Спутниковые системы мониторинга. Анализ, синтез и управление - Малышев В.В.

Author: Малышев В.В.
Tags: химическая технология химические производства издательство маи спутниковая связь
ISBN: 5-7035-2384-2
Year: 2000
Similar
Руководство к лабораторному практикуму по синтезу нитросоединений
Поверхностно-активные вещества. Синтез, свойства, анализ, применение
Получение технологического газа для производства аммиака, метанола, водорода и высших углеводородов. Теоретические основы, технология, катализаторы, оборудование, системы управления
Системы и сети спутниковой связи
Text
                    СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ МОНИТОРИНГА
Анализ, синтез и управление
Под редакцией доктора технических наук, профессора
В.В. Малышева
Москва
Издательство МАИ
2000

ББК35
C71
Авторы: В.В. Малышев, М.Н. Красильщиков,
В.Т. Бобронникое, О.П. Нестеренко, А.В. Федоров
С 71 Спутниковые системы мониторинга. Анализ, синтез и
управление / В.В. Малышев, М.Н. Красильщиков,
В.Т. Бобронников, О.П. Нестеренко, А.В. Федоров; Под
редакцией В.В. Малышева. - М.: Изд-во МАИ, 2000. - 568
с: ил.
ISBN 5-7035-2384-2
Излагаются методы анализа и синтеза спутниковых систем
мониторинга окружающей среды. С позиций системного подхода
обсуждаются проблемы, возникающие при проектировании
спутниковых систем мониторинга, включая этапы системного
проектирования, развертывания системы и поддержания ее в
процессе функционирования. Особое внимание уделяется
математическому описанию системы и ее отдельных компонентов
на различных этапах ее жизненного цикла. Приводятся не только
модели системы, но и методы исследования, связанные с целевой
и экономической эффективностью на этапе проектирования
системы, методы прогнозирования движения отдельных спутников
и орбитальной группировки в целом, а также методы управления
спутниковой системой на этапе ее функционирования.
Описывается программный комплекс для исследования
спутниковых систем мониторинга.
Авторы выражают благодарность старшему преподавателю
Сыпало К.И., ассистентам Старкову А.В., Шидловскому А.В. и
Сабирову Е.М. за возможность использования в данной книги
результатов их авторских разработок по программно-
баллистическому обеспечению космических систем, а также
ассистенту Пасютину А.Л. за подготовку оригинал-макета книги.
с 3500000000-397 ББК35
094 (02)-2000
ISBN 5-7035-2384-2 © В.В. Малышев, М.Н. Красильщиков,
В.Т. Бобронников, О.П. Нестеренко,
А.В. Федоров, 2000

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение , 7
1. Общая концепция проектирования спутниковых
систем 27
1.1. Назначение спутниковых систем мониторинга
окружающей среды ■. 27
1.2. Структура системы мониторинга 30
1.3. Общая задача системного проектирования 35
1.4. Показатели целевой и экономической
эффективности 38
2. Моделирование спутниковой системы мониторинга 46
2.1. Модель пользователей космической информации 46
2.2. Модель спутника 56
2.3. Модель бортовых систем 61
2.4. Модель орбитальной группировки 80
2.5. Модели факторов внешней среды 93
3. Проектирование спутниковых систем мониторинга 127
3.1. Постановка задачи 127
3.2. Итерационный подход к проектированию
спутниковой системы 129
3.3. Геометрический метод выбора структуры
орбитальной группировки 131
3.4. Орбитальная группировка для непрерывного
глобального обзора 133
3.5. Формирование орбитальной группировки для
периодического наблюдения 143
3.6. Совместный выбор орбитальной группировки и
аппаратуры наблюдения 157
3.7. Учет надежности и эволюции спутниковой
системы 166
3

Оглавление
4. Моделирование орбитального движения 185
4.1. Системы координат 185
4.2. Моделирование невозмущенного движения
спутника 194
4.3. Возмущенное движение спутника 206
4.4. Возмущения орбиты 216
4.5. Упрощенная модель движения 234
4.6. Моделирование орбитальной обстановки 249
4.7. Современные системы отсчета времени 262
5. Управление движением спутника 267
5.1. Обсуждение проблемы 267
5.2. Управление спутником при развертывании
группировки 273
5.3. Минимизация расхода топлива 280
5.4. Коррекция орбиты импульсами тяги 289
5.5. Коррекция орбиты с учетом случайных ошибок
управления 298
5.6. Коррекция орбиты с использованием двигателя
малой тяги 313
5.7. Гарантирующий подход при управлении
движением.. 318
6. Планирование навигационных измерений 327
6.1. Модель навигационных измерений 329
6.2. Алгоритмы обработки информации 331
6.3. Критерии оптимальности 338
6.4. Эквивалентная задача управления 347
6.5. Процедура решения эквивалентной задачи 353
6.6. Случай дискретных измерений 358
6.7. Решение задачи для терминального скалярного
критерия 361
4

Планирование работы наземных измерительных
пунктов 367
7.1. Постановка задачи 367
7.2. Программа работы наземного измерительного
пункта 370
7.3. Численный алгоритм оптимального планирования.... 375
7.4. Математические модели, используемые при
планировании 376
7.5. Пример операции планирования 387
Высокоточное определение орбит 404
8.1. Гравитационное влияние Земли, Луны и Солнца 405
8.2. Возмущения, вызываемые приливами в твердом
теле Земли 407
8.3. Деформации Земли вследствие движения полюсов.... 413
8.4. Возмущение, вызываемое океаническими
приливами 415
8.5. Возмущения, вызываемые атмосферными
приливами 425
8.6. Модель движения солнечных лучей с учетом
затенения спутника 428
8.7. Модель движения наземного измерительного
пункта 429
8.8. Модель дальномерного канала 445
8.9. Техника реализации алгоритмов определения
орбит 456
Оперативное планирование функционирования
спутниковой системы 465
9.1. Особенности современных спутников наблюдения.... 466
9.2. Общая схема решения задачи планирования 467
9.3. Формирование плана для приборов с
фиксированной ориентацией 472
9.4. Формирование плана для поворотной камеры 473
9.5. Формирование списка заявок потребителей 477

Оглавление
9.6. Формирование множеств возможных съемок и
сеансов связи 480
9.7. Оптимизация плана для поворотной камеры 483
9.8. Анализ эффективности функционирования
спутниковой системы 485
9.9. Техника решения задачи планирования 488
10. Программно-баллистическое обеспечение
космических систем 507
10.1. База данных космических систем 508
10.2. Моделирование динамики созвездий 517
10.3. Планирование работы измерительных пунктов 524
10.4. Определение орбит спутников 532
10.5. Управление орбитой спутника 537
10.6. Планирование полетных операций 543
10.7. Планирование работы бортовой аппаратуры 548
10.8. Пакет анализа и синтеза управляемых созвездий 554
Литература 563

ВВЕДЕНИЕ
Спутниковая система представляет собой совокупность
(группировку) согласованно действующих спутников, связанных между
собой динамически и функционально. Спутниковые системы
сегодня занимают все более значительное место в современном мире,
так как они способны полнее удовлетворять потребности общества,
чем одиночные спутники. По целевому назначению различают
коммуникационные спутниковые системы, навигационные
спутниковые системы и спутниковые системы мониторинга окружающей
среды.
Коммуникационные спутниковые системы предназначены для
обеспечения связи самого разнообразного характера: ретрансляция
телевизионных сигналов; глобальная и региональная связь между
стационарными и мобильными абонентами; связь с
труднодоступными районами и т.д. Это наиболее развитый класс систем. В
качестве примера можно привести функционирующие системы
"Iridium", "Купон", "Ямал", проектируемые системы "Гонец",
"Сигнал", "Teledasic". Интенсивное развитие спутниковых систем
связи обусловлено высокой востребованностью этого вида услуг и
достаточно быстрой окупаемостью.
Навигационные спутниковые системы служат для определения
местонахождения и скорости различных объектов в пространстве.
В качестве потребителей навигационной информации могут
выступать космические аппараты, авиация, морской флот, наземные
транспортные средства и т.д. Функционирующими
навигационными системами в настоящее время являются российская система
ГЛОНАСС и американская система GPS.
Спутниковые системы мониторинга окружающей среды
предназначены для получения информации о земной поверхности и
атмосфере с целью решения широкого спектра задач научного и
прикладного характера. К их числу можно отнести задачи
дистанционного зондирования Земли, экологического мониторин-
7

Введение
га, исследования природных ресурсов, океанологии, сельского
хозяйства и т.д.
Хотя термин "космические системы дистанционного
зондирования Земли" существует давно, реально для этих целей
использовались лишь одиночные спутники. К их числу можно отнести
спутники "Landsat", "Ресурс", "Океан", "Spot"и ряд других. Однако
информация, поступающая от одиночных спутников, в настоящее
время уже не может удовлетворять ее потребителей по охвату
наблюдаемых территорий, периодичности наблюдений и другим
характеристикам. В связи с этим проблемы, связанные с созданием и
функционированием спутниковых систем этого класса, становятся
все более актуальными. Именно решению этих проблем для
спутниковых систем мониторинга окружающей среды и посвящена
настоящая книга. В дальнейшем для краткости системы данного
класса будем называть спутниковыми системами мониторинга.
Характерной особенностью книги является комплексное
обсуждение проблем, возникающих при проектировании спутниковых
систем мониторинга, включая этапы системного проектирования,
развертывания системы и поддержания ее в процессе
функционирования. Ключевым моментом в проектировании такого рода
системы является ее моделирование. Поэтому в книге особое
внимание уделяется математическому моделированию системы и ее
отдельных компонентов на различных этапах ее жизненного цикла.
Приводятся модели системы и ее компонентов, методы
исследований, связанные с оценкой целевой и экономической
эффективности на этапе проектирования системы, методы прогнозирования
движения отдельных спутников и орбитальной группировки в
целом, а также методы управления спутниковой системой на этапе ее
функционирования. Описывается программный комплекс,
предназначенный для анализа, синтеза и управления спутниковыми
системами.
Книга содержит 10 глав.
Первые три главы посвящены анализу спутниковых систем
мониторинга на этапе проектирования.
В главе 1 обсуждается общая концепция проектирования
спутниковых систем мониторинга. Рассматриваются наиболее важные
области, в которых использование космической информации дает
или может дать значительный эффект. К их числу относятся
контроль погодообразующих и климатообразующих факторов, эколо-
8

гия, чрезвычайные ситуации, сельское хозяйство, геология^ лесное
хозяйство, водное хозяйство и мелиорация, картография и
землепользование, гидрология, рыбное хозяйство и океанология,
градостроительство.
Обсуждаются особенности процесса функционирования
спутниковых систем мониторинга, возможные задачи анализа и
проектирования. Формулируются принципы системного подхода к
проектированию таких систем. Приводятся основные этапы
проектирования. Предлагается иерархическая структура целей и
задач.
Обсуждаются возможный перечень показателей целевой
эффективности, а также подходы к формированию интегрированных
показателей как целевой, так и экономической эффективности.
Показывается, что при решении задачи проектирования
необходим совместный выбор параметров орбитальной структуры,
алгоритмов управления, а также параметров спутника и его основных
бортовых систем.
Основное внимание уделяется космическому сегменту как
основному компоненту системы мониторинга окружающей среды,
задачи которого состоят в получении космической информации,
соответствующей требованиям пользователей
Глава 2 посвящена проблеме создания моделей, необходимых
для решения задач анализа и синтеза спутниковой системы
мониторинга на этапе проектирования. К числу таких моделей
относятся модель пользователей космической информации, определяющих
по существу цели и задачи, стоящие перед системой; модель
спутника, являющегося неотъемлемой составной частью системы
мониторинга; модель аппаратуры наблюдения, без которой не могут
быть решены задачи мониторинга; модель основных бортовых
систем, обеспечивающих требуемое функционирование спутника и
аппаратуры наблюдения; модель орбитальной группировки, харак-
теризирующей эволюцию спутниковой системы; модель внешней
среды, определяющей условия наблюдения и влияющей на
характеристики системы в процессе функционирования.
Обсуждается общий подход к составлению модели
пользователей. Анализируются требования пользователей к информации об
окружающей среде. Излагается методика формирования единых
требований к системе глобального мониторинга окружающей
среды. Традиционные требования к диапазону длин волн наблюдения,
9

Введение
к пространственному разрешению, к району наблюдения, к
периодичности наблюдения, к оперативности доставки информации
дополнены требованиями к периодичности наблюдения в каждом
диапазоне длин волн, требованием одновременного наблюдения в
нескольких диапазонах длин волн и другими требованиями.
Предлагается иерархическая структура модели пользователей.
Рассматриваются такие уровни иерархии, как страны-пользователи,
организации-пользователи, области применения информации об
окружающей среде, задачи (подзадачи), решаемые пользователями
в каждой области, требования пользователей к информации.
Предлагается использовать специальный формат базы данных, которая
может служить основой для сбора данных о заявках от учреждений
и специалистов с целью проведения экспертных оценок и
формирования единых требований к системе мониторинга и ее
компонентам, в частности к космическому сегменту.
С точки зрения системного проектирования каждый спутник
является компонентом спутниковой системы в составе орбитальной
группировки. Его основные параметры - масса, габариты,
надежность, энергопотребление — существенно влияют на облик системы
в целом.
При заданном носителе, который может быть использован для
выведения на орбиту спутников, масса спутника зависит от его
орбитальных параметров. Поскольку последние варьируются в
процессе проектирования, то зависимость массы спутника от этих
параметров может рассматриваться в качестве модели спутника как
компонента системы. При проектировании могут быть
проанализированы возможные носители с целью выбора наилучшего. Одной
из задач проектирования спутниковой системы является выбор
параметров бортовых систем. Так как для заданных орбитальных
параметров масса спутника может быть определена однозначно, то
возникает задача распределения этой массы между бортовыми
системами.
Габариты спутника заметно влияют на возмущающие факторы,
вызывающие эволюцию орбитальной структуры и необходимость в
коррекции орбит. Это, в свою очередь, влияет на потребный запас
рабочего тела для проведения коррекций. Наибольшую роль при
этом играет площадь солнечных батарей, от которой зависит
мощность, потребляемая целевой аппаратурой или исполнительными
органами в системе ориентации и коррекции.
10

Надежность спутника в составе системы существенным образом
влияет на выбираемые проектные параметры. Одним из способов
повышения надежности спутника является резервирование
наиболее ненадежных элементов. Это требует выделения дополнительной
массы, что, в свою очередь, снова приводит к необходимости
перераспределения массы спутника между бортовыми системами.
Аппаратура наблюдения является полезной нагрузкой на борту
спутника, так как именно она обеспечивает получение
необходимой космической информации ддя удовлетворения требований
пользователей системы мониторинга. Модель аппаратуры
наблюдения должна включать в себя все те параметры, от которых
зависит выполнение указанных требований. К их числу относятся тип
аппаратуры и ее рабочие спектральные диапазоны длин волн,
разрешение получаемой информации, геометрические характеристики
(фокусное расстояние, углы захвата, обзора, визирования), масса. В
главе анализируются различные типы аппаратуры, которая может
быть использована в системах мониторинга.
В состав бортовых систем, кроме аппаратуры наблюдения,
входят система коррекции орбитальных параметров, система
ориентации, бортовые запоминающее и передающее устройства. На этапе
системного проектирования используются простейшие модели этих
систем, учитывающие лишь характерные параметры. Например,
для модели системы коррекции это начальная масса рабочего тела
на коррекцию, погрешности коррекции, характеристики
корректирующей двигательной установки (тяга, удельная тяга, минимально
возможный импульс). Для модели системы ориентации это тип
исполнительных органов, величина управляющего момента,
максимальные углы и скорость разворота спутника (или аппаратуры
наблюдения). Для моделей бортового запоминающего и передающего
устройств это емкость, скорость передачи информации, масса.
Модель орбитальной группировки, характеризирующей
эволюцию спутниковой системы в целом, состоит из модели
орбитального движения, модели численности спутников и модели
управления системой. Первая модель позволяет оценивать как текущие
значения орбитальных параметров спутников в их абсолютном
движении, так и относительное положение в группировке. Для их
расчета используются модели гравитационного поля Земли,
атмосферы, а также данные о массогеометрических параметрах
спутников, погрешностях выведения и системы коррекции. Модель чис-
11

Введение
ленности спутников позволяет рассчитывать суммарное количество
спутников, которое должно быть выведено на орбиту за весь срок
функционирования системы. При этом учитываются надежность
спутников, а также возможности наземного ракетно-космического
комплекса. Модель управления орбитальной системой позволяет
сформировать алгоритмы управления поддержанием структуры
(коррекция орбитальных параметров) и ее восполнением.
Эффективность функционирования спутниковой системы
зависит не только от характеристик системы, но и от состояния
факторов внешней среды, влияющих на работу системы. Состав
подлежащих учету факторов внешней среды и используемые модели этих
факторов зависят от назначения системы, типа целевой аппаратуры
на борту спутника, этапа жизненного цикла системы
(проектирование, долгосрочное планирование работы, краткосрочное
планирование, априорный или оперативный анализ), на котором
влияние этих факторов рассматривается и соответствующая модель
фактора используется.
Для спутниковых систем, осуществляющих наблюдение Земли
из космоса в видимой и инфракрасной зонах спектра, возможность
наблюдать определенный участок земной поверхности и качество
изображения зависят от освещенности этого участка солнечным
светом, состояния облачного покрова над ним, оптического
состояния атмосферы в момент съемки, типа и состояния
подстилающей поверхности на участке и др. В главе представлены
математические модели солнечной освещенности и облачного покрова
как факторов внешней среды, влияние которых на
функционирование спутниковых систем наблюдения является наиболее
сильным.
В главе 3 излагаются методы проектирования спутниковых
систем мониторинга. Задача проектирования в общем случае состоит в
совместном выборе параметров орбитальной группировки,
параметров спутника, параметров основных бортовых систем и
алгоритмов управления орбитальной структурой. Обсуждаются две
постановки задачи. Первая состоит в выборе проектно-
баллистических параметров спутниковой системы и способов
управления ею в процессе функционирования из условия
обеспечения максимальной эффективности в течение всего полета
при ограничении на стоимость системы. Вторая заключается в
обеспечении заданного уровня эффективности в течение всего
12

уровня эффективности в течение всего полета при минимальных
затратах.
Задачи достаточно сложны. Они имеют высокую размерность,
математическая модель системы с учетом динамики и управления
описывается нелинейными уравнениями, часть переменных носит
целочисленный характер. Одним из наиболее распространенных
подходов к решению сформулированных задач является метод
последовательных приближений, использующий принцип "от
простого к сложному". В соответствии с этим подходом
проектирование спутниковой системы осуществляется в несколько этапов,
используя на каждой последующем этапе более точную модель
системы. Излагается один из возможных вариантов реализации такого
подхода.
На первом этапе спутниковую систему рассматривают как
идеальную, полагая, что возмущающие факторы (погрешности
выведения, отказы, ошибки исполнения коррекций и др.) отсутствуют.
Эволюция системы не учитывается. Нет потребности в управлении.
Параметры спутников и бортовой аппаратуры полагаются
заданными. В этом случае задача проектирования спутниковой системы
сводится к выбору параметров орбитальной группировки из
условия обеспечения требуемой целевой эффективности. Таким
условием может быть, например, условие выполнения требований к
периодичности наблюдения заданного региона. Стоимость системы
в этом случае определяется численностью спутников в системе.
Решение задачи в данном приближении соответствует так
называемому "классическому" подходу к проектированию спутниковой
системы, когда из чисто геометрических соображений определяется
так называемая "минимальная структура" орбитальной
группировки, т.е. структура, содержащая минимально необходимое для
наблюдения заданного района с требуемой периодичностью
количество спутников (без учета возможного резервирования и
необходимости восполнения системы в процессе ее эксплуатации).
На втором этапе при оценке эффективности спутниковой
системы, кроме требований к периодичности, учитывается еще и
требование к пространственному разрешению. Так как выполнение
последнего связано с параметрами аппаратуры наблюдения, то
задача проектирования спутниковой системы теперь формулируется
как задача совместного выбора параметров орбитальной
группировки и параметров аппаратуры наблюдения. Как и ранее, должны
13

Введение
быть выполнены требования к периодичности наблюдения
заданного региона. В качестве критерия оптимальности на данном этапе
рассматривается количество спутников в системе или стоимость
группировки.
На третьем этапе учитывается влияние изменения численности
спутников в системе при возможных отказах спутников и
соответствующих восполнениях системы. Задача предыдущего этапа
модифицируется добавлением задачи о распределении массы
спутника между аппаратурой наблюдения и резервными системами, а
также задачи выбора управления численностью спутников.
Используя полученные приближения, можно перейти к задаче
проектирования спутниковой системы в полной постановке,
рассматривая ее как задачу совместного выбора параметров
орбитальной группировки, параметров спутника, параметров основных
бортовых систем и алгоритмов управления орбитальной структурой на
этапах развертывания, поддержания и восполнения системы.
Каждое приближение иллюстрируется примерами.
Последующие главы книги посвящены вопросам управления
орбитальной группировкой на этапе ее функционирования.
Моделирование орбитального движения спутников является
основой для получения информации не только на этапе
проектирования, но и при принятии решений на этапе функционирования
спутниковых систем. С помощью моделирования оценивается
эволюция системы и орбитальная обстановка на длительных
интервалах времени, определяются моменты возможной съемки объектов,
вычисляются различные показатели эффективности системы.
Детальному обсуждению вопросов моделирования орбитального
движения посвящена глава 4.
Рассматриваются математические модели различных уровней
сложности и точности, а также модели возмущений и орбитальной
обстановки, которые предназначены для моделирования динамики
орбитального движения спутниковой системы на различных этапах
ее жизненного цикла. Именно эти модели лежат в основе
программного комплекса, предназначенного для анализа, синтеза и
управления спутниковыми системами.
Приводится модель невозмущенного движения спутника в
центральном поле притяжения Земли, которая предназначена в
основном для определения отклонений параметров возмущенной орбиты
от номинальных, необходимых, например, для принятия решения о
14

коррекции орбит. Однако модель может быть использована и при
проектировании номинальной спутниковой структуры системы
мониторинга.
Обсуждаются различные системы координат, использование
которых позволяет успешно решать задачу прогнозирования
возмущенного движения спутника и определять его положение
относительно небесных тел и объектов на Земле.
Подробно анализируется возмущенное движение спутника под
действием сил, обусловленных нецентральностью фавитационного
поля Земли, притяжением Луны и Солнца, сопротивлением
атмосферы, давлением солнечного света. Действие перечисленных сил
вызывает отклонения координат и скорости (элементов орбиты)
спутников относительно невозмущенного движения.
Рассматриваются периодические и вековые возмущения элементов орбиты, для
устранения которых используются управляющие силы, создаваемые
бортовыми ракетными двигателями.
Описывается способ получения упрощенной модели движения
спутника путем линеаризации нелинейных уравнений в
окрестности невозмущенной орбиты. Упрощенная модель движения
используется для решения широкого круга задач проектирования
космических систем, управления, навигации и анализа точности.
Важное место в главе уделяется моделированию орбитальной
обстановки. Орбитальная обстановка определяется положением
спутника относительно Солнца, Луны, звезд. Орбитальная
обстановка может оказывать существенное влияние на выбор даты
запуска спутника. Для проектирования системы энергоснабжения и
терморегулирования необходимо знание времени пребывания
спутника в тени Земли. Для систем наблюдения требуется прогноз
прохождения спутником станций приема информации. Приводятся
модели, позволяющие решать перечисленные задачи.
Завершается глава описанием современных систем отсчета
времени. С астрономической точки зрения существуют три типа шкал
(систем) отсчета (измерения) времени: равномерная шкала; шкала,
связанная с угловым вращением Земли, и шкала динамического
времени.
К равномерному типу шкал относятся атомное время и
Юлианский период. Атомное время (Международное время) основано на
измерении периода электромагнитных колебаний, которые
возникают при квантовом переходе между уровнями атома цезия. Эта
15

Введение
шкала является практически равномерной, она обычно
используется, если интервал между событиями достаточно мал (секунды,
минуты, часы). В тех случаях, когда интервал между событиями
составляет несколько дней, месяцев, лет, столетий, принято
использовать юлианскую шкалу, которая фактически представляет
собой непрерывный подсчет дней без разделения на месяцы, годы
и т.д.
К шкале, связанной с угловым вращением Земли, относятся
Универсальное (Всемирное) время и Звездное время.
Необходимость применения такого типа шкалы времени объясняется,
например, тем, что для решения фундаментальных проблем
геодинамики и геофизики на основе обработки результатов лазерной
локации пассивных спутников требуется определять положение
наземных измерительных пунктов, учитывая нерегулярности
вращения Земли. Ежедневно мы используем одну из шкал Всемирного
времени, так называемое Всемирное Координированное время,
которое с одной стороны равномерно, а с другой стороны,
корректируется периодически в соответствии с нерегулярностями
вращения Земли.
Третий вид шкал времени используется при вычислении
текущего положения и эфемерид небесных тел в соответствии с
законами Ньютона. Это так называемое динамическое или эфемерид-
ное время. Существует Земное динамическое время и
барицентрическое динамическое время, которые определяются в
зависимости от наблюдателя.
В главе 5 рассматриваются различные задачи управления
движением, возникающие в процессе эксплуатации спутниковых
систем.
При управлении движением спутника выделяют две крупные
задачи: программирование движения и синтез управления
движением. При программировании управление определяется в виде
функции, зависящей от времени и начальных условий, с
последующим вычислением соответствующей траектории движения. При
синтезе управления определяется зависимость управляющего
воздействия от параметров движения, доступных измерительным
устройствам. В результате решения первой задачи фактически
определяется номинальная траектория движения. Решение второй задачи
позволяет сформировать структуру замкнутой системы управления,
в состав которой входят заданные средства измерения параметров
16

движения. Для решения задач программирования оптимального
управления используются необходимые условия оптимальности.
Для решения задач синтеза применяются достаточные условия
оптимальности.
При решении задач оптимального управления необходимо
учитывать различные возмущения, действующие на спутник.
Пренебрежение возмущениями зачастую просто недопустимо, особенно
когда требуется управлять конечным (терминальным) состоянием
объекта, т.е. выводить его с высокой точностью в заданную точку
пространства. В связи с этим рассматриваются три подхода:
детерминированный, стохастический и минимаксный. При
детерминированном подходе возмущающие факторы либо просто не
учитываются, либо представляются в виде детерминированных функций
времени и(или) состояния спутника. В результате получается
номинальное оптимальное решение, которому сопутствуют
наилучшие (оптимистические) оценки качества системы управления. При
стохастическом подходе все возмущающие факторы трактуются как
случайные с заданными статистическими характеристиками. В
результате получается решение, которое можно считать оптимальным
в среднем. При минимаксном подходе считается, что никакой
статистической информации о возмущающих факторах нет, и поэтому
они трактуются как неопределенные факторы, для которых
известны лишь множества, которым они принадлежат. В результате
решения минимаксной задачи получают гарантирующее управление,
которому сопутствуют наиболее пессимистические значения
оценок качества управления.
Наличие решений одной и той же технической задачи,
полученных с использованием трех подходов, дает солидную базу для
принятия проектных решений при проектировании систем
управления спутника.
К числу рассмотренных в главе задач относятся: управление
спутником при развертывании группировки, коррекция орбиты
импульсами тяги, минимизация расхода топлива при управлении
спутником, коррекция орбиты с учетом случайных ошибок
управления, коррекция орбиты с использованием двигателей малой тяги
и ряд других задач.
Глава 6 посвящена проблеме планирования навигационных
измерений. По существу рассматривается специальная задача
планирования эксперимента, целью которого является определение по-
17

Введение
ложения и скорости спутников орбитальной группировки в любой
момент времени с наибольшей эффективностью.
Задача формулируется как задача оптимального планирования
работы навигационных средств. Это позволяет создать резерв
обеспечения требуемой точности навигации, что особенно важно в
ситуациях, когда другие возможности, такие, как повышение
точности навигационных измерений или усовершенствование
используемых математических моделей и алгоритмов обработки
информации, уже исчерпаны.
Рассматриваются прямая и обратная задачи оптимизации.
Прямая задача дает возможность достичь максимального уровня
точности при заданных ограничениях на временные ресурсы,
выделяемые для определения орбиты. Обратная задача позволяет
минимизировать временные ресурсы, необходимые для достижения
заданного уровня точности.
Оптимальное планирование навигационного эксперимента
подразумевает использование различных технических возможностей,
например выбор наиболее информативных навигационных
параметров из числа доступных для измерения, выбор оптимального
режима работы навигационных средств (частота,
последовательность измерений и т.д.), управление процессом навигационных
измерений и т.д.
Постановка задачи оптимального планирования эксперимента в
общем случае хорошо известна. Однако известные в литературе
решения этой задачи, как правило, неприемлемы для
практического использования при определении орбит космических
аппаратов с использованием фильтра Калмана вследствие нелинейности
уравнения Риккатти, описывающего эволюцию апостериорной
ковариационной матрицы вектора состояния спутника. Подход,
используемый в данной главе, делает возможным переход от
исходной нелинейной задачи оптимизации к эквивалентной линейной
задаче по фазовым переменным. Такой результат достигается путем
использования так называемого аналитического свойства
уравнения Риккатти.
Алгоритмы планирования, получаемые в результате
использования данного подхода, имеют аналитическую структуру и
гарантированную сходимость. Это дает возможность использовать
получаемые алгоритмы планирования в прикладных задачах
18

определения орбит спутников, входящих в многоспутниковые
космические системы.
При планировании навигационных измерений используется
стохастический подход. Это означает, что все неконтролируемые
факторы (ошибки измерений, возмущения, действующие на
орбитальную фуппировку, ошибки априорных сведений о состоянии
спутников) рассматриваются как случайные, описываемые гауссов-
скими распределениями с известными характеристиками.
Исходная задача оптимизации интерпретируется как задача
профаммного управления точностью калмановской фильтрации.
Эта интерпретация является достаточно общей, поскольку она
включает большое число элементарных задач, возникающих в
рамках классической теории рефессионного эксперимента, а также
задачи, возникающие при оптимизации результатов непрерывных
измерений, обрабатываемых по методу средних (наименьших)
квадратов.
Используемый подход позволяет учитывать стохастический
характер движения спутника, корреляцию ошибок навигационных
измерений, офаничения на максимальную частоту (скорость)
измерений, а также ряд других факторов, которые невозможно или
очень сложно учесть в рамках классической рефессионной модели.
Основные результаты приводятся для случая непрерывных
измерений. Затем они обобщаются на случай дискретных измерений,
который более важен для практического применения.
В главе 7 изложенный выше поход применяется к решению
задачи планирования работы наземного измерительного комплекса,
предназначенного для определения орбит фуппировки спутников.
Учитываются начальные отклонения спутников от расчетных
значений. Полагается, что навигационные измерения реализуются с
помощью сети наземных измерительных пунктов. Навигационный
сеанс реализуется в том случае, если выполняются условия
радиовидимости спутника в зоне ответственности измерительного
пункта. Предполагается, что информация, полученная от наземных
измерительных пунктов, обрабатывается с помощью метода
наименьших квадратов или фильтра Калмана.
В зоне ответственности каждого измерительного пункта могут
наблюдаться несколько спутников из фуппировки одновременно.
Это обстоятельство определяет одну из важных особенностей
планирования работы сети наземных измерительных пунктов. Необхо-
19

Введение
димо обеспечить достижение заданной точности определения
положения каждого спутника "вдоль" орбиты за возможно короткое
время. Практика показывает, что наиболее сложной задачей
является уточнение положения спутника в направлении, касательном к
опорной орбите или, как принято говорить, "вдоль" орбиты. Если
требования по точности позиционирования спутника вдоль орбиты
удовлетворяются, то требования по точности позиционирования
спутника по радиус-вектору и по нормали к орбите, как правило,
также выполняются. Результатом решения задачи планирования
является программа перенацеливания антенн наземного комплекса
с одного спутника на другой с учетом существующих технических
ограничений, например, на время перенацеливания. Задача состоит
в определении программы работы сети наземных измерительных
пунктов, обеспечивающей требуемую точность позиционирования
каждого из спутников группировки вдоль орбиты за минимальное
время работы наземного комплекса. В качестве критерия,
определяющего качество программы работы сети наземных
измерительных пунктов, принимается апостериорная дисперсия скалярного
параметра, характеризующего отклонение положения спутника
вдоль орбиты от требуемого (предписанного) положения.
В главе 8 обсуждается проблема высокоточного определения
орбит спутников. Известно, что точность определения орбит
спутников существенно зависит от математических моделей
возмущений и других неконтролируемых факторов, которые учитываются
при определении орбиты, от методов численного интегрирования и
алгоритмов обработки информации, используемых в процессе
определения орбиты.
Проблема определения орбит рассматривается применительно к
практическим задачам управления активными спутниками,
находящимися на низких и средневысоких орбитах.
Математическая модель движения центра масс спутника
формируется на основе законов ньютоновской механики. Точность
описания движения спутника зависит только от состава сил,
рассматриваемых при определении орбиты с учетом длительности
навигационного интервала или интервала построения эфемерид.
Учитываются силы, вызванные гравитационным влиянием Земли, с
учетом несферичности и приливных деформаций; силы, вызванные
гравитационным влиянием Луны и Солнца; сопротивление атмо-
20

сферы и управляющие ускорения; давление солнечных лучей (без
учета альбедо и переотражения); нерегулярность вращения Земли.
Приводятся детальные математические модели перечисленных
факторов.
Обсуждается техника реализации алгоритмов определения
орбит. В соответствии с мировым опытом наиболее употребительным
алгоритмом определения орбит является метод наименьших
квадратов или метод максимального правдоподобия. В случае
нормального распределения ошибок измерений оба метода приводят к
одному и тому же вычислительному алгоритму. В случаях, когда
необходимо определить орбиту спутника в темпе проведения
навигационных измерений, используются различные модификации
фильтра Калмана.
В перечисленных выше алгоритмах используются линеаризация
или полиномиальная аппроксимация как уравнений движения
спутника, так и соотношений, связывающих оцениваемые
параметры движений (компоненты положения и скорости, оскулирую-
щие элементы его орбиты) и навигационные параметры
(наклонную дальность, скорость измерения наклонной дальности, азимут,
и т.д.). Это означает, что при реализации алгоритмов обработки
информации необходимо вычислять массивы различных частных
производных при линеаризации или аппроксимации
соответствующих уравнений или соотношений. Кроме того, при реализации
всех перечисленных выше алгоритмов необходимо интегрировать
уравнения движения спутника и наземных измерительных пунктов
в абсолютной инерциальной системе координат. Анализ и
соответствующий опыт определения орбит показывают, что именно
процедуры численного интегрирования и вычисления частных
производных в конечном счете обуславливают точность определения
орбиты при использовании одних и тех же математических моделей
движения и измерений. Поэтому в главе подробно обсуждается
техника вычисления частных производных и алгоритмы
численного интегрирования.
Задачи оперативного анализа эффективности работы
спутниковых систем дистанционного зондирования и краткосрочного
планирования наблюдений рассматриваются в главе 9.
Эффективность использования спутниковой системы
наблюдения зависит не только от текущего состояния системы, но и от
конкретных задач, решаемых системой в рассматриваемый период
21

Введение
ее эксплуатации, состояния факторов внешней среды в этот период
и плана ее работы. Целью планирования является формирование
плана работы целевой съемочной аппаратуры отдельных спутников
системы и наземных станций приема информации, поступающей
со спутников, на заданный период планирования. Задача
оперативного планирования должна решаться применительно к заявкам
потребителей системы на снимки, поступившим к моменту
составления плана. Эффективность составленного плана характеризуется
набором показателей, описывающих степень выполнения заявок на
снимки, а также участие отдельных спутников, бортовой
аппаратуры и наземных станций в выполнении этих заявок. Обсуждаются
особенности спутников наблюдения, наиболее существенные с
точки зрения решения задач оперативного планирования и анализа
эффективности целевого функционирования спутниковой системы
наблюдения. В качестве примера рассматривается китайско-
бразильский спутник исследования природных ресурсов Земли,
который является типичным представителем современных
спутников наблюдения.
Задача оперативного планирования наблюдений решается
применительно к заданному периоду планирования с учетом
требований заказчиков к снимкам, технических ограничений системы и
критерия оптимальности плана. Продолжительность периода
планирования может составлять от нескольких часов до нескольких
суток. На ее выбор влияют две противоречивые группы факторов.
С одной стороны, для более оперативного выполнения
поступающих заявок пользователей системы и более точного учета текущего
фактического состояния спутниковой системы и факторов
внешней среды (прежде всего, облачного покрова над объектами
наблюдения) планы должны формироваться на возможно более короткие
сроки. С другой стороны, орбиты спутников, число, расположение
и технические характеристики наземных станций ограничивают
как минимально возможную продолжительность периода
планирования, так и время задержки плана, разделяющее момент
составления плана и момент начала его реализации спутниковой системой
из-за невозможности своевременно передать сформированные
планы на спутник.
Требования заказчиков к снимкам формулируются в заявках на
снимки. Технические ограничения характеризуют способность
спутниковой системы выполнить поступившие заявки на снимки.
22

Критерий оптимальности, подлежащий максимизации,
характеризует количественно эффективность эксплуатации спутниковой
системы за период планирования.
Излагается сценарий решения задач планирования для
различных инструментов. Процесс формирования оптимального плана
включает подготовку списка заявок на снимки, формирование
последовательности возможных съемок объектов из списка и сеансов
связи спутника с наземными станциями, оптимизацию плана и
анализ эффективности сформированного плана.
Список заявок содержит информацию, необходимую для
формирования плана: требования заказчика к снимкам (спектральный
интервал, разрешение, временные требования) и согласованные в
результате переговоров между заказчиком и исполнителем при
приеме заявки приоритет и вес снимка.
С использованием результатов прогнозирования орбит
спутника в течение периода планирования анализируется относительная
геометрия спутника и наземных целей и проверяется выполнение
статических ограничений, таких, как условия освещенности
наземных целей в моменты пролетов спутника над ними, требований
заказчиков к разрешению снимков и временных требований. В
результате формируется список всех возможных съемок всех целей из
списка заявок, удовлетворяющих статическим ограничениям.
Кроме того, формируется список возможных сеансов связи спутника с
наземными станциями. Результатами этого этапа являются списки
всех возможных съемок целей и всех возможных сеансов связи
спутника с наземными станциями.
Как правило, списки возможных съемок и сеансов связи
являются избыточными. В то же время не всякая последовательность
съемок, содержащая по одному снимку каждой цели,
сформированная на основе списка возможных съемок, может быть
выполнена из-за существующих динамических ограничений: скорости
переориентации оптической оси, скорости записи-воспроизведения и
объема памяти бортового запоминающего устройства.
Поэтому, чтобы сформировать план, содержащий по одной
съемке каждой цели,из списка заявок и обеспечивающий
выполнение заявок на съемку с максимальным эффектом, учитывая
приоритеты и цены заказанных снимков и все динамические
ограничения, необходимо решить оптимизационную задачу.
23

Введение
Рассматриваемая задача относится к классу задач дискретного
программирования. Универсальным подходом к решению задач
данного класса является использование процедуры полного
перебора. Реализация этой процедуры затруднена из-за необходимости
формирования и анализа большого числа альтернатив плана,
содержащих различные комбинации возможных съемок целей.
Существуют различные методы и алгоритмы для получения
решения, минуя процедуру полного перебора, например метод
линейного программирования, метод динамического
программирования, эвристические методы. Рассматриваются два алгоритма
решения указанной задачи: алгоритм последовательных назначений
и алгоритм, являющийся модификацией метода ветвей и границ.
После оптимизации плана проводится оперативный анализ
эффективности функционирования спутниковой системы. Целью
такого анализа является получение данных, характеризующих работу
системы за анализируемый период (выполненную или
планируемую), которая может быть использована оператором или
менеджером системы для принятия управленческих решений,
направленных на совершенствование качества ее работы.
Помимо основного критерия эффективности системы, при
оперативном анализе рассчитывается набор других показателей,
характеризующих подробности составленного плана наблюдений и
загрузку различных компонентов системы, участвующих в его
выполнении. Такими показателями являются, например, процент
числа заявок из списка заявок-кандидатов, включенных в план для
выполнения; доля заявок, выполняемых каждым спутником
системы; доля снимков, принимаемых каждой из наземных станций;
количество снимков, переданных на землю в режиме
непосредственной передачи и с задержкой, доход от выполнения заявок —
полный и относительный (по отношению к максимально
возможному при выполнении всех заявок из списка); полный и
относительный доход применительно к заявкам из отдельных групп
приоритета, для каждого спутника, каждого режима работы камеры,
каждой наземной станции; число заявок, включенных в план;
средний угол визирования цели в момент съемки; средний угол
переориентации оптической оси камеры при съемке
последовательности целей; средний интервал времени между
последовательными съемками целей; средний интервал времени между моментом
поступления заявки на снимок от заказчика и моментом ее выпол-
24

нения (съемки и доставки); интервал времени между съемкой и
передачей изображения на станцию в режиме с задержкой;
количество данных в бортовом запоминающем устройстве к моменту
начала очередного сеанса связи с наземной станцией;
продолжительность сеанса связи между спутником и станциями; количество
снимков, передаваемых за один сеанс, а также другие показатели.
В последней главе 10 приводится описание программного
комплекса, предназначенного для анализа, синтеза и управления
космическими системами как на этапе проектирования, так и в
процессе развертывания и целевого применения системы. Комплекс
разработан в Московском авиационном институте.
В состав комплекса входят операционная оболочка и
прикладные программы (приложения). Операционная оболочка создает
информационное пространство для всех приложений в виде
многоцелевой базы данных космических систем. Все прикладные
программы выполняются под управлением операционной системы не
ниже Windows 95.
К числу основных прикладных программ относятся:
• Программа моделирования динамики орбитальной группировки,
осуществляющая прогнозирование орбит с требуемой
точностью на заданный период времени с учетом
несферичности Земли, притяжения Луны и Солнца, торможения в
атмосфере и светового давления;
• Программа планирования работы наземных измерительных
пунктов, позволяющая получать программу работы
наземного измерительного комплекса;
• Программа определения орбит спутников группировки,
предназначенная для статистической оценки взаимного
положения спутников в системе;
• Программа планирования полетного задания,
предназначенная для составления плана съемки заданной группы
районов (объектов) на Земле со спутников системы землеобзо-
ра;
• Программа анализа эффективности полетного задания,
позволяющая оперативно оценить качество выполнения
полетного задания по группе критериев;
25

Введение
• Программа планирования полетных операций,
предназначенная для составления плана команд, выполняемых с каждым
спутником созвездия при прохождении станций слежения;
• Программа априорного анализа эффективности системы,
предназначенная для оценки эффективности космической
системы на этапе проектирования;
• Программа оптимизации орбитальной группировки,
позволяющая выбирать оптимальную структуру спутниковой
системы с учетом характеристик прикладных задач
наблюдения;
• Программа оптимизации развертывания орбитальной
группировки, позволяющая определить такую стратегию выведения
спутников, при которой поддерживается максимальная
эффективность системы в процессе развертывания с учетом
задач наблюдения и возможностей ракетно-космического
комплекса;
• Программа управления группировкой спутников, позволяющая
определить стратегию удержания и восполнения
спутниковой системы;
• Программа расчета коррекции орбит, предназначенная для
определения последовательности коррекции орбит
спутников группировки при развертывании и поддержании
системы.
В главе подробно обсуждается каждая из перечисленных
программ. Приводятся примеры их возможного использования.

1. ОБЩАЯ КОНЦЕПЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СПУТНИКОВЫХ
СИСТЕМ
В настоящей главе обсуждается общая концепция системного
проектирования спутниковых систем мониторинга. Формулируются
принципы системного подхода. Приводятся основные этапы
проектирования. Предлагается иерархическая структура целей и задач.
Обсуждается возможный перечень показателей целевой
эффективности, а также подходы к формированию интегрированных
показателей как целевой, так и экономической эффективности.
1.1. Назначение спутниковых систем мониторинга
окружающей среды
Назначение спутниковых систем рассматриваемого класса -
осуществление мониторинга окружающей среды, т.е.
дистанционного зондирования Земли и околоземного пространства с целью
получения космической информации об этих объектах.
Спутниковые системы мониторинга дают возможность в
глобальном масштабе определять положение и физическое состояние
объектов и процессов, происходящих на суше, в океане и в
атмосфере. Наблюдение спутников вследствие большой высоты полета,
скорости движения, регулярности и повторяемости орбитального
движения относительно Земли характеризуется по сравнению с
традиционными методами мониторинга более широкой полосой
захвата наблюдаемых территорий, высокой периодичностью обзора
и оперативностью доставки информации, возможностью
наблюдения труднодоступных районов.
В связи с этим космическая информация, получаемая при
мониторинге окружающей среды, сегодня имеет очень широкий
спектр реальных и потенциальных потребителей, которые активно
используют эту информацию для решения самых различных задач.
Использование космической информации может иметь как ком-
27

1. Общая концепция проектирования спутниковых систем
мерческий, так и некоммерческий характер. В первом случае
пользователи приобретают информацию, покупая ее. Во втором случае
информация используется непосредственно заказчиком
спутниковой системы, в качестве которого может выступать, например,
государственная структура.
Несмотря на то, что пока системам мониторинга не удается
перейти на полную самоокупаемость, объем продаж поступающей от
них космической информации очень заметно растет. Так, на
мировом рынке в настоящее время он оценивается от 500 млн. до
1 млрд. долларов, а его рост предполагается на 15-20% ежегодно.
Особенно значительные успехи в этой сфере имеет Франция (Spot
Image), США (Space Imaging). Наблюдается заметное продвижение
на этом рынке ряда российских организаций и фирм (ЦГИИГРАН,
КосмосГрафикс и др.).
Рассмотрим наиболее важные области, в которых
использование космической информации дает или может дать значительный
эффект [19, 32, 35, 57].
Контроль погодообразующих и климатообразующих факторов
позволяет достоверно прогнозировать погоду и изменения климата.
Основными объектами и процессами наблюдения при этом
являются облачность, направление и скорость ее перемещения,
профили температуры и влажности. Для анализа изменения климата
важен контроль температуры поверхности океана, альбедо земной
поверхности, ледового покрова и т.п.
Экология является одной из наиболее актуальных проблем,
которая сегодня волнует практически все человечество. Из космоса
возможен контроль выбросов в атмосферу и плотную среду;
загрязнения почвы и океанов; опустынивания и состояния лесного
покрова; экологического состояния урбанизированных территорий
и т.п.
Важную роль космическая информация может играть при
возникновении чрезвычайных ситуаций для их оперативного контроля
с целью эффективного планирования и своевременного
проведения мероприятий по их устранению и ликвидации последствий. Из
космоса возможно оперативное обнаружение фактов
возникновения пожаров, химического и радиационного заражения,
затоплений, землетрясений и т.п., а также масштабов разрушений. Могут
быть также определены места падения летательных аппаратов,
транспортные аварии на железных и автомобильных дорогах и
28

1. L Назначение спутниковых систем мониторинга окружающей среды
многие другие чрезвычайные ситуации. Особую роль при этом
играет возможность одновременного охвата больших территорий
(обзорность) и высокая частота (периодичность) наблюдений из
космоса.
В сельском хозяйстве на основе космической информации
можно прогнозировать урожай, оценивать состояние
сельскохозяйственных культур и качество агротехнических и агрохимических
мероприятий, осуществлять оперативный контроль использования
сельхозугодий, выявление и определение масштаба водной и
ветровой эрозии земель, раннюю диагностику заболеваний и
определение площадей культур, пораженных вредителями, болезнями,
сорняками, производить оценку запасов биомассы и продуктивности
пастбищ, размеров площадей, охваченных стихийными бедствиями.
Традиционные методы не в состоянии обеспечить решение этих
задач с требуемой полнотой охвата сельскохозяйственных угодий и
оперативностью, в то время как комические снимки потенциально
несут необходимую для этого информацию.
В области геологии использование таких особенностей
наблюдения из космоса, как охват космическими снимками больших
территорий и способность проводить изучение известных и выявление
новых геологических образований в больших масштабах, позволяет
эффективнее решать геологические задачи, особенно геологическое
картирование и определение участков, перспективных для поиска
нефти, газа и других полезных ископаемых. Экономический
эффект при этом определяется не только повышением качества и
производительности геологических работ, но и существенным
сокращением сроков поиска и открытия новых перспективных
месторождений полезных ископаемых. Применение материалов
космических съемок уже в настоящее время позволило уточнить
геологическое строение нефтегазоносных районов и выделить
несколько сотен геологических образований, которые
отождествляются с перспективными для поиска нефти и газа структурами.
Космическая информация позволяет решать целый ряд задач
для лесного хозяйства с минимальными затратами и в короткие
сроки. На космических снимках хорошо различаются хвойные и
лиственные породы деревьев, гари и вырубки, участки
распространения насекомых-вредителей и другие факторы, необходимые для
оценки и контроля состояния лесов. Наблюдая с высоты полета
спутника за очагами и дымовыми шлейфами лесных пожаров,
29

/. Общая концепция проектирования спутниковых систем
можно с наивысшей оперативность принимать меры по их
тушению.
Основной областью использования космической информации в
водном хозяйстве и мелиорации является создание картографических
материалов мелиоративного направления для обоснования
технических решений проектируемых мелиоративных и
водохозяйственных объектов, почвенно-мелиоративного, гидрогеологического,
инженерно-геологического и специального геоморфологического
районирования, а также карт современного использования поймы
рек. С помощью космической информации возможно осуществлять
контроль за загрязнением рек, морей и океанов. Использование
материалов космических съемок для получения такой информации
дает возможность в два-три раза снизить объем затрат на полевые
работы.
Использование спутниковых данных об облачности и таких
характеристиках атмосферы, как температура, влажность, давление, и
других метеопараметрах значительно повышает качество прогнозов
погоды. Сведения о погоде, развитии опасных природных явлений
(циклонов, заморозков, наводнений), ледовой обстановке в
Арктике и Антарктике, состоянии морской поверхности, полученные со
спутников, могут предотвратить чрезвычайные ситуации и дать
экономический эффект.
Космическая информация может быть успешно использована и
в таких областях, как картография и землепользование, гидрология,
рыбное хозяйство и океанология, градостроительство. Особое место
занимает возможность создания динамической модели Земли на
основе этой информации.
1.2. Структура системы мониторинга
Спутниковую систему мониторинга можно рассматривать как
неотъемлемую часть более сложной глобальной системы
мониторинга окружающей среды, предназначенной для создания единой
информационной системы и обеспечивающей необходимой
информацией большое число пользователей не только в странах-
разработчиках, но и во всем мире. Проектирование такой системы,
безусловно, должно осуществляться в рамках международной
Программы.
30

1.2. Структура системы мониторинга
Организационная структура такой Программы (см. рис. 1.1)
должна учитывать ее международный характер, наличие различных
уровней участников, представляющих собой государственные,
общественные и частные интересы.
Международный
консорциум
!
|
|
!
1
!
!
rnrvdanctma - vuac
Россия
!_
Разработчики Программы
Отраслевые НИИ
Промышленные
— предприятия
Центры сбора, обработки
и распространения
информации
Страны Евросоюза]
США
\
— Франция
— Германия
— Великобритания
\
\
\
Информационно-техническая система мониторинга
Система мониторинга
Космический сегмент F- Система связи
Наземный сегмент
Авиационный сегмент
Система сбора, обработки и
распространения информации
Система сбора
ПОЛЬЗОВАТЕЛИ
Рис. 1.1. Структура Программы глобальной системы мониторинга
Ввиду международного характера Программы основным ее
заказчиком должен быть какой-либо международный орган или
международный консорциум.
Участниками Программы на государственном уровне могут
являться, например, Россия, страны Евросоюза (Франция, Германия,
31

1. Общая концепция проектирования спутниковых систем
Великобритания), США и другие страны, имеющие конкретные
фирмы-разработчики.
Следующему уровню иерархической структуры Программы
соответствует информационно-техническая система мониторинга,
состоящая, в свою очередь, из собственно системы мониторинга
окружающей среды и системы сбора, обработки и распространения
информации.
На нижнем уровне иерархии Программы находятся
пользователи информации, получаемой с помощью системы мониторинга
окружающей среды.
Более подробно структура информационно-технической
системы мониторинга представлена на рис. 1.2. В общем случае она
включает в свой состав космический, наземный, авиационный и
другие сегменты.
КОМШШкЧ" МОИМ 1'ОРИНГА
Рис.1.2. Структура информационно-технической системы мониторинга
Центральное место в этой системе занимает комплекс, который
осуществляет непосредственный мониторинг окружающей среды
путем измерения различных ее характеристик. Аппаратура
наблюдения (измерения) этого комплекса может быть расположена на
различных носителях: космических, авиационных, наземных (в т.ч.
морских, речных).
Каждый из этих типов носителей может быть объединен в
соответствующую систему. Так, спутниковая система мониторинга,
являющаяся предметом изучения в настоящей книге, представляет
собой группировку спутников с соответствующей аппаратурой на-
32

1.2. Структура системы мониторинга
блюдения. Получаемая от систем различных типов информация
дополняет друг друга при решении целевых задач. Учет этого факта
может оказать существенное влияние на принятие ряда проектных
решений, например, при выборе оптимальной комплектации
аппаратуры наблюдения на борту спутников.
Требуемый состав информации об окружающей среде, а
следовательно, и целевые задачи системы мониторинга определяются
пользователями (потребителями) информации. Диапазон
применения космической информации чрезвычайно широк. Объекты и
процессы наблюдения из космоса очень различны по своей
природе и характеристикам. Тем не менее существует целый ряд общих
свойств, на основе которых можно сформировать требования к
космической информации со стороны пользователей в каждой из
областей ее применения.
Поскольку система мониторинга, как правило, предназначена
для наблюдения большого числа объектов или процессов, то
совокупность их координат позволяет сформулировать требования к
району наблюдения, который в простейшем случае может
характеризоваться совокупностью географических координат крайних точек
его границ.
Динамика изменения состояния объектов наблюдения или
развития наблюдаемых процессов определяет требуемую частоту или
периодичность наблюдения заданного района, а также
оперативность передачи полученной информации, т.е. время от момента
получения информации на борту спутника до момента ее передачи
потребителю.
Размеры объектов или протяженность процессов наблюдения
определяют требования к пространственному разрешению
получаемых изображений, т.е. минимальному размеру объектов, которые
можно на них распознать, и к обзорности изображений, т.е. к
размерам района, одновременно наблюдаемого спутниковой
аппаратурой.
Спектральные и другие физико-химические характеристики
объектов и процессов наблюдения определяют тип аппаратуры
наблюдения, спектральный диапазон длины волны работы этой
аппаратуры, спектральное и яркостное разрешение аппаратуры.
Специфические свойства отдельных объектов могут определять
и особые требования к информации со стороны потребителей. К
33

7. Общая концепция проектирования спутниковых систем
их числу можно отнести, например, требование к уровню
освещенности объекта.
Для того чтобы получаемая в процессе мониторинга
спутниковая информация могла поступить к пользователю, необходима
система приема, передачи и обработки информации. Она состоит из
наземной и космической части.
В состав наземной части системы входит сеть пунктов приема
информации; центральный пункт приема и обработки
информации; система обработки, архивации, хранения и распространения
информации.
Если сеть пунктов приема информации разветвленная, то
спутник, осуществляющий наблюдения, может сразу после получения
информации передать ее на один из пунктов в режиме
непосредственной передачи. Если же прямой радиовидимости между
спутником и пунктом приема нет, то возможны два варианта. Первый из
них предполагает наличие на борту спутника запоминающего
устройства, которое позволит передать информацию позже, когда
спутник снова окажется в зоне радиовидимости. Очевидно, что это
может произойти лишь с некоторой задержкой в передаче. Время
от момента получения информации до момента ее передачи на
Землю, как указывалось выше, обычно называют оперативностью
спутниковой системы. Если оперативность системы в описанном
варианте окажется неудовлетворительной с точки зрения
пользователей, то необходимы специальные меры по ее повышению. В
частности, могут быть использованы космические системы связи,
включающие в свой состав спутники-ретрансляторы.
Важной компонентой системы мониторинга является система
управления ее полетом, которая включает в себя комплекс сбора
телеметрической информации и определения параметров движения
спутников, а также центр управления полетом.
Для определения параметров движения могут быть
использованы сеть наземных контрольно-измерительных пунктов и
космическая система навигационных спутников.
Основные функции центра управления полетом — это
управление развертыванием системы, управление процессом поддержания
и восполнения орбитальной структуры системы, планирование и
управление процессом наблюдения, контроль технического
состояния спутников в системе.
34

1.2. Структура системы мониторинга
В состав системы мониторинга должен быть включен и
наземный ракетно-космический комплекс, обеспечивающий выведение
спутников на этапах развертывания, поддержания и восполнения
орбитальной группировки.
1.3. Общая задача системного проектирования
Методологической основой проектирования спутниковой
системы мониторинга, как и любой сложной системы, может служить
системный подход [19], основные принципы которого сводятся к
следующему:
• формулировка целей и задач, стоящих как перед
спутниковой системой мониторинга в целом, так и перед входящими
в ее состав компонентами;
• анализ требований к отдельным компонентам системы;
• формирование состава и структуры системы;
• формирование возможных альтернатив;
• декомпозиция системы, целей и задач при сохранении на
каждом уровне иерархии условий достижения как целей,
стоящих непосредственно перед этим уровнем, так и целей
вышестоящего уровня;
• выбор определяющих (проектных) параметров системы,
которые наиболее существенно влияют на достижение целей;
• формирование показателей целевой эффективности,
отражающих степень достижения целей, стоящих перед
системой в целом;
• анализ целевой и экономической эффективности системы;
• оптимизация структуры и выбор ее параметров на основе
использования комплексных критериев оптимальности;
• выбор предпочтительного варианта спутниковой системы и
ее компонентов.
Эти принципы могут рассматриваться как соответствующие
этапы системного проектирования. Использование этих принципов
при проектировании спутниковой системы позволяет упорядочить
сам процесс проектирования, существенно сократить объем и
размерность решаемых при этом задач и в конечном итоге
спроектировать систему, обеспечивающую достижение поставленных целей.
35

1. Общая концепция проектирования спутниковых систем
Выполнение каждого из этапов предполагает разработку
соответствующих моделей и алгоритмов, а также программного
обеспечения. Проведение работы по системному проектированию
спутниковой системы в полном объеме и с достаточной глубиной
требует значительной трудоемкости и времени. Для их сокращения
могут быть применены специальные подходы и методы.
Задача проектирования спутниковой системы может
формулироваться по-разному в зависимости от того, каким проектным или
техническим заделом располагает разработчик, а также от этапа
проектирования системы. По этому признаку можно рассмотреть
ряд вариантов, начиная от задачи общего проектирования и кончая
частными постановками, когда выбору подлежат лишь некоторые
проектные параметры, В общем случае эта задача сводится к
следующему.
Основой любой спутниковой системы является группировка
(созвездие) спутников, связанных между собой динамически и
функционально и решающих единую целевую задачу. Созвездие
характеризуется орбитальной структурой (количеством спутников
одного или нескольких типов и их орбитальными параметрами),
выбор которой является центральной задачей при проектировании
системы.
Однако выполнение целого ряда требований к космической
информации, с которыми связано решение целевых задач (по
пространственному разрешению, обзорности, периодичности
наблюдения заданного района и т.д.) зависит не только от параметров
орбитальной структуры, но и от параметров аппаратуры
наблюдения (разрешающей способности, угла обзора, фокусного
расстояния и пр.). Это означает, что с точки зрения решения целевых
задач выбор основных параметров целевой аппаратуры должен
осуществляться совместно с выбором орбитальной структуры
созвездия.
С другой стороны, в процессе функционирования на систему
действует целый ряд факторов, которые приводят к тому, что
номинальная орбитальная структура изменяется. Эти изменения
могут привести к нарушению свойств системы (например,
периодичности наблюдения и пр.), которые должны быть восстановлены за
счет управления орбитальными параметрами путем коррекции.
Эволюция созвездия, частота коррекции и, следовательно,
потребный запас рабочего тела на борту спутника существенно зависят от
36

1.3. Общая задача системного проектирования
параметров орбитальной структуры (высоты, числа спутников,
степени их избыточности в структуре и т.п.). Кроме того, потребный
запас (масса) рабочего тела зависит также от алгоритмов
поддержания орбитальной структуры. Из этого следует, что выбор
параметров системы и алгоритмов коррекции орбит спутников должен
осуществляться также совместно с выбором орбитальной
структуры.
Совместно с выбором орбитальной структуры должен
осуществляться и выбор параметров, от которых зависит процедура
восполнения сети. К их числу следует отнести, с одной стороны,
характеристики надежности спутников в составе созвездия, на
которые можно повлиять, например, дополнительным
резервированием, а с другой стороны, сами алгоритмы восполнения
системы, которые, в свою очередь, зависят от числа спутников в сети.
Выбор параметров ряда бортовых систем, таких, например, как
система ориентации или бортовое запоминающее устройство,
обычно осуществляется независимо от параметров орбитальной
структуры. Однако они влияют на выполнение целевых задач и, с
позиции системного анализа, выбор этих параметров также
является задачей проектирования системы.
Как показывает анализ, существенное влияние на выбор
параметров орбитальной структуры может оказать тип применяемых
носителей, а также алгоритмы развертывания космической
группировки.
Таким образом, при общем проектировании спутниковой
системы должны быть выбраны:
• параметры орбитальной группировки (количество спутников
и их орбитальные параметры),
• параметры спутника (массогабаритные характеристики
спутника с учетом его надежности),
• параметры основных бортовых систем (включая аппаратуру
наблюдения, систему коррекции и ориентации, бортовое
запоминающее и передающее устройства),
• алгоритмы управления орбитальной структурой (на этапах
развертывания, поддержания и восполнения системы).
Задача проектирования в такой общей постановке обычно
решается, когда разрабатывается проект совершенно новой
спутниковой системы. В тех случаях, когда часть из перечисленных выше
37

1. Общая концепция проектирования спутниковых систем
параметров уже известна или задана (например, бортовая
комплектация целевой аппаратуры), задачу проектирования спутниковой
системы можно рассматривать как частный случай общей задачи.
Так, большой интерес представляет задача создания системы
мониторинга на базе уже функционирующих или практически
разработанных спутников с фиксированным составом бортовой
аппаратуры. В этом случае задача проектирования состоит в выборе
параметров орбитальной структуры и алгоритмов управления
системой в процессе функционирования.
Другим примером может служить задача выбора оптимальной
комплектации бортовой аппаратурой вновь разрабатываемых
спутников, что может быть сделано также в процессе проектирования.
Возможные постановки этих задач очень разнообразны.
В последнее время многие разработчики предлагают уже
готовые варианты спутниковых систем. В этом случае задача
проектирования сводится к задаче анализа альтернативных вариантов и
выбора из них наиболее предпочтительного. Задачи анализа следует
выделить в отдельный класс. Модели, методы и алгоритмы,
излагаемые ниже, могут быть использованы как для задач
проектирования, так и для задач анализа.
1.4. Показатели целевой и экономической эффективности
Одной из важных проблем при решении задач анализа и
синтеза спутниковых систем является выбор показателей (критериев)
эффективности или оптимальности системы. С одной стороны, чем
проще критерии, тем легче проводить анализ и оптимизацию
системы. С другой стороны, критерии должны полнее учитывать
совокупность свойств спутниковой системы, основные этапы ее
функционирования, чтобы более адекватно отражать действительное
состояние проблемы.
До последнего времени распространенным при оптимизации
спутниковой системы был подход, когда задача формулировалась
как задача минимизации числа спутников в системе при условии
выполнения геометрических требований к наблюдению заданного
района с требуемой периодичностью. Однако сегодня все более
очевидной становится ограниченность такого подхода. Во-первых,
при таком подходе не учитывается степень выполнения стоящих
38

1.4. Показатели целевой и экономической эффективности
перед спутниковой системой целевых задач по всей совокупности
требований потребителей в течение всей миссии. Во-вторых, задача
проектирования спутниковой системы не сводится только к выбору
орбитальной структуры созвездия. Важными при этом являются
также параметры космического аппарата и его бортовых систем,
алгоритмы управления развертыванием, поддержанием и
восполнением системы, от которых существенно зависит ее
эффективность. Наконец, для коммерческих систем необходимо учитывать
экономическую эффективность системы, например стоимость
системы или прибыль от ее функционирования.
Рассмотрим более подробно формирование показателей
целевой и экономической эффективности.
Целевая эффективность. Под целевой эффективностью системы
или отдельных ее подсистем обычно понимается степень
достижения поставленных целей. Часто слово "целевая" опускается и
используется термин "эффективность". Если в состав целей входят
цели экономического характера, то можно говорить и об
экономической эффективности.
Выбираемые показатели должны объективно, в количественной
форме, характеризовать степень достижения целей. Они должны
иметь достаточно простой физический смысл, быть наглядными
для восприятия и анализа. Для многоцелевых систем вид и форма
получения оценок отдельных показателей должны допускать их
свертку в интегрированные, обобщенные показатели, на базе
которых могут формироваться критерии оценки и выбора
альтернативных вариантов системы в целом или отдельных ее компонентов.
Показателями обеспечения космической информацией всех
реальных и потенциальных пользователей могут выступать
- абсолютное число обеспеченных космической информацией
пользователей,
- относительное число таких пользователей, если известно их
полное число,
- вероятность того, что число обеспеченных информацией
пользователей будет не менее заданного.
При дальнейшем изложении за основу принят последний
показатель. В этом случае эффективность космической системы
мониторинга Э можно определить по формуле:
39

/. Общая концепция проектирования спутниковых систем
1 "з
где N3 " полное число задач, решаемых различными
пользователями с использованием космической информации, / — номер
задачи, Pj - вероятность решения i -й задачи.
Если каждая задача имеет свой приоритет по сравнению с
другими, то для оценки эффективности космического сегмента
можно использовать выражение
Э=2>,Р„ 2>,=1, (1.2)
7=1 1=1
где а{ - коэффициент важности /-й задачи. В случае равенства
всех приоритетов формула (1.2) принимает вид (1.1).
Каждую задачу можно считать решенной, если одновременно
выполнены все требования потребителя к информации. Тогда для
вероятности решения / -й задачи Pt можно записать:
Pi=f\Pji, (1-3)
j
где j - номер требования, J - число требований, Pjt -
показатель выполнения у'-го требования для / -й задачи.
В дальнейшем при оценке эффективности спутниковой
системы мониторинга учитываются следующие основные требования к
космической информации:
• Спектральный диапазон XX аппаратуры наблюдения
должен лежать в требуемых пределах, т.е. XX е ХХТР.
• Разрешение аппаратуры R должно быть не хуже
требуемого, т.е. R<RTP.
• Периодичность наблюдения tnep любой точки в заданном
районе должна быть не ниже требуемой, т.е. tnep < tj£
40

1.4. Показатели целевой и экономической эффективности
Формально вероятность выполнения первого требования Рм
для / -й задачи может быть определена из условия:
fl, если ЛЛеЛЛ]р
[О, если ААёАА}
Выполнение этого требования зависит только от комплектации
бортовой аппаратуры. Поэтому для оценки Рм необходима полная
информация об установленной на борту спутника аппаратуре.
Аналогично может быть определена и вероятность Рт
выполнения второго требования
[О, если R>Rjp
Для оценки Рш необходимы данные об аппаратуре наблюдения
и высоте орбиты каждого космического аппарата.
Что касается периодичности наблюдений, то необходимо
учитывать следующее. Периодичность наблюдения различных точек
заданного района является сложной, неоднозначной функцией.
Она изменяется от точки к точке района наблюдения, от витка к
витку орбиты спутника. Для того чтобы получить какую-либо
оценку периодичности наблюдения заданного района, следует
получить оценки периодичности для множества точек
обслуживаемого района, и только после этого можно вычислить ту или иную
характеристику для района, например максимальную
периодичность, минимальную периодичность, среднюю периодичность
(математическое ожидание) или вероятность того, что периодичность
будет не хуже заданной. В дальнейшем именно последний
показатель Pti =P(tnep ^t^pi) используется в качестве основного.
Для вычисления вероятности Pti необходимы данные об
орбитальной структуре спутниковой системы мониторинга и
характеристиках аппаратуры наблюдения.
41

1. Общая концепция проектирования спутниковых систем
С учетом сказанного вероятность решения i'-й задачи можно
определить так:
Pi=Pxi-PRi-Pti- (1.6)
Стоимость. Стоимость спутниковой системы является одним из
важнейших показателей, от которых зависит ее экономическая
эффективность. В случае коммерческой системы от нее
непосредственно зависит прибыль, получаемая в процессе функционирования
космического сегмента. Для некоммерческой системы вопрос о
стоимости системы также является весьма важным. В связи с этим
для спутниковой системы любого класса стоимость системы
должна в той или иной форме учитываться в критерии оптимальности
при проектировании.
Главная трудность в оценке стоимости при проектировании
системы состоит в том, что методики для этих оценок
разрабатываются специалистами-экономистами, они перегружены сугубо
экономическими параметрами и деталями. В то же время для этапа
проектирования спутниковой системы необходимы простые
модели, которые, тем не менее, достаточно полно отражают
зависимость стоимости системы от выходных ее характеристик, от
основных проектных параметров, которые должны выбираться на этапе
системного проектирования.
• На наш взгляд, на этапе системного проектирования может
быть успешно использована модифицируемая модель стоимости,
предложенная D.Koelle [57 ] и широко используемая многими
авторами [19, 32]. Согласно этой модели в стоимость системы С
включаются затраты на проектирование Сп , изготовление Ст,
развертывание (выведение) системы Св и управление (обслуживание) в
процессе функционирования С06 , т.е.
С = С" +С"3 +Св +С06. (1.7)
Для приближенной оценки стоимости системы за весь срок
функционирования можно использовать следующее соотношение:
42

1.4. Показатели целевой и экономической эффективности
С = Ап^-М? +ъ(ламГ +с'удМс+с?Ту (1.8)
где Ап, уп, Аш, уш - эмпирические коэффициенты, ап -
коэффициент сложности проектирования системы (по сравнению с
одиночным спутником), свуд - удельная стоимость выведения 1 кг
массы спутника на орбиту, с?6 - затраты на обслуживание
системы в единицу времени, Т - время функционирования системы,
Мс - масса спутника, NT — суммарное число спутников,
необходимых для функционирования системы в течение времени Г,
кап = Мап /Мс - относительная масса аппаратуры наблюдения,
Мап — масса аппаратуры.
Эмпирические коэффициенты существенно зависят от уровня
развития техники и нуждаются в периодическом уточнении на
основании обработки статистических данных по различным
спутникам и ракетам-носителям.
В последнее время часто возникают задачи проектирования
спутниковых систем различной конфигурации, включающих те или
иные уже функционирующие или разрабатываемые спутники. В
этих случаях задача оценки стоимости системы упрощается, так
как стоимость таких спутников, как правило, известна. Например,
стоимость "Spot-4" оценивается в 130 млн. долларов, а
перспективных "Spot-5, 6-8" в 300 млн. долларов каждый [65]. Примерно
такой же величиной оценивается стоимость "Envisat-1". Стоимость
российских спутников "Ресурс-04", "Океан-01", "Ресурс-ДК" по
оценкам [65] равна 25 -f32 млн. долларов.
Формирование обобщенного критерия оптимальности. Итак, при
выборе наилучшего варианта спутниковой системы необходимо
учитывать по крайней мере два показателя — эффективность Э и
стоимость С. С одной стороны, желательно получить максимум
эффективности системы. С другой стороны, хотелось бы добиться
этого при минимальной стоимости. Очевидно, что одновременно
получить оба результата невозможно. Имеет место типичная
неопределенность целей. Подобные задачи принято называть задачами
43

1. Общая концепция проектирования спутниковых систем
векторной (или многокритериальной) оптимизации. Для решения
таких задач и, следовательно, для преодоления возникшей
неопределенности могут быть применены два основных подхода.
Первый подход предполагает введение дополнительных гипотез,
позволяющих свести задачу многокритериальной оптимизации к
задаче однокритериальной оптимизации. По существу речь идет о
свертывании критериев.
Второй подход предполагает сокращение множества исходных
вариантов решений путем неформального анализа эти вариантов и
построении так называемого множества Парето или, другими
словами, множества неулучшаемых вариантов.
Существует достаточно много методов свертки. Наибольшее
распространение получили методы, использующие линейную
свертку, квадратичную свертку, минимаксную свертку, введение
обобщенного показателя, введение главного показателя и др.
Для коммерческой спутниковой системы объективно
существует также возможность свертки показателя эффективности и
стоимости в одну обобщенную критериальную функцию — прибыль П ,
которая представляет собой разность между доходом D от продажи
космической информации и стоимостью системы С за весь срок
ее функционирования и является показателем ее экономической
эффективности
П = £>-С. (1.9)
Естественно, что доход является функцией эффективности
D = £>(Э). Таким образом, для коммерческой системы в качестве
критерия оптимальности может быть выбрана прибыль, которую и
нужно максимизировать:
П-»тах. (1.10)
Возможны и частные постановки задачи, например, о
рациональном использовании уже созданной системы, когда стоимость
С известна и равна некоторой заданной величине С . В этом
случае задача оптимизации состоит в максимизации дохода (или
прибыли) при заданной стоимости:
£>->тах,С = С . (1.11)
44

1.4. Показатели целевой и экономической эффективности
Для некоммерческих систем, когда на систему выделяются
ограниченные средства С , наиболее целесообразной постановкой
задачи является либо задача максимизации эффективности при
заданной стоимости:
Э->тах, С<С, (1.12)
либо обратная постановка задачи по минимизации затрат с целью
достижения требуемой эффективности:
C->min, Э>Э. (1.13)
Для оценки экономической эффективности может быть также
использована так называемая удельная эффективность Э, которая
характеризует эффективность вложенных средств, например
каждого рубля. Тогда критерий оптимальности может быть определен
как
Э-»тах, Э = -. (1.14)
Последним критерием нужно пользоваться с особой
осторожностью, так как значение этого критерия может быть достаточно
большим и для очень малоэффективной системы, например в
случае очень дешевой системы. Во избежание недоразумений
желательно и в этом случае учитывать выполнение требований по
эффективности.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СПУТНИКОВОЙ СИСТЕМЫ МОНИТОРИНГА
В данной главе обсуждается проблема создания моделей,
необходимых для решения задач анализа и синтеза спутниковой
системы мониторинга на этапе проектирования. К числу основных
моделей следует отнести модель пользователей космической
информации, определяющих по существу цели и задачи, стоящие перед
системой; модель спутника, являющегося неотъемлемой составной
частью системы мониторинга; модель аппаратуры наблюдения, без
которой не могут быть решены задачи мониторинга; модель
основных бортовых систем, обеспечивающих требуемое
функционирование спутника и аппаратуры наблюдения; модель орбитальной
группировки, характеризирующей эволюцию спутниковой системы
в целом; модель внешней среды, определяющей условия
наблюдения и влияющей на характеристики системы в процессе
функционирования.
Характерная особенность рассматриваемых моделей состоит в
том, что все модели является упрощенными. Они содержат лишь те
параметры, которые наиболее существенно влияют на
эффективность системы и тем самым определяют облик спутниковой
системы. Именно такие модели используются на этапе системного
проектирования.
2.1. Модель пользователей космической информации
Анализ целей и задач, стоящих перед спутниковой системой,
показывает, что практически все они зависят от тех или иных
характеристик пользователей. Это делает вопрос об анализе
пользователей информации одним из наиболее важных и первоочередных
при проектировании системы.
Существует большое разнообразие пользователей. Они могут
отличаться друг от друга по принадлежности к различным типам
структур (государственные, частные, общественные), по областям и
конкретным задачам приложения информации об окружающей
46

2.1. Модель пользователей космической информации
среде, по характеру требований к информации, по реальному
объему потребления информации и потенциалу его расширения и т.п.
Все это разнообразие должно быть учтено при формировании
единых требований к системе мониторинга и при системном
проектировании ее. С этой целью необходимо проанализировать
возможный состав пользователей и перечень требований,
предъявляемых пользователями к информации об окружающей среде. В
результате анализа может быть создана модель, которую в
дальнейшем и будем называть моделью пользователей.
По-видимому, такая модель должна иметь иерархическую
структуру, что позволяет разделить процедуру сбора и анализа
информации о пользователе по отдельным уровням и компонентам.
Модель должна содержать стандартный перечень данных о
пользователях, который служил бы исчерпывающей информацией для
формирования требований к проектируемым компонентам
спутниковой системы, в частности к космическому сегменту.
Модель пользователей должна, с одной стороны, допускать
возможность расширения как по составу пользователей, так и по
отдельным данным, а с другой стороны, иметь возможность
декомпозиции задач по различным признакам.
Ниже излагается один из возможных подходов к построению
такой модели.
Состав пользователей и структура модели. Начнем обсуждение с
состава пользователей, который может быть положен и в основу
формирования структуры модели пользователей (см. рис. 2.1).
Пользователи системы мониторинга могут являться
представителями различных стран или иметь интересы на их территории.
Прежде всего, это пользователи стран-разработчиков. Однако
глобальный характер информации, поступающей от системы
мониторинга, позволяет существенно расширить потребительский рынок
этой информации и на другие страны, а также международные
организации.
Пользователи любой из этих стран могут иметь различный
юридический статус, например государственные министерства и
ведомства, государственные или частные учреждения и
предприятия, физические лица.
Заметим, что информация о пользователях на этих уровнях
необходима главным образом для проведения маркетинговых иссле-
47

2 Моделирование спутниковой системы мониторинга
дований с целью определения объемов продаж в разных странах,
платежеспособности пользователей. Эти данные могут позволить
оценивать доход от продаж информации и прибыль, которая при
этом может быть получена.
Пользователи
космической информации
Россия
.Станы
Франция
США
Китай
Пользователи по ст^ту-с^-
г

Государственные
ведомства

Международные
организации
Ю ридические
лица
Физические
лица
Климат и
прогноз
погоды
Области применения
Чрезвычайные
ситуации
Экология
Контроль
облачности
\Е
ПроблеМм (задачи)
Обнаружение
пожаров
Оценка
обмеления рек
Площадь
облачности
Скорость
ветра
Требования к информации
С пектральн.
диапазон
Пространств-
разрешение
Периодичность
3-
Оперативность
Рис.2.1. Структура модели пользователей космической информации
Имеется достаточно много публикаций о задачах, которые
могут быть решены с использованием информации об окружающей
среде, однако их механическое объединение при огромном объеме
данных не может служить основой для практического использова-
48

2.1. Модель пользователей космической информации
ния. С этой точки зрения представляется целесообразным
произвести классификацию пользователей:
• по областям применения информации об окружающей
среде;
• по проблемам (задачам), решаемым с использованием этой
информации, которые в свою очередь тоже могут быть
подразделены на подзадачи;
• по требованиям к информации, необходимой для решения
каждой задачи.
Области применения информации об окружающей среде
должны формироваться как крупные научные или прикладные
направления. Анализ современного состояния проблемы использования
космической информации [1, 19] позволяет выделить следующие
основные области:
Климат и прогноз погоды.
Экология.
Чрезвычайные ситуации и оценка их масштабов.
Сельское хозяйство.
Картография и землепользование.
Лесное хозяйство.
Гидрология суши.
Рыбное хозяйство.
Геология, поиск нефти и газа.
Океанология и ледовая обстановка.
Градостроительство и землеустройство.
Создание динамической модели Земли.
Безусловно, этот перечень может быть расширен или изменен.
На этапе сбора информации о пользователях и последующей
работы с ней классификация по областям применения
информации является наиболее целесообразной. Она может быть получена
от учреждений и специалистов, которые работают в
соответствующих областях. Именно через эти учреждения и специалистов
можно вести работу с прямыми пользователями информации по
определению и уточнению состава задач, решаемых ими, и требований
к ним. Такая специализация и соответствующая глубина знаний в
данной области может способствовать и расширению рынка за счет
открытия перед пользователями-практиками новых, до сих пор им
49

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
неизвестных аспектов использования информации об окружающей
среде.
В каждой области можно выделить целый ряд проблем (или
задач), которые могут быть решены с использованием информации
об окружающей среде. В ряде случае каждая проблема (или задача)
может быть подразделена в свою очередь на подзадачи (задачи
низшего уровня) и т.д. В качестве примера на рис. 2.2. представлен
фрагмент структуры модели пользователей по проблеме контроля
за состоянием источников загрязнения атмосферы, воды и почвы.
Проблема
(область)
Задачи
Подзадачи
Контроль за состоянием источников загрязнения)
атмосферы, воды и почвы
Контроль
загрязнения
атмосферы
Контроль
источников
выброса в
атмосферу
-Измерение
концентрации
малых газовых
компонентов
Контроль
состояния
воды
Определение
"источников
загрязнения
водной среды
■Контроль
качества воды
-Определение
примесей и
взвесей в воде
1
Контроль
состояния
почвы
"Контроль
источников
загрязнения
почв
-Измерение
концентрации
вредных
веществ
Рис.2.2. Фрагмент модели пользователей
Как видно из этого фрагмента, в рассматриваемой проблеме
(области) можно выделить целый ряд задач (на схеме он
представлен частично), решение которых требует использования
информации об окружающей среде. Их решение связано с решением
частных задач (подзадач).
Возможны различные варианты условий, при которых задача
(проблема) может считаться полностью или частично решенной,
например:
50

2 1. Модель пользователей космической информации
• задача решена, если совместно решены все подзадачи (или
задача не решена, если не решена хотя бы одна из
подзадач);
• при решении каждой подзадачи решается часть общей
задачи.
Поскольку вопрос о решении задач пользователей очень важен
с точки зрения выполнения целей, стоящих перед системой
мониторинга, т.е. эффективности системы, то информация о
возможности решения задач в зависимости от решения отдельных подзадач
должна быть неотъемлемой частью модели пользователей.
Модель должна содержать также и информацию о приоритетах
отдельных задач. В частности, эти приоритеты могут быть заданы с
помощью весовых коэффициентов или коэффициентов важности,
которые, как правило, назначаются в рамках каждой области.
Однако при этом оказывается затруднительным сопоставить по
важности задачи, входящие в различные области, тем более, что эти
области тоже могут иметь разные коэффициенты важности на
своем уровне. В таких случаях после получения данных о важности
как областей, так и задач в каждой области, необходим их пересчет
для определения коэффициентов важности каждой задачи в общем
списке задач пользователей в целом.
Требования со стороны пользователей. На нижнем уровне
иерархии модели пользователей стоят требования, которые
пользователи предъявляют к информации об окружающей среде. Поскольку
выполнение этих требований зависит от параметров системы
мониторинга, в частности ее космического сегмента, то очень важно,
чтобы эти требования были сформулированы таким образом, чтобы
на их основе можно было предъявить требования к проектируемой
системе. Необходим "общий язык" между пользователями и
разработчиками, который должен быть установлен на уровне требований
к информации.
С этой точки зрения основные требования со стороны
пользователей, которые, безусловно, должны быть включены в модель
пользователей, могут быть сформулированы как требования:
• к спектральному диапазону длин волн XX , в котором
ведется наблюдение;
• к пространственному (или иному) разрешению R ;
51

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
• к координатам района наблюдения;
• к периодичности наблюдения tnep ;
• к оперативности доставки информации потребителю ton.
Со стороны отдельных пользователей могут предъявляться и
дополнительные требования, например к условиям освещенности в
момент наблюдения, углу возвышения и т.д. В этом случае
последние также должны быть включены в обсуждаемую модель.
Требования к спектральному диапазону наблюдения
эквивалентны требованиям к типу аппаратуры (видео, инфракрасная,
радиолокационная и другая аппаратура). Имеется ряд задач, для
решения которых необходимо наблюдение в нескольких диапазонах,
причем одновременно или раздельно. В связи с этим в модели
необходима уточняющая информация о том, какова степень (доля,
процент) решения задачи (подзадачи) при наблюдении в одном
или нескольких диапазонах.
Требования к разрешению должны быть указаны для каждого
из диапазонов, так как разная аппаратура, установленная на одном
и тем более на разных спутниках, дает разные разрешения.
Координаты района наблюдения целесообразно задавать в виде
географических границ: северная, южная, восточная, западная.
Периодичность наблюдения — неоднозначная функция, которая
меняется во времени от точки к точке района наблюдения.
Поэтому ее задание в модели можно осуществлять целым набором
характеристик, например используя:
• среднее время между очередными наблюдениями района,
• наименьшее (или наибольшее) время между очередными
наблюдениями района,
• вероятность наблюдения заданного района с требуемой
периодичностью,
а также другие квазистатистические характеристики
периодичности.
Если наблюдение предполагается осуществлять с
использованием разнотипной аппаратуры, установленной на различных
спутниках, то требования к периодичности должны быть сформулированы
для каждого диапазона наблюдения.
База данных для модели пользователей. Для практической
реализации модели пользователей целесообразно сформировать базу
52

2 1. Модель пользователей космической информации
данных, представляющих собой полный перечень необходимых
задач и подзадач в каждой области применения информации, а
также полный набор требований со стороны пользователей к
информации об окружающей среде. Для получения такой базы
данных с участием специалистов-экспертов может быть предложена
специальная форма, представленная в табл. 2.1.
В ней единичными номерами (1, 2 ) обозначаются области
применения информации, двойными (1.1, 1.2) - номера задач,
которые решаются в рамках этой области, а тройными (1.1.1, 1.1.2) —
номера подзадач, с решением которых связано решение
соответствующих задач. Для некоторых задач подзадачи могут отсутствовать.
Границы района наблюдения задаются географическими
координатами. Для разных областей и задач они могут быть
различными.
Количество спектральных диапазонов наблюдения для решения
задач (подзадач) может быть различным. В таблице использованы
следующие обозначения: Вид — видимый, УФ -
ультрафиолетовый, ИК - инфракрасный, СВЧ - сверхвысокочастотный.
Графа "Одновременность" заполняется, если для решения
задачи необходимо одновременное получение информации в
нескольких диапазонах.
Графа "Весовой коэффициент" содержит информацию об
относительной доле вклада информации в том или ином диапазоне
(диапазонах) в решение подзадачи (задачи).
Графы "Разрешение", "Периодичность" и "Оперативность"
заполняются для каждого диапазона. Особо следует обратить
внимание на это требование к данным о периодичности, поскольку
очень часто они приводятся лишь по задаче в целом.
В модели представлены данные о коэффициентах важности
двух типов.
Уровневые коэффициенты определяют важность подзадач для
одной задачи; задач для одной области; областей в рамках полного
перечня областей пользователей информации. Первые два типа
уровневых коэффициентов назначаются специалистами в данной
области. Коэффициенты важности для областей должны
определяться группой экспертов - многопрофильных специалистов.
53

Таблица 2.1. База данных для модели пользователей
l
С
I Гй
i
ft
§
I
Область,
задачи,
подзадачи
Границы района
наблюдения
Сев.
Юж.
Зап.
Вое.
U в
а*-
1-е
9*
I
в
О
Коэффици-
яоети
35
Контроль
погодообра-
зуюших
факторов
90°
-90°
180°
-180°
0,7
0,7
1.1
Прогноз
погоды
0,8
0,56
1.1.1
Оценка
распределения
облачности
Вид.
ИК

Одновременно
0,5
0,5
0,5
1-2
1-2
0,6
0,34
1.1.2
Измерение
профиля
температуры
СВЧ
10
0,4
0,22

Окончание табл. 2.1.
Область,
задачи,
подзадачи
Границы района
наблюдения
Сев.
Юж.
Зап.
Вое.
1^
*
а-*
в,,:
Ж-
Ск
Ж
G
i
1
в
О

Коэффициенты
важности ***)
1.2.
Контроль
содержания
озона и
аэрозолей
УФ
Вид
ИК

Одновременно
0,4
0,6
1
(верт)
20
40
24
3
12
2
0,2
0,14
*) графа "одновременность" заполняется, если для решения задачи необходимо одновременное получение информации
в нескольких диапазонах,
**) весовой коэффициент определяется долей вклада информации в данном диапазоне в решение задачи,
***) коэффициенты важности определяются: "уровневый" - только на рассматриваемом уровне, "интегрированный" -
вычисляется по специальной методике с учетом коэффициентов важности всех уровней.

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
Интегрированные коэффициенты вычисляются с
использованием данных об уровневых коэффициентах по специальным
методикам, например с использованием метода анализа иерархий [69].
Они определяют важность полного перечня задач и подзадач
самого нижнего уровня для всех областей одновременно, т.е.
независимо от того, в какую область они входят. Такие данные важны для
оценки эффективности, а также для проведения анализа всех задач
пользователей независимо от их принадлежности к определенным
областям по таким признакам, как, например, по требуемому типу
аппаратуры, разрешению и т.п.
По мере появления новых данных модель может быть
расширена. Так, по результатам анализа рынка информации об
окружающей среде в нее могут быть включены данные о количестве
пользователей информации для решения каждой из задач, об их статусе
(государственном, частном), о странах их расположения или
интересов. Эта информация может касаться текущего или
прогнозируемого состояния рынка. В модель могут быть включены также
данные о цене информационного продукта для каждого типа задач и
т.д.
2.2. Модель спутника
С точки зрения системного проектирования каждый спутник
является компонентом спутниковой системы в составе
орбитальной группировки. Он имеет ряд параметров, которые существенно
влияют на облик системы в целом. К числу таких параметров
относятся масса спутника, его габариты и надежность.
Модель массы. Хорошо известно, что при заданном носителе,
который может быть использован для выведения на орбиту
спутников, масса спутника зависит от его орбитальных параметров.
Поскольку последние варьируются в процессе проектирования, то
зависимость массы спутника от этих параметров может
рассматриваться в качестве модели спутника как компонента системы.
В дальнейшем может быть проанализирован целый ряд
носителей с целью выбора наилучшего. А пока будем полагать, что тип и
характеристики носителя известны. Обычно характеристики
носителя задаются массой М0, выводимой на некую опорную орбиту с
56

2.2. Модель спутника
заданными параметрами. Примем за основу схему выведения
спутника с опорной орбиты на расчетную с помощью разгонного
блока. Тогда масса спутника Мс будет связана с суммарным
импульсом AVP, затрачиваемый разгонным блоком для перевода
спутника на эту орбиту, следующим образом:
f - \
Мс(х) = М0ехр\
АУР
PyP0-g
(2.1)
где Руд - удельный импульс двигателя разгонного блока, g -
ускорение поля тяготения.
Будем полагать, что компланарный переход между опорной и
расчетной орбитами осуществляется по эллипсу Хомана. В этом
случае суммарный импульс для перехода между круговыми
орбитами будет равен [36]:
[2L.
г + г0
\
1
/
1-
1г
}г + гп
(2.2)
где //=3,986-105 км3/с2 - константа, равная произведению
гравитационной постоянной на массу Земли; г0, г — радиусы опорной и
расчетной орбиты соответственно.
Для изменения наклонения круговой орбиты на величину А/
требуется дополнительный импульс
AK=2rsin| —
(2.3)
где V — орбитальная скорость на расчетной орбите.
Поэтому суммарный импульс AVP, потребный для переход с
опорной орбиты на расчетную, может быть оценен как
ЬУр=АУг + АУ(. (2.4)
Как уже отмечалось, одной из задач проектирования
спутниковой системы является выбор параметров бортовых систем. По-
57

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
скольку для известных орбитальных параметров масса спутника
ограничена и однозначно определена выражениями (2.1)-(2.4), то
возникает проблема распределения этой массы между бортовыми
системами. Так, например, увеличение массы аппаратуры
наблюдения повысит ее возможности по выполнению ряда требований к
космической информации, но при этом придется сократить запасы
рабочего тела на коррекцию или массу, выделяемую на
дополнительное резервирование малонадежных элементов и т.п.
Возникает задача распределения массы спутника между
бортовыми системами. Для ее формализации введем понятие "вектора
массы" спутника Мс, компонентами которого являются массы
основных бортовых систем
Мс={Мап>Мск>Мн>Мпс Ь
где МаП)МСК)МИ,Мпс - соответственно масса аппаратуры
наблюдения, системы коррекции, резервных элементов и систем для
повышения надежности, прочих систем. В состав прочих систем
включены те бортовые системы, параметры которых не оказывают
существенного влияния на результаты системного проектирования.
Очевидно,
Мс = Мап + Мск + Мн + Мпс . (2.5)
Часто при проектировании удобнее оказывается пользоваться
так называемыми "относительными" массами бортовых систем:
Mc Mc Mc Mc
и, соответственно, вектором относительных масс
^=Гоя^Я' kck >knc } •
При этом имеет место связь
* an + "н + *ск + ^пс ~ * *
Габариты спутника прямого влияния на выбор параметров
спутниковой системы не оказывают, однако от них зависят
возмущающие факторы, вызывающие эволюцию орбитальной структуры
58

2,2. Модель спутника
и необходимость в коррекции орбит. Это, в свою очередь, может
повлиять на потребный запас рабочего тела на коррекцию.
Наибольшую роль при определении габаритов играет площадь S
солнечных батарей, которые связаны с мощностью W3, потребляемой
целевой аппаратурой или исполнительными органами в системе
ориентации и коррекции. Имеются статистические данные,
которые позволяют установить зависимость между этими параметрами:
S»k3W99
где кэ =0,005...0,01 м2/Вт.
Это означает, что потребляемую бортовыми системами
электрическую мощность следует также отнести к числу проектных
параметров спутниковой системы.
Надежность спутника в составе системы существенным образом
влияет на выбираемые проектные параметры. Хотя для
космических аппаратов как для уникальных технических объектов обычно
используются наиболее надежные элементы, с точки зрения
эффективности и стоимости системы в целом обеспечиваемый при
этом уровень надежности может оказаться недостаточным.
Один из способов повышения надежности спутника связан с
резервированием с разной степенью кратности наиболее
ненадежных элементов. А это требует выделения дополнительной массы.
Поскольку распределение массы спутника между бортовыми
системами является одной из задач проектирования, то важно
установить связь между массой МИ , выделяемой на повышение
надежности, и характеристиками надежности спутника при
дополнительном резервировании.
Спутник представляет собой сложную систему, состоящую из
огромного числа элементов. Часть из них работает безотказно в
течение достаточно длительного времени, тогда как время
безотказной работы других весьма ограниченно. Именно эти элементы
главным образом и будут определять надежность спутника в целом.
Имеющийся опыт разработки спутников различных типов, а также
их бортовых систем позволяет по статистическим данным оценить,
какую часть а массы спутника занимают эти элементы,
существенно влияющие на надежность.
59

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
Кратность резервирования кр ненадежных элементов может
быть связана с массой МИ , выделяемой для резервирования,
соотношением
(2.6)
к =м" =к"
р аМс а
К-^
" мс
При отсутствии резервирования в системе кр = 0.
В [11] показано, что поток отказов в такой системе с
резервированием можно рассматривать как нестационарный пуассонов-
ский поток, где вероятность безотказной работы РИ может быть
определена с использованием выражений:
^(/) = 1-[1-ехр(-4)0К, (2-7)
где
., v Л(А:р+1)(1-ехр(У))^-ехр(У)
A\J) Г7Т •
l-(l-exp(-V)P
Здесь Aq ~ интенсивность отказов без резервирования.
Зависимость (2.7) устанавливает связь между вероятностью
надежной работы спутника Рн и массой Мн, которая при
проектировании может быть выделена для дополнительного
резервирования бортовых систем. В дальнейшем эта вероятность используется
для оценки числа отказавших спутников. Важной характеристикой
является также среднее время надежного функционирования
спутника /ф. Как следует из [11], оно может быть определено по
формуле:
kD + \kP ,. kD\
К у=о [kp-j)\j\{j + \)2
Таким образом, к числу проектных параметров спутника как
элемента в составе спутниковой системы следует отнести его мас-
60

2.2. Модель спутника
су, габариты и характеристики надежности. Распределение общей
массы спутника между ее составляющими является одной из задач
системного проектирования.
2.3. Модель бортовых систем
Общая структура модели бортовых систем. В состав бортовых
систем, кроме аппаратуры наблюдения, входят система коррекции
орбитальных параметров, система ориентации, бортовое
запоминающее и передающее устройство. На этапе системного
проектирования могут быть использованы простейшие модели этих систем.
Важно только помнить, чтобы эти модели включали в себя
следующие характерные параметры:
Модель аппаратуры наблюдения
• тип аппаратуры;
• спектральный диапазон рабочих длин волн;
• разрешение (пространственное и энергетическое);
• углы обзора, захвата и визирования;
• фокусное расстояние;
• масса.
Модель системы коррекции
• начальная масса рабочего тела на коррекцию;
• текущий запас рабочего тела (масса или эквивалентная
характеристическая скорость);
• погрешности коррекции (статистические характеристики
аддитивных и мультипликативных погрешностей);
• характеристики корректирующей двигательной установки
(тяга, удельная тяга, минимально возможный импульс и
пр.).
Модель системы ориентации
• тип исполнительных органов;
• величина управляющего момента;
• максимальные углы и время разворота спутника (или
аппаратуры);
• масса (в случае, если исполнительные органы для работы
требуют расхода рабочего тела).
61

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
Модель бортового запоминающего и передающего устройства
• емкость;
• скорость передачи;
• управление процедурой запоминания и передачи
информации;
• масса.
В зависимости от постановки задачи проектирования отдельные
модели могут быть исключены из рассмотрения или
скорректированы. Существуют и другие бортовые системы, которые могут быть
важными с точки зрения жизнедеятельности спутника, например
система терморегулирования, телеметрии. Каждая из этих моделей
может и не входить в состав модели бортовых систем.
Аппаратура наблюдения. Аппаратура наблюдения является
основной полезной нагрузкой на борту спутника, так как именно она
обеспечивает получение необходимой космической информации
для удовлетворения требований пользователей системы
мониторинга.
Модель аппаратуры наблюдения должна включать в себя все те
параметры, от которых зависит выполнение указанных требований.
К их числу следует отнести тип аппаратуры и ее рабочий
спектральный диапазон длин волн, разрешение получаемой
информации, геометрические характеристики (фокусное расстояние, углы
захвата, обзора, визирования), массу.
Для некоторых типов аппаратуры этот перечень может быть
изменен или расширен.
Для дистанционного наблюдения чаще всего используется
электромагнитное излучение как в оптической части спектра
(ультрафиолетовом, видимом и инфракрасном диапазонах), так и в
радиодиапазонах (СВЧ и коротковолновом диапазонах).
При наблюдении в видимом оптическом диапазоне на спутнике
принимается отраженное солнечное излучение от объектов.
Наблюдение в этом диапазоне возможно только в дневное время (при
высоте Солнца более 10 -г30°) и при отсутствии облачности. Вместе
с тем, в этом диапазоне спектра возможно получение
видеоизображений большой информативности (высокое пространственное и
фотометрическое разрешение при достаточно большой ширине
полосы обзора) с помощью разнообразной аппаратуры, обладающей
62

2.3. Модель бортовых систем
сравнительно малыми массами. Поэтому аппаратура оптического
диапазона нашла широкое применение при наблюдении за Землей
из космоса и решении большого круга задач.
В инфракрасном (ИК) диапазоне спектра, состоящем из
ближнего, среднего и дальнего, наибольшее значение имеет дальний,
который позволяет наблюдать за объектами, используя для этого их
собственное радиационное излучение. Наилучшим временем
наблюдения является ночь, когда наименьшим образом влияют
помехи от нагретых Солнцем наземных объектов. Требование
отсутствия облачности сохраняется. При этом могут быть выявлены не
только объекты, находящиеся на поверхности Земли, но и те,
которые имеют некоторое заглубление под поверхностью.
В оптическом диапазоне могут работать фотоаппараты, оптико-
электронные многоспектральные сканеры, спектрометры,
радиометры.
Наблюдение за объектами в сверхвысокочастотном (СВЧ)
диапазоне свободно от влияния облачности и времени суток. Это
определяет возможность широкого использования этих диапазонов
для оперативного наблюдения при неблагоприятных
метеорологических условиях и наблюдения за областями Земли с
недостаточной освещенностью (приполярные области).
СВЧ-диапазон позволяет получить радиолокационное
изображение (радиолокационный портрет) поверхности Земли, удобное
для визуального восприятия и весьма информативное. Однако
СВЧ-аппаратура требует мощных источников энергии для
генерирования зондирующих импульсов и антенных устройств
значительных габаритных размеров и масс. СВЧ-диапазон дает возможность
обнаружить и несколько заглубленные природные образования,
которые сами генерируют излучение в этом диапазоне.
Применение сканирующих радиометров позволяет получить
радиометрический портрет в СВЧ-диапазоне наземных сюжетов.
Многоспектральная съемка дает возможность получать
синтезированные цветные изображения. Радиолокация в СВЧ-диапазоне по
направлению местной вертикали позволяет определить высоту
полета спутника относительно рельефа суши и поверхности океана.
И, наконец, радиолокация в нескольких направлениях
относительно местной вертикали и трассы полета дает возможность,
используя СВЧ-диапазон, выявить несимметрию формы водной поверх-
63

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
ности, а по ней балльность волнения, направление и скорость
ветра и решать еще целый ряд задач в области океанологии.
Более длинные радиоволны позволяют, в принципе, построить
радиолокационную систему для зондирования глубинных
образований Земли. Глубина зондирования тем больше, чем больше
длина волны зондирующего импульса.
В радиодиапазоне могут работать многоспектральный сканер,
радиометр, радиолокатор бокового обзора, скаттерометр,
радиовысотомер.
Основные типы аппаратуры, используемой для получения
космической информации при мониторинге окружающей среды,
приведены в сводной таблице 2.2. В ней указаны также источники и
диапазоны используемых излучений, условия работы и некоторая
дополнительная полезная информация.
Рассмотрим наиболее часто используемые типы аппаратуры
наблюдения [1, 19, 39, 41].
Фотоаппаратура, используемая на спутниках, позволяет
получать изображение самого высокого качества по пространственному
разрешению. Поскольку получение фотоснимков связано с
расходованием фотопленки и необходимостью доставки ее на Землю, то
эта аппаратура не считается предпочтительной для систем
длительного функционирования. Однако использование
термопластических пленок и сканирующих систем считывания изображения
безусловно служит толчком к новому этапу в применении
фотоаппаратуры на спутниках.
Пространственное разрешение фотоаппаратуры является одной
из важнейших характеристик. Оно зависит от свойств оптики,
пленки и соответственно их разрешающей способности гап , от
фокусного расстояния аппаратуры / и высоты Н , с которой
осуществляется наблюдение (рис. 2.3), и может быть определено по
формуле [68]:
R=-^—. (2.9)
/ • ran
64

2.3. Модель бортовых систем
Таблица 2.2. Аппаратура мониторинга окружающей среды
Вид
излучения
Вид

аппаратуры
Источник

излучения
Условия
работы

Заглубление
объектов
Форма

отображения
Электромагнитное излучение ]


фиолетовый

Спектрометр
Оптические диапазоны

Видимый

Фотоаппарат
Опти-
ко-элек-
трон-
ный
сканер
Спек-
ртометр

Ближний ИК
Средний
ИК

Многоспектральный оптикоэлек-
тронный сканер
Спектрометр
Солнце
День, объекты не закрыты облаками
Поверхностные
Дальний
ИК

Радиометр

Собственная

радиация
Ночь,
объекты
не
закрыты

облаками


верхностные и

заглубленные
Радиодиана- j
зоны : .
СВН и

ротковолновый .....

