г" (-1)*V/2
1
2/3-2
Г"1 (20- 1)
9.7. Производные дробного порядка по координатам
Производные Римана-Лиувилля
Рассмотрим конечный интервал [a, ь] на действительной оси К.
Левосторонняя и правосторонняя производные Римана-Лиувилля adx и х£>£

210
глава 9
порядка а > 0 определяются [307] формулами
(«!£/)(*) = d; eJT »[*]/(*):
1 ) f(z)dz
= — -D' / —г (х > а),
Г(п-а) х J (x-z)a-n+1 к '
а
(xD?f)(x) = (-l)nD2xIZ-a[z]f(z) =
(-i)n n„ }_т^_ .
a)D*j lz-хГ-п^ (X<6)'
Г(п-а) ХУ (z-x)
где га = [а] +1 и [а] — целая часть а. Здесь обычная производная целого
порядка га € N. В частности, при а — п £ N имеем
(aD°xf)(x) = (xDg/)(x) = /(х)
(„DS/)(x) = D?/(x),
(xD?/)(x) = (-1)"^/(х).
Дифференцирование Римана-Лиувилля порядка а > 0 степенных
функций (х — а)0 и (6 — х)& дает степенные функции
Da(x - а)0 - Г^+1) (х - а)0-а
xD?(b - xf = Г(/?+1) (Ь - xf~a,
где /3 > —1 и а > 0. В частности, если /3 = 0иа>0, то производные
Римана-Лиувилля некоторой константы С отличны от нуля:
-°°с = Тч^ТТ)<6-х >""•
С другой стороны, для А; = 1,2,..., [а] + 1 имеем
aD£(x-a)a-fe=0,

9.7. Производные дробного порядка по координатам
211
xD2(b-x)«-k = 0.
Равенство
(aD2f)(x) = О
выполняется тогда и только тогда, когда
/(*) = £С*(*-аГЛ
к=\
где п — [а] 4-1 и Cfc (А: = 1,..., п) — произвольные действительные
постоянные. Уравнение
(xDaf)(x)=0
выполняется тогда и только тогда, когда
п
/(*) = £ од-*)«-*,
к=1
где п = [а] 4-1, а С* (fc = 1,..., п) — произвольные действительные
постоянные.
Пусть а > 0 и n = [а] + 1. Если f(x) € ACn[a,b]9 то производные
Римана-Лиувилля существуют почти везде на интервале [а, 6] и могут быть
представлены в виде
{aUxfm-^T(k-a + l){X а) +T(n-a)J dZ(x-z)«-^
a
b
'(z-x)a-n+1
Производные Капуто
Производные Капуто fDJ и ^£>£ могут быть определены для
функций, принадлежащих пространству АСп [а, 6]. Пусть а > 0 и п
задается уравнением п = [а] + 1 для а & N и п = а для а £ N. Если
/(х) £ АСп[а, 6], то производные Капуто существуют почти везде на
интервале [а, 6]. Если а ^ N, то
X
( °D2f)(x) = (airaDnf)(x) = —±— [
1 (п — a) J (х — z)Q
D?f(z)_
П+1 '

212
Глава 9
ь
( ?Л?/)(*) = ЫП*1ГаDnf){x) = ^-r I dz °1^п+1,
Г(п -a) J (z- x)°
X
где n = [a] + 1. Если a = n G N, то
(ZD°xf)(x) = Dnxf(x),
( ?!>?/)(*) = (-l)"D£/(x).
Если a ^ N и n = [a] + 1, то производные Капуто совпадают с
производными Римана-Лиувилля в следующих случаях. Имеем равенство для
левосторонних производных
( °Щ!){х) = („!£/)(*),
если
/(a) = (Dlf)(a) = ... = (Щ~1/)(а) = 0.
Для правосторонних производных равенство
(°Щ!){х) = Ш/)(х)
выполняется при
f(b) = (D1xf)(b) = ... = (D2-1f)(b) = 0.
Дифференцирование Капуто порядка а > 0 степенных функций (х —
- а)0 и (6 - х)" дает степенные функции
?£>?(х - о)" = Г(/? + 1) (х - а)0~а,
xDb{b x) -r(a + yS+1)(b *) ,
где (3 > — 1 и a > 0. В частности, если /3 = 0, а a > 0, то производные
Капуто постоянной С равны нулю:
Для к = 0,1,2,..., га — 1 имеем
а)* = 0, £D?(6-x)fc = 0.

9.7. Производные дробного порядка по координатам
213
Функция Миттаг-Леффлера Еа[\(х — а)а] инвариантна по отношению к
левостороннему дифференцированию Капуто ^DJ, то есть
СЩЕа[\{х - а)а] = ХЕа[Х(х - а)а].
Однако это свойство инвариантности не выполняется для правосторонней
производной xD%.
Производная Лиувилля
Определим производную нецелого порядка на всей действительной
оси R. Левосторонняя производная Лиувилля порядка а > 0
определяется [307] формулой
х
— оо
Правостороняя производная Лиувилля D°L порядка а > 0
определяется [307] соотношением
(илм - (-1)"^('г-)(х) _ jtSLi / ^^Ри.
(9.55)
Здесь = dn/dxn — обычная производная целого порядка п, такого что
п = [а] + 1, где [а] — целая часть а. В случае а = п € N получаем
(D£/)(*) = D»/(*),
(DH/)(x) = (-l)»D»/(s).
Если а = 0, то
(D°+f)(x) = (D°_f)(x)=f(x).
Если f(x) € Ii(R) и /3 > а > 1, то
(D£I£f)(x) = f{x),
№lif)(x) = (ltaf)(x).
Если дробные производные (D±f)(x) и (D^"l"fc/)(x) существуют, то
(DkD%f){x) = (±l)k(D%+kf)(x).

214
Глава 9
Фурье-преобразования производных Лиувилля порядка а > О
определяются соотношениями
{FDlf){k) = (Tik)a(ff)(k),
где
(Tik)a = \k\aexp(rsgn(x)^
и Т — оператор преобразования Фурье.
9.8. Производная и интеграл Рисса
Рассмотрим дифференцирование и интегрирование Рисса. Операции
дробного интегрирования и дробного дифференцирования в n-мерном
евклидовом пространстве Шп можно определить как дробную степень
оператора Лапласа. Для достаточно хороших функций /(х), где х £ К,
дифференцирование Рисса D£ порядка а > О определяется в терминал
преобразования Фурье Т формулой
D«/(x) = ^-1(|A:|«(^/)(fc)). (9.56)
Интегрирование Рисса 1£ определяется как
IZf(x) = T-1(\k\-a(ff)(k)). (9.57)
Дробное интегрирование Рисса можно реализовать в форме
потенциала Рисса, определенного как свертка вида
I£/(x) = J Ка(х - z)f(z)dz (а > 0), (9.58)
где функция Ка(х) является ядром Рисса. Если а > 0 и а ^ п, п + 2, п +
+ 4,..., то функция Ка(х) определяется соотношением
Ка(х) = 1~1(а)\хГп.
Если а ф п, п + 2, п + 4,..., то
Ка(х) = -1~\а)\х\а~п\П\х\.

9.8. Производная и интеграл Рисса
215
Множитель 7п(а) определяется формулой
{2а^2Г(а/2)/Г(^Ц^), а ф п + 2fc, п е N,
(_l)(n-a)/22a-i7rn/2x
хГ(а/2) Г(1 + [а - n]/2), a = n + 2fc.
(9.59)
Преобразование Фурье интеграла Рисса задается в виде
rfcfix)) = |*r°(.F/)(fc).
Эта формула верна для функций f(x), принадлежащих пространству Ли-
зоркина. Пространством Лизоркина [101] основных функций на Rn
называется линейное пространство всех комплекснозначных бесконечно-
дифференцируемых функций /(х), производные целого порядка которых
равны нулю в начале координат:
Ф = {/(я) :/(*) € S(Rn), (D£/)(0) = 0, |n|GN}, (9.60)
где 5(Rn) — пространство Шварца основных функций. Пространство
Лизоркина инвариантно по отношению дробному интегрированию Рисса.
Более того, если /(х) принадлежит пространству Лизоркина, то выполняется
полугрупповое свойство для интегрирования Рисса
где а > 0 и /3 > 0.
Для а > 0 дробная производная Рисса D£ = — да/д\х\а может быть
определена в виде гиперсингулярного интеграла
где т > a, a (A™f)(z) — конечная разность порядка т функции /(х)
с шагом z е Rn и с центром в точке х £ Rn определяется формулой
i?/(x)i£/(*) = i?+/7(x),
dn(m,a) J \z\
1
m
(ДГ/)(г) = $>1)*
k\(m-k)\
f(x — kz).
k=o
Постоянная dn(m, a) определяется как
dn(ra,a) =
2аГ(1 + а/2)Г(п/2 + a/2) sin(7ra/2)'

216
глава 9
m
Заметим, что гиперсингулярный интеграл D£/(x) не зависит от выбора
т > а.
Если /(х) принадлежит к пространству достаточно хороших функций,
то преобразование Фурье Т производной Рисса задается уравнением
(JT>af№ = |*|e(.F/)(fc).
Это уравнение выполняется для пространства Лизоркина [101] и для
пространства С°°(МП) бесконечно-дифференцируемых функций с компактным
носителем на Rn.
Производная Рисса является обратной операцией к интегрированию
D£I£/(x) = /(x) (а>0) (9.61)
для некоторых пространств функций. В частности, уравнение (9.61)
имеет место для функций /(х), принадлежащих пространству Лизоркина.
Более того, это свойство выполняется для функций f(x) € Lp(Rn), если
1<р < п/а. При этом производная Рисса D£ понимается условно
сходящейся в том смысле, что
DS = limD»e, (9.62)
где предел берется по норме пространства Lp(Rn), а оператор D£e
определяется как
dn(m,a) J \z\a+n
\*\>*
где т > а, а (Д™/)(г) — конечная разность порядка т функции f(x)
с шагом z £ Rn и центром в точке х € Rn. Указанное свойство доказано
в книге [101] (см. теорему 26.3).
Отметим, что производная Рисса может быть представлена как
DJuOM) = i—— (D%u(x,t) + £>«u(x,*)), (9.63)
2cos(7ra/2) ^
где a 7^ 0,1,3,5..., а Z)± являются левосторонней и правосторонней
производными Лиувилля, определенными формулами (9.54) и (9.54). Отметим,
что именно производные Рисса будут возникать в непрерывном пределе
решетчатой модели с нелокальным взаимодействием.

9.9. Непрерывный предел дискретных уравнений
217
9.9. Непрерывный предел дискретных уравнений
Операция ДН-преобразования Т позволяет получать уравнения для
сплошных сред из уравнений движения дискретных систем. Рассмотрим
применение операции Т к L^Uk{t) и F(un(t)) в уравнениях (9.13).
Приведем основную теорему о силовых функциях F(un(t)).
Теорема. Операция ДН-преобразования Т отображает функцию
F(un(t)) в функцию F(u(x,t)), то есть
f F(un(t)) = F(u(x,t)), (9.64)
где u(x,t) = Tun{t), если для функции F выполняется соотношение
CF{un) = F(Cun).
Доказательство. Преобразование Фурье ТА приводит к
отображению
ТА : F{un) -> TAF{un).
Отметим, что
TAF{un) ф F(TAun) = F(u(k,t)).
Переход к пределу Дх —* 0 дает
С : TAF(un) -> CTAF(un).
Тогда мы имеем
CTA{F(un)} = T{CF(un)} = T{F(Cun)} = T{F{u{x,t))},
где использовали СТА = ТС. Обратное преобразование Фурье дает
Т-1 : T{F(u(x,t))} ^ T~^T{F(u(x,t))}} = F(u(x^
В результате получаем (9.64). □
Если взаимодействие частиц, которое описывается (9.16), (9.24)
и (9.25), является а-взаимодействием, то функция
+оо оо
ja(k)= e-iknJ(n) = 2]Г) J(n)cos(kn) (9.65)
п= —СО П—1
пфО
удовлетворяет условию
J«(k) - JQ(0) = Aa\k\a + Ra(k) (9.66)

218
Глава 9
для к —> О, где а > О, О < |Д*| < оо, и
к-,0 \к\а
В непрерывном пределе уравнения движения частиц с а-взаимодействием
приводят к дробным дифференциальным уравнениям для сплошных сред.
Теорема. Операция ДН-преобразования Т отображает дискретные
уравнения движения
-%jk1=9 £ J(n,m)[un(t)-um(t)} + F(un(t)) (9.67)
т=—оо
тфп
с а-взаимодействием нецелого порядка а в дробно-дифференциальные
уравнения сплошной среды:
^^-=GaAa-^u(x,t) + F(u(x,t)), (9.68)
где да/д\х\а = —D£ ~ производная Рисса, а
ga = g\Ax\a (9.69)
конечный параметр.
Доказательство. Фурье-преобразование ТА уравнения (9.67)
дает (9.37). Рассмотрим предел Дх —> 0. Уравнение (9.37) можно записать
в виде
J^u(M) = ga ta,A(k) u(k,t)+fA{F(un(t))}, (9.70)
где
fa,A(k) = ~Aa\k\a - Ла(А:Дх)|ДхГа.
Здесь мы использовали (9.66) и конечный параметр GQ, определенный
в (9.69). Отметим, что Ra удовлетворяет условию
Цт^Дх)=()
д*-о |Дх|а
Выражение для Та,А(к) может рассматриваться как Фурье преобразование
оператора (9.16). Заметим, что q —► оо для предела Дх —► 0, если ga
является конечной величиной.

9.10. Линейное взаимодействие ближайших соседей
219
В пределе Ах —> 0 уравнение (9.70) дает
d2u(k,t)
at2
где
Ga Та(к) u(k,t) + F{F(u(x,t))}, (9.71)
u(k,t) = £u(k,t),
ta(k) = CfaA(k) =-Aa\k\a.
Обратное преобразование Фурье (9.71) имеет вид
d2u(x,t)
at2
где
= Ga Та(х) и(х, t)+F (u(x, t)), (9-72)
TQ(x) = ^-x{ta(fc)} = 4»^. (9-73)
Здесь мы использовали взаимосвязь (9.56) между производной Рисса и ее
Фурье-образом [101,307,444] следующего вида:
\к\а ^r>« = -.d
д\х\°-
Подставляя (9.73) в (9.72) получаем уравнение (9.68) для сплошной среды,
описываемой полем гх(х, £). □
Примеры функции J(n), определяющей взаимодействие частиц и
дающей операторы (9.73), приведены в таблице ниже.
9.10. Линейное взаимодействие ближайших соседей
Рассмотрим применение операции ДН-преобразования Т к системе
частиц, взаимодействие (9.14) в которой описывается выражением
Lknuk{t) = (un+i{t) - un{t)) - (un{t) - Un-i(t)).
Это слагаемое описывает локальное взаимодействие ближайших соседей.
В этом случае функция J(n, га) имеет вид
J(n,m) — <5n+i,m - 25n>m + <5n-i,m,
где £n,m — символ Кронекера. Приведем утверждение о взаимодействии
ближайших соседей.

220
Глава 9
J(n)
Ta(x)
(-l)-V+i (-l)V1/2
«+l (а+1)|пГ+1/2 U
+ 3/2,1/2, тт)
-aa/a|x|a
(-l)nn-2
-(1/2) D2
n-2
|n|-(«+D (0 < а < 2, a ^ 1)
-2r(-a)cos(7ra/2) 5а/а|х|а
|n|-(*+i) (s>2, a ^3,4, •••)
C(e-i) ^
(_l)nr-i(! + a/2 + njr-^l + a/2 -
-n) (a >-1)
(-lJ'V-n2]-1
-(a7r/2)sin_1(7ra) D%
(n!)"1
4ez £»i
Теорема. Операция ДН-преобразования T отображает уравнения
движения
д2и (t)
= g[un+1(t) - 2un(t) + un-xit)} + F(un(t)) (9.74)
в уравнение сплошной среды
d2u(x,t) d2u(x,t)
dt2
G2-
0x2
+ F(u),
(9.75)
где G2 = у (Ax)2 — конечный параметр.
Доказательство. Для получения уравнения для поля u(k,t)
умножим уравнение (9.74) на ехр(—iknAx) и просуммирует по п от —оо

9.10. Линейное взаимодействие ближайших соседей
221
до Н-оо. Тогда получим
+оо
dt2
e~iknax о ип
п=—оо
+оо +оо
= 9 e-iknAx[un+1-2un + un-1}+ £ e-iknAxF(un). (9.76)
71— — ОО 71—— ОО
Первое слагаемое в правой части (9.76) принимает вид
+оо +оо
e-iknAxJ(n,m)um= ]Г e-iknAx[un+1-2un + un-1} =
ft — — ОО n= —ОО
+оо +оо +оо
= e-iknAxun+1-2 £ e-iknAxun+ £ e-ifenAxun_i =
n=—oo n= —oo n=—oo
+00 +00 +00
= eikax ^ e-ikmAxum-2 e-iknAxun + e~ikAx £ e~iksAxus.
m=—00 n=—00 s=—00
Используя определение u(fc,£), получаем
+oo
e-iknAxJ{n, m)um = eikAxu(k, t) - 2u(fc, t) + e~ikAxU{k, t) =
= [eikAx + e~ikAx - 2]u(M) = 2(cos(fcAx) - l)u(M).
В результате имеем
+oo
e-iknAxJ(n, m)um = -4 sin2 (kAx/2) u(fc, t). (9.77)
n=—00
Подставляя (9.77) в (9.76), получим
d2u(k,t)
at2
где
= g Ja(kAx) й(к, t) + fA{F Mt))}, (9.78)
Ja(kAx) = -4sin2 (кAx/2). (9.79)

222
Глава 9
Для Дх —> 0 имеем зт(А;Дх/2) ~ к Ах/2. Тогда (9.79) может быть
представлено как
Ja(kAx) « - (&Дх)2 .
Используя конечный параметр G2 = д(Ах)2 и переходя к пределу Дх —► О
в уравнении (9.78), получаем
Э2"(*'*) = -G2k2u(k, t) + Я^М}, (9-80)
от
где использовали 0 < < оо. Обратное преобразование Фурье Т~х
для (9.80) имеет вид
В результате получаем уравнение (9.75), описывающее динамику
сплошной среды. □
9.11. Линейное альфа-взаимодействие целого порядка
Рассмотрим цепочку с линейным альфа-взаимодействием, которая
описывается уравнениями движения
^=9 £ J(n,m)[un-um} + F(un), (9.81)
771= — ОО
тпфп
где J{n,m) = J(\n — m\) и
J{n) = \п\-{Р+г) (9.82)
с положительным целым (3. Приведем утверждение для нечетных значений
параметра /?.
Теорема. Степенное взаимодействие (9.82) для нечетных чисел /3
является а-взаимодействием с а = 1 для /3 = 1 и а = 2 для (3 = 3,5,7...
Для нечетных значений параметра /3 операция ДН-преобразования Т
отображает уравнения движения (9.81) с взаимодействием (9.82) в уравнение
сплошной среды, содержащее производные первого порядка для /3=1,
d2u(x,t) „ ди(хЛ) , /л л ч
^2 = *Gi —^ + F (и(х,*)), (9.83)

9.11. Линейное альфа-взаимодействие целого порядка
223
и производные второго порядка для остальных нечетных значений /3 (/3 =
= 2m - 1, где т = 2,3,4,...),
д2и(хЛ) д2и(хЛ)
—^ - °2 —^г1 + F *)). (9-84)
где
(-1)гп-1(2тт)2гп~2
d = тг^Лх, G2 = V ' V ' B2m_2 <?(Дх)2 (9.85)
4(zm — zj!
являются конечными параметрами.
Доказательство. Используя (9.37), получаем уравнение для поля
u(fc, t) в виде
д2и^1) = [Ja(fcAx) - Ja(0)] u(fc, t) + (wn(t))}, (9.86)
at
где
JQ(fcAx)- e-ikn*x\n\-V+0l (9.87)
n=—oo
Функция (9.87) может быть представлена в виде
+оо +оо
Ja(kAx) = £ (e~iknAx + eiknAx) = 2 £ -1- cos (fcnAx).
(9.88)
Это позволяет использовать (см. разделы 5.4.2.12 и 5.4.2.7 в
справочнике [94]) соотношения
п=1
cos(nfc) _ (-1)т-1(2тг)2т
п2то ~~ 2(2т)!
(А)
где т = 1,2, 3,..., а i?2m(fc) — полиномы Бернулли [161]. Эти полиномы
Вп(к) задаются формулой
п
вп(к) = у£сапвакп-°,
з=0

224
Глава 9
где Bs — числа Бернулли [161], определяются как коэффициенты ряда
оо
zi = Y,B4 (|2|<27Г)-
5=0
Для (3 = 1 используем
g COS^fc) =_L(3fc2_67rjfc + 27r2) (0<fc<27r).
n=
Тогда имеем
п=1
Ja(kAx) - JQ(0) = |(А;Дх)2 - тгАгДх « -тгкАх.
Предел к —► 0 дает
г Jg(fc) ~ Jq(0)
hm = —тт.
fc—0 к
В результате имеем а-взаимодействие с а = 1. Для /? = 2m — 1 (т =
= 2,3,...) получаем
Ш = (~21^J,1(27T)2TOg2m (0 ^ fc < 27Г).
Тогда
Ja(kAx) - Ja(0) « 4(2т-2)! B2m-2(fcAx)2.
В результате получили
Jo(fc)-Jo(0) (-1Г-1(2тг)2'"-2
Й& jfe = 4(2т - 2)! В2т~2-
Переход к пределу Ах —► 0 в уравнении (9.86) при 0 = 1 дает
d2u{k,t)
dt2
= dk u(fc, t) + (u(x, 0)}, (9-89)
где G\ = тгдАх — конечный параметр. Обратное преобразование
Фурье (9.89) приводит к уравнению для сплошной среды (9.83), содержащему
производную первого порядка по координате.

9.12. Линейное нелокальное альфа-взаимодействие
225
Переход к пределу Ах —► 0 в уравнении (9.86) при (3 = 2т — 1 (га
2,3,...) дает
d2u(k,t) ^ 2
с*2
где
G2 fc2 u(fc, t) + T{F (u(x,*))}, (9.90)
(_пго-1(27гЛ2т-2
являются конечным параметром. Обратное преобразование Фурье (9.90)
приводит к уравнению для сплошной среды (9.84), содержащему
производную второго порядка по координате. □
Замечание. Для четных значений параметра /3 и для /3 = 0
взаимодействие (9.82) не является а-взаимодействием. Для /3 = 0 имеем (см. раздел 5.4.2.9
в справочнике [94]) соотношение
f;^)=-,n[2sin(V2)].
П=1
В этом случае предел Ах —* 0 дает
ja(kAx) « -1п(/сД:г) —► оо.
Для четных значений (3 имеем
| ja (кАх) -J* (0)1
> оо,
\kAxf
поскольку выражение содержит логарифмические полюса.
9.12. Линейное нелокальное альфа-взаимодействие
нецелого порядка
Рассмотрим альфа-взаимодействие, которое определяется функцией
J(n) = |пГ(/Н1), (9.91)
где (3 — положительное нецелое число. В этом случае соответствующие
непрерывные уравнения содержат дробного или целого порядка
производные по пространственным координатам в зависимости от знака числа /3 — 2.

226
Глава 9
Теорема. Степенное взаимодействие вида (9.91) с нецелым (3
является а-взаимодействием с а = (3 для 0<(3<2иа = 2 при /3 > 2. Для
О < /3 < 2 ((3 Ф 1) операция ДН-преобразования Т отображает
дискретные уравнения (9.81) со взаимодействием (9.91) в непрерывное уравнение
для сплошной среды, содержащее производные Рисса порядка а:
Mx,t) - GaAa-£—u(x,t) = F(u(x,t)), 0 < а < 2 (а ф 1).
(9.92)
Для (3 > 2 ((3 ф 3,4,5,...) уравнение для сплошной среды содержит
производную второго порядка по координате
^и{х, t) + GaC(a - i)J£-u{x, t) = F (u(x, *)), a > 2 (а ф 3,4,...),
(9.93)
где
Ga = g\Ax\min^ (9.94)
является конечным параметром.
Доказательство. Из уравнения (9.37) получаем уравнение для поля
u(k, t) следующего вида:
д2и^Ь) +g [Ja(kAx) - Je(0)] U(M) - TA{F(un(t))} = 0, (9.95)
at
где
Ja(kAx)= Y, e_ifcnAX7^- (9-96)
71=— OO i i
Для нецелых положительных а функция (9.96) может быть
представлена [323,493,503,530] в виде
Ja(kAx) = ]Г (с-**»д* + = Li1+a(eifc^)+Lz1+a(e-^),
n=l
(9.97)
где Li1{z) — полилогарифмическая функция [327]. Используя
представление полилогарифма в виде ряда [224]
п=0
Lt7(e») = Г(1 - 7)(-*F-1 + £ ^Г^2"' (9-98)

9.12. Линейное нелокальное альфа-взаимодействие
227
где \z\ < 27Г и 7 ф 1,2,3..., получаем
Ja(kAx) = Аа \Ах\а \к\а + 2 f; C(1t°~ 2n)(Ax)2"(-fc2)", (9.99)
n=0 ^
где a ^ 0,1,2,3..., C(^) — дзета-функция Римана, \kAx\ < 2тг и
Aa = 2 Г(-а) cos (^^j. (9.100)
Из выражения (9.99) получаем
Ja(0) = 2C(l+a).
Тогда (9.99) можно записать в виде
Ja(kAx) - Ja(0) = Аа \Ах\а \к\а + 2 f; а1+°~2п)(Ах)2п(-к2Г,
71=1 ^ '
(9.101)
где а ф 0,1,2,3... и |ЛДж| < 2тг.
Подстановка (9.101) в (9.95) приводит к уравнению
Щ^Л+9Аа\Ах\а |*|« й(М)+
+2» Е То1 и (Ах)2-(-fc2)-u(fc, t) - TA{F {un(t))} = 0. (9.102)
n=l ^*
В пределе Дх —► 0 уравнение (9.102) может быть записано в простой
форме
9 U^l) + Ga ТаЛ(к) fi(fc,*) - Ta{F (un(t))} = 0, а ф 0,1,2,...,
at
(9.103)
где использовался конечный параметр (9.94) и
(ла|*Г-|Д*|2-Ч(а
,,д^-\|ДхГ2Л,|*|»-С(а-
l)fc2, 0<а<2 (а^1);
l)fc2, а>2 (а ^3,4,...).
(9.104)

228
Глава 9
Выражение для Та^(к) может рассматриваться как Фурье-преобразование
оператора взаимодействия (9.14). Из выражения (9.94) видно, что д —> оо
для предела Дх ->0и конечного значения Ga.
Переход к пределу Дх —► 0 в уравнении (9.103) дает
92U^Ь) +Gata(k)u(k,t)-F{F(и(х,t))} = 0 (а ^0,1,2,...), (9.105)
где
t(fc)_Kl*l°, 0<а<2, аф1;
Обратаое преобразование Фурье уравнения (9.105) дает
9 + Ga Та(х) и(х, t)-F (и(х, *)) = 0, а ф 0,1,2,...,
dt
где
ia(X)-^ {/«(*)>" |<(a_l)d2/aW2 (Q>2) a^3,4,...).
Здесь была использована взаимосвязь между производной Рисса и ее
Фурье-образом [101]:
д\х\а* ~ ^ ^ 9|Х|2*
В результате получаем уравнения (9.92) и (9.93) для сплошной среды. □
9.13. Дробные реакционно-диффузионные уравнения
Рассмотрим уравнения, содержащие производную первого порядка по
времени
-^Г+Я £ \n-m\-a-1[un(t)-um(t)] = R(un(t))t (9.107)
771= — ОО
тпфп
где un(t) — функции, описывающие отклонения от положения
равновесия (un(t) = 0). Слагаемое R(un) характеризует нелинейность
взаимодействия. Уравнения (9.107) с положительным нецелым значением а
описывают нелинейную дискретную систему со степенным нелокальным
взаимодействием.

9.13. Дробные реакционно-диффузионные уравнения
229
Теорема. Операция ДН-преобразования Т отображает уравнения
(9.107) с0<а<2(аф1)в уравнение сплошной среды, содержащее
производную Рисса D£ порядка а:
ди^г>> - GQD>(x,t) = R(и(х,*)), 0 < а < 2 (а + 1), (9.108)
где
Аа = 2 Г(-а) cos (9.109)
а величина
Ga-^a|Ax|a (9.110)
является конечным параметром.
Доказательство. Умножая уравнение (9.107) на exp(-zfcnAx)
и суммируя по п от — оо до +оо, получаем
+оо я
c-iknAxaun |
п=—оо
+<*> +°° 0-i*„Ax +°°
+ 9 Е Е Г jS+T ["»-««•]= Е в-<кпДхД(«„). (9.Ш)
п=—оо га=—оо 1 1 п= —оо
тфп
Используя
+оо
й(М) = e-iknAxun(t),
имеем
dt at ^ nK' dt
n= —oo
Преобразование Фурье Та отображает уравнения
+оо
m= —ос
тфп
в уравнение
J^{L*Wfc(t)} = [Ja(0) - J«(fcA*)]u(M),

230
Глава 9
где использовались формулы (9.26), (9.27) и функции
u{k,t)=TA{un{t)},
JQ{kAx)=TA{J{n)}.
Преобразование Фурье ТА отображает слагаемое (9.26), описывающее
взаимодействие, в выражение (9.27). В результате получаем уравнение (9.111)
следующего вида:
-д [Ja(kAx) - Ja(0)} u(k,t)=FA{F(un(t))}, (9.112)
где
Ja(kAx) = e-ifcnAx|n|-a-\ (9.113)
71=— OO
71^0
+oo
£ e-iknA*R(un)=FA{R(un)}.
n=—oo
Здесь ТА№(ип)} — операторное обозначение для преобразования Фурье
ТА функции R{un).
Для нецелых положительных а функция (9.113) может быть
представлена в виде
Ja(kAx) = Аа \Ах\а \к\а + 2 JT C(1^Q~2n)(As)2"(-fc2)", (9-114)
71=0 ^ '*
где а ф 0,1,2,3..., £(z) — дзета-функция Римана, |fcArr| < 27г.
Подстановка (9.114) в (9.112) дает
^М-дАа\Ах\« |*Г й(МЬ
-2д JT C(a^1T2w)(Ag)2w(-fc2)nti(fc>t) = FA{RKW)}- (9.115)
n=l ^n>'
В пределе Ax —► 0 уравнение (9.115) может быть записано в виде
+ Ga ТаЛ(к) u(k, t) - TA{R (un(t))} =0, а ф 0,1,2,...,
(9.116)

9.13. Дробные реакционно-диффузионные уравнения
231
где использовался конечный параметр (9.110) и
ТаАк) = |*|в - |Ax|2-a^-4(a - l)fc2, 0 < a < 2 (аф\).
Выражение Тауд (к) может рассматриваться как Фурье-преобразование
оператора взаимодействия. Для (9.110) видно, что д —> оо для предела Ах —► 0,
и конечного значения Ga-
Переход к пределу Ах ->0в уравнении (9.116) дает
_ Ga\k\au(k,t) = T{R(u(x,t))}, (9.117)
где 0<q<2hq^1. Используя обратное преобразование Фурье F~l для
выражения (9.117), получаем уравнение (9.108), содержащее производную
Рисса D" порядка а и описывающее поле u(x, t) сплошной среды. □
Уравнение (9.108) является дробным реакционно-диффузионным
уравнением [530]. Для R(u) = 0 уравнение (9.108) может рассматриваться как
дробное кинетическое уравнение, которое описывает супердиффузионные
процессы [121,122,262,349,443].
Дробные реакционно-диффузионные уравнения [530] являются
математическими моделями, которые описывают то, как концентрация одного
или нескольких веществ, распределенных в пространстве, изменяется под
воздействием двух факторов: локальных химических реакций, в которых
вещества превращаются друг в друга, и нелокальной супердиффузии,
которая заставляет распространяться вещества в пространстве.
Дробные реакционно-диффузионные уравнения также описывают
дробно-дифференциальные динамические процессы в физике, химии и
биологии. Наиболее простое дробное реакционно-диффузионное уравнение
для концентрации u(x, t) одного вещества, распределенного в одном
пространственном измерении. Оно может рассматриваться как дробно-
дифференциальное обобщение уравнения Колмогорова-Петровского-Пис-
кунова [311]. Если реакционное слагаемое в уравнении отсутствует
(R(u) = 0), то такое уравнение становится диффузионно-волновым
уравнением [146,259,345], описывающих процессы супердиффузии. Для R(u) =
= и(1 — и) мы имеем дробно-дифференциальное обобщение уравнения
Фишера, известное также как уравнение Фишера-Колмогорова, которое
использовалось первоначально для описания распространения биологических
популяций [233]. Подставив функцию R(u) = и(1—и2) в уравнение (9.108),
получим дробно-дифференциальное обобщение уравнения Невилла-Уайт-
хеда-Сегела, которое используется для описания конвекции Рэлея-Бена-
ра [388,451]. Дробно-дифференциальное обобщение уравнения Зельдовича

232
Глава 9
получается при использовании функции R(u) = и(1 — и)(и—а) и 0 < а < 1.
Отметим, что уравнение Зельдовича активно используется в теории
горения [576]. Уравнение с а = 2 и R(u) — и2 — и3 также называется
уравнением Зельдовича [253]. Дробные реакционно-диффузионные уравнения с
кубической нелинейностью и модель брюсселятора рассматривается в [246].
Легко получить дробные двухкомпонентные
реакционно-диффузионные уравнения, которые могут описывать более большой диапазон
возможных явлений, по сравнению с их одномерными уравнениями. Важная идея,
которая впервые была предложена Аланом Тьюрингом [544],
заключается в том, что устойчивые процессы в локальной системе должны стать
неустойчивыми в присутствии диффузии. В связи с этим представляется
важным изучение неустойчивостей в присутствии супердиффузии.
9.14. Нелинейное нелокальное альфа-взаимодействие
Рассмотрим дискретные уравнения с нелинейным нелокальным альфа-
взаимодействием, которое описывается выражением
+оо
Lknf{uk)= Y< J«(n-m)[f(un)-f(um)), (9.118)
т= — оо
тфп
где f(u) — нелинейная функция ип = un(t), a Ja{n — га) определяет а-
взаимодействие. Если а является целым числов (а = 1,2,3,4), то
взаимодействия с f(u) — и2 и f(u) = и — ди2 дают уравнения Бюргерса (Burgers),
Кортевега-де Фриза (Korteweg-de Vries) и Буссинеска (Boussinesq) в
непрерывном пределе. Если использовать дробное значение параметра а, то
можно получить обобщения этих уравнений, содержащие производные
дробного порядка.
Теорема. Операция ДН-преобразования отображает уравнения
движения
s^S (4.\ -+"00
-^=5 Y, Mrb-m)[f(un)-f(um)] + F(un), (9.119)
171= — ОО
где F — внешняя сила и Ja (п) определяет а-взаимодействие, в уравнение
сплошной среды
^ф^- = GaAa-^f(u(x,t))+F(u(x,t)), (9.120)
где Ga = g\ Ах\а — конечный параметр.

9.14. Нелинейное нелокальное альфа-взаимодействие
233
Доказательство. Фурье-преобразование выражения (9.118),
описывающего взаимодействие, может быть представлено в виде
Е e-iknA*Lknf(uk) = £ Y, e-ihnAxJ(n,m)[f(un)-f(urn)} =
71 =— ОО 71= —ОО 771= — ОО
тфп
+оо +оо +00 +оо
= Е Е e-iknAxJ(n,m)f(un)- ]Г £ e-iknAxJ(n,m)f(um).
71= — ОО 771= — ОО П= —ОО 771= — ОО
тфп тфп
(9.121)
Для первого слагаемого с правой стороны уравнения (9.121) получаем
+оо +оо
Е Е e-iknAxJ(n,m)f(un)
71 = — ОО 771= — ОО
тфп
+оо +оо
= Е e-iknAxf(un) £ J(m') = TA{f(un)} Ja(0), (9.122)
n=-oo m'=-oo
т'фО
где использовали J(mf + n, n) = J(ra').
Для второго члена с правой стороны уравнения (9.121) получаем
+оо +оо +оо +оо
Е Е e-ife"AV(n,m)/(Um)= £ /КОЕ e"ife"AxJ(n,m) =
71= —ОО 771= — ОО 771= — ОО 71= — ОО
тфп пфт
+оо +оо
= £ f(um)e-ikmAx £ e-ifc"'A*J(n') = ^д{/К)} Ja(kAx),
т= оо п'=—оо
71 Vo
где применили J(m, n' + m) = J(n').
В результате получаем уравнение
92и^г) = g[ja(0) - Ja(kAx)}TA{f(un)} + /д{%)}, (9.123)
где u(fc,£) = ^гд{ип(^)} и Ja(/cAx) = ^{«/(п)}.

234
Глава 9
Для предела Ах —► 0 уравнение (9.123) может быть записано как
а2 -
dt
■£2 «(*.*) - G« Ъ,д(*) «(M) - ^д{^(«п(*))} = о,
где использовали конечный параметр Ga — д\Ах\а и
taA{k) = -Аа\к\а - Ra(kAx)\Ax\-a.
Здесь функция Ra удовлетворяет условию
RQ{kAx)
lim ————— = 0.
Дх—о \Ах\а
В пределе Дх —> 0 получаем
а2 -
|^й(М) - G« fa(fc) Я/(«(*,*))} = 0, (9.124)
где
й(к, t) = Сй(к, t), ta(k) = СТаЛ(к) = -Аа\к\а.
Обратное преобразование Фурье уравнения (9.124) дает
Jj^ti(M) - Ga Та(х) f(u{x,t))-F(U(x,t))=0,
где оператор Та(х) определяется соотношением
Ta(x) = F-l{ta(k)} = Aa
э\х\а
В результате получаем уравнение (9.120) для некоторой сплошной
среды. □
Замечание. В качестве примера Ja(n) можно использовать функцию
МП) = Г(1 + а/2 + п)Г(П1+а/2-п)' (9Л25)
которая определяют альфа-взаимодействие.
Рассмотрим примеры квадратично-нелинейных нелокальных
взаимодействий [493,496,530].

9.14. Нелинейное нелокальное альфа-взаимодействие
235
Пример 1. Непрерывный предел цепочки, описываемой
уравнениями движения частиц
-f-oo +оо
ди (^)
^ = 9l ^2 J^m)[Un-Um\+92 ^2 ^2(n,m)[mn-t£m],
m=—оо m=—оо
тфп тфп
где Ji(n) (г = 1,2) определяет ai-взаимодействия, дает
дробно-дифференциальное уравнение Бюргерса (Burgers)
gtiOM) + Geiti(x,*)^7ti(x,t) - Ga2^^u(x,*) = 0. (9.126)
Отметим, что частный случаи этого уравнения был предложен в
работе [171]. Для c*i = 1 и а2 = 2 уравнение (9.126) дает обычное уравнение
Бюргерса [184], которое является нелинейным дифференциальным
уравнением с частными производными второго порядка:
щФ,Ь) + Giu(x,t)-^u(x,t) - G2j^u{x,t) = 0.
Это уравнение используется для описания динамики жидкости как
упрощенная модель для турбулентности, поведения пограничного слоя,
формирования ударных волн и переноса массы.
Пример 2. Непрерывный предел системы уравнений
ди (t) +°° +оо
Qf =9i Е Ji(n,m)[ul -и2т) +g3 ]Г 7з(п,т)[ип - um],
m= —оо т= — оо
тфп тфп
где Ji(n) (г = 1,3) определяют ос\-взаимодействия с Qi = 1 и аз = 3,
приводит к уравнению Кортевега-де Фриза
jU(x, t) - Giu{x, t)j^u{x, t) + Оз-^и(х, t) = 0.
Впервые сформулированное для анализа мелко-водных волн в каналах
впоследствии нашло применение для описания в широкого диапазона
явлений в физике, связанных с ударными волнами и солитонами. Некоторые
теоретико-физические явления в квантовой теории объяснены посредством
уравнений Кортевега-де Фриза.

236
Глава 9
Если использовать нецелые значения параметров щ при описании а*-
взаимодействия для «Л(п), то получим
^u(x,t)-GaM^)-^^u(x,t)+Gas-^^u(x,t) = 0.
Это уравнение является дробно-дифференциальным обобщением
уравнения Кортевега-де Фриза [375,376].
Пример 3. Рассмотрим систему уравнений
д2и (t) +°° +°°
rn——oo m=—oo
тфп тфп
где нелинейность имеет вид
f(u) = u-gu2
и функции Ji(n) определяют Qi-взаимодействия. В непрерывном пределе
эта система дает уравнение
Я2 Яа2 Яа2 о Яа4
(9.127)
Уравнение (9.127) является дробно-дифференциальным уравнением Бус-
синеска, которое учитывает нелокальность взаимодействия частиц среды.
Если 0.2 = 2 и с*4 = 4, то уравнение (9.127) превращается в обычное
уравнением Буссинеска, которое является нелинейным дифференциальным
уравнением с частными производными четвертого порядка
Jj^tiOM) - G2-^u{x,t)^gG2-^u2{x,t) + G4-^u{x,t) = 0.
Уравнение Буссинеска было сформулировано, в частности, при анализе
длинных волн в мелкой воде. Оно было впоследствии применено к
проблемам в просачивании воды в пористых подповерхностных стратах и к
анализу многих других физических процессов.
9.15. Уравнения для трехмерной решетки
Рассмотрим трехмерную решетку, которая описывается уравнениями
движения
~=9 J(*,™)K-um}+F(un), (9.128)
m:m^n

9.15. Уравнения для трехмерной решетки
237
где s = 1,2, n = (ni,n2,n3) и
J(n, m) = J(n — m) = J(m — n).
Для получения уравнений сплошной среды будем полагать, что un(t)
являются коэффициентами Фурье некоторой функции й(к, £), где к =
= (&1 ? &з), такой что
й(М) = 5^ tin(*) e"ikr" = TA{un(t)}.
n
Вектор r(n) определяется формулой
з
г(п) = Гп = ^Пг£Ц,
г=1
где а* — трансляционные векторы решетки. Непрерывный предел будет
определяться для \зц\ —> 0.
Умножая (9.128) на ехр(—гкгп) и суммируя по п, получим уравнение
для й(к, t) в виде
д°и£*1) = 9 [4(0) - Л(Ьа)] «(M) + TA{F{un)}, (9.129)
где ^{^(un)} — операторное обозначение для преобразования Фурье Ть.
функции F(un) и
Ja(ka) = £ e~ikr» J(n).
П
В трехмерной решетке а-взаимодействие с а = (аь а2, аз)
определяется как взаимодействие, удовлетворяющее условиям:
[Ja(k)- J«(0)]
fc™ [jfc^ a' (» = 1,2,3), (9.130)
где 0 < |Ла< I < оо. Уравнение (9.130) означает, что
3 3
</«(k) - Ja(0) = ^ + £ Ла,(k),
г=1 i=l

238
Глава 9
где
fci-o \ki\ai
В непрерывном пределе (|ац| —> 0) а-взаимодействие в трехмерной
решетке дает уравнение с производными нецелого порядка по координате
dai/d\x\ai,i = 1,2,3, в виде
d3u{r,t) А А да*и{г,г) л/ , чч
где 5 = 1,2. Это уравнение описывает нелинейную среду с нелокальными
свойства.
9.16. Дробные производные из закона дисперсии
Рассмотрим волны, распространяющиеся в нелинейной среде, и
получим нелинейное параболическое уравнение [49,57,71,72,442].
Волновой вектор к можно представить в виде
к = ко + к = ко + кц + к±, (9.131)
где ко — невозмущенный волновой вектор, а индексы (||,-L) обозначают
направление относительно ко. Рассмотрим дисперсионный закон
w(k) = Ja(ka)- JQ(0).
Этот закон является симметричным, если
u;(fc) = a;(k).
В этом случае можно записать
w(fc)=o;(|k|)=a;(ftd + [|k|-fcd]).
При выполнении условия \п\ = |к — ко| &о = |ко| имеем
ш{к) « ш(ко) + v9 (|к| - fco) + \v'g (|к| - ко)2, (9.132)
где
4tL> '--(&L.- (9m)

9.16. Дробные производные из закона дисперсии
239
В результате имеем
|к| = |ко + #с| = ^(ко + кц)2 + /4 « к0 + *ц + 2^4. (9.134)
Подставляя (9.134) в (9.132), получаем
ш(к) и u;0 + + ^4 + ^*g, (9.135)
где и>о = и(ко). Используя обратное преобразование Фурье для
выражений (9.133) и (9.135), получаем
i% = Шои _ iVt* _ |LAXU - |a,|U + *•(„), (9.136)
где и = u(r,t) = u(t,x,y,z), а ось х направлена вдоль ко. Здесь мы
воспользовались формулами обратного преобразования Фурье
«(*) «—> г^, к„ «—> -г—, (9.137)
{kJ ~ _дх = _|1_|1 (9.138)
(«|)а — -ДИ = (9.139)
Уравнение (9.136) является нелинейным параболическим уравнением [49,
57,71,72,442]. Переход от переменных (£,х, у, z) к переменным (t,x —
— vgt,y,z) приводит к уравнению
~{~di = 2fe A±U + fA||U " ^ " F{U)' (9*140)
которое также известно как нелинейное уравнение Шредингера.
Волна, распространяющаяся в среде с нелокальным
взаимодействием, может быть описана обобщенным уравнением дисперсионного
закона (9.135) в виде
и,(к) = и;о + vgn\\ + Ga("i)a/2 + Gpinh^2 (1 < a,/3 < 2) (9.141)

240
Глава 9
с конечными постоянными Ga и Gp. Используя (9.137) и взаимосвязь
между производными Рисса и их образами Фурье [101], имеющими вид
(_ДХ)«/» <_> (К2Х)«/2,
(-A,,)"/2 «->
получим из выражения (9.141) уравнение
= +Са(-Ал.Г/2^ + С^(-А,|)^/2и + ^ + ^Ы, (9.142)
где и = u(t,x,y, z). Сделаем замену переменной в уравнении (9.142),
перейдя от х к £ = х — vgt. Используя
К V d\xf д\№'
уравнение (9.142) принимает вид
= Ga(-AL)a/*u + G0{-A,f'2u + ш0и + F(u). (9.143)
at
В результате получили дробное нелинейное параболическое уравнение.
Замечание 1. Для Gp = 0 и F(u) = Ъ\и\2и уравнение (9.143) является
дробным уравнением Гинзбурга-Ландау [369,489,498,530,556].
Замечание 2. Первое и второе слагаемые в правой части уравнения (9.143)
связаны с распространением волны в сложной среде с нелокальным
взаимодействием. Слагаемые с F{u) в правых частях уравнений (9.142) и (9.143) описывают
нелинейные свойства среды. Уравнение (9.143) может применяться для описания
процессов самофокусировки со степенной нелокальностью.
замечание 3. Можно рассматривать одномерные упрощения
уравнения (9.143). Для переменных (t,x) получаем
ift=G0-^+uou + F(u), (9.144)
где и = u(t,£) и £ = х — vgt. Для переменных (t,z) уравнение (9.143) дает
i^t=Ga^+oJou + F{u), (9.145)
где и =■ u(t, z).

9.17. Нелокальное взаимодействие Грюнвальда-Летникова-Рисса 241
9.17. Нелокальное взаимодействие
Грюнвальда-Летникова-Рисса
Производная Грюнвальда-Летникова
Определение производных Грюнвальда-Летникова основано на
обобщении обычного дифференцирования функции f(x) целого порядка п в
виде
ЛЕ/(х) = lim
х 4 7 h^o hn
£>£/(*) = lim ^Ц^-,
xJK } h^o hn
где Д£ и V£ — конечные разности порядка п функции f(x) с шагом h
и центром в точке х, определяемые формулами
Д£Д*) = £(-!)* + (п - ОД, (9.146)
V£/(x) = £(-l)fc(]j)/(s-*b). (9.147)
Разность нецелого порядка а > О определяется бесконечным рядом
V?/(x) = £(-!)*(£)/(* - fc/l), (9Л48)
где биномиальные коэффициенты равны
(Г(а +1)
Г(/? + 1)Г(а-/?+1)
Для h > О разность (9.148) называется левосторонней дробной разностью,
и для h < О она называется правосторонней дробной разностью. Отметим,
что ряд в уравнении (9.148) сходится абсолютно и равномерно для любой
ограниченной функции f(x) и а > 0.
Для дробных разностей полугрупповое свойство
V£v£/(z) = V£+/3/(*)
выполняется для любой ограниченной функции f(x) и а > 0, /3 > 0.

242
Глава 9
Фурье-преобразование дробной разности задается формулой
n^hf{x)}{k) = (l-exp{ikh})°T{f(x)}(k)
для любой f(x) € Li(R).
Определения (9.146) и (9.147) используются для определения
производных Грюнвальда-Летникова путем замены п € N на а > 0. Величина
hn заменяется на ha, в то время как конечная разность V" заменяется на
разность VJJ нецелого порядка а.
Левосторонняя и правосторонняя производные Грюнвальда-Летникова
порядка а > 0 определяются соотношениями
GL Da f(x) - lim
<*D*_f(x) = lim
соответственно. Отметим, что эти производные совпадают с производными
Маршо порядка а > 0 для f(x) € LP(R), 1 < р < оо (см. теорему 20.4
в [101]). Свойства производных Грюнвальда-Летникова описаны в 20
параграфе монографии [101].
Можно определить производную нецелого порядка а > 0 формулой
na.M 1 v№) + v°fe/(*) ,Q1.Q.
glrDx f{x) = - — lim — . 9.149)
2cos(a7r/2) ft—о \h\a
Эта производная совпадает с производной Рисса порядка а > 0:
glrDZW = DJ/Or) =
ОО
а [ f{x + z)- 2f{x) + f{x - z)
2Г(1 -a)cos(a7r/2)
Jf{x + Z)-2f(x) + f(x-Z)dz (9150)
Поэтому производные (9.149) часто называются [101] производными
Грюнвальда-Летникова-Рисса порядка а > 0.
Цепочка с взаимодействием Грюнвальда-Летникова-Рисса
Рассмотрим систему взаимодействующих частиц, смещения которых
из положения равновесия описываются функциями un(t), где п € Z. Будем

9.17. Нелокальное взаимодействие Грюнвальда-Летникова-Рисса 243
полагать, что уравнения движения имеют вид
J^«n(<) = Lknuk{t), (9.151)
где
+оо
Lknuk(t) = J(n,m)-±; K+ro(t) + u„_m(t)]. (9.152)
m=0
Слагаемое (9.152) описывает нелокальное взаимодействие частиц системы.
Рассмотрим функцию
J(n,m) = b(m) = l{™-(*) (9.153)
Г(т + 1)
Этот тип нелокального взаимодействия будем называть взаимодействием
Грюнвальда-Летникова-Рисса [530]. Приведем теорему об этом
взаимодействии.
Теорема. В пределе h —> 0 уравнения (9.151), (9.152) и (9.153)
приводят к уравнению сплошной среды вида
d2u^t] + А(а) GlrD% и(х, t) = 0, (9.154)
где
А(а)=2Г(1-а)сов(^),
а и(х, t) — непрерывная функция, для которой u(nh, t) = un(t).
Доказательство. Определим непрерывную функцию и(х, t) так,
чтобы
u{nh,t) = un(t).
Тогда уравнение (9.154) может быть представлено в виде
d2u(x,t)
-Ьоо
Я*' т О
m=U
]С Мж + m/l)W + и(х - ™>h)(t)\. (9.155)
Используя левостороннюю и правостороннюю дробные разности, получим
—= -Г(1 - а) ^ Ь(т) — . (9.156)
т=0 ' '

244
Глава 9
Применяя производную Грюнвальда-Летникова-Рисса (9.150),
уравнение (9.156) можно переписать в виде (9.154). □
9.18. Заключение
Дискретные системы с нелокальным взаимодействием частиц
служат моделями во многих областях физики, химии и биологии.
Нелокальные взаимодействия составляют важный класс взаимодействий,
реализуемых в сложных средах. В данной главе рассматривались
нелокальные альфа-взаимодействия. Замечательной особенностью предлагаемых а-
взаимодействий является существование операции преобразования (ДН-
преобразования), которая заменяет множество связанных уравнений
индивидуальных систем на уравнение сплошной среды с
пространственными производными нецелого порядка а. Эта операция преобразования
позволяет описывать различные системы с нелокальным степенным
взаимодействием, используя методы дробного математического анализа и теорию
дифференциальных уравнений нецелого порядка. Можно предположить,
что операция ДН-преобразования будет полезной для улучшения
различных методов компьютерного моделирования процессов, описываемых
уравнениями с дробными производными.
Отметим, что производные нецелого порядка могут возникать в
уравнениях, если член нелокального взаимодействия содержит разности
нецелого порядка, аналогично тому, как конечные разности п-го порядка
приводят к производным п-го порядка. Это следует из представления
производной Рисса через производные Грюнвальда-Летникова [101,307].
Были рассмотрены нелокальные взаимодействия с симметричной
функцией J(n — т) = J(m — п). Непрерывный предел для взаимодействий
такого типа приводил к дробным производным Рисса. Можно
предположить, что использование асимметричных функций (J(n — га) Ф J(\n — га|))
для описания взаимодействий приведут к другим типам дробных
производных, которые используют потенциалы Феллера (см. раздел 12.1 в
монографии [101]) вместо потенциалов Рисса.

Глава 10
Фрактальное нелокальное
взаимодействие
10.1. Введение
Обычно при описании нелокального взаимодействия предполагается,
что каждая частица цепочки действует на все остальные частицы этой
цепочки. В работе [514] были предложены системы, в которых это
предположение не используется. В общем случае цепочка частиц не может
описываться прямой линией. Например, линейные полимеры могут
представляться как некоторые компактные объекты. Хорошо известна третичная
структура белка, возникающая при сворачивании линейной полипептидной цепи
в определенную трехмерную форму [281,309,535]. В этом случае можно
предполагать, что каждая частица свернувшейся цепочки взаимодействуют
только с частицами внутри сферы радиуса R. Можно рассматривать
фрактально компактифицированные линейные полимерные цепочки, для
которых выполняется степенной закон N(R) ~ Rd, где 2 < d < 3 и N(R) —
число частиц цепочки, находящихся внутри сферы радиуса R. Поэтому только
некоторое подмножество Ап частиц цепочки действует на n-ю частицу.
Будем рассматривать такие цепочки, в которых n-я частица взаимодействует
только с к-ми частицами с номерами к = п ± а (га), где а (га) целозначная
функция при га € N. Например, функция а(га) может описываться
степенными функциями а(га) = 6Ш, где b > 1 иЬ € N. В этом случае нелокальное
взаимодействие частиц будет называться фрактальным. Отметим, что такие
цепочки, соответствующие им самоподобные функции и линейные
операторы были использованы в работе [364].
В разделе 2 приводятся определения конечно-разностных операторов.
В разделе 3 задаются уравнения дискретной цепочки частиц, для которых
могут реализовываться нелокальные взаимодействия. В разделе 4 дается
определение фрактального нелокального взаимодействия. В разделе 5
рассматривается взаимосвязь между динамикой цепочки с фрактальным нело-

246
Глава 10
кальным взаимодействием и уравнениями сплошных сред с фрактальным
дисперсионным законом. Краткое заключение дается в разделе 6.
10.2. Конечно-разностные операторы
Кратко рассмотрим конечные разностные операторы. Определим
конечную разность формулой
Ahu(x, t) = и(х -f ft, t) — u(x, t).
В зависимости от применений параметр ft может рассматриваться как
переменная или как постоянная величина. Можно рассматривать ft = a(m)ho.
Конечную разность можно рассматривать как оператор, который
отображает функцию и(х, t) в Апи(х, t). Этот оператор может быть записан в виде
Ah=Th-I,
где Тп — оператор сдвига с шагом ft, определяемый как
Thu(x,t) =u(x + h,t), (10.1)
и I — единичный оператор. Конечные разности высших порядков могут
быть определены рекуррентным соотношением
Другое эквивалентное определение имеет вид
Д£ = [ТН - 7р.
Оператор конечной разности Ah является линейным, и для него
выполняется правило Лейбница. Применяя теорему Тейлора для и(х -Ь ft, t) по
отношению к ft, получаем
U(X + ft, t) = ]Г ^\DxU(X^ *)> (10-2)
где D\ — оператор дифференцирования, отображающий u(x, t) в du(x, t)/дх.
Уравнение (10.2) позволяет представить оператор (10.1) в виде
оо ,
Гл = £^Я*=ехр{Л£>£}. (10.3)
fe=0

10.3. Уравнение дискретной цепочки
247
В результате оператор конечной разности имеет вид
Ah = exp{hDl} -I = expi {-i hDlx} - I. (10.4)
Формально обращая экспоненту, получаем
hDlx = \og(\ + Ah) = Ah 1д2 + |Дз + ....
Эта формула выполняется в том смысле, что оба оператора приводят к тем
же результатам при применении к полиномам. Даже для аналитических
функций ряд в правой части не гарантирует сходить. Он может оказаться
асимптотическим рядом. Однако он может использоваться для получения
более точных приближений для производной. Например, используя
первые два члена ряда можно получить приближение второго порядка для
10.3. Уравнение дискретной цепочки
Рассмотрим одномерную систему взаимодействующих частиц, для
которых функции un(t), где п € Z, описывают смещения из положения
равновесия. Будем полагать, что эта система описывается уравнениями движения
^un(t) = c2Lknuk(t), (10.5)
где
+оо
£*«*(*)= 51 J(n,m)±[un+a(m)(t)-2un(t) + un-a(m)(t)}, (10.6)
m=—оо
и h — расстояние между частицами. Здесь а(т) и J(n,m) — некоторые
функции, а п, т — целые числа. Функция а{т) принимает целые значения
для целых т. Случай J(n, m) = J(\n — т\) рассмотрен в [496,530]. Правая
часть уравнения описывает взаимодействие частиц системы. Рассмотрим
случай
J(n, т) = Ь(т).
Тогда оператор L£ имеет вид
+оо , , ч
Ln= Е -?(Cw-2^+ta(m))- (10-7)
m=—оо
где 5% — символ Кронекера.

248
Глава 10
Проиллюстрируем уравнение цепочки (10.5) хорошо известным
примером [77]. В случае взаимодействия ближайших соседей имеем
а(т) = 1, Ь(т) = 5ш0. (10.8)
Подставляя (10.8) в уравнение (10.5), получаем
^un{t) = ^ [un+i(0 - 2un(t) + u„_i(*)]. (Ю.9)
Приведем утверждение для взаимодействия ближайших соседей.
Теорема. Система уравнений (10.9) дискретной системы
эквивалентна уравнению
+ 42 On*(-%Dl) u(x,t) = 0, (10.10)
где и(х, t) гладкая функция, такая что u(nh, t) = un(t).
Доказательство. Используя гладкую функцию и(х, t), для которой
u(nh,t) = un(t), (10.11)
уравнение (10.9) может быть представлено в виде
д2и^ = £ [и(х + h,t)- 2и(х,t) + и(х - h,t)]. (10.12)
Это дифференциально-разностное уравнение. Формула (10.3) для
оператора сдвига (10.1) дает
ехр г {—ihD\) и{х, t) = и(х -f h, t).
В результате уравнение (10.12) можно переписать в виде
дЧ^Ь) = £ [ехр г (-ihDl) - 2 + ехр г (ihDlx)]и(х,t). (10.13)
Используя формулу Эйлера, получаем уравнение (10.10), которое является
псевдодифференциальным. □

10.4. Фрактальное взаимодействие
249
Замечание 1
Свойства уравнения (10.10) рассмотрены в книге [77].
Замечание 2
Отметим, что для h —> 0 получаем
lim
h-+0
sin2(-(z/i/2)£>i)
и уравнение (10.10) приводит к уравнению
д2и(х, t)
dt2
-c2D2xu{x,t) = 0,
являющемуся хорошо известным волновым уравнением.
10.4. Фрактальное взаимодействие
Если а(т) в уравнении (10.15) не является постоянной функцией, то
получаем нелокальное взаимодействие частиц цепочки. Отметим, что
функция а(т) должна принимать целые значения. Например, а(га) = га, а(т) =
= 2т и а (га) = гаЗт. Множество
описывает номера частиц, которые действуют на n-ю частицу.
1) Если а(га) = га, где га € N, то Ап совпадает с множеством всех целых
чисел Z для любого 71, то есть Ап — Z. В этом случае ть-я частица
взаимодействует со всеми частицами цепочки.
2) Если а(га) = 2Ш, где га G N, то Ап являются подмножеством Z, то
есть Ап с Z. В этом случае n-я частица взаимодействует только с теми
частицами цепочки, номера которых равны п±2, п±4, п±8, п±16
и так далее.
3) Если а(га) = гаЗш, где га G N, то Ап С Z. В этом случае n-я частица
взаимодействует только с теми частицами цепочки, номера которых
равны п ± 3, п ± 18, п ± 81, п ± 324 и так далее.
Будем полагать, что а(га) является степенной функцией вида а(га) =
= а171, где а > 1 и а Е N. Эта функция определяет фрактальное нелокальное
взаимодействие [514,530].
Ап = {п± а(тп) : га G N} С Z

250
Глава 10
Определение. Взаимодействие частиц линейной цепочки,
описываемое слагаемым (10.6), называется фрактальным нелокальным
взаимодействием, если функции а(т) и Ь(т) имеют вид
где а > 1 (a G N) и 0 < b < 1 (b G R).
В качестве примера можно рассматривать b = ad~2.
замечание 1. Степенной закон а(т) = а171, где а € N и а > 1, может
выполняться для компактных структур линейных полимерных молекул. В общем
случае линейная молекулярная цепочка не является прямой линией. Часто такая
молекула может рассматриваться как некоторый компактный объект. Например, хорошо
известна третичная структура молекул белка, представляющих линейную
полипептидную цепочку, свернутую в некоторую трехмерную структуру [281,309,535]. В
этом случае можно предполагать, что частица цепочки взаимодействует не со
всеми частицами, а лишь с некоторыми, которые находятся внутри некоторой сферы
радиуса R. Тогда только некоторое подмножество частиц цепочки действует на п-ю
частицу. Будем предполагать, что n-я частица взаимодействует только с к-ми
частицами, номера которых равны к = п±а(т), где а(т) € N и т = 1,2,3,...
Компактифицированная полимерная молекула может быть фрактальным объектом [389].
Для фрактальных компактных полимерных цепочек выполняется степенной закон
N(R) ~ Rd, где 2 < d < 3 и N(R) — число частиц цепочки внутри сферы
радиуса R. В этом случае мы будем полагать, что а(т) является степенной функцией,
такой что а(т) = ат, где а > 1 и а € N. Эта функция определяет фрактальное
нелокальное взаимодействие.
Замечание 2. Одной из наиболее известных фрактальных функций является
функция Вейерштрасса [554]:
приведенная, как пример, всюду непрерывной нигде не дифференцируемой
функцией в 1872 году Карлом Вейерштрассом. Наибольшую область значений параметров,
для которых эта функция обладает фрактальными свойствами, была найдена Годфри
Харолд Харди [269] в 1916 в виде
а(т) = ат, Ь(т) = Ът,
(10.14)
оо
(10.15)
0 < 6 < 1, ab^l.
Клеточная размерность графика функции Вейерштрасса W{x) равна
(10.16)

10.5. Фрактальный дисперсионный закон
251
Функции, график которых имеет нецелую клеточную размерность, называются
фрактальными функциями.
Рассмотрим уравнение (10.5) для случая фрактального нелокального
взаимодействия частиц. Приведем теорему для этого случая.
Теорема. Уравнения движения (10.5) для частиц с фрактальным
нелокальным взаимодействием, которое определено выражениями (10.6)
и (10.14), эквивалентны уравнению сплошной среды
dMx,t) + ^ £ Чт) вт2(-Щ^П1)и(х,1) = 0, (10.17)
771= — ОО
где и(х, t) — гладкая функция, для которой u{nh, t) = un(t).
Доказательство. Используя гладкую функцию u(x,t), такую что
u{nh,i) = un(t), получаем дифференциально-разностное уравнение
д2и(х t) г2 +°°
Чг-^ = ^ b(m) [и(х + a(m)ft, t) - 2и(х, t) + и(х - a(m)/i, t)].
m= —oo
(10.18)
Используя уравнение (10.3) для оператора сдвига (10.1), получаем
ехр г (—ia(m)hDl) и(х, t) = и(х + a(m)/i, t). (10.19)
В этом случае можно переписать уравнение (10.18) в виде
д2и(х, t) с2
+ 00
^2 = ^2 Y1 Ь(т>) ехр »(-*Ф)°1)-2+ехР i(ia(m)Dl)\u(x,t).
т=—оо
(10.20)
Используя формулу Эйлера, уравнение (10.20) можно представить как
псевдодифференциальное уравнение (10.17). □
Замечание. Для a(m) = 1 и b(m) = Smo уравнение (10.17) дает
уравнение (10.10), которое описывает систему частиц для случая взаимодействия
ближайших соседей.
10.5. Фрактальный дисперсионный закон
Важно рассмотреть взаимосвязь между динамикой цепочки с
фрактальным нелокальным взаимодействием и уравнениями сплошных сред

252
Глава 10
с фрактальным дисперсионным законом. Рассмотрим цепочку линейно
связанных частиц с фрактальным нелокальным взаимодействием. Покажем,
как колебания в этой цепочке описываются фрактальным дисперсионным
законом. Этот закон представляется функциями Вейерштрасса, графики
которых имеют нецелую клеточную размерность, то есть эти графики
являются фракталами. Фракталы применяются как модели процессов и объектов
в различных областях физики [76]. Отметим, что фракталы в квантовой
теории были недавно рассмотрены в работах [36,169,319,563]. Покажем,
что цепочки с нелокальным взаимодействием могут демонстрировать
фрактальные свойства, описываемые фрактальными функциями.
Рассмотрим псевдодифференциальный оператор
С = 2 g Ь(т)^(-Ц^П1). (10.21)
ТП — — оо
Используя этот оператор, уравнение (10.17) принимает вид
^ + f£u(*,<) = 0. (10.22)
Можно рассмотреть уравнение на собственные значения для нелинейного
дифференциального оператора (10.21):
СЪ(х,к) = \(к)Ъ(х,к).
Функция
Ф(х, к) = A exp(ikx) (10.23)
является собственной функцией для оператора (10.21). Собственными
значениями Л (к) этого оператора являются
А(*) = 2 g 6(m)sin*(^A
ТП —— ОО \ /
Используя хорошо известную формулу
2sin2(a/2) = 1 - cos(a),
получаем
+оо
A(fc)= ]П b(m)[l-cos(ha(m)k)}. (10.24)

10.5. Фрактальный дисперсионный закон
253
Если взаимодействие (10.7) является фрактальным нелокальным
взаимодействием с параметрами
а(т) = ат, b(m) = a(d_2)m, а € N, a > 1, (10.25)
то уравнение (10.24) имеет вид
A(fc) = C(hk),
где C(z) — косинусная функция Вейерштрасса-Мандельброта [76,125],
определяемая формулами
+оо
C(z)= ]Г a(d_2)m[l-cos(a(d-2)mz)].
m=-oo
Клеточная размерность графика этой функции равна d. Оператор (10.21)
может быть назван оператором Вейерштрасса-Мандельброта.
Спектральный график (fc, C(hk)) этого оператора является фрактальным множеством
с размерностью d.
Подстановка функции (10.23) в уравнение (10.22) дает
J1 + Щ-С(Нк) = 0.
Это уравнение описывает дисперсионный закон для цепочки с
фрактальным нелокальным взаимодействиям (10.7) и (10.25). В результате график
(к,и(к)) является фракталом.
Отметим, что групповая скорость
_ ди(к)
Vgroup —
для плоских волн не может быть найдена, поскольку C(z) является нигде
не дифференцируемой функцией.
Можно рассмотреть обобщение условий (10.25) в виде (10.14).
Отметим, что (10.14) с b = ad~2 дает (10.25). Для параметров (10.14) получаем
псевдодифференциальное уравнение
2 +0°
+ % Лbm sin2(-^f-^i) u<x- *)= °- (10-26)
т=1

254
Глава 10
Это уравнение может быть представлено в виде
д2
u(x,t)+M2c2u(x,t) = ^Au(z,t), (10.27)
где Л — псевдодифференциальный оператор
(10.28)
т=1
и
46
h2{l-b)
Уравнение (10.27) описывает колебания сплошной среды для случая
фрактального нелокального взаимодействия частиц этой среды. Левая часть
уравнения (10.27) в пределе h —» 0 является оператором Клейна-Гордона.
Правая часть уравнения (10.27) описывает нелокальную часть
взаимодействия.
Рассмотрим уравнение на собственные значения для
псевдодифференциального оператора (10.28):
Функции (10.23) являются собственными функциями оператора (10.28),
Собственные значения \\(к) являются функциями Вейерштрасса W(hk/n):
где W(x) определяется уравнением (10.15). Клеточная размерность
графика функции Вейерштрасса W{x) равна (10.16). Спектральный график
(fc, W(hk/7r)) этого оператора является фрактальным множеством с
размерностью
Поэтому оператор (10.28) называется операторов Вейерштрасса.
ЛФл(ж,*) = Аа(*0Фа(ж,*0-
Фл(#, к) = Aexp(ikx).
\A(k) = W(hk/ir),

10.6. Заключение
255
10.6. Заключение
Было показано, что цепочки с нелокальным взаимодействием могут
демонстрировать фрактальные свойства. Были рассмотрены модели цепочек
с таким нелокальным взаимодействием, что каждая n-я частица
взаимодействует только с частицами, номера которых равны n ± а(ш), где га =
— 1,2,3,... Степенная функция а (га) = Ьт, где Ъ > 1 является целым
числом, может быть использована для определения специального вида
нелокального взаимодействия, которое проявляет фрактальные свойства. Такой
вид взаимодействий был назван фрактальным нелокальным
взаимодействием [514,530]. Уравнения для частиц цепочки приводят к дисперсионным
законам, описываемым фрактальными функциями. Эти функции являются
непрерывными, но нигде не дифференцируемыми функциями. Колебания
цепочки характеризуются дисперсионным законом, который
представляется фрактальными функциями Вейерштрасса и
Вейерштрасса-Мандельброта. Можно предположить, что предложенные модели могут
рассматриваться как простейшие модели для линейных полимерных молекул, которые
являются компактными фрактальными объектами типа фрактальных
молекулярных кластеров.
Отметим, что самоподобные функции и линейные операторы были
использованы в работе [364] для получения самоподобных форм оператора
Лапласа и оператора Даламбера. Самоподобие как свойство симметрии
требует введения нелокального межчастичного взаимодействий. В работе [364]
авторы получили самоподобный линейный волновой оператор,
описывающий динамику квазинепрерывной линейной цепочки неограниченной
длинны с пространственным самоподобным распределением нелокальных
взаимодействий. Самоподобие нелокальных взаимодействий приводит к
дисперсионному закону с функцией Вейерштрасса-Мандельброта, которая
обладает фрактальными свойствами.

