Лекции по математическому анализу. Часть 1: Учебное пособие - Иванов Г.Е.

Author: Иванов Г.Е.
Tags: анализ математика дифференциальное исчисление математический анализ учебное пособие
ISBN: 5-7417-0147-7
Year: 2000
Similar
Недифференцируемая оптимизация
Вероятность – 2. Суммы и последовательности случайных величин - стационарные, мартингалы, марковские цепи
Вероятность. Книга 2. Суммы и последовательности случайных величин - стационарные, мартингалы, марковские цепи
Робастность в статистике
Text
                    МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Г.Е. Иванов
ЛЕКЦИИ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Часть 1
Рекомендовано Учебно-методическим советом
Московского физико-технического института
(государственного университета)
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
по направлению "Прикладные математика и физика "
МОСКВА 2000

УДК 517
И20
Рецензенты:
Кафедра математики
Московского института стали и сплавов
Кандидат физико-математических наук КС. Недосекина
Иванов Г.Е.
И20 Лекции по математическому анализу. Ч. 1 :
Учеб. пособие. — М.: МФТИ, 2000. — 359 с.
ISBN 5-7417-0147-7
Пособие содержит полный курс лекций по математическому анализу.
В первой части изложены теория предела, дифференциальное исчисле-
исчисление функций одной и многих переменных, интеграл Римана, несобст-
несобственный интеграл, числовые, функциональные и степенные ряды. Приве-
Приведено большое количество примеров, показывающих практическое при-
приложение излагаемых результатов, и задач, самостоятельное решение ко-
которых обеспечивает надежное усвоение теоретического материала.
Пособие предназначено для студентов и преподавателей университе-
университетов и технических вузов.
УДК 517
© Московский физико-технический институт
(государственный университет), 2000
ISBN 5-7417-0147-7 © Иванов Г.Е., 2000

Оглавление
ГЛАВА 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 8
§ 1. Аксиомы действительных чисел 8
§ 2. Точные грани множеств 12
§ 3. Предел последовательности 16
§ 4. Свойства пределов последовательностей,
связанные с арифметическими действиями . 22
§ 5. Переход к пределу в неравенствах 25
§ 6. Монотонные последовательности 27
§ 7. Неравенство Бернулли и число е 28
§ 8. Принцип вложенных отрезков 29
§ 9. Частичный предел последовательности ... 31
§ 10. Критерий Коши 34
§ 11. Открытые и замкнутые числовые множества 36
§ 12. Счетные и несчетные множества 41
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИИ 44
§ 1. Определение предела функции 44
§ 2. Свойства пределов функций 46
§ 3. Критерий Коши существования предела
функции 48
§ 4. Односторонние пределы 50

§ 5. Непрерывность функции в точке 53
§ б. Непрерывность функции на множестве ... 56
§ 7. Обратная функция 61
§ 8. Тригонометрические функции 64
§ 9. Степенная, показательная и логарифмиче-
логарифмическая функции 67
§ 10. Второй замечательный предел 70
§ 11. Сравнение функций 73
ГЛАВА 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛО-
ПРИЛОЖЕНИЯ 78
§ 1. Определение и геометрический смысл произ-
производной и дифференциала 78
§ 2. Правила дифференцирования 82
§ 3. Производные и дифференциалы высших
порядков 89
§ 4. Теоремы о среднем для дифференцируе-
дифференцируемых функций 92
§ 5. Формула Тейлора 96
§ б. Разложение основных элементарных функ-
функций по формуле Тейлора . 102
§ 7. Правило Лопиталя 107
§ 8. Исследование функций с помощью произ-
производных 112
ГЛАВА ^НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГ-
ИНТЕГРАЛ 123
§ 1. Элементарные методы интегрирования .... 123
§ 2. Комплексные числа 128
§ 3. Разложение многочлена на множители .... 131
§ 4. Разложение правильной рациональной дро-
дроби в сумму элементарных дробей 134
§ 5. Интегрирование рациональных дробей .... 139

§ 6. Интегрирование иррациональных, тригоно-
тригонометрических и гиперболических функций . . 141
ГЛАВА 5. ВЕКТОР-ФУНКЦИИ 145
§ 1. Линейное, евклидово и нормированное
пространства 145
§ 2. Предел и производная вектор-функции . . . 149
§ 3. Кривые 156
§ 4. Длина кривой 159
§ 5. Первое приближение кривой (касательная) . 165
§ 6. Второе приближение кривой 167
§ 7. Сопровождающий трехгранник кривой ... 172
§ 8. Открытые и замкнутые множества в Мп . . 174
§ 9. Сходимость в Мп 177
ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕ-
ПЕРЕМЕННЫХ 182
§ 1. Предел функции многих переменных 182
§ 2. Непрерывность функции многих перемен-
переменных в точке 185
§ 3. Непрерывность функции многих перемен-
переменных на множестве 187
§ 4. Равномерная непрерывность функции
на множестве 190
§ 5. Дифференцируемость функции многих
переменных. Геометрический смысл гради-
градиента и дифференциала 194
§ 6. Необходимые условия дифференцируемо-
сти. Производные по направлению и част-
частные производные 197
§ 7. Достаточные условия дифференцируемости . 201
§ 8. Дифференцирование сложной вектор-
функции 203

§ 9. Частные производные и дифференциалы
высших порядков 207
§ 10. Операторы дифференцирования 210
§ 11. Формула Тейлора 213
§ 12. Норма матрицы. Теорема Лагранжа о среднем217
§ 13. Теорема о неявной функции 220
§ 14. Теорема об обратном отображении 228
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛ РИМАНА 233
§ 1. Суммы Дарбу 233
§ 2. Интегральные суммы Римана 241
§ 3. Свойства определенного интеграла 243
§ 4. Достаточные условия интегрируемости .... 249
§ 5. Определенный интеграл как функция верх-
верхнего предела 253
§ 6. Геометрические приложения определенного
интеграла 258
§ 7. Криволинейные интегралы 264
ГЛАВА 8. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИН-
ИНТЕГРАЛ 270
§ 1. Определение и некоторые свойства несоб-
несобственного интеграла 270
§ 2. Несобственные интералы от знакопостоян-
знакопостоянных функций 280
§ 3. Несобственные интегралы от знакоперемен-
знакопеременных функций 285
ГЛАВА 9. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 292
§ 1. Определение и некоторые свойства рядов . . 292
§ 2. Ряды с неотрицательными членами 294
§ 3. Ряды со знакопеременными членами 299
§ 4. Перестановки слагаемых в рядах и перемно-
перемножение рядов 303

ГЛАВА ^.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕ-
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 314
§ 1. Равномерная сходимость функциональных
последовательностей 314
§ 2. Равномерная сходимость функциональных
рядов 319
§ 3. Свойства равномерно сходящихся рядов . . . 330
ГЛАВА 11.СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 335
§ 1. Обобщенный признак Коши сходимости чи-
числового ряда 335
§ 2. Комплексные ряды 337
§ 3. Степенные ряды 340
§ 4. Ряд Тейлора 347
§ 5. Ряды Тейлора для показательной, гипербо-
гиперболических и тригонометрических функций . . 350
§ 6. Остаточный член формулы Тейлора в ин-
интегральной форме. Ряды Тейлора для сте-
степенной, логарифмической и других функций 354

ГЛАВА 1
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Аксиомы действительных чисел
Будем использовать следующие обозначения.
Обозначение
А => В
А & В
-.Л
хеХ
х?Х
0
Расшифровка
из условия А следует условие В
условия Аи В равносильны
отрицание условия А
х является элементом множества X
-.(ж G X)
пустое множество
При определении новых множеств часто используют
1) метод перечисления: X = {xi,X2> •••>жп> •••} и
2) метод наложения условия:
X = {х : выполняется некоторое условие для х)
(здесь и далее двоеточие (:) означает "такой (ая, ое), что").
Определим операции пересечения, объединения и до-
дополнения множеств:
X[jY = {х : х е X или х ?Y};
X\Y = {xeX :x?Y}.
Кванторы:
V - для любого, для каждого, для всех;
3 - существует, найдется.
Например, условие X С Y (множество X является под-
подмножеством множества Y) можно с помощью квантора V
8

записать следующим образом: Ух ? X х G Y или Vx x G
е X => х g У.
Определение. Будем говорить, что на множестве X
определена операция сложения (умножения), если любым
двум элементам а, 6 G X поставлен в соответствие элемент
а + ЬеХ (а-ЪеХ).
Определение. Будем говорить, что на множестве X
задано отношение порядка <, если для любых двух эле-
элементов а, 6 G X выполняется хотя бы одно из условий: а <
< Ъ или Ь < а.
Определение. Множеством действительных (веще-
(вещественных) чисел М называется множество, на котором
определены операции сложения и умножения и отношение
порядка <, удовлетворяющие следующим 15 аксиомам, и
которое состоит более, чем из одного элемента.
Аксиомы сложения
1) а + Ъ = Ъ + а Уа,ЪеШ;
2) (а + Ь) + с = а + (Ъ + с) \/а,Ь,св Ш;
3K0вМ: а + 0 = а \/аеШ;
4)\/аеШ 3-аеМ: а + (-а) = 0.
Аксиомы умножения
5) а • Ь = Ъ • а Va, Ь G Ш\
6) (а • Ъ) • с = а • F • с) Va,6,c G iR;
7) 31 G iR : a • 1 = a Va G iR;
8)VaGiR\{0} 3iGJR: a-i='l.
Аксиома связи сложения и умножения
9) а • F + с) = а • 6 + а • с Va, 6, с G iR.
Пример 1. Доказать, что если а, 6 G iR и Ь + а = а, то

Решение, b ® b + О (=} Ь + (а + (-а)) (=} (Ь + а)
, ч по условию , ч D) .
(-а) = а + (-а)='О =» Ь = 0.
Пример 2. Доказать, что а • 0 = 0 Va G Ш.
Решение, а • 0 + а = а • 0 + а • 1 = а • @ + 1)
/, Лч C) - G) Пример 1. ^ л
= а-A + 0) = а-1 = а => а • 0 = 0.
Задача. Доказать, что а • (—1) = — а \/а ? М.
Аксиомы отношения порядка
10) а < a Va ? JR;
11) (a < b и b < с) =» a < с Va, b, c G iR;
12) (a < 6 и 6 < a) =» a = b Va, b G iR.
Связь отношения порядка и сложения
13)a<6 =» a + c<6 + c Va,6,cGiR.
Связь отношения порядка и умножения
14) (а < Ь и 0 < с) =» а • с < Ь • с Va, 6, с G iR.
Аксиома непрерывности
15) Если Л, В С iR и a < Ь Va e A V6 G Б, то Зс G
G iR : а<с<Ъ Va e A Vb G В.
Определим теперь отношения порядка <, >, > и опера-
операции вычитания и деления на множестве действительных
чисел:
афЬ <?> -п(а = 6);
а<6 <^ (а<Ь и афЬ)\
а>Ъ & b < a;
а > 6 <^ 6 < а;
а - Ъ = а + (-6);
10

Определение. Модулем числа а называется число
\-а,
если а > О,
если а < 0.
Задача. Доказать неравенство треугольника:
\а + Ь\ < \а\ + \Ь\ Уа,ЪеМ.
Определение. Множеством натуральных чисел IN на-
называется множество действительных чисел вида
п = 1 + 1 + ... + 1.
Множеством целых чисел 2Z называется множество чи-
чисел т таких, что т G IN или — т G JV, или т = 0.
Множеством рациональных чисел Q называется мно-
множество чисел вида ~, где т е 2Z, п е N.
Задача. Доказать, что рациональные числа удовле-
удовлетворяют всем аксиомам действительных чисел, кроме ак-
аксиомы непрерывности.
Задача. Показать, что аксиома непрерывности для
множества рациональных чисел не выполняется, т. е. при-
привести пример двух множеств A,BcQ таких, что
а < Ъ Va G A V6 G В, но не существует с G Q :
а<с<Ъ Vae A V6 G В.
Наряду с числами будем использовать символы +ос,
-оо. Для этих символов не определены операции
-Ь, — 5*7/? определены лишь отношения порядка:
-оо < х < +оо Ух в М.
Определение. Пусть заданы действительные числа
а, 6, а < Ъ. Определим следующие числовые множества
(т.е. множества, состоящие из действительных чисел):
11

интервал (a,b) = {х е М : а < х < b},
отрезок [а, Ь] = {х G iR : а < х < Ь},
полуинтервалы: [а, Ь) = {х G iR : а < х < Ь},
(а, Ь] = {ж G iR : а < х < Ь},
лучи: [а, +оо) = {х G iR : а < х},
(а, +оо) = {х G iR : а < х},
(—оо, а] = {х G iR : х < а},
(—оо,а) = {х G iR : х < а},
прямая: (—оо,+оо) = iR.
§ 2. Точные грани множеств
Определение. Число М е М называется верхней гра-
гранью множества А С iR, если а < М Уа € А. Множество
А С Ш называется ограниченным сверху, если существует
верхняя грань этого множества: ЗМ G iR : Va € А а <
<М.
Число m G iR называется нижней гранью множества
А С iR, если а > т Va e А. Множество А С iR называ-
называется ограниченным снизу, если существует нижняя грань
этого множества: Зт Е Ш: Va G А а>т.
Множество А называется ограниченным, если А огра-
ограничено сверху и ограничено снизу.
Задача. Показать, что множество А ограничено тогда
и только тогда, когда
ЗМеШ: Чае А \а\ < М. A)
Замечание. Кванторы V и 3 в общем случае нельзя ме-
менять местами. Например, если в определении ограничен-
ограниченного множества A) переставить кванторы, то получится
условие Va G А ЗМ G iR : \а\ < М, справедливое для
любого, в том числе и для неограниченного множества.
12

Из логических соображений следует, что при раскры-
раскрытии отрицания к условию, содержащему квантор, следует
поменять квантор, а знак отрицания поставить после этого
квантора и переменной, к которой он относится:
(Vx G X выполняется условие А для х)
Зх G X : -I(выполняется условие А для х);
G X : выполняется условие А для х)
\/х е X -«(выполняется условие А для х).
Определение. Число М G JR называется точной верх-
верхней гранью или супремумом множества А С М (пишут:
М = sup А), если
1) М является верхней гранью множества А и
2) не существует числа, меньшего, чем М, и являюще-
являющегося верхней гранью множества А,то есть
1) Va G А а<М и
2) -(ЗМ7 < М : Va G Л a < М7).
Так как
7 < М : Va G A a < М;) 4Ф
М -п(УаеА а<М') &
& УМ'<М ЗаеА: а>М',
то число М является точной верхней гранью множества
А с Му если
1) Va G А а < М и
2)VM7<M ЗаеА: М7 < а.
Так как для неограниченного сверху множества не су-
существует конечных верхних граней, то никакое число М
13

не может быть супремумом неограниченного сверху мно-
множества. Если множество А неограниченно сверху, то по
определению полагают, что его точная верхняя грань рав-
равна +оо: sup A = +оо.
Аналогично сформулируем определение точной нижней
грани.
Определение. Число т Е Ш называется точной ниж-
нижней гранью или инфимумом множества А С Ш (пишут:
М = inf А), если
1) Va e А а>т и
2) Vm' > т Зав А: т! > а.
Если множество А неограниченно снизу, то полагают,
что inf A = -оо.
Теорема 1. Для любого непустого числового множе-
множества супремум существует и единствен. Причем, если мно-
множество ограничено сверху, то его супремум - это число,
а если множество неограниченно сверху, то его супремум
равен +оо.
Доказательство. Пусть задано произвольное множе-
множество А С М. Если множество А неограниченно сверху, то
по определению sup A = +оо. Поэтому для неограничен-
неограниченного сверху множества супремум существует и единствен.
Рассмотрим теперь случай, когда множество А ограничено
сверху.
Докажем существование sup А. Пусть В - множество
всех верхних граней множества А:
В = {ЪеМ : \/аеА Ъ>а}.
Поскольку множество А ограничено сверху, то В непу-
непусто. Так как а < b Va G A Vb G В, то в силу аксио-
аксиомы непрерывности действительных чисел существует чи-
число М еМ: a<M<b Va G A Vfc G В.
14

Покажем, что М = sup Л. Так как а < М \/а G А, то
первый пункт определения супремума выполняется. По-
Поскольку Ъ > М \/Ъ е J3, а В - это множество всех верх-
верхних граней множества Л, то не существует числа, меньше-
меньшего, чем М, и являющегося верхней гранью множества А.
Следовательно, выполняется и второй пункт определения
супремума, а значит, М = sup A.
Докажем единственность супремума множества А.
Предположим противное: два различных числа М и
М' удовлетворяют определению супремума множества А.
Пусть М' < М (если М' > М, то, меняя обозначения, по-
получим, что М' < М). Поскольку М' < М = sup Л, то в си-
силу второго пункта определения супремума За Е А : М1 <
< а, что в силу первого пункта определения супремума
противоречит тому, что М' = sup А. Поэтому наше пред-
предположение неверно, следовательно, супремум единствен.
¦
Аналогично можно доказать существование и един-
единственность инфимума для любого непустого числового
множества. Причем если множество ограничено снизу, то
его инфимум - это число, а если множество неограниченно
снизу, то его инфимум равен — оо.
Определение. Число М называется максимальным
элементом множества А С JR (пишут М = max Л), если
1) М еАи
2) Va G А М>а.
Число т называется минимальным элементом множе-
множества А С М (пишут т = min А), если
1) т G А и
2) Мае А т<а.
Лемма 1. а) Если М = max Л, то М = sup Л.
б) Если т = min Л, то т — mi А.
15

Доказательство, а) Пусть М = max А. Поскольку
Va G А М > а, то первый пункт определения того> что
М = sup А, выполняется. Если М' < М, то За = М G
Е А : М' < а, т. е. выполняется и второй пункт этого
определения.
Пункт (б) доказывается аналогично.
Замечание. Если множество А С Ш неограниченно
сверху (снизу), то, согласно определению, не существует
максимального (минимального) элемента этого множества.
Если множество А С Ш ограничено сверху (снизу), то мак-
максимального (минимального) элемента также может не су-
существовать. Например, для интервала А = (а, Ь) не су-
существует ни минимума, ни максимума. Напомним, что со-
согласно теореме 1 супремум и инфимум существуют ддя
любого множества. Проверьте, в частности, что для ин-
интервала А = (a, b) inf A = a, sup A = Ъ.
§ 3. Предел последовательности
Определение. Говорят, что задана числовая последо-
последовательность {ап}) если любому натуральному числу п по-
поставлено в соответствие действительное число ап.
Элемент последовательности - это пара (п,ап), где
п - номер элемента последовательности, а ап - значение
элемента последовательности.
Определение. Пусть заданы числа a, e G М, е > 0.
Интервал U?(a) = (а — е,а + е) называется е-окрестностью
числа а.
Определение. Число а ? JR называется пределом по-
последовательности {ап} (пишут а = lim an или ап —> а при
16

n —» оо ), если
Ve>0 3N: Vn > N aneU?(a),
т.е.
Vs > 0 37V : Vn > N \an - a\ < e.
(здесь и далее в аналогичных выражениях, если не ого-
оговорено противное, мы подразумеваем, что п, ЛГ - натураль-
натуральные числа).
Пример. Доказать, что lim ^ = 0.
Решение. Vs > О 3N = целая часть Q) : Vn > N
выполняется неравенство п > ^, следовательно, |^ — 0| =
Пример. Доказать, что число а является пределом по-
последовательности {ап} тогда и только тогда, когда
Ve > О 3N : Vn > N « |ап - а\ < ~. A)
Решение. 1) Пусть выполнено условие A). Поскольку
| < s, то
Ve > О 3N : Vn > N \ап - а\ < е, B)
т. е. lim an = а.
п—*оо
2) Пусть lim an = а, т.е. выполнено условие B). Для
п—*оо
каждого е > 0 через 7V(?) обозначим такое число, что Vn >
> N(e) \an — а\ < е. В силу условия B) такое N(e) суще-
существует. Тогда
ЗЛГ = iV (|) : Vn > JV |an - a| < |,
17

т.е. выполнено условие A).
Задача. Доказать, что число а является пределом по-
последовательности {ап} тогда и только тогда, когда
We > О 3N : Vn > N \ап -а\<е.
Задача. Пусть задана последовательность {ап} и число
а. Как связаны следующие условия (какие условия следу-
следуют из других условий):
а) а = lim an;
б) 3N Г" Ve > 0 Vn > N \ап - а\ < е\
в) Vs > 0 Зп : \ап - а\ < s;
г) 3s > О 3N : Vn > N \ап - а\ < s?
Далее мы увидим, что пределом числовой последова-
последовательности может быть не только число, но и бесконечно-
бесконечности со знаком +оо, —оо (которые нам уже встречались), а
также бесконечность без знака оо (этот символ нам пока
не встречался).
Определение. Пусть задано число е > 0. е-
окрестностями бесконечностей называются соответствен-
соответственно множества
U?(+oo) = Q, +оо) , U?(-oo) = Г-оо, ~
Дадим общее определение предела последовательности,
справедливое как в случае конечного, так и в случае бес-
бесконечного предела.
18

Определение. Элемент a G JR(J{—oo, +оо,оо} назы-
называется пределом последовательности {ап}, если
Vs > О 3N : Vn > TV ап G С/?(а).
Определение. Расширенной числовой прямой М на-
называется множество, состоящее из всех действительных
чисел и бесконечностей со знаком: JR = JR(J{-f-oo, -oo}.
Лемма 1. Пусть a,b e Mna ^ Ь. Тогда 3s > 0: окрест-
окрестности U?(a) и U?(b) не пересекаются.
Доказательство. Для определенности будем полагать,
что а < Ъ. Случай Ъ < а изменением обозначений сводится
к случаю а < Ь. Если а < Ь, то возможны четыре случая:
1) -оо < а < Ь < +ос;
2) -оо = а < Ь < +оо;
3) -ос < а < Ь = +оо;
4) —оо = а < Ъ = +оо.
В случае A) положим е = ^, в случае B): е = щ^х? в
случае C): е = щ, в случае D): е = 1.
Пусть х G U?(a), у G U?(b). Покажем, что в каждом из
четырех случаев х < у. Отсюда следует, что окрестности
U?(a) и /7е(Ь) не пересекаются.
> ^ < у;
2) х < -i = -|Ь| -1, у>Ь-е>Ь-1> -|
< у.
Случаи C) и D) рассмотреть самостоятельно.
Теорема 1. (Единственность предела.) Числовая по-
последовательность не может иметь более одного предела из
Ж
19

Доказательство. Предположим противное: последо-
последовательность {ап} имеет пределы a, fr Е Ш, а Ф Ь. По лемме
1 Зе > 0 : U?(a)f]U?(b) = 0. По определению предела
3iVi : Vn > Nx ane J7e(a), 3N2 : Vn > N2 an e U?(b).
При n > max{7Vi,7V2} получаем an G U?(a)f]U?(b) - про-
противоречие.
Замечание. Если lim an = +00, то lim an = 00, no-
n—*oo n—*oo
этому последовательность может иметь более одного пре-
предела из iR|J{oo}.
Задача. Доказать, что последовательность {an}, где
Г 0, если п четно, ^
ап = < не имеет ни конечного, ни бес-
[ 1, если п нечетно
конечного предела.
Определение. Последовательность {ап} называется
ограниченной (сверху, снизу), если ограничено (соответ-
(соответственно сверху, снизу) множество значений ее элементов.
В частности,
{ап} - ограничена <=>
ЗМ еМ: Vae {aba2,...} \a\ <М
ЗМ е IR : VneN \ап\ < М;
{ап} - неограниченна
VM еМ 3nelN \ап\ > М.
20

Определение. Если последовательность имеет конеч-
конечный предел, то она называется сходящейся. Если последо-
последовательность не имеет предела или имеет бесконечный пре-
предел, то она называется расходящейся.
Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограни-
ограничена.
Доказательство. Пусть lim ап = a G Ш. Возьмем
71—>ОО
е = 1. По определению предела 3N : Vn > N ап G (а —
- 1,о + 1). Следовательно, при п > N справедливо нера-
неравенство
-\а\ -1<о-1<Оп<о + 1<|о| + 1,
а значит, \ап\ < |о| + 1 Vn > N.
Определим М = max{|ai|,..., |о^|, |л| + 1} (максимум
существует, так как множество конечно). Тогда при п <
< N по определению максимума \ап\ < М. При п > N
имеем \ап\ < \а\ + 1 < М. Итак, Vn G IN \an\ < М, т.е.
последовательность {ап} ограничена.
Определение. Последовательность {ап} называется
бесконечно большой, если lim an = оо, т. е.
п—>оо
\/е > О 3N : Vn>N \ап\ > -, т.е.
VM>0 3N: Vn>N \an\ > М.
Задача. Как связаны два условия:
а) Последовательность {ап} - бесконечно большая.
б) Последовательность {ап} - неограниченна.
Задача. Пусть {ап} - бесконечно большая последова-
последовательность. Верно ли, что должно выполняться одно из
условий: lim ап = +оо или lim ап = — оо?
п—>оо п—*оо
21

§ 4. Свойства пределов
последовательностей, связанные с
арифметическими действиями
Лемма 1. а) \а + Ъ\ < \а\ + \b\ Va, 6 е Ш (неравенство
треугольника).
б) \\а\ - \Ь\\ < \а - Ъ\ Wa.be М.
Доказательство, а) Рассмотрим сначала случай, ко-
когда а + Ъ > 0. Тогда по определению модуля \а + Ь\ = а + Ь.
Из определения модуля следует также, что х < \х\ Vrr e
Е М. Поэтому а < |a|, b < |6|, следовательно, \а + Ь\ < а +
+ 6<|a| + |6|.
В случае а + b < 0 имеем \а + Ь\ = -а — Ь. Так как -
—а < |а|, —Ъ < |6|, то \а + Ь\ = -а — b < \а\ + \Ь\. Поэтому
\а + Ь\ < \а\ + \Ь\ Уа,Ъе Ш.
б) Используя неравенство треугольника, для любых
a, b ? ]R получаем \а\ — \Ь\ = \а — b + b\ — \b\ < \а — b\ -f
+ \Ь\ — \b\ = \a — 6|, т.е. \a\ — \b\ < \a — b\. Аналогично, |6| —
— \a\ < \b — a\ = \a — b\. Поэтому ||a| — |6|| < \a — b\.
Определение. Последовательность {bn} называется
бесконечно малой, если lim bn = 0, т. е.
П—+ОО
Vs>0 3N: Vn>N \bn\ < е.
В данном параграфе мы будем рассматривать лишь ко-
конечные пределы последовательностей.
Непосредственно из определения предела последова-
последовательности следует, что lim an = а тогда и только тогда,
п—*оо
когда последовательность {ап—а} является бесконечно ма-
малой. Используя это обстоятельство, из свойств бесконечно
22

малых последовательностей мы получим свойства преде-
пределов последовательностей, связанные с арифметическими
действиями.
Лемма 2. Если {ап}, {6П} - бесконечно малые после-
последовательности, то {ап + Ьп} и {ап — Ьп} - бесконечно малые
последовательности.
Доказательство. Поскольку lim ап = 0, lim bn = О,
п—>оо п—юо
то
Ve > 0 3Ni : Vn > N1 \ап\ < -,
Ve>0 3N2: Vn>N2 \bn\ < ?-
A
(см. второй пример в §3). Отсюда, используя неравенство
треугольника \ап ± Ьп\ < \ап\ + |6П|, получаем, что
= max{NuN2}: Vn > N \an±bn\ < - + - = e,
т.е. lim (an ±bn) = 0.
n—*oo
¦
Теорема 1. Если lim an = a, lim bn = 6, то
n—*oo n—*oo
lim (an + bn) = a + 6, lim (an — 6n) = a — 6 (пределы
n—»oo n—»oo
последовательностей {an}, {6n} существуют и равны соот-
соответственно a + 6, a — b).
Доказательство. 1) Так как последовательности {ап —
— а} и {6П — 6} являются бесконечно малыми, то в силу
леммы 2 последовательности {ап + 6П - (а + 6)} = {(ап —
- а) + FП - 6)} и {ап - Ъп - (а - 6)} = {(ап - а) - FП - 6)}
являются бесконечно малыми, т. е. lim (an + 6n) = a + &,
n—*oo
lim (an - bn) = a — b.
n—*oo
Теорема 2. Если lim ап = а, то lim |ап| = |а|
п—»оо п—*оо
23

Доказательство. В силу леммы 1F) имеем
||ап| — |а|| < \ап — а\. Отсюда и из условия lim an = а в
силу определения предела получаем, что lim \an\ — \а\.
п—>оо
¦
Лемма 3. Если {ап} - ограниченная последователь-
последовательность, а {Ьп} - бесконечно малая последовательность, то
{О"пЬп} ~ бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Поскольку последовательность {ап}
ограничена, то
ЗМ > О : Vn e W \ап\ < М.
Так как последовательность {Ъп} является бесконечно ма-
малой, то
\/е > 0 3N{e) : Vn > N{e) \bn\ < e.
Следовательно,
Vs>0 3N = nD7): Vn>iV \anbn\ < M 4j = ?•
\M / M
Поэтому последовательность {ап bn} является бесконечно
малой.
Теорема 3. Если lim an = a, lim bn = 6, то
п—*оо п—>оо
lim (anbn) = ab.
п—>оо
Доказательство. Требуется доказать, что последова-
последовательность {anbn — ab} является бесконечно малой. Заме-
Заметим, что anbn -ab — ап(Ъп - 6) + (ап - а)Ь. Так как после-
последовательность {ап} сходится, то по теореме 2 §3 она огра-
ограничена. В силу леммы 3 последовательности
24

{ап(Ъп — Ь)} и {{ап — а)Ь} - бесконечно малые, следователь-
следовательно, по лемме 2 последовательность {anbn — ab] также явля-
является бесконечно малой.
Лемма 4. Если ап Ф О Vn e N и lim an = а ф 0, то
п—»оо
lim f = I.
Доказательство. В силу теоремы 2 lim \an\ = \а\ >
п—*оо
> 0. Отсюда, положив в определении предела последова-
последовательности е = Ц-, получаем, что 3N : Wn > N \ап\ >
> \а\ — е = Y? т-е- ^ < щ Уп > N. Определим чи-
число М = maxj^,...,^^}. Тогда |i| < M Vn >
> ЛГ, т. е. последовательность \-~\ ограничена. Следо-
Следовательно, последовательность I -^-^ \ также ограничена.
Отсюда и из леммы 3 следует, что последовательность
1 а\ ~" а Г = 1 а^а (а ~~ ап) \ является бесконечно малой,
т.е. lim ^- = i
Теорема 4. Если ап ф О Vn е IV, lim ап = а ф О и
71—> ОО
lim 6n = 6, то lim ^ = |.
Доказательство. В силу леммы 4 lim — = i. По-
п-*оо пп а
этому, согласно теореме 3, lim ^ = lim Ьп — = Ь - = -.
§ 5. Переход к пределу в неравенствах
Напомним, что расширенной числовой прямой называ-
называется множество М = JR|J{-foo, —оо}.
25

Теорема 1. Пусть lim an = A, lim Ъп = В, где А,В е
п—юо п—»оо
Е Ж, А < В. Тогда 3iV : Vn> N ап < Ъп.
Доказательство. По лемме 1 § 3 Зе > О :
UE(A)f]U?(B) = 0. Отсюда и из неравенства А < В сле-
следует, что я < у Ух е ие(А) Vy € Ue(B). По определе-
определению предела 3Ni : Vn > Ni an e Ue(A), 3N2 : Vn >
> Л^2 6n G U?(B). Определив ЛГ = max{iVi,A^}, получим
требуемое утверждение.
Теорема 2. Если lim an = A, lim bn = В, А,В е R
п—*оо п—*оо
и ЭЛГ: \/п> N ап<Ъп, то А < В.
Доказательство. Предположим противное: А > В. По
теореме 1 3Ni : Vn > Ni bn < an. При n > max{iV,JVi}
получаем противоречие с условием ап <bn.
Следствие. Если 3N : Vn > N ап < В, 3 lim an — А,
п—>>оо
А, В е JR, то А < В.
Доказательство. Определим {6П} = {В} и применим
теорему 2.
Замечание. Из условий ап <Ъп Уп Е N, lim an — А,
п—*оо
lim Ьп = В не следует, что А < В.
п—*оо
Например, ап = 0, Ьп = ^, А = В = 0.
Теорема 3. (О трех последовательностях.) Если 3iV :
Vn > iV an < bn < Сп, lim an — lim Cn — А е IR, то
П—+ОО П—*ОО
lim 6n = А.
п—*оо
Доказательство. По определению предела
Vs > 0 3iVi : Vn > Nx an e U?{A) и
26

Ь : Vn > N2 cn e Ue(A). Обозначим N =
= max{N,NuN2}. Тогда при п > ~N имеем А- е < ап <
< bn < cn < A + e, следовательно, bn G Ue(A). Итак, Ve >
> 0 3]V : Vn > N bne Ue(A), т. е. lim bn = A.
n—»oo
Теорема 4. Пусть 3iV : Wn > N ап<Ьп. Тогда
1) если lim an — +oo, то lim bn = +oo;
n—*oo n—*oo
2) если lim 6n = -oo, то lim an — —oo.
n—*oo n—*oo
Доказательство. 1) По определению предела
Ve > 0 3JVi : Vn > Ni ane UE(+oc) = (±, +oc)
(т.е. an > ^), но тогда bn > an > \ при n > max{iV,N\}.
Следовательно, Vs > О ЭЛ^ = max{N,Ni} : Vn >
> N2 bn e E/e(+oo), а значит, lim bn = +00.
n—+oo
Доказательство пункта B) аналогично.
§ 6. Монотонные последовательности
Определение. Последовательность {ап} называется
неубывающей, если Vn G N ап < an+i;
{ап} - невозрастающая, если Vn G IN ап > an+i;
{ап} - монотонная, если она неубывающая или не-
возрастающая.
Теорема 1. 1) Если последовательность {ап} - неубы-
неубывающая, то существует lim ап — sup{an}.
п—»оо
2) Если последовательность {ап} - невозрастающая, то
существует lim ап = inf{an}.
п—»оо
Доказательство. 1) Пусть последовательность {ап}
является неубывающей. Рассмотрим сначала случай, ко-
когда эта последовательность ограничена сверху. В силу те-
теоремы 1 §2 существует а — sup{an} G Ш. Покажем, что
27

lim an — а. В силу второго пункта определения супрему-
п—>оо
ма Уе > О 3N : адг > а — е. Отсюда в силу неубыва-
неубывания последовательности {ап} имеем Уе > О 3N : Vn >
> iV ап > ан > а — е. В силу первого пункта определения
супремума ап < a Vn € IN. Поэтому Уе > О 3N : Vn >
> N ап е U?(a), т. е. lim an = а.
п—*оо
Рассмотрим теперь случай, когда последовательность
{ап} неограниченна сверху. Тогда \/? > О 3N : адг > \.
Отсюда в силу неубывания последовательности {ап} имеем
Уе > О 3N : Уп > N ап > aN > \, т. е. ап е С/е(+оо), а
значит, lim an = +оо.
П—+ОО
Доказательство пункта B) аналогично.
Следствие. Любая монотонная последовательность
имеет конечный или бесконечный предел. Если {ап} -
неубывающая и ограниченная сверху последовательность
или невозрастающая и ограниченная снизу последователь-
последовательность, то предел {ап} конечен.
§ 7. Неравенство Бернулли и число е
Определение. Если х е М, п е IV, то хп — х • ... • х.
п раз
Лемма 1. Ух > — 1, Vn E IN справедливо неравенство
Бернулли: A + х)п > 1 + пх.
Доказательство проведем по индукции. При п = 1
неравенство Бернулли справедливо. Пусть оно справедли-
справедливо при п = к. Тогда A + х)к+1 = A + х)к • A + х) >
> A + кх)A + х) = 1 + {к + 1)х + кх2>1 + {к + 1)яг, т.е.
неравенство Бернулли справедливо при п = к + 1.
28

Лемма 2. Пусть а > 1. Тогда lim an = +оо.
п—*оо
Доказательство. Обозначим х — а — 1. Тогда ап —
= A + х)п > 1 + пх -+ +оо при п -+ оо, что по теореме о
предельном переходе в неравенствах (теорема 4 § 5) дает
требуемое утверждение.
¦
Теорема 1. Последовательность хп = A + ^)п схо-
сходится.
Доказательство. Заметим, что Vn е N хп > 1, т. е.
{хп} - ограничена снизу. Так как
хп
n-l) \n + l) \n2-l) п
1 \n+1 n-1 / 1 \ n-1
п \ п — 1 / п
то {хп} не возрастает. В силу теоремы о сходимости огра-
ограниченной снизу невозрастающей последовательности {хп}
сходится.
Определение. е= lim (l-f-)n+ .
Пример. Доказать: е = lim (l + -)n.
п—юо v n/
Решение. Применяя теоремы о свойствах пределов,
связанных с арифметическими действиями, получаем
§ 8. Принцип вложенных отрезков
Определение. Последовательность отрезков {[ап,6п]}
называется последовательностью вложенных отрезков,
29

если
[on+i,6n+i] C [an,bn) Vn E W. A)
Теорема 1. (Теорема Кантора.) Последовательность
вложенных отрезков имеет общую точку.
Доказательство. Пусть {[ап, Ьп]} - последователь-
последовательность вложенных отрезков. Из включения A) следует, что
ап < an+l < 6n+i <Ьп Vn Е N. B)
Рассмотрим множество левых концов отрезков [an,6n]:
А = {ai,a2,...} и множество правых концов этих отрез-
отрезков: В — {6i, &2,...}. Покажем, что а <Ь Va E A V6 Е
е В. Пусть а е A, b е В. Тогда Зк е IN : а = а^ и
Этп Е i/V : 6 = 6m. Из B) следует, что при к < т спра-
справедливы неравенства а^ < ат < 6т, а при к > т - нера-
неравенства аь < 6fc < bm. В любом случае имеем а^ < 6т, т.е.
а<6 VaE-A VbEB.B силу аксиомы непрерывности
действительных чисел Зс € IR : а < с <b Va € A V6E
Е В. Следовательно, с Е [an,6n] Vn E IV, т.е. с - общая
точка отрезков [an, 6n].
Определение. Последовательность вложенных отрез-
отрезков {[an, 6n]} называется стягивающейся, если Ьп — ап —> О
при п —> оо.
Теорема 2. Стягивающаяся последовательность вло-
вложенных отрезков имеет единственную общую точку.
Доказательство. По теореме 1 общая точка существу-
существует. Пусть х,у - общие точки стягивающейся последова-
последовательности вложенных отрезков {[an,6n]}. Так как
\у—х\ < Ьп—ап —> 0 при п —> оо, то по теореме о предельном
переходе в неравенствах \у — х\ < 0, т. е. \у — х\ = 0, у — х.
30

§ 9. Частичный предел
последовательности
Определение. Последовательность {bk} называется
подпоследовательностью последовательности {ап}, если
существует последовательность натуральных чисел
1)УкеИ пк+1 > пк,
2)VkeN bk = ank.
Определение. Если последовательность {Ьк} является
подпоследовательностью {ап} и 3 lim Ък = А Е М, то А на-
к—>оо
зывается частичным пределом последовательности {ап}.
Пример. Рассмотрим последовательность {ап}, где
ап = (-1)п. Последовательности {Ьк} — {а>2к} и {ск} =
— {а2к-\} являются подпоследовательностями {ап}. Так
как bk = 1, Ck = —1 Vfc E iV, то lim bk = 1, lim c^ =
к—*оо к—+оо
= — 1. Следовательно, числа 1 и —1 являются частичными
пределами {ап}.
Теорема 1. Если ап —> А Е М при п —> оо, а последо-
последовательность {bk} является подпоследовательностью {ап},
то bk —> А при к —> оо.
Доказательство. По определению подпоследователь-
подпоследовательности 3{nfc} : bk = аПк У к Е N.
Поскольку lim an — А, то
п—>оо
Ve > О 3N : Уп > N ап € Ue(A).
Из неравенств n^+i > n^, ni > 1 по индукции следует, что
Щ > к У к € N. Следовательно,
Ve > О 3N : Ук > N Ък = аПк € Ue(A).
31

Следствие. Частичный предел сходящейся последова-
последовательности единствен и совпадает с ее пределом.
Теорема 2. (Теорема Больцано-Вейерштрасса.) Огра-
Ограниченная последовательность имеет хотя бы один конеч-
конечный частичный предел.
Доказательство. Пусть последовательность {хп}
ограничена, т.е. Эао,6о : Vn ? N хп ? [ао,Ьо]- Опреде-
Определим со = (ао + Ьо)/2. Если в отрезке [ао,со] содержатся
значения бесконечного набора членов {хп}, то определим
[ai,6i] = [ao,co]. В противном случае в отрезке [со,6о]
содержатся значения бесконечного набора членов {хп},
тогда определим [ai,6i] = [co,6q]-
Пусть определен отрезок [afc,6fc], в котором содержатся
значения бесконечного набора членов последовательности
{хп}. Обозначим Ck — (a^ + 6fc)/2. Если в отрезке [а*., с*.]
содержатся значения бесконечного набора членов {хп}у то
определим [afc+i,bfc+i] = [зд,^]. В противном случае опре-
определим [afc+i,bfc+i] = [cfc,6jt]. Так как этот процесс не мо-
может оборваться, мы получим последовательность вложен-
вложенных отрезков, которая по теореме Кантора имеет общую
точку х € [ак,Ьк].
Построим последовательность {хп.}: lim хПк = х.
к—юо
Определим щ — 1. Пусть определено пк-\. Определим пк
из условий:
1) пк > nfc_b
2) хПк € [ак,Ьк]
(такое Пк существует, так как в отрезке [a^, bfc] содержатся
значения бесконечного набора членов {хп}, а значит, среди
них найдется член с номером > nk-i).
32

Так как \х - хпJ < Ък - ак = ^г* -* 0, то хПк -> х при
к —> оо.
Теорема 3. Если {хп} неограниченна снизу, то — оо
является ее частичным пределом; если {хп} неограниченна
сверху, то +оо является ее частичным пределом (при этом
могут быть и другие частичные пределы).
Доказательство. Пусть {хп} неограниченна сверху.
Построим подпоследовательность {хПк}. Определим щ —
— 1. Пусть определено п^-г. Определим пк из условий:
пк > пк-1 и хпк > к. Так как множество {хп : п > n^-i}
неограниченно, то такое пк существует. Поскольку хПк >
> к —> +оо, то по теореме о предельном переходе в нера-
неравенствах lim хПк — +оо. Случай, когда {хп} неограничен-
неограниченна снизу, рассматривается аналогично.
Итак, любая подпоследовательность имеет конечный
или бесконечный частичный предел.
Определим точные грани подмножества расширенной
числовой прямой №.
Определение. Точными гранями множества L С №
называются
-{
sup L = <
-оо, если -ooGL,
если —оо ^ L,
+00, если + оо Е L,
supLo, если +оо 0 L,
где Lo = Lf]M.
33

Определение. Пусть L С Ш - множество всех конеч-
конечных и бесконечных (со знаком) частичных пределов после-
последовательности {хп}. Тогда нижним и верхним пределами
последовательности {хп} называются соответственно
lim хп = inf L, lim xn = supL.
П—ОО П->00
Задача. Доказать, что если lim хп = lim хп — A G Му
то 3 lim xn = А.
п—юо
Задача. Доказать, что верхний и нижний пределы по-
последовательности являются ее частичными пределами.
Задача. Доказать, что А ? № является частичным пре-
пределом последовательности {ап} тогда и только тогда, ко-
когда
Vs>0 V7V 3n>N: aneU?(A).
§ 10. Критерий Коши
Определение. Будем говорить, что последователь-
последовательность {хп} - фундаментальна или удовлетворяет усло-
условию Кошщ если
Vs > О 37V : Vn,m> N \хп - хт\ < е.
Лемма 1. Сходящаяся последовательность фундамен-
фундаментальна.
Доказательство. Пусть {хп} - сходится к числу х. То-
Тогда
Vs > О 3N : Уп> N \хп - х\ < е/2
и, следовательно,
34

Vs>0 37V: Vn,m>N
\xn ~ xm[ < \xn -x\ + \xm -x\< e/2 + e/2 = e.
Лемма 2. Фундаментальная последовательность огра-
ограничена.
Доказательство. Пусть {хп} - фундаментальна. Возь-
Возьмем е — 1, тогда 3N : Vn, га > N \хп — хт\ < е, сле-
следовательно, Vn > N |хдг+1 — хп\ < 1. Определим М =
= тах{|х1|,...,|хдг|,|хдг+1| + 1}. Тогда Vn G N \хп\ <М.
Теорема 1. (Критерий Коши.)
{хп} - сходится <=> {хп} - фундаментальна.
Доказательство. Если {хп} сходится, то по лемме
1 она фундаментальна. Пусть {хп} - фундаментальна.
По лемме 2 {хп} - ограничена, следовательно, по теоре-
теореме Больцано-Вейерштрасса существует подпоследователь-
подпоследовательность {хПк} : lim хПк = х G М.
к—+оо
Из фундаментальности {хп} следует
Vs > О 3N? : Vn, га > N? \xn - хт\ < в/2. A)
Так как lim n^ = +оо, то ЗК? : У к > К? щ > N?.
k—+oo
Следовательно, применяя A) для га = п^ > N?, получим
Vn >N? \/k> K? \xn -xnk\< s/2.
Так как lim хПк = х, то lim \хп — хпЛ — \хп — х|, для
к—юо к—кх)
любого фиксированного п € IN. Отсюда в силу теоремы
о предельном переходе в неравенствах следует, что Vn >
> Ne \хп -х\< в/2 < е. Итак,
Vs > О 3N? : Vn > N? \xn - х\ < s,
35

т. е. lim xn = х.
п—-юо
Пример. Как связаны два условия:
а) последовательность {хп} сходится;
б) Vs > О ЗхеМ 3N : Vn > N \хп - х\ < s?
Решение. Распишем условие (а) :
(а) Ф> Зх € JR : lim хп = х <?>
71>ОО
71—>ОО
<=> Зх е R : Vs > 0 3JV : Vn> N \xn-x\<e.
Так как Зх G 1R : Vs > 0 ... =^ Vs > 0 Зх G
G IR ..., то из условия (а) следует условие (б).
На первый взгляд кажется, что из условия (б) не следу-
следует условие (а). Однако с помощью критерия Коши можно
показать, что (б) => (а).
Пусть выполнено условие (б). Тогда Vs > 0 Зх G
е Ш 3N : Vn>N \хп-х\ < е/2 иУт > N |хт —х| <
< е/2. Следовательно, Vn, т > N \хп — хт\ < \хп — х\ +
+ \хт - х\ < е/2 + е/2 = е. Итак, Vs > О 3N : Уп,т>
> N \хп — хт\ < s, т.е. последовательность {хп} - фун-
фундаментальна. В силу критерия Коши {хп} сходится, т.е.
выполняется условие (а).
§ 11. Открытые и замкнутые числовые
множества
Определение. Пусть задано множество X С М. Точка
х Е Ш называется внутренней точкой множества X, если
3s > 0 : U?{x) С X.
Внутренностью множества X называется множество
intX, состоящее из всех внутренних точек множества X.
36

Так как х е U?(x) для любого е > О, то intX С X для
любого множества X.
Определение. Множество X называется открытым,
если все его точки - внутренние, т. е. X С int X.
Пустое множество 0 по определению считается откры-
открытым.
Так как для любого множества X справедливо включе-
включение int X С X, то равенство X = intX выполняется тогда
и только тогда, когда множество X открыто.
Лемма 1. Пусть заданы числа а,Ъ Е М, а < Ъ. Множе-
Множества (а, 6), (—оо,Ь), (а,+оо), (—оо,+оо) - открыты, а мно-
множества [а^Ь], (а,Ъ\, [а,Ъ), (—оо,Ь], [а,+оо) не являются от-
открытыми.
Доказательство. Покажем, что интервал (а, Ъ) явля-
является открытым множеством. Для этого требуется пока-
показать, что любая точка х ? (а,Ъ) - внутреняя, т.е. Ух е
е (а, Ъ) Эб > 0 : U?(x) С (а,Ь). Данное условие выпол-
выполняется: можно взять, например, е = min{x — а,Ъ — х}.
Открытость множеств (—оо,Ь), (а,+оо), (—оо,+оо) до-
доказать самостоятельно.
Покажем, что полуинтервал (а,Ь] не является откры-
открытым множеством. Это следует из того, что точка Ь со-
содержится во множестве (а, 6], но не является внутренней
точкой этого множества, так как не существует числа е > О
такого, что U?(b) С (а,Ь].
Самостоятельно доказать, что множества [а, Ь], [а, 6),
(~оо, 6], [а, +оо) также не являются открытыми.
¦
Задача, а) Доказать, что если X с У, то int X С int Y.
б) Доказать, что пересечение конечного набора откры-
открытых множеств является открытым множеством.
37

в) Доказать, что объединение любого набора открытых
множеств - открыто.
г) Привести пример набора открытых множеств, пере-
пересечение которых не является открытым.
Определение. Пусть задано множество X С Ш. Точка
х G Ш называется точкой прикосновения множества X,
если
Замыканием множества X называется множество с1Х, со-
состоящее из всех точек прикосновения множества X.
Так как х е U?(x) для любого е > О, то X С с\Х для
любого множества X.
Определение. Множество X называется замкнутым,
если любая точка прикосновения X содержится в X, т. е.
Так как для любого множества X справедливо включе-
включение X С с1Х, то равенство X = с1Х выполняется тогда и
только тогда, когда множество X замкнуто.
Лемма 2. Пусть заданы числа а, 6 G М, а < Ъ. Множе-
Множества [а,Ь], (—оо,Ь], [а,+оо), (—оо,+оо) - замкнуты, а мно-
множества (ayb), (а,Ь], [а,Ъ), (-оо,Ь), (а,+оо) не являются за-
замкнутыми.
Доказательство. Покажем, что отрезок [а, Ь] являет-
является замкнутым множеством, т.е. cl[a,b] С [а,Ь]. Предполо-
Предположим противное: существует точка х G cl[a, 6] такая, что
х ? [а,Ь]. Так как х ? [а^Ь], то либо х < а, либо х > Ь. В
том и другом случае Зе > 0 : f7e(x)P|X = 0, что про-
противоречит условию х е cl[a, 6]. Полученное противоречие
доказывает замкнутость отрезка [а, 6].
38

Замкнутость множеств (—оо, Ь], [а,+оо), (—оо,+оо) до-
доказать самостоятельно.
Покажем, что полуинтервал (а, Ь] не является замкну-
замкнутым множеством. Это следует из того, что точка а не со-
содержится во множестве (а, 6], но содержится в замыкании
этого множества, так как Vs > 0 U?(a) П(а> Щ Ф $•
Самостоятельно доказать, что множества (а,Ь), [а, 6),
(—оо,6), (а, +оо) также не являются замкнутыми.
Задача, а) Доказать, что если X С У, то с1Х С
б) Доказать, что объединение конечного набора замкну-
замкнутых множеств является замкнутым множеством.
в) Доказать, что пересечение любого набора замкнутых
множеств - замкнуто.
г) Привести пример набора замкнутых множеств, объ-
объединение которых не является замкнутым.
Задача. Найти замыкания множеств:
а) {? : п € N},
б) Q (множество рациональных чисел).
Задача. Доказать, что
X - открыто <=> М\Х - замкнуто.
Теорема 1.
xedX <=> 3{хп} С I : х = lim xn.
Доказательство. 1) Если х = lim xn, {хп\ С X,
п—юо
то \/е > 0 Зхп е U?(x). Поскольку хп е Xf]U?(x), то
XC\U?(x) ф 0, следовательно, х ? dX.
2) Пусть х е dX. Тогда \fe > О X f]U?(x) ф 0. Поло-
Положим еп = 1. Получим Упе N X f] U?n(x) ф 0, т. е. Эхп Е
G Л"Р|U?n(x). Так как 0 < |хп — х| < гп —> 0 при п —> оо,
39

то в силу теоремы о трех последовательностях lim \xn -
п—>оо
— х\ = О, т. е. х = lim xn.
п—*оо
¦
Определение. Множество X С М называется компак-
компактом, если из любой последовательности {хп} с X можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторо-
некоторому х е X.
Теорема 2. (Критерий компактности.) Множество
X С Ш является компактом тогда и только тогда, когда X
ограничено и замкнуто.
Доказательство. 1) Пусть множество X ограничено
и замкнуто, {хп} С X. Так как последовательность {хп}
ограничена, то по теореме Больцано-Вейерштрасса суще-
существует подпоследовательность хПк -+ х е Ш. Так как
{хПк} С X, то по теореме 1 х Е с1Х = X. Следователь-
Следовательно, X - компакт.
2) Пусть X - компакт. Методом от противного докажем,
что множество X ограничено и замкнуто.
а) Предположим, что множество X неограниченно. То-
Тогда либо X неограниченно сверху, либо X неограничено
снизу. Пусть для определенности X неограниченно сверху.
Тогда Vn Зхп Е X : хп > п, следовательно, lim xn =
= +оо. По теореме 1 § 9 любая подпоследовательность по-
последовательности {хп} стремится к +оо. Следовательно,
из последовательности {хп} нельзя выделить сходящую-
сходящуюся подпоследовательность, что противоречит компактно-
компактности X. Полученное противоречие показывает, что множе-
множество X ограничено.
б) Предположим, что множество X незамкнуто, т.е.
Зу е с\Х, у ? X. По теореме 1 3{уп} С X: lim yn = у.
п—>оо
В силу теоремы 1 § 9 любая подпоследовательность после-
последовательности {уп} сходится к у & X, т.е. из {уп} нельзя
40

выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторо-
некоторому х Е X, что противоречит компактности X. Полученное
противоречие показывает, что множество X замкнуто.
Лемма 3. 1) Если множество X с М ограничено свер-
сверху, то supX с с1Х.
2) Если множество X С М ограничено снизу, то inf X С
CclX.
Доказательство. 1) Пусть множество X С М ограни-
ограничено сверху. Тогда sup X = М Е JR. В силу второго пункта
определения супремума VM' < М Зх Е X : М' < х,
т. е. \/? > 0 Эх е X : М — г < х. Из первого пункта
определения супремума и условия х Е X следует, что х <
< М, поэтому х е U?(M). Итак, Уе > 0 Зх е X f| C4(M),
т.е. Vs > О XC)U?(M) ф 0, а значит, М Е с1Х.
Второй пункт леммы доказывается аналогично.
¦
Теорема 3. Если X с М - компакт, то существуют
minX и тахХ.
Доказательство. Пусть X - компакт. Обозначим М =
= sup X. Так как множество X ограничено сверху, то в си-
силу леммы 3 М Е с1Х. Так как X замкнуто, то с1Х = X,
следовательно, М Е X. Из определения супремума следу-
следует, что число М является верхней гранью множества X.
Поэтому, согласно определению максимума, М = тахХ.
Итак, мы доказали существование max X. Существование
minX доказывается аналогично.
§ 12. Счетные и несчетные множества
Определение. Соответствие / : X —> Y называется
взаимно однозначным, если
41

1) любому х е X поставлен в соответствие единствен-
единственный у eY и
2) \/у ? Y 3 единственный х G X, которому у поставлен
в соответствие.
Определение. Множества X и Y называются равно-
мощными, если 3 взаимно однозначное соответствие
f:X—>Y.
Задача. Доказать, что множества @,1) и М равномощ-
ны.
Определение. Множество, равномощное множеству
IV, называется счетным.
Бесконечное множество, не являющееся счетным, назы-
называется несчетным.
Теорема 1. Множество рациональных чисел Q явля-
является счетным.
Доказательство. Поместим все рациональные числа в
бесконечную таблицу, п-я строчка которой имеет вид:
0
п
1
п
-1
п
2
п
—2
п
к
п
п
Из определения рационального числа следует, что в данной
таблице присутствуют все рациональные числа.
1
JL
~2~
_L
-1
3
42

Будем двигаться по таблице в направлении стрелок и
последовательно нумеровать элементы таблицы, пропус-
пропуская сократимые дроби. Сократимые дроби мы пропуска-
пропускаем для того, чтобы каждое рациональное число было за-
занумеровано один раз.
эл. табл.
номер
0
1
1
1
1
2
1
?,
3
0
?,
-
1
4
I1
5
-1
2
6
-1
1
7
2
1
8
2
2
-
...
Тем самым мы установили взаимно однозначное соот-
соответствие между элементами таблицы (рациональными чи-
числами) и их номерами (натуральными числами), т.е. ме-
между множествами IN и Q. Следовательно, множество Q
счетно.
Теорема 2. Если множество X С М содержит неко-
некоторый отрезок [а, 6], то X несчетно.
Доказательство. Предположим противное: существу-
существует счетное множество X С М такое, что [а, Ь] С X. Тогда
существует взаимно однозначное соответствие между мно-
множествами IVhI, следовательно, VnElV Зхп € X и
в X Зп в N :
A)
Построим последовательность вложенных отрезков.
Определим [ао,Ьо] = [а,Ь]- Если построен отрезок
[ап_1,Ьп_1], то отрезок [ап,Ьп] определим так, чтобы
[^п,Ьп] С [an_i,bn_i] и хп 0 [ап,Ьп] (легко видеть, что та-
такой отрезок существует). По теореме Кантора о вложен-
вложенных отрезках, существует общая точка х отрезков [ап,Ьп].
Поскольку Vn G N хп? [an,bn] и х е [ап,Ъп], то Vn e
е N х ф хп. Это противоречит условию A).
43

ГЛАВА 2
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
§ 1. Определение предела функции
Определение. Пусть задана функция f : X —> У, т. е.
любому х € X поставлен в соответствие единственный
f(x) ? У. Тогда множество X называют множеством
определения функции /, а множество f(X) = {f(x) : х е
е X} - ее множеством значений.
Мы будем рассматривать функции одной числовой пе-
переменной с числовым значением: X С JR, /(X) С JR.
Определение. Пусть задано число 5 > 0. Проколотой
5-окрестностью элемента ж ? JR|J{oo} называется мно-
о
жество G&(х) = ?/$(#) \ {#}.
о
В частности, при хо е М Us(xo) = (#о —
- <*, *о) Ufao, ^о + 5) = {ж € iR : 0 < |ж - хо\ < 5},
Us(±oo) = ^
Определение предела по Коши. Пусть задана
функция / : X -> М и заданы Л € jR|J{oo}, х0 в
о
причем 350 > 0 : Us0(xo) С X. Тогда пишут
А = lim /(ж) или f(x) —у А при х —
х—>хо
х
если
В частности, если А € Ж, ж0 G iR, а функция / опреде-
определена на всей числовой прямой, то
44