Многоспектральный
сканер
Радиометр
Радиолокатор
бокового
обзора
Скаттерометр

Радиовысотомер
Лидар
Собственная
радиация,
бортовой
облучатель
Круглосуточ- 1
но,
всепогодное
наблюдение
Поверхност- 1
ные,
подповерхностные,
значительно
заглубленные |
Изображение (портрет) наземного сюжета; комбинация потоков 1
энергии в различных спектрах; временная задержка сигнала и его
интенсивность.
Для фотоаппаратуры разрешающая способность гап
определяется как число линий на мм. Для современных и перспективных
космических фотоаппаратов гап - 30 ... 200 линий/мм.
Угол обзора у определяется диаметром входного отверстия
Д вх и фокусным расстояниям / . Обычно оптическая ось во
время съемки направлена строго в подспутниковую точку. Такое
65

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
положение, когда направление визирования совпадает с
вертикалью, принято называть номинальным.
Рис.2.3. Получение изображения с помощью оптической аппаратуры
Угол обзора у определяет линейные размеры участка
поверхности Земли, которые "захватываются" кадром. Обычно
рассматривают параметр В , который принято называть "шириной полосы
обзора". Он может быть определен из геометрических соображений
как
В = 2# tgy . (2.10)
С углом обзора у связаны и искажения в пространственном
разрешении. При перемещении от центра изображения к его краю
разрешение, по ряду оптических и геометрических причин, падает
и на краю изображения равно:
66

2,3. Модель бортовых систем
Rr =—V- <2Л1>
cos у
Если при этом не будут выполнены требования пользователей к
разрешению, то может потребоваться ограничение на угол обзора.
В процессе полета может возникнуть необходимость в
наблюдении объектов, которые находятся за пределами полосы обзора. В
таком случае с помощью установленной на борту системы
ориентации оптическая ось может быть повернута на некоторый угол
относительно номинального положения. Предельные значения
этого угла у 3 обычно называют углом захвата. Заметим, что в
последнее время некоторые авторы меняют местами понятия "упш
обзора и захвата". В книге используется традиционная
терминология.
По аналогии с шириной полосы обзора может быть введена и
"ширина полосы захвата", которая может быть определена как
B^2Htgy3. (2.12)
Масса фотоаппаратуры зависит от ее конкретной конструкции
и основных характеристик. Для приближенных оценок можно
воспользоваться соотношением:
Man-k^WY, (2-13)
где куд — условная плотность фотоаппарата, которая для
современных фотоаппаратов может лежать в пределах 30-И00 кг/дм3.
Итак, к основным параметрам фотоаппаратуры следует отнести
фокусное расстояние, угол обзора и массу аппаратуры.
Как следует из выражения (2.9), от фокусного расстояния /
зависит одна из важнейших характеристик космической
информации ~ ее пространственное разрешение. От угла обзора аппаратуры
в соответствии с выражением (2.10) зависит ширина полосы
обзора, определяющая, в свою очередь, периодичность наблюдения.
Наконец, как следует из соотношения (2.13), выбор этих
параметров ограничен массой Мап, отводимой под аппаратуру
наблюдения.
67

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
Оптические сканирующие устройства получили в настоящее
время наиболее широкое распространение. Можно выделить два
класса этих устройств: механического и электронного
сканирования.
В первом случае изображение получается за счет механического
сканирования зеркала прибора поперек трассы полета (рис. 2.4).
Объектив
Световоды
Фотодиоды
Элементы сканирования
Рис. 2.4. Схема работы сканирующего устройства
В устройстве электронного сканирования вместо единственного
датчика с мгновенным полем зрения и сканирующего зеркала
используются линейные приемники излучения на основе приборов с
зарядовой связью. Таких линеек может быть несколько (матрица),
при этом каждая из линеек дает изображение одной и той же
полосы на местности в своем спектральном диапазоне. Все линейки
располагаются перпендикулярно направлению полета. Развертка по
строке осуществляется электронным способом, а по кадру — за
счет движения спутника. Матричный приемник позволяет получать
изображение сюжета сразу в нескольких спектральных диапазонах,
каждому из которых соответствует определенная линейка в матри-
68

2.3. Модель бортовых систем
це. Именно многоспектральный оптико-электронный сканер на
сегодняшний день является основным типом аппаратуры
наблюдения.
Основные характеристики оптико-электронного сканера
определяются по соотношениям, аналогичным фотоаппарату, с
небольшими изменениями.
Так, пространственное разрешение R может быть определено
как
HI
* = у-, (2.14)
где /э — размер элемента линейки (матрицы).
Ширина полосы обзора В может быть определена также по
формуле (2.10), где угол обзора у связан с диаметром входного
отверстия Д ^ соотношением
r = arctg^. (2.15)
Масса сканирующего устройства главным образом зависит от
диаметра входного отверстия объектива Д вх [19]:
Мап=0,74Д°в?,
где Мап измеряется в кг, а Д вх -в мм.
Инфракрасная радиометрическая аппаратура позволяет
получить информацию о наземном сюжете в инфракрасном диапазоне
спектра (0,7 -ИЗ мкм), соответствующем тепловому излучению
объектов. Принцип работы ИК-радиометра такой же, как и у
сканирующего устройства, работающего в видимом диапазоне, только
здесь фоточувствительный элемент помещается в охлаждаемую
камеру, чтобы увеличить перепад температуры этого элемента и
наземного сюжета и тем самым улучшить чувствительность прибора.
На выход подается совокупность электрических сигналов, уровень
которых пропорционален потоку энергии от наземных объектов в
69

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
диапазоне спектра, определяемом характеристиками используемого
светофильтра.
Таким образом, может быть получен тепловой портрет
наземного сюжета или его карта, аналогично тому как проводится
восстановление видеоизображения по электрическим сигналам
оптических систем наблюдения на телеэкране или фотобумаге: более
нагретым объектам соответствуют более темные тона портрета,
более холодным — светлые. Разрешение изображений определяется
размерами поля зрения оптической части радиометра и
чувствительностью фотодетектора. При этом первый фактор определяет в
основном геометрическое (пространственное) разрешение, второй
— фотометрическое.
Необходимо отметить, что разрешение ИК-радиометров ниже,
чем у сканеров, работающих в видимом диапазоне, из-за
трудностей глубокого охлаждения.
Сверхвысокочастотные (СВЧ) радиометры позволяют получить
информацию об интенсивности собственного излучения наземного
сюжета в СВЧ-диапазоне.
Как правило, СВЧ-аппаратура выполнена по типу
сканирующего устройства, использующего электронную систему
сканирования и антенну в виде фазированной антенной решетки (см.
рис.2.5). Она состоит из нескольких однотипных элементарных
антенн, имеет поле зрения, совпадающее по ширине с поперечным
размером полосы обзора, а по длине (в направлении движения КА)
- с размером требуемого элемента сканирования. Таким образом,
все элементарные антенны и их приемные устройства способны
принимать СВЧ-излучение от полосы обзора протяженностью в
один элемент сканирования.
На наземные пункты передаются значения электрических
сигналов, пропорциональные интенсивности излучения отдельных
элементов полосы обзора в рассматриваемом диапазоне СВЧ-
излучения. Кроме того, может быть получен СВЧ-портрет полосы
обзора синтезированием видеоизображения полосы обзора, где
различным уровням СВЧ-излучения от элементов полосы обзора
поставлено в соответствие различное почернение эмульсии
фотопленки. Использование нескольких приемных устройств,
настроенных на различные длины волн, позволяет проводить
многоспектральную СВЧ-съемку земной поверхности.
70

2.3. Модель бортовых систем
Фазированная антенная
решетка
Диаграмма
направленности
отдельных элементов
Крайний левый
элемент сканирования
Средний элемент
сканирования
_L_
Фазосдвигающие
элементы
(электронное
сканирующее
устройство)
Суммирующее
устройство
Приемник
X
Регистрирующее
устройство
Аф] < Аф2 < Афз
Крайний правый
элемент сканирования
Рис. 2.5. Схема работы СВЧ-радиометра с электронным сканированием
Пространственное разрешение может быть определено по
формуле (2.14), в которой /э - размер элемента антенной
фазированной решетки. Ширина полосы обзора В определяется размером
ширины диаграммы направленности J3 антенны и равна:
В = 2# tgfi
(2.16)
Масса СВЧ-радиометра определяется главным образом массой
антенны и Ман, которая может быть аппроксимирована
соотношением [19]:
Ма „=5.8</2,
(2.17)
где Маи измеряется в кг, a d — в м.
Радиолокатор бокового обзора позволяет получать
радиолокационное изображение (радиолокационный портрет) наземного сюже-
71

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
та. На рис. 2.6 представлена принципиальная схема работы
радиолокатора бокового обзора.
Зон» об)
рмдьиоа «итфикы
« яоло*м»иии у*1
Л»н«и равны* вдвигав
фС1 Д1Ю I
Рис.2.6. Принципиальная схема работы радиолокатора бокового обзора
Со спутника через равные интервалы времени посылаются
зондирующие кратковременные когерентные радиоимпульсы и затем с
помощью приемного устройства принимаются отраженные от
наземных объектов радиосигналы. Ориентация антенны остается
неизменной в орбитальной связанной системе координат, а импульсы
подаются сериями так, чтобы внутри серии каждый из двух
последних имел бы общую часть обзора с предыдущей.
Регистрируются амплитуды и соответствующие сдвиги фаз принимаемых
отраженных сигналов.
При известных координатах спутника Р ( х, у, z ) в моменты
времени tt каждой из величин сдвига фаз А ^ принимаемого
сигнала может быть сопоставлена сфера равных удалений от спутника,
а каждому из значений амплитуд отраженных сигналов — величина
радиояркости наземных объектов (с учетом расстояния до него со
72

2.3. Модель бортовых систем
спутника). Следовательно, на основе измерений по одному
зондирующему импульсу (или по одному измерению со спутника) может
быть получено множество поверхностей равных удалений от
спутника, имеющих суммарную радиояркость LjA<p. По трем
последовательным измерениям со спутника можно определить
местоположение объекта как точку пересечения соответствующих трех сфер.
Если центры сфер расположены в одной плоскости орбиты, то
каждому пересечению трех сфер будут соответствовать две точки,
симметричные относительно плоскости орбиты, т.е. при
ориентации диаграммы направленности симметрично относительно
плоскости орбиты имела бы место неоднозначность при определении
положения объекта. Сдвиг направления антенны в одну сторону от
плоскости орбиты позволяет однозначно выбрать точку
пересечения сфер, а следовательно, и положение наземного объекта.
Именно поэтому рассматриваемая система получила название
"радиолокатор бокового обзора".
По существу описанная схема радиолокации местности
сводится к определению координат наземных объектов и их радиояркости
с помощью радиолокационного устройства, приемно-передающие
элементарные устройства которого (вместе с элементарными
антеннами) расположены в нескольких точках орбиты, т.е. как бы
синтезируется антенная решетка очень больших размеров (десятки
и более километров). Вследствие этого такая система называется
еще и радиолокатором с синтезированной антенной или с
синтезированной апертурой.
На основе данных такого локатора бокового обзора может быть
синтезировано визуальное изображение наземного сюжета
(составлен радиолокационный портрет полосы обзора).
Пространственное разрешение на местности может быть
определено из условия [4]:
Л>10^(1тах-^п), (2.18)
где Zmax и Zmin ~ расстояния до дальней и ближней границ
обзора соответственно, которые могут быть определены при известных
высоте Н , угле обзора у и угле визирования у виз оси
радиолокатора относительно вертикали по следующим соотношениям (см.
рис. 2.7)
73

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
Рис.2.7. Геометрия наблюдения радиолокатора бокового обзора
Н
осп
c°s(rew5-r)
Н
(2.19)
Масса Мап радиолокаторов бокового обзора определяется
главным образом массой антенны, которая зависит от ее площади
S. Эта зависимость может быть аппроксимирована соотношением
[19]:
Л/ =12S,
(2.20)
где Мап - в кг, S - в м2.
Скаттерометр позволяет определить балльность волнения
водной поверхности, а также скорость и направление ветра над
ней. Он представляет собой радиолокационное устройство,
работающее в СВЧ-диапазоне электромагнитного излучения. При этом
используется несколько антенных устройств, имеющих одинаковую
диаграмму направленности, но различно ориентированных
относительно плоскости орбиты спутника и его вектора скорости.
Спектрометр позволяет определить интенсивность светового
потока от наземного сюжета во всем оптическом диапазоне спек-
74

2.3. Модель бортовых систем
тра. В результате может быть получена зависимость интенсивности
излучения от длины волны излучения (спектрограмма).
Основной частью спектрометра является диспергирующая
система, которая разлагает приходящий световой поток на
составляющие по длинам волн (сплошной спектр). Приемником может быть
либо фотопленка, либо мозаика из фоточувствительных элементов,
тогда отдельным частям светового потока будет на выходе
соответствовать электрический сигнал, пропорциональный интенсивности
потока в этом диапазоне спектра.
Лидар предназначен для дистанционного зондирования
атмосферы с целью обнаружения в ней аэрозолей или отдельных
газовых составляющих, в частности вредных веществ. Основной
элемент лидара — источник когерентного излучения. Приемная
система регистрирует отраженные сигналы монохроматичного излучения
от молекулярных и аэрозольных составляющих атмосферы. На
выходе приемной системы регистрируется вклад в интенсивность
отраженного сигнала рассеивающего ёлоя атмосферы по трассе
оптического луча. Метод зондирования основывается на зависимости
интенсивности обратного рассеяния от длины волны излучения.
Если рабочая частота лидара совпадает с линией поглощения
контролируемого компонента атмосферы, то отраженный сигнал на
данной частоте будет сильнее, чем отраженный сигнал на частоте,
не совпадающей с линией поглощения другими компонентами
атмосферы.
При зондировании используется излучение на двух и более
частотах. При этом одна из них совпадает с линией поглощения одной
из исследуемых компонент, другая — не совпадает ни с одной из
возможных компонент. Разница принимаемого излучения дает
возможность определить концентрацию исследуемого вещества.
Время задержки сигнала дает возможность определять расстояние
до исследуемой области, что позволяет получить пространственное
распределение плотности исследуемой компоненты атмосферы.
К сожалению, сегодня имеется ряд физических и технических
проблем, связанных с реальным использованием лидаров, в
частности низкая надежность, большая масса и т.п.
Так, например, один из лидаров, предназначенных для
исследования аэрозолей из космоса на высоте 500 км, имеет энергопо-
75

2 Моделирование спутниковой системы мониторинга
требление 1 кВт, массу -400 кг, а время активной надежности
работы - не более 1000 ч [30].
Система коррекции. В целях управления орбитальными
параметрами спутника на его борту необходимо иметь систему
коррекции. Это связано с тем, что в течение длительного срока
функционирования спутниковой системы ее орбитальные параметры
претерпевают значительные изменения, что, безусловно, влияет на
периодичность наблюдения и другие показатели эффективности.
Возможности коррекции связаны с запасом рабочего тела на
борту, который характеризуется либо массой рабочего тела М рт ,
либо характеристической скоростью V . Эти два параметра
связаны известным из формулы Циолковского соотношением [19]:
Мрт = Мс
1 у* А А
1 - ехр
V
V -y*'gjj
(2.21)
где Руд — удельный импульс корректирующей двигательной
установки.
В том случае, когда масса системы коррекции задана как
относительная масса кск=Мск/Мс, выражение (2.21) можно
представить в виде:
V*=Pydg-ln—t-. (2.22)
Вообще говоря, масса системы коррекции включает в себя
массу рабочего тела и массу двигательной установки. Однако с точки
зрения управления спутниковой системой важен запас рабочего
тела на борту. Поэтому собственно корректирующую двигательную
установку можно отнести к числу служебных систем и при
системном проектировании считать, что
Мск*Мрт. (2.23)
76

2.3. Модель бортовых систем
Если же задача проектирования будет включать в себя и выбор
типа корректирующей двигательной установки, то следует
использовать соотношение
Мск=Мд+Мрт. (2.24)
Корректирующий импульс AV, выдаваемый двигательной
установкой при коррекции орбиты, является случайной величиной.
Как правило, при его реализации имеют место мультипликативные
и аддитивные погрешности
AF = AFp(l+ //*)+£*, (2.25)
где AVP - расчетное значение корректирующего импульса, кото-
рое определяется при решении задачи управления, /и и £ —
случайные величины с известными распределениями, которые
чаще всего предполагаются распределенными по нормальному закону
с нулевым математическим ожиданием.
Для задач управления может быть важной величина запаса
рабочего тела на борту спутника к / -ому моменту времени. Она
оценивается остатком характеристической скорости
Vf0" =V*-ZAVt . (2.26)
Могут иметь место различные ограничения, связанные с
особенностями работы корректирующей двигательной установки.
Наиболее существенные из них с точки зрения возможностей
управления группировкой - минимально возможный импульс
AVmm, максимально возможное количество включений и ряд
Других.
Система ориентации. Для обеспечения наблюдения за Землей с
необходимой географической привязкой и минимальными
геометрическими искажениями получаемых изображений спутники
наблюдения должны иметь высокую точность ориентации в
орбитальной системе координат и стабилизации угловых скоростей.
Точность ориентации и стабилизации должна быть тем выше, чем
77

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
выше пространственное разрешение аппаратуры и требуемая
точность географической привязки. Требования по точности
ориентации при наблюдении обычно лежат в пределах А^=0,Г -Г, а
стабилизации около 0,001 °/с. Для этих целей на борту спутника
необходима система ориентации. В задачу этой системы может входить
также переориентация оптической оси приборов или спутника
(при неподвижной установке последних на корпусе) для
увеличения полосы захвата и повышения периодичности наблюдения
заданных объектов.
В состав системы ориентации должны входить датчики углов и
угловых скоростей, а также исполнительные органы, которые
должны удовлетворять специфическим требованиям, вытекающим
из задач наблюдения. С одной стороны, развиваемый ими момент
должен быть достаточно малым для обеспечения высокой точности
ориентации, а с другой — гарантировать необходимую
маневренность при разворотах. Время разворота tp на угол А<р зависит от
величины управляющего момента Муп и может быть определено
из соотношения:
tl = *j£L, (2.27)
Муп
где J — момент инерции спутника по соответствующей оси.
Если известны максимальные углы разворотов А<р™х и
ограничение на время переориентации tp, связанное с орбитальной
скоростью спутника, то управляющий момент, развиваемый
исполнительными органами, должен удовлетворять условию:
^ = 2V^ (228)
tP
Масса системы ориентации Мсо определяется массой
исполнительных органов и рабочего тела, потребного для ориентации
спутника в течение всего срока функционирования.
78

2.3. Модель бортовых систем
Система ориентации может быть построена и на принципах, не
требующих расхода рабочего тела, например система ориентации с
двигателями-маховиками и магнитной системой разгрузки. Именно
такая система является наиболее целесообразной для спутника
наблюдения. Двигатели-маховики способны обеспечить высокую
точность ориентации, не требуя рабочего тела для ориентации, как
и магнитная система для разгрузки маховиков при длительном
времени функционирования.
Поскольку масса системы ориентации, построенной на
указанных принципах, достаточно мала, то выбор параметров системы, в
частности величины управляющего момента, и законов управления
ориентацией, как правило, осуществляют независимо от процедуры
системного проектирования.
Бортовое запоминающее и передающее устройство является
очень важным с точки зрения объемов запоминаемой информации
и обеспечения требуемой оперативности передачи информации на
Землю. Его основные характеристики — это емкость, число каналов
записи и передачи информации, скорость передачи информации,
управление процедурой ее записи, хранения и передачи.
Характеристики бортового запоминающего устройства влияют
главным образом на характеристики оперативности передачи
информации. Вопрос о выполнении требований к оперативности
должен решаться при выборе параметров таких систем, как
системы связи, приема и обработки информации. Именно в рамках этой
задачи и должны выбираться характеристики бортового
запоминающего устройства.
Поскольку масса бортового запоминающего и передающего
устройства мала по сравнению с массой таких систем, как
аппаратура наблюдения, система коррекции, выбор его характеристик
можно осуществлять независимо. Это позволяет не включать в
модель спутниковой системы модель запоминающего и передающего
устройства. Модель бортового запоминающего и передающего
устройства может оказаться очень важной при решении задач
планирования наблюдений уже функционирующей системы.
79

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
2.4. Модель орбитальной группировки
Модель орбитального движения. Космический сегмент
спутниковой системы мониторинга представляет собой группировку
упорядочение расположенных на орбитах спутников, совместно
выполняющих поставленные перед системой задачи. Орбитальная
структура обычно характеризуется численностью N входящих в ее
состав спутников и совокупностью их орбитальных параметров
В качестве орбитальных параметров спутника принято
рассматривать элементы Кеплера:
X = {a,e,a>9n,i,u}9 (2.29)
где a - большая полуось орбиты; е — эксцентриситет орбиты; со
- аргумент перигея; Q — долгота восходящего узла; i -
наклонение плоскости орбиты; и — аргумент широты спутника.
При анализе свойств спутниковой системы (например,
периодичности наблюдения) важным является относительное положение
спутников в системе. Взаимное положение спутников может быть
описано матрицей АХ, элементами которой являются разности в
орбитальных параметрах каждой пары j и у-1 соседних
спутников:
АХ = {аХ:} :}, j = \jr
( J hj} . (2.30)
В процессе эволюции под действием различных возмущений
орбитальные параметры спутников претерпевают изменения,
которые могут быть оценены с использованием уравнений в оскули-
рующих элементах.
В векторной форме эти уравнения имеют вид:
dX_
dt
= /(jr,o,
80

2.4. Модель орбитальной группировки
где / — вектор обобщенных внешних сил.
Оценка орбитальных параметров и управление ими на
практике, как правило, осуществляются дискретно с некоторым
шагом At. Поэтому целесообразным представляется переход к
дискретной форме уравнений движения. Изменение орбитальных
параметров за счет эволюции на / -ом шаге АХ? может быть
оценено с помощью соотношения:
АХ;
'dX^3
dt Л-
(*,-!>'/)• А'-
(2.31)
Орбитальные параметры спутника могут быть изменены также
за счет коррекции путем выдачи корректирующего импульса AVt .
Изменения AXf в этом случае определяются согласно известному
баллистическому уравнению (см. [33, 36])
АХ* = ^--АК,
' dV
(2.32)
которое с учетом случайного характера корректирующего импульса
AVt принимает вид
aV
(2.33)
С учетом эволюции и коррекции можно записать следующее
уравнение для изменения вектора орбитальных параметров
спутника
Х( = Х/_х + АХ* + АХ*
= *м +
fdX^
V dt Л-i
А*,._150Д' + ^-к(1+Ю+#]
. (2.34)
81

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
Именно это уравнение и будет в дальнейшем на этапе
проектирования использоваться как модель орбитального движения
спутника. Рассмотрим основные возмущающие факторы.
Нецентральность поля тяготения Земли. Нецентральность поля
тяготения является одним из основных возмущающих факторов,,
вызывающих эволюцию орбитальных параметров спутников в
созвездии для орбит, высота которых лежит в пределах
#=600-г104 км [44]. Именно в этом диапазоне лежат высоты орбит,
которые представляют наибольший интерес для задач мониторинга.
Как показывают исследования, наибольшее возмущающее
влияние оказывает составляющая гравитационного поля Земли,
которая связана со второй зональной гармоникой в полиноме Ле-
жандра, которым обычно описывается гравитационный потенциал
Земли. Для задач системного проектирования вполне достаточным
с точки зрения точности оказывается учет влияния только этой
составляющей, характеризующейся коэффициентом С20, так как
остальные составляющие оказывают на порядок меньшее влияние.
Для круговых орбит, которые, как правило, и используются для
подавляющего большинства спутников мониторинга, можно
использовать следующие выражения для оценки отклонений
орбитальных параметров, связанных с нецентральностью поля
тяготения:
Arg=0
Aig=0
AQg = -ЗяС20 (R3 /г)2 cos i • <2-35>
AMg = Aug =|яС20(Лэ/г)2(Зсо82/-1)
В общем случае нецентральность поля тяготения Земли
приводит к эволюции таких параметров, как долгота восходящего узла
Q, аргумент перигея со и средняя аномалия М. Очень важным
является тот факт, что такие параметры, как большая полуось а ,
эксцентриситет е и наклонение i орбиты остаются неизменными.
Имеет место эволюция именно тех орбитальных параметров,
которые определяют положение спутника относительно Земли, а
82

2.4. Модель орбитальной группировки
следовательно, и условия наблюдения заданных районов. Поэтому
учет эволюции необходим даже при приближенных оценках таких
характеристик, как периодичность наблюдения заданного района.
Если орбиты спутников в созвездии имеют одинаковый радиус
г и наклонение /, то эволюция параметров AQg и Aug всех
спутников одинакова и, следовательно, эволюции относительного
положения спутников в группировке не возникает. Это
обстоятельство может оказаться крайне важным в тех случаях, когда условия
наблюдения определяются именно относительным положением
спутников. В дальнейшем такие случаи будут проанализированы
подробно.
Атмосфера Земли. Влияние атмосферы на орбитальные
параметры спутника полагается достаточно существенным до высот
Н <600 км [33]. Аэродинамическое торможение спутника в
атмосфере вызывает вековые возмущения большой полуоси Ааат
(радиуса Агат) и средней аномалии АМат (аргумента широты Аиат).
Для околокруговой орбиты изменения этих параметров за один
оборот равны:
АМат =Аиат = 6тг2рЬг,
Ааат = Агат = -Inphr1 , (2.36)
где р - плотность атмосферы, Ъ = CXS/MC - баллистический
коэффициент спутника, Сх - аэродинамический коэффициент, S -
площадь миделя.
Основная проблема при расчете этих отклонений связана с
оценкой плотности атмосферы, которая зависит не только от
высоты, но и от времени суток, сезона, солнечной активности.
Существуют различные модели атмосферы, например российские и
американские, которые отличаются друг от друга. Российские модели
представлены, например, в ГОСТ 25645.115-84. Этот стандарт
устанавливает методику расчета и значения параметров средней
плотности верхней атмосферы Земли и ее предельных отклонений в
диапазоне от 120 до 1500 км для различных уровней солнечной ак-
83

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
тивности и дат. Модель плотности верхней атмосферы Земли
построена по данным о торможении спутников за период 1964-1982 г.
В соответствии с этим ГОСТом модель плотности атмосферы
представлена в аналитическом виде. Коэффициенты модели
плотности атмосферы определяются для фиксированных значений
индексов солнечной активности. Изменения плотности атмосферы
относительно среднего значения в фазе цикла солнечной
активности приведены в справочном приложении (см. ГОСТ 25645.115-84).
Для расчета уровня солнечной активности необходимо знание
астрономического времени функционирования системы. Если оно
известно, то необходимо оценить средний уровень активности на
этом интервале времени и принять соответствующее значение
плотности. Если же на этапе проектирования это время
неизвестно, то целесообразно осреднить уровень солнечной активности за
11-летний цикл и рассчитывать плотность атмосферы для этого
уровня.
Из выражений (2.36) видно, что влияние атмосферы
существенно зависит от массогеометрических характеристик спутника, и
именно от них в первую очередь зависит решение вопроса о том,
следует ли влияние атмосферы включать в динамическую модель
орбитального движения созвездия. При значительных
баллистических коэффициентах растет и диапазон высот (вплоть до 1000 -4-1400
км), на которых влияние атмосферы следует учитывать, а именно
этот диапазон высот и является основным для спутниковых систем
мониторинга.
Итак, основное влияние атмосферы связано с торможением
спутника, которое влияет на высоту орбиты и, следовательно, на
период обращения. Учет этой эволюции особенно важен в тех
случаях, когда предъявляются жесткие требования ко времени пролета
над заданными районами.
Солнечное давление. Ускорение ас, действующее на спутник,
связанное с силой солнечного давления, может быть определено по
формуле [33]:
Е{
i^KlT-' (2*37)
84

2.4. Модель орбитальной группировки
где Е§ — мощность солнечного излучения, С — скорость света, г$
- средний радиус орбиты Земли, А - расстояние "спутник-
Солнце", S± — площадь сечения спутника, перпендикулярного
направлению на Солнце, кс - коэффициент отражения спутника.
Обычно для низкоорбитальных спутников это возмущение не
учитывается, особенно если его размеры невелики. Однако
высокий уровень энергопотребления на борту спутников наблюдения
требует больших размеров солнечных батарей. В таком случае
площадь миделя, а значит, и ускорение от сил солнечного давления
могут быть значительными.
Особое внимание должно быть уделено воздействию
солнечного давления на спутники на солнечно-синхронных орбитах,
когда повитковая ориентация солнечных батарей остается
одинаковой в течение всего полета, а каждая орбитальная плоскость в
созвездии по-разному ориентирована относительно Солнца. Это
может привести к возмущениям в относительном положении
спутников в различных плоскостях.
Влияние внешних тел. Эти возмущения целесообразно
учитывать, начиная с высот более 20000 км [ 33]. В таких случаях нет
особых различий в модели одиночного спутника и созвездия. Для
систем наблюдения, которые, как правило, строятся на низких
орбитах, на этапах проектирования и анализа эти возмущения можно
не учитывать.
Погрешности выведения и коррекции. Погрешности выведения и
коррекции являются еще одной важной причиной, с которой
связана эволюция спутниковой группировки и изменение положения
спутников в ней.
Случайный характер погрешностей таких элементов орбиты,
как радиус (большая полуось) и наклонение, приводят к тому, что
все спутники в созвездии будут иметь различные значения этих
параметров. Как следует из выражений (2.35), это приводит к
появлению относительных отклонений по параметрам Q, и,
связанных с влиянием нецентральности гравитационного поля.
Кроме того, погрешности в большой полуоси а приводят к
тому, что периоды обращения соседних спутников будут
неодинаковы. Проанализируем влияние этого рассогласования на относи-
85

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
тельное положение спутников в плоскости орбиты по аргументам
широты (рис. 2.8).
Рис. 2.8. Относительное положение соседних спутников в
орбитальной плоскости
Зависимость аргумента широты у-го спутника Uj от времени
при движении по орбите определяется выражением:
о о 2я"
U: =U: +CQrX = U: + 1 ,
j j cj T
(2.38)
где сос., Tj - орбитальная угловая скорость и период обращения
спутника, Му - начальное значение аргумента широты.
Если фактический период обращения Tf отличается от
расчетного Т?, то появляется рассогласование Siij между
фактическим uf и расчетным Uj значениями аргумента широты, которое
с использованием выражения (2.38) определится как
Suj =uf -Uj =du°j + 2m
К J
1
т
(2.39)
J J
86

2.4. Модель орбитальной группировки
где duj = Uj0 - и®р ~ рассогласование в фактическом и расчетном
значении аргумента широты в начальный момент времени,
связанное с погрешностями выведения.
Таким образом, наличие погрешностей выведения и коррекции
приводит к появлению отклонения в абсолютном положении
спутника.
Рассмотрим положение соседних спутников. Как следует из
выражения (2.30), относительное положение соседних у-ого и
(у -1) -ого спутников по аргументу широты равно
Отклонение фактического значения относительного аргумента
широты от расчетного определяется разницей соответствующих
значений, т.е.
^JJ~\=Aufj-i-AuJJ-* =
= [Auf - AwfJ- (Aw^-i - Awjlj j= Suj - duj_x
(2.41)
Если система строится на круговых орбитах одинаковой
высоты, то все спутники в системе имеют одинаковые расчетные
периоды обращения, т.е. Т? -Т V/. Тогда, используя выражения
(2.39) и (2.41), после некоторых преобразований получим:
Sujj-\ =Su]j-\ +2м
( \
1 1
ГрФ грФ
К1 J v-i
(2.42)
где Su^ ._j = ди® - 8u°j_x - погрешность в относительном
положении соседних спутников, связанная с погрешностями выведения
каждого из них в начальный момент времени.
Итак, погрешности выведения и коррекции в аргументе
широты и периоде обращения приводят к появлению отклонений
(погрешностей) в абсолютном и относительном положении спутников
на орбите. Самым существенным является тот факт, что они
нарастают по времени, поэтому даже малые погрешности выведения и
87

2 Моделирование спутниковой системы мониторинга
коррекции достаточно быстро могут привести к недопустимо
большим отклонениям в положении спутников от расчетного и
нарушить условия наблюдения.
Для реальных значений погрешностей выведения и коррекции
уже на коротком интервале времени рассматриваемые отклонения
значительно превышают отклонения, связанные с возмущениями
от гравитационного поля.
Так, при ошибке в периоде обращения ДГ = 0,1 мин для
Тр =100 мин уже за сутки 8ujj~] =5°, в то время как
погрешность в аргументе широты из-за нецентральности поля тяготения
за это время пренебрежимо мала. Это свидетельствует о
необходимости учета погрешностей выведения и коррекции при
проектировании спутниковой системы, так как именно они, а не внешние
возмущения могут явиться первопричиной "разрушения"
орбитальной структуры.
Отметим, что погрешности выведения и коррекции не приводят
к появлению вековых отклонений в параметрах /, а, е, и
относительные отклонения по этим параметрам постоянны и
определяются только погрешностью выведения и коррекции.
Таким образом, представленная модель орбитального движения
позволяет рассматривать как абсолютное, так и относительное
положение спутников в группировке. Модель включает основные
возмущающие факторы. Для орбит с высотой от 400 до 2000 км
наиболее существенными являются нецентральность поля
тяготения и атмосфера (для низких высот). В модели обязательно
должны учитываться погрешности выведения и коррекции, которые
приводят к нарастающим во времени погрешностям абсолютных и
относительных орбитальных параметров спутников.
Модель численности спутников в группировке. В дальнейшем
будем различать текущую численность работоспособных спутников
в группировке в произвольный / -й момент времени Ni и полную
численность спутников NT, выводимых за весь срок
функционирования Т. От текущей численности Nt зависят условия
накрытия заданного района и периодичность наблюдения в каждый мо-
88

2.4. Модель орбитальной группировки
мент, оперативность передачи информации. От полной
численности зависит стоимость системы.
Текущая численность спутников изменяется за счет появления
к /-му моменту времени неработоспособных спутников NJP 9
которые состоят из отказавших N°m и неуправляемых спутников
AN^, на которых закончилось рабочее тело для коррекции
орбиты,
N?p =N°m+N?y. (2.43)
С другой стороны, в каждый / -й момент на орбиту могут быть
выведены новые спутники N*. Поэтому для текущей численности
N{ можно записать следующее рекуррентное соотношение:
N^N^-N^ + N*. (2.44)
Количество выводимых спутников Nf зависит от числа
неработоспособных спутников, а также от алгоритма управления
восполнением.
Число отказавших спутников зависит от текущей численности
спутников Nj и от характеристик надежности спутника. Чем
больше текущая численность спутников N( , тем больше число
отказавших:
N?m = (1 - РИ )N( или N°m = JU-tt, (2.45)
где PH{t() - вероятность надежной работы спутника к моменту
времени /,-, ъ 1ф - среднее время безотказной работы спутника,
которые определяются выражениями (2.7) и (2.8).
Число неуправляемых спутников Nj? зависит от того, на
скольких спутниках к / -му моменту времени осталось достаточно
89

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
рабочего тела на проведение коррекции. Обычно полагают, что
остаток рабочего тела Voc должен быть не менее, чем минимальный
импульс AVmm, который может создать корректирующий
двигатель, т.е. V0C>AV™n.
Введем показатель неуправляемости у-го спутника в /-й
момент времени а^, значение которого определим так:
а,-0, если Kf>AFmin,
J J (2.46)
а/у=1, если V?c <AVmm,
где Vfjc ~ остаток рабочего тела на борту у-го спутника к j-му
моменту времени. Тогда число неуправляемых спутников в /-й
момент N"y можно определить как
Л^=1^. (2.47)
Остаток рабочего тела на борту V?с зависит от начального
запаса рабочего тела, а также от алгоритма управления коррекцией.
Поэтому этот остаток, а также число неуправляемых спутников
N"y могут быть определены только после (или в процессе)
решения задачи выбора управления орбитальной структурой.
При известных характеристиках аппаратуры наблюдения
существует некоторое минимально количество спутников Nmn, при
котором выполняются условия наблюдения заданного района с
требуемой периодичностью. Очевидно, что в любой момент
времени текущая численность Ni должна быть по крайней мере не
менее чем Nmm, т.е.
Nt = ATin+<SV7., SNj>0. (2.48)
90

2.4. Модель орбитальной группировки
Так как полная численность спутников Nr за весь срок
функционирования Т определяется численностью спутников в
начальный момент времени N0 и числом спутников, выведенных за все
время функционирования системы Nj, то с учетом (2.48) можно
записать
NT=N0+NeT= Wmin +SN0+NeT. (2.49)
Вопрос о численности выведенных спутников Nj должен
решаться при выборе управления восполнением группировки.
Однако в любом случае за счет выведения по крайней мере должны
быть возмещены неработоспособные спутники. В этом случае его
можно представить так:
NeT=NH/ +8NT,
где NHf =NH/ +№Tm,
N? = t^F, №Tm = t^r, (150)
/=i /=i
n-\
<Wr = £<W, >0.
i=0
Здесь n - число шагов дискретности за время Т.
Используя выражения (2.49) и (2.50), для полной численности
можно записать:
NT = Nmin + N$ + Nf* + SNT. (2.51)
Представленная модель устанавливает зависимость текущей и
полной численности спутников в группировке от "минимальной"
численности, необходимой для выполнения условий наблюдения, и
от числа отказавших и неуправляемых спутников, в том числе и
избыточных.
Модель управления орбитальной группировкой. Как было
показано ранее, для решения целевых задач спутниковая система в ка-
91

2 Моделирование спутниковой системы мониторинга
ждый момент времени должна выполнять определенные
требования к условиям наблюдения. Выполнить эти условия возможно
поддержанием основных параметров орбитальной структуры
(численности и орбитальных параметров) в определенных пределах.
Нарушение этих условий может происходить как за счет эволюции
орбитальных параметров, так и за счет появления
неработоспособных спутников, что может привести к нарушению условий
наблюдения.
Для восстановления способности системы к решению целевых
задач необходимо управлять орбитальной группировкой,
поддерживая орбитальные параметры за счет коррекции либо восполняя
структуру за счет выведения новых спутников, в том числе и
избыточных.
Поэтому вектор управления в / -й момент времени щ должен
состоять из двух компонент:
«,={«,<*), «Р}. (2.52)
Компонента и\к* предназначена для управления коррекцией
вектора орбитальных параметров, а компонента и\в' для
управления восполнением орбитальной структуры, т.е. для управления
численностью.
Общая структура модели орбитальной группировки представлена
на рис. 2.9. Центральными модулями в ней являются модель
орбитального движения, модель численности спутников и модель
управления системой.
Первая модель позволяет оценивать как текущие значения
орбитальных параметров спутников в их абсолютном движении, так и
относительное положение в группировке. Для их расчета
используется информация о внешней среде, в частности о параметрах
атмосферы, гравитационного поля Земли, о массогеометрических
параметрах спутников, а также о погрешностях выведения и системы
коррекции.
Модель численности спутников позволяет рассчитывать
значение текущей численности спутников, а также полной численности
за весь срок функционирования системы. Для этого используется
92

2.4. Модель орбитальной группировки
информация о надежности спутников, о возможностях наземного
ракетно-космического комплекса.
Внешняя среда
Спутник
и бортовые системы
Управление
поддержанием
(коррекцией)
Ракетно-космический
комплекс
Управление орбитальной
структурой
Массо-
геометри-
ческие
параметры
Погрешности
выведения и
коррекции
Атмосфера
Гравита-
•"1 ционное поле
Орбитальные
параметры
X(t)
Модель
орбитального
движения
Управление
- восполнением
Модель
численности
спутников

Относительное
положение
спутников
AX(t)
Текущая
численность
N(t)
Надежность
Полная численность за срок
функционирования N
Рис. 2.9. Общая структура модели орбитальной группировки
Наконец, модель управления орбитальной структурой позволяет
сформировать алгоритмы управления подцержанием структуры
(коррекция орбитальных параметров) и ее восполнением.
2.5. Модели факторов внешней среды
Эффективность функционирования спутниковой системы
зависит не только от характеристик системы, но и от состояния факто-
93

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
ров внешней среды, влияющих на работу системы. Состав
подлежащих учету факторов внешней среды и используемые модели этих
факторов зависят от назначения системы, типа целевой аппаратуры
на борту спутника, этапа жизненного цикла системы
(проектирование, долгосрочное планирование работы, краткосрочное
планирование, априорный или оперативный анализ), на котором
влияние этих факторов рассматривается и соответствующая модель
фактора используется.
Для спутниковых систем, осуществляющих наблюдение Земли
из космоса в видимой и инфракрасной зонах спектра, возможность
наблюдать определенный участок земной поверхности и качество
изображения зависят от освещенности этого участка солнечным
светом, состояния облачного покрова над ним, оптического
состояния атмосферы в момент съемки, типа и состояния
подстилающей поверхности на участке и др.
Целью данного раздела является описание математических
моделей солнечной освещенности и облачного покрова как факторов
внешней среды, влияние которых на функционирование
спутниковых систем наблюдения является наиболее сильным.
Модель освещенности. Уровень освещенности наземного
объекта солнечным светом определяется, главным образом, углом
возвышения Солнца над горизонтом в районе расположения объекта в
момент наблюдения. Величина этого угла зависит от широты места
расположения объекта, дня года и местного времени суток в
момент наблюдения. Возможность съемки проверяется путем
сравнения угла возвышения (высоты) Солнца с его допустимым
значением для рассматриваемого инструмента на борту спутника.
Угол возвышения Солнца h<$ в точке земной поверхности с
географическими широтой Я и долготой q> может быть рассчитан
с помощью соотношения [11]:
sin/z® =sin£(g>sin^ + cos£®cos^cosA,l<g), (2.53)
где S® — угол склонения Солнца, ДЛ^ = Л® - Я - разность между
долготой Солнца Л® и меридианом точки Я .
Долгота Солнца в заданный момент московского времени / (в
часах) рассчитывается с помощью следующих выражений:
94

2.5. Модели факторов внешней среды
- в зимнее время:
A®=a)E[l2-(t -1-/7®)]+ 30°; (2.54)
- в летнее время:
Ab=c»E[l2-(t -2-77®)]+30°, (2.55)
где соЕ — угловая скорость вращения Земли относительно своей
оси, измеренная в град, в час; щ - переменная, называемая
"уравнением времени".
Московское и гринвичское время связаны между собой
соотношением:
Угол склонения Солнца 5$ и уравнение времени щ являются
функциями текущей даты года [11]. Их точные значения могут
быть взяты из астрономического ежегодника.
Полученные путем проведения баллистических расчетов
моменты съемки объектов, для которых требования по освещенности не
выполняются, исключаются из дальнейшего рассмотрения. Эти
моменты выявляются путем сравнения угла возвышения Солнца
й® с его минимально допустимой величиной Л®ш. Последняя, в
зависимости от характеристик бортовой съемочной аппаратуры,
может составлять 10-г25 град.
Модель облачности. Облачный покров над участком земной
поверхности, в пределах которого находится объект наблюдения,
является вторым (после освещенности) по степени влияния на
эффективность наблюдений фактором внешней среды, поскольку в
целом около 45 процентов поверхности земного шара закрыто
облаками. Однако это общее количество облаков распределено над
различными регионами земного шара неравномерно и претерпевает
случайные изменения как по пространству (от одного региона к
другому), так и по времени. Так, например, вероятность
безоблачной погоды в пределах района осреднения 5x5 град, с центром,
имеющим координаты Л = 30° В.Д. и <р = 30° С.Ш. (восточная
95

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
часть пустыни Сахары), летом равна 0,973, в то время как в южной
части Тихого океана зимой (Я = 135° З.Д., ^? = 60о Ю.Ш.) эта
вероятность составляет лишь 0,176. Облачный покров над регионом
может формироваться из облаков различных типов (кучевые,
перистые, слоистые, слоисто-кучевые и др.), по-разному влияющих на
эффективность наблюдений Земли из космоса. Случайные
вариации количества облаков во времени содержат в своем составе как
долгосрочные (сезонные), так и краткосрочные (суточные)
составляющие.
Таким образом, облачный покров как помеха наблюдениям
является весьма сложным для математического описания природным
фактором. Чтобы успешно решать задачи анализа эффективности и
планирования работы спутниковых систем наблюдения с учетом
облачности, необходимо располагать математическими моделями
этой помехи и параметрами моделей применительно к
конкретному месту расположения объекта наблюдения, сезону, времени
суток, а также типу объекта — площадной или точечный.
Для описания облачности предложены математические модели
различной сложности и точности [5, 10, 50, 54]. Параметры этих
моделей могут быть рассчитаны заранее по результатам
многолетних наземных или спутниковых метеорологических наблюдений
облачного покрова для соответствующих территорий земного шара
[2, 29, 34, 43, 44]. Помимо самих моделей, предложены методики
их использования, учитывающие как тип модели, так и характер
решаемой задачи [5, 50, 54, 61].
Вопросы построения математических моделей облачного
покрова и их использования при решении задач априорного и
оперативного планирования работы спутниковых систем наблюдения
рассматриваются в данном подразделе.
Облачный покров как помеха при наблюдениях Земли из
космоса может быть представлен в виде бинарного пространственно-
временного случайного поля u{X^cp^t) [5, 54]. В соответствии с
таким представлением облачность над точкой с географическими
координатами Я, q> в момент времени / может находиться в одном
из двух случайных состояний: 1 - облака закрывают точку; 0 -
облаков над точкой нет, и она доступна для наблюдения из космоса.
96

2.5. Модели факторов внешней среды
Данная модель поля м(Я, #>, /) предполагает, что облачный
покров имеет нулевую толщину, т.е. зависимость результата
наблюдения со спутника от угла между местной вертикалью и линией
визирования наземного объекта со спутника не учитывается.
Возможны различные конкретные варианты такой модели,
зависящие от требуемой точности, допустимой сложности и наличия
исходных данных для расчета параметров соответствующей модели.
Простейшая модель бинарного поля м(Я, <р, t) возникает в
результате использования предположения о том, что это поле
является абсолютно случайным (не коррелированным) как во времени, так
и по пространству. Данная модель оказывается приемлемой при
анализе эффективности наблюдений наземных объектов малой
площади с большими интервалами между наблюдениями и
удаленных друг от друга на большие расстояния.
Единственной характеристикой этой модели поля и(Я, <р, t)
является вероятность Р(Л, <р, t) состояния и = 1, известная в
зависимости от координат наземной точки Я, <р и времени /.
Дополнительное упрощение модели может быть достигнуто путем
выделения зон однородности на земной поверхности, в пределах которых
вероятность Р(и = 1) в один и тот же момент времени может
рассматриваться одинаковой для всех точек зоны, а также путем
выделения периодов года (периодов стационарности), в течение
которых вариациями вероятности Р(и = 1) от одного дня к другому
можно пренебречь. Обычно периоды стационарности принимают
совпадающими с теплым и холодным периодами года или с
сезонами.
Таким образом, при использовании указанных предположений
для полного статистического описания облачного покрова как
абсолютно случайного бинарного поля достаточно выделить зоны
однородности на земной поверхности, установить периоды
стационарности и для каждой их комбинации определить зависимость
P(u9t) в течение суток (/е[0,24] часа), или, по крайней мере, в
светлое время суток, когда проводятся наблюдения с учетом
освещенности.
97

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
Однако несколько причин не позволяют ограничиться моделью
м(Л, ер, t) в виде абсолютно случайного по времени и пространству
поля.
Во-первых, существует статистическая взаимосвязь состояний
облачного покрова над точками земной поверхности, которая
может проявляться на интервалах до 3-5 суток по времени и на
расстояниях до 2-3 тысяч километров по пространству. Наличие такой
взаимосвязи приводит к тому, что использование модели облачного
покрова в виде абсолютно случайного поля приводит к заметным
погрешностям при расчете показателей эффективности
спутниковой системы, если интервалы между наблюдениями малы или если
наблюдаемые объекты на земной поверхности расположены близко
друг к другу.
Во-вторых, наблюдаемыми могут быть не только точечные, но
и площадные объекты. Условием успешного наблюдения
площадного объекта может быть состояние и = 0 одновременно над всей
или почти всей территорией объекта. С некоторой вероятностью
это требование может выполняться в реальных условиях, но
принципиально невозможно при модели облачного покрова в виде
абсолютно случайного поля, поскольку при такой модели 100Р
процентов площади объекта постоянно закрыто облачностью.
В-третьих, исходные данные о бинарном поле облачности
и(Л, <р, t), полученные непосредственно из измерений,
практически отсутствуют, поскольку прямые метеорологические
наблюдения состояния облачного покрова над отдельными точками на
земной поверхности проводить затруднительно.
Обычно при наземных метеорологических наблюдениях и при
обработке спутниковых снимков облачности фиксируются не
значения поля w(A, (p, t) в отдельных точках, а интегральная
характеристика поля облачности в пределах некоторой территории,
называемая количеством облачности (количеством облаков).
Количество облачности B(t) определяется как измеренная по
10-балльной шкале относительная доля площади некоторого
района, называемого районом осреднения, закрытая облачностью в
момент наблюдения, т.е.
5(0= 10-5^(0/5, (2.56)
98

2.5. Модели факторов внешней среды
где S - площадь района осреднения; *S(/(/) - суммарная площадь
района осредненения, закрытая облаками.
Из определения (2.56) следует, что изменение B(t) над
заданным районом осреднения - непрерывный случайный процесс,
который может принимать произвольные значения на интервале
[0,10] баллов. В частности, /?(/) = О баллов, если весь район
осреднения свободен от облаков; /?(/) = 10 баллов, если облачность
закрывает весь район осреднения.
Характеристики процесса B(t), как и поля м(Л, <р, t), зависят
от географического положения района осреднения на земной
поверхности, времени года и суток. Но, кроме того, эти
характеристики зависят также от площади района осреднения S. При
визуальных метеонаблюдениях площадью осреднения является площадь
небосвода, обозреваемая наземным наблюдателем. Ее величина
может существенно меняться в зависимости от условий
наблюдения, определяемых рельефом местности в месте расположения
метеостанции, высоты нижней кромки облачности, структуры
облачного покрова и других факторов [29, 43]. В среднем она составляет
около 1000 км2.
При определении количества облачности по спутниковым
снимкам форма и размеры района осреднения могут быть приняты
любыми, в том числе и совпадающими со средним районом
осреднения наземного наблюдателя.
Если при определении количества облачности по спутниковым
снимкам рассматривается совокупность районов осреднения,
покрывающих сплошь некоторую территорию, то математической
моделью облачности над районами осреднения в пределах этой
территории будет непрерывное скалярное пространственно-
временное случайное поле В(Л, <p,t), у которого аргументы Я, <р
- географические координаты центра района осреднения.
Изменение площади осреднения приводит к изменению всех
статистических характеристик случайного процесса B(t) или
случайного поля 2?(Л, ф) t).
Наиболее заметно величина площади осреднения S влияет на
плотность распределения вероятностей f(B) и время корреляции
99

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
процесса ткор. Последнее характеризует интервал времени,
разделяющий два момента наблюдения процесса B(t), за пределами
которого состояния количества облачности над районом осреднения
можно полагать статистически независимыми.
Как показывают результаты статистической обработки
наблюдений облачного покрова [43], при увеличении площади
осреднения S распределение f(B) постепенно трансформируется из
дискретного с двумя состояниями (0 и 10 баллов) при 5*0 в
распределение U - или J -образной формы при площади осреднения
наземного наблюдателя S = Sgr, а при дальнейшем увеличении S
последовательно в близкое к равномерному, куполообразное и,
наконец, в гауссовское с тем меньшей дисперсией, чем больше S.
Расчеты с использованием результатов спутниковых
наблюдений показывают, что применительно к Европейской территории
России (ЕТР) распределение f(B) можно полагать гауссовским
уже при £>1-2 млн. км2.
Если в качестве площади осреднения рассмотреть всю
поверхность земного шара, которая, как известно, составляет около 512
млн. км2, то над ней суммарное количество облачности остается
практически постоянным, равным 4.5 баллам [54]. Иными
словами, около 45 процентов поверхности всей Земли постоянно
закрыто облачностью.
Что касается времени корреляции ткор процесса B(t), то с
увеличением площади осреднения S это время также возрастает. Его
величина существенно зависит от структуры (типа) облачных
образований. Наименьшим время корреляции оказывается при Х«0 и
облачности кучевого типа, когда оно составляет лишь несколько
часов. При площади осреднения наземного наблюдателя это время
уже составляет 1-2 суток. При 5=360 тыс. км2 время корреляции
достигает 3-4 суток. Для ЕТР ткор « 7 суток.
Типы моделей количества облачности. Как следует из
вышеизложенного, переходя от рассмотрения бинарного поля облачности
м(Л, <р, t) к его количеству В, необходимо учитывать величину
площади осреднения S и количество районов осреднения,
рассматриваемых одновременно: один или несколько. При этом
100

2.5. Модели факторов внешней среды
должна учитываться существенная негауссовость распределения
вероятностей количества облачности над районами осреднения
относительно малой площади (при S<\-2 млн. км2) и его коррели-
рованность по времени (для одного района осреднения) или по
времени и пространству (для совокупности районов).
Трудности разработки математических моделей количества
облачности, учитывающих указанные особенности этого природного
фактора, можно избежать, применив так называемый
ретроспективный подход, то есть моделируя функционирование спутниковой
системы наблюдения по методу Монте-Карло с использованием
данных о количестве облачности над рассматриваемыми районами
осреднения, зафиксированных в прошлом в течение достаточно
длительного периода метеорологических наблюдений. Реализация
такого подхода предполагает использование достаточно обширной
базы данных, содержащей результаты регулярных наблюдений
количества облачности на наземных станциях или
метеорологическими спутниками.
Однако в большинстве случаев использование статистических
моделей количества облачности является предпочтительным,
поскольку не требует хранения и использования результатов
длительных наблюдений и позволяет рассчитывать показатели
эффективности функционирования спутниковых систем наблюдения при
помехах, создаваемых облачным покровом, минуя использование
метода Монте-Карло.
Создание таких моделей возможно с использованием
некоторых упрощающих предположений, таких, как:
1. Выделение на земной поверхности зон однородности, а в
течение года - периодов стационарности.
2. Рассмотрение районов осреднения большой площади (более
1-2 млн. км2), при которой процесс B(t) можно полагать
гауссовским.
3. Рассмотрение состояний количества облачности над
районом осреднения не непрерывно во времени, а в
дискретные моменты, например в местный полдень, когда
проводятся наблюдения с помощью спутника, двигающегося по
солнечно-синхронной орбите.
4. Пренебрежение коррелированностью процесса изменения
количества облачности по времени (для одного района ос-
101

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
реднения) или по времени и пространству (для нескольких
районов).
5. Замена всех возможных состояний существенно негауссов-
ского процесса B(t) над районом осреднения относительно
малой площади некоторой совокупностью его дискретных
состояний.
6. Учет коррелированности процесса B(t) во времени путем
его представления в виде марковского случайного процесса.
Использование перечисленных допущений раздельно или в
виде комбинаций позволяет получать различные типы моделей,
имеющие различные области применения в связи с их различием в
точности и сложности.
Например, рассмотрение районов осреднения большой
площади (допущение 2) приводит к статистическому описанию B(t) как
непрерывного гауссовского случайного процесса, которое может
быть осуществлено в рамках корреляционной теории случайных
процессов. Для этого достаточно определить по результатам
наблюдений математическое ожидание mB(t) и корреляционную
функцию KB(tl9t2) этого процесса. Однако при большой площади
осреднения происходит потеря информации о неоднородности
облачных процессов над различными участками в пределах района
осреднения.
Этого недостатка можно избежать, строя модель количества
облачности для районов осреднения малой площади. Однако при
этом возникают трудности, связанные с необходимостью учета
существенной негауссовости распределения вероятностей /(5),
которая, как указывалось выше, имеет место при малой величине S.
Рассмотрение состояний процесса в дискретные моменты времени
(допущение 3) совместно с допущением 4 приводит к модели в
виде последовательности или цепи (при допущении 5) независимых
значений. Совместное использование допущений 3, 5 и 6 приводит
к модели в виде дискретной марковской цепи [54], а только
допущений 5 и 6 — в виде дискретного марковского процесса (с
дискретными состояниями и непрерывным временем) [5].
На практике наибольшее применение находят модели в виде
абсолютно случайной последовательности или цепи (при интервалах
между наблюдениями, превышающих время корреляции процесса
102

2.5. Модели факторов внешней среды
ткор , а также марковской цепи или дискретного марковского процесса
(при малых интервалах между наблюдениями). Использование
каждой конкретной модели предполагает расчет соответствующих
статистических характеристик, описывающих эту модель, путем
статистической обработки результатов длительных наблюдений.
Исходные данные. Существуют два типа данных об облачном
покрове, которые могут быть использованы для имитационного
моделирования на основе ретроспективного подхода, построения
зон однородности и расчета параметров математических моделей
облачности, рассмотренных выше: результаты наземных и
спутниковых наблюдений.
При использовании результатов наблюдений облачности с
наземных метеостанций следует учитывать, что число метеостанций
ограничено; станции, как правило, расположены на сухопутной
части земной поверхности и неравномерно; площадь осреднения
наземного наблюдателя сравнительно небольшая.
Данные спутниковых наблюдений облачности собраны во
Всероссийском научно-исследовательском гидрометеорологическом
институте (ВНИИГМИ), г.Обнинск, Калужской обл. [34], который
является одним из трех Мировых Центров Данных (два другие - в
Канберре, Австралия, и в Вашингтоне, США), занимающихся
сбором и документированием различного рода метеоданных. Данные
фиксируются в виде количества облачности, определяемого по
спутниковым снимкам применительно к трапециям на земной
поверхности, образуемым параллелями и меридианами с шагом 5
град, по широте и 5° или 10° по долготе, сплошь покрывающими
поверхность всего земного шара.
Как следует из изложенного выше, результаты наземных и
спутниковых наблюдений количества облачности можно
сопоставлять друг с другом лишь при условии, что они относятся к одним и
тем же районам осреднения. Сопоставления показывают [50], что
количество облачности, как правило, завышается при наземных
наблюдениях, а при спутниковых - занижается по сравнению с
"истинным" его количеством. Причины такого расхождения
состоят в следующем.
При наземных наблюдениях облаков с большим вертикальным
развитием возникает ситуация, при которой на небесную сферу
103

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
проектируются не только горизонтальные, но и боковые части
облаков, что приводит к завышению наблюдаемой величины B(t).
Количество облачности на спутниковых снимках занижается
из-за их относительно низкого разрешения, поскольку эти снимки
обычно получают в ИК диапазоне. Это не позволяет учесть
отдельные облака относительно малой площади, наблюдать тонкие
перистые облака, выявлять контраст температуры облаков слоистых и
слоисто-кучевых форм, движущихся на малой высоте, по
отношению к температуре подстилающей поверхности.
Ниже описание различных моделей облачности сопровождается
некоторыми численными иллюстрациями, полученными с
использованием данных ежесуточных спутниковых метеонаблюдений за
пятнадцать лет (1979-1994 гг.) [34]. Данные представлены в виде
количества облачности над районами осреднения в виде трапеций
на земной сфере, образуемых параллелями и меридианами с шагом
5е по широте и по долготе.
Модели облачности строились с использованием следующих
допущений:
- над всеми районами осреднения случайный процесс B(t) -
стационарный в течение каждого из четырех сезонов года;
- в каждый из сезонов на рассматриваемой территории можно
выделить зоны однородности;
- суточный ход количества облачности над районами
осреднения не учитывается;
- для описания процесса используется его представление в
виде дискретного случайного процесса с тремя
дискретными состояниями:
Вх =0...2, 2?2=3...6, Я3=7...Ю баллов;
- дискретный процесс B(t) над районом осреднения в
каждый из сезонов - абсолютно случайный или марковский.
Зоны однородности. Математически задача выделения зон
однородности есть задача кластерного анализа. В качестве критерия
кластеризации можно принять некоторую меру близости
статистических характеристик облачного покрова в районах осреднения.
Например, в качестве критерия можно принять близость
вероятностей состояния В] =0^-2 балла, при котором наблюдение района
из космоса может быть успешно проведено. Два района осредне-
104

2.5. Модели факторов внешней среды
ния можно рассматривать допускающими их объединение в
единую зону однородности (кластер), если различием в вероятностях
Рх - Р(Вг) для этих двух районов можно пренебречь.
Другим критерием кластеризации может служить критерий,
основанный на вычислении меры близости между гистограммами
распределения состояний облачности над различными районами
осреднения:
К=Т.ЬА-Р*}> / = 0,1,...,10, (2.57)
/=о
где Р/* и Р(в - частоты /-го состояния (балла облачности) для
районов осреднения А и В соответственно.
Для принятия решения о возможности объединения районов А
и В в единую зону однородности с использованием критерия
(2.57) необходимо ввести допустимое значение критерия К* и
сравнить вычисленное значение К с допустимым К*. Если
К < К*, то принимается решение об объединении районов А и В.
При объединении районов осреднения в зоны однородности с
любым критерием целесообразно учесть дополнительное
требование односвязности формируемых зон однородности.
Карты зон однородности, сформированные по изложенной
методике для 174 районов осреднения размером 5x5 град, на
территории Российской Федерации в зимний и летний сезоны,
представлены на рис. 2.10 и 2.11.
Абсолютно случайная модель количества облачности.
Математическая модель количества облачности в виде абсолютно случайной
последовательности или цепи описывается простейшими
статистическими характеристиками. При большой площади осреднения,
допускающей аппроксимацию процесса гауссовской
последовательностью, такими характеристиками являются среднее значение
тв и статистическая дисперсия DB. При малой площади
осреднения последовательность может быть описана гистограммой f(B)
дл*я 11 дискретных значений 5,^0,10 баллов, фиксируемых при
105

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
обработке результатов наблюдений облачности, или для трех
состояний Bi9 i = 1, 3 при дискретной аппроксимации процесса.
В качестве примера приведем значения перечисленных
статистик для зон однородности 10, показанных на картах (ем. рис. 2.10
и 2.11), в зимний и летние сезоны.
Таблица 2.3. Гистограммы распределений количества облачности для зоны
однородности 10 в летний и зимний сезоны
[1Ш1
зима
0
0.057
0.091
1
0.015
0.023
2
0.069
0.082
3
0.057
0.071
4
0.051
0.069
5
0.082
0.100
6
0.114
0.115
7
0.164
0.129
8
0.168
0.130
9-10
0.224
0.190
Таблица 2.4. Статистические характеристики количества облачности для
района осреднения 5x5 град, в зонах однородности 10 на территории
России
Характеристика
тв , баллов
Р(В е[0,2])
Р(В е[3,6])
Р(Яе[7,10])
•■'■■ Зима
5.598
0.141
0.304
0.556
Лето
5.601
0.196
0.355
0.449
Гистограммы 11 дискретных значений процесса представлены в
табл. 2.3 и на рис. 2.12, а средние значения количества облачности
и частоты трех дискретных состояний - в табл. 2.4 и на рис 2.13.
106

2.5. Модели факторов внешней среды
60 70 80 90 80 70 60
50 60 70 80 90 100 110 120 130
Рис. 2.10. Зоны однородной облачности на территории Российской
Федерации в зимний сезон
60 J70 80 90 80 70 60
50 60 70 80 90 100 ПО 120 130
Рис. 2.11. Зоны однородной облачности на территории Российской
Федерации в летний сезон
107

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
0,25-л
0,2
0,15
0,1
0,05
0
И п
II 1-Ш
1
Щ н
Ifcfl]
1 f*
т 1
14
D Зима
О Лето
Рис. 2.12. Гистограммы 11 значений количества облачности над районом
осреднения в зоне однородности 10 в зимний и летний сезоны
0,6f
0,5-К
0,4Т
0,3Т
0,2+-
0,11
О*
t
t
Ф
I
L
1
1
• 1
0...2 3...6 7...10
ПЗима
О Лето 1
Рис. 2.13. Гистограммы трех дискретных состояний количества облачности
над районом осреднения в зонах однородности 10 в зимний и летний
сезоны
Марковская модель количества облачности. Для описания
процесса в виде цепи Маркова требуется задать матрицу условных
вероятностей переходов между дискретными состояниями Q = IqJ ,
в которой q(j есть вероятность перехода количества облачности из
состояния Bt в состояние Bj за рассматриваемый интервал
дискретности по времени (1 сутки). Компоненты матрицы Q могут
быть рассчитаны путем статистической обработки результатов
длительных наблюдений.
В качестве примера рассмотрим районы осреднения 5x5 град, в
зонах 10 в зимний и летний сезоны. Матрицы вероятностей
перехода между тремя указанными выше состояниями количества об-
108

2.5. Модели факторов внешней среды
лачности, рассчитанные для зимнего и летнего сезонов по данным
спутниковых наблюдений при интервале дискретности по времени,
равном 1 суткам, являются следующими:
t^wint
0.296 0.166 0.411
[0.204 0.261 0.5001
0.194 0.144 0.713
xisum
0.300 0.188 0.175
0.187 0.344 0.327
0.173 0.270 0.53(J
(2.58)
Математическая модель дискретного процесса B(t),
учитывающая его существенную негауссовость и коррелированность по
времени и одновременно позволяющая рассматривать
произвольные интервалы между моментами пролета спутника над
наблюдаемым районом, оказывается наиболее компактной, если
использовать гипотезу о том, что этот процесс — марковский с дискретными
состояниями и непрерывным временем.
Для описания процесса B(t) как дискретного марковского с
состояниями В(, i = 1, 3, необходимо задать матрицу интенсивно-
стей переходов А = \а^) этого процесса между состояниями [45],
причем в этой матрице
*,7=- I Д</> 1 = 1*3.
J=UJ*i
(2.59)
При трех рассматриваемых состояниях для описания процесса
нужно задать 6 чисел - интенсивности а у, /,/ = 1,3, /*/.
Матрицу А можно найти по результатам наблюдений процесса B(t),
решив задачу идентификации применительно к уравнению
Колмогорова для матрицы вероятностей перехода дискретного марковского
процесса B(t) [5]. В матричном виде уравнение Колмогорова
записывается следующим образом:
^- = Q A, 6(0) = /;
ах
(2.60)
109

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
где Q{t) = щ{?)\. , " матрица вероятностей перехода, элемент
ду(т) которой есть вероятность того, что стационарный по
времени процесс находится в состоянии Bt в некоторый момент / и в
состоянии Bj в последующий момент t + г; / - единичная
матрица 3x3.
Элементы qij(ra) матриц Q(ra), a = 1,2,... можно определить
для различных та, кратных шагу спутниковых наблюдений
процесса B(t)j равному суткам, путем статистической обработки
результатов наблюдений с помощью соотношения:
q№")m /л ' (261)
",•(0
где п$) - число наблюдений состояния В( процесса B(t) над
районом осреднения за весь период наблюдений; kj(t + ra) -
число наблюдений состояния Bj процесса, которые имели место
спустя та суток после момента t наблюдения состояния B^i).
Назовем матрицы вероятностей перехода, рассчитанные
описанным способом, экспериментальными и обозначим их через
£?ехр(га)- Располагая такими матрицами, соответствующими
различным та на предполагаемом интервале корреляции ткор
процесса B(t)f можно определить матрицу интенсивностей А
марковской модели дискретного процесса B(t) в результате решения
следующей задачи идентификации: определить такую матрицу А, при
которой матрицы Q(ra), a = 1,2,..., рассчитанные с помощью
уравнения Колмогорова (2.60), наилучшим образом согласуются с
матрицами (?ехр(га) при соответствующих та на интервале
корреляции процесса. В качестве минимизируемого критерия близости
Q(Ta) и Qexp(Ta) целесообразно взять среднеквадратический
критерий вида:
ПО

2.5. Модели факторов внешней среды
•/ = 11 I 1Яд(А,та)-Я>{та)}2
1=1 у'=1 тае[0,ткор)
(2.62)
Задачу минимизации критерия J(A) в 6-мерном пространстве
коэффициентов а,у, i*j можно решить одним из методов
нелинейного программирования.
Ниже в качестве примера представлены матрицы интенсивно-
стей перехода А для зимнего и летнего сезонов над районами
осреднения в зонах однородности 10 на территории России в зимний
и летний сезоны (1/сут.):
Л . -
^wint
Л -
^sum
-1.823
0.576
1 0.489
-1.696
0.513
0.376
0.809
-1.741
0.764
0.879
-1.686
0.827
1.014
1.165
-1.233
0.817
1.174
-1.203
(2.63)
Графики изменения трех вероятностей перехода #п(г)> #2i(r)>
#31 (г), соответствующих переходу в состояние Вх =0...2 баллов
из начальных состояний jBj, В2 и В3, приведены на рис. 2.16. Они
рассчитаны путем интегрирования уравнения Колмогорова (2.60) с
матрицей интенсивностей Awir]i для зимнего сезона, указанной в
(2.63).
Интегрируя уравнение Колмогорова, можно получить матрицу
вероятностей перехода Q(r), соответствующую любому заданному
временному интервалу г, в том числе интервалу дискретности
т -1 сут, используемому при построении модели облачности в
виде марковской цепи. Таким образом, модель облачности в виде
марковской цепи является частным случаем более общей модели в
виде дискретного марковского процесса.
За пределами некоторого г элементы столбцов матрицы Q(r)
становятся одинаковыми, равными безусловным вероятностям
111

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
Рп / = 1,3 состояний процесса B(t). Величина интервала г, при
которой это происходит, есть время корреляции процесса ткор.
Безусловные вероятности состояний являются единственными
характеристиками модели процесса B(t) в виде абсолютно
случайной дискретной последовательности. Следовательно,
математическая модель процесса B(t) в виде дискретного марковского
процесса содержит в своем составе также характеристики модели в
виде абсолютно случайной последовательности (но с тремя, а не
одиннадцатью дискретными состояниями). Последняя может быть
использована при моделировании состояний облачности над
районом осреднения в моменты пролетов спутника с интервалами,
превышающими время корреляции процесса. Для графиков на
рис.2.14 время корреляции процесса B(t) составляет 2.43 суток.
1.00
о
о.
0)
X
I
0)
о.
0)
с
0.50
0.00
0.00 1.00 2.00
Интервал времени, суток
3.00
Рис. 2.14. Вероятности перехода между состояниями количества
облачности в зимний сезон
Модель количества облачности B(t) над районом осреднения
может быть использована непосредственно для решения задач
анализа эффективности наблюдения площадных объектов.
Применительно к точечным объектам эту модель необходимо дополнить мо-
112

2.5. Модели факторов внешней среды
делью перехода от количества облачности над районом B(t) к
состояниям поля облачности и(А, <р, /) над отдельными точками
района. Наиболее простая модель, реализующая такой переход,
возникает при использовании гипотезы о малых независимых
элементах облачности, то есть об абсолютной случайности поля
и(А, ф) t) над районом осреднения при заданном его суммарном
количестве над районом. В соответствии с этой гипотезой
вероятность Р(и = 1) состояния м = 1 в любой точке района осреднения
равна 0.1 B{t), независимо от того, каким было состояние над этой
точкой в любой предшествующий момент времени и каким
является его состояние над любыми другими точками района.
Использование данной гипотезы позволяет также решить
вопрос об определении вероятности Р(и) = Р(и -1), описывающей
модель облачного покрова в виде абсолютно случайного поля
и(А> <ръ t) по результатам наблюдений количества облачности B(t).
Эта вероятность равна 0.1 тв, где тв - среднее значение
количества облачности, рассчитанное путем обработки результатов
наблюдений процесса B(t) над рассматриваемым районом
осреднения. Такая информация является наиболее широко
распространенной (см., например, [2, 10]).
Более точная модель перехода от B(t) к и(А, <р, t) должна
учитывать наблюдаемую связность облачных образований, то есть
структуру облачного покрова. Одна из таких моделей может быть
сформирована с использованием так называемого
параметрического подхода [48]. В этой модели имитационное моделирование
состояний поля и(А, <р, t) над отдельными точками района
осуществляется с учетом не только общего количества облачности, но и
среднего поперечника облаков.
Состав базы данных. Как показано выше, облачный покров как
помеху наблюдениям невозможно описать с помощью
единственной модели, применимой для решения различных прикладных
задач анализа эффективности наблюдений с помощью спутниковых
систем в присутствии этой помехи. Необходим набор моделей
различной точности и сложности, ориентированных на решение задач
113

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
определенного класса. Для описания этих моделей требуется
использовать различные данные:
- результаты длительных наблюдений облачности над
интересующими районами осреднения за прошлые годы для
осуществления моделирования системы по методу Монте-
Карло на основе ретроспективного подхода;
- карты зон однородности;
- параметры математических моделей — статистики,
рассчитанные путем обработки результатов наблюдений для
различных зон однородности в различные сезоны:
распределение вероятностей f(B) и матрицу интенсивностей
переходов А между состояниями для модели в виде дискретного
марковского процесса.
Все остальные данные, необходимые для описания других
рассмотренных выше моделей (среднее количество облачности тв,
дисперсия DB, матрица вероятностей перехода Q(r) при т = 1
сутки, безусловные вероятности трех состояний Pi9 / = 1,3) могут
быть рассчитаны с использованием указанных данных. Однако для
упрощения и ускорения расчетов все эти характеристики также
целесообразно рассчитать заранее и включить в состав базы
данных.
Использование моделей облачности. Как указывалось выше, при
решении различных прикладных задач должны использоваться
различные модели облачного покрова из числа рассмотренных выше.
Выбор конкретной модели должен осуществляться с учетом
особенностей решаемой задачи, таких, как:
• тип наземного объекта, применительно к которому
решается задача наблюдения - площадной или точечный;
• число наблюдаемых объектов - один, несколько или
большое число;
• расположение объектов на земной поверхности - в пределах
сравнительно малой территории, соизмеримой по размерам
с размерами района осреднения, на обширной территории
или в глобальных масштабах;
• величины интервалов времени между наблюдениями -
большие интервалы, превышающие время корреляции об-
114

2.5. Модели факторов внешней среды
лачных процессов; интервалы в пределах времени
корреляции; непрерывное наблюдение;
• этап жизненного цикла спутниковой системы -
проектирование или долгосрочное планирование, оперативное
планирование;
• способ решения задачи — методом имитационного
моделирования или с помощью аналитической методики и другие.
Ниже рассматривается использование рассмотренных выше
моделей в некоторых наиболее характерных ситуациях.
Имитационное моделирование по методу Монте-Карло.
Результаты фактических наблюдений количества облачности над
районами осреднения в прошлом являются наиболее надежным
источником данных для анализа эффективности функционирования
спутниковой системы по методу Монте-Карло на этапе ее
проектирования или долгосрочного планирования работы системы,
поскольку эти данные не искажены никакими упрощениями,
неизбежными при построении той или иной статистической модели.
Для реализации имитационного моделирования на основе
ретроспективного подхода применительно к площадному объекту
большого размера необходимо представить этот объект в виде
совокупности районов, совпадающих с районами осреднения,
которые использовались в прошлом при обработке результатов
спутниковых наблюдений облачности.
Имитационное моделирование проводится, начиная с
некоторой произвольно выбранной начальной даты, на достаточно
длительном интервале времени в прошлом (5-10 лет или более).
Алгоритм имитации работы спутниковой системы должен
содержать в своем составе соотношение, характеризующее связь
между количеством облачности над районом осреднения B(t) в
момент наблюдения и результатом наблюдения. Это соотношение
может быть названо "функцией успеха" наблюдения:
Д(0 = Ф(Я(0),
где R(t) - переменная, характеризующая результат ("успех")
наблюдения объекта при количестве облачности B(t) над ним.
Например, если подлежащий наблюдению площадной объект
совпадает с одним из районов осреднения, то в качестве функции
115

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
успеха может быть использована следующая простейшая бинарная
функция:
(!, если *(,).*
' [0, если B(t) >Bcr
где R(t) = 1 v 0 ~ индикатор успешного или неудачного
наблюдения; Всг — максимальное количество облачности над объектом, в
присутствии которого наблюдение объекта еще может считаться
успешным.
Аналогичная функция успеха может использоваться и в
ситуации, когда площадной объект состоит из т районов осреднения,
попадающих одновременно в зону обзора бортовой съемочной
аппаратуры спутника. Но в этом случае должно рассматриваться
суммарное количество облачности над всеми районами
осреднения, попавшими в зону обзора. Это количество можно подсчитать
по формуле
т
*«* = мт—> (165)
где Stot = Y,S( - суммарная площадь всех районов осреднения;
Bt(t) — количество облачности над отдельными районами
осреднения Sj.
Если имитируется работа системы при наблюдении за
точечными объектами, то помимо имитации количества облачности B(t)
необходимо имитировать состояния бинарного поля облачности
u(t) над этими объектами, используя при этом данные о
количестве облачности над районом осреднения, в пределах которого
объекты располагаются, в момент наблюдения. Имитация может
осуществляться с помощью следующего рандомизированного
алгоритма, вытекающего из гипотезы о малых независимых элементах
облачности, обсуждавшейся выше:
116

2.5. Модели факторов внешней среды
, ч Г1, если RAND < 0.15(0
u(t) = < , (2.66)
[О, если RAND>OAB(t)
где RAND - реализация случайного числа, распределенного
равномерно на интервале [0, 1].
Бинарная функция успеха в этом случае противоположна
состоянию бинарного поля облачности:
fl, если и = 0
R(t) = \
[0, если и = 1
Основную проблему при реализации имитационного
моделирования с помощью изложенных алгоритмов составляет организация
быстрой выборки результатов спутниковых наблюдений
облачности в прошлом из базы данных.
Значительно быстрее имитационное моделирование количества
облачности над районом осреднения по методу Монте-Карло
можно провести, используя статистическую модель. Если пролеты
спутника над наблюдаемым районом происходят с интервалами,
превосходящими время корреляции облачности для этого района,
то можно воспользоваться моделью количества облачности в
моменты пролетов в виде абсолютно случайной последовательности.
Для статистического описания этой последовательности
используется гистограмма состояний процесса.
Если pk, к = 0,10 — частоты 11 дискретных состояний
количества облачности Bi9 / = 0,10, совместно образующие гистограмму
процесса B(t), то случайное значение этого процесса B{tt) в
момент очередного пролета спутника над районом tt разыгрывается с
помощью следующего рандомизированного алгоритма:
Д(/,) = Вт, если RAND € [Pm.h Pm ],
117

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
т
где RAND — случайное число; Рт - £/?*, т = 0,10 — значения
статистической функции распределения, соответствующие
гистограмме рк, к = О,10; причем Р_} = 0.
Состояние бинарного поля облачности u(t) над точечным
объектом при данном его количестве B(t() моделируется аналогично
тому, как это делается при имитации на основе ретроспективного
подхода.
Использование марковской модели. Более точная имитация
изменений состояний количества облачности над районом
осреднения по времени (по сравнению с гистограммным методом),
особенно при коротких интервалах между наблюдениями, достигается
с использованием модели в виде марковского процесса с
дискретными состояниями и непрерывным временем.
Имитация может осуществляться на основе двух различных
алгоритмов, основанных на использовании свойств дискретного
марковского процесса.
Алгоритм моделирования с непрерывным временем обеспечивает
имитацию количества облачности над районом осреднения
непрерывно во времени.
Процедура имитации состоит из двух этапов, выполняемых
поочередно:
- розыгрыш продолжительности г, текущего дискретного
состояния Bi9 i = l, 3 процесса;
- розыгрыш нового дискретного состояния процесса,
следующего за текущим состоянием.
Первый этап реализуется с помощью следующего
рандомизированного алгоритма:
т(=—In RAND , (2.67)
где аи - диагональный элемент матрицы интенсивностей А
дискретного марковского процесса B(t), соответствующий текущему
118

2.5. Модели факторов внешней среды
состоянию процесса Bt\ RAND - случайное число, равномерно
распределенное на интервале [0, 1].
Алгоритм розыгрыша (2.67) соответствует экспоненциальному
распределению р(г7),/ = 1,3 длительности /-го состояния
дискретного марковского процесса:
/Кг|) = т—техр^г,-), / = 1,3. (2.68)
К/1
На втором этапе разыгрывается переход из текущего состояния
процесса к какому-либо новому с использованием одношаговых
вероятностей перехода:
^=Г7> *J = i> У = й, i*h (2.69)
где / и j - номера текущего и нового состояний процесса
соответственно.
Алгоритм имитации с дискретным временем. При имитации
функционирования спутниковой системы достаточно знать
состояния облачности в дискретные моменты пролетов спутника над
районом. Если спутник движется по солнечно-синхронной орбите,
состояние облачности над районом требуется имитировать 1-2 раза
в день в местный полдень или другой близкий к нему момент
местного времени, когда спутник пролетает над районом. В подобных
ситуациях целесообразно перейти к модели процесса в виде
дискретной цепи Маркова. Эта модель описывает переходы процесса
между его возможными дискретными состояниями Bi9 /=1,3 в
дискретные моменты времени, соответствующие заданному
интервалу robs. Как указывалось выше, характеристикой марковской
цепи является матрица вероятностей переходов Q{robs) = [#7у(гоб5)1 .
Эта матрица может быть получена путем интегрирования
уравнения Колмогорова (2.60) до интервала г = robs .
Моделирование состояний марковской цепи осуществляется с
использованием следующего рандомизированного алгоритма:
119

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
B(tM ) = BJ9 если RAND e [Pi>H,P(J], i, J = 1, 3, Pifi = 0, (2.70)
где / — номер состояния цепи в текущий момент пролета
спутника; Pij(Tobs), 7 = 1,3 - значения функции распределения
вероятностей, соответствующей / -ой строке матрицы вероятностей
перехода Q(robs):
Pij(*obs)= Z<lij(Tobs)> У = й, (2.71)
где RAND - равномерно распределенное случайное число.
Аналитические методики. Анализ эффективности
функционирования спутниковой системы методом Монте-Карло обычно
проводится на завершающих этапах проектирования системы и при
долгосрочном планировании ее работы, когда все основные
характеристики системы и возможные объекты наблюдения известны
достаточно точно. На этапах формирования требований к системе
и предварительного анализа эффективности ее функционирования
можно воспользоваться более простыми и грубыми методиками
аналитического расчета показателей эффективности
функционирования системы с учетом облачности как помехи. Некоторые из
таких методик рассматриваются ниже применительно к точечным и
площадным объектам.
Использование модели облачности в виде абсолютно случайного
поля. С помощью описанной выше простейшей модели поля
облачности и(Л, <р, t) в виде абсолютно случайного поля по времени
и пространству можно решать задачи априорного анализа
эффективности функционирования спутниковых систем при помехах
наблюдению, создаваемых облаками, применительно к точечным
объектам наблюдения. Используя единственную характеристику
модели - Р(и = 1) = тв = const, можно по формуле независимых
испытаний [8] рассчитать вероятность хотя бы одного успешного
(при и = 0) наблюдения точечного объекта при п попытках
(пролетах спутника):
120

2.5. Модели факторов внешней среды
^-=1-^, (2.72)
Вероятность успешного получения т снимков при п
попытках равна
Р"=С™-Р£'Р1п-т\ (2.73)
где
P0=l-Px; С*=л!/(«Кл-т)!). (2.74)
Эти же формулы могут быть использованы для определения
вероятности хотя бы одной успешной съемки одного или т
точечных объектов из общего их числа п, расположенных в пределах
одной и той же зоны однородности облачного покрова. Результат
расчета не зависит от того, как проводятся наблюдения:
одновременно или в различные моменты времени. Аналогичные
соотношения могут быть применены при различных значениях
Р(и = 1) = тв * const (в различные моменты времени над одним
точечным объектом с учетом суточных изменений состояния
облачного покрова или над различными объектами вдоль трассы
полета спутника).
Расчет вероятности хотя бы однократного успешного наблюдения
площадного объекта. В этой методике используется модель
облачности в виде дискретного марковского процесса. Получаемые
решения вытекают из результатов теории марковских процессов [45].
В качестве показателя эффективности функционирования системы
рассматривается вероятность хотя бы одного успешного
наблюдения заданного района за заданный общий период наблюдений.
Предположим, что наблюдение объекта, площадь которого
равна (или близка) площади осреднения, считается успешным, если
произошло при состоянии 2?! =0 + 2 баллов, то есть в функции
успеха (2.64) Всг = 2 баллам. Наблюдение осуществляется на
протяжении суммарного периода времени Т дискретно с
периодичностью robs или непрерывно (т.е. при тоЬ$ =0). Требуется определить
121

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
вероятность Р*1 хотя бы однократного успешного наблюдения
объекта за заданный период Т.
Непрерывные наблюдения. В случае непрерывных наблюдений
(например, с помощью геостационарного спутника) искомую
вероятность можно определить следующим образом.
1. Рассматриваем состояние Вх, благоприятствующее
наблюдению, в качестве поглощающего состояния. Для этого
интенсивности переходов а12 и а13 в матрице А полагаем
равными нулю. Новую матрицу обозначим как А*.
2. Для процесса B*(t) с поглощающим состоянием J5*
составляем уравнение Колмогорова для вектора Р*
безусловных вероятностей состояний
dt
(2.75)
3. Интегрируем уравнение (2.75) до t-T, рассматривая в
качестве начальных условий вектор P*(0) = P = [jF|]3
безусловных вероятностей состояний. Первый элемент вектора
Р*(Т) и есть искомая вероятность Р^1 = р*(Т).
11Г
0,8
о,в-Ц-
0,4
0,2
шш
0 1 234 5678 9 10 11 12
сутки
D Вероятность хотя
бы однократного
благоприятного
состояния
Рис. 2.15. Зависимость вероятности хотя бы однократного успешного
наблюдения площадного объекта от суммарной продолжительности его
непрерывного наблюдения с учетом облачного покрова
В качестве примера на рис. 2.15 показана зависимость Р*1(Т)
для района осреднения в зоне однородности 10 на территории Рос-
122

2.5. Модели факторов внешней среды
сии в зимний сезон, рассчитанная с использованием матрицы
Awini, приведенной в (2.63). Как видно из графика, чтобы успешно
провести наблюдение района с вероятностью 0.95, район должен
наблюдаться непрерывно на протяжении 5 суток. Чтобы указанную
вероятность увеличить до 0.997, общий период непрерывных
наблюдений необходимо удлинить до 11 суток. Кривая Р*1 (Т),
соответствующая случаю robs «0 непрерывных наблюдений,
устанавливает теоретический предел (минимальное значение)
продолжительности наблюдений района, обеспечивающей успешную съемку
района за этот период хотя бы раз с заданной вероятностью. При
дискретных наблюдениях с периодичностью robs > 0 эта
продолжительность будет только больше.
Дискретные наблюдения. Если наблюдения района осреднения
проводятся с регулярной периодичностью robs > 0, то состояния
дискретного процесса B(t) в дискретные моменты /,- образуют
цепь Маркова. Как указывалось выше, матрицу Q\?0bs)
вероятностей перехода, описывающую эту цепь, можно рассчитать,
интегрируя уравнение Колмогорова (2.60) до r = robs.
По аналогии со случаем непрерывных наблюдений задачу о
хотя бы однократном пребывании марковской цепи B(t() в
состоянии Вх за заданное число шагов т можно решить, рассматривая в
этой цепи состояние Вх поглощающим, т.е. перейдя от матрицы
Q(Tobs) K матрице Q*(Tobs), положив вероятности перехода
Ч\г(?оЪз) и Я\Ж*оЬ*) Равными нулю.
Для цепи Маркова вектор Р* вероятностей состояний после т
шагов вычисляется с помощью соотношения:
P\m) = p[Q\Tobs)f, « = 1,2,..., (2.76)
где Р — вектор безусловных состояний цепи. Первый элемент
Р\(т) вектора Р*(т) есть искомая вероятность Р*1(т).
123

2 Моделирование спутниковой системы мониторинга
Зависимости суммарной продолжительности дискретных
наблюдений Т = (т- \)robs от периодичности наблюдений robs,
рассчитанные при разных f}"1 для района осреднения в зоне
однородности 10 в зимний сезон, показаны на рис. 2.16. Как видно из
графиков, чтобы провести наблюдение района хотя бы раз при
В = В{, пролетая над ним с периодичностью robs = 3 суток, с
вероятностью 0.99, необходимо проводить наблюдения в течение
Г = 54 суток, то есть сделать т = 19 попыток. При robs=l сутки
потребуется наблюдать Г = 21 суток (22 попытки).
| 60.00 -,
I
0.00
1.00 2.00 3.00
Периодичность наблюдений, суток
Рис. 2.16. Зависимость суммарной продолжительности наблюдений от
периодичности наблюдений для реализации хотя бы одного успешного
наблюдения с заданной вероятностью Р = Р*
Прогнозирование состояний облачного покрова. На этапе
оперативного планирования наблюдений необходимо осуществлять
прогнозирование состояния облачного покрова над объектом на
момент возможной съемки в ближайшем будущем с учетом его
состояния над объектом в момент составления плана и интервала
124

2.5. Модели факторов внешней среды
времени трг, разделяющего эти два момента. Такое
прогнозирование может быть детерминированным или вероятностным.
Например, если интервал трг достаточно мал (несколько
часов), можно применить простейший детерминированный прогноз,
предположив, что состояние облачности над объектом в момент
пролета спутника совпадает с его состоянием в момент составления
плана.
Более точного результата можно достичь, воспользовавшись
прогнозом, осуществляемым специализированными
метеослужбами. Если же прогнозные данные метеослужб по той или иной
причине отсутствуют, а простейший детерминированный подход
представляется слишком грубым, то в пределах времени корреляции
облачных процессов (то есть на интервалах до 3-5 суток) можно
применить вероятностное прогнозирование с помощью
математической модели облачности в виде дискретного марковского
процесса. Результатом вероятностного прогнозирования является
условная вероятность состояния Вх над районом наблюдения на
момент пролета спутника.
Предположим, что облачный покров над некоторым районом
осреднения в момент t находится в состоянии Bt(t). Требуется
определить вероятность состояний Вх спустя трг суток после
момента t, где трг > 0 - любой заданный интервал.
Для получения решения определяем, в какой зоне
однородности в рассматриваемый сезон располагается район. Используя
матрицу интенсивностей А, соответствующую этим данным,
интегрируем уравнение Колмогорова (2.60) до заданного трг. В результате
получаем матрицу вероятностей перехода Q(rpr), элемент qn(Tpr)
которой есть искомая вероятность.
Если интервал прогноза трг превосходит интервал корреляции
ткор процесса B(t) в рассматриваемой зоне однородности, то
условная вероятность Яц(трг) совпадает с безусловной вероятностью
этого состояния Рх, то есть прогнозируемая вероятность состояния
125

2. Моделирование спутниковой системы мониторинга
Вх процесса не зависит от состояния облачности над районом в
момент составления плана.
Методика использования марковской модели облачности для
оптимизации числа многократных попыток наблюдения объекта
при помехах наблюдению, обусловленных облачным покровом, на
этапе оперативного планирования наблюдений, изложена в [61].

3. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СПУТНИКОВЫХ СИСТЕМ МОНИТОРИНГА
В настоящей главе излагаются методы проектирования
спутниковых систем мониторинга. Используются концепция системного
проектирования и модели спутниковых систем, изложенные ранее.
3.1. Постановка задачи
Как указывалось ранее, задача проектирования спутниковой
системы мониторинга состоит в совместном выборе параметров
орбитальной группировки (численности спутников и их орбитальных
параметров), параметров спутника (массогабаритных характеристик
спутника с учетом его надежности), параметров основных бортовых
систем (включая аппаратуру наблюдения, систему коррекции и
ориентации, бортовое запоминающее и передающее устройство) и
алгоритмов управления орбитальной структурой (на этапах
развертывания, поддержания и восполнения системы).
Рассмотрим простейшую постановку задачи, полагая, что
спутниковая система состоит из однотипных спутников.
Введем в рассмотрение вектор проектно-баллистических
параметров:
F = {N,X9Me,r>f}, (3.1)
где N - численность спутников в системе, X - орбитальные
параметры спутников, Мс - вектор массы спутника,
характеризующий распределение массы между бортовыми системами
(аппаратурой наблюдения, системой коррекции, "резервными системами"
ДР-)> у ~~ угол обзора, / - фокусное расстояние аппаратуры
наблюдения.
Введем также вектор управления
U = {uw,Uw }, (3.2)
127

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
состоящий из двух компонент, которые соответствуют управлению
поддержанием орбитальных параметров фуппировки (коррекцией)
U^ и восполнением системы за счет вновь выводимых на орбиту
спутников С/'*'.
Возможны две постановки задачи: задача максимизации
целевой эффективности Э и задача минимизации затрат С .
Первая задача состоит в выборе проектно-баллистических
параметров спутниковой системы F* и управления ею в процессе
функционирования U* из условия обеспечения максимальной
эффективности Э* в течение всего полета при ограничении на
стоимость системы С
{F*,t/*}=arg{3(F,t/)-^max, C(F,£/)<C, FeGF, UeGv .(3.3)
Здесь через GF , Gy - обозначены допустимые множества всех
проектно-баллистических параметров и управлений
соответственно.
Физический смысл офаничения UeGv связан с
располагаемым запасом рабочего тела на коррекцию, с пропускной
способностью наземных средств запуска ракет-носителей при восполнении
созвездия и т.п.
Офаничение F eGF учитывает технические и физические
ограничения, связанные с характеристиками собственно спутниковой
системы, а также внешней среды. Это, в первую очередь,
возможности ракет-носителей и стартовых комплексов, наземных систем
управления, приема и передачи информации и т.п. Важную роль
могут ифать офаничения на внешние условия (солнечная
освещенность, облачность и т.п.).
Вторая задача заключается в обеспечении заданного уровня
эффективности Э в течение всего полета при минимальных
затратах. Математически задача проектирования состоит в выборе
параметров системы F* и управления U* из условия:
{F*,[/*}=arg{c(F,[/)-^min,3(F,[/)<3, FeGF,U^Ga } . (3.4)
128

3.1. Постановка задачи
Задачи достаточно сложны. Они имеют высокую размерность,
математическая модель системы с учетом динамики и управления
описывается нелинейными уравнениями, часть переменных носит
целочисленный характер. Ограничения на эффективность должны
выполняться в любой момент времени. Ниже обсуждаются
возможные пути преодоления этих трудностей. Для определенности в
качестве базовой рассматривается вторая задача.
3.2. Итерационный подход к проектированию спутниковой
системы
Одним из наиболее распространенных подходов к решению
сформулированных задач, безусловно, является метод
последовательных приближений, использующий принцип "от простого к
сложному". Согласно этому методу проектирование спутниковой
системы предполагается проводить в несколько этапов (итераций),
используя на каждой последующей итерации все более точную
модель системы. Ниже излагается один из возможных подходов к
формированию таких приближений [19].
В первом приближении спутниковая система рассматривается
как идеальная. Предполагается, что возмущающие факторы
(погрешности выведения, отказы, ошибки исполнения коррекций и
др.) отсутствуют. Нет эволюции системы. Нет потребности в
управлении. Предполагается также, что параметры спутников и
бортовой аппаратуры известны. В этом случае задача
проектирования спутниковой системы сводится к выбору параметров
орбитальной группировки из условия обеспечения требуемой целевой
эффективности. Таким условием может быть, например, условие
выполнения требований к периодичности наблюдения заданного
района. Стоимость системы в этом случае будет определяться
численностью спутников в системе.
Решение задачи на данном этапе практически соответствует так
называемому "классическому" подходу к проектированию
спутниковой системы, когда чисто из геометрических соображений
определяется так называемая "минимальная структура" орбитальной
группировки, т.е. структура, содержащая минимально необходимое
для наблюдения заданного района с требуемой периодичностью
129

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
количество спутников (без учета возможного резервирования и
необходимости восполнения системы в процессе ее эксплуатации).
На втором этапе при оценке эффективности спутниковой
системы кроме требований к периодичности учитывается еще и
требование к пространственному разрешению космической
информации. Так как выполнение последнего связано с параметрами
аппаратуры наблюдения, то задача проектирования спутниковой
системы теперь формулируется как задача совместного выбора
параметров орбитальной группировки и параметров аппаратуры
наблюдения. По-прежнему должны быть выполнены требования к
периодичности наблюдения заданного района. В качестве критерия
оптимальности на данном этапе может также выступать количество
спутников в системе или стоимость группировки непосредственно.
На третьем этапе предлагается учесть влияние изменения
численности в системе за счет возможных отказов спутников и
соответствующего восполнения системы. К задаче предыдущего этапа
добавляется задача о распределении массы спутника между
аппаратурой наблюдения и резервными системами, а также задача выбора
управления численностью спутников.
Наконец, используя полученные приближения, можно перейти
к задаче проектирования спутниковой системы в полной
постановке, рассматривая ее как задачу совместного выбора параметров
орбитальной группировки (количества спутников и их орбитальных
параметров), параметров спутника (массогабаритных характеристик
спутника с учетом его надежности), параметров основных бортовых
систем (включая аппаратуру наблюдения) и алгоритмов управления
орбитальной структурой (на этапах развертывания, поддержания и
восполнения системы).
Подробно каждое приближение будет рассмотрено ниже на
конкретных примерах. Здесь подчеркнем лишь, что количество
приближений (итераций) может быть иным. Важно, чтобы каждое
из приближений давало полезную информацию для принятия
предварительных решений по определению облика системы на
различных этапах проектирования и могло быть использовано для
получения решения на последующих итерациях.
130

3.3. Геометрический метод выбора структуры орбитальной группировки
3.3. Геометрический метод выбора структуры орбитальной
группировки
Итак, спутниковая система рассматривается как идеальная.
Возмущающие факторы отсутствуют. Эволюции орбитальной
группировки нет. К системе предъявляется единственное требование,
имеющее чисто геометрический смысл - наблюдение заданного
района с требуемой периодичностью. Именно такой подход в
течение многих лет развивался различными российскими и
зарубежными авторами и теперь по праву называется "классическим".
Ниже представлен краткий обзор основных результатов,
полученных в рамках этого подхода.
Рис.3.1. Полоса непрерывного покрытия в одной орбитальной плоскости
Метод покрытия полосами обзора. В основе этого метода лежит
идея покрытия поверхности Земли полосами обзора, которые
формируются зонами обзора спутников, расположенных на круговых
орбитах одинаковой высоты и наклонения (рис.3.1). Задача состоит
в определении количества таких полос, а, следовательно, и орби-
131

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
тальных плоскостей и количества спутников в каждой плоскости,
необходимых для зонального или глобального покрытия. Людерс
[59] получил решение этой задачи для однократного зонального
обзора. Достаточно подробно эта задача рассматривается также Ба-
риновым К.Н. и Мамоном П.А. в [4]. Райдер [68] развил этот
метод, получив аналитическое решение задачи многократного
зонального покрытия.
Результаты использования метода покрытия полосами обзора
показали, что если район наблюдения расположен на низких или
средних широтах, то оптимальная группировка будет состоять из
наклонных орбит с равномерным распределением восходящих
узлов на интервале в 360°. Бест [49] и Райдер [68] показали, что для
покрытия зоны на высоких широтах, в том числе и для
глобального обзора, предпочтительно созвездие на полярных орбитах с
узлами, равномерно распределенными на интервале 0-ь180°.
Полярные орбиты требуют меньшего числа спутников, чем наклонные
орбиты на тех же самых высотах.
В дальнейшем было установлено, что в оптимальной
"полярной" структуре, состоящей из Р орбитальных плоскостей,
направление движения спутников в (Р-\) полосах должно быть
одинаковое, а в одной - противоположное. Если спутники в
соседних полосах одинаково фазированы по аргументу широты, то
полоса обзора одной плоскости может перекрывать полосу обзора в
соседних плоскостях. Оптимальное фазирование спутников в
соседних плоскостях позволяет увеличить сдвиг между этими
плоскостями. В таком случае сдвиг по долготе восходящего узла может
быть больше, чем 180°/Р. Такое созвездие несимметрично, но
содержит меньшее число спутников.
Метод Можаева-Уолкера. Этот метод впервые был предложен
Можаевым в [30] и Уолкером [70]. Рассматривается случай, когда
орбиты всех спутников имеют одинаковую высоту и наклонение, а
сами спутники внутри каждой плоскости распределены
равномерно. Задача выбора параметров орбитальной структуры решается как
обратная задача определения таких орбитальных параметров, при
которых заданное количество спутников решало бы поставленную
задачу на минимально возможной высоте. В дальнейшем этот
метод получил развитие [70] для выбора параметров группировки
132

3.3. Геометрический метод выбора структуры орбитальной группировки
глобального непрерывного (одно- и многозонного) обзора при
равномерном расположении спутников по аргументу широты.
Согласно методике Уолкера спутниковая группировка
описывается параметрами TIPIF и /, где Т -полное число спутников в
группировке, Р - число орбитальных плоскостей, F — параметр,
характеризующий относительное фазирование, i — наклонение
орбит, одинаковое для всех спутников.
Аргумент широты каждого спутника определяется из условия,
что TIP спутников в каждой плоскости распределены
равномерно. Восходящие узлы Р орбитальных плоскостей равномерно
распределены на интервале 0-ь360о. Параметр фазирования F
характеризует сдвиг положения спутников в соседних плоскостях, т.е.
межорбитальное фазирование, при этом единица F равна 360°/ Т.
3.4. Орбитальная группировка для непрерывного глобального
обзора
Рассмотрим возможность применения метода покрытия к
задаче непрерывного глобального обзора с минимальным числом
спутников [19]. Метод учитывает специфику накрытия на различных
широтах для орбит с наклонением 0 < |ij < 90° и основан на
следующих положениях:
- орбиты всех спутников - круговые с высотой Н и
наклонением i;
- спутники группируются в т плоскостях по п спутников в
каждой плоскости;
- распределение плоскостей по долготе восходящего узла Q и
спутников в каждой плоскости по аргументу широты
равномерное;
- углы обзора бортовой аппаратуры наблюдения у У всех
спутников одинаковые.
Излагаемый подход может быть применен как для круговой,
так и "щелевой" зоны обзора сканирующей аппаратуры
наблюдения.
Земля считается сферой радиуса R3. Спутник обозревает на
поверхности Земли область, представляющую собой сферический
133

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
сегмент (рис. 3.2), размеры которого характеризуются центральным
углом <р3 , определяемым соотношением:
<р3 = arcsin
Ro +H
\
ср3 = arccos
R3
R3
sin/
R3+H _
- у , если — < 1
R3
Ro+H
\*з
R3+H л
если — >1
R*
(3.5)
Условие непрерывности и глобальности обзора Земли
предполагает, что в любой момент времени любая точка земной
поверхности с координатами географической долготы Я е [0,2я] и
широты 1//е[-7г/2,я/2] принадлежит зоне обзора хотя бы одного j-ro
спутника.
Аи=2а
Рис.3.2.3она обзора Рис.3.3. Полоса обзора
Если спутники, расположенные равномерно в одной плоскости,
имеют сдвиг по аргументу широты Аи<>2<р3 (рис.3.3), то их зоны
обзора формируют полосу обзора шириной 26. Если Aw = 2<р3, то
полоса обзора вырождается в линию сплошного обзора. В общем
случае для определения Ъ можно воспользоваться формулой
. cose?? Дм
coso = —, где а- —.
cos a 2
(3.6)
134

3.4. Орбитальная группировка для непрерывного глобального обзора
Если в плоскости имеется п спутников, то а можно
определить как
а-я In. (3.7)
Следовательно, при п -> оо ширина полосы Ь-><р3.
Зависимость n(b) с учетом целочисленного характера п представлена на
рис 3.4 (для ср3 =60°).
Из нее видно, что для значений ширины полосы обзора
Ъ « ср3 количество спутников в плоскости п остается постоянным
при достаточно большом диапазоне изменения Ъ. При Ь-хр3
значение п начинает быстро возрастать, стремясь к со. Диапазон
возможного изменения п определяется как (я/<р3)<п<оэ .
Количество плоскостей в созвездии т также является
функцией ширины полосы обзора, т.е. т=т(Ь). Эта зависимость для
наклонных орбит достаточно сложна, и она будет рассмотрена в
дальнейшем. Здесь же для иллюстрации характера зависимости
m(b) воспользуемся соотношением, справедливым для полярных
орбит [4]:
я я
т = —, если целое
2Ъ 26
(3.8)
+1, если дробное.
2b F
т = ent\
я
2Ь
где ent [.] — целая часть числа.
Эта зависимость также представлена на рис. 3.4. Она наглядно
иллюстрирует, что при b^xp3 имеем т -> я/2ср3 , а при & -> 0
имеем аи->оо.
Зависимости n(b) и m(b) имеют прямо противоположный
характер и являются монотонно возрастающей и монотонно
убывающей функциями соответственно. Отсюда следует, что функция
численности спутников N(b) =mxn в зависимости от ширины
полосы обзора имеет минимум.
135

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
m
20
15
1(Н
Ф =60°
—г~
10
—i—
20
30
40
—г—
50
>,град
Рис. 3.4. Зависимость численности спутников в системе N, числа
плоскостей т и числа спутников в плоскости п от ширины полосы обзора Ъ
Задача определения "минимальной" структуры орбитальной
группировки может быть сформулирована следующим образом: при
заданной высоте круговых орбит Н и угле обзора у найти такую
ширину полосы обзора Ъ , при которой численность спутников,
обеспечивающих глобальный непрерывный обзор, была бы
минимальной, т.е.
Wmin = N(m™n,nmin) = min(N = m(b)xn(b)). (3.9)
Здесь m(b) и h(b) - зависимости числа плоскостей и числа
спутников в каждой плоскости от ширины полосы обзора Ъ.
Наклонение всех орбит при этом одинаковое и определяется
как
|/*| = /г/2-^
(3.10)
Функция N(b), минимум которой должен быть найден,
является целочисленной. Для успешного решения задачи минимизации
обратимся к анализу свойств зависимостей m(b), n(b). Основная
136

ЗА. Орбитальная группировка для непрерывного глобального обзора
сложность связана с особенностями взаимного положения полос
обзора на разных широтах. Следует отметить, что впервые на этот
факт было обращено внимание в [19].
АХ*
а) цгО b) 0<^(i-b) с) (i-b)<y/:(i+b)
Рис.3.5. Положение полосы обзора на различных широтах
Проанализируем условия накрытия по широтам (см. рис. 3.5).
Полоса непрерывного обзора шириной 2Ь, сформированная
зонами обзора спутников, расположенными в одной орбитальной
плоскости с наклонением /, образует на каждой геоцентрической
широте у/ дугу непрерывного обзора АЯ^ , длина которой может быть
определена с использованием следующих соотношений:
ДД^ = <рх -ср2 = arcsin
siny/rcos/ + sin&
sin/- cos у/
- arcsin
sin у/ cos /-sin b
V
sin i- cos y/
для 0<y/<i-b (рис. 3.5, a,6);
. (3.11)
AAy, = 2cpx = 2 • arccos
sinycosz-sinZ?
smt-cosy/
А/^=360° для ^ = / + 6 = 90°.
для i-b<y/ <i + b;
137

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
На рис. 3.5 заштрихованы центральные углы, образованные
дугами ААу,. Минимальное требуемое для сплошного накрытия
данной широты у/ число плоскостей т¥ будет иметь место при
сдвиге плоскостей по долготе восходящего узла АО = АЛ^. Число
ihw зависит от угла /3\, который должен быть "покрыт" полосами
обзора, и длины дуги АД^ , т.е.
rhw = -^- +1, если -^- - целое . (3.12)
ААу, АЯу
Угол рх может быть определен из соотношений:
^ sin yr cos/-sin 6^
ft = 2{п - срх), <р} = arccos
sim cos у/ J
(3.13)
Поскольку d(pxldy/ <0, то ^(у) - функция убывающая,
минимум которой имеет место при у/х « —- и равен ^ = — . Следова-
тельно, 0\(у/) — возрастающая функция и ее максимум
соответствует той же широте у/х и равен /Зх = я*.
С другой стороны, АЛ^(^) - также возрастающая функция,
поэтому, судя по выражению (3.12), может существовать такая
широта ц?, на которой т¥ максимально, т.е.
"V = тг№>Мф) = max min"V .
Однако эта оценка, которая на первый взгляд представляется
гарантирующей глобальное непрерывное наблюдение, не
обеспечивает отсутствия разрывов на любой широте. Проанализируем
причину этого. Если принять количество плоскостей в системе равным
w^, то сдвиг между плоскостями по долготе будет равным
ДО^ = АЛр. Если у/ > О, то из геометрических условий, очевидно,
138

3.4. Орбитальная группировка для непрерывного глобального обзора
что ДЛу, < А/1^ = AQ ~ для у/ <у/ . Например, напомним известный
факт, что минимум ДЛ^ имеет место на экваторе, т.е. при у/ = 0.
Это означает, что на этих широтах будет иметь место разрыв в
накрытии земной поверхности. Во избежание этого, количество
плоскостей т гарантирующее отсутствие разрывов на любой
широте, необходимо определять из условия:
тахД(^)
т ■
¥
minAQ(^)
¥
AQ(^2*) AQ
если
A*
до*
целое
т = ent\
JL
AQ*
+ 2, если
JL
AQ*
дробное
(3.14)
Следовательно, задача определения минимального количества
плоскостей т состоит в определении широт у/х и у/2 и
соответствующих им значений рх * и AQ* из условий:
fix = Р\ (ф\)= тахР\ и" А^* = AQ(^2) = niinAO = minA/L, . (3.15)
¥ ¥ ¥
В том случае, когда (i + b) = /г12 , имеем fi*(yf\* = я/2) = /г
AQ* = AQ(^2 = 0) = АО0. Тогда выражения (3.14) примут вид:
m = +1, если целое,
АОп
т = ent\
AQn
я*
AQr
п
+ 2, если дробное
AQ0
(3.16)
Необходимо подчеркнуть, что сдвиг по долготе восходящего
узла между плоскостями равен при этом AQ0, а не АП = я/т. Та-
139

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
ким образом, алгоритм позволяет получить зависимость
минимального числа плоскостей от ширины полосы обзора т(Ь),
гарантирующего отсутствие разрывов в наблюдении на любой широте для
системы, построенной на наклонных орбитах.
Перейдем теперь к определению минимального числа
спутников в каждой плоскости п . Используя выражения (3.6) и (3.7), для
числа спутников в плоскости п можно записать:
arccos (cos q>3 /cos b)
Очевидно, что при прочих равных условиях п -> min, если
геоцентрический угол обзора ср3 -> max. Тогда значение числа
спутников п можно выбрать из условия
n{b) = min n(<p3,b). (3.18)
Таким образом, выражения (3.14) и (3.18) позволяют
определить зависимости числа плоскости т(Ь) и числа спутников в
плоскости h(b) и перейти к определению параметров
минимальной структуры Итт\ттт,пшп) из условия (3.9). Заметим, что
задача решается для заданной высоты орбиты, а другие орбитальные
параметры (наклонение /, долгота восходящего узла Q и аргумент
широты и) связаны с параметрами численности соотношениями
(3.6), (3.7), (3.10) и (3.14). В таком случае можно считать, что
определение Nmm\mmm,nmm) означает и определение орбитальных
параметров структуры Хтт.
Рассмотрим алгоритм определения параметров "минимальной"
структуры. Зависимости й(6), т(Ь), определяемые выражениями
(3.14) и (3.17), являются целочисленными. Специфика этих
зависимостей состоит в том, что для тех значений ширины полосы
обзора Ъ, при которых п меняется быстро, т меняется медленно, и
наоборот (см. рис. 3.4). Это позволяет упростить алгоритм поиска
оптимального значения Nmin = min(m x п) за счет сужения области
ь
140

3.4. Орбитальная группировка для непрерывного глобального обзора
поиска, а затем использовать один из методов оптимизации,
например, метод золотого сечения.
Процедура определения области поиска Nmm может быть
описана следующим алгоритмом (см. рис. 3.6).
Рис. 3.6. Диаграмма определения области поиска минимальной
численности спутников Nmm
1. Задаем Ь = <р3 и определяем минимально возможное
значение числа плоскостей wmin(6 = фъ).
2. Определяем наименьшее значение Ъ, при котором т = /wmin
(с учетом целочисленности). Это максимальное значение
ширины полосы обзора, которое имеет смысл, так как при
его росте до значения <р3 величина т не уменьшается, т.е.
Ьткк=ттЬ(т = тпАп).
3. Определяем соответствующее ширине bjmx значение
находим соответствующее ему значение
i v^min/ •
141

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
4. Задаем а = <ръ и определяем минимально возможное
значение птхМ = <Ръ)-
5. Определяем аналогично п.2, значение атах, при котором
п = «min > из Условия атах = тта(п = «min).
6. Определяем значение 6min , соответствующее атах, а по не-
муи wmax(6min).
п™" тт
1 1 1 1 1
О 400 800 1200 1600 2000 Н,км
Рис.3.7. Зависимость минимальной численности спутников от высоты в
системе непрерывного глобального обзора
Таким образом, определены границы возможного изменения
параметров:
b е Klin* ^maxL а е [amin> amaxJ >
й е [«mill > "max ]> * G [wmin, AWmax ],
142

ЗА. Орбитальная группировка для непрерывного глобального обзора
определяющие весьма суженную область поиска оптимального зна-
чения iVmin(6*)=(mmin,nmin)=min(nx/n) любым из выбран-
ъ
ных методов.
На рис. 3.7 в качестве примера представлены зависимости
Nmm(H), mmm(H), птт(Н) для предельных значений угла
обзора у=Гпр-
Итак, рассмотренный алгоритм позволяет выбирать параметры
"минимальной" структуры, гарантирующей непрерывный
глобальный обзор при минимальном числе спутников.
3.5. Формирование орбитальной группировки для
периодического наблюдения
Задача проектирования орбитальной группировки для
периодического наблюдения является более сложной, чем для
непрерывного наблюдения. Основная проблема состоит в трудности
получения аналитических алгоритмов для ее непосредственного решения.
Как правило, задача сводится к формированию возможных
альтернатив орбитального построения, анализу периодичности
наблюдения заданного района для каждого из вариантов и выбору
наилучшего среди них по некоторому критерию.
Центральным звеном анализа безусловно является расчет
периодичности наблюдения. Ниже представлены два алгоритма
расчета периодичности. Один из них основан на имитационном
моделировании орбитального движения спутников в группировке.
Именно такой алгоритм получил широкое распространение ввиду
его универсальности. Однако он связан с большим объемом
вычислений при получении статистик периодичности наблюдения.
Второй алгоритм предполагает использование аналитических оценок
для статистик периодичности, что существенно упрощает решение
задачи проектирования орбитальной группировки, по крайней
мере, на стадии предварительного проектирования.
Имитационный алгоритм расчета периодичности наблюдения.
Под периодичностью наблюдения точечной цели обычно
понимается интервал между ее последовательными наблюдениями. Перио-
143

3, Проектирование спутниковых систем мониторинга
личность наблюдения даже такой простой цели является сложной,
неоднозначной функцией, зависящей как от расположения точки
на поверхности Земли, так и от витка орбиты спутника. Если же
речь идет о наблюдении целого района, то периодичность
наблюдения можно толковать как квазислучайную величину, зависящую,
с одной стороны, от конкретной точки заданного района, а с
другой стороны, от интервала времени, на котором происходит
наблюдение. Поэтому в качестве характеристик периодичности в
этом случае могут быть использованы различные оценки,
например, максимальное, минимальное или среднее значение
периодичности наблюдения каждой точки или всего района на заданном
интервале наблюдения; вероятность того, что периодичность
наблюдения заданного района будет не ниже требуемой и т.п.
Рассмотрим алгоритм расчета периодичности наблюдения с
помощью имитационного моделирования, полагая, что орбитальная
группировка строится на геосинхронных орбитах.
Зададим район
наблюдения с помощью ее
границ: северной, южной,
западной и восточной
[у/с,у/ю,Л3\ЛВ } , а также
параметры аппаратуры
наблюдения - углы обзора
7ле%7пр (рис. 3.8).
Зона обзора аппаратуры
наблюдения ограничена
геоцентрическими углами
фТ* > ФзР > которые отсчи-
Рис.3.8. Зона обзора аппаратуры тываются от
подспутниковой точки (^3=0).
Будем считать, что точка земной поверхности с координатами
{у/, Л } накрывается на широте у/ зоной обзора, если на этой
широте выполняется условие (см. рис. 3.9)
А((рл3ев)<Л<Л((р%р).
144

3.5. Формирование орбитальной группировки для периодического наблюдения
ДХправ
Рис. 3.9. Полоса обзора
Будем полагать также,
что известны параметры
геосинхронности орбит
спутников, а именно,
число витков М и число
суток Nc за период
синхронности орбиты, высота
орбиты Н и наклонение
/, начальные значения
аргумента широты и0 и
долготы восходящего узла
орбиты Q0.
Алгоритм расчета периодичности наблюдения сводится к
следующему:
1. Определяются связанные с подспутниковой точкой
координаты зоны обзора аппаратуры для первого витка орбиты.
Для этого сначала вычисляют долготу подспутниковой
точки Я, расположенной на широте у/, используя уравнения
трассы
X = Q + arctg(tgucosi)-S + AQ--
у/ = arcsin(sin и • sin/)
где S = S0 +o)3\t-tSo) - звездное время на гринвичском
меридиане, 50 ~ звездное время в некоторую гринвичскую полночь
(из Астрономического ежегодника), tSo - время наступления
этой полуночи, / - текущее время полета, со3 = 7,2921 Ы(Г5 с"1
- угловая скорость вращения Земли, АО - прецессия узла
орбиты за один оборот, вызванная несферичностью Земли, для
круговой орбиты
АП = -Лс<ш7г2,где Л = 4,415196-105 км2.
145

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
Затем находим
Л[<рГ(и)] = Л-АА[<рГ(и))
Л[<р%р(и)] = А + АЛ[<р%р(и)]
2. Определяются последовательности расположения витков
орбиты каждого спутника на широте за период
повторяемости трасс, например, с помощью алгоритма, описанного в
[И].
3. Производится перебор всех точек района наблюдения с
координатами \А,у/) с некоторым шагом. Для каждой широты
у/ определяются координаты крайних точек полосы. Для
каждого спутника определяется последовательность витков,
в которой трассы спутника проходят по каждой широте. В
том же порядке располагаются и границы зон обзора,
каждой из них соответствует время tt =[Т-(щ?+ и/360°)]
накрытия данной точки (Я,^), где Т — период обращения
орбиты данного спутника, nt - номер витка этого
спутника, а и — аргумент широты спутника, зоной обзора
которого накрывается точка (Я,^).
4. Для каждой точки (Я,^) определяются моменты ее
наблюдения {*1,*2»'з»—»'|иЬ где m ~~ число моментов
наблюдений всеми спутниками в группировке. Моменты
наблюдения упорядочиваются и вычисляются интервалы времени
между последовательными наблюдениями
{^!,A/2,A<3»-^(m+l)}-
5. Определяются минимальное, максимальное и среднее время
между наблюдениями данной точки (Я,^), а также
вероятность того, что эти интервалы менее заданной величины
At:

3.5. Формирование орбитальной группировки для периодического наблюдения
A/m,n -minA/,., А/шах =maxA//
\ „+i ' (3.21)
А/[Д/] = -IA*,-
/и +1 /=i
/и+1
~"'" fl, если AL <A/
P(A;<A/) = -^—,ДЧ :.
(ifi + 1) [0, если А/,- > A/
6. Расчеты выполняются для всех точек заданного района.
Весь диапазон оценок периодичности наблюдения t
разбивается на М одинаковых интервалов, и для каждого
интервала, т.е. значения периодичности наблюдения
tm, т = 1,..., М , определяется соответствующая
вероятность того, что значение оценки периодичности t
(минимума, максимума или выборочного среднего) не хуже
значения ?т на этом интервале. Эта вероятность принята
равной относительному количеству тех точек района, где
данная оценка не хуже значения на этом интервале:
Л?*;.)-7]г1г?ЕА,А-{1-,М"^". (322)
(Nx • N¥) ЯеМх, [0, если t > tm
где NX)N¥ - размеры района наблюдения по широте и по долготе.
Ниже в качестве примера приведены некоторые результаты
расчетов характеристик периодичности для одного из вариантов
спутниковой системы, состоящей из четырех спутников: "Spot-4",
"ERS-2", "Ресурс-01" и "Океан-0". В качестве района наблюдения
был принят район, охватывающий Европу и Россию. Расчеты
проводились с помощью программного комплекса, описанного
подробно в последней главе данной книги.
На рис.3.10 показано визуально распределение минимального
времени между наблюдениями заданного района с использованием
аппаратуры наблюдения в видимом диапазоне при разрешении в
147

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
10м. В нижней части рисунка показано соответствие между
интенсивностью окраски участков района и значением периодичности.
|**''- Revisit Destifbutiori• Q|
Й"П
; Map
jj Criterion j
Ifcj
3
1
12
21
m
m
n
m
m
20
m
m
8
Ш
3
$>&;
*4
2
1 ^^м^ЙЬ^ШНВШ
1
Кц
1
23456789 10
0
Г:"
11
0
г
0
_
m
m
m
m
~
m
n
~
г
ш
M
AJ
^
Ш
■
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 28 27 28 29 30
Revisit Options j
| - Visible
- 10m I
Minimum
Maximum
I Mean |
.* -100m
. ■+■ 1000 m
> IRed
4 Radar !
3% j
Revisit Area. %
Revisit Days
Рис.3.10. Распределение периодичности наблюдения заданного района
На рис. 3.11 представлена функция распределения
периодичности наблюдения заданного района, характеризующая по существу
относительную частоту той или иной периодичности (при тех же
исходных данных), а на рис. 3.12 - плотность распределения
периодичности наблюдения.
Таким образом, алгоритм дает возможность всестороннего
исследования характеристик периодичности наблюдения заданного
района и получения ее оценок, которые успешно могут
использоваться для решения различных задач анализа и проектирования
орбитальной группировки.
Рассмотренный метод особенно эффективен для оценки
периодичности наблюдения спутниковыми системами, состоящими
из разных спутников с разнотипной аппаратурой. Его основной
недостаток - необходимость обработки большого массива данных
и достаточно большое время расчета.
148

3.5. Формирование орбитальной группировки для периодического наблюдения
Относительная
ч
ВС7
ESL
эта
EL
%
Щ
\Щ
1
1
й
\ш\
№1
1-1
К]
ц
ж
а
и
п?д
шх.
40
35
30
25
20
15
10
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Периодичность.сут
Рис. 3.11. Функция распределения вероятности периодичности наблюдения
с аппаратурой наблюдения в оптическом диапазоне
1,2 ^Ш
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
I г^1
Г"!
__
'•
"f
'*>
rf 4i
-\
0-1
2 3 4 5
Периодичность,сут
Рис. 3.12. Плотность (частота) распределения периодичности наблюдения
Аналитический алгоритм определения периодичности был
предложен Разумным Ю.М. [37] для геосинхронных орбит. Рассмотрим
его суть.
Предполагается, что орбиты спутников - одинаковые
геосинхронные с коэффициентами кратности mln (здесь п — число
суток, т - число витков за период геосинхронности). Число
спутников Nc, а также все их орбитальные параметры, включая
долготы восходящих узлов Qk и аргументы широты uk, £ = 1,...,NC,
известны. Задан угловой геоцентрический угол зоны обзора В.
149

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
В основе алгоритма определения периодичности лежит понятие
элементарного фрагмента повторяемости полосы обзора, что
позволяет сводить оценку моментов наблюдения широтного пояса к
их оценке для фрагмента повторяемости.
Левая граница фрагмента - это точка пересечения трассы
полета и данной параллели. Все т элементарных фрагментов
соответствуют т прохождениям данной параллели трассой полета за цикл
повторяемости трассы. Они принадлежат однородным участкам
инвариантности, связанным с потоком моментов наблюдений, их
протяженность имеет длину захвата широты полосами обзора
sx,s2,...,sx. Число участков инвариантности для одного спутника
определяется как
[2,|ф[1*-А**+£)
где <р - рассматриваемая географическая широта, /? - угловой
геоцентрический радиус мгновенной зоны обзора спутника.
Длина участков S определяется формулами:
S = { "' если0йх<и . (3.24)
[AL - и, если u<x<AL
Здесь AZ, = 2/r/m - межузловое расстояние, и - остаток деления
полного захвата а на межузловое расстояние AI, т.е.
и = a-Q&L,
где Q - целое число.
Полный захват а определяется как сумма левостороннего ал
и правостороннего аП захватов:
а = ап+ал.
150

3.5. Формирование орбитальной группировки для периодического наблюдения
а. = arcsin
sin/? + cos/sin $?
- arcsin
a» = arcsin
v sin г cos <p
f sin/? + cos/sin^
\
sin i cos <p
+ arcsin
tgi)
(3.25)
Nc спутников формирует множество элементарных фрагментов
Ek, k-\,...,Nc, последовательно пересекающих фиксированную
параллель (см. рис. 3.13). Относительное положение этих
фрагментов Ек , k = \,...,NKA однозначно определяется относительно
первого фрагмента:
Qt
■ Qk-^L = Qk-^, k = l...,N, (3.26)
2к
т
где ALMB = 2лп1т - межвитковый сдвиг трассы полета.
О',
П"и
gic^L
AL
AL
Рис. 3.13. Относительное положение элементарных фрагментов для
первого и к -го спутников
Последовательность границ элементарных фрагментов может
быть определена по формулам:
Яп =0, Я12 =Яц +Si,...9Xyx =Ayz-\ +sx-\
^21=^2,^22= A(A2! + ^ ),..., hX = A(*2%-1 + V-l)
A^j = QN, Адг2 = Д(Адг] + ^i),..., Л^ = A(ANx_x + .s^)
151

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
где А- функция приведения аргумента в интервале [o,Al].
Добавляя правую границу AL элемента Ех к массиву элементов
{Xkv}, £ = 1,..., N, v = l,...,2'. и упорядочивая Элементы по
возрастанию, получаем последовательность захватов ^,1 = 0,...,^.
Элементарные фрагменты захватов определяются следующим
образом:
s\ =A}-Aq, s2 =Л2-Л], szN = XxN - A>zN_i. (3.28)
Определим центр фрагмента Ц = (A,j_j + A.j)/2,1 = 1,..., %N , чтобы
найти поток наблюдений. Кроме центров Я, формируется
упорядоченный по возрастанию массив {Л£„}> & = 1,...,N_, v = l,...,^ с
соответствующими индексами v (Л^ <Л£2 ^-^^) •
Одновременно с ним формируется массив вариаций наблюдений {и^},
нумерация выглядит так: un =1,.U|2 =2,...,u^ = #. Номер v
вариации наблюдения для А: -го спутника вычисляется при
нахождении фрагмента с центром между границами Л^Д^»-.-,^ >
следующего за выбором соответствующего элемента из массива
В результате определяется последовательность наблюдений для
элементарного фрагмента при текущей геометрии созвездия.
Расчет функции распределения периодичности наблюдений. Как
следует из метода, представленного выше, для любой параллели
Rp, принадлежащей широтному поясу /?, может быть найдено
множество всевозможных последовательностей наблюдения
в = %NC. Число х всевозможных последовательностей для одного
спутника определяется по формуле (3.5). Максимальный интервал
между наблюдениями г/, / = 1,...,0, и размеры ^,/ = 1,...,0 для
элементарного фрагмента AL на параллели могут быть получены
из выражения (3.28).
Длина каждой последовательности наблюдения
пропорциональна вероятности периодичности наблюдения тх случайной точ-
152

3.5. Формирование орбитальной группировки для периодического наблюдения
ки г на элементарном фрагменте. Так как случайные события
Tr=rhreR(p, / = 1,...,в - несовместны и составляют полную
группу, вероятность их появления равна p^sj^/AL, / = 1,...,0.
Поэтому можно получить распределение случайной величины
Гг,геЛ^, представленной своими возможными значениями и
вероятностями их появления:
Заменим данный широтный пояс R = [<pmin, #>max ] конечным
числом у/ параллелей:
R = U Rp, <Р = {<Ртт =9\>92>->9¥= Фпмк } •
<р
Используя численный метод, определим длины захватов:
sihTu>Pa> i = l,..-,^, / = 1,...,0.
Теперь получена полная группа случайных событий, состоящих
в том, что случайная величина принимает одно из следующих
значений:
Fr=rl7,i = l,...,yr, / = 1,...,0. (3.29)
Принимая во внимание тот факт, что длина параллели
уменьшается с увеличением широты, вероятность ра события (3.29)
равна:
_ SgCOSCPj ¥ CQgfr
Рп - у - Рй ^ • lJ-iUJ
AL £ cos q>j JL cos Ф]
После упорядочивания по возрастанию значений
rihpini = 1,...,^,/ = !,...,# меняем соответствующие индексы:
153

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
г, <г2<тг<...<тх
рх,р2,ръ,...,рх ■ (3.31)
х=ув
Тогда функция распределения периодичности определяется как:
F(rr) = P(fr<rr) =
О, -oo<rr<ri,
Рь г,<гг<г2,
Р\+Р2> Г2<ГГ<Г3,
(3.32)
h
Т у < Тг < 00
и=
Аналитический метод расчета периодичности обзора обладает
очень высоким быстродействием в отличие от имитационного
метода. Это очень важно для решения задачи выбора оптимальной
орбитальной структуры, которая, как правило, решается методом
перебора, а потому требует больших расчетов.
Оценка эффективности спутниковой системы. Изложенные
алгоритмы расчета периодичности наблюдения заданного района
очень хорошо работают, когда нужна оценка эффективности
орбитальной группировки, включающей спутники и аппаратуру с
заданными характеристиками. Для примера приведем такие оценки
для системы, рассмотренной в предыдущем разделе, т.е. из
спутников "Spot-4", "ERS-2", "Ресурс-01" и "Океан-0", с известными
характеристиками аппаратуры. Для оценки эффективности прежде
всего должен быть известен состав целевых задач. В таблице 3.1
представлен перечень задач и требований к космической
информации, который рассматривается в примере.
Как следует из выражений (2.1) и (2.2), для оценки
эффективности необходимо оценить вероятность того, что выполняются
требования к наблюдению в заданном спектральном диапазоне Рх, к
пространственному разрешению РЛ ик периодичности наблюде-
154

3.5. Формирование орбитальной группировки для периодического наблюдения
ния Pt. При известных характеристиках аппаратуры определение
Рл сводится только к констатации факта, есть ли на борту
требуемая аппаратура или нет в соответствии с (2.5). Для расчета
вероятности PR проверяется условие (2.6) с использованием выражений
для пространственного разрешения аппаратуры соответствующего
типа (2.9). Оценка вероятности Pt для каждого типа аппаратуры
получена с помощью рассмотренного выше имитационного
алгоритма, реализованного в программном комплексе, описанном в
последней главе.
Таблица 3.1. Целевые задачи и требования к их выполнению
* ИК - инфракрасный
** РД — радиодиапазоны
155

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
В таблице 3.2 представлены результаты оценки эффективности
(решения) каждой из задач, а также полной их совокупности как
без учета, так и с учетом их коэффициентов важности.
Таблица 3.2. Эффективность спутниковой системы
Задача

Картографирование
лесов ,/■■:■■: .
Лесное
хозяйство

Океанография |
Сельское '■' ;;
хозяйство
Лесоводство

Землепользование
1 Мониторинг
наводнений
1 Водные
ресурсы
I Параметры
атмосферы
\ Суммарная т
Коэфф.
важности
0.06
0.06
0.10
0.14
0.20
0.08
ОМ
0.09
0.12
0.11
Требование/выполнение
диапазон/
выполнен
Вид/1.0
Вид/1.0
Вид/1.0
ИК/1.0
ИК/1.0
ИК/1.0
Рад/ЬО
Рад/1.0
Рад/1.0
Лид/0.0

разрешение/

выполнение
100/1.0
100/1.0
1000/1.0
10/0,0
100/1.0
1000/1.0
30/1.0
100/1.0
1000/1.0
10/0.0


дичность/

выполнение
7/ШО
14/1.000
4/0.780
3/0.984
30/1.000
2/0.050
2/0,237
14/1.0
1/0.005
2/0.000
ШШЫйЬйь ^, .v..;-,.::.,' \ J^^MLi,
Эф-
фек-
тив-
ность
1,000
1.000
0.780
1.0
1.000
0.050
0.237
1.000
0.005
0.000
'С<УЙ&{
Эффек-
тив-
ность с
коэфф.

важности
0.060
0.060
0.078
о.о ч
0.200
0.000
ода
0.090
0.000
0.000
\ШШк::^
В каждой графе, связанной с требованиями, приведены
данные об этих требованиях, а также вероятность их выполнения. Так,
например, требование к периодичности по сельскому хозяйству в 3
суток выполнено с вероятностью 0.51 (3/0.51). В графе
"Эффективность" приведены вероятности решения каждой задачи.
Из таблицы наглядно видно, что, например, задача, связанная с
определением параметров атмосферы, не может быть решена из-за
отсутствия на борту лидара (ноль в графе "диапазон"), а задача для
сельского хозяйства не может быть решена, так как аппаратура не
обеспечивает требуемого решения 10 м в ИК - диапазоне (10/0).
156

3.5. Формирование орбитальной группировки для периодического наблюдения
В таблице представлено также значение суммарной
эффективности решения полной совокупности целевых задач с учетом их
важности. Для рассматриваемого варианта спутниковой системы
мониторинга она оказалась равной 0.338, т.е. полный перечень
целевых задач может быть решен с вероятностью 0.338.
Такая оценка эффективности может быть основой для
сравнения различных альтернативных вариантов спутниковой системы
как в задачах анализа, так и при проектировании вновь
создаваемых систем.
3.6. Совместный выбор орбитальной группировки и
аппаратуры наблюдения
Геометрический подход к выбору структуры орбитальной
группировки предполагает определение ее параметров только из
условий наблюдения заданного района с требуемой периодичностью.
Угол обзора аппаратуры у, от которого также зависит выполнение
этих условий, предполагается известным и равным предельному.
На самом деле существует еще очень важное требование к
пространственному разрешению получаемых изображений. Его
выполнение зависит от высоты орбиты и фокусного расстояния
аппаратуры наблюдения. Даже если предположить, что параметры
аппаратуры, включая фокусное расстояние, известны, требование к
пространственному разрешению наложит дополнительное
ограничение на выбор высоты орбиты.
От высоты орбиты при выбранном носителе зависит масса
спутника, а следовательно, и масса, которая может быть отведена
под аппаратуру наблюдения. В свою очередь, от массы аппаратуры
наблюдения зависят такие параметры, как фокусное расстояние и
угол обзора. Так, с уменьшением массы аппаратуры угол обзора
уменьшается, что приводит к увеличению потребного количества
спутников в группировке для выполнения требования к
периодичности наблюдения. С другой стороны, при фиксированной массе
аппаратуры угол обзора уменьшается и с увеличением фокусного
расстояния. А чем больше фокусное расстояние, тем на больших
высотах возможно выполнение требования по разрешению.
Противоречивый характер зависимости количества спутников в
группировке, необходимого для одновременного выполнения тре-
157

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
бований по периодичности и разрешению, от значений фокусного
расстояния и угла обзора, ограниченных массой аппаратуры,
которая, в свою очередь, зависит от высоты, говорит о необходимости
совместного выбора параметров орбитальной структуры и
аппаратуры наблюдения.
Рассмотрим данную задачу подробнее.
По-прежнему будем полагать, что спутниковая система
является идеальной. Другими словами, возмущающие факторы не
принимаются во внимание, не учитывается и эволюция орбитальной
группировки.
За основу примем снова "минимальную структуру"
орбитальной группировки, содержащую минимально необходимое для
наблюдения заданного района с требуемой периодичностью и
требуемым пространственным разрешением количество спутников
дгтт
Выражение для стоимости системы как основного критерия
оптимальности в данной постановке имеет вид:
С = АП ——МусП + N™n[ceydMc + АтМу™ ], (3.33)
Здесь Мс - масса спутника, kan - относительная масса
аппаратуры. Для каждого носителя существует своя зависимость массы
спутника от орбитальных параметров, в данном случае Мс
Заметим, что, перебирая целый ряд носителей, можно определить
не только оптимальные параметры орбитальной группировки для
каждого из них, но и решить задачу выбора наиболее
эффективного носителя.
Вектор проектных параметров F включает в себя параметры
орбитальной структуры и аппаратуры наблюдения
F = {^min,Zmin,Mc,^,/,r} (3.34)
и ограничен областью возможных значений GF, определяемой
ограничениями в рамках рассматриваемой постановки, например, на
массу спутника, на угол обзора аппаратуры и другими.
158

3.6. Совместный выбор орбитальной группировки и аппаратуры наблюдения
В рассматриваемой постановке эффективность системы Э
зависит от выполнения требований к периодичности наблюдения
заданного района (tnep < tnep) и к пространственному разрешению
(R<R)
{3>3}=>{tnep<~tneP, R<R~}. (3.35)
Тогда задача проектирования спутниковой системы может быть
сформулирована как задача поиска оптимальных значений
параметров F из условия обеспечения минимума стоимости системы
при выполнении ограничений (3.35):
JF*}=arg{c(F)->min, 3(F)>3, FeGF }. (3.36)
Центральным вопросом в решении задачи является
определение параметров "минимальной" структуры - минимального числа
спутников Nmm и соответствующих орбитальных параметров
Хтт, при которых выполняются требования к системе. Ее
решение возможно на основе "классического" подхода, изложенного
ранее. Конкретный алгоритм решения зависит от назначения
спутниковой системы (периодический или непрерывный обзор). В
любом случае параметры "минимальной" структуры прежде всего
зависят от высоты орбиты и угла обзора аппаратуры. При заданной
высоте орбиты минимальное число спутников Nmm тем меньше,
чем больше угол обзора у .
Рассмотрим вопрос о выборе угла у .
Во-первых, на каждой высоте имеется предельный угол обзора
упр, превышение которого не приводит к увеличению размеров
зоны обзора на Земле. Из рис.3.14 видно, что этот угол
определяется условиями наблюдения по линии горизонта, т.е. по касательной
к поверхности Земли, и равен
159

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
где R3 — радиус Земли. Таким образом, предельный угол упр
является функцией высоты.
Во-вторых, при разработке аппаратуры наблюдения должно
учитываться ограничение на угол обзора, связанное с возможным
ухудшением разрешения к краю изображения. Если задано
допустимое относительное искажение kR, то согласно (2.11),
максимально допустимое значение угла обзора yR равно
yR = arcsin
L_ k .4.
*7' R" R
(3.38)
коэффициента искажения
kR « 34. При заданном
значении kR угол yR
является константой.
Возможности в
выборе угла у
ограничены также массой
аппаратуры Мап, которая
согласно (2.13)
определяется так:
мап =кудт?3 tan2 у.
Выбор значения
входящего в последнее
выражение фокусного
расстояния / должен
осуществляться, исходя
из требования к
пространственному разрешению. Используя выражение (2.9), получим:
Обычно
jri)
допустимое значение к
/h
N. \
Vv """"
Д\Л
Фз/ ^ч
Рис.3.14. Геометрия обзора Земли
/* =
я
~Rr„„
(3.39)
160

3.6. Совместный выбор орбитальной группировки и аппаратуры наблюдения
Тогда максимально допустимый угол обзора ум,
определяемый массой аппаратуры, может быть найден из выражения
tg2YM-Man^nt. (3.40)
М
С учетом обозначения кап = —— для относительной массы
Мс
аппаратуры, выражение (3.40) можно представить в виде:
tg2rM=kanMc^-. (3.41)
кпН
Напомним, что масса спутника для заданного носителя
является известной функцией высоты Мс(н). Масса аппаратуры будет
зависеть от того, какую часть массы спутника, задаваемую в
данном случае параметром кап, целесообразно выделить для
аппаратуры. Теоретически значение кап может изменяться в пределах от 0
до (1-&яс)> где кпс — относительная масса прочих систем. Для
спутников наблюдения кпс обычно лежит в пределах 0.2 -г 0.4.
Таким образом, угол ум зависит от высоты орбиты Н и
относительной массы аппаратуры. Характер этих зависимостей
представлен на рис. 3.15.
Иногда пользователями выдвигается требование к обзорности
получаемого изображения, т.е. к минимальной одновременно
наблюдаемой площади обзора S06 или ширине полосы обзора В. В
таких случаях существует минимально допустимое значение угла
обзора уоб, которое может быть определено из выражений:
Г*Гы>* *82Гоб=^*™ tgYo6=-^> (3.42)
7iHl 2H
Возможны и другие ограничения на угол обзора, например,
связанные с углом возвышения.
161

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
Учитывая сказанное, можно сформировать следующую область
Gy допустимых значений угла у :
Gr(H) = {y™=yo6(H),y™*--:
= тт[упр(Н\ ум(Я,kan,~R\ Yr])
1 Г
14 Ндыс.км
Рис. 3.15. К определению области допустимых значений угла обзора
аппаратуры
Как уже отмечалось, для фиксированной высоты орбиты угол
у должен быть выбран максимальным из допустимой области Gy
у = max(/ eGY).
(3.43)
На рис. 3.15 приведена в качестве примера область Gy(h) для
различных значений относительной массы аппаратуры кап.
Жирными линиями выделены максимальные значения угла у из Gy,
определяемой введенными офаничениями. Важно отметить, что
при этом одновременно формируются и ограничения на высоту
162

3.6. Совместный выбор орбитальной группировки и аппаратуры наблюдения
орбитальной группировки Я. Так, высота должна быть не менее,
чем Нтт, т.е. Я > Нтт, так как на меньших высотах требуемая
обзорность не может быть обеспечена без нарушения ограничения
на допустимые искажения, т.е. Yr<Yq6- С другой стороны, может
быть определена и максимальная высота Ятах, на которой может
быть построена система без нарушения рассмотренных выше
ограничений (Я°'ах для ^ =0.1, Я°'а5х для кап =0.5). При Н>Нгт
ограничение на массу аппаратуры не позволяет реализовать угол
обзора, требуемый по ограничению на обзорность, т.к. ум < уоб.
Алгоритм решения задачи проектирования спутниковой
системы в рассматриваемой постановке теперь сводится к
следующему.
1. Задаются значения относительной массы аппаратуры в
диапазоне капе\0, (l-#/7c)]- Варьируя значение высоты Я,
определяют область Gy(karnH) допустимых значений угла
обзора и зависимость у(кап9Н) из условия (3.43).
2. Находится зависимость минимального числа спутников
Nmm и соответствующих орбитальных параметров Xmm от
у(кап,Н) по одной из методик, изложенных в предыдущем
разделе.
3. Согласно выражению (3.33) определяется зависимость
стоимости системы от высоты орбиты и относительной массы
аппаратуры С(кап,Н).
4. Находится зависимость оптимальной высоты орбиты для
заданной относительной массы аппаратуры Н{кап) из
условия
Я(^) = аг§тшС/(^,Я)
н
и соответствующая зависимость С1(кап9Н(кап)) .
5. Находится минимум стоимости
163

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
С (kan) = mmC(kan,H(kan))
и соответствующие ему оптимальные значения параметров
орбитальной группировки и аппаратуры:
- относительной массы аппаратуры к*ап;
- высоты орбиты Я* = Н(к*ап);
- минимального числа спутников Nmm =Nmln(kan,H );
- орбитальных параметров созвездия Хтп (кап, Я );
- фокусного расстояния /*=/(//*);
- угла обзора у" = у{к*ап, Я*).
На рис. 3.16, 3.17
представлены
некоторые результаты
проектирования
спутниковой системы для
глобального непрерывного
обзора с
использованием изложенного
алгоритма. На рис. 3.16
представлены
зависимости минимального
числа спутников от
высоты для
предельного угла обзора
ЛГ'^.я), полу-
ченные в соответствии
с классическим
подходом и для угла обзора
у, выбранного с уче-
, , том упомянутых выше
ограничений, т.е.
N™n(y,H)- Они на-
140 ~
120-
100 ""
80
60
40
20
N
I
l\
N'
N
min
4_
X.)
к.,г°-3
N = (у)
и
1 1
1
Н
1 г
: 1
400
800
1200 1600 2000 И,К
Рис.3.16. Минимальная численность
группировки спутников без учета Nmm(ynp)
и с учетом ограничений N(y)
164

3.6. Совместный выбор орбитальной группировки и аппаратуры наблюдения
С»усл-ед
120 " %
100 Ч
80 -Г
глядно иллюстрируют влияние реальных ограничений, связанных с
массой аппаратуры и учетом требования к пространственному
разрешению. Если теоретически (без учета ограничений) минимальная
численность спутников уменьшается с ростом высоты, то реально
(с учетом ограничений), начиная с высоты Я = 1150 км она
начинает возрастать.
На рис. 3.17
r ыт,п
представлены
зависимости оптимальной
высоты орбиты Н,
минимальной
стоимости системы С и
минимального числа
спутников Nmm от
относительной массы
аппаратуры кап. Из
рисунка следует
наличие оптимума
критериальной функции,
т.е. стоимости
системы С по параметру
кап. Ему
соответствует оптимальное
значения относительной
массы аппаратуры Рис.3.17. Зависимость оптимальных
£* параметров орбитальной структуры от
ап' относительной массы аппаратуры наблюдения
Таким образом,
представленный алгоритм дает возможность решить задачу
совместного выбора оптимальных параметров орбитальной группировки
и основных параметров аппаратуры наблюдения с учетом реальных
ограничений, накладываемых на параметры аппаратуры. Расширен
состав требований к системе по сравнению с геометрическим
подходом. Критерием оптимальности является стоимость системы, в
отличие от числа спутников в классическом подходе. Результаты
решения задачи в рассмотренной постановке дают важную
информацию для принятия решений по выбору предпочтительных вари-
165
60
40
20

3, Проектирование спутниковых систем мониторинга
антов системы по критерию стоимости. Важным результатом
являются не только выбранные оптимальные значения параметров
орбитальной структуры и аппаратуры, но и их зависимости от массы
аппаратуры. Эти зависимости могут быть успешно использованы и
на последующих этапах проектирования спутниковой системы при
рассмотрении задачи в более полной постановке.
3.7. Учет надежности и эволюции спутниковой системы
Как указывалось ранее, в общей постановке проектирование
спутниковой системы предполагает совместный выбор параметров
орбитальной структуры, спутника и бортовых систем с учетом
надежности, эволюции орбитальной структуры и управления ею.
Задача достаточна сложная. Ниже рассматриваются некоторые
приемы, позволяющие получить ее приближенное решение.
Учет надежности при проектировании. Одной из наиболее
существенных причин, приводящих к "разрушению" спутниковой
группировки, являются отказы в работе отдельных систем спутника.
Именно поэтому проектирование системы с учетом надежности
спутников представляется первым шагом к проектированию
"неидеальной" системы. При этом по-прежнему будем полагать,
что возмущающие факторы, приводящие к эволюции орбит, а
следовательно, и к необходимости их корректировать, отсутствуют.
Критерием оптимальности является стоимость, выражение для
которой имеет вид:
М
С = АП-^-МУ"+М1
l-k c
1 Kan
из
с^Мс + А^МУ
(3.44)
Прежде всего проанализируем выражение для полного числа
спутников NT (2.51). Поскольку эволюции орбит нет и рабочее
тело на их коррекцию не затрачивается, то понятие неуправляемых
спутников теряет смысл, т.е. Nj = 0.
Тогда полная численность определяется как
NT = Nmin + Щт + SNT. (3.45)
166

3.7. Учет надежности и эволюции спутниковой системы
Здесь N™ - полное число отказавших спутников, a 5NT -
избыточность числа спутников (по сравнению с минимальным Nmm)
к концу функционирования-.
В соответствии с выражением (2.50) число отказавших
спутников Щт равно:
N°m = t^m . (3.46)
i=i
В свою очередь число отказавших в каждый i -й момент
спутников N°m, как следует из выражения (2.45), зависит от текущей
численности Nt и вероятности надежности работы спутника Рн
(или среднего времени безотказного функционирования гф).
N°m = (1 -Рн )N( или N°m = ^Ц (3.47)
Ч
Отсюда следует, что в данной постановке нужно, в дополнение
к предьщущей, прежде всего выбрать, какой должна быть текущая
численность в каждый i -й момент, т.е. решить задачу об
управлении численностью U* =\Nf ), / = 1,...,л. Здесь N* — число
спутников, которое нужно выводить на каждом шаге (см. (3.53), (3.54)).
При рассмотрении модели надежности спутника было
показано, что один из путей повлиять на нее - выделить массу Мн
(относительную массу кн) для дополнительного резервирования.
Выражения (2.7) и (2.8) устанавливают связь вероятности безотказной
работы спутника с этой массой Рн(кИ) .
Появление еще одного "претендента", кроме аппаратуры
наблюдения, на выделение для него части массы спутника ставит
задачу об оптимальном распределении массы спутника между ними.
"Вектор" массы спутника принимает вид
Мс={Мап,Мн,Мпс } или К = {кап,кн,кпс }•
167

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
Напомним, что здесь Мпс - масса прочих систем спутника,
которая по статистике обычно равна (0,2 -s- 0,4)МС.
Очевидно, что при этом масса аппаратуры может оказаться
меньше, чем ее оптимальное значение, выбранное для "идеальной"
системы, а потому и значение Nmxn изменится.
Итак, учет надежности существенно изменил постановку задачи
проектирования, рассмотренную в предыдущей итерации. В состав
выбираемых проектных параметров включена еще и масса МИ(кИ),
отводимая для дополнительного резервирования, т.е.
F = {N0,X0,Man(kan),MH(kH)} . (3.48)
Здесь N0, Х0 ~ параметры орбитальной группировки в
начальный момент времени. Они могут не совпадать с
минимальными.
Значения этих параметров в любой / -й момент времени будут
определяться выбором управления Ue = \Nf |, / = 1,...,л, который
должен осуществляться совместно с выбором проектных
параметров из условия минимизации стоимости системы.
Рассмотрим вопрос о выборе управления численностью.
Если предположить, что параметры спутника и группировки
известны из предыдущей итерации, из выражения (3.44), очевидно,
что для минимизации стоимости следует минимизировать полное
число спутников NT при прочих равных условиях. Тогда с учетом
выражений (3.45) , (3.47) можно выстроить цепочку
С -> min :=> NT -> min => N?T -> min =>
It ' (3*49)
=> N° -> min => Nt -> min
Отсюда следует, что для минимизации стоимости при наличии
отказов спутников нужно на каждом шаге поддерживать
минимальную численность, т.е.
N(=N™n V/. (3.50)
168

3.7. Учет надежности и эволюции спутниковой системы
Это означает также, что избыточности спутников на каждом
шаге нет, следовательно, и SNT = 0.
Таким образом, управление численностью Ue должно
поддерживать минимальную численность, следовательно, выводиться на
каждом шаге должно число спутников, равное числу отказавших,
т.е.
Ue={N° }={N?m }
(3.51)
Как видно, в этой итерации выбрать управление численностью
удалось независимо от выбора проектных параметров.
Отличие данной
задачи о выборе
проектных параметров от
рассмотренной ранее
состоит в том, что
теперь необходимо
произвести
перераспределение массы
спутника между
массой аппаратуры и
массой резервных
систем.
Поскольку выбор
оптимального
варианта распределения
массы осуществляется
численно, то для
решения этой задачи
используется
зависимость Nmm(kan), которая в предыдущем разделе получена как
промежуточный результат.
Используя также соотношения (3.44) -(3.50), можно построить
зависимости численности спутников NT и стоимости спутниковой
фуппировки С от относительных масс аппаратуры кИ и резервных
0 0.1 0.2 0.3\Рт\Ря 0.5 0.6 0.7 Ц,
Рис.3.18. Зависимость стоимости
спутниковой системы от относительных масс
аппаратуры кап и резервных систем кн
169

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
систем кап. В качестве примера на рис. 3.18 представлена
зависимость стоимости системы от относительных масс кап и кн.
Для сравнения на этом же рисунке представлена аналогичная
зависимость, полученная без учета надежности. Из сравнения этих
зависимостей можно сделать важные выводы.
1. Стоимость спутниковой системы при проектировании ее с
учетом надежности безусловно оказывается выше
стоимости, полученной без учета надежности.
2. Существует оптимальное распределение массы спутника
между аппаратурой и резервными системами. В данном
случае это распределение определяется относительными
массами к*ап =0.32, к*н =0.38 (при кпс=03).
3. Оптимальные значения относительной массы аппаратуры,
получаемые без учета надежности и с учетом надежности,
значительно отличаются друг от друга. Это позволяет
получить заметный выигрыш в стоимости спутниковой системы.
Так, если бы относительная масса аппаратуры была принята
равной оптимальному значению, полученному ранее без
учета надежности {к*ап =0,...,42), то стоимость спутниковой
системы с учетом отказов была бы равной С = 100 у.е.
Оптимальное распределение массы спутника между
аппаратурой и резервными системами позволяет снизить стоимость
группировки на 20 % , так как соответствующее
минимальное значение стоимости составляет С = 80 у.е.
Используя приемы, аналогичные рассмотренному выше, можно
при проектировании спутниковой системы учесть надежность при
различных схемах восполнения системы, в том числе и за счет
использования спутников на резервных орбитах.
Учет эволюции орбитальной группировки. Следующим шагом от
"идеальной" системы к реальной является учет не только отказов,
но и эволюции орбитальной группировки наряду с учетом отказов.
При рассмотрении динамической модели системы п сказано, что
основные причины эволюции — погрешности выведения и
коррекции орбитальных параметров, влияние возмущений. Эволюция и
отказы могут привести к "разрушению" орбитальной структуры,
когда система не сможет решать целевые задачи. Восстановление
170

3.7. Учет надежности и эволюции спутниковой системы
ее работоспособности требует управления как численностью
спутников, так и орбитальными параметрами. Выбор этого управления
должен осуществляться вместе с выбором проектных параметров
системы.
Постановка задачи в этом случае очень похожа на предыдущую,
но имеет ряд важных отличий. Остановимся на них.
Критерий оптимальности - стоимость спутниковой системы,
которая, как и в предыдущем варианте, определяется выражением
(3.44). Однако входящее в него значение полной численности
спутников NT включает в себя уже не только отказавшие N?m, но
и неуправляемые спутники Л^, на которых закончилось рабочее
тело. В соответствии с выражениями (2.49) (2.51), оно определяется
как
NT = N™n + Щ + N$ + 5NT . (3.52)
Свойства числа отказавших спутников N°T рассмотрены в
предыдущем разделе. Остановимся подробнее на числе
неуправляемых N%?. Как следует из выражений (2.46) и (2.47), это число
зависит от того, как быстро заканчивается на борту рабочее тело на
коррекцию орбит. А это, в свою очередь, определяется двумя
факторами: начальным запасом рабочего тела, т.е. массой Мск (или
характеристической скоростью V*), и тем, как это рабочее тело
будет расходоваться, т.е. алгоритмом управления коррекцией
U = \ Аху ]. Здесь Аху — изменение орбитальных параметров
j -го спутника в / -й момент.
Итак, влияние эволюции требует выделения части массы
спутника на рабочее тело. "Вектор" массы при этом приобретает вид
(2.5):
Mc={Man,MH,AfCK,Mnc}
или для относительной массы
К = \ Кап > *Н > "ск у ^пс ) *
171

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
По аналогии с временем безотказного функционирования
спутника /^ можно ввести и понятие времени появления
неуправляемого спутника / ("времени неуправляемости"). Это
характеристика случайная, так как целый ряд возмущающих факторов
является случайным. В общем случае его можно оценить только в
результате моделирования процесса функционирования системы,
однако, как будет показано ниже, при некоторых допущениях
возможны и аналитические оценки. Если известно среднее время
"неисправности" tHy , то для числа неуправляемых спутников
можно записать по аналогии с (3.47):
Следовательно, задача проектирования требует теперь
оптимального распределения массы уже между тремя бортовыми
системами, кроме того, необходим, как и в предыдущей постановке,
также одновременный выбор алгоритма управления коррекцией
Uk и восполнением UB, от которого зависит численность
спутников в каждый момент N(.
Задачу о выборе управления коррекцией можно отнести к числу
наиболее сложных, поэтому остановимся на ней подробнее.
Реально алгоритм управления коррекцией предполагает
определение моментов проведения коррекций орбиты каждого j -го
спутника tj (или интервалов между коррекциями г*) и величины
корректирующих импульсов AVy. Последние зависят от изменений
орбитальных параметров AxtJ за счет коррекции, которые, в свою
очередь, определяются тем, каковы орбитальные параметры перед
коррекцией и какими они должны быть после нее.
Итак, первый вопрос - когда, при каких значениях
орбитальных параметров необходима коррекция. К сожалению, нет
априорно однозначного ответа на него. Типичные варианты: коррекция
проводится, когда абсолютное отклонение положения спутника на
орбите от расчетного более допустимого (определяемого, напри-
172

3.7. Учет надежности и эволюции спутниковой системы
мер, предельным отклонением по времени пролета над заданной
точкой); фактическое относительное положение соседних
спутников таково, что нарушаются требования, например, к
периодичности наблюдения. Могут быть и другие варианты условий, при
которых необходима коррекция. Один из конкретных примеров для
системы непрерывного обзора будет рассмотрен позднее.
Если нарушение требований к системе связано с абсолютным
положением спутника, то, очевидно, что необходимость в
коррекции зависит только от начальных параметров орбиты спутника и их
эволюции. Она никак не связана с численностью спутников в
системе, поэтому задачи управления численностью и управления
коррекцией можно рассматривать как независимые.
Если же нарушения возникают из-за недопустимых отклонений
в относительном положении спутников, то, очевидно, что чем
больше спутников в группировке (или чем выше избыточность по
сравнению с минимальной численностью), тем реже нарушаются
условия наблюдения и тем реже нужна коррекция.
В этом случае управление численностью и коррекцией
взаимосвязаны. Конкретный характер этой связи рассмотрим ниже на
примере.
Итак, задача проектирования спутниковой системы с учетом
эволюции предполагает совместный выбор проектных параметров
F = {N0,X0,Man(kan)MH{kH\Mck(kck)} и управления
численностью UB и коррекцией Uk из условия минимума стоимости.
Это задача многопараметрической оптимизации, и ее
непосредственное решение очень затруднено. Поэтому к ее решению также
могут быть использованы различные приближения. Остановимся
на некоторых из них, уделив главное внимание вопросам выбора
управления группировкой, поскольку никаких принципиальных
отличий от предыдущих постановок в выборе проектных
параметров нет, кроме повышения размерности задачи.
"Жесткое" управление. Под этим термином будем понимать
управление коррекцией, при котором при нарушении некоторых
заданных условий происходит коррекция орбитальных параметров,
возвращающая спутники в расчетное положение. Такое управление
наиболее применимо в тех случаях, когда ограничение накладыва-
173

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
ется на отклонение от расчетного абсолютного положения
спутника.
Например, пусть пользователь предъявляет требования к
максимально допустимому отклонению астрономического времени
пролета над заданной точкой от расчетного At. Предположим с
достаточной степенью точности, что отклонение по времени
связано с отклонением положения спутника по аргументу широты Аи.
Тогда максимальное отклонение Awmax, при котором необходимо
проводить коррекцию и возвращать спутник в расчетное
положение (Аи = 0), можно определить из условия:
Awmax =0)cAt, (3.54)
где о)с — угловая орбитальная скорость спутника.
С другой стороны, имея модель для расчета текущего значения
аргумента широты с учетом эволюции (см. раздел "Динамическая
модель орбитальных параметров системы") и зависимости
отклонения от расчетных значений по времени, т.е. Au(t), момент
коррекции tk можно определить из условия:
^=argM/J = At/max}. (3.55)
Если система состоит из одинаковых спутников на одинаковых
орбитах, то это время определяет интервалы между коррекциями
для всех спутников tj = f*V/ .
Величина корректирующего импульса AVk также одинакова во
всех коррекциях для всех спутников, т.к. аргумент широты нужно
корректировать на одну и ту же величину Awmax . Для определения
величины AVk можно воспользоваться известными
баллистическими соотношениями [33].
Время "неуправляемости" tHy можно определить как
,«^,*I^ = ,V, (3.56)
AV
174

3.7, Учет надежности и эволюции спутниковой системы
где пк - число коррекций.
Из выражений (3.53) и (3.56) видно, что поскольку время tHy
не зависит от числа спутников, то число неуправляемых спутников
N!j?, как и отказавших, будет минимальным, если в каждый / -й
момент число спутников будет минимальным, т.е. N( = Nmm.
Таким образом, при "жестком" управлении коррекцией управление
численностью Ue = yVf | такое же, как и при учете только
надежности (без эволюции) с той разницей что число вновь выводимых
спутников Nf равно числу неработоспособных N"p, которое
включает в себя как отказавшие, так и неуправляемые спутники:
N* =N?p=N°m+N?y.' (3.57)
"Гибкое" управление. Оно используется в тех случаях, когда
требуемые условия наблюдения зависят не от абсолютного, а от
относительного положения спутников в группировке.
В случае нарушения требуемых условий их восстановление
возможно различными путями, предполагающими построение новых
вариантов орбитальной структуры группировки, которых может
быть множество. Гибкий выбор одного из этих вариантов и
составляет основу этого подхода.
Строго говоря, выбирать вариант гибкого управления нужно,
исходя из минимизации общего критерия — стоимости системы.
Однако установить непосредственную связь между управлением на
каждом шаге и стоимостью не представляется возможным, поэтому
приходится выбирать управление, исходя из частных критериев,
которые бы вели к минимизации общего критерия.
Гибкая коррекция. Прежде чем говорить о выборе такого
критерия для управления коррекцией, проанализируем саму процедуру
коррекции орбитальной структуры при нарушении относительного
положения спутников. Если это нарушение возникло даже только
между одной парой спутников, то коррекция положения одного из
"виновников" может привести к нарушению положения
относительно другого соседа. Таким образом, для восстановления орби-
175

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
тальной структуры может потребоваться коррекция положения
нескольких, а может быть, и всех спутников в группировке. Затраты
рабочего тела будут зависеть от того, насколько будут изменены
параметры всех спутников Дх,у,У/.
Одним из возможных критериев выбора управления на каждом
/ -м шаге может быть суммарный расход рабочего тела за
коррекцию на i -м шаге, который нужно минимизировать:
2A^(Ax&-)->min. (3.58)
7=1
Из физических соображений очевидно, что использование
этого критерия увеличит среднее время "неуправляемости" для
спутников в группировке. Однако он не учитывает
"индивидуального" состояния каждого спутника.
К числу основных параметров, характеризующих такое
состояние, следует отнести остаток запаса рабочего тела на борту V™ 9 a
также расчетное время, которое осталось у спутника до отказа t°f.
Очевидно, что в оптимальном варианте рабочее тело должно
закончиться в момент отказа. Введем понятие энерговооруженности
спутника Vy, определяемой как
V^V^iq. (3.59)
Тогда "взаимопомощь" спутников в группировке может
состоять в том, чтобы выбрать такой вариант перестроения (коррекции)
структуры Uk*, при котором бы спутник, у которого
энерговооруженность минимальна, в максимальной степени ее сохранил:
Uk* = {Ах*. }= arg max] min Vi +1, j(&xv) 1. (3.60)
Такая стратегия фактически продляет работоспособность
спутников, на которых уже израсходовано много рабочего тела, за счет
"перемещения" (коррекции) спутников с высокой
энерговооруженностью. Эвристически очевидно, что это приведет к сокраще-
176

3.7. Учет надежности и эволюции спутниковой системы
нию числа неработоспособных спутников за счет более полного
использования всего времени безотказной работы.
Гибкое восполнение. Выбор оптимального управления
численностью (восполнением) U8 по общему критерию стоимости
непосредственно также очень затруднен по той же причине, что и для
коррекции. Это определяется практическими сложностями
установления связи между управлением на каждом шаге и общим
критерием. Поэтому и в этом случае целесообразно рассматривать
некоторые приближения к оптимальному решению.
Одно из них предполагает поддержание в каждый i -й момент
некоторой постоянной численности N^constVi [19]. Частным
случаем этого управления является поддержание минимальной
численности, т.е. N{ = Nmn, которое имело место при "жестком"
управлении.
Задача оптимального управления восполнением состоит в
выборе оптимальной постоянной численности спутников N ,
которая позволит минимизировать стоимость системы или, по крайней
мере, сделать ее близкой к минимальной.
Вначале для обоснования такого подхода будем предполагать,
что проектные параметры спутника и его бортовых систем
известны, т.е. известны значения массы спутника Мсъ аппаратуры
наблюдения Мап(кап), системы коррекции Mck(kck) (или
соответствующая характеристическая скорость V ) и резервных систем
Мн(кн). Последнее означает, что известно среднее время
безотказной работы /$. В таком случае, как следует из выражения (3.44),
минимизация стоимости С эквивалентна минимизации полного
числа спутников за весь срок функционирования NT, которое
определяется выражением (3.52).
Рассмотрим каждую из составляющих. Если известны
параметры аппаратуры, то может быть определено и значение
минимальной численности Nmm (см. раздел 3.6). Из выражений (3.45) и
(3.46) следует, что чем меньше текущая численность спутников N(,
тем меньше число отказавших N™. Именно поэтому в случае,
177

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
когда орбитальная структура изменяется только из-за отказов,
оптимальной является минимальная численность.
Проанализируем, как от текущей численности N, зависит
число неуправляемых спутников Щу. Из выражения (3.53) следует,
что
N?=^T. (3.61)
/
-ну
Проанализируем, как время "неуправляемости" t зависит от
текущей численности на примере системы глобального
непрерывного обзора (методика определения параметров "минимальной"
структуры такой системы рассматривалась в разделе 3.4). Из
выражения (3.56) следует, что это время зависит от среднего интервала
-к
между коррекциями t и числа коррекций пк, т.е.
-ну -к V *
1 =t '"*' "*=7^' (162)
AV
где AV — среднее значение корректирующего импульса.
В [19] показано, что через некоторое время после гашения
ошибок выведения в установившемся режиме оптимальным
является корректирующий импульс, равный минимально возможному
импульсу AFmm, т.е.
AF = AFmin.
Именно это значение ЬУ и примем в дальнейших
исследованиях, и число коррекций будем определять как
пк = —г-. (3.63)
Средний интервал между коррекциями / можно определить,
если известно и максимально допустимое рассогласование в
относительном положении соседних спутников по аргументу широты
178

3.7. Учет надежности и эволюции спутниковой системы
<Я/тах, и среднее значение относительной угловой скорости
соседних спутников в результате эволюции АШ:
о max
Г=——- (3.64)
Ао)
Тогда, используя выражения (3.62) (3.64), для времени
"неуправляемости" можно получить
о, шах т/ *
^'vmn (3.65)
2F*
a~Aa>.Kmin
Угловая скорость Ао7 может быть оценена в результате анализа
возмущенного движения спутников. Она зависит от орбитальных
параметров, параметров спутника, а также погрешностей
корректирующей двигательной установки.
Максимально допустимое рассогласование по аргументу
широты 8ит*х может быть определено следующим образом. В разделе
3.4. показано, что непрерывность наблюдения обеспечивается
стыковкой полос обзора, сформированных спутниками в соседних
плоскостях (см. рис. 3.19). Если эти полосы перекрываются, то
орбитальная структура является избыточной. Когда это перекрытие
станет равным нулю (или станет отрицательным), необходима
коррекция для восстановления непрерывного наблюдения.
Главной причиной появления разрывов в наблюдении при
одинаковой высоте и наклонении орбит является уменьшение ширины
полосы обзора Ъ из-за увеличения относительного сдвига
спутников по аргументу широты Аи до значения Awirax, определяемого
из условия:
cos(Awmax /2)= cos(^)/cos(6min), (3.66)
где Z>min=AQ/2.
179

3, Проектирование спутниковых систем мониторинга
Орбитальные
плоскости
Su*
Aup
Рис.3.19. Геометрия расчетного и фактического
положения спутников в соседних плоскостях
Сдвиг орбитальных плоскостей по долготе восходящего узла
AQ зависит от числа плоскостей в орбитальной структуре:
АП = 7г/т. (3.67)
Допустимая величина "расползания" спутников по аргументу
широты Awmax определяется как
<5w™x<Awmax-At/,
(3.68)
где расчетное значение сдвига по аргументу широты Аи зависит
от числа спутников в плоскости:
Аир =2л/п,
(3.69)
180

3.7. Учет надежности и эволюции спутниковой системы
Итак, для Лтшх имеем:
Sumax = 2arccos ™ . (3.70)
cos(;r/2tfz) n
Отсюда следует, что чем больше число плоскостей т и число
спутников в плоскости п , тем больше допустимое максимальное
"расползание" между спутниками <5wmax. Из выражений (3.61)-
(3.65) следует, что при этом увеличивается время неуправляемости
/ и уменьшается число неуправляемых спутников N^.
Следует напомнить, что в соответствии с выражениями (3.46) и
(3.47) зависимость числа отказавших спутников N?m от
численности Nj прямо противоположная.
Для полного числа спутников NT, определяемого выражением
(3.52), можно сделать вывод, что имеется оптимальное значение
текущей численности спутников Ni , при котором N(
минимально.
Задача состоит в том, чтобы найти это значение в
предположении, что в течение всего полета поддерживается некоторая
постоянная численность, т.е. N* = jV* = m xn*Vi.
В [19] представлен алгоритм и результаты решения этой задачи.
Из них следует, что оптимальное число плоскостей т
практически равно минимальному, т.е.
m*=mmin. (3.71)
Оптимальное число спутников в плоскости п определяется
выражением
п* = птт
1+11/1 + аДитах(-- + ,А-||. (3.72)
181

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
Учитывая выражение (3.65) для а, можно сделать вывод, что
минимальная численность является оптимальной только при
бесконечно большом запасе рабочего тела (V ->oo:z>a->oo). Важно
отметить, что именно такой результат ранее был получен, когда
рассматривалась задача проектирования системы с учетом
надежности при аналогичном предположении.
На рис. 3.20
представлены
зависимости полного
числа спутников
NT от постоянно
поддерживаемой
численности
спутников в плоскости
п для различных
значений времени
надежной работы
спутника /ф и
запасов рабочего
тела V . Они
наглядно
демонстрируют, что
оптимальное
значение числа спутников является избыточным, т.е. п >птп. Оно
тем больше, чем более надежными являются спутниками.
С другой стороны, чем меньше запас рабочего тела, тем больше
должно быть число спутников п .
Таким образом, решение задачи об оптимальной постоянной
численности спутников в сети N =т хп показало, что
оптимальное число плоскостей т практически равно минимальному
ттт. Оптимальная же численность спутников в каждой плоскости
п отличается от минимальной в зависимости от характеристик
надежности и запасов рабочего тела на коррекцию. Полное число
спутников за весь срок функционирования NT по сравнению с
182
300.
200-
100
50 "
V.
nnw
I I
I I
~\
/
V1 год
V*=300M/C
-z-""
V Ч^год
\v*=iooM/c
—~"\ t(h=5 лет
Ху*°зоом/с
1 1 п
04567 8 9 10
Рис.3.20. Зависимость полной численности
спутников NT от числа спутников в плоскости п

3.7. Учет надежности и эволюции спутниковой системы
вариантом поддержания минимальной численности существенно
меньше.
В [19] представлено строгое решение задачи оптимального
управления численностью, которое показало, что в
установившемся режиме оптимальной является также постоянно поддерживаемая
численность, которая совпадает по значению с полученным
приближенным решением.
Напомним, что оптимальная постоянно поддерживаемая
численность зависит от проектных параметров спутников и его
бортовых систем. Так, от них зависит минимальная численность
Nmm(kan), время надежной работы /ф(£я), запас рабочего тела
V*(kCK). Очевидно, что существует оптимальное распределение
—*
массы спутника между бортовыми подсистемами Мс и
соответствующая оптимальная постоянно поддерживаемая численность N*,
при которой стоимость системы будет минимальной.
Заключение
Итак, в главе изложен комплексный подход к решению задачи
проектирования спутниковой системы на основе. Классический
подход к проектированию созвездия расширен за счет следующих
факторов:
• в качестве критерия оптимальности принята минимальная
стоимость системы за весь срок функционирования при
выполнении полного состава требований к целевой
эффективности в течение всего полета;
• учтены основные реальные свойства системы: эволюция под
действием внешних факторов и погрешностей выведения и
коррекции, отказы, ограничения, связанные с носителями,
аппаратурой и т.п.;
• расширен состав выбираемых при проектировании
созвездия параметров включением в него, помимо параметров
спутника, ряда основных проектных параметров
орбитальной структуры и его бортовых систем, а также алгоритмов
управления поддержанием и восполнением созвездия.
183

3. Проектирование спутниковых систем мониторинга
Представлены алгоритмы получения решения этой сложной
задачи на основе итеративного подхода на примере спутниковой
системы для глобального непрерывного обзора, которые подтвердили
свою работоспособность и эффективность на практике.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Моделирование орбитального движения системы спутников -
основной инструмент получения информации для принятия
решений при проектировании спутниковых систем различного
назначения. С помощью моделирования оценивается эволюция системы и
орбитальная обстановка на длительных интервалах времени,
определяются моменты съемки объектов, вычисляются различные
показатели эффективности системы.
Средства моделирования должны обеспечивать достаточную для
принятия решений полноту информации при различной точности
вычислений и располагаемых ресурсах вычислительных средств.
В данной главе мы рассмотрим математические модели
движения различных уровней сложности и точности, а также модели
возмущений и орбитальной обстановки, которые можно принять за
основу при построении программного обеспечения моделирования
динамики орбитального движения спутниковых систем как на
этапе проектирования, так и при их эксплуатации.
4.1. Системы координат
Прогнозировать возмущенное движение спутника можно в
любой удобной системе координат. Под "удобной" понимается
система координат, реализация уравнений движения в которой требует
минимального времени вычислений и не имеет вырожденных
случаев, ведущих к неопределенностям. К сожалению, универсальной
системы координат не существует. Так, координаты наземных
объектов задают в системе, связанной с земной экваториальной
плоскостью, а координаты Луны и Солнца - в системе, связанной с
плоскостью эклиптики. Неизбежно возникает потребность
пересчета координат из одной системы в другую.
Здесь мы рассмотрим системы координат, использование
которых позволит решать задачу прогнозирования возмущенного дви-
185

4. Моделирование орбитального движения
Гринвичский
мершНшн
жения спутника и определять его положение относительно
небесных тел и объектов на Земле.
На практике чаще всего используются следующие системы
координат:
• Геоцентрическая экваториальная.
• Географическая (гринвичская).
• Топоцентрическая.
• Связанная орбитальная.
Геоцентрическая экваториальная система координат (ГЭСК) XYZ
показана на рис. 4.1. Ее начало находится в центре масс Земли.
Базовой плоскостью является плоскость экватора в стандартную
эпоху 1 января
{ZbZr 0Ч00М00С 2000 года,
обозначаемую как
2000.0. Главная ось
направлена в точку
весеннего
равноденствия у эпохи
2000.0. Ось Z
направлена на
Северный полюс мира,
ось Y дополняет
систему до правой.
Наряду с
прямоугольной системой
используют
сферическую, оси которой
совпадают с осями ГЭСК. Сферические координаты точки связаны
со сферическими координатами X, а, 8 соотношениями:
Плоскость
ылапюрв
Рис 4.1. Геоцентрическая экваториальная и
географическая системы координат
x = rcosScosa
у -rcosSsina
z-rsinS
(4.1)
где г — расстояние от начала координат до точки (г > 0); а - угол
прямого восхождения, измеряемый в плоскости экватора от основ-
186

4.1. Системы координат
ной оси против движения часовой стрелки (если смотреть со
стороны Северного полюса мира) до плоскости небесного меридиана,
в которой находится точка (0<<2<2/г); 8 - угол склонения,
определяемый как угол между плоскостью экватора и направлением
на точку из начала системы координат (0 < 8 < /г/2 в северном
полушарии и -я/2 < 8 < О в южном полушарии).
Сферические координаты (Я а 8) можно вычислить по
декартовым (XYZ) ECI с помощью формул:
-;
x2+y2+z2
J = arcsin-
(4.2)
а = <
а, хТ > О, ут > О
п-а, хт <0, ут >0
/г + а, хт <0, ут <0
[2л;-а, хт>0, ут <0
(4.3)
где а = arctan \y/x\. При практических расчетах ГЭСК можно
считать инерциальной системой с достаточной степенью точности.
Географическая (гринвичская) система координат (ГСК) XpYjZp
показана на рис. 4.1. Ее начало находится в центре масс Земли.
Главная ось XF расположена в плоскости экватора и проходит
через гринвичский меридиан, ос ZF совпадает с осью вращения
Земли, ось YF дополняет систему до правой. Декартовы
координаты произвольной точки выражаются через сферические г, Я, ср
как
х = rcos#?cosA]
у = rcos#>sinA
z = rsir\(p
(4.4)
187

4. Моделирование орбитального движения
где ср - геоцентрическая широта - угол, измеряемый в плоскости
географического меридиана от плоскости экватора до вектора
направления на точку из начала координат (0 < ср < я/2 если zF > О,
-я/2<<р<0 если zF <0); Я - геоцентрическая долгота - угол,
отсчитываемый в плоскости экватора от финвичского меридиана
против часовой стрелки (если смотреть со стороны Северного
полюса) до линии пересечения плоскости экватора с
перпендикулярной ему плоскостью меридиана, в которой находится точка.
(0^Я<2л*). Переход декартовых координат к сферическим
осуществляется с помощью формул
V2 2 2
xF+yF+zF
#? = arcsin-
Ур '
Я = агс1ап-:1£-
xF
(4.5)
причем угол Я вычисляется по формулам (4.1), в которые вместо
а, а у х и у следует подставить соответственно Я, Я , xF и
Топоцентрическая система координат (ТСК) XtYjZt показана на
рис. 4.2. Обычно начало ТСК расположено на поверхности Земли
и привязано к пункту
наблюдения или
связи. Начала как
декартовой (XTYTZT), так
и сферической (Dpi)
систем совпадают.
Основная ось каждой
системы координат
лежит в плоскости
местного горизонта и
направлена на юг.
Ось ZT прямоуголь-
Рис 4.2. Топоцентрическая система
координат
ной ТСК направлена
по нормали к плоскости местного горизонта от Земли, ось YT до-
188

4.1. Системы координат
полняет систему до правой. Положение произвольной точки в
прямоугольной ТСК выражаются через сферические Z>, у, А как
хТ = -DcosycosA
ут = DcosysinA
zT = Dsiny
(4.6)
где D - наклонная дальность, т.е. расстояние от начала координат
до точки (D > 0); у - угол места, измеряемый от плоскости
местного горизонта до вектора наклонной дальности (0 < у < яг/2, если
2Т > 0, - яг/2 < у < 0 если гт < 0); А - угол азимута (или просто
азимут), измеряемый в плоскости местного горизонта от
направления на север (по движению часовой стрелки, если смотреть со
стороны положительного направления оси ZT) до проекции вектора
наклонной дальности на плоскость местного горизонта
(0<А<2я). Сферические координаты точки в ТСК могут быть
вычислены через прямоугольные по следующим формулам:
D = ух\ +у\+г\ , у - arcsin—, А = arctan
Ут
хт
(4.7)
А =
А, хт<0,ут>0
л;-А, хт >0, ут <0
яг + Л, хт > 0, ут < 0
2л-А, хт<0,ут<0
(4.8)
Связанная орбитальная система координат (COCK) X0Y^Z0
показана на рис. 4.2. Начала прямоугольной и сферической систем
находится в центре масс спутника на орбите. Главная ось Х0
направлена по радиус-вектору спутника г . Ось YQ лежит в плоскости
орбиты и перпендикулярна к радиус-вектору в направлении
движения. Ось Z0 дополняет систему до правой тройки. Положение
189

4. Моделирование орбитального движения
произвольной точки М в прямоугольной COCK (x0y0z0) можно
выразить через сферические (la0j30) как
х0 =/cosa0cos/?0l
.y0=/cosa0sin/?0 L (4.9)
z0=/siim0 J
где / - расстояние от начала координат до этой точки (/ > 0); а0 -
угол, отсчитываемый от плоскости орбиты до направления из
начала на точку М (а0>0 если z0>0, a0<0 если z0<0); J30 -
угол, отсчитываемый в плоскости орбиты от положительного
направления оси Х0 (против движения часовой стрелки, если
смотреть со стороны положительного направления оси Z0) до
проекции / на плоскость орбиты (0</?0 <2к). Сферические
координаты точки М в COCK могут быть вычислены по следующим
формулам:
i = Hi
+ ^2-fz02, a0= arcsin— , /?0 = arctan—. (4.10)
/ х0
Угол Д, при этом вычисляется по формулам (4.1), в которых
вместо а, а , х и у следует положить соответственно /?0, /?0, х0
и у0.
Преобразования вектора состояния. Под вектором состояния
спутника будем понимать вектор с шестью независимыми
компонентами х/5/ = 1...6, который полностью определяет положение
центра масс спутника в пространстве и скорость движения в любой
момент времени в выбранной системе координат. Для определения
вектора состояния в различных системах координат используются
уравнения преобразования координат и компонент скорости. Если
две системы координат имеют общее начало, то переход между
ними осуществляется с помощью соотношения ХТ~М Xs где Хт -
190

4.1. Системы координат
искомый вектор, Xs - исходный вектор, М - блочная матрица
перехода от одной системы координат к другой
~ (М ! 0 ^
где М - матрица размером (3x3) направляющих косинусов второй
системы координат относительно первой, исходной. Например, для
систем ГСК и ГЭСК эта матрица имеет вид
MF =
fcosS -sinS 0^
sinS cos*S 0
0 0 1
(4.12)
где S - звездное время, т.е. угол между главными осями этих
систем координат на заданную эпоху. Звездное время определяется по
формуле
S = S0+a>EtG9 (4.13)
где S0 - звездное время на гринвичском меридиане в 0 часов
всемирного времени даты D эпохи Т \ соЕ - угловая скорость
вращения Земли вокруг своей оси; tG - текущее гринвичское время.
Значения S0 приводятся в Астрономическом ежегоднике на
каждый день года.
Звездное время можно вычислить и по приближенным
формулам. Например, квазиистинное звездное время S в момент М
всемирного времени (истинное звездное время без учета полной
нутации в прямом восхождении) вычисляется по формуле [19]
S = s£+Af(l + v)f
где ^=0.276919398 + 100.0021359028T-f0.1075231-10"5T2; fi0 -
редукция солнечного времени к звездному 7 = ^/36525;
d=JD(t0)- 2415020.0.
191

4. Моделирование орбитального движения
Здесь JD(x) -юлианская дата, a tQ — всемирное время на О4
гринвичского времени.
Для обратного перехода необходимо подставить
транспонированную матрицу направляющих косинусов в блочную матрицу
(4.11).
Если начала двух систем не совпадают, то преобразование
вектора состояния имеет вид
Xt=Xt+MX„ (4.14)
где Xt - расширенный вектор начала исходной системы,
выраженный во второй системе координат. Например, при переходе от
топоцентрической системы к геофафической вектор Xt в (4.14)
необходимо заменить расширенным вектором состояния XFN
начала топоцентрической системы в геофафической:
где
xFN = Gx cosBN cosLN 1
Уfn = G\ cos 5^ sinZ,^ >, (4.16)
2 fn =G2sinBN J
AN =yJl-ae(2-ae)sin2BN ,
ц- —+ /*#, u2- + #w>
AN AN
RE - экваториальный радиус Земли, BN - геодезическая широта
начала координат геофафической системы; LN - геодезическая
долгота начала координат геофафической системы; ае -
коэффициент полярного сжатия Земли, ае =1/298.257; HN - высота на-
192

4.1. Системы координат
чала координат над поверхностью референц-эллипсоида.
Геодезическая широта BN связана с геоцентрической <pN соотношением
<pN={\-aeftmBN.
(4.17)
Матрицу М в (4.11) в данном случае следует заменить
матрицей М G:
MG =
fsinBNcosLN
sini^sinZyy
-cos В
N
- sin LN cos BN cos LN ^
cos LN cos BN sin LN
0 sin BN j
(4.18)
Для перехода к географической системе координат следует
использовать соотношение
\
Хс
fMTG[ и
4^G ! Ml j
MG
\XF-
.(4.19)
lFN
Переход от вектора
состояния в связанной орбитальной
системе координат к вектору
состояния в геоцентрической
экваториальной системе осу-
Рис. 4.3. Эйлеровы углы
ществляется через соотношение (4.14), где М имеет структуру
(4.11), а матрица поворота
АГ0=^,/ = 1...3,у = 1...з},где
осей
есть
М=МЛ
о>
193