Глава 11
Дробный векторный математический
анализ
11.1. Введение
Математический анализ производных и интегралов нецелого порядка
восходит к работам Лейбница, Лиувилля, Римана, Грюнвальда, Летникова,
Рисса. Дробный математический анализ имеет длинную историю,
начинающуюся с 1695 года, когда производная порядка а = 0.5 была упомянута
Лейбницем [101,398,429,444]. История дробного векторного
математического анализа не является столь длинной. Ей чуть более 10 лет и она может
быть сведена к работам [58,163-166,198,222,283,284,289,361,386,387,550]
и [477^79,482,494,495,499,508,515,530]. Большинство работ содержат
определения только отдельных векторных дифференциальных операций
дробного порядка. Взаимосогласованные определения дифференциальных
и интегральных векторных операций с интегро-дифференцированием
дробного порядка были предложены в статье [515] (см. также [530]). Проблемы
последовательного и взаимосогласованного определения
дифференциальных и интегральных операций дробного векторного анализа, решаются
путем использования обобщения фундаментальной теоремы математического
анализа [515,530].
В этой главе будут определены дифференциальные и интегральные
векторные операции дробного порядка. Формулируются соответствующие
обобщения теорем Грина, Стокса, Гаусса. Доказательства этих теорем
приводятся для простейших областей трехмерного евклидова пространства.
Самосогласованный дробный векторный анализ может иметь большое
значение для описания нелокальных процессов в статистической
механике [494,508], в электродинамике [222,283,284,289,386,387,478,479,495,
499,550], в гидродинамике [361,480,530] и для описания процессов в
сложных сплошных средах [189,496,530].
В разделе 2 обсуждаются проблемы взаимосогласованных
определений дифференциальных и интегральных векторных операций нецелого

11.2. Об обобщениях векторного математического анализа 257
где D\ — производные первого порядка по координатам х9, s = 1,2,3;
векторы е3, 5 = 1,2,3, образуют ортонормированный базис, a F9(x)
являются компонентами векторного поля F(x) = Fs(x)es. В уравнении (11.3)
используется £/mn — символ Леви-Чивиты, который равен 1, если (г, j, к)
являются четными перестановками последовательности (1,2,3),и(—1) для
нечетных перестановок, для повторяющихся индексов этот символ равен 0.
На первый взгляд представляется, что можно определить обобщения
векторных дифференциальных операторов grad, div, rot путем
использования производных нецелого порядка Df вместо производных D\. Этот
подход применялся в работах [58,163-166,198,222,283,284,289,361,386,387,
550] и [477^79,482,494,495,499,508,530]. При этом в качестве производной
Df использовались различные производные (Лиувилля, Римана-Лиувилля,
Капуто, Рисса и т.д.) [101,307,367,398,411] порядка а по координатам х3,
s — 1,2,3. В этом подходе существует большой произвол в определении
векторных дифференциальных операторов. К сожалению, таким способом
невозможно достичь последовательного определения векторных операций
grad f(x) =e9Dlf(x),
div P(x) = DiFe(x),
rotF = eieimnDmFn,
(11.1)
(11.2)
(11.3)
порядка. Обобщение фундаментальной теоремы математического анализа
рассматривается в разделе 3. В разделах 4-5 определяются
дифференциальные и интегральные векторные операции нецелого порядка. В
разделах 6-8 сформулированы теоремы Грина, Стокса и Гаусса для интегро-
дифференциальных операций нецелого порядка. Доказательства этих
теорем приводятся для простейших областей евклидова пространства.
11.2. Об обобщениях векторного математического анализа
Векторный математический анализ является теорией
дифференцирования и интегрирования векторных полей. Векторный анализ изучает
различные векторные дифференциальные и интегральные операторы,
определенные на скалярных и векторных полях. Связь этих операции между собой
описывается теоремами, которые фактически являются обобщениями
фундаментальной теоремы математического анализа на высшие размерности.
Для декартовых координат операторы градиента, дивергенции и ротора
могут быть записаны в виде

258
Глава 11
нецелого порядка. Основная проблема при формулировке дробного
векторного математического анализа появляется, когда помимо обобщения
дифференциальных операций строят векторные интегральные операции и
пытаются сформулировать интегральные теоремы [515,530]. В общем случае
дробный векторный анализ должен включать не только обобщения
дифференциальных операторов (градиента, дивергенции, ротора), но обобщения
интегральных операторов (потока и циркуляции) и теорем Гаусса, Стокса,
Грина.
Опишем проблемы, возникающие при формулировке
взаимосогласованных определений дифференциальных и интегральных векторных
операций дробного порядка. Для упрощения рассмотрим прямоугольную
область W на плоскости R2 и будем использовать декартовы координаты.
Рассмотрим доказательство формулы Грина в декартовых координатах для
функций Fx — Fx(x,y) и Fy = Fy(x,y), которые определены для любых
точек (х, у) в области W.
Теорема Грина для прямоугольной области. Пусть Fx(x,y)
и Fy(x, у) являются непрерывно-дифференцируемыми вещественнозначны-
ми функциями в прямоугольной области
W:={(x,y): а^х^Ь, c^y^d}. (11.4)
Пусть границей области W является замкнутая кривая dW. Тогда
J (Fxdx + Fydy)= J J dxdy(DyFx - DxFyy (11.5)
dw w
Доказательство. Пусть W — прямоугольная область вида
W := {(х, у) : а ^ х ^ 6, с ^ у ^ d}
с вершинами в точках
А(а,с), B(a,d), C(b,d), D(b,c).
Стороны АВ, ВС, CD, DA образуют границу dW области W. Тогда
J (Fxdx + Fydy) = J Fxdx + J Fxdx + J Fydy + J Fydy =
dW ВС DA AB CD
bade
= j Fx(x,d)dx + J Fx(x,c)dx + J Fy(a,y)dy + J Fy(b,y)dy =

11.2. Об обобщениях векторного математического анализа 259
о а
= j dx[Fx(x,d)-Fx(x,c)] + j dy[Fy(a,y)-Fy(b,y)}. (11.6)
а с
Важным элементом доказательства формулы Грина является использование
формулы Ньютона-Лейбница
ь
j dxDxf(x) = f(b)-f(a). (11.7)
а
Функция f(x) в формуле (11.7) предполагается непрерывной на отрезке
[а, 6]. Используя равенство (11.7), выражение (11.6) можно представить
в виде
j dx [j dyDyFx{x,y) J + jdy I- j dxDxFy(x,y)
a \c / с \ a j
b d
= J dx J dy (DyFx(x,y) - DxFy(x,y)) = J j dxdy (DyFx - DxFy).
а с W
□
В результате можно сказать, что для получения обобщения
формулы Грина (11.5) необходимо иметь обобщение формулы
Ньютона-Лейбница (11.7) в виде
а1?аЩ№ = №-№, (11.8)
где используются некоторые интегралы и производные дробного порядка.
Это обобщение существует лишь для некоторых типов дробных интегралов
и производных и не существует для произвольно выбранных типов
производных нецелого порядка. Например, формула (11.8) в общем случае не
выполняется, если в ней используются интеграл и производная,
определенные по Риману-Лиувиллю.
Рассмотрим левосторонние интеграл и производную, определенные
по Риману-Лиувиллю. Левосторонний интеграл Римана-Лиувилля для
х G [а, Ь] определяется
al?f(x) :=-±-[ (а>0). (П.9)
Г(а) J (х — х'У Q

260
Глава 11
Левосторонняя производная Римана-Лиувилля для х€ [а,6]ип - 1 < а < п
определена как
10)
Для обобщения векторных операций на нецелый порядок, необходимо
учесть наличие или отсутствие полугруппового свойства у дробных
интегралов и производных.
Теорема. Пусть f(x) € Lp(a, b) и а, (3 > 0, где Lp(a, b) (1 < р < оо)
множество таких измеримых по Лебегу функций на [а, Ь], для которых
ь \ ^
jdx\f(x)\p j <оо.
Тогда для левосторонних дробных интегралов Римана-Лиувилля имеем
полугрупповое свойство
aI£ alg = aI2+0> (а > 0, /3 > 0), (11.11)
которое выполняется почти в каждой точке х € [а, Ь]. Если а + /3 > 1,
то соотношение (11.11) выполняется в любой точке интервала [а, Ь] (см.
леммы 2.1 и 2.3 в книге [307]).
Доказательство. Это утверждение доказано в [101]) (см.
теорему 2.5 в разделе Sec. 2.7). □
Теорема. Пусть f(x) € L\(a,b) и <jr~q/(#) € АСт[а,Ь]. Тогда
выполняется следующее соотношение:
aD»x aD0f(x) = aD^f(x) - ^(aJPg-fc/)(a+)^1_^_a),
где n — l<a^n, m — 1</3^тма + /?<п.
Доказательство. Эта теорема доказана в [307] (см. свойство 2.4).
□
Замечание 1. В общем случае полугрупповое свойство
Ж Ж = Ж+0 (а > 0, 0 > 0) (11.12)

11.2. Об обобщениях векторного математического анализа 261
не выполняется для производных нецелого порядка. Для некоторых специальных
случаев уравнение (11.12) все же может выполняться (см. теорему 2.5 в [101]).
Например, свойство (11.12) выполняется для функций
f(x)e alS+P(Li(a,b)),
то есть уравнение (11.12) верно для функции f(x), если существует функция
д{х) е Li(a,6) такая, что
/(*) = alS+0g(x).
Полугрупповое свойство для дробных производных также выполняется, если a = 0,
b = оо и f(x) бесконечно дифференцируемая (обобщенная) функция на полуоси
[0, оо) (см. раздел 1.4.5 в [30] и раздел 8.3 в [101]).
Для дробных интегралов (11.9) и производных (11.10) верно
следующее утверждение.
Теорема. Пусть функция f(x) измерима по Лебегу на интервале [a, Ь]
так, что
ъ
ff(x)dx< оо,
а
а выражение al£~af(x) имеет абсолютно непрерывные производные
вплоть до (п — 1) порядка на [а, Ь]. Тогда соотношение
a J? aD«f(x) = f(b) ~ J2 n~a)ZuW~' "#'в/)(а)' (1L13)
*-{T{a- j + 1)
где D™~J = dn~3 /dxn~J — производные целого порядка и n — 1 < а < п,
выполняется почти везде на интервале [а, Ь].
Доказательство. Эта теорема доказана в [101] (см. теорему 2.4
в разделе 2.6 книги [101]). □
пример. Для 0 < a < 1 уравнение (11.13) принимает вид
aI? aD°f(x) = /(6) - (b~aa)a 1 all~af{x). (11.14)
Очевидно, что уравнения (11.14) и (11.13) не могут рассматриваться
как реализация требования (11.8).

262
Глава 11
Замечание 1. Свойства (11.13) и (11.14) связаны с определением
производной Римана-Лиувилля, в которой производная целого порядка действует на
дробный интеграл:
aDax=Dlaira (п-1<а<п). (11.15)
Это определение приводит к тому, что левая часть (11.14) принимает вид
«/? а£>?= а/" £>х а/Г", (ПЛ6)
где целые производные Dx расположены между дробными интегралами. Поскольку
операторы дифференцирования Dx и дробного интегрирования а1£ не
коммутируют
aIx Т)х Dx alx Ф О,
появляются дополнительные слагаемые, которые не могут дать правую часть
выражения (11.8). Эта некоммутативность может быть представлена как
неэквивалентность производных Римана-Лиувилля и Капуто [307,411],
°DZf(x) = aDZKx) - J2 r?ra)J"(Dlf)(a) (n-Ka<n),
^ Г0-а + 1)
где левосторонняя производная Капуто определяется уравнением
:= airaD^f(x) (п-Ка<п).
Видно, что здесь, в отличие от (11.15), производная и интеграл стоят в обратном
порядке. В результате коммутатор этих операторов равен
(jrad: - d: aira)f(x) = -j2 го--а + 1)(^/)(о) {n ~1 < а < n)'
Некоммутативность Dx и aIx в (11.16) не позволяет нам использовать
полугрупповое свойство (11.11) для дробных интегралов. В результате нельзя получить
удобный аналог формулы Ньютона-Лейбница при использовании производных и
интегралов Римана-Лиувилля.
Замечание 2. Для получения дробного аналога формулы
Ньютона-Лейбница в виде (11.8) следует заменить левостороннюю производную Римана-Лиувилля
aD£ в уравнении (11.8), где
та па — Та(Пп Тп~а)
aJ-x a-L^x — aJ-xy^x а-*х )s
на левостороннюю производную Капуто %DX так, чтобы левая часть
уравнения (11.8) имела вид
alx a Dx ~ а-^х (а-^х ^х)-

11.3. Фундаментальные теоремы дробного математического анализа 263
В этом случае можно воспользоваться полугрупповым свойством (11.11) и
получить
.% ?D2/(X) = alt а1Га02Нх) = „£DS/(s).
В частности, если п=1и0<а<1, то
б
alb ?Dtf(x) = all Dlf(x) = J dxDlf{x) = /(6) - /(a).
а
Это уравнение может рассматриваться как искомый и удобный аналог формулы
Ньютона-Лейбница.
В результате для обобщения формул Гаусса, Грина, Стокса на
дробный порядок можно использовать уравнение с интегралом
Римана-Лиувилля и производной Капуто:
aI??D2№=№-f(a). (11.17)
Это уравнение может рассматриваться как дробное интегро-дифференци-
альное уравнение Ньютона-Лейбница.
11.3. Фундаментальные теоремы дробного
математического анализа
Первая фундаментальная теорема математического анализа
утверждает, что дифференцирование и интегрирование являются взаимообратными
операциями: если непрерывную функцию сначала проинтегрировать, а
затем продифференцировать, то будет получена исходная функция
D\ Jlf{x) = /(х). (11.18)
Вторая фундаментальная теорема математического анализа утверждает, что
выполняется равенство
Л Dlf(x) = f(b) - /(о). (11.19)
Интегральные теоремы векторного математического анализа (теоремы
Стокса, Грина, Гаусса) могут рассматриваться как обобщения
фундаментальных теорем математического анализа.
Если использовать интегралы и производные Римана-Лиувилля [101,
307], то нельзя получить необходимого обобщения (11.19) на дробный
случай, поскольку
„/? aD°f(x) ф № - f(a).

264
Глава 11
В этом случае выполняется соотношение (11.13). Дробные обобщения
фундаментальных теорем математического анализа для конечного интеграла
и их использование для построения векторных операций дробного
порядка было предложено в статье [515] (см. также [530]). В качестве дробных
аналогов уравнений (11.18) и (11.19) предлагаются уравнения
°D2ai;f(x)=f{x) (а>0), (11.20)
caDaxF(x) = F(x) - F(a) (0 < а < 1), (11.21)
где а— интеграл Римана-Лиувилля, a — производная Капуто.
Сформулируем фундаментальные теоремы, описывающие
взаимосвязи операций дифференцирования и интегрирования в дробном
математическом анализе.
Теорема (первая фундаментальная теорема дробного
математического анализа). Пусть f(x) — вещественнозначная функция, заданная на
интервале [а, Ь], и пусть функция F(x) определяется для х из [а, Ь]
формулой
F(x) = al2f(x), (11.22)
где aIx ~ интеграл Римана-Лиувилля, определенный как
Г(а) J (х - х'у
тогда
caD%F{x) = f{x) (11.23)
для х € (а, Ъ), где — производная Капуто
1 dx'D^,F(x')
caD«F{x) = aT£-*D«Fix) = /
1 (n - а) J
(x-x,)1+e-n'
а
где п - 1 < а < п.
Доказательство. Утверждение этой теоремы непосредственно
вытекает из леммы 2.21 книги [307]. Для вещественных значений а > 0
производная Капуто является левосторонней обратной операцией к
интегрированию Римана-Лиувилля (см. лемму 2.21 в [307]),
°D°ar2fix) = fix) (а>0) (11.24)
для /(х) € £00(0,6) или /(х) € С[а,Ь]. □

11.3. Фундаментальные теоремы дробного математического анализа 265
Теорема (вторая фундаментальная теорема дробного
математического анализа). Пусть f(x) — вещественнозначная функция, определенная
на интервале [а, Ъ], а функция F(x) определяется формулой
/(*) = caD°F{x) (11.25)
для всех х из [а, Ь], тогда
aI£f{x) = F(b) - F(a), (11.26)
или, эквивалентно,
aI?CD2F(x) = F(b)-F(a) (0 < а < 1). (11.27)
Доказательство. Утверждение этой теоремы вытекает из
леммы 2.22 книги [307]. Если f(x) € АСп[а,Ъ] или f(x) € Сп[а,Ъ], то (см.
лемму 2.22 в [307])
п-1
ai?^/(x) = /(x)-2^(x-a)fc(I>*/)(a) (п-Ка^п), (11.28)
к=0
где Сп[а,Ь] — пространство функций, которые п раз непрерывно
дифференцируемы на [а, Ь]. В частности, если 0 < a < 1 и f(x) € АС[а, Ь] или
f(x) € C[a,fc], то
aJ« ?Z?S/(x) = f(x) - f(a).
Это уравнение может рассматриваться как дробный аналог формулы
Ньютона-Лейбница в виде (11.8). □
В этих теоремах используются функциональные пространства la [а, Ь]
иАС[а,Ъ].
• Здесь АС[а,Ь] является пространством функций F(x), которые
абсолютно непрерывны на [а, Ь]. Известно, что АС[а,Ь] совпадает с
пространством первообразных суммируемых по Лебегу функций и
поэтому абсолютно непрерывная функция F(x) имеет производную
D].F(x), суммируемую почти везде на интервале [а, Ь]. Если F(x) €
АС [а, Ь], то производная Капуто (0 < a < 1) существует почти везде
на [a, Ь] (см. теорему 2.1 в [307]).
• Символом Lp(a, b) обозначается линейное пространство измеримых по
Лебегу функций / = f(x) на интервале [а, Ь], для которых

266
Глава 11
Для f(x) € Z/P(a, b), где p > 1, интегралы Римана-Лиувилля
ограничены в Lp(a,b) и выполняется полугрупповое свойство (11.11).
замечание 1. Фундаментальные теоремы дробного математического
анализа используют интегрирование Римана-Лиувилля и дифференцирование Капуто.
Основным свойством является то, что производная Капуто есть левая обратная
операция для интегрирования по Риману-Лиувиллю. Последовательное и
взаимосогласованное обобщение фундаментальных теорем дробного математического анализа,
а также дифференциальных и интегральных векторных операций для других типов
(Рисса, Грюнвальда-Летникова, Вейля, Нишимого) интегро-дифференцирования
дробного порядка в настоящий момент является открытой проблемой, ждущей
своего решения.
Замечание 2. В сформулированных теоремах использовали 0 < а < 1.
В работе [515] (см. также [530]) было получено обобщение теорем Грина, Стокса
и Гаусса только для порядка 0 < а < 1. Уравнения (11.20) выполнены для a € R+.
Формула Ньютона-Лейбница (11.21) выполняется для 0 < a < 1. Для случая
a > 1 выполняется соотношение (11.28). В результате для обобщения теорем Грина,
Стокса и Гаусса для а £ R+ можно использовать уравнение (11.28) в виде
/(6)-/(a)= a7??D:/(z) + £i(fr-a)fc(D*/)(a) (n-Ka<n). (11.29)
В силу этих соотношений применение обобщенных векторных дифференциальных
и интегральных операций, предложенных в [515,530], и сами интегральные теоремы
для случая а > 1, несколько усложняются.
замечание 3. В фундаментальных теоремах дробного математического
анализа использовались левосторонние дробные интегралы и производные. Формула
Ньютона-Лейбница может быть представлена и для правосторонних интегралов
Римана-Лиувилля, и правосторонних производных Капуто в виде
п-1
fc=l
В частности, если 1 < a ^ 2, топ = 2и
/(6) - /(а) = аДа °DZf(x) + (Ь- a)(Dlf)(a).
П-1
х7? ?£>?/(*) = /(*)-£(-!)
(b-x)k.
k=0
В частности, если 0 < a < 1, то
xI?°D?f(x) = f(x)-f(b)
Для а > 0 и f(x) € Loo (a, 6) или f(x) € С[а, b] имеем
(11.30)
CDZxI?f(x) = f(x).
(11.31)

11.4. Дифференциальные векторные операции дробного порядка 267
В результате дробное обобщение дифференциальных векторных операций и
интегральных теорем может быть реализовано и для правосторонних интегралов и
производных, аналогично тому, как это было выполнено для левосторонних в
работах [515,530].
11.4. Дифференциальные векторные операции дробного
порядка
Для определения дробных векторных операций введем операторы,
соответствующие дифференцированию и интегрированию дробных порядков.
Левосторонний интегральный оператор Римана-Лиувилля определим
в виде
X
а
Оператор (11.32) действует на вещественнозначные функции f(x) G L\[а, b]
по формуле
а
Определим левосторонний дифференциальный оператор Капуто на
интервале [а, Ъ] в виде
X
С^-'тфа)1 (-1 <«<«)■ <"■">
а
Оператор Капуто (11.34) действует на вещественнозначные функции
f(x) € АСп[а, Ь] по формуле
(-К.<-).
(11.35)
Отметим, что оператор Капуто может быть представлен в виде
caD°[x>] = aira\x'}DnW] (п-1<а<п).
Уравнения (11.20) и (11.21) фундаментальных теорем дробного
математического анализа можно переписать в виде
caDax[x']J$[x"\f{x") = f{x) (q>0), (11.36)

268
Глава 11
aI£[x] caD«[xy{x') = f(b) - f(a) (0 < a < 1). (11.37)
Эта форма записи является более удобной, чем (11.20) и (11.21),
поскольку позволяет выделить переменные интегрирования и дифференцирования
дробного порядка.
Пусть f(x) и F(x) являются вещественнозначными функциями,
которые имеют непрерывные производные вплоть до (п — 1) порядка на
множестве W С R3, а (га — 1)-е производные являются абсолютно непрерывными,
то есть /, F € АСП[И^]. Определим дробное обобщение оператора набла
в виде
= С0Оу = ei СВДх] + е2 Сщ[у] + ез Cjjfr[z] (П _ 1 < а < п),
(11.38)
где cZ}jy[xm] — производная Капуто по координате хт. Для
параллелепипеда
W := {а ^ х ^ 6, с ^ у ^ d, д ^ z ^ h)
получаем
cD^[x) = caDt\x\, cD^[y] = ссЩ\у), США = CgDah[z\.
Дробные дифференциальные векторные операторы определены так,
чтобы обобщения интегральных теорем (Грина, Стокса, Гаусса) можно
было бы реализовать, используя интегрирование Римана-Лиувилля.
Определим дробные обобщения операторов градиента, дивергенции
и ротора в декартовых координатах.
Определение. Если / = f(x,y,z) является (п — 1) раз непрерывно
дифференцируемым скалярным полем, таким что производные
абсолютно непрерывны, то дробный градиент (градиент дробного порядка)
определяется в виде
Grad^/= cB^f = ekcD^[xk]f(x,y,z) =
= ег cDfr[x]f(x,у,z) + е2 СВДг/]/(х,у, z) + е3 cDfr[z]f(x,у,z),
(11.39)
где вектора е^, к = 1,2,3, образуют ортонормированный базис декартовой
системы координат.
Определение. Если F(x, у, z) является (га — 1) раз непрерывно
дифференцируемым векторным полем, таким что производные D™~1 F\
абсолютно непрерывны, то дробная дивергенция (дивергенцию дробного порядка)
этого поля определяется выражением
Div^F= (CD^,F) = cDfr[xl]Fl{x,y,z) =

11.4. Дифференциальные векторные операции дробного порядка 269
= cD^[x]Fx(x,y,z)+ cDh[y]Fy(x,y,z)+ с D^[z)Fz{x,y, z). (11.40)
Определение. Если векторное поле F(x, у, z) = Fk(x, у, z)ek является
(п — 1) раз непрерывно дифференцируемым так, что производные D™~lFk
абсолютно непрерывны, то дробный оператор ротора определяется
выражением
Rot^F = [CD^,F] =elelmkcDfr[xm]Fk =
= ei ( CD^[y]Fz - cDfr[z]Fy) + e2 ( cDfr[z]Fx - CD^[x]Fz) +
+ ез ( cDfo[x]Fy - cDfy[y]Fx), (11.41)
где Fk = Fk(xyyyz) € ACn[W] (k = 1,2,3).
Отметим, что дифференциальные операторы дробного порядка
являются нелокальными операциями. Дробные градиент, дивергенция и ротор
определены для области W, а не в бесконечно малой окрестности точки
(х, у, z). Это обусловлено тем, что операция дифференцирования дробного
порядка содержит интегрирование по заданной области.
Приведем основные соотношения для дифференциальных векторных
операторов дробного порядка.
1) Для скалярного поля / = /(х, г/, х) выполняется соотношение
3
Div^ Grad^ / = сЩг[Х1] CD^[Xl}f = £(cZ^[xz])2/. (11.42)
i=i
Используя обозначения (11.38),
Div^ GraxC = (СВД2 = (cDft,, CD^). (11.43)
Отметим, что в общем случае имеет место неравенство
(сВД*г])2^ CD%[Xl]. (11.44)
Это неравенство следует из
= аЦ-« jraDnxDnx + aI?-a[D2, aITa\Dnx =
= aDla + jra\Dnx, Jra\Dnx,
где
Ki a4n"a] := Щai:~a - airaDnx = aD« - caD« ф 0.

270
Глава 11
2) Второе соотношение для скалярного поля / = /(х, у, z) имеет вид
Rotfr Grad^ / = е, elmn cD^[xm] cDfr[xn)f = 0, (11.45)
где eimn — символ Леви-Чивиты, то есть eimn равно 1, если (i,j,k)
является четной перестановкой (1,2,3); равно (—1) для нечетной
перестановки и равно 0, если любые два индекса совпадают.
3) Для векторного поля F = emFm выполняется соотношение
Div^ Rot^ F(x, у, z) = 0. (11.46)
Действительно,
Div^ Rot^F(x,2/,z) = cD^[xk)eklrn CD^[xm)Fm(x,y,z) =
= еыт СЩЫ cD^[xl\Frn(x,y,z) = 0
в силу антисимметрии ekim по индексам / и т.
4) Подействуем двумя операторами ротора на векторное поле
Rot^ RotftrF(x,у,z) = eieimn cD^[xm)enpq cD^[xp]Fq(x,y,z) =
= eieimnSnpq сЩг[хт] cD^[xp]Fq{x,y,z). (11.47)
Используя формулу
£lmn£lpq = umpfinq ~~ ^mq^np^ (11.48)
получаем соотношение
Rot^ Rot^ F = Grad^ Div^ F - (CD^)2F. (11.49)
замечание. В общем случае правило Лейбница для дифференцирования
дробного порядка не выполняется и имеет место неравенство
°т[*'](л*W)) ф(°т[xV(x'))g(x)+(caDzwmx'j)т. (ищ
В результате имеем
Grad^(/<?) ф (GradS, f)g + (Grad^,)/, (11.51)
DivfJ, (/f) ф (Grad^ /, p) + / Divfir f. (11.52)

11.5. Дробные интегральные векторные операторы
271
Эти соотношения говорят о том, что нельзя использовать правило Лейбница в
дробном векторном математическом анализе. Для некоторых классов функций
существует обобщение правила Лейбница. Например, если /(х) и д(х) являются
аналитическими функциями на интервале [а, 6] (см. Теорему 15.1 в [101]), то
оо
ат[х'](Пх')д(х')) = 5>(а, j)(.0rV]/(*')) ((И-53)
где
Г(а + 1)
аМ = ти + Ща-j + iy
Для того чтобы использовать эти соотношения в дробном векторном анализе,
необходимо учесть необычный вид формулы Ньютона-Лейбница для а > 1, заданной
уравнением (11.29).
11.5. Дробные интегральные векторные операторы
Определим дробные обобщения таких интегральных векторных
операций, как циркуляция, поток, объемный интеграл [515,530]. Рассмотрим
векторное поле
F = eiFx+e2F1,+e3F.s,
где Fx = Fx(xy у, z), Fy = Fy(x,у, z), Fz = Fz(x,y, z) являются абсолютно
интегрируемыми вещественнозначными функциями на R3. Зададим
интегральные векторные операторы дробного порядка
П = ei/g[x] +e2Jg[i/] +e3J2[z], (11.54)
Ц = егЩу.г] + e2/£[z,x] +е3/§[*,</]. (11.55)
Приведем определения следующих интегральных векторных операторов
нецелого порядка, предложенных в [515].
Определение. Дробная циркуляция является дробным линейным
интегралом векторного поля F вдоль линии L, который определяется в виде
£t(F) = (ij, F) = If[x]Fx + It[y]Fy + If[z]Ft, (11.56)
meFx,Fy,FzeL1(R3).
При a — 1 циркуляция (11.56) имеет вид
= (lb F) = У (dL, F) = J(Fxdx + Fydy + Fzdz\ (11.57)
L L
где dL = e\dx + e2dy + esdz.

272
Глава 11
Определение. Дробный поток векторного поля F через поверхность S
является дробным поверхностным интегралом этого поля, таким что
Ф§(Р) = (l§,F) =^[»,z]Fx + iS[z,x]Fy + ^[x>y]F,l (11.58)
ecmFx,Fy,Fz е Li(R3).
При а = 1 из формулы (11.58) получаем
ф^(р) = (i^f) = J J(dS,p) = j j(Fxdydz + Fydzdx + Fzdxdy),
s s
(11.59)
где dS = eidydz + ^dzdx + e^dxdy.
Определение. Дробный объемный интеграл является тройным
дробным интегралом по области W в R3 от скалярного поля / = /(х, у, z) £
Li(R3):
V$U) = Ifr[x,y,z]f(x,y,z) = Ifr[xmy)Ifr[z]f{x,y,z). (11.60)
Для a = 1 уравнение (11.60) дает
V^(f):= J J J dVf(x,y,z) = j f J dxdydzf(x,y,z). (11.61)
w w
Это обычный объемный интеграл от функции /(#, у, z).
11.6. Дробная формула Грина
Рассмотрим дробное обобщение формулы Грина. Известно, что
теорема Грина дает взаимосвязь между линейным интегралом вдоль простого
замкнутого контура dW и двойным интегралом по плоской области W,
ограниченной 3W. Эта теорема утверждает следующее.
Теорема Грина. Пусть dW — положительно ориентированный,
кусочно-гладкий, простой замкнутый контур на плоскости и пусть W —
область ограниченная dW. Если функции Fx и Fy имеют непрерывные
частные производные на открытой области, содержащей W, то
J (Fxdx + Fydy)= J J (DyFx - DxFy^dxdy. (11.62)
dW w

11.6. Дробная формула Грина
273
Используя обозначения векторных операций дробного порядка а для
а = 1, уравнение (11.62) можно переписать в виде
4иЛя]^*(я,2/) + Ildw[y)Fy(x,y) =
= Ilw[xyy] {Dldw[y]Fx{xyy) - D\w[x\Fy(x,y)).
Дробное обобщение формулы Грина (11.62) может быть представлено
следующим утверждением [515,530].
Теорема (дробная теорема Грина для прямоугольника). Пусть
Fx(x,y) w Fy(xyy) — абсолютно непрерывные (или непрерывно
дифференцируемые) вещественнозначные функции в области, которая включает
прямоугольник
W := {(х, у): а^х^Ъ, c^y^d}, (11.63)
и пусть границей W является замкнутая кривая dW. Тогда
Idw\AFx{x,y) + I%w[y]Fy(x,y) =
= I&[xyy}(cD%w[y'}Fx(xyy') - cD«w[x')Fy(x'yy))y (11.64)
где 0 < а ^ 1.
Доказательство. Для доказательства дробного интегро-дифферен-
циального уравнения (11.64) заменим двойной интеграл Щ[хуУ] нецелого
порядка на повторный интеграл
а затем применим фундаментальные теоремы дробного математического
анализа. Пусть W является прямоугольной областью (11.63) с вершинами
в точках
А(аус)у B(ayd)y C(byd)y D(byc).
Стороны АВ, ВС, CD, DA прямоугольной области (11.63) образуют
границу dW для W. Для прямоугольной области W, определенной
неравенствами a^x^bnc^y^d, повторный интеграл имеет вид
Для доказательства дробной формулы Грина выполним следующие
преобразования
(1§и,,Р) = I$w[x]Fx + Igw[y}Fu =

274
глава 11
= I%c[x]Fx + I%A[x)Fx + I%B[y\Fy + I%D[y\Fy =
= aI£[x]Fx(x,d) - aI?{x]Fx(x,c)+ cI2[y}Fy(a,y)dy- cI%[y\Fy{b,y) =
= [Fx(x,d) - Fx(»,c)] + Д?Ь,] [Fy(o,y) - Fy(b,y)}. (11.65)
Важным шагом в доказательстве формулы Грина является использование
дробных формул Ньютона-Лейбница
а!ь Iх] {сШCcD°[y'}Fx(x,у')} + cIS{y} {-JMx}CaD4\x']Fy{x\у)) =
= а1?[х]сШ ^D^y']Fx(x,y') - caD<*x[x'}Fy{x',y)) =
= Ъ[х,у] (°D°W]Fx(x,y')-ZDZW]Fy(x>,y)).
замечание 1. При доказательстве дробной теоремы Грина мы использовали
прямоугольную область W. Если область может быть аппроксимирована набором
прямоугольников, то дробная формула Грина также может быть легко доказана.
В этом случае граница dW представляется как ломанная линия, каждый отрезок
которой состоит из горизонтальных и вертикальных сегментов, лежащих в W.
Замечание 2. Для определения двойного интеграла и теоремы для
непрямоугольных областей R можно рассматривать функцию f (х, у), которая определена
в прямоугольной области W, такой что R С W и
В результате можно определить дробный двойной интеграл по непрямоугольной
области R через дробный двойной интеграл по прямоугольной области W:
(11.66)
Это выражение является правой частью уравнения (11.64).
(х,у) € R;
(x,y)eW/R.
(11.67)
Iд [х, у] F(ar, у) = lw [х, у] f (ж, у).
замечание 3. Для двойных интегралов по непрямоугольным областям
можно использовать и другие, довольно общие методы. Например, это можно сделать

11.7. Дробная формула Стокса
275
для специального класса областей, называемых элементарными. Пусть R
множество таких точек (ж, у), что
а < х < 6, ip\{x) < у < ф2{х).
Тогда двойные интегралы по таким областям могут быть вычислены по формулам
rR[x,y]F{x,y) = alt[x] vlix)I°2{x)[y}F(x,y). (11.68)
Используя соотношения
.£[*](* - af = г(^*+1)(* " а)^+а' (П'69)
где а > 0 и /3 > 0, можно рассмотреть примеры
1) (pi(x) = 0,у = (р2(х) = х2, F(x,y) = х + у;
2) <рг(х) = 0,у = tp2(x) = х, F(x,y) = ху;
3) <pi(x) = х3, (pi(x) = х2, F(x,y) = x + y.
Для других соотношений см. таблицу 9.1 в монографии [101]. Для вычисления
производных Капуто можно использовать эту таблицу и уравнение
?££[*']/(*') = «№']/(*') - 2 r,/W(a* , n - К а < п. (11.70)
££Г(*-а + 1)
Отметим, что функция Миттаг-Леффлера Еа[(х' — а)а] не меняется под действием
левосторонней производной Капуто
CaD%[x'\ Еа[(х' - а)а] = Еа[(х - а)а].
Это уравнение является дробным аналогом хорошо известного свойства экспоненты
Dx ехр(х — а) = ехр(х — а). Поэтому функция Миттаг-Леффлера может
рассматриваться как некоторый аналог экспоненты.
11.7. Дробная формула Стокса
Рассмотрим дробное обобщение формулы Стокса для простой
поверхности W. Обозначим границу этой поверхности W через dW. Пусть F
является гладким векторным полем, определенным на простой
поверхности W. Тогда формула Стокса имеет вид
J (p,dL) = J (rotP,ds). (11.71)
dW w
В правой части этого уравнения стоит поверхностный интеграл от rot F
по W, тогда как в левой части уравнения записан линейный интеграл от F
вдоль линии dW.

276
Глава 11
Теорема Стокса. Пусть W является дважды непрерывно
дифференцируемой простой поверхностью с положительно ориентированной
границей dW. Если F — непрерывно дифференцируемое векторное поле, то
(l^Ip) = (l{„,RotWP)- (П-72)
Таким образом, теорема Стокса утверждает, что линейный интеграл от
векторного поля по границе поверхности W равен интегралу по
поверхности от ротора поля F. Для декартовых координат уравнение (11.71) имеет
вид
J (Fxdx + Fydy + Fxdz} =
dw
= j j (^dydz[DyFz-DzFy}+dzdx[DzFx-DxFz}+dxdy[DxFy-DyFx}y
w
(11.73)
Аналог теоремы Стокса для интегрирования дробного порядка может
быть представлен в следующем виде [515,530].
Теорема (дробная теорема Стокса). Пусть F = F(x, у, z) такое
векторное поле, что
F(x,y,z) = e1Fx(x,y,z) + e2Fy(x,y,z)+e3Fz(x,y,z),
где Fx, Fy, Fx являются абсолютно непрерывными (или
непрерывно дифференцируемыми) вещественнозначными функциями на R3. Тогда
дробное обобщение формулы Стокса (11.73) представляется уравнением
(lgw,F) = (l^,Rot|wF). (11.74)
В уравнении (11.74) используются следующие дробные интегральные
операторы.
• В левой части уравнения (11.74) оператор Vqw является дробным
поверхностным интегралом по L = dW, таким что
II = Igw = emIgw{xm} = eil%w[x) + e2I$w[y] + e3I$w[z\. (11.75)
Интеграл (11.75) может рассматриваться как дробный линейный
интеграл.

11.7. Дробная формула Стокса
277
• В правой части уравнения (11.74) оператор 1^ является дробным
поверхностным интегралом по 5 = W, таким что
I§ = Ifr = e1Ifr[y,z]+e2Ifr[z,x]+e3Ifr[x,yl (11.76)
• Дробный оператор ротора определяется выражением
Rot^ F = е^тп cD^[xm]Fn = ег ( cDfr[y]Ft - cDfr[z]Fy) +
+ е2 ( cDfr[z]Fx - cDfr[x]Ft) + е3 ( CD^[x}Fy - cD^[y]Fx).
(11.77)
Для a = 1 уравнение (11.77) дает хорошо известное выражение
Ыоф F = rot F = eisimn DXmFn = ех (DyFz - DzFy) +
+ e2 (£>2FX - DXFZ) + e3 (JOxFy - DyFx). (11.78)
Для декартовых координат левая часть уравнения (11.74) означает
(l$w, F) = /^[x]Fx + I$w{y]Fy + I$w[z]Fz. (11.79)
Правая часть уравнения (11.74) для декартовых координат определяется
в виде
(ifc.RotfrF) = Щг\у,г] {cD%[y\Fz - сШ*\Ру) +
+ I&[z,x] (cD^[z]Fx - cDfr[x]Fz) + Ifr[x,y] (c'D^[x\Fy - cD%[y\Fx).
(11.80)
Этот интеграл может рассматриваться как дробный поверхностный
интеграл. В результате уравнение (11.74), то есть дробная формула Стокса,
имеет вид
Igw[x]Fx + I%w[y\Fy + I$w[z]Fz =
= Ifr[y,z] {cD^\y}Fz - cD^[z)Fv) +
+ I&[z,x} (cDfr[z}Fx - cDfr[x]Fz) +
+ Ifr[x, y] (cDfr[x)Fv - CD^[y]Fx).
Дробная формула Стокса в этом виде, очевидно, выполняется для
прямоугольной области W.

278
Глава 11
11.8. Дробная формула Гаусса
Теорема Гаусса, которая также известна как теорема Гаусса-Остро-
градского, является теоремой векторного анализа и сформулирована
следующим образом. Пусть W — область пространства с границей dW. Тогда
объемный интеграл от дивергенции векторного поля F по области W и
поверхностный интеграл F по границе dW связаны соотношением
Дробно-интегральное обобщение формулы Гаусса (11.81) представляется
следующей теоремой [515,530].
Теорема (дробная теорема Гаусса для параллелепипеда).
Пусть Fx(x,y,z), Fy(x,y), Fz(x,y,z) — непрерывно дифференцируемые
вещественнозначные функции в области, включающей параллелепипед
W:={(x,y,z): а^х^Ь, c^y^d, g^z^h}. (11.82)
Если границей области W является замкнутая поверхность dW, то
Доказательство. Для декартовых координат имеем следующее
представление для векторного поля F = Fxe\ + Fye2 + Fze$ и для
интегральных операторов дробного порядка
jgr = Ifr[x,y,z], I$w = e1ISw[y,z]+e2Iiw[x,z]+e3I§w[x,y}. (11.84)
(11.81)
(11.83)
Тогда левая часть уравнения (11.83) имеет вид
(iSw, F) = I$w[y, z}Fx + I$w[x, z}Fy + I$w[x, y}F2
а правая часть
W := {a < ж ^ 6, c^y ^ d, g < z < h},

11.8. Дробная формула Гаусса
279
то (11.84) тройной интеграл дробного порядка по области W можно
заменить на повторный интеграл
ъ[х,у,г\ = am jsm 9т,
а двойные интегралы по поверхности dW — на следующие повторные
интегралы:
I§w[y,z}= JSMglhlzl
1§уу[х,г]= aI?[x] gl£[z],
1ш[х,У)=а1?[х) JSM-
Это позволяет выполнить следующие преобразования:
(ig^F) = I§w[y,z]Fx + I$w[z,x}Fy + I%w[x,y]Fz =
= cI2\y]9Ih\A {Fx(b,y,z) - Fx(a,y,z)}+
+ Jb[*]glh[*] {Fy(x,d,z) - Fy(x,c,z)}+
+ а1?[х}с1Ш {Fz{x,y,g) - Fz(x,y,h)} =
= «7?[x] J2M gI%[z] { caD^[x')Fx{x',y,z) +
+ CDy4y'}Fy(x,y',z)+ cgDaz[z']Fz{x,y,z')) =
= ^(cD^,F)=/^Div^F.
В результате доказали дробную формулу Гаусса для параллелепипеда. □
Дробная формула Гаусса (11.83) может быть обобщена на области,
не являющиеся параллелепипедами. При определении тройного интеграла
и формулировки теорем для более общего типа областей R можно
рассмотреть векторное поле G(x, у, z), определенное в области
параллелепипеда W так, что R С W и
G(w)-\o, (x,y,z)eW/R. (1L86)
Это позволяет выразить тройной интеграл дробного порядка по общей
области R через дробный тройной интеграл по параллелепипеду W.

280
Глава 11
11.9. Заключение
Последовательная формулировка дробного векторного
математического анализа была построена с использованием обобщения фундаментальных
теорем математического анализа [515,530]. Были взаимосогласованно
определены дифференциальные и интегральные векторные операции нецелого
порядка. Приведены обобщения теорем Грина, Стокса и Гаусса для случая
векторных интегро-дифференцирований дробного порядка. Доказательства
этих обобщенных теорем были произведены для простейших областей.
Дробный векторный математический анализ представляется важным
для описания процессов в сложных средах и системах,
характеризуемых нелокальными свойствами. Динамика частиц и полей реализуется
в n-мерном пространстве. Поэтому векторное интегро-дифференцирование
нецелого порядка может активно использоваться для систем с
нелокальным степенным взаимодействием [323,493,496,501,503,530]. Дробный
векторный математический анализ может использоваться в нелокальной
и дробной статистической механике [494,508], нелокальной
электродинамике [222,283,284,289,386,387,478,479,495,499,550] и нелокальной
гидродинамике [361,480,530].
Отметим некоторые возможные расширения предложенного
формализма дробного векторного математического анализа.
• Представляется важным доказать предлагаемые дробные
интегральные теоремы для областей и границ максимально общей формы.
• Интересно обобщить формулировку дробных интегральных теорем на
случай интегро-дифференцирований нецелого порядка а > 1.
• Отметим, что большинство аналитических результатов легко могут
быть поняты в наиболее общей форме, используя дифференциальную
геометрию и анализ на многообразиях, частным случаем которых
является векторный математический анализ. К сожалению, в настоящий
момент самосогласованного и последовательного обобщения
дифференциальной геометрии, использующего дифференцирование и
интегрирование нецелого порядка, еще не построено.
В фундаментальных теоремах дробного математического анализа
использовались интегрирование Римана-Лиувилля и дифференцирование
Капуто. Их основным свойством является то, что производная Капуто
является обратной левой операцией для интегрирования Римана-Лиувилля.
Отметим, что возможности обобщения интегральных теорем для дробного

11.9. Заключение
281
интегро-дифференцирования Рисса, Грюнвальда-Летникова, Вейля, Ниши-
мого является в настоящий момент открытой проблемой.
Существуют следующие возможные применения дробного векторного
математического анализа.
• Нелокальная электродинамика, которая характеризуется
степенными нелокальностями, может быть сформулирована с использованием
дробного векторного математического анализа.
• Нелокальные свойства в классической нелинейной динамике могут
быть описаны на языке дробного векторного математического анализа.
• Динамика дробно-градиентных и дробно-гамильтоновых
динамических систем, предложенная в работах [477,482,530], может быть
сформулирована методами дробного векторного математического анализа.
• Используя дробный векторный математический анализ, может быть
построено обобщение теории гладких динамических систем и теории
бифуркаций векторных полей [31,90,172,265].
• Дробный векторный анализ может быть обобщен для рассмотрения
динамических систем, описываемых разрывными векторными
полями [336,338].
• Механика жидких и твердых сплошных сред с нелокальными
свойствами (например, с нелокальным взаимодействием частиц среды) может
быть сформулирована на языке дробного векторного
математического анализа. Используя интегро-дифференцирование дробного порядка
для моделей сплошных сред с нелокальным взаимодействием частиц
обсуждаются в работах [493,496,530].
• Используя дробный векторный математический анализ, можно
получить дифференциальные уравнения с производными нецелого
порядка, описывающие законы сохранения массы, импульса и энергии длч
сложных сплошных сред. Отметим, что дробное дифференциальное
уравнение для закона сохранения массы было предложено в
работе [558].
• С помощью дробного векторного математического анализа,
дифференциальные уравнения с производными нецелого порядка для функции
распределения могут быть получены в рамках нелокальной
статистической механики [24] (см. также [23,187]). Отметим, что уравнения
Лиувилля и цепочка уравнений Боголюбова с производными нецелого
порядка рассматривались в работах [494,508].

282
Глава 11
В физике применения обычных векторных дифференциальных
операций, которые описываются производными первого порядка, могут быть
связаны с взаимодействием ближайших соседей для частиц сплошной
среды или решетки. Дробные производные в векторных операциях
нецелого порядка могут быть связаны с нелокальными альфа-взаимодействиями
[493,496,530] частиц среды.

Глава 12
Дробное внешнее исчисление
дифференциальных форм
12.1. Введение
Дифференциальные формы и внешнее исчисление имеют важное
значение в современной математике. Внешнее исчисление находит
применение в таких областях физики и математики, как теория электромагнитных
полей, общая теория относительности, термодинамика, теория упругости,
дифференциальная геометрия, топология и нелинейные
дифференциальные уравнения. Дифференциальные формы служат естественным языком
для математического описания электромагнитных и калибровочных полей.
Важным достоинством этого языка является независимость от системы
координат. Внешнее исчисление дифференциальных форм может
рассматриваться как альтернатива векторному анализу, которая проста и естественна.
Используя производные и интегралы дробного порядка, можно
обобщить внешнее исчисление дифференциальных форм. Такое обобщение
дифференциальных форм и их внешнего исчисления, с использованием
производных Римана-Лиувилля, описывается в работах [201,202] (см.
также [515,530]). Использование дифференцирования Римана-Лиувилля не
позволяет построить взаимосогласованные определения
дифференциальных и интегральных операций дробного порядка для обобщения
дифференциальных форм. Использование производных Капуто и интегрирования
Римана-Лиувилля позволяет сформулировать взаимосогласованные
интегральные и дифференциальные операции для дробного внешнего
исчисления дифференциальных форм [515,530]. Применение дробных
дифференциальных форм к теории динамических систем рассматривалось в
статьях [477,482,494,508,530].
В разделе 2 кратко рассматриваются дифференциальные формы
целого порядка и некоторые их свойства. В разделах 3 и 4 предлагается
дробное обобщение внешнего дифференциала и дифференциальных форм
нецелого порядка. В разделе 5 рассматривается операция Ходжа (звезда Ход-

284
Глава 12
жа). В разделе 6 определяются векторные операции нецелого порядка
через дробные дифференциальные формы. В разделе 7 обсуждаются дробные
уравнения Максвелла в терминах дифференциальных форм нецелого
порядка. В разделах 8 и 9 рассматриваются уравнения линейной
электродинамики с производными Капуто по координатам. В разделе 10 описывается
волновое уравнение нецелого порядка для электромагнитного поля.
Краткое заключение приводится в разделе 11.
12.2. Дифференциальные формы целого порядка
В математике дифференциальные формы являются способом
формулировки математического анализа многих переменных, который не зависит
от системы координат. Дифференциальная форма порядка к, или,
эквивалентно, дифференциальная fc-форма, на гладком многообразии М
определяется как гладкое сечение А>й внешней степени кокасательного
расслоения М [560]. В данной главе в качестве многообразия будет
рассматриваться евклидово пространство М — Rn. Дифференциальная 0-форма по
определению является гладкой функцией на М. Дифференциальная 1
-форма и> = Fl(x)dxi является объектом, дуальным к векторному полю F =
= Fl(x)Dl. на Ш.п. Здесь и далее подразумевается суммирование по
повторяющемуся индексу г от 1 до п. Объекты dxiy где г = 1,..., п, являются
ортогональными дифференциальными 1-формами на Ш71. Формы dxi
являются объектами, дуальными к векторным полям D].%, г1 = 1,..., п, на Rn.
Дифференциальные формы могут умножаться друг на друга,
используя операцию Л, называемую внешним произведением. Существует также
дифференциальный оператор d, действующий на дифференциальные
формы и называемый внешней производной. Внешнее произведение к\-формы
и А>2-формы является (к\ -ffe)-формой, а внешняя производная fc-формы
является (к + 1)-формой. В частности, внешняя производная 0-формы f(x),
то есть гладкой функции на М, является дифференциалом df (х) этой
функции, который представляет собой 1 -форму М.
Определение. Дифференциальная 1-форма
называется точной 1-формой на Rn, если векторное поле F = eiFl(x)
может быть представлено как
где V = V(x) — некоторая непрерывно дифференцируемая функция.
и = Fl(x)dxi
(12.1)

12.2. Дифференциальные формы целого порядка
285
Если дифференциальная форма (12.1) является точной 1-формой, то
ш — —dV, где V — V{x) есть 0-форма. Внешняя производная d обобщает
понятие дифференциала функции, являющейся фактически 0-формой, на
дифференциальные формы высших порядков [46,560].
Определение. Внешняя производная d, действующая на fc-форму
дает (к + 1)-форму duk, такую что выполняются следующие свойства:
(1) Внешняя производная является R-линейным отображением:
d{c\uJk + C2U>i) = c\duk + C2du;i,
где к и I — натуральные числа, а с\, с2 £ Ш.
(2) Для внешнего произведения fc-формы &>к и /-формы ш\ внешняя
производная дает
d(uik Л ш{) = duJk Л иц + {-l)kUk Л duoi.
(3) Для 0-формы V внешняя производная dV является дифференциалом
гладкой функции V:
dV = dx1 Dl V.
(4) Для любой гладкой функции V — V(x) имеем d(dV) = 0.
Известно, что fc-форма на W С Rn может быть представлена в
компонентах
Vk=b>ii...ik(x)dxil A...Adxik. (12.2)
Внешняя производная формы (12.2) равна
duJk — djuJix...ik{x) Adx^ Л ... Adxife, (12.3)
где
^11..лЛх) = Dleuilm..ik(x)dx8. (12.4)
Отметим, что d(duj) = 0 для любых /с-форм ил
Определение. Дифференциальная fc-форма и называется замкнутой
fc-формой в Мп, если dw = 0.
Рассмотрим замкнутую 1-форму в декартовых компонентах.
Теорема. Пусть F = eiFl(x) — гладкое векторное поле в области W
пространства Шп. Тогда внешняя производная d дифференциальной
1-формы (12.1) равна
du> = | (р1гFi - D\.Fi) dxj Л dxt. (12.5)

286
Глава 12
Доказательство. Внешняя производная дифференциальной
1-формы (12.1) дает
djjj — D\.F% dxj Л dxi.
Можно переписать это уравнение как
duj = ^Dl^dxj Л dxi + ^DxjF* Л dxi-
Меняя обозначение индексов во втором слагаемом, имеем
dw = ±(Dl.Fi dxj Л dxi + Dlx%Fj dx{ Adx^.
Используя dxi Л dxj = —dxj Л dxi, получим (12.5). □
Очевидно, что условиями замкнутости 1-формы (12.1) являются
Dl.F1 -DltFj =0. (12.6)
В результате получаем следующее утверждение.
Теорема. Если гладкое векторное поле F = e^Fz(x) удовлетворяет
уравнениям (12.6) в области W пространства Rn, то (12.1) является
замкнутой дифференциальной 1-формой.
Если V(x) — некоторая гладкая функция, то
dV = ^-dxi. (12.7)
О X i
Внешняя производная 1-формы (12.7) дает
\oxi ) 2 \oxjOXi axiOXj I
Воспользуемся свойствами симметрии для вторых производных гладкой
функции:
д2У = д2У (12 8)
Другими словами, поскольку функция V = V(x) является гладкой, то
производные первого порядка коммутируют и выполняется уравнение (12.8).

12.2. Дифференциальные формы целого порядка
287
В результате любая точная 1-форма на W С Rn является замкнутой.
В общем случае обратное утверждение не выполняется. Например,
дифференциальная 1-форма
<*> = —9 У ndx + х dy
хг +yz xz + 2Г
в области
W = {(x,y)eE2: (х,у)ф{0,0)}
является замкнутой 1-формой, но не является точной.
Известно, что замкнутая 1-форма на W является точной, если
область W является односвязанной, стягиваемой в точку. Область является
односвязанной, если она является связанной и любой путь между двумя
точками можно гомотопировать непрерывно преобразован в любой другой.
Область, в которой любые две точки могут быть соединены линией,
целиком лежащей в этой области, называется связанной. В этом случае область
не может быть разбита на два непересекающихся непустых открытых
множества.
В теории дифференциальных форм фундаментальным результатом
является теорема Пуанкаре. Эта теорема утверждает (см., например,
главу XV.4 в [53]), что для стягиваемой открытой области W С Шп любая
замкнутая гладкая fc-форма и, определенная на W, является точной
дифференциальной fc-формой для любого целого к > 0. Данное утверждение
верно только, если к не превышает п. Для открытого кругового кольца на
плоскости некоторые замкнутые 1-формы и, которые не могут быть
продолжены гладко на целый диск, не являются точными.
Замкнутая форма определяется уравнением du = 0 для заданной и9
а точная форма — уравнением а> = — dV. Известно, что условие
точности является достаточным условием для замкнутости дифференциальной
формы. Рассмотрим вопрос о том, при каких условиях это является также
и необходимым условием, способом получения топологической
информации.
Теорема. Если гладкое векторное поле F = e^Fl(x) удовлетворяет
соотношениям
DlXjFl -D\Fj -0 (12.9)
на стягиваемой открытой области W в W1, то дифференциальная
форма (12.1) является точной 1-формой и существует функция V = V(x)
такая, что
u> = -DltV(x)dxi. (12.10)

288
Глава 12
Доказательство. Рассмотрим дифференциальную форму (12.1).
Формула для внешней производной (12.1) имеет вид (12.5). Поэтому
условие замкнутости для и имеет вид (12.9). Если Fl — —dV/dxi, то
импликация (переход) от точной до замкнутой является следствием
перестановочности производных первого порядка. Для гладкой функции V — V(x) эти
производные коммутируют, и уравнение (12.9) выполняется. □
Отметим, что это утверждение является следствием теоремы Пуанкаре.
12.3. Внешняя производная дробного порядка
Отметим предложенные ранее обобщения внешней производной на
случай дробного порядка.
1) В статьях [163,164] дробный дифференциал для аналитической
функции определяется как
***=гп\. ч^Т 0<о^1, (12.11)
1 (1 + а) 3
где TV" — производная Нишимого [395] (см. также раздел 22 в [101]),
которая является обобщением на нецелый порядок формул Коши для
дифференцирований.
2) В статьях [201,202] (см. также [58,198,477,482,530]) дробная внешняя
производная определяется через производную Римана-Лиувилля
da = (dxj)a0Dx'.. (12.12)
3) В работах [494,515,530] дробная внешняя производная определяется
через производную Капуто в виде
da = (dxi)a$DSj. (12.13)
Определение дифференциальных форм нецелого порядка должно быть
согласованно с возможностью обобщения интегрирования дробного
порядка этих форм. Для определения дифференциальных форм нецелого
порядка и интегралов дробного порядка для них рассмотрим простейший случай
точной 1-формы на интервале [а, Ь] из R. Для определения интегрирования
дробных дифференциальных форм, будем использовать интегрирование
Римана-Лиувилля. В этом случае дробная внешняя производная должна быть
определена через производную Капуто.

12.3. Внешняя производная дробного порядка
289
Для описания внешней производной нецелого порядка
воспользуемся фундаментальными теоремами дробного математического анализа [515,
530], которые задают соотношение
aI-[x'} °D$\x"\ f{x") = f{x) - f(a). (12.14)
Уравнение (12.14) можно переписать в виде
X
I
T(a)(t-x'Y- -D^X'W> = /(*) ~ /(°) (0<а<1), (12.15)
а
где f(x) € Li[a,6] или f(x) € АС[а,Ь]. Используя
dx' = sgn(dx')\dx'\ = sgn{dx') |dx,|1"a|^T (° < a < 1).
уравнение (12.15) можно представить как
X
/
'f'1' °х_а (sgn{dx')\dxrCaD«,{x"}f{x")) = /(*)-/(a),
a)(x - x'Y a V /
Г{а)(х-х')1
(12.16)
где 0 < a < 1. Выражение в больших скобках в (12.16) будем
рассматривать как дробный дифференциал функции f(x). В результате имеем
«/?[*]«<£/(*) =/(b)-/(a) (0<q<1), (12.17)
где дробная интегральная операция для дробных точных 1-форм
определяется оператором
ь 1_
°/?М;=/г(а№-~*°>-°- °<a<1' (т8)
a
Отметим, что
а%[х] ф JS\X\.
Дробная внешняя производная 0-формы есть не что иное, как дробный
дифференциал функции
а<Е/(х) := sgn{dx') \dx\" CaD^[x']f{x')y 0 < а < 1. (12.19)

290
Глава 12
Уравнение (12.17) может рассматриваться как дробное обобщение
интегрирования дифференциальной 1-формы. В результате дробная внешняя
производная может быть определена в компонентах как
ас£:=[^Р^.№Ь (12-20)
где использовали следующее обозначение:
[dxi]a = sgn(dxi)\dxi\a. (12.21)
Существует и вторая причина определять [dXi]Q уравнением (12.21).
замечание 1. Отметим, что [dxi]a может быть представлен через дробную
внешнюю производную степенного выражения (хг — аг)а. Для получения этого
соотношения, воспользуемся уравнениями (см. свойство 2.16 в [307], стр. 95),
1 (fj + 1 — a)
где n — 1 < a $j n, /3 > n — 1, и
[х\](х\ - ai)k = 0 (к = 0,1,..., n - 1).
Тогда дробная внешняя производная (хг — аг)а дает
adt(xi - ai)a = [dxi]a °П2.[х'г)(х\ - щ)а = [dxi]" Г (а + 1).
В результате получаем
= w ^14 - a<)°- (12-22)
1 (a + 1)
Поэтому внешняя производная дробного порядка (12.20) может быть представлена
в виде
*d* := rv \л\ad^Xi ~ a*)° (12-23)
I (a + 1)
Такое же уравнение мы получаем для дробного дифференциала.
замечание 2. Используя предложенные определения дробных интегралов
и дифференциальных форм, можно было бы определить дробное интегрирование
дробной n-формы по гиперкубу [0,1]п. К сожалению, для формулировки этих
определений используется отображение <р области W с Rn в гиперкуб [0,1]п, что
приводит к некоторым трудностям. Для целого порядка используется уравнение
ОЩф)) = (Dlf)(Dlv).

12.3. Внешняя производная дробного порядка
291
Для дробного порядка правило дифференцирования сложной функции значительно
усложняется (см. раздел 2.7.3 в [411]). В результате последовательное построение
теории дифференциальных форм дробного порядка на произвольных
многообразиях является в настоящий момент открытой проблемой.
Для определения внешней производной дробного порядка da следует
определить нецелые степени базисных 1-форм dxi, г = 1,... , п. Заметим,
что
dxi = sgn(dxi)\dxi\.
Если dxi < 0, то
(dxi)a = ei7ra \dxi\a.
Для того чтобы дробный дифференциал daf(x) был вещественным для
вещественных функций f(x) на Rn, будем использовать
[dxi]a = (sgn(dxi))m\dxi\a (т-Ка^т) (12.24)
вместо (dxi)a. Для а = т уравнение (12.24) принимает вид
[dxi}m = (3gn(dxi))m\dXi\m = (dxi)m.
В результате дробную внешнюю производную 0-формы f(x) можно
определить как
ad^f(x)=gD^J(x)[dxi]a1 (12.25)
где [dxi]a определяются формулой (12.24), а q D£. — производная Капуто
по Хг. Для упрощения уравнений возьмем начальную точку дробной
внешней производной равную нулю (а* = 0) и воспользуемся обозначением
da = „<£.
Выражения [сЬс*]01, г = 1,..., п, являются дробными ортогональными
дифференциальными 1-формами на Rn. Формы [dXi]Q являются объектами,
дуальными к дробным векторным полям ^Da. на R™.
Рассмотрим несколько примеров дробной внешней производной 0-фор-
мы f(x). Для целых значений порядка дифференцирования (a G N)
получаем следующие выражения:
d1f(x) = D1Xlf(x)dxi,
d2f(x) = Dlj(x) {dxi)2,
<Tf(x) = D^f(x) (dxi)m (m € N).

292
Глава 12
Для дробного порядка (3 рассмотрим функцию f(x) = Xj на
положительной полуоси R+. Тогда
d*z? = ^Dlxf)[dXir.
Используя
$D<xxx(3 = 0, /? = 0,1,...,т-1, га - 1 < а га,
имеем
daxf=0, /? = 0,1,...т-1, т-Ка^т. (12.26)
Используя соотношения
ссахР Г(/? + 1) ff ,
где /3>т—1иш—1<а<т, получаем
,а я _ Г(/?+1) 0_а
d Xi ' T(/3+l-a)Xi [dXU-
Если /3 = 0,1,..., га — 1, то
daxf = 0.
Приведем выражения для некоторых значений степени /3. Для (3 — а
получаем
dax° =Г(а + 1)[<^]а. (12.27)
Если /? = 1и0<а<1, то
Для /3 = 1иа>1,в силу выполнения соотношения (12.26), имеем
dQXi = 0.
Отметим, что уравнение (12.27) дает

12.4. Дробные дифференциальные формы
293
Уравнение (12.28) выражает дробную степень дифференциала [dxi]Q через
дробные базисные 1-формы dQXi.
В результате уравнение (12.25) для х Е М+ может быть представлено
в виде
dV(x) = W±-zSDlHx)dax? (а>0). (12.29)
1 (а + 1)
Отметим, что дробные внешние производные функций могут
рассматриваться как дробные обобщения дифференциальных 1-форм.
Замечание. Определим дробную дифференциальную 1-форму порядка а,
О < а < 1, формулой
ал,а(х) = Fj(x)[dxj]a. (12.30)
Тогда можно рассматривать дробный интеграл дифференциальной 1-формы (12.30)
по области
W := {х е R : а,- < я, ^ 6;}.
Определим этот интеграл в виде
Ifr[X] wifa(x) = F,-(*) [cte,]",
где использовалась дробная интегральная операция (12.18). Используя
определение (12.18) для оператора а3Щ[хз\> получаем
JfrM = -f" вд[*,] (bj ~ XiT~l Fj(x) IdXjl1- [dXj]".
Г (a)
Определение [dx]a = sgn(dx)\dx\ при 0 < a < 1 дает
s r , , v 1 f dxjFj(x)
В результате получаем
faw[x]u>i,a(x) = ajfo] F,(x),
где [xj] — интегралы Римана-Лиувилля [307] на bj] С R. Это уравнение
определяет интеграл дробного порядка для дробной дифференциальной 1-формы.
12.4. Дробные дифференциальные формы
Для евклидова пространства Rn можно рассматривать обобщение
дифференциальных форм в координатном представлении. Дробными 0-форма-
ми являются непрерывно дифференцируемые функции
^0,а = ^0,1 = f(x).

294
Глава 12
Дробные 1-формы порядка а могут быть определены формулой
ал,а = F*(a:)[dXi]a. (12.31)
Теорема. Пусть F1 (х) — гладкие функции на области W
пространства Rn. Тогда дробная внешняя производная da дифференциальной 1-фор-
мы (12.31) равна
dau,i,a = | (%Щ,Г(х) - gDZFHxj) [dxj}a A [ds<]». (12.32)
Доказательство. Дробная внешняя производная
дифференциальной 1-формы (12.1) дает
dawlta = сарах^ \**i\a А (12-33)
Можно переписать уравнение (12.33) в виде
dea;i,a = \ Jl^F* [dxtf Л [dxt]a + \ °П°,1* [dxtf Л [dz«]e.
Изменяя обозначения индексов во втором слагаемом, получаем
dau>lta = K^^F* [dxj}a Л [dxi]a + gDSFi [dXi]a Л [dxj]*). (12.34)
Используя
[dxi]a Л [dxj]a = -[dxj]Q Л [dxi]a,
выражение (12.34) дает (12.32). □
Дифференциальная 2-форма порядка а определяется формулой
U2a = Fij(x) [dxi]Q Л [dxj]a.
В результате 2-форма (12.32) может рассматриваться как
дифференциальная 2-форма порядка а, в которой
F*i(x) = \ - ZD$Fi{xj).
Дробная fc-форма на W С Rn может быть представлена в декартовых
координатах в виде
ик,* = шь..Ак(х) [dXiX Л ... Л [dxik]a. (12.35)

12.4. Дробные дифференциальные формы
295
Действие дробной внешней производной da на дифференциальную /с-фор-
му (12.35) имеет вид
dau;fc,a = daLJilmmAk(x) Л [dXiX Л ... Л [dxik]a, (12.36)
где
Л«ии..Лк(х) = СЩ^лЛ*) [^Г- (12-37)
При этом предполагается гладкость функций ^...^(ж).
Замечание 1. Отметим, что внешние производные da порядка а от fc-форм
порядка а являются (А;+1)-формами порядка а. Внешние производные d2a порядка
2а от /с-форм порядка а не являются (&+1) -формами порядка а. В результате имеем
(da)2 = dada^d2a. (12.38)
Докажем это неравенство. Подействуем внешней производной da порядка а на
0-форму /:
da/(x) = %DZJ{x) [dxi]a. (12.39)
Действие внешней производной порядка а на 1-форму (12.39) дает
dad"f(X) = \{Z,D£. $т.№ - a.Dl oDt, fix)) [dx,]* Л [dXif.
Дробная внешняя производная d2a порядка 2a от 0-формы / дает
d2af{x)=caDlaJ[dxi]2a.
Видно, что выполняется неравенство (12.38).
Замечание 2. Мы рассматривали дробные внешние производные da и
дробные дифференциальные формы и>к,а для к £ N, a Е М+. Очевидно, что при a £ N
рассматриваются дифференциальные формы целого порядка. Для упрощения будем
пользоваться следующей договоренностью. Дифференциальные /с-формы при
произвольных неотрицательных порядках а Ф 1 (включая a Е N) условимся называть
дробными. Поэтому
d2f(x) = D2Xif(x) (dxi)2
будут называться дробными. Отметим, что
где d1 = d является обычной внешней производной (внешней производной первого
порядка).
Замечание 3. В общем случае можно определить дробные
дифференциальные формы нецелого порядка ai такие, что дробная внешняя производная порядка

296
Глава 12
с*2 отображает эти формы в дифференциальные формы порядка а\ + с*2. Этот
случай рассматривается в работах Катлин Коттрилл-Шепард и Марка Набера [201,202].
Замечание 4. Дробная внешняя производная da является R-линейным
отображением:
da(ci шк,а + C2Ui,cx) = ci dawk,a + c2dau;/,a,
где к и I — целые числа, а ci, сг G М.
Замечание 5. Действие дробной внешней производной da на внешнего
произведения дробный дифференциальных форм не подчиняется правилу Лейбница
da(u;fc,a Au^,a) ф dau>ki(X Аш^а + (~l)ku>k,a Adau;j,a.
Это обусловлено тем, что стандартное правило Лейбница для производных нецелого
порядка не выполняется в общем случае.
Приведем определения замкнутой и точной дифференциальных fc-форм
нецелого порядка.
Определение. Дробная дифференциальная Ar-форма сик,а называется
замкнутой, если выполняется соотношение
daa;fe,Q = 0.
Дробная дифференциальная Ar-форма ик,а называется точной, если эта
форма может быть представлена в виде
где ujk-i,a — дробная (к — 1)-форма.
Легко показать, что дробная дифференциальная 1 -форма
wi,a = Р*(х) [dxi]a (12.40)
является точной 1-формой, если функции Fl(x), i = 1,..., п, могут быть
представлены в виде
1*(х) = -%Е>2У{х), (12.41)
где V = V(x) — непрерывно дифференцируемая функция, а % D% —
производная Капуто порядка а. Используя дробную внешнюю производную,
точная 1-форма порядка а может быть представлена в виде
«i,a = -daV(x) = -[dxi}a °П%у(х). (12.42)
Сравнивая (12.40) и (12.42), получаем (12.41). Отметим, что
выражение (12.40) является обобщением дифференциальной формы (12.1).

12.4. Дробные дифференциальные формы
297
Замечание. В общем случае дробная к -форма
Uk,a = ^н..лк{х) [<каг]а Л ... Л [dxik]a
может быть замкнутой, когда дифференциальная /с-форма
c^fc,i = c^ij ...гк (х) dxix Л ... Л dxik
с тем же Шгх..лк{х) не замкнута. Например, дробная 1-форма
u>h* = ya[dx}a+xa[dy}a,
где х, у Е М+ и 0 < а < 1, является замкнутой. В то же время дифференциальная
1-форма
lui = yadx + xady
не является замкнутой. Очевидно, что дробная /с-форма си к,а может быть точной,
когда дифференциальная /с-форма Шк,1 не является точной.
Для дробных дифференциальных 1-форм можно сформулировать
следующее утверждение.
Теорема. Если гладкие функции F = eiFl(x) на стягиваемой в точку
открытой области W в W1 удовлетворяют соотношениям
F*(s) - lD%Fi{x) = О, (12.43)
то (12.40) является точной дробной 1-формой, представимой в виде
«1,« = -£лгЛ*). (12-44)
где V(x) — непрерывная дифференциальная функция и %.D%V(x) =
= -F*(x).
Доказательство. Это утверждение является следствием дробного
обобщения теоремы Пуанкаре [202]. □
замечание. Отметим, что можно рассматривать обобщения дробной
внешней производной в виде
de = [<fcJe*£D2*, (12-45)
где а = (qi,q2,..., ап), и использовать дробные дифференциальные 1-формы:
u>i,a = Ui{x)[dxi]ai. (12.46)
В этом случае можно получить уравнение с производными различных порядков а*.
Например, дробная 1-форма (12.46) будет замкнутой, если
ZiI%iiFi{x)-°im\Fi{x) = 0.
Для упрощения в данной работе полагаем а* = а.

298
Глава 12
ПРИМЕР. Рассмотрим дробную дифференциальную 1-форму
"i,a = Fx(x,y)[dx]Q +Fy(x,y)[dy}Q, (12.47)
где х, у е М+ и
^(д;,и) =an(y)^ +а12(а:)у/32, (12.48)
Fy(x,y) = a2i(y)x^ + a22(s)/4. (12.49)
Дробная внешняя производная da дифференциальной 1-формы (12.47)
имеет вид
dau;i|a = $D$Fx(x,y)[dy]a Л [dx]a + ?ГВД(*,у)[<*г]в Л [dy]a, (12.50)
где начальные точки дробных внешних производных взяты равными нулю
{а\ = а,2 = 0). Если fa > га — 1, где га — 1 < a ^ га, то
(12.51)
Если /?2 = /?з, то уравнение (12.51) может быть переписано в виде
= Г(Д + 1"-а) (Q2l(^2"Q " «i2W/2"Q)[^]a Л [cfo]°.
(12.52)
Отметим, что 1-форма (12.47), в которой используются (12.48) и (12.49),
является замкнутой (daa;i>a = 0), если /?2, /?з Е {0,1,..., га — 1}, где га —
— 1 < а < га.
замечание. Обобщение внешней производной на дробный порядок может
быть определено с использованием дифференцирования Римана-Лиувилля вместо
производной Капуто. Если частные производные в определении внешней
производной d = dxiDl. заменить на производные Римана-Лиувилля порядка а, то дробная
внешняя производная может быть представлена уравнением
da = [dxi}a0Dl, (12.53)
где oDx — производные Римана-Лиувилля [101,307] с начальной точкой в нуле.
Отметим, что производная Римана-Лиувилля от константы С отлична от нуля

12.5. Оператор звезда Ходжа
299
Дробная внешняя производная Римана-Лиувилля порядка а от с начальной
точкой, взятой в нуле, и п = 2 равна
cTxi = [dxi]a oDXlXi + [dx2]a oD"2Xi. (12.55)
В результате получаем соотношение
d ж! = [dxi\ г- + cte2 ^т: г.
Г(« + 1 — а) Г(1 — а)
Это уравнение представляет дробный дифференциал через дробную степень
дифференциала при использовании производной Римана-Лиувилля.
12.5. Оператор звезда Ходжа
Оператор звезда Ходжа * является линейным оператором,
отображающим дифференциальные fc-формы, определенные на n-мерном линейном
пространстве V, в (п—к)-формы. Метрический тензор задает канонический
изоморфизм между пространствами fc-форм и fc-векторов, поэтому
оператор звезда Ходжа на ориентированном n-мерном линейном пространстве
V является оператором из пространства дифференциальных fc-форм в
пространство (п — /с)-форм, где п = dim V и 0 < к < п. Этот оператор также
задает отображение из пространства fc-мерного векторного пространства
в (п — А:)-мерное векторное пространство, где п = dim V и 0 < к < п.
Дадим сначала определение оператора звезда Ходжа для векторов /с-мерного
пространства.
Определение. Пусть ei, б2,...,еп — ортонормированный базис п-
мерного векторного пространства V. Тогда следующие свойства полностью
определяют оператор Ходжа *:
*(егг Aei2A---Aeik) = eik+1 A eik+2 А • • • Л ein, (12.56)
где {ii, • • • ifc, ifc+i • • • in} является четной перестановкой {1,2, • • • п}.
Имеется п!/2 соотношений вида (12.56), первое из которых имеет вид
*(ei Л е2 Л • • • Л ек) = ek+i А ек+2 Л • • ■ Л еп.
Среди этих соотношений только (£) являются независимыми.
пример 1. Хорошо известным примером применения оператора
звезда Ходжа является случай п = 3, когда он устанавливает соответствие
между векторами и кососимметрическими матрицами. Эта операция может
использоваться в дробном внешнем математическом анализе, например, для

300
Глава 12
получения векторного произведения из внешнего произведения двух
дробных дифференциальных форм. Для евклидова пространства Ш3 имеем
*[dx]a = [dy]aA[dz]a,
*[dy]a = [dz]aA[dx}a,
*[dz]a = [dx]a A[dy]a,
где [dx]a, [dy]a и [dz]a являются дробными ортонормальными
дифференциальными 1-формами на Ш3. В этом случае оператор звезда Ходжа
соответствует векторному произведению в М3.
Пример 2. Другим примером является четырехмерное (п = 4)
пространство-время с метрической сигнатурой (+,—,—,—) и
координатами (£, х, у, z). Для базисных дробных 1-форм имеем
*[dt]a = [dx]a A[dy]a A[dz}a,
* [dx]a = [dt]a A [dy]a A [dz]a,
*[dy]a = [dt]a A[dz]a A[dx]a,
*[dz]a = [dt}a A[dx]a A[dy]a.
Для 2-форм дробного порядка а имеем
*[dt]aA[dx]a = -[dy]a A[dz}a,
*[dt]aA[dy]a = [dx]aA[dz]a,
*[dt}a A[dz}a = -[dx]a A[dy]a,
* [dx]a A [dy]a = [dt]a A[dz}a,
* [dx}a A [dz)a = -[dt}a A [dy]a,
*[dy]aA[dz]a = [dt}a A[dx}a,
где использовали £0123 = — 1.
12.6. Векторные операции через дифференциальные
формы
Комбинация оператора * и внешней производной d порождает такие
классические операции векторного анализа, как grad, div и rot. Этот факт
может быть использован для определения дробных обобщений
дифференциальных векторных операций grad, div и rot на случай нецелого порядка.

12.6. Векторные операции через дифференциальные формы
301
1) Для 0-формы ujq = f(x,y,z) дробная внешняя производная дает
оператор градиента нецелого порядка:
dQu>0 = CaD«f [dx]a + $D$f [dy}« + ccD«f [dz]a.
Это уравнение может рассматриваться как определение градиента
дробного порядка через дробные дифференциальные формы.
dau>0 = (Giad^f)k[dxk]a,
где область W с М3 задается условиями х ^ а, у ^ b, z ^ с.
2) Применение дробной внешней производной к дифференциальной
1-форме нецелого порядка
"ita = Fx[dx]a + Fy[dy]a + Fz[dz}a, (12.57)
дает выражение
deu;,,0 = (fr>Jf, - °D°Fv)[dy]a A [dx)*+
+ (ccDazFx- caDaxFz)[dz}°A[dx)° + (cD^Fy- 6CD£F2)[dz]a A[dy}a.
В компонентах эта дробная 2-форма определяет оператор ротора
нецелого порядка:
dew,,e = (fD^F, - ccDazFy)[dy}a A [dz}a+
+ ( caD«Fz - CCD«FX) [dx]a A [dz}<* + ( caDaxFy - ZD°FX) [dx]a A [dy}<*.
(12.58)
Применяя оператор звезда Ходжа * к 2-форме (12.57), получаем
.dQw,,e = ($D$FZ - <;DazFv)[dx\a+
-[caD%Fz - ccD«Fx)\dyr + (°D«FV - <;D$Fx)[dz)a. (12.59)
3) Применяя оператор звезда Ходжа * к дробной 1-форме (12.57),
получаем
*"i,a = Fx[dy]a A [dz}a - Fy[dx]a A [dz]a + Fz[dx]a A [dy]a. (12.60)

302
Глава 12
Дробная внешняя производная дифференциальной 2-формы (12.60)
нецелого порядка дает
d" *u>ha = (CaD"xFx + ^DyFy + CCD"ZFZ) [dx]" A [dy]" A [dz]".
(12.61)
Это выражение можно представить в виде
da * LJha = Div^ F [dx]" A [dy]" A [dz]".
Применяя оператор звезда Ходжа * к дробной 3-форме (12.61),
получаем 0-форму
*d" *uha = caD"xFx + °D%FV + CCD"ZFZ. (12.62)
В результате имеем
*dQ*u;1,a =Div^F.
Это уравнение определяет дивергенцию дробного порядка через
дробные дифференциальные формы.
Одним из преимуществ этих представлений является тот факт, что
тождество (da)2 = 0, которое выполняется во всех случаях, приводит к
соотношениям
Rot^ Grader/(ж, у, г) = 0,
Div^ Rot^ F = 0.
В результате дробное обобщение векторных дифференциальных
операций может быть определенно через дифференциальные формы нецелого
порядка.
12.7. Дробные уравнения Максвелла и дробные к-формы
Хорошо известно, что уравнения Максвелла принимают относительно
простой вид, когда выражаются в терминах внешних производных и
операции звезда Ходжа. Можно использовать дробную внешнюю производную
и операцию звезда Ходжа для записи дробных дифференциальных
уравнений Максвелла. Отметим, что Лиувилль был первым, кто применил
дробный математический анализ в электродинамике [340].
Пусть хм, /х = 1,2,3,4, — координаты, которые образуют базис из
дробных 1-форм [dx^]a в каждой точке открытого множества, где эти
координаты определены. Используя базис 1-форм [dxM]Q, /х = 0,1,2,3, и
систему единиц СГС, определим следующие понятия.