1) lim f(x) = A
X—¦?()
Ve > 0 36 > 0 : Vx @ < |z - xo|
2) lim f(x) - +oo
X—>?()
Ve > 0 3<5 > 0 : Vz @ < \x - xQ\ < 6) =» (/(a:) > |);
3) tony (ж) = Л «<=>
Ve > oi?°> 0 : Vz (|a;| > 5) => (\f(x) - A\ < e);
4) lim f(x) - oo <=>
x—>—oo
V^ > 0 35 > 0 : Vx (rr < -J) =» (|/(a:)| > i).
Определение в других случаях расписать самостоятель-
самостоятельно.
Определение. Последовательность {хп} называется
последовательностью Гейне в точке хо € JR|J{oo}, если
1) lim хп = хо и
п—>оо
2) хп ^ з;о Vn G N.
Определение предела по Гейне. Пусть задана
функция / : X —> 1R и заданы А € iR(J{°°}> ^о ? ^U{°°}>
о
причем Э^о > 0 : Us0(xo) С X. Тогда пишут А =
= lim /(ж), если
X—>Xq
V последовательности Гейне {хп} С X предел последова-
последовательности {f(xn)} существует и равен А.
Теорема 1. Определения предела по Коши и по Гейне
эквивалентны.
Доказательство. Пусть задана функция / : X —> JR,
пусть х0, А в ~M\J{oo} и UsQ С X.
1) Покажем, что из определения предела по Коши сле-
следует определение предела по Гейне. Пусть А = lim f(x)
х-+хо
по Коши, т. е.
45

f(x)eU?(A). A)
Пусть {xn} С Х - произвольная последовательность Гейне
в точке хо. Тогда по определению предела и в силу условия
хп ф xq имеем
\/6 > О 3N : Vn > N хпе ИбЫ). B)
Применим B) к 5 из A), тогда
\/е > О 3N : Vn > N f(xn) e Ue(A),
т.е. lim f(xn) — А. Значит, А = lim fix) по Гейне.
п—>оо х—>жо
2) Методом от противного покажем, что из определения
предела по Гейне следует определение предела по Коши.
Предположим, что А — lim f(x) по Гейне, но не по Коши.
X—>Ж()
Тогда
Эе > 0 : \/5 ? @, (Jo) Зх G Us(x0) : /(ж) 0 С
Следовательно,
Эе > 0 : Vn G W Зхп е U1/n(x0)f]X : f(xn) ? U?(A).
о
Из условия хп е Ui/n{xo) Vn G N следует, что
lim rzn = #о и rzn т^ #о Vn G W. Таким образом, мы по-
п—>оо
лучили последовательность Гейне {хп} С X такую, что
f(xn) -h А. при п —> оо - противоречие.
¦
§ 2. Свойства пределов функций
Теорема 1. Если lim f(x) = A G JR, то 3 lim I/(ж) I =
46

Доказательство. Пусть {хп} - последовательность
Гейне в точке х0 G М[\{оо}, тогда lim f(xn) = А, следа-
п—юо
вательно, по теореме 2 § 4 главы 1 lim |/(#n)| = \А\. Поль-
71—>ОО
зуясь определением Гейне, получаем требуемое утвержде-
утверждение.
Теорема 2. Если lim fix) — А в iR, lim g(x) = В в
е 1R, то
1K ]im(f(x)+g(x))=A + B,
X—+XQ
2Klim(f(x)-g(x))=A-B,
X—+XQ
3) если дополнительно В ф 0, то функция f(x)/g(x)
о
определена в некоторой Us0(xo) и 3 lim (f(x)/g(x)) =
Х—*Хо
= А/В.
Доказательство. Пункты 1, 2 следуют из теорем о
пределе суммы последовательностей, пределе произведе-
произведения последовательностей и определения предела функции
по Гейне.
Докажем пункт 3. Так как lim g(x) = В ф 0, то по те-
х-^х0
ореме 1 lim \g(x)\ = \В\ > 0. Возьмем е = \В\, тогда 3#о >
х—>х0
> 0 : Vx G U5o(x0) \g(x)\ € Ue{\B\) = @,2|В|). Следова-
О
тельно, \/х е U80(xo) 9(х) Ф 0 и функция f(x)/g(x) опре-
о
делена в С/^о (гго). Пользуясь определением Гейне, из теоре-
теоремы о пределе частного последовательностей получаем тре-
требуемое утверждение.
Теорема 3. (О предельном переходе в неравенствах.)
Если lim f(x) = А в Ж, lim д(х) = В в ~Ш и 35 > 0 : Ух в
х-^хо х-^хо
€ Us(x0) f{x) < д(х), тоА<В.
47

Доказательство следует непосредственно из теоремы
о предельном переходе в неравенствах для последователь-
последовательностей и определения предела функции по Гейне.
Теорема 4. (О трех функциях.) Если lim f(x) =
X—*Xq
= lim h(x) = i e I и ]E > 0 : Vrc € Usi^o) f(x) <
X—>Xo
< g(x) < h(x), то 3 lim g(x) = A.
x—*xo
Доказательство следует непосредственно из теоремы
о трех последовательностях и определения предела функ-
функции по Гейне.
§ 3. Критерий Коши существования
предела функции
Лемма 1. Пусть задана функция / : X —> Ш. Пусть
V поел. Гейне {хп} С X в точке хо ЗА € Ш :
А = lim f(xn).
Тогда этот предел не зависит от последовательности Гейне:
ЗА G JR : V поел. Гейне {хп} С X в точке хо
А = lim f(xn).
П—+ОО
Доказательство. Пусть имеются две произвольные
последовательности Гейне в точке хо: {хп} и {уп}, т.е.
lim хп = х0, lim уп = х0, хп ф гг0, Уп фщ Vn в
71—КХ> П—>ОО
€ НУ. Составим из них последовательность
{ хп, п = 2к - 1,
48

Последовательность {zk} также является последова-
последовательностью Гейне, так как lim Zk = #о, Zk ф #о Vfc G N.
к—+оо
Поэтому, в силу условия леммы, 3 lim f(zk). Так как по-
к—юо
следовательности {f(xn)} и {f(yn)} являются подпоследо-
подпоследовательностями сходящейся последовательности {/(^)}, то
lim f(xn) = lim f(yn).
n—юо n—¦oo
Определение. Пусть функция / определена в не-
о
которой Us0(%o)- Условие Коши существования предела
функции в точке хо состоит в том, что
(оА): Vxux2 e и6Ы \f(xx) - f(x2)\ < е.
A)
Теорема 1. 3 lim f(x) G Ш <=> выполнено усло-
X—>Хо
вие Коши существования предела функции / в точке х$.
Доказательство. 1) Пусть 3 lim f(x) — А € jR, тогда
X—¦?()
Уе>036е @, <$о) : Vx G ^(я:о) |/(ж) - А\ < е/2.
Следовательно, Ve > 0 35 G (О,#о) • Ух\,х2 G
е Й(ж0) |/(a:i) - /Ы| < |/(a:i) - А\ + \f(x2) - А\ <
< е/2 + е/2 = е, т. е. выполнено условие Коши A).
2) Пусть выполнено условие Коши A). Возьмем произ-
произвольную последовательность Гейне в точке хо: хп —> xq,
хпф х0, тогда
V5 G @, So) 3N : Vn>N xn G ^(x0). B)
Используя условие B) для 6 из A), получаем
V? > О 3N : Vn,k>N \f(xn) - f(xk)\ < е,
т. е. выполнено условие Коши существования предела по-
последовательности {f(xn)}. В силу критерия Коши для по-
последовательностей существует lim f(xn) = A G М.
49

Итак, V последовательности Гейне {хп} в точке хо
ЗА = lim f(xn) e M, тогда по лемме 1
п—*оо
ЗА е М : V поел. Гейне {хп} С X в точке xq
А = lim f(xn).
П—ЮО
Пользуясь определением предела функции по Гейне, полу-
получим 3 lim f(x) = Ае М.
X—+XQ
Задача. Пусть Ve > О ЗА <Е iR, 35 > 0 :
0< |я-яо| <<5 =» \f(x)-A\<e.
Верно ли, что 3 lim f(x) Е М?
Х—+ХО
§ 4. Односторонние пределы
Определение. Пусть функция / определена на ин-
интервале (а,хо), А е JR(J{°°}- Тогда говорят, что предел
слева функции / в точке ^о равен А и пишут lim f(x) =
х—>zo-0
= А или /(^о — 0) = А, если
(определение Коши):
\/? > 0 35 > 0 : \/х е (х0 - 6,х0) f(x) G Ue(A)\
(определение Гейне):
У{хп} С(а,хо) (lim :гп = :г0 ) => ( lim f(xn) = A ].
Пусть функция / определена на интервале (#()>&)> А е
Е iR|J{oo}. Тогда говорят, что предел справа функции / в
точке :г0 равен А и пишут lim f(x) = А или /(#о + 0) =
х—>хо+0
= А, если
(определение Коши):
V? > 0 36 > 0 : Vz е (х0, х0 + 5) f(x) e U?{A);
(определение Гейне):
50

V{rrn}C (xQ,b)
Эквивалентность определений Коши и Гейне доказыва-
доказывается так же, как и раньше (см. доказательство теоремы 1
§!)•
Лемма 1. Пусть функция / определена в некоторой
Uso(x0), х0 € R. Тогда 3 lim f(x) € М 4=»
х—*хо
<=^ Cf(x0 ± 0) € Ж и f(x0 + 0) = f(x0 - 0)).
Доказательство. Запишем определение по Коши того,
что 3f(x0 + 0) = f(x0 - 0) = А € Ж:
Ve > 0 3<*i G @, <50), й € @, So) : . .
62) f(x)eU?(A). [)
Это условие эквивалентно условию
Ух е (х0 - 6,х0)иЫ,х0 + 6) f(x) e U?{A). w
Действительно, из условия A) следует условие B), где 6 =
= min{5i,52}. Из условия B) следует условие A), где 6\ =
* о
= 62 = б. Так как (xq - S,xo)[j(xo,xo + б) = Us(xo), то
условие B) эквивалентно условию А = lim fix).
х^хо
Ш
Определение. Минимумом (максимумом, инфиму-
мом, супремумом) функции f на множестве X называет-
называется минимум (максимум, инфимум, супремум) множества
f(X): min/(x) = min/(X), sup f(x) = supf(X) и так
x^x x
xex
далее.
Непосредственно из определения инфимума и супрему-
супремума следует, что
51

2)Vm' >m3xeX:m>>f(x);
Г l)Vx € X М > f(x),
M = snpf(x) <=* \2)VMI<M3xeX:M><f(x).
Заметим, что это верно не только в случае конечных, но и
в случае бесконечных верхних и нижних граней.
Определение. Функция / называется неубывающей
на множестве X С JR, если
\/хъх2еХ хг<х2 => f(x1)<f(x2).
Функция / называется невозрастающей на множестве
X С iR, если
Если функция является невозрастающей или неубыва-
неубывающей, то она называется монотонной.
Функция / называется строго возрастающей на мно-
множестве X С iR, если
Мхъх2еХ хг<х2 => f(xi)<f(x2).
Функция / называется строго убывающей на множе-
множестве X С iR, если
\/хих2еХ хг<х2 =» f(xi)>f(x2).
Теорема 1. 1) Если функция / не убывает на
то 3/(х0 - 0) = sup f(x).
()
2) Если функция / не возрастает на (а,хо), то
52

Э/(*о-О)= jnf f(x).
3) Если функция / не убывает на (жо, Ь), то
О)= inf f(x).
x?(xOib)
4) Если функция / не возрастает на (жо, Ь), то
О)= sup /(я).
Доказательство. 1) Пусть функция / не убывает на
(а, хо). Так как конечный или бесконечный супремум лю-
любого множества существует, то существует sup f(x) =
х€(а,х0)
Из определения супремума следует, что Ух ?
в (a,x0) f(x) < М и, кроме того, VAfi < М Зжх G
Е (а, хо) : Mi < f(xi). Отсюда и из неубывания функ-
функции / следует, что Ух е (xi,x0) Mi < f(xi) < f(x).
Итак, VAfi < M 3xi e (а,х0) : Ух е (xi,x0) Mi <
< f(x) < M. Следовательно, Уе > 0 Bxi e (a,xo) : Ух е
€ (^b^o) f(x) e U?(M), т.е. Уе > 0 36 = x0 - xi > 0 :
Ух e (x0 - 6,x0) f(x) e U?(M), а значит, М = f(x0 - 0).
Другие случаи рассмотреть самостоятельно.
§ 5. Непрерывность функции в точке
Определение. 1) Пусть функция / определена в не-
некоторой 5-окрестности точки xq. Тогда / называется
непрерывной в точке жо, если lim f(x) = f(x0).
X-+XQ
2) Пусть функция / определена на (а,хо]. Тогда / на-
называется непрерывной слева в точке жо, если /(хо — 0) =
ы
Пусть функция / определена на [х0, Ь). Тогда / называ-
называется непрерывной справа в точке жо, если /(xq + 0) = f(xo).
3) Пусть / определена в Us(xo)- Тогда
53

а) если 3 lim f(x) =e iR, но в точке х0 функция / не
х—>хо
определена, либо /(хо)ф lim /(х), то точка х0 называется
X—>XQ
точкой устранимого разрыва;
б) если 3/(х0 ± 0) в iR, но f(x0 - 0) Ф f(x0 + 0), то х0
— точка разрыва первого рода;
в) если какой-либо из пределов /(#0-0), /(хо + 0) не су-
существует или бесконечен, то хо — точка разрыва второго
рода.
Задача. Существует ли функция / : [а, Ь) —> iR,
непрерывная справа в точке а и такая, что
V5 > 0 Зхь х2 Е (а, а + S) : f(xx) > 0, f{x2) < 0.
Лемма 1. Пусть / определена в ^(^о)- Следующие
условия эквивалентны:
1) / непрерывна в х$;
2) Ve>O3Ee(O,Eo): Vx
(\х-хъ\<5) ^(\f(x)-f(xo)\<e);
3) У{хп} С USo(x0)
(limxn = x0) => ( lim f(xn) = f(x0)).
Доказательство. A) <=> B) : следует из опреде-
определения lim f(x) = f(xo) по Коши; в данном случае условие
X—>Жо
0 < \х ~ хо\ можно не писать, так как при х — xq выполня-
выполняется: \f(x)- f(xo)\ = 0<?.
A) Ф» C) : следует из определения lim f(x) = /(xq)
Х—>Хо
по Гейне; в данном случае условие хп ф хо можно не пи-
писать, так как при хп = xq выполняется: f(xn) =
Задача. Пусть функция / определена в Щ0(хо). Как
связаны следующие, условия с непрерывностью функции /
в точке хо?
54

1) \/6>0 3ее@,60): Ух
\x - xo\ < e => \f(x) - f(xo)\
2) V?>0 35e@,50): Vx
\x-xo\<6 =* !/(*)
3) Ve>036e (O,<$o) :
\x-x0\<6 => |/(x)
4) Ve>0V5G@,50) 3
|а;-жо|<г и |/()/(o)
5).Ve>0 3$€@,<50), ЗЛЕ R:
\/x \x-xo\<6 => |/(х)-Л|<г;
6) Be > 0 : Vz G C/5o(xo) |/(x) - f(xo)\ < e\
7)Ve>036e @,50) : Vxbx2 €
|xi - x2\ < 6 => |/(xi) - /(x2)|
8) (условие Липшица) 3L G M :
2 G С/
Теорема 1. Пусть функции f is. g определены в
и непрерывны в точке xq. Тогда функции f(x)±g(x), f(x) •
д(х) непрерывны в точке х$. Если дополнительно д(хо) ф О,
то функция f(x)/g(x) непрерывна в точке хо.
Доказательство состоит в применении теоремы 2 § 2.
Определение. Пусть заданы множества X, Y С Ш и
функции / : X -> R, g :Y -> R, причем f(X) С Y. Функ-
Функция <р : X —> iR, ^?(х) = g(f(x)) называется суперпозицией
функций / и р, или сложной функцией.
Теорема 2. (Непрерывность сложной функции в точ-
точке.) Пусть функция / определена в некоторой Щ0(хо) и
непрерывна в точке xq. Пусть функция д определена в не-
некоторой Uao(yo) и непрерывна в точке г/о = /(^о)- Тогда
сложная функция (р(х) = g(f(x)) определена в некоторой
^(^о) и непрерывна в точке xq.
Доказательство. В силу непрерывности функции / в
точке х0
55

Va>038 = 5{a) € @, So) : Vz € Us(x0) f(x) € Ua(f(x0)).
A)
Определим 6г = 5(<то). Так как при х G Usx(xq) число
/(ж) принадлежит множеству определения функции д, то
функция ср(х) = g(f{x)) определена в Us^xq).
В силу непрерывности функции д в точке уо
Уе > 0 За = <т(е) € @, а0) : Vy G t^(y0) »(y) € Ue(g(y0)).
B)
Из A) и B) получаем
Ve > 0 35 = 6(v(e)) : Vx G C/5(x0) g(f(x)) G С
т.е. функция (р(х) = g(f(x)) непрерывна в точке xq.
Пример. Пусть хо,уо,А е Ш, lim g{x) = г/0)
X—>Хо
lim /(у) = А. Верно ли, что 3 lim f(g(x)) — A?
у-*уо х-**о
Решение. Неверно. Например, д(х) = 0 Vx G JR,
f(y) = {°1\ yyt°o ТогдаА = °>но
lim /(^(ж)) = \фА.
X-+XQ
§ 6. Непрерывность функции на
множестве
Определение. Функция / называется непрерывной на
множестве X С JR, если / определена на X и
(определение Коши): Ухо G X Ve > 0 35 > 0 : Vx G
GX |o;-xo|<5 =» |/(*)-/(*o)|<e;
(определение Гейне): Vxq G X V{xn} С
56

Эквивалентность этих определений доказывается ана-
аналогично доказательству эквивалентности определений
предела функции по Коши и по Гейне.
Лемма 1. Пусть a, b e iR, а < Ь.
1) Функция / непрерывна на (а, Ь) <==> f непрерыв-
непрерывна в каждой точке хо ? (а, Ь).
2) Функция / непрерывна на [а, Ь] <==> f непрерыв-
непрерывна в каждой точке хо ? (а, Ь), в точке а функция /
непрерывна справа, в точке Ь - непрерывна слева.
Доказательство следует непосредственно из определе-
определений.
Задача. Пусть заданы множества X, Y С М и функ-
функции / : X —* JR, д : Y —* JR, f(X) С У, пусть функция
/ непрерывна на множестве X, а функция д непрерывна
на множестве Y. Доказать, что сложная функция (р(х) =
= 9(fix)) непрерывна на множестве X.
Задача. 1) Пусть заданы непрерывная на интервале
(а, Ь) функция / и число М. Доказать, что множество {х е
G (a, b) : f(x) < М} открыто.
2) Пусть заданы непрерывная на отрезке [а,Ь]
функция / и число М. Доказать, что множество
{х е (a, b) : f(x) < М} замкнуто.
Напомним, что множество X С М называется компак-
компактом, если из любой последовательности {хп} С X можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторо-
некоторому х е X.
Теорема 1. Пусть / непрерывна на компакте X. Тогда
f{X) - компакт. (Другими словами, непрерывная функция
переводит компакт в компакт.)
57

Доказательство. Пусть задана произвольная последо-
последовательность {уп} С f(X). Требуется доказать, что из {уп}
можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к
некоторому г/о € f(X). Так как уп е f(X), то Зхп е X:
f(xn) = уп. В силу компактности X существует сходящая-
сходящаяся подпоследовательность {хП]с} : lim хП]с = жо е X. В си-
к—>оо
лу непрерывности / lim f{xnk) = /(ж0), т. е. {уПк} - под-
к—»оо
последовательность последовательности {уп}, сходящаяся
Задача. Верно ли, что непрерывная функция перево-
переводит
а) открытое множество в открытое;
б) замкнутое множество в замкнутое;
в) ограниченное множество в ограниченное?
Теорема 2. (Теорема Вейерштрасса.) Если функция /
непрерывна на отрезке [а,Ь], то существуют max /(ж) и
х?[а,Ь]
min fix).
хе[а,Ь]
Доказательство. Любой отрезок [а, Ь] ограничен и за-
замкнут, следовательно, в силу критерия компактности (те-
(теорема 2 § 11 главы 1), является компактом. По теореме 1
/([а, 6]) - компакт. В силу теоремы 3 § 11 главы 1 для лю-
любого компакта Y С М существуют max У и min У. Сле-
Следовательно, 3 max /(ж) = тах/([а,Ь]) и 3 min fix) —
хе[а,Ъ] хе[а,Ъ]
= тт/([а,Ь]).
Теорема 3. (Теорема Коши о промежуточном зна-
значении.) Пусть заданы функция /, непрерывная на [а,Ь],
и число уо такие, что либо /(а) < у0 < /(Ь), либо
f(b) <Уо< /(а). Тогда существует ж0 G [а,Ь] : /(ж0) = у0.
58

Доказательство. Пусть, например, f(a) <yo< f{b).
Обозначим [а0, Ьо] = [а, Ь]. Пусть определен отрезок [а*, Ьк],
причем /-(afc) < у0 < f{bk). Определим ск = Щ^
Г [afc,Cfc], если г/о < /(с*),
| если/Ы< г/о,
тогда /(ajb+i) < уо <
Получаем последовательность вложенных отрезков
{[afc,bfc]} таких, что /(а*) < г/о < /№b) Vfc G JV. По те-
теореме Кантора существует общая точка xq e [ак,Ьк] Vfc G
Так как Ьк - ак = *=? -» 0, то |х0 - ак\ < \Ък - ак\ -> О,
следовательно, a/fc —* хо, аналогично, bk -^ xq.
В силу непрерывности / f(ak) -* /(х0), /F*) -> /(ж0).
Так как f(ak) < уо < /(Ь/t), то по теореме о предельном
переходе в неравенствах f(x0) < у0 < /(х0), т. е. уо = f{x0).
Определение. Функция / : X —* JR называется
ниченной, если множество ее значений /(X) ограничено.
Следствие. (Из теоремы Вейерштрасса.) Непрерыв-
Непрерывная на отрезке функция ограничена на этом отрезке.
Задача. 1) Пусть функция / непрерывна на [a, b] и Vx E
Е [а,Ь] /(х) > 0. Верно ли, что Зе > 0: Vx E [а,Ь] f(x) >
2) Пусть функция / непрерывна на (a, b) и Vx E (а, Ь)
/(ж) > 0. Верно ли, что Зе > 0: \/х Е (а, Ь) f(x) > el
Задача. Пусть функция / непрерывна на 1R и
3 lim /(ж) Е 1R. Верно ли, что функция / ограничена
1
59

Теорема 4. Если функция / непрерывна на отрез-
отрезке [а,Ь], то /([а,Ь]) = [га,М], где га = min /(x), M =
Доказательство. Если m = М, то отрезок [га, М]
вырождается в одну точку, а функция / равна константе
га = М на [а, Ь]. При этом утверждение теоремы тривиаль-
тривиально выполняется. Поэтому будем предполагать, что га < М.
Из определений минимума и максимума следует, что
т < f(x) < М Vx e [а,Ъ], т.е. f{[a,b]) С [га,М]. По-
Покажем, что [га,М] С /([а, Ь]). Из определений миниму-
минимума и максимума также следует, что т,М€ /([а,Ь]), т.е.
Etei,Х2 Е [а,Ь]: /(^l) = ^i, /(^2) = Л4". По теореме Коши
о промежуточном значении для любого числа уо € [т, М]
существует точка #о, лежащая на отрезке с концами xi, 0:2
и такая, что /(х0) = г/о- Поэтому у0 е /([а,Ь]). Следова-
Следовательно, [га,М] С /([а,Ь]).
Следствие. Непрерывная функция переводит отрезок
в отрезок или в точку.
Определение. Множество X с Ш называется число-
числовым промежутком, если X является отрезком, точкой,
интервалом, полуинтервалом, лучом (открытым и замкну-
замкнутым) или всей числовой прямой.
Теорема 5. Пусть функция / непрерывна на числовом
промежутке X и пусть inf f(x) = m G iR, sup f(x) — Me
_ x^x xex
e JR. Тогда
(ra, M) 3x0eX: f(x0) = y0.
60

Доказательство. Пусть задано произвольное число
Уо € (га, М). Так как га < уо, то из определения инфи-
мума следует: 3xi е X : f(x\) < у0- Так как М > уо> то
из определения супремума следует: 3^2 € X : ffa) > Уо-
По теореме Коши о промежуточном значении существует
точка хо, лежащая на отрезке с концами xi, Х2 (а значит,
xq € X) и такая, что
Задача. Доказать, что непрерывная функция перево-
переводит числовой промежуток в числовой промежуток.
Задача. Верно ли, что непрерывная функция перево-
переводит
а) интервал в интервал;
б) числовую прямую в числовую прямую?
§ 7. Обратная функция
Определение. Функция f : X —* Y называется обра-
тимой, если Vxi, Х2 € X х\фх*ь =>
Определение. Пусть задана функция / : X —* Y.
Функция д : f{X) —* X называется обратной к функции /
(пишут : д = Z), если
1)УхеХ g(f(x))=x и
2)Vyef(X) f(g(y))=y.
Замечание. Непосредственно из определения следует,
что
а) если функция д является обратной к /, то / является
обратной к д\
б) множество определения обратной функции совпадает
с множеством значений исходной функции.
61

Лемма 1. Функция / обратима 4=>> существует
обратная к /.
Доказательство. 1) Пусть / обратима. Для каждого
у е f{X) определим д(у) = х из условия f(x) = у. Такое
х существует по определению f(X) и единственно в си-
силу обратимости /. При этом д удовлетворяет определению
обратной функции.
2) Пусть Зд = f. Предположим, что / необратима,
т.е. Зхьх2 € X : хг ф х2, /(xi) = /(х2), но тогда хх =
= 9(f(xi)) == 9(f{x2)) = ж2. Противоречие доказывает
обратимость /.
Лемма 2. Строго монотонная функция обратима.
Обратная к строго возрастающей функции является стро-
строго возрастающей функцией; обратная к строго убывающей
функции строго убывает.
Доказательство. Пусть для определенности функция
/ : X —> М строго возрастает. Обратимость / следует не-
непосредственно из определений. В силу леммы 1 З/ :
f(X) —¦ X - обратная к /. Докажем, что функция f
строго возрастает. Пусть yi,y2 G f(X), yi < у2. Обозначим
я% = /~1(Уг) (i = 1,2). Равенство х\ = x*i не может выпол-
выполняться, так как /(xi) = у\ Ф уъ = /(хг). Неравенство х<ь <
< х\ также не может выполняться, так как в силу строго
возрастания / из условия x*i < х\ следует, что у2 = /(х2) <
< f(xi) = 2/1- Поэтому выполняется неравенство х\ < Х2-
Итак, Vi/by2 G f{X) yi <y2 => f'Hvi) < /^Ы,
т. е. функция Z строго возрастает.
62

Теорема 1. Если функция / определена, строго моно-
монотонна и непрерывна на [а, Ь], то обратная функция опреде-
определена, строго монотонна и непрерывна на [т,М], где т =
= min /(х), М = max f(x).
xe[afb] " хе[а,Ь]
Доказательство. Пусть для определенности функция
/ строго возрастает. По лемме 2 обратная функция f~l
также строго возрастает. По теореме 4 § 6 /([a, b]) = [га, M],
т.е. f~l определена на [га,М].
Покажем, что функция f непрерывна. Так как f
строго возрастает, то по теореме о существовании одно-
односторонних пределов
Vyoe(m,M] 3f~1(y0-0)= sup Гг(у) и
()
ЗГ1(У0 + 0)= inf f-l(v)-
ye(yoM)
Осталось доказать, что
vyoe(m,M] Г1(уо-о) = Г1Ы и
Vy0€[m,M) Г1(Уо+О) = Г1Ы-
Предположим противное, например,
Зуо €(т,М] ГЧуо-О^ГЧуо).
Так как в силу строго возрастания /~х
Vy < уо Z^) < /~1(Уо), то
/(Уо - 0) = sup f"x{y) < /"Чуо). Поэтому с учетом
нашего предположения /~1(уо — 0) < /~1(уо)-
Определим число х* из условий /~1(уо - 0) < х* <
< ГЧуо).
В силу возрастания функции f на [m, M] имеем
ГЧт) < sup /-i(y) = /-i(y0 - 0), /-^Уо) < /
()
следовательно, f~l(m) < х* < f~1(M). В силу возраста-
возрастания функции / т = min /(х) = /(а), М = max fix) =
ж€[а,6] яс€[а,6]
= ДЬ), следовательно, f~l{m) = a, f~1(M) = b. Поэтому
а < х* < Ь, а значит, х* е [а, Ь].
63

С другой стороны,
iG[m,yo) ГХЫ)< sup
и Vy2 .€ [г/о, М] /"ЧЫ > 1'1Ы) > х*> следовательно,
Vy e [ra,M] f~1{y) ?"х*1 т-е- число х* не принадлежит
множеству значений функции Z, а значит, не принад-
принадлежит множеству определения функции /, т. е. х* & [а,Ь].
Полученное противоречие завершает доказательство.
Задача. Доказать, что если функция / определена,
строго монотонна и непрерывна на числовом промежут-
промежутке X, то обратная функция определена, строго монотонна
и непрерывна на промежутке f{X).
§ 8. Тригонометрические функции
Лемма 1. Если х е @,тг/2), то sinx < х < tgz.
Доказательство. Нарисуем на координатной плоско-
плоскости окружность единичного радиуса с центром в начале
координат, а также точки 0@,0), ЛA,0), B(cos:r,sin:r),
C(cosx,0) и D(l,tgx). Заметим, что точка В лежит на
прямой {O,D). Так как S&aob < #сект. лов < S&aod,
Saaob = \OA • ВС = isinx, 5сект. лов = \{ОАJ • х =
I = \ОА • AD = |tgx, то \ sinx < |х < |
Теорема 1. Функции sin x, cosx непрерывны на JR.
Функция tgx непрерывна во всех точках х е JR, кроме
точек х = | + тг/с, к е Z.
Доказательство. Так как |sinx - sinzol =
|2Hp| cos|^| < \x - xqI to lim |sinx -
= 0, lim sinx = sinxo, т.е. sinx - непрерывная
X—>XQ
функция.
64

Функцию cosx можно представить как суперпозицию
непрерывных функций f(x) = § - х и д(у) = sin у: cosx =
= 9(f(x)) — sin(f ~x)> следовательно, cosx - непрерыв-
непрерывная функция.
По теореме о непрерывности частного функция tgx =
непрерывна во всех точках, где знаменатель не
обращается в 0.
¦
Теорема 2. (Первый замечательный предел.)
r sinx
lim = 1.
я->0 X
Доказательство. По лемме 1 при х Е @, тг/2) имеет
место неравенство 1 < ^^ < gjjj, т.е. cosx < ^-^ < 1.
В силу четности функций cos x и ^^ последнее неравен-
неравенство имеет место при всех х: \х\ < тг/2, х ф 0. Из непрерыв-
непрерывности косинуса следует, что lim cos x = cos 0 = 1. По теоре-
х—>0
ме о трех функциях (теорема 4 § 2) получаем требуемое
утверждение.
Пример, lim Ц? = 1.
х—>0 х
Решение. Из теоремы 2 и непрерывности косинуса еле-
Функции arcsin, arccos, arctg вводятся как обратные к
монотонным функциям:
Л : hf» f I -* Ж> Л О*) = sin*> axesiny = /f1^/);
/2 : [О,тг] -> Ш, /2{х) = cosx, arccosy = f^iv))
1
Из теоремы 4 § 6 следует, что множеством значений
Функции /i (а значит, и множеством определения функции
65

arcsin) является отрезок [га, Ml, где т = min sinx =
= —1, M = max sinx = 1. Аналогично множе-
хе[-7г/2,тг/2]
ством определения функции arccos также является отре-
отрезок [—1,1]. Поскольку
inf tgx = —оо, sup tgx = +оо,
яе(-7г/2,7г/2) хе(-тг/2,7г/2)
то по теореме 5 § 6
Ууо е (-00,00) Зхо € (-|»|) : tg(x0) =i/o.
Следовательно, множеством значений функции /з(я) =
= tgx (а значит, и множеством определения функции
arctg) является вся числовая прямая.
В силу теоремы о непрерывности обратной функции
функции arcsin, arccos, arctg непрерывны на своих мно-
множествах определения.
Пример, a) lim ^f^- = 1, б) lim sssp = 1.
Решение. Докажем утверждение (а). Определим
1б2/> -о'
Из предыдущего примера следует, что функция f(y)
непрерывна на интервале (—f, f). По теореме о непрерыв-
непрерывности сложной функции функция <р(х) = f(y(x)) -
( ^
x) = <
[1,
( xq
непрерывна. Так как (fix) = < х ' , то
[1 х = 0
arctgx
х->0 X
Утверждение (б) доказывается аналогично.
66

§ 9. Степенная, показательная и
логарифмическая функции
Заметим, что для любого п е N функция / : [0, +оо) —¦
—> JR, f(x) = xn строго возрастает (это легко доказать
методом математической индукции по п). Отсюда следует
обратимость функции /.
Определение. Пусть п G W, у G [0,+оо). Через уп —
= tfy обозначается значение функции /~1(у), обратной к
функции / : [0, +оо) -> Ш, f(x) = хп.
Поскольку inf хп = 0, sup xn = +оо, то в силу
ж€[0,+оо) же
теоремы 5 § 6 имеем
Vyo € @, +оо) Зх0 е [0, +оо) : х% = у0.
Отсюда и из равенства 0п = 0 следует, что
[0, +оо) Зх0 G [0, +оо) : х% = у0.
Следовательно, функция tfy определена при всех
уе [0,+оо).
Определение. Если х > 0, ra,n G N и дробь ~ - не-
сократима, определим: i«= (z") , х п = 1/(ж» ).
Тем самым мы определили хр для любых х е @, +оо),
Лемма 1. Va > 0 lim a1'71 = 1.
п—>оо
Доказательство. Рассмотрим случай а > 1. Обозна-
Обозначим Ьп = а1/71 - 1. Тогда Ьп > 0 и в силу неравенства
Вернулли а=A + Ьп)п>1 + пЬп > пЪп, следователь-
Но> Ъп < а/п —¦ 0, а значит, а1/71 —¦ 1.
67

Случай a G @,1) сводится к предыдущему: так как А >
> 1, то (А)" —> 1 и an = 1 /(А)" —> 1 при п —¦ оо.
¦
Теорема-определение 1. Пусть а > 0, х G Ш. Тогда
для,любой последовательности {хп} С Q, сходящейся к
х, существует lim aXn G iR. Этот предел при данном х не
71—ЮО
зависит от последовательности {хп} и обозначается ах.
Доказательство. Пусть для определенности а > 1.
Покажем, что последовательность {aXn} - фундаменталь-
фундаментальна. Так как {хп} - ограничена, то существует М G W: Vn G
G W |xn| < М. Следовательно, существует С = aM : Vn G
G W aXn G (О,С]. Поэтому для любых т,к е N справед-
справедливо неравенство
Так как последовательность {хп} сходится, то она фунда-
фундаментальна : Ve > О 3N : Vm, к> N \хт — Xk\ < ?, следова-
следовательно, Vn G N 3N : Vm, к > N \хт — Xk\ < 1/п- Поэтому
\/т к Ъ- N лХгп~~хк с. \п~^/п п^/п]
Так как по лемме 1 а1/71 —* 1, а"/71 —> 1 при п —> оо, то
Уе > 0 3iV : Vm,/c > ЛГ [а1171"^*1 — 1| <¦ е, следовательно,
с учетом A), получаем Ve > О ЗЛГ : Vm, А: > N \аХгп -
- аХк\ < Се, следовательно, последовательность {аХп} -
фундаментальна. В силу критерия Коши последователь-
последовательность {аХп} сходится. Так же, как в лемме 1 § 3, доказыва-
доказывается, что lim aXn не зависит от последовательности {хп} С
С Q, сходящейся к х.
ш
Свойства показательной функции
1) Vx,y G 1R Va > 0 пхоР = о:
68

2) Va, Ь : 0 < a < Ь Ух G М выполняется
а) х > О => а* < Ь*;
б) х < 0 => ах > Ьх;
3) Vx,у е Ш: х < у выполняется:
а) а G @,1) => a^Xi*;
б) a > 1 => ах <аУ;
4)Vz,yGiR Va>0 (a*)* = a**.
Для доказательства этих свойств сначала нужно дока-
доказать эти свойства для рациональных степеней, откуда пре-
предельным переходом можно получить эти свойства для дей-
действительных степеней.
Лемма 2. Va > 0 lim ax = 1.
я—о
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда
а > 1. В силу леммы 1 lim a1/71 = 1, следовательно,
71—XX)
Ve > 0 3n G W : (а/71,^/71) С A - ?,1 + е). Поэтому
в силу монотонности показательной функции Уе > 0 35 =
= ^ > 0 : Ух G (-5,5) ах G (а/", а1/") С A - в, 1 + е).
Теорема 2. Va > 0 функция f(x) = ax непрерывна на
R.
Доказательство. В силу леммы 2 для любого xq g M
имеем lim ах — lim ах6+у = ах° lim ay = ах°.
0
Определение. Пусть а>0, а^ 1, у > 0. Тогда через
обозначим значение обратной функции f~~1{y) к
функции / : Ш -> JR, /(х) = ах.
В силу монотонности функции f(x) = ах при а > 0,
а т^ 1 она обратима. Так как inf ах = 0, sup ax = +оо, то
по теореме 5 §6 функция / l(y) = logay определена при
69

всех у Е @,+оо). По теореме о непрерывности обратной
функции функция f~l{y) = logdy - непрерывна.
Определение. Пусть х > О, тогда Inx = logez, где
число е определено в § 7 главы 1.
Лемма 3. loga 6 = gj Va е @,1) |JA, +°o) Vb > 0.
Доказательство. Поскольку f(x) = loga x - функция,
обратная к функции д(х) = ах, то alog*b = Ь, еЬа = а,
е1пб _ ^ Следовательно,
elna loga6 = ^lnaV0^6 = aloga6 = fe =
= ^lna
Отсюда и из обратимости функции ех следует, что
lna logab = lnb,T.e. ^
Теорема 3. Пусть а > 0. Тогда функция /(ж) = logx a
непрерывна на множестве @,1) (J(l> +oo).
Доказательство следует из непрерывности Inx, лем-
леммы 3 и теоремы о непрерывности частного.
Теорема 4. Пусть р е Ш. Тогда функция f(x) = хр
непрерывна на @, +оо).
Доказательство следует из формулы хр = ер1пх,
непрерывности логарифма и экспоненты и теоремы о
непрерывности сложной функции.
§ 10. Второй замечательный предел
Лемма 1. Если {rik} - произвольная (не обязатель-
обязательно строго возрастающая) последовательность натураль-
натуральных чисел такая, что lim n^ = +оо, то
к—хх>
70

lim И
1\пк
— =е.
Доказательство. Как показано в примере § 7 главы 1,
е = lim ап, где ап = (l + ^)п. Поэтому Ve > О ЗЛГ : Vn >
п—>сю
Л/* ап G С4(е). Так как пк —> +оо при А: —> оо, то ViV 3K :
\/к> К пк> N.
Таким образом, Ve > О ЗК : У к > К аП]с G С4(е), т.е.
lim аПк = е.
Лемма 2. lim A + х)г/х = е.
Доказательство. Воспользуемся определением преде-
предела справа по Гейне. Пусть задана произвольная последо-
последовательность {xk} такая, что VA: G N х^ > 0 и lim Xk = 0.
к—юо
Требуется доказать, что
lim A + хкI/хк = е. A)
Так как lim —- = +оо, то Зко :Ук> к0 —- > 1.
fc—>оо fc к
При А: > Аго определим п^ как целую часть числа
т. е. пк GJV,nfc< 1/х^ < пк 1
тогда 1 + ^~y ^l + ^fc<l + ~-H, следовательно,
Пк / 1 \
^( ) B)
В силу леммы 1 при А: —> оо имеем
71

Поэтому из неравенств B) по теореме о трех последо-
последовательностях следует A).
Лемма 3. lim A + хI'* = е.
Доказательство. Пусть задана произвольная последо-
последовательность {хк\ такая, что VA: Е JN хк < 0 и lim xk = 0.
к—юо
Тогда Зко : Vfc > /с0 хк е (-1,0). При к > fc0 определим
Заметим, что A + ук){1 + хк) = 1, х^ =
Так как у^ > 0, lim ук = 0, то в силу леммы 2
/г—юо
lim A + yk)ltyk = е, следовательно, lim A + хк)г/Хк = е.
к—>оо /г—юо
Пользуясь определением Гейне, получаем требуемое утвер-
утверждение.
Из лемм 2, 3 следует
Теорема 1. (Второй замечательный предел.)
Теорема 2. lim ™?±?± = 1.
х—>О
Доказательство. Из теоремы 1 следует непрерыв-
непрерывность функции fix) = < ^ ' ' 'в точке х =
(^ е, х = О
0. В силу непрерывности логарифма получаем непрерыв-
непрерывность функции 1п/(х) в точке х = 0, т. е.
lim ^t^ = lim ln/(x) = ln/@) = lne =
Теорема 3. lim ^~- = 1.
72

Доказательство. Определим функцию у(х) = ех - 1,
тогда при х^О выполняется ^=^ = /(у (ж)), где
В силу теоремы 2 функция /(у) непрерывна в точке у =
= 0, следовательно, сложная функция f(y(x)) непрерывна
в точке х = О, т. е. lim ?^=i = /(y@)) = /@) = 1.
Определение. (Гиперболические функции.)
Косинус гиперболический : chx = еХ~^е х,
синус гиперболический : shx = еХ~е х,
тангенс гиперболический : th ж = ^
котангенс гиперболический : cth rr =
Пример. Доказать, что
,. shrr thrr
lim = 1, lim = 1.
x—>0 X x—>0 X
Решение. В силу теоремы 3 lim —^ = lim
Так как lim chrr = chO = 1, то lim Щ? = lim ^ = 1.
x—>0 x—>0 x x—>0 x
§ 11. Сравнение функций
Определение. Пусть функции / и д определены и не
о
обращаются в 0 в некоторой Us(xo)- Функции / и д назы-
называются эквивалентными (пишут: f(x) ~ д(х)) при х —*
-* ^о» если lim 4fl = 1.
х
Лемма 1. 1) Если f(x) ~ д(х), д(х) ~ h(x) при х
то /(х) ~ h(x) при х —¦ xq.
73

2) Если f(x) ~ д(х) при х —> х0, то д(х) ~ /(х) при
х —» xq.
Доказательство следует из теорем о пределе произве-
произведения и пределе частного.
Из теорем и примеров § 8 и § 10 следует, что при х —> хо
х ~ sinx ~ tgx ~ arctgx ~ arcsinx ~ .^
х) ~ shx ~ thx. ^ ^
Лемма 2. Пусть функции /i(x), /г(х), ^i(x), ^2(^)
о
определены и не обращаются в 0 в некоторой Us(xo) и
пусть /i(x) ~ /2(ж), Ш(^) ~ 52(^) при х -> х0. Тогда
/i(^)fli(a:) - /2(х)р2(х), ^Jfj - gjfj при х -> х0.
Доказательство следует из теорем о пределе произве-
произведения и пределе частного.
Замечание. Из условий /i(x) ~ /2(^M ^ll^) ~ 52 (ж)
при х —> х0 не следует /i(x) + дг(х) ~ /2(х) + #2(х) при
х —> хо. Например, —х ~ —х, х + х2 ~ х + х3 при х —> 0, но
-х + х + х2 / -х + х + х3 при х —> 0.
Лемма 3. Если /(х) ~ д(х) при х —> хо, то lim /(x) =
X—>Жо
= lim ^(x), а если один из пределов не существует, то не
X—>Xq
существует и другой.
Доказательство. Если 3 lim g(x) G iR, то по теоре-
х->х0
ме о пределе произведения 3 lim fix) = lim ЦЦд(х) =
х—>xq x—*xq 9\х)
= lim д(х). Аналогично, если 3 lim fix) G JR, то
X—УХО X—>Xq
3 lim gix) — lim fix).
X-+XQ X—>X0
Следствие. При вычислении пределов произведений и
частных функций эти функции можно заменять на экви-
эквивалентные.
74

Теорема 1. (Замена переменных ири вычислении пре-
пределов.) Пусть lim у(х) = у0 G R, lim f(y) = A G
х—>хо у—>Уо
е iR|J{oo} и пусть 350 > 0 : Vx G ^(хо) 2/0*0 Ф Уо-
Тогда 3 lim f(y(x)) = A.
Доказательство. Пусть задано произвольное число
е > 0. Так как lim /(у) = Л, то За > 0 : Vy G
У-+УО
€ Ua(yo) f(y) G U?(A). По определению lim y(rr) = y0
X—*XQ
36i > 0 : Vx G Us^xo) y(x) G UG(yo). Отсюда и из
условия теоремы получаем 36 = min{5o,^i} : Vrr G
G J7<*Oro) y(rr) G i7a(yo)- Итак, Vs > 0 35 > 0 : Vx G
G #*(zo) f(y(*)) € 17е(А).
¦
Лемма 4. Пусть /(у) ~ у(у) при у —» уо и пусть у(х) —¦
о
Уо при х —> х0 и у(х) ^ уо при х G С/л(яо). Тогда f(y(x)) ~
~ 9{у{х)) ПРИ х -> х0.
Доказательство. По теореме 1 lim ^гГ(( =
j a^sinf
Пример. Найти lim ^j ^f ¦
* * х-^0 thx In2(l+x)
Решение. Так как arcsinrr2 ~ х2, ех — 1 ~ х, thx
-0, то У^У ~ ^ = 1 при
0, следовательно, предел равен 1.
Определение. Пусть функции / и д определены в
и функция р(х) не обращается в 0. Говорят, что
функция / является бесконечно малой по сравнению с
75

функцией д при ж —> жо и пишут /(ж) = о(#(ж)) при ж —> ж0,
если lim Ц^1 = 0.
X—+XQ 9\Х)
Замечание. о(д(х)) - это целый класс функций. За-
Запись /(ж) = о(д(х)) означает, что функция /(ж) принад-
принадлежит классу функций о(д(х)). Поэтому равенство в запи-
записи /(ж) = о(д(х)) необратимо, т.е. нельзя писать о(д(х)) =
= /(ж). Например, ж3 = о(ж), ж2 = о(х) при ж —> 0, но
ж3 ^ ж2.
Теорема 2. /(ж) ~ д(ж) при ж —> xq <=> /(ж) —
- д(х) = о(^(ж)) при ж -> ж0.
Доказательство, /(ж) ~ ^(ж) при ж —> жо
<^=> lim ччг = 1 Ф=> lim „Гч = 0
о Q
/(ж) — д(ж) = о(^(ж)) при ж
Из теоремы 2 следует, что эквивалентности A) можно
переписать в виде
= ж + о(ж), 1§ж = ж + о(ж),
агсвтж = ж + о(ж), аг^ж = ж + о(ж),
ех = 1 + ж + о(ж), 1пA + ж) = ж + о(ж),
вЬж = ж + о(ж), 1Ьж = ж + о(х)
при ж —> 0.
Определение. Пусть функции / и д определены в
о
Us(%o)- Говорят, что функция / ограничена относительно
функции д, и пишут /(ж) = О(д(х)) при ж —> жо, если
ЗС е М : Ух
76

Теорема 3. (Свойство о-малого и О-болыного.)
о
Для функций, не обращающихся в 0 в некоторой Us(xo)
при х —> хо, справедливы равенства:
1)о(/)±о(/) = о(/);
2)О(/)±О(/) =
3) o(f) = O(f);
4) o(O(f)) = o(f);
5) O(o(f)) = o(f);
6) O(O(f)) =
7)
8)
9)
10) (O(/))Q = O(fa) Va > 0.
Докажем, например, первое утверждение. Требуется
доказать, что если д\{х) = о(/(ж)), gi{x) = о(/(ж)) при
ж —> жо, то fl>l(a;) ± 52(ж) = о(/(ж)) при х —* xq. Действи-
Действительно, из условий lim Ц^- = 0, lim Цт± = 0 следует
Х—>Хо '\Х> Х—Ио J\X)
lim 9lWffix} = 0, т.е. gi(x)±g2(x) = о(/(х)) при а; -> аг0.
Остальные утверждения проверяются аналогично.
77

ГЛАВА 3
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Определение и геометрический
смысл производной и
диф ференциала
Определение. Пусть функция / определена в
Производной функции / в точке хо называется
х — xq Ах->о Ах
и обозначается /'(хо).
Определение. Графиком функции / : X —> Ш назы-
называется следующее множество точек координатной плоско-
плоскости:
Напишем уравнение секущей, проходящей через точки
графика (rr0, f(xQ)) и (х0 + Ах, f(xo + Ах)):
2/сек(#, А^) = fcx + 6, где числа к и 6 определяются из си-
системы уравнений
= Усекло,
Ах, Ах),
т.е.
/(хо) = fcxo + 6,
/(х0 + Ах) = к(х0 + Ах) + Ь.
Решая систему, Ь = /(х0) — /схо, к = -
получим уравнение секущей:
78

усек{х, дх) = /(*„)
Определение. Невертикалъной касательной к графи-
графику функции / в точке хо называется предельное положе-
положение секущей:
Ах—>0
Непосредственно из определений следует
Теорема 1. (Геометрический смысл производной.)
Существование невертикальной касательной к графику
функции / в точке хо эквивалентно существованию конеч-
конечной производной функции / в точке х$. Уравнение каса-
касательной имеет вид
= /(х0) + /скас(я - х0), где А?кас =
Определение. Пусть функция / определена в Us(xq).
Функция / называется дифференцируемой в точке гго, если
существует число А такое, что приращение функции Д/ =
= f(xo + Дх) — /(^о) имеет вид Д/ = АДгг + о(Ах) при
» 0 (число Л не зависит от Дх, но зависит от xq).
Теорема 2. (Связь дифференцируемости и существо-
существования производной.) Функция / дифференцируема в точке
х0 тогда и только тогда, когда существует конечная произ-
производная f'(xo). Число А в определении дифференцируемой
функции совпадает с /'(хо)> т.е. Д/ = f'(xo)Ax + о(Ах)
при Ах -» 0.
Доказательство.
Д/ = ААх + о(Ах) при Ах -> 0 4Ф
79

по опр. о-малого .. А/ — ААх
А
lim ^ = Л € JR <Ф Э/'(х0) = А е М.
д*->о Ах
Определение. Пусть функция / дифференцируема в
точке xq. Дифференциалом функции / называется следу-
следующая линейная функция переменного Ах: df(xo,Ax) =
— f'(xo) Ax. При записи дифференциала функции аргу-
аргумент Ах обычно не пишут, но подразумевают:
Определение. Дифференциалом независимой пере-
переменной называется ее приращение: dx = Ах = х - х^.
Итак, в случае дифференцируемости функции / в точке
хо справедливы формулы:
А/ = /(х0 + Ах) - /(х0) = df(x0) + о(Ах) при Ах -> 0.
Заметим, что дифференциал, будучи линейной функ-
функцией, определен для всех Ах, а приращение функции А/
определено только для тех Ах, для которых хо + Ах лежит
во множестве определения функции /.
Из теорем 1, 2 следует
Теорема 3. (Геометрический смысл дифференциала.)
Существование дифференциала эквивалентно существова-
существованию невертикальной касательной. В случае существования
дифференциал равен приращению ординаты касательной:
= df(x0).
80

Определение. (Односторонние производные.)
1) Если функция определена на (хо — <5, хо], то левой
производной в точке хо называется левый предел
X —
2) Если функция определена на [xq,xo + 8), то правой
производной в точке хо называется правый предел
Лемма 1. Э/'Ы «=> lf'-Ы = f+Ы-
Доказательство состоит в применении леммы об од-
односторонних пределах.
Теорема 4. (Связь непрерывности и дифференцируе-
мости.) Функция, дифференцируемая в точке хо, является
непрерывной в этой точке. Обратное неверно.
Доказательство. 1) Пусть функция / дифференциру-
дифференцируема в точке хо. Тогда А/ = А Ах + о(Ах) при Ах —> 0.
Следовательно, /(#о + Д#) — Д#о) —> 0 (Ах —> 0), а значит,
/ непрерывна в точке х$.
2) Например, функция f(x) = \x\ непрерывна в точке
0, но не является дифференцируемой в этой точке.
Задача. Пусть функция / : JR —> JR дифференцируема
в точке xq. Верно ли, что существует окрестность точки
хо, в которой / непрерывна?
Рассмотрим случай вертикальной касательной.
81

Пусть в некоторой Us(x0) определена /(х) и
f(x) ф /(хо). Пусть 0 < |Дх| < 6. Аналогично пре-
предыдущему легко получить, что уравнение секущей, про-
проходящей через точки (хо,/(хо)) и (хо + Дх,/(хо + Дх)),
имеет вид
имеет вид
хсек(У, Дх) =
Определение. Говорят, что график функции / имеет
вертикальную касательную в точке хо, если предельное
положение секущей в точке хо является вертикальным:
Уу Е М lim хСек(у>&х) = ^о-
Ах—>0
Лемма 2. График функции / имеет в точке хо верти-
вертикальную касательную <^=^ f'{xo) = оо.
Доказательство. Касательная вертикальна
= °
f(xo+Ax)-f(xo)
f{*o+Ax)-f{Xo) =oq
§ 2. Правила дифференцирования
Теорема 1. Если функции / и д дифференцируемы в
точке хо, то
1K {f + 9Y(xo) = f'(xo) + g'(xo);
2) 3 (fg)'(x0) = f(xo)9(xo) + f(xo)g'(xo).
3) Если дополнительно #(х) ф 0, то
=1 ^
Доказательство. Обозначим А/ = /(хо + Ах) — /(хо),
^(хо+Дх)— д(хо). Заметим, что при Дх -* 0 справед-
справедливы соотношения: Д/ —> О, Д^ —> 0, ^ —>
82

х|-+/'Ы + </ЫприДх-,О;
+ Af) {g{x0) + Ag) - f(xo)g{xo) = f(xo)Ag + g(xo)Af
+ AfAg, следовательно, ^^ = f(xo)$? + ^
при Ах -> 0;
оч A(f/g) _ (f(xo)+Af)/(g(xo)+Ag)-f(xo)/g(xo) _
6) Ax — Ax ~
__ g{xo)Af-f{xo)Ag ff(xo)g{xo)-f(xo)gf(xo)
" g{xo){g(xo)+bg)Ax ~" ^H
Теорема 2. (Производная сложной функции.) Пусть
функция у(х) дифференцируема в точке xq, а функция
z(y) дифференцируема в точке уо = у(хо). Тогда сложная
функция z — f(x) = z(y(x)) дифференцируема в точке
xq и ff(xo) = zf(yo)yf(xo), что записывают также в форме
4 =
Доказательство. Определим функцию
{z{y)-z{y0) у
у-уо , У^ИЬ
^(Уо), 2/ = 2/0-
Так как по определению производной lim g(y) =
= lim z(^IfJfo) = ^(г/о) = д(Уо), то функция р непрерывна
у—*уо у уо
в точке уо.
В силу теоремы о непрерывности дифференцируемой
функции функция у(х) непрерывна в точке хо. Следова-
Следовательно, сложная функция д(у(х)) непрерывна в точке хо,
0
Из определения функции д следует равенство z(y) —
~~z(yo) = 5B/) (у — Уо), которое справедливо не только в не-
некоторой проколотой окрестности точки ?/о, ной при у = уо-
Поэтому в некоторой окрестности точки xq справедливо
83

равенство f(x) - f{x0) = z(y(x)) - z(y0) = g{y(x)) (y(x) -
— j/o)- Отсюда по теореме о пределе произведения следует,
что существует предел
= lim g(y(x)) lim
х+хо х*х
х—>хо X — Xq
у{х) " у(Жо)
g(y())
х-+хо х—*хо X —
Следствие. (Инвариантность формы первого диф-
дифференциала.) Пусть выполнены условия теоремы 2. То-
Тогда дифференциалы простой функции z(y) и сложной
функции z = f(x) = z(y(x)) могут быть записаны в од-
одной и той же форме: dz = z'(yo) dy. Хотя в первом случае
dy - приращение независимой переменной у, а во втором
случае dy = dy(xo) - дифференциал функции.
Доказательство. В случае простой функции формула
dz = dz(yo) = z'(yo) dy следует из определения дифферен-
дифференциала.
В случае сложной функции по определению дифферен-
дифференциала получаем dz = df(xo) = ff(xo) dx. В силу теоремы 2
f(xo) = z/(yo)y/(xo)y следовательно, dz =
= z'(yo)dy.
Теорема 3. (Производная обратной функции.)
Пусть функция у(х) определена, строго монотонна и
непрерывна в некоторой Us(xq). Пусть Зу'(хо) G М,
у'(хо) ф 0. Тогда обратная функция х(у) дифференцируе-
дифференцируема в точке 2/о = УЫ и я'Ы = ^у = у>(х\Уо))-
84

Доказательство. Существование обратной функции
следует из строгой монотонности у(х). По теоре-
теореме о непрерывности обратной функции функция х(у)
непрерывна в точке уо-
Так как Зу'(хо), то функция
{у(х)-у(хр) ,
х-хо > хФх0,
</(*<)), х = х0
непрерывна в точке хо- Следовательно, сложная функ-
функция f(x(y)) непрерывна в точке уо, т.е. lim f(x(y)) =
у->уо
= f(x(yo)) = f(xo) = У*{хо)- В силу обратимости
функции х(у) при уфуъ справедливо неравенство у ф уо,
следовательно, f(x(y)) = xfc\ при у ф у0. Поэтому
Теорема 4. (Производные элементарных функций.)
1) С1 = О (С = const);
2) (а31O = ах 1па, а > 0, х G iR;
^ >0, аф\, х>0;
4) (хау = axa~l, aeM, x > 0;
(хпУ = пхп-г, neJN, х е JR;
5) (sin x)f = cos х, (cos x)' = — sin x;
7) (arcsinxO = ,г_ й, (arccosxO = —-т=^
8) (arctgxO = jq—j, (arcctgxO = — jt^',
9) (shx)' = chx, (chx/ = shx;
Доказательство. 1) f(x) = С =4> Д/ = 0
/' = 0;
85