4. Моделирование орбитального движения
аи = -coswcosQ-sinwsinQcos/
а\2 = -sin м cos П-cos и sin Q cos/
ап = sinf2sin/
а21 = cos w sin Q + sin w cos Q cos/
а22 = -sinwsinQ + coswcosQcos/^. (4.20)
а23 = -cosQsin/
а3] = sin и sin/
а32 = cos м sin/
а3з =cos/
Углы й, ии/, показанные на рис. 4.3, называют эйлеровыми
углами.
4.2. Моделирование невозмущенного движения спутника
Под невозмущенным движением спутника понимается
движение при условии, что единственной силой, действующей на него,
является сила притяжения Земли, рассматриваемой как шар с
концентрическим распределением плотности. В этом случае Земля и
спутник могут рассматриваться как две материальные точки,
взаимно притягивающиеся по закону Ньютона. Невозмущенное
движение также называют кеплеровым.
Средства моделирования невозмущенного движения в составе
программного комплекса проектирования используют для
определения отклонений параметров возмущенной орбиты от
номинальных. Эта информация необходима, например, для принятия
решения о коррекции орбит.
Задача проектирования номинальной структуры созвездия
системы мониторинга на определенном этапе проектирования может
решаться с использованием программ моделирования
невозмущенного движения спутников.
Векторное дифференциальное уравнение невозмущенного
движения в геоцентрической экваториальной системе координат имеет
вид
194

4.2. Моделирование невозмущенного движения спутника
г
где R - радиус-вектор, направленный из центра Земли в центр
масс спутника; ае - гравитационный параметр Земли; г - длина
вектора R . Согласно (4.21) на спутник действует ускорение
ньютоновской силы тяготения, величина которого равна g = /u/r2 .
Этому ускорению соответствует силовая функция ньютоновского
центрального поля сил
U = £. (4.22)
Компоненты ускорения по осям геоцентрической
экваториальной системы координат будут равны
dU _ /jq
%Я *_ 3
где q = {x,y,z }. Это значит, что векторное уравнение (4.21)
равносильно трем скалярным уравнениям для декартовых координат:
9 + ^? = 0, q = {x,y9z}. (4.23)
г
Особенностью системы дифференциальных уравнений (4.23)
является то, что они легко интегрируются в элементарных
функциях [3, 4, 21, 40).
Рассмотрим их первые интегралы.
Векторный интеграл площадей. Интегрируя векторное
произведение уравнения (4.21) на вектор R , получим первый интеграл:
RxR=c, (4.24)
который называется векторным интегралом площадей. Здесь с -
постоянный вектор площадей с компонентами
195

4. Моделирование орбитального движения
сх = yz-zy
c2=zx-xz. (4.25)
с3=ху-ух
Умножим уравнения (4.25) соответственно на х, у и z, и
сложим их. В результате получим уравнение плоскости
схх + с2у -f c3z = 0,
которое свидетельствует о том, что движение спутника под
действием ньютоновской силы происходит в неподвижной плоскости,
проходящей через притягивающий центр и перпендикулярной
вектору с .
Интеграл энергии. Умножим уравнение (4.21) скалярно на 2R .
После преобразования получим еще один первый интеграл
К2=^ + й = 2£/ + й, (4.26)
г
где V - скорость движения спутника по орбите; h - постоянная
энергии. Соотношение (4.26) называется интегралом энергии.
Векторный интеграл Лапласа. Используя (4.21) и (4.24), найдем
dL t\ d(R) n
— \cxR]+Li— — =0,
откуда после интегрирования получим векторный интеграл Лапласа
сх^ + Д-/, (4.27)
г
196

4.2. Моделирование невозмущенного движения спутника
где / - постоянный вектор Лапласа с компонентами:
г
г
г
(4.28)
Между приведенными первыми интегралами с , / и h
существуют два тождественных соотношения:
/гё = 0, \ff=M2+h\c\2. (4.29)
Первое соотношение выражает условие ортогональности
векторов с , /. Второе соотношение связывает модули этих векторов с
полной энергией. Таким образом, имеем семь первых скалярных
интегралов. Из них только пять являются независимыми.
Последний недостающий интеграл может быть найден простой
квадратурой, если, например, кинематический параметр х выразить через
х и постоянные, а затем проинтегрировать полученное решение. В
результате найдем шестую независимую постоянную г,
определяющую время прохождения спутником некоторой определенной
точки орбиты. Определяя затем кинематические параметры как
функции независимой переменной / и найденных постоянных,
найдем окончательную систему
9i=9i(t>cuc29c39h9fl9f29f39T)
4i=Vi{UC\,c29cl9h9fX9f29fo9Ty
определяющую общее решение дифференциальных уравнений
невозмущенного движения (4.21). При этом уравнения для х, у и z
определяют траекторию (орбиту) спутника и его координаты для
любого момента времени, а уравнения для х9у и z определяют
составляющие и величину орбитальной скорости спутника.
Произвольные постоянные, входящие в формулы общего интеграла, мо-
197

4. Моделирование орбитального движения
гут быть однозначно определены по (4.25), (4.26) и (4.28) через
начальные значения функций <7,(*0) и <7/(/о)> которые обычно
задаются в качестве исходных данных. Для контроля правильности
вычисления произвольных постоянных можно использовать
тождественные соотношения (4.29), в которых знак строгого равенства
заменяется на знак приближенного равенства из-за округления при
вычислении величин сх, с2, с3, h , /j, f2, /3. Кроме того,
полезно помнить, что согласно (4.29), модули векторов си/ или
модуль вектора / и постоянная энергии h одновременно не могут
быть равны нулю, поскольку всегда ju > О.
Элементы орбиты. Для проведения исследований и решения
ряда практических задач часто используется форма общего
решения (4.30), содержащая так называемые элементы орбиты.
Векторные интегралы площадей и Лапласа позволяют получить
уравнение орбиты спутника в полярных координатах. Умножая обе
части интеграла Лапласа скалярно на вектор R и используя
интеграл площадей (4.24), найдем:
-|2
Г = ■
|с
cos^
1 + !
(4.31)
где Э - угол между векторами / и R .
Выражение (4.31) представляет собой уравнение кривой второго
порядка в полярных координатах, являющейся орбитой спутника.
Полюс кривой находится в ее фокусе, совпадающем с центром
масс Земли.
Вводя обозначения
■|2
С
И
р = —LI—, е = Ш, (4.32)
l + ecosi9 ju
198

4.2. Моделирование невозмущенного движения спутника
уравнение (4.31) можно представить в виде:
Р
г = -
l + ecosi9
(4.33)
Орбита
где Э - истинная
аномалия ~ угол,
отсчитываемый от вектора / до
вектора R в направлении
движения спутника; р -
фокальный параметр
орбиты; е - эксцентриситет
орбиты (рис. 4.4).
Как следует из (4.33),
форма орбиты
определяется ее эксцентриситетом.
При е = О орбита является
круговой. При 0<е<\ орбита спутника является эллипсом.
Значению # = О соответствует минимальное расстояние спутника от
центра Земли - расстояние перигея
Рис. 4.4. Классические элементы
1 + е
(4.34)
а значению Э~п- расстояние до апогея, т.е. наибольшее
удаление спутника от центра масс Земли:
(4.35)
1 + е
Линия, соединяющая апогей с перигеем, называется линией
апсид. Наибольший размер эллипса характеризуется его большой
полуосью а :
а = -
(4.36)
199

4, Моделирование орбитального движения
a = -£j. (4.37)
1-е
Малая полуось орбиты определяется соотношением
Ъ^^п^а^^. (4.38)
Связь истинной аномалии со временем устанавливает интеграл
площадей в полярных координатах в плоскости орбиты:
г23 = Щ. (4.39)
С учетом (4.33) из (4.39) имеем
?7Г^ = /^-г^ (4-40)
где тп - момент прохождения через перигей орбиты.
Для решения уравнения (4.40) удобно ввести вместо истинной
аномалии новую переменную Е, называемую эксцентрической
аномалией, посредством подстановки
# 1 + е Е /ЛЛЛ,
tanrfctan7' (4-41)
при которой
r = a(l-ecos£). (4.42)
Производя замену переменных в (4.40), получим уравнение
Кеплера, связывающее эксцентрическую аномалию со временем:
E-esinE^M, (4.43)
где М =л(*-гл.); n = yj/j/a3 ; М - средняя аномалия; п -среднее
движение (средняя угловая скорость движения спутника по
орбите).
Полагая в (4.43) Е-2п, гп -0, находим период обращения:
200

4.2. Моделирование невозмущенного движения спутника
Т = 2ял\—. (4.44)
Уравнение Кеплера имеет единственный вещественный корень.
Для его определения можно воспользоваться методом
последовательных приближений
Ek+l -М + esir\Ek , к = 0,1,...
с начальным приближением Е0-М. Метод последовательных
приближений сходится абсолютно при е < 1.
С помощью соотношений (4.29), (4.32), и (4.37) выражение для
орбитальной скорости (4.26) представим как
F2=^£-£, * (4.45)
г а
откуда с учетом (4.33) и (4.37) следует:
l + e2 +2ecosi9
i
Г И— — /. (4.46)
Из этого выражения можно найти максимальное и
минимальное значение скорости движения спутника
V*=fa + e), Va=fa-e) (4.47)
в перигее и в апогее орбиты соответственно.
Радиальная (VR) и трансверсальная (VT) проекции скорости
равны
Кд =r= pesin,9, (4.48)
201

4. Моделирование орбитального движения
VT
= J^(l + ecos5). (4.49)
Угол, образуемый скоростью с радиус-вектором, определяется
формулой
cosd = , (4.50)
Vl + 2ecosi9 + e2
Приведенные выше формулы описывают основные
закономерности кеплеровского эллиптического движения в плоскости
орбиты. Чтобы полностью определить движение спутника в
пространстве, необходимо знать пространственное расположение орбиты.
Положение орбиты в геоцентрической экваториальной системе
координат XYZ фиксируется тремя эйлеровыми углами: Q, i, со
(см. рис. 4.3).
Плоскость орбиты пересекает плоскость экватора Земли. Линия
пересечения этих плоскостей называется линией узлов. Две точки
линии узлов, принадлежащие орбите, называются узлами орбиты.
Узел орбиты, в котором спутник пересекает экватор с юга на север,
называется восходящим, а противоположный ему узел - нисходящим.
Положение восходящего узла в системе координат XYZ
определяется углом Q, который отсчитывается от направления из центра
Земли на точку весеннего равноденствия до направления на
восходящий узел против часовой стрелки, если смотреть со стороны
Северного полюса. Этот угол называется долготой восходящего узла
орбиты, причем 0 < Q < 2п.
Угол между экваториальной плоскостью и плоскостью орбиты
i называется наклонением орбиты. Наклонение отсчитывается от
плоскости экватора против часовой стрелки, если смотреть со
стороны восходящего узла. Его также определяют как угол между
направлением на Северный полюс мира и вектором углового момента
орбиты. Если 0 < i < 7г/2 , то движение называется прямым, если
я/2<1<я -обратным. При / = 0 или / = ;г орбита называется
экваториальной, а при i~nj2 - полярной.
202

4.2. Моделирование невозмущенного движения спутника
Углы Q и i определяют положение плоскости орбиты в
пространстве. Положение орбиты в плоскости движения определяется
аргументом широты перигея со - угловым расстоянием между
направлением из центра Земли на восходящий узел и направлением
из центра Земли на перигей орбиты, отсчитываемым по
направлению движения спутника. Аргумент перигея лежит в диапазоне
О < со < 2/г.
Часто вместо истинной аномалии вводят в рассмотрение
переменную
и = 3 + со, (4.51)
которая называется аргументом широты спутника. Переменная и
есть угол, отсчитываемый в плоскости орбиты от направления из
центра Земли на восходящий узел до текущего радиус-вектора
спутника в направлении его движения по орбите.
Эйлеровы углы Q, i, со связаны с первыми интегралами сх,
с2> съ> f\> fi> /з соотношениями
7j7 = sirnsinQ, T3- = -sinzcosf2, -rr = cos/, (4.52)
И \с\ \с\
А
|/|
rT = costf>cosQ-sinu>sinQcos/
4т = cos со sin Q + sin со cos Q cos i
™ = sin6ysim
(4.53)
которые позволяют однозначно определить эйлеровы углы Q, i,
со. Найдем сначала долготу восходящего узла орбиты. Из первых
двух формул системы (4.52) имеем
203

4. Моделирование орбитального движения
Q =
Q когда q >0, с2 <0
п - Q когда^ > 0, с2 > О
(4.54)
/r + Q когда^ <0, с2>0
2тг - Окогда^ < 0, с2 <О
где Q = arctan(cj/c2).
Из третьей формулы системы (4.52) определим наклонение
орбиты:
f Г^когдас3>0> (455)
[л-i когдас3<0
где i =arccos(c3/|c|).
Для вычисления аргумента широты перигея воспользуемся
выражениями, вытекающими из первой и второй формул системы
(4.53) при cosjVO:
-Л sinf2 + AcosQ /iCosQ+AsinQ tA rr.
suu» = —=^—pq—^ , cos<a = — p~^ . (4.56)
\f\cosi ' |/|
В случае, если cosz = 0, следует использовать вторую и третью
формулы системы (4.53), которые дают
U U
cos6y = T-rr^—, sinu> = ~rr. (4.57)
|/|sinQ |/|
Таким образом, введены шесть параметров р, е, Q, i, со,
тп, которые связаны с постоянными интегрирования. Их
называют элементами орбиты.
Зная элементы орбиты, для любого момента времени можно
рассчитать координаты и скорость спутника:
204

4.2. Моделирование невозмущенного движения спутника
х = г (cos и cos Q - sin и sin Q cos i)
у = r(coswsinf2 + sin и cos Q cos/)
z = rsinwsim
x = r— ri9(sin и cosQ + cosw sinQcosz)
r
у = r — - ri9(sin и sinQ - coswcosQcos/)
i ~r— + r& coswsim
(4.58)
где г и 5 вычисляются по формулам (4.48) и (4.39)
соответственно.
Временные ряды невозмущенного движения. Приближенные
зависимости параметров невозмущенного движения от времени
можно получить в виде сходящихся рядов по степеням
эксцентриситета. Такие ряды строятся с использованием обобщенной
функции Лагранжа для всех е, не превосходящих предела Лапласа
е «0.6627 [18,31].
Принимая за независимую переменную среднюю аномалию
М, приведем разложения радиуса г, орбитальной скорости V,
истинной аномалии В и cos£*:
be1
3 = М + 2esinM + sin2M +...,
4
/ е2 Л
r = a\ 1-ecosM + —(l -cos2Af) + ..
( е2
1 + ecosA/ + —(3cos2A/-l) + ...
cos£ = esinM sin2M + .
2
V = .
(4.59)
Для орбит с эксцентриситетом е<0Л двух слагаемых
достаточно при точности в несколько процентов.
205

4. Моделирование орбитального движения
4.3. Возмущенное движение спутника
Наряду с силой центрального гравитационного поля Земли на
спутник также действуют силы, обусловленные:
• нецентральностью гравитационного поля Земли;
• притяжением Луны и Солнца;
• сопротивлением атмосферы;
• давлением солнечного света.
Эти силы малы по сравнению с основной центральной силой
тяготения, и их принято называть возмущающими. Действие
данных сил вызывает отклонения (возмущения) координат и скорости
(элементов орбиты) относительно невозмущенного движения.
Движение спутника с учетом возмущающих сил называют
возмущенным движением. Возмущения элементов орбиты принято
разделять на периодические и вековые. Вековые возмущения
повторяются, например, с периодом обращения спутника по орбите.
Вековые возмущения непрерывно нарастают по времени полета.
Наиболее существенными являются вековые возмущения, которые
на длительном интервале времени могут оказать существенное
влияние на характер орбитального движения спутника.
Для устранения возникающих отклонений в элементах орбиты
используются управляющие силы, создаваемые бортовыми
ракетными двигателями.
Дифференциальные уравнения возмущенного движения в
ГЭСК получаются из (4.23) добавлением к правой части проекций
возмущающей силы:
$ + ^т =ЕА£Л. q-={x9y9z}, (4.60)
где Agjq - проекция у-го возмущающего ускорения на
координатное направление q. Если составляющие возмущающего
ускорения являются частными производными по соответствующим
координатам от одной и той же функции R(x,y,z,t) координат и
времени, то функция R называется возмущающей или
пертурбационной функцией.
206

4.3. Возмущенное движение спутника
Спекулирующие элементы. В общем случае не удается получить
конечного решения уравнений (4.60), поэтому для точных расчетов
приходится прибегать к их численному интегрированию. Для
качественного анализа весьма удобными оказываются различные
приближенные решения, которые могут быть получены применением
известного в небесной механике метода оскулирующих элементов.
Сущность этого метода состоит в том, что возмущенное
движение рассматривается как непрерывно изменяющееся кеплеровское
движение, а действительная орбита - как огибающая семейства ке-
плеровских орбит. Элементы такой орбиты: фокальный параметр
p(t), эксцентриситет e(t), наклонение i(t) , долгота восходящего
узла Q(/), аргумент широты перигея a>(t), время прохождения
перигея rn(i) называются оскулирующими элементами. В качестве
оскулирующих элементов используют и другие параметры,
например, оскулирующую большую полуось a(t) и оскулирующий
период обращения T(t). Последний определяется по значению
большой полуоси a{t) и представляет собой период обращения по
невозмущенной орбите, по которой бы двигался спутник, если бы,
начиная с момента t, перестали действовать все возмущающие
силы.
Необходимо отметить, что оскулирующий период обращения
некорректно характеризует время обращения по возмущенной
орбите. Это связано с тем, что возмущенная орбита не является
замкнутой кривой. Поэтому наряду с оскулирующим периодом
используют сидерический Ts и драконический TD периоды.
Сидерический период обращения определяется как время
движения спутника между двумя последовательными одноименными
пересечениями спутником плоскости (точки А$ и Ах на рис. 4.5),
нормальной к оскулирующей орбите в момент первого пересечения
(точка А$). Драконический период обращения есть время движения
между двумя последовательными проходами восходящих узлов Q0
и Qj.
207

4. Моделирование орбитального движения
Рис 4.5. К определению сидерического и
драконического периодов обращения
Переходом от декартовых координат в (4.60) к элементам
орбиты можно получить систему из шести дифференциальных
уравнений первого порядка относительно оскулирующих элементов. При
этом для вычисления составляющих возмущающего ускорения
необходимо воспользоваться формулой перехода от декартовой
системы к связанной орбитальной, которая согласно (4.11) имеет вид
(А8хо
а8уо
&gzo
\
= М}
&gy
&gz
(4.61)
где матрица перехода определена согласно (4.20).
Уравнения Ньютона. Приемы получения системы
дифференциальных уравнений, описывающих возмущенное движение в
оскулирующих элементах, изложены в [18, 31]. Ниже приведено ее
конечное выражение
208

4.3. Возмущенное движение спутника
% = 2rl^ZAgjYo
dt \ц ,-=о
!=^Г^+
-U_L,cosu£Ag JZo
dt yjyp J=o
dQ.
r sin к
dt Jjjp cos i y=o
7 I AgjZo
(
cosi9 * .
HAgjxb
cos^ + (cosi9 + e)J
I ASjYo
1 + -ШЗ
rsinw
y=o /?tamy=0
£Ag,
dr„
dt
r
(eNsinS-cos5)£ Ag^0 + ^ £ Ag
;=o г y=o
УК»
,(4.62)
2d2-9
cosi9
г2 о 1 "•" ecosi9
</#
Система (4.62) называется уравнениями Ньютона. Эти
уравнения, как и исходные уравнения (4.60), в конечном виде не
интегрируются. Однако преимущество их состоит в том, что, во-первых,
при малых возмущающих силах оскулирующие элементы мало
изменяются и поэтому для решения системы можно использовать
метод последовательных приближений; во-вторых, для отдельных
209

4. Моделирование орбитального движения
видов возмущающих и управляющих сил они позволяют получить
приближенные аналитические зависимости.
Можно использовать также дифференциальное уравнение для
оскулирующего периода
dt
блр
4-еГ
к к
esin,9 £ AgjXo + (l + cos.9) £ AgjYo
j=0 У=0
(4.63)
Учитывая связи аргумента широты и, истинной аномалии &,
средней аномалии М, время прохождения перигея тп, шестое
уравнение системы (4.62) можно заменить любым из следующих:
du _ yjp/u Гр rsinu *
dt rl \ju ptanij^
(4.64)
d&^
dt
Jw , cos3 [p *
~ I *gjXo
sin 3
1 + -
E I *gjro
(4.65)
dt
= n + -
vr:
с05£-2^Ш£д^о
л
1-^
1+^
^sin,9£AgTo.
(4.66)
Несингулярные элементы. В приведенные выше системы
уравнений входят эксцентриситет и аргумент перигея. Для почти
круговых орбит эксцентриситет может быть сколь угодно малой
величиной. В этом случае в правых частях дифференциальных
уравнений появляется малый делитель, в результате чего при е«0
величина аргумента перигея становится неопределенной.
Указанная особенность затрудняет описание движения спутников по
орбитам с малым эксцентриситетом. Однако этот недостаток может
210

4.3. Возмущенное движение спутника
быть устранен, если вместо элементов е и со ввести новые
параметры Ink, являющиеся компонентами вектора Лапласа [18]:
,м
\А.
cosco = ecosco , k = —sinco = esinco
(4.67)
Уравнения системы (4.62) при переходе к новым параметрам
примут вид
dt \Mj=o
di r *
dt yjjjp j=o
dCt r sinw
rZAg
dt yfpp cos/ y=o
jZo
du _ у[рм
~dt~~^~
'. r3sini/ * .
1 rlAgf
ч
p/j taxi i y=o
jZo
dt
dt
&inu,£AgjXd +
krsinu A .
ptam y=o
-cosm£a^0 +
7=0
/rsini/ * .
Z &gjZo
'l?
P)
COSU + —1
p
1 + — sin« +—к
Л ASj¥o ~
l/=0
/?tam ,=0
,(4-68)
211

4. Моделирование орбитального движения
где г = .
1 4- /cosw + ksinu
Введение параметров Ink для описания движения позволяет
устранить особенности в уравнениях динамики при малых
значениях эксцентриситета. Однако в рассмотренных выше уравнениях
имеются еще и особенности, проявляющиеся при движении
спутников по экваториальным орбитами, т.е. при i «0. Модель
движения спутника, свободную от указанных особенностей, можно
получить с использованием несингулярных равноденственных
элементов, определяемых следующим образом [18]:
-а |
ev =ecos {со + Щ
еу =esin(<y + Q)
ir = tan—cos Q
2
iv = tan—sinQ
2
Дифференцируя данные соотношения по времени с учетом
(4.62) и (4.65), получим
212

4.3. Возмущенное движение спутника
dh h2 t A
dex и
—- = hx
dt
xisinFE AgjXo + [cosF({ + l) + ex]i AgjYo -*-£- £ AgjZo
[ j=Q 7=0 4 У=0
dey и
—— = Ax
dt
x J-cosFZ AgjXo + [sinF{t + \) + ey]i AgjYo +M £ AgjZo
{ j=o y=o s y=o J
Лл hip *
dF E1 k
= +hTjZ,AgJZo
dt h*fi j=o
где £ = 1 + ex cosF + ey sinF ; 7 = ^ sinF -1^ cosF; q> -1 + i\ + i*.
Если проекции возмущающего ускорения являются частными
производными от возмущающей функции R(x,y,z,t)y
составляющие ускорений в уравнениях Ньютона могут быть выражены через
частные производные функции R по элементам оскулируюшеи
орбиты [18]:
213

4. Моделирование орбитального движения
dp
~dt
:2И
\ ц дсо
de _ 1-е2 dR p cR
dt eyfp/j дсо ец дхп
di
dt Jp~£
( Ж .Ж.
+ COSJ
sin г
<Xl
дсо
dQ
dR
dt
da
dt '
dt
■J/jpsmi di
1 ( cosidR
-[w
fje с
sin/ di
R
„ cR 1-е2 dR
-2/7 — +
dp e de
(4.69)
Уравнения системы (4.69) называются уравнениями Лагранжа.
Иногда удобно использовать уравнения движения в
сферических координатах, которые можно получить с помощью связей
между декартовыми и сферическими координатами (4.4). Уравнения
возмущенного движения в сферических координатах имеют вид
*2
r-rd cos S-rS +ju/r -YjkgjR
-{r2dcos2S)= ZAgj
dt j=q
—\r2Sj+ r2d2 sinScosS = £Agy,y
7=0
(4.70)
214

4.3. Возмущенное движение спутника
В заключение рассмотрим систему уравнений в смешанных
элементах. Введем в рассмотрение систему координат XYZ с
началом в центре масс Земли. Плоскость XY совпадает с плоскостью
номинальной (опорной) орбиты. Главная ось X лежит в плоскости
орбиты и направлена в восходящий узел опорной орбиты. Ось Z
перпендикулярна к плоскости опорной орбиты и имеет то же
направление, что и орбитальная ось Z0. Ось Y дополняет систему
до правой тройки. Вектор состояния включает компоненты
г, г, a, I, Q, со , где г и а - полярные координаты, a Q, i, а) -
элементы орбиты. Дифференциальные уравнения для смешанной
системы элементов принимают следующий вид:
к
г у=о
2га + га = £ AgjT
dt Vjto jN V '
dQ 1 * . sm(a + a))
— = -I,&gjN . .
dt V y=o sim
flfo; 1 * . smia + co)
(4.71)
где F = га - орбитальная скорость; AgJR - проекция
возмущающего ускорения на радиус-вектор; AgjT - трансверсальная
составляющая возмущающего ускорения; AgjN - бинормальная
составляющая возмущающего ускорения. Полярный угол а в уравнениях
215

4, Моделирование орбитального движения
(4.71) есть истинная аномалия. Отличительной особенностью
системы (4.71) является то, что она распадается на две независимые
подсистемы. Одна из них описывает движение в плоскости орбиты,
а вторая - положение плоскости орбиты в пространстве.
Разделение движений оказывается удобным при решении задач
управления орбитальным движением.
4.4. Возмущения орбиты
При исследовании возмущенного движения в зависимости от
параметров орбиты и требований к точности их определения
учитываются те или иные составляющие вектора возмущающих
ускорений, входящих в правые части приведенных выше уравнений.
Рассмотрим возмущения орбиты, обусловленные действием
нецентральности поля тяготения (у=0), притяжением Луны и Солнца
(у = 1,2), аэродинамическим торможением (/ = 3), давлением
солнечного света (j = 4) и влиянием управляющей силы (j = 5).
Нецентральность поля тяготения (у=0). Возмущающая
функция гравитационного потенциала определяется как разность между
принятой моделью гравитационного потенциала U и идеального,
который соответствует притяжению шарообразной Земли со
сферическим распределением плотности:
г
Наиболее удобным является представление потенциала
притяжения Земли в виде разложения по сферическим функциям.
Международным астрономическим союзом рекомендована следующая
форма записи гравитационного потенциала во внешней точке с
географическими координатами г , ср, Л :
216

4.4. Возмущения орбиты
U=»
л=2
(R V
^_v
п,(4.72)
л=2 m=l^ ^ У
^л,т("п^)(сЛ|«с°8'яЯ + /)||1|||8ттл)
где RE - средний экваториальный радиус Земли; Pn(smq>) -
полиномы Лежандра порядка п; Pnm(sin<p) - присоединенные
функции Лежандра порядка п и индекса т\ Сп т и Dn m -
безразмерные коэффициенты.
Наряду с (4.72), широко распространена и другая форма записи
разложения потенциала притяжения Земли по сферическим
функциям:
и=£
j? \"
Pn(sin<p)+
оо п f D \^
Е I — ^m^i,«(sin^)cOSw(l-\w)
и=2«=Л г )
, (4.73)
где
Jп "~ ^л,0» "'л, m ~ \^я, ш + «»w ' ^i,w ~~
arctan-
Л,
С другой стороны,
сп, m=Jnim cosmA„t т ; Dnm = Jn> m sinmAny m .
Слагаемые в разложении (4.72) или (4.73) принято называть
гармониками. Первый член (гармоника нулевого порядка л = 0)
разложения (4.72) или (4.72) представляет собой потенциал силы
притяжения шарообразной Земли со сферическим распределением
плотности. Первая гармоника (и = 1, т = 1) обращена в нуль
выбором начала координат в центре масс (центре инерции) Земли,
т.е. Clf0=Clfl=Atl=0.
217

4. Моделирование орбитального движения
Сферические функции, входящие в (4.72), (4.73), в зависимости
от соотношения величин пит называются зональными при
т = О, секториальными при п = т и тессеральными при 0 < п < т .
Из приведенных разложений находятся проекции
возмущающего ускорения на оси прямоугольной системы как частные
производные U по координатам х , у, и z:
ASotg =
dq
-2,41,0 n+\
n=2
n + \
Pn{sm(p)x
dr dPn (sin <p) d(sin q>)
dq dfarup) dq
— Pn, m (*in(P)(Cn, m ™*тЯ + Dnt m *™тЛ)— +
r dq
+ (c*,m cosmA + Ai,« sin/лЛ)
^iit«(siny)^(siny)
/ \ /9J 1
+ Pn m (sinp)(- C„ w sinraA + Dn m cos mZjm — , (4.74)
где ^ = {x, у, z } - координаты спутника в ГЭСК,
_ z u dr^_q^. d(siri(p) _ xz t di^mcp) _ yz %
r dq r ox r ду г
<?(sin#>)_ x2 +y2
dX
У д^ _ У .д&
dz
"3 ' dx х2+у2' dy х2+у2У dz
:0.
218

4.4. Возмущения орбиты
Угол Я определяется из соотношений
8шЛ =
-;csin£ + >>cos£
C0S>1 =
Ago?
где S - гринвичское
звездное время, т.е. угол между
направлениями из центра
Земли на точку весеннего
равноденствия и на
гринвичский меридиан.
Для определения
составляющих возмущающего
ускорения в связанной
орбитальной системе координат
сначала разложим
возмущающее ускорение на
составляющие, направленные
по радиус-вектору спутника
Ago, г > по нормали к нему в плоскости меридиана Ag0> ^ и по
нормали к плоскости меридиана Ag0> x:
Рис. 4.6. Составляющие
гравитационного ускорения
Ag0,r=&g0,Xo =
дг
дШ
г дер
rcoscp дХ
(4.75)
Суммируя теперь проекции Ag0^ и Ago, л на направления У0
и Z0, получим
cos/ дШ sin/ dbJJ
° г д(р rcosp дХ
(4.76)
A£o,z0
sin/ dtsU cos/ dbJJ
r dcp rcosp дХ
219

4. Моделирование орбитального движения
Функции угла у в (4.76) можно выразить через элементы
орбиты по формулам сферической тригонометрии из сферического
треугольника ABC (см. рис. 4.6):
COS^ :
cos и sin г
coscp
smy
cos*
coscp
В результате получаем группу формул, по которым можно
вычислить составляющие возмущающего ускорения на оси
орбитальной системы координат:
А£о,
А£о,г0 =
cos и sin/ dtsJJ
cos/ dtsJJ
A£o,
rcos<p dtp rcos2<p dX
cos / dA U cos и sin i dA U
Zo
rcosp dq> rcos <p dX
(4.77)
где
dAU
/*£(* +1)
n+2
Ря(&Шф)-
-П -—ztr1-^,m{sin<PACn,m cosmA + Dn>m smmX)
л=2 /и=1 Г
дШ * /i^gcosy<y„(siny)
Ф «=2 "' rn+1 <?(sin^)
л=2 m=l
-Л+1
<?(sin#>)
(c„ w cos аиЛ + £>л> m sin mX)
дШ_^ • g^^ (gin^-C.,msinX + Dn>mcosmA)
ОЛ n=2 m=l Г
(4.78)
220

4.4. Возмущения орбиты
При численном интегрировании дифференциальных уравнений
возмущенного движения необходимо использовать наиболее
эффективный алгоритм вычисления возмущающих ускорений по
формулам (4.78). Один из таких алгоритмов предложен Каннинхе-
мом (Canningham) в [58]. Суть алгоритма заключается в
представлении членов разложения (4.72) в виде функций комплексного
аргумента вида
vn,m =-^j-/>„>w(sin^)(cos/nA + /-sinwA), (4.79)
где i = Такое представление позволяет выразить
возмущающую часть гравитационного потенциала в следующем виде:
At/= Reg Ш{сп%ш-Ящ%м)уп%т.
(4.80)
Л=0 /и=0
При этом составляющие возмущающего ускорения
^o>9=^T = ReI ZRnE{C„,m-iSn,m)-^,q = {x,y,z} (4.81)
cq „=о m=o Щ
можно вычислить по рекуррентным формулам
Уп+\,т+\ (п-т + 2}.
&go,.
2 2\п - mf.
^Л+1,1 ^И+1,1
A£oj
2 2
*К+\,т+\ i(n -m + 2)!
/и = 0
2(и - /и)!
/К
л+1,1
/к
(4.82)
и+1,1
т = 0
. (n-m + l)'
(и - /яJ!
221

4. Моделирование орбитального движения
где V - сопряженная комплексная переменная. Значения Vn^
также вычисляются по рекуррентным формулам
Го.о=г
-1
K,.«(2»-1)^W
(п-1»)У*,т =
(2n-\)z
п + т-1,
п-\,т
п-2,т
>. (4.83)
Алгоритм Кэннинхема существенно уменьшает время
вычисления возмущающих ускорений по сравнению с непосредственным
использованием формул (4.22) или (4.23).
Рассмотрим влияние нецентральности гравитационного поля
Земли на элементы близких к круговым орбит, ограничиваясь
учетом второй зональной гармоники, которая характеризует эффект
полярного сжатия Земли. Отметим, что величина коэффициента
С2?0 на три порядка больше, чем значение коэффициента любой
другой гармоники. В этом случае
A£/ = -C20^f(3sin2^-l).
' 2г3
(4.84)
Подставляя (4.84) в (4.77) и производя дифференцирование,
найдем проекции возмущающего ускорения на оси орбитальной
системы координат:
C2>0^r(3sin2Msin2/-l)
4*ur„=f r
д£о,y0 = -^C2)0 ^sin2Msin i
3
— i
2
3
&go,z0 =~C2>o^f-sin«sin2i
Z, f
(4.85)
Учитывая (4.85), можно проинтегрировать дифференциальные
уравнения движения и определить возмущения в элементах орби-
222

4.4. Возмущения орбиты
ты. Оказывается, что периодические возмущения содержатся во
всех элементах оскулирующей орбиты. Они являются малыми
величинами. Например, для почти круговой орбиты (е«0)
изменения элементов, вызывающих смещение трассы, с точностью до
членов первого порядка имеют вид
<57 = ^с2>о| — I TecosM
9
— <
2
Se-^C^^
R ^
cosM
д;
^i = -C2J—} icos2{M + a))
(4.86)
Вторая зональная гармоника обусловливает вековые
возмущения в угловых элементах - долготе восходящего узла, аргументе
широты перигея и средней аномалии. Действительно, подставляя
соответствующие производные от возмущающей функции (4.84) в
уравнения Лагранжа (4.69) и интегрируя их на одном витке,
получим
AQ = -Зтг С
2,0
V Р
Ао) = —7гС
2,0
COS*
&-) (5cos2i-l)
V р
ДМ = — пС-> л
2 2,°
[h\ (3coS2/-iV^7
\ р J
(4.87)
Из приведенных формул видно, что полярное сжатие Земли
вызывает вращение линии узлов орбиты с постоянной скоростью в
направлении, противоположном направлению движения спутника
по орбите. Это движение называется регрессией линии узлов.
Скорость регрессии тем больше, чем меньше наклонение орбиты и
достигает максимального значения на экваториальной орбите.
Перигей орбиты также перемещается с постоянной скоростью, зави-
223

4. Моделирование орбитального движения
сящей от наклонения, по направлению полета. Вековое
возмущение аргумента широты перигея обращается в нуль при наклонении
/«63.5°, которое называют критическим. Выбор критического
наклонения играет ключевую роль при проектировании системы
космической связи, спутники которой располагаются на сильно
вытянутых эллиптических орбитах. При этом апогей орбиты будет
оставаться практически неподвижным относительно Земли и,
следовательно, относительно области связи. Например, спутники
системы связи "Молния" выводятся на орбиту критического
наклонения с апогеем на высоте около 40000 км при высоте перигея
400 км.
Притяжение Солнца (у = 1) и Луны (у = 2). При анализе
возмущенного движения спутника с учетом гравитационных полей
массивных тел солнечной системы последние можно рассматривать
как материальные точки вследствие большого их удаления как от
спутника, так и от основного притягивающего тела - Земли. При
этом проекции возмущающего ускорения можно выразить через
частные производные по координатам х, у и z от возмущающей
функции Rj, которая имеет вид
Rj=»j
J X-Xj+y-yj+Z-Zj^
(4.88)
где /Л: - гравитационная постоянная притягивающего тела;
bj=^-*jf+iy-yjf + (z-z'jf> rJ=№+y*+z2J- <4-89)
Таким образом, Agf= —J- = /i
J>4 ^ J
Ж; (qj-q q^
i A3- r3 ,
\ J J J
, q = {x,y,z}.
Для определения координат Солнца и Луны можно
использовать таблицы Астрономического ежегодника или
аппроксимирующие полиномы. Представляя расстояние Ду- в виде функции угла
в (рис. 4.7) как
224

4.4. Возмущения орбиты
Aj = Jrj - 2rrj cosej + r2
и разлагая затем обратное значение Ау в ряд по полиномам Ле-
жандра, найдем следующее выражение для возмущающей функции:
Y
^(cos0y.), (4.90)
и i °°
KrJJ
где
cos^y = sin ^ sin ^y +q,qsScosSjcosya-aj), (4.91)
а и S - прямое
восхождение и
склонение спутника.
Z к Северный
Склонение
и
Вступающее
тело
прямое восхождение
tzj j -го
возмущающего тела
можно взять из
Астрономического
ежегодника. Для
вычисления
составляющих ускорения
от пертурбационной
функции в
орбитальной системе
координат используем
соотношения (4.77),
в которых частные производные гравитационного потенциала
Земли следует заменить частными производными по сферическим
координатам от возмущающей функции (4.90), вычисленными по
формулам:
Плоскость
экватора
Рис. 4.7. К определению угла в
225

4. Моделирование орбитального движения
3R
дг
dR
д <р
_и-1
rjn=2 Г,
'J
д Я rj п=2
VJ )
VJ )
"dPn(cosej)d(cos0j)
^(costfy) д (р
^P„(cos0y)<?(cos0y)
<?(cos0/) дк
(4.92)
где
<?(cos0y)
1д(р \
<?(cos0y)
дХ
= cos 8 sin Sj - sin 8 cos <У • cos(a - GCj)
= - cos 8 sin <У • sin(a - a7 )
(4.93)
Притяжение Луны и Солнца становится существенным на
расстоянии более 15-103 км от Земли и вызывает как периодические,
так и вековые возмущения наклонения плоскости орбиты и
долготы восходящего узла. Существенным является начальное
положение орбиты спутника относительно Луны и Солнца.
Аэродинамическое торможение (у = 3). Сила аэродинамического
сопротивления направлена противоположно вектору орбитальной
скорости спутника. Ее необходимо учитывать при
прогнозировании движения по орбите, высота которой менее 1000 км. Вектор
возмущающего ускорения определяется как
Д#з
2т Н
(4.94)
где CD - коэффициент, зависящий от формы спутника и условий
обтекания; S - площадь миделевого сечения спутника, к которой
отнесен коэффициент CD\ т - масса спутника; V - скорость ор-
226

4.4. Возмущения орбиты
битального движения; р - плотность атмосферы; V - единичный
вектор воздушной скорости:
где V0 - вектор орбитальной скорости; Va - вектор скорости
движения атмосферы за счет ее вращения вместе с Землей. Проекции
вектора воздушной скорости на оси орбитальной системы
координат равны
УХо=Увт**-У„9 Vax=Vasmfi,
VYo=-VcosS\
где угол S* вычисляется
согласно (4.50); определение
угла р показано на рис.
4.8. Если считать, что все
слои атмосферы увлекаются
Землей и вращаются с
угловой скоростью о)Е, то
вектор Va будет направлен
вдоль параллели. Величина
этого вектора равна
Va =coErcos<p .
Составляющие этого
вектора по осям
орбитальной системы координат
равны
Vax = 0)ЕГ COS I,
Следовательно, вращение атмосферы приводит к уменьшению
составляющей воздушной скорости вдоль оси Х0 на постоянную
величину и не меняет характера возмущений элементов орбиты,
227
VZo=Va2,Va2=Vacosp.
Рис. 4.8. К определению угла р
V =6)Ersinicosu.

4. Моделирование орбитального движения
полученных без учета вращения атмосферы. Изменяется лишь
величина возмущений элементов орбиты на несколько процентов по
сравнению с возмущениями от невращающейся атмосферы.
Возмущения, вызываемые составляющей V^, приводят к
уменьшению большой полуоси и эксцентриситета. При этом
высота апогея уменьшается быстрее, чем высота перигея. Это
объясняется тем, что основное торможение происходит в перигее, так как
здесь скорость максимальна, а высота - минимальна. Уменьшение
кинетической энергии в перигее преобразуется в соответствующее
уменьшение потенциальной энергии в апогее, что выражается в
уменьшении высоты. В апогее поле тяготения слабее, чем в
перигее. Поэтому, даже если бы уменьшение кинетической энергии в
перигее и в апогее было бы одинаковым, высота апогея
уменьшалась бы быстрее. Это обстоятельство дополнительно способствует
более быстрому уменьшению высоты в апогее.
В результате эллиптическая орбита как бы стремится к
круговой. При уменьшении большой полуоси уменьшается и период
обращения. Изменение драконического периода за один оборот
можно найти как
3 Ля
2 а
Боковая составляющая воздушной скорости Vaz, обусловленная
вращением атмосферы, приводит к появлению боковой
составляющей аэродинамической силы
Fz = CDlSlP{coErf sin2 /|cosw|cosw, (4.95)
где CDl - коэффициент боковой аэродинамической силы; S[ -
площадь, к которой отнесен коэффициент CDi. Сила Fz меняет
свой знак при переходе через точки с аргументами широты и = 90°
и и = 270°. Наибольшая боковая сила имеет место на полярной
орбите, а на экваториальной орбите она равна нулю. Боковая
аэродинамическая сила приводит к вековому возмущению наклонения
орбиты
228

4.4. Возмущения орбиты
uAlPfarfstfi, (4.96)
an 3 кг
где к2 = ; n - число оборотов спутника по орбите.
SlCDl
Наиболее важным и сложным вопросом при учете
аэродинамического торможения является получение математической модели
плотности атмосферы как функции p(h) высоты h .
ГОСТ 25654.115-84 [2] устанавливает модели ВСА-82 и ДСА-84.
Первая модель - это зависимость плотности только от высоты, ос-
редненная по времени суток и циклам солнечной активности.
Значение плотности по модели ВСА-82, выраженное в кг/м3,
вычисляется по формуле
р(А)=^ехр[-/:1(А-А7.)+/:2(А-Ау)2],
где h ~ высота; hj - верхняя граница слоя, определяющая
значения коэффициентов, входящих в правую часть формулы плотности:
[■■ '..:к^км:"--':-
0.19
20..59
60..99
100.. 149
150..299
300..599
600..899
>900
hjyKM
0
20
60
100
150
300
600
900
А, кг/м3
1.225-109
0.89110»
2.578105
4.061 102
2.13
4.764 Ю-2
8.726-Ю-3
6.367-Ю-4
кШ,№м
7.825
16.37
5.905
17.87
3.734
0.7735
0.928
0.954
шышшшш
-263.9
44.07
-256 |
146.9 !
8.004
0.7111
0.1831
0
Согласно модели динамической стандартной атмосферы
ДСА-84 плотность вычисляется по формулам:
а) для высот в диапазоне 0.. 120 км - по формуле
p(h)=Aexp[-kx(h-hj)+k2(h-hjY], (4.97)
где
Н, км
0..19
20..59
% км
0
20
А, кг/м3
1.225 109
0.891 10»
кг1<Р,1/т
7.825
16.37
h№,t/K*>
-263.9
44.07
229

4. Моделирование орбитального движения
[^■мЬмШ^Ш^
60..99
1 100..149
Ш£<^к&ШШ
60
100
^7^:А*-ШШ^:,
2.578105
4.061-102
штжт
5.905
17.87
ш*шш&-\
-256
146.9 1
б) для высот в диапазоне 120.. 1500 км - по формуле
р(*)=М)*1*2*3*4> (4'97а>
где рп =9.80665ехр[^ -A2yJh-A3 J - плотность "ночной"
атмосферы;
к0 — коэффициент, учитывающий вариации плотности,
вызванные средневзвешенным значением коэффициента солнечной
активности,
кх — коэффициент, учитывающий суточный эффект
перераспределения плотности,
к2 — коэффициент, учитывающий полугодовой эффект
перераспределения плотности,
къ - коэффициент, учитывающий вариации плотности,
определяемые отклонением коэффициента солнечной активности от
средневзвешенного значения
к4 - коэффициент, учитывающий зависимость плотности
атмосферы от геомагнитной активности. Эти коэффициенты
вычисляются по следующим формулам:
^o=l + to +A^ + Z2A2)(F107 -^10Л);
кх =1 + (с0+С1А + С2А2+СзА3)
1 + С
k2=\ + A(D)(D0+Dlh + D2h2+D3h3);
b=l-{p0+Blh + B2h2)F™~F™ \
F\0J
k4=l + fe0+Elh + E2h2 +E3h3)(E4+EsKp+E6Kl)\
230

4.4. Возмущения орбиты
Су = — [Z sin Sc + cos Sc (X cos fi + Y sin /?)];
R
P = ac - S -cd0{Td -$r) + cpx
TD— местное время в секундах;
S - звездное время на текущей долготе;
ST - сдвиг местного времени по отношению к Гринвичу;
D - число суток с начала года до местной даты расчета;
ас, 8С - прямое восхождение и склонение Солнца;
F10/7 ~ средневзвешенный коэффициент солнечной активности
на волне 20.7 см;
кр ~ коэффициент геомагнитной активности.
Коэффициенты Aj, Dj, Bj, Cj, rij, cp{, Ej, Lj и значения
функции A(D) задаются в табличной форме. Подробное описание
алгоритма вычисления плотности по ДСА-84 можно найти в [2].
Давление солнечного света. При рассмотрении влияния
светового давления будем принимать, что коэффициент отражения
поверхности спутника и площадь его поперечного сечения,
нормального к световому потоку, являются постоянными величинами.
Тогда проекции возмущающего ускорения являются частными
производными от возмущающей функции
R4 = -CRSRqR — , (4.98)
где CR - коэффициент отражения поверхности спутника; SR -
отношение площади поперечного сечения спутника, нормального к
световому потоку, к массе спутника; qR =4.56x10"6 Н/м2 -
световое давление в районе орбиты Земли; А = 1.4959787061 х 10й м -
расстояние от Земли до Солнца; А{ - расстояние от спутника до
Солнца. Так как расстояние между Землей и спутником во много
раз меньше А, то, разлагая 1/А1 в ряд по степеням отношения
231

4. Моделирование орбитального движения
г/гх и ограничиваясь первым членом разложения, зависящим от
координат спутника, получим возмущающую функцию в виде
*4 =
-CRSRqR
f-T
г cos в
1>
(4.99)
где cos^! определяется по формуле (4.91). Проекции
возмущающего ускорения от светового давления на оси орбитальной системы
координат могут быть вычислены по формулам (4.77), в которых
производные dU/dl, 1 = {г,(р,Л} заменены на производные от
возмущающей функции R4 по сферическим координатам г, <р, Я:
dR4
дг
д ср
<9R4
дЛ
- ~CrSr4r
и^1
-CRSRqR
-CRSRqR
'^2
\r\J
\r\)
COS&
rsintfj L
6<p
двх
rsinft
дЛ
(4.100)
дв\ дв\ iACm
где —L и —L находятся из (4.93).
д q> д Л
Если не учитывать прохождение спутником через тень Земли,
то можно считать, что на витке действует постоянное малое по
величине возмущающее ускорение, направленное по нормали к
плоскости орбиты, и периодическое возмущающее ускорение,
изменяющееся с частотой, равной частоте обращения спутника по
орбите.
От витка к витку величина и направление этих возмущений
медленно меняются в соответствии с движением Солнца
относительно Земли в плоскости эклиптики. При таких возмущающих
ускорениях практически отсутствуют вековые изменения элементов
Пи/. Однако вековые возмущения имеют место для периода
обращения. Эксцентриситет за счет светового давления на спутник
232

4.4. Возмущения орбиты
испытывает долгопериодические возмущения, основное из которых
имеет период, равный периоду обращения Земли вокруг Солнца.
При определении влияния сил светового давления на движение
спутника нужно также учитывать области экранирования
солнечного света Землей.
Ускорение от управляющей силы (у = 5). Управляющие силы
используют для осуществления маневров и для коррекции
орбитального движения. Для управления движением спутника могут
использоваться ракетные двигатели большой или малой тяги. При
использовании двигателей большой тяги, создающих ускорение,
соизмеримое с
ускорением силы
тяжести, можно
говорить об
импульсной
коррекции и не учитывать
время, в течение
которого действует
управляющая сила.
Двигатели малой
тяги создают
ускорение много
меньшее, чем
величина ускорения
силы тяжести. При этом для коррекции движения необходимы
длительные участки полета с включенными двигателями.
Обычно вектор управляющего ускорения задается в
орбитальной системе координат, как показано на рис. 4.9. Ориентация
вектора Ag5 задается двумя углами а и J3, тогда проекции его на
орбитальные оси есть
Рис. 4.9. Компоненты управляющего ускорения
A£5,Xo=|A£5|cos/?sina
Л£5,г0 =|Ag5|cosy9cosa
A^5,z0 = \^es\sinfi
(4.101)
233

4. Моделирование орбитального движения
Формулы (4.101) можно использовать для расчетов как
импульсной, так и длительной коррекции. При этом углы а и J3
следует рассматривать как управляющие функции. Модуль вектора
управляющего ускорения также можно рассматривать как
управляющую функцию, если тягу двигателя можно регулировать в
некоторых заданных пределах. На практике, однако, более
распространены нерегулируемые двигатели коррекции, работающие в
режиме "включен/выключен". Для повышения точности
прогнозирования управляемого движения спутника необходимо
учитывать возможные пофешности исполнения коррекции. Будем
различать две модели ошибок величины управляющего ускорения -
аддитивную и мультипликативную.
Аддитивная модель имеет вид
Ag5flM=Ag5+t, (4.102)
где £ - случайная величина при импульсной коррекции или
случайный процесс при продолжительной коррекции.
Мультипликативная модель имеет вид
bgSmul=&gs(l + Z). (4.103)
Отметим, что помимо ошибок ускорения по величине
необходим учет ошибок направления вектора тяги, связанных со
случайностью углов а и /?. Модели этих ошибок аналогичны
приведенным выше.
Подробно вопрос влияния импульсных и продолжительных
управляющих воздействий рассматривается ниже.
4.5. Упрощенная модель движения
Для решения широкого круга задач проектирования
космических систем, управления, навигации и анализа точности
чрезвычайно удобны уравнения, получаемые линеаризацией нелинейных
уравнений в окрестности некоторой опорной (невозмущенной)
орбиты.
Любую систему дифференциальных уравнений движения из
числа рассмотренных выше можно представить в виде
234

4.5. Упрощенная модель движения
X = F{X,G), (4.104)
где X - вектор состояния размера (т х /); G - вектор
возмущений размера (mxl); F - вектор-функция размера (п х /).
Линеаризация (4.104) в окрестности опорной орбиты приводит к системе
уравнений
АХ = A(t)AX + B(t)G , (4.105)
где A(t) и B(t) - матрицы частных производных вектор-функции
FyX,G) по компонентам векторов X и G соответственно; Д^ -
отклонения вектора состояния спутника x(t) от значений на
опорной орбите.
Главным преимуществом уравнений вида (4.105) является
существование фундаментальной системы ее решений, образующих
так называемую фундаментальную матрицу ф(/,/0),
удовлетворяющую уравнению
^21 = ^ф(/,/0),ф(/0,/0)-/я, (4-106)
at
где 1п - единичная матрица размером (л х п) .
Рассмотрим, как и в каком виде может быть получена
фундаментальная матрица при использовании различных систем
координат.
Геоцентрическая экваториальная система координат.
Компонентами вектора состояния спутника в данном случае являются
Ах, Ду, Az, Ax, Aj>, Az. Матрица A(t) в (4.105) имеет вид
235

4. Моделирование орбитального движения
4th
о
о
о
„з
Эх
2\
Ъ/jzx
О
О
О
3/ду
„з
1-
*У
2\
Ъугу
О
О
О
3/jxz
1
О
О
О
О
1
О
О
О
О
1
О
з
Ъуг
3z
2\
,(4.107)
где х = xyt), у = y(i) и z = z(/) соответствуют опорной орбите.
Соответствующая фундаментальная матрица может быть определена
численным интегрированием уравнения (4.106) (так называемый
метод Блисса). Этот метод наиболее эффективен для орбит с
большим эксцентриситетом е > 0.3.
Для круговой опорной орбиты фундаментальную матрицу
удается получить аналитически. С этой целью уравнения движения
записываются в геоцентрической экваториальной системе с
использованием сферических координат. Рассмотрим частный
случай, когда опорная орбита - круговая экваториальная и общий
случай круговой наклонной орбиты.
Круговая экваториальная опорная орбита. При использовании
сферических координат элементами вектора состояния будут
Ar,Aa,Ad\Ar,Ad,AS. Линеаризация уравнений (4.104)
осуществляется в окрестности экваториальной орбиты радиуса г0. Матрица
A(t) в этом случае имеет вид
236

4.5. Упрощенная модель движения
4 =
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
-col
1
о
о
о
О
О
1
О
2VQ
О
О
0]
01
1
°|
о
(4.108)
где щ =— I— - угловая скорость обращения спутника по орбите,
Vq = г0щ - круговая скорость. Нетрудно видеть, что элементы
матрицы А не зависят от времени, вследствие чего соответствующая
фундаментальная матрица находится аналитически. Ее элементы
зависят от разности r = t-t0:
Ф0(г)=
4-3cos#>
6(sinp-ff>)
r0
О
3a)n cos^>
6a>0(l-cos<p)
0
1
0
0
0
0
0
COS^J
0
О
sm<p
2(l - cos<p) 4sinp
2r0(l-cosp)
3r
ro
0
0 -o)0sin<p
0
0
2sin^
ro
0
Щ
0
2r0 sin^>
4cosp-3
0
0
0
sirup
0
cos<p
(4.109)
где <p = о)0т ,
Круговая наклонная опорная орбита. В этом случае удобно
перейти к специальной наклонной системе координат, вводимой в
дополнение к рассмотренным в разд. 4.1. Начало наклонной сис-
237

4. Моделирование орбитального движения
темы XYZ совпадает с началом геоцентрической экваториальной
системы, плоскость XY совпадает с плоскостью опорной орбиты.
Ось X лежит в плоскости экватора и направлена в восходящий
узел опорной орбиты. Ось Z перпендикулярна к плоскости
опорной орбиты, и ее направление совпадает с направлением
орбитальной оси Z0 . Ось Y дополняет систему до правой тройки. Матрица
перехода от геоцентрической экваториальной системы координат к
наклонной имеет структуру (4.11), а матрица направляющих
косинусов имеет вид
М
cosQ sinQ О
-cos/ sin Q cos/cos Q sin/
cos/sin Q -sin/cos Q cos/
(4.110)
где Q и / - параметры опорной орбиты. Затем необходимо
перейти от прямоугольных координат в наклонной системе координат к
сферическим. При этом начальная плоскость наклонной
сферической системы координат XYZ совпадает с плоскостью XY , угол
а отсчитывается от оси X, угол 8 - в плоскости,
перпендикулярной плоскости опорной орбиты. Линеаризация уравнений в
наклонной системе координат приводит к фундаментальной матрице,
совпадающей с (4.109).
Орбитальная система координат. Для решения задач
автономной навигации и анализа точности определения орбит
автономными средствами удобно рассматривать линеаризованные уравнения в
связанной орбитальной системе координат. При использовании
сферических координат 8г, а, 8 , где 5г - расстояние между ИСЗ
и опорной орбитой вдоль радиус-вектора спутника, линеаризация
этих уравнений в окрестности опорной круговой орбиты также
приводит к фундаментальной матрице (4.109).
Если опорная орбита существенно отличается от круговой
(е>0.3), уравнения возмущенного движения можно линеаризовать
в орбитальной системе координат, которая связана с точкой,
движущейся по эллиптической орбите, элементы которой совпадают
со средними значениями оскулирующих элементов возмущенной
238

4.5. Упрощенная модель движения
орбиты спутника. При использовании декартовой системы
координат матрица А в уравнении (4.105) имеет вид
А =
Л21 ! л22
(4.111)
где Оз - нулевая матрица (3x3), 1з - единичная матрица (3x3);
^21 =
R'
1-
R2
2Л
+ й)
3{j(Rq + х)у 3m(Rq + x)z
R5J Я3
3/uJRq + x)z
R5
(
\
3/
2Л
R'
+ 0)
R>
3//yz
R5
R*
1-
R2
+ 0)
Чг
0 2ft) 0
•2ft) 0 0
0 0 0
R = yj^Q + xf + y2+z2 ,R0=a(\-ecosE),
CO
\a4l-
(—£ iJeyfl^e2 -cose)
с — ^ ^
€ — —
(l-ecosi?) a (l-ecosi?)
где x, у, z - координаты спутника на опорной орбите; а, е, Е
- параметры опорной орбиты.
Фундаментальная матрица, соответствующая (4:111), находится
методом Блисса.
Учет аэродинамического торможения. Для низких орбит
необходим учет влияния атмосферы на движение спутника.
Аналитическое решение для фундаментальной матрицы с учетом торможения
239

4. Моделирование орбитального движения
в атмосфере удается найти в случае круговой опорной орбиты с
использованием сферической экваториальной системы координат.
При этом в вектор состояния линеаризованной системы помимо
компонент Ar,Aa,AS,Ar,Ad,AS вводят дополнительную
компоненту Ар, равную отклонению баллистического коэффициента р0
от номинального, рассчитываемого по формуле fi = CD — , где
2/и
CD - коэффициент лобового сопротивления; р - плотность
атмосферы; S - площадь миделя спутника; т - масса спутника. Таким
образом, р = Д) + Ар, где Ар рассматривается как случайная
величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с
нулевым математическим ожиданием и дисперсией а\р .
Формальное дифференциальное уравнение формирующего
фильтра для компоненты Ар имеет вид
Д/? = 0.
(4.112)
В качестве невозмущенной орбиты принимается круговая при
стандартной плотности атмосферы и значении баллистического
коэффициента спутника р0. Матрица А соответствующей
линеаризованной системы уравнений имеет вид
А =
О
О
О
Ъа>1-
-РоР°>о(В1Го-1)
О .
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О О
(Ос,
1
О
О
о
го
О
О
О
1
О
2г0а)0 -
-2pQpa>0r0
О
О
О
О
О
1
О
О
О
О О
(4.113)
240

4.5. Упрощенная модель движения
где
2*,=*/-2^(r-r,),
р = А;ехр{-[к1(г-п)2 +К'2(г-г,У]}, (4.114)
А;,К{9К129Г; - коэффициенты и значения радиус-вектора спутника
для i -го слоя атмосферы.
Учет давления солнечного света. Детерминированная модель
влияния давления солнечных лучей на движение спутника в
предположении, что облучаемая площадь сечения спутника точно
известна, приведена в разд. 4.4. В реальной ситуации всегда имеют
место дополнительные возмущения, связанные, в частности, с
ошибками ориентации солнечных батарей по всем трем осям
орбитальной системы координат. Ошибки ориентации панелей
приводят к возникновению проекций силы светового давления в
зависимости от положения Земли, Солнца и спутника.
Считая эти ошибки случайными и независимыми по осям
орбитальной системы координат, возмущающие ускорения можно
представить формирующими фильтрами подобно (4.112). При этом
фундаментальная матрица может быть найдена аналитически, если
использовать сферические координаты г, а, 8 и круговую
опорную орбиту радиуса г0. Матрица А в уравнении (4.105) имеет вид
А =
4о
т
6,3
0Т
°6,3
0,
(4.115)
где 063 - нулевая матрица (6x3); 03 - нулевая матрица (3x3);
элементы вектора состояния - Аг, Аа , AS, Ar, Ad , AS, Asr,
Asa, Ass. Причем элементы Asr,Asa,Ass есть центрированные
некоррелированные случайные величины с дисперсиями
а1 ,сг2 ,сг2 , характеризующие ошибки ориентации. Фундамен-
sr sa s$
тальная матрица линеаризованной системы уравнений движения
имеет вид
241

4. Моделирование орбитального движения
Ф(г) =
°б,з ! h
(4.116)
где Фо(т) есть фундаментальная матрица (4.109).
Отметим, что как при учете аэродинамического торможения,
так и светового давления аналитическое решение для
фундаментальной матрицы удается получить и для случая, когда
формирующие фильтры этих возмущений имеют не нулевой, а первый
порядок:
Ay = ayy + byg9 (4.117)
где ау9 Ьу - коэффициенты; £- стандартный белый шум.
Уравнения в смешанных координатах. В линейном приближении
удается получить решение системы уравнений (4.71).
Линеаризованные уравнения в смешанных координатах оказываются весьма
удобными для решения задач управления как при импульсной, так
и при непрерывной тяге. С другой стороны, (4.71) можно
рассматривать как приближенное решение уравнений возмущенного
движения.
Предположим, что опорная (невозмущенная) орбита - круговая
и характеризуется радиусом г0, наклонением /0 и долготой
восходящего узла Q0. Тогда система уравнений (4.71) распадается на две
независимые системы уравнений. Первая из них описывает
движение спутника в плоскости орбиты, а вторая - изменение
пространственного положения орбиты.
Будем рассматривать интервал времени, который состоит из
пассивного tK и активного тк участков. На пассивном участке
управляющее ускорение отсутствует. На активном участке
проекции ускорения на орбитальные оси постоянны. Представление
интервала времени как последовательности пассивного и активного
участков является условным. Так, движение спутника можно
представить последовательностью "активных" участков, на каждом из
которых действуют постоянные по величине и направлению
ускорения, вызванные возмущающими факторами, рассмотренными
ранее.
242

4.5. Упрощенная модель движения
Подсистему уравнений движения спутника в плоскости орбиты
(4.71) можно записать как
2rd + ra = fT,
где fR и fT - проекции возмущающего ускорения на радиус-
вектор и нормаль к нему в плоскости орбиты соответственно.
Линеаризуя эти уравнения в окрестности круговой орбиты,
получим
Ar-3a)%Ar-2V0Ad = fR, (4.118)
2а)0Аг + г0Ад = fT,
Дг = г-г0, Аг = г, (4.119)
Аа -a-co0t, Ad = а-щ.
Зная радиус опорной орбиты г0, найдем ее параметры:
^о = др> я>о= —• (4.120)
где
При постоянных (в течение активного участка) проекциях
ускорения уравнения (4.118) интегрируются аналитически. Решение
системы (4.118) на интервале [tk .. Jk+] =tk +тк] имеет вид:
243

4. Моделирование орбитального движения
Аг*+1 = ~T~vk +4 «nn -bk cos<pk +
. 2/Т{щ-*тщ) , /яЬк-сжЧк)
2 2
i , ■ \ 2/r(l-cosnit) fRsmj]k
(Oq COq
a a Pk 2°k Л \ 26i . ЗГь/т-
Аал+1 = Да* + ^v* *-(\-cos<pk)+ —-sin??* —;f-*- +
2n r0 r0
4(1 - cos^ )fT 2fR (rjk - sini7t)
VqCOq VqCOq
» • Щ 2<y0 / \
A«*+l = lTVk \ak Sm<Pk ~bk COS0J +
^4sin^ 3r^
V Vo
ro J
\fr~
2fR(\-cosrjk)
2rn
,(4.121)
где
vt= —
бяг
r0
2Ark+-^-
(4.122)
"k
COq
(4.123)
%
2th
bk =3Ark +—^-Ла ,
= щ{*к+Тк)> 77к=Щтк
(4.124)
(4.125)
244

4.5. Упрощенная модель движения
Индекс " к " относит переменную к моменту времени tK.
Заменим уравнения для Аг и Дг в (4.121) переменными а и
Ьу учитывая (4.123) и (4.124). В результате получим линейное
приближение решения уравнений, описывающих движение спутника в
неподвижной плоскости орбиты:
AaM=Aak+^vk C°S<Pk)ak
In r0
2sin^
ro
2гЛ
vk+\=vk+uk
tolfr + 4/^(1-cos/;^) 2fR{r]k -sinifc)
VqCQq
УоЩ
L (4.126)
aM = ak cos<pk + ^ sin^ + „—— + — "
*>о
*>o
6*+i = -a*sin^+^cos^ +
2fTsin?]k fR(lk-cosrjk)
col
col
где
и*=-
67tfTTk
(4.127)
Переменные состояния в уравнениях (4.126) имеют следующий
смысл. Положение спутника на возмущенной орбите относительно
положения на опорной орбите характеризуется величиной Аак.
Это есть угловое расстояние между радиус-вектором спутника и
радиус-вектором точки, которая движется по опорной орбите.
Изменение Аа за один оборот по опорной орбите есть величина vk,
которая называется скоростью дрейфа. Это определение нетрудно
проверить, рассмотрев первое уравнение системы (4.126) при
нулевых составляющих ускорения на интервале <рк = 2/г. Учитывая
245

4. Моделирование орбитального движения
(4.48) и (4.120), определение переменной ак (4.123) можно
записать иначе как
ак - r0ek sin^ . (4.128)
Покажем, что
J^. (4.129)
Для этого обратимся к соотношениям (4.34) и (4.35), откуда
найдем:
^ = Armax-Armin ? (4130)
2г0
гДе Д^тах = ra "><), Armin = гп ~г0 ПРИ /т = /* = ° •
Из первого уравнения системы (4.121) с учетом (4.123) и (4.124)
следует, что
&rrmx=-^~vk+yja2k+bl ,
Зяг
Зя
Подставляя найденные значения в (4.130), приходим к формуле
(4.129). Кроме того, из (4.128) и (4.129) получим
bk =r0ekcos3k. (4.131)
Таким образом, форма возмущенной орбиты полностью
определяется параметрами ак и Ък. Эти два параметра суть
компоненты вектора Лапласа, отнесенные к угловой скорости щ радиус-
вектора опорной орбиты. Переменные состояния Да, v, а и Ъ
полностью определяют возмущенную орбиту спутника
относительно круговой невозмущенной орбиты в неподвижной плоскости.
246

4.5. Упрощенная модель движения
Отметим, что переменная ик, введенная согласно (4.127), есть
приращение скорости дрейфа на интервале времени
['*--Л+1 ~h +тк] из_за постоянного трансверсального ускорения,
действующего в течение времени тк. При решении задач
управления движением спутника величина ик рассматривается как
управляющее воздействие.
Принимая во внимание соотношения (4.129), (4.128) и (4.131),
можно найти уравнение, описывающее эволюцию эксцентриситета
возмущенной орбиты:
ем = <\е\ + s\ + 2eksk cos(<pk - 0.5/7* + ^ - ¥к ) > (4-*32)
где
^=^sin^-, Ak=^flk+flk, tann =-£-.(4.133)
У0й)0 2 2JT
Теперь рассмотрим уравнения, описывающие положение орбиты в
пространстве. Как следует из системы (4.71), ускорение,
направленное по нормали к плоскости орбиты (бинормальная
составляющая), не влияет на движение спутника в ее плоскости. Поэтому
уравнения для Q, со и i можно линеаризовать относительно
опорных значений только с учетом бинормального ускорения.
Поскольку в течение пассивного участка (fN = 0) параметры Q, со и
i постоянны, рассмотрим только активный участок при
Введем дополнительные переменные
/?(/) = sini(t)sinco{t), х({) = sin(*)cos<a(f). (4.134)
Линеаризуя уравнение для наклонения на интервале времени
Т, т.е. полагая, что
ik+i = ik+Ai{r), (4.135)
где приращение Д/(г) достаточно мало, линеаризуем выражения
для дополнительных переменных:
247

4. Моделирование орбитального движения
flk+\ = (s*n,"jfc + &icosik)sina>, Xk+\ =(s^n4 +A^'cos^)cos^ . (4.136)
Отметим, что из (4.136) следует
Рк+\ +Хк+\ = (sin'* +AICOS/*)2
и, следовательно,
у cos ik
(4.137)
Дифференциальные уравнения для дополнительных
переменных получим дифференцированием выражений (4.134) по времени
и подстановкой производных из (4.71):
)5 = -^со81Л8т5, х = — cos/* cosi9 , (4.138)
где ik - наклонение в начале к -го активного участка. Уравнения
(4.138) легко интегрируются с учетом того, что на круговой
опорной орбите 3 = щ:
2/л/ ,
к 2
sm—
2
(4.139)
Л+1=^+тг^-С08|аН
V
2 J 2
В результате подстановки этих выражений в (4.137) получаем
уравнение для изменения наклонения за время активного участка в
виде
248

4.5. Упрощенная модель движения
Д*(Г):
tan2 ik + N tan^ sinl
( л г \2
-JJL-smJJL
2
Л*
sin—+
2
VqQ)q
J
-tan/^.
(4.140)
Уравнение для аргумента перигея сразу следует из (4.136):
<y(r) = arctan^-. (4.141)
Хм
Уравнение для долготы восходящего узла найдем из (4.71).
Принимая во внимание (4.135), можно записать, что
со
= - Qcos/« - Q(cos/£ - Aisinik) - - Qcos^ ,
откуда
Q(r) =
CO
(r)
cosik
(4.142)
4.6. Моделирование орбитальной обстановки
Орбитальная обстановка определяется положением спутника
относительно Солнца, Луны, звезд. Орбитальная обстановка может
оказывать существенное влияние на выбор даты запуска спутника.
Для проектирования системы энергоснабжения и
терморегулирования необходимо знание времени пребывания спутника в тени
Земли. Для систем наблюдения требуется прогноз прохождения
спутником станций приема информации. Модели, позволяющие
решать перечисленные задачи, рассматриваются в данном разделе.
Вспомогательная система координат. Для решения задач,
связанных с орбитальной обстановкой, удобно ввести дополнительную
249

4. Моделирование орбитального движения
систему координат с началом в центре Земли XJtJL^ Главная ось
Ха направлена в перигей орбиты. Направление оси Ya совпадает с
направлением движения спутника в плоскости орбиты. Ось Za
дополняет систему до правой тройки.
Единичные векторы положения спутника в плоскости X^Y^ при
известных его геоцентрических координатах имеют вид [18]
PY = cos со cos Q -sin со sin Q cos/
Py =cos<ysinQ + sintf>cosficos/
Pz = sin со sin/
Qx =-sin<ycosQ-cos<ysinQcos/
Qy = -sintf>sinQ + cos<ycosQcos/
Qz = cos со sin/
(4.143)
Положение Солнца определяется либо декартовыми
координатами в геоцентрической системе, либо углами прямого
восхождения и склонения as, 5S. Направляющие векторы Солнца имеют
вид:
Sx =cosSscosas
Sy ^cos^sinoy
Sz =sin^
(4.144)
Поикал тень
Рис. 4.10. Области тени
Расчет теневых участков орбиты. Различают две области
теневого участка орбиты: полная тень и полутень. Полная тень имеет
место в конусе со стороны, противоположной Солнцу, или как
область, где Солнце полностью закрыто Землей. Полутень - область,
250

4.6. Моделирование орбитальной обстановки
где Солнце закрыто Землей частично. Иначе, область полутени
лежит между областью полной освещенности и областью полной
тени. Геометрия тени Земли показана на рис. 4.10.
Рассмотрим общие условия, характеризующие вход в тень и
выход из нее. Элементы орбиты спутника считаются известными.
Сначала рассмотрим цилиндрическую модель тени, показанную на
рис 4.11. Аппроксимация области тени цилиндрической моделью
допустима для низких круговых орбит. Однако для
высокоэллиптической или геостационарной орбиты она может привести к
существенным ошибкам. Солнце и Земля рассматриваются как сферы
радиуса Rs и RE соответственно. Истинная аномалия в точках
пересечения орбиты с фаницей цилиндрической тени может быть
определена из уравнений
йлХ
+ а2х + а2х + а4х + а5
0,
(4.145)
3 = 2arctanx,
(4.146)
*
Орбита спутник*
где
Рис. 4.11. Цилиндрическая тень
ах = 52-cos20 + 2^(e-l)sin0 + C2(l-e)2,
а2 =4A[c(e-l)sine-B],
251

4. Моделирование орбитального движения
а3 = 4 А2 - 2{в2 + cos2 в)+ 1С2 (l - е)2 -4BCesin0,
a4=4A[c(e+i)sm0 + B],
a5 = В2 - cos2 в + 2ВС(е + l)sin<9 + С2 (l + ef,
А = (sin£y sini - cos,5s cos/ siny^cosu) - sinu>cos<S$ cosys,
В = (sin^ sim -cos£5 cos/sin/^sint» + cost» cos £y cosf5,
Rv —Ri
C= ;RE -
sin0 = -£ £-, X5 = Q ~as>
^ и ^ - прямое восхождение и склонение Солнца в
геоцентрической экваториальной системе координат; а, е, i, со, Q -
параметры орбиты.
В случае эллиптической орбиты уравнение (4.145) имеет четыре
вещественных корня. В случае круговой орбиты это уравнение
приводится к квадратному. Для вычисления корней уравнения
(4.145) в случае эллиптической орбиты можно использовать метод
последовательных приближений:
(4.147)
где
Д.=
A±yJA2+{B + Cesme)2
B + Cesind-D„
—sin# + cos#Jl-
V
1ъ)
2
9
-D2
R
Csin0 + cos0, \\-C
li^-ii)
l + x
n-l
/1 = 0
, я>1
252

4.6. Моделирование орбитальной обстановки
Здесь гя - радиус перигея орбиты. Знак "плюс" в (4.147)
соответствует входу в тень, а знак "минус" - выходу из тени. Точное
решение получается при п = О для круговой орбиты.
Прохождение спутником области тени также характеризуется
моментами времени входа и выхода, которые можно найти с
помощью уравнения Кеплера (4.43) как
t = -
п
arctan(w;c) -
етх
1 + (mxf J
0</<7\
(4.148)
где Т - период обращения. Длительность теневого участка есть
разность между двумя моментами времени, найденными по (4.148).
Область полутени можно найти из уравнений (4.145)-(4.148)
/? -4- R
подстановкой в = -J3, где sin/? = — —.
Условие взаимной видимости спутников. Геометрия условия
взаимной видимости двух спутников при сферической модели Земли
показана на рис. 4.12. Для
произвольного момента
времени имеем
Спутник 2
COS^v
_ Л г2
№1
(4.149)
где AJ - расстояние от центра
Земли до первого спутника;
?2 - расстояние до второго
спутника; q>v - угол между
векторами гх и г2. Для
граничного условия видимости
справедливо соотношение
%(Г)
Рис. 4.12. Геометрия видимости
двух спутников
cos(pv =-cos
(sl+s2).
(4.150)
Приравнивая (4.149) и (4.150), получаем уравнение "восхода-
захода" в виде
253

4. Моделирование орбитального движения
<bv=-r?r2+R2E -,](r?-R2E)(ri-R2E). (4.151)
При Фу=0 имеем условие "восхода" или "захода", а условие
Фу <0 определяет зону видимости. Векторы гх и г2 удобно
представить с помощью единичных векторов (4.143) как
rk=X„9kP + Y„9kQ, * = 1,2, (4.152)
где компоненты Хт к и Ya k можно выразить через радиус-вектор
и либо истинную, либо эксцентрическую аномалию:
ХсоЛ = г* cos .9* = ak(cosEk-ek),
Ya%k = rk sm&k = aky]\-eksinEk, к = 1,2. (4.153)
С использованием (4.152) и (4.153) условие (4.151) приводится
к виду
Фу = <*\Ха>9\Хюч2 +a2Ya),\Xa)92 + аЪХo),\YQ)y2 + a4Ya)9\Y6),2 + RE "
-#«П+^П-Л£)Й,2+^2-Л1). (4-154)
где fll = -/Г?; *г = -аг?2; «з = -*Г &; ^4 = -QxQi •
Коэффициенты Оу, у = 1... 4 являются функциями элементов
орбит двух спутников, и на интервале времени, соизмеримом с
периодом обращения, их можно считать постоянными. Значения
эксцентрической аномалии Ех и Е2, от которых зависит Фу ,
находим с помощью уравнения Кеплера. Принимая t0, E0 за
начальные условия, можно записать для первого спутника:
I — Iq — ^. 133;
л,
254

4.6. Моделирование орбитальной обстановки
и для второго спутника:
_E2-e2sinE2
t-rn2-— , (4.156)
п2
где гя> 2 ~ время последнего прохождения перигея вторым
спутником.
Исключая время t из уравнений (4.155) и (4.156), получим
Е\ -Ех#-ех(ьтЕх -smEx^nx(ry2 -/)+ El ~e2smEi щ у (4.157)
п2
где 0<t-r7r^2<2nln2. Теперь для определения условия взаимной
видимости необходимо подставить (4.153) в (4.154) и решить
уравнение
Ф(Е},Е2)^0 (4.158)
совместно с уравнением (4.157). В результате находим значения
эксцентрической аномалии Ех и Е2, которые соответствуют
времени "восхода" и "захода".
Ясно, что система трансцендентных уравнений (4.157), (4.158)
имеет несколько корней. Однако, если орбита одного из спутников
почти круговая, задачу взаимной видимости можно свести к
решению лишь одного трансцендентного уравнения относительно
эксцентрической (или истинной) аномалии другого спутника.
Рассмотрим этот случай.
Пусть ех «1, тогда уравнение (4.157) принимает вид
E]-Eh0=N(E2) = n]{T„t2-t)+Ei-e>SinE2ni. (4.159)
Применяя метод последовательных приближений к (4.159),
получим
Ех ~Еио =ro{x)+eiri{N)+el2y2{N)+e23ri(Nhe24r4(x)..., (4.160)
255

4. Моделирование орбитального движения
где
ух (N) = sin(N + Е]0)- sin£lj0,
r2(N) = rMcos{N + Eh0),
гМ = Г2(к)со*{м + £lp0)- ^^sin(tf + £1)0),
П3И"
гЛ*)=
УзН-
cos(^ + JE1>0)-yi(jVbHsin(^ + fili0).
Значение N = N(E2) вычисляется согласно (4.159). Получив
J?! как функцию Е2, можно выразить Фу только через Ег, В
результате задача сведена к определению корней уравнения
фЛе2) = 0. (4.161)
Для практических расчетов при ех «1 можно рекомендовать
следующий алгоритм решения уравнения (4.161):
- решить уравнение (4.156) относительно t, изменяя
эксцентрическую аномалию в сторону увеличения;
- решить уравнение (4.159) при найденных t и Е2\
- найти корни уравнения (4.160).
Интервалы времени, для которых выполняются условия (4.158)
и (4.161), соответствуют взаимной видимости спутников.
Условие видимости спутника с наземного пункта. Спутник
считается "наблюдаемым" из некоторой точки на Земле, если угол
между направлением на спутник из этой точки и плоскостью
местного горизонта (т.н. угол места) не меньше заданного ys.
Ограничение на угол места снизу необходимо для учета рельефа
местности, строений и т.д. Геометрия прямой видимости показана на рис.
256

4.6. Моделирование орбитальной обстановки
4.13. Координаты пункта наблюдения в геоцентрической
экваториальной системе координат можно найти по геофафическим
координатам с помощью (4.16). Из рис. 4.13 следует
rv=r + rs.
(4.162)
Спутник
t j Ндземным пункт
Для сферической
Земли длина вектора
fs равна ее радиусу.
В этом случае
предельное условие
видимости спутника из
пункта наблюдения
имеет место, если
угол между
векторами rs и г больше
я/2. Если же угол
места офаничен
снизу, то угол между
этими векторами должен быть не меньше чем я/2 + ys. Кроме
того, для учета полярного сжатия Земли минимальный угол места
необходимо увеличить на
Рис. 4.13. Условие видимости
ys = arccos
Gx sin <ps + G2 sm^ *
где Gj и G2 определены согласно (4.16).
Общее условие видимости имеет вид
Фу=гуг5й0,
или, с учетом (4.162):
(4.163)
{rs+r) rs+rvrssmys<0.
257

4. Моделирование орбитального движения
Принимая во внимание (4.143), (4.152) и (4.153), получаем
уравнение
Фу =
a(cosE-е)Р + а\\-е2 sinEQ
Ъ +
. (4.164)
+ rs +rvrssmys=0
Как следует из (4.164), в условие видимости входит
эксцентрическая аномалия спутника и, следовательно, время. С другой
стороны, геоцентрические координаты пункта наблюдения также
являются функциями времени. Координаты пункта наблюдения
(вектор rs) можно вычислить так, как это сказано в разделе 5.1. С
помощью уравнения Кеплера (4.43) исключаем время.
Следовательно, уравнение (4.164) можно решить относительно
эксцентрической (или истинной) аномалии численно. Однако условие (4.164)
можно просто проверять, например, при моделировании движения
спутника с некоторым шагом, для любого из заданных пунктов
наблюдения. Когда левая часть (4.164) становится отрицательной,
спутник "восходит" над пунктом наблюдения, а в противном
случае прямой контакт теряется.
Расчет трассы спутника. Трасса это след, оставляемый
пересечениями радиус-вектора спутника поверхности вращающейся
Земли.
Для построения трасс
используются сферические
координаты h , Я, <р , где
h - высота спутника над
поверхностью Земли; Я -
географическая долгота
точки, в которой находится
спутник, отсчитываемая от
гринвичского меридиана на
восток; <р -
геоцентрическая широта точки, в
которой находится спутник (см.
рис.4.14).
Трасса
Рис. 4.14. Трасса
258

4.6. Моделирование орбитальной обстановки
Геоцентрические сферические координаты вычисляются по
формулам
h = r-RE, (4.165)
q> = arcsin (sin и sini), (4.166)
А = Аа+ arcsinf ^£ ] - coEt, (4.167)
V tan/)
где Яд - геоцентрическая долгота восходящего узла орбиты; t -
время прохождения восходящего узла.
Смещение трассы за один оборот спутника определяется
формулой
АА = 2я — = То)Е, (4.168)
Те
где ТЕ - период суточного вращения Земли. Смещение трассы от-
считывается с востока на запад. Трассы последующих витков
невозмущенной орбиты можно получить смещением трассы
предыдущего на АЯ. Если отношение 2nlAm является иррациональным
числом, трасса никогда не повторяется. При этом он
последовательно проходит над всеми точками Земли в интервале широт
-*<?><;, о</<^/2 (4169)
i-я <<p<7r-i nl2<i<n
Если отношение 2nlАт=т/п - рациональное число (пит
- целые числа), трасса спутника повторяется через п витков, или
т суток.
В случае круговой орбиты
,=!!Й Г W, (4.170)
п 2л
259

4. Моделирование орбитального движения
где п - среднее движение спутника.
Уравнение трассы для эллиптической орбиты найдем
подстановкой (4.170) в (4.167) с учетом (4.166):
Лс{<р) = Ла + arcsinf^V—"Ы- (4.171)
^ tan/ J n
Расчет эфемерид Луны и Солнца. Для достаточно точного
определения координат Луны удобно использовать аппроксимацию
возмущенного движения тригонометрическими рядами Брауна [50],
по которым вычисляются эклиптические долгота А^, широта /Зт
и синус параллакса Пт :
Ли = L + ZДЛ sin(i/ + jV + kF + mD)+ ££, sin(a, + bti),
n i
A,=IflJ,sin(i/ + y/' + AF + mD),
П
Пш = 5>„ sin(//w + jV + kF + mD),
П
где первая сумма ряда долготы, широты и синуса параллакса -
солнечные члены, вторая сумма ряда долготы — планетные члены.
Коэффициенты этих сумм и значения солнечных и планетных
членов приведены в [50].
Фундаментальные аргументы Z, 1т, /', F9 D вычисляются по
формулам
1 = 0.75112060108 + 1336.8552309941Г-0.00314815-10-3Г2,
/ = 0.8225128009 + 1325.5523586343740.25532406.10"3Г2,
/' = 0.9957662037 + 99.9973604167Г -0.00041667- 10~3Г2,
F = 0.0312524691 + 1342.2278476389Г-0.00891975-10"3Г2 ,
260

4.6. Моделирование орбитальной обстановки
D = 0.9742707958 + 1236.8530950463Г~0.00398919-10"3Г2 ,
где время Т считается в юлианских столетиях от фундаментальной
эпохи 1900, 0-го января.
Координаты Луны в абсолютной геоцентрической
экваториальной системе координат вычисляются по формулам
В - Re
Ят —
m п
Xm = RmCOSfimcosA>m>
Ym = Rm (cos J3m sinAw coss - sin J3m sins),
Zm =;Rm(cosj3m sinAw sins + sinfim coss),
где £ - наклонение эклиптики к плоскости экватора; Re —
экваториальный радиус Земли.
Под движением Солнца понимается видимое отображение
орбитального движения Земли. Эклиптические координаты Солнца
рассчитываются по приближенным формулам:
Xs=RscosAs9
Ys =/?5sinA5cos£,
Zs = Rs sin Xs sins,
где
Rs= as\l-es) ^ a5=l49.5105,
l + e5cosi95
cos=L-D-l\ e, =0.01675104-0.0000418T,
5 -y
3S=MS+ 2es sinMs + -els sin2MS, Ms = /'.
261

4. Моделирование орбитального движения
4.7. Современные системы отсчета времени
С астрономической точки зрения существуют три системы
отсчета (измерения времени): равномерные шкалы, универсальное
время и динамическое время.
Рассмотрим вначале системы (шкалы) равномерного отсчета
времени: атомное время и Юлианский период.
Атомное время TAI (Международное время) основано на
измерении периода электромагнитных колебаний, которые возникают
при квантовом переходе между уровнями атома цезия; эта шкала
является практически равномерной.
Эта шкала используется, если интервал между событиями
достаточно мал (секунды, минуты, часы).
В тех случаях, когда интервал между событиями составляет
несколько дней, месяцев, лет, столетий, принять использовать
Юлианскую шкалу, которая фактически представляет собой
непрерывный подсчет дней без разделения на месяцы, годы и т.д.
Следующая группа временных шкал объединяет шкалы,
которые связаны с угловым вращением Земли: Универсальное
(Всемирное) время UT и Звездное время (ST).
В частности, для решения фундаментальных проблем
геодинамики и геофизики на основе обработки результатов лазерной
локации пассивных ИСЗ мы должны определять положение НИП,
учитывая нерегулярности вращения Земли.
Ежедневно мы используем одну из шкал Всемирного времени,
так называемое Всемирное Координированное время (UTC),
которое, с одной стороны, равномерно и, с другой стороны,
корректируется периодически в соответствии с нерегулярностями вращения
Земли.
Третий вид шкал времени используется при вычислении
текущего положения и эфемерид небесных тел в соответствии с
законами Ньютона. Это так называемое динамическое, или эфемерид-
ное, время. Существует Земное динамическое время (TDT) и
барицентрическое динамическое время (TDB), которые определяются в
зависимости от наблюдателя.
Рассмотрим теперь перечисленные шкалы времени более
подробно.
262

4.7. Современные системы отсчета времени
1. Атомное время
Эта система отсчета используется с 1955 года, поскольку в это
время был создан высокостабильный стандарт частоты,
основанный на измерении, возникающем при квантовых переходах внутри
атома.
Нестабильность атомной шкалы составляет величину порядка
110"11 с и не зависит от нерегулярности вращения Земли. В
соответствии с решением Международной комиссии в этой временной
шкале в качестве единицы измерения времени используется так
называемая атомная секунда, которая представляет собой
9192631770 периодов колебаний, возникающих при квантовом
переходе между уровнями / = 4, М = 0 и F = 3, M = 0 основного
состояния атома Цезия-133.
Атомная секунда принята в качестве единицы измерения
времени в Международной системе SI. IERS формирует шкалу TAI
путем определения атомных шкал различных стран мира.
2. Юлианский период
Эта шкала используется, начиная с XVI века, она охватывает
7980 лет и начинается с так называемого гринвичского полудня,
т.е. 12 часов UT на Гринвичском меридиане, 1 января 4713 от
Рождества Христова.
Юлианский день равен 86400 с шкалы S1; 36525 юлианских
дней равны юлианскому столетию. Так называемая стандартная
эпоха J2000.0 соответствует юлианской дате JD 2452545.0;
календарная дата стандартной эпохи - полдень 2 января 2000 года.
Стандартная эпоха J 2000.0 отделяется одним юлианским
столетием от фундаментальной J 1900, которая была принята ранее.
Календарное столетие короче юлианского на один день
вследствие нерегулярности вращения Земли. Используя юлианскую
шкалу, часто решают задачу определения числа дней " d " между
двумя календарными датами tx и t2 (tx<t2) для перехода между
двумя различными шкалами:
d=JD(t2 )~JD(tx).
263

4. Моделирование орбитального движения
J. Универсальное (Всемирное) время UT
ЦТ - среднее солнечное время на Гринвичском меридиане. Оно
используется для фиксации момента наблюдения небесных тел или
ИСЗ. Поскольку шкала UT связана с вращением Земли, она
неравномерна вследствие нерегулярностей в земном вращении.
В настоящее время существуют следующие шкалы UT:
UT0 - шкала времени, которая определяется так называемым
мгновенным положением Гринвичского меридиана (мгновенным
положением полюса Земли). Это положение определяется
ежедневно путем астрономических наблюдений.
UT1 - шкала времени, которая связана со средним положением
Гринвичского меридиана. Шкала UT1 может быть получена путем
коррекции шкалы UT0 на величину ЛЯ, вызванной движением
полюсов Земли.
£/П = ОТ0 + ДЛ.
Величина коррекции ЛЯ зависит от мгновенных координат
полюса Хр и Yp, которые определяются относительно так
называемого Международного условного начала (МУН) следующим
образом:
ЛЯ = -х • sinA + у • собЯ • tg<p,
где Я и <р - долгота и широта точки наблюдения.
UT2 - шкала времени, связанная с так называемым средним
Гринвичским меридианом, т.е. свободная от перечисленных
сезонных вращений угловой скорости вращения Земли.
UTR - шкала времени, свободная от влияния корректирующих
океанических приливов и приливов в твердом теле Земли.
UTC (Координированное Универсальное время) - всемирно
скоординированная универсальная шкала. Фактически UTC -
атомная шкала TAI, т.к. разница между датами одного и того же
события, определенного по шкале UTS и TAI, выражается целым
числом единиц с учетом того обстоятельства, что эта разница не
может быть больше 0.9 с. Такое условие обеспечивается
периодической коррекцией шкалы UTC путем прибавления положительной
секунды или путем пропуска отрицательной секунды.
264

4.7. Современные системы отсчета времени
В частности, 1 января 1990 года было установлено, что TAI-
UTC равняется + 25 с.
4. ZT (Зональное время)
Для практических целей используется так называемая
зональная временная шкала:
ZT = UTC + AZ.
Гринвичская зона имеет номер, равный нулю.
5. Земное динамическое время (TDT)
Эта шкала представляет собой независимую переменную
уравнений Ньютоновской механики движения небесных тел. Эта шкала
называется также эфемеридным временем (название "Земное
динамическое время" принято в 1986 году).
На практике очень удобно определять TDT, используя TAI,
следующим образом:
TDT = TAI + 32AS4 с
или, используя шкалу:
TAI-UTC = ALT1,
TDT = (UTC + AUTl) + AT(A),
где
AT(A) = TDT-UT\.
Связь между AUTl и АТ(А) публикуется в бюллетене IERS
серии В.
6. Барицентрическое земное динамическое время (TDB)
Шкала TDB представляет собой независимую переменную в
уравнении гравитационной теории движения небесных тел.
Соотношение между TDB и TDT определяется следующим образом:
265

4. Моделирование орбитального движения
TDB = TDT + Oy001658(g +0.0167 sing),
где g - средняя аномалия Земли:
g = (357.528 + 3599.050Г)2яг/360 ,
где Т - текущее время в юлианских столетиях, отсчитываемое от
эпохи J 2000.0.
Соотношения между перечисленными выше параметрами
показаны на рис. 4.15.
Гринвичский
меридиан
UT0 ит! UT2
к—>Ц=—зн
U(V=a
AZ
-0.9cj i+0.9c
Январь 1.0UT, 1972
| Дил
Январь 1.01ЛГ, 1997
lufc
ТА1=0
ITA1
; ! +31cSl I +32.184cSI i
K=i ЗЧ*£ >1
!UT1
*Т(А)
TDT TDB
- прямое восхождение гринвичского мериди ана
Рис. 4.15. Современные шкалы отсчета времени

5. УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ СПУТНИКА
5.1. Обсуждение проблемы
Необходимость управления движением спутников космической
системы на этапе целевого применения вызвана разными
причинами. Во-первых, это ошибки выведения, техническая
невозможность непосредственного выведения в нужное место орбитальной
структуры. Во-вторых, внешние возмущения, искажающие
структуру орбитальной группировки. В-третьих, необходимость замены
отказавшего спутника резервным из числа находящихся на орбите.
В общем случае можно выделить две технические задачи:
— перевод спутника с одной орбиты на другую или из одной
точки в другую на этой же орбите;
— удержание в орбитальной структуре.
Для перевода спутника требуются определенный промежуток
времени и энергетические затраты. Во время активной
эксплуатации системы необходимость перевода спутника может возникать
относительно редко.
Удержание, в отличие от перевода, - периодически
повторяемый процесс ликвидации малых отклонений параметров движения
от расчетных, номинальных.
Для управления движением спутника используются ракетные
двигатели координатных направлений, входящие в состав его
корректирующей двигательной установки. Принято различать
двигатели большой и малой тяги. Двигатели большой тяги обеспечивают
значительное изменение характеристической скорости спутника за
малый промежуток времени при отношении силы тяги к массе
спутника порядка десятых долей ускорения свободного падения. В
этом случае говорят о коррекции орбиты импульсами тяги.
Двигатели малой тяги характеризуются отношением тяги к массе
порядка сотых и тысячных долей ускорения свободного падения. Как
следствие, продолжительность работы двигателей малой тяги при
267

X Управление движением спутника
переводе спутника может быть значительной и соизмеримой с
периодом обращения по орбите. С практической точки зрения для
значительных перемещений спутника в пространстве больше
подходят двигатели большой тяги, в то время как для удержания —
двигатели малой тяги. Характер тяги учитывается на этапе
построении математической модели управления движением и, как
будет показано далее в этой главе, оказывает влияние как на
модель, так и на метод решения задачи управления спутником.
Другим фактором, оказывающим влияние на математическую
постановку задачи управления является возможность управления
тягой двигателя. В этом смысле различают регулируемые и
нерегулируемые двигатели. В первом случае можно говорить о
возможности построения программы (закона) изменения тяги двигателя,
приводящей к желаемой цели управления, а во втором - нет. Так,
нерегулируемый двигатель работает в режиме
"включен/выключен". Отмеченные факторы необходимо учитывать
как на этапе построения математической модели управления
спутником, так и при выборе метода решения.
Для определения стратегии управления переводом спутника или
его удержания привлекаются методы современной теории
управления, в которой выделяют две крупные задачи: программирование и
синтез оптимального управления движением динамической
системой.
При программировании управление определяется в виде
функции, зависящей от времени и начальных условий с последующим
вычислением соответствующей траектории движения. Например,
искомыми являются последовательность ориентации вектора тяги в
пространстве и величины корректирующих импульсов, которые
записываются в бортовой компьютер спутника и отрабатываются
системой управления орбитальным движением по заданной
программе.
При синтезе управления определяется зависимость
управляющего воздействия от параметров движения, доступных
измерительным устройствам. Например, если в любой момент времени вектор
состояния спутника известен точно, можно поставить задачу об
отыскании зависимости величины тяги двигателя от текущих
параметров орбиты - закона изменения тяги, позволяющего выполнить
268