12.7. Дробные уравнения Максвелла и дробные к-формы
303
1) Антисимметричный полевой тензор f^(x) соответствует дробной
2-форме
F(a) = У^(х) [dx»]a A [dx»]a, (12.63)
где /^(х) — образованы из компонент вектора напряженности
электрического поля Е и компонент вектора индукции магнитного поля
В. Например, — Ez/c9 /2,3 = — Bz и т.д. Электрические и
магнитные поля могут описываться с помощью дробной
дифференциальной 2-формы F в 4-мерном пространстве-времени. В электродинамике
дробным обобщением 2-формы Фарадея имеет вид (12.63). При
использовании языка дифференциальных форм будем применять
систему единиц СГС (система единиц Гаусса). Отметим, что в качестве хм,
/х = 0,1,2,3, мы рассматриваем безразмерные переменные. Заметим
также, что дифференциальная форма (12.63) для a = 1 является
специальным случаем формы кривизны на главном расслоении [282],
использование которой позволяет строить теорию калибровочных полей.
Дифференциальная 2-форма * F(a), которая является дуальной к
форме Фарадея, называется 2-формой Максвелла.
2) Дробная 3-форма тока определяется формулой
J(a) = j»(x) е^б [dx»]a A [dx^]a A [dx6}a, (12.64)
где j^(x) — четырех вектор электрического тока. Дифференциальная
3-форма J(a) дробного порядка может быть названа дробной
дифференциальной формой электрического тока. Здесь ток J(a)
определяется как дробная 3-форма. Отметим, что J(a) может
определяться как дробная 1-форма, то есть как операция звезда Ходжа
от (12.64). Использование 3-формы более удобно, поскольку J(a)
является замкнутой, а не козамкнутой, как 1-форма тока. Операция
звезды Ходжа * является линейным отображением из пространства
3-форм в пространство 1-форм, определенным метрикой
четырехмерного пространства-времени, и поля определяются в естественных
единицах, где 1 /47Гбо = 1.
замечание. Мы используем f^(x) вместо F^(x) и j^(x) вместо J^(x).
Отметим, что векторные и тензорные компоненты и соответствующие им
дифференциальные формы имеют различные физические размерности.
Используя определения (12.63) и (12.64), можно записать уравнения
Максвелла дробного порядка в компактном виде
daF(a) = 0, (12.65)

304
Глава 12
da *F(a) = 3(a). (12.66)
Уравнение (12.65) означает, что дробная форма Фарадея F(a) является замкнутой.
Уравнение (12.65) фактически сводит дробные уравнения Максвелла к некоторому
тождеству Бианки. В стягиваемой в точку открытой области пространства-времени
дифференциальная форма F(a) может быть представлена в виде F(a) = da A(a),
где А — дифференциальная форма вида A(a) — A^dx^]01.
Отметим, что дробная внешняя производная уравнения (12.66) дает
daJ(a) = 0,
где использовали свойство dada = 0. В результате дробная 3-форма J(a)
удовлетворяет уравнению неразрывности дробного порядка. Дифференциальная 3-форма
тока может быть проинтегрирована по 3-мерной пространственно-временной
области. Физической интерпретацией этого интеграла является электрический заряд
в этой области, если она является пространственно-подобной, или количество
электрического заряда, протекающего через поверхность в течение определенного
интервала времени, если эта область является пространственно-подобной
поверхностью перпендикулярной времени-подобному интервалу.
В результате имеем следующие уравнения.
1) Дробное тождество Бианки
dQF =
= 2(£d^f^+£/^ = о.
2) Дробное уравнение с источником тока
da * F = ^D^F^ evl8(3 [dx1]* A [dxs)a A [dx^ = J.
3) Дробное уравнение неразрывности
daJ = Ca»D«»f e^s [dx»]a A [dx"]a A [dx^]a A [dx5}a = 0.
Замечание. Так же как внешняя производная определяется на произвольном
многообразии, тождество Бианки через дифференциальные формы имеет смысл для
произвольного 4-мерного многообразия. Уравнение неразрывности определяется,
если многообразие является ориентированным и снабжено метрикой Лоренца.
Поэтому представление уравнений Максвелла через дифференциальные формы удобно
для формулировки этих уравнений и в рамках общей теории относительности.

12.8. Производная Капуто в электродинамике
305
12.8. Производная Капуто в электродинамике
Поведение электрических полей (E,D), магнитных полей (В,Н),
плотности электрического заряда p(t,r) и плотности тока j(£,r)
описывается уравнениями Максвелла
Здесь г = (я, у, z) — точка в области W. Плотности p(t,r) и j(t, г)
описывают внешние источники полей. При этом предполагаем, что внешние
источники электромагнитного поля заданы.
В линейной электродинамике сплошных сред соотношения между
полями Е(£, г) и D(£, г) могут быть заданы в виде
где €о — электрическая постоянная. В случае однородности среды
имеем е(т, г') = е(т — г'). Уравнение (12.71) означает, что вектор
индукции электрического поля D в некоторой точке определяется
вектором напряженности Е во всех других точках пространства. В локальном
случае проницаемость среды выражается через дельта-функцию Дирака
е(т — т') = е5(т — г'), и уравнение (12.71) приводится к виду D(£,r) =
= eoeE{t,r).
Аналогично могут выполняться нелокальные соотношения для
магнитных полей В(£, г) и Н(£, г).
Покажем один из возможных способов появления производной Капуто
в классической линейной электродинамике. Если мы имеем соотношение
divD(*,r) = p(*,r),
rotE(*,r) = -dtB(*,r),
divB(£,r) = 0,
rotH(*,r) = j(*,r) + ftD(t,r)
(12.67)
(12.68)
(12.69)
(12.70)
(12.71)
— oo
(12.72)
—oo
где x e R, то
DlD(t,x)= (Dle(x-x')^E(t,x')dx'
—oo
— oo

306
глава 12
Используя интегрирование по частям, получаем
+оо
DlD(t,x)= J е(х-х') Dl,E(t,x')dx'. (12.73)
—оо
Рассмотрим такое ядро е(х — х') интеграла (12.73), которое на интервале
(а, х) представимо в виде
£(_,н .<*<^ <а [пм)
со степенной функцией
ф-*)=%~/Г" (0<а<1). (12.75)
Г(1 - а)
Тогда уравнение (12.73) приводит к соотношению
Dl-D(t,x)= ZD%E(t,x) (0<а<1), (12.76)
где ~ производная Капуто порядка а.
12.9. Дробные нелокальные уравнения Максвелла
Дифференциальные уравнения Максвелла с производными дробного
порядка по координатам [515,530] могут быть записаны в виде
Div#E(*,r)=flip(*,r), (12.77)
Rot% E(*,r) = -ftB(*,r), (12.78)
Div$B(*,r)=0, (12.79)
<?2Rot$B(*,r) =j(t,r)+fl^19tE(t,r), (12.80)
где as (s = 1,2,3,4) могут быть как целыми, так и дробными, а д\, #2,
дз — некоторые константы. Производными нецелого порядка по
координатам позволяют естественным образом описывать свойств сплошных среды
со степенной нелокальностью.
Отметим, что дробно-интегральные уравнения Максвелла, в которых
используются интегралы нецелого порядка, были предложены в
работах [478,479,495,499,530] для описания фрактальных распределений
электрического заряда и полей в рамках дробно-интегральных моделей.

12.9. Дробные нелокальные уравнения Максвелла 307
Производные дробного порядка по координатам связаны с
нелокальными свойствами среды. Например, нелокальное альфа-взаимодействие в
кристаллической решетке в непрерывном пределе может привести к
дифференциальным уравнениям дробного порядка [493,496,530]. Предлагаемые
дифференциальные и интегральные уравнения дробного порядка могут
использоваться для описания электромагнитного поля в средах,
демонстрирующих нелокальные свойства со степенными хвостами. Предлагаемые
уравнения можно рассматривать как специальный случай уравнений
нелокальной электродинамики [162,174,237,251,354-356].
Получим закон сохранения электрического заряда в области W из
уравнений Максвелла с производными дробного порядка. Взяв
производную по времени от уравнения (12.77), имеем
Div$ dtE(t, г) = дг dtp{t, г). (12.85)
Подставляя (12.80) в (12.85), получаем
9з Div^ (д2 Rot^4 В(*, г) - г)) = дг dtp(t, г). (12.86)
Если Ot\ = С*4, то
Div$ Rot$ B(t, г) = 0 (12.87)
и закон сохранения принимает вид
дг dtp(t, г) + д3 Div£ г) = 0. (12.88)
Уравнение (12.88) является дифференциальной формой записи закона
сохранения электрического заряда в дробной нелокальной электродинамике.
В общем случае интегральные уравнения Максвелла [515,530]
дробного порядка могут быть представлены в виде
(l^,E(*,r)) =<?iO(*,r), (12.81)
(l^,E(t,r)) = -|(l«»,B(*,r)), (12.82)
(lg^,B(«,r)) =0, (12.83)
<72(l^,B(*,r)) = (lg«,j(t,r)) +<73-1!(l^,E(*,r)). (12-84)

308
Глава 12
Если ai = #4, то можно определить дробно-интегральную
характеристику
Qw(t) = gJw1 [ж, 2/, *]р(«, у, z), (12.89)
которая может быть названа полным дробно-нелокальным электрическим
зарядом, а
(12.90)
— дробным нелокальным электрическим током. Тогда закон сохранения
заряда будет иметь вид
^Qw(t) + Jdw(t) = 0. (12.91)
Это интегральное уравнение описывает сохранение электрического заряда
в нелокальной электродинамике в случае а\ = а±.
12.10. Дробные уравнения электромагнитные волны
Получим волновые уравнения для электрического и магнитного
полей в области W из уравнений Максвелла (12.77)-(12.80) с производными
дробного порядка для случая j = 0 и р = 0.
Возьмем производную от уравнения (12.78) по времени
д2В = - Rot$ dtE. (12.92)
Подставляя (12.84) и j = 0 в (12.92), получаем
д2В = -д2д3 Rot# Rot# в(*, г). (12.93)
Используя (11.49) и (12.79) для а2 = с*з = #4, имеем
82В = д2д3(сВ^)2В. (12.94)
В результате получаем
32В - v2( CD^)2B = 0, (12.95)
где v2 = д2дз- Уравнение (12.95) является дробным волновым уравнением
для вектора индукции магнитного поля В. Аналогично уравнения (12.78)

12.10. Дробные уравнения электромагнитные волны
309
и (12.84) дают дробное волновое уравнение для вектора напряженности
электрического поля
Э2Е - v2( CD^)2E = 0. (12.96)
Решение В(£, г) уравнения (12.95) является линейной комбинацией
решений В+(£,г) и В_(£,г) уравнений
ftB+(*, г) - v cD^B+(£, г) = 0, (12.97)
ftB_(t,r) + ucD^B_(*,r) = 0. (12.98)
В результате получаем дробное расширение выражения Даламбера,
рассмотренное в работе [410].
Для граничных условий
lim В(*, г) = 0, B(t, 0) = G(t), (12.99)
|i|->oo
общее решение уравнений (12.97) и (12.98) задается [307] в виде
+оо
Bm±(t,r) = ± j dwEaA[Tivux^]Gm(u;)e-iuj\ (12.100)
— оо
где Gm(u) = T[Gm(t)], a Ea^[z] — двухпараметрическая функция
Миттаг-Леффлера [307]. Здесь B±m(t,r) и Gm(t) являются компонентами
векторов В±(£, г) и G(t) соответственно.
Рассмотрим одномерный случай
Вх(х, у, z, t) = и{х, t), By = Bz = 0.
Уравнение (12.95) принимает вид дифференциального уравнения дробного
порядка по координате
D2u(x,t) - v20Dlau(x,t) = 0, x G R, x > 0, v > 0. (12.101)
Пусть граничное условие имеет вид
Dkxu(0,t) = fk(t), (12.102)
где к = 0 для 0 < а < 1/2 и к = 1 для 1/2 < а < 1. Если 0 < 2а < 2
и v > 0, то система уравнений (12.101) и (12.102) является разрешимой

310
Глава 12
(см. теорему 6.3 в [307]) и решение задается формулой
п-1 +2°
.(*, t) = T G\a(х - у, t)/*(y)d» (п - 1
< а ^ п),
(12.103)
где
'<£(-a,fc + l
а,^|дГа).
(12.104)
Здесь ф(—a, А; + 1 — a, г>|£|х_а) является функцией Райта [307].
Отметим, что получение решений уравнений (12.97) и (12.98)
основано на использовании преобразований Лапласа для производной Капуто
qD%. Это приводит к определенным трудностям [307] с дробными
производными Капуто ПРИ а ^ ^-
Дробные производные в уравнениях могут быть связаны с
нелокальным альфа-взаимодействием [493,496,530]. Нелокальные свойства в
электродинамике могут рассматриваться [517] как результат диполь-дипольного
взаимодействия со степенным экранированием, которое может быть
связано с интегро-дифференцированием нецелого порядка. Производные
нецелого порядка в уравнениях приводят к наличию степенных хвостов у
решений этих уравнений.
12.11. Заключение
Дробные дифференциальные формы являются важными для описания
дробной динамики сложных сред и систем с нелокальными свойствами.
Дробное внешнее исчисление дифференциальных форм дробного порядка
может использоваться в нелокальной статистической механике [494,508],
в нелокальной классической электродинамике [222,283,284,289,386,387,
478,479,495,499,550] и гидродинамике нелокальных сред [361,480,530].
Производные нецелого порядка могут быть связаны с нелокальными альфа-
взаимодействиями [493,496,530].
Теория дифференциальных форм имеет важное значение в
математике и физике [236,560]. Дробные дифференциальные формы могут быть
полезны при формулировке обобщений понятий и структур
дифференциальной геометрии, включая симплектическую геометрию, кэлерову
геометрию, риманову геометрию и геометрию аффинно-метрических
многообразий. Внешнее дробно-дифферницальное исчисление представляется
важным для теории дифференциально-геометрических структур [18] и их
обобщений на дробный порядок дифференциальных операций.

12.11. Заключение
311
Замкнутые и точные вещественнозначные дифференциальные формы
нецелого порядка а, определенные на многообразии М, будут образовывать
некоторые линейные пространства Z%(M) и В*(М). Фактор-пространства
Я^(М) := Z*(M)/Ba(M) могут рассматриваться как обобщения групп
fc-мерных когомологий многообразия М. В связи с этим появляется
возможность построения нелокальной теории когомологий для описания
топологических свойств многообразий.
Можно предположить, что дробные дифференциальные формы и
интегральные теоремы для этих форм могут использоваться при
описании процессов в классической механике [35,44,551,560] и
термодинамике [196,560]. Они могут иметь важное значение для построения обобщений
симплектических и пуассоновых структур [15,59,127], использующих
производные дробного порядка.

Глава 13
Дробные динамические системы
13.1. Введение
Под динамической системой понимается некоторое отображение,
которое описывает зависимость от времени положения в пространстве
состояний. В любой данный момент времени динамическая система находится
в состоянии, заданном вектором х, который может быть представлен точкой
в соответствующем пространстве состояний. Инфинитезимальные
изменения состояний системы соответствуют бесконечно малым изменениям
векторов. Эволюция динамической системы задается правилом, описывающим
какие состояния следуют за текущими состояниями. Важными понятиями
в теории динамических систем являются понятия градиентной и гамильто-
новой систем [46,280,551]. В данной главе предлагаются обобщения этих
понятий. Для этого используются дифференциальные формы и внешние
производные дробных порядков. На их основе определяются гамильтоно-
вы и градиентные системы нецелых (дробных) порядков. В общем случае
дробные гамильтоновы и градиентные системы не могут рассматриваться
как гамильтоновы и градиентные системы. Предлагаемый класс дробных
градиентных и гамильтоновых систем значительно шире [477,482,530],
чем класс обычных градиентных и гамильтоновых динамических систем.
Системы градиентного и гамильтонова типов [31,35,46,551] фактически
являются частными случаями дробных градиентных и гамильтоновых
систем.
В разделе 2 рассматриваются локальные и глобальные потенциальные
системы. В разделе 3 предлагаются обобщения градиентных систем,
использующие производные дробного порядка. В разделе 4 приводятся
некоторые примеры дробных градиентных систем. Хорошо известные системы
Лоренца и Рёсслера рассматриваются как обобщенные градиентные
системы. В разделе 5 рассматриваются локальные и глобальные гамильтоновы
системы. В разделе 6 предлагаются дробные обобщения локальных и
глобальных гамильтоновых систем. Краткое заключение приводится в
разделе 7.

13.2. Градиентные динамические системы
313
13.2. Градиентные динамические системы
Градиентная система описывается уравнением
§ = -gradV(x),
где х = x^i е Rn и 1^(х) — непрерывно дифференцируемая функция.
В декартовых координатах градиент функции V задается формулой
grad V(^)=eiD1XiV(^).
Здесь и далее будет подразумеваться суммирование по повторяющимся
индексам г и jот 1 до п. Можно дать следующее определение градиентной
системы.
Определение. Динамическая система, которая описывается
уравнениями
^ = ВД (i = l,...,n), (13.1)
называется градиентной (или глобально потенциальной) системой в Мп,
если дифференциальная 1-форма
и; = Fi(x)dxi (13.2)
является точной формой, то есть существует такая непрерывно
дифференцируемая функция V — V(x) (0-форма), что эта 1-форма представима в
виде uo = —dV.
В общем случае вместо уравнений (13.1) можно рассматривать
динамические системы, которые описываются дифференциальными
уравнениями [411] дробного порядка по времени:
£/?°х<=*}(х), (13.3)
где — производная Капуто по времени. Определение
дифференциальной формы (13.2) при этом не меняется.
Приведем определение локально потенциальной системы.
Определение. Динамическая система, описываемая уравнениями (13.1),
называется локально потенциальной системой в Мп, если
дифференциальная 1-форма (13.2) является замкнутой.

314
Глава 13
Глобально потенциальные динамические системы являются локально
потенциальными. В общем случае обратное утверждение не верно.
Например, локально потенциальная система
dX\ _ — Х2 dX2 _ Х\
dt х\ + х\" dt х\ + х\
в области W = {(х, у) € К2 : (х, у) ф (0,0)} не является градиентной
(глобально потенциальной). Если область W С К является односвязной
и стягиваемой в точку, то локально потенциальная система является
глобально потенциальной.
Понятия локальной и глобальной потенциальных систем с векторным
полем F = eiFi связаны с условиями duj — 0 и ио = —dV для замкнутости
и точности дифференциальной формы и = Fidxi соответственно.
Можно утверждать, что условие глобальной потенциальности (градиентности)
является достаточным условием для локальной потенциальности систем.
Изучение вопроса о том, является ли это также необходимым условием,
определяется топологическими свойствами пространства состояний
динамической системы.
Теорема. Если гладкое векторное поле F = е^(х) системы (13.1)
удовлетворяет соотношениям
Dl.Fi-Dlf^O (i,j = l,...,n) (13.4)
на стягиваемой в точку открытой области W С Кп, то динамическая
система (13.1) является градиентной системой, такой что
^ = -^У(х), (13.5)
где = -£>iT(x).
Это утверждение является следствием теоремы Пуанкаре, которая
утверждает, что для стягиваемой в точку открытой области W в Rn любая
гладкая замкнутая 1-форма (13.2), определенная на W, является точной.
Определение. Динамическая система, которая определяется
уравнениями (13.1), называется обобщенной диссипативной системой, если
п
П(х) = сИуР = ££^ад^0,
г=1

13.3. Дробное обобщение градиентных систем
315
и называется диссипативной системой, если
п
Q(x)divF = ^ DlFi(x) < 0.
Уравнения движения градиентной системы на стягиваемой в точку од-
носвязной области W из Rn могут быть представлены в виде (13.5).
Поэтому градиентные системы полностью определяются потенциальными
функциями V = V(x).
Предположим, что точная дифференциальная 1-форма
u> = -dV = -dxi DltV(x)
равна нулю, то есть имеет место уравнение
Dly(x)=0 (t = l,...,n).
Тогда получаем, что функция V = V(x) является постоянной, то есть
V(x) - С = 0, (13.6)
где С — некоторая постоянная. Уравнение (13.6) определяет стационарные
состояния градиентной динамической системы (13.5).
13.3. Дробное обобщение градиентных систем
Рассмотрим динамическую систему, которая описывается
уравнениями (13.1) или (13.3) в некоторой области W евклидова пространства Rn.
В работах [477,482,530] было предложено следующее обобщение понятия
градиентной динамической системы.
Определение.
Динамическая система, которая описывается уравнениями
^ = Я(х), * = 1,...,п, (13.7)
где х = € W С Rn и F = е^(х), называется дробной градиентной
(или дробной глобально-потенциальной) системой, если дробная
дифференциальная 1-форма
ui,a = Ъ(х)[&а]а (13.8)

316
Глава 13
является точной формой, такой что u;i>Q = — daV, где V = У(х) —
некоторая непрерывно дифференцируемая функция. Динамическая
система (13.7) называется дробной локально-потенциальной системой, если
дробная 1-форма (13.8) является замкнутой.
Отметим, что уравнение (13.8) является обобщением (13.2) на
случай дифференциальной формы дробного порядка. Если а = 1, то
уравнение (13.8) принимает вид (13.2).
Замечание 1. Мы рассматриваем дробные градиентные системы порядка
а Е К+. Очевидно, что а Е N не является дробным значением. Мы условимся
использовать термин «дробные градиентные» системы для любых вещественных
значений порядка а, включая а Е N.
Замечание 2. Динамическая система, описываемая уравнениями (13.3)
с производной Капуто по времени, называется дробно-градиентной (или
дробной глобально-потенциальной) системой, если дробная дифференциальная
1-форма (13.8) является точной. Динамическая система (13.3) называется дробной
локально-потенциальной системой, если (13.8) является замкнутой дробной
1-формой.
Определим левостороннюю производную Капуто формулой
%Dx'=aIxn-a{x'}Dxn„ (13-9)
где х ^ а. Если f(x) € ACm(R) или /(х) € Ст(М), то
1 хП ' Г(т-а) J {x-x')a-m+1
где х ^ а. В общем случае можно рассматривать производную Капуто на
целой оси R. В этом случае параметр а будет — оо и
CaDaxf{x)
X
г-a) J
dx'D™,f(x')
Г(т-а) J (х-х')а-т+1'
Если дробная 1-форма (13.8) является точной, то
wha = -daV = -[dXi}aZDaxy.
Поэтому имеем Fi(x) = — £.D£tV(x).

13.3. Дробное обобщение градиентных систем
317
Теорема. Если силовая функция Fi(x) является потенциальной в
области W С Rn,
Fi(x) = -?iI^V(x)l (13.10)
где V(x) — непрерывно дифференцируемая функция, тогда выполняются
условия
£д£Я(х) - = о (i3.il)
для любой точки х £ W.
Доказательство. Подстановка (13.10) в уравнение (13.11) дает
caDaXiУ(х) - ^«/(х) = 0.
Используя
где rn — 1 < а ^ га, получаем
а^-°[х5] „ЛТ"№^Пх)-
- aJTaWi\ а,Т?ГаЩЩЩУ(*) = 0. (13.12)
Соотношения
аЛТ"Ик4"ГаМ = -.^-°[xi]e,iT}-a[xJ]
позволяют представить (13.12) в виде
аЛТаИ]«ЛТа[^](^^(х) - D%D$V{*)) = 0.
Если V(x) является непрерывно дифференцируемой функцией, то
D2D2V(x.)-D?DyV(K)=0.
В результате получаем, что уравнения (13.11) выполняются для х £ W. □
В общем случае обратное утверждение не верно. Лишь для
специального класса областей W сШп имеет место обратная теорема.
Теорема. Если гладкие функции Fi = Fi(x) на стягиваемой в точку
односвязной области W в Rn удовлетворяют соотношениям
ca.DaxFi-aPxFj = ^ (13-13)

318
Глава 13
то динамическая система (13.7) является дробной градиентной системой,
описываемой уравнением
^ = -°ЦУЫ (13.14)
где V(x) — некоторая непрерывно дифференцируемая функция и % Dx V =
Доказательство. Это утверждение является следствием теоремы
Пуанкаре. Отметим, что теорема Пуанкаре, как показано в [201,202], верна
и для дробных дифференциальных форм. □
Определение. Динамическая система (13.7) называется
дробно-обобщенной диссипативной системой, если
п
П«(х) = Div^ f = £ ZDx.ОД Ф 0,
г=1
а если выполняется условие
п
пв(х) = Div^ f = 5; ад < 0,
г=1
то система называется дробной диссипативной.
Отметим, что соотношения (13.11) являются обобщениями
соотношений (13.4).
Теорема. Стационарные состояния дробной градиентной
системы (13.14) определяются уравнениям
т—1 га— 1 п
У(х) Ckl...kn (ПО* - о*)*') = 0, (13.15)
k i=0 кп=0 г=1
где Скх...кп ~ постоянные, am — наименьшее целое число, большее или
равное а.
Доказательство. Для определения стационарных состояний
дробной градиентной системы рассмотрим решение уравнения
%D%V{y) = 0. (13.16)

13.3. Дробное обобщение градиентных систем
319
Пусть т — наименьшее целое число, для которого выполняется
неравенство а ^ rn. Тогда уравнение (13.16) имеет решение [101,307] в виде
771— 1
V(x) = ^2 Aki(x1,...,xi-i,xi+1,...,xn)(xi -ai)ki, (13.17)
к{=0
где Akt — функции, зависящие от всех координат х\,..., Xi-ъ Xi+\,..., xn,
кроме Xi. Используя уравнение (13.17) для г — 1,..., п, получаем решение
системы уравнений (13.16) в виде (13.15). □
Пример. Для п = 2 рассмотрим переменные х = х\ ^аиу = х2^Ь
и дробную градиентную систему, которая описывается уравнениями
| = -.С№,У), % = -?D$V{x,y). (13.18)
Стационарные состояния этой системы определяются формулой
га— 1 га—1
v(x, у) - Е Е Сы(х - <*)*(» -= °-
к=0 1=0
где См — константы, а m — наименьшее целое число, для которого
выполняется неравенство а ^ га.
Замечание. Отметим, что производная Римана-Лиувилля от ненулевой
константы отлична от нуля. Поэтому уравнение V(x) = С не может определять
стационарное состояние градиентной системы (13.14) с производными Римана-Лиувилля.
Видно, что
_ _ (£i — CLi)~a
Г(1 -а)
Для определения стационарных состояний дробных градиентных систем с
производной Римана-Лиувилля нужно рассмотреть систему уравнений
e,DjtVr(x) = 0 (» = 1,...,п)
и найти решение этих уравнений.
Теорема. Стационарные состояния дробной градиентной системы
= V(x) (13-19)

320
Глава 13
с производными Римана-Лиувилля alDxtt определяются уравнением
п га— 1 т—1 п
у(хнП(**-ал)Г"т Е ••• Е ^i-k-dl^-^)*')=0- (13-20)
j=l /с i=0 fcn=0 г=1
Здесь Ск1...кп — постоянные, am — наименьшее целое число, для которого
выполняется неравенство а ^ га.
Доказательство. Стационарные состояния дробной градиентной
системы (13.19) определяются условием
aiD°V{-x) = 0. (13.21)
Пусть т — наименьшее целое число, для которого выполняется
неравенство а < т. Решение [101] уравнения (13.21) имеет вид
771— 1
V(x) = \xi -di\a akl(xi,... ,Xi-i,Xi+i,... ,xn)(xi -cii)k', (13.22)
kt=0
где akt — функции, зависящие от всех координат х\,..., Xi-\, Xi+i,...,£„,
кроме Xi. Используя уравнение (13.22) для г — 1,...,п, получаем
решение (13.20) системы уравнений (13.21). □
Пример. Для п = 2 рассмотрим переменные х — х\ ^ 0 и у = Х2 ^ 0.
Тогда уравнения (13.19) примут вид
| = -о^(*,у), J=-oD?V(x,j,). (13.23)
Стационарные состояния этой градиентной системы определяются
уравнением
га — 1 га— 1
У(х,у) - lxj/Г1 £ Cfc,xV = 0,
k=0 1=0
где С^/ — постоянные, am — наименьшее целое число, для которого
выполняется неравенство а < т.
Замечание 1. Производная Римана-Лиувилля обладает некоторыми
заметными недостатками. Среди них — гиперсингулярность несобственного интеграла
и ненулевое значение дробной производной от ненулевых постоянных. Последнее
влечет за собой неисчезновение диссипации для системы в равновесном состоянии.

13.3. Дробное обобщение градиентных систем
321
В тоже время условие существования производной Капуто налагает более
сильные ограничения на функции по сравнению с производной Римана-Лиувилля. Для
существования производной Капуто требуется абсолютная интегрируемость
производной порядка га от функции. Это связано с тем, что для вычисления производной
Капуто сначала берется целая производная, а затем дробный интеграл для
получения желаемого порядка дробной производной. В дробной производной
Римана-Лиувилля используется обратный порядок выполнения этих операций. Производная
Капуто может быть выражена через производную Римана-Лиувилля
caD«f(x) = «ZE/Ог) - £ 7 Q) , n/W(a+)- (13.24)
Видно, что второе слагаемое в уравнении (13.24) регуляризирует производную
Капуто и позволяет исключить потенциальные расходимости для сингулярного
интегрирования в х = а-К Следует отметить, что производная Капуто от константы
равна нулю. Если использовать производную Капуто вместо производной
Римана-Лиувилля, то стационарные состояния дробных градиентных систем будут задаваться
теми же уравнениями, что и для обычных градиентных систем (К(х) — С — 0).
Использование производных Капуто в теории динамических систем более удобно,
чем производных Римана-Лиувилля.
Замечание 2. В общем случае дробная градиентная система не может
рассматриваться как градиентная система. Класс дробных градиентных систем
является более широким, чем класс обычных градиентных динамических систем. При
этом обычные градиентные системы могут рассматриваться как специальный
случай дробных градиентных систем. В силу этого существует возможность обобщения
теории катастроф и бифуркаций с градиентных систем на более широкий класс
динамических систем, а именно на класс дробных градиентных систем. Отметим, что
порядок дробной производной а может рассматриваться как дополнительный
параметр, который может приводить к бифуркации. Например, дробная градиентная
система с потенциалом
V(x) = ±х4 4- |х2 + Ъх
имеет стационарные состояния, задаваемые уравнением
|x|1-a(x3 + a,x + fc/) =0,
где бифуркация определяется значением параметров
, аГ(5-а) , _ 6Г(5-а)
а ~ 6Г(3 - а) ' ~ 6Г(2 - а)'
которые зависят от а.
Замечание 3. Дробное обобщение дифференциальных форм [201,202]
приводит к следующему вопросам: Существуют ли дробные аналоги (обобщения)
теории когомололий и гомологии? Есть ли взаимосвязь с нелокальным характером

322
Глава 13
дробной производной и топологическими свойствами многообразий? Все эти
вопросы требуют дополнительных исследований.
13.4. Примеры дробных градиентных систем
Класс дробных градиентных систем шире класса обычных
градиентных динамических систем. Градиентные системы могут рассматриваться
как специальный случай дробных градиентных систем при а — 1.
Приведем простые примеры дробных градиентных систем, которые не являются
градиентными.
Пример 1. Рассмотрим динамическую систему, описываемую урав
нениями
dx _ F dy
dt x' dt
Fx, -£=Fy, (13.25)
где правые части Fx = Fx(x, у) и Fy = Fy(x, у) имеют вид
Fx = acxl~k + bx~k, Fv = (ax + b)y~k. (13.26)
Эта система не является градиентной, если а ф О, поскольку
D\FX - D\Fy = ау~к ф О,
и дифференциальная форма и = Fxdx + Fydy не является замкнутой, то
есть
duo — —ay~kdx Ady ф 0.
Отметим, что условие
0D%FX - oD%Fy = О
с производными Римана-Лиувилля порядка а выполняется для (13.26) при
х > 0 и у > 0, если
* = с=Щг£у (13-27)
При выполнении условий (13.27) система, задаваемая уравнениями (13.25)
и (13.26), является дробной градиентной системой с линейной
потенциальной функцией
V(x,y) = T(l-a)(ax + b),
где а = к.

13.4. Примеры дробных градиентных систем
323
Пример 2. Рассмотрим динамическую систему, определяемую
уравнениями (13.25) и функциями
Fx = ап(п - \)хп~2 + ск(к - 1)хк~2у1, (13.28)
Fy = Ьт(т - l)ym"2 + cl(l - \)хку1~2, (13.29)
где к ф 1 и / ф 1. Легко показать, что
D\FX - D\Fy = ckl xk-2yl~2((k - l)y -(I- l)x) ф 0.
Поэтому дифференциальная 1-форма a; = Fxdx + Fydy не является
замкнутой, то есть dw ф 0, а система не является градиентной. Используя условие
D2F — D2F - d2Fx - д2Ру - 0
для обобщенной дифференциальной формы
uha = Fx[dx)a + Fy[dy]a
получаем dau;i)Q = 0 при a = 2. В результате данная система может
рассматриваться как обобщенная градиентная система второго порядка с
потенциальной функцией
V(x,y) =axn + Ьут + схку1.
В общем случае дробная градиентная система не может рассматриваться
как градиентная. Градиентные системы являются специальными случаями
дробных градиентных систем порядка а — 1.
Пример 3. Покажем, что хорошо известная система Лоренца [74,334,
454] является дробной градиентной системой второго порядка. Уравнения
Лоренца [74,85,334,454] представимы в виде системы уравнений
!=F- <13-30»
где функции Fx, Fy и Fz имеют вид
Fx = a(y-x), Fy = (r-z)x-y, Fz=xy-bz. (13.31)

324
Глава 13
Параметры а, г и b могут быть равны значениям
а = 10, 6-8/3, г = 470/19 ~ 24.74.
Для этих значений динамическая система Лоренца имеет странный
аттрактор. Динамическая система, которая определяется уравнениями Лоренца, не
является градиентной системой. Дифференциальная 1-форма и) = Fxdx +
+ Fydy + Fzdz равна
duj = -(z + a - r)dx Ady + ydx A dz + 2xdy A dz, (13.32)
поскольку
D\FX - D\Fy =z + a-r,
D\FX - D\FZ = -y,
D\Fy - D\FZ = -2x.
Видно, что дифференциальная форма (13.32) не является замкнутой.
Отметим, что система Лоренца является диссипативной системой в силу того,
что
Щх,у,г) = DlxFx + D\Fy + D\FZ = -а - 1 - b < 0.
Для уравнений Лоренца условия (13.11) будут выполняться при а — 2, то
есть в виде
D2yFx-D2xFy = 0, D\FX - D2FZ = 0, D2zFy - D2yFz = 0. (13.33)
В результате система Лоренца может рассматриваться как дробная
градиентная система порядка а = 2 с потенциальной функцией
V(x,y,z) = ±<тх3 - \аух2 + \(z- r)xy2 + ±</3 - \xyz2 + |*3. (13.34)
Потенциал (13.34) однозначно определяет систему. Используя
уравнение (13.20), получаем стационарные состояния системы Лоренца в виде
уравнения
V(x,y,z) + Coo + Cxx + Cyy + Czz + Cxyxy + Cxzxz + Cyzyz = 0, (13.35)
где СЬо, Сх, Су, Cz Сху, Cxz и Cyz являются константами и а — т = 2.
Пример 4. Система Рёсслера [85, 433] определяется
уравнениями (13.30) с силовыми функциями вида
Fx = ~(У + z), Fy=x + 0.2?/, Fz = 0.2 + (я - ф, (13.36)

13.4. Примеры дробных градиентных систем
325
в силу того, что
D\FX - DlFy = -2,
D\FX - DlxFz = -1 - 2,
D\Fy - D\FZ = 0.
В результате uj = Fxdx + Fydy + Fzdz не является замкнутой 1-формой.
В общем случае система Рёсслера является обобщенной диссипативной
системой,
П(я, у, z) = DlxFx + D\Fy + DlFz=0.2 + x-c^0.
В полупространстве х < с — 0.2 система является диссипативной
(Q(x,y,z) < 0). Условия (13.11) для системы Рёсслера будут
выполняться при а = 2, то есть в виде (13.33). В результате система Рёсслера может
рассматриваться как дробная градиентная система порядка а = 2 с
потенциальной функцией
V(x,y,г) = \{у + 2)х2 - \ху2 - ±у3 - ^z2 - ±(* - ф3. (13.37)
Этот потенциал однозначно определяет систему Рёсслера. Стационарные
состояния системы Рёсслера задаются уравнением (13.35), в котором
потенциальная функция имеет вид (13.37).
Пример 5. Можно рассматривать дифференциальные уравнения
дробного порядка по времени [307,411] вида
?D?x(t) = Fx, ?D?y(t)=Fy, ccD?z(t) = Fz,
где силовые функции определяются выражениями (13.31) или (13.36).
В этом случае мы имеем дробные обобщения систем Лоренца и
Рёсслера. Эти системы могут рассматриваться как дробно-градиентные системы
второго порядка. Отметим, что так называемые дробные объединенные
системы [214] также могут рассматриваться как дробно-градиентные.
замечание. Отметим интересное качественное свойство поверхностей (13.35).
Поверхности стационарных состояний систем Лоренца и Рёсслера разделяют
трехмерное евклидово пространство на некоторое количество областей. При этом
имеется восемь областей для системы Лоренца и четыре области для системы
Рёсслера [477,482,530]. Эти разделения на области обладают интересным свойством
для некоторых значений параметров. Каждая область оказывается связанной со
всеми другими областями. Если начинать движение из одной из областей, то можно
попасть в любую другую область, не пересекая поверхность. Другими словами,
любые две точки в разных областях можно соединить кривой, которая не пересекает
поверхность стационарных состояний.

326
Глава 13
13.5. Гамильтоновы динамические системы
Гамильтонова динамика является переформулировкой классической
механикви, выполненной ирландским математиком Уильямом Роуэном
Гамильтоном. Подход Гамильтона [551] отличается от подхода Лагранжа тем,
что вместо дифференциальных уравнений второго порядка в n-мерном
координатном пространстве динамической системы с п степенями свободы
используются уравнения первого порядка в 2п-мерном фазовом
пространстве.
Рассмотрим фазовое пространство R2n с каноническими координатами
(q,р), где q = (qi,..., qn) и р = (рг,...,рп). В общем случае динамическая
система описывается уравнениями
^=G*(«,p), ^=F\q,p), t = l,...,n. (13.38)
Замкнутая система с потенциальными внутренними силами может быть
описана функцией Гамильтона H(q,p) (вместо использования 2п-силовых
функций), которая представляет собой сумму кинетической и
потенциальной энергий системы
dqi дН(д,р) dPi dH(q,p)
"Д =-flfc-' ~dt= i = l,..-,n. (13.39)
В общем случае система не может быть описана с использованием только
одной однозначной функции. Определение гамильтоновых систем может
быть дано в следующем виде [111,477,484,530].
Определение. Динамическая система (13.38) на фазовом
пространстве Ш2п называется локально гамильтоновой, если
(3 = Gi(q,p)dpi - Fi(q,p)dqi (13.40)
является замкнутой 1-формой, то есть d/З — 0.
Определение. Динамическая система (13.38) называется глобально
гамильтоновой, если дифференциальная 1-форма (13.40) является точной.
Динамическая система (13.38) называется негамильтоновой, если (13.40)
не является замкнутой 1-формой, то есть d/З ф 0.
В канонических координатах (q,p) внешняя производная 0-формы
H(q,p) может быть представлена в виде
dH(q,p) = dqi D\H(q,p) + dPi D^H^p). (13.41)

13.5. Гамильтоновы динамические системы
327
Здесь и далее подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу
г от 1 до п.
Теорема. Если правые части уравнений (13.38) удовлетворяют
условиям
D\.Gl - Dp.Gj = О, D\tG3 + DlPjFl = 0, D\.F{ - D\%Fj = 0 (13.42)
для всех (q,p) € W С R2n, то динамическая система (13.38) является
локально-гамилыпоновой в области W.
Доказательство. Рассмотрим дифференциальную 1-форму (13.40).
Внешняя производная (13.40) записывается в виде
d(3 = d(Gidpi)-d(Fidqi).
Тогда получаем
dP = ^r-dqj A dpi + ^p-dp, A dp{ - ^f-dqj A dq{ - ^dpj A dq{. (13.43)
aqj opj aqj apj
Используя антисимметрию внешнего произведения Л, уравнение (13.43)
можно переписать в виде
^=(^ + f£)*«A*'+
, 1 (dGj dGA , А . , 1 (dFi dF*\ , . ,
Очевидно, что условия (13.42) приводят к уравнению d(3 = 0. □
Уравнения (13.42) называются условиями Гельмгольца [111,276,477,
484,530] для фазового пространства.
Глобально гамильтонова система является локально гамильтоновой.
В общем случае обратное утверждение не верно. Если W с R2n
является односвязной областью, стягиваемой в точку, то локально гамильтонова
система будет глобально гамильтоновой.
Теорема. Динамическая система (13.38), определенная в области
W фазового пространства R2n, является глобально гамильтоновой
системой, которая определяется однозначной функцией Гамильтона Н =
= H(q,p), если дифференциальная форма (13.40) является точной
P = dH,

328
Глава 13
где Н = H(q,p) — непрерывно дифференцируемая однозначная функция на
односвязной, стягиваемой в точку области W С R2n.
Доказательство. Предположим, что 1-форма (13.40) является
точной (/? = dH) на W € Rn, где Н — H(q,p) — дифференцируемая
однозначная функция на области W, a W С R2n является односвязной, стягиваемой
в точку областью. Тогда
Р = —~ dpi + —д dq{. (13.44)
dpi dqi
Уравнения (13.40) и (13.44) дают
Если Н = H(qyp) является непрерывно дифференцируемой функцией,
тогда условия (13.42) выполнены, если уравнения (13.38) описывают
глобально гамильтонову систему. Подстановка (13.45) в (13.38) дает (13.39).
В результате уравнения движения однозначно определяются
гамильтонианом Н = H(q,p). П
Если точная 1 -форма /3 равна нулю {dH = 0), то уравнение
#(9,р)-С = 0, (13.46)
где С — некоторая постоянная, определяет стационарные состояния
глобально гамильтоновой системы (13.38).
13.6. Дробные обобщения гамильтоновых систем
Дробные обобщения гамильтоновых систем были предложены в
работе [477] (см. также [530]). Рассмотрим дифференциальную 1-форму
дробного порядка
i9ifa = G<[dp<]a-Fi[dg<]a, (13.47)
где a > 0, для уравнений движения
^=G1(«,p), ^ = *%р). (13.48)
Можно рассматривать уравнения с производными нецелого порядка по
времени
%D?qi = G*(«,p), £ D?pi = F*(9,p). (13.49)

13.6. Дробные обобщения гамильтоновых систем
329
Дифференциальная форма (13.47) является обобщением (13.40). Используя
дифференциальные формы дробного нецелого порядка, можно определить
следующие обобщения гамильтоновых систем.
Определение. Динамические системы (13.48) и (13.49) на фазовом
пространстве R2n называются дробными локально-гамильтоновыми
системами, если (13.47) является замкнутой дробной 1-формой
dQ(3ha =0 (13.50)
для всех (q,p) € W С R2n, где da — дробная внешняя производная.
Определение. Динамические системы (13.48) и (13.49)
называются дробными глобально-гамильтоновыми системами, если (13.47) является
точной дробной 1-формой. Система называется дробной негамильтоновой,
если (13.47) является незамкнутой дробной дифференциальной формой, то
есть da/?i,Q ф 0.
В канонических координатах (q,p) дробная внешняя производная da
для фазового пространства R2n определяется формулой
dQ = [<кг\а Z DI + [dPi]Q £££, (13.51)
где используются производные Капуто порядка a > 0. Например,
дробная внешняя производная порядка а от qk с начальными точками равными
нулю (а = Ь=0)ип = 2 имеет вид
dV = \dq}Q <ZD«qk + [dp}a %D«qk. (13.52)
Производные Капуто дают
Г (к + 1 — а) Г(А: + 1 — a)
если к > т — 1ит — 1<а<т. Если к = 1,2,..., т — 1, то
d V = 0, d°p* = 0.
Дробная внешняя производная da может быть определена и для
производных Римана-Лиувилля. В этом случае мы имеем
Г(*+1-о) Г(1-о)'

330
Глава 13
где начальные точки взяты равными нулю (а = Ь = 0) и п = 2. Видно, что
для производных Римана-Лиувилля координаты q и импульсы р не могут
считаться независимыми.
Рассмотрим дробное обобщение условий Гельмгольца.
Теорема. Если правые части уравнений (13.48) удовлетворяют
условиям
g££G*-£0»G>'=O, (13.53)
£0«G*+ = (13.54)
CDZF*= 0, (13.55)
то динамическая система (13.48) и (13.49) является дробной локально-
гамильтоновой системой.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим уравнения (13.48) и (13.49).
Соответствующая дробная дифференциальная 1 -форма имеет вид
а.» - с(«,р) [dPi]a - р) [dqi]a. (13.56)
Дробная внешняя производная 1-формы (13.56) задается выражением
= dQ(Gi[dPi}a) - de(^[dft]e). (13.57)
Уравнение (13.57) может быть представлено в виде
da0i,a = АаСГ A {dPi]Q - daFl A [dqi}a.
Используя соотношения
daFi = C^Fi[dq.]a + CD^Fi[dpj]a^
получаем
deA,e = £D£Л [dp,]" + g££G4dp,]e Л [dft]0-
-£^[<%]<* Л W - £Я£ЛФ;Р Л [d*]*. (13.58)

13.6. Дробные обобщения гамильтоновых систем
331
Используя антисимметрию внешнего произведения, уравнение (13.58)
может быть переписано в виде
dalh,a = + gD« F*) \dqi]a A [dPj}a+
+ \{$1%,СР - ^(?)Ша A [dPj]a+
+I(^;fj-^;f)W«aw«.
Очевидно, что условия (13.53), (13.54), (13.55) приводят к уравнению
da/3i,a = 0, то есть 0\у(х является замкнутой дробной формой. □
Можно определить функцию Гамильтона для специального класса
негамильтоновых систем, а именно для дробных гамильтоновых систем.
Теорема. Динамическая система (13.48) в области W С Ш2п
является дробной глобально-гамильтоновой системой с гамильтонианом Н =
= H(q,p), если (13.56) является точной дробной дифференциальной
формой, такой что
0ita = daH, (13.59)
где Н = H(q, р) — непрерывно дифференцируемая функция на W, a W С R2n
является односвязной, стягиваемой в точку областью.
Доказательство. Предположим, что дробная дифференциальная
форма (13.56) является точной, то есть /?ia = daH. Используя дробную
внешнюю производную (13.51), получим
= daH = [dPi]a £г£Я + [dqi]a £г>£ Я. (13.60)
Уравнения (13.56) и (13.60) дают
G\q,P) = £Х£Я, F\q,P) = -ZKH-
В результате уравнения (13.48) могут быть переписаны в виде
f = £х£Я, ^ = -Z^h. (13.61)
Эти уравнения описывают движение дробных глобально-гамильтоновых
систем. □

332
Глава 13
Дробная дифференциальная 1-форма /3\ia для дробной глобально-
гамильтоновой системы с гамильтонианом Н может быть записана в виде
/Зг а = daH. Если точную дифференциальную 1-форму /?1>а дробного
порядка приравнять нулю (daH = 0), то получим уравнение, определяющее
стационарные состояния дробных глобально-гамильтоновых систем.
Теорема. Стационарные состояния дробной глобально-гамильтоновой
системы (13.61) определяются уравнением
771—1 771—1 П
h(q,p)- ••• Л Cfci...fc»/i...z»n^"a*)fc,^"b*)Ze =0>
Aci=0,Zi=0 kn=0,ln=0 г=1
(13.62)
где Ck1...kn,h,...,in ~ некоторые постоянные, а т — наименьшее целое
число большее или равное а.
Приведем теорему для уравнений с производными Римана-Лиувилля
дробного порядка.
Теорема. Стационарные состояния дробной глобально-гамильтоновой
системы,
ж = ^ 1 = -^я' <13-63>
уравнения движения которой содержат производные Римана-Лиувилля,
определяются формулой
п т — 1
Я(д,р)-|П(ф-о*)(л-МГ_та Е •••
г=1 k i=0
т—1 п
£ C*i...*nh..J» Ц(<И - "i)ki(Pi - **)'* = 0, (13.64)
kTL=0,ln=0 г=1
где CkL^kriMi—yin ~~ некоторые константы, ат — наименьшее целое число
большее или равное а.
Доказательство. Это утверждение является следствием свойств
стационарных состояний дробных градиентных систем. □
Пример 1. Рассмотрим дробную динамическую систему, которая
определяется уравнениями
|=-№/, над

13.7. Заключение
333
где q> 0, р > О, 0 < а ^ 1, и гамильтониан H(q,p) задается формулой
Уравнения движения имеют вид
dQ ^ 1 2-а Ф = та;2 2-а
А тГ(3-а)Р ' Л Г(3 - а) У '
Эти уравнения описывают негамильтонову систему, являющуюся дробной
гамильтоновой системой. Для а = 1 уравнение (13.65) с (13.66)
определяет линейный гармонический осциллятор. Используя уравнение (13.66),
получаем уравнение стационарных состояний
Если а = 1, то получаем выражение H(q,p) = С, описывающее эллипс
в двумерном фазовом пространстве (g,p) € R2.
Пример 2. Рассмотрим динамическую систему на фазовом
пространстве R2 (п = 1), которая описывается уравнениями с производными
Римана-Лиувилля
!=ь!*Я, | = --Л?Я, (13-68)
где 0 < а ^ 1 и гамильтониан H(q,p) имеет вид (13.66). Если а = 1, то
уравнение (13.68) описывает линейный гармонический осциллятор. Если
точная дробная 1-форма
0i,a = <1°Я(«,р) = [dg]Q а£>«Я + Ь££Я
равна нулю (daH = 0), то уравнение
Я(д,р)-С|(д-а)(р-6)Г1=0,
где С — константа, описывает стационарные состояния системы (13.68).
Если а = 1, то получаем обычные уравнения (13.46) для стационарных
состояний гамильтоновой системы.
13.7. Заключение
Используя производные нецелого порядка и дробные
дифференциальные формы, были рассмотрены обобщения понятий градиентной и
гамильтоновой систем. В общем случае дробные гамильтоновы (градиентные)
системы не могут рассматриваться как гамильтоновы (градиентные)
системы. Классы дробных гамильтоновых и градиентных систем шире классов

334
Глава 13
обычных гамильтоновых и градиентных систем. Обычные гамильтоновы
и градиентные системы могут рассматриваться как специальные частные
случаи дробных гамильтоновых и градиентных систем. Отметим, что
дробные градиентные системы приводят нас к возможности расширения теории
катастроф и бифуркаций [31 ] на широкий класс неградиентных систем.
Существует возможность обобщить эту теорию, используя производные
нецелого порядка. Понятие дробной градиентной системы позволяет
сформулировать теорию бифуркаций дробных глобально-потенциальных векторных
полей. В настоящий момент построение последовательной теории дробных
катастроф и бифуркаций пока не реализовано.
Можно предположить, что некоторые химические реакции с
диссипацией и системы с динамическим хаосом могут исследоваться путем
анализа обобщенных потенциальных поверхностей для дробных градиентных
и гамильтоновых динамических систем. Отметим интересное качественное
свойство обобщенных потенциальных поверхностей для систем со
странными аттракторами. Поверхности стационарных состояний систем
Лоренца и Рёсслера разделяют трехмерное евклидово пространство на
некоторое количество областей. Имеется восемь областей для системы Лоренца
и четыре области для системы Рёсслера [477,482,530]. Эти разделения на
области обладают интересным свойством: все области являются
связанными между собой. Если начинать движение из одной из областей, то можно
попасть в любую другую область, не пересекая поверхность. Другими
словами, любые две точки в разных областях можно соединить кривой, которая
не пересекает поверхность стационарных состояний.
Используя понятие дробной градиентной системы, можно исследовать
широкий класс детерминистических динамических систем с регулярными
и странными аттракторами [1,2,85]. Квантовые аналоги дробных
производных, предложенные в работе [522], позволяют рассмотреть обобщение
понятия дробной гамильтоновой системы для квантовой механики. В этом
случае широкий класс квантовых негамильтоновых систем [512] может
рассматриваться как дробные гамильтоновы системы.

Глава 14
Вариации дробного порядка в механике
14.1. Введение
В математике и теоретической физике вариационные
(функциональные) производные являются обобщением обычных производных. В
вариационной производной вместо дифференцирования функции по переменной
дифференцируется функционал по функции. Используя дробный
математический анализ, можно обобщить понятие вариационной (функциональной)
производной на случай дробного порядка. В работе [497] (см. также [530])
была определена внешняя вариационная производная дробного порядка.
Были рассмотрены подходы Гамильтона и Лагранжа. Были получены
уравнения Гамильтона и уравнения Эйлера-Лагранжа с производными нецелого
порядка. Дробные дифференциальные уравнения, описывающие движение,
могут быть получены путем дробного варьирования лагранжианов и
гамильтонианов, содержащих только производные целого порядка. Используя
вариации нецелого порядка, было предложено обобщение понятия
устойчивости [509,530].
В разделах 2-3 определяются дробные вариации в рамках гамильто-
нова подхода для описания движения классических систем. Предлагается
обобщение принципа стационарности действия. В разделах 4-5
обсуждается дробное варьирование в рамках лагранжева подхода и формулируется
соответствующий принцип стационарности действия. В разделах 6-7
рассматривается обобщение вариационного принципа на негамильтоновы
системы. Получены дробные дифференциальные уравнения движения с
трением. В разделе 8 обсуждается устойчивость по отношению к вариациям
нецелого порядка. Краткое заключение дается в разделе 9.
14.2. Уравнения Гамильтона и вариации целого порядка
Рассмотрим гамильтонову систему в расширенном фазовом
пространстве M2n+1 = R1 х Rn х Шп координат (t,q,p). Движение системы опре-

336
Глава 14
деляется как стационарные состояния функционала действия
S[QM = J(pxDUi - H(t,q,p))dt, (14.1)
где H — гамильтониан системы, a q и р предполагаются независимыми
функциями времени. В классической механике траектория объекта
получается нахождением кривой, для которой интеграл действия (14.1) является
стационарным (точкой минимума или точкой перегиба).
В гамильтоновом подходе функционал действия (14.1) может быть
записан как
S[qM = J и>н, (14.2)
где дифференциальная 1 -форма о;# имеет вид
ин =Pidqi-Hdt (14.3)
и называется 1-формой Пуанкаре-Картана или формой действия. Здесь
и далее будет подразумеваться суммирование по повторяющемуся
индексу г от 1 до п.
Форма Пуанкаре-Картана выглядит как подынтегральное выражение
в функционале действия или как лагранжиан. Однако это
дифференциальная 1-форма на расширенном фазовом пространстве М2п+1 точек (t,q,p),
а не функция. Интегрируя эту форму вдоль линии С в M2n+1, получаем
действие
в
S[q,p] = f«>h = J(pidQi - H(t,q,p)dty (14.4)
С A
Интегрирование берется от точки А до В в расширенном фазовом
пространстве M2n+1.
Проинтегрируем от А до В вдоль двух слегка отличных друг от
друга кривых и возьмем разность для получения интеграла вдоль замкнутого
контура. Для вычисления этого интеграла можно воспользоваться теоремой
Стокса [46]. На языке дифференциальных форм теорема Стокса имеет вид
J ш = J dw, (14.5)
dW w
где W является m-мерным компактным ориентированным многообразием
с границей 3W, а ш является дифференциальной (га - 1)-формой. Отметим,

14.2. Уравнения Гамильтона и вариации целого порядка
337
что теорема Стокса для дифференциальных форм фактически объединяет
целую группу соотношений, включая хорошо известные теоремы Гаусса,
Грина и Стокса из обычного векторного анализа.
Используя уравнение (14.5) для разности дифференциальных 1-форм
действий, вычисленных вдоль двух близких кривых со значениями (#, £),
фиксированными в конечных точках, получаем
5S[q,p] = J du>H = J (dpi A dqt - dH A dt), (14.6)
e e
где через E обозначена поверхность области, ограниченной двумя
кривыми, соединяющими А и В.
Принцип стационарности действия утверждает, что 5S = О для малых
вариаций около действительного пути с (q, t)9 фиксированными в конечных
точках. Это будет верным для произвольных малых вариаций, тогда и
только тогда, когда (1и>н = 0 для касательного вектора вдоль экстремального
пути.
Можно рассмотреть внешнюю производную дифференциальной
формы Пуанкаре-Картана, и получить уравнения движения из условия du>H —
= 0. Используя это условие, получим уравнения движения Гамильтона. Это
условие эквивалентно принципу стационарности действия 8S[q,p] = 0.
Теорема. Внешняя производная дифференциальной формы
Пуанкаре-Картана (14.3) определяется уравнением
duJH = (p\pi + D\tH^ dt A dqi - (dqt - D^IIdt) A dp^ (14.7)
Доказательство. Внешняя производная формы (14.3) имеет вид
(кон = d(pidqi) — d(Hdt) =
= Dlpidt A dqi + D^pidqj A dqi + Dlp.pidpj A dqi-
-D] Hdt Adt- D\t Hdqi Adt- Dlpt Hdp{ A dt. (14.8)
Используя dt Adt = 0, dpi Adt — —dt A dpi и
D\.pi = ^ D\.pi=8ij,
получаем (14.7).
□

338
Глава 14
Теорема. Траектория гамильтоновой системы может быть
получена путем нахождения пути, для которого 1-форма Пуанкаре-Картана ujh
является замкнутой, то есть
dwH = 0. (14.9)
Это утверждение является принципом стационарности действия в
гамильтоновой форме. Из этого принципа, записанного в виде (14.9), следуют
уравнения движения
dqi - DlPiHdb = 0, D\pi + DlQiH = 0. (14.10)
В результате получаем уравнения
которые являются хорошо известными уравнениями Гамильтона.
14.3. Вариации нецелого порядка и уравнения Гамильтона
Для обобщения принципа стационарности действия определим
дробную 1-форму Пуанкаре-Картана. Дробное обобщение дифференциальной
1-формы (14.3) можно определить в виде
u;H,a=pi[dqi}a-H[dt}a, (14.12)
где
[dq$* = {sgn{dqi)r\dqi\", [dt}« = (8gn(dt))m\dt\a.
Дробная дифференциальная 1 -форма сон.а будет называться дробной 1-фор-
мой Пуанкаре-Картана или дробной 1-формой действия. Можно
рассмотреть дробную внешнюю производную от формы (14.12), и использовать
dau>H,a = 0 для получения дробных уравнений движения.
Теорема. Дробная внешняя производная от дробной формы (14.12)
имеет вид
dauH,a = {oD?Pi + ZDlH) И" л №«Г-
- (£i&Pi[d*]e - Zdp W)л №*Г- (14ЛЗ)

14.3. Вариации нецелого порядка и уравнения Гамильтона 339
Доказательство. Действуя дробной внешней производной da на
дробную 1-форму (14.12), получаем
daa;«,a - d0(Pi[d9iP) - da(H[dt]Q) =
= daPi A [dqi}Q - daH A [dt]a.
Используя дробные внешние производные 0-форм
daPi = (ZD?Pi)[dt]a + (ZD°Pi)[dqj}a + {%DlPi)[dP]\a,
daH = {$D?H)[dt]° + (%П*Н)[<Ьн]а +
получаем
daw„,Q = (SD?Pi){dt}a A [dqt]a + (%Г%Рг)[(к,]а A [dqi}a+
+ (ъ^РгШ\а A [dQi\a - ($D?H)[dt]a A [dt}<*-
- (^tH)[dqt)a A \dt}a - (fD^H)[dPi}a A [dt]a. (14.14)
Далее, используя свойства внешнего произведения
\dt\a A [dt)a = О,
[dPi}aA[dt]a = -{dt]a A[dPi]a
и свойства производных Капуто
уравнение (14.14) можно записать в виде (14.13). □
Замечание. Отметим, что производная Римана-Лиувилля приводит к тому,
что координаты и импульсы перестают быть независимыми в силу соотношения
Dq^pi — ptDq 1 ф 0. Поэтому дробные уравнения становятся более сложными для
производных Римана-Лиувилля.
Теорема. Траектория гамильтоновой динамической системы может
быть получена путем нахождения кривой, для которой дробная 1-форма
Пуанкаре-Картана ион,а является дробной замкнутой формой, то есть
dawH,a = 0. (14.15)
Эта теорема представляет собой дробный принцип стационарности
действия в гамильтоновой форме. Используя (14.13) и (14.15) с
начальными точками равными нулю и
»^й=Г(2^"в' °<в<1'

340
Глава 14
получаем
[dqi\a = [dt]a Г(2 - a)pf-1 oDpH, %D?Pi = - £л« Я, (14.16)
где г = 1,..., п. Эти уравнения являются дробными обобщениями
уравнений Гамильтона.
Для дробной 1-формы Пуанкаре-Картана
uH,a=rf[dqi\a-H[dt]a, (14.17)
где fc ^ га, fc £ N, га — 1 < а < т, уравнения (14.16) имеют вид
[dqtF = [Д]°Г(* + ^ ^Г*?Д£Я. ?ДвР? = -^?Я. (14.18)
Отметим, что мы не можем использовать обычное правило
дифференцирования сложной функции для дробной производной qD^p^. Поэтому
уравнения (14.18) с к ф 1 являются более сложными, чем уравнение (14.16).
14.4. Уравнения Лагранжа и вариации целого порядка
Пусть L(t,q,v) — лагранжиан динамической системы, где qi, i =
= 1,..., п являются координатами, a vi9 г = 1,..., п, — скоростями
системы. Рассмотрим вариационную задачу для функционала действия
S0[q,v] = J L{t,q,v)dt (14.19)
с дополнительными условиями
D\qi = vu (14.20)
где qi и Vi предполагаются независимыми переменными. В этом случае ри
г = 1,..., п играют роль независимых множителей Лагранжа. Очевидно,
что данная вариационная задача является эквивалентной задаче на
экстремум действия,
S[q,v,p] = J(b{t,q,v) + Pi{D]qi - Vi))<ft, (14.21)
где уже все переменные q, v, р должны варьироваться. Соответствующие
уравнения Лагранжа имеют вид
D]qi = Vi, D\px = D\L, Pi=DlvL. (14.22)

14.4. Уравнения Лагранжа и вариации целого порядка
341
Можно вести расширенный гамильтониан в пространстве переменных
(t,q,p,v) в виде
H*(t,q,p,v) =р{У{ - L{t,q,v). (14.23)
Соответствующая расширенная 1-форма Пуанкаре-Картана будет иметь
вид
^я* = Pidqi — H*dt = Pidqi + Ldt - p^dt. (14.24)
Внешняя производная этой дифференциальной формы описывается
теоремой.
Теорема. Внешняя производная дифференциальной 1-формы (14.24)
определяется уравнением
cLoh* = (D\pi — D^L^dt A dqi — (dqi — Vidt^j A dpi — (pi - DViL^dvi A dt.
(14.25)
Доказательство. Внешняя производная от (14.24) равна
awH* = d(pidqi) - d(H*dt). (14.26)
Уравнение (14.26) может быть представлено в виде
dun* = D]pidt A dqi + D^.pidqj A dqi+
+ Dp.pidpj A dqi + D\.pidvj A dqi — D]H*dt A dt—
-D\H*dqi Adt- DlpH*dpi Adt- DltH*dvi A dt. (14.27)
Используя dt Adt = 0, dqi Adt = -dt A dqi и
DljPi=0, DljPi = 0, D1Pjpi = 6ij,
уравнение (14.27) дает
doJH* = (Dlpi + D^H^dtAdqi-fdqi-D^H^
(14.28)
Из (14.23) имеем
DlH*=Dl(pjvj-L)=-D1QtL,
DlH* = (pjVj - L) = VjD^pj - DlL(t,q,v) = VjD^pj = vu
DlH* = Dl (рм - L) = pjDlvj -DlL = Pi- D\L.
В результате получаем (14.25). □

342
Глава 14
Теорема. Траектория лагранжевой динамической системы может
быть получена путем нахождения кривой, для которой 1-форма (14.24)
является замкнутой, то есть
dujH* = 0. (14.29)
Эта теорема является принципом стационарности действия в
лагранжевой форме. Из уравнений (14.25) и (14.29) получаем
D\pi - D\.L = 0, dqi - Vidt = 0, pi-DViL = 0. (14.30)
Легко увидеть, что уравнение (14.30) совпадает с уравнениями
Лагранжа (14.22), которые могут быть представленны как
D^L-iDlDl^^^^O. (14.31)
В результате получаем
D\L-D\DlDUiL = b i = l,...,n. (14.32)
Уравнения (14.32) являются уравнениями Эйлера-Лагранда для лагранже-
вых систем.
14.5. Дробные вариации и уравнения Лагранжа
Пусть L{t,q,v) — лагранжиан системы, а расширенный гамильтониан
определяется формулой
ад, <?,р, v) = Pif(Vi) - L(t, q, v), (14.33)
где f(vi) — функция Vi. Определим дифференциальную форму дробного
порядка
и>н*а = Pi[<ki}a - H*[dt}<* = Pi[dqi)a + L[dt}<* - Pif(vt)[dt}a, (14.34)
которая является обобщением расширенной 1-формы
Пуанкаре-Картана (14.24).
Теорема. Дробная внешняя производная от дробной
дифференциальной 1-формы (14.34) определяется формулой

14.5. Дробные вариации и уравнения Лагранжа
343
- £££pi([d»]e - /(«,)[*]«) Л [dpt]a-
-(piZKfM - 1КЬ)^]а Л [dt]a. (14.35)
Доказательство. Дробная внешняя производная (14.34) дает
daoJH*a = da(Pi[dqi}a) - dQ(H*[dt]a) = dQPi A [dqi]a - daH* A [dt]a].
Используя соотношения
daPi = (CD?Pi)[dt}a + (°0°1н)[<Ьц]а+
+(ZpZ)Pi)[dPj}a + (£я°рОКГ,
daH* = (CDfH*)[dt}a + (£Я£Я*)[^]<Ч
+(£Р£Н*Ш}а + (?Р?Н*)№}°,
получаем
daw„*a = (%D?Pi)[dt}a A [dqtf + (£#£р*)[с%Р Л [dfc]« +
+( Pi)[dPj}a A [dqiF + {Ccpav.Pi)[dVj)a A [dqi}a-
-(SD?H*)[dt]a A [dt]a - (£Я«Я*)[^]в Л [dt]a-
-(^D^H*)[dPi}a A [dt}<* - (^«Я»)[4Г Л [dt]a. (14.36)
Используя [dt]a A [dt]a = 0, [dqi]a A [dt]a = -{dt\a A [dqi]a и
выражение (14.36) можно переписать в виде
d<W« = ($D?Pi + °PlH*)\dt]a A
-(^^Рг[^]а-^?Я*)Иа)л[ф,]Л-^-Я'[^]аЛ[^]«. (14.37)
Используя расширенный гамильтониан (14.33) и свойства производной
Капуто, имеем
aPtН* = caDl fafivj) - L) = - сар°Ь,

344
Глава 14
ZD$iH* = %D;t(pif(vi)-L) =
= f{vi)ZD«tPj - Cp»L{t,q,v) = fiv^pipu
CCD°H* = %D*t fafivj) -L)=Pj ccpif{Vj) - CCD*L.
В результате получаем (14.35). □
Теорема. Траектории дробных лагранжевых систем могут быть
получены путем нахождения кривой, для которой дробная расширенная
1-форма Пуанкаре-Картана (14.34) является дробной замкнутой формой,
то есть
dQoJH*a = 0. (14.38)
Эта теорема является дробным принципом стационарности действия
в лагранжевой форме [497,530]. Используя (14.35) и (14.38), получаем
[^}а-/(Щ)[(И}а=0,
PlCCiD°J{Vi)-ccpiL = 0.
Если f(vi) = vf nvi>Ci= 0, то соотношение
cw _ _W±})_v0-a
(14.39)
где 0 > т — 1ит — 1 < а < т, дает
%D?Pi = qD".L, (14.40)
Ша = (Vi)0[dt}a, (14.41)
*= Z/.,:r<'0^lL. (14.42)
r(j9+l-a)..tt-gCrvt
Г(0 + 1)
Подставляя (14.42) в (14.40), получаем
Cjja. L _ Г(Р+1 а) CDa fya-g CDa Л = q {u 43)
° Г(/3+1) ° ' V ' ° )\dqx)«-(v,Y[dt)«=0 к '

14.6. условия гельмгольца и уравнения нелагранжевых систем 345
Легко увидеть, что уравнения (14.43) выглядят необычно даже при /3=1.
Поэтому мы используем /3 = а для гамильтониана (14.33) и для 1-фор-
мы (14.34).
Если f(vi) = v? и Vi > ct = 0, то можно использовать
ад - 1
Г(2 - а)
В результате получаем расширенную систему дробных уравнений
Лагранжа
£D«ft=£D£L, [dqi]a-vf[dt]a=0, Vi = Г(2 — a)D".L. (14.44)
Подставляя третье уравнение из (14.44) в первое, получаем уравнения
c0D«qiL - Г(2 - a)f D? (ЗД L)^,.^ И]а=0 = 0, (14.45)
которые являются дробными уравнениями Эйлера-Лагранжа. При а =
= 1 уравнения (14.45) становятся обычными уравнениями
Эйлера-Лагранжа (14.32).
14.6. Условия Гельмгольца и уравнения нелагранжевых
систем
Известно, что условия Гельмгольца [126,276] являются необходимыми
и достаточными для того, чтобы уравнения Эйлера-Лагранжа можно было
получить из принципа стационарности действия.
Теорема. Необходимыми и достаточными условиями для того,
чтобы уравнения
Ei(t, q, q,..., q{N)) = 0, i = 1,..., n, (14.46)
можно было получить из принципа стационарности действия, являются

346
Глава 14
где q[k) = D^qif ij = 1,... n, и
N
dt~ dt ' я„<*-1>
= iL + V gfe (14 49)
fc=l <^
Доказательство. Это утверждение доказано в работе [126]. □
Пример. Если рассматривать уравнения
Ei(t,q,q) = О, г = 1,...,п,
то условия (14.47) и (14.48) принимают вид
£-s-(*+**)№> <-°>
1^ + ^=0, z,j = l,...,n. (14.51)
Из уравнений (14.50) следуют соотношения
я. д. = 0, г,3,к = 1,...,п.
Эти условия выполняются при линейной зависимости Ei от D\q.
Эта теорема имеет следующие следствия.
Теорема. Необходимыми и достаточными условиями для получения
уравнений
Ei(t,q,q) = Aij(t,q)qj + Bi(t,q) = 0, г = l,...,n, (14.52)
из принципа стационарности действия имеют вид
Aij = -Aji, (14.53)
Доказательство. Подставляя уравнение (14.52) в уравнения (14.50)
и (14.51), получаем (14.53), (14.54), и (14.55). □

14.6. условия гельмгольца и уравнения нелагранжевых систем 347
Теорема. Необходимыми и достаточными условиями для получения
уравнений
Ei(t,q,q,q) = О, г = 1,...,п
из принципа стационарности действия являются
dqj dqi dt \ dqi Г dt2\dqi r { '
где
d_ _ d_ , • д , •• д
dt ~ dt+QidQi +qidqi'
Доказательство. Необходимость условий (14.56)-( 14.58) была
доказана Гельмгольцем [276], а достаточность этих условий — Сусловым [110]
и Майером [344]. □
Используя уравнение (14.57), можно переписать условия (14.58) в
более симметричном виде
ЗД_ *Ь_М(*5_*&У (14.59)
dqj dqi 2 dt \oqj dqi J
Рассмотрим определение нелагранжевой системы [497,530].
Определение. Динамическая система называется нелагранжевой
системой, если уравнения движения (14.46) нельзя представить в виде
N
DkgW L(t, q, q,..., 9<">) = 0,
k=0
с некоторой функцией L = L(t,q,q,...,q^)9 где q^ = D\q.
Известно, что в общем случае уравнения второго порядка не могут
быть представлены в виде
(D]t -DltDl)L(t,q,q) = 0, i = l,...,n.