2) В силу теоремы 3 § 10 главы 2 lim ^^ = 1, следо
вательно, (ех)' = lim 6 Агг 6 = ех lim ^-д^ = ех, по-
Дж-»0 Ах Дж-»0 АХ
этому по теореме о. производной сложной функции (ax)f =
= (elnax)' = е1пах (has)' = a* In а;
3) По теореме о производной обратной функции
(logax)' = фу= 5rfes> r^e 2/ = loga*, т.е. (logaz)' = ^;
4) При х > 0: {хаУ = (elnxa)f = е1пжа (Inж аO =
= аха/х = ад:"";
Формула (х71)' = пхп~1 при n G W, х Е М доказывается
индукцией по га;
5) Заметим, что sin(x + Ах) - sinx = 2cos(x +
+ \Ах) sin(^Ax). Используя первый замечательный пре-
предел и непрерывность косинуса, получаем
sin(x + Ах) — sinx
=
Ах
smi = lim
До
/ 1 л ч sin(^Ax)
= lim cosfx + -Ах) —г^ = cosx.
Ах-^о 2 \Ах
Пользуясь формулой для производной сложной функции,
получаем
(cos яO = (sinGr/2 - x))f = — cos(tt/2 - х) = — sinx;
еЛ (ttrrV — ^ sin ж у _ (sin жO cos ж-(cos жO sin г _
о; ущх) — ycosx) — COS2X —
__ cos2 ж+sin2 х __ 1 .
cos2 x cos2 x '
(ctga;)/ = (tgGr/2-a;))' = i( ll0 . = —rV-J
\ьу VtoV/ // cos2Gr/2—x) sm2 x'
7) (arcsinx/ = p^7 = ^, где i/ = arcsinx, т.е.
Так как arccosx = | - arcsinx, то (arccosx/ =
8) (arctgz/ = j^y = cos2?/, где у = arctgx, т.е.
(arctgxO = cos2(arctgx) =
1 _ 1
l+tg2(arctgz) 1+x2
86

Так как arcctgrc = § - arctgz, то (arcctga:)' =
-(arctgi)' =
9) (shx)' =
10) (th*)' = (ff)' = (sM'ch*-(c
(cthx)' = {^У = -
1 1
Производная неявной функции
Определение. Функция / : X —> JR называется неяв-
неявной функцией, заданной уравнением F(x, у) = 0, если Ух G
<ЕХ F(x,f(x)) = 0.
Например, уравнение х2 + у2 = 1 задает следующие
непрерывные неявные функции: у = fi(x) = \/1 — ^2 и
У = /2(ж) = -VI - х2.
Пусть неявная функция у = /(гг) задана уравнением
F(x, у) = 0. Тогда производную неявной функции /(#) (ес-
(если она существует) можно найти из условия равенства ну-
нулю производной сложной функции ip(x) = F(x,f(x)) = 0:
v/(a;) = 0.
Пример. Найти производную в точке х = 0 функции
2/(#), заданной уравнением sin а; + х — у — у^ = 0.
Решение. Так как <р(х) = sinrr + rr — y(rr) — 2/3(rr) = 0,
то 0 = (р'(х) = cosx +1 — у;(х) — 32/2(rrJ//(rr), следовательно,
у/(х) = ifipey При ж = °имеем °= у3 + у =
следовательно, у@) = 0, у'@) = Щ = 2.
87

Производная параметрически заданной функции
Определение. Пусть заданы функции x(t) и y(t).
Пусть функция x(t) обратима, т.е. существует обратная
функция t(x). Тогда функция у = <р(х) = y{t(x)) называ-
называется параметрически заданной функцией.
Если выполнены условия теоремы о производной обрат-
обратной функции, то 3tf(x) = ^тпу, где t = t(x).
Если выполнены условия теоремы о производной слож-
сложной функции, то Зу'х(х) = (ff{x) = y[(t(x))tl(x) = |f^|, где
t = t(x). Итак, при выполнении условий этих теорем спра-
справедлива формула
Правила вычисления дифференциала
Теорема 5. Пусть функции f(x) и д(х) дифферен-
дифференцируемы в точке #0. Тогда
1K d(f + g)(xo) = <ff(xo)+dg(xo),
2) 3 d{fg)(x0) = дЫ df(x0) + /(:ro) dg(x0),
3) если д(х0) ^ 0, то 3d (j^ (x0) =
_ д(х0) df(xo)-f(xo) dg(x0)
92Ы
Доказательство. 1) Так как функции f(x) и д(х) диф-
дифференцируемы в точке жо, то, по теореме 1 3(/ + д)'(хо) =
= ff(xo) + gf(xo). В силу определения дифференциала по-
получаем 3d(f + д)(х0) = (f + g)'(xo)dx = f(xo)dx+
+ g'(xQ) dx = df(x0) + dg(x0).
Пункты B) и (З) доказываются аналогично.
88

§ 3. Производные и дифференциалы
высших порядков
Производная f^n\x) порядка га определяется индукци-
индукцией по порядку.
Определение. Производная нулевого порядка — это
сама функция: f^°\x) = f{x). Производная первого поряд-
порядка f^(x) = f'(x) была определена ранее. Если функция
/W определена в Us(x), то /(n+1>(:r) = (f{n))'(x).
Определение. Факториалом числа п € N называется
число га! = га • (га — 1) •... • 1.
Строгое определение факториала числа га ? IN (J{0} Да~
ется по индукции: 0! = 1, 1! = 1, п! = п • (п — 1)!.
Определение. Пусть п,/с е i?V"U{0}, k < га. Определим
биномиальный коэффициент:
k ___ га! _ га(га-l)...(ra-fc + l)
n~ (ra-fc)!ifc! "" it!
Лемма 1. (Свойства биномиальных коэффициентов.)
2) С* + С^ = С*+1 \fn,keN: fc<ra.
Доказательство. 1) С? = ^^ = 1, аналогично, С% =
= 1.
*) ^п^^п — (n-k)lkl ^ (n-fc+1)! (A:-l)! " (п-к+1)\кЛП
~ fr _l I _l U\ — (п+1)! —
Теорема 1. (Формула Лейбница.) Пусть существу-
существуют производные функций и(х), v(x) в точке х порядка га.
Тогда
89

= C*n u(°) (x) v^ (x) + C\ u^ (x) v{n-1] (x)
Доказательство. При п = 1 {uvI = u'v + uv' =
= E C±u№ v^~k^ теорема справедлива.
fc=0
Пусть формула Лейбница справедлива при п = 8, тогда
s
(uv)(s) = ]Г CguW y(s~~k\ Покажем, что формула Лейбни-
ца справедлива при п = s + 1.
(uv)(e+1) - ((uv)My = Е Cks (uW ^(s"fc))/ -
= У^ Ск~~^ и№
/ J S
l\ СВОЙСТВО 1
fcl
u(-+i)v@) свойства 1,2
•—- " i ¦•¦ S-f-L
k=l
s+1
- E Cs+iu^ v(s+l~k\ т.е. формула Лейбница верна при
fc=o
п = s + 1. По индукции получаем, что формула Лейбница
справедлива для любого п ? N.
90

Определение. Дифференциал первого порядка
dlf(x) = df(x) был определен ранее. Пусть в Us(xq)
существует дифференциал n-го порядка функции /:
сР/(х). Дифференциалом порядка п + 1 называется диф-
дифференциал первого порядка от дифференциала порядка
п: (Р+1/(х0) = d(<Pf){xo).
Дифференциал dnf(x) является функцией двух пере-
переменных: х и dx. При вычислении d71"*/^) нужно зафик-
зафиксировать dx и дифференцировать drlf{x) как функцию од-
одной переменной х.
Функция / называется п раз дифференцируемой в точке
х0, если 3dn/(:zo)-
Теорема 2. 1) ЗсГ/Ы «=> 3/(n)(a:0) € iR;
2) если 3 f^(xo) G iR, то dnf(xo) = /^(xq) (dx)n.
Доказательство. При п = 1 утверждение теоремы
следует из определения дифференциала первого порядка.
Пусть утверждение теоремы справедливо при п = /с
(предположение индукции).
Если ни в какой окрестности точки xq не существует
f(k\x) G iR, то в силу предположения индукции не суще-
существует dkf(x). Тогда не существует /(*+1)(я?о) и не суще-
существует dk+1f(xo) и при п = к + 1 утверждение теоремы
тривиально выполнено.
Пусть теперь в некоторой Us(xq) 3 f^k\x) E
G iR. Тогда в силу предположения индукции в Us(xq)
3 dkf(x) = f(k\x){dx)k. По определению дифференци-
дифференциала порядка /с + 1
= d(dfc/)(*o) =
91

Поэтому существование dk+lf(x0) эквивалентно суще-
существованию f(k+l\xo) G й и в случае существования
/(/с+1)(а:0) е М справедлива формула dk+lf(x0) =
_ f^+^)^Xo)(dx)k+1. Следовательно, утверждение теоре-
теоремы справедливо при п = к +1. По индукции получаем, что
теорема справедлива при любом п ? IN.
Замечание. (Неинвариантность формы дифференциа-
дифференциалов выше 1-го порядка.)
Пусть заданы дважды дифференцируемые функции
у(х) и z(y). Найдем второй дифференциал сложной функ-
функции z = ср(х) = z(y(x)).
В силу инвариантности формы первого дифференциала
dtp(x) = zf(y(x))dy(x).
По правилу вычисления дифференциала произведе-
произведения d*<p(x) = d{z'(y{x))) • dy(x) + z'{y{x)) • d(dy(x)) =
= z"(y(x))(dy(x)f + z\y(x))d?y(x).
Итак, для сложной функции z — z(y(x)): d2z =
= z"(y)(dyJ + z\y)$y, в то время, как для простой функ-
функции z — z(y): d2z = zff(y)(dyJ. Таким образом, формулы
для вторых дифференциалов простой и сложной функции
не совпадают. То же относится к дифференциалам поряд-
порядков п > 2.
§ 4. Теоремы о среднем
для дифференцируемых функций
Определение. Пусть задана функция / : X —> 1R.
1. Точка xq E X называется точкой локального мини-
минимума функции /, если
35 > 0 : Ухе Us(x0) f| X f(xQ) < f(x).
92

2. Точка хо G X называется точкой локального макси-
максимума функции /, если
35 > О : Ухе Us(x0) f] X f(x0) > f(x).
3. Точка xq G X называется точкой локального экстре-
экстремума функции /, если xq является точкой локального ми-
минимума или максимума /.
Точки локального экстремума, которые мы сейчас опре-
определили называются также точками нестрогого локально-
локального экстремума. Определим точки строгого локального экс-
экстремума.
4. Точка xq E X называется точкой строгого локально-
локального минимума функции /, если
35 > О : Ух Е Us(xo) П X /(:го) < f(x).
5. Точка хо G X называется точкой строгого локально-
локального максимума функции /, если
35 > О : Ухе Us(x0) f) X f(x0) > f(x).
6. Точки строгого локального минимума и строгого ло-
локального максимума называются точками строгого ло-
локального экстремума.
Непосредственно из определения следует, что точка
строгого локального экстремума является точкой нестро-
нестрогого локального экстремума. Обратное неверно. Напри-
Например, для функции, равной константе, все точки множества
определения являются точками нестрогого экстремума, а
строгих экстремумов нет.
Теорема 1. (Теорема Ферма.) Пусть функция /
определена на (а, Ь) и xq e (а, Ь) - точка (нестрогого) ло-
локального экстремума функции /. Тогда если / дифферен-
дифференцируема в точке хо, то f'(xo) = 0.
93

Доказательство. Пусть для определенности xq - точ-
точка локального минимума /.
Определим 5q = min{b — xq^xq — а}. Тогда 35 G (О,<5о) •
Ух Е Us(xq) f(x0) < f(x). Поэтому при х е (хо,хо + 5)
выполняется неравенство ' д-so ° ^ 0> следовательно, по
теореме о предельном переходе в неравенствам правая про-
производная неотрицательна: /+(яо) = 1™ х-х} — ^
Аналогично, f'_(x0) < 0. Если 3/'(а:о), то
и, следовательно, /'(^о) = 0.
Замечание. В точке локального экстремума производ-
производная может
а) не существовать, как, например, для f(x) = \x\ не
существует /'@) или
б) быть бесконечной, как, например, для f(x) =
/'@) = оо.
Теорема 2. (Теорема Рол ля.) Пусть функция /
непрерывна на [а, Ь] и дифференцируема на (а, Ъ) и пусть
/(а) = f(b). Тогда 3? G (а,Ь) : /'(О = 0.
Доказательство. По теореме Вейерштрасса (теорема
2 §6 главы 2) Зт = min fix) и ЗМ = max /(ж).
о:€[а,Ь] ж€[а,Ь]
Если m = М, то f(x) = const на [а,Ь]. Взяв произволь-
произвольную точку ^ G (а,Ь), получим требуемое утверждение.
Если т ф М, то либо m < /(а), либо /(а) < М. Рас-
Рассмотрим, например, случай т < /(а). По определению ми-
минимума 3? е [а, 6] : /(?) = т < /(а) = /(Ь). Следователь-
Следовательно, ^ 6 (а,Ь) и по теореме Ферма /'(?) = 0.
Теорема 3. (Теорема Коши о среднем.) Пусть функ-
функции / и д непрерывны на [а,Ь] и дифференцируемы на
94

(а, Ь). Пусть g(b) ф д(а) и Ух € (а, Ь) д'(х) ф 0. Тогда
Доказательство. Рассмотрим функцию (р(х) =
— кд(х), где коэффициент /с определим из условия </?(а) =
/(Ь) - fcs(b) = /(а) - %(а), т.е. fc = Jj§E^
По теореме Ролля 3? е (а,Ь) : </?(?) = 0, т.е.
= 0, следовательно, $§ = к = ^Е^-
Замечание. Условие gF) ^ ^(^) теоремы Коши о сред-
среднем следует из условия Ух Е (а,Ь) </(#) ^ 0 и теоремы
Ролля.
Теорема 4. (Теорема Лагранжа о среднем.) Пусть
функция / непрерывна на [а,Ь] и дифференцируема на
(а, Ь). Тогда существует точка ? G (а, Ь), для которой спра-
справедлива формула конечных приращений Лагранжа: f(b) —
Доказательство состоит в применении теоремы Коши
о среднем для функций f(x) и д(х) = х.
Задача. Существует ли функция / : JR —> JR с
непрерывной производной такая, что
V5 > 0 Зхих2 е @,5) : f{x{) > хъ f(x2) < -х2?
Задача. Пусть функция / непрерывна на отрезке
[жо>^1] и дифференцируема на интервале (xq,x{).
а) Доказать, что из существования в точке хо пре-
предела справа производной функции / /'(#о + 0) =
= lim f\x) следует существование в точке xq правой
х—>жо+0
производной функции / f+(xo) = lim ^xlzL и ра-
х—>хо+0 °
венство Д (ж0) = /'(ж0 + 0).
95

б) Привести пример функции, для которой f+(xo) су-
существует, a f(xo + 0) не существует.
§ 5. Формула Тейлора
Определение. Пусть Э/(п)(:го)-
(Здесь и далее, если не оговорено обратное, записывая
Э/(п)(:го), будем предполагать, что 3f(n\xo) e JR.)
Тогда
Рп(х) = /Ы + f\x0) (х - х0)
называется многочленом Тейлора функции / в точке гго-
fn(#) — /(^) ~ Рп{х) называется остаточным членом в
формуле Тейлора:
к=0
Лемма 1. Пусть к ? N, (fk(x) = (х — хо)к. Тогда
[х — а?о) ПРИ 5G{0, ...,i
при s > к;
при 5 ф /с,
к ' [ к\ при s = к.
Доказательство. 1) ^к{х) = к(х — хо)к~г, ^(х) =
= к{к — 1)(х — хо)к~2 и так далее, при к < s: <p? (x) =
= к[к - 1)...(к - (s - 1))(х - xo)k~s = ^у^х - xo)k~s.
Следовательно, щ \х) — к\ и (р^'(х) = 0 при s > к.
96

Пункт B) следует из пункта A).
¦
Лемма 2. Пусть 3f(n\x0). Тогда Vs G {0,..., га}
)Ы = о.
Доказательство. Заметим, что
w
fc=0 "
Из леммы 1F) следует, что при s < n: Рп (#о) =
? ^^Hrf^o) = /E)Ы, а значит, r^
Определение. Будем говорить, что число ? лежит
строго между числами xq и ж, если ж < ? < о:о или хо <
Лемма 3. (Основная.) Пусть заданы 5, га, к G W,
причем s < га + 1, s < к, и пусть <?>&(#) = (ж — ^o)fc- Пусть
() и в некоторой С/^С^о) существует f(s\x). Тогда
о
Ух е Us(xo) Э?, лежащее строго между х и хо:
Доказательство. Так как rn(rr0) = 0, <fk(xo) = 0, то
о
по теореме Коши о среднем Ух Е Us(xo) существует чи-
число ?, лежащее строго между хихо такое, что ^Ш =
= Mx]-7k%°o) = ИИ* Следовательно, при 5 = 1 утвер-
ждение леммы выполняется.
97

Пусть оно выполняется при s = р — 1 (где р < п + 1,
р < /с), т. е. существует число ?, лежащее строго между х
и *о такое, что jgj
Так как г$~~1\х0) = О, ^"^(^о) = 0> т0 по теореме
Коши о среднем существует число ?i, лежащее строго ме-
между ? и xq (а значит и строго между тихо) такое, что
ыв Таким 0браз0М) утвер.
ждение леммы выполнено для s = p, что по индукции до-
доказывает лемму.
Теорема 1. (Формула Тейлора с остаточным членом в
форме Пеано.) Пусть 3f(n\xo). Тогда
при х-+х0.
Доказательство. Так как 3f(n\xo), то в некоторой
)) существует /(п~г\х). Применяя лемму 3 для 5 =
о
п — 1, к = п, получим, что Ух Е Us(%o) существует число
= ?(а;), лежащее строго между ihiq такое, что
С учетом равенства Гп (жо) = 0 получаем Тпт1 =
п! (?—а?о)
Так как lim ^(ж) =хои ?(:г) ф x$Vx e Us(xo)i то по те-
теореме о замене переменных при вычислении предела име-
имеем
ipn(X) П\
98

n\
Отсюда по определению производной Гп'(хо), исполь-
используя лемму 2, получаем
П\
= О,
т. е. гп{х) = о((рп(х)) = о((х - хо)п) при х
Теорема 2. (Формула Тейлора с остаточным членом в
форме Лагранжа.)
Пусть в некоторой Us(xq) существует f(n+1\x). Тогда
о
Ух G Us(xo) 3?, лежащее строго между х и xq такое, что
аС—U
Доказательство. Применяя лемму 3 для s = к = п +
о
+ 1, получим, что Ух G Us{xq) существует число ?, лежа-
г (х) г(п+1)(?)
щее строго между х и xq такое, что — v / , = 7п+1) =
= rWe-Так как р"п+1)(^) = °'то г«п
и /(х) - Ря(х) = rn{X) =
-xo)n+1.
Теорема 3. (Единственность разложения по формуле
Тейлора.) Пусть Э/(п)(жо) и пусть при х —»¦ xq
fix) =
k=0
— Хо) + О({Х — Хо) ) =
99

= а0 + ai(x - х0) + ... + Оп(х - хо)п + о((х - хй)п).
Доказательство, В силу теоремы 1 справедлива
формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано,
следовательно,
а0 + ах(х - х0) + ... + an(x - хо)п + о((х - хо)п) =
71!
Переходя к пределу при х —> xq, получаем
Отбросив в левой и правой частях одинаковые слагаемые
ао и /(xq) и разделив обе части полученного равенства на
х — хо, получим
&1 + &2(я — ^o) + ... + ап(х — хо)п~г + о((х — хоO1) =
1 + о((х - хо)п-г).
Переходя в этом равенстве к пределу при х —> xq, находим
а\ = /'(хо). Продолжая эти рассуждения по индукции, по-
получаем утверждение теоремы.
¦
Задача, Пусть /(х) = а0 + ai(x - х0) + а2(х - х0J +
+ о((х - хоJ), х —» хо- Верно ли, что а) З/^хо)?
б) 3/"(х0)?
Теорема 4. (О почленном дифференцировании
формулы Тейлора.) Пусть 3f^n\xo) и пусть
п
(х - xq)* + о((х - хо)п) при х —> х0. Тогда
100

n
f'(x) = ? akk(x - хоГ * + o((x - хо)п"г) при x -> x0.
Доказательство. По теореме 3 (о единственности раз-
разложения Тейлора) Vfc e {0, ...,га} а* = ^ ^^ В силу те-
теоремы 1, примененной к функции д{х) = /г(х),
- *0)* + О((Х - Хо)") =
к
fc=0
П-1
+ 1)(х - xo)fc + о((х
(~ ~. \8 — 1 I //
5=1
П
fcfc(x — Xq) + o((x -
Теорема 5. (О почленном интегрировании формулы
Тейлора.) Пусть 3/(n+1)(xo) и пусть
п
f(x) = Z! hi* - ^o)fc + ^((^ - хо)п) при х -¦ х0. Тогда
А:=0
/(х) = /(х0) + Е ^(х - *0)*+Х + о((х - xo)n+1) при х
-» х0.
Доказательство аналогично доказательству теоре-
теоремы 4.
101

§ 6. Разложение основных элементарных
функций по формуле Тейлора
Из теоремы 1 § 5 при xq = О следует
Теорема 1. (Формула Маклорена.) Если 3/(п)@), то
* + о(хп) при х —> 0.
к=о Kl
Лемма 1. Пусть / - дифференцируемая функция. То-
Тогда
1) если / - четная, то f - нечетная функция;
2) если / - нечетная, то f - четная функция.
Доказательство. 1) Пусть / - четная, т. е.
/(-х) = /(х). Так как f'(x) = lim /(а?+^)-/И> то
f'(-.x) — Hm f(-x+Ax)-f(-x) в силу четности f
= дИшо /(«-^-/(«) *==А* lim /(^-/(g) = "№)• Итак,
Vx f'(-x) = —/'(ж), т. е. /' - нечетная функция.
Доказательство пункта 2 - аналогично.
Лемма 2, 1) Пусть функция / - четная и пусть
B*1)). Тогда
2) Пусть функция / - нечетная и пусть 3/BА;+2)@). То-
Тогда
102

Доказательство. 1) Так как f(x) - четная, то f(x)
- нечетная, следовательно, f"{x) - четная и так далее:
Vfc e N fBk\x) - четная, fBk~l)(x) - нечетная. Так
как /12к'1)(х) - нечетные, то /^-«(О) = -/^"^(О), т.е.
/Bfc-i)@) = 0. По теореме 1 f(x) = P2n+i(*) + o(z2n+1) при
х —> 0, где
s=0
xs+
7Г a\
s=0,2,4,...,2n s=l,3,5,...,2n+l
/W@)
X° = > ~—ггг^г-х2к.
s=0,2,4,...,2n S' A;=0
2) Доказательство второго пункта аналогично.
Экспонента. Если /(х) = ех, то Vn
/(n)@) = e° = 1, следовательно,
k=Q
Гиперболические функции. Если f(x) = shx, то
fBk\x) = shx, /Bfc+1)(x) = chx, следовательно, fBk\0) =
103

Аналогично,
Тригонометрические функции. Если /(я) = sin я,
то /(*)(z) = sin(z+fs), /Bfc)@) = sin(Trfc) = О,
fBk+l)@) = sin (| + ?rfc) = (-l)*, следовательно,
3 x5 x2n+l
Аналогично,
n 2A;
A;=0
Степенная функция. Если f(x) = A + a;)a, то
/(fc)(a:) = a(a - l)...(a - (k - 1))A + a)a-k, следователь-
следовательно, /W@) = a(a - l)...(a - (A; - 1)). Обозначим
Ga - !> Ga - ^i . K€ JN.
Тогда
104

k=0
Отметим важный частный случай последней формулы:
1 + x k=o
Логарифм. Если f(x) = ln(l + х), то f'(x) — -ц^ —
п-1
кк п), х —> 0, следовательно, по теореме 5
§ 5 о почленном интегровании формулы Тейлора, с учетом
1пA) — 0, получаем
п-1
f(x) = ?(-1)*
А:=0 "" ' * к=1
2 п
2 v ; n v h
Арктангенс. Если f(x) — arctgx, то f\x) — j^ =
п
= ^2(—1)кх2к + o(x2n+1), x —> 0, следовательно, по те-
теореме о почленном интегрировании формулы Тейлора, с
учетом arctg 0 = 0, получаем
к=о
105

Замечание. Если требуется разложить функцию /(х)
в окрестности точки хо Ф О, то прежде всего нужно сде-
сделать замену переменной: t = х—xq, затем разложить функ-
функцию ip(t) = /(xq + t) по формуле Маклорена в окрестности
точки t = О, после чего вернуться к исходным переменным,
подставив t = х — xq.
Пример. Разложить In я по формуле Тейлора в окрест-
окрестности точки хо, хо > 0.
Решение, lnx ~ = x° ln(xo + t) = ln(xo(l + ?/хо)) =
= lnxo
к
= lnxo + ? ^P1 + o(t«) = lnx0
Так как ln(l + x) = ? (-1) +1x + °(хП)> x ~" °» TO
¦
Заметим, что разложение lnx = ln(l + (x — 1)) =
= ^2 ^-*—^ж~ ' + o((x — l)n) при хо Ф 1 не является ре-
решением данной задачи, так как х — 1 -/+ 0 при х —> xq.
Пример. Разложить по формуле Маклорена до о(х4)
функцию tg х.
Решение, tgx = ^^. При х —> 0: sinx = х - ^х3 +
+ о(х3). Так как у(х) —> 0 при х —> 0, то 1+1/
+ о(у2(х)) при х —> 0. Следовательно, ^^ =
106

= 1 - {-х2/2 + о(х3)) + (-х2/2 + о{х3)J + о((-х2/2 +
+ о(х3)J) = 1 + х2/2 + о(х3), поэтому tgx = (х - ±,х3 +
+ о(х4).
ш
Пример. Найти lim 8^^L^X-
х—^0
Решение, Так как при х —» 0 tgx = x + x3/3 + о(х4),
sinx = х — х3/6 + о(х4), shx = х + х3/6 + о(х4), то
§ 7. Правило Лопиталя
Теорема 1. (Неопределенность вида Ц.) Пусть
функции /(я) и д(х) дифференцируемы на (а, Ь),
lim fix) = 0, lim gix) = 0 и Vx G (а,Ь) ^(х) ^ 0.
x—>a+Q x—>a+Q
Пусть
lim Щ
Тогда существует
lim Щ. urn Ш
(x) x-^a-J-0 ^'(x)
Доказательство. Доопределим функции /(х) и у(х) в
точке а, полагая /(a) = д(а) = 0. Тогда функции f и д бу-
будут непрерывны на [а,Ь). Покажем, что д(х) ф g{a) Vx G
G (a, 6). Действительно, если Эх Е (a,b): д(х) = ^(а), то по
теореме Ролля о среднем будет существовать ? ? (а,х):
</(?) = 0, что противоречит условию теоремы, следова-
следовательно, д(х) ф д(а) Vx G (a, 6).
107

По теореме Коши о среднем
Vx е (а Ъ) 3? = ?(х) е (а х) • ^ = /(а?) " /(а) =
^(^) &(ж) - д(а)
Так как lim ^(х) = а и ^(т) ^ а, то по теореме о заме-
х—>а+0
не переменной при вычислении интеграла lim „,/с/м =
х-^а+О ^ UW;
= lim ^ЩЦ = С, следовательно, lim Ц-4 = С.
Следствие 1. Пусть функции /(ж) и д(х) дифферен-
дифференцируемы на (А,+оо),
lim fix) — 0, lim g(x) =0 и
х—^+оо х—>+оо
VxG (А,+00) 5;(д:)^0.
Пусть
lim 4гт^Се
Тогда существует
^г(т) х->+оо дг[Х)
Доказательство. Введем переменную ? = ^ и рас-
рассмотрим функции /i(?) = /A/?), <?i(?) = g(l/t). Опреде-
Определим А\ = тах{А, 1}. Тогда функции Д и ^i дифферен-
дифференцируемы на интервале (О, ^)- Заметим, что lim Д(?) =
108

Поэтому по теореме 1 существует lim ^44 — С, т.е.
*—+о
существует lim Щ$ — С.
х
Аналогично можно сформулировать теорему цдя рас-
раскрытия неопределенности вида jj при х —> Ъ — 0 и при х —>
—> —оо.
Теорема 2. (Неопределенность вида ^.) Пусть
функции f(x) и ^(т) дифференцируемы на (а, 6),
lim /(т) = оо, lim д(х) = оо и
х—>a-fO х—»а+0
VxE (а, 6) 5;(д:)^0.
Пусть
lim
5'И
Тогда существует
и» М.. ,im Ш.
Доказательство. Так как lim ^Ш = С, то
Ve > 0 36 = 6(е) G @, Ь - а) : V^ e (о, о + 5)
Ш_С <е. М
Из теоремы Ролля и условия gf{x) ф 0 Vrc E (а, 6) сле-
следует, что для любых х\, х2 таких, что а < х\ < х2 < 6,
справедливо неравенство g(?i) ф д(%2)-
В силу теоремы Коши о среднем для любых xi,T2 та-
таких, что а < х\ < Х2 < 6, существует ? Е (ж
109

Ш. Применяя это условие для Х2 = а +
, где 6(е) определено в условии A), и произвольного
хг = х е (а, а + 5), получим
\/х е (а, а + 5)
(ж, а +
Отсюда и из условия A) следует, что
S(s) e @,6-а) : Ухе (а,а
f(x)-f(a+6)
д(х)-д(а+6)
< е.
Так как lim fix) = со, lim g(x) = оо, то
х>а+0 х—>а+0
B)
f[X)
-1- lim
x-+a+Q
g(x) - g(a + 6)
lim т~г = 1,
следовательно,
(x) - /(a
Поэтому
Ve > 0 36i = Si(e) € @, b - a) : \/x € (a, a + Si)
x) g(x)-g(a+S)
< e.
C)
Обозначим <52(е) = min{5(e),E1(e)}. Тогда в силу усло-
условий A), B) для любых х € (а,а + <5г) имеем
д(х)
-с
f(x) f(x)-f(a
д(х) д(х) - д(а + S)
110

B)
<
f(x)-f(a + S)
g(x) - g(a + 8)
f(x) f(x)-f(a
-С
f(x)-f(a
g(x) g{x) - g(a + 8)
f(x) g{x) - g(a
? =
g(x) - g(a + 8)
C)
f(x)-f(a
g(x) f(x)-f(a
B)
-1
g(x)-g(a + 8)
Итак,
Ve > 0 382 = 82{?) G @, b - a) : Vx G (a, a + <52)
-C
Так как lim ((\C\ + e)e + e) = 0, то
Vp > 0 3? = ?{p) : {\C\ + ?)? + ?< p,
следовательно,
Vp > 0 382 = <52(e(p)) € @, b - a) : \/x € (a, a + 82)
H-C
т. e. lim Цц = С.
Следствие 2. Пусть функции f(x) и д(х) дифферен-
дифференцируемы на (А, +оо),
lim f(x) = со, lim g(x) = сю и
X—>+СО X—»+ОО
е (А, +оо) ^(
111
0.

Пусть
lim
Щ = СеШ.
Тогда существует
Щ
M lim Щ.
д[х) я->+оо д'ух)
Доказательство следствия 2 аналогично доказательству
следствия 1.
Аналогично можно сформулировать теорему для рас-
раскрытия неопределенности вида ^ при х —> Ъ — О и при
х —> — оо.
Теорема 3. a) Va > 0 \пх = о(ха) при я —> +оо;
б) Va > 0 та = о(ех) при т —> +оо.
Доказательство, а) В силу следствия 2 lim Щ§ =
х—»-foo х
= lim ^т= lim ^ = 0.
б) Определим у(х) = еж, /3 = 1/а, тогда в силу
пункта (а) lim Ц^ = 0 и, следовательно, lim Щ? =
у++оо У х—>Ч-оо е
= Ит
§ 8. Исследование функций с помощью
производных
Теорема 1. Пусть функция / непрерывна на [а,Ь] и
дифференцируема на (а, 6). Тогда
1) Ух G (a,b) f'(x) > 0 4Ф / является неубываю-
неубывающей на [а,Ь];
2) Ух G (а, Ь) /7(ж) < 0 4Ф / является невозраста-
ющей на [а,Ь];
112

3) если Ух е (а,Ь) f'(x) > 0, то / строго возрастает на
4) если Ух е (а,Ь) f(x) < 0, то / строго убывает на
Доказательство. 1. а) Пусть Ух е (а,Ь) f'(x) > 0.
Покажем, что функция / является неубывающей на [а,Ь].
Пусть заданы произвольные х\,х2 е [а,Ь]: х\ < х2. Требу-
Требуется доказать, что /(#2) > f(xi)- По теореме Лагранжа о
среднем 3? е (xi,x2): f(x2) - f{x\) = (х2 - xi)f(?). Так
как f'(?) > 0, то f(x2) > f(xi).
1. б) Пусть функция / является неубывающей на [а,Ь].
Зафиксируем произвольную точку xq e (а, Ь) и покажем,
что f'(xo) > 0. Так как / является неубывающей на [а,Ь],
то для любой точки х G [а,Ь] такой, что хфх§, спра-
справедливо неравенство lZx ^ 0. В силу теоремы о
предельном переходе в неравенствах получаем
х->х0 ххо
Пункт 2 доказывается аналогично. Доказательство
пунктов 3, 4 аналогично доказательству пункта 1 а).
Замечание. Из строгого возрастания дифференцируе-
дифференцируемой функции / не следует неравенство f'(x) > 0. Напри-
Например, функция f(x) = xs строго возрастает, но /'(О) = 0.
Теорема 2. (Первое достаточное условие экстремума.)
Пусть функция / дифференцируема в некоторой Us(xo).
Тогда
1) если Ух е (х0 - 5,х0) f'{x) > 0 и \/х е (хо,хо +
+ S) f'(x) < 0 (т. е. производная меняет знак с плюса на
минус), то xq - точка строгого локального максимума /;
2) если Ух е (х0 - 6,х0) f'(x) < 0 и Ух ? (хо,хо +
+ S) f\x) > 0 (т. е. производная меняет знак с минуса на
плюс), то xq - точка строгого локального минимума /.
113

Доказательство. 1) По теореме 1 функция / строго
убывает на [хо—5/2, xq] и строго возрастает на [xq,xq+6/2].
Следовательно, xq - точка строгого локального минимума
/. Доказательство пункта 2 - аналогично.
Аналогично можно сформулировать достаточные усло-
условия нестрогого экстремума.
Теорема 3. (Второе достаточное условие экстрему-
экстремума.) Пусть в некоторой окрестности точки х$ опре-
определена функция / такая, что 3f(n\xo), пусть Vfc E
в {1,...,п - 1} /(*>(я0) - 0 и fW(x0) ф 0. Тогда
1) если п - четно, то при f^(xo) > 0 xq являет-
является точкой строгого локального минимума функции /, при
f(n'(xo) < 0 хо является точкой строгого локального
максимума функции /;
2) если п - нечетно, то хо не является точкой (нестро-
(нестрогого) локального экстремума функции /.
Доказательство. В силу формулы Тейлора с оста-
остаточным членом в форме Пеано имеем f(x) = /(#о) +
+ hf(n)(xo)(x-xo)n + о((х - хо)п) при х -> х0. Сле-
Следовательно, 'fjlffi = У{П)Ы + оA) при х -
-> гсо, т.е. lim f\jl'№ = У{п)(х0). Определим е =
X
5 пГ 1/^(жо)|- По определению предела 35 > 0 : Ух €
Пусть, например, /^(^о) > 0. Тогда
114

Поэтому в случае четного п Ух Е Us(xo) f(x) ~ f(xo) >
> О, следовательно, хо - точка строгого локального ми-
минимума. В случае нечетного п: Ух Е (хо — 5, #о) f(x) —
- f(x0) < 0 и \/х Е (хо,хо + 5) f(x) - f(x0) > 0, следо-
следовательно, хо не является точкой нестрогого экстремума.
Случай f(n\xo) < 0 рассматривается аналогично.
Рассмотрим необходимые условия экстремума. Необхо-
Необходимым условием экстремума в терминах первой производ-
производной является теорема Ферма (теорема 1 §4).
Теорема 4. (Необходимое условие экстремума в
терминах второй производной.) Пусть функция / опреде-
определена в некоторой Us(xq) и 3f"(xo). Тогда
1) если хо - точка (нестрогого) локального минимума
функции /, то f(x0) = 0, /"Ы > 0;
2) если хо - точка (нестрогого) локального максимума
функции /, то f'(x0) = 0, f"(x0) < 0.
Доказательство. 1) Пусть хо - точка локального ми-
минимума. В силу теоремы Ферма f\xo) = 0. Если f"{xo) <
< 0, то по теореме 3 яо является точкой строгого локаль-
локального максимума и, следовательно, не может являться точ-
точкой (нестрогого) локального минимума. Полученное про-
противоречие показывает, что fn(xo) > 0.
Доказательство пункта 2 - аналогично.
Замечание. Из условий 3f"(xo) и хо - точка строго
локального минимума не следует неравенство fn(xo) > 0.
Например, хо — 0 является точкой строгого минимума
функции f(x) — х4, но /"@) = 0.
Определение. Функция / : (а, Ь) —> М называется вы-
выпуклой вниз, если каждая точка любой хорды к графику
115

функции / лежит не ниже графика /. Функция / : (а, Ъ) —>
—> JR называется выпуклой вверх, если каждая точка лю-
любой хорды к графику функции / лежит не выше графи-
графика /.
Каждая точка хорды, соединяющей точки
(xi,f(xi)) и (х2,f(x2)), может быть записана в виде
(tei + A - t)x2,tf{xl) + A - t)/(s2)), где t в [О,1]. Поэто-
Поэтому условие выпуклости вниз функции / на (а,Ь) можно
записать в виде
A - t)x2) < tf(Xl) + A - t)f(x2)
Vt G [0,1] Vrci, x2 : a < x\ < x2 < 6,
а условие выпуклости вверх функции / на (а, Ь) - в виде
Vt G [0,1] Vrci,ж2 : а < ti < т2 < Ь.
Теорема 5. Пусть функция / дважды дифференциру-
дифференцируема на (а,Ь). Тогда
1) функция / выпукла вниз на (а,Ь) 4Ф
«=> /"(*)> 0 VxG(a,b);
2) функция / выпукла вверх на (а,Ь) Ф4>
4Ф Г(^)<0 Vrc€(a,6).
Доказательство. 1. а) Пусть функция / выпукла вниз
на (а,Ь). Зафиксируем произвольное хо Е (а,Ь) и покажем,
что f"(xo) > 0. Определим S = min{xo — a,b - т0}. Тогда
Vu G (—5,5) справедливы условия To±w G (а,Ь). Применяя
условие выпуклости вниз для х\ = хо-и, х2 = хо + и, t = |
и замечая, что txi + A — t)x2 = tq, получим
f(x0) < -f(x0 -и) + -f(x0 + u) VuE (-5,S). A)
не

Раскладывая по формуле Тейлора, имеем
/(а* ± и) = /(а?0) ± /'(а?0) и + |/"(жо) «2 + °(^2) при п -¦ О,
следовательно,
\f{x0 -и) + -f(x0 + и) = f(x0) + У"(х0) и2 + о(и2).
Отсюда и из формулы A) имеем
\ГЫ и2 + о{и2) = i/(xo - u) + i/(x0 + и) - f(xo) > 0.
Деля это неравенство на и2, получаем ^/"(то) + оA) >
> 0, где оA) - это такая функция (р(и), что lim <р(и) = 0.
Переходя к пределу при и —> 0, получим ^/^(^о) > 0,
т.е. ///(т0)>0.
1. б) Пусть Ух G (а,Ь) f"(x) > 0. Покажем, что функ-
функция / выпукла вниз на (а,Ь). Зафиксируем произвольные
числа t G [0,1] и xi,^2 такие, что а < х\ < x<i < b. Обозна-
Обозначим хо = tx\ + A — t)x2- Требуется доказать, что
f(xo)<tf(x1) + (l"t)f(x2). B)
Если t = 0 или t = 1, то неравенство B) тривиально вы-
выполняется (выполняется равенство). Поэтому будем пред-
предполагать, что t е @,1).
В силу формулы Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа
3fi G (хих0) : f(xi) = f(x0) + f'(xo)(xi - х0) +
(xo,x2) : f(x2) = f(x0) + f'(xo)(x2 - x0)
Поскольку /"(?i) > 0 и /;/(&) > 0, то /(a*) > /(rc0) +
+ f'(x0) (xi - x0) и f(x2) > f(x0) + f'(x0) (x2 - T0), следо-
следовательно,
117

-t)f(x0)+f'(xo) (t(xl-x0) + (l-t)(x2-x0)) =
f'(x0) (txi + A - t)x» - xo) П° °=P' X° f(x0).
Поэтому справедливо неравенство B).
Второе утверждение теоремы доказывается аналогич-
аналогично.
Определение. Пусть функция / определена и
непрерывна в некоторой Uso(xo) и пусть Э/'(хо) ? М.
Точка хо называется точкой перегиба функции /, если
35 ? (О,5о) такое, что на одном из интервалов (хо — 5,хо),
(хо, #о + 8) функция выпукла вниз, а на другом - выпукла
вверх.
Теорема 6. (Необходимые и достаточные условия точ-
точки перегиба.) Пусть функция / непрерывна в Us0 (хо) и Дв&-
о
жды дифференцируема в Uso(xo), пусть 3f'(x0) e M. То-
Тогда хо является точкой перегиба функции / в том и только
в том случае, когда существует 6 Е (О,5о):
либо Vx е (х0 - 5, х0) f"(x) > 0 и
Ухе(хо,хо + 6) /"(*)< 0,
либо Ух е (х0 - 5, х0) f"(x) < 0 и
VxG(xo,xo + 5) f"(x)>0,
т.е. вторая производная меняет знак в точке хо.
Доказательство следует непосредственно из теоре-
теоремы 5 и определения точки перегиба.
Теорема 7. Пусть функция / дважды дифференциру-
дифференцируема в некоторой Що(хо). Пусть хо - точка перегиба функ-
функции /, Укас(я) = /(#о) + f(xo)(x - х0) - уравнение каса-
касательной. Тогда 35 > 0:
118

либо Vx е (хо — 5,хо) Укас(^) < /(#) и
Vx в (хо,хо + S) Укас(я) > /(х),
либо Vx е (х0 - 5,х0) Укас(^) > /(#) и
Vx G (хо,хо + 5) ука,с(х) < /(х),
т. е. график функции переходит с одной стороны касатель-
касательной на другую.
Доказательство. В силу теоремы 6 f"(x) меняет в
точке хо знак. Для определенности будем предполагать,
что /"(х) меняет знак с плюса на минус, т. е.
Э5е@,50): VxG(xo-5,xo) Г(х) > 0 и
Пользуясь формулой Тейлора с остаточным членом в
о
форме Лагранжа, получим, что для любого х G Usi^o)
существует точка ?, лежащая строго между х и хо и такая,
что
f(x) = /(х0) + f'(x0) (х - х0) + ^ff/@ (х - х0J.
Отсюда в силу условия C) имеем
Vx G (х0 - 5, х0) f{x) > f(x0) + f'(x0) (x - x0) = укас(^) и
А значит, график функции переходит с одной строны ка-
касательной на другую.
Замечание. Из того, что график функции / в точке хо
переходит с одной стороны касательной на другую не сле-
следуем, что хо является точкой перегиба функции /. Напри-
Например, график функции
119

переходит в точке xq = О с одной стороны касательной у =
= 0 на другую, но точка х$ не является точкой перегиба
функции /, так как не существует левой и правой полу-
полуокрестностей точки то, в которых сохраняется направле-
направление выпуклости функции /.
Асимптоты
Определение. Говорят, что график функции у — f(x)
имеет вертикальную асимптоту х = tq, если выполняет-
выполняется хотя бы одно из условий: либо lim f(x) = оо, либо
х—»жо—О
lim f(x) = оо.
х>х+О
Например, график функции у = е1/^ имеет вертикаль-
вертикальную асимптоту х = 0, так как lim e1/^ = +оо.
ж->+0
Определение. Прямая у = kx + b называется неверти-
невертикальной асимптотой графика функции у = f(x) при х —>
—> + оо, если lim (f(x) — kx — b) = 0.
ж—»+oo
Если /с т^ 0, то асимптота у = kx + b называется наклон-
наклонной. Если /с = 0, то асимптота у = kx + b = b называется
горизонтальной.
Аналогично вводится понятие асимптоты при х —» — оо.
Следующая теорема показывает метод нахождения не-
невертикальной асимптоты.
Теорема 8. Прямая у = kx + b является асимптотой
графика функции у = /(ж) при х —> +оо тогда и только
тогда, когда
3 lim ^ = fc и ] lim (f(x) - kx) = Ь.
120

Доказательство. 1) Если у = кх + Ь - асимптота
при х —> +оо, то lim (f(x) — кх — b) = 0, поэто-
X—++ОО
му lim ^(x)~fcx~b = Ои, следовательно, lim ^ =
X—»+ОО Х Х-++ОО
= lim ^^ = fc. Из равенства lim (/(х) - кх - Ь) =
х—>-+оо х х—>-+сх)
s= 0, следует также, что lim (/(я) — fc#) = Ь.
X^+ОО
2) Пусть lim ^ = к и lim (/(ж) - fcx) = Ь. Тогда
lim (f(x) — кх — Ь) = 0и, следовательно, прямая у = кх +
х—Ч-оо
+ Ь - асимптота.
План построения графика функции
1) Найти множество определения функции. Выяснить,
является ли функция четной, нечетной или периодиче-
периодической.
2) Найти точки пересечения графика функции / с ося-
осями координат и промежутки, на которых f(x) > 0 и
/(*) < 0.
3) Найти асимптоты графика.
4) Вычислить f'(x) и f"(x).
5) Составить таблицу знаков /' и f". Указать проме-
промежутки монотонности и выпуклости /.
6) Найти точки экстремумов и перегиба. Вычислить в
этих точках f(x) и f'(x).
7) Нарисовать график функции. (График можно рисо-
рисовать одновременно с выполнением пунктов A)-F)).
Пример. Нарисовать график функции f(x) — ;~у.
1) Функция / определена при х ф 1; / не является чет-
четной, нечетной или периодической;
2) f(x) = 0 при х = 0; f(x) > 0 при х > 1;
f(x) < 0 при х < 1, х ф 0;
121

3) х = 1 - вертикальная асимптота;
Найдем невертикальную асимптоту: к = lim
х—++00
= lim -5т = 1, b = lim (/(#) — fcx) = lim — _
X—>>+OO X X X—>>+OO X-+ + OO ** X
= 1, следовательно, у — x + \ - асимптота при х —> +oo.
Аналогично, у = x + 1 - асимптота при х —> — oo.
4) /(^) = x_i
f"(x) , -1
X
f
f"
MOHOT.
выпук.
(-oo,
+
—
n
0)
@,1)
—
—
n
A,2)
—
+
и
B,
+oo)
+
+
и
5)
6) х = 0 - точка локального максимума, /@) = 0,
/'@)=0;
в точке х = 1 функция не определена',
х = 2 - точка локального минимума, /B) = 4, /7B) = 0;
перегибов нет.
7) График начертить самостоятельно.
122

ГЛАВА 4
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Элементарные методы
интегрирования
Определение. Пусть —оо < а < Ъ < +оо и на (а, Ь)
заданы функции f{x) и F(x). Функция F(x) называется
первообразной функции f(x) на (а,Ъ), если
Ух€(а,Ъ) F'(x) = f(x).
Лемма 1. Пусть на (а,Ъ) задана функция <р(х) и Ух Е
Е (а, Ъ) <р'(х) = 0. Тогда ЗС G М : Ух G (а, Ъ) <р(х) = С.
Доказательство. Зафиксируем произвольную точку
xq е (а, Ь) и обозначим С = <р(хо). По теореме Лагранжа
о среднем Ух G (а,Ь) (ж ф xq) 3^, лежащее строго между
* и *0: ^i:gXo) = у/@- Так как ^@ = 0, то ^(а;) =
= <р(х0) = С.
Теорема 1. (О структуре множества первообразных.)
Пусть функция F(x) является первообразной функции
f{x) на (а,Ъ). Тогда функция F\{x) является первообраз-
первообразной функции f{x) на (а, Ь) в том и только в том случае,
если ЗС еМ:Ухе (а, Ъ) Fx{x) = F(x) + С.
Доказательство. 1) Если F\(x) = F(x) + C, то F[{x) =
= F^rr) = /(ж) и, следовательно, функция F\{x) является
первообразной функции f(x).
2) Если F\{x) - первообразная функции /(х), то Ух G
6 (а,Ь) F/(x) = f(x) = F7(x) и ^(х) - F'(x) = 0. По
123

лемме 1, примененной к функции <р(х) = F\(x) - F(x),
ЗС ? R: Ух G (а,Ъ) Fi(x) - F(x) = С.
¦
Определение. Неопределенным интегралом / /(х) dx
называется множество всех первообразных функции /(х).
Из теоремы 1 следует
Теорема 2. Пусть функция F{x) является первообраз-
первообразной функции /(х). Тогда неопределенный интеграл функ-
функции /(х) - это множество функций вида F(x) + С, где С Е
е Ш - произвольная константа: / /(х) dx = {F(x) +
+ С : С ? Ш}, что для краткости записывают в виде
/(х) dx = F(x) + С.
Замечание. Нужно понимать, что неопределенный ин-
интеграл - это не одна функция, а целое множество функ-
функций. Иначе говоря, константа С, стоящая в правой ча-
части последней формулы, - не фиксированная константа,
а параметр, пробегающий множество всех действитель-
действительных чисел. Непонимание этого факта может привести к
недоразумениям. Например, из формул / /^ 2 =
= arcsinx + С, / -?=f = - arccosx + С не следует,
что arcsinx = —arccosx. (На самом деле справедливо ра-
равенство arcsinx = | - arccosx).
Лемма 2. Операция взятия дифференциала d и опера-
операция взятия неопределенного интеграла / являются взаим-
взаимно обратными:
124

а) если функция /(х) имеет первообразную, то
d I f(x) dx — f(x) dx\
б) если функция F{x) дифференцируема, то
(d{F{x) + С) = F(x) + С.
Доказательство, а) Пусть F(x) - первообразная
функции /(х), тогда по теореме 2 / f(x)dx = F(x) + С,
следовательно, d I f(x) dx = dF{x) — F'{x) dx = f(x) dx.
б) Обозначим f(x) = F'(x). Тогда fd{F{x) + C) =
Лемма З. (Свойство линейности неопределенного ин-
интеграла.) Если функции fi(x) и /2B) имеют первообраз-
первообразные, ai G iR, c*2 G iR, a\ + а\ ф 0, то
/ (ai/i(z) + a2f2(x)) dx = ai fi(x) dx + a2 f2(x) dx.
Доказательство. Пусть F\(x) - первообраз-
первообразная функции /i(x), F2(x) - первообразная функ-
функции f2(x). Тогда F[{x) = /x(x), F&x) = f2{x) и
(<*iFi(x) + a2F2(x))f = aifi(x) + a2f2(x), следова-
следова, (otifi(x)+a2f2(x))dx = aiFi(x) + a2F2(x) +
тельно,
((x) + Cx) + a2{F2{x) + C2) =
-Oil I fi(x) dx + a2 f2{x) dx.
125

Теорема 3. (Замена переменной или метод интегриро-
интегрирования подстановкой.)
Пусть / f(x) dx = F(x) + С, а функция x(t) - дифферен-
дифференцируема.
Тогда ff{x(t)) dx(t) = F(x(t)) + С.
Доказательство. Так как / f(x) dx = F(x) + С, то
F'(x) — f(x). В силу инвариантности формы первого диф-
дифференциала dF{x{t)) = F'(x{t))dx{t) = f(x(t))dx(t). По
2 (б) ff(x(t))dx{t) = jdF{x{t)) = F(x(t))+C.
лемме
Теорема 4. (Метод интегрирования по частям.) Пусть
на (а, Ь) заданы дифференцируемые функции и{х) и v(x).
Тогда
/ гг(ж) dv(x) = u(x)v(x) — / v(x) du(x).
Доказательство. Так как d{u(x)v{x)) — u(x)dv(x) +
+ v(x)du(x), то по свойству линейности (лемма 3)
u(x)dv(x)= / d(u(x)v{x))— I v(x)du{x) = u(x)v(x) +
+ C - v(x) du(x) = it(x)v(a;) - / v(x) du{x). Последнее ра-
равенство объясняется тем, что произвольная константа С
/ v(x) du{x).
уже присутствует в
Используя доказанные ранее формулы для производ-
производных элементарных функций, получаем следующую табли-
таблицу интегралов.
126

Таблица интегралов
Г ха+1
1) xadx = - + С, аф-1.
У а + 1
2) /——dx = ]n\x + a\+C.
} J х + а ' '
/X
axdx = ^— + C, о > 0,о^1.
In a
4) / sinхdx = — cosx + С, cosxdx = sinx + С
COS2 X
f
J
dx
—— = -ctgx
sirx
6) / shxdx = chx + C, chxdx = shx + C.
^ f dx , ^ /* dx , ^
7) / —s- = thx 4- C, / —y- = -cthx + С
J ch x у sh x
/dx 1 x
-^ =¦ = -arctg - + С, а > 0.
x^ + a2 a a
*\ f dx . x _,
9) / —== = arcsm - + С, а > 0.
У V а2 - x2 а
х — а
х + а
+ С, а ^ 0.
/.
dx
= In |х + V х2 + а| + С, а
127

§ 2. Комплексные числа
Определение. Комплексным числом z называется
выражение вида z — х + %у, где х,у G Ш, г - мнимая еди-
единица. При этом х называется вещественной частью, а у -
мнимой частью комплексного числа z\ х = Kez, у = Imz.
Множество комплексных чисел обозначается через С.
Комплексное число z = х + iy можно изобразить как
вектор с координатами (х,у) на комплексной плоскости,
т. е. на координатной плоскости с осями Re z, Im z.
Определение. Если Rez = rcostp, Imz = г simp, r >
> О, <р G М, то г называется модулем, а <р - аргументом
комплексного числа z: г = \z\, ср = arg z, z = r(cos(p +
+ isinip).
Заметим, что если ср - аргумент числа z, то любое число
вида <р + 2тгк, где к - целое, также является аргументом
числа z. Поэтому аргумент комплексного числа определен
с точностью до 2тгк.
Определение. Пусть z\ = х\ + iy\, z2 — х2 + iyi, где
хих2,У1,У2 € Ш. Тогда
)
2) 21+2:2 = xi+x2+i(yi+y2), zi-z2 = xi-x2+i(yi-y2),
т. е. сумма и разность комплексных чисел определяется как
сумма и разность векторов комплексной плоскости;
3) z\z2 = х\х2~у\у2+г[х\у2Л-х2у{), т.е. при вычислении
произведения {х\ + iyi)(x2 + iy2) нужно раскрыть скобки
и воспользоваться тем, что г2 = -1;
4) Пусть z2 ф 0, т. е. х2 ф 0 или у2 ф 0. Тогда частным
I1 называется такое комплексное число z, что z\ — zz2.
Свойства операций комплексных чисел
128

а) zi + z2 = z2 + 21, zxz2 =
б) (zi + z2) + z$ = zi + {z2 + 23), (ziz2)zs =
B) 2i B2 + 23) = ZiZ2 + Z1Z3
доказать самостоятельно.
Определение. Экспонентной комплексного числа z =
= х + iy (х,у ? М) называется комплексное число ez =
= ex(cosy + г sin у).
Из определения экспоненты комплексного числа следу-
следует формула Эйлера: егЧ> — cos (p + г sin <p V</? G JR.
Из формулы Эйлера и определений модуля и аргумента
комплексного числа следует, что любое комплексное число
z может быть представлено в экспоненциальной форме:
z = гегч>, где г = |z|, (р = arg z.
Лемма 1. (Свойство экспоненты.)
Доказательство. Пусть z\ — х\ + iyi, z2 — х2 + г
ь^ бй). Тогда
i(cos j/i si
os(yi + y2) + isin(yi + У2))
_ e(xi+x2)+i(yi+y2) _
Следствие 1. Для любых zi,z2 G С
1) 12i -22| = |2i| • \z2\;
129

2) arg (zi • z2) = arg z\ + arg z2.
Доказательство. Пусть r\ = |zi|, </?i = arg zi, r2 =
= |z2|, ^ = argz2. Тогда zxz2 = ri e^1 r2 e^2 =
^). Следовательно, |ziz2| = rir2, arg(ziz2) =
Следствие 2. Пусть zi,z2 G C, z2 ^ 0. Тогда частное
существует и единственно, причем
2) arg (f?j = arg zi - arg z2.
Доказательство. Пусть z e С Обозначим через
^>^i>^2 ~ модули, а через у?, </?ь</?2 - аргументы чисел
z,zi;z2. Тогда z = fj-
Определение. Если z G E, n? IV, то zn = z •... • z.
n раз
Пусть г = |z|, у? = arg z. Из леммы 1 следует, что zn =
= (re^)n = rn ein<^. Поэтому |zn| = |z|n, arg zn = n arg z.
Определение. Сопряженным к комплексному числу
z — х + iy (х,у ? М) называется комплексное число z =
= х - iy.
Свойства операции сопряжения комплексных чисел
1) zi±z2 = zi±z2, (zi • z2) = zi -z2, (zi/z2) = zi/z2,
2)z = z,
3)z + z = 2Rez, z-z = 2ilmz, z-z = |z|2,
4) \z\ = |z|, arg z = -arg z
доказать самостоятельно.
130

§ 3. Разложение многочлена на
множители
Определение. Многочленом степени п называется
функция
Pn(z) = anzn + an_i zn~l + ... + a0,
где dj e С, ап ф 0, z G С. Степень многочлена будем
записывать в качестве нижнего индекса.
Деление многочленов можно производить "в столбик".
Например, разделим Рг(^) = %2 на Qiix) = х — 1:
х2
х2-
-1
следовательно, -^ — х Л-1 + jzi .
Лемма 1. Пусть заданы многочлены Pn(z) и Qm(z),
п > т. Тогда существуют и единственны многочлены
Dn-m(z) и Rs{z) такие, что s < m и
Qm(z) ~ Dn-m{Z) + Qm(z)' A)
Многочлен Rs(z) называется остатком от деления много-
многочлена Pn(z) на Qm{z). Если коэффициенты многочленов
Pn(z) и Qm(z) вещественны, то коэффициенты многочле-
многочленов Dn-m(z) и Rs(z) также вещественны.
Доказательство. Пусть Pn(z) = anzn + ... + ao,
Qm(z) = bmzm + ... + Ьо. Определим коэффициенты мно-
многочлена Dn-m(z) = dn-mzn~m + ... + do* начиная с коэф-
коэффициента при старшей степени. Приводя уравнение A) к
131

