АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА ССР
ПОЛНОЕ СОБРАНИЕ
СОЧИНЕНИЙ
П.Л.ЧЕБЫШЕВА
Том I
ТЕОРИЯ ЧИСЛА
"издАТзальство академтпя наук с ест»
МОСКВА'-АЙНИЕГРАА
4.Q44-

c^T^Lc^

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
академики: С. Я. Бернштейн (председатель), Я. Г. Бруевич,
И. М. Виноградов, А. Я. Колмогоров, А. Я. Крылов,
Л. С. Лейбензон, С. Л. Соболев; члены-корреспонденты:
Я. Я. Артоболевский, Б. Я. Делоне;
проф. 5. #. Гончаров
Ответственные редакторы I тома
акасемик И* М. Виноградов, член-корреспондент Б. Я. Делон?

ОТ РЕДАКЦИИ
Исследования П. Л. Чебышева, сыгравшие крупную роль в развитии
современной математики, сохраняют жизненное значение в наши дни, и
многие идеи нашего великого соотечественника, являющегося ярким
представителем единения теории и практики в математике, еще не вполне
использованы.
Собрание сочинений П. Л. Чебышева, изданное С.-Петербургской
Академией Наук (в 1899—1907 гг.), представляет теперь
библиографическую редкость.
Ввиду этого Академия Наук СССР, в связи с 50-летней
годовщиной кончины П. Л. Чебышева, решила издать полное собрание
сочинений своего знаменитого сочлена.
Выполняя это задание Академии Наук СССР, Редакционная коллегия,
назначенная Президиумом Академии, сочла полезным не только
воспроизвести те сочинения П. Л. Чебышева, которые вошли в прежнее
издание, но и присоединить к ним три его диссертации и несколько еще
неопубликованных работ П. Л. Чебышева, а также перечень, описание
и фотографические снимки конструированных им механизмов.
При этом для удобства читателей, которые интересуются лишь
отдельными областями исследований П. Л. Чебышева, предлагаемое
новое издание сочинений П. Л. Чебышева разделено на пять томов
(вместо прежних двух больших томов), распределенных по их
тематическому содержанию: I — Теория чисел, II и III — Анализ, IV — Теория
механизмов, V — прочие работы и материалы исторического и
биографического характера. Кроме того, новое издание сочинений П. Л.
Чебышева снабжено краткими комментариями, имеющими целью облегчить
читателю ознакомление с последующим развитием соответствующих
областей современной науки, выросших на основе исследований П. Л.
Чебышева.
С. Бернштейя

ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ ЧЕБЫШЕВ
Краткий биографический очерк*
Пафнутий Львович Чебышев родился 26 (14) мая 1821 г. в поместье
своего отца, сельце Окатове, Боровского уезда Калужской губернии.
Семейство Пафнутия Львовича принадлежало к старинному дворянскому
роду; отец его был по тому времени человек образованный и с
порядочными материальными средствами.
Первоначальное воспитание, до самого поступления в университет,
он получил дома. Грамоте его обучала мать, Аграфена Ивановна, а
некоторым другим предметам, в том числе арифметике и французскому
языку, двоюродная сестра А. К. Сухарева, девушка очень образованная
и игравшая, повидимому, важную роль в воспитании Пафнутия Львовича.
В 1832 г. Чебышевы всей семьей переехали на жительство в
Москву, чтобы приготовить Пафнутия Львовича и старшего его брата
к поступлению в университет. Для этой цели были приглашены лучшие
московские учителя, в том числе, по математике, известный тогда
педагог Погорельский, об „Алгебре* которого Чебышев впоследствии
говорил, что она самая лучшая из всех на русском языке, потому что она
„самая краткая". В это время выяснились окончательно способности
П. Л. Чебышева к математике, и он избрал для себя
физико-математический факультет.
Поступив в Московский университет в 1837 г., Чебышев уже при
переходе с первого курса на второй написал работу „Вычисление корней
уравнения", за которую был награжден серебряной медалью; своими
серьезными занятиями он сразу обратил на себя внимание известного
профессора Н. Д. Брашмана, который угадал в своем новом ученике
будущее математическое светило, а потому начал старательно руководить
его занятиями, убеждая его посвятить себя исключительно математике.
К этому ученому Чебышев сохранил навсегда глубочайшее уважение;
до самой смерти он берег как некую святыню фотографический портрет
Брашмана, полученный от него уже гораздо позже. Университетский
курс Чебышев окончил в 1841 г.
* Этот биографический очерк, почти целиком заимствованный из статьи проф.
К. А. Поссе, помещенной в „Критико-биографическом словаре русских писателей и
ученых" Венгерова, составлен академиками А. А. Марковым и Н. Я. Сониным.

— 6 —
В 1840 г. в значительной части России был голод, и дела многих
помещиков, в том числе и родителей Чебышева, пришли в расстройство.
Вся семья принуждена была переехать на постоянное жительство в
деревню, и отец Чебышева уже не был в состоянии помогать сыну. Чтобы
не терпеть нужды, молодому человеку, только-что вышедшему из
университета, нужно было бы поступить куда-нибудь на службу или усердно
приняться за давание уроков, но он, справедливо рассуждая, что
подобные занятия отвлекли бы его от любимых трудов по математике,
предпочел переносить лишения. В это время он получал от отца только
даровое помещение в его доме на Пречистенке. В этом доме он и поселился,
взяв к себе двух братьев и еще двух молодых людей в качестве
пенсионеров. Эти молодые люди вместе с братьями Пафнутия Львовича
готовились к поступлению в учебное заведение, и П. Л. Чебышев
некоторое время сам пробовал учить их математике, но скоро прекратил
это занятие, так как, по собственному признанию, оказался педагогом
нетерпеливым, сердился и кричал на своих учеников.
В это время появились в свет первые ученые труды Чебышева и
написана была его хмагистерская диссертация „Опыт элементарного анализа
теории вероятностей", которую он защитил в Московском университете
в 1846 г.
В 1847 г. он переехал на жительство в Петербург, получив после
защиты диссертации „Об интегрировании помощию логарифмов*
должность адъюнкт-профессора в Петербургском университете на место
выбывшего профессора В. А. Анкудовича. Эта диссертация, содержание
которой вошло в последующие работы Чебышева, вместе со вступительною
речью сохранилась в рукописи, а положения при ней напечатаны. Она
дала Чебышеву право читать лекции в университете; степень же доктора
Чебышев получил в 1849 г. за третью диссертацию — его известное
сочинение „Теория сравнений".
Почти одновременно с Чебышевым в Петербургский университет
вступил в качестве ординарного профессора Виктор Яковлевич Буняков-
ский, один из известнейших русских математиков, бывший тогда уже
ординарным академиком Академии Наук. Экстраординарным
профессором по кафедре прикладной математики был тогда другой, тоже весьма
известный, математик—Иосиф Иванович Сомов. Эти два человека, столь
же выдающиеся учеными заслугами, сколько и высокими душевными
качествами, были первыми, с которыми близко сошелся П. Л. Чебышев
по переезде в Петербург и с которыми до конца их жизни сохранил
наилучшие отношения. Особенно близок он был с В. Я. Буняковским,
который, увидав в Чебышеве огромную научную силу, скоро привлек
его в Академию Наук сначала в качестве своего сотрудника по изданию
работ знаменитого Эйлера, а затем в качестве сочлена (в 1853 г.
Чебышев был избран в адъюнкты, а в 1859 г. в ординарные академики
Академии Наук).
Материальные средства П. Л. Чебышева по переезде его в
Петербург были в очень плохом состоянии. Дела его родных в это время

— 7 —
сильно расстроились, и единственные средства к жизни давало еле
достаточное жалованье адъюнкт-профессора.
Скудные материальные средства заставляли его быть очень
бережливым; таким он остался и до конца жизни. Единственным предметом,
на который Чебышев никогда не жалел денег, были модели
изобретаемых им механизмов; на их устройство он тратил сотни и тысячи рублей.
С раннегЪ детства он любил устраивать различные приборы и, начав
с игрушки, сделанной перочинным ножом, дошел до своей сложной
арифметической машины, хранящейся в Conservatoire des arts et metiers
в Париже. Многие из его приборов хранятся в С.-Петербургском
университете и в Академии Наук.
Круг знакомых, у которых бывал Чебышев, был очень не велик;
чаще всего он любил посещать В. Я. Буняковского, у которого
собирались многие из математиков, между прочим и известный М. В.
Остроградский.
В молодые годы Чебышев часто приходил к И. И. Сомову
беседовать о своих открытиях; пользуясь громадной начитанностью своего
старшего собрата по науке, он узнавал, не сделано ли это открытие
другими раньше, что, по словам А. И. Сомова, брата академика, иногда
и оказывалось на деле. Разумеется, это могло относиться только к тому
периоду деятельности Чебышева, когда он еще не обратился к таким
вопросам математики, которых никто до него не затрагивал и в которых
никакой опасности быть предупрежденным встретиться не могло. Надо
заметить, что сам Чебышев более любил самостоятельные исследования,
чем изучение Трудов других математиков, особенно современных.
Глубоко изучив твррения великих математиков — Эйлера, Лагранжа, Гаусса,
Абеля и других, Чебышев не придавал особого значения чтению текущей
математической литературы, утверждая, что излишнее усердие в
изучении чужих трудов должно неблагоприятно отражаться на
самостоятельности собственных работ.
Одним из любимых развлечений П. Л. были поездки за границу.
В первое время своей деятельности поездки эти Чебышев предпринимал
не для отдыха, а со строго научными целями. В отчете о
командировке за границу в 1852 г.* можно найти описание его путешествия,
посещения различных фабрик с целью изучения практической
механики, заседаний ученых обществ и бесед с знаменитыми учеными
различных стран {по научным вопросам. В последующие годы
Чебышев хотя и не упускал из вида ученых целей своих путешествий,
пользовался ими также и для отдыха от своих непрерывных занятий.
Больше всего любил он ездить во Францию, где у него были
многочисленные знакомства среди ученых и где он часто посещал конгрессы и
докладывал о своих открытиях. Со свойственною ему бережливостью
Чебышев останавливался в первые свои поездки в Париж в самом
скромном отеле (H6tel Corneille, против Одеона), обедал в дешевых
рецторанах и ездил в омнибусах; только в последние годы он несколько
* Этот отчет мы помещаем в последнем томе настоящего издания. Ред.

— 8 —
отступил от своих привычек и даже устраивал обеды своим
французским друзьям. В тех случаях, когда Пафнутий Львович оставался на
каникулярное время в пределах России, он чаще всего жил около
Ревеля, в Екатеринентале.
Профессорская деятельность Чебышева продолжалась ровно 35 лет,
с 1847 по 1882 год (с 1847 по 1853 г. он был адъюнктом, с 1853 по
1857 г. экстраординарным и с 1857 г. ординарным профессором), и
протекала исключительно в Петербургском университете, если не считать
кратковременного преподавания механики в Александровском лицее.
В различные периоды он читал аналитическую геометрию, высшую
алгебру, теорию чисел, интегральное исчисление, теорию вероятностей и
исчисление конечных разностей, теорию эллиптических функций и теорию
определенных интегралов.
К чтению своих лекций Чебкшев относился с педантической
строгостью; лекций никогда почти не пропускал, никогда на них не
опаздывал и ни одной лишней минуты после звонка не оставался в аудитории,
хотя для этого приходилось прерывать лекции иногда на полуслове.
Недоконченный на какой-либо лекции вывод всегда начинал на
следующей с самого начала, если только эта лекция не была немедленным
продолжением предыдущей. Всякой сколько-нибудь сложной выкладке
предпосылал разъяснение ее цели и хода в общих чертах, а затем
производил вычисление на доске большей частью молча, предоставляя
студентам следить за ним глазами, а не ухом. Выкладки делал довольно
быстро и настолько подробно, что следить за ним было очень легко.
Во время лекций Чебышев часто делал отступления от систематического
изложения курса, сообщал свои взгляды и разговоры с другими
математиками по затронутым на лекциях вопросам и выяснял сравнительное
значение и взаимную связь между различными вопросами математики.
Эти отступления очень оживляли изложение, давали отдых напряженному
вниманию слушателей и возбуждали интерес к изучению предмета
в более широких рамках.
Курсы, читавшиеся Чебышевым, были невелики по объему, но
содержательны, по изложению очень доступны и удобопонятны. На
экзаменах Чебышев не был ни слишком строг, ни слишком снисходителен
и всегда чрезвычайно сдержан и вежлив. На диспутах возражения
Чебышева, всегда касавшиеся не подробностей, а общих вопросов,
связанных с предметом диссертации, отличались большою тонкостью и
остроумием.
Заслуги Чебышева как профессора навсегда останутся в памяти
тех, кому выпала на долю завидная участь учиться у него. Он
продолжал учить своих учеников и по окончании ими университетского курса.
Первые шаги на научном поприще тех из его слушателей, которые
посвятили себя занятиям математикой, были сделаны под
непосредственным его руководством и под влиянием драгоценных его указаний,
которые он давал желающим и умеющим ими воспользоваться.
Раз в неделю, в определенные часы, двери его были открыты для

— 9 —
всякого, имеющего что-нибудь сообщить о собственных занятиях
знаменитому математику и получить от него указания, и редко кто-нибудь от
него уходил, не унося с собою новых мыслей и поощрения к
дальнейшей работе.
Одною из незабвенных заслуг Чебышева как учителя русских
математиков было то, что он своими работами и указаниями в ученых
беседах наводил своих учеников на плодотворные темы для
самостоятельных изысканий и обращал их внимание на такие вопросы, занятия
которыми всегда приводили к более или менее ценным результатам.
Чебышев умер на 74-м году жизни, пережил и 25- и 50-летний юбилеи
своей ученой деятельности и ни одного из них не праздновал. Всякие
попытки его почитателей и учеников оттенить каким-нибудь из
общепринятых способов эти даты он отклонял самым энергичным образом.
О последних днях жизни П. Л. Чебышева известно только, что за
несколько дней до кончины он заболел инфлуэнциею в легкой форме и
хотя нехорошо себя чувствовал, но в постель не ложился. Накануне
смерти он в обыкновенное время принимал посетителей, и никто не мог
думать, что конец его жизни так близок. Утром 8 декабря (26 ноября)
1894 г. Пафнутий Львович, сидя за письменным столом со стаканом
чая, внезапно почувствовал себя дурно и после непродолжительной
агонии скончался от паралича сердца.

ТЕОРИЯ СРАВНЕНИЙ*
ВВЕДЕНИЕ
Не следуя вполне в изложении теории сравнений сочинениям Лежан-
дра „Theorie des nombres* и Гаусса „Disquisitiones arithmeti-
■сае", я. считаю необходимым объяснить причины, заставившие меня
сделать отступления от этих превосходных сочинений двух великих
геометров. Для этого я войду в некоторые подробности об этих
сочинениях и о современном им состоянии теории чисел.
Эйлерам положено начало всех изысканий, составляющих общую
часть теории чисел. В этих изысканиях Эйлеру предшествовал Фермат;
он первый начал заниматься исследованием свойств чисел в отношении
их способности удовлетворять неопределенным уравнениям того или
другого вида, и результатом его изысканий было открытие многих общих
теорем теории чисел. Но изыскания этого геометра не имели
непосредственного влияния на развитие науки: его предложения остались без
доказательств и без приложений. В этом состоянии открытия Фермата
служили только вызовом геометров на изыскания в теории чисел. Но,
несмотря на весь интерес этих изысканий, до Эйлера на них никто не
вызывался. И это понятно: эти изыскания требовали не новых приложений
приемов, уже известных, и не новых развитии приемов, прежде
употреблявшихся; эти изыскания требовали создания новых приемов, открытия
новых начал, одним словом, основания новой науки. Это сделано было
Эйлером.
Между многими изысканиями Эйлера в теории чисел наиболее имели
влияния на успех этой науки изыскания его по следующим двум
предметам: 1) о степенях чисел в отношении остатков, получаемых при
делении их на данное число, и 2) о числах, представляющих сумму
двух чисел, из которых одно есть квадрат, а другое — произведение
квадрата на данное число. Первые положили основание теории
указателей, сравнений двучленных вообще и в особенности теории квадратичных
вычетов; вторые были началом теории квадратичных форм.
* Отдельные издания: 1-е— СПб. 1849, 2-е —СПб.1879, 3-е—СПб. 1901;
иностранные переводы: „Theorie der Congruenzen", mit Autorisation des Verfassers herausge-
geben von H. Schapira, Berlin 1888; „Teoria delle congruenze*,traduzione con aggiunte
e note di I. Massarini, Roma 1895.

— 11 —
Основание теории указателей Эйлер положил мемуаром своим „Demon-
strationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resul-
tantia", напечатанным в Записках нашей Академии Наук за 1773 год.
В этом мемуаре'он раскрыл свойства указателей и первообразных
корней, показал высший предел числа решений, допускаемых сравнениями
двучленными с простым модулем, и приложение теории указателей
к теории квадратичных вычетов и квадратичных форм. Для
совершенства теории указателей оставалось найти способ определения
первообразных корней, не испытывая различных чисел. Все старания Эйлера
в изыскании этого были тщетны; он говорит: „Via quidem adhuc non
patet, tales radices primitivas pro quovis divisore primo inveniendi
neque etiam demonstratio, qua tales radices primitivas semper dari evici,
methodum eas inveniedi declarat*.* Но при всем успехе теории чисел
мы до сих пор находим первообразные корни, испытывая различные
числа, и теоремы, изложенные мною во втором прибавлении, едва ли
не первый опыт находить первообразные корни без предварительных
испытаний.
Исследования Эйлера о делителях чисел вида ап±Ьп положили
начало теории сравнений двучленных. Эти исследования мы находим во
многих мемуарах Эйлера; из них особенного внимания заслуживает мемуар
^Theoremata circa divisores numerorum". Здесь он показывает, что
возможность удовлетворить сравнению хп—а = 0 (мод. тп-\-\), при тп-\-\
простом числе, предполагает делимость ат -— 1 на это число, и
доказывает обратное, предполагая тип простыми между собою. За
исключением лишнего ограничения тип простыми между собою, эти теоремы
суть основания современной теории сравнений двучленных вообще и
в особенности теории квадратичных вычетов. Впрочем, рассматривая
у Эйлера доказательство последней теоремы, легко заметить
распространение ее на случай т и п каких-нибудь. В мемуаре „De quibusdam
eximiis proprietatibus circa divisores potestatum occurentibus" он особенно
доказывает это для случая т=2, не делая никаких ограничений
относительно я, и показывает, что делимость ап — 1 на 2п-\-\ есть
необходимое и достаточное условие того, чтобы а было квадратичным
вычетом числа 2п-\-\. Кроме того, Эйлер в других мемуарах много
занимался квадратичными вычетами, и в „Observations circa divisionem
-quadratorum per numeros primos", рассматривая остатки, получаемые
лри делении квадратов на.простые числа, вывел такое заключение:
„Existente 5 numero quocunque primo, dividantur tantum quadrata
imparia 1, 9, 25, 49, etc., per divisorem 4s, notenturque residua, quae
•omnia erunt formae 4^+1, quorum quodvis littera a indicetur,
xeliquorum autem numerorum, formae 4^ + 1, qui inter residua non
occurunt quilibet littera 31 indicetur, quo facto si fuerit
* „До сих пор не удается находить первообразные корни для любого простого
делителя, и даже доказательство того, что такие примитивные корни всегда
существуют, способом их нахождения не установлено* (Op. min. col., т.1, стр. 523).

— 12 —
turn est
-\-s residuum et —5 residuum
4- s residuum et — 5 non-residuum
4~5 non-residuum et —s non-residuum
-j-s non-residuum et —5 residuum".*
Это открытие мы находим у Эйлера в I томе „Opuscula Analytica",
1772 г. Не трудно в нем узнать, закон взаимности двух простых чисел,
обнародованный Лежандром в 1785 г. и положенный им в основание
теории квадратичных вычетов. В теории квадратичных форм Эйлер начал
свои изыскания с суммы двух квадратов, и в мемуаре „De numeris, qui
sunt aggregata duorum quadratorum" доказал, что делители суммы двух
квадратов простых между собою должны представлять подобную сумму,
и вывел линейную форму этих делителей. Таким образом он дошел до
знаменитой теоремы Фермата о разложении простых чисел вида 4/гс+1
на два квадрата. Подобным образом Эйлер нашел квадратичных и
линейных делителей для квадрата, сложенного с удвоенным или утроенным
квадратом, й предложил без' доказательства линейные формы делителей
многих квадратичных форм. Так положил Эйлер основание теории
делителей квадратичных форм. Гениальные открытия, сделанные Лагран-
жем в этой части теории чисел, открыли путь Эйлеру к новым
изысканиям. Следствием их было новое развитие теории квадратичных форм
со многими приложениями ее к исследованию, что данное число простое
или нет и как можно найти простые числа чрезвычайно большие.
Эйлер не ограничивался в изысканиях своих одними конечными
формулами; он показал также, каким образом употреблением рядов можно
дойти до различных предложений теории чисел. Сюда относятся
изыскания его de partitione numerorum и о суммах делителей различных чисел.
Имея в виду р-азвитие общей части теории чисел, мы не будем
останавливаться на изысканиях Эйлера в анализе Диофанта,
результатом которых было решение уравнений вида ах2-\-Ьу2=сг2>
доказательство невозможности некоторых уравнений с двумя и тремя неизвестными
и решение многих неопределенных уравнений, весьма сложных, и перей-
* „Пусть $ какое-либо простое число; будем делить нечетные квадраты 1, 9, 25
49 и т. д. на 4s и рассматривать остатки, которые все будут вида 4#-}-1; будем
обозначать эти остатки буквой а и остальные числа вида 4#-[-1, не встречающиеся среди
этих остатков, будем обозначать буквой Щ; тогда
если простой делитель то
вида
4/zs+a ^s вычет и —s вычет
4ns — a -j- s вычет и — s невычет
4/Z5 -{- 21 -fcs невычет и — s невычет
4/zs-—Щ 4*s невычет и — s вычет".
divisor numerus
primus formae
Arts—a
4/Z5 + 9I
4ns —^

— 13 -
дем к изысканиям Лагранжа, которым сделаны весьма важные
развития в общих началах теории чисел. Сюда относятся изыскания его о
числе решений, допускаемых сравнениями с простым модулем, и
исследования свойств квадратичных форм. Мы видели, что Эйлером найден
высший предел числа решений двучленных сравнений; Лагранж доказал,
что этот же предел будет при всяком числе членов. Этим открытием
Лагранж дал возможность доказать многие предложения теории чисел,
которых доказательства прежде представляли непреодолимые
затруднения. К числу таких предложений должно отнести существование
первообразных корней для всех простых чисел; доказательство, предложенное
на это Эйлером, основывается на свойстве двучленных сравнений,
которое могло быть строго доказано только после открытия Лагранжа. Но
из всех трудов Лагранжа в теории чисел наиболее имели влияния на
успех этой науки его изыскания о квадратичных формах. Он дал общие
начала для тех изысканий, которые были сделаны Эйлером для
немногих простейших форм, и эти начала, развитые Лежандром, составили
полную теорию делителей квадратичных форм, одну из самых главных
в теории чисел и особенно важную по своим приложениям к
определению делителей данного числа.
Развитие теории квадратичных форм, сделанное Лежандром, было
следствием открытий его в теории квадратичных вычетов. Заключение,
приведенное нами выше из сочинения Эйлера „Observations circa
divisionem quadraiorum per numeros primos", содержит ту теорему,
которая ныне известна под именем закона взаимности двух простых
чисел и которой обязана своим успехом теория квадратичных
вычетов. В записках Парижской Академии Наук за 1785 год Лежандр
доказал ее на основании признаков возможности уравнения ах2 -\~ by2 = cz2,
им же открытых, и показал приложения ее к исследованию сравнений
второй степени и определению делителей квадратичных форм.
В таком состоянии находились различные части теории чисел, когда
Лежандр написал сочинение свое „Essai sur la theorie des nom-
bres", изданное после со многими прибавлениями, но без
существенных изменений в системе изложения главных частей, под названием
„Theorie des nombresa. При всем развитии отдельных частей теории-
чисел систематическое изложение этой науки представляло
непреодолимые трудности. Мы видели, что закон взаимности двух простых чисел,
служащий основанием теории квадратичных вычетов и вследствие того
необходимый для теории квадратичных форм, выведен был Лежандром
из свойств уравнений второй степени. Поэтому теория квадратичных
вычетов и форхМ могла быть изложена только после предварительного
изложения теории неопределенных уравнений второй степени, теории по
предмету своему гораздо высшей и, с своей стороны, представляющей
приложение теории квадратичных вычетов. Вследствие этого в
сочинении своем Лежандр, после предварительного изложения различных
предложений относительно чисел начинает с решения неопределенных
уравнений, и только по изложении полной теории уравнений второй степени

— 14 —
он приступает к общим свойствам чисел, где находим у него главные
предложения теории сравнений и полную теорию квадратичных вычетов
и квадратичных форм. Такой порядок в изложении главных частей
теории чисел, лишивший ее системы, оставался необходимым только до тех
пор, пока Гаусс не показал, каким образом закон взаимности двух
простых чисел может быть выведен непосредственно из рассматривания
сравнений. Так открылась возможность, не нарушая естественного
порядка в главных частях теории чисел, изложить сравнения второй
степени вместе с другими сравнениями прежде уравнений второй степени, и
потом на основании результатов теории сравнений упростить
исследование уравнений высших степеней.
Обращаемся теперь к сочинению Гаусса. Мы видели, какие
развития сделаны были в различных частях теории чисел трудами Эйлера,
Лагранжа и Лежандра. Но Гаусс в сочинении своем „Disquisitiones
arithmeticae" не пользовался изысканиями этих геометров. Он,
независимо от них, развил главные части теории чисел, обогатив ее новыми
приемами, многими открытиями и весьма важными приложениями к
решению двучленных уравнений. Но при всем достоинстве сочинения
Гаусса мы не можем не признать, что большая часть его выводов лишена
той простоты, которою отличаются приемы Эйлера* Лагранжа и
Лежандра. В этом отношении его изложение отдельных частей теории чисел,
за исключением некоторых, нельзя предпочесть изложению Лежандра.
Из этого видно, что ни сочинение Лежандра, ни сочинение Гаусса
не представляют теории чисел в том совершенном виде, в котором она
может быть изложена после развитии, сделанных в нем трудами этих
геометров, а тем более после изысканий геометров позднейших. Поэтому
в изложении теории сравнений я должен был руководствоваться не одним
Лежандром и не одним Гауссом, но вместе и Лежандром и Гауссом и
многими другими, занимавшимися этой частью теории чисел. Но, чтобы
привести в систему изыскания геометров, употреблявших приемы весьма
разнообразные, я должен был изменить большую часть их выводов.
Кроме того, для полноты системы я нашел необходимым развить некоторые
статьи. Так, в теории сравнений первой степени я рассматриваю отдельно
три случая, когда это сравнение имеет одно решение, несколько и не
имеет ни одного. Излагая свойства сравнений высших степеней,
предлагаю относительно их несколько общих теорем, кроме теоремы ЛагранЗка.
В теории квадратичных форм показываю средства узнавать, когда две
квадратичные формы делителей приводятся к одним линейным формам.
Кроме того, в сочинении моем находится три прибавления. * В первом я
излагаю распространение знакоположения Лежандра, сделанное Якоби,
и показываю приложение этого к исследованию квадратичных вычетов;
во втором я доказываю теоремы, определяющие первообразный корень
* В настоящем издании их всего два. Третьим приложением в прежних
изданиях была статья „Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной,
величины". В этом томе она помещена непосредственно за „Теорией сравнений*
(стр. 173-190). Ред.

- 15 —
некоторых чисел по их виду; в третьем я предлагаю результаты своих
изысканий относительно свойств функции, определяющей, сколько
простых чисел не превосходит данной величины.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. Теория чисел, иначе называемая трансцендентною
арифметикою, есть наука о решении неопределенных уравнений в числах целых.
Заимствуя понятия о числах из арифметики и об уравнениях из алгебры
и трансцендентного анализа, она в то же время существенно отлична от
этих наук. Она отличается от арифметики тем, что рассматривает числа
только в отношении их способности удовлетворять неопределенным
уравнениям того или другого вида и, следовательно, остается независимою
от системы нумерации, на которой основываются действия арифметики.
Она отличается от алгебры и других частей определенного анализа тем,
что, рассматривая уравнения, она ограничивается только целыми
значениями неизвестных.
Рассматривая таким образом и числа и уравнения с особенной точки
зрения, теория чисел доходит до результатов, совершенно новых и
весьма важных для арифметики и теории определенных уравнений.
Первой она облегчает выкладки, по огромности своей невыполнимые без ее
помощи; второй она открывает путь к решению вопросов, без помощи
ее не разрешимых.
Всякое уравнение, заключающее несколько переменных, подлежит
исследованию теории чисел. Но не все они одинаково доступны
исследованию и не все они имеют одинаковую важность по приложениям своим.
Теория чисел до сих пор ограничивается только рассмотрением
уравнений наиболее простых и в то же время имеющих наиболее важные
приложения. Из этих уравнений особенного внимания заслуживают те,
которые заключают одно из неизвестных в первой степени; они замечательны
как по свойствам своим, так и по приложениям к упрощению действий
арифметики и решению вопросов, касающихся определенного анализа.
Эти-то уравнения составляют предмет исследования теории сравнений.
§ 2. Прежде чем приступим к исследованию этих уравнений, мы
остановимся на свойствах чисел, известных нам частью из арифметики»
и изложим их с надлежащей подробностью.
Все числа разделяются на два рода: простые и составные. Простымс
называется такое число, которое может делиться только на 1 и самого
себя. Составным называется такое число, которое может делиться на
другое число, большее 1. Так 2,3,5,7,11 и проч. суть числа простые, а 4,6,
8,9,10 и проч. суть числа составные.
Не трудно убедиться в том, что простых чисел бесконечное
множество. В самом деле, допустивши противное и называя через N
наибольшее из простых чисел, мы должны допустить, что все числа, большие ЛГ„
суть составные и, следовательно, происходят от перемножения 2,3,5,7,
1, ..., N, взятых в некоторых степенях. Но несправедливость этого обна-

— 16 —
руживается числом 1 • 2- 3-4- 5 • • • (N—lJ-A/'-J-l, которое, очевидно,
не делится на числа 2,3,5, 7,11,..., N и, следовательно, перемножением
их степеней не может быть составлено. Итак, нельзя допустить, чтобы
простых чисел было не бесконечное множество.
Для определения всех простых чисел, меньших данного предела N,
способ самый простой состоит в том, чтобы в ряду
1,2, 3, 4,5, 6, 7, 8,9, 10,11,12,13,14,..., N— I, TV
выкидывать последовательно числа кратные 2,3,5,7,... и т. д. А это,
очевидно, может быть выполнено зачеркиванием в ряду
1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13,14,..., N— 1, N
чисел через 1, считая от 2, через 2, считая от 3, через 4, считая от 5, и,
вообще, через п—1 чисел, считая от числа /г. Таким образом, в этом
ряде исключатся все числа составные и останутся одни лишь простые
числа.
§ 3. Два или несколько чисел называются относительно простыми,
если они не имеют общего множителя. Так числа 10 и 21 суть
относительно простые. Из сказанного нами о числах относительно простых
следует, как частный случай, что если Л, будучи само по себе простым
числом, не делит В, то А и В суть числа относительно друг друга
простые. В самом деле, в этом случае числа А и В не могут иметь общим
делителем: 1) ни числа, отличного от А, ибо А, будучи простым числом,
не может делиться на другое число, 2) ни самого Л, ибо В, по
положению, на А не делится. Замечая, что если В меньше Л, то В на Л
делиться не может, мы по предыдущему заключаем, что при В меньшем Л
и Л простом числа В и А будут относительно друг друга простые. Это
свойство чисел может быть выражено так: всякое число, меньшее
данного простого числа, есть относительно его простое число. Так 2,
3,4,5,6,7,8,9,10 суть простые относительно 11.
Отсюда не трудно вывести такое заключение:
Два числа, не равные между собою и сами по себе простые, суть
относительно друг друга простые.
§ 4. Мы теперь займемся изложением свойств чисел относительно
простых.
Теорема 1. Если А и В суть числа простые относительно S,
то и произведение их АВ есть число простое относительно S.
Доказательство. Для доказательства этой теоремы ищем
общего наибольшего делителя чисел А и S. Для этого, как известно из
арифметики, должны Л делить на S, полученным при этом остатком
должны делить S, новым остатком делить первый остаток и т. д.
Последний остаток будет 1, ибо Л и S, как числа относительно простые,
общего делителя иметь не могут. Если же мы изобразим через q> qv
#2,. . ., qn частные, получаемые при этих делениях, а через г, rv r2,. . .,
гл-2> гл-1» гп остатки, то, приравнивая делимое произведению делителя
на частное, сложенному с остатком, и замечая, что последний остаток гп
равен 1, получаем такие уравнения:

— 17 —
A = Sq + r, S = rql+rl9 r=rxq2 + r2, ..., гя_2 = гп_гдя + 1,
которые, по умножению на В, дадут
AB = BSq + Br, BS=Brqi+Bru
Вг=Вг^, + Вгъ ..., Brn_2 = Brn^qn + B. (i)
Первое из этих уравнений показывает, что общий делитель АВ и 5
будет делить Вг, второе, — что этот делитель будет делить Brv третье,—
что он будет делить £г2, и т. д., наконец, последнее, — что общий
делитель АВ и 5 будет делить В. Но В и S, по положению, не имеют
общего делителя, следовательно, не имеют его АВ и 5, что и следовало
доказать.
Распространяя эту теорему на несколько простых чисел
относительно S0, Su 52, ...,мы убеждаемся, что числа ABCD-- и 505,52-• • суть
относительно друг друга простые, если Л, В, С, D, ... все суть числа
простые относительно каждого из чисел 50, Su S2, ...
Теорема 2. Если S, будучи простым числом относительно А,
делит произведение АВ, то оно делит и В.
Доказательство. Для доказательства этой теоремы мы выводим
уравнения (1) и из этих уравнений замечаем, что делимость АВ на 5
предполагает делимость на 5 чисел Вг, Вгг, Вг2> ... и, наконец,
делимость В, что и следовало доказать.
Теорема 3. Если из двух чисел А и В, простых между собою,
каждое делит S, то и произведение их АВ делит S.
Доказательство. Называя через L частное от деления 5 на Л,
мы для определения величины S будем иметь
S=AL,
откуда следует делимость AL на В, ибо, по положению, S делится на В.
Но, по предыдущей теореме, делимость AL на В, где В число простое
с Л, предполагает делимость L на В. Называя же через М число,
получаемое при этом делении, мы будем иметь
L = BM,
вследствие чего предыдущее уравнение даст
S=ABM,
откуда ясно видна делимость S на АВ, что и следовало доказать.
Распространяя эту теорему на несколько чисел, мы заключаем, что *S
делится на ABCD---, если оно делится на каждое из чисел Л, В, С,
£>, ... и числа Л, В, С, Л, ..., простые между собою.
§ 5. Мы приступим теперь к рассмотрению свойств чисел,
обнаруживающихся при их разложении на простые множители.
Известно из арифметики, что всякое число может быть разложено
на произведение простых чисел. Означая через а, [5, у» ... различные
простые числа, входящие в состав /V, и через т, п, р, ... степени их,
мы будем иметь
2 Чебышев, том I

— 18 —
Из этого уравнения, на основании теоремы 1, мы заключаем, что N
есть простое число относительно всех чисел, простых сами по себе и
отличных от а, р, у, ... В самом деле, по § 3 всякое простое число,
отличное от а, р, у, ••-»будет также простым относительно а, р, у, ...,
и, следовательно, относительно него будет простым числом произведение
атрЛур... Отсюда мы можем заключить вообще, что всякое число не
может делиться на простое число, в состав его не входящее. Что же
касается делимости N, которое мы предположили равным а^у^---, на
степени чисел а, р, у, ..., в состав его входящих, то также не трудно
убедиться, что оно не может делиться на ат' при т'^>т, на рл' при
п! ^> п и т. д. В самом деле, так как N=am$aYp- • -, то частное от
деления N на ат' представится дробью
—-—Ц , или -*—- ,
что при т'^>т не может быть числом целым, ибо а, будучи числом
простым, отличным от р, у,..., по замеченному нами, делить рлур--- не
может. Итак, N может делиться только на степени а, р, у, ..., не
превосходящие /я, л, р, ..., и, следовательно,'число N может делиться
только на числа, в состав которых входят одни простые числа а, р, у,...
и в степенях, не превосходящих т, п, р, ... Таким образом, доходим
мы до следующей теоремы:
Теорема 4. Число N может делиться на число Р только
в том случае, когда все простые множители числа Р входят в
состав N, и в N степени их не ниже, чем в Р.
На основании этой теоремы не трудно доказать следующую:
Теорема 5. Для числа N возможно одно только разложение
на простые множители.
Доказательство. В самом деле, если мы допустим для числа N
два разложения на простые множители, так:
N= ат^Р • • •, N— a™' Pf yf•••,
то, деля эти уравнения одно на другое, найдем
а
«ft*T/>... «r'pf'tf'
1 х —1
Первое из этих уравнений, по предыдущей теореме, предполагает,
что все числа а19 ф19 yi,... находятся в ряде чисел а, Р, у,..., а
второе— обратно, что все числа а, р, у, ... находятся в ряде щ, (51э у1? ...,
откуда следует, что числа а, р, у, ... и аи р^Ур ... суть одни и те же.
Принимая же а = аг, $ = $и y = Yi> • > мы> по предыдущей теореме, из
уравнения
ат рД тр.
1
имеем
тТ не >/л, п' не >л, р' не у>р,
Подобным образом уравнение
gl Pi Г1 _ 1

— 19 —
предполагает
т не >/и\ п не > д', р не ^>р\ ...
Из,соединения же этих неравенств с предыдущими находим
т = т\ п = п\ р=р',...
Итак, рассматриваемые нами два разложения числа N не разнятся
между собою ни простыми числами, ни степенями их, откуда и следует
предложенная нами теорема.
§ 6. Разложением чисел на простые множители легко доказать
следующие теоремы:
Теорема 6. Если N делит квадрат числа М и не может
делиться на квадрат какого-либо числа, то N делит также М.
Доказательство. Разложением числа N на простые множители
мы находим
Но так как Л/, по положению, не может делиться на квадрат какого-
либо числа, то здесь показатели т, п, р, ... не могут превосходить 1,
ибо в противном случае при т не <]2 число N, очевидно, делилось бы
на а2, при /г не <12 оно делилось бы на (52, и т. д. Следовательно, в
предыдущем уравнении все показатели т, п, р, ... равны 1; а потом
где а, р, у, — простые числа, различные между собою. Убедясь в этом,
разлагаем М на простые множители; это дает нам
M=af£fyf'.-., (2)
где аи §и Yi> ——различные простые числа. Из этого уравнения мы
выводим
и, замечая, что, по положению, М2 делится на N, где Л/Г=ару---, мы,
по теореме 4, заключаем, что в ряде а{, р1э ур ... заключаются все
числа а, [$, у, ... и что степени их в составе М2 не суть 0.
Следовательно, все числа а, (5, у,... входят в состав М и, следовательно, М
делится на а, (5, у,... и вместе с тем (см. теорему 3) делится и на
произведение их, равное N, что и следовало доказать.
Так, замечая, что 15 не может делиться на квадрат какого-либо
числа и что оно делит 452, равное 2025, мы заключаем, что 15 будет
также делить 45.
Теорема 7. Корень Л-й степени числа N только в том случае
есть число целое, когда степени простых множителей его суть
числа кратные h.
Доказательство. Разложением числа Nn корня его h-й степени
на простые множители находим

— 20 —
Первое из этих уравнений и второе, по возведении его в степень А,
дают следующие два разложения числа N на простые множители:
N= ат^Р • • •, N= a\m* Pf' f/ • • •
Но, по теореме 5, эти разложения должны быть тождественны. Л
потому числа а, р, у, ... должны быть равны числам av рр ft ... и
числа т, п, р, ... должны иметь равные в ряде Am', hn\ hp\ ...;
последнее ясно обнаруживает, что т, п> р> ... суть числа кратные А, в чем
и заключается предложенная теорема.
Так, находя число 576 равным 26-32 и замечая, что здесь показатели
6 и 2 имеют общим делителем только 2, мы заключаем, что из всех
корней числа 576 только корень квадратный имеет значение целое.
Теорема 8. Если N разложением на простые множители
приводится к аотРлу^--«, то сумма различных делителей N есть
аот+1--1 р**1-! T^+1-i
а—1 * р—1 ' Т—1 "У
а число их есть (яг-{-*1)(#-4- 1)(/>4-1)*# •
Доказательство. По теореме 4 число N, как равное ат^р
может делиться только на числа, равные ат'Рл'ур'- •-, где /га'<;т, п'^п,
р' <р, ... Поэтому все делители числа TV определятся значениями
произведения ат'РЛ'ур' , соответствующими
т' = 0, 1, 2, ..., т— 1, т
п' = 0, 1, 2, ..., п— 1, пу
р' = 0, 1, 2, ...,/?—!,/?,
и следовательно, найдутся в ряде членов, получаемых перемножением
выражений
А потому сумма делителей числа N определится произведением
(а° + а + аЧ И"""1 + ^)(р° + Р + РЧ ЬР'^ + РО
которое равно
am+1 —1 ря+1~-1 тР+1 — 1
а—1 [П=1 ^=1 *
ибо
оя+1 «
т°4-т-ЬтМ И^ + т'^-у^г1.

— 21 —
Число же делителей N определится числом членов произведения
(а° + а-Ьа2-^ j-a^-f а")(р°4- £ + РЧ f-^-i^-^)
или, что одно и то же, значением этого выражения при а=1, [5=1,
у=Ь ••- Следовательно, число делителей N есть
(/и+1)(л + 1)(р + 1) ...
Так, для числа 72, равного 28-32, сумма делителей определится вы-
ражением • , что равняется 195, а число делителей 72 будет
(3+ 1)-(2 + 1), или 12. В справедливости этих заключений мы
убеждаемся, заметив, что делители 72 суть
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72,
которых сумма равна 195, а число их 12.
Теорема 9. Если N разложением на простые множите.ш
приводится к ат$пчр- • •, где по крайней мере одно из чисел т, п,р,...
есть нечетное, то для числа N возможно ~{т-\- 1)(п-\-\)(р-\-\)- • •
различных разложений на два множителя.
Если же все показатели т, п, р,... числа четные, то для А
возможно -^(m + l) (л + 1)(/*+ 1) Ьтг таках разложений.
Доказательство. В первом случае по теореме 7 нет числа,
которого бы квадрат равнялся N, а потому число N не может
разлагаться на произведение двух множителей, равных между собою, и,
следовательно, всякое разложение числа N на два множителя определит
два делителя его. Откуда ясно, что число разложений N на два
множителя равно половине числа его делителей и, следовательно, по
предыдущей теореме оно равно
Во втором случае — в случае т, п, р, ... четных — в числе
разложений N на два множителя будет, между прочим, такое, в котором оба
множителя равны и которым, следовательно, определится один делитель
числа N] затем все остальные разложения, как и в первом случае, дадут
по два делителя. Итак, называя через К искомое число разложений N
на два множителя, мы найдем 1 -\-2(К—1) для числа делителей N. Но
по предыдущей теореме число делителей N есть (т -f-1) (п -}-1) {р +1)- • •
Следовательно,
1 + 2(/С-1) = (т + 1)(л+1)(р + 1)---,
откуда для величины К находим

— 22 —
что и следовало доказать.
Так, для числа 72, равного 23-32, число разложений на два
множителя должно быть ~-(3-f 1)(2 + 1), или 6. Действительно находим мы,
что для 72 возможны только следующие 6 разложений на два
множителя:
1-72, 2-36, 3-24, 4-18, 6-12, 8-9.
Для числа же 36, равного 22-32, число различных разложений на
два множителя будет -I (2 -f- 1) (2 + 1) + \ > или 5. Действительно, для 36
возможны только следующие разложения на два множителя:
1-36, 2-18, 3-12, 4-9, 6-6.
§ 7. Прежде чем пойдем далее, мы докажем относительно делимости
чисел, составляющих арифметическую прогрессию, следующую теорему
которая нам будет нужна теперь и впоследствии.
Теорема 10. Если разность прогрессии есть число простое
с р, а число членов равно тр, то в такой прогрессии число членов,
делящихся на р, есть т.
Доказательство. Пусть будет рассматриваемая прогрессия
a, a-\-d, a + 2d, ..., a-\-(mp — 2)d, a-\-(mp—l)d,
где d — число простое с р. Этот ряд членов разбивается на т
следующих:
a, a-\-d, a-\-2d, ..., а-\-(р—l)d, \
a-\-pd, a-\-pd-\-d> a-\-pd-\-2d, ..., a-\-pd-\-{p—I) d, 1
a-\~npd> a-\-npd-\-d, a-\-npd-\~2d, ..., a-\-npd-\-(p—\)d> [ (3)
a-\-(m—l)pdy a + (tf*—l)pd-\-d, а-\-{т—l)pd-\-2d, ... J
..., a4*(mp — \)d J
и не трудно убедиться, что каждый из этих рядов заключает один член,
делящийся на р. Для обнаружения этого рассмотрим ряд
a-\-npdy a-\-npd-\-d, a-{-npd-\-2dy ..., a-f-npd-{-(p—l)d.
В нем не может быть двух членов, которые бы при делении на р дали
остатки равные, ибо разность таких двух членов делилась бы на ру а
в невозможности этого мы убеждаемся, заметив, что разность каких-
либо двух членов этого ряда приводится к произведению d9 числа,
простого с р, на число </?, что по теореме 2 на р делиться не может. Но
если остатки от деления
a + npd, a + npd-\-d, a + npd-{-2d, ..., a + npd+(p—l)d
на р все различны между собою и, следовательно, в числе их не может
быть более одного равного нулю, то, с другой стороны, один из них
необхдоимо будет нулем, ибо, предполагая противное и замечая, что

— 23 —
кроме нуля относительно остатков от деления чисел на р можно сделать
только р — 1 предположений
1, 2, 3, ,.., р — 1,
мы должны были бы допустить, что в числе р остатков от деления
a-\-npd% a + npd-\-d, a-\-npd-\-2d9 ..., a-\-npd-\-(p— \)d
есть два по крайней мере равные, что по доказанному нами невозможно.
Убедясь таким образом, что в ряде
a-^npdy a-±-npd-{-d, a-\-npd-\-2d, ..., a-\-npd-\-(p— l)d
и, следовательно, в каждом из (3) число членов, делящихся на р, есть 1,
мы заключаем, что во всех т рядах (3) число членов, делящихся на р,
есть т. Но совокупность всех этих рядов, как видели, составляет
рассматриваемую нами прогрессию
a, a-{-d> a-\~2d, ..., а + [тр — 2) d, а-\- (тр — 1) d,
откуда и следует предложенная нами теорема.
Из этой теоремы не трудно вывести следующую:
Теорема 11. Если а число простое салю по себе и А
простое с а, то в ряду 1, 2, 3, ..., a AN—1, a AN число членов,
простых с А, к числу членов, простых с А и а, относится как а к а — 1.
Доказательство. В арифметике доказано, что общий
наибольший делитель чисел X я А есть также общий наибольший делитель числа А
и остатка от деления X на А. Отсюда следует, что если X и А не
имеют общего делителя, то и остаток от деления X на А будет число,
простое с Л, и, обратно, если остаток от деления X на А есть число,
простое с А, то X также число простое с Л. Но так как остаток от
деления на А будет всегда менее Л, то при X простом с Л остаток
от деления X на Л будет всегда одно из чисел, меньших Л и простых
с А. Пусть же
а', а", а", ...,а<я>
будут числа простые с Л и меньшие Л; не трудно определить вид
числа X, для которого остаток от деления на Л был бы равен одному
из чисел а, а", а'", ..., а<й). Так, чтобы найти Х> которое при делении
на Л дает остаток а', пусть будет т! частное от деления X на Л;
приравнивая делимое произведению делителя на частное, сложенному с
остатком, мы находим для выражения X следующую формулу:
Х=а' + т'А.
Также находим следующие формулы для чисел, которых остатки от
деления на Л суть а', а", а'", ..., а<й):
Х = а' + т'А, Z = a4m4... X=a.W+mWA.

— 24 —
Итак, все числа, которые при делении на Л дают остатки, равные
а', а", а'", ..., а<л) и, следовательно, по замеченному нами, суть числа
простые с А, выразятся таким образом:
Х = а' + т'А9 Х = а" + т"А, X = а" + т"А, ..., ЛГ = а<л>+ /я<л>Л.
Так выражаются все числа простые с Л. На основании этих формул
легко доказать предложенную нами теорему.
С этой целью мы определяем по этим формулам все числа простые
с Л и меньшие aAN, давая в них буквам т\ т"> т"\ ..., т^п)
значения 0, 1, 2, 3, и т. д. до тех пор, пока числа, определяемые этими
формулами, не будут более aAN
Так, находим, что все числа простые с Л и меньшие aAN суть
а', а' + Л, а'-f 2Л, ..., a'-\-(aN— I)A,
а", а"+Л, а" + 2Л, ...,a' + {aN—l)A,
а'", а'"-\-А, а'" + 2Л, ..,у a,n + (aN— 1) Л,
а<*>, а<") + Л, а<я> + 2Л, ..., а^ + {aN~ 1) Л,
и всех их, как не трудно заметить, счетом есть aNn,
Теперь не трудно показать число простых чисел с Л и а и в то же
время меньших aAN. Для этого стоит только в найденных нами числах
простых с Л выкинуть числа, кратные а, ибо а — число само по себе
простое и, следовательно, по § 3, все числа, не делящиеся на него, будут
простые с ним. Но, по предыдущей теореме, в ряду
а', а' + Л, а' + 2Л, а' + ЗЛ, ..., а + (аЛГ—1) Л
число членов, делящихся на а, есть 7V; следовательно, простых с а здесь
aN—Ny или (а—1)ЛЛ То же замечаем о прочих рядах
а", а" +Л, а" + 2Л, ..., a" + (aN— 1) Л,
а'", а'" + Л, а"' + 2Л, ..., а'" + (аМ— 1) Л,
а(«), а<я> + Л, а<я>-|-2Л, ..., aW + (aN— 1)Л,
откуда следует, что чисел меньших аЛЛ/" и простых с А и а будет
(а—l)Nn. Но это число к числу всех чисел меньших aAN и простых
с Л, которое, как видели, есть aNn, относится, как а—1 к а, что и
следовало доказать.
На основании теорем, изложенных нами, не трудно будет доказать
следующую теорему:
Теорема 12. Если N разложением на простые множители
приводится к ат$пчр- * •ттг, то число чисел простых cNи меньших N
есть а«РТ- ..*". — . -Ц^ • ^- • -^ -
Доказательство. На основании предыдущих теорем не трудно
показать, сколько чисел простых с а, р, у> • • •> те в РЯДУ
1,2,3, . ..,а/7г^---тгг.

— 25 —
Для этого мы пишем этот ряд в виде арифметической прогрессии с
разностью, равной 1, таким образом:
1, 1 + 1, 1+2-1, ..., l+ia-ajn-^Y'-rt— 1).
На основании теоремы 10 мы заключаем, что здесь членов,
делящихся на а, есть а*-1^' - -тгг; затем остальные, числом а1М^...ттг—
a™-ij5*ТР.. .пгу или дт^р.. в1Гг. ^zi # будут простые с а (См# § з). Итак,
в ряду
1,2,3,..., а^йу77- - •'п:'"
число членов простых с а есть amP/2y^---Trr.-^-L
Отсюда, по теореме 11, мы заключаем, что число членов простых
сайр или, что одно и то же, простых с произведением ар, есть
1 R * 1
аюрлу*.. в7Ег. _ —. далее) по той же теореме, зная, что число
членов в ряду
1,2, 3, ..., я«рлу/?-"тгГ
простых с ар есть а^р^ • •-тт'—-—?-г—, мы находим, что здесь число
членов простых с ару есть
am$nYf>- - -тг' ^=-1 • -£+i . XzzlI и т. д.
Наконец, найдем таким образом, что число членов простых с ару- • -несть
г » а ? Т я
Так определяется число чисел, простых с ару---тт и меньших
с/тп^п^р.. .тг^. Но это все равно, как бы мы рассматривали числа, простые
с N или атряу/7- • -irr, ибо все числа, простые относительно ат$пур- • -тгг,
суть простые относительно ару-*- и обратно. В этом мы убеждаемся
тем, что относительно атрлур- • -ттг, так же как относительно аРу---тг,
всякое число будет простое, если в составе его нет а, р, у, ... тг; в
противном же случае оно не будет простым ни относительно атрлу^-•-ттг, ни
относительно ару-•-тт.
Итак,
есть число членов в ряду
1,2,3, ...,awp^---Tc^,
простых с ат$пчр- • -7ir, что и следовало доказать.
Так, для определения, сколько чисел простых с 36 и меньших 36,
мы разлагаем 36 на простые множители. Находя, что 36 равно 22-32,
мы, по доказанной нами теореме, заключаем, что всех чисел простых

— 26 —
с 36 и меньших 36 есть 22-32^Ц^-^Цр, или 12. Действительно, между
всеми числами от 1 до 36 мы находим 12 чисел
1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35
простых с 36; все же прочие
2,3,4,6,8,9, 10, 12,14, 15, 16, 18,
20, 2J, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34
суть не простые с 36.
Этим мы оканчиваем изложение свойств чисел, необходимых нам
впоследствии, и переходим к исследованию сравнений.
ГЛАВА I
О СРАВНЕНИЯХ ВООБЩЕ
§ 8. Теория сравнений имеет предметом исследование
неопределенных уравнений, в которые одна из неизвестных входит в первой степени.
Общий вид этих уравнений есть
F(x,y, z, ...) = ^ + 5,
где F— данная функция, А и В— известные числа. Так как эти
уравнения очень часто употребляются, то для них введено особенное знако-
положение. Не трудно заметить, что при неопределенном значении числа и
уравнение
F(х,у, z, ...) = Аи-{-В,
приводясь к равенству
F(x,y,z,...)-B
А ~11'
есть не что иное, как выражение делимости разности
F(x9y,z, ...) — £
на А. А потому мы можем представить это уравнение так:
F(x,y, zy ...) = В (мод. А)у
означая вообще знаком ^, поставленным между двумя числами,
делимость разности их на третье число, которое со словом „мод/ поставляем
в скобках.
Так, для означения, что разность 17—5 делится на 3, будем писать
17 = 5 (мод. 3).
Выражения вида
M = N(uor. A)

— 27 -
известны под названием сравнений, числа М и N называются сравнимыми
по модулю Л, число А — модулем сравнения. Сравниваемые числа М> N
могут иметь значения и положительные и отрицательные; во всяком
случае выражение
M = N(mo&. А)
будет означать делимость алгебраической разности М — N на А. Число
же А, модуль сравнения, мы будем всегда предполагать числом
положительным.
Заметим, что по сказанному нами знакоположению будет всегда
М = г (мод. Л),
если г есть остаток от деления М на Л, ибо, называя через q частное
при делении М на Л и приравнивая делимое произведению делителя на
частное, сложенному с остатком, найдем
М t=. Aq -f- П
откуда ясно, что разность Миг делится на Л.
Не трудно убедиться в обратном, что если при М и г
положительных число г меньше Л и сравнимо с М по модулю Л, то г есть остаток
от деления М на Л, ибо из сравнения М^г(мод. Л) выходит —т-*= <7;
откуда Л1 = Л^ + г, а это уравнение при г<1Л и г^О обнаруживает
в г остаток от деления М на Л.
Из того, что делимое сравнимо с остатком, если делитель принят за
модуль, как частный случай, мы выводим, что если /И делится на Л без
остатка, то
М = 0(мод. Л).
На основании этого мы будем говорить часто, что число сравнимо
с 0 по модулю Л, вместо того, чтобы говорить, что оно делится на Л.
§ 9. Из понятия, составленного нами о сравнениях, не трудно
обнаружить в них следующие свойства:
1) Два числа, сравнимые с одним и тем же числом по какому-
либо модулю, сравнимы и между собой по тому же модулю.
В самом деле, если M = N(uo&. Л), Л1' = М(мод. Л), то и М = М'
[моя. Л), ибо сравнения Af = N(moa. Л), ЛГ = М(мод. А) предполагают,
что Л делит разности М — N, М' — N и, следовательно, делит разность
^тих разностей. Но эта последняя разность есть М — Мг и делимость ее
на Л выражается сравнением М = М'(мод. Л).
2) В сравнениях, подобно уравнениям, члены могут быть
переносимы из одной части в другую.
Так если Л4 + ЛГееА^мод. Л), то М = N— Mf (мод. Л). В самом
деле, сравнение Л4 + Л1' = М(мод. Л) вьфажает делимость М-\-М* — N
на А; но М-\-М'— N равно М — (N — ЛГ); делимость же этого на Л
выражается сравнением M = N—М' (мод. Л).

— 28 —
3) Два или несколько сравнений с одним и тем же модулем
могут быть почленно складываемы и вычитаемы.
Так, если МеееЫ(мод. Л), М'==Ы' (мод. Л), то М±М'=N±N' (мод. А).
В этом не трудно убедиться, заметив, что сравнения Л4 = А^(мод. Л),
Mr = N' (мод. А) предполагают делимость разностей М — N, М' — N' на А.
Откуда следует делимость на А числа, равного М — N±(M'—ЛЛ), или
MAzlW — (N±N'); а это выражается сравнением M±M' = N-^zN'
(мод. Л), что и следовало доказать. От соединения двух сравнений не
трудно перейти к соединению трех, четырех и т. д.
4) Члены сравнения могут быть умножены на одно число.
Так, если M = N (мод. А), то kM^^kN(мод. А). В самом деле, по
предыдущему свойству, сложивши почленно k одинаковых сравнений
Me^N (мод. Л), найдем кМЕвкЫ(мод. А). Так докажется возможность
умножать члены сравнения на всякое целое, положительное число. Что
же касается умножения на число отрицательное, то мы замечаем, что
если 1гМ = Ш(мод* А), то также — kM~ —АЛ/Хмод. Л), ибо первое
сравнение предполагает делимость числа kM— kN на Л, а это число с
знаком (—) будет —kM~\-kN> и делимость его на Л выражается
сравнением — Шее— Ш(мод. А).
5) Два или несколько сравнений с одним и тем же модулем
могут быть почленно перемножены.
Не трудно убедиться, что если МееЛ^мод. Л) и М' — N'(мод. А\
то ММ' еее NN' (мод. Л). В самом деле, сравнения M=zN, M'= N' (мод. А)
выражают делимость чисел М — N, М' — TV' на Л. Называя же через
q, q' частные, получаемые при этих делениях, находим
М — n M' — N'
—7Г = Я, —4—=?'
откуда выходит
M = Aq + Ny M' = Aqr + Nf.
Эти уравнения по перемножении дают
ММ' = Aiqq' + a (qNf + q'N) + NN\
что обнаруживает делимость MM' — NN' на Л и, следовательно,
сравнение MM'eezNN'(мод. Л).
Если мы перемножим таким образом сравнения MelzN, ЛГ ee/V'(мод. Л)
между собою, произведение их перемножим с М" eez N" (мод. А) и т. д.,
то мы дойдем до сравнения ММ'М"- - -eezNN'N"- • • (мод. Л).
Предполагая же здесь М = М' = М"= ..., N=N' = N"= ... и называя
через k число равных чисел Му М', М'\ ..., N, N'y N\ ..., найдем
Af* ее TV* (мод. Л). На основании этого легко доказать следующее
предложение:
6) Значения целой функции с целыми коэффициентами от двух
чисел, сравнимых по какому-нибудь модулю, сравнимы по тому же
модулю.
Так, если М~Ы(мод. Л), fx—axm~{-bxm-l-{-cxm-2-\ , где а,

— 29 —
*, с, ... —числа целые, то f(M) =f(N)(мод. А). В самом деле, из срав
нения M = N(moji.. Л), по доказанному нами сейчас, выходит
Mm = Nm, Mm~^~Nm~\ Mm-* = Nm-*y ...(мод. Л);
умножая эти сравнения на а,Ъусу ..., выводим
aMm==aNmy bMm-1 = bNm-\ cMm~* = cNm~2... (мод. Л).
Эти же сравнения, будучи сложены почленно, дают
аМт + ЬМт'1 + сМт~2^ ^aNm + bNm-1 + cNm-*-| (мод. Л),
где, заменяя
аМт-\-ЬМт~1 + сМт~2-\ ,
aNm-\-bNm-1 + cNm-24-' -'
через ДМ), f(N), имеем /(Ж)=/(Лг)(мод. Л), что и следовало доказать.
7) Члены сравнения могут быть сокращены на их общего
множителя, если этот множитель число простое с модулем.
Так, если kM = kN(uon. Л), где k — число простое с Л, то
M^N(uoj\. Л). В самом деле, сравнение kM езШ(моя^ А) предполагает
делимость kM— kN, или k(M — N) на Л. Но при k простом с Л по
теореме 2 это предполагает делимость М — N на Л, а это выражается
сравнением Л1 = М(мод. Л).
8) Если одна часть сравнения и модуль делятся на какое-нибудь
число, то на то же число должна делиться и другая часть
сравнения; иначе сравнение невозможно.
Так, если M^kN{uojx. kA\ то М делится на k. В самом деле, это
сравнение предполагает, что разность М— kN делится на kA. Называя
M — kN ~
же через q частное от этого деления, имеем —^— = q. Откуда
выходит M = k(N-\-Aq), что обнаруживает делимость М на k.
9) Общий множитель членов сравнения и модуля может быть
сокращен.
Так, если kM = kN(MO&. kA), то М= N(uo&. Л). В самом деле,
сравнение kM = kN(uoA. kA) предполагает делимость kM — kN на kA]
но —~— приводится к ~ ; делимость же М — N на Л выражается
сравнением M~N(мод. Л).
Ю) Дяа числа, сравнимые по двум или нескольким модулям
простым между собою, сравнимы и по произведению их.
Так, если УИ = М(мод.Л), М = N (мод. Л'), где Л, Л' — числа
простые между собою, то iW = Af(MOA. АА'). В самом деле, сравнения
Л1 = М(мод. Л), Л4 = М(мод. Л') предполагают делимость М — TV на Л
и Л'. Но при А и А' простых между собою эта делимость (теорема 3)
предполагает делимость М — N на произведение АА\ что выражается
сравнением М =eN(mor. AA'). На основании этого, имея несколько
сравнений M = N (мол. Л), Л* ==М(мод. Л ), M=~N{MOb. Л"), ..., где все числа
АУ А, А", ... суть простые относительно друг друга, мы из соединения
двух первых находим М = ЛГ(мод. АА'); соединяя же это сравнение

— 30 -
с М = Л^(мод. Л"), получаем M = N{mojx.AA'A") и так далее, в чем и
заключается предложенная нами теорема.
И) Не нарушая сравнения, модуль может быть заменен числом,
на которое он делится.
Так, если Ме=Л^(мод. ДА'), то МеееЛ/^мод. А). В самом деле,
умножая члены этого сравнения на А\ найдем А'М еэ Л'Л^(мод. АА ).
Но по замеченному нами свойству сравнений (см. свойство 9), общий
множитель членов сравнения и модуля может быть сокращен. Сокращая
же в сравнении ArM — Л'Л/^мод. АА'), множитель А', находим Meet А'
(мод. А), что и следовало доказать.
Вот главные свойства сравнений двух чисел между собою; эти
свойства послужат нам для решения сравнений, заключающих одно или
несколько неизвестных. К этому мы теперь и приступим.
§ 10. Мы видели, что в сравнении члены могут быть переносимы
из одной части в другую. Предполагая же все члены перенесенными
в одну часть сравнения, мы приведем его к виду
f{x,y,z, ...) = 0(мод.р),
где/—какая-нибудь функция, р — данное число, принимаемое за модуль,
х, j/, z, ...— числа неизвестные.
Исследования наши мы начнем с простейших сравнений, с сравнений,
заключающих одно неизвестное, и сначала рассмотрим тот случай, когда
функция, входящая в сравнение, есть целая с целыми коэффициентами.
Ограничиваясь сравнениями этого вида, мы докажем для них
следующую теорему:
Теорема 13. Если сравнению /х = 0(мод. р) удовлетворяет
х = а, то ему удовлетворяют и все числа, сравнимые с а по
модулю р. *
Доказательство. В самом деле, по свойствам сравнений,
замеченных нами в предыдущем параграфе (см. там свойство 6), из
сравнения Х = а(мод. р) выходит /# =/а (мод. р). Но а, по положению,
удовлетворяет сравнению /лг = 0(мод. р), следовательно, fa = 0 (мод. р)у
а в этом случае, по свойству 1 предыдущего параграфа, из сравнения
fX=fa (мод. р) выходит /Лг^0(мод. р), что и следовало доказать.
§ 11. Мы видели, что если а есть число, удовлетворяющее
сравнению /л: = 0 (мод. /?), то ему удовлетворяют и все числа, сравнимые с а
по модулю р. Посмотрим теперь, какие же числа будут сравнимы с а по
модулю р. Для этого мы припомним, что числа, сравнимые между собою
по модулю р, суть те, которых разность делится на р без остатка;
поэтому X будет числом, сравнимым с а по модулю /?, если разность их
делится на р. Называя же частное от деления а — X на р через N, мы
найдем а~~ =N, откуда Х=а—pN. Вот общая формула всех чисел,
* Здесь и везде впоследствии под знаками fx, Fx, Флг,... мы будем разуметь
целы© функции с целыми коэффициентами.

— 31 -
сравнимых с а по модулю р. Давая здесь числу N различные величины,
как положительные, так и отрицательные, мы найдем бесконечное
множество чисел, сравнимых с а по модулю р. Но из всех чисел, сравнимых
с а по модулю /?, особенного внимания заслуживают два числа: 1) число
положительное, наименьшее из всех чисел, сравнимых с а по модулю р;
оно известно под названием наименьшего положительного вычета
числа а по модулю р\ 2) число отрицательное, которого численная
величина менее численной величины всех отрицательных чисел, сравнимых
с а по модулю р; такое число известно под названием наименьшего
отрицательного вычета числа а по модулю р. Кроме того, мы будем
отличать особенным именем абсолютно малого вычета числа а по
модулю р тот из наименьших вычетов, положительный или
отрицательный, который имеет наименьшую численную величину. В случае равенства
численных величин наименьшего положительного вычета числа а по
модулю р и наименьшего отрицательного вычета его мы за абсолютно малый
вычет числа а по модулю р можем без различия принимать тот или
другой из наименьших вычетов, и мы будем говорить, что в этом случае
абсолютно малый вычет числа а по модулю р имеет две величины.
По формуле Х = а — Л/р, определяющей все числа, сравнимые с а
по модулю /?, не трудно найти и наименьший положительный вычет а
по модулю р и наименьший отрицательный вычет его. Для этого мы
уравнение Х=а — Np пишем так: Х=р Г— — ЛП, откуда видно, что
наименьшая численная величина X соответствует значениям N, наиближе
подходящим к —, притом видно также, что X будет иметь значение
положительное или отрицательное, смотря по тому, будет ли N менее
или более, чем —.
р
Итак, наименьший положительный вычет числа а по хмодулю р
определится по формуле а — Np, когда за N мы возьмем число, наиближе
подходящее к —, но не превосходящее —; такое число, очевидно, при
а положительном мы найдем в частном, деля а на р и пренебрегая
остатком. Откуда ясно, что наименьший положительный вычет по
модулю р числа положительного мы найдем в остатке от деления его на р.
Так, для определения наименьшего положительного вычета 23 по
модулю 7, мы будем иметь формулу 23 — 77V, где за N должны будем
взять целое число, получаемое при делении 23 на 7. Выполняя это
деление, находим, что здесь N=3. Делая N=3 в формуле 23 — IN,
находим, что 2 есть наименьший положительный вычет 23 по модулю 7.
Также для наименьшего положительного вычета —2 по модулю 5
находим формулу — 2 — BN, где за N должны взять число, наиближе
подходящее к -=-, но не превосходящее-^-. Такое число есть — 1;
следовательно, искомый вычет есть —2-f-5 = 3.
Не трудно убедиться, что всегда наименьший положительный вычет а
по модулю р меньше р. Это следует из сказанного, нами об определении

— 32 —
его. Мы видели, что он определяется формулой a — Np, где N tcrb целое
число, наиближе подходящее к —; а потому-^- — N< 1 и, следовательно,
a-pN=p(±-N)<p.
Для определения наименьшего отрицательного вычета числа а по
"модулю р мы должны в формуле а—pN, или р [~j — Nj9 принять за W
число, которое бы было больше — и наиближе подходило к —; такое
число при а положительном, очевидно, мы получим, если, деля а на рщ
дробь частного заменим единицей. Так, наименьший отрицательный
вычет числа 23 по модулю 7 определится формулой 23 — 77V, где за N
23 2 9
должны взять частное у = 3 + у, заменив единицей дробь у; это даст
нам 7V=4, и по формуле 23 — IN находим, что наименьший
отрицательный вычет числа 23 по модулю 7 есть 23 — 7-4, или —5.
Определивши наименьший положительный вычет и наименьший
отрицательный, мы легко узнаем тот из них, который должен быть принят
за абсолютно малый вычет. Но его также можно определить
непосредственно на основании формулы а — Np, или р( — — Ам. Для этого стоит
только выбрать значение N так, чтобы — — 7V имело наименьшую
численную величину; такое значение N мы, очевидно, найдем, определяя
частное — и откидывая в нем дробную часть, когда она меньше ~> или
заменяя ее единицей, если она более -г. Если же дробная часть — не
z г р
больше -j и не меньше у, то мы ее по произволу можем или откинуть,
или заменить единицей; в том и другом случае численная величина — — N
будет равна —. Так, для определения абсолютно малого вычета 23 по
модулю 7 мы должны в формуле 23 — 7N принять за N частное у = 3+ 4,
2
откинувши дробь у. Это дает нам ЛГ=3, и, следовательно, искомый
абсолютно малый вычет будет 23 — 7-3 = 2.
Напротив, при определении абсолютно малого вычета 25 по модулю 7
мы возьмем в формуле 25— 7N за N частное у = 3+4, заменив
единицей дробь у. Это даст нам N=4, и для величины искомого вычета
найдем 25 — 7-4 = — 3.
Из сказанного нами следует, что при определении абсолютно малого
вычета по формуле а — Np мы за N принимаем число, которого
разность с — будет иметь численную величину не более у. А потому
абсолютно малый вычет числа а по модулю р, определяясь формулой а — Np,
или/>Гр—AMi будет иметь численную величину, не превосходящую у .

— 33 -
§ 12. Рассмотревши числа, сравнимые с а по модулю р, обращаемся
к решению сравнения /л; = 0(мод. р).
Мы видели, что если этому сравнению удовлетворяет а, то ему
удовлетворяет и всякое число X, для которого имеет место сравнение
Х=а(мо&.р). Этих чисел бесконечное множество; но все они, сравнимые
с одним и тем же числом а и, следовательно, между собою по модулю р,
принимаются за одно решение сравнения /л; = 0(мод. р). Поэтому мы
будем говорить, что сравнение /* ее 0 (мод. р) имеет одно только решение,
если ему удовлетворяют только числа, для которых д; = #(мод. р); мы
будем говорить, что сравнение fx = 0 (мод, р) имеет два решения, если
ому, кроме чисел, определяемых сравнением
х = а (мод. р),
удовлетворяют другие, получаемые из сравнения
х = аг (мод. р),
где а не =аг(мод. р). И вообще мы будем говорить, что сравнение
/лг = 0(мод. р) имеет п решений, если ему удовлетворяют только числа,
определяемые сравнениями
х = а, х = а1У х = а2, ..., х = аа_г (мод. р),
где а, ах> а2, ...,ая_1 суть числа, не сравнимые между собою по
модулю р. На основании этого мы докажем следующую теорему:
Теорема Л4. Сравнение /х = 0(мод.р) имеет столько решений^
сколько чисел в ряду О, 1, 2, ...,р—1 ему удовлетворяет и если
эти числа суть аг, а2, а3, ..., аа, то х = аи х = а2, х^о^, ..., х = ая
(мод. р) суть решения сравнения /х = 0(мод. р).
Доказательство. В § ДО видели, что если ар а2, а3, ...,аЛ
удовлетворяют сравнению /лг = 0(мод. р), то ему удовлетворяют и все числа,
определяемые сравнениями
х = av х = а2, х = а3, ..., л; = ал (мод. р).
Но не трудно доказать, с одной стороны, что, кроме этих чисел, нет
ни одного, удовлетворяющего сравнению /л; = 0(мод. р), а с другой, что
числа аи а2, а3> •••» аЛ не сравнимы между собою по модулю р; откуда
по сказанному нами о числе решений сравнения /лг = 0(мод. р) и будет
следовать предложенная теорема.
Для доказательства первого предположим, что какое-либо число А
удовлетворяет сравнению fx = 0 (мод. р), не удовлетворяя ни одному из
следующих:
х^аг> х = а2, д; = <2з, ..., лг = ал(мод.р).
Если А удовлетворяет сравнению /* = 0(мод. р), то по § 10, будет
удовлетворять ему и всякое число, сравнимое с ним по модулю р, и,
следовательно, наименьший положительный вычет его.
3 Чебышев, том I

— 34 —
Называя этот вычет через а, мы будем иметь
Л = а, Да) = 0 (мод./?) (4)
и а, как наименьший положительный вычет А по модулю /?, будет
заключаться в ряду 0, 1, 2, ...,/7—1. Но если а заключается в этом ряду
и удовлетворяет сравнению /х=0(мод. /?), то а есть одно из чисел а^
а2, а8, ..., ая, ибо, по положению, аг, а2, а3, ..., ап суть единственные числа
ряда 0,1,2, ...,/?—1, удовлетворяющие сравнению /* = 0(мод. р). Но
это невозможно, ибо, по (4), А удовлетворяет сравнению *Е=а(мод. р),
между тем как, по положению, оно не удовлетворяет ни одному из
сравнений
x=^av х^а2, ... , лг==ая(мод. р).
Переходим теперь к доказательству, что числа av a2, ..., ап не
сравнимы между собою по модулю р. Для этого допустим противное:
пусть будет а1^а2(мод. р). Из этого сравнения следует делимость
ах — а2 на /?, что невозможно, ибо av а2— числа положительные и каждое
из них меньше р, вследствие чего разность их будет иметь численную
величину меньше р и, следовательно, не делимую на р.
Так убеждаемся мы в справедливости теоремы, нами предложенной»
Чтобы показать приложение этой теоремы, возьмем сравнение
х*— х—1—0 (мод. 5). Внося сюда, вместо ху числа 0,1,2,3,4, мы
убеждаемся, что только 2 удовлетворяет рассматриваемому сравнению.
Откуда заключаем, что это сравнение имеет одно решение л: = 2 (мод. 5).
Таким же образом для сравнения х2 — 3 = 0(мод. 11) находим два
решения: .г = 5, л;еее6(мод. 11); рассматривая же сравнение х2 —11=0
(мод. 3), убеждаемся, что оно не имеет ни одного решения.
ГЛАВА II
О СРАВНЕНИИ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
§ 13. Общий вид сравнений первой степени есть
ах — & = 0 (мод. р),
где a, b — какие-нибудь числа, положительные или отрицательные, и
р — число положительное. Сравнения этого вида представляют два
случая, существенно отличные один от другого; их мы рассмотрим отдельно.
Первый случай—это, когда а и р числа относительно друг друга простые;
второй, когда они имеют общего множителя. Мы начнем с первого
случая, а и р простых между собой, и докажем следующую теорему:
Теорема 15. Сравнение ах — Ь^0(мод. р) при а простом с р
имеет всегда одно решение.
Доказательство. Из доказанного нами в § 12 о числе решений
ср авнения /* = 0 (мод. р) следует, что ср авнение ах — b = 0 (мод. р)
имеет столько решений, сколько находится в ряде 0,1,2, ...,/?—1 чисел,

— 35 —
ему удовлетворяющих, или, что одно и то же, сколько в ряде а-0 — bf
аЛ—Ъъ a-2 — b, ..., a(p—l) — b чисел, делящихся на р. Но как эта
числа составляют арифметическую прогрессию, которой разность есть а,
число простое с р по положению, число же членов равно /?, то, по тео-
[еме 10, здесь будет один член, делящийся на р. Следовательно, в
сделанном нами предположении сравнение ах — 6 = 0 (мод. р) имеет одно
решение, что и следовало доказать.
Убедившись таким образом, что в рассматриваемом нами случае
сравнение ах — 6 = 0 (мод. р) имеет одно решение, мы покажем теперь,
как найдется оно. В настоящее время известно несколько способов
решать сравнение ах — 6 = 0 (мод. р); замечательнейшие из них мы
предложим впоследствии, говоря о свойствах чисел, на которых они
основываются. Здесь же заметим, что сравнение ах — 6 = 0(мод. р) может быть
решено по способу, предлагаемому в алгебре для решения
неопределенного уравнения ах—pz — b> от которого сравнение ах — 6 = 0 (мод. р)
отличается только знакоположением. Действительно, сравнение ах — 6 = 0
(мод. р) есть не что иное, как выражение делимости ах — Ъ на /?, что
^ ax — b A
может быть представлено уравнением = zf предполагая Z
произвольным целым числом, откуда для определения х и z получаем
уравнение ах—pz — b.
Итак, решением уравнения ах—pz = b определятся значения
^удовлетворяющие сравнению ах — 6 = 0 (мод. р). Эти значения ху ка#
известно, выражаются так: х=а-\-пр, где а — одна из величин дг,
способная удовлетворить уравнению ах—pz = b9 п — число произвольное.
По принятому нами знакоположению мы, вместо того, чтобы писать
х — а-\-пру предполагая п произвольным числом, можем написать
л; = а (мод. р) и в этом виде мы будем всегда представлять решение
сравнения ах — 6=0 (мод. /?).
Например, имея для решения сравнение 7х — 3 = 0(мод- 10), мы
возьмем уравнение 7х—102 = 3. Решая это уравнение, мы найдем для
значения х и z такие выражения х = 9-{- Ю/z, z = 6-f*7/z, откуда для
решения сравнения 7х — 3 = 0 (мод. Ю) получаем
х = 9 (мод. 10).
§ 14. На основании доказанных нами теорем относительно сравнений
вообще и в особенности относительно сравнений вида ах—6 = 0(мод./;)
могут быть доказаны две любопытные теоремы относительно чисел,
которые послужат нам также для решения сравнений первой степени.
Этими-то свойствами чисел мы теперь и займемся.
Теорема 16. Если р число простое и не делит а, то
аР~1 = \(мод.р).
Доказательство. Пусть будут rv r2> rv ..., rp_t наименьшие
положительные вычеты чисел 1а, 2а, За* ..., (/?—1)а по модулю/?; они
будут удовлетворять сравнениям ^
1а = гр 2а = г2, За = г3, ..., (р— 1)а = гр-1 (мод./?). (5)
3*

— 36 -
Перемножая эти сравнения между собою, мы найдем
1.2-3. - •(/>— 1)а*-1 = г,г2га. • -гр-1 (мод. р). (б)
Но не трудно убедиться, что произведения
1.2-3-••(/>— 1), rs^.'-r^
равны между собою.
Для этого мы замечаем, что rv г2, г3, ..., г г> как наименьшие
положительные вычеты чисел 1а, 2<2, За, ...(/>—1)а по модулю /?, могут
иметь только значения
0,1,2,...,/?— 1.
Притом ни одно из них не может быть нулем; ибо в противном
случае сравнение (6) предполагало бы делимость
1-2-3--- (jef—l)^-1
на р, между тем как 1,2,3, ...,/?—1 и а числа простые с /?.
Итак, числа rlf г2, г3, ..., г х могут иметь только значения
1,2, 3, .. .,/?— 1.
Но между числами rv r2, г3, ..., г г не может быть двух имеющих
одну и ту же величину; ибо, предполагая rm — r^—b, мы, по (5), имели бы
та = b, ]ia = £ (мод. /7),
где /я и |х — два числа из ряда 1,2, 3, ...,/?—1, и, следовательно, для
сравнения ах = Ь{мод. р) нашли бы два решения
х = ту х = ц (мод. /?),
что невозможно.
Отсюда следует, что в состав ряда
rv г2» гз» • • •> r^-i
могут входить только числа
1,2,3, ...,/7—1
и каждое только по одному разу.
Но так как в рядах
Г1> Г2> Г3> " # •' Гр-1»
1, 2, 3, ..., р— 1
одинаковое число членов, то в первый должны входить все вторые,
следовательно, эти ряды составлены из одних и тех же чисел и притом
взятых по одному разу; а потому произведение членов первого ряда
равно произведению членов второго. Убедясь в этом, мы можем в (6)
заменить произведение rtr2rz- *-rp_x произведением 1-2-3- • •(/> — 1).

37 -
Таким образом, находим
Ь2-3...(/>— 1)аР-1 = 1.2-3-••(/>— 1)(мод./?).
Но члены этого сравнения могут быть сокращены на 2, 3, ...,/*— 1,
ибо все эти числа, будучи меньше /?, будут относительно его простые.
Выполнив же эти сокращения, найдем
ар-г = 1 (мод# р^
что и следовало доказать.
Так, для /? = 7, а—2 будет 27-1 = 1 (мод. 7), в справедливо:ти чего
мы убеждаемся, заметив, что 26 равно 64 и 64=1 (мод. 7).
Эта теорема есть одна из замечательнейших в теории чисел и имеет
весьма важные приложения. Она открыта Форматом; но предложена им
была без доказательства. Первый, успевший ее доказать, был Эйлер;
он же дал следующую теорему, более общ>ю.
Теорема 17. Если п означает, сколько чисел простых с N и
меньших N и а число простое с N, то ап=Е\ (мод. N).
Доказательство. Называя через Nv N2i ..., Nn числа простые
с Л/ и меньшие Лг, через г,, г2, ..., гп наименьшие положительные вычеты
чисел aN]y aN,y ..., aNn по модулю Ny имеем
aNx = rx, aN2 = r2, ..., aNn = rn (мод. jV), (7?
что по перемножении дает
NtNt • • • Nnaa = r,r2r2...гп (мод. N). (8)
Но не трудно убедиться, что произведения
Л^Л^-А^, г1гг---гп
равны.
Так как rv r2, ..., га суть наименьшие положительные вычеты чисел
aNu aN2, ..., aNn по модулю N, то они могут иметь только значения
0,1,2, ...,7V— 1
и из этих значений для rv r2, г3, ..., гп возможны только те, которые
не имеют общего множителя с Ny ибо сравнение (8), которого первая
часть состоит из произведения простых чисел с N, предполагает, что
N и rv г2, г3, ..., гп не имеют общего делителя.
Отсюда следует, что для г1У и, г8, ..., гп возможны только значения
NVNV...,NU.
Притом между числами rv г2, г3,..., гп не может быть двух равных
между собою, ибо при равенстве rm = r[k=^b мы, по (7), имели бы
aNp = b, aNm = b (мод. N),

— 38 —
где mf )i — два каких-нибудь числа из ряда 1,2, ...,/?—1» и,
следовательно, для сравнения ах = Ъ (мод. TV) мы нашли бы два решения, что
невозможно.
Отсюда следует, что в состав ряда
**1> ^2» ^"з» • # •> Tfi
входят одни лишь числа
Nv N2, ...,Nn
и каждое только по одному разу. Но так как в этих рядах одинаковое число
членов, то в первый должны войти все числа второго, и, следовательно,
эти ряды составлены из одних и тех же чисел, притом взятых по одному
разу, а потому произведение чисел первого ряда равно произведению
чисел второго.
Убедясь в этом, мы можем з (8) произведение ггг2---га заменить
произведением NXN2• • • Nn. Таким образом, находим
N,N2- • -Nnaa=zN.xN2- • -Л/;(мод. N).
Но здесь члены сравнения могут быть сокращены на общих множителей
Nf N2, ...,Л/д, ибо числа эти суть простые с N. Выполнив же эти
сокращения, найдем
ал=1 (мод. N),
что и следовало доказать.
Так, если N=20, а = 3, то, по теореме 12, для величины п,
означающей, сколько простых чисел с 20 и меньших 20, находим 8, и по
доказанной нами теореме будет 38 = 1 (мод. 20). В справедливости этого
сравнения мы убеждаемся, находя, что 38 = 6561 и 6561 = 1 (мод. 20).
§ 15. На основании этих теорем не трудно найти решение сравнения
ах — £™0(мод.р)> где а попрежнему предполагаем простым с р.
Начнем с частного случая р простого. Так как а по положению число
простое с р и р само по себе простое, то а не делится на р (§ 3), и по
теореме 16, которую везде впоследствии будем употреблять под именем
теоремы Фермата, будет иметь место сравнение ар~1 = 1 (мод. /?), что
по умножении на Ъ может быть так представлено:
а-£а^-2Е= 0 (мод.;?).
Сличая же это сравнение с данным для решения ах — & = 0(мод./?),
мы замечаем, что последнему удовлетворяет х = Ьар"2; а потому
решение его представится формулой
х^=Ьа?-2 (мод. р).
Так определяются решения сравнения
ха — й==0(мод.р)
при р простом и не делящем а.