348
Глава 14
Уравнения Лагранжа могут содержать дополнительное слагаемое Qi(t, q, q),
которое является обобщенной непотенциальной силой. Эта сила не может
быть представлена в виде
для некоторой функции U = U(t,q,q). В общем случае уравнения
Эйлера-Лагранжа [34] имеют вид
Если мы рассматриваем непотенциальные силы и нелагранжевы
системы, то необходимо использовать неголономное вариационное уравнение,
предложенное Л.И.Седовым [102-105] вместо принципа стационарности
действия.
14.7. Дробные вариации и негамильтоновы системы
В общем случае уравнения движения в фазовом пространстве не могут
быть представлены в виде
где Н = H(t, q,p) — гладкая функция. Уравнения Гамильтона могут
содержать дополнительные слагаемые и записываться в виде
D]qi = DpH + Gl(t,q,p), DJPi = -DlqH + F\t,q,p), (14.61)
где H = H(t, q, p) — гамильтониан системы. Функции Gl (t, q, p) uFl(t, q, p)
описывают непотенциальные силы, которые действуют на систему. Для
механических систем можно рассматривать Gl(t,q,p) = 0. Если функции
Gl(t,q,p) и Fl(t,q,p) не удовлетворяют условиям Гельмгольца
DI&-DI& = 0, DlW+D^F1 = 0, Dlq. Fl — Dlq Fj = 0, (14.62)
то (14.61) является негамильтоновой системой [512].
В общем случае внешняя производная 1-формы Пуанкаре-Картана не
равна нулю (owh ф 0). Она равна дифференциальной 2-форме в, которая
определяется непотенциальными силами
Qi(t,q,q) = {Dl-DlDl
)U(t,q,q)
(Dl - DlDl)L(t,q, q) + Qt(t,q,q) = 0.
D1tqi = D1pH, DljH = -Dq.H,
(14.60)
6 = Fi
(t,q,p)dt Л dqi — G%
(t, q, p)dt Л dp.
(14.63)

14.7. Дробные вариации и негамильтоновы системы 349
для негамильтоновой системы (14.61). Дифференциальная форма (14.63)
называется 2-формой непотенциальных сил. Например, для механической
системы, на которую действуют линейная сила сопротивления F1 = —7Рь
имеем
в = -jpidtAdqi. (14.64)
Теорема. Дифференциальная 2-форма 0 непотенциальных сил
является незамкнутой формой.
Доказательство. Если 2-форма в была замкнутой формой {d9 = 0)
на стягиваемой в точку открытой области W £ R2n, тогда она должна быть
точной, и существует функция h = h(t,q,p) такая, что в = dh. В этом
случае мы имеем новую 1-форму Пуанкаре-Картана
такую, что duo' = 0, и, следовательно, система будет гамильтоновой. □
Приведем обобщение принципа стационарности действия на системы
с непотенциальными силами.
Теорема. Траектория негамильтоновой системы (14.61) может
быть получена путем нахождения кривой, для которой внешняя
производная 1-формы действия (14.3) равна незамкнутой 2-форме
непотенциальных сил (14.63), то есть
dujH = в. (14.65)
Эта теорема является принципом действия для негамильтоновых
систем. Уравнения (14.7), (14.63) и (14.65) дают уравнения движения (14.61)
негамильтоновых систем.
Рассмотрим обобщение 1-формы (14.63) в виде
fli,a = F%q,p) [dt}a Л [dqi]° - G%q,p) [dt}<* Л [dPi]a. (14.66)
Эта дробная дифференциальная 2-форма позволяет получать
дифференциальные уравнения дробного порядка, описывающие движение
негамильтоновых систем.
Теорема. Траектория дробной динамической системы, подверженной
действию непотенциальных сил, может быть найдена как кривая, для
которой дробная внешняя производная дробной 1-формы действия (14.12)
равна незамкнутой дробной 2-форме (14.66), то есть
dau;Ha = ва.
(14.67)

350
Глава 14
Это утверждение может рассматриваться как дробный принцип
действия для негамильтоновых систем [497,530]. Используя (14.13), (14.66)
и (14.67), получаем
~ Съ.Кн№\а = G%q,p)[dt}°,
^р* = -£Р£Я + ^(г,9,р).
В результате имеем
[dqi]a = (Г(2 - а)РГ1+ с^в.р))^]", (14.68)
$DZtH = -D$iH + Fi(t,q,p). (14.69)
Эти уравнения являются дробными обобщениями уравнений движения
негамильтоновых систем [497,530].
Используя соотношение
где qi > ai = 0, и рассматривая daqi как дробный дифференциал от qi =
= qi(t)9 то есть
deft = №ft(0[*]e,
можно предположить, что
[<%]* = Г(2 - а)^-1 ?£>?ф(*)[А]в.
В этом случае уравнения (14.68) дают
%D?qi(t) = ql-'pf-1 %D°H + ^Л—&(г, q,p), (14.70)
где i = 1,..., п. Эти уравнения являются дробными дифференциальными
уравнениями для qi(i).
14.8. Устойчивость по отношению к возмущениям
дробного порядка
Дробное интегрирование и дифференцирование используется для
изучения устойчивости динамических систем (см., например, [197,267,301,

14.8. Устойчивость по отношению к возмущениям дробного порядка 351
329,358,377]). Сформулируем понятие устойчивости по отношению к
вариациям (возмущениям) нецелого порядка [509,530], которые, в силу свойств
дробных производных, интерпретируются как нелокальные возмущения.
Отметим, что динамические системы, которые являются неустойчивыми
в смысле Ляпунова, могут быть устойчивыми по отношению к
возмущениям (вариациям) дробного порядка.
Рассмотрим динамическую систему, которая описывается
дифференциальными уравнениями
D\xi = Fj(x), i = 1,..., n, (14.71)
где x\,..., xn — вещественные переменные, определяющие состояние
системы.
Можно рассмотреть возмущения (вариации) Sxi переменных
состояния Xi. Невозмущенное движение соответствует нулевым значениям этих
вариаций 6х{ = 0.
Рассмотрим случай n = 1. Вариация первого порядка описывает
изменение функции по отношению к первому порядку возмущения аргумента:
8f(x)=6xDlf(x). (14.72)
Вариация второго порядка описывает изменение функции по отношению
ко второй степени (8х)2 возмущения аргумента х:
S2f(x) = (6x)2D2xf(x). (14.73)
Вариация 8п целого порядка п определяется производной целого порядка
D^f(x) по формуле
*»/(*) = (&)» !£/(*).
Можно определить [497,530] вариацию дробного порядка а, т — 1 < а < тга,
уравнением
5af(x) = [6x]a$D5f(x), (14.74)
где
[6х}а = (sgn(x))m\6x\a,
a oD% — производная Капуто [101,398] по переменной х. Дробная
вариация порядка а описывает изменение функции относительно изменения
аргумента дробной степени а возмущения 8х. Вариация дробного порядка а
определяется производной порядка а.
Получим уравнения для дробных возмущений (вариаций) 8aXi.
Применяя варьирование нецелого порядка к уравнению (14.71), получим:
8aDlxi = 8aFi(x), i = 1,..., п. (14.75)

352
Глава 14
Использование определения дробного варьирования (14.74) дает
8aFi(x)= ZDZ.FiWVxj]*, м = 1,...,п. (14.76)
Из уравнения (14.76) и свойств операции варьирования
8aD\xi = D\SaXi (14.77)
получаем
D\5axi=ca.D4.Fi\8x]}a, i = l,...,n. (14.78)
Отметим, что в левой части уравнение (14.78) содержит вариацию 5аХг
дробного порядка, а в правой части — дробную степень вариации [<5х*]а.
Рассмотрим дробную вариацию (возмущение) переменной х*.
Используя уравнение (14.74), получим
Fx* = CajD°.Xi [dx,]*, к = 1,... ,n. (14.79)
Для производной Капуто имеем
%1)°,Хг = 6ц (14.80)
где Sij — символ Кронекера. Подставляя уравнение (14.80) в
выражение (14.79), можно выразить нецелую степень вариаций [Sxi]a через
дробные вариации SaXi в виде
[6xj]°=(<>iD2ixjy18°xj. (14.81)
Подстановка выражения (14.81) в уравнение (14.78) дает
Dl5°Xi= ^D^Y^D^F^S-xj. (14.82)
Здесь подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу j от 1
до п. Уравнения (14.82) являются уравнениями для дробных вариаций
(возмущений). Обозначим эти дробные вариации 5aXi через z%
zi = Saxi = [8xi]aZDlxi. (14.83)
В результате получаем дифференциальные уравнения для дробных
(вариаций) возмущений
D1tzi(t) = Aij(a)zj(t), (14.84)

14.8. Устойчивость по отношению к возмущениям дробного порядка 353
где
Ai3(a) = (lD«jXj)~l %D«Xj Л(х). (14.85)
Используя матрицы Zl = (z\,..., zn) и Аа = ||А^(а)||, можно переписать
уравнения (14.84) в матричном виде
DltZ{t) = AaZ(t). (14.86)
Уравнение (14.86) является линейным матричным дифференциальным
уравнением. Для определения устойчивости по отношению к дробным
возмущениям (вариациям) рассмотрим характеристическое уравнение
Det ^Аа — XE^j =0 (14.87)
относительно А. Если действительная часть #е[А&] всех собственных
значений \k для матрицы Аа является отрицательной, тогда невозмущенное
движение является асимптотически устойчивым по отношению к дробным
возмущениям. Если действительная часть Де[А&] одного из собственных
значений А& матрицы Аа является положительным, то невозмущенное
движение является неустойчивым по отношению к возмущениям нецелого
порядка.
Система называется устойчивой по отношению к возмущениям
дробного порядка, если для любого е существует такое значение <5о, что
\\6ax(a,t0)\\ < So => ||<*Q*(a,*)|| < с (14.88)
для всех t > to, где x(a,t) описывает состояние системы при t^ to.
Динамическая система называется асимптотически устойчивой по отношению
к дробным возмущениям 5ax(t, а), если
lim \\Sax(t,a)\\ =0. (14.89)
Отметим, что понятие устойчивости по отношению к возмущениям
нецелого порядка [509,530] значительно шире, чем понятие
асимптотической устойчивости или устойчивости по Ляпунову [41,75,118].
Устойчивость дробного (нецелого) порядка а включает понятие устойчивости
целого порядка как частный случай (a = 1). Динамическая система,
которая является неустойчивой по отношению к возмущениям первого порядка,
может быть устойчивой по отношению к дробным возмущениям. Поэтому
производные нецелого порядка расширяют наши возможности при
исследовании свойств устойчивости динамических систем.

354
Глава 14
В результате понятие варьирования нецелого порядка позволяет
определить устойчивость нецелого порядка. Дробные вариационные
(функциональные) производные могут быть использованы для описания свойств
динамических систем при возмущениях дробного порядка, которые, в силу
свойств дробных производных, интерпретируются как нелокальные
возмущения. Было сформулировано понятие устойчивости движения к
изменениям, возникающим при изменениях переменных дробного порядка.
Подчеркнем, что динамические системы, которые неустойчивы по Ляпунову,
могут быть устойчивыми по отношению к вариациям дробного порядка.
14.9. Заключение
Внешние производные дробного порядка могут быть использованы для
обобщения вариационного исчисления [497,530]. Предложены гамильтонов
и лагранжев подходы, в которых используются вариации нецелого порядка.
Уравнения Гамильтона и Лагранжа с дробными производными
получаются из принципов стационарности действия [497,530] путем варьирования
нецелого порядка. Было доказано, что дробные дифференциальные
уравнения могут быть получены из действий, которые содержат только целые
производные. Производные дробного порядка появляются благодаря тому,
что для лагранжиана и гамильтониана используется варьирование дробного
порядка.
Применение дробного вариационного исчисления может быть
связано с обобщением вариационных задач. Уравнения движения градиентных
систем образуют ограниченный класс обыкновенных дифференциальных
уравнения. Градиентные системы могут быть определены одной
функцией, называемой потенциалом. Поэтому изучение этих систем может быть
сведено к исследованию потенциалов. Например, пути некоторых
химических реакций определяются из анализа поверхности потенциальной
энергии [243,244,326,366]. Обобщения понятия градиентной системы было
предложено в работах [477,482] (см. также [530]). Было показано, что
градиентные системы образуют специальный подкласс таких систем.
Множество дробных градиентных систем включает и широкий подкласс
неградиентных систем. Например, системы Лоренца и Рёсслера могут
рассматриваться как обобщенные градиентные системы [477,482,530]. Поэтому
изучение неградиентных систем, которые являются дробными градиентными
системами, тоже может быть сведено к исследованию потенциала.
Используя дробное внешнее исчисление и понятие вариационной
производной нецелого порядка, можно обобщить внешнее вариационное
исчисление [89,141]. Отметим, что функциональные (вариационные) произ-

14.9. Заключение
355
водные дробного порядка могут иметь широкое применение в
статистической механике [9,10,182,547], квантовой теории поля [13,96,183] и теории
стохастических процессов [62]. Отметим, что производящий функционал
(например, в квантовой теории поля [13,96]) может быть определен через
функцию Миттаг-Леффлера [260,307,365] вместо экспоненциальной
функции. Это связано с тем фактом, что функция Миттаг-Леффера является
инвариантной по отношению к действию левосторонней производной Капуто
(см. лемму 2.23 в [307]).
Дробные вариации могут быть использованы для определения
уравнений градиентного типа, которые имеют широкое применение в теории
диссипативных структур [49,391,442]. Дробные дифференциальные
уравнения градиентного типа являются обобщением дробных градиентных
систем [477,530] обыкновенных дифференциальных уравнений на
дифференциальные уравнения с частными производными. Это обобщение может
быть реализовано путем использования гамильтониана де Дондера-Вейля
и n-формы Пуанкаре-Карртана.

Глава 15
Дробная статистическая механика
15Л. Введение
Статистическая механика является разделом физики, в котором
методами теории вероятностей исследуется динамика систем с
произвольным числом частиц [7,9, 252]. Уравнения с производными нецелого
порядка имеют множество применений в физической кинетике (см.,
например, [48, 124, 571, 572] и [52, 195, 393, 422, 443, 446, 520, 557, 570, 573]).
Дробный математический анализ используется для описания аномальной
диффузии и процессов переноса [121,122,362,363,379,571]. Применение
дробного интегрирования и дифференцирования в статистической
механике рассматривалось также в работах [494,508] и [476,490,492,504,511,530].
Кинетические уравнения с производными дробного порядка обычно
получают в рамках феноменологических моделей. В данной главе
рассматриваются обобщения некоторых основных уравнений статистической механики,
в которых используются производные дробного порядка. Для получения
этих уравнений используется закон сохранения вероятности в дробно-
дифференциальном элементе объема фазового пространства [494,508,530].
Этот элемент может рассматриваться как инфинитезимальная часть
фазового пространства с нецелой размерностью. Из законов сохранения
вероятности получаем уравнения Лиувилля с дробными производными по
координатам и импульсам. Дробное уравнение Лиувилля [494,508,530]
используется для получения дробных уравнений Боголюбова и кинетических
уравнений с дробными производными. Рассматриваются уравнения
статистической механики для дробных гамильтоновых систем. Уравнения
Лиувилля и Боголюбова с дробными производными по координатам и
импульсам рассматриваются [494,508,530] как базис для получения обобщенных
кинетических уравнений. Получены уравнение Власова с производными
нецелого порядка. Уравнения Фоккера-Планка с дробными производными
в фазовом пространстве получаются из уравнения Боголюбова с
производными дробного порядка.

15.2. Уравнение Лиувилля с дробными производными
357
В разделе 2 уравнение Лиувилля с дробными производными
получаются из закона сохранения вероятности в дробном элементе объема фазового
пространства. В разделе 3 получено первое уравнение иерархии уравнений
Боголюбова с дробными производными. В разделе 4 рассматривается
уравнение Власова с дробными производными по координатам и импульсам.
В разделе 5 уравнение Фоккера-Планка с производными нецелого порядка
выводится из уравнения Боголюбова с дробными производными. Краткое
заключение приводится в разделе 6.
15.2. Уравнение Лиувилля с дробными производными
Одним из основных принципов статистической механики является
сохранение вероятности в фазовом пространстве [330,351]. Уравнение
Лиувилля является выражением этого принципа в удобной для анализа форме.
Получим уравнение Лиувилля с дробными производными из сохранения
вероятности в дробном элементе объема.
В фазовом пространстве R2n с безразмерными координатами
(хг,...,х2п) = (<?i,...,4Vi,Pi,...,Pn)
рассмотрим дробный дифференциальный элемент объема
daV:=dax1... dQx2n. (15.1)
Здесь daXk — дифференциал нецелого порядка от хк. Действие da на
функцию f(x) определяется формулой
2п
d°/(x) = £ °kD2kf(y)[dxk]a, (15.2)
где
[dxk}a = {sgn{dxk))m\dxk\a (m - К a < m)
и ak^xk ~ производная Капуто [307] порядка а по переменной хк.
Производная Капуто определяется формулой
1 (n - a) J (х — z)a+i 71
a
где n - 1 < a < п и f{n)iz) = DUiz)- Отметим, что akDxkl = 0 и
akD%kxi = 0 для кф1. Используя (15.2), получаем
da(xk - ак) = ZkD?k(xk - ак) [dxk)a. (15.4)

358
Глава 15
Уравнение (15.4) дает
[dxk]a = (°kD2k(xk -afc))_1 dQ(xk -ak). (15.5)
Для производной Капуто (15.3) имеем
ZD?k(xk - akf = r(^^)Q) (xfc - akf-, (15.6)
где /3 > m — 1, m — 1 < a ^ m и xk > ak. Подставляя (15.6) при /3 = 1
в (15.5), получаем
[dxk]a = Г(2 - a) (а* - ak)a~lda{xk - ak) (15.7)
для 0 < a ^ 1.
Для обычного элемента объема dV в фазовом пространстве сохранение
вероятности задается уравнением
-dV^^=d(p{t,*) (u,dS)). (15.8)
Сохранение вероятности для дробного фазового элемента объема (15.1)
может быть записано в виде
-daV = сГ (p(t, х) (u, daS)). (15.9)
Здесь р(£, х) — плотность вероятности обнаружить динамическую систему
в daV, u = u(£, х) — поле вектора скорости в R2n, daS — безразмерный
элемент поверхности и скобки ( , ) — скалярное произведение векторов,
где
2п 2п 2п
и = £>*е*, dttS-^efcda5b (u, daS) = £ ufcdaSfc, (15.10)
fc=i fc=i fc=i
а векторы образуют ортонормированный базис и
da5fe = dQX! . . . dQXfc_idQXfc+1 ... dax2n. (15.11)
Функции uk = Ufc(t,x) определяют xk компоненты вектора скорости
u(£,x), с которой плотность вероятности переносится через элемент
поверхности daSk. Для случая а = 1 поток вероятности в направлении оси
хк задается формулой
d(fmk)dSk = (DlXkfmk^ dxkdSk = (p^pu^dV. (15.12)

15.2. Уравнение Лиувилля с дробными производными
359
Обобщением уравнения (15.12) на случай дробного порядка а является
da(puk)dQSk = ($D2k/mk)[dx]ad°Sk.
Используя (15.11), (15.1) и (15.5), получаем
da[fmk]daSk = %D2k(puk) (%D2kxkyldaxkd«Sk =
= (o^kxkyl %D2k(f>uk)d«V. (15.13)
Подстановка (15.13) в (15.9) дает
_^9р|х) = ру^Сц^у* Cjja^ (15Л4)
fc=l
В результате получаем уравнение
dp(t, х)
2п
т = " Е D** fa x)u*(«i *)), (15.15)
fc=i
где использовали обозначения
DS„ = (f^xfc)_1
Формула (15.15) задает уравнение Лиувилля с производными дробного
порядка а. Это уравнение описывает сохранение вероятности для дробного
элемента объема (15.1) фазового пространства.
Для безразмерных координат (<?ь ...,qn,Pi, • • • >Рп) уравнение (15.15)
имеет вид
т£Р) + J2*>1 9,Р)Gfc) + £D£fc (р(*,F*) = 0, (15.16)
к=1 к=1
где Gk = ик и Fk = ик+п (к = 1,..., n), a p(t,q,p) — функция
распределения вероятности в фазовом пространстве. Функции Gk = Gk(t,q,p)
являются компонентами поля вектора скорости, и Fk = Fk(t,q,p) —
компоненты силового поля. В общем случае эти поля не являются
потенциальными. Уравнение (15.16) является уравнением Лиувилля с дробными
производными по координатам и импульсам [494,508,530].

360
Глава 15
Определение. Динамическая система, которая определяется
уравнениями
^ = Gk(t,q,p), ^=Fk(t,q,p), (15.17)
называется локально гамильтоновой системой, если правые части
уравнений (15.17) удовлетворяют условиям Гельмгольца
Dl.d - Dlfii = 0, D\Gj + D^Fi = 0, - D^F, = 0. (15.18)
Если выполняются условия (15.18) для односвязной, стягиваемой
в точку области W С R2n, то система будет глобально гамильтоновой.
Теорема. Если динамическая система (15.17) является
гамильтоновой в области W С Ш2п и эта область является односвязной и
стягиваемой в точку, то функции Gk и Fk могут быть представлены в виде
Gk = DlkH, Fk = -D*kH, (15.19)
который однозначно определяется гамильтонианом Н = H(t, q,p),
являющимся непрерывно дифференцируемой однозначной функций.
В общем случае имеется неравенство
[pFk] ф pD£ Fk + FfeD£fcp. (15.20)
Если Fk не зависят от рк, a Gk не зависят от qk, то уравнение (15.16)
представимо в виде
п
dp(t,q,p)
k=l
(15.21)
Для дробного обобщения гамильтоновых систем [477,497,530] функции Gk
и Fk могут быть представлены в виде
Gfc = Б£Я(д,р), Fk = -DlH(q,p), (15.22)
где H(q,p) — обобщенная функция Гамильтона. Для а = 1 имеем
обычную гамильтонову систему (15.17) с (15.19). Подставляя (15.22) в (15.21),
получаем
dp{t,q,p)
dt ,
k=l
71
(ЩкH{q,p) D« p(t, q,p) - D° H(q,p) Г>°кp(t,q,p))=0.
(15.23)

15.3. Уравнения Боголюбова с дробными производными
361
Можно определить скобки
{А,В}а = £ (D- А Г>$кВ - ЩкВ D£A). (15.24)
к=\
Выражение (15.24) может быть представлено в виде
{А,В}а = J2 (c0D«kqk ZD^pb)-1 {c0D°kA c0D°kB - c0D«kA).
k=l
(15.25)
Для a = 1 формула (15.25) определяет скобки Пуассона
{ABh = (DlA DkB ~ DiB DlA)-
k=l
Отметим, что
{A,B}a = -{B,A}a, {l,A}a = 0.
В общем случае тождество Якоби для (15.25) не выполняется. Используя
уравнение (15.23) и обозначения (15.25), получаем
dp{tftV) + {p(t,q,p),H(q,p)}a = 0. (15.26)
Это уравнение может интерпретироваться как уравнение Лиувилля для
дробных гамильтоновых систем [477,497, 530]. При a = 1
уравнение (15.26) дает обычное уравнение Лиувилля для гамильтоновых систем
в фазовом пространстве.
15.3. Уравнения Боголюбова с дробными производными
Рассмотрим классическую систему с фиксированным числом
тождественных частиц, равным N. Будем полагать, что к-я частица
описывается обобщенными координатами qks и обобщенными импульсами ркз, где
s = 1,...,т. В этом случае имеем 2гаАГ-мерное фазовое пространство.
Состояние такой системы может описываться функцией распределения
/Mq,P,*) = р(ЯъРь.-.,Ялг,Рлг,*), (15.27)
где
q= (qi,...,qiv), Чк = (qki,-'-yQkm),

362
Глава 15
Р = (P1,--->Pn), Р/с = (Pkl,---,Pkm)
являются координатами и импульсами частиц соответственно. Условие
нормировки для функции (15.27) имеет вид
/[l,...,JV]PN(q,P,0 = 1,
где /[1,..., N] — интегрирование по переменным qi, pi,..., q^, рм
фазового пространства. Интегрирование может быть записано как
i[i,...,N} = i[i}i[2}...i[N],
где 1[к] — интегрирование по q^, Рк такое, что
I[k) = i[qk]i\Pk]-
Дробное уравнение Лиувилля (15.16) для этой системы представляется
в виде
Ж = -E(d4k(g^) + DSk(FfcPAf)), (15.28)
к=1
где Gk — скорость к-й частицы, — сила, действующая на к-ю частицу,
и
т
(15.29)
m
D^kFfc - (S^P*)"1 ?Z%F* = (ffl&.Pb)"1 oC^t^b. (15.30)
3=1
Определение. Одночастичной редуцированной функцией
распределения называется функция р\, определяемая формулой
Pi(q, Р, 0 = p(qi, Pi, *) = /[2, • • •, iV]pAr(q, р, *), (15.31)
где /[2,..., iV] — интегрирование по переменным q2, ..., q#, и рг, ...,
PN-
Очевидно, что функция (15.31) удовлетворяет условиям нормировки
вида
/[l]pi(q,p,t) = l.

15.3. Уравнения Боголюбова с дробными производными
363
Определение. Редуцированной s-частичной функцией распределения
называется функция р3, определяемая формулой
pe(q,p>*) = p(qbPb---,qe,pej*) = /[«,...,-W]pN(q,p,t), (15.32)
где I[s,..., N] — интегрирование по переменным qs, ..., q^, ps, ..., рм-
Уравнения Боголюбова [8,9,40,180,182,351,408] описывают эволюцию
редуцированных функций распределения. Эти уравнения могут быть
получены из уравнений Лиувилля. Получим уравнения Боголюбова с дробными
производными из дробного уравнения Лиувилля (15.28).
Теорема. Пусть — сила бинарного взаимодействия частиц, пред-
ставимая в виде
N
F* = F£ + ]£Fw, (15.33)
1=2
где F% = Fe(qfc, р*, £) является внешней силой и Fki = F(q*» Pfc> 4i, Рь t) —
внутренние силы. Из дробного уравнения Лиувилля (15.28) следует первое
уравнение Боголюбова для одночастичной редуцированной функции
распределения Р\ в виде
^ + DSJGipO + D^Ffpx) = I(P2), (15.34)
где
I(p2) = -(N - 1)T>$J[2]F12P2 (15.35)
и P2 является 2-частичной редуцированной функцией распределения.
Доказательство. Для получения первого уравнения Боголюбова
с дробными производными из уравнения (15.28) рассмотрим
дифференцирование (15.31) по времени
£-£4*....*Ь„-/ц....лф (15.36)
Используя (15.28) и (15.36), получаем
Я N
= -J[2,..., ЛП £(DSJG*'") + Ji^(FkpN)). (15.37)
k=l

364
Глава 15
Рассмотрим интегрирование /[qfc] по слагаемого в (15.37),
описывающего fc-ю частицу при к = 2,3,..., JV. Используя тот факт, что координаты
и импульсы являются независимыми переменными, получаем
I{qk]r>°k(GkpN) = (Ср^тУ1 ZZ&iGkPN) ~ (GkPN)+0° = О,
(15.38)
где /Q[qA:] — дробное интегрирование по переменным q^. В
уравнении (15.38) используется то, что функция распределения р^ в переделе
qfc —> dtoo равна нулю. Аналогично имеем
/[Pfc]D2k(PfcPiv) - (FkPNy_2 =0-
Тогда все слагаемые в уравнении (15.37) с к = 2,...,iV равны нулю,
и остается только слагаемое с к = 1. Поэтому уравнение (15.37) пред-
ставимо в виде
^ = -/[2,.. .,N](p^{GlPN) + D^Fxpa,)). (15.39)
Поскольку переменная qi является независимой от q2,..., qw и рг,..., рлг,
то первое слагаемое в уравнении (15.39) может быть записано как
/[2,..., N]D^ (GlPN) = D^d J[2,..., N}pN = (dpi).
Сила Fi действует на первую частицу. Для бинарных взаимодействий
n
Fi =Ff + ^>1Ь (15.40)
к=2
где Ff = Fe(qi,pi,^) является внешней силой, a Fik = F(qi,pi,qfc,pfc,£)
являются внутренними силами. Используя (15.40), второе слагаемое в (15.39)
перепишем в виде
n
/[2,..., N]D^X (FlPN) = /[2,..., N] (D^ (F*iPn) + £ (FlkpNj).
k=2
Используя определение одночастичной редуцированной функции
распределения (15.31), получаем
n
/[2,..., N}B^ (FlPN) = (Ff Pl) + £ /[2,..., N] (FlkpN).
k=2
(15.41)

15.4. Уравнение Власова с дробными производными
365
Будем полагать, что функция распределения рм является инвариантной
относительно перестановок тождественных частиц [181]:
Pn(- • • ,Чк,Рк, • • • ,<li,Pi,- • • ,t) = pn{- •. ,q/,Pb • • • ,ЯьРь • • •
В этом случае pn — симметричная функция и все (N — 1) членов в
уравнении (15.41) являются идентичными:
n
£ /[2, ...,7V] D£is (flkpn) = (N-1) J[2, ...,N] Dpx (f12pn) . (15.42)
k=2
Используя /[2,..., N] = J[2] J[3,..., N], перепишем правую часть
уравнения (15.42) в виде
J[2,...,7V] (f12pN) = I[2] D^F12J[3,...,A4p,v) =Dj;i/[2]Fi2P2,
(15.43)
где
Pi = p(qi, Pi, q2, P2, t) = /[3,..., N]pN{<i, p, t) (15.44)
является двухчастичной функцией распределения. В результате получаем
уравнение (15.34). □
Замечание 1. Отметим, что интеграл (15.35) описывает скорость
изменения числа частиц в 4т-мерном двухчастичном элементарном фазовом объеме. Это
изменение обусловлено взаимодействиями между частицами.
Замечание 2. Уравнение (15.34) является обобщением первого уравнения
Боголюбова и содержит производные дробного порядка. Если а = 1, то получим
обычное первое уравнение Боголюбова для негамильтоновых систем [491,530]. Для
гамильтоновых систем
Fi = -DlqiH{quPl), Gi - DlpiH{quPl), (15.45)
уравнение (15.34) при а — 1 принимает хорошо известный вид [8,9,40,180,182,
408].
15.4. Уравнение Власова с дробными производными
Рассмотрим частицы системы как статистически независимые
подсистемы. Тогда
P2(qi,Pi,q2>P2,*) = Pi(qi,Pb*)pi(q2,P2,*). (15.46)

366
Глава 15
Подставляя (15.46) в уравнение (15.35), получаем
1{р2) = -D^pi/plFuPifo.Pa,*).
где pi = Pi(qi,pi,t).
Определим эффективную силу
(15.47)
(15.48)
(15.49)
■£ + D^JGxpO + Dpt ((F; + (N- l)Fe")Pl) = 0. (15.50)
Это уравнение является замкнутым уравнением для одночастичной
функции распределения с внешней силой Ff и эффективной силой Feff.
Уравнение (15.50) является обобщением уравнения Власова [21,22,548,549],
которое содержит производные нецелого порядка по координатам и импульсам.
Для а = 1 уравнение (15.50) принимает вид уравнения Власова для
негамильтоновых систем [491]. Для гамильтоновых систем (15.45) уравнение
(15.50) при а = 1 принимает обычный вид хорошо известного уравнения
Власова [21,22,548,549].
Рассмотрим частный случай дробного кинетического уравнения (15.34).
Будем предполагать, что /(рг) = 0, Gi = p/m = v и Fe = еЕ, В = 0.
Тогда это кинетическое уравнение принимает вид
Если учитывать магнитное поле (В ф 0), то необходимо использовать
обобщение правила Лейбница для дробных производных
^■ + (v,D°Pl) + e(E,D» = 0,
(15.51)
где Р\ — одночастичная функция распределения и
m
(15.52)
ОО
Г(а + 1)
Dp(/S) = Е
Г(в + 1)Г(а-в + 1)
(D£-7)£#;<7,
(15.53)

15.4. Уравнение Власова с дробными производными
367
где s является целым числом. В этом случае уравнение (15.51) будет
содержать дополнительное слагаемое вида
Швр ((Р. ВЫ - Ш £D£ (CklmVlBrnPl) =
klm
klm
1
/е/m г=0 4 ' v 7
klm
= ШсТ,£^ВтР1[^кРг} = ш ((D°tm),[p,B]). (15.54)
klm
Рассмотрим возмущение [134,316] одночастичной функции
распределения в виде
Р\ =Р\ +6pi{t,q,p), (15.55)
где р\ — плотность вероятности однородного стационарного
распределения, удовлетворяющая уравнению (15.51) при Е = 0. Подставляя (15.55)
в уравнение (15.51), получаем
дбр
dt
г- + (v,DS*pi) + e(E,D» = 0. (15.56)
Уравнение (15.56) является дробным линейным кинетическим
уравнение для возмущения 8р\ одночастичной функции распределения. Решения
дробного кинетического уравнения (15.56) рассматриваются в работе [443].
При Е = 0 функция Spi выражается через функцию
{C3t)-l^La[q3{C3t)-1^ (15.57)
где С3 = v9(q Dqaq3)~l, a La[x] — устойчивое распределение Леви [231].
При а = 2 эта функция дает распределение Гаусса. При 1 < а ^ 2 функция
Lq[x\ может быть представлена выражением (15.83) и (15.84).
Асимптотика этих решений демонстрирует степенные хвосты при х —> оо.

368
Глава 15
15.5. Уравнение Фоккера-Планка с дробными
производными
Уравнения Фоккера-Планка с дробными производными по
координатам были предложены в работе [570] для описания хаотической динамики.
Известно, что уравнения Фоккера-Планка для фазового пространства
могут быть получены из уравнения Лиувилля [56,128,427]. Уравнение
Фоккера-Планка с дробными производными были получены в работе [494,530]
из уравнения Лиувилля с производными нецелого порядка. Используя
обобщенное уравнение Колмогорова-Феллера для систем с нелокальным
взаимодействием, уравнение Фоккера-Планка с дробными производными по
координатам были получены в статье [520].
Рассмотрим систему, состоящую из N тождественных частиц, и
броуновскую частицу, которая описывается функцией распределения
pn+i = PN+i(q,p,Q,^)>
где q — координаты, ар — импульсы частиц системы, а через
обозначены координаты и импульсы броуновской частицы соответственно.
Условие нормировки имеет вид
Функция распределения броуновской частицы определяется формулой
Q = {Qs' e = l,...,m}, P={PS: 5 = 1,...,
m}
7[l,...,iV,iV + l]pN+1 = l.
(15.58)
pB(Q, P, t) = /[1,..., JVW+i(q, P> <2> ^ *)•
(15.59)
Уравнение Лиувилля для pn+i имеет вид
dt
- {(Ln + Lb)pn+\ = 0,
(15.60)
где Ln i\ Lb — операторы Лиувилля с дробными производными,
N,m
LNp = iJ2 К. (GkaP) + Ъ°к, (Ffp)),
LBp = i£l (Щ, (g.p) + Щ, (f.pj),
N,m

15.5. Уравнение Фоккера-Планка с дробными производными 369
и используются обозначения
T>ZB=(%DZA)-1 %D"AB.
Как силы Fg и /3, так и скорости G£ и д3, определяются уравнениями
движения в форме Гамильтона. Функции GJ и F^ определены уравнениями
движения для частиц,
^gi=G*(q,p), ^=F*(q,p,Q,P), k = l,...,N. (15.61)
Уравнения Гамильтона для броуновской частицы имеют вид
^=g.(Q,P), ^=/e(q,P,Q,P), (15.62)
определяют д3 и /3. Для упрощения можно предполагать, что
G*=pg./m, да = Р?/М, (15.63)
где М ^> т.
Рассмотрим граничное условие в виде
lim PN+i(q,P,Q,P,*) =PAr(q,P,Q,T)pB(Q,P,*), (15.64)
с—► — оо
где
Mq, Р, О, Г) = ехр - #(q, р, Q)} (15.65)
является каноническим распределением Гиббса с гамильтонианом
N
#(q,р,Q) = tfN(q,P) + X) UB(4kiQ). (15.66)
Здесь — гамильтониан iV-частичной системы, hUb — энергия
взаимодействия между fc-й частицей и броуновской частицей. Если скорости G^
и д3 определяются формулами
pk = Ркз_ Р3
т » Уз д^ч
то гамильтониан имеет вид
ffJV(q,P) = f;^ + X;^(q*,4i)-
/с к<1
В общем случае можно рассматривать G* = Gj(q, р) и #s = #s(<3, Р).

370
Глава 15
Известно, что граничное условия (15.64) может быть реализовано [54]
через инфинитезимальный член в уравнении Лиувилля
др
- i{LN + Lb)pn+\ = -e(pN+i - рмрв)- (15.67)
Интегрирование /[1,..., N] уравнения (15.67) дает
Ж + E D0. (Я.Рв) + /[1, • ■ •, N] E D£ (faPN+i) = 0. (15.68)
3=1 3=1
Это уравнение является уравнением Лиувилля для редуцированной
функции распределения, описывающей броуновскую частицу.
Формальное решение уравнения (15.67) имеет вид
о
pN+i(t) = pB(t)pN - j dTC(T,LN,LB)pB{t + T)pN, (15.69)
—оо
где
£(т, Ln, Lb) = e"e-^L»+L^ (J^ - i(LN + LB)) -
Подставляя (15.69) в (15.68), получаем
r\ m m
Ж + ED0.^b) + Edp.Pb/[1, • • .,N}(fsPN)-
3=1 3=1
-J"[l,...,JV]^D£s / dr C(T,LN,LB)pB(t + T)pN=0.
s=l *L
(15.70)
Выражение /[1,..., N]fspu может быть рассмотрено как среднее значение
силы fs. Для канонического распределения Гиббса (15.65) оно равно нулю.
Используя соотношение
где fsP^ — дробно-потенциальная сила [477,482,530], такая что
Л(Р) = -Щив, (15.71)

15.5. Уравнение Фоккера-Планка с дробными производными 371
получаем
/Р f{p) \
-iLbPn+i = {-Jf^fPB + ЩЛЯэРв) + Щзи8рв))Рм.
Легко показать интегрированием, что слагаемое
?£§Р-+Щ.(9.РвЮ) (15.72)
в уравнении (15.70) не дает вклада. Тогда уравнение (15.70) принимает вид
mm0
^^+£1)№Рв№)+£1^/[1,...,ЛГ] / dTe"fse-^L»+^pN-
.(paPJfa,pB(t + r)) + ^j^PB(t + r)) =0. (15.73)
Уравнение (15.73) является замкнутым интегро-дифференциальным
уравнением для функции распределения рв- Заметим, что fs может быть
представлена в виде fs = /ip) + fsU\ где — потенциальная сила (15.71),
a /j7^ — непотенциальная сила, действующая на броуновскую частицу.
Для равновесной аппроксимации имеем Р ~ (MfcT)1/2, %Lb ~ М~1'2
и ILn ~ ш-1/2. Если М » га, то можно использовать теорию
возмущений.
Приближение ps(t + т) = рв(£) для уравнения (15.73) дает
dpB(t)
dt
+ J2UQs(9sPb)+
s=l
тп
+ (M^_1 Vps,(Ass>PB(t)) + Bss,Ps,pB{t)) = 0, (15.74)
где pB(0 = рв(<2,Р,0>и
о
Лвв, =/?M/Q[l,...,iV] ^ dTe€Tfse-iTL»fs,pN, (15.75)
-oo

372
Глава 15
и
Bss, = 0MIa[l,...,N] j dr e£Tfse-iTL»f{fpN. (15.76)
— ОО
В результате получаем дробное уравнение Фоккера-Планка [488,530,570]
для фазового пространства.
Если д8 является скоростью (Gs = Ps/M) броуновской частицы
и рв = Pe{t,Q), тогда уравнение (15.74) дает
^. + М-'Р3ЩвРв = 0, (15.77)
где подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу s от 1
до га. Уравнение (15.77) является уравнением с производными дробного
порядка в конфигурационном пространстве. В этом случае функция
распределения рв выражается через функцию
{ast)-l^la [Qe(M)"1/a], (15.78)
где as = М~гPs(Dq Qs)_1, a la[x] — функция устойчивого распределения
Леви [231].
При а = 1 функция lq [х] дает распределение Коши
" аг + 1
и выражение (15.78) имеет вид
(ast)-V«la \Qs(ast)-^} = I—(15.80)
L J nQj(ast) 2+ 1
При a = 2 функция la [x] является распределение Гаусса
L2[z] = ^=exp^, (15.81)
а функция (15.78) принимает вид
ы)-у°ьа [амг1/а] = (a**)"1/2^exp(i^f)- (15-82)

15.6. Заключение
373
При 1 < а ^ 2 функция La [х] может быть представлена в виде ряда
L°N = 'WE Е(-1)"Щ sin(W2)x". (15.83)
71=1
Асимптотика (х —> оо, 1 < а < 2) этой функции имеет вид
La[x] ~ Е(-1)"Г(1 sin(n7r/2)x-"Q. (15.84)
71=1
В результате асимптотика решения демонстрирует степенные хвосты при
х —> оо. Эти хвосты являются важной характеристикой решений уравнений
с производными нецелого порядка.
15.6. Заключение
В данной главе были получены уравнения Лиувилля, Боголюбова,
Власова, Фоккера-Планка с дробными производными по координатам и
импульсам. Для получения дробного уравнения Лиувилля рассматривается
сохранение вероятности в дробном дифференциальном элементе объема.
Этот элемент определяется дифференциалами нецелого порядка.
Используя дробное уравнение Лиувилля, получаем иерархические уравнения
Боголюбова с производными дробного порядка. Эти уравнения описывают
эволюцию редуцированной плотности распределения. Дробные уравнения
Боголюбова используются для получения кинетических уравнения с
дробными производными [494,508,530]. Дробное уравнение Фоккера-Планка,
дробное уравнения Власова и дробные линейные кинетические уравнения
получаются из предложенных уравнений Лиувилля и уравнений
Боголюбова с производными дробного порядка.
Используя дробный векторный анализ [515,530], можно получить
дробные дифференциальные уравнения для сохранения вероятности, такие
как уравнения Лиувилля и Боголюбова. Отметим, что уравнение
Лиувилля с производными дробного порядка [494,508,530] может быть получено
методом, предложенным в работе [558].
Известно, что дробные производные по координатам описывают
нелокальные свойства распределенных систем. Поэтому дробная
статистическая механика связана с нелокальной статистической механикой [23,24].
В то же время дробные производные связаны с нелокальными
межчастичными взаимодействиями. В статьях [493,496] доказывается, что нело-

374
Глава 15
кальные альфа-взаимодействия между частицами кристаллической
решетки приводят к уравнениям для сплошной среды, содержащим производные
дробного порядка по координатам. В работе [24] предлагается нелокальная
статистическая модель кристаллической решетки. Можно сделать
заключение, что нелокальная статистическая механика и дробная статистическая
механика напрямую связаны со статистической динамикой систем с
нелокальным альфа-взаимодействием частиц [187].

Часть III
Дробная динамика со степенной
памятью

Глава 16
Электродинамика со степенной памятью
16.1. Введение
Для многих диэлектрических сред восприимчивость в широком
частотном диапазоне подчиняется дробным степенным зависимостям,
называемым универсальным откликом. Электромагнитные поля в таких
диэлектрических средах могут быть описаны дифференциальными
уравнениями [114,516,517,524,530] с производными нецелого порядка по
времени. Получены уравнения, описывающие «универсальный» закон Кюри-
фон Швейдлера (Curie-von Schweidler) и «универсальный» закон
Гаусса для таких диэлектрических материалов [516,530]. Как было
показано в работах [516,530], эти законы представляются дифференциальными
уравнениями нецелого порядка, что позволяет описывать
электромагнитные поля в диэлектрических средах с универсальным откликом.
Получены дробные интегро-дифференциальные уравнения для электромагнитных
волн в диэлектрических материалах. Электромагнитные поля в
диэлектриках демонстрируют дробно-степенную релаксацию. Дробные интегро-
дифференциальные уравнения для электромагнитных волн являются
общими для широкого класса диэлектрических сред независимо от типа
физической структуры, химического состава или природы поляризации, будь то
дипольная, электронная, или ионная.
В разделе 2 обсуждаются законы универсального отклика. В
разделе 3 кратко рассматривается линейная электродинамика сплошных сред.
В разделе 4 предлагаются интегро-дифференциальные уравнения дробного
порядка для законов универсального отклика. В разделе 5 получаем
дробные интегро-дифференциальные уравнения закона Кюри-фон Швейдлера.
В разделе 6 рассматриваются законы Гаусса для электрического поля в
диэлектрических средах. В разделах 7-8 предлагаются «универсальные»
дифференциальные уравнения в частных производных нецелого порядка для
описания электромагнитных волн в диэлектрических средах. В разделе 9
обсуждаются степенные эффекты затухания для магнитного поля в
диэлектрике. Краткое заключение приводится в разделе 10.

378
Глава 16
16.2. Законы универсального отклика
Петер Дебай сформулировал в 1912 теорию дипольной релаксации
в диэлектриках [211]. Большое количество измерений диэлектрической
релаксации показывают, что классическое дебаевское поведение [211-213]
почти никогда не наблюдается экспериментально [293-295,417].
Фактически оказывается, что различные диэлектрики демонстрируют
универсальное поведение в виде степенных закономерностей для широкого класса
веществ [293-295,417] в широком диапазоне частот. Тот факт, что
диэлектрические среды могут описываться дробно-степенными законами, был
подтвержден в огромном числе экспериментов [293-295] с различными типами
веществ. Для большинства материалов диэлектрическая восприимчивость
в широкой частотной области подчиняется дробно-степенному закону,
называемому универсальным откликом [293-295]. Этот закон был обнаружен
в биполярных средах вне области частот пиковой потери и в средах, где
поляризация является результатом движений ионных или электронных
носителей зарядов.
Эти дробно-степенные отклики могут быть описаны в терминах
диэлектрической восприимчивости
как функции частоты w. Было показано [296,297,390], что частотная
зависимость диэлектрической восприимчивости подчиняется общим
универсальным законам для любых типов сред. Эти законы описываются
соотношениями
Х'И""""1» x"H~^n-1 (0<п<1, u;»u;p) (16.1)
Х'(0) - х'М ~ х"М ~ ^т (0 < т < 1, си <^ и>р), (16.2)
где х'(0) "~ статическая поляризация, 0 < n,m < 1 ио;р- частота пика
потерь. Выражения (16.1) и (16.2) служат определениями эффекта
универсального отклика. Отметим, что отношение мнимой и действительной
компонент восприимчивости не зависит от частоты. Частотная зависимость,
заданная уравнением (16.1), подразумевает, что мнимая и действительная
части комплексной восприимчивости х(о;) = х'О^) ~ ^х"{^) при больших
частотах подчиняются соотношению
и
(16.3)

16.3. Линейная электродинамика сплошных сред
379
Экспериментальная зависимость (16.2) приводит к похожему правилу
частотной независимости для низкочастотной области
Pi&o—C?) <"«•*>■ (16'4)
Эти соотношения являются следствием соотношений Крамерса-Кронига
и не зависят от специфики физического процесса.
Существует множество моделей, построенных для объяснения законов
универсального отклика [168,177,240,295,370,371,438,439]. Отметим
работы [87,106,392,394,397,565], в которых дробный математический анализ
был применен для объяснения природы неэкспоненциальных релаксаций.
16.3. Линейная электродинамика сплошных сред
Введем обозначения и кратко рассмотрим основы линейной
электродинамики сплошных сред [290].
Поведение электрических полей (Е, D), магнитных полей (В,Н),
плотности электрического заряда (р(£,г)) и электрического тока (j(£,r))
описывается уравнениями Максвелла
divD(*,r) =р(*,г), (16.5)
rotE(^r) = -^^ (16.6)
divB(r,r) =0, (16.7)
rot Н(«, г) = г) + (16.8)
Плотности заряда р(£,г) и тока j(r,r) характеризуют внешние источники
поля. Будем полагать, что внешние источники электромагнитного поля
заданы.
Для линейной электродинамики индукция В и напряженность Н
магнитного поля могут быть связаны соотношением
Н(*,г) = ±В(*,г), (16.9)
где /х — магнитная проницаемость среды.

380
Глава 16
Используя вектором поляризованности Р(£, г), взаимосвязь
напряженности Е и индукции D электрического поля может быть описана
уравнением
D(t, г) = e0E(t, г) + Р(*, г), (16.10)
где во — электрическая постоянная. Вектор поляризованности P(t, г)
является векторным полем, описывающим плотность электрических диполь-
ных моментов в диэлектрической среде. Вектор Р(£, г) определяется как
дипольный момент единичного объема среды.
Для однородных изотропных линейных диэлектрических сред поляри-
зованность прямо пропорциональна вектору напряженности
электрического поля
Р(*,г)=гохЕ(*,г). (16.11)
Для вакуума \ = 0. Диэлектрическая восприимчивость \ среды является
мерой того, как легко она может быть поляризована в электрическом поле.
В общем случае среда не может быть поляризована мгновенно в ответ
на приложенное поле. Величины Р(£, г) и Е(£, г) в общем случае связаны
соотношением
+оо
P(*,r)=e0 j K(t,t')V{tf,y)dtf. (16.12)
—оо
Однородность по времени дает K(t, t') = K(t — г/), а причинность требует,
чтобы K(i) = 0 для t < 0. Функция K(t) называется диэлектрическим
откликом. Используя функцию Хевисайда, можно записать K(t) = x(t)0(—i)9
и поэтому уравнение для Р(£, г) как функции времени имеет вид
t
P(t,r) = e0 J x(t-tf)V(t',r)dtf, (16.13)
—оо
где x(t) — диэлектрическая восприимчивость среды. Уравнение (16.13)
означает, что поляризованность является сверткой электрического поля
в прошлые моменты времени с диэлектрической восприимчивостью,
зависящей от времени. Мгновенный отклик соответствует диэлектрической
восприимчивости, описываемой дельта-функцией Дирака x(t) = xS(t).B этом
случае уравнение (16.13) дает Р(£, г) = еохЩ*,г)-
Удобно сделать преобразование Фурье и записать соотношение (16.13)
как функцию частоты и изучать свойствами Фурье-образа {ТК)(ил) ядра
K(t) и Фурье-образа х(ш) — (Тх)(^) диэлектрической восприимчивости

16.3. Линейная электродинамика сплошных сред
381
Можно записать Фурье-образ диэлектрической восприимчивости в
виде
оо
где
*И - х'М - *Х"И = J К{Ь)е-шЯ, (16.14)
о
оо со
х'И = J K(t)cos(ut)dt, х"И = J K(t)sm(wt)dt. (16.15)
о о
Уравнения (16.15) приводят к следующим свойствам:
X,(-w) = xV). х"(-«) =-Х"И.
оо
Х,(0) = j K(t)dt, х"(0)=0.
Используя свойство Фурье-преобразования свертки функций,
интеграл (16.13) исчезает, и получаем
Р(с*;,г) = е0хИЁ(с*;,г), (16.16)
где х(о;) — определяется формулой (16.14). Функции Р(о;,г) и Е(о;,г)
являются Фурье-преобразованиями Т функций Р(£, г) и Е(£, г),
определяемых формулами
+оо
Р(о;,р) = (Я>)(а;,р) = 1 | Р(*,г)е-*"Л,
+ 00
E(w,r) = (^)(w,r) = ^; ^ Е(*,г)е"*
Восприимчивость х(и)) является функцией частоты приложенного поля.
Поляризуемость является обратным Фурье-преобразованием произведения
х(и)иЕ(цг). Это отражает тот факт, что диполи в среде не могут
мгновенно откликнутся на изменение электрического поля [107,322].

382
Глава 16
16.4. Дробные интегро-дифференциальные уравнения для
законов универсального отклика
Рассмотрим законы универсального отклика в области высоких частот.
Для и) > ир универсальный дробно-степенной закон (16.1) может быть
представлен в виде
хИ = ХаМ"а (0<а<1) (16.17)
с некоторыми положительными постоянными Ха и а = 1 — п. Используя
{iw)a = \и,\аехр(здп(ш)г^) =
= \ш\а сов(адп(ш)^) + i\u\Q sm(sgn(uj)^y
получаем
Х'Н = Ха |w|acos(s5n(w)^), (16.18)
Х"И = Ха Hasm(sgn(Lj)^). (16.19)
Видно, что из уравнений (16.18) и (16.19) следует соотношение (16.3).
Используя уравнение (16.16), вектор поляризуемости может быть
записан в виде
Р(*, г) = Т~х (Р(и, г)) = еъТ~1 (х(^)Ё(а;, г)), (16.20)
где P(cj, г) — преобразование Фурье Т вектора Р(£, г). Подставляя (16.17)
в (16.20), получаем
P(t, г) = еоХа?-1 ((го;)-аЁ(о;, г)). (16.21)
Уравнение (16.21) может быть представлено через интеграл дробного
порядка, равного а = 1 — п. Левосторонний интеграл Лиувилля [101,307]
определяется как
(16-22)

16.4. Дробные интегро-дифференциальные уравнения
383
Если определить преобразование Фурье Т формулой
+оо
= ^ / f(t)e-^dt, (16.23)
— ОО
то преобразование Фурье интеграла (16.22) для f(t) € L\(R) задается (см.
теорему 7.1 в [101] или теорему 2.15 в [307]) уравнением
(^/)И = (^гаи-
В результате дробно-степенной закон (16.17) дает
Р(*,г) = еоХ«(/?Е)(«,г) (0<а<1). (16.24)
Это уравнение показывает, что поляризуемость Р(£, г) в области высоких
частот пропорциональна интегралу Лиувилля дробного порядка от
электрического поля Е(*,г) [114,516,517,524,530].
Рассмотрим законы универсального отклика в области малых частот.
Для частот и <1С и>р универсальный дробно-степенной закон (16.2) может
быть представлен уравнением
ХМ = х(0) - х№? (0 < 0 < 1) (16.25)
с некоторыми положительными константами х/з> х(0) и /3 = га. Несложно
доказать, что для (16.25) выполняется соотношение (16.4).
Закон (16.25) может быть представлен, используя левостороннюю
производную Лиувилля [101,307], которую будем обозначать через D+.
Дифференциальный оператор D+ порядка /3 определяется уравнением
(Dim) -Dfarm) -щЬщш! 0"Ч
— ОО
где к — 1 < /3 < к. Если оператор Фурье-преобразования Т определим
уравнением (16.23), то преобразование Фурье дробной производной (16.26)
функции f(t) € Li(R) (см. теорему 7.1 в [101] или теорему 2.15 в [307])
задается соотношением
(^ЯМ = м^яи, о < /з < 1.

384
Глава 16
В результате дробно-степенной закон (16.25) дает поляризуемость
P(t, г) = во?-1 (х(^)Ё(с*;, г)) (16.27)
в виде
P(t, г) = еох(0) Е(*, г) - еоХ0 ф£Е)(*, г) (0 < /? < 1). (16.28)
Это уравнение показывает как поляризуемость Р(£, г) в области низких
частот определяется дробной производной Лиувилля от электрического поля
Е(*,г) [114,516,517,530].
Соотношения (16.24) и (16.28) могут рассматриваться как
уравнения законов универсального отклика [293-295]. Эти уравнения,
содержащие интегро-дифференцирования нецелых порядков, позволяют
получить дробные волновые уравнения для электрического и магнитного
полей [114,516,517,530].
16.5. Дробное интегро-дифференциальное уравнение для
закона Кюри-фон Швейдлера
Рассмотрим закон Кюри-фон Швейдлера (Curie-von Schweidler) [204,
205,448]. Используя (16.24) и (16.28), плотность тока поляризации
Jpo/(*,r) = L>ip(*,r) (16.29)
будет описываться дробными интегро-дифференциальными уравнениями
JPoi(t,r) = e0X«(Dl-aE)(t,r) (0<а<1) (16.30)
и
Jpoj(*,r) = eQx(0)DlE(t,r) - еШ (Di+/SE)(«,r) (0 < 0 < 1). (16.31)
Для постоянного электрического поля Е(£, г) уравнения (16.30) и (16.31)
показывают, что зависимость релаксации плотности тока поляризации
(16.29) от времени после внезапного устранения поляризующего поля
подчиняются степенным законам, которые широко наблюдаются на
практике [293] и известны как закон Кюри-фон Швейдлера [204,205,448]. Для
изменяющегося поля Е(£,г) уравнения (16.30) и (16.31) могут
рассматриваться как обобщение хорошо известного закона Кюри-фон Швейдлера.
Рассмотрим некоторые примеры этого обобщения.

16.5. Дробное интегро-дифференциальное уравнение
385
Пример 1. Используя (16.30) и (16.31), можно получить обычный
закон Кюри-фон Швейдлера. Наиболее простым применяемым полем Е(£, г)
является ступенчатая функция
Е(*,г) =Е0(г)Я(*-а),
где H(t) — функция Хевисайда, называемая также ступенчатой. Функция
Хевисайда H(t) является разрывной функцией, значение которой равно
нулю для отрицательных значений аргумента и равно единице для
положительных значений. В этом случае уравнения (16.30) и (16.31) дают
Jpoi(*,r) =e0XaE0(r)(aDj-al)(*)
и
Jpd(*,r) - -£oX/3Eo(r)(aDt1+/3l)(0,
где t > а, а аЩ — производная нецелого порядка
"*|-*<•*-■><«>-фз>&] 10F^ <16'32)
а
и к — 1 < а < к. Используя соотношение
(аВ?1№={1~а)~* (t>a, a>0),
Г(1 - a)
получаем обычный закон Кюри-фон Швейдлера, описываемый
уравнениями
Е(^г)=£0ХаЕо(г)^""а^ (0<а<1), (16.33)
Г(а)
Е(^г)^-£оХ/зЕо(г)(^~(а^ 1 (0</?<1), (16.34)
где t > а.
Пример 2. Рассмотрим применение поляризующего электрического
поля Е(£, г) вида
E(t, г) - Е0(г) sin(Af). (16.35)
Используя соотношение [101]:
D° sm(Xt + ф) = \а sin(Xt + ф + air/2) (a > 0), (16.36)

386
Глава 16
уравнения (16.30), (16.31) и (16.35) дают
Jpd(*, г) = £оХаЕ0(г)Аа sin(A* + (1 - а)тг/2) (16.37)
для 0 < а < 1 и
Jpoi(*,r) = eoEo(r) (x(O)Acos(AO - x^A^sin (\t + (1 + /?)§))
(16.38)
для 0 < /3 < 1. Уравнение (16.38) может быть переписано в виде
Jpdfrr) = £0A(/?)Eo(r) sin (А* + у>(/3)), (16.39)
где i4(/?) и у>(/?) являются амплитудой и фазой, определяемыми
соответственно формулами
А(13) = у/а*(13) + Р(13), ^(/3) = arctan(^|),
где
а(/3) = х(0)А-Х/зА1+/3со8(/Зтг/2),
b(/3) = x^sm(/37r/2)
и0</?< 1.
Пример 3. Для применения поляризующего поля
E(t,r)=Eo(r) H{t-a) g(t)
с некоторой функцией g(t) точное выражение для плотности тока
поляризации JPoi(t, г) может быть получено, используя список дробных
производных для функции g(t) (см. таблицы 9.1-9.3 в [101]). Для g(t) = (t — а)3, где
5 > — 1, имеем
aD?g(t) = aD?{t - а)а = М - a)*-" (s >-1,а> 0).
1 (s + 1 — а)
(16.40)
Дробная производная функции g(t) — cos[A(< — а)] равна
aDf cos X(t — а) =
(t - а)'
2Г(1 - а)
— ( iFi(l, 1 - a,i\(t - а)) + 1F1 (1,1 - а, -гА(* - а))),

16.6. Дробно-дифференциальное уравнение для закона Гаусса 387
где 1F1 (а, 6, с) — гипергеометрическая функция [224]. Для g(t) = ехр(—Xt)
используем
aDae~Xt = e~xt(t - a)-aE1A-a[-\(t -а)} (0 < а < 1), (16.41)
где Eaip[z] — функция Миттаг-Леффлера [260,261,365]:
Если а — (3 = 1, то £1,1(2] = exp(z), где Г(к + 1) = А;! для положительных
целых к.
В результате соотношения (16.30) и (16.31) нецелого порядка могут
рассматриваться как обобщения закона Кюри-фон Швейдлера [516] с
постоянного электрического поля Е(£, г) = Е = const на произвольно
изменяющееся поле Е = Е(£, г).
16.6. Дробно-дифференциальное уравнение для закона
В электродинамике законы Гаусса связывают распределение
электрического заряда с результирующим электрическим полем [290]. В
интегральной форме закон Гаусса утверждает, что поток вектора индукции
электрического поля через любую замкнутую поверхность пропорционален величине
электрического заряда, находящегося внутри. В дифференциальной форме
закон Гаусса утверждает, что дивергенция вектора индукции
электрического поля D(£, г) равна плотности электрического заряда р(£, г). Законы
универсального отклика записываются через интегральное уравнение
нецелого порядка (16.24) для высоких частот и через дробное дифференциальное
уравнение (16.28) для области низких частот. Используя закон Гаусса
(16.42)
Гаусса
divD(*,r) = p(t,r)
и уравнение
D(*,r) =e0E(*,r) + P(t,r),
получаем
е0 div E(t, г) + div P(t, r) = p(t, r).
Подстановка (16.24) и (16.28) в (16.43) дает
г0Ф(*,г) + г0Ха(/+Ф)(*,г) - p(t,r) (0 < а < 1),
(16.43)
(16.44)

388
Глава 16
eoX(O)*(*.')-eoX/j(0£*)(t,r) = p(t,r) (0</? < 1), (16.45)
(£)«Ф)(*,г) + ХаФ(*,г) = ^(1>?р)(«|г) (0<а<1), (16.46)
(£^ф)(«,г)-^Ф(<,г) = -^р(*,г) (0</3<1). (16.47)
Эти уравнения представляют дифференциальные уравнения нецелого
порядка закона Гаусса для напряженности электрического поля Е(£, г).
Рассмотрим интегральную форму закона Гаусса для электрического
поля Е(£,г). Полный электрический заряд в области W среды
определяется как
w
Поток электрического поля Е = Е(£, г) через поверхность S = dW
выражается формулой
Будем полагать, что область W является фиксированной (стационарной)
областью среды. Тогда интегрирование уравнений (16.46) и (16.47) по
области W дает дробные дифференциальные уравнения
(Р?Фв)(*) + ХаФв(0 = ^(£>?<?)(<) (0<а<1), (16.48)
(I%9E)(t)-^9E(t) = -I±-Q(t) (0 </?<!). (16.49)
Эти уравнения выражают интегральные законы Гаусса для напряженности
электрического поля диэлектрических сред [516,530]. Отметим, что D+
является дифференциальным оператором порядка а, который определяется
уравнением (16.26). Если Е(£, г) может быть задано в виде
где ч>(£, г) = divE(£, г). Используя лемму 2.20 из [307] в виде
(£>°/°Ф)(*,г) = Ф(*,г),
получаем уравнения
s
W
Е(*,г) = Е0(*,г)Я(*-а),

16.6. Дробно-дифференциальное уравнение для закона Гаусса 389
где H(t) — функция Хевисайда, тогда производная Лиувилля D+
преобразуется в производную Римана-Лиувилля аЩ-> определенную
уравнением (16.32).
Уравнения (16.48) и (16.49) можно представить в виде
aD?u(t) - Xu(t) = /(*), 0 < а < 1, (16.50)
где aDf — производная Римана-Лиувилля (16.32), а функция u(t)
представляет Ф(£, г) или Фя(£). В этом случае параметр А
представляет —Ха или х(0)/х/з- Функция f(t) определяется как (1/ео) aDfp(t^v)
и (-l/eoxp)p(t,r) соответственно или (1/ео) aD?Q(t) и (-l/e0x/3)Q(t).
В 1954 году Барреттом [160] была исследована задача Коши для
дробного дифференциального уравнения (16.50) с начальными условиями
(aD?-1u)(a) = C, (16.51)
где aDt~l = а11~а — интеграл Римана-Лиувилля порядка 0 < а < 1.
Если f(t) является интегрируемой функций на (а, 6), тогда задача
Коши (16.50), (16.51) имеет единственное решение [160] (см. также
теорему 4.1 и пример 4.1 в [307]) вида
t
u(t) = C(t - a^EaMt - a)*} +J(t- t')"-1 Еа,а№ - *Г]ЖХ
(16.52)
где Ea,a[z] — функция Миттаг-Леффлера, определяемая формулой (16.42).
Для f(t) =0 получаем
u(t) = C(t- a)a-lEa,a[\(t - а)а]. (16.53)
Для описания асимптотического поведения решений (16.52) и (16.53)
можно использовать интегральное представление [260,348,411] функции
Миттаг-Леффлера:
ЕаМ = £ / (16.54)
Контуром интегрирования 7(a) начинается и заканчивается — оо и
окружает круглый диск |£| < \г\1^а так, что |arp(z)| < 7г on 7(a).
Подынтегральное выражение в (16.54) имеет точку ветвления при £ = 0. Комплексная
^-плоскость разрезана вдоль отрицательной полуоси действительной оси,

390
Глава 16
и на разрезанной плоскости подынтегральное выражение является
однозначным: главная ветвь £а берется на разрезанной плоскости [307]. Тогда
асимптотическое поведение (16.54) имеет вид [260,307,348]:
и s < | arg(z)| < 7г. В нашем случае z = x(t—a)a и arg(z) = 7г. В результате
получаем асимптотику решения, которая демонстрирует степенные хвосты.
Это степенное поведение является одним из важнейших свойств решений
дифференциальных уравнений с нецелыми производными.
16.7. Дробно-дифференциальные уравнения для
электрического поля
Используя уравнения законов универсального отклика, можно
получить уравнения для электромагнитных волн в диэлектрических средах. Эти
уравнения будут включать производные дробного порядка по времени от
напряженности электрического поля Е(£,г).
Дифференцирование уравнения (16.8) по времени дает
оо
-к
(16.55)
Э2Р(*,г)
dt2
= rotDt1H(t,r)-Dt1j(t,r).
Используя (16.9), получаем
a2D(*,r) _ 1
т2 v
= ±totd}B(t,r)-Dl
li(t,r).
Из уравнения (16.6) следует
a2D(*,r)
dt2
= -77 rot rotE(i,r) -D\,
lj(*,r)
(16.56)
Используя соотношение
rot rotE = grad div E - V2E,
перепишем уравнение (16.56) в виде
+ J (grad divE - V2E) = -D,
(16.57)

16.8. Дробно-дифференциальные уравнения для магнитного поля 391
Подстановка (16.10) в (16.57) дает
£о^Е^Г) + D2p(^ r) + !_ (^ ^ Е _ у2Е) = _D,^ г) 5g)
Для области и> ^> Up вектор поляризуемости Р(£, г) связан с вектором
напряженности Е(£,г) уравнением (16.24). Подставляя (16.24) в (16.58),
получаем дробно-дифференциальное уравнение для электрического поля
^ + Ц(Г>1~ат,г) + (grad divE - V2E) = -^(t.r),
гг otz гг
(16.59)
где v2 = 1/{еф) и 0 < a < 1. Отметим, что divE ф 0 для р(£,г) = 0.
Для области и <^шр поля Р(£, г) и Е(£, г) связаны уравнением (16.28).
Тогда уравнение (16.58) дает
Л И - Ч&?*Е) + (grad divE - V2E) = -jiDjjfrr), (16.60)
где 0 < (3 < 1 и
2 _ 1 _ Х(3
и/,"еом[1 + х(о)]' a/3~i + x(o)*
Уравнения (16.59) и (16.60) описывают изменение во времени
электрического поля в диэлектрических средах [114,517,530]. Эти уравнения
являются дифференциальными уравнениями с производными дробного порядка
по времени.
16.8. Дробно-дифференциальные уравнения для
магнитного поля
Используя уравнения законов универсального отклика, можно
получить [114,517,530] уравнения для индукции магнитного поля В(£,г) в
диэлектрической среде. Эти уравнения будут содержать производные
нецелого порядка по времени.
Подстановка (16.9) и (16.10) в (16.8) дает
I rot B(t, г) = J(*. г) + е0ЩЬИ + 9-^1. (16.61)

392
Глава 16
В результате имеем
5Е(*,г)
= iro«B<M)-i^-ij(<,r).
(16.62)
dt е0ц v"'*' eQ dt £0J
Производная по времени закона Фарадея (16.6) имеет вид
d2B(t,r) 3E(*,r)
—tf- = -rot—ш~- (16-63)
Подставляя (16.62) в (16.63), получаем
^2 --gferot rotB(t,r) + ^^rotP(t,r)+^rotj(*,r). (16.64)
Используя соотношения
rot rot в = grad div в - V2b (16.65)
и уравнение div в = 0, получаем
- mv2b{t't) + ^IrotP^'r) + ^rotJ(^r)- (16-66)
Для случая х(ш) — \ — const и однородности (или
потенциальности) поля вектора плотности электрического тока (rotj(£,r) = 0)
уравнение (16.66) принимает обычный вид
^M-^V^,r)-X|rotE(t,r)=0.
Используем (16.6) и е = ео(1 + х), уравнение (16.66) приводит к хорошо
известному уравнению
а2в(*,г) 1
—^2 ёДУ в(^г)=о.
Для степенной зависимости х(о;) от частоты получаем дифференциальное
уравнение с производными нецелого порядка.
В общем случае х(и;) зависит от и. Для области ш ^> ujp вектор
поляризуемости Р(£,г) связан с вектором напряженности Е(£,г)
уравнением (16.24). В результате имеем дифференциальное уравнение дробного
порядка
= _Lv2B(t, г) + ^D\I% rot Е(«, г) + ^ rot j(«, г). (16.67)

16.8. Дробно-дифференциальные уравнения для магнитного поля 393
Используя уравнение (16.6), можно представить (16.67) в виде
= eb^B(t,r) - f ОДВ(«,г) + ±rotj(t,r). (16.68)
Экспериментально применяемое поле В(£, г) может быть представлено
в виде
В(*,г)=В(*,г)Я(*),
где H(t) — функция Хевисайда и было использовано то же обозначение для
вектора магнитной индукции. В результате получаем
дробно-дифференциальное уравнение для магнитного поля
\Э2^Т) + Ц (оД?"аВ) (*,г) - V2B(t,r) = ц rot j(t,r), (16.69)
vz at1 vz
где 0 < а < 1, v2 = 1/(ео/х), a oD^Ta — производная Лиувилля [307] на
интервале [0, оо), такая что
О
Для области частот wCojp будем использовать (16.28). В результате
получаем
\- Ч (oD?+0B) (*, г) - V2B(t, г) = „ rot J(t, г) (0 < 0 < 1),
(16.70)
где
2 _ 1 _ Х(3
У0~ео1л[1 + х(о)У *" 1 + х(0)"
Для случая однородного или потенциального поля плотности
электрического поля (rotj(£,r) = 0) уравнения (16.69) и (16.70) дают
d2B{t,r)
dt2
d2B(t,r)
dt2
+ ха (oD2~aB) (t, r) - v2V2B(t, r) = 0, (16.71)
a0 (oD2t+0B) (t, r) - v20V2B(t, r) = 0. (16.72)
Уравнения (16.69) и (16.70) являются дифференциальными
уравнениями с производными дробного порядка по времени, которые описывают

394
Глава 16
магнитное поле в диэлектрических средах с универсальным откликом
[114,524,530].
Уравнения (16.59) и (16.60) для электрических полей и
уравнения (16.69) и (16.70) для магнитных полей являются универсальными
уравнениями [517,530] для волн в диэлектрических средах, поскольку они
являются общими для широкого класса материалов, независимо от их
структуры, химического состава или природы поляризации.
16.9. Степенное затухание магнитного поля
Переопределяя параметры, уравнения (16.69) и (16.70) могут быть
записаны в обобщенной форме. Такое общее дробное дифференциальное
уравнение для индукции магнитного поля имеет вид
(a AeB)(i, г) - Ах (а Of В) (*, г) - А2 V2B(*, г) = f (*, г) (1 < р < а < 3),
(16.73)
где В (а, г) = 0. Здесь ротор плотности электрического тока свободных
зарядов рассматривается как внешний источник:
f(*,r) = rot j(£,r).
Уравнение (16.73) приводит к уравнению (16.69) для а = 2, 1 < /? < 2 и
Ai = -Ха, А2 = v2 = 1/(еоА*).
Уравнение (16.70) может быть получено из (16.73), в котором параметры
заданы соотношениями 2<а<3, /3 = 2и
_ 1 1 + х(0) , _ х
ар Хр ' * <*>р £оИХ(3'
Точное решение (16.73) может быть представлено в терминах функций
Райта (Wright functions) [307,348]. Используя трехмерное преобразование
Фурье уравнения (16.73) по координатам и теорему 5.5 из [307],
получаем [517,530] решение
t
B(i, г) = j d3k J dt' eikr G(t - k) f (*', fc), (16.74)
где
(8 + hl)
(as + a, a — 0)
Air
a-0
TcS+Q-l
s=0 S-

16.10. Заключение
395
Функция Райта 1Ф1 определяется рядом
T(as + (3 + ак) к\'
Заметим, что функции Райта могут быть представлены как производные
DszEa,p[z) от функции Миттаг-Леффлера Ea^[z] (см. [307,348]). Решения
уравнения (16.74) описывают дробно-степенное затухание магнитного
поля в диэлектрических средах. Важным свойством эволюции, описываемой
дробным дифференциальным уравнением, является существование дробно-
степенных асимптотик для их решений.
16.10. Заключение
В данной главе было показано, что электромагнитные поля и волны
для широкого класса диэлектрических сред должны описываться
дифференциальными уравнениями с производными нецелого порядка по времени.
Порядок этих производных равен 2 — а и 2 + /?, где параметры 0 < а =
= 1— п<1и0</? = га<1 определяются показателями пит,
фигурирующими в экспериментально измеримых частотных зависимостях
диэлектрической восприимчивости, называемых законами универсального
отклика. Предлагаемые дробные дифференциальные уравнения для
электромагнитных волн в диэлектрике [114,516,517,524,530] являются общими
(универсальными) для широкого класса сред независимо от их физической
структуры, химического состава и природы поляризации, будь то диполь-
ная, электронная или ионная.
Отметим, что дифференциальные уравнения с производными нецелого
порядка, предложенные для описания электромагнитного поля в
диэлектрических средах, могут решаться численно. Существуют различные
численные методы для решения дробных дифференциальных уравнений [101,146,
257,444,467]. Например, схема дискретизации Грюнвальда-Летникова [101]
может использоваться для численного моделирования электромагнитного
поля в диэлектриках, описываемых дробными дифференциальными
уравнениями. Для малых отклонений а или /3 от целых значений можно
использовать ^-разложение [502] по малому параметру е = а или е = 1 — (3
соответственно. Следует отметить, что физическая интерпретация
интегралов и производных дробных порядка по времени может быть связана с
эффектами памяти (например, см. [109,392]).

Глава 17
Динамика неголономных систем
с памятью
17.1. Введение
Неголономная динамика описывает системы с неинтегрируемыми
связями [14,43,84,88,131]. Связь, называемая голономной, может быть
описана уравнениями, зависящими только от координат. Связи, зависящие
от скоростей, могут быть голономными, если их можно проинтегрировав
представить как зависящих только от координат. Связь, которая не
может быть интегрированием сведена к голономной, называется неголоном-
ной [43,98,117,435,436]. Неголономная связь, содержащая зависимость
от производных дробного порядка, называется дробно-дифференциальной
связью [500,530]. Эти связи интерпретируются как связи с долговременной
памятью [500,530]. Производные нецелого порядка позволяют описывать
неголономные связи со степенной памятью, используя методы дробного
математического анализа [101,307,444].
В данной главе рассматривается динамика систем с конечным числом
степеней свободы, обобщенными координатами которых являются qk, к =
= 1,..., п. Будем полагать, что системы описываются лагранжианом L =
= T — U, непотенциальными силами Qk и неинтегрируемыми связями f3 =
= 0, s = 1,..., га. В данной главе рассматриваются следующие два частных
случая неголономной динамики систем с памятью:
1) Динамические системы с памятью, на которые наложены неголономные
связи целого порядка (без памяти):
2) Динамические системы, на которые наложены неголономные связи с
памятью:
L = L(q, aVaq, t^q), fs(q,Dlt
q, t) — 0, s = 1,... ,r < n.
L = L{q,Dl
q), fs(q, aV*q, tV%>
>aq,t)=0, e = l,...,r<n.

17.2. Неголономная динамика
397
В обоих этих случаях обобщенные силы рассматриваются в виде Qk —
— Qk(q, D}q,t). Здесь aVf обозначает производную дробного порядка а
по времени t.
Уравнения движения систем со связями получаются, используя
вариационный принцип Даламбера-Лагранжа. Получить уравнения движения
с производными дробного порядка можно рассматривая системы,
описываемые лагранжианом и гамильтонианом, содержащими дробные
производные обобщенных координат по времени. Используя принцип
Даламбера-Лагранжа, можно получить дробные дифференциальные уравнения
из лагранжиана и гамильтониана, которые содержат только производные
целого порядка, при условии наложения на систему неголономных связей
со степенной памятью. Обсуждается применимость принципа
стационарности действия для неголономных систем с долговременной памятью.
В разделе 2 кратко рассматриваются основные принципы динамики
неголономных систем. В разделе 3 приводятся определения и свойства
производных нецелого порядка по времени. В разделе 4 рассматривается
возможность сведения неголономных систем к голономным. В разделах 5-7
определяются обобщения неголономных связей, позволяющие описывать
связи со степенной памятью, и рассматриваются простейшие примеры. В
разделах 8-9 обсуждается применимость принципа стационарности
действия для систем с дробно-дифференциальными неголономными связями.
Краткое заключение приводится в разделе 10.
17.2. Неголономная динамика
В данном разделе приводится краткий обзор основных понятий
динамики неголономных систем.
Принцип Даламбера-Лагранжа
Известно, что принцип Даламбера-Лагранжа позволяет получать
уравнения движения с голономными и неголономными связями. Для TV-
частичной системы этот принцип представляется в виде вариационного
уравнения
где rj (г = 1,..., N) — радиус-вектор г-й частицы, = — скорость
и Fi — сила, действующая на г-ю частицу, Здесь подразумевается
суммирование по повторяющемуся индексу г от 1 до N. Для исключения

398
Глава 17
голономных связей воспользуемся обобщенными координатами qk, к =
= 1,... ,п, [91]. Здесь п = 3N — га — число степеней свободы, а т —
число голономных связей. В этом случае является функцией
обобщенных координат и времени:
Ti=Ti(q,t). (17.2)
Обобщенные координаты qk зависят от времени t и от начальных данных
ч"о> Яо (к = 1,...,п), которые войдут в виде параметров. Отметим, что
вариации 5qk(t) могут быть определены (см. раздел 1.5 в [44]) формулой
где а — параметр, определяемый начальными условиями. Вариации 5т^
и 5qk связаны соотношением
5г, = 0^, (17.3)
где используется суммирование по повторяющемуся индексу А: от 1 до п.
Используя (17.3), уравнение (17.1) дает
Можно определить [91] обобщенные силы:
Gfc=F4f^, fc = l,...,n.
dqK
В общем случае силы Gk могут быть представлены как сумма
потенциальной силы G£ = —dU/dqk, определенной потенциалом U = U(q,t),
и непотенциальной силы Qk = Qk(q^q^)- Отметим, что сила Qk является
непотенциальной, если хотя бы одно из условий
9Qk dQi (
не выполняется.
Дифференцирование (17.2) по времени дает выражение для скорости
dn(g,t) dvidqk dti . .