общему знаменателю, получим Pn(z) = Dn-m(z) Qm(z) +
+ Rs{z), т.е. anzn + ... = dn-mzn~mЪтzm + ... . Прирав-
Приравнивая коэффициенты при zn, получим dn-.m = ^. При
известном коэффициенте dn-m задача деления многочле-
многочлена Pn(z) на Qm(z) сводится к задаче деления Pn_i(z) на
Qm(z), где Pn-i(z) = Pn(z) - dn.mzn-mQm{z) - много-
многочлен степени < п - 1: ^^ = dn_m zn~m + ^§i. При-
Применяя те же рассуждения к дроби JZ~)w и так далее, по-
лучим разложение A). Так как коэффициент dn_m опре-
определяется однозначно, то многочлен Pn-\(z) определяется
однозначно. По индукции получаем, что все коэффициен-
коэффициенты многочленов Dn-m(z) и Rs{z) определяются однознач-
однозначно. Из построения также следует, что при вещественных
коэффициентах многочленов Pn(z) и Qm(z), коэффициен-
коэффициенты многочленов Dn-m(z) и Rs(z) также вещественны.
¦
Заметим, что доказательство леммы 1 является
формальным описанием алгоритма деления многочленов
"в столбик".
Теорема 1. (Теорема Везу.) Рп(^о) = 0 <=> Pn(z)
делится на z — zq без остатка.
Доказательство. Разделив Pn(z) на Q\(z) = z — zo,
получим Pn(z) = Ai-i(z) (z - z0) + R8(z), где 5 < 1, т.е.
Rs{z) = cq - константа. Итак, Pn(z) = Dn-i(z) [z — zq) + cq.
Поэтому Pn(z0) = 0 <=> co = O <=> Pn{z) делится
на z — zq без остатка.
Теорема 2. (Основная теорема алгебры.) Для любого
многочлена Pn(z) степени п > 1 существует корень, т.е.
3z0 е С : Pn(z0) = 0.
Доказательство основной теоремы алгебры проводится
в курсе теории функции комплексного переменного.
132

Теорема 3. Любой многочлен Pn(z) можно предста-
представить в виде
Pn{z) = a(z- zi)...(z - zn),
где а G С, а ф 0, z±,..., zn - корни многочлена Pn(z)> среди
которых могут быть равные.
Доказательство. В силу основной теоремы алгебры
3zi G С : Рп{ч) — 0. По теореме Везу Pn{z) делится на
z — z\ без остатка, т.е. Pn{z) — {z — z\) Pn-i(z). Аналогич-
Аналогично, применяя основную теорему алгебры и теорему Везу к
многочлену Pn_i(z), получим Pn-i(^) = (z - Zei) Pn-i{z)-
И так далее по индукции получим требуемое разложение.
Определение. Комплексное число z$ называется
корнем кратности к многочлена Pn(^)? если Pn(z) делит-
делится без остатка на (z — zo)k и не делится без остатка на
(z - zo)k+1.
Лемма 2. Пусть zo - корень кратности к много-
многочлена с вещественными коэффициентами Pn(z). Тогда
комплексно-сопряженное число го ~ также корень крат-
кратности к многочлена Pn(z).
Доказательство. По условию леммы Pn(z) —
= Dn-k{z) (z — zo)k Vz G С. Возьмем комплексное
сопряжение от левой и правой частей равенства. Так как
коэффициенты многочлена Pn{z) вещественны, то
Pn(z) = anzn + ... + a^ = anz^+... + a0 = Pn(z),
следовательно, Pn(~z) = Dn_k(z) {z — ~z§)k Mz G С Приме-
Применяя это условие для z = H\, получим
РпЫ) = Dn-k{zl){zl-^)k Vzi G С, т.е.
Pn{z) — Dn-kty {z — ~?ъ)к Vz G С. Следовательно, ~z§
является корнем многочлена Pn(z) кратности к\ > к. Так
133

как zq = zq, to повторяя те же рассуждения для корня
получим к > к\. Итак, к = fci, т. е. кратности корней
и ~zq совпадают.
Из теоремы 3 и леммы 2 следует
Теорема 4. Пусть Рп(х) - многочлен с вещественны-
вещественными коэффициентами. Пусть х\,..., xs - вещественные корни
многочлена Рп(х) кратностей fci,...,fce, a {zi,~z\),..., {zt,~zt)
- пары комплексно-сопряженных корней многочлена Вп(х)
кратностей l\, ...,?f Тогда
Рп{х) = а {х - xi)fcl ... (х - xs)k° {х - zi)'1 (х - z^ ... х
x(x-ztf{x-ztf =
= a(x-xi)hl ...(x-xs)ks(x2+Plx + q1)il ...{x2f
где pj = —(zj •i-'Zj) = — 2ReZj e iR, qj = Zj ~Zj = \zj\2 e iR,
причем дискрименанты трех ленов отрицательны: Dj =
= pj - ±qj = (Zj - zjJ = BilmzjJ = -4(Im^J < 0.
§ 4. Разложение правильной
рациональной дроби в сумму
элементарных дробей
Определение. Функция вида ^ ?\ называется пра-
вильной рациональной дробью, если многочлены Рп{х) и
Qm(x) не имеют общих корней и степень знаменателя боль-
больше степени числителя: т > п.
Лемма 1. Пусть п (J\ ~ правильная рациональ-
рациональная дробь. Пусть х\ - корень кратности А; знаменате-
знаменателя (т. е. Qm(x) = (х- хх)к Qm-k(x), Qm-k^i) Ф 0). То-
Тогда существуют и единственны число А Е € и многочлен
F(x) такие, что
134

Pn(x) A F(x) ()
Qm(x) (x - Xlf "*" (х - xtf-iQm-kix)' V ;
Причем если коэффициенты многочленов Рп(х) и Qm(x)
вещественны и х\ - вещественный корень, то коэффици-
коэффициенты многочлена F(x) и число А - вещественны.
Доказательство. Приводя формулу A) к общему зна-
знаменателю, получим Рп(х) = AQm-k(x) + F(x) (x — х{).
Поэтому требуется доказать, что существуют число А и
многочлен F(x) такие, что
Рп(х) -AQm_k(x) = F(x) (x - xi). B)
Таким образом, требуется доказать, что существует чи-
число А такое, что многочлен <р(х) = Рп(х) — AQm-k(x) Де-
Делится на х — xi без остатка. По теореме Везу это эквива-
эквивалентно условию ч>{х\) = 0, т.е. Рп{х\) - AQm-k(xi) = 0.
Так как Qm-k(xi) ф 0, то такое А существует и единствен-
единственно: А = q п\хг у При найденном А многочлен F(x) опре-
определяется формулой B) однозначно: F(x) — х_^ш х •
Из формул А = q^I) и F(x) = Mx)-AQn-k{*) бедует,
что при вещественных коэффициентах многочленов Рп(х)
и Qm(x) и вещественном корне х\ число А и коэффициен-
коэффициенты многочлена F(x) вещественны.
¦
Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда
существуют и единственны числа Ai, A2,..., Ак G Си мно-
многочлен R(x) такие, что
Рп(х) _ Ак Ак^ Ах R(x)
Qm(x) (X-Xi)k (XXi) XXi Qm-.k{x)
C)
Причем, если коэффициенты многочленов Рп(х) и Qm(x)
вещественны и х\ - вещественный корень, то коэффици-
коэффициенты многочлена R(x) и числа Ax,..., Ак - вещественны.
135

Доказательство состоит в применении к раз леммы 1.
Лемма 3. Пусть п (х) ~ пРавильная рациональ-
рациональная дробь с вещественными коэффициентами. Пусть
z\ - невещественный корень кратности к знаменателя
(т.е. Qmix) — (х2 +рх + q)k Qm-2k(x), гДе (x — zi)(x—~zi) —
= х2 + рх +^, Qm-2k(zi) Ф 0). Тогда существуют и един-
единственны вещественные числа В\,...,Вк, С\,...,Ск и много-
многочлен S(x) с вещественными коэффициентами такие, что
Рп(х) Вкх + Ск Вгх + Сг S(x)
Z^z — -j- ... -j- -J- .
Qm(x) (x2+px + q)k X2+pX + q Qm-2k(x)
Доказательство. Применяя лемму 2 для х\ — z\, по-
получим
Рп(х) _ Ак Afc-i
/~\ / \ / \J^ ' / \h Л ~" "*" '
\cj YH \**^ J \ 1 / \ 1 /
Л(х)
Ах
п г
- Zi)k Qm-2
R(x)
(X-Zl)k {x-^)kQm_2k{xY
где Gfc_i(z) = Ai(rr - zxf-1 + ... + Ak.
Аналогично, применяя лемму 2 к дроби 7—=-vti —гт
\x~zl) ^Ст — 2к\х)
для ^i = 2?i, получим, что существуют и единственны мно-
многочлены с комплексными коэффициентами Hk-i(x) и S(x):
Qm(x) (x - Zlf + (x - Si)* + Qm_2ifc(x) • l4;
Возьмем комплексное сопряжение от левой и правой ча-
частей равенства D). Так как коэффициенты многочленов
Рп(х), Qm(x), Qm-2k(x) вещественны, то
136

Рп(х) = Gfc-l(^) fffc-lfo) Sfo) /кч
Цт\Х) \Х — Z\) \Х Z\) ЦГт—2fcvx/
Поскольку в силу леммы 2 многочлены Нк_\{х),
Gk-\(x) и S(x), обеспечивающие разложение D), опреде-
определены однозначно, то, сравнивая формулы D) и E), полу-
получим
Приводя первые два слагаемые в правой части разло-
разложения D) к общему знаменателю, получим
Рп(х) _ F2k^(x) S(x)
- Zi)k (X - гХ
Qm{x) (X - Zi)
где F2k-i(x) = Gk-i(x) (x-zi)k + Hk-i(x) {x-z{)k.
Из F) следует, что F2k-i(x) = F2k-i(x), S(x) = S(x),
т.е. коэффициенты многочленов F2k-i(x) и S(x) - веще-
вещественные.
Итак, мы получили разложение
Рп(х) = F2k_1(x) S(x)
Qm(x) (x2 + рх + q)k + gm_2fc(x)' l '
где коэффициенты многочленов F2k-i(x) и S(x) - веще-
вещественны и определены однозначно.
Разделив многочлен F2k~i(x) на х2 + рх + д, получим
F2k~i(x) Bkx + Ck
= *{Х) +
х2 + рх + q х2 + рх + q'
Если к > 1, то разделим многочлен F2ks(x) на х2 +рх + q
и так далее. Получим
F2k-i(x) _ Вкх + Ск
x2+px + q (x2+px + q)k '" х2 + рх + q'
137

что вместе с G) дает требуемое разложение.
Теорема 1. Пусть д^уд - правильная рациональная
дробь с вещественными коэффициентами. Пусть
x(x2+Plx + qi)?l ... (х2 +ptx + qt)l\
где xi,...,a:5 - различные вещественные корни многочле-
многочлена Qm(x), a (x2 + pix + <?i),..., (х2 + ptx + qt) - различные
квадратные трехчлены с отрицательными дискриминанта-
дискриминантами. Тогда дробь дЧз можно представить как сумму эле-
элементарных дробей:
?компл
Qm{x)
где вещественному корню Xj кратности kj соответствует
сумма
А® А^ , AU)
3 (X-Xj)k3 (x-Xj)kJ~l
-Xj
а множителю (х2 + pjX + qj)** в разложении знаменателя
соответствует сумма
(х2 + pjX + qj)eJ ' х2 +pjX +
причем все коэффициенты являются действительными чи-
числами и определены однозначно.
Доказательство состоит в применении 5 раз леммы 2
и t раз леммы 3.
138

§ 5. Интегрирование рациональных
дробей
Алгоритм интегрирования рациональной дроби q^
состоит из следующих шагов:
1) если п > га, то методом деления многочленов "в стол-
столбик" представить дробь в виде q^x) = Ai-m(#) + q^(x) »
где s < га;
2) найти корни знаменателя и разложить знаменатель
Qm(x) на множители;
3) методом неопределенных коэффициентов разложить
правильную рациональную дробь ?Гы (или о (J) ПРИ п <*
< га) в сумму элементарных дробей. В силу теоремы 1 §
4 разложение в сумму элементарных дробей существует и
единственно;
4) проинтегрировать элементарные дроби и многочлен
Dn-m{x) при п > т.
Интегрирование элементарных дробей
1) Интегралы вида / . Adx^ki k G IN являются таблич-
J {X — Xi)
ми.
2) Интеграл / ^х^°^_ ^ dx сводится к интегралу
ными.
dx
(x2+px+q)k '
Bx + C
(x2 +px + q)k
-B f
dx =
В fd(x2+px + q) ( Bp\ f dx
I
d(x2+px + q) J \n\x2+px + q\ при к = 1,
139

3) Вычислим интеграл / /ж2.^+ уь» гДе знаменатель не
имеет вещественных корней. Выделим полный квадрат в
знаменателе: х2 + рх + q = (х + |) + q — \. Поскольку
знаменатель не имеет вещественных корней, то q <- \ > 0.
Обозначим а = \fq — jP/i и выполним замену перемен-
переменной интегрирования: t = х + р/2. Тогда / / 2
j
При А; = 1 имеем h(t) = (^ = ^arctg \ + С.
Выведем рекуррентную формулу для вычисления
при к > 1.
Интегрируя по частям, получим
- ( dt - 1 ь [ t2d
" J (*2 + a?)k ~ (?2 + a?)k + J (t* + a
следовательно,
Поскольку интеграл каждой элементарной дроби выра-
выражается через элементарные функции, то интеграл произ-
произвольной рациональной дроби выражается через элементар-
элементарные функции.
140

§ 6. Интегрирование иррациональных,
тригонометрических и
гиперболических функций
Определение. Функция п переменных rci, ...,хп вида
f(xu...,xn) = «^i1 ••• ^nn5 гДе а е R, h e W|J{0}, на-
зывается одночленом. Сумма конечного числа одночленов
называется многочленом. Если P(:ci, ...,rcn), Q(#i, ...,#п)
- многочлены от п переменных, то функция вида
R(xi,...,xn) = пГь"'>Жп| называется рациональной функ-
цией.
1) Интеграл вида
JxV^dx, A)
где п G -SV, а i?(t) - рациональная функция,
сводится к интегралу от рациональной дроби с помощью
подстановки t = хх1п. Действительно, I R(xl/n)dx =
= n /i2(t) t71 Л.
2) Интеграл
?
где n G -SV, а 7?(гх, v) - рациональная функция,
сводится к интегралу вида A), если воспользоваться
дробно-линейной подстановкой у = ^Фд. Следователь-
Следовательно, подстановка t = yxln = f jS-j^g] n приводит данный ин-
интеграл к интегралу от рациональной дроби.
3) Подстановки Эйлера.
141

Пусть требуется вычислить интеграл
[r(x, л/ах2 + Ъх + с) dx, C)
где R(u, v) - рациональная функция.
а) Если квадратный трехчлен ах2 + Ъх + с име-
имеет вещественные корни ^i,^2? то л/ах2 + Ъх + с =
= л/а(х — xi)(x — Х2) = \х — X2\Ja^z^- Поэтому в данном
случае интеграл C) является частным случаем интеграла
вида B) и сводится к интегралу от рациональной дроби
при помощи подстановки t = л/fEf1-
б) Пусть квадратный трехчлен ах2 + Ъх + с не име-
имеет вещественных корней. Тогда при а < О выражение
л/ах2 + Ъх + с не определено, так как ах2 + Ъх + с < О Vx E
Е М. При а > 0 подстановки Эйлера л/ах2 + Ъх + с —
— ±Хл/а + г сводят интеграл C) к интегралу от рациональ-
рациональной дроби.
4) Интеграл от дифференциального бинома
хт(ахп + b)pdx, где 7тг,п,р — рациональные числа,
D)
в следующих трех случаях сводится к интегралу от раци-
рациональной дроби.
Случай 1. р - целое.
В этом случае хш(ахп + b)p = R(xm,xn) - рациональ-
рациональная функция переменных хт, хп. Поэтому в данном слу-
случае интеграл D) является частным случаем интеграла A)
и подстановка t = xx'q, где q - общий знаменатель дробей
шип, приводит интеграл D) к интегралу от рациональной
дроби.
Случай 2. т^- - целое.
142

Тогда путем подстановки t = (ахп + ЬI^, где s - зна-
знаменатель дроби р, интеграл D) сводится к интегралу от
рациональной дроби.
Случай 3. т^- +р - целое.
В этом случае подстановка t = (aa^n+b) , где s - зна-
знаменатель дроби р, сводит интеграл D) к интегралу от ра-
рациональной дроби.
Теорема Чебышева. Если не реализуется ни один из
трех выше перечисленных случаев, то интеграл от диф-
дифференциального бинома D) не выражается через элемен-
элементарные функции.
5) Тригонометрические подстановки.
Универсальная тригонометрическая подстановка t —
— tg {х/2) сводит интеграл
i?(sinx,cosx)dx, . .
где R(u, v) - рациональная функция
к интегралу от рациональной дроби.
Универсальная тригонометрическая подстановка часто
приводит к громоздким вычислениям. Укажем частные
случаи, в которых интеграл E) следует вычислять с по-
помощью других подстановок.
а) Если функция i?(sinx,cosx) периодична с периодом
тг, то следует использовать подстановку t — tgx.
6) Если интеграл E) можно представить в виде
i?i(cosx) dcosx, где Ri(u) - рациональная функция, то
следует использовать подстановку t = cos x.
в) Аналогично, если интеграл E) можно представить в
виде / i?2(sinx) dsinx, где i?2(^) - рациональная функция,
следует использовать подстановку t = sin x.
143

6) Универсальная гиперболическая подстановка t =
= th(x/2) сводит интеграл R(shx,chx)dx к интегралу
от рациональной дроби.
144

ГЛАВА 5
ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
§ 1. Линейное, евклидово и
нормированное пространства
Определение. Говорят, что во множестве X определе-.
на операция сложения, если любым двум элементам x,i/G
G X поставлен в соответствие элемент х + у G X.
Во множестве X определена операция умножения на
вещественное число, если любому элементу х G X и любо-
любому вещественному числу а Е М поставлен в соответствие
элемент ах G X.
Определение. Множество X называется веществен-
вещественным линейным пространством, если в X определены
операции сложения и умножения на вещественное число,
удовлетворяющие следующим аксиомам:
1) х + у = у + х \/х, у G Х\
2) (x + y) + z = x + (y + z) Vx,y,zeX]
3K0gX:z + 0 = z VxgX;
4) Ух G X 3 - x G X : x + (-x) = 0;
Ь)а(Рх) = (а/3)х Ух G X Va,/?GiR;
6) (a + C)x = ax + Cx \/x G X Va,/?GiR;
7) a(x + y) = ax + ay \/x,y e X \/a G JR;
8Iж = х VxgX, где 1 G iR.
Определение. Множество Х называется комплекс-
комплексным линейным пространством, если в X определены
операции сложения и умножения на комплексное число,
удовлетворяющие тем же аксиомам.
Пример. Вывести из аксиом линейного пространства:
145

1) 0 единствен;
2) Ух G X — х единствен;
3)УхеХ Ож = О;
Решение. 1) Пусть 0i,02 G X и Ух G X х_+ Ох _=
= х, х + 02 = х. Тогда Oi = Oi + 02 = б2 + Ох = 02,
т.е. Oi = 02. _
2) Пусть х + (-ж)х = 0, х + (-жJ = б. Тогда (-ж)х =
= (_x)i + 0 = (-x)i + {x + (-xJ)_ = ((-x)i + х) + (-хJ =
= (-жJ + (х + (-x)i) = (-хJ + 0 = (-хJ.
3Hх = 0х + 0 = 0х + (х + (-ж)) = @.x + х) + (-х) =
= @ж + 1ж) + (-ж) = @ + 1)ж + (-ж) = 1х + (-х) =
= х + (-х) = 0.
Определение. Арифметическим п-мерным прост-
пространством Мп называется множество упорядоченных на-
наборов из п чисел: х = (жх, ...,жп) G JRn, где ж» G JR, г G
G{l,...,n}.
Определим в JRn операции сложения и умножения на
число: если х = (жх,...,жп) G JRn, у = (ух,-,Уп) ^ ^?n5
a G JR, тож+у = (жх+ух,...,а;п+Уп), <^^ = (ажх,...,ажп).
Лемма 1. Пространство Мп является вещественным
линейным пространством.
Доказательство состоит в проверке аксиом, которые,
очевидно, выполняются. В частности, 0 = @, ...,0),
-х = -(жх,...,жп) = (-жх,...,-жп).
Замечание. Пусть на плоскости задана система ко-
координат. Множество координат (жх,ж2) точек на плоско-
плоскости образует двумерное арифметическое пространство М2.
При этом операции суммы и умножения на число в М2
соответствуют операциям суммы и умножения на число
146

радиус-векторов точек на плоскости. Поскольку соответ-
соответствие между точками на плоскости и их координатами
является взаимно однозначным и сохраняет операции сум-
суммы и умножения на число, плоскость является геометриче-
геометрической интерпретацией пространства Ш2. Аналогично, трех-
трехмерное геометрическое пространство является геометри-
геометрической интерпретацией пространства Ш?.
Определение. Линейное вещественное пространство
X называется евклидовым, если в нем определено ска-
скалярное произведение, т. е. любым элементам х, у Е X по-
поставлено в соответствие число (х, у) Е JR, причем выпол-
выполняются аксиомы
1) (ж, ж) >0 VxeX;
2) Vx е X если (х, х) = О, то х = 0;
3)
4) (ж, у) = (у, х) Vx, у е X.
Лемма 2. Линейное пространство Шп со скалярным
произведением (х,у) = xiyi + ... + хпуп, где х = (xi, ...,хп),
у = (j/i, ...,yn), является евклидовым.
Доказательство состоит в проверке аксиом, которые,
очевидно, выполняются.
Замечание. Определенное выше скалярное произведе-
произведение в Мп соответствует скалярному произведению век-
векторов на плоскости и в трехмерном геометрическом
пространстве, данному в аналитической геометрии в слу-
случае ортонормированного базиса.
Лемма 3. (Неравенство Коши-Буняковского.) Пусть
X - евклидово пространство. Тогда для любых х,у G X
выполнено неравенство (х,уJ < (х,х) • (у, у).
147

Доказательство. В силу аксиом скалярного произве-
произведения Уг e Ш (tx + y,tx + у) > 0. Следовательно, дис-
дискриминант квадратного трехчлена (х, x)t2 + 2(x, y)t + (у, у)
меньше либо равен 0: D = Цх,уJ - А(х,х) • (у, у) < 0,
т.е. (х,уJ < (х,х) -(у,у).
ш
Применяя неравенство Коши-Буняковского в
пространстве JRn, получаем:
Следствие. Для любых чисел х\,..., хп, у\,..., уп G Ш
справедливо неравенство
к=1
Определение. Линейное пространство X называется
нормированным, если в пространстве X определена норма,
т.е. каждому элементу х е X поставлено в соответствие
число \х\ (норма элемента х), причем выполняются аксио-
аксиомы
1) |х| > 0 Ух е X]
2) Ух е X если |х| = 0, то х = 0;
3) \ах\ = \a\-\x\ УаеМ Ух е X;
4) \х + у\ < |х| + |у| Ух,у G X (неравенство треуголь-
треугольника).
Следствие из неравенства треугольника.
Если X - нормированное пространство, то
Доказательство. В силу неравенства треугольника
\х\ = \х - у + у\ < \х — у\ + \у\, следовательно, \х\ - \у\ <
<\х- у\. Аналогично, \у\ - \х\ < \у - х\ = \х - у\. Поэтому
148

Лемма 4. Любое евклидово пространство X является
нормированным пространством с евклидовой нормой \х\ =
Доказательство. Выполнение аксиом A), B), C) нор-
нормы следует из аксиом A), B), C) скалярного произведе-
произведения. Докажем неравенство треугольника. \х + у\2 = (х +
+ у,х + у) = (ж, ж) + 2(х,у) + {у,у) = \х\2 + 2(х,у) +
+ \у\2. В силу неравенства Коши-Буняковского (ж, у) <
< у/(х,х) у/{у, у) = \х\ • |у| получаем \х + у\2 < \х\2 +
+ 2\х\ • |у| + \у\2 = (\х\ + \у\J. Следовательно, \х + у\ <
Из лемм 2 и 4 получаем
Следствие. Пространство Шп является нормирован-
нормированным пространством с нормой |х| = \1^\ + ••• + #п> гДе х ~
§ 2. Предел и производная
вектор-функции
Определение. Элементы линейного пространства на-
называются векторами.
Заметим, что векторы на плоскости или векторы трех-
трехмерного геометрического пространства со стандартными
операциями сложения векторов и умножения вектора на
число удовлетворяют аксиомам линейного пространства
и, следовательно, являются векторами в смысле данного
определения. Поскольку Шп является линейным простран-
пространством, то его элементы а = (ai,..., ап) G Мп также явля-
являются векторами.
149

Определение, n-мерной вектор-функцией а(?), задан-
заданной на множестве Г С iR, называется отображение а : Г —>
—* Мп, ставящее в соответствие каждому числу t eT ъек.-
Задание n-мерной вектор-функции a(t) =
= (ai(t),... ,an(?)) на множестве Г эквивалентно за-
заданию п скалярных функций ai(?),... ,an(t) на множе-
множестве Г.
Определение. Пусть заданы число ?>0и вектор аР =
= (aj,...,a®) G iRn. Тогда е-окрестностью точки а0 назы-
называется шар радиуса е с центром в точке аР:
U?(a°) = {аеШп:\а-а°\<е} =
С/
Определение. Пусть в некоторой C/^0(t0) С iR задана
вектор-функция a(t) е Шп. Вектор a? G iRn называется
пределом вектор-функции a(t) в точке to-' lim a(t) = a0,
t—>to
если
Ve>0 35g@,50): VteUs(to) a{t)eU?(a°). A)
Лемма 1. Пусть задан вектор дР = (a?,...,aj[) и в
о
некоторой Us0(to) задана вектор-функция a(t) G iRn. Тогда
следующие условия эквивалентны:
а) Uma(i) = a°;
б) Шп|3(«)-я°|=0;
в) gnai(t)=a? Vie {!,...,п}.
150

Доказательство. В силу определения в-окрестности
определение предела вектор-функции A) можно перепи-
переписать в виде
Уе > О 36 е (ОА) : Vt G Us(t0) \a(t) -a°\<e.
Следовательно, (а) Ф> (б).
Используя определение нормы в Жп, получим
(б) «=> lim \a(t) -o°I =0
Ф=4> lim |a(t)-a°|2 = 0
lim (|Ol(t) - a°|2 + ... + \an(t) - a» |2) = 0
t—>to
lim |aj(f)-af|2 = 0, Vt e {1,... ,n} ^=4> (в).
Лемма 2. Если lim a(t) = ao, то lim |a(t)| = |ao|.
Доказательство. По следствию из неравенства тре-
треугольника ||a(t)| — |ao|| < |a(t) — ao| —» О при t —^ to.
¦
Лемма 3. Если lim a(t) — ao, lim cp(t) = <po, то
3 lim cp(t)a(t) = cpouQ.
Доказательство.
+ 0 • |ao| = 0 при t
Лемма 4. Если lim a(t) = A, lim 6(t) = В, то
1) 3lim(a{t)
t->t0
151

o _
Доказательство. 1) |a(t) + b(t) - (A + В) \ < \a(t)-A\ +
+ \b(t) - B\ -^ 0 при t-4t0. _
2) \(a(t),b(t))-(A,B)\ = №),Ъ(*))_-{А,ЩНА,т)-
-(A,B)\ < \a(t)-A\ \b(t)\ + \A\ \b(t)-B\ -» 0-|В| + |Л|-0 = О.
Определение. Векторным произведением векторов
a = (ai,аг,аз) и 6 = (bi,62>&з) называется вектор
аз
h
а>2 аз
h ь3
Заметим, что данное определение векторного произве-
произведения соответствует определению векторного произведе-
произведения в случае правого ортонормированного базиса, данно-
данному в аналитической геометрии. Легко проверить, что век-
векторное произведение обладает свойствами
1)[а,Ь] = -[Ь,а] ya.be Ж3;
2) [агп1 +_а2а2,Ь] = ai[ai,b] + a2[a2,b] Vai,a2 G
е М Vaba2,bGiR3;
3) |[а,Ь]|<|а||Ь| Va,bGiR3.
Лемма 5. Если lim alt) =~Ae iR3, lim bit) = В е Ш3,
о
Доказательство. |[a(t),6(t)]-[i4,B]| < |[a(t)-A,
\[A,b(t) ~ В]\ < \a(t) - А\ \b(t)\ + \А\ \b(t) - В\ -> 0.
Определение. Вектор-функция а(?) называется
непрерывной в точке ?о> если она определена в некоторой
и lim a(t) = alto),
t—>to
152

Определение. Пусть вектор-функция a(t) определена
в некоторой Us(to). Производной вектор-функции a(t) в
_. —и л. \ т a(to+At)—a(to)
точке to называется a (to) = lim -^—д^—i—l.
Лемма 6. Существование производной вектор-
функции a(t) = (ai(t),... ,an(t)) эквивалентно существо-
существованию конечных производных всех ее компонент ai(t),
причем af(t) = (a'i(t), • • • > an(*))-
Доказательство состоит в применении леммы 1.
Производные высших порядков вектор-функции a(t)
определяются по индукции: a^(t) — a'(t), a,(n+1\t) =
Лемма 7. (Правила дифференцирования.) Пусть
вектор-функции о(?), b(t) и скалярная функция (/?(?) име-
имеют производные в точке to. Тогда в точке to существуют
производные функций a+ 5, <pa, (a, 6), [a,b], причем
(a + b)f = a' + b\ ((paI = ip'a + ipaf,
(a, by = (of, b) + (a, Г), [a, 6]' - [a', 6] + [a, &'].
Докалсем, например, последнее равенство. Обозначим
Аа = a(t0 + At) - a(t0), Ab = b(t0 + At) - 6(t0). Тогда
[a, b] (to) = дЬт
[a(to) + Aa,b(tQ) + Ab] - [a(t0),
|im
Д4-+0 At
At
153

lim ^, lim Дб1 = [af,b](!o)
At->0 At At->0 J
Лемма 8. (Производная сложной функции.) Пусть в
окрестности точки so задана скалярная функция t(s)\ а в
окрестности точки to = t(so) задана вектор-функция a(t).
Пусть 3t'(so) Е М, За!(to) G Мп. Тогда в точке so существу-
существует производная сложной функции b(s) = a(t(s)): b (sq) =
= of (t0) • t'(s0).
Доказательство состоит в применении леммы 6 и те-
теоремы о производной сложной функции для скалярных
функций.
1У
Определение. Пусть в некоторой Us(to) заданы
вектор-функция a(t) и скалярная функция (/?(?), причем
о
Vt G U6(to) 4>(t) ф 0. Тогда функция a(t) называется бес-
бесконечно малой относительно функции <p(t):
a(t) = o((p(t)) при t-+to, если lim ~Vt = 0.
t->t0 cp(t)
Лемма 9. Пусть в Us(to) заданы вектор-функция
a(t) = (a>i(t),... ,an(t)) и скалярная функция (p(t). Тогда
при t —> to '.
a(t) = о(ф)) & (at(t) = o(<p(t)),..., an(t) =
Доказательство следует из леммы 1.
Определение. Вектор-функция a(t) e Ш,п, определен-
определенная в некоторой С^(^о), называется дифференцируемой в
154

точке to, если ЗА Е Мп:
Да = a(t0 + At) - a(t0) = AAt + o(At) при At -> 0.
При этом линейная вектор-функция A At называется диф-
дифференциалом вектор-функции a(t) в точке to:
da(t0) = AAt = Adt, Aa = da(t0) + o(At) при At -> 0.
Аналогично доказательству теоремы о связи производ-
производной и дифференциала для скалярных функций легко до-
доказать, что
Лемма 10. 3da(t0) <==> За/(to).
Для дифференцируемой вектор-функции: da(to) =
= af(to)dt.
Замечание. Теорема Лагранжа о среднем для ска-
скалярных функций непосредственно не обобщается на
вектор-функции. Например, для вектор-функции a(t) =
= (cost,sint) не существует ? G @,2тг): аBтг) — а@) —
= а!{?) • 2тг. Действительно, аBтг) - а@) = A,0) - A,0) =
- @ 0), но 540 = (-sinf, cos О и VC G @,2тг) ^(Ol -
= y/sm2 ? + cos2 ? =1^0, следовательно, аBтг) — а@) =
Теорема 1. (Теорема Лагранжа о среднем для вектор-
функции.) Пусть вектор-функция a(t) непрерывна на
[*o,*i] и дифференцируема на (to,ti). Тогда 3? е (to,h)-
|a(ti)-a(to)|< 1^@l(*i -*o).
Доказательство. Определим скалярную функцию
cp(t) = (a(t),a(ti) — a(to)). По теореме Лагранжа о среднем
для скалярной функции <p(t)
ЗС е (*o,*i) : V(«i) " ^(<о) = ?^@(*1 ~ <о), т.е.
(a(ti),a(ti) - a(t0)) - (a(to),a(ti) - a(t0)) = (af(OMh) ~
— a(to)) (ti —to), следовательно,
155

\a(h) - a(to)|2 < |a'(?)| |a(*i) - a(to)| («i - *>)¦
Если a(ti) = a(to), то доказываемое неравенство выпол-
выполняется автоматически V? G (to, ^1).
Если a(ti) Ф a(to), то, сокращая последнее неравенство
на |a(*i) - a(*o)|, получаем требуемое утверждение.
Теорема 2. (Формула Тейлора с остаточным членом в
форме Пеано.) Пусть вектор-функция a(t) определена в
H). Тогда
при
Доказательство. Воспользуемся формулой Тейлора с
остаточным членом в форме Пеано для каждой компонен-
компоненты вектор-функции a(t). Поскольку остаточные члены для
каждой компоненты являются o((t — ?о)п), т0 в силу леммы
9 составленный из них вектор является o((t — ?о)п).
§ 3. Кривые
В трехмерном геометрическом пространстве зафик-
зафиксируем прямоугольную систему координат. Векторы f =
= (x,y,z) e iR3 будем изображать точками трехмерного
пространства с координатами (x,y,z). Тем самым устана-
устанавливается взаимно однозначное соответствие между точка-
точками трехмерного пространства и векторами г е Ш3. Имея в
виду это соответствие, векторы f G iR3 называют точками.
Аналогично зафиксируем прямоугольную систему ко-
координат на плоскости. Векторы г = (х,у) будем также рас-
рассматривать как точки плоскости с координатами (х,у).
156

Далее мы будем рассматривать двумерные вектор-
функции f(t) = (x{t),y(t)), задающие кривые на плоско-
плоскости, и трехмерные вектор-функции f(t) = (x(t),y(t),z(t)),
задающие кривые в трехмерном геометрическом простран-
пространстве.
Определение. Годографом вектор-функции f(t) назы-
называется множество точек F(?), где параметр t пробегает мно-
множество определения вектор-функции.
Определение. Кривой Г называется годограф
непрерывной вектор-функции г(?), заданной на отрез-
отрезке [а, Ь] :
Г = {г(*) : te[a,b]}.
Определение. Точка г0 называется точкой самопере-
самопересечения кривой Г = {f(t) : t G [а, Ь]}, если 3ti,t2 G [а, Ь]:
h ф t2 и Fo = ^l) = r(t2).
Определение. Простой кривой называется кривая без
точек самопересечения.
Определение. Если концы кривой Г = {f(t) : t G [a, b]}
совпадают, т.е. г (а) — г(Ь), то кривая Г называется за-
замкнутой.
Определение. Если для замкнутой кривой Г = \r(t) :
t G [a,b]} из условий r(ti) = г(^), а < t\ < t2 < b следует,
что t\ — a, t2 = b (иначе говоря, нет других точек само-
самопересечения, кроме концов кривой), то кривая Г называ-
называется простым контуром.
Определение. (Ориентация простой кривой.) Пусть
задана простая кривая Г = {f(t) : t G [а, Ь]}. Будем го-
говорить, что точка г2 G Г следует за точкой r\ G Г или точ-
точка г\ предшествует точке г2, если r\ = r(ti), f2 = r(t2),
157

t\ < ?2- При этом кривую Г называют ориентированной по
возрастанию параметра t.
Определение. Разбиением отрезка [а, Ь] называется
конечный набор точек Т = {to,ti, •••)^п} таких, что а =
= to<ti< ... <tn = b.
Определение. Пусть задана кривая Г = {f(t) : t G
G [а,Ь]} и разбиение Т = {*о>*ъ—>*п} отрезка [а,Ь]. Тогда
будем говорить, что кривая Г разбита на кривые Г^ =
= {r(t) : te [**-
Определение. (Ориентация кривой, состоящей из ко-
конечного числа простых кривых.) Пусть кривая Г разби-
разбита на простые кривые Г/., ориентированые по возрастанию
параметра t. Тогда упорядоченная по возрастанию пара-
параметра t совокупность Г1,Г2, ...,ГП называется ориентиро-
ориентированной кривой Г: Г = ГхГ2...Гп.
Далее мы рассматриваем только ориентированные кри-
кривые. Для краткости будем говорить "кривая", но всегда
подразумевать ориентированную кривую.
Замечание. Разные вектор-функции могут задавать
одну и ту же кривую. Например, кривая Г = {(cos t, sin t) :
t G [—^O]}, задаваемая вектор-функцией f{t) =
= (cos t, sin ?), t G [—тг,О], может быть задана другой
вектор-функцией ~д(х) = (ж, — у/1 — х2), х G [— 1,1]:
Определение. Вектор-функция ?>(s), s G [51,52] назы-
называется допустимой параметризацией кривой Г = {r(t) :
t G [?1,^2]} 5 если существует непрерывная строго возраста-
возрастающая функция t(s) такая, что t(si) = t\, ?(s2) = ^2 и Vs G
158

При этом считается, что вектор функции r(t) и g{s)
параметризуют (задают) одну и ту же кривую Г.
Замечание. Так как при допустимой замене параметра
старый параметр является строго возрастающей функцией
нового параметра, то ориентация кривой не меняется.
§ 4. Длина кривой
Определение. Отрезком [Fi,F2] называется множе-
множество точек г = г\ + \(г2 — Fi), где А G [О,1].
Определение. Пусть задана кривая Г = {f(t) : t G
G [a, b]} и разбиение Т = {to, ?1,..., tn} отрезка [a, b]. Ломан-
Ломанной V, вписанной в кривую Г, называется упорядоченный
по возрастанию параметра t набор отрезков [r(?fc_i),r(?fc)]:
V = ([r(t0),r(tl)l [r(tl),r(t2)}, ..; [г(*п-1), Г(*п)]) .
При этом говорят, что разбиение Т порождает лома-
ломаную V. Отрезки [r(tfc_i),r(tfc)] называются звеньями лома-
ломаной V*
Длиной ломаной V называется сумма длин ее звеньев:
Определение. Длиной кривой Г называется точная
верхняя грань длин ломанных, вписанных в Г:
Если |Г| < +оо, то кривая Г называется спрямляемой.
159

Лемма 1. Если спрямляемая кривая Г разбита на кри-
кривые Гх и Гг, то кривые Гх и Г2 спрямляемы, причем |Г| =
Доказательство. 1) Покажем, что кривые Гх и Г2
спрямляемы и |Гх| + |Гг| < |Г|.
Пусть *Р\ - ломанная, вписанная в Гх, V2 ~ ломанная,
вписанная в Г2, тогда V = V1P2 ~ ломанная, вписанная
в Г. Так как \Vi\ + IP2I = \V\ < |Г|, то sup|Pi| < +00,
Vi
sup|7>2| <+оои |Гх| + |Г21 = sup |^i| + sup |^21 < |Г|.
V2 Vi Vi
2) Покажем, что |Г| < |ГХ| + |Г2|.
Пусть кривая Г параметризована вектор-функцией r(t):
Г = {f(t) : t G [a, b]}. Пусть точка с Е (а, Ь) разбивает Г на
Гх и Г2: Гх = {f(t) : t G [а, с]}, Г2 = {r(t) : t G [с,Ь]}.
Пусть V - произвольная ломанная, вписанная в кривую
Г, Т = {^o^ij •••)^п} ~ разбиение отрезка [а,Ь], порожда-
порождающее ломаную V- Определим j из условия tj_x < с < tj.
Ломанную, вписанную в кривую Гх и порожденную разби-
разбиением Тх = {^0)^1) •••)^-1)с}) обозначим через Vi- Ломан-
Ломанную, вписанную в кривую Г2 и порожденную разбиением
Т2 = {c,tj,tj+i,...,tn}, обозначим через Т>2 (если с = tj,
то Т2 = {^,^ч-15---5^п})- По определению верхней грани
Длины ломаных V, Vi и 7>2 равны соответственно
3-1
IPi I = 2^ И*к) - f(*fc-i)l + |r(c) -;
160

I^2| = |f(^)-F(c)|+ J2
k=j+l
В силу неравенства треугольника \f(tj) — r(tj-i)\ < \f(c) —
— r(tj-i)\ + \r(tj) — r(c)|, следовательно, \V\ < \Vi\ + \V2\ <
Итак! |Г| = sup \V\ < |ГХ| + |Г2| < |Г|, т.е. |Гх| + |Г2| = |Г|.
v
¦
Определение. Функция f(t) называется непрерывно
дифференцируемой на [а, Ь], если
1) Vt G [а, b] 3/;(t), где при t = а под f(t) понимается
правая, а при t — Ъ - левая производная и
2) функция /'(?) непрерывна на [а, Ь].
Непрерывная дифференцируемость вектор-функции
f(t) определяется аналогично.
Теорема 1. (Достаточное условие спрямляемости кри-
кривой.) Пусть вектор-функция г(?), параметризующая кри-
кривую Г = {f(t) : t G [а, Ь]}, непрерывно дифференцируема.
Тогда Г спрямляема и
\Г\<(Ь-а) |()|
te[a,b]
Доказательство. Так как скалярная функция |f;(t)|
непрерывна на [а, Ь], то по теореме Вейерштрасса для ска-
скалярных функций 3 max \f'(t)\ = М.
te[a,b]
Пусть V - ломаная, вписанная в кривую Г, поро-
порожденная некоторым разбиением Т = {^(ь^ь •••)^п} отрез-
отрезка [а,Ь]. По теореме Лагранжа для вектор-функций VA; е
161

следовательно,
к=1 к=1
Поэтому |Г| = sup \V\ < max |f'(t)| (b - a).
V t?[afi]
Определение. Пусть кривая Г = {r(t) : t G [a, b]}
спрямляема. Определим переменную дугу 1\ = {f(u) : и G
G [a,t]}. Функцию s(t) = |I\| называют переменной длиной
дуги кривой Г.
Теорема 2. Пусть вектор-функция г(?), параметри-
параметризующая кривую Г = {f(t) : t G [a, &]}, непрерыв-
непрерывно дифференцируема. Тогда переменная длина дуги s(t)
непрерывно дифференцируема и V*o G [a, Ь] 5r(to) =
= ^'(^о)! (здесь при to = а и при to = b имеются в ви-
виду односторонние производные).
Доказательство. Пусть to G [a, Ь], At 7^ 0, to + At G
G [a,fc]. Определим отрезок
At>0,
[t0 + At, t0], At<0.
Обозначим As = s(t0 + At) - s(t0), Ar = f(t0 + At) - f(t0).
В силу леммы 1 длина кривой ДГ = {r(t) : t G i3}
|ЛГ1| Г As, At > О,
равна ДГ = < ' .
Следовательно, в любом случае
As
и — >0. A)
Так как длина отрезка [r(to),f(to + At)] не превосходит
длины дуги ДГ, то
162

|Дг| < |ДГ|. B)
По теореме 1 |ДГ| < max\f'(t)\ \At\. По определению
максимума 3? е D : max|r'(?)| = |г'(?)|, следовательно,
|ДГ| < |г'(?)| |Д*|, откуда в силу B) получаем |^| <
!, откуда с учетом A) следует, что
Дг
< =J < \A0\- О)
Так как |to — €\ < |Д?|, то при At —> 0 выполня-
выполняется ? —> to и в силу непрерывности функции r'(t)
3 lim \r'(?)\ = |г'(?о)|- Кроме того, по определению произ-
At->o
водной 3 lim ^ = f7(to)» следовательно, 3 lim |д|| =
= |r;(to)|. Поэтому из C) по теореме о трех функциях еле-
дует, что Зд1тоЙ = |r'(to)|, т.е. 3s'(t0) = |r'(to)|.
Определение. Будем говорить, что вектор-функция
~g(t) является натуральной параметризацией кривой
Г = {^(t) : t G [0, |Г|]}, если параметр t является перемен-
переменной длиной дуги, т. е. s(t) = t Vt e [0, |Г|].
Определение. Кривая Г называется гладкой, если
1) возможна натуральная параметризация кривой Г :
2) вектор-функция g(s), задающая натуральную пара-
параметризацию кривой Г, непрерывно дифференцируема
на[0,|Г|].
Определение. Пусть вектор-функция r(t), параметри-
параметризующая кривую Г = {f(t) : t Е [а,6]}, дифференцируема
на [а,Ь]. Точка to G [а,Ь] называется особой точкой пара-
параметризации f(t), если r'(to) = 0.
163

Теорема 3. (О существовании натуральной пара-
параметризации.) Пусть вектор-функция г(?), параметризую-
параметризующая кривую Г = {r(t) : t e [a, &]}, непрерывно дифферен-
дифференцируема и не имеет особых точек. Тогда
1) натуральная параметризация ~g(s) кривой Г является
допустимой;
2) 3 J?(s) = j^jj, где s = s(t)\
3) кривая Г является гладкой.
Доказательство. 1) По теореме 2 3s'(t) = \r'(t)\. Так
как r'(t) ф О, то s'(t) > 0. Следовательно, переменная дли-
длина дуги s(t) является строго возрастающей непрерывной
функцией. Поэтому существует обратная к ней функция
i(s), которая также строго возрастает и непрерывна. По
определению допустимой параметризации получаем, что
параметризация ~g(s) = f(t(s)), где s G [0, |Г|], является до-
допустимой.
2) Так как 3s'(t) = \r'(t)\ ф 0, то по теореме о производ-
производной обратной функции 3t'(s) = ^щ = т=тщ. По теореме о
ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ фуНКЦИИ 3~Qf(s) = r'(t) t'(s) = L/B\ -
3) Так как вектор-функция r(t) непрерывно диф-
дифференцируема и r'{t) ф 0, то вектор-функция ~q'(s) =
|Р(^ы)| непрерывна, следовательно, вектор-функция ~g{s)
- непрерывно дифференцируема и кривая Г - гладкая.
Замечание. Условие отсутствия особых точек являет-
является существенным для гладкости кривой. Например, кри-
кривая Г = {(* , |?|3) : t G [—1,1]} задается непрерывно диф-
дифференцируемой вектор-функцией г(t) = (?3, |?|3), так как ее
164

производная r'(t) = Ct2,3t2signt) - непрерывная вектор-
функция. Однако Г не является гладкой, так как в на-
натуральной параметризации Г = {q{s) : s G [0,2\/2]} зада-
задается вектор-функцией ~g(s) = (-4- - 1, |-4^ — 1|), не являю-
являющейся дифференцируемой в точке s = у/2.
Следующая лемма дает простой способ проверки того,
что кривая Г задана в натуральной параметризации.
Лемма 2. Пусть кривая Г = {r(t) : t G [0, to]}
параметризована вектор-функцией r(t), непрерывно диф-
дифференцируемой на отрезке [0, to]. Вектор-функция r(t)
является натуральной параметризацией кривой Г тогда и
только тогда, когда |r'(t)| = 1 Vt G [0, to].
Доказательство. 1) Пусть вектор-функция r(t) явля-
является натуральной параметризацией кривой Г, т.е. s(t) =
= t Vt G [0, t0]. Тогда по теореме 2 |r'(t)| = s'(t) = 1 Vt ?
e[o,to].
2) Пусть \r'(t)\ = 1 Vt G [O,to]. Тогда в силу теоремы
2 s'(t) = \f'(t)\ = 1 Vt e [0,t0]. Отсюда и из равенства
5@) = 0 следует, что s(t) = t Vt e [0, to]. Действительно,
по теореме Лагранжа о среднем Vt G @, to] 3? G @,t) :
s(t)-s(O) = s'(?)t = t.
Так как s(t) = t Vt G [O,to], то параметр t является
переменной длиной дуги кривой Г, т.е. вектор-функция
f(t) является натуральной параметризацией кривой Г.
§ 5. Первое приближение кривой
(касательная)
Пусть кривая Г = {f(s) : s G [0, |Г|]} задана в натураль-
натуральной параметризации. Пусть sq, sq + As G [0, |Г|], As ф 0.
Обозначим r0 = f(so), &r = f(s0 + As) - r0. Уравнение
165

секущей, проходящей через точки г о и r(so + As), имеет
вид г = го + ^и (где и G М- параметр прямой).
Определение. Прямая г = Гкас(^) = то + ™ называ-
называется касательной к кривой Г = {f(s) : s G [0, |Г|]} в точ-
точке го, если эта прямая является предельным положением
секущей:
/ Дг \
Уие М Нт г0 + -т— и = ^кас(^) = ^о + ти.
A0 V As ]
Теорема 1. Пусть кривая Г = {r(s) : s G [0, |Г|]} за-
задана в натуральной параметризации. Тогда существование
касательной к кривой Г в точке гEо) эквивалентно суще-
существованию производной 25 в точке so. При этом вектор т =
= 2j является единичным вектором касательной.
Доказательство. Из определения касательной следу-
следует, что прямая г = г (so) + ти является касательной тогда
и только тогда, когда т = lim 41, т.е. 3^ = 7^E0) — т.
As—>0
Из теоремы 2 §5 следует: \f'(s)\ = s'(s) = 1, т.е. \т\ = 1.
Теорема 2. Пусть кривая Г = {r(s) : s G [0, |Г|]} зада-
задана в натуральной параметризации и пусть Зг^^о). Тогда
s) = fK2ic(s ~ So) + ОE - So) При S -> 50,
т.е. в окрестности точки г (so) кривая Г в первом прибли-
приближении совпадает со своей касательной.
Доказательство. Разложим вектор-функцию f(s) по
формуле Тейлора: r(s) = f(s0) + г'(so) (s - so) + o(s - s0)
при s —> 5o- Так как по лемме 1 r'(so) = г, то f(s) = r(so) +
+ t(s — sq) + o(s — sq) = Гкас(з — so) + o(s — sq) при 5 —> 5q.
166

Теорема 3. Пусть вектор-функция г(?), параметризу-
параметризующая кривую Г = {f(t) : t G [a, b]} непрерывно дифферен-
дифференцируема и не имеет особых точек. Тогда в любой точке
f0 = f(t0) g Г существует касательная к кривой Г: г =
= ^кас(^) = Й) + ти, где единичный вектор касательной,
указывающий ориентацию кривой Г по возрастанию пара-
параметра t имеет вид
т=
Доказательство. В силу теоремы 3 § 4 кривую Г мож-
можно задать в натуральной параметризации: g(s) = r(?(s)),
где t(s) - функция, обратная к переменной длине дуги. По
теореме 1 вектор т = ^ является единичным вектором ка-
касательной. В силу пункта 2 теоремы 3 §4 т = ^ = iF4t°lr
Так как при At > 0 вектор Ar = F(to+At)— F(to) направлен
в сторону возрастания параметра ?, а при At < 0 - в сторо-
сторону убывания параметра ?, то при любом At ф 0 вектор ^
направлен в сторону возрастания параметра t. Переходя к
пределу, получаем, что вектор г'(to) направлен в сторону
возрастания параметра t. Вектор т = |PLoc, имеет то же
направление.
§ 6. Второе приближение кривой
Определение. Пусть кривая Г = {f(s) : s G [0, |Г|]}
задана в натуральной параметризации. Пусть вектор-
функция f(s) дважды дифференцируема на [О, |Г|]. Пусть
t(s) = -^р- - единичный вектор касательной. Тогда число
к = k(so) — |^(^о)| называется кривизной кривой Г в точ-
точке го = r(so).
Если в точке ?q кривизна k(so) ф 0, то
167

1) число R = R(sq) = ?7^y называется радиусом кри-
кривизны,
2) единичный вектор V = u(sq) = ц^у^Eо) ~ ве?с-
тором главной нормали,
3) прямая с направляющим вектором 17, проходящая
через точку го, - главной нормалью,
4) плоскость, проходящая через касательную и главную
нормаль, - соприкасающейся плоскостью,
5) точка г с = fc(so) = г о + i?(so)^(so) ~ центром кри-
кривизны,
6) окружность с центром в точке гс, радиусом R, лежа-
лежащая в соприкасающейся плоскости, называется соприкаса-
соприкасающейся окружностью кривой Г в точке Tq.
Лемма 1. Если в некоторой точке кривой Г определе-
определены вектор касательной т и вектор главной нормали V, то
г _L 77.
Доказательство. Так как (t(s),t(s)) = |r(s)|2 =
= 1 Vs G [0, |Г|], то (t(s),t(s))' = 0, следовательно,
Напишем векторное уравнение соприкасающейся
окружности кривой Г в точке Fq.
Пусть сначала в трехмерном пространстве задана пря-
прямоугольная система координат с базисными векторами i, j,
к. Окружность радиуса R, лежащая в плоскости векторов
г, j (т.е. в плоскости ху), может быть задана формулами
х — — R cos ср, у = Rsincp, z = 0, сре[0,2тт]
или в векторной форме: г = —Rcoscpi + Rsincp j. Если в
пространстве заданы два ортогональных единичных век-
вектора тиРи точка г с, то уравнение окружности радиуса
R, лежащей в плоскости векторов т, V и с центром в точке
168

гс, имеет вид г = r0Kp(Ф) = rc-Rcospv + RsiiKpr. Сле-
Следовательно, с учетом определения центра кривизны гс =
= го + R(so) I'(so), соприкасающаяся окружность кривой Г
в точке го = г (so) задается уравнением
г0 + R simpr + RA -coscp)u. A)
Теорема 1. Пусть кривая Г = {r(s) : s G [0, |Г|]}
задана в натуральной параметризации. Пусть f(s) дважды
дифференцируема. Тогда
1) если г" (so)) ф 0, то в окрестности точки г о = г (so)
кривая Г во втором приближении совпадает с соприкаса-
соприкасающейся окружностью:
r(s) = г0Кр ( pg° ) + o((s - s0J) при s -> s0;
\ Jri J
2) если r'^so)) = 0, то в окрестности точки f(so) кривая
Г во втором приближении совпадает с касательной:
r(s) = гкасE - s0) + o((s - s0J) при s -> s0.
Доказательство. 1) Пользуясь разложениями coscp =
= 1—^ср2-\-о(ср2I sincp = (p+o(cp2) при ср —> 0, из формулы
A) получаем при s —> so
?окр
\ ль /
= r(so) + t(s-so) + ^(s- soJ + o((s - s0J).
Так как т = r^so), ^ = fc!7 = r"(so), то при s —> so:
s - s0
' окр
169

= rE0) + A*o) (s ~ *o) + Г-^ (s - soJ + 4(s -soJ).
С другой стороны, в силу формулы Тейлора при s —> sq
r(s) = f(s0) + ?(s0) (s - 5o) + Г-^- (s - s0J + o((s - soJ).
Сравнивая разложения r(s) и гОкр (?^1)) получаем утвер-
утверждение пункта A).
Доказательство пункта B) аналогично доказательству
теоремы 2 § 5.
Теорема 2. Пусть вектор-функция г(?), параметризу-
параметризующая кривую Г = {f(t) : t G [а,Ь]}, дважды дифферен-
дифференцируема и не имеет особых точек (т.е. r'(t) ф 0) на [а,Ь].
Тогда
L) LT' ds\ — |()|
2) кривизна кривой Г в каждой точке f(t) e Г суще-
существует и выражается формулой
, \[7'(t),f"(t)]\
Доказательство. 1) По теореме 3 §5 т = т=тШт. Так
как r(t) дважды дифференцируема, то 3| = ^^ +
Таж как по теореме 2 §4 4| = |r'(i)|, то
ds ~ dt ds~ \r'(t)\ dt ~ \r'(t)\2 + \r'(t)\
Еще раз используя равенстве т = т=Ж-, получаем
170

2) Из существования ^ следует существование кривиз-
кривизны к = |^j|. В силу леммы 1, векторы г и ^ взаимно
перпендикулярны, кроме того, \т\ = 1, следовательно,
\r'(+\№
Следствия.
1) Формула для вычисления кривизны, записанная
через координаты вектор-функции f(t) = (x(?),
принимает вид
_ УЫ* - y"z'J + (z'x" - z"x'J
" ((
((z'r + Kvr +
2) Если Г - плоская кривая, т. е. z(t) = О, то
к = \х'у" - х"у'\
3) Если плоская кривая Г задана как график функции
у = f(x), то х' = 1, х" = 0, у' = /', у" = f" и, следователь-
следовательно,
1/1
к =
(/02K/2-
Определение. Множество центров кривизны кривой Г
называется эволютой кривой Г.
По определению центра кривизны fc(s) = r(s) +
li(s) V(s) и вектора главной нормали 17E) = -Л^г J^ полу-
получаем уразнение эволюты кривой Г = {f(s) : 5Е [О, |Г|]}:
171

d2r(s)
Определение. Кривая Г называется эвольвентой кри-
кривой 7, если кривая 7 является эволютой кривой Г.
§ 7. Сопровождающий трехгранник
кривой
В данном параграфе всегда будем предполагать, что
кривая Г = {f(t) : t €[a,b]}
1) параметризована дважды дифференцируемой
вектор-функцией F(?),
2) не имеет особых точек (т. е. Vi Е [a, b] r'(t) ф 0) и
3) кривизна не обращается в 0 (т. е. согласно теореме 2
§6 Vte[a,6] [r'(t),r"(t)]^O).
Определение. Пусть т - единичный вектор касатель-
касательной, V - единичный вектор главной нормали кривой Г в
точке го. Тогда вектор /? — [т,17] называется вектором би-
бинормали в точке го. Прямая с направляющим вектором /?,
проходящая через точку Fq, называется бинормалью кри-
кривой Г в точке го.
Замечание. Поскольку векторы т и V - единичные и
взаимно перпендикулярны, то в силу определения век-
векторного произведения тройка векторов г, 77, /3 образует
правый ортонормированный базис, а касательная, главная
нормаль и бинормаль в данной точке - это три взаимно
перпендикулярные прямые.
Определение. Отложим векторы г, V и /?, вычислен-
вычисленные для точки го кривой Г, от точки Fq. Образовавший-
Образовавшийся трехгранник называется сопровождающим трехгран-
трехгранником Френе кривой Г.
172