5.1. Обсуждение проблемы
целевую задачу. Разумеется, математическая постановка должна
отражать технические возможности.
В результате решения задачи программирования фактически
определяется номинальная траектория движения. Для решения
таких задач используют необходимые условия оптимальности.
Решение задачи синтеза позволяет сформировать структуру
замкнутой системы управления, в состав которой входят заданные
средства измерения параметров движения. Для их решения лучше
всего подходят достаточные условия оптимальности. Однако, в
силу сложности применения последних, часто приходится применять
комбинацию необходимых и достаточных условий оптимальности с
другими методами, например методом фазовой плоскости,
параметризации закона управления и т.д.
При решении задач оптимального управления необходимо
учитывать различные возмущения, действующие на любой спутник.
Пренебрежение возмущениями зачастую просто недопустимо,
особенно когда требуется управлять конечным (терминальным)
состоянием, т.е. выводить спутник с высокой точностью в заданную
точку пространства. В связи с этим в дальнейшем будем выделять
три подхода: детерминированный, стохастический и минимаксный.
Аналогично будут называться и соответствующие задачи
оптимизации.
При детерминированном подходе возмущающие факторы либо
просто не учитываются, либо могут быть выражены точно в виде
детерминированных функций времени и(или) состояния спутника.
В результате решения получаются оптимистические оценки
качества системы и процесса управления.
При стохастическом подходе все возмущающие факторы
трактуются как случайные с заданными статистическими
характеристиками. В результате получается решение, которое можно считать
оптимальным в среднем.
При минимаксном подходе считается, что никакой
статистической информации о возмущающих факторах нет и поэтому они
трактуются как неопределенные, а известны лишь множества,
которым они принадлежат. В результате решения минимаксной
задачи получают гарантирующее управление и наиболее
пессимистические оценки качества управления.
269

5. Управление движением спутника
Наличие решений одной и той же технической задачи в трех
постановках дает солидную базу для принятия проектных решений
при проектировании системы управления орбитальным движением
как отдельного спутника, так и группировки в целом.
Математическая постановка задачи оптимального управления
любым динамическим объектом предполагает формирование
математической модели с определением области ее существования,
выбор критерия оптимальности и задание класса управления с учетом
информации, которая может быть использована при реализации
искомого оптимального управления.
Математическая модель управляемого движения представляет
собой либо систему обыкновенных дифференциальных уравнений,
либо систему явных зависимостей вектора состояния от
управления, начальных условий и времени. Первый случай соответствует
непрерывному по времени управлению. Второй случай формально
соответствует управлению в дискретные моменты времени,
например, импульсной коррекции движения. В связи с этим различают
задачи управления непрерывными и дискретными динамическими
объектами или системами. Рассмотрим постановки задач
оптимального управления.
Постановка задачи оптимального управления непрерывной
системой. Пусть математическая модель задана системой
обыкновенных дифференциальных уравнений
x = f(x,u,%)9 (5.1)
где х — вектор состояния в текущий момент времени t; и —
вектор управления, или просто управление; £ — вектор возмущений;
/(х, w, £) ~ вектор-функция, характеризующая вектор обобщенной
силы, действующей на КА.
Область определения модели (5.1) обычно задается условиями
типа
x(t)eX, u{t)eU, %{t)eE , te[o,T], (5.2)
где X, Uk, H - области изменений векторов x(t)eX, u(t), ^(t)
соответственно. Время Т есть время "существования" модели,
которое может быть либо фиксированным, либо свободным, подле-
270

5.1. Обсуждение проблемы
жащим определению в результате решения задачи. Вектор
начальных условий х(о), как правило, задан. Вектор состояния в
конечный момент времени может быть либо задан полностью, либо
задан частично, либо он должен принадлежать заданному множеству
х{т)еХ(т).
Не нарушая общности, в качестве критерия оптимальности,
подлежащего минимизации, можно рассматривать функцию
конечного состояния, т.е. терминальный критерий вида
J = F[x(T)]. (5.3)
Критерий (5.3) характерен для детерминированной задачи, так
как в этом случае его можно вычислить точно. При стохастическом
подходе необходимо рассматривать какую-либо статистическую
оценку этого критерия, например его математическое ожидание.
При минимаксном подходе нужна адекватная замена. В этой связи
критерий (5.3) будем называть первоначальным. Конкретные
трактовки первоначального критерия с учетом подхода будут
рассмотрены ниже.
Отметим, что интегротерминальный критерий вида
J = lf°(x9u)a + F[x{T)]9 (5.4)
о
где f°(x, и) - некоторая скалярная функция, может быть сведен к
терминальному
J = F[x{T)] = x0{T)+F[x{T)]
по отношению к расширенному вектору состояния х =(х0,х), где
дополнительная переменная состояния х0 определяется согласно
дифференциальному уравнению
*о=/°М> *б(0) = 0. (5.5)
271

5. Управление движением спутника
Задача программирования оптимального управления заключается
в определении такой функции u*(t), которая доставляет минимум
критерию (5.3), рассматриваемому адекватно принятому подходу к
учету возмущений, с учетом ограничений (5.1) и (5.2).
Задача синтеза оптимального управления заключается в
определении такой функции u*(t, x), которая доставляет минимум
критерию (5.3), рассматриваемому адекватно принятому подходу к
учету возмущений, с учетом ограничений (5.1) и (5.2).
Постановка задачи оптимального управления дискретной
системой. При управлении в дискретные моменты времени
математическая модель управляемого движения имеет следующий вид
хм =fk(xk>uk>€k) > * = 1,#, (5.6)
где хк, ик — соответственно векторы состояния и управления в
момент времени к \ fk — вектор-функция, связывающая векторы
состояния в соседние моменты времени; £к - вектор возмущений;
N — количество шагов управления, которое может быть либо
заданным, либо свободным, т.е. подлежащим определению.
В частности, уравнение (5.6) можно интерпретировать как
конечно-разностный аналог системы дифференциальных уравнений
(5.1) или как решение системы (5.1), например, при управлении,
заданном в параметрической форме.
Область определения модели (5.6) по аналогии с (5.2) задается
условиями
хкеХкУ ukeUk, %кеЕк, (5.7)
где Хк , Uk , Ек — области изменения соответствующих векторов.
Как и для непрерывной системы, без нарушения общности в
качестве критерия оптимальности можно принять функцию
конечного состояния
J = F(xN+]). (5.8)
272

5.1. Обсуждение проблемы
Интегротерминальный критерий
J=Zfk(4>»khF(*N+\) (5.9)
сводится к терминальному J = F(xN+])=xlf+l + F(xN+l) по
отношению к расширенному вектору состояния х = (х0,х), где
компонента *° определяется с помощью уравнения
хы=4+/к{*к>«к)> 4=0. (5.10)
Задача программирования оптимального управления теперь
заключается в определении такой последовательности
и* = \ик, k = l,N, , которая обеспечивает минимальное значение
критерия (5.8), рассматриваемого адекватно приятому подходу к
учету возмущений, с учетом (5.6), (5.7). Количество шагов N
может быть включено в состав искомого вектора управления, если
оно не фиксировано.
Задача синтеза оптимального управления состоит в
определении последовательности и* = \ик(хк)9 к = l,N j законов
управления ик(хк), которая обращает в минимум критерий (5.8) с учетом
(5.6) и (5.7).
5.2. Управление спутником при развертывании группировки
Постановка технической задачи. Необходимо перевести
резервный спутник из одной точки круговой орбиты заданного радиуса
г0 в другую для замены отказавшего. Спутник оснащен
регулируемыми двигателями малой тяги и трехосной системой стабилизации,
которая в процессе перевода постоянно ориентирует вектор тяги в
трансверсальном направлении (по нормали к радиусу-вектору).
Начальные и требуемые параметры орбиты известны точно, в
процессе управления они не измеряются. Требуется найти зависимость
ускорения (управление тягой двигателя) от времени, которая
обеспечит перевод спутника из одной точки орбиты в другую при ми-
273

5. Управление движением спутника
нимальных затратах рабочего тела. Изменением массы спутника
из-за расхода рабочего тела можно пренебречь. Время,
затрачиваемое на перевод, задано.
Математическая постановка задачи. Так как нас интересует
перевод в плоскости орбиты, в качестве модели движения используем
первые два уравнения системы (4.71), которые запишем в
нормальной форме Коши с учетом только трансверсального ускорения
от тяги:
г=Уя
Г
Г г
r> VTVR
VT=—i-Л + и
(5.11)
где VR и VT — радиальная и трансверсальная составляющие
вектора орбитальной скорости; и - ускорение от тяги двигателя,
которое является искомой функцией управления.
Предположим, что в процессе перевода спутник остается в
малой окрестности начальной круговой орбиты. Линеаризуем систему
уравнений (5.11) в окрестности круговой орбиты, полагая, что
отклонения
Ar = r-r0, AVR = VR
о, /?>
ЬУт=Ут~У%т>
где
^о, R ~ 0' ^о,т ~ ч]м/го > достаточно малы.
В результате линеаризации получим
Ar = AVR
AVT
Г° Г
AVR =а)цАг + 2а)0АУт
AVT - -a)0AVR +w
(5.12)
где щ
= VW-
274

5.2. Управление спутником при развертывании группировки
Запишем систему уравнений (5.12) в матричной форме
х = Ах + Вы,
(5.13)
где
х =
Аг
AS
AVR
AVT
А =
0
.^о.
r0
0)1
0
0
0
0
0
1
0
0
-coQ
0
1
'0
2(0
0
5 =
(5.14)
В начальный момент времени / = 0 вектор состояния х(6) = 0.
В конечный момент времени t - Т требуемый вектор состояния
должен быть хг(г) = хг = [0 А3гер 0 0J, где А&гер - угловое
расстояние, на которое необходимо перевести спутник.
Поскольку постановка технической задачи предусматривает
минимизацию расхода рабочего тела, в качестве критерия
оптимальности используем функционал, значение которого
пропорционально затратам топлива, например
J = a\u2dti
(5.15)
где положительный коэффициент а определяет предпочтение
проектировщика. Отметим, что критерий (5.15) непосредственно
оценивает затраты энергии электроракетного двигателя [7, 25].
Таким образом, область существования модели (5.13)
определена начальными и конечными условиями, а также интервалом
времени Ге[0,г].
Постановка задачи оптимизации. Требуется найти функцию
времени и*(/), которая обеспечивает перевод системы (5.13) из
заданного начального состояния х(о) в заданное конечное состояние
х(т) за фиксированное время Т при минимально возможном
значении критерия (5.15). Нетрудно видеть, что данная задача отно-
275

5. Управление движением спутника
сится к классу задач программирования оптимального управления
непрерывной динамической системой. Для решения задач этого
класса используют необходимые условия оптимальности [7, 25] .
Необходимые условия оптимальности для непрерывных систем
известны как "принцип максимума Понтрягина" [25]. Принцип
максимума определяет условия, которым должна удовлетворять
программа управления, доставляющая максимум критерию
оптимальности. Принцип максимума легко распространяется и на
случай минимизации критерия, принимая следующий вид [25]:
1. Если оптимальное управление u*(t) динамической системой
* = /(*» и) доставляет минимум критерию общего вида
J = ]f°(x,u)dt + F[x(T)]9
о
то оно минимизирует скалярную функцию - гамильтониан
Н{х,щч,) = /°(х,и)+Ч,Т/{х,и) (5.16)
в любой момент времени на интервале t е [о, Т], т.е.
Н\х*, м*, у/* )= minHxx*, и, и/*), (5.17)
где у/ — вспомогательная оптимальная вектор-функция.
2. Оптимальные векторы х и у/ удовлетворяют
канонической системе
. дН\х\и\\1/)
дх.
(5.18)
276

5.2. Управление спутником при развертывании группировки
которая образует краевую задачу для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений.
3. Граничные условия системы (5.18) имеют вид
х*(0)=х(0), W\T) = -
[*'(fl 1
дк
(5.19)
Нетрудно видеть, что для отыскания оптимального управления
необходимо решить двухточечную краевую задачу для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, причем вектор
управления в каждый момент времени определяется согласно
(5.17).
Решение краевой задачи является наиболее сложным этапом
программирования оптимального управления. Некоторые свойства
гамильтониана позволяют несколько облегчить решение. Так,
можно доказать, что на оптимальной траектории гамильтониан
постоянен, а при свободном времени окончания процесса управления
~ равен нулю: #(**, и*,ц/*)=0 \/te[o,T].
При изменении знака в граничном условии для
вспомогательного вектора на обратный, т.е. при
w(t)
afc(T)
ck
минимизация гамильтониана в (5.17) переходит в его
максимизацию и необходимые условия принимают вид принципа максимума
Понтрягина
Н\х*, и*, у/*)- тахЯис*, и, у/*).
Рассмотрим формулировки необходимых условий
оптимальности при различных формах критерия и терминальных требований.
При накладываемом на вектор конечного состояния
дополнительном ограничении
g[x(T)] = 0, (5.20)
277

5. Управление движением спутника
где g - векторная функция, граничное условие для
вспомогательного вектора принимает вид:
г.(г) М*(т))+я'гШ^
(5.21)
ОХ
где Я — вектор неизвестных множителей Лагранжа, который
подлежит определению с помощью условий (5.20).
Если вектор конечного состояния задан полностью или
частично (т.е. часть его может принимать любые значения), то граничные
условия для компонент вспомогательного вектора принимают вид
у/*(г) = 0, если x*j(T)-свободна 1
у/* (Т) = любое значение, если х* (т) - фиксирована!
Решение задачи. Согласно (5.13), (5.15) и (5.17) имеем
Н(х,и,ц/) = аи2 +у/ (Ax + Bu).
Минимизируя гамильтониан по управлению и, получим
зависимость управления от вспомогательного вектора
w*=- — fiV (5.23)
2а
и уравнения канонической системы
х =Ах*- — ВВтч/\ *(0) = 0, (5.24)
2а
у/* =-Ату/*, х(г)=хг.
Таким образом, отыскание программы управления сведено к
решению краевой задачи. Покажем, что в рассматриваемом случае
ее можно решить в конечном виде. Введем в рассмотрение
расширенный вектор состояния и блочную матрицу коэффициентов
уравнений (5.24):
278

5.2. Управление спутником при развертывании группировки
х =
А =
А\- — ВВТ
—^ 2в
Г _ at
О
Тогда систему (5.24) можно записать как
х = Ах.
Общее решение однородной системы (5.26) имеет вид
*М = Ф('>'о)*('о)-
(5.25)
(5.26)
(5.27)
Как было показано в разделе 4.5, фундаментальная матрица
ф(м0) отыскивается путем решения уравнения (4.106). Переходя
к исходным векторам, получим
^\t) = O2X{tJ0)x\t0)+O22(t9t0)^\t0)l9
(5.28)
где Ф,у(*, t0), i=l,2, У = 1,2 - блоки фундаментальной матрицы
ф(г, f0), соответствующие векторам х и у/ . Полагая в уравнениях
(5.28) t0 = 0, t = Т и используя известные граничные условия
системы (5.24), находим связь терминального вектора состояния и
начального вспомогательного вектора
хт(т) = хт=Фп(Т,0)ч,*(0).
Если матрица Ф12(Г, 0) имеет обратную матрицу, то
/(0)=[Ф12(Г,0)]-,лг, (5.29)
откуда получаем решение второго уравнения системы (5.28)
</(,)=ф22М)[ф12(т\ o)]"V
279

5. Управление движением спутника
Подставляя это решение для вектора y/*{t) в выражение (5.23),
находим оптимальную программу управления
и*(0=-Т"ЯгФ22(г,0)[Ф12(Г,0)]-1хг. (5.30)
2а
Чтобы применить найденное решение на практике, необходимо
получить выражения для элементов фундаментальной матрицы
ф(г, f0). Для этого можно использовать как известные методы
решения обыкновенных дифференциальных уравнений, так и
специальные методы нахождения фундаментальной матрицы.
5.3. Минимизация расхода топлива
Как показано в предыдущем разделе, применение необходимых
условий оптимальности приводит к двухточечной краевой задаче
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Методы решения подобных задач достаточно сложны. Оказывается, что
решить краевую задачу значительно проще, если терминальный
вектор жестко не закреплен. Соответствующую техническую задачу
мы и рассматриваем в данном разделе, но в более общем виде.
Попутно демонстрируется применение безразмерных компонент
вектора состояния.
Постановка технической задачи. Требуется заменить вышедший
из строя спутник резервным. Для этого резервный спутник надо
перевести из одной точки круговой орбиты радиуса г0 в
окрестность той точки, где находится заменяемый. Спутник оснащен
регулируемыми двигателями малой тяги, создающими реактивное
ускорение в направлении радиуса-вектора и по нормали к нему.
Величина управляющего ускорения ограничена сверху по модулю.
Начальные параметры орбиты известны точно, в процессе
управления они не измеряются. Требуется найти зависимость
ускорения (управление тягой двигателя) от времени, которая обеспечит
перевод спутника из одной точки орбиты в другую при
минимальных затратах рабочего тела с учетом терминальных ограничений:
\r{T)-r0\<Arm,
280

5.3. Минимизация расхода топлива
&{Т)-Эпер\<\9,
(5.31)
УЛ{т)\*6Ук
Rm »
\VT(T)-V0\<AVTm,
где V0 - круговая скорость на орбите радиуса r0; Arm, А^,
AVRm9 AVTm- заданные значения; &пер- угловое расстояние
перевода. Дополнительно следует учесть ограничение на модуль
управляющего ускорения. Время, затрачиваемое на перевод, задано.
Изменением массы спутника из-за расхода рабочего тела
можно пренебречь.
Математическая постановка задачи. Так как перевод спутника
осуществляется в плоскости орбиты, в качестве модели движения
используем первые два уравнения системы (4.71), которые запишем
в нормальной форме Коши с учетом ускорений от реактивной тяги
двигателей радиального и трансверсального направлений:
Vr
VT
r-
S =
J±
r
■Vr
r
2
r"
vTv„
+ ur
+ Щ
(5.32)
где VR и VT - радиальная и трансверсальная составляющие
вектора орбитальной скорости; ur, ut — ускорения от тяги двигателей
радиального и трансверсального координатных направлений,
которые является искомыми функциями.
Перейдем в уравнениях (5.32) к безразмерным переменным. В
качестве безразмерного расстояния примем отношение реального
(размерного) расстояния к радиусу опорной орбиты г0.
Безразмерную скорость определим как отношение реальной скорости к кру-
281

5. Управление движением спутника
говой скорости на опорной орбите, а безразмерное ускорение как
отношение реального ускорения к ускорению свободного падения
на высоте опорной орбиты. Безразмерное время есть отношение
реального времени к периоду обращения спутника по орбите
реального радиуса г0.
Связи размерных (реальных) параметров движения с
безразмерными имеют вид:
расстояние:
г = г г0;
(5.33)
~ скорость:
(5.34)
— ускорение:
и = и
го
(5.35)
время:
'-'*•£■
(5.36)
где безразмерные переменные отмечены символом (*).
Переходя в (5.32) к новым переменным согласно (5.33)—(5.36) и
опуская символ (*), получим
Vr-
vT
г -
& =
Г
-vR
г
1
г2
_ VtVr
+ ur
+ ut
(5.37)
Линеаризуя уравнения (5.37) в окрестности круговой орбиты
единичного радиуса, получим:
Ar = AVR,
282

5.3. Минимизация расхода топлива
A9 = -Ar + AVT,
AVR = Ar + 2AVT + ur,
AVT=-2AVR+ut.
Перейдем к матричной записи уравнений (5.38)
х = Ах + Ви,
где
х =
Дг
A3
AVR
AVT
А =
0 0
-1 0
1 0
0 0
1 0"
0 1
0 2
-1 0
, в =
"0 0"
0 0
1 0
0 1
, « =
"о"
0
"г
.иЛ
(5.38)
(5.39)
(5.40)
состояния
В начальный момент времени t = 0 вектор
хг(о) = хг =[0 А$гер 0 Oj, где А$гер - безразмерное угловое
расстояние, на которое необходимо перевести спутник. В
конечный момент времени t-T компоненты вектора состояния должны
удовлетворять неравенствам (5.31). Аппроксимируем терминальные
ограничения правильным эллипсоидом, который вписан в
четырехмерный параллелепипед со сторонами, соответствующими
правым частям. Тогда систему неравенств (5.31) и ограничение на
модуль ускорения можно заменить приближенными аналогами [7]
хт{т)Кх(т)< 1, f(uTWu)dt <1,
(5.41)
283

5. Управление движением спутника
где
К =
Агт
О
О
О
О
1
А^
О
О
О
1
AV„
О
О
О
1
AF,
Тт
W =
1
ul(T-t0)
О
О
1
«l(T-t0y
ит - максимально допустимое ускорение от тяги двигателя.
Таким образом, выбор вектора управления должен быть
осуществлен с учетом ограничений (5.41). Поскольку интеграл от
управления в (5.41) пропорционален затратам рабочего тела, поставим
задачу определения оптимальной программы u(t), которая
обеспечивает минимизацию функционала
J
= a\(uTWu)dt+xT{T)Kx{T)9
(5.42)
где множитель Лагранжа а необходимо подбирать так, чтобы
выполнялось требование хт(т)Кх(т)< 1.
Решение задачи программирования. С учетом вида уравнений
движения (5.39) и критерия (5.42) гамильтониан примет вид
Я(х, у/, и) = оси TWu + у/ т (Ах + Ви),
где W = aW .
Минимизируя гамильтониан по управлению м, получим
зависимость управления от вспомогательного вектора
2а
(5.43)
284

5.3. Минимизация расхода топлива
и уравнения канонической системы
х* = Ах* - — BWABTy/*, (5.44)
2а
\j/ --Ац/.
Поскольку в критерии (5.41) присутствует функция
терминального вектора, согласно (5.19) имеем
у/{т)=2Кх(т). (5.45)
Вторым граничным условием для канонической системы является
вектор состояния х(о). Для решения краевой задачи воспользуемся
следующим приемом. Допустим, что вспомогательный вектор
удовлетворяет условию
yf(t) = 2K(t)x(t), (5.46)
где K(t) - неизвестная матрица, зависящая только от времени.
Нетрудно заметить, что (5.46) удовлетворяет фаничному условию
(5.45) при К(Т) = К. Найдем производную вспомогательного
вектора (5.46) по времени
\j/ = 2Кх + 2Кх.
Подставляя сюда производные по времени оптимальных векторов
х и у/ согласно (5.44), получим матричное дифференциальное
уравнение относительно неизвестной матицы K(t)
-K = KA + ATK--KBW~lBTK (5.47)
а
с фаничным условием к(т) = К. Таким образом, предположение
(5.46) доказано. С учетом (5.46) выражение для оптимального
управления примет вид
285

5. Управление движением спутника
и* =--W-lBTKx. (5.48)
а
Формально данный результат является законом управления, для
реализации которого необходимо непрерывно измерять вектор
состояния спутника. Однако в рамках детерминированной задачи в
этом нет необходимости, поскольку текущий вектор состояния
можно вычислить в любой момент времени интегрированием
замкнутой системы управления. Итак, для реализации управления
необходимо задать интервал времени Т, начальные условия и
терминальные требования. Затем интегрируется матричное уравнение
(5.47) на интервале времени t е [г, 0] с известным граничным
условием к(т) = К. В результате находим к(о). Далее совместно
интегрируются уравнения (5.39) и (5.47) на интервале времени
/ е [О, Т] с учетом (5.48). В результате находим управление,
траекторию и вектор состояния спутника в конце перевода.
Формально мы получили решение задачи синтеза оптимального
управления. В строгом смысле такая задача возникает, когда
необходим учет случайных и (или) неопределенных факторов. Но
иногда целесообразность синтеза управления удается обосновать и в
детерминированной задаче. Примером может служить только что
рассмотренный случай.
Задача синтеза оптимального управления связана с
достаточными условиями оптимальности, формулировка которых дается
ниже.
Достаточные условия оптимальности для непрерывных
детерминированных систем формулируются с использованием понятия
"функция будущих потерь" [25]. По определению, функция
будущих потерь равна наименьшему значению критерия
т
J = lf°(x,u)dt + F[x(T)] при движении системы x = f(x, и) с
о
момента t из состояния x(t):
R(x, t)= min ч
lf°{x9u)dT + F[x{T)]
(5.49)
286

5.3. Минимизация расхода топлива
Можно показать, что в случае интегротерминального критерия
(5.4) уравнение Беллмана принимает вид
cR(x, t)
*—- = mm .
a u{t)eU(tj
/°M"
dRT(x,t)
dx
A*,")
(5.50)
с граничным условием
R(x,T) = F[x{T)].
(5.51)
Таким образом, в непрерывном случае функция будущих потерь
определяется в результате решения уравнения Беллмана.
Параллельно отыскивается оптимальное управление w*(x, t).
Для решения уравнения Беллмана приходится прибегать к
численным методам. Однако в случае линейной системы при
квадратичном критерии оптимальности решение удается получить в
конечном виде. Покажем это на примере рассматриваемой задачи
управления конечным состоянием.
Уравнение Беллмана (5.50) принимает вид
cR(x, t)
*—- = mm|
dt ь
оси
Ttj, cRT(xj), а n ч
dx
(5.52)
при граничном условии
R(x,T) = xt(t)Kx(t).
(5.53)
В результате минимизации правой части уравнения (5.52)
получим
2а дх
Подставляя управление в уравнение Беллмана, получим
(5.54)
oR{x,t)= 1 mT{x,t)BW_lBTm(x,t)icRT(x,t)ix (555)
dt 4а дх дх дх
287

5. Управление движением спутника
Будем искать решение в виде
R(x,t) = xTK(t)x,
(5.56)
где матрица K(t) зависит только от времени. Подстановка (5.56) в
(5.55) дает
-xTkx = --xTKBW~]BTKx + 2xTKAx.
а
Отсюда следует, что матрица K{t) должна удовлетворять
уравнению
-K = KA + ATK--KBW-lBTK
а
(5.57)
1.20-
0.80-
0.40-
0.00-
Так как при t-T должно
выполняться граничное
условие (5.53), то
К(Т) = К. (5.58)
С учетом выражения (5.56)
для функции будущих по-
Энергозатраты терь оптимальное
управление принимает вид
Точность
—■ 1 ' 1 ' 1 ' 1
| 200 400 б.оо ао
14*экитель Латраняв
Рис. 5.1. Типичные зависимости
энергозатрат и терминальной
точности от множителя Лагранжа
u*(x9t) =
= --W-xBTK(t)x= (5.59)
а
= -L(t)x,
где введено обозначение
L{t) = -W-xBTK{t). (5.60)
а
Оптимальная система управления, соответствующая
найденному решению, является линейной системой с переменными по вре-
288

5.3. Минимизация расхода топлива
мени коэффициентами обратной связи, представленными в виде
матрицы L(t). Характерной является зависимость коэффициентов
обратной связи от времени даже в случае, когда матрицы А и В
от времени не зависят.
На рис. 5.1 показаны типичные зависимости энергозатрат и
терминальной точности от множителя Лагранжа. Нетрудно
убедиться, что минимум расхода рабочего тела достигается, когда
терминальная точность находится на границе, т.е. при хт(т)Кх(т)= 1.
В нашем примере это имеет место при а = 6.25.
5.4. Коррекция орбиты импульсами тяги
При импульсной тяге временем работы двигателя коррекции
можно пренебречь. В этом случае вместо дифференциальных
уравнений удается найти зависимости, прогнозирующие параметры
орбиты спутника по вектору состояния в момент коррекции,
величине и направлению импульса тяги в явном виде [7, 40]. Модель
движения становится дискретной. Важно понимать, что с точки
зрения рассматриваемых нами подходов принципиальным
фактором является именно формальная дискретность модели движения.
В главе 5 показано, что при постоянном ускорении от тяги
дифференциальные уравнения возмущенного (управляемого) движения
спутника сводятся к дискретной модели, которая явно учитывает
длительность работы двигателей.
Постановка задачи оптимального управления дискретной
системой. При управлении в дискретные моменты времени
математическая модель управляемого движения имеет следующий вид
**+i = /*(**>"*) > k = \,Ny (5.61)
где xkJ uk - векторы состояния и управления в момент времени
k\ fk - вектор-функция, связывающая векторы состояния в
соседние моменты времени; N - количество шагов управления
(коррекций).
289

5. Управление движением спутника
Область определения модели движения задается условиями
общего вида
xkeXk, ukeUk, (5.62)
где Xk, Uk - заданные множества.
Без нарушения общности в качестве критерия оптимальности
можно принять функцию конечного состояния
' = ^(**+i). (5.63)
Интегротерминальный критерий
J=ifk(xk>«k)+F(*N+x) (5.64)
сводится к терминальному J = F(xN+l) = x(h+l + f(xn+1) по
отношению к расширенному вектору состояния х=(х0,х), где
компонента jc° определяется с помощью уравнения
**+1 =*? + /?(**.«*). *.°=0- (5-65)
Задача программирования оптимального управления заключается
в определении последовательности значений и* = {ик , k = \,N f ,
которая минимизирует критерий (5.63) с учетом ограничений
(5.61), (5.62).
Задача синтеза оптимального управления заключается в
определении последовательности функций и* - \ ик (хк), к = 1,N ),
которая обращает в минимум критерий (5.63) с учетом
ограничений (5.61) и (5.62).
Если количество шагов (коррекций) заранее не задано, его
следует включить в состав обобщенного вектора управления.
Необходимые условия оптимальности. Для дискретных систем
необходимые условия оптимальности достаточно сложны.
Ограничимся случаем, когда гамильтониан является выпуклой функцией
вектора управления на любом шаге, т.е. имеет единственный ми-
290

5.4. Коррекция орбиты импульсами тяги
нимум по вектору управления в любой момент времени. При этом
необходимые условия оптимальности формально имеют тот же вид,
что и для непрерывной системы. При терминальном критерии
оптимальности дискретный гамильтониан имеет вид
нк(**> Ч> П+1) = vL\ fk(хк>uk)> (5-66)
где вспомогательный вектор определяется с помощью
рекуррентного соотношения
ЯГк(хк,«к,ум) (56?)
дхк
при граничном условии
^1=^^. (5-68)
Вспомогательный вектор имеет следующую интерпретацию.
Пусть последовательность и = [ик(хк), k = l,Nj задана и
соответствующие ей последовательности векторов \хк , к = 1,N |
вычислены с использованием уравнений движения (5.61). Можно
доказать, что вектор частных производных гамильтониана (5.66) по
вектору управления на к -м шаге равен производной критерия по
этому вектору управления, т.е.
Я дНк (** > Щ, у/к+х) _ dfl (хк, ик ) ,
-г-- Wk+\- \>я»)
оик аик оик
Формула (5.69) совместно с (5.67), (5.68) дает эффективный
алгоритм вычисления градиента критерия при поиске
оптимального управления с помощью численных методов первого порядка.
Если допустимые множества управления Uk^k-\^N
выпуклые, а гамильтониан есть выпуклая функция управления
\ик , k-\,N f на каждом шаге, то необходимые условия
оптимальности формулируются следующим образом.
291

5. Управление движением спутника
1. Гамильтониан достигает минимума по управлению на
каждом шаге:
^к\хкУк^м)= т™ н\хк>ик>Ук+\У (5-7°)
Ч*ик
2. Ошш, последовательное™ ветров {щ },Ц).
k^ljN удовлетворяют канонической системе
рекуррентных соотношений
• _Жк\Ч>икУк+\)_ f(* Л г*
хк+\ - д - Jk\xk>ukb х\ -X
Vk *—z S Vn+\ - ~Т
схк vxn+x
. (5.71)
3. При интегротерминальном критерии (5.64) гамильтониан
имеет вид
Нк(хкjик>Ч*к+\) = fk fa>wк)+v[+i/*fa> "*) • (5.72)
4. При дополнительном ограничении на вектор состояния
gfar+1) = 0 граничное условие для вспомогательного вектора есть
Vn+\='
H*tt+iMrg(4+i)l
дк
N+\
где вектор Я должен быть найден с использованием условий
g(x*N+\h°-
Поиск оптимальной программы коррекции. Обратимся к задаче
управления конечным состоянием спутника, рассмотренной в
разд.5.3. В качестве исходной будем рассматривать упрощенную
модель возмущенного движения спутника в неподвижной
плоскости орбиты (4.126). Запишем эти уравнения в матричной форме
хк+\=Акхк+ВкЧ> k = \,N.
(5.73)
292

5.4. Коррекция орбиты импульсами тяги
Если временем работы двигателей координатных направлений
можно пренебречь, то матрицы А и В будут зависеть только от
длительностей интервалов времени между коррекциями, которые
будем считать заданными заранее.
Критерий оптимальности (5.42) заменим его дискретным
аналогом
J=Zulwkuk+Xr+lKxN+x, (5.74)
где множитель Лагранжа а учтен в формулах для элементов
матрицы W.
Согласно (5.72) составим гамильтониан:
нк(хк>Vk>uk) = ulwk"k + vl+\ (АкЧ + вкик)•
При положительно определенной матрице Wk минимум
гамильтониана достигается при
uk=~W-xBT¥k. (5.75)
Дискретная каноническая система (5.71) примет вид
**+i = АкЧ --Bkw~XBTVk+\ >
П = 4V*+i > (5-76>
с граничными условиями
хх - задан, y/N+x = ЕшЛ = 2&с„+1. (5.77)
ох
Как и в непрерывном случае, получили краевую задачу для
системы дискретных уравнений (5.76).
Достаточные условия оптимальности. Рассмотрим задачу синтеза
управления дискретной детерминированной системой, описывае-
293

5. Управление движением спутника
мой уравнениями (5.61). Требуется найти последовательность
\uk(xk)9 k = \,N , которая обращает критерий (5.63) в минимум.
Предполагается, что вектор начальных условий хк задан точно.
Введем в рассмотрение функцию
Rk (**)=/ min— \F(xN+\) > (5-78)
позволяющую оценить минимальное значение критерия (5.8),
которое может быть достигнуто при оптимальном управлении
системой (5.6), начиная с к -го шага. Функция (5.78) называется
функцией будущих потерь.
Раскрывая правую часть (5.78), начиная с последнего шага
k-N, получим
Rk{хк) = min Rk+l[xk+x = f(xk9uk)]. (5.79)
В соответствии с (5.78) при k = N функция будущих потерь равна
RN(xN)= min F[xN+x=f(xN,uN)]. (5.80)
uNeUN
Следовательно, функция будущих потерь удовлетворяет
рекуррентному соотношению (5.79) при граничном условии (5.80), которое
можно заменить на следующее:
RN(xN) = F{xN+x). (5.81)
Нетрудно проверить, что последовательность (и*(х*), k = l9Nf9
удовлетворяющая рекуррентному соотношению (5.79), доставляет
минимум критерию задачи. Это следует из определения функции
будущих потерь, которое при к = 1 примет вид
Rx{xl)=, mm_.F(xN+l).
[uxeUuj=\tN }
Иными словами, рекуррентное соотношение (5.79) можно
считать достаточным условием оптимальности последовательности
I "*(**)> к = l,N J. Оно реализует метод динамического програм-
294

5.4. Коррекция орбиты импульсами тяги
мирования, созданный Р.Беллманом в середине 50-х годов на
основе сформулированного им принципа оптимальности,
утверждающего, что оптимальное управление на данном шаге не зависит
от предыстории системы и определяется ее текущим состоянием и
целью управления.
Применение достаточных условий оптимальности приводит к
N -кратному использованию рекуррентной формулы (5.79) начиная
с момента k-N, с определением на каждом шаге оптимального
управления u*k(xk). При этом определению подлежит только одна
компонента последовательности управлений ик(хк), доставляющая
минимум функции будущих потерь.
Метод динамического программирования можно трактовать как
численный метод синтеза оптимального управления, который
заключается в многошаговой минимизации функции векторного
аргумента. Сложность численной минимизации в данном случае
заключается в том, что приходится запоминать численный образ
функции будущих потерь, размерность вектора аргументов которой
от шага к шагу растет. Поэтому на практике применяют различные
методы аппроксимации функции будущих потерь, например
полиномами [7, 23, 25].
Нетрудно проверить, что при интегротерминальном критерии
(5.64) достаточное условие оптимальности имеет вид
Rk (xk ) = т™ {fk (xk >uk) + Rk+\ k+i = f(xk > uk )] (5-82)
с граничным условием (5.81).
Отметим, что наличие ограничений на вектор состояния
xk e Хк не оказывает влияния на вид достаточных условий.
Проиллюстрируем применение достаточных условий
оптимальности на примере задачи коррекции орбиты импульсной тягой
(5.73)—(5.74). Требуется найти последовательность векторов
и* = [ик(хк)9 k = l9N j9 или, иначе, - алгоритм коррекции,
который обеспечивает минимум критерия (5.74).
295

5. Управление движением спутника
Применяя достаточные условия оптимальности к данной
задаче, получим
Rk {ч ) = min[ ul Wkuk + Rk+X (xM =Akxk+Bkuk)\ (5.83)
ч
при граничном условии
RN+\ \xN+l) = xN+\K*N+\ •
Рассмотрим последний шаг к = N. Из (5.83) следует
RN{xN)=mm[u%WNuN +{ANxN +BNuN)TK(ANxN +BNuN) .
uN
Оптимальное управление находим с помощью необходимых
условий экстремума функции векторного аргумента в правой части
этого соотношения:
WNuN + BTNKANxN + BTNKBNuN = 0.
Откуда получаем алгоритм последней коррекции
uN = -G-NxBTNKANxN = -LNxN , (5.84)
где
GN =WN+ BNKBN , LN = GN BNKAN
Считается, что матрица Gk неособенная, положительно-
определенная, что является достаточным условием минимума
функции векторного аргумента. Подстановка найденного закона
управления в правую часть определения функции будущих потерь
приводит к следующему выражению для самой функции
RN \XN )~XNKNXN > гДе
kn =ANKAN -ANKBNLN -LNBNKAN +LNGNLN ,
296

5.4. Коррекция орбиты импульсами тяги
или после преобразования
K\r — АхтКАм —LkjGxtLx
Далее аналогичные операции выполняются для шага k-N-1.
Можно показать, что в результате получим точно такую же
структуру зависимости функции будущих потерь от вектора состояния,
что и на шаге k = N.
Покажем методом индукции, что в любой момент времени
функция будущих потерь есть квадратичная форма вектора
состояния
Rk Vе к ) = хкКкхк- (5.85)
Очевидно, что (5.85) удовлетворяет фаничному условию при
k = N +1. Допустим, что оно справедливо для j = к +1:
Rk+\ (**+1) = хк+\Кк+\хк+\ '
Согласно (5.83)
Rk(xk)=m™[uIwk"k ЛЛк*к +Bkuk)TKk+x{ANxN+BNuN)\9
ч
откуда находим закон управления
Ч =-1кхк> (5-86)
где
Lk = G'kxBTkKMAN ; Gh=Wk+ ВткКк+хВк . (5.87)
Вектор управления (5.86) является оптимальным, если матрица Gk
- положительно-определенная. Функцию будущих потерь
приводим к виду (5.85) с учетом выражений (5.86) и (5.87). При этом
матрица Кк удовлетворяет уравнению
Кк = ANKk+lAk -LkGkLk (5.88)
297

5. Управление движением спутника
при граничном условии KN+l = К . Отметим, что матрицы Gk
оказываются положительно-определенными при
положительно-определенных матрицах Wk и Кк.
Итак, показано, что при линейной модели движения и
квадратичном критерии оптимальности закон управления есть линейная
функция текущего вектора состояния.
5.5. Коррекция орбиты с учетом случайных ошибок
управления
Как было отмечено в главе 4, наиболее характерными являются
аддитивная (4.101) и мультипликативная (4.102) модели ошибок
управления. Если статистические характеристики случайных
возмущений известны, то для решения той или иной задачи
оптимального управления используется стохастический подход.
Рассмотрим применение необходимых и достаточных условий
дискретной стохастической оптимизации на примере задачи
коррекции импульсами тяги.
Постановка задачи оптимизации. Возможные случайные ошибки
исполнения корректирующих импульсов учтем введением в модель
коррекции (5.80) скалярной мультипликативной и векторной
аддитивной ошибок управления
*ы =АкХк+Вкик{\ + Мк) + £к, (5.89)
где juk - центрированная случайная величина с заданной
дисперсией DM k, характеризующая ошибки реализации управляющего
(корректирующего) воздействия, пропорциональные величине
этого воздействия; %к - центрированный случайный вектор с
корреляционной матрицей Dg к> характеризующий ошибки
реализации управляющего воздействия, не зависящие от величины самого
воздействия. Будем полагать, что перед проведением каждой
коррекции, вектор состояния может быть точно измерен. Поскольку
теперь как управление, так и вектор состояния в любой момент
времени случайны, необходимо рассматривать какую-либо стати-
298

5.5. Коррекция орбиты с учетом случайных ошибок управления
стическую оценку критерия оптимальности. Пусть такой оценкой
будет математическое ожидание, т.е. в качестве критерия
оптимальности примем функционал общего вида
J°=M\
i{4Qk*k +ulWk\)+xTN+lK°xN+l
.*=i
(5.90)
который следует минимизировать с учетом системы ограничений,
имеющих следующую структуру:
J1=М
Y\xlQk*k +UkWkUk)+xlr+lKixN+
к=\
, i = l,/, (5.91)
где Q\ , Wlk, K\ i = l,/ - заданные симметрические матрицы.
Ограничения типа (5.91) называются изопериметрическими. Для их
учета в рассмотрение вводится обобщенный критерий,
построенный по методу множителей Лагранжа:
J=M
I\xlQkxk+uTkWkuk)+
.*=!
(5.92)
где
/=i /=i /=i
(5.93)
Нетрудно видеть, что приведенная постановка является
обобщением задачи перевода спутника при минимальных затратах
рабочего тела с учетом ограничения на терминальную точность,
рассмотренную в разд. 5.3.
Как и прежде, будем говорить о программировании и синтезе
оптимального управления дискретной стохастической системой и,
следовательно, о необходимых и достаточных условиях
оптимальности.
Необходимые условия оптимальности. При управлении в
дискретные моменты времени математическая модель управляемого
движения имеет следующий вид:
299

5. Управление движением спутника
xk+\ =fk(xk>uk>tk)>k = l>N> <5-94)
где xkr ик - соответственно векторы состояния и управления в
момент времени к\ fk - вектор-функция, связывающая векторы
состояния в соседние моменты времени; £к - вектор случайных
возмущений, который рассматривается как обобщенный по
отношению к мультипликативной и аддитивной составляющим ошибок
управления; N - количество шагов управления, которое может
быть либо заданным, либо свободным, т.е. подлежащим
определению. Случайное векторное возмущение рассматривается как
"белый шум". Если же его статистические характеристики отличны
от характеристик белого шума, то в математическую модель
движения включают уравнения, описывающие динамику этого
возмущения, которые называют формирующим фильтром. Будем считать,
что случайные векторы Jz, k = l,N есть центрированные и
независимые, то есть М\$к] = 0 \/k = l,N; M$J £• ]= 0, i*j.
Разбросы начальных условий могут быть отнесены к вектору ^.
Поскольку интегротерминальный критерий легко сводится к
терминальному, положим, что
J = M[F{xN+l)]. (5.95)
Необходимые условия оптимальности формулируются с
использованием стохастического гамильтониана
Нк {хк, ик, у/к+х, & ) = vl+xfh (xk >"*»&) (5-96)
в предположении о его выпуклости как функции управления:
1. Математическое ожидание гамильтониана минимально по
вектору управления в любой момент времени
М[Нк(х*к,и1,ч/*к+]9<5к)\ =
■ mm
ukeUk
M[Hk[xk,uk,iyk+b£k)\
300

5.5. Коррекция орбиты с учетом случайных ошибок управления
2. Оптимальные последовательности Rlk (xk ), | y/k J, k = l,N,
удовлетворяют канонической системе
ч+1
¥к ~z
(5.98)
при граничных условиях
*1 = *1
V^yVH
дх*
vw+i
(5.99)
Необходимые условия оптимальности управления
стохастической дискретной системой можно рассматривать как естественное
обобщение соответствующего результата детерминированной
теории. Однако теперь следует учитывать случайность как
гамильтониана, так и вспомогательного вектора. Это отражается в
необходимости вычисления математического ожидания гамильтониана и
вспомогательного вектора по всем случайным факторам, что
требует привлечения методов статистического моделирования. Именно
это и является основной трудностью при практическом
использовании необходимых условий оптимальности.
Если исходный критерий является интегротерминальным
J=M\
' N
Tfk{Xk>Uk)+F(XN+\)
.к=\
то условия оптимальности сохраняются, но гамильтониан примет
вид
Hk(xk^uk^k^\^k) = fk{xk^uk)+^L\fk(xk^k^k)' (5-10°)
Достаточные условия оптимальности. Можно показать, что
применение метода динамического программирования обеспечива-
301

5. Управление движением спутника
ет выполнение достаточных условий оптимальности в
стохастической задаче.
Введем в рассмотрение функцию будущих потерь
Rk{xk)= min M[F(xN+x)/xk]. (5.101)
Функция (5.101) представляет минимальное значение критерия
(5.95), которое может быть достигнуто при оптимальном
управлении системой (5.94), начиная с момента j = k (т.е. из состояния,
характеризуемого вектором xk). Символ М[.../...] здесь означает
условное математическое ожидание. Раскрывая в (5.101)
математическое ожидание с использованием правила пересчета переходных
плотностей вероятности марковского процесса, можно получить
рекуррентное соотношение
**(**)= mV? M[RM{xM)lxk,uk], (5.102)
которое и представляет алгоритм динамического
программирования в случае управления дискретной стохастической системой. Для
последнего шага (k = N) имеем по определению
Rn(*n)= т™ M[f(xn+1)/xn,un].
uNeUN
Поэтому граничное условие для (5.102) формально принимает вид
Применяя соотношение (5.102) последовательно, начиная с
k = N, получим при к~\ функцию R\{xx), которая позволяет
определить минимальное значение критерия (5.95) при любом
начальном состоянии системы:
Rx(xx)= mm_M[F{xN+l)/xx].
ujeUjyj=UN
Другими словами, последовательность управлений
ик(хк)> k = l,N |, вычисленная согласно рекуррентному соотно-
302

5.5. Коррекция орбиты с учетом случайных ошибок управления
шению (5.102) при граничном условии (5.103), оптимальна.
Следовательно, соотношение (5.102) при условии (5.103) можно
рассматривать как достаточное условие оптимальности.
Если критерий оптимальности имеет интегротерминальную
структуру
J=M
N
/v
T.fk(xk>uk)+FixN+\)
*=1
(5.104)
то рекуррентное соотношение (5.102) принимает вид
Rk(*k)= ттА/{[/л°(^,мл)+Лл+1(дсл+1)/^,мл^ (5.105)
ukeUk
при граничном условии (5.103).
Учет изопериметрических ограничений. Рассмотрим способ учета
изопериметрических ограничений общего вида
У, =М
N
I
k=\
<J*, i = l,/, (5.106)
при критерии оптимальности
N
J=M
I*fk(*k>Uk)+F(xN+\)
k=\
(5.107)
зна-
где fl(xkJuk), F((xN+i) - скалярные функции; J* - заданное
чение; / - количество ограничений.
Согласно методу множителей Лагранжа минимизация критерия
(5.107) с учетом (5.106) эквивалентна безусловной минимизации
обобщенного критерия оптимальности
(5.108)
i=0
где vk , i' = l,/ - множители Лафанжа. Один из этих множителей,
например а0, может быть задан равным единице, а остальные оп-
303

5. Управление движением спутника
ределяются как неотрицательные корни системы алгебраических
уравнений
Я:
[у|.(а1,...,а/)-У*]=0, 1 = 1,/.
(5.109)
Найдем структуру оптимального управления при обобщенном
критерии оптимальности, который в данном случае примет вид
J = M
' N I I "
*=1 i=0 1=0
(5.110)
Для определения оптимального управления используем
рекуррентное соотношение (5.102)
Rk{xk)= minM
*k*Uk I
I ai fi (xk >uk)+ Rk+\ (**+i )l xk> uk
.1=0
с граничным условием
1=0
(5.111)
(5.112)
Алгоритм оптимального управления, определяемый согласно
(5.111) при условии (5.112), будет зависеть от неизвестных
множителей Лагранжа щ , i = 1, /. Для их определения необходимо найти
зависимости уДа^...^/), входящие в систему уравнений (5.109).
Допустим, что структура алгоритма управления найдена. Введем в
рассмотрение функцииRlk(xk), / = 1,/-, аналогичные функции
будущих потерь:
ХкЫ=Щ
^f'\xJ'U*j)+Fi(xN+\)
j=k
IXi
(5.113)
Каждая функция R[(xk) по определению представляет собой
величину 7,, которая достигается при переводе динамической
системы (5.94) из фиксированного состояния хк в конечное xN+x при
304

5.5. Коррекция орбиты с учетом случайных ошибок управления
найденном управлении. Очевидно, что функции R^(xk) зависят от
всех множителей Лагранжа:
К\Хк ) = Rk\Xk > а\ 9 • • ' > а1 ) •
Полагая в (5.113) к = 1, найдем
Rl(xl,al9...,al) = M\
Zfj\xj>U*jrFi(XN+\)
lxx . (5.114)
Принимая во внимание соотношение (5.106), будем иметь
Ji(al9...,«/) = M^fo,^,...,^) , (5.115)
или, раскрывая операцию математического ожидания в (5.115):
Ji{ax,...,al) = \R\{xx,ax,...,al)p(xx)dxx , (5.116)
-00
где р{хх) - плотность распределения вероятностей вектора хх, а
интеграл следует понимать как многократный.
С учетом (5.116) система уравнений (5.109) принимает вид
Я;
jR[(xx,ax,...,al)p(xx)dxx-J*
= 0.
(5.117)
Для определения функции ЯЦху,<*!,...,«J выразим R[(xk) с
помощью (5.114):
Л*(**) = /Д**,и*(**))+
+ ! i /ifo.^MK^fo™) * (5-П8)
-ао (_./=*+1 J
Х Р\Хк+\ > • • •» *ЛМ (/ Х* V**+l '' • ^#+1>
305

5. Управление движением спутника
где u*j(xj)=u*j(xj9al9...9al); R[(xk) = Rtk(xj9al9...9al)\
p(xk+\>--">xN+\/xk) ~ условная совместная плотность
распределения вероятностей векторов xk+} ...xN+] при фиксированном
векторе хк.
В силу того что для случайных марковских процессов имеет
место соотношение
Р\хк+\ * •• • > XN+\ / Хк ) = Р\хк+2 > • • • > ХЛЧ1 / **+1 > ** )МХ*+1 / х*) =
(5.118) можно представить в виде рекуррентного соотношения
К (хк ) = й \Ч>Ч {ч))+ 7л*+1 fa+i) p(**+i / Ч) <***+! (5.120)
-оо
или более компактно
КЫ=Л{чЛЫ)+м[я1+х(хк+х)/хк]. (5.121)
Соотношение (5.121) позволяет последовательно начиная с
конечного шага управления j = N, найти функции Rk(xk) для всех
значений к. Граничные условия для функций Rlk(xk) получаются
формально из (5.121) при k = N + \:
4+i(%+,M (**+>)• (5-122)
Общее решение задачи управления линейной системой. Для
определения алгоритма оптимального управления ик(хк) обратимся
к рекуррентному соотношению (5.111). Применительно к задаче
(5.89)~(5.92) оно примет вид
RkM = mi*\xkQkxk +UkwkUk+M[Rk+x(xM)/xk9uk]} (5.123)
ч
306

5.5. Коррекция орбиты с учетом случайных ошибок управления
при граничном условии
Rk+\{xk+\)= xN+\^xN+\ • (5.124)
По индукции нетрудно установить, что функция будущих
потерь для любого момента времени может быть представлена в
квадратичном виде
Rk{xk) = xTkKkxk+Ck. (5.125)
Действительно, для момента k = N + l это выражение справедливо,
причем
KN+X=K\ C„+1=0. (5.126)
Допустим, что соотношение (5.125) справедливо и для у = £ + 1,
т.е.
&к+\ \хк+\ ) - хк+\Кк+\хк+\ + Q+1 •
Тогда рекуррентное соотношение (5.123) принимает вид
Rk (хк ) = ™WkQkxk + uIwk4 +
ч
+ М[(Акхк +Вкик(\ + Мк) + £к)ТКк+\ х
х{Акхк+Вкик{\ + Мк) + £к)+Ск+\/хк>ик]}
Раскрывая операцию математического ожидания, получим
\хкЬк +4Кк+\Ак)*к +и1°кик +
\ + гиткВткКмАкхк +SP(kmD^
(5.127)
Rk (хк ) = min^
"к
(5.128)
где
Gk=Wk+BTkKk+xBk^ + D^k). (5.129)
307

5. Управление движением спутника
В предположении о положительной определенности матрицы
G* для любых моментов к из (5.128) находим алгоритм
оптимальной коррекции
ик\хк)-~^кхк >
(5 Л 30)
где матрица коэффициентов обратной связи определяется
выражением
Lk =Gk BkKk+\Ak-
С учетом найденного алгоритма коррекции выражение для
функции будущих потерь принимает вид (5.125) при
Кк ~ Qk + Ak Кк+\Ак -LkGkLk
ск = Q+i + spv^*+iAj,* )
(5.131)
Найденный алгоритм коррекции через матрицу Lk зависит от
неизвестных пока множителей Лагранжа ai9 *=1,/. Покажем, что
функции Rjcixb) для любого момента времени имеют вид
4(хк) = х1к[хк+С1к. (5.132)
Для этого воспользуемся рекуррентным соотношением (5.121), в
результате чего будем иметь
К(хк) = х№кхк+»№ик +М^+1(х,+1)/хД (5.133)
причем согласно (5.122)
Rn+\\xn+\) = xn+\K xn+\
(5.134)
Полагая, что (5.132) справедливо для момента к + \у с учетом
модели коррекции получим
308

5.5. Коррекция орбиты с учетом случайных ошибок управления
+ М
К \xk )=xkQkxk+ xk Lk wlLkxk +
{Акхк -ЯаО + /Л** +^f^Li х
хiAkxk ~Вк{\ + Ик)Lkxk +4к)+С*к
к+\
/хк
Раскрывая операцию математического ожидания, находим
К \хк)=хк Qkxk + хк Lk wLLkxk+ хк Ак Кк+\Акхк -
-хк Ак Kk+lBkLkxk -хк ЬкВк Кк+1Акхк +
+ xlLTkBTkK[+xBkLkxk (l + DMiк)+ Sp(*jU,%к)+ С*м .(5.135)
Вводя обозначения
(5.136)
^ - Qk+ Л ^*+1 Ак + ^ ^Л"
- A Kk+\BkLk ~~LkBk Kk+\Ak
ск = c*+i + sP\^+i Aj, к)
(5.137)
приходим к соотношению (5.132).
Так как при k = N + \ имеет место граничное условие (5.112),
то граничные условия для Кк и С1к примут вид
&n+\ - К >■ Qv+i - 0 •
(5.138)
Применяя последовательно рекуррентные соотношения (5.137)
при граничных условиях (5.138), найдем зависимости /?{(*i) от
множителей Лагранжа, которые согласно (5.132) можно записать
как
R[(xual,...,al) = XiK[(al9...9al)x{ +C[(ax,...,al).
309

5. Управление движением спутника
Подставляя найденные зависимости в уравнение (5.109) и
раскрывая операцию математического ожидания, получим следующую
систему уравнений для определения множителей Лагранжа:
-jfj}=0,i = M. (5.139)
Таким образом, в рассматриваемой задаче функция будущих
потерь имеет квадратичную структуру. Матрица Kk и
коэффициент Ck, входящие в нее, вычисляются по рекуррентным
соотношениям (5.131) при граничных условиях (5.126). Наличие изопери-
метрических ограничений в данной задаче привело к
необходимости решения системы алгебраических уравнений (5.139)
относительно множителей Лагранжа с учетом рекуррентных
соотношений (5.137). В общем случае такую систему можно решить
лишь с использованием численных методов. Одновременно с
решением этой системы вычисляются коэффициенты обратной связи
Lk в алгоритме оптимальной коррекции при текущих значениях
множителей ai9 i=l,/. Отметим, что по своей форме найденный
алгоритм коррекции совпадает с алгоритмом коррекции, который
был получен в детерминированной постановке. Однако значения
коэффициентов обратной связи Lk теперь зависят от дисперсии
мультипликативной ошибки коррекции. Аддитивная составляющая
ошибок управления сказывается лишь на значениях функции
будущих потерь и изопериметрических ограничений.
Пример коррекции с учетом мультипликативной ошибки.
Требуется перевести спутник из одной точки круговой орбиты заданного
радиуса в окрестность другой точки импульсами тяги трансвер-
сального направления по методу блуждающей орбиты [40].
Сущность метода заключается в том, что первым импульсом спутник
переводится на эллиптическую орбиту с апогеем (перигеем) на
высоте опорной орбиты, но периодом обращения меньшим
(большим), чем период обращения по исходной (номинальной) орбите.
За счет неравенства периода обращения номинальному спутник
будет дрейфовать в сторону требуемой точки со скоростью
310
+
Spkttai..-..a/К

5.5. Коррекция орбиты с учетом случайных ошибок управления
а>др = 360\
( г>
1-—
V T0J
(5.140)
измеряемой в градусах за один оборот, где Т и Т0 — периоды
обращения по блуждающей и номинальной орбитам соответственно.
В идеальном случае для перевода спутника по аргументу широты в
неподвижной плоскости орбиты за N витков на расстояние А&„
необходимо первым импульсом придать спутнику скорость дрейфа
AS,
~N
<°<>р = —^> (5-141)
а при достижении заданной точки погасить ее до нуля импульсом
противоположного направления. Однако из-за ошибок исполнения
коррекции осуществить такой идеальный перевод не удастся.
Возникает необходимость коррекции скорости дрейфа в процессе
перевода. Перевод спутника по аргументу широты считается
завершенным, если выполняются следующие требования:
- угловое рассогласование требуемого и текущего аргументов
широты не превышает заданной величины АЗт ;
— остаточная скорость дрейфа гарантирует, что
рассогласование аргументов широты превысит заданную величину АЗт
не ранее чем через заданное число витков tm.
При идеальной импульсной коррекции математическую модель
процесса перевода можно представить в виде
х\к+\ ~х\к + х2к+\&к>
*2к+\=х2к+ик(1 + Мк)> (5-142)
где х1к=АЗк - текущее угловое расстояние до заданной точки;
х2к — скорость дрейфа; /ик - мультипликативная ошибка
реализации корректирующего импульса, случайная центрированная
гауссова величина со среднеквадратическим отклонением ак\ Ак -
311

5. Управление движением спутника
число оборотов между соседними коррекциями. Терминальные
требования имеют вид
\x]\<A3m,\xl+x2tm\<A3ni
(5.143)
Чтобы привести эти ограничения к квадратичному изопериметри-
ческому ограничению, аппроксимируем соответствующую им
область вписанным эллипсом:
где
Я =
t2
1
2<„
J_
ТА.
fi=M
4 t2
(5.144)
Область допустимых конечных ошибок можно описать
неравенством хТАх < Q. Так как конечное состояние является случайным,
это неравенство может быть выполнено лишь в статистическом
смысле: либо с заданной вероятностью, либо по математическому
ожиданию
М
J к
где к - константа, подбираемая так, чтобы ограничение на
терминальное состояние выполнялось бы с заданной вероятностью.
Выберем в качестве характеристики конечной точности величину
У, =А/
cw+i^*tf+i
к
(5.145)
Поставим задачу определения алгоритма управления переводом
дискретной системы (5.142) из произвольного начального
состояния в конечное при минимальном расходе рабочего тела,
оцениваемого величиной
312

5.5. Коррекция орбиты с учетом случайных ошибок управления
J0=M
IX
k=\
(5.146)
при заданном числе коррекций N.
Переходя к матричной записи модели коррекции (5.142)
(5.147)
где
Л* =
1 А,
О 1
В,=
Л*
1
получаем задачу минимизации квадратичного критерия (5.153) при
изопериметрическом ограничении (5.145). Для ее решения вводим
в рассмотрение обобщенный критерий с единственным
множителем Лагранжа
J = а/0 + J}.
(5.148)
5.6. Коррекция орбиты с использованием двигателя малой
тяги
Вернемся теперь снова к задаче перевода КА из одной точки
круговой орбиты в другую, полагая при этом, что исходная
математическая модель возмущается аддитивным белым шумом. Иными
словами, модель процесса управления имеет вид
х = Ах + Вы + £
(5.149)
Поставим задачу формирования закона управления w*(x, t), при
котором математическое ожидание критерия
J=M
a\u2dt + xT{T)Kx{T)
о
(5.150)
минимально.
313

5. Управление движением спутника
Для решения задачи используем достаточные условия
оптимальности.
Достаточные условия оптимальности. Поставим задачу
определения такой функции и*(х, t), т.е. закона управления системой
общего вида
х = /(х,и,£), (5-151)
которая обеспечивает достижение минимального значения
критерия
J=m[f{x(t))] (5.152)
при условиях
x(t)eX9 u(t)eU, Ге[о,г], (5.153)
Достаточные условия оптимальности в непрерывной задаче
могут быть получены следующим образом. Дискретизируем
уравнения движения (5.151) с некоторым шагом А и заменим белый
шум его дискретным аналогом - последовательностью случайных
независимых векторов %k , k-\^N с характеристиками
В результате вместо (5.151) и (5.152) будем иметь
**+i=**+4f*(**.«*.&)» k = \,N,
J=m[f{xn+])].
Для полученной дискретной модели достаточное условие
оптимальности согласно (5.102) имеет вид
**(**)= т™ M[Rk+\(xk+\ =xk+¥k{xk>4><*k)V*k,4]
Ч^ик
с граничным условием (5.103).
314

5.6. Коррекция орбиты с использованием двигателя малой тяги
Предполагая, что функция будущих потерь имеет частные
производные первого и второго порядка по вектору состояния для всех
моментов времени, разложим функцию ^jt+ita+i) в ряд Тэйлора в
окрестности точки хк с точностью до членов второго порядка
малости. Затем, разделив все на шаг дискретизации А, перейдем к
пределу при А -> 0. В результате получим уравнение в частных
производных относительно функции будущих потерь:
dR{x,t) _
a
~ d2R{x,i)
. \cRT{x,t) , ч 1 I
= min< *—-а\х, w, t)+ — Sp
ueU \ dx 2
dx1
-N{x9u9t)
(5.154)
где
а(х, и, t) = lim —M{[jc(/ + A)-x(t)]/x9 u, t]
Д-»0Д
\. (5.155)
N(x, u, t) = lim — M\[x(t + A)-x(t)][x(t + A)-x(t)]T /x,u,t }|
Вектор д(х, и, t) есть математическое ожидание смещения
марковского случайного процесса (5.151) из точки x(t) за время А при
управлении и и называется вектором коэффициентов сноса
марковского процесса. Матрица N(x, и, t) есть ковариационная
матрица смещения а(х, и, t) и называется матрицей коэффициентов
диффузии марковского процесса (5.151).
Уравнение (5.154) называют стохастическим уравнением Белл-
мана. Граничное условие для него следует из (5.102):
R(x,T) = F[x(f)]. (5.156)
Стохастическое уравнение Беллмана представляет собой
достаточные условие оптимальности в рассматриваемой задаче. Решая
315

5. Управление движением спутника
его, находим функцию будущих потерь, а попутно с этим и закон
оптимального управления.
Если критерий оптимальности имеет интегротерминальную
структуру, то стохастическое уравнение Беллмана принимает вид
Ж(х, t)
—- = min<
dl иеи
/u(x, и) + ^-а[х, и, t)+
OX
10 \d2R(xj)^T, ч
(5.157)
Решение задачи управления линейной системой. В данном случае
достаточное условие оптимальности (5.157) примет вид
cR(x, t) _
a
2 0RT(x,t) i \ 10 Г<?2Л(х,/).г/ ч
= min^ ecu1 + ^-^(x, u, t)+ -Sp y-t-Nyx, u, t)
и { - -
<3t
<3c'
с граничным условием
Л(х,Г)=^г(г)^с(г).
Найдем характеристики a(x,u,t) и N(x,w,/) для системы
(5.149) с помощью формул (5.155):
а(х, u,t)= lim— M[(Akxk + Вкик + <!;к)А/хк,ик] = Ах + Ви ,
Д->0 Д
N(x,uft)= Mm-М[{Акхк +Вкик+£к)(Акхк +
Д->0 Д
■ВА114+^)гД2/хл,иА]=1).
Нетрудно видеть, что вектор сноса случайного процесса есть
правая часть уравнения без белого шума, а матрица
коэффициентов диффузии совпадает с матрицей интенсивностей белого шума,
316

5.6. Коррекция орбиты с использованием двигателя малой тяги
которая не зависит ни от x(t), ни от u{i). С учетом этого
уравнение Беллмана принимает вид
dR(xj) .[ 2 dRT(x,i)(A D4 \Ad2R{x,i)-
^-2-L = min^ ecu + ^-^(Ax + Bu)+ -Sp ^^-D
a
дх
dxl
Минимизируя правую часть по управлению, находим зависимость
оптимального управления от функции будущих потерь
2а дх
(5.158)
с учетом которой получаем уравнение для функции будущих потерь
аг(*,/)= 1 aRT(x,t)BBTcR(x,t) t
dt 4а дх дх
ck 2
d2R{x,t)
дх1
D
Нетрудно показать, что решение этого уравнения при заданном
граничном условии имеет вид
R(x,t) = xT(T)Kx{T) + C(t),
(5.159)
где
К = КА + АТК -КВВТК, К{Т) = К, (5.160)
а
c = sv{kd),c{t)=o.
(5.161)
С учетом выражения (5.159) алгоритм оптимального управления
окончательно принимает вид
и (х, t) = -L(t)x ,
(5.162)
где L(t) = (l/a)BTK(t).
317

5. Управление движением спутника
Итак, закон оптимального управления стохастической системой
при аддитивном белом шуме есть линейная функция вектора
состояния, которая совпадает с законом управления
детерминированной системой. Аддитивное возмущение влияет на значение
функции будущих потерь и, следовательно, на значение критерия
оптимальности. Это означает, что системы с аддитивным
возмущением при точных измерениях вектора состояния можно
синтезировать без учета возмущений: их влияние следует оценивать при
анализе работы замкнутой системы управления.
5.7. Гарантирующий подход при управлении движением
Во многих случаях информация о возмущениях, которой мы
располагаем, является неполной. В одних случаях статистические
характеристики возмущений известны лишь с точностью до
некоторых параметров, например, известно, что возмущение является
гауссовским, но величины математического ожидания и дисперсии
известны с точностью до пределов изменения. В других случаях
статистические характеристики вообще неизвестны, известно
лишь, что возмущения относятся к некоторому классу. Например,
по абсолютным величинам возмущения не могут превосходить
некоторых значений. В обоих случаях имеет место неопределенность.
Для принятия решения о структуре управления в условиях
неопределенности воспользуемся минимаксным подходом, согласно
которому оптимальным считается такое управление, которое обращает
в минимум наибольшее (по возмущениям) значение критерия.
Соответствующее этому управлению значение критерия будем
называть гарантированным, а саму стратегию управления —
гарантирующей.
К подобным задачам мы приходим и в случаях игровых
ситуаций, когда в процессе управления действуют две стороны,
стремящиеся к противоположным целям. Формально при этом стратегия
одной из сторон может быть отнесена к возмущению с
неопределенностью. Справедлива и обратная трактовка: любая минимаксная
задача, в том числе задача программирования или синтеза
оптимального управления с неопределенностью по возмущению, может
рассматриваться как игровая задача. В качестве второго "игрока",
318

5.7. Гарантирующий подход при управлении движением
стремящегося противодействовать выбору оптимального
управления, выступает сама природа.
Рассмотрим задачу синтеза гарантирующей коррекции орбиты
спутника, принимая в качестве математической модели процесса
коррекции уравнение
**+i =Akxk+Bkuk(l + /jk)9 k = l,N,
где вектор состояния хк по-прежнему характеризует состояние
спутника перед совершением коррекции; ик - номинальное
значение корректирующего импульса скорости; /лк - ошибка
реализации этого корректирующего воздействия, причем известно лишь,
что |//^|<//w. Динамические коэффициенты модели считаются
заданными. Задача заключается в определении последовательности
| ик 9к = 1, N |, которая гарантирует достижение минимального
значения квадратичной формы конечного состояния
J = Xx+lKxN+\ при любых допустимых возмущениях. Другими
словами, критерием оптимальности, подлежащим минимизации по
искомому управлению, является функция максимума
^ = max(x#+1Kjt#+1) , где операция max осуществляется по
"стратегии" \/лк ,к = 1,N }.
Необходимые условия оптимальности. Программирование
управления. Сначала рассмотрим дискретную систему
**+i =/*(**>"*>v*)> k = l9N9 (5.163)
где v = [vk, k = \,Nj - статистически неопределенные
возмущения. Известно лишь, что в любой момент времени vkeVk.
Начальное состояние считается заданным, а на управление наложено
ограничение общего вида ukeUk.
В качестве исходного критерия оптимальности, как и прежде,
примем функцию конечного состояния
' = *"(**+! )• (5164)
319

5. Управление движением спутника
Будем полагать, что последовательность управлений
u-\uk, k = l,N должна минимизировать этот критерий, в то
время как последовательность v = \vk, k = \,Nj стремится его
максимизировать.
Данную задачу можно интерпретировать как задачу управления
в конфликтной ситуации, т.е. как соперничество двух
противодействующих сторон со стратегиями и и v, соответственно. Поэтому
подобные задачи называют многошаговыми играми. В задачах
программирования, о которых в данном случае идет речь, эти
стратегии предполагается выбирать до начала самого процесса
управления. При этом важным моментом в постановке задачи является
очередность применения игроками своих стратегий. Так, полагая,
что стратегия v предшествует м, получаем минимаксную задачу,
решение которой позволяет найти минимальный гарантированный
для стороны и результат
J' = min max J (и, v).
и v
Если же стратегия и предшествует v, получаем максиминную
задачу, решение которой дает максимальный гарантированный для
стороны v результат
J" = max mm j(u, v).
v и
В общем случае имеет место неравенство J" <J'. Поэтому эти
две задачи неэквивалентны. Только тогда, когда критериальная
функция j(u,v) имеет седловую точку (w*,v*j, в которой при
любых допустимых стратегиях и и v выполняются условия
J\u*, v]<./(w*, v*)< y(w, v* j, решения обеих задач совпадают, т.е.
max min j(u9 v) = minmax7(w, v).
v и и v
Седловая точка и есть искомое решение задачи: J* = J' = ./(w*, v* j.
Наиболее просто необходимые условия оптимальности
формулируются именно в случае наличия седловой точки у критериаль-
320

5.7. Гарантирующий подход при управлении движением
ной функции. Если предположить, что гамильтониан в
рассматриваемой задаче, записанный обычным образом, т.е.
Hk(yk+\,xk,uk,vk) = \yZ+lfk(xk,uk,vk)9 (5.165)
является выпуклой по ик , но вогнутой по vk функцией, то
необходимые условия оптимальности стратегий м* = |и£, к = 1,ЛГ ] и
v* = | v*k, к - \,N J сводятся к следующим:
1. Гамильтониан на оптимальном решении (w*, v*J имеет сед-
ловую точку в каждый момент времени
Нк wU\>х*к > и*к> vk)= min max Hk(^+1, х\% ик, vk)=
Ч^к Ч&к
= max min Hkw*k+x,**,"*, v J. (5.166)
vkeVkukeUk
2. Оптимальные стратегии и* = \и*к9 £ = l,Afj и
v* = | v^, Л: = 1,7V ] удовлетворяют канонической системе
**+i ~; > x\ -x\
dVk+\
* _ Жк¥к+\>**к>и*кУк) • _ Щх*п+\)
¥k s ' ^Af+i - —
ЙС^ *&#+!
(5.167)
В непрерывном случае задача управления в конфликтной
ситуации формулируется следующим образом. Математическая
модель процесса управления задана в виде системы
дифференциальных уравнений
jc = /(jc,m,v), x(o) = x0, te[0,T], (5.168)
где х - вектор состояния системы; и - вектор управления первой
стороны, u(t)el/(t), a v - вектор управления второй стороны,
321

5. Управление движением спутника
v(t)eV(t). Требуется найти пару стратегий управления
\u*(t\ v*(t) ), одна из которых u*(t) стремится обратить критерий
J = F{x{t)) (5.169)
в минимум, а другая v*(/) - в максимум. Считается, что множества
U{t) и V(t) - несвязанные.
В предположении наличия седловой точки у гамильтониана
(5.165) необходимые условия оптимальности стратегий
[ u*(t), v*(t) J сводятся к следующим:
1. Гамильтониан H(y/,x,u,v) = t//T/(jc,w,v) в каждый момент
времени имеет седловую точку уи (t), v*(t) J, т.е.
Нш ,х ,и ,v )=тттгхН[и/ ,х ,w,v)=
v ' ueU veV V '
- max minHw*9x*,u,v). (5.170)
veV ueU x '
2. Оптимальный вектор состояния и сопряженный вектор
удовлетворяют канонической системе
.. _лф-.л„-./)>
дц/
mL*,x*,u*,v*) Щх*(т))
у/ = , у/ (Г) =
дх. дк
. (5.171)
Обобщение на случай интегротерминального критерия имеет
вид, аналогичный полученному для детерминированной системы.
Игровые задачи синтеза оптимального управления. Как уже от-
мечалось, в игровых задачах программирования стратегии
управления обеих сторон выбираются до начала самого процесса
управления, и в зависимости от порядка применения этих стратегий воз-
322

5.7. Гарантирующий подход при управлении движением
можны две постановки задачи. При синтезе управления, как
известно, необходимо найти алгоритм (закон) управления,
предполагающий использование текущей информации о состоянии
объекта управления. Нетрудно представить, что возникает большое
число различных постановок игровой задачи синтеза. Это обусловлено
как порядком (последовательностью) применения стратегий, так и
типом информации, которую могут использовать
противоборствующие стороны (игроки). В распоряжении каждого игрока в
любой момент времени может иметься либо полная информация о
состоянии обеих сторон, либо частичная. При этом игроки могут
находиться в разных условиях.
Для простоты в дальнейшем предполагается, что выбор
управления любым игроком осуществляется на каждом шаге управления
(или в любой момент времени при непрерывном управлении) и в
распоряжении каждого игрока имеется полная взаимная
информация о текущем состоянии обеих сторон.
Допустим, что при управлении дискретной системой (5.163)
при терминальном критерии (5.164) стратегии \uk,k = l,N
ик е Uk на каждом шаге предшествует реализация | vk, к = 1, N
vk e Vk из условия
J = min max min max... min maxF(xN+l). (5.172)
Щ^Ц\ vi€^ w2et/2 v2eK2 UN^Uy vNeVN
Введем в рассмотрение функцию будущих потерь
Rk (хк) = min max min max ... min max F(xN+l).
uk*Uk vkeVk uk+\tVk+\ vk+\eVk+\ uN*Un vNeVN
Как и прежде, эта функция определяет наилучшее значение
критерия (5.164), которое может быть достигнуто при движении из
состояния хк. Из определения функции будущих потерь следует, что
она удовлетворяет рекуррентному соотношению:
Rk {*к ) = т™ ma* Rk+\ k+i = fk (xk >Uk>vk )] (5-173>
4&vk Ч&к
323

5. Управление движением спутника
при граничном условии
^+i(^+i) = F(x^+1). (5.174)
Так как последовательность управлений | u*k (xk ) J, к = 1, N,
найденная с помощью соотношений (5.173), (5.174), обеспечивает
наилучшее значение критерия, то эти соотношения можно
рассматривать как достаточные условия оптимальности в данной
задаче.
Нетрудно показать, что если рассмотреть интегро-
терминальный критерий
^I/*°(wa,vJ+F(x„+1), (5.175)
то рекуррентное соотношение (5.173) примет следующий вид:
Як{хк)= min maxK^;^'^^, \ (5.176)
ч&к ч&к [+ RM[хк+1 = fk(хк,uk,vk)\)
с граничным условием (5.174).
Решение задачи гарантирующей коррекции орбиты спутника.
Воспользуемся рекуррентным соотношением (5.135)
Rk {ч) = min max Rk+l [хк+х = Акхк + Вкик (l + /лк )]
с граничным условием #A^i(*A4i) = xw+i^w+i • Рассмотрим
последний шаг управления. Для k = N имеем
RN(xN)=min max (ANxN +Bnunvn)tK(Anxn +Bnunvn) =
UN v <vN<vu
= min<pN(xN,uN),
uN
где
vn=\ + /an\ vl=\-fim\ vw=l + /iw;
324

5.7. Гарантирующий подход при управлении движением
q>N{xN,uN)= max (aNu2Nv2N +2bNuNvN +cN) =
v'^vNiv'
= max
v'<vN<v"
aN
uNvN +
aN )
+ CN- —
aN
■r^,
>Tfi
T aTi
aN = BNKBN; bB = BNKANxN; cN = x A KANxN.
Раскрывая операцию максимизации, для функции максимума
<Pn(xniun) получим следующее выражение:
<PN(xN,uN) =
\aN
uNv +
a,
+ c
lN
\ "N J
\
N
+ CN
bl (
aN x
ul (
uN +
JN
lN J
a
N
UN +
\
aN J
aN
signft^ > 0
sigabN <09uN> ——
aN
Минимизируя <Pn{xn>un) по управлению, получим оптимальное
управление в виде
un Vх N) ~ = ~LNxN,
aN
где LN = G^bIjKAn ; GN = B^KBN. Функция будущих потерь при
этом примет вид
Ъ_
aN
2 а2 / \а2
Ом L ?\Ofi
aN
aN aN aN
где KN = ATNKAN - (l - M2m)bTNGNLN .
По индукции нетрудно установить, что как функция будущих
потерь, так и алгоритм управления для любого момента времени
325

5. Управление движением спутника
имеют такую же структуру, что и для последнего момента времени,
т.е.
Rk \xk )~xkKkxk> ик \хк ) - ~LkXk ,
где
Lk = Gk вк Кк+\Ак > Gk=Bk Кк+\вк >
Кк = Ак Кк+\Ак "У" Mm НСк1к > KN+\ = K •
Таким образом, в задаче коррекции конечного состояния КА с
мультипликативным возмущением в минимаксной постановке
алгоритм оптимальной коррекции есть линейная функция вектора
текущего состояния, что совпадает с соответствующими
результатами решения детерминированной и стохастической задач. Однако
коэффициенты обратной связи (матрица Lk) во всех трех случаях
различны. Причем,1 если стохастический подход приводит к
наименьшему в среднем (по всем реализациям случайных ошибок)
критерию оптимальности, то минимаксный подход позволяет
гарантировать достижение требуемой конечной точности в любой
реализации процесса коррекции.

6. ПЛАНИРОВАНИЕ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Техническая проблема, обсуждаемая ниже, представляет собой
специальную задачу планирования эксперимента [24], если
рассматривать задачу определения положения и скорости спутника
как экспериментальную.
Мы также можем трактовать обсуждаемую проблему как задачу
оптимального планирования навигационных измерений, которые
необходимо реализовать для определения орбиты спутника.
Оптимальное планирование работы навигационных средств
дает резерв обеспечения требуемой точности определения положения
и скорости спутника данного созвездия в тех ситуациях, когда
другие возможности, такие как повышение точности
навигационных измерений или усовершенствование используемых
математических моделей и алгоритмов обработки информации, уже
исчерпаны.
При этом возможны постановки так называемых прямой и
обратной задач оптимизации.
Прямая задача дает возможность достичь максимального
уровня точности при заданных ограничениях на временные ресурсы,
выделяемые для определения орбиты.
Обратная задача позволяет минимизировать временные
ресурсы, необходимые для достижения заданного уровня точности.
Оптимальное планирование навигационного эксперимента
подразумевает использование различных технических возможностей,
например, выбор наиболее информативных навигационных
параметров из числа доступных для измерения, выбор оптимального
режима работы навигационных средств (частота,
последовательность измерений и т.д.), управление процессом навигационных
измерений и т.д.
Постановка задачи оптимального планирования эксперимента в
общем случае хорошо известна. Однако известные в литературе
решения этой задачи, как правило, неприемлемы для
практического использования при определении орбит космических аппара-
327

б. Планирование навигационных измерений
тов с помощью, например, фильтра Калмана, вследствие
нелинейности уравнения Риккати, описывающего эволюцию
апостериорной ковариационной матрицы вектора состояния спутника.
Подход, предложенный ниже [24], делает возможным переход от
исходной нелинейной задачи оптимизации к эквивалентной
линейной по фазовым переменным.
Такой результат достигается путем применения так называемого
аналитического свойства уравнения Риккати.
Вследствие эквивалентного перехода к линейной задаче
алгоритмы планирования, получаемые в результате использования
данного подхода, имеют аналитическую структуру и гарантированную
сходимость. Это дает возможность реализовывать получаемые
алгоритмы планирования в прикладных задачах определения орбит
спутников, входящих в космические системы.
Мы будем рассматривать в дальнейшем только стохастический
подход при планировании навигационных измерений. Это
означает, что все неконтролируемые факторы, рассматриваемые в рамках
данной задачи (ошибки измерений, возмущения, действующие на
группировку, ошибки априорных сведений о состоянии
спутников), рассматриваются как стохастические, описываемые гауссов-
скими распределениями с известными характеристиками.
Исходная задача интерпретируется как задача программного
управления точностью калмановской фильтрации. Эта
интерпретация является достаточно общей, поскольку она включает большое
число элементарных задач, возникающих в рамках классической
теории регрессионного эксперимента, а также задачи,
возникающие при оптимизации непрерывных измерений, обрабатываемых
по методу средних (наименьших) квадратов.
Используемый ниже подход позволяет учитывать такие
факторы, как стохастический характер движения спутника, корреляцию
ошибок навигационных измерений, ограничения на максимальную
частоту (скорость) измерений, а также ряд других факторов,
которые невозможно или очень сложно учесть в рамках классической
регрессионной модели.
Для простоты изложения основные результаты ниже даются для
непрерывных динамических систем. Затем они обобщаются на
дискретный случай, который более важен для практического
применения.
328

6.1. Модель навигационных измерений
6.1. Модель навигационных измерений
Мы будем рассматривать модель движения спутника в виде
стохастического дифференциального уравнения:
x = Ax + F%, te[T], (6.1)
где х = x(t) - п -мерный вектор состояния спутника, А = A(t) -
динамическая матрица (лхи), F=F(t) - матрица (лхл'), %{t) -
вектор белых шумов (w'xl) с нулевым математическим ожиданием
и заданной матрицей ковариации:
где D = Dg(t) - матрица интенсивности, б(т) - дельта-функция.
Начальные условия для уравнения (6.1) - гауссовский вектор с
заданным математическим ожиданием и матрицей ковариации
х(0)ем{х0,Р0}.
Аргумент t мы будем опускать во всех обозначениях, если
смысл вводимых обозначений будет ясен из контекста.
Наблюдения за движением спутника осуществляются путем
реализации / -мерного вектора измерений на интервале (О, Т):
y = jHx + 1> (6-2)
где у = y(t) - /-мерный вектор; Н = H(t) - матрица (/хи),
j] = jj(t) - вектор белых шумов (/ х l) с невырожденной матрицей
интенсивности Dn = Dn(t); y-y(t) - некоторая скалярная
функция, подробно обсуждаемая ниже.
Ошибки эксперимента Ах0 = х(0) - х0, %\t), ij(t)
предполагаются в дальнейшем статистически независимыми. Таким образом,
соотношения (6.1) и (6.2) определяют модель навигационного
эксперимента.
Планирование эксперимента осуществляется за счет функций
y = y(t) и # = #(/) в (6.2). Здесь у формализует программу
измерений во времени, а Н формализует состав измеряемых парамет-
329

б. Планирование навигационных измерений
ров. За счет соответствующей нормализации уравнения (6.2) мы
можем добиться того, что матрица интенсивности Dn будет той же
самой функцией времени при различных матрицах Н. Функции
y\t) и Я(г) будем называть в дальнейшем планом эксперимента
{y(t), H(t) } . Функция y(t) должна удовлетворять следующим
ограничениям:
r(t)er, Ге{0,1}. (6.3)
Таким образом, если y(t) = 1, в момент t осуществляется
измерение; если y(t) = 0, измерение не проводится. Вследствие
ограничений (6.3) произведение уН носит условный характер и означает,
что уравнение (6.2) должно рассматриваться только для тех
моментов времени, где y(t) = 1.
Если измерение невозможно проводить на отдельных участках
интервала (о, Т), ограничение (6.3) принимает более общую
форму:
r(thr(t), Ге{0, г™(*)}, r™4t) = \l eCM '*!' (6.4)
[О, если teT,
где Т - множество моментов времени, в которые навигационные
измерения невозможны (участки ненаблюдаемого движения).
Затраты на проведение измерений определяются следующим
образом:
rz=Jy(0A, (6.5)
о
где Г£ " общее время наблюдений.
Если состав измеряемых параметров (матрица #(*))
выбирается, необходимо учесть ограничение
я(0еН(0. (6.6)
330

6.1. Модель навигационных измерений
Здесь множество n{t) характеризует возможный состав
навигационных средств (состав возможных измерений) и может
содержать конечное или бесконечное множество элементов. При
решении прикладных задач состав и структура множества 3(f) всегда
заданы конкретно. Так, например, множество E(t) может состоять
из элементов #(/, /г), где яеП - вектор параметров,
оказывающих влияние на условия наблюдаемости данного спутника.
6.2. Алгоритмы обработки информации
Рассмотрим теперь связь между точностью определения
движения объекта, описываемого (6.1) и планом эксперимента
{у{t), H(t)}. Предварительно определим способ обработки данных,
получаемых с помощью (6.2), иными словами, определим алгоритм
обработки информации.
В настоящее время наиболее распространенными методами
обработки навигационных данных при определении орбит спутников
являются метод наименьших квадратов и алгоритмы динамической
фильтрации или, как их еще называют, рекуррентные байесовские
алгоритмы оценивания, частным случаем которых является хорошо
известный фильтр Калмана.
Остановимся вкратце на основных особенностях
перечисленных алгоритмов применительно к прикладным задачам
определения орбит спутников. С этой целью введем модель измерений в
виде:
Л =?/(*) +7/.
где ух — /-мерный вектор измерений, реализуемых в момент //; q>i -
нелинейная вектор-функция, связывающая вектор измеряемых
величин с вектором оцениваемых параметров. Например, в задаче
определения орбиты спутника в качестве оцениваемых параметров
могут быть приняты эксцентриситет, наклонение и т.д. Таким
образом, оцениванию подлежит некоторый r-мерный фактор
неизвестных параметров а, Ы\ rj,- - вектор ошибок измерений,
относительно которых предполагается, что математическое ожидание этих
ошибок равно нулю во все моменты времени. Никакой другой ап-
331

б. Планирование навигационных измерений
риорной информации о векторе оцениваемых параметров а и
ошибках измерений щ в принципе не требуется. Тем не менее,
будем полагать, что существует множество допустимых значений а:
аеА.
Предположим, что измерения осуществляются дискретно в
моменты i = 0,1,2,..., N 9 так что в нашем распоряжении оказывается
выборка из (N+1) векторов измерений yt. Введем вектор
(yN)T-(yoTy\T Уы^) размерностью (7V+l)/xl. Тогда модель измерений
для выборки из 7V+1 векторов yt может быть записана в виде
yN=y(a)+Ti,
где <pT(a) = ((p](pJ...<pJ), трНЦо7?!-7?!?) " векторы размерности
Из последнего выражения следует
• ip/4>(fl).
Будем искать оценку а* вектора параметров а из условия мини-
Т —1
мума скалярного критерия J - 77 D^ tj по а*\
f = min J = min rjTD~lrj,
ле А ft с Л '
aeA aeA
где Drj - матрица ковариации вектора tj, или, что то же самое,
minJ = min[yN -<p(a)fD;V ~<P(a)]-
aeA aeA '
Необходимое условие минимума / по а*
да да
представляет собой систему из г уравнений для определения
оценок а* /--мерного вектора ае А .
Эти уравнения - нелинейные алгебраические, и их корни в
общем случае следует искать численными методами. Необходимым
условием существования решения системы является требование,
чтобы ранг матрицы частных производных д(рт(а*)/да* равнялся
332

6.2. Алгоритмы обработки информации
г, поскольку в противном случае система будет неопределенной.
Итак, в последних уравнениях компоненты вектора а* выступают
уже не как "истинные" значения оцениваемых параметров, а как
варьируемые величины, среди которых есть и искомые оценки.
Перейдем к описанию той интерпретации метода наименьших
квадратов, которая используется для определения орбит спутников.
В этом случае в качестве вектора оцениваемых параметров а может
быть принят, как уже говорилось, вектор оскулирующих элементов
орбиты q или вектор неизвестных начальных условий движения
спутника xq. Будем полагать, что задача оценки состояния
летательного аппарата при использовании метода наименьших
квадратов сводится к оценке неизвестных начальных условий его
движения в момент t0. Предполагается также, что мы располагаем
системой дифференциальных уравнений движения, позволяющих
определять вектор состояния аппарата в любой момент /i>/q при
известных начальных условиях. Следующим важным
предположением является допущение, что между измеряемыми величинами и
оцениваемыми компонентами вектора начальных условий
существует линейная связь, т.е.
где Ах0 - поправка, которая вносится за счет измерений в
оцениваемый л-мерный вектор начальных условий х0; Ду, — отклонения
измеряемых параметров от так называемых расчетных значений
(невязка измерений):
Здесь yt — фактическое значение измеряемого параметра в
момент f,; yip - расчетное значение измеряемого параметра в момент
//, определяемое из расчетной (опорной) траектории,
соответствующей расчетным значениям начальных условий хо\
Н(= (д<р(/дх0) - матрица Ып частных производных измеряемых
параметров по компонентам вектора *ь, вычисленная для опорной
траектории.
333

6. Планирование навигационных измерений
Введем теперь обозначение:
Н =(Н0НХ ...HN) =
дх0 дх0 дх0
матрица nx(N+l)l. Тогда необходимое условие минимума критерия
/ по оцениваемым параметрам примет вид:
НтОц1(Ау»-НАх*0) = 09
откуда
Ах;=(НтПц1НГ1НтПц1Аум9
где
W4T
Здесь Axq - оптимальная оценка поправок к начальным
условиям, определенная по выборке yN.
При определении орбит спутников алгоритм наименьших
квадратов используют многократно, в итерационном цикле, когда в
качестве опорной на к-й итерации используется орбита, задаваемая
начальными условиями, полученными путем вычисления оценок
на (£-1)-й итерации и т.д.
Таким образом, на к-й итерации имеем
*(к) _ •(*-!) , д *(*)
Л0 ~~ л0 0 '
где х$ \Ах^ * -оценка начальных условий и поправка,
соответствующая к-й итерации соответственно; д$*~^ — оценка
начальных условий на (£-1)-й итерации. Процесс продолжается до тех
пор, пока поправки Ах^ на некоторой к-й итерации не окажутся
по всем компонентам меньше некоторых заранее заданных
величин. *
Точность получаемых оценок вектора xq характеризуется
корреляционной матрицей ошибок оценки
334

6.2. Алгоритмы обработки информации
М[(Ах*0 - Ах0)(Ах*0 - Ах0)Т] = (HTD^HTl.
Приведенный алгоритм наименьших квадратов, использующий
линеаризованные соотношения для измерений, а также
линеаризованные уравнения движения, может быть записан и в
рекуррентной форме, когда обрабатывается не вся совокупность
накопленных измерений, а каждое измерение поочередно. В этом случае мы
получаем алгоритм, эквивалентный так называемому алгоритму
динамической фильтрации или дискретному фильтру Калмана,
описываемому соотношениями:
x^Xt+PfHjDfiyi-H,*,),
Pt^P^+HjDJHtY,
где xt — оптимальная оценка текущего состояния спутника,
полученная на основе всех имеющихся к моменту t( измерений:
х* =М\х(/у1],
хм — оптимальный прогноз состояния хм на основе оптималь-
*
ной оценки х( :
хм=М\хм/у*\9
Фм t — фундаментальная матрица линеаризованной системы
уравнений движения спутника, связывающая состояния хм и xt,
Р* - апостериорная матрица ковариации оценки х(,
Р( - апостериорная матрица ковариации оценки xt,
Hi - матрица частных производных измеряемых параметров по
компонентам вектора состояния спутника,
335

6. Планирование навигационных измерений
Dn,D^ - матрицы ковариации ошибок измерений и
возмущающих воздействий соответственно.
Из методических соображений мы будем рассматривать в
дальнейшем так называемую динамическую фильтрацию
применительно к непрерывным измерениям, описываемым моделями (6.1) и
(6.2). Вследствие линейности этой модели и гауссовости векторов
\(t), x\(t) и х(0) апостериорная плотность вероятности р{х/у^))
оказывается также гауссовской и, следовательно, она полностью
определяется математическим ожиданием х*(0 = М[х/у(*)] и матрицей
ковариации P\t) = м[(х-х*)(х-хУ/у(«)].
Эволюция этих характеристик описывается следующей
системой дифференциальных уравнений (так называемый непрерывный
фильтр Калмана) [17], которая может быть получена из
приведенных выше соотношений фильтра Калмана при А, = tM -1{ -> 0:
х =Ах* +yP*HTD-\y-Hx*), (6.7)
Р* = АР* + Р*Ат-уР*'Я7D~]HP* + FD^FT (6.8)
с начальными условиями х (0) = л:0, Р (0) = Р0.
Показатели качества оценок, получаемых с помощью фильтра
Калмана, оказываются заданными при фиксированном плане
эксперимента {y(t), H(t)}. Рассмотрим случай, когда необходимо
получить оценку вектора z, включающего г контролируемых
параметров. Пусть вектор z связан с фазовым вектором x(t)
линейно:
z = CTx(t), (6.9)
где z — вектор размерности г ; С — матрица (пхг). Ранг матрицы
равен г, г < п .
Строго говоря, для решения этой задачи мы должны построить
фильтр, отличный от стандартного, описываемого с помощью (6.7),
(6.8). Однако этого не нужно делать, т.к. апостериорная плотность
336

6.2. Алгоритмы обработки информации
p(zl >>(•)) связана с плотностью р{х/ )>(•)), может быть построена
с использованием моментных характеристик последней:
z* = CTx\t) , Pz = CTP\t)C . (6.10)
В частном случае, где С — единичная (п х п) матрица,
z*=x*(t), z* = x\t) и PZ=P*(/).
В теории оптимальных статистических решений доказывается
[12], что оценка z = z*, представляющая собой апостериорное
математическое ожидание вектора z, является также оптимальной с
точки зрения минимума так называемого квадратического
байесовского риска (математического ожидания квадратической функции
потерь). Кроме того, эта оптимальная оценка инвариантна к
выбору так называемой весовой матрицы в упомянутой функции потерь.
Известно также, что фильтр Калмана представляет собой основу
для решения задач оптимального оценивания при произвольном
неквадратическом критерии оптимизации. Действительно, если в
момент t вектор z может рассматриваться как гауссовский, любой
байесовский риск, ассоциированный с неквадратической функцией
потерь, может быть вычислен. Путем минимизации этого риска мы
можем получить оптимальную оценку z, которая в общем случае
не совпадает с условным математическим ожиданием, являющимся
оптимальной оценкой при квадратической функции потерь.
Из сказанного следует, что планирование эксперимента может
осуществляться в предположении, что обработка информации
производится с помощью фильтра Калмана или подобного ему
байесовского алгоритма оценивания.
В любом случае точность оценивания вектора z определяется
апостериорной ковариационной матрицей Pz=CTP*(t)C, которая
вычисляется априорно. С учетом сказанного, зафиксируем свое
внимание на уравнении Риккати, т.е. уравнении для апостериорной
ковариационной матрицы P*{t), входящем в соотношения
фильтра Калмана. Это уравнение описывает точность процесса
фильтрации и определяет воображаемую динамическую систему, для
которой могут быть сформулированы различные оптимизационные за-
337