17.2. Неголономная динамика
399
Легко увидеть, что
dqk dqk
Дифференцирование (17.5) по переменной qk дает
d дТ
dtdqk
(17.6)
dw, ^ д2п dqk д2Тг
dqk dqldqk dt dqldt K ' '
Если = Ti(q,t) являются непрерывными функциями, то
Элл _ Э2п dqk д2п
3qk dqk3ql dt ^ dtdq1'
В результате имеем
Используя правило дифференцирования произведения, получаем
djrnVj) этг d / dTi \ , ч d йг« . .
dt dqk dty dqkJ dt dqk }
Подстановка (17.6) и (17.8) в (17.9) дает
Можно переписать это уравнение в виде
djmvj) drj _ d д (mvv\ д (m \
dt dqk dt dqk V 2 7 dqk \ 2 ' *)'
В результате уравнение (17.4) дает
где

400
Глава 17
является кинетической энергией. Используя (17.5), функция Т
представляется уравнением
Т = Щ (Akl(q,t)qkql + 2Ak(q,t)qk + A(q,t)), (17.11)
где
dqk dql
Aki(q,t)= ^
AM = -dt~dt-
Используя функцию Лагранжа L = L(q,q,t) = Т — U, уравнение (17.10)
принимает вид
Это вариационное уравнение определяет принцип Даламбера-Лагранжа
для обобщенных координат. Отметим, что обобщенные потенциальные
силы
к dtdqk dqk
также приводятся к уравнению (17.12).
Неголономные динамические системы
Рассмотрим механическую систему с конечным числом степеней
свободы, описываемую обобщенными координатами qk, (к = 1,..., п) и
скоростями qk (к = 1,..., п). Будем полагать, что на систему действуют
потенциальные силы — dU/dqk, определяемые некоторым потенциалом U =
— U(q,t), и непотенциальные силы Qk = Qk(q,q,t). Неголономной
является механическая система, на которую наложены неинтегрируемые связи
fs(q,q,t) = 0, s = 1,...,г < п. (17.13)
В общем случае уравнения (17.13) являются нелинейными по qk = dqk/dt.
Будем полагать, что связи (17.13) являются независимыми, то есть
rank —- = г.
dqk

17.2. Неголономная динамика
401
В этом случае уравнения связей могут быть разрешены для некоторых г
независимых обобщенных скоростей. Если скорости qk, к = 1,... ,ш, где
т = п — г, являются независимыми, тогда уравнение (17.13) может быть
представлено в виде
fs(q,<?,t) = qm+3 -gs(q,q\---,<f \t) = 0, (17.14)
где s = 1,... ,r.
Для неголономных систем можно предположить, что связи являются
идеальными и вариации 5qk, к = 1,..., п удовлетворяют условиям Четаева
|А^ = 0, 5-1,...,г. (17.15)
dq*
Для связей (17.14) условия (17.15) имеют вид
6 rn+s = 9д^5 к j
dqk
Для описания динамики неголономных систем необходимо определить
вариации. Вариации обобщенных координат 5qk, к = 1,..., п
определяются соотношением идеальности связи
RkSqk = 0, (17.16)
где Rk — компоненты вектора силы реакции связи, вызванной обобщенной
силой Qfc. Поскольку сила реакции связи работы не совершает на
виртуальном перемещении, согласованном с соответствующими кинематическими
ограничениями, можно заключить, что сила R = {Rk} перпендикулярна
к <5q = {5qk}. Так, если 5qk удовлетворяют уравнениям связи, то
имеем RkSqk = 0. Рассмотрим теперь, какие условия должны реализовывать-
ся для выполнения уравнений связи. Обычные уравнения движения могут
быть получены только при выполнении условия (17.16). Для
неголономных систем определение вариаций было предложено Четаевым [116,117].
Вариации обобщенных координат 5qk определяются уравнениями
|^*9*= 0, s = l,..., г. (17.17)
Уравнения (17.17) называются условиями Четаева [43]. Используя (17.16)
и (17.17), видно, что функции Rk являются линейными комбинациями

402
Глава 17
dfs/dqk, то есть
Д* = А5|^, (17.18)
oqK
где XS9 s = 1,...,г, — множители Лагранжа. Определение вариаций по
Четаеву утверждает, что действительное (реальное) движение со связями
должно происходить вдоль траектории, полученной нормальным
проектированием силы на гиперповерхность связи. Сила реакции связи Rk
является минимальной, когда вектор R = {Rk} выбирается перпендикулярным
поверхности связи, то есть параллельным градиенту dfs/dqk-
В общем случае на неголономную систему помимо обобщенной силы
Qk действует сила реакции связи Rk. В этом случае вариационное
уравнение имеет вид
( d dL _ dL, _ Qk _ R \ 5qk = 0 (17 19)
dt dqk dqk
Из (17.18) получаем
0. (17.20)
Для упрощения преобразований будем рассматривать случай г = 1.
Используя уравнение (17.17) для г = 1, можно рассматривать 6ql, I =
= 1,..., п — 1 как независимые вариации. Тогда 5qn не является
независимой и уравнение (17.17) дает
1 71-1
4 \dqn) Udi}4
1 = 1
Будем полагать, что А удовлетворяет уравнению
d^dL__dL__n xdf _ п
dtdqn dqn Чп dqn
Тогда слагаемое с к = п в (17.20) равно нулю и уравнение (17.20) имеет
п — 1 слагаемых с к = 1,..., п — 1. В уравнении (17.20) вариации с к =
= 1,..., п — 1 являются независимыми и сумма разделяется на п — 1
уравнений. В результате вариационное уравнение (17.20) эквивалентно системе

17.2. Неголономная динамика
403
уравнении
i#-^=*+Af №=i <i7-2i>
Уравнения (17.17) и (17.21) образуют систему из (n + 1) уравнений с (п +
+ 1) неизвестными А и qk, где к = 1,..., п. Решение этих уравнений
описывает движение как эволюцию системы с нелинейной неголономной
связью (17.13).
Канонический импульс рк может быть определен формулой
рк=Ш (fc=i'--"n)- (i7-22)
Используя L = Т — U с потенциалом U = U(q,t) и энергией Г из
уравнения (17.11), получаем
рк = mAkl(q, t)ql + mAk(q, t) (к = 1,..., n), (17.23)
где предполагали 8U/dqk = 0. Тогда уравнения (17.21) имеют вид
dpk _ ЭЬ ,п ,,df
Если
Det|A«| ^0,
то уравнения (17.23) дают
ql = Alk(q, t)(m-ipk - Ak(q, t)), (17.24)
где Alk(q,t) определяется из уравнения
Alk(q,t)Akm(q,t) = Slm.
Уравнения (17.24) позволяют представить уравнения движения для
фазовых переменных qk и рк, к = 1,..., п.
Неголономная система как голономная
Докажем, что уравнения движения с неголономной связью могут быть
представлены как уравнения для голономной системы [88,530].

404
Глава 17
Для упрощения преобразований будем рассматривать случай г = 1, то
есть только одной неголономной связи. Используя (17.24), можно
определить
f(p,q,t) = f{q{q,p,t),Q,t). (17.25)
Будем считать, что эта связь является интегралом движения. Тогда полная
производная функции (17.25) по времени равна нулю
|/W) = o.
Это уравнение имеет вид
Подставляя (17.21) в (17.26), получаем
Wk{w+Qk + XW) + d?q +* (17-27)
Уравнение (17.27) дает
Тогда уравнения Лагранжа (17.21) принимают вид
£§-§=Qk+Rkiq>p^ (17-29)
где
ы***) = -а?{ар-ьдё) \>U* +Qk) +Wk q+*y
Отметим, что обобщение уравнений (17.29) на случай дробных
производных имеет вид
'vraM? + ,vsaM? + l?+Qk + Rk = 0- {17Щ

17.3. Производные дробного порядка по времени
405
Уравнения (17.29) и (17.30) описывают движение голономной системы с п
степенями свободы. Для любой траектории системы в фазовом
пространстве имеем f(q,p,t) = 0. Если начальные значения <^(0) и qk(0)
удовлетворяют условию связи
/(«(0),g(0),to) = 0,
то решение уравнения (17.29) описывает движение неголономной системы.
Определим обобщенную силу = Qk + Rk, которая зависит от
обобщенных скоростей qk, обобщенных координат qk и времени t. Если условия
дАк+ = о> (17.31)
dq
дАк дАт id I дкк ЭА
(17.32)
dqm dqk *dt \dqm dqk J
выполнены, то обобщенный потенциал U = U(q, i) существует и
d дй dU = A
dt dqk dqk *'
Если обобщенная сила Ak не зависит от обобщенных скоростей qk, то Ак
является потенциальной силой вида —dU/dqk, если
дАк _ дАт =
dqm dqk
Уравнения (17.31) и (17.32) называются условиями Гельмгольца. В этих
случаях вариационный принцип Гамильтона принимает вид принципа
стационарности действия. Для применения этого принципа для
неголономных систем необходимо рассматривать такие траектории, что их начальные
условия удовлетворяют уравнению связи (17.13).
Отметим, что неголономная связь (17.13) и непотенциальная
обобщенная сила Qk могут компенсировать друг друга так, что результирующая
обобщенная сила будет обобщенной потенциальной силой, а система
будет лагранжевой с голономными связями.
17.3. Производные дробного порядка по времени
Производные нецелого порядка могут быть определены различными
способами [101,307], применение которых зависит от типа решаемой за-

406
Глава 17
дачи, начальных или граничных условий и особенностей
рассматриваемых физических процессов. Левосторонняя и правосторонняя производные
Римана-Лиувилля [101,307] определяются формулами
t
а
Ь
(17.34)
где m — 1 < а < m, а Г(г) — гамма-функция. Для описания динамических
систем с долговременной памятью можно использовать производные
Капуто [190-192]. Их главной особенностью при решении дифференциальных
уравнений нецелого порядка является возможность использовать
начальные условия того же вида, что и в дифференциальных уравнениях целого
порядка.
Производные Римана-Лиувилля имеют некоторые недостатки при
использовании в классической механике. К этим недостаткам относятся ги-
персинтулярность несобственного интеграла и ненулевое значение дробной
производной от константы, что интерпретируется как наличие диссипации
для системы, находящейся в равновесии. Желание использовать обычные
начальные условия для механических систем приводят к необходимости
использовать производные Капуто [307,411], а не производные
Римана-Лиувилля.
Левосторонняя производная Капуто [191,193,307] порядка а > 0
определяется формулой
t
1 г dr dm f(r)
"D?m = тфа) J (t-rr-mi. = «iraDTM, (17-35)
a
где m — 1 < a < га, a aI* является левосторонним интегралом
Римана-Лиувилля порядка а > 0, определенным выражением

17.3. Производные дробного порядка по времени
407
Правосторонняя производная Капуто [191,193,307] порядка а > 0
определяется формулой
ь
(_\\т > л- тут ff \
где т — 1 < а < га, a tI% является интегралом Римана-Лиувилля порядка
а > 0, определенным выражением
th f{t) ~ -ЦаТ J (г-О1- ('<Ь)'
Определения производной Капуто являются, конечно, более
ограничительными, чем определения производных Римана-Лиувилля [101,307] в том,
что требуют абсолютной интегрируемости производных порядка п. В
производной Капуто сначала вычисляется производная целого порядка, а затем
берется интеграл дробного порядка для получения желаемого нецелого
порядка производной. В производных Римана-Лиувилля используется
обратный порядок этих операций.
Будем полагать, что f(t) является функцией, для которой производные
Капуто (17.35) и (17.36) порядка а существуют вместе с производными
Римана-Лиувилля (17.33) и (17.34). Тогда эти производные связаны
соотношениями
ттг—1 /, \к—а
caD?f{t) = aV?f(t) - £ /'*'(а), (17.37)
m_1 (b — t)k~a
£1 Г(*-« + 1)
Производные Капуто (17.35) и (17.36) совпадают с производными
Римана-Лиувилля (17.33) и (17.34), если выполнены условия
Да) = (Djf)(a) = ... = (£>Г 7)(а) = 0,
f(b) = (Dlf)(b) = ... = (dr1f)(b) = 0.
В общем случае уравнения (17.37) и (17.37) означают, что D™ и a/ta, tIg
не могут рассматриваться как коммутирующие операторы.

408
Глава 17
Видно, что вторые слагаемые в уравнениях (17.37) и (17.38) регуля-
ризуют производные Капуто, что позволяет избавиться от потенциальных
расходимостей в сингулярном интегрировании при t = 0.
Дифференцирование по Капуто от константы дает ноль
в отличие от производной Римана-Лиувилля, которая для ненулевой
постоянной отлична от нуля
Если используется производная Капуто вместо производной Римана-
Лиувилля, то начальные условия для уравнений движения дробного
порядка будут такими же, как и для дифференциальных уравнений с
производными целого порядка. В силу этого дробное дифференцирование по Капуто
может быть более удобным при решении задач механики, чем
дифференцирование Римана-Лиувилля.
Можно сказать, что производные Капуто имеют более ясную
механическую интерпретацию. В тоже время нельзя утверждать, что производные
Римана-Лиувилля не имеют физической интерпретации и приводят к
нефизическим поведениям системы. Физические интерпретации производных
Римана-Лиувилля являются более сложными, чем производных Капуто.
Отметим, что производные Римана-Лиувилля могут быть
представлены через производные Лиувилля D± с помощью уравнений
где H(t) — функция Хевисайда, которая является разрывной функцией,
равной нулю для отрицательных значений аргумента и равной единице — для
положительных значений. Левосторонняя производная Лиувилля
порядка а определяется [101,307] соотношением
%D?C = 0,
aV?f(t) = Da_f(t)H(t-a),
tVaf(t) = Dtf(t)(l-H(t-b)),
t
(17.39)
— ОО

17.3. Производные дробного порядка по времени
409
а правосторонняя производная Лиувилля задается [101,307]
уравнением
(£>*/)(*) = tV^f{t) = D?I™~a№ =
ОО
= 1 I f^dT (it 40)
где га — 1 < a < ra.
Если 0 < Re(a) < 1 и /(*) G Zq(R) или 1 ^ p < l/Re(a)
и /(£) G Lp(R), то преобразования Фурье ^* этих производных (см.
теорему 7.1 в [101] и теорему 2.15 в [307]) задаются формулой
(fdzf)(u) = (tiu)a(ff)(u),
где
(Тги,)° = |а;|аехр(т^55пИ),
а Фурье-преобразования Т функции f(t) G Zq(R) имеют вид
(Я/})И = T^TTJ / exP{-za;t}.
Если потребовать f(t) G 1*2 то выполняется соотношение Парсева-
ля ||/"/||2 = ||/||2- Отметим, что .F может рассматриваться как расширение
преобразования Фурье на унитарный изоморфизм на L2 (R)-
в результате получаем, что физическая интерпретация производных
Римана-Лиувилля связана с дробно-степенной зависимостью физических
и механических величин от частоты.
Отметим, что производные Римана-Лиувилля естественным образом
возникают для распределенных систем в электродинамике.
Диэлектрическая восприимчивость большого класса сред подчиняется в широкой
частотной области дробно-степенной частотной зависимости, называемой
универсальным откликом системы [294,295]. в работах [516,517,530]
было доказано, что электромагнитные поля в таких диэлектрических
средах описываются дифференциальными уравнениями с производными
Римана-Лиувилля дробного порядка по времени. Эти дифференциальные
уравнения с дробными производными фактически являются
универсальными для электромагнитных волн в диэлектрических средах, так как верны
для широкого класса материалов, независимо от типа физической
структуры, химического состава или природы поляризации. в результате
нельзя утверждать, что производные Римана-Лиувилля по времени не имеют

410
Глава 17
физической интерпретации. Физическая интерпретация этих производных
в электродинамике связана со степенной зависимостью физических
величин от частоты. В результате процессы с памятью, которые
описываются дифференциальными уравнениями с производными Римана-Лиувилля,
имеют важное значение в физических приложениях, а сами уравнения
естественным образом появляются при описании реальных физических систем.
17.4. Динамика систем с памятью и неголономными
связями
Базовым принципом классической механики является вариационный
принцип Даламбера-Лагранжа
где L = L(q,q,t) = Т - U — функция Лагранжа, T(q,q,t) — кинетическая
энергия, Sqk — возможные (виртуальные) перемещения. Здесь
подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.
Обобщение вариационного принципа Даламбера-Лагранжа на
системы, описываемые производными нецелого порядка, имеет вид
(1т + iLa к, + tV% М + QkW = 0, (17.42)
^dqk ditT^q") d(aT>fqk) >
где
L = L(q, aVaq, tVgq)
является функцией Лагранжа динамической системы с долговременной
памятью. Заметим, что aVf — D] и tV^ = —D] для а = 1.
Принцип Гамильтона получается интегрированием уравнения (17.41)
по времени t с некоторыми постоянными пределами интегрирования to и t\
в виде
]<§-%w+qk№{t)-0' (1743)
to
где предполагается, что функции Sqk(t) € С2 [0, оо] удовлетворяют
условиям:
6qk(t0)=0, Sqk{t1)=0, fc = l,...,n. (17.44)

17.4. Динамика систем с памятью и неголономными связями 411
Принцип Гамильтона для дробной динамической системы получается
интегрированием уравнения (17.42) по времени t с постоянными пределами
to = а и t\ = b в виде
to
где выполнены условия (17.44).
Используя интегрирование по частям, уравнение (17.43) дает
ti
/ (fjlf +fjif 7t5qk{t)+<?**«*(*))*=°- (i7-4g)
to
В уравнении (17.46) имеются производные вариаций координат по времени
d(6qk)/dt. Для дробно-динамических систем применяется правило
дробного интегрирования по частям.
Для выполнения преобразований необходимо часто использовать
правило интегрирования по частям. В обычном математическом анализе,
использующем производные и интегралы целого порядка, это правило
вытекает из формулы дифференцирования произведения (правило Лейбница).
В дробном математическом анализе [101] это правило связывает
интегралы с левосторонними и правосторонними производными Римана-Лиувилля
порядка 0 < а < 1. Приведем основные свойства дробного интегрирования
по частям. Если функции f(t) и g(t) удовлетворяют условиям
/(*) € 1°(Lp(a,b)), g(t) € J^(Lq(a,b)),
где р ^ 1, q > 1 и
a + l^i + i, 0<а<1,
то имеет место следующее соотношение:
ь ь
J dtf(t)aVfg(t) = J dtg(t)tVZf(t). (17.47)
a a
Доказательство этого свойства приведено в книге [101] (см. следствие 2 для
теоремы 2.4). Уравнение (17.47) называется дробным интегрированием по
частям.

412
Глава 17
Используя интегрирование по частям (17.47), уравнение (17.45)
принимает вид
+ l^tk a4^Qk(t) + QkSqk(t)) = 0, (17.48)
где to = а и t\ = b. В уравнении (17.48) присутствуют производные по
времени от вариаций координат aVf8qk(t) и tV"8qk(t).
Отметим, что существует только г условий (17.15) для определения
п > г вариаций 5qk. В результате условия Четаева не могут однозначно
определить 8qk, к = 1,... , п, и существует некоторый произвол в
определении производных D\8qk9 a^?Sqk(t) и tV^8qk(t). Существует два
эквивалентных подхода, связывающих эти производные с вариациями
обобщенных скоростей.
1) Согласно Гёльдеру, коммутационные соотношения
D\Sqk = 8D]qk, к = 1,..., п (17.49)
выполняются для всех обобщенных координат qk, то есть для всех к.
Если связи (17.13) являются голономными, то есть если уравнения
(17.13) интегрируемы, то вариации 8fs тождественно равны нулю.
Если они неинтегрируемы, то 8fS9 s = 1,...,г, не тождественны
нулю. В отличие от голономных систем соотношения 8fs = 0, s =
= 1,... ,г, могут выполняться только при специальном определении
вариаций (17.49). Вариации 8fs могут быть равными нулю в случае
их нелинейности на уравнениях движения. Отметим, что тождества
8fs = 0, s = 1,...,г и условия (17.49) совместимы для голономных
систем.
При использовании производных нецелого порядка, коммутационные
соотношения Гёльдера имеют вид
aT>?6qk(t)=6(aVfqk(t)), (17.50)
tVa8qk(t) = S{tVtqk{t)), (17.51)
а уравнения (17.50) и (17.51) выполняются для всех обобщенных
координат qk, к = 1,..., п.

17.4. Динамика систем с памятью и неголономными связями 413
2) Согласно Аппелю и Суслову, коммутационные соотношения
ASqk(t) = sftqk(t), к = 1,...,т (17.52)
выполняются только для независимых скоростей, то есть для к =
= 1,..., rn, где т = п — г. В этом случае тождества
5fs(q,q,t) = 0, s = 1,...,г
выполняются для вариаций функций (17.13). При использовании
производных нецелого порядка коммутационные соотношения Ап-
пеля-Суслова принимают вид (17.50) и (17.51) и выполняются только
для независимых выражений av?5qk(t), и td%8qk{t), к = 1,... ,га.
Замечание. Используя условия Четаева (17.15) и определение (17.49) для
sqk, вариация функций (17.13) вдоль виртуальных перемещений принимает вид
«- " (17'и>
Для связей (17.14) уравнения (17.53) имеют вид
sfa = 6qm+s -sqs = az+S6qk, s= l,...,r, (17.54)
где
= d (d9s\
dt\fiak'
(17.55)
dgs _ dgs dgi
<dqk' 8qk dq"1*1 8qk'
Здесь подразумевается суммирование по индексу / от 1 до г.
Будем полагать, что уравнения (17.49) выполняются для всех
обобщенных координат. Подставляя (17.49) в (17.46), получаем гёльдеровскую
форму принципа Гамильтона для неголономных систем
ti и
j 6L(q,q,t)dt + J qk(q,q,t)6qkdt = 0, (17.56)
to to
sqk(t0) = s^(ti) =0, к = 1,..., п. (17.57)
В общем случае это вариационное уравнение является неголономным. Если
все силы, действующие на систему, являются потенциальными, то
уравнение (17.56) является голономным вариационным уравнением для
неголономной системы.

414
Глава 17
Подставляя (17.50) и (17.51) в (17.48), получаем гельдеровскую форму
принципа Гамильтона для неголономных дробно-дифференциальных
систем
ti и
J 5L(q, aV?q, tV%q)dt + j Qk{q, q, t) Sqk dt = 0, (17.58)
to to
где выполнены условия (17.57).
Положение системы на действительной траектории qk{t)
сравнивается в уравнении (17.56) с произвольным положением, полученным сдвигом
реального движения на виртуальное смещение 5qk, которое определяет
конфигурацию в момент времени t. Последовательность смещений положений
qk(t) + 5qk(t) может рассматриваться как окольный путь, который в общем
случае не удовлетворяет уравнениям (17.13). Если окольный путь
удовлетворяет уравнениям (17.13), то выполнены равенства
fs(q + Sq,Q + Sq,t) = Q s = l,...,r. (17.59)
Уравнения (17.59) дают
fa(q,q,t) + ^Sqk + ^6qk + ... = 0.
В свою очередь эти равенства приводят к 5f3 — 0, что выполняется для
малых первого порядка. Отметим, что эти условия не выполняются для
неголономных систем. В результате принцип Гамильтона (17.56) с Qk —
= 0, к = 1,... ,п, в общем случае не представляется в виде принципа
стационарности действия. В общем случае вариационное уравнение (17.56)
не может быть представлено в виде
ti и
r.k j± _ n xJtU^\ _ ?„к(
5 J Ldt + j Qk8qkdt = 0, 5qk(t0) = stffa) = 0, (17.60)
to to
который используется для голономных систем, где L = L(qy q, t) —
некоторый лагранжиан. Для дробно-дифференциальных систем вариационное
уравнение (17.58) не может быть представлено в виде (17.60) с
лагранжианом вида L = L(q, aVfq, td%q).

17.4. Динамика систем с памятью и неголономными связями 415
Используя (17.56), уравнения движения для неголономных систем
получаются в виде уравнений Лагранжа с неопределенными множителями \а:
dtdqk dqk 4 "dq
^-^T-Qfc+A^' * = 1.---.n. (17.61)
Уравнения (17.61) и (17.13) образуют замкнутую систему из п + г
уравнений с таким же числом неизвестных. Обобщенное решение этих уравнений
зависит от 2п — г произвольных постоянных.
Дифференциальные уравнения дробного порядка для неголономных
систем получаются из (17.58) в виде следующих уравнений Лагранжа
с неопределенными множителями А5:
dq* д(гЩ<г) d(aV?q*) dq*
(17.62)
Сравним вариационный принцип Гамильтона, задаваемый
уравнениями (17.56) и (17.58), с лагранжевой вариационной задачей по
стационарности интеграла действия (17.60) в классе кривых, удовлетворяющих
уравнениям (17.13). Введение неопределенных множителей /is(t) сводит эту
задачу об условном экстремуме к вариационной задаче Лагранжа
ti и
5 J(b + iisfs)dt + j QkSqk dt = 0, (17.63)
to to
где L — L{q,q,i). Уравнения Эйлера-Лагранжа для задачи (17.63) имеют
вид
AdL- _ 9L_ _ _п (d_^fs_ _ dfs\ _ djJ^df^
dt dq* dqk ~ dq* dq*) dt dqk 4* * ~ A''""'U'
(17.64)
Для лагранжиана, зависящего от производных нецелого порядка, L —
= L(q, aV*q, t'Dgq), уравнения Эйлера-Лагранжа для задачи (17.63)
имеют вид
dL , <туд dL i_ srya dL
dqk + a 'dUDfflV ' bd{aVfqk)~
„ f d dfg df„\ dnadfa n <,7*к\
= ^dtWk~Wk^ Qk' * = 1--'n- (17-65)

416
Глава 17
Очевидно, что уравнения (17.61) и (17.13) не эквивалентны
уравнениям (17.63) и (17.13). Уравнения (17.62), (17.13) также не являются
эквивалентными уравнениям (17.63), (17.13). Неэквивалентность этих двух
систем уравнений не исключает возможности совпадения некоторых
решений. Предположим, что общее и некоторое частное решение qk(t)
уравнений (17.61), (17.13) является также решением уравнений (17.64), (17.13)
при тех же начальных условиях. Тогда должно выполняться условие
Можно умножить уравнения (17.66) на Sqk и просуммировать по всем к.
Используя уравнение Четаева (17.15), получаем условие
которое является необходимым для того, чтобы две системы имели
одинаковые решения qk(t). Более того, это условие является также и
достаточным. Для доказательства этого будем полагать, что некоторое решение
уравнений (17.64), (17.13) удовлетворяет (17.67) для всех Sqk совместимых
с (17.15). Умножая уравнения (17.64) на 5qk, а уравнения (17.15) на А3,
просуммируем по всем к и s с учетом (17.67) и (17.41). В результате
получим
(d dL dL л df3 \ к
что показывает, что рассматриваемое решение qk(t) также
удовлетворяет уравнениям (17.61) и (17.13). Для дробно-дифференциальных систем
умножим уравнения (17.65) на 6qk, а уравнения (17.15) на As. Суммируя
по всем к и s с учетом (17.67) и (17.42), получаем
(.ft + аТ>?7^-%ПГ, + ЗГ^ТТ + Х°Ш + Qk)5qk = °-
^dq* d(tV%qk) d(aVfqK) dqK '
Таким образом, условие (17.67) является необходимым и достаточным для
решения qk(t) уравнений (17.61) и (17.13), может быть также и
решением уравнений (17.64) и (17.13). При выполнении условий (17.67)
уравнения движения (17.61) неголономной системы имеют вид уравнений
Эйлера-Лагранжа (17.64). В результате принцип Гамильтона (17.56) для дви-

17.5. Неголономные связи с дробными производными
417
жений неголономной системы определяется таким решением, которое
может быть получено из принципа стационарности действия (17.60). Для
связей вида (17.14) равенство (17.67) сводится к условиям ijl3A™~*~3 = 0, где
к = 1,..., т, и подразумевается суммирование по s от 1 до г.
17.5. Неголономные связи с дробными производными
Интерпретация уравнений, содержащих дифференцирование и
интегрирование дробного порядка по времени, связана с эффектами
динамической памяти [109,123].
Рассмотрим эволюцию динамической системы, в которой некоторая
величина A(t) связана с другой величиной B(t) через функцию памяти
M(t) уравнением
t
A(t) = j M(t- r)B{r)dr. (17.68)
о
Эта операция является частным случаем композиционного произведение
предложенного Вито Вольтеррой [27]. В математике уравнения (17.68)
означают, что значение A(t) связано со значением B(t) операцией
свертки
A(t) = M(t)*B(t).
Уравнение (17.68) является типичным уравнением, получаемым для
систем, связанных с окружающей средой и при усреднении по степеням
свободы окружения.
Рассмотрим некоторые предельные случаи: (1) отсутствие памяти; (2)
полная (совершенная) память (complete memory); (3) степенная память.
В результате имеем следующие специальные случаи уравнения (17.68).
1) Для системы без памяти зависимость функции памяти от времени
имеет вид
M(t -r) = M(t) 5(t - г), (17.69)
где 8(t — т) — дельта-функция Дирака. Отсутствие памяти означает, что
функция A(t) определяется функцией B(t) только в момент времени t.
Используя (17.68) и (17.69), имеем
t
A(t) = J M(t)5(t - r)g(r)dr = M{t)B(t). (17.70)
о

418
Глава 17
Выражение (17.70) соответствует хорошо известному физическому
процессу с полным отсутствием памяти. Этот процесс связывает всю
последовательность всех последующих состояний с предыдущими
состояниями, через единственное текущее состояние в каждый момент
времени t.
2) Если ввести эффекты памяти в систему, то дельта-функция
превратится в некоторую функцию с временным интервалом, в течении
которого B(t) воздействует на функцию A(t). Рассмотрим в качестве M(t)
функцию ступеньки
M(t - т) = Г1 [Я(т) - H(t - г)], (17.71)
где H(t) — функция Хевисайда, являющаяся разрывной функцией,
принимающей значение равное нулю для отрицательных значений
аргумента и значение равное единице — для положительных. В
результате
м(*-т)н;'" w;; — (17.72)
(l/£, 0<r<t;
[О, r>t.
В уравнении (17.71) множитель t 1 взят для того, чтобы получить
нормировку функции памяти на единицу:
t
J M{r)dr = 1.
о
Тогда в процессе эволюции система проходит через все состояния
непрерывно и без всяких потерь. В этом случае
t
A(t) = \j B(r)dr,
О
а это соответствует полной (совершенной) памяти.
3) Степенная функция памяти
M{t -r)=M0{t- г)''1 (17.73)
указывает на наличие производных или интегралов нецелого порядка.
В формуле (17.73) величина Mq является вещественным параметром.

17.5. Неголономные связи с дробными производными
419
Подставляя (17.73) в (17.68) получаем интеграл порядка е по времени:
t
A(t) = \rtB{t) = J^j(t-ту-1В{т)йт, 0 < e < 1, (17.74)
0
где A = Г(е)Мо. Параметр А может рассматриваться как
интенсивность возмущений, вызванных окружением системы. Физическая
интерпретация интегрирования нецелого порядка связана с
существованием эффекта памяти со степенной функцией памяти.
Уравнение (17.68) является частным случаем связи A(t) и B(t), при
которой величина A(t) прямо пропорциональна свертке М(t)*B(t). В более
общем случае величины A(t) и B(t) могут быть связаны уравнением
f{A(t),M(t)*B{t)) = 0, (17.75)
где / — гладкая функция. Для динамических систем соотношение (17.75)
определяет связь с эффектом памяти. Если A(t) является координатой q(t)
или скоростью q(t)9 a B(t) — производная D™q(t), то уравнение (17.75)
определяет неголономную связь с производной Капуто [307]. Для
степенной функции памяти M(t) уравнение (17.75) можно представить как
неголономную связь вида
Это соотношение является дифференциальным уравнением дробного
порядка. Если связи представляются в виде
f{A(t),D?(M{t)*B(t))) = 0, (17.76)
где D™ = dm/dtm, а М(t) — степенная функция памяти, то получаем
уравнение связи с производной Римана-Лиувилля нецелого порядка
f(A(t), oV°B{t)) = 0.
В общем случае может иметься набор функций памяти. Например, для двух
функций памяти M\(t) и Мг(£) уравнение связи может иметь вид
/(Л, DfM^t) * B(t), D?M2{t) * B(t)) = 0.
Для описания движений систем со связями вида (17.76) можно
использовать дробный математический анализ [101,307]. В общем случае,
эти связи являются неголономными.

420
Глава 17
17.6. Уравнения движения с неголономными связями
и памятью
Будем полагать, что уравнения связей имеют вид:
f*(q, <?, t4q) =0, a = 1,..., г, (17.77)
где используются левосторонние и правосторонние производные
Римана-Лиувилля [307]. Отметим, что связи с производными Капуто
рассматриваются в [500].
Для нецелого значения а связи (17.77) описываются
дифференциальными уравнениями нецелого порядка [411]. Такие связи будем называть
дробно-дифференциальными неголономными связями [500,530].
Поскольку уравнения (17.77) содержат также и производные целого порядка,
можно использовать определение вариаций по Четаеву (17.17) и уравнения
Лагранжа (17.21).
Будем полагать, что динамическая система описывается лагранжианом
L = T(q,q) — U(q,q), где отсутствуют производные дробного порядка.
Уравнения Лагранжа с множителем As, s = 1,..., г, имеют вид
If -§t=Q*+x-d£ (*=1 * (1"8)
где Qk — непотенциальные силы.
Для упрощения преобразований будем рассматривать случай г = 1
и лагранжиан вида
L = L(q, q) = \ ^Ш2 ~ U{q), (17.79)
к=1
где U = U(q) — потенциальная энергия системы. Тогда уравнение (17.78)
принимает вид
D2qk = Fk + \^-k (fc = l,...,n), (17.80)
где
Fk = -jg- + Qk.
oqk
Будем полагать, что связи являются интегралами движения, то есть df/dt =
— 0. Тогда
df dqk df d{aVfqk) df d{tV%qk) df dqk _
dqk dt d(aVfqk) dt d{tV%qk) dt dqk dt
(17.81)

17.6. Уравнения движения с неголономными связями и памятью 421
Используя равенства
D\ aVat = DlD?aI?-a = £>Г+1 J? = aV?+1
и D\ = d/dt, уравнение (17.81) может быть представлено как
KD^9^^lqk+di_tV*+i %L.k = о (17e82)
Щк d(aV?qk) d(tV%qk) dqk
Подставляя (17.80) в (17.82), получаем
+ У + qk+
d{J>^qk) 0 dqk
Из этого уравнения можно выразить множитель Лагранжа А:
df д/у1 (df df +1
dqmdqm) \dqil + d(aV?qi)aVt Ql+
+A'vrl*+%*i- (l7-83)
Подстановка (17.83) в (17.80) дает
, df (df а/у1/а/ а/ .
+^тт.^+1в + ^:Ф1- (17-84)
Эти уравнения описывают голономную систему, которая является
эквивалентной неголономной системе с дробно-дифференциальной связью. Для
любых движений системы имеем / = 0. Если начальные значения
удовлетворяют уравнению связи
/(9(0),9(0), «Z>?9(0), t4a9(0)) = 0,

422
Глава 17
то решение уравнения (17.84) описывает движение системы (17.79)
с дробно-дифференциальной связью (17.77).
Если связь (17.77) является линейной по первой производной qk, так
что
/ = ahqk + д{ aV?q, tVgq, q), (17.85)
то Rk = ak и уравнения (17.84) могут быть представлены в виде
1=1 4
*-^)«-зёУЬ-вги«+
a2 fr{ \d(aV?qi)
+т<> (17-s6)
где а2 = Yllk^i afcafc- Если функция д является линейной по левосторонней
производной Капуто
g(aT>?q, tVZq,q) = bk aV?qk,
то
f = akqk + bkaVtqk. (17.87)
В этом случае уравнение связи является линейным по производной целого
порядка qk и дробным производным a^?qk- Подставляя (17.87) в
уравнения (17.84), получаем уравнения движения
л?» = Е (*« - ^ V. - Е ^ -^v <17-88)
/=i ^ а ' i=i а
В результате были получены уравнения с производной
Римана-Лиувилля нецелого порядка а + 1. Отметим, что неголономные
системы (17.88) с целыми а рассматривались в [474,487,491,530], а системы
с нецелыми значениями а были предложены в [500].
17.7. Примеры связей со степенной памятью
ПРИМЕР 1. В одномерном случае (п = 1) уравнение (17.88) с а > 1
имеет вид
D2q(t) = 0V?+1q(t). (17.89)

17.7. Примеры связей со степенной памятью
423
Уравнение (17.89) может быть записано в виде
D1t{Dlq(t) + (b1/a1)0V?q(t)}=0.
Тогда
D1tq(t) + (bl/al)0V?q(t) = C0.
Используя oDf = D\ от>? для а > 1, получаем
D] (q{t) + (fti/aOoPTVt)) = Со
и, следовательно,
q(t) + (bi/oi) o^Q_19W = Со* + Ci. (17.90)
Уравнения (17.37) и (17.90) дают
Если 2 < a < 3, то уравнение (17.91) описывает линейный осциллятор
с памятью
gD?-1q(t)+u,2q(t)=Q(t), (17.92)
где выражение ш2 = (а\/Ь\) может рассматриваться как безразмерная
частота, а Q(t) — некоторая сила
_ Coaif , aiCi _ v^1 aif{k)(0) л-а
{'~ Ь, + bi ^б1Щ-а + 2)* •
Отметим, что линейный осциллятор с памятью является объектом
многочисленных исследований [ 138-140,246,262,345,348,349,440,460,461,502,
536,575].
Замечание. Отметим, что точное решение [262,348,349]
дифференциального уравнения (17.92) порядка (a — 1) при 2 < а < 3 имеет вид
t
q(t) = q(0)Ea-i,i(-Jite-1) + <g(0)£:a_i,2(-a;2ta-1) - J Q(t - r)q0{r)dT,
(17.93)

424
Глава 17
где Еа,р(г) — обобщенная двухпараметрическая функция Миттаг-Леффлера [42,
224], определяемая рядом
flu(T) = Ba-l,l(-W2Te-1).
Решение (17.93) можно [262,349] представить в виде
t
q(t) = q(0) [/Q)oW + <7a,o(01 + tq(0) + gaA*)] - f Q(* - r)qo(r)dT,
0
(17.94)
где
J r + 2r cos(7ra) + 1
0
9aAt) = §etcos(*/a) cos (tsinfr/a) - (к = 0,1). (17.95)
Для начальных условий q(0) = 1 и q(0) = 0 уравнение (17.94) принимает форму
t
q(t) = Ea(-ta) = fa,o(t) + 9aA*) ~ f Q(t ~ r)[/a,o(r) + даАт))*т. (17.96)
0
Первое слагаемое в (17.96) описывает степенное затухание, а второе слагаемое —
экспоненциальное затухание [262,348,349,502,575].
Пример 2. В двумерном случае (п = 2) уравнения (17.88) имеют вид
af + a.2 af -f af -f a^ af 4- a^
(17.97)
Vt(& = ~l 2^2 2~; 2*1 2~ 2 a^ 91 2— ^ a°t
af 4- a^ af 4 «2 ai + a2 ai + a2
(17.98)
Рассмотрим частный случай уравнений (17.97) и (17.98). Если положить
а\ = 0, то
DUx = F„ А292 = ~ % aV?+1q2. (17.99)

17.7. Примеры связей со степенной памятью
425
Если а\ = 0 и Ь2 = 0, то уравнения (17.99) имеют вид
D2Ql = Fb D2q2 = eZ?+19l- (17.100)
Пример 3. Рассмотрим уравнения (17.97) и (17.98) с Ьг = 0 и а\ =
= а,2 = с.В этом случае имеем
DUi = Ъ) ~ Yc aV?+1Q2, (17.101)
Df42 = \ (*2 - F,) - I eB?+V (17.102)
Используя переменные
4*1+4*2 91-92 , /
я =—2—' y=—2—' 9 = 2'C'
можно переписать уравнения (17.101) и (17.102) в виде
D2x = -д aV?+lx + д аР?+1у, D2y = F(x, у), (17.103)
где
F(x, у) = Fi (91, q2) - F2(qi, 92) = Рг(x + у, x - y) - F2(x + у, x - y).
Если F(x, у) = 0, то уравнения (17.103) записывается в виде
D2tx(t) = -д aV?+1x(t) + д aV?+1y{t), y(t) = Ci(t-a) + C2. (17.104)
Используя
aDt(t a) -r{p+1_a){t a) ,
получаем
D2x(t) = -g aV?+1x(t) + G(t), y(t) = C1(t-a) + C2, (17.105)
где
G(t) = 9777^—At - a)-° + 9^-At - a)-°-\
1 (1 — a) 1 \—a)
Если a < 1, то уравнение (17.105) описывает систему с дробно-
дифференциальным трением.

426
Глава 17
17.8. Условный экстремум для связей со степенной
памятью
Принцип стационарности действия является вариационным
принципом, который используется для получения уравнений движения
голономных и лагранжевых систем. В общем случае этот принцип не может быть
использован для неголономных, нелагранжевых и негамильтоновых систем.
Рассмотрим стационарное значение интеграла действия
о
8 j dt L(q, q)=0
для кривых, удовлетворяющих уравнению связи f(q,q) = 0. Используя
неопределенный множитель Лагранжа /х = fi(t), получаем вариационное
уравнение
ь
8 J dt [L(q, q) + A*(*)/(g, q)] = 0. (17.106)
a
Уравнения Эйлера-Лагранжа [98,203,435,436] для (17.106) принимают
вид
d dL dL „u\(df d df\ df MTirvn
Отметим, что эти уравнения содержат производную множителя
Лагранжа /i.
Для дробно-дифференциальной неголономной связи
f(q,q, aV?q, 4ВД = 0 (17.108)
можно определить лагранжиан
C(q, <?, aV?q, tT>Sq, I*) = L{q, q) + »(t)f(q, q, aV«q, tV%q\ (17.109)
Используя обобщение принципа стационарности действия [145,147-149,
530], которое описывается вариационным уравнением
ь
8 j dtC(q,q, aV?q, =0, (17.110)

17.8. Условный экстремум для связей со степенной памятью 427
получаем уравнения Эйлера-Лагранжа
дС d дС . ту* дС | ту* дС _ п _ -, \
dqk dt dqk + tUb d{aVUk) + a 1 ditVgqk) ' ( " ''""'
Подставляя (17.109) в (17.111), получаем
(17.111)
dqk dtdqk dqk dt \ dqk J
+("'"ж)+ •Bf {"южш>) -a (mi2)
Эти уравнения описывают дробно-дифференциальный условный
экстремум.
Рассмотрим применимость принципа стационарности действия для
систем с дробно-дифференциальными неголономными связями.
Уравнения движения получаются из принципа Даламбера-Лагранжа. Дробно-
дифференциальный условный экстремум может быть получен из принципа
стационарности действия. В общем случае эти уравнения, полученные из
принципа Даламбера-Лагранжа и из принципа стационарности действия,
не являются эквивалентными [500,530].
Известно [98,203,435,436], что принцип стационарности действия не
может быть получен из принципа Даламбера-Лагранжа для широкого
класса неголономных и негамильтоновых систем. Это утверждение было
доказано и для случая нелинейных дробно-дифференциальных неголономных
связей с производными Капуто в [500].
Получим условия эквивалентности принципа Гамильтона и принципа
стационарности действия для связей с производными Римана-Лиувилля.
Если умножить уравнения (17.78) и (17.112) на вариацию 5qk, а затем
просуммировать по к, то получим
iBf ("dfe)+6Ш=<17Л14)
+

428
Глава 17
Используя определение вариаций (17.17) и уравнение (17.113), получим
(17.115)
Подстановка (17.115) в (17.114) приводит к уравнениям
( d dL dL \ s 0
\dtdqk dqk) к
где использовали условие Четаева
К
dqk
5qk = 0.
Sqk = 0,
(17.116)
(17.117)
В результате уравнения (17.78) и (17.112) для неголономных систем
с дробно-дифференциальной связью (17.108) эквивалентно системе
уравнений лишь при выполнении условий (17.116) и (17.117).
17.9. Гамильтонов подход к неголономным связям
с памятью
Рассмотрим уравнения Гамильтона для динамических систем с дробно-
дифференциальными неголономными связями. Используя уравнения (17.111),
можно определить обобщенный импульс
и гамильтониан системы
щър) =Pk<i-c,
где С = L + /х/. В результате уравнения (17.111) можно записать в виде
dpk дН
14 ЫЫ+МЫ-
dt dqk + 1
Если на систему действуют непотенциальные силы Qi, тогда уравнения
движения имеют вид

17.9. Гамильтонов подход к неголономным связям с памятью 429
где
dqk
Для упрощения преобразований рассмотрим лагранжиан
L=\{q)2-U{q)
и одну дробно-дифференциальную неголономную связь
/ = Ak{q, aV?q) qk = 0 (а ф 1) (17.119)
с левосторонней производной Римана-Лиувилля aVtq. Из уравнений
(17.118) и (17.119) получаем
рк = Як + Mfcfa, aVfq). (17.120)
Тогда уравнения Гамильтона принимают вид
qk=Pk~ »Ak(q, aV?q), (17.121)
Pk=Fk + »(t)ql^ + tVb(rtt)qi~fd^ X (17.122)
vqk \ d(aVfqk) J
Для того чтобы найти множитель Лагранжа /х(£), умножим
уравнение (17.120) на функцию ак и просуммируем по к:
акрк = Akqk + fiAkAk = fiA2. (17.123)
Здесь мы использовали уравнение связи (17.119) и обозначения а2 =
— акак9 где ак — Ak(q, a^?q)- Из выражения (17.123) следует
,1(0 = (17.124)
Подстановка (17.124) в уравнения (17.121) и (17.122) дает
&=(*ы-^)р«, (17.125)
• т? | атрт за{ а i атрт да\ \ , .
Pk = Fk + -дг^* + tv„ j. (17-126)
Если Ak = 0, то получаем обычные уравнения движения гамильтоновой
системы. Отметим, что уравнения Гамильтона получались из уравнений
Эйлера-Лагранжа без использования преобразований Лежандра, которые
для этого обычно используются.

430
Глава 17
17.10. Заключение
В данной главе была рассмотрена динамика неголономных систем
с памятью и систем с дробно-дифференциальными связями. Уравнения
движения таких систем содержат производные нецелого порядка. Эти
уравнения движения получались, используя вариационный принцип
Даламбера-Лагранжа. Дробно-дифференциальные связи интерпретируются как
связи со степенной долговременной памятью. Эти связи позволяют
получать дифференциальные уравнения нецелого порядка, используя
лагранжианы и гамильтонианы без дробных производных.
Отметим, что неголономные системы применяются для изучения
широкого класса задач молекулярной динамики [239]. При вычислениях в
молекулярной динамике неголономные системы используются для
обобщения таких статистических ансамблей, как канонические, изотермически-
изобарические (isothermal-isobaric) и изокинетические (isokinetic) [225,226,
250,268,372,396,418,419,540,541] и [474,487,491,542]. Используя дробно-
дифференциальные связи, можно рассматривать обобщение статистической
механики консервативных гамильтоновых систем на более широкий класс
систем. Дробно-дифференциальные связи могут быть использованы для
моделирования в рамках молекулярной динамики систем и сред с
долговременной степенной памятью.
Отметим некоторые неголономные системы, которые могут быть
обобщены, используя неголономные связи с производными нецелого порядка.
(1) В работах [225,226,268,396] системы с постоянной
температурой описываются посредством минимальной гауссовой неголономной
связи. Эти системы являются неголономными и описываются
непотенциальными силами, которые пропорциональны скорости. Отметим, что связи
этого типа могут быть представлены с помощью дополнительного слагаемого
к непотенциальным силам [491].
(2) В статьях [474,487,491] каноническое распределение
рассматривается как стационарное решение уравнения Лиувилля для широкого
класса негамильтоновых систем. Этот класс определяется простым условием:
мощность непотенциальных сил прямо пропорциональна скорости
изменения фазы Гиббса (элементарного фазового объема). Это условие
определяет системы с постоянной температурой. Отметим, что приведенное условие
является неголономной связью. Эта связь позволяет рассматривать
каноническое распределение как стационарное решение уравнения Лиувилля для
негамильтоновых систем. Общий вид непотенциальных сил
рассматривался в работе [491].
(3) В работе [528] обсуждалась динамика релятивистской системы,
уравнения движения которой содержат дробные производные. Произвол-

17.10. Заключение
431
ные нецелого порядка по собственному времени описывают долговремен-
ною степенную память в релятивистской динамике. Релятивистская
частица, на которую действуют непотенциальные 4-силы, рассматривается
как неголономная система [531]. Неголономная связь в четырехмерном
пространстве-времени представляет релятивистскую инвариантность через
уравнение и^ь? + с2 = 0 для 4-вектора скорости где с — скорость света
в вакууме. В общем случае релятивистская частица ковариантным образом
должна описываться как неголономная негамильтонова система [531], при
этом могут быть получены [528] условия, при которых эту систему
допустимо рассматривать как гамильтонову.

Глава 18
Дискретные отображения с памятью
18.1. Введение
Исследование нелинейной динамики в терминале дискретных
отображений является важнейшим шагом в понимании качественного
поведения физических систем, описываемых дифференциальными
уравнениями [48,49,133,199,200,442,572]. Дискретные отображения приводят к более
простому формализму, который является более удобным для
компьютерного моделирования. Производные дробного порядка [101,307,367,411,444]
являются естественным обобщением дифференцирования целого
порядка. Отметим, что непрерывный предел дискретных систем со
степенным нелокальным взаимодействием приводит к дифференциальным
уравнениям с производными дробного порядка по координатам (см.,
например, [493,496,503,530]). Дифференцирование нецелого порядка по
времени позволяет описывать эффекты долговременной степенной памяти
в физических системах. Эффект памяти в дискретных отображениях
означает, что эволюция данного состояния зависит от всех прошлых
состояний. Дискретные отображения с памятью рассматривались в работах
[219,232,242,249,255,270,459,521,526,527,529,530,532].
Дискретные отображения со степенной памятью могут быть
получены [521,526,527,530] из уравнения движения, содержащего
производные дробного порядка по времени. В данной главе рассматриваются
дискретные отображения, которые могут быть использованы для изучения
эволюции систем, описываемых дробными дифференциальными
уравнениями [101,307,411,444]. Отметим, что нелинейная система,
описываемая уравнениями с дробными производными и возмущаемая
периодической силой, демонстрирует новый тип хаотического движения — дробно-
хаотический аттрактор. Дискретные отображения со степенной памятью
[219,521,526,527,529,530,532] могут использоваться для изучения новых
типов регулярных и странных аттракторов дробно-дифференциальных
динамических систем. В данной главе рассматриваются дробные дифферен-

18.2. Дискретные отображения без памяти
433
циальные уравнения, описывающие движение систем с памятью и
периодическими толчками. Из этих уравнения получены соответствующие
дискретные отображения с памятью, являющиеся обобщениями хорошо известных
отображений.
В разделе 2 дается краткий обзор основных дискретных отображений
без памяти. В разделе 3 приводятся определения и свойства производных
Капуто и Римана-Лиувилля. В разделах 4-8 и 11-13, используя
вспомогательные переменные, выводятся дискретные отображения с памятью из
дифференциальных уравнений с производными дробного порядка. В
разделах 9-10 дискретные отображения с памятью выводятся из
дифференциальных уравнений с производными Капуто и Римана-Лиувилля, используя
эквивалентность задач Коши и нелинейных интегральных уравнений Воль-
терра второго рода. Краткое заключение приводится в разделе 14.
18.2. Дискретные отображения без памяти
В данном разделе кратко рассматриваются дискретные отображения,
не обладающие памятью. Подробнее ознакомится с этими отображениями
можно по книгам [48,49,133,199,200,442,572].
Универсальное и стандартное отображения
Рассмотрим уравнение движения
со
D2x(t) + KG[x(t)} ^2й(^~к) =0, (18Л)
к=1
в котором возмущение является периодической последовательностью
толчков, следующих с периодом Г = 2-kjv и амплитудой К. Через D2 = d2/dt2
обозначена производная второго порядка по времени, a G[x] является
некоторой вещественнозначной функцией. Это уравнение может быть записано
в гамильтоновом виде
со
D\x = р, Djp + KG[x] б(± - n) = 0. (18.2)
n=0
Хорошо известно, что дифференциальные уравнения (18.2) могут быть
представлены в форме двумерного дискретного отображения
xn+i -хп = рп+1Т, рп+1 -рп = -KTG[xn], (18.3)

434
Глава 18
которое называются универсальным отображением. Подробнее смотрите,
например, [49,199,442,571].
Рассмотрим кратко стандартный метод получения дискретного
отображения, изложенный, например, в главе 5 в [572] или разделе 5.1 в [49,442]).
Между любыми двумя толчками происходит свободное движение
р = const, х = pt + const.
Решение слева от п-го толчка
хп — x(tn — 0) = lim^ х(пТ — £),
Рп = p(tn - 0) = hm^p(nT - е),
где tn = пТ, связано с решением справа от толчка x(tn + 0), p(tn + 0)
уравнением (18.2) и условием непрерывности координаты x(tn +0) = x(tn — 0).
Интегрирование (18.2) по интервалу (tn — е, tn + е) дает
p(tn + 0) = p(tn - 0) - KTG[xn].
Используя обозначения хп и рп, можно получить итерационные уравнения
Xn+i = хп Ч-Pn+i^, (18.4)
Pn+i =Pn-KTG[xn]. (18.5)
Уравнения (18.4) и (18.5) являются уравнениями универсального
отображения.
Рассмотрим другой метод [527,530] получения уравнений дискретного
отображения из дифференциальных уравнений движения. Для этого можно
использовать эквивалентность между задачей Коши для
дифференциального уравнения и нелинейным интегральным уравнением Вольтерра.
Теорема. Задача Коши для дифференциальных уравнений
Dlx(t)=p(t), (18.6)
ОО
D\p{t) = -KG[x(t)]Y,6(±-k) (18.7)
с начальными условиями
ж(0)=хо, Р(0)=Ро (18.8)

18.2. Дискретные отображения без памяти
435
эквивалентна уравнениям универсального отображения вида
п
Хп+1 = х0 + ро(п + 1)Г - КТ2 ^2 G[xk] (n + 1 - Л), (18.9)
k=i
п
Pn+i =po-KTj2G[xk]. (18.10)
fc=i
Доказательство. Известно, что задача Коши для
дифференциального уравнения
D2x(t) =F[t,x(t)) (0 (18.11)
и начальных условий
x(0)=xo, (Dlx)(0)=po (18.12)
эквивалентна интегральному уравнению Вольтерра второго рода
t
x(t) = x0+p0t + J drF[T,x(T)](t-T). (18.13)
о
Уравнение (18.11) с функцией
сю
F[t,x(t)} = -KG[x(t)]Y,s(f - *) (18-14)
k=l
дает уравнение (18.1). Используя уравнение (18.13) с функцией (18.11) для
пТ < t < (п + 1)Г, получаем
x(t) =х0+ pot - KTj2G[x(kT)} (t - КГ). (18.15)
Для импульса p(t) = D}x(t) уравнение (18.15) дает
п
p(t)=p0-KTj2G[x(kT)}. (18.16)
k=i
Решения для левой до (п + 1)-го толчка
xn+i = х(£п+1 - 0) = Дт+ х{Т(п + 1) - е), (18.17)
Pn+i = p(*n+i - 0) = lim р(Г(п + 1) - е), (18.18)
е:—>0+
где £n+i = (п 4- 1)Г, имеют вид (18.9) и (18.10). □

436
Глава 18
Замечание. Используя уравнения (18.9) и (18.10), конечные разности
Xn+i — хп и Рп-н — Рп дают уравнения (18.3) универсального отображения.
Пример 1. Если G[x] = —х, то уравнения (18.3) дают систему
Аносова
Хп+\ ~хп= Pn+iT, pn+i - рп = КТхп. (18.19)
Пример 2. Если G[x] = sin(rr), то уравнения (18.3) принимают вид
дискретного отображения
Хп+\ -хп= Pn+iT, pn+i - рп = -КТ sin(xn), (18.20)
известного как стандартное отображение или отображение Чирикова-Тей-
лора [199].
Диссипативное стандартное отображение
Диссипативное стандартное отображение [447,568] определяется
уравнениями
Хп+1 = Хп + /хУп+1 + ft, (18.21)
Уп+1 = e-q[Yn + е sin(Xn)], (18.22)
где используется параметр
ц = (е" - l)/q.
Отметим, что сдвиг ft не играет важной роли и может быть взят равным
нулю (ft = 0). Диссипативное стандартное отображение с ft = 0 может
быть представлено уравнениями
^n+i = Хп + -Рп+ь (18.23)
Рп+1 = -ЬРп - Z sin(X„). (18.24)
Для b = —1 и Z = К получаем стандартное отображение, описываемое
уравнениями (18.4) и (18.5) с Т = 1. Для параметров
Z = -eixe-q, Рп = рУп, Ъ = -е~я, /х = (ея - l)/q (18.25)
уравнения (18.23) и (18.24) дают уравнения (18.21) и (18.22) с ft = 0.
Часто диссипативное стандартное отображение называется отображением
Заславского.
Для больших q —» оо (для малых b —» 0) уравнения (18.23) и (18.24)
с Z = — К сводятся к одномерному синус-отображению
Хп+1 = Хп 4- #sin(Xn), (18.26)
предложенному в работе [3].

18.2. Дискретные отображения без памяти
437
Отображение ротатора с затуханием и толчками
Рассмотрим ротатор с затуханием, возбуждаемый периодическими
толчками. Уравнение движения этого ротатора имеет вид
сю
D2tx + qD\x = KG[x] ^u(t - пТ). (18.27)
n=0
Приведем утверждение о дискретном отображении, соответствующем
дифференциальному уравнению (18.27).
Теорема. Уравнение (18.27) эквивалентно уравнениям дискретного
отображения
Xn+i = хп + —| (рп + KG[xn\), (18.28)
рп+1 - е-<*Т (рп + KG[xn]) • (18.29)
Доказательство. Эта теорема доказана в разделе 1.2 книги [133].
□
Это дискретное отображение известно как отображение ротатора с
затуханием и периодическими толчками. Фазовый объем системы сжимается
за каждый шаг в ехр(—q) раз. Отображение определяется двумя
основными параметрами — константой диссипации q и амплитудой периодической
внешней силы К.
Замечание 1. Уравнения (18.28) и (18.29) могут быть переписаны в виде
, е"т-1
Хп+1 = Хп Н g Pn+i,
Pn+i =e-qT(pn + KG[xn]).
Легко увидеть, что эти уравнения дают стандартное диссипативное отображение
(18.23) и (18.24) с П = 0, если
Хп = Хп, Yn=pn, е = К, Т = 1, G[x] = sin(x).
Замечание 2. Если рассмотреть предел q —► оо и К —► оо, такой что
q/K = 1, и функцию
G[x] = (г - 1)х — гх2,

438
Глава 18
то уравнения (18.28) и (18.29) приводят к логистическому отображению [133],
имеющему вид
Хп+1 = ГХп(1 — Хп)-
Отметим, что логистическое отображение с долговременной памятью
рассматривалось в статье [459].
Отображение Хенона
Отображение Хенона [277,437] может рассматриваться как двумерное
обобщение логистического отображения [133]. Отображение Хенона
представляется в виде двух связанных уравнений
xn+i = l-aa£+yn, (18.30)
уп+1 = Ьхп. (18.31)
Подставляя (18.31) в (18.30), получаем
хп+1 = 1 - ах2п + Ъхп-1. (18.32)
Это уравнение эквивалентно отображению Хенона, определенному
уравнениями (18.30) и (18.31).
Отметим, что отображение вида (18.32) может быть получено из
обобщенного диссипативного отображения
Хп+\ = Хп + Рп+1^ (18.33)
Pn+i = -Ьрп + KTG[xn], (18.34)
где \Ь\ ^ 1.
Теорема. Уравнения (18.33) и (18.34) с К = Т = 1 и функция
G[x) = 1 - (1 - Ь)ж - ах2 (18.35)
дают отображение Хенона в виде (18.32).
Доказательство. Подставляя (18.33) в виде pn+i = xn+i — хп
в уравнение (18.34), получаем
#n+i - хп = -b(xn - xn_i) -f G[xn).
В результате имеем
xn+i - Ьхп_1 = (1 - Ь)хп 4- G[xn]. (18.36)
Подстановка (18.35) в (18.36) дает отображение Хенона (18.32). □

18.3. Производные Капуто и Римана-Лиувилля
439
Теорема. Уравнение движения (18.27) с функцией
G[x] = ~^~ь + + Ь)х + ах% (18-37)
где b = — exp(-q) и Т = 1, может быть представлено в виде
отображения Хенона (18.32).
Доказательство. Используя уравнение (18.27) с функцией (18.37),
получаем уравнение дискретного отображения
Zn+i = хп + ^-^-Рп ~ 1 - (1 + Ь)хп - ахп, (18.38)
рп+1 = е~qpn + ^ [1 + (1 + Ъ)хп + ах2п], (18.39)
где Т = 1 и b = — ехр{—q}. Как было доказано в разделе 1.2 книги [133],
уравнения (18.38) и (18.38) эквивалентны отображению Хенона (18.32).
□
18.3. Производные Капуто и Римана-Лиувилля
Левосторонняя производная Капуто [191,193,262,307] порядка а > 0
определяется формулой
t
о
где п — 1 < а < п, а qI? — левосторонний интеграл Римана-Лиувилля
порядка а > 0, определяемый как
°«(> = щ/<Г7^ (,>0)' (18'41)
Левосторонняя производная Римана-Лиувилля [101,307,411] определяется
формулой
t
oDfxW = DJ „7Г•«,) _ ф- £ / („ -1 < а « „).
о
(18.42)

440
Глава 18
Производные Каггуто и Римана-Лиувилля связаны уравнением
п— 1 ^
$D?x(t) = 0Dax(t) - £ *~° *(fc)(0). (18.43)
Производная Римана-Лиувилля имеет некоторые неудобства при
описании механических систем. К этим неудобствам относится
гиперсингулярность несобственного интеграла. Более того, производная
Римана-Лиувилля от константы может быть отлична от нуля
Незануление производной от константы влечет за собой неисчезновение
диссипации для систем в равновесии. Отметим также, что начальные
условия для дифференциальных уравнений с производными Римана-Лиувилля
имеют форму отличную от стандартных.
Видно, что второе слагаемое в правой части уравнения (18.43) регуля-
ризирует производную, что позволяет исключить потенциальные
расходимости для сингулярного интегрирования в t — 0+. Кроме того, производная
Капуто от константы равна нулю
%ЩС = о.
Если использовать производную Капуто вместо производной
Римана-Лиувилля, то начальные условия для дифференциальных уравнений дробного
порядка будут теми же, что и для уравнений целого порядка. В силу
этого производные Капуто кажутся более привлекательными чем производные
Римана-Лиувилля при применении их к задачам механики. В то же
время определение производной Капуто является более ограничивающим по
сравнению с производной Римана-Лиувилля, поскольку в нем требуется
абсолютная интегрируемость производной порядка п. Это связано с тем,
что для вычисления производной Капуто сначала берется целая
производная, а затем дробный интеграл для получения желаемого порядка дробной
производной. В производной Римана-Лиувилля используется обратный
порядок выполнения этих операций.
Желание использовать обычные начальные условия для
механических систем приводят к необходимости использовать производные
Капуто вместо производных Римана-Лиувилля. В то же время нельзя
утверждать, что производные Римана-Лиувилля не имеют физической интер-

18.3. Производные Капуто и Римана-Лиувилля 441
претации и описывают нефизическое поведение. Отметим, что
производные Римана-Лиувилля естественным образом возникают для
распределенных систем в электродинамике. Диэлектрическая восприимчивость
широкого класса сред подчиняется в широкой частотной области дробно-
степенной частотной зависимости, называемой универсальным откликом
системы [294,295]. В работах [114,516,517,530] было доказано, что
электромагнитные поля в таких диэлектрических средах описываются
дифференциальными уравнениями с производными Римана-Лиувилля дробного
порядка по времени. Эти дробно-дифференциальные уравнения,
описывающие универсальные электромагнитные волны в диэлектрических средах,
являются общими для широкого класса материалов, независимо от типа
физической структуры, химического состава или природы поляризации. В
результате нельзя утверждать, что производные Римана-Лиувилля по
времени не имеют физической интерпретации. Физическая интерпретация этих
производных в электродинамике связана со степенной зависимостью
физических величин от частоты. Поэтому дискретные отображения, которые
вытекают из дифференциальных уравнений с производными
Римана-Лиувилля, имеют важное значение для физических приложений, а сами эти
уравнения естественным образом появляются при описании реальных
физических систем.
Отметим взаимосвязь между уравнениями движения с производными
Капуто и уравнениями с производными Римана-Лиувилля [530].
Теорема. Дифференциальное уравнение дробного порядка
m$D?x = F[t,x,p] (к а < 2), (18.44)
содержащее левостороннюю производную Капуто $Df, эквивалентно
уравнению
Dfx = QD2t-aF[t,x,p] (к а < 2) (18.45)
с левосторонней производной Римана-Лиувилля oD2~a в правой части
уравнения.
доказательство. Используя р — mD\x, уравнение (18.44) может
быть переписано в виде
D\x = ^р, (18.46)
$D?-1p = F[t,x,p] (1<q<2). (18.47)
Интегрирование Римана-Лиувилля порядка а — 1 уравнения (18.47) дает
0/Г1о7Ав_1р= oirlF[t,xM-
(18.48)

442
Глава 18
Используя фундаментальные теоремы дробного математического
анализа [515,530]
oir1oDr1P = p(t)-p(0) (0<1-а<1),
получаем
p(t) = р(0) + olf^FfrxM- (18.49)
Дифференцируя уравнение (18.49), получаем
D\p = 0D2-aF[t,x,p], (0 < 2 - а < 1), (18.50)
где oD2~a является левосторонней производной Римана-Лиувилля. В
результате получаем дробно-дифференциальные уравнения
D\x = ijp, (18.51)
Dip = 0D2t-aF[t,x,p} (к a < 2). (18.52)
Уравнения (18.51) и (18.52) могут быть записаны в виде (18.45). □
В результате уравнение (18.44) с производной Капуто оказалось
эквивалентным уравнению (18.45) с производной Римана-Лиувилля.
Используя (18.42), уравнение (18.45) примет вид
t
D?xW = Y^ajD? J (t-T?-a-lF[T,x{T),p{T)]dT (1<q<2).
0
(18.53)
Физической интерпретацией интегрирования нецелого порядка является
существование эффектов памяти, описываемых степенными функциями
памяти. Наличие долговременной динамической памяти в физических
процессах означает, что состояние системы в данный момент времени зависит
от силы F[r, х(т),р(т)] во все предыдущие состояния, проходимые
системой в фазовом пространстве переменных (х(т),р(т)), где г € [0,£].
18.4. Сила трения с памятью и дискретные отображения
Обычно дискретные отображения получают из уравнений движения
без трения
D2x{t) = F[t,x(t)\ (18.54)

18.4. Сила трения с памятью и дискретные отображения
443
или из уравнений движения с трением
D?x + qD}x = F[t,x{t)],
(18.55)
в которых сила F[£,x(£)] является суммой периодических толчков,
зависящих лишь от положения системы
Рассмотрим обобщение уравнений движения на случай, когда сила F
зависит не от положения системы x(t)9 а от скорости системы со степенной
памятью QD^x(t) (трение с памятью), то есть
где х производная Капуто порядка /3.
Дробная производная в толчковом слагаемом и дискретные
отображения
В данном разделе рассматривается обобщение дифференциального
уравнения (18.1), использующее производную Капуто порядка 0 ^ /3 < 1
в слагаемом, описывающем периодические толчки. Получим дискретное
отображение, которое соответствует данному дифференциальному
уравнению порядка 0 ^ /3 < 1. Это дискретное отображение является обобщением
универсального отображения.
Рассмотрим обобщение (18.1) следующего вида:
оо
(18.56)
F = F[t, $D?x],
(18.57)
ОО
(О </?<!),
(18.58)
71=0
где qD% — производная Капуто
t
% Dfx = oll-"D]x =
1 / йт Mr)
(0^0 <1). (18.59)
Г(1-/3)У (t-T)P dr
о
Отметим, что при /3 = 0 уравнение (18.58) принимает вид (18.1).

444
Глава 18
Теорема. Дробное дифференциальное уравнение системы (18.58), воз-
буждаемой периодическими толчками, эквивалентно дискретному
отображению
Хп+1 =Хп+ Рп+1^, (18.60)
1—0 71—1
pn+1 =pn-KTG( J _ ^pfc+1V^(n-fc)) (0 < /3 < 1), (18.61)
41 Уг Р) к=о
где функция V2-p(z) определяется формулой
V2-0(z) = г1-" - (z - I)1'0, (18.62)
для 2^1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Дифференциальное уравнение (18.58) может быть
представлено в гамильтоновой форме
Dlx=p, (18.63)
оо
D}p + KG^Dfx}J2s(^-n) =0. (18.64)
71=0
Между любыми двумя толчками совершается свободное движение
р = const, х = pt + const. (18.65)
Интегрирование (18.64) по интервалу (tn -Ь £, tn+i — s) дает
x(*n+i - 0) = x(tn + 0) + рп+1Г, (18.66)
p(tn+i-0)=p(tn+0). (18.67)
Решение слева от п-го толчка
хп = х(^п - 0) = lim х(пТ - е), (18.68)
Рп = р(*п - 0) = lim р(пТ - е), (18.69)
£—♦0
где tn = пТ, связано с решением справа x(tn + 0), p(tn + 0) через
уравнение (18.64) и условие непрерывности координаты
x(tn+0)=x{tn-0). (18.70)

18.4. Сила трения с памятью и дискретные отображения
445
Интегрирование (18.64) по интервалу (tn — e,tn + е) дает
p(tn + 0) = p(tn - 0) - KTG{gD?nx}. (18.71)
Используя обозначения (18.68) и (18.69) и решение (18.65), получаем
P(tn + 0) = p(tn+\ ~ 0) = Pn+l.
Подставляя (18.70) и (18.71) в уравнения (18.66) и (18.67), получаем
дискретные уравнения
£п+1 = Хп +Рп+1Г,
pn+1=pn-tfTG[£<*]. (18.72)
Для получения дискретного отображения, необходимо выразить
производную дробного порядка
tn
°D*»X=г{Г^Т) Jdr {tn - r)~0 D'x{r) (18-73)
о
через переменные (18.68) и (18.69). Используя р(т) = D\x(t),
уравнение (18.73) может быть представлено в виде
*D^X = Ё / (*п " r)"^(r)dr, (18.74)
где tk+i =tk + T = {k + 1)Т, tk = kTnt0 = 0.
Для интервала (^,^+i) уравнения (18.65), (18.68) и (18.69) дают
Р(т) = p(tk + 0) = p{tk+i -0) =p*+i г G (*jfe,**+i).
Тогда
У (^-т)*р(т)с*т=р*+1 у (*n-r)-"dr =
tn—tk
tn—tk
= Pk+i j z~0dz=:
1-/3
tn—tk
tn — tk+1

446
глава 18
= Pfc+i[(n - к)1'0 -(п-к- I)1'0]. (18.75)
Используя (1 — /?)Г(1 — (3) = Г(2 — /3) и уравнение (18.75),
выражение (18.74) может быть представлено в виде
1—/з п~ *
сГ<* = Гр _ ^ ^Pfc+iVfr-gfo - к) (0</?<1), (18.76)
где
V2H,(*) = z1-? -(z- I)1"* г ^ 1. (18.77)
□
В результате уравнения (18.72) принимают вид (18.60) и (18.61). Эти
дискретные уравнения определяют обобщение универсального
отображения, которое будем называть дробным универсальным отображением или
универсальным отображением с памятью. Рассмотрим специальный
случай /3 = 0.
Теорема. Для (3 = 0 и xq = 0 дробное универсальное
отображение, определяемое уравнениями (18.60) и (18.61), имеет вид универсального
отображения.
Доказательство. Рассмотрим дробное универсальное отображение
(18.60) и (18.61) при /3 = 0. Подставляя уравнение (18.60) в виде
Pfc+i = -хк) (18.78)
в дискретное уравнение (18.61), получаем
Рп+1 =рп- KTG[r^_^ X>*+i - хк)У2-0(п - к)]. (18.79)
Тогда дискретное отображение (18.60), (18.61) определяется формулами
£n+l = Хп +pn+iT,
рп+1 =рп- КТС\ Т - xk)V2-0(n ~ к)}, (18.80)
Li ^ Р) к=0

18.4. Сила трения с памятью и дискретные отображения
447
где 0 < /3 < 1. При /3 = 0 получаем Vi-p(z) — 1 и
п-1
y^Qgfc+l - Хк) = %п - Хо.
к=0
Тогда уравнение (18.79) дает
Рп+i =Рп~ КТG(хп - х0).
В результате уравнения (18.80) с /3 = 0 дают обычное универсальное
отображение для случая хо = 0. □
Рассмотрим некоторые примеры дробного универсального
отображения, определенного уравнениями (18.60) и (18.61).
Пример 1. Если G[x] = —х9 то уравнения (18.60) и (18.61) имеют
вид
£п+1 = Хп +pn+iT,
Pn+i =Рп + * _ ял J2pk+iV2-0(n - к) (0*$/3<1). (18.81)
1 V Р> к=0
Уравнения (18.81) могут рассматриваться как обобщение системы Аносова.
Пример 2. При G[x] = sin(x) уравнения (18.60) и (18.61) принимают
вид
£п+1 = Хп + pn+iT,
1-/3 71-1
рп+1 =Рп-КТ sin( ^_ ^pfc+iV2^(n - /с)) (0 ^ /3 < 1).
(18.82)
Эти дискретные отображения являются обобщением стандартных
отображений на случай степенной долговременной памяти. Другой возможной
формой уравнений (18.82) является
#n+l = Хп +pn+i,
п-1
Рп+1 = Рп - К sin( 1 - ^)V2-/3(n - fc)), (18.83)
где использовались уравнения (18.78) при Т=1и0</3<1. Эти
уравнения могут быть названы дробным стандартным отображением.