Трехгранник Френе в точке г$ задает следующие три
взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через
точку го:
плоскость, перпендикулярная касательной, называется
нормальной плоскостью,
плоскость, перпендикулярная бинормали, называется
соприкасающейся плоскостью,
плоскость, перпендикулярная главной нормали, назы-
называется спрямляющей плоскостью.
Замечание. (Геометрический смысл соприкасающейся
и спрямляющей плоскостей.)
Как следует из теоремы 1 § 6, кривая Г с точностью до
o((s — soJ) совпадает с соприкасающейся окружностью:
г = г0Кр(ср) = г0 + Rsincpr + R(l - coscp)v.
Так как соприкасающаяся окружность лежит в соприка-
соприкасающейся плоскости, то кривая Г с точностью до o((s —
— soJ) ПРИ s -^ sq лежит в соприкасающейся плоскости.
Так как проекция соприкасающейся окружности спрямля-
спрямляющую плоскость принадлежит касательной к кривой Г,
то с точностью до o((s — soJ) ПРИ s ~* so проекция кри-
кривой Г на спрямляющую плоскость является прямой. Этим
объясняются названия соприкасающейся и спрямляющей
плоскостей.
Напишем уравнения нормальной, соприкасающейся и
спрямляющей плоскостей в точке г (to). Непосредственно
из определения следует, что эти уравнения имеют вид
нормальная плоскость: (г — г (to), г) = О,
спрямляющая плоскость: (г — г (to), V) = О,
соприкасающаяся плоскость: (г — г (to), C) = 0.
Напишем более явные уравнения этих плоскостей.
173

Так как т = рщ, то нормальная плоскость задается
уравнением
(r-r(to),r'(to)) = O.
Так как ]7 = I ^ = I ^-?5 то спрямляющая плоскость
задается уравнением
Так как /? = [г, i/], то уравнение соприкасающейся плос-
плоскости можно записать через смешанное произведение: (г—
— r(to),r,77) = 0. В силу пункта A) теоремы 2 §6 и опре-
определения вектора главной нормали V = | ^ получаем
[г, 17] = fc|^ft)|l ¦ Поэтому соприкасающаяся плоскость в
точке г (to) задается уравнением
§ 8. Открытые и замкнутые
множества в Мп
Определение. Точка xq e Мп называется внутренней
точкой множества X С iRn, если
Зе > 0 : С/е(жо) С X
Внутренностью множества X называется int X - множе-
множество всех внутренних точек X. Множество X называется
открытым, если все точки X являются внутренними, т. е.
X С int X . Пустое множество 0 по определению считается
открытым.
Определение. Точка хо Е Мп называется точкой при-
прикосновения множества X С iRn, если
174

V?>0 I
Замыканием множества X называется clX - множество
всех точек прикосновения X. Множество X называется за-
замкнутым, если все точки прикосновения лежат в X, т. е.
с1Х С X. Пустое множество 0 по определению считается
замкнутым.
Лемма 1. УХ С Мп intX С X С
Доказательство. 1) Если хо G intX, то Зе > О :
U?(xo) С X, следовательно, хо € ^-
2) Если хо Е X, то \/? > 0 хо е U?(xo)f]X1 следова-
следовательно, \/? > 0 C4(xq) П X ф 0, а значит, xq G
Следствие.
1) Множество X открыто <=> X = i
2) Множество X замкнуто 4Ф X
Лемма 2. Если IcFc iRn, то int X С int У, с1Х С
Сс1У.
Доказательство следует непосредственно из опреде-
определений.
Лемма 3. Ve > 0 Vxq G iRn множество ?4(zo) откры-
открыто.
Доказательство. Пусть х G f4(^o). Требуется дока-
доказать, что х G intU?(xo). Определим 5 = в — \xq — x\. Так
как \х — хо\ < е, то 5 > 0. Покажем, что Щ(х) С U?(xo).
Действительно, если у G Usix)^ то \х — у\ < 5 и по неравен-
неравенству треугольника \у — х$\ < \у — х\ + \х — xq\ < 5 + \х —
— хо\ = е1 следовательно, у G U?(xo). Итак, Us(x) С U?(xo).
Поэтому х G int U?(xq).
175

Теорема 1. УХ С Мп выполняется:
1) intX является открытым множеством;
2) с\Х является замкнутым множеством.
Доказательство. 1) Обозначим У = intX. Пусть хо G
G У. Требуется доказать, что хо G int У. Так как xq G У =
= intX, то Зе > О : ?4(zo) С X. По лемме 2 intC4(xo) С
int X. В силу леммы 3 intU?(xo) = U?(xo), следовательно,
?4(жо) С intX = У. Поэтому хо G int У.
2) Обозначим У = с1Х. Пусть хо G с1У. Требует-
Требуется доказать, что xq G У. Так как :го G с1У, то Ve >
> 0 U?/2(xo) П Y ф 0, т. е. Ve > 0 3m(e) G C/e/2(rr0) f) ^-
Так как хх{е) € У = с1Х, то Зж2(е) G ^(^(е))!^^. В
силу неравенства треугольника |гго — 2Г2(е)| < |хо — ^x(e)| +
+ \x1(s)-x2(e)\ <e/2 + e/2 = e.
Итак, Ve > 0 Зх2(е) € ХП^е(жо), т.е.
Ve > О X П ?^(го) # 0, а значит, xQ e c\X = Y.
Лемма 4. Пусть X С Rn. Тогда
2)
Доказательство.
1) rr0 G iRn \ int X «=> -.(ж0 € int X)
-(Зе > 0 : C/?(rr0) С X)
Ve > 0 C/e(x0) ^ X ^=
Ve>0 U?(xo)f](Mn\X)^(D
4=» ж0 € cl (iRn \ X).
2) Доказать самостоятельно.
Теорема 2. X - замкнуто <*=» iRn \ X - открыто.
176

Доказательство. X - замкнуто <=> X =
= dX «=Ф* Мп\Х = Мп\с1Х ?4 Мп\Х =
= int (Мп \X) <=> Мп\Х - открыто.
Определение. Границей множества X С Мп называ-
называется множество дХ = dX \ intX.
Лемма 5. хо G дХ <==> We > О 3zi,Z2 € U?(xo) :
xi е х, х2 & х.
Доказательство. По определению dX xq G
edX <=> Ve>0 3xieU?(x0) : xi eX.
По определению int X xo 0 intX ^=^ -*Ce > 0 :
С7е(жо) С X) <=> \/e > 0 С7е(ж0) ^ X 4=Ф V^ >
> 0 3x2 e U?(x0) : x2gX.
Поэтому xq G cl X \ int X <==> Ve > 0 3xi, X2 G
G f4(^o) : ^i E X, X2 ^ X.
Задача. Найти intX, dX1 дХ. Выяснить, является ли
множество X открытым или замкнутым.
а) полуплоскость X = {(х\,х2) G М2 : х\ > О,х2 G iR};
б) интервал X = {{хъх2) G Ш2 : хг = 0, х2 G (-1,1)}.
§ 9. Сходимость в Мп
Определение. Говорят, что последовательность
{хк} С Мп сходится к точке хо G Жп и пишут lim x^ =
к—>оо
= хо, если
V^>0 ЗЛГ: Vfc>7V xfcGC/?(xo)}
) ЗЛГ :
~хо| =0.
т.е. Уе > О ЗЛГ : Ук > N \хк — хо\ < е, т.е. lim \
к—юо
177

Лемма 1. Пусть заданы последовательность {хк} С
С Rn, хк = (ж?,ж|,...,ж?) и точка х0 = (ж?,ж§,...,ж?) G
G iRn. Тогда
lim хк = х0 <=> Vz G {1,..., п} lim ж* = Жд.
к—>оо fc—>оо
Доказательство. 1) Пусть lim ж^ = жо. Тогда \/г G
/с—юо
G {1,...,п} (хгк -хг0J < \хк -жо|2 —> 0 при к —> оо, следо-
следовательно, Жд. —> Жд при к —> оо.
2) Пусть \/г G {1, ...,n} lim ж! = Жд. Тогда по теореме
к—>оо
о пределе суммы |ж^-жо|2 = (ж^-ж^J + ... + (ж^-ЖоJ —> О
при А; —> оо, следовательно, lim ж^ = жо.
/с—>оо
Теорема 1. (Эквивалентное определение замыкания
множества.)
жо G с1Х <=> 3{ж^} С X : lim хк = xq.
к—+оо
Доказательство. 1) Пусть 3{ж&} С X : lim хк =
к—+оо
= жо- По определению предела имеем \/е > 0 3iV :
Ук > N хк G С4(ж0). Поскольку ж^ G X, то Ve >
>0 С/?(хо)ПХ^0, т.е. жoGclX.
2) Пусть жо G с1Х. Тогда по определению с\Х Уе >
> 0 Xf]U?(x0) ф 0, следовательно, Ук е N Зхк G
G X Р| C^i/^C^o)- Так как |ж* — жо| < 1/к —> 0 при А: —> оо, то
lim ж^ =
к—>оо
Определение. Множество X С iRn называется огра-
ограниченные, если ЗС G М : Уж G X |ж| < С. В частности,
последовательность {ж^} G iRn называется ограниченной,
если ЗС eM:VkeN \xk\ < С.
178

Напомним определение подпоследовательности, ко-
которое имеет один и тот же вид как для числовых после-
последовательностей, так и для последовательностей из Шп.
Определение. Последовательность {ж^.}^ называет-
называется подпоследовательностью последовательности
если V? в N kj+i > kj.
Теорема 2. (Теорема Больцано-Вейерштрасса в Мп.)
Из любой ограниченной последовательности {х^} С Мп
можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство проведем индукцией по размерно-
размерности пространства Жп. При п = 1 доказываемая те-
теорема следует из теоремы Больцано-Вейерштрасса для
числовых последовательностей. Пусть доказываемая те-
теорема справедлива при п = щ. Докажем тогда,
что данная теорема справедлива при п = щ + 1.
Пусть последовательность {xk}^=i ограничена, х^ =
= D,х|,...,х?0,х?0+1) е iRno+1. Рассмотрим последо-
последовательность {yk}f=v где ук = (x\,x2k,...,xl°) e Мп°.
Поскольку \ук\ < \хк\, то последовательность {у^} так-
также ограничена. По предположению индукции из после-
последовательности {yk}^i можно выделить сходящуюся под-
подпоследовательность {укт}т=1- Рассмотрим подпоследова-
подпоследовательность {xkrn}<^=i последовательности {ж^}^?_1. Так как
{Укт}т=1 сходится, то первые щ координат последова-
последовательности {^fcm}m=i сходятся. Рассмотрим числовую по-
последовательность {а^0+ }ш=1? составленную из щ + 1-й
координаты последовательности {^fcm}m=i • Пользуясь те-
теоремой Больцано-Вейерштрасса для ограниченной число-
числовой последовательности {хг^0+1}^=1, выделим из нее схо-
сходящуюся подпоследовательность {я^+ }^i • Тогда все
координаты подпоследовательности {хьт. }^г сходятся и
по лемме 1 подпоследовательность {xk^.jj^i сходится.
179

Итак, доказано, что из произвольной ограниченной после-
последовательности {xk} С iRn°+1 можно выделить сходящую-
сходящуюся подпоследовательность {zfcm.}^Li, т.е. данная теорема
справедлива при п = щ + 1, что по индукции доказывает
теорему при любом п ? IN.
Определение. Множество X С Шп называется ком-
компактом, если из любой последовательности {х^} С X мож-
можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к неко-
некоторому элементу множества X.
Теорема 3. (Критерий компактности множества.)
Множество X С Мп является компактом тогда и только
тогда, когда X ограничено и замкнуто.
Доказательство. 1) Пусть X С Мп - ограниченное за-
замкнутое множество. Покажем, что X - компакт. Пусть
{х^} - произвольная последовательность элементов мно-
множества X. Так как последовательность {х^} ограничена, то
по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить под-
подпоследовательность {xkj}', сходящуюся к некоторому хо ?
е Мп. Поскольку {xkA С X и хо = lim я*., то по теоре-
J j—юо 3
ме 1 х0 G с\Х. В силу замкнутости X xQ ? X.
Итак, показано, что из произвольной последовательно-
последовательности {xk} С Мп можно выделить подпоследовательность
{xkj}, сходящуюся к некоторому элементу хо множества
X, т. е. X - компакт.
2) Пусть X - компакт. Доказательство того, что множе-
множество X ограничено и замкнуто, проведем методом от про-
противного.
а) Предположим, что множество X неограниченно. То-
Тогда Ук ? N 3xk G X : \xk\ > к. Поскольку д,ля лю-
любой подпоследовательности {х^} последовательности
180

выполняется lim |x^.| = +00, то из последовательности
j—>оо J
нельзя выделить подпоследовательность, сходящую-
сходящуюся к некоторому элементу множества X. Следовательно,
множество X не является компактом. Полученное проти-
противоречие показывает, что множество X ограничено.
б) Предположим, что множество X незамкнуто. Тогда
Зхо Е (с\Х)\Х. Так как х$ е с1Х, то по теореме 1 3{х^} С
С X : lim х^ = xq. Так как любая подпоследователь-
к—юо
ность {х^} сходится к хо ? X, то из последовательности
{xk} нельзя выделить подпоследовательность, сходящую-
сходящуюся к некоторому элементу множества X. Следовательно,
множество X не является компактом. Полученное проти-
противоречие показывает, что множество X замкнуто.
181

ГЛАВА 6
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Предел функции многих
переменных
Определение. Пусть задано множество X С Мп. Го-
Говорят, что на множестве X определена функция многих
переменных f(x) = /(ж1, ж2, ...,жп) и пишут / : X —> Ш,
если каждой точке х = (ж1, ...,жп) Е X поставлено в соот-
соответствие единственное число /(ж), являющееся значением
функции / в точке х.
Определение. Проколотой е-окрестностью точки
хо Е Rn называется множество
= U?(x0) \ {х0} = {хеМп : 0 < \х - хо\ < е}.
Определение. Пусть функция /(ж) определена в неко-
о
торой U5o(xo) С Мп. Говорят, что элемент
А Е iR|J{+oo, — оо, оо} называется пределом функции
/(ж) при ж —* жо по совокупности переменных и пишут
lim /(ж) = А или lim /(ж1, ...,жп) = Д если
Х*Х°
(определение Коши):
We > 0 36 е @, So) : Уж е йбЫ f(x) G Ue{A);
(определение Гейне):
182

С/
V последовательности Гейне {ж&} С Us0(xo) (т.е. такой
последовательности, что lim ж& = xq и ж& ф xq Vfc € IN")
k—юо
выполняется lim f(xk) = A.
к—^оо
Эквивалентность двух определений предела функции
многих переменных доказывается так же, как и для функ-
функции одной переменной. Для функций многих переменных
справедливы теоремы о предельном переходе в неравен-
неравенствах, а также о пределах суммы, произведения и частно-
частного, аналогичные соответствующим теоремам для функций
одной переменной.
Определение. A G JR|J{+oo, *-°°> °°} называется пре-
пределом функции /(ж) в точке xq по направлению ? G Мп
{?фЩ, если lim /(х0 + U) = Л, т. е.
Ve > 0 35 > 0 : Vt € @,5) |/(ж0 + tf) - А\ < е. A)
Лемма 1. 1) Если А = lim /(x), то по любому напра-
х—>хо
влению предел функции / в точке хо существует и равен
А.
2) Обратное неверно.
Доказательство. 1) Пусть А = lim /(ж), тогда
х—>хо
Уе > 0 35 = 5{е) > 0 : Уж
0 < |ж - жо| < 50 => |/(ж) - А\ < е. ^
Зафиксируем произвольное направление ? € Мп \ {0}. Для
любого числа в > 0 определим число 5\ = 5i(e) = 5(e)/\?\,
где функция 5(е) определена в условии B). Тогда Vt G
G @,5\) при х = xq + t? выполнено неравенство |ж — жо| =
= t\?\ < 6(е). Отсюда, учитывая B), получаем A), т.е.
lim /(ж0 + U) = А.
183

2) Пусть Мп = JR2, x = (ii,v), f(u,v) = $??. По-
Покажем, что в точке xq = @,0) предел функции / по любо-
любому направлению I = (а, /?) ф @,0) существует и равен 0,
однако предела по совокупности переменных lim f(u, v) не
v->0
существует.
а) Поскольку f(x0 + tl) = f(ta,t/3) = ^J]^^ =
то при а^О имеет место неравенство
\f(ta,tf3)\ < г-2§- -+ 0 (t -+ 0), а при а = 0, /? ф 0 вы-
полняется равенство /(to, t/3) = 0.
Следовательно, W = (а, /?) ^ @,0) 3 lim /(жо+^) = 0.
б) Заметим, что при и = v2 ф 0 /(гл, г;) = ^ = \, а
при гг = 0, v Ф 0 /(п, г;) = 0. Рассмотрим две последова-
последовательности: {(ukivk)} = {(^, i)} и {(ufc,{;fc)} = {@, i)}. Эти
две последовательности являются последовательностями
Гейне, сходящимися к точке @,0). Так как lim /(г^, Vk) —
/с—^оо
= 1^0= lim /(й^,г;^), то предела функции / в точке
к—>оо
@,0) по совокупности переменных не существует.
Определение. Пусть задана функция двух перемен-
переменных f(x,y) и точка (#о,уо) ^ ^2* Для любого фик-
фиксированного числа у предел функции одной переменной
lim /(#, у) (если он существует) обозначим через (р(у). То-
гда
lim ip(y) = lim lim /(#, у)
У-+УО У-+УО x-+xo
называется повторным пределом функции / в точке
(^(ь Уо)- Предел lim lim /(x, у) также называется повтор-
х-*х0 у-*уо
ным пределом функции / в точке (хо,уо)- Аналогично
можно определить повторные пределы функции п пере-
переменных.
184

Замечание 1. Из существования повторного предела
не следует существование предела по совокупности пере-
переменных. Например, для функции f(u,v) = Ji+V4 повтор-
повторные пределы в точке @,0) равны нулю, а предел по сово-
совокупности не существует.
Замечание 2. Из существования предела по совокуп-
совокупности переменных не следует существование повторного
предела. Например, для функции
и + v) sin — sin —, uv "Ф 0,
), uv = 0
предел по совокупности переменных в точке @,0) равен 0,
а повторные пределы не существуют.
§ 2. Непрерывность функции
многих переменных в точке
Определение. Пусть функция / определена в неко-
некоторой окрестности точки хо E JRn. Тогда / называется
непрерывной в точке х$ (по совокупности переменных), ес-
если предел функции / по совокупности переменных в точке
хо существует и равен f(xo): lim f(x) = /(xq).
X—+XQ
Определение. Функция f(x) = /(х1, ...,хп) называ-
называется непрерывной в точке хо = (xq,...,Xq) no перемен-
переменной х\ если функция (р(хг) = f(xl,...,xlo~1,xi,xlj~1,...,x%)
непрерывна в точке хг0.
Замечание 1. Если функция /(х1, ...,хп) непрерывна
по совокупности переменных в точке хо, то она непрерыв-
непрерывна по каждой переменной в отдельности. Действительно,
в силу леммы 1 § 1 из условия lim /(x) = /(хо) следует,
X—+XQ
185

что предел по направлению каждой из координатных осей
функции / в точке хо равен /(хо), T-е- функция непрерыв-
непрерывна по каждой переменной в отдельности.
Замечание 2. Из непрерывности функции /(ж1, ...,хп)
по каждой переменной в отдельности не следует непрерыв-
непрерывность / по совокупности переменных. Например, функция
[О, и2 + v2 = О
непрерывна в каждой точке по каждой переменной в от-
отдельности, но не является непрерывной в точке @,0) по
совокупности переменных.
Определение. Говорят, что на множестве X С Rn за-
задана вектор-функция f : X —> JRm, если каждому век-
вектору х € X поставлен в соответствие единственный вектор
f{x) e Rm.
Заметим, что задание вектор-функции / : X —» Шт
эквивалентно заданию т скалярных функций fi'.X—^M,
являющихся компонентами вектор-функции /: /(я) =
Определение. Пусть заданы множество X С Шп и
вектор-функция / : X —> JRm\ пусть х0 € и&Х (т.е.
3<5о > 0 : Us0(xo) С X). Вектор-функция / называется
непрерывной в точке хо, если lim /(х) = /(хо), т.е.
х—+хо
(определение Коши):
\х - хо\ < 6 => \f(x) - f(xo)\ < е;
(определение Гейне):
186

V{zaJ С Uso(x0) lim xk = x0 =* lim /(xfc) = f{x0).
к—юо к—»oo
Здесь в определении Коши не требуется, что х ф хо, а в
определении Гейне не требуется, что хк ф хо, так как при
х = #о выполняется равенство f(x) —
Лемма 1. Вектор-функция f(x) = (Л(я),..., fm(x))
непрерывна в точке xq G Шп тогда и только тогда, когда
каждая координата fi(x) непрерывна в точке хо-
Доказательство аналогично доказательству соответ-
соответствующей леммы для вектор-функций одной переменной.
§ 3. Непрерывность функции
многих переменных на множестве
т
Определение. Пусть вектор-функция / : X —* Ш
определена на множестве X С Шп. Вектор-функция f(x)
называется непрерывной на множестве X, если
(определение Коши):
Ух0 е X Уе > 0 35 > 0 :\/х е X
\х-хо\ <5 => \f(x)-f{xQ)\ <e;
(определение Гейне):
Vx0 ? X V{xk} С X lim хк = х0 => lim f(xk) = f(x0).
п—>оо n—>oo
Замечание. Если множество X открыто, то непрерыв-
непрерывность функции на множестве X означает непрерывность в
каждой точке X.
Теорема 1. (О непрерывности сложной функции.)
Пусть заданы множества X С iRn, Y С Мт и вектор-
функции / : X —> iRm, д : Y —> ]RP, непрерывные на
187

своих множествах определения. Пусть f(X) С У. Тогда
сложная вектор-функция ср(х) = g(f(x)) непрерывна на
множестве X.
Доказательство. Так как функция д непрерывна на
множестве У, то
Vj/o е У Ve > 0 За > О : V</ e У \y-yo\ => \д{у)-д(уо)\ < е.
A)
Из непрерывности функции / на множестве X следует, что
Vx0 € X 35 > О : Vx е X \х - хо| => |/(х) - /(хо)| < а.
Отсюда, применяя условие A) для у = /(я), уо = /(жо),
получаем
Vx0 е X Ve > 0 35 > 0 :
Vx е X \х- хо| => b(/(rr)) - fl(/(w>))| < е,
т. е. вектор-функция <р(х) = g(f(x)) непрерывна на множе-
множестве X.
Теорема 2. Пусть вектор-функция f : X -+ Мт
непрерывна на компакте X С Шп. Тогда множество значе-
значений f(X) является компактом.
Доказательство. Пусть задана произвольная последо-
последовательность {ук} С f(X). Требуется доказать, что суще-
существует подпоследовательность {у^}, сходящаяся к неко-
некоторому уо е f(X). Так как ук е f(X), то существует хк е
G X: f{xk) = у к- Поскольку X - компакт, то существу-
существует подпоследовательность {х^.}, сходящаяся к некоторо-
некоторому хо G X. В силу непрерывности вектор-функции / на
множестве X имеем lim /(х&.) = /(хо), т.е. lim yk =
j—+oo 3 j-+oo 3
= yo = f(xo)ef(X).
188

Следствие. Если вектор-функция / непрерывна на
компакте X С iRn, то она ограничена на X.
Доказательство. В силу теоремы 2 множество f{X) -
компакт, следовательно, является ограниченным множе-
множеством. Это и означает ограниченность вектор-функции /
на множестве X.
Теорема 3. (О достижимости точных граней
непрерывной функции.) Пусть скалярная функция
/ : X —> М непрерывна на компакте X С Шп. Тогда
3min/(z) e JR, 3max/(x) € Ш.
Доказательство. По теореме 2 множество значений
f(X) С Ш является компактом. По теореме 3 § 11 главы 1
существуют минимум и максимум любого компакта из М.
Определение. Множество X С Мп называется
связным, если любые две точки х\ и хч множества X мож-
можно соединить кривой Г, лежащей в X, т. е. Vxi,^2 G X су-
существует вектор-функция r(t\ непрерывная на некотором
отрезке [ti,^] и такая, что r{t\) = rci, rfo) = ^2, r(t) G
eX vte [ti,t2].
Теорема 4. (О промежуточном значении.) Пусть ска-
скалярная функция /(#) непрерывна на связном множестве
X С Шп и принимает на X значения у\ и у^. Тогда f{x)
принимает на X все значения, лежащие между yi и уч-
Доказательство. Пусть функция f{x) принимает зна-
значения 2/1 и ?/2 в точках хьх2 G X: /(хх) = yu f(x2) =
= у2- В силу связности множества X существует непрерыв-
непрерывная на отрезке [^1,^2] вектор-функция г : [?1,?г] —* X та-
такая, что r(ti) = xi, rfa) = Х2. Так как сложная функция
189

= f(r(t)) непрерывна на отрезке [*i, *г]» т0 п0 теоре-
теореме Коши о промежуточном значении для функции одной
переменной для любого числа уо> лежащего между у\ и у2,
существует to € [*1»*2]« ?>(^о) = Уо- Следовательно, жо =
= r(t0) е X и /(ж0) = 2/о.
Определение. Открытое связное множество называ-
называется областью.
Заметим, что множество определения функции мо-
может не являться областью. Поэтому лучше говорить не
"область определения функции", а "множество определе-
определения функции".
Задача. Являются ли областями в Мп следующие мно-
множества
а) Ue(xo), где е > 0, х0 е Шп\
б) {х € ЛГ : \х - хо\ > е}, где е > 0, х0 G Шп\
в) Uei(a)\JUS2(b), где еие2 > 0, а,Ь G Шп, \Ь - а\ >
>ег+ е2?
Указания: 1) открытость ^-окрестности в Мп доказана
в главе 5;
2) для доказательства несвязности множества (в) при-
применить теорему о промежуточном значении для непрерыв-
непрерывной функции /(ж) = \х — а\.
§ 4. Равномерная непрерывность
функции на множестве
Определение. Пусть функция /(ж) определена на
множестве X С Мп. Говорят, что /(./•) равномерно
непрерывна на X, если
190

Ve>0 36>0:Vx,x' eX \x-x'\ < 6 =» \f(x) - f(x')\ <e.
A)
Лемма 1. Если функция f(x) равномерно непрерыв-
непрерывна на множестве X, то она непрерывна на множестве X.
Обратное неверно.
Доказательство. Условие непрерывности функции на
множестве X можно записать в виде
Vx G X Ve > 0 36 > О : W € X
B)
\х-х'\<8 => \f{x)-f{x')\<e. K }
Формально условия A) и B) отличаются порядком кван-
кванторов; фактическое отличие этих условий состоит в том,
что в условии A) число 6 - единое для всех я, т.е. не за-
зависит от х, а в условии B) число 6 - свое для каждого х.
Поэтому из условия A) следует условие B).
Покажем, что из условия B) не следует условие A). Рас-
Рассмотрим функцию f(x) = х2 на множестве X = М. По-
Поскольку f(x) = х2 - непрерывная функция, то условие B)
выполняется. Покажем, что для этой функции условие A)
не выполняется, т. е.
Зе>0:\/б>03х,х' еХ: \x-xf\ < S и \f(x)-f(xf)\ > е.
Действительно, возьмем е = 1, тогда V5 > 0 Зх = |, х1 =
= \ + | : \х - х'\ = 6/2 < S и |/(х) - Д*')| =
= (j + §) ~"^ =1 + 1" >б:* Следовательно, функция
f(x) = х2 не является равномерно непрерывной на JR.
Теорема 1. (Теорема Кантора.) Если функция f(x)
непрерывна на компакте X С iRn, то она равномерно
непрерывна на этом компакте.
191

Доказательство. Предположим противное, т. е. функ-
функция f(x) непрерывна на компакте X С JRn, но не является
равномерно непрерывной на X. Это означает, что
Зе > О : \/8 > 0 3х,х' € X : \х-х'\ < 6 и |/(х)-/(х')| > e.
Взяв последовательность {5к} — {?}, получим
3e>0:\/keN3xk,x'keX :
\хк-х'к\<Ъ и \f(xk)-№k)\>e. '
Поскольку X - компакт, то из последовательности {хк} С
С X можно выделить подпоследовательность ~{xkj}, схо-
сходящуюся к некоторой точке xq E X.
Покажем, что последовательность {xfk_} также будет
сходиться к хо- Действительно, в силу неравенства тре-
треугольника
\х'к. - хо\ < \хк. - хк. | + \хк. - хо| < — + \xkj - хо\ 3=^ 0.
К j
Итак, lim хк. = xq и lim x'h = xq. В силу непрерывно-
сти функции f(x) на множестве X имеем
lim f(xk) = f(x0) и lim /(xjL.) = /(xo), следовательно,
J—+OO J J-+OO J
lim \f(xkj)- f(x'k)\=0. D)
Применяя C) для к = kj, получим Зе > 0 : Vj G
G W 1/(^-)""/(хА;.I ^ 5? чт0 противоречит D). Получен-
Полученное противоречие показывает, что непрерывная на компак-
компакте функция должна быть равномерно непрерывна на этом
компакте.
192

Определение. Функция шF) = sup \f(x) - f(x )|
x,xfex
\х-х'\<5
называется модулем непрерывности функции / на множе-
множестве X.
Лемма 2. Функция f(x) равномерно непрерывна
на множестве X С Мп тогда и только тогда, когда
lim иF) = 0.
Доказательство, а) Пусть функция / равномерно
непререрывна на множестве X, т. е.
Уе > 0 350 > 0 : Vx,x' G X |х-х'| < 60 =» |/(х)-/(х')| < е.
E)
Тогда при 5 G (O,5o), x,x; G X, \х — х'\ < 5 выполняется
неравенство \f(x)-f(x')\ < г. Следовательно, иF) < е при
6е@,50). Итак,
Уе > 0 350 > 0 : V5 е @,50) cj(*) < 5.
Отсюда и из неравенства и;F) > 0 следует, что
lim шF) = 0.
б) Пусть lim u;(S) = 0. Тогда по определению предела
V5 > 0 350 > 0 : V5 G @,<50) о;E) < 5.
Тогда для любых х, х7 G X таких, что |х - х;| < 5о выберем
число S из условия |х - х'\ < 8 < So и получим |/(х) -
f(x')\ < иF) < е. Следовательно, выполняется условие E),
т. е. функция / равномерно непрерывна на множестве X.
¦
Задача. Найти модуль непрерывности функции /(ж) =
= у/х на множестве X = [0, +оо). Является ли функция /
равномерно непрерывной на множестве X?
193

Задача. Пусть функция f(x) дифференцируема на ин-
интервале (а, 6). Как связаны условия
а) функция / равномерно непрерывна на (а, 6);
б) производная функции / ограничена на (а, 6)?
Задача. Пусть функция / непрерывна на полуинтерва-
полуинтервале [а, 6). Как связаны условия
а) функция / равномерно непрерывна на [а, 6);
б) существует конечный предел lim f(x)?
х—»Ь—О
§ 5. Дифференцируемость функции
многих переменных. Геометрический
смысл градиента и дифференциала
Определение. Пусть функция f(x) = /(яь..., хп)
определена в Us(x°) С Мп. Функция f(x) называется диф-
дифференцируемой в точке х° = (:eJ, ... ,:е^), если существует
вектор А = (А\,..., An) G Мп такой, что
/(^) -/(^°) = (А^-^°) + о(|^-^°|) при х^х\
где (А,х — х°) = Ai(xi — xj) +... + Ап(хп — хп) - скалярное
произведение векторов А и х — х°; о(\х — х°\) - это
такая функция <р(х), что lim т^Щц = 0.
При этом вектор А называется градиентом функции /
в точке х° и обозначается через grad/(:r0).
Итак, функция / дифференцируема в точке ж0, если
существует вектор grad/(^°) e ]Rn такой, что
f(x)-f{x°) = {grbdf{x0),x-x0)+o(\x-x°\) при х-+х°.
Определение. Дифференциалом функции / в точке х°
называется линейная относительно приращений независи-
независимых переменных Х{ — х\ функция
° 0
194

Для дифференцируемой в точке х° функции / справед-
справедливо равенство
Выясним геометрический смысл градиента и диф-
дифференциала. Для простоты будем рассматривать функцию
двух переменных f(x, у), заданную на множестве G С М2.
Определение. Графиком функции / : G —> М называ-
называется множество
Зафиксируем точку (ге0, Уо) € int G. Через точку графи-
графика (жо,уо>/(^О)Уо)) проведем плоскость а с нормальным
вектором п = {nx,ny,nz). Уравнение этой плоскости имеет
вид
пх(х - х0) + пу(у - г/о) + nz(z - /(х0, уо)) = 0.
Будем предполагать, что плоскость а невертикальна, т. е.
nz ф 0. При этом уравнение плоскости а можно переписать
в виде z = /(жо,г/о) ~ ^(^ ~ ^о) ~ ^{у ~ Уо)- Обозначив
Nx = ~^j Ny = -^-, получим уравнение плоскости а в
следующем виде:
z = za(x, у) = f(xo,yo) + Nx(x - х0) + Ny(y - yQ). A)
Вектор (Nx,Ny, —1) является нормальным вектором плос-
плоскости а.
Определение. Плоскость вида A) будем называть ка-
касательной плоскостью к графику функции /(ж, у) в точке
195

)> если она приближает график функции с
точностью до о(\(х,у) - (жо,уо)|) ПРИ (ж>2/) ""* (жо,Уо), т.е.
/(*, У) - Za(x, У) = О (х/(^-^0J + (У-У0J) B)
при ж -> жо> у -> г/о-
Теорема 1. (О геометрическом смысле градиента и
дифференциала.) Пусть функция f(x,y) определена в
окрестности точки (#о>Уо)- Касательная плоскость к гра-
графику функции / в точке {xo,yo,f(xo,yo)) существует то-
тогда и только тогда, когда функция / дифференциру-
дифференцируема в точке (#(ьУо)- Для дифференцируемой функции
вектор (grad/(:ео, уо)> ~1) является нормальным вектором
касательной плоскости, а дифференциал функции равен
приращению аппликаты касательной плоскости:
d/(a?o,yo) = za{x,y) - za(x0,y0).
Доказательство. Из формул A), B) следует, что ка-
касательная плоскость а существует в том и только в том
случае, когда существуют числа Nx, Ny такие, что
/(я, у) - /(ж0, г/о) - Nx(x - х0) - Ny(y - yQ) =
= ° [V(x ~ xoJ + {У~ УоJ) при (ж, у) -> (а?о,уо)-
Это условие эквивалентно дифференцируемости функции
/ в точке (:го,уо)> причем в случае дифференцируемости
grad/(#o,yo) = (NXjNy). Нормальный вектор касатель-
касательной плоскости а можно записать в виде (Nx,Ny,—l) =
= (grad/(zo,yo),-l).
Из условия grad/(#o,yo) = (Nx,Ny) и формулы A) по-
получаем
, Уо) = Nx(x - х0) + Ny(y - г/о) = ^(ж, у) - za(x0, yQ).
196

§ 6. Необходимые условия
дифференцируемости.
Производные по направлению
и частные производные
Теорема 1. (Первое необходимое условие дифферен-
дифференцируемости.) Если функция f(x) определена в окрестно-
окрестности точки х° и дифференцируема в этой точке, то функ-
функция f(x) непрерывна в точке х°.
Доказательство. Из условия дифференцируемости
функции / в точке х°
следует, что lim(f(x) — f{x0)) — О, т.е. функция /
непрерывна в точке х°.
ш
Определение. Производной функции / в точке х° по
направлению ? Е Мп называется
Теорема 2. (Второе необходимое условие дифферен-
дифференцируемости.) Если функция / дифференцируема в точке
х° е iRn, то производная по любому направлению ? G Мп
существует и равна скалярному произведению градиента
на вектор направления ? :
Доказательство. Пусть функция / дифференцируема
в точке х° G iRn, т. е.
197

f(x)-f(x0) = (gmdf{x°),x-x0)+o(\x-x°\) при x^x°.
Зафиксировав произвольное направление ? Е lRn и под-
подставив х = х° + U в предыдущую формулу, получим
),t?)+o{t) при
следовательно,
9-1{х°) = (grad/(*V) +^
Лемма 1. (Второй геометрический смысл градиен-
градиента.) Если функция f(x) дифференцируема в точке х° и
grad/(^°) ф 0, то направление grad/(^°) является напра-
направлением наиболее быстрого возрастания функции / в точ-
точке ж0, а направление —grad/(^°) является направлением
наиболее быстрого убывания функции / в точке х°. Ины-
Иными словами,
1) max %{xQ) достигается на векторе ? =
2) mm §{(я°) достигается на векторе I = -
Доказательство. 1) Обозначим ?q = ,g^ {fcm- Тогда в
силу теоремы 2 §^(х°) = |grad f{xo)\. Из теоремы 2 следует
также, что W е Мп при \?\ = 1 выполняется %(х°) =
= (grad/(^)^) < |grad/(xo)| \?\ = |grad/(xo)| = ^(д:0).
Следовательно, тах|{(ж0) достигается на векторе ?q.
Пункт B) доказывается аналогично.
Замечание 1. Из существования производных по всем
направлениям функции / в точке х° не следует дифферен-
цируемость функции / в точке х°.
198

Действительно, рассмотрим функцию
> если ж = у2 ^0 {л\
, если гг^у2 или (ж,у) = @,0). lj
Поскольку для любого направления ^ = (^1,^2) ? ^?2 35 >
> 0 : Vt G @,5) f(S?uS?2) = 0, то производная §{@,0)
по любому направлению ? Е Ш? существует и равна 0, од-
однако функция / не является дифференцируемой и даже
непрерывной в точке @,0).
Определение. Частной производной функции f(x) =
= f(xi,...,xn) по переменной Х{ в точке х° = (rcj, ...,a;J[) на-
называется производная функции одной переменной tp(xi) =
= /(a?5,...,^i_i,^t,^i+i,...,^n) в точке ж?:
— Г
Иными словами, для того чтобы вычислить частную про-
производную функции / по переменной х\, нужно зафиксиро-
зафиксировать все остальные переменные (при этом получится функ-
функция одной переменной Xi), а затем - вычислить производ-
производную полученной функции одной переменной.
Лемма 2. (О связи частных производных и производ-
производных по направлению.) Частная производная ^г(#°) суще-
существует тогда и только тогда, когда для направлений ?f =
= @,..,0,+1,0,..,0) т?т = @,...,0,-1,0,...,0) (где ±1
стоит на г-м месте) производные по направлению -^р(х°)
г
и -gj=(x°) существуют и Шг(х°) = -^(ж°). При этом
df
199

Доказательство. Рассмотрим функцию одной пере-
переменной (f(t) = /(#i,...,#i_i,#i + *>ж?-ц> —>хп) = /(ж° +
+ t?f). Из определений частной производной и производ-
производной по направлению следует, что
= _^ (о).
B)
Как было доказано в главе 3, производная функции одной
переменной у?'@) существует тогда и только тогда, когда
правая и левая производные <^+@) и ?>-@) существуют и
равны между собой и при этом ^@) = ?>+@) = ^-@)-
Отсюда и из формул B) получаем утверждение леммы.
¦
Теорема 3. (Третье необходимое условие дифферен-
цируемости.) Если функция / дифференцируема в точке
х° G iRn, то в этой точке все частные производные §?:{х°)
существуют и совпадают с соответствующими координата-
координатами вектора градиента:
Доказательство. По теореме 2 производные по напра-
направлениям координатных осей if = @,..., 0,1,0,..., 0)
(где 1 стоит на г-м месте) существуют и ^tf(x°) —
— (gra,df(x°),if), т.е. равны соответствующим координа-
координатам вектора градиента. Аналогично, производные по про-
противоположным направлениям -трг(х°) (где i~ = ~^f) су-
существуют и равны соответствующим координатам вектора
градиента с обратным знаком. Отсюда и из леммы 2 полу-
получаем, что частные производные &?г(я°) существуют и рав-
равны соответствующим координатам вектора градиента.
200

Замечание 2. Из существования частных производ-
производных по всем переменным не следует дифференцируемость,
а значит, не следует существование градиента функции.
Например, все частные производные функции A) в точке
@,0) существуют и равны нулю, однако эта функция не-
дифференцируема в точке @,0).
Теорема 4. (О связи частных производных и диф-
дифференциала функции.) Если функция f(x) = f{x\,...,xn)
дифференцируема в точке х° = (rrj,...,:*^), то для диф-
дифференциала функции / в точке х° справедлива формула
^(x°)dxi, где
Доказательство. По определению дифференциала
df(x°) = (grad/(^0),^ — х°). Следовательно, по теореме
t=l
§ 7. Достаточные условия
дифференцируемости
Теорема 1. Если все частные производные ^-, г =
= 1,...,п определены в окрестности точки х° е Мп и
непрерывны в точке ж0, то функция f(x) дифференцируе-
дифференцируема в точке х°.
Доказательство проведем для функции двух перемен-
переменных /(ж,у), где х,у е М. Пусть частные производные
&;(Х>У) и %(Х^У) непрерывны в точке (жо,Уо)-
Представим приращение функции / как сумму прира-
приращений по каждой переменной:
о) = f(x,y) - f(xo,y) + f(xo,y) - f(xQ,yo).
A)
201

Зафиксировав у и применив теорему Лагранжа о среднем
к функции одной переменной (р(х) = f(x, у), получим, что
существует число ?, лежащее между х и xq, такое, что
ср(х) - <р(хо) = <//(?) • (х — яо). Иными словами, существу-
существует число в Е @,1), зависящее от х и у, такое, что </>(#) ~~
(ж-жо),т.е. f{x,y)-f{xo,y) =
- *о), у) * (^ - *о).
Определим функцию е(ж,г/) = д^(д?о + ^(^ — хо),у) -
)- Тогда
(жУ)(^^о) + в(жу)-(ж-жо). B)
Так как частная производная -g^(x,y) непрерывна в точ-
точке (жо,г/о) и ^ е (°>!)> то Jy? ЦС^о + ^(^ - хо),у) =
у-»-уо
со,уо)? и, следовательно, Jim е(х,у) = 0. Поэтому
(ж - х0)
т.е. е(х,у) • (ж - д:0) = о ^(ж - ж0J + (у - уо
—> а?о, У -^ Уо)' Отсюда и из B) получаем
/(я,у) - f(xo,y) = -д^Ы^Уо) -{х-хо) +
+ о \^/{х - х0J + (у - yoJJ при ж -> ж0, у -^ у0.
Аналогично,
о) = ^-(*О|Уо) • (У - Уо) +
+ о (у(х - х0J + (у - уоJ) при ж -> ж0, у -* уо-
202

Следовательно, учитывая A), получаем
f(x,y)-f(xQ,y0) = ^
+о
х0J
при
у
что доказывает дифференцируемость функции /(я, у) в
точке (#(ьУо)- Случай функции п переменных (п > 3) рас-
рассматривается аналогично.
§ 8. Дифференцирование сложной
вектор-функции
Определение. Пусть вектор-функция
f(x) = (fi(x),...,fm(x)) определена в некоторой окрестно-
окрестности точки х° G Мп. Будем говорить, что вектор-функция
/ дифференцируема в точке ж0, если все ее координаты
fk(x) {к = 1,...,тп) дифференцируемы в точке х°. Матри-
Матрицей Якоби вектор-функции / в точке х° называется следу-
следующая матрица, составленная из частных производных:
Заметим, что в к-& строке матрицы Якоби стоят коорди-
координаты градиента скалярной функции fk(x).
Лемма 1. Вектор-функция / : X —> Мт дифферен-
дифференцируема в точке х° е intX С Мп тогда и только тогда,
когда существует матрица А размера т х п, такая, что
при
A)
203

1{Х) Х\
где f{x) = ••• , х = ••• , o(|as — Я5°|) =
fm(x)
о(\х-х«\)
- столбцы высоты га, n и т соответствен-
о(\х-х°\)
но, а, А (х - х°) - произведение матрицы А на столбец х —
Причем если выполняется условие A), то матрица А
совпадает с матрицей Якоби вектор-функции / в точке х°.
Доказательство. По определению дифференцируемо-
дифференцируемости скалярная функция /&(#) дифференцируема в точке
ж0 тогда и только тогда, когда существует вектор а^ =
= (a>ki,-,Q>kn) € М1 такой, что
ii
B)
Так как набор условий B) при к = 1,...,га можно запи-
записи • • • а»\п
сать в матричном виде A), где А —
0-7721 • • • 0"тп
то условие A) эквивалентно дифференцируемости вектор-
функции / в точке х°.
В силу третьего необходимого условия дифференциру-
дифференцируемости (теорема 3 § 6) из условия B) следует, что аы =
= aS~(^0)> поэтому из условия A) следует, что А = Vf(x°).
Лемма 2. Если вектор-функция f(x) =
дифференцируема в точке х° G Мп, то
df(x°) = Vf(x°)dx. C)
204

Доказательство. В силу теоремы 4 § 6
1=1
Записывая эти уравненения в матричном виде, получим
уравнение C).
Теорема 1. (О дифференцировании сложной функ-
функции.) Пусть заданы множества X С Мпу Y С Мт и вектор-
функции f : X -^ Y и д :Y -^ JBP. Пусть вектор-функция
/ дифференцирума в точке х° G int X, а вектор-функция д
дифференцируема в точке у0 Е int Y. Тогда сложная функ-
функция <р(х) = g(f(x)) дифференцируема в точке ж0, а матри-
матрица Якоби функции (р равна произведению матриц Якоби
функций д и /:
-Vf(x°),
или в координатной форме:
(г = 1,...,р, з = 1,...,п).
Доказательство. Применяя лемму 1 для вектор-
функций f(x) и д(у), получим
){x-x0) + o(\x-x°\) при ^-^х°,
9(у)-д(у0)=Ъд(у0)(у-у0) + о(\у-у°\) при у -, у0.
Подставляя в последнюю формулу у = /(я), 2/° — fix°)>
получим
205

9(f(x))-g(f(x°)) =
= Vg(y°) {Vf(x°) (x - x°) + o(\x - x°\)) + o(\f(x) - f(x°)\)
при x —> x°. Поскольку
Vg(y0)o(\x-x0\)=o(\x-x°\),
-/(x°)|)=5(|x-x°|) при х^х\
и <р(х) = g(f(x)), то
ф) - ф°) = Vg(y°) -Vf(x°) (x - x°) + o(\x - x°\)
при x —* x°.
Отсюда по лемме 1 следует, что функция ср дифферен-
дифференцируема в точке х° иТ>(р(х°) = Vд(у°) -Т>/(х°).
Теорема 2. (Инвариантность формы первого диф-
дифференциала.) Пусть вектор-функция у = f(x) дифферен-
дифференцируема в точке х° G -Рп, а вектор-функция z = g(y) диф-
дифференцируема в точке у0 = f(x°) G Mm. Тогда формула
для дифференциала сложной функции z = <р(х) = g(f(x))
и формула для дифференциала простой функции z — д{у)
имеют один и тот же вид
dz = Vg(y°)dy, D)
где в случае простой функции dy - это приращение незави-
независимой векторной переменной у, а в случае сложной функ-
функции dy - это дифференциал функции у = f(x) в точке х°.
Доказательство. Для простой функции формула D)
следует из леммы 2. Пользуясь этой же леммой для вектор-
функций z = (р{х) и у = /(я), получим dz = dcp(x°) =
)dx, dy = df(x°) - Vf(x°)dx.
206

В силу теоремы о дифференцировании сложной функ-
функции V(p(x°) = Vg(y°) • Vf(x°)y следовательно, dz =
= Vg(y°) V f(x°) dx = Vg(y°) dyy т. е. справедлива форму-
формула D) для сложной функции.
§ 9. Частные производные и
дифференциалы высших порядков
Определение. Пусть в окрестности точки х° Е Мп
существует частная производная §?:(х) функции f(x) =
= /(#1, ...,а;п). Частная производная функции ?—(#) по
переменной Xj в точке х° называется частной производ-
производной второго порядка функции f(x) и обозначается через
дхдхг(х°) или fxiXj(x°)- Частная производная порядка к
определяется индукцией по к:
dkf д
Vik
Например, для функции двух переменных f(x,y) мож-
можно рассматривать четыре производные второго порядка:
S> S> щк> 0- Производные ^ и ^ называют-
называются смешанными.
Замечание. Смешанные производные могут зависеть
от порядка дифференцирования. Например, для функции
имеет место неравенство /зУ@,0) ф /уХ@,0).
Теорема 1. Пусть обе смешанные производные
d2f / \ d2f t \
ggg-(a:,2/) и -щщу^^У) определены в окрестности точки
207

(жо,2/о) и непрерывны в этой точке. Тогда
оказательство. Поскольку смешанные производные
определены в окрестности точки (#о5Уо)> то 36 > О такое,
что смешанные производные определены в квадрате
{(х,у) : \х- хо\ < 5,\у — 2/01 < S}.
При * G (S,5) определим функцию
w(t) =
Зафиксируем произвольное * G (S,5) и применим те-
теорему Лагранжа о среднем для функции <р(х) = /(#,Уо +
+1) - f(x,yo). Получим, что существует число в\ G @,1),
зависящее от t и такое, что ip(xo + t) — ip(xo) = ^'(^o + 0\t) t,
т. е. поскольку w(t) = ^(ж0 + 0 - ^(^о), ^;(ж) = д^(ж» 2/о +
+ t) - %{х,уъ), получаем
Ч*) - (^(^о + ^1«,Уо + t) - ^(х0 +
Применяя теорему Лагранжа о среднем для функции
Ф(у) = ^(^о + ^1*,у), получим, что существует число 02 G
G @,1), зависящее от t и такое, что ф(уо + t) - ф{уо) =
«, т. е.
^0 + 01*, 2/0 + 02*) *2. A)
В силу непрерывности частной производной щ^(х,у) в
точке (ж0, уо) и условий в\ € @,1), в2 € @,1), получаем
д2 f
208

откуда и из A) следует, что
Поскольку при замене переменных х на у, а у на х и заме-
замене функции f{x,y) на функцию /(у, я), функция w(t) не
изменится, но поменяется порядок дифференцирования в
смешанной производной дж, то
Следовательно,
Замечание. По аналогии с теоремой 1 можно дока-
доказать, что если частные производные fc-ro порядка функ-
функции /(#1, ...,жп) определены в окрестности точки х° G Мп
и непрерывны в точке х°) то в этой точке частные про-
производные fc-ro порядка не зависят от порядка дифферен-
дифференцирования.
Определение. Функция f(x) = /(#1, ...,жп) называет-
называется дважды дифференцируемой в точке х° ? ]Rn, если все
частные производные первого порядка д^(ж) определены
в окрестности точки х° и дифференцируемы в точке х°.
Вторым дифференциалом функции / в точке х° называ-
называется дифференциал в точке х° первого дифференциала
df(x):
d?f(x°) = d(df)(x°) = d
X=Xq
209

Поскольку
Ffif
dx
TO
г=1 j=l J
Определение. Функция f(x) = /(^i, ...,?n) называет-
называется fc раз дифференцируемой в точке х° G iRn, если все част-
частные производные порядка (к — 1) функции / определены
в окрестности точки х° и дифференцируемы в точке х°.
Дифференциал к-го порядка определяется по индукции:
Индукцией по к можно доказать формулу для диф-
дифференциала fc-ro порядка
dkf
= Ё • • • Е
§ 10. Операторы дифференцирования
Напомним, что в главе 5 было введено понятие линей-
линейного пространства как множества, на котором определе-
определены операция сложения элементов и операция умножения
210

элемента на число, удовлетворяющие определенным акси-
аксиомам.
Пример. Пусть X С Мп - открытое множество. Обо-
Обозначим через jF? множество функций / : X —> JR, а через
jF?, где к е IN, — множество функций / : X —> JR, диф-
дифференцируемых к раз в каждой точке х € X. Легко про-
проверить, что множества F% (к = 0,1,..) являются линей-
линейными пространствами с обычными операциями сложения
функций и умножения функции на число.
Определение. Пусть J7 и Q - линейные пространства.
Отображение А : Т —> Q называется линейным опера-
оператором, действующим из Т в Q, если для любых элемен-
элементов /i, /2 Gf и любых чисел Ai, A2 выполняется А{\\$\ +
+ А2/2) = Aii/i + А2Л/2.
Пример. Частная производная ^ является линейным
оператором А = ^-, действующим из линейного простран-
пространства F% в линейное пространство F^~l. Действительно,
для любой к раз дифференцируемой функции / ? F-%
функция (Af)(x) = д?(ж) является к - 1 раз дифферен-
дифференцируемой, т. е. Af ? jP?-1. Из свойств производной следует
линейность оператора А = -^: V/i, /2 ? F?, VAi, A2 ? JR
Определение. Пусть Ai,..., Ап - линейные операторы,
действующие из линейного пространства Т в линейное
пространство ^, Аь ..., Ап - числа. Через \\А\ Н h AnAn
будем обозначать линейный оператор, результат действия
которого на элемент / Е Т определяется по формуле
211

AnAn) / =
^Aiii + • • • + AnAn) / = Aiii/ + • • • + Anin/.
Пример. Для заданных чисел Ai,...,An и открытого
множества X С Мп рассмотрим линейный оператор А =
" ^!а!"^ •"^Эх"» действующий из jF? в jP^. Посколь-
Поскольку результат применения оператора А к функции /Gf}
равен А/ = AXJ?- + • • • + Ап^, т.е. равен скалярному
произведению вектора ? = (Ai,...,An) Е Мп на вектор-
функцию grad/(x) = (|1(х),...,^(х)): (i/)(x) =
= (grad/(s),^), то в силу формулы (grad/(s),^) = %{х)
получаем (Af)(x) = %{х), т. е. оператор А является опера-
оператором взятия производной по направлению ?: А = щ.
Определение. Пусть Т, G,7~t - линейные простран-
пространства; А \ Т -* Q, В : Q -+ Н - линейные операторы. Про-
Произведением или суперпозицией операторов А и В называ-
называется линейный оператор В А : Т —> Н, определяемый по
формуле
v/e^ (BA)f = B(Af).
Пример. Пусть Ai — д-^7 - операторы частных произ-
производных первого порядка. Произведениями операторов А{
являются частные производные высших порядков. Напри-
Например, Ai Aj = $х^дх ¦ > М ~ AiAi = ^r - линейные опера-
операторы, действующие из F% в F?~2.
Заметим, что в общем случае произведение операторов
некоммутативно: А В ф В А. В §9 был приведен пример
функции /(ж, у), для которой ^ ^ / ф ^ ^ /.
212

Из теоремы 1 § 9 следует, что на пространстве функций,
имеющих непрерывные смешанные производные, опера-
торы ^ и т?- коммутативны.
Лемма 1. Пусть заданы числа АХ,АУ Е М и функ-
функция /(ж, у), все частные производные fc-го порядка которой
непрерывны в точке (хо,уо). Тогда в этой то,чке
V f fc! Л*-*Л«
+ А Vf f Л
aa? ydy) J-^Q(k- г)! г! ж
Доказательство проведем для к = 2.
Л
А
т.е. при к = 2 лемма доказана. Действуя по индукции,
можно получить утверждение леммы при любом к ? IN.
§11. Формула Тейлора
Теорема 1. Пусть функция f(x) = f(x\, ...,xn)
т + 1 раз дифференцируема в некоторой 5-окрестности
точки х° = (ж?,..., х„). Для любой точки х е Us{x°) опре-
определим числа Axi = Xi — х\, г G {1,..., п}, вектор Аж = ж —
213
— х° и оператор

A = Axi- 1 h Axn
dxn
Тогда для любой точки х € E/j(a:0) справедлива формула
Тейлора
т
Их) = я*0)+y, ^Akf){x0)+Гт{х)
k=l
с остаточным членом в форме Лагранжа:
Гт{х) = —^ (Am+lf)(x° + в АХ),
= в(х) е @,1).
Доказательство. Зафиксируем произвольную точку
х € Us(x°) и определим функцию <р(%) = f(x° + t(x — х0)).
По теореме о дифференцировании сложной функции
w е (о, 1) V@ = |^(*° + t(x - х0)) ¦ (Xl - xl) + • ¦ • +
OX
+ ?L(x* + t(x - x0)) ¦ (xn - x°n) = (Af)(x° + t(x - x0)).
<JXn
Дифференцируя сложную функцию </?(?) = f(x° + t(x -
- x0)) к раз, получим <p(k)(t) = (ifc/)(x° + t(x - x0)).
Применяя формулу Тейлора для функции одной перемен-
переменной <p(t), получим, что существует число в ? @,1) такое,
что
т
т.е.
т
= Я*0) + Е
fc=l
214

Определение. Многочлен
Pm(Ax1,...,Axn) =
называется многочленом Тейлора функции / в точке х° G
еШп.
Многочлен Тейлора Pm(Axi,..., Ахп) является мно-
многочленом степени не выше т относительно переменных
Замечание. Из леммы 1 § 10 следует, что для функции
двух переменных f(x, у), все частные производные которой
до порядка т включительно непрерывны в точке (жо>2/о)>
многочлен Тейлора имеет вид
dkf
(к — г)! г! дхк~* дг,
к=1 г=0 v ' *
Теорема 2. Пусть все частные производные функции
/ до порядка т включительно существуют в некоторой
окрестности точки х° G Мп и непрерывны в точке х°. То-
Тогда справедлива формула Тейлора с остаточным членом в
форме Пеано
m) при Ах = х-х° -»0. A)
Доказательство. Поскольку функция / т раз диф-
дифференцируема в некоторой окрестности точки ж0, то в этой
215

окрестности справедлива формула Тейлора
т—1
Ill,— J. .f
f{x) = f(x*) + ? ^*/)(*°) + !•„,_!(*) B)
C)
с остаточным членом в форме Лагранжа:
где
2=1
Ci = ж» -ж?, г G {l,...,n},
что при x —> ж0
1 лтп
Так как
= ±(Amf)(x0 + 9Ах),
а
G @,1). Покажем,
т)- D)
чг=1
П П
21-1 г -1
и
1 Вт- .--Вт-
г1 г"
|, то
\Amf(x)-Amf(x°)\
п п
<
гт=1
max
dxh • • • dxirn
(x)
Яг- ---
(x°)
• • dxir
216
-B) -

Поскольку производные порядка т непрерывны и в Е
G @,1), то для любых гь ..., гш е {1,..., п) при х —> х°
(Х° + вАх) -
при ж —> а;0. Следовательно,
Отсюда и из C) следует формула D). Из формул B), D)
получаем формулу A).
Замечание. Также как и для функции одной перемен-
переменной разложение A) единственно. Точнее, если все част-
частные производные функции / до порядка т включитель-
включительно непрерывны в точке х° и справедливо разложение A),
где Рт(Ах) - некоторый многочлен степени не выше т от-
относительно переменных Ах = (Д#ь ..., Ажп), то Рт(Ах)
- многочлен Тейлора функции / в точке ж0.
§ 12. Норма матрицы. Теорема Лагранжа
о среднем
Определение. Пусть А - матрица размера т х п.
Нормой матрицы А называется число
|Л| = max \Ax\,
x<ElRn
1*1=1
где \Ах\ - длина вектора Ах е Мт.
Поскольку функция f(x) = Ах непрерывна, а множе-
множество {х ? Мп : |дг| = 1} является компактом, то в опреде-
определении нормы максимум существует.
217