6. Планирование навигационных измерений
дачи. Как уже указывалось выше, условно эти задачи могут быть
разделены на прямые и обратные.
Прямые задачи связаны с оптимизацией точности оценивания
состояния динамической системы при заданных затратах на
измерения. Обратные задачи связаны с оптимизацией затрат на
измерения при заданном уровне точности.
Теперь исходная задача оптимального планирования
навигационных измерений может быть формально поставлена как задача
программного управления системой (6.8). Соответственно, прямая
задача состоит в минимизации критерия:
J = <p(Pz)-> min (6.11)
уеГ, Я el
при ограничении
4*4- (6.12)
Здесь <р - нелинейная функция, формирующая критерий
оптимизации из элементов апостериорной ковариационной матрицы.
Обратная задача состоит в минимизации критерия
У = г1-> min (6.13)
при ограничении
<р(Р2)<ср. (6.14)
Здесь fz - затраты на проведение измерений, а ср -
требуемый уровень точности. Обозначение <p(Pz) означает, что в качестве
критерия оптимизации рассматривается некоторая нелинейная
функция элементов ковариационной матрицы вектора z в момент
времени t. Значение t в общем случае не фиксировано.
6.3. Критерии оптимальности
Классическая теория эксперимента использует простейшие
критерии оптимизации. Обычно используются скалярные характе-
338

6.3. Критерии оптимальности
ристики дисперсионно-корреляционного эллипсоида, например,
среднеквадратические оценки.
Наиболее существенным недостатком такого классического
критерия является тот факт, что расположение и форма этого
эллипсоида зависит от ковариационной матрицы и, следовательно, от
плана эксперимента {y(f), H(f)}. Этот недостаток может быть
устранен путем использования так называемого вероятностного
критерия, который позволяет формализовать цель навигации,
учитывая вероятностный характер ошибок оценивания. В результате о
качестве оценивания можно судить по принадлежности ошибок
оценивания некоторой критериальной области. Эта область не
зависит от плана эксперимента [24] и выбирается исходя из целей
навигации. Учитывая обстоятельство, что ошибка оценивания
случайна, возможен выбор двух типов критериев оптимальности.
Первый тип — вероятностный функционал, представляющий собой
вероятность того, что ошибка оценивания принадлежит заранее
выбранной критериальной области. Второй тип — функционал
квантили, характеризующий размер критериальной области в
предположении о том, что упомянутая выше вероятность задана.
Соответственно, желаемый критерий может быть вычислен в результате
решения прямой или обратной задач оптимизации.
В специальных случаях, когда критериальная область Z
симметрична относительно оценки, задача существенно упрощается. В
этом случае оказывается, что оценки, полученные с помощью
фильтра Калмана, оптимальны и в смысле вероятностного
критерия.
Учитывая сказанное, будем рассматривать специальные
критерии оптимальности, известные в классической теории
планирования эксперимента и отражающие требования современных
прикладных задач.
Начнем с так называемых терминальных критериев, когда
оцениваемый вектор z определяется в последней точке интервала
наблюдения (навигации) и связан с фазовым вектором линейно:
z = CTx(T), (6.15)
где С - некоторая матрица (пхг), имеющая ранг, равный
гапкС = г . Ковариационная матрица вектора z определяется с ис-
339

6. Планирование навигационных измерений
пользованием выражения (6.10). При этом возможны следующие
критерии оптимальности.
сг/ -критерий, характеризующий точность (среднеквадратиче-
скую ошибку) оценивания скалярного параметра / в
терминальный момент времени. В этом случае предполагается, что С -
вектор. Этот критерий непосредственно связан с вероятностным,
поскольку в этом случае критериальная область, которой должна
принадлежать ошибка оценивания, представляет собой сегмент и,
следовательно, соответствующая вероятность может быть
определена с использованием этого критерия.
tr-критерий в виде следа ковариационной матрицы Pz(). В
этом случае минимизируется средняя дисперсия вектора z или,
что то же самое, диагональ параллелепипеда, ориентированного по
осям системы координат, в которой определен вектор z. Этот
критерий непосредственно связан с оптимальным значением квадра-
тического байесовского риска, представляющего собой
математическое ожидание квадратической функции потерь при единичной
весовой матрице. Действительно, в этом случае математическое
ожидание квадратичной формы равно следу математического
ожидания матрицы zzT, т.е. следу матрицы Р2.
Яттх -критерий в виде максимального собственного значения
матрицы Р2. В этом случае минимизируется максимальная ось
дисперсионного эллипсоида. С другой стороны, этот критерий
оптимальности позволяет минимизировать дисперсию наиболее плохо
оцениваемого параметра / = vTz, где v - вектор, принадлежащий
единичной г-мерной сфере. Действительно, в соответствии с
известным соотношением Релея, максимальное собственное значение
матрицы Pz вычисляется путем максимизации квадратичной
формы, ассоциированной с матрицей Pz.
det -критерий в виде определителя матрицы Pz(). В этом
случае минимизируется обобщенная дисперсия вектора z или объем
дисперсионного эллипсоида, который пропорционален квадрату
этой дисперсии, det -критерий представляет также практический
340

6.3. Критерии оптимальности
интерес в случае, если необходимо максимизировать количество
Шенноновской информации относительно вектора z.
Критерий ср -оптимальности, где <р — положительно
определенная дифференцируемая функция, удовлетворяющая
Очевидно, что о-/, /г и det критерии представляют собой
частные случаи критерия <р -оптимальности. Эти частные критерии
были введены выше как независимые вследствие их широкого
употребления в рамках классической теории планирования
эксперимента. Обобщение упомянутых частных критериев представляет
собой существенный интерес по двум причинам. Во-первых, такое
обобщение не приводит к существенным трудностям при
получении конструктивных условий оптимальности плана эксперимента
(такие трудности могут возникнуть при вычислении произвольной
функции от матрицы <р{ Р2 }). Во-вторых, такое обобщение
позволяет рассматривать различные варианты требований к точности
планирования.
Рассмотрим теперь другую группу критериев, которые
характеризуют точность оценивания не в фиксированной точке Т на
некотором интервале времени. Это может быть интервал
прогнозирования (Г, Г'), Т>Т или интервал наблюдения (0,г).
Будем рассматривать такие критерии оптимальности, которые,
по аналогии с а1 -критерием, характеризуют дисперсии одного или
нескольких скалярных параметров.
max erf -критерий в виде максимального значения erf,
представляет собой максимальное значение дисперсии скалярного
параметра / на интервале (7\7"). В этом случае наихудшая (на
интервале (Г, Г')) точность прогнозирования будет минимизирована.
Критерий Т -оптимальности. В этом случае время
прогнозирования движения спутника может быть максимизировано в пределах
данной точности, например, в случае, если нас интересует
дисперсия некоторого прогнозируемого скалярного параметра. Этот
критерий весьма просто сводится к наиболее общей форме записи,
если ставится прямая задача оптимизации. Действительно, в этом
341

6. Планирование навигационных измерений
случае можно положить <р = -7" , т.е. 7" определяется с учетом
ограничений по точности прогноза и, следовательно, представляет
собой косвенный показатель точности.
Критерий I -оптимальности. Этот критерий представляет собой
интеграл от дисперсии скалярного параметра /(г) = а7(т)х(т),
вычисляется на фиксированном интервале времени. В этом случае
оптимизация процесса навигационных измерений производится на
интервале (0,г) "в среднем", что позволяет улучшить качество
получаемых оценок в процессе достаточно "гладких" изменений
матрицы Pz. Если необходимо оптимизировать точность не на всем
интервале (о, Т), а лишь на отдельных его частях 7^, мы можем
положить а = О для тех моментов времени, которые не
принадлежат к участкам оптимизации.
Все перечисленные выше критерии образуют основу для
постановки прямой задачи планирования эксперимента.
Рассмотрим теперь показатели качества, используемые при
постановке обратных задач.
Критерий Г£ -оптимальности, где г^ - суммарное время,
затрачиваемое на проведение измерений. В этом случае конкретная
форма критериальной функции <р определяется в соответствии с
природой ограничений (требований) к точности определения
состояния спутника. Такие ограничения могут быть определены,
например, на множестве моментов времени i£ = (ft, f2» •••»**)• Здесь
К - число интересующих нас "тестовых" моментов времени.
Задача оптимизации с использованием сформулированного
выше критерия, может быть поставлена как для фиксированного,
так и для нефиксированного интервала (0,Г). В случае, если длина
интервала не фиксирована, существует дополнительный резерв для
оптимизации, т.е. для выбора момента Т.
В отдельных случаях выбор этого момента должен проводиться
с учетом дополнительного ограничения Т} < Т < Т2 .
Рассмотрим теперь постановку задачи, связанную со
"скоростью" проведения измерений. При этом используется так
называемый критерий Т -оптимальности.
342

6.3. Критерии оптимальности
Критерий Т -оптимальности используется в случае, когда мы
имеем ограниченный ресурс измерений и возможность выбора
состава (структуры) навигационных средств, чтобы достичь
требуемой точности навигации за минимальное время Т. Требуемый
уровень точности задается множеством ограничений на дисперсии
скалярного параметра / = а Тх(т).
На практике все перечисленные выше критерии могут
использоваться в различных сочетаниях. Список возможных критериев
может быть продлен. В любом случае окончательный выбор
критерия оптимальности определяется спецификой конкретной
технической задачи. Возможны также и обобщения. Рассмотрим
некоторые из них.
Определение орбит спутников, входящих в единую группировку.
Рассмотрим группировку из N спутников, движение которых
описывается уравнениями
jc' = А[х1 + F1? , / е (О, Г), i = ijf, (6.16)
*
Предположим, что навигационные измерения реализуются с
помощью М навигационных каналов (станций слежения - НИ-
Пов), описываемых с помощью соотношений
J*=r№W> * = M/, (6.17)
Матрица функций у[ (t) (i = 1,..., N; k = 1,..., M) удобна для
описания процесса навигационных измерений при решении задачи
оптимизации работы навигационных средств.
Действительно, если ylk(t)=l> это означает, что спутник с
номером / наблюдается с помощью к -й станции. Если y[{t) = 09
наблюдения не проводятся. Как правило, предполагается, что в
произвольной момент времени t любой из НИПов используется для
наблюдения только одного из объектов. Этот факт формализуется с
помощью ограничения
N
Т,г'к(*)*и к = 1,М. (6.18)
343

6. Планирование навигационных измерений
Если в какой-либо момент времени / спутник может
наблюдаться с помощью только одного из каналов, реализуемых данным
НИПом, необходимо учесть следующие ограничения:
2>J(/)S1, i = M/. (6.19)
Рабочее время НИПа определяется следующим выражением:
ЧкА\Ыщ^, * = M/. (6.20)
ч
о
\i=\ J
Соответственно, общее время наблюдения всех используемых
НИПов записывается следующим образом:
м т(м N . ,Л
% = I%=J ZIriWk (6.2D
к=\ о\к=\Ы\ J
Проблема оптимизации навигационных измерений в
рассматриваемом случае может быть сформулирована с использованием
так называемой N -связки уравнений Риккати для апостериорной
ковариационной матрицы, соответствующей вектору состояния х
с номером /.
Используемые критерии и ограничения для обсуждаемой задачи
планирования могут быть аналогичными описанным выше.
Например, возможно учесть ограничение, связанное с максимально
допустимым временем работы НИПа. Заметим, что задача
многоканального наблюдения становится более сложной, если
существуют пересечения между компонентами оцениваемых фазовых
векторов. Такая ситуация возникает, например, если систематическая
ошибка измерения включается в число оцениваемых компонент
расширенного фазового вектора. Аналогично, случайные
возмущения, подлежащие оценке, могут быть взаимно коррелированными.
В подобных ситуациях возможна задача управления расширенной
апостериорной ковариационной матрицей Pz.
Сложность вычислений существенно возрастает с увеличением
числа спутников созвездия. В этой связи любые методы декомпо-
344

6.3. Критерии оптимальности
зиции исходной оптимизационной задачи представляют
существенный интерес.
Учет временной корреляции ошибок измерений и возмущений. В
традиционной теории оптимального эксперимента учет корреляции
ошибок измерений представляет существенную трудность.
Динамический подход к проблеме планирования дает новые
возможности для их преодоления.
Пусть ошибки измерения содержат быстроменяющуюся
компоненту (типа белого шума) с интенсивностью ЦД/) и медленноме-
няющаяся (систематическую) компоненту, которая представляет
собой гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием
и заданной корреляционной функцией, отличной от дельта-
функции. В последнем случае процесс принято называть "цветным
шумом". Модель ошибок измерения имеет вид:
?(0 = 7w(0+%(0> (6-22>
где r]w{t) - быстроменяющаяся компонента (белый шум) с
интенсивностью ДД*); Tjs(t) - медленноменяющаяся компонента
("цветной шум"), т.е. гауссовский процесс со следующими
свойствами:
M[r}s{t)]=0, *,(мО="к(')Л')]- (6-23)
Этот процесс может быть представлен с помощью так
называемого формирующего фильтра:
Tfs=Crjs+G®9 (6.24)
где ©(/) — стандартный белый шум с единичной матрицей
интенсивности. Размерность этого уравнения есть порядок
формирующего фильтра. Начальные условия для формирующего фильтра
следующие:
М[^(0)] = 0, M[i7,(0)^r(0)]=^(0,0).
345

6. Планирование навигационных измерений
В некоторых практически важных случаях такое представление
является точным. Таким образом, если r/s(t) - стационарный
процесс с корреляционной функцией KTJ(r) =
(i = l,...,/), мы можем записать для i-й компоненты вектора rj5(t)
формирующий фильтр первого порядка:
%|-=^/|7,/+й®|э (6.25)
где ci =(l/7})>0, g( =<т/д/(2/7}) - параметры фильтра,
определяемые дисперсией а] процесса tjs. и величиной 7},
характеризующей скорость убывания корреляционной зависимости значений
процесса rjs..
Таким образом, использование формирующих фильтров
позволяет учесть факт корреляции в форме, удобной для решения задачи
планирования навигационного эксперимента в виде расширенной
системы уравнений
x = Ax + FZ, Sf/5=C?f5+G@, te(09T)9 (6.26)
с расширенным уравнением измерений
y = r[Hx + Qc]+4w, (6.27)
Задача, поставленная с использованием уравнений (6.26) и
(6.27), может быть записана в стандартной форме (6.1), (6.2) путем
введения расширенного вектора х и расширенных матриц А,
F, Я.
Теперь задача планирования может быть поставлена в терминах
расширенной апостериорной ковариационной матрицы, уравнение
динамики которой в точности повторяет уравнение (6.8) для
апостериорной матрицы ковариаций. Критерии и ограничения,
характеризующие данную задачу, были приведены выше. Аналогично,
корреляция случайных возмущений может быть учтена с помощью
формирующих фильтров, введенных в уравнения движения
спутника. В этом случае также могут быть использованы формирующие
фильтры в виде (6.24) и введен расширенный вектор состояния.
346

6.3. Критерии оптимальности
Возможны также и другие обобщения, касающиеся процесса
наблюдения применительно к особым ситуациям: вырождение
матрицы интенсивности шумов, отсутствие информации в канале
наблюдения, повышение порядка формирующего фильтра.
6.4. Эквивалентная задача управления
Задачи, сформулированные выше, представляют собой задачи
программного управления динамической системой, фазовый вектор
которой включает элементы апостериорной ковариационной
матрицы. Прямое решение этой задачи весьма сложно. Прежде всего,
сложность состоит в матричной структуре и нелинейности
уравнения Риккати. Для решения этой задачи может быть предложен
новый достаточно общий подход. Он состоит в переходе от исходной
задачи оптимизации к эквивалентной (в смысле желаемого
управления и критерия), которая решается в более конструктивной
форме [24, 64].
Предварительно сформулируем следующее утверждение.
Утверждение. Если два вектора s и q определяются
нижеследующей системой дифференциальных уравнений
qx=FD4FTsx+Aqu te(0,T)
с начальными условиями
A*i(0)-<7.(0) = 0, (6.29)
где sx (0) — произвольный вектор, принадлежащий и -мерному
евклидову пространству R" , справедливо следующее тождество:
P*(0*i(0 = <7i(0 V/G(0,r). (6.30)
В дальнейшем систему (6.28) будем называть sq -системой.
347

6. Планирование навигационных измерений
В некоторых случаях sq -система может быть
трансформирована в более удобную форму. Так, если фундаментальная матрица
Ф(/, t') исходной модели движения, определяемая с помощью
Ф(М') = ЛФ(М'), Ф(*',0 = /„, (6.31)
может быть записана в аналитической форме с заменой
переменных
s{t) = Ф~{ (7\ 0 sx (О, q{t) = Ф(7\ Г) qx (t), (6.32)
возможно "исключить" собственное движение системы (6.28). В
этом случае мы имеем новую систему
s = yRq,
,„ (6.33)
q = Vs,te(0,T)
с начальным условием
PT(0)s(0)-q(0) = 0. (6.34)
Новой системе (6.33) соответствуют следующие тождества:
PT(t)s(t) = q(tl Ые(0,П
R(t) = (Ф"1 (Г, t)r]HT(t)D~](0Я(0Ф"](Г, 0 , (6.35)
V(t) = Ф(7\ t)F(t)Ds{t)FT№T(T, О,
где PT(t) - предсказанная (без учета шумов) матрица Р*(0 в
момент Т:
PT(t) = 0(T9t)P\t)0T(T9t). (6.36)
С учетом этого обстоятельства мы получаем в (6.34):
РТ(0) = Ф(ТУ0)Р^ФТ(Т,0).
В дальнейшем, рассматривая обобщение на дискретный случай,
мы будем использовать упрощенную систему (6.33). Представление
348

6.4. Эквивалентная задана управления
матриц Ф(/, /') и V(t) в аналитической форме не является
обязательным, но при решении конкретных прикладных задач это
обстоятельство следует учитывать и, если необходимо, переходить от
исходных переменных s(t), q(t) к переменным sx (t), qx (t).
Система (6.28) и, соответственно, система (6.33) представляют
собой проекции так называемой Гамильтоновой системы на
пространство переменных размерностью 2п.
Для некоторых критериев оптимальности достаточно
использовать (6.33) и, выражая критерии в терминах s, q, достаточно
получить соответствующие эквивалентные задачи управления. Эти
задачи эквивалентны задачам управления системой (6.8). Для других
критериев оптимальности существо подхода состоит в
формировании уравнений типа (6.33), где число переменных достаточно для
определения характеристик точности <p{Pz]. Таким образом, метод
проектирования Гамильтоновых систем представляет собой
универсальное средство получения эквивалентных задач.
Сформулируем теперь эквивалентные задачи, наиболее употребительные на
практике.
Эквивалентная задача для критерия ах -оптимальности.
Рассмотрим задачу управления sq -системой с терминальным
ограничением
s(T) = a (6.37)
и терминальным критерием
J = aTq(T)->min. (6.38)
Такая постановка учитывает ограничения на программу
измерений {у, Н } и затраты на проведение измерений.
Эта задача управления эквивалентна исходной задаче
оптимизации навигационных измерений с использованием критерия а\ -
оптимальности.
Чтобы достичь этого, достаточно установить эквивалентность
критериев в обеих задачах. Этот факт легко устанавливается с
использованием основного тождества, рассмотренного применитель-
349

6. Планирование навигационных измерений
но к терминальному моменту Т, а также с учетом терминального
ограничения (6.37). Действительно, умножая правую и левую части
тождества на а , мы получаем критерий а1 -оптимальности.
Эквивалентная задача для критерия Я^^. Рассмотрим теперь
проблему управления 547-системой с терминальными
ограничениями вида
s(T) = cvy (6.39)
где v e Qr - некоторый г -мерный вектор, и с терминальным
критерием
J = mzx{vTcTq(T) }-> min , (6.40)
где Qr = {v: || v | = 1 } — единичная г -мерная сфера. Заметим, что
терминальное ограничение (6.39) связано с терминальным
критерием (6.40). С одной стороны, вектор v, используемый в
ограничении, определяется в результате максимизации. С другой стороны,
терминальный критерий q(T) зависит от v вследствие основного
тождества.
Можно показать, что сформулированная задача эквивалентна
исходной задаче оптимального планирования с использованием
критерия Ятах. Действительно, в соответствии с соотношением
Рэлея и с учетом основного тождества, рассмотренного в
терминальный момент времени, оба критерия совпадают:
Z^x{Pz}=maxvTPy =mzxvTcTP\T)cv = maxvTcTq(T).(6Al)
veQr veQr veQr
Можно показать, что квадратичная функция, представляющая
собой дисперсию ошибки оценки скалярного параметра
l(y)-vTстх(Т) , имеет седловую точку [v,\y,H }), где v —
собственный вектор матрицы Pz, соответствующей оптимальному
плану измерений [24].
350

6.4. Эквивалентная задача управления
В результате эквивалентная задача управления в системе (6.33)
с критерием (6.40) погружается в множество задач с критерием о{ -
оптимальности, где a-cv и вектор параметров veQr
определяются позднее в результате операции максимизации . Принцип
погружения существенно упрощает получение условий
оптимальности благодаря первичной оптимизации по компонентам у и Н.
Этот принцип может быть широко использован и для других
критериев оптимальности. Однако с точки зрения получения
эффективного численного алгоритма принцип погружения не является
конструктивным, поэтому в дальнейшем переход будет
осуществляться с использованием условий оптимальности в конструктивной
форме.
В заключение отметим, что если матрица сТ есть строчка и Р2
- дисперсия скалярного параметра z = / = стх(Т), постановка
эквивалентной задачи для критерия Ятах совпадает с постановкой
задачи для критерия <j1 -оптимальности.
Эквивалентная задача для tr -критерия. К сожалению, в этом
случае невозможно сформулировать эквивалентную задачу
размерности 2п в пространстве s , q , как это уже было сделано для
критериев сг, и Лп^х. Тем не менее, подход, основанный на
использовании аналитического свойства уравнения Риккати, возможен и
здесь, если векторы s и q рассматриваются как матрицы S и Q
размерности (п х г) со столбцами Sj , qj (j -1,..., г). Другими
словами, осуществляя проектирование Гамильтоновой системы на
пространство размерности 2пг, получим:
(6.42)
Граничные условия для системы (6.42) на левом конце:
PT(0)S(0)-Q(0) = 0. (6.43)
351

6. Планирование навигационных измерений
Более того, основное матричное тождество имеет тот же вид:
PT(t)S(t) = Q(t) \/te(0,T). (6.44)
Последнее вытекает из соответствия столбцов матриц S(t) и
(2(0 с векторами, используемыми в основном матричном
тождестве.
Введем следующее ограничение на правом конце для системы
(6.42):
S(T) = C. (6.45)
Учитывая критерий
J = tr\ CTQ{T) }-» min (6.46)
и принимая во внимание офаничения {/,# } для (6.42), получаем
задачу оптимизации, эквивалентную исходной с критерием
оптимальности в виде следа матрицы (tr -критерий). Доказательство
эквивалентности весьма просто. Оно сводится к доказательству
равенств:
tr{cTQ(T) }=tr{cTP\T)C }=tr{Pz). (6.47)
По аналогии с критерием а1 -оптимальности, последнее
устанавливается на основе тождества (6.44) при / = Г ис учетом
выражения (6.45). Заметим, что постановка эквивалентной задачи для
tr -критерия вырождается в постановку для критерия сг/-
оптимальности, если матрица Сг, определяющая z, представляет
собой п -мерный вектор.
Эквивалентная задача для критерия det -ортимальности. В этом
случае задача оказывается аналогичной задаче с tr -критерием.
Отличие состоит лишь в представлении эквивалентного критерия,
который принимает вид:
J = dtt{cTQ(T)}->mm.
352

6.4. Эквивалентная задана управления
Доказательство эквивалентности осуществляется на основе
равенства (6.47). Если г-1 и СТ — п -мерный вектор, задача
вырождается в задачу с критерием о1 -оптимальности.
Эквивалентная задача для критерия ^-оптимальности. В этом
случае эквивалентная система и ограничения имеют ту же самую
форму, что и в случае критерия tr -оптимальности, но
эквивалентный критерий определяется видом функции <р :
J = <p< CTQ(T) -> min 1 . (6.48)
Доказательство эквивалентности осуществляется так же, как и
для критериев tr -оптимальности и det-оптимальности.
Вырождение задачи с <р -критерием в задачу с <jt -критерием происходит,
если Ст — п -мерный вектор.
6.5. Процедура решения эквивалентной задачи
Все эквивалентные задачи, представленные выше, могут быть
решены с использованием принципа максимума. Это следует из
линейности эквивалентных систем в отношении векторов s и q , a
также из векторной структуры этих уравнений для этих
переменных. Как известно, в общем случае принцип максимума дает
необходимые условия оптимальности. В частности, если система
линейна по фазовым переменным, эти условия совпадают с
достаточными. Известен также более сильный результат: необходимые
условия принципа максимума оказываются достаточными, если
Гамильтонова система есть вогнутая функция фазовых координат
[17]. Таким образом, принцип максимума дает достаточные
условия оптимальности в случае оптимизации процесса навигационных
измерений путем программного управления уравнением Риккати.
Естественно, этот результат остается справедливым и для
эквивалентных систем.
353

6. Планирование навигационных измерений
(6.49)
Необходимые условия для критерия <Т/-оптимальности.
Рассмотрим необходимые условия для первой эквивалентной задачи,
предполагая, что модель динамической системы имеет вид:
s = yRq,
PT(0)s(0)-q(0) = 0,
s{T) = c,
а критерий представляет собой терминальную функцию
J = cTq(T)-> min . (6.50)
уеГ, НеЕ
В этой задаче также присутствуют ограничения
4=\r{t)dt<Tz. (6.51)
о
В соответствии с принципом максимума гамильтониан имеет
вид:
Н = -ау + yy/TsRq + y/TqV, (6.52)
где а — множитель Лагранжа, обусловленный ограничением
(6.51), а*0; \//s9 y/q — сопряженные переменные,
соответствующие векторам s , q .
Из условия максимума гамильтониана по {у9 Н } может быть
найдена структура оптимального управления:
mJl, если M(t)>a, ^
[0, если M{t) < a,
где M(t) - так называемая профаммная функция (функция
переключения). Она вычисляется с помощью следующих соотношений:
M(t) = tfRq, (6.54)
354

6.5. Процедура решения эквивалентной задачи
т = (ф-1)Т(Т,0НТ(1)О-\0Щ()ф-'(Т^). (6.55)
Функция R(t) зависит от матрицы #(/), которая определяет
оптимальный состав измерений и находится из условия
H(t) = arg max y/TsRq . (6.56)
HeE
Если состав измерений задан (матрица H(t) задана), то
операция (6.56) не производится. Система уравнений для сопряженных
переменных y/s, \//q может быть записана следующим образом:
Ys=-— = -vVq>
. я Й (6-57>
Граничные условия на левом конце для (6.57) определяются из
исходных уравнений и имеют следующий вид:
^(0) = -Pr(0)^(0), Vq{T) = -a. (6.58)
Связь между (6.49) и (6.57) для сопряженных переменных
устанавливается с помощью соотношений:
¥q{t)=-s{t), yfs{t)=q(t) \/te{0,T). (6.59)
Эта связь позволяет оперировать только с переменными s и q .
Соответственно, профаммная функция M(t) и условие для
определения матрицы H(t) запишутся в виде
M(t) = qTRq (6.60)
H(t) = arg maxqTRq . (6.61)
tfeH
355

6. Планирование навигационных измерений
Таким образом, возникает следующая краевая задача:
s=yRq, s(0), s(T) = a,
q = Vs9 q(o) = PT(o)s{o), q(T)-свободен.
Необходимо выбрать начальный вектор s(0) в эквивалентной
системе таким образом, чтобы оптимальное управление {/,#},
определенное на основе принципа максимума с учетом
ограничения на общее время проведения измерений, переводило систему из
начального состояния в конечное, где q(T) предполагается
свободным.
Метод последовательных аппроксимаций. Решение поставленной
задачи может быть сведено к отысканию неподвижной точки s(0)
оператора A{s(0)} , т.е. точки, удовлетворяющей уравнению
*(0)=А{*(0)}. (6.63)
Формальная схема реализации такого подхода следующая:
/(0)->^1(0) = а{^°(0)}->^2(0)=а{^1(0) }->.... На каждой
итерации оператор А{ s(0) } определяется такой последовательностью
действий [47]:
1. Решается система (6.49) при начальных условиях s(0),
#(0) = PTs(0), при произвольном допустимом управлении
Ы'),#(0}.
2. Система (6.49) интегрируется в обратном времени с
управлением {y(t), H(t)} и граничными условиями s'{T) = a,
q'(T) = q(T)) где значение q(T) получено путем
интегрирования (6.49) в прямом времени (см. п.1).
3. На траектории q'{t) (см. п.2) определяется программная
функция M{t) в соответствии с (6.60) и (6.61).
4. С использованием Af(t) определяется новое управление
{y'(t\H'{t)} из условия (6.53). При этом множитель а
находится из условия rz(a) = rz .
356

6.5. Процедура решения эквивалентной заданы
5. Вычисляется новое значение s(0), т.е. вектор s'(o).
В других случаях использование принципа максимума
аналогично приведенному выше, т.е. решение краевой задачи также
сводится к итеративной процедуре решения оператора вида (6.63).
Необходимые условия оптимальности при отсутствии шумов в
модели движения. Частный случай, когда шумами в модели
движения можно пренебречь, весьма часто встречается на практике. В
этом случае мы полагаем D^(t) = 0 и, соответственно, V(t) = 0.
Тогда необходимые условия, полученные выше, существенно
упрощаются. Например, эквивалентная система в задаче (6.49) для
любого момента t на заданном интервале может быть записана в
виде:
|i = ** (6.64)
Граничное условие в этой задаче совпадает с (6.62). Оператор
^{•} может быть задан путем интегрирования системы (6.64) в
прямом и обратном времени. Соответствующая программная
функция М(t) может быть также получена в упрощенной форме.
Упрощение формы оператора А{*} и программной функции
M{t) позволяет записать алгоритм определения структуры
оператора совсем просто:
1. Выбирается аргумент оператора, т.е. .s(O).
2. Формируется программная функция M{t).
3. С помощью принципа максимума определяется управление
{y(t), H(t) } с учетом ограничений.
4. Определяется структура оператора Л{*}.
Определение отдельных параметров задачи осуществляется
также, как и в случае, когда D^(t)^0. Однако в приведенном выше
случае используется равенство q(T) = q(0) - q0 . Удобство такой
схемы состоит в том, что определение нового управления осущест-
357

6. Планирование навигационных измерений
вляется на той же итерации, на которой формируется структура
оператора А^}.
Заметим, что в случае, когда DAi)±0> новое управление
берется из предыдущей итерации в виде переменной q(t),
использованной для формирования функции M(t), зависящей от
траектории s(t) и, следовательно, от управления {y(t), H(t)}.
6.6. Случай дискретных измерений
Представленные выше результаты могут быть обобщены на
случай, когда модель движения и измерений имеет вид конечно-
разностных уравнений. В целом подход к решению задачи и в этом
случае остается тем же; отличие состоит в учете специфики
дискретности моделей и соответствующих методов оптимизации.
Рассмотрим дискретный аналог модели движения,
представленной выше в виде (6.1)
*, = 4-i*i-i+*& (f' = l,...,#), <6-65)
где jc,- — фазовый вектор (лх1); £ - вектор возмущений (л'х1);
4-/ и /*} — матрицы (пхп) и (пх п') соответственно; At_t -
неособенная матрица. Начальное состояние системы (6.65):
х0 е N)x0, P0 f. Модель измерений также дискретна:
yi=YiHixi^rli (i = l,...,#). (6.66)
где yt - вектор измерений (/xl); [yl }, ^е(0,1) - программа
измерений; #- матрица (/хи); rj. - вектор ошибок измерений
(/XI).
Предполагается, что первое измерение в модели (6.66)
осуществляется не в момент i = О , а в момент i = /, однако это не
нарушает общности рассмотрения, поскольку всегда можно принять
358

6.6. Случай дискретных измерений
Относительно возмущений £ и ошибок измерений rj
предполагается, что они описываются взаимно некоррелированными (и
некоррелированными с ошибкой Ах0 = х0 - х0)
последовательностями гауссовских случайных величин {£,-}, {fy } (г == 1,...,iv) с
характеристиками Е[^ ] = Е\г]1] = О, Е[ £,х ^J J = Dg. и
Уравнение (6.66) определяет все потенциальные измерения,
соответствующие плану измерений {//,#,} (i = l,...,N). Здесь, как
уже было указано выше, {yt}, /} е Г = (О,/) — программа
измерений (#/); Ht еН,- — матричная функция, характеризующая
допустимый состав измерений из потенциального множества Е,-. В
дискретном случае затраты на процесс измерений определяются,
по аналогии с (6.5), полным числом измерений:
Nz = 5>, > (6.67)
Для обработки данных измерений, получаемых с помощью
(6.66), мы будем использовать дискретный фильтр Калмана,
описываемый следующими рекуррентными соотношениями:
" — А *
X/ - Ai_xXi_x,
Р*=(рг1 +rlH[DjHiy = (i = l,...,N) (6.68)
= Pt- yfiHf (d~; + H,PtHj Y Hfi,
Pi=Ai_xPUA[-x+FiDs.Fl
при начальных условиях: х0 = х0, Р0 =Р0.
Здесь x*=E[xt/yl \ - апостериорное математическое
ожидание вектора Xj после измерений, осуществляемых вплоть до мо-
359

6. Планирование навигационных измерений
мента i включительно; xi=E[xi/yl ] J — априорное математиче
ское ожидание этого же вектора, определяемое на основании изме
рений, предшествующих моменту /; Р* -Е\ (х, -x*J[xi -x*j I yl
и Р( =E[(xi-xi)(xi-xi)T /yl~l J - соответственно апостериорная
и априорная ковариационные матрицы: У =(>>/>...>>',•) ~ вектор
измерений, осуществляемых до момента / включительно. Апосте-
* 'Г "к
риорное математическое ожидание z =С Х; - оптимальная
оценка вектора z = CTxt.
Выделим из уравнений (6.68) два последних, которые
представляют собой дискретный аналог уравнения Риккати (6.8):
P*={p?+YiHjD^Hy =
= Pi-YiPiHj{pm+HiPiHjYHtPiAi = \,...iN)A^m
P^A^Alt+F^F,7
с начальным условием Р0 = Р0 .
Уравнения (6.69) формируют динамическую систему с вектором
состояния Р*. Эта система описывает динамику характеристики
точности оценивания, осуществляемого с помощью дискретного
фильтра Калмана. Для этой системы, как и в непрерывном случае,
может быть поставлена задача нахождения дискретной программы
управления {у(,Н( } с критериями точности, которые
обсуждались выше в параграфе 6.2.
Особенности дискретной задачи рассмотрим применительно к.
критерию Gi -оптимальности, являющемуся наиболее
употребительным в прикладных задачах.
360

6.7. Решение задачи для терминального скалярного критерия
6.7. Решение задачи для терминального скалярного критерия
Следуя параграфу 6.4, введем две последовательности {s,-},
{<7/} (|, = lv»N)» удовлетворяющие системе уравнений,
являющейся аналогом (6.28):
\ т, (i = l,..,,JV).(6.70)
Начальные условия для (6.70) аналогичны (6.29):
^o,;v*o-<7o=0- (6.71)
В уравнениях (6.70) и (6.71) приняты следующие обозначения:
Л), w = 4v, o^o^yv, о > ^/v, i = П А » ^/V,7V = In •
Основное тождество (6.30) имеет дискретный аналог:
*U*/=?i Vi (i = 0,...,N). (6.72)
Здесь Pt N - предсказанная (без учета шумов {<£•})
ковариационная матрица Р* в момент N:
Задача управления системой (6.70) может теперь быть
поставлена с учетом граничного условия
sN = a (6.74)
361

6. Планирование навигационных измерений
и с критерием
J = aTqN->min с 1>,<Л^. (6.75)
По аналогии с результатами параграфа 6.4 эту задачу можем
свести к задаче, эквивалентной задаче управления рекуррентной
системой (6.69) с критерием <у1 -оптимальности: J -о] = атP*Na .
Решение эквивалентной задачи может быть осуществлено с
использованием дискретного принципа максимума. Известно, что
принцип максимума для дискретных систем справедлив в тех
случаях, когда управление входит в уравнения систем линейно и
множество допустимых управлений выпукло.
В нашем случае первое условие выполняется, если мы будем
рассматривать в качестве управления всю "связку" у(Н[0~хН(.
Для выполнения второго условия множества Г) и Н, должны быть
дополнены до их выпуклых оболочек Г} и Ei, где, например,
Г,- -{yi: 0<yf <l} . Если не говорить об особом управлении,
такая замена не приводит к изменениям в решении данной задачи.
Таким образом, следуя дискретному принципу максимума,
можем записать гамильтониан в виде:
Ht = -ау( + y/TSi {s(_x + у(ЩЯ() + y/Tqi (9м + ViSi_x), (6.76)
где а - множитель Лагранжа, порождаемый ограничением
N —
H/i^^z* и Vsi'Vqj "~ сопряженные переменные, соответствую-
щие векторам si9 qt. Из условия максимума гамильтониана по
< > N -
tyjyHrf и с учетом ограничения Nz = Y,7i =NZ может быть най-
i=i
дена структура оптимальной программы измерений:
362

6.7. Решение задачи для терминального скалярного критерия
Yi =
1, если ie /,
(6.77)
О, если / £/,
где 7 = \i{J2,...JNl:Mii>Mi2>...>MiNy>Mk V*«7
-множество дискретных моментов, в которые программная
последовательность )М;) с элементом
М^¥Т8ЯЛ (6.78)
достигает своих Nz максимальных значений. Другими словами,
~ N —
ft = 1, если М{>а и а определяется из условия X// = ^ъ •
В уравнении (6.78) матрица R{ =^/Я/г/)~1Я/^1)/
соответствует оптимальному составу измеряемых параметров, т.е. матрица
Ht должна определяться из условия
Ht = arg max Mi - arg max y/s. Л, </,. (6.79)
HieEi H^ '
Теперь сопряженная система может быть записана в виде:
i*4-i r,f ^м v« ,*-,, ,^f (/ = 0v ?ЛГ) (680)
Граничные условия для уравнений (6.80) определяются с
учетом ограничений (6.71) и критерия (6.75) в виде:
V4=-A*vv (6-81)
¥qN=~a. (6-82)
Соответственно y/gQ и y/SN — свободны.
363

6. Планирование навигационных измерений
Сравнение уравнений (6.70) и (6.80) и условий (6.71), (6.74),
(6.81) и (6.82) дает:
Vqi=sh y/Si=qi V/ (i = 0,...,tf). (6.83)
С учетом уравнения (6.83) получаем следующее выражение для
элемента программной последовательности:
M^qjRa. (6.84)
Уравнения (6.70), (6.71), (6.74), (6.77), (6.84) и (6.79)
определяют соответствующую краевую задачу: в системе уравнений (6.70)
необходимо найти начальный вектор s0, который переводит
данную систему из состояния С?о1^о,л^) в состояние (a\qN)T (где
qN - свободно) с помощью управления, определяемого из условий
(6.77), (6.84) и (6.79) при офаничении на ресурс управления
По аналогии с непрерывным случаем, поставленная выше
краевая задача может быть решена методом Крылова-Черноусько [47].
Осуществим s0 -» к , где к = qN , и реализуем итерационный
алгоритм нахождения дискретной профаммы измерений (оптимальный
в смысле критерия о{ -оптимальности). Процедура включает три
шага:
1. Назначается начальный (стандартный) план измерений
j^f ,#f ) (индекс показывает номер итерации).
2. Находится значение оператора А (вектор к0), которое
соответствует |у?,#? }. Если Z>£. =0, достаточно решить
систему линейных уравнений вида:
(p^N + ir?R?\°=a. (6.85)
V '=1 )
364

6.7. Решение задачи для терминального скалярного критерия
Наконец, новая программа измерений формируется в виде:
{rlHj}={rf,Hf}fi0J{rlHf}ift0. (6.86)
Здесь программа измерений |^-°,Я-° ] определяется на основе
уравнений (6.77) и (6.79) с учетом ограничения NIt=NIt.
Используемая в (6.77) и (6.79) программная последовательность JA//J
определяется с помощью (6.84). В то же время, если Dg. =0,
уравнение (6.84) существенно упрощается вследствие очевидных равенств
qo=qf^=ko; M?=kfR?k?; если £ft *0, траектория {q?}
может быть получена путем решения системы (6.70):
о о о / о о\ о о 0=°»—^ (6.87)
справа налево при граничных условиях s°N = a, qN - к .
Параметр /и0 в уравнении (6.86) представляет собой часть
измерений, соответствующих программе \yf ,Hf j, отобранных для
формирования новой программы \у],н]\\ соответственно,
величина (l-//°) представляет собой часть измерений, принадлежащих
\у?,Н? |, не входящих в \у),Н) |. По аналогии с непрерывным
случаем данный алгоритм обновления |у?,#? ) использует
добавочные //°Л^ моментов измерений, в которых программная
последовательность |А/? f достигает максимальных значений.
Одновременно то же самое число моментов измерений, где значения
\М® J минимальны, изымается из обновленного плана.
365

6. Планирование навигационных измерений
Параметр //° выбирается из следующего условия:
^^argminJ"1^0), (6.88)
/л°еЯ
где R = {0, l/Л^, 2JNZ,..., \NZ - Ij/N^, 1 } - множество дробно-
рациональных чисел. Это множество вводится для того, чтобы
избежать появления "дробных" планов измерений, т.е. планов, для
которых 0 < срх < 1; Jl\JJ0) - эквивалентные значения <Т/ -критерия
оптимальности, определяемого как <Л1у7°), где к1уй°)
вычисляется на втором шаге в соответствии с новым планом \у),Н) |.
Затем шаги 2 и 3 повторяются с изменением номеров итерации "О"
на'Т\ "1" на "2", и т.д.
Приведенные в данной главе результаты следует рассматривать
как изложение (в достаточно компактной форме) основ подхода к
планированию эксперимента по определению компонент вектора
состояния спутника с помощью наземных или бортовых
навигационных средств. Этот подход, как будет показано в следующей
главе на примере решения прикладных задач, позволяет оперативно и
эффективно осуществлять выбор навигационных средств и при
этом весьма прост в реализации.

7. ПЛАНИРОВАНИЕ РАБОТЫ НАЗЕМНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ
ПУНКТОВ
7.1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу планирования работы наземного
измерительного комплекса применительно к определению орбит
спутников из заданной фуппировки на околокруговых орбитах. Будем
считать, что единственным случайным возмущением, которое
необходимо учитывать при построении модели движения спутников
созвездия, является отклонение начальных условий их движения от
расчетных (опорных) значений.
Будем полагать, что все навигационные измерения,
реализуемые с помощью сети наземных измерительных пунктов (НИП),
проводятся в виде навигационных сеансов стандартной
длительности. Частота измерений в течение каждого сеанса постоянна.
Навигационный сеанс реализуется в том случае, если выполняются
условия радиовидимости данного спутника в зоне ответственности
того или иного НИПа. Таким образом, затраты на проведение
измерения определяются числом проводимых навигационных
измерений. Информация, полученная с помощью НИП, обрабатывается
с помощью метода наименьших квадратов или фильтра Калмана.
В зоне обзора НИПа могут наблюдаться несколько спутников
одновременно. Это обстоятельство определяет одну из важных
особенностей планирования работы сети НИПов: мы должны
обеспечить достижение заданной точности определения положения
каждого спутника "вдоль" орбиты за возможно короткое время, т.е.
как можно быстрее. Это положение есть результат существующего
опыта определения положения спутников на околокруговых
орбитах: практика показывает, что наиболее сложной задачей является
уточнение положения спутника в направлении, касательном к
опорной орбите или, как принято говорить, "вдоль" орбиты. Более
того, оказывается, что если требования точности позиционирова-
367

7. Планирование работы наземных измерительных пунктов
ния спутника вдоль орбиты удовлетворяются, это означает, как
правило, что требования точности позиционирования по радиус-
вектору и по нормали к орбите также будут выполняться. Таким
образом, результатом решения обсуждаемой проблемы
планирования должна быть программа перенацеливания антенн НИПов
наземного комплекса с одного спутника созвездия на другой с учетом
существующих технических ограничений, в частности, на время
перенацеливания и т.д. Иными словами, задача состоит в
определении программы работы сети НИПов, обеспечивающей
требуемую точность позиционирования каждого из спутников данного
созвездия вдоль орбиты за минимальное время работы наземного
комплекса. В дальнейшем как критерий, определяющий качество
программы работы сети НИПов, мы будем рассматривать
апостериорную дисперсию скалярного параметра, характеризующего
отклонение положения спутника вдоль орбиты от требуемого
(предписанного) положения.
Введем несколько определений. Будем полагать, что
навигационные сеансы реализуются наземным комплексом так, как это
показано на рис.7.1.
Зона радиовидимости представляет собой интервал времени
[г^Гв^]> на котором спутник может наблюдаться
непосредственно с помощью данного НИПа с учетом существующих
технических ограничений на углы прокачки антенны и т.д. Здесь Т£> и
Гв££ - обозначения моментов начала и конца к -и зоны
радиовидимости.
Навигационный сеанс представляет собой интервал времени, на
котором реализуется несколько навигационных измерений в
соответствии с техническими характеристиками данного НИПа. Как
правило, после каждого навигационного сеанса существует пауза
(так называемый период восстановления). В дальнейшем мы будем
рассматривать следующие ограничения на процесс проведения
навигационных измерений:
- начало первого навигационного сеанса в каждой зоне
радиовидимости совпадает с моментом начала зоны;
- период восстановления может быть равным нулю, т.е.
сеансы внутри зоны могут следовать один за другим;
368

7.1. Постановка задачи
для перенацеливания антенны НИП с одного спутника на
другой внутри данной зоны требуется некоторое время,
которое мы в дальнейшем будем называть временем
переключения;
все навигационные измерения распределяются внутри
данного навигационного сеанса равномерно.
M(t)
м,
м2
м,>м2
м,<м2
k-я зона радиовидимости
сеанс №1 сеанс №2
6 т00,
001
* о
M(t)
Результирующая программная функци>
k-я зона радиовидимости
сеанс №1 сеанс №2 ! сеансТМ
6 т»
Inp t<
тЧк)
Norm *" Norm
t*(t)
Программа переключения
t
k-я зона радиовидимости
сеанс №1 сеанс №2
6 rv ti
сеанс №i
;ос)2
t
тЧ»с)
Norm u Nonn
Рис 7.1. Навигационные сеансы
369

7. Планирование работы наземных измерительных пунктов
Нормальная тонка tHOpM навигационного сеанса представляет
собой момент времени, в который осуществляется коррекция
апостериорной ковариационной матрицы расширенного вектора
состояния данного спутника по результатам данного сеанса.
Программа проведения навигационных измерений может быть
представлена в виде таблицы 7.1 (матрицы).
Таблица 7.1. Программа навигационных измерений
I Номер
НИПа
1
2
1 NHmi
Навигац.
сеанс 1
Ш +,0) )
1\*вЮ1 ''вЫКЛ/
ИСЗ 1
ИСЗ 4
ИСЗ 7
Навигац.
сеанс 2
V вкл 'выкл/
ИСЗ 1
ИСЗ 4
ИСЗ 7
Навигац.
сеанс N
\'вкл ' ''выкл) 1
ИСЗ 1
ИСЗ 4
ИСЗ 7 |
Каждая строка этой матрицы представляет собой фактически
программу работы данного НИПа или, более того, программу
переключения антенны НИПа внутри зон радиовидимости. Эта
программа переключения содержит номер спутника, подлежащего
наблюдению, а также время начала и конца наблюдения (teKJl и teblKJl
данного навигационного сеанса). Таким образом, каждый
навигационный сеанс, реализуемый данным НИПом, получает номер
соответствующего наблюдаемого созвездия спутников.
7.2. Программа работы наземного измерительного пункта
Как уже было показано, для того, чтобы обеспечить заданную
точность позиционирования спутников данного созвездия, мы
должны управлять точностью процесса обработки информации
(фильтрации). Скорее, мы должны управлять процессом
определения апостериорной ковариационной матрицы расширенного
вектора состояния спутника созвездия, который включает, помимо
положения и скорости, некоторые дополнительные компоненты, в
том числе систематические ошибки навигационных измерений.
В силу дискретного характера процедуры навигационных
измерений мы будем описывать процедуру определения априорной
370

7.2. Программа работы наземного измерительного пункта
(предсказанной) Pi и апостериорной (скорректированной) Pt
матриц ковариаций расширенного вектора состояния спутника с
помощью соотношений дискретного фильтра Калмана (которая, как
известно, эквивалентна процедуре метода наименьших квадратов) в
соответствии с (6.68) с учетом того обстоятельства, что шумы в
правых частях уравнения движения спутника отсутствуют:
k^y,HjD-Hy, (i_M_ wJ (71)
Здесь индекс "/" означает принадлежность соответствующей
матрицы моменту времени /,., который фактически есть номер
нормальной точки соответствующего навигационного сеанса.
Таким образом, мы не рассматриваем здесь отдельные
навигационные измерения, а лишь навигационный сеанс в целом, или так
называемый "квант" измерений, являющийся частью навигационного
сеанса. В дальнейшем будем полагать, что минимальная
продолжительность "кванта" задана. Другими словами, мы полагаем, что все
навигационные измерения, содержащиеся в данном сеансе, (или
его части — "кванте") реализуются в момент /,, который является
нормальной точкой данного сеанса; А^ - фундаментальная
матрица уравнений движения спутника, линеаризованных в
окрестности опорной круговой орбиты; Hi^faijdXj), У = 1,2,...,п
-матрица частных производных измеренных (навигационных)
параметров по компонентам расширенного вектора состояния спутника;
D^. - матрица ковариаций случайных ошибок измерений; у\ -
программа навигационных измерений, формализующая процесс
работы сети НИПов наземного комплекса в момент /,- в
соответствии с таблицей 7.1 .
Возможность планирования работы сети НИПов состоит в
выборе последовательности у(. Мы полагаем здесь, что все НИПы,
привлекаемые для наблюдения, дают возможность измерять одни и
те же навигационные параметры, например наклонную дальность и
371

7. Планирование работы наземных измерительных пунктов
скорость ее изменения. Считается, что априорная ковариационная
матрица Р0, обеспечивающая начало процедуры (7.1), задана.
Необходимо определить программу у *, обеспечивающую
позиционирование каждого спутника созвездия вдоль орбиты с
требуемой точностью за минимальное время работы наземного
комплекса Т при выполнении ограничений на величину
апостериорного с.к.о. а\^ отклонения положения j -го спутника созвездия от
требуемого положения вдоль орбиты
a\J)<a\j\ j = l,N\ (7.2)
где а^ - требуемое значение с.к.о.; N' ~ общее число спутников
созвездия.
Величина дисперсии (или с.к.о.), характеризующей отклонение
положения спутника от требуемого значения вдоль орбиты,
определяется в орбитальной системе координат, в то время как
положение и скорость спутника созвездия принято определять в
абсолютной инерциальнои системе координат. Соответственно,
элементы матрицы ковариаций Pi определяются в абсолютной
инерциальнои системе координат и дисперсия, характеризующая
точность позиционирования спутника в орбитальной системе
координат, определяется следующим образом [38]:
сгр* = BjPjBTj , Bj = (- cosij sin Qy cosij cosQy sini. O),
где Qy, ij - долгота восходящего узла и наклонной опорной
орбиты j -го спутника. Индекс Т в обозначении апостериорной
ковариационной матрицы означает принадлежность этой матрицы
терминальному моменту времени, выбранному для определения ст^К
В соответствии с подходом, изложенным в предыдущей главе,
задача оптимального планирования может рассматриваться как
задача оптимального программного управления "фиктивным"
объектом управления, который описывается уравнениями (7.1) .
Для решения этой задачи, как это было, можно использовать
аналитическое свойство уравнений типа Риккати, позволяющее
372

7.2. Программа работы наземного измерительного пункта
осуществить переход от исходной нелинейной к эквивалентной
линейной задаче.
Эквивалентное преобразование осуществляется путем введения
в качестве фазовых переменных последовательностей векторов {у,}
и {#/}, удовлетворяющих уравнениям (6.70), модифицированных с
учетом отсутствия шумов в уравнениях движения спутника:
Si =*M +YiAljHjD-xHiAT)i (? 3)
где индексы Т, i у фундаментальной матрицы А означают, что
эта матрица связывает терминальный момент Т и текущий момент
времени i.
Начальные условия для этого соотношения совпадают с (6.71);
при этом P0fNs =ATt0P0A^0.
Индекс Ns в этом выражении означает номер терминального
момента Т, который совпадает с нормальной точкой последнего
навигационного сеанса.
Для произвольного момента времени i записываем (6.71) в
виде
Как было показано ранее, исходная формулировка данной
задачи планирования эквивалентна следующей:
J = T , >min (7.4)
in)
при граничных условиях:
St' =
\вЩ и В^ТЧи\Т) = [(jf >]* 0 = 1,2,..., N'). (7.5)
Рассмотрим теперь задачу планирования применительно к
отдельному спутнику. Для решения задачи (7.2) или, что то же самое,
эквивалентной задачи (7.4) мы будем использовать
последовательные решения обратной задачи оптимизации:
373

7. Планирование работы наземных измерительных пунктов
j - а — —>min (7.6)
' in)
при варьировании общего времени работы сети наземных станций,
с учетом сформулированных выше технических ограничений на
условия наблюдения, время переключения и т.д. На самом деле в
технической задаче не требуется достигать минимального значения
J *; достаточно лишь обеспечить выполнение условий (7.2)
g\»<ctU\ j = l9N\ (7.7)
где сг/7'* - требуемое значение с.к.о.
Для решения задачи (7.6) следует перейти к эквивалентной
задаче для объекта управления (7.3) с использованием критерия
J* = ВТдТ , , >min (7.8)
11 in)
и ограничения sr = В .
Используем дискретный принцип максимума Понтрягина для
решения задачи (7.8). При этом гамильтониан соответствует (6.76),
а множитель Лагранжа, соответствует ограничению
1>,-<г\ (7.9)
где г * ~ общая допустимая длительность всех навигационных
сеансов.
Уравнения, сопряженные с (7.3), аналогичны (6.80), с учетом
отсутствия шумов в уравнениях движения спутника.
Граничные условия сопряженной системы аналогичны (6.81) и
(6.82).
Для максимизации гамильтониана мы должны принять
следующую структуру последовательности {/;} :
Г1>еСли/6/, (710)
[О,если/g /,
374

7.2. Программа работы наземного измерительного пункта
где / - множество дискретных моментов времени, которые
соответствуют максимальным значениям так называемой "программной
последовательности" М(, каждый элемент которой определяется
следующим образом:
г-1
Mi=qfAf9iHj'D^HiATtiql.
(7.11)
7.3. Численный алгоритм оптимального планирования
Суммируя сказанное выше, мы можем сформировать
следующую процедуру планирования с использованием критерия (7.6):
1. Для каждого НИПа,
принадлежащего
данной сети,
определяются зоны
радиовидимости. Планирование
осуществляется только
в тех зонах, где
наблюдаются два
спутника и более (см.
рис.7.1).
2. Для выбранных в
соответствии с п.1 зон
радиовидимости
строятся программные
последовательности
Мх, М2 9...,
соответствующие
наблюдаемым спутникам. Затем
для каждого
навигационного сеанса,
принадлежащего
данной зоне
радиовидимости , определяется
максимальный
элемент предварительно
| НИП 1
НИП2
А
пере
>ункция
жлючения
Мта1 k-ая зона
''радиовидимости
для НИПа 1
t
j-ая зона
радиовидимости
для НИПа 1
1 ►
t
Время работы НИПа I
Время работы НИПа 2
Рис 7.2. Формирование функции
переключения
375

7. Планирование работы наземных измерительных пунктов
построенных программных последовательностей. Этот
элемент определяет план перенацеливания антенны НИП (рис.
7.2).
3. Если один и тот же спутник может наблюдаться
различными НИПами данной сети, программные функции,
построенные для этих НИПов, сравниваются между собой.
Максимальные значения этих программных функций этих
переменных функции определяют результирующую
оптимальную программу измерений.
4. Процедуры, соответствующие пп. 2 и 3 повторяются с
целью обеспечить требуемое значение критерия
оптимальности или вычислить значение критерия для заданного
полного времени работы сети НИП г^ .
7.4. Математические модели, используемые при планировании
В процессе планирования используются следующие системы
координат:
• Мгновенная абсолютная инерциальная (МАИСК).
• Инерциальная, отнесенная к эпохе 2000.0 (ИСК2000).
• Единая геоцентрическая (ЕГСК).
• Гринвичская (ГСК).
• Орбитальная (ОСК).
Способ, которым вводятся перечисленные выше системы
координат, описан ранее в главе 4.
В дальнейшем при планировании в качестве математической
модели движения спутника будем использовать дифференциальные
уравнения
J> = -//4, (7.12)
г
z
г
376

7.4. Математические модели, используемые при планировании
где х, у, z - координаты центра масс спутника в абсолютной
инерциальной системе координат, г = yjx2 + у2 +z2 - радиус-
вектор спутника, ju - гравитационная постоянная Земли.
Введем вектор состояния: ХТ -(xyzxyz). Тогда можем
переписать уравнения движения в векторной форме:
х = Дх).
В соответствии с принятым подходом мы будем использовать
при планировании линеаризованные уравнения движения в
дискретно-непрерывной форме:
Ах( = А^Ах^ , (7.13)
где Axi9 Ax,-../ — отклонения вектора состояния спутника от
опорного значения в моменты времени ti9 Xt_i соответственно, A(_t -
фундаментальная матрица системы уравнений (7.12),
линеаризованной в окрестности опорной круговой орбиты. Помимо
составляющих положения и скорости спутника, в состав его
расширенного вектора состояния следует включить систематические ошибки
навигационных измерений.
Полная размерность расширенного вектора состояния каждого
спутника равна: ^(компоненты положения и скорости) + т х г, где
т — число навигационных параметров, измеряемых с помощью
данной сети НИПов, или, иначе говоря, число систематических
ошибок измерений. Например, если мы измеряем только
наклонную дальность и скорость ее изменения, то т = 2; г - число
НИПов сети, привлекаемых для определения орбиты данного
спутника.
Расширенный вектор Ах( устроен следующим образом:
Ах[=(Ах6Р% \хГ).
Начальные условия для системы (7.13) — случайный гауссов-
ский вектор ДХ(0) с параметрами ДХ0 и Р0, где АХ0 - вектор
377

7. Планирование работы наземных измерительных пунктов
размерностью 6 + тхг, состоящий из двух блоков, Р0 — матрица
[б + /пхг]х[б + шхг] априорных ковариаций вектора ДХ(0) .
Фундаментальная матрица Ai_l, соответствующая
расширенному вектору состояния, имеет размерность [б + гх/и]х[б + гхт] и
устроена следующим образом:
4-i =
f (1)бхб ;
4-i •
о
-1---
\
О _
гхт
ls J
Подчеркнем еще раз, что мы осуществляем процедуру
планирования, используя лишь априорные данные. Поэтому мы можем
использовать уравнения (7.12) для вычисления фундаментальной
матрицы AJ]\ простейшим способом:
4(0
4-W + *(0('i-'i-i)s
(7.14)
где /,_/ ~ начальный момент времени, tt — терминальный момент
времени, / - единичная матрица 6x6, 0{t) — динамическая
матрица линеаризованной системы (7.12):
Ф(',) =
0
0
0
! 1 ! о ! о'
о | о ! . о ! о ! 1 j о
м
г3
0
( х2)
К г )
-1——0- 4——0——4-0-U0-U
i змЩг i ъ»Ц- ioioio
! г \ г I ! !
3„S i-4
г ! г
■
, XZ
Г
( 2s)
1 г )
г
1 ЗмЦ- ! о ! о ! о
! ' !!!
i г'
х-ъ2-
l r )
Ioioio
.(7.15)
378

7.4. Математические модели, используемые при планировании
Элементы матрицы o{tt) вычисляются на опорной круговой
орбите. В качестве опорной может быть принята, в частности,
орбита, полученная на основе эфемеридных данных.
Будем полагать, что начальные условия для уравнений (7.12)
представляют собой гауссовский вектор с математическим
ожиданием, совпадающим с вектором эфемерид созвездия спутников для
заданного момента времени t0 и опорной ковариационной
матрицы 6x6, которая может быть задана на основе предыдущих
результатов определения орбиты данного спутника.
Способ формирования блока Xs расширенного вектора
состояния спутника, а также матрицы As подробно обсуждается
ниже.
Для реализации процедуры планирования (или определения
орбиты спутника) нам необходимо, как это принято на практике,
определить положение НИП в абсолютной инерциальной системе
координат, отнесенной к эпохе 2000.0. Поскольку НИП
расположен на поверхности Земли, т.е. участвует в ее суточном вращении,
при определении положения НИП в абсолютной системе
координат возникает задача преобразования координат.
Эта задача решается с использованием следующих матриц
преобразования [38]: прецессии, нутации, звездного времени,
мгновенного смещения координат полюсов Земли.
Пусть в качестве исходных данных заданы координаты НИП в
единой геоцентрической системе координат. Для определения
положения НИП в абсолютной инерциальной системе, отнесенной к
2000.0, мы должны выполнить следующие преобразования [38]:
- повернуть геоцентрическую систему до совпадения с
мгновенной абсолютной системой координат на угол,
соответствующий истинному звездному времени на Гринвичском
меридиане (преобразование звездного времени);
- повернуть мгновенную абсолютную систему координат до
совпадения с положением экватора и равноденствия,
соответствующим эпохе 2000.0.
Введем стандартные матрицы вращения на угол а следующим
образом:
379

7. Планирование работы наземных измерительных пунктов
М*) =
(\
О
О
cos(a) sin(a)
- sin(a) cos(a)
. R>)=
cos(a) О
О 1
sin(a) О
- sin(a)^
О
cos(a) ;
R,(a) =
(cos(a) sin(a) 0^
-sin(a) cos(a) 0
0 0 1
Будем использовать введенные матрицы вращения для
осуществления необходимых преобразований следующим образом.
Звездное время. Соотношение между звездным временем на
Гринвичском меридиане (GMST) и универсальным временем
(UT\) имеет следующий вид [56]:
GMST = Frac(jDUTI)x24h + 18Л4Г 505.54841 +
+ 86401845.812866хГ+ 0с.093104хГ2-б^хЮ"6 хГ3,
где Frac(jDUTI) — дробная часть момента звездного времени,
выраженная в юлианских периодах (часть суток, отсчитываемая от
последнего предшествующего полудня); Т — число юлианских
столетий (36525 дней в каждом), начиная с фундаментальной
эпохи J2000.0:
T = (jDun -2451545,0)/ 36525.
После коррекции прямого восхождения с углом нутации и
прецессии, получим истинное звездное время:
GST = GMST + А ^ х cos(s)+ 0".00264 x sin(Q)+ О'.ООООбЗ x sin(2Q),
где А у/ — компонента нутации в прямом восхождении,
подсчитанная для текущей даты (см. ниже подраздел «Нутация»); s -
угол наклона экватора к плоскости эклиптики для данной даты:
^ = 8438Г.448-46",8150хГ-0\00059хГ2+0\001813хГ3,
380

7.4. Математические модели, используемые при планировании
Q — средняя долгота восходящего узла лунной орбиты (см. раздел
«Нутация»).
Поворот Гринвичского меридиана до равноденствия текущей
даты осуществляется с использованием матрицы Rz(a) на угол
,f-GS7":
Q = RZ{-GST).
Прецессия. Аргументом прецессии являются так называемые
параметры Ньюкомба (zA, вА, £А). Эти параметры определяют
углы поворота экватора и равноденствия от одной даты к другой.
Соотношения, определяющие параметры Ньюкомба
(относительно стандартной эпохи J2000.0), имеют вид:
С А =(2306".2181 + Г.39656хГ-0\000139хГ2)х/ +
+ (0\30188-0\000344хГ)х/2+0''.017998х/3,
z^=(2306".2181 + l\39656xr-0".000139xr2)x/-f
+ (Г. 09468 - (Г.000066 х Т) х/2+0".018203 xt\
вА = (2004".3109 + 0".85330* Т -0".000217 х Т2 )xt -
-(0Г42665 -0".000217 хГ)х/2+0".041833х/3,
где Т имеет тот же смысл, что и выше (см. «Звездное время»); / -
время, измеренное в юлианских столетиях, начиная с начальной
г0 до текущей эпохи т (для текущей эпохи определяется
мгновенная абсолютная система координат).
Поворот мгновенной абсолютной системы координат к
абсолютной системе координат, определенной для стандартной эпохи
J2000.0 вследствие прецессии для конкретных значений Г и/
определяется следующим образом:
P = Rx(CA)xRy(-0A)xRt(zA).
381

7. Планирование работы наземных измерительных пунктов
Нутация. Для определения компонент прямого восхождения
(Ау/) и наклонения (Ле) используется алгоритм Вуларда, в
котором упомянутые углы разворота представлены в виде
тригонометрических радов:
Ац/ = Y<Si xsin
\
U=1
, Аё = YdClfXCOs|
/=1
Zzi,jxvj
где п ~ число членов разложения, использующих так называемые
фундаментальные аргументы Хилла и Брауна; Si9 C( и Zy —
коэффициенты разложения; vt — функциональные аргументы нутации
Хилла и Брауна v = 111 F DQ |, определяемые следующим
образом:
/ = 134°57'46\733 + (l325r + 198°52'02".63з)х Т +
+ ЗГ.310хГ2+0".064х:Г3,
Г = 357°31'39".804 + ( 99r + 359e03'01\224)x T -
-0".577хГ2-0\012х:Г3,
F = 93°16'17".877 + (l342r + 82°01'03М37)х Т -
-13'.257хГ2+0'.011хГ3,
D = 297°51'0Г.307 + (l236r + 307°03'4Г.328)х Т -
-6'.891хГ2+0\019хГ3,
Q = 125°02'40".280 - ( 5r + 134o08'10".539)x T +
+ 7".455хГ2+(Г.008х:Г3.
В этих выражениях Т имеет тот же смысл, что и выше.
Поворот мгновенной абсолютной системы координат к
стандартной за счет нутации определяется следующим образом:
382

7.4. Математические модели, используемые при планировании
N = RX (е0 + Ае0 )xRz(-Ay/ + Ащ )xRx(-e- Ae),
где Ау, Ае и Aif/0, Ae0 - компоненты нутации для текущей и
начальной даты соответственно относительно стандартной эпохи
J2000.0; е0 и е - углы наклона экватора к эклиптике для дат г0 и
г соответственно.
Все перечисленные выше преобразования осуществляются
следующим образом.
Для определения истинного положения НИП в Гринвичской
системе координат мы должны развернуть единую
геоцентрическую систему координат в соответствии с новым мгновенным
положением полюса Земли, которое определяет Гринвичскую систему
координат.
Матрица преобразования от единой геоцентрической к
Гринвичской системе координат использует координаты мгновенного
положения полюса относительно Международного Условного
Начала. Документы Международной службы вращения Земли (IERS)
традиционно дают положение полюса Земли в виде угловых
величин в Гринвичском меридиане и так называемом первом вертикале
соответственно относительно некоторого "среднего" положения
полюса. С учетом сказанного получим:
XUGF=AxXGF, (7.16)
A = Rx{YP)xRy(xP), (7.17)
Хр=тх-Хр9 Yp=-m2-Yp, (7.18)
где /й| и и2 " так называемые координаты полюса относительно
Международного Условного Начала; Xр, Yp - "средние"
координаты полюса Земли.
Математически модель измерений, осуществляемых с помощью
НИП, в общем случае имеет следующий вид:
Y(t)=G(x{t), XTS{t), и C(t))+t,(t), (7.19)
383

7. Планирование работы наземных измерительных пунктов
где Y(t) - вектор навигационных измерений (/xl), (?(•)- вектор-
функция / х 1, определяющая зависимости между измеряемыми
величинами, с одной стороны, и компонентами расширенного
фазового вектора спутника и координатами НИП, с другой; C(t) —
вектор систематических ошибок измерений, которые в дальнейшем
подлежат оцениванию, размерности / х 1; r/(t) - вектор случайных
ошибок измерений / х 1; X\t) - вектор состояния спутника, п х 1;
Хге.(/) - вектор состояния НИП; в дальнейшем будем полагать,
что этот вектор задан.
В общем случае компоненты вектора У(/) могут включать
• наклонную дальность;
• скорость изменения наклонной дальности;
• наклонение спутника в топоцентрической системе
координат;
• прямое восхождение спутника в топоцентрической системе
координат.
Для того чтобы осуществить оценивание вектора С как части
расширенного вектора состояния, мы должны построить так
называемый формирующий фильтр, который представляет собой
марковскую математическую модель систематической ошибки:
С = -аС + Ь®, (7.20)
где в - вектор стандартных белых шумов; а ~ диагональная
матрица коэффициентов сноса; Ъ — диагональная матрица
коэффициентов диффузии.
Для определения введенных выше параметров формирующего
фильтра мы должны располагать априорной статистической
информацией относительно систематических ошибок измерений; в
крайнем случае, это должна быть информация относительно
корреляционных функций компонент вектора систематических
ошибок. В этом случае любой элемент a-, bj (j = 1,...,/) матриц а и
Ъ определяется следующим образом:
*/=—, bj=a —, (7.21)
Ткор у ^кор
384

7.4. Математические модели, используемые при планировании
где ткор - так называемый интервал корреляции; этот термин
означает, что любые два значения случайного процесса Су, (/ = 1 ч- /)
некоррелированы вне интервала длиной ткор\ (Tj - априорная
дисперсия систематической ошибки су.
Для упрощения этой модели мы можем положить, например,
гкор -> °° и, следовательно, а = Ъ = 0 . Таким образом, мы получим
простейшее уравнение формирующего фильтра в виде:
С = 0. (7.22)
Начальные условия для уравнения (7.22) или (7.22) - гауссов-
ский вектор с нулевым математическим ожиданием и априорной
дисперсией соответствующей компоненты систематической
ошибки. Математические модели (7.20) и (7.22) определяют матрицу
м-
Предположим, что систематические ошибки, сопровождающие
различные составляющие навигационных измерений,
некоррелированы. В этом случае для модели (7.22) получим, что матрица As -
единичная.
Случайная ошибка измерений рассматривается как случайный
вектор с характеристиками:
1^(0 = 0; K^U t + т) = ZyO'<?(r) , (7.23)
где D„(t) - диагональная матрица; 8{т) - 8 -функция.
Рассмотрим теперь детально состояния, описывающие
компоненты вектор-функции G:
1. Математическую модель наклонной дальности «НИП-
ИСЗ-НИП» мы построим без учета того факта, что
скорость света конечна:
d = Vfac - xtsf + (ysc ~ УиТ + (zsc -ZtsY > (7.24)
385

7. Планирование работы наземных измерительных пунктов
(7.25)
где xsc, ysc, zsc - координаты спутника в инерциальной
системе координат; xts, yts, zts - координаты НИП в той же
системе координат.
2. Скорость изменения наклонной дальности определяется
следующим образом:
j \xsc ~ xts Axsc ~~ xts ) ,
V (xsc - xts У + (У*с ~ yts У + (Zsc - Zts У
l iySc-ytshsc-yts)
Wsc - xts У + 6V - yts У + (zsc - zts У
. \zsc ~~ zts Kzsc ~~ zts )
WSC ~ XtS У + G^C - ytS У + (^C ~ ZtS У
где xsc9ysc9zsc ~ компоненты скорости спутника в
инерциальной системе координат, xts,yts,zts — компоненты скорости
НИП в той же системе координат.
Соотношения (7.24), (7.25) используются в дальнейшем для
вычисления матрицы наблюдаемости Н( путем линеаризации
этих соотношений в окрестности опорного движения спутника,
или в окрестности орбиты спутника, которая соответствует
вектору его эфемерид.
3. Наклонение спутника в топоцентрической системе
координат определяется как угол между направлением линии
визирования спутника плоскостью, перпендикулярной к
радиусу вектору НИП. Синус этого угла равен:
\Rts-sc ' ^ts )
sin S = £"-'' :?', (7.26)
ID I ID
где S - наклонение спутника; Rts, \Rts\ - радиус-вектор
НИП в инерциальной системе координат и его модуль;
386

7.4. Математические модели, используемые при планировании
Rts-so \Rts-sc\ — вектор линий визирования спутника и его
модуль.
4. Прямое восхождение в топоцентрической системе
координат определяется как угол между проекцией линии
визирования на плоскость, которая проходит через радиус-вектор
НИП и направлением на восток (или, что то же самое,
вектором скорости НИП в инерциальной системе координат);
косинус этого утла определяется следующим образом:
cosa = ,VV&"5C><^I > (7.27)
\г*\]\Р*-**г*\
где а — прямое восхождение спутника; Vts, \Vts\ — скорость
НИП в инерциальной системе координат и ее модуль. Здесь мы
не рассматриваем соотношений, которые используются для
определения ориентации спутника. Мы полагаем здесь, что эта
задача решается на основе данных телеметрии, получаемых в
процессе нахождения спутника в зоне радиовидимости.
7.5. Пример операции планирования
Рассмотрим вкратце пример планирования работы сети
НИПов,
В соответствии с развиваемым подходом к планированию нам
необходимы для решения конкретной прикладной задачи
следующие исходные данные.
В качестве исходных данных следует принять:
- полные данные о баллистической структуре созвездия;
- интервал планирования, включая его длительность и
положение на временной шкале;
- эфемериды спутника применительно к интервалу
планирования;
- данные относительно сети НИПов, включая их
географические координаты, ограничения на углы элевации и азимута
387

7. Планирование работы наземных измерительных пунктов
наблюдения за спутником, время "переключения" антенны
при смене наблюдаемого спутника и т.д.;
- данные относительно измерительного канала НИПа,
включая состав навигационных данных, характеристики
точности и организации проведения измерений;
- требуемые уровни точности позиционирования спутника
данного созвездия в виде с.к.о. отклонения спутника от
заданного положения в исходной баллистической структуре.
Выходные данные, которые мы будем получать в результате
планирования, имеют следующий состав:
- зоны радиовидимости всех НИПов данной сети,
привлекаемых для решения задачи планирования;
- программа работы каждого из привлекаемых к
планированию НИПов на интервале планирования, включая время
начала и конца наблюдения данного спутника созвездия;
- полное время работы сети НИПов и апостериорная
ковариационная матрица каждого из спутников созвездия или
апостериорные с.к.о. положения спутника в орбитальной
системе координат.
Рассмотрим следующие два варианта исходных данных.
Вариант 1.
1. Обслуживаемое созвездие: так называемая SSR-система
(Бразильский проект системы экологического мониторинга),
состоящая из 4 спутников на околокруговых орбитах с высотой
893,92 км и наклонением /=0.
2. Момент начала планирования: 21.07.1998 12:00:00 с.
3. Момент конца планирования: 22.07.1998 12:00:00 с.
4. Сеть НИПов включает два пункта:
• НИП «Алькантара»;
• НИП «Куайяба».
5. Случайные ошибки измерения (с.к.о.):
• по наклонной дальности — 0.05 км;
• по скорости изменения наклонной дальности - 0.05 км/с.
6. Систематические ошибки измерения (с.к.о.):
• по наклонной дальности — 0.05 км;
• по скорости изменения наклонной дальности - 0.05 км/с.
388

7.5. Пример операции планирования
7. Организация измерений:
• длительность стандартного сеанса — 8 с;
• интервал планирования - 1000 с;
• минимальное число навигационных сеансов - 1;
• максимальное число навигационных сеансов — 32;
• положение нормальной точки навигационного сеанса - I;
• частота измерений - 32 Гц;
• время переключения антенны - 400 с.
8. Априорная ковариационная матрица каждого из слотов
системы - диагональная; с.к.о. положения спутника каждого слота —
1 км; с.к.о. скорости - 0,01 (км/с)2.
В этом и последующем примерах мы не будем задавать заранее
требуемый уровень точности, поскольку наша цель состоит лишь в
демонстрации возможностей данного подхода.
Первый результат планирования - зоны радиовидимости
НИПов — показан на рис. 7.3, 7.4 соответственно. Результирующие
планы работы НИПов показаны на рис. 7.5 и 7.6 соответственно.
Высота ординаты на рис. 7.3, 7.4, характеризующая наличие зоны
радиовидимости, соответствует номеру спутника (слота), который
виден внутри данной зоны.
Толщина линии ординаты графика соответствует длительности
зоны.
Аналогично, на рис. 7.5 и 7.6 высота ординаты,
характеризующей зону радиовидимости, соответствует номеру спутника (слота),
который наблюдается данным НИПом, а толщина ординаты —
длительности сеанса для данного спутника.
На рис. 7.7 и 7.8 показаны эволюции критерия оптимальности,
рассчитанные для исходных зон радиовидимости и для
оптимальных планов работы НИП соответственно.
Сравнивая рис. 7.7 и 7.8, можно сделать следующие выводы:
• уровень установившейся апостериорной с.к.о. положения
спутников созвездия вдоль орбиты (т.е. значение критерия
качества планирования) примерно тот же в обеих
ситуациях, т.е. при планировании непосредственно по зонам и при
оптимальном планировании;
• суммарное время работы НИПов во втором случае (т.е. при
оптимальном планировании) на 50% меньше, чем в первом
случае.
389

7. Планирование работы наземных измерительных пунктов
Таким образом, при работе по данному созвездию процедура
оптимального планирования позволяет существенно сократить
затраты на наблюдение при выполнении терминальных требований
по точности определения положения и скорости спутников
созвездия.
Вариант 2.
1. Обслуживаемое созвездие: то же, что и в варианте 1.
2. Момент начала планирования: 21.07.1998 12:00:00 с.
3. Момент конца планирования: 22.07.1998 12:00:00 с.
4. Сеть НИПов включает два пункта:
НИИ* «Алькантара»;
НИП «Куайяба».
Случайные ошибки измерения (с.к.о.):
по наклонной дальности 0.005 км;
по скорости изменения наклонной дальности — 0.005 км/с.
Систематические ошибки измерения (с.к.о.):
по наклонной дальности - 0.005 км;
по скорости изменения наклонной дальности - 0.005 км/с.
7. Организация измерений:
длительность стандартного сеанса - 10 с;
интервал планирования — 1000 с;
минимальное число навигационных сеансов — 1;
максимальное число навигационных сеансов - 255;
положение нормальной точки навигационного сеанса - I;
частота измерений — 1 Гц;
время переключения антенны — 400 с.
8. Априорная ковариационная матрица каждого из слотов
системы - диагональная; с.к.о. положения спутника каждого слота —
1 км; с.к.о. скорости - 0,01 (км/с)2.
Первый результат планирования - зоны радиовидимости
НИПов - показан на рис.7.9 и 7.10 соответственно.
Результирующие планы работы НИПов показаны на рис.7.11 и 7.12
соответственно.
Эволюции критерия оптимальности, рассчитанные для
исходных зон радиовидимости и для оптимальных планов работы НИП,
показаны на рис.7.13 и 7.14 соответственно.
390

7.5. Пример операции планирования
Как и в предыдущем варианте, на этих рисунках высота
ординаты зоны радиовидимости соответствует номеру спутника
созвездия, а толщина ординаты - длительности зоны или сеанса работы
НИПа по данному спутнику созвездия. Сравнительный анализ
рис.7.13 и 7.14 показывает, как и в предыдущем случае,
возможность обеспечить один и тот же уровень качества планирования
(апостериорной дисперсии положения спутника вдоль орбиты) как
при формальном использовании всех зон радиовидимости, так и
при оптимальном планировании с экономией до 60% времени
работы НИПов в последнем случае.
По результатам, полученным в данном примере, можно сделать
следующие замечания:
• оптимальная процедура планирования позволяет существенно
(до 50-60%) уменьшить время, необходимое для решения
задачи позиционирования спутника при сохранении значения
достигнутого критерия оптимальности;
• значение критерия оптимальности по результатам
планирования находится в пределах:
0.001 км <(ст/2)среднее< 0.01 км.
391

7. Планирование работы наземных измерительных пунктов
392
eiouodewoH

3 Ч
Г"
НИП "Куайяба"
2000
4000 6000 8000
Номер навигационного сеанса
Рис. 7.4. Зоны радиовидимости НИП «Куайяба»
10000
1200
N1
5

7 Планирование работы наземных измерительных пунктов
, } j , f , г г ^
^ ГО СМ т- О
ехоиэ dewoH
394

з —I
2 --i
I
4000 6000 8000
Номер навигационного сеанса
0 2000
Рис. 7.6. Результаты планирования работы НИП «Куайяба»
10000
1200

ы
vo
со
О
S
S
Дисперсия
Щ— Слот Nt1
+— СлотМ12
▲— Слот Nt3
Щ— Слот Nt4
tS = 8600
20000
40000
Время, сек.
60000
80000
Рис. 7.7. Эволюция критерия оптимальности для слотов созвездия в соответствии с зонами радиовидимости

1.0E-5
Рис,
О 20000 40000 60000 80000
Время, сек.
7.8. Эволюция критерия оптимальности в соответствии с результатами планирования
V©

7 Планирование работы наземных измерительных пунктов
со
о.
СО
н-
JQ
I
s
о
5
S
о
?
CL
О
СО
вхоиэ dawoH
398

7.5. Пример операции планирования
J I
md S
О
s
Q-
eiouodawoH
399

7. Планирование работы наземных измерительных пунктов
BiouodewoH
400

2 H
1 J,
о -4-
I
О
2000
4000 6000
Номер навигационного сеанса
Рис. 7.12. Результаты планирования работы НИП «Куайяба»
N1
Г*
О
I

7 Планирование работы наземных измерительных пунктов
2
\kajna '1чшдс1о quoWa еэи иинамюиои виос!эиэи)^
402

1.0E+6
| 1.0E+5
1.0E+4
3 1.0E+3
со
О
s
1 1.0Е+2
к 1.0Е+1 ~=J
5 1.0Е+0
1.0Е-1
20000
40000
Время сек.
60000
80000
Рис. 7.14. Эволюция критерия оптимальности в соответствии с результатами планирования
-и
о
ы

8. ВЫСОКОТОЧНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ
Известно, что точность определения орбит спутников
существенно зависит от математических моделей возмущений и других
неконтролируемых факторов, которые учитываются при
определении орбиты, методов численного интегрирования и алгоритмов
обработки информации, используемых в процессе определения
орбиты.
При использовании одних и тех же алгоритмов обработки
информации, например метода наименьших квадратов или фильтра
Калмана, существует большое количество способов вычисления
фундаментальной матрицы, матриц частных производных и т.д.
Опыт показывает, что окончательная точность определения орбиты
существенно зависит именно от таких особенностей используемого
алгоритма обработки информации.
Максимальная точность определения орбит, достигнутая в
настоящее время для высот более 20 тысяч километров, составляет
величину порядка сантиметров (одна сигма). Такая точность была
достигнута, например, путем обработки результатов лазерной даль-
нометрии пассивных сферических спутников типа "ЭТАЛОН"
(Россия) и "LAGEOS" (США). Для достижения такой точности
необходимо учитывать следующие возмущающие факторы:
гравитационное влияние Земли, Луны и Солнца; влияние солнечной
радиации; отклонения коэффициентов в модели геопотенциала за
счет океанических приливов и приливов в твердом теле Земли;
океаническую и атмосферную нагрузки в местах расположения
наземных измерительных пунктов; движение полюсов Земли и
тектонических плит; релятивистские эффекты, возникающие в процессе
лазерной дальнометрии.
При определении орбиты активного спутника, оборудованного
системами управления ориентацией и движением центра масс,
невозможно обеспечить точность на сантиметровом уровне даже для
высоких орбит и тем более для орбит высотой порядка тысяч
километров. Причина состоит в том, что в математических моделях
404

8.1. Гравитационное влияние Земли, Луны и Солнца
атмосферы, бортового комплекса управления спутника, а также в
математической модели отражения солнечных лучей от сложной
(несферической) поверхности спутника всегда присутствует
значительное количество неопределенностей.
В данной главе рассматривается проблема определения орбит
применительно к практическим задачам управления активными
спутниками, находящимися на низких и средневысоких орбитах, с
точностью порядка от единиц до десятков метров (одна сигма).
Математическая модель движения центра масс спутника
формируется на основе законов ньютоновской механики. Точность
описания движения спутника зависит только от состава сил,
рассматриваемых при определении орбиты с учетом длительности
навигационного интервала или интервала построения эфемерид.
Учитываются силы, вызванные гравитационным влиянием Земли с
учетом несферичности и приливных деформаций; силы, вызванные
гравитационным влиянием Луны и Солнца; сопротивление
атмосферы и управляющие ускорения; давление солнечных лучей (без
учета альбедо и переотражения); нерегулярность вращения Земли.
Приводятся детальные математические модели перечисленных
факторов.
8.1. Гравитационное влияние Земли, Луны и Солнца
Влияние Земли. При решении прикладных задач
гравитационный потенциал Земли традиционно принято представлять в форме,
которая приведена в главе 4.
При использовании приведенной выше математической модели
движения центра масс в правую часть уравнений движения должны
быть включены составляющие градиента геопотенциала на
направления осей абсолютной инерциальной системы координат.
Заметим, что наиболее простые выражения для упомянутых
составляющих градиента получаются при проектировании на направления г,
<р и Л в гринвичской системе координат.
Однако в этом случае алгоритм вычисления возмущающих
ускорений, вызванных гармониками геопотенциала, имеет ряд
недостатков, в частности возникают особенности при вычислениях в
окрестности земных полюсов и вычислительные ошибки, вызванные
405

8. Высокоточное определение орбит
наличием трансцендентных функций в выражении для
геопотенциала.
В этой связи целесообразно использовать так называемый
алгоритм Каннингхэма [58] для вычисления составляющих градиента
на оси гринвичской системы координат. Этот алгоритм,
описанный в главе 4, свободен от указанных недостатков. Выражения
(4.79)-К4.83) описывают свободный от каких-либо особенностей
рекурсивный, высокоэффективный с вычислительной точки зрения
алгоритм определения компонент гравитационного ускорения в
гринвичской системе координат.
Влияние Луны и Солнца. Математическая модель для
вычисления возмущающих ускорений, вызванных гравитационным
влиянием Солнца и Луны, хорошо известна и проста для реализации
при условии, что геоцентрические координаты Солнца и Луны
известны для заданных моментов времени с необходимой точностью.
Соответствующие выражения для гравитационных ускорений Луны
и Солнца даны в главе 4.
Анализ показывает, что для высокоточного определения орбит
и построения эфемерид мы должны определять угловое положение
Луны и Солнца для заданного момента времени с ошибкой не
более 1 угловой секунды.
Для того чтобы обеспечить требуемую точность вычисления
положения Луны и Солнца для заданных моментов времени, можно
воспользоваться чебышевской аппроксимацией [67]:
7 = 1 2
где x(t) — соответствующая координата; x(t) —
аппроксимированное значение координат; / - время; / - нормализованное время
на интервале аппроксимации:
i = (t-(a + b)/2)/((b-a)/2);
с,, j = l,...,n - коэффициенты полиномиального разложения:
406

8.1. Гравитационное влияние Земли, Луны и Солнца
2 л+1
п __ V ' ~/V+l\ Ф /7Л+Ь
—ХЪ*П-Ч,П:
где л — степень полинома;
Ь-а
/£+1 =— cos| к-
2k-\
а + Ъ
+
2л+ 2
Г(7) = cos (j-arccos( О), у' = 1,..., л .
Полиномы Чебышева вычисляются в соответствии с
рекуррентной процедурой:
ад=1. ад = '~> Tn+x(i) = 2tTn(i)-Tn_x(о, *>i.
Для вычисления текущих значений координат небесных тел
целесообразно использовать так называемый алгоритм Гленшоу,
который позволяет избежать непосредственного вычисления
значений полиномов Чебышева. Этот алгоритм реализуется следующей
последовательностью операций:
1. Полагаем хп+{ = хп+2 = 0.
2. Вычисляем х( = 21хм - xi+2 + cx,, i = л, л -1,.. .0.
3. Определяем x(t); -t • хх-х2 —°-.
Необходимо подчеркнуть, что при использовании полиномов
Чебышева мы предполагаем отсутствие периодичности
аппроксимируемой функции на заданном интервале (для Луны длина
интервала около 1 месяца; для Солнца — около года). Заметим, что
оптимальные с точки зрения точности аппроксимации интервалы
существенно меньше (около 4 дней для Луны и около 16 дней для
Солнца).
8.2. Возмущения, вызываемые приливами в твердом теле
Земли
Гравитационное влияние Луны и Солнца вызывает
периодическое смещение областей на поверхности Земли, а также перерас-
407

8. Высокоточное определение орбит
пределение масс внутри Земли. В результате возникают
возмущения в гравитационном потенциале Земли.
Влияния этих возмущений на точность формирования
эфемерид целесообразно рассматривать в тех случаях, когда длительность
интервала предсказания положения ИСЗ существенно больше 24
часов, например если интервал построения эфемерид примерно
1 месяц.
Вычисления вариаций коэффициентов гармоник
геопотенциала, вызываемых приливами в твердом теле Земли, принято
осуществлять с помощью двухшаговой процедуры [55].
Первый шаг состоит в вычислении так называемых грубых
значений упомянутых вариаций. Для этой цели используется так
называемое частотно-независимое число Лява 2-й степени k2; в
результате мы получаем оценку приливного потенциала как функцию
времени лунных и солнечных эфемерид.
На втором шаге процедуры осуществляется коррекция значений
коэффициентов гармонического разложения, вызванная
использованием числа k2 на первом шаге.
IERS рекомендует использовать значение частотно-
независимого числа Лява второго порядка k2 равным 0.3 [55].
Изменения в нормализованных коэффициентах 2-й степени
разложения геопотенциала, полученные в результате 1-го шага,
равны:
1 Rl 3 GM : п
V5 GME у=2 rj
1 lb Rl 3 GM. , ...
3 V 5 GME y=2 rj
1 l\2 Rl 3 GMi - .,-.
Ac22 -iAsn = ±1Ц-к2 "pfi-TL -^-Pf(sin<pj)e-l2f.
12 V 5 GME ,-=2 rf
408

8.2. Возмущения, вызываемые приливами в твердом теле Земли
Ненормализованные спт, snm и нормализованные спт , snm
коэффициенты геопотенциала связаны следующим соотношением:
= (ji-m)!(2ji + l)(2-*0w) Jl, m = 0
пт V (« + «)» ' °Ш 10, и!*0"
Выше приняты следующие обозначения: к2 - номинальное
значение числа Лява 2-й степени; RE - экваториальный радиус Земли;
GME - гравитационный параметр Земли, GMj -
гравитационный параметр Луны (у = 2) и Солнца (у=1); Гу - расстояние
между геоцентром и Луной или Солнцем; q>{ - геоцентрическая
широта Луны или Солнца; Я, - восточная широта (отсчитываемая
от Гринвича) Луны или Солнца.
Изменения в коэффициентах геопотенциала, рассчитываемые
на втором шаге процедуры, равны:
&СПт " *&Snm " 4и
s(n, m)
v-0
(и + /и) - четный iQ
е s
(п + т)- нечетный
где
А _ ИГ
т Лд/4лг(2 -
S0m)
дот ~
(1, т = 0
1о, /и*03
Д£5 =ks -к2 — разность между числом fc5 частоты 5,
соответствующим модели Вара, и номинальным значением к2\ Hs —
амплитуда гармоники частоты s в разложении приливного
потенциала; в5 - аргумент гармоники частоты s в разложении приливного
Т 6
потенциала 0, =и •/?= 5ХД-, где и - шестимерный вектор
/=1
409

8. Высокоточное определение орбит
множителей так называемых переменных Дудсона [55], /3 —
шестимерный вектор переменных Дудсона.
Таблица 8.1. Поправки для вычисления вариаций коэффициентов
разложения геопотенциала
| Прилив
Число
Дудсона
145555
163555
165545
165555
165565
! 165554
255555
273555
Долгопериодические приливы п
не исключая приливов нулевой
Суточные приливы (л =2, т
=2, т=0
частоты.
-/)
п ,
множители
Д«г fif=s p3=h p4=P p5=N'
1-10 0 0
1 1-200
110 0-1
110 0 0
1110 0
Полусуточные приливы (п-2,
2 0 0 0 0
2 2-200
0
0
0
0
-1
т=2)
0
0
х1012
-16,4
49,6
-9,4
507,4
73,5
-15,2
39,5
18,4
Назв.