448
глава 18
ПРИМЕР 3. Обобщение диссипативного стандартного
отображения [447,568] может быть определено в виде
#п+1 = хп +Рп+ъ
П—1 / \
Рп+1 =-Ьрп~К Sin(^ Щ-Р) У2~0[П ~ к))- (18-84)
При Ь = — 1 эти уравнения имеют вид дробного стандартного
отображения (18.83). Это отображение является одним из возможных обобщений
диссипативного стандартного отображения. В этом обобщении диссипация
была введена в уравнение с помощью замены вида рп —► —Ьрп.
Уравнение (18.84) не связано напрямую с дифференциальными уравнениями,
содержащими дробные производные и описывающими движение некоторой
системы. Обобщение диссипативного стандартного отображения, которое
может быть получено из дифференциальных уравнений дробного порядка,
будет рассмотрено в следующем разделе.
Дробная производная в толчковом слагаемом и диссипативные
дискретные отображения
В данном разделе рассматривается обобщение дифференциального
уравнения (18.27) для ротатора с затуханием и периодическими толчками,
имеющее вид
оо
D\x - qD\x = KG[%D$x) ]Г 6(t - пТ) (О ^ (3 < 1). (18.85)
71=0
Производная Капуто порядка 0 < /? < 1 используется в слагаемом,
описывающем периодические толчки. Отметим, что в левой части
уравнения (18.85) используется минус, a q € Ш.
Теорема. Дифференциальное уравнение (18.85) с дробными
производными эквивалентно дискретному отображению
1 - e~qT
#7i+i = #Ti Н q Рп+ь (18.86)
71-1
pn+1 =e«r(pn + tfG[—^^p^W^fa.r.n-*)]), (18-87)

18.4. Сила трения с памятью и дискретные отображения
449
где функция \¥2-р определяется формулой
1
W2-0{q,T,m) = T1-(3 j eqnz-l){m-z)^dz.
о
Доказательство. Уравнение (18.85) можно представить в
гамильтоновой форме
D]x - р,
оо
D]p -qp= KG[%Dfx) ]Г 6{t - пГ), (18.88)
71=0
где 0 < (3 < 0 и q <Е R.
Между любыми двумя толчками имеем уравнение
D\p -qp = 0. (18.89)
Для t £ (tn + 0, tn+\ — 0) решение уравнения (18.89) имеет вид
р(*п+1 - 0) = p(tn + 0)е«т. (18.90)
Воспользуемся обозначениями £п = пГ и
xn = x(tn — 0) = lim х(пТ — е),
Рп - р(*п - 0) = lim р(пТ - е). (18.91)
£—>0
Для £ € (£п — е, £n+i — е) общее решение (18.88) имеет вид
г
В результате получаем
pn+1 = е«т(рп + KG[gDfnx]y (18.92)
Используя (18.92), интегрирование первого уравнения (18.88) дает
%п+1 — %п
1-е«т
(pn + KG[%D?nx)). (18.93)

450
Глава 18
Рассмотрим производную Капуто из уравнений (18.92) и (18.93). Она
определяется уравнением
D0nx = dl~0D]x = j dr {tn - г)'0 D\x{t) (O^0< 1).
0
Используя р(т) = D\x{t), можно переписать это соотношение в виде
?^Я=1ХГ^)ё / РМ^п-гГ^йг, (18.94)
к=0 tk
где tk+i = tk + T=(k + l)Tntk = kT так, что t0 = 0.
Для т е (tk,tk+i) уравнения (18.90) и (18.91) дают
Р(т) = p(tk + 0)е^т~^ = p(tk+i - 0)e-qTeq{T~tk) =
= Pk+ieqiT-tk-T) = pfc+ie«<T-«*+1>.
Тогда
*fc+i *fc+i
j p(T)(tn-T)-(3dT=pk+1 j ^г-^\гп-т)-*йт.
tk tfc
Используя переменную
получаем
tk+i
J p(T)(tn-T)-0dT=pk+1W2-0(q,T,n-k), (18.95)
где функция 1^2-/3 (<7, T,n — к) определяется формулой
l
W2-(3(q,T,n-k) = T1-(3 j eqT^z~l) (n-k-z)-0dz.
о

18.4. Сила трения с памятью и дискретные отображения
451
Уравнения (18.94) и (18.95) дают
п-1
?Dfns = г(11_р) J^Pk+iW2-0(q,T,n-k) (0</?<1). (18.96)
Подставляя (18.96) в (18.92) и (18.93), получаем
п-1
рп+1 = е«т (рп + KG [ 1 £ »+i ^-/з(<7, Г, п - fc)]), (18.97)
1-е«т
п-1
*п+1 = Хп - (рп + # G [ Х_ 51 ^2-/3(9, Г, п - fc)l ) .
(18.98)
Уравнения (18.97) и (18.98) можно представить в виде (18.86) и (18.87).
□
Пример 1. Дискретные уравнения (18.86) и (18.87) определяют
обобщение отображения ротатора с затуханием и периодическими
толчками (18.27). Можно получить обобщение диссипативного стандартного
отображения. Если использовать условия
Xn = xn, Yn=pn, е = К, Г=1, С[ж] = 8in(rr), (18.99)
то уравнения (18.86) и (18.87) дадут уравнения дискретного отображения
Xn+i=Xn + n'Yn+u (18.100)
Yn+l = е* (Уп + е sin [ 1 ]Г П+i W2-/*fa> Г, n - ), (18.101)
fc=0
в которых
Г(! - Я ^0
1-е-'
Эти уравнения могут рассматриваться как обобщение диссипативного
стандартного отображения (18.21) и (18.22) при ft = 0 и р — р!. Это
дискретное отображение с памятью было получено из дробно-дифференциального
уравнения (18.85) с условием (18.99). При /3 = 0 это отображение
принимает вид диссипативного стандартного отображения (18.21) и (18.22)
с р = р' и ft = 0.

452
Глава 18
пример 1. Можно получить обобщение отображения Хенона из
уравнения движения (18.85) с функцией
G[x) = -j^b (l + (1 + 6)х + ах2)' (18.102)
где Ъ = — ехр(—д) и Т = 1. В результате это обобщение имеет вид
уравнений (18.86) и (18.87) с функцией (18.102). Это отображение Хенона с
памятью было получено из дифференциального уравнения с дробными
производными в слагаемом, описывающем периодические толчки [530,532].
При /3 = 0 это отображение переходит в обычное отображение Хенона без
долговременной памяти.
18.5. Отображения из уравнений с производными высших
порядков
Рассмотрим обобщение уравнения (18.58) в виде
оо
Drx + KG[%D?x}J26(±-n)=0 (О<0<1), (18.103)
71=0
где m — такое целое число, что m ^ 3. Это обобщение уравнения (18.58)
было получено заменой Dfx —► D™x. Здесь %Df — производная Капуто
порядка /3, 0 < /3 < 1, которая определена формулой (18.59).
Теорема. Дифференциальное уравнение для системы с
периодическими толчками (18.103) эквивалентно дискретному отображению
771-2
= х" + т-^й"/^"1 + £ Н1** (18-104)
771 — 5—2
^m—lrpm— 3—1 _|_
Pn+i1 = Рп _1 - KTG[qn], (18.106)
Р3^ = (т_]_1)1Рп^Тт-а-1+ £ ±Pn+lTl («=1 m-2),
(18.105)
где
ti -1 m—3 i д i /
* = mb) E(E - *>+
v M; k=0 1=0

18.5. Отображения из уравнений с производными высших порядков 453
+|^Pn+i1 CTV - *)). (18Л07)
а функции V™'l(z) определяются как
1
V™j(z) = Jyl(z-y)-pdy, Z = l,...,m-2, (18.108)
о
и I ^ Z ^ га — 1 < т — /3 ^ т и l,m Е N.
Доказательство. Определим переменные
ps(t) = Dstx{t) (s = 0,..., т - 1), (18.109)
где
p°(t)=x(t).
Тогда гамильтонова форма уравнения (18.103) имеет вид
Djps=ps+1 (s = 0,...,m-2), (18.110)
ОО
D\pm~x + КТG[q D™~ap°] £ - n) = 0. (18.111)
n=0
Для t e (tn + 0,£n+i — 0) уравнение (18.103) дает D™x = 0 и решение
может быть представлено виде
т—1
/=0
(*) = S - *n)Z (т ^ 3). (18.112)
Подставляя (18.112) в (18.109), получаем
т—1
ps(t) = J2 Ql(l - 1)... (I - s + 1) (t - tn)'-'. (18.113)
P°(tn + 0) = Css\
l=s
При t = tn имеем
Тогда
Ci = £j>"(tn + 0). (18.114)

454
Глава 18
Используя уравнение (18.114) и соотношения
Ps(tn + 0)=ps(tn-0)=psn (s = 0 m-2),
Pm-\tn + 0) = pm-l(*n+i - 0) = P™^1,
уравнение (18.113) можно представить в виде
m-2
(18.115)
где s = 0,..., т — 2. Здесь было использовано
l{l-l)...{l-s+l) _ j
/! "(*-«)!"
Уравнение (18.115) можно переписать как
го—s—2
Е j7Pn+'(*-*n)'+ (то-а-1)!Р"+"11(*"*пГ"'"'' (18-П6)
где 5 = 0,..., т — 2. Для t = tn+\ это уравнение дает
m—s — 2
Pn+i = (TO_1s_1),Pn-Ti1rm-8-1+ Е JpJ+'T' (S = 0,...,m-2).
В результате дискретные уравнения принимают вид
т—з—2
Рп^ = {т_]_1уРп^Тт-'-1+ £ fa+lTl (S = 0,...,m-2),
nm-l ~jn— 1
1де«„= £0£-V и pP(t) =*(*)•
Переменная gn определяется производной Капуто
С глт—а О га—т+1 г>1~0 га — т+1„Д
Она может быть представлена в виде
qn = %Drax = ^г-1 г Е Т/1(ТУТ , (18.117)
где tk - кТ.

18.5. Отображения из уравнений с производными высших порядков 455
При t е (tk,tk+i) уравнение (18.116) принимает вид
771-3
р1(0=t^iyp»+>{t - tk)m~2+£ ¥-1{t -tk)l- (18Л18)
Подставляя (18.118) в (18.117) и используя
T,('"*fc)l *=т-««* 7 {т~к)1 dr,
j (tn-t)m-a j (n-T)m-a '
tk к
получаем
tk+l „ о
A_ _
^ „771—1 T /"777. ,771 — 2 /
(m-2)
где
(fc+i) (
V™'l(n-k)= J JL^L-dz, 1 = 1,...,m-2. (18.120)
к
Эти функции могут быть определены в виде
z 1
V^\z)= j {z-y)ly"-™dy = j yl{z-yr-™dy, Z = l,...,m-2,
2-1 0
(18.121)
гдеЦит-1<а^ши[,шеЕ Подстановка (18.119) в (18.117)
дает (18.107). □
Отметим, что функции, определенные интегралами (18.121),
могут быть выражены через элементарные функции. Например,
уравнение (18.120) при / = 0 дает
V^°(u -к)= а_^ + 1 [(п ~ k)°-m+1 - (П - к - 1)—+!] .

456
Глава 18
При т = 2 эта функция может быть представлена в виде
V^0(n-k) = ^Va(n-k).
При i = 1 уравнение (18.120) дает
! _ (n - fc)Q-™+2 - (n - fc - l)Q-m+'(n - fc + a- m+1)
Q ' (П )_ (a-m+l)(a-m + 2)
Функция (18.121) также может быть представлена через
гипергеометрическую функцию (см. раздел 2.1.3 в [161])
О
соотношением
О1 (г) = (/ + 1^m_Qi^(m - a, / + 1, / + 2; г"1), (18.122)
где использовали Г(/ + 1) = /! и Г(/ + 2) = (/ + 1)!.
Эта теорема может быть использована для получения обобщения
универсального отображения с памятью на случай a > 2.
18.6. Универсальное отображение с памятью
при 1 < a ^ 2
В данном разделе рассматривается обобщение дифференциального
уравнения (18.1). Это обобщение получается заменой Dfx —► oDfx, где
1 < a ^ 2, при которой вместо производной второго порядка Dfx
используется производная Римана-Лиувилля. Получаем дискретное отображение
с памятью, соответствующее дробно-дифференциальному уравнению
порядка 1 < a < 2. Предлагаемое дискретное отображение с памятью может
рассматриваться как обобщение универсального отображения.
Рассмотрим дифференциальное уравнение дробного порядка
оо
0D?x + KG[x] £ б(± - п) = 0 (К a ^ 2), (18.123)
п=0
где oD? — производная Римана-Лиувилля, определенная формулой (18.42).
Дискретное отображение, соответствующее этому
дробно-дифференциальному уравнению порядка 1 < а ^ 2, описывается следующей теоремой.

18.6. Универсальное отображение с памятью при 1 < а ^ 2 457
Теорема. Дробно-дифференциальное уравнение для системы (18.123),
возбуждаемой периодическими толчками, эквивалентно дискретному
отображению
а-1 _п,
*п+1 = g-r У>*+1 VQ(n - k + 1), (18.124)
pn+i=Pn-KTG[xn} (1<а^2), (18.125)
где n G Z, n ^ 0, а функция VQ(z) определяется формулой
Va(z) = za-1 -(z- l)a~l (18.126)
При 2^1.
Доказательство. Определим вспомогательную переменную
такую, что
f D?-ef = (0 < 2 - а < 1), (18.127)
где qD2~q — производная Капуто
t
%D2t-4 = oir'Dlt = ^ф-^ jdr(t- г)""2D\Z{t).
0
Используя лемму 2.22 из [307], получаем
о/?"* £l>?-e« = £(<)-£«». (18.128)
Тогда
0D?x = А2 о1?~ах = D\ о/,2"" qD2~q£ = D*m - €(0)) =
(18.129)
Подставляя (18.129) и (18.127) в уравнение (18.123), получаем
оо
А2£ + KG[$I$-aZ] Т,6(т-п)=° (! < а < 2>-
Это дробно-дифференциальное уравнение может быть записано в
гамильтоновой форме
оо
А177+ KG[£A2~Q£] =0- (18.130)
п=0

458
Глава 18
Используя тот факт, что уравнения (18.63) и (18.63) эквивалентны
дискретному отображению (18.60), (18.61), получаем
£n+i =£»+ ть+iT, (18.131)
а-1 п-1
= r/n - #Гс[^Ц- V T)k+\Va(n - fc)l, (18.132)
где 1 < a ^ 2 и
Уа(г) = г""1 - (г - l)""1. (18.133)
Эти уравнения определяют обобщение универсального отображения для
переменных (£n,f?n).
Дробно-дифференциальные уравнения (18.123) в гамильтоновой
форме могут быть представлены в виде
оо
Djp + KG[x] J2 S(f - «) = 0, (18.134)
0D?-lx = p (Ka<2), (18.135)
где использовали qD" = D\ _1.
Уравнения (18.127) и (18.76) дают
xn = = ^— £ 7?fc+1KQ(n - к). (18.136)
Используя уравнения (18.128) и (18.135), получаем
р = 0D?-lx = D\ 0/t2-Q* = D\ oI?~a ?A2"Qe = Dim ~ €(0)) = Dfe
(18.137)
Определение rj в (18.130) и уравнение (18.137) дают
V = D]Z = r), pn = Vn-
В результате уравнения (18.132) и (18.136) приводят к дискретному
отображению
a—1
хп+1 = ^—У2рк+1Уа{п-к+1) (1<а<2), (18.138)
Pn+i = Рп - KTG[in], (18.139)
где функция Va(z) определяется формулой (18.133). □

18.6. Универсальное отображение с памятью при 1 < а ^ 2 459
Уравнения (18.138) и (18.139) определяют универсальное
отображение с памятью. Эти уравнения являются обобщениями отображения (18.5).
Отметим, что форма уравнений (18.138) определяется обоими
уравнениями (18.134) и (18.135). Уравнение (18.138) не может рассматриваться
как дискретное представление только уравнения (18.135). Если
использовать другой вид уравнения (18.134), то уравнение (18.138) тоже изменится.
Теорема. Дробно-дифференциальное уравнение (18.123) для
системы, возбуждаемой периодическими толчками, эквивалентно дискретному
отображению
7-»а —1 TfTt*
Г(а) Г(а)
и
Хп+\ =Хп + 7Г7-ГРп+1 + 7Г7-7- > Pk+lSa(n -к) (п ^ 1), (18.141)
Г(а) Г(а) кЫ)
Pn+i =Pn-KTG[xn], (18.142)
где функция Sa(z) определяется формулой
Sa(z) = {z + I)""1 - 2za~l + {z - l)*"1 (18.143)
при z ^ 1.
Доказательство. Используя уравнения (18.138) и (18.139) при п =
= 0, получаем выражение (18.140). Для п ^ 1 уравнение (18.138) может
быть переписано в виде
а-1 71-1
Второй формой уравнения (18.138) является
а — 1 а — 1 71—1
Xn+1 = ¥(а)Рп+г + ВД" № " fc + 1)7 (18.145)
где использовали Va(l) = 1. Вычитая из уравнения (18.145)
уравнение (18.144), получаем
a-»a—1 rpa—1 ^—^
г(") Г(а) £j
(18.146)

460
Глава 18
где п ^ 1, а функция Va(z) определена в (18.133). Используя функцию
SQ(n — к), видно, что уравнение (18.146) дает уравнение (18.141). □
замечание. Отметим, что дробная производная в уравнении (18.123) не
инвариантна относительно сдвига
x(t) —► x(t) + const.
Для производной Римана-Лиувилля имеем
В силу этого дробно-дифференциальное уравнение (18.123) с функцией G[x] =
= sin(x) не инвариантно при сдвиге аргумента
x(t) x(t) + 2тгт (га G Z).
В результате стандартное отображение с памятью, определяемое уравнениями
(18.124) и (18.125) при G[x] = sin(x), не инвариантно относительно замены
переменной
Хп —► Хп + 27ГШ (m G Z),
для п ^ 0.
Рассмотрим некоторые примеры универсального отображения с
памятью.
Пример 1. Покажем, что формулы дискретного отображения (18.140)-
(18.142) при целом а = 2 дают обычное универсальное отображение без
памяти. Используя свойства
S2(z) = 0, Г(2) = 1,
уравнения (18.142), (18.141) и (18.140) дают
xn+i = хп + Трп+Ь (n ^ 0),
Pn+i = Рп - KTG[xn).
Эти уравнения определяют универсальное отображение.
Пример 2. Если G[x] = -х, то отображение (18.140)-(18.142) может
быть представлено в виде
хп+1 = '^—У/рк+1Уа(п-к + 1). (18.147)

18.7. Обобщение универсального отображения для а > 2
461
п-1
Рп+1 = Рп + К^Р- YVk+iVa{n - к), (18.148)
Уравнения (18.147) и (18.148) определяют систему Аносова с памятью.
Пример 3. Для G[x] = sin(x) уравнения (18.124) и (18.125) дают
а — 1 п
^+i = StE^i^-H1) (1<а<2), (18.149)
Pn+i =Рп-КТ sin(xn). (18.150)
Эти уравнения определяют стандартное отображение с памятью, которое
является обобщением отображения Чирикова-Тейлора. Отметим, что это
отображение может быть определено уравнениями
Г(а) Г(а)
Zn+i = ^n + гр-г-гРп+i + -77—г > PJk+i5a(n - k) (n ^ 1), (18.152)
Pn+i =pn-KT sin(xn). (18.153)
Уравнения (18.152) и (18.153) являются инвариантными относительно
замены хп —> xn -I- 27Г771 для всех n ^ 0 и m G Z.
18.7. Обобщение универсального отображения для a > 2
В данном разделе дробно-дифференциальное уравнение (18.123)
рассматривается для порядка a > 2, и получаются дискретные отображения,
соответствующие этому уравнению. Предлагаемые отображения
являются обобщениями универсального отображения на случай степенной
памяти, характеризуемой параметром a > 2, то есть универсальные
отображения с памятью (18.131), (18.132) обобщаются до значений параметров
1<а^2наа>2.
Рассмотрим дробно-дифференциальное уравнение
оо
0DQx + KG[x] ^2 6(JL - nj = 0 (m-Ka^m), (18.154)
n=0

462
Глава 18
где oDf — производная Римана-Лиувилля порядка а, т — 1 < а < т,
определяемая [101,307,411] формулой
t
о
Здесь использовали обозначение D™ = dm/dtrn для производной целого
порядка m и 07tm_a — для интегрирования дробного порядка a [101,307,
411].
Теорема. Дробно-дифференциальное уравнение (18.154) для
системы, возбуждаемой периодическими толчками, эквивалентно дискретному
отображению
+J^yPn+i VT'm-2(n - к)), (18.155)
т-8-2
(18.156)
Pn+i1 = Рп _1 - ^G[xn] (m - К a < m), (18.157)
где функции V™}l(z) определены формулой
1
Vr'(*) = Jyl(z-y)a-mdy, Z = l,...,m-2 (18.158)
о
MKKm-l<Q^muI,meN.
Доказательство. Рассмотрим уравнение (18.123) при rn - 1 < a ^ m.
Используя вспомогательную переменную £ = £(£), такую что
= х($) (ш - К a < т), (18.159)
получаем
QD?x = 0D? %D?-a£ = Dtm 0/fm_a сГ #Г a£ = D?H (0 < m - a < 1).

18.7. Обобщение универсального отображения для а > 2
463
Уравнение (18.123) может быть представлено в виде
оо
D?S + KG[ZD?-atlY,S(lt-n)=0 (т-Ка<т). (18.160)
71=0
Определим также га вспомогательных переменных rjs формулой
r)°(t)=Dtm (s = 0,...,m-l).
Тогда гамильтонова форма уравнения (18.160) имеет вид
АУ=Ч*+1 (s = 0,...,771-2),
ОО
п=0
Используя то, что уравнения (18.110) и (18.111) эквивалентны дискретному
отображению (18.104)-(18.10б), получаем
т-з-2
<+'=(m-i-l)l,g+llrro"'"1+ S Ji<+'Tl («=0,...,m-2),
=4™-' - KTG[CD?-ar?\-
Воспользуемся уравнением (18.159) вида
xn=^DZ~4, Рп = < (« = l,...,m-l).
В результате получим
+i^j;PSr,1Vr'"-J(»-4). (18.161)
(18.162)
Pn+l^Pn"1-^^^] (m-l<Q<m), (18.163)
что и требовалось доказать. □

464
Глава 18
Уравнения (18.161)—(18.163) определяют обобщение универсального
отображения с памятью на случай а > 2. Для G[xn] = хп
уравнения (18.161)—(18.163) определяют систему Аносова с памятью для а > 2.
При G[xn] = sinxn эти уравнения задают стандартное отображение с
памятью при а > 2.
18.8. Производные Римана-Лиувилля и отображения
с памятью
В предыдущих разделах были рассмотрены нелинейные
дифференциальные уравнения с производными Римана-Лиувилля и Капуто. При
этом начальные задачи (задачи Коши) для производных
Римана-Лиувилля не обсуждались. Как было показано в работах [526,530],
универсальные отображения с памятью могут быть получены, используя
эквивалентность дробно-дифференциальных уравнений и интегральных уравнений
Вольтерра. Это позволяет учесть произвольные начальные условия дробно-
дифференциальных уравнений. В данном разделе задача Коши для
дифференциального уравнения с производными Римана-Лиувилля будет
сведена к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода
и будут получены формулы соответствующего дискретного отображения
с памятью.
Рассмотрим динамическую систему, описываемую
дробно-дифференциальным уравнением
oDfx{t) = F[t,x{t)}, (18.164)
где F[t, x(t)] — вещественнозначная функция, 0^п-1<а^пи^>0,
a oDf — левосторонняя производная Римана-Лиувилля порядка а > 0,
определяемая формулой (18.42). Функция F[t,x{i)} может
интерпретироваться как сила, действующая на систему.
Для уравнения (18.164) будем рассматривать начальные условия в виде
(0D?-kx){0+) = cfcl к = 1,..., п. (18.165)
Обозначение (oDf~kx)(0+) означает, что берется правосторонний предел,
где t е (0,0 + е), е > 0, следующего вида:
(0D?-kx){0+) = Дт+ оDf~kx{t) (к = 1,..., п - 1),
(0ЛГх)(0+) = Дт о/Г^).
Приведем теорему об уравнениях движения, содержащих производную
Римана-Лиувилля.

18.8. Производные Римана-Лиувилля и отображения с памятью 465
Теорема. Пусть W — открытая область в Ж и пусть F[t,x], где
t G (0, tf] и х Е W, является вещественнозначной функцией, такой что
F\t,x] € L(0,tf) для любого х € W. Пусть x(t) является функцией,
измеримой по Лебегу на интервале (0, tf). Задача Коти для уравнения (18.164)
и начальных условий (18.165) может быть сведена к нелинейному
интегральному уравнению Вольтерра второго рода
У" Ck +a-k , 1 } F[T,x(T)]dT П о1**Ч
*(') = L Г(а-* + !)' +ГЙУ (*-т)1-« ' (18'166)
где £ > 0.
Доказательство. Эта теорема была доказана в работах [302,303]
(см. также теорему 3.1 в разделе 3.2.1 книги [307]). □
Замечание 1. Для а = п = 2 уравнение (18.166) дает (18.13).
Замечание 2. Задача Коши (18.164), (18.165) и уравнение
Вольтерра (18.166) эквивалентны в том смысле, что если x(t) е L(0,tf) удовлетворяет
почти везде уравнению (18.164) и условиям (18.165), то x(t) удовлетворяет почти
везде и интегральному уравнению (18.166).
Рассмотрим динамическую систему (18.164), в которой сила F[t, x(t)]
является периодической последовательностью толчков с периодом Т и
амплитудой К, описываемых дельта-функцией. Будем полагать, что
оо
F[t,x(t)} = -KG[x}^s(±;-k) (1<q<2), (18.167)
где t > 0, a oDf — производная Римана-Лиувилля, определенная
уравнением (18.42). Уравнение (18.164) с силовой функцией (18.167) может
рассматриваться как обобщение уравнения (18.1) на случай производной
дробного порядка.
Теорема. Задача Коши для дробно-дифференциального уравнения ви-
оо
oD?x(t) + KG[x(t)]^2s(±;-k)=0 (1<а<2) (18.168)
с начальными условиями
(0Df~1x)(0+) = ci, (oD?-2x)(0+) = (0ltax){0+) = c2 (18.169)
да

466
Глава 18
эквивалентна уравнению
Г(а) Г(а - 1) Г(а)
(18.170)
где пТ < * < (п + 1)Г.
Доказательство. Используя функцию (18.167), уравнение (18.168)
может быть представлено в виде (18.164) с производными
Римана-Лиувилля порядка а, где 1 < а ^ 2. В результате уравнение (18.168) с начальными
условиями (18.165) вида (18.169) эквивалентно нелинейному
интегральному уравнению Вольтерра
(18.171)
где 0 < пТ < t < (п + 1)Т. В этом случае интегрирование в (18.171) по
переменной г дает (18.170). □
Определим импульс p(t) как производную Римана-Лиувилля порядка
а — 1 в виде
t
*t)=„Z>rMt) = ^|/^^ (К°<2), (18-172)
О
где х(т) определяется для г Е (0,£). Используя определение производной
Римана-Лиувилля (18.42) в виде
0D?x(t) = D\ 0I?~ax{t) (К а < 2), (18.173)
получаем соотношение
0D?x{t) = D\p{t) (К а < 2). (18.174)
В результате уравнение (18.168) может быть представлено как дробно-
дифференциальное уравнение в фазовом пространстве координаты x(t)
и импульса p(t).
Теорема. Задача Коши для дробно-дифференциальных уравнений
оВ?-гх{*) = Р(*) (К <* < 2), (18.175)

18.8. Производные Римана-Лиувилля и отображения с памятью 467
оо
D}p(t) = -KG[x(t)} £ <j(± - fc) (18.176)
к=1
с начальными условиями
(oCr^)(0+) = си (oD?-2x)(0+) = (o/t2-ax)(0+) = с2 (18.177)
эквивалентна уравнениям дискретного отображения
п
Хп+1 = fn(T,a,Cl,c2) - У" °Ы (n + 1 - к)а~\ (18.178)
pn+i = ci - XT E G[xfe], (18.179)
fc=i
где
/„(Г.а.ссз) = + I)0"1 + £^гЛп+ l)-2.
1 (a) 1 (a — 1)
Доказательство. Отметим, что уравнение (18.170) для #(т) может
использоваться только для г е (пТ, £), где пТ < £ < (п + 1)Т. Функция
я(т) в дробной производной oDa вида (18.172) должна быть определена
для всех г е (0, t). Нельзя взять производную oDf на интервале (0,£) от
функций (г — кТ)а~1, которые определены только для г G (kT,t). Для
обобщения уравнения (18.170) на случай г е (0, £) можно использовать
функцию Хевисайда. Для того чтобы определить уравнение (18.170) на
интервале (0, £), необходимо изменить сумму в уравнении (18.170) с помощью
функции Хевисайда. Тогда уравнение (18.170) имеет вид
Г(а) Г(а -1) Г(а) ^
(18.180)
где г G (0,£). Используя соотношения
01>?((т - а)""1 0(т - а)) = aD?(r - а)0"1 = Г (а), (18.181)
оХ^т0-1 = Г(а), о£>?г°-2 = 0, (К а < 2),

468
Глава 18
уравнения (18.172) и (18.180) дадут
п
p(t) = сг-КТ^ G[x{kT)\, (18.182)
где пТ < t < (п + 1)Т. В результате решения слева от (п + 1)-го толчка
#n+i и pn+i имеют вид уравнений (18.178) и (18.179). □
Замечание 1. Дробно-дифференциальное уравнение (18.168) для
системы, возбуждаемой периодическими толчками, в форме гамильтоновых
уравнений (18.175) и (18.176) эквивалентно уравнениям дискретного отображения
хп+1 = J2 - fc + 1) + ^fa~"(n + l)a"2, (18.183)
1(a) ^ Г(а- 1)
Pn+i = pn - KTG[xn] (Ka^2), (18.184)
где pi = ci, а функция К* (г) определяется формулой
Va(z) = г*'1 - (z - I)*-1 (z>l).
Отметим, что эти уравнения являются более общими, чем уравнения (18.124)
и (18.125).
замечание 2. Отметим, что отображения (18.183) и (18.184) при
ci = pi, с2 = 0
имеют вид (18.124) и (18.125), где pi = с\. Уравнения (18.124) и (18.125) были
получены, используя вспомогательную переменную £(£), такую что
? D?-e€(t) = x{t),
где о D?~a — производная Капуто (18.59). При этом общий вид начальных
условий (18.177) не использовался. В общем случае дробно-дифференциальные
уравнения (18.175) и (18.176) эквивалентны уравнениям (18.183) и (18.184) дискретного
отображения, в которых начальные условия (18.177) были учтены. Второе
слагаемое в правой части уравнения (18.183) отсутствует в уравнении (18.124). Отметим,
что, используя —1 < a — 2 < 0, имеем
lim (n+ 1)а~2 = 0.
п—>оо
Поэтому случай больших п эквивалентен условию С2 = 0.
замечание 3. Для a = п = 2 уравнения (18.178) и (18.179) дают обычное
универсальное отображение без памяти, задаваемое уравнениями (18.9) и (18.10).

18.8. Производные Римана-Лиувилля и отображения с памятью 469
В теореме дробно-дифференциальное уравнение (18.168)
представляется в виде гамильтоновых уравнений (18.175) и (18.176), в которых
импульс определяется формулой (18.172). В уравнении (18.172),
определяющем связь координаты и импульса, используется производная дробного
порядка. Существует другая возможность определения импульса. Можно
использовать обычное уравнение, связывающее координату и импульс,
p(t) = D]x(t). (18.185)
Укажем дискретное отображение, которое соответствует этому
определению импульса.
Теорема. Задача Коши для дробно-дифференциальных уравнений
D\x{t) = p(t), (18.186)
оо
0D?x{t) = -KG[x(t)] Yl5{f-k) (l < a < 2) (18.187)
fc=i
с начальными условиями
(oAQ~^)(0+) =ci, (oAQ"2*)(0+) = (o/t2~Q*)(0+) =c2 (18.188)
эквивалентна следующим уравнениям дискретного отображения:
п
xn+1=fn(T,a,c1,c2)-^J2G[xk}(Ti + l-k)Q-\ (18.189)
СИ 1
Рп+1 = /п(Г, а - 1, d, с2) - КТа~ V G[xk}(n + l-k)°-2, (18.190)
Г(а - 1) £f
где
fn(T,a,Cl,c2) = ^^(п + I)-1 + ^f^-(n + l)a-2.
1 (а) 1 (а — 1)
Доказательство. Для получения уравнения для импульса (18.185)
воспользуемся уравнением (18.170). Если пТ < t < (п + 1)Г, то
дифференцирование выражения (18.170) по t дает
(18.191)

470
Глава 18
где используется соотношение Г(а) = (а-1)Г(а-1), 1 < а ^ 2. Используя
уравнения (18.170) и (18.191), можно получить решение слева от (п + 1)-го
толчка (18.17) и (18.18). Для 1 < а < 2 можно использовать
(а "2) _ 1
Г(а-1) Г(а-2)'
и уравнение (18.191) даст (18.190). В результате получим уравнения (18.189)
и (18.190). □
Уравнения (18.189) и (18.190) описывают обобщение уравнений (18.9)
и (18.10).
Замечание 1. Если а = п = 2ис2 = хо, с\ = ро, то уравнение (18.189)
дает (18.9) и (18.10). Для доказательства этого утверждения нужно использовать
(18.191) вместо уравнения (18.190).
Замечание 2. Используя определение производной Римана-Лиувилля (18.42)
в виде (18.173), получаем
D2t oIt~Qx(t) ф oI?~QD?x(t).
В результате гамильтонова форма уравнений движения с p(t) = D\x(t) будет более
сложной, чем (18.175) и (18.176) при p(t) = oD?~1x(t). По тем же причинам
значения с\ и а не связаны со значениями р(0) и х(0). В случае p(t) = oD?~lx(t)
имеем ci = р(0).
Замечание 3. Для G[xn] = sinxn получаем стандартное отображение с
памятью, характеризуемой параметром 1 < а < 2. Результаты компьютерного
моделирования стандартного отображения с памятью описываются в работе [219].
Свойства стандартного отображения с памятью исследовались в зависимости от
параметра а, который является порядком производной в уравнениях движения системы.
Дискретные системы, описываемые этим отображением, демонстрируют [219]
новые типы аттракторов, таких как медленно сходящиеся и медленно расходящиеся
траектории, баллистические траектории и структуры фрактального типа. По
крайней мере, один тип липких (sticky) аттракторов фрактального типа можно
обнаружить для стандартных отображений со степенной памятью.
18.9. Производная Капуто и универсальное отображение
с памятью
В некоторых предыдущих разделах были рассмотрены нелинейные
дифференциальные уравнения с производными Капуто. При этом задачи
Коши для дифференциальных уравнений с производными Капуто не
обсуждались. Как было показано в работах [526,527,530], универсальные

18.9. Производная Капуто и универсальное отображение
471
отображения с памятью могут быть получены, используя эквивалентность
дробно-дифференциальных уравнений и интегральных уравнений Вольтер-
ра. Эта эквивалентность позволяет учесть произвольные начальные
условия дробно-дифференциальных уравнений, описывающих движение
системы. В данном разделе задача Коши для дифференциального уравнения
с производными Капуто будет сведена к нелинейному интегральному
уравнению Вольтерра второго рода, а затем из этих уравнений будут получены
формулы дискретного отображения с памятью.
Рассмотрим динамические системы с памятью, которые движутся под
действием силы F[t,x(t)]. Будем полагать, что уравнения движения этой
системы линейны по производной Капуто порядка а и имеют вид
$Dax(t) = F[t,x(t)], (18.192)
где 0 ^ га — 1 < а ^ га и £ £ [0,£/]. Начальные условия для уравнения
с производными Капуто %Da имеют тот же вид, что и для
дифференциальных уравнений с целой производной порядка га:
(D*x)(0) = cfc, к = 0,..., га - 1. (18.193)
Приведем основную теорему об уравнениях движения, включающих
производную Капуто.
Теорема. Пусть функция F[t,x] для всех х € W С R принадлежит
к функциональному пространству C7(0,t/) с 0 ^ 7 < 1, 7 < а, где
С7(0, tf) — пространство функций f[t], определенных на интервале (0, tf],
таких что t1f[t] € С(0,£/). Тогда задача Коши для уравнения (18.192)
с начальными условиями (18.193) эквивалентна нелинейному
интегральному уравнению Вольтерра
*W = Е S** + г,4 / drF[t,x{r)] (t - т)»-\ (18.194)
to k' Г(а) I
где x(t) € C[0,*/].
Доказательство. Данная теорема была доказана в работах [304,305]
(см. также теорему 3.24 в книге [307]). □
Рассмотрим динамическую систему (18.192) с 1 < а < 2, в которой
сила x(t)] является периодической последовательностью толчков,
следующих с периодом Т и амплитудой К. Будем полагать следующий вид

472
глава 18
функции
оо
F[t,x(t)) = -KG[x(t)]^6(±-k\. (18.195)
k=i
Подставляя (18.195) в (18.192), получаем дробно-дифференциальное
уравнение
оо
№x(t) + KG[x(t)]^6(±-k)=0 (Ка<2), (18.196)
k=i
где — производная Капуто. Начальные условия для уравнения (18.196)
будут такими же, как условия для дифференциальных уравнений второго
порядка
х(0) = х0, (Dxx)(0) = ро- (18.197)
Определим импульс формулой
p(t) = Dlx(t).
Используя определение производной Капуто в виде
%D? = 0I2t-QD2t = {0I2t-aD\)Dl = ZDf^Dl
получаем
$Dfx(t) = ^Df-'pit).
Теорема. Задача Коши для дробно-дифференциальных уравнений
D\x{t)=p(t\ (18.198)
ОО
^Df-1p(t) = -KG[x(t))^25^-k) (1<а<2) (18.199)
к=1
с начальными условиями
х(0)=х0, р(0)=р0
эквивалентна уравнениям дискретного отображения
п
хп+1 = хо +р0(п + 1)Т - ^ V (n + 1 - fc)a_1G[a*b (18.200)

18.9. Производная Капуто и универсальное отображение
473
Рп+1 =Ро~ n ]Г (n + 1 - k)Q-2G[xk\. (18.201)
Доказательство. Воспользуемся эквивалентностью задачи
Коши (18.192), (18.193) и нелинейного интегрального уравнения
Вольтерра (18.194) для функции (18.195). Тогда задача Коши (18.196) и (18.197)
является эквивалентной следующему интегральному уравнению Вольтерра
второго рода
оо 1
x(t)=x0+p0t-^YlJ dr{t-rr-lG[x{T)]5(^-k) (18.202)
k=l q
в пространстве непрерывно дифференцируемых функций x(t) € Сх[0, tf].
Если пТ <t < (п + 1)Г, то уравнение (18.202) дает
п
x{t) = х0 + Pot - ]Г (t - кТ)"-1 G[x(kT)}. (18.203)
Используя (18.198), дифференцирование выражения (18.203) дает
п
Pi!) =Ро- Г(КТ лл Е (* - bT)a-2G[x(kT)] (nT<t<(n + 1)Т),
(18.204)
где использовали Г(а) = (а — 1)Г(а — 1). Решения слева от (п + 1)-го
толчка (18.17) и (18.18) могут быть представлены уравнениями (18.200)
и (18.201), где использовали условия непрерывности координат x(tn +0) =
= x{tn - 0). □
Замечание. Если а = m = 2, то уравнения (18.200) и (18.201) дают
дискретное отображение вида (18.9) и (18.10), которые эквивалентны
уравнениям (18.3) универсального отображения без памяти. Обычное универсальное
отображение является частным случаем предлагаемого универсального отображения с
памятью.
Рассмотрим обобщение дробно-дифференциального уравнения (18.196)
на случай а > 2. Тогда уравнения движения системы имеют вид
оо
%D?x(t) + кG[x(t)] Y,S{f~k) = ° (m - К а < m), (18.205)
k=l

474
глава 18
где $Df — производная Капуто порядка а. Начальные условия для
уравнения (18.205) будут такими же, как для дифференциального уравнения
целого порядка га. Определим переменные x^3\t) = Dfx(t), где s =
= 0,1,..., га — 1. Тогда уравнение (18.205) может быть записано в виде
системы
D]x{s\t) = x{s+1)(t) (s = 0,1,..., га - 2), (18.206)
оо
ftf^+V™-1^) = -KG[x(t)] ]Г 5(± - fc) (га - к a < га).
k=i
(18.207)
Приведем основную теорему о задаче Коши для данной системы.
Теорема. Задача Коши для дробно-дифференциальных уравнений
(18.206) и (18.207) с начальными условиями
{D3tx){0) = х{08) {s = 0,1,..., га - 1) (18.208)
эквивалентна уравнениям для дискретного отображения вида
т—з—1 (k+s) _ п
*Hi= е V(n+i)fcrfc-^i5:(n+l-fc)Q"1"eG[xfc1'
k=0 ^ ' k=l
(18.209)
где s = 0,1,... , га — 1.
Доказательство. Будем использовать эквивалентность задачи
Коши (18.192), (18.193) и нелинейного интегрального уравнения
Вольтерра (18.194) для функции (18.195). Тогда задача Коши для
уравнения (18.205) и начальных условий (18.208) эквивалентна интегральному
уравнению Вольтерра
m—1 (к) оо »
*w=е - г|) е у*■ е - *(г - кУ (i8-2lo)
/с—0 к—1 о
Если пТ <t < (п + 1)Г, то уравнение (18.210) дает
тп— 1 (fe) m
*W = Е Tf** - Ж Е (* - fcT)a_1 G[x{kT)\. (18.211)
fc=0 * ^ ' k=l

18.10. Отображения для ротатора с затуханием и памятью 475
Производная порядка s выражения (18.211) принимает вид
771— 1 —3 (fc+s) П
x(a)(t)= £ ^j-^-j^^^^-fcrr-^GHfcT)], (18.212)
к=0 ' ^ ' к=1
где 5 = 0,1,..., га — 1, пТ <t <(п + 1)Т, га — 1<а<гаи использовали
T(z) = (z- l)T(z -1). Решение слева от (п + 1)-го толчка (18.17) и (18.18)
может быть представлено уравнениями (18.209), используя условия
непрерывности xs(tn 4- 0) = xs(tn — 0) для s = 0,1,..., га — 2. □
замечание 1. Если а = m = 2, то уравнения (18.209) дают универсальное
отображение вида (18.9) и (18.10), которое эквивалентно уравнениям (18.3).
Замечание 2. в случае 1<а<2 (т = 2) уравнения (18.209)
приводят к дискретному отображению с памятью, задаваемому формулами (18.200)
и (18.201) срп =х(п\
18.10. Отображения для ротатора с затуханием и памятью
В данном разделе предлагается обобщение дифференциальных
уравнений ротатора с затуханием и периодическими толчками. Предлагаемые
уравнения содержат производные нецелого порядка. Используя дробно-
дифференциальные уравнения, выводятся уравнения для дискретного
отображения с памятью.
Рассмотрим ротатор с затуханием, возбуждаемый периодическими
толчками и описываемый дифференциальными уравнениями
оо
D\x + qD\x = KG[x] ]Г s(t - пг). (18.213)
n=0
Известно, что это уравнение приводит [133] к двумерному дискретному
отображению
1 — e~qT ( \
хп+1 = хп + - [уп + KG[xn]),
yn+i = e~qT (уп + KG[xn]y
Рассмотрим обобщение уравнения (18.213) в виде
оо
0Dfx - qoD^x = KG[x] S(t - nT), (18.214)
71=0

476
глава 18
где
g<ER, 1<а^2, /3 = а - 1
и o^f — производная Римана-Лиувилля [101,307,411], определяемая
формулой (18.42). Отметим, что в левой части уравнения (18.214)
используется минус, а параметр q может принимать положительные и отрицательные
значения.
Теорема. Дробно-дифференциальное уравнение (18.214)
эквивалентно следующему двумерному дискретному отображению:
п
Xn+i = w 1 ЛЛ J2pk+iWQ{q,T,n + 1 - fc), (18.215)
Г(а — 1)
к=0
Pn+i = eqT (рп + KG[xn]), (18.216)
где функция Wa определяется формулой
1
WQ(q,T,m + l) = Ta-1 j e-qTv{m + y)«-2dy. (18.217)
Доказательство. Для доказательства этой теоремы определим
вспомогательную переменную £(£), такую что
£D*-<4 - *(*). (18-218)
где QDf~a — производная Капуто (18.59). Используя выражение (18.218)
и определение производной Римана-Лиувилля, получаем
0Щх = D\ 01*~ах = D\ 0lta %D2t-4
0D^x = Dt 0It х = Dt oh x = Dt oh о Dt £•
Соотношение
0I?~a $D?-aZ = ut) - W) (0 < 2 - a < 1)
дает уравнения
0D?x = D2(№ - U0)) = D*l, (18.219)

18.10. Отображения для ротатора с затуханием и памятью 477
0Dfx = Dim) - т) = D\S. (18.220)
Подставляя (18.219), (18.220) и (18.218) в уравнение (18.214), получаем
оо
L>2£ - qD]i = KG[CD2t-"Z] £ 5(t -пТ) (К q < 2). (18.221)
n=0
Уравнение (18.221) может быть представлено в гамильтоновой форме
ОО
D}ri-qTi = KG[$D$-aZ]'225{t-nT) (К а < 2, q £ R). (18.222)
71=0
Используя то, что дробно-дифференциальное уравнение (18.85)
эквивалентно дискретному отображению (18.86) и (18.87), получаем уравнения
отображения в виде
— Sn Н q 1)п+\,
п-1
т?п+1 = е«тт?п + KeqTG\ 1 У %+1 We(g, Т,п — к)],
где функция определена формулой (18.217). Эти дискретные
уравнения могут рассматриваться как обобщение отображений для переменных
(£n, Vn)- Уравнение (18.214) может быть представлено в виде
оо
oD?-xx = р, D\p - q0D?x = KG[x] ]Г S(t - пТ).
71=0
Для (хп,рп) уравнения (18.218), (18.219) и (18.220) дают
хп — о Рп = ^п-
В результате получаем
71
x„+i = , 1 1Ч J2Pk+iWa(q,T,n + l-k), (18.223)
pn+1 = е*т [pn + G[xn]], (18.224)
где Wa определяется в (18.217). □

478
Глава 18
Дискретные уравнения (18.223) и (18.224) определяют
отображение (18.213) ротатора с затуханием и памятью, возбуждаемого
периодическими толчками.
18.11. Диссипативное стандартное отображение с памятью
Обобщение диссипативного стандартного отображения [447,568]
может быть определено [530,532] уравнениями
п
хп+1 = -^-У2рк+1Уа(п-к + 1) (1<а< 2), (18.225)
Pn+i = -Ьрп ~ Z sin(xn), (18.226)
где параметры определяются условиями (18.25). Для b = —1 и Z = К
уравнения (18.225) и (18.226) дают стандартное отображение с памятью,
описываемое уравнениями
а—1 п
Xn+i = ^^JZPk+iVa(n — fc + 1) (К а < 2),
Pn+i =рп-КТ sin(xn)
при Т = 1. Отметим, что это стандартное диссипативное отображение с
памятью не было выведено из дифференциальных уравнений с производными
дробного порядка. Оно получалось с помощью замены рп —> — Ьрп в
стандартном отображении с памятью.
Для b —> 0 уравнения (18.225) и (18.226) с Z = —К сводятся к
одномерному отображению
п
х„+1 = #тЕ VQ(n-k)sm(xn) (KasJ 2). (18.227)
T^to
Это дискретное отображение может рассматриваться как обобщение
одномерного синус-отображения (18.26). Синус-отображение (18.227) для
нецелых а характеризуется долговременной степенной памятью, наличие
которой приводит к зависимости эволюции данного состояния от всех
предыдущих состояния, учитываемых с некоторым весом, задаваемым
функцией Va(z).

18.11. диссипативное стандартное отображение с памятью 479
Диссипативное стандартное отображение с памятью может быть
выведено из дробно-дифференциальных уравнений [530, 532]. Рассмотрим
дробно-дифференциальное уравнение для ротатора с затуханием и
памятью
оо
0Dax - q0Dfx = tfsin(x) ]Г S(t - пГ), (18.228)
n=0
где 0Da и oDf ~ производные дробного порядка, a q € R. Это уравнение
будет рассматриваться для случая
1 < а ^ 2, (3 = а-1
и производных oDf и oD}, определенных по Риману-Лиувиллю [101,307,
411]. Дробно-дифференциальное уравнение для ротатора (18.228)
эквивалентно дискретному отображению
п
хп+1 = г, 1 1Ч J2pk+iWQ(q,T,n + 1 - fc), (18.229)
pn+i = e*T [pn + #sin(xn)], (18.230)
где функция Wa определяется формулой (18.217). Используя это
утверждение, можно получить обобщение диссипативного стандартного
отображения. Если использовать условия
Хп=хп, Yn=pn, е = К, Г=1, G[x]=sin(x), (18.231)
то уравнения (18.229) и (18.230) дадут отображение
п
= F7J-TT Е IWiWafo. Г, n + 1 - fc), (18.232)
Гп+1 = e* \УП + esin(Xn)]. (18.233)
Эти уравнения являются обобщением диссипативного стандартного
отображения (18.21) и (18.22) при Q = 0. Отметим, что это диссипативное
стандартное отображение с памятью [530,532] было получено из дробно-
дифференциального уравнения (18.228) и условий (18.231). Если
использовать переменные
Рп = pYn, Ъ = -eq, Z = -реея,

480
Глава 18
то получим дискретные уравнения
-1 п
Хп+г = /* J2Pk+1Wa(q,T,n + 1 - fc), (18.234)
Pn+i = -ЬРп -Zsm{Xn). (18.235)
Эти уравнения могут рассматриваться как обобщение уравнения (18.23)
и (18.24) с П = 0. При а — 2 диссипативное стандартное отображение
с памятью сводится к отображению Заславского [568] без памяти,
которое описывается уравнениями (18.23) и (18.24). Для exp{q} —> 0
уравнения (18.232) и (18.233) сводятся к одномерному отображению,
которое может рассматриваться как некоторое обобщение одномерного синус-
отображения (18.26).
18.12. Отображение Хенона с памятью
Для получения обобщения отображения Хенона можно
использовать [530,532] обобщенное диссипативное отображение с памятью и тот
факт, что отображение Хенона без памяти (18.32) может быть получено из
обобщенного диссипативного отображения.
Рассмотрим обобщение отображений (18.33) и (18.34) в виде
Xn+i = ^"Т У>*+1№ - * + 1) (К а < 2), (18.236)
рп+1 = -Ьрп + KTG[xn]< (18.237)
где \Ь\ ^ 1. Это обобщенное диссипативное отображение с памятью [530,
532]. Если а = 2, то уравнения (18.236) и (18.237) дадут (18.33) и (18.34).
Если G[x] = sin(x), Т = 1 и К = -Z, то уравнения (18.236) и (18.237)
дают диссипативное стандартное отображение с памятью (18.225) и (18.226).
Для получения обобщения отображения Хенона будем использовать
диссипативное отображение с памятью (18.236) и (18.237), в котором К =
= Т = 1, а функция G[x] определяется формулой (18.35). В результате
получаем уравнения
п
Xn+i = =г\ J2Pk+iVa(n - к + 1), (18.238)
pn+i = -Ьрп + 1 - (1 - Ъ)хп - ах2п, (18.239)

18.13. Заключение
481
где \b\ < 1, 1 < а < 2, а функция Va(z) определена выражением (18.133).
Эти уравнения могут рассматриваться как первое обобщение отображения
Хенона (18.30), (18.31).
Отображение Хенона с памятью (18.238) и (18.239) было получено из
уравнений (18.236) и (18.237), в которых диссипация была введена руками
в дискретные уравнения. В этом случае дробно-дифференциальные
уравнения с диссипацией не использовались. Уравнения (18.238) и (18.239)
не получались непосредственно из дробно-дифференциальных уравнений
для системы с затуханием и периодическими толчками. Можно предложить
второй способ получения отображения Хенона с памятью. Это
отображение может быть получено из дробно-дифференциального уравнения для
ротатора с затуханием и периодическими толчками (18.228).
Рассмотрим дробно-дифференциальное уравнение (18.228), которое
является обобщением уравнения (18.213) путем изменения порядка
производных с целого на нецелый. Для получения обобщения отображения
Хенона будем использовать, уравнение (18.228) с функцией (18.37). В
результате получим уравнения
п
= Г( -nE^+i^afeT,n+l-fc), (18.240)
Pn+i = eq [pn + Y^~b (l + t1 ~ b^Xn + axn)]' (18.241)
где функция Wa определяется формулой (18.217), a q = ln(—b). Эти
уравнения определяют второе обобщение отображения Хенона.
Уравнения (18.240) и (18.241) описывают дискретное отображение со степенной
памятью. Оно было получено непосредственно из нелинейных
дифференциальных уравнений, содержащих производные нецелого порядка.
18.13. Заключение
Во многих областях механики и физики задачи могут быть сведены
к исследованию дискретных отображений (см., например, [1,2,49,85,442]).
Широкий класс этих отображений может быть получен из
дифференциальных уравнений, описывающих движение систем. В специальных
случаях дискретные отображения использовались для изучения свойств
регулярных и странных аттракторов этих дифференциальных уравнений.
В широком диапазоне параметров эти отображения демонстрируют
хаотическое поведение. В данной главе предлагались отображения с памя-

482
Глава 18
тью, являющиеся обобщением хорошо известных дискретных
отображений. Эти отображения описывают динамику сложных физических систем
с памятью. Отметим, что широкий класс отображений может быть
получен [521,526,527,530] из дифференциальных уравнений с производными
дробных порядков, описывающих системы, возмущаемые периодическими
толчками. Предлагаемые дискретные отображения с памятью могут
проявлять хаотическое поведение и демонстрировать наличие новых типов
регулярных и странных аттракторов. Результаты компьютерного моделирования
стандартного отображения с памятью описываются в статье [219]. Как было
показано в работе [219], стандартные отображения с памятью
демонстрируют [219] новые типы аттракторов, таких как медленно сходящиеся и
медленно расходящиеся траектории, баллистические траектории и структуры
фрактального типа. По крайней мере, один тип липких (sticky)
аттракторов фрактального типа можно обнаружить для стандартных отображений
со степенной памятью.
Наличие памяти у дискретных отображений приводит к тому, что
эволюция данного состояния зависит от всех предыдущих состояний. При этом
влияние этих состояний определяется степенными весовыми функциями
Va(z), Sa(z) и Wa(a,Ь,с). Отметим, что отображения с памятью
являются эквивалентными соответствующим дробно-дифференциальным
уравнениям. При этом никакие аппроксимации или приближения для дробных
производных, входящих в эти уравнения, не используются. Этот факт
позволяет применять эти отображения для изучения эволюции системы,
описываемой дифференциальными уравнениями с дробными производными.
Предлагаемые дискретные отображения со степенной памятью позволяют
также изучать новые типы регулярных и странных аттракторов
динамических систем с памятью.

Часть IV
Квантовая динамика и операции
дробного порядка

Глава 19
Дробная динамика гамильтоновых
квантовых систем
19.1. Введение
В квантовой механике наблюдаемые задаются самосопряженными
операторами [79,112]. Динамическое описание квантовых систем задается
супероператорами [512], которые являются отображениями на множестве
операторов. Динамика квантовой наблюдаемой описывается уравнением Гей-
зенберга. Для гамильтоновых систем инфинитезимальный супероператор
из уравнения Гейзенберга определяется некоторой формой
дифференцирования [112,512] на операторной алгебре. Инфинитезимальный
генератор {г/Ъ)[Н, . ], используемый в уравнении Гейзенберга, является
дифференцированием наблюдаемых. Дифференцированием называется
линейное отображение D, которое удовлетворяет правилу Лейбница D(AB) =
= (DA)B + A(DB) для любых операторов А и В. Производная
дробного порядка может быть определена как дробная степень производной
первого порядка (см. раздел 5.7 в [101], раздел 1.5 в [63], и [352]). Мы
будем рассматривать дробное дифференцирование на множестве
наблюдаемых в виде дробной степени дифференцирования {г/Ъ)[Н, . ]. Это
позволяет обобщить понятие гамильтоновой квантовой системы. В этом
случае операторное уравнение для квантовой наблюдаемой будет обобщением
уравнения Гейзенберга [513,530], называемым дробно-дифференциальным.
Предлагаемое обобщенное уравнение Гейзенберга точно решается для
свободной частицы и гармонического осциллятора. Дробные степени
операторов [63,157,167,312,352,566] и супероператоров [113,512,523,530] могут
использоваться как один из методов описания взаимодействия между
системой и окружающей средой. Отметим, что дробные степени оператора,
который определяется скобкой Пуассона, рассматривались в работе [519].
В разделе 2 рассматривается определение дробной степени
производной и обобщение уравнения Гейзенберга. В разделе 3
описываются свойства эволюции системы во времени, описываемой уравнением

486
Глава 19
с дробной степенью оператора. В разделе 4 получается решение дробно-
дифференциального уравнения Гейзенберга для свободной частицы. В
разделе 5 получается решение дробно-дифференциального уравнения
Гейзенберга для линейного гармонического осциллятора. В разделе 6 дается
краткое заключение.
19.2. Дробно-дифференциальное уравнение Гейзенберга
Квантовая динамика описывается супероператорами [512].
Супероператором на операторной алгебре М называется отображение С, которое
сопоставляет каждому оператору А Е М. только один оператор С(А) Е А4.
С супероператорным формализмом можно познакомится, например, в
работах [468,469,471,475,512] и по цитируемым там статьям. Для
гамильтониана Н определим супероператор L^, который определяется уравнением
L~HA= ^{НА- АН).
Квантовая динамика наблюдаемых гамильтоновой системы описывается
операторным дифференциальным уравнением
D\At = -L-HAt. (19.1)
Уравнение (19.1) называется уравнением Гейзенберга для гамильтоновых
систем [79,512]. Эволюция гамильтоновых систем целиком определяется
гамильтонианом Н.
Для получения обобщения уравнения (19.1) рассмотрим понятие
дробной степени супероператора Ljj. Если Ljj является замкнутым линейным
супероператором с везде плотной областью определения D(Ljf), для
которого существует резольвента R(z, Ljf) = {zLj — )-1 на отрицательной
полуоси г, то существует [63,157,566] супероператор
оо
{L-)a = _щш jdzz«-iR{_z,L-H)L-H. (19.2)
О
Супероператор {Ьд)а определен на множестве £>(£#) для 0 < а < 1
и является дробной степенью левого лиева умножения. Используя
супероператор (19.2), можно описать обобщенную динамику квантовых систем
с помощью уравнения
D\At = -(LJj)aAt, (19.3)

19.2. Дробно-дифференциальное уравнение Гейзенберга
487
где t и Н/% — безразмерные переменные. Уравнение (19.3) называется
дробно-дифференциальным уравнением Гейзенберга.
Замечание. В общем случае уравнение (19.3) не может быть представлено
в виде
с некоторым оператором Hnew В силу этого квантовые системы, описываемые
уравнением (19.3), не являются гамильтоновыми. Эти системы будут называться
дробно-гамильтоновыми. Множество гамильтоновых систем является частным
случаем множества дробно-гамильтоновых систем.
Рассмотрим задачу Коши для операторного уравнения (19.1), в
котором начальные условия заданы для момента времени t = 0 в виде А(0) =
= А0. Решение этой задачи Коши может быть представлено в виде At =
= Ф*а), где супероператоры Фь, t ^ 0 образуют однопараметрическое
семейство. Для супероператоров Ф* (t ^ 0) выполняется полугрупповое
свойство
Ф*Ф3 = Ф*+3, (М>0), Ф0 = £/,
где Lj — единичный супероператор (L\A — А). Супероператор Ljj
является производящим супероператором, то есть инфинитезимальным
генератором полугруппы {Ф*,£ ^ 0}. Для консервативных квантовых
гамильтоновых систем супероператор Ф^ может быть представлен в виде
Ф* = LuRuu
где используются супероператоры левого и правого умножения [512]:
LUA = UA1 RWA = AU*
Ti.
Г/ = ехр(±*я), C/f = ехр(-±*я).
Если рассматривать задачу Коши для дробно-дифференциального
уравнения Гейзенберга (19.3) с начальным условием А(0) = Ао, то ее
решение может быть представлено в виде
At(a) = Ф<аЧ,
► 0, обладают полу]
группа {ф|а\г ^ 0} называется дробно-динамической полугруппой [530].
где супероператоры ф[а\ t > 0, обладают полугрупповым свойством. Полу-

488
Глава 19
Супероператор (LH)a является инфинитезимальным генератором
полугруппы {ф[а\ь ^ 0}. Отметим, что супероператоры ф[а^ не могут быть
представлены в виде
а дробно-дифференциальная динамика не может рассматриваться как га-
мильтонова.
(а)
Супероператоры Ф^ t > 0, обладают свойствами
ф\а)Ф^=фЦ1 (t,s>0) фм=1,.
В результате дробно-дифференциальная динамика, описываемая
уравнениями (19.1), является марковской. Уравнения (19.1) описывают процессы без
памяти. Можно рассмотреть дробно-дифференциальное обобщение в виде
$D°At = -L-HAt, (19.4)
где qD? — производная Капуто нецелого порядка [307]. В этом
случае дробно-дифференциальная динамика является немарковской, а
уравнения (19.4) описывают квантовые процессы с памятью.
19.3. Свойства дробно-дифференциальной гамильтоновой
динамики
Решение задачи Коши для дробно-дифференциального уравнения
Гейзенберга (19.3) определяется дробно-динамической полугруппой
{ф[а\г^0}. Для нецелых а динамика не может быть представлена как
унитарная эволюция. В общем случае все свойства квантовой динамики
систем, описываемых уравнениями (19.3), могут быть описаны в терминах
дробно-динамической полугруппы ^[a\t ^ 0}.
• Динамика квантовых систем, которые описываются нецелыми
степенями инфинитезимальных операторов, может быть построена в
терминах обычной квантовой динамики. Супероператоры ф[а^ могут быть
представлены в терминах супероператоров Ф* с помощью формулы
Бохнера-Филлипса [ 178,409,566]
оо
ф\а) = j dsfa(t,s) Фя (t > 0), (19.5)
о

19.3. Свойства дюбно-дифференциальной гамильтоновой динамики 489
где функция fa(t,s) определяется формулой
а-Иоо
а—гоо
в которой s ^ О, а, t > 0 и 0 < а < 1. Отметим, что ветвь функции
za выбрана так, что Re(zQ) > 0 при Re(z) > 0. Эта ветвь
является однозначной функцией на комплексной г-плоскости с разрезом по
отрицательной части вещественной оси. Видно, что сходимость этого
интеграла обеспечивается множителем ехр(—tza). Если контур
интегрирования в (19.6) представляется в виде объединения двух путей
г ехр(—19) и г ехр(+г#), где г Е (0, оо) и 7г/2 < в < 7г, то получим
оо
/а(М) = 1 j drF{t,s,r), (19.7)
о
где
F(t, s, г) = exp(sr cos в — tra cos(a#)) sin(sr sin в — tra sin(a#) + 9).
Если имеется решение Л* уравнения Гейзенберга (19.1), то
уравнение (19.5) дает решение уравнения (19.3) в виде
оо
At(a) = J dsfa(t,s)As, (19.8)
о
где t > 0. Уравнение (19.8) позволяет получить решения At{a) для
дробно-дифференциального уравнения Гейзенберга, используя
решение As(l) = As уравнения Гейзенберга (19.1).
• Квантовая наблюдаемая описывается самосопряженным оператором.
Если Ф* является действительным супероператором, а А —
самосопряженным оператором — А, то оператор At = ФЬА тоже является
самосопряженным, то есть
(Ф4А)* = Ф*А
Супероператор, как отображение множества квантовых наблюдаемых
в себя, должен быть действительным. В силу этого квантовая динамика

490
Глава 19
описывается действительными супероператорами. Используя формулу
Бохнера-Филлипса и уравнение (19.7), можно показать, что ф[а^
является действительным супероператором, если Ф* — действительный.
• Используя формулу Бохнера-Филлипса и свойство неотрицательности
fQ(t, s) ^ 0 (s > 0), можно доказать, что супероператоры ф[а^ являют-
(а)
ся неотрицательными, то есть Ф\ 'А > 0 для А > 0, поскольку Ф^ —
неотрицательный.
• Рассмотрим операторное гильбертово пространство Л4 со скалярным
произведением
(А\В) = Тг[А*В].
Супероператор 4>t на М является дуальным (сопряженным) к Ф*, если
Тг[(ФгАУВ]=Тг[А*Фг(В)].
Если 4>t является сопряженным к Ф^ супероператором, то
супероператор
оо
ф[а) = Jdsfa(t,s)$3 (t >0)
О
(а)
является сопряженным к Ф\ \ Для доказательства этого утверждения
можно использовать формулу Бохнера-Филлипса:
оо
Tr[(${tQ)A)*B] = j dsfQ(t,s)Tr№sA)*B] =
о
оо
= j dsfQ(t,s)Tr[A43(B)) = Tr[A^[Q)(B)}.
о
• Известно, что Ф^ является действительным супероператором, если
Ф* — действительный. Аналогично если ф[°^ — действительный су-
пероператор, то Ф\ является действительным.
• Пусть {4>£,£ > 0} — однопараметрическая полугруппа, такая что
оператор матрица плотности pt = Фгр0 описывается уравнением фон
Неймана

19.4. Дробно-дифференциальная квантовая динамика
491
Тогда полугруппа {ф£а\£ > 0} описывает эволюцию оператора
матрица плотности
<н(а) = Ф[о)ро
посредством дробно-дифференциального уравнения
Dipt = -{-L-H)aPt. (19.9)
Уравнение (19.9) называется дробно-дифференциальным уравнением
фон Неймана.
19.4. Дробно-дифференциальная квантовая динамика
свободной частицы
В качестве примера дробно-дифференциальной квантовой динамики
рассмотрим движение свободной одномерной квантовой частицы,
описываемой гамильтонианом Н = Р2/2га, где Р — безразмерная импульсная
переменная, а га-1 имеет размерность действия. Уравнения Гейзенберга (19.1)
для оператора координаты А = Q и оператора импульса А = Р имеют вид
DlQt = m-1Pt, DlPt = 0. (19.10)
Решениями уравнений (19.10) будут
Qt = Qo + т-ЧРо, Pt = Р0. (19.11)
Дробно-дифференциальные уравнения Гейзенберга для А = Q и А = Р
имеют вид
DlQt = -m-Q(L-2)aQt, D]Pt = 0. (19.12)
Используя формулу Бохнера-Филлипса, получаем решения
дробно-дифференциальных уравнений (19.12) следующего вида:
оо
Qt(a) = Ф^Яо = j dsfa(t, s)Qa, Pt(a) = P0,
о
где Qs задается формулой (19.11). В результате получаем
Qt=Qo + m-1ga{t)P0, Pt = Po, (19-13)

492
Глава 19
где
оо
J dsfa(t,i
9a(t) = J dsfa(t,s)s.
0
Эти уравнения описывают дробно-дифференциальную динамику
свободных квантовых частиц.
Для а = 1/2 имеем
о
и уравнения (19.13) дают
Qt=Qo-£^Po, Pt = Po- (19.14)
Определим среднее значение и дисперсию квантовой наблюдаемой At
уравнениями
(At) = Tr№(9\At] = {9\At\9),
DA(t) = {А}) - (At)2 = <Ф|Л2|Ф) - <Ф|Л,|Ф)2.
Используя координатное представление и чистое состояние
Ф(х) = (х|Ф> = (bv^)-1/2exp(-(x ~bX°)2 + ip„x), (19.15)
получаем средние значения и дисперсии операторов (19.14) в виде
(Qt) =х0- Tj^PO, (Pt) = Ро,
и
19.5. Дробно-дифференциальная квантовая динамика
осциллятора
В качестве второго простейшего примера дробно-дифференциальной
квантовой динамики рассмотрим эволюцию линейного гармонического
осциллятора, описываемого гамильтонианом
H = ^P2 + ^-Q2, (19.16)

19.5. дробно-дифференциальная квантовая динамика осциллятора 493
где t и Р — безразмерные величины. Для оператора координаты А = Q
и оператора импульса А = Р уравнение (19.1) принимает вид
D\Qt = ±Pt, D]Pt = -mu>2Qt.
Решениями этих уравнений являются
Qt = Q0cos(ut) + jjfijP0sm(wt),
Pt = p0 cos(u;t) - mwQo sm(ujt). (19.17)
Дробно-дифференциальная динамика линейного гармонического
осциллятора описывается дробно-дифференциальными уравнениями Гейзенберга
D]Qt = -{L-H)"QU D]Pt = -{L-H)aPu (19.18)
где гамильтониан Н определяется формулой (19.16). Используя формулу
Бохнера-Филлипса, получаем решения уравнений (19.18) в виде
оо
Qt(a) = ф[а)Яо = j dsfa(t,s)Qs,
о
оо
Pt(a) = ф[а)Р0 = J dsfQ(t, s)Pa. (19.19)
о
Подставляя (19.17) в (19.19), получаем
Qt = QoCa(t) + j^jP0SQ(t), (19.20)
Pt = PoCa(t) - mjQoSa{t), (19.21)
oo
dt). /*/.<«..) «M. (19.22)
0
oo
Я.И -/*/.(.,.) **»>■ (19.23)
где

494
Глава 19
Уравнения (19.20) и (19.21) описывают дробно-дифференциальную
динамику квантового гармонического осциллятора.
Рассмотрим а = 1/2. В этом случае уравнения (19.22) и (19.23) дают
оо
t [ cos(a;s) _ti/4a
Cl/2it) = ^JdS^-e '
о
oo
0
Отметим, что эти функции могут быть представлены через функцию Мак-
дональда (Macdonald function) (см. раздел 2.5.37.1 в книге [94]), которая
также называется модифицированной функцией Бесселя третьего рода.
Используя (19.15), получаем средние значения
(Qt) = X0Ca(t) + ±poSa(t),
(Pt) = PoCa(t) ~ mWXoSait)
и дисперсии
Видно, что дробно-дифференциальный гармонический осциллятор
является простейшей диссипативной системой. Решения характеризуются
наличием эффекта затухания для средних значений наблюдаемых дробно-
дифференциального гармонического осциллятора. Степенное затухание
описывается модифицированной функцией Бесселя третьего рода.
19.6. Заключение
Было получено дробно-дифференциальное обобщение уравнения
Гейзенберга, описывающего эволюцию квантовой наблюдаемой
гамильтоновой системы. Операция дифференцирования нецелого порядка
определялась как дробная степень операции дифференцирования. Предлагаемое
дробно-дифференциальное уравнение Гейзенберга описывает эволюцию

19.6. Заключение
495
специального класса квантовых негамильтоновых систем. Рассмотрены
решения предлагаемого дробно-дифференциального уравнения Гейзенберга с
гамильтонианами свободной частицы и гармонического осциллятора.
Следует отметить, что решения задачи Коши для дробно-дифференциального
(а)
уравнения Гейзенберга представляются через супероператоры Ф\ , t > О,
которые образуют однопараметрическую полугруппу. В силу этого
эволюция наблюдаемых дробно-дифференциальных квантовых систем является
марковской. Это означает, что предлагаемое дифференцирование нецелого
порядка, которое является дробной степенью дифференцирования, не
связано с эффектами долговременной степенной памяти. Дифференцирование
нецелого порядка может использоваться как один из способов описания
взаимодействия между квантовой системой и окружающей средой. Эта
интерпретация обусловлена следующими причинами. Используя свойства
можно предположить, что /Q(t,s) является функцией распределения
вероятности. Тогда формула Бохнера-Филлипса (19.5) может
рассматриваться как сглаживание (усреднение) гамильтоновой эволюции Ф3 по времени
s > 0. Это сглаживание может интерпретироваться как влияние
окружающей среды на квантовую систему. В результате параметр альфа может
использоваться для описания интенсивности взаимодействия между
системой и окружением. Отметим, что уравнение Шрединтера с дробной
производной по времени рассматривалось в статье [380]. Уравнение Шрединтера
с нецелой степенью импульса, который в координатном представлении
может рассматриваться как дробная производная по координате, обсуждается
в работах [20,266,324,325,553]. Отметим, что дробная квантовая динамика
гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях [324,325],
может рассматриваться как частный случай подхода, предлагаемого в [512].
Квантовую динамику с параметром а, мало отличающимся от целого
значения, можно рассматривать, используя обобщение методов, предложенных
в [502] (см. также [537,538]).
оо
/а(М)>0 (Я>0),
о

Глава 20
Дробная динамика открытых
квантовых систем
20.1. Введение
Открытые квантовые системы можно описывать как часть некоторой
замкнутой гамильтоновой системы, включающей эту открытую систему
и ее окружение [137,555]. Однако часто трудно или невозможно указать
и описать гамильтонову систему, включающую данную систему. Более
того, теория открытых и негамильтоновых квантовых систем может
рассматриваться как фундаментальное обобщение [112,210,285,315,512]
гамильтоновой квантовой механики. Квантовые операции, которые описывают
динамику открытых квантовых систем, могут рассматриваться как
действительные вполне положительные супероператоры, сохраняющие след. Эти
супероператоры образуют полугруппу вполне положительных
отображений, действующих на операторном пространстве. Инфинитезимальный
генератор этой полугруппы является вполне диссипативным
супероператором [210,285,315,512]. Дробные степени операторов [157,167,312,352,566]
и супероператоров [113,512,523] могут быть использованы для
описания динамики некоторых открытых квантовых систем. В данной главе
рассматриваются супероператоры, которые являются дробными степенями
вполне диссипативных супероператоров [113,523,530]. Доказывается, что
предлагаемые супероператоры являются инфинитезимальными
генераторами вполне положительных полугрупп. Квантовые марковские уравнения
с вполне диссипативными супероператорами, являются наиболее общим
видом марковских уравнений, описывающих неунитарную эволюцию
оператора плотности, сохраняющую след и являющуюся вполне
положительной при любых начальных условиях. Показатель нецелой степени инфини-
тезимального генератора может рассматриваться как параметр,
описывающий меру экранирования окружения системы, то есть окружающей ее
среды [114,523,530]. Используя представление взаимодействия для квантового
марковского уравнения, рассматривается дробная степень негамильтоновой

20.2. Супероператор и квантовые операции
497
части инфинитезимального генератора с показателем а. В пределе а —* 0
получается уравнение Гейзенберга для гамильтоновых систем. В случае
а = 1 получается обычное квантовое марковское уравнение. В результате
можно выделить следующие случаи: (1) отсутствие влияния окружающей
среды (а = 0); (2) полное влияние окружающей среды (а = 1); (3)
степенное экранирование влияния окружающей среды (0 < а < 1). Физическая
интерпретация дробного квантового марковского уравнения может быть
связана с существованием некоторого экранирования окружающей среды
и ее влияния.
В разделе 2 дается краткий обзор супероператоров на операторном
гильбертовом пространстве и квантовых операций, описывающих
эволюцию квантовых состояний. В разделе 3 определяется дробная степень
супероператора. В разделе 4 предлагается дробное обобщение
квантового марковского уравнения для наблюдаемых. В разделе 5 описываются
свойства дробной динамической полугруппы. В разделе 6
рассматривается дробное обобщение марковского уравнения для квантовых состояния.
В разделе 7 решается дробное уравнение, описывающее квантовый
гармонический осциллятор с трением. В разделе 8 обсуждается немарковская
квантовая динамика открытых квантовых систем с долговременной
степенной памятью. Краткое заключение приводится в разделе 9.
20.2. Супероператор и квантовые операции
Квантовые теории состоят из двух частей: кинематической
структуры, описывающей начальные состояния и наблюдаемые системы, и
динамической структуры, описывающей изменение этих состояний и
наблюдаемых с течением времени. В квантовой механике состояния и
наблюдаемые могут быть заданы операторами. Динамическое описание квантовой
системы задается супероператорами [512], которые являются
отображениями множества операторов в себя.
Пусть Л4 является операторным пространством, а А4* — дуальное к М
пространство, то есть Л4* является множеством всех линейных
функционалов на ЛЛ. Классическими обозначениями для элементов пространства М.
являются \В) и В. Символами (А\ и ш будут обозначаться элементы М*.
По теореме Рисса-Фреше, любой линейный непрерывный функционал и
на операторном гильбертовом пространстве М имеет вид ш(В) = (А\В)
для любого элемента В е Лч, где \А) есть элемент из Лч. Поэтому
элемент А может рассматриваться не только как элемент \А) из Лч, но также
и как элемент (А\ дуального пространства М*. Символ (А\В),
обозначающий значение функционала (А\ на операторе \В)9 является графическим
объединением символов (А\ и \В).