Заметим, что введенная норма матрицы удовлетворяет
аксиомам нормы:
1) \А\ > 0;
о ••• о
- нулевая матрица;
2) если \А\ = 0, то А —
3) для любого числа А справедливо равенство \\А\ =
= |А||Л|;
4) \А\ + А2\ < \А\\ + I-A2I (неравенство треугольника).
Свойства A)-C) очевидны. Докажем неравенство тре-
треугольника.
= max \Л\х + А%х\ < max (\Aix\ + \A2xD <
1*1=1 1*1=1
< max \A\x\ + max |A2x| = \А\\ +
Задача. Доказать, что норма матрицы А совпадает с
корнем квадратным из максимального собственного числа
матрицы АТА (число А называется собственным числом
матрицы В размера п х п, если Зх е Мп \ {0} : Вх — Хх).
Лемма 1. а) Если А - (т х п)-матрица и х е Мп, то
\Ах\ < \А\ |4
б) Если А- (тх п)-матрица, а В - (п х &)-матрица, то
\АВ\<\А\\В\.
Доказательство, а) Если х = 0, то Ах = 0 и нера-
неравенство \Ах\ < \А\ \х\ выполнено. Пусть х ^ 0. Обозначим
х\ = А. Поскольку \х\\ = 1, то |j4| > \Axi\ = щ \Ах\, сле-
следовательно, \Ах\ < \А\ \х\.
б) Поскольку в силу пункта (а) Ух G Мк \АВх\ <
218

< |Л| \Вх\ < \А\ \В\ \х\, то \АВ\ = max \ABx\ < \А\ \В\.
Теорема 1. (Теорема Лагранжа о среднем.) Пусть в
5-окрестности точки у0 € Мк задана дифференцируемая
9\{У)
вектор-функция д(у) =
9т(у)
у, у1 Е Us(y°) справедливо неравенство
Тогда для любых
Ш)-9Ш< sup \Vg(y +в (у'-у))\\у'-у\. A)
Доказательство. Зафиксируем произвольные у, у' €
6 Щ(у°) и рассмотрим скалярную функцию <p(t) =
= (д(у') ~ 9(у))Т д(у + t(y' ~ У))- в силУ теоремы Лагран-
Лагранжа о среднем для скалярных функций 30 € @,1) : <р{\) —
Ш) - 9{у))тШ) - д(у)) =
= Ш) ~ 9(У))Т Ъд{у + в {у1 - у)) [у' - у).
Поэтому, используя неравенство Коши-Буняковского и
лемму 1(а), получаем
W) - д{у)? = Ш) - 9{у))т Ш) - 9{у)) <
< Ш) - д(у)\ \Vg{y + 9 (у'- у)) (у' - у)\ < B)
<Ш)-9(У)\ sup \Vg(y + 0(y'-y))\ \y'-y\.
вфЛ)
Если д(у') = д(у), то неравенство A) тривиально выполня-
выполняется. Если д(у') ф д(у), то, деля неравенство B) на \д(у') —
-д(у)\, получаем A).
219

§ 13. Теорема о неявной функции
Определение. Пусть задано множество Y с Мт.
Вектор-функция д : Y —> Мт называется сжимающим
отображением, если существует число /i ? @,1) такое,
что
Ш-дЫ)\<1*\у-у'\
У.
Теорема 1. (Принцип сжимающих отображений.)
Пусть в ^-окрестности точки у0 ? Мт задана вектор-
9i(y)
функция д(у) = • • • такая, что
9т{у)
а) отображение д : Us (у0) —> iRm является сжимающим
с коэффициентом j, т.е.
Тогда в Us(y°) система уравненений у = д(у) имеет
единственное решение у*, причем |у* - у°\ < |.
Доказательство. Рассмотрим последовательность
{2/fc}fcLo c ^Ш' определяемую рекуррентной формулой
ук+1 = д(ук). Покажем, что Ук G N
A)
При fc = lB силу условия (б) получаем \ук — ук 1\ = \у1
~ У°\ —
\
У°\ — \9(у°) — У°\ < f» т.е. неравенство A) выполнено.
Пусть неравенство A) выполнено Vfce{l,...,s}, тогда
Следовательно, ys 6 Щ(у°), у3'1 е Щ(у°) и в силу условия
(а) леммы
220

|ys+1 - /I = \g(ys) - яОГ1)! < \\ys - ys~l\ <
т. е. неравенство A) выполнено при к = s +1. По индукции
получаем, что неравенство A) выполнено для любого к G
Из неравенства A) следует, что У к € N Ур е JN
5
_ Л1. I 1-1 ~Г
Поэтому, для любого ? > 0 существует натуральное чи-
число iV, определяемое из условия -А? < е такое, что У к >
> N Мр G N \ук+р — ук\<е. Это означает фундаменталь-
фундаментальность последовательности {ук}^-^ следовательно, в силу
критерия Коши последовательность {yk}^LQ сходится к не-
некоторой точке у* G Мт. Поскольку
то, переходя к пределу при,к —> сю, получим \у* — у°\ < |.
Из условия (а) следует непрерывность функции д(у).
Переходя к пределу в формуле ук+1 — д{ук) при к —> оо,
получим у* = д(у*), т.е. вектор у* является решением си-
системы уравнений у — д{у).
Покажем единственность решения системы уравнений
у = д(у) в Us(y°). Предположим, что у,у' G Us(y°) - ре-
решения этой системы, тогда в силу условия (а) леммы \у -
- У'\ = \д{у) ~ д(у')\ <\\у- у'\ и, следовательно, у = у'.
Замечание. Теорема, аналогичная теореме 1, справед-
справедлива для сжимающего отображения с произвольным ко-
коэффициентом /i G @,1).
221

Определение. Вектор-функция называется непрерыв-
непрерывно дифференцируемой, если все ее частные производные
непрерывны, т. е. непрерывна ее матрица Якоби.
Теорема 2. (Теорема о неявной функции.) Пусть х° G
G JRn, у0 G Мт и пусть в ^-окрестности точки (ж0,у0) G
G ]Rn+m задана непрерывно дифференцируемая вектор-
функция
Fi(x,y)
Fm{x,y)
Fm(xi,... ,xn,yi,... ,ут)
такая, что
где VyF(x°,y°) =
уг
матрица Якоби функции F(x,y) в точке (ж0,у0) по пере-
переменным у = (yi,...,ym).
Тогда существуют числа 7 > 0, 5 > 0 и непрерывно
дифференцируемая вектор-функция <р : С/7(ж°) —> Us(y°)
такая, что для любого х* G С/7(ж°) система уравнений
F(x*,y) = 0 на множестве Us(y°) имеет единственное ре-
решение у* = </?(?*)•
Доказательство. Поскольку функция F{x, у)
непрерывно дифференцируема в ?-окрестности точки
(лг°,у°), то матрица Якоби VyF(xJy) непрерывна в этой
окрестности, и, следовательно, ее определитель является
непрерывной скалярной функцией. Отсюда и из условия
det Vy F(x°,y°) ф 0 следует существование числа е\ G @, е]
такого, что
222

V(x,y) € U?l(x°,y°) detVyF(x,y) ф 0. B)
Шаг 1. Доказательство существования и единственно-
единственности решения.
Обозначим Му = VyF(x0,y°). Рассмотрим вектор-
функцию
h(x,y) = у- My1 F(x,y).
По теореме о дифференцировании сложной функции
Vyh{x,y) = E-M-1VyF(x,y) = M-\My-VyF{x,y)).
Из непрерывности матрицы Якоби /DyF(xJy) следует, что
VyF(x,y) -> VyF{x°,y°) = М^ при (я,у) -> (ж°,у°). По-
Поэтому IPy/i^,?/)! —> 0 при (ж,у) —> (ж0,у0).- Следовательно,
существует ?2 G @,ei] :
V(x,y)€U?2(xQ,yQ) \Vyh{x,y)\<±.
Определим 5 = ~Ые^- Тогда для любых х G
G ?/$(ж°), у G Us(y°) выполняется |(^,у) — (ж°,г/°)| =
= л/\х-х°\2 + \у -у°\2 < у/52 + 52 = е2, т.е. (ж,у) G
G [42(ж0,у0). Поэтому
Уж G U5(x°) Vy G С/Ду0) |2)уЛ(ж,у)| < -.
Фиксируя произвольный х е Us{x°) и применяя теорему
Лагранжа о среднем к вектор-функции д(у) = /i(x,y), по-
получим, что \/у,у' G С/$(у°)
|Л(ж,у;)-М^!/I<
1
< sup
Итак,
223

Vx G Us(x°) Vy,yr G Us(y°) \h(x,i/)-h{x,y)\ < \\y'-y\.
C)
Заметим, что h(x,y°) - y° - My1 F(x,y°). В силу
непрерывности функции F(x, y°) в точке х° существует чи-
число 7 е @,5] такое, чтоУх G С/7(ж°) |F(x,yo)-F(xo,y°)| <
< *-i,- Следовательно, |Мж>2/°) - у°| <
< IM^IIF^y0)] = {M-'WFix^-Fix^y0^ < f. Итак,
Vx€[/7(x°) |^(^,2/°) - г/0) < |. D)
Зафиксируем произвольную точку х* G U7(x°) и применим
принцип сжимающих отображений (теорему 1) к функции
д(у) = h(x*,y). Из условий C) и D) следует выполнение
условий (а) и (б) теоремы 1. В силу теоремы 1 получаем,
что для любого х* G U7(x°) система уравнений у — д(у) на
множестве Us(y°) имеет единственное решение у*, причем
\у* — У°\ < §• Обозначим это решение через <р(х*). Посколь-
Поскольку д(у) = h(x*,y) = у —M~l F(x*,2/), то система уравнений
У — д(у) эквивалентна системе F(x*,y) — 0. Таким обра-
образом, мы получили, что для любого х* G С/7(ж°) система
уравнений F(x*,y) — 0 на множестве Us (у0) имеет един-
единственное решение у* = (р(х*), причем
Шаг 2. Доказательство непрерывности вектор-
функции ip(x) в 7-окрестности точки х°.
Предположим противное: существует точка х* G
G С/7(х°), в которой функция ip(x) не является непрерыв-
непрерывной. Обозначим у* = р{х*). Записывая отрицание условия
непрерывности функции (р(х) в точке ж*, получим
За > 0 : Vfc € N Зхк € J7i/fc(ar*) : <^(xfc) ^ Ua{y*). F)
224

Поскольку множество U1(x°) открыто и хк —> ж* G
G [/7(ж°), то, начиная с некоторого номера, все члены по-
последовательности {хк}^=1 лежат в 7-окрестности точки х°.
Отсюда и из условия ср(х) G Us(y°) Ух G U7(x°) следует
ограниченность последовательности {(р(хк)}. В силу теоре-
теоремы Больцано-Вейерштрасса последовательность {<р(хк)}
имеет частичный предел у. Это означает, что существу-
существует подпоследовательность {^p{xkj)}^-i последовательности
кэ
)}c^L1 такая, что lim (р(хкэ) — у. Переходя к преде-
лу в неравенстве E), получим, что \у — у°\ < | < 5,
т.е. у G Us(y°). В силу непрерывности функции F(x,y) и
условия F(x,(p(x)) =0 Ух G Uj(x°) получаем F(x*,y) =
= lim F(xk*, <р(яг^')) = 0, т. е. у - решение системы уравне-
ний F(x*,y) = 0. С другой стороны, из условия F) следу-
следует, что у ф у*\ Это противоречит единственности решения
системы F(x*,y) = 0, доказанной на первом шаге. Полу-
Полученное противоречие доказывает непрерывность функции
Шаг 3. Доказательство непрерывной дифференцируе-
мости вектор-функции <р(х) в 7-окрестности точки х°.
Зафиксируем произвольную точку х* G U7(x°) и обо-
обозначим у* = (р{х*). Из условия B) следует, что
detVyF(x*,y*)j:0. G)
Поскольку (ж*,у*) G Us(x°,y°), то вектор-функция F(x,y)
дифференцируема в точке (ж*, у*). Поэтому в силу леммы
1 §8 имеем
F(x,y)-F(x*,y*) =
= VF(x*,y*)
У-У*
Ц\(х,у)-(х*,у*)\) =
225

= Vx F(x*,y*)(x - x*) + Vy F(x*,y*)(y -y*)
+ o{y/\x-x*\2 + \y-y*\2) при x -» x*, у -> у*.
Подставляя у = ф), у* = ф*), в силу равенств
F(x,<p(x)) = 0, F(x*,(p(x*)) = 0, получаем
О = Vx F(x*,y*) (x-x*) + Vy F(x*,y
Из условия G) следует существование обратной матрицы
к матрице T>yF(x*,y*). Поэтому
ф) - ф*) = - (Vy Fix^y*))'1 (vx F(x*, у*) (х-х*) +
\х - x*\2 + \ф) - ф*)\2)) =
= -(-DyF(x*,y*))-1VxF(x*,y*)(x-x*)
Определив матрицу М = -{VyF(x*,y*))~lVxF{x\y*)b
получим
ф)-ф*) = М (х-х*) + о{у/\х - х*\2 + \ф) -ф*)\2).
(8)
Покажем, что в формуле (8) слагаемое
о(у/\х — х*\2 + \ц>(х) — (р(х*)\2) можно заменить на о(\х —
— х*\). Это и будет означать дифференцируемость функ-
функции (р в точке х*.
Согласно определению омалого из формулы (8) полу-
получаем
<р(х)-<р(х*) = М (х-х*)+е{х) уДх- ж*|2 + \<р(х) - с^(х*)|2,
(9)
226

где е(х) —> 0 при (х,ср(х)) —> (х*,<р(х*)). В силу непрерыв-
непрерывности функции (р из условия х —> х* следует, что <р(х) —>
—> у>(ж*)> а значит, lim е(х) = 0. Поэтому существует чи-
ело /9 > 0 такое, что \е(х)\ < \ Ух е Up(x*).
Обозначим Ау? = \<р(х) - (р(х*)\. Так как
у/\х-х*\2 + \Аср\2 < \х — х*\ + |А<^|, то из (9) следу-
следует, что
< \М\ \х - х*\ + \е(х)\ (\х - х*\ + А<р).
Поэтому Ух е Up(x*)
\М\ \х - х*\ + h\x - х*
а значит,
Следовательно, при х G Up(x*) справедливо неравен-
неравенство
у/\х - х*\2 + \А<р\2 < у/1 + B|М| + IJ \х - х*\.
Отсюда и из равенства (8) следует, что при х —> х*
<р(х) - <р(х*) = М (х - ж*) + о(\х - ж*|).
В силу леммы 1 § 8 это означает, что вектор-функция
ср(х) дифференцируема в точке х* и ее матрица Якоби рав-
равна
Поскольку х* - произвольная точка из U7(x°) и у* = ф(х*),
то Vx € Щ(х°)
~
Vф) = - (Vy F(x, ф))") ~ Vx F(x, ф)).
227

Отсюда, из непрерывности матриц VxF(x,y), VyF{x,y),
невырожденности матрицы VyF(x,y) в U€l(x°,y°) (усло-
(условие B)), а также из непрерывности вектор-функции (р(х)
в U7(x°), следует непрерывность матрицы Т>р(х) в {77(ж°),
т.е. непрерывная дифференцируемость вектор-функции
В частности, для одного уравнения с одним неизвест-
неизвестным теорема о неявной функции принимает следующий
вид.
Следствие. Пусть xq G iRn, уо G Ш и пусть в е-
окрестности точки (:г(ь2/о) задана непрерывно дифферен-
дифференцируемая функция F(x,y) такая, что F(xo^yo) = 0 и
Fy(xo,yo) ^ 0. Тогда существуют числа 7 > 0, 5 > 0 и
непрерывно дифференцируемая функция (р : С/7(хо) —>
—> Us(yo) такая, что для любого ж* G С/7(^о) уравнение
F(x*,y) = 0 на множестве Us(yo) имеет единственное ре-
решение у* = ip(x*).
§ 14. Теорема об обратном отобралсении
•тп
Лемма 1. Пусть вектор-функция д : Y —> Ш
непрерывна на открытом множестве Y С Шп. Тогда для
любого открытого множества G С Мш его прообраз Yo =
= {у Е F : g(y) G G} является открытым множеством.
Доказательство. Пусть у0 - произвольная точка мно-
множества Yq. Требуется доказать, что существует число 5 > 0
такое, что Щ(у°) С YQ. Из определения множества Уо сле-
следует, что д(у°) G G. Поскольку множество G открыто, то
Зе > 0 : U?(g(y0)) с G. Из непрерывности вектор-функции
#(y) в точке у0 открытого множества Y следует, что суще-
существует число 5 > 0 такое, что Us (у0) С У и для любого век-
вектора у G Us(y°) выполняется включение д(у) G U?(g(y0)).
228

Следовательно, У у е Us(y°) g{y) e G, что по определе-
определению множества Уо означает Us(y°) С Уо.
Определение. Пусть для вектор-функции д(у) раз-
размерности векторов у и д(у) совпадают. Определитель
матрицы Якоби Т>д(у) называется якобианом отображе-
отображения д и обозначается через Jg{y):
Jg(y) = det Vg{y).
Теорема 1. (Об обратном отображении.) Пусть'зада-
Пусть'заданы открытое множество У С Мп и непрерывно дифферен-
дифференцируемое отображение д : Y —> Мп с неравным нулю яко-
якобианом:
\/у G Y Jg(y) ф 0.
Тогда отображение д : Y —» iRn локально обратимо, т.е.
для любой точки у0 е Y существуют открытые множества
Хо и Уо в пространстве iRn такие, что у0 е Yq с Y и отобра-
отображение g : Уо ~+ -Х"о является взаимно однозначным отобра-
отображением множества Yo на множество Хо. Причем обратное
отображение g~l : Xq —> Уо является непрерывно диф-
дифференцируемым отображением с неравным нулю якобиа-
якобианом.
Доказательство. Обозначим х° = д(у°) и применим
теорему о неявной функции к вектор-функции F(x,y) =
~ д(у) ~ х- Из непрерывной дифференцируемости вектор-
функции д(у) следует непрерывная дифференцируемость
вектор-функции F(x,y). Кроме того, F(x°,y°) = у0 —
- д(х°) = 0 и det А^ОЛз/0) - detP^0) = JP(y°) ф 0.
Таким образом, все условия теоремы о неявной функции
выполнены, и, согласно этой теореме, существуют числа
229

7 > 0, S > 0 и непрерывно дифференцируемая вектор-
функция ср(х) такая, что для любого вектора х G U7(x°) си-
система уравнений F(x, у) = 0 (эквивалентная системе урав-
уравнений д(у) = х) на множестве Us(y°) имеет единственное
решение у = <^(ж).
Определим множества Xq = 177(ж0) и Fo = #(Хо) =
= {#(ж) : х G Хо}. Поскольку для любого вектора х G Xq =
= t/7(x°) выполняется условие ^(<^(ж)) = ж G Xq, to Vy G
G Fo g(y) G Хо, а значит, отображение д переводит эле-
элементы множества Yq в элементы множества Xq. Отобра-
Отображение д : Yq —> Xq является взаимно однозначным, по-
поскольку для любого вектора х е Xq существует единствен-
единственный вектор у G Fo такой, что д(у) = х. Этот вектор у =
= у?(ж) является единственным решением системы уравне-
уравнений F(x, у) — 0 относительно у. Отсюда следует также, что
отображение </? : Xq —> 1о является обратным к отображе-
отображению g : Fo —> Хо, т. е. ср = рТ1-
Поскольку множество Fo является прообразом откры-
открытого множества Xq = U7(x°) при непрерывном отображе-
отображении д, то в силу леммы 1 множество Fq открыто.
В силу теоремы о неявной функции вектор-функция
д~1(х) = <р(х) непрерывно дифференцируема. Дифферен-
Дифференцируя левую и правую части системы уравнений д(чр{х)) =
= ж, по теореме о дифференцировании сложной функ-
функции получим Vx G Хо Vg(<p(x)) V<p(x) — Е ~ единич-
единичная матрица. Следовательно, det Vg(ip(x)) • detV<p(x) =
= det J5 = 1. Поэтому \/x G Xo det V cp(x) ф 0.
¦
Замечание. В условиях теоремы 1 отображение д мо-
может не быть глобально обратимым, т. е. оно может перево-
переводить различные точки множества F в одну и ту же точку.
Пусть, например,
Y = {(г, (р) : г G A,3), ср G (-7
230

g,p)
Отображение д : У —> JR2 непрерывно дифференцируе-
дифференцируемо; матрица Якоби этого отбражения равна Т)д(г,ф) =
. ,а якобиан: Jo(r, <я) = г ф О V(r, у>) Е
I) siny> rcosy> yv ^J v y
G У. Однако отображение д : У —> iR2 не является обрати-
обратимым, так как рB,0) = рB,2тг) = ||2||.
Теорема 2. Образ открытого множества У С iRn при
непрерывно дифференцируемом отображении д : У —> JRn
с неравным нулю якобианом является открытым множе-
множеством.
Доказательство. Через G обозначим образ множества
У при отображении р:
Покажем, что множество G открыто. Пусть д° Е G. Тре-
Требуется доказать, что
36 > 0 : СЪ@°) С G.
По определению множества G из условия д° ? G следует,
что существует вектор у0 Е У такой, что рB/°) = <Д В
силу теоремы 1 существуют открытые множества Xq и Уо *
такие, что #(У0) = Хо и 2/° Е Уо С У. Следовательно,
<7° = 9(у°) Е Хо и в силу открытости множества Хо су-
существует число S > 0 такое, что Щ(д°) С Хо. Посколь-
Поскольку Уо С У, то Хо = #(Уо) С р(У) = G, и, следовательно,
Us(g°) с G.
Замечание. Условие отличия от нуля якобиана
отображения в теореме 2 существенно. Например,
231

непрерывно дифференцируемое отображение д(у) = О
переводит любое открытое множество G в множество, со-
состоящее из одной точки 0, которое не является открытым.
Напомним, что множество X С Мп называется
связным, если для любых двух точек xi,x2 G X суще-
существует непрерывная на некотором отрезке [ti,t2] вектор-
функция x(t) со значениями в X и такая, что x(t{) = х\,
x{t2) = х2.
Теорема 3. Пусть вектор-функция / : X —> Мт
непрерывна на связном множестве X С Мп. Тогда мно-
множество значений f(X) является связным.
Доказательство. Рассмотрим произвольные точки
/ъ/г G f(X). По определению множества значений
Зх\,х2 G X: f(xi) = /1, /(^2) — /2- Поскольку множество
X связно, то существует непрерывная вектор-функция
х : [*1,*г] ~^ -X" такая, что x(ti) = x\, x(t2) = x2. По теореме
о непрерывности сложной функции вектор-функция одной
переменной ip(t) — f(x(t)) непрерывна на отрезке [ti,^]-
Следовательно, произвольные две точки /ь/2 G f{X)
можно соединить кривой Г = {<p(t) : t G [*i, *г]} С f(X),
т.е. множество f(X) - связно.
Поскольку открытое связное множество называется
областью, то из теорем 2, 3 получаем
Следствие. (Принцип сохранения области.) Образ
области Y с Мп при непрерывно дифференцируемом
отображении д : Y —¦ Мп с неравным нулю якобианом
является областью.
232

ГЛАВА 7
ИНТЕГРАЛ РИМАНА
§ 1. Суммы Дарбу
Определим некоторые операции с +оо и —оо:
+оо + (+оо) = +оо, -оо + (-оо) = -оо;
если A G Ш, то ± оо + А = ±оо;
если A G М, Л > 0, то Л • (±оо) = ±оо;
если A G М, А < О, то Л • (±оо) = =F оо.
Напомним, что разбиением отрезка [а, Ь] называется ко-
конечный набор точек Т = {xi}l=Q, таких, что а = хо < х\ <
< ... < xj = Ь. Отрезки [xi-i,Xi] называются отрезками
разбиения Т.
Определение. Пусть на [а, Ь] определена функция f(x)
и задано разбиение Т = {^г}/=о отрезка [а,Ь]. Определим
тг = inf f(x) , Mi = sup /(я),
xelxi-uxi]
s(/;T)=
Сумма s(f; T) называется нижней суммой Дарбу, а
?(/; Т) - верхней суммой Дарбу для функции / и разбие-
разбиения Т.
Лемма 1. 1) Если функция / ограничена снизу на
[а, Ь], то для любого разбиения Т «(/; Т) € iR. Если функ-
функция / неограниченна снизу на [а,Ь], то для любого разби-
разбиения Т s(/;T) — —оо.
233

2) Если функция / ограничена сверху на [а,Ь], то для
любого разбиения Т 5(/;Т) G №• Если Функция / не-
неограниченна сверху на [а, Ь], то для любого разбиения Т
/;)
Доказательство. 1) Пусть Т = {xi}l=o ~
ние отрезка [а,Ь]. Если / ограничена снизу, то Vz G
е {1,...,/} mi = inf f(x) e Mj следовательно,
xe[xi-i,xi]
s(/; T) ? JR. Если / неограниченна снизу, то она неограни-
неограниченна снизу на некотором отрезке [xj-i,xj], следователь-
следовательно, rrij = —оо и s(/; Т) = —оо.
Пункт B) доказывается аналогично.
Рассмотрим геометрический смысл сумм Дарбу. Пусть
на [а, Ь] задана неотрицательная функция /: Ух G
Е [a,b] f(x) > 0. Множество
G = {(х,у) : а<х<Ъ, 0<у< f(x)}
называется криволинейной трапецией.
Для заданного разбиения Т = {xi}{-o определим пря-
прямоугольники
Яг = {(я, у) : Xi-i <x<Xi, 0 < у < гпг} ,
Qi = {(д:,у) : ^i-i < ж < ^, 0 < у < М{}.
I
Множество д(/; Т) = U Яг называется внутренним, а мно-
г=1
/
жество Q(/;T) = U Qi ~ внешним ступенчатыми мно-
жествами для криволинейной трапеции G. Заметим, что
?(/;т)сСсО(/;т).
Поскольку площади прямоугольников qi и Qi равны со-
соответственно fi(qi) = {xi - Xi-i)mi и fi(Qi) = (^ - ^_х
234

то площади внутреннего и внешнего ступенчатых мно-
множеств равны соответственно нижней и верхней суммам
Дарбу:
М?(/;т)) = в(/;т), /*(<?(/; т)) = 5(/;т).
В этом состоит геометрический смысл сумм Дарбу.
Если при измельчении разбиений площади внутреннего
и внешнего ступенчатых множеств стремятся к одному и
тому же пределу J ? iR, то число J будем называть пло-
площадью криволинейной трапеции G, а также интегралом
функции / на [а, Ь].
Определение. Мелкостью разбиения Т = {хг}(-о на-
называется число
?() = max (si-Zi-i).
Определение. Число J называется (определенным)
интегралом Римана функции / на [а, Ь] и обозначается
б
J = J f(x)dxy если lim s(/;T) = Hm 5(/;T) =
а *(т)->о *(т)о
т.е.
Ve > 0 36 > 0 : VT
5 => |5(/;T)-J|<s и
Функция / называется интегрируемой по Риману на [а, Ь],
если существует интеграл Римана функции / на [а, Ь].
Геометрический смысл интеграла состоит в том, что
б
для неотрицательной функции / интеграл //(#) суще-
существует тогда и только тогда, когда существует площадь
криволинейной трапеции G, а в случае существования ин-
6
теграл J f(x) равен площади множества G.
235

Лемма 2. (Необходимое условие интегрируемости.)
Если функция / интегрируема на отрезке [а, 6], то / огра-
ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Если функция / неограниченна сни-
снизу на [а, Ь], то в силу леммы 1 lim s(/; Т) = —оо, а зна-
^(т)—о
чит, не существует конечного предела s(f; Т) при ^(Т) —> О,
следовательно, функция / неинтегрируема на [а, Ь]. Анало-
Аналогично, если функция / неограниченна сверху, то она также
неинтегрируема.
¦
Замечание. Условие ограниченности функции на [а, Ь]
не является достаточным условием интегрируемости [а,Ь].
Например, для функции Дирихле
„, v _ Г 0, если х иррациональное,
\ 1, если х рациональное
для любого разбиения Т имеет место s(/; Т) = О,
S(f; T) = Ь — а, следовательно, при измельчении разбие-
разбиений нижняя и верхняя суммы Дарбу будут стремиться к
различным пределам, а значит, функция Дирихле неин-
неинтегрируема по Риману.
Определение. Будем говорить, что разбиение Т'
отрезка [а, Ь] следует за разбиением Т отрезка [а, Ь], если
разбиение Т' содержит все точки разбиения Т: Т С Т'.
Лемма 3. Если разбиение Т' отрезка [а, Ъ] следует за
разбиением Т, то для любой функции / : [а, Ъ] —> М имеют
место неравенства
s(f;T')>s(f;T), S(f;T')<S(f;T).
Доказательство. Рассмотрим случай, когда разбиение
Т' получается из разбиения Т = {^ijf^o добавлением одной
236

точки х' 6 (xj-i,xj). Тогда
*(/; ТО - 8{f; Т) = {xj - xf) inf f(x) +
x€[x',Xj]
+ (x'-xj-1) inf f{x) - (xj-xj-i) inf
?['\ x?[x
inf /(^)- inf
inf /(rr)^ inf /(
так как inf /(a:) > inf f(x) и
inf f(x)> inf /(a:).
Неравенство S(f]Tf) < 5(/;Т) доказывается аналогич-
аналогично. Если разбиение Т' получается из разбиения Т добавле-
добавлением нескольких точек, то, добавляя на каждом шаге по
одной точке, получим требуемое утверждение.
Лемма 4. Для любых двух разбиений Ti и Тг отрезка
[а,Ь] и для любой функции / : [а,Ь] —> М справедливо
неравенство
Доказательство. Рассмотрим разбиение Т = Ti IJT25
состоящее из точек разбиения Ti и точек разбиения Тг-
Поскольку разбиение Т следует за разбиениями Ti и Тг5
то по лемме 3 *(/; Ti) < s(f; Т) и 5(/; Т) < 5(/; Т2).
Поскольку для разбиения Т = {^i}f-o имеет место
J(x) <
237

sup f(x) = S(f; T),
]
то
Определение. Пусть на [а, Ъ] задана функция /. Опре-
Определим
Л = 8ирв(/;Г), J* = MS(f;T),
т т
где супремум и инфимум берутся по всевозможным раз-
разбиениям Т отрезка [а, Ь]. Величины J* и J* называются со-
соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу.
Лемма 5. Для любого разбиения Т отрезка [а, Ъ] и лю-
любой функции / : [а, Ь] —> М справеливы неравенства
s(f;T)<J*<J*<S(f;T).
Доказательство. Из леммы 4 для любого разбиения
Т2 получаем J* = sups(/;Ti) < ?(/;T2)> следовательно,
Ti
J* < inf 5(/;Тг) = J*- Поэтому
s(f; T) < sups(/; T) = Л < J* = in:
т т
Определение. Пусть на [a, b] задана функция / и опре-
определено разбиение Т = {^г}(=о отрезка [а, 6]. Колебанием
функции / на отрезке [x^i.Xi] называется
"»(/)= sup \f(x')-f(x")\.
x'^'elxi-uxi]
Разность верхней и нижней сумм Дарбу для функции
/ и разбиения Т будем обозначать через А(/;Т):
238

Лемма 6. Для любой функции / : [a, b] —> 1R и для
любого разбиения Т = {^Jf=o отрезка [а,Ь] справедливо
равенство
Доказательство. Заметим, что
«4(f) = sup (/(*') - /(*"))
х'ух"€[Хг-г,Хг]
= sup f(x') + sup (-/(*")
х'ф^иХг) х"фг-1,Хг)
= sup f(xf) - inf
где тг = inf /(x), Mj = sup /(x).
х€[Хг_ЬХг] х€[Хг-ЬХг]
Следовательно,
1=1 1=1
Теорема 1. (Критерий интегрируемости.) Функция
/ интегрируема на [а,Ь] тогда и только тогда, когда
?(ШпоД(/;Т)=О> т.е.
Ve>0 35>0:VT ^(T) < «5 =>• А(/;Т)<?- A)
Доказательство. 1) Бели функция / интегрируема на
[а,Ь], то по определению
239

3 J € R : Ve > 0 3d > 0 : VT ?(Т) <S =>
> (|s(/;T)-J|<| и |5(/;T)-J|<|).
Поэтому при ^(Т) <
т.е. выполнены условия A).
2) Пусть выполнено условие A). Тогда из леммы 1
следует, что функция / ограничена, так как иначе ли-
либо 5(/;Т) = +оо, либо s(/;T) = —оо и в любом случае
А(/; Т) = 5(/; Т) — s(/; T) = +оо, что противоречит усло-
условию A). Поскольку / ограничена, то для любого разбие-
разбиения Т суммы Дарбу s(/; T) и ?(/; X) конечны. Отсюда и
из неравенства s(/;T) < Л < «/* < 5(/;Т) следует, что
интегралы Дарбу J* и J* также являются конечными чи-
числами.
Из условия A) следует, что Vs > О ЗТ : 5(/;Т) —
— «(/; Т) = А(/; Т) < s. Отсюда и из леммы 5 получа-
получаем V5: > О J* - Л < 5(/; Т) - «(/; Т) < е, следователь-
следовательно, J* — J* < 0. Поскольку Л < J*, то J* = J*.
Определим число J = Л = J*. Из неравенства s(/; T) <
< •/ < 5(/;Т) и условия A) следует, что
Vs > 0 35 > 0 : VT
и
т. е. 3 J /(#) da: = J.
240

§ 2. Интегральные суммы Римана
Определение. Пусть задано разбиение Т = {xin=zo
отрезка [а, Ь]. Выборкой, соответствующей разбиению Т,
называется набор точек ?т = {&}(=1 таких, что & 6
? [xi-\,Xi]. Интегральной суммой (Римана) для функции
/, разбиения Т и выборки ?т называется
Лемма 1. Пусть на [а, Ь] определена функция f(x) и
задано разбиение Т = {хг}{=о отрезка [а, Ь]. Тогда
*(/; Т) = inf <т(/; Т; ^т), 5(/; Т) - sup <т(/; Т;
где супремум и инфимум берутся по всем выборкам
соответствующим разбиению Т.
Доказательство.
(^-^i-i) inf
Аналогично, S(f; T) = sup <т(/; Т; Ст)-
Теорема 1. (Определение интеграла через интеграль-
ь
ные суммы Римана.) Число J равно / f(x) dx тогда и толь-
только тогда, когда
241

lim <т(/; T; ?г) = J> T-e-
)о
Ve > 0 35 > О
Доказательство. Рассмотрим отдельно условие
V?T WU;T^t) - J\ < е.
Это условие можно переписать в виде
¦* + *• B)
Условие V?T <т(/; Т; ?т) < J + ? означает, что чи-
число J + е является некоторой верхней гранью значений
a(fi Т; ?т) по выборкам ^т. В силу свойств верхних граней
это условие эквивалентно неравенству sup <т(/; Т;
+ е. Из леммы 1 следует, что последнее неравенство мож-
можно переписать в виде S(f; Т) < J + е. Аналогично, условие
V?T J — б:<сг(/;Т;^т) эквивалентно неравенству J — е <
<в(/;Т).
Поскольку неравенство s(/;T) < S(f;T) выполняется
всегда, то
B) ^^ J-e<s(/;T)<5(/;T)< J + e
4=> |S(/;T)-J|<? и \S(f;T)-J\<e.
Следовательно, условие A) эквивалентно условию
Ve > 0 36 > 0 : VT
?(Т)<6 =* K/;T)-J|<? и |5(/;T)-J|
ь
что по определению означает J = J f(x) dx.
242

§ 3. Свойства определенного интеграла
Теорема 1. (Линейность определенного интеграла.)
Если функции / и д интегрируемы на [а, Ь], а а и /3 - неко-
некоторые числа, то функция ц>(х) = af(x) + Рд(х) интегриру-
интегрируема на [а, Ъ] и
6 6 6
/ (af(x) + Рд{х)) dx = a I f(x) dx + /3 д(х) dx.
а а а
Доказательство. Заметим, что интегральные суммы
Римана обладают свойством линейности:
I
a(af + fig; T; ?T) = ]?(*< " ^-l)(a/F)
В силу определения интеграла через интегральные суммы
(теорема 1 § 2) существуют пределы
lim <т(/; Т; ?т) = / f(x) dx,
а
b
lim Q °(g\ Т; fг) = / д(х) dx,
а
следовательно, существует предел
b b
lim a(af + Pg; T; &) = <*/ /(x) dx Л-Р g{x) dx.
a a
243

Еще раз пользуясь теоремой 1 §2, получаем требуемое
утверждение.
Следствие. Множество интегрируемых на отрезке
[а, Ъ) функций является линейным пространством, а опре-
определенный интеграл Римана является линейным опера-
оператором, действующим из этого пространства в простран-
пространство чисел М.
Теорема 2. (Интегрирование неравенств.) Если функ-
функции / и д интегрируемы на [а, Ь] и Ух G [а, b] f(x) < д(х),
то
ь ь
J f(x) dx < f g(x) dx.
а а
Доказательство. Поскольку для интегральных сумм
имеет место неравенство
то, переходя к пределу при ^(т) —> 0, по определению ин-
интеграла через интегральные суммы (теорема 1 § 2) получа-
получаем
/¦
о
< lim а(д; Т; ^т) = / д(х) dx.
€(Т)->0 J
Теорема 3. (Интегрируемость модуля.) Если функция
f(x) интегрируема на отрезке [а, Ь], то функция \f(x)\ так-
также интегрируема на этом отрезке и справедливо неравен-
неравенство
244

о о
Jf(x)dx <J\f(x)\dx.
A)
Доказательство. В силу неравенства треугольника
имеет место неравенство | \f(x')\- |/(ж/7)| | < \f(xl)-f{x")\.
Поэтому для любого разбиения Т = {xi}{=0 отрезка [а,Ь]
колебания функций / и |/| связаны неравенством
\\f(x')\-\f(x")\\<
sup
\f{x')-f{x")\ =
Отсюда, используя критерий интегрируемости (теорема
1 § 1), получаем
1=1
при
следовательно, Д(|/|;Т) -* 0 при ?(Т) -> 0, что, опять
по критерию интегрируемости, означает интегрируемость
функции |/| на [а, Ь].
Поскольку для интегральных сумм имеет место нера-
неравенство
г=1
то, переходя к пределу при ?(Т) -* 0, получаем неравен-
неравенство A).
245

Теорема 4. Если функция д интегрируема на [а, 6], a
функция / совпадает с функцией д, за исключением ко-
конечного набора точек {с^}^ С [а, 6], то функция / ин-
ь ь
тегрируема на [а, Ъ] и / f(x) dx = f g(x) dx.
а а
Доказательство. Рассмотрим функцию h(x) = д(х) —
f(x). Определим число М = max{|/i(ci)|,..., |/г(сх)|}. Так
как h{x) = О Ух е [а, Ъ] \ {си ..., ск}, то \h(x)\ < М Ух €
е[а,Ъ].
Поскольку значение h(x) отлично от 0 лишь в К точках,
то для любого разбиения Т = {xi}l=o и Л1°бой выборки
^т = {^г}/=1 имеет место неравенство
< К М ?(Т) -> 0 при ?(Т) -> 0.
Следовательно, функция h интегрируема на [а, Ь] и
ь
f h(x) dx = 0. Отсюда и из свойства линейности интеграла
а
получаем интегрируемость функции f(x) = д(х) + h(x) и
равенство
ъ ь ь ь
j f(x) dx = / д(х) dx + / /г(а:) dx = g(x) dx.
Лемма 1. Если функция / интегрируема на отрезке
[а, 6], то / интегрируема на любом отрезке [а, в] С [а, Ь].
Доказательство, Для любого разбиения Т отрезка
[а,/3] существует разбиение Т' отрезка [а. Ь], которое на
отрезке [а,/3] совпадает с разбиением Т и имеет мелкость,
246

равную мелкости разбиения Т: ^(Т;) = ^(Т). Поскольку
О < А(/; Т) < А(/; Т;) и в силу критерия интегрируемости
lim Д(/;Т0 = 0, то lim Д(/;Т) = 0, а значит, функ-
(т/)о *(т)о
ция / интегрируема на [а, Ь].
Теорема 5. (Аддитивность интеграла относительно
отрезков интегрирования.) Пусть функция / интегрируе-
интегрируема на отрезках [а, Ь] и [Ь, с]. Тогда / интегрируема на отрез-
отрезке [а, с] и
с b с
I f(x) dx = J f{x) dx + [ f(x) dx.
a a b
Доказательство. Поскольку функция / интегрируема
на отрезках [а, Ъ] и [6, с], то / ограничена на этих отрезках,
следовательно, функция / ограничена на отрезке [а, с], т. е.
ЗМ еМ:\/хе [а,с] \f(x)\ < М.
Пусть задано разбиение Т = {хг}{=0 отрезка [а, с]
и пусть Ь G [xj-i,xj]. Рассмотрим разбиение Ti =
= {^(Ь^ъ • • • ,xj-i,b} отрезка [а, Ъ) и разбиение Т2 =
= {Ь, Xj,..., xj} отрезка [6, с].
Для верхних сумм Дарбу
S(f] T) = ]Г(*г - Х{-г) SUp /(я),
3-1
Tl) =
(b-Xj-i) sup
247

sup f(x) +
f(x)
имеет место
|5(/;T)-5(/;Ti)-5(/;T2)| =
:j — Xj-i) sup f(x) —
- (Ъ-Xj-i) sup f(x) - (xj-b) sup f(x)
< 2M (xj - xj-i) < 2M?(T) -> 0 при ?{т) -> 0.
ь
Поскольку lim 5(/;Ti) = Л =
lim 5(/;T2) = h = Jf(x)dx и ?(Ti) <
T)o b
то lim 5(/;T) = Л + Л- Аналогич-
о
но, lim 5(/;T) = J\ + «/2- По определению интеграла
получаем требуемое утверждение.
¦
Определение. Для любой функции / положим по
определению
I f(x)dx = 0.
а
Если функция / интегрируема на отрезке [а, 6], то опреде-
определим
248

а о
[f(x)dx = -ff{x)dx.
Следствие. Если функция / интегрируема на отрезке,
содержащем точки а, Ъ и с, то при любом расположении
этих точек справедливо равенство
с Ъ с
I f(x) dx = f(x) dx+ f(x) dx.
a a b
Доказательство. Рассмотрим случай а < с < b. Из
леммы 1 следует интегрируемость функции / на отрезках
[а, с] и [с, Ь]. Поэтому в силу теоремы 5 получаем
ebb
[ f{x)dx= I f{x)dx- I f{x)dx =
а а с
b с
= / f(x) dx+ f(x) dx.
§ 4. Достаточные условия
интегрируемости
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке, то
она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция / непрерывна на
[а, 6], тогда по теореме Кантора функция / равномерно
непрерывна на [а,Ь]. Это означает, что модуль непрерыв-
непрерывности lj(S) = sup \f{x) - f(x')\ стремится к нулю
х,х'?[а,Ь)
\х-х'\<5
при 5 —> 0.
249

Пусть задано разбиение Т = {xi}{=o отрезка [а,Ь]. По-
Поскольку \х{ - Xi-i\ < ?{Т) < 2^(Т), то колебание функции
/ на отрезке [xj_i,:r;]
<*(/)= sup \f(x)-f(x')\<uBe(T)).
х,х'е[хг-1,х{]
Поэтому разность сумм Дарбу
г=1
- а) -+ 0 при ?(Т)-> 0.
Отсюда и из критерия интегрируемости следует ин-
интегрируемость функции /.
Определение. Функция / называется кусочно-
непрерывной на отрезке [а, 6], если существует разбиение
отрезка [а, Ъ) точками {с^}^: а = со < с\ < ... < cyv = Ь
такое, что Vfc € {1,... ,iV} на интервалах (cfc_i,Cfc) функ-
функция / непрерывна и существуют конечные односторонние
пределы /(cfc_i + 0), /(cfc - 0).
Теорема 2. Если функция кусочно-непрерывна на
отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция / кусочно-
непрерывна на отрезке [а, Ъ]. Тогда существует разби-
разбиение отрезка [а,Ь] точками {с/с}^{_1 такое, что на интерва-
интервалах (cfc_i,Cfc) функция / непрерывна, а в концах интерва-
интервалов (cfc_i,Cfc) функция / имеет конечные односторонние
пределы.
Зафиксируем произвольный отрезок [с^_1,с^] и рас-
рассмотрим непрерывную функцию
250

/(z), если x e (cjb-i,Cjb),
g(x) = { /(cjb-i + 0) если x = Cfc_i,
f(ck — 0), если x = с*;.
В силу теоремы 1 функция д интегрируема на отрезке
[cfc_i,Cfc]. Поскольку на отрезке [cfc_i,C]J функция / мо-
может отличаться от функции # не более, чем в двух точках,
то по теореме 4 § 3 функция / интегрируема на произволь-
произвольном отрезке [с*_1, с*]. Отсюда по теореме 5 § 3 следует ин-
интегрируемость функции / на всем отрезке [а, Ь].
Теорема 3. Если функция монотонна на отрезке, то
она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция / не убывает на
отрезке [а, Ь] и пусть задано разбиение Т = {^i}(=o отрезка
[а, 6]. Тогда
"*(/) = sup \f(x) - f(x')\ = f(Xi) - /fc-i).
x%xf?[xi-itxi]
Следовательно,
*=i
i=l i=l
f(b) - f(a)) -+ 0 при
В силу критерия интегрируемости, функция / интегриру-
интегрируема на [а, Ь].
¦
Замечание. Из непрерывности или монотонности
функции на интервале (а, Ь) не следует интегрируемость
251

этой функции на [а, 6]. Например, функция f(x) = ~
непрерывна и убывает на @,1), однако она неограниченна
и, следовательно, неинтегрируема на [0,1].
Теорема 4. Если функции f(x) и д{х) интегрируемы
на отрезке [а, Ь], то их произведение f(x)g(x) является ин-
интегрируемой на отрезке [а, 6] функцией.
Доказательство. Поскольку функции /ид ин-
интегрируемы на [а, Ь], то они ограничены, т. е.
Mf = sup \f(x)\ еМ, Мд= sup \д{х)\ G Ш.
х?[а,Ь] х?[а,Ъ]
Следовательно,
\f{x)g{x)-f{x>)g{x')\ =
= \f{x)g{x) - f(x')g(x) + f(x')g(x) - f(x')g(x')\ <
< \f(x)g(x) - №)g{x)\ + \f{x')g{x) - f{x')g{x')\ <
< Mg \f(x) - f{x')\ + Mf \g(x) - g(x%
Пусть задано разбиение Т = {xi}j-o отрезка [а, 6]. Тогда
^U9) = sup \f(x)g(x) - f(x')g(x')\ <
XG[xi_l,Xi]
<Mg sup \f(x)-f(x')\ + Mf sup 1^)-^)! =
[
Поэтому разность сумм Дарбу функции f(x)g(x)
I
; Т) - ?>; - Xi-Juitfg) < Мд Д(/; Т) + Mf
В силу критерия интегрируемости из интегрируемости
функций fug следует, что Д(/;Т) -» 0, А(р;Т) -> 0 при
^(Т) -> 0. Следовательно, Д(/^;Т) -> 0 при ?(т) -> 0, а
значит, функция f(x)g(x) интегрируема на [а, Ь].
252

§ 5. Определенный интеграл
как функция верхнего предела
Теорема 1. (Непрерывность интеграла как функции
верхнего предела.) Пусть на отрезке [а,Ь] задана ин-
интегрируемая по Риману функция f{x). Тогда функция
X
F(x) = J f(t) dt непрерывна на [а, Ь].
а
Доказательство. В силу необходимого условия ин-
интегрируемости функция f(x) ограничена на [а,Ь], т.е.
ЗСеМ:Ухе [а,Ь] \f(x)\ <С.
Пусть х\,Х2 € [a,b]. В силу свойства аддитивности ин-
интеграла относительно отрезков интегрирования F(x2) ~~
х2
— F{x\) — J f(t)dt. По теореме об интегрировании нера-
X!
венств \F{x2)-F{xl)\ <
тельно,
fCdt
= С\х2 — xi\. Следова-
[a, b]
\х - хо\ < 5 =» \F(x) - F(xo)\ < e,
т.е. функция F(x) непрерывна на [а,Ь].
Определение. Функция F(x) называется первообраз-
первообразной функции f(x) на [а,Ь], если Ух е (a,b) F'(x) — /(ж),
а на концах отрезка [а, Ь] значения функции / равны од-
односторонним производным функции F: f(a) — F\_(a) —
253

Теорема 2. Если функция / непрерывна на [а, 6], то
X
функция F(x) = / f(t) dt является первообразной функ-
а
ции f(x) на [а, 6].
Доказательство. Пусть х,хо Е [а, Ь], хф х§.
Тогда F(s) - F(x0) = f f(t)dt = (x -
a;
+ /(/(*) — /(яо)) dt. Следовательно,
X
— f(f(t) -/(ю))
dt
x0
<^^/|/(<)-/(*о)И.
В силу непрерывности функции / на [а, 6]
Vs > 0 36 > 0 : Vt G [a,b] |t - жо| < 5 =
поэтому
Ve > 0 36 > 0 : Ух e [a, 6] \x - xo\ < 6
- f(xo)\ < e,
X
/
т.е. Vxo G [a,6] lim F^:^o) = f(x0), где при ж0 = a
x—кто °
имеется в виду предел справа, а при xq = 6 - предел слева.
Это означает, что Vxq ? (a, 6)
254

/(a), FL(b) = f(b). Таким образом, функция F является
первообразной функции / на [а, 6].
¦
Из теоремы 2 и теоремы главы 4 о структуре множества
первообразных получаем
Следствие 1. Любая первообразная непрерывной на
[а, Ь] функции / имеет вид
X
F(x)= I
где С Е М- произвольная константа.
Следствие 2. (Формула Ньютона-Лейбница.) Если F
- первообразная непрерывной на [а, Ь] функции /, то
о
f
f(x)dx = F(x)
b
по опред.
F(b)-F(a).
Доказательство. Воспользуемся следствием 1 и заме-
а Ъ
тим, что F(a) = J f(t) dt + C = C, F{b) = / f(t) dt + C =
a a
b b
= J f(t) dt + F(a). Следовательно, / f(x) dx = F(b) - F(a).
Теорема З. (Замена переменной.) Пусть функция х
= tp(t) имеет непрерывную производную на отрезке [а,
а функция / непрерывна на отрезке <р([а, 6]). Тогда
о
J'
f(<p(t))Ap(t)=
255

Доказательство. Поскольку функция / непрерывна
на (р([а, Ь]), то по теореме 2 существует первообразная F
для функции /: Ух е </?([а, b]) F'{x) = f(x). По форму-
ле Ньютона-Лейбница / f(x) dx = F((p(b)) — F((p(a)).
(p(a)
Поскольку ^F(V(t)) = *%(*)) */(*) = fi!f{t))iff{t),
то функция F(^(t)) является первообразной функ-
функции f(ip(t))(ff(t). Следовательно, по формуле Ньютона-
Лейбница
ь ъ
J f(<p(t))Ap(t) = J
= JdF(<p(t)) = F(cp(b)) - F(v(a)) = J f(x)dx
(p(a)
Теорема 4. (Интегрирование по частям.) Если функ-
функции и(х) и v(x) непрерывно дифференцируемы на [а, Ь], то
ь b
/u(x)dv(x) = u(x)v(x) — / v(x) du(x).
a J
a a
Доказательство. Пользуясь линейностью интеграла и
формулой Ньютона-Лейбница, получаем
ъ ъ
I u(x) dv(x) + / v(x) du(x) =
а
b
= / (u(x) v'(x) + v(x) u'(x)) dx =
256

о
= / (u(x)v(x)Y dx = u{x)v{x)
a
откуда следует доказываемое равенство.
¦
Теорема 5. (Интегральная теорема о среднем.) Ес-
Если функции f(x) и д(х) непрерывны на [а, Ь] и Ух Е [а, Ь]
д(х) ф О, то существует точка ? Е (а, Ь) такая, что
ь ь
Jf(x)g(x)dx = № Jg(x)dx.
а а
Доказательство. Поскольку функции / и д непрерыв-
непрерывны, то по теореме 2 существуют дифференцируемые на
[а, 6] функции Ф(х) и G(x): Ф;(х) = /
= д(х) Ухе [а,Ь].
По теореме Коши о среднем 3? Е (а, Ь):
= =
G(b)-G(a) G'@
Так как по формуле Ньютона-Лейбница Ф(Ь) —
- Ф(о) = Jf(x)g(x)dx, G(b) - G(a) = Jg(x)dx, то
a a
ff(x)g(x)dx = f(O Jg(x)dx.
a a
257

§ 6. Геометрические приложения
определенного интеграла
Объем тела вращения
Пусть на отрезке [а,Ь] задана неотрицательная функ-
функция f(x). Множество
G={(x,y,z)eR3 : хе[а,Ъ], у/у2 + z2 < f(x)}
называется телом вращения вокруг оси Ох.
Пусть задано разбиение Т = {^i}i=o отрезка [а, 6]. Обо-
Обозначим mi = inf f(x), M{ = sup f{x).
x€[xi_i,Xi] х?[х{-1,х{]
Определим цилиндры:
qi = {(x,y,z) E M3 : xe[xi-UXi], y/y2 + z2 < гщ},
Множество q(f] Т) = (J qi называется внутренним, а мно-
множество Q(f; Т) = О Qi ~ внешним ступенчатыми тела-
телами для тела вращения G.
Заметим, что VT <?(/; Т) С G С Q(f; T).
Поскольку объемы цилиндров qi и Qi равны V(qi) =
= (xi — Xi-i)nm2, V(Qi) = (xi — Xi-i)nMf, то объемы
внутреннего и внешнего ступенчатых тел равны
= 7Г
V(Q(f; Т)) = J] V(ft) = тг 52(*i ~ *i-
*=i *=i
Определение. Число V называется о^белсолс тела вра-
вращения G, если
258

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна и неотри-
неотрицательна на [а, 6], то объем тела вращения G существует и
равен
ь
V = n f f2(x)dx.
а
Доказательство. Поскольку функция (р(х) = -к f2{x)
непрерывна, то она интегрируема на [а, Ь]. Это означает,
что пределы верхних и нижних сумм Дарбу существуют и
равны интегралу:
6 ь
Km s(<p;T) — lim S((p]T) = / (f(x)dx = тг / f2(x)dx.
*(т)->о *(т)->о У У
a a
Заметим, что объемы внутреннего и внешнего ступенча-
ступенчатых тел равны соответственно нижней и верхней суммам
Дарбу для функции (р(х):
i -Xi-i) inf ip{x) = s(ip;T).
x?[xi-ltXi]
Аналогично, V(Q(f;T)) = S((p;T). Следовательно,
6
= elimoV(Q(f;T)) = тг J f(x)dx.
259

Площадь поверхности вращения
Пусть на [а, Ь] задана неотрицательная функция /(х). Мно-
Множество
Q={(x,y,z)eM3 : хе[а,Ь), у/у2 + *2 = /(*)} ¦
называется поверхностью вращения графика функции /
вокруг оси Ох.
Обозначим через Г кривую, совпадающую с графиком
функции /: Г = {г (х) : х G [а, Ь]}, где f (х) = (х, 0, /(х)).
Пусть Vt ~ ломаная, вписанная в кривую Г и соответ-
соответствующая разбиению Т = {xi}(=o отрезка [а,Ь]. Через QT
обозначим поверхность, полученную вращением ломаной
Ят вокруг оси Ох. Поверхность Q^ состоит из / боковых
поверхностей усеченных конусов qi = {(x, y,z) е Ш? : х ?
G [xi_i,Xi], у/у2 + z2 = /г(х)}, где функция fi{x) задает
г-й отрезок ломаной р?.
Как известно из элементарной геометрии, площадь бо-
боковой поверхности усеченного конуса qi равна S{qi) =
= ^ *~2 > г'п«е ^ ~ длина г-го звена ломаной 'Рт» являю-
являющегося образующей усеченного конуса qi, a ^-i> ^г ~ дли-
длины окружностей оснований усеченного конуса ф- Посколь-
КУ ti =
то площадь поверхности усеченного конуса qi равна
Следовательно, площадь поверхности Qy, полученной вра-
вращением ломанной Vt вокруг оси Ох, равна
260

Определение. Число S называется площадью поверх-
поверхности вращения Q, если S = lim S(Q^).
Теорема 2. Пусть на [а,Ь] задана неотрицательная,
непрерывно дифференцируемая функция f(x). Тогда пло-
площадь поверхности вращения Q существует и равна
Доказательство. Пусть задано разбиение Т = {%i}l=o
отрезка [а,Ь]. По теореме Лагранжа о среднем Э& G
G [xi-uXi]: f(xi) - /(xi_i) = f'(?i)(xi - Xi-i). Следо-
Следовательно,
S(Qi) = ж y/{xi - xi_i)» + (f(Xi) - /(xi-x))» x
x (/fo-Q + Zfo)) = A)
= тг (^ - xi-x
Поскольку производная f'(x) непрерывна на [a,b], то она
ограничена на [а,Ь]: ЗС G М : Vx G [а, 6] |/7(х)| < С.
Следовательно, Vz7,^7 G [о,Ь] \f(x') - f(x")\ < C\xf -
— х"\. В частности,
следовательно,
|/(х*) - /FI < 2С?(Т).
261

Рассмотрим функцию <р(х) = 2nf(x)y/l + (/'(я)J.
Из формул A), B) следует, что
+ (/Ч&)J
2C?(T).
тг (я:* - ar^i
< тг (х{ -Xi-г
Из точек & е [xi-ijXi] составим выборку ?т = {&}f=1.
Из предыдущего неравенства получаем следующую оцен-
оценку близости площади поверхности QT и суммы Римана
*=i
; т;
г=1
= 2тг \/1 + С2 С?(Т) F - а),
следовательно,
S(QT)-a(<p;T;tT)->0 при
0.
C)
Поскольку функция (f(x) непрерывна, то она ин-
интегрируема на [a, ft], и, следовательно, существует
б
lim сг(</?;Т;?т) = f<p(x)dx. Отсюда и из C) полу-
т)^о
ь
чаем, что существует lim S(QT) = Jcp(x)dx, т.е. суще-
существует площадь поверхности <5:
262