прилива
Pi
ki
¥1
М2
Переменные Дудсона зависят от фундаментальных аргументов,
используемых в теории нутации Хилла и Брауна. Это — средняя
аномалия Луны /; средняя аномалия Солнца /'; средняя
элонгация Луны от Солнца D; средняя долгота восходящего узла Луны
Q; средняя долгота Луны L, а также параметр
Переменные Дудсона определяются следующим образом:
fl2=zs = F + Q — средняя долгота Луны;
J33=h = s - D - средняя долгота Солнца;
/J4=P = s-l - долгота среднего перигея Луны;
/?5 = N' = -Q — отрицательное значение долготы восходящего
узла Луны;
/?6 = Р[ = s - D - / ~ долгота среднего перигея Солнца;
410

8.2. Возмущения, вызываемые приливами в твердом теле Земли
/?i=r-6g+n-s - временной угол, выраженный в лунных
днях, определяемый с момента перехода экватора снизу вверх,
0g — среднее звездное время международного условного
нулевого меридиана.
В соответствии с рекомендациями IERS при вычислении
вариаций значений коэффициентов на втором шаге процедуры
необходимо учитывать следующие приливы в твердом теле Земли (см.
табл. 8.1).
На рис. 8.1-г8.2 показана динамика вариаций нормализованных
коэффициентов разложения Дс20 , Дс21 , Д^2| , Лс22 и ^22 •
На этих же рисунках приведены номинальные значения
соответствующих коэффициентов в соответствии со стандартом
GEMT3 (стандарт Годдарского центра управления полетами).
Вычисления были проведены на интервале длиной 494 дня.
Анализ приведенных результатов показывает, что вариация
Ас20 имеет среднее значение, отличное от нуля:
Ас20=(Ас20) + \Ас20} ,
где (Ас20) — постоянная компонента вариации, рс2о) ~
периодическая компонента. В соответствии с расчетами IERS значение
постоянной составляющей равно
(Ac^j « AqHq^ = (4.4288 • 10~8) ■ (-0.03145 5)к2
или, если положить число Лява к2 равным 0.3:
(Дс^) = -4.1736 -КГ9
для ненормализованного коэффициента (У20) = 9.3324-Ю-9.
411

8. Высокоточное определение орбит
Приливы
в твердом теле Земли
~ аС21 (С21=»-О.О0ОТ?|-6)
— dS21 (S21 =0.001 Т9Е-6)
Время, сутки
Рис. 8.1. Временная эволюция вариаций нормализованных
коэффициентов Ас21 и As2\ . Приливы в твердом теле Земли
г
Приливы
в твердом теле Земли
---#-■■ dC22 (C22=2.4390658E-6)
-■■#— dS22 (S22=~l 4000946E-6)
-ni
Время, сутки
Рис. 8.2. Временная эволюция вариаций нормализованных
коэффициентов Ас22 и As22 • Приливы в твердом теле Земли
412

8.3. Деформации Земли вследствие движения полюсов
8.3. Деформации Земли вследствие движения полюсов
Как известно, при формировании математической модели
геопотенциала принято использовать следующую систему координат:
начало координат совпадает с центром масс Земли, при этом
направление оси Z ориентировано по оси вращения Земли. В
результате в разложении геопотенциала отсутствуют члены с10, сп,
su, с2\ и s2X.
Однако, если появляются отклонения направлений главных
осей инерции Земли от опорных значений, возникают ненулевые
значения коэффициентов с21 и s2].
Для анализа ситуации представим мгновенный вектор угловой
скорости вращения Земли, используя малые параметры тх, т2,
тъ. Параметр тъ описывает вариацию абсолютной величины
угловой скорости вращения Земли Q, параметры тх и т2
описывают отклонение направления вектора угловой скорости Q;
другими словами тх и т2 определяют мгновенное положение полюса
Земли на плоскости:
Q =|Q| х^щх* m2y + (I + m3)z),
где х , у, z ~ единичные орты осей гринвичской системы
координат.
Центробежный потенциал, вызванный вращением Земли, равен
с 2
r2-|Q|2-(rr-Q)2
где г — радиальное расстояние до рассматриваемой точки на
земной поверхности.
Пренебрегая членами, содержащими степени /и,- второго
порядка, получим:
Ус = ^р • ((*' + У2) ■ О + 2т3) - 2z • (т{х + щу)),
413

8. Высокоточное определение орбит
где х , у, z - гринвичские координаты рассматриваемой точки. С
учетом выражений для невозмущенного потенциала Vc
получим выражения для возмущенной части потенциала Vc:
&Vc=Vc-Vc=\n\2((x2+y2)-mi-z-(m]x + m2y)).
Пренебрегая вариациями т3, определим вариацию
центробежного потенциала Земли с учетом числя Лява к2:
AV = k2AVc = -к2 | О, \2 -z • (тхх + т2у).
Полученное приращение AV мы будем интерпретировать далее
как вклад в гармонику 2-й степени и первого порядка.
Положим:
Ьс2\=А-тх\ As2X=A-m2,
где
GME 2 3 N2l'
Учитывая то обстоятельство, что тх = Xp(t) и т2 =-Yp(t)
(необходимо учесть, что Хр, Yp - принятые международные
обозначения для определения мгновенного смещения положения полюса
относительно Международного Условного Начала: Xр — смещение
в нулевом меридиане; Yp — смещение в так называемом первом
вертикале) измеряются, как правило, в условных секундах, мы
получим окончательные выражения для вариаций коэффициентов:
Дс^ = -1.3-10"9-Агр;
414

8.3. Деформации Земли вследствие движения полюсов
Ау21 =1.3 10"9 -Ур.
Данные наблюдений показывают, что смещение полюса не
превышают 0.8". Это значение соответствует вариациям в
упомянутых выше коэффициентах порядка 1.04 • 10~9 .
8.4. Возмущение, вызываемое океаническими приливами
Динамические эффекты в модели геопотенциала, вызываемые
океаническими приливами, наиболее просто интерпретируются как
периодические вариации нормализованных коэффициентов
геопотенциала.
Эти вариации могут быть представлены следующим образом
[55]:
Ас -/Лу =F У У" (с1 ±s± )e±Ws
s(n,m)
где
AnGpw 1 1 + *;
g Nnm In +1
g - ускорение свободного падения; G - универсальная
гравитационная постоянная, G = 6.673-Ю-11 -; pw - плотность мор-
kg-sl
kg
ской воды pw = 1025-^-; k'n - коэффициенты деформации [55]:
т
к'2 = -0.3075; к'3 = -0.195; к\ = -0.132; к'5 = -0.1032;
к'0 = -0.0892; с* nm , sf9 nm - коэффициенты прямой (+) и
обратной (—) волн " s "-й составляющей океанического прилива,
описывающие вариации соответствующих (п , т) коэффициентов
разложения геопотенциала.
Коэффициенты с^пт и s^nm определяют амплитуду и фазу
океанического прилива.
415

8. Высокоточное определение орбит
Запишем основные соотношения, определяющие вариации
нормализованных коэффициентов геопотенциала следующим
образом:
&Спт = Fnm I [(< пт + С1 пт ) * COS0, + (s+ пт + j" пт ) ■ sin#5 ];
^«m = ^иж S [К «m - S~s, nm )' cos^ "(<ш " <£ m )' sin 0S J,
где 05 - аргумент соответствующей составляющей прилива,
аналогично тому, как это было определено в модели прилива в
твердом теле Земли.
Приведенное выше выражение для вариации коэффициентов
наиболее приемлемо для приложения. В таблице 8.2 приведены
периоды и амплитуды океанических приливов в соответствии с
моделью Швидерского. Эти приливы должны учитываться при
высокоточном построении эфемерид.
Таблица 8.2. Периоды и амплитуды основных океанических приливов
Обозначение
- .. прилива
Название прилива
Период
Амплитуда
Полусуточные приливы
1 м2
s2
N2
к2
Главный лунный
Главный солнечный
Эллиптический лунный
Смешанный лунно-солнечный
12.421ч.
12.000ч.
12.568ч.
11.967ч.
100%
46.564%
19.146%
12.670% !
Суточные приливы
к,
о,
р'
Q.
Смешанный лунно-солнечный
Главный лунный
Главный солнечный
Эллиптический лунный
23.935ч.
25.819ч.
24.066ч.
26.868ч.
58.417%
41.502%
19.330%
7.916% 1
Долгопериодические приливы
Mf
Mm
Двухнедельный лунный
Месячный лунный
Полугодовой лунный
13.661д.
27.555д.
182.621д.
17.225% 1
9.084%
8.024% |
Анализ показывает, что полусуточные приливы приводят к
вариациям коэффициентов гармоник второго порядка (/и = 2),
суточные приливы приводят к вариациям коэффициентов гармоник
первого порядка (т = 1) и долгопериодические приливы приводят
к вариациям коэффициентов зональных гармоник (т = 0).
416

8.4. Возмущениеy вызываемое океаническими приливами
Заметим, что амплитуды океанических приливов и, как
следствие, возмущения орбиты спутника уменьшаются с возрастанием
степени " п " составляющей геопотенциала. Анализ показывает, что
для облегчения высокоточного построения эфемерид (в
особенности для точного предсказания положения спутника вдоль
околокруговой орбиты) необходимо учитывать периодические вариации
коэффициентов в гармоническом разложении геопотенциала до
6-й степени включительно.
г~
Океанические приливы
-3jS— dC20 (С20=-484.1650994Е-6)
-6.0Е-Ю -4-T-r-i—
200 300
Время, сутки
Рис. 8.3. Временная эволюция вариаций коэффициента с2о -
Океанические приливы
Примеры эволюции соответствующих вариаций показаны на
рис. 8.3^8.17. Временной интервал, на котором показана
эволюция, равен 494 дням. На тех же рисунках приведены
полиномиальные значения соответствующих нормализованных коэффициентов
согласно стандарту GEMT3.
Остановимся коротко на влиянии суточных и полусуточных
приливов. Анализ показывает, что для высоких околокруговых
орбит влияние всех суточных или полусуточных приливов приводит к
изменению положения спутника вдоль орбиты на величину
порядка 5 см (одна сигма).
417

8. Высокоточное определение орбит
Океанические приливы
ЧйЁ- сС30<СЗСЮ.95720НЕ^)
2.0Е-11 -^
* : ! ■' I i'. '
;4 J'iiiti ';
' Л ! Г.I*?
!Цм;.; ► ! ? ^
i' '■•''.; ill1» I1 ; - :
h
и
Щ\ I fffp i! f ji|
itlti
«
I
•4.06- П -fm
200 300
Время, сутки
~r-|
so
Рис. 8.4. Временная эволюция вариаций коэффициента c3q .
Океанические приливы
1.2Е-10
Океанические приливы
..—*-~ СРЮ (C4O=0.53962]2E^6)
aoE-n -1
406-11
о.ое*о
■4СБ-11
^aoE-n
« Ц\м
film ! J! i::!;1^;;^;-^:^"' ^■'fflMiii.itill
111 Will I* ,:il'iX'
-1.2Б-Ю
!l 1П!'
if»' »ж
'.iil'tf II I! LI
I P
II
«It
tl
Г I
I
100
200 300
Время, сутки
400
so
Рис. 8.5. Временная эволюция вариаций коэффициента с40.
Океанические приливы
418

8.4. Возмущение, вызываемое океаническими приливами
i ■'■ Океанические приливы
-#— dC50 (C50O.0683433E-4)
5.0Е-11 Ч !|Jf
ИИ
I
I
t !! 1
* '.' 11
-г-г~,~(
100
200 300
Время, сутки
Рис. 8.6. Временная эволюция вариаций коэффициента с50.
Океанические приливы
Океанические приливы
-^— сЮ60 (е№-0.1495135Е-6)
-4.0Е-11 --!
200 300
Время, сутки
Рис. 8.7. Временная эволюция вариаций коэффициента с60.
Океанические приливы
419

8. Высокоточное определение орбит
Приливы
в твердом тепе Земли
- Ж - сС21 (С21-ОШЯ7БФ
-Ж— dS21 <S21=CCOT19E4S)
200 300
Время, сутки
Рис. 8.8. Временная эволюция вариаций коэффициентов с2\
и ^21 • Океанические приливы
Г"
С^еон11ческие приливы
*-■■' сС31 (031^.027714^)
-*-.-'■'■ dS31 (S3W24921#feu
200 300
Время, сутки
Рис. 8.9. Временная эволюция вариаций коэффициентов с3] и s^\ •
Океанические приливы
420

8.4. Возмущение, вызываемое океаническими приливами
Океанические приливы |
I
--Й- dC41 (С41=-0.5361511Е-6) |
-#■ dS41 (S41=4).4734360E-6) |
-■4-тнй4
-4.0Е-Ю -4-T-i-r-T
■-q-n
400
500
О 100 200 300
Время, сутки
Рис. 8.10. Временная эволюция вариаций коэффициентов
с4] и £41 • Океанические приливы
Океанические приливы
-$ dC51 (C51=-0.05828G2E-6)
200 300
Время, сутки
Рис. 8.11. Временная эволюция вариаций коэффициентов
с5\ и s5\- Океанические приливы
421

8. Высокоточное определение орбит
Океанические приливы
-Jjfr— dC61 (С61~О.076894ЯЕ-<5)
s , —Ж— dS61 CS61-<).026998^6)
II
|fiim«Hjjjr
-т-у-т-
100
50
200 300 400
Время, сутки
Рис. 8.12. Временная эволюция вариаций коэффициентов
с5\ и s5\ • Океанические приливы
феОническиэ грилиеы
piii.
TT-r- r_t_r_T.-r.r.^_T_r
200 300 400 50
Время, сутки
Рис. 8.13. Временная эволюция вариаций коэффициентов
с22 и 522 • Океанические приливы
422

8.4. Возмущение, вызываемое океаническими приливами
г
ОкесмйЧвские приликя
*-- dC32 (С32^.90447ОЩ)
-*-- dS32 <S32^.6194477^6)
Время, сутки
Рис. 8.14. Временная эволюция вариаций коэффициентов сЪ1 и
$32 • Океанические приливы
Скёани^еские приливы
-~%r~ dC42 (С42«О.3502181Б6)
#';-■ dS42 (S42=0.6630152E4)
-I г—Vt^
200 300
Время, сутки
Рис. 8.15. Временная эволюция вариаций коэффициентов с42
и ,у42 • Океанические приливы
423

8. Высокоточное определение орбит
Океанические приливы
:Й аС52 (052=0.65271 lOW)
#7- dS52 (S52^.3238637E-6)
ii
200 300
Время, сутки
Рис. 8.16. Временная эволюция вариаций коэффициентов с52
и 5*52 • Океанические приливы
г ~ " л
Океанические приливы
%•- dC62 (С62=Ю.0487345ЕчЬ)
—*— dS62 (S62HD,3740131E-6)
t
200 300
Время, сутки
Рис. 8.17. Временная эволюция вариаций коэффициентов
С62 и sb2 • Океанические приливы
424

8.4. Возмущение, вызываемое океаническими приливами
Сравнительный анализ абсолютных значений вариаций
коэффициентов, приведенных на рис. 8.3^8.17, позволяет сделать
следующие выводы:
- для всех рассмотренных результатов абсолютное значение
вариации составляет величины от десятых до сотых долей
процента от абсолютных значений соответствующих
коэффициентов.
- соответственно, оценивая зону влияния соответствующего
коэффициента разложения на эволюцию орбиты спутника,
можно оценить влияние соответствующей вариации на
точность.
- абсолютные величины рассчитанных вариаций
коэффициентов разложения позволяют сформулировать требования к
точности реализации численной процедуры интегрирования
уравнений движения спутника при построении его
эфемерид.
8.5. Возмущения, вызываемые атмосферными приливами
Рассмотрим теперь влияние так называемых атмосферных
приливов, вызванных деформацией атмосферы вследствие
гравитационного влияния Луны и Солнца. Эти деформации вызывают, в
свою очередь, вариации соответствующих коэффициентов
гармоник разложения потенциала. Анализ показывает, что атмосферные
приливы приводят к вариациям коэффициентов с12 и s22
полусуточных гармоник: при этом соответствующие значения
коэффициентов <?22 и 522 РавНЫ
с+2 =-0.537 см, S22 =0,321 см.
В заключение приведем стандартный набор коэффициентов
разложения геопотенциала, которые должны периодически
корректироваться вследствие влияния приливов, вызываемых влиянием
Луны. Солнца и движения полюсов.
В таблице 8.3 заштрихованы те коэффициенты, которые
должны корректироваться вследствие влияния приливов в твердом теле
Земли.
425

8. Высокоточное определение орбит
В таблице 8.4 заштрихованы те коэффициенты, которые
должны корректироваться вследствие влияния полярного прилива.
Таблица 8.3. Коэффициенты (заштрихованы), подлежащие коррекции
вследствие влияния приливов в твердом теле Земли
1 п\т
\ 2
3
4
5
6
7
0
Qo j
С30
Qo
Qo
Qo
С70
1 1
С21»
1 Sji
1 СЗЬ
s31
S4i
С5ь
1 S5i
Qi»
s61
c7i,
s7i
2
C22,
S22
c32,
s32
C42>
S42
C52,
S52
Q2,
s62
C72,
S72
3
C33,
S33
C43»
S43
^53»
S53
c63,
S63
C73,
S73
4
C44,
S44
C54,
S54
Сб4,
S64
^74,
S74
5
C55,
S55
C65,
S65
c75,
S75
6
Сбб>
S66
c76,
S76
7
C77,
S77
Таблица 8.4. Коэффициенты (заштрихованы), подлежащие коррекции
вследствие влияния полярного прилива
[;'л\пь
2
3
4
5
I 6
7
:-'!». j
С20
С30
Qo
С50
Qo
С70
Г'- *
р:$21
СЗЬ
s3,
S4i
С5ь
! s5i
Set
С71,
S7I
2
С22,
S22
С32,
S32
Q2»
S42
С52,
S52
С62>
S62
с72,
S72
3
Сзз>
S33
Q3»
S43
с53,
С6з,
S63
С7з,
S73
4
С44,
S44
С54>
S54
Q4,
S64
С74,
S74
5
С55,
Sss
Сб5,
8б5
с75>
S75
6
Q6,
S66
с76,
S76
7
с77,
S77
В таблице 8.5 заштрихованы те коэффициенты, которые
корректируются вследствие влияния океанических приливов.
Очевидно, что учет влияния всех перечисленных факторов
приводит к увеличению объема вычислений при определении орбит и
построении эфемерид. Для уменьшения времени вычисления мы
рекомендуем использовать полиномы Чебышева для
аппроксимации соответствующих вариаций коэффициентов. В таблице 8.6
426

8.5. Возмущения, вызываемые атмосферными приливами
приведены исходные данные, используемые для проведения
расчетов.
Таблица 8.5. Коэффициенты (заштрихованы), подлежащие коррекции
вследствие влияния океанических приливов
[_ n\m
1 2
1 3
!
4
1 5
6
7
0 1
С^о
Сзо 1
Qo
Qo
Q>0
С70
1 " I
с2ь-
S2|
S3,
1 S*M
! С5Ь
Ssi
Сы,
S6i
с71>
St.
* "1
2
£22*
S22
S32
^42,
$42
с52,
S52
Сб2,
S62
р72»
S72
***
"ЩЩб&
Сзз,
Sm
С43.
S43
С53,
S53
C63,
s«,
С73,
S73
ади»ш!
С44,
S44
С54.
S54
Сб4,
S64
Q4.
S74
С55,
S55
С65,
S65
С75,
S75
тшт.
Сбб.
с76)
S7«
'^ШШЩ
с77,
S77
Таблица 8.6 . Исходные данные для вычисления
Геодезическое положение НИЛ
Геодезическщ, 1шцаф% :ipm.-
•■Ш;г
ГеддезотесщЯ;В№0УС :юи1
%s?
Климатические условия в момент проведения измерений
Атмосферное: Машете,- :ЩЬр': ■
i-ЮШ
Дбё|длта1Ш ь
•:Ш^:
Шмскйшшшл ;шажШав.Ш::
(«1
Взаимное расположение jffjfjj u jfC3
I
Истйнцая; щтвщщЩ:» шт.-
7$
Перечислим теперь исходные данные, необходимые для того,
чтобы реализовать приведенные выше модели и алгоритмы в
соответствующее программное и математическое обеспечение. Это -
набор коэффициентов разложения геопотенциала по сферическим
функциям, включая гравитационный параметр и экваториальный
радиус Земли (для данного набора коэффициентов); эфемериды
Солнца и Луны для данного интервала построения эфемерид и
гравитационные параметры этих тел; разложение фундаментальных
параметров Хилла и Брауна; мгновенные координаты полюса и
параметры вращения Земли.
427

8. Высокоточное определение орбит
8.6. Модель движения солнечных лучей с учетом затенения
спутника
Модель возмущающего ускорения, вызываемого давлением
солнечных лучей, была приведена в главе 4. Эта модель не
учитывает затенения части поверхности спутника, т.е. спутник находится
вне затеняемой области пространства (область 1 на рис. 8.18).
Рис. 8.18. К определению границы тени и полутени
Проверка факта затмения осуществляется путем сравнения
углов Xi и Yi> 8 > i = l» 2,3 (см. рис. 8.18).
Символы i = l, i = 2, i = 3 означают ситуации, помеченные на
рис. 8.18 цифрами 1, 2 и 3 соответственно. Углы Х\ и Yi
определяются так, как это показано на этом же рисунке. В любой из
перечисленных ситуаций углы х и Y определяются формулами:
sin£ = — —; cos£ = Vl-sin2£ ;
Ps
^ \Рш*Рз\ cosr=A_Pj^f
\PsV\Psat\ \Ps-\Psat\
428

8.6. Модель движения солнечных лучей с учетом затенения спутника
где рш -xsat -хЕ\ ps =xs -хЕ\ х - символ векторного
умножения, xsat, хЕ , xs - векторы положения спутника, Солнца и
Земли соответственно.
Условие попадания спутника на границу тени определяется
следующим образом:
Х-у-S или cos^ = cos(^-^).
Условие затемнения спутника записывается в виде:
Х<У~8 или cos^>cos(^ -S).
8.7. Модель движения наземного измерительного пункта
Для того чтобы сформировать высокоточную модель движения
наземного измерительного пункта (НИП), мы должны учитывать
влияние геодинамических факторов, движение земного экватора и
точки весеннего равноденствия.
Наиболее удобно с вычислительной точки зрения при
определении орбит задавать положение НИП в абсолютной инерциальной
системе координат. Так как НИП двигается и вращается вместе с
Землей, его положение отклоняется от расчетного вследствие
влияния спектра геодинамических факторов.
Необходимо решение двух задач: преобразование координат и
определение положения НИП совместно с участком земной коры в
окрестности расчетного (опорного) положения НИП на
поверхности земного эллипсоида.
Решение первой задачи требует привлечения матричных
преобразований с использованием матриц прецессии, матриц нутации,
матриц поворота на звездное время, матриц поворота с учетом
мгновенно положения полюса Земли.
Для учета геодинамических факторов требуется вычисление
коррекции расчетного (опорного) положения НИП, вызываемой
приливами в твердом теле Земли, океанической и атмосферной
нагрузкой, а также движением тектонических плит.
Рассмотрим перечисленные факторы подробнее.
429

8. Высокоточное определение орбит
Предварительно введем необходимые системы координат
(см.рис. 8.19). Здесь OXIARFYIARFZIARF - абсолютная система
координат; OXTRFYTRFZTRF - земная система координат;
OXGRFYGRFZGRF ~ гринвичская система координат; ХР и YP -
координаты мгновенного положения полюса Земли
Земная и Гринвичская системы координат
,Z.ARF
Рис. 8.19. Система координат
Земная система координат (ЗСК). Это геоцентрическая система.
Центр масс Земли определяется для Земли в целом, учитывая
океаны и атмосферу. Ось Z проходит через полюс Земли,
определяемый в соответствии с Международным Условным Началом
(МУН). Ось X лежит в плоскости Гринвичского меридиана. Ось
Y дополняет систему до правой. Земная система координат
участвует в суточном вращении Земли вокруг оси.
430

8.7. Модель движения наземного измерительного пункта
Гринвичская система координат (ГСК). Начало ГСК совпадает с
началом ЗСК. Ось Z совпадает с мгновенным направлением оси
вращения Земли. Оси X и Y имеют направления, совпадающие с
направлением соответствующих осей ЗСК. Соответствие между ЗК
и ГСК устанавливается путем определения мгновенных координат
полюса Хр и Yp относительно МУН.
Мгновенная абсолютная система координат (MACK). Начало
MACK совпадает с началом ЗСК. Ось X направлена в точку
весеннего равноденствия текущей даты. Ось Z перпендикулярна к
экваториальной плоскости для текущей даты. Ось Y дополняет
систему до правой. Начало MACK принимает участие в годовом
движении Земли, а ее оси участвуют в движении, описываемом
процессами нутации и прецессии.
Абсолютная система координат (АСК). Начало АСК совпадает с
началом ЗСК. Направление осей АСК совпадает с направлением
осей MACK для заданной даты. Начало АСК участвует в годовом
движении Земли, но направления осей АСК зафиксированы в
пространстве.
В качестве исходных данных для расчетов примем положения
НИП в ЗСК. Для того чтобы определить положение НИП в АСК
(это необходимо для расчета наклонных дальностей между
спутником и НИП в процессе определения орбиты) в соответствии с
заданной эпохой1 мы должны выполнить следующие операции:
учесть периодические смещения НИП, вызванные влиянием
приливов в твердом теле Земли, океанических приливов, а также
атмосферной нагрузкой; "повернуть" ЗСК до совпадения с MACK на
угол, определяемый истинным звездным временем на гринвичском
меридиане; "развернуть" MACK к экватору и равноденствию,
определяемому положением АСК.
Для того чтобы определить положение НИП в ГСК, мы
должны выполнить следующие операции: учесть периодические
смещения НИП, вызванные влиянием приливов в твердом теле Земли,
океанических приливов с атмосферной нагрузкой; "развернуть"
1 Все определения, связанные с понятиями "время", "эпоха" приведены в
параграфе 4.7.
431

8. Высокоточное определение орбит
ЗСК в соответствии с мгновенным положением полюса,
определяемым положением ГСК.
Будем полагать далее, что положительное направление
вращения оси есть вращение против часовой стрелки, если смотреть с
положительного направления оси.
Введем так называемые стандартные матрицы вращения на угол
" а " в следующем виде:
Rx(<*) =
(\
О
о
о
cosa
sin a
О
sin а
cosa
RJa) =
cos а
0
sin а
0
1
0
-sin а
0
cos а
^
Rz(a).
cosa sma
-sina cosa
0 0
0^
0
1
Рассмотрим процедуры определения параметра вращения "а"
в этих матрицах.
Звездное время. Связь между средним звездным временем на
Гринвичском меридиане (GMST) и универсальным временем
(UT1) определяется следующим образом:
GMST = Frac{ Л)(/п)х24ч+18ч41м50с.54841+8б40184с.812866хГ(/ +
+0с.093104хГ^-6с.2хЮ"6х7^,
где Frac(JDun ) - дробная часть юлианской даты (часть от 24
часов с последнего полудня); Ти — число юлианских столетий (36525
дней каждое, 86400 с в каждом дне, отсчитываемое от
фундаментальной эпохи J2000 (1д12ч00м00с января 2000.0):
Тц = (JDun - 2451545.0) х 36525.
Гринвичское звездное время (GST) мы получим после учета
прецессии и нутации в прямом восхождении:
432

8.7. Модель движения наземного измерительного пункта
GST = GMST + Ai//- cos* + 0f'.00264 • sinQ + 0И.000063 ■ sin2Q,
где Q ~ средняя долгота восходящего узла лунной орбиты; А^ -
один из стандартных углов нутации (нутация по долготе); г — углы
наклона экватора к плоскости эклиптики для текущей даты (один
из параметров прецессии):
^ = 84381м.448 - 46м.8150 - Г^ - 0.м00059 - 7^ -f 0М.001813 • 7^.
Поворот гринвичского меридиана к равноденствию даты
осуществляется с помощью матрицы Rz, с использованием аргумента
вращения "-GST":
Q = RZ(-GST).
Прецессия. Фундаментальные аргументы теории прецессии
представляют собой так называемые параметры Ньюкомба (ZA,
вл, £А), которые определяют вращение экватора и равноденствие
от даты к дате.
Соотношения для определения аргументов прецессии
относительно стандартной эпохи J2000.0 имеют следующий вид:
^=(2306.М21814-1,,.39656Г-0И.000139Г2)^ +
+ (0М.30188 - 0М.000344 • Т) • t2 + 0."017998 - *3;
Z^=(2306."2181 + lM.39656r-0M.000139r2).r-f
+ (1М.09468-0М.000066-Г)^24-0.И018203-Г3;
^=(2004.М3109 + 0И.85330-Г-0И.000217-Г2)^-
-(0".42665-0м.000217-Г)-Г2+0."041833-/3,
где Т — временный интервал между стандартной эпохой J2000.0 и
начальной эпохой г0 (на эту эпоху зафиксированы оси АСК),
выраженный в юлианских столетиях; t - временный интервал между
433

8. Высокоточное определение орбит
начальной эпохой г0 и текущей эпохой г (на эту эпоху
зафиксированы оси MACK), выраженный в юлианских столетиях.
Для заданных Ги/ поворот MACK к АСК вследствие
прецессии определяется следующим образом:
P = RztfA)Ry(-eA)Rz(ZA).
Нутация. Будем использовать для определения компонент
нутации в прямом восхождении (Ау) и (As) так называемый
стандартный алгоритм Вуларда, который основан на
тригонометрическом разложении Ау/ и As для стандартной эпохи J2000.0:
5 ^\
п
A£=Y,ci
/=1
у sin
cos
2Vy
f 5
где n — число членов в разложении Хилла и Брауна для
фундаментальных аргументов (как правило, это число равно 106); s(, с,-
и ztj — коэффициенты, которые приведены в стандартах IERS; v,
- фундаментальные аргументы нутации Хилла и Брауна,
вычисляемые следующим образом:
v, =/ = 134°ST4G\733 + (1325г +. 198°52'02и.633) • Т +
+ 31".310-Г2+0".064Г3
v2=l' = 357°31'39".804 + (99г + 359°03'01м.224) • Т -
-0'.577Г2-0*.012-Г3
уг =F = 93°16'17".877 + (1342г + 82°01'03".137) • Т -
-13".257Г2 -нО".011Г3
434

8.7. Модель движения наземного измерительного пункта
v4=D = 297°5Г0Г.307 + (1236' + 307°06'4Г.328) • Т -
-6М.891Г2+0'.019Г3
v5 = Q = 125°02'40м.280 - (5Г +134°08,10".539) • Т +
-f7".455-r2-f0'.008-r3
где Т - временной интервал между стандартной эпохой J2000.0 и
текущей датой, для которой вычисляются параметры А у/ и As,
выраженной в юлианских столетиях.
Вращение MACK к АСК вследствие нутации определяется
следующим образом:
N = Rx(e0 + Ae0)-R2(-Ay + Ai/f0)-Rx(-e-A£),
где А у/ и As - компоненты нутации в прямом восхождении и
наклонении для текущей даты т относительно стандартной эпохи
J2000.0; Ац/0 и As0 — те же самые компоненты для начальной
даты г0 (г0 ~ дата, на которую "заморожена" ось X АСК)
относительно эпохи J2000.0; е0 и е - наклонение экватора к плоскости
эклиптики для дат г0 и г соответственно.
В результате, матрица А преобразования ЗСК в АСК имеет
следующий вид:
A = P-N-Q,
где Р - матрица прецессии, N - матрица нутации, Q — матрица
звездного времени.
Матрица, учитывающая мгновенное смещение полюса при
переходе от ЗСК к ГСК, как уже указывалось выше, использует
мгновенные координаты полюса относительно МУН.
Традиционно мгновенные координаты полюса задаются в виде
угловых величин, определяемых в гринвичском меридиане (Хр) и
первом вертикале (У ) при заданном направлении вращения к
некоторой средней позиции полюса (см. рис. 8.19):
435

8. Высокоточное определение орбит
Хр=т]
Х„
~m2-YD,
где тх и т2 ~ координаты мгновенного положения полюса
относительно МУН; Xр , Yp ~ средние значения координат полюса
относительно МУН.
Предположим, что средние координаты полюса совпадают с
МУН. Тогда матрица преобразования ЗСК к ГСК определяется
следующим образом:
X-grf ~ ^ • XTRF ,
где A = RX(YP)RV(Y„)
Учет приливов в твердом теле Земли. Вариации положения
НИП относительно расчетной (опорной) точки, вызванные
приливами в твердом теле Земли, традиционно рассчитываются на
основе теории Дж. Вара [55].
Существует так называемая двухшаговая процедура расчета
упомянутых вариаций. На первом шаге используются частотно-
независимые числа Лява и Шида. При этом смещение положения
НИП относительно опорной точки определяется следующим
образом:
7=2
GMj-r*
GME-R)
Л[з/2.<4-4^+[з{|-(2).(^.^-|-]
где GMj ~ гравитационный параметр Солнца (у = 3) и Луны
(7 = 2) или Солнца; GMЕ - гравитационный параметр Земли;
Rj, Rj - единичные векторы и расстояния от геоцентра до Луны
и Солнца соответственно; Я, г - единичный вектор и расстояние
от геоцентра до НИП; й2 =0,6090 - номинальное число Лява
второго порядка; /2 = 0,085 - номинальное значение числа Шида.
436

8.7. Модель движения наземного измерительного пункта
Смещение НИП в радиальном направлении может быть
определено с помощью приведенной выше формулы с ошибкой не
более 0.005 м. Для уменьшения этой ошибки определяется
периодическое смещение НИП по высоте с помощью формулы:
5hts = Shh
Нь
-1±
\2Atv
Ssin^-cos^-sin^ + X)
где Shk=h^arh)-h^m]) =-0.0S87 - разность между числом
Вара и номинальным значением числа Лява; Нк =0.36878 —
амплитуда кх -й гармоник в разложении приливного потенциала; ср -
геоцентрическая широта НИП; Я - восточная долгота НИП;
ek=T + s = 0g +я - аргумент кх-го прилива.
Пренебрегая числами второго порядка малости, получим:
5hts = -0.0253 • sincp • cos#> ■ sin(#g + X\ м.
Окончательное смещение НИП в радиальном и северном
направлении определяется следующим образом:
ArT -P = J— .(0.609)-(-0.31455)-
3 • 2
—sm <p-
2 г
-0.12083
Г:
м:
—sine*—
2 Y 2j
Ьгт А = /—-(0.852).(-0.31455).3cos^-sin^ =
V 4тг >
м.
= -0.05071- cos<p • sirup
Результаты расчетов с использованием приведенных выше
соотношений показаны на рисунках 8.20н-8.26.
Рис. 8.20 иллюстрирует зависимость влияния составляющих
приливов в твердом теле Земли на смещение НИП от его
геоцентрической широты. При этом максимальная абсолютная величина
437

8. Высокоточное определение орбит
смещения, соответствующая приливу нулевой частоты, не
превышает 120 мм.
•100 да о ао ion
Широта, градусы
Рис. 8.20. Зависимость составляющих прилива в твердом теле
Земли от широты НИП
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Средняя долгота Луны, градусы
Рис. 8.21. Зависимость приливов в твердом теле Земли от
аргумента прилива для различных широт НИП
438

8.7 Модель движения наземного измерительного пункта
_, j , j , j , ( , ! , j , j , j
0.0 50.0 100.0 150.0 200.Q 250.0 300.0 350.0 400.0
Время, дни
Рис. 8.22. Временная вариация положения НИП в
вертикальном направлении
ю
2
2
1-10
5
I
CD
Ш
-3D
1 1 ■ 1 • 1 г™! ' 1 ' 1 ■ 1 ' 1
0.0 50.0 100.0 150.0 200.0 250.0 300.0 350.0 400.0
Время, дни
Рис. 8.23. Временная вариация положения НИП в
вертикальном направлении
439

8. Высокоточное определение орбит
"1—'—i—•—i—•—1—■—i—■—i—■—i—»—i
0.0 50.0 100.0 150.0 200.0 250.0 300 0 350.0 400.0
щВремя,дни
Рис. 8.24. Временная вариация положения НИП в
вертикальном направлении
п—•—г—'—I—'—I—»—I—«—I—•—I—«—I
0.0 50.0 100.0 150.0 200.0 250.0 300.0 350.0 400.С
Время,дни
Рис. 8.25. Временная вариация положения НИП в
вертикальном направлении
440

8.7. Модель движения наземного измерительного пункта
0.0 Q.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 .С
Время, дни
Рис. 8.26. Суточные вариации положения НИП в
вертикальном направлении
Составляющие этих смещений определялись в направлениях
радиус-вектора и местного меридиана к северу. На том же самом
рисунке показана периодическая компонента прилива,
вычисляемая в соответствии со вторым шагом процедуры для
фиксированного аргумента (sin^ =1).
Рис. 8.21 иллюстрирует зависимость смещения положения
НИП для различных широт в зависимости от аргумента прилива
или, что 'то же самое, от среднего звездного времени в точке, где
расположен НИП.
Полярный прилив. Рассмотрим процедуру вычисления
деформации в твердом теле Земли, вызванной мгновенным смещением
оси вращения Земли. IERS рекомендует нижеследующий порядок
расчета тех компонент смещения положения НИП, которые имеют
отличные от нуля значения на произвольном интервале времени.
Примем для расчета нижеследующие значения чисел Лява (h),
Шида (/) и среднего радиуса Земли (а):
h = 0.6; / = 0.085; а = 6400 км.
441

8. Высокоточное определение орбит
Мы будем использовать следующие выражения для расчета
смещения положения НИП:
sr --Ъ2-^т2в-Х0 cosX-Y -sinA , мм,
se =-9cos20X cosX-Y sin/l, мм,
s% = 9cos#-Ar- -sinA-f У cos А, мм,
где sr - радиальное смещение положения НИП (положительное
направление - вверх); se - горизонтальное смещение НИП
(положительное направление - на юг); s^ - горизонтальное
смещение НИП (положительное направление - на восток; в-п\2-(р\
q> - геодезическая широта НИП; X - долгота НИП; Хр, Yp -
мгновенные координаты полюса (выраженные в условных
секундах).
Процедура, определяющая смещение НИП в правой декартовой
экваториальной системе координат, записывается следующим
образом:
^cos^-cosA -sinA sin#-cos>^
cos 0- sin X cos X sin в- sin X
K -sin/I 0 cos X
Ряд авторов исследовали механизм смещения НИП вследствие
океанической нагрузки. Наиболее известны подходы,
предложенные Швидерским (1980) и Фарреллом (1972), основанные на
глобальном представлении об океанических приливах. Оба
упомянутых подхода используют вектор смещений положения НИП в
радиальном, северо-южном и западно-восточном направлениях в
местной топоцентрической системе координат. Этот вектор
смещений может быть определен как сумма смещений, вызванных h
отдельными океаническими приливами:
м
\ау
[az)
= R-
м
s9
^я>
. * = j
442

8.7. Модель движения наземного измерительного пункта
(ЕГ{Ф
Е„(0
ЕЛО
и
1=1
А\ cos(a)jt + q>t +S[)
A^cosioiit + cpi+S™)
где ty — частота составляющей прилива; q>t - астрономический
аргумент составляющей прилива; А\, Л/^5, Afw - амплитуды
составляющей прилива в радиальном, меридиональном и широтном
направлениях соответственно; д[; Sj*s , 5fw - гринвичские фазы
составляющей прилива в радиальном, северо-южном и западно-
восточном направлениях.
Для расчета океанической нагрузки принято рассматривать
следующие 11 приливов:
М2, S2, K2, N2, Ox, Kl9 Pu ft, Mf9 Mm9 Ssa.
Приведенные рисунки иллюстрируют результаты расчета
смещения НИП на интервале времени порядка года (годовые
вариации) в вертикальном направлении для отдельных точек
расположения НИП: Ричмонд, Мадрид, Сан-Франциско, Потсдам (см.
рисунки 8.22^-8.25)
Рис. 8.26 иллюстрирует суточные вариации вертикального
смещения НИП на 1 января 1992 г.
Атмосферная нагрузка. Вариации плотности атмосферы и,
следовательно, атмосферного давления, вызывают деформации земной
коры.
Ряд исследователей (Руббель и Шу, 1986 [55]) указывают, что
эти деформации могут составлять величину порядка миллиметров в
зависимости от сезона (времени года). В отличие от эффекта,
вызываемого океанической нагрузкой, в случае с атмосферной
нагрузкой не удается выделить явно выраженных периодических сил.
В настоящее время IERS рекомендует использовать упрощенную
форму определения зависимости вертикального смещения земной
коры в зависимости от вариаций атмосферного давления. Эта
зависимость определяется мгновенными значениями давления в точке
расположения НИП и осредненным значением давления в регионе
443

8. Высокоточное определение орбит
радиусом 2000 км в окрестности НИП. Выражение, определяющее
вертикальное смещение, согласно IERS, записывается в виде:
Дг = -0.35Р-0.55Р, мм,
где Р - аномалия местного давления относительно стандартного
значения (1013 мбар, 101,3 кПа); Р - средняя аномалия давления
внутри круга диаметром 2000 км в окружности НИП.
j-| , j , , , ( , , , j , j
94Э 960 9S0 1C00 1Q2D 1040 1Ж
Атмосферное давление, мБАР
Рис. 8.27. Деформации земной коры в зависимости от
атмосферной нагрузки
Величина деформации земной коры в радиальном направлении,
рассчитанная в соответствии с приведенной выше формулой,
показана на рис. 8.27 как функция атмосферного давления в диапазоне
между 945 и 1055 мбар. Заметим, что верхняя линия соответствует
случаю, когда определенное по региону давление меньше, чем
давление в точке расположения станции (Рт <Р0), а нижнее
соответствует случаю, когда Рт > Р0. Оба случая соответствуют ситуации,
когда разница давлений равна 5 мбар.
Движение тектонических плит. Один из факторов, которые
могут привести к нерегулярностям в механизме вращения Земли,
является движение тектонических плит. Если тектоническая плита
444

8.7. Модель движения наземного измерительного пункта
движется, определенные априори координаты НИП становятся
несовместимыми. Скорости такого движения для стационарных НИП
могут составить величины порядка 5 см в течение года.
Особенность этой составляющей движения НИП заключается в
том, что НИПы, расположенные на одной и той же плите,
движутся одновременно и имеют одно и то же смещение.
В настоящее время IERS рекомендует рассматривать
14 тектонических плит.
Вектор угловой скорости вращения каждой тектонической
плиты в ЗСК принято представлять в виде трех компонент (Q^, Qy,
Qz) (без учета угловой скорости вращения плиты вместе с землей
как твердого тела).
В результате вектор положения НИП в ГСК определяется
следующим образом:
Х = Х0+С1хХ0-т9
где X - вектор фактического положения НИП в ГСК; Х0 -
вектор начального положения НИП в ГСК; г - интервал времени
между положениями Х0 и X; х — символ векторного умножения.
8.8. Модель дальномерного канала
Анализ показывает, что наиболее информативным
навигационным параметром при определении орбит является наклонная
дальность между положением НИП и центром масс спутника.
Рассмотрим высокоточную модель дальномерного канала НИП.
С учетом всех приведенных выше коррекций положения НИП,
а также с учетом всех рассмотренных выше возмущений,
действующих на спутник, мы можем рассчитать "истинное" значение
наклонной дальности "НИП-ИСЗ". Однако это "истинное"
значение дальности будет отличаться от фактически измеренного
вследствие целого спектра неконтролируемых факторов,
рассматриваемых ниже.
Формируемая модель дальномерного канала учитывает
следующие коррекции при расчете "истинного" значения наклонной
дальности: коррекцию вследствие смещения отражающей поверх-
445

8. Высокоточное определение орбит
ности спутника относительно центра масс; коррекцию, вызванную
рефракцией радио или лазерного луча в атмосфере; коррекцию,
вызванную релятивистскими эффектами при проникающем луче в
гравитационном поле Земли.
Хорошо известно, что измеренная наклонная дальность
"НИП—ИСЗ" равна половине произведения скорости света в
вакууме на интервал времени между моментами излучения и приема
сигнала, отраженного от спутника.
Заметим, что значение скорости света в вакууме известно с
ошибкой порядка 1 м/с. Таким образом, ошибка измерения
наклонной дальности, вызванная упомянутой неопределенностью
скорости, может достичь значений порядка единиц сантиметров
для спутника на высоких орбитах.
Существенный вклад в ошибку измерения наклонной
дальности вносит изгиб луча вследствие его рефракции в земной
атмосфере. Изгиб луча вследствие релятивистского влияния
гравитационного поля Земли вносит ошибку в изменение значения
наклонной дальности порядка 1,5 см.
Необходимо также учитывать тот факт, что луч отражается от
части поверхности ИСЗ, которая не совпадает с положением его
центра масс.
Сформируем упомянутое значение ошибки измерения
наклонной дальности следующим образом:
Rmes ^„^-ДД,
*& = pmc~2pr- pg+6pc,
где ртс - коррекция дальности, вызванная смещением центра
масс спутника относительно точки отражения; рг -
"односторонняя" коррекция, вызванная рефракционными
эффектами (так называемая тропосферная задержка); pg — коррекция,
вызванная изгибом луча в гравитационном поле Земли; 8рс —
систематическая ошибка, вызванная неопределенностью в значении
скорости света.
446

8.8. Модель дальномерного канала
Обсудим подробнее модели перечисленных коррекций за
исключением величины ртс, т.к. значения этой коррекции
определятся в зависимости от конкретной конструкции спутника.
Тропосферная задержка. Коррекция измеренной дальности за
счет атмосферной рефракции рассчитывается с помощью так
называемой формулы Марини-Мюррея [55]:
/(Я) А + В
sinE + 0.001
где /(Л) - частотный параметр (излучения) лазера, который
является единицей длины волны (мкм):
Л14 пп«п °'0164 °-0028
/(Л) = 0.9650 + — + ——;
Л2 Л2
например, для рубинового лазера, который, как правило,
используется при измерении наклонной дальности до ИСЗ, получим:
/(Л) = /(0.6943) = 1,
y/(q>)H) - функция положения излучателя. В соответствии со
стандартом IERS вычисление функции у/(<р,Н) осуществляется с
использованием выражения:
у/((р, Н) = 1 - 0.0026(2р) - 0.00031 ■ Я,
где ср - геоцентрическая широта НИП (рад), Н — геодезическая
высота НИП относительно уровня океана (км), рассматриваемая
следующим образом:
H = R-Ri9
где R - радиус-вектор НИП в ЗСК:
I 2 2 2
R = ухинп + Упип + 2нип >
447

8. Высокотонное определение орбит
Rt ~ радиус-вектор точки на поверхности земного референц-эл-
липсоида, ближайшей к позиции НИП:
*/=«/
\-^л
Г-R
J
где а/ и / ~ большая полуось референц-эллипсоида и величина,
обратная полярному сжатию Земли. В соответствии со стандартом
IERS эти величины принимают равными:
а, =6378136 м, /_1 =298.257.
Величины А и В в формуле для расчета тропосферной
задержки зависят от положения НИП и погодных условий на
позиции в момент проведения сеанса измерений:
А = 0.002357 Р0+ 0.000141- е0,
р2
5 = (1,084-10"й)Р0Г0А: + (4,734-10"й)-
-8Ч ^0
ш
где Р0 ~ атмосферное давление на позиции НИП в момент
проведения сеанса (мбар); е0 - давление водяных паров на позиции
(мбар); A: = U63-0.00968-cos2p-0.00104T0+0.00001435./>0.
Строго говоря, значения Р0, Т0 и е0 различны для различных
моментов проведения измерений.
Е - угол истинной элевации, т.е. Е - угол между вектором
наклонной дальности и его проекцией на плоскость местного
горизонта в точке расположения НИП (рис. 8.28)
2RT-p
448

8.8. Модель дальномерного канала
где R - абсолютное значение геодезического радиус-вектора ИСЗ:
а- (1-е2)
R = Jx2+y2+z2
1 + e-cosi9
ИСЗ
Северный
полюс
Истин пая
элеваппя
Проекция
наклонной
дальности
Плоскость
местного
lOpHiOHIfl
Рис. 8.28. К построению модели дальномерного канала
где х , у, z - геоцентрические координаты спутника,
предсказанные на момент проведения измерения; а , е, Э - оскулирующие
элементы орбиты, предсказанные на момент проведения
измерений; RT - абсолютное значение геоцентрического радиус-вектора
излучателя (данные относительно положения непосредственного
источника лазерного луча в момент излучения):
Rj, — д/Ху + уj 4- Zj ,
449

8. Высокоточное определение орбит
где хТ, ут, zT ~ координаты источника излучения с учетом
смещения его положения за счет приливов в твердом теле Земли,
океанической и атмосферной нагрузки; р - значение измеренной
наклонной дальности:
1 А
р = — • At • с ,
Н 2
где At - интервал времени между моментами излучения и приема;
с — скорость света.
Заметим, что введенное выше значение истинной элевации не
учитывает того обстоятельства, что излучающий прибор
расположен на поверхности земного референц-эллипсоида.
Соответствующая коррекция АЕ значения Е определяется
следующим образом:
АЕ = -cosAA<p,
где А - азимут спутника, угол между направлением на север
местного меридиана в точке, где расположен НИП, и проекцией
наклонной дальности на плоскость местного горизонта (рис. 8.28).
Для того чтобы избежать неоднозначности в определении
азимута, при его расчете используются следующие выражения:
Л cos^sinf . о cos^-sinp-cosf
Sill Л = , COS A = -Sin£ COS07 + ~ ,
cos£ cos£
где Е - истинная эволюция без учета коррекции АЕ; 5 -
склонение спутника:
£ = arcsin(^j,
где R - радиус-вектор спутника в АСК, z - координата спутника
в АСК, t -s -я , где s — местное звездное время (см. разд. 8.9); а
- прямое восхождение спутника, рассчитываемое по формуле:
а = arctg
№
450

8.8. Модель дальномерного канала
ср - геодезическая широта ИСЗ, А<р - отклонение
перпендикуляра к поверхности земного радиус-эллипсоида в точке
расположения измерителя от направления радиус-вектора в ЗСК. Это
восхождение может быть представлено следующим выражением в
окрестности геодезической широты Ф:
ср - Ф = А<р = 692.1 АЪ • sin 2q> -1163sin4Ф .
Ниже приведены некоторые примеры формирования
высокоточной модели дальномерного канала НИП. Вычисления были
выполнены для исходных данных, приведенных в разд. 8.4 . В
частности, коррекция, вызванная рефракцией лазерного луча, составила
величину порядка « 2.542 м.
2 15000 -,
3
10000
2
I ^
20
40 60
Истинная элевация ИСЗ, град.
ао
юс
Рис. 8.29. Зависимость односторонней ионосферной поправки
от истинной эволюции спутника
Рис. 8.29 иллюстрирует зависимость односторонней
тропосферной коррекции от истинной эволюции спутника.
Анализ показывает, что истинная элевация оказывает наиболее
существенное влияние на величину тропосферной задержки.
Рис.8.30 иллюстрирует влияние следующего аргумента формулы
Марини-Мюррея на величину задержки. Речь идет об
атмосферном давлении на позиции НИП в момент проведения измерений.
Рис. 8.31 показывает зависимость тропосферной задержки от
геодезической широты НИП. Расчет показывает, что влияние этого па-
451

& Высокоточное определение орбит
раметра не так существенно как, например, влияние абсолютной
температуры (см. рис. 8.32).
;2700 -,
§2800 J
|2Э0О
2400
! 2300
I ' I ' I ' I ' I ' I ■ I ' I ' I ' I ■ I ' I
940 950 S60 970 980 990 1000 1010 1020 1030 1040 «50 1060
Атмосферное давление на позиции НИП, мБАР
Рис. 8.30. Влияние аргументов формулы Марини-Мюррея на
величину поправки
р2550
5
I
5 2540 А
Z
3
с 2530
/
/
п—|—i—|—i—|—i—|—i—|—«—|—i—г
-100 -80
-80 -40 -20 0 20 40
Геодезическая широта НИП, град
"1—i I i I
60 80 100
Рис. 8.31. Зависимость тропосферной задержки от
геодезической широты НИП
452

8.8. Модель дальномерного канала
На рис 8.33 показана зависимость односторонней атмосферной
задержки от геодезической высоты относительно среднего уровня
океана.
Рис. 8.34 иллюстрирует влияние относительной влажности на
величину тропосферной задержки.
I 2549 -,
£ 2548
о
5
§ 2547
'| 2546 -|
х
о
§ 2545
2543
2542
о.
о 2541
I • I ■ I ■ I ■ I ' I ■ ! ' I ' I • I ' I
220 230 240 2Э0 230 270 280 230 300 310 320 ЗЗС
Температура, град. Кельвина
Рис. 8.32. Зависимость поправки от абсолютной температуры
2548
§2546
§ 2544 -J
2542
2540
-1000
1000 2000 3000
Геодезическая высота, м
—!—
4000
50СО
Рис. 8.33. Зависимость односторонней тропосферной задержки от
геодезической высоты относительно среднего уровня океана
453

8. Высокоточное определение орбит
?Б*А
2543
2542 А
2541
2540
Т
20 30 40 50 60 70
Относительная влажность, %
Рис. 8.34. Влияние относительной влажности на
тропосферную задержку
Гравитационное искривление луча. Как было указано выше, при
проведении радиолокационных или лазерных измерений
наклонной дальности "НИП-ИСЗ" фактически измеряется временной
интервал между моментами излучения и приема импульса
излучателя, а затем это время умножается на скорость света.
Гравитационная коррекция At к значению измеренного интервала времени
определяется следующим образом:
С
Rl+R2+p
Rx+R2-P.
, с,
14
где GME - гравитационный параметр Земли, GM = 3.986005-10
м/с; у -1 - константа, определяемая из теории относительности;
Rx — дальность между центром масс Земли и точкой, из которой
производится излучение; R2 - дальность между центром масс
Земли и точкой, определяемой предсказанными координатами ИСЗ с
учетом коррекции, вызываемой смещением отражающей
поверхности относительно центра масс ИСЗ; р — измеренная наклонная
дальность.
454

8.8. Модель дальномерного канала
15 -!
э ю А
=* 5 А
Ч Ь 4 ♦ ■■» » f t
т
"Г
т
6370
—I
6371 6372 6373 6374
Геоцентрический радиус-вектор, км
6375
I
6376
Рис. 8.35. Зависимость гравитационной поправки от радиус-
вектора НИП
20 -,
М5 -J
о 10
У
s
У
5000 10000 15000
Наклонная дальность, км
20000
Рис. 8.36. Зависимость гравитационной поправки от значения
наклонной дальности
Заметим, что значения Rx, R2 и р могут быть "грубыми",
поскольку влияние коррекции Д/ малочувствительно для значений
перечисленных параметров (см. рис. 8.35 и 8.36). Эти рисунки
иллюстрируют зависимости гравитационной коррекции от геоцентри-
455

8. Высокоточное определение орбит
ческой дальности R} для пассивных спутников "Эталон" и
"Лагеос". Тестовые вычисления показывают, что приведенные
модели обеспечивают точность определения дальности на
субсантиметровом уровне.
8.9. Техника реализации алгоритмов определения орбит
Существующий мировой опыт определения орбит спутников
показывает, что наиболее употребительным алгоритмом
определения орбит являются различные модификации метода наименьших
квадратов или метода максимального правдоподобия. Известно
также, что в случае нормального распределения ошибок измерений
оба упомянутых метода приведут к одному и тому же
вычислительному алгоритму. В специальных случаях, когда необходимо
определить орбиту спутника в темпе проведения навигационных
измерений, используются различные модификации метода Калмана.
Все перечисленные алгоритмы используют линеаризацию или
полиномиальную аппроксимацию или полиномиальную
аппроксимацию как уравнений движения спутника, так и соотношений,
связывающих оцениваемые параметры движения (компоненты
положения и скорости спутника, оскулирующие элементы его
орбиты) и навигационные параметры (наклонную дальность, скорость
измерения наклонной дальности, азимут, элевацию и т.д.). Это
означает, что при реализации всех упомянутых выше алгоритмов
обработки информации необходимо вычислять массивы различных
частных производных при линеаризации или аппроксимации
соответствующих уравнений или соотношений. Кроме того, при
реализации всех перечисленных выше алгоритмов необходимо
интегрировать уравнения движения спутника и НИП в абсолютной инер-
циальной системе координат.
Анализ и соответствующий опыт определения орбит
показывают, что именно процедуры численного интегрирования и
вычисления частных производных в конечном счете определяют точность
определения орбиты при использовании одних и тех же
математических моделей движения и измерений.
Ниже мы остановимся на двух наиболее существенных
моментах, определяющих существо алгоритма определения орбиты, а
456

8.9. Техника реализации алгоритмов определения орбит
именно на технике вычисления частных производных и алгоритмах
численного интегрирования.
Вычисление частных производных и ковариационных матриц.
При обсуждении данной проблемы необходимо учитывать
следующие соображения.
- Мы не имеем возможности использовать аналитические
соотношения при расчете так называемых баллистических
производных, поскольку в процессе высокоточного
определения орбиты в число оцениваемых компонент
расширенного вектора состояния ИСЗ должны быть включены
различные фундаментальные геодинамические параметры.
- Для достижения необходимого уровня точности необходимо
обрабатывать большие объемы измерений (десятки тысяч и
более).
- Для достижения необходимого уровня точности необходимо
сформировать методы и процедуры обработки, которые
были бы адекватны используемым высокоточным
математическим моделям движения ИСЗ, НИП и дальномерного
канала.
Поэтому описываемые ниже приемы вычислений и алгоритмы
имеют следующие особенности:
- Они пригодны как для априорного анализа точности
определения орбит, так и для непосредственной обработки
результатов измерений.
- Описываемые приемы и методы дают возможность
использовать описанные выше высокоточные модели движения и
измерений.
- Все исходные данные и массивы частных производных
представляются в форме полиномов Чебышева с целью
уменьшения требований к объему и скорости вычислений.
Рассмотрим вначале процедуру априорного анализа точности
определения орбиты спутника. Процедура, описываемая ниже,
основана на хорошо известной рекуррентной форме метода
наименьших квадратов. Предположим, что задача состоит в оценке
компонент расширенного вектора состояния X, который имеет
матрицу ковариаций К. Рекуррентный алгоритм метода
наименьших квадратов описывается следующими соотношениями:
457

8. Высокоточное определение орбит
прогноз: Км = Ф/+у • Kt • ФТМ%1;
коррекция: (^i )j = *Г+1 + ф;,/+1' #J ' ^ * Hj ' фу,/+1>
где Км, АГ, ~ ковариационные матрицы вектора X для моментов
времени с номером "/ + 1" или "/" соответственно; (KM)j -
ковариационная матрица вектора X в момент времени " i +1" после
коррекции по результатам измерений, которые были осуществлены
в момент времени " j " (j * i +1); фу,/+i = ^i /^/+1 >
Ф/+1/ = йХм jcXi — матрицы так называемых баллистических
производных; Яу = dYj jdX' ■ - матрица частных производных
компонент вектора результатов измерений У- по компонентам
вектора состояний Xj; D^1 - обратная матрица ковариаций
ошибок измерений.
Рассмотрим теперь приемы вычисления массивов частных
производных, которые используются для реализации приведенных
выше соотношений. Введем предварительно несколько понятий,
которые обычно используются в практике определения орбит
спутников и планирования навигационных измерений.
Определим "зону видимости" как интервал [Tinp,T0Ut], на
котором возможна прямая видимость данного спутника с данного
НИПа с учетом всех необходимых технических ограничений.
Определим "сеанс измерений" как интервал, на котором
проводится определенное число навигационных измерений в
дискретные моменты времени tj, j = 1,2,..., /.
После сеанса измерений, как правило, существует так
называемый "интервал отдыха" НИП. Предположим, что начало первого
сеанса измерений в каждой зоне видимости совпадало с началом
зоны; сеансы измерений и интервалы отдыха следуют один за
другим; измерения внутри сеанса распределены равномерно.
Определим теперь "нормальную точку" tnorm каждого сеанса
измерений как момент времени, в который производится коррек-
458

8.9. Техника реализации алгоритмов определения орбит
ция ковариационной матрицы в результате обработки проведенных
измерений.
Мы должны вычислить массив баллистических производных,
которые связывают нормальную точку каждого сеанса измерений с
моментом каждого измерения, т.е. Ф/+1>/ и Фу,,+1, где "/ + 1" и
" i " - номера нормальных точек двух ближайших сеансов, а " j " -
момент проведения текущего измерения. Такая же задача
возникает при вычислении массива частных производных Hj компонент
вектора измерений по компонентам вектора состояния.
Вообще говоря, существует несколько подходов к вычислению
перечисленных выше частных производных, в том числе
аналитический; численный, основанный на конечных разностях;
численный, основанный на численном интегрировании уравнений
движения спутника.
В нашей ситуации нет возможности использовать
аналитический подход вследствие большой сложности используемых
математических моделей движения спутника, НИП и модели канала
измерений. Второй подход свободен от методических ошибок, однако
он требует больших вычислительных затрат, чтобы избежать
численных ошибок при его реализации. Третий подход требует
привлечения уравнений со сложными правыми частями, чтобы учесть
все возмущения для получения высокой точности прогноза и
определения орбит.
Мы предлагаем компромиссную процедуру, которая основана
на чебышевской аппроксимации матрицы Коши для правых частей
уравнений движения спутника внутри зоны видимости и
высокоточном численном интегрировании для вычисления
баллистических производных при использовании метода конечных разностей.
Анализ показывает, что наиболее часто нужно вычислять
баллистические производные внутри зоны видимости, в то время как
между двумя соседними зонами видимости необходимо вычислять
только матрицу Ф/+1>,-.
Для того чтобы придать процедуре высокое быстродействие,
уменьшить потребность в вычислительных ресурсах и сократить
массив баллистических производных, целесообразно
аппроксимировать все получаемые производные с помощью полиномов Чебы-
шева.
459

8. Высокоточное определение орбит
Например, матрица частных производных dK{i)jcX(T^p),
te[Tinp,T£ut]9 гДе "k" — номер данной зоны видимости, может
быть сохранена в памяти как массив коэффициентов полиномов
Чебышева.
Учитывая сказанное выше, матрица Коши Ф,+1,,,
обеспечивающая прогноз между нормальными точками соседних сеансов с
номерами " i" и " i +1" соответственно внутри данной зоны
видимости с номером "к ", определяется следующим образом:
Ф,+Ы
дХ(*погт)
"norm J _ ^* У}norm )
dX(t'„orm)
^(Tinp)
-l
Переход между нормальными точками i -го сеанса к -й зоны
видимости и 0' + 1)-го сеанса (& + 1)-й зоны видимости
осуществляется следующим образом:
Ф,-+у =
^ if norm)
<Ж((погт
) Щт£)
<Ж{Т!£) <Щ7}* )
Матрица перехода для коррекции ковариационной матрицы в
момент t„
использующая измерение с номером j ,
принадлежащее сеансу с номером "i" в зоне видимости с номером "к ",
определяется следующим образом:
Ф
cK{tj) _ dX(tj)
j>*
ж{?погт) ax(Ttknp)
дХ(*погт)
. Ж{т?пр)
Численное интегрирование при определении орбиты спутника.
Мы можем рекомендовать вложенный метод Дормана—Принса с
автоматическим выбором шага для численного интегрирования
уравнений движения центра масс спутника при реализации
алгоритмов высокоточного определения орбит и построения эфемерид.
Рассмотрим коротко особенности этого метода.
460

8.9. Техника реализации алгоритмов определения орбит
Пусть
х = t(x, t), x(t0) = х0, te [t0910 + h]
скалярное уравнение, принадлежащее системе уравнений движения
ИСЗ; л;(*0) = х0 ~ начальные условия движения; fe[/0,f0+A] -
интервал интегрирования и h - шаг интегрирования.
Вложенный метод Дормана-Принса описывается следующими
соотношениями [55]:
*i =А-/(^о^о)>
( м ^
*/ = h' f\ xo + Zaykj, t0 + с,Л ,
J — Z, •••, / ,
7 Л
7
х,(/0+А) = х0 + Х*Л >
где к; - i -я аппроксимация (/0 + Л); с, - часть шага,
используемая для вычисления kt\ a^ - коэффициенты, удовлетворяющие
условию Yaaij ~ ci \ fy, b( - весовые коэффициенты методов 4-го и
J
5-го порядка соответственно.
Для высокоточного определения (вплоть до сантиметрового
условия точности) построения орбиты и построения эфемерид
целесообразно использовать порядок 5(4). Этот метод характеризуется
таблицей 8.7.
Точность интегрирования принято характеризовать с помощью
так называемых глобальных и локальных ошибок. Применительно
к методу Дормана—Принса эти ошибки определяются формулой
(скалярный случай):
461

8. Высокоточное определение орбит
7
loc err = x(t0 + Л) - x(t0 + А) = Z(£* ~ Ъ{)kt .
/=1
Таблица 8.7. Таблица метода Дормана-Принса порядка 5(4)
С(
0
1/5
3/10
4/5
8/9
1
1
аи
1/5
3/40 9/ 40
44/45 -56/ 15 32/9
19372/ -25360/ 64448/ -212/
6561 2187 6561 729
9017/ -355/33 46732/ 49/ -5103/
3168 5247 176 18656
35/ 0 500/ 125/ -2187/ 11/
[ 384 1113 192 6784 84
ъ{
35/
384
0
500/
1113
125/
192
-2187/
6784
11/84
0
ьй
5179/
57600
0
7571/
16695
393/640
-92097/
339200
187/2100
1/40
Применительно к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений локальная ошибка определяется формулой:
locerr = ! £*F,fo(/o + h)-x(t0 + А)]=~ £ ЪгЦь -fokj],
где j — номер уравнения в системе, j = 1,..., л ; Wj - весовой
коэффициент, который определяет вклад ошибки при
интегрировании j -го уравнения в суммарную величину ошибки; ky — i -я
аппроксимация решения уравнения с номером "у "•
Глобальная ошибка интегрирования определяется следующим
образом:
J Wj
462

8.9. Техника реализации алгоритмов определения орбит
где " tol" — заданное значение локальной ошибки; N ~ общее
число шагов интегрирования; Д; - глобальная ошибка
интегрирования уравнения с номером "у".
Процедура автоматического выбора шага интегрирования в
методе Дормана-Принса использует понятие локальной ошибки и
основана на так называемой форме Ческино:
1/
"next ~~
tol Vp+i
err
''current >
где err — текущее значение локальной ошибки; tol - заданное
значение локальной ошибки; р - порядок метода интегрирования.
При этом процедура выбора, основанная на методе Ческино,
определяется следующим образом:
(
"next ~~ "current min'
(
fac max, max!
fac min, fac\
—
\errj
где fac - так называемый гарантирующий фактор;
fac = 0.9,0.8, ...,0.38; fac max - максимальное приращение шага;
fac mm — минимальное приращение шага,
facmax = 1,5...5; /acmin =
1
fac max
Следующая процедура, которую необходимо обсудить при
реализации метода, - это процедура так называемой "плотной" или
"непрерывной" выдачи результатов интегрирования. Другими
словами, проблема состоит в получении результатов интегрирования в
любой произвольный момент времени t* внутри шага
интегрирования:
t*=t0+d-h, O<0<1.
463

8. Высокоточное определение орбит
Для этой цели используется так называемое "непрерывное
продолжение" вложенного метода Дормана-Принса 5(4). Эта
процедура описывается формулой:
x(fo+0'A)**o+AIW-*/>
где
Ъх{9) = 0-(l + 0-(-1337/48O + 0- (1039/360 + 0-(-1163/1 152)))),
Ь2(в) = 0,
Ь3(в) = 100/3в2 (1054/9275 + 0-(-4682/27825 + 0-(379/5565))),
Ь4(в) = -5/2в2 -(27/40 + 0-(-9/5 + ^(83/96))),
65(^) = 18225/848^2-(-3/250-f^-(22/375 + ^.(37/600))),
66(^) = -22/7^2-(-3/10 + ^-(29/30 + ^. (-17/24))).
Таким образом, методы, алгоритмы и отдельные результаты
(примеры), изложенные в настоящей главе, следует рассматривать
как современную перспективную технологию (т.е. совокупность
методов и приемов) высокоточного определения орбит спутников,
ориентированную на использование современной вычислительной
техники, т.е. высокопроизводительных персональных компьютеров.
Эта технология обеспечивает помимо высокой точности
построения эфемерид, эффективное использование упомянутой техники,
позволяющее избежать излишних вычислительных затрат.
Очевидно также, что успешное применение этой технологии существенно
зависит, во-первых, от типа орбиты (высокая, низкая, круговая,
эллиптическая и т.д.) и, во-вторых, от наличия априорной
статистической информации об ошибках системы управления
движением центра масс и относительно центра масс, которыми оборудован
спутник, об определении орбиты которого идет речь.

9. ОПЕРАТИВНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ
СПУТНИКОВОЙ СИСТЕМЫ
Эффективность использования спутниковой системы
наблюдения зависит от характеристик и текущего состояния системы,
конкретных задач, решаемых системой в рассматриваемый период ее
эксплуатации, состояния факторов внешней среды в этот период и
плана ее работы. План формируется применительно к конкретно
рассматриваемому периоду планирования, учитывая все факторы,
перечисленные выше.
Задача оперативного (краткосрочного) планирования решается
в Центре управления полетами (ЦУП) в ходе эксплуатации
спутниковой системы. Целью оперативного планирования является
формирование плана работы целевой съемочной аппаратуры отдельных
спутников системы и наземных станций приема информации,
поступающей со спутников, на заданный период планирования.
Задача оперативного планирования решается применительно к заявкам
потребителей системы на снимки, поступившим к моменту
составления плана. Эффективность составленного плана характеризуется
набором показателей, описывающих степень выполнения заявок на
снимки, а также участие отдельных спутников, бортовой
аппаратуры и наземных станций в выполнении этих заявок.
В данной главе рассматриваются методы и алгоритмы решения
задач краткосрочного планирования и анализа эффективности
работы спутниковых систем дистанционного зондирования.
Изложение ведется на примере спутниковой системе наблюдения с
использованием китайско-бразильского спутника исследования
природных ресурсов Земли "CBERS". Разработанные методы и
алгоритмы реализованы в виде пакета программ «Планировщик».
Пакет позволяет решать задачи оперативного планирования и
анализа эффективности функционирования отдельных спутников и
спутниковых систем наблюдения с различной комплектацией
бортовой аппаратурой.
465

9, Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
9.1. Особенности современных спутников наблюдения
Вначале рассмотрим особенности спутников наблюдения,
наиболее существенные с точки зрения решения задач оперативного
планирования и анализа эффективности целевого
функционирования спутниковой системы наблюдения. В качестве примера
рассмотрим китайско-бразильский спутник исследования природных
ресурсов Земли "CBERS".
Спутник "CBERS" являются типичным представителем
современных спутников наблюдения [9]. Спутник предполагается
запускать на круговые солнечно-синхронные орбиты с высотой 778 км и
наклонением 98.5°. На освещенной части витка они пересекают
экватор в 10 час 30 мин местного времени. Продолжительность
цикла повторяемости трассы составляет 26 дней. За это время
спутник совершает 373 витка вокруг Земли.
На спутнике установлено три прибора наблюдения: поворотная
оптическая камера высокого разрешения - CCD; инфракрасный
(ИК) сканер — IR MSS и широкоугольная оптическая камера —
WFL
Передача данных на землю осуществляется с помощью двух
передатчиков. Первый из них используется для передачи
изображений с поворотной камеры. Второй передатчик используется для
передачи данных с ИК сканера и широкоугольной камеры.
Пропускная способность второго передатчика достаточна для передачи
данных этих двух камер в реальном масштабе времени.
Поворотная камера обеспечивает получение изображений в
пяти спектральных интервалах (каналах В1-В5) только в дневное
время (при достаточной освещенности снимаемых участков
солнечным светом). Поле зрения камеры составляет 8.32°, что
обеспечивает ширину полосы обзора при наблюдении в надир, равную 117
км. Оптическая ось камеры может поворачиваться вправо и влево
от плоскости орбиты по углу крена. Максимальный угол поворота
составляет £тах =32°. Максимальная полная ширина зоны захвата,
соответствующая указанным ширине поля зрения прибора и
максимальному углу крена, составляет 950 км.
Поворотная камера может работать в двух режимах. Режим 1
непосредственной передачи может использоваться в периоды
движения спутника в зоне связи с наземной станцией приема данных.
466

9.1. Особенности современных спутников наблюдения
Режим 2 передачи данных с задержкой предполагает съемку и
запись изображения в, бортовое запоминающее устройство (БЗУ) -
бортовой магнитофон, с последующей передачей данных на
наземную станцию во время движения спутника над станцией. Емкость
БЗУ составляет 4.77x10ю бит. Скорость записи и считывания
данных при передаче также ограничена. Она составляет 2x26.5 Мбит/с.
Линейное разрешение, обеспечиваемое поворотной камерой,
составляет: 10 м в спектральном интервале В1, 19.5 м в интервалах
В2-В4 и 80 м в интервале В5.
Инфракрасный сканер имеет фиксированную ориентацию поля
зрения ~ в направлении в надир. Ширина полосы обзора
составляет 120 км. Съемка проводится в четырех спектральных интервалах
(каналах В6-В9). Наблюдения в интервалах В6-В8 могут
проводиться только в дневное время, в интервале В9 — круглосуточно.
В спектральных интервалах В6-В8 обеспечивается линейное
разрешение изображения, равное 77.8 м, в интервале В9 - 156 м.
Запоминание данных на борту не предусмотрено. ИК сканер
функционирует только в режиме непосредственной передачи
данных в периоды движения спутника в зоне связи с наземной
станцией.
Широкоугольная камера также имеет фиксированную
ориентацию оптической оси — в надир. Угол зрения составляет 60°, что
обеспечивает ширину полосы обзора, равную 890 км.
Наблюдение ведется в двух спектральных интервалах (каналы
В10, В11), причем в обоих только в дневное время. При этом
обеспечивается наземное разрешение, составляющее 258 м. Как и ИК
сканер, широкоугольная камера функционирует только в режиме
непосредственной передачи данных.
9.2. Общая схема решения задачи планирования
Задача оперативного планирования наблюдений обычно
решается применительно к заданному периоду планирования с учетом
требований заказчиков к снимкам, технических ограничений
системы и критерия оптимальности плана.
Продолжительность периода планирования может составлять от
нескольких часов до нескольких суток. На ее выбор влияют две
467

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
противоречивые группы факторов. С одной стороны, для более
оперативного выполнения поступающих заявок пользователей
системы и более точного учета текущего фактического состояния
спутниковой системы и факторов внешней среды (прежде всего,
облачного покрова) над объектами наблюдения краткосрочные
планы должны формироваться на возможно более короткие сроки.
С другой стороны, орбиты спутников, число, расположение и
технические характеристики наземных станций ограничивают как
минимально возможную продолжительность периода планирования,
так и время задержки плана, разделяющее момент составления
плана в ЦУП и момент начала его реализации спутниковой
системой из-за невозможности своевременно передать сформированные
планы на спутник.
Требования заказчиков к снимкам формулируются ими в заявках
на снимки. Заявки содержат данные о координатах объекта
наблюдения, типе камеры, с помощью которой должен быть получен
снимок (или снимки), каналах съемки, требуемом разрешении
снимка, сроках проведения съемки и сроках доставки снимка
заказчику.
Технические ограничения характеризуют способность
спутниковой системы выполнить поступившие заявки на снимки. Эти
ограничения зависят от числа спутников в системе, орбит спутников в
период планирования, характеристик бортовой съемочной
аппаратуры (геометрических, разрешения, режима съемки и других), БЗУ,
каналов передачи данных на землю и наземных станций.
Методически требования заказчиков и технические
ограничения могут быть отнесены к одной из двух групп: группа
статических ограничений и группа динамических ограничений.
К статическим относятся ограничения, которые проявляются
при индивидуальном выполнении заявок на съемку спутниковой
системой, но без учета особенностей выполнения этих заявок как
потока во времени. К таким ограничениям относятся, в частности,
все перечисленные выше требования заказчиков к снимкам.
Динамическими будем называть ограничения, проявляющиеся
при выполнении съемок спутниковой системой как потока во
времени. К последним относятся: скорость переориентации
оптической оси поворотной камеры, скорость передачи данных на назем-
468

9.2. Общая схема решения задачи планирования
ную станцию, скорость записи данных в БЗУ, максимальнее
количество снимков, которое может быть записано в БЗУ.
Критерий оптимальности, подлежащий максимизации,
характеризует количественно эффективность эксплуатации спутниковой
системы за период планирования.
Как следует из изложенного выше описания, для современного
спутника наблюдения задача краткосрочного планирования должна
решаться применительно к нескольким камерам,
функционирующим параллельно. Каждая камера, в свою очередь, может
осуществлять наблюдения в нескольких спектральных интервалах
(каналах), некоторые из которых могут быть задействованы только в
дневное время, а остальные — круглосуточно. Поэтому
оперативные планы могут составляться для каждой из камер в отдельности,
учитывая особенности каждой из них.
Неповоротные камеры. Характерные особенности И К сканера и
широкоугольной камеры состоят в следующем:
- оба инструмента имеют фиксированную ориентацию
оптической оси ~ в направлении в надир;
- возможен только режим непосредственной передачи данных
на наземную станцию в период движения спутника в зоне
прямой видимости;
- наблюдения в обоих интервалах для широкоугольной
камеры и во всех интервалах, кроме одного, для ИК сканера
возможны только в дневное время (при достаточном уровне
освещенности), и лишь в одном спектральном интервале
ИК сканера съемка возможна круглосуточно.
Учитывая эти особенности, для формирования планов работы
этих камер и наземных станций, взаимодействующих с ними, нет
необходимости решать оптимизационную задачу, а требуется лишь
учесть все существующие статические ограничения, такие, как
периоды видимости спутника с наземных станций, спектральные
интервалы съемки, указанные заказчиками снимков, освещенность.
По умолчанию можно считать, что в план наблюдений включаются
все периоды, когда такие наблюдения возможны с учетом
геометрии движения спутника над наземными станциями и
освещенности подспутниковой территории.
469

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
Поворотная камера. Особенности поворотной камеры сводятся
к следующему:
- наблюдение наземных целей возможно не только в
направлении в надир, но и при отклонении оптической оси
камеры вправо и влево от плоскости орбиты в заданных
пределах;
- возможны два режима съемки и передачи данных: режим 1
непосредственной передачи снимков и режим 2 с
предварительной записью снимка в БЗУ;
- план съемки формируется применительно к заявкам
потребителей на изображения наземных объектов сравнительно
малой площади ("точечных целей"), содержащих указанные
выше статические ограничения.
Наряду с требованиями заказчика при формировании плана
съемки должны быть учтены технические ограничения со стороны
самой спутниковой системы, относящиеся к группе динамических
ограничений:
- время, необходимое для переориентации оптической оси
камеры с одной наземной цели на другую;
- время записи снимка в БЗУ;
- время передачи снимка на наземную станцию в режиме
непосредственной передачи или из БЗУ;
- емкость БЗУ.
Сценарий решения задачи. Принимая во внимание
перечисленные выше особенности, может быть сформирован сценарий
решения задачи планирования, излагаемый ниже. Его главной
особенностью является независимое и последовательное решение задач
планирования для трех инструментов: ИК сканера,
широкоугольной камеры и поворотной камеры.
ИК сканер и широкоугольная камера. По умолчанию
целесообразно предполагать, что работа этих двух камер планируется
всякий раз, когда спутник находится в зоне связи с наземной
станцией и выполняются требования к освещенности подспутниковой
территории (для всех каналов обоих приборов, кроме канала В9
для ИК сканера, в котором наблюдения могут проводиться
круглосуточно).
470

9.2. Общая схема решения задачи планирования
В случае отсутствия заявок оператор, занимающийся
составлением плана для этих приборов, может исключить соответствующие
каналы в каждом из возможных сеансов наблюдений планируемого
периода с помощью программы планирования в интерактивном
режиме.
План для каждого прибора и наземных станций состоит из
последовательности сеансов съемки/передачи снимков на станции и
списка каналов, задействованных в каждом сеансе.
Камера высокого разрешения. Формирование плана для этого
прибора является значительно более сложной задачей. План
составляется в соответствии со списком заявок на снимки,
содержащих различные требования к снимкам. При планировании для
каждой цели, указанной в списке заявок, требуется выбрать и
назначить единственный момент съемки в течение периода
планирования, обеспечив при этом выполнения всех статических и
динамических ограничений и добившись максимума критерия
оптимальности плана в целом. Учитывая, что режим
непосредственной передачи снимков является более оперативным и снижает
нагрузку на работу бортовых систем спутника, целесообразно
принять, что в первую очередь в план включаются заявки из списка,
выполнение которых возможно в этом режиме, а для остальных
делается попытка их включения в план для выполнения в режиме с
задержкой.
С учетом этих требований и предположения весь процесс
формирования плана для поворотной камеры может быть разбит на
три этапа:
- Формирование списка заявок потребителей на снимки
наземных целей.
- Формирование плана работы прибора в режиме
непосредственной передачи данных.
- Формирование плана в режиме с задержкой — съемка с
записью снимка в БЗУ и последующей передачей данных на
станцию.
Необходимым, но в ряде случаев не достаточным условием для
включения какой-либо из целей из списка заявок в план съемки в
режиме непосредственной передачи является нахождение цели в
зоне захвата камеры в период времени, когда спутник находится в
зоне связи со станцией.
471

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
План для выполнения в режиме с задержкой формируется для
множества целей из списка, которые не удалось включить в план в
режиме непосредственной передачи. Это множество включает в
себя цели, расположенные вне зон возможной непосредственной
передачи данных на наземные станции, а также цели внутри этих
зон, которые не удалось включить в план в режиме
непосредственной передачи из-за существующих динамических ограничений.
Выполнение плана в режиме с задержкой состоит из двух фаз:
съемка цели и запись изображения в БЗУ; считывание данных из
БЗУ и их передача на наземную станцию. Вторая фаза реализуется
в те периоды движения спутника в зонах связи с наземными
станциями, которые не используются для работы камеры в режиме
непосредственной передачи данных. Такими интервалами, в первую
очередь, являются периоды движения спутника над наземными
станциями в ночное время. Периоды движения над станциями в
дневное время также могут быть использованы для передачи
данных из БЗУ, если эти периоды не используются для
непосредственной передачи данных.
9.3. Формирование плана для приборов с фиксированной
ориентацией
Формирование планов для ИК сканера и широкоугольной
камеры осуществляется практически одинаково. Оно включает
следующие этапы:
1. Определение возможных сеансов связи спутника с
наземными станциями.
2. Определение условий освещенности подспутниковой
территории в каждом из сеансов.
3. Предварительное формирование плана наблюдений.
4. Визуализация плана с целью его возможной корректировки
оператором.
5. Окончательное формирование планов для каждого спутника
и каждой наземной станции.
Этап 1 реализуется путем прогнозирования орбит спутника и
анализа относительной геометрии спутника и наземных станций в
течение планируемого периода.
472

9.3. Формирование плана для приборов с фиксированной ориентацией
На этапе 2 выявляются сеансы, в которых возможны
наблюдения в спектральных интервалах, требующих достаточного уровня
освещенности подспутниковой территории.
На этапе 3 формируется план, в котором по умолчанию
предполагается проведение наблюдений в каждом из возможных
сеансов связи с наземной станцией во всех возможных спектральных
интервалах для каждой из двух рассматриваемых камер.
Этап 4 позволяет оператору исключить из предварительно
сформированного плана отдельные сеансы или спектральные
интервалы в интерактивном режиме. В случае необходимости эта
фаза также может быть автоматизирована путем введения
соответствующих условий исключения.
Этап 5 имеет целью преобразование общего плана наблюдений
в частные планы для отдельных спутников и наземных станций.
9.4. Формирование плана для поворотной камеры
Как указывалось выше, план для этой камеры формируется
применительно к заявкам потребителей снимков, представленных в
виде списка заявок. Заявки в списке содержат требования
заказчика к изображениям наземных целей: географические координаты
цели, спектральные интервалы, разрешение, временные
требования, приоритет заявки, вес (стоимость) снимка.
Вес (стоимость) снимка и группа приоритета заявки
указываются, чтобы учесть при планировании экономические и
организационные взаимоотношения ЦУП с заказчиками снимков.
Вес снимка есть синоним цены снимка с точки зрения
заказчика, или дохода от выполнения заявки с точки зрения исполнителя
заявки.
Группа приоритета заявки /, (i = l9K)9 где К - общее число
групп приоритета, является индикатором важности заявки (помимо
веса, или цены снимка), который учитывается при принятии
решения о включении заявки в план. Например, могут быть
предложены следующие четыре группы приоритета: безусловный,
высокий, обычный и низкий. При планировании вопрос о включении в
план заявок из группы с более низким приоритетом
рассматривается лишь после того, как рассмотрены все возможности включения
в план всех заявок с более высоким приоритетом.
473

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
Таким образом, вес (цена) снимка С,у, (/ = 1,К, j = l9Nt)
определяет относительную значимость заявки внутри группы
приоритета, где fy - число заявок в i-й группе приоритета. При этом
к
J^N( = N у mt N - общее число заявок в списке.
i=i
В общем случае шкалы весов заявок из различных групп
приоритета могут быть не согласованы друг с другом: цена снимка с
высоким приоритетом может быть ниже цены какого-либо другого
снимка с низким приоритетом. Иными словами, приоритет
отражает организационную значимость заявки, а вес — ее
экономическую значимость. При полном согласовании шкал цен снимков для
заявок из различных групп приоритета показатели приоритета
заявок можно исключить из рассмотрения.
Критерий оптимальности плана для поворотной камеры должен
обеспечивать максимальное удовлетворение заявок потребителей из
списка с максимальным суммарным доходом для исполнителя.
С учетом приоритетов и весов всех заявок из списка, критерий
оптимальности плана записывается следующим образом:
СГОг = ЕВД(^)5 (9.1)
i=i j=\ J
где Sij(ts) = \vO - индикатор включения (невключения) у-й
заявки из i -й группы приоритета в план; ts - момент съемки цели
из числа всех возможных моментов для этой цели за период
планирования; СТ0Т — суммарный доход, ожидаемый от выполнения
плана, подлежащий максимизации.
Задача оптимизации плана A* = argmaxCror(A) заключается в
нахождении оптимального вектора индикаторов A = [(J/-/(^)J ,
который обеспечивает максимум ожидаемого дохода Стот с учетом
всех статических и динамических ограничений, указанных выше.
Задача оптимизации решается последовательно для различных
групп приоритета, начиная с заявок из группы с наивысшим
приоритетом.
474

9.4. Формирование плана для поворотной камеры
Учитывая изложенное, процесс формирования оптимального
плана для поворотной камеры можно разбить на следующие этапы:
1. Подготовка списка заявок на снимки.
2. Формирование последовательности возможных съемок
объектов из списка и сеансов связи спутника с наземными
станциями.
3. Оптимизация плана.
4. Анализ эффективности сформированного плана.
На этапе 1 формируется список заявок, содержащий
информацию, необходимую для формирования плана: требования заказчика
к снимкам (спектральный интервал, разрешение, временные
требования) и согласованные в результате переговоров между
заказчиком и исполнителем при приеме заявки приоритет и цена снимка.
На этапе 2 с использованием результатов прогнозирования
орбит спутника в течение периода планирования анализируется
относительная геометрия спутника и наземных целей и проверяется
выполнение статических ограничений, таких, как условия
освещенности наземных целей в моменты пролетов спутника над ними,
требований заказчиков к разрешению снимков и временных
требований. В результате формируется список всех возможных съемок
всех целей из списка заявок, удовлетворяющих статическим
ограничениям.
Кроме того, на этом этапе формируется список возможных
сеансов связи спутника с наземными станциями. Последний
аналогичен списку, формируемому при планировании работы камер с
неподвижной оптической осью, рассмотренному выше.
Результатами второго этапа являются списки всех возможных съемок целей и
всех возможных сеансов связи спутника с наземными станциями.
В зависимости от геометрии орбит спутника в период
планирования и географических координат целей список возможных
съемок может содержать для каждой из целей различное число
возможных съемок s = 0,1,2... Каждая возможная съемка
характеризуется моментом ее проведения ts, углом визирования цели a(ts)
и соответствующим этому углу разрешением снимка R(ts), причем
для всех ts, включенных в список возможных съемок, выполняется
475

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
требование заказчика к разрешению: R(ts)<>Rreq, где Rreq -
требуемое разрешение для рассматриваемой цели из списка.
Хотя для каждой цели требование заказчика к разрешению
выполняется при каждой из возможных съемок этой цели,
фактически обеспечиваемая величина R(ts) также должна учитываться при
выборе оптимального момента съемки данной цели: момент
съемки тем лучше, чем лучше разрешение R(ts), реализуемое в этот
момент. Учет этого требования не только обеспечивает наиболее
качественное выполнение требования заказчика к разрешению, но
и приводит к минимизации ресурса спутника на переориентацию
оптической оси камеры с одной цели на другую.
Для учета различий в величине угла визирования (и,
соответственно, разрешения) для альтернативных моментов съемки одной и
той же цели из списка всех возможных используется критерий
(9.1), модифицированный следующим образом:
Стот = I ZCijSМ8)./у(ат«8)), (9.2)
i=i y=i J
где fij(aT(h)) "" Функция штрафа, учитывающая ухудшение
качества снимка из-за наблюдения под углом визирования aT(ts), не
равным нулю. Штраф должен быть равен нулю при съемке в надир
и быть максимальным при угле ат (ts) = ат тах, соответствующем
максимально допустимому для данной цели разрешению.
В программе оптимизации была реализована следующая
функция штрафа:
f(aT(ts)) =
1-
аТтах J
(9.3)
На этапе 3 решения оптимизационной задачи выполняются
следующие действия:
• Выбирается алгоритм оптимизации из числа реализованных
в программе. Альтернативами здесь могут быть простой и
быстрый приближенный алгоритм, или более сложный и
трудоемкий точный алгоритм.
476

9.4. Формирование плана для поворотной камеры
• Решается задача оптимального планирования для работы
камеры в режиме непосредственной передачи данных на
наземную станцию.
• Решается задача оптимизации в режиме с задержкой — с
записью изображений в БЗУ - для заявок, которые не удалось
включить в план в режиме непосредственной передачи.
Эффективность сформированного плана, помимо значения
оптимизируемого критерия СТ0Т, характеризуется набором частных
показателей. Эти показатели рассчитываются на этапе 4.
Оператор, осуществляющий формирование плана с
использованием программы, реализующей указанную схему расчетов, может
учесть результаты расчета частных показателей и вернуться к
одному из предшествующих этапов планирования, например,
изменить приоритеты или веса отдельных заявок из списка на этапе 1
формирования списка заявок.
Ниже каждый этап формирования плана обсуждается более
подробно.
9.5. Формирование списка заявок потребителей
Специфической особенностью процедуры формирования плана
для камеры с поворотной оптической осью является то, что этот
план формируется применительно к списку заявок потребителей.
Предполагается, что этот список формируется персоналом отдела
работы с потребителями в составе ЦУП.
Для организации деятельности по составлению списка заявок
должен быть установлен специальный протокол. Ведение общего
списка заявок является одним из элементов такого протокола. Оно
преследует следующие основные цели:
- регистрация заявок, поступающих от потребителей, в том
числе с помощью интернет-технологии;
- обеспечение исходных данных для подготовки плана на
конкретно рассматриваемый период планирования;
- регистрация заявок, включенных в план;
- регистрация выполненных заявок;
- подготовка исходных данных для осуществления
финансовых взаимоотношений с заказчиками;
477

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
- архивирование накопленной видеоинформации;
- обеспечение исходных данных для оценки показателей
эффективности функционирования спутниковой системы в
разные периоды ее эксплуатации: ежедневно, за неделю, за
месяц, за квартал или за год.
Фактически общий список заявок содержит полную
информацию о заявках потребителей на видеопродукцию. Эта информация
может быть разбита на следующие группы:
• Общая информация.
• Требования потребителей.
• Приоритет и важность (стоимость) заявки.
• Информация о плане, в который заявка включена для
выполнения.
• Информация о результатах выполнения заявки.
Данные в первые три группы заносятся при приеме заявок от
потребителей. Информация о плане заносится после его
составления. Данные последней группы заносятся после выполнения
заявки.
Группа «Общая информация» содержит данные о порядковом
номере заявки, дату приема заявки, имя заказчика (пользователя),
шифр заявки, комментарий.
Группа «Требования заказчика» содержит требования к
снимкам: географические координаты цели, спектральные интервалы,
требования к разрешению снимков в каждом из спектральных
интервалов, требования к срокам выполнения заявки.
Приоритет заявки устанавливается в результате переговоров
между заказчиком и менеджером ЦУП. Безусловный приоритет
гарантирует максимальную вероятность включения цели в план для
съемки и ее съемку при наилучших условиях (с наилучшим
разрешением снимка). Только полное отсутствие возможности съемки
цели из-за существующих статических ограничений в течение
периода планирования, или наличие большого числа других заявок с
таким же приоритетом, но с большим весом, может явиться
причиной невключения заявки с наивысшим приоритетом в план.
Стоимость (вес) снимка устанавливается в соответствии со
шкалой цен исполнителя. Эта шкала формируется с учетом
качества снимка, приоритета заявки, рыночной ситуации в данном
сегменте рынка услуг и других факторов.
478

9.5. Формирование списка заявок потребителей
Данные о включении заявки в план заносятся в общий список
заявок с целью информирования менеджера по работе с
заказчиками и самих заказчиков о текущей ситуации с выполнением
заявки. Минимальными данными этой группы являются:
- порядковый номер плана, в который включена заявка;
- номер (имя) спутника, который будет выполнять заявку;
- номер (имя) наземной станции, на которую поступит
изображение;
- дата и время проведения съемки;
- режим съемки;
- ожидаемые дата и время поступления снимка на станцию.
Группа «Выполнение заявки» общего списка содержит
подтверждение выполнения заявки и данные о выполненной заявке, в
том числе:
- фактические даты и времена съемки и доставки снимка на
наземную станцию и заказчику;
- фактическое разрешение снимка;
- комментарии о качестве снимка;
- сведения о причине невыполнения заявки, если такое
случилось;
- сведения о месте хранения снимка в архиве;
- другую служебную информацию.
План на определенный период планирования составляется
применительно к списку заявок-кандидатов. Этот список
формируется оператором в интерактивном режиме путем сортировки
данных из базы данных, содержащей общий список заявок. При этом
учитываются конкретные начальная дата и продолжительность
периода планирования, приоритеты заявок из общего списка,
временные требования, содержащиеся в заявках.
Список заявок-кандидатов содержит всю информацию,
подлежащую учету при составлении плана: номер (имя) заявки;
координаты цели; спектральные интервалы; требуемое разрешение;
требования к срокам выполнения заявки; вес (цена) заявки; приоритет
заявки.
479

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
9.6. Формирование множеств возможных съемок и сеансов
связи
Следующим этапом формирования плана, после составления
списка заявок-кандидатов, является этап проведения
баллистических расчетов. Этот этап имеет целью формирование двух списков:
- списка всех возможных моментов съемки ("съемок") целей
из списка заявок-кандидатов всеми спутниками за весь
период планирования;
- списка всех возможных сеансов связи между спутниками
системы и наземными станциями.
Расчеты этого этапа начинаются с прогнозирования орбит всех
спутников системы на период планирования. Прогнозирование
осуществляется с использованием специальной программы.
Исходными данными для этой программы служат орбитальные
параметры спутника, известные на момент решения задачи
прогнозирования.
Процесс формирования множеств возможных съемок целей и
сеансов связи разбивается на несколько фаз.
Вначале рассчитывается так называемая кинематическая после-
довательность съемок. Эта последовательность содержит список
всех возможных моментов съемки целей из списка,
удовлетворяющих условию видимости цели со спутника с учетом единственного
ограничения на максимальный угол разворота оптической оси
камеры.
На следующем этапе осуществляется «просеивание»
кинематической последовательности съемок путем исключения из нее тех
съемок, для которых не выполняется хотя бы одно из существующих
статических ограничений: на освещенность, разрешение снимка,
временные требования. Результатом этой фазы является список
возможных съемок целей. При каждой съемке из этого списка
обеспечивается выполнение всех требований, содержащихся в заявке,
но без учета динамических ограничений, проявляющихся при
выполнении съемок как последовательности во времени. Записи в
списке возможных съемок содержат данные, необходимые для
реализации следующий фазы — оптимизации плана. Такими данными,
помимо момента съемки и номера цели, являются угол визирова-
480

9.6. Формирование множеств возможных съемок и сеансов связи
ния и разрешение, обеспечиваемые в конкретный момент возмож
ной съемки одной из целей.
Пролеты спутника над целями
из списка заявок-кандидатов
выявляются путем выборки результатов
прогнозирования орбит спутника с
некоторым шагом по времени. На
каждом шаге проверяется,
находится ли цель в зоне видимости одного
из спутников системы. Проверка
осуществляется для каждого
спутника и каждой цели из списка.
Цель находится в зоне захвата
спутника, если выполняются
следующие условия (рис. 9.1):
Геометрические условия. Для
съемки в любом из диапазонов
проводится проверка попадания
центра снимаемого участка в
полосу обзора спутника, т.е.
проверяется выполнение условия:
Рис 9.1. К условиям
нахождения цели в зоне захвата
Офт|<ап
где аТ - угол визирования цели со спутника относительно
местной вертикали. Этот угол можно определить, зная координаты
цели (XT,YTJZT) и спутника (XS9YS9ZS) в финвичской
прямоугольной системе координат:
а* = arc cos
х\х2 + У\У2+2\22
Dr
(9.4)
где Хх =[x\*yx,zx\={XT-XsJT -YS,ZT-ZS) - вектор от
спутника к цели; Х2 -[хг^У2^г\^{^xs^Ys^s) ~~ вектор от
спутника к центру Земли; D = <\x\+y\+z\ - дальность до цели;
481

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
г = ^х\ +yl+zl ~~ радиус-вектор спутника; яг^ -
максимальный угол визирования поворотной камеры.
Дополнительно для попадания цели в поле зрения камеры
должно выполняться условие:
D<Dm,x, (9.5)
где D^x =\r2 -R2E - дальность от спутника до Земли по
касательной. Невыполнение этого условия означает, что цель находится
за горизонтом.
Разрешение. Требование заказчика к разрешению снимка
проверяется с помощью неравенства: R(aT)<RT, где R(aT) -
разрешение для цели, наблюдаемой под углом визирования аТ\ RT -
требуемое разрешение. Величина R(aT) может быть оценена с
помощью формулы:
Л(а ) = _*о_, (9.6)
cosar
где Rq - разрешение камеры при наблюдении в надир.
Временные ограничения. В списке возможных съемок
сохраняются только те съемки, моменты выполнения которых удовлетворяют
требованиям, указанным в заявке.
Освещенность. Условия освещенности цели проверяются путем
сравнения угла возвышения Солнца в момент возможной съемки с
его минимально допустимым значением.
Сеансы связи. Возможные сеансы связи спутника с наземными
станциями рассчитываются одновременно с расчетом возможных
съемок целей из списка. Условием нахождения спутника в зоне
видимости станции при заданном минимальном угле возвышения
над горизонтом J3™m является выполнение неравенства:
ps>pf\ (9.7)
482