498
Глава 20
Определение. Линейным супероператором называется отображение £
операторного пространства ЛЛ в себя, для которого выполняются
следующие соотношения:
ЦаА + ЬВ) = аС(А) + ЬС(В)
для всех А, В € D(C) С Л4, где D(C) есть область определения £,
и a, be С.
Супероператор £ сопоставляет каждому оператору А € D(C)
оператор С(А).
Определение. Пусть £ — супероператор на операторном
пространстве Jyl. Сопряженным супероператором для £ называется супероператор
Л = £ на М*, такой что
(А(А)\В) = (А\ЦВ)) (20.1)
для любого В € £>(£) С Лч и А € £>(А) С ЛГ.
Пусть М является операторным гильбертовым пространством, а £ —
супероператором на Л1 Тогда (А\В) = Тг[А*В], и уравнение (20.1) имеет
вид
Тг[{А(А))*В]=Тг[А*С(В)].
Если М. — операторное гильбертово пространство, тогда по теореме
Рисса-Фреше Л4 и Л4* изоморфны и можно определить самосопряженные
супероператоры.
Определение. Самосопряженным называется супероператор £ на
операторном гильбертовом пространстве Л4, для которого выполняется
соотношение (С(А)\В) = (А\С(В)) для всех А, В € £>(£) сМи £>(£) =
= £>(£).
Пусть Л1 является нормированным операторным пространством.
Супероператор £ называется ограниченным, если ||£(А)||д4 ^ сЦЛЦд^ для
некоторой константы с и всех А € Л4. Величина
А^О \\А\\м
называется нормой супероператора £. Если М — нормированное
пространство и супероператор £ является ограниченным, тогда ||£|| = ||£||.
Важную роль в квантовой теории играет класс действительных
супероператоров.

20.2. Супероператор и квантовые операции
499
Определение. Пусть АЛ — операторное пространство, а является
сопряженным к А £ АЛ оператором. Действительным называется
супероператор С на АЛ, такой что
[ЦА)]*=С{А*)
для любого А £ D(C) С М и А1" £ £>(£).
Если £ — действительный супероператор, тогда супероператор Л =
= С тоже действительный. Если С — действительный супероператор, а А —
самосопряженный оператор, А^ = А £ D(C), тогда оператор В = С(А)
будет тоже самосопряженным. Таким образом, супероператоры на
множестве квантовых наблюдаемых М должны быть действительными.
Динамика квантовых систем должна описываться действительными
супероператорами.
Определение. Неотрицательным супероператором называется
отображение С на АЛ такое, что С(А2) ^ 0 для любого А2 = А^А £ D(C) С АЛ.
Положительным супероператором называется отображение С на АЛ такое,
что С является неотрицательным и С(А) = 0 тогда и только тогда, когда
А = 0.
Обозначим через М операторную алгебру. Левым супероператором,
соответствующим оператору А £ АЛ, называется супероператор La на АЛ
такой, что
LAC = АС
для любого С £ Ai. Можно рассматривать La как левое умножение на А.
Правым супероператором, соответствующим А £ Ai, называется
супероператор Ra на Ai такой, что RaC = С А для любого С £ Ai.
Наиболее общее изменение состояния квантовой системы
называется квантовой операцией [274,275,317,318] (см. также [112,405,449,472,
475,512,564]). Квантовая операция описывается супероператором £t9
являющимся отображением на множестве операторов плотности. Если р —
оператор плотности, то pt — £t(p) тоже должен быть оператором плотности.
Любой оператор плотности pt = p(t) является самосопряженным (р\ = pt),
положительным (pt > 0) оператором с единичным следом (Tr[pt\ = 1).
В результате требование того, что супероператор £t является квантовой
операцией, приводит к следующим условиям.
1) Супероператор £t является действительным супероператором.
Супероператор £t на операторном пространстве АЛ является действитель-

500
Глава 20
ным, если
для всех А € D(£t) С М, где А* € — сопряженный к А.
Действительный супероператор £t отображает самосопряженный оператор
р в самосопряженный оператор £t(p) =
2) Супероператор £t является положительным супероператором.
Неотрицательный супероператор является отображением £t из М. в М таким,
что £t(A2) ^ 0 для всех А2 = А*А е D(£t) С М. Положительный
супероператор является отображение £t из М. в себя таким, что £t
неотрицательный и £t{A) = 0 тогда и только тогда, когда А = 0. Оператор
матрица плотности р является положительным. Если £t —
положительный супероператор, то £t(p) является положительным оператором.
3) Супероператор £ является отображением, сохраняющим след, то есть
(I\£t\p) = (£}(I)\p) = l
или £}(I)=I.
Можно предположить, что супероператор £t является не только
положительным, но и вполне положительным.
Определение. Супероператор £t называется вполне положительным
отображением операторного пространства М в себя, если
к=1 1=1
для любых операторов Ak, Bk € М и любых п € N.
Пусть супероператор £t является выпуклым линейным отображением
на множестве операторов плотности, то есть
з з
где для всех \9 выполняются соотношения 0 < As < 1 и Ав = 1.
Любое выпуклое линейное отображением операторов плотности может быть

20.3. Дробная степень супероператора
501
единственным образом продолжено до линейного отображения
самосопряженных операторов. Заметим, что любой линейный вполне положительный
супероператор может быть представлен в виде
т т
£t = YlLAkRAi : £t(p) = AkPAl
к=1 к=1
Если этот супероператор сохраняет след, тогда
т
к=1
Для описания марковской динамики будем полагать, что линейные
супероператоры £t образуют вполне положительную квантовую
полугруппу [152], такую что Л является инфинитезимальным генератором этой
полугруппы [152,332,512], то есть
jt£t = Kit. (20.2)
Мы будем рассматривать квантовые операции £t с такими инфинитези-
мальными генераторами А, что сопряженные супероператоры С являются
вполне диссипативными, то есть
ЦАкАЛ-ЦАк^-АьСЩХ)
для всех А\,..., Ап € D(C) таких, что A^Ai € D(£). Вполне диссипатив-
ным супероператором является инфинитезимальный генератор вполне
положительной полугруппы {Фг| t > 0}, сопряженной к полугруппе {£t \ t > 0}.
Супероператор С описывает динамику наблюдаемых негамильтоновой
квантовой системы. Эволюция состояния, задаваемого оператором матрица
плотности, описывается супероператором А.
20.3. Дробная степень супероператора
Дробная степень операторов [157,167,312,352,566] и
супероператоров [113,512,523,530] может использоваться для описания динамики
открытых систем.
Пусть С является линейным замкнутым супероператором с всюду
плотной областью определения D{C), имеющий резольвенту R(z,C) на
отрицательной полуоси. Если резольвента
R(-z,C) = {zLI + C)-\

502
Глава 20
где z > 0, удовлетворяет условию
||Я(-*,£)||<М (z>o, М>0), (20.3)
то дробная степень супероператора С может быть определена [130,566]
формулой
оо
Са = Щш JdzZa-iR^c)C, 0 < а < 1. (20.4)
о
Супероператор Са определен на D(C) для 0 < а < 1. Отметим, что
супероператор Са допускает замыкание. Если замкнутый супероператор С
удовлетворяет условию (20.3), то СаС^ = Са+(3 для таких а, /3 > 0, что
а + /?< 1.
Пусть С — замкнутый производящий супероператор полугруппы
{Ф^| t ^ 0}. Тогда дробная степень Са супероператора С задается
соотношением
оо
са = /яг-а-г(*ь - (20.5)
Г(-а) J
о
которое называется формулой Балакришнана.
Резольвента супероператора Са может быть найдена с помощью
формулы Като
R(-z,Ca) = (zLI + Ca)-1 =
оо
sin
я*!*****-**,**-*-'-*1- <20-6)
0
Из нее следует, что выполняется неравенство
\\R{-z,Ca)\\<*£ {z>0)
с константой М из аналогичного неравенства (20.3) для супероператора С.
Из выполнения неравенства
\\zR{-z,C)\\ = \\z(zLI + C)-1\\^M
для всех z > 0 следует, что супероператор z(zLj + £)-1 является
равномерно ограниченным в любом секторе комплексной плоскости, заданном

20.3. Дробная степень супероператора
503
соотношением | arg z\ ^ ф для ф, не превышающего некоторое число 7г — ф
(0 < ф < 7г). Тогда супероператор zR(—z,Ca) является равномерно
ограниченным в любом секторе комплексной плоскости таком, что | arg z | ^ ф
для ф < 7г — аф.
Пусть С — замкнутый производящий супероператор полугруппы
{Ф*| t > 0}. Тогда супероператоры
оо
*[а)= J *8/а(Ьз)Ф9 (t>0) (20.7)
о
образуют полугруппу, в которой Са является инфинитезимальным
генератором Ф^а). Уравнение (20.7) называется формулой Бохнера-Филлипса.
Функция faiths) определяется формулой
а+гоо
fa{t, s) = J dz exp(sz - tza), (20.8)
а—гоо
где а,£ > 0, s ) 0и0 < a < 1. Ветвь функции za выбрана так, что
Re(za) > 0 при Re(z) > 0. Эта ветвь является однозначной функцией
на комплексной г-плоско ста с разрезом вдоль отрицательной части
действительной оси. Сходимость этого интеграла очевидна в силу присутствия
множителя ехр(—tza).
Функция /а(£, s) обладает следующими свойствами.
1) Для любого значения s > 0 функция fa(t,s) неотрицательна:
/а(М) ^0.
2) Функция fa(t,s) удовлетворяет условию нормировки
оо
j dsfQ(t,s) = l.
0
3) Для t > 0 и х > 0 выполняется соотношение
оо
jdse~9X fa(t,s) = exp{-txa}.
о

504
Глава 20
4) Перейдя в формуле (20.8) к интегрированию по контуру, состоящему
из двух лучей г ехр(—г0) и г ехр(+г#), где г € (0, оо) и 7г/2 ^ в ^ 7г,
получим соотношение
оо
jdrF{t,s,r), (20.9)
о
где
F(t, s, г) = exp(sr cos в — tra cos(aO)) sin(sr sin 9 — tra sin(a0) + в).
5) Если a = 1/2, тогда в = 7Г и уравнение (20.9) дает
оо
/1/2(М) = dre-smdV-r) = irbr^"S-
о
Эти свойства функции fa(t,s) будут использоваться для доказательства
свойств дробной квантовой динамики.
20.4. Дробное марковское уравнение для квантовых
наблюдаемых
Движение системы естественно описывать в терминах ее инфинитези-
мальных изменений. Такое изменение может описываться инфинитезималь-
ным генератором. Проблемой негамильтоновой динамики является
получение явного вида инфинитезимального генератора. Для этого необходимо
найти наиболее общий явный вид этого супероператора. Эта проблема
была исследована В. Горини, А. Коссаковским, Е. К. Г. Сударшаном [263,264]
и Г.Линдбладом [332] для вполне диссипативных супероператоров. Горан
Линдблад показал [332], что существует взаимнооднозначное соответствие
между вполне положительными непрерывными по норме полугруппами
и вполне диссипативными производящими супероператорами. Структурная
теорема Линдблада задает наиболее общий вид вполне диссипативного
супероператора.
Теорема. Производящий супероператор Су вполне положительной
сохраняющей единицу полугруппы {Фе = ехр(—tCy)\ t > 0} может быть
представлен уравнением
оо

20.4. Дробное марковское уравнение
505
где Ly и Ry — супероператоры левого и правого умножений
LVA = VA, RVA = AV,
a Ljj — супероператор левого лиева умножения на = Н такой, что
L-h = ±(Lh-Rh). (20.11)
Доказательство. Данная теоремы была доказана в работе [332]. □
Используя At = Ф^А), где = ехр(—tCy), получаем уравнение
j-tAt = -Ly At. (20.12)
Если все операторы Vk равны нулю, то £0 = и уравнение (20.12)
является уравнением Гейзенберга для гамильтоновых систем.
Подставляя (20.10) в (20.12), получаем
оо
к=1
Уравнение (20.13) задает марковскую динамику квантовых наблюдаемых.
Замечание 1. Вид супероператора Су не фиксируется однозначно
уравнением (20.10). Уравнение сохраняет свой вид при некоторых преобразованиях Н
и V)t. Например, преобразования
оо
Vk^Vk+akI, Н -> Я + Jjr £>)^ - a*Vk)<
fc = l
где ак — некоторые комплексные числа, сохраняет вид уравнения (20.10).
замечание 2. Уравнение (20.13) задает явный вид уравнений движения для
квантовых наблюдаемых при выполнении следующих ограничений:
• Су и Av являются ограниченными супероператорами, где Ау является
сопряженным к Cv.
• Су и Ау являются вполне диссипативными супероператорами.
Результаты Линдблада были обобщены Е. Б.Дэвисом [208] на случай квантовых
динамических полугрупп с неограниченными производящими супероператорами.

506
Глава 20
Для получения обобщения квантового марковского производящего
уравнения (20.13) рассмотрим дробную степень супероператора (20.10)
вида
оо
-{CV)Q = Щг2" /dz 2а_1Я(-2, Су) Су (0 < а < 1). (20.14)
о
В результате получим [113,523,530] дробное квантовое марковское
уравнение
±At = -(Cy)aAt, (20.15)
где t9 H/fi и Vk/Vft являются безразмерными величинами.
Уравнение (20.15) описывает дробную марковскую динамику квантовых
наблюдаемых.
замечание 3. Если = 0, то уравнение (20.15) дает дробное уравнение
Гейзенберга
ftAt = -(L~H)aAt. (20.16)
Супероператор (LJj)a является дробной степенью левого лиева
супероператора (20.11).
Квантовое марковское уравнение (20.13) может быть записано в
представлении взаимодействия. Определим операторы
Au(t) = U(t)AtU*{t), Wk(t) = U(t)VkUHt), (20.17)
где U(t) = exp{(l/itt)H}. Используя (20.17), уравнение (20.12) можно
переписать в виде
jtAu(t) = -CwAu(t), (20.18)
где
оо
^ = %Y,{LwlLn ~ Lw*Rw*\ (2(U9)
к=\ к
Супероператор (20.19) описывает негамильтонову часть эволюции. Это
уравнение является квантовым марковским уравнением в представлении
взаимодействия. Дробное обобщение этого уравнения (20.18) имеет вид
j-tAv{t) = -(Cw)aAu(t). (20.20)

20.5. Дробная динамическая полугруппа
507
Уравнение (20.20) является дробным квантовым марковским уравнением
в представлении взаимодействия. Параметр а может рассматриваться как
мера влияния окружающей среды на систему. Для а = 1 получаем обычное
квантовое марковское уравнение (20.18). В пределе а —► 0 получается
уравнение Гейзенберга для квантовой наблюдаемой At гамильтоновой системы.
В результате можно интерпретировать использование уравнений с
дробными степенями марковских супероператоров С\у как учет экранирования
влияния окружающей среды и выделить следующие случаи:
• отсутствие влияния окружающей среды (а = 0);
• полное влияние окружающей среды (а = 1);
• степенное экранирование влияния окружения (0 < а < 1).
В результате физическая интерпретация дробного уравнения (20.20)
может быть связана с существованием степенного экранирования воздействия
окружающей среды на квантовую систему [113,530].
20.5. Дробная динамическая полугруппа
Если рассматривается задача Коши для уравнения (20.12), в котором
начальное условие задается в момент времени t = 0 оператором А0, то
решение этой задачи может быть записано в виде At = Ф*Д). Однопара-
метрические супероператоры Ф* при t^0 обладают свойствами
Ф,Ф„ = Ф1+3 (*, s > 0), Ф0 = Lj.
В результате супероператоры Фг образуют полугруппу, а супероператор Су
является производящим супероператором полугруппы ^t\t ^ 0}.
Рассмотрим задачу Коши для дробного квантового марковского уравнения (20.15),
в котором начальное условие задается оператором А$. Решение этой задачи
может быть представлено в виде
At(a) = Ф^Ао.
Супероператоры ф[а^ (t > 0) образуют полугруппу, которая может быть
названа дробной динамической полугруппой. Супероператор (Су)а является
производящим супероператором полугруппы {Ф^| t ^ 0}. Рассмотрим
некоторые свойства дробной полугруппы {Ф^| t > 0}.
Супероператоры Ф^ могут быть построены по супероператорам Ф*,
используя формулу Бохнера-Филлипса (20.7), в которой fa(t,s) определя-

508
Глава 20
ется уравнением (20.8). Если At является решением квантового
марковского уравнения (20.12), то формула (20.7) дает решение
оо
At(a) = J dsfa(t,s)As {t>0)
о
дробного квантового марковского уравнения (20.15).
Следующая теорема утверждает, что дробная динамическая
полугруппа {ф[°^| t > 0} тоже является вполне положительной [113,530].
Теорема. Если {Фь\ t > 0} является вполне положительной
полугруппой супероператоров Ф*, тогда дробные супероператоры ф[а\
определенные формулой (20.7), образуют вполне положительную полугруппу
{*ia)\t>o}.
Доказательство. Используя формулу Бохнера-Филлипса (20.7),
получаем
оо
для t > 0. Свойство неотрицательности функции fa(t,s) ^ 0 при s > 0
и неравенство
^ВгФ9{А\А^Вэ ^0
приводят к тому, что линейный супероператор Ф^ является вполне
положительным, то есть условия
£В;Ф<а)(Л^)В^0 (20.21)
выполнены для любых Aj, Bi € Ai. □
Отметим следствие, вытекающее из данной теоремы.
Теорема. Если Фь для t > 0 является неотрицательным однопара-
метрическим супероператором, то есть Фь(А) ^ 0 для А ^ 0, тогда
супероператор ф[а^ является неотрицательным, то есть ф[а\А) ^ 0 для
А^0.

20.6. Дробные марковские уравнения для квантовых состояний 509
Доказательство. Используя формулу Бохнера-Филлипса и
свойство fa(t,s) ^ 0, (s > 0), легко доказать, что супероператор Ф^
неотрицателен, если (t > 0) является неотрицательным однопараметрическим
супероператором. Это следствие может быть также доказано с
использованием В\ = I, А\ = А и Ai = Bi = 0 (г = 2,...) в приведенном
доказательстве теоремы. □
Определение. Пусть оператор А^ € Лч* является сопряженным
к А € М. Действительным супероператором является супероператор на
М такой, что (ФьА)^ = Фь(А^) для любого А е £>(Ф*) С М.
Квантовая наблюдаемая является самосопряженным оператором.
Если Фь — действительный супероператор и А — самосопряженный
оператор (А* = А), то оператор At = ФьА является самосопряженным, то есть
(ФгА)^ = ФtA. Пусть М — множество квантовых наблюдаемых.
Супероператоры на М должны быть действительными. В результате эволюция
квантовых наблюдаемых во времени должна описываться
действительными супероператорами.
Теорема. Если Фг является действительным супероператором, то
(а)
супероператор Ф\ J тоже действительный.
Доказательство. Используя формулу Бохнера-Филлипса, приходим
к соотношению
оо
(Ф<а)Л)* = J ds/*(M)(<M)t (i>0).
О
Уравнение (20.9) означает, что функция f^{t,s) = fa(t,s) является
вещественнозначной. В результате условие (Ф*А)* = Ф^А* приводит
к (ф[а)А)* = Ф(га){А^ для всех А € £>(ф[а)) С М. □
20.6. Дробные марковские уравнения для квантовых
состояний
Динамика квантовых состояний может рассматриваться как
сопряженная к динамике квантовых наблюдаемых. Супероператор Ф*, который
описывает динамику квантовых наблюдаемых, является сопряженным к
супероператору £t, описывающему эволюцию квантовых состояний.
Определение. Пусть Фг — супероператор, действующий на
операторном пространстве М. Сопряженным к супероператору Ф* является супер-

510
Глава 20
оператор £t на М* такой, что
(£t(A)\B) = (А\Фг(В)) (20.22)
для любого В G £)(Ф*) С М и некоторого А е М*.
Используя формулу Бохнера-Филлипса, получаем следующую теорему.
Теорема. Если £t — супероператор, сопряженный к Фь, то
супероператор
оо
dsfa{t,s)£3 (t>0)
является сопряженным к Ф\
Доказательство. Пусть супероператор £t является сопряженным
к Ф*. Тогда выполняется условие (20.22). В результате имеем
оо
(£(ta)A\B) = Jdsfa(t,s)(£3A\B)
о
оо
= / dsfQ(t,s)(A^3B) = (А\ф[а)В).
J п
о u
Известно, что £t является действительным супероператором, если
супероператор Фь действительный. Используя формулу Бохнера-Филлипса
и уравнение (20.9), легко доказать, что супероператор £[°^ является дей-
ствительным, если Ф^ ' — действительный супероператор.
Эволюция оператора матрица плотности описывается как
£tPo = Pt,
где {£t\t > 0} является вполне положительной полугруппой. В инфините-
зимальной форме динамика оператора матрица плотности pt = £tPo
описывается уравнением
j-tpt = -Av/H, (20.23)
где супероператор Ау является сопряженным к квантовому марковскому
супероператору Су. Супероператор А у может быть представлен в виде
оо
kv = -Ljf + i (LvkRvi ~ Lvl Lvk ~ Rvk Rvi), (20.24)
fc=i

20.7. Дробное марковское уравнение для осциллятора с трением 511
где Ly и Ry — супероператоры левого и правого умножений
LyA = VA, RVA = AV,
а супероператор является левым лиевым умножением (20.11).
Подставляя (20.24) в (20.23), получаем
оо
j-pt = i [Я, Pt\-\Y, (V^Vk - PtVkV* - УкУк(н) ■ (20.25)
k=l
Уравнение (20.25) описывает квантовую марковскую динамику состояний
негамильтоновых систем.
Полугруппа {£^1 t > 0}, являющаяся сопряженной к дробной
динамической полугруппе {Ф*| t ^ 0}, описывает динамику оператора матрица
плотности
pt(a) = £[а)ро.
Дробное марковское квантовое уравнение для оператора матрица плотности
имеет вид
ftpt(a) = -(kv)apt(a). (20.26)
Это уравнение описывает марковскую динамику квантовых состояний.
замечание. Уравнение (20.23) при Vk = 0 дает уравнение фон Неймана
При Vk = 0 уравнение (20.26) принимает вид
ftpt = -(-£*»•
Это уравнение может быть названо дробно-степенным уравнением фон Неймана.
20.7. Дробное марковское уравнение для осциллятора
с трением
Рассмотрим пример дробного марковского уравнения для простой
негамильтоновой квантовой системы. Воспользуемся часто используемым
предположением о том, что общая форма ограниченного вполне
диссипативного супероператора, заданного квантовым марковским уравнением,

512
Глава 20
имеет место и для неограниченных вполне диссипативных супероператоров
Су. Будем полагать, что операторы Н и Уь являются функциями
операторов координаты Q и импульса Р такими, что полученная модель является
точно решаемой [333,445] (см. также [286,287]). Поэтому будем
рассматривать Vjt = Vk(Q, Р) как полиномы первой степени по Q и Р, а гамильтониан
Н = H(Q,P) как полином второй степени по Q и Р:
H=^P2 + ^Q2 + ^(PQ + QP), Vk = akP + bkQ, (20.27)
где ак иЬк (к = 1,2) являются комплексными числами. Эти предположения
означают, что сила трения прямо пропорциональна скорости. Используя
коммутационные соотношения [Q, Р] —ifi, получаем
-CyQ = ±P + pQ-\Q,
-СуР = -mw2Q - цР - АР,
где
А = 1т(а\Ъ\ + а\Ь\^.
Рассмотрим матричное представление квантового марковского уравнения.
Определим матрицы операторов
*-(?> м=(--2 -:-а> <2°-28>
В этом случае квантовое марковское уравнение для наблюдаемой может
быть записано в виде
4-At = MAt, (20.29)
at
где —СуAt = MAt. Решение (20.29) можно записать как At — Ф*А), где
ф< = Е —^г-въ = Е й\мп- (20-30)
77=0 П=0
Матрица М может быть представлена в виде
М = N^FN, (20.31)
где F — диагональная матрица

20.7. Дробное марковское уравнение для осциллятора с трением 513
а матрица N задается формулой
N=(mu;l " + I/Y ~^-2и) " + 1/Д (20.33)
Здесь использовался комплексный параметр v такой, что v2 — р2 — J1.
Используя (20.30), однопараметрические супероператоры ф^ могут
быть представлены в виде
оо / оо \
ф* = —)мп = м~г (Y1 —\рп)N = N~letFN- (20-34)
п=0 П' \п=0 П' )
Подставляя (20.32) и (20.33) в выражение (20.34), получаем
ф _ e-\t ( cosh(i/£) + (p/v)sm\i(vt) (l/mi/)sinh(i4) \
l~ 6 у -{rmo2/v)sm)\{vt) cosh(i/£) - \\ijv) sinh(^) y'
где sinh и cosh — гиперболические синус и косинус.
sinh(x) = \(f - e~x), cosh(x) = \(ex + e~x).
В результате получаем At = ф*Д) в виде
Qt = e~xt (cosh(i/*) + % sinh(i/*))(2o + ше~ХЬ sinh(^)P0, (20.35)
pt = _I^!e-^sinh(^)Qo + e"At(cosh(^) - g anh(i/*))fl>. (20.36)
Дробное квантовое марковское уравнение для и Р* имеет вид
jfii = -(Cv)aQu ftPt = -(Cv)aPt, (20.37)
где t и Vk/>/ti — безразмерные величины. Решение уравнений (20.37)
определяется формулой Бохнера-Филлипса
оо
Qt(a) = ф[а)Яо = j dsfa(t,s)Q3, (20.38)
о
оо
Pt(a) = ф|а)Р0 = j dsfa(t,s)Ps, (20.39)

514
Глава 20
где t > 0, а операторы Q3 и Р3 задаются уравнениями (20.35) и (20.36).
Функция fQ(t, s) определена формулой (20.8). Подставляя (20.35) и (20.36)
в уравнения (20.38) и (20.39), получаем
Qt(a) = (Cha(t) + %Sha{tj)Q0 + ^Cha(t)P^ (20.40)
^t(a) = -^ShQ(t)Qo + (Cha(t) - %Sha(tj)Pb, (20.41)
где использованы обозначения
oo
Cha{t) = Jdsfa{t,s)e-Xscosh{vs), (20.42)
0
oo
ад-/*А«,)^^ (20.43)
0
В результате уравнения (20.40) и (20.41) описывают
дробно-дифференциальную динамику квантового гармонического осциллятора с трением.
Отметим, что (20.42) и (20.43) при а = 1/2 имеют вид
оо
t fd. cosh(i/a) t2/4s_Xs
s3/2
OO
0
oo
Shl/2{t)-^lds-JJ^e
0
Эти функции могут быть представлены через функции Макдональда (см.
раздел 2.4.17.2 в [94]) в виде
Ch1/2(t) = ^(v+(t) + V-(t)),
Sh1/2(t) = -±=(y+(t)-V-(t)).
Здесь использовали обозначение
где Ka(z) — функция Макдональда [101,398] и Re(t2) > Re(y\ Re(\) > 0.

20.8. Немарковская динамика квантовых открытых систем 515
20.8. Немарковская динамика квантовых открытых
систем
В общем случае можно рассматривать обобщение квантового
марковского уравнения (20.13) в виде
$D?At = -CvAu (20.44)
где qD" — производная Капуто [307] нецелого порядка по времени, а
супероператор Су определяется формулой
оо
CvAt = ±[H,At] - i£(vfct[At> + [VlAt]Vk).
k=l
Если а является нецелым числом, то уравнение (20.44) определяет
немарковскую динамику квантовых наблюдаемых негамильтоновых систем [530].
Уравнение (20.44) тем самым описывает квантовые процессы с
долговременной степенной памятью.
Можно также рассматривать обобщение уравнения (20.25) для
оператора матрица плотности в виде
оо
$D*(H = ^[H,Pt} ~ \Yl{V^Vk ~ PtVkV* ~ VkVkPt). (20.45)
к=1
Уравнение (20.45) описывает немарковскую динамику квантовых
состояний негамильтоновых систем. Здесь немарковость означает, что
эволюция текущего квантового состояния зависит от всех предыдущих
состояний системы и, как увидим далее, от невыполнения полугруппового
свойства [530].
Рассмотрим задачу Коши для уравнения (20.44) и начального условия,
заданного в момент времени t = 0 оператором А0. Решение этой задачи
может быть представлено [206] в виде
At = Ф*(а)Дь
где
Фь(а)=Еа[-1«Су].
Здесь Еа [С] — функция Миттаг-Леффлера [307] с супероператорным
аргументом, определяемая формулой
оо

516
Глава 20
Отметим, что (см. лемму 2.23 в [307]) соотношение
Ea[X(t - а)а] = XEa[X(t - а)а]
выполняется для А € С, а € М и а > 0.
Супероператоры Ф4(а) с t ^ 0 описывают немарковскую динамику
открытых квантовых систем. Супероператор Су может рассматриваться как
инфинитезимальный генератор дробного порядка для отображения Ф*(а):
Для а = 1 имеем
Ф4(1) = Ei[-tCv] = exp{-tCy}.
Супероператоры ф4 = Ф4(1) образуют полугруппу, то есть
Ф*Ф3 = Фь+3 (t, s > 0), Ф0 = Li.
Это свойство выполняется в силу тождества
ехр{—tCy} ехр{—sCy} = ехр{ — (t + s)Cy}.
В общем случае имеет место неравенство
EQ[-taCv] EQ[-saCy] ф Ea[-(t + s)aCv]
для а ^ N. Поэтому полугрупповое свойство
Ф*(а)Ф,(а) = Ф*+» (*,s > 0) (20.46)
не выполняется для значений а ф 1. В тоже время для квантовых
динамических отображений выполняется соотношение Фо(а) — Lj.
В результате супероператоры Ф*(а) при а ^ 1 не образуют
полугруппу. Это свойство означает, что эволюция квантовой системы является
немарковской и зависит от всей предыстории движения, то есть
является процессом с долговременной памятью. Таким образом, супероператоры
Ф*(а) описывают квантовую динамику негамильтоновых систем с памятью.
Рассмотрим квантовое немарковское производящее уравнение (20.44)
для операторов координаты Qt и импульса Pt гармонического осциллятора
с трением [530] в виде
ZD?Qt = -CvQt, %D?Pt = -CvPt, (20.47)

20.8. Немарковская динамика квантовых открытых систем 517
где оЩ ~ производная Капуто [307] порядка а по времени, a t и Vk/y/fi —
безразмерные величины. Используя матрицы (20.28), можно представить
уравнения (20.47) в виде
$D?At = MAt. (20.48)
Рассмотрим задачу Коши для дробно-дифференциального операторного
уравнения (20.48) и начального условия заданного оператором А$ для
момента времени t = 0. Решение этой задачи может быть представлено [206]
в виде
At = Ф«(а)Ло,
где
Ф,(а) = £а[*°М].
Функция Миттаг-Леффлера [307] с матричным аргументом определяется
формулой
оо
п=0 4 '
Для а — 1 получаем (20.30). Используя (20.31), однопараметрический
супероператор Ф^ (а) может быть представлен в виде
оо / оо \
^0Г(ап + 1) ^Ljr(an + 1) )
В результате имеем
Ф«(о) = AT-^a^FjiV. (20.49)
Подставляя (20.33) и (20.32) в уравнение (20.49), получаем
гм„\- ( C«[^v,A + (n/i>)Sa[\,v,t] (l/nu/)Sa[A,i/,t] \
- V -(mw2/i/)5a[A,i/,t] CQ[A,M] - {»/v)Sa[\,v,t} У
где использовали обозначения
Sa[X,u,t) = ±(Ea[(-\ + v)ta)-Ea[(-\-V)r]),
Са{\, v,t] = \ (s«[(-A + v)ta) + Еа{(-\ - v)?*]).
В результате получаем At{a) = Ф4(а)Ло в виде
Qt=(ca[\,v,t] + $Sa[\,v,t])Qo + ±Sa[\,v,t)Po, (20.50)

518
Глава 20
Pt = -^Stt[A,i/,*]Q0 + (<?a[A,M] - %Sa[\v,t])P0. (20.51)
Для a = 1 уравнения (20.50) и (20.51) принимают вид (20.35) и (20.36).
Уравнения (20.50) и (20.51) описывают немарковскую эволюцию
операторов координаты и импульса гармонического осциллятора как открытой
системы с памятью [530]. Эта немарковская квантовая динамика при a ^ N не
может быть описана квантовой динамической полугруппой.
Супероператоры Фг(а) образуют лишь однопараметрический квантовый динамический
группоид, что отражает наличие памяти у системы. В силу полученных
решений (20.50) и (20.51) немарковская эволюция открытого квантового
линейного осциллятора демонстрирует, помимо нарушения
полугруппового закона, еще и наличие диссипации со степенной релаксацией.
20.9. Заключение
В квантовой динамике гамильтоновых систем инфинитезимальный
супероператор определяется некоторой формой дифференцирования на
операторной алгебре. Дифференцированием называется линейное
отображение С, для которого выполняется правило Лейбница С(АВ) = (СА)В +
+ А(СВ) для всех операторов А и В, принадлежащих области
определения С. Дифференцирование нецелого порядка может быть определено
как дробная степень дифференцирования. Известно, что
инфинитезимальный генератор С = (l/ifi)[H, . ], используемый в квантовой
гамильтоновой динамике, является дифференцированием на множестве квантовых
наблюдаемых. В общем случае квантовые системы являются негамильто-
новыми, а супероператор С не является дифференцированием. Для
широкого класса квантовых негамильтоновых систем инфинитезимальный
генератор С является вполне диссипативным [210,285,315,512]. Мы
рассмотрели [113,523,530] обобщение квантового производящего уравнения для
негамильтоновых систем на случай дробной степени производящего
супероператора и на случай системы со степенной долговременной памятью.
Было предложено обобщение уравнения для квантовых наблюдаемых
негамильтоновой системы. В этом обобщении использовались
супероператоры, которые являются дробными степенями вполне диссипативных
супероператоров. Было доказано, что предлагаемые супероператоры
являются инфинитезимальными генераторами вполне положительных полугрупп.
Отметим, что формула Бохнера-Филлипса позволяет выразить дробно-
динамическое описание в терминах обычной динамики. Были описаны
основные свойства квантовой дробно-динамической полугруппы. Нецелая

20.9. Заключение
519
степень а квантового марковского производящего супероператора может
рассматриваться как параметр для описания меры экранирования
окружающей среды [113,523,530]. Отметим, что выполнение квантовых
вычислений, реализуемых в виде квантовых операций со смешанными
состояниями [472], могут контролироваться этим параметром а. Можно
предположить, что существуют стационарные состояния негамильтоновых и
открытых квантовых систем [153,207,287,333,456,457,471] которые зависят от
параметра а.
Было доказано, что решения операторных уравнений с дробными
степенями супероператоров описываются квантовой динамической
полугруппой. В силу этого эволюция квантовых наблюдаемых и состояний систем,
описываемых этими уравнениями, является марковской [29]. Это означает,
что дробные степени операторов [157,167,312,352,566] и
супероператоров [113,512,523,530] описывают квантовые процессы без памяти.
Предложенные квантовые марковские уравнения с дробными
степенями супероператоров решены для линейного гармонического
осциллятора с трением. Можно предположить, что и другие решения и свойства,
описанные в работах [209,215,286,287,331,333,385,445,471,473],
могут быть получены и описаны, используя формулу Бохнера-Филлипса, для
обобщений уравнения Линдблада и уравнения Горини-Коссаковского-Су-
даршана [263,264], в которых используются дробные степени
супероператоров. В связи с этим отметим, что важно рассмотреть нецелые степени
производящих супероператоров для iV-уровневых квантовых
негамильтоновых систем. Эти системы описываются уравнением Горини-Коссаков-
ского-Сударшана [263,264] (см. также раздел 15.11 в [512]). Можно
исследовать обобщения уравнения Горини-Коссаковского-Сударшана,
позволяющие описывать марковскую и немарковскую дробно-дифференциальную
динамику. Решения задачи Коши для марковских и немарковских
квантовых производящих уравнений для конечномерных негамильтоновых систем
также могут быть получены. Например, интересные результаты могут быть
получены для двухуровневых негамильтоновых квантовых систем (см.
раздел 15.12в [512]).

Глава 21
Квантовые аналоги производных
дробного порядка
21.1. Введение
Имеется множество различных определений производных дробного
порядка [101,307,444], применяемых в зависимости от типа задачи, от
начальных и граничных условий и от особенностей рассматриваемых
физических процессов. Наиболее известными являются производные
Римана-Лиувилля и производные Лиувилля [307]. Эти производные определяются
похожими уравнениями, но на конечном интервале Мина всей
действительной оси R соответственно. Отметим, что производные Капуто и Рисса
могут быть выражены [101,307] через производные Римана-Лиувилля и
Лиувилля. В силу этого квантование производных Римана-Лиувилля и
производных Лиувилля позволит получать квантовые аналоги и для производных
Капуто и Рисса.
Известно, что производные по координатам qk и импульсам pk могут
быть представлены через скобки Пуассона
для непрерывно дифференцируемых функций A(q,p) G С1(Ш2п).
Квантовыми аналогами этих скобок Пуассона являются самосопряженные
коммутаторы. Вейлевское квантование тг\у [468,469,512] выражений (21.1)
и (21.2) имеет вид
где [А, В] = АВ — В А. В результате получаем, что супероператоры
А(Я,Р) = -{Pk,A(q,p)}>
А(Я,Р) = {Qk,A(q,p)}
(21.1)
(21.2)
(21.3)

21.2. Вейлевское квантование дифференциальных операторов 521
где Qk = Kw(qk) и Р/с = 7rvy(pfc), могут рассматриваться как квантовые
аналоги производных D*k и Z)pfc. Квантовые аналоги производных целого
порядка п могут быть определены как произведения Lpk и Lgfc. Например,
квантовый аналог D^D^ имеет вид —LpfcLgz = {\/Ti)2[Pk, . ]]. Для
производной D™k имеем (-l)n(Lpfc)n.
Квантовыми аналогами производных D^k и D*k являются
коммутаторы (21.3) и (21.4). Важно найти аналоги производных
Римана-Лиувилля и Лиувилля для квантовой теории [512,530]. Для нахождения
квантового аналога производных Римана-Лиувилля можно использовать [530]
представление этих производных на множестве аналитических функций.
В этом представлении производная Римана-Лиувилля является степенным
рядом с производными целого порядка. Это позволяет использовать
соответствие между производными целого порядка и самосопряженными
коммутаторами [522]. Для определения квантового аналога производной
Лиувилля, которая определена на всей действительной оси Е, можно
использовать представление вейлевского квантования через Фурье
преобразование [512]. Квантовые аналоги производных дробного порядка позволяют
рассматривать квантовые процессы, которые описываются дробными
дифференциальными уравнениями на классическом уровне. Это может быть
использовано для нахождения квантовых поправок к классическим
эффектам. Используя методы вейлевского квантования, можно реализовать
квантование нигде не дифференцируемых функций, определенных на фазовом
пространстве. В связи с этим отметим интересные подходы к
использованию фракталов в квантовой физике, предложенные в [563].
В разделе 2 кратко описывается процедура вейлевского квантования
функций и дифференциальных операторов. В разделе 3 рассматривается
вейлевское квантование производных Римана-Лиувилля. В разделе 4
описывается квантование производных Лиувилля, использующее
преобразование Фурье. В разделе 5 определяется вейлевское квантование не
дифференцируемых функций Вейерштрасса. Краткое заключение дается в разделе 6.
21.2. Вейлевское квантование дифференциальных
операторов
Рассмотрим дифференциальный оператор
C = C[q,p,DlDl\ (21.5)

522
Глава 21
на множестве функций, определенных на фазовом пространстве Е2п. Этот
оператор является функцией координат qk (к = 1,..., п), импульсов pk
(к = 1,..., п) и производных D^k и Dpk, к = 1,..., п. Под квантованием
обычно понимают процедуру, которая любой вещественнозначной функции
A(q,p) сопоставляет самосопряженный оператор A(Q, Р), описывающий
квантовую наблюдаемую. Соответствие между операторами А = A(Q,P)
и символами A(q,p) полностью определяется формулами, которые
выражают символы операторов QA, AQ, РА, АР в терминах символов
оператора А. Известно [512], что вейлевское квантование тг\у определяется
уравнениями
*w(qkA(q,p)) = ±(QkA + AQk), (21.6)
*w(pkA(q,p)) = \(ркА + АРк), (21.7)
kW(DlkA{q,p)) =-±(ркА-АРк), (21.8)
тги/ (p\h A{q,p)) = ^ (QkA - AQk) (21.9)
для любого A = A{Q,P) = 7rw(A(q,p)), где Qk = nw{qk) и Pk = irw(pk)-
Определим операторы левого умножения L~A и L\, действующие на
функции, определенные на фазовом пространстве, по формулами
LAB(q,p) = {A(q,p),B(q,p)},
L\B{q,p) = A(q,p)B(q,p). (21.10)
Из этих определений получаем
L+kA(q,p) = qkA{q,p), L+kA(q,p) = pkA{q,p) (21.11)
и
L-A(q,p) = D^Afap), L-kA(q,p) =-DlqkA(q,p). (21.12)
Тогда оператор £[g,p, D*, Dp] может быть представлен как
C[q,p,D1q,D1p)=C[L+,L+,-L;tL-).
Используя супероператоры Lq и Lp, определенные соотношениями
L+A = \{QA + AQ), L+PA = \{PA + AP), (21.13)

21.3. Квантование производных Римана-Лиувилля
523
LqA=±(QA-AQ), L-pA = ±(pA-AP), (21.14)
перепишем уравнения (21.6)-(21.9) в виде
7TW {L+k А) = L+fc A, ttw {L~k A) = A,
7rw{L+kA) = L+fci, 7nv(L-Л) = LpkA.
Поскольку эти соотношения должны выполняться для любого А = 1Г\у(А),
можно определить [469,512] (см. также [468,470]) квантование операторов
Определение. Вейлевское квантование тг\у координат и импульсов
Pk дает операторы
Qk = irw{Qk), Рк = nw{Pk)-
Вейлевское квантование операторов L^k и L^k определяется формулами
*w{L+) = L+fc, nw(L-k) = Lgfc, (21.15)
7nv(L+ ) = L+fc, 7Tw(L- ) = L~Pk, (21.16)
Уравнения (21.15) и (21.16) определяют вейлевское квантование
дифференциального оператора C[q,p, D*,Dp].
Теорема. Вейлевское квантование nw дифференциальному
оператору C[q,p, D*, Dp] на пространстве функций сопоставляет супероператор
£[Lg, Lp, — Lp, Lq], действующий на операторном пространстве
ttw (c[q,p,D\,Dlp]) = £[L+,L+, -Lp,Lg].
Доказательство. Эта теорема доказана в [512]. □
Замечание. Отметим, что коммутационные соотношения для
операторов Lfk, Lpk и £gfc, Lpk совпадают. В силу этого упорядочение Lpk и Lgfc
в супероператоре C[Lq, Lp,—Lp, Lq] однозначно определяется упорядочиванием
b£[L+,L+,-L-,L"].
21.3. Квантование производных Римана-Лиувилля
Для реализации вейлевского квантования производной
Римана-Лиувилля дробного порядка воспользуемся дробным аналогом ряда Тейло-

524
Глава 21
pa [530]. Производная Римана-Лиувилля qD* на интервале [0, Ь]
определяется уравнением
0D*A{X) ~ T(m^)d^ J (*-y)«-m+i' (21-17)
где га — 1 < а < га.
Теорема. Если А(х) является аналитической функцией для х Е (0, Ь),
то производная Римана-Лиувилля (21.17) может быть представлена в
виде
оо
0D%А(х) = ^ а(п' а)хП~а ЩА{х)% (21.18)
где
Г(а + 1)
а(п, а)
Г(п + 1)Г(а - п + 1)Г(п - а + 1)'
Доказательство. Эта теорема доказана в [101] (см. также
лемму 15.3 в [101]). □
Для определения вейлевского квантования производной
Римана-Лиувилля рассмотрим представление (21.18) на фазовом пространстве [530].
Если A(q,p) является аналитической функцией на плоском фазовом
пространстве R2n, то можно использовать (21.18) для производных
Римана-Лиувилля по координатам qk и импульсам p/t.
Теорема. Вейлевское квантование производных Римана-Лиувилля
(21.23) и (21.24) дает супероператоры
оо
оЩ„ = *w(oDl) = J2a(n,a)(L+k)n-a (-Lpk)n, (21.19)
71=0
ОО
oVaPk=nw(0Dl) = 1£aM(LpJn~Q(LVn- (2L2°)
71=0
Доказательство. Если A(q,p) является аналитической функцией на
фазовом пространстве R2n, то производные Римана-Лиувилля по
переменным qk и pk могут быть представлены, используя формулу (21.18), в виде
оо
oD°kA(q,p) = £a(n,a)<£-a££A(<Z,p), (21.21)
71=0

21.3. Квантование производных Римана-Лиувилля
525
оГ%кА(д,р) = ^а(п,а)рпк-« D%kA(q,V), (21.22)
71=0
где к = 1,...,п. Вейлевское квантование определяется соотношениями
(21.15) и (21.16). Поэтому дробные производные (21.21) и (21.22)
должны быть представлены через операторы L^k и Ьрк, которые
определяются формулами (21.11) и (21.12). Используя операторы L^k и Lpk,
уравнения (21.21) и (21.22) перепишутся в виде
оо
0Г%кА(д,р) = 5>(п,а) (Ь£)п"в )М(9,р),
71=0
ОО
0D°kA(q,p) = J>(n,a) (L+)"-° (L-)М(9,р).
п=0
Эти уравнения выполняются для любых аналитических функций A(q,p),
определенных на фазовом пространстве К2п. В результате производные
дробного порядка могут определяться формулами
оо
0D°k = £a(n,a)(L+J»-°(-L-)», (21.23)
n=0
оо
0Z>° =£>(n,a)(L+J»-°(L-)». (21.24)
71=0
Вейлевское квантование операторов L^k и L^k определяется
уравнениями (21.15) и (21.16). В результате получаем соотношения (21.19) и (21.20).
□
Замечание. Уравнения (21.19) и (21.20) могут рассматриваться как
определения супероператоров дифференцирования дробного порядка, действующих на
операторном пространстве.
Пример. Из формул квантования следует, что
T)Q пп — Г(п + 1) ^n_Q Q п Г(П + 1) jya-oc
Quq4 — 7^——: гУ » o^pf — ——— -г ,
w Г(п -f 1 - а) Г(п -f 1 - a)
где n ^ 1 и a ^ 0.

526
Глава 21
21.4. Квантование производной Лиувилля
Для квантования производной Лиувилля нецелого порядка
воспользуемся [530] оператором преобразования Фурье Т. Преобразование Фурье
А(а) некоторой функции А(х) Е la (М) задается формулой
А(а) = Г{А(х)} = 1 JdxA(x) exp{-mx}.
R
Если A(x) E Z/i(E), то выполняется равенство Парсеваля ||Л||2 = ll^lb-
Пусть Т является расширением этого преобразования Фурье до унитарного
изоморфизма на L2 (R)- Определим операторы
Ск = F-lLk{a)F,
где функции Lk(a) (к Е N) являются измеримыми. Эти операторы образуют
коммутативную алгебру. Если £12 — оператор, ассоциируемый с функцией
L 12(a) = Li(a)L2{a), то получаем
С12 = = С2С1.
Определим производную дробного порядка как оператор такой, что
D%A(x) = Г-1(ю)аГА(х), (21.25)
где
(iar = \a\«exp(?fsgn(a)).
Для А(х) Е Z/2(M) уравнение (21.25) дает интегральное представление
D* А(х) = ± J dadx' (ia)a А(х') ехр{га(х - х')}. (21.26)
R2
Легко доказать, что уравнение (21.26) эквивалентно хорошо известному
интегральному представлению Римана-Лиувилля, имеющему вид
— оо
Однако это представление не может быть использовано для квантования.

21.4. Квантование производной Лиувилля
527
Для определения вейлевского квантования производной Лиувилля
рассмотрим представление (21.26) в фазовом пространстве [530]. Пусть
A(q,p) — функция из функционального пространства L2QR2) функций,
определенных на двумерном фазовом пространстве К2. Тогда
уравнение (21.26) представляется в виде
D^pA(q,P) = J (fa)" (ibfA(q',P')e^')+Hp-p,)\
R4
(21.27)
Вейлевское квантование функции A(q,p) определяется формулой
A{Q,P)=nw(A(q,p)) = J A(q,p)e*
R4
Используя это уравнение, определим вейлевское квантование (21.27) в виде
D%D0pA(Q,P) = 7rw^D^A(q,p)) =
= j (ia)° (ibf A(q,p) exp ± (a(Q - qi) + b(P - pi)). (21.28)
R4
Это уравнение может рассматриваться как определение
дифференцирований Dq и Dp на множестве квантовых наблюдаемых [530].
Обобщение вейлевского квантования A(q,p) может быть определено
в виде
AF(Q,P) = J F(a, b) A(q,p) exp 1 (o(Q - qi) + b(P - pi)).
R4
(21.29)
Если F(a, b) = 1, то уравнение (21.29) задает вейлевское квантование. Для
F(a, b) — cos(ab/2h) получаем квантование Ривьера (Rivier quantization).
Уравнение (21.28) может рассматриваться как обобщенное квантование
A(q, р) с функцией
F(a,b) = {ia)a{ibf.
Отметим, что эта функция равна нулю на осях а и Ъ и в результате не
существует дуального операторного базиса.

528
Глава 21
21.5. Квантование не дифференцируемых функций
В 1872 году Карл Вейерштрасс привел пример функций, являющихся
везде непрерывными, но нигде не дифференцируемыми [269,554].
Графики функций Вейерштрасса могут рассматривать как фракталы [76,228,229,
238]. Фракталы находят широкое применение в физике [36,76,93,125,169,
319]. Отметим общий подход к построению фракталов в квантовой теории,
который был предложен в работе [563].
Пусть W(x) является функцией на К. При некоторых условиях график
{(x,W(x)) : х е К}, рассматриваемый как подмножество
(х,^-координатной плоскости, может быть фракталом. Если W(x) имеет непрерывную
производную, то нетрудно показать, что график имеет размерность
равную 1. Однако существует возможность для непрерывных функций быть
достаточно нерегулярными, чтобы иметь график размерности строго
меньшей 1. Хорошо известным примером является функция
оо
W(x) = ^a{s-2)k sin(afcx),
к=о
где 1<з<2иа>1, имеющая клеточную размерность D = s.
Функция Вейерштрасса определяется формулой
оо
W(x) =]TVsin(6nx),
к=0
где 0<а<1<ЬиаЬ>1,и является примером непрерывной, нигде не
дифференцируемой функции. Клеточная размерность графика этой
функции является нецелым числом
In a I
D
In b
Можно рассмотреть волновую функцию
м
Фм(*,я) = NM^2ak{s~2) sm(akx)e~
к=0
где a = 2,3,... и s £ (0,2). В физически интересных случаях для
любых конечных М волновая функция является решением
уравнения Шрединтера. В предельном случае функция
оо
Ф(*. х) = lim Фм(£, х) = N V ак{а~2) sm^x^-™*"1
fc=0

21.5. Квантование не дифференцируемых функций 529
с нормировочной константой
ЛГ=^!(1-а*<-2>)
является непрерывной, но нигде не дифференцируемой. По аналогии с
теорией обобщенных функций она может рассматриваться как решение
уравнения Шредингера в слабом смысле. Было показано, что плотность
вероятности P(t,x) — |Ф(£,х)|2 имеет фрактальные свойства, а поверхность
P(t, х) имеет клеточную размерность D = 2 + 0.5s.
Комплексная функция Вейерштрасса определяется формулой
оо
W0{x) = (1 -а2)-1/2^а/сехр(2тггЬ/сх),
к=0
где b > 1 действительное число, а = bD~2 и 1 < D < 2. Можно доказать,
что эта функция является непрерывной, но не является
дифференцируемой. Отметим, что Wq{x) является непрерывной и дифференцируемой при
D<\.
Рассмотрим эту функцию на фазовом пространстве R2 при х = q или
х — р. Используя операторы
L+A{q,p) = qA{q,p), L+A(q,p) = pA{q,p),
комплексная функция Вейерштрасса может быть представлена [530] в
операторном виде
оо
W0(L+) = (l- a2)-1/2J2°>k ещ>(2тЬкЬ+). (21.30)
к=0
Основным предположением является то, что общие свойства вейлевского
квантования [469,512], задаваемого формулами
*w{L+) = L+, «W(L+) = L+,
N N
7rw(^2Ak(q,p)) =^2^w{Ak(q,p)),
к к
выполняются для конечных сумм (N < оо), но и для бесконечных сумм
оо оо
nw(^TAk{q,p)) = ^2irw(Ak(q,p)).
к к

530
Глава 21
В этом случае вейлевское квантование оператора (21.30) дает
оо
W0(L+) = *w(Wo(L+)) = (1 -a2)-1/2^a/cexp(27T26fcL+), (21.31)
к=0
оо
W0(L%) = irw(W0(L+)) = (1 -a2)-1/2^a/cexp(27T26/cL+), (21.32)
k=0
где Q = 7Tw(q) и P = ячу(р), а супероператоры Lq, Lp определены
выражениями (21.13). В результате уравнения (21.31) и (21.32) определяют
супероператорные функции Вейерштрасса Wo(Lq) и Wo(Lp) на
операторной алгебре. В вигнеровском представлении квантовой механики эти
супероператоры представляются функциями Вейерштрасса Wo(q) и Wo(p),
определенными на фазовом пространстве R2.
Можно рассмотреть операторы
оо
Wo(L-) = (l-a2)-1/2^afcexp(27T26/cL-), (21.33)
к=0
оо
Wo(L-) = (1 -a2)-1/2^a*exp(27n6*L;), (21.34)
к=0
где
L;A(q,p) = {q, A(q,p)} = £>»A(g,p),
LpA(q,p)=p,A(q,p) = -D\A{q,p).
Используя функции
Ф(д) = exp(Ag), Ф(р) = exp(Ap) (g.peR),
получаем
£"Ф(в) = АФ(9), £;Ф(р) = -АФ(р).
Тогда Ф(д) и являются собственными функциями операторов L~ и L~
с собственными значениями ±А. Клеточная размерность их спектральных
графиков (А, ±А) равна 1. Операторы (21.33) и (21.34) дают
Wo(L-)*fa) = Wo(A)*(e), W0(L-)^(p) = \¥о(-\)Щр).
В результате функции Вейерштрасса Wo(±A) являются собственными
значениями операторов (21.33) и (21.34) с собственной функцией Ф(х). Тогда

21.6. Заключение
531
спектральные графики (Л, Wo(±A)) этих операторов являются
фрактальными множествами. Клеточные размерности этих графиков являются
нецелыми числами.
Используя формулы
nw(Lp) = Lp, iTw(L~) = Lp,
можно реализовать вейлевское квантование операторов (21.33) и (21.34).
В результате получаем супероператоры вида
оо
Wo(Lq) = irw(W0(L-)) = (1 - a2)-1/2^afcexp(27ribfcLg)7 (21.35)
к=0
оо
Wo(Lp) = nw{WQ{L-)) = (1 -a2)-1/2^a/cexp(27T2bfcLp), (21.36)
k=0
где Q = 7Tvr(g) и P = 7rw(p). Супероператоры Lq и Lp определяются
формулами (21.14). Уравнения (21.35) и (21.35) определяют супероператорные
функции Вейерштрасса Wo(Lq) и Wo(Lp) на множестве квантовых
наблюдаемых [530]. В вигнеровском представлении квантовой механики эти
супероператоры представляются операторами Wo(L~) и Wo(L~) с
фрактальными спектральными графиками (A, Wo(±A)).
21.6. Заключение
Используя вейлевское квантование [468-470,512] и представление
производных нецелого порядка для аналитических функций [101,444] и через
преобразование Фурье, были получены [522,530] квантовые аналоги
производных Римана-Лиувилля и производных Лиувилля. Производные Капуто
и Рисса могут быть представлены [101,307] через производные
Лиувилля и Римана-Лиувилля. В силу этого квантовые аналоги производных
Римана-Лиувилля и производных Лиувилля позволяют получить и аналоги
производных Капуто и Рисса. Квантование производных дробного
порядка позволяет рассматривать квантовые процессы, которые на классическом
уровне описывались дифференциальными уравнениями с дробными
производными.
Квантовые аналоги производных дробного порядка [522,530]
позволяют определить обобщение понятия гамильтоновой системы нецелого
порядка [477,530] на квантовый случай. В этом случае широкий класс кван-

532
Глава 21
товых негамильтоновых систем [512] может рассматриваться как дробно-
гамильтоновы системы. Используя этот подход, можно исследовать
широкий класс квантовых аналогов динамических систем с регулярными
и странными аттракторами [1,2,85]. Отметим, что квантовый аналог
системы Лоренца [74,334,454] был предложен в работах [468,512].

Литература
I] Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы
возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических
системах. М.: Наука, 1990. 312 с.
[2] Анищенко В. С, Астахов В. В., ВадивасоваТ. Е. Регулярные и хаотические
автоколебания: Синхронизация и влияние флуктуации. М.: Интеллект, 2009.
312 с.
[3] Арнольд В. Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности на себя //
Известия АН СССР. Сер. матем. 1961. Т. 25. № 1. С 21-86.
[4] БабенкоЮ. И. Метод дробного дифференцирования в прикладных
задачах теории тепломассообмена. Санкт-Петербург: Профессионал, 2007. URL:
http : j/www.naukaspb.ru/gotovyatsyа/babenko_sod.htm
[5] Браун О. М., КившарьЮ. С. Модель Френкеля-Конторовой. Концепции,
методы, приложения. М.: Физматлит, 2008. 536 с.
[6] Боголюбов A. Н., Потапов A. А., Рехвиашвили С. Ш. Способ введения
дробного интегро-дифференцирования в классической электродинамике // Вестник
Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. №4 (2009). С. 9-
12.
[7] Боголюбов Н. Н. Избранные труды. Том. 2. Киев: Наукова думка, 1970. 522 с.
[8] Боголюбов Н. Н. Кинетические уравнения // Журнал Экспериментальной
и теоретической физики. Том 16. (1946) 691-702.
[9] Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике.
М.: ОГИЗ, 1946. 120 с.
0] Боголюбов Н. Н. Метод функциональных производных в статистической
механике // Избранные Труды. Том 2. Киев: Наукова думка, 1970. С. 197-209.
II] Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов в 12 томах. Том 5. М.: Наука, 2005.
804 с.
12] Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов в 12 томах. Том 6. М.: Наука, 2005.
520 с.
13] Боголюбов Н. Н., ШирковД. В. Введение в теорию квантованных полей. 4-е
изд. М.: Наука, 1984. 600 с.
4] Борисов А. В., Мамаев И. С. Неголономные динамические системы.
Интегрируемость. Хаос. Странные аттракторы. Москва-Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2002. 328 с.

534
Литература
[15] Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в
гамильтоновой динамике. Ижевск: ИД Удмуртский университет, 1999. 464 с.
[16] БорнМ., ХуангК. Динамическая теория кристаллических решеток. М.: ИИЛ,
1958. 488 с.
[17] ВалландерС. В. Лекции по гидроаэромеханике. 2-е изд. СПб.: Изд-во СПбГУ,
2005. 296 с.
[18] Васильев A.M. Теория дифференциально-геометрических структур. М.: Изд-
во МГУ, 1990. 190 с.
[19] Васильев В. В., Симак Л. А. Дробное исчисление и аппроксимационные
методы в моделировании динамических систем. Киев: НАН Украины, 2008. 256 с.
URL: http://eqworld.ipmnet.ru/n^ibrary/booksA^asiIevSimak^
[20] Владимиров В. С, Волович И. В., Зеленое Е. И. р-адический анализ и
математическая физика. М.: Наука, 1994. 352 с. Глава II.
[21] Власов А. А. О вибрационных свойствах электроного газа // Успехи
физических наук. 1967. Том 93. Вып. 11. С. 444-470.
[22] Власов А. А. О вибрационных свойствах электроного газа // Журнал
Экспериментальной и теоретической физики. 1938. Том 8. №3. С. 291-318.
[23] Власов А. А. Статистические функции распределения. М.: Наука, 1966. 356 с.
[24] Власов А. А. Нелокальная статистическая механика. М.: Наука, 1978. 264 с.
[25] ВишикМ. И., КомечА. И., ФурсиковА. В. Некоторые математические
проблемы статистической гидромеханики // Успехи математических наук. 1979.
Том 34. №5. С. 135-210.
[26] ВишикМ.И., ФурсиковА.В. Математические задачи статистической
гидромеханики. М.: Наука, 1980. 440 с.
[27] Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференци-
альных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.
[28] Востовский Г. В., Колмаков А. Г., Бунин И. Ж. Введение в мультифрактальную
параметризацию структуры материалов. Москва-Ижевск: Регулярная и
хаотическая динамика, 2001. 116 с.
[29] ГардинерК. В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986.
528 с.
[30] ГельфандИ.М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.:
Добросвет, 2000. 400 с.
[31] ГилморР. Прикладная теория катастроф. Том 1. М.: Мир, 1984. 350 с.
[32] Гинзбург В. Л., Ландау Л. Д. К теории сверхпроводимости // Журнал
экспериментальной и теоретическиой физики. 1950. Т. 20. № 12. С. 1064-1082.
[33] ГнеденкоБ. В. Курс теории вероятностей. 4-е изд. М.: Наука, 1965. 400 с.
[34] ГолдстейнГ. Классическая механика. М.: ГИТТЛ, 1957. 408 с. Параграфы 2.4
и 1.4.
[35] ГодбийонК. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.:
Мир, 1973. 188 с.

Литература
535
Горохов А. В. Квантовые фракталы // Теоретическая физика. 2002. Том 3.
С. 32-52. М: Мир, 1973. 188 с.
Гриффите Ф. Внешние дифференциальные системы и вариационное
исчисление. М.: Мир, 1986. 360 с.
де Гроот С. Р., СатторпЛ. Г. Электродинамика. М.: Наука, 1982. 560 с.
де Гроот С, МазурП. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 456 с.
Гуров К. П. Основания кинетической теории. Метод Н. Н. Боголюбова. М.:
Наука, 1966. 352 с.
Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука,
1967. 47 2с.
ДжрбашянМ. М. Интегральные преобразования и представления функций
в комплексной области. М.: Наука, 1966. 671 с.
Добронравов В. В. Основы механики неголономных систем. М.: Высшая
школа, 1970. 272 с.
Добронравов В. В. Основы аналитической механики. М.: Высшая школа,
1976. 264 с. Глава XV.
ДолбинИ. В., Козлов Г. В., ЗаиковГ. Е. Структурная стабилизация
полимеров: фрактальные модели. М.: Изд-во Академия Естествознания, 2007. URL:
http://www.rae.ni/monographs/9
Дубровин Б. А., НовиковА. Н., Фоменко A. Н. Современная геометрия:
Методы и приложения. 2-е изд. М.: Наука, 1986. 760 с.
ДьярматиИ. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные
принципы. М.: Мир, 1974. 304 с.
Заславский Г. М. Гамильтонов хаос и фрактальная динамика. Ижевск, Москва:
Институт компьютерных исследований, 2010. 472 с.
Заславский Г. М., СагдеевР. 3. Ввеедение в нелинейную физику. От маятника
до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. 368 с.
Зверев В. В. Об условиях существования интегралов по фрактальным
носителям // Теоретическая и математическая физика. 1996. Т. 107. № 1. С. 3-11.
Зельдович Я. Б., Соколов Д. Д. Фрактали, подобие, промежуточные
асимптотика // Успехи Физических Наук. 1985. Т. 146. №3. С. 494-506.
Зеленый Л. М., Милованов А. В. Фрактальная топология и странная кинетика:
от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // Успехи
Физических Наук. 2004. Т. 174. №8. С. 809-852.
ЗоричВ. А. Математический анализ. Часть 2. М.: Наука, 1984. 640 с.
Зубарев Д. Н., Новиков М. Ю. Обобщенная формулировка граничного условия
к уравнению Лиувилля и цепочке Б-Б-Г-К-И // Теоретическая и
математическая физика. 1972. Т. 13. №3. С. 406-420.
[55] Иванова В. С, Баланкин А. С, Бунин И. Ж., ОксогоевА. А. Синергетика
и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994. 383 с.

536
Литература
[56] ИсихараА. Статистическая физика. М: Мир, 1973. 470 с. Приложение IV,
и параграф 7.5.
[57] Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. 2-е изд. М.: Наука, 1988.
303 с. Параграфы 2.5.5 и 3.4.4.
[58] Казбеков К. К. Дробные дифференциальные формы в евклидовом
пространстве // Владикавказский Математический Журнал. Том 7. №2. (2005) 41-54.
[59] Карасев М. В., Маслов В. П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и
квантование. М.: Наука, 1991. 368 с.
[60] Килбас А. А. Новые направления в теории дробных интегральных и
дифференциальных уравнений // Физико-математические науки. Труды
геометрического семинара. Учен. зап. Казан, гос. ун-та. 2005. Том 147. № 1. С. 72-106.
[61] КиттельЧ. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 792 с.
[62] КляцкинВ. И. Стохастические уравнения и волны в случайных средах. М.:
Наука, 1980. 336 с.
[63] Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом
пространстве. М. Наука, 1967. 464 с.
[64] КристенсенР. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. 334 с.
[65] КроноверР. Фракталы и хаос в динамических системах. 2-е изд. М.:
Техносфера, 2006. 488 с.
[66] КрыловС. С, Бобров Н. Ю. Фракталы в геофизике. СПб.: Изд-во СПбГУ,
2004. 138 с.
[67] Коллинз Дж. Перенормировка. М.: Мир, 1988. 488 с. Глава 4.
[68] Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи
математических наук. 1938. Том 5. С. 5-41.
[69] Кулак М. И. Фрактальная механика материалов. Минск: Вышэйшая школа,
2002. 302 с.
[70] Кулак М. И., Ничипорович С. А., Медяк Д. М. Методы теории фракталов в
технологической механике и процессах управления. Минск: Изд-во Белорусская
наука, 2007. 420 с.
[71] Лайтхилл Дж. Волны в жидкости. М.: Мир, 1981. 600 с. Параграф 3.7.
[72] Леонтович М. А. // Известия Академии Наук СССР. Серия Физика. Том 8.
(1944) С. 16.
[73] ЛифшицЕ. М., Питаевский Л. П. Статистическая физика. Часть 2. Теория
конденсированного состояния. М.: Наука, 1978. 448 с.
[74] Лоренц Э. Н. Детерминированное непериодическое течение // Странные
аттракторы. Сборник статей. М.: Мир, 1981. С. 88-116.
[75] МалкинИ. Г. Теория устойчивости движения. 2-е изд. М.: Наука, 1966. 530 с.
[76] Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Москва-Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2002. 656 с.
[77] Маслов В. П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. 544 с. Параграф 1.8.

Литература
537
Матвеев A. Н. Электродинамика. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1980. 383 с.
Мессиа А. Квантовая механика. Том 1. М.: Наука, 1978. 480 с. Параграф 8.10.
МонинА. С, ЯгломА. М. Статистическая гидромеханика. Механика
турбулентности. Том 1. М.: Наука, 1965. 640 с.
МонинА.С, ЯгломА.М. Статистическая гидромеханика. Механика
турбулентности. Том 2. М.: Наука, 1967. 720 с.
Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. 2-е изд. Москва-Ижевск:
Институт компьютерных исследований, 2004. 160 с.
НахушевА. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003.
272 с.
НеймаркЮ. И., ФуфаевН. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука,
1967. 520 с.
НеймаркЮ. И., ЛандаП. С. Стохастические и хаотические колебания. М.:
Наука, 1987. 424 с.
Нигматуллин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация //
Теоретическая и математическая физика. 1992. Т. 90. №3. С. 354-368.
Нигматуллин Р. Р., Рябов Я. Е. Диэлектрическая релаксация типа Коула-Девид-
сона и самоподобный процесс релаксации // Физика твердого тела. 1997. Т 39.
№1. С. 101-105.
Новоселов В. С. Вариационные методы в механике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1966.
72 с.
ОльверП. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир,
1989. 639 с. Глава 4 и параграф 5.4.
ПаписЖ., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем.
Введение. М.: Мир, 1986. 301 с.
Парс Л. А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971. 636 с.
ПеткевичВ. В. Теоретическая механика. М.: Наука, 1981. 496 с.
Потапов A. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Топология выборки.
М.: Университетская книга, 2005. 848 с.
Прудников А. П., БрычковЮ. А., МаричевО. И. Интегралы и ряды. Том 1.
Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 800 с.
ПсхуА. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука,
2005. 200 с.
РайдерЛ. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987. 511 с. Глава 6.
Риман Б. Опыт обобщения действий интегрирования и дифференцирования //
в Бернгард Риман Сочинения. Под ред. Гончарова В. Л., М.-Л.: ГИТТЛ. 1948.
544 с. С. 262-275.
[98] Румянцев В. В. Принцип Гамильтона для неголономных систем // Прикладная
Математика и Механика. 1978. Т. 42. №3. С. 387-399.

538
Литература
[99] Рутман Р. С. К статье Р. Р. Нигматуллина «Дробный интеграл и его физическая
интерпретация» // Теоретическая и математическая физика. 1994. Т. 100. №3.
С. 476-478.
[100] Рутман Р. С. О физических интерпретациях фрактального интегрирования
и дифференцирования // Теоретическая и математическая физика. 1994.
Т. 105. №3. С. 393-404.
[101] СамкоС. Г., КилбасА. А., МаричевО. И. Интегралы и производные дробного
плрядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
[102] Седов Л. И., ЦыпкинА. Г. Основы макроскопических теорий гравитации
и электромагнетизма. М.: Наука, 1989. 272 с. Параграфы 3.7, 3.8-3.12 и
глава 4.
[103] Седов Л. И. Модели сплошных сред с внутеренними степенями свободы.
Прикладная математика и механика. 1968. Т. 32. №5. С. 711-785.
[104] Седов Л. И. Математические методы построения новых моделей сплошных
сред // Успехи математических наук. 1965. Т. 20. №5. С. 121-180.
[105] Седов Л. И. Механика сплошной среды. 4-е изд. М.: Наука, 1983. 528 с.
[106] СибатовР.Т, УчайкинВ. В. Дробно-дифференциальный подход к описанию
дисперсионного переноса в полупроводниках // Успехи физических наук.
2009. Т. 179. № 10. С. 1079-1104.
[107] Силин В. П., РухадзеА. А. Электромагнитные свойства плазмы и
плазмоподобных сред. М: Атомиздат, 1961. 244 с.
[108] Смирнов Б. М., Физика фрактальных кластеров. М.: Наука, 1991. 136 с.
[109] Станиславский А. А. Вероятностная интерпретация интеграла дробного
порядка // Теоретическая и математическая физика. 2004. Т. 138. №3. С. 491-
507.
[ПО] Суслов В. Г. О кинетическом потенциале Гельмгольца // Математический
сборник. 1886. Т. 19. № 1. С. 197-210.
[111] Тарасов В. Е. Квантовые диссипативные системы. III. Определение и
алгебраическая структура // Теоретическая и математическая физика. 1997. Т. ПО.
№1. С. 73-85.
[112] ТарасовВ. Е. Квантовая механика. Лекции по основам теории. 2-е изд. М.:
Вузовская книга, 2005. 326 с.
[113] Тарасов В. Е. Дробное обобщение квантового марковского производящего
уравнения // Теоретическая и математическая физика. 2009. Т. 158. №2.
С. 214-233.
[114] Тарасов В. Е. Дробные интегро-дифференциальные уравнения для
электромагнитных волн в диэлектрических средах // Теоретическая и математическая
физика. 2009. Т. 158. №3. С. 419-424.
[115] Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. М.: Советское радио,
1977. 488 с.

Литература
539
116] ЧетаевН. Г. О принципе Гаусса // Труды физико-математического общества
Казанского университете. 1932-1933. Том 6. Серия 3. С. 68-71.
117] ЧетаевН.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.:
АН СССР, 1962. С. 323-326.
118] ЧетаевН. Г. Устойчивость движения. 4-е изд. М.: Наука, 1990. 176 с.
119] Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. М.: Мир, 1965.
308 с.
120] Урысон П. С. Работы по топологии и другим областям математики. Тома 1-2.
М.: Гостехиздат, 1951. 512 с.
121] УчайкинВ. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы //
Успехи физических наук. 2003. Т. 173. №8. С. 847-876.
122] УчайкинВ.В. Аномальная диффузия и дробно-устойчивые распределения //
Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2003. Т. 124. №3. С.
903-920.
123] УчайкинВ.В. Дробно-дифференциальная модель динамической памяти //
Сборник научно-популярных статей — победителей конкурса РФФИ 2006
года. Выпуск 10. Под редакцией КоноваВ. И. М.: Октопус, 2007. С. 25-41. URL:
http://ww.rfbr.ru/pics/28393re^file.pdf
124] УчайкинВ.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008.
512 с. URL: http://www.keldysh.ru/Fractional-calculus/
125] ФедерЕ. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254 с.
126] Филлипов В. М., СавчинВ. М., Шорохов С. Г. Вариационные принципы для
непотенциальных операторов. // Современные проблемы математики.
Новейшие достижения. Том 40. М.: ВИНИТИ, 1992. 178 с.
127] Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: Изд-
во МГУ, 1988. 414 с.
128] Форстер Д. Гидродинамические флуктуации, нарушенная симметрия и
корреляционные функции. М.: Атомиздат, 1980. 288 с.
129] Фракталы в прикладной физике. Под ред. А. Е. Дубинова. Арзамас-16: ВНИ-
ИЭФ, 1995. 216 с.
130] ХиллеЭ., ФиллипсР. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИИЛ, 1962.
830 с.
131] Чаплыгин С. А. Исследования по динамике неголономных систем. М.-Л.:
ГИТТЛ, 1949; 2-ое изд. М.: УРСС, 2007. 112 с.
132] Швидлер М. И. Статистическая гидродинамика пористых сред. М.: Недра,
1985. 288 с.
133] Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. 240 с.
134] Эккер Г. Теория полностью ионизированной плазмы. М.: Мир, 1974. 432 с.
135] Электронная теория неупорядоченных полупроводников. Бонч-Бруевич В. Л.
Звягин И. П., КайперИ.П., Миронов А. Г., ЭндерлайнР., ЭссерБ., М.: Наука,
1981. 384 с. Параграфы 1.5, 1.6, 2.5.

540
Литература
[136] AbramowitzM., Stegunl.A., (Eds.), "Sine and Cosine Integrals." Sec. 5.2 in
Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical
Tables, 9th printing. (Dover, New York, 1972) pp. 231-233.
[137] Accardi L., LuY. G., Volovichl. V. Quantum Theory and Its Stochastic Limit
(Springer Verlag, New York, 2002).
[138] AcharB.N.N., Hanneken J. W., Clarke T. Damping characteristics of a fractional
oscillator// PhysicaA. Vol.339. №34 (2004) 311-319.
[139] AcharB.N.N., Hanneken J. W., Clarke T. Response characteristics of a fractional
oscillator// PhysicaA. Vol.309. №34. (2002) 275-288.
[140] AcharB.N.N., Hanneken J. W., EnckT., Clarke T. Dynamics of the fractional
oscillator // PhysicaA. Vol.297. №34. (2001) 361-367.
[141] AldrovandiR., KraenkelR. A., On exterior variational calculus // Journal of
Physics A. Vol.21. №6. (1988) 1329-1339.
[142] AlfimovG. L., Eleonsky V. M., LermanL. M. Solitary wave solutions of nonlocal
sine-Gordon equations // Chaos. Vol. 8. № 1. (1998) 257-271.
[143] AlfimovG.L., KorolevV.G. On multikink states described by the nonlocal sine-
Gordon equation // Physics Letters A. Vol. 246. №5. (1998) 429435.
[144] AlfimovG.L., PierantozziT., VazquezL. Numerical study of a fractional sine-
Gordon equation // in: Fractional differentiation and its applications, A. Le
Mehaute, J.A. Tenreiro Machado, L.C. Trigeassou, J. Sabatier (Eds.), Proceedings
of the IFAC-FDA'04 Workshop, Bordeaux, France, July 2004, pp. 153-162.
[145] AgrawalO. P. Formulation of Euler-Lagrange equations for fractional variational
problems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol. 272. № 1.
(2002) 368-379.
[146] AgrawalO.P. Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in
a bounded domain // Nonlinear Dynamics. Vol. 29. № 1-4. (2002) 145-155.
[147] AgrawalO.P. Fractional variational calculus and the transversality conditions //
Journal of Physics A. Vol.39. №33 (2006) 10375-10384.
[148] AgrawalO.P. Fractional variational calculus in terms of Riesz fractional
derivatives // Journal of Physics A. Vol.40. №24. (2007) 6287-6303.
[149] AgrawalO.P. Generalized Euler-Lagrange equations and transversality conditions
for FVPs in terms of the Caputo derivative Journal of Vibration and Control.
Vol. 13. №9-10. (2007) 1217-1237.
[150] AgrawalO.P. A general finite element formulation for fractional variational
problems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol. 337 № 1.
(2008) 1-12.
[151] AgrawalO.P., BaleanuD. A Hamiltonian formulation and a direct numerical
scheme for fractional optimal control problems // Journal of Vibration and Control.
Vol. 13. №9-10. (2007) 1269-1281.
[152] AlickiR., LendiK. Quantum Dynamical Semigroups and Applications (Springer-
Verlag, Berlin, 1987).