ь о
S(Q) = J ф) dx = 2nj f(x) yj\ + (/'(*)J dx.
Длина дуги
Пусть кривая Г задана непрерывной вектор-функцией f(t):
Г = {f(t) : t e [a,b]}. Напомним, что ломанной рт,
вписанной в кривую Г и соответствующей разбиению Т =
= {и}{-0, называется упорядоченный набор отрезков
Шо)А*1)Ъ ••• ,№-1),'(*/)]}•
Длина ломаной Vt равна \Vt\ = J2 \г(^г) ~ r(U-i)\, & дли-
г=1
ной кривой Г называется |Г| = sup I'PtI ~ супремум длин
т
ломаных по всем разбиениям Т отрезка [а, Ь].
Теорема 3. Если кривая Г = {f(t) : t e [a,b]} зада-
задана непрерывно дифференцируемой вектор-функцией f(t)
(т.е. производная r'(t) непрерывна на [а,Ь]), то
б
= J\f'(t)\dt.
Доказательство. Рассмотрим переменную длину дуги
s(t) = \Tt\j где Г* = {г(^) : ? е [a,t]}. Как было показа-
показано в главе 5, s'(t) = |f;(t)| Vt e [a,b]. Следовательно, по
формуле Ньютона-Лейбница |Г| = s(b) = s(b) — s(a) =
= }s'(t)dt = f\f'(t)\dt.
263

§ 7. Криволинейные интегралы
Определение. Вектор-функция г(t) называется кусоч-
кусочно непрерывно дифференцируемой на отрезке [а,Ь], если
она дифференцируема на [а, Ь], за исключением конечного
числа точек, а производная r'(t) - кусочно-непрерывна на
Определение. Пусть непрерывная и кусочно
непрерывно дифференцируемая на [а, Ь] вектор-функция
f(t) задает кривую Г = {f(t) : t e [a,b]} С Мп. Пусть
на множестве Г задана непрерывная скалярная функция
/(г). Криволинейным интегралом первого рода функции
/(г) по кривой Г называется определенный интеграл
функции <p(t) = f(r(t))\rf(t)\ по отрезку [а,Ь]:
6
= Jf(r(t))\r'(t)\dt. A)
Замечание. Так как функция <p(t) = f(r(t))\rf(t)\
кусочно-непрерывна на [а, 6], то интеграл A) существует.
Замечание. Если кривая Г задана в натуральной пара-
параметризации r(s), то 1^EI = 1, и формула A) принимает
более простой вид:
I11
= / fDs))ds-
0
Теорема 1. Криволинейный интеграл первого рода не
зависит от параметризации.
264

Доказательство. Пусть вектор-функции r(t) и д(т)
непрерывны и кусочно непрерывно дифференцируемы на
отрезках [*i, *г] и [гъг2] соответственно. Пусть эти вектор-
функции задают одну и ту же кривую
T = {f(t) : te[tut2]} = {g(r) : те[тът2}},
т. е. существует функция r(t), непрерывная и строго возра-
возрастающая на [?i,*2] и такая, что r(ti) = ti, т(^) = Т2 и
f(t) = ?(т(?)) Vt G [^1,^2]. Будем дополнительно пред-
предполагать, что функция r(t) непрерывно дифференцируе-
дифференцируема на [*1,*г]- Пусть на множестве Г задана непрерывная
функция /(г). Требуется доказать, что криволинейный ин-
интеграл / f(r) ds, вычисленный с помощью параметризации
г
г(?), совпадает с криволинейным интегралом J /(r) ds, вы-
г
численным с помощью параметризации g(r), т. е.
<2
/Ж*))
По теореме о производной сложной функции ff(t) —
= ^/(г(^)) -r'{t). Отсюда в силу неравенства r'{t) > 0 полу-
получаем \f'{t)\ = |^7(r(t))| • r'(t). Поэтому, согласно теореме о
замене переменных в определенном интеграле,
Т2
265

Лемма 1. При изменении ориентации кривой криво-
криволинейный интеграл первого рода не изменяется.
Доказательство. Пусть непрерывная и кусочно
непрерывно дифференцируемая вектор-функция f(t)
задает кривую Г = {f(t) : t G [а,Ь]}. Введем параметр
г = —t. Тогда вектор-функция ~д(т) = г(—т) задает кри-
кривую Г~ = {~q(t) : r Е [—6, —о]}, полученную из кривой Г
изменением ориентации. Действительно, если точка г\ ? Г
следует за точкой r2 E Гв смысле ориентации кривой Г,
то r\ = r(*i), F2 = f(t2), h > i2- Поэтому r\ = e(-*i)>
^2 = Ж""^2)? ~^1 < ~^2? т.е. точка Fi предшествует точке
г2 в смысле ориентации кривой Г~.
Остается показать, что криволинейные интегралы
первого рода непрерывной функции /(г) по кривым Г и
Г" совпадают. Производя замену переменной в определен-
определенном интеграле, получим
—а
/(r) ds = J f(e(r)) W(r)\dr t==T
г- -ь
b
Замечание. (Физическая интерпретация криволиней-
криволинейного интеграла первого рода.) Если /(г) = 1 Vr G Г, то
криволинейный интеграл J f(f)ds равен длине кривой Г.
г
Если /(F) > 0, то криволинейный интеграл первого рода
можно интерпретировать как массу кривой Г с линейной
плотностью /(г).
Определение. Пусть непрерывная и кусочно
непрерывно дифференцируемая на [a, b] вектор-функция
266

r(t) задает кривую Г = {r(t) : t e [a,b]} С Мп. Пусть
на множестве Г задана непрерывная n-мерная вектор-
функция F(f). Криволинейным интегралом второго рода
вектор-функции F по кривой Г называется определенный
интеграл функции </>(?) = (F(r(t)), r'(t)j по отрезку [а, Ь]:
ъ
J(F(r), dr) = J(T(?(t)), r\t))dt. B)
Замечание. Так как функция (p(t) = (F(r(t)), r'(t)j
кусочно-непрерывна на [а, 6], то интеграл B) существует.
Теорема 2. Криволинейный интеграл второго рода не
зависит от параметризации.
Доказательство аналогично доказательству теоре-
теоремы 1, поэтому приведем его в сокращенном виде. Пусть
кривая Г задана в двух параметризациях:
T = {f(t) : te[tut2]} = {g{r) : re[rur2]}.
Делая замену переменной в определенном интеграле, по-
получим
*2 t2
= J(F(g(r(t))), g'(r(t))y'(t)dt = J(F{r(t)), r'{t))dt.
Лемма 2. При изменении ориентации кривой криво-
криволинейный интеграл второго рода меняет знак.
267

Доказательство. Пусть непрерывная и кусочно
непрерывно дифференцируемая вектор-функция r(t)
задает кривую Г = {f(t) : t e [a, b]}. Изменив ориентацию
кривой Г, получим кривую Г" = {g(r) : r G [—Ь, —а]},
заданную вектор-функцией ~д(т) = г(—т). В силу теоремы
о замене переменных в определенном интеграле имеем
г- -ь
а а
= f(F(r(t)), -f'(t))(-dt)= f(F(r(t)),r'(t))dt =
J V / J \ *
b
b
, r'(t))dt = -J(F(r), dr).
Замечание. В частности, если кривая Г С М3 зада-
задана вектор-функцией f(t) = (x(t),y(i),z(i) j, t G [a, 6],
а подынтегральная вектор-функция имеет вид jP(r) =
= F(x,y,z) = ^P(x,y,z), Q(x,y,z)) R(x,y,z)J, то криво-
криволинейный интеграл второго рода записывают в виде
/
, z) dx + g(x, г/, z) dy + Д(х, у, z) dz =
268

Замечание. (Физическая интерпретация интеграла
второго рода.) Пусть заданы кусочно-гладкая кривая Г =
= {f(t) е Мг : t e [а, Ь]}, непрерывная вектор-функция
F : Г —> Ш3 и разбиение Т = {U}{-q отрезка [а, Ь] с мелко-
мелкостью ?(Т)- Заметим, что
I
0
b
= J(F(r(t))> r\t))dt = У (F(r), dr).
а Г
Поскольку скалярное произведение (F(f(^)), r(^) —
- r(ti-i)j равно работе силы F(r(ti)) вдоль отрезка
[f(^_i),r(^)], то криволинейный интеграл f(F(r), drj
можно интерпретировать как работу силы F(r) вдоль кри-
кривой Г.
269

ГЛАВА 8
НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение и некоторые свойства
несобственного интеграла
Определение. Пусть функция f(x) определена на лу-
луче [а,+оо) и для любого числа Ь > а функция / ин-
интегрируема на отрезке [а, Ь]. Несобственным интегралом
+оо Ь
Г f[x) dx называется lim Г fix) dx.
i ь->+оо a
b
Если существует конечный lim f f(x) dx, то говорят,
6->+оо a
что несобственный интеграл J f(x) dx сходится, иначе -
a
расходится.
Определенный интеграл Римана, который мы изучали
до сих пор, будем называть собственным интегралом.
Аналогично определяется несобственный интеграл
ъ
f f(x)dx для функции /(х), интегрируемой в собствен-
—оо
ном смысле на любом отрезке из луча (—оо, Ь]:
ь ь
/f(x) dx = lim / fix) dx.
a-+-oo J
Пример 1. Найти все значения а, при которых ин-
теграл J j§ сходится.
1
Решение. При а ф 1
270

Г dx _ _1_ 1 _ _1_ / 1 _ -Л
J ха 1—с* ха~ 1—ос \Ьа~ /*
1 1
/ ^Zi ПРИ С* > 1
+оо при а < 1
6 г
Поэтому lim / ~ = <
Ь—>+оо ^ (^
При а = 1 J|§=lnb^ +оо (Ь —> +оо). Следова-
1
+ ОО
тельно, при а > 1 интеграл J ^§ сходится, а при а < 1 -
расходится.
¦
Определение. Пусть функция f(x) определена на по-
полуинтервале [а, Ъ) и интегрируема в собственном смысле на
любом отрезке [a,bf] С [а,Ь). Несобственным интегралом
ь У
J f(x) dx называется lim J f(x) dx.
a b'->b-0 a
Аналогично определяется несобственный интеграл
b
J f(x) dx для функции /(#), интегрируемой в собственном
а
смысле на любом отрезке [а7, Ь] С (а, Ь]:
ь
/f{x)dx— lim f(x)dx.
a'-HZ+O J
Лемма 1. Если существует собственный интеграл
b b'
f f(x)dx, то несобственные интегралы lim J f(x)dx и
a b'-+b-0 a
b
lim J f(x)dx существуют и равны собственному ин-
интегралу.
Доказательство. Поскольку функция / интегрируе-
интегрируема в собственном смысле на [а,Ь], то она ограничена, т.е.
271

ЗМ в М : Ух е [а,Ь] \f(x)\ < М. Поэтому
ff(x)dx
V
< М\Ь - У\ —> 0 при У —> 6-0. Следовательно,
lim / f(x) dx = J f(x) dx - lim / f(x) dx = / /(x)
& 6
Аналогично, lim f /(x) dx = f f(x) dx.
a<-+a+0 a, a
Теорема 1. Пусть функция f(x) определена и огра-
ограничена на отрезке [а, 6], а на любом отрезке [а, У] С [а,Ь)
функция f(x) интегрируема. Тогда существует собствен-
&
ный интеграл / f(x) dx.
а
Доказательство. Поскольку функция / ограничена
на [а,6], то ЗМ е М : Ух е [а,Ь] \f(x)\ < М. Зафиксиру-
Зафиксируем произвольное число е > 0 и определим Ь1 е [а,Ь) так,
чтобы Ъ — Ь1 < g^y. Любому разбиению Т = {xi}(=0 отрезка
[а,Ь] сопоставим разбиение Т7 отрезка [а, б7], составленное
из точек разбиения Т, попавших на отрезок [а, б7] и точки
У: Т7 = {яо> х\j..., Zj-i, 67}, где j определено из условия
Xj-i < У < Xj.
Разобъем разность сумм Дарбу Д(/; Т) на два слагае-
слагаемых:
г=1
3-1
ГДе Afaxj-t] =
г=1
272

Заметим, что Afaxj-.t] < А(/;Т')- Кроме того, поскольку
Ui(f) < 2М, то А[х. ьЬ] < 2М (Ъ - Xj-i) = 2M(b-b' + b'-
-xj-r) < 2M(b-bf+e(T)) < 2M(^+?(T)) = f+2M?(T).
Следовательно,
А(/;Т) < А(/;Т') + Е- + 2М?(Т).
Поскольку функция / интегрируема на [а, Ь;], то в силу
критерия интегрируемости
Определив 5 = min{5o, gfj}, получим, что для любого
разбиения Т отрезка [а, Ь] такого, что ^(Т) < ^, выполня-
выполняется ?(Tf) < ?(Т) < 8 < 60, следовательно, Д(/;Т;) < |.
Поэтому
Итак, Уе > 0 36 > 0 : VT ^(Т) < S =* А(/;Т) <
< б:. Отсюда по критерию интегрируемости получаем су-
ъ
ществование J f(x) d% в собственном смысле.
Замечание. Аналогично можно доказать, что если
ограниченная на (а, Ь] функция интегрируема на любом
отрезке [а',Ь] С (а, Ь], то эта функция интегрируема на
Определение. Точка а называется особой точкой не-
с
собственного интеграла J f(x)dx, если Ь < а < с и функ-
ъ
ция / неограниченна в любой окрестности точки а. Для
273

С +ОО
несобственных интегралов J f(x) dx, J f(x) dx символы
—oo b
±00 всегда считаются особыми точками.
Следствие. Из леммы 1 и теоремы 1 следует, что не-
ь
собственный интеграл f f(x) dx без особых точек всегда
а
сходится. Более того, в этом случае существует собствен-
ь
ный интеграл J f(x) dx, равный несобственному. Поэтому
а
не имеет смысла рассматривать несобственные интегралы
без особых точек.
Пример 2. Найти все значения а, при которых ин-
1
теграл /|§ сходится.
о
Решение. При а < 0 функция |§ ограничена на @,1),
и, следовательно, данный интеграл не имеет особенностей.
При а > 0 данный интеграл имеет особенность в точке х —
1 1
= 0, поэтому J ^§ = lim J ^|.
о ь->+о ь
При а ф 1, Ь в @,1)
1 1
Г dx _. _1 1 = _J__ /-. 1 \
J ха 1—а ж0 1—о: V Ьа~1 )'
Ь
Ь
тт т С dx I i wv/ При а > 1
Поэтому lim f ^i = < 1 к
ь~->+° 6 х I Г^а ПРИ а < 1
1
При а = 1 /^ = ~1пЬ-^ +оо (Ь -> +0). Следова-
1
тельно, при а < 1 интеграл / ^§ сходится, а при а > 1 -
о
расходится.
274

Лемма 2. (Принцип локализации.) Пусть заданы
a,ai G М и Ь е JRU{+°°}> a < «i < Ь. Пусть на про-
промежутке [а,Ь) определена функция f(x), интегрируемая в
собственном смысле на любом отрезке [а,Ь7] С [а, 6). То-
ь ь
гда несобственные интегралы J f(x) dx и J f(x) dx сходят-
а а\
ся или расходятся одновременно, а в случае их сходимости
справедлива формула
Ъ а\ b
f f(x) dx= I f{x) dx+ f f(x) dx. A)
a a a\
Доказательство. Поскольку при Ь' Е [а, Ь) имеет место
У аг Ь
Jf(x)dx = J f{x)dx+ f f(x)dx, то конечные пределы
a a a\
b У b b'
ff(x)dx= lim ff(x)dxn f fix) dx = lim ff(x)dx
существуют или не существуют одновременно, и в случае
их существования справедлива формула A).
Замечание. Принцип локализации состоит в том, что
сходимость несобственного интеграла определяется пове-
поведением подынтегральной функции лишь в окрестности
особой точки. В лемме 2 сформулирован принцип лока-
локализации для несобственного интеграла с особенностью на
правом конце промежутка интегрирования. Аналогичное
утверждение справедливо и для несобственного интеграла
с особенностью на левом конце промежутка интегрирова-
интегрирования.
До сих пор мы рассматривали несобственные интегра-
интегралы с одной особенностью. Дадим теперь определение не-
несобственного интеграла с конечным числом особенностей.
275

Определение. Пусть на конечном или бесконечном
промежутке (а, 6) задана функция /(я), за исключением
точек Xi (г = 0,...,/): а = х0 < х\ < ... < х\ = Ь.
Пусть функция / интегрируема в собственном смысле на
любом отрезке [а,/?] С (а,Ь), не содержащем точек Х{. Вы-
Выберем произвольным образом точки & € (xi-i,Xi) (г =
= 1,...,/). Будем говорить, что несобственный интеграл
ь
J f(x)dx сходится, если все несобственные интегралы с
а
одной особенностью / f(x)dx и J f(x)dx сходятся. В
xi— 1 ?j
&
противном случае будем говорить, что интеграл / f(x) dx
а
Ь
расходится. Если интеграл / f(x) dx сходится, то его зна-
а
чение определим как сумму несобственных интегралов с
одной особенностью:
f(x)dx
Из леммы 2 следует, что сходимость и значение интегра-
ь
ла / /(х) dx не зависит от выбора точек &.
а
В дальнейшем мы будем рассматривать интегралы с
особенностью на правом конце промежутка интегрирова-
интегрирования. Интегралы с особенностью на левом конце проме-
промежутка интегрирования рассматриваются аналогично. Ин-
Интегралы с конечным числом особенностей сводятся к ко-
конечному числу интегралов с одной особенностью.
Теорема 2. (Линейность несобственного интеграла.)
Если функции fug интегрируемы в собственном смысле
276

на любом отрезке из промежутка [а, Ь) и несобственные ин-
ъ ъ
тегралы J f(x) dx, f g(x) dx сходятся, то для любых чи-
а а
сел а,/? несобственный интеграл f(af(x) + Cg(x))dx cxo-
ь ь
дится и равен a J f(x) dx + /3 J g(x) dx.
а а
Доказательство. В силу линейности собственного ин-
интеграла для любого У е [а, 6) справедлива формула
У Ъ' У
I (ctf(x) + Cg(x)^j dx = a I f(x) dx + C f g(x) dx.
Поскольку при b' —> 6 — 0 существует конечный предел
выражения, стоящего в правой части равенства, то, пере-
переходя к пределу при У —> Ь — 0, получим требуемое утвер-
утверждение.
ъ
Следствие. Если интеграл / f(x) dx расходится, а ин-
а
Ь Ъ
теграл fg(x)dx сходится, то интеграл f(f(x) + g(x))dx
а а
расходится.
ь
Доказательство. Если бы интеграл f(f(x) + g{x)) dx
а
сходился, то поскольку f{x) = (f(x) + д{х)) — д{х), по те-
ь
ореме 2 мы бы получили сходимость интеграла J f(x) dx,
а
что не выполняется по условию. Следовательно, интеграл
ъ
J(f(x) + g(x)) dx расходится.
а
277

b b
Замечание. Если интегралы j f(x)dx и f g(x)dx pac-
a a
b
ходятся, то интеграл J(f(x) +g(x)) dx может быть как схо-
а
дящимся, так и расходящимся.
Теорема 3. (Замена переменной.) Пусть непрерывно
дифференцируемая, строго возрастающая функция x(t)
переводит промежуток [to, /3) в промежуток [х$,Ъ). Пусть
функция f(x) непрерывна на промежутке [хо,Ь). Тогда
справедлива формула
= Jf(x(t))x'(t)dt, B)
Xq t0
означающая, что если хотя бы один из указанных интегра-
интегралов сходится, то другой интеграл сходится и их значения
равны.
Доказательство. По теореме об одностороннем преде-
пределе возрастающей функции
lim x(t) = sup x(t) = sup [xo, b) = b.
*-0-° te(to,p)
Поскольку функция x(t) непрерывна и строго возра-
возрастает, то существует обратная к ней непрерывная строго
возрастающая функция t(x), причем
lim t(x) = sup t(x) = sup [to, /3) = C.
x-+b-o xe(xo,b)
В силу теоремы о замене переменной в собственном ин-
интеграле
/3'
= Jf(x(t))xf(t)dt,
278

где Ъ' = х@') в (х0, Ъ), /?' = t(b') € (to,C).
ь
Если интеграл / f(x) dx сходится, то
Х0
Р х(/3>)
lim [ f(x(t))x'(t)dt= lim / f(x)dx =
/3
to
b'
= lim ff(x)dx= ff(x)dx,
xo xo
т.е. несобственный интеграл J$(х(г))х'{г) dt сходится и
*o
выполняется формула B). Аналогично, если несобствен-
ный интеграл J f(x(t)) x'{i) dt сходится, то сходится несоб-
ь
ственный интеграл j f(x) dx и справедлива формула B).
Х0
Пример 3. Найти все значения а, при которых ин-
+оо
теграл f xfa*x сходится.
е
Решение. Выполнив замену перменной х = ег, полу-
-f-oo -f-oo
чим / ж in" ж = / W' Пользуясь результатами примера
е 1
1, получим, что исходный интеграл сходится при а > 1 и
расходится при а < 1.
279

§ 2. Несобственные интералы
от знакопостоянных функций
Теорема 1. (Критерий сходимости несобственного ин-
интеграла от неотрицательной функции.) Пусть функция
/ интегрируема в собственном смысле на любом отрез-
отрезке из промежутка [а, Ъ) и f(x) > 0 Vx G [а, Ь). То-
ъ
гда сходимость интеграла f f(x) dx эквивалентна условию
а
У
sup j f(x) dx < +00.
Ь'е[а,Ь) а
Доказательство. Поскольку f{x) > О, то функция
У
F(bf) = j f(x)dx является неубывающей на [а,Ь). По те-
а
ореме об одностороннем пределе монотонной функции су-
существует конечный или бесконечный предел lim F{V) =
Ь1—>6—О
ь
= sup F{bf). Несобственный интеграл J f(x) dx сходится,
Ь'е[а,Ь) а
тогда и только тогда, когда существует конечный предел
lim i^(b'), т.е. когда sup F{bf) < +00.
ь'-^ь-о Ь'е[а,ъ)
Теорема 2. (Признак сравнения.) Пусть функции / и
д интегрируемы в собственном смысле на любом отрезке
из промежутка [а, Ь) и для любого х G [а, Ъ) выполняются
неравенства 0 < f(x) < д(х). Тогда
ъ
а) из сходимости несобственного интеграла Jg(x)dx
а
Ь
следует сходимость несобственного интеграла / f{x)dx\
а
Ъ
б) из расходимости несобственного интеграла / f(x) dx
280

следует расходимость несобственного интеграла J g{x) dx.
а
Доказательство. Из неравенства f(x) < д(х) следу-
ъ' У ь
ет, что sup J f(x)dx < sup Jg(x)dx. Если Jg(x)dx
b'e[a,b) a b'e[a,b) a a
b'
сходится, то sup Jg(x)dx < +00, следовательно,
b'e[a,b) a
b' b
sup J f(x)dx < +00 и по теореме 1 интеграл J f(x)dx
b'e[a,b) a a
сходится. Пункт (а) доказан. Пункт (б) следует из пункта
(а).
Определение. Будем говорить, что неотрицательные
функции f(x) и д(х) эквивалентны в смысле сходимости
интегралов при х —> Ь — 0 и писать f(x) ~* g(x) при
х —> Ъ - 0, если существуют числа т > О, М > 0, bi < Ь
такие, что для любого х Е [bi, Ъ) выполняются неравенства
тд(х) < f(x) < Мд(х).
Заметим, что неотрицательные функции / и д эквива-
эквивалентны в смысле сходимости интегралов тогда и только
тогда, когда одновременно выполняются условия f(x) =
= О(д(х)) и д(х) = O(f(x)). В частности, если существует
конечный предел lim A^f = С ф 0, то f(x) ~* д(х) при
х—>Ь—О У{'
Лемма 1. Если на промежутке [а, Ь) заданы неотрица-
неотрицательные функции fi{x), gi(x), hi(x), г = 1,2, причем Ух G
G [а, Ъ) hi(x) > 0, то из условий
fi(x) ~ h{x), 9i(x) ~ 92{x),
281

h\(x) rJ h2{x) при x —> b — 0
следует условие
h(x)gi(x) ex. f2(x)g2(x)
hx(x) h2(x)
при x —> b - 0.
Доказательство. По определению эквивалентных
функций в смысле сходимости интегралов
36/ G [а, Ь), га/ > 0, М/ > 0 : Vz G [Ь/, Ь)
36^ G [а, Ь), га^ > 0, Мд > 0 : Уж е [Ьу, Ь)
тдд2(х) < дг(х) < Мдд2(х),
3bh е [а, Ь), тЛ > 0, Mh > 0 : Va: e [bh, b)
Следовательно, существует bi = maxjb/jb^,^} такое, что
для любого х G [bi, Ь) выполняются неравенства
^/^ f2(x)g2(x) < fi(x)gi(x) < М/Мр /2(х)д2(х)
< <
Mh h2(x) ~ hi(x) ~ mh h2(x)
Теорема З. Пусть неотрицательные функции /ид
интегрируемы в собственном смысле на любом отрезке из
промежутка [а, Ь) и эквивалентны в смысле сходимости ин-
интегралов при х —> b — 0. Тогда несобственные интегралы
ь ь
J f(x) dx и J g(x) dx сходятся или расходятся одновремен-
одновременен а
НО.
Доказательство.
Поскольку f(x) ~ д[х) при х —> Ъ - 0, то
282

Зга, M > 0, 36i G [a, 6) : Vz G [Ьь 6)
Img{x) < f(x) < Mg(x).
В силу принципа локализации (лемма 2 § 1) сходимость
ъ ь
или расходимость интегралов J f(x)dx и J g(x)dx не из-
а а
менится, если промежуток интегрирования [a, b) заменить
ь
на промежуток [bi,b). Пусть интеграл Jg(x) dx сходится,
а
Ъ
тогда сходится интеграл J g(x) dx, и, следовательно, схо-
bi
ъ
дится интеграл J M g(x) dx. Отсюда в силу признака срав-
bi
ь
нения получаем сходимость интеграла J f(x) dx, а значит,
bi
b
и интеграла J f(x) dx. Аналогично, из сходимости интегра-
а
b b
ла / f(x) dx следует сходимость интеграла J g(x) dx.
а а
Замечание. Условие неотрицательности функций f(x)
и д(х) в теореме 3 существенно. В следующем парагра-
+ ОО
фе будет показано, что интеграл J Щ^-dx сходится, а ин-
"
теграл J Щ? A + Щ=^ j dx расходится, хотя 1 ¦
1
при х —> -Ьоо.
Пример. Исследовать на сходимость
+оо 2
arctg х sin ( °sa: J
—-^ dx.
I
283

Решение. Заметим, что при х —> +оо имеют место сле-
следующие эквивалентности в смысле сходимости интегралов:
lim arctga: = — =Ф- arctgo: ~ 1;
ж—>+оо 2
lim sin. o ,
ж->+оо у xz / 2 + COS X
cos x \ ex. 2 + cos ж
Sin
Sill
x2 J x2
1 < 2 + cos я < 3 =>
2 + cos x \ ex. 2 + cos ж ex. 1
Отсюда и из леммы 1 получаем
arctgz sin 4 ex. 1
^?l_ ^ ПрИ x _> +OO.
(ex + 1)Л ж2 еЛЖ У
При a > 0 выполняется ж^^аа; < ~j Vrr > 1. Поскольку
J 4j- сходится, то при a > 0 исходный интеграл сходится
l
в силу признака сравнения.
При а < 0 выполняется ж^аа; —* +°° (х ~^ +°°)) сле-
следовательно, Э^о > 1 : Ух > xq хъ\ах > 1. Поскольку ин-
+ ОО
теграл J dx расходится, то в силу признака сравнения
1
при а < 0 исходный интеграл расходится.
284

§ 3. Несобственные интегралы
от знакопеременных функций
Теорема 1. (Критерий Коши.) Пусть функция / ин-
интегрируема в собственном смысле на любом отрезке из про-
b
межутка [а, Ъ). Несобственный интеграл f f(x) dx сходится
а
тогда и только тогда, когда выполняется условие Коши:
ь2
Jf(x)dx
< е.
Доказательство. Определим функцию F(t) =
t
— ff(x)dx. По определению несобственный интеграл
а
Ъ
J f[x) dx сходится, если существует конечный предел
а
lira F(t). Из критерия Коши существования предела
t—>b—О
функции следует, что существование конечного предела
lira F(t) эквивалентно тому, что для любого е > 0 су-
t—>b—О
ществует левая полуокрестность (?, Ь) точки Ъ такая, что
Vbi,&2 ^ (City |F(&2) ~ ^(^i)| < ?. Используя равенство
ь2
Ffa) — F(bi) = f f(x)dx, получаем требуемое утвержде-
bi
ние.
Замечание. Критерий Коши чаще всего используется
для доказательства расходимости несобственных интегра-
интегралов от знакопеременных функций. Согласно критерию Ко-
6
ши, для доказательства расходимости интеграла / f(x) dx
285

с особенностью в точке b достаточно доказать, что выпол-
выполняется отрицание к условию Коши сходимости этого ин-
интеграла, т. е.
ЗЬиЪ2 € (?,
Ь2
J
f(x)dx
> е.
Определение. Говорят, что несобственный интеграл
ъ
J f(x) dx сходится абсолютно, если сходится несобствен-
несобственен
б
ный интеграл / \f(x)\ dx.
Теорема 2. Пусть функция / интегрируема в соб-
собственном смысле на любом отрезке из промежутка [a, Ь).
ь
Если несобственный интеграл J f(x) dx сходится абсолют-
абсолютен
но, то этот несобственный интеграл сходится.
6
Доказательство. Так как интеграл J \f(x)\ dx сходит-
а
ся, то выполняется условие Коши его сходимости:
ь2
/
\dx
h
<€.
Поскольку
ь2
Jf(x)dx
J\f(x)\dx
, то выполняется
условие Коши сходимости интеграла J f(x) dx. Отсюда по
а
критерию Коши получаем сходимость этого интеграла.
286

Заметим, что для собственных интегралов из ин-
интегрируемости модуля функции не следует интегрируе-
интегрируемость самой функции.
Например, функция
„, ч ( 1, если х иррациональное,
fix) = <
[ — 1, если х рациональное
неинтегрируема, а ее модуль \f(x)\ — 1 является функцией,
интегририруемой в собственном смысле на любом отрезке.
Определение. Если несобственный интеграл сходится,
но не является абсолютно сходящимся, то говорят, что этот
несобственный интеграл сходится условно.
Теорема 3. (Признак Дирихле.) Пусть функция f(x)
непрерывна, а функция д(х) непрерывно дифференцируе-
дифференцируема на промежутке [а,Ь). Пусть выполнены условия
1) первообразная функции / ограничена на [а, Ь);
2) lim g(x)=0]
х—^Ь—О
3) функция д является невозрастающей на [а,Ь), т.е.
д'(х) <0 Ухе [а, Ь).
ъ
Тогда несобственный интеграл f f[x) g(x) dx сходится.
а
Доказательство. По условию первообразная F(x)
функции f{x) ограничена, т. е.
3CeR:Vxe[a,b) \F(x)\ < С. A)
Для произвольного b' G (а, Ь) воспользуемся формулой
интегрирования по частям:
= g(x)F(x)
г
-fF(x)g'(x)dx.
287

Заметим, что в силу формулы Ньютона-Лейбница
lim /д'{х) dx = lim g(b') - д(а) = -р(а), следователь-
6'—+6—0 а Ы—+Ь—О
ь
но, несобственный интеграл J g'(x)dx сходится. Отсюда и
а
из равенства |</(#)| = —</(#) следует сходимость интеграла
& ь
f \g'(x)\dx, а значит, и интеграла /С |</(#)| dx. Учитывая
а а
условие A), в силу признака сравнения получаем сходи-
ъ
мость интеграла / \F{x) gf(x)\ dx. Отсюда по теореме 2 по-
а
Ь
лучаем сходимость интеграла f F(x) g'{x) dx. Иными сло-
а
вами,
V
3 ^im IF(x)g'(x)dxeM. C)
а
Поскольку функция F(x) ограничена и lim д(х) =
= 0, то lim g(x) F(x) = 0, поэтому существует ко-
х—>Ь—О
нечный предел lim g(x) F(x)
= —g(a)F(a). Отсюда
и из условий B), C) получаем существование конечного
У
предела lim f f(x)g(x)dx, т.е. сходимость интеграла
Ь'-+Ь-0 а
ъ
ff(x)g(x)dx.
а
Пример. Исследовать на сходимость и абсолютную
сходимость интеграл f smxxa .
l
288

Решение. Исследование на сходимость и абсолютную
сходимость несобственных интералов состоит из четырех
этапов (обоснование сходимости, расходимости, абсолют-
абсолютной сходимости и отсутствия абсолютной сходимости при
различных значениях параметра).
1) Покажем, что при а > О данный интеграл сходится
по признаку Дирихле.
Действительно, функция sin x имеет ограниченную
первообразную —cosх, а функция ^ при а > О убыва-
убывает на [1, +оо) и стремится к нулю при х —> +оо. Кроме то-
того, функции sin ж и ^ непрерывно дифференцируемы на
[1,+оо). Следовательно, при а > О все условия признака
Дирихле выполнены и данный интеграл сходится.
2) Покажем, что при а < О данный интеграл расходится
в силу критерия Коши.
Действительно, при а < О, п Е IN имеет место
27ГП+П
r
J
2тгп
= Bпп\а > 2. Следовательно,
2тгп
= 1 : V? 3bi = 2тгп > ?, b2 = 2тгп + тг >
>
т. е. выполняется отрицание условия Коши сходимости ис-
исходного интеграла.
3) Покажем, что при а > 1 данный интеграл сходится
абсолютно.
289

-boo
Поскольку l^j < ^г, а интеграл / |§ сходится при
+ОО
а > 1, то при этих а интеграл / |~бг|<&? сходится по
1
признаку сравнения.
4) Покажем, что при а е (О,1] данный интеграл не явля-
является абсолютно сходящимся.
Поскольку 0 < |sinrr| < 1, то |sin#| > sin2x = 1~"c%s2a?.
-boo
При a G @,1] интеграл / |§ расходится, а интеграл
1
+оо
j cossets СХОдИТСЯ п0 признаку Дирихле (так как функ-
1
ция cos 2x имеет ограниченную первообразную, а функция
^ монотонно стремится к нулю). Отсюда в силу следствия
из свойства линейности несобственного интеграла получа-
+ОО
ем расходимость интеграла / 1"с^а2а? dx, т.е. интеграла
1
-boo . 2
/ ^ог dx. Отсюда и из признака сравнения следует рас-
1
+ОО
ходимость интеграла / |^r|da: при a G @,1]. Посколь-
1
ку, как показано на первом этапе, при а > 0 исходный ин-
интеграл сходится, то при а Е @,1] этот интеграл сходится
условно.
Ответ: при а > 1 данный интеграл сходится абсолют-
абсолютно, при а Е @,1] сходится условно, при а < 0 - расходится.
Пример. Исследовать на сходимость интеграл
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:
( )
290

¦foo # -foo
интегралы / §y? dx, J ^~ dx сходятся по признаку
l vx l
¦foo
Дирихле, а интеграл / \dx расходится, то исходный ин-
интеграл расходится.
¦
Последний пример показывает, что для знакоперемен-
знакопеременных функций при замене функции на эквивалентную схо-
сходимость интеграла может измениться. Действительно, 1 +
+ ~т^ ~ 1 при х —> + сю, однако интеграл / Щ? dx
сходится, а интеграл / ^у^ A + Щ2) dx расходится.
291

ГЛАВА 9
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 1. Определение и некоторые свойства
рядов
Определение. Пусть задана числовая последователь-
п
ность {dk}kLi- Число Sn = ]Г dk называется n-й ча-
оо
стичной суммой ряда ]Г а&. Элементы последовательно-
к=г
сти {ak} называются членами этого ряда. Суммой ряда
называется предел частичных сумм:
Еак = lim
n—юо
k=l k=l
Ряд ]Г) a& называется сходящимся, если существует ко-
конечный предел частичных сумм этого ряда; в противном
случае ряд называется расходящимся.
Теорема 1. (Необходимое условие сходимости ряда.)
оо
Если ряд ]Г ак сходится, то lim a& = 0.
Доказательство, Поскольку ряд сходится, то суще-
существует lim Sn = S е JR. Следовательно, lim Sn-\ = S
n-*oo n—>oo
и lim (Sn - 5n_i) = S-S = 0. Поскольку an = Sn- 5n-i,
n—>оо
то lim an = 0.
n—»-oo
292

Пример. При каких q сходится ряд из геометрической
оо
прогрессии 53 Я •
Решение. При \q\ > 1 qk -f* О (к —> сю), т. е. не выпол-
выполняется необходимое условие сходимости ряда, и, следова-
следовательно, ряд расходится.
Пусть \q\ < 1. Воспользовавшись формулой для суммы
геометрической прогрессии (которую легко доказать по ин-
индукции), получаем Sn= 53 qk — q^^r n-=^ j^r. Следова-
оо
тельно, при \q\ < 1 ряд 53 Я сходится.
к=\
Лемма 1. (Принцип локализации.) Для любого ко G
оо оо
е N ряды 5Z ак и 53 ак сходятся или расходятся од-
к=1 к=к0
новременно.
Доказательство, Для любого натурального п > ко
справедливо равенство
п ко—1 п
к-\ k=l k=k0
Переходя к пределу при п —> оо, получаем требуемое
утверждение.
оо
Лемма 2. (Свойство линейности.) Если ряды 53 ак и
k=i
оо оо
53 Н сходятся, то для любых чисел а и /3 ряд 53 (аак +
+ /3bk) сходится.
Доказать самостоятельно.
293

оо оо
Следствие. Если ряд ? ak сходится, а ряд ? 6
fc=i. k=i
оо
ходится, то ряд Е (ак + bk) расходится.
к=1
§ 2. Ряды с неотрицательными членами
Теорема 1. (Критерий сходимости ряда с неотрица-
неотрицательными членами.) Если а& > 0 Vfc E W, то сходимость
оо
ряда ]Г) ак эквивалентна ограниченности его частичных
сумм: sup Sn < +оо.
Доказательство. Поскольку последовательность ча-
частичных сумм является неубывающей, то существует ко-
конечный или бесконечный предел lim Sn = sup Sn. Ряд
n*o°
00
Y2 ak сходится тогда и только тогда, когда существует ко-
к=1
нечный предел его частичных сумм, т. е. когда sup Sn <
neN
< +00.
¦Теорема 2. (Признак сравнения.) Если 0 < ak < bk
Vfc G N, то
00
а) из сходимости ряда Yl bk следует сходимость ряда
k=i
00
00
б) из расходимости ряда Е ак следует расходимость
00
ряда Е Ьк.
к=1
Доказательство, а) Из неравенства а& < bk следует
неравенство
294

sup Y] ak < sup У2 bk-
oo n
Если ряд ]Г bk сходится, то sup J2 bk < +°o, поэтому
k=i neNk=i
n 00
sup ]T ak < +00 и в силу теоремы 1 ряд Y1 ак сходится.
n?lNk=l к=1
оо
б) Если ряд ]Г ak расходится, то, согласно пункту (а),
к=1
с»
ряд ]Г) bk не может сходиться.
к=1
Следствие- Если ак > 0, Ьк > 0 Vfc € iV и lim т? =
/с—>оо *
с» оо
= С > 0, то ряды ]Г а*; и ]П Ь^ сходятся или расходятся
одновременно.
Доказательство, По определению предела 3fco € W :
Vfc > fco у < f41 < 2С. В силу признака сравнения ря-
оо оо
ды Y2 ак и 53 kfc сходятся или расходятся одновремен-
к=к0 к=к0
оо
но. Поэтому, согласно принципу локализации, ряды Y1 ак
к=1
оо
и^^ сходятся или расходятся одновременно.
Теорема 3, (Интегральный признак.) Пусть на луче
[1,+оо) задана положительная невозрастающая функция
ОО +ОО
f(x). Тогда ряд Y2 /(&) и интеграл / f(x)dx сходятся
к=1 1
или расходятся одновременно.
Доказательство, Проинтегрировав неравенства
295

f(k + 1) < f(x) < f(k) Vx G [fc, к + 1] по отрезку [fc, fc +
+ 1], получим неравенства f(k + 1) < / f{x)dx < f(k).
к
Просуммировав полученные неравенства по А; от 1 до п,
получим
F(n + l)<Sn, A)
где S» =?/(*), F(t) = f f(x)dx.
k=l 1
Поскольку /(х) > 0, то функция F(t) монотонно возра-
возрастает, следовательно, F(n) < F(x) < F(n + 1) Vx G [n,n +
+ 1], что вместе с неравенствами A) дает неравенства
Sn-/A) < F{n) < F(x) < F(n + 1) <Sn Vx G [n,
следовательно, sup Sn — /A) < sup F(x) < sup Sn, a
n€W x€[l,-foo) nelN
значит, условия sup Sn < +oo и sup F(^) < +oo экви-
валентны.
В силу критерия сходимости ряда с неотрицательными
членами условие sup Sn < +oo эквивалентно сходимости
neN
оо
ряда J2 /(^)> а в силу критерия сходимости интегралов
к=\
от знакопостоянных функций, условие sup F(x) < +оо
-foo
эквивалентно сходимости интеграла / f{x)dx. Поэтому
1
ОО +ОО
ряд ^2 f(k) и интеграл / /(х) dx сходятся или расходят-
k=i 1
ся одновременно.
оо
Пример. При каких а сходится ряд ^
296

+оо
Решение. Поскольку интеграл / ^§ сходится при а >
1
оо
> 1 и расходится при а < 1, то ряд J2 ^ сходится при
k=i
а > 1 и расходится при а < 1.
Теорема 4. (Признак Даламбера.) Пусть а& > 0 Vfc ?
е N. Тогда
а) если существуют ко е IN и q E @,1) такие, что
оо
^^ < 9 Vfc > fco, то ряд ]Г а*; сходится;
оо
б) если 3&о :Ук > ко ^^ > 1, то ряд ^ а^ расходит-
к к=1
ся.
Доказательство, а) По индукции легко показать, что
а*к ^ ак0 qk~k° У к > ко- Поскольку, как показано в при-
оо
мере из § 1, ряд ]Г qk сходится при q ? @,1), то ряд
к=1
оо
Yl ak0 qk~k° также сходится и по признаку сравнения схо-
к=к0
оо
дится ряд ^2 а,к. А значит, в силу принципа локализации
к=ко
оо
сходится ряд ]Г аь.
к=1
б) Если 2^- > 1 при к > fco, то аь > а^0 при к > ко.
Следовательно, а^ -f* 0 (fc —>• оо), т.е. не выполняется
необходимое условие сходимости ряда, и, следовательно,
оо
ряд ]Р cifc расходится.
Следствие. (Признак Даламбера в предельной
форме.) Пусть ак>0Ук е N и lim ^^ = д, тогда
297

оо
а) при q < 1 ряд ]Г а* сходится;
оо
б) при q > 1 ряд X) afc расходится;
k=i
оо
в) при q = 1 ряд ^ afc может сходиться, а может и
расходиться.
Доказательство, а) Определим q1 = ^. Поскольку
q < 1, то g < q[ < 1. По определению предела 3&о • Vfc >
> ко —^ < q*. Следовательно, в силу теоремы 4(а) ряд
оо
^2 <*<к сходится.
к=1
б) По определению предела Зко : Vfc > ко ^h±L > 1. В
оо
силу теоремы 4F) ряд J2 ak расходится.
к=1
в) Пусть ак = ^. Тогда lim ^ = lim
к—*оо Л к—>оо
= 1 Va e JR. Однако, как показано ранее, при а > 1
данный ряд сходится, а при а < 1 - расходится.
Теорема 5. (Признак Коши.) Пусть аь > О У к Е N.
Тогда
а) если существуют ко € jEV и g G @,1) такие, что
оо
\/«fc ^9 Vfc > fc0, то ряд J2 ак сходится;
к=1
оо
б) если Зко :Ук > ко tyak > 1, то ряд ]П ак расходит-
к=1
ся.
Доказательство, а) Если Цаь < q Vfc > fco, то a^ <
< qk \/k > ко. В силу признака сравнения и принципа
оо
локализации из сходимости ряда ]Г) gfc следует сходимость
оо
ряда ]Г afc.
298

б) Если tyak > 1 при А; > fc0, то а* > 1 при А; > fc0,
а значит, не выполняется необходимое условие сходимости
оо
ряда, и, следовательно, ряд ^ а^ расходится.
к=\
Следствие. (Признак Коши в предельной форме.)
Пусть ak > 0 Vfc е N и lim Мг/Г = д, тогда
к—*оо
оо
а) при q < 1 ряд X] afc сходится;
к=1
оо
б) при g > 1 ряд J2 ак расходится.
к=1
оо
в) при q = 1 ряд ]Г) а^ может сходиться, а может и
расходиться. ~~
Доказательство аналогично доказательству признака
Даламбера в предельной форме.
§ 3. Ряды со знакопеременными членами
оо
Теорема 1. (Критерий Коп1и.) Ряд ]Г) а^ сходится то-
к=1
гда и только тогда, когда выполняется условие Коши:
п+р
Уе > О 3N е N : Vn > ЛГ \/р е N V с
оо
Доказательство. По определению ряд ]Г а^ сходится,
если сходится последовательность частичных сумм Sn =
п
= Y1 ак- В силу критерия Коши для последовательно-
к=1
стей сходимость последовательности {Sn} эквивалентна ее
299

фундаментальности: Vs > О 3N G N : Vn > N Vp G
G W iS^+p — 5П| < ?. Отсюда и из равенства SVi+p — Sn =
п+р
+р
= ]Г а& следует требуемое утверждение.
fc+l
Определение. Ряд
называется абсолютно схо-
я, если сходится ряд X] lafc|- ?ЯД Z) a& называется
условно сходящимся, если этот ряд сходится, но не явля-
является абсолютно сходящимся.
Теорема 2. Если ряд абсолютно сходится, то он схо-
сходится.
оо
Доказательство. Пусть ряд ]Г а& сходится абсолют-
k=i
но. Тогда выполняется условие Коши сходимости ряда
оо
Е
к=1
\/е > О 3N е N : Vn > N Vp e N
следовательно,
> О 3N е N : Vn > N Vp e N
п+р
Е
Е
т. е. выполняется условие Коши сходимости ряда Yl ak,
значит, этот ряд сходится. ~~
300

оо оо
Лемма 1. Если ряды 52 ак и 52 ^к абсолютно сходят-
к=\ к=\
оо
ся, то для любых чисел аи 0 ряд ]П (aa,k + /3bk) абсолютно
к=1
сходится.
Доказательство. В силу свойства линейности из схо-
оо оо
димости рядов ]П \ак\> 52 \bk\ следует сходимость ряда
к=1 к=1
52(\а\\ак\ + \0\\Ьк\). Поскольку \аак + 0Ък\ < \а\\ак\ +
к=1
оо
+ \0\ \bk\, то в силу признака сравнения ряд ^ \аак + 0bk\
к=1
СХОДИТСЯ.
Теорема 3. (Признак Дирихле.) Пусть последователь-
оо
ность частичных сумм ряда ^ а^ ограничена:
к=1
ЗС е Ш:Упе N
к=1
а последовательность {Ьк} неотрицательна и монотонно
стремится к нулю:
О < bk+1 <Ък Ук е N и lim bk = 0.
к—>оо
оо
Тогда ряд Y1 ак Ък сходится.
к=1
п
Доказательство. Обозначим Ап — 52 ак (п ? ^0>
k=i
Aq = 0, 0к = bk+i — Ък (к е W). Выполним преобразо-
преобразование Абеля:
k=l fc=i
301

п п
= YlAkbk~
k=l
п n—l
т.к. Ао = О
k=l k=0
n n—l
п-1 п-1
+ ^2 Ак(Ьк ~ bk+i) = АпЬп-^2
к=1 к=1
Итак,
52акЪк = АпЪп-ТГ,Акрк. A)
к=1 к=1
Заметим, что
п п
Yl^k = YL(bk+l " bk^ = bn+1" bl n:=^> ~bl'
k=l k=l
oo
т. е. ряд Yl Pk сходится, следовательно, сходится ряд
k=l
oo
2 C(-Pk). Поскольку рк = Ьл+i - bfc < 0 и |ЛЛ| < С,
то |Afc/3fc| < С(—рк). Отсюда в силу признака сравнения
оо
получаем сходимость ряда ^ \Ак Рк\, т. е. абсолютную схо-
оо
димость ряда ^ А^Рк- Поэтому в силу теоремы 2 ряд
оо
X] Ад. /За. сходится.
ife=l
Поскольку {Лп} - ограниченная последовательность,
а {Ьп} - бесконечно малая последовательность, то
302

оо
lim An bn = 0. Отсюда, из сходимости ряда ? Ак Pk и
п-+оо к=г
из формулы A) следует существование конечного предела
п п-\
lim У^ ак Ьк = lim Ап Ьп - lim У] >U #fe = - У]
ifel Al
ife=l
oo
т.е. сходимость ряда
Теорема 4. (Признак Лейбница.) Если последователь-
последовательность {Ьк} неотрицательна и монотонно стремится к нулю,
оо
то ряд Лейбница J2 (~^)к ^к сходится.
к=1
Доказательство. Заметим, что последовательность
оо 2т
частичных сумм ряда ^2(—1)к ограничена: YK~~^)k =
к=1 к=1
2т+1
= О, J2 (~1)к = " ^т ^ ЯУ) следовательно,
к=1
п
< 1 Vn G IN. В силу признака Дирихле ряд
( — 1)кЬк СХОДИТСЯ.
А;=1
§ 4. Перестановки слагаемых в рядах
и перемножение рядов
Определение. Будем говорить, что последователь-
последовательность натуральных чисел {kj}^L1 задает взаимно одно-
однозначное преобразование множества натуральных чисел,
если для любого к Е IN существует единственный номер
j G IN такой, что к = kj.
303

Лемма 1. Пусть последовательность {kj} задает вза-
взаимно однозначное преобразование множества IN и пусть
Мп = тахЬ, тп = minkj.
j<n j>n
Тогда lim Ь = +сх>, lim mn = +00, lim Mn = +oo.
j —>OO П—-ЮО П—>OO
Доказательство. Поскольку последовательность {fcj}
задает взаимно однозначное преобразование IN —» J?V, то
существует последовательность {jfc}kLi> задающая обрат-
обратное преобразование IN —» W, т. е.
Vfc G W Vj G W ft,- = fc <Ф=^ jib = j.
Для любого т е N определим Jm = max{ji,..., jm}.
Тогда при j > Jm получаем, что j Ф jk Vfc G {1,... ,m},
следовательно, kj ? {1,..., m}, т. е. fcj > m. Итак,
\/melN3JmeN: Vj > Jm ^ > m. A)
Это означает, что lim kj = +00. Кроме того, из A) сле-
j-KX>
дует, что
Vm G N 3Jm G N : Vn > Jm mn = min Ь > m.
Следовательно, lim mn = +00. Поскольку Mn > kn
n—>oo
+cx), то Mn —> +cx) при n —> ex).
00
Определение. Будем говорить, что ряд ^ Sj получен
оо
перестановкой членов ряда ^ а&, если существует после-
довательность натуральных чисел {kj}<^=:1) задающая вза-
взаимно однозначное преобразование множества IN и такая,
что Vj € N cij = a^..
304

оо
Теорема 1. Если ряд 53 &з получен перестановкой
3=1
оо оо
членов абсолютно сходящегося ряда Е а^, то ряд 53 2у
k=i j=i
оо
абсолютно сходится и его сумма равна сумме ряда Е а*..
k=i
Доказательство, а) Пусть последовательность {kj}
оо оо
задает перестановку Е a,j ряда Е аь т.е-
Vj G W а) = а^. и
Vfc E i?V существует единственный j G W : kj — к.
Мп
Поскольку ]П \dj\ = ]П [аь.| <
j=l j=l
оо п
то из сходимости ряда ]Г) |а^| следует, что sup X] l<bl
A W jl
М
< sup 53 \ak\ < +°°* Следовательно, в силу критерия
MJN
оо
сходимости ряда с неотрицательными членами ряд Yl \a,j\
3=1
оо
сходится, т. е. ряд ^ cij сходится абсолютно.
3=1
~ п т
б) Обозначим Sn = 53 о,, 5m = ^3 аЬ ^m =
= E lafc|? S = Urn 5n, 5 = lim 5m, a = lim am
к—I n—Kx> 7П—>oo m—>oo
oo
(из условий теоремы и доказанной сходимости ряда 53 ai
следует, что данные пределы существуют и конечны). Тре-
Требуется доказать, что S — 5.
Заметим, что 5Мп-Sn = 52 a^~ Е аз = Е а^~ 2- а^'
jfe=i j=i k=x J~l
305

Ми
По определению числа Мп = max kj в сумме ? а& со-
3<п к1
держатся все слагаемые суммы ]? akj» поэтому
Из условия fc 0 {fei,..., кп} следует, что к = kj, где j
> п, а значит, fc > minfc,- = mn. Поэтому
Мп
Согласно лемме 1, mn —> +oo, Mn —> +oo при n —* oo,
следовательно, lim (рмп ~ ^mn-i) = a - a = 0, а значит,
lim |5мп — Sn\ — 0. Отсюда и из условия lim
n—>oo n—>oo
получаем, что lim Sn = lim 5д/п = 5, т.е. сумма ряда
n>oo n>oo
n—>oo n—>oo
oo oo
^ cij совпадает с суммой ряда ]Г)
i=i ib=i
Заметим, что при перестановке членов условно сходя-
сходящегося ряда сумма ряда, вообще говоря, меняется. Более
того, справедлива следующая теорема.
оо
Теорема 2. (Теорема Римана.) Если ряд ]Г а^ сходит-
k=i
ся условно, то для любого числа х можно так переставить
306

оо °° _
члены ряда Y1 аЬ чт0 полученный ряд Yl aj будет иметь
k=i j=i
сумму, равную ж.
оо
Доказательство. Шаг 1. Составим ряд ^ Ь&, чле-
к=1
нами которого являются все неотрицательные члены ря-
оо
да Yl аЬ взятые с сохранением порядка (если неотрица-
к=1
оо
тельных членов ряда ]Г) а^ конечное число, то вместо ря-
k=i
оо
да X] Ьк получится конечная сумма). Составим ряд (или
к=1
оо
конечную сумму) Y1 ск> членами которого являются все
к=1
оо
отрицательные члены ряда J2 ак> взятые с сохранением
к=1
порядка.
Заметим, что
к=1 к=1 к=1
П П\ П2
* = I>tI>- (з)
к=1 к=1 к=1
оо оо
Покажем, что ряды ]Г Ьд. и Y1 ск расходятся и, следо-
к=1 к=1
вательно, не могут являться конечными суммами. Это до-
доказательство проведем методом от противного. Предполо-
Предположим, что один из этих рядов сходится.
оо оо
Случай (а). Ряды ^ bk и Y1 ск сходятся. Тогда их ча-
k=l к=1
стичные суммы ограничены и из формулы B) следует, что
307

оо
частичные суммы ряда ^ \ak\ ограничены, а значит, в си-
к=1
лу критерия сходимости ряда с неотрицательными члена-
оо
ми этот ряд сходится. Следовательно, ряд Y1 ак сходится
к=1
абсолютно, что противоречит условию теоремы.
оо оо
Случай (б). Ряд Yl h расходится, а ряд ? ск сходит-
к=1 к=1
оо
ся. Тогда частичные суммы ряда ^ Ьь стремятся к +оо,
к=1
оо
а частичные суммы ряда ]Р с& ограничены. Отсюда и из
к=1
п
формулы C) следует, что ]Г) а& -^н? +оо, что противоре-
к=1
оо
чит сходимости ряда ]Г) а^.
k=i
оо
Аналогично, случай (в), когда ряд Y1 ^к сходится, а
оо
ряд ]П Ck расходится, также противоречит сходимости ря-
оо
да ? °>к-
к=1
оо оо
Таким образом, ряды Yl h и 11, ск расходятся, так как
к=1 к=1
другие случаи противоречат условиям теоремы.
оо
Шаг 2. Определим ряд ]Г] а^.
3=1
~ ~ Г bi, если х > О,
Определим ал = < ~ л
\ сь если х < 0.
оо
Пусть определены первые п членов ряда ]П uj:
308

ai,..., ап, которые состоят из первых р = р(п) членов ря-
оо оо ^
да Y^, Ък и первых п — р(п) членов ряда ^ ск- Пусть Sn =
п
гл - J Ьр(п)+1> еСЛИ Ж
Определим an+i = < PV ;^
[ Cn-p(n)+l> если Х
Шаг 3. Покажем, что р(п)Г1-^? +оо.
Предположим противное: р(п) 7^ +оо при п —> оо.
Тогда, поскольку последовательность {p(^)}^Li неубы-
неубывающая, то она ограничена сверху, т. е. Зро : Vn G
00
G W p(n) < ро- Следовательно, в ряде ]Г) а7 присутству-
i=i
00
ет лишь конечное число членов ряда ]Г) Ьд.» т. е. существует
ji такое, что
Vj>ji a^ е Ы^. D)
оо
Поскольку частичные суммы ряда ^ с& стремятся к
к=1
—оо, то lira 5n = —оо, и, следовательно, 3,72 ^ ji • Vj >
п—+оо
~ оо
> J2 Sj < х. Согласно построению ряда J2 &j > получаем
aJ2+i ^ {^}^Li? что противоречит условию D). Получен-
Полученное противоречие доказывает, что р(п) -^ +оо. Анало-
гично, п — р(п) —> +оо.
оо оо
Следовательно, любой член ряда Y1 ^к и ряда ^ сд. бу-
k=i k=i
00 00
дет присутствовать в ряде ]Г) а^. Поэтому ряд ^ а^ явля-
00
ется перестановкой членов ряда ]Г) а^.
к=1
309

п
Шаг 4. Покажем, что lim Y2 2у = х.
п-+оо i=1
оо
Из алгоритма построения ряда J2 &j следует, что при
3=1
достаточно больших п, а именно, при таких, что р(п) > О
и п — р(п) > О, справедлива формула
\Sn — x\< max{bp(n), -сп_р(п)}.
Поскольку ряд 22 ак сходится, то dk —> 0, следова-
к=1
тельно, Ьр(п) —* 0, сп_р(п) —* 0 при п —* оо, а значит, |5П —
п
— х| —> 0 при п —* оо, т. е. lim Y2 &з = х- Таким образом,
П-+ОО
оо
Определение. Через N2 будем обозначать множе-
множество всевозможных пар натуральных чисел. Будем го-
говорить, что последовательность пар натуральных чисел
{(raj,п^)}^^ задает взаимно однозначное отобраоюение
IN —* J?V2, если для любой пары натуральных чисел
(га, п) существует единственный номер j G J?V такой, что
(rrij.nj) = (га,п).
Теорема 3. (О перемножении рядов.) Пусть ряды
оо оо
?} аь и ]П bfc абсолютно сходятся, а последовательность
{(raj,nJ)}j°=1 задает взаимно однозначное отображение
°°
N —* W2. Тогда ряд ]Г) amj. bnj абсолютно сходится, а его
оо оо
сумма равна произведению сумм рядов ]Г а& и ^ Ь^.
ib=l A;=l
310