— 39 —
Например, для решения сравнения Зх — 8 = 0 (мод. 5) найдем
хее8.35-2(мод. 5),
или
* ЕЕ 216 (МОД. 5).
Это решение сравнения Зл; — 8 = 0(мод.5) мы можем представить
проще, заменяя 216 его наименьшим положительным вычетом по модулю 5«
Так находим
л:—1 (мод. 5)
для решения сравнения Зх — 8 = 0 (мод. 5).
Переходим теперь к решениям сравнений, которых модуль число
составное. Пусть дано будет сравнение ах — £ = 0(мод. N), где
N—какое-нибудь число, число же а, как предполагали, простое с N. По
теореме Эйлера (теорема 17), мы будем иметь
ап :== 1 (мод. N),
означая через п, сколько чисел меньших N и простых с N.
Это сравнение по умножении на Ъ может быть так представлено:
а~Ъап~х — & = 0(мод. N).
Сличая это сравнение с данным для решения ах — й = 0(мод. N),
находим, что ему удовлетворяет
х = Ъап~х (мод. N).
Что касается значения пу определяющего, сколько чисел простых
с N я меньших TV, то, по теореме 12, мы его легко? найдем. На основании
этой теоремы мы находим, что п равно
«.^,...^.1=1.1=1...,
если N разложением на простые множители приводится к ат$пчр-*-
Таким образом, мы убеждаемся, что вообще решение сравнения
ах — Ь = 0 (мод. amPeYp---)»
где a, [J, у, ... различные простые числа, определяется следующей
формулой:
втз»тР...—.bl.tZ.1...-!
x = ba a e i (мод. а™$*чр-' ')•
Так, для решения сравнения 2х — 7 = 0(мод. 15), где 15 = 3-5,
находим
;с = 7-2 '6 5 (мод. 15),
или
х=896 (мод. 15).

— 40 —
Заменяя же здесь 896 наименьшим положительным вычетом по модулю 15,
мы это сравнение представим так:
л;=е 11 (мод. 15).
Этим мы оканчиваем исследования сравнений первой степени, в
которых модуль и коэффициент неизвестного суть числа относительно друг
друга простые, и переходим к тому случаю, когда эти числа имеют
общего множителя.
§ 16. По свойству сравнений, показанному нами в § 10, сравнение
ах^Ь (моя. р) невозможно, если аир имеют общего множителя,
который не делит Ъ. Откуда следует такая теорема:
Теорема 18. Сравнение ах — b = 0 (мод. р) не имеет решения*
если общие множители а и р не делят Ь.
Так убеждаемся, что сравнения 20х—7==0(мод. 15), 6х—5=0 (мод. 9)
не имеют решения.
Обращаемся теперь к сравнениям вида ах — Ь = 0 (мод. р), когда
общие множители аир делят Ь. Для этих сравнений докажется
следующая теорема:
Теорема 19. Если аир имеют общим наибольшим делителем
d, и d делит Ь, то сравнение ах—Ь = 0(мод. р) имеет d решений,
которые могут бить так представлены:
х=а, х = а-\-^-, х = а + Ц-, ..., х=а-\- {d^)p (мод./7),
где а есть число <С~г и не <С0> удовлетворяющее сравнению
Доказательство. Если d есть общий наибольший делитель
числа а и р и на него делится Ь, то сравнение
ах — Ъ = 0 (мод. р\
но сокращении его членов и модуля на d, будет
а р Ъ
где "j",'^,"5—числа целые; притом, как не трудно уоедиться, числа
-j-. у- будут простые относительно друг друга, ибо в противном случае
d не было бы общим наибольшим делителем аир. Но при —у ~Pj
простых между собою, как видели, сравнение
т*~ f-о («».*)
имеет всегда решение, которое по приемам, показанным нами, легко
найдется. Пусть же будет а число, заключающееся в ряду 0, 1,2, .. .,^ 1
и удовлетворяющее сравнению
£*-т = °(мод- £):

— 41 -
все числа, удовлетворяющие этому сравнению, найдутся из следующего
.х==аГмод. —\
Эти же числа будут удовлетворять и сравнению
ах — £ = 0 (мод. р)>
которое от
тх-т=°{мол-т)
отличается только множителем d, общим модулю и членам сравнения.
Итак, все числа, удовлетворяющие сравнению
ах — £ = 0(мод. р),
определяются так:
x = a(uojx. ~-J.
На основании этого не трудно показать, сколько в ряду
0,1,2, ...,/? — 1
чисел, удовлетворяющих сравнению ах — # = 0(мод. р), чем и
определится число решений этого сравнения. Для этого мы находим общую
формулу чисел, удовлетворяющих сравнению
д; = аГмод. •—).
По сказанному нами в § 11 находим, что формула, определяющая
эти числа, есть
а
Но эта формула, где, как видели, а не <^0 и <С4> дает для х
значения, не выходящие из пределов 0 и ;—1 только при N—Q, —lr
— 2, ..., — (d — 2), — (d — 1), поэтому в ряду 0, 1, 2, . ..,/7—1 числа,
удовлетворяющие сравнению .х=а(мод. ^-J и, следовательно,
сравнению ах — 6=^0 (мод. р), суть
\ Р I 2/> ,3/7 , [d— \)р
А так как их числом dt то, по теореме 14, сравнение ах — 6 = 0 (мод. р)
имеет d решений, которые суть
лее а, х = а + £, х = а + Цу ..., х=а+ {d~~d )/?(мод. р)>.
откуда и следует предложенная теорема.
Так, сравнение 15* — 9 = 0 (мод. 12), в котором коэффициент при х

— 42 —
и модуль имеют общим наибольшим делителем 3 и член, не
содержащий х, делится на 3, имеет три решения. Чтобы найти их, мы
сокращаем в данном сравнении и члены и модуль на 3; таким образом
получаем сравнение
Ъх — 3 = 0 (мод. 4).
На основании сказанного нами в предыдущем параграфе мы
находим, что решение его есть
* = 3-52 "з (мод. 4),
или
хез 15 (мод. 4).
Заменяя здесь 15 его наименьшим положительным вычетом по
модулю 4, находим
л = 3(мод. 4).
Отсюда для решения предложенного сравнения получаем
х==3, х — 7, х=11(мод. 12).
ГЛАВА III
О СРАВНЕНИЯХ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ВООБЩЕ
§ 17. В этой статье мы ограничимся рассмотрением сравнений с
простыми модулями. Поэтому общий вид сравнений, которыми будем
заниматься, представится так
Ахт-\-Вхт-г + Схт-2-1 1-Их + 5= 0(мод. р),
где р — простое число, Л, В, С, ..., Н, S—какие-нибудь числа. Прежде
чем приступим к исследованию их решений, заметим, что в них
коэффициент высшей степени х может быть сделан единицей. В самом деле,
в сравнении
Ахт-\- Ях^ + Ос'*-2-! |-Я.х; + 5=0(мод. р)
может быть откинут всякий член, которого коэффициент делится на р.
Так, если С делится на р, то по нашему знакоположению будет
С = 0(мод. /?),
•что по умножении на хт~г дает
Ост-2 = 0(мод. р).
Вычитая же это сравнение из
Ахт~\-Вхт~1 + Схт-*-\ \-Нх + 5=0(мод. р),
мы освободим последнее от члена Cxm~2. To же может быть сделано

— 43 —
со всяким другим членом, если коэффициент его делится на р.
Предположим теперь, что сравнение
Ахт + Вхт-* + Схт~2-] 1-//л+ 5=0 (мод. р)
освобождено от членов, которых коэффициенты делятся на /?, и Ахт
есть член с высшей степенью х. В этом случае А, не будучи кратным /?,
будет простое относительно его; а потому найдется число а, для
которого будет
Аа — 1 = 0(мод. р).
Умножая это сравнение последовательно на
Вхт~\ Схт'2, ..., Hxt S,
найдем
ABax"*-1 — Я*"*-1 = 0 (мод. р)9
АСахт-2 — Схт-2 = 0(тц. р)у
АНах— Я->с = 0(мод. р),
ASa—6*=0 (мод. р).
Эти сравнения, по сложении с рассматриваемым нами
Ахт-\-Вхт-1-\-Схт~2-\ \-Нх + 5= 0(мод. р),
дают
Ахт + АВах"1-1 -f АСахт-2 -\ \- AHax + ASa = 0 (мод. р).
Но так как А число простое с р, то это сравнение может быть
сокращено на А, вследствие чего оно приведется к следующему:
xm + Baxm-1^Caxm'2^-^^Hax^Sa^0(uoA. p),
где коэффициент высшей степени х есть 1, что и следовало сделать.
Так для преобразования сравнения 2лг34-3*-|-7 = 0(мод. И) в
другое, в котором коэффициент высшей степени х был бы равен
единице, мы должны найти число а, для которого 2а—1=0(мод. 11).
Такое число есть 6. После того мы к данному сравнению должны
приложить следующие:
2-3-бх — 3лг = 0(мод. И),
2-7-6 —7 = 0 (мод. 11).
Сложивши эти сравнения с
2*3 + 3* + 7 = 0(мод. и)
и сделав приведение, находим
2лг3+2-3-6лг-}-2-6-7 = 0(мод. 11),
откуда, по сокращении на 2, получаем сравнение
*« +18*+ 42 = 0 (мод. И),
где коэффициент высшей степени х есть 1.

— 44 —
§ 18. Относительно сравнений высших степеней докажется
следующая теорема:
Теорема 20. При р простом сравнение
хт-{-Вхт-*-{-Схт-2-] |-#;t+S= Q(мод. р)
не может иметь более т решений.
Доказательство. Для доказательства этой теоремы мы
замечаем, что, по § 13, ока справедлива для т=1, т. е. для сравнений
первой степени. Чтобы доказать справедливость ее для всякой другой
степени, докажем, что она должна быть справедлива для сравнений
степени /л, если справедлива она для сравнений степени т—1.
Чтобы убедиться в этом, мы допустим противное; допустим, что
сравнение
хт + Вхт~1 + Схт-2 Н h Их + 5= 0 (мод. р)
имеет более т решений, между тем как сравнение такого же вида
степени т — 1 более т — 1 решений иметь не может, и докажем
несообразность этого.
Мы видели, что число решений всякого сравнения с модулем р
определяется числом чисел в ряде
О, 1, 2, ..., р—и
удовлетворяющих сравнению. Поэтому сравнение
хт-\-Вхт-г-{-Схт-*-\ f~Их + 5= 0 (мод. р)
может иметь более т решений только в том случае, когда ему
удовлетворяет т -f-1 чисел из ряда
О, 1, 2, ..., р — 1.
Пусть эти числа будут
а, аг, а2, ..., ат.
Возьмем одно из них, например а, и разностью х — а будем делить
хт + Вхт"1^-Схп"2-] \-Hx + S;
частное, очевидно, будет вида
хв-^ + В^-ъ + СгХ"-*-] f-tf^ + S,;
в остатке будет некоторое число R. Приравнивая делимое произведению
делителя на частное, сложенному с остатком, найдем

— 45 —
Вследствие чего сравнение
хт + Вхт"1^-Схгп'^ \-Нх +S=e 0 (мод. р)
представится так:
(* — ^(x—i + B^^ + C^-H Ь #,* + $,) + #== 0 (мод. р).
Делая здесь х—а, где а, по положению, есть одно из чисел,
удовлетворяющих рассматриваемому нами сравнению, найдем
/? = 0(мод. р)\
вычитая же это сравнение из предыдущего, получаем
(х — аН^^ + Я^^ + С^-Ч h Z/^+SjJs 0 (мод. /?). (9)
Вот к какому виду приводится рассматриваемое нами сравнение.
Посмотрим теперь, могут ли eiviy удовлетворять все т-\-\ чисел
а, а1? а2, ..., ат>
если сравнение
*m-l^£i;cm-2_^CiX*-8^ ^ WjX + Sx = О (МОД. /?)
степени т—1 не имеет более т—1 решений. Если это сравнение не
имеет более т—1 решений, то все т чисел
взятые нами из ряда 0, 1, 2, ..., р — 1, не могут ему удовлетворять.
Пусть будет ах то число, которое ему не удовлетворяет; в этом случае
а--1 + Вга?~* +С,а^ +• • -+Нгах + Sv
не будучи сравнимо с нулем по модулю р, представит число, не
делящееся на р и, следовательно, простое с /?, ибо р число само по себе
простое. То же имеет место относительно разности аг — а, ибо числа ах
и а, будучи не более р—1 и не менее 0, в разности не могут дать
число, делящееся на р.
Итак числа
аг-а, а^ + Я^Г' + ^ГЧ Ь^Л + й
простые относительно р\ следовательно, простое число относительно р
и произведение их
(а1-о)(а*-» + В1а«-* + С1а«-з+---+«101 + 5,),
откуда, в противность допущенного нами, следует, что х=а1 не
удовлетворяет сравнению (9). Следовательно, сделанное нами допущение
невозможно, что и следовало доказать.

— 46 —
На основании этой теоремы можно доказать следующую более
общую теорему:
Теорема 21. Если в сравнении
Ахт-^Вхт^-\-Схт"2-\ |-Я*+ 5 = 0 (мод. p)
не все коэффициенты делятся на р, то оно более т решений иметь
не может.
Доказательство. Мы видели в § 17, что в сравнении
Ахт"\-Вхт"1 + Схт^-\ 1~ Их + 5~ 0 (мод. р)
могут быть опущены все члены, которых коэффициенты делятся на р.
Таким опущением членов сравнение
Ахт-\-Вхт-1-\-Схт~*~\ 1-Я*+ 5=^0(мод. р)
приведется к тождеству
0 = 0 (мод. /?),
если все коэффициенты Л, В, С, ..., Я, S суть кратные р.
В противном случае сравнение
Axn + Bx^ + Cx"1-*^ ^//*+5=0(мод. р)
приведется к другому, которого коэффициенты не будут делиться на р.
Делая в этом сравнении, по § 17, коэффициент высшей степени равным
единице, мы, по предыдущей теореме, заключим, что оно не имеет
более решений, чем находится единиц в показателе его степени, а
следовательно, не имеет более т решений, ибо, очевидно, сравнение,
получаемое из
Axm + Bxm"1 + Cxm-2^ [-rt*+ Seee 0 (мод. р)
опущением каких бы то ни было членов, не может быть степени более ш,
откуда и следует предложенная нами теорема.
§ 19. На основании этой теоремы могут быть доказаны многие
любопытные свойства чисел.
Так можяо доказать следующую теорему:
Теорема 22. Коэффициенты всех степеней х в разложении
выражения
(x—l)(x — 2){x — 3)---{x—p + l) — xP~1 + l
делятся на р, если р число простое.
Доказательство Выражение
(*_1)(*_2)(*_3)-Ч*--р4-1)
обращается в нуль при х=1, 2, 3, ...,/?—1. Следовательно, все эти
величины х удовлетворяют сравнению
{х— 1)(х — 2)(х — 3)...(л—/>+!)== 0(мод. р).

- 47 —
По теоре*ме же Фермата эти числа удовлетворяют сравнению
*/>-i—lEEi0(мод. р).
Вычитая это сравнение из предыдущего, мы находим такое
сравнение
(х—1){х — 2)(х — 3)---(х—р+1)—хР-* + 1=0{тл. р),
которому также будут удовлетворять числа 1,2,3, ...,/? — 1, ибо оно
получено из сравнений, которым числа 1,2,3, . ..,р—1 удовлетворяют.
Если же сравнению
{х— Г) (х — 2) {х — 3)- • \х—р + 1) — хр~1 + 1=0 (мод. р)
удовлетворяют числа 1, 2, 3, ..., р— 1, то оно имеет р— 1 решений
лг=1, * = 2, # = 3, ..., хгзр— 1(мод. /?).
А это, по предыдущей теореме, не иначе может иметь место, как-
при делимости на р всех коэффициентов в сравнении
(х— \){х~2)(х — 3)...(д: — /7+1) — л*-1+1=0(мод. р),
ибо это сравнение, как не трудно заметить, степени р — 2, откуда и
следует предложенная нами теорема.
Посмотрим теперь, к каким сравнениям приводит нас эта теорема.
Для этого мы замечаем, что выражение
(х— 1)(х — 2)(х — 3)---(х—Р+-1) — хр-*-\-1,
по выполнении умножений и приведении членов, будет
— (1+2 + 3-1 \-р— 1)^-2 + (Ь2 + ЬЗ + 2-3 + -.-)^"3 —
— (Ь2-3 + 2-3-4 + ---)*р~Ч |_(_1)р-ч.2.3-.-(/? — 1)+1;
следовательно, по доказанной нами теореме, числа
1 + 2-1 \-p-L
1-2 + 1-3 + 2-3 + ---,
1-2-3 + 2-3-4 + -..,
(_l)p-il.2.3...(p~l) + l
будут кратные р, что по нашему знакоположению представится такими
сравнениями
1+2 + ЗЦ \-р — 1 = 0 (мод. р),
1-2-(-1-3 + 2-34-" = 0(мод. р),
1-2-3 + 2-3-4 + --- = 0(мод. р),
(—1)р-Ч-2-3--ЧР — 1) +1 = 0(мод. р).

— 48 -
Вот сравнения, которые будут иметь место для всякого простого
числа р. Так, для /? = 5 будет
1-f 2 + 3 + 4 = 0(мод. 5),
1-2 +1-3+1-4 +2-3 + 2-4 + 3-4 = 0(мод. 5),
1-2-3 +2-3-4+ 1-2-4+ 1-3-4== 0(мод. 5),
1-2-3-4+1=0(мод. 5).
Особенно замечательно здесь сравнение
(— I)'-11 -2-3- • .(р — 1)+ 1 = 0(мод. /?),
которое приводит нас к следующей теореме, известной под названием
теоремы Вильсона.
Теорема 23. Если р число простое, то 1-2-3---(у?—1)+1=0
(мод. р).
Доказательство. Число р может быть или 2 или более 2; в
-последнем случае оно, как простое, будет всегда нечетное. Но сравнение
(— I)'-11-2-3- ••(/>— 1)+ 1 = 0(мод. р),
справедливое для всякого простого числа р> при р нечетном дает
1-2-3---(р — 1)+1=0(мод. р).
Это же сравнение имеет место и при /> = 2, ибо для этой
величины р оно приводится к следующему:
1 + 1== 0 (мод. 2),
что справедливо. Так убеждаемся в предложенной нами теореме.
Не трудно доказать, что, вообще, если т чисел аи а2, а3, ...,<zm,
которые меньше р и не менее 0, удовлетворяют сравнению
Ахт-\~Вхт~1-\-Схт-*-\ 1-^д: + ЖЕ-0(мод. /?),
то
— Л(ах + а2 + а8-1 \-ат) = В(мод. р),
А(ага^ + аха3 + а2а3 -[ )==С(мод. р),
(—1)Л"М(а1а2---ат.1 + а2а8--.а1Я + ...)==1(мод. р),
(— 1)тАага2аъ--.ат = М(тд. р).
В самом деле, числа а,, а2, <з8, ..., ат обращают в нуль выражение
А{х — аг){х — а2)(х — ав)-• •(* —aj.
Следовательно, эти числа удовлетворяют сравнению
А(х — аг){х — а2)--.(х — ат) = 0(мод. р).
Но те же числа, по положению, удовлетворяют сравнению
Ax"~\-Bxm~i + Cxm-* + .-. + Lx + M~Q(uoz. р),

— 49 —
а потому удовлетворяют они и сравнению
А(х~а1){х — а2)(х — а.,)'"{х — ат) —
— Ахт — Вхт-1 — Схт~* Lx — Ж = 0 (мод. /?),
получаемому в разности предыдущих сравнений. Но если этому
сравнению удовлетворяют т чисел ах, а2, а8, ..., ат, взятых нами из ряда
О, 1, 2, 3, ...,/?— 1,то оно имеет т решений; степень же его меньше тУ
ибо в выражении
А(х — а1)(х—а2)(х—ав)--(х—ат) —
— Axm — Bxm"1 — Cxrrl-'2 Lx — M
член с х™ сокращается. Вследствие этого, по теореме 21, мы заключаем,
что в сравнении
А(х — а1)(х—а2)(х — ав)'-(х—ат) —
— Ахт — Вхт"1 — Cx"1-* Lx — М = 0 (мод. р)
коэффициенты всех степеней отделятся на/?. Но в этом сравнении
коэффициенты при л^*-1, хт~2, ..., х, х° суть
— А(аг-\- а2-\- аь-\ \-аа) — #>
А (аха2-\- а{аг-\- а2а.г-] ) — С,
(— 1)т~[ А (аха2" -^^ + а2а3- • -"„Н ) — ^
(— 1)тАага2ав---ат — М.
Следовательно, по принятому нами знакоположению будет
— А (аг + я2 + а* Н Ь я J — # = 0 (мод. р)у
А {ага2 + #i<z3 4" #2#з+• • •) — С = О (мод. /7),
{—l)p-lA(ala2---am_1 + a2ab'--am+-.-) — L = Q(mji. /?),
(—1)л Ааха2аг --ат — М = 0 (мод. /?),
откуда и выходят сравнения
— Л^ + Яо + ЯзН |-ат) = 5(мод. />)>
Л(а1а2 + а1А84-а2Л3+в-в) = с(м0Д- Р)>
(_ !)«-i Л (alfla. • .-ат_г + а2ав- • -а„-|- .-)==£ (мод. />),
(—1)тЛа1а2а3--а;и = ЛГ(мод. /?),
которые мы имели в виду доказать.
Так, из сравнения
*3 + 2*2-f* — 4 = 0(мод. 11),
которому удовлетворяют числа 1, 3, 5, мы найдем
— (1+3 + 5) = 2(мод. 11),
1-3 + 1'5 + 3-5==1(мод. И),
— ЬЗ-5 = —4(мод. 11).
4 Чебышев, том I

— 50 —
§ 20. Мы доказали, что сравнение
хт-\~Вхт-^Схт-2-\ }-Hx+J~0(mo&. p)
не может иметь более т решений. Теперь посмотрим, при каких
условиях его сравнение имеет не менее т решений. При этом мы будем
всегда предполагать т не более р—1. Покажем же предварительно,
что сравнение
xn + Bx^ + Cx™-2-] |-1л; + Л4е=0(мод. р)
может быть всегда приведено к этому виду.
Теорема 24. Если р число простое, то сравнение
хт + Вхт~1-{-Схт~2-\ [-Lx + M = Q{moa. p)
может быть заменено сравнением степени р—1
A^xP^ + B^P-i + C^P-*^ \-Ьгх + М^ = 0(мод. р),
где полином А1хР~1-{-ВгхР~2-{-С1хР-*-\ \~Lxx-\-Mx есть остаток
от деления
xm + Bxm~l-\-Cxm~*-{-...-\-Lx + M
на хр — х.
Доказательство. Делим полином
xm-\-Bxm"l-^rCxm"2^ \-Lx-{-M
на хр — х; частное и остаток будут функции целые с целыми
коэффициентами, притом степень остатка будет меньше степени делителя
хр — ху следовательно не более р—1. Пусть же частное этого деления
будет Фх и
А^р^ + В^р^ + С^хр-*-] Ki* + Mi
остаток; приравнивая делимое произведению делителя на частное,
сложенному с остатком, найдем
хт-\~Вхт-1АгСхГ1-2'\ f-Zje-fiW =
= Фх(хР — х) + А1хР-1 + ВгхР-2 + С1хР-*+.-. + Ь1х + М1. (10)
На основании этого уравнения не трудно убедиться, что сравнение
хт-^гВхт"^Схт"2-\ f-Z,* +/И = 0(мод. р)
тождественно сравнению
AiXP-i + BiXP-t + CiXP-*-] \-1гх + Мг = 0(мод. р).
В самом деле, выражение х? — х при всех значениях х будет
сравнимо с 0 по модулю р9 ибо оно, очевидно, делится на р при х
кратном р, а при ху не делящемся на р, будет хр~1 — 1=0(мод. р) и,
следовательно, хр — х = 0(мод. р) по теореме Фермата. Из этого видно,

— 51 —
что при всех значениях х будет сравнимо с нулем произведение
Фх(хр—х).
Поэтому, не изменяя сравнения
хт-\- Вхт"'-{-Схт-2-\ 1-Lx-\-М = 0(мод. р)у
мы можем вычесть из первой части его Фх(хр— х)> вследствие чего оно
представится так
хп + Вх^ + Сх"-2-] [-Lx + M — Фх(хР — д:) = 0(мод. р)9
а это, по (10), приводится к следующему:
А&Р-^+В&Р-ь + СгхР-*-! \-Ь1х+М1 = 0(ыод. р),
что и требовалось доказать.
На этом основании мы заключаем, что степень сравнения с
модулем 2 может быть понижена до 1, с модулем 3 — до 2, с модулем 5 —
до 4 и т. д.
Так, имея сравнение хъ-\-х-— 1 = 0(мод. 3), мы степень его можем
понизить до 2. Для этого ищем остаток от деления хъ^х2— 1 на хг — х.
Так как этот остаток есть х2-\-х—1, то рассматриваемое нами
сравнение заменится таким:
*a-f *— 1=0 (мод. 3).
§ 21. Показавши, каким образом степень сравнения с модулем р
может быть понижена до р—1, приступим теперь к определению
условий, при которых сравнение
xn + Bxn-i + Cx"-*-] |-/,лг + Л*=0(мод. р)
имеет т решений, где т не более р—1. Мы здесь предполагаем
коэффициент высшей степени х равным единице, ибо видели, что это может
быть сделано во всяком сравнении.
Вот теоремы, по которым мы всегда узнаем, имеет ли данное
сравнение столько решений, сколько в показателе его степени находится
единиц или нет.
Теорема 25. Если сравнение
хп + Вхт-1 + Сх^Л-2^ \-Ьх-\-М = 0(мод. р)
имеет т решений, то в остатке от деления х? — х на
хтАгВхт~х-\-Схт-'1'\ \-Lx-\-M
все коэффициенты делятся на р.
Доказательство. Пусть будет Fx частное от деления х?— х
на хт-\-Вхт~1-\-Схгп-'2'-\ \~Lx-\-M и Фх остаток от этого деления.
Приравнивая делимое произведению делителя на частное, сложенному
с остатком, найдем
x' — x = Fx(xm + Btfn-1 + Cxm-*-\ ^Ьх-\-М)-{-Фх,
4*

— 52 —
откуда выходит
xP — x — Fxixn + Bxn-i+Cx™-*-^ [-Lx + M) = <Px. (11)
Возьмем теперь сравнение
хР — х — Fx(xm-^Bxm-l'^rCxm-2-\ \-Lx-\-M) = 0 (мод. р)
и докажем, что в сделанных нами предположениях это сравнение имеет
не менее т решений. Это следует из того, что при всех величинах х
выражение хр — х, как видели в § 20, сравнимо с 0 по модулю р\
выражение же
Fx{tf* + B**-l + Ctf"-*-\ \-Lx + M)
становится сравнимым с 0 по модулю р при всех числах,
удовлетворяющих сравнению
хт^гВхт^-\-Схт"2-\ \-Lx-{-M ев 0(моц. р)\
это же сравнение имеет т решений по положению.
Итак, сравнение
xP — X — Fx(xm-{-Bxm-l-\-Cxm-*^ j-Lx + M) = 0
имеет по крайней мере т решений. Но оно, по (11), приводится к
Флг==0(мод. р),
которого степень меньше ту ибо Фх означает у нас остаток от деления
хр — х на
хт + Вхт-1^Схт^^\ \-Lx-\-M.
Убедясь таким образом, с одной стороны, что сравнение
Фх = 0(мод. р)
имеет по крайней мере т решений, а с другой, что оно — степени
ниже /тг, мы, по теореме 20, заключаем, что в Фх все коэффициенты
суть числа кратные р, в чем и заключается предложенная нами теорема.
Докажем теперь обратную этой теорему.
Теорема 26. Если остаток от деления хр — х на х™-}-
-f Вхт-1 -|~ Схт~2.-{-... -J- 1х -}~ М имеет все коэффициенты кратные р,
то сравнение
г^ + Л^+О^-Ч [-1* + Л!==0(мод. р)
имеет т решений.
Доказательство. Пусть будут рх и Фх частное и остаток от
деления хр — х на
х» + Вхт-г-\-Сх"-*+...+1х + М;

- 53 -
остаток Фд:, по положению, будет иметь все коэффициенты кратные р;
поэтому для всякой величины х будет
Флг = 0(мод./?), (12)
частное же Fx будет целая функция такого вида:
хР-п+ВгХР-"-1-]
Приравнивая делимое произведению делителя на частное,
сложенному с остатком, найдем
хР— x = Fx(xm + Bxm~l-\-Cxm~*-\ [-Ьх + М)-\-Фх,
откуда
хР—х — Фх = Рх{х" + Вх™-* -^Сх»1-2 -\ \-Lx + M).
Но так как, по (12) и по сказанному нами выше относительно хР — ху
выражение хр — х — Фд: сравнимо с нулем по модулю р для всех
чисел 0,1,2, ...,/?—1, то все эти числа будут удовлетворять сравнению
Fx(xm + Bxm-1 + Cxm-* + -**+Lx + M) = 0(yioA.p)f
ибо первая часть его, по выведенному нами сейчас уравнению,
тождественна разности хр — х — Фх.
Итак, все числа 0,1, 2, .. .,р— 1 удовлетворяют сравнению
Fx(xP-\- Bx™-l + Cx?—*-\ \-Lx+M)z==0(MOz.p).
Но этому сравнению никакое число не может удовлетворять, не
удовлетворяя ни одному из сравнений
FxebQ, ^-{-Вхя^ + Сх"-*-] \-1х + М = 0{мол.р).
В самом деле, если эти сравнения не удовлетворяются при *=з,
то Fa и a?t'{-Bam-1-\-Cam-2-\ f-Ia + Af суть числа, не делящиеся
на ру а потому и простые с р, ибо р число само простое. Но если Fa и
ат-\-Ват-1-\-Сат-2-1 \-La + M
суть числа простые с /?, то и произведение их
Fa(am-\-Bam~l + Cam~*-\ \-La + M)
число простое с р, и, следовательно, сравнение
Fx {хт + Вх™-1 + Схт~- -} \-Lx-\-M) = 0 (мод. р)
при х—а не удовлетворяется.
Итак, каждое из р чисел 0,1,2, ...,/? — 1 будет удовлетворять по
крайней мере одному из сравнений
Fx = Q, xm-\-Bxm"1 + Cxm-2-\ \-Ьх~{-М = 0(мод. р),

— 54 —
а потому, если назовем через п и п\ сколько чисел в ряду 0,1,2 ... ,
р—1 удовлетворяет сравнению /\х: = 0(мод./>) и
хт -f Bxm~i + Схш~г -j (- L* + М = О (мод. /?),
то сумма /г-}-/г' будет не менее /?. Притом числа я, я', означая, сколько
чисел в ряду 0,1, 2, .. .ур— 1 удовлетворяют сравнениям
Fx==0, хт-\~Вхт-^Скт-2^ |--1л: + М = 0(мод. /?),
будут равны числу решений этих сравнений, следовательно, по
теореме 20, число п' не более от, а п не более р—от, ибо видели, Fx есть
функция такого вида: х?-"1-\-Вгхр~т~1 -{-•..
Итак, числа /z,/г', определяющие число решений сравнений
FxeeO, ^-f^x^-fC^'H |-1*4-Л1 = 0(мод./7),
будут удовлетворять условиям
п-\-п'^р, п^р — от, п'<*т.
Первые два условия, по исключении /г, дают п ^ от, а это, в
совокупности с условием п'^Шу обнаруживает равенство п' — т. Откуда и
следует предложенная теорема.
На основании последних двух теорем мы узнаем всегда, имеет ли
данное сравнение столько решений, сколько в показателе его степени
содержится единиц. Для этого мы, сделав предварительно коэффициент
высшей степени х в данном сравнении равным единице по способу,
показанному в § 17, и называя через р модуль его, делим хр — х на
первую часть сравнения. Если остаток, получаемый при этом делении,
имеет все коэффициенты кратные р, то, по последней теореме, мы
заключим, что данное сравнение имеет столько решений, сколько в
показателе его степени содержится единиц. В противном же случае, по
теореме предпоследней, мы заключим, что сравнение не имеет столько
решений.
Например, чтобы узнать, имеет ли сравнение
*в4-*2 + 2* = 0(мод. 5)
три решения или нет, мы делим хь — х на хг — х2-\-2х. Так как
остаток этого деления есть Ьх--\-Ьх, где оба коэффициента делятся на 5,
то мы заключаем, что рассматриваемое нами сравнение имеет три
решения.
Напротив, деля хъ — х на Xs -|- х2 — 2 и находя в остатке х* — Зх -f- 2,
где коэффициенты не делятся на 5, заключаем, что сравнение
x3-f х*~2 = 0(мод. 5)
имеет менее трех решений.

— 55 -
ГЛАВА IV
О СРАВНЕНИЯХ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
§ 22. Общий вид сравнений второй степени есть
ах2 -f- Ьх-\- с = 0 (мод. р).
Это сравнение приводится к сравнениям первой степени в двух случаях.
Во-первых, когда /7 = 2. В этом случае, по теореме 20, степень
сравнения
ах2 -}- Ъх-\- с = 0 (мод. р)
может быть понижена до 1. Во-вторых, сравнение
ах2 -{- Ъх -f- с = 0 (мод. /?)
приводится к первой степени, когда а делится на /7, ибо в этом случае
будем иметь
а = 0 (мод. /7),
что, по умножении на .г2, дает
ах2 = 0 (мод. /?);
вычитая же это сравнение из о*2 -f- &лг-{- с= 0 (мод. /7), найдем
Ьх-\-с = 0(мод. р).
Итак, в случае /7 = 2 или а кратного р сравнение ах2-\-Ьх-\-
-}-с=0(мод. /7) приводится к сравнению первой степени, которое
решать мы умеем. Обращаемся теперь к случаю /7, неравного 2,и а, не
делящегося на /7, и для упрощения наших изысканий ограничимся сначала
случаем р простого. Мы теперь покажем, к чему приводится в этом
случае решение сравнения
ах2 -{- Ъх -f- с = 0 (мод. /7).
Так как р предполагаем числом простым, отличным от 2, и а, не
делящимся на /?, то 4а будет число простое с р\ а потому, как не трудно
убедиться, сравнение ах2-\- Ьх-{- с = 0 (мод,, р) будет тождественно
такому: 4а(ах2-\-Ьх-\-с) = 0(мод.р). В самом деле, первое сравнение
предполагает второе: ибо, не нарушая сравнения, мы можем члены его
умножить на всякое число; обратно, второе предполагает первое: ибо
оно получается из второго сокращением общего множителя 4а,
сокращением позволительным, потому что 4а число простое с р. Но
сравнение 4а (а*2-{-£*-[-с) = 0 (мод. р) может быть написано так:
(2а* + bf — b2 + 4ac = 0 (мод. р),
откуда выводим
z2 = Ь2 — Аас (мод. р),
предполагая
z—2ax4-b.

— 56 -
Из этого мы видим, что решение сравнения
ах2 ~|~ Ьх + с = 0 (мод. р)
приводится к решению сравнения
г2 = й2 — Аас (мод. р)
и определению х по уравнению
2ах ,\-b — z.
Но что касается определения х по уравнению 2ах -f- & = г, когда
решением сравнения z2 = b2 — 4а£(мод. /7) найдено г, то оно сводится
на решение сравнения первой степени. В самом деле, решение
сравнения z2 = b2 — 4ас(мод. р), по замеченному нами вообще о решении
сравнений fx = 0 (мод. /?), где fx — целая функция х с целыми
коэффициентами, представится одним или несколькими сравнениями вида
ZEEE а (МОД./?),
вследствие чего для определения неизвестного х, связанного с z
уравнением 2ax-\-b = z, будем иметь
2ах -\-Ь==а (мод. р).
Это' сравнение, как первой степени, мы решать умеем; заметим
также, что оно, в сделанных нами предположениях, будет всегда иметь
одно решение, ибо здесь 2а и р будут числа относительно друг друга
простые.
Итак, вся трудность решения сравнения
ах2 -j- bx -j- с == 0 (мод. р)
заключается в решении сравнения
z2 = Ь2 — 4ас (мод. р);
этим сравнением мы теперь и займемся. Мы его будем писать так
z2 == q (мод. р),
полагая, для сокращения, b1 — 4ac — q.
Рассматривая сравнение
z2 = q (мод. р),
мы замечаем, что оно при # = 0(мод. р) будет удовлетворяться
предположением z = О (мод. р). Не трудно также убедиться, что в этом случае
2 = 0 (мод. р) есть единственное решение сравнения г2 = 4Чмод./>).
В самом деле, если q сравщщо с нулем по модулю р, то сравнение
2*=#(мод. р) выражает делимость z2 на р. Но /?, будучи числом
простым, не может делиться на квадрат какого-либо числа; следовательно,

— 57 —
по теореме 6, делимость z2 на р предполагает делимость z на р, а эта
выражается сравнением
2 = 0(мод.р).
Итак, если q сравнимо с нулем по модулю р, то сравнение
2? = ^ (мод. р) имеет одно только решение г = 0(мод./?).
Переходим теперь к случаю q, не сравнимого с нулем по модулю р'т
в этом случае относительно решений сравнения z% = q (мод. р) будет
иметь место следующая теорема:
Теорема 27. Если q не сравнимо с нулем по модулю р, то
сравнение z2 = q (мод. р) или не имеет решения, или имеет два
решения.
Доказательство. Мы видели, что вообще сравнение fx = 0 (мод. р)
имеет столько решений, сколько чисел в ряду 0,1,2,...,/?—1 ему
удовлетворяет. На основании этого не трудно доказать, что сравнение
z2 = q(MQ&. р) при q не = 0 (мод. р), не может иметь одно только решение.
В самом деле, пусть будет а то число, которое в ряду 0,1,2, ..., р— 1
удовлетворяет сравнению z2 z= q (мод. /?). Число а не может быть нулем,
ибо, делая в сравнении г2 = <дмод. Р) число z равным нулю,
находим О — д^мод*/?), что противно положению. Итак, а будет одним из
чисел 1,2, ...,/?— 1.
Но не трудно убедиться, что если а удовлетворяет сравнению
z* = q (мод. р\ то р — а будет также удовлетворять ему: ибо (р — а)-,
как равное р2 — 2ар-\-а2> сравнимо с а2 по модулю р. Следовательно,
р — а будет определять второе решение сравнения z2 = q (мод. р), если
число р — а заключается в ряду
0,1,2, ...,/> — 1
и отлично от а. Но первое следует из того, что а не более р и не
менее 1; второе же необходимо должно иметь место, потому что в
противном случае было бы р — а —а и, следовательно, 2а ~р, что
невозможно, ибо р — число простое, отличное от 2, а потому четным быть
не может.
Итак, если в ряду найдется одно число, удовлетворяющее
сравнению z2 = q (мод. р), то найдется и другое, ему удовлетворяющее.
Следовательно, это сравнение не может иметь одно только решение.
Но это сравнение, будучи второй степени, не может иметь также более
двух решений; следовательно, оно должно иметь или два рещения, или
ни одного,, что и следовало доказать.
§ 23. Мы займемся теперь исследованием признаков, по которым
хможно узнать, имеет ли сравнение z2 = q (мод. /?), где предполагаем
q не = 0 (мод. р\ два решения или нет.
На основании теорем, доказанных нами в § 21, не трудно узнать,
имеет ли данное сравнение z* = q (мод. р) два решения или нет. Для
этого мы должны найти остаток, получаемый при делении zp — z на

— 58 —
z2— q. Чтобы найти этот остаток, мы делимое zp — z представляем
так:
z[(z2) * -q * )+z [q > -l)
p-A p-\
и замечаем, что (z2) 2 —q 2 делится на z2— q. Следовательно, при
делении этого выражения на z2 — q остаток будет
z{q~ ~\ ).
Отсюда, по теореме 26, мы заключаем, что сравнение г2 = # (мод./?)
имеет два решения, если q 2 — 1 делится на ру или, что одно и то же
по нашему знакоположению, если имеет место сравнение
Lzl
q 2 = 1 (мод. р).
р — *
Если же это сравнение не удовлетворяется и, следовательно q 2 — 1
не делится на р> то, по теореме 25, заключим, что сравнение z2 = q(MOA.p)
ж имеет двух решений, а потому оно не может иметь и одного
решения, ибо, по теореме 27, это сравнение или имеет два решения, или не
имеет ни одного.
Итак, сравнение z2 = q (мод. р) имеет два решения, или не имеет
ни одного, смотря по тому, будет ли сравнение
? 2 =1 (МОД. р)
иметь место или не будет. В первом случае мы будем говорить, что
сравнение z2==^q (мод. р) возможно; во втором, — что оно не возможно.
Припомним здесь, что все это выведено нами в предположении, что
р — число простое, отличное от 2, a q — какое-нибудь число
положительное, не делящееся на />.
Так, чтобы узнать, имеет ли сравнение z2 = 3 (мод. 5) решения
ила нет, мы возводим 3 в степень —^—, или 2. Находим, что З2 не
сравнимо с 1 по модулю 5, мы заключаем, что сравнение z2 = 3 (мод. 5)
не имеет решения; другими словами, это сравнение невозможно.
Напротив, мы убеждаемся, что сравнение z2 = 2 (мод. 7) имеет
7—1
решения, находя, что 2 2 =8, и 8 сравнимо с 1 по модулю 7.
§ 24:. Если р и q не. велики, то не трудно узнать, удовлетворяется
£-1
ли сравнение q 2 = 1 (мод. р) или нет. Но это становится весьма
трудным, когда р и q большие числа. Мы покажем теперь, каким образом,
не вычисляя значения q 2 , можно решить, удовлетворяется ли сравне-
иие q 2 = 1 (мод. р) или нет, и через то узнать, имеет ли решения

— 59 —
сравнение z2 = q (мод. р) или нет. С этой целью мы докажем теперь,
что если q не делится на /?, и р число простое, отличное от 2, как мы
и предполагали, то число q 2 удовлетворяет всегда одному из двух
сравнений # 2 =1, ^ 2 ее— 1 (мод. р). В самом деле, если ни одно
из этих сравнений не удовлетворяется, то ни число # 2 —1, ни число
£-1
^ 2 +1 не делится на р, и, следовательно, оба они простые с /?, ибо/?
само по себе простое число. Но если оба числа q 2 —1, q 2 -j-1 суть
простые с р, то и произведение их (q 2 — 1) (<? 2 4" 1)» или 4гР"1 — *
число простое с /7; а это не справедливо, ибо, по теореме Фермата,
разность qP-1 — 1 делится на р.
Итак, одно из двух сравнений
/>-1 /'-1
^ 2 =1, <у 2 ==—1 (мод. р)
необходимо должно удовлетвориться. С другой стороны, не трудно
убедиться, что оба эти сравнения в одно время не могут иметь места, ибо,
допустивши их, мы находим 1=—1 (мод. р)9 откуда 2 = 0 (мод./7),
что невозможно, ибо р, предполагаемое отличным от 2, делить 2 не
может.
Из сказанного нами следует, что возможность удовлетворить
сравнению z2 = q (мод. р) определяется знаком, с которым сравнение
q 2 =±1 (мод. р)
удовлетворяется. Если оно удовлетворяется с -{-, то сравнение z2^q (мод. р)
имеет решения, и в том случае число q называют квадратичным выче-
том числа р\ в противном случае, если сравнение q 2 = -Н (мод. р)
удовлетворяется со знаком — , сравнение z2 = q (мод. р) не имеет
решения, и число q называют неквадратичным вычетом* числа р. Кроме
того, для сокращения письма, вместо того, чтобы писать: р и q удовлет-
воряют сравнению q 2 = 1 (мод. р) (что, как видели, есть признак
.возможности сравнения z* = q (мод. /?)), согласились писать
противном же случае, если q 2 == — 1 (мод. /?), пишут
(!)=-•
* Теперь более употребителен термин „квадратичный невычет". Ред.

— 60 —
По этому знакоположению (—) будет означать 1 с тем из двух
знаков 4г, с которым она удовлетворяет сравнению q 2 = ±1 (мод./7),
и, следовательно, значение этого символа вполне будет определено срав-
нением q 2 = (~) (мод. /7) и условием, что численная величина (—)
есть 1.
Так мы нашли, что сравнение # 2 ее 1 (мод. р) удовлетворяется
при q = 2, р = 7. Следовательно, по нашему знакоположению будет
(!)='■
5-1
Напротив, мы видели, что З2 по модулю 5 сравнимо с —1;
следовательно,
Таким образом, из Г—J = 1 мы заключаем о возможности решить
сравнение z2 ее 2 (мод. 7) и число 2 называем квадратичным вычетом 7.
Напротив, из равенства (—1 =—1 заключим, что сравнение
я2 ее 3 (мод. 5) не имеет решения и, следовательно, 3 будет
неквадратичный вычет 5.
§ 25. Показавши значение символа (~), мы приступим теперь
к раскрытию его свойств. Для этого мы докажем следующие теоремы:
Теорема 28. Величина символа Г—J есть 1, а символа (—\
есть (—1) 2 .
Доказательство. Мы видели, что символ ( — ) удовлетворяет
сравнению q 2 ее (~ J (мод- р).
Делая здесь последовательно q=\ и q = —1, находим
1-{?)- (-1Г^Ц~)(мод./>),
или
1_(1) = 0, (-1Г^-(^)ен0(мод. р).
Так как численная величина значений символов (—) > ( ~"~) есть 1 >
то разности 1 — (~Л, ( — I)""2""— (~~^) при неравенстве (~} с 1,
(-—j с (— 1) 2 приведутся или к 2, или—2; но ни 2, ни—2
не сравнимо с 0 по модулю р, ибо р отлично от 2. Следовательно,

— 61 -
нельзя допустить неравенства (— j cl,f—] c(—1) 2 , откуда и
следует предложенная нами теорема.
На основании этой теоремы мы заключаем, что (-g- J = 1, (-т~) = Ь
(^)—>•
Теорема 29. Если Q есть произведение чисел ql9q2, ••.,</*> то
Доказательство. Символы ( —J, (~)» (~Ь •••» ( /* как ви~
дели, удовлетворяют сравнениям
Q'~^ (I)' *^ (?) • <^= (?) ^s (?)(мод- ^
Перемножая все эти сравнения, кроме первого, между собою,
находим
Ч^ТЧ^ ■ ■ '^^ (?) (f) • - • (?) (мод. р),
или, что одно и то же,
(* *.• .,/^ (а) (?) .. .(*) (мод. р).
Но, по положению, произведение Ц\ЧгЛЩЩЧп Равн0 Q* вследствие
чего предыдущее сравнение представится так
Но мы видели, что Q 2 = (— J (мод. р).
Это сравнение вместе с предыдущим дает
(й-(?) (?)-(?)<—л
или
(?н?)(?)-(?)-°<"«-*
Но так как численная величина символов
-есть 1, то разность выражений (— j и (~)(~)*#*(~) в случае не
равенства их, приведется или к -|~2, или к —2. Но ни в том ни в дру

— 62 —
гом случае предыдущее сравнение не может иметь места, ибо р число,
отличное от 2. Итак, нельзя допустить неравенства величин
( )> [}{;"щ\)> 0ТКУДа и следует предложенная нами теорема.
На основании этой теоремы, определение символа ( — J при Q
составном, сводится на определение символов
Ш?) (?)■
где qvq2, .. . ,#„— простые числа, составляющие Q. Так, желая
определить fy), (|jj), найдем, что
(tJ = (tJ \7j> ViolJ^VToiJ \IolJ VToij *
На основании этой же теоремы, мы заключаем о таком равенстве.
Чтобы вывести это из доказанной нами теоремы, стоит принять
числа #i,<72>-•-<7П за равные q. В этом случае уравнение
нам даст
(й-(й(?)-(?:
число же Q, равное произведению <7i <72* *'<7Л> приведется к qn.
Так найдем, что
(¥)-(?)-(*)*■ (?)-(?)-(*)'■
В частном случае, при л = 2, из уравнения
выводим
Но будет ли (~j равно +1, или —1, всегда квадрат его будет I,
следовательно,
*Wi.
Это свойство символа (—Л может служить к значительным
упрощениям при определении его величины. По доказанной нами теореме, мы

— 63 —
имеем
откуда, внеся значение Гм из предыдущего уравнения, находим
геи?)-
На основании этого равенства мы заключаем, что при определении
величины символа (—•) мы можем исключить из Q всякий множитель,
составляющий точный квадрат.
Так, определение (у) сводится на определение (j)> определе-
ление I у J —на определение (~ ] .
Прежде чем пойдем далее, заметим, что, на основании доказанных
нами теорем относительно символа f^-j, значение ( —-] по (—)
определяется уравнением
В самом деле, на основании последней теоремы, рассматривая
— q как произведение —1 и?, находим
откуда, внеся значение (—-)» по теореме 28, имеем
что и следовало доказать. Так находим
Теорема 30. Если q и ql сравнимы по модулю р, та
(:■)-(?)■
Доказательство. По положению, числа q и qx сравнимы по
модулю р. Но из сравнения ^^^(мод. Р)> по возведении обеих частей
р — \
его в степень —2~-» имеем
<7 2 = ^i2 (мод. />).
Символы же (~) , (|^ удовлетворяют сравнениям
?"=(f> *' ^(А)(Мод.р).

— 64 —
Вследствие чего предыдущее сравнение дает
или
(^)-(Й=0(мОД.р).
Но так как численная величина f~J и f-2-M есть 1,то первая часть
этого сравнения, в случае неравенства значений (—) и (~J, будет-{-2
или —-2, что невозможно, ибо /7 отлично от 2. Следовательно, оба эти
символа должны иметь одну величину, что и следовало доказать.
/23\ /23-7\ /23-2-7\
Так находим, что(у) = (—j—I = (—-—1.
На основании этой теоремы мы заключаем, что символ (—)
равен (—■)» если г есть остаток от деления q на р, ибо, как заметили
в § 8, остаток сравним с делимым, когда за модуль принят делитель.
Таким образом, заменяя в символе (—} число q остатком от деления q
на р, мы, вместо (~) , будем иметь (—■)» ГД£ г<Ср-
§ 26. Вот теоремы, которые послужат нам для того, чтобы
определение какого-либо символа (— J привести к определению символов
вида (—J, где q число положительное, простое и меньше р. Что же
касается до определения символа (—), когда q число положительное,
простое и меньше р, то оно будет основываться на следующих теоремах:
Теорема 31. Если мы согласимся изображать наибольшее
число, заключающееся в данном количестве, знаком Е,
поставленным перед ним, то значение (—] определится уравнением
4 р р р
Доказательство. Не трудно убедиться, что при р нечетном н
а положительном можно найти положительное число z, которое, будучи
меньше ~-, удовлетворит условию
.е2!
г = (— 1) ^ а (мод. р). (13)
В самом деле, если Е -~ число четное, то это сравнение принимает
р
такой вид:
г==а(мод. р).

— 65 —
Но в этом случае ^Еу будет число целое, а потому a — jpE —
будет число целое, удовлетворяющее сравнению
г=а(мод. р).
Это же число, которое может быть представлено так:
будет количеством положительным и меньшим у, ибо по значению Е —
разность——Е-2 должна быть не менее 0 и меньше 1.
О/т
Обращаемся теперь к тому случаю, когда Е — число нечетное. Если
Е— число нечетное, то сравнение (13) принимает такой вид:
z = — а (мод. р).
Но в этом случае 5—£- есть число целое, а потому предыдущему
сравнению удовлетворим, полагая
гНг'О + етН'
а это число, которое иначе представится так:
*Ыт-Ет)Ь
очевидно, положительное и не больше ~, ибо, как замечено выше,
разность — — Е — не выходит из пределов 0 и 1.
Убедившись таким образом в возможности всегда удовлетворить
условиям
Е^ р
z = (—1) ^а(мод. /?), z не <0 и <—,
назовем через zvz2,.. .,zp-i числа, удовлетворяющие им в предполо-
2
жениях a = q,a = 2q, ...,a=£~q. Эти числа будут удовлетворять
сравнениям
zl = ( — l) Pq, z2 = ( — l) '2q,...,
*£^ =(-1) ' ^?(мод./0, (H)
5 Чебышев, том I

— 66 —
которые, по перемножении, дают
2
2д 4q (n-Vsq p-l
= {^lf7+zT+'"+E-ir-l.2...p-^q * (мод./;). (15)
Но не трудно убедиться, что произведение zxz2- - -Zp—x равно произ-
2
ведению 1 -2- • -^г-. Для этого мы замечаем, что числа zle я2, .. .,Zp-i ,
будучи меньше —- и не меньше 0, могут иметь только значения
О 1 2 ^^
Потом мы замечаем, что ни одно из них не может быть нулем, ибо
в противном случае предыдущее сравнение предполагало бы делимость
1-2'--^р^ на р\ между тем как 1,2, ...,~^- числа простые с р.
Итак, числа zuz29 >. .,zP-\ могут равняться только числахМ
1 2 £=1
Также не трудно показать, что в ряду zv z2, ..., zp-1 нет двух чисел
__
равных. В самом деле, если мы допустим, что здесь zm и z^ равны,
где т и IX — какие-нибудь два числа, содержащиеся в ряду 1,2,..., р~ г
то, имея по (14)
мы нашли бы
£2?м Е2£а
(—1) р mq = (— 1) /> jx#(мод. /?).
Но это сравнение, по сокращении на q,—число простое с /?, дает
£2gm £2£m
(—1) ^m = (—1) ^(мод./?),
что, очевидно, невозможно, ибо оно предполагает делимость разности
(—1) Рщ—(—\) Р ]Х
на р\ а эта разность приводится к одному из четырех:
'я + jt, — ("*+;*)> /и — И, ~{т — ji),
и так как числа /я, pi.взяты нами из ряда 1,2, ...,£-— и не равны
между собою, то сумма их меньше р, а разность не равна нулю;
следовательно, ни то, ни другое не делится на р.

— 67 -
Так убеждаемся мы, что в состав ряда
£j, Z<>y • . ., Zp—i
__
могут входить только числа
1 2 B^ll
и каждое только по одному разу. Но так как эти ряды заключают
одинаковое число членов, то в состав первого войдут все числа второго.
Следовательно, ряды
2
1 2 £—-
составлены из одних и тех же чисел и притом взятых по одному разу,
а потому произведение членов первого ряда равно произведению членов
второго.
Убедясь в этом, мы можем заменить в (15) ггг2* * -zp-i числом
1 - 2»- - ^ Г~ , после чего (15), будучи сокращено на 1, 2, ..., ~-г
— числа простые с р, дает
l==q2 (—1) р р^'^ р (мод./?).
Умножая же обе части этого сравнения на
(— \\ р р р
и замечая, что —1, будучи возведена в степень
2(E2-4-Efb"-+E^^),
дает 1, находим
еН£+е!£4- [ е(р-1)с? е=}
(—1) р р р ~q2 (мод. р).
Но, по свойству символа f — j, мы имеем
— fa \
ч 2 =(у)(мод./?).
Это же сравнение вместе с предыдущим дает
^_(_1)Е7+ЕТ+-+Е р ^0(мод.р)г
откуда мы заключаем о равенстве
/ N F 2? IP 4? 1 J. F (Р~^ „

- 68 -
ибо в противном случае первая часть этого сравнения привелась бы к 2
или —2, что с нулем не сравнимо по модулю р, отличному от 2. Так
убеждаемся мы в справедливости предложенной нами теоремы.
На основании этой теоремы, мы можем определить значение (— \ не
возводя q в степень ^"7 . Так, для определения величины fry] находим
, 2.5 , в 4-5 , с6-5 , 0 8-5 , _ 10-5
(i)»=(-l)E- + E"n- + E-n- + E- + E~
Замечая, что
f2'5_fI5 — О F8*5 — Е40 — Ч
l!5 р 20 1 ЕЮ-5_р50_,
Е
sE jg+ Е <£.+ ,..+Е <"-'>?
ЕТГ==ЕТТ==2' 0+1 + 2 + 3 + 4=10,
м из предыдущего уравнения выводим
(»)-.(_ 1)» = 1.
Выведенное нами уравнение для определения ( —J справедливо при
всяком числе q. Но нетрудно вывести из него уравнение более простое,
которое будет служить для определения ( — ] при а нечетном. Для этого
в уравнении
полагаем # = yla-(-/>)> гДе я> подобно /», число нечетное, это дает нам
^1___J=(_1) , + р
Умножив обе части этого уравнения на ( —), находим
Но, по теореме 29, произведение (—Д- уравнод />
или \ -\ а это, по теореме 30, равно (—У
Вследствие чего из предыдущего уравнения выводим
р—\ р—\
а+р , „2П+2Р £ 2 g+ 2 р
Р
р— 1 , р—1
р р
(fHf)<->B'+'

— 69 —
Но
E2±*-E(i+l)_,+Ei.
E^£=E(f+2)=2+E?£,
P-~± „\P — \ /P—\ \ /7 — 1
P \ P ^ 2 J— 2 ^П /> *
Следовательно,
(£)_(1)(-„-«*--^+'7+'**"«^:.
А так как сумма прогрессии 1 +2Ц f-^^ равна ^"Т"* , то из
этого уравнения выходит
(т)=(т>-'Г^^+Е?+"+Е^ се)
Делая в этом уравнении а—1 и замечая, что
р-\
(4Л = 1, Е-1 = 0, Е^=0, ..., Е-^- = 0,
\/* у р % р р
находим
1=(|-)(-1Г^
что для определения величины (—j дает
Внеся отсюда величину (— j в (16), находим
а 2л 2
1 (р-1)а
(^.)В=(_1)Е7 + Е7*-+Е-Г-. (17)
Вот уравнение, которое может служить для определения Г— ] при
а нечетном. Оно подобно тому, которое доказали в предыдущей
теореме, с той только разницей, что здесь под знаком Е находятся
количества вдвое меньшие.
Мы нашли также уравнение
(tH-ч 8-
Это уравнение будет служить нам при определении С~\ когда q

— 70 -
равно 2 или кратное 2. На основании этого уравнения нетрудно
показать, что (—) есть 1, если р = 8л±1э и —1, если р = 8/2 4:3. В самом
деле, внося в него 8/гЧз 1 и 8я±3 на место /7, находим
(SfldblV — 1
^] = (-1) " =(-!)•
(8я ±3)2—1
отсюда следует такая теорема:
Теорема 32. Если р равно 8/г± 1, /«о ( —j = l, г^ли же
р —8#;±:3, то(— ]=—1.
Так находим, что (—j = l, f^J= — 1.
На основании уравнения (17) мы можем доказать еще теорему,
относящуюся к определению величины ( —). Она заключается в следующем:
Теорема 33. Если а число нечеткое и меньше р, то («-J равно
£^«=!-е.£-е£- Е^*~1)р
( П 2 2 а я a
Доказательство. Мы нашли для определения/—J, когда q
нечетное, такое уравнение (17):
1
Е~ -4-Е — +...+ Е
« .2* Т(^-1)Л
(т)-<-
1 (/>—1)л
1) Р ' Р Р
Посмотрим теперь, какие значения имеют Е —, Е — ,..., Е
р р Р
где предполагаем а меньше р. Дробь — будет меньше 1; следовательно,
Е — = 0. Это наименьший из членов Е —, Е—, ..., Е . Наиболь-
ший же Е представится так: ВТ-!- — ^-), или Е(а-~71 -\-£^.\,
а это, очевидно, равно ^~, ибо 5Lzi есть целое число, а £^-
£ А 2р
— дробь меньше единицы и положительная, потому что а<^р.
Итак, в ряду
члены идут, возрастая от 0 до ^-^-. Чтобы определить сумму их, мы

— 71 —
найдем, сколько здесь членов, равных 0, 1,2,...,-^. Для этого мы
определим сначала, сколько здесь членов, не превосходящих k> где k есть
одно из чисел 0,1,2, ...,-^~^. С этой целью положим, что в ряду
El, Е~2*, ...,E^, E^+iif, ...,Е^ а (18)
р Р Р Р Р
последний член, не превосходящий А, есть Е —; это, очевидно, будет
иметь место в том случае, когда — <&+1, а . a>k-{-l. * Но из
этих неравенств выходит
zli+H_/>0, zi*±il_/<i,
а ^ а ^
а это показывает, что -—!—- с целым числом / разнится количеством
а
положительным, но меньшим 1. Следовательно, / есть наибольшее целое
число, заключающееся в количестве !—'; а это по нашему знакопо-
ложению представится так: Е- . Итак, число членов в ряду (18),
не превосходящих k, равно Е — ' . Таким же образом находим, что
здесь число членов, не превосходящих k — 1, есть Е —, а отсюда
заключаем, что число членов, равных k, есть Е р^ *""—Е —. На осно-
r a a
вании этого мы заключаем, что в ряду (18) число членов,
равных 0, есть Е ——Е —,
равных 1, есть Е——Е —,
равных 2, есть Е— — Е —,
.-1 , сТ{а~1)р Л{а~г)р
равных— 1, есть Е Е .
г 2 а а
Что же касается числа членов остальных в ряду (18), равных ^— , то
мы их найдем, сложив предыдущие числа и вычтя их сумму из ]у(р—1)
* Равенство здесь не может иметь места, потому что дроби — — .
Р Р '
- , где р простое само по себе и не делит а, не могут равняться целому
л la (l + \)a
числу; дроби же —, -—!—-— взяты из этого ряда.

— 72 -
числа всех членов ряда (18). Таким образом, находим, что здесь членов,
а-Х р-Х Л{а~1)Р
равных —^-, содержится^ Е # •
На основании этих данных находим, что сумма всех членов ряда (18)
составляет
0-(E£-E0-j£)+l-(E2f-Ei)+2.(E^-E2£)+...+
а это приводит к следующему:
*Ill.£=I_E^— Е^ Е- .
2 2 л а а
Итак, сумма
Еа_ + Е2а^ ^Е2
р * Р х ' />
равна
JL (д — 1) /?
inl£^i_EZ._E2^ Е 1 11.
2 2 я я а
Вследствие этого уравнение
(i)=<-'^+
- 2* Т("-1)Д
р р
\р J v _/
дает
2 2 а~ в Ь а
что и следовало доказать.
Эта теорема также может быть употреблена для определения
значения (~)> если а число ненетное и меньше р. Она весьма удобна в
приложении, если а число небольшое.
Так, для величины (щ) она дает
(жН-1)'
7—1 101 — 1 „101 _ 2-101 с 3-101
2 2 Е"7 Е-т--Е ~Г
ОТКуДа ВЫХОДИТ (т7л)=(—1)3-50-14-28-43 _— 1#
Но эта теорема особенно замечательна тем, что из нее очень просто
выводится теорема, известаая под названием закона взаимности двух
простых чисел.
Эта теорема заключается в следующем:

— 73 —
Теорема 34. Если v и s суть числа простые нечеткие и не-
tj^v )(— 1) 2 * 2 •
Доказательство. Пусть будет v наименьшее из двух чисел v, s;
по доказанной нами теореме при v<^s значение ( —j определится
уравнением
(т)-<-•>■*"
*-* ^-E^-Eg£-..._E^(>"1)J
2 •» v v
Делая же в уравнении (17) a=s, />=v, найдем
3r j-C^-t).
Эти два уравнения по перемножении их членов дают
Умножая же обе части этого уравнения на f—j и замечая, что ( — )
есть 1, находим
что и следовало доказать.
Так мы будем иметь
7—1 5—1
(4)=(т)<-'>^=(!)<-ч»=Ш.
(8)-(8)<-,>¥'"-(8)<-1>м—(«)
§ 27. На основании доказанных нами теорем относительно
символа (—J легко найти его величину, как бы q и р ни были велики.
Вот как следует поступать при определении ( — ]. Если q больше р,
мы, по теореме 30, заменяем в (—} число q остатком от деления q на р
или наименьшим отрицательным вычетом q по модулю /?, если он гораздо
меньше этого остатка.
Таким образом, определение (— J сведется на определение (=-Ч »
где R будет меньше р. Что касается знака (—) при R, то, по
теореме 29, мы (—-) можем выразить через (— J. Потом для
определения (-—) разлагаем R на произведение простых чисел, исключая при
этом множителей, составляющих точные квадраты. Разложивши R на
произведение простых чисел, мы, по теореме 29, разлагаем f —J на

— 74 —
произведение нескольких множителей вида (—j , где г—число простое.
После того ищем значение каждого из этих символов, поступая таким
образом: если г=2, то ( —) определяем по теореме 32; если же >г не-
четное, то по закону взаимности чисел выражаем (—j через (у! и
с этим символом поступаем так же, как с (~)> сводя определение его
на символы вида (~) > где г' <>.
Продолжая эти действия, мы будем получать символы все с
меньшими и меньшими числами: поэтому необходимо дойдем окончательно
или до Г—\ или до (—)> которых величину легко найдем, а через них
^определится и искомый ( —)•
Объясним это примерами. Пусть будет дано найти значение (-щ-)-
Деля 1013 на 601, находим в остатке 412; откуда следует, что
П0Ш_/412\
V 601 у \б01>)-
По исключении из 412 квадрата 2 мы находим число простое 103,
/412\ /1034
и V60lJ ПРИВ°ДИТСЯ к (бот)' п0 законУ же взаимности чисел выводим
(ffi)-(S)(->n
601—1 103—1 Г/,Л4
2 -== ™±\
ДЮЗУ
Потом делим 601 на 103 и, замечая, что остаток будет 86, гдежду
тем как наименьший отрицательный вычет 601 по модулю 103 есть —17,
находим выгоднее его ввести. Это дает нам
Но
103—1
Следовательно,
V юз J \m)'
Так как 17 число простое, то выводим
(e)=(f)(-»-'-=(W)-
Заменяя в (jf) число 103 остатком от деления 103 на 17, имеем
(S)-G)-i-

— 75 —
Соединяя все эти уравнения, находим
(}Мг\_(412\_(6(П\_[--П\_ f\7\_ /Ю3\_ /1\
\б01 ]— Uoi; — \№j — vto3 ; — — [ш)—~\тт) — — {п):=-
Итак, искомая величина (-^г) есть —1.
Для другого примера берем (т^У
Повторяя над символом (-jpf ) те же действия, находим:
/20470\ _ /153 Л _ /ЗМ7Д _ / 17 \
V 1847 J \IS47J ~ V 1847 J — V1847/'
Из соединения этих уравнений получаем
с
20470\__-
1847 j 1#
Также, определяя величину символа (2003)» нах°Дим
/2108\ в / Ю5\ = /_3\ /_5_\ /_7_\
\2003У \2003У У2003Д2003/\2003;'
(|)=(4),-,)"-=(4)=(4)=-1,
Ш=(™3)<- »¥~- -(¥)--(*)—'•
откуда выходит
/2108\_,
V2003/- f
§ 28. Мы показали, как по данным числам р и q найти величину
символа [ — ], чем определяется, имеет ли сравнение z2 = q (мод. р)
решения или нет. Теперь переходим к решению обратного вопроса: по
данной величине Г—)найти значения х, иначе, решить уравнения

— 76 -
Начнем с первого, ( —} = 1. Мы видели, что уравнение Г~Л=1
символически выражает, что сравнение х 2 = 1 (мод. р) удовлетворяется.
Не трудно узнать, что это сравнение имеет ^— решений; для этого,
р-Л
по сказанному в §21, делима—х на х2 —1 и, замечая, что хр — х
как равное х(х 2 -\-\)(х 2 —1) делится на х 2 —1 без остатка, по тео-
реме 26, заключаем, что сравнение х 2 = 1 (мод. р) имеет ^-— решений.
Но эти решения (§ 12) должны представиться так:
х = аи х = а29 -.., х = ар—\ (мод./?),
2
где av а2, ..., а^л суть числа в ряду 0,1,2,..., р — 1, удовлетворяющие
2
£-1
сравнению х 2 = 1 (мод. р). Притом ясно, что ни одно из этих чисел не
будет равно нулю, ибо нуль не удовлетворяет сравнению х 2 = 1 (мод. р).
Итак, в ряду 1,2, ..., р—1 находится ^— чисел, удовлетворяющих
сравнению х 2 = 1(мод./?), или уравнению!—) = 1; Другими словами,
в ряду 1,2, ...,/?—1 находится р квадратичных вычетов по
модулю р. Затем все остальные числа в ряду 1,2, ...,/?—1, их будет также
^-у- > удовлетворяют уравнению (— J=—1; это будут неквадратичные
вычеты по модулю р.
Из сказанного нами следует, что все числа, удовлетворяющие срав-
нению х2 = 1(мод./>), или, что одно и то же, уравнению (—) = 1,
определяются сравнениями
х = аи х = а29 ••., х=ар— 1(мод. р)9
Т~
где а19а2, .. .,ар-\ числа положительные, меньшие р и удовлетворяющие
2
р-Л
сравнению х 2 = 1 (мод. р). Эти числа мы могли бы найти, решая сравне-
Ez±
ние х 2 = 1 (мод. /?). Но это чрезвычайно затруднительно, если число р
велико; потому мы предложим способ их находить независимо от реше-
р-Л
ния сравнения х 2 =1(мод. р). Для этого мы замечаем, что сравнение
£-1
а 2 = 1 (мод. р) есть условие возможности удовлетворить сравнению
г2 = а(мод./?). Притом мы видели, что это сравнение в случае
возможности удовлетворяется двумя числами (§ 22), заключающимися в ряду

1,2,...,/?—1; так что если одно из этих чисел есть а, то другое р— а
р_
2
Но одно из этих чисел необходимо меньше 4" > и следовательно, не боДее
^Y~-, ибо сумма их есть р, а они не равны между собою. Поэтому для
числа а, при котором сравнение а * = 1 (мод. /?) удовлетворяется, всегда
найдется в ряду 1,2, ...,^- число 2;, удовлетворяющее сравнению
г2 = а (мод. р); другими словами, для такого числа а будет иметь место
одно из сравнений
12 = а, 22 = а, ..., \~Т] =а(м°Д-/?)-
Следовательно, число а по модулю /> будет сравнимо с одним из чисел
l'.2......(^i)\
и так как оно меньше /?, то оно найдется между остатками от деления
этих чисел на р.
Итак, каждое из чисел ava%y ---.Д^» меньших р и удовлетворяю-
2
£zi
щих сравнению а 2 = 1 (мод. /?), мы найдем в ряду остатков,
получаемых при делении I2, 22,.. ••(^у-) на Р* После сего значения х,
удовлетворяющие уравнению (— ) = 1, мы определим сравнениями
х = ах> х^а2, .... x = ap-i (мод./?),
2
откуда для выражения л:, удовлетворяющего уравнению (— ) =1, по § 11,
найдем *
Для примера решим уравнение (~)=1. По сказанному нами, это
уравнение будет иметь —^- = 5 решений, которые определятся
сравнениями
х = а1У х = а21 х = аь, x = aiy л; = аб(мод. 11),
где av а2, а8, а4, аъ суть остатки от деления 12,22,32,42,52 на 11. Но так
как эти остатки суть 1,4,9,5,3, то уравнению
№>-
1
будут удовлетворять числа, определяемые сравнениями
x=h x = 3, х = 4, х = 5, л: = 9(мод. 11),
* Это получаем мы, заменяя в формулах § 11 число TV числом — п.

— 78 —
или, что одно и то же, уравнениями
д;==11л+1, л;=11/г + 3, * = 11/г + 4, л=11/г + 5, л=11/г + 9.
Зная решения уравнения (—] = 1, нетрудно найти решения
уравнения!— ]==—1. Для этого мы замечаем, во-первых, что по значению
символа [—) число л предполагается не делящимся на /?, и, во-вторых,
что числа, не удовлетворяющие уравнению ( — ) = 1> удовлетворяют
уравнению (—j= — 1. Отсюда следует, что мы найдем все числа, для
которых ( — 1=—1, если выкинем из чисел, не делящихся на /?, числа,
удовлетворяющие уравнению (— ]— 1. Но все числа могут быть
представлены формулами
пр, пр-\-1, пр-\-% ..., пр-\-р— 1.
Откинув здесь первую формулу, которая дает числа кратные ру мы
находим для решения уравнений (— ) = 1 и f~j =—1 такие формулы:
/z/7+l, лр + 2, ..., пр+р — 1.
Отбросив же здесь числа, удовлетворяющие уравнению (~] = 1,
которые определяются формулами
пр-\-аи пр-\-а2, ..., яр-f-ap-i,
2
мы найдем все числа, удовлетворяющие уравнению [~ j=—1. Из этого
следует, что числа, удовлетворяющие уравнению ( — )==—1,
представятся формулами
np + bl9np-{-b2, ...,np-\-bp-i,
2
где blyb2, ..., V-i суть числа ряда 1,2, .♦.,/?—1, отличные от аиа2У
2
..., Яр-i, остатков, получаемых при делении I2,22,'..., (Р~Г У на /».
Для примера найдем решения уравнения (77)=—1. По сказанному
нами, числа, удовлетворяющие этому уравнению, представятся
формулами
11/г + йр lln + b29 Пп-\-Ь„ 11л+ 64, 11л + й5,
где bv b2, bd, bif Ьь найдем, выкинув из ряда 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
числа, равные остаткам, получаемым при делении I2, 22,32, 42, 52 на 11.
Но эти остатки суть 1,4,9,5,3. Выкинув их из ряда 1,2,3,4,5,6,7,8,
9,10, находим 2,6,7,8,10 для величин bl9 b2, b&, £4, b5. Откуда заключаем,

— 79 —
что числа, удовлетворяющие уравнению (jA = — 1, определяются
формулами
П/г-Ь2, П/г + 6, 11л+ 7,11/г + 8, 11д+ 10.
Так решается вопрос об оцределении значений х по данной
величине ^—J, или, что одно и то же, об определении квадратичных и
неквадратичных вычетов данного числа.
§ 29. В предыдущих параграфах мы занимались исследованием,
когда сравнение z2 = q(MOji. p) имеет решения и когда нет. Теперь
остается показать, как найдутся решения сравнения z2 = q (мол. р),
когда оно возможно. Говоря о сравнении вида а* = Л (мод. р), мы
покажем общий и весьма простой способ решать сравнение z2 = q (мод. р).
Здесь же ограничимся одним частным случаем, в котором эта решение
можно легко найти. Отучай, которым мы теперь ограничимся, есть тот,
когда р вида 4п-\-3.
Возможность решения сравнения г2 еез # (мод. р)у как видели,
предполагает, что q 2 = 1(мод. р). Делая здесь /? = 4/2 + 3, находим
4л-И-1
q 2 =1(мод. р), или q2n+1 = l (мод. р)у что по умножении на q
будет q2n+2 = <?(мод. P)- Сличая это сравнение с г2^^(мод. р),
замечаем, что последнему удовлетворяет z==qa+1. Зная одно число,
удовлетворяющее сравнению 22 = #(мод. р)у мы найдем подобных чисел
бесконечное множество из сравнения z = qa+1 (мод. р). Но мы видели, что
одно из этих чисел будет положительное и меньше р; это — остаток от
деления qn+l на р. Называя его через а, мы одно из решений
сравнения г2 = #(мод. р) представим так: z = а (мод. р). Что касается другого
решения этого сравнения, то, по сказанному в § 23, оно будет
z=p — а (мод. р). Так найдутся оба решения сравнения z2^q (мод. р)
при р = 4п-\-3.
Для примера найдем решения сравнения г2 = 3(мод. 11). Оно имеет
решения, ибо
(й = (Ц)(-1)^--=_(Н)=_(|) = 1;
а так как 11=4-2 + 3, то решения его суть: z = a, z=ll—а (мод. 11),
где а есть остаток от деления 32+1 на 11. Но этот остаток есть 5;
следовательно а = 5, и решения сравнения г2 = 3(мод. 11) суть г— 5,
0 = 6 (МОД. 11).
§ 30. До сих пор мы занимались сравнениями второй степени,
предполагая модуль их числом простым. Что же касается сравнений с
модулем составным, то мы ограничимся только доказательством, что
сравнение г2 = <7(мод. р) имеет решение, если р число нечетное, простое
с q и в состав его входят простые числа а, [5, у» •••> Для которых
(*)='■ (f)-- ({)='• -

— 80 -
Начнем с частного случая р — ат и покажем, как найдутся решения
сравнения 22^^(мод. ат), когда знаем решения сравнения 22 = </(мод. а),
которого возможность, как видели, условливается равенством (~ J = l-
Предположим, что а есть число, удовлетворяющее сравнению
2:2 = #(мод. а), и Р, Q суть числа, определяемые уравнениями
п_(а+У1Г+(а--У1)т
п_(а+ТГд)Г-(а-Уд)т .
Q- wi •
числа Р, Сбудут целые; в этом легко убедиться разложением (a + Vq)m>
(а — У^)т по биному Ньютона. Докажем теперь: 1) что Р и Q
удовлетворяют сравнению Р2 — Q2q = 0 (мод. ат) и 2) что Q число простое
с а.
В первом мы легко убеждаемся, заметив из предыдущих уравнений,
что _
P+QVq = (a + V~qy*> P-QVqMa-VqY1.
Перемножая же эти уравнения между собою, находим
P*—Q*q = (a* — qy.
Но, по положению, а удовлетворяет сравнению г2 = #(мод. а),
следовательно, а2 = q (мод. а), что предполагает делимость а2 — q на а.
Если же а2 — q имеет делителем а, то Р2 — Q2q9 равное (а2 — q)m>
должно делиться на ат, а потому
р2_д2^Е=0(мод. ат).
Доказавши первое, переходим ко второму, к доказательству, что Q
число простое с а. Для этого мы замечаем, что, по уравнению
0_(а + У1)м-(а-У1Г
делимость Q на а предполагает сравнение
Но это сравнение, как не трудно убедиться разложенцем степеней
(a-\-Vq)m> (a — Vq)"1, содержит q в целых степенях и с целыми
коэффициентами; поэтому оно останется справедливым (§ 10), если в нем q
заменим числом а2, сравнимым с q по модулю а. Следовательно,
предыдущее сравнение предполагает
2V7* =0(мод. а),

— 81 -
а это приводится к
2*"1а*-1 = 0(мод. а),
сравнению невозможному, ибо а число простое нечетное и а простое с а.
Убедись таким образом, что Р и Q удовлетворяют сравнению
Р2 — Q*q = 0 {мол. ат)
и Q число простое с а, не трудно доказать, что сравнение Qx = P (мод. ат)
имеет решение, и это решение удовлетворяет сравнению л;2 = #(мод. а"1).
Первое следует из того, что Q, будучи числом простым с а, будет
простым также с ат\ в этом же случае сравнение Qx = P (мод. о771) имеет
всегда одно решение- Нам остается теперь доказать, что числа х,
определяемые сравнением Qx = P(мод. аот), удовлетворяют
сравнению г2 = ^(мод. о**). Для этого мы, возведя обе части сравнения
Qx = P (мод. а"*) в квадрат, выводим
Q*x2 = P2 (мод. ат).
Но, по доказанному нами относительно чисел Р и Q, имеем
P* — Q*g = О (мод. а"1).
Это же сравнение вместе с предыдущим дает
Q*x* = Q*q (мод. сГ),
а так как Q Число простое с а и, следовательно, с о", то в этом
сравнении обе части могут быть сокращены на Q2, вследствие чего оно
приводится к
лг2=е<7(мод. Р)>
что .и следовало доказать.
Итак, мы получим решение сравнения z2 = <у (мод. ат) из сравнения
QzeesP (мод. а771),
где Р и Q найдутся из уравнений
р=г_(а+Уд)т + (а-У1)т р_> + У ?)* - (а-У~д Г
2 ' Ч 2 У"?
по а — числу, удовлетворяющему сравнению
а2 = #(мод. а).
Для примера возьмем сравнение £2 = — 2 (мод. З3). По сказанному
нами, число, удовлетворяющее ему, найдется из сравнения
Qz = P (мод. З3),
где
- , W — ^=
6 Чебышев, том I

— 82 —
и а есть число, удовлетворяющее сравнению я2 =— 2 (мод. '3)1
Последнее сравнение относится к числу тех, которые решаются по
способу, показанному в § 29; решая его по этому способу, мы находим,
что ему удовлетворяет 1. Делая а = 1 в уравнениях, определяющих Р
и Q, имеем
Отсюда для определения z> числа, удовлетворяющего сравнению
z2 = — 2 (мод. З8), выходит
Z=E= — 5 (МОД. З8).
Показавши, каким образом решается сравнение 2г2^^(мод. ат), где а —
какое-нибудь простое нечетное число, переходим к решению сравнения.
г2 = #(мод. a^Y'**')-
Если Г-£Л==1,/-|Л = 1, (£} = 1,.,., то, по сказанному нами,
найдутся числа iiyVyW,..., удовлетворяющие сравнениям
н2==#(мод. ап)у v2 = q(uoji. р*), яу2==#(мод. у)»
Эти числа определятся такими сравнениями:
и = А (мод. aw), v == 5 (мод. Рл), да = С (мод. у7), ...
Но не трудно убедиться, что между числами, определяемыми каждым
из этих сравнений, найдется число
В самом деле, это число по модулю ат сравнимо с А (Р"уг-. .)«Л""1(*-1 f
где (p*yr*«-)aW~I(a-1), п0 теореме 17, сравнимо с 1 по тому же модулю am,
и, следовательно, Л (^•••)в",~1("~х) сравнимо с А Также докажется,
что это число сравнимо с Б по модулю Рл, с С по модулю f и т. д*
А потому это число будет удовлетворять каждому из сравнений
и2==#(мод. аот), г>2 = ?(мод. р*), <а/2 = #(мод. у0> •••>
и, следовательно, называя его через дг, будем иметь
лг2 = #(мод. ат)у х2 = д{мод. р*), *2~= ^ (мод. у*), ...
Но так как в этих сравнениях модули ат, Рл, уг, •;. числа
относительно друг друга простые, ибо а, р, у,... суть различные простые
числа, то, по § 9, эти сравнения предполагают
*2 = #(мод. а^рлу'-*-).
Так определится х, удовлетворяющее сравнению
х2 = <Зг(мод. р)%

— 83 —
где q — число простое с /?, а р — число нечетное, состоящее из произ^
ведения простых чисел a, [J, у, ..., для которых
Этим мы оканчиваем теорию сравнений второй степени.
ГЛАВА V
О СРАВНЕНИЯХ ДВУЧЛЕННЫХ
§ 81. Под именем сравнений двучленных разумеют сравнения такого
вида:
х* — Л = 0(мод. /?),
где я, Л, р — какие-нибудь числа. Мы начнем с простейшего случая:
Л=1, р — число простое. Мы будем предполагать р отличным от 2,
ибо, по § 20, при /? = 2 сравнение хп — Л = 0(мод. р) приводится
к первой степени.
Относительно сравнений вида хп—1=0(мод. р) мы докажем
следующую теорему:
Теорема 35. Если одно и то же число удовлетворяет
сравнениям хт — 1 = 0, ха — 1=0 (мод. р), то оно удовлетворяет так
же сравнению х"—1=0(мод. р), где со— общий наибольший
делитель чисел тип.
Доказательство. Пусть будет а то число, которое удовлетворяет
и сравнению х™—1=0(мод. р) и сравнению х"—1=0(мод. р)\ мы
будем иметь
ат=1, ап~\ (мод. /?),
и а будет число простое с рУ ибо иначе было бы ат = 0 (мод. р).
По положению, со, будучи общим наибольшим делителем чисел т
т п <~ rj m n
и /г, в частных —, — даст числа, простые между собою, по при —, ~ ,
простых между собой, найдется г, удовлетворяющее сравнению
^-z—1 = о(мод. ~), что предполагает делимость ~г—1 на £.
Обозначая частное от этого деления через у, найдем
т , п
— z — 1 = — v,
откуда выходит
mz — яу = со.
Но из сравнений
ат=1, ал=1(мод. /?),
возводя первое в степень z, второе в степень у, выводим
аш = ал^ (мод. р),

— 84 —
то, по сокращении на апу (число простое с /?, ибо, видели, а простое
с /?), дает
Аш"^=1 (МОД. р),
где, заменяя mz — пу через со, по (19), имеем
аш ее 1 (мод. р\
что и следовало доказать.
На основании этой теоремы не трудно доказать следующую:
Теорема 36. Сравнение хт—1^0 (мод. р) имеет со решений,
если со есть общий наибольший делитель кисел т up—1, и эти
решения найдутся из сравнения х™ —1=0 (мод. р).
Доказательство. Сравнению хт —1—0(мод. р) могут
удовлетворять только числа, не делящиеся на /?, ибо для х кратного р будет
л;,7г^0(мод. р). Но, по теореме Фермата, для х, не делящегося на р>
будет
хр-1— 1 = 0(мод. р).
Итак, все числа, удовлетворяющие сравнению хт—1=0(мод. р),
-будут также удовлетворять сравнению хр~1 — 1=0(мод. р)\ откуда
следует, по доказанной нами теореме, что эти числа будут
удовлетворять сравнению
^—1=0(мод. р)9
где со — общий наибольший делитель чисел р—1 к т.
Также не трудно убедиться в обратном, что все числа,
удовлетворяющие этохму сравнению, будут удовлетворять и сравнению
хт — 1 == 0 (мод. р).
В самом деле, из сравнения х*—1 = о (мод. р) выходит
х™ = 1 (мод. /?), а это, по возведении в степень - (число — есть целое,
ибо со есть делитель т), дает *от=1(мод. /?), или хт—1=0 (мод. р).
Итак, сравнениям хт—1 = 0, хф—1=0 (мод. р) будут
удовлетворять одни и те же числа. Нам остается теперь показать, что эти
сравнения имеют cd решений; это легко сделать над сравнением
х*—1=0(мод. р). Так как со есть делитель р — 1, то ?-^— есть число
целое; называя его через я, найдем р—1=со#, вследствие чего х? — х
представится так: х(ха*— 1) или лг[(лгш)л—Iя], а это делится на дгш— 1, ибо
разность степеней делится на разность корней. Но если хр — х делится
на хф — 1 без остатка, то, по теореме 26, сравнение х"—1=0(мод. р)
•имеет со решений. А так как это сравнение удовлетворяется одними
числами с х™—1=0(мод. р), то и это сравнение имеет со решений,
откуда и следует предложенная нами теорема.
Так, сравнение х10— 1 =0 (мод. 17), где общий наибольший
делитель чисел 10 и 17—1 есть 2, будет иметь только два решения,
которые найдутся из сравнения л;2=1(мод. 17). Замечая, что этому
сравнению удовлетворяет 1 и 17 —1 = 16, вследствие чего решения его суть
х~1, л; = 16(мод. 17),

-85 —
мы заключаем, что решения сравнения xlQ—1=0(мод. 17) суть
х== 1, х = 16 (мод. 17).
На основании этой теоремы решение сравнения хт— 1=0(мод. р)
сводится на решение сравнения х®—1=0 (мод. р), где со делит р—1;
этим-то сравнением мы теперь и займемся. Относительно его мы
докажем следующую теорему.
Теорема 37. Сравнению х»—1 = 0 (мод. р), где со делит р— 1,
£-1
удовлетворяет число а==п ш , если п простое с р.
Доказательство. В самом деле, полагая а = п ш , находим
аш—1=/г^-1—1.
Но, по теореме Фермата, при п простом с р будет
пР~1 — 1=0(мод. /?),
следовательно, также
at0 — 1 --= 0 (мод. /?),
что и следовало доказать.
it—г 11—1 11—1
Так, 2 6 , 3 5 , 4 5 , ... будут удовлетворять сравнению
л:5— 1=0 (мод. 11).
Таким образом, мы можем найти несколько решений сравнения
х*—1=0(мод. р). Что же касается определения всех его решений,
то относительно их докажется следующая теорема:
Теорема 38. Если число § удовлетворяет сравнению
х™—1=0(мод. р) и не удовлетворяет сравнениям х*—1=0,лг? —
— 1 — 0,..., jcc—1 = 0(мод. р), где а, (5, ..., £ суть делителг со
(включая сюда и 1), то все со решений сравнения х" — 1 = 0 (мод. р)
определяются так:
*==6, лг^нО2, ..., х = 0"(мод. р).
Доказательство. Не трудно убедиться, что если 6
удовлетворяет сравнению х*—1 = 0(мод. р), то ему удовлетворяет и 6л, какое
бы ни было число п. В самом деле, если 6 удовлетворяет сравнению
х" —1=0 (мод. р), то бш — 1 = 0 (мод. /?), или 6Ш = 1 (мод, р). Но,
возведя обе части этого сравнения в степень /г, находим 6Л(0 = 1 (мод. р)У
или 6ЛШ—1=0(мод. р)\ а это показывает, что 6я удовлетворяет
сравнению х*—1=0(мод. р). На основании этого мы заключаем, что
6,б2, *.%,6«
будут удовлетворять сравнению
х«>—1=0(мод. р)>

— 86 —
и, следовательно, будут удовлетворять ему все числа, определяемые
сравнениями
* = 6, * = 02, ..., *=Ош(мод. р). (20)
Докажем же теперь, что в этом ряду сравнений нет двух
сравнений, тождественных между собою. Для этого допустим противное;
допустим, что здесь какие-нибудь два сравнения
# = QW, л; = 6* (мод. р)
тождественны между собою; числа тип как показатели 0 в
сравнениях (20) будут более 0 и не более о, и пусть т будет более п.
Допустивши, что сравнения
# = 0m, х = Q* (мод. р)
удовлетворяются одним и тем же числом xt мы находим
6т = 0л(мод. р),
что, по сокращении на 0я, дает
О™-*—1 = 0 (мод. ру
Это сравнение вместе со сравнением 0ш=1(мод. /?), которому 6
удовлетворяет по положению, предполагает
(К —1 = 0 (мод. р)9
где о' — общий наибольший делитель т — п и (о (см. теорему 35). Ною'
не может быть равным о, ибо со' есть делитель т — п% где тип более
О и не более со, а потому т—п<^&. Но если число ю' меньше ю, то,
деля со, оно должно быть одним из делителей его а, р, ..., С; вследствие
чего предыдущее сравнение должно быть одним из сравнений
6«— 1=0, вР—1=0, ..., 0<— 1=0(мод. р).
Эти же сравнения, по положению, не могут иметь места. Итак, между
сравнениями
* = 6, л: = 02, ..., * = 8ш(мод. р)
де может быть двух тождественных между собою, следовательно, в них
заключаются все со решений сравнения
X* — 1=0(мод. р),
что и следовало доказать.
Так, чтобы найти все решения сравнения Xs—1 = 0 (мод. 13), мы
должны найти число, которое удовлетворяло бы ему, не удовлетворяя
сравнениям
*—1 = 0, л;2—1 = 0, *8— 1=0 (мод. 13).