Литература
541
[153] Anastopoulous С, Halliwell J. J. Generalized uncertainty relations and long-time
limits for quantum Brownian motion models // Physical Review D. Vol. 51. № 12.
(1995) 6870-6885.
[154] Aransonl. S., Kramer L. The word of the complex Ginzburg-Landau equation //
Reviews of Modern Physics. Vol. 74. № 1. (2002) 99-143.
[155] BachelardR., ChandreC, FanelliD., LeonciniX., RufToS. Abundance of regular
orbits and nonequilibrium phase transitions in the thermodynamic limit for long-
range systems // Physics Review Letters. Vol. 101. №26. (2008) 260603.
[156] BakZ. Landau-Ginzburg theory of phase transitions in fractal systems // Phase
Transitions. Vol. 80. № 1-2. (2007) 79-87.
[ 157] Balakrishnan V. Fractional power of closed operator and the semigroup generated
by them // Pacific Journal of Mathematics. Vol. 10. №2. (1960) 419-437.
[158] BaesensC, MacKayR. S. Algebraic localisation of linear response in networks
with algebraically decaying interaction, and application to discrete breathers in
dipole-dipole systems // Helvetica Physica Acta. Vol. 72. № 1. (1999) 23-32.
[159] Barrel, BouchetF., DauxoisT, RuffoS. Large deviation techniques applied to
systems with long-range interactions // Journal of Statistical Physics. Vol. 119.
№3^. (2005) 677-713.
[160] Barrett J. H. Differential equations of non-integer order // Canadian Journal of
Mathematics. Vol. 6. №4. (1954) 529-541.
[161] BatemanH., ErdelyiA. Higher Transcendental Functions Vol. 1. (McGraw-Hill,
New York, 1953).
[162] BelleguieL., MukamelS., Nonlocal electrodynamics of weakly confined excitons
in semiconductor nanostructures // Journal of Chemical Physics. Vol. 101. № 11.
(1994) 9719-9735.
[163] Ben AddaF., Geometric interpretation of the differentiability and gradient of real
order // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences — Series I — Mathematics.
Vol.326. №8. (1998) 931-934.
[164] Ben AddaF., Geometric interpretation of the fractional derivative // Journal of
Fractional Calculus. Vol. 11. № 1. (1997) 21-52.
[165] Ben AddaF. The differentiability in the fractional calculus // Comptes Rendus de
l'Academie des Sciences — Series I — Mathematics. Vol. 326. №7. (1998) 787-
791.
[166] Ben AddaF., The differentiability in the fractional calculus // Nonlinear Analysis.
Vol.47. (2001) 5423-5428.
[167] Berens H, ButzerP.L., WestphalU. Representation of fractional powers of
infinitesimal generators of semigroups // Bulletin of the American Mathematical
Society. Vol. 74. № l. (1968) 191-196.
[168] Bergman R. General susceptibility functions for relaxations in disordered systems //
Journal of Applied Physics. Vol.88. №3. (2000) 1356-1365.

542
Литература
[169] Berry М. V. Quantum fractals in boxes // Journal of Physics A. Vol.29. №20.
(1996) 6617-6629.
[ 170] Besicovitch A. S. On linear sets of points of fractional dimensions // Mathematische
Annalen. Vol. 101. (1929) 161-193.
[171] BilerP., FunakiT., Woyczynski W. A. Fractal Burger equation // Journal of
Differential Equations. Vol. 148. № 1. (1998) 946.
[172] BirkhofTG.D. Dynamical Systems (American Mathematical Society, 1927) 305p.
[173] BleiR. C. Analysis in Integer and Fractional Dimensions (Cambridge University
Press, 2003).
[174] Brandt E. H. Non-local electrodynamics in a superconductor with spacially varying
gap parameter // Physics Letters A. Vol. 39. №3. (1972) 227-228.
[175] BraunO. M., Kivshar Y. S. Nonlinear dynamics of the Frenkel-Kontorova model //
Physics Reports. Vol.306. № 1. (1998) 2-108.
[176] BraunO.M., KivsharY. S., Zelenskayal. I. Kinks in the Frenkel-Kontorova model
with long-range interparticle interactions // Physical Review B. Vol. 41. №10.
(1990) 7118-7138.
[177] Brouers F., Sotolongo-Costa O. Relaxation in heterogeneous systems: A rare events
dominated phenomenon // PhysicaA. Vol.356. №24. (2005) 359-374.
[178] BochnerS. Diffusion equations and stochastic processes // Proceedings of the
National Academy of Sciences USA. Vol.35. №7. (1949) 369-370.
[179] Bogolyubov A. N., PotapovA.A., Rehviashvili S.Sh. An approach to introducing
fractional integro-differentiation in classical electrodynamics // Moscow University
Physics Bulletin. Vol.64. №4. (2009) 365-368.
[180] Bogolyubov N. N., Studies in Statistical Mechanics, Ed. J. de Boer andG. E.
Uhlenbeck, (North-Holland, Amsterdam, 1962).
[181] Bogolyubov N.N., Bogolyubov N. N. (Jr.) Introduction to Quantum Statistical
Mechanics (World Scientific, Singapore, 1982).
[182] Bogoliubov N. N. Selected Works. Part II. Quantum and Classical Statistical
Mechanics (Gordon and Breach, New York, 1991).
[183] Bogoliubov N.N. Selected Works. Part IV. Quantum Field Theory (Gordon and
Breach, Amsterdam, 1995).
[184] Burgers J. The Nonlinear Diffusion Equation (Reidel, Dordrecht, Amsterdam,
1974).
[185] Burnham J. C, Li J., Xantheas S. S., Leslie M. The parametrization of a Thole-type
all-atom polarizable water model from first principles and its application to the
study of water clusters (ra = 2 — 21) and the phonon spectrum of ice In // Journal
of Chemical Physics. Vol. 110. №9. (1999) 4566 4581.
[186] CalcagniG., Quantum field theory, gravity and cosmology in a fractal universe //
URL: http://arxiv.org/abs/1001.0571 (E-print: arXiv: 1001.0571).

Литература
543
[187] CampaA., DauxoisbT., S. RuffoS. Statistical mechanics and dynamics of solvable
models with long-range interactions // Physics Reports. Vol. 480. №3-6. (2009)
57-159.
[188] Carpinteri A., CornettiP. A fractional calculus approach to the description of stress
and strain localization in fractal media // Chaos, Solitons and Fractals. Vo.13. № 1.
(2002) 85-94.
[189] Carpinteri A., MainardiF. (Eds.), Fractals and Fractional Calculus in Continuum
Mechanics (Springer, New York, 1997).
[190] CaputoM. Elasticita e Dissipazione, (Zanichelli, Bologna, 1969).
[191] CaputoM. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent.
Part II // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. Vol. 13. №5.
(1967) 529-539.
[192] CaputoM., MainardiF. Linear models of dissipation in anelastic solids // Rivista
del Nuovo Cimento. Ser. II. Vol. 1. №2. (1971) 161-198.
[193] CaputoM., MainardiF. A new dissipation model based on memory mechanism //
Pure and Applied Geophysics. Vol.91. № 1. (1971) 134-147.
[194] Chapman S. On the Brownian displacements and thermal diffusion of grains
suspended in non-uniform fluid // Proceedings of the Royal Society A. Vol. 119.
№1. (1928) 34-54.
[195] Chechkin A. V., GoncharVYu., SzydlowskyM. Fractional kinetics for relaxation
and superdiffusion in magnetic field // Physics of Plasmas. Vol. 9. № 1. (2002)
78-88.
[196] ChenM., ByungC. E. On the integrability of differential forms related
to nonequilibrium entropy and irreversible thermodynamics // Journal of
Mathematical Physics. Vol.34. №7. (1993) 3012-3029.
[ 197] Chen Y. Q., Moore K. L. Analytical stability bound for a class of delayed fractional-
order dynamic systems // Nonlinear Dynamics. Vol. 29. № 1-4. (2002) 191-200.
[198] ChenY, YanZ.Y, Zhang H. Q., Applications of fractional exterior differential in
three-dimensional space // Applied Mathematics and Mechanics. Vol. 24. №3.
(2003) 256-260.
[199] ChirikovB. V. A universal instability of many dimensional oscillator systems //
Physics Reports. Vol.52. №5. (1979) 263-379.
[200] Collet P., EckmanJ. P. Iterated Maps on the Interval as Dynamical System
(Birkhauser, Basel, 1980).
[201] Cottrill-ShepherdK., NaberM. Fractional differential forms // Journal of
Mathematical Physics. Vol.42. №5. (2001) 2203-2212.
[202] Cottrill-ShepherdK., NaberM. Fractional differential forms II // URL:
http://arxiv.org/abs/math-ph/0301016 (E-print math-ph/0301016).
[203] CronstromC, RaitaT. On nonholonomic systems and variational principles //
Journal of Mathematical Physics. Vol. 50. №4. (2009) 042901.

544
Литература
[204] Curie J. Recherches sur le pouvoir inducteur specifique et la conductibilite des
corps cristallises // Annales de Chimie et de Physique. Vol. 17. (1889) 385434.
[205] Curie J. Recherches sur la conductibilite des corps cristallises // Annales de Chimie
et de Physique. Vol. 18. №6. (1889) 203-269. (in French).
[206] Daftardar-Gejji V, BabakhaniA. Analysis of a system of fractional differential
equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol. 293. №2.
(2004) 511-522.
[207] Davies E. B. Quantum stochastic processes II // Communication in Mathematical
Physics. Vol. 19. №2. (1970) 83-105.
[208] Davies E. B. Quantum dynamical semigroups and neutron diffusion equation //
Reports in Mathematical Physics. Vol. 11. №2. (1977) 169-188.
[209] Davies E. B. Symmetry breaking for molecular open systems // Annales de
l'lnstitut Henri Poincare. Sec. A. Vol.35. №2. (1981) 149-171.
[210] Davies E.B. Quantum Theory of Open Systems (Academic Press, London, New
York, San Francisco, 1976).
[211] Debye P. Some results of kinetic theory of isolators. Preliminary announcement //
Physikalische Zeitschrift. Vol. 13. (1912) 97-100.
[212] Debye P., Huckel E. The theory of electrolytes I. The lowering of the freezing point
and related occurrences // Physikalische Zeitschrift. Vol. 24. (1923) 185-206.
[213] Debye P. Polar Molecules (Dover, New York, 1945).
[214] DengW. H., LiC. P., The evolution of chaotic dynamics for fractional unified
system // Physics Letters A. Vol. 372. №4. (2008) 401407.
[215] DietzK. Asymptotic solutions of Lindblad equations // Journal of Physics A.
Vol.35. №49. (2002) 10573-10590.
[216] I>ysonF. J. Existence of a phase-transition in a one-dimensional Ising
ferromagnet // Communication in Mathematical Physics. Vol. 12. №2. (1969) 91-
107.
[217] Dyson F. J. Non-existence of spontaneous magnetization in a one-dimensional Ising
ferromagnet // Communication in Mathematical Physics. Vol. 12. №3. (1969) 212—
215.
[218] Dyson F.J. An Ising ferromagnet with discontinuous long-range order //
Communication in Mathematical Physics. Vol. 21. №4. (1971) 269-283.
[219] EdelmanM., TarasovV. E. Fractional standard map // Physics Letters A. Vol. 374.
№2. (2009) 279-285.
[220] Edgar G. A. (Ed.), Classics on Fractals (Addison-Wesley, New York, 1993).
[221] Edgar G. A. Measure, Topology, and Fractal Geometry (Springer, New York 1990).
[222] Engheta N. Fractional curl operator in electromagnetics // Microwave and Optical
Technology Letters. Vol. 17. №2. (1998) 86-91.
[223] Engheta N. On the role of fractional calculus in electromagnetic theory // Antennas
and Propagation Magazine. Vol. 39. №4. (1997) 3546.

Литература
545
[224] ErdelyiA., Magnus W., OberhettingerR, TricomiF. G. Higher Transcendental
Functions Vol. 1. (Krieger, Melbbourne, Florida, New York, 1981).
[225] Evans D.J., Hoover W.G., FailorB.H., MoranB., LaddA.J.C. Nonequilibrium
molecular dynamics via Gauss's principle of least constraint // Physical Review A.
Vol.28. №2. (1983) 1016-1021.
[226] Evans D. J., Morriss G. P. The isothermal/isobaric molecular dynamics ensemble //
Physics Letters A. Vol.98. №6-9. (1983) 433^36.
[227] EyinkG. Quantum field theory models on fractal space-time. I: Introduction and
overview // Communication in Mathematical Physics. Vol. 125. №4. (1989) 613—
636.
[228] Falconer K. F. Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications
(Wiley, Chichester, New York, 1990).
[229] Falconer K. F. The Geometry of Fractal Sets (Cambridge, Cambridge University
Press, 1985).
[230] FedererH. Geometric Measure Theory (Springer-Verlag, Berlin, 1969).
[231] Feller V. An introduction to Probability Theory and its Applications Vol. 2. (Wiley,
New York, 1971).
[232] FickE., FickM., HausmannG. Logistic equation with memory // Physical
Review A. Vol.44. №4. (1991) 2469-2473.
[233] Fisher R. A. The wave of advance of advantageous genes // Annals of Eugenics.
Vol.7. (1937) 353-369.
[234] FlachS. Breathers on lattices with long-range interaction // Physical Review E.
Vol. 58. №4. (1998) R4116-R4119.
[235] FlachS., WillisC.R. Discrete breathers // Physics Reports. Vol.295. №5. (1998)
181-264.
[236] Flanders H. Differential forms with applications to the physical sciences 2nd ed.
(Dover, New York, 1989) 205 p.
[237] Foley J. T, Devaney A. J. Electrodynamics of nonlocal media // Physical Review B.
Vol. 12. №8. (1975) 3104-3112.
[238] Frame M., Mandelbrot В., NegerN., Fractal Geometry
URL: http://classes.yale.edu/fractals
[239] FrenkelD., SmitB. Understanding Molecular Simulation: From Algorithms to
Applications 2nd Edition (Academic Press, 2001).
[240] FrenningG. Dielectric-response function determined by regular singular-point
analysis // Physical ReviewB. Vol.65. №24. (2002) 245117.
[241] FrohlichJ., Israel R., LiebE. H., Simon B. Phase transitions and reflection
positivityl. General theory and long-range lattice model // Communication in
Mathematical Physics. Vol. 62. № 1. (1978) 1-34.
[242] FulinskiA., Kleczkowski A. S. Nonlinear maps with memory // Physica Scripta.
Vol.35. №2. (1987) 119-122.

546 Литература
[243] Fukui К. A formulation of the reaction coordinate // Journal of Physical Chemistry.
Vol.74. (1970)41614163.
[244] Fukui K. The path of chemical reactions — the IRS approach // Accounts of
Chemical Research. Vol. 14. № 12. (1981) 363-368.
[245] FukunagaM., ShimizuN. Role of prehistories in the initial value problems of
fractional viscoelastic equations // Nonlinear Dynamics. Vol. 38. № 1-2. (2004)
207-220.
[246] GafiychukV, DatskoB., Meleshko V. Analysis of fractional order Bonhoeffer-van
der Pol oscillator // PhysicaA. Vol.387. №2-3. (2008) 418424.
[247] Gaididei Yu. В., Mingaleev S. F., Christiansen P. L., Rasmussen К. O. Effects of
nonlocal dispersive interactions on self-trapping excitations // Physical Review E.
Vol.55. №5. (1997) 6141-6150.
[248] Gaididei Yu. В., FlytzanisN., NeuperA., MertensF.G. Effect of nonlocal
interactions on soliton dynamics in anharmonic lattices // Physical Review Letters.
Vol. 75. № 1. (1995) 2240-2243.
[249] GallasJ. A. C. Simulating memory effects with discrete dynamical systems //
PhysicaA. Vol. 195. №34. (1993) 417430; "Erratum" PhysicaA. Vol. 198. № 1-
2. (1993) 339-339.
[250] Galea T.M., AttardP. Constraint method for deriving nonequilibrium molecular
dynamics equations of motion // Physical Review E. Vol.66. №4. (2002) 041207.
[251] GenchevZ. D. Generalized nonlocal electrodynamics of distributed tunnel
Josephson junctions // Superconductor Science and Technology. Vol. 10. (1997)
543-546.
[252] GibbsJ. W. Elementary Principles in Statistical Mechanics, Dover, New York,
1960; and Yale University Press, New Haven, 1902.
[253] Gilding B.H., KersnerR. Travelling Waves in Nonlinear Diffusion Convection
Reaction (Birkhauser Verlag, Basel, 2004).
[254] GinzburgV. L. Nobel Lecture: On superconductivity and superfluidity (what I
have and have not managed to do) as well as on the "physical minimum" at the
beginning of the XXI century // Reviews of Modern Physics. Vol. 76. № 3. (2004)
981-998.
[255] GionaM. Dynamics and relaxation properties of complex systems with memory //
Nonlinearity. Vol.4. №3. (1991) 991-925.
[256] GorbachA.V., FlachS. Compactlike discrete breathers in systems with nonlinear
and nonlocal dispersive terms // Physical Review E. Vol. 72. № 5. (2005) 056607.
[257] GorenfloR. Fractional calculus: some numerical methods // in Carpinteri A.,
Mainardi F. (Editors): Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics
(Springer, Wien and New York, 1997) pp. 277-290.
[258] Gorenflo R. Afterthoughts on interpretation of fractional derivatives and integrals //
in: Rusev P., Dimovskil., KiryakovaV. (Eds.), Transform Methods and Special
Functions, Varna 1996, Institute of Mathematics and Informatics. Bulgarian
Academy of Sciences. Sofia, 1998. pp. 589-591.

Литература
547
[259] GorenfloR., LuchkoY., MainardiF. Wright functions as scale-invariant solutions
of the diffusion-wave equation // Journal of Computational and Applied
Mathematics. Vol. 118. № 1-2. (2000) 175-191.
[260] GorenfloR., LoutchkoJ., LuchkoY Computation of the Mittag-Leffler function
and its derivative // Fractional Calculus and Applied Analysis. Vol. 5. № 4. (2002)
491-518.
[261] GorenfloR., KilbasA.A., RogosinS.V. On the generalized Mittag-Leffler type
functions // Integral Transforms and Special Functions. Vol. 7. №3-4. (1998) 215-
224.
[262] GorenfloR., MainardiF. Fractional calculus: Integral and differential equations of
fractional order // in Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics,
Eds. Carpinteri A., MainardiF. (Springer, New York, 1997) pp. 223-276.
URL: http://arxiv.org/abs/0805.3823 (E-print: arxiv:0805.3823).
[263] GoriniV, Kossakowski A., Sudarshan E. C. G. Completely positive dynamical
semigroups of N-level systems // Journal of Mathematical Physics. Vol. 17. №5.
(1976) 821-825.
[264] GoriniV, FrigerioA., VerriM., Kossakowski A., Sudarshan E. C.G. Properties of
quantum markovian master equations // Reports in Mathematical Physics. Vol. 13.
№2. (1978) 149-173.
[265] Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and
Bifurcations of Vector Fields (Springer, Berlin, 2002) 480 p.
[266] GuoX. Y, XuM. Y. Some physical applications of fractional Schrodinger
equation // Journal of Mathematical Physics. Vol.47. №8. (2006) 082104.
[267] HadidS. В., Alshamani J. G. Liapunov stability of differential equations of
noninteger order // Arab Journal of Mathematics. Vol. 7. № 1-2. (1986) 5-17.
[268] Haile J. M., Gupta S. Extensions of the molecular dynamics simulation method. II.
Isothermal systems // Journal of Chemical Physics. Vol.79. №6. (1983) 3067-
3076.
[269] Hardy G. H., Weierstrass's non-differentiable function // Transactions of the
American Mathematical Society. Vol. 17. №3. (1916) 301-325.
[270] HartwichK., FickE. Hopf bifurcations in the logistic map with oscillating
memory // Physics Letters A. Vol. 177. №4-5. (1993) 305-310.
[271] HausdorffF. Dimension und ausseres Mass // Mathematische Annalen. Vol.79.
(1919) 157-179.
[272] He X. F. Fractional dimensionality and fractional derivative spectra of interband
optical transitions // Physical ReviewB. Vol.42. № 18. (1990) 11751-11756.
[273] HeX. F. Excitons in anisotropic solids: The model of fractional-dimensional
space // Physical ReviewB. Vol.43. №3. (1991) 2063-2069.
[274] Hellwing К. E., Kraus K. Pure operations and measurements // Communication in
Mathematical Physics. Vol. 11. №3. (1969) 214-220.

548
Литература
HellwingK. Е., KrausK. Operations and measurements II // Communication in
Mathematical Physics. Vol. 16. №2. (1970) 142-147.
HelmholtzH. Ueber die physikalische Bedentung des Prinzips der Kleisten
Wirkung // Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik. Vol. 10. №1.
(1886) 137-166.
Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // Communication
in Mathematical Physics. Vol. 50. № 1. (1976) 69-77.
HeymansN., Podlubny I. Physical interpretation of initial conditions for fractional
differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives // Rheologica
Acta. Vol.45. №5. (2006) 765-771. URL: http://arxiv.org/abs/math-ph/0512028
(E-print: math-ph/0512028).
HilferR. (Ed.), Applications of Fractional Calculus in Physics (World Scientific,
Singapore, 2000).
HirshM., SmaleS. Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra
(Academic Press, New York, 1974).
Van Holde К. E. Principles of Physical Biochemistry (Prentice Hall, New Jersey,
1998).
D. Husemoller, Fibre Bundles (McGraw-Hill, New York, 1966).
Hussain A., Naqvi Q. A. Fractional curl operator in chiral medium and fractional
non-symmetric transmission line // Progress In Electromagnetics Research. Vol. 59.
(2006) 199-213.
Hussain A., IshfaqS., Naqvi Q. A. Fractional curl operator and fractional
waveguides // Progress In Electromagnetics Research. Vol. 63. (2006) 319-335.
IngardenR. S., Kossakowski A. On the connection of nonequilibrium information
thermodynamics with non-Hamiltonian quantum mechanics of open systems //
Annals of Physics. Vol. 89. №2. (1975) 451485.
IsarA., Sandulescu A., ScutaruH., StefanescuE., ScheidW. Open quantum
systems // International Journal of Modern Physics E. Vol. 3. №2. (1994) 635-714.
URL: http://arxiv.org/abs/quant-ph/0411189 (E-print: arXiv:quant-ph/0411189).
IsarA., Sandulescu A., ScheidW. Phase space representation for open quantum
systems with the Lindblad theory // International Journal of Modern Physics В.
Vol. 10. №22. (1996) 2767-2779.
IshimoriY. Solitons in a one-dimensional Lennard-Jones lattice // Progress of
Theoretical Physics. Vol.68. №2. (1982) 402410.
Ivakhnychenko M. V, VelievE. I. Fractional curl operator in radiation problems //
10th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic
Theory. Sept. 14-17. Ukraine. IEEE (2004) 231-233.
Jackson J. D. Classical Electrodynamics 3rd ed. (Wiley, New York, 1998) 808 p.
Jonscher A. K. Dielectric relaxation with dipolar screening // Journal of Material
Science. Vol.32. №24. (1997) 6409-6414.

Литература
549
JonscherA. К. Low-loss dielectrics // Journal of Material Science. Vol.34. №13.
(1999) 3071-3082.
Jonscher A. K. Dielectric Relaxation in Solids (Chelsea Dielectrics Press, London,
1983).
JonscherA.K. Universal Relaxation Law (Chelsea Dielectrics Press, London,
1996).
JonscherA. K. Dielectric relaxation in solids // Journal of Physics D. Vol. 32. № 14.
(1999) R57-R70.
JonscherA.K. Universal dielectric response // Nature. Vol.267. №5613. (1977)
673-679.
JonscherA.K. Low-frequency dispersion in carrier-dominated dielectrics //
Philosophical MagazineB. Vol.38. №6. (1978) 587-601.
Joyce G. S. Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in the isotropic
Heisenberg model with long-range interactions // Journal of Physics C. Vol. 2. № 8.
(1969) 1531-1533.
KatzA. J., Thompson A. H. Fractal sandstone pores: implications for conductivity
and pore formation // Physical Review Lettetrs. Vol. 54. № 12. (1985) 1325-1328.
KempfleS., Schaferl. Fractional differential equations and initial conditions //
Fractional Calculus and Applied Analysis. Vol. 3 №4. (2000) 387^00.
Khusainov T. D. Stability analysis of a linear-fractional delay system // Differential
Equations. Vol.37. №8. (2001) 1184-1188.
KilbasA. A., BonillaB., TrujilloJ. J. Nonlinear differential equations of fractional
order is space of integrable functions // Doklady Mathematics. Vol. 62. №2. (2000)
222-226.
KilbasA.A., BonillaB., TrujilloJ.J. Existence and uniqueness theorems for
nonlinear fractional differential equations // Demonstrate Mathematica. Vol. 33.
№3. (2000) 583-602.
KilbasA.A., MarzanS.A. The Cauchy problem for differential equations with
fractional Caputo derivative // Doklady Mathematics. Vol. 70. №3. (2004) 841-
845.
KilbasA.A., MarzanS.A. Nonlinear differential equations with the Caputo
fractional derivative in the space of continuously differentiable functions //
Differential Equations. Vol.41. № 1. (2005) 84-89.
Kiryakova V. Generalized Fractional Calculus and Applications Pitman Research
Notes in Mathematics. Vol. 301. (Longman, Harlow and Wiley, New York 1994)
KilbasA. A., Srivastava H.M., TrujilloJ.J. Theory and Applications of Fractional
Differential Equations (Elsevier, Amsterdam, 2006).
KlafterJ., LimS.C, MetzlerR. (Eds.), Fractional Dynamics in Physics (World
Scientific, Singapore, 2011).
KolinskiA., SkolnickJ. Reduced models of proteins and their applications //
Polymer. Vol.45. №2. (2004) 511-524.

550 Литература
[311] Kolmogorov A. I., PetrovskyL, PiscounovN. Etude de Г equation de la diffusion
avec croissance de la quantite de matiere et son application a un probleme
biologique // Moscow University Bulletin. Ser. International Sect. A. Vol. 1. № 6.
(1937) 1-25.
[312] Komatsu H. Fractional powers of operators // Pacific Journal of Mathematics.
Vol. 19. №2. (1966) 285-346.
[313] KorabelN., ZaslavskyG.M., TarasovVE. Coupled oscillators with power-law
interaction and their fractional dynamics analogues // Communications in
Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol. 12. №8. (2007) 1405-1417.
[314] KorabelN., Zaslavsky G.M. Transition to chaos in discrete nonlinear Schrodinger
equation with long-range interaction // Physica A. Vol. 378. №2. (2007) 223-237.
[315] Kossakowski A. On quantum statistical mechanics of non-Hamiltonian systems //
Reports in Mathematical Physics. Vol. 3. №4. (1972) 247-274.
[316] KrallN.A., Trivelpiece A. W. Principles of Plasma Physics (McGraw-Hill, New
York, 1973).
[317] KrausK. General state changes in quantum theory // Annals of Physics. Vol. 64.
№2. (1971) 311-335.
[318] Kraus K. States, Effects and Operations. Fundamental Notions of Quantum Theory
(Springer, Berlin, 1983).
[319] Kroger H. Fractal geometry in quantum mechanics, field theory and spin systems //
Physics Reports. Vol.323. №2. (2000) 81-181.
[320] Kulikovskiy A. G., LyubimovG. A. Magneto hydrodynamics (Addison Wesley,
Massachusetts, 1965).
[321] Kugami J. Analysis on Fractals (Cambridge University Press, 2001).
[322] Kuzelev M. V, Rukhadze A. A. Methods of Waves Theory in Dispersive Media,
(World Publisher, Singapore, 2009) 272 p.
[323] Laskin N., Zaslavsky G. M. Nonlinear fractional dynamics on a lattice with long-
range interactions // Physica A. Vol. 368. № 1. (2006) 38-54.
[324] Laskin N. Fractional quantum mechanics // Physical Review E. Vol. 62. № 3. (2000)
3135-3145.
[325] Laskin N. Fractional Schrodinger equation // Physical Review E. Vol. 66. (2002)
056108.
[326] LevineR. D., Bernstein J. Molecular Reaction Dynamics (Oxford University Press,
New York, 1974).
[327] LewinL. Poly logarithms and Associated Functions (North-Holland, New York,
1981) 380 p.
[328] Li J., Ostoja-Starzewski M., Fractal solids, product measures and fractional wave
equations // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and
Engineering Sciences. Vol.465. №2108. (2009) 2521-2536.
[310] Kolmogoroff A. Uber die analytischen Methoden in der
Wahrscheinlichkeitsrechnung // Mathematische Annalen. Vol. 104. jv2 1. (1931) 415-458 (in German).

Литература
551
LiY., ChenY. Q., Podlubny I. Mittag-Leffler stability of fractional order nonlinear
dynamic systems // Automatica. Vol.45. №8. (2009) 1965-1969.
LiboffR. L. Kinetic Theory: Classical, Quantum and Relativistic Description, 2nd
ed. (Wiley, New York, 1998) 548 p.
LidarD.A., Binary Z., WhaleyK. B. From completely positive maps to the
quantum Markovian semigroup master equation // Chemical Physics. Vol. 268.
№1-3. (2001) 35-53.
LindbladG. On the generators of quantum dynamical semigroups //
Communication in Mathematical Physics. Vol.48. №2. (1976) 119-130.
LindbladG. Brownian motion of a quantum harmonic oscillator // Reports in
Mathematical Physics. Vol. 10. №3. (1976) 393-406.
LorenzE. N. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric
Sciences. Vol.20. №2. (1963) 130-141.
Luke Y. The Special Functions and Their Approximations, (Academic Press, New
York, 1969) Vol. 1. Chapter 6.
Luo A. C. J. Singularity And Dynamics on Discontinuous Vector Fields (Elsevier,
2006). 300 p.
Luo A. C.J. Prediction of quasi-periodic and chaotic motions in nonlinear
Hamiltonian systems // Chaos, Solitons and Fractals. Vol.28. №3. (2006) 627-
649.
Luo A. C.J. Discontinuous Dynamical Systems in Time-Varying Domains
(Springer, 2010). 222 p.
Luo A. C. J., Afraimovich V. S. (Eds.), Long-range Interaction, Stochasticity and
Fractional Dynamics (Springer, 2010).
LutzenJ. Liouville's differential calculus of arbitrary order and its
electrodynamical origin // in Proc. 19th Nordic Congress Mathematicians,
(Icelandic Mathematical Society, Reykjavik, 1985) pp. 149-160.
MacKay R. S., Aubry S. Proof of existence of breathers for time-reversible or
Hamiltonian networks of weakly coupled oscillators // Nonlinearity. Vol. 7. № 6.
(1994) 1623-1643.
Machado J. A.T. A probabilistic interpretation of the fractional-order
differentiation // Fractional Calculus and Applied Analysis. Vol. 6. № 1.
(2003) 73-80.
Machado J. A.T. Fractional derivatives: Probability interpretation and frequency
response of rational approximations // Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation. Vol. 14. №9-10. (2009) 3492-3497.
Mayer A. Die existenzbedingungen eines kinetischen potentiales // Ber. Verhand.
Kgl. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig. Vol.48. (1896) 519-529.
MainardiF. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave
phenomena // Chaos, Solitons and Fractals. Vol. 7. №9. (1996) 1461-1477.

552
Литература
[346] Mainardi F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation //
Applied Mathematics Letters. Vol.9. №6. (1996) 23-28.
[347] Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An
Introduction to Mathematical Models (World Scientific, Singapore, 2010).
[348] Mainardi F., Gorenflo R. On Mittag-Leffler-type functions in fractional evolution
processes // Journal of Computational and Applied Mathematics. Vol. 118. № 1-2.
(2000) 283-299.
[349] Mainardi F., Luchko Yu., PagniniG. The fundamental solution of the space-time
fractional diffusion equation // Fractional Calculus and Applied Analysis. Vol. 4.
№2. (2001) 153-192.
[350] Mainardi F. Considerations on fractional calculus: interpretations and
applications // in: RusevR, Dimovskil., KiryakovaV. (Eds.), Transform Methods
and Special Functions, Varna 1996, Institute of Mathematics and Informatics.
Bulgarian Academy of Sciences. Sofia, 1998. pp. 594-597.
[351] MartynovG. A. Classical Statistical Mechanics (Kluwer, Dordrecht, 1997).
[352] Martinez C, SanzM. The Theory of Fractional Powers of Operators, North-
Holland Mathematics Studies. Vol. 187. (Elsevier, Amsterdam, 2000) 374 p.
[353] MasiaM., Probst M., ReyR. On the performance of molecular polarization
methods. II. Water and carbon tetrachloride close to a cation // Journal of Chemical
Physics. Vol. 123. № 16. (2005) 164505.
[354] MashhoonB. Vacuum electrodynamics of accelerated systems: Nonlocal
Maxwell's equations // Annalen der Physik (Leipzig). Vol. 12. № 10. (2003) 586-
598.
[355] Mashhoon B. Nonlocal electrodynamics of linearly accelerated systems // Physical
Review A. Vol. 70. №6. (2004) 062103.
[356] Mashhoon B. Nonlocal electrodynamics of rotating systems // Physical Review A.
Vol. 72. №5. (2005) 052105.
[357] Materassi M., Consolini G. Magnetic reconnection rate in space plasmas: A fractal
approach // Physical Review Letters. Vol. 99. № 17. (2007) 175002.
[358] Matignon D. Stability result on fractional differential equations with applications to
control processing // In: IMACS — SMC Proceeding, Lille, France, 1996. pp. 963-
968.
[359] McBrideA. C. Fractional Calculus and Integral Transforms of Generalized
Functions Research notes in mathematics. Vol. 31 (Pitman Press, San Francisco,
1979). 179 p.
[360] McBrideA. C. Fractional Calculus (Halsted Press, New York, 1986).
[361] MeerschaertM. M., MortensenJ., Wheatcraft S. W. Fractional vector calculus for
fractional advection-dispersion // PhysicaA. Vol. 367. (2006) 181-190.
[362] MetzlerR., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional
dynamics approach // Physics Reports. Vol. 339. № 1. (2000) 1-77.

Литература
553
[363] MetzlerR., KlafterJ. The restaurant at the end of the random walk: recent
developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics //
Journal of Physics A. Vol.37. №31. (2004) R161-R208.
[364] Michelitsch Т. M., MauginG.A., Nicolleau F. C. G. A., Nowakowski A. F., Dero-
garS. Dispersion relations and wave operators in self-similar quasicontinuous
linear chains // Physical Review E. Vol. 80. № 1. (2009) 011135.
[365] Miller K. S. The Mittag-Leffler and related functions // Integral Transforms and
Special Functions. Vol. 1. № 1. (1993) 41-49.
[366] Miller W. H., Hardy N. C, Adams J. E., Reaction path Hamiltonian for polyatomic
molecules // Journal of Chemical Physics. Vol. 72. № 1. (1980) 99-112.
[367] Miller K. S., Ross В. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional
Differential Equations (Wiley, New York, 1993).
[368] Milovanov A. V. Pseudochaos and low-frequency percolation scaling for turbulent
diffusion in magnetized plasma // Physical RewiewE. Vol. 79. №4. (2009) 046403.
[369] Milovanov A. V, Rasmussen J. J. Fractional generalization of the Ginzburg-Landau
equation: an unconventional approach to critical phenomena in complex media //
Physics Letters A. Vol. 337. № 1-2. (2005) 75-80.
[370] Milovanov A. V, Rasmussen J. J., Rypdal K. Stretched-exponential decay functions
from a self-consistent model of dielectric relaxation // Physics Letters A. Vol. 372.
№13. (2008) 2148-2154.
[371] Milovanov A. V, Rypdal K., Rasmussen J. J. Stretched exponential relaxation and
ac universality in disordered dielectrics // Physical Review B. Vol. 76. № 10. (2007)
104201.
[372] MinaryR, MartynaG. J., Tuckerman M. E. Algorithms and novel applications
based on the isokinetic ensemble. I. Biophysical and path integral molecular
dynamics // Journal of Chemical Physics. Vol. 118. №6. (2003) 2510-2526.
[373] Mingaleev S. F., Gaididei Y. В., MertensF.G. Solitons in anharmonic chains with
power-law long-range interactions // Physical ReviewE. Vol.58. №3. (1998)
3833-3842.
[374] Mingaleev S. F., Gaididei Y. В., Mertens F. G. Solitons in anharmonic chains with
ultra-long-range interatomic interactions // Physical Review E. Vol. 61. №2. (2000)
R1044-R1047.
[375] Miskinis P. Weakly nonlocal supersymmetric KdV hierarchy // Nonlinear Analysis:
Modelling and Control. Vol. 10. №4. (2005) 343-348.
[376] Momani S. An explicit and numerical solutions of the fractional KdV equation //
Mathematics and Computers in Simulation. Vol. 70. №2. (2005) 110-1118.
[377] Momani S., HadidS. B. Lyapunov stability solutions of fractional
integrodifferential equations // International Journal of Mathematics and
Mathematical Sciences. Vol. 47. (2004) 2503-2507.
[378] Monsrefi-TorbatiM., Hammond J.K. Physical and geometrical interpretation of
fractional operators // Journal of The Franklin InstituteB. Vol.335. №6. (1998)
1077-1086.

554
Литература
[379] Montroll Е. W., Shlesinger М. F. The wonderful world of random walks // In:
Studies in Statistical Mechanics, Vol. 11. (North-Holland, Amsterdam, 1984) pp.l-
121.
[380] Naber M. Time fractional Schrodinger equation // Journal of Mathematical Physics.
Vol.45. №8. (2004) 3339-3352.
[381] NakanoH., TakahashiM., Quantum Heisenberg chain with long-range
ferromagnetic interactions at low temperatures // Journal of the Physical Society of Japan.
Vol. 63. №3. (1994) 926-933.
[382] Nakano H., Takahashi M. Quantum Heisenberg model with long-range
ferromagnetic interactions // Physical Review B. Vol. 50. № 14. (1994) 10331-10334.
[383] NakanoH., TakahashiM. Quantum Heisenberg ferromagnets with long-range
interactions // Journal of the Physical Society of Japan. Vol. 63. №11. (1994)
4256-4257.
[384] NakanoH., TakahashiM. Magnetic properties of quantum Heisenberg
ferromagnets with long-range interactions // Physical Review B. Vol. 52. №9. (1995) 6606-
6610.
[385] NakazatoH., HidaY., YuasaK., MilitelloB., Napoli A., Messina A. Solution of the
Lindblad equation in the Kraus representation // Physical Review A. Vol. 74. № 6.
(2006) 062113.
[386] NaqviQ.A., Abbas M. Complex and higher order fractional curl operator in
electromagnetics // Optics Communications. Vol. 241. №4-6. (2004) 349-355.
[387] NaqviS.A., NaqviQ.A., HussainA. Modelling of transmission through a chiral
slab using fractional curl operator // Optics Communications. Vol. 266. № 2. (2006)
40Ф406.
[388] Newell A. C, Whitehead J. A. Finite bandwidth, finite amplitude convection //
Journal of Fluid Mechanics. Vol.38. №2. (1969) 279-303.
[389] NewkomeG.R., Wang P., MoorefieldC.N., ChoT.J., Mohapatra P. P., LiS.,
Hwang S.H., Lukoyanova O., EchegoyenL., Palagallo J. A., IancuV., HlaS. W.
Nanoassembly of a fractal polymer: A molecular "Sierpinski hexagonal gasket //
Science. Vol.312. №5781. (2006) 1782-1785.
[390] NgaiK.L., Jonscher A. K., White C.T. On the origin of the universal dielectric
response in condensed matter // Nature. Vol. 277. (1979) 185-189.
[391] NicolisG., Prigoginel. Self-Organization in Nonequilibrium Systems: From
Dissipative Structures to Order through Fluctuations (John Wiley, New York,
1977).
[392] Nigmatullin R. R. The realization of the generalized transfer equation in a medium
with fractal geometry // Physica Status SolidiB. Vol. 133. № 1. (1986) 425-430.
[393] Nigmatullin R. R. Fractional kinetic equations and universal decoupling of a
memory function in mesoscale region // Physica A. Vol. 363. №2. (2006) 282-
298.

Литература
555
[394] NigmatullinR.R.5 Arbuzov A. A., SalehliF., GizA., Bayrakl., Catalgil-Giz H. The
first experimental confirmation of the fractional kinetics containing the complex-
power-law exponents: Dielectric measurements of polymerization reactions //
PhysicaB. Vol. 388. № 1-2. (2007) 418-434.
[395] Nishimoto K. Fractional Calculus: Integrations and Differentiations of Arbitrary
Order (University of New Haven Press, New Haven, 1989).
[396] NoseS. Constant-temperature molecular dynamics // Progress of Theoretical
Physics. Supplement. Vol. 103. № 1. (1991) 1-46.
[397] Novikov V. V, Privalko VP. Temporal fractal model for the anomalous dielectric
relaxation of inhomogeneous media with chaotic structure // Physical Review E.
Vol.64. №3. (2001)031504.
[398] Oldham К. В., SpanierJ. The Fractional Calculus: Theory and Applications of
Differentiation and Integration to Arbitrary Order (Academic Press, New York,
1974).
[399] Ostoja-Starzewski M. Towards thermoelasticity of fractal media // Journal of
Thermal Stresses. Vol.30. №9-10. (2007) 889-896.
[400] Ostoja-Starzewski M. Towards thermomechanics of fractal media // Zeitschrift fur
angewandte Mathematik und Physik. Vol. 58. №6. (2007) 1085-1096.
[401] Ostoja-Starzewski M. On turbulence in fractal porous media // Zeitschrift fur
angewandte Mathematik und Physik. Vol.59. №6. (2008) 1111-1118.
[402] Ostoja-Starzewski M. Extremum and variational principles for elastic and inelastic
media with fractal geometries // Acta Mechanica. Vol. 205. №1-4. (2009) 161-
170.
[403] Ostoja-Starzewski M. Continuum mechanics models of fractal porous media:
Integral relations and extremum principles // Journal of Mechanics of Materials
and Structures. Vol.4. №5. (2009) 901-912.
[404] Ostoja-Starzewski M. Microstructural Randomness and Scaling in Mechanics of
Materials (Chapman and Hall, CRC, Taylor and Francis, Boca Raton, London,
New York, 2007).
[405] OzaA., PechenA., DominyJ., BeltraniV, Moore K., RabitzH. Optimization
search effort over the control landscapes for open quantum systems with Kraus-
map evolution // Journal of Physics A. Vol.42. №20. (2009) 205305.
[406] Palmer C, Stavrinou P. N. Equations of motion in a non-integer-dimensional space
space // Journal of Physics A. Vol.37. №27. (2004) 6987-7003.
[407] Park Y. On fractal theory for porous media // Journal of Statistical Physics. Vol. 101
№5/6. (2000) 987-998.
[408] PetrinaD.Ya., Gerasimenko V. I., MalishevP.V. Mathematical Foundation of
Classical Statistical Mechanics (Taylor and Francis, 2002) 2nd ed.
[409] Phillips R. S. On the generation of semigroups of linear operators // Pacific Journal
of Mathematics. Vol.2. №3. (1952) 343-369.

556
Литература
[410] Pierantozzi Т., Vazquez L. An interpolation between the wave and diffusion
equations through the fractional evolution equations Dirac like // Journal of
Mathematical Physics. Vol.46. № 1. (2005) 113512.
[411] Podlubny I. Fractional Differential Equations (Academic Press, New York, 1999).
[412] Podlubny I. Geometric and physical interpretation of fractional integration and
fractional differentiation // Fractional Calculus and Applied Analysis. Vol. 5. №4.
(2002) 367-386.
[413] Pokrovsky V. L., VirosztekA. Long-range interactions in commensurate-
incommensurate phase transition // Journal of Physics C. Vol. 16. №23. (1983)
4513-4525.
[414] PraprotnikM., KremerK., Delle SiteL. Adaptive molecular resolution via a
continuous change of the phase space dimensionality // Physical Review E. Vol. 75.
№1.(2007)017701.
[415] PraprotnikM., KremerK., Delle SiteL. Fractional dimensions of phase space
variables: a tool for varying the degrees of freedom of a system in a multiscale
treatment. Journal of Physics A. Vol.40. № 15. (2007) F281-F288.
[416] RabeiE. M., Almaytehl., MuslihS. I., BaleanuD. Hamilton-Jacobi formulation of
systems within Caputo's fractional derivative // Physica Scripta. Vol. 77. № 1.
(2008) 015101.
[417] Ramakrishnan Т. V, LakshmiM. R. (Eds.), Non-Debye Relaxation in Condensed
Matter (World Scientific, Singapore, 1984).
[418] RamshawJ. D. Remarks on non-Hamiltonian statistical mechanics. Europhysics
Letters. Vol. 59. №3. (2002) 319-323.
[419] RamshawJ.D. Remarks on entropy and irreversibility in non-Hamiltonian
systems // Physics LettersA. Vol. 116. №3. (1986) 110-114.
[420] Ramshaw J. D. On the molecular theory of dielectric polarization in rigid-dipole
fluids // Journal of Chemical Physics. Vol. 55. №4. (1971) 1763-1774.
[421 ] Rasmussen К. O., Christiansen P. L., Johansson M., Gaididei Yu. В., Mingaleev S. F.
Localized excitations in discrete nonlinear Schroedinger systems: Effects of
nonlocal dispersive interactions and noise // Physica D. Vol. 113. №2-4. (1998)
134-151.
[422] Rastovic D. Fractional Fokker-Planck equations and artificial neural networks for
stochastic control of tokamak // Journal of Fusion Energy. Vol. 27. №3. (2008)
182-187.
[423] Ren P., Ponder J. W. A consistent treatment of intra- and intermolecular polarization
in molecular mechanics calculations // Journal of Computational Chemistry.
Vol.23. №16. (2002) 1497-1506.
[424] RenF. Y, YuZ.G., SuF. Fractional integral associated to the self-similar set or
the generalized self-similar set and its physical interpretation // Physics Letters A.
Vol. 219. № 1-2. (1996) 59-68.

Литература
557
Ren F.Y., YuZ. G., ZhouJ., Le MehauteA., Nigmatullin R. R. The relationship
between the fractional integral and the fractal structure of a memory set //
PhysicaA. Vol.246. №3-4. (1997) 419-429.
Ren F.Y., Liang J.R., Wang X. Т., QiuW.Y. Integrals and derivatives on net
fractals // Chaos, Solitons and Fractals. Vol. 16. № 1. (2003) 107-117.
ResiboisR, De LeenerM. Classical Kinetic Theory of Fluids (Wyley, New York,
1977) sec. IX.4.
Rogers C. A. Hausdorff Measures, 2nd ed. (Cambridge, Cambridge University
Press, 1998).
Ross B. A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional
calculus // Lecture Notes in Mathematics. Vol. 457. № 1. (1975) 1-36.
RoyN. On spherically symmetrical accretion in fractal media // Monthly Notices
of the Royal Astronomical Society. Vol. 378. № 1. (2007) L34-L38.
Roy N., Ray A. K. Critical properties of spherically symmetric accretion in a fractal
medium // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. Vol. 380. № 2.
(2007) 733-740.
RoyN., RayA.K. Fractal features in accretion discs // Monthly Notices of the
Royal Astronomial Society. Vol.397. №3. (2009) 1374-1385.
RosslerO. E. An equation for continuous chaos // Physics Letters A. Vol. 57. №5.
(1976) 397-398.
Rubin В. Fractional Integrals and Potentials (Longman, Harlow, 1996)
Rumiantsev V. V. On integral principles for nonholonomic systems // Journal of
Applied Mathematics and Mechanics. Vol.46. № 1. (1982) 1-8.
Rumyantsev V. V. Forms of Hamilton's principle for nonholonomic systems // Facta
Universitatis. Series Mechanics, Automatic Control and Robotics. Vol. 2. №19.
(2000) 1035-1048. URL: http://facta.junis.ni.ac.rs/macar/macar2000/macar2000-
02.pdf
Russell D. A., Hanson J. D., OttE. Dimension of strange attractors // Physical
Review Letters. Vol.45. № 14. (1980) 1175-1178.
RyabovYa. E., Feldman Yu. Novel approach to the analysis of the non-Debye
dielectric spectrum broadening // PhysicaA. Vol. 314. № 1-4. (2002) 370-378.
RyabovYa.E., Feldman Yu. The relationship between the scaling parameter and
relaxation time for non-exponential relaxation in disordered systems // Fractals.
Vol. 11. Supplementary Issue 1. (2003) 173-183.
RyabovYa. E., Puzenko A. Damped oscillations in view of the fractional oscillator
equation // Physical Review B. Vol. 66. № 18. (2002) 184201.
SabatierJ., AgrawalO.P., MachadoJ.A.T. (Eds.), Advances in Fractional
Calculus. Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering
(Springer, Dordrecht, 2007).
SagdeevR.Z., UsikovD. A., Zaslavsky G. M. Nonlinear Physics. From the
Pendulum to Turbulence and Chaos (Harwood Academic, New York, 1988).

558 Литература
[443] SaichevA. I., Zaslavsky G. M. Fractional kinetic equations: solutions and
applications // Chaos. Vol. 7. №4. (1997) 753-764.
[444] SamkoS.G., KilbasA.A., MarichevO.I. Fractional Integrals and Derivatives
Theory and Applications (Gordon and Breach, New York, 1993).
[445] Sandulescu A., ScutaruH. Open quantum systems and the damping of collective
models in deep inelastic collisions // Annals of Physics. Vol. 173. №2. (1987)
277-317.
[446] SaxenaR. K., MathaiA.M., HauboldH.J. On fractional kinetic equations //
Astrophysics and Space Science. Vol. 282. № 1. (2002) 281-287.
[447] Schmidt G., WangB.W. Dissipative standards map // Physical Review A. Vol.32.
№5. (1985) 2994-2999.
[448] Von SchweidlerE. Studien ber anomalien im verhalten der dielektrika // Annallen
der Physik (Leipzig). Series 4. Vol. 24. (1907) 711-770.
[449] Schumacher В. Sending entanglement through noisy quantum channels // Physical
Review A. Vol.54. №4. (1996) 2614-2628.
[450] SchweizerJ., Frank B. Calculus on linear Cantor sets // Archiv der Mathematik.
Vol.79. №1. (2002) 46-50.
[451] SegelL. A. Distant side-walls cause slow amplitude modulation of cellular
convection // Journal of Fluid Mechanics. Vol. 38. № 1. (1969) 203-224.
[452] Sokolnikoffl. S. Mathematical Theory of Elastisity 2nd ed. (McGraw-Hill, New
York, 1956).
[453] Sousa J. R. Phase diagram in the quantum XY model with long-range interactions.
European Physical JournalB. Vol.43. № 1. (2005) 93-96.
[454] Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcation, Chaos, and Strange Attractors
(Springer, New York, 1982), 269 p.
[455] Special Issue: "Application of Fractals in Material Science and Engineering-//
Chaos, Solitons and Fractals. Vol.8. №2. (1997) 135-301.
[456] Spohn H. Approach to equilibrium for completely positive dynamical semigroups
of N-level systems // Reports in Mathematical Physics. Vol. 10. №2. (1976) 189-
194.
[457] Spohn H. An algebraic condition for the approach to equilibrium of an open N-
level system // Letters in Mathematical Physics. Vol. 2. № 1. (1977) 33-38.
[458] SrivastavaH.M., OwaS. (Eds.) Univalent Functions, Fractional Calculus and
Their Applications (Wiley, New York, 1989) 404 p.
[459] Stanislavsky A. A. Long-term memory contribution as applied to the motion of
discrete dynamical system // Chaos. Vol. 16. №4. (2006) 043105.
[460] Stanislavsky A. A. Fractional oscillator // Physical Review E. Vol. 70. №5. (2004)
051103.
[461] Stanislavsky A. A. Twist of fractional oscillations // Physica A. Vol.354. (2005)
101-110.

Литература
559
Stanislavsky A. A., WeronK. Exact solution of averaging procedure over the
Cantor set // PhysicaA. Vol. 303. № 1. (2002) 57-66.
StillingerF. H. Dynamics and ensemble averages for the polarization models of
molecular interactions // Journal of Chemical Physics. Vol. 71. №4. (1979) 1647-
1651.
StrichartzR. S. Analysis on fractals // Notices of the American Mathematical
Society. Vol.46. № 10. (1999) 1199-1208.
StillingerF. H. Axiomatic basis for spaces with noninteger dimensions // Journal
of Mathematical Physics. Vol. 18. №6. (1977) 1224-1234.
SvozilK. Quantum field theory on fractal spacetime: a new regularization
method // Journal of Physics A. Vol.20. № 12. (1987) 3861-3875.
TadjeranC, Meerschaert M. M., Scheffler H. P. A second-order accurate numerical
approximation for the fractional diffusion equation // Journal of Computational
Physics. Vol.213. № 1. (2006) 205-213.
Tarasov V. E. Quantization of non-Hamiltonian and dissipative systems // Physics
Letters A. Vol.288. №3-4. (2001) 173-182.
Tarasov V. E. Weyl quantization of dynamical systems with flat phase space //
Moscow University Physics Bulletin. Vol. 56. №6. (2001) 5-10.
Tarasov V. E. Quantization of non-Hamiltonian systems // Theoretical Physics.
Vol.2. (2001) 150-160.
Tarasov V. E. Pure stationary states of open quantum systems // Physical Review E.
Vol. 66. №5. (2002) 056116.
Tarasov V. E. Quantum computer with mixed states and four-valued logic // Journal
of Physics A. Vol.35. №25. (2002) 5207-5235. (quant-ph/0312131).
Tarasov V. E. Stationary states of dissipative quantum systems // Physics Letters A.
Vol.299. №2-3. (2002) 173-178.
Tarasov V. E. Classical canonical distribution for dissipative systems // Modern
Physics Letters B. Vol. 17. №23. (2003) 1219-1226.
Tarasov V. E. Path integral for quantum operations // Journal of Physics A. Vol. 37.
№9. (2004) 3241-3257.
Tarasov V. E. Fractional generalization of Liouville equations // Chaos. Vol. 14.
№1. (2004) 123-127.
Tarasov V. E. Fractional generalization of gradient and Hamiltonian systems //
Journal of Physics A. Vol. 38. №26. (2005) 5929-5943.
Tarasov V. E. Electromagnetic field of fractal distribution of charged particles //
Physics of Plasmas. Vol. 12. №8. (2005) 082106 (9 pages).
Tarasov V. E. Multipole moments of fractal distribution of charges // Modern
Physics Letters B. Vol. 19. №22. (2005) 1107-1118.
Tarasov V. E. Fractional hydrodynamic equations for fractal media // Annals of
Physics. Vol.318. №2. (2005) 286-307.

560
Литература
TarasovV. Е. Dynamics of fractal solid // International Journal of Modern
Physics B. Vol. 19. №27. (2005) 4103-4114.
TarasovV.E. Fractional generalization of gradient systems // Letters in
Mathematical Physics. Vol. 73. № 1. (2005) 49-58.
TarasovV.E. Wave equation for fractal solid string // Modern Physics LettersB.
Vol. 19. № 15. (2005) 721-728.
TarasovV.E. Phase-space metric for non-Hamiltonian systems // Journal of
Physics A. Vol. 38. № 10-11. (2005) 2145-2155.
TarasovV. E. Continuous medium model for fractal media // Physics Letters A.
Vol.336. №2-3. (2005) 167-174.
Tarasov V. E. Possible experimental test of continuous medium model for fractal
media // Physics Letters A. Vol. 341. №5-6. (2005) 467-472.
Tarasov V. E. Thermodynamics of few-particle systems // International Journal of
Modern Physics B. Vol. 19. №5. (2005) 879-897.
Tarasov V. E. Fractional Fokker-Planck equation for fractal media // Chaos. Vol. 15.
№2. (2005) 023102.
TarasovV.E., ZaslavskyG.M. Fractional Ginzburg-Landau equation for fractal
media // Physica A. Vol. 354. № 1-4. (2005) 249-261.
Tarasov V. E. Fractional Liouville and BBGKI equations // Journal of Physics:
Conference Series. Vol.7. (2005) 17-33.
TarasovV.E. Stationary solutions of Liouville equations for non-Hamiltonian
systems // Annals of Physics. Vol. 316. (2005) 393-413.
Tarasov V. E. Fractional systems and fractional Bogoliubov hierarchy equations //
Physical Review E. Vol. 71. № 1. (2005) 011102 (12 pages).
Tarasov V. E. Map of discrete system into continuous // Journal of Mathematical
Physics. Vol.47. №9. (2006) 092901 (24 pages).
TarasovV.E. Fractional statistical mechanics // Chaos. Vol.16. №3. (2006)
033108.
Tarasov V. E. Electromagnetic fields on fractals // Modern Physics Letters A.
Vol.21. №20. (2006) 1587-1600.
Tarasov V. E. Continuous limit of discrete systems with long-range interaction //
Journal of Physics A. Vol.39. №48. (2006) 14895-14910.
Tarasov V. E. Fractional variations for dynamical systems: Hamilton and Lagrange
approaches // Journal of Physics A. Vol. 39. №26. (2006) 8409-8425.
Tarasov V. E. Psi-series solution of fractional Ginzburg-Landau equation // Journal
of Physics A. Vol. 39. №26. (2006) 8395-8407.
TarasovV.E. Magnetohydrodynamics of fractal media // Physics of Plasmas.
Vol. 13. №5. (2006) 052107 (12 pages).
TarasovV. E., Zaslavsky G. M. Nonholonomic constraints with fractional
derivatives // Journal of Physics A. Vol.39. №31. (2006) 9797-9815.

Литература
561
Tarasov V. Е., Zaslavsky G. М. Fractional dynamics of systems with long-range
interaction // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation.
Vol. 11. №8. (2006) 885-898.
Tarasov V. E. ZaslavskyG. M. Dynamics with low-level fractionality // PhysicaA.
Vol.368. №2. (2006) 399-415.
Tarasov V. E., Zaslavsky G. M. Fractional dynamics of coupled oscillators with
long-range interaction // Chaos. Vol. 16. №2. (2006) 023110 (13 pages).
Tarasov V. E. Transport equations from Liouville equations for fractional systems //
International Journal of Modern Physics B. Vol.20. №3. (2006) 341-353.
Tarasov V. E. Gravitational field of fractal distribution of particles // Celestial
Mechanics and Dynamical Astronomy. Vol.94. № 1. (2006) 1-15.
Tarasov V. E., Zaslavsky G. M. Fractional dynamics of systems with long-range
space interaction and temporal memory // PhysicaA. Vol.383. №2. (2007) 291-
308.
Tarasov V. E. Fractional Chapman-Kolmogorov equation // Modern Physics
LettersB. Vol.21. №4. (2007) 163-174.
Tarasov V. E. Liouville and Bogoliubov equations with fractional derivatives //
Modern Physics LettersB. Vol.21. №5. (2007) 237-248.
Tarasov V. E. Fractional derivative as fractional power of derivative // International
Journal of Mathematics. Vol. 18. №3. (2007) 281-299.
Tarasov V. E., Zaslavsky G. M. Conservation laws and Hamiltonian's equations for
systems with long-range interaction and memory // Communications in Nonlinear
Science and Numerical Simulation. Vol. 13. №9. (2008) 1860-1878.
Tarasov V. E. Fokker-Planck equation for fractional systems // International Journal
of Modern Physics B. Vol.21. №6. (2007) 955-967.
Tarasov V. E. Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems
(Elsevier, Amsterdam, London, 2008). 540 p.
Tarasov V. E. Fractional Heisenberg equation // Physics Letters A. Vol.372. № 17.
(2008) 2984-2988.
Tarasov V. E. Chains with fractal dispersion law // Journal of Physics A. Vol. 41.
№3. (2008) 035101 (6 pages).
Tarasov V. E. Fractional vector calculus and fractional Maxwell's equations //
Annals of Physics. Vol. 323. № 11. (2008) 2756-2778.
Tarasov V. E. Fractional equations of Curie-von Schweidler and Gauss laws //
Journal of Physics: Condensed Matter. Vol.20. № 14. (2008) 145212.
Tarasov V. E. Universal electromagnetic waves in dielectric // Journal of Physics:
Condensed Matter. Vol.20. № 17. (2008) 175223.
Tarasov V. E., Zaslavsky G. M. Fractional generalization of Kac integral //
Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol. 13. №2.
(2008) 248-258.

562
Литература
[519] TarasovV.Е. Fractional powers of derivatives in classical mechanics //
Communications in Applied Analysis. Vol. 12. №4. (2008) 441-450.
[520] TarasovV. E., ZaslavskyG. M. Fokker-Planck equation with fractional coordinate
derivatives // Physica A. Vol.387. №26. (2008) 6505-6512.
[521] TarasovV. E., Zaslavsky G. M. Fractional equations of kicked systems and discrete
maps // Journal of Physics A. Vol.41. №43. (2008) 435101 (16 pages).
[522] Tarasov V. E. Weyl quantization of fractional derivatives // Journal of Mathematical
Physics. Vol.49. № 10. (2008) 102112. (6 pages)
[523] TarasovV.E. Fractional generalization of the quantum Markovian master
equation // Theoretical and Mathematical Physics. Vol. 158. №2. (2009) 179-195.
[524] TarasovV.E. Fractional integro-differential equations for electromagnetic waves
in dielectric media // Theoretical and Mathematical Physics. Vol. 158. №3. (2009)
355-359.
[525] Tarasov V. E. Quantum Nanotechnology // International Journal of Nanoscience.
Vol. 8. №4. (2009) 337-344.
[526] Tarasov V. E. Differential equations with fractional derivative and universal map
with memory // Journal of Physics A. Vol.42. №46. (2009) 465102 (13 pages).
[527] Tarasov V. E. Discrete map with memory from fractional differential equation of
arbitrary positive order // Journal of Mathematical Physics. Vol. 50. № 12. (2009)
122703 (6 pages).
[528] Tarasov V. E. Fractional dynamics of relativistic particle // International Journal of
Theoretical Physics. Vol.49. №2. (2010) 293-303.
[529] TarasovV.E., EdelmanM. Fractional dissipative standard map // Chaos. Vol.20.
№2. (2010) 023127 (7 pages).
[530] TarasovV.E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to
Dynamics of Particles, Fields and Media, (Springer, Higher Education Press, 2010)
516 p.
[531] TarasovV.E. "Relativistic non-Hamiltonian mechanics" Annals of Physics.
Vol. 325. №10. (2010) 2103-2119.
[532] Tarasov V. E. Fractional Zaslavsky and Henon discrete maps // Chapter 1 in Long-
range Interaction, Stochasticity and Fractional Dynamics Editors: A.C.J. Luo, VS.
Afraimovich (Editors) (Springer, Higher Education Press, 2010).
[533] TatomF.B. The relationship between fractional calculus and fractals // Fractals.
Vol.3. №1. (1995)217-229.
[534] TessoneC. J., CenciniM., TorciniA. Synchronization of extended chaotic systems
with long-range interactions: An analogy to Levy-flight spreading of epidemics //
Physical Review Letters. Vol.97. №22. (2006) 224101.
[535] The RCSB Protein Data Bank (PDB):
URL: http://www.rcsb.org/pdb/home/home.do
[536] Tofighi A. The intrinsic damping of the fractional oscillator // Physica A. Vol. 329.
№ 1-2. (2003) 29-34.

Литература
563
[537] Tofighi A., Pour Н. N. Epsilon-expansion and the fractional oscillator // Physica A.
Vol. 374. №1.(2007)4145.
[538] Tofighi A., Golestani A. A perturbative study of fractional relaxation phenomena //
PhysicaA. Vol.387. №8-9. (2008) 1807-1817.
[539] TsujiiK. Fractal materials and their functional properties // Polymer Journal.
Vol.40. №9. (2008) 785-799.
[540] Tuckerman M. E., Mundy C. J., Martyna G. J. On the classical statistical mechanics
of non-Hamiltonian systems // Europhysisics Letters. Vol. 45. №2. (1999) 149-
155.
[541] Tuckerman M. E., LiuY., CiccottiG., Martyna G.J. Non-Hamiltonian molecular
dynamics: Generalizing Hamiltonian phase space principles to non-Hamiltonian
systems // Journal of Chemical Physics. Vol. 115. №4. (2001) 1678-1702.
[542] Tuckerman M. E., Statistical Mechanics and Molecular Simulations, (Oxford
University Press, 2010).
[543] TuncerE. Signs of low frequency dispersions in disordered binary dielectric
mixtures (fifty-fifty) // Journal of Physics D. Vol. 37. №3. (2004) 334-342.
[544] Turing A.M. The chemical basis of morphogenesis // The Philosophical
Transactions of the Royal Society B. (London) Vol. 237. №641. (1952) 37-68.
[545] Van Den BergT. L., FanelliD., Leoncini X. Stationary states and
fractional dynamics in systems with long range interactions // URL:
http://arxiv.org/abs/0912.3060
[546] Van Kampen N. G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry, (North-Holland,
Amsterdam, 1984).
[547] Vasilev A. N. Functional Methods in Quantum Field Theory and Statistical Physics
(Gordon and Breach, 1998) 312 p.
[548] VlasovA. A. On the kinetic theory of an assembly of particles with collective
interaction // Journal of Physics USSR. Vol. 9. № 1. (1945) 25-40.
[549] Vlasov A. A. Many-particle Theory and its Application to Plasma (Gordon and
Breach, New York, 1961).
[550] VelievE. I., Engheta N. Fractional curl operator in reflection problems // 10th
International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory,
Sept. 14-17. Ukraine. Institute of Electrical and Electronics Engineers (2004) 228-
230.
[551] VilasiG. Hamiltonian Dynamics (World Scientific, Singapore, 2001).
[552] VishikM. I., Fursikov A. V. Mathematical Problems of Statistical Hydromechanics
(Kluver, Dordrecht, 1988)
[553] Wang S. W, Xu M. Y. Generalized fractional Schrodinger equation with space-time
fractional derivatives // Journal of Mathematical Physics. Vol. 48. № 4. (2007)
043502.
[554] Weierstrass F. Uber kontinuierliche funktionen eines reellen arguments, die fur
keinen wert des letzteren einen bestimmten differential quotienten besitzen // In
Mathematische Werke II. Мауег-Muller, Berlin, 1895, pages 71-74.

564
Литература
Weiss U. Quantum Dissipative Systems (World Scientific, Singapore, 1993).
WeitznerH., Zaslavsky G. M., Some applications of fractional derivatives //
Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol. 8. № 3-4.
(2003) 273-281.
WeitznerH., Zaslavsky G. M., Directional fractional kinetics // Chaos. Vol. 11. №2.
(2001) 384-396.
Wheatcraft S. W., Meerschaert M. M. Fractional conservation of mass // Advances
in Water Resources. Vol. 31. № 10. (2008) 1377-1381.
West В. J., Bologna M., Grigolini P. Physics of Fractal Operators (Springer-Verlag,
New York, 2003)
Von WestenholzC. Differential Forms in Mathematical Physics Revised edition.
(North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1978). 488 p.
Wilson K. G. Quantum field-theory model in less than 4 dimensions // Physical
Review D. Vol. 7. № 10. (1973) 2911-2926.
Wigner E. P. The probability of the existence of the self-reproducing unit // in The
Logic of Personal Knowledge. Essays presented to Michael Polanyi, (London,
Routledge and Paul, 1961) pp. 231-238.
WojcikD., Bialynicki-Birulal., ZyczkowskiK. Time evolution of quantum
fractals // Physical Review Letters, Vol. 85. №24. (2000) 5022-5026.
WuR., Pechen A., BrifC, RabitzH. Controllability of open quantum systems with
Kraus-map dynamics // Journal of Physics A. Vol.40. №21. (2007) 5681-5693.
Yilmaz Y, Gelir A., Salehli F., Nigmatullin R. R., Arbuzov A. A. Dielectric study of
neutral and charged hydrogels during the swelling process // Journal of Chemical
Physics. Vol. 125. №23. (2006) 234705.
YosidaK. Functional Analysis (Springer, Berlin, 1965).
YuZ. G., RenF. Y, ZhouJ. Fractional integral associated to generalized cookie-
cutter set and its physical interpretation // Journal of Physics A. Vol. 30. №15.
(1997) 5569-5577.
Zaslavsky G. M. Simplest case of a strange attractor // Physics Letters A. Vol.69.
№3. (1978) 145-147.
Zaslavsky G. M. Chaos in Dynamic Systems (Harwood Academic Publishers, New
York, 1985).
Zaslavsky G. M. Fractional kinetic equation for Hamiltonian chaos // Physica D.
Vol.76. №1-3. (1994) 110-122.
Zaslavsky G. M. Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport // Physics
Reports. Vol.371. №6. (2002) 461-580.
Zaslavsky G. M. Hamiltonian Chaos and Fractional Dynamics (Oxford University
Press, Oxford, 2005).
Zaslavsky G.M., EdelmanM. A. Fractional kinetics: from pseudochaotic dynamics
to Maxwell's demon // Physica D. Vol. 193. № 1-4. (2004) 128-147.

Литература
565
[574] Zaslavsky G. М., EdelmanM., Tarasov V. E. Dynamics of the chain of oscillators
with long-range interaction: from synchronization to chaos // Chaos. Vol. 17. №4.
(2007) 043124.
[575] Zaslavsky G. M, Stanislavsky A. A., EdelmanM. Chaotic and pseudochaotic
attractors of perturbed fractional oscillator // Chaos, Vol. 16. № 1. (2006) 013102.
[576] ZeldovichY.B., Frank-Kamenetsky D. A. Acta Physicochimica U.R.S.S. Acta
Physicochimiya. URSS Vol.9. (1938) 341-350.
[577] Zolotuhin I. V, Kalinin Yu. E., Loginova V. I. Solid fractal structures // International
Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology. Vol. 9. № 29. (2005) 56-66.

Предметный указатель
balance of momentum, 87
альфа-взаимодействие, 205
взаимодействие ближайших соседей,
219
гамильтонова система, 326
градиентная система, 313
губка Менгера, 29
дипольный момент, 141
диэлектрическая восприимчивость, 380
дробная 1 -форма Пуанкаре-Картана,
338
дробная гамильтонова система, 329
дробная градиентная система, 315
дробная дивергенция, 268
дробная динамическая полугруппа, 507
дробная устойчивость, 350
дробная формула
— Гаусса, 279
— Грина, 273
— Стокса, 276
дробная циркуляция, 271
дробно-динамическая полугруппа, 487
дробно-дифференциальная связь, 422
дробно-дифференциальное уравнение
Гейзенберга, 487
дробно-дифференциальный условный
экстремум, 427
дробно-степенное уравнение фон
Неймана, 511
дробное волновое уравнение, 309, 394
дробное квантовое марковское
уравнение, 506
дробное реакционно-диффузионное
уравнение, 228, 231
дробное уравнение
— Буссинеска, 236
— Бюргерса, 235
— Власова, 366
— Гейзенберга, 506
— Гинзбурга-Ландау, 240
— Кортевега-де Фриза, 236
— Лиувилля, 359
— Фоккера-Планка, 372
дробные волновые уравнения, 391
дробные дифференциальные уравнения
Максвелла, 306
дробные интегралы Римана-Лиувилля,
46
дробные интегральные уравнения
Максвелла, 307
дробные уравнения Максвелла, 306
дробный градиент, 268
дробный интеграл
— Лиувилля, 47
— Рисса, 49
— объемный, 272
дробный поток, 272
дробный принцип
— действия, 349
— стационарности действия, 339, 344
дробный ротор, 269
закон
— Кюри-фон Швейдлера, 384
— сохранения импульса, 88
— сохранения массы, 80, 84
— сохранения энергии, 90, 92

Предметный указатель
567
— универсального отклика, 378, 382
изометрия, 26
интеграл
— Бернулли, 98
— Лиувилля, 382
интегральные уравнения Максвелла
дробного порядка, 133
квадрупольный момент, 142
магнитогидродинамические уравнения,
147
массовая размерность, 51
мера Хаусдорфа, 23
множество
— Бореля, 25
— Кантора, 28
момент инерции, 107
неголономная связь, 403
неголономная связь со степенной
памятью, 419
нелокальное альфа-взаимодействие, 232
нелокальное взаимодействие, 225, 228
оператор Клейна-Гордона, 254
операция ДН-преобразование, 200
первое дробное уравнение Боголюбова,
365
плотность состояний, 55, 58, 75, 77, 122
плотность состояния, 80
полугрупповое свойство, 46, 260, 262
преобразование Фурье, 383
принцип стационарности действия, 337,
341, 349
производная Капуто, 262, 264
размерность Хаусдорфа, 27
реакционно-диффузионное уравнение,
228
редуцированные функции
распределения, 183
система
— Лоренца, 323
— Рёсслера, 324
супероператоров дифференцирования
нецелого порядка, 525
теорема Пуанкаре, 287
треугольник Серпинского, 29
уравнение
— Лиувилля, 182
— Фоккера-Планка, 167
— Чепмена-Колмогорова нецелого
порядка, 163
уравнения
— Навье-Стокса, 96
— Эйлера, 94, 115
условие
— Гёльдера, 25
— Липшица, 25
условия
— Гельмгольца, 330
— Четаева, 401
форма Пуанкаре-Картана, 336
формула
— Балакришнана, 502
— Бохнера-Филлипса, 503
— Грина, 258, 272
фрактал, 27
фрактальное нелокальное
взаимодействие, 250
фундаментальных теорем дробного
математического анализа, 264
функция
— Вейерштрасса, 528, 529
— Вейерштрасса-Мандельброта, 253
— Миттаг-Леффлера, 275, 387, 389, 424

Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой или
электронной почтой:
subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через наш
Интернет-магазин:
http://shop.rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414,
тел.: (499) 135-54-37, (495) 641-69-38
2. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж)
3. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
Книжный магазин «ФИЗМАТКНИГА» (г. Долгопрудный,
Новый корпус МФТИ, 1 этаж, тел. 409-93-28)
С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
Тарасов Василий Евгеньевич
Модели теоретической физики
с интегро-дифференцированием
дробного порядка
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерный набор и верстка А. В. Моторин
Корректор А. А. Чукарева
Подписано в печать 16.08.2011. Формат 60 х 84У1б.
Печать офсетная. Усл. печ.л. 33,02. Уч. изд. л. 35,45.
Гарнитура Тайме. Бумага офсетная № 1. Заказ № 11-35.
АНО «Ижевский институт компьютерных исследований»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500-295

В. Е. Тарасов
МОДЕЛИ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
С ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ
ДРОБНОГО ПОРЯДКА

ISBN 978-5-4344-0013-81
9
785434
4001 38