9.6. Формирование множеств возможных съемок и сеансов связи
где
fis=arccosX^+y^+Z^; (9.8)
Dr
Х\ ^[x\^y\^\]=:(xs'-XR^Ys-YR>zs-ZR) " вектор,
направленный от наземной станции к спутника;
Х2 =[Х2>У2>22]~{~х'r>~Yr9~Zr) "" вектор, направленный от
наземной станции к центру Земли.
При этом должно также выполняться неравенство:
гДе Anax=Vr2-*E-
Моменты входа и выхода спутника в зону связи со станцией
рассчитываются путем проверки неравенств (9.7) и (9.9). Сеанс
считается возможным, если его продолжительность превышает
некоторую минимально допустимую величину, например,
необходимую для передачи, по крайней мере, одного снимка.
В результате описанных расчетов формируются два списка:
список возможных съемок и список сеансов связи. Каждая запись
в первом списке содержит данные о номере заявки (имени цели),
имени спутника, моменте съемки, координатах спутника, угле
визирования цели. Записи второго списка содержат данные об имени
станции, начальном моменте и продолжительности сеанса, азимуте
спутника со станции, координатах спутника в момент начала
сеанса.
9.7. Оптимизация плана для поворотной камеры
Как правило, списки возможных съемок и сеансов связи
являются избыточными. Для ряда целей список возможных съемок
может содержать несколько альтернативных моментов съемки одной
и той же цели. Также не все сеансы связи могут понадобиться для
передачи изображений, получаемых с помощью поворотной
камеры в обоих режимах ее работы - непосредственной передачи и с
задержкой.
483

Р. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
В то же время не всякая последовательность съемок,
содержащая по одному снимку каждой цели, сформированная на основе
списка возможных съемок, может быть выполнена из-за
существующих динамических ограничений: скорости переориентации
оптической оси, скорости записи-воспроизведения и объема памяти
БЗУ.
Поэтому, чтобы сформировать план, содержащий по одной
съемке каждой цели из списка заявок и обеспечивающий
выполнение заявок на съемку с максимальным эффектом, учитывая
приоритеты и цены заказанных снимков и все динамические
ограничения, необходимо решить оптимизационную задачу с критерием
(9.2).
Рассматриваемая задача относится к классу задач дискретного
программирования. Универсальным подходом к решению задач
данного класса является использование процедуры полного
перебора. Реализация этой процедуры затруднена из-за необходимости
формирования и анализа большого числа альтернатив плана,
содержащих различные комбинации возможных съемок целей.
Существуют различные методы и алгоритмы для получения
решения, минуя процедуру полного перебора, например, метод
линейного программирования, метод динамического
программирования, эвристические методы [26, 28].
В составе пакета «Планировщик» реализованы два алгоритма
решения указанной задачи: алгоритм последовательных назначений
и алгоритм, являющийся модификацией метода ветвей и границ.
Наиболее простым для реализации является алгоритм
последовательных назначений. При использовании этого алгоритма моменты
съемки целей выбираются из списка возможных съемок
последовательно в порядке убывания приоритета и веса (цены) снимка, а
среди альтернативных моментов съемки конкретной цели - по
мере увеличения угла визирования цели со спутника, т.е. ухудшения
разрешения снимка. При этом решение о включении в план
конкретной съемки конкретной цели, принятое на очередном этапе
решения задачи планирования, не пересматривается при принятии
решения в отношении всех последующих по приоритету и цене
целей.
Для определения решения на очередном шаге итерационного
процесса альтернативная съемка очередной цели добавляется к
съемкам для целей, уже включенным в план на предыдущих этапах
484

9.7. Оптимизация плана для поворотной камеры
решения задачи планирования, и проверяется реализуемость
модифицированного плана с учетом всех рассматриваемых
динамических ограничений. Если все ограничения выполняются, эта
альтернатива считается включенной в план, и данное решение уже не
пересматривается. В случае невыполнения хотя бы одного из
динамических ограничений рассмотренная альтернатива заменяется
на худшую — с большим углом визирования для рассматриваемой
цели, а в случае отсутствия таковых — на цель с меньшим весом в
той же группе приоритета, или на цель из группы целей с более
низким приоритетом.
Главное достоинство описанного алгоритма — в его простоте.
Качество полученного приближенного решения может быть
оценено путем сравнения значения критерия оптимальности,
рассчитанного для сформированного плана по формуле (9.1), с его
максимально возможным значением (верхней оценкой), достигаемым
при выполнении всех заявок из списка заявок-кандидатов.
9.8. Анализ эффективности функционирования спутниковой
системы
Целью оперативного анализа является получение данных,
характеризующих работу системы за анализируемый период
(выполненную или планируемую), которая может быть использована
оператором или менеджером системы для принятия управленческих
решений, направленных на совершенствование качества ее работы.
Помимо основного критерия эффективности системы,
максимизируемого при составлении плана — дохода от выполнения
заявок, включенных в план, при оперативном анализе рассчитывается
набор других показателей, характеризующих подробности
составленного плана наблюдений и загрузку различных компонентов
системы, участвующих в его выполнении.
Такими показателями могут быть, например, процент числа
заявок из списка заявок-кандидатов, включенных в план для
выполнения; доля заявок, выполняемых каждым спутником системы;
доля снимков, принимаемых каждой из наземных станций;
количество снимков, переданных на землю в режиме непосредственной
передачи и с задержкой и другие.
485

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
Используя перечисленные показатели, оператор,
занимающийся решением задачи оперативного планирования, может
скорректировать исходные данные, используемые для составления
оперативного плана с помощью программы оперативного планирования.
Используя данные анализа для продолжительных периодов
эксплуатации, менеджер системы может улучшить стратегию
эксплуатации системы, меняя тарифы, приоритеты, вводя или исключая
дополнительные наземные станции и т.п.
Исходными данными для оперативного анализа эффективности
спутниковой системы являются:
- период времени, для которого такой анализ должен быть
проведен;
- объем работ (заявки на снимки), которые должны были
быть выполнены системой;
- данные о работе (планируемой или выполненной) всех
компонентов системы в этот период.
Все оперативные показатели могут быть разбиты на две группы:
- показатели, характеризующие результат (успех) выполнения
заявок потребителей;
- показатели, характеризующие работы или расходы ресурса,
затраченные на выполнение заявок.
В качестве показателей второй группы могут рассматриваться
различные интегральные характеристики работы системы, такие,
как минимальное, среднее и максимальное значения, гистограмма
и т.п.
Показатели из обеих групп могут быть рассчитаны
применительно к полному списку заявок, заявкам из различных групп
приоритета, различным спутникам, различным наземным станциям,
различным камерам, спектральным интервалам, различным
режимам работы поворотной камеры и т.п.
При этом представляют интерес как абсолютные, так и
относительные (по отношению к максимально возможным) значения
показателей.
Применительно к заявкам, выполняемым с помощью
поворотной камеры, при планировании в качестве показателей могут
рассматриваться статистики следующих параметров:
486

9.8. Анализ эффективности функционирования спутниковой системы
- дохода от выполнения заявок — полного и относительного
(по отношению к максимально возможному при
выполнении всех заявок из списка);
- полного и относительного дохода применительно к заявкам
из отдельных групп приоритета, для каждого спутника,
каждого режима работы камеры, каждой наземной станции;
- числа заявок, включенных в план — абсолютного и
относительного (по отношению к общему числу, представленному
в списке);
- числа снимков, переданных на станцию в режиме
непосредственной передачи и в режиме с задержкой;
- угла визирования цели в момент съемки;
- угла переориентации оптической оси камеры при съемке
последовательности целей;
- интервала времени между последовательными съемками
целей;
- интервала времени между моментом поступления заявки на
снимок от заказчика и моментом ее выполнения (съемки и
доставки);
- интервал времени между съемкой и передачей изображения
на станцию в режиме с задержкой;
- количества данных в БЗУ к моменту начала очередного
сеанса связи с наземной станцией;
- продолжительности сеанса связи между спутником и
станциями и количества снимков, передаваемых за один сеанс.
Для наземных станций в качестве показателей могут
рассматриваться статистики числа сеансов, продолжительности сеанса, а
также числа сеансов, используемых для приема данных только в
режиме непосредственной передачи, только в режиме с задержкой
и совместно в обоих режимах.
Для камер с неподвижным полем зрения представляют интерес
статистики числа сеансов, интервалов между сеансами и
длительности сеанса.
Перечисленные показатели могут быть рассчитаны, используя
циклограмму всех событий, которые должны произойти (при
планировании) или произошли (после выполнения плана) в системе за
рассматриваемый период. Для расчета каждого показателя должен
быть введен накопитель статистических данных, содержимое кото-
487

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
рого модифицируется с учетом результатов анализа событий в
системе, соответствующих циклограмме, и интервалов времени между
событиями.
9.9. Техника решения задачи планирования
В параграфе приводится техника решения задачи планирования
с помощью пакета программ «Планировщик», в котором
реализованы описанные выше алгоритмы решения задач планирования и
анализа эффективности наблюдений применительно к спутниковой
системе наблюдения. В качестве системы-прототипа
рассматривается система, объединяющая спутники типа "CBERS". Пакет
состоит из четырех программ: «Менеджер заявок», «Обзор»,
«Оптимум» и «Эффективность». При составлении планов используются
также внешние программы: "Глобальная база данных" и
"Прогнозирование орбит" для описания спутниковой группировки и
прогнозирования орбит спутников на период планирования.
Этапы решения задачи. Процесс формирования оптимального
плана съемок, осуществляемый с помощью пакета программ
«Планировщик», включает следующие этапы (см. рис. 9.2).
1. Описание спутниковой группировки, включая описание орбит
и исходные положения спутников на орбитах к моменту
начала планирования. Описание осуществляется в программе
"Глобальная база данных". Спутниковой группировке
присваивается код (индекс), например "CBERS". Этот код
используется для обеспечения доступа к введенной
информации из других программ проекта. Информация о съемочном
оборудовании, установленном на ИСЗ, и данные о
наземных станциях приема задаются на последующих этапах
процесса расчета.
2. Расчет орбитального движения спутников на период
планирования. Расчет осуществляется для всех спутников
группировки с помощью внешней программы " Прогнозирование
орбит".
3. Подготовка списка заявок, которые должны быть
выполнены с помощью поворотной камеры. Список заявок
составляется с помощью программы "Менеджер заявок".
Предполагается, что размеры объектов наблюдения (целей) совпа-
488

9.9. Техника решения задачи планирования
дают с размером кадра камеры и при съемке весь объект
попадает в поле зрения камеры.
Расчет моментов возможных съемок целей с помощью
поворотной камеры и сеансов связи с наземными станциями.
Расчет осуществляется в программе "Обзор". Моменты
съемок рассчитываются с учетом геометрии относительного
положения спутников и объекта наблюдения, освещенности
цели в момент съемки, требований к разрешению и
допустимому временному интервалу проведения съемки.
Параллельно рассчитываются моменты входа и выхода спутников
в зоны видимости наземных станций и формируется список
возможных сеансов съемки и передачи данных на станцию
для ИК сканера и широкоугольной камеры.
Возможные / Оптимальные
Орбитальные / сьемки и се- / планы съемок и
ансы связи / сеансов связи
Пересмотр
Характеристики
спутниковой
системы
Показатели
эффективности
планов
Рис. 9.2. Архитектура пакета программ "Планировщик"
Исходными данными для расчета на этом этапе
являются орбитальное движение спутников группировки на период
планирования и список заявок на съемку с помощью
поворотной камеры.
489

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
5. Формирование оптимального плана съемок для бортового
оборудования спутников и работы наземных станций.
Исходными данными для этого этапа являются
результаты расчетов, полученные на предыдущих этапах.
Результатами расчета на данном этапе являются моменты и условия
съемки для поворотной камеры, сеансы передачи снимков
на наземные станции, сеансы съемки для ИК сканера и
широкоугольной камеры, включая моменты входа и выхода
в зону видимости станций, координаты спутников и угол
азимута для этих моментов. План для поворотной камеры
оптимизируется по критерию максимума ожидаемого дохода
от выполнения плана. При формировании плана
учитываются динамические ограничения на скорость
переориентации поворотной камеры, скорость записи/считывания
информации в БЗУ и из него, емкость БЗУ, временные
интервалы, в течение которых бортовая аппаратура не может
использоваться из-за выполнения операций, связанных с
функционированием обслуживающих бортовых систем
спутников. Расчет осуществляется с помощью программы
"Оптимум".
6. Расчет показателей эффективности целевого
функционирования системы. Целью расчета является оценка набора
показателей целевого функционирования спутниковой системы,
характеризующих экономический эффект от реализации
составленных планов и участие отдельных компонентов
спутниковой системы в осуществлении этих планов. Исходными
данными для расчета служат характеристики спутниковой
системы, список заявок и планы работы компонентов
системы на период планирования, составленные на
предыдущих этапах расчетов. Расчет осуществляется с помощью
программы «Эффективность».
Программа "Менеджер заявок". При запуске программы
открываются два окна (рис. 9.3 и 9.4). В основном окне (рис. 9.3)
показаны список введенных заявок и средства работы со списком.
Выбрав в этом окне одну из заявок, пользователь может увидеть ее
полное описание в связанном окне (рис.9.4).
490

9.9. Техника решения задачи планирования
ТЩ Менеджер заявок «а сьемт шчтмыш объектов
#айл Заявки Шин съемок
..- ии^у-..
CBERS
"3
Q Новая
№
2
3
А
5
&
7
0
9
Ш
11
12
13
14
Индекс
73
74
75
76
77
78
73
80
81
82
83
84
85
j Нв39»Н1№
Вашингтон
Бонн
Токио
Лондон
Париж
Оттава
Рим
Ос по
Лиссабон
Мадрид
Белград
Будапешт
Вена
Заявок:
% Копия... [
|g!Sggb|
n-rjj* г-ыгмик
Г Пометите заявки,
в&люЧбмньяв &
предыдущий гздан
zl
.* J@ Очистив*
■ 0 UT.vy.fi .
"'
Д Bbwoa | ■.
к
Рис. 9.3. Окно списка заявок на съемку точечных целей
Бяанк задели
['ОВДДОМв ■ '
Название {Москва
Время занесения
Уровень важности
j02.26.1998 12:32
Уровень гр*#гг%й -
<*
►eaftjc/j
С Высокий
Г Обычный
<"** Низкий
| Съемка...
г- Требоеаьийн;;-времени съемки-
| <^ В ф&бт время
| Г Йозаданнойдаты
Т..-С 8 течений периода
'Mi4H. Д-ТГ?; .СГг^МКИ
Млкс* дйтл й:емки
F
Р
F
канал В!
канал 82
канал ВЗ
р1 канал В4
F
канаяВБ
грешен!.
rtsfMj^-Г""
С,.15;;:'
\
25 \;-*
_ L
100 :
|Цел».
Широта !град]
Долгота [град]
57
36
Рис. 9.4. Окно для заполнения бланка заявки
491

Р. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
Сначала пользователь выбирает код спутниковой системы, для
которой формируется список заявок. Этот код выбирается из
списка, хранящегося в программе "Глобальная база данных".
Далее формируется список заявок на съемку с помощью
следующих операций:
- добавить новую заявку;
- удалить выбранную заявку;
- создать новую заявку и заполнить ее в соответствии с
выбранной в качестве шаблона;
- напечатать список заявок с их полным описанием.
При формировании списка заносятся следующие параметры
заявки:
- имя - текстовое описание заявки;
- дата - дата и время заполнения заявки;
- координаты цели - географические координаты объекта
наблюдения;
- приоритет - один из четырех уровней приоритета:
безусловный, высокий, обычный или низкий;
- уровень важности - условный целочисленный параметр,
характеризующий различие в важности заявок среди заявок с
одним и тем же приоритетом;
- требования к времени съемки - период времени, в течение
которого может быть проведена съемка (возможны три
варианта: в любое время - без временных ограничений; до
заданной даты - задается верхняя граница периода; в течение
периода - задается допустимый период съемки с помощью
полей "минимальная дата" и "максимальная дата");
- каналы (диапазоны спектра), в которых должна быть
проведена съемка;
- допустимое разрешение снимков в выбранных диапазонах.
После составления плана пользователь может в основном окне
программы отметить и удалить выполненные заявки, оставив в
списке только те заявки, которые не удалось включить в текущий
план съемок.
Изменяя уровень приоритета и важность заявки, можно
добиться включения ее в план (если это возможно с учетом
статических ограничений).
492

9.9. Техника решения задачи планирования
Сформированный список заявок можно вывести на экран и
распечатать с помощью соответствующих пунктов меню.
Программа "Обзор". При запуске программы осуществляется
поиск в "Глобальной базе данных" данных с эфемеридами
спутников на период планирования, рассчитанных с помощью программы
"Прогнозирование орбит", и загрузка этих данных в программу
"Обзор".
Перед проведением расчета пользователь должен задать или
изменить в программе "Обзор" следующие исходные данные:
Длительность периода планирования. Вызов соответствующего
окна осуществляется из пункта меню <Время планирования>
основного окна программы (рис. 9.5). Максимально возможная
длительность определяется периодом времени, для которого
рассчитаны параметры орбит спутников.
щ
ш! Расчет потенциально возможным съвмо&'тс^одяк ft<M6ft и "донсо* свядо.
Расчет
lis
Время ЩЩЩЯЖЯ
!? [TpiccaШ!
Р Цепи
Съемок Сеансов связи Щ£> Поиск можнтое съшхи Г"Т
Шаг рассек): 1.0 J .!*■ №сП*™ка ^ \ 0J
Рис. 9.5. Основное окно программы "Обзор"
493

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
Параметры бортовой съемочной аппаратуры для каждого
спутника (рис. 9.6). Вызов этого окна осуществляется через пункт меню
< Оборудование спутников>. Для каждого спутника указывается
наличие на борту поворотной камеры, ИК сканера и
широкоугольной камеры. Если поворотная камера установлена, необходимо
указать ее технические характеристики: разрешение на снимке,
обеспечиваемое в каналах при съемке в надир; минимально
допустимый угол возвышения Солнца; максимальный угол отклонения
оси камеры от направления в надир. Если на борту спутника
установлен ИК сканер и (или) широкоугольная камера, для каждого из
этих приборов также должен быть указан минимальный угол
возвышения Солнца, при котором возможна съемка.
:':Р"ЧМттШ^ \ ^ЦтттттШ^тттш^т^ШШ^'^^- . Гад
1 W канал86 ф ттШ1
Рис. 9.6. Окно для ввода параметров бортовой аппаратуры
Список наземных станций приема. Вызов соответствующего окна
осуществляется из меню. Новая станция может быть добавлена из
списка возможных станций, который хранится в "Глобальной базе
данных". Для каждой станции пользователь может задать или из-
494

9.9. Техника решения задачи планирования
менить минимально допустимый угол возвышения спутников над
горизонтом для осуществления сеанса связи.
Шаг расчета. Этот параметр определяет точность определения
моментов съемки точечных целей и моментов входа/выхода
спутников в зоны видимости наземных станций.
Запуск и прерывание расчета с помощью программы «Обзор»
осуществляется кнопками Шш и И в правой части главного окна
(см. рис. 9.5) или через меню.
Для визуализации процесса моделирования можно включить
режим отображения объектов наблюдения, станций и трасс
спутников на карте земной поверхности.
Расчет осуществляется следующим образом.
Воспроизводится траектория движения спутников группировки
с указанным шагом и определяются моменты входа/выхода в зоны
связи с наземными станциями станций. Для этих моментов
фиксируются координаты и угол азимута спутников относительно
станции. Если зоны связи с двумя или более станциями
перекрываются, проводится разделение сеансов связи, поскольку
предполагается, что спутник может передавать данные только на одну станцию.
Считается, что спутник продолжает вести передачу данных на
станцию, в зону связи с которой он попал раньше, и только после
выхода из этой зоны он может переключиться на связь с другой
станцией.
Для сеансов связи определяется возможность вести съемку и
передачу данных с помощью ИК сканера и широкоугольной
камеры с учетом освещенности. Результатом расчета является
формирование двух баз данных, содержащих возможные сеансы съемки ИК
сканера и широкоугольной камеры.
В ходе расчетов для каждого спутника определяется момент
окончания очередного витка его движения по орбите. Внутри
каждого витка методом дихотомии определяется момент времени,
когда расстояние между спутником и каждой из наземных целей
является минимальным. Для этого момента проверяются статические
ограничения на съемку: угол визирования цели (не должен
превышать допустимый для камеры на данном спутнике), допустимое
разрешение для каждого из указанных в заявке каналов в
соответствии с характеристиками камеры, соответствие допустимому
интервалу времени для проведения съемки цели, определенному в
495

Р. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
заявке, превышение углом возвышения Солнца минимально
допустимого.
Если каждое из указанных офаничений выполняется, съемка
объекта считается возможной и заносится в базу.
Результаты расчета можно получить в виде отчетов, которые
включают:
- список съемок для поворотной камеры всех спутников
фуппировки;
- список сеансов связи с наземными станциями, включая
информацию о каналах работы ИК сканера;
- список сеансов включения ИК сканера и поворотной
камеры на различных спутниках.
Программа "Оптимум". Основное окно профаммы (см. рис. 9.7)
используется для задания параметров при оптимизации плана.
ЕЯ Формирование оптимального плана съемок
фаЙб Hatfflfotok' Расчет , 2
ННЕЗ
'Л
ПрЬйОЛ^игбяьность периода планирования (дней] J7.000 Q
С Режим Ь передача сников только с задержкой
^tj^^itiw^^^^
\Метод последовательных назначений
~3
Спчтников} 1
Возможные съемок 25
Сеансов связи 34
Рис. 9.7. Основное окно программы оптимизации плана для
поворотной камеры
Длительность интервала планирования. По умолчанию
используется интервал, для которого был проведен расчет в программе
"Обзор".
496

9.9. Техника решения задачи планирования
Режим передани снимков. Возможны два режима:
- Передача снимков только через БЗУ. В этом режиме план
формируется в режиме "передача через БЗУ" для ИСЗ с
БЗУ, или в режиме "непосредственная передача" для ИСЗ
без БЗУ.
- Комбинированная передача. В этом режиме формирование
плана состоит из двух этапов: первый этап проводится в
режиме "непосредственная передача", на втором
планирование соответствует описанному выше режиму "передача через
БЗУ.
!ИСЗ группировки
р Бортовая память установлена
Ёмкость памяти [Гигебит]
Канал В1 ■ размер снимка {Мегабит]
Каналы В2-В5 • размер снимка в каждом [Мегабит]
Скорость записи информации в БЗУ {Мегабит/сек]
Скоростьпередани информации [Мегафгг/сек}
Длительность передачи пакета служебной
информации в каждом сеансе связи
В начале сеанса связи 1сек]
В конце сеансе связи (сек)
Р Скорость переориентации оси камеры (град/сак) |
| 40
| 200
1
Г
I
100
53
53
1
1
шж
Рис. 9.8. Окно для настройки параметров БЗУ и каналов связи
на борту спутника
Метод оптимизации плана. В программе доступны два метода:
метод последовательных назначений и модифицированный метод
ветвей и границ. При выборе второго метода пользователь может
включить опцию "использовать предварительную оптимизацию". В
497

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
этом случае предварительно быстро находится приближенное
решение первым методом, а затем стартует второй, более точный, но
более трудоемкий метод.
Наличия БЗУ. Перед проведением оптимизации пользователь
должен указать параметры БЗУ и каналов связи на борту спутника
(рис. 9.8). Эти параметры задают динамические ограничения в
задаче оптимизации плана для поворотной камеры. Если БЗУ на
борту отсутствует, то съемка возможна только в районе станции
приема и планирование съемок для данного спутника проводится
только в режиме "непосредственная передача снимков". Если БЗУ
имеется на борту, перед началом оптимизации плана задаются:
емкость БЗУ [гигабит]; размеры снимков в отдельных каналах
[мегабит]; скорость записи снимка в БЗУ [мегабит/с]; скорость
считывания снимка из БЗУ [мегабит/с].
Общий размер "векторного" снимка зависит от числа каналов,
включенных в план для данного момента проведения съемки.
Поэтому время записи/считывания каждого "векторного" снимка
будет различным.
При оптимизации также учитываются временные ограничения,
определяемые интервалами времени, в течение которых бортовая
оъемочная аппаратура не функционирует из-за выполнения
некоторых служебных операций. Проведение съемок и передача данных
на наземные станции для этих интервалов не планируются.
Для ИК сканера и широкоугольной камеры временные
ограничения приводят к исключению некоторых сеансов из плана
съемок, изменению границ сеансов, или разделению некоторых
сеансов на несколько более коротких. Для поворотной камеры
исключаются из рассмотрения съемки внутри этих интервалов и
сдвигаются границы возможных сеансов передачи снимков на
станции приема. В соответствии с изменением границ сеансов
связи пересчитываются координаты и азимут спутников в моменты
начала и окончания сеанса.
В заключение процедуры оптимизации из списка сеансов связи
исключаются сеансы, не используемые для передачи снимков,
полученных с помощью поворотной камеры, и течение которых не
работает ни один канал ни одной из неповоротных камер.
Результатом расчета являются планы отдельно для каждой камеры.
Пользователь может просмотреть и изменить план для соответствующей
камеры, используя пункты меню:
498

9.9. Техника решения задачи планирования
<План для поворотной камеры> (рис. 9.9). В таблице цветом
маркируются съемки, выполненные в режиме "передача через
БЗУ".
Рис. 9.9. План съемок точечных целей
<План для ИК сканера> (рис. 9.10). В таблице совместно с
данными о сеансах работы сканера представлена информация о
использовании сеанса для передачи на станцию снимков точечных
целей. Цветом маркируются сеансы, частично используемые для
передачи снимков.
<План для широкоугольной камеры> (рис. 9.11).
Корректировка плана заключается в удалении некоторых
позиций из плана и включении/выключении каналов отдельных камер.
Для этого пользователь должен выбрать одну из двух логических
переменных: "True" или "False" в соответствующей ячейке плана.
Сформированные и откорректированные планы можно
распечатать, используя соответствующие пункты меню.
Программа "Эффективность". Для проведения расчета
используются список заявок на съемку точечных целей, планы съемок,
сформированные отдельно для каждого вида бортовой съемочной
аппаратуры и список сеансов связи с наземными станциями.
499

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
■Л
» м «*■ К
Москва
Москва
Москм
Москва
\а Москва
Щ
ill
$
ж
Д
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
ю^дррушшишрд
1 10.10.1999 2043:03
1 10.10.1999 22:18:35
1 11.10.19998.00:43
1 11.10.1999 7:35:01
1 11/10.19992036:49
1 11.10.199922.12:07
1 12.10.19995:54:45
1 12.10.1999 7.28:37
1 1210.19992030:36
1 12.101999220542
1 13.10.199954О.50
1 13101999 7 22:17
0:07:50
0.04:40
007:02
007:23
007:50
005:22
006:39
007:38
007:46
005-57
006:12
О.07.47
сеанс св^ не мстюльэутся дпя передачи
±
48.1
54.1"
зге
27.1*^
56,2,/
52.2
31С
58.с
Выход,
Рис. 9.10. План работы ИК сканера и сеансов передачи
снимков поворотной камеры на наземные станции
« работы широкоуг
ши оптической камеры
(••■ -"
щ
Отхцщил
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
И&
Врлмх начала \ Дшпылмость [Дол? txoda L±J
1 10.10.19997:41:29
1 11.10.19996:00:43
1 11.10.19997:35:01
1 12.10.1999554:45
1 12.10.19997:28:37
1 13.10.1999548:50
1 13.10.1999 7:2217
1 14.10.19997:1559
1 14.10.19998:53:45
1 15.10.19997:09:45
1 15.101999 8:46:36
1 16.10.1999 7:03:33
1 16.10.19998:39:45
1 17.10.1999 6:57:24
0:07:02
0:07:02
0:07:23
0:06:39
0:07:38
0:06:12
0:07:47
0:07:52
0:02:47
0:07:53
0:04:21
0:07:50
0:05:21
0:07:43
29.
54.
зг
56.
34.
58.
37.
40Г
13.
42.
17.
45
20.
4;
"Jtt*№.
Рис. 9.11. План работы широкоугольной камеры
500

9.9. Техника решения задачи планирования
Окно программы представляет собой блокнот, на страницах
которого тематически размещены характеристики работы
спутниковой системы, полученные в ходе обработки сформированных
планов работы бортовой съемочной аппаратуры (рис. 9.12). Страницы
блокнота содержат следующую информацию:
*&
. Ш% вддодашьВ ед&оды
Период планирования (дней}
Начало период* планирования
Метод оптимизации для режима прямой передачи
|10, Октябрь, 139». »07:Э0
Метод поел^оеатвльных иазнвче
Метод оптимизации для режима передачи через 63У {Метод послвйоеетельмьльвзначе
&сн сведения! 3*й»ш ( ИбЗ j Алпаратуе| Передача! Сганции'! Съемки j '
[Основная информация по проведению оптимизации
Рис. 9.12. Основная информация по формированию плана
Основные сведения (см. рис. 9.12) - общая информация о плане,
в том числе код спутниковой системы, интервал планирования,
период планирования, метод оптимизации плана для поворотной
камеры.
Число заявок d режиме с задержкой
Число заявок е режиме прямой передачи
Цена, заявок в- режиме с задержкой
; Цена заявок в режиме прямой передачи
17П00Х)
15(882*) 15(88 2*)
2(11.8*) 2(11.8*)
41867(98.4*) 41867(98.4*)
0.667(1.6*) 0667(1.6*)
, : Ос*, сведения 1 Заяе*и ИСЗ [ Аппаратура j Передача! Станции \ Ом»»и I -
1 Результаты работы поворотной камеры для отдельны» ЙС-3 системы
Рис. 9.13. Показатели съемок точечных целей спутниковой системой
501

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
Заявки (рис. 9.13) - данные о выполнении заявок на съемку для
поворотной камеры и ожидаемом доходе (в целом и по группам
приоритета).
Спутники (рис. 9.14) - характеристики участия каждого
спутника в выполнении заявок на съемку точечных целей.
ф 1
1
1 ^
1 '<J 1
I "SffP <
|p«4l*/r«iiwf
|Ч^яо Заявок в списке
[Число «явок, включенных в план
Шена заявок в списке 1
] U «на заявок, включенных в план
Шена вклЬч заявок, с дчетом разрешения
Ы I
Всего ' ■ .iBbm^JF
25(100*) 11(4.0*)
17(100*) 0(0.0*)
118.000(100*) 8.000(6.8*)
80.000(100*) 0.000 (0.0*)
42.533(100*) 0.000(0.0*)
пшввмппишгггЫ
iBtHcokMf» I
7(28.0*) |
6(35.3*) 1
42.000(35.6*) |
36.000(45.0*) J
20.133(47.3*) J
1 ±11
0сн. сведен^ Заявки | ИСЗ | Аппа*ат1раГП&^ |
рфовзд^мил съемок точечных целей для систем)
мисаТ"54"*'" -'"■"""" ~т~
^y-^.-J
Рис. 9.14. Показатели функционирования поворотной камеры
- I OtH сведешь! Заявки] ЙСЗ | Алпаратдра]! Передач»,! Станци* | *0&ШИ'&
(HaiJBjcrepMtrwu загрузки бортовой аппаратуры ИСЗ
Рис. 9.15. Показатели работы бортовой аппаратуры отдельных спутников
502

9.9. Техника решения задачи планирования
Аппаратура (рис. 9.15) - данные о загрузке поворотной камеры
при выполнении плана съемок точечных целей для каждого
спутника системы.
Передача - статистики числа и длительностей сеансов передачи
данных с борта спутников для различных видов съемочной
аппаратуры.
Станции (рис. 9.16) - статистики сеансов передачи снимков
поворотной камеры на наземные станции и сеансов работы ИК
сканера и широкоугольной камеры.
j Ош. сеяния j Заявки \ ИСЗ | Аппаратура 1 Пера&ча ПУащД[ СьамкИ'
[Характвристшн работы наземиых станций по приему снимков
. /Л
Рис. 9.16. Показатели работы наземных станций
Съемки - (рис. 9.17) общий список заявок на съемку точечных
целей, в котором разными цветами маркированы заявки, не
включенные в план на этапе проверки статических ограничений и на
этапе оптимизации плана съемок.
Перечисленные показатели рассчитываются при входе в
программу. С помощью кнопки <Обновить> на панели инструментов
показатели можно пересчитать применительно к новым исходным
данным. Это позволяет использовать программу параллельно с
процессом формирования планов съемки в программе "Оптимум"
и каждый раз после проведения нового расчета плана
анализировать детально его эффективность путем переключения между
программами. Предусмотрена возможность печати показателей
эффективности.
503

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
а»
ЯЬд*не\Зал*ка
П
|ДДДД
Токио
Лондон
I Высокий
Высокий
высокий
1 *• «■ «■ + I
1 — J
J9
Оттава
Рим
Высокий
Высокий
1 ю\\ &Г\Лиссабон
Обычный
| Выполнение списка заявок для поворотной камеры
+ + +
, . ...^
Исключены из плана всйвдстюий ограничений
Qch сведений | Заявки \ ЙСЗ j Аппаратура | Передача [ Станции Съемки |
Рис. 9.17. Показатели выполнения списка заявок
Пример решения задачи краткосрочного планирования. В
качестве примера использования пакета «Планировщик» рассмотрим
задачу формирования оперативного плана для одного спутника,
оснащенного аппаратурой наблюдения, соответствующей спутнику
"CBERS".
Полагаем, что спутник движется по солнечно-синхронной
орбите с высотой 778 км и наклонением 98.5°. Долгота восходящего
узла в 7 часов 30 минут гринвичского времени 10 октября 1999 года
составляет 40°. в.д. Единственная наземная станция приема
видеоинформации расположена в г. Москве.
Задача оперативного планирования решается применительно к
периоду планирования продолжительностью 7 суток.
Объектами наблюдения являются 25 наземных целей — столицы
государств мира, расположенные на четырех континентах.
Список заявок на съемку указанных целей сформирован с
помощью программы «Менеджер заявок». Перечень нескольких
заявок из этого списка приведен на рис. 9.3.
Список возможных съемок объектов из списка заявок,
удовлетворяющих статическим ограничениям, сформированный с
помощью программы «Обзор», содержит 25 съемок.
Оптимальный план съемок объектов из списка в режиме с
задержкой, сформированный в программе «Оптимум» с использова-
504

9.9. Техника решения задачи планирования
нием алгоритма оптимизации методом последовательных
назначений, указан на рис. 9.9; план работы ИК - сканера - на рис. 9.10;
план для широкоугольной камеры - на рис. 9.11.
Показатели эффективности сформированных планов,
рассчитанные с помощь программы «Эффективность», частично указаны
на рис. 9.12-9.17. В представленных данных можно видеть, в
частности, следующую информацию:
За время планирования возможны 25 съемок объектов из
списка, удовлетворяющих заданным требованиям заказчиков, и 34
сеанса связи с наземной станцией для передачи видеоданных на
землю. При этом по крайней мере одна съемка возможна лишь для 17
объектов из списка. Для нескольких объектов возможны даже две
или три съемки за период планирования, но для 8 объектов из
списка заявок (в том числе для Москвы, присутствующей в списке
заявок с максимальным приоритетом) съемка, удовлетворяющая
заданным требованиям, за этот период не возможна ни разу.
В оптимальный план включены съемки всех 17 объектов,
съемка которых возможна хотя бы раз, поскольку составляемый план
является относительно ненапряженным, и все динамические
ограничения могут быть удовлетворены. В режиме непосредственной
передачи выполняются съемки лишь двух объектов; снимки
остальных 15 объектов выполняются с задержкой (с записью БЗУ);
передача снимков из БЗУ происходит в 10 сеансах (см. рис. 9.13 и
9.16).
Доход, достижимый от реализации оптимального плана съемки
точечных объектов, равен 80 000 условных единиц, в то время как
его максимальная величина, которая могла бы быть достигнута при
выполнении всего списка заявок, равна 118 000 единиц, (см.
рис.9.13).
Съемки проводятся со средним интервалом между съемками,
равным 9 ч 03 мин. 37 с; при этом величина интервала меняется от
минимального, равного 30 с, до максимального, составляющего
47 ч 45 мин и 07 с (см. рис. 9.15).
Средняя длительность сеанса связи с наземной станцией для
передачи данных поворотной камеры составляет 17 с (см. рис.9.16).
ИК сканер, способный проводить наблюдения в одном из
каналов круглосуточно, используется в течение 7 суток 34 раза, а
широкоугольная камера, осуществляющая наблюдения только в
дневное время - 14 раз (см. рис. 9.16).
505

9. Оперативное планирование функционирования спутниковой системы
Все 8 заявок, не включенные в план, не включены из-за
статических офаничений; динамические офаничения не стали
причиной невключения заявки в план ни разу (см. рис. 9.17).
По результатам расчетов можно проанализировать и ряд других
показателей эффективности функционирования и зафузки работой
спутника и его отдельных подсистем.

10. ПРОГРАММНО-БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
КОСМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В данной главе обсуждается архитектура и возможности пакета
прикладных программ АСУКС, предназначенного для решения
разнообразных задач анализа, синтеза и управления космическими
системами различного назначения, включая системы мониторинга.
Пакет разработан в Московском авиационном институте авторами
данной монографии. Он может быть успешно использован для
автоматизации принятия решений как на этапе проектирования
космических систем, так и на этапе их целевого применения.
В состав пакета АСУКС входят операционная оболочка и
прикладные программы. Операционная оболочка управляет
проблемно-ориентированной базой данных, образующей единое
информационное пространство пакета, и прикладными
программами в среде операционной системы не ниже Windows 95.
Описываемая ниже версия АСУКС позволяет решать
следующие задачи:
- Моделирование динамики созвездия на заданный период
времени.
- Оптимизация плана работы наземного измерительного
комплекса.
- Апостериорная оценка точности определения состояния
спутников в группировке.
- Планирование съемки группы целей спутниками системы
мониторинга.
- Оптимизация плана мониторинга по группе критериев.
- Планирование полетных операций.
- Анализ эффективности космической системы.
- Выбор оптимальной структуры орбитального сегмента.
- Планирование процесса развертывания космической
системы.
- Управление спутниковой группировкой на этапе
развертывании и поддержании системы.
507

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
10.1. База данных космических систем
Все исходные данные, которые необходимы программам
пакета, хранятся в Главной Базе Данных. База данных - реляционная с
таблицами формата СУБД Paradox. Управление базой данных
осуществляет оболочка пакета АСУКС, реализующая правила
структуризации данных. Помимо управления данными оболочка позволяет
запускать любое приложение пакета.
В основе архитектуры базы данных лежит информационная
модель космической системы. Космическая система как предмет
проектирования и управления представлена иерархической объектно-
ориентированной моделью, включающей три основные
компоненты:
- космический сегмент,
- наземный сегмент,
- цель системы.
Каждая из указанных компонент, в свою очередь, состоит из
нескольких объектов.
Космический сегмент представлен объектом "созвездие
спутников". Основными характеристиками этого объекта являются
орбитальные плоскости, спутники и аппаратура мониторинга. Данные,
определяющие космический сегмент, включают как номинальные,
так и текущие параметры, что открывает возможность принятия
решений по управлению реальной системой.
Наземный сегмент - это сеть наземных измерительных пунктов
и пунктов приема информации, работающих с созвездием.
Цель применения — это список требований потребителя к
космической информации, получаемой от системы.
Объединение указанных объектов в реляционной модели базы
данных образует объект - "космическую систему". Рассмотрим
основные компоненты информационной модели и связанные с ней
понятия более подробно.
Созвездие включает орбиты и слоты. Созвездие может быть
кинематически правильным. В правильной структуре все орбиты
имеют одинаковые характеристики, их плоскости равномерно
разнесены по долготе восходящего узла, а спутники в каждой
плоскости распределены равномерно по аргументу широты. В соседних
508

10.1. База данных космических систем
плоскостях спутники могут быть сдвинуты по аргументу широты.
Аргументом сдвига является целое число от 1 до п , где п -
количество орбитальных плоскостей. Для упрощения ввода
информации о правильной структуре используется нотация Уокера (Walker),
имеющая вид mlnln или ml nil, где т - общее число слотов
созвездия. Относительный сдвиг слотов по аргументу широты в
соседней плоскости определяется как 2я/(тп). Одной их важных
характеристик созвездия является эпоха - условный момент
времени, на который зафиксированы параметры орбит всех
спутников. На рис. 10.1 показано окно ввода информации о созвездии.
::11Ш11Д
Код
Наименование
|ГЛОНАСС |Глобал»мая навигационная система
Эпоха структуры
101У01/2000 ОСШгОО
JK? Управляемое созвездие
W Правильное созвездие
Количество орбит •
Количеств слэше
Фазирование
3
24 •
_
Рабочие <„..>
Корр«щия <..->
Пустые <;.„>
U€шхг&тт мониторинга Китай Бразилия
\:;Щ&Ш&-',
ШШШШтШШШШт
■M|.<iJ _►!«.!
?тт]ШШ1ШШШШШшщшШШ'
• '^Щф^ШШШШ
Экологический мониторинг
Рис.10.1. Данные о созвездии
Орбитальная плоскость определяется пятью классическими
элементами. В данном случае это:
~ высота перигея,
- эксцентриситет,
— наклонение,
— долгота узла,
- аргумент перигея.
509

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
С орбитальной плоскостью связана модель прогноза, которая
содержит данные для прогнозирования эфемерид. Сюда входят
флаги возмущений, которые необходимо учитывать, порядок
геопотенциала, точность прогноза, интервал прогноза и т.д. Ввод
данных хорошо автоматизирован. Так, параметры синхронной или
солнечно-синхронной орбиты вычисляются автоматически по
индексу синхронности вида «число суток/число витков». Пример
окна ввода параметров орбитальной плоскости показан на рис. 10.2.
Орбиты системы Глобальней навигационная система
X
Р |
С
войства
N
<~ Любое накя.
Г Зкаатор-ная
С .Полярная
(* Крит, накл
Г Соян-сйнхр
р Круговая
|7 Синхронная
Параметры
Перигей,км
Зксценгр.
ДВУ,град.
АПЦ.град
Наклонен, град.
|20183.6271
Jooooocoo
J0.0000
|0.0000
[63.4343
Синхронность |01(002)
s/ Применить ]
Модель прогноза
! F Нецентральность
|7 Атмосфера |7 Свет.дзвл.
Ф Солще,Луна
Порядок ГП
ПЧ интересе] 1000
ПЧ порядок
Ошибка прогноза | ^-12
Прогноз на fcyrj J 1-^9S
» {дВУфад.
Состойние
Дата, время
Ц 1
2
3
о
60
120
Проект
Проект
Проект
19/03/200022:07:35
19/03/200022:07:35
19/03/2000 22:07:35
3
I Слоты..
ваял»
/л
Закрыть
EOiT [R:1
EOF: 3
D':\DOCUMENTS\BOOKDATA\otb*.db
Рис.10.2. Окно параметров орбиты
Слот - это точка на орбите, положение которой
зафиксировано в эпоху системы аргументом широты спутника. Слот может
быть занят или пуст. В процессе развертывания система может
иметь пустые слоты. Для отражения различных ситуаций введено
понятие "статус слота". Список возможных состояний хранится в
соответствующем словаре. Важным атрибутом слота является файл
510

10.1. База данных космических систем
прогноза эфемерид, срок его годности и начальные условия для
прогнозирования эфемерид. Начальные условия могут быть
подготовлены внешней программой или получены по линиям связи.
Пример окна, связанного со слотами космической системы,
показан на рис. 10.3. Слоты созвездия можно заполнять спутниками,
выбирая их из специальной таблицы. Кинематически правильная
структура заполняется спутниками одного и того же типа.
Слоты системы Глобальная навигационная система
1 ГЛОНАСС
1 ГЛОНАСС
1 ГЛОНАСС
1 ГЛОНАСС
1 ГЛОНАСС
0.000
45.000:
30.000
135.000
180.000
0.000 Проект
45.000 Проект
90.000 Проект
135.000 Проект
180.000 Проект
19/03/2000 22:07:5!.
19/03/2000 22:07:»
19/03/2000 22:07:51
19/03/2000 22:07:51
19/03/2000 22:07:
Текущий слот
Эпоха нач. усл.
Прогноз до
Дагга.еремя выведения |
Рргаток PSfeero, тела1м/с|
СУОД | 500 СУС ! О
Начальные эсяоеия | Щ Блокнот... ]
К-матрица НУ
Программа коррекции I J, Закрыть j
Ё
Г" Фильтр слотов
\ <* Пр.-Л-;Т
1 С 1!1>н:зон
: <~ rz&iwi
f Нуч.м-а» 0|.»р*ЖиИЯ
i С НужСН ГЩ>£№<.1
\ f Нужен :-|риг--«оз
; С '1Ж:АЪ)\СЯ
<"** Amr коррекция
■^ Ре;^:е.«лый
■ *"* Ыиячси
24
0
о
о
о
о
о
о
о
о
Г* Только для орбиты |Ч -Cj
|D:4D0CUMENTS4800KDATA\slotclb
Рис.10.3. Окно слотов
Информационная модель спутника включает три объекта -
аппаратуру наблюдения, систему управления орбитальным
движением и систему угловой стабилизации. В состав данных спутника
входят масса на орбите, характерные площади и коэффициенты
для расчета сил аэродинамического сопротивления и светового
давления, запас рабочего тела систем управления орбитой и
угловой стабилизации, тип системы стабилизации, характеристики
511

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
приемного и передающего трактов радиолинии. Сведения об
аппаратуре наблюдения (для спутников мониторинга) и двигателях
систем управления орбитой вынесены в отдельные файлы, что
позволяет формировать проектные варианты. Пользователь может
"устанавливать" аппаратуру и двигатели на спутник, выбирая их из
заранее подготовленных таблиц. На рис. 10.4 для примера показано
окно базы данных спутников, поверх которого открыто окно
конфигурации целевой аппаратуры.
Рис.10.4. Данные о спутниках
Аппаратура наблюдения представлена в специальной таблице-
словаре. К характеристикам аппаратуры относятся:
— пространственное разрешение,
— угол захвата,
— угол обзора,
- фокальное расстояние,
- размер пиксела,
- спектральный диапазон.
512

10.1. База данных космических систем
Код lv Штт?т*щ■>, |3a^i^h|kKfeyy^3fec3jpri
1 High R evolution Visible Sense»
2 Hi^iResdirtbnVisfcle Sensor
3 VEGETATION-V{SPOT}
4 VEGETATSON-IR (SPOT)
20
10
1200
.1200
27
27
0
0
6
Б
50'
5&
10«J
10
10
10
High Resolution Visible Sensof
Диапазон [Видимый свет
HRV-MS
Комментарий
Сверх-выеокие чаегк]
Экстремально высе"
Инфракрасный
Данные соответствуют .«■■■«■■■«»«.«»_
муяьтислектральному режиму рабЪт|у^Трэфиолетовый"
Мягкое рентгенова
Средне рентгеное<^
MM BROWSE |R:1
j£0R 7
iO;VOOCUME^TS\BOOKDATA?feokto
Рис.10.5. Аппаратура наблюдения
Дополнительно можно вводить комментарии, массу и размеры
сцены. Сведения о спектральных диапазонах вынесены в
отдельную справочную таблицу, из которой пользователь и выбирает
необходимую запись, связывая ее с аппаратурой. На рис. 10.5
показано окно связанной с базой данных аппаратуры с развернутым
списком спектральных диапазонов.
Системы управления орбитальным движением и угловой
стабилизации характеризуются количеством и параметрами двигателей
коррекции. Сведения о двигателях, которые в принципе можно
"устанавливать" на спутник, вынесены в отдельную таблицу -
словарь. Двигатель коррекции характеризуется типом и техническими
параметрами.
Тип двигателя определяет его назначение в системе управления.
В базе данных определены такие типы, как:
- апогейный (т.е. используется для перевода на
геостационарную орбиту),
- управление орбитой,
- управление ориентацией (двигатель разгрузки) и т.д.
513

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
Список типов является настраиваемым и может быть расширь
К техническим параметрам двигателей относятся:
- тяга в пустоте,
- С.К.О. тяги,
- время выхода на режим,
- время сброса тяги,
- минимальное время работы,
~ максимальное время работы,
- удельный импульс.
Код
Тип
Тяга,Н
Ш'%
TJ
2 Т_3
3 TJ00
4 Т„2
СУОД
СУС
СУОД
СУОД
Спецификация двигателя
1
1
100
2
Т 1
Зщержка,с
Рост тяги, с |
С^£тяги,с !
Комйентйрйй
Работа тн% с
0 Работа max, с
® Удимпульсс
ир*#нт<зций_
500
jZJi
di
и
Шт&тЬщь
Закрыть j
У[,и|1яШ5Ё'"ГП:Т
Ш-Л
тшшттттшшыжхъ
Рис. 10.6. База данных двигателей
Дополнительные сведения по усмотрению пользователя могут
быть вынесены в комментарий. При "установке" двигателя на тот
или иной спутник пользователь может также указать, как
ориентирован вектор тяги. Для этого используется предопределенный
список, включающий все технически возможные методы ориентации,
используемые на практике.
Пример окна ввода данных по двигателям приведен на рис. 10.6.
514

10.1. База данных космических систем
Рис.10.7. Сведения о наземных пунктах
Наземные пункты по своему назначению относятся к одному
из двух типов - пункт приема космической информации и
измерительный пункт и образуют сети, работающие с созвездием. С
каждым созвездием могут быть связаны две сети наземных пунктов -
сеть измерительных пунктов и сеть пунктов приема космической
информации. Функция первого — прием космической информации
со спутника, а второго - измерение параметров движения
спутника. Поэтому состав информационных моделей различен.
Основными параметрами любого наземного пункта являются его
геодезические координаты - широта, долгота и высота над общим земным
эллипсоидом, а также минимальный и максимальный углы места,
определяющие зону его видимости. Для наземного измерительного
пункта дополнительно задается перечень измеряемых параметров и
515

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
ошибок измерений, а пункт приема информации характеризуется
параметрами канала связи. Пример интерактивных форм базы
данных, связанных с наземным сегментом, показан на рис. 10.7.
Цель мониторинга представляет собой список задач
наблюдения. Информационная модель задачи включает в себя:
— наименование прикладной области,
~ географические координаты района наблюдения,
— спектральный диапазон,
— требуемое пространственное разрешение,
— необходимую периодичность наблюдения,
— коэффициент важности.
Рис.10.8. Программа формирования цели мониторинга
Для формирования цели системы в пакете АСУКС имеется
интерактивная форма, показанная на рис. 10.8. Для составления
списка задач цели системы (проекта) используется словарь типовых
задач. С типовой задачей связаны стандартные требования к
спектральному диапазону, разрешению и периодичности наблюдения.
Включение в проект мониторинга новой задачи сводится к выбору
ее из заранее составленного списка и указания соответствующей
области на карте Земли. При этом используется стандартная техно-
516

10.1. База данных космических систем
логия перетаскивания и изменения размеров графических
объектов, принятая в Windows.
Каждый из объектов базы данных представлен несколькими
взаимосвязанными таблицами.
Помимо характеристик космических систем в базе данных
содержатся физические константы, классификатор спектральных
диапазонов, сведения о диапазонах радиосвязи и т.д. Ключевые
объекты базы данных (космическая система, спутник, наземный
пункт) снабжены признаками состояния. Например, системе в
целом может быть присвоен признак "эксплуатируется" или
"проектируется". В зависимости от текущего состояния, какие-то
программы выполнять можно, а какие-то нет. Тем самым
информационная модель поддерживает применение программного
обеспечения с учетом этапа жизненного цикла космической системы.
Любая программа пакета АСУКС "обращается" к базе данных
по единственному ключу - коду космической системы - и в ответ
на запрос получает все необходимые ей исходные данные.
10.2. Моделирование динамики созвездий
Программа моделирования динамики созвездий является ядром
пакета прикладных программ. Ее функция - прогнозирование
возмущенного движения спутников космической системы. Результат
(кинематические параметры в абсолютной геоцентрической
системе координат) аппроксимируется с высокой точностью
полиномами Чебышева. Прогнозирование осуществляется на заданный
отрезок времени в соответствии с моделью, параметры которой
записаны в базе данных. Для первого прогноза в качестве начальных
условий по умолчанию используются номинальные параметры
орбит и слотов созвездия. Каждое последующее прогнозирование
гарантирует непрерывность эфемерид примыкающих интервалов по
времени.
Технология формирования эфемерид базируется на численном
интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений
движения центра масс спутников созвездия, номера (слоты)
которых задаются пользователем. На рис. 10.9 показаны диалоговые
формы программы на этапе постановки системы на обслуживание
517

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
(окно сверху) и при формировании запроса на построение
эфемерид.
; Добавить созвездие
| Г Л О Н АСС ] Глобальная навигационная система IJ 2000
[i 1* * * Vj %% i'i VVWy \ 'ii'i\$ V V* 1t i Ш v УУШйЮш * i f I s V* V
Рис.10.9. Запрос на прогноз
Пользователь может по своему усмотрению выбирать состав
возмущений, учитываемых при интегрировании, отличный от
заданного в базе данных.
Предусмотрена возможность обновления данных, периодически
распространяемых международными организациями, к которым
относятся:
518

10.2. Моделирование динамики созвездий
- параметры ориентации Земли по бюллетеню IERS серии А,
т.е. предсказанные координаты полюса Земли и значения
коррекции временной шкалы UT1-UTC;
- данные USNO геомагнитной и солнечной активности в виде,
коэффициентов геомагнитной и солнечной активности на 21
день.
Рис.10.10. Панели настройки
На рис. 10.10 приведен пример диалоговых окон формирования
исходных данных для прогнозирования эфемерид выбранных
слотов созвездия.
519

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
Прогнозирование движения спутников осуществляется по
математической модели в абсолютной инерциальной системе
координат ИСК 2000 (IF2000) с началом в центре масс Земли. Основная
плоскость совпадает с плоскостью экватора на 0 часов 00 минут 00
секунд 1 января 2000 года (так называемая эпоха 2000.0). Ось ХАск
этой системы координат направлена в точку весеннего
равноденствия эпохи 2000.0. Ось Zack направлена на северный полюс мира и
проходит через Международное Условное Начало 1900-1905 гг. Ось
Удск дополняет эту систему до правой.
Математическая модели возмущенного движения рассмотрена в
главе 4. Здесь мы коротко остановимся на некоторых
особенностях.
В первую очередь отметим то, что разложение геопотенциала
по сферическим функциям с вычислительной точки зрения не
удобно, ибо для вычисления градиента геопотенциала требуется
выполнение большого количества операций на каждом шаге
интегрирования. С целью сокращения времени вычисления градиента
геопотенциала используется алгоритм Каннингхема [58]. Идея
этого алгоритма состоит в таком представлении геопотенциала,
которое позволяет выделить компоненты, зависящие только от
координат точки пространства — так называемые, Vn^m функции
комплексного аргумента:
_ P„m(sing?)(cos(mA)+ isinjmX))
Vn9 m - ^n+x
В результате геопотенциал может быть представлен в виде
F = Re£ £K(c„,m-i-S„,m)xV„tm.
/1=0 m=0
При этом гравитационные ускорения как частные производные
по соответствующим координатам определяются следующим
образом:
3V оо л / ч fly
О... n=0m=0 О...
520

10.2. Моделирование динамики созвездий
В развернутом виде получаем:
дУ _ Уп+\,т+\ (У1-Л1 + 2)!
дк 2 2(п-т)\
/7 + 1, W-1» ^>0
^дл* — ту.
утлЛ, г:
7И = 0
^ *-*Vn,m+l J-(«-OT + 2)!_,
_ = + + р w>0
су 2 2(л-/и)!
= + ; —, m = 0
2 2
<ж (и - m )\
где К — величина, сопряженная с V .
Для вычисления Vnm получены рекуррентные формулы,
которые имеют следующий вид:
Vo,o=l/r, ^fr-O^^W,,
(п-тУп>т =(2»-1)4-^-,.я -^^^-а,..
Приведенные выше соотношения дают эффективный
вычислительный алгоритм определения компонент гравитационного
ускорения в абсолютной геоцентрической системе координат.
Метод численного интегрирования, реализованный в программе,
обеспечивает устойчивость численного решения
дифференциальных уравнений с заданным уровнем локальной ошибки
интегрирования. Это метод Дормана-Принса порядка 5 (4), который имеет
процедуры, поддерживающие:
521

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
- управление шагом интегрирования и (или) порядком метода
интегрирования в зависимости от заданной точности (уровня
ошибки) интегрирования;
- "плотную выдачу" результатов интегрирования с целью
получения численного решения в момент времени, который
может не совпадать с шагом интегрирования;
- "неявную выдачу" результатов интегрирования, которая
позволяет получать численное решение в момент времени,
неявно зависящий от результатов интегрирования;
- начальную оценку шага интегрирования;
- выбор различных конфигураций метода интегрирования для
оценки шага интегрирования с использованием
"замороженной" последовательности шагов.
Метод Дормана-Принса относится к семейству методов Рунге-
Кутты и изложен в главе 8. Коррекция шага интегрирования
осуществляется по алгоритму, базирующемуся на известной формуле
Ческино. Этот алгоритм, с одной стороны, позволяет
минимизировать шаг с целью обеспечения требуемой локальной ошибки
интегрирования, а с другой стороны, максимизировать его, если
локальная ошибка меньше заданной.
Аппроксимация численного решения системы дифференциальных
уравнений возмущенного движения спутника осуществляется с
использованием полиномов Чебышева. Сущность процедуры
аппроксимации определяется формулой
где x(t), x(t) - значение функции и ее аппроксимации,
соответственно; Т — аргумент аппроксимации (время); / - нормализован-
Г *Л 7 *~((а + Ь)/2) п
ное значение аргумента на отрезке \а9 Ъ\: t = —j^ —т-1, Cj —
известные коэффициенты полиномиального разложения, j=0,..,n,
п — порядок разложения; Tj\t) = cos(j xarccos(/)) - полиномы
Чебышева, рекуррентно вычисляемые следующим образом:
522

J0.2. Моделирование динамики созвездий
T0(t)=l, T^) = u...Tn^) = 2iT^)-Tn_xif\ n>\
В результате для вычисления текущего значения
аппроксимируемой функции используется следующая процедура:
1. Принимаем: хп+1 = хп+2 = 0.
2. Вычисляем: х( = 21«хм -xi+2 +Ci9i = n9n-1,...,0.
3. Определяем: x(t\ = (x0 - х2)/2 = / • хх - х2 - С0/2 .
шшшшт
! ч ■
% **»*
(■--
1^
—-:
, .-
- ;^Ч^
;v;:„^ur[r.
:. ■-.:>■ v.-I"
В вкгор состояния ИСЗ ■
; КинвгёгичГпзмМг fllF'J'aXW.РГ
time - 1050Э1.7
,:X = -24577.55 | Vk » -1.4685
Y - 4516.37 Vy - -1.6025
2 - 8997.50 :V2 - -3.2069
' ОСКЧЛИВЧШИЕ PMMWffW-"'
■T - 43080.40
О * 353360 !p » 26561.07 } to « 160.61
i- 63.433 U » 26561.07 ju- 157.74
e « 0.00006 \x * 105375.20 ! ft - -2.87
W
Трасса
ХУ JO wi
Г* Витии
Число: Р 01
Системный N* ИСЗ: ГЛОНАСС-01
Статус; Выполнение..
Рис.10.11. Процесс прогнозирования эфемерид спутника
Таким образом, по коэффициентам и порядку разложения " п "
можно вычислить эфемериды спутника в любой момент времени
на интервале прогноза. Для этого в составе единой модели
продукта имеется объект, используемый всеми приложениями пакета -
загрузчик эфемерид. Любая из прикладных программ использует
данный объект для извлечения координат спутника по имени
файла, записанного в базе данных слотов космической группировки.
На рис. 10.11 показано окно программы в процессе построения
эфемерид.
523

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
10.3. Планирование работы измерительных пунктов
Рассматриваемая в данном разделе программа позволяет
составить такой план работы наземных измерительных пунктов,
который обеспечит заданную точность определения положения
спутников созвездия на орбите за минимальное время. Попутно строится
и план нацеливания антенн на спутники с учетом ограничений на
время перенацеливания антенны и на максимальную
последовательность сеансов измерений.
Пусть заданы созвездие (группировка) спутников и сеть
наземных пунктов, измеряющих навигационные параметры движения
спутников. Навигационные измерения организованы в сеансы
стандартной продолжительности. Частота измерений во время
сеанса постоянна. Сеанс измерений может быть проведен, если
выполнены условия радиовидимости спутника из данного пункта.
Навигационная информация, полученная от всех сеансов
измерений, используется для определения орбиты спутника либо методом
наименьших квадратов, либо методом калмановской фильтрации.
Отдельный измерительный пункт не может одновременно
обслуживать несколько спутников.
С учетом сделанных предположений, расходы на проведение
измерений можно определить по общему числу сеансов измерений.
В качестве характеристики точности работы сети наземных
пунктов рассматривается отклонение положения спутника вдоль
орбиты от номинального (например, на эпоху системы).
Для решения целевой задачи используются методы и
алгоритмы, рассмотренные в главе 7. Перед планированием работы сети
измерительных пунктов необходимо провести моделирование
движения спутников созвездия с помощью программы, рассмотренной
в предыдущем разделе.
Программа осуществляет:
• расчет зон радиовидимости;
• определение апостериорной ковариационной матрицы
обобщенного вектора состояния созвездия в абсолютных
декартовых или орбитальных координатах;
524

10.3. Планирование работы измерительных пунктов
• определение общего времени работы измерительных
пунктов, при котором обеспечивается необходимый уровень
точности определения орбит спутников созвездия;
• планирование работы сети измерительных пунктов для
минимизации среднеквадратического отклонения ошибок
определения положения спутников созвездия на орбите;
• планирование работы сети измерительных пунктов в случае
одновременного обслуживания нескольких спутниковых
созвездий.
Рис.10.12. Выбор системы
Работа начинается с обращения к «Ассистенту эксперимента».
Ассистент эксперимента реализует пошаговый процесс
формирования исходных данных. На первом шаге (рис. 10.12)
пользователь должен выбрать космическую систему.
При нажатии кнопки «Дополнительно» на экран выводится
полная информация о выбранной космической системе. Чтобы
перейти ко второму шагу, необходимо нажать кнопку «Вперед».
525

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
На втором шаге (рис. 10.13) необходимо выбрать временной
интервал планирования. На этом интервале должны быть доступны
эфемеридные данные. Если в списке доступных временных
интервалов таковых не окажется, пользователю следует нажать кнопку
«Отмена» и обратиться к программе моделирования динамики
созвездия.
Рис.10.13. Выбор интервала
При успешном выполнении второго шага в нижней части окна
«Ассистента» появится дата и время начала и окончания интервала
планирования. Кроме того, нажав кнопку «Ков.матрица»,
пользователь сможет увидеть и отредактировать априорную
ковариационную матрицу вектора состояния каждого спутника системы в
начальный момент времени.
На третьем шаге формируется сеть измерительных пунктов
(рис. 10.14). В верхней части окна видна таблица, содержащая
перечень всех пунктов, внесенных в глобальную базу данных. Те
пункты, которые включены в сеть эксперимента планирования,
представлены в нижней части окна. Если в сети нет ни одного
измерительного пункта, то дальнейшая работа невозможна (кнопка
526

10.3. Планирование работы измерительных пунктов
«Вперед» будет заблокирована). Сеть эксперимента формируется
выбором строк из верхней таблицы и нажатием кнопки
«Добавить». В результате создается локальная база данных планирования.
Кроме того, в локальной базе данных формируется таблица
исходных данных процедуры планирования:
- уникальный код эксперимента планирования,
- дата и время начала планирования,
- дата и время окончания планирования,
- флаг завершения вычислений,
- продолжительность сеанса измерений,
- режим планирования (дальномерный/по скорости),
- минимально допустимое число сеансов измерений,
- максимальное число сеансов измерений в
последовательности,
- частота измерений,
- время перенацеливания антенны,
- режим эксперимента.
На четвертом (последнем) шаге (см. рис. 10.15) пользователь
может редактировать исходные данные.
527

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
На каждом из рассмотренных этапов формирования исходных
данных пользователь может вернуться к предьщущему шагу, нажав
кнопку «Назад».
Параметры эксперимента, заданные в процессе диалога с
«Ассистентом», можно затем просматривать и редактировать. Для
этого в главном меню программы-планировщика сети
измерительных пунктов необходимо выбрать Эксперимент / Параметры.
} ^Щтвт пррщ&втянэмйрщуМ ' ;.;■.■■ -:' ;■ ■у;.^;' ",,-
j j-:/~П|юЗД!^в^ ;. ■'; J 8 :;;;■..'_
^; г йнтарвай планированил (продолжит):! 100° .
| 1;'':^;ЙЦ^йе^д^чйгдадйЬн. сеансов; : 1
: !.; МЬк«:Цйслонв$игоцион. сеансов: |
: j--■. ■■.:':■:■.;■ : .._■■.. ■■- ,—~ .
Ийрййльйая точке сеонсп (в доянх): j
',;".'M'eqfpT» измерений: ; .|
Врвмяпйрвклочвниовнтрнны .-':- j
;^жи|К^*ЬЦ]>иментв;-;'' ■■ -'■[-■Режим планирований:
£'-\;*/.%"'-;.''-:- ■;''-:г.'-ч!'.L.:.- ^;4.{'Г;!№я»овиЫнывНйй1'-.:.
i К
32
Р С учетом orphter* ]
.:'^ГОТ^мм^ит:|1е^01Л»1/0в-0?/а1/00 824B."/BIIALC8.CU- Range Measurement
Назад j |j Готово |
Om$&)
Рис.10.15. Исходные данные планирования
Расчет моментов прохода каждым спутником созвездия
измерительных пунктов осуществляется по команде
Моделирование/Зоны радиовидимости. По завершении вычислений
пользователь может просматривать списки зон радиовидимости и
редактировать их. Окно просмотра и редактирования содержит 3 страницы.
Страницы «Зоны обслуживания» и «План работы», имеющие
примерно одинаковую структуру, показаны рис. 10.16. Страница
«Зоны обслуживания» содержит информацию о прохождении
спутником зоны радиовидимости данного измерительного пункта. На
странице «План работы» приведена таблица времен работы данного
измерительного пункта. Обе страницы имеют схожую структуру.
528

10.3. Планирование работы измерительных пунктов
Так, строки таблиц соответствуют спутникам (слотам) созвездия, а
столбцы ~ сеансам измерения навигационных параметров. Знаком
"-" отмечены сеансы, где измерения невозможны.
Если в ячейке стоит слово «Да», то это означает, что спутник
находится в зоне видимости измерительного пункта и возможно
проведение измерений. Слово «Нет» означает, что данный сеанс
исключен пользователем. В правой части страницы приведено
общее количество сеансов измерений навигационных параметров
данного спутника.
|3пны обслуживания и ш»н работы сети НИП
}т:ЛДГГ--..-]'.*:.*■'$?■'■■ &*у.*'- ■■? Номер«авигаийснногосоанса ^;■£„С^М*:«й^«Мн&^^
3 ;*■■.-.
Дел Да Да Да Да Да Да Да Да Да *
ш
108
107
113
На&аййв НИ**: - ХШ&1$
Зоны оЬсяуживания и о лам работы сети НИП
Зоны обслуживания Плен работы | Критерий точности
Номер новиг ационног и сеанса
ЧЧ;1 и1 v llgg^-l
Сумм, кол-во неб, сеансов
"иСЗМфВБЗ [3864 |зв65 [3866 (зб8? J3888 |3869~ [з870 \3№ \ШГ~\,
138S3 [31
Да Да Па Да. До Па Па Да Да Да
jd'
108
107
113
Названий НИП: <fr/at>a ffi
J_nJ
aW**> I
Рис.10.16. Окна просмотра и редактирования сеансов измерений
529

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
Пользователь может редактировать ячейки плана, которые
содержат «Да» или «Нет», нажимая левую кнопку мыши. При этом
текущий символ меняется на противоположный. Таблица плана
работы измерительных пунктов используется только для
априорного анализа точности определения орбит спутников. Для этого в
главном меню «Планировщика» имеется команда
Моделирование/Априорный анализ точности.
Зоны обслуживания и план раНоты сети НИИ
:-!^4*1^иЙ^ точности; |
,гЙ|^]вИЬНЫЙ КрИТ^ИЙ .ТОМНОСТИ г
Ш"№^ ■■■■;;■
;jfV4>-^,;;'- ,v
k7'v.-v^-:"
.pV>.",:V
w'\- '■':.■■'*■■
1
;;1фитёри#)
1 66538164586;
1.26577034032
1.54040355222
058390769986
Н^йание №K:№ttttma ft
■h.i-.'-iv-.►■■:*i.
'■*W#$
Рис.10.17. Критерий точности
Расчет оптимального плана работы сети измерительных пунктов
осуществляется по команде Моделирование/Планирование работы
сети НИП. Эволюция критерия оптимальности сохраняется в
соответствующем файле локальной базы данных созвездия, а
апостериорная ковариационная матрица вектора состояния спутника
обновляется и сохраняется в сервисной базе данных. Эта
информация становится доступной всем программам пакета АСУКС,
которым она может потребоваться для решения той или иной
задачи.
По завершении вычислений пользователь может просмотреть
таблицу времени работы каждого измерительного пункта сети на
странице «Критерий точности», пример которой показан на
рис. 10.17. Также пользователь может видеть значение критерия оп-
530

10.3. Планирование работы измерительных пунктов
тимальности, которое соответствует сгенерированному плану
работы.
•5
Е
т
2000
_1 1_
6000
Nutter of Nav.
4000 6000
Number of Nav. Session
Рис.10.18. Оптимизация плана работы измерительного пункта
По информации, записываемой программой в локальную базу
данных, могут быть построены разнообразные графики с
использованием доступных приложений Windows. На рис. 10.18 показаны
планы работы одного из двух измерительных пунктов сети,
обслуживающей низкоорбитальную группировку из четырех спутников
531

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
на суточном интервале планирования. Графики построены с
помощью приложения Grapher 4.2. Верхний график - неоптимальный
план при суммарном времени работы 8600 с, нижний -
оптимальный план при суммарном времени работы 3172 с. Длительности
сеансов пропорциональны толщинам вертикальных линий,
соответствующих спутникам группировки.
10.4. Определение орбит спутников
Программа предназначена для вычисления математического
ожидания и дисперсии параметров, характеризующих отклонения
вектора состояния спутников созвездия от номинальных значений.
Эти сведения необходимы для оценки степени "деформации"
созвездия вследствие действия возмущающих факторов с
использованием результатов определения орбит отдельных спутников.
Для решения задачи используется следующий подход. Пусть
Kxyz - апостериорная ковариационная матрица вектора состояния
отдельного спутника в терминах декартовых координат, полученная
в результате определения его параметров орбиты на основе
навигационных измерений.
Апостериорная матрица этого спутника в терминах оскулирую-
щих элементов Kosc может быть получена следующим образом:
&OSC = ^KxYzA ,
где А - матрица частных производных оскулирующих элементов
орбиты по компонентам вектора состояния спутника в декартовой
системе координат, вычисленная в точке, соответствующей
номинальному вектору состояния спутника. В качестве опорной
рассматривается орбита, соответствующая эфемеридам спутника на
требуемую дату и момент времени, полученным с помощью
программы моделирования динамики созвездий.
Все отклонения, характеризующие деформацию созвездия
относительно опорной геометрии, вычисляются как разность оценок
параметров, полученных в результате определения орбит и
эфемерид спутника. Пусть, например, и, - оценка аргумента широты
спутника созвездия с номером "/", полученная в результате
обработки измерительной информации, а и] - значение того же пара-
532

10.4. Определение орбит спутников
метра орбиты, полученное при помощи программы моделирования.
Тогда разность фаз спутников созвездия с номерами "/" и "/'
вычисляется следующим образом:
Auij=(ui-uj)-(u?-u°j).
Среднее для данного созвездия значение соответствующего
геометрического параметра орбиты вычисляется по следующей
формуле:
п
а =^—
ср п '
где п - число спутников в созвездии.
Отклонение от среднего вычисляется по формуле:
д# = а — о,;,
ср ср i >
где а{ - значение геометрического параметра орбиты, вычисленное
по эфемеридам.
Среднеквадратическое отклонение этого параметра аср
вычисляется с учетом статистической независимости ошибок
определения параметров орбиты каждого из спутников:
v а ср
Для получения ковариационной матрицы Kqsc в терминах ос-
кулирующих элементов требуется вычислить матрицу частных
производных:
533

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
А =
дО
дх
di
дх
дТ
дх
др
дх
де
дх
ди
дО
ду
di
ду
дТ
ду
дР
ду
де
ду
ди
дО
dz
di
dz
дТ
dz
dp
dz
de
dz
du
dO
дх
di
дх
дТ
дх
dp
дх
де
дх
ди
дО.
ду
di
ду
дТ
ду
др
ду
де
ду
ди
дО
dz
di
dz
дТ
dz
dp
dz
де
dz
ди
дх ду dz дх ду dz
где О - долгота восходящего узла; / - наклонение орбиты; Т -
период обращения спутника; р - фокальный параметр; е -
эксцентриситет; и - аргумент перицентра. Все частные производные,
необходимые для реализации данной программы, были вычислены с
помощью пакета MathCad Plus 6.0. В силу громоздкости, формулы
частных производных не приведены.
Исходными данными для расчетов являются:
- номинальные геометрические параметры орбиты;
- результаты определения орбиты, включающие время, вектор
состояния и соответствующую апостериорную
ковариационную матрицу по каждому из спутников созвездия в
отдельности;
- эфемериды спутников созвездия на соответствующий
интервал времени.
Результаты расчетов содержат:
- математическое ожидание и отклонения положения каждого
из спутников от номинального;
- фазировку спутников созвездия, дисперсию фазировки, а
также отклонение фазировки от номинального значения;
- отклонение плоскости орбиты спутника от требуемого
значения и его дисперсию;
534

10.4. Определение орбит спутников
- отклонения и дисперсии отклонении оскулирующих
элементов от номинальных значений для каждого из спутников
созвездия;
- отклонения взаимного фазирования и расстояний спутников
созвездия, а также соответствующие дисперсии;
- средние значения оскулирующих элементов спутников
созвездия и их среднеквадратические отклонения.
.-Начало " '"Окончание~~
Время:. |it>'V4"/ti """ '
Дега: (ЛЮ'ИЛ \\7
31!
Дата; \?н&' «I О'*
ТЗ
М0мекг времени
Время: 8185
jdAwoik kir4fnt:\seivice sysMestMcst ?1?0 q
« Назад
' ГдтааГЗЗ
Рис.10.19. Выбор основных параметров
Работа с программой начинается с вызова «Ассистента»,
который в целом аналогичен используемому в программе планирования
работы сети измерительных пунктов. Так, первые два шага здесь
полностью совпадают с шагами предыдущей программы. На
третьем шаге (см. рис. 10.19) пользователь должен задать интервал
времени в секундах в пределах выбранного интервала времени, а
также задать имя создаваемого файла. Пользователь может
просмотреть выбранный или созданный файл исходных данных и, если это
необходимо, отредактировать его. Пример окна редактирования
исходных данных показан на рис. 10.20.
При выборе команды Выполнение/Определение состояния
созвездия в начинается анализ созвездия. Результаты отображаются в
окне «Анализ результатов», которое содержит две страницы. На
первой странице (рис. 10.21) представлены значения оскулирующих
535

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
элементов, их отклонении от измеренных значений и с.к.о. этих
отклонений для каждого спутника.
Открыт текстовый Файл d:\¥foi'k-KitMCC\«eivice.»y«\Test\Te«t'^>12uu05453.fial
га
Test «J
2000-01-02 05:04:53
4 - number or' slot ;
1 - «slot 1
State Vector ■?
-6.66344S87399976E+0003 1.108416S4323573E+0003 1.24222610140086E+0003 -1.77208828655^
Covariance Matrix
1.OOQ00Q000QUOOQE+OO0O %
% 0. OO0000OOOO00OOE +0000 1.00O00O0OO0O0O0E +0000 i
0.ООООООООШО0ООЕ+0О00 0.0O000OO0OO00O0E+Q0OO 1.00000000000000E+0000 j
0.00OO00O00O00OOE +0000 0. OOOOOOOOOOOOQOE +0000 0.00000000OOOOOOE +0000 1.000000000001
Q.QGGOOOOOOQOGQGE+OQGO O.OOOOOOOOOOOOOOE+OOOO OOOOOaOOOOOOOOOE+OOOO 0.00000000000»
OOOOOOOOOOOOOOOE+OOOO O.OOOOOOOOOOOOOOE+OOOO 0 00000000000000E+0000 0.000000000001
2 - «slot
State Vector
6.66002171857368E +0003 -1.11433275013430E +0003 -1.25349105853425E +0003 1.79194745617i
Covariance Matrix
1 .OOOOOOOOOOOOQOE+0000
0.0000О0000ООО0ОЕ +0000 1.000O0O0QO00OOOE+00130
O.OOOOOOOOOOOOOOE+OOOO O.OOOOOOOOOOOOOOE+OOOO 1.00000000000000E+0000
O.OOOOOOOOOOOOOOE+OOOO O.OOOOOOOOOOOOOOE+OOOO O.OOOOOOOOOOOOOOE+OOOO 1.000000000001;
"■ 'Л' *"'.'. Л ЛЛ~.'Л:.- :':-Л .:."■■""".-: Л:' :".- :0:-';;.:v:'^::\V;.^^ ~: gancei- [
Рис.10.20. Окно редактирования исходных данных
На второй странице находятся результаты, характеризующие
геометрию созвездия в целом. Пользователю предоставляется
следующая информация:
- осредненные (по всем спутникам созвездия) значения оску-
лирующих элементов;
- отклонения каждого из оскулирующих элементов от
среднего значения для каждого слота созвездия;
- значения параметров, характеризующие положение слотов в
созвездии (фазирование, относительные дальности), а
также их с.к.о.
536

10.4. Определение орбит спутников
Рис.10.21. Окна просмотра результатов
Пользователь имеет возможность сохранить результаты, нажав
кнопку «Сохранить в файле». При этом появляется стандартное
диалоговое окно сохранения Windows.
103. Управление орбитой спутника
Рассматриваемое приложение пакета прикладных программ
АСУКС предназначено для формирования программ управления
почти круговой орбитой спутника космической системы на
различных этапах ее жизненного цикла. Цель управления заключается
в приведении спутника в заданное положение в орбитальной груп-
537

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
пировке. Данная задача возникает как при вводе спутника в
орбитальную группировку с промежуточной орбиты после выведения,
так и при ликвидации рассогласований между номинальными и
текущими параметрами орбиты, возникшими из-за влияния
различных возмущающих факторов. Источником начальных условий
движения является прогноз эфемерид, созданный программой
моделирования динамики созвездий. Для решения задачи управления
терминальным состоянием используются аналитические решения и
полуаналитические алгоритмы численного поиска, полученные в
предположении о возможности разделения коррекций аргумента
широты и наклонения во времени. Пользователь имеет
возможность выбора даты и времени начала коррекции, критерия
оптимальности и режима коррекции наклонения.
Приняты следующие предположения и допущения.
1. Управление осуществляется двигателями координатных
перемещений малой тяги. Принципиальными являются транс-
версальное и бинормальное направления ускорения от тяги.
Трансверсальное ускорение направлено по нормали к
радиусу-вектору в мгновенной плоскости орбиты, а
бинормальное ускорение направлено по нормали к плоскости
орбиты.
2. Начальные условия берутся из файла, созданного
программой прогноза эфемерид.
3. Циклограмма коррекции содержит пассивные и активные
участки. Длительность пассивного участка ограничена
снизу.
4. Система ориентации и стабилизации спутника в течение
активного участка поддерживает постоянное направление
вектора тяги.
5. Коррекция положения спутника в плоскости орбиты по
времени не совпадает с коррекцией наклонения. При этом
сначала корректируется положение спутника в плоскости
орбиты (если это необходимо), а затем - наклонение.
6. Ошибки исполнения коррекций не рассматриваются.
7. Критерием оптимальности может быть либо длительность
коррекции — сумма всех пассивных и активных участков,
либо характеристическая скорость. В любом случае величи-
538

10.5. Управление орбитой спутника
на характеристической скорости АУ% ограничена сверху,
т.е. ДК£<ДР£, где AV£ задается пользователем.
Задача заключается в определении количества коррекций
(активных участков), моментов включения и выключения двигателей,
а также координатных направлений тяги каждого активного
участка из условия выполнения терминальных требований:
a{T) = an v(r) = 0, е(т) < em , ,"(г) = in ,
где Т - момент окончания последней коррекции; а(т) -
аргумент широты; v(t) - дрейф относительно номинального
аргумента широты; е(т) -эксцентриситет, /(г) -наклонение, ап, em, in
- заданные значения.
Поскольку коррекции положения спутника и наклонения
разнесены по времени, при формировании алгоритмов оптимального
управления рассматривались различные системы уравнений
движения. Так, алгоритм управления терминальным состоянием в
плоскости орбиты (т.е. аргументом широты, дрейфом и
эксцентриситетом) получен на основе линеаризации первых двух уравнений
системы (4.71) в окрестности номинальной круговой орбиты заданного
радиуса (см. уравнения (4.126)) при отбрасывании радиального
ускорения от тяги. Напомним, что бинормальное ускорение в
уравнения "плоского" движения не входит. Алгоритм управления
наклонением получен в предположении, что спутник находится на
круговой орбите. При этом используется только уравнение для ос-
кулирующего наклонения из системы (4.71), в которое входит
только бинормальное ускорение от тяги двигателя. Таким образом,
в рамках принятых допущений разделение движения на две
составляющие допустимо. Возмущающие факторы (нецентральность
гравитационного поля Земли, аэродинамическое торможение и т.п.) в
моделях коррекции не учитываются из-за малой
продолжительности этапа коррекции по сравнению с интервалом планирования
полетных операций.
Главной особенностью программы управления орбитой
спутника является применение эвристических решений (опыта ее
авторов). Это означает, что программа скорее ищет подходящее реше-
539

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
ние в своей базе знаний, чем "вычисляет" его. Однако, по
необходимости, подключаются и численные методы оптимизации.
Описание алгоритмов данной программы можно найти в [27].
Работа с программой управления орбитой (далее - программа
УПОР) начинается с команды главного меню Созвездие/Выбрать.
Рабочее окно планирования коррекций программы УПОР
показано на рис. 10.22.
Таблица
слотов
Таблицы параметров
слотов
IrilWIillUill^ffHIIIIIIIIillllNHIIIM-HI.W-l'l-iaB
Статус слотов
2 30Л 2У1039 00.00 00 \Ыч эфемерид
С нот
rl^yAgH
Селектор начального времени
▼ Номинал j Реаяыю
О»
2$s6i.7&ii жтлт
0.0000 0.0001
230.4000 288 Л 324
о окон тмп
63.4000 63 3381
00000 359,3419
;Г, ,♦,''. ,..:■, < » ,■ » . .» , * , /Т К***"*** • l^rVUPG . jrj
[Углйткй. I
flfiftrt» 1э»сщет|р JAM т<ж
Событие
Дата, время
Селектор критерия
Таблица программы коррекции
Рис 10.22. Окно расчета программы коррекции
Окно планирования коррекции орбиты содержит:
- таблицу слотов, из которой пользователь выбирает текущий
(активный) спутник;
- таблицу параметров орбиты активного спутника;
- таблицу программы коррекции, в которой отображается
найденное решение.
540

10.5. Управление орбитой спутника
В таблице слотов отображается предполагаемое время начала
коррекции и текущее состояние находящегося в нем спутника. В
данном случае видно, что параметры орбиты спутника в слоте 1
созвездия выходят за допустимые пределы, о чем свидетельствует
индикация «ВНЕ». В то же время, имеется прогноз эфемерид и,
следовательно, коррекцию можно рассчитать. Отметим, что расчет
коррекции возможен при выполнении ряда условий, а именно -
имеются прогноз эфемерид, двигатели трансверсального и
бинормального координатных направлений и достаточный запас
рабочего тела. При нарушении одного из этих условий расчет
коррекций невозможен. Например, эфемериды спутника в слоте 2
отсутствуют.
Момент начала коррекции орбиты активного спутника
пользователь выбирает с помощью селектора времени, перетаскивая его
ползунок мышью. При этом в таблице параметров синхронно с
перемещением селектора времени отображаются параметры орбиты и
их отклонения от номинальных значений. Имеется возможность
ввода начальных параметров орбиты активного спутника вручную.
Программа УПОР "различает" две разновидности маневров
спутника. Так, если параметры орбиты в начальный момент времени
берутся из файла эфемерид, то маневр называется коррекцией. В
противном случае маневр классифицируется как перевод из одной
точки пространства в другую.
Если при каком-то положении селектора времени в таблице
слотов появится слово «ВНЕ», то можно рассчитать программу
коррекции. Если же на интервале прогноза в любой момент
времени параметры орбиты не выходят за заданные ограничения,
коррекция не требуется. Однако пользователь может получить
программу управления для перевода спутника в другую точку орбиты.
Перед расчетом программы коррекции можно выбрать
критерий оптимальности. Для этого используется Селектор критерия
(см. рис. 10.22). В качестве критерия можно выбрать либо расход
топлива, либо длительность маневра. Если выбран критерий Время,
будет определена программа управления положением с учетом
ограничения на характеристическую скорость (т.е. на расход рабочего
тела).
Все ограничения пользователь задает в окне настройки
программы, которое показано на рис. 10.23. Ограничение на характери-
541

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
стическую скорость учитывается только при маневрировании в
плоскости орбиты. При коррекции наклонения расход топлива
предопределен начальными условиями и заранее выбранной
оптимальной стратегией управления. Это же касается и времени,
необходимого для изменения наклонения на заданную величину.
Настройка программы УПОР ЕЗ
1 Макс, расход Vx
| Макс, время коррекции
| Мин. 1 -ft пасс. уч.
(Мин остальные пасс.уч.
1 Точность поиска
1Критерий
Коррекция наклонения
1 2жЛ
40 м/с ||
10 счт I
10 час I
6 час |
0.5 с |
Время ]
|На восх. ветви j»J ||
X Cancel | |
Рис. 10.23. Настройка ограничений
При нажатии кнопки «Решение» программа УПОР
осуществляет расчет коррекции. Пример таблицы решения показан на
рис. 10.24.
fir
г л
1;
Г
■f*gtJt*^gtMjk
N4MN*
&H
г±:Ш
ЪЩ
ьш
Д*г*,вр«1«1 1иг*.огк*. |Дреа» |Экс»етр. |АШте* |А1«ом
Ma^ii^ok i
ЯПЩШ%\:5£№ \
Ш$9&'&ШГ'\
ДОг№ДО0ОД41.
28/12/1999 08:39:13
J Коррекция [ус -1.130 m/t
[ЩЩЩ 0.0002 0.0000 0.1Э64 0.0000 63.4000 ]
0.1362 0.0002 0.0000 300.9576 300.8214 63.4000
0.1371 -0.1574 0.0003 312.7688 3116318 63.4000
-0.0245 -0.1574 0 0003 253.4286 253.4531 63.4000
-0.0260 0.0000 0.0002 265.2258 265.2518 63.4000
^ J
jT*1.737rev(20h47m5*) . J
Рис.10.24. Пример решения
В строке состояния приведены характеристическая скорость
маневра и его длительность.
542

10.5. Управление орбитой спутника
Программа коррекции орбиты спутника записывается в базу
данных пакета АСУКС. При этом в структуре группировки
соответствующий спутник помечается флагом «требуется коррекция».
Этот факт учитывается как программой планирования полетных
операций (см. ниже), так и программой моделирования динамики
созвездий. Так, программа планирования полетных операций
добавит необходимые команды в план сеанса связи, а программа
моделирования учтет коррекцию при следующем прогнозе эфемерид.
10.6. Планирование полетных операций
Программа планирования полетных операций предназначена
для автоматизации рутинных операций подготовки планов
управления спутниками космической системы в центре управления
полетом. План полетных операций содержит последовательность
команд управления бортовыми системами спутника, например -
включение блоков аппаратуры наблюдения в заданные моменты
времени, включение/выключение двигателей коррекции,
тестирование бортовых систем и т.п. Исходные данные для планирования
полетных операций готовятся как программами пакета АСУКС, так
и оператором центра управления полетом. При этом используется
телеметрическая информация, поступающая по линиям связи со
спутником. Для принятия решений по управлению полезной
нагрузкой требуется информация по прохождению спутником зон
радиовидимости наземных пунктов и теневых участков орбиты.
Важное значение имеет и показ орбитальной обстановки на экране
коллективного отображения центра управления в реальном
масштабе времени.
Программа планирования полетных операций обеспечивает:
- расчет прохождения спутником зон радиовидимости
наземных измерительных пунктов;
- расчет обобщенной зоны радиовидимости спутника на
каждом витке;
- расчет моментов прохождения теневых участков орбиты для
анализа энергобаланса;
- отображение положения спутника на фоне карты Земли в
режиме просмотра;
- сопровождение базы данных команд;
543

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
- сопровождение базы данных состояний бортовой аппаратуры;
- составление рабочего плана полетных операций для каждого
сеанса связи на интервале планирования;
- редактирование планов управления;
- отображение орбитальной обстановки в реальном масштабе
времени.
Программа "обслуживает" спутниковые системы, информация
о которых уже имеется в Глобальной базе данных.
Исходными данными для программы планирования полетных
операций являются:
- текущее состояние орбитальной группировки;
- список наземных пунктов слежения;
- база данных команд управления;
- стандартный план управления;
- база данных состояния бортовых систем КА.
Текущее состояние и список пунктов слежения программа
считывает из Глобальной базы данных по коду спутниковой системы.
Базы данных команд управления и состояния бортовых систем
являются локальными.
Под командой управления понимается единица информации,
передаваемая в бортовой контур управления спутника из центра
управления полетом с некоторого наземного пункта. Любая
команда управления характеризуется уникальным кодом,
наименованием, длительностью и ограничением на угол возвышения антенны.
Каждому из спутников, занесенных в Глобальную базу данных,
может быть поставлена в соответствие собственный перечень
команд. На рис. 10.25 показано типовое окно редактирования базы
данных команд спутника.
Для автоматизации процесса планирования полетных операций
пользователь может составить так называемый мастер-план.
Мастер-план содержит список команд, индивидуальный для каждого
наземного пункта. Этот список автоматически переносится в
рабочий план каждого сеанса управления. При этом в рабочий план
попадают лишь те команды мастер-плана, параметры которых
удовлетворяют ограничениям на угол места при проходе спутником
зоны радиовидимости. Если длительность зоны радиовидимости
544

10.6. Планирование полетных операций
меньше, чем требуется для выполнения команд мастер-плана,
"лишние" команды в рабочий план не попадают.
База данных команд I ТЕ!
ЩГ№\
УГФ]|
К?»
. Наименование
ПУ-0001
ПУ 0002
ПУ-0003
ПУ-0004
ПУ 0005
Тест БЦВН
Тест БЗУ
Сброс БЗУ
ТестСТР
Тест КДУ
| . Д/мг.о-. | Мин,мест; | ^
5
5
. , ц
5
5; -
£
Г Все Г ТК
^ ПУ
г пвг
Комментарии к команде
П У-0005
Рис. 10.25. Окно редактирования базы данных команд спутника
Рабочий план составляется для всех сеансов связи, для которых
имеются записи мастер-плана. Оператор может редактировать
рабочий план каждого сеанса вручную, добавляя новые команды или
удаляя существующие. Пример окна редактирования рабочего
плана показан на рис. 10.26.
При перемещении курсора таблицы плана полетных операций
автоматически перемещается и спутник на карте мира. Таким
образом, пользователь-оператор всегда может контролировать
положение спутника в зоне радиовидимости наземного пункта в момент
выдачи команды.
База данных состояния бортовых систем предназначена для
хранения и отображения в реальном масштабе времени текущего
состояния бортовой аппаратуры спутника. Атрибутами данной базы
являются код системы бортового комплекса, номинальное
состояние на текущий интервал планирования и фактическое состояние.
Под состоянием понимается «ВКЛ-ВЫКЛ», значение измеряемого
параметра и т.п. В дальнейшем предполагается включить данную
базу в контур "обратной связи", который будет изменять ее со-
545

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
стояние с учетом информации, поступающей по каналам
телеметрии.
шшшшшшпша
Дат*
"Виг«м£:']
~В0ОдаДЩИЙ~';(|5У51-1 zi А¥ИС li' 'Й»«- Ь zl
Сеанс
;:';в*«п.
!\B**«ii' '■■
:Ш9
Кате : I" HJ№iweHe»a^e |йит| Гр, j Старт | £roh { Уг.места j А***»^РГ J Jtuerjjj
TK-00G1
ПУ-0001
Ц Л У-0002
^И>м
Тест телеметрии
ТестБЦВМ
Тест Б ЗУ
1 18:04:13
1 18:04:23
1 16:05:08
16:04:15
16:04:24
16:05:10
5.13
5.36
5.81
80.27 DISP-C
78 26 DISPf
68.911
А
т\Ф
шы
Текущее время от входа
Зенит
\ н^Г
Зжжегка
| 5.83
) 14200"*""
АЗИМУТ
\ 78" 26
У г. места
I 5."36
Команды дяя ИСЗ [TEST-1 j
Наименование
П8Г-0001
ПВГ-0002
ПВГ-0003
ПВГ-0004
ПУ-0001
ПУ-0002
Коррекция орбиты
Сброс информации ПН
Включигь Б А
Выключить ЕА
ТестБЦВМ
ТестБЗУ
Рис. 10.26. Окно планирования полетных операций
Помимо составления плана полетных операций данная
программа решает и другую задачу - отображение реальной
орбитальной обстановки.
Орбитальная обстановка проецируется на экран коллективного
пользования с помощью видеопроектора, подключенного к
компьютеру рабочего места специалиста по планированию. Изображение
на экране обновляется каждую секунду. В этом же окне возможен
показ различных слайдов - растровых картинок из заранее
заготовленного перечня. Пример экрана реальной обстановки показан
на рис. 10.27. Можно видеть положение тени на земле. Участки
трассы спутника, соответствующие освещенным и теневым
участкам орбиты, выделены разными цветами.
В число сервисных функций программы входит и
предоставление оператору подробных сведений о прохождении спутником
зоны радиовидимости любого наземного пункта и теневых участков
орбиты (если таковые имеются) на интервале планирования. При-
546

10.6. Планирование полетных операций
мер окна с информацией о прохождении зон радиовидимости
одного из пунктов спутником созвездия показан на рис. 10.28.
Зона
отображения
слайдов
Рис. 10.27. Экран реальной орбитальной обстановки
Проходы НИП - ' Е1!
(Дета
20/11/1339
20/11Л399
20/11/1999
(ЗОЛ 1Л 999
20Л1Л993
121Л1Л999
21/11Л939
21/11Л 939
Прох
5
6
7
8
9
10
11
12
ьи
I гШшШышъ
вит еж
105
106
112
113
114
119
120
121
е- ice
Табмцв проходов НИП ИСЗ [SY3MJ
Вход j Выход | Время | Уч.
09:14:50.0 09:24:20.0 00.03.30.0 Н
10:51:40.0 10:56:50.0 00:05 10.0 Н
20:04:40.0 20:03:40.0 00:05:00 0 8
21:37:00.0 21:46:30.0 00:09:30.0 В
23:13:50.0 23:21:20.0 00:07:30.0 В
07:26:10.0 07:32:50.0 00:06:40.0 Н
03:00:50.0 09:10:10.0 00:09:20.0 Н
10:37:20.0 10:43:20.0 00:06:00.0 И
| Макс, мест ^ Зенит
72.58
3.217
8.708
67.17
15.68
12.45
85.87
11.01
то \% (Контакт \ 01ft2*nti8# Зенит
0Э:О5:30.С
■{;■$„
<|мос. 2:,;|
|ммиСГс|зас11вгЗ|1
57.98 |
108.5 |
133.6 |
86.55
59.22
2Z08
55.83
103.3 Щ
^&№^'ф1^ щ
Рис. 10.28. Пример таблицы зон радиовидимости
Здесь можно видеть дату, номер сеанса связи на интервале
планирования, сквозной номер витка, время начала и окончания зо-
547

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
ны, участок орбиты (восходящий или нисходящий), максимальный
угол возвышения спутника, момент времени, когда антенна
окажется нацеленной в зенит и момент, когда спутник окажется
"засвеченным" Солнцем.
Пример таблицы прохождения теневых участков орбиты
показан на рис. 10.29.
шшшшгпшшшшшшшшшшшишш
виток
95
96
97
98
99
100
101
102
[Дате
19/11/1999
19/11/1993
19/11/1999
13/11/1999
20/11 /1999
20/11/1999
20/11/1999
20/11/1999
&ЖЖСЖ