— 87 -
Замечая, что такое свойство принадлежит числу 4, мы заключаем,
«что решения сравнения
хв— 1=0(мод. 13)
-суть
*==4, х = 4\ jc=43, x = 4\ лг~45, *еее46(мод. 13),
или
*=4, дг = 3, *=12, лг = 9, лг=10, д:=1(мод. 13).
§ 32. Переходим теперь к сравнениям х**—Л=0(мод. р), где А
-какое-нибудь число, не делящееся на ру а р — число простое, которое
мы опять предполагаем отличным от 2.
Относительно сравнений этого вида мы докажем следующую теорему:
Теорема 39, Сравнение хт — А^0(мод. р) возможно только
в том случае, когда А * = \(мод. р), где о— общий наибольший
делитель чисел р—1 и т. Когда же это сравнение возможно, оно
имеет со решений, которые найдутся из сравнения хш — Ля= 0 (мод. р),
где тг есть число, удовлетворяющее условию ^-тг=1 (мод.р-^— \
Доказательство. Мы предполагаем Л не делящимся на р\
поэтому число ху удовлетворяющее сравнению х"1 — Л = 0(мод. р) или
хт = Л (мод. р), не может быть кратным ру ибо в этом случае было бы
жда = 0(мод. р) и сравнение д^^Л(мод. р) дало бы Л = 0(мод. р). Но
-если х не делится на ру то, по теореме Фермата, будет
х*-1 = \ (мод. р).
Возводя обе части этого сравнения в степень —, а члены сравнения
хт=А(мол. р)
в степень ^~j— (числа ^-, ^—- будут целые, ибо со есть общий
делитель т и р—1), находим
(р — \) т т (р ~\) р •— \
х ш =1, хю ~А ш (мод. р),
откуда следует
Л ш = 1 (мод. р).
Итак, для возможности сравнения
хт — А = 0 (мод. р)
необходимо, чтобы Л удовлетворяло сравнению
Л^~=1(мод. р). W
Предположим теперь, что это условие выполняется и докажем, что
в таком случае все числа, удовлетворяющие сравнению
^=Д(мод. р),

— 88 —
удовлетворяют также сравнению
я0* = Л* (мод. р)>
где тс— число, определяемое сравнением
— тс=1 мод. .
to \ со J
со
НИЮ
Число со, будучи об'щим наибольшим делителем чисел т и р—1У
в частных —, ^-^ дает числа, простые между собою. Но при —,
р~~-у простых между собою, найдется число ^удовлетворяющее сравне-
— тг = 1 (мод. р ~ ), и для такого числа тг разность ~тг—1 будет
делиться на ^~ . Называя С частное от этого деления, будем иметь
— тг— 1 ==££ »
со о*
ИЛИ
ттг —С(р—1) = со. (22)
На основании 5того уравнения мы покажем, что сравнейие
хт = А (мод. р)
предполагает
л^ = Л*(мод. р).
В самом деле, возводя обе части сравнения
л;т=Л(мод. р)
в степень тг, находим
л;т* = Л* (мод. р);
по теореме же Фермата имеем
х?-1 = 1 (мод. р),
где, возведя обе части в степень С, получаем
лЛ<р-1)==1 или lss** </>-*> (мод. р)„
Но из сравнений
*тя=нЛ*, 1=дгс<^-1>(мод. р)у
перемножая их почленно, выводим
лг^еееЛ^^-^мод. р)9
что, по сокращении на х^(р-1\ будет
^^^^^(мод. р).

— 89 —
Заменяя же здесь /тг —С(р—1) числом ш, по (22), найдем
л^=Л*(мод. р),
что и следовало доказать.
Из этого видно, что сравнение
*от==Л(мод. р)
не может иметь решений, отличных от решений л^^Л^мод. р).
Убедившись в этом, мы докажем остальную часть предложенной*
нами теоремы. Для этого мы докажем, что сравнение л;* = Л* (мод. р)
имеет со решений и что все они удовлетворяют сравнению хт= Л (мод. р).
Чтобы увериться в первом^ мы, по § 21, ищем остаток, получаемый-
при делении хр— х на Xой — Л*.* Этот остаток мы легко находим,
замечая, что хр — х может быть так представлено:
[(х») ш — (А*) " )х-\-\А ш — \)ху
( pjzI P-l\
где \{хф) ш —(Л*) ш ) х, очевидно, делится на х™ — Л*.
Откуда следует, что искомый остаток есть
, п(р-1) \
\А ю —1)х.
Но здесь коэффициент Л ф — 1 делится нар, ибо, по (21), имеем
£-1
Л ш = 1 (мод. р),
что, по возведении в степень тс, Дает
Л ш =1 (мод. р);
следовательно, по теореме 26, сравнение хф = А* (мод. р) имеет с*
решений.
Нам остается теперь доказать, что все решения сравнения
х" = Ак (мод. р) удовлетворяют сравнению хт — Л = 0 (мод. р). Для
этого мы заметим, что сравнение ^0>^Ля(мод. р), по возведении его
частей в степень —, дает
тс/я
хт^А ш(мод. р).
Вычитая же Л из обеих частей этого сравнения, найдем
хт — А=А ф — Л(мод. р),
или
л w — 1;(мод. ру

— 90 —
Внося сюда величину ът из (22), получаем
хт — А = А\А « — U (мод. р). (23)
Ни по (21), А удовлетворяет сравнению
Л ш = 1 (мод. /?),
(которое по возведении его частей в степень С будет
Л ш = 1 (мод. р),
<или
Л ш — 1 = 0(мод. /?).
Вследствие же этого сравнение (23) приводится к такому:
хт~ Л = 0(мод. р),
•что и оставалось нам доказать.
Для примера возьмем сравнение
х* — 3=е0(мод. 11).
Общий наибольший делитель 8 и 11 — 1 есть 2. Следовательно, для
возможности этого сравнения необходимо быть
11 — 1
3 2 ЕЕ 1 (МОД. 11).
П —1
Это условие выполняется, ибо 3 2 =Зб<=243, что сравнимо с 1 по
модулю 11. Решения же этого сравнения найдутся из сравнения
х2 — 3я = 0 (мод. 11), где тг определяется условием
— тт=1 у мод. 2 J,
2
81ЛИ
4тг = 1 (мод. 5).
Решая это сравнение по способу, показанному в § J5, находим
тте=45-2 = 64(мод. 5).
Откуда видим, что за it можно взять 4. Вследствие этого сравнение
*2 — 3те=0(мод. 11)
дает
*2 — 81 = 0(мод. 11).
Но этому сравнению удовлетворяет х = 9 и дг=11—9 = 2.
Следовательно, решения сравнения
д:8 —3 = 0(мод. 11)

— 91 —
суть
х~2, * = 9(мод. 11).
Из доказанной нами теоремы относительно сравнений вида
хт— А = 0 (мод. р) выводим следующую теорему:
Теорема 40. Сравнение хР~{-1 = 0(мод. р) не имеет решения,
если р— 1, по освобождении от общих множителей с т, приводится
к числу нечетному. В противном случае это сравнение имеет <»
решений, если р—Хит имеют общим наибольшим делителем со,
и эти решения найдутся из сравнения
** ~{-1 = 0 (мод. р).
Доказательство. По теореме 39, для возможности сравнения
лг1" + 1 = 0 (мод. р)
необходимо, чтобы удовлетворялось сравнение
(—1) - =1(мод./>);
р — \
а это не может иметь места, если - число нечетное; следовательно,
частное от деления р — 1 на о>, общий наибольший делитель чисел т и
р — 1, должно быть числом четным.
Если же р-^— число четное, то условие
(—1) * ЕЕ 1 (МОД. р)
выполняется, а в этом случае, по доказанной нами теореме, сравнение
л^4-1 = 0(м°Д- Р)
имеет со решений, и эти решения найдутся из сравнения
jc°> — (— 1)* = 0(мод. р),
где тс есть число, удовлетворяющее сравнению
— тг=1 мод. ~— .
а) \^ о) )
Но так как в последнем сравнении модуль—число четное, а вторая
часть не делится на 2, то и первая должна быть числом простым с 2.
Откуда следует, что тс число нечетное, а потому сравнение
*" — (— 1)«==0(мод. р),
которым определяются решения сравнения
хт +1 =: 0 (мод. р),

- 92 -
приведется к такому:
хю +1 = О (М°Д- Р)-
Так убеждаемся мы в справедливости предложенной нами теоремы.
На основании этой теоремы мы заключаем, что сравнение
*4+1 = 0(мод. 13)
не имеет решения, ибо общий наибольший делитель 4 и 13—1 есть 4,
а частное от деления 13—1 на 4 есть 3, число нечетное. Напротив,
сравнение
л*-|-1~н0(мод. 13)
имеет три решения, ибо общий наибольший делитель 9 и 13 — 1 есть 3,
а 3, деля 13—1, дает в частном число четное 4, и решения этого
сравнения найдутся из сравнения
*8 + 1 = 0(мод. 13).
§ 33. До сих пор мы говорили о сравнении хт — Лее0(мод. /?),
предполагая р числом простым. Обращаемся теперь к тем случаям,
когда здесь р число составное. Мы предположим р числом простым
относительно т и Л и докажем, что в этом случае, если можно удовлетворить
сравнению хт — Л = 0, принимая за модуль его какое-либо из простых
чисел, входящих в состав р, то ему можно удовлетворить и при модуле р.
Мы начнем с частного случая, предположив, что /?=ат, где а —
какое-нибудь простое целое, не делящее /пи Д и покажем, каким
образом из решения сравнения
хт — Л еее 0 (мод. а)
могут быть выведены решения сравнений
хт— Л = 0(мод. а2),
хт — Л = 0(мод. а8)
и т. д.
Пусть будет а число, удовлетворяющее сравнению
хт — Л = 0(мод. а);
число а не будет делиться на а, ибо Л, по положению, не делится на а.
Для определения числа, удовлетворяющего сравнению хт — Л = 0 (мод. а2),
положим x=*a-\-az и будем искать z под условием (a-\-az)m —
— Л = 0(мод. а2), которое приводится к следующему:
ат — А^та^ог^™^"^am~*a?z2-] \-amzm~0(мод. а2).
Но здесь а есть общий множитель членов сравнения и модуля, ибо ау
будучи числом, удовлетворяющим сравнению хт — Л = 0(мод. а), в раз-

— 93 —
ности ат — А дает число кратное а; во всех же прочих членах
сравнения и в модуле число а входит множителем. Сокращая его, находим
?!^ + та™-*г+т(™-1)ат-*аг*-\ \-ат-**" = 0(моА. а).
Но так как
m{™~l)am-1az2 + ... + am-1zm = Q(MOjx. a),
то предыдущее сравнение приведется к такому:
—=—\-mam-lz^Q{uo&. а).
Это сравнение, будучи первой степени относительно неизвестного z,
легко решается. Притом не трудно убедиться, что оно всегда имеет
решение: в нем коэффициент при 2, будучи составлен из произведения
чисел т и а простых с а будет число простое с модулем а; в этом же
случае сравнение первой степени всегда имеет решение.
Итак* решением сравнения
ат~А + mam^z = 0 (мод. а)
найдется число г, по которому число, удовлетворяющее сравнению
хт — Л = 0 (мод. а2),
выразится так: x — a-\-az. Покажем теперь, каким образом по числу Ъ,
удовлетворяю щему ср авнению
хт — Л==0(мод. а2),
найдется число х, для которого
хт — Л не 0 (мод. а3).
Для этого, полагая в этом сравнении х = Ь-\-а2и9 выводим
(Ь + а?и)т — А =е= 0 (мод. а3).
Разлагая же {Ь-\-а}и)т по биному Ньютона, сокращая все члены
сравнения и модуль на а2 и опуская члены кратные а, как делали выше
найдем для определения и сравнение
^^+/я6«-1и = 0(мод. а).
Отсюда определится я. Зная же и> мы определим число,
удовлетворяющее сравнению
хт — А = 0 (мод. а3),
из уравнения х=Ь-\-а2и.
Поступая таким образом, мы будем находить решения сравнений
хт—д = о при модулях а4, а5 и т. д.

— 94 —
Для примера найдем решение сравнения хь— 2 = 0(мод. З2). Сначала
решаем сравнение хъ— 2 = 0 (мод. 3), которое, по теореме 39, приводится
к следующему:
х — 2* = 0 (мод. 3),
где тг определяется условием
5тг ее 1 (мод. 2).
Замечая, что этому условию удовлетворяет тг=1, мы для решения
сравнения хъ — 2 = 0 (мод. 3) находим
х— 2 = 0 (мод. 3).
Откуда заключаем, что 2 есть число, ему удовлетворяющее, и для
решения сравнения
л5 —2 = 0 (мод. З2)
полагаем л; = 2-f-3z, где z определяется условием
^^ + 5.25~^ = 0(мод. 3),
или
10 + 802: = 0 (мод. 3),
которое, по сокращении на 10, приводится к следующему:
8z= —1(мод. 3).
Между числами, удовлетворяющими этому сравнению, находим 1;
принимая ее за z, мы находим, что 2-j-3z равно 5, и это будет число,
удовлетворяющее сравнению
х* — 2 = 0 (мод. З2).
Обращаемся теперь к сравнению хт — А = 0 (мод. /?), где р — какое-
нибудь число простое с т и А% и докажем, что если р состоит из
произведения простых чисел а, р, y> ••-> Для которых сравнения
хт — Л = 0(мод. а), хт — Л==0(мод. (J), хт — Л = 0(мод. у), • ••
имеют решения, то можно найти решение сравнения
zm— Л = 0 (мод. р).
Пусть будет p = ax^f* •• По приему, показанному нами, мы найдем
числа, удовлетворяющие сравнениям
хт — А == 0 (мод. ах), хт — А = 0 (мод. ^), хт — А = 0 (мод. f), ...
Пусть эта числа будут М, N, Р9 ...; по теореме 13, все числа,
определяемые сравнением
х^М(мод. ах),
будут удовлетворять сравнению
хт — Л = 0(мод. ах);

— 95 —
числа, определяемые сравнением
я = ЛГ(мод. р*),
будут удовлетворять сравнению
хт — Л = 0(мод. а+)%
и, т. д. Но в § 30 видели, каким образом можно найти число,
удовлетворяющее всем сравнениям
х = М(уол. ах), л;=ЛГ(мод. р*), д: = Р(мод. f), ...
и, следовательно, всем сравнениям
Xм — Л==0(мод.ах), хт—Л = 0(мод. ^), х™ — Л = 0(мод. f),...
А так как а, р, Т» ••• различные простые числа, то модули этих
сравнений а\ р\ у\ ... суть числа относительно друг друга простые„
а в этом случае эти сравнения, по § 9, предполагают
хт— А = 0 (мод. ах^- • •).
Так мы найдем число, удовлетворяющее сравнению
хт — А = 0 (мод. ах^- • •),
определивши число, которое удовлетворяет сравнениям
х=Л1 (мод. av), *=Л^(мод. $*), л = Р(мод. f),...,
где М, N, Р9 ... числа, определяемые условиями
Мт — А = 0 (мод. ах),
W* —Л = 0(мод. ^),
Р* —Л==0(мод. f),
ГЛАВА VI
О СРАВНЕНИЯХ ВИДА а* = Л(ш>д.р)
§ 34. До сих пор мы занимались исследованием таких сравнений,,
которые заключают в себе алгебраическую целую функцию неизвестного,
и рассмотрели замечательнейшие из этих сравнений: сравнения первых
двух степеней и сравнения двучленные. Теперь переходим к сравнениям,
которые содержат неизвестное показателем. Из этих сравнений самое
замечательное есть а*=Л (мод. р), где р — число простое, не делящее
а и Л. Этим сравнением мы теперь и займемся. Относительно его легко
доказать следующую теорему:
Теорема 41. Если число а удовлетворяет сравнению ах = А
(мод. р), то ему удовлетворяет и всякое число, сравнимое с а по
модулю р— 1.

— 96 —
Доказательство. Если z сравнимо с а по модулю р— 1, то
z — а делится на р— 1. Называя С частное от деления z—а на р — 1,
найдем
z — а = (р— 1)£,
откуда следует
Но, по теореме Фермата, ар"1 и, следовательно, а(/7~1); сравнимо
с 1 по модулю р\ поэтому
а2~а ~ 1 (мод. р).
Имея же, по положению,
аа = А (мод. /?),
мы перемножением этого сравнения с предыдущим находим
аг = А (мод. р),
что и следовало доказать.
Из доказанной нами теоремы видно, что если сравнению а*= А (мод./?)
удовлетворяет одно число, то ему удовлетворяет бесконечное множество
других, сравнимых с первым по модулю р—1. Но все эти числа,
сравнимые между собою по модулю р — 1, мы принимаем за одно решение
сравнения а*= А (мол. р). В этом значении сравнение
а* = А (мод. р)
*6удет иметь столько решений, сколько положительных чисел, меньших
р—1 и, следовательно, не сравнимых между собою по модулю р—1,
ему удовлетворяет. * Эти решения представятся так:
х==а1$ х = а2, ..., х~ая(мод./?— 1),
где а1э а2, .-., ап суть положительные числа, меньшие р— 1 и
удовлетворяющие сравнению
а*== Л (мод. р).
Показавши, как считаются решения сравнения ах = А (мод. р), мы
приступим к определению числа их и начнем с частного случая А=\.
Относительно сравнения а*=1(мод. р) легко доказать следующие
теоремы:
Теорема 42. Если сравнению ах=\(мод. р) удовлетворяет
jc = a, то ему удовлетворяет всякое число кратное а.
Доказательство. В самом деле, если сравнению ах = 1 (мод.р)
удовлетворяет л=а, то аа= 1 (мод. р). Это же сравнение, по возведении
в какую-нибудь степень /г, будет ат= 1 (мод. р); откуда следует, что па
удовлетворяет сравнению а*=1 (мод. р).
* До этого мы доходим, повторяя о решениях сравнения а*&я Л (мод* р) те же
суждения, которые делали в § 12 при определении числа решений сравнения
;с ss 0 (мод. р).

— 97 —
Теорема 43. Если сравнению ах=\(мод. р) удовлетворяет
число а, то ему удовлетворяет и общий наибольший делитель чисел
а и р— 1.
Доказательство. Эту теорему легко вывести из теоремы 36,
доказанной нами для двучленного сравнения хт—1 ее 0 (мод./7), по
которой число ау удовлетворяющее этому сравнению, должно также
удовлетворять сравнению X*—1=0(мод./?), где со— общий наибольший
делитель т и р—1, и, следовательно, сравнение ат=1(мдл. р)
предполагает сравнение а°>= 1 (мод. р), в чем и заключается предложенная
нами теорема.
Теорема 44. Наименьшее число, за исключением 0,
удовлетворяющее сравнению а* = 1 (мод. р), есть делитель р — 1; прочие же
числа, ему удовлетворяющие, суть кратные этого делителя.
Доказательство. Пусть будет а наименьшее число,
удовлетворяющее сравнению а*=1(мод. р)\ по предыдущей теореме, сравнению
а* = 1 (мод. р) будет удовлетворять общий наибольший делитель чисел
аир—1. Но этот делитель чисел р — 1 и а, удовлетворяя сравнению
ах=\ (мод. /?), должен быть равен а, ибо в противном случае он был
бы меньше а, между тем как, по положению, а есть наименьшее число,
удовлетворяющее сравнению а*= 1 (мод. /?). Итак, а должно быть
делителем числа р — 1.
Теперь докажем, что все числа, удовлетворяющие сравнению
ах=\ (мод. /?), суть кратные а. Для этого мы замечаем, что, по
предыдущей теореме, сравнение ах = 1 (мод. р) предполагает аш = 1 (мод. р),
где. со— общий наибольший делитель чисел х и р — 1. Это же
сравнение вместе с а*= 1 (мод. р) предполагает (см. теорему 35) аш'= 1 (мод. р),
где со' — общий наибольший делитель а и со. Но со'должно быть равно а;
иначе со', будучи общим наибольшим делителем а и со, было бы меньше а
и так как со' удовлетворяет сравнению ах=\ (мод. р), то мы нашли бы
в со' число меньше а, которое удовлетворяет сравнению ах= 1 (мод. р),
что противно положению. Итак, со' равно а. Но мы видели, что со есть
общий наибольший делитель х и р — 1; следовательно, а, равное со',
делит со и х, что и следовало доказать.
Так, замечая, что наименьшее число (после 0), удовлетворяющее
сравнению 2*==-1(мод. 31), есть 5, мы заключаем, что только числа
кратные 5 будут удовлетворять этому сравнению.
По доказанной нами теореме мы заключаем, что наименьшее число,
удовлетворяющее сравнению ах= 1 (мод. р), есть один из делителей р— 1
(из этого числа не исключается само р— 1, которое, по теореме Фермата,
удовлетворяет сравнению ар~1^\ (мод. р)), и если это число а, то все
числа, удовлетворяющие этому сравнению, начиная от 0, представятся
таким рядом 0, а, 2а, ..., откуда видно, что
0,а,2а, ...,a(£=J- — l)
7 Чебышев. т. I

— 98 —
суть единственные числа, удовлетворяющие сравнению а* = 1 (мод. р) и
меньшие/?—1; следовательно, решения сравнения ах = 1 (мод. р) суть
х==09 х===а, х=в2а, ..., х=ва(?-^ 1)(мод. р— 1),
р —1
и число их есть .
а
Так, замечая, что наименьшее число, удовлетворяющее сравнению
2*=1(мод. 31), есть 5, мы заключаем, что это сравнение имеет —^-=5
решений, которые суть
;с = О, х^Ь, л: = 2 • 5, л; =г 3 • 5, л; еее 4 • 5, л; ^ 5 • 5(мод. 30).
Мы нашли, что число решений сравнения ax-s= 1 (мод. р) определяется
отношением р — 1 к а, где а — наименьшее число, удовлетворяющее
этому сравнению. Отсюда следует, что это сравнение имеет одно толька
решение, если наименьшее число, удовлетворяющее этому сравнению»
есть р — 1.
§ 35. Переходим теперь к сравнениям ах~ А (мод. /?), где А—какое-
нибудь число, не делящееся на /?, и докажем следующую теорему.
Теорема 45. Если сравнению а* = А (мод. р) удовлетворяет X,
а наименьшее число, удовлетворяющее сравнению ах=1 (мод. р),
р—\
есть а, то первое сравнение имеет решении, которые суть
л; = Х, лг = 1-|-'а» х = Х-{-2а, ..., х^1+(~* 0а (мод. р—\).
Доказательство. Если X и а удовлетворяют сравнениям
ах = Л, ах = 1 (мод. р),
то
а> = Л аа = 1 (мод. р).
Возведя обе части последнего сравнения в какую-нибудь степень п
и перемножив его почленно с ах=Л(мод. р), находим
ах+аЯ== А(мод. р)>
откуда ясно, что \-\-an удовлетворяет сравнению ах = А (мод. /?), какое
бы ни было целое число п.
Не трудно также убедиться, что, кроме чисел вида X -f- an, нет
других, способных удовлетворить сравнению ах=Л(мод. р).
В самом деле, если ах = А(мод. /?), то а* = ах(мод. р), ибо, по
положению, X удовлетворяет сравнению ах^Л(мод. р). Но, сокращая
сравнение а* = ах(мод. />) на а\ находим а*~х=1(мод. /?), что, по
теореме 44, предполагает делимость х — X на а. Полагая же частное от
деления х — X на а равным п> находим х — Х = ая и, следовательно,
х=\~\-ап.
Итак, числа, удовлетворяющие сравнению а* = Л(мод. /?),
определяются формулой х = 1-{-ап, где п — какое-нибудь число. Но эта фор-

— 99 —
мула при значениях я, сравнимых по модулю £—, дает числа,
сравнимые между собою по модулю р — 1; и обратно, при двух значениях л*
не сравнимых по модулю £^-, значения \-\-an будут также не срав»
нимы. В этом мы убеждаемся, заметив, что сравнение
l-\-anz=\-\-an'(№A. р — 1),
по уничтожении I и сокращении а в обеих частях сравнения и модуле,
приводится к следующему:
п=п* (мод. ^j-\
Но по модулю ^— все числа сравнимы с одним из следующих:
U» 1 у Z, . •., ' ' 1>
а
которые не сравнимы между собою; следовательно, все числа,
определяемые формулой лс = 1-[-an, будут сравнимы по модулю р — 1с одними
чисел
сами же они друг с другом будут не сравнимы. А потому все числа вида
X -f- яа, или, что одно и то же, удовлетворяющие сравнению ах=А (мод. /?)»
определятся сравнениями
х = \, х = \-\-а, х~\-\-2а, ..., х==1 + а {j—^— 1 )(мод./7— 1),
и эти сравнения все различны между собою, откуда и следует
предложенная нами теорема.
Так, замечая, что сравнению 2* = 13(мод. 17) удовлетворяет л=6,
наименьшее же число, удовлетворяющее сравнению 2х = 1 (мод. 17), есть 8,
17 — 1
мы заключаем, что сравнение 2*= 13 (мод. 17) имеет —g—, или 2,
решения, которые суть
*==6, * = 6 + 8(мод. 16).
§ 36. На основании доказанной нами теоремы число решений
сравнения а* = А (мод. р), в случае его возможности, определяется числом
решений сравнения а*=1(мод. р). Теперь мы рассмотрим особо тот
случай, когда сравнение ах = 1 (мод. р) имеет одно решение, и,
следовательно, наименьшее число, удовлетворяющее сравнению #*=1 (мод. /?),
есть р—1. В этом случае а получает название первообразного корня
числами сравнение ах — А (мод. р) особенно замечательно по своим
приложениям. Этим сравнением мы теперь и займемся. Относительно его
мы докажем следующую теорему:
Теорема 46. Если а есть первообразный корень числа р, и А
не делится на р, то сравнение ах^А(мод. р) имеет одно решение.
Доказательство. В самом деле, по свойству первообразного

— 100 —
корня а, наименьшее число, удовлетворяющее сравнению ахее: 1 (мод. р)>
есть р—1. Но в этом случае, по предыдущей теореме, сравнение
a*s Л (мод. р) или имеет одно решение, или не имеет ни одного.
Докажем же, что последнее не может иметь места при Л, не делящемся на р.
Для этого, допустив, что сравнение а* == Л (мод. р) не имеет решения,
мы замечаем, что Л, не будучи кратным р> при делении на р дает
в остатке одно из чисел
1,2, ...,/7—1,
и, следовательно, с одним из этих чисел будет сравнимо по модулю р.
Пусть это число будет г. Имея Л :=г г (мод. /?), мы из сравнения
а* ~ А (мод. р) выведем a* ^ r (мод. р), которое не будет иметь решения,
ибо, по положению, не имеет его сравнение ах~ Л (мод. р). Но так как
а число простое с /7, то а0, а1, а2, ..., ар~2 не делятся на р, и,
следовательно, каждое из них по модулю р сравнимо с одним из чисел
1,2,3, ...,/? — 1,
откуда следует, что все р—1 чисел 0,1,2, ...,/7 — 2 удовлетворяют
какому-либо из р — 1 сравнений
а*ЕЕ=1, а*Е=2, а* = 3, ..., ах~р — 1 (мод, р).
Но так как одно из них есть а* = г (мод. р)> которое не имеет
решения, то все р—1 чисел 0, 1,2, ...,р — 2 должны удовлетворять
остальным р — 2 сравнениям, и, следовательно, по крайней мере одному
из них удовлетворяют два числа из ряда 0, 1,2, ...,/7 — 2, что'
невозможно, ибо это предполагает в этом сравнении два решения. Итак,
нельзя допустить, чтобы сравнение ахг^= Л (мод. р) при Л, не делящемся
на /7, не имело решения, а это и следовало доказать.
На основании этой теоремы мы заключаем, что если а есть
первообразный корень числа /7, то для всякого числа Л, не делящегося на р,
сравнение ах = А (мод. р) будет иметь одно решение и, следовательно,
будет удовлетворяться одним числом, меньшим р — 1 и не меньшим
нуля. Такое число называют указателем числа Л; первообразный
корень а получает в этом случае название основания указателей. Итак,
число х будет указателем числа Л по основанию а, если х, будучи
меньше р — 1 и не меньше 0, удовлетворяет сравнению <2*г£еЛ(мод. /7),
и в этом случае мы будем писать так:
jc = Ind. Л.
По сказанному нами мы найдем Ind. Л, решая сравнение ах~А (мод. р)
и выбирая между числами, удовлетворяющими ему, то, которое меньше
р— 1 и не меньше нуля. Так, при одних и тех же модуле р и
основании а мы найдем одну величину для указателя какого-либо числа Л, не
делящегося на/7. Обратно, зная, что 1пй.А=х% мы для определения
числа Л будем иметь сравнение ах-^. А (мод. р). Но этим не определяется
вполне число Л; этому сравнению удовлетворяют все числа, сравнимые

— 101 —
с Л по модулю р% и, следовательно, все они имеют один и тот же
указатель. Итак, зная указатель Л, мы будем знать только число, с
которым Л сравнимо по модулю р. Это число определяется сравнением
Л ==ях(мод. р) при x = lnd.A.
Поясним это примером. Пусть будет /7 = 7. Так как сравнению
3х = 1 (мод. 7) не удовлетворяют числа 1, 2, 3, 4, 5, то 3 есть
первообразный корень числа 7. Примем же его за основание и найдем указателей
1, 2, 3, 4, 5, 6, которые будут также указателями всех чисел, сравнимых
с 1, 2, 3, 4, 5, 6 по модулю 7.
Чтобы найти указателя 1, мы должны решить сравнение
3*=1 (мод. 7).
Но ему, очевидно, удовлетворяет 0; следовательно,
Ind. 1=0.
Не трудно убедиться, что и всегда указатель 1 есть 0, ибо
сравнению ах= 1 (мод. р) всегда удовлетворяет х = 0.
Чтобы найти указателей 2, 3, 4, 5, б, мы должны решить
сравнения
3х = 2, 3-г™3, 3х = 4, 3х ~5, 3х = 6 (мод. 7)
и между числами, *гх удовлетворяющими, найти те, которые меньше
7—1 и не меньше 0; а это приводится к тому, чтобы найти, которое
из чисел
З1, З2, З3, 3*, З5
сравнимо с 2, 3, 4, 5, 6 по модулю 7. Но так как эти числа равны
3, 9, 27, 81, 243
и остатки от деления их на 7 суть
3, 2, 6, 4, 5,
то мы заключаем, что
3*=3, 32 = 2, 3s = 6, 34~4, 35~5(мод. 7).
Следовательно,
Ind.3=l. Ind.2 = 2, Ind.6 = 3, Ind.4 = 4, Ind.5=5.
Отсюда для определения указателей чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 по
модулю 7 и основанию 3 выходит такая таблица:
Ind.l =0, Ind.2=2, Ind.3= 1,
Ind.4 = 4, Ind.5 = 5, Ind.6 = 3.
По этой таблице мы находим указатель всякого числа А простого
с 7, замечая, что такое число будет сравнимо по модулю 7 с одним

— 102 —
иа чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 и, следовательно, с этим числом имеет одного
указателя. Так для определения указателей 20 и—18 мы находим, что
по. модулю 7 эти числа сравнимы с 6 и 3. Откуда следует
Ind.20 = lnd.6==3,
Ind.(— 18) = Ind.3=l.
Для определения чисел по данному указателю мы предыдущую
таблицу расположим так:
0 = lnd.l, l=Ind. 3, 2 = Ind.2,
3 = Ind.6, 4 = Ind. 4, 5 = Ind.5.
По этой таблице мы найдем, какое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 имеет
данный указатель. Так, найдем, что указатель 3 принадлежит числу 6.
Откуда заключаем, что все числа, имеющие указателем 3 по модулю 7
и основанию 3, сравнимы с 6 по модулю 7.
Из сказанного нами видно, что составление таблиц указателей не
представляет никаких затруднений, когда найдены первообразные корни.
Но как найти их, мы покажем впоследствии. Теперь же мы займемся
изложением свойств указателей, на основании которых таблицы их могут
быть употребляемы с чрезвычайной выгодой при решении многих
вопросов теории чисел. В конце этой книги помещены таблицы указателей
для модулей, меньших 200. * Они заимствованы нами из лекции
алгебраического и трансцендентного анализа г-на академика Остроградского.
Таблицы под буквой / служат для определения указателей по данному
числу; таблицы же под буквой N по данному указателю служат для
определения чисел. В тех или других таблицах данное (будет ли это
указатель, или число) разбивается на десятки и единицы; единицы
находятся в верхней строке, десятки в крайней левой; искомое же
находится на одной вертикальной с единицами и на одной горизонтальной
с десятками.
Так, чтобы найти указателя 167 по модулю 193, мы в таблице под
буквой / для модуля 193 ищем в верхней строке 7, а в крайней
слева 16; число же на одной горизонтальной с 16 и на одной
вертикальной с 7 есть 101; это и есть искомый указатель 167. Обратно, желая
определить при том же модуле и основании, какие числа имеют
указателем 101, мы в таблице под буквой N в верхней строке ищем I,
в крайней 10; соответствующее им число в таблице 167. Откуда
заключаем, что числа, имеющие указателем 101, сравнимы с 167 по
модулю 193.
§ 37. Займемся теперь исследованием свойств указателей, на
которых основывается употребление их таблиц.
Теорема 47. При модуле р указатель произведения нескольких
чисел сравним с суммой из указателей по модулю р — /.
Доказательство. Пусть будут Л, £, С, ... данные числа и
В настоящем издании эти таблицы приведены в конце тома. Ред.

— 103 —
i, i\ i*> ... их указатели по модулю р и основанию а; по свойству
указателей будет
а* = Л, ^ = 5, аР = С, ...(мод./?).
Перемножая эти сравнения между собою, найдем
fli+/+j>+... == ABC... (мод. />).
Но если / есть указатель ABC*--, то
а7= ABC • • • (мод. /?).
Из этого же сравнения и предыдущего выходит
#+'+*+"•== а7(мод. /?),
что по сокращении на а7 дает
а1+,+#г+..._/_цмод> р)
Итак, число i-{-r"-[-*4 / удовлетворяет сравнению ах=1 (мод. р),
что, по теореме 44, предполагает, что это число есть кратное
наименьшего числа, удовлетворяющего сравнению ах=1(мод. /?), которое, по
свойству первообразных корней, есть р—1. Следовательно,
разность / + * -М'Н 1 делится на р—1, а это выражается
сравнением
/ = * + /' + ГЧ (мод. /7—1),
что и следовало доказать.
Так, по модулю 199 и основанию 127 находим
Ind.2 = 194, Ind.5 = 6, Ind. 19= 11,
следовательно,
Ind.2-5 49 = 194 + 6 + 11 (мод. 198),
или
1пс1Л90==211(мод. 198).
Замечая, что число, меньшее 198 и сравнимое с 211 по модулю 198,
£сть 13, мы заключаем, что Ind. 190=13. Так, мы можем всегда найти
указателя составного числа, зная указателей простых чисел, входящих
в состав его.
На основании доказанной нами теоремы мы заключаем, что
указатель степени сравним по модулю р—1с произведением показателя
степени на указателя корня. В самом деле, мы нашли, что
Ind.ABC- • • = 1п<1.Л + IncLB + Ind.C -| (мод. p — 1).
Предполагая здесь Л==£ = С=--- и называя п число чисел А,
В, С,..., мы находим
Ind.Ап = п Ind. А (мод. р — 1).

— 104 —
Так при модуле 199 находим Ind.23 = 3 1пс1.2(мод. 198). Но Ind.2
есть 194. Следовательно, Ind.23 = 3 • 194 = 582 (мод. 198).
Теорема 48. Если х удовлетворяет сравнению Ахп=.В (мод. р).
где А и В — числа, не делящиеся на р, и р число простое, та
указатель х удовлетворяет сравнению п Ind.*~Ind.£—Ind.
А (мод. р— 1).
Доказательство. Так как два числа, сравнимые по модулю />„
имеют одного указателя при том же модуле, то из сравнения
Л*л = В(мод. р)
выходит
Ш.Ахп = Ш.В.
Но, по предыдущей теореме, Ind. Ахп по модулю р—1 сравнив
с Ind.i4-J-Ind.je'1, a Ind.** сравним с nlnd.x, следовательно,
Ind.i4 + n Ind.*=Ind.i3(MOA. р—1),
откуда выходит
п Ind.* = Ind.B— Ind.Л (мод. р—1),
что и следовало доказать.
На основании этой теоремы легко решаются все сравнения вида
Ллг" = 5(мод. р) при р простом, Л и В, не делящихся на р. Сюда
относятся сравнения первой степени, сравнения второй степени вида x2~q>
(мод. р) и все сравнения двучленные.
Начнем с приложения этой теоремы к сравнениям первой степени.
Если данное сравнение есть Л* = В (мод. /?), то на основании
предыдущей теоремы найдем
Ind.* = Ind.£ — ^.Л(мод. р—1).
Замечая, что Ind. х не может быть менее 0 и более р — 2, мы из
этого сравнения найдем его величину, определяя наименьшее
положительное число, сравнимое с Ind.B — Ind.Л по модулю р—1. Найдя
указателя х, мы по таблице найдем число, с которым х сравнимо по
модулю р\ это и будет искомое решение.
Так, для решения сравнения
10*== 9 (мод. 11)
находим
Ind.A:=Ind.9 — Ind. 10 (мод. 10).
Но из таблиц указателей видим, что
Ind.9 = 6, Ind.l0 = 5;
откуда выходит
Ind.A; = 6 — 5=1 (мод. 10),
и, следовательно, Ind.*==l. Но Ind.#=l соответствует
д:=2,'следовательно, * = 2 (мод. 11).

— 105 —
Для решения сравнения x2~q (мод. р) мы из предыдущей теоремы
выводим
2 Ind.je= 1пс1.^(мод. р—1).
Предполагая здесь р числом нечетным, мы замечаем, что
коэффициент искомого Ind.* и модуль имеют общим наибольшим делителем 2.
Из этого, по теореме 18, мы заключаем, что это сравнение и,
следовательно, #2 = <7(мод. р) не имеют решения, если Ind.<7 не делится на 2.
В противном случае, по теореме 19, сравнение 2 Ind..*=Ind. ^{мод./?—1)
будет иметь два решения, и, следовательно, найдутся два числа, в>ряду
0, 1, 2, ..., р~% ему удовлетворяющие. Эти числа будут
значения Ind.x, и по ним мы найдем два решения сравнения ,*2 = #(мод. р\.
Для примера возьмем сравнение
*2 = 10(мод. 101).
Решение его приведется к сравнению
2 lnd.jeE=Ind.l0(MO.a. 100).
Но по таблицам находим lnd.10 —25, что на 2 не делится,
следовательно, это сравнение не амеет решения. Действительно, определяя
значение ( щ\* находим
что обнаруживает невозможность сравнения х2= 10 (мод. 101).
Для другого примера возьмем сравнение
х2 = 30 (мод. 107).
Решение этого сравнения приводится к такому:
2 Ind.* = Ind.3()(MOA. 106).
Но Ind. 30 есть 80, число четное. Следовательно, это сравнение
имеет решение.
Решая сравнение
2 ind.* = 80 (мод. 106),
мы находим, что наименьшие числа, ему удовлетворяющие, суть 40 и
93. Следовательно,
Ind.*=40. lnd.* = 93.
Но эти указатели соответствуют числам 64 и 43. Следовательно,
решения сравнения х2 = 30 (мод. 107) суть
*=64, jceee 43 (мод. 107).
Обращаемся теперь к решению двучленных сравнений х*=В (мод. р).

— 106 —
Решение этого сравнения, по предыдущей теореме, приводится
к следующему:
л1пс1.л; = 1пс1.£(мод. р—1).
По теореме 18, это сравнение будет невозможно, если общий
наибольший делитель чисел п яр—1 не делит Ind.ZJ, следовательно,
в этом случае сравнение
д:й = 5(мод. р)
не имеет решения. Если же общий наибольший делитель п и р — I
есть со и со делит Ind.B, то сравнение
n\nd.x=lnd.B (мод. р—1),
по теореме 19, имеет ш решений. Откуда выходит со различных
значений Ind.jc, и, следовательно, со решений сравнения д;л = Б(мод. р); все
это подтверждает нам теорему 39, по которой сравнение л;п = 5(мод. р)
лли не имеет решения, или имеет их столько, сколько единиц в общем
наибольшем делителе чисел пир—1.
Для примера возьмем сравнение х12= 17 (мод. 127). Для решения,
этого сравнения выводим
12 Ind.* = Ind.17 (мод. 126).
Находя для величины Ind.17 число 118, которое не делится на 6,
общего наибольшего делителя 12 и 126, мы заключаем, что сравнение
12 Ind.* = Ind.17 (мод. 126),
и, следовательно, сравнение
*13=17(мод. 127)
не имеет решения.
Для другого примера возьмем сравнение
*12==38(мод. 127).
Из этого сравнения выходит
12 Ind.jc = Ind.38(MOA. 126),
или
12 1па.*=60(мод. 126).
Здесь 60 делится на 6, общий наибольший делитель чисел 12 в
126. Следовательно, это сравнение имеет 6 решений; эти решения мы
найдем по теореме 19, сокращая в предыдущем сравнении модуль и
юбе части на 6. Это дает нам
2 Ш.;с=10(мод. 21).
Решая это сравнение, мы находим, что наименьшее число, ему
удовлетворяющее, есть 5. Откуда для решения сравнения
12 Ьк1.* = 60(мод. 126)

— 107 —
выходит
Ind.* = 5, Indjt==26, Ind.* = 47 (мод. 126),
Ind.A:=68, Ind.* = 89, Ind.x = 110 (мод. 126).
Из этих же сравнений следуют такие 6 значений Ind.x:
5,26,47,68,89,110.
Но этим указателям соответствуют числа
65,30,92,62,97,35.
Следовательно, решения сравнения х12= 17 (мод. 127) суть
ж = 65, *=30, *==92, **=62, * = 97, д: = 35(мод. 127).
§ 38. Переходим теперь к определению первообразных корней и
докажем, что всякое число а, простое с р и не удовлетворяющее
сравнениям
р—1 р-л р—\
аа=Е=1, аР=1, а * =1, ... (мод. р),
где а, р, у, ... суть простые числа, входящие в состав р—1, есть
первообразный корень числа р.
Мы видели, что а будет первообразным корнем числа р, если
сравнение а* = 1(мод. р) не удовлетворяется числом меньшим р—1.
Покажем же, что это будет иметь место в сделанных нами предположениях.
Для этого мы допустим противное и обнаружим несообразность его.
Если сравнение а*=1(мод. р) удовлетворяется при х<^р — 1, то,
по теореме 43, удовлетворяется сравнение аш=1(мод. р), где со —
общий наибольший делитель чисел р—1 и х и, следовательно, ю меньше
р—1. Поэтому дробь р"~ приведется к целому числу, превосходящему
1. Но в состав этого числа могут входить только числа а, р, у,...,
входящие в состав р—1, следовательно, одно из чисел а, р, у, ... делит
частное р~~ . Пусть же это будет р и частное от деления р~~ на Р
пусть будет С.
Имея
мы выводим
о* = —j-.
На основании же этого уравнения, мы из сравнения аш=1 (мод./?),
возводя обе части его в степень С, находим,
а Р ~1(мод. р),
что противно положению.
Итак, сравнение ах=1(мод. р) не может удовлетворяться при

— 108 —
х<^р—1, а потому а есть первообразный корень числа /?, что и
следовало доказать.
На основании этого не трудно доказать следующую теорему:
Теорема 49. Если для а невозможны сравнения
л^^а, х$=а, л:7=а, ... (мод. р),
где а, р, у» ••• суть простые числа, входящие в состав р — 1, то а
есть первообразный корень. В противном случае а не есть
первообразный корень.
Доказательство. По теореме 39, отсутствие решений в
сравнениях
хаЕ-за* jtP = <2, xi^a> ... (мод./?),
где а, р,у, ... суть делители р—1, предполагает, что сравнения
а а =1, а р =1, a i = 1, ... (мод. /?)
не имеют решения, а в этом случае, как доказали, число а есть
первообразный корень числа р.
Напротив того, если какое-нибудь из сравнений
х* = a, *P = a, *т = а, ... (мод. р)
удовлетворяется, то имеет место одно из сравнений
£—1 £-Л Я-1
а а — 1, а i1 =1, а ? eze1, ... (мод. р)
и, следовательно, число а не есть первообразный корень.
§ 39. На основании этой теоремы легко найти все числа в ряду
1,2,3, ...,р — 1, которые не суть первообразные корни. По доказанной
нами теореме, если а не есть первообразный корень ру то какое-нибудь
из сравнений
л?* = а, л;Р = а, xi^za, ... (мод. р)
имеет решение, а это мы узнаем потому, что одно из сравнений
1в=а, 2а=а, За=я, ..., (р— l)a=za (мод. /?),
1Р = а, 2^=а, ЗР = а, ..., (/>—1)Р = а (мод. р).
П = а, 2ТЕЕЕЯ, Зт = а, ..., (/>-1)т = а (м0Д' ^
удовлетворяется. Следовательно, число а, не будучи первообразным
корнем, будет сравнимо по модулю р с одним из чисел
1«,2»,3«, ...,(/>—1)«,
1",2',3?. ...,(/>—1)Р,
1т,2т,3? (/?— 1)т,

— 109 —
а потому между остатками от деления этих чисел на р найдутся все
числа, которые меньше р и не первообразные корни р. Выкинув же эти
числа из ряда
1,2,3,4,...,/?—1,
мы найдем все первообразные корни меньшие р. Что же касается
чисел, которые превосходят р и имеют сзойство первообразных корней,
они, как не трудно убедиться, будут сравнимы с первыми по модулю р\
мы на них не будем останавливаться, потому что они ничего особенного
не представляют и, говоря о числе первообразных корней р, мы будем
разуметь только те, которые меньше /?.
Приложим сказанное нами к определению первообразных корней
числа 13. Так как в состав 13—1 входят 2 и 3, то в ряду 1,2,3,4,5,
6,7,8,9,10,11,12 все числа, отличные от остатков деления
I2,22,32, 42,5s, б2, 72,82, 92, 102,112, 122,
I3,23,33,43,5s, б3, 73,83, 93, 103, 113, 123
на 13, будут первообразные корни.
Но деля
I2,22, З2, 42, 52, б2, 72,82, 92, 102, 112, 122
на 13, мы находим такой ряд остатков:
1,4,9,3,12,10,10,12,3,9,4,1;
деля же
I3, 2s, З3, 43, 53, б3, 7-\83, 93, 103,113,123,
находим остатки
1,8,1,12,8,8,5,5,1,12,5,12.
Исключая из ряда
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
числа, равные этим остаткам, находим, что первообразные корни числа
13 суть
2,6,7,11.
§ 40. Показанный нами способ определения первообразных корней,
замечательный тем, что дает все эти корни, становится почти
невыполнимым, когда ищут первообразные корни числа довольно большого.
В этом случае легче бывает найти один из первообразных корней (чего
для нас, как увидим, совершенно достаточно), пробуя различные числа
возводить в степени и искать, которая из них сравнима с 1 по модулю/7,
числу, которого ищем первообразный корень. Если, возводя а в
степени 1,2,3, ..., мы дойдем до ар~\ не найдя между ними числа,
сравнимого с 1 по модулю ру мы заключаем, что а есть первообразный корень
числа р. Если же мы найдем, что ал=1 (мод. р), где п меньше р — 1,
то мы убедимся, что а не первообразный корень. В этом случае мы
будем искать число, которого наименьшая степень, сравнимая с
единицей по модулю /?, превосходила бы п> и такое число мы всегда найдем,
поступая следующим образом.

— по —
Мы возьмем число из ряда
1,2,3, ...,/>— 1,
отличное от остатков деления
а1, а2, а8, .. .,ал
на />, и станем искать низшую степень его, сравнимую с единицею по
модулю р. Пусть выбранное нами число будет b и низшая степень его,
сравнимая с единицей, будет т. Не трудно убедиться, что т не будет
ни равным я, ни делителем пу ибо в том и другом случае число b
удовлетворяло бы сравнению Ьп=\ (мод. р), что невозможно, по теореме 38,
при Ь, не сравнимом с а1, а2, а8, ...,ал~1 по модулю р, и п —
наименьшем числе, удовлетворяющем сравнению ая = 1(мод. р\ Поэтому или т
будет больше п, и, следовательно, само b будет числом, которого
низшая степень, сравнимая с единицею, превосходит пу или т, будучи
меньше п, в составе своем будет заключать множителя, не делящего п.
В последнем случае мы легко найдем по я, b, m и п число, которого
низшая степень, сравнимая с единицею, превосходит п. Для этого мы
найдем общего наибольшего делителя чисел т и п и этот делитель
разложим на два множителя тг и С так, чтобы — и % были числа,
относите £ '
тельно друг друга простые*; потом найдем значение а*6с или числа,
сравнимого с ним по модулю р. Такого числа низшая степень, сравнимая
с единицею, будет всегда более я. Чтобы убедиться в этом, мы
докажем, нто если
с==сГЬ\ cN~\ (мод. р)%
кг тп
то N делится на -^ , и, следовательно, низшая степень с, сравнимая:
с единицею по модулю /?, превосходит п, ибо ттС, будучи общим
делителем тип, где т не делит я, будет меньше т.
Чтобы доказать делимость N на —г-, где
тсс
cN = 1, с = а*6с (мод. /?),
иы замечаем, что из этих сравнений, по исключении су выходит
а^"==1(мод. р).
Возводя же это сравнение в степени -, ^, находим
anNb— = ]f a С bmN~ 1 (МОД. р).
* Чтобы сделать такое разложение u>, общего наибольшего делителя чисел т
и л, иы разложим его на произведение простых чисел и возьмем в состав тс те
простые числа, которых показатели в о» не ниже показателей в п; в состав же С возьмем
те простые числа, которых показатели в оо не ниже, чем в /и. Что же касается
простых чисел, которых показатель в т и п и, следовательно, в со один и тот же, мы
их без различия можем взять в состав к или С.

— Ill —
Но мы видели, что тип удовлетворяют сравнениям
aa=U ft* =1 (мод. р),
вследствие чего предыдущие сравнения приводятся к
nW mKN
b * =1, a i =1(мод. р).
Эти же сравнения, по теореме 44, предполагают, что -— делится
rmN ^
на т> -£- делится на я, ибо пит суть наименьшие числа,
удовлетворяющие сравнениям
а* = 1, Ъ* = 1 (мод. р).
Но делимость ^_ На ту ^- на п предполагает числа 2-—, —- или
—£, -jp целыми, • а потому число ~ N должно делиться на ~ у
Т 7
а число — N должно делиться на -т-. Но эта делимость, при > и ~
простых между собою, предполагает делимость N на числа — и ~ и,
следовательно, на произведение их —-г, что и имели в виду доказать.
Таким образом, по числу, которого низшая степень, сравнимая
с единицею по модулю р, есть я, где п меньше р — 1, мы всегда
найдем число, которого низшая степень, сравнимая с единицею, будет
превосходить я, и, следовательно, повторяя эти приемы достаточное число
раз, мы необходимо дойдем до числа, которого низшая степень,
сравнимая с единицею по модулю р, будет не меньше р — 1; такое число и
будет первообразный корень Числа р.
Для примера определим по этому способу первообразный корень
-числа 17. Испытываем, не есть ли 2 первообразный корень его. Для
этого делим
о 92 93 9* 95 9е 97 98
на 17; в остатке от этих делений находим
2,4,8,16,15,13,9,1, ...
Дойдя до остатка 1, который получаем при делении 28 на 17, мы
оканчиваем деление и заключаем, что 2 не есть первообразный корень.
После того берем другое число, меньшее 17 и не заключающееся между
остатками 2,4,8,16,15,13,9, и пробуем, не есть ли оно первообразный
корень. Наименьшее из этих чисел есть 3; его мы и берем для
испытания. Деля 3,32,33,34,35,36,37,38,39,310,3П,312,313,314,315 на 17 и не наг
ходя в остатке 1, мы заключаем, что 3 есть первообразный корень 17.
Для другого примера возьмем число 73 и найдем его первообразный

- 112 —
корень. Начнем испытания с 2, как числа простейшего. Деля числа
2,22,23,24,25,26,27,28,29, ...
на 73, мы найдем в остатке
2,4,8,16,32,64,55,37,1,-..
откуда видим, что 2 удовлетворяет сравнению
29=1(мод. 73),
и, следовательно, 2 не есть первообразный корень. Далее, замечая, что
между остатками
2,4,8,16,32,64,55,37
нет числа 3, мы берем его для испытания. Деля числа
3,32,З3,34, Зб, З6,37,38, З9, З10, З11,312, ...
на 73, находим в остатке
3, 9, 27,8,24, 72,70,64, 46,65,49,1, ...
Следовательно,
312=1(мод. 73),
откуда заключаем, что 3 также не есть первообразный корень числа 73.
Но из 2 и 3, удовлетворяющих сравнениям
29е=1, з12е=1(мод. 73),
мы, по сказанному нами, легко составим число, которого низшая степень,
сравнимая с I по модулю 37, будет больше 12.
Для этого мы замечаем, что общий наибольший делитель 9 и 12
есть 3 и это число, будучи простым, в состав 12 входит в первой
степени, а в состав 9 во второй; поэтому для разложения 3 на два множи-
9 Р
теля тт и С так, чтобы — , -~ были числа простые относительно друг
друга, мы возьмем тт = 1, С = 3. Вследствие чего 2-33, или 54, будет
число, которого низшая степень, сравнимая с единицей по модулю 73,
превзойдет 12. Определяя остатки от деления
54,542,543,544, 54б, 546, 547,548, 54°;
5410,54п, 5412,5413,5414, 5415, 5416,5417,5418,
5419, 5420, 5421,5422, 5423, 5424,542*, 5426,5427,
5428,5429, 5430,5431,5332, 5433,5434, 5435,5436
яа 73, находим
54,69,3,16,61,9,48,37,27,
71,38,8,67,41,24,55,50,72,
19,4,70,57,12,64,25,36,46,
2,35,65,6,32,49,18,23,1.

— 113 —
Откуда заключаем, что 36 есть наименьшее число, удовлетворяющее
сравнению
54* =1 (мод. 73).
Продолжая искать первообразный корень 73, мы должны взять
число, не заключающееся между найденными нами остатками от деления
степеней 54 на 73. Наименьшее из этих чисел есть 5; его-то мы и будем
испытывать. Возводя 5 во все степени до 72-й, мы не находим числа,
сравнимого с 1 по модулю 73. Следовательно, наименьшее число,
удовлетворяющее сравнению
5^=1 (мод. 73),
есть 72, откуда заключаем, что 5 есть первообразный корень 73.
Таким образом, мы найдем один из первообразных корней всякого
простого числа. Но когда известен один первообразный корень числа р, то
мы легко найдем все другие. В самом деле, пусть будет а найденный нами
первообразный корень числа р, и а, р, у, ... различные простые числа,
входящие в состав р—1. Если Л есть первообразный корень, то, по
теореме 49, сравнения
л?»=Л, х^ееА, хч = Л, ...(мод. р)
не должны иметь решения. Но из этих сравнений выходит
aInd.х = Ind. Ay РInd.x = Ind. Л, уInci-x = Ind. Ay ... (мод. р — 1),
а так как а, р, у, ... суть простые числа, входящие в состав р — 1, то
условие невозможности этих сравнений заключается в неделимости Ind. A
на а, р, у, . •. или, что одно и то же, невозможность их условливается
тем, что Ind. Л число простое с р—1. Но если за основание указателей
мы предположим принятый известный нам первообразный корень а, то
Л = а1пй-л(мод. р),
откуда следует, что число, которое есть первообразный корень р, будет
сравнимо по модулю р с а9 возведенным в степень простую с р—1.
Так, все первообразные корни числа 17, по найденному нами,
определятся сравнениями
* = 3, лг = 38, jc = 35, x = 3\ дг = 39,
* = 311, *е=318, д; = 315(мод. 17),
откуда следует, что первообразные корни 17 суть
3,10,5,11,14,7,12,6.
§ 41. На основании сказанного нами мы замечаем, что в ряду 1г2,
тт.,р—1 находится столько первообразных корней р, сколько чисел
меньших р—1 и простых с р —J.
S Чебышев, том 1

— 114 —
Не трудно также вывести это непосредственно из свойств
первообразных корней, показанных нами в § 38.
Чтобы найти в ряду
1,2,3, ...,/?—1
все первообразные корни числа /?, нам стоит только выкинуть отсюда
все числа, которые не могут быть первообразными корнями числа р.
Но, по § 38, это приводится к тому, чтобы здесь выкинуть все числа,
которые удовлетворяют сравнениям
р—1 р—* р—1
*aEEl, X Р = 1, * * = 1, . . . (МОД. р),
где а, р, у» ••• простые числа, входящие в состав р—1.
На основании этого не трудно сосчитать, сколько первообразных
корней между числами 1,2,3,...,/? — 1. Начнем с простейшего случая
Предположим, что р—1 делится только на простое число а, и,
следовательно, р — 1=аш. В этом случае все те из чисел
1,2,3,...,/7—1,
£-1
которые не удовлетворяют сравнению х a = 1 (мод.. /?), будут
первообразные корни. Но, по теореме 36, между числами 1,2,3, ...,(/? — 1)
*-1 S=l
находится чисел, удовлетворяющих сравнению х a = 1 (мод. р);
следовательно, здесь все остальные р — 1 —^~— суть первообразные
корни р. Число же р— 1—^— приводится к (/>—1) П — — V аэодпо
теореме 12, означает, сколько простых чисел с/i-l и меньших />—1>
если р — 1 = ат.
Обращаемся теперь к тому случаю, когда р—1==ат$а, где а, {$ —
различные простые числа. В этом случае мы найдем все первообразные
корни р между 1,2,3,...,/? — 1, выкинувши отсюда числа,
удовлетворяющие сравнениям
р-Л £-*
X * =1, X Р =1 (МОД. р).
Но, по теореме 36, первому сравнению удовлетворяет ^—i чисел
/7—1 „
меньших /г, второму же удовлетворяет —г- таких чисел. Притом между
этими числами, удовлетворяющими сравнениям
р—* р—1
Xе =1, X Р = 1(М0Д. />)>
будет £Z-1 одних и тех же чисел, удовлетворяющих сравнению
*Р* =1 (мод. р).

— 115 —
Следовательно, различных чисел, удовлетворяющих сравнениям
х « =1, х э =1(мод. р),
будет v^ + ^y ^f~- 3a включением их все числа в ряду
1,2,3,...,р — 1 будут первообразные корни, и число их будет
^-1-Р-^-^+^.или(^-1)(1-1)(1_1).На,поТео-
реме 12, известно, что (р— 1)^1 — —J (l— j) означает, сколько
простых чисел с р— 1 и меньших р— 1, если р— 1 =aw{5*.
Подобным образом, полагая р—1=одаРву/,/7—1==аотР/у5*,/? — 1 =
_ат^^е1 и т. д., докажем, что между числами 1,2 3, ,/?— 1 столько
первообразных корней* сколько чисел простых с р — 1 и меньших р — 1.
Каждый из первообразных корней р может быть принят за
основание при определении указателей по модулю р. Выгоднее других
принимать те, которые легко возводить в степени и, следовательно, определять
по ним указателей. Впрочем, зная указателей по одному основанию, не
трудно найти их по другому. Пусть будет а то основание, по которому
составлена таблица, а Ъ основание, по которому хотим вычислить
указателя какого-нибудь числа Л. Называя указателя Л по основанию b
через х, для определения х будем иметь
Л = #х(мод, р).
Из этого сравнения мы заключаем о равенстве указателей А и Ъ*
по какому-нибудь основанию а. Изображая этих указателей по
принятому нами знакоположению через Ind-л: и Ind. £*, мы имеем
Ind^ = Ind.&*.
Но по свойству указателей Ind.£*=jelnd. 6 (мод. р — 1).
Следовательно,
л; Ind, £ = Ind. Л (мод. р—1).
Решением этого сравнения мы найдем х.
Это сравнение будет иметь одно решение, ибо, как видели,
указатель первообразного корня будет всегда число простое с р — 1. Решивши
вто сравнение, мы легко найдем положительное число, меньшее р — 1 и
ему удовлетворяющее; это и будет искомое число х, указатель числа А
при основании Ъ.
Для примера определим указателя числа 25 по основанию 2 и
модулю 29, зная указателей при этом модуле по основанию 10, как
находим в наших таблицах. Называя искомый указатель через х, мы для
определения его выводим
jcInd. 2 = Ind. 25 (мод. 28).

— 116 —
Ho Ind.2 = ll, Ind.25 = 8. Следовательно, x определится сравнением
1 be = 8 (мод. 28).
Решая это сравнение, находим
л;=16(мод. 28),
откуда для величины указателя 25 по основанию 2 получаем 16.
ГЛАВА VII
О СРАВНЕНИЯХ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
§ i2. До сих пор мы занимались сравнениями, в которых одно
неизвестное; теперь мы будем рассматривать сравнения с двумя
неизвестными. Замечательнейшие из них и имеющие наиболее приложения суть
сравнения второй степени вида
х*-\-Ау*-\-£=зО(мод. р)\
ими-то мы и займемся теперь.
Относительно сравнений этого вида докажем следующую теорему.
Теорема 50. Если р число простое и не делит А, то
сравнению х2 -f- Ay2 -f- В = 0 (мод. р) можно всегда удовлетворить.
Доказательство. Эта теорема очевидна для jp=2, ибо тогда
сравнению х2-\- Ду2-|-/? = 0(мод./>) удовлетворяет j/ = 0, x=B. Также
очевидна она, если для какого-нибудь значения у сумма Ау2-\-В
обращается в число кратное /?, ибо такая величина у вместе с х = 0
удовлетворяет сравнению х'г -\- Ау2 + В = 0 (мод. р).
Докажем же теперь возможность удовлетворить этому сравнению
при р^>2 и Ау2-\-В неспособном сделаться делимым на р.
В этом случае между всеми значениями — Ау2 — В от у = 0 до
у=р — 1 найдется число, которое будет сравнимо с х2 по модулю /?,
ибо невозможность сравнения
*2 = — Ау2 — В (мод. р)
при р простом, большем 2, и — Ау2 — В, не делящемся на р> как видели
в главе IV, предполагает сравнение
(— Ау2 — В) 2 + 1=0 (мод. /?),
что, по раскрытии скобок, принимает такой вид:
±А 2 уР-*±£—±А 2 Ву*~*±.~±В 2 + 1 = 0(мод. р).
Но этому сравнению не могут удовлетворять все р чисел
0,1.2,...♦/>—!.

_ 117 —
ибо оно степени р—1 и А 2 ; коэффициент у?-1, состоя из
произведения чисел простых с р, не делится на р.
Итак, по крайней мере одно из чисел
0,1,2, ...,р—1
не будет удовлетворять этому сравнению, и такое число обратит
— Ау2 — В в квадратичный вычет р. При таком же значении — Ау2 — В
найдется х, удовлетворяющий сравнению
х2 = — Ау2 — В (мод. р),
откуда и следует предложенная нами теорема.
Из доказанной нами теоремы как частный случай выходит, что
сравнение дг2-{-.у2 + 1 = 0(мод. р) имеет решение.
§ 43. Остановимся на исследовании сравнения
х2+ Ау2-{-В ~0{мол. р)
при В=0. Предметом наших исследований будет показать, какие
свойства имеет число р, для которого сравнение
Х2 _|_ Ау2 = 0 (мод. р)
удовлетворяется какими-нибудь числами х, у, простыми между собою.
Возможность этого сравнения нам покажет, что число р может быть
делителем числа, выражающегося формулой х2 4- Ау2, где дг, у—простые
между собою. В противном случае мы заключим, что числа,
выражающиеся этой формулой, не делимы на р. В первом случае мы будем
называть р делителем квадратичной формы х2-\-Ау2; во втором —
неделителем квадратичной формы. Мы покажем средства по данной
форме х2-\-Ау2 находить все делители ее и не делители. Эти числа мы
будем представлять или формулами вида mz-\-a, где z — произвольное
целое число, или формулами вида au2-\-2buv-\-cv2, где и, v —
произвольные целые числа, простые между собою. Первое составляет
исследования, известные под именем теории линейных делителей
квадратичных форм; второе составляет теорию квадратичных делителей
квадратичных форм.
Мы начнем с теории линейных делителей и докажем следующую
теорему, которая служит основанием ее:
Теорема 51. Если сравнению д:2 + Ду2 = 0 (мод. р)
удовлетворяют какие-нибудь числа х, у, простые между собою, то сравнение
и2 4- А = 0 (мод. р) имеет решение.
Доказательство. В самом деле, если у и х, не имея общего
множителя, удовлетворяют сравнению
х2 -f Ау2 ■== 0 (мод. р),
то у — простое с р, ибо в противном случае простое число, делящее

— 118 —
у и р% делило бы х и, следовательно, х имело бы общего делителя с у.
Но если у — простое с р, то можно найти такое число и, которое будет
удовлетворять сравнению •
уи = х (мол. р).
Это же сравнение, по возведении в квадрат обеих частей, будет
у2и2 = х2{ыоц. р),
что в совокупности с
х2 + Ау2 = 0 (мод. р)
дает
у2и2-\- Лу2 = 0(мод./?).
Но это сравнение может быть сокращено на у2, ибо, видели, число
у—простое с р. Таким образом находим
к2 + Л = 0 (мод. p)t
что и следовало доказать.
Итак, возможность удовлетворить сравнению
х2-\-Ау2 = 0 {мод. р)
числами х и у, простыми между собою, предполагает возможность
удовлетворить сравнению
и2 + Л = 0(мод./?).
Обратно, когда это сравнение удовлетворяется, то мы всегда найдем
решение сравнения
х2 -}- Ау2 = 0 (мод. /?),
делая у=1, х—и.
На основании доказанной нами теоремы не трудно узнать, будет ли
данное число делителем данной формы или нет.
Итак, находя—1 для величины (-г-J по приемам, изложенным в
главе IV, мы заключаем, что сравнение и2 — 3 = 0 (мод. 5) не имеет
решения. Откуда, по доказанному нами, следует, что при х и у, простых
между собой, нельзя удовлетворить сравнению
х2 — 3у2 = 0(мод. 5),
или, что одно и то же, обратить х2 — Зу2 в число кратное 5.
Также замечая, что (—) при р простом вида 4/г-{-3 равно —1,
мы заключаем, что в этом случае сравнение a2 -J- 1 = 0 (мод. р) не имеет
решения; а потому нельзя удовлетворить сравнению
л;2+Уе=0(мод. р)
числами, простыми между собою. Откуда следует, что никакое простое
число вида 4#-f-3 не будет делителем чисел, разлагающихся на два
квадрата, простые между собою.

— 119 —
Так, числа
5 = 22 + 1, Ю = 32+1> 13 = 32 + 22,
17 = 42 + 1, 25 = 42 + 32, 26 = 52+1,
не делятся на числа 7, 11, 19, 23 вида 4/z-f~3.
Напротив, замечая, что (—Л есть 1, если р простое число вида
4л-}-1, мы заключаем о возможности сравнения
и2+ 1=0 (мод./?)
для таких значений р. Откуда следует возможность сравнения
*а+У==0(мод.р)
и, следовательно, делимость суммы двух квадратов на р.
На основании доказанной нами теоремы не трудно показать вид
простого числа р, которое может быть делителем данной формы х2-\-Ау-.
Мы не будем останавливаться на случае р = 2, ибо 2 всегда делит
х*-\-Ау* или при *—1,^=1, или л; —0, у = \. Поэтому мы теперь
будем предполагать р числом простым, отличным от 2, и в этом
предположении докажем следующие теоремы:
Теорема 52. Если А простое число вида 4я-|-3 up нечетный
делитель формы х2-\-Ау2, то (-—}= 1.
Доказательство. Если р есть делитель формы лг2-{-Ду2, то
сравнение
х2 + Ау2 = 0(моц.р)
имеет решение, а это, по теореме 51, предполагает возможность
удовлетворить сравнению
и2 + Л==0(мод.р).
Разлагая здесь р на произведение простых чисел а, р, у> • •., мы, пв
<§ 30, возможность этого сравнения выразим так:
(=£)-'■ (х)-1- (=г)-ь -
Из этих уравнений не трудно вывести значения символов
(т). Ш. (*)•••
Так, для определения первого, мы выводим, по доказанным в главе IV
свойствам символа (— J, что
а-1 Л-1 , ЛХ а-1 а-1 Д-1 а-1 Л-fl
(t) = (4)(-i)t"~f"=(:^)(-1)~+^-¥"==(^)(-i)~"t"-

— 120 —
Но так как, по предыдущим уравнениям, (:::^-)равно 1, а число А,
по положению, вида 4#-|~3, то из этого уравнения получаем
(т)-«-
Подобным образом выводим
№-•• (*)=■• •••
Перемножая же эти уравнения между собою, находим
(т)(Ш)"~№-':
откуда, замечая, что ару* ••=/*, выводим
что и следовало доказать.
Теорема 53. Если А простое число вида \n-\-\ и р делит
)р—1
==(—1) г , т. е. Г-£) = 1, если /*=4/гс+Ь и
f~j==—1, если />=4/л + 3.
Доказательство. Если /7 есть делитель #2 + Ау2, то
*2 + Лу-=0(мод./?),
и, следовательно, сравнение
и2 + Л = 0 (мод. /;)
имеет решение. А это, как видели, предполагает
(^)-Ь (?)-'■ О?)"'- •-
где а, ($, у, ... суть простые числа, входящие в состав р.
На основании свойств символа ( —) мы отсюда выводим значения
(tJ' (т)> (т)> •••
Т&;с, для определения первого выводим
^Zl.dZ!1 / л\ ?=1л.?=16=1 / л ч с—1Л-f l
2 2
Ы-(4)(-чт"г-_(т4)(-»т+т-г-(:11)(-о
Внося сюда величину (—)> которая, по предыдущему, есть 1, на-
/ а \ 4=i.4±l

— 121 —
Но А вида 4/г-|-1, вследствие чего (—1) 2 2 равно (—1} 2 * 2 ,
или (—1) 2 , а это равно (—1) 2 , ибо (—1) 2 ~ есть 1. Поэтому
величина (^ ] определится таким уравнением:
(т)-<-»*•
Подобным образом выводим
Перемножая все эти уравнения, имеем
(*)№)(*)--<-"'
2 i! T 2 Г
или
!fcW(_ n=f+"+Ч+-.
где, заменив а[5у--- через р, находим
а~1 р—1 Т—1
Но не трудно убедиться, что ^— и
— 1 2 1 —+-"
разнятся между собою числом четным. В самом деле, мы видели, что
рг=:а(5у..., а потому р ~1 равно 2!цр1—, что ИНаче представится так:
_,+(,+2^1)(,+2^)(,+2^1)...
2
Раскрывая же здесь скобки и откидывая члены, имеющие
множителем 2, находим
——I 2—I—2—1
Итак, это число с ^- разнится только числом четным, а потому
(_1) 2+- 2 + 2 + =(_1) 2 ,
вследствие чего найденное нами выражение (-~Л приводится к такому:

— 122 —
Теорема 54. Если А простое число вида 4л+1 up нечетный
делитель формы х2— Ау2, то f-^-J=l.
Доказательство. Если р делит х2 — Лу2, то
х2 — Лу2 ее 0 (мод. р).
Это сравнение предполагает такое:
и2 — А = 0 (мод. р),
отсюда выходит
(4)='. (тИ (4Н
где а, р, у» • • • простые числа, входящие в состав р. Определяя по
первому из этих уравнений значение (•^-)> находим
а_-1 А—1 а—1 Л—1
2 ' 2
что приводит к равенству
^4 1
потому что Л = 4л+1, и, следовательно, —^— равно четному числу 2я.
Подобным образом находим
и-. (*)-■ ••■
• Перемножая же все эти уравнения между собою, находим
Но здесь произведение аРу • • равно /;; следовательно,
в чем и заключается предложенная теорема.
Теорема 55. Если А простое число- вида 4я-{-3 up нечетный
делитель формы х2 — Ау2, то (-~J==(—1) * , т. е. (-£) = 1, если
р вида 4т-\-1, и Г-^-J = — 1, если р вида 4т + 3.
Доказательство. Делимость дг2 — Лд/2 на р предполагает
сравнение
х2 — Ду2Е=0(мод.р),

— 123 —
а это предполагает сравнение
и2— А ее 0 (мод. р),
и, следовательно, уравнения
(*)-'■ (*)-'■ (т)=ь
где а, р, у,...—простые числа, входящие в состав р. Определяя по этим
уравнениям (-j-)» находим
\ / А \ »—t j4-—t g—-t A—1
(i)=(4)(-1)2 2=(-d2 ■»
й, следовательно,
(t)-(-»t-
потому что (—1)2 2 для Л = 4/г + 3 приводится к (—I) 2 ' г ,где
»2л
{—1) 2 равно 1.
Подобным образом находим
Перемножая же эти уравнения между собою, имеем
(т)(ш)-=<-»^+!?+-.
и, следовательно,
(i)=(*FH-ir+-+^-
Но, доказывая теорему 53, нашли
(_1}2 +2+2 +-в(_1}, ;
поэтому предыдущее уравнение дает
что и следовало доказать.
§ 44. На основании доказанных нами теорем не трудно определить
вее линейные, делители форм вида х*±Ау2 при А простом нечетном.
Мы видели, что нечетные делители таких форм определяются или
уравнением
(*)-■
или уравнением

— 124 —
смотря по тому, будет ли в форме х2±Ау2 знак -j- или —, будет ли
А вида 4/г~|—3 или 4тг+1, и в некоторых случаях (см. теоремы 53 и 55)
будет ли искомое р вида 4т+1 или Am + 3.
Но по способу, показанному нами в § 28, мы легко найдем все числа,
удовлетворяющие уравнению (-^Л = 1 и (^Л=— 1. Решения первого,
как видели там, определяются уравнениями
р = а1-{-пАу р-=а2-\-пА, ..., р = аА-\-\-пАУ
2
где п — произвольное число, а{> а2, ..., cla-\—остатки от деления I2, 22,
. в #> ( Т ) на Л. Решения же второго, ( —■ j =— 1, определяются
уравнениями
р^Ьх~\-пА, р — Ь2-\-пАу ..., p = bA-i-\~nA,
2
где 6j, Ь2У ..., 6л_1 — те из чисел 1,2, . ..,Л — 1, которые не равны
2
ах, #2, • • •» ал—1 •
2
Теперь посмотрим, каким образом каждая из этих формул может
служить для определения чисел вида 4т+ 1 или 4т+ 3.
Для того чтобы число ру определяемое уравнением
р — а-\-пА,
было вида 4m-j-l, число п должно быть такого вида, чтобы сумма
а-\-пА привелась к 4т-|-1; другими словами, число п должно
удовлетворять сравнению
а-{-пА~1 (мод. 4),
или
яЛ = (1 —а) (мод. 4).
Это сравнение всегда будет иметь одно решение, потому что
А—нечетное число; решая его по способу, показанному в § 15, находим
п=(\—а)Аш 2 ~~г (мод. 4),
или
л = А(1— а) (мод. 4).
Этому сравнению будет удовлетворять одно из чисел 0, 1,2, 3.
Называя г то число, которое ему удовлетворяет, найдем
г=А{1— а)(мод. 4),
вследствие чего предыдущее сравнение приводится к такому:
п = г (мод. 4),
откуда для выражения п выходит
rt = 4z-{- r.

— 125 —
Внося же эту величину п в уравнение
/? = лЛ + а,
мы находим
p — 4Az-\-Ar-\-a
для выражения чисел вида Am -f-1, определяемых уравнением
р = пА-\~а.
Подобным образом для чисел вида Ат-\-3 мы найдем
p—4Az-\-Arr-}-a,
где г' — наименьшее число, сравнимое с Л(3 — а) по модулю 4. Так, из
уравнения
/? = тгЛ+я,
определяющего одно из решений уравнения
выводятся уравнения, которые дают одни числа вида 4m-f-1 яла Am-{-3.
Не трудно также из уравнения
р—пА-\-а
вывести другое, которое будет давать вместе и числа вида Am -j-1 и
числа вида Ат-\-3, следовательно, все нечетные числа. Для этого мы
должны будем найти вид числа п, для которого сумма пА\-а будет
вида 2m-f-l, или, что одно и то же, найти решение сравнения
пА-\-а=: 1 (мод. 2).
Но это сравнение приводится к такому:
пА = (1 — а) (мод. 2).
Если а число нечетное, ему удовлетворит я=0, следовательно,
в этом случае его решение будет
я = 0 (мод.. 2),
откуда для определения п выходит такое уравнение:
#==2z.
Если же а четное, то ему удовлетворит п = 1 (ибо А число
нечетное), и, следовательно, решение его будет

— 126 —
Внося эти значения п в уравнение
р — пА-{-а9
мы находим для определения нечетных чисел
p — 2Az-\-a или /? = 2Лг + Л + а,
смотря по тому, будет ли а число нечетное или четное.
Поступая таким образом с каждым из уравнений, определяющих
решения уравнений
мы найдем для выражения нечетных чисел, удовлетворяющих условию
f-^J=l или f-^-J=—1, формулы вида 2Лг + а; для выражения же
одних чисел вида 4/п+1 или 4/я + З мы будем иметь формулы вида
4Аг + а. Этими-то формулами, на основании доказанных нами теорем,
и определяются нечетные делители квадратичной формы х2-\-Ау2.
Покажем это на примерах. Положим, что требуется найти вид всех
нечетных делителей квадратичной формы x2+19y2. Замечая, что 19 есть
число простое и вида 4я + 3, мы, по теореме 52, заключаем, что для
нечетных делителей этой формы должно быть
(fib1-
Для определения чисел, удовлетворяющих этому уравнению, мы
делим
I2, 22, З2, 42, 52, б2, 72, 82, 92
на 19; находя в остатке
1,4,9, 16,6, 17, 11, 7,5,
мы заключаем, что ру удовлетворяющее уравнению Г|Л—1, должно
представиться какой-либо из формул
19/г+1, 19/Z + 4, 19/Z + 9, 19/Z+16, 19я + 6, 19/Z+17,
19/z+ll, 19л + 7, 19л + 5.
Но чтобы эти формулы давали одни нечетные числа, мы, по
сказанному нами, формулу 19/г+1,в которой первый член нечетный, заменяем
формулой 2-192:+1, формулу 19я +4, которой первый член четный,
заменяем формулой 2«19z-j-19 + 4 и т. д.
Таким образом, находим для нечетных делителей .*г2+19у2
следующие формулы:
2-19Z+1, 2.19z+19 + 4, 2-19г + 9, £. I9z+19 + 16,
2.19Z+19 + 6, 2-19Z+17, 2«19г+11,. 2*19г+7,
2-19Z + 5,

— 127 —
которые приводятся к такому виду:
38г+1, 38* + 5, 38* + 7, 38* + 9, 3&+11, 38*+17,
38*+23, 38*+25, 38*+ 35.
Так определяются все числа, которые могут делить сумму д:2+19у2
при х и у, простых между собою. Этим можно пользоваться при
определении делителей данных чисел, когда эти числа выражены формулой
вида л2 + 19у2. Например, пусть будет дано число 2021; так как оно
равно 112+19*102, то делители его, если они есть, должны
представиться какими-либо из формул
38* +1, 38*+5, 38*+7, 38*+9, 38*+11, 38* +17,
38*+23, 38*+25, 38*+ 35.
Но если 2021 имеет делителей, то по крайней мере один из этих
делителей меньше У 2021 и, следовательно, меньше 45. Этого-то
делителя мы и будем отыскивать.
Первая формула 38*+1 не дает его. Она при * = 0 дает 1, при
*=1 дает 39, что не может делить 2021, ибо это число не делится на 3,
а 39 в составе своем содержит 3; при* = 2 и более 2 формула 38* \-\
дает числа, превосходящие 45.
Обращаемся ко второй формуле 38*+ 5. При * = 0 она дает 5,
число, очевидно, не делящее 2021; при *=1 она дает 43, и, пробуя
делить этим числом 2021, находим, что 43 есть делитель 2021.
Для другого примера определения делителей форм вида х2±Ау2
возьмем форму х2— Ту2 и отыщем ее делителей.
Так как число 7 вида 4/г + З, то, по теореме 55, делители формы
х2 — 7у2 вида 4//г+1 должны удовлетворять уравнению
делители же вида Am + 3 должны удовлетворять уравнению
Определим же теперь числа вида Am +1, удовлетворяющие уравне
нию
и числа вида Am+3, удовлетворяющие уравнению
Чтобы цайти числа, удовлетворяющие уравнению

— 128 —
мы делим I2, 22, З2 на 7; находя в остатке 1, 4, 2, мы заключаем, что
эти числа выражаются формулами
7л + 1, 7/2 + 4, 7/г + 2.
Посмотрим же теперь, как выведутся из них формулы, определяющие
одни числа вида 4#г+1.
По сказанному нами, из формулы 7/z+l выводим
4-7г + 7г+1,
где г—то из чисел 0, 1, 2, 3, которое с 7(1 — 1), или 0, сравнимо по
модулю 4. Это число есть 0. Следовательно, формула 7/2+1 для
определения одних чисел вида 4/гг+1 дает 4-7г+1, или 28г+1.
Поступая так же с формулами
7/г + 4, 7/г + 2,
мы из них выводим 4-7г + 7г+4, 4-7z + 7r' + 2, где г, г' суть те из
чисел 0,1,2,3, которые с 7(1—4), 7(1—2) сравнимы по модулю 4. Но
такие числа суть 3,1. Следовательно, для определения одних чисел вида
Am +1 формулы In + 4, 7/г+2 дают
4-7Z + 3-7 + 4, 4-72+7 + 2,
или
28г + 25, 28г + 9.
Итак, все числа вида 4//г+1, удовлетворяющие уравнению
и, следовательно, способные быть делителями формы х2 — 7у2,
определяются формулами
28г+1, 28z+9, 28z + 25.
Переходим теперь к делителям вида Am + 3. Они определяются
уравнением
Чтобы найти решения этого уравнения, мы в ряду 1,2,3,4,5,6
выкидываем те, которые равны остаткам от деления 12,22,32 на 7. Таким
•образом находим числа 3,5,6 и заключаем, что числа, удовлетворяющие
уравнению ( у) = —1 > определяются формулами 7/2 + 3, In + 5,7/2+ 6.
Преобразовывая эти формулы в такие, которые дают одни числа вида
Am + 3, найдем
4-7г+7г+3, 4-7z + 7r1 + 5, 4-7z + 7r2 + 6,
где г, г19 г2 — те из чисел 0,1,2,3, которые сравнимы с 7 (3 — 3), 7(3—5),

— 129 —
7(3 — 6) по модулю 4. Замечая, что г=0, г1=2, г2 = 3, мы заключаем,
что эти формулы суть
4. 72 + 7-0 + 3, 4-72 + 7-2 + 5, 4- 72 + 7-3 + 6,
или
282+3, 28^+19, 282 + 27.
Итак, все делители формы х2 — 7у2 вида 4/72+1 определяются
формулами
282+1, 282 + 9, 182+25,
делители же вида 4/?г+3 суть
28г+3, 28г+19, 282 + 27.
Мы показали, как определяются делители формы х2±Ау2 при А
простом, отличном от 2; покажем теперь, как найдутся делители этой
формы, если А равно 2. Для этого мы докажем следующую теорему:
Теорема 56. Все нечетные делители х2 + 2у2 суть вида 8/я+1
или 8/71+3; все нечетные делители х2 — 2у2 суть вида 8/тг+1 или
Вт— 1.
Доказательство. Если р делит х2-\-2у2, то
;с2 + 2у2 = 0(мод. р).
Но это сравнение предполагает возможность такого:
и2 + 2 = 0 (мод. /?),
и, следовательно, предполагает уравнения
(=£)-'• Or)-1- (=г)-'
где а, р, у> •••—простые числа, входящие в состав р. Посмотрим же,
какого вида должны быть числа а, р, у, ... , чтобы удовлетворялись
эти уравнения.
По свойству символов (~)> мы находим
(^)-(4)(-')^'-
Но (—], как видели, определяется так:
(тН-и""^
следовательно,
(йг)в(-1) 8 2 =(-i) s
9 Чебышев, том I

— 130 —
Делая в этом уравнении последовательно а=8/гг+1, а = 8/л + 3,
а = 8//г + 5, а = 8т + 7, находим
U/h + I J=1, V8m+3 j=1, \8/тг + б J=_1, Uw + 7 J=_L
Следовательно, для возможности уравнений
(=£)-'■ (тН (^Ь-
необходимо, чтобы числа а, Р, у» • • • были вида 8/^-j-l или в/и + З.
А потому /7, равное а[5у • • - , должно быть произведением такого вида:
(8m-f l)(8mr+l)(8m"+l) •-- (8/n1 + 3)(8m2 + 3) ••• (8me + 3).
Раскрывая же здесь скобки и собирая в один все члены, имеющие
множителем 8, находим, что
/>=8Р + Зв.
Если а число четное, то За=1(мод. 8), ибо 32=1(мод. 8). Если же а
число нечетное, то сравнение 32 = 1(мод. 8), по возведении обеих частей
в степень ^- и умножении на 3, даст 3е = 3 (мод. 8). Итак, 3° по
модулю 8 сравнимо или с 1, или с 3, откуда следует, что 3* или вида
8N+1, или 87V-J-3, а потому число ру определяемое уравнением
р = 8Р+30,
будет равно или 8(Р+Л/)+1, или 8(Р + Л^) + 3, в чем и заключается
первая часть предложенной нами теоремы.
Переходим теперь к доказательству второй части ее.
Если р делитель формы х2— 2_у2, то
х2 — 2у2 == 0 (мод. р).
Это же сравнение предполагает возможность сравнения
и2— 2 = 0 (мод. р),
и, следовательно, уравнения
(4)-- (т)='> (тН
где а, £, у, ... —простые числа, входящие в состав р. Но, по теореме 32,
из этих уравнений следует, что а, р, у, ••• суть числа вида 8т+1 или
Ът—1, а потому произведение их а$у •••, равное р, представится
так:
(8/л'+1)(8т"+1) ♦.. (8/я,— 1)(8/п2— 1) ...
Но в разложении этого произведения, кроме членов кратных 8,
будет или +1, или —1. Следовательно, р должно быть вида 8//г+1
или 8/тг—1, что и следовало доказать.

— 131 —
Показавши, как определяются линейные делители формы х2Л^Ау2
при А простом нечетном и А = 2, нам остается то же сделать для этих
форм при А составном. Но в этом случае линейные делители х2±Ау2
удобнее всего выводятся из квадратичных делителей; к ним мы теперь
и обращаемся.
§ 45* Выражение вида аи2 -f- 2buv -f- cv2, где a, b, £
—определенные числа, и, v— неопределенные, мы называем квадратичной формой.
Две квадратичные формы au2J[-2buv-{-cv2, a!u2-\-2blwv-\-c1fo2, которые
способны выражать одни и те же числа, мы будем называть
тождественными и будем заменять одну другой. Так, формы au2-\-2buv-{-cv2,
аи2 — 2buv-\-cv2, различающиеся только знаком коэффициента uv, суть
тождественные, ибо значения первой при#*=а, v = $ равны значениям
второй при #=—а, 9 = р.
Из этого видно, что знак коэффициента b в форме аи2 -\- 2bwv -\-cv2
может быть всегда переменен и, следовательно, этот коэффициент может
быть обращен в количество положительное; таким мы его и будем всегда
предполагать.
Число, равное Ь2 — ас, мы будем называть определителем формы
аи2 -f- 2buv -j- cv2. Так, определитель формы Зи2 -\-1 Ouv -f- 7v2 будет
52 — 3-7, или 4; определитель формы 3u2-{-l0uv — lv2 будет 52-f~3-7,
или 46.
Две формы, имеющие равных определителей, мы будем называть
подобными. Так, формы Зй2 +10/ггг-f-7zr2, 3u2-\-2uv— v2 подобны; ибо
как определитель первой 52 — 3*7, так и определитель второй 12 + 1-3
равны 4.
Согласившись в этих названиях, мы докажем следующую теорему,
весьма важную по своим приложениям.
Теорема 57. Если в форме аи2 -f- 2buv -f- cv2 коэффициент 2b
превосходит а или с, то эта форма может быть преобразована в
другую a'u2-\-2b'uv-\-crv2, подобную au2-\-2buvA^cv2, где 2V не
будет превосходить ни а', ни с'.*
Доказательство. Для доказательства этой теоремы мы покажем,
каким образом при 2Ь^>а или 2by>c форма аи2-f-2buv-f-cv2 может
быть преобразована в другую a0u2^2b0uvJrc(iv2> подобную первой,
где численная величина Ь0 меньше Ь. Но так как уменьшение численной
величины коэффициента b не может итти далее нуля, то мы необходимо
дойдем до такой формы a!u2-\-2bluvJ^c,v2, где дальнейшее уменьшение
коэффициента Ь' не может иметь места, и, следовательно, 2V яе^>а' и
не>£'.
Чтобы преобразовать форму аи2 -f- 2buv -f- cv2 в другую а0и2-\-
-\-2btuvJ\-c0v2, где бы Ь0 было меньше Ь, пусть будет а наименьшее из
двух чисел а и с (в случае равенства их мы можем взять то или другое
без различия) и целое число, которое разнится с — не более как на -^-,
* Здесь мы разумеем численную величину я, Ь, с, а' Ъ\ с\ не обращая
внимания на знаки этих количеств.

— 132 —
пусть будет т\ очевидно т будет целое число, получаемое при делении
b на а, если остаток не превосходит —а; в противном случае т будет
целое число, получаемое при делении b на а и сложенное с 1. Полагаем
u-^-trw—U и на основании этого уравнения исключаем и из формы
au?-\-2buv-\-cv2. Таким образом находим
a {U—tnvf Jr2b(U — mv)v-^r cv\
или
aU2 + 2 {b — am) Lfo + (* — 2*m + шя>8.
He трудно убедиться, что эта форма подобна ад2 -f- 2buv -J- гг>2, и
что в ней коэффициент Lfo меньше 26. В самом деле, определитель этой
формы есть
(Ь — am)2 — а (с — 2bm -f- am2),
что приводится по раскрытии скобок к Ь2— ас> а это есть
определитель формы au2-\-2buv-\~cv2>
С другой стороны, так как т выбрано нами под условием, чтобы
разность — — т была числом, не превосходящим-^» то 2(Ь — шга) =
= 2а( т) будет число, не превосходящее а и потому меньше 2Ь,
ибо мы рассматриваем форму au2Jr2buvJrcv2, где 2Ъ превосходит одно
из чисел а и су притом а или равно ск или меньше с.
Следовательно, в полученной нами форме
aU2 -f 2 (й — am) /7г> + (г — 2*/и + am2) v2
коэффициент среднего члена меньше соответствующего ему в форме
au?-\-2buv-\-cv2.
Если в полученной нами форме этот, коэффициент превосходит один
из коэффициентов крайних членов, мы ее снова будем так же
преобразовывать, как преобразовывали au2-\-2buvJrcv2, и будем повторять
это преобразование до тех пор, пока получим форму, где такое
преобразование невозможно, и, следовательно, средний коэффициент не
превосходит ни одного из крайних. Например, пусть будет дана форма
3u2Jrl0uv-\-Qv2. Для преобразования ее ищем целое число, которое
5 1
бы с — разнилось не более как на ^; и так как это числа есть 2, то
делаем u-\-2v = U. Внося отсюда величину а в данную форму, находим
3(17— 2v)2+\0{U—2v)v-{- 6v2,
что, по раскрытии скобок, приводится к такой форме:
3lP — 2Uv — 2v2.
В этой форме средний коэффициент не превосходит ни одного из
крайних; в противном случае мы бы стали ее снова преобразовывать.
Из доказанной нами теоремы мы выводим следующие:

— 133 —
Теорема 58. Если определитель формы au2-\-2buv-\-cv2 есть
положительное число D, то ояа может быть пииведено к виду
axu2-\-2bxuv— cxv2, где ах с,-|-6^=£), числа ах, сх— положительные,
которые не меньше 2Ь, и b не превосходит у -т-.
Доказательство. В самом деле, по предыдущей теореме, форма
аи2 -|- 2buv -\- cv2 преобразовывается в форму
ахи2 J^2bluv -J- c0v2,
где 2bx не превосходит численной величины ни а,, ни cQ; притом в этой
форме, как подобной аи2 -j- 2buv -f- cv2, определитель будет иметь ту же
величину D и, следовательно, будет df—ахСо = П. Но при £>>0 это
уравнение предполагает разность V[ — агс0 количеством положительным,
что не может быть, если а0 и су имеют одинаковые знаки, ибо тогда
произведение ахс0 будет количеством положительным, превосходящим
Ь\, потому что численные величины ах и с0 не меньше 2Ь. Итак, в форме
axu2-\-2bxuv-\-c0v2 крайние члены с противными знаками. Положим же,
что член ахи2 есть тот же из крайних, который имеет знак -\-, а член
c0v2 есть тот, который со знаком —. Называя через сх численную
величину £0, мы будем иметь cQ-= — сх, вследствие чего форма
ахи2 ~{-2bxuv 4- CqV2
и уравнение Ь\ — axCo = D изменятся в такие:
axu2~\-2bxuv— cxv2^ b\-\^axcx—D.
Но, по свойству коэффициентов этой формы, будет
ах не<2£, сг nz<^2bx\
вследствие чего из уравнения
b\-\-axcx = D
выходит
DHZ<Cb21 + 2bx-2bl;D не<5^
а потому _
Ме> у у.
Вот условие,* которому вместе с условиями
b21-\-alc1 = D, а1не<261, ^не<2*,
будут удовлетворять коэффициенты формы
axu2-\-2bxuv — с{ог,
выведенной нами из данной
ati2Jr2buvJrcv'1.

— 134 —
Так убеждаемся в справедливости предложенной нами теоремы.
Теорема 59. Если определитель формы аи2 + 2buv + cv2 есть
число отрицательное,—D, то она может быть приведена к виду
a1u2Jr2b1uvJrclv2, где alcl — b12 — D, количества аг и сх с
одинаковыми знаками и не меньше 2bv притом Ьг не превосходит у -^ .
Доказательство. Мы видели, что форма аи2-\-2buv-\-cv2
может быть приведена к виду alu2Jr2bluv-{-c1v2, где 2Ь1 не превосходит
ни av ни сх\ притом в этой форме, как- подобной au2-\-2buv-\-cv2,
определитель будет иметь ту же величину — D, и, следовательно, Ь\ —ахсг — —D
Но это уравнение, где D число положительное, предполагает
одинаковые знаки в количествах аи cv Притом, замечая, что аг и сг не
меньше 2bv мы из этого уравнения выводим
или
и, следовательно,
2bl-2bl — b\ не >Z)j
Щ не > D,
Ьг не> у£ .
Доказавши эту теорему, заметим, что в рассматриваемом нами
случае форма axu2-\-2bxuv r\-cxv2 может представлять положительные
числа только в сшучае аг положительного. В самом деле, выражение
ахи2-\-2bxuv-f-cxv2 может быть так представлено
а это равняется
/ , Ьл \2 . а\с\ — К
и вследствие уравнения b\—alcl = — D приводится к
что в случае аг отрицательного не может иметь значения
положительного, ибо D>0, и квадраты \иЛ"^,1[))у \Т) не М0ГУТ иметь
значения отрицательного.
§ 46. Показавши свойства квадратичных форм, необходимые нам
впоследствии, обращаемся опять к делителям форм вида х2±Ау2 и
докажем следующую теорему:
Теорема 60. Всякий делитель формы х2 — dy2 может быть
представлен квадратичной формой, имеющей определителем d.
Доказательство. Пусть будет р делитель формы х2 — dy2 и Р
частное от деления х2—dy2 на ру приравнивая делимое произведению
делителя на частное, имеем
х*> — dy2=pP.

— 135 —
Здесь у и Р должны быть числа относительно друг друга простые,
ибо по этому уравнению простое число, делящее у и Р, делит лг2 и,
следовательно, х, что невозможно, ибо в форме х2— dy2 мы всегда
предполагаем х и у не имеющими общего делителя.
Но при j/ простом с Р сравнение
3/£=л;(мод.Р)
имеет решение, и, следовательно, найдется число t, для которого
разность yt—х разделится на Р. Полагая же частное от деления yt—х
на Р равным #, имеем
J*-*_g
р— и,
откуда выходит
x=jtf— иР.
Внося это выражение л: в уравнение
д:2 — dy2=pP,
найдем
(У — иР)2 — dy2 = pP,
или
P2u2 — 2Pytu-f(£2 — d) j/2 = /?P.
Это уравнение по сокращении на Р дает
р = Ра2 — 2ytu -|- ^=^у2,
•где t2 — d разделится на Р, ибо это уравнение предполагает делимость
(t2— d)y2 на Р, а у число простое с Р. Из этого уравнения мы видим,
что р выражается квадратичной формой
p=Pu2 — 2ytu -f ^r^2,
которой коэффициенты суть Р, — 22е, „ , и, следовательно, определи-
тель ее равен t2 — Р*—р—, или d, что и следовало доказать.
Из этой теоремы, в совокупности с показанными нами свойствами
квадратичных форм, легко вывести следующие теоремы:
Теорема 61. Делитель х2 — Dy2 npuD^O может бить
представлен формою au2-\-2buv— cv2, где ac-{-b2 — D, числа а и с
положительные, не меньше 2Ь, и Ъ не превосходит у у .
Доказательство. По предыдущей теореме, всякий делитель
.формы х2 — Dy2 может быть представлен формой
au2 + 2buv + cv29
в которой определитель- Ъ2 — ас будет равен D. Но такая форма?, по
теореме 58, может быть приведена к виду
ал2 4- 2buv — cv2,

— 136 —
где ау bf с удовлетворяют уравнению ac-\-b2 = Dy числа я, с
положительные, которые не меньше 2Ь\ число b не превосходит у j, откуда
и следует предложенная нами теорема.
Теорема 62. Делитель x2-\-Dy2 при £>>0 может быть
представлен формой au2-\-2buv-\-cv2, где ac—b2 = D^ числа аг
с положительные, не меньше 2Ь, и b не превосходит у -^ .
Доказательство. По теореме 60, делитель x2-\-Dy2
представится формой
au2Jr2buvJrcv2y
которой определитель будет —Д. Но такая форма, по теореме 59г
приводится к виду
au2-\-2buv + cv2,
где ас — b2 = D, численная величина а, с не меньше 2Ь, и Ъ не
превосходит т/ у . Притом а и с будут иметь один знак, который здесь не
может быть —, ибо видели в конце предыдущего параграфа, что в этом
случае формула аи2 + 2buv + cv2 не может иметь значений
положительных.
Так убеждаемся в справедливости предложенной нами теоремы.
На основании доказанных нами теорем можно показать, какими
квадратичными формами выражаются все делители данной формы
вида x2±:Dy2.
Покажем' это на примерах.
Пусть будет дана форма х2 ~\-у2. По теореме 62, делители ее буду?
представляться формами
аи2 -\~ 2buv -f- cv2,
где ас — &2=1, а и с — положительные числа, не меньше 2ЬУ и b не
превосходит у -^. Но из последнего следует, что Ь — 0; уравнение же
ас — £2 = 1 при Ь—0 дает ас = 1, откуда для аначений а и с, которые
должны быть ">0, выходит
а = 1, с = 1.
Из этого мы заключаем, что все делители формы х2-\-у2
представляются формой u2-\-v2.
На основании этой же теоремы делители х2-\-2у2- будут
представляться формами
au2-\-2buv-\-cv2y
в которых ас — б2 = 2, а и с — числа положительные, не меньше 2b\
и Ъ не>]/|.
Но из условия, что b не^>т/ -g;, следует, что £=0; после того из урав-

— 137 —
нения ас — b2 = 2 выводим ас=2. Но так как а и- с должны быть*
числа положительные, то это уравнение предполагает одно из двух: или
а = 2, с=1, или а = 1, £ = 2. Первому предположению соответствует
форма 2u2-\-v2, второму и2 + 2^2.
Но эти формы тождественны между собою; следовательно, все
делители л:2 + 2у2 представятся одной формой 2u2-\-v2.
Подобным образом найдем, что делители х2—у2 представляются
формой и2 — v2, делители х2 — 2у2 представляются формой и2—2v2 или
2и2 — v2, делители х2 — Зу2 представляются формами 3#2 — v2, и2 — Зг»2.
Для примера более сложных форм возьмем х2 — 21у%.
По теореме 61, делители этой формы будут представляться
квадратичными формами
au2Jr2buv — cv2,
в которых
Ъ не>]/|, ас + Ь2 = 2\.
Первое нам определяет все возможные величины Ь, из него мы
заключаем, что b может иметь только значения
О, 1, 2.
Предполагая b последовательно равным всем этим числам, мы из
уравнения ас-\-Ь2 =21, обращая внимание на то, чт;о а и с более О
и не менее 2Ь, найдем все значения, которые могут иметь а, Ь, с
в форме au2-\-2buv — cv2, определяющей делителей х2 — 21у2. Так,
делая # = 0, найдем ас=21, что может быть удовлетворено только
п р ед положениями
а = 1, с=21; а = 3, с = 7;
а=7, £==3; а—21, с=1,
которые все удовлетворяют условию: а и £>0 и не<2£, где 6 = 0.
Делая 6 = 1, найдем а£+1=21, откуда ас = 20, и это приводит
нас к предположениям
а=1, £ = 20; а = 2, с = 10; а = 4, £ = 5;
а = 5, £ = 4; а = 10, с = 2\ а = 20, £=1.
Но первое и последнее не удовлетворяют условию: а и с не<26, ибо
6=1.
Итак, для Ь=\ будет одно из четырех
а = 2, <?=10; а = 4. £ = 5;
а = 5, с = 4; а=1 , с = 2.
Наконец, для 6 = 2 находим ас+ 4 —21, откуда а£=17, и,
следовательно, одно из двух
а = \, £=17; а==17, с = \.

— 138 —
Но оба эти случая невозможны, ибо 26, будучи здесь равно 4,
© первом предположении превосходит а, во втором с.
Итак, все делители х2—Пу2 должны представляться формами
и* —21tfa, Зи2 — 7v2, 7u2 — 3v2, 2lu* — v2,
2и2 -f- 2uv — 1 Of2, 4и2 -f 2иг> — 5z>2, 5/г2 + 2иг/ — 4v2y
Wu2-\-2uv — 2v2.
Но формы 2ti2-\-2iiv—l0v2, \Qu2Jr2uv — 2v2 дают одни числа четные,
следовательно, все нечетные делители х2 — 21^2 будут представляться
формами
u2 — 2\v2, 3u2 — 7v2, 7u2 — 3v2, 2\u2 — v2,
Аи2 + 2uv — 5<z/2, Ьи2 + 2iw — 4z>2.
Для другого примера возьмем форму #2-|-26у2. По теореме 62
делители ее представятся формами
au2~\-2buv-\-cv2,
тле
Ъ не>1/у, ас—62 = 26, а и с не<126.
Первое неравенство предполагает Ъ одним из трех чисел
О, 1, 2.
Делая 6 = 0, мы для определения а и с находим условия
ас — 26, а и с не<^0.
Эти условия приводят нас к предположениям
а = 1, с = 26; а = 2, £—13;
а=13, с = 2; а = 26, c—V.
Делая 6 = 1, мы находим
ас—27, а и £ не<2.
Уравнению ас = 27 удовлетворяют
а=1, £=27; а=3, £ = 9;
а=9, ^=3; а = 27, £=1.
Но из этих величин а и £ условию
а не<2, с не<2
удовлетворяют только
а = 3, ^ = 9; а = 9, с = 3.
Наконец, для 6 = 2 находим
ас = 309 а и с не <С 4.

— 139 —
Уравнению ас — 30 мы удовлетворяем предположениями
а=1, с=30; а = 2, £ = 15; а*=3, £ = 10; а = 5, с = 6;
а = 6, £ = 5; а = 10, £ = 3; а=15, с = 2; а = 30, с=1.
Но из них условию
а не<4, с не<4
удовлетворяют только
а = 5, с = 6; а = 6, с = 5.
Отсюда для делителей х2 -\- 26д/2 выходят следующие формы:
Д2 _|_ 2б*/2, 2и2 +13^2, Ш2 + 2v2, 26и2+^2,
Згг2 + 2uv + 9v2, 9и2 + 2uv-{- 3v\ Ъи2 -f Auv -f 6z>2,
6и2-|-4н<0 + 5<г/2.
Замечая, что здесь к2-[-26'г/2 тождественно с 2§u2Jrvt>-, 2^2 + 13i/2
с 13tt2 + 2f2, Зи2 + 2^-|-^2 с 9и2 + 2дг/ + 3^, 5/г2 -f 4ш? -f Qv2 с
Qu2-\-4uv-\-5v2, заключаем, что все делители х2-\-26у2 будут
представляться формами
и2 + 26г>2, 2и2 + 13*>2, Зй2 -}» 2иг> + 9<г/2, Ъи2 -f- 4гю + 6^2.
Вот таким образом на основании доказанных нами теорем могут
быть выведены все квадратичные формы делителей x2 + Dy2. Отсюда
выходит много любопытных предложений относительно решения
уравнения вида ах2-\-2Ьху-\-су2=Н, составляющих предмет исследования
теории неопределенных уравнений высших степеней. Здесь же мы
воспользуемся квадратичными формами делителей x2-\zDy2 для определения
его линейных делителей. Мы показали, как найдутся делители х2-Ь Dy2, когда
D число простое; теперь мы покажем, как найдутся делители этой формы при
всяком значении Z), будет ли D число простое, или составное. При этом
мы будем предполагать D не делящимся на квадрат какого-нибудь
числа, ибо для D = Dxk2 форма x2zhDxk2y2 приведется к x2±Dx(ky)2
и, следовательно, к x2±Dly2v полагая y1 = ky. Итак, рассматривая
делителей формы x2±:Dy2, мы можем выкинуть из состава D все точные
квадраты; поступая таким- образом, мы будем иметь формы вида
x2zbDy2> где D не делится на квадрат какого-нибудь числа;
определением делителей этих форм мы теперь и займемся.
§ 47. Прежде чем покажем, каким образом из квадратичных форм
делителей могут быть выведены линейные делители, мы докажем
относительно формы аи2 + 2buv + cv2 следующие теоремы:
Теорема 63. Если определитель формы au2-\-2buv-\-cv2 естъй,
число, не делящееся на квадрат, то можно найти число а, для
которого а-\-2Ьа-\-са2 будет число простое с d.
Доказательство. В самом деле, пусть будет со общий
наибольший делитель с и d; число о не будет заключать в себе множителем
никакого квадрата, ибо d не делится на квадрат. Но, по значению ^,мы

— 140 —
имеем b2— ac — d, откуда следует, что со, общий делитель с и d,
делит Ь2 и, следовательно, по теореме 6, делит Ь. Докажем же теперь,
во-первых, что можно всегда найти число а, для которого выражение
са —^- Ъ (I
—!— приводится к числу простому с — , и, во-вторых, что такое число а
обращает a -f- 2ba-f- са? в число простое с d,
В первом не трудно убедиться, заметив, что при делимости Ь на со,
общий наибольший делитель с и d> по теореме 19, можно найти число,
удовлетворяющее сравнению
са-[-* = ю(мод. d),
что предполагает делимость са~-\-Ь— со на d. Полагая же частное от
деления са-\-Ь — со на d равным N, будем иметь
ca + b — v д.
d ~l '
откуда выходит
<о 1 со
что обнаруживает в f число простое с —.
Чтобы убедиться во втором, мы замечаем, что выражение
a-j-Sba-j-ca2 может быть представлено так:
<<ra-f£\2 b* — ac
где, заменяя b2 — ас через d, имеем
'са + ьу
Число же d разлагается на два множителя — и со, которые не
могут иметь общего делителя, ибо d не может делиться на квадрат; при-
том ~, по свойству числа а простое с —-—. Отсюда следует, что ни со,
ни — не могут иметь общего множителя с со [J~ ) — —, ибо про-
стые числа, входящие в состав со, деля со( —^—1 , не могут делить
—; напротив, делители^- не могут делить со (^—У- Итак, со f£i±*V_.
d
— —, и, следовательно,
•(^
+ by d
— a-]-2ba-\-ca2
(О

— 141 —
d
число простое сои—, а потому и с произведением их а, что и
следовало доказать.
Для примера найдем число а, для которого 3-f-2-21a-j-2l7a2 было
бы число простое с 212 — 3-217 = — 210. Замечая, что общий
наибольший делитель 217 и 210 есть 7, мы для определения а находим условие,
217а+ 21 01 . 0 210 ОЛ ~
что j—,или 31а +3, число простое с -у-, или 30. Этому условию,
как видели, можно всегда удовлетворить, решая сравнение
217а + 21==7(мод. 210).
Но в этом случае, как и в большей части других, мы можем легко
найти а, пробуя различные числа. Так находим, что а = —2 обращает
31а-{-3 в число простое с 30. Следовательно, и выражение 3-J-2-21a-f-
~j-2l7a2 при а=—2 будет число простое с 210.
На основании доказанной нами теоремы для всякой формы аи2-\-
-\-2buv-\-cv2 найдется число а, обращающее а-\-2Ьа-\-са1 в число
простое с определителем ее. Определивши такое число, мы можем
преобразовать форму au2-\-2buvJrcv2 в другую, где первый член будет
иметь коэффициентом число простое с определителем ее d. Этого мы
достигнем всегда, делая в этой форме v — au=U, где а есть число,
обращающее а-\-2Ьа-\-са2 в число простое с d. В самом деле, иэ этого
уравнения найдем v = att-\-U и, внося эту величину в форму аи2-\-
-\-2buv-\-cv2, мы ее преобразуем в такую:
а112 + 2Ь{<ш + U)u-\-c(au-\-U)2y
что при раскрытии скобок дает
(a + 2ba + ca2)u2-\-2{b + ac)uU+cU2J
где коэффициент первого члена есть aJr2ba-irca2, число пррстое с d,
по положению.
Так, чтобы сделать в форме 3u2-f-2-21&?/-j-217z/2 первый
коэффициент числом простым с определителем ее, ищем число а, которое
обратило бы 3-f-2-21a-|~217a2 в число простое с 210. Этому условию,
как видели, удовлетворяет а = —2. Поэтому для преобразования формы
Зи2-]-2-2luv-\-217 v2 делаем v-\-2u — U и на место v в форму 3u2-j-
Jr2*2luv-\-2l7v вносим U — 2и. Это дает нам
Зя2 + 2-21(£7 — 2и)и 4-217(£/— 2а)2,
или
787а2 —826Ш + 217£/2.
Таким образом данная форма
За2+ 2-21^ +217-я2
преобразовывается в форму
787а2 — 826я£/4-217£/2.

— 142 —
Последняя форма сложнее первой; но она имеет ту выгоду, что в
ней коэффициент и2 число простое с определителем. Это послужит
значительным облегчением при определении линейных делителей, и теперь
везде мы будем предполагать квадратичные формы преобразованными
так, что в них первый коэффициент — число простое с
определителем. В этом предположении мы докажем следующие теоремы относительно
квадратичных форм:
Теорема 64. Если в форме au2-\~2buv\-cv2 число а простое
с определителем b2 — ac = d, то можно найти число I,
удовлетворяющее сравнению
au2-\-2buv + cv2 = al2 + 2Й/+ с (мод. d).
Доказательство. В самом деле, при а простом с d сравнение
a(au2+2buv + cv2) = a(al2 + 2bl+ с) (мод. d)
может быть сокращено на а, вследствие чего оно приводится к
аи2 -f- 2bw -f- со2 = al2 + 2Ы + с (мод. d)>
которое хотим доказать. Но сравнение
а {аи2 -\-2buv-{- cv2) = a (al2 + 2Ы + с) (мод. d)
может быть так представлено:
{аи -f bv)2 — (b2 — ас) v2 = (al+ b)2 — (b2 — ас) (мод. d\
что, по равенству b2 — ас с модулем d, приводится к следующему:
(aii + bv)2==(al+b)2 (мод. d),
а это удовлетворяется, если
al-\-b^au-\-bv (mor. d).
Но последнему сравнению мы всегда можем удовлетворить, ибо оно
первой степени и а простое с d, откуда и выходит предложенная нами
теорема.
На основании этой теоремы мы заключаем, что если при всех
величинах / значения al2-\-2bl-\-c по модулю d сравнимы с числами
rlt г2,..., гп,
то с ними сравнимы также и все значения аи2 -\-2buv -\- cv2, и,
следовательно, все числа, определяемые этой формой, будут одного из
следующих видов:
md-\-rv md-\-rv ..., md-\-rn>
где т — произвольное число. Что же касается чисел rv r2, ..., гп%

— 143 —
с которыми сравнимы по модулю d все значения аР>Аг2Ь1Агс> то мы их.
найдем, определяя числа, сравнимые с этим выражением при
/ = 0,1,2,.. .,d—1, ибо с этими значениями аР-\-2Ы~гс по модулю d
будут сравнимы все другие.
Так, для выражения чисел, определяемых формою
аи2 -f- 2buv -f- co\
найдем линейные формы
md-\-rv md+r2, ..., md+rn.
Но каждая из этих форм приводится к четырем, смотря по виду
числа т. Так, предполагая в первой форме т равным Az,Az-\-l,Az-{-2r
Az-j-З, мы из нее выведем четыре
Adz + rv Adz-\-d + rv Adz-\-2d + r^ Adz-\-Zd-\-rx
и, ограничиваясь одними нечетными значениями аи2 Ar2buv-\-cv2,
посмотрим, которые из этих форм должны быть выкинуты.
Начнем с d нечетного. При d нечетном между числами rud-\-rv
2d-\-ru3d-\-rl будет два четных и два нечетных (см. теорему 10).
Ограничиваясь одними нечетными значениями аи2 -f- 2bwv -}- cv2, мы из
четырех форм
Adz-\~rx> Adz-\-d-\-rv Adz + 2d-\-rv Adz+Sd-^^
выкинем две, в которых члены, не содержащие z, будут четные. Затем
для выражения нечетных значений au2-\-2buv-\-cv2 останутся две формы,
из которых одна будет давать числа вида 4/n-f- 1, другая вида 4/71 + 3
(см. § 44).
Из этих форм мы оставим или одну только или обе, смотря по
тому, дает ли форма an2 -f- 2buv -|- cv2 одни числа вида Ат-\-\, или
одни числа вида 4/^ + 3, или те и другие вместе. Но это узнаем мы,
замечая, что относительно и и ю можно сделать четыре предположения:
u=2k, v = 2s\ гг = 2&+1, v = 2s;
u = 2k-\-\, v = 2s-)rl\ u=2k, v = 2s+l.
Внося же эти значения и и v в форму awL-\-2bwvArcv2, находим
результаты такого вида
AN, 4Л^ + а, AN2 + a + 2b + c, ANB + c,
где называем через AN, ANV AN2, ANS совокупность членов, имеющих
множителем 4.
Из этого видно, что если ни одно из чисел а, с, а-\-2Ь-\-с не есть
вида .4/я + 1 или 4#i-f 3, то форма aa2-Jr2buv-\-cv2 не дает чисел
этого вида.
Обращаемся теперь к случаю d четного.
При d четном все числа r19 d + ri, 2d-{-rv Ы-\-гх или будут чет-

— 144 —
ные или все будут нечетные. В первом случае мы заключим, что форма
аи2-\~2bwv A? cv2 не дает чисел нечетных; во втором же по виду чисел
rv d~\-rv 2d-\-ru 3d + ri MbI узнаем, какого из четырех видов
8//г + l,8/7i + 3,8m + 5,8т + 7
числа выражаются каждой из линейных форм
4dz-bru 4dz-\-d + r1,4dz-\-2d-\-r1, 4<fe + 3d + r1,
,и мы увидим, которые из них должны быть выкинуты, определив, каких
из четырех видов
8/71 + 1,801 + 3,8*1 + 5,8/71 + 7
получаются числа из формы аи2-\-2Ьиъ-\-сю*. Для этого мы замечаем,
что относительно и и ю можно сделать только девять предположений:
u==2fc+l, tf = 2s + l; и=2£+1, ^ = 4s; tt=2ft+l, ^ = 4s + 2
д=4А, ^ = 2s+l; u=4k, v=4s\ u = 4k, ^ = 45 + 2
и=2Л+2, tf = 2s+l; и=4&+2, ^ = 4$ + 2; u=4£+2, v = 4s,
из которых четыре
ц = 4й, © = 4s; rz —4fe, i> = 4$ + 2;
и = 4й + 2, u = 4s + 2; и = 4й + 2, ^ = 4^
не должны иметь места, ибо в них значение аи2 + 2buv + сг>2 будет
всегда число четное. Что же касается остальных предположений, то,
делая в форме аи2 + 2buv + cv2
и —2А+1, tf = 2s+l; и = 2£+1, ^ = 4s; й = 2£+1, v = 4s + 2;
и = 4А + 2, w = 2s+l; « = 4ft, z> = 2s+l,
мы находим результаты такого вида:
8Af+a + 26 + c, Щ + а, 8АГ2 + а + 46 + 4с,
8iV8 + 4a + 4/? + c, 8N4 + c,
где 87V, SNV 8Л/2, 8iV3, 8Л/"4 означает совокупность всех членов,
имеющих множителем 8; сюда же относятся члены 4{k2-\-k)> 4(s2 + s),
которые на 8, очевидно, делятся.
Отсюда следует, что числа, определяемые формою
аи2-\~2buv + cv2,
могут иметь какой-либо из видов 8/Л+1, 8/тг + З, 8/71 + 5, 8/п + 7
только тогда, когда этого вида есть число между а, с, а + 2£ + с,
4a + 4ft + £, а + 4й + 4с, и этим определяется, которые из четырех
форм
4<fe+r„ 4*fe+d + rlt Adz+2d + rlf 4<fe + 3d + r1

— 145 —
могут выражать нечетные значения аи2 + 2buv + cv2 и которые должны
быть откинуты.
Покажем это на примере.
Мы видели, что все нечетные делители лг2 + 26у2 представляются
формами
и2 + 26tf2, 2и2 + 13v2, Ы2 + 2uv + Qv2, Ъи2 + 4и*> + 6v2.
Чтобы определить линейные формы чисел, представляемых первой, мы
замечаем, что в ней коэффициент а2 не имеет общего делителя с оцре-
делителем формы; поэтому к ней может быть приложена теорема 64.
На основании этой теоремы мы заключаем, ч*ю все значения #2+26г>2
по модулю 26 будут сравнимы с теми же числами, с которыми сравнимы
значения /2-f-26 при / = 0,1,2,... ,25. Но наименьшие числа,
сравнимые с
02 + 26, 12 + 26, 22 + 26, ..., 252 + 26
по модулю 26, мы находим в остатке, получаемом при делении этих
чисел на 26. Определяя эти остатки, находим, что все они равны
0,1,4, 9,16, 25, 10, 23, 12, 3, 22, 17,14, 13,
откуда заключаем, что с этими числами по модулю 26 сравнимы и все
значения ti2-\-26v2, а потому эти значения должны представляться
формами
26/71 +0, 26/71+1, 26т+ 4, 26/71 + 9, 26/тг + 16,
26/Я + 25, 26от-+-Ю, 26/71 + 23, 26/71+12, 26//& + 3,
26//1 + 22, 26/Д+17, 26/71+14, 26/71+13.
Но из них только формы
26/71+1, 26/71 + 9, 26//1 + 25, 26//г + 23,
26/71+3, 26/71+17
дают числа нечетные и простые с 26; их мы только и оставим. Делая
здесь m = 4z, 4z+l, 4г+2> 4г+ 3, мы вводим
104Z+1, 104г+27, 104z+53, 104z+79,
104г+9, 0 4^+35, 104г+61, 104г+87,
104Z+25, 104г+51, io4z+77, 104z+103,
104^+23, 1042+49, 104г + 75, 104г+101,
104Z+3, 104^+29, 104г+55, 104г+81,
104^+17, 104^+43, 1042+69, 104г+95.
Но чтобы узнать, которые из этих форм должно оставить и
которые выкинуть, мы должны определить, какие из четырех видов 8/гс+1,
8/71+3, 8/7г + 5, 8/7i + 7 имеют числа, получаемые из формы #2 + 26Л
Мы видели, что вообще для формы au?-\-2buv-{-cv2 это определяете
видами чисел
а, с, а + 2& + £, 4а + 4й + с, а+4& + 4с.
10 Чебышев, том I

— 146 —
Отсюда для формы u2-\-2Qv2 выходит
1, 26, 1+26, 4 + 26, 1+4-26.
Но здесь нет чисел вида 8/тг + 5, 8яг + 7. Следовательно, в
найденных нами формах мы должны откинуть те, которые дают числа этого
вида.
Так, замечая, что 53,61,77,29,101,69 суть вида 8//Z + 5, а числа
79,87, 103,55,23,95 вида 8//1 + 7, мы откидываем формы
1042 + 53, 1042 + 61, 1042+77, 1042 + 29,
1042+101, 1042 + 69, 1042+79, 104г+87,
1042 + 103, 1042+55, 1042+23, 1042 + 95,
а у нас остаются следующие:
1042+1, 1042 + 27, 1042 + 9, 1042 + 35,
1042 + 25, 1042+51, Ю42 + 49, 1042 + 75, 1042 + 3,
1042+81, 1042+17, 1042 + 43.
Раскроем теперь линейные формы чисел, определяемых
квадратичною формою 2гг2+13^2. Но к э^ой форме нельзя прямо приложить
теорему 64, ибо в ней коэффициент и2 есть 2, число не простое с
определителем — 26.
Поэтому мы должны предварительно эту форму преобразовать по
способу, показанному нами выше. Для этого, замечая, что общий
наибольший делитель 2 к 26 есть 2, мы ищем а, которое обратило бы
—~—, или а, в чие по простое с 26. Этому условию удовлетворяет 1,
а потому для преобразования формы 2w2+13i>2 вносим в нее U-\-vl
на место v, через что она обращается в следующую:
15и2 + 26и£/+13£/2.
Получив таким образом форму, в которой первый коэффициент
число простое с определителем — 26, мы, на основании теоремы 64,
заключаем, что ее значения по модулю 26 будут сравнимы с остатками,
получаемыми при делении
15-02 + 26-0+13, 15-12 + 26.1 + 13, ..., 15-252 + 26.25 + 13
на 26.
Но эти остатки мы находим равными числам
13, 2, 21, 18, 19,24,7, 20,11,10, 5,8, 15,0;
следовательно, по модулю 26 сравнимы с ними все значения 15и2 +
+ 26и£/+ 13/72, а потому могут быть представлены формами
26/гс+13, 26/71+2, 26я*+21, 26/71+18,
26//1+19, 26/71 + 24, 26/тг + 7, 26/тг + 20, 26/гс+И,
26/71 + 6, 26/тг+5, 26/71+8, 26т+ 15, 26/тг + О.

— 147 —
Но из этих форм только
26т+ 21, 26/Я+19, 26/Л + 7, 26/тг+П, 26т + 5, 26//г+15
дают числа нечетные и простые с определителем —26; их мы только
и оставляем. Делая здесь m—4z, 40+1, 40 + 2, 40 + 3, мы из этих
форм выводим
104^+21, 104Z+47, 1040+73, 1040 + 99,
104^+19, 1040+45, 1040 + 71, 1040+97,
104^+7, 1040 + 33, 1040+59, 1040+85,
1040+П, 1040+37, 1040+63, 1040+89,
1040 + 5, 1040 + 31, 1040+57, 1040+83,
1040+15, 1040 + 41, 1040+67, 1040+93.
Но числа, выражаемые формой
\5u2 + 2QuU+l3U\
не могут быть вида 8/л+1 и 8/л + З, ибо ни одно из чисел 15,13,
15 + 26+13, 4-15 + 2-26+13, 15 + 2-26 + 4-13 не есгь этого вида
Поэтому из найденных линейных форм мы должны выкинуть все,
которые дают числа или вида 8т + 1, или 8/л+З.
Затем для выражения чисел нечетных и простых с определителем,
получаемых из формы 15а2 + 26я/7+ 13£/2, остаются
1040 + 21, 1040 + 47, 1040 + 45, 104* +71,
1040 + 7, 104г + 85, 104*+ 37, 1040 + 63,
104z + 5, Ю40 + 31, 1040+15, 1040+93.
Чтобы найти все линейные делители х2-{-2£у2, нам останется найти
линейные формы для выражения чисел» определяемых формами
Зи2 + 2ию + 9v\ Ъи2 + Awv + 6z>2.
Но при этом мы находим для формы 3u2-lr2iiv-\-Qo2 те же
линейные формы, какие нашли для д2 + 26г>2, а дли формы 5&2 + 4/^ + ?> *
те же, какие нашли для 2и2+ 13z>2.
Итак, все нечетные делители формы лг2 + 26у2 простые с 26
определяются следующими формами:
1040+1, 1040 + 3, 1040 + 5, 1040 + 7,
1040+9, 1040+15» 1040+17, 1040 + 21,
1040+25, 104г+27, 104г + 31, 1040+35,
Ю40+37, 1040+43, 1040 + 45, 1040+47,
Ю40+49, 1040+51, 1040+63, 1040 + 71,
1040 + 75, 1040 + 81, 1040 + 85, 1040 + 93.
Так с помощью квадратичных форм могут быть определены
линейные делители x2 + Dy2, будет ли D число простое или составное. Но
чтобы при определении их не делать лишних выкладок, мы покажем
теперь средство узнавать, что две квадратичные формы делителей

— 148 —
x2±Dy2 приводятся к одним линейным формам, как в предыдущем
примере
и2 _|_ 26т/2 и Ы2 + 2uv -f 9v2, 2u2 -f- 13v2 и Ъи2 + 4fiw + 6яа.
Для этого мы докажем следующую теорему:
Теорема 65. Если au2-\-2bu<v-\-cv2, a1U2-\-2b1UV+c1V2 суть
квадратичные формы делителей х2 — dy2 и аУ аг числа простые с d>
притом аА = al2 -f- 2W-f- с (мод. d), где I какое-нибудь число, то можно
найти х, удовлетворяющее сравнению
а1х2-\-2Ьхх-\-с1 = аа2-\~2Ьа-\-с{ма&. d).
Доказательство. В самом деле, при а и аг простых с d
сравнение
а2аг {агх2 + 2Ьгх -f- сг) = а2ах {аа2 -\- 2&а + с) (мод. d)
может быть сокращено на a2av и таким образом оно приводится к
агх2-\-2Ьгх-\-сг = аа2-\-2Ьа-{-с(мо;х. d),
которого возможность имеем в виду доказать. Но сравнение
а2аг (агх2 + 2Ъхх + сг) = а2аг {аа2 + 2Ьа -}- с) (мод. d)
моясет быть так представлено:
[аахх + ^^i)2 — я2 (ь\ — а^) = ая^ {аа + &)2 — aaj (b2 — ас) (мод. d),
где Ь\ — ахсх> Ь2 — ас равны d, ибо, по положению,
a1U2-\-2biUV-{-c[Vl\ au2 + 2buv + cv2
суть квадратичные формы делителей х2 — dy2 (см. теорему 60).
Вследствие чего предыдущее сравнение приводится к такому:
(аа1х-\-аЬ1)2 = аах{аа-{-Ь)2{моя. d).
Это же сравнение удовлетворяется, если
aalxJrabl^{aa-\-b){al-\-b){uoA* d).
Чтобы убедиться в этом, заметим, что для этой величины aaxxJrabl
оно приводится к
{аа + b)2 (al + b)2 == ааг {аа + Ь)* (мод. d).
Но {al-\-bf сравнимо с аах по модулю dy ибо, по положению,
а1 = а/24~2&/-4-с(мод. rf),
откуда выходит
a^ = a (a/2 + 26/+с) (мод. d\
ИЛИ
aax = {al-\~Vf— {b2 — as)(мод. d\

— 149 —
и, следовательно, ааг = (а1-\-Ь)29 потому что Ь2— ас есть d.
Итак, чтобы удовлетворить сравнению
а1х2 + 2Ь1х-^с1 = аа2-\~2Ьа-\-с(мод. d),
необходимо только найти х, для которого
аагх-\-аЬг^(аа-\-Ь) (at-\-b) (мод. d),
что не представляет никакой трудности, ибо здесь х в первой степени,
и коэффициент его аах число простое с модулем d.
Так убеждаемся в справедливости предложенной нами теоремы.
На основании ее и теоремы 64 мы заключаем, что если аг будет
сравнимо по модулю d с каким-либо значением al2-\-2al-\-c, то числа,
определяемые формами
au2 + 2buv + cv\ a1U2-\-2b1UV+c1V2,
будут сравнимы с одними и теми же числами, а потому как для той,
так и для другой линейные формы вида md-\-r будут одни и те же.
Что же касается форм вида 4md-\-r, то мы их легко выведем из
форм вида md + r, и на основании показанного нами способа выводить
эти формы видно, что они для au2-\-2buv-\-cv2 и a1U2-{-2b1UVJrc1V2
будут различные или одинаковые, смотря по виду чисел а, с, а-\-2Ь-\-су
avcl9a1-\-2b1-\-cv при d нечетном, и по виду чисел а,с, а-\-2Ь-\-с,
4a4-4b^c,a + 4b + 4c,a1,c1>a1 + 2b + cv4a1-{-4b1-\-cl9a1 +-4^ + 4^,
при d четном. Этим мы оканчиваем теорию делителей x2±dy2. В конце
книги помещены таблицы линейных делителей формы x2±dy2 для всех
значений d, не делящихся на квадрат, от d=l до d=101.* Эти
таблицы имеют весьма важные приложения, как мы увидим в следующей
главе.
ГЛАВА VIII
ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ СРАВНЕНИЙ К РАЗЛОЖЕНИЕ)
ЧИСЕЛ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
§ 48. В заключение теории сравнений мы покажем, каким образом
на основании ее может быть упрощено разложение чисел на простые
множители.
Известно, что для разложения числа А на простые множители мы
должны отыскать наименьшее простое число, которое делит Л; если это
число есть а, то делить Л на а и искать наименьшее простое число,
которое делит —; если это число есть [5, то искать наименьшего дели-
теля ^г и продолжать это до тех пор, пока дойдем до частного, которое
не делится на все простые числа, не превосходящие его квадратного
* См. таблицы в конце тома.— Ред.

— 150 —
корня. Это частное будет число простое, и произведение его на а-р»-»
будет искомое разложение числа А. Таким образом, разложение чисел
на простые множители приводится к исследованиям, что данное число
имеет ли делителей или нет, и если имеет, то какой наименьший из
них. Но эти исследования представляют большие трудности для чисел
значительных. Так на началах арифметики наименьшего делителя числа N
мы должны искать между всеми простыми числами меньшими VN,
пробуя на них делить N. Но таких чисел будет много, если N велико, и
нам нередко придется испытать значительную часть их, прежде чем
попадем на делителя N. Еще более трудности встречаем при N простом;
в этом случае мы должны будем испытать делимость TV на все простые
числа до ]/N. Так на началах арифметики исс!едование состава какого-
нибудь числа, превосходящего 1000 000, потребует нередко более
160 делений, ибо чисел простых меньших \ 10U0 000 или 1000
находим 168. На основании теории сравнений эти изыскания значительно
облегчаются; мы можем по виду данного числа определить вид всех
возможных делителей его, и нам останется только испытать числа этого
вида.
§ 49. Мы начнем с частного случая, особенно замечательного, и
покажем, как могут быть определены формы делителей чисел вида ат±1,
для которых, на основании теорем главы V, не трудио доказать следующее:
Теорема 66. Если р нечетное число и делит ат—1, тор
может быть выражено формой а)г-{-1> где <я>— делатель т
(включая сюда и \), z число простое с ~; притом р должно
делить aw — 1.
Доказательство. Если о есть общий наибольший делитель
р—1 и т, то числа р~~ , ~ — целые и простые между собою.
Полагая первое из них равным г, будем иметь
откуда jp = юг-|-1.
Нам остается теперь доказать, что р будет делить aw—1. Для
этого мы замечаем, что делимость ат—1 на р выражается сравнением
ат — 1=0 (мод. р)у
которое, по теореме 36, при р — 1 и т, имеющих общим наибольшим
делителем ©, предполагает
aw — 1 = 0 (мод. р),
и, следовательно, делимость а05 — 1 на р, что и следовало доказать.
Из этой теоремы легко вьюести следующую:
Теорема 67. Если 2п-\-1 число простое, то простые нечетные
делители a2n+1 — 1 должны быть вида 2(2/г+1)^+1 или делить
а—1; притом они должны быть делителями формы х2— ау2.

— 151 —
Доказательство. Если р нечетное число, то оно может быть
так представлено: 2Л/+1. Но эта форма при делимости N на 2я+1
приводится к такой: 2(2/z+l)z + l. В том же случае, когда N не
делится на простое число 2я+1, число 2N будет простое с 2#+1. Но
если р делит а2**1 — 1 и выражается через 2Л^ +-1» где 2N простое с
2#+1, то, по предыдущей теореме, оно должно делить а—1. Итак, р
должно быть вида 2(2п + 1)г+1 или делить а—1.
Докажем же теперь, что р должно быть делителем формы х2 — ад/2.
В этом не трудно убедиться: р делит а2**1 — 1 и, следовательно, делит
а(а2п+1—1), а это приводится к (аа+1)2— а, выражению вида х2— ау2.
Замечая, что при а = 2 никакое число не делит а—1, делители же
х2 — ау2, по теореме 56, должны быть одного из двух видов, 8т +1
или 8т—1, мы, на основании доказанного нами, заключаем, что все
простые делители 22л+1— 1 при 2#+1 простом должны быть вида
2(2/г+1)г+1 и в то же время должны быть одного из двух видов
8/71+1 или 8т—1. Определивши таким образом вид делителей числа
22л+1—1, не трудно найти их во всяком частном случае или убедиться
в отсутствии их.
Для примера возьмем число 223—1, равное 8388607. Так как
23 число простое, то делители 223—1 должны быть вида 46z+l и в то
же время одного из двух видов: 8/тг+1 или 8т—1. Чтобы соединить
эти два свойства, мы замечаем, что z может быть одного из четырех
видов
4*, 4*+1, 4лг + 2, 4*+3.
Для этих значений z форма 46z+l приводится к таким четырем:
184г+1, 1842+47, 184z + 93, 184Z+139,
из которых последние две не дают чисел вида 8/гс+1 и 8т—1.
Следовательно, для делителей числа 8388607 возможны только две формы:
184*+1, 184Z + 47.
На основании их не трудно показать все простые числа, между
которыми должно искать делителей 8388607. Для этого, ограничиваясь
делителями, не превосходящими V 8 388 607, мы определяем значения
184*+1, 184* + 47
при л: = 0,1, 2, ..., 15. Между ними находим следующие простые числа:
599,967,1151,1289,1657,2393.
Но, деля на них 8 388607, мы замечаем, что ни одно из них не
делит 8 388607, откуда заключаем, что 8388 607 число простое.
Таким же образом Эйлер нашел, что
231— 1 = 2 147483647
есть число простое, и это есть самое большое простое число, доселе
известное.

— 152 —
Подобным образом, на основании доказанных нами теорем, легко
исследовать состав всякого числа, определяемого формулой ат—1.
Переходим теперь к числам вида ат +1 и относительно их
делителей докажем следующую теорему.
Теорема 68. Если р простое нечетное число и делит ат+1,
то р может быть так представлено: 2®z~[-U где <о делитель т
(не исключая I), который в частном — дает число нечетное z
число простое с ~; притом р должно делить аф + 1.
Доказательство. Делимость ат-\-\ нар выражается сравнением
ат+1=0(мод. р),
которое, по теореме 40, предполагает
аш + 1 = 0 (мод. р),
где © общий наибольший делитель тир— 1, который в частном ^-
должен дать число четное. Полагая это частное равным 2г, найдем
и, следовательно,
/? = 2(ог+Д.
Но не трудно убедиться, что здесь z число простое с — и
частное ~ число нечетное. В самом деле, число со, будучи общим наиболь-
. р — \ т
шим делителем р—1 и т, в частных - , — должно дать числа
простые между собою. Но первое есть 2z, и оно не иначе может быть
простым с —, как при неделимости — на 2 и отсутствии общих делителей
т
в — я z.
О)
Нам остается доказать, что р должно делить аю +1» н0 9Т0 следует
из сравнения
а»+1== 0 (мод. р),
которое мы вывели выше.
Из этой теоремы, как частный случай, выходят такие:
Теорема 69. Простые нечетные делители числа а2л+1 + 1 при;
2/г+1 простом должны быть вида 2(2#+1)г+1 или делить
а+1.
Доказательство. Если р нечетное число, то оно может быть,
так представлено: 2ЛЛ+1. Но эта форма при делимости N на 2/г+1
приводится к 2(2/г+1)0+1. В том же случае, когда N не делится на
простое число 2#+1, число N простое с 2л+1, и делимость а2л+1 + 1
на /;=27V+1, по предыдущей теореме, предполагает делимость а + 1
на это число, что и следовало доказать.

— 153 —
Теорема 70. Все нечеткие делители числа 22П +1 должны
быть вида 2-2nz-{-l.
Доказательство. По теореме 68, все нечетные делители 22а~|-1
могут быть так представлены:
2-a>z-f-l,
где (о есть делитель 2Л, который в частном — дает число нечетное. Но
этому условию удовлетворяет только со = 2я, следовательно, все нечетные
делители 2^-\~\ должны представляться так:
2-2^+1,
что и следовало доказать. На основании трех последних теорем легка
найти делителей числа, имеющего вид ат-\-\, или убедиться, что оно
не имеет делителей.
Для примера возьмем числа 65537 и 4 294 967 297, из которых
первое равно 2^ -}-1, второе равно 225 -J-1-
По последней из доказанных нами теорем, делители 65 537 должны
быть вида 322:+1. Делая здесь 0=1,2,3,4,5,6,7, мы находим, что
все числа этого вида и меньшие У 65 537 суть
33,65,97,129,161,193,225.
Но из них только 97 и 193 числа простые, и так как эти числа не
делят 65537, то мы заключаем, что 65 537 есть число простое.
По той же теореме для делителей числа 4294967297 имеем форму
64z-j-l. Делая здесь 2=1,2, ..., 1023, мы найдем все числа этого вида
и меньшие {/4294967 297. Между этими числами мы находим такие
простые:
193,257,449,577,641,...
ДеЛя на них 4 294967 297, мы замечаем, что это число делится на
641.
Этот пример особенно замечателен тем, что он опровергает мнение
Фермата, будто бы все числа вида 22П -J- 1 суть простые.
§ 50. Мы видели, каким образом теория двучленных сравнений
облегчает исследования состава чисел, подходящих под форму ат±Ь
Теперь покажем, каким образом для всякого числа А может быть
найдено множество форм вида х*±ау2 с незначительными величинами ау
которые будут выражать или данное число А или кратное его. Во
всяком случае, будут ли эти формы выражать А или кратное Л,
делители А будут делителями этих форм, и, следовательно, вид их
определится по способам, показанным в предыдущей главе, или найдется из
наших таблиц делителей х2±ау2, если а не превосходит 101.
Какое бы ни было число А шш кратное его kAy можно всегда
выразить его формою вида х2±ау2. Так, принимая за х какое-нибудь

— 154 —
число, за у наибольшее число, квадрат которого делит разность А — х2,
и полагая частное —-— равным я, будем иметь
Л-л:2_
откуда получаем для А такое выражение:
А = х2-\-ау2.
Подобным образом могут быть выражены 2Л, ЗЛ,... Все
полученные таким образом формы будут служить для определения делителей А
Но из них наиболее выгодны те, в которых а имеет незначительную
величину, ибо, как можно было заметить в теории делителей квадратичных
форм, чем меньше а, тем проще формы делителей х2 ± ау2. Поэтому из
всех возможных выражений Д или кратного Л, формами вида х2-\^ау2
мы должны выбрать те, в которых а — незначительное число. Для
некоторых чисел эти формы легко могут быть найдены непосредственно. Так,
не трудно заметить, что 10001 = 1002+ 1, 3• 3337 = 1002 +11, и т. п.
Но вообще такие формы могут быть найдены на основании следующей
теоремы:
Теорема 71. Если dQ9 dv d2, ..» есть ряд чисел, в котором
каждый член dn+1 no двум предыдущим определяется уравнением
первые же два суть 1, А — (Е VА)2> то всякая из форм х2— Dy2,
где D равно
способна выражать А или кратное А.
Доказательство. Прежде чем приступим к этому
доказательству, заметим, что ряды
&о> &i> #2> • • • >
V A — dxd0y VA — d2dv VA — dsd%, ...
состоят из чисел целых.
По положению, dQ — l, dx — A — (Ej/Л)2; отсюда следует, что
d0,dvVA — dxdQ суть числа целые. Но если эти количества суть числа
целые, то и все остальные, заключающиеся в рядах
VA—djd^ V A — dtdx, V A — dbdv ....
не могут иметь значений дробных или иррациональных, ибо по уравнению
VA-=d^n^d£VA-™;:^VA-VA^i,
dn V ™TT"n-V
* Знаком F, мы означаем здесь то же, что в § 26.

— 155 —
из которого выходит также
■dn{l
dn
количества dnJrVV A— dndn+1 не могут иметь значений дробных или
иррациональных, если dn_vdn, VА — dndtl_l суть числа целые.
На основании этого, зная, что d0, d19 VA — d0d1—числа целые, мы
заключаем, что d2>VA — d^d2 имеют значения* целые; зная, что
dxd^VA — dxd2 имеют значения иелые, заключаем, что db>VA — dzd2—
числа целые, и т. д.
Приступим теперь к доказательству предложенной нами теоремы и
изобразим буквами х0, xvx2, ...,хп_^хп_л значения VA — dxd^
VA — d2dvVA — dbd2, . .,,K A — an^d4_^\'A—dnan_l , которые, как
видели, все суть числа целые. Имея таким образом
V A — u^o — Xq,
V А — d2d^—xv
V А — dsd2=zx2,
VA — dn_ldn^ = xn^2j
VA — dndR^1=xn^v
мы из этих уравнений выводим
xl — A^ — d^,
x\ — A=—d2dv
xl — A = — dsd2,
х2 „ — A=—d A „
которые иначе напишутся так:
(х0 + V"A) (*o — VA)=—d^o,
(х, + VA) (xt - VA)=-d2d„
(x2-fV A) (*,—VA)=- dzdv
(xn_2 + V A) (*„., - VA) = - d„_A-»
{Xa_l+VA)(xn_l-\^A)=-dnda.l-
Перемножая все эти уравнения между собою, находим
(*о + VA) (*i + \ГА)(*? + VA)j_ ■ ■ (*,-« + VA)(xa-i + VA)X
X(xo — Vl.)(Xx — VJ)(x2 — V~A)---(xn-* — VAl(x«-i — VA) =
=(-\Yd,a\d\..-d\_xdn.

— 156 —
Но, перемножая между собою выражения
x0±V~A, хг±У~А, x2±V~A,..., *n^±V~A, *e_i±/A
мы находим произведение такого вида: Xn±:YnVrAJ где Хп и Yn—числа
целые.
Вследствие этого предыдущее уравнение приводится к такому:
{Xn + Yn\rA){Xn-YnVA) = {-\)«dM---dUdn.
Полагая же здесь dxd2-- • dn-1=Zn и замечая, что d0=l, мы
находим
[Xa + Y№VA)(XH-YnVA) = {-lY2*4H.
Такое уравнение мы найдем для всякого значения п. Делая здесь
п = а, в = р, ra=Y» •••» мы будем иметь
(Л.+ Y«V~A) {X.-YXA) = {- lYZX,
(X,-\-Y?VA}(X9-Y9V^) = (-l^Zld?,
{X^+Y,V A){X,-Y,V A) = i-\)tZ*dv
и эти уравнения по перемножении дадут
(X. + Yy*)(Xi + YjrA)(X,+ Y,V~A)-.- X
X(X.-YaVl){X9-Yi\rA4X,-Y,V~A)... =
= (_ i)«+P+r+... 2»2^. • -d^dr - •
Но, перемножая между собою выражения
Xa±YaVA Xp±YpVA ^Т±ГТ/Л
мы находим произведение такого вида X±YVА, где X, У— числа
целые, вследствие чего предыдущее уравнение приводится к такому:
а это, по раскрытии скобок, дает
Z2 —ГМ = (—l)a+P+T+.-Z2Z2Z2...rfarfprfT...,
или
Х*-{- 1)«+Р+т+... d^.. .(ZaZpZT. - -)2 = ЛР.
Откуда видим, что форма
х2 — ау2
при а = (—l)a+p+^+-*-rfarfpdT-•• будет выражать число кратное Л,
если х примем равным Хну равным ZaZpZT •-, что и следовало
доказать.
На основании этой теоремы, определивши числа
d0, dv d2, —

— 157 —
мы найдем множество форм вида х2±ау2, которые будут способны
выразить кратные А.
В этих формах а определяется произведением каких-либо из чисел
а0, й19 #2» • • •>
и между различными сочетаниями этих чисел мы выберем такие,
которых произведение привелось бы к точному квадрату с незначительным
множителем. Принимая такие произведения для определения а в форме
*2±ау2 и выкидывая из состава а точные квадраты, по § 46, мы
получим формы с незначительными коэффициентами, и эти-то формы, на
основании сказанного нами, послужат для определения делителей А.*
Если бы мы не нашли таким образом достаточного числа различных
форм, то мы стали бы, по предыдущей теореме, искать формы,
выражающие кратные 2 Л, ЗЛ, 4Д ..., и между ними выбрали бы удобные
для определения делителей А.
Для примера возьмем число 8 520191. Ке останавливаясь на
формах, которые могли бы быть открыты непосредственно для выражения
8 520191 или кратного 8 520191, мы будем искать их на основании
предыдущей теоремы. Для этого мы определим числа
Uq, #j, #2> ^3» # * *
по уравнениям
d0=l, d,=S520 191 — (ЕVs520191)2,
K8520191-^1^ = ^E^852Q191^^ + T/8520191 -
— У Ьо20191 —dndn_v
Из этих уравнений находим
d0 = l,
d,=5467,
d2=370,
ds = 4319,
rf4 = 1313, dg =1169,
dg=2630, d9 =4523,
rf6 = 3185, rfl0=242,
d7=203, dn = 1855,
A,= 1210.
d12 = 593,
rfls=2854,
du = 2965,
d1B = 371,
Разлагая здесь числа на простые множители, что не представляет
большой трудности,** получаем
<*о=1
^ = 7-11.71,
d2=2-5-37,
dB= 7-617,
d4=13-101,
d5=2-5-263,
rfe=5-7M3,
rf7 = 7-29,
<*ie =
d8=7-167,
d9=4523,
d10 = 2-W,
dn=5'7-53,
= 2-5-II2.
d12=593,
rf18=2.1427,
d14 = 5-593,
rf16 = 7-53,
* В этих формах не будут заключаться числа diy d2> d$,..., входящие в состав д,
но они могут делить Л, и мы их должны предварительно испытать.
** При этом можно с выгодой пользоваться таблицами Вега, в которых находим
для всех чисел, меньших 102 000, разложение на простые множители.

— 158 —
Рассматривая состав чисел dQ,dvd2,..-ydH, мы замечаем, что
числа
rfe> d1Q, die> d10d16, d6dlQdu, d2d16, d4dbdl0d1Q9
по исключении из состава их точных квадратов, приводятся к
незначительным числам.
Поэтому на основании доказанной нами теоремы для определения
делителей рассматриваемого нами числа 8 520191, принимаем формы
вида х2— ау2, гдз а имеет такие значения;
а=(— 1)6^ = 5-72-13,
а = (— l)i°d10 = 2-ll2,
а = (— l)led16 = 2-5.112,
а=(— 1)1а+1Чо^16==22-5-114,
а = (— 1)6+10+Х^16 = 52-72.13-2М14,
а-=(—l)2+16rf2die=22-52.37*ll2,
а = (—l)*+e+l0+ied4dedI0^===,132-10b52-7a.2a.ll4.
Исключая в этих величинах а все множители, составляющие точные
квадраты, находим для а следующие величины:
5-13,2,2-5,5, 13, 37, 101.
Откуда видим, что делители 8 520191 должны иметь вид делителей
каждой из форм
х2 — 5-13J/2, х2 — 2у\ х2 — 2-Ъу\ х2 — 5у\ х2 —13/2,
х2 — 37j/2, х2— 10iy2.
На этом основании мы и будем искать делителей 8 520 191.
Для этого по таблицам линейных делителей мы замечаем, что
делители х2 — 5 -1 Зу2 суть
2602+ 1, 7, 9, 29, 33,37,47, 49,51,57, 61, 63,67,69,73,79,81,83, 93,97,
101,121, 123, 129, 131,137,139, 159,163,167,177,179,181,187,191,193,
197,199, 203, 209,211, 213, 223,227, 231,251,253,259.
Но из них делителями х2 — 5j/2 могут быть только те, которые при
делении на 20 дают остатки, равные 1,9,11,19, ибо для делителей
х2 — Ъу2 находим
20г+1,9,11,19.
Выкидывая из предыдущих форм все, которые не дают в остатке

— 159 —
1,9,11,19, мы находим, что делителями х2— 5-13у2 и х2— 5у2 вместе
могут быть числа вида
2602: + 1,9,29,49,51,61,69,79,81,
101,121,129,131,139,159,179,181,191,
199,209,211,231,251,259.
Но из этих чисел могут быть делителями формы х?— 2у* только
те, которые вида &г +1 или 8г + 7 и, следовательно, при делении на 8
дают в остатке 1 или 7. Чтобы вывести из найденных нами форм
делителей х2 — 5«13j/2 и х2 — 5у2 такие, которые давали бы одни числа
вида 8z-}-l и 8г-}-7, мы преобразуем их так, чтобы коэффициент при
переменном z был кратным 8. Для этого мы замечаем, что z будет
вида 2и, или вида 2а+1. Внося эти величины в найденные нами формы
делителей х2—\5у2 и х2 — 5у2, мы их представим так:
520tf-f 1,9,29, 49,51, 61,69, 79, 81,101
121,129,131,139,159,179,181,
191,199,209,211,231,251,259,
261, 269,289,309,311,321, 329,
339,341,361, 381,389,391,399,
419, 439,441,451,459,469, 471,
491,511,519.
Выкидывая здесь те формы, которые при делении на 8 дают остатки,,
отличные от 1 и 7, находим, что4 общие делители форм х?— 5-13у\
х2 — 5у2,д:2— 2у2 должны быть вида
520a-f 1,9,49,79,81,121,129,159,191,199,
209,231,289,311,321,329,361,391,
399,439,441,471,511,519.
У нас остается еще для определения делителей числа 8 520191
четыре формы:
л? —2-5у2, х2 — 13у2, х2 — 37у2, х2—10\у2.
Из них первые два имеют делителями все числа, делящие х2—5« 13j/2,
х*— 5у2, х2 — 2у2, в чем не трудно убедиться, заметив, что делимость
х\ — 5-13у\, х1—5у!г, xf—2yl на р предполагает
x\ = b-\Zy\, х\ = Ъу% х\ = 2у\ (мод. р\
откуда следует х\х\=Ь2ЛЪу\у\, xpcl = 2-5yly* (мод. р), и,
следовательно, делимость форм х2—\Ъу2 и х2 — 2-5у2 на р.
Что же касается до форм
х2 — 37у2, х2— 101j/2,

— 160 —
то, определяя их делителей и выкидывая из форм
520м+ 1,9, 49, 79, 81, 121,129, 159,191, 199,
209, 231,289,311, 321,329,361,391,
399,439,441,471,511,519
те, которые не согласны с их видом, мы ограничили бы еще более числа,
между которыми должны искать делителей 8 520191. Для этого мы
найденные формы должны преобразовать так, чтобы коэффициент при
переменном и был кратным 4-37 и 4-101, после чего делением этих
форм на 4-37 и 4-101 мы узнаем, которые из них подходят под формы
делителей х2— 37у2, х2—\0\у2. Но при этом мы получим чрезвычайно
много линейных форм для определения делителей 8520191. Поэтому,
не пользуясь пока формами х2— 37jy2, х2— 101j/2 для определения
делителей 8520191, мы остановимся на найденных нами линейных
делителях, общих формам х2 — 5-13у2,лг2—Ьу2,х2— 2у2\ и по ним определим
все простые числа меньшие К8 520191 . Эти числа суть
79,
601,
991,
1481,
1999,
191,
641,
1031,
1511,
2081,
2521,
199,
719,
1039,
1559,
2089,
2551,
311,
751,
1049,
1609,
2129,
2591,
439,
809,
1231,
1759,
2161,
2609,
521,
881,
1249,
1871,
2239,
2729,
569,
911,
1361,
1889,
2311,
2791.
599,
919,
1439,
1951,
2441,
Между этими-то числами мы должны искать наименьшего делителя
8520191. Но по значительному количеству их это было бы довольно
продолжительно. Для этого мы предварительно исключим из них те,
которые не могут быть делителями квадратичных форм л:2—37у2, хг—101_у2.
Для этого мы замечаем из таблиц, что делители х2 — 37/2 при делении
на 148 должны давать остатки
1,3,7,9,11,21,25,27,33,
41,47,49,53,63,65,67,71,
73,75,77,81,83,85,95,99,
101,107,115,121,123,127,
137,139,141,145,147.
Но между найденными нами простыми числами этому условию
удовлетворяют только числа
521 751 1439 2081
599 881 1481 2441
601 1039 1871 2591
641 1231 1951 2729
719 1249 1999 2791

— 161 —
Таким же образом находим, что из этих чисел делителями х2—lOty2
могут быть только
521,601, 1231,1249,1999, 2441, 2729, 2791.
Пробуя делить на эти числа 8520191, замечаем, что они его не
делят, откуда заключаем, что 8 520191 число простое.
Таким образом, на основании теории делителей квадратичных форм
мы можем исследовать состав всякого числа, определивши ряд чисел
#0» ^1> ^2> " • •
по уравнениям:
а0=иЛг = А-(ЕУА)\
VA-dn^dn^d3VA-^r+^-^A~dndn^
ПРИБАВЛЕНИЯ
I. О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ
В главе IV мы видели, как определяется величина символа (—\ ,
и через это узнаем, имеет ли сравнение л;2 = а (мод. р) решение или
нет. Но этот способ определения величины (^ j может быть значительно
упрощен; можно определить значение (~) , не разлагая ни а> ни
других чисел на простые множители. Такое упрощение особенно важно при
а большом; в этом случае разложение.а на простые множители бывает
очень трудно и требует гораздо более времени, чем самое определение
{—) по способу, который мы теперь покажем.
Следуя Лежандру, мы изображаем символом ( — j при р простом,
нечетном, не делящем а, единицу с тем из двух знаков, с которым она
удовлетворяет сравнению
а 2 =±1 (мод. р).
Согласимся же теперь с Якоби изображать произведение таких символов
(к)9 (li)# (л)' ••• СИМВ0Л0М (a/Js-)* Допустивши такое знако-
положение, мы в величине символа I~) при N нечетном, простом с а,
будем иметь произведение символов (--)> (т)> (—),..., где а, [J,
у, ... суть простые множители, составляющие TV. В случае N простого
этот символ будет тождественен символу Лежандра, им определится
возможность или невозможность сравнения у? = а (мод. N).
Докажем же теперь, что символ (~Л будет удовлетворять всем тем
11 Чебышев, т. I

— 162 —
уравнениям, которые служили нам для определения величины символа
f —) при р простом.
/л'-я"-.-\ (а*\(ап\ D
Не трудно убедиться, что к—^—J равно ^j ^J •♦» В самом
деле, если
где а, р, у, ...—простые числа, то
(^Хт) (?)-•
№)-(*) (т)-•
(^)-(т) (')•-
Перемножая эти уравнения, нахрдим
№(^)(*^) ■■•-(?)№(?>•••(=)(?)(?)-
что по принятому нами знакоположенйю представится так:
\ а^ • • • / \ opY • • • / \ afif • • • /
Замечая же, что здесь ару • • • равно N9 найдем
(^р)-(5)(5)-.
что и хотели доказать. На основании этого мы заключаем, что
и, следовательно,
V " J — [nJ-
На этом основании мы можем в символе (—) выкидывать из
состава а точные квадраты.
Также не трудно доказать, что при а, сравнимом с q! по модулю N>
значение ( ^н равно (jA . В самом деле, если а я а' сравнимы по
модулям N и N=apy • •. , то а и а' сравнимы по модулям а> Р» Y» - *• »
и, следовательно,
(*)-$• (f)=(f)' (т) = й>-
Перемножая эти уравнения между собою, найдем
й)(т)(т)--(?)(Я(т)-.-(^Н^>-

— 163 —
Но ару • • • = N, следовательно,
На основании этого мы можем в символе ^ число а заменять
остатком от деления а на N, или абсолютно малым вычетом а по модулю N.
Значения f^J при а=*1 и а = —1 определятся, так же как
значения (~Л при р простом, уравнениями
В самом деле, если М=а[5у---, где а, (5, у • • • простые числа, то
и)-И(т)(1)---
(^)=(^)(^)(^)-=(-о-+-+-+-
Но ~ =q■г *;,' ~~ , что может быть представлено так:
(,if-+Q(,tii+,)(,i^+1)...-1
2 '
а это, за исключением членов, имеющих множителем % приводится к
2 ^ 2 ^ 2 i
Вследствие этого предыдущее выражение у~ц-) приводится к такому:
На основании этого и уравнения (^г)==(^)(^) значение (^J
выразится так:
ЛГ—t
(ти*)*-1'""1"
Переходим теперь к уравнению, связывающему значения \jt\ ,
(—\ Это уравнение подобно тому, которое мы нашли для символа Г-J
при а, р простых и назвали законом взаимности двух простых чисел.
Пусть будет Л^=ару • • • , а = а', [*', у', - • , где а', 0', у', ... , подобно
п*

— 164 —
a, jl, у, ... , простые числа. По закону взаимности простых чисел
находим
Перемножая же эти уравнения между собою, получаем
тю--
-(й(^)й...-(-.,^(-^+^+-).
или
а'— 1 /а—1 ,Р—1 r Y — 1 , \
Ш-С^мгН-'-*-3-*-1-*-)
Но произведение a^Y *' ■ равно TV; значение же
2 ^ 2 ^ 2 » '
uV— 1
как заметили, разнится с —^— числом четным; вследствие этого
предыдущее уравнение приводится к такому:
a'-l iV-1
Подобным образом находим
Перемножая все эти уравнения между собою, получаем
что, подобно предыдущему, приводится к
(Я-(?)(-'>—-1-.
дбо a'^Y •••s=a.
Нам остается теперь показать уравнение, определяющее значение
(f) пРи а = 2* Это уравнение, на основании выведенных нами, может

— 16& —
быть определено очень просто, независимо от уравнения, выражающего
величину f—J ирир простом.
Для этого мы замечаем, что уравнение
при а=2п—1, N—2n-\-l дает
\2n + l)~ ^2/2— 1у/ ^ 1>
откуда следует
/2/г— 1 \_(2п+1\
\2п+1 J~~\2n-l)'
Но, по доказанному нами,
Ur+i) = \ 2йп ) = (2^+т)= (зт+т} (—1)я>
/2/1+1 \ _ /2я+1 —2я+1 \ _ / 2 \
V2/2 — 1 / V 2л—1 У \2л— iy *
Вследствие этого предыдущее уравнение дает
(sriMs^H-1)"-
Делая здесь «==2,3, ... , ~ и перемножая уравнения, при этом
получаемые, находим
ЛГ—I
ЛГ — 1
1+2+3+ ... +—£—
ЛГ2 —1
(^)-(f)(-')*+"*-+
Но Г у j равно —1; вследствие этого предыдущее уравнение дает
что приводится к такому уравнению:
(*)=<-■)
На основании выведенных нами уравнений, мы можем с выгодою
ввести символ (£•) с iV составным для определения значений (-J при
р простом. Для этого мы будем поступать при определении Г—J таким
образом:
Если а больше р, то символ (~\ заменяем символом f~J, где г—
остаток от деления amp (вместо остатка от деления а на /?, мы
можем взять за г абсолютно малый вычет а по модулю р)\ если г число

— 166 —
четное, то разлагаем его на произведение степени 2 и числа нечетного;
через это значение ( — ] представится произведением символов f~J и
(—). Символы Г—V будучи в четном числе, дадут произведение, равное
1; в противном случае мы его найдем по уравнению f^j=(—1) 8
Обращаемся к символу Г—], где г'<^р и г' — число нечетное. По
выведенному нами уравнению
найдем
Потом поступаем с [~п> как поступали с (--)» и, уменьшая таким
образом последовательно числа, входящие в этот символ, дойдем до
символов, которых значения найдутся на основании уравнений
N — 1 а-\
2 ' 2
2 ' 2
АГ — 1 ,Л, ЛГа — 1
При этом мы будем выкидывать в симюле f-^J множителей а и TV,
составляющих точные квадраты, когда такие множители легко
обнаруживаются.
Для примера возьмем символ
/ 884 257 967 \
V 2 147 483 647 ) '
Здесь верхнее число меньше нижнего и притом нечетное; поэтому
на основании уравнения
(*)-@)<-1>~,_-~г
ВЫВОДИМ
/ 884257 967^ _ _ / 2 147 483 647\
V2 147 483 647 J — \ S84 257 967 )
Потом, деля 2 147 483 647 на 884 257 967 и находя в остатке 378 967 713,
заключаем,, что
/2 147 483 647 \ /378 967 713 \
V 884257 967 У V884 257 9о7 ) '
Но опять на основании того же уравнения

— 167 —
находим
/378 967 713\ _ /884 257 967Х
V884 257 96/J ^378 967 713/ #
А так как остаток от деления 884257967 на 378967 713 есть 126322541,
то
/884 257 967 \ /126 322 5414
V378 967 713 J \378 967 713/ *
Продолжая таким образом, выводим
/Г26 523541\ /378 9S7 713X _( 90 \ .
V378 967 713/ V126 322 541J \126 322 541/ '
( *° )=( 3 V ( 10 )-( " у
V126322541/ \\2b622b4iJ V126322541/ \12662,2 Ъ41) '
( "> W I \ ( Ё \
U26322541/ V12632254i; \12Ь322541/'
Но величина (i26 322 54i)' п0 УРавнению (лП='—г) *~ ,есть ~^
следовательно,
/ 10 \ / 5 \ /126 322 54П (1\— 1
V126322541; \12Ь^22541/ \ 5 J V5/
Tjr /884 257 967X -
Итак, величина ^214748b47j есть 1.
Если бы мы стали определять значение этого символа по способу
Лежандра, изложенному нами в главе IV, мы должны были бы,
приступая к этому определению, разложить число 884257967 на простые
множители, что представляет большие трудности.
Принятое нами знакоположейие для означения произведения
символов (~Ь (т"Ь (irb • ••**, вследствие того, данное нами значение
символу (ff) при iV составном могут быть также с пользою употреблены
в теории делителей квадратичной формы х2±аУ2- Так, если форма
хг—iay2, где 1=±1, имеет делителем число N, и N есть произведение
простых чисел ofy •••, то (~j = l, (yj = l, (~j = l, ... > откуда
следует, чт0(^)(т) (""у"" = * и> слеД°вательно> по нашему знако-
положению,
(£)-'•
откуда выходит
ом*)--
Умножая это уравнение наГ^-j и замечая, что (jA =1, находим
w
°ч^-

— 168 —
Предполагая же а числом нечетным, по доказанному нами, имеем ,
(?)-(#) <-')^~
я — 1 N — 1
2
Это уравнение, вместе с предыдущим, дает
Отсюда для i=U а = 4п-\-1 выводим f~J =1; для i=l, a =
= 4/г + 3 выводим^ — \ =■(—1) 2 ; для i==—1, а = Ап-\-\ выводив
N — \
С~)=(—1) 2 ; для £==—1, а = 4/г + 3 выводим (—) = ]?.
Вот уравнения, которым должны удовлетворять делители формы
•к2±яу2; в них, как частный случай, заключаются уравнения, которые
в главе VII мы нашли для определения делителей х2 + ау* при а
простом нечетном.
II. ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЕРВООБРАЗНЫХ КОРНЕЙ
В главе VI мы показали два способа определять первообразные
корни простых чисел. Оба эти способа для чисел больших приводятся
к огромным выкладкам. Теперь мы докажем несколько теорем, на
основании которых можно для многих чисел по виду их узнать их
первообразный корень.
Теорема. Первообразный корень числа 22п-\-1 есть 3.
Доказательство. Если р = 22п-f-1 > то в состав р — 1 входиг
только простое число 2; а потому (см. теорему 49) число а есть
первообразный корень 22л + 1, если сравнение л;2 = а (мод. 22л+1) не имеет
решения. Докажем же теперь, что это сравнение не имеет решения
при а = 3. Для этого мы замечаем, что (\ш Л по закону взаимности
чисел равно f ^ ), а это равно (-y-V ибо, возводя члены сравнения»
4 = 1 (мод. 3) в степень /г, находим 4Л= 1 (мод. 3), откуда ясно, что — 1
по модулю 3 сравнимо с 4Л —[— 1, или 22л-|-1. Но (^-) =—1,
следовательно, (22д4-'1) =— 1' а П0Т0МУ сравнение х2 = 3 (мод. 22л-[- 1) не имеет
решения, и 3 есть первообразный у корень числа 22л+1-
На основании этой теоремы мы заключаем, что 3 есть
первообразный корень 5, 17, 257, 65537.
Теорема. Первообразный корень числа 2(4л+1)+1 при 4/г-|-1
Простом есть 2, а числа 2(4# + 3)+l при 4# + 3 простом есть
2(4/г + 3) —1.
Доказательство. Если /? = 2(4#-{-1) + 1 и 4л+ 1 число
простое, большее 1,то в состав р—1 входят два простых числа: 2, 4/г+1;

— 169 —
поэтому (см. теорему 49) число а будет первообразный корень числа
2(4/z + l)-f~ 1, если сравнения
х* = а, **й+1 = а(мод. 2(4л+1)+1)
не имеют решения. Докажем же теперь, что эти сравнения не имеют
решения при а = 2. Невозможность первого очевидна; оно приводится к
х2 = 2 (мод. 8л+ 3),
а, по теореме 32, ( 8д , ^) есть —1.
Что же касается второго, оно будет
х*+1 = 2(ыод. 8л + 3),
откуда, возводя обе части сравнения в квадрат, находим
*8я+2 = 4(мод. 8/г + З).
Этому сравнению не удовлетворяют числа кратные 8/г-[~3, а при х^
не делящемся на 8/г + З, по теореме Фермата, будет
д;8/1+2 = 1(мод# 8/г + З),
вследствие чего предыдущее сравнение приводится к такому:
1=4(мод. 8/г + З),
или
3 = 0 (мод. 8/г + З).
Это сравнение могло бы иметь место только при я = 0, но случай*
й = 0и, следовательно, 4/2~}~1 = 1 мы исключаем. Итак, оба сравнение
х* = а, х*а+г = а{мол. 2(4л+1) + 1)
при а = 2, л^>0 не имеет решения, и, следовательно, первообразный
корень 2(4#-|-l)-j- 1, в сделанных нами предположениях, есть 2.
Переходим теперь к /? = 2(4я+3)+ 1. В этом случае р—1 будет
заключать простые числа 2 и 4/Z-J-3, и а будет первообразный корень
2 (An -\- 3) + 1, если ср авнения
х2 = а, *4й+3 = а(мод. 2(4л + 3)+1)
не имеют решения. Докажем же, что это случается для а = 2 (4п -{- 3) — 1.
Первое сравнение приводится к
д:2 = 8/г + 5(мод. 8л+ 7),
и оно не имеет решений, ибо
(8п + Ь\ _ /8/1 + 5 — 8/z — 7\ _ f -2 \ __ <

—170 —
Второе будет
х*п+* = 8п + 5 (мод. 8л+ 7),
или
;с4й+3=е —2(мод. 8/Z + 7).
Возводя обе части этого сравнения в квадрат и замечая, что, по
теореме Фермата, xSH+* = 1 (мод. 8#-f 7), находим
1 = 4 (мод. 8/Z + 7),
что невозможно. Итак, оба сравнения
х2=Ей, л4л+3 = а(мод. 2(4я + 3)+1)
при а = 2 {An + 3) — 1 не имеет решения, и, следовательно, 2 (4л + 3) — 1
есть первообразный корень числа 2(4/г + 3) -j-1.
На основании этой теоремы мы заключаем, что 2 есть
первообразный корень 11, 59, 83, 107, 123, а 7 имеет первообразным корнем 5;
23 имеет первообразным корнем 11; 47 имеет первообразным корнем 45
и т. д.
Теорема. Первообразный корень 4Л/Г-|Г1 при N простом и
большем 2 есть 2.
Доказательство. Если p=AN-{-\ и ^/простое, большее 2, то
р—1 заключает два простых числа: 2 иЛ[; поэтому а будет
первообразным корнем 4Af-f-l> если сравнения
х2 = а, xN '-- а (мод. 47V+1)
не имеют решения. Докажем же, что это случается при а = 2. При а = 2
первое сравнение будет
х2 = 2(мод. 4W+1).
Но 7V нечетное число, следовательно, вида 2/z-)-l, а потому 4М+1 =
=8/z-|-5; в этом же случае, по теореме 32,
и, следовательно, сравнение
я2 = 2 (мод. 4ЛГ+1)
не имеет решения. Что же касается второго, оно приводится к
^=2 (мод. 4ЛГ+1).
Возведя обе части этбго сравнения в четвертую степень и заметив,
что, по теореме Фермата, x*N= 1 (мод. 4Л/"-[-1)> находим
1 = 16 (мод. 4ЛГ+1),
или
3-5==0(мод. 4ЛЛ-И).

— 171 —
Но это срйвнеййпе йевозмгожно, ибо оно предполагает 3 или 5
делящимся на простое число 4ЛГ4-1, где Л^>2.
Следовательно, оба сравнения
х2 = 2, *"Е=Еа(мод. 4Аг+1)
при я = 2 не имеют решения, а потому 2 есть первообразный корень
числа 4Л/г+1-
Так числа 13,29,53,149,173,269,293/317, .♦. будут иметь
первообразным корнем 2.
Теорема* Числю 4«2"W-j-1 при N простом, превосходящем —% ,
#*>0, будет иметь первообразным корнем 3.
Доказательство. Если p = 4-*2mN-\- 1 и ЛГ простое, тор—1
заключает только два простых числа: 2 и N. В этом случае а будет
первообразным корнем числа ру если сравнения
*2 = я, д^=а(мод. 4-2"W+l)
.не имеют решения. Посмотрим же, могут ли они иметь решение при
92"1
я = 3, когда Ny по положению, число простое, более —- и, следова-
4-2т
тельно, более 3 и на 3 не делится. В этом случае N будет или вида
З/2-j- 1, или Ъп—1. Следовательно, будет
АГ=±:1(мод. 3).
Но из сравнения 2 = —1 (мод. 3), возводя его в степень т-\-%
выводим
2^+2 = ±1(мод. 3).
Откуда следует, что
2ш+*ЛГ=±1(мод. 3),
а потому 4-2mN-\-\ будет сравнимо по модулю 3 или с 0, или с 2.
Первое не может иметь место, ибо оно предполагает делимость простого
(4-2miV4-l\ / 2 \
^ I равно ( jj =— 1.
Но по закону взаимности двух простых чисел имеем
/4.2отЛг+1\ / 3 \
V 3 J U'2mN+l)'
Следовательно, (— ] =— 1, что обнаруживает невозможность
сравнения
я2=еЗ(мод. 4-2жЛГ+1)-
Нам остается доказать, что сравнение
л;"=еЗ(мод. 4-2mN+\)
в сделанных нами предположениях не имеет решения. Для этого мы

— 172 —
возводим обе части его в степень 4- 2т и, замечая, что по теореме
Фермата, л^^еее 1 (мод. 4-2OTiV-|- 1), получаем
1е=34-2П>од. 4-2»W+l),
откуда следует
(32'2П1+ 1) (З2'2"1 — 1) = 0 (мод. 4-2"W+ 1),
что предполагает делимость одного из чисел 32,2П|+1, 32'2ТП — 1 на
4-2mN-\-l, а это невозможно, ибо Af, по положению, более—-, и, еле-
довательно, A*2mN-\-\ превосходит 92Т" + 1» или 32'2W + 1.
Итак, в сделанных нами предположениях оба сравнения
х2 = а, х*=а(мод. 4-2"W-f-l)
при at=3 не имеют решения, следовательно, число 4-2mN-\-l имеет
первообразным корнем 3.
Так, числа 89,137,233,569,809,857 вида 87V+ 1 и 6737 вида 167V+ 1
имеют первообразным корнем 3.

OB ОПРЕДЕЛЕНИИ
ЧИСЛА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ,
НЕ ПРЕВОСХОДЯЩИХ ДАННОЙ ВЕЛИЧИНЫ*
Во втором томе „Теории чисел" Лежандр предлагает формулу для
приближенного определения числа простых чисел меньших данного
числа. Свою формулу Лежандр поверяет таблицею простых чисел от
10 000 до 1000000 и потом прилагает ее к решению некоторых
вопросов теории чисел. Несмотря на видимое согласие формулы Лежандра
с таблицею простых чисел, мы не можем не изъявить сомнения насчет
строгости ее и вследствие того не можем признать верными выводы, на
ней основанные. К такому заключению приводит нас одна теорема
относительно свойств функции, определяющей число простых чисел,
меньших данного числа, теорема, из которой могут быть выведены многие
любопытные предложения.
Мы займемся теперь изложением этой теоремы, а потом покажем
некоторые из ее приложений.
Теорема, которая будет предметом наших исследований, заключается
в следующем:
Теорема I. Если <?(х) означает число простых чисел
меньших х, п — какое-либо целое число, р— количество ]>0, то в сумме
мы будем иметь такую функцию, которая с приближением р к 0
приближается к конечному пределу.
Доказательство. Мы докажем сначала, что такое свойство
принадлежит функциям, получаемым через дифференцирование несколько
раз выражений
EJP7--1,. ■o8P-Slo<l-7fc).
2i*(i-^)+S^
по р, предполагая здесь и везде впоследствии суммирование по т рас-
* „Sur. la fonction qui determine la totalite des nombres premiers inferieurs & une
limite donnee* (Memoires des savants etrangers de l'Acad. Imp. Sci. de St-PetersDOurg,
VI (1848), стр. 1—19; Journal de math.pures et appl., I serie,XVII (1852), стр.341—365);
на русском языке в Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Со-
нина, том I, СПб. 1899, стр. 29—48; включено также в прежние издания .Теории
сравнений" в качестве Приложения III (см. сноску на стр. 14).

— 174 —
пространенным на все числа от т = 2 до /я=оо, суммирование же
по ]х распространенным на одни простые числа от ja = 2 до д = оо.
Начнем с первого. Не трудно убедиться, что
00 00
Г -^- x?dx = £ -J— . Г e-*x?dx,
00 00
[е-хх~г+*с1х = - [e~xx*dx,
а потому
у* 1 J_ о
о
Из этого равенства видно, что производная п порядка от ^—^—
по р будет выражаться дробью*, у которой знаменателем будет
со
(\e-xx?dxy+1, а числителем — целая функция интегралов:
00 00
о о
со со
О О
со оо со оо
С e-*x? dx, \ е~хх? log x dx, С е~хх? log2 xdx, ...A e~xx? log** dx.
Но такая дробь, будет ли п = 0 или >0, приближается к конеч-
ному пределу с приближением р к 0, ибо предел интеграла [e"xx?dx
при р = 0 есть 1; интегралы же
со
о
J (^7=1 — j) е~*-*р log*лrfjc, ..., Г (—J — j) б-дг^ log"* ^>
00 CO 00
[e~xx* log л: dxy \ e ~xx? log* x dx*..., Г е~ *-tf log** cDc
при р = 0, очевидно, сохраняют конечную» величину.

— 175 —
i
Итак, с приближением р к 0 все производные от У!-ту
так же как и сама У!—гтт > будут иметь пределами величины ко-
ЛтЛ т +р р
нечные.
Обращаемся теперь к функции
logp-E1°g(1-7^)-
Известно, что
[С-^)('-^)('-^)-Г-
откуда выходит
-log(l-^)-log(l~^F)-log(l-^??) ■
= ^(1 + ^+^7 + ^+•••)-
что по нашему знакоположению напишется так:
следовательно
1о:
а потому
gP-Eiog(i-^)=ic«(i+£_^)p.
iogP-2:iog(i-7b)=iog[I+P+(S^-f)?]-
Из этого равенства видно, что производные
logp-Elog(l-^)
по р выразятся конечным числом дробей, у которых знаменателями
будут целые положительные степени
а числители будут целые функции количества"р, выражения л!—г^-
и производных его по р. Но такие дроби с ^приближением р к 0
приближаются к конечным пределам, ибо выражение 1 + Р + (]L-~T7? — г) ?>
составляющее знаменателей этих дробей, с приближением р к 0
приближается к 1 (потому что ^-77"р — 7' как Д°казали> ПРИ этом остается
конечною величиною ); функция же^-щ — -~ и производные её, вхо-

— 176 —
дящие в состав числителей этих дробей, по доказанному нами, с
приближением р к 0 приближаются к конечным пределам.
Нам остается теперь доказать это же относительно производных
£log(l —^?) + E"^F-
Для этого мы замечаем, что'первая производная этой функции есть
у l_ logy
ц!+Р
По виду же этой функции не трудно заметить, что ее высшие
производные выразятся конечным числом членов вида
V * iogpp. 1
где р, р, г, s не <^0. Но каждый из таких членов для р = 0 и р^>0
имеет конечную величину; ибо для р = 0 и р>0 функция, стоящая под
знаком 2' относительно — будет бесконечно малое порядка не ниже
второго.
Убедившись таким образом, что производные от выражений
£;?W_7' 1osp-E'»8('-7i?).
с приближением р к 0 приближаются к конечным пределам, мы
заключаем то же и о выражении
dpn i a?"
2L wi+
/уг1-1"^ р
,л-1 *
1 a^
которое по выполнении дифференцирования и сокращения приводится
к следующему:
log"". у log72 1т
■ 7 у 1ogntt у log"
— l^ al + P ^ ml + P
в чем и заключается предложенная нами теорема, иоо, как не трудно
заметить, по нашему знакоположению выражение
у loggia у iogw-im
тождественно выражению
f [,(,+.)-?W-Eb]^£.

— 177 —
В самом деле, последнее выражение есть разность двух
I>b(x+i)-f(x)]l*fe, Х^
"-1*
1+р » ^ 1+р *
из которых первое приводится к V -тУг (сумме значений-Ц-^, соответ-
ствующих простым числам), ибо ^>(jc—[— 1) и ?(дг), означая число
простых чисел меньших х-\-\ и *, в разности ?(*-f-l) — <р(*) дают 1,
когда х число простое, и 0, если х число составное; второе же
переменою х на т обращается в У^, , т.
Так убеждаемся в справедливости предложенной нами теоремы.
Из доказанной нами теоремы можно вывести многие любопытные
свойства функции, определяющей число простых чисел, меньших дан-
дс+t
ного предела. Для этого мы замечаем, что разность ^-^— I -
X
при х большом есть бесконечно малое относительно — порядка первого;
а потому выражение
\log-r
при jc большем будет относительно — порядка 2 т{г р, и, следовательно,
при р не <0 сумма
у Л! ** Vog^f
^9 \iogjp J log^J **+<*
будет иметь значение конечное. Складывая же эту сумму с выражением
о котором сейчас доказали теорему I, на основании ее заключаем, что
значение
jc=2 u -с Ь
с приближением р к 0 приближается к конечному пределу. А отсюда
не трудно вывести следующую теорему:
12 Чебышев» т.

— 178 —
Теорема II. От х — 2 до л; = оо функция у(х), означающая
число простых чисел меньших х, удовлетворяет бесконечное число
X
раз и неравенству у(х)^> \ г-£ ^-, ^ неравенству <f>M<C
J JUg X Jog X
2 ь
x
<Г \ г——I 42—, как бы а, оставаясь количеством положитель-
^j logjr^ lognx'
ним, ни было мало, а п ни было велико.
Доказательство. Мы ограничимся здесь доказательством
второго неравенства, первое докажется подобным образом. Для
доказательства, что неравенству
X
удовлетворяет бесконечное множество чисел, допустим противное и
посмотрим, к чему приведет нас это допущение. Допустив, что
неравенству (1) удовлетворяет конечное число чисел, положим, что а есть
целое . число, превосходящее и количество еа и наибольшее число,
удовлетворяющее неравенству (1). В этом предположении для х^>а будет
л:
TV ; J log л; 1 \папХ Ь ^
°g*'log"*'
и, следовательно,
/ ч Г dx ад: п ^ .
? W ) log X " log пх » log X <- *'
log x **"" log Лд: * log*^** ' '
Но в этом случае, как сейчас увидим, в противность доказанному
нами, значение выражения
£[,(,+ I)_fW_ J £]!£
будет приближаться к -\-<х> с приближением р к 0. В самом деле, это
выражение мы можем рассматривать как предел
|[»(.+i)-tw-T^]95
*=2
при s = oorf Предполагая же s^>a, это выражение мы можем
рассматривать как сумму
s+Jf[»,*+,,-'W-?i&]!2£. w
называя через С сумму

— 179 —
которая, очевидно, сохраняет конечное значение при р = 0 и р^>0.
Далее, по формуле
S S
полагая
/ \ Г Лг log"*
выражение (3) преобразуем в такое:
2 2
*S+i \- i 1о§ *J L xl+f (х ~ 1)1+Р J '
а это, называя через 6 количество ^> 0 и <С 1 *• можем написать так:
Полагая же два первых чледа этого выражения равными F и
замечая по (2), что третий член > Q, мы убеждаемся, что все это
выражение более
Из тех же неравенств (2) видно, что здесь под знаком суммы в
пределах суммирования функция сохраняет знак +. Притом в пределах
суммирования будет, во-первых, 1 + р — г— __Q. более 1 — -j , ибо
х
р>0, х не <а+1; в<1; во-вторых, 9(*)_JJE- более ^Хп^\-
X
ибо (р(х)— I у— не меньше аха по первому из неравенств (2), а по
второму производная *^ , которая есть —^j- ( l — wrj) > более О
вследствие чего —— •> — 4г •
* Меняющееся вместе с jc.

_ 180 —
А потому предыдущее выражение более
p. *V «(*-»> Л я yog *(*-<)
Ло это, по сокращении, приводится к следующему:
это, очевидно, более
а это для s=oo будет
4 & *-~-я-и1
и с помощью определенных интегралов напишется так:
со
— ах
x*dx
00
I e~*x*xd
о
Но это выражение, очевидно, с уменьшением р приближается к -\~оо>
00 00
ибо 14—т dx = 4- оо, \ e~xdx = 1, а а, по положению, и 1 — г-^— вслед-
l^JC — 1 » J Jog x
Ь 0 *
ствие (2), суть количества положительные.
Убедившись таким образом, что в сделанном нами предположении не
только сумма
но и количество меньшее ее с приближением р к 0 приближается
к +оо, мы заключаем о несправедливости этого предположения, что и
следовало доказать.
На основании предыдущей теоремы легко доказать следующую:
Теорема Ш. Выражение -—.— logx при jts=oo не может
иметь пределом количество, отличное от —1.
Доказательство. Пусть будет L предел значения -£- —
— logj£ при л;=оо. В этом предположении мы всегда найдем число N
столь большое, что при х^>М значение -уЦ — log* не будет выходить

— 181 —
из пределов L — е и 1-{~8> как бы е ни было мало. Следовательно, для
таких величин х, при е^>0, будет
ik-l°Zx>L-e' *F)-log*<L+8- <4>
Но, по предыдущей теореме, неравенства
X X
, ч ^ Г dх ах ( ч ^ Г их , ел:
удовлетворяются при бесконечном множестве величин х и, следовательно
при некоторых числах xy>N> для которых имеют место неравенства (4).
Но эти неравенства в соединении с последними дают
log х > L — s, log* < L + 8,
i ^ _ аЛГ Г ^r i ад:
J log л: _ {ognx J log л: "Г lQgnx
откуда выходит
x
s ' U log* ]0g*jJ
L+l< - ! + e,
J lug x '
log* j:
J log x "T
ax
'Og-* ' log"*
Из этих неравенств видно, что численная величина L-\-l не
превосходит численной величины одного из выражений
Х_0О£*-1)(^+йН_
I
</ЛГ
log* log**
Но количество е может быть сделано, как заметили, по произволу
мало предположением N чрезвычайно большим; то же случается при
увеличении х с выражениями
J log x ^}
log л: ' log**

— 182 —
ибо в пределе этих выражений для ^=оо по известным приемам
дифференциального исчисления мы открываем 0.
Убедясь таким образом, что выражение
_ 1 ±е,
dx
log* log"*
определяющее высший предел численной величины L-J-1, может быть
сделано по произволу малым, мы по способу пределов заключаем, что
/^ -J— 1 =0, а потому 1 = —1, что и следовало доказать.
Доказанное нами относительно предела значений -r~ — log* при
;с = оо противоречит формуле, предложенной Лежандром для
приближенного определения числа простых чисел меньших данного.
По его мнению, при х большом значение у(х) может быть
определено с достаточною точностью уравнением
?(*):
log дг—1,08366'
X
Но отсюда для предела —log х при х = оо находим—1,08366,
вместо —1.
На основании теоремы II можно показать высший предел точности,
с которою функция ср {х)у определяющая число простых чисел меньших х,
может быть представлена какою-либо данною функциею f{x). При этом
разность f(x) — у(х) мы будем сравнивать с выражениями
log*' log2* ' iog3Ar» • * *
к для сокращения будем называть А количеством порядка —^~ , если
10g X
отношение А к *пх при х = оо будет оо для /»>« и 0 для /ге<л.
Условившись в этом, мы докажем следующую теорему:
Теорема IV. Если выражение
2
при х—оо имеет пределом количество конечное или бесконечность*
то f{x) не может представить <р (х) верно до количества порядка
?о* включительно.
Доказательство. Пусть будет! предел, к которому значение
('W-Ji&)
log**/,
X

И/м-Ш
— 183 —
дриближается с приближением х к оо. Количество Z,, не будучи 0 по
положению, может быть или количеством положительным, или
отрицательным. Мы его предположим количеством положительным, но суждения
наши без затруднения приложатся и к случаю L<^0.
Если значение
log*
у w —
2
■с приближением х к оо имеет пределом L большее 0, то мы найдем
х
число N столь большое, что для х^> N значение °^ *(/(•*)— I ] } оста-
2
яется постоянно более некоторого положительного количества /.
Следовательно, предполагая x^>N, мы будем иметь
2
Но, по теореме II, как бы a=-j ни было мало, для бесконечного
множества чисел будет иметь место такое неравенство:
2
которое дает
2
что, по умножении на —^— и по положении a=-j, будет
^(/W-f-^^C/W-fMH-f
2
-а отсюда, вследствие неравенства (5), выходит
Но это неравенство, существуя вместе с неравенствами (5) и (6)
2
для бесконечного множества чисел, по причине -%^>0 обнаруживает, что
предел
при дг=оо не есть нуль. Если же этот предел отличен от 0, то
разность f(x) — tf(x) по сделанному нами определению есть количество по-

— 184 —
рядка * или низшего, и, следовательно, f(x) разнится с <р(*) или
log"* г
количеством порядка хп , или порядка низшего, что и следовало
доказать.
На основании этой теоремы мы узнаем, что формула Лежандра
log*4,08366 ' ДЛЯ К0Т°Р°Й
logs л;
log х— 1,08366
J log* У
при х ^= оо имеет пределом величину 0,08366, не может выражать <р {х)г
число простых чисел меньших х верно до количеств порядка г—~
включительно.
Также не трудно показать на основании этой теоремы величины
постоянных А и В9 при которых функция . , о могла бы выражать
<p(je) верно до количества порядка ~т" включительно.
По предыдущей теореме, такие величины А и В должны
удовлетворять уравнению
х=оэ\ х \Alogx+B J log*;]
2
Но разложением-^-j—-^j—B в ряд находим
* J_ * В_ х . ga х
Alogx-\~B А ' log* А2-' log2* • Xs " log5*- ""
Интегрируя же I -——^ по частям, имеем
2
X X
[ dx = х \ х L9 Г dx \ С
J log* log* "T~log**~"i~z J jogs*"1"
2 2
Вследствие чего предыдущее уравнение изменяется в следующее:
lim \)2SL*.(L х в х I в* х _
^ — сД ■* U " logJf Л-'" logs* Тлз * logs*
£ £ о f — сЛ1 —0
log* iog2* ZJ iog3* U;J —u>
2
что приводится к такому уравнению:
52 1
•—^|^-с^]=о.

— 185 —
Замечая же, что здесь все члены, начиная с третьего,
приближаются к 0 с увеличением jc, мы убеждаемся, что это уравнение может
быть удовлетворено только предположением ^— 1=0, ^-2 -)- 1 = 0,
откуда Л= 1, В = — 1.
Итак, из функций вида ^ Ххмв одна ФУНКЦИЯ ]—JUT могла ^ы
выразить ср(дг) верно до количеств порядка -—2—. включительно.
Что же касается до выбора функции, наиближе выражающей ср(дг),
число простых чисел меньших данного числа, то относительно ее можно
доказать такую теорему:
Теорема V„ Если функция ср (jc), определяющая число простых
чисел меньших х* может быть выражена верно до количества
порядка —— включительно алгебраически в х, log л:, ех> то такое
log *
выражение ее есть
х , \-х , i-2-r , , 1 -2-3-..(/z — \)х
log X ' log2* ■ )0gs X Т » log" X
Доказательство. Пусть будет f(x) та функция, которая,
заключая алгебраически х, log^c, ex, выражает ф(х) верно до количеств
порядка—— включительно; выражение
lOg^AT
х \-х 1-2-г \-2.г-~(п—\)х \
log л: log** log* л; "' iog" x J
с увеличением х должно приближаться к какому-либо пределу,
конечному или бесконечно великому; ибо в противном случае первая
производная этого выражения с увеличением х до оо меняла бы свой знак
бесконечное число раз; а это, как легко заметить, не может случиться
с функщею алгебраической от х, logx; ex*
Итак, для <р{х) необходимо будет
lim
Л£г=0О
\Щ£х(Г{) х b£._i±£ (7\
I х y^-i log* log** log» л- Vf
)]
1.2.3-••(/2— 1)дЛ
iog« x
= L.
* Что алгебраическая функция от х, log.*:, ex перестает менять свой знак при хг
превосходящем некоторый предел, в этом не трудно убедиться. Для функции целой
кто ясно; знак такой функции при довольно большом х будет зависеть от одного-
члена вида kx**f. log"*" x • ет,"х, который не меняет знака при дг>1. Для всякой же
другой алгебраической функции х, log*, ex, которая пусть будет у, это докажется
таким образом. Функция у вообще будет корнем уравнения и^ут-]-ихут~х-\
...-{-ит^у-\-ит-=:О, и если v будет функция, получаемая через исключение у иа
предыдущего уравнения- и первой производной его по у, то функции и0, ит, v как
целые перестанут менять свой знак и обращаться в 0 при ху превосходящем
некоторый предел, а при этом и у будет сохранять свой знак, ибо при величинах х;, не
обращающих v в нуль, не может иметь уравнение равных корней, а при неравенстве
корней знак одного из них может перемениться только с переменою знака и$ или ит.
Это свойство может тЗыть также доказано и для многих других функций, и на -все
эти функции будет распространяться теорема V и заключения, из нее вытекающие.

— 186 —
Но, с другой стороны, не трудно убедиться, что
*=ool_ X V^g^^^g2*^ log3* ~
*~ log"* J log* Л
л:
= 0,
2
^a это уравнение, сложенное с предыдущим, дает
Но, по положению, f{x) выражает <?(*) верно до количества
порядка -j—— включительно, а, по предыдущей теореме, это не может иметь
log х
.место, если предел значения
log"*
(^-т
х
2
при лг=ооне есть 0. Следовательно, 1=0, и уравнение (7) дает
,- \l°Zax(f(r\ -*— l'x U2'x Ь2-3(/?-1)^\1
i^L~^VW_logx-loi^-Toi^ [^ JJ=U>
а это показывает, что функция
х . Ь* , Ь2.г . , Ь2-3-••(«—!).г
log* » \og*x I log3^r i ~ tog/i^
не разнится с /(*) количествами порядка * и низшими и, следова-
10g л
тельно, что она, подобно /(*), может выражать у(х) верно до количеств
порядка хп включительно, что и требовалось доказать.
На основании доказанной нами теоремы мы заключаем, что если
?(■*) функция, определяющая число простых чисел меньших *, может
быть выражена алгебраически в *, log*, e* верно до количеств
порядков т^—» \ X2jt> 1о зх> ••• включительно, то такие выражения ее суть
х х , 1 -х х , 1-х , 1 -2-д:
log л:' log *~ log2 *' log лг *^ log2 л: *"^ logSjc * ' * * '
а так как эти функции суть не что иное, как значение интеграла I -г^-
dx_
2
верное до количеств порядка -j , ^—— » 75~т~ > • • • > то в0 всех этих
лредположениях интеграл I т—- будет выражать tp(*) верно до коли-
2
яеств такого порядка, до какого она способна выразиться алгебраически
х
Г dx
з х, log*, ех. Что интеграл I у-^— при х большом выражает довольна

— 187 —
близко число простых чисел меньших х, в этом мы легко убеждаемся
помощью таблиц простых чисел Но эти таблицы, доселе составленные,
слишком малы, чтобы видеть из них превосходство формулы I
dx
log*
2
перед формулою Лежандра ^ * тш или подобными ей. В
пределе
лах этих таблиц функции Гт—-> j—. * Q8366 мало разнятся; но раз-
* (1,08366)»
ность та iogx-lo8366 ~)Т5&> имея minimum при х= е <wwee =
2
= 1247646, после него постоянно возрастает до оо и при х^> 10000000
получает уже довольно болыцую величину. При этих-то величинах х мож-
х
Jdx х
^—^ перед д 1 08366.
2
Но для этого потребна таблица простых чисел гораздо обширнее тех,
которые мы до сих пор имеем.
х
Принявши для приближенного определения ср (х) интеграл \ ——,
2
мы должны будем изменить все формулы Лежандра, выведенные им
в предположении ср (л:)== ——_ . 83бб , и формулы наши будут не
сложнее его. Вследствие же доказанных нами теорем ежи должны быть ближе
к истине.
Для примера мы найдем здесь приближенные формулы для
определения значений
Т + Т+6-+7Н ^Х*
(>-1)0Ч)('-1М'-4)
при X большом.
Для определения первого мы замечаем, что по нашему знакоположе-
нию будет
х=Х
1,1,1, ,1 V *(* + !)— 9 (г)
2 Т з Т 5 1 ГУ 2а
х=2
ибо у{х)9 означая число простых чисел меньших х в разности <р(х-\-1) —
— у{х), дает 0, когда я" число составное, и 1, когда оно простое.
Предполагая X числом большим, назовем \ какое-нибудь число ме-
^ее X, но еще-довольно значительное, дабы в пределах х — \ и х=Х
X
мы могли с достаточною точностью заменить ср (jc) интегралом J jj-^j •
j ogx

— 188 —
В этом предположении предыдущее уравнение напишется так:
i-U-L-i-lj- JL.L— *V У**4-!)-***) | V y(x + l)—i(x)
2 • 3 l 5 ■ *Х £* х ~v L+ х
х
Заменяя же здесь во второй сумме <р(х) интегралом j ^—^» найдем
2
х+\
Г dx
л:
*+1
Но, верно до .количества порядка ~, интеграл j~^ может быть Заме-
^Х
нен выражением rj—j» й с такою же точностью сумма ^ — может
dx
быть заменена интегралом 1 -
log**
Но такою переменою предыдущее уравнение приводится к
следующему:
W+T+-+r-"fl!!:±^a+I
л; log x *
что по выполнении интегрирования дает
*=Х—1
Т + Т + "Н Ь^= И ? (* ])х * ^ — bg log I + log log*,
X=3
или
T+T+T+*-+i=c+loglog^ W
jf=X-l
полагая С равным количеству ^ 5-JL+—ZJL£/ — log log 1, не завися-
щему от X.
Вот уравнение, которое по определений постоянного С может нам
служить для приближенного вычисления суммы
2^3 * 5^ 1 Z*
когда ЛГ велико.
Наше выражение этой суммы проще выражения ее у Лежандра,
которое такого вида:
Т + Т + Т+' • * + J = l0§ (log #-0,08366) +С.

- 189 —
Теперь переходим к определению произведения
04)04)0-*)-0-4)-
Полагая зто произведение равным Р и взяв логарифмы от обеих
частей уравнения
04)04)04)-04)=*
находим
logP = log(l-4)+log(l-4) + log(l-j)+---+log(l-l),
что иначе напишется так:
4-l + log(l-l)-bi+l0g(l-l)+-.+^ + log(l-i>
А здесь, верно до количеств порядка -^ , можем заменить конечный ряд
T + log(l-^)-f-^ + log(1-{) + y + log(1-T) + -- +
+r + 1°g(1~j)
рядом бесконечным
^ + log(l-4)+T + log(l-|)4-i+log(l-I) + ---,
ибо разность этих рядов меньше численного значения
^^■f log (l — X^l) +JT2 + lo§
а это меньше интеграла I — — — log f 1 — — J d к, который равен
1 -{-(A'— 1) log (l — J? j и которого величина при ЛГ большом есть
бесконечно малое относительно ■% первого порядка.
Итак, до количества порядка -% , в предыдущем выражении logP мы
можем заменить конечную сумму
Т + 1°ё(1-7) + 1+1о§(1-4) + Т+1о§(1-з:) + -- +
+JH-iog(i-:e)
бесконечным рядом
^+log(i-|) + i + log(1-|) + l+log(l-i) + ...,

— 190 —
и, называя для сокращения величину последнего через С, мы
предыдущее выражение log Я представим так:
1оёя=-(±44+т-Ь--44)+с-
Внеся сюда значение
2 ^ 3 ^ 5 ^ ь X
из (8), найдем
logP= — С — loglog*4-C\
откуда выходит
я=- •
log* >
полагая же для сокращения еа-с=С0 и заменяя Я его величиною
04)('4)0-i)-('-i>
<
log*"
имеем
0-±)0-М-4)-0-#- с'
Вместо этой формулы, Лежандр нашел такую:
*у log*—0,08366"

О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ
§ 1. Все вопросы, зависящие от закона распределений простых чисел
в ряду
1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10, 11, 12, ...,
представляют вообще большие трудности. Те заключения, которые можно
сделать с очень большою вероятностью на основании таблиц простых
чисел, чаще всего остаются без строгого доказательства. Например,
таблицы простых чисел приводят к мысли, что, начиная от а^>3,
существует всегда простое число большее, чем а, и меньшее 2а — 2 (что
составляет известный postulatum Бертрана**, но до настоящего времени
не было доказательства этого предложения для значений а, которые
превышают пределы наших таблиц. Трудность еще увеличивается, когда
задаются более тесными пределами или когда желают назначить такой,
предел для а, чтобы для значений а, превышающих этот предел, ряд
а+1, а-|г2, •••> 2а —2
содержал по крайней мере два, три, четыре и т. д. простых числа.
Существует еще другой род очень трудных вопросов, которые также
зависят от закона распределения простых чисел в ряду
1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10, 11, ...
о разрешение которых крайне необходимо. Таковы именно все вопросы
и числовых величинах рядов, члены которых суть функции простых чисел
2,3,5,7, И, 13, 17, ...
Эйлер доказал, что ряд
2» J 3«T 5*~7a~ll«~13*~ '
* „Memoire sur nombres premiers* (Memofres des savants etrangers de l'Acad.
Imp. Sci. de St.-Petersbourg, VII (1850), стр. 17—33; Journ. de math, pures et appl.,
Iserie, XVII (1852) стр. 366—390); русский перевод И. И. Иванова в Собр. соч. П. Л.
Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том I, СПб. 1899, стр. 51—70.
** Journal de l'ecole oolvtechnique. cahier XXX.

— 192 —
делается расходящимся для тех же значений а, при которых делается
расходящимся ряд
а именно для а^\. Но для некоторых форм общего члена ип
сходимость ряда
«2 + «8 + «4 + «5 + tte + B* + aeH
не представляет необходимого условия для того, чтобы ряд
И2 + "8 + К5 + й7 + И11+К1зЧ
•имел конечное значение. Таков, например, случай мп = ^у—.
Действительно, значение ряда
_! | 1_J L_4-—! U
2 log2 Т з log 3 •" 5 log 5 "»" 7 log 7 "■ *
как мы докажем дальше, не превышает 1,73, между тем как ряд
1,1,1,1 . 1 ,
2Jog2^31og3 * 41og4x5J©g5x6 log6
расходящийся. Какой же критерий сходимости рядов, которые составлены
из членов с простыми индексами 2, 3, 5, 7, 11 и т. д.? А в случае
сходимости как установить степень приближения, с которою вычисляются
их величины по первым членам? Решение этих вопросов по отношению
к рядам вида
«2 + tf3 + ^5 + "7 + ttn + wi3M
весьма интересно, ибо эти ряды встречаются в некоторых изысканиях
о числах.
Этот мемуар содержит решение поименованных вопросов. Я достиг
такового, изучая функцию, которая обозначает сумму логарифмов
простых чисел, не превышающих данного предела. На основании уравнения,
которому удовлетворяет эта функция, можно указать два предела, между
которыми лежит значение этой суммы. Между различными заключениями,
которые мы отсюда выводим, нам удается указать пределы, между
которыми находится всегда по крайней мере одно простое число, что нас
приводит очень просто к доказательству упомянутого постулата Бертрана.
Что касается вычисления рядов формы
^2 + "з + й5 + и7 + Иц-Ь--,
то мы находим критерий для суждения, сходятся они или расходятся,
и в перэом случае мы даем метод для вычисления, с известною степенью
приближения, разности между величинами этих рядов и суммами их
первых членов. Мы даем также формулу для вычисления по приближению
числа щнюгда чисел, не превышающих данного предела, и указываем
предел погрешности этой формулы,, чего до сих пор еще не было
сделано: В 'мемуаре, который я имел честь представить С.-Петербургской

— 193 —
Академии Наук в 1848 г.,* я доказал, что если в выражении числа
простых чисел, не превосходящих х, отбросить все члены, которые исчезают
по сравнению с
X
log*' log2*' log8*'
х
dx
при x =oo, то это выражение приводится к ir-—,* но Для конечных зна-
J i°g x
2
чений х величина отброшенных членов остается неизвестною. Что же
касается формулы Лежандра, то ее степень приближения известна только
в пределах таблиц простых чисел, которыми пользуются для ее проверки.
§ 2. Условимся обозначать вообще через Q(z) сумму логарифмов
(гиперболических) всех простых чисел, которые не превышают z. Эта
функция делается равною нулю в том случае, когда z меньше
наименьшего из простых чисел, именно 2. Не трудно убедиться, что эта функция
удовлетворяет следующему уравнению: **
JL _L _L
е (Х)+е (*) * +в (х)з +е {х)4 +...
_i_ j_
+e(f)+e(f)' + e(i)"+e(f)4+-
_L J- _L
+еЙ)+е(й2+еШ'+вШ4+---
_L l JL
+ е(7)+в(т)2+в(^3+е(т)4 + ---
=iog(i.2.3.'.[xi), ~
где мы употребляем [х\ для обозначения наибольшего целого числа,
содержащегося в величине х. Ряды, которые содержит это уравнение,
продолжены до членов, обращающихся в нуль.
Чтобы проверить это уравнение, мы замечаем, что обе части его
составлены из членов вида К log а, где а — число простое и
К—некоторое целое число. В первой части К будет равно числу членов в рядах
X
Х> ~y ,
1
(х)Т, (±)\
(*)*. (f)3-
i.
X X
{it
(it,- -
4 J1
(;)т- -
(1)
* .Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины*
(см. стр. 173—190). — Ред.
[ х \т Г/ х \т~\
** Для краткости мы пишем в ( —*• J , вместо в ( — J
13 Чебышев, том I

— 194 —
которые не меньше, чем а, ибо вообще Q{z) содержит log а только
в случае z^a. Что же касается коэффициента при log а во второй части,
то он равен показателю наивысшей степени а, делящей 1-2-3»••[*]. Но
оказывается, что этот показатель равен также числу тех членов в
рядах (1), которые не меньше а, ибо число членов ряда
х х х
х, 2 , 3 , 4 , ...,
которые не меньше а, равно числу тех членов ряда
1, /, О, • . . , t*^J»
которые делятся на а.
То же соотношение существует между числом членов этого ряда,
делящихся на а2, а8, а4 и т. д., и числом тех членов рядов
<•>*• (*); (?); (Ф -
<#• (I); (т)|- {if- -
м4. (f)". (if. (*)*■ -
которые не меньше а.
Следовательно, обе части нашего уравнения состоят из одинаковых
членов, что и доказывает его тождественность.
Уравнение, которое мы доказали, может быть представлено в
следующей форме:
4>Н+ф(^)+Ф (|) + Ф (!) + •• —П*)> (2>
где для сокращения положено
е(г)+е(^+0(^+е(^...+=ф(г),
log{l-2-3 — [x]) = T(x).
Переходя к приложению этих формул, заметим, что в силу
сказанного относительно значения Q(z), функция ф(г) обращается в нуль,
когда z<d% и, следовательно, уравнение (2) будет справедливо даже
в пределах * = 0, х—2, если будем считать значение Т(х) равным
нулю, когда х меньше 2.
§ 3. На основании этого уравнения не трудно найти несколько
неравенств, которым удовлетворяет функция ф(г). В этом мемуаре мы
будем пользоваться следующими двумя:
Нх)>т{х)+т(^т(±)-т(±)-т(±),
♦И-*(т)<П*) + 7-(г)-г(|)-г(^)-7-(^.).
(3)

— 195 —
Для доказательства этих неравенств мы ищем при помощи (2)
величину
т1*) + т(ъ)-т{т)-т{т)~т(т)'
что приводит нас к такому уравнению:
ФМ+Ф (?)+«> (f)++ (f)+---
+* (я)+* Ш+* (йо)+* (йо)+■• ■
-♦(уН(яН(ЙН(Й) —• (4)
-♦(*Н(йН(йН(й) —•
-♦(^-♦(й)-*(й)-»(й) —-
= rW+r(i)-r(i)-r(f)-r(f),
первая часть которого приводится к виду
^Ф(*)+^ф(т) + ^Ф(т) + ^ф(т)+-*-+А-ф(т) + ---'
где Лр Л2, Л3, Л4, ..., Ап и т. д. — числовые коэффициенты. Но,
рассматривая значения этих коэффициентов, не трудно убедиться, что
вообще
Ля=1, если /г = 30//г+ 1,7,11,13, 17, 19,23,29,
Лл=0, если л=30/тг + 2,3,4,5, 8,9,14,16,21, 22, 25,26,27,28,
Лл=—1, если /г=30/тг +6,10,12, 15, 18,20,24,
Аа=— 1, если я=30/тг4-30.
Действительно, в первом случае я не делится ни на одно из чисел 2,
в, 5, а потому член Ф(-^г) находится только в первой строке
уравнения (4). Во втором случае п делится на одно из чисел 2, 3, 5;
следовательно, кроме члена ф(-^-) в первой строке, в одной из трех последних
строк будет член —ф(— )» и после приведения коэффициент при
<М—) будет 0. В третьем случае п делится на два из чисел 2, 3, 5.
Следовательно, три последние строки уравнения (4) содержат два члена,
равных —Ф(~)> и так как пеРвая строка содержит d>( — J со
знаком + >т0 в результате получаем —§( — у К такому же заключению
придем и в последнем случае, когда п делится на 30, ибо тогда член
=ЬФ(—) встречается во всех пяти строках: два раза со знаком + и
три раза со знаком —

— 196 —
■Следовательно, для
п= ЗО/л-f 1. 2, 3, 4, 5,6, 7,8,9,10, И, 12, 13, 14, 15,
16, 17,18,19, 20, 21,22, 23,24,25,26, 27,28, 29, 30
находим
Л„= 1,0, 0,0,0, —1,1,0,0,— 1,1,—1,1,0, —1,0,1, —1,1,-1,0,0, 1,
— 1,0,0,0,0,1, —1,
вследствие чего уравнение (4) приводится к такому:
*М-Нт)+*(тН(£)++(г9-Ф(т1)+---=
= rW + r(£)-r(i)-7-(.i)-r(-£),
где все члены первой части имеют коэффициентами 1, взятую
попеременно со знаками + и — Сверх того, так как, по свойству функции ф(л),
ряд
♦ М-*(4)+»(т)"»и) + »(*Н(т5)+-
убывающий, то его величина будет заключена между пределами ${х)
и ф(х) — ф (-|-). Следовательно, на основании предыдущего уравнения
необходимо будет
t(x)>T(x) + T(£)-T(f)-T(f)-T($),
§ 4. Рассмотрим теперь функцию Т(х), которая входит в эти
формулы. На основании (3), обозначая через а наибольшее целое число,
содержащееся в величине х, которую мы предполагаем не меньше 1,
имеем
7,(^) = log(l-2-3.--a),'
или, что то же,
H-«) = log(b2-3...e(fl+l)) —lQg(a+l).
Но известно, что
log(b2^3...a)<logK2n + aloga-a + |loga + I^,
log(l-2-3---a(a+l))>log]/2S + (a+l)log(a+l) — (a+l) +
+ llog(a+l);
поэтому
T (х)< log V^ + a log a - a +1 log a + ^
7(j:)>logl/2S-f(a-f l)log(a+l) —(a+l)-^-log(a + l),

— 197 —
и, следовательно,
T(x)<\ogV2n + xlogx — * + TT1°g-*: + ^>
T {x) > log К2тт + x log x — x — j log *,
ибо
откуда, очевидно, вытекают условия
л; log* — .K+ylog* +Y_^aloga —a-fYloga + l4>
xlogx —л —ylogx<(a+l)log(a+l) —(a+1) — llog(a+l).
Неравенства, которые мы доказали относительно Т(х), дают нам
T(x) + T(±)<2logV^ + ± + ^x\ogx-x\og30m-%x+
+ log* — I log 30,
T(x)+T^)>2logV2lt-{-%x\ogx-xlog3030-%x-
— log x -f 1 log 30,
.1 i- i.
-|x + |logx-llog30,
1. _L i_
г(т) + г(т)+г(т)>31°ё^/^+1х1о§Л-х1о§22 з3 5& -
-|*—§iog*+|w>g3o.
Сочетая эти неравенства при помощи вычитания, а именно первое с по
следним и второе с третьим, мы найдем
-L _L -L
тм+тШ-т(Л)-т(т)-т{т)<х1^Щ^+
30м
+ | log л-i- log 1800 тг+|,
i. i_ -L
Г^ + Г(то)-Г(т)-Г(т)-Г(т)>^1°ё2-!4А1-
зо40
5 , , 1 , 450 3
—2-log*+Tlog—-п,
что мы напишем в виде:
ТМ+ТШ-Т{т)-Т{т)-Т{т)<Лх+Т1(*х
-4 log 1800ir+1,

— 198 —
Т(х) + ТШ-Т{т)-Т{т)-Т{т)>Ах-Т1°£х +
i 1 i™ 45° 3
+ Tlog — -Г2>
полагая для краткости
JL JL J.
А= log^^ = 0,92129202 ... (5)
Анализ, который мы применяли для доказательства этих неравенств,
предполагает х ^ 30, потому что при определении Т (х) мы
предполагали х^\, а потом мы заменяли х через
•Л» -Л» «Др •л*
Т' Т' Т ' "зо"
Но не трудно убедиться, что мы будем иметь формулы, применимые
для всех значений х больших, чем 1, если заменим предшествующие
неравенства следующими более простыми:
тЫ+тШ-тШ-т{т)-т{т)<Ах+11о*х>
т^+тШ-т(т)-т{т)-т{т)>Ах-1^х-1'
ибо, проверяя эти неравенства для значений х, лежащих в пределах 1
и 30, очень легко удостовериться, что они не представят никаких
исключений.
§ 5. Сочетая эти неравенства с теми, которые были выведены выше
по отношению ф (х) (§ 3), мы придем к таким двум формулам:
ф(*)>А*-| log*-l, ф(*)-ф (т)<Л^ + 11о&*'
из которых первая дает низший предел для ф(*).
Вторая же формула послужит нам для нахождения другого предела
для ф (х). Чтобы этого достигнуть, мы замечаем, что функция
f{x) = -| Ax + ^—^logtx-lr-jlogx
удовлетворяет уравнению
/(х)-/{т)=Ах+11о%х-
Но, вычитая это уравнение из неравенства
ФИ-ф(т)<^+71о8Л-
получаем
ФМ-ф(т)-Л*)+/(1г)<0'

— 199 —
или, что все равно,
*(*)-/(*)<ф(т)-/(т)-
Переменяя последовательно в этой формуле х на -—-, -^, ..., g^, мы
найдем
Ф(*)-/(*)<ф(т)-/(т)<*(^)-/(-&)<-<*(5Н1)-
Если предположим теперь, что т — наибольшее целое число, удовле-
X X
творяющее условию g^ ^ 1, то количество g^i будет лежать между 1
и тг; исследуя же значения, которые получает ф (z) —f(z) в пределах
z=U z = -g, находим, что <b(z) — 0 и —f(z) остается меньше 1.
Следовательно, ф (g^w)—/((^hj'O» и в СИЛУ предыдущих неравенств
Ф(*)-/(*)<1-
Наконец, подставляя вместо /(л:) ее значение, мы будем иметь:
i^X-i^+^iog^+jiog^+i.
На основании найденных нами формул не трудно указать два предела,
между которыми лежит величина в, т. е. сумма логарифмов всех
простых чисел, не превосходящих х
Действительно, по формулам (3) находим:
-L ±. JL
$(х)-<!?(х)2=в(х)+в(х)* + в(*)5 + ...,
J- -L JL JL J-
ф(х) — 2ф(*)2=в(л;) — (6(*)» — 6(*)а) — (0(*)4 — в(;с)5) ,
откуда следует, что
L JL
в(*)<Ф(*) —ФМ2> в(*)>ф(*) — 2ф(х)*, (6)
ибо -члены
в(х)Т, 9(*)~, ...., в {х)~— в(*)~, в(*)г—в(*)Т
очевидно, положительны или равны нулю.
Но мы нашли
ф (*)> Ах — -jlogjc— 1,

— 200 —
что дает
1 - 5
cj>(x)2 >Лл:2 j logx— 1,
и, следовательно,
^{x)-^(x)T<^Ax_AxTjr_^_log2xJr^logx+2r
ф (х) - 2ф (*)*" > Ах - Ц Ах~ - g^p log^x - 5| log x - 3.
А потому на основании (6)
ем<| л*-л^+4^1о§^+§1о§*+2>
(7)
Итак, мы пришли к заключению, что сумма логарифмов всех простых
чисел, не превышающих х, содержится в пределах
4 Ах-Ах^ + _L3idg^ + |iogJ; + 2,
§ 6. Посмотрим теперь, что можно извлечь из этих формул
относительно числа простых чисел, лежащих между данными пределами. Пусть
L я I будут два упомянутых предела и предположим, что число простых
чисел, больших, чем /, и не превышающих Z,, равно т\ сумма логарифмов
этих чисел будет заключена между пределами tnlogl и mlogL. Следо-
довательно, согласно нашим обозначениям, имеем
0(1) — в(/)>/я1осг/, ,
8(1) —e(/)<//ilogL
И ПОТОМУ
m<mfzp!)> „>!<*>-*</>
log/ * ^ log/.
На основании (7) мы находим, что значение 0(1) — 9(7) меньше
+ |-(21ogA + 31og/) + 5
и больше
А (1-4 /)_ Л (^LT_ZT)_ _|_(log2I + 21og2/)_
— T(31og£ + 2iog/) —5;

— 201 —
следовательно,
A (^L-I^-aU2 -^/2 )+gA_(21og2i+log4)+|(21ogI + 31og/) + 5
«< J^J >
^(L~|/)-^(^L2^/2)~^(log^+21og2/)-|(31ogL + 21og/)--
m> _
Таким образом мы нашли два предела, между которыми лежит число т,
обозначающее число простых чисел, больших /и не превосходящих L,
Последняя из этих формул показывает нам, что в пределах /и L
находится более чем k простых чисел, если k> L и / удовлетворяют
условию
< __
и так как 1<^L, то этому условию удовлетворим, положив
_ A (i—| /) - Ц AlT- gJ^ (log'/: + 21og*L)-1 (3 log L + 2 log L) - 5
A : : -p .
и, следовательно, взяв
'=*'-^-£Й?<-й(!+*)ш-1-
Итак, если возьмем для / это значение, то в пределах / и L найдется
наверно более чем k простых чисел. К этому следует присоединить еще
условие, что / и L не меньше 1, как мы предполагали выше
относительно х.
В частном случае k=0 мы заключаем, что в пределах / и L
существует по крайней мере одно простое число, если возьмем
1 — Ll _9 /"? 25 lognL 125 log! 25
l— 6L АЬ !6Л1о§6~ 24Л 6Л *
Это приводит нас очень просто к строгому доказательству упомянутого
постулата Бертрана. Не трудно убедиться, что между пределами а и
2а — 2, в случае а^>160, заключаются следующие два предела:
;_ 5 . о/Т_ 251og2Z. 125 log I 25 ;
6 L lL 16 Л log 6 24Л 6Л ' Li
где L — прилично выбранное число. Действительно, для того чтобы оба
эти предела лежали между а и 2а— 2, нужно только удовлетворить
таким условиям:
2а —2>1,
nS± J ?7~_. 25l0g2L 125 log L
a<^ 6 ь Zb 16 Л log 6 24Л
?!
'6Л *

— 202 —
Но очевидно, что первое из них удовлетворяется при L — 2a— 3. Что
же касается второго, то для L = 2a —3 оно приводится к следующему:
п^Ъ(0п Ъ WTa Т 251og^(2fl-3) 1251og(2a-3) 25
a<T(2a — 3) — 2V2a — 3 16i41og6 24Л 6Л '
которое справедливо для всех значений а, превышающих наибольший
корень уравнения
v 5 (9г Q\ 91/97 Т Я)о&(2х~Ъ) 125 log (2x -3) _25_
лг = -1^* — dj — ^К-«— <* 16 Л log 6 24Л 6Л '
а этот корень, как мы нашли, лежит между 159 и 160.
Следовательно, если только а превышает 160, можно включить
между а и 2а — 2 два новых предела
/ —£/_9/Т 25 log2 L 125 log A 25 г
l—^L AL 1Mlog6 24/1 6А>
и так как между этими последними содержится по крайней мере одно
простое число, то можем с уверенностью отыскать такое простое число,
которое превосходит а и остается меньшим 2а — 2, что и доказывает
постулат Бертрана для всех значений ау превышающих 160. Для
значений же а, не превышающих 160, постулат проверяется непосредственно
при помощи таблиц простых чисел.
§ 7. При помощи функции в(лг), которая у нас обозначает сумму
логарифмов всех простых чисел, не превышающих х, можно легко
выразить сумму
где а, р, у, ..., р — простые числа, лежащие в данных пределах.
Действительно, если а, р, у> •••> р заключаются в пределах / и I, то эта
сумма может быть представлена таким образом:
.,.+ew-e<t-,)m
ибо вообще функция ^ ' для целого х приводится к 0, если х
•число сложное, и к 1, если х число простое. Следовательно,
■ e(H-2)-e(H-i)F/y , 9Y[ eq)-e(z.-i)
^ iog(/+2)— ^+2Н 1 1зр F(L)>
шли, что то же,
ty_-«(/_i)_4-^—, — ,og(/ + 1)J в(/) +
, Г^(/ + 1) /?(/ + 2)'1аГ/ , n , , [F(L) F(L+l) lQ/f4 ,

— 203 —
F (x)
Но если предположим, что функция т-^1 остается постоянно положи-
10g X
тельною и убывающею в пределах * = /—1 и x = L-{-l, то знак при
6(/— 1) в выражении U будет —, а знак при каждой из функций
в(/), в (/+!)> •-., 0(i)
будет -f- Следовательно, полагая для сокращения
%(х) = Ах-^ Ax^—^log'x-^logx-3,
(8)
мы, на основании (7), будем иметь величину меньшую U, если в
выражении для U заменим
в(/— 1) через в,(/—1),
0(/), 6(7+1), .... 0(1) через вп(/), в„(/+1), .... 6U(L).
Напротив, заменяя 0(/—1) через вп(/—1), а в(/), 0(/+1), • ••> ft(£)
через в,(/), 0t(/+l), ..., 0i(Z-), мы найдем величину ббльшую, чем U.
Поэтому
t/>-ei(/-1)bi7 + L"^T/~ iog(/+i)Jen(/) +
, Г_Р(Н-Г)_ ^(/ + 2)1 ft //, п . .. i K(L) Zik+illft m_l_
"TEgTZTIT ni J'
+[^%-5ЙВДв.с+')+-+Кй-£Щ1ад+
и так как вторые части тождественны с суммами
«.<'-'>ffi-w-')ffi+g/4^-w^;''-').
<М'- •>$-*</- оф+Х^м e'wT4»'""'
то мы заключим, что
x=L
g<e.(/-i)£S-««tf-')a+S<'We"a-Ji'-»-
(9)
л=Г

— 204 —
На основании только что найденных нами формул не трудно доказать
такую теорему;
Теорема. Если функция F{x) остается положительною по
переходе х за некоторый пределу то сходимость ряда
^4~^^^4-^4-.£^-1
log 2 * log 3 • log 4 » log 5 ""г log б '
будет необходимым и достаточным условием для того, чтобы ряд
F(2) + F(3)+F(b)+F(7) + F(ll) + F(l3)+-..
был также сходящимся.
Доказательство. Пусть / будет предел для ху за которым F(x)
F (х)
сохраняет знак +', пусть, далее, г-^-1 представляет функцию убываю-
log дг
щую, а а, р, у» •••> Р — простые числа, заключенные между
пределами / и I. Полагая
S=F(2) + F(3) + F{S)-\ t.^(a) + F(P) + /7(Y) + ---+^(P) =
= 50 + F(a)-fF(P)+F(Y)+-.-.+F(p),
мы заключим, на основании (9),-что
s>5o+en(/-i)^-e^^-i)^+l:V)0»w-y-1)>
log / *v ; log / ' ^-^ v } log х
5<5,+e,(/-1)^}-e„(/-i)gg + f:'fwe.w-^-n,
Эти неравенства показывают, что в том случае, когда выражения
X£F(X) Baw-y-n > x£F{x) e|W-e,^-i)
для L = oo остаются конечными, ряд
/=(2) + F(3) + JF(5)4-/?(7) + ---
будет сходящимся; напротив, если при L — oo эти выражения бесконечно
велики, то ряд
F(2) + F(3) + F(b) + F(7) + ..- •
расходящийся.
Подстановка, вместо б^л;), 6п(;с), их значений (8) обращает
предыдущие выражения в такие:
£ \а-Ща{\Гх-]П^=Т)-
-8fe(1°e,*-l0g'(*-IW-T(1(«*-1<«(JC-1))]^»
x—L
Jr^T6(loS^-^og4x~l))-{-^(\ogx-\og(x-l))
F[x)
log*'

— 205 —
и так как функции
Vx —Vx—U log2 л: — log2 (a:— I), log* — log (л:— 1)
для очень больших значений х становятся бесконечно малыми, то мы
заключаем, что в случае, когда
,г=оо
hi x^x
имеет конечную величину, выражения
при L = oo будут также конечные; напротив, они будут бесконечно
велики для L = oo, если
x=zL
У ^W
с возрастанием L будет стремиться к бесконечности.
Но первый случай имеет всегда место, если ряд
F(2) . F(S) , />(4) ,f(5) , />(6) ,
log 2 » log 3 » log 4 ~T log 5 » log 6 »
сходящийся; второй же случай предполагает расходимость этого ряда,
что и доказывает вышеизложенную теорему.
Так, например, мы заключаем, что ряды
1,1,1,1, 1 ,
21og2 » 31og3 ' 5Jog5 ' 71og7 ' 11 log 11 ~
1 . 1 i J i 1 , 1
2 log2 (log 2) » 3 log2 (log 3) ~ 5 log2 (log 5) ' 7 log2 (log 7) ' 11 log2 (log 11)'
сходящиеся, между тем как ряды
+I-+T+T+A+--
2
,1,1
2 log (log 2) ' 3 log (log 3) '5 log (log 5) '7 log (log 7) » 11 log (log 11) '
расходящиеся.
§ 8. Когда ряд
F(2) + F{3) + F{b) + F(7) + ...
сходящийся, то мы найдем его сумму с каким угодно приближением,
вычисляя сумму его первых членов. Обозначая через S0 сумму всех
членов, предшествующих F(a), где а — наименьшее простое число,
содержащееся в ряду
/, /+1, / + 2, ...
а / — такое целое число, что для всех превосходящих его значений х
функция р^- положительна и убывает, мы представим ряд
F(2) + F{3) + F{b) + F{7) + F{U) + .-. = S

— 206 —
в таком виде:
S = S0 + F(a) + F($) + F(<i)-\--.-=S0 + U.
Поищем теперь пределы, между которыми лежит U, полагая в
формулах (9) L = oo. Мы найдем таким образом
(10>
Полусумма этих выражений даст приближенное значение для £7,
полуразность же их будет пределом погрешности этого значения. Последний
предел будет тем меньше, чем значительнее число /, а следовательно,
и число, членов суммы SQ.
Чтобы дать пример подобного вычисления, найдем приближенную
величину ряда
S — ~~ JTog2"+*3lop+5T5g5 ' 7 1og7 « 11 Jog 11 ~»
Полагая
/=100,
о = 2 Jog 2 "Г з log 3 * 5 Jog 5 ' 7 log 7 ■ 11 log 11 ' "Г
^ 97 Jog
Dg97'
S = S0 + [/,
где f/ определено рядом
п— 1 I 1 I 1 1
^ 101 log 101 * юз log 103 ^ 107 Jog 107 ' '
найдем по таблицам проостых чисел
50 = 1,42,
а неравенства (10) для /7(лг) = ———, /=100 дадут
гГ> 0IK99) 0t(99) , ^°°0п(-г)~011(д:-1)^п ы
^-"100 log2 100 100log2100 ' Г^о *log*.* /v,i<*>
f/x et^9) вп(99) . ^ 0iW-0iCy-l) ^0oo
^ 100 log2 100 100 Jog2 100 ' J^ x log2 x ^ u,zo*
Из этих неравенств мы заключаем, что величина U отличается от
ЬМ = 0,21на1
Следовательно,
0,28 + о,14_=021 на количество меньшее, чем °'28~°'и = 0,07.
1,434-0,21 = 1,63

— 207 —
будет величина ряда
1 . 1 i
i I ? I ! L.
эе5 ~ 7 log 7 '11 log 11 »
2 log 2 ' 3 log 3 ' 5 log 5 ' 7 log 7 ' 11 log
С ТОЧНОСТЬЮ ДО 0,1.
§ 9. Число простых чисел, заключающихся в данных пределах,
выводится как частный случай из величины ряда
F(a)+F(P) + /y(T)+-" + F(p).
которым мы занимались в предыдущих параграфах. Действительно,
если положим
F(x)=\,
то сумма
F(a) + F($) + Fet):+...+F{9)
будет содержать столько единиц, сколько находится членов в ряду
простых чисел
a, p, Y> •••> Р- .
Следовательно, формулы (9), в случае F(x) — 1, определят пределы,
между которыми лежит число простых чисел, заключающихся между t
и L. Эти пределы теснее тех, которые мы нашли в параграфе 6 при
посредстве неравенства, которым удовлетворяет функция Ь (х). В
частном случае /=2 мы находим, что
вц(*) Si О) I у£вц(х)-8ц(*-1)
log2 i0g2 "Т"^ logx
(И)
fro) вд(1) , xyel(x)^el{x-i)
log2 log2 ~* —* log*
будут пределами для числа простых чисел, лежащих между 2 и L,
или, что то же, для числа простых чисел, не превосходящих L. Вычисляя
полусумму этих пределов (11), мы найдем приближенное значение для
числа простых чисел, не превосходящих L. Погрешность же этого
значения не может превосходить полуразности выражений (11). При помощи
очень простых вычислений можно убедиться, что отношение полуразности
выражений (11) к их полусумме при L = oo равно jy. Поэтому при очень
больших значениях L это отношение будет ниже ^, а следовательно,
если вычислить по нашим формулам число простых чисел, не
превосходящих очень большого данного предела, то погрешность будет меньше
1
г^ искомого числа.

О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ
i
Уже Эйлер показал нам на нескольких примерах, как можно
воспользоваться представлением чисел квадратичными формами с
отрицательными определителями, чтобы узнать, простые ли эти числа или не
простые. Я покажу теперь, что в этих изысканиях можно также
пользоваться и некоторыми формами с положительными определителями, что
представляется необходимым для того, чтобы сделать этот способ вполне
общим и удобоприложимым даже к большим числам. Действительно,
если ограничиться только квадратичными формами с отрицательными
определителями, то различные числа потребуют применения многих
различных форм, а каждая из последних потребует особых приемов, чтобы
легко было найти представление данного числа. Далее, так как число
-тех из этих форм, которые дают возможность отличать простое число
от сложного, ограничено, то могут встретиться числа, не
представляющиеся ни одной из них. Все эти затруднения устранились бы, если бы
только явилась возможность воспользоваться представлением чисел
квадратичными формами с положительными определителями, ибо тогда, для
того чтобы обнять все возможные случаи, было бы достаточно
небольшого числа прилично выбранных форм, как, например, таких трех
х2 +J/2, х2 + 2у2, х2 — 2у2у
или
х2-\-у2, х2 + 3у\ Зу2 — х2 и т. д.
Притом не трудно для каждой в отдельности из этих форм построить
таблицы, которые значительно облегчают эти исследования.
Число представлений числа N в форме Ах2-{-By2 конечно, и
потому можно отличить случай, когда N число простое, от случая, когда
оно сложное, отыскивая число решений уравнения
* „Sur les formes quadratiques« (Journ. de math, pures et appliquees, I eerie,
ДУ1 (1851), стр. 257—282); русский перевод И. И. Иванова в Собр. соч. П. Л. Чебы-
.щева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том I, СПб. 1899, стр. 73—96.

— 209 —
Мы увидим, что то же обстоятельство имеет место и по отношению
к уравнению
л;2 — Dy2=±Nf
если между его решениями, число которых беспредельно, считать только
те, в которых х и у не превышают определенных пределов, что
приведет нас к отысканию числа определенных групп, находящихся в числе
всевозможных решений уравнения
П
Пусть аир обозначают наименьшие значения х и у, которые, бу*
дучи больше нуля, удовлетворяют уравнению
х* — Dy2 = lf
и а и Ъ — положительные числа, удовлетворяющие уравнению
x* — Dy* = ±N.
Перемножая уравнения
а2 —£>р2 = 1, d* — Db* = ±N>
находим
(аа — &PD)2 — D{a$ — ba)*=±N9
откуда следует, что числа
х=^±{аа — b$D), y=±(a$ — ba)
также удовлетворяют уравнению
x* — Dy* = ±N.
Таким образов^ можно всегда перейти от одного решения уравнения
л2 — Dy2 = ±N
к другому и, следовательно, найти множество значений для х к у,
удовлетворяющих этому уравнению. Теперь посмотрим, в каком случае
положительные числа х и у, данные формулами
х=±(аа — b$D), у = ±(а$ — Ьа), (1)
будут менее чисел а и 6, от которых мы исходили.
В этих изысканиях надо внимательно рассмотреть, какой из знаков
ЧЬ следует взять в формулах (1), чтобы сделать х и у положительными;
для этого мы разберем отдельно два случая:
хЪ_£)у2==:М9 X2_£)y2 — _N
14 Чебышев, г. I

— 210 —
В первом случае имеем
a2 — Db* = N,
что дает
a = VDb^N\
далее, в силу уравнения
а2 — £>Р2=1,
находим
Подставляя эти значения а я а в уравнение
х = ±(аа — ЬЩ,
получаем
*==± (/£&* +ЛЛК#Ра+1 — ВД,
откуда ясно, что л; будет числом положительным, когда возьмем
формулу ±(аа—&PD) со знаком-)-.
Но для того чтобы это значение х=аа — b$D было меньше а и>
следовательно, у меньше Ь, мы находим такое условие:
аа — b$D < a.
Это неравенство дает
и, подставляя вместо & и [3 их значения из уравнений
a* — Db2 = N, a2 — D$* = l,
находим
(a^i)(f-A0>(a_1)2)
и, следовательно,
Итак, новые значения для х и у будут всегда меньше тех, от которых
v ~ } ; а потому,
переходя при- помощи формул (1) последовательно от одного решения
уравнения
x* — Dy2 = N
к другому, мы необходимо должны притти к таким значениям для х и у>
что х не будет превышать у ~*"9—* Что же касается предела для^у,
то мы находим его равным у Тг/ > ибо при

— 211 —
уравнение
x2 — Dy2 = N
дает
-уц
2D "
Таким образом, доказана следующая теорема:
Теорема. Если уравнение
x* — Dy* = N
возможно, то в пределах
существуют значения для х и у, которые ему удовлетворяют, где
х — а означает наименьшее решение уравнения
x* — Dy*=\,
превышающее единицу.
Переходя к случаю
x* — Dy2 = —N,
мы замечаем, что из уравнений
a2 — Db2 = — N, a2 — Dp=l,
следует
a=VDb* — N, а = УЩГ¥~и
и потому значение
У = ±(а$ — Ъа)
может быть приведено к виду
y = ±($VDl>* — TV— bVDp-\-\),
или, что то же,
Отсюда заключаем, что у будет положительно, когда возьмем формул}
±(а[5 — ba) со знаком — и что, следовательно, мы должны удовлет
ворить условию
— (а$ — Ьа)<СЬ,
чтобы сделать у менее Ь. Это неравенство дает
«-1<£, {a-lf<q,
а подставляя, вместо а? и [52, их значения из уравнений
a? — Db* = — N, а2 — £>02 = 1,
14*

— 212 —
находим
(.-i)»<fflE=j8f£=a
что дает окончательно
ь>/{
\* + l)N
2D
Итак, когда известно такое решение уравнения
что у превышает у Хв ' можно из этого решения при помощи
формул (1) получить более простое решение, и, следовательно, мы
необходимо должны притти к такому решению, в котором у не будет
превышать у Хп — * а это предполагает, на основании уравнения
& — Dy*=—N,
что х не превышает предела у -—^i— . Таким образом, мы приходим
к такой теореме:
Теорема. Если уравнение
x* — Dy2=:—N
возможно, то в пределах
найдутся целые значения для х и у, ему удовлетворяющие, где
х = а есть упомянутое наименьшее решение уравнения
x*~Dy*=U
превышающее единицу.
Ш
Пределы, между которыми, на основании доказанных теорем,
наверное существуют значения для х и у, удовлетворяющие уравнению
x*~Dy2 = ±N,
если только оно возможно, обладают следующим замечательным
свойством:
Если *=а, y—b9 x—aif y—bv две системы таких значений для
хну, которые не превышают выше найденных пределов и которые
удовлетворяют одному из уравнений
jfi — Dy*=N. x* — Dy*=—Nt

— 213 —
то числа аЬ^аф* аЪх — аф не делятся на N, между тем как их
произведение (ablJralb)(abl — агЬ) будет кратное N.
Чтобы доказать это свойство, замечаем сначала, что произведение
двух уравнений
a? — Db* = ±N> a\ — Db{ = ±.N
"может быть представлено в виде
(ааг ± Dbbxf — D {abx ± axbf = Л^.
Если допустим теперь, что выражение abt±atb, взятое с одним из
знаков -J- или —, делится на N, то число ааг±ОЬЬ19 взятое с тем же
знаком, необходимо должно, в силу предыдущего уравнения, также
делиться на N; имеем, следовательно, при этом предположении
[ n ) -и \ w—) — *>
аа\ +z Dbb% аЪл + а\Ь и
где —l-tt—-, —* * числа целые, по так как мы предполагаем, что а
есть наименьшее значение х, отличное от 1 и удовлетворяющее уравнению,
x* — Dy2=l,
то невозможность предыдущего равенства будет обнаружена, если
докажем следующее неравенство:
(да'У^)2<а*.
Но сейчас докажем, что оно всегда имеет место, если только значения
а и а, не превышают у 2 й ^ *i не превышают у 2D
(знаки верхние относятся к случаю х2— Ду2=Аг, а нижние — к случаю
хг—Ду2»—N)~ Чтобы доказать это, мы замечаем, что если числа
а и я, лежат в пределах от 0 до у а~2 * , а числа b и Ьх—в пре-
Л ,/(«нн DN (аал+DbbA2
делах от 0 до у -—^—> т0 значение (—*~у Ч не может
превышать того, которое получим, удержав в формуле знак -{- и положив
далее, что
и (aa<i+Dbbx\*
Но так как при этом предположении зыражение I—*--^—И
приводится к а2, то мы заключаем отсюда, что в данных выше пределах
maximum (—^=j^—Ч есть а2 и что этот maximum наступает только
для а=аг и Ь==ЬХ. Следовательно, в рассматриваемом нами случае,
когда а и b отличны от аг, pv имеем необходимо
(«й±л*Ьу<(А

— 214 —
что и требовалось доказать.
Итак, мы доказали, что ни одно из чисел аЬг -\- агЬ и abx — агЬ не
делится на N. Что же касается их произведения
(аЬг -f ахЬ) (аЬг — агЬ) = аЩ — а\Ь\
то оно, очевидно, делится на N. Действительно, подставляя в формулу
а?Ь\ — а\Ь2 значения а2, а2, выведенные из уравнений
a2 —D62 = ±M a\ — Db\ = ±Ny
мы немедленно находим, что
аЩ — а\Ъ2 = ±(Щ — б2) N.
Поэтому, если а> аг и Ь> Ьг целые значения х и j/, заключенные
в пределах
и удовлетворяющие уравнению
х2 —Ду2 = ±М
то наверное можно найти два делителя шсла N9 отыскивая множители
общие N и числам ab1-\-alb, ab1 — агЬ. Отсюда выводим следующую
теорему:
Теорема. Если уравнение
x2 — Dy2 = ±N,
в пределах
*-«. *=/ШШ, ,=о. у-/Чц§»,
может быть удовлетворено двумя различными системами значений х
и у, то число N сложное.
Число а имеет здесь то же значение, что и в предыдущих теоремах.
IV
В силу доказанных теорем, представление числа N формой
± {х2 — Dy2) приводит нас к убеждению, что число N сложное в двух
следующих случаях:
1° . Если N имеет форму тех линейных делителей числа х2 — Dy2,
которые могут быть представлены формой ±(^2—Dy2), а в пределах
не находится целых значений для х и у, которые делали бы выражение

— 215 —
±{х2— Dy2) равным N; ибо тогда, в силу одной из двух первых
теорем, уравнение
±(x* — Dy2)=N
невозможно, а это имеет место только для сложного числа N.
2°. Если в этих пределах найдутся два различных представления
числа N; это значит, на основании последней теоремы, что N число
сложное.
Поэтому число N может быть простым только в том случае, когда
в пределах
уравнение
x2 — Dy2—±N
имеет только одно решение, в котором, очевидно, х должно быть
взаимно простым с у и D. Но можно ли из одного этого заключить, что
число TV непременно простое?
Исследуя в этом отношении формы
±(x2 — Dy2),
мы заметим, что они делятся на два вида. Одни из них в указанных
пределах и при х, взаимно простом с у и D, дают одно представление
числа N только в том случае, когда оно простое; таковы, например,
формы
±{х2 — 2j/2), ±{х2 — Зу2), ±(х*—5у2),
Другие, напротив, дают одно представление не только простых
чисел, но и многих сложных чисел, когда берем числа х и у в пределах
и х взаимно простым с у и D. Например, ища представление сложного
числа 371 в форме х2 — 37у2, мы найдем, что пределы для хну будут
потому что простейшее решение уравнения
х2 — 37у2=1
есть следующее:
* = 73, jy=12.
Но мы замечаем, что в этих пределах уравнение
х2 — 37у2 = 371
удовлетворяется только такими значениями: л;=36, у = 5.

— 216 —
Мы не дадим здесь общего метода для отличия того, к какому из
этих видов принадлежит данная форма ±(х2— Dy2)9 как сделал это
Эйлер по отношению к формам Ах2-{-By2; мы ограничимся пока только
указанием нескольких форм первого вида.
V
Мы видели в § II, что если уравнение
x* — Dy2=:±N
возможно, то найдется по крайней мере одно его решение в пределах
Теперь мы докажем, что в этих пределах уравнение
имеет по крайней мере два решения, если оно удовлетворяется при
* = /, у=т, х — Г, y=z=mf
и числа lm'-{-I'm, lm! — I'm не делятся на N.
Чтобы притти к этому заключению, мы заметим сначала, что вообще
если лг, у у Х> Y удовлетворяют уравнению
x* — Dy* = ±:N
и числа xY+yX, xY—уХ не делятся на N, то не будут делиться наЛ/
и те числа, которые получаются из них по замене х и у числами xv у1У
взятыми из уравнений
xl=±(ax— ftyZ>), yl = ±{^x — ay)t (2)
которыми пользовались в § II. Действительно, мы доказали в том
параграфе, что значения xv yv определенные формулами (2), удовлетворяют
уравнению
x\ — Dy\ = ±K
и так как
X* — DY2 = ±N,
то находим
{x2 — Dy\) (X* — DY2)=ЛР,
или, что то же,
(x1X±Dy1Y)2 — D{xlY±yiX)2 = N2;
отсюда ясно, что если выражение л^Г+^Л', взятое с одним из двух
знаков +, делится на N, то число x^XAzDy^, взятое с таким же
знаком, будет также делиться на N. Но это не может иметь места;

— 217 —
чтобы это показать, мы замечаем, что xY-\~yX> xY—уХ, в силу
формул (2), могут быть представлены в виде
±{xlY^y1X)a±^ (xtX^yiYD).
Но если бы числа ххУ±угХ9 хгХ±УгУ09 взятые с одним из
знаков ±, делились на N, то отсюда следовало бы, что одно из чисел
xY-\-yX, xY—уХ также делится на N, чего нет. Следовательно, числа
хгУ-\-угХ9 xlY—угХ также не делятся на N.
На основании этого мы заключаем, что если числа lm! -f- /'m, lm! — I'm
не делятся на N и если ж=а, у=Ь— решение уравнения
jc2 — Dy2==N
в пределах
которое найдем, в силу § II, исходя из решения л: = /, у = т и
переходя последовательно от одного решения к другому при помощи
уравнений (2), то числа ат'-\-Ы'9 am'—bV также не будут делиться на N.
Точно так же мы замечаем, что если av bx представляют решение
уравнения
x* — Dy2 = ±N
в пределах
которое найдем, исходя из решения х=Р, х—тг, то числа airi -\~Ы\
от' — Ы' останутся не делящимися на N, если заменим 1\т' через aubv
Но это, очевидно, требует, чтобы числа avbt не были соответственно
равными числам аУ Ъ> потому что иначе am' — Ы1 приводится к
ab — 6а = 0,
а следовательно, будет делиться на N. Поэтому в пределах
необходимо должны существовать два решения уравнения
jc2 — Dy2=±N,
если оно удовлетворяется двумя системами значений
х=1, у — т, х=Г, у = т'
и числа lm! -\-Vm> lm! — I'm не делятся на N.
VI
Мы покажем теперь на основании доказанного нами, что все формы
zb{x* — Dy% которых квадратичные делители представляются формами

— 218 —
be2 — }iy2, могут служить для испытания, будет ли данное число
простым или нет.
Теорема. Пусть х2 — Dy2 будет форма, все делители которой
представляются формами he2 — \*.у2, и пусть N число взаимно
простое с D, имеющее вид одного из линейных делителей
квадратичной формы ±(«*2— Dy2). Число N будет простое, если в пределах
Х = 0, х=у±—^— , J/ = 0, У— у —55"^— •
существует единственное представление его формою ±{х2 — Dy2),
причем х и у не имеют общего множителя; во всех других случаях
число N будет сложное.
Здесь а представляет наименьшее превосходящее единицу
значение из числа решений уравнения
дг2 —Ду2=1.
Доказательство. Чтобы доказать высказанную теорему, мы
покажем, что когда число N сложное, то необходимо представится один
из следующих трех случаев:
1 °. В пределах
, = 0, *-/ЩШ, у-0. У^/ЩР
нет представлений числа N формой ±(х2— Dy2).
2°. В указанных пределах имеется представление числа N, но
числа х и у не взаимно простые.
3°. В указанных пределах находится несколько представлений
числа N.
Если между делителями числа N существуют такие числа, которые
не принадлежат к числу делителей х2 — Dy2, то уравнение
х2 — Dy2=±N
невозможно, если только эти множители не делят чисел х2 и у2.
Следовательно, в этом случае или само представление числа N
формою ±(х2 — Dy2) невозможно, или же в таком представлении числа
х и у не взаимно простые.
Переходя к случаю, когда все делители числа N будут
принадлежать к числу делителей х2 — Dy2y предположим, что
N=N^N2.
Так как все квадратичные делители х2 — Dy2, по положению,
имеют форму 1х2 — jiy2, то мы заключаем, что числа Nx и N2 могут
быть представлены таким образом:
N, = \х~ цгу1 N2 = \x\ — ц2у% (3)

— 219 —
и так как их произведение N имеет форму ±(х2— Dy2), то находим
в случае
N=x* — Dy2
и
l2 = — \ ii2 — —р.г
в случае
N= — (x2 — Dy2).
Поэтому
или, что то же,
Замечая, что
мы заключаем на основании последнего уравнения, что уравнение
х2 — Dy*< = ±N
удовлетворяется двумя системами значений х и у:
X=\lxlxt-\-v.^ryiy X1 = \xlxi~\i]yly2>
Y=x1yi-\-y1x2, Y1=x1y^—y1x2.
Определяя, на основании этих формул, значения ХУ1-\-УХ1,
XYX — YXV мы найдем
XYX + YXX = (l,^*, + Р-МУъ) {х\Уг —.УЛ) -f
= 2x^2 Q-i*% — V-iyl)=2x2y2Nv
XYX — YXX = (V*!*, + ^.Уг) С*1Л -М) —
— (*1*Л — М1У1.У2) (**У« +.УЛ) =
= — 2*,^ &** — jijD = — 2x1y1N2,
откуда ясно, что если х^ух — число взаимно простое с Nx и лг2_у2 —
взаимно простое с N2, то числа XYX + КА'р XYX — YXt не будут
делиться на
N=NlN2,
что предполагает, в силу § V, существование двух решений уравнения
в пределах
В случае же, когда х^уг имеет общего делителя с Nt или лг2.У2 —
с Л/g., не трудно убедиться, что решения (4) уравнения
х2 — Dy*=±N9

— 220 —
равно как и все другие, которые можно из них вывести при помощи
формул (2), содержат значения х я у, делящиеся на одно и то же число.
Таким образом, мы убедились, что при высказанных выше
предположениях никогда не найдется такого сложного числа N, которое могло
бы иметь в пределах
,/(a:±:l) JV л «, -ч/^ШЖЕ
единственное представление формою ±(х2— Dy2) ПРИ взаимно простых
х я у. Следовательно, это может иметь место только в том случае,
когда N число простое; в противном же случае, на основании того, что
нами было показано в § V, мы заключим, что число N сложное.
vn
Таким образом, мы можем узнать природу данного числа по его
представлению квадратичной формой х2— Dy2 или —(х2 — Dy2), если
все квадратичные делители х2 — Ду2 будут формы lx2 — jiy2. Мы ниже
даем таблицу простейших из этих форм вместе с пределами для х и у,
определяемыми по формулам
/пар* л^гт.
х— у 2 , у— у 2£) ,
даем также и линейные формы тех чисел, которые могут быть
испытываемы при помощи этих форм.
Квадратичные
формы для N
х2 — 2у2
-(х2-2у2)
-{x*-Zy)2
х2—Ьу2
-(х2 — Ьу2)
х* — 6у2
1 _(Х2 —6У)
Пределы хну
x = V2N, У= |/у
x = Y~N, y = VN
J
x=yw, y= Ytn
\x — VbN, y = yrNr
\x = VW, y= ^^
\х=уш, у= i/Xv
Линейные формы для N
|. jV=8/z + 1,7
ЛГ=12л+1
N=l2n+\l
[ N=20n+i,9,U,l9
)
JV= 24/1+1,19
iV=24/z + 5,25

— 221 —
Продолжение
-
1 Квадратичные
формы для N
Л'* — If"
_(д-2_7У)
д-2 _ 10у2
— U2 — 10у2)
** —11у*
— (лг2 — 11з/2)
л:2 — 13У
— (л;2 — 13^)
д;2 ___ 14у2
_ (д;2 _ 14j^2)
л:2 — 15>2
-(^2-15^)
д:2 __ 17у2
X2 — 19у2
— (л:2— 19у2)
л:2 —21.уа
— (л:2 — 21у2)
Пределы хну
Линейные формы для N
#= 28л+ 1,9,25
N= 28и + 3,19,27
x=yim, у= yf^N |
} ЛГ=40л+1,9, 31,39
х = УШ, y = V~N 1
х = УШШ, y = Y'Iffi
х = УЩ у= J/^-jN
х=УЩ у= yjN
-=/4". >=/■£*
\х=УШ, у=У~Ы
. /ШТ. , /шТ,
ix = V&N, У= у fN
\x=YWit y= y-zN
N = 44л + 1,5, 9, 25,37
JV= 44л + 7,19,36,39,43
1 JV-5oe4-J 1,3,9,17,23,25,27,
[ л—^л"+-\ 29,35,43,49,51,
/ j
N=* o6/i+l,9,11,25,43,51
ЛГ = 56л 4- 5, 13,31,45,47,55
ЛГ=60л+1,49
#= 60л +11,59
fl,9,13, 15, 19,21, 25,
l N == 68л + < 33,35,43,47,49,53,55,
159,67
/ 1
ЛГ=76л+\45,49,61,73
i JV-76/1-4-/3-15'27'31'51"
\N— 76"+\59,67,71,75
N= 84/I+1,25,37,43,67,79
ЛГ= 84/1+5,17,41,47,59,83 |
1 1

— 222 —
Продолжение
Квадратичные
формы для N
— (д;2 —22^2)
Х2~23у2
__-(^2_23j/2)
х* — 26У
— (лг2 —2бу*)
^2_29з/2
— (д:2 — 29У)
л:2 — ЗОу2
— (лг2 — ЗОу2)
ЛГ2 — 31J/2
— (*2 — ЗГу2)
jc2_33y»
— (ЛГ2 — ЗЗД/2)
Пределы х к у
Х=УШ% y=y jN
, /"ЗЗТг -. /25~r
х=угШ, y—VN
\х=УШШ, у= j/'^N
, . / i
x = V4900N, y = у -ggJV
х = УЩ у= "[/-g-tf
х = УЩ у - y-^N
,/1521.. ,/1519..
,/1519ЛГ ,/49A.
\х=УШ, y = |/j^
Линейные формы для N
^-88/2+\59,67,75,81
^—88/z+\63,79,85,87
ЛГ-92/z 1 i 1.9, 13,25,29,41,49,
^— У2л + \73, 77, 81, 85
л/ ооя1 /7, 11,15,19,43,51,
iv _ yj/z -f- ^ 63^ 67^ 7g^ 8^ gi |
ЛГ-104л^/1'9'17'23'25'49'55
iv— Ш4/г 1-^79,81,87,95,103
дг_ Ю4/7^ Z5^1' 19,21,37,45,59
лг_ Ш4я + j67 83,85,93,99 |
\ rl, 5, 7, 9, 13,23,25,33,1
35,45,49,51,53,57,
lW=:116/z + {59,63,65 67,71,81,83,
91, 93, 103, 107,109, 1
411,115
ЛГ= 120л + 1. 19,49,91
■ЛГ= 120л+ 29, 71, 101,119
1 Г 1,5, 9, 25, 33,41,
N= 124л+ < 45, 49, 69,81,97,
(101,109,113, 121
f 3,11,15,23,27,43,
\N= 124л +<55,75, 79,83,91,
1 (99,115,119,123
ЛГ=г 132л + {^,297,31бз,7,П5' б '
л/~132/24-/17'29'35'41'65'83'
| /v — i<W«-1-^95,101,107,131
тш
Из найденных нами результатов следует, что есть много форм с
положительными определителями, которые могут служить для испытания
данного числа, простое оно или нет. Что же касается пределов для х,
у, в которых следует искать представление испытываемого числа формою
±{х2 — Dy2)> то они не всегда пространнее тех, которые находятся по
отношению к форме л;2+-Ду2. Таким образом, на основании
предыдущей таблицы мы видим, что для представления числа N формой Зу2 — х2

— 223 —
не следует итти далее j/— l/-j и так как j/, очевидно, не может быть
/77 ,/77
— ,то значения для у придется искать между пределами у —
и г ? * Точно так же убедимся, что для нахождения представления числа
N в форме х2 — Зу2 придется искать х между пределами VTJ, у ~т N\
для формы х2 — 2у2 такими пределами будут VlV, V2N и т. д.
Мы покажем теперь на примере, как при помощи прилично
выбранной формы ± (х2 — Dy2) не трудно узнать, будет ли данное число
простое или нет, когда даже это число значительно. Мы выбираем число
8520191; Лежандр (см. ero,aTheorie des nombres*, т. II, стр. 150),
отыскивая два числа А и В, из которых каждое равно сумме делителей
другого, причем само число выключается, нашел, что
Л=28-8520 191, В = 28- 257- 33023
удовлетворяют этому условию, если только число 8 520 191 простое. Но до
сих пор не было известно, простое это число или нет. Заметив, что число
8520191 формы 12/г-[-11 и что все простые числа этой формы могут
быть представлены в форме Зу2 — х2, мы будем искать представление
8520191 формою Зу2 — х2. На основании выше сказанного мы должны
искать значения для у между пределами
/852Q191 ,/8 520 191
З-' V 2~9
т. е. между пределами
1685, 2065.
Для того чтобы форма Зу2—х2 представляла число нечетное, надо
взять х нечетным и у четным или х четным, а у нечетным.
Полагая в первом случае
x—2n-\-l, y = 2nv
мы найдем, что Зу2 — х2 преобразовывается в
12/г? —8^^±1) —1,
что не может быть равно числу 8520191, имеющему форму 8т—1
если пг число нечетное. Следовательно,
пг = 2/,
а потому в первом случае имеем

— 224 —
Переходя к тому случаю, когда х четное и у нечетное, полагаем
х = 2п, у — 2пг-{-1.
Для этих значений х, у форма Зу2 — х2 делается такою:
3 + 24*l(**+1)-4ft2,
и, приравняв это выражение числу 8 520191, мы получим уравнение
3v{-24/2l(^+1)— 4fl2^8520 191.
Но так как это уравнение приводится к виду
6 iM^+J) _ п2 = 2 ! зо 047,
то мы заключаем, что я — число нечетное.
Полагая поэтому
я==2/я+1,
обратим предыдущее уравнение в такое:
Q Щ^ -8^^ _1=2Ш0А71
откуда следует
3 п±(ъ±1) _4 m(m + l) = j 060024>
что предполагает делимость числаЯ1*я* + на 4. Но для того чтобы
LV * '—' делилось на L
Следовательно, имеем
П 9 делилось на 4, одно из чисел nv nx-\-1 должно быть кратное 8.
или пг = Ы', или #1==8/—1.
Взяв первое значение для щ, находим
у=16/'+1,
второе же значение дает
у=Ш'— 1.
Таким образом, у может представляться только одной из трех
следующих форм
у = 41, j/=16/'+l, j/=16f— l.
Не трудао также найти числа, с которыми у сравнимо по
различным модулям, и потом, при помощи этих чисел, найти все возможные
формы для £ /', Г. Таким образом, мы находим, что для
AT==5/n+l=7m,-fl = llmff + 9==13mftf + 4 = 17mIV4-12,

— 225 —
а число 8 520191 действительно имеет этот вид, уравнение
3j/2 — x* = N
предполагает, что
У= 0, ±2 (mod 5,)
У=±1,±:2(mod 7),
J> = ±l,±2,±5(mod 11),
jf = 0,±l,±3, + 6(mod 13),
J> = ±l,±2,±3,±4, + 7(mod 17).
Отсюда легко заключить, что числа /, /', /", связанные с у уравне
ниями
у =41, j/=16/' + l, у*
должны иметь форму
/=5/z + 0,2,3
/ = 7я +2,3,4,5
/«Ия + 3,4,5,6,7,8
/=Ш+/0,3,4,5,
• ^ 18, 9, 10
/==17Л+П,4,5,б,8,9,
^111, 12,13, 16
/' = 5л + 1,2,4
/' = 7/z + 0, 2, 4, б
/'=11/1 + 0,1,3,4,6,9
/'=13/г+/°>2'3>4>
15,6,8
/^Ш+/0, 2, 3,4, 5,
^111,14,15,1
8,
16
16/" — 1,
/» = 5л + 1,3,4
/" = 7/1 + 0, 1,3,5
/"=11/2 + 0,2,5,7,8,10
/» = 13/z+/0>5'7'8'
^ 19, 10, И
/*-17л + /0,1,2,3,6,9,
^112,13,14,15
По этим формам /, /', I" очень легко найти все решения уравнения
Зуа — х2 — 8520191
в пределах
j/>1685, ^<206й.
В случае
у = А1
мы находим, что / должно заключаться между пределами 421 и 516.
Если возьмем в этих пределах все числа форм
Ш + 0,3,4,5,8,9,10
и отбросим на основании уравнений
/=5/г + 0,2, 3
все числа, у которых последняя цифра 1,4,6,9, то найдем тридцать
чисел
425,442,455,468,485,503,
432,445,458,472,490,507,
433,447,460,473,497,510,
437,450,463,477,498,512,
438,452,465,478,502,515.
На основании уравнений
/=7/г+2,3,4,5
15 Чебышев, т, I

— 226 —
исключим из этой таблицы все числа, которые при делении на 7 дают
остатки, равные 0,1,6; тогда нам для испытания останется 17 чисел*
между которыми легко находим те, которые при делении на 11 не дают
остатков 3,4,5,6,7,8; все эти числа на основании уравнений
/=Ц/г + 3, 4,5, 6,7,8
должны быть отброшены. Тогда у нас останется только восемь чисел:
425,437,458,478,
432,445,465,502.
Далее, деля эти числа на 17, мы найдем только четыре
437,458,465, 502,
которые согласуются с формами
/== 17/г + 1, 4, 5, 6,8, 9,11,12,13,16;
но ни одно из этих чисел не дает такого значения для у, которое удов-*
летворяло бы уравнению
З;/2 —х2 = 8520191;
отсюда мы заключаем, что в указанных выше пределах это уравнение-
не имеет решения, в котором число у было бы формы 4/.
Переходя к случаю
у=Ш'+19
мы находим, что пределы для /' будут 105 и 129 и что в этих пределах,
числа формы
13/z-f 0,2,3,4,5,6,8,
которые, согласуясь со следующей формой
/'=5/2+1,2,4,
оканчиваются на 1,2,4,6,7,9, будут
106,109,117,121,
107, 112,119, 122.
Отбрасывая отсюда на основании уравнений
/' = 7я + 0,2,4,6
все числа, которые при делении на 7 дают остатки, отличные от 0,2„
4,6, и, далее, все числа, не представляющиеся ни в одной из форм
Пя + 0,1,3,4,6,9,
мы сохраним только два числа
119, 121.

— 227 —
Пользуясь этими значениями для /', найдем соответствующие
значения для
3/=16/'+11;
подставляя же их в уравнение
Зу2 — л;2 = 8520191,
мы найдем, что второе из этих значений,
j/=1937,
удовлетворяет уравнению
Зу2 — ^с2 = 8520 191,
если взять
х=1654.
Что же касается последнего случая, т. е. когда
j/—16/*— 1»
то мы находим, что 105 и 129 будут пределами для /"; в этих пределах
на основании уравнений
/'«=13/1 + 0,5,6,7,8,9, ю, И,
/*=5л+1,3,4
мы имеем следующие числа:
109,111, 113,114, 124,126,128,
из которых придется оставить только одно
126,
если отбросим все числа, .не представляющиеся в формах
Г=7я + 0,1,3,5, Г = Ш + 0,2,5,7,8,10,
и так как число 126 имеет форму
17я + 7
и, следовательно, не подходит ни под одну из форм
F=17л+0, 1,2,3,6,9,12,13,14,15,
то мы заключаем, что и это число должно быть отброшено.
Таким образом, мы нашли только одно представление числа 8520191
формой Зу2 — л;2, причем у не превышает у—^— , и так как в этом
представлении значения хя у> а именно 1654 и 1937, не имеют общего дели*
теля, то мы с уверекностью заключаем, что 8 520191 число простое.
15*

— 228 —
Метод, которым мы пользовались при испытании числа 8 520 191
с помощью формы Зу2 — х2, можно распространить на все числа,
применяя определенные квадратичные формы. Все вычисления, как можно
видеть из предыдущего примера, удобовыполнимы даже для
значительных чисел, если только иметь таблицы решений сравнения
Ах2 —By2 = С {mod р)
для простейших значений числа р, каковы, например,
/, = 3,5,7, 11,13,17, 19,23,29.
Эти таблицы не будут пространны, если пользоваться одновременно
формами с отрицательными и формами с положительными
определителями, потому что в этом случае не придется прибегать к помощи многих
форм. Таким образом, например, можно испытывать все числа при
посредстве трех следующих форм:
х2+у2, *2+2j/2, х2 — 2у2.
Первая будет служить для испытания чисел форм
8*-f 1,5,
вторая может служить для испытания чисел форм
8/г + З,
и, наконец, последняя — для тех, которые имеют форму
8/г + 7.
Совершенно так же не трудно убедиться, что все возможные случаи
могут быть испытываемы при помощи следующих трех форм:
х*+у\ х2 + 3у2, Зу2 — х2.

ЗАМЕТКА О НЕКОТОРЫХ РЯДАХ
*
Можно получить весьма интересные формулы (как, например,
разложение е~х в произведение бесконечного числа множителей, выражения
sin л: и cos* рядами, вычисление которых требует только умножения х
на различные постоянные, и еще многие другие любопытные
соотношения), отыскивая величину /(1), где f(x) обозначает функцию, связанную
с другой функцией F(x) одним из следующих трех уравнений:
F (х) =/(*) +f(2x) +f(3x) +f(4x) +f(bx) +f{6x) + • • •,
F (x) =f{x) +/(3*) +f(bx) +f(7x) +f(9x) +/(1 lx) + • • •,
F (x) =f(x) -f(3x) +f(5x) -f(7x) +f(9x) -/(1 lx) + . •.
Чтобы притти к этим формулам, найдем сначала те ряды, которые
определяют /(1) в этих трех случаях. Начнем с первого случая, когда
f(x) и F(x) связаны уравнением
F(x)=f(x) +f(2x)+f(3x)+f(4x)+f(bx)+f(6x)+ • • • (1)
Очевидно, что в силу этого уравнения искомая величина /(1) выразится
рядом следующего вида:
f(l) = A1F(\) + A,F(2)+---+AmF(m)+.--, (2)
где Av А2, ..., Ат — числовые коэффициенты, зависящие от вида
функций f(x) и F (х). Для нахождения этих коэффициентов положим
где г превосходит 1. Для этой частной формы f(x) функция F (х) в силу
уравнения (1) определится следующим уравнением:
или, что то же
^ (*)=*• —Т"T'7—l
*г « I !_1 i_l i_±
7г V V 1Г
* Note sur differentes series (Journal de mathematiques pures et appliquees. I ser.,
t. XVI (1851), p. 337—346; русский перевод И. И. Иванова в I томе Собрания соч
П. Л. Чебышева, изд. А. А. Марковым и Н. Я. Сониным, СПб. 1899, стр. 89—108).

— 230 —
Но так как выражения F (х) и
должны удовлетворять уравнению (2), то мы заключаем, что
1 = _! 1 1 I (л, 4-^4-^4 !-^Ч ^
2*" 3»* 5' 7'
и, следовательно,
M.+#+#+-+4.+--o-i)(i-i)(i-i)(i-i)-
Замечая, что коэффициенты Л1Э Л2> •. • э ^1т> • • • не зависят от г, мы
на основании этого уравнения заключаем, что коэффициент Ат равен
коэффициенту при — в разложении произведения
0-i)0-i)0-4)('-*)-
Но, исследуя это произведение, мы немедленно замечаем, что в нем не
будет членов вида — , когда т делится на квадрат, следовательно, для
таких значений т коэффициент Ат.будет равен нулю. Что же касается
других значений т> то коэффициент Ат приводится к 1, когда т имеет
четное число простых делителей, и будет равен — 1, когда число простых
делителей т — нечетное. Таким образом, мы нашли закон ряда (2),
который дает величину /(1), определенную из уравнения
F (х) =f(x) +f(2x) +f(3x) +Д4*) +/(5*) 4-/(6*) 4-' •
Совершенно так же найдем, что если функция f(x) определена
уравнением
F (х) =/(*) +/(3*) +/(5л) 4-/(7*) +/(9*) +/(11х) + • • •,
то величина /(1) будет равна
Af(l) + 52F(2) + B3F(3) + B4F(4) + ...+ SmF(m)+...,
где Bv 52, ..., Вт, ... будут коэффициенты при 1, jr>jr> :j?>--->^> •••
в разложении произведения
(■ЧХ'-ЙОЧХ'-тУ-
Отсюда заключаем, что
вт=о>
когда т делится на 2 или на квадрат, и
5^=4-1 или —1,

— 231 —
смотря по тому, четное или нечетное число простых делителей имеет
•число пи
Переходя к случаю
F (х) =/(*) -/(3*) 4-/(5*) -/(7л) +/(9*) -/(1 \х) +• • -,
•найдем, что
/(l) = C1F(l)+C2F(2) + C8F(3) + C4F(4)+...+VH + ->
где С19 С2, ...,СОТ, ... равны коэффициентам при 1, о?» р> 4?> •••*
1
—, ... в разложении произведения
Следовательно,
ст=о
в том случае, когда т четное или делится на квадрат;
ст=и
€сли т имеет четное число простых делителей формы An -j- I, и, наконец
Cm = -1,
если число таких делителей нечетное.
На основании доказанного очевидно, что каждая известная формула
одного из трех видов
F (х) =/(*) +/(2*) 4-/(3*) +/(**) +А5х) 4-/(6*) +• • •,
F (х) =/(*) +/(3*) 4-/(5*) 4-/(7*) +/(9*) +/(1 U)4~ • •,
F (x) =/<*) -/(3*) 4-/(6*) -/(7*) 4-/(9*) -/(11*) 4- • •
доставит новые формулы.
Так, из известной формулы
_^ = а-* 4-я"2* 4~ Д~3* + я~4* + ^^
выводим
111111
а
-1.
"д—1 л2 —1 а*— 1 л4—1 я« —1 а«>—1
Разложение log(l—а*) дает формулу, котррую можно привести
к такому виду:
log (1-я*) ах а** с£*_ а** #5* cfix
- ~ — ^ — ^ ^ ,
ах 1
отсюда, определяя величину —— при *=1, находим
_1og(l--g) log (I — Д2) log(l —a8) log(l-g5) ,
—a— j 2 3 5 ~i
, log (1-я6) log(l-gT) . log (l—aM)
i g 7 "+" 10

— 232 —
и, следовательно,
_fl_ (l — g)(l—g6)6 (1_ gl0)10,,,
e — Y j j- .
(1—д2)2(1_д3)3 (1 — fl5)5...
Исходя из известной формулы
arctga* = a* 3- + -5 Г ■ '
которая дает
arctga* а*_ ^f i — — 4-.
.г ' х 2>х*Ьх 7х ■ "" *'
мы находим
а = arc tg а + -^ arc tg а3 — -г arc4g а6 -f- у arc *S а7 *
Разложение cos— в произведение множителей дает формулу
откуда заключаем, что
1og(coSi)=log(1-|i) + log(1-3ey +
+ '°8(l-W.) + ^('-5&) + -.
и на основании этого уравнения находим
log (1 — ^) = log (cos a) — log(cos —^ — log (cos -J-) — log (cos ^ —
— log (cos jj)— log (cos^ + log (cos^) —log (cos^) —
— log (cos g) + log (cos |j) ,
или, что то же,
П2_4Д2 cosa-cos^-cosg...
Я Я Л
COS — COS-r--COS ■=-«
0 0/
Посмотрим теперь, что можно получить при помощи известной
величины ряда
соз2тсЬг . cos2-3rcbr , cos2-5rcbr , cos2-7j0uc .
12 г 32 * 52 ~ 72 »
Для
Ъс = /71;±:(0,
где т — число целое, а со — количество положительное, не превосходящее
1
j-, мы находим, что этот ряд равен
|(1-4о>);

— 233 —
последнее выражение мы можем представить в форме
f(l-4{U}),
обозначая знаком {1х} наименьшее количество, которое надо прибавить
к \х или вычесть из 1х для того, чтобы получить число целое.
Следовательно, будем иметь
cos2rcb: , cos 2-3^)дг i cos 2-5irbr . cos 2-7к\х , я2 {л л t\ л\
—p 1 32 1 52 1 72 1 =-^-(1 — 4{U}).
Сделав в этой формуле л;=0, найдем
1~Гз2Т52~Г72~1 " 8 *
Это уравнение в связи с предыдущим дает
2 1 — cos2rcb: , 2 1 — cos 2^3itb: , 2 1 — cos2-5^br ,
я2 x* * ic* (3*)2 ~ к* (5л:)2 ~
, 2 1 — cos2-7itb: , 1 п ,
H~? щ? 1 = *Л1х)-
Определяя на основании этой формулы величину —2- ~с°з —npH;c=l>
найдем
ln_m49^-^_M_i^_i^l_M_'!13H 1 <15Х>
^(1 CUbZTIAJ— J2 32 52 ?2 112 -jp | jp
и, следовательно,
*2/{>} {3>} Щ {71} {1П} {Ш} {15Х} \
>=>-?$
COSztcX А Л 1 i« о* 52 72 И2 132 "Г" 152
Вот выражение для cos"2tt1, вычисление которого требует только
умножения X на 1, 3, 5,7, 11, 13, 15, ... Мы найдем подобное же
выражение для sin 2тгХ, заменив в предыдущей формуле 1 через I — -j, что.
даст следующий ряд:
.,,_, *М tzM. <я-т} К41
Sin zttA—1 о~\ \2 З2 52 72
(,»_!■} {,«_»} {«_!•}
И2 132 ~ 152
который, в силу свойства обозначения {}, приводится к такому:
sin 2тгХ = 1
иГ{'~И {»+*) l°>-|} (»Н1
2 \ I2 З2 52 72
{■■'+!} {'*■-!}, {"'-1} 1
И2 132 "+" 152 ""7"

— 234 —
Тот же метод доставит нам величины рядов
3 5^-7^11 13 17 ^ 19 » 23 29"
1 , 1 , 1 , 1 , J iJL ! J L J-J L_L.
pi~52i"P + iP~ri32'T-172"r 192"i 232"T"292"1 '
1 _2_j> 1 i J 1 L i J L.J I
33 5з~Г* 73 ~1" ns 133 17З"Г 193 "Г 23З 293 " '
но величинам следующих
i_l i !_1л_± L» J L_u
1 3^5 7 » 9 11 ~» 13 15 "I '
1+32+52+72+92+ 172 + 132+152 ~1 '
uUi-Ui LlJ li
1 33 » 5* 73"T"93 11* "1" 133 15» ' '
Чтобы этого достигнуть, замечаем, что произведение
1 1 1 1 1
х 3™ 5« 7» 11** 13"*
приводится к такому ряду
(-l)m I (_1)я» 1 . (-pin . 1 (—1W .
1~Г з/и "Т" 5/и "Т" Jm Т gmT \\m \ \%m I 15« » * * *
.и, следовательно,
for П I (~1)m I * 1 (~~1V* I * 1 (~1V* 1 ! ! (-l)m 1 .1 —
=-log(.-b^)-log(1-!L)-1c«(1_'-=F)-
-^('-^-«-«O-ife)—-
= (-l)w 1 1 (-l)2m 1 1 (—l)8'" , 1 (-l)4™ , 1 (—1)5** .
3« l 2 32™ "T 3 33/Я +4 34m "l 5 35m -}-•••
l 1 1 iJ L±J_J_LJ 1 i±X
1 5« » 2 52ot « 3 53отТ" 4 54m~T 5 55^1" ' * *
! (—I)772 1 1 (—П2"* , 1 (— I)3*» . 1 (—l)4™ . 1 (— l)5m .
I 7OT ' 2 72» l 3 I*** » 4 74л* ~ 5 75m
I (—1У» , 1 — l)2"* , 1 (-1)3™ 1 (—pirn . H—1)8»
Г цт I 2 IP» »" 3 ll8"* ~f~ 4 ll4w » 5 115**
lili J iii..il.,iJ 1
"13"*!" 2 132"*""1" 3 133^' 4 134"* * 5 135/я » #
Отсюда выводим формулу

обозначая ершу
1 , (-1У» ■ 1 .
Г 7т Tc|/»"f
235 —
(-1)"
(-1)"
3/» 1 5ОТ ~~* 1т
•через *?ж, а суммы вида
И/я
(-1У
13«
15«
3"
ал
7*
11*
fife-*
(3)
(4)
через 2л- Заменяя в предыдущем уравнении т на яи; и деля все члены
на Ху будем иметь
откуда выводим для величины 2т:
Xm = log5OT-ilog52m-|log53w-ilog56/7z +
+ jlogS6m — ylog57m
Таким образом, мы достигли определения величины ряда 2т вида (4)»
составленного только из чисел простых, по величинам рядов Sm, S2m, SBm,
Sim> 3$т> S<sm> $7т> • • • виДа (3)t составленных из всех нечетных чисел.
В частных случаях, когда
т-
1,2,3,
найденная нами формула дает
£2 = log S2 - I log 54 -1 log 56 -1 log 510 +| log Sia -1 log 5M+- • •,
Hs = log^-Tlog5e-ilog59-jlog515 + jlog5I8-llog521+....
Но известно, что
^ — l я"-^-д "7""Г"дГ— 11 "1" IT Т7Г"Г
3 "»"5' 7 • 9
1,1,1.1
13a
133
+ J L +
i 138 15» I
15*
15s
o2 — ^ 1 32 т 52 т 72 т 92 T 1
с _i__L r_l__L_f ±
°з — l 33 n^ 53 73 ~r 93 1
5 _l_±+±_±4_±__
°5 L 35 П^ 55 75 ~ 95 1
1+^ + 7£" + "тб» дГ+ П6 ' 136 "*" 15» *
36 ^ 56
с _i Lo-_L__Lj_J Lj-J Lj_
°7 x 37T57 77 ~Г97 Ц7П~137 15* »
°9 x 39^59 7» "^ 99 11«~13* 159 ~
^ю=1+з1о 1 510 4~7io"T*9lo 1
15
"Г 1Я2 1 1.52 "Г
J. J L_L
T 1Я5 155 I
155
15«
"Г 1ЯЮ~Г 1ДЮГ
:T'
8 '
32 '
:96 '
5rc»
:1536'
iL
:960,
61ifl
: 184 320'
277n»
"8 257 536'
3 k10
= 2 903 040*

— 236 —
Следовательно, на основании предыдущих формул находим
V 1ЛЛ.к 1 t ^2 1 ! тез 1 5*5 . 1 яб
2^1 = l0gT-Yl0gT-7l0g^—5 ^1536+6" log
lollop- 61g* _JL1 31gl°
' 7 g 184 320 10 g 2 903 040"
31^
2-2 = 1о§8--Т1о296-Т1о^9-60-"5 10^903 040 >
^а = 1оё^-Т1о^960-Т1оё8~25753б '
отсюда
Sx = -T + T-T-^ + Tf + T7— ^+-=-0,83498..
2*2 ~— P+52+7^+TP + T32+l72 + T92+ ''' = 0,20224...,
2-(3 =—^з+5"з—75 —Tp + l3~3 + l73~TP^ — — 0>03225..

ОБ ОДНОМ АРИФМЕТИЧЕСКОМ
ВОПРОСЕ*
si
По данной степени приближения разности у — ах к нулю
наименьшие числа х, у> при которых такое приближение имеет место, легко
определяются разложением количества а в непрерывную дробь. Вопрос
более сложный, когда числа х, у пишутся под условием, чтобы разность
у — ах до желаемой степени приближения привелась бы к данной
величине Ь, отличной от нуля, тоже может быть решен при помощи
непрерывных дробей. Решением этого вопроса мы теперь и займемся.
Мы будем различать два видоизменения этого вопроса, смотря по
тому, пишутся ли числа х, у так, чтобы разность у — ах давала
приближенную величину Ъ больше настоящей или меньше настоящей. В
первом случае разность у — ах должна превосходить Ь, и если
предположим, что степень приближения, которая имеется в виду, не допускает
погрешности на одну целую, эта разность должна превосходить
величину b менее чем на единицу. Следовательно, в этом случае количество
у — ах — Ъ =у — (ах -f- Ь)
должно содержаться между 0 и 1, а для этого неизвестное число у
должно равняться наибольшему из двух чисел, между которыми
содержится величина ах-\-Ь. Изображая же вообще знаком ЕЛ целое число,
меньшее А и ближайшее к Л, мы замечаем, что количество ах-\-Ъ
будет содержаться между такими двумя числами:
Е (ах-\-Ь), Е (ах -\-Ь)-\-1,
и, следовательно, в рассматриваемом нами случае неизвестное у будет
иметь такую величину:
j>=e;(o*h-&)+i.
При этой же величине у мы находим, что
у — (ах + Ь) = Е(ах + Ь) +1 — (ах + #).
* Опубликовано в Приложении к .Запискам Имп. Акад. Наук', X, № 4 (1868), стр.
1—54; Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том I,
1899,-стр. 639—684.

— 238 —
Так определяется степень приближения разности у— ах к Ъ в том
случае, когда эта разность дает величину больше Ъ,
Рассматривая подобным образом случай, когда у — ах дает
приближенную величину Ъ меньше настоящей, мы находим, что в этом
случае у должен равняться меньшему из целых чисел
Е{ах-\-Ь)9 Е(ах + Ь)+19
между которыми содержится количество ах-{-Ь, а потому
у = Е (ах -[- Ь)
и
у — ах — b = Е (ах -J- Ь) — (ах -\- Ь) =
==—[ах-\-Ь— Е(ах-\-Ь)].
На основании выведенных нами выражений, определяющих степень
приближения разности у — ах к b в предположениях, что эта разность
дает приближенную величину b больше или меньше настоящей, видно,
что вопрос наш приводится к определению наименьшего значения целога
числа х> при котором выражение
E(ax+b)+l— (ах + Ь)
или выражение
ах -f- b — Е (ах + Щ
имеет величину, не превосходящую данного предела, определяющего
степень приближения разности у — ах к количеству Ь.
§ и
Приступая к решению этого вопроса, полагаем для сокращения
Е (ах + Ь) + 1 — (ах + Ь) = у{х),
(1>
ах + b — Е (ах -J- Ь)=ф (х);
выписываем значения
у(0)>ср(1),с?(2),ср(3), .•-,
Ф(0),ф(1)>ф(2),с|)(3),...
и в каждом из этих рядов выкидываем все члены, которые имеют себе
равных или меньших между членами предшествующими.
Если через
ф (Af0), ф (Мг), ф (Л*,), •.., ф (Лу ф ДОр+1),. •.
обозначим члены, оставшиеся после такого сокращения рядов, не трудно
заметить, что вообще член
будет давать самую малую величину, какую только может иметь- выра-

— 239 —
жение <р(лг) при x<CNa+v В самом деле, по сказанному нами
относительно сокращения членов в ряду
<р(0),?(1),<р(2),?(3),...,
видно, что член y(Ne) может остаться только в том случае, когда
<ро)><?(ла
<?0Ч-1)><р(Ау.
С другой стороны, чтобы ни один из членов
<?(N,+ l),4{N, + 2),...,w(N3+1-l)
при таком сокращении не мог остаться в этом ряду, наименьший из них
не должен быть меньше <р(Л/"а), наименьшего из членов
?(0),?(1),?(2) ?(^в),
ибо иначе такой член был бы меньше всех, ему предшествующих, и*
следовательно, не был бы исключен из ряда
<?(0),<р(1),<р(2), ...
То же находим относительно членов ряда
ф (Af0), ф (MJ, ф (Мг), ..., ф (Мр), ф (Мр+1), ....
где, вообще, член
Ф(лд
будет давать самую малую величину, какую может иметь выражение
<Ь(х) от х = 0 до х = Мр+1 — 1.
Из этого видно, что ряды
Ф (ЛГо)- Ф (^Ti). Ф (iW.) Ф (Afp), ф (Afp+1), ...,
выведенные, по выше сказанному, сокращением рядов
?(0),?(1),?(2),?(3),...,
Ф(0)эф(1),ф(2),ф(3), ...,
будут показывать, до какой степени малости достигают выражения <р(;с)*
$(х) при различных: величинах х, и через это они будут служить для
решения нашей задачи. Так, если в ряду

— 240 —
.первый член, не превосходящий какого-либо предела з, есть <f(Na\
наименьшее число х, при котором разность у — ах, оставаясь больше Ъ,
дает величину Ь верно до е, будет x=N9.
То же, в предположении у — ах меньше Ъ, получится при помощи
ряда
ф (Л!0), ф (Мг), ф (М2), ..., ф (ЛГр), ф (Мр+1), ...
Таким образом, решение нашей задачи сводится на составление
рядов
Т W>)> ? М)> Т М), . • •, <Р W,), f (Ч+1),
Ф (Af0), Ф (А*!), ф (М2), ..., ф (Мр), ф (Л*р+1), ...
Члены этих рядов, как мы увидим, легко вычисляются по числам х, у,
с которыми разность у — ах наиближе подходит к нулю и которые, как
известно, при помощи непрерывных дробей определяются таким образом:
Разлагая а в непрерывную дробь
находят подходящие дроби
5» £1 рл.
Qo* <?i' О.*'**
и промежуточные дроби
где
и, вообще,
■Ре+1_
я; pi
q'3'qV"
Qo~~ 0 '
GA + G.-i'
p»l-l)
" Op11)'
Pi__9o
Qi~~ 1 '
Числа jc, j/, при которых разность j/— ax, оставаясь положительною,
наиближе подходит к нулю, суть
*=q;, qi', ..., q^-л q2, q;, q;, ...,
y = P[9P![9...,Pl«-1hP»Pts,P'v...
Числа л:, у, при которых разность j/ — ах, оставаясь отрицательною,
наиближе подходит к нулю, суть
х= Qv Qv Qv • • oQJ"-^ Q3> Qi • • -
y^=pv p'2, p;,..., p^-D, ps, p;,...
Эти системы значений я, j/, как известно, имеют то свойство, что

— 241 —
каждая из них доводит числовую величину разности у — ах до той
степени малости, какой можно достигнуть в предположении у — ах^>0 или
у — ax<d09 оставляя х ту же величину или принимая за х меньшее
число. Так, например, при x=Q[9 у = Р[, разность у— ах получает
наименьшую величину, возможную при х ^ Q[ и у — ах > 0у
и т. д.
На основании этого, изображая через
¥о(1)>?о(2),?о(3),...
н аименьшие величины, которые имеют разность у — ах при х= 1,2, 3,...
и у — ах^>09 мы заключаем, что в ряду
?о(1)>?о(2),?0(3),...
каждый из членов
%(Qi),<?o(QD, ....?o(Q{"-1)),?o(Q2),<Po(Q£> •••
будет меньше всех членов, ему предшест вуюшх. Точно так же,
изображая через
— Фо(1% —Фо(2), —фо(3), •-•
значения разности у — ах, наиближе подходящие к 0 при
X —— 1, «£, о» • • *
и
у — ах<^0,
мы замечаем, что каждый из членов
фо (Qi). фо Ш Фо (QD> • • •> Фо (Qp-% Фо (Qs)> • • •
в ряду
Ф.(1Не(2).фв(3),...
будет меньше всех членов, ему предшествующих.
Из этого видно, что ряды
?о (Qi). ?e № • • • > ?о (Qf"-n). ?o (Qt), <р0 (Qs). • • • .
<p0(Qi).*o(Q3.*e(Qs'). •••^o(Q(2"-f)Ho(Q8). •••
по отношению к рядам
?о О).?. (2). То (3),...,
ф0(1),ф0(2),ф„(3),...
играют ту же роль, как выше показанные ряды
<? (К), т (#,), <р (ЛГ2),... ,.<? (Л/.), f (Л^+1), ...
ф (M0), ф (Л*,), ф (Af,), ..., ф (Мр), ф (М,+1), ...
относительно рядов
?(0), ?(!),? (2),...,
ф(0),ф(1),ф(2),...
16 Чебышев, том I

— 242 —
Для сокращения мы будем изображать числа
Qi. Qi. Q^. • -.. Q^-^. Q8, - ■
через
йд, Bj, /?2» • • •»
/И0, /Wj, W2» • • • >
вследствие чего ряды
«Po (Q0« <Po (Qi") ?о (Q^-% % (Qi). ?o (Qa).
to (Qi). Фо (Q;). Фо (Qa), • • •. Фо (QJ*"4). Фо (Q.). • • •
представляются так:
¥o(*o)>?o(*i)>¥o(*2)» •••»
Что касается выражений
<РоМ> ФоМ>
то, как не трудно убедиться, они получаются из выражений
•ф(х)=Е(ах+&) + 1 —(ax-f *)»
ф (.*;) = ал+ &— Е(ах-{-Ь)у
когда количество ft полагается равным нулю. В самом деле, для того
чтобы разность у— ах наиближе подходила к нулю при данном х,
неизвестное число у должно наиближе подходить к количеству ах и,
следовательно, должно равняться одному из целых чисел, между которыми
содержится количество ах. А так как эти числа суть
Е(ах)-\-\, Е(ах),
то значения у — ах, наиближе подходящие к нулю, представятся
следующим образом:
Е (ах) -f-1 — ах, Е (ах) — ах.
Замечая же, что первое из них есть величина положительная, второе —
отрицательная, мы заключаем, что по нашему знакоположению первое
представится через <р0 (х), второе через ф0 (х), и, следовательно,
?0(лг) = Е(ал;) + 1— ах, \
\ (2)
ф0 (х) — ах — Е (ах). J
§Ш
Приступая к определению членов
¥ W>), f№, f(Nt), .. .,v(Na), f (N.+1),...,.
ф (Af,), ф (Мг), f (Щ,..., ф (Mf), ф (f+1),...,

— 243 —
мы, по (1), ищем выражение разности
где L — какое-нибудь положительное число; при этом мы находим
4№-4iK + L) = E(aN9 + b)+\-{aNu + b)
— E{aN, + aL + b) — \+aNg + aL-{-by
что, по приведении, нам дает
<?(Ng)-<t(Na + L) = aL-[E(aNg + aL-\-b)-E(aN, + b)}.
Но, как не трудно заметить, разность
ЕЛ — ЕВ
при А^>В приводится или к
Е(А — В),
или к
Е(Л — В) + 1,
что, очевидно, можем представить одним равенством
ЕЛ —ЕБ = Е(Л —£) —Ц^,
предполагая, что в выражении
2
выбирается один из двух знаков ± надлежащим образом.
Вследствие этого выше найденное выражение разности]
<f(N.)-<t(Ne+L)
представляется так:
<9(Ne)-<?(N, + L) = aL-E(aL)-1-f±;
замечая же, по (2), что
ah — Е(а1) = ф0(1),
мы из этого равенства выводим, что
причем в выражении —тт— должен быть взят один из двух знаков
В частном случае, когда
этю равенство нам дает
?№)-#.+1) = t,(JV,+1-iV,)-^.

— 244 —
Чтобы решить, какой из двух знаков ± должен быть оставлен
в этой формуле, мы замечаем, что первая часть ее представляет
величину положительную, так как в ряду
<Р № ? (Nt), f №, ..., f (N9), f (ЛГ.+1), ...
члены идут уменьшаясь; во второй же части первый член <J>0(N*+i—Л/J,
по (2), меньше единицы, а потому эта формула может иметь место
только при
Irtl
для чего, очевидно, в выражении -у- должно взять нижний знак.
Принимая же этот знак, мы по выше показанной формуле находим
<?№-<?(Na+1) = ^(M,+l-N,). (3)
Откуда видно, что
4>oW,+i-tf.)<¥W,). (4)
С другой стороны, не трудно убедиться, что при
всегда будет иметь место такое неравенство:
Чтобы доказать это, мы положим, что L есть число, для которого такое
неравенство не имеет места, и покажем, что для такого числа
неравенство
L<N,+1-N.
невозможно.
В самом деле, если
<М£)не>«р(Ла
выше найденная формула
4№-v(Ne + L) = h(L )-Щ1
дгожет удовлетворяться только при
А так как выражение cp(Ne + £). по § И, меньше единицы, то это может
иметь место только при нижнем знаке ±. С этим же знаком выше при.
веденная формула дает
¥(ЛО-?(#. + £) = Фо(Д
что предполагает
9{Ne + L)<<p(Na).
Но в предыдущем параграфе видели, что ни одна из величин
<Р(ЛГ.+ 1), ?W, + 2), ..., <p(JVa+1-l)

— 245 —
не может быть меньше <p(Ne), а потому это неравенство невозможно
если сумма Afe-f-Z, приводится к одному из чисел
W.+ L 4 + 2, .... 4+1-1
или, что одно и то же, если
Следовательно, при всех величинах L, хменьших разности Ма+г — Л^,
будем иметь
Фо(Ь)>?(^),
а это, по (4), предполагает
<М£)>Фо(Ли-Ю. (5)
Из этого видно, что в ряду
Фо(1). Фо(2). Фо(3), .... Фо(^.*1-^в), ...
член
будет меньше всех, ему предшествующих, и, следовательно, по выше
сказанному (§ II) о составе ряда
фоО^о), Фо("Ч)> фо(^)> •••
он будет заключаться в этом последнем.
Изображая через
ФоК*)
тот из членов ряда
ФоК>)> Фо(«i)» ФоОя*)*--->
который равняется
*oW,+l-Wa),
мы находим, что
W.+1—W. = !»,,,,
и, по (3),
?W,)-«PW,+1) = <M«J.
Откуда для определения AfJ+1 и <р(Л/0+1) по TV, и <р(Л/"0) получаются
такие формулы:
Что касается выбора в ряду
фоС^о)» фоК), фо('л2), ...
члена
ФоК0)>
служащего, по (6), для определения величин Л^+1 и ?(Л/в+1) по N, и
ср^), то это легко сделать. Так как, по (4), член
Фо(Ч+1—ЛГа) = ФоК«)

— 246 —
не превосходит величины
<р(Ч)>
все же члены ряда
ФоОяо)» Фо("Ч)> ФоО^)» • •>
ему предшествующие, по (5), будут больше <p(Afe), то ясно, что в этом
ряду член
ФоКб)
будет первый и, следовательно, наибольший из членов, не превосходящих
величины cp(iV0).
Рассматривая таким же образом разность
ф(Мр)-ф(Л*, + 1)
при L=Mp+1 — М и при L<17Wp+1 — Mf, мы находим, что
Ф(Мр+1) = ф(Мр)-<р0(я,р
V \
К)' 1
(7)
где <pQ(/zv) есть наибольший из членов
<Ро(Яо)> ?0(%); ?oW» •*•»
не превосходящих величины ф(Л1р).
§IV
На основании показанного в предыдущем параграфе все члены
рядов
<Р(М>), <?№, ?№ ...,
ф(М0), фМ), ф(ЛГа), ...
легко получаются по первым tp(^o)> ФЩ>). Так, делая в формулах (6)
о = 0, 1, 2, ..., I— 1,
мы находим
Л^ЛГо + m^, «РМ^^-фоКо).
Л^2=A/j + mM , <р (N2) = <р (ty) — ф0 (отм ),
что, по исключении А^, Af2, ..., Nx_v <p(ЛГХ), c?(iV2), ..., у(Ыц), нам
дает
¥М=Ф(ЛГо)-фоК. )-ф0(да,!) ФоСда^х). / (8>

— 247 —
откуда получаем
По сказанному в § III, член
будет наибольший из членов
Фо(Мо).фо(лЧ).фоОи*)>---»
не превосходящий <p(NQ), член фо(т^) будет наибольший из этих
членов, не превосходящий ?(Л^1)=(р(Л/0) — <Ь0(т^), член <Ь0(т^) будет
наибольший из этих членов, не превосходящий <p(N2)==<p(jV1) — ф0(/я,ц) =
= <p(No) — ФоС^) — Фо(^ц)> и т. д. Из этого видно, что ряд
Фо (/и J + ф0 (/Ящ) 4 ЬФо К^)'
который, по (9), дает величину <р (Af0) верно до <р (Л/"х), получается, когда
при разложении количества <р (Л^) на сумму членов вида
Фо(Юо)»Фо(лч).Фо ("**).•••
постепенно отделяют от величины <?(Л/0) по возможности большие из
количеств
ФоНо)»Фо(^1)»Фо(^2)>...
или, что одно и то же, когда при разложении y{N0) в ряд
Фо {mj + Фо (^) 4 Ь Фо Кх^)+<Р(^)
имеется в виду, чтобы он, остановленный на каком-либо члене, давал
бы величину меньше <f(NQ) и по возможности близкую к <р(Ло).
Полагая, что такое разложение количества <р(ЛГ0), будучи
продолжено беспредельно, представляет ряд
Фо ("Vo) + фо (тн) + Фо (w J 4 >
мы, на основании выше сказанного, заключаем, что этот ряд, более или
менее продолженный, будет, по (8), служить для определения различных
членов ряда
?(лг1),<р(лу,<Р(лд,...
и чисел
соответствующих этим членам. Так как, по (9), погрешность в величине
■ср (Л/о), получаемой из ряда
фоК0) + Фо(дащ) + Фо(^) + ---,
остановленного на члене
ФоКх^)>

— 248 —
равняется значению <f{Nx)9 то для определения первого члена в ряду
ю (No), <p (Л/i), ср (N2)f cp (Л/з),
не превосходящего данного предела е (как это требуется при решении
нашей задачи), ряд
Фо К,) + Фо (>0 + фо {mj Ч
должен быть продолжен до тех пор, пока он не даст величину <p(/V0)
верно до 8, и если для этого окажется нужным удержать в нем I членов
Фо К0) + Фо (т^) -\ V Фо К>вв1),
первый член в ряду
не превосходящий предела е, по (8), представится так:
¥ (Л/) = ср (М>) — ф (mj — фо (/я*) фо KX<J,
и число М ему соответствующее, будет иметь такую величину:
N^No + m^ + m^ b"V.r
В этих выражениях величины ®{N) и числа N могут быть равные
члены; чтобы найти, к чему приведутся эти выражения по соединении
в них членов равных, мы замечаем, что в ряду
Фо (mj + Фо (Щн) + Фо KJ -\ ,
по выше сказанному об его составе, каждый член будет не менее
следующего за ним, и он вообще приведется к
^оФо (Щ) + ^Фо (Щ) + *2Фо (Щ) Н Ь kAo Ю Н >
если мы в нем соединим равные члены, изображая через
^0* 1> iS» • • • ' ™i> • • •
число членов, равных
Фо(^о), ф0(^1)» Фо(^2)».-0 Фо(^), ,.-
Сравнивая же ряд
Фо(^ + Фо(^) + ФоКЛ + '-'->
продолженный беспредельно, с рядом
Фо (тн) + фо (т^ +••*•+ фо (m^f
остановленном на члене фоС^^,)» мы замечаем, что здесь и там все
члены
Фо(/Яо)> фоС^), $0{щ), •••
до членов, равных
ФоКх-i)'

— 249 —
будут содержаться поровну. Членов же, равных
Ф° К^)'
в ряду
фо (raj + с1>0 (т^) + ф0 (//гJ H ,
продолженном беспредельно, будет вообще больше на число /, есл^
через / означим, сколько в ряду
Що, т^ т^у ...
находится членов, следующих за членом гп и имеющих одну с ним-
величину.
Вследствие этого ряд
ф> KJ+Фо (тъ)+Фо(^1ч,) Н— >
остановленный на члене
приведется к сумме
*офо (Щ) + &1Ф0 (щ) Н \- (kn^ — I) фо Кх-Л
и, соответственно с этим, сумма чисел
л*ю+л1|чЧ h^.j»
по соединении в ней членов равных, представится так:
km + k1m1 -] f- (kH_t — I) т^_г.
Внося же эти величины сумм
Фо КО + Фо ("U H Ь Фо (л^),
л^+л^еЧ h^el
в выше найденные выражения величины <р (TV) и числа N, мы получаем
ср(Л9 = <р(А/о) — £0фоЮ — MiK) ^-Г^Кы)»
Л^Л/о + ^/Ио + ^Н И*!*.!—^а-г
Здесь /, как видно по значению этого числа, будет иметь одну из таких
величин:
(J> I, Z, •••» Я *>
числа же
/Cq, #1, Лр . . . у
как не трудно показать, получатся в частном при делении c?(Af0) на
(10)

— 250 —
ф0(//10), первого остатка на §о(щ)> второго остатка на феМ» и т. д.
В самом деле, по выше сказанному относительно рядов
фо {Щь) -Н> (т^ + Ф КЛ Л »
^офо {Щ) + ^Фо (щ) + А2фо (Щ) -\
видно, что здесь после kQ членов, равных ф0(^о)> К членов, равных
ф0(т1), ..., kt членов, равных ф0(/^), не будет больше членов,
равных фоС/Л/)* только в том случае, когда
<р (N0) — &0фо (т0) — ^ф0 (щ) А/фо (Щ) < Фо ("*<);
а так как эти ряды, остановленные на каком-либо члене, дают
величину меньше <p(N0)> то
<р {N0) — А0ф0 (то) — ^Фо (Щ) kt ф0 [т1 ) > 0.
Эти же неравенства при
г = 0, 1, 2,...
нам дают
<p(iV0) — *0фо(^о)<ФоЮ и >0,
9(4) — Аофо(^о) — Мо^ХФоЮ и >0,
? (N0) — йофо (™о) — *хфо {Щ) — *гФо {Щ) < Фо («в) и > 0
-и т. д. Откуда ясно, что &0 есть частное от деления <pC/V0) на ф0(/я0),
и при этом делении остаток равен <p(N0) — &офо(то)> что кг есть частное
от деления этого остатка на ф0(#ч), и <p(N0)— *офо(^а) — &$о(щ) есть
остаток этого деления, что £2 есть частное от деления этого остатка
**а фо(/иа)> и т. д.
Что касается выбора члена
ФоКХв1)
и числа /, при которых формулы (10) дают первый член ряда
9(4). <р(Лд, <p(yv2), -••»
не превосходящий данного предела е, то его легко сделать. Мы видели
что выражение
*оФо (™о) + *хфо (Щ) Н Ь (А^.! — 0 Фо О»^)
получается из суммы
Фо KJ + фо (/я*) Н Ь Фо (^.х)
через соединение в ней членов равных; сумма же эта представляет ряд
Фо (mj + фо {т^) -f фо (тJ -{
остановленный на первом члене, с которым он дает величину <р (7V0) верно
до е. Откуда ясно, что член
Фо (%J
в ряду
Фо (го*) -Ь ФЛ^)+ Фо К*) Ч »

— 251 —
и, следовательно, член
Vi**Kl-i)
в ряду
Мо (щ) + ЗДо (Щ) + А2фо (т2) -|
представляют первые члены, с которыми эти ряды дают величину
<?(N0) верно до s, и что / есть наибольшее из чисел
U, 1, z, •.. , Я^ j I*
с которым выражение
£офо (/По) + ЭДо Оюх) + ... + (А^в1 — /) ф0 К^)
дает величину ср (Л^0) верно до е.
Рассматривая подобным образом определение членов
ф(Л*х), <|>(М2), ф(Лад,...,
мы находим, что они определятся разложением величины ф(М0) в ряд
где k0, kv &2> • • • получаются в частном при делении ty(M0) на <ро(Ло)>
первого остатка на ^(п^, второго остатка на <?0{п2) и т. д.
Если этот ряд для выражения величины ф(Л40) верно до е должен
быть остановлен на члене
и / есть наибольшее из чисел
и, 1, Му • •., /2у *»
с которым сумма
£о¥о (ЛЬ) + *i?o (ni) Н 1- (^p_j — /) ФоКр.х)
дает ф(ЛТ0) веРн0 Д° s> то Для определения первого члена в ряду
ф(М0), ${Мг), ф(ЛГ2), ...,
не превосходящего предела е, и числа М, ему соответствующего,
получаются такие формулы:
ф (Л*) = ф (ЛГ0) — А0?о (я0) — ^?0 («i) (*, 5 — /) ?о K^j),
М=ЛТ0-ИоЛ0 + МН Ь(^— *Кв-Г
Этим вопрос наш вполне решается; остается только показать вычисление
различных величин, входящих в формулы (10) и (11).
§V
По § II ряд
#0> ^1> ^2» ^8> * ' •
будет состоять из чисел
(И)

— 252 —
знаменателей тех подходящих и промежуточных дробей количества а,
которых величина больше а; ряд же
9o(«o)»?e(«i)»?e(«2)»---
будет состоять из значения разности у — ах при х,у, равных членам
этих дробей, а именно:
при
у = Рг,Р\9... , Р<«-*К Р»Р'ь, ...
Полагая для сокращения
P,-aQ€=*(-lYDg9 \ (т
pa — aQp=-(-lYDp f UZj
(количества De и D^\ по свойству дробей, подходящих и
промежуточных, будут всегда положительные), мы, по выше сказанному, заключаем*
что ряд
¥o(*o)»?o(*i)»<PoO*s)» •••
состоит из таких членов:
D\,D],...,iyx«-x\D2D'v...,
где, вообще,
представляет значение выражения
?e(Q?).
или, что одно и то же, величину разности у — ах при
По равенствам
v )
Р.+х-Р.Я.+Р^ Р?=Ре/+Ре-1>
(13)
связывающим между собою члены подходящих и промежуточных дробей,
мы находим, что между величинами
DvDvD\,D\9...tD^-l\D29...
существует такая связь:
D^^D^-fD, ) (14)
Делая в первом из этих равенств е = 1 и замечая, что
А>— Ро — aQo=l— a-0 = l;

— 253 —
мы находим
D2=l-qtDv
откуда получаем
£>а + ?,£), = 1. (15)
Равенства же (14), по исключении из них D^,, нам дают
D?=De+, + (qe-f)Dt. (16)
Приступая к вычислению ряда
К ?о {п0) + кг ?0 (/*i) + К ?о (л«) Л >
мы замечаем, что он, по вставке в него выше показанных значений
принимает такой вид:
ад + А^+.-.+А^^^
где, по § IV, коэффициенты
™0> ^1> ^2>
получатся в частном при делении ф(Л10) на ср0(Ло) —^l» первого
остатка на <p0(#1) = £)j, второго остатка на ср0(я2) = /У(\ и т.д. Замечая же,
что, по § II, делимое ф (М0) меньше единицы, что первый остаток меньше
первого делителя D\ и т. д., мы заключаем, что
и, следовательно,
1 - 2Z>J' Z)',— 2D[ D^ - 2)- 2D!(^ -1}
^о 2 <1 2^/ , «1 2 <С. 2J7 ' • • • »% — 2 2 <С ^ - п *
Внося сюда, по (15), сумму £>2 + g^Z^ на место 1 и подставляя
выражения величин
по (16), мы, после приведения, имеем
ъ ?' Д» +(ft-2) Pi
V 2<- Я. + (*1-2)/у
А^-2 —2< — Di + Dl-
Откуда видно, что все коэффициенты

— 254 —
меньше 2; а так как эти коэффициенты (§ IV) суть числа целые
положительные, то они могут иметь только одно из двух значений: 0 или L
Изображая через kv первый из коэффициентов
Kq> *р &2> • • •» ™q\ — 2,
не равный нулю, и замечая, что в этом предположении
мы, на основании выше сказанного об определении этих коэффициентов»
заключаем, что частные при делении ф (Л40) на
должны быть равны нулю, а при делении на
в частном должна получиться единица, а это может иметь место толька
при
сЬ(Л*о)<£>^, Ф (Л*0) ^Df + Ъ.
Внося же сюда значение D^\ D$+*\ no (16), мы находим
*(Mo)<Dt + (qi — g)D19
♦ (Af0)>£). + (^-^-l)Af
что дает нам
(17>
^(M0)-(Dl+D2)<C(ql-g-l)Dlt \
$(M0)-(D1^D2)^(ql-g-2)D1. ]
Так как g у нас означает одно из чисел
0,1,2,3,...,^ — 2,
то последнее неравенство предполагает
ф(Л*о)>А + /)2.
Это неравенство должно.-иметь место всякий раз, когда в ряду
коэффициентов
^©> ^1> ^2> • • • > Л^г, — 2
есть коэффициент £г, отличный от нуля. Следовательно, если условие
*(A*e)>A+£>t
не выполняется, все коэффициенты
/fy, /?2» ^2э • • • > Kqt —■ 2

— 255 —
равны нулю. При выполнении же этого условия, мы, по (17), легко
найдем значение q. Для этого мы замечаем, что, по (17), отношение
содержится между двумя числами
qi—g—l, qi—g—%
а потому меньшее из этих чисел, qx — g—2, будет представлять
частное от деления
ф(Л*6)-(А + А)
на Dx. Изображая это частное через а19 мы, на основании выше
сказанного, заключаем, что
?i —£—2 = ^;
откуда для определения величины g имеем
g^Qx — <*i — 2.
Так определится g, значок первого из коэффициентов
^0> &\у ™2' • • " » ^<7i — 2»
не обращающегося в 0, а равного 1. Что касается остальных
то они, как не трудно убедиться, все приводятся к нулю.
В самом деле, по выше сказанному об определении коэффициентов
в ряду
k0D[ +ВД + • • - + ^-2^-l> + V-iA+ •' •>
при
&0 = 0, А,=0, ..., к^г=09 kg=l,
коэффициенты
kg+V kg+2> • • • » &qx _ 2
будут равны частным от деления разности ф(Л10)— D^+!> на D<f+2\
первого остатка на Z)^ + 3), второго остатка на Z)^ + 4) и т. д. Но при
всех этих делениях частное будет нуль, ибо разность
гю (17), меньше
A + A + (¥i-*-l)A-^+,),
а это, по внесении величины Z)<f+ 1) на основании (16), приводится kD19.
что, по (16), меньше всех- делителей

— 256 —
Из этого видно, что в ряду
ад + адч h*rf-^""!)+^-i^+"-
шш совсем не будет членов вида
k(>DlvklD'if...,kqi-.2D[*-1\
.или будет только один такой член, и коэффициент его будет равняться 1
Первое будет иметь место в том случае, когда
ф(Л!0)<А-г£>,;
второе, когда
я в последнем из этих случаев такой член равен
где aj есть частное от деления разности
Ф(лд-(А+£>2)
на Dv Вследствие этого вся часть этого ряда до члена kqi^.iD2
приведется или к 0, или к jD{*»-«*-!) и, следовательно, вообще
представится формулою
Цр1 Яр.-«.-D
с одним из двух знаков ±. Верхний знак, с которым это выражение
приводится к
будет иметь место при
нижний знак, с которым это выражение обращается в нуль, будет иметь
место при
ФМКА+я..
Таким образом, мы находим, что ряд наш приведется к следующему
и коэффициент /^-i, по § IV, будет равняться частному от деления
остатка
на £)2. Изображая это частное через а2, мы будем иметь

— 257 —
Переходя затем к определению следующих коэффициентов
Kqi» foqi + 1 » • • • »
мы замечаем, что они найдутся подобно первым
^0» ^1» ^2» • • * 9 *lq\ —2
и что в.се члены вида
приведутся к
L=J £)(«,-«,-1),
Z s
где должно оставить нижний или верхний знак, смотря по тому, будет
ли разность
меньше D3 -|- £>4 или нет. Число же ав будет частное от деления
ф (Ж0) - i-f-1 IX* - * -1) - а2 А - (D, + D4)
на Z)s.
Продолжая таким образом, мы находим для определения
рассматриваемого нами ряда следующую формулу;
Щ1 £(*_*-!) + аго2 +1*1 Dp -**-1) + a4D4 + • • • (18)
§ VI
Числа
^2» ^4> • • •»
стоящие в ряду (18) коэффициентами при
£>2,D4, ...,
будут получаться, по выше сказанному, в частном при делении разности
Ф(м0)-ЦМа(*-*'-'>
на /)2, разности
ф (ЛГ 0) - Ц=^ D,<* - * - П_ a2Z)2 - Lfl D8<" -« - *>
на Z)4, и т. д. А потому, вообще, будут иметь место такие неравенства:
О < ф (М0) — Ц~ DJ* -*- *>— a2D2-
- Lfi Dt<*-<.-'> a2XZ)2X<D2„ (19)
17 Чебышев, том I

— 258 —
которые показывают, что ряд (18), остановленный на члене
дает величину, не превосходящую ф (М0) и отличающуюся от ф (М0)
менее чем на D2X.
Что касается величины, получаемой из этого ряда, когда он
остановлен на члене вида
1:2:1
— * Г)(Я2Х -f 1 - «2Х 4- 1 — !)
2 ^2X-fl
то при этом представляются два случая, которые мы рассмотрим один
за другим.
Случай 1. Член -~^D^ + * """^-н ~1) не сокращается.
Это случай, когда из двух знаков ± берется верхний; тогда этот
член приводится к
£)(<72\ + l — «2X + 1 —"*),
2X4-1
и число а2х+1, как видели, получится в частном при делении разности
lztl
2
д(,3-аз-1) a2xD2x-(D2x+1 + £>2X+2)
на Z)2X4.!, что предполагает такие неравенства:
0< ф (Af#) — ^ D,<* - * - *>_ а2Д>
а2\&2\ С^2\ + 1 +-О2Х+2) а2Х+1^2Х + 1 <C"^2X + 1'
А так как, по (16),
D<^i-«2x + i-t) = D2X+2 + (a2x+14-l)Z)2x+1,
то это дает нам
0<ф(М0) —Цр* £>,(*-«*-*)_
-ецД, attDn-Z)g^t1-^ + i-,)<DA+lf (20)
откуда видно, что ряд (18), остановленный на члене
даст величину, не превосходящую ф (М0) и отличающуюся от нее менее
чем на Ц&+1, если только этот член сам собою не сокращается.
Случай 2. Член L^ jq^+i-^ + i-i) сокращается.

— 259 —
Это случается, когда здесь из двух знаков ± берется нижний, а это,
как видели, будет иметь место при неравенстве
<b(Mu)-]-~!.Dli9'-"-i)-a2D2 aA<Ax+I + /W (21)
Это же неравенство, вместе с неравенством (19), показывает, что ряд (18),
остановленный на члене
1 — 1 ntesx. -h i — «а. +1 —D
дает величину, не превосходящую ф(Л40) и отличающуюся от 6 (УИо)
менее чем на £2x+i +Агх+2> если этот член оказывается равным нулю.
На основании выведенных нами неравенств (19), (20), (21) не трудно
показать, что в ряду (18) и числа а^а^а^у ... и множители вида -у-
имеют такие значения, при которых этот ряд, будучи остановлен на
каком-либо члене, дает возможно большую величину, не превосходящую
<Ь(М0). В самом деле, по (19) видно прямо, что этот ряд, остановленный
на члене
дал бы величину, превосходящую ф (Af0), если бы коэффициент а^
увеличен был хотя бы на одну единицу. Также, замечая по (16), что
увеличение числа а2х+1 на одну единицу влечет увеличение величины
^^.t1""^4" 1""1> на A» + i> мы> по (20)> убеждаемся, что при большем
числе a2X+i ряд (18), остановленный на члене
1 — 1 Л^2Х 4-1 ~ а2Х + 1 — *)
2 ^2X4-1 >
с множителем —^— = 1 дал бы величину больше ф (М0)*
тт 1 Zt 1
Что касается случая, когда в этом члене множитель -у-
приводится к 0, а не 1, то это, как видели, имеет место при неравенстве (21).
Вследствие же этого неравенства ряд (18), остановленный на члене
1 it: 1
дал бы величину больше ф(Л40), если бы в этом члене множитель ~2—
взят был равным 1, ибо с таким значением множителя -=- этот член
приводится к
что, по (16), не меньше Огх+г+Ах+Р а> по (21)> сумма
будет превосходить величину
ф(^о).
17*

— 260 —
Из этого видно, что значения чисел
ava2, а3, ..
и множителей вида
1 :±:1
2
в ряду (18) определяются тем, что этот ряд, остановленный на каком-
либо члене, дает по возможности большую величину, не превосходящую
Не трудно также показать, что в этом ряду коэффициент a2i в члене
остается не более <72/+1, если член, ему предшествующий,
не сокращается; в противном случае коэффициент а21 не превосходит
числа q2i.
В самом деле, коэффициент а2/, как видели, получается при делении
разности
Ф (М о) — Щг- D^ ~ttl ~!)— a2Z)2 —
Г) (9. - «,- 1) 1 ± * Л(^"~ J ~ a2/ - 1 - !)
1-/Я О *-/9./—.1
2 ^з 2 *^2/—1
на D2;. Но эта разность, по (21), будет меньше
D2i^+D2i,
если последний член сокращается, и, по (20), меньше
если этот член не сокращается. А потому в первом случае
и во втором
Внеся же в эти неравенства, по (14), сумму D2ul-\-q2iD2i вместо D2/_„
мы находим, что они принимают такой вид:
п ^ ^2/4-1 ~f~ У2/^2/
^2?+1
откуда выходит
*>«+i

— 261 —
А так как D2ul меньше D.t, то
вследствие чего, при а2/, q2i целых, первое неравенство не может
удовлетвориться, если число а2/ превосходит число qrt-\-\\ второе же
предполагает, что число а2/ не превосходит q2i.
Определяя по формулам §§ III и V значение членов ряда
*o^o(^o) + *i^o(^i) + *2*o(^)+---.
мы находим, что он представится следующею формулою:
& А+Цг А№ -?* -1)+Рз^з + • • •.
где $v р2, Рз» * • • числа целые положительные. Повторяя же над этим
рядом все те суждения, которые делали мы относительно ряда (18), мы
приходим к таким заключениям: 1) числа $v Рз» Р»» - -. и значение мно-
ldtl
жителей вида —^— определяются тем, что этот ряд, остановленный на
каком-либо члене, дает величину по возможности большую, не
превосходящую ? (No); 2) коэффициент fiw+1 в члене Pw+1jD2f+i не
превосходит ^2/+1-f-1, если предшествующий член—^Ц,/^-^'-1* сокращается;
в противном случае он не может превосходить q2ux] 3) этот ряд,
остановленный на члене $2X+\D2X+V Дает величину, не превосходящую <р(Л/0)
и отличающуюся от y(N0) менее чем на D2l+1'f остановленный же на
члене ~=—ЛЙ2Х""?2Х-1) дает величину, не превосходящую <р(М>) и
отличающуюся от нее менее чем на D2x-\-D1>l+l и D2X, смотря по тому,
сокращается ли этот .член или нет.
§ VII
Показавши вычисление рядов
*о<Ро («о) + *i<Po (*i) + *#о («я) + • * •.
М>о (**<>) + АЛ ("Ч) + Агфо (^2) Ч .
мы переходим теперь к употреблению их для определения, на основании
формул § IV, первого члена в рядах
не превосходящего данного предела s. Мы видели (§ IV), что такой член
вида ф(Ж) и соответствующее ему число М определяются формулами:
ф(М) = ф(М0) — *o?oW — *i<Po(*i) (kp_i—*)¥о(я*р-1)
Af = Af0 + Mo + Mi+-" +(4.i-0«vp.i,

— 262 —
если
есть первый член ряда
КЪ (л0) + А, Ъ Oi) + *»<Ро (гк) Ч •
на котором он, будучи остановлен, дает величину ф (М0) верно до е, и /
есть наибольшее из чисел
U, 1,-2,0, ..., Л, _ j 1,
с которым выражение
^Ро («о) + к1% ("i) -\ Ь (Ч -1 ~~ ^ ?<> К - О
дает величину ф {MQ) верно до е. Вычисляя же этот ряд, мы нашли (§ V),
что он представляется такою формулою:
L|i D /* - - " " -f афг + ifi D,««—- » +' •' •
где, по нашему знакоположению (§ V),
^1(ft-4,-l)_(p0(Q1(ft-«.-l)),
£>2 =<P0(Q«).
Откуда видно, что выше показанные выражения величин <Ь(М) и М
приведутся или к таким;
ф (Af) = ф(М4) — l-^J-D1^~"-» — a2D2 — -f* Z),<ft--i-W
••• -1?1^т,-"2'-1-1)-К-/)А,
Ж = Af0 + Ifl Q^ft--!) + otjQj + 1=1 Qt(ft—-i) + ...
... +lfiQ»»T»-«-«-»+(elf-/)Qfl>
или к таким:
${M) = $(M0)-lf±Q1(*-*-i) + <hDt--1-f±D,<*-*-»
..._(lfl-/)D}i71"4,-,"U.
^=iMe + lfl Q1(*.-«.-« + o1Q,+ifl £),(*-*-«+...
смотря по тому, будет ли член

— 263 —
или член
первым в ряду
на котором останавливаясь, Мы получаем величину ф(Л10), верную до е.
Но так как в последнем случае, по выше сказанному, число / должно
быть меньше коэффициента -=-, то оно, в этом случае, не может иметь
другого значения кроме 0, а при /=0 последние выражения ty(M) и М
дают то же, что первые при /, равном (цг Следовательно, первые
выражения ф(Л1) и М будут обнимать оба случая, если в них допустим
значения /= а2/, и тогда можно будет, не останавливаясь на членах вида
1^1 ЫЩ — 1 — а24 — 1 —1>
продолжать ряд до члена вида
с которым он дает величину $(М0) верно до е.
Вследствие этого для определения велдаин ф(/И) и Л! мы будем
иметь одну только систему формул:
ф (Ж) = ф (М0) — Ц^сл-.,-!) _<фг — Щ1 Df(ft-*-i)
ifiz>i5lT1"l*/--1""l)-(a«-/)^
•••+LfiQfc1""a2i-1"1) + (^-0Q^
изображая через
первый член вида
a2Z>2, a4^4'
останавливая на котором ряд
получаем величину ф (Л*0) верную до е, и через / наибольшее из чисел
0,1,2, о, .. •> #2р
с которым выражение
дает ф (М0) верно до е.

— 264 —
Число My таким образом находимое, по § II, будет наименьшая
величина х, с которою разность у— ах, оставаясь меньше Ь> может
представить Ъ верно до е; величина же ф (М) по §§ I и II будет равна
значению
— (у — ах — Ь)9 ■
наиближе подходящему к 0 при х=М и у — ах<^Ь.
Чтобы найти величину у, соответствующую
х=М,
— {у — ах — Ь) = $(М)>
мы замечаем, что эти равенства, по исключении х, нам дают
y=b — ty(M)-\-aM.
Внося же сюда выше найденные значения М и ф(Ж) и заменяя, по (12),
величины
д/л-ч-п, Д>, DJ*—-*\DV...
через
Pj w«-«i-i> _ aQJ**—*-1*, f2 — ^Q2> P8<^-a«-1> — aQ8<*—- *\ Р4 — aQ4,
мы, по приведении, находим
j,= & + aAl0 —ф(>И0) + ^Р^
Для определения величины ф(/И0) и числа УИ0 мы замечаем, что,
по § II, ряд
ф(0),ф(1),ф(2), ...
и ряд
фслу.фслифои,),...
будут начинаться одним и тем же членом, а потому
уИ0 = 0,
ф(ЛГ,) = ф(0);
по формулам же (1)
ф(0) = & — Ей;
следовательно,
<l>(Af0)=6 —Е6<
Внося эти величины Af0 и ф(Ж0) в выше найденные выражения
х=М ну, мы получаем
* = ИМ Q,(ft--4 + «2Q2 + ^ Q,<*--» -f • • •
• • • + ЦМ Qto——l) + («а. - 0 Q*.
+1!-1 P^--^-1) + (a2/ - /) P2r.

— 265 —
Эти выражения х, у определяют наименьшие целые величины х, у, с
которыми разность у — ах, оставаясь меньше Ь, дает Ь верно до е.
Сличая эти выражения х, у с выражением <b(Af0) = 6 — Eb
формулою
if1^-a-1) + a2D2-h^fiD^-^-«4 1-(o2t - l)D2,
и замечая, что по (16) и (13),
^-*-1)=-Л-яЛ + А!, P|*.-°.-i> = -P8_aaP8-f P4, ....
мы на основании выше сказанного заключаем, что задача наша об
определении наименьших чисел х9 у, с которыми разность^ — ах,
оставаясь меньше Ь, дает b верно до е, разрешается следующим образом;
Разлагаем величину а в непрерывную дробь
находим подходящие дроби
й значение количеств
определяемых так:
DQ = l,D1 = a — q0,...,De+l = De_1 — Deqe.
По этим количествам разлагаем величину b — Eb в ряд
где целые положительные числа av а2, a8, .. • и знаки в множи-
1 -*-1
телях вида "Г выбираются так, чтобы этогН ряд, остановленный
на каком-либо члене, давал величину, не превосходящую b — Eb, но
по возможности* большую. По такому разложению величины b—Eb
-наименьшие числа х, у, с которыми разность у — ах, оставаясь
меньше Ъ, дает b верно до г, определяются так.
Останавливаем ряд
^(Dt+a^ + D^+a.D. + lfliD. + a^ + D,)-^^^
на первом члене вида a2D& a4D4, ..., с которым этот ряд дает
величину b — Eb верно до в, и в этом выражении b — Eb последний^
коэффициент настолько приближаем к нулю, насколько это
возможно сделать, оопщрляя его числом целым и не увеличивая

— 266 —
погрешности выражения b — Eb за предел s. Заменяя в полученном
таким образом приближенном выражении величины b — Eb
количества
'-'V *-*Ъ* ^3> ^4» • • •
числами
-Qv +Q» -Qs> +Q4.-.-.
мы находим величину искомого х\ а заменяя те же количества
числами
* 1» I ' 2» *Z* ~~Р* 4> •••
и прибавляя член Eb, мы находим у.
Точно так же, по разложении величины <t(NQ) в ряд
p1A+ifi^-Ps-1)+ &.£>*+....
мы находим решение нашей задачи для случая
у — ах^>Ь.
При этом значение количеств
■^Л» ^2> ^8» * * •
и чисел
* 1»* 2» *8> • • •>
Ур >С2» Уз» * " '
остается то же, а вместо
$(M0) = b-Eb,
мы находим, по § II,
В этом случае наименьшие числа л, у, с которыми разность у—ах
дает b верно до е, определяются таким образом:
Останавливаем ряд
М), + ^ (Я,+ РА + Я.) + р3Д,+ • • •
ля первом члене вида ^1D1, $ZDV..., с которым получается из этого
ряда величина Eb -J-1 — b, верная до г, и в этом выражении
количества Eb -f-1 — b, оставляя последний коэффициент числом целым,
настолько приближаем его к нулю, насколько это возможно
сделать, не увеличивая погрешности выражения ЕЬ-\-\—Ь за предел е.
Заменяя в полученном таким образом приближенном
выражении Eb -}-1 — Ъ количества
*-)\у *-)%> ^3» -^4»
числами
+ QV — Q» + Qv — Qi>.-->
мы находим величину искоцрго х> а заменяя те же количества
числами
и прибавляя члены Eb-\-l, мы находим величину у.

— 267 —
§ VIII
На основании выведенных нами формул не трудно показать, что
при определении величин х, у, с которыми разность у— ах> оставаясь
и и 2
менее о, дает о верно до е0, получают х меньше g-f если е0 не
меньше D2r
В самом деле, по (19), разность
$(M0)-(^&f-+-* + aJ)t + .-- +
+Щ1 Dfr-r***—1' + «2 А.)
есть величина положительная, меньше Dw и, следовательно, в
сделанном предположении, меньше е0. Принимая же эту разность за
величину s и отыскивая по выше сказанному наименьшие значения х, у, при
которых выражение у — ах, оставаясь меньше Ь, представляет Ь верно
до s, мы замечаем, что в этом случае ряд
Щ± £К*-*>-1> + a2D2 + Mf-1 D£.-.-i> + • • •
придется остановить на члене
diiDiiy
так как при этом получается величина, разнящаяся с ф (MQ) ровно на е.
Переходя к определению числа Д наибольшего из чисел
0,1,2,3, ..., a,2t
с которым выражение
1*1/)(*-■.-и -fa2Z)2 + 1=1£^.-*-*Ч |-
Ц- Щ1 л^-^^i) + (а2. _ /) в2
дает ведич/ину ф(М0) верно до е, мы находим, что /=0, ибо при такой
величине / это выражение, как видели, дает величину меньшую ф(Л4в)
ровно на е. На основании этого, по формулам^ VIII, для определения
х, у в настоящем случае находим
• • • + Щ1 Qt-~l ""*•—J) + а>&
у = ЕЬ 4- ifi Р<*—-Ч + аЛ + Ц^ Р^-ч-D + • •
~2
\
+Щ^ р&-?—*-*-1)+а*Ръ.
(22)

— 268 —
Но, по доказанному в § VI относительно коэффициентов ряда
видно, что в этом выражении х сумма коэффициентов при Qjtfi-*-1) и
Q2 не превзойдет #2-|-1, сумма коэффициентов при Q^»-"»-1) и Q4 не
превзойдет <?4+1, .-., сумма коэффициентов при Qig^-^i-i-D и Q2; не
превзойдет #2*+Ь По формулам же (13) мы находим, что
Вследствие этого выше найденная величина х не может превосходить
суммы
(<72+ 1) Q2+'(?4+ 1) Q4+ • - • +(*2, + 1) Q*.
А так как числа #2, #4, ..., qit не менее 1, то эта сумма должна быть
не более
2<72Q2 + 2<74Q4H b2<72,Q2z,
и, следовательно,
По формулам же (13) мы находим
Q2/+1 = Q2/^2j + Q2z~l,
что, по исключении Q8, Q6,..., Q21-1, нам дает
Q2l+i = Q2?2 -j- Q4?4 4 V Qaflto + Qt.
Замечая, что (§ II) число Qx равно единице, мы на основании этого
заключаем, что
Q2r+i > Q& -f Q4?4 H f- Q2,^.
Вследствие этого выше выведенное неравенстю относительно х нам
дает
x<^2Q2t+\.
Но, по свойству Подходящих дробей
Qo' Qi' "" <?„' Q^? "•,

— 269 —
получаемых (§ II) разложением а в непрерывную дробь, разность
Рь— aQ2l^D2i,
как известно, остается меньше ^—; а потому
вследствие же этого выше найденное неравенство нам дает
что и следовало доказать.
По доказанному сейчас неравенству
где
£>2,>е
и е есть степень точности, с которою разность
у— ах
будет представлять количество Ъу видно, что при величинах х, у,
определяемых формулою (22), разность
у — ах,
оставаясь меньше &, представит эту величину верно до —. Замечая же,
что такие системы величин л, уу по выше сказанному, получаются
всякий раз, когда ряд
i|i £)^-«.-i) + a2D2 + Ц^ D|f.-s-u -f...
останавливают на каком-либо из членов
a2D2, a^Dp ...
и за / принимают нуль, мы заключаем, что таких систем найдется
бесконечное множество, если только этот ряд продолжается беспредельно.
Ряд же этот, очевидно, может кончиться на каком-либо члене только
в одном из двух случаев: или когда величины
Л' /У лог»-*) Л ГУ
определяемые разложением а в непрерывную дробь, представляются
в ограниченном числе, или, когда коэффициенты ряда

— 270 —
начиная с какого-нибудь члена, все обращаются в 0. Первое, по § V,
будет иметь место, когда непрерывная дробь, происходящая от
разложения количества а, кончается и, следовательно, когда это количество
соизмеримо. Во втором случае, по § VI, ряд
продолженный до членов, обращающихся в нуль, даст величину
верно до последнего из количеств
DVD2,DB, ...
и, следовательно, даст величину ф (М0) совершенно точную, если
непрерывная дробь, происходящая от разложения а, бесконечна; тогда, как
известно, величины
*-^v ^чу L^b*'' •
имеют пределом нуль. Определяя по формулам § VII значения х, у,
соответствующие такой величине ф (MQ), мы найдем систему величин л,
у, с которыми разность у — ах представит b совершенно верно.
Не трудно показать, что в этом последнем случае, при а
несоизмеримом, также найдется бесконечное множество величин х, у,, с которыми
разность
у — ах,
оставаясь меньше Ь, дает величину b верно до —.
В самом деле, пусть будет
х — х19 у=уг
система величин х, у, с которыми разность у — ах представляет
количество b совершенно верно. В ряду подходящих дробей а
^о Ек Ei Е*ь ^-ы
<?•' <?i' <V ••" <?»' QtK+i9 "'
при а несоизмеримом найдется бесконечное множество дробей с
знаменателем больше х±, которые дают величину меньше а. Если же
есть одна из таких дробей, то, как не трудно убедиться, полагая
*= *i + Qzx+v У=Уг + P^v
мы найдем значения х, у, с которыми разность
у—ах,

— 271 —
оставаясь меньше b, даст величину b верно до —. Чтобы показать это,
мы замечаем, что выражение
у — ах—Ьу
по внесении в него выше показанных величин х% уу приводится к
следующему:
yl—ax1 — b+P2x+l — aQ2My
где
y1 — axv
по положению, равно bt a
по свойству подходящих дробей, меньше 0 и разнится с нулем менее
чем на q . Откуда видно, что при рассматриваемых величинах х, у
разность^ — аХу оставаясь меньше*by дает величину Ъ верно до -~—
V2X4-1
и, следовател
находим, что
о
и, следовательно, верно до —, ибо при x=x1-\-QVk+1 и Q2x+i> *i мы
1 <-2
Из этого видно, что во всяком случае, при а несоизмеримом,
найдется бесконечное множество значений х, уу с которыми разность у—аху
оставаясь меньше Ь, дает величину b верно до — . Рассматривая таким
же образом значения ху уу при которых разность у — ах больше Ьу мы
приходим к тому же заключению и это дает нам такую теорему:
Теорема. Если а количество несоизмеримое, найдется
бесконечное множество таких целых чисел х, у, при которых
выражение у — ах будет разниться с каким-либо данным количеством b
менее чем на — . Одни из этих величин х,у будут давать у—ах>ь,
другие у — ах<СЬ.
Ограничиваясь случаем, когда у — ах<СЬ, и полагая
у — ах—b— — dy
находим
ах -f- b =y -\- d.
По этой формуле члены арифметической прогрессии
by b-\-a, £ + 2а,...
будут выражаться суммою целого числа у и количества d,
представляющего величину разности выражения у — ах и Ь. А так как, по
доказанному нами, при а несоизмеримом найдется бесконечное множество
чисел х, у у для которых разность d=b — (у — ах) больше нуля и
меньше —, то нри таком а в прогрессии арифметической
X
by b~\~a, fc + 2a,...

— 272 —
найдется бесконечное множество членов, которых величина ах-\~Ь рав-
2
няется целому числу у с дробью меньше j, что дает нам такую
теорему:
Теорема. Если разность арифметической прогрессии есть
число несоизмеримое, между ее членами найдется бесконечное
множество таких, которых дробная часть менее 2, разделенного на
число предшествующих членов.
В заключение нашего мемуара мы покажем, как найдется
бесконечное множество целых чисел х, у, при которых разность
A (lx-f- ту + #)2 — А\ {hx + т\У + #i)2
остается между 0 и 4 (1тх — 1хт) УAAV если ААХ не есть точный
квадрат и 1тх—1гт не =0.
Разлагая выражение
А (1х-\-ту + п)2 — Аг (/jJt-f-тху + щ)2
на линейные множители, мы находим, что оно может быть представлено
в таком виде:
S{y — ax— Р)(у — а1х— рх),
где
S=m*A — m\Av
txmxAi — ImA , lxm — 1тг
а
Vaav
т2А — т\ Ах т2А — п^Ах
lxmxAx — ImA lxm — lmx
тЬА — т\Ах гФА — т\Ах
р щтп^А^—птпА | п\Ш — птп\ -\/ л л'
п nxm-^x — шпА пхт— шпх л/ л л
1~ т2А — т\Ах т2А — т\Аг х'
Так как, по положению, ААХ не точный квадрат и 1^т — 1тх не =0,
количество а будет несоизмеримое, а в этом случае, как видели,
найдется бесконечное множество целых чисел х, у, с которыми раз-
ность (у — ах) — р будет содержаться между 0 и ~ и для которых,
следовательно, будет существовать уравнение
у — ах— Р = т,
где б — количество положительное меньшее 1.
Внося отсюда величину у в выражение
S(y — ax— §){у — ахх— ^),
мы находим, что оно приводится к следующему:
26S
[(a-a1)-*+f5-g1 + 24],

— 273 —
а это, по внесении значения коэффициентов 5, a, av p, plf принимает
такой вид:
На основании этого выражения величины разности
А {1х+лгу + я)2 — Лх (/^+ПЦУ + ^i)2
при величинах ху у, определяемых по выше сказанному, мы теперь
покажем, что между ними найдется бесконечное множество таких, при
которых рассматриваемая нами разность заключается между 0 и
4 (1тх — 1гт) ]/ ААг, и что это будет иметь место всегда, если х
превосходит величину x = Xq, при которой выражения
пхт — птг 1 т2А — п?хАх 1
litn — 1ш\ х {1\Ш — lmi)YААг х%
остаются в пределах
а выражения
4 (пхт — птх) ^-х > 4 (т*А ~ mlAi) ^
в пределах
— 1 [4(1гт — /%)\ГАА1 — Е4(1,т — 1тг) J/AAJ,
+ - [Е 4 (/,т — 1щ) V~AAX + 1—4 (4m — ImJ V~AAX\
В самом деле, так как с увеличением х эти выражения
приближаются к 0, то при х>Хо они останутся в тех же пределах; то же
будет после умножения их на 6<1.
Откуда видно, что при x>Xq сумма
пхт— птх 1 т2Л — щАх б
1гт — 1тг х (1гт — Im^) V~AA\ x2
будет заключаться в пределах
— 1, + оо,
а сумма
4 (ntm - пщ) ^—г + 4 {т*А - //ЭД р
в пределах
— [4 (/i/n — 1щ) VAAi — Е 4 (^/я — lmt) УААгЪ
+ [Е 4 (^/тг - 1тг) УААг + 1 — 4 (/х/гс — 1тг) УААХ\
По первому мы узнаем, что в формуле (23) множитель, стоящий при
4 {^т — 1тг) VAAV
Чебы шев, т. I

— 274 —
есть величина положительная; по второму же мы теперь покажем, что
этот множитель не может быть ни равен 1, ни больше 1, и,
следовательно, выражение (23), действительно, содержится между 0 и
4{1хт — Im^V ААХ.
Для этого мы замечаем, что этот множитель может быть
представлен в таком виде:
1_(1_0) + Г,
где
пхт — птх 9 т2А — m\Ai б2
1гт — Ini! х ~ {1хт — 1тг) У~ААХ х2 '
Так как член —(1—в) отрицательный, то рассматриваемый нами
множитель
1— (1— 6) + Г
может быть равен 1 или превзойти 1 только в том случае, когда
7>1-6;
в этом случае, по соединении двух последних членов, величина
1— (1— 6) + Г
привелась бы к следующему:
1+6,7,
где Oj>0 и <1.
Но такое выражение для рассматриваемого нами множителя
невозможно. В самом деле, оно, по (23), для величины разности
А (1х + т^у + nf — Аг (1{х + тлу + nxf
дает
4 (Am — 1тг) VAAx (1 +0ХГ),
что, по внесении значения Г, приводится к следующему:
Щт — Im^VAAx + W [i^m — птг) —^ + 4 mM^/yz^1 e J .
А так как Й^О и <1 и, по замеченному выше, выражение
4(п1т-пт1)1^+4(тЫ-т1А1) ~
заключается в пределах
— [4 (1гт — lmx) V~AAX — Е 4 {1гт — lmx) VAAil
+ [EA(l1m — lml)V^'1+l—i(lim—lm1)V^^
то эта величина рассматриваемой нами разности заключалась бы между
Е 4 (1гт — 1щ) ]/ААг
и
EA{lxm — ImjVJA^l,

— 275 —
что невозможно, ибо между этими двумя целыми числами не
содержится числа целого, а рассматриваемая нами разность представляет
число целое.
Из этого видно, что если в системе значений xj у, определенных по
выше сказанному, величина х превосходит х0, при этих величинах х> у
разность
A (lx -f- my -j- я)2 — Ах (1хх -\- т^ \ пх)г
будет содержаться между 0 и 4(1хт— lmx)V ААХ\ а таких систем, как
видели, найдется бесконечное множество, если только ААг не точный
квадрат и разность 1хт—1тг не приводится к нулю.
Подобным образом, определяя значения х, у, при которых раз-
2
ность у — аХу оставаясь меньше [5, дает (5 верно до —, мы найдем
бесконечное множество целых величин х, у, при которых разность
А(1х-\-ту-\-п)2 — Ах(1хх-\-тху-\-пх)2
заключается в пределах 0 и —4(lxm — lmx)VAAx.
18*

О НОВОЙ ТЕОРЕМЕ,
ОТНОСЯЩЕЙСЯ К ЧИСЛУ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
ВИДА 4/г + 1 и 4ю + 3
(ПИСЬМО П. Л. ЧЕБЫШЕВА К г. ФУСУ)#
Благосклонность, с которою вы всегда принимали мои исследования,
дает мне смелость представить новый результат, относящийся к
простым числам, который я только что нашел.
Отыскивая предельное выражение функций, которые определяют
число простых чисел вида Ап-\-\ и вида 4#-(-3, взятых до некоторого
очень большого предела, я пришел к заключению, что эти две функции
значительно отличаются друг от друга своими вторыми членами, причем
для чисел 4п-\-3 второй член больше, чем для числа 4л-|-1; так что,
если из числа простых чисел вида 4я + 3, которые меньше какого-
нибудь предела х, вычесть число простых чисел вида 4л+1, которые
Vic
меньше того же предела х, и полученную разность разделить на f—^. >
то окажутся такие значения х, для которых это частное приблизится
сколь угодно близко к единице. Эта разница в распределении простых
чисел вида 4/г+1 и 4/z-f-3 обнаруживается ясно во многих случаях.
Например, во-первых, по мере того как с приближается к нулю, сумма
ряда
е-Ьс_е-ьс^е-1с^е-пс_е-12с_е-11с^е~19с^е-2*с^..ф
приближается к -j-оо; во-вторых, ряд
/(3)-/(5)+/(7)+/(11)-/(13)-/(17)+/(19)+/(23)+--
где f(x)—постоянно убывающая функция, может быть сходящимся не
\_
иначе, как если предел произведения х2 f(x) равен нулю при л=оо.
Я пришел к этим результатам, рассматривая одно уравнение,
которое относится к простым числам и заключает как частный 'случай
найденное раньше г. А. де-Полиньяком и мною, независимо друг от друга,
в наших исследованиях о простых числах.
Примите и проч.
10 марта 1853 г.
* Lettre а М. Fuss sur un nouveau theoreme ielatif aux nombres premiers conte-
nues dans lee formes 4«-fl et 4n + 3 (Bull, de la classe phys.-math. de l'Acad. Imp.
Sci. de St-Petersbourg, XI (1853), стр. 208; на русском языке в Собр. соч. П. л]
Чебышева под. ред. А. А. Маркова нНД Сонина, том I, СПб. 1899, стр. 679—698.

ОБОБЩЕНИЕ
ФОРМУЛЫ КАТАЛАНА
И ВЫТЕКАЮЩАЯ ИЗ НЕГО
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА*
Г. Каталан только что сделал важное замечание, что предел суммы
-L 9 I * On
л -f 1 ^л + 2 ' ^2л
для я=оо, равный log 2, вытекает из тождества
1 1 4-1 1 — 1 л. 1 -J- л. !
которое легко проверить.
Это тождество, которое замечено г. Каталаном и обнаруживает
очень ясно приближение суммы
»9я
л + 1 ' л + 2 ^ ^ 2л
к пределу log 2, когда п возрастает беспредельно, тем более
заслуживает внимания, что оно легко может быть обобщено и приводит к
арифметической формуле совершенно нового рода. Это именно мы и
предполагаем показать в своем сообщении.
Действительно, если в дробях, составляющих первую часть
тождества
±_1д-1_ _1 L__L-J-J_ jlL
1 2 "Т" 3 *** 2л л-И^л + З* Г2л'
мы заменим единицы членами какого-нибудь ряда
иь я2> #з> *# * > й2Л>
то найдем, что вторая часть приведется к
**2я+2 1 **2n-f4 I i H4g i Щ — U2 . Ы2— Щ I 1 ^2л—Ц4Я
ЙТрГ""» л1|Г2~1 Г2я» 1 "Г 2 Ч" ~ 2л
* ,Sur la generalisation de la formule de M. Catalan et sur une formule aritmetique
qui en resulte* (C. R. de l'Assoc. franc, pour I'avancement des sciences (1876);
etp. 114M17; Nonvelle corfespondance math, redigee par M. Catalan; II (1876); на
русском языке в Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и М. Я. Сонина,
том II, СПб. 1907. стр. 702-704.

— 278 —
Следовательно, положив
будем иметь такое тождество:
7 "2+"3 2/2 — л+1 ^ /2 + 2 ^ ^2/1^1^2^
"Т"2/2 *
Переходя к случаю п = оо и замечая, что при этой величине п
сумма
**2n+2 I 2*2/1+4 , i ^4л
/2+1 "» /1+2 "I ^2/2
обращается в
находим
Booiog2=fi-|i+f (?+а+?+...), (1)
где количества vv v2, vz> ... определены соотношением
*х=*х — »*хг (2)
Чтобы показать, какую выгоду можно извлечь из формулы (1),
положим
„ Е(дх)
где а — какое-нибудь положительное количество и символ Е означает,
как обыкновенно, целую часть количества, заключенного под этим
знаком.
При такой величине их находим по формуле (2)
_Е(ах) Е(2ах) 2Е(ах)— Е(2ах).
* х 2х 2х >
сверх того, разность
2Е(ах) — Е(2ах),
очевидно, приводится к 0 .или —1, смотря по тому, будет ли число
Е(2ах) четным или нечетным; следовательно,
2Е (ах) — Е (2ах) = —1~ (~2>} ,
и потому
х ££
Внося эти величины их и vx в формулу (1) и замечая, что при
бесконечном х дробь
Е(ах)
х х

— 279 —
становится равною а, получаем такую формулу:
„W9 —E(fl) Е(2а) , Е(3а)
1_(_1)Е(8а) 1_(__1)Е(4Д) t 1_(_1)E(fa) |
***i" 4-12 ~Г 4-22 "1 4^32 I '
которая приводится к следующей:
п 1 п<г 9 — 4Е(а)-(-1)Е<2а> ' 4Е(2д) + (-1)Е<4а> , 4Е (За) - (- \f&
aiogz— j-p — 1 ш
•••+т(1+й4+---);
НО
14—L-l-Lj- _j!!
1 Т 22Т" 32"» — 6 '
и потому последняя формула дает
^ 1^ о 4E(g) — (— 1>Е <2дс> 4Е(2л)' + (-1)Е(4д) , 4Е(3Д)-(-1)Е<6д>
aiogz — ^-р 4^2» ' 4Тр
4-J*
" Г 24'
По этой формуле мы находим
Ап\псг9 *2_4E(g)-(-l)E<2*> 4Е(2а)+(-1)Е(4д> ,
ад log z g-— р 4^22 Г
4E(3g)-(-l)E(6g)
"Г 4-32 •••»
полагая же
4alog2 —-^=АГ
и, соответственно,
" —241og2 '
мы приходим к разложению количества X в ряд дробей, которые имеют
знаменателями I2, 22, З2, ...
-г ^ г

ОБ ОДНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ*
§ 1. Прошло уже более четверти века, как Альфонс Полиньяк и
я опубликовали наши исследования о распределении простых чисел. Эти
исследования существенно отличаются от всего, что было сделано до
нас по тому же предмету. Мы дали предельные величины функций,
для которых раньше имелись только асимптотические величины.
Основанием наших исследований служит формула, которая заменяет
сумму логарифмов всех целых чисел (до известного предела) суммами,
относящимися к простым числам. Вот эта формула:
log2 + log3 + log4H hloga = 4)(a) + cl>(^-) + cJ> (-f) Ч (А)
Во второй части
<т)=о(т)+о(/^)+0(^?)+°(>/?)+-- (В)
где О (k) означает вообще сумму логарифмов всех простых чисел,
которые не превосходят k.
Формула (А) отличается существенно, как мы только что сказали»
от ранее известных. Между этими последними одна из наиболее важных
состоит в соотношении
вторая часть которого содержит только простые числа.
§ 2. Отыскивая связь между формулами (А) и (С), я убедился, что
они вытекают из одного равенства
log2./(2) + log3./(3) + log4./(4) + log5./(5) + !.. = log2.F(2) +
+ log3.F(3) + log5-F(5) + log7:F(7)+..-, (D)
где функции f(x) и F (х) должны быть связаны надлежащим
соотношением. Это соотношение очень просто, а именно
п=оо т=оо
F(x)= 2 2/(«■*")••• (Е)
/1=1 т=\
* „Sur une transformation des series numfcriques* (Nouvelle correspondance math,
redigee par M. Catalan, IV (1879)* стр. 305—308); на русском языке в Собр. соч.
П. Л. Чебышева под. ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб. 1907, стр. 705—707.
** Функции/(д:), F(x) могут быть непрерывными или прерывными; достаточно,
чтобы содержащие их ряды были сходящимися.

— 281 —
§ 3. Пусть /(*) =—, причем переменное х и показатель р больше
единицы. Мы будем иметь
потом
п оо j m=-oo
Так как
У-L = ±4.i-4—L4- — *
Y *"*' ^^дг^^^р"1 дгР—1'
то величина F(a:) приводится к
00
и равенство (D) становится
!2£2 i l£g^ i lo^ i logs,
2Р * зр 4? 5р
= (l°S2 I loS3 | lQg5 1 loS7 М \V JL
Vtf — 1 ""•"> — 1~5? — 1 *" 7P — 1 ~^ /7-1 лР'
00
Первая часть только знаком отличается от производной 2^— по р.
1 п?
Итак,
со
_ d? _ log2 J log3 1 log 5 . log 7 1
» x 2P— 1*3?— 1^*5^— l^P—1 '
Интегрируя от какого-нибудь р до оо, получаем
logE „ log(l —Ь) - log ( 1 -f )-log ( 1 - i) -
= log
('-iX'-iK'-i)-'
а потом — формулу (С).
§ 4. Если положим
/(*) = !
при я<а, а
д*)=о
при л>а, то найдем, что сумма
log2/(2) + log3/(3)-flog 4/(4) + •..

— 282 —
приводится к сумме логарифмов чисел 2,3,4,..., Е (а); и тогда наша
формула (D) даст разложение этой суммы на несколько сумм,
составленных только из простых чисел, разложение, которое послужило
основанием исследований, сделанных относительно простых чисел А. Полинья-
ком и мною.
§ 5. Давая другие значения f(x), получим новые формулы, которые
могут иметь полезные применения.
Можно найти, например, что сумма
e-2C_e-bcJre~7cJre-lU_e-12C_e-ncJ^
возрастает беспредельно, когда с стремится к нулю.
Так как члены последнего ряда при с = 0 приводятся к ± 1, смотря
по тому, имеет ли соответствующий множитель при с вид 4я + 3 или
вид 4#+1, то мы приходим к такому заключению:
Существует значительная разница в распределении простых чисел
двух видов An + 3, 4/г ~|— 1: первый вид содержит значительно больше
чисел, чем второй.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ОДНОЙ ТЕОРЕМЫ ЧЕБЫШЕВА*
А. А. МАРКОВ
(ПИСЬМО К ЭРМИТУ)
Вы отмечаете в вашем курсе одно замечательное предложение
Чебышева о простых делителях чисел вида лг2 —J— 1.
Это предложение следующее:
Пусть ]х наибольший простой делитель чисел
1+22,1 + 4М+62, ...,1+47V2;
в таком случае отношение
N
беспредельно растет вместе с N.
Используя один отрывок, найденный среди бумаг Чебышева
(фотографическая копия этого отрывка приложена к этому моему письму),
можно восстановить доказательство Чебышева.
С этой целью рассмотрим сумму
log(l+22) + log(l+42H ^log(l+W2) = 21og(l+4n
равную сумме, составленной из логарифмов простых чисел вида 4т-{-I,
%log(l+4x*)==?lAqlogq(q = b,l3il7i...,)i).
Что же касается множителя Aq, то он равен сумме чисел решений
сравнений
1+4jc2 = 0 (mod?),
1 + 4л2 = 0 (mod?2),
где х меньше 7V+1.
Но число решений сравнения
1-f 4*2 = 0 (mod?*),
удовлетворяющих условию
меньше, чем
* Заметка, составленная по бумагам, оставшимся после смерти Чебышева; опуб
линована в С. R. de l'Acad. Sci. Paris, CXX (1895), стр. 1032—1034, и в Записках С.-Пе
тербургской Академии Наук, 3 (1895), стр. 55—58.

— 284 —
и равно нулю при kj> \' —-•
Отсюда получается
. /ОЛ7/1 , 1 , \ I log(1 + 4iV2)
и, следрвательно,
£log(l+4*)<2W2^ + ?(»i)log(l + 4W»),
где <p(jx) число чисел 5,13,17, ...,jx.
Из этого неравенства и из неравенства
^log{l-\-4x2)>2NlogN—N
следует
logji "^ logji^^ —1 • 2Wlogji * 21ogji#
Пусть теперь N бесконечно растет. В таком случае fi также
бесконечно растет и выражения :—S^ZT и 2lo— приближаются к
пределам ^ йО.
Что же касается выражения
у (у.) log (1 + 4№) _ у fan) _ log (1 -f 4AT2) pjogjv
2/^logfi {i 21(^ЛГ 'jVlogjt!
то легко убедиться, что оно должно было бы приближаться к нулю,
если бы отношение ~ оставалось конечным. Действительно,
Таким образом, предполагая, что отношение -~ остается конечным для
бесконечно больших значений N, мы приходим к противоречию: для
достаточно больших значений N отношение ^— должно быть меньше
всякого числа большего -^ и одновременно с этим больше любого
числа меньшего 1. Отношение ~, следовательно, бесконечно растет при
бесконечном возрастании N.

КОММЕНТАРИИ
„ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЧИСЛА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ, НЕ
ПРЕВОСХОДЯЩИХ ДАННОЙ ВЕЛИЧИНЫ", И „О ПРОСТЫХ
ЧИСЛАХ"
Развитие одного из основных направлений аналитической теории
чисел — исследования распределения простых чисел в натуральном ряду
и арифметической прогрессии, — связано с работами наиболее
замечательных математиков всех времен.
Крайней трудностью проблем в этой области объясняется тот факт,
что между отдельными существенными сдвигами в этой области
проходили чрезвычайно большие промежутки времени и добиться
существенных результатов в ней удавалось только очень выдающимся
математикам. В исторической последовательности эти этапы развития теории
распределения простых чисел связаны с именами Евклида, Эйлера, Ле-
жандра, Дирихле, Чебышева, Римана, Гаусса, Мертенса, Адамара, Ман-
гольта, Валле-Пуссена. Насколько велика роль П. Л. Чебышева в
развитии этого вопроса, видно из того, что Чебышеву первому после
Евклида удалось существенно продвинуть вперед решение проблемы
о распределении простых чисел. Это высказывание, принадлежащее
одному из крупнейших современных специалистов по теории чисел —
Э. Ландау, достаточно характеризует огромное значение работ П. Л.
Чебышева.
В первой работе П. Л. Чебышев установил связь между чи-
слохм простых чисел п(х), не превышающих данной границы х, и
поведением функции C(z) вблизи особой точки z=l при
действительных значениях г. Эта связь позволила ему открыть фундаментальный
для распределения простых чисел факт колебания п(х) около Li(x) =
х
_f_JL. Факт этот еще не мог быть дан Чебышевым в его современ-
2
ной точной формулировке, именно, что разность ъ(х) — Li(x)
бесчисленное число раз меняет знак (Литтльвуд, 1914) и что
тг (х)—Li (х) = хе-*МЫпх, t{x)-+oo
(Адамар, Валле-Пуссен). Для получения этих последних, уже точных
результатов необходимо было при исследовании

— 286 —
перейти от действительной области изменения аргумента к комплексной
плоскости, так как закон распределения простых чисел, как мы теперь
знаем благодаря Риману, тесно связан с законом расположения
нетривиальных нулей функции Z(z).
Как следствие открытого им факта колебания тг (х) около L\(x)
П. Л. Чебышев находит асимптотическое выражение 21 —=1п1пл-|-С.
Эта работа Чебышева вызвала ряд исследований, непосредственно
обобщающих, в основном его же методом, полученные им результаты.
В первую очередь следует отметить из этих работ работу Мертенса,
давшего приближенные выражения для сумм
р^х г р^х г
где простые числа р в обеих суммах принадлежат к арифметической
прогрессии ах-\-Ьу и работу А. Пуанкаре, обобщившего результаты
Чебышева на числа гауссова тела и этим путем исследовавшего
распределение простых чисел в арифметических прогрессиях 4/г-(-1 и 4/г-{-3.
А. Пуанкаре показал, что, если tzx{x)—число простых чисел, 6t (x) —
сумма логарифмов простых чисел, не превышающих х, принадлежащих
или к прогрессии 4я-)-1, или к прогрессии 4/г + З, то при любом с^>1
неравенства
*i (лХтг- , *(*)>-;гг- ;
9г(х)<сх; 0, (*)>!*
выполняются для бесчисленного множества х.
В другой своей работе о распределении простых чисел П. Л.
Чебышев находит границы колебания ъ(х) около ~ и в (х) около х,
пользуясь исключительно остроумным приемом знакопеременного ряда,
основанным на частных свойствах числа 30. Последний результат
позволил ему, как известно, доказать постулат Бертрана в том, что между х
и 2х находится простое число. Это исследование было непосредственно
продолжено также целым рядом математиков. Отметим здесь работы
Сильвестра, Иванова и Станевича. Сильвестр показал, что для достаточно
больших х должно выполняться неравенство
0,95^ <>(*)< 1,05^,
и в качестве уточнения постулата Бертрана и результата П. Л.
Чебышева установил, что между х и 1,092л есть простое число, если х
больше известного предела. Станевич нашел границы для числа простых
чисел в прогрессиях 4л ±1, а Иванов—в прогрессиях 6л ±1* Дальней-

— 287 —
шее уточнение постулата Бертрана пошло уже по пути, указанному
Риманом, в направлении исследования поведения С (z) в комплексной
плоскости. Наиболее точные результаты в этом направлении были
получены Н. Г. Чудаковым на основании исследований Гогейзеля и И. М.
Виноградова. (Более подробное изложение истории развития идей в теории
распределения простых и указатель литературы, относящейся к этому
вопросу: L. E. Dickson. History of the theory of Numbers, Vol. 1,
стр. 435—440; E. Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der
Primzahlen, Bd. 1; И.И* Иванов. О некоторых вопросах, находящихся
в связи со счетом простых чисел. СПб. 1901; последняя работа
посвящена, главным образом, чебышевским методам.)
Естественно задать себе вопрос, почему чебышевское направление
в исследовании распределения простых чисел в XX в. отошло в область
истории и очень многими рассматривается как блестящий, но уже
пройденный этап развития этой теории. Ответить на такой вопрос
достаточно легко. Глубокие идеи Римана, относящиеся к структуре функции
Z(z) и связи ее с законом распределения простых, явились естественным
шагом вперед по отношению к первой работе П. Л. Чебышева и
полностью покрыли ее идейное содержание.
Удачная на первых порах реализация идей Римана у Ж. Адамара,
Ш. Валле-Пуссена, Мангольта и многих других оставила также
в тени глубокую, но недостаточно ясно выраженную благодаря хотя и
остроумному, но очень частному применению ее, идею Чебышева о
возможности образования периодической функции (с помощью
знакопеременного ряда), позволяющей апроксимировать функцию 6 (л) — сумму
логарифмов всех простых чисел, не превосходящих х.
Но прошла уже половина столетия с того момента, когда было
установлено отсутствие нулей С(z) на прямой R(z)=l, а никакого сужения
критической полосы, хотя бы на любое s, не последовало, несмотря на
усилия многих очень сильных математиков.
Поэтому в настоящее время есть уже достаточные основания
вернуться к идеям Чебышева и с этой стороны попытаться подойти [к
закону распределения простых чисел; другими словами, хотя бы найти
удовлетворительную оценку для разности тг(л;)—Li (я).
Какие же можно указать пути для дальнейшего развития идей
Чебышева? Прежде всего, как мне кажется, следует пытаться связать
проблему распределения простых чисел с экстремальными проблемами. Одним
из таких, достаточно естественных, путей является задача о полиномах
с целыми рациональными коэффициентами, наименее уклоняющихся от
нуля на отрезке (0, 1). Постановка этой проблемы, относящаяся к 1936 г.,
принадлежит, насколько мне известно, Л. Г. Шнирельману и автору
этих строк. Для того чтобы показать связь этой проблемы с законом
^распределения простых, рассмотрим ее более внимательно.
Обозначим через Рп нижнюю грань максимумов модулей полиномов
Степени, не превышающей п, с целыми рациональными коэффициентами,
на отрезке (0,1). Положим ап= — lnSn. Пусть эта грань действительно

— 288 —
достигается для полинома рп (х). Через Qn обозначим общее наименьшее
кратное всех целых чисел от 1 до п. Тогда мы будем иметь, очевидно,
неравенство
Q2n+l$p2n(x)dx^l,
или неравенство
Из этого последнего неравенства сразу следует, так как In гт (п) ^> In ЙЛ,
что
1п(2л-Н)7г(2л+1)>2ая.
Легко показать, что существует предел lim — ==а. Есть основания
л=оо п
утверждать, что о = 1. Всякое строгое доказательство этого последнего
утверждения было бы эквивалентно доказательству теоремы Адамара,
так как приближение нижней возможной грани -^— к единице сразу
влечет за собой приближение к единице верхней грани. Следует отметить,
что если можно будет добавить к предыдущему основному неравенству
еще одно, дайщее нижнюю, чисто арифметическую, грань для Sn,
другими словами, предельное соотношение ^mTjQ-===l> то отсюда также
сразу будет следовать теорема Адамара,
Уже эти рассуждения наводят на мысль, что достаточно точная
асимптотическая оценка величины — должна привести к равноценной по
in 9
точности оценке величины —s, что уже будет достаточно для
исследования поведения и(х).
В настоящий момент можно только указать некоторые неравенства
для а, например а^> — 1п5 и другие более точные, но известные мне
общие подходы к решению этой проблемы пока при их фактическом
осуществлении приводят к сложному аналитическому аппарату и
наталкиваются на большие трудности.
При" более глубоком рассмотрении этой проблемы начинает
отчетливо вырисовываться ее связь с идеей Чебышева о знакопеременном
ряде.
А. Гельфонд
„ОБ ОДНОМ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ВОПРОСЕ"
История работ, вызванных этим мемуаром Чебышева, очень
интересна. До самых последних лет этому вопросу, начатому Чебышевым,
лродолжает посвящать свои усилия целый ряд крупных математиков.
Работа Чебышева появилась в 1866 г. Первым, кто откликнулся на
работу Чебышева, был Эрмит. В письме к издателю журнала Крелля
Борхарду, напечатанном в 1872 г. в 88-м томе журнала Крелля

— 289 —
<стр. 10—15) под заглавием „Sur une extension donnee h la theorie des
fractions continues par M. Tchebychef, Эрмит говорит: „Чебышевв
личном со мною разговоре сообщил мне арифметическую теорему, которая
меня очень заинтересовала. Он установил в мемуаре, опубликованном
в „Мемуарах С.-Петербургской Академии Наук" на русском языке,
с которым я поэтому без его помощи никогда бы не познакомился,
следующее весьма замечательное предложение: Существует бесконечно много
систем целых чисел х, у таких, что линейная функция
х—ау — &,
где а и Ь — произвольно заданные постоянные, по абсолютной величине
меньше, чем у (в мемуаре Чебышева собственно лишь доказано, что
меньше — J. Это, как вы видите, обобщение основного результата теории
непрерывных дробей на выражение совершенно иного вида; обобщение
это открывает дорогу для многочисленных дальнейших исследований".
В конце своей статьи Эрмит следующим образом уточняет неравенство
у2
Чебышева. Он говорит: , Исследование формы /=(* — ау — bz)2 +уЧ~
~f-g7~, где Ь и 5'—переменные, принимающие положительные значения,
которое дает простое доказательство результатов, касающихся минимумов
линейной функции х — ay — bz, полученных Дирихле, ведет также и к
предложению Чебышева. Пусть b = t2u, b' = tu2, так что инвариант
D (определитель формы /) имеет вид (Ри*)-1. Я напомню, что минимум
/для целых значений переменных имеет верхней своей границей корень
кубический из удвоенного инварианта, поэтому, каковы бы ни были
положительные величины t и щ имеет место неравенство:
2 . *2 ^у/ 2
to
[x—ay — oz) — a {u , fiu — p tu , ^ ' ы
Если мы положим
з/т
\Л. Uy UА,у I* -J£~ ,
откуда
то, перемножая, получим
(х — ау — bzfy2z2 = 2ap у.
Но, в силу неравенства между средним геометрическим и средним
арифметическим, мы будем иметь:
3
а принимая во внимание a+ft + TfO»
%<i-
19 Чебышев? т. I

— 290 —
Мы имеем, следовательно,
(х—ау — bz)2y2z2 < ^,
или
■ау-
■bz\
V 27 yz*
Далее Эрмит говорит: „Я замечаю, во-первых, что если верхняя
граница \z\ меньше единицы, то получается г = 0и минимумы,
получаемые, если заставить бесконечно расти t, суть минимумы линейной
функции х — ау9 которые дает разложение а в непрерывную дробь.
Предположим теперь, что мы будем заставлять расти и; величина z, начиная,
с некоторого места, не будет уже равна нулю; докажем, что, перестав
быть нулем, она станет равной единице". Для того чтобы это показать,
Эрмит" доказывает лемму: если f(x, у, z) положительная квадратичная
форма с переменными коэффициентами и для трех бесконечно близких,
друг к другу систем значений этих коэффициентов минимумы / суть
(т9 n, р\ f(m', n\ р')у f{m\ /г", /?"), то определитель
\тт!
\п т£
\Р1?
Й!*|
к"
Р \
равен нулю или единице по абсолютной величине. Основываясь на этой-
лемме и возвращаясь к форме /=(х—ау—far)2 -j- ^ | ~ > Эрмит рас-
сматривает параметры t и и как абсциссу и ординату точки плоскости.
щТаким образом, — говорит Эрмит, — системе трех целых чисел» которая*
дает минимум /, соответствует совокупность точек или область этой шкь
скости. Такие области, ограниченные положительной частью оси абсцисс,
получаются, во-первых, если, изменяя t, предполагать и достаточно
малым, для того чтобы было 2 = 0. Двум смежным таким областяхМ
соответствует два последовательных минимума х — ау, т. е. две последовав
тельные подходящие —, -^- числа а. Вы видите, что в любой точке
линии, разделяющей такие две области, значения величин t и и пред-*
ставляют то обстоятельство, что бесконечно малая вариация дает
минимумы, соответствующие системам /тг, я, 0 и гп\ П\ 0. Будем иттивдолб
этой линии до ее конца, где она примыкает к новой области,
расположенной над предыдущими, и которой соответствуют числа т"9 п\ р\ Мы
введем, предполагая р" отличным от нуля, условие, чтобы эта область
не была одной из тех, у которых третья переменная равна нулю. Но
то#да определитель
Д==
имеет значение ±р\ не равное нулю. В силу деммы, определитель этот
в таком случае по абсолютной величине равен 1, т. е. в этом случае
\т т
\п п'
0 0.
'т"\
п"\
р"\

— 291 —
.p" —rfcb что уже показывает существование минимума, установленного
Чебышевым. На основании этой второй метбды [первой тут Эрмит
называет методу самого Чебышева. — Б. Д.] ранее [т. е. Чебышевым]
полученное ограничение \х — ay — 6|<;_L- оказывается здесь замененным
следующим:
с численным коэффициентом у ~ заметно меньшим, чем ^
Эрмит, однако, молча принимает в этом исследовании,. *гго а ъ Ь
таковы, что для всех пар целых чисел (х, у)> кроме (0> 0)у j/ — охф®>
у — ах — Ьф§ и £ не целое число; без этих условий результат. Эрмита
противоречил бы известной теореме Гурвица—Бореля.
После Эрмита вопросом Чебышева занимался Минковский* R работе
„Zur Geometrie der Zahlena Минковский замечает, что, подобно тому
как вопрос о значении с в неравенстве \х — ау\<Су-т> т. е. в
неравенстве \{х—ау)у\<Сс> может быть „обобщен" на вопрос осв неравенстве
| (a*-f- (Jy) (y^+ Sy) | < с, где aS — Py =! > вопрос о константе с
в неравенстве Чебышева может быть „обобщен" на неравенство
(ах-\-$у — So)(Y* + fy — тю)|<С^ в котором S0> Чо—произвольные
заданные числа. В этой измененной форме Минковский и исследует &о~
прос и показывает, что можно взять с= «т"И нельзя взять меньшую
константу, т. е. что -£—точнре значение этой константы. В „Diophanr-
tische Approximationen" (стр. 43) Минковский говорит: „Первые
теоремы, касающиеся &того вопроса, дал Чебышев, а^ именно он
показал, что существуют целочисленные решения х> у неравенства
о
х—ау — Ъ | <С ттп- > и получил такие решения при помощи
рассмотрения пар соседних подходящих, получаемых при разложении а в
непрерывную дробь". Переходя далее к собственному своему исследованию*
Минковский говорит: „Мы дадим сначала идею того геометрического
способа, который нам дал результат [т. е. то, что точное значение
константы есть £=-т-—£• Д]- Пусть дана выпуклая фигура площади /
с центром в начале; и пусть она так мала, что если ее передвинуть
параллельно самой себе к любой другой точке решетки (параллелогра-
матической системы точек) как центру, все так полученные фигуры не
налегают друг на друга. Подвергнем все эти фигуры гомотетическому
преобразованию относительно их центров для всех с одним и тем же
коэффициентом гомотетии t таким, чтобы они как раз коснулись друг
друга; полученные таким образом фигуры будут соответствовать некд-
торому значению параметра t—~, и каждая из них будет иметь
площадь \m2J* Между этими коснувшимися фигурами, вообще говоря*
19*

— 292 —
останутся еще промежутки. Увеличим параметр гомотетии так, чтобы
фигуры покрыли всю плоскость по крайней мере один раз и пусть это
будет при значении параметра t=— (и, следовательно, при площади
фигуры, равной ^~N2А. Это обстоятельство во всяком случае должно
наступить к тому моменту, когда фигура покроет всю область
— 4" ^*<4-> —"о^-У^'о" вокруг точки (0, 0). Тогда как для площади
2 2 2 2
-tM2J мы доказали существование верхней границы, а именно границы 1,
если площадь основного параллелограма рассматриваемой решетки,
соответствующей целым х, у> равна 1, для площади -j N2J не может
быть указано такой границы. (Достаточно, например, дать фигуру в
виде эллипса, большая ось которого лежит на оси х решетки, и у
которой отношение малой оси к большой достаточно мало для того, чтобы
параметр -%N превышал любую данную величину.) Однако можно
указать некоторые специальные фигуры, для которых верхняя граница для
^N*J существует; это будет, например, всегда, когда фигура
параметра М имеет на своей границе более двух точек решетки*.
Минковский предлагает взять в качестве рассматриваемой фигуры
параллелограм с центром в начале и диагоналями на прямых,
выражаемых уравнениями
7) = Y* + $y=0, v n
Параллелограм, получающийся из взятого при значении параметра
t—^N, Минковский называет уЛ/'-параллелограмом. Пусть половины
его диагоналей равны 2р и 2и, т. е. площадь его равна 8ра. Для любой
точки плоскости, координаты S, т] которой равны $а, *1а» можно указать
хоть одну точку решетки (т. е. системы точек с целыми х, у) Р* = (х*,у*) =
= (£*, *)*), такую, что тот yAf-параллелограм, который описан вокруг
нее как центра, содержит эту точку ($*, 7)*). Но совокупность всех точек
рассматриваемого параллелограма определяется неравенством I J-| +
^~2;И^1> а следовательно, для параллелограма вокруг точки (&*,?]*)—
неравенством |£°^>^1 -f '^j^*1 <U тем более Для этих точек,
следовательно, имеет место неравенство у |6»-~**1 . '^0-^*1 ^^ так как
среднее геометрическое двух (неотрицательных) величин всегда не больше
их среднего арифметического. Это неравенство можно написать так:
1(^-5о)(Ч#-Ч.)|<|».

— 293 ~
Остается теперь решить вопрос, всегда ли можно построить imoft
параллелограм с диагоналями на прямых £=0, 71=0, что для него &h
личина 8ра, т. е. площадь -^ N-параллелограма, не превосходит
некоторого предела, не зависящего от форм 6 и q. „Это в действительности
имеет место, — говорит Минковский. — Мы покажем* что при любых
диагональных прямых 5 = 0, ij=0 можно построить такие уЛ/'-парал-
лелограмы вокруг начала, что соответствующие у TV-nap аллелограмы,
построенные вокруг всех точек решетки как центров, покрывают всю
плоскость, причем ни одну ее точку не больше чем два раза. Так как
при сплошном двойном покрытии плоскости на каждую точку решетки
пришлась бы площадь = 2, то такой -^-Л/'-параллелограм будет иметь
площадь <2, т. е. для него будет рз<х» и> следовательно, буду*
иметься целые решения неравенства:
1(5-е»)(ч-1)о)|
Легко показать, что константа с = т не может быть заменена меньшей*
4
годной для любых а, [5, ^ЛЛ^^Л — Рт = 1)- Достаточно взять точку
(So» Чо) в центре параллелограма решетки целых х, у, а прямые €=4),
ij=0, идущие по сторонам этого параллелограма.
Для того чтобы показать существование нужных в предыдущем
доказательстве ^^паРаллелогРамов> Минковский рассматривает гиперболы
£i)=4hy и, заставляя скользить вдоль этих гипербол касательную,
рассматривает получающиеся параллелограмы, ограниченные четырьмя
такими касательными и имеющие вершины на
асимптотах гипербол. Подробное и довольно
сложное исследование показывает, что
среди таких параллелограмов будет сколько
угодно таких, которые имеют внутри себя
две неколлинеарные пары, симметричных по
отношению к началу точек Л, Л', В, В1
решетки, такие, что гомотетичный
рассматриваемому параллелограм (пунктирный на фиг.
1), на границе которого лежат точки Л, Л',
имеет и точки В, В' тоже на своей
границе и не имеет других точек внутри себя,
кроме точки О. Уменьшив этот параллелограм
еще гомотетично вдвое (по линейным размерам), мы получим такой „малый*
параллелограм, что если вокруг всех точек решетки как вокруг центрба
построить равные и параллельные ему параллелограмы, то они образуют"
фиг. 2. или фиг. З.Заметив, что пустоты между полученными параллелограма-
ми в обоих случаях суть параллелограмы со сторонами, параллельными сто-
Фиг. 1.

— 294 —
рон ам рассматриваемых параллелограмов и не более длинными, чем они
мы убеждаемся в том, что, если увеличить рассматриваемые (малые)
яараллелограмы, каждый гомотетично по отношению к его центру (точке
Фиг. 2.
Фиг. 3.
решетки), линейно менее чем вдвое, то они, во-первых, будут иметь
площадь < 4, во-вторых, закроют все эти пустоты, т. е. будут покрывать
уже всю плоскость, и, в-третьих, нигде не покроют плоскости более чем
дважды, что нам и требуется.
Вместо доказательства существования таких!
N-параллелограмов, данного Минковским, можно предложить следующее более простое.
Построим какой угодно параллелограм, имеющий диагонали на прямых
£=0, ig=0, но такой малый, чтобы, кроме точки О решетки в своем
центре, он не содержал в себе никаких других точек решетки, и будем
его гомотетично растягивать из центра. В конце концов он наткнется
на некоторую пару точек А, А' решетки, симметричных относительно
начала. Предположим, что прямые 6=0, ч = 0 обе иррациональны, т. е.
ни одна из них не проходит через другие точки решетки (целых х, у)
кроме начала (в противном случае, впрочем, дело еще проще). Будем
теперь дефорхмировать полученный параллелофам так, чтобы диаюнали
его оставались лежащими на прямых $ = 0, rj = 0 и
чтобы стороны его, на которых лежат точки А
и А', оставались проходящими через эти точки (т. е.
поворачивались вокруг этих точек), но одна из
его диагоналей (все равно какая) непрерывно при
ьтом удлинялась. В таком случае, в конце концов
площадь его будет расти сверх всякого предела
(точки Л и Л' не лежат на прямых £=0, г, = 0). По
лемме Минковского о выпуклом теле с центром в
точке решетьи, параллелограм этот, следовательно,
в конце концов, наткнется еще на одну пару точек
В и В', симметричных по отношению к началу,
которые будут лежать либо на тех же сторонах его,
где и Л и Л', либо на двух других (фиг. 4). В силу той же общей
леммы Минковского, и этот параллелограм будет иметь еще площадь <4
(площадь основного параллелограма решетки целых точек х, у мы
принимаем за 1) и будет поэтому нужным для предыдущего
рассуждения параллелограмом.
Фиг. 4.

— 295 —
Минковский высказал предположение, что доказанная им теорема
есть частный случай такой общей теоремы: если t1 = anxl-\-a11x2-{-
Н h ainxn> ^ = апху + а22х2 -| 1- а2пхп, ..., $я = а^ -j- ап^ +
Н Ь алЛ любые заданные вещественные линейные формы с
определителем, равным 1, и £j, й2,..., Ьп любые заданные вещественные
числа, то можно всегда найти такие системы целых значений
переменных xv Xj,..., хп (отличные от чисто нулевой системы), для которых
выполняется неравенство;
\{К-ъ,)&-Ьъ)..лК-ьп)\^
Для произвольного п это' предположение Минковского до сих пор и не
доказано и не опровергнуто.
Для /г=3 доказательство дано Ремаком в большом мемуаре
в 80 страниц в 17 и 18 томах „Mathem&tische Zeitschrift* за 1923 год.
По мнению Морделла, доказательство это поистине замечательно. Оно
основано на глубоком использовании теории параллелоедров, данной
Вороным в его знаменитых мемуарах, помещенных в 134 и 136 томах журнала
Крелля. Мы наметим основную идею работы Ремака, но затем
проведем полное доказательство его способом только для п = 2, причем и
«общую идею доказательства разберем также лишь на примере л=2.
Пусть дано неравенство |(£ — $0)(*) — г1о)1^"4*» причем опять, как и
раньше, £ = сиЧ-р»у> *) = у*-f Sy, a, [J, у, $> %о> Ча вещественные и
а8—Ру=1. Надо показать, что ему можно удовлетворить целыми
числами х, у, не равными одновременно нулю. Пусть £, т) прямоугольные
координаты, и, следовательно, прямые £==0, tj = 0 — координатные оси.
Точки (Е1Э чх) и (^, 7)2), соответствующие значениям я=Ь у=0 и
Jc=0, j/=l, имеют координаты S и tj, равные а, у и р, 8. В силу того,
•что ад — {5у = I» площадь цараллелограма, построенного на сторонах, идущих
из начала к этим точкам, равна 1. Точками, ?], соответствующим всем парам
целых X,у, соответствуют все точки решетки, построенной на этом параллело-
граме, и обратно.Неравенству 120т)01 ^ -^ удовлетворяют те и только те точки
£0,7)0 плоскости, которые лежат между гиперболами £0rj0= —, $0fy = — -j*>
или, как мы будем говорить, внутри или на границе „креста гипербол*
с центром в начале. Неравенству же |(£ — £0)(Ч—^о)!5^^ УДовлетвоРя"
ют те и только те точки плоскости, которые лежат в кресте гипербол,
равном и параллельном рассматриваемому* но с центром в точке 5, ц.
Задача сводится, следовательно, к тому, чтобы доказать, что для любой
точки плоскости 50» *1о существует такая точка решетки, что точка $0, 7]0
принадлежит кресту гипербол с центром в этой точке. Другими словами,
надо показать, что если дана любая решетка, площадь основного параллело-
грама которой равна 1, и дано направление осей (асимптотические направлен
яшя), то кресты гипербол параметра -j с этими асимптотическими
направлениями, построенные вокруг всех точек решетки как центров, покры

— 296 —
вают всю плоскость (т. е. не остается ни одной точки £0> Чо» которая не
принадлежала бы, ни одному из этих крестов). Ремак делает еще еле-
дующее важное замечание: вместо доказательства теоремы для данного
креста гипербол и данной решетки, можно доказать ее для данного креста
гипербол и любой решетки, получаемой из данной „гиперболическим
поворотом* плоскости относительно асимптот этого креста» (т. е. экви-
афинным преобразованием плоскости, преобразующим этот крест в себя*
которое, как известно, получается сжатием плоскости вдоль одной из-
его асимптот и одновременным таким же ее растяжением вдоль другой
асимптоты). Это потому, что при таком афинном преобразовании
площадь основного параллелограма решетки остается равной 1, а все
„кресты", равные и параллельные данному, построенные вокруг других
точек решетки, преобразуются в такие же кресты, построенные вбкруг
образов точек этой решетки (так как при афинном преобразовании
равные и параллельные фигуры остаются равными 'и параллельными, к
центр симметрии фигуры преобразуется в центр симметрии ее образа)-
В силу этого замечания можно рассматриваемую решетку как-нибудь
специально подготовить, прежде чем доказывать теорему. Можно
например, как предлагает Ремак, сделать предварительно такой
гиперболический поворот, чтобы после него существовал круг, описанный вокруг
точки О, внутри которого нет других точек решетки, кроме точки Ог
и на границе которого лежат две пары Л, А и
5, В1 точек решетки, симметричных относительно
точки О.
Действительно, возьмем заданную решетку
и будем увеличивать радиус окружности,
описанной вокруг точки О как вокруг центра, пока
она не наткнется на пару Л, А точек решетки.
Будем теперь растягивать эту окружность в
эллипс, например, вдоль оси т], не растягивая самой
решетки, так, чтобы этот эллипс все время
проходил через точки Л, Л'; тогда площадь его,
в конце концов, начнет увеличиваться сверх вся-
Фиг. 5. кого предела, и, следовательно, в силу леммы
Минковского о выпуклом теле, в конце концов*
эллипс этот наткнется еще на пару точек В, В1 решетки, симметричных
относительно начала (фиг. 5). Это будет во всяком случае раньше, чем
его площадь сделается равной 4. Сделаем теперь такой гиперболический
поворот плоскости относительно асимптот S, tj (вместе с точками решет-т
ки), после которого этот эллипс превратится в окружность* Получится
подготовленная решетка.
У такой решетки будет иметься две пары точек Л, А и Д В\
ближайших (и одинаково близких) к точке О. Ремак показывает, что для так
подготовленной решетки наибольшее удаление точки плоскости от точки
такой решетки не будет превосходить ~-, т. е. что для нее не только*

— 297 —
рассмотренные гиперболические кресты, но даже и
концентрические им, вписанные в них круги (они имеют как раз радиус^-) уже
будут покрывать всю плоскость.
Остается показать, что для любой решетки, площадь основного па-
раллелограма которой равна 1 и у которой имеется две пары Л, А и
В, В' ближайших точек к ее точке О, наибольшее расстояние от любой
VT
точки плоскости до точки такой решетки не больше чем ^тр-- Для
доказательства этого заметим, что область Дирихле—Вороного (область
действия) точки решетки, т. е. совокупность всех тех точек плоскости,
которые от данной точки решетки не дальше чем от любой другой
ее точки, есть выпуклый шестиугольник, вписанный в крут,
противоположные стороны которого равны и параллельны (см.,
например, приложение к русскому переводу курса теории чисел Дирихле).
В силу самога получения этого шестиугольника при помощи
построения прямых, проходящих через середины отрезков, соединяющих
эту точку решетки с другими Точками решетки, перпендикулярно к этим
отрезкам, ясно, чтб части таких прямых, соответствующие ближайшим
к рассматриваемой точке точкам решетки, составляют стороны этого
шестиугольника и притом наибольшие по длине его стороны. В нашем
случае, когда таких ближайших точек четыре,
шестиугольник Дирихле .равнобедренный", причем четыре
равные его стороны — наиболее длинные (фиг; 6). Наиболее
удаленные точки плоскости от точки О решетки—это
вершины ее шестиугольника Дирихле* чтб следует из
самого его определения. Площадь &е шестиугольника
Дирихле равна площади основного параллелограма решетки, Фиг. б.
потому что как эти шестиугольники так и основные па-
раллелограмы покрывают всю плоскость, не налегая друг на друга, и
мбгут быть взаимнооднозначйо отнесены к точкам решетки:
шестиугольники, например, к своим центрам, а параллелограмы, например, к левым
нижним своим вершинам. Легко видеть, что при данной площади такой
равнобедренный шестиугольник Дирихле, у которого четыре равные
стороны наиболее длинные, имеет наибольший радиус описанного круга,
когда он — квадрат. Но в том случае, если площадь этого квадрата
равна 1, радиус описанного вокруг него круга равен p—Z— .
Все это доказательство Ремака до того места, где исследуются
подробности, связанные с шестиугольником Дирихле, непосредственно
обобщается на любое п. В частности, доказательство того, что
существуют эллипсоиды с центром в точке О решетки, оси которых лежат на
«данных взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через эту точку*
внутри которых нет других точек решетки кроме точки О и на границе
которых лежат п точек решетки, не компланарных с началом, Ремак:
дает при помощи замечательного отображения пространства в
положительной „октант" путем сопоставлейия каждой его точке точки, кборди^
е

— 298 —
.наты которой суть квадраты ее координат. При таком отображении
точкам плоскости (пересекающей координатные оси по положительным
отрезкам), принадлежащим положительному октанту, соответствует
поверхность эллипсоида исходного пространства, имеющего координатные
оси своими осями. Если взять грань того бесконечного многогранника,
.который есть граница выпуклой оболочки образов всех точек данной
решетки, то она будет образом как раз нужного нам эллипсоида,
Рассуждение с областью Вороного—Дирихле для подготовленной
решетки Ремаку удается провести еще и для /г=3. Тут эта область
•есть некоторый четырнадцатигранник. Его вершины не лежат уже все
на одной сфере, описанной из его центра, а на трех разных таких
концентрических сферах некоторых радиусов ра^Рг^Ра* Удается показать,
что в случае подготовленной, решетки даже наибольший из них ргвсеже
меньше, чем-Цг-. Это Ремак делает, используя глубокие соображения
теории Вороного, связанные с рассмотрением пространства
параметров решетки.
Гофрейтер (Hofreiter) сделал поцытку обобщить метод Ремака
на я=4» однако эта попытка не увенчалась успехом,
В работе, помешенной в ЛJournal of the London Math. Soc.\ № 53
sa 1939 год, Девенпорт (Davenport) дал новое, гораздо более простое.,
чем у Ремака, доказательство для #=3» состоящее из соединения
некоторых соображений Ремака с применением верхнего предела
минимума положительных квадратичных форм с четырьмя переменными,
данного Коркиным и Золотаревым в их первод работе па квадратичным
формам „Sur les formes quadratiques positives quaternaires* (Mathu
Ann., 5, 1872). Приведем доказательство Девенпорта.
Пусть £, г), С—вещественные линейные формы от трех переменных я, v*
w с определителем, равным 1. Надо доказать, что для любых трех заданных
вещественных констант а, р, у существуют системы целых значений иу
vy w7 отличные от чисто нулевой» для которых удовлетворяется
неравенство
1(б-в)(ч-Ю(С-т)1<т-
Пусть /?, q, r таковы, что эллипсоид p2Z2-\-q2r{2-\-rK2=\ не имеет
точек рассматриваемой решетки (т. е. соответствующих целым и> v, w)t
кроме начала, внутри себя и имеет на своей поверхности три точки
решетки, не лежащие в одной плоскости с началом. Это — эллипсоид
Ремака. Покажем, что для любых а, [5, у существуют точки решетки,
отличные от начала, для которых
2
р2(^а)2 + ?2(7)_р)2 + г2(С_т)2<|(^г)3 .
Из этого неравенства сейчас же получается предыдущее при
помощи неравенства между средним геометрическим и средним
арифметическим. Сделаем афинное преобразование пространства, после которого
рассматриваемый эллипсоид преобразуется в сферу радиуса 1 х2-\-у*-$~

— 299 —
-J-z2=l, a три точки на нем —в точки (1,0,0), (^,^,0), {х^у^г^).
Исходная решетка при этом преобразуется в решетку с определителем
[1 0 0 1
JD=pqr. Так как \ хг ух 0 \=ухгг кратное D, то £>< 1. Пусть (а, Ь, с)
] ^2 ^2 ^2 |
юбраз точки (а, р, у), т. е. p2(S — а)2 + ?2(7] — P)2-f г2 (С — у)2 = (;с — а)2 +
+ 0/ — *)2 + (г—с)2. Мы должны показать, что квадрат расстояния от
_2_
точки (а, £, с) до ближайшей точки решетки не превосходит -г- D3 . Мы
можем принять эту ближайшую точку за начало, так что а2-{-£2 + £2<;
^(х— a)2-\-(y — b)2-\-(z — cY для всех точек (я, у, z) решетки. Надо,
2_
следовательно, показать, что а2 + Ь2 + с2 ^ -| Z)3 < 1.
Рассмотрим для этого четверничную квадратичную форму (дг — #^)2 +
-|-(у— bt)2-\- (z — ct)2-\-(dt)2 по отношению к переменным и, v$ w, t,
где a2-\-b2-\-c2-\-d2= 1. Для £=0, если только и, v, w не равны
нулю одновременно, ее значение по крайней мере равно 1, так как
внутри сферы x2-\-y2-\-z2= 1 нет точек решетки, кроме начала. Для
«#=-+-1 оно также по крайней мере равно 1, так как для t=l оно
-больше, чем a2-\-b2-{-c2J^d2 = U а случай t=—1 сводится на t = l,
«если взять —и, —v, —w, —t, вместо щ v, w, t. Для £=±2 ее
значение ^4d2=4{l — а2 — V* — с2)^1, так как а2-\-Ь'2~\-с2*^^. Но в
силу известного результата Коркина и Золотарева минимум четверничной
формы определителя Д не превоьходит (4Д)4, откуда 4D2d2^l и, сле-
2 2
довательно, а2 + b* -f c2 = l— fiP<l — ^^ fl>r + I — t(^~+
2 2 2
Легко показать, что константа £ в неравенстве Минковского для
любого п во всяком случае меньше 1; это непосредственно следует из
леммы Минковского о выпуклом теле с центром в точке решетки.
Непосредственное обобщение только что рассмотренного вывода
Девенпорта на любое п показывает, что для любого п константа с не
.больше -~, где К=^ VМ л+1, а М — наибольшее значение минимума
лоложительных квадратичных форм с определителем, равным 1, и я-j-l
.переменными.
Оба эти значения для с годны для любого п% но при больших а
очень грубы. Не точное значение с, но для больших п все же лучшее,
чем сейчас указанные, дал Н. Г. Чеботарев в работе „Об одной теореме
.Минковского* в „Ученых записках Казанского гос. университета" за
J934 год (том 94, книга 7).
Чеботарев показал, что для любого п константа $ меньше., ,..--■}""е.
Доказательство Чеботарева следующее. Пусть yi=aax%Jrai2X2J[

— 300 —
* • -'+0fti.vH>/ {i— 1,2,.,., nl zi = 0/1*1+ Л/2-ХзН И^-** {i= 1,2,...
n) — рассматриваемые линейные функции и соответствующие их
однородные части, причем определитель их равен 1. Надо доказать,
что можно всегда найти такие целые х1У л^, ..., хп, что \улу2 •••J>J<C
<^_Ц--{~е, гДе s — какая угодно малая положительная константа.
Выберем систему целых значений х1, х2, ..., хп такую, при
которой L<L\yx у2 ••• Уп\*^^-\-т\, где 7] — сколь угодно малая
положительная константа и L — нижняя грань множества значений \уг у2 • • • уа | приь
всех возможных целых Хи Составим выражения
yt +Zi=an{x1-{-Z1) + ai2{x2 + Z2)-\ Ь я/л К + &л)+
+ й/ (*=1,2, ...,л),
где £/—также целые числа, т. е. z*—значения однородных частей^*
при Х{ = S/♦ Мы будем иметь
\(yi + Zi)(y2 + Z2)---(yn + Zn)\^L
Деля это неравенство на неравенство
получим неравенство
i('+^('+f)-('+£)i>^.
Аналогична составим неравенство
ю-йХ'-а-о-г)!^-
Перемножая эти неравенства, получим
1(-г)('-з)-(,-|)1>^- <•'
Обозначим 1==——. В силу леммы Минковского о выцуклом теле с
центром в точке решетки, каковы бы ни были с19 с2, ..., сп такие, что
\с\с2 "•• Сп\'^1> можно найти такие целые Si, чтобы удовлетворялись
неравенства |zx |<\с$ \(i = 1, 2,. *.,п). За с, примем l^1^2 (1=1,2,.
...,/г). Выберем из всех систем zv z2, ..., zj,, удовлетворяющих
неравенствам |z{ | <|№|; 2 0 = 1,2,...,*% такую, что система 2zv 2г2, ...,
2zn Уже не будет удовлетворять этим неравенствам. Тогда по крайней

— 301 —
мере для одного г{, пусть это будет ги имеет место неравенство
\гх\>> -Щ^= • Учитывая, что \гг\< |-У11^2 , мы получаем -4$= < | zx | ^
<1-5Г,-Еслиже l-l<0,To|l-|-jtf|-l.
Теперь уже можно доказать, что а < 1. Действительно, допустив
*? о l -г;
,2
1-4
У/
1
лротивное, мы получим 1^1 j ^1 § > — 1 или
Уг
-(/=2,3, ...,#). Заменив в неравенстве (*) каждый множитель, начиная
со второго, единицей, первый же множитель — выражением —2 — 1, если
z2 z2
1 \ <0, или выражением 1—^~, если 1 §->0, мы получим
1-i>(TT^ ^г-^тта*- При а>1ни°да°из этих дв^х
неравенств не может иметь места, так как в левой части стоят
постоянные величины мецыцие 1, в правой же — величина, сколь угодно
близкая к 1. Таким образом, а ^ 1, L ^ , >д и, следовательно, \угу2 • • • Уп\ <С
Константа Чеботарева g= была улучшена Морделлем.
Вернемся к задаче Чебышева,
В последнее время было, наконец, разными способами (см.,
например, А. Я. Хинчин, „Math. Ann." Ill, 1935) показано, что можно
удовлетворить бесконечным числом пар целых чисел х, у неравенству Чебы-
шева с любой постоянной с^* —• Результат .этот представляет собою
s том смысле окончательное решение собственно задачи Чебышева, что,
в силу теоремы Гурвица — Бореля, постоянная -т= тут уже не может быть
У 5
заменена меньшей.
Наиболее простое доказательство дано, пожалуй, И. И. Жогиным
в „Ученых записках МГУ" („Математика", книга 5, 1944). Приведем
это доказательство.
Пусть 6 и а любые заданные вещественные числа и 6 иррационально.
Надо показать, что можно найти сколько угодно целых х, у
удовлетворяющих неравенству |л:6—у — а|<-^=. . Предположим сначала, что
д#—у — а не равно нулю ни при каких целых♦ х, у. В силу теоремы
Гурвица — Бореля имеется сколько угодно целых р, q, для которых
\qb— /^|<Г—т=- Для любой такой пары р9 q$ 6=^+ —-р=9 где 0<
qy 5 q q2V 5
■J х V
<£|*К1. Найдем такое целое t, что \qa — t\^-^; тогда а = j-f-^»

— 302 —
где |8'|<1. Мы имеем, следовательно, | лЛ—J/ — а 1 = j ^"^ ^ -f-
-4 — . Можно предполагать р9 q взаимно простыми, и, следо-
д2у 5 2q \
вательно* можно найти такие целые х, у, что рх— qy = t, |л|^~;
тогда
|Jrt_j,-«[<m£!+iu<(4-+-U.
Но ?>2|л|, следовательно | хЬ — у — а| < 'л^5 ~<ty= • ~ -
Пусть теперь [—уИ, Л/] сколь угодно большой отрезок числовой оси
и пусть |л—минимум |л8—j/ — а\ на этом отрезке при целых х, у
В силу сделанного предположения д^>0„ Если взять q"^>- _- ♦ —
то получим, что при целых х, у \хЬ—у — a|<ji и, следовательно
либо xt либо j/ лежит вне отрезка [—М, М]. Таким образом, пар х, у
удовлетворяющий йеравенстйу | лев—у — а|<^у= , бесконечно много
Случай, когда есть целые х, у, при которых хЬ—у — а=0, Жогин
тоже сводя? на теорему Гурвица — Бореля, но еще проще.
Оглядываясь назад на цикл работ, сейчас описанных и связанных
с работой Чебышева „Об одном арифметическом вопросе*, можно
сказать следующее. Почти каждый из авторов, продолжавших исследование
Чебышева, вносил некоторое видоизменение в самую постановку задачи.
Эрмит к условиям Чебышева прибавил совсем посторонние условия,
связанные скорее с его методом доказательства, чем с самой задачей»
Почему Минковский, решая задачу, отличную от чебышевской,
утверждает, что он улучшил Константу Чебышева, непонятно: в другой задаче,
и другая константа* Тут имеется несколько разных, хотя и близких
между собою задач. Изложим основные из этих задач геометрически.
Пусть S и г; пара пересекающихся прямых плоскости и О точка их
пересечения. Назовем „гиперболическим крестом" часть плоскости,
лежащую между парой сопряженных гипербол с асимптотами S и rh
Площадь координатного параллелограма относительно осей £ и tj этих
гипербол мы будем называть параметром креста. В виду того, что всё
рассматриваемые задачи афинны, мы можем предполагать, что угол
между асимптотами 5 и rj прямой и что параметр рассматриваемого
креста равен 1 (фиг, 7).
I. Задача Лагранжа — Гурвица состоит в том, чтобы найти
величину, равной или меньше которой не может быть площадь s основа
яого параллелограма решетки, если: 1° одна из точек решетки есть
точка О; 2° решетка имеет линейный ряд точек на асимптоте S и 3° й£
имеет внутри креста бесконечного числа своих точек, не принадлежанщх
&т ому линейному ряду (фиг. 8).

— 303 —
II. Задача Чебышева есть как бы „сдвинутая" задача Ла-
гранжа — Гурвица: найти величину, равной или меньше которой не может-
быть площадь 5 основного параллелограма решетки, если решетка: 1°
имеет линейный ряд точек на асимптоте £ (но точка О может не
принадлежать решетке) и 2° не имеет внутри креста бесконечного числа
своих точек, не принадлежащих этому линейному ряду (фиг, 9).
Фиг. 7. Фиг. 8.
III. Задача Маркова о минимуме неопределенной
двойничной квадратичной формы состоит в том, чтобы найти
величину, меньше которой не может быть, площадь s основного
параллелограма решетки, если О есть точка решетки и притом единственная
лежащая внутри креста (фиг. 10).
Фиг. 9. Фиг. 10.
IV. Задача Минковского: найти величину, мейьше которой
не может быть площадь £ основного параллелограма решетки, вовёе не
имеющей точек внутри креста (фиг. 11)*
Результаты получаются такие:
в задаче I 5 = J/5,
в задаче II s = ^5,
в задаче III s = Vbf
в задаче IV s=4.

— 304 —
Результаты эти окончательные в том смысле, что уменьшить константы
в правых частях неравенств нельзя.
По нашему мнению, задачи I, II и III тесно связаны между собою
причем основной из них является, повидимому, задача III Маркова
о квадратичной форме, а задачи I и II являются как бы ^испорченными*
ее формулировками. Что же касается задачи Минковского, то она совсем
.отлична от задач I, II и III.
Докажем результат III. Пусть решетка имеет точку в О и не имеет
других точек внутри креста. Если она не содержит точек ни внутри
полоски между гиперболами $7) = 1 и $tj=1-|-s, где е — некоторая
фиксированная положительная константа, ни внутри симметричной относительно
оси 7] полоски, то решетку эту простой гомотетией к точке О можно
превратить в решетку с меньшею площадью [если бы решетка имела
точки внутри полоски между гиперболами $7)==—1 и $т]=—(1 -fs)>
то ее можно было бы заменить ее отражением в оси tj, которая имела бы
уже точки в полоске между £>] = 1 и &т)=1-[~е]. Кроме того,
„гиперболическим поворотом" плоскости по отношению к асимптотам £, т\ (т. е.
сжатием вдоль одной из этих асимптот и таким же растяжением вдоль
другой), который преобразует рассматриваемый крест в себя, мы можем
любую точку, лежащую в указанной полоске, передвинуть на
биссектрису и (фиг. 12). Достаточно, следовательно, рассматривать только такие
Фиг. п. Фиг. 12.
решетки, одна из точек А' которых принадлежит отрезку Ь этой
биссектрисы, лежащему в указанной полоске, причем отрезок этот сколь
угодно мал, но фиксирован. Фиксируем точку А1 на отрезке 5.
Ближайший параллельный к ОА' ряд рассматриваемой решетки должен иметь
две точки В' и С внутри полосы Q, заключенной между прямыми,
проходящими через точки А и А! перпендикулярцо к отрезку А'А'. Отре^
зок ВС равен и параллелен отрезку ОА'. Площадь основного парал-
лелограма решетки ОА'В'С, у которой точки В' и С лежат вне креста,
будет, очевидно, наименьшей, если отрезок В'С расположен симметрично
относительно биссектрисы v и точки В'9 С лежат на границе креста.
Это имеет место, когда прложение точки А' на отрезке Ь фиксировано.
А из всех таких параллелограмов площадь, очевидно, будет наименьшей

Фиг. 13.
— 305 —
у того, у которого точка А' лежит в начале отрезка S, т. е. в вершине
креста, так как у такого параллелограхма минимальны и основание ОА
и высота. Решетка, построенная на таком минимальном параллелограме
ОАВ (фиг. 13), не имеет точек внутри креста, так как, как легко
убедиться, уравнения его
гипербол по отношению к
координатным векторам ОЛ,
ОВ имеют вид х2 -f- лу —j/2=
<=-jr\. Площадь параллело-
грама ОАВ равна s=Vb.
Результат III доказан, причем
знак равенства в нем имеет
место для единственной
полученной нами сейчас
решетки. Идея этого вывода
состоит в том, что требуется
сначала, чтобы крест не
охватывал лишь трех соседних с
О точек решетки А', В\ С
(фиг. 1) и из всех таких решеток ищется решетка с наименьшей площадью
основного параллелограма, т. е. решается лишь „локальная*4 задача.
Решетка, дающая ее решение, оказывается вовсе не имеющей точек внутри
креста кроме точки О, т. е. дает решение и „интегральной" задачи.
Покажем теперь, как выводится из результата III результат I.
Отметим прежде всего следующее свойство гиперболы, которое -не трудно
проверить: если имеется два гиперболических креста аире общей
второй асимптотой 7) и общим центром, но с разными первыми асимптотами
$а и £р, то если параметр креста fi меньше параметра креста а,
начиная с некоторого места, обе ветви креста р, идущие вдоль общей
асимптоты т), лежат целиком внутри креста а, если же равен, то одна
из них.
Возьмем теперь предельную решетку задачи III ОАВ (фиг. 13) и
заменим асимптоту ее £ асимптотой 5р> проходящей через некоторый ее
линейный ряд, например, через ряд ОБ, и рассмотрим крест с
асимптотами £L и 7) и параметром несколько (сколь угодно мало) меньшим,
чем 1. В силу сделанного сейчас замечания о гиперболах его ветви,
идущие вдоль асимптоты т], будут лежать, начиная с некоторого места,
целиком внутри креста рассматриваемой предельной решетки задачи III,
т. е. не будут охватывать ее точек. Ветви же, лежащие вдоль
асимптоты О В, на которой лежит линейный ряд точек рассматриваемой
предельной решетки, также, очевидно, начиная с некоторого места, не
будут охватывать ее точек. Сделав афинное преобразование, после которого
крест £л] совместится с нашим стандартным крестом параметра 1, мы
получаем из рассматриваемой -предельной решетки задачи III решетку
задачи I с площадью основного параллелограма, сколь угодно мало
превышающей ]/5.
20 Чебышев, т. I

— 306 —
Остается показать, что всякая решетка с точкой в О и с линейным
рядом точек на асимптоте £, площадь основного иараллелограма которой
меньше или равна УЪ, уже непременно имеет внутри креста
бесконечно много своих точек, не принадлежащих этому линейному ряду.
Для этого разберем два случая.
1-й случай. Неполные частные решетки относительно асимптоты 7),
начиная с некоторого места, сплошь равны 1. В этом случае,
преобразовав решетку афинно так, чтобы первый приведенный репер*, начиная
с которого это имеет- место, преобразовался в репер ОАВ предельной
решетки задачи III, мы получим, в силу сделанного замечания о
гиперболах, что, начиная с некоторого (может быть гораздо более далекого)
места, вдоль 7) все вподходящие" точки одной из ветвей будут уже лежать
внутри креста, в который превращается при этом рассматриваемый крест
задачи I.
2-й случай. Сколь угодно далеко встречаются неполные частные
относительно асимптоты ц большие 1. Но, как легко видеть, если
приведенный репер соответствует неполному частному 2 или больше, то,
если площадь основного иараллелограма достаточно мало превосходит
УБ, концы его векторов и конец их суммы не могут лежать вне креста,,
т. е. в этом случае есть сколько угодно точек решетки, лежащих внутри
креста вдоль асимптоты ц.
Задача Чебышева, т. е. задача II, также может быть сведена к
задаче III. В этом, например, и состоит результат Жогина.
Что же касается задачи Минковского IV, то, как нам кажется,
наиболее адекватным ей доказательством может быть следующее, основанное,
как и предыдущее доказательство результата III, на „локальном4* методе»
Начнем с леммы: в любой решетке, не имеющей вовсе точек на
данном кресте прямых, существует такой ее основной параллелограм,
вершины которого отделены друг от друга этим крестом (т. е. лежат
по одной в каждом из четырех углов, им образуемых). Действительно,
построим ромб, диагоналями которого будут рассматриваемые прямые,
настолько малый, чтобы ни внутри его, ни на границе не было точек
решетки. Будем его увеличивать, пока он не наткнется на точку А
решетки (фиг. 14). Если в этот момент на нем нет других точек решетки,
будем его растягивать вдоль одной из прямых так, чтобы точка А
оставалась на нем. В конце концов он наткнется на вторую точку той же
или другой своей стороной, так как иначе мы получили бы пустую
бесконечную полоску (пунктирную на фиг. 14), а в таком случае лемму было бы
уже легко доказать. Достаточно, значит, рассматривать пустые ромбы,
имеющие на себе по крайней мере две точки решетки А и В. Если А
и В лежат на одной стороне ромба (фиг. 15), например идущей внутри
первого угла, то ближайший линейный рад решетки, параллельный АВ
и лежащий по другую (относительно центра) сторону от ЛВ, лежит
на прямой /, параллельной АВ, на которой лежит противоположная сто-
* О приведенных реперах (двусторонниках) см. последнее приложение к
русскому переводу ,Курса теории чисел' Дирихле.

— 307 —
рона ромба, или на более далекой. Следовательно, этот ромб имеет
точки внутри третьего угла. Последняя точка решетки прямой АВ, еще
лежащая в первом углу, и первая ее точка, лежащая во втором углу
а также последняя точка прямой /, еще лежащая в третьем, и первая,
лежащая в четвертом углу, образуют требуемый параллелограм. Если
точки А и В лежат на двух смежных сторонах ромба, например-на
лежащих в первом и втором углах (фиг. 16), то ближайший параллельный
ряд лежит на прямой /, отрезок которой от прямой £ до прямой /;/
больше или равен АВ, т. е. имеет хоть одну точку в третьем углу.
Последняя из этих точек, лежащих в третьем углу, и первая, уже
лежащая в четвертом, вместе с А я В образуют нужный параллелограм.
Если А и В лежат на противоположных сторонах ромба (фиг. 17),
например в первом и третьем углах, то эти две точки с точками обоих
ближайших параллельных с АВ рядов, лежащими в полоске,
образованной продолжением этих сторон ромба, образуют нужный параллелограм.
Лемма, таким образом, доказана.
Фиг. 14. Фиг. 15. Фиг. 16. Фиг. 17,
Рассмотрим теперь такой основной параллелограм ABCD решетки
задачи III, вершины которого разделены крестом асимптот нашего
гиперболического креста (фиг. 18), т. е. лежат по одной в каждом из
Четырех „карманов*, образованных этим крестом. Не трудно видеть, что
площадь такого параллелограма будет наименьшей, когда вершины его
будут лежать в вершинах креста или когда он будет получаться из
такого гиперболическим поворотом. Но, как это очевидно, решетка с таким
основным параллелограмом вовсе не имеет точек внутри креста
(фиг. 19).

— 308 —
Другое простое доказательство точного неравенства Минковского
для #=2 следующее. Опять приводим к случаю, когда одна из точек
решетки А лежит на биссектрисе и очень близко от вершины (фиг. 20).
Учитывая, что крест, симметричный рассматриваемому относительно
точки Л, тоже пустой, строим прямоугольник, составленный из квадратов,
вписанных в оба эти креста и ограниченных касательными в их
вершинах, а также узкой полоской между ними, получающейся в случае, если
точка А лежит не в самой вершине. Площадь каждого из этих
квадратов равна 8, и, следовательно, площадь всего прямоугольника больше
или равна 16. По известной общей лемме Минковского о выпуклой
фигуре с центром в точке решетки, если плошадь основного параллело-
грама решетки меньше 4, кроме центральной точки А в этом
прямоугольнике должна быть еще хоть одна пара точек решетки,
симметрично расположенных по отношению к А. Но весь прямоугольник, кроме
очень небольшой его области Д около точки А, лежит внутри пустых
крестов, т. е. пустой. В области же Д около А также не может быть
точек реше.тки, так как если бы такая точка В существовала, то,
повторяя вектор АВ достаточно число раз, мы получили бы точку решетки,
лежащую в прямоугольнике, но уже не лежащую в области Д. Площадь
^ основного параллелограма решетки, не имеющей точек в нашем ги-
лерболическом кресте, следовательно, не меньше 4.
К сожалению, это простое рассуждение заведомо не обобщается
уже на случай я = 3. В случае л=3 роль квадратов будут играть
октаедры, и „биоктаедр" будет уже телом невыпуклым. Взяв для
п=3 другое, уже выпуклое тело с центром в Л, можно показать, что
для я —3 константа Минковского больше 6,1, тогда как точное ее
значение есть 8.
Если в предыдущем рассуждении взять не прямоугольник, а квадрат
(фиг. 21), то для п==2 получится константа 2 = (1Л>)2. Этот способ уже
обобщается на любое п. Это есть способ Чеботарева, дающий для пра-
извольного п константу с — (]/2)п. Он может быть улучшен, например
Фиг. 20.
Фиг. 21.

— 309 —
растягиванием указанного квадрата (/z-мерного куба) вдоль диагонали #,
но во всяком случае, как это показывает уже случай я = 3, не может
дать точной константы.
£. Делоне
А. А. МАРКОВ. „ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОДНОЙ
ТЕОРЕМЫ ЧЕБЫШЕВА"
Результат Чебышева о наибольшем делителе чисел l-f-2a, 1 -|- 42,
1+62,..., l + 4iV2 сделался известным за границей из курса Эрмита
(4 изд., 1891, стр. 197), где он был приведен без доказательства.
Заметка А. А. Маркова есть перевод письма Маркова к Эрмиту,
опубликованного Эрмитом в Comptes Rendus Парижской Академии Наук, а также
самим Марковым в „Записках Q.-Петербургской Академии Наук", 3 (1895),
стр. 55—58. Там же (стр. 361—866) появилась заметка И. И. Иванова,
дающая обобщение этой теоремы Чебышева. Это обобщение является
одним из результатов докторской диссертации И. И.Иванова.
Как этот результат Чебышева, так и обобщение Иванова,
представляет собою основное содержание 37-й главы 1-го тома книги Ландау
„Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen".
Мы дадим здесь теорему Иванова в изложении Ландау.
Теорема- Пусть Л^1, х^1. * Если Рх наибольший npotmou
делитель
П (4 +я»),
то
lim £*=00.
л — оо X
Доказательство. Пусть g константа и неравенство
имеет бесконечно много решений. Покажем, что это ведет к
противоречию.
Сравнение
y2 = — A{modpm)
имеет, как известно, решения для простых чисел половины из А = ср(4Л)
классов вычетов по модулю 4Л взаимно простых с 4Л, а для простых
чясел другой половины классов—не имеет. В случае, когда оно имеет
решение mod/?w, таковых два.
Степени рт (т^ 1) колечного числа тех простых чисел, которые
суть делители 4 Л, дают в разложении
X X
log n(i4 + «*)=2JlogH + /»i)
л=1 л=1

— 310 —
слагаемое порядка О (х). Это потому, что при фиксированных Аир
число решений по модулю рт сравнения
у2 = A{modpm)
меньше некоторой границы Ср, не зависящей от т. Действительно, если
р — 2 и А нечетное, то рассматриваемое сравнение, как известно, имеет
не больше чем четыре решения тойрт. Если же простое число р^2
входит в Л, возможны два случая. Если р входит в нечетной степени,
то, начиная с некоторого т, сравнение это не имеет решений. Если р
входит в А точно во 2гнй степени, A=p2VBy то, полагая y=pvz,
приведем наше сравнение для m^>2v к виду
z2~ — B(modpm-2v),
т. е. будем иметь в этом случае не более четырех решений
mo<lpv-pm-2V, иначе //*-*, т. е. не более чем 4/7* решений mod/?m.
Слагаемое, даваемое в рассматриваемой сумме логарифмов каждым
таким простым числом, таким образом, меньше или равно
с,-
log (Д 4-а3)
togp
т—\ \т~\ J
Если, следовательно, х пробегает решения неравенства Px^gx и 2'
п
относится к тем — классам вычетов, которым соответствуют такие р% то
£logH+«»)<0(*) + £' 1<*4(tE+2) + Gf+2)+...]<
р — 1[ [ jLd &/ log/?
^ \P^gx
= 0(х) + 2х £ !°|£+О (log *«(«*))=
Р
P^gx
Но для любого класса вычетов тоё4Л взаимно простых с А А
Z ^ = >g*+0(l).
P^gX
Таким образом, если х пробегает решения неравенства Px^gx
X
^log(A + n*)^0(x) + 2x(j-jlogx-\-O(l))==xlogx+0(x),
что противоречит неравенству
21og(.4 + fl2)^2 J log я--2* log x.
Б. Делоне

— 311 —
ТАБЛИЦЫ Е СТАТЬЕ „ТЕОРИЯ СРАВНЕНИЙ"*
L Таблица простых чисел, не превосходящих 6000
о
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
173
179
181
191
193
197
199
211
223
227
229
233
239
241
251
257
263
269
271
277
281
283
293
307
311
313
317
331
337
347
349
353
359
367
373
379
383
389
397
401
409
419
421
431
433
439
443
449
457
461
463
467
479
487
491
499
503
509
521
523
541
547
557
563
569
571
577
587
593
599
601
607
613
617
619
631
641
643
647
653
659
661
673
677
683
691
701
709
719
727
733
739
743
751
757
761
769
773
787
797
809
811
821
823
827
829
839
853
857
859
863
877
881
883
887
907
911
919
929
937
941
947
953
967
971
977
983
991
997
1009
1013
1019
1021
1031
1033
1039
1049
1051
1061
1063
1069
1087
1091
1093
1097
1103
1109
1117
1123
1129
1151
1153
1163
1171
1181
1187
1193
1201
1213
1217
1223
1229
1231
1237
1249
1259
1277
1279
1283
1289
1291
1297
1301
1303
1307
1319
1321
1327
1361
1367
1373
1381
1399
1409
1423
1427
1429
1433
1439
1447
1451
1453
1459
1471
1481
1483
1487
1489
1493
1499
1511
1523
1531
1543
1549
1553
1559
1567
1571
1579
1583
1597
1601
1607
1609
1613
1619
1621
1627
1637
1657
1663
1667
1669
1693
1697
1699
1709
1721
1723
1733
1741
1747
1753
1759
1777
1783
1787
1789
1801
1811
1823
1831
1847
1861
1867
1871
1873
1877
1879
1889
1901
1907
1913
1931
1933
1949
1951
1973
1979
1987
1993
1997
1999
2003
2011
2017
2027
2029
2039
2053
2063
2069
2081
2083
2087
2089
2099
2111
2113
2129
2131
2137
2141
2143
2153
2161
2179
2203
2207
2213
2221
2372
2239
2243
2251
2267
2269
2273
2281
2287
2293
2297
2309
2311
2333
2339
2341
2347
2351
2357
* Эти таблицы прилагались к прежним изданиям „Теории сравнений*,
— Ред.

— 312 —
Продолжение
2371
2377
2381
2383
2389
2393
2399
2411
2417
2423
2437
2441
2447
2459
2467
2473
2477
2503
2521
2531
2539
2543
2549
2551
2557
2579
2591
2593
2609
2617
2621
2633
2647
2657
2659
2663
2671
2677
2683
2687
2689
2693
2699
2707
2711
2713
2719
2729
2731
2741
2749
2753
2767
2777
2789
2791
2797
2801
2803
2819
2833
2837
2843
2851
2857
2861
2879
2887
2897
2903
2909
2917
2927
2939
2953
2957
2963
2969
2971
2999
3001
ЗОН
3019
3023
3037
3041
3049
3061
3067
3079
3083
3089
3109
3119
3121
3137
3163
3167
3169
3181
3187
3191
3203
3209
3217
3221
3229
3251
3253
3257
3259
3271
3299
3301
3307
3313
3319
3323
3329
3331
3343
3347
3359
3361
3371
3373
3389
3391
3407
3413
3433
3449
3457
3461
3463
3467
3469
3491
3499
3511
3517
3527
3529
3533
3539
3541
3547
3557
3559
3571
3581
3583
3593
3607
3613
3617
3623
3631
3637
3643
3659
3671
3673
3677
3691
3697
3701
3709
37Ш
3727
3733
3739
3761
3767
3769
3779
3793
3797
3803
3821
3823
3833
3847
3851
3853
3863
3877
3881
3889
3907
3911
3917
3919
3923
3929
3931
3943
3947
3967
3989
4001
4003
4007
4013
4019
4021
4027
4049
4051
4057
4073
4079
4091
4093
409У
4111
4127
4129
4133
4139
4153
4157
4159
4177
4201
4211
4217
4219
4229
4231
4241
4243
4253
4259
4261
4271
4273
4283
4289
4297
4327
4337
4339
4349
4357
4363
4373
4391
4397
4409
4421
4423
4441
4447
4451
4457
4463
4481
4483
4493
4507
4513
4517
4519
4523
4547
4549
4561
4567
4583
4591
4597
4603
4621
4637
4639
46,43
4649
4651
4657
4663
4673
4679
4691
4703
4721
4723
4729
4733
4751
4759
4783
4787
4789
4793
4799
4801
4813
4817
4831
4861
4871
4877
4889
4903
4909
4919
4931
4933
4937
4943
4951
4957
4967
4969
4973
4987
4993
4999
5003
5009
5011
5021
5023
5039
5051
5059
5077
5081
5087
5099
5101
5107
5113
5119
5147
5153
5167
5171
5179
5189
5197
5209
5227
5231
5233
5237
5261
5273
5279-

— 313 —
Продолжение
5281
5297
5303
5309
5323
5333
5347
5351
5381
5387
5393
5399
5407
5413
5417
5419
5431
5437
5441
5443
5449
5471
5477
5479
5483
5501
5503
5507
5519
5521
5527
5531
5557
5563
5569
5573
5581
5591
5623
5639
5641
5647
5651
5653
5657
5659
5669
568S
5689
5693
5701
5711
5717
5737
5741
5743
5749
5779
5783
5791
5801
5807
5813
5821
5827
5839
5843
5849
5851
5857
5861
5867
5869
5879
5881
5897
5903
5923
5927
5939
5953
5981
5987
II. Таблицы
первообразных корней и указателей для простых модулей,
не превосходящих 200*
Простое число 3
Первообразный корень 2. Основание 2
' N
N
1
0
1
о
1
Простое число 5
Первообразные ,корни; 2, 3
Основание 2
/ N
N 1 2 3 4
0 13 2
/0123
Просто е число 7
Первообразные корни: 3,5
Основание 3
/ N
N
1
0
2
2
3
1
4
4
5
5
6
3
12 4 3
1 /
0
1
1
3
2
2
3
6
4
4
5
5
О пользовании таблицами см. статью .Теория сравнений*, § 36. — Ре&*

— 314 —
Простое число 11
Первообразные корни: 2, 6, 7, 8
Основание 2
/ N
N \ 23456789 10
0182497 3 65
N0
1 2
1
0
И
2
5
3 4
8 10
5
9
6
1
7
7
8
3
9
4
jV 0 1 2 3 456789
О 10 11 4 7 5 9 14 6
1 1 13 15 12 3 2 8
tVO 23456789
0 17 5 16 2 4 12 15 10
1 1 6 3 13 11 7 14 8 9
jV 0
1
1
0
1
2 3 4
5
8 20 16 15
3 14 12
2 9 19 11
6 7
6 21
8
9
2 18
7 13 10 17
5
/0123456789
1 2 4 8 5 10 9 7 3 6
/0123456789
16 10 892 12 735
1 4 11
/0123456789
1 10 15 14 4 6 9 5 16 7
1 2 3 13 И 8 12
/0123456789
1 10 5 12 6 3 11 15 17 18
1 9 14 7 13 16 8 4 2
1012 3 456789
1 10 8 11 18 19 6 14 2 20
1 16 22 13 15 12 5 4 17 9 21
2 3 7
Простое число 13
Первообразные корни: 2, 6, 7, 11
Основание 6
/ Л
Простое число 17
Первообразные корни: 3, 5, 6, 7, 10, И, 12, 14
Основание 10
/ N
Простое число 19
Первообразные корни: 2, 3, 10, 13, 14, 15
Основание 10
/ Л
Простое число 23
Первообразные корни: 5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21
Основание 10
/ Л

— 315 —
Простое число 29
Первообразные корнн: 2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26,27
Основание 10
/ N
/V0123456789
О И 27 22 18 10 20 5 26
1 1 23 21 2 3 17 16 7 9 15
2 12 19 6 24 4 8 13 25 14
N0 123456789
0 12 13 24 20 25 4 6 26
1 2 29 7 23 16 3 18 1 8 22
2 14 17 11 21 19 10 5 9 28 27
3 15
N0 123456789
0 И 34 22 1 9 28 33 32
1 12 6 20 13 3 35 8 5 7 25
2 23 26 17 21 31 2 24 30 14 15
3 10 27 19 4 16 29 18
jVO
1 8
12 3 4 5
0 26 15 12 22
6 7 8
9
1 39 38 30
3 27 31 25 37 24 33 16
2 34 14 29 36 13 4 17 5 11
3 23 28 10 18 19 21
4 20
2 32 35
9
7
6
/0123456789
1 10 13 14 24 8 22 17 25 IS
1 6 2 20 26 28 19 16 15 5 21
2 7 12 4 11 23 27 9 3
/
1
2
0
1
1
17
25 22
5
2
10
2
23 19
3
15
4 5
7 26
6 7
8 12
3 20 30 14 21
13
4 6
9 29
8
18
16
28
/0123456789
1 5 25 14 33 17 11 18 16 6
1 30 2 10 13 28 29 34 22 36 32
2 12 23 4 20 26 19 21 31 7 35
3 27 24 9 8 3 15
/0123456789
1 6 36 11 25 27 39 29 10 19
1 32 28 4 24 21 3 18 26 33 34
2 40 35 5 30 16 14 2 12 31 22
3 9 13 37 17 20 38 23 15 8 7
Простое число 31
Первообразные корни: 3, 11, 12, 13, 17, 21, 22, 24
Основание 17
/ N
Простое число 37
Первообразные корни: 2, 5, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 32, 35
Основание 5
/ N
Простое число 41
Первообразные корни: 6, 7, И, 12, 13, 15, 17, 19, 22, 24, 26, 28, 29, 30,
34,35
Основание 6
/ N

— 316 —
Простое число 43
Первообразные корни: 3,5,12,18,19,20,26,28,29,30,33,34
Основание 28
/ А
iVOl 23456789
0 39 17 36 5 14 7 33 34
1 2 6 11 40 4 22 30 16 31 29
2 41 24 3 20 8 10 37 9 1 25
3 19 32 27 23 13 12 28 35 26 15
4 38 18 21
N 0
1 1
2 31
3 19
4 15
12 3 4
0 30 18 14
5 6
17 2
7 8 9
38 44 36
27 32 3 22 35 28 42 20 29 |
10 11 39 16 34 33
5 12 45 26
25 40 37 41
8 6 43
9 4 24 13 21 1
7 23
N0 123456789
0 25 9 50 31 34 38 23 18
1 4 46 7 28 11 40 48 42 43 41
2 29 47 19 39 32 Ю 1 27 36 6
3 13 45 21 3 15 17 16 22 14 37
4 2 33 20 30 44 49 12 8 5 24
5 35 51 26
/01
1 28
2 3
10 22
1 25 12 35 34
2 23 42
4 5
14 5
6 39
6
И
17
7 8
f
9
7 24 27 |
3 41
15 33 21 29 38 32 36
3 16 18 31 8
4 13 20
9 37
4 26 40
30
19
2
/0123456789
1 10 6 13 36 31 28 45 27 35
1 21 22 32 38 4 40 24 5 3 30
2 18 39 14 46 37 41 34 11 16 19
3 2 20 12 26 25 15 9 43 7 23
4 42 44 17 29 8 33
/0123456789
1 26 40 33 10 48 29 12 47 3
1 25 14 46 30 38 34 '36 35 9 22
2 42 32 37 8 49 2 52 27 13 20
3 43 5 24 41 6 50 28 39 7 23
4 15 19 17 18 44 31 11 21 16 45
5 4 51
Простое число 47
Первообразные корни: 5,10,11,13,15,19,20,22,23,26,29,30,
31,33,35,38,39,40,41,43, 44,45
Основание 10
/ Л
Простое число 53
Первообразные корни: 2,3,5,8,12,14,18,19,20,21,22,26,27,31,32,
33,34,35,39,41,45,48,50,51
Основание 26
/ N

— 317 —
Простое число 59
'Первообразные корни: 2,6,8,10,11,13,14,18,23," 24,30,31,32, 33,
34,37, 38,39,40,42,43,44,47,50, 52,54,55,56
Основание 10
/ N
N 0
1 1
123456789
0 25 32 50 34 57 44 17 6
45 24 23 11 8 42 14 31 22
2 26 18 12 27 49 10 48 38 36 4 |
3 33
4 51
7 9 19 39 20 56 41 47 55
2 43 13 37 40 52 53 16 30
5 35 46 15 28 5 21 3 54 29
/01 23456
7 8 9
1 10 41 56 29 54 9 31 15 32
1 25 14 22 43 17 52 48 8 21 33
2 35 55 19 13 12 2 20 23 53 58
3 49 18 3 30 5 50 28 44 27 34
4 45 37 16 42 7 11 51 38 26 24
5 4 40 46 47 57 39 36 6
Простое число 61
Первообразные корни: 2,6,7,10,17,18,26, 30, 31,35,43,44, 51, 54,55, 59
Основание 10
/ N
\ N 0 12345678 9
0 47 42 34 14 29 23 21 24
1 1 45 16 20 10 56 8 49 11 22 ,
2 48 5 32 39 3 28 7 6 57 25
3 43 13 55 27 36 37 58 33 9 2
4 35 18 52 41 19 38 26 40 50 46
5 15 31 54 51 53 59 44 4 12 17
' 6 30 !
I/O 1 23
4 5 6 7 8 9
1 10 39 24 57 21 27 26 10 38
1 14 18 58 31 5 50 12 59 41 44
2 13 8 19 7 9 29 46 33 25 6
3 60 51 22 37 4 40 34 35 45 23
4 47 43 3 30 56 11 49 2 20 17
5 48 53 42 54 52 32 15 28 36 55 !
Простое число 67
Первообразные корни: 2,7,11,12,13,18,20,28,31,32,34,41,44,46,
48,50,51,57,61,63
Основание 12
/ N
\ N 0 123456789
0 29 9 58 39 38 7 21 18
1 2 61 1 23 36 48 50 8 47 26
2 31 16 24 20 30 12 52 27 65 22
3 11 43 13 4 37 46 10 44 55 32
4 60 19 45 63 53 57 49 64 59 14
5 41 17 15 3 56 34 28 35 51 54
6 40 5 6 25 42 62 33
/012345
6 7
8
9
1 12 10 53 33 61 62 7 17 3
1 36 30' 25 32 49 52 21 51 9 41
2 23 8 29 13 22 63 19 27 56 2
3 24 20 39 66 55 57 14 34 6 5
4 60 50 64 31 37 42 35 38 15 46
5 16 58 26 44 59 38 54 45 4 48
6 40 И 65 43 47 28

— 318 —
Прос тое число 71
Первообразные корни: 7,11,13,21,22,28,31, 33,35, 42, 44, 47, 52, 53, 55,56,
59,61,62,63,65,67,68,69
Основание 62
/ N
N01 23456789
О 58 18 46 14 6 33 34 36
1 2 43 64 27 21 32 15 7 24 38
2 60 51 31 5 52 28 22 54 9 4
3 20 13 10 61 65 47 12 30 26 45
4 48 55 39 44 19 50 63 17 40 66
5 16 25 3 59 42 57 67 56 62 29
6 8 37 1 69 68 41 49 11 53 23
7 35
ЛГ0123456789
0 8 6 16 1 14 33 24 12
1 9 55 22 59 41 7 32 21 20 62
2 17 39 63 46 30 2 67 18 49 35
3 15 11 40 61 29 34 28 64 70 65
4 25 4 47 51 71 13 54 31 38 66
5 10 27 3 53 26 56 57 68 43 5
6 23 58 19 45 48 60 69 50 37 52
7 42 44 36
;V0123456789
0 50 71 22 34 43 19 72 64
1 6 70 15 74 69 27 44 9 36 10
2 56 12 42 52 65 68 46 57 41 1
3 77 76 16 63 59 53 8 23 60 67
4 28 21 62 47 14 20 24 55 37 38
5 40 2 18 7 29 26 13 3 51 17
6 49 75 48 5 66 30 35 54 31 45
7 25 33 58 4 73 61 32 11 39
У 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 62 10 52 29 23 6 17 60 28
1 32 67 36 31 5 26 50 47 3 44
2 30 14 16 69 18 51 38 13 25 59
3 37 22 15 7 8 70 9 61 19 42
4 48 65 54 11 43 39 4 35 40 66
5 45 21 24 68 27 41 57 55 2 53
6 20 33 58 46 12 34 49 56 64 63
/01 23456789
1 5 25 52 41 59 3 15 2 10
1 50 31 9 45 6 30 4 20 27 62
2 18 17 12 60 8 40 54 51 36 34
3 24 47 16 7 35 29 72 68 48 21
4 32 14 70 58 71 63 23 42 64 28
5 67 43 69 53 46 П 55 56 61 13
6 65 33 19 22 37 39 49 26 57 66
7 38 44
/012345 6 789J
1 29 51 57 73 63 10 53 36 17
1 J9 77 21 56 44 12 32 59 52 7
2 45 41 4 37 46 70 55 15 40 54
3 65 68 76 71 5 66 18 48 49 78
4 50 29 22 6 16 69 26 43 62 60
5 2 58 23 35 67 47 20 27 72 34
6 38 75 42 33 9 24 64 39 25 14
7 11 3 8 74 13 61 31 30
Простое число 73
Первообразные корни: 5,11,13,14,15,20,26,28,29,31,33,34,39,
40, 42,44,45, 47, 5,3,58,59,60,62,68
Основание 5
/ N
Простое число 79
Первообразные корни: 3,6,7,28,29, За 34,35, 37,39,43,47, 48,53,54,
59,60,63,66, 68,70,74,75,77
Основание 29
/ Л

— 319 —
Простое число 83
Первообразные корни: 2,5,6,8,13,14,15,18,19,20,22,24,32,34 35 39 4>
43, 45,4647,50,52,53,54,55,56,57,58,60,62,66,67,71,72,73,74, 76, 79, W
Основание 50
1 N
#0123456789
/V0123456789
0 72 87 56 18 71 7 40 86
1 2 4 55 65 79 17 24 82 70 53
2 74 6 76 31 39 36 49 85 63 29
3 1 57 8 3 66 25 54 77 37 64
4 58 67 7859 60 16 15 34 23 14
5 20 81 33 10 69 22 47 52 13 45
6 7319 41 5 80 8375 32 50 30
7 9 26 38 68 61 35 21 11 48 46
8 42 84 51 27 62 12 43 28 44
JV0123456789
1 0 86 2 76 11 88 53 66 4
1J 1 82 78 83 43 13 56 19 90 27
2 87 55 72 79 68 22 73 6 33 47
3 3 26 46 84 9 64 80 41 17 85
4 77 71 45 44 62 15 69 60 58 10
5 12 21 63 14 92 93 23 29 37 65
6 89 32 16 57 36 94 74 51 95 81
7 54 25 70 20 31 24 7 39 75 42
8 67 8 61 91 35 30 34 49 52 18
9 5 40 59 2а 50 38 48
/0123456789
/0123456789
1 30 10 33 11 63 21 7 32 70
1 53 77 85 58 49 46 45 15 5 61
2 50 76 55 48 16 35 71 83 87 29
3 69 23 67 52 47 75 25 38 72 24
4 8 62 80 86 88 59 79 56 78 26
5 68 82 57 19 36 12 4 31 40 43
6 44 74 84 28 39 13 34 41 73 54
7 18 6 2 60 20 66 22 37 42 14
8 §4 51 17 65 81 27 9 3
/0123456789
1 10 3 30 9 90 27 76 81 34
1 49 5 50 15 53 45 62 38 89 17
2 73 51 25 56 75 71 31 19 93 57
3 85 74 61 28 86 84 64 58 95 77
4 91 37 79 14 43 42 32 29 96 87
5 94 67 88 7 70 21 16 63 48 92
6 47 82 44 52 35 59 8 80 24 46
7 72 41 22 26 66 78 4 40 12 23
8 36 69 11 13 33 39 2 20 6 60
9 18 83 54 55 65 68
и о ог О 81 00 Z4 У 22
1 2 72 58 67 27 51 12 4 25 59
2 5 76 75 16 61 80 70 74 30 36
3 54 32 15 42 7 23 28 60 62 37
I 4 8 38 79 49 78 21 19 69 64 48
5 1 56 73 13 77 71 33 29 39 20
6 57 34 35 46 18 66 45 53 10 68
7 26 17 31 43 63 50 65 14 40 47
8 И 44 41
1 50 10 2 17 20 4 34 40 8
1 68 80 16 53 77 32 23 71 64 46
2 59 45 9 35 7 18 70 14 36 57
3 28 72 31 56 61 62 29 39 41 58
4 78 82 33 73 81 66 63 79 49 43
5 75 15 3 67 30 6 51 60 12 19
6 37 24 38 74 48 76 65 13 69 47
7 26 55 11 52 27 22 21 54 44 42
8 25 5
Простое число 89
Первообразные рорни: .3.6,7,13,14,15,19,23,24,26,27,28,29,30,31,33,
38,41,43,46,48,51,54.56,58,59,60,61,62,63,65,66,70,74,75,76,82,83,86
Основание 30
/ N
Простое число 97
Первообразные корни: 5,7,10,13,14,15,17, 21,23,26,29,37, 38,39,40,41,5<
57,58,59,60,68,71,74,76,80,82,83,84,87,90, 92
Основание 10
, Л

— 320 —
Простое число 101
Первообразные коран: 2,3,7,8,11,12,15,18,26,27,28,29,34,35,38,40,
42,46,48,50, 51, 53, 55, 59,61, 63, 66,67,72,73,74, 75, 83,86,89,
90,93,94,98,99
Основание 2
/ Л
JV0123456789
| 0 1 69 2 24 70 9 3 38
1 25 13 71 66 10 93 4 30 39 96
I 2 26 78 14 86 72 48 67 7 11 91
| 3 94 84 5 82 31 33 40 56 97 35
4 27 45 79 42 15 62 87 58 73 18
5 49 99 68 23 8 37 12 65 92 29
6 95 77 85 47 6 90 83 81 32 55
7 34 44 41 61 57 17 98 22 36 64
8 28 76 46 89 80 54 43 60 16 21
9 63 75 88 53 59 20 74 52 19 51
10 50
iVO 1 2345 6789
0 46 57 92 59 1 32 36 Р
1 329 47 66 78 И 82 50 58 28
2 49 89 75 90 93 16 10 69 22 76
3 6099 26 86 96 91 2 81 74 21
4 95 94 33 55 19 71 34 17 37 64
5 62 5 56 И 13 88 68 85 20 70
6 484 43 44 72 23 30 53 40 45
7 35 77 48 9 25 73 18 61 67 42
8 39 24 38100 79 7101 31 65 27
915 98 80 54 63 87 83 52 8 41
10 697 51
/01 23456789
1 2 4 8 16 32 64 27 54 7
1 14 28 56 11 22 44 88 75 49 98
2 95 89 77 53 5 10 20 40 80 59
3 17 34 68 35 70 39 78 55 9 18
4 36 72 43 86 71 41 82 63 25 50
|5 100 99 97 93 85 69 37 74 47 94
6 87 73 45 90 79 57 13 26 52 3
7 6 12 24 48 96 91 81 61 21 42
8 84 67 33 66 31 62 23 46 92 83
9 65 29 58 15 30 60 19 38 76 Si
У0 12345 6 789
1 6 36 10 60 51 100 85У8 73
126 53 9 54 15 90 25 47 76 44
258' 39 28 65 81 74 32 8919 11
3 66 87 7 42 46 70 8 4&82-80
4 68 99 79 62 63 69 2 12 72 20
517102 97 67 93 43 52 3 18 5
6 30 77 50 94 49 88 13 78 56 27
7 59 45 64 75 38 22 29 71 14 84
8 92 37 16 96 61 57 33 95 5521
9 23 35 4 24 41 40 34101 91
10 83 86
Простое число 103
Первообразные корни: 5,6, И, 12,20,21, 35,40, 43, 44, 45, 48,51,53,54;
62,65, 67,70,71,74, 75, 77, 78,84, 85,86, 87,88,96,99,Л 01
Основание 6
/ N

— 321 —
Простое число 107
Первообразные корни: 2,5,6,7,8,15,17,18, 20,21,22,24,26,28, 31,32,
38,43, 45, 46, 50, 51, 54, 55,58, 59, 60,63,65, 66, 67,68, 70,71, 72, 73, 74,77,
78,80,82, 84, 88,91,93,94,95,96,97, 98,103,104
Основание 63
/ N
N 0
1
297
380
4 86
515
1 2 3
0 95 78
76 5658
29 65 60
21 51 48
901893
7736 64
669 102 IX) 1
759
4
84
46
45
94
54
11
40
5 6
13 67
7
57
91 62 105
26 47'
7028
63 49
89 24
7137
811741101 104 74
8 75100 79 98
9 52
10 4
9 38 99
14 66 31
7
5
25
12 82
3 23
42 53
22
6
16
68
33
27
44
8 9
73 50
39 96
35 72
85 30
34 8
6187
83 32
19 88
43 92
55 103 201
N 0
1
0
2
93
1 1 107106
2 94
329
479
517
614
789
864
957
10 2
8
74
3 4
28 78
7 73
92105 91
33
45101
49
22
42
4
95
9
85
59
11
30
5
16
44
6 7
13 88
4821
32100 84
27 6104
66 77
97 69
3618
80 50
4686
75102 98
34
6770
72
15
23
60
37
19
24
2665
90 5
8 9
63 56
41 3
5810
9635
76 68
43 31 103 711
12 47
8187
5138
6152
82 39
99 25
20 83
62 40
53 551
54
/0123456789
1 63 10 95100 94 37 84 49 91
162 54 85 5Ю1 50 47 72 42 78
2 99 31 27 96 56104 25 77 36 21
3 39103 69 67 48 28 52 66 9218
464 73105 88 87 24 1426 33 46
5 9 32 90106 44 97 12 71370
623 58 16 45 53 22102 6 57 60
7 35 65 29 8 76 80 1151 3 82
830 71 86 68 4 38 40597955
9 41 15 89 43 34 2 19 20 83 93
10 81 74 61 98 75 17
/0123456 78 9
11010019 8147.34 13 21101
1 29 72 66 6 60 55 5 50 64 95
2 7817 6165105 69 36 33 3 30i
3 82 57 25 32102 39 63 85 87107
4 8918 7156 15 4183 6716 51
5 7486 97 98108 99 9 90 28 62
6 75 96 88 8 80 37 43103 49 54
710459 4514 3192 48 44 4 40
8 7376106 79 27 52 84 77 7 70
9 4624 22 2 20 9138 53 94 68
10 26 42 93 58 35 2312 11
Простое число 109
Первообразные корни: 6,10,11,13,14,18,24,30,37,39,40,42,
44, 47, 50, 51, 52,53, 56, 57,58, 59,62, 65, 67,69,70,72, 79,
85,91,95,96,98,99,103
Основание 10
/ N
Че$ышеВ| т. I

— 322 —
Простое число 113
Первообразные корни: 3, 5,6,10,12,17,19,20,21, 23, 24, 27, 29, 33, 34, 37,38,
39,43, 45, 46, 47, 54,55, 58, 59,66, 67, 68, 70,74, 75,76, 79, 80, 84, 86, 89,90,
92,93,94,96,101,103,107,108,110
Основание 10
/ /V
N 0
1 1
2 53
! 3 80
4105
5 62
1 2
0 52
22 71
3
4
79 104
58
39 74103
12
11
30 36101111
3491
26 50
6 2010682
7 73
8 45
9 47
10 2
35 90
9286
17
76
6
49
24
18 95109
1578
И 2310856
5
61
28
6 7 8 9
19 72 44 46
96 59 98 93
101101364 87 |
21
14107
65
88
81
31
37
83
7
89
8
42
57102100
38 29 33 25
43 97 63 32
4 6027 9
4199 5170
85 94 77 55
69 54 66 67
3 40 84 68
1675 548
/01234567
1 10 100 96 56 108 63 65
1 2524 14 27 44101 106 43
2 6035 1111083 39 51 58
3 3184 49 38 41 71 32 94
4 9766 95 46 8 80 9 90
5 5268 2 2087 79112103
6 57 5 50 48 28 54 88 89
7 6912 7 7022 107 53 78
8 3074 62 5598 76 82 29
9 7242 81 1977 92 16 47
10105 33104 23 4 40 61 45
8 9
8559
91 6
15 37
36 21
109 73
1317
99 86
102 3
64 75
18 67
11193
11 2634
Простое число 127
Первообразные корни: 3, 6,7,12, 14,23,29, 39,43,45, 46, 48,53,55,
56, 57,58, 65, 67,78,83, 85,86,91, 92, 93, 96, 97,101,106,
109,110,112,114,116,118
Основание 109
/ iV
N
1
; 2
3
4
0 12 3 4 5 6 7
0 18 23 36 111 41 125
3 52 5 9 20 17 8 72 118
21 22 70 11 77 96 38 69
26 50 90 75 10110 82112
39 76 40121 88 31 29120
i 5 114 15 56 67 87 37 53 65
6
7
8
9
10
11
12
44 30 68 45108 5 93107
2116100 24 4119 78 51
8 9
54 46
64 42
35 79
60 43
95124
97 91
28 34
61 32
57 92 94 25 58 103 13 1С2106123
49 19 47 73 12 27113 89
16 98
6101 33 14 74 7 85 84105 1
55 9 71 80 83122115 66109117
62 104 48 99 86 81 63
/0123456789
1109 70 10 74 65100105 15111
1 34 23 94 86103 51 98 14 2 91
2 13 20 21 3 73 83 30 95 68 46
3 61 45 79102 69 28 4 55 26 40
4 42 6 19 39 60 63 9 92122 90
5 31 77 11 56 8110 52 80 84 12
6 38 78120126 18 57117 53 62 27
7 22112 16 93104 33 41 24 76 29
8113125 36 114107106124 54 44 97
9 32 59 81 66 82 48 25 58 99 123
10 72101 87 85121108 88 67 64118
И 35 5 37 96 50116 31119 17 75
12 47 43115 89 49 7

— 323 —
Простое число 131
Первообразные корни: 2,6,8,10, 14,17,22,23,26,29,30,31,37,40,50,
54, 56,57,66,67,72, 76,82,83,85, 87, 88,90,93,95,96,97,98,103,104,106,
110,111,115,116,118,119, 120,122,124,126, 127,128
Основание 10
/ N
W0123456789
0 83126 36 48 79 38119122
1 1 98 32 64121 44 72 59 75 45
2 84 34 51 89115 96 17 118 74 73
3127 67 25 94 12 86 28 23128 60
4 37 58117 22 4 40 42 5 68 76
5 49 55100 78 71 16 27 41 26 46
6 80104 20 30108112 47 43 95 85
7 39 15111 91106 92 81 6 13 35
8120 114 11 3 70107105 69 87 52
9 123 102 125 63* 88 93 21 77 29 90
10 2 62 8 9 53 82 31 50 24116
11 99 19 110 10124 7109 56129 97
12 33 66 57 54103 14113101 61 18
13 65
W0123456789
0130 13124 23 7 2 118 26
1 17 90 1 53132 36112 86 20 54
2 11 15 84129 131 46 47 39 126 95
3 30133106103 80 25 14102 48 66
4 5 51 9 37 78 49123111125 4
5 40 99 41 71 33113120 67 89128
6 24110127 28100 76 97 87 74 6
7 19 29 8 32 96 59 42 92 60 21
8135 52 45101 3109 31108 72 57
9 43 55117 10105 77119 73134116
10 34 82 93 12 35 3& 65 98 27 58
11107115114 63 61 16 83 79122 88
12 18 44104 64121 69 22 85 94 50
13 70 75 91 56 81 62 68
/01 23456789
1113
2
3
4
62
82
96
63106
45
5107
6
7
8
9
10
57
22
34
43
78125
37108
12120
46
67
21
15
89 104123
39128101
84
60
99
54
16
76105
73
52 127
11112
12
80
72
14
75
93
29
2
95
91124
65 126
9
71
32
76
19
55
58
4
59
26 129111
56
40
66
51117122
13130 121
28
20
33
61
81
90 114
18
69
68
86
49
35
31
97
88
25119
74
24 109
92
3
85
42
30
36
7
5
41
48
53
94
98
70
50
17
87
6
23
НПО
64116
27
8
38118
/0123456789
1 12 7 84 49 40 69 6 72 42
1 93 20103 3 36 21 115 10120 70
2 18 79126 5 60 35 9 108 63 71
3 30 86 73 54100 104 15 43105 27
4 50 52 76 90121 82 25 26 38 45
5129 41 81 13 19 91 133 89109 75
6 78114 135 113123 106 39 57136125
7130 53 88 97 68 13165 95 44117
8 34134101 116 22 127 17 67119 58
9 11132 77102128 29 74 66107 51
10 64 83 37 33122 94 32110 87 85
11 61 47 16 55112111 99 92 8 96
12 56124118 46 4 48 28 62 59 23
13 2 24 14 31 98 80
Простое число 137
Первообразные корни: 3,5,6,12,13,20,21,23,24,26,27,29,31,33,35,
40,42,43,45, 46,47,48,51,52,53, 54,55,57,58,62,66, 67,70, 71,75, 79,80,
82,83;84,85,86,89,90,91,92,94, 95,97,102,104,106,108,110,111,113, 114,
116,117,124,125,131,132,134
Основание 12
/ N

— 324
Простое число 139
Первообразные корни: 2,3,12,15,17, 18,19,21, 22,26, 32,40,50, 53, 56,58,
61, 68, 70,72,73, 85,88,90,92, 93,98,101,102,104,108,109,110,111,114,115,
119,123,126,128, 130,132, 134, 135
Основание 92
/ N
iVOl 2345 6789
0119 49 100 22 30 16 81 98
1 3 74 11 26135 71 62 37 79 83
2122 65 55 39 130 44 7 9116 8
3 52 40 43 123 18 38 60136 64 75
4103 82 46 23 36 120 20 70111 32
5 26 86126 73128 96 97132127 15
6 33 125 21114 24 48104110137 88
7 19 68 41 35117 93 45 90 56102
8 84 58 63 28 27 59 4 57 17 94
9 101 42 1 89 51 105 92 115 13 34
10 6133 67129107 87 54112 109121
11 77 47 78 76113 61108124134 53
12 14 10106131 2 66 95 80 5 72
13 29 12 85 99 91 31 118 50 69 !
/0123456789
1 92 124 10 86128100 26 29 27
1 121 12 131 98120 59 7 88 34 70
2 46 62 5 43 64 50 13 84 83 180
3 6135 49 60 99 73 44 17 35 23
4 31 72 91 32 25 76 42111 65 3
5137 94 30119106 22 78 87 81 85
6 36115 16 82 38 21 125 102 71 138
7 47 15129 53 11 39113110112 18
8127 8 41 19 80 132 51 105 69 93
9 77 134 96 75 89126 55 56 9133
10 4 90 79 40 66 95 122 104116108
11 67 48107114 63 97 28 74136 2
12 45109 20 33117 61 52 58 54103
13 24123 47 101 118 14 37 68
Простое число 149
Первообразные корни: 2, 3,8,10,11, 12,13,14,15,18, 21, 23, 27, 32,34, 38,40,
41, 43, 48, 50, 51, 52,55, 56, 57, 58, 59, 60, 62, 65, 66, 70, 71, 72, 74,75, 77, 78, 79,
83, 84, 87, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 97, 98, 99, 101, 106, 108, 109,111,115,117, 122,
126, 128, 131, 134, 135, 136,137,138,139, 141, 146,147
Основание 10
/ N
N 0 1 2 34 56789
0 117 115 86 32 84 38 55 82
1 1 25 53 133 7147 24 4 51 60
2 118 5 142 15 22 64 102 49 124 128
3116 52141140121 70 20 136 29 100 !
4 87 61122 77111114132 14139 76
5 33 119 71 34 18 57 93 27 97 9
6 85 6 21 120 110 17 109 104 90 130
7 39 143137 72 105 31146 63 69 113
8 56 16 30 35 91 36 46 95 80 11
9 83 23101 19 131 92108 145 45107
10 2 65 88 58 40 37 3 48135 13
11 26103 62 94144 47 66 67 126 42
12 54 50 123 28138 96 89 68 79 44
13134125 78 98 73 81 59127 99 75
14 8129112 10106 12 41 43 74
/01234 5 6789
1 10 100106 17 21 61 14140 59
j 1 143 89145109 47 23 81 65 54 93
2 36 62 24 91 16 11 ПО 57 123 38
3 82 75 5 50 53 83 85 105 7 70 1
4104146119 147 129 98 86 115 107 27
5121 18 31 12 120 8 80 55103136
6 19 41112 77 25101116 117 127 78
j 7 35 52 73 134148139 49 43132128
8 88135 9 90 6 60 4 40102 126
1 9 68 84 95 56113 87 125 58133138
10 39 92 26111 67 74144 99 96 66
11 64 44142 79 45 3 30 2 20 51
1 12 63 34 42122 28131 118137 29141
13 69 94 46 13130 108 37 72124 48
14 33 32 22 71 114 97 76 15

— 325 —
Простое число 151
Первообразные корни: 6,7,12,13,14,15,30,35,48,51,52,54,56,61,63,71,
77,82,89, 93,96,102,104,106, 108,109,111,112,114,115,117,120,126,
129,130,133,134,140,141,146
Основание 114
/ N
JV0123456789
а 70141 140 82 61 37 60132
1 2 34121 101 107 73130 88 52 90
2 72 28 104115 51 14 21123 27 54
3143 58 50 25 8119 122 76 10 92
4142111 98 38 24 64 35 86121 74
5 84 79 91 69 43116 97 81 124 30
6 63 59128 19120 33 95 93 78106
7 39 137 42 87146 5 80 71 12 117
8 62 114 31 3 18 20108 45 94 53
9134138 105 49 6 22 41118144 16
10 4 9149 46 11 110139 99113 23
11 36 67 17 85 1 47 44 83100125
12 133 68129 102 48 96 89126 40 29
13103147 15 127 13 55148 32 26 56
14109 77 57135112 136 7 65 66145
15 75
N 0
1
2
3
4
0147 122138
1 2 152 104130
2149
3124
4140
5 13
23143
81
5
6
11 ИЗ
7
8
57129
48133120128
95
58111 118119
75
14151134
94112
6115155
7 59
8131
9 90
64
20
31
10 4108
11 154150
25
45
22 121
68
99
7
80
72
30
49 145 102 141 109
61
66
63
83
97
24
19144
98
54
1
9
88
79116 |
39
28107
76
82
15 1
96
86114 |
6
12110
53
87
5 139 142 137 125
67127
85123103
21
12 106 148 146
13132
14 50
15135
43 100
42
35
56
41
17
55126
89
60
73
40
3
52
44
34
77
16
92153
33136
651Q1
26
69
74
78
37105
91
62
46
71
80
36
18
27 1
47
9
32
84
8
29
93117 |
38
10
1 I
51
/0123456789
1114 10 83100 75 94146 34 101
1 38104 78 134 25132 99 112 84. 63
2 85 26 95109 44 33 138 28 21129
3 59 82 137 65 И 46 110 7 43 70
4128 96 72 54 116 87103115 124 93
5 32 24 18 89 29 135 139 142 31 61
6 8 6 80 60 45 147 148111 121 53
7 2 77 20 15 49 150 37 141 68 51
8 76 57 5117 50113 47 73 17126
9 19 52 39 67 88 66 125 56 42 107
10118 13123130 22 92 69 14 86 140
11105 41144108 81 23 55 79 97 35
12 64 48 36 27 58 119127133 62 122
13 16 12 9120 90 143 145 71 81106
14 4 3 40 30 98 149 74 131 136 102
/0123456789
1 139 10134100 84 58 55 109 79
1148 5 67 50 42 29106 133118 74
2 81 112 25 21 93 53145 59 37 119
3 56 91 89125105151108 97138 28
4124123 141131154 54127 69 14 62
5140149 144 77 27142 113 7 31 70
6153 72117 92 71135 82 94 35155
7 36 137 46114146 41 47 96 156 18
8 147 23 57 73 99102 48 78 9152
9 90107 115128 51 24 39 83 76 45
10132 136 64104 12 98120 38101 66
11 68 32 52 6 49 60 19129 33 34
12 16 26 3103 30 88 143 95 17 8
13 13 80130 15 44150126 87 4 85
14 40 65 86 22 75 63122 2121 20
15111 43 И 116110 61
Простое число 157
Первообразные корни: 5, 6,15,18,20,21,24,26,34,38,43,53,55,60,61, 62,
63 66,69,70,72,73,74,77,80,83,84,85,87,88,91,94,95,96,97,102,104, 114,
119, Ш, 13U133,136,137,139,142,151,152
Основание 139
/ М
22 Чебышев, том I

Простое число 163
Первообразные корни: 2,3,7,11, 12,18,19,20,29,32,42, 44,45,50,52,63,
66, 67, 68,70,72 73,75, 76,79,80,82,89,92, 94, 101, 103,106,107,108, 109,
112, 114,116,117, 120,122,124,128,129,130, 137,139,147,148,149,153,154,159
Основание 70
/ Л
JV0123456789
О 71 43142 93114161 51 86
1 2 97 23 57 70136122159 157127
2 73 42 6153 94 24128129141145
3 45 39 31 140 68 92 66 75 36100
4144 20113106 77 17 62 44 3160
5 95 40 37 18 38 28 50 8 54 27
6116 30110 85102150 49155139 34
7 1 52 137 7146 67 107 96 9103
8 53 10 91 134 22 90 15 26148 65
9 88 56,133 82115 58 74130 69 21
10 4 29111 35108135 89 131109119
11 99118 121 14 79 84125143 98 158
12 25 32101 63 19117156147 11149
13 59112120126 64 60 48 47105 13
14 72 87123134 46 76 78 41 55151
15138104 16 83 5132 80 33 12 61
16124152 81
ЛГ0123456789
0 86 144 6 81 64 96 92 122
1 1110150 43 16 59 12 143 42 50
2 87 74 30 51 70162 129100 102 32
3 145152 98 88 63 11128127136 21
4 7 55160 75116 37137 68156 26
5 82121 49 31 20 25 22 28118 23
6 65 34 72 52 18124 8 85149 29
7 97159 48 71 47140 56 40107119
8 93 78141 163 80 58 161 10 36 24
9123139 57130154131 76 14112 66
10 2 91 41101135155117148106 36
1,1111 105108193114132 38165109 73
12151 54120 33158 77138 90104 53
13 44 45 94146 5 15 69 62115 19
14 17 46 79 153134113157 4133125
15 60 95142 99126 67 27 84 39 9
16 13147164 89 61 3 83
/0123456789
1 70 10 48100154 22 73 57 78
1 81128 158 139113 86152 45 53124
2 41 99 84 12 25120 87 59 55101
3 61 32 121 157 69 103 38 52 54 31
4 51147 21 3 47 30144137 136 66
5 56 8 71 80 58148 91 13 95130
6135159 46123134 89 36 75 34 98
7 14 2 140 20 96 37 145 44146114
8 156162 93 153 115 63 9 141 90106
9 85 82 35 5 24 50 77 И 118 110
10 39 122 64 79 151 138 43 76 104 108
11 62 102 131 42 6 94 60 125 111109
12 132 112 16142 160116 133 19 26 27
13 97107 155 92 83 105 15 72 150 63
14 33 28 4117 40 29 74127 88129
15 65149 161 23143 67 126 18119 17
16 4У 7
/0123456789
1 10 100165147 134 4 40 66159
1 87 35 16 160 97135 14140 64139
2 54 39 56 59 89 55 49156 57 69
3 22 53 29123 61109 88 45116158
4 77102 18 13130131141 74 72 52
5 19 23 63129121 41 76 92 85 15
6150164137 34 6 60 99155 47136
7 24 73 62119 21 43 96 125 81142
8 84 5 50166157 67 2 20 33163
9127101 8 80132151 7 70 32153
10 27 103 28 113128111108 78112118
11 НПО 98145114138 44106 58 79
12122 51 9 90 65149154 37 36 26
13 93 95115148144104 38 46126 91
14 75 82152 17 3 30133 61107 68
15 12120 31143 94105 48146124 71
16 42 86 21 83162117
Простое число 167
Первообразные корни: 5,10,13,15,17, 20,23,26, 30,34,35,37,39,40,41,43,45,
46,51,52, 53,55,59,60, 67, 68,69,70, 71, 73, 74, 78, 79,80,82,83,86,90, 91,92,95,
101,102,103,104,105, 106,109, ПО, 111,113,117,118, 119,120, 123,125, 129,131,
134,135,136, 138,139,140,142,143,145,146,148,149,151,153,155,
156,158,159, 160,161, 163,164, 165
Основание 10
/ N

Простое число 173
Первообразные корни: 2,3,5,7,8,11,12,17,18,19,20,26,27,28,30,32,39,
42,44, 45,46, 48, 50, 53,58,59,61,62, 63, 65,66, 68, 69, 70,71,72, 74,75,76,79,
82,86, 87,91, 94,97,98, 99,101,102,103,104,105,107,108,110,111,112,114, И5Г
120,123,125,127,128,129, 131,134,141,143г 145,146,147,153,154,155,156 J61*
162,165,166,168,170,171
Основание 91
/ N
ЛГ0123456789
0 13 7 26163 20 31 39 14
1 4127 33142 44170 52 89 27 85
2 17138140 88 46154155 21 57152
3 11122 65134102 22 40 42 98149
4 30 74 51 60153 5101 144 59 61
5167 96168123 34118 70 72165 19
6 24169135 45 78133147 50115 95
7 35 23 53 94 55161111 158162 71
8 43 28 87104 64 80 73159166150
9 18 1 114129157 76 72 25 75141
10 8139 109121 9 29 136 61 47 164
11131 49 83110105 79 6 156 32 120
12 37 82 10 81 148 145 58 15 91 67
13146 137 160116 63 12 128 126108 16
14 48151 36 97 66143107 69 68 132
15 2 54124103171113 3138 84130
16 56119 41 90100125117106 77 112
17 93 99 86
N 0
1 1
2 74
3 53
1
0
27
2
73
3
4 5
6
52 146 106 125
20134
75100
76
9
65
79
96158114
93 34
87129
7 8
9
23 41 104 1
14177
29 156 169
72
19 99
4147101148144173 32138136166
5107
66102111
51133
64
26
70
8
46
78143110
/01 23456789
1 91 150 156 10 45116 3100104
1122 30 135 2 9 127139 20 90 59
2 6 27 35 71 60 97 4 18 81 105
3 40 7 118 12 54 70142120 21 8
4 36162 37 80 14 63 24108140111
5 67 42 16 72 151 74 160 28126 48
6 43 107 49 134 84 32 144129148 147
7 56 79 96 86 41 98 95168 64115
8 85123 121112158 19172 82 23 17
9163128 57 170 73 69 51143 38171
10 164 46 34153 83114167146138102
11113 76 169155 92 68 133166 55161
12119103 31 53152165137 11136 93
13159 110149 65 33 62106131157101
14 22 99 13145 47125130 66124 39
15 89141 29 44 25 26117 94 77 87
16132 75 78 5109 58 88 50 52 61
17 15154
/ 0
1
1
2
3 4 5
6 7 8
10 100105155118 106165 39
1 141 157 138 127 17 170
2 12 120 126
3 81
4144
5 77
94
8
54
45
80
3
7 70163
89 174 129
19 НПО
92 25 71173119116
84 124 166
9
32
37
26
86
49132 67133
30121 136107175139137
Простое число 179
Первообразные корни: 2,6,7,8,10,11,18,21,23,24*26 28,30,32,33,34,35,
37,38, 40,41, 44, 50, 53, 54,55,58, 62, 63,69,71, 72, 73, 78,79, 84,86,90,91,92,
94, 96,97,98, 99,102,103,104,105,109,111,112, ИЗ, 114,115,118,119,120,122,
123,127,128,130,131,132,133,134,136,137,140,143,148,150,152,154,157,159,
160,162,163,164,165,166,167,170,174,175,176
Основание 10

— 328
Продол же ние
ЛГ
N
0
6126
7
8
24
42
1 2
3
94 149 127
35 145
95
30 174 150
9105157 33 128
10
11
12
2170 139
28
21
13 135
14
97
15 159
16115
17
71 137
4
82
92
5
6
62 152
86172
43 120
31 132
83175
3
63 151 171
54 167 153
77 47
44140
49 121
10 108161
84
7 8
9
48 160117
50 81
39122 €8
61
6
38
22
55
40176168
80 67 118 123
88 103
15130112
25
36
69
17
4154
7
91
16
85119131
56124113
60 5
13155
59 12
37
18
58
98 165 142
11164163
45109116
57141162 89
90
/ 0
6117
1
96
7 29111
1 8151
9 169
10 22
11 59
78
79
41
2
3
65113
36
2
4
56
20
64103135
74
24
52 162
53 172 109
12 85134
13171
99
61
9
5
23
21
97
73
90
6
7
51 152
31 131
75
8
9
88164 1
57
з*
34161 178
14 140147
5
16 160 168
87154 108
95
14 125 176149
15 83114
55
58
6
13130
43
72
66 123 156 128
16 68 143 177159 158148
17101115
76
44
60
38
50142 167 1
69 153
63
47112
4
27
40
91
93
98
35
46102 |
42
62
15 150 1
48 122146
82 104 145
18
28
Простое число 181
Первообразные корни: 2,10,18,21,23,24,28,41, 47, 50, 53,54, 57,58, 63,66.
69,76, 77,78,83,84,85,90,91,96,97,98,103,104,105,112,115,118,123, 124,
127,128,131,134,140,153,157,158,160,163,171,179
Основание 10
/ N
#0 1234 5 6789
0133 68 86 48 21 15 39136
1 1146 154 32148 116 175 55 89135
2 134 83 99 29 1Q7 £6 165 24 101 84
3 69 27125 34 8 63 42 38 88100
4 87 59 36140 52 4162109 60 30
5 49123 118121157 14 54 23 37 108
6 22 65160151 78 80167 66141 97
7 16 57175 20171164 41161 53166
8 40 92 12 73169 103 93152 5 25
9137 47115 95 62 3 13 79163192
10 2 130 79143 71 131 74 81 ПО 85
11147106 7 51156 77170168 61 70
12155112 18127113144104 67 31 28
13 33 139 12о 150 19 72 94 142 50 126
14149177 10178128132153 98124 35
15117159174 11114 75 6 17119 9
16173 44 45179145 82 26 58122 64
17 56 91 46129105111138176158 43
18 90
/0 123456789
1 10100 95 45 88 156 112 34159
1142 153 82 96 55 7 70157 122 134
2 73 6 60 57 27 89166 31 129 23
3 49128 13130 33149 42 58 37 8
4 80 76 36179161 162172 91 5 50
5138 113 44 78 56 17170 71167 41
6 48118 94 35169 61 67 127 3 30
7119104135 83106155 102115 64 97
8 65107165 21 29109 4 40 38 18
9180171 81 86136 93 25 69147 22
10 39 28 99 85126174111 24 59 47
11108 175121124154 92 15150 52158
12132 53168 51148 32 139123144173
13101105145 2 20 19 9 90176131
14 43 68137103125164 11110 14140
15133 63 87146 12120114 54178151
16 62 77 46 98 75 26 79 66117 84
17116 74 16160152 72177141143163

— 329 —
Простое число 191
Первообразные корни: 19,21,22,28,29,33,35,42,44,47,53,56, 57,58,61,62,
63, 71,73,74, 76,83,87, 88,89,91, 93,94,95,99,101, 105,106, ПО, 111,112, ПЗГ
114,116,119,123,124, 126,127,131,132, 137,140,141, 143,145,146, 148 151,
157,164,165,167,168,171,173,174,175, 176,178,179,181,182,
183,187,188,189
Основание 157
/ N
//0123456789
0102148 14 90 60133116106
1 2 115162 156 45 48 28 184 18 93
2104 91 27112 74180 68 64147 29
3150125130 73 96 33120 65 5114
4 16 145 3174129 6 24 39176 76
5 92142170 77 166 15 59 51131182
6 62 63 37 49 42 56175 44 8 70
7 135 69 32189167 138 107 58 26 66
8118 22 57173 105 84 86 177 41149
9108 99126 83141183 88 46178 31
10 4 13 54136 82 181179 10 78152
11117 23161121153 12 43 72 94127
12164 40165103139 80151137144 132
13158 157 87 36146 154110 71172 75
14 47 187 171 81134 119101 34 79 98
15 50 111 19 100 160 25128 1168 35
16 30 55124 52159 163 85169 17 122
17186 9 188113 89123143140 61 67
18 20 97 И 21 38 155185109 53 7
19 95
N 0 I 2
3 4
0182156172
1 1 93136
2183148 83
3157134142
4173125133
5 12 113187
5 6
7 8
9
11146184162120
15174167152149110
54126
57139
22 5
3100
84164
59
9
55 49 171 1
72 73131 44127116176 ]
79 74104154
23191
92
/0123456789
0157 10 42100 38 45189 68171
1107182115101 4 55 40168 18152
2 180183 81111 46155 78 22 16 29
3160 99 72 35147159133 62 184 47
4121 88 64116 67 14 97140 15 63
5150 57163 188102 161 65 82 77 56
6 6178 60 61 27 37 79179 26 71
7 69 137117 33 24 139 49 53108148
8 125143 104 93 85166 86 132 96174
9 5 21 50 19 118190 34181149 91
10153 146 2 123 20 84 9 76 90187
11136151 23173 39 11 8110 80145
12 36113169175162 31 92 119156 44
13 32 58 129 7144 70103127 75124
14 177 94 51176128 41134 28 3 89
15 30126109114135185 13131130Г64
16154112 12165120122 54 74158167
17 52142 118 83 43 66 48 87 98106
18 25105 59 95 17186170 141 172 73
/0123456789
1 10100 35157 26 67 91138 29
1 97 5 50114175 13130142 69 Ш
2145 99 25 57184103 65 71131152
3169146109125 92148129132162 76
4181 73151159 46 74161 66 81 38
5187133172176 23,37177 33137 19
Простое число 193
Первообразные корни: 5,10,15,17,19,22,26,30, 34, 37, 38, 40,41,44,45,47г
51,52,53,57,58,61,66, 70,73, 77,78,79, 80,82,90, 91,102,103, И1, ИЗ, 114г
115,116,120,123,127,132,135,136,140,141,142, 146, 148,149,152,153,155,15$,
159.163,167,171,174,176.178,183,188
Основание 10
/ N

— 330 —
Продол жение
N
N 0
1
2
3 4
6147 133 124 112132
7185
в 163
9121
27
90
5
26
41 45178
48 115 190128160
7
34
10 2130103
И 94
19 144
12137186125
13 16
14 175
15168
16 153
28
91
42
46
17 150179
18 Ш
19 £0
37
98 117
6
47
39
7
8
6129
9
18
85 161 109
62 165
70106
25 177 159
67 13
89 114
51188
17 108 80
29
38
52
40189
86
96
63
10166
69158
65 181 135
64
81
21
32
82 141
33 102 143 122
95119
20
58
31140
77 75145151
61105
87155
97 24
4
36
8170
35169
99
68 180101 118
14
66
53
88
56
71
50107
43
30
78
76
/01
6 190163
7 95178
2
86
43
8 144 89118
9 72 141
59
3
4 5
6 7 8 9
88 108 115185113 165106 |
44-
22
54 154189153 179 53
27 77 191 173 186123
11 110135192183 931581
10 36 167 126102
i И 18180
63
55164
51 124 182
12 9 90 128122
1 13101 45
14 147119
15170156
16 85 78
17 139 39
18166116
19 8358
64
61
62 41
31 117
32 127 112 155
16160
8
4
2
80
40
20
56174
28 87
14140
96188143 79
48 94 168 136
24 47 84 68
12120 42 34
6 60 21 17
3 30 107 105
98 15 150 149
49 104 75171
7 70 121 52 134 182 |
Простое число 197
Первообразные корни: 2,3,5,8, И, 12,13,17,18,21,27,30,31, 32,35,38,44,
45,46,48,50,52,56,57,58,66,67.71,72,73,74,75,78,79,80,82,86,89,91,94,95,
98,99,102,103,106,108,111, 115,117,118,119,122,123,124,125,126,130, 131,
139,140,141,145,147,149,151,152,153,159,162,165,166,167,170,176,179,
180,184,185,186, 189,192,194,195
Основание 73
/ N
Lv о
1 2
1 2
0 61
3 4
5
6
65122137126
5187153147
j 2 63151 66
3 67173 109
4124
46 16
5139160 79
6128 180 38
7 88 179 117
8185
9132
10 4
11 7
12189
13155
64i 07
43 190
76 25
68 52
70156
54127
6
78
27
48
7
8
9
86183130
95 191 182
18195
56148
12
47
40
22
71 129106113172
80 60142
20170
73
94131
1 13 143108
14 77
51 101
57
91
96
21 133
83
36 115 105188
42 167 123 174 102
69 140
17134175112
10 45111 99
33192
92141
9162
19
72 118136
14 149 171 44 158 178 177
15 8
31 169
16 50 154125
59
23
37 135
34 121
90
87 157 181
81 186
82
62
29 152114144
58 168
11
17 97116 176150166164
18193146104
15184
28 39
49 55
35119
30194
41
74
3
15
26120145
75165138110
53161
89 103 100
24163159
98
84
32
93
85
/ 0
1
1
73
1 121 165
2 63
68
2
3 4 5
10139 100 И
28
39
74 83 149
6
7
8 9
15110150115
42 111
89 193 102 157
3137 151 188 131 107128
4 29 147
5160
6 54
7 33
57
93
91142122
24176 43184
2 146
45 133
8 53 126 136
9 109
10 187
20 81 3
85
41
36
22
56148166101
78178 189
77 105 179 65 17
58
97186182 87
11 169 123 114
12 158 108
13 9
66
14 104 106
15 173
4
90
55
21 154
26125
35191 153 1
98
38
62192
16 183
67163 79 |
30
84
7117
23103
25 52
70 185
59170196124 |
47
48155 86 171
95 40 162
6
69 112 99 135
75156159181
13 161130
82
76 32
72 134 129 |
44
60 46
5 168 50 |
14
37 140
34118143195
16 51 177 116194175 167 174
17 64 141
18 61 119
19 92
49
19
94164152
31 96113 172 145144 71 |
8190 80127
18 132180138 27
12
88120

— 331 —
Простое число 199
Первообразные корни: 3,6,15,22,30,34,38,39,41,44,48,54,68,69,71,73,75,
77,84,87,95,97,99,105,108, ПО, 113,118,119,120,127,129,133,134,142,143,
146,148,149, 150, 152,153,154, 163,164, 166,167,168,170,173,176,179,
183,185,186,189,190,192,195,197
Основание 127
/ N
N 0, 123456789
0194155190 6151 32 186112
1 2 89 147 128 28 161 182 57 108 И
2 196187185 74143 12 124 69 24158
3 157 76 178 146 53 38 104 121 7 85
4 192 145 183 176 181 118 70 98 139 64
5 8 14 120 136 65 195 10 166 154 129
1 6 153 126 72 144174 134142 39 49 31
7 34 71100 41117167 3 23 81 50
8188 26 141 51179 63 172 115 177 92
| 9114160 66 33 94 17135109 60 103
I 10 4 159 10 36 116 193 132 165 61 15
11191 78 16 73 162 80150 42125 89
I 12 149 180 122 102 68 18 140 1 170 133
] 13130 148 138 43 35 75 45171 27 54
1 14 30 55 67119 96 164 37 21113 107
] 15 163 40 197 169 19 82 77 84 46 93
] 16 184 106 22 5 137 152 47 79 175 58
17 59 123 168 25 111 44173 86 88 97
} 18 110 9 156 83 62 127 29 48 90101
19 13 87 131 52105 91 56 95 99
/0123456789
1 127 10 76 100 163 5 38 50 181
1102 19 25190 51109 112 95125154
2 56 147 162 77 28 173 81 138 14 186
3 140 69 12 93 70 134 103146 35 67
4 151 73 117133 175136 158166 187 68
5 79 83 193 34139 141196 17 169170
6 98 108 184 85 49 54 92 142 124 27
7 46 71 62113 23 135 31156111167
8 115 78 155183157 39 177 191178119
9 188 195 89 159 94 197144 179 47 198
10 72 189 123 99 36 194 161 149 18 97
11 180 174 9 148 90 87 104 74 45 143
12 52 37 122 171 26 118 61185 13 59
13 130 192 106 129 65 96 53164 132 48
14 126 82 66 24 63 41 33 12131 120
15116 6 165 60 58 3182 30 29101
16 91 15114150145 107 57 75172153
17128 137 86 176 64168 43 88 32 84
18121 44 16 42 160 22 8 21 80 11
19 4110 40105 2 55 20152

— 332 —
III. Линейные делители квадратичной формы х2+ау2 для всех величин а от 1 до ЮТ
лг2+2з/2
ДГ2+ЗУ
лг2+5у2
д:2+6у2
*2+7.у2
л:2+10.У2
j^+lly2
лг2+13.у*
дг2-Ы4д/2
х2+15>»
х*-И7.у-
лг2+19у2
л:2+21.у2
лг2+22.у2
л:2+23.у*
х*+26у*
д:2+29.у2
лг2+30.У2
л:2+31.у2
л^+ЗЗу2
дг2+34у2
х*+35у*
х*+Ыу*
.г2+38.у2
*2+39.у2
х2+41.у2
лг2+42.у2
дг2+43У
дг2-Ь46^
42+1
8*+1,3
12*+1,7
202+1,3,7,9
2421+1,5,7,11
282+1,9,11,15,23,25
40*+1, 7,9,11, Ь, 19,23,37
442+1, 3, 5, 9,15, 23,25,27,31, 37
22+1, 7, 9, И, 15,17,19,25,29,31, 47,49
5б2?+1, 3, 5, 9, 13, 15, 19,23,25,27, 39, 45
602+1,17,19,23,31,47,49,53
682+1, 3,7, 9, 11, 13,21, 23,25, 27,31, 33,39, 49, 53, 63
762+1, 5,7,9,11,17,23, 25,35,39, 43,45, 47,49,55,61,63,73
842+1,5,11,17,19,23,25,31,37,41,55,71
882+1, 9,13,15,19, 21,23, 25, 29, 31, 35, 43, 47, 49,51, 61,71,81,
83,85
922+1, 3,9,13,25,27,29,31,35, 39, 41,47, 49,55, 59,71,73, 75,77,
81,85,87
1042+1,3.5,7,9,15, 17, 2\, 25, 27, 31,35,37, 43, 45,47,49, 51,63,
71,75,81,85,93
1162+1,3, 5,9,11, 13,15, 19,25, 27,31, 33,39.43, 45,47, 49, 53, 55,
57,65,75,79,81,93,95/99,109
1202+1,11,13, 17,23, 29,31,37,43, 47,49,59, 67, 79,101, ИЗ
1242+1, 5, 7, 9, 19, 25, 33, 35, 39, 41, 45, 47, 49, 51,59, 63,67,69,71,
81,87, 95, 97,101,103,107, 109, 111,113,121
1322+1, 7, 17,19, 23, 25,29, 37, 41, 43, 47, 49,59, 65, 71,79, 97,101,
119,127
1362+1,5,7, 9, 19, 23, 25, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 43, 45, 49, 59, 61, 63,
67, 71, 79, 81,83, 89, 95, 109,115, 121, 123, 125, 133
1402+1, 3, 9, 11, 13,17,27, 29, 33,39,47,51, 71, 73,79,81, 83,87,97,
99,103,109,117,121
1482+1, 9,15,19, 21, 23, 25,31, 33, 35, 39, 41, 43, 49, 51, 53, 55,59,
65,73,77, 79,81,85,87,91,101, 103,119, 121,131, 135,137,
141,143,145
1522+1, 3, 7, 9,13, 17, 21, 23,25, 27,29, 37,39, 47, 49, 51, 53,55,59,
63,67,69,73,75,81,87,91, Ю7, 109, 111, 117, 119,121,137,
141,147
1562+1,5, 11,25, 41,43, 47,49, 55, 59, 61, 71, 79, 83, 89, 103, 119,
121,125,127,133,137,139,149
1642+1,3,.% 7, 9, 11, 15,19, 21,25, 27,33, 35, 37, 45,47, 49,55,57,
61, 63, 67, 71, 73, 75,77, 79, 81, 95,99,105,111,113,121,125,
133,135,141,147,151
1682+1,13,17,23,25, 29,31, 41, 43,53, 55,59,61,67,71,83,89,95,
103,121,131,149,159,163
1722+1, 9, 11, 13,15, 17.21, 23, 25, 31,35, 41, 47, 49, 53, 57, 59,67,
79,81,83, 87,95, 97,99, 101,103,107,109,111,117,121,127,
133,135,139,143,145,153,165,167,169
1842+1,5,9, И, 19,21,25,31,37,39,41, 43,45,47,49,51,53,55,61,
67,71,73,81,83,87,91, 95,99,105,107,109,119,121,125,127

— 333 —
Продолжение
х*+47у*
дг2+51У
*2+53У
х2+55у2
х2+57.у*
х»+58.у»
дг2+59.у2
дг2+61.у2
дг2+62>*
х*+65.у*
лгЧ-ббу*
дг2+67у*
*2+70.у*
х2+71.у2
149,151,155,157,169,171,177,181
1882+1,3, 7, 9, 17,21,25,27, 37, 49, 51, 53, 55,59,61,63, 65, 71,75 J
79,81,83,89,95,97 101,103,111,115,119,121,131,143 1451
147, 149, 1&, 155, 157,159,165,169,173,175, 177,183
2042+1,5, 11, 13, 19, 23, 25, 29, 41,43,49,55,65, 67, 71,95,103
107,113, 115,121, 125, 127, 131, 143, 145, 151,157,167,169,!
173,197
2122+1,3, 9,13,17,19, 23, 25, 27, 29,31,35; 37,39, 49, 51,55, 57, 67,
69,71,75,77 79,81,83,87,89,93,97, 103,105,111,113,117,
121, 127,139, 147, 149,151, 153, 165, 167, 169, 171, 179, 191,
197,201,205,207
220г+1, 7, 9, 13; 17, 31, 43, 49, 57, 59, 63,69, 71, 73, 81, 83, 87, 89,
91, 107, Ml, П7, П9, 123, 127.141,153,159,167,169,173,
179, 181, 183,191, 193,197,199,201, 217
228*+1,13, 23, 25, 29, 31, 35, 41, 47,49, 53, 61, 65,67, 73, 79, 83, 85,
89,91, 103, ИЗ, 119,121, 127,131,151,157, 169, 173,185,191,
211; 215,2£1,223
2322+1,9, 15, 21, 25, 31, 33, 35, 37,39,47,49,51,55,57,59,61,65,
67,69,77,79,81, 83, &5, 91, 95, 101, 107,115,119,121,123,
127,129, 133. П5, 139, 143. 157, 159. 161, 169, 179,187,189,
191, 205, "09, 213, 215,219, 221, 225,227,229
2362+1,3,5,7, 9,15, 17, 19 21. 25,27, 29,35, 41,45,49,51,53,57,
63, 71, 75, 79, 81, 85,87, 95,105. 107,119,121,123,125,127,
133, 135, 137, 139, 143, 145, 147 153, 159. 163,167, 169,171,
175, 181, 189, 193, 197, 199,203,205,213,223,225
2442+1, 5, 7, 9,11, 13, 23, 25, 31, 35, 41, 43, 45, 49,51, 55, 57, 59, 63,
65, 67, 71. 73, 77, 79, 81, 87, 91, 97,99,109,111,113,115,117,
121, 125, 137, 139, 141, 143, 149, 151, 155, 159,161,169,175,
191,197, 205,207,211,215,217, 223,225, 227, 229, 241
2482+Ь 3, 7Г 9, 11,13, 21,25, 27.29, 33,37,39, 41,43,47, 49, 53, 61,
63,71, 75,77,81,83,85,87,91,95,97,99, 103,111,113, 115,
117,121,123, 129, 339, .141 143, 147, 159, 169,175, 179, 181,
183,189,191, 193,197, 203, 213,225, 229,231, 233,243
2бОг+1,3, 9, II, 19, 23,27, 29,31,33, 37,43,49, 57,59, 61, 69,71, 73,
81, 87, 93, 97, 99, 101, 103, 107, Ш, 119, 121,127,129,137,
147, 151,171, 177, 181, 183, 193, 197, 207, 209, 213,219,239,
243, 253
2642+1, 5, 7,13, 17 23, 25, 35,41, 47, 49,53,61, 65, 67,77,79,83,85,
91, 97,107,109, 115, 119, 125, 127,131,151,161,163,169,175,
191,205,221, 227,233, 235,245
2682+1,9,15,17, 19,21, 23,25, 29,33, 35 37, 39,47, 49;55, 59,65;
71,73. 77, 81, 83, 89, 91, 93, 103,107, 121,123,127,129,131,
135, 143, 149, 151, 153, 155, 157, 159,163,167,169,171,173,
181,183,189, 193, 199,205,207,211,215,217 223,225,227,
237,241,255,257,261,263,265
2762+1, 5, 7,13,17, 19, 25,35, 43, 47, 49,53, 59, 65,67,71,77, 79,85,
89,91,95,103,113,119, 121,125,131,133,137,149,167,169,
175; 179,' 193, 199, 215, 221, 235, 2391,245,247, 265
2802+1,9,17, 19,33,37, 39,43, 47 53,59,61,67,69,71,73,79,81,
87,93,97,101,103,107, 121,123,131,139, 143, 151, 153, 163,
167, 169, 171, 181, 191, 197, 223, 229, 239, 249, 251,253, 257,
267,269,277
2842+1/3,5; 9; 15, 19, 25, 27, 29, 37, 43, 45, 49, 57, 73, 75, 77, 79,
81, 83,87,89, 91,95,101,103,107,109,111,119,121,125,129,
131, 135, 143, 145, 147, 151, 157, 161, 167, 169,171,179, 185,
187, 191, 199, 215, 217, 219, 221, 223, 225,229,231, 233,2 J,
243,245, 249,251,253,261, 263, 267,271,273,277

— 334
Продолжение
дг2+73у2
лг*+74.у2
*2+77j/*
х*+78у*
**+79.у2
лг2+82.у2
лг2+83.у2
*Ч85.у2
л:2+86.у»
*2+87.у2
лг2+89У>
2922+1,7,9,11,15,25,31,37,39,41,43,47,49,51,57,59,61,63,65,
69,77,81,83, 85,87,89,95, 97,99,103,105, 107,109,115,121,
131, 135, 137, 139, 145, 149, 151, 159, 163,165,167,169,173,
175, 179, 181, 191, 199, 201, 213, 217,221,225,237,239,247,:
257,259,263,265,269,271, 273,275, 279, 287,289
2962+1, 3, 5,9,11,13,15,23,25, 27,29, 31, 33, 39,41,45,49,55,61,
65,67,69,73,75, 79,81, 83,87,93,99,103,107,109,115,117,
119,121, 123, 125, 133, 135, 137, 139, 143, 145,147,155,165,'
167,169, 183, 191, 195, 199, 201, 205, 207,211,219,225,233,:
237, 239, 243,245, 249,253, 261, 275,277,279,289
3082+ 1, 3, 9, 13, 17, 25, 27, 31, 37, 39, 41, 43,47, 51, 53, 59,61,73,
75, 79, 81, 93, 95, 101, 103, 107, 111, 113, 115, 117, 123,127,,
129, 137, 141, 145, 151, 153, 159, 169,173,177,183,199,211,
219, 221, 223, 225, 237, 239, 241, 243, 251,263,279,285,289,
293,303
3122+1,19,25,29,35, 37,41,47, 49,53,55,67,71,77,79,85,89,101,
103,107,109, 115, 119, 121, 127, 131, 137, 155,161,163,167,
173, 179, 187, 199, 215, 217, 229, 239,251,253,269,281,289,
295,301,305,307
316*+1, 5,9,11,13,19, 21,23,25,31,45,49,51,55,65, 67, 73,81,83,
87, 89, 95, 97, 99, 101, 105, 111, 115, 117, 119, 121, 123,125,
129, 131, 141, 143, 151, 155, 159, 163, 167,169,171,177,179,
181, 183, 189, 203, 207, 209, 213, 223, 225,231, 239,241, 245,
247, 253, 255, 257, 259, 263, 269, 273,275,277,279,281,283,
287,289,299,301,309,313
3282+1,7,9,13,15,25,29,33,43,47,49,51,53,55, 57,59,63,69,71;
73, 79, 81, 83, 85, 91, 93, 95, 101,105,107,109, 111, 113,115,
117, 121, 131, 135, 139, 149, 151, 155, 157,163,167,169,175,
181, 183, 185, 187, 191, 195, 199, 201, 203,209,225,229,231,
239, 241, 251, 253, 261, 263, 267, 283,289,291,293,297,301,
305,307,309,311,317,323,325
3322+1,3,7, 9,11,17,21, 23,25, 27,29,31,33,37,41,49,51,59,61
63,65, 69, 75,77, 81, 87. 93,95,99,109, 111, 113,119,121,123,
127, 131, 147, 151, 153, 161, 167, 169,173,175,177,183,187;
189, 191, 193, 195, 197, 199, 203, 207, 215,217,225,227,229,
231, 235, 241, 243, 247, 253, 259, 261, 265,275, 277,279,285,
287, 289,293,297, 313,317,319,327
3402+1, 9, 11, 21, 31, 37, 39, 43,47,49,57, 67, 69, 71, 73,79,81, 83,
87, 89, 91, 97, 99, 101, 103, ИЗ, 121, 123, 127, 131, 133,139,
149, 159, 161, 169, 173, J77, 183, 189, 193,197,199,203,211,
223, 229, 231, 233, 247, 263, 277, 279, 281,287, 299,307,311,
313,317,321,327,333,337
3442+1,3,5, 9,15,17,19,23,25, 27, 29,31,37, 41, 45, 47,49,51, 57,
61,69, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93, 95,97,103, 111, 115,121,
123, 125, 127, 131, 135, 141, 143, 145, 147, 149,153,155,157,
163, 167, 169, 171, 179, 183, 185, 193, 205,207,211,225,227,
231, 235, 237, 239, 243, 245, 255, 261, 271,273, 277,279,281,
285,289, 291,305, 309,311,323,331,333,337
3482+1, 7, 11,13,17, !25, 41, 47, 49, 67,77,89, 91,95,101,103,109,
113,115, 119, 121, 131, 137, 139, 143, 151,155,169,175,181,
185, 187, 191, 199, 215, 221, 223, 241, 251,263,265,269,275,
277,283,287,289,293,295, 305,311,313, [-17,325,329,343
3562+1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 19, 21, 23,25,27, 31,35, 43,45,49,51, 53,
57, 59, 63, 69, 73, 75. 81, 83, 85, 93, 95, 97,103,106,109,115,
119, 121, 125, 127, 129, 133, 135, 143, 147, 151,153,155,157,
159, 161, 163, 169, 171, 173, 175, 177, 189,191,207,211,215,
217, 219, 225, ИЗ, 239, 243, 245, 249, 255, 257, 265,269,277*
279, 285, 289, 291, 295, 301, 309, 315, 317, 319,323,327,34S,
354

— 335
Продол жение
*2+91.y2
дг2+93.у2
х*+94у*
д:2+95>2
д:2+97.у2
х*+\0\у*
3642+1,5,9,19,23,25,29,31,33,41,43, 45,47, 51, 53, 59, 73,79,81,
83,89,95,97,107,111, 113 115,121,125,127,145,155,165,!
167, 171, 179, 183, 187, 191, 201, 205,207,211,213,215,223,
225, 227, 229, 233, 235, 241, 255, 261, 263,265, 271,277,279,
289,293, 295,297, 303,307,309,327,337,347,349,353,361
372*4-1,17, 25, 29, 35, 43,47, 49,53,55,59,65,71,77,79,89,91, 95,
97, 107, 109, 115, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 151, 157, 161,
169, 185, 191, 193, 197, 199, 205, 209, 223,227,247,253,259,
269, 271, 287, 289, 299, 305, 311, 331, 335,349,353,359,361,
365,367
376**1, 5, 7, 9,11, 13, 17, 19, 25,29,35, 43, 45,49,55, 63, 65,67,69,
71, 77,79 81,85, 89, 91, 93, 95, 97,99, 103,107,109, 111, 117,
119, 121. 123, 125, 133, 139, 143, 145, 153, 159,163,169,171,
175, 177, 179, 181, 183, 187, 191, 203, 209,211,215,219,221,
225, 227, 229, 239, 241, 245, 247, 249, 261,263,271,275,289,
293, 301, 303, 315, 317, 319, 323, 325, 335,337,339,343,345,
349,353,355,361,373
3802+1, 3,9, И, 13, 27, 33, 37, 39,49, 53,61, 67, 81,97,99,101,103,
107, 111, 113, 117, 119, 121, 127,131,139,143,147,149,159,
161, 167, 169, 173, 183, 191, 193, 199, 201, 203,217,223,227,
229, 239, 243, 251, 257, 271, 287, 289, 291, 293,297,301,303,
307, 309, 311, 317, 321, 329, 333, 337, 339,349,351,357,359,
36 ,373
3882Г+1,7, 9, 15,19,23,25, 33, 39, 49,51,53,55, 59,61,63,65,67,71,
73, 81,83,85, 87, 89, 93, 101, 105,107, 109,111,113,121,123*
127, 129, 131, 133, 135, 139, 141, 143, 145, 155, 161,169,171,
175, 179, 185, 187, 193, 197, 199,205,207,211,215,221,223,
225, 229, 231 235, 237, 239, 241,251,263,269,271,273,285,
289, 293, 297, 309, 311, 313, 319, 331, 341,343,345,347,351,
353, 357, 359, 361,367,371,375,377,383,385
4042+1,3,5,7,9, 11, 13,15,17,21,25,27,33,35,37,39,45,49,51,
55, 59, 63, 65, 67, 75, 77, 81, 83, 85, 91, 97,99, 103,105,111,
117, 119, 121, 125, 127, 135, 137, 139, 143,147,151, 153,157ь
Ш, 165, 167* 169, 175, 177, 181, 185, 187,189,191,193,195,
197, 199, 201, 221, 225, 231, 233, 243, 245,249, 255,259,263,
271, 273, 275, 281, 289, 291, 295, 297, 305,311,315,321,325,
331,335,343,347,351,357,361, 363,373,375, 381,385.
Линейные делители квадратичной формы х*—ау2 для всех величин а от 1 до 101
х*-2у*
х2 — 3у2
Jt2 — 5>2
дг2 — 6У
лг2-~7.у2
х*—\0у*
** — 11у2
дг2 — 1Ъу*
х* — Ну2
х*~~ 15.У2
! л:2 __ 17у2
д:2—19У
! д:2 —21.у2 J
1 8^+1,7
122+1,11
202+1,9,11,19
242+1,5,19,23
282+1,3,9,19 25,27
402+1,3,9,13,27,31,37,39
442+1, 5, 7,9,19,25,35,37, 39, 43
522+1,3,9, 17, 23,25,27,29,35, 43, 49,51
562+1,5,9,11,13,25,31,43,45,47,51,55
602+1,7,11,17,43,49,53,59
682+1, 9,13,15,19, 21,25,33,35,43,47,49, 53, 55,59,67
762+1, 3 5, 9,15, 17,25,27, 31,45,49,51,59, 61, 67, 71,73,75
842+1,5, 17,25,37,41,43,47,59, 67,79,83

— 336 —
Продолжение
д:2 — 22.у2
Х2 _ 23у*
д:2 — 26у*
д:2—29у2
1 д:2 — ЗОу2
*а —31У
д:2—ЗЗу2
д:2—34у2
д:2-35.у2
дг2 — 37у2
д:2 —38у*
д* — 39.у2
дг2 —41у2
д:2 — 42у2
дг2-43у2
дг2 — 46.у2
д:2 —47y*
X2__51^2
д:2 — 53>>2
д;2__55у2
лг2__57у2
| дг2-58у2
f
88*4-1,3,7, 9, 13,21,25,27, 29,39, 49, 59, 61,63, 67, 75,79,81,85,
87
92*4-1,7,9,11,13, 15,19,25,29,41,43,49,51,63,67,73,77,79,81,
83,85,91
104*4-1, 5,9,11, 17, 19,21,23,25,37, 45,49,55,59,67, 79,81,83,85,
87,93,95,99,103
116*4-1,5,7,9, 13,23,25,33,35,45,49 51,53, 57,59, 63, 65,67,71,1
81,91,93,103,107,109,111,115
120*4-1, 7, 1?, 17, 19, 29, 37, 49, 71,83, 91, 101, 103, 107,113, 119
124*4-1, 3, 5, 9, 11, 15,23, 25, 27, 33, 41, 43, 45,49,55,69, 75, 79,81,
83,91,97,99, 101, 109, 113, 115, 119, 121, 123
132*4-1, 17, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 49,65,67,83,91,95,97, 101,103,
107,115,131
136z+l, 3,5,9,11,15,25, 27, 29, 33, 37,45,47,49, 55, 61,75, 81,87,
89,91,99,103,107, 109,111, 117, 121, 125,127, 131, 133,135
140*4-1,9, 13, 17, 19 2^, 29, 31, 33, 43,59, 67,73,81,97,107,109,
111,117,121,123,127,131,139
148*4-1,3, 7, 9, И, 21,25,27, 33,41, 47, 49, 53,63,65,67, 71,73,75,
77,81,83, 85,95,99,101,107, 115,121,123,127,137,139,141J
145,147
152*4-1, 9,11, 13, 15, 17, 23, 25, 29, 31,35, 37,43, 49, 53,69,71,73,
79, 8J, 83, 99, 103, 109, 115, 117, 121,123, 127, 129,135,137,
139,141,143,151
156*4-1, 5, 7,19, 23, 25, 31, 35, 41, 49, 61, 67, 89, 95, 107,115,121,
125,131, 133,137,149,151,155
164*4-1,5, 9,21,23,25, 31,33,37,39., 43,45, 49,51,57,59,61,63,77
81, 83, 87, 91, 103, 105, 107, 113, 115, 119,121, 125,127,131Л
133, 139, 141, 143, 155, 159, 163 |
168*4-1,11,13, 17, 19, 25, г9, 41,47, 53, 61,79,89, 107, 115, 121,127,1
139,143,149,151, 155, 157,167
172*4-1,3, 7, 9, 13, 17, 19, 21, 25, 27, 39,41, 49, 51, 53,55,57, 63, 71,
75, 81, 91/7, 101, 109, 115, 117, 119, 121, 123, 131,133, 145,
147, 151, 153, 155, 159. 163, 165, 169,171
184*4-1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 25,27,35, 37,41, 45,49, 53, 59,61,63,73,
75, 79, 81, РЗ, 105, 109, 111, 121, 123, 125, 131, 135, 139,143,1
147,149,157, 159, 163, 169, 175,177,179,181, 183 [
188*4-1,9, 11, 15, 17, 19,21,23,25,31,35,37,39,43,49, 53,61,67J
81,87,89,91,97,99, 101, 107, 121, ИЗ, 127, 135, 139 145,149,1
151,153, 157,163, 165, 167, 169,171, 173, 177, 179,2 7 1
204*4-1, 5, 7, 13, 25, 29,31,35,41,47,49,59, 65, 79, 83,91,113,121,
125, 139, 145, 155, 157, 163, 169, 173, 179,191,197,199,203
212*4-1, 7,9,11,13, 15, 17,25,29, 37,43, 47,49,57, 59,63,69,77,81,
89 91,93,95,97,^9,105,107,113,115,117,119,121,123,1 1,1
135, 143, 149, 153, 155, 163, 165, 169, 175,183, 187,195,197 J
199,201,203,205,211
| 220*4-1,3,9,13,17,19,23,27,39,47,49,51,57,69.73,79,81,89,103,
117, 131, 139, 141, 147, 151, 153, 163, 169, 171,173,181, 193,
197,203,207,211,217,219
228*4-1,7,25,29,41,4а, 49,53,55,59,61,65,71,73; 85 89,107,113
И5, 121, 139, 143, 155, 157; 163, 167, 169, 173,175,179,185,
187,199,203,221,227
232*4-1, 3, 7, 9,11,19,21,23-, 25,27,33,37,43,49,57,61,63,67, 69 |

— 337 —
Продол ж ение
71,75, 77,81,85, 99,101, 103, 111,121, 129, 131,133, 147,151,
155, 1£7, 161, 163, 167, 169, 171, 175, 183,189,195,199,205,
207, 209, 211, 213,221,223, 225,229,231
лг2_59^ I 2362+1,5,9,11,17,21,23,25,29,31,39,41,43,45,47,49,53,55,57,
67,81,83,85,91,99,103, 105, 111,115, 121, 125,131 133,137,
145, 151, 153, 155, 169, 179, 181, 183,187, 189,191,193,195,
197,205,207,211,213,215,219,225,227,231,235
xa — 61У I 2442+1,3,5,9,13,15, 19,25,27,39,41,45,47,49,57,65,73,75,77'
81, 83, 95, 97 103, 107, 109, 113, 117, 119, 121,123,125, 127'
131, 135, 137, 141, 147, 149, 161, 163, 167, 169, 171,179, 187»
195,197, 199,203,2С5,217, 219,225,229,231,235,239,241,243»
ДГ2 — 62.У2 I 2482+1,9, 13. 15, 19, 21, 23, 25, 29,33,35,37,41,49,51,53,55,59,
61, 67, 77, 79, 81, 85, 07,103,113, 117, 119,121,127,129,131
135, 145, 151, 163, 167, 169, 171, 181, 187, 189, 193,195, 197,
199,207,211,213,215,219,223,225,227,229,233,235,239,247,
xt _ 65v* I 2602+1,7,9,29,33,37,47,49, 51,57,61,63,67, 69,73, 79, 81, 83,93,'
97, 101, 121,123, 119, 131, 137, 139.159, 163, 167.177,179,181,
187, 191, 193, 197, 199, 203, 209, 211, 213,223,227,231,251,
253,259
л;2 — 66уа I 2642 + 1,5,13, 17, 19, 25,31,41,43,49,53,59,61,65,85,95,97,103,
109, 125, 139, 155, 161, 167, 169, 179, 199,203,205,211,215,
221,223, 233, 239,245,247,251,259,263
хъ _ 67v* I 2682+1, 3, 7, 9, 11, 17,21, 25, 27,29, 31,33,37, 4°, 49,51, 63, 65,73,
75,77,79,81,87,89, <>3,95,99, 111,115,119,121,129,139,147,
149, 153, 157, 16^, 173, 175 179, 181, 187, 189,191, 193, 195,
| 203, 205, 217, 219, 2C5, 231, 235, 237,239,241,243,247, 251,
257,259,261,265,267
д*_-69у* 2762+1,5,11,13,17,25,31,49,53,55,65,73,83,85,89,107,113,121
125, 127, 133, 137, 139, 143, 149, 151, 155, 163 169,187,191
193, 203, 211, 221, 223, 227, 245,251,259,263,265,271, 275 [
X2__70y2 I 2802+1,3,9 11,17,23, 27, 31, 33, 37,51,53,61,69,73,81,83,93 97,'
99, 101, 111, 121, 127,153, 159.169, 179, 181,183,187,197,199,
207, 211, 219, 227, 229, 243, 247,249,253,257,263,269,271,
277,279
*t_- 7iy* I, 2842+1, 5, 7, 9,11,23,25,29,31,35,37,39,45,47.49.51,55,57,59,
63, 67, 73, 77, 81, 89, 99, 101, 109,115,121,123,125,127,129,
139, 145, 155, 157, 159, 161, 163, 169, 175,183, 185,195,203,
207, 211, 217, 221, 225, 227, 229, 233, 235, 237, 239,245, 247,
249, 253,255,259,261,273,275,277,279,283
xi_73y* I 2922 + 1,3 9,19,23,25,27,35,37,41,49,55,57,61,65,67,69,71,75,
77,79,81,85,89,91,97, 105, 109, 111, 119,121, 123, i27,137,
143, 145, 147, 149, 155, 165, 169, 171, 173,181, 183, 187, 195,
201, 203, 207, 211, 213, 215, 217, 221,223,225,227,231,235,
237, 243,251,255,257, 265, 267,269,273, 283, 289, 291
*i — 74v* I 2962+1,5,7,9,13,19,25,29,33,35,41,43,45,47 49,51,59,61,63,
65, 69, 71, 73, 81, 91, 93, 95,109,117, 121,125, 127, 131, 133,
137, 145, 151, 159, 163, 165, 169, 171,175, 179, 187,201,203,
205, 215, 223, 225, 227, 231, 233, 235,237,245,247,249,251,
255, 261,263, 267, 271, 277,283,287,289,291,295
х*_77у2 I 3082+1,9, 13, 15, 17, 19,23,25,37,41,53,61,67,71,73,81,83,87,
93, 101. 113, 117, 129, 131, 135,137. 139, 141,145,153,155,163,
167, 169, 171, 173, 177, 179, 191, 195,207,215,221,225,227,
235, 237, 241, 247, 255, 267, 271,283,285,289,291,293,295,
299,307
л:2_78у2 I 3122+1, 7, 11, 23, 25, 29. 31, 37,41.43,49,53,59,77,83,85,89,95,
101, 109, 121, 137, 139, 151, 161, 173,175,191,203,211,217,
223, 227, 229, 235, 253, 259, 263,269,271,275,281,283,287,
289,301,305,311

338
Продол ж ени е
х* — 79у2
х*—82у*
х* — 83.у2
*2_ 85^,2
*2__86.у*
х* — 87у*
^2__89у2
х* — 91у*
л:2 — 93у2
x2 — 94y>
316*+1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 21,25,27,35,39,43,45,47, 49,59,63,65
71, 73, 75, 81,89, 91,97, 101,103, 105, 107, 117,121,125, 127,
129, 135, 139, 141, 147, 169, 175, 177, 181, 187, 189,191 195
199, 209, 211, 213, 215, 219, 225, 227, 235,241,243,245,251,
253, 257, 267, 269, 271, 273, 277, 281, 289,291,295,301,303,
307,309,311,313,315
328*+1,3, 9, 11, 13, 19,23, 25,27,29, 31, 33, 35, 39, 49, 53, 57,67,69,
73, 75, 81, 85,87,93,99, 101,103,105,109, 113,117,119, 121,
127, 143, 147, 149, 157, 159, 169, 171, 179, 181, 185,201,207,
209, 211, 215, 219, 223, 225, 227, 229, 235,241,243,247,253,
255, 259, 261, 271, 275, 279, 289, 293,295,297,299,301, 303,
305,309,315,317 319,325,327
332*+1, 9, 15, 17, 19,21,25,29,33,35,37,39,41,43,47,49,55,61,
65, 67, 69, 71, 77, 79, 81, 91, 93, 103, 107,109,113, 115,121,
135, 139, 143, 153, 155, 159, 161, 163, 169, 171, 173,177,179,
189, 193, 197, 211, 217, 219, 223, 225,229,239,241,251 253,
255, 261, 263, 265, 267, 271, 277, 283, 285,289,291,293,295,
297,299, 303, 307,311,313,315,317,323, 331
340*+1, 3,7, 9, 19, 21,23,27,37, 49, 57, 59, 63, 69,73, 81, 89, 97,101,
107, 111, 113, 121, 133, 143, 147, 149, 151. 161,163,167, 169,
171 73, 177, 179, 189, 191, 193, 197, 207,219,227,229,233,
239, 243, 251, 259, 267, 271, 277, 281, 283, 291,303, 313,317,
319,321,331,333,337,339
344*+Г, 5,7,9, И, 17, 25, 29, 35,37,39, 41,45,49,55, 57,59,61,63,
67,69,71,77,81,83, 85, 93,97,99, 107, 119,121, 125,139,141,
145, 149, 151, 153, 157, 159, 169, 175,185, 187, 191,193,195,
199, 203, 205, 219, 223, 225, 237, 245,247,251, 259,261,263,
267, 273, 275, 277, 281, 283, 285, 287,289,295,299,303,305,
307,309,315, 319,327,333, 335,337,339,343
348*+1, 13, 17, 19,23,25,31,35,41,43,49,55,59,71,77,79,83,89,
101, 107, 109, 113, 121, 127, 137, 163, 167, 169,179,181,185,
211, 221, 227, 235, 239, 241, 247, 259, 265,269,271,277,289,
293,299, 305, 307,313,317,323, 325, 329, 331, 335, 347
356*+1,5,9,11,17,21,25, 39, 45, 47, 49, 53,55, 57, 67, 69, 71, 73,79,
81, 85, 87, 91, 93,97,99, 105, 107, 109, 111, 121, 123, 125, 129
131, 133, 139, 153, 157, 161, 167, 169, 173,177, 179, 183, 187,
189, 195, 199, 203, 217, 223, 225, 227,231, 233, 235,245, 247,
249, 251, 257, 259, 263, 265, 269, 271, 275,277, 283,285,287,
289, 299, 301, 303, 307, 309, 311, 317, 331,335,339,345,347,
351,355
364*+l, 3,5, 9,11, 15,25,27,29, 33,41, 45,53, 55, 67, 71, 73, 75,81,
87,89,97,99, 103, 113, 121, 123, 125, 131, 135,139,145,151,
159, 163, 165, 199, 201, 205, 213, 219,225,229,233,239,241,
243, 251, 261, 265. 267, 275, 277, 283, 289, 291,293, 297,309,
311, 319, 323, 331, 335, 337,339, 349,353, 355, 359,361,363
372*+1, 7, 11, 17, 19, 23,25, 29,49,53,65, 67, 77,83. 89, 97,103,109,
119, 121, 133, 137, 157, 161, 163, 167, 164, 175,179,185, 187,
193, 197, 203, 205, 209, 211, 215, 235, 239,251,253,263,269,
275, 283, 289, 295, 305, 307, 319, 323,343, 347,349,353,355,
361, 365, 371
376*+1,3,5,9,13, 15, 17, 23,25, 27,29,31,39 45,49,51, 39; 65,69,
75, 77, 81, 83, 85, 87, 89, 93, 97, 109, 115,117,121,125, 127,
131, 133, 135, 145, 147, 151, 153, 155,167, 169,177, 181,195,
199, 207, 209, 221, 223, 225, 229,231,241,243 245,249,251,
255, 259, 261, 267, 279, 283, 287, 289,291,293,295,299,301,
307, 311, 317, 325, 327, 331, 337,345,347,349,851, 353, 359,
361,363,367,371,373,375

— 339 —
Продолж ение
380*+1,7,9, 13,23,31,33,37,43,47, 49,51,53,59,61,63,71,79,81 J
83,87,91,97, 101, 113, 117, 121, 123, 149, 151, 161, 163, 169,
173, 179, 187, 193, 201, 207, 211, 217,219,229,231,257,259,
263, 267, 279, 283, 289, 293, 297, 299,301,309,317, 319, 321;
327,329,331,333, 337,343, 347,349, 357,367,371, 373,379
388z+l, 3,9, 11,25,27,31,33, 35,43,47,49,53, 61, 65,73,75, 79,81 J
85,89,91,93,95,99, 101,103,105, 109,113, 115, 119,121,129,
133, 141, 145, 147, 151, 159, 161, 163,167,169,183, 185,191,
193, 195, 197, 203, 205, 219, 221,225,227,229, 237,241,243,
247, 255, 259, 267, 269, 273, 275, 279,283,285,287,289, 293,
295, 297, 299, 303, 307, 309, 313, 315, 323,327,335, 339,341,
345,353,355,357,361 363,377,379,385,387
4042+1,5,9, 13, 17, 19,21,23,25,31,33,37,43,45,47,49,65,71,77,
79,81, 85, 87, 95,97, 105, 107,115,117,121, 123, 125,131,137,
153, 155, 157, 159, 165, 169, 171, 177,179,181, 183,185, 189,
193, 197, 201, 203, 207, 211, 215,219,221,223,225,227,233,
235, 239, 245, 247, 249, 251, 267,273,279,281,283,287,289
297, 299, 307, 309, 317, 319, 323,325,327,333,339, 355, 357
359, 361, 367, 371, 378, 379, 381, 383,385, 387, 391,395,399f
403

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
От редакции 3
Пафнутий Львович Чебышев (Краткий биографический очерк) 5-
Теория сравнений Ш
Введение Ю
§ 1. Предмет теории чисел и теории сравнений 15
§ 2. О числах абсолютно простых 15
§ 3. О числах относительно простых 16
§ 4. Свойства чисел относительно простых 16
§ 5. О разложении чисел на простые множители . 17
§ 6. Теоремы, на этом основанные 19
§ 7. О числах, составляющих арифметическую прогрессию 22
Глава /. О сравнении вообще 26
§ 8. Понятие о сравнении 26
§ 9. О свойствах сравнения чисел между собою 27
§ 10. О решении сравнений 30
§ 11. О наименьших вычетах 30
§ 12. О числе решений сравнения 33
Глава II. О сравнении первой степени 34
13. Решение этих сравнений при модуле простом с коэффициентом неизвестного 34
§ 14. Теоремы Фермата и Эйлера 35
§ 15. Приложение этих теорем к решению сравнений первой степени 38
§ 16. О сравнениях, в которых модуль и коэффициент неизвестного имеют общего
делителя 40
Глава III. Осравнениях высшихстепенейвообще 42
§ 17. Освобождение от коэффициента высшей степени неизвестного 42
§ 18. Высший предел числа решений 44
§ 19. Приложение этого к доказательству теоремы Вильсона и других свойств
чисеч 46
§ 20. Приведение сравнений к виду, в котором степень его меньше модуля . . 50
§ 21. Признак, по которому узнаем, что сравнение имеет столько решений, сколько
единиц в показателе его 51
Глава IV. Осравнениях второй степени 55
§ 22. Приведение почных сравнений второй степени к сравнению вида z2 яв q (мод./?) 55
§ 23. О числе решений сравнения г2^д(ыол. р) • 57
§ 24. О символе (—\ 5а
5 25. Свойства этого символа 60

= 341 —
Стр.
§ 26. Выражения, его определяющие; следствия их: 1) значение (—•), 2) закон
взаимности двух простых чисел 64
§ 27. Способ находить значение f — ) 73
§ 28. Решение уравнений ( — ) = 1, ( — ] = — 1 75
§ 29. Решения сравнения 22===д(мод. р) при р простом вида Ап-{-Ъ 79
§ 30. О сравнении z2 =н у (мод. р) при р составном 79
Глава V". О сравнениях* двучленных 83
§ 31. О сравнении х™ — 1==0 (мод. р) при р простом 83
§ 32. О сравнении х** — А == 0 (мод. р) при р простом 87
§ 33. О сравнении хт — А =з 0 (мод. р) при р составном 92
Глава VI. О сравнениях вида ах — Л =~0 (мод. р) 95
§ 34. О сравнении ах s= А (мод. р) вообще и в особенности о сравнении ах == 1 (мод. р) 95
§ 35. О решении сравнения а* === Л (мод. р) 9$
§ 36. Об указателях 99
§ 37. О решениях двучленных сравнений помощью таблиц указателей 102
§ 38. Теоремы для определения первообразных корней- 107
§ 39. Определение первообразных корней 108
§ 40. Другой способ определения первообразных корней 109
§ 41. О числе первообразных корней ИЗ
Глава VII. О сравнениях второй степени с двумя
неизвестными 116
§42. О сравнении х2 + Ау2 + В =з 0 (мод р) 116
§ 43. О делителях х2±Ау2 117
§ 44. Определение делителей х2 + Ау2 при А простом 123
§ 45. О свойствах квадратичных форм 131
§ 46. О выражении ими делителей х2+ау2 134
§ 47. Определение линейных делителей помощью квадратичных форм 139
Глава VIII. Приложение теории сравнений к разложению чисел
на простыемножители 149
§ 48. Разложение чисел на простые множители приводится к определению
делителей 149
§ 49. Определение делителей чисел вида am3z\ 150
§ 50. Определение делителей чисел на основании теории делителей х2±:ау2. . 153
Прибавления 161
I. О квадратичных вычетах 161
II. Об определении первообразных корней 168
Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины . 173
О простых числах 191
О квадратичных формах 208
Заметка о некоторых рядах 229
Об одном арифметическом вопросе 237

— 342 —
О новой теореме, относящейся к числу простых чисел вида 4я+1 и 4я~(-3
(Письмо П. Л. Чебышева к г. Фусу) 276
Обобщение формулы Каталана и вытекающая из него арифметическая
формула 277
Об одном преобразовании числовых рядов 280
А. А. Марков. Доказательство одной теоремы Чебышева (Письмо к Эрмиту) 283
Комментарии 285
„Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины",
и ,0 простых числах" (А. Гельфонд); ,06 одном арифметическом вопросе" и
А. А. Марков „Доказательство одной теоремы Чебышева" (Б. Делоне) . . 285—309
Таблицы к статье „Теория сравнений" 311
I. Таблица простых чисел (до 6000); II. Таблицы первообразных корней и
указателей для простых модулей (до 200); III. Таблицы линейных делителей
квадратичных форм х2 3z ay1 (для а от 1 до 101) 311—332

Печатается по постановлению
Редакционно-издателъского Совета
АН СССР за № 2297
Редактор Издательства Д. А. Васильков
А12181. Подп. к печ. 17/XI1944 г. Печ. листов 21,5.
Уч.-изд. листов 36. Тираж 5.000 (1-й завод 1—2 000).
Заказ № 2504. Цена'Л20 руб., перепл. 3 руб.
1-я Образцовая типография треста „Полиграф-
книга" Огиза при СНК РСФСР.
Москва, Валовая, 28.