Доказательство, а) Для произвольного натурально-
натурального числа J определим Mj = max{mi,... ,mj}, Nj =
= max{ni,..., nj}. Тогда
oo oo
Отсюда в силу абсолютной сходимости рядов Y, ak n J2
fc=i ife=i
получаем
J
< +OO.
sup ^
/ М \ / AT
< sup V |am| sup V|6n
Следовательно, в силу критерия сходимости ряда с не-
оо
отрицательными членами ряд ^ \amj bnj | сходится, т. е.
3=1
оо
ряд J2 amj bnj сходится абсолютно.
3=1
б) Покажем теперь, что S = АВ, где
3=1 k=l k=l
В силу теоремы 1 сумма абсолютно сходящегося ряда
оо
J2 amj bn. не изменится при перестановке членов ряда. По-
3=1
этому вместо последовательности {(Trij^rij)} можно взять
специально выбранную последовательность {(га^,пр}, за-
задающую взаимно однозначное отображение IN —> IN2.
Занумеруем все пары натуральных чисел (m, n) e IN
по "методу квадратов", т.е. в соответствии со следующей
311

таблицей:
п = п*
1
2
3
4
•
1
J = l
aibi
3=4
axb2
j=9
агЬ3
j=16
aib4
2
J=2
a2fei
a262
J=8
a2fe3
J=15
a2b4
;
3
a3fei
J=6
азЬ2
J=7
a3b3
j=U
a3fe4
•
4
j=10
a4fei
J=ll
a4fe2
j=12
a4fe3
J=13
a4fe4
;
• • •
•
Данная таблица задает алгоритм, по которому каждо-
каждому номеру j ставится в соответствие пара натураль-
натуральных чисел (т,п) = (т^п^), причем последовательность
{(трП^)}<^1 задает взаимно однозначное отображение
N —* W2. В результате получим ряд
оо
22
оо
Поскольку ряд J2 ат* Ьп* получен перестановкой чле-
з=1 3 3
нов ряда J2 amj bnj, то по теореме 1
ат* Ьп* =
Пусть Sn = ? am*in*, An = ? afc, Sn = E 6fc.
j=i 3 fe=i fe=i
oo
Тогда частичная сумма элементов ряда ]JT am* bn*, соот-
ветствующая квадрату со стороной N, лежащему в левом
верхнем углу таблицы равна
312

Так как An —* A, Bn —* 5 при N —* oo, то
при TV —* oo. С другой стороны, поскольку {5дгг} - подпо-
подпоследовательность последовательности {Sn}, имеющей пре-
предел 5, то S = lim 5дг2
AT—>oo
313

ГЛАВА 10
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость
функциональных
последовательностей
Определение. Пусть на множестве X заданы функ-
функции /п(ж), (п = 1,2,...). Будем говорить, что функци-
функциональная последовательность {fn(^)}^Li поточечно схо-
сходится к функции /(ж) на множестве X и писать
/п(ж) —> f(x) при п —> оо, если Ух е X lim fn(x) = /(ж),
т.е.
Уж G X Уе > 0 3N е N : Vn > N \fn(x) - f(x)\ < г. A)
Определение. Будем говорить, что последователь-
последовательность функций {/п(ж)}^х равномерно сходится к функ-
функции /(ж) на множестве X и писать /п(ж) =4 /(ж) при
п —¦> оо, если
Уг > 0 3N е N : Vn > TVVx G X \fn(x) - /(ж)| < г. B)
Отличие условий A) и B) состоит в том, что в условии
A) число N свое для каждого ж, а в условии B) число N не
зависит от х. Поэтому из равномерной сходимости следует
поточечная сходимость.
Заметим, что если /п(ж)—>/(ж) при п —> оо и
/п(х) —/t /(ж) при п —> оо, то последовательность {/п(ж)}
314

не может сходиться равномерно и ни к какой другой функ-
функции д(х), так как из условия /п(ж) =4 д(х) при п —> оо
следовало бы, что д(х) = lim /п(ж) = /(х). В этом случае
п—>оо
говрят, что последовательность {/п(я)} сходится к функ-
функции f{x) неравномерно на множестве X.
Теорема 1. (Критерий равномерной сходимости.)
fn(x) =4 f(x) при n -» оо
Дт (sup |/„(х) - /(z)f) =0.
Доказательство. Поскольку условие Vx G X |/n(^) -
— f(x)\ < ^ эквивалентно условию sup |/n(^) — /(^)| ^ *
то условие B) эквивалентно условию
Ve > 0 37V e N : Vn > N sup \fn(x) - f(x)\ < e,
xex
т. e. lim ( sup \fn(x) - f(x)\) = 0.
n-^°° \xex J
Следствие 1. Последовательность {fn(x)} сходится к
функции f(x) равномерно на множестве X тогда и толь-
только тогда, когда существует числовая последовательность
VxeXVneN \fn(x)- f(x)\<an и lim an = 0.
п—юо
C)
Доказательство. 1) Пусть выполнено условие C). То-
Тогда Уп е N 0 < sup \fn(x) — f(x)\ < ап. Отсюда и из усло-
хех
вия lim an = 0 по теореме о трех последовательностях
315

получаем lim f sup \fn{x) - /(x)| ) = 0, что в силу кри-
п^°° \хех )
терия равномерной сходимости означает fn(x) =4 f(x)
при п —> оо.
2) Пусть fn(x) =4 f(x) при п —> оо. Определив ап =
= sup \fn(x) — /0*01) из критерия равномерной сходимости
получим условие C).
Следствие 2. /п(я) =у^ f(x) при п —> оо тогда и толь-
х
ко тогда, когда
Э{хп}сХ: /п(хп) - f(xn) +> 0 при п -> оо. D)
Доказательство. 1) Пусть выполняется условие D).
Тогда sup \fn(x)-f(x)\ > \fn(xn) - f(xn)\ -/+ 0 при п -> оо,
следовательно, sup \fn(x) — f(x)\ -/* 0 и по критерию рав-
номерной сходимости /п(ж) Ч f(x) при п —> оо.
х
2) Пусть /п(х) тЧ /(^) при п —> оо. По опреде-
лению супремума Vn G W Эхп G X : |/n(^n) ~
- f(xn)\ > sup|/n(x) - f(x)\ - i. Отсюда следует, что
хех
\fn(xn) — /(^п)| У^ 0 при п —> оо, так как в противном
случае по теореме о трех последовательностях из нера-
неравенств 0 < sup |/n(x) - f(x)\ < \fn(xn) - f{xn)\ + \ еле-
довало бы, что lim ( sup |/n(x) - f(x)\) = 0, что в силу
п-?°° \хех )
критерия равномерной сходимости противоречит условию
fn(x) иД f(x) при п -> оо.
316

Следствие 1 удобно для доказательства равномерной
сходимости, а следствие 2 - для доказательства отсутствия
ргшномерной сходимости конкретных функциональных по-
последовательностей.
Определение. Функциональная последовательность
{/п(х)} называется равномерно ограниченной на множе-
множестве X, если
ЗС е R : Vn G IV Vz G X \fn(x)\ < С.
Лемма 1. Если последовательность {/п(я)} равномер-
равномерно ограничена на множестве X и дп(х) \ 0 при п —> оо,
то fn(x) дп(х) =3 Оприп-юо.
Доказательство. Так как последовательность {/п(я)}
равномерно ограничена, то
ЗС elR'.VneN sup |/n(x)| < С.
х€Х
Поскольку дп(х) =$ 0 при п —> оо, то sup |pn(^)| —> О
х хех
при п —> оо. Следовательно,
sup |/п(ж)рп(ж)| < С sup |рп(ж)| -> 0 при п -> оо,
хех хех
т. е. fn(x) gn(x) =t 0 при п —> оо.
Замечание. В условии леммы 1 равномерную ограни-
ограниченность последовательности {/п(я)} нельзя заменить на
ограниченность этой последовательности при любом фик-
фиксированном х.
317

Пусть, например, X = @,1), fn(x) = f(x) = ?,
9п(х) = s^El. Поскольку \дп(х)\ < \ -> 0 при п -> оо,
то в силу следствия 1 дп(х) =4 0. Однако f(x)gn(x) =
(ОД)
_ sm{nx) =^> о при п —> оо, что следует из следствия 2,
ПХ (ОД)
поскольку для последовательности точек {хп} = {^} С
С @,1) имеет место соотношение f(xn) дп(хп) — sinl /> 0
при п —¦> оо.
Заметим, что Vx G @,1)
< ^ -> 0 при п
x)gn\x)s — ( nx J
сходится к 0 на интервале @,1), но неравномерно.
Замечание. Из условий fn(x) t f(x) при п-^оои
lim УрЩ = 1 \/х е X не следует, что <7n(a?) =t /(^) при
П —> ОО.
Пусть, например, X = @,1), /п(я) = ?, 5п(^) = ^ +
+ ^. Тогда Vx G @,1) lim Ш = lim (l + ^) = 1,
fn(x) =4 0 при п —> оо, но ^п(^) =^> 0 при п —> оо, так
(ОД) (од)
как дп (Дг) = I + 1 /> 0 при п -> оо.
Теорема 2. (Критерий Коши.) Последовательность
{fn{x)} сходится к функции /(ж) равномерно на множе-
множестве X тогда и только тогда, когда выполняется условие
Коши равномерной сходимости последовательности
\/е > 0 3N е N : Vn > N Vp G N Ух G X
\fn(x)-fn+p(x)\<e. W
Доказательство. 1) Пусть /n(x) =z$ /(x) при
n -> оо, тогда Ve > 0 3N G W : Vn > N Ух G X
318

\fn{x) - /(ж) | < f. Поскольку Уре IN n + p> n> Ny
то Vx G X |/n+p(x) - f(x)\ < §. Следовательно, Ух е X
\fn(x) - /n+p(x)| < |/n(x) - /(x)| + |/n+P(x) - /(x)| < f +
+ | < e, т. е. выполняется условие E).
2) Пусть выполняется условие E). Следовательно,
УхеХ Vs>03Ne N:Vn> NVpe IN
\fn(x)-fn+p(x)\<e,
т.е. для любого фиксированного х G X выполняется
условие Коши сходимости числовой последовательности
{fn(x)}. В силу критерия Коши для числовых последова-
последовательностей Ух е X последовательность {/п(^)} сходится.
Обозначим f(x) = lim /п(ж).
71—ЮО
Перепишем условие E) в виде
Vs>03Ne N :Vn> NVxeX Vp е N
\fn(x) - fn+P(x)\ <?
и рассмотрим отдельно условие Ур G IN \fn(x) —
- fn+p(x)\ < е. Поскольку lim^ |/n(x) - fn+p(x)\ = \fn(x) -
— /(x)|, то по теореме о предельном переходе в неравен-
неравенствах \fn(x) — f(x)\ < e. Итак, из условия E) следует,
что Ve > О 3N е N : Vn > N Ух е X \fn(x) - f(x)\ < г,
т.е. fn(x) \ f(x) при п —> оо.
ш
§ 2. Равномерная сходимость
функциональных рядов
Определение. Пусть на множестве X задана функ-
функциональная последовательность {ик(х)}^=1. Функциональ-
оо
ный ряд Y1 ик(х) называется равномерно сходящимся
319

на множестве X, если последовательность его частичных
п
сумм Sn(x) = Yl uk(x) сходится равномерно на множестве
к=1
X к сумме S(x) этого ряда. Аналогично определяется по-
поточечная сходимость ряда.
Поскольку из равномерной сходимости последователь-
последовательности следует поточечная сходимость последовательности,
то из равномерной сходимости ряда следует поточечная
сходимость этого ряда.
Определение. Остатком поточечно сходящегося ря-
оо
да Yl uk(x) называется
к=1
гп(х) = S(x) - Sn(x) =
к=п+1
Непосредственно из определения равномерной сходимо-
сходимости ряда и критерия равномерной сходимости функцио-
функциональной последовательности следует
Теорема 1. (Критерий равномерной сходимости ря-
оо
да.) Функциональный ряд ^ Uk{x) сходится равномерно
к=1
на множестве X тогда и только тогда, когда
гп(х) г=4 0 при п —> оо,
т.е. lim sup |rn(x)| = 0.
n-^°° xex
Теорема 2. (Критерий Коши.) Ряд ]Г щ(х) сходится
к=1
равномерно на множестве X тогда и только тогда, когда
320

выполняется условие Коши равномерной сходимости ряда
п+р
\/е > О 3N G N : Vn > NVp e WVx G X ^
A)
Доказательство состоит в применении критерия Ко-
Коши равномерной сходимости последовательности к после-
последовательности частичных сумм ряда.
Следствие. (Необходимое условие равномерной сходи-
оо
мости ряда.) Если ряд ^ щ(х) сходится равномерно на
к=1
множестве X, то ип(х) =$ 0 при п —» оо.
х
Доказательство. В силу критерия Коши из равномер-
равномерной сходимости ряда следует условие Коши равномерной
сходимости ряда A). Полагая в условии A) р = 1, получим
Ve > О 3N е N : Vn > N Vx G X \ип+1(х)\ < е,
т. е. ип{х) \ 0 при п —> оо.
X
Замечание. Из необходимого условия равномерной
сходимости ряда и следствия 2 § 1 вытекает, что если
оо
3{хк} С X : ик(хк) -/+ 0 при к -> оо, то ряд ? ик(х) не
является равномерно сходящимся на множестве X.
Замечание. Существование последовательности
оо
=i с X такой, что числовой ряд ]? ^/ь(х^) расхо-
дится, не доказывает отсутствие равномерной сходимости
оо
ряда 53 ^fc(x) на множестве X.
321

Действительно, пусть, например,
2
Uk{X) ~ \ О, иначе.
OO
Остаток ряда Yl uk(x) имеет вид
k=i
k=n+l L '
Поскольку |rn(x)| < ^- "-^ 0, то rn(x) =t 0 при п ->
OO
—> oo, и ряд ^ ^^(x) сходится равномерно на интервале
k=i
OO OO
@,1). Тем не менее числовой ряд ^2 Щ (^) = Yj ^ расхо-
к=1 к=1
дится.
Теорема 3. (Признак сравнения.) Пусть Ук е N Ух G
оо
G X \uk(x)\ < Vk(x) и ряд ]Г ^fc(^) сходится равномерно
fe=i
оо
на множестве X. Тогда ряд ^ щ(х) сходится равномерно
к=1
на множестве X.
Доказательство. В силу признака сравнения для чи-
оо
еловых рядов ряд Yj \ик(я)\ сходится поточечно, а значит,
fe=i
оо
поточечно сходится и ряд ^ г^^(х). Обозначим остатки ря-
к=1
оо оо
дов Y1 ик{%) и Y2 vk(x) через гп{х) и Rn(x) соответствен-
к=1 к=1
оо оо
но: гп(х) = Y, ик(х)> Rn(x) = J2 vk(x)- Из нера-
fc=n+l k=n+l
венств |глд.(х)| < Vh(x) следует, что
322

Vn G W Vra > n + 1 Vz G
771
к=п+1
следовательно,
к=п+1
lim
771—>ОО
< lim
771—>ОО
Так как ряд
к=1
vk(x) = Rn(x) = \Rn(x)\.
сходится равномерно, то
sup|jRn(x)| n—*™ 0, следовательно, sup |rn(x)| ^—^? О,
хех хех
оо
т. е. ряд ]Г Uk(x) сходится равномерно на множестве X.
k=i
Следствие 1. (Признак Вейерштрасса.) Если У к G
оо
G IV Vx G X \uk(x)\ < пк и числовой ряд ^ а& сходится,
оо
то ряд
сходится равномерно на множестве
Следствие 2. Если ряд
к=1
сходится равномер-
оо
но на множестве X, то ]Г гх^(х) сходится равномерно на
Jfe=i
множестве X.
Теорема 4. (Признак Дирихле.) Пусть на множе-
множестве X заданы две функциональные последовательности
и {bfc(#)}fcii, удовлетворяющие условиям:
323

1) последовательность частичных сумм Ап(х) =
п оо
= Z) ak(x) Ряда XI afc(x) равномерно ограничена, т.е. су-
к=1 к=1
ществует число С, не зависящее от х и от п:
VneN УхеХ \Ап(х)\<С]
2) Ь&(х) =4 0 при fe —> оо;
оо
Тогда ряд ]Г afc(xNfc(x) равномерно сходится на мно-
к=1
жестве X.
Доказательство. Обозначим /Зк(х) = bk+i(x) - bk(x).
Выполним преобразование Абеля:
п п
(х) - Ak-i(x))bk(x) =
k=i k=i
п п-1
= Y2Ak(x) bk(x) ~Y^Ak(x)bk+1(x) ° = ~°
к=1 к=0
п-1
= Ап(х) bn(x) + J2 Ак(х)(Ък(х) - Ьк+1(х)) =
к=1
п-1
= Ап(х)Ьп(х)-^ГАк(х)рк(х).
к=1
Итак,
п п-1
J2 ofc(z) Ьк(х) = Ап(х) Ъп{х) - J2 Ак(х) j3k{x). B)
fe=l k=\
324

п п
Заметим, что 53 /Зк(х) =
оо
- Ьх(х) =t -h(x) при n -» оо, т.е. ряд 53 /?*(ж) рав-
номерно сходится, следовательно, равномерно сходится
ряд ? C(-/?fc(z)). Поскольку \Ак(х)\ < С, ^(х) < 0, то
к=1
\Ak(x) fik(x)\ < C(-f3k{x)), и в силу теоремы 3 получаем
оо
равномерную сходимость ряда ^ Ак{х)(Зк{х), т.е. суще-
к=1
ствует функция S(x):
п-1
Y^Ak{x)f3k{x) =t S(x) при n^oo. C)
k=i x
В силу леммы 1 § 1 из равномерной сходимости последо-
последовательности {Ьп(х)} к 0 и равномерной ограниченности по-
последовательности {Ап(х)} следует, что Ап(х)Ьп(х) =3 О
при п —» оо. Отсюда и из условий B), C) следует, что
22,ак(х)Ък{х) nz$ —S(x) при n —» оо,
оо
т.е. ряд 5]) ak(x)bk(x) равномерно сходится на множе-
множестве X.
Теорема 5. (Признак Лейбница.) Пусть Ук е N Ух е
е X 0 < fyfc+i(z) < bfc(^) и Ък(х) =Х 0 при к —> оо. Тогда
оо
ряд Лейбница 53 (-l)fcbfc(^) равномерно сходится.
к=\
325

Доказательство. Обозначим ак{х) = (-l)fc. Тогда
< 1. В силу признака Дирихле ряд
k=l
к=\
Лейбница сходится.
оо
Исследование ряда Y1 Uk{x) на равномерную сходи-
k=i
мость на множестве X можно проводить по следующему
плану:
1) Если существует такое хо G I, что числовой ряд
оо оо
]Р Uk{xo) расходится, то функциональный ряд ]Г щ(х) не
к=1 к=1
является поточечно (а значит, и равномерно) сходящимся
на1.
2) Если существует последовательность точек
{xfclSbLi С X такая, что иь(хь) •/+ О ПРИ к —* оо, то
не выполняется необходимое условие равномерной сходи-
сходимости ряда, и, следовательно, ряд не сходится равномерно.
. 3) Если выполняются условия признака Вейерштрасса,
то ряд сходится равномерно.
4) Если выполняются условия признака Лейбница, то
ряд сходится равномерно.
5) Если выполняются условия признака Дирихле, то
ряд сходится равномерно.
6) Если выполняется отрицание к условию Коши рав-
равномерной сходимости ряда
Зе > О :VN е N Зп > N Зр е N Зх е X
п+р
ик{х)
к=п+1
то ряд не сходится равномерно. (Обратим внимание, что
в отрицании условия Коши равномерной сходимости ряда
точка х может зависеть от 7V, но не должна зависеть от
индекса суммирования к.)
326

При решении конкретной задачи нужно найти тот из
пунктов A)-F), условия которого выполняются, затем это
нужно обосновать и тем самым завершить исследование
равномерной сходимости ряда.
Пример. Исследовать на сходимость и равномерную
сходимость ряд Yl k* на отрезках [0,тг] и [§,тг].
к=1
Решение. 1) При а < О члены ряда smfcv ' не стремятся
i / тг sin(kx)
к нулю при к —* оо (т.к., например, при х = -| ?а f —
^~kJ •/* О при к —¦ оо). Следовательно, при а < 0 данный
ряд не является поточечно сходящимся на отрезках [О,тг]
И [§,7Г].
г\\ тт 1 V^ Sin(fcx)
2) При а > 1 ряд 2^ —^-^ сходится равномерно на
k=i
отрезке [0, тг] (а значит, и на отрезке [^ ,тг]). Это следует
из признака Вейерштрасса, поскольку mJj?xf < i? и чи«
оо
еловой ряд ]П ^ сходится при а > 1.
3) Покажем, что при а > О данный ряд сходится пото-
поточечно на отрезке [О,тг].
Пусть х G (О,тг]. Покажем, что частичные суммы ряда
оо
]П s'm(kx) ограничены. Действительно,
1 п
sin(fcx) = ^3in(te) sin(x/2) =
fc=i ещх/i) k=1
= ~2Щф) g
g(cos ^ + M "cos ((fc - i
327

следовательно,
sin(fcr)
k=i
Так как при а > О последовательность { ^} монотонно
стремится к нулю, то в силу признака Дирихле для число-
ОО • /JL \
вых рядов Vx ? @, тг] ряд ^ smfca сходится. Поскольку в
к=1
точке х = 0: smfcv' = 0, данный ряд сходится и в точке
ОО • (и \
х = 0. Таким образом, при а > 0 ряд ]Г smfcv ' сходит-
сходится поточечно на отрезке [0, тг] (следовательно, и на отрезке
4) Покажем, что при а > 0 данный ряд сходится рав-
равномерно на [§,тг]. Из D) следует, что
sm(kx)
к=1
sin(Tr/4)
ОО
Следовательно, частичные суммы ряда ]Г sin(kx) рав-
k=i
номерно ограничены на [f ,тг]. Так как при а > 0 после-
последовательность {•%? } монотонно стремится к нулю, то в си-
силу признака Дирихле для функциональных рядов данный
ряд сходится равномерно на [§, тг] при а > 0.
ОО • /JL \
5) Покажем, что при а < 1 ряд ^ sm^ax^ не являет-
к=1
ся равномерно сходящимся на [О,тг], так как выполняется
отрицание условия Коши равномерной сходимости этого
ряда:
Зе > 0 : V7V G N Зп > N Зр е N Зх е [0, тг] :
328

Е
к=п+1
Положим р = п = N
sm(A;x)
> ?.
p +l,x = ^, тогда для любого
к G {п + 1, п + 2,..., 2п} выполняется fcr G [f, f ] и, сле-
следовательно, sin(kx) > sinGr/4) = ^g. Поэтому
п+р . ,7 ч
^ sm{kx)
sin(fcx) 1
>
Итак,
1 1
Д= : ViV G N Зп = N + 1 Зр = п Зх = —
2у/2 4п
n+p
E
sin(A;x)
> e.
Следовательно, в силу критерия Коши ряд ]
fc=i
не является равномерно сходящимся на [0, тг] при а < 1.
Отсюда и из пункта C) следует, что при a G @,1] данный
ряд сходится неравномерно на [0, тг].
Ответ. Данный ряд на отрезке [0, тг]: расходится при
а < 0, сходится неравномерно при a G @,1], сходится рав-
равномерно при а > 1; на отрезке [§,тг]: расходится при
а < 0, сходится равномерно при а > 0.
329

§ 3. Свойства равномерно сходящихся
рядов
Теорема 1. Если последовательность {fn{x)}<^=1
непрерывных на множестве X функций сходится к функ-
функции f(x) равномерно на множестве X, то функция f(x)
непрерывна на множестве X.
Доказательство. По определению равномерной сходи-
сходимости
Уе > О 3N е N : Vn > N Ух е X \fn(x) - f(x)\ < |. A)
Поскольку функция /лг+i {х) непрерывна на множестве
X, то
Vz0 € X Ve > 0 35 > О : \/х € X
\x-xQ\<5 =j> |/jv+i(a:) - /jv+i(a?o)| < f ¦
Из A) и B) получаем
Vx0€XVe>03N €N36>0:Vx€X \x-xo\ < S =>
=> |/(х)-/Ы|<|/(х)-Ых)| +
Итак,
Vx0 G X Уе > 0 35 > 0 : Ух е X
\x — xq\ < 6 => |/(x) - /(xo)| < e,
т. е. функция f(x) непрерывна на множестве X.
Замечание. Из поточечной сходимости последователь-
последовательности непрерывных функций {fn(x)}^=1 к функции f(x)
не следует непрерывность функции f{x).
330

Например, последовательность непрерывных функций
fn(x) = хп сходится на отрезке [0,1] к разрывной функции
, Г 0, если х € [0,1),
П ' \ 1, если х=1.
ОО
Теорема 2. Если функциональный ряд ]П Uk{x) cxo-
к=1
дится равномерно на множестве X и все функции Uk{x)
непрерывны на множестве X, то сумма ряда является
непрерывной функцией.
Доказательство состоит в применении теоремы 1 к
ОО
последовательности частичных сумм ряда ]Г щ{х).
к=1
Теорема 3. Пусть последовательность {/n(z)}?Li
непрерывных на отрезке [а, Ь] функций сходится равномер-
равномерно на [а,Ь] к функции f{x). Тогда
(ь \ ъ
f fn{x)dx) = /7lim fn{x)) dx.
J j J \n-*oo V
a /a
Доказательство. Из теоремы 1 следует, что функция
f(x) непрерывна на отрезке [а,Ь], а значит, интегрируема
по Риману на этом отрезке. По теореме об интегрировании
неравенств
ь ь
J
fn{x)dx- I f(X)dx
a
<
b
< f\fn(x)-f(x)\dx<(b-a) sup
J xG\a.
a
xe[a,b]
Так как fn{x) =4 f{x) при n -» oo, то sup \fn(x) -
[<*.4 xe[a,b]
— f(x)\ —> 0 при n —> oo. Следовательно,
331

ffn(x)dxn^?ff(x)dx.
a a
Замечание. Из поточечной сходимости fn{x) —> f{x)
[afi]
ь n_>oo ь
при n —» oo не следует, что / fn{x) dx пл^ J f(x) dx.
a a
{n2x, если x G
2n — n2x, если x G
О, если x G
l
/n(z) —> 0 при n —> oo, но J fn{x) dx = 1 /» 0 при n —* oo.
[°Д] о
о, |],
Теорема 4. Если функциональный ряд ^ г/^(х) схо-
дится равномерно на отрезке [а, Ь] и все функции иь{х)
оо (Ь \
непрерывны на [а, 6], то числовой ряд ]Г] Juk(x)dx I
fc=i Va /
oo
сходится к интегралу от суммы ряда ^ v>k(x), т.е. спра-
к=1
ведлива формула почленного интегрирования ряда:
= f;
Доказательство. Примененяя теорему 3 к последова-
п
тельности частичных сумм Sn(x) = ^ щ(х), получим
k=i
J2 [(uk{x)dx\ = Yrn^ilSn(x)dx\ =
332

= / ( lim Sn(x)) dx = / ( У2ик(х) I dx.
Теорема 5. Пусть последовательность {fn(x)}^=1
непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, 6] функций
сходится хотя бы в одной точке xq Е [а, Ь], а последо-
последовательность производных {fn(x)}%Li сходится равномер-
равномерно на [а, 6]. Тогда последовательность {fn(x)}™=1 сходится
равномерно на [а, 6] к некоторой непрерывно дифферен-
дифференцируемой функции /(я), причем
( lim /n(x)Y = lim f'n(x) Vx G [a, 6].
\7l—KX) / 71—KX)
Доказательство. По условию существует функция
(р(х): fn{x) =3 (р(х) при п —> оо. Поскольку функ-
[а,Ъ]
ции fn(x) непрерывны, то в силу теоремы 1 функция у>{х)
непрерывна. Из условия теоремы следует также, что суще-
существует lim fn{xo) = A G Ш. Определим функцию f(x) =
П—+ОО
X
= A+J (p(t) dt. Заметим, что fn(x) = fn{x0) + J f'Jt) dt,
XQ XQ
X
следовательно, |/n(x) - f(x)\ < \fn(x0) - A\ + J \f'Jt) -
— (p(t)\ dt. Поэтому
XQ
sup \fn(x)-f(x)\<\fn(x0)-A\ + (b-a) sup \f'n(t)-tp(t)\.
x?[a,b] te[a,b]
Поскольку ffn{x) =4 <p{x) при n —> оо, то sup \fn(t) -
[a,b] te[a,b]
— ip(t)\ —> 0 при n —> оо. Следовательно,
sup |/„(х)-/(ж)|<
xe[a,6]
333

< |/n(s0) -А\ + (Ъ-а) sup \fn{t) - <p(t)\ n^? 0,
t€[a,b]
т.е. fn(x) => /(z) при п —» oo. Из определения функции
f(x) следует, что f'(x) = <р(х) = lim fn{x).
оо
Теорема 6. Пусть функциональный ряд 53 ик{х) схо-
к=1
дится хотя бы в одной точке xq Е [а, 6], все функции щ(х)
оо
непрерывно дифференцируемы на [а,Ь], и ряд ^ uk(x)
к=1
оо
сходится равномерно на [а, 6]. Тогда ряд 53 ^fc(x) сходит-
ся равномерно на [а, 6] и справедлива формула почленного
дифференцирования ряда
Доказательство. Примененяя теорему 5 к последова-
п
тельности частичных сумм Sn(x) = 53 uk{x)i получим рав-
к=1
номерную сходимость этой последовательности и справед-
справедливость формулы
5>MJ = („lim «.(„) =
J
= Jim 5;(x) = f; <(x) Vx e [a, 6].
334

ГЛАВА 11
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 1. Обобщенный признак Коши
сходимости числового ряда
Напомним, что верхним пределом числовой последова-
последовательности {#А;}^1 называется точная верхняя грань мно-
множества всех (конечных и бесконечных) частичных преде-
пределов последовательности
lim Xk =
к—юо
= sup< A G M : 3 подпослед. {хь.}?^1 : А = lim хк. >.
^ J J j-*oo J J
Лемма 1. Если А > lim х&, то
к—кх)
З&о G jBV : V& > к0 хк < А.
Доказательство. Предположим противное:
Зк > ко Xk > А. Тогда существует подпоследователь-
подпоследовательность {xkjj^i последовательности {xk}^=i такая, что
Wj G N xkj > A. A)
В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса любая число-
числовая последовательность имеет конечный или бесконечный
частичный предел. Пусть В G М - некоторый частичный
предел последовательности {х^.}^. Из условия A) в си-
силу теоремы о предельном переходе в неравенствах следу-
следует, что В > А. Поскольку В является частичным пределом
335

последовательности {xk}kLn то по определению супрему-
супремума lim хь > В > А, что противоречит условию леммы.
к—*оо _
Теорема 1. (Обобщенный признак Коши сходимости
оо
числового ряда.) Пусть все члены числового ряда ^ ак
к=0
неотрицательны и пусть q = lim tyuk. Тогда
к—*оо
оо
а) если q < 1, то ряд ^ а& сходится;
к=о
оо
б) если g > 1, то а/ь /* 0 при & —> оо, и ряд ^ а& расхо-
к=о
дится;
оо
в) если q = 1, то ряд ^ а& может сходиться, а может и
fc=o
расходиться.
Доказательство, а) Пусть q < 1. Определим неко-
некоторое </ из условия q < qf < 1. Поскольку qf > q— lim
fc—>oo
то в силу леммы 1 Э&о Е JN :\/к > ко ^/ак < </. Отсюда
в силу признака Коши в допредельной форме (теорема 5 §
оо
2 главы 9) следует сходимость ряда ^ а&.
fc=o
б) Пусть q > 1. Поскольку <? = Нт а/ является супре-
к—>оо
мумом множества частичных пределов последовательно-
сти <ак >, то в силу определения супремума из неравен-
неравенства q > 1 следует, что существует </ > 1 - частичный пре-
предел последовательности < а^ \. Это означает существова-
существование подпоследовательности \aj 3\ такой, что lim al j =
= q1 > 1. Отсюда по определению предела получаем 3jo E
Е N : Vj > jo % > 1 и, следовательно, Vj > jQ ащ >
> 1. Поэтому akj ~h О ПРИ j —* оо, а значит, а^ у^ 0 при
336

оо
к —¦ оо и ряд Y1 ак расходится.
к=0
оо / \а
в) Для ряда 53 а^ : 9 = ^m \f^k — ^т ("Xf ) = 1>
1__л fC—*ОО к—^ОО \ V •*» /
а как показано ранее, при а > 1 этот ряд сходится, а при
а < 1 - расходится.
§ 2. Комплексные ряды
Напомним, что модулем комплексного числа z = х + гу
(где х = Rez, у = Im z) называется вещественное число
\z\ = у/х2 + у2.
Определение. Комплексное число S называется пре-
пределом последовательности комплексных чисел {Sn}<^):=1
= lim SnV если lim IS - Sn\ = 0.
П—KX) / 71—*OO
Заметим, что
S = lim Sn 4=>
fRe5=limRe5n и ImS = lim ImSn).
\ П—ЮО П—+ОО /
Определение. Пусть задана последовательность ком-
оо
плексных чисел {cfc}^_0. Ряд Y1 ск называется сходящим-
к=о
ся, если существует конечный предел последовательности
оо
частичных сумм этого ряда. Комплексный ряд ^ с*, назы-
к=о
вается абсолютно сходящимся, если сходится веществен-
оо
ныйряд J^\ck\.
к=0
337

Из условия A) следует, что сходимость комплексного
оо
ряда ]Г Ск эквивалентна сходимости двух вещественных
к=о
оо оо
рядов ]Г Rec* и ]Г lmck-
к=0 к=0
оо
Лемма 1. Если комплексный ряд Y2 ск сходится абсо-
к=о
лютно, то он сходится.
Доказательство. Обозначим а& = Rec^, Ь& = Imc^.
Поскольку \a,k\ < Ja\ + Ь\ = |с/ь|, то в силу признака срав-
оо
нения из сходимости ряда ^ \с^\ следует абсолютная схо-
к=о
оо
димость вещественного числового ряда ^ а&, а значит, и
к=о
его сходимость. Аналогично получаем сходимость веще-
оо
ственного числового ряда ^ Ь&. Следовательно, комплекс-
к=о
оо оо
ный ряд Y1 ск = Yl (ak + ih) сходится.
к=0 к=0
Определение. Пусть на некотором множестве ком-
комплексных чисел Z С С задана последовательность ком-
плекснозначных функций {Зп(г)}^=1. Будем говорить,
что последовательность комплекснозначных функций
{Sn(z)}%Li сходится к функции S(z) равномерно на мно-
множестве Z, если последовательность вещественнозначных
функций {\Sn(z) — S(z)\}™=1 сходится к 0 равномерно на
множестве Z.
Определение. Будем говорить, что комплексный
оо
функциональный ряд Y2 ик{%) сходится равномерно на
к=о
множестве Z, если последовательность частичных сумм
338

п
Sn(z) — Y2 uk(z) этого ряда сходится равномерно к сумме
к=о
S(x) этого ряда, т.е. \Sn(x) - S(x)\ =3 0 при п -> оо.
Z
Теорема 1. (Признак Вейерштрасса равномерной схо-
сходимости комплексного ряда.) Пусть на множестве Z С С
оо
задан комплексный функциональный ряд ^ uk(z). Пусть
к=о
\/к G IN \/z G Z \uk(z)\ < а>к и пусть вещественный чи-
оо оо
еловой ряд Y2 ак сходится. Тогда ряд Y2 uk(z) сходится
к=0 к=0
равномерно на множестве Z,
Доказательство. В силу признака сравнения веще-
оо
ственный числовой ряд ^ |^fc(^)| сходится для любого z G
к=0
G Z, Отсюда в силу леммы 1 получаем поточечную схо-
оо
димость функционального ряда ^ v>k(z) на множестве Z,
к=о
т.е. \/z G Z 3 lim Sn(z) = S(z) G С, где Sn(z) = f] uk(z).
n~*°° k=o
Заметим, что
\Sn(z)-S(z)\ =
У, uk{z)
k=n+l
0,
следовательно, sup|5n(^) - S(z)\ -* 0 при n -^ оо, т.е.
zez
\Sn(z)-S(z)\ =3 0прип-»оо.
z
339

§ 3. Степенные ряды
Определение. Пусть задана последовательность ком-
комплексных чисел {ck}kLi и комплексное число wo. Ком-
оо
плексный функциональный ряд ^ Ck(w — wo) с комплекс-
комплексно
ной переменной w называется степенным рядом.
Введение комплексной переменной z = w — wo сводит
оо оо
ряд J2 ск(™ - ™о)к к ряду Х^ ск*к- Имея в виду эту за-
к=0 к=0
мену переменной, в дальнейшем будем рассматривать сте-
оо
пенные ряды вида Y1 ск% •
к=о
Определение. Радиусом сходимости степенного ряда
оо
Y^ Ск* называется R G [0, +оо) LJ{+°°}> определяемое по
формуле Коши-Адамара:
К fc-»oo
(при этом будем полагать, что jj = +00, ^^ = 0).
Круг на комплексной плоскости с центром в нуле и ра-
дусом R называется кругом сходимости степенного ряда
оо
Y, Ск*к- Если R = +оо, то кругом сходимости считается
fc=0
вся комплексная плоскость С.
Теорема 1. (О круге сходимости степенного ряда.)
оо
Степенной ряд Yl ckzk
k=o
1) абсолютно сходится внутри круга сходимости
(т.е. на множестве {z e С : \z\ < i?}),
2) расходится вне круга сходимости (т. е. на множестве
{ze €:\z\>R}),
340

3) на границе круга сходимости (т. е. на множестве {z e
С : \z\ = R} ) может сходиться, а может и расходиться.
(Здесь R - радиус сходимости степенного ряда).
Доказательство. Зафиксируем произвольное ком-
комплексное число z ф 0 и исследуем сходимость ряда
оо
5^ \ckzk\ с помощью обобщенного признака Коши. Опре-
Опрело
делим
|| V\k\ ^
к—юо гС
(где при R = 0, |г| > 0 следует положить g = +00).
00
1) При z = 0 ряд Х^ !cfc2fc| состоит из нулей, а значит,
к=о
сходится. Если 0 < \z\ < R, то q < 1 и в силу обобщенного
оо оо
признака Коши ряд ^ \ckzk\ сходится, т.е. ряд ^ CkZk
к=0 к=0
сходится абсолютно.
2) Если |z|>i?, тод>1ив силу обобщенного признака
оо
Коши члены ряда ?} \ckz I не стремятся к нулю, следова-
следовало
оо
тельно, не стремятся к нулю и члены ряда Yl ckzk> а зна-
к=о
оо
чит, ряд Y2 ск%к расходится. (Заметим, что из расходимо-
к=о
оо оо
сти ряда Y1 \ск*к\ не следует расходимость ряда X) CkZk,
к=о к=о
оо
и поэтому важно, что ряд ^ \ск%к\ не только расходится,
к=о
но и его члены не стремятся к нулю).
оо к
3) Рассмотрим, например, ряд ^ щ^.
к=0
По формуле Коши-Адамара для радиуса сходимости R
4 "П = = lim e-W+W = e° = 1.
341

ОО ОО
При z — 1 исходный ряд имеет вид YL k+i = Zl \ и>
как показано в § 2 главы 9, расходится. При
°° (—i)k
z = — 1 исходный ряд имеет вид ?} к+i Этот ряд сходит-
к=0
ся в силу признака Лейбница (теорема 4 § 3 главы 9).
Замечание. Радиус сходимости степенного ряда
ОО
]П CkZk можно находить по формуле Коши-Адамара A).
к=о
В частности, если существует конечный или бесконечный
lim л/|с*;|, т0 v = ^m V\ck\- Следующая лемма пока-
к—>оо к—>оо
зывает, что радиус сходимости степенного ряда можно
определять из формулы
А = lim i^tll. B)
R к->оо \ск\
Последняя формула удобнее в тех случаях, когда коэф-
коэффициенты Ск выражаются через факториал.
ОО
Лемма 1. Пусть для степенного ряда Yl ckzk суще-
к=о
ствует конечный или бесконечный lim |fcfi *. Тогда для ра-
к—>оо ' fcl
ОО
диуса сходимости R степенного ряда Y1 ск*к справедлива
к=о
формула B).
Доказательство. Определим R\ G [0,+oo) |J{+oo} из
условия -д- = lim l?\ и исследуем сходимость числового
оо
ряда ^2 \ckz \ с помощью признака Даламбера в предель-
к=о
ной форме (следствие из теоремы 4 §2 главы 9). Опреде-
Определим
342

q = hm
4 k
j7
\ckzk
Согласно признаку Даламбера, ряд ?} \ckz I сходится
k=0
при g < 1, т.е. при \z\ < Riy и расходится при g > 1, т.е.
при \z\ > Ri.
oo
Пусть R - радиус сходимости степенного ряда ^ ckz •
В силу теоремы 1 ряд ?} \ckz I сходится при \z\ < R и
расходится при \z\ > R.
Следовательно, Д1=Ди4 = 4-= lim ffi .
1 fc—+00 1 fci
Теорема 2. (О равномерной сходимости степенного
ряда.) Пусть R > 0 - радиус сходимости степенного ря-
оо оо
да Yl ckzk. Тогда для любого числа г е @,i?) ряд ]П с^^^
fc=0 k=0
сходится равномерно в круге Z = {z G C:|^|<r}.
Доказательство. Заметим, что Vz G Z \/к Е
G J/V |cfc2fc| < |cfc|rfc. Поскольку |г| = г < Д, то в си-
оо
лу теоремы 1 числовой ряд ^ \ckrk\ сходится. Отсюда и
к=о
из признака Вейерштрасса равномерной сходимости ком-
комплексного ряда (теорема 1 §2) следует равномерная схо-
оо
димость ряда Yl ckzk на множестве Z.
к=о
Замечание. В самом круге сходимости, т. е. на множе-
множестве Z = z ? С : |2|<Д степенной ряд может сходиться
оо
неравномерно. Например, ряд ^ zk имеет радус сходимо-
к=о
сти R = 1, но на множестве Z = z G С : \z\ < 1 этот ряд
сходится неравномрно, так как не выполнено необходимое
343

условие сходимости ряда. Действительно, sup \zk\ = 1 •/+ О
zez
при к —» оо, следовательно, zfc z^ 0 при к —» оо.
Z
Теорема 3. Радиусы сходимости степенных рядов
53 c\~kzk~x и 53 FhT^ > полученных формальным по-
fc=i fc=o
членным дифференцированием и интегрированием степен-
оо
ного ряда 53 cfc2 > совпадают с радиусом сходимости ис-
к=о
оо
ходного ряда 53 ск?к.
к=0
Доказательство. Покажем сначала, что радиус сходи-
оо
мости Ri ряда 53 ск к zk равен радиусу сходимости R ис-
к=о
оо
ходного ряда 53 ск z • В силу формулы Коши-Адамара
R
(Здесь мы воспользовались тем, что lim Vk =
= lim eln k'k = e° = 1.)
Следовательно, R\ = R.
oo oo
Покажем теперь, что ряд 53 ск к zк = 53 ск к zk и ряд
к=0 к=1
оо
53 Ск к zk~l сходятся или расходятся одновременно. При
к=г
z = 0 эти ряды, очевидно, сходятся. Пусть z ф 0. Обозна-
п ~ п
чим Sn = 53 Ckkzky Sn = 53 Ckkzk~l. Если существует
fc=i fc=i
lim 5n = 5 G С, то существует lim Sn = lim ^ = ? G
n—>c» . n-»oo n—>c» г z
G С. Обратно, если существует lim Sn = S G С, то суще-
n^oo
ствует lim Sn = zS.
П-+ОО
344

оо
Следовательно, радиус сходимости Ri ряда Yl ckkz
к=1
оо
равен радиусу сходимости i?2 ряда ^ с& к zk~l. Итак, i?2 =
k=i
= Ri = R, т. е. при почленном дифференцировании степен-
степенного ряда его радиус сходимости не изменяется.
оо
Поскольку ряд ^Г, ск z получается при почленном диф-
к=о
оо
ференцировании ряда Yl ~?±lz > т0 радиусы сходимости
к=0
этих рядов также совпадают.
Далее мы будем рассматривать вещественные степен-
оо
ные ряды вида Y1 ак (х — хо) • Поскольку вещественный
к=о
степенной ряд можно рассматривать как комплексный сте-
оо
пенной ряд, то радиус сходимости R ряда Y1 ак (х ~~ хо)к
к=о
можно определять из формулы Коши-Адамара или из
леммы 1. Интервал (xq — R,xq + R) называется интервалом
оо
сходимости ряда Y1 ак (х — хо)к-
к=0
Теорема 4. Пусть вещественный степенной ряд
оо
^Г, ак(х — хо)к = f(x) имеет радиус сходимости R > 0.
к=о
Тогда
1) для любого х е (xq — R, xq + R) справедлива формула
почленного интегрирования степенного ряда:
345

2) в интервале сходимости (xq — R,xq + R) функция /
имеет производные любого порядка, получаемые почлен-
оо
ным дифференцированием ряда 53 ак (х ~~ хо) '•
к=о
ak((x-x0)k)W \/xe(xo-R,xo + R); C)
к=0
оо
3) коэффициенты степенного ряда Y1 ак(х — хо) —
к=о
= f(x) однозначно определяются по функции f(x) с по-
^ /(/е)(*о)
мощью формулы a,k = -—%[•
Доказательство. 1) Для любого х G (xq — jR, xq + R)
определим число г G (О, R) из условия х Е [xq — г, xq + г].
В силу теоремы о равномерной сходимости степенного
оо
ряда ряд 53 ак (* — хо) равномерно сходится на отрез-
к=о
ке [хо — г,хо + г]. Отсюда по теореме о почленном ин-
интегрирований равномерно сходящегося функционального
ряда (теорема 4 § 3 главы 10) следует, что
р оо г
2) Покажем, что для любого х е (xq — R,x$ + R)
существует конечная производная f'(x), причем f'(x) —
оо
= Y1 ак ^ (х~хо)к~1- Зафиксируем произвольное х G (^о —
к=1
- R, xq + R) и определим число г G @, R) из условия х е
е (Xq ~r,XQ +r).
оо
В силу теоремы 3 радиус сходимости ряда ^З ак к (t —
k=i
— xq) , полученного почленным дифференцированием
346

ряда 53 ак (* — xo)ki равен Д. Отсюда, из неравенства г <
fc=o
< R и теоремы о равномерной сходимости степенного ря-
ряда следует, что этот ряд сходится равномерно на отрез-
отрезке [^о — г, xq + г]. Поэтому в силу теоремы о почленном
дифференцировании функционального ряда (теорема 6 §
оо
3 главы 10) ряд 53 ак (* ~~ хо)к можно дифференцировать
к=о
почленно на отрезке [xq — г, xq + г]. В частности, существу-
оо
ет f'(x) = 53 Q>kk(x — хо)к~1. Следовательно, при п = 1
справедлива формула C).
оо
Проводя те же рассуждения для ряда 53 аь ^ (х ~~
k=i
— x$)k~l = ff(x), получим формулу C) при п = 2 и так
далее. По индукции получим, что формула C) справедли-
справедлива для любого п е J/V, что доказывает второе утверждение
теоремы.
3) Заметим, что
_ Г к(к - 1) • • • (А; - п + 1) (х - хо)к-п, если к > п,
\ 0, если к < п,
следовательно, в точке х = xq: ({х —
_ Г п!, если к = п,
\ 0, если кфп.
Отсюда и из формулы C) следует, что f^n\x0) = апп\,
что доказывает утверждение третьего пункта теоремы.
§ 4. Ряд Тейлора
Определение. Функция f(x) называется бесконечно
347

дифференцируемой в точке xq, если в этой точке существу-
существуют производные любого порядка функции /.
Определение. Пусть функция f(x) бесконечно диф-
дифференцируема в точке xq. Тогда ряд
к=0
называется рядом Тейлора функции f(x) в точке xq.
Определение. Функция f(x) называется аналитиче-
аналитической в точке #0, если она бесконечно дифференцируема в
этой точке и ряд Тейлора функции f(x) в точке хо сходит-
сходится к функции f(x) в некоторой окрестности точки х$:
36 > 0 : V* G Us(x0) f(x) = JT f}*°\x - xo)k.
k=o /c*
Замечание. Из пункта C) теоремы 4 § 3 следует, что
если функция f{x) может быть представлена как сумма
оо
степенного ряда ^ ак (х—хо)к с радиусом сходимости R >
к=о
> 0, то этот ряд является рядом Тейлора функции f(x) в
точке хо. В этом случае функция / является аналитиче-
аналитической в точке хо.
Замечание. Ряд Тейлора в точке xq бесконечно диф-
дифференцируемой функции f(x) может сходиться в любой
окрестности точки xq не к функции f(x), а к некоторой
другой функции. В этом случае функция f(x) не является
аналитической в точке xq.
Пусть
348

f{x) = { e~1/x\ если хфО, ()
n ' \ 0, если x = 0. W
Заметим, что Vfc G N lim -^ e/*2 = Цщ tk/2 е~1 =
i-*0 x t->+oo
= 0.
Отсюда следует, что
2) ^0)
О, ж = 0.
По индукции легко показать, что
¦{
О, х = О,
где Рзп@ ~ многочлен степени Зп от t.
Следовательно, все коэффициенты ряда Тейлора функ-
функции f(x) в точке хо = 0 равны нулю. Поэтому сумма ря-
ряда Тейлора функции f(x) в точке xq равна нулю и не со-
совпадает с функцией f(x) в сколь угодно малой окрестно-
окрестности точки xq. Таким образом, хотя функция A) бесконечно
дифференцируема, она не является аналитической в точке
хо = 0.
Напомним, что остаточным членом формулы Тейлора
п раз дифференцируемой функции f(x) в точке хо назы-
называется
= /(я) - Sn(x), где Sn(x) =
fc=O
349

Замечание. Остаточный член фомулы Тейлора не все-
всегда совпадает с остатком ряда Тейлора. Например, для
функции A) Sn(x) = 0 Vn G N \/х е М, поэтому оста-
остаток ряда Тейлора тождественно равен нулю, а остаточный
член формулы Тейлора гп(х) — f(x) ф 0 \/х ф 0.
Непосредственно из определений следует, что функция
f(x) является аналитической в точке xq тогда и только
тогда, когда
36>0:\/хе Us(x0) lim rn{x) = 0. B)
п—юо
Как показывает пример функции A), для доказатель-
доказательства аналитичности функции недостаточно показать, что
радиус сходимости ряда Тейлора этой функции R > 0.
Нужно проверить условие B).
§ 5. Ряды Тейлора для показательной,
гиперболических и
тригонометрических функций
Определение. Ряд Тейлора функции f(x) в точке xq =
= 0 называется рядом Маклорена этой функции.
Теорема 1. Ряд Маклорена функции f(x) = ex схо-
сходится к этой функции на всей числовой прямой:
УхеШ.
f kl
к=0
Доказательство. Воспользуемся формулой Маклоре-
Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа:
A f{k)@) и /•
— - xn+1
k=o hl ' (n + 1)!
350

где ? - некоторая точка, лежащая между точками 0 и х.
Для функции f(x) = ex при любом х G М имеет место
неравенство
Ых)\ =
(п + 1)!
х
\х
Покажем, что Va > 0 lim Ъ- = 0.
П-+ОО П'
Определим щ G N из условия по > 2а, тогда при п >
а
П —По
а"и а
п~~пО
п! щ\ п(п - 1) • • • (п0
п0!
i! V2
0.
Поэтому
M \гп(х)\ <
(п + 1)!
0.
Таким образом, ряд Маклорена функции f(x) = ex схо-
сходится к этой функции на всей числовой прямой.
Теорема 2. Ряды Маклорена гиперболического коси-
косинуса ch х = еЖ+2е и гиперболического синуса sh x = е*~^
сходятся к этим функциям на всей числовой прямой:
2к
2к-\-1
Доказательство. По теореме 1
ch x = = -
\к=0
351
к=0
к\

к=0 п=0 v '
Таким образом, функция ch:r представима как сумма
степенного ряда с радиусом сходимости R = +оо > 0. От-
Отсюда и из пункта 2 теоремы 1 §4 следует, что этот ряд
является рядом Маклорена функции ch:r.
Аналогично можно доказать формулу разложения си-
синуса гиперболического в ряд Маклорена.
Теорема 3. Ряды Маклорена косинуса и синуса схо-
сходятся к этим функциям на всей числовой прямой:
•—± j ок
к=0
0 ^2fc+l
sin х = V
smx 2^B^ + 1)!
к=0 v '
Доказательство. Запишем остаточный член формулы
Маклорена для функции f(x) = cos x в форме Лагранжа:
Поскольку |/Bfc)(:r)| = |cos:r| < 1, |/Bfc+1)(:r)| =
= | sin ж | < 1, то \/ж G M
Следовательно, ряд Маклорена функции cos x сходится
к этой функции на всей числовой прямой. Для функции
sin х доказательство аналогично.
¦
Определим показательную, гиперболические и триго-
тригонометрические функции комплексного переменного по
352

формулам
оо и
fc=O
Z2k ~ Z2k+l
«<*>' ?i (*+«'¦
Из теорем 1, 2 и 3 следует, что данные ряды сходятся
при любом вещественном z. Отсюда и из теоремы о кру-
круге сходимости степенного ряда следует, что радиусы схо-
сходимости этих степенных рядов равны +оо, т. е. эти ряды
сходятся при любом z е С. Из теорем 1, 2, 3 следует так-
также, что при вещественном z определенные здесь функции
совпадают с известными ранее показательной, гиперболи-
гиперболическими и тригонометрическими функциями.
Лемма 1. Для любого комплексного числа z справед-
справедливы формулы Эйлера
elz = cosz + г sin z,
€?"Z ~\~ G>~
COS 2= , Sin 2 =
2 ' 2г
Доказательство.
elz =
и - 4 Bn)!
fc=0 n=0 V '
= ?
n=0 v ' n=0 v '
Остальные формулы Эйлера следуют из первой.
353

§ 6. Остаточный член формулы Тейлора
в интегральной форме.
Ряд*>1 Тейлора для степенной,
логарифмической и других функций
Для того чтобы доказать аналитичность степенной и
некоторых других функций, нам потребуется представле-
представление остаточного члена формулы Тейлора в интегральной
форме.
Теорема 1. (Формула Тейлора с остаточным членом
в интегральной форме.) Если функция f(x) на интервале
(#о~ 6, xq+6) имеет непрерывные производные до.(п+1)-го
порядка включительно, то для остаточного члена форму-
формулы Тейлора гп(х) = /(ж) — ^ ы \х ~~хо)к справедливо
к=о
представление в интегральной форме:
X
гп(х) = — / (х - t)n /(n+1)(?) dt Ух е (х0 - 6, хо + 5).
п\ J
х0
Доказательство. Поскольку го(х) = /(х) — /(хо) =
= / f'(t)dt = дт /(х - t)°f(t)dt, то при п = 0 теорема
Хо Хо
справедлива.
Предположим, что теорема справедлива для п = s — 1,
т. е.
хо
Интегрируя по частям, получаем
Хо
354

x -
X
X + i f{x -
dt =
x0
Отсюда получаем формулу для остаточного члена
порядка s:
к=0
J(x0) (х - хоу = -J(x- t)s /(s
SI S. J
Xq
Следовательно, теорема справедлива для п = s. По ин-
индукции получаем справедливость теоремы для любого на-
натурального п.
Теорема 2. Ряд Маклорена степенной функции f(x) =
= A + х)а сходится к этой функции при х G (—1,1):
fc=0
где C° = l, C*=a<a-1)"ijtt-*+1)> keN, аеШ.
Доказательство. Записывая остаточный член форму-
формулы Маклорена функции f(x) — A + х)а в интегральной
форме и учитывая, что f(k\x) = а(а — 1) • • • (а — к + 1) A +
+ х)а~к, получим
355

а(а — 1) • • • (а — п)
о
X
1
A \ ( \ Г
— а- 1)---{а-п) / П(л_ \п
п\ J
п l xdr =
о
1
п\ J \l + rx
о
Поскольку \/х е (-1,1) Vr G [0,1] 1 + тх > 1 - т, то
( Тргх ) — ^* Следовательно, Vx E (—1,1)
, (я)| < |а|(|а|-Ц)...(Н+п) +1 } + , dr =
п! 7
1
где величина С(х) = /A + rxH1 dr не зависит от п.
о
Определим натуральное число га из условия га > |а|.
Тогда
Ы)\ , 1|
При п > га получаем
По правилу Лопиталя легко доказать, что
Va > 1 Уте N lim ^ = 0. Полагая а = ^
при х ф 0 получим lim tm Ixl* = 0, следовательно,
t—>H-oo
356
A)

Vx G (-1,1) Vra G N lim nm |x|n = 0. Отсюда и из нера-
п—*оо
венства A) следует, что Vx G (—1,1) lim rn(x) = 0.
Заметим, что при а = п е N для любого к > п+1 имеет
место С% = 0, и, следовательно, ряд Маклорена функции
A + х)а совпадает с конечной суммой:
к=0 к=0
Полагая в теореме 2 а = — 1 и замечая, что С^х =
= \~4\-V'"\-k) = (—l)fc, получаем разложение
— 1) x Vx G (—1 1) B)
~ ' ~ fc=O
Заметим, что последнее разложение можно получить
предельным переходом в формуле суммы геометрической
прогрессии:
fc=o
Из формулы B) и теоремы о почленном интегрирова-
интегрировании степенного ряда (пункт 1 теоремы 4 §3) при |х| < 1
получаем
о к=0
оо „
П
п=1
357

Применяя разложение B) для х = t2, получим
i)*«" we (-1,1).
к=0
Интегрируя этот ряд внутри круга сходимости, полу-
получим
Для любого нечетного числа п обозначим
п\\ = п • (п — 2) • • • 3 • 1. Кроме того, будем полагать
(-1)!! = 1. Тогда для любого к е W|J{0}
- 1)!!
2к к\
Применяя теорему 2 для а = — |, получим разложение
Подставляя х = — t2 и интегрируя степенной ряд, полу-
получим
х
dt
arcsin x =
о
Итак,
fc=0
358

Учебное издание
Иванов Григорий Евгеньевич
ЛЕКЦИИ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Часть 1
Редактор И.А. Волкова
Корректор О.П. Котова
Компьютерная верстка А.В. Полозов
Изд. лиц. № 040060 от 21.08.96. Подписано в печать 10.07.2000.
Формат 60 х 84 Vi6. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 22,4.
Уч.-изд. л. 20,5. Тираж 800 экз. Заказ № 366
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Отдел автоматизированных издательских систем
"ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ"
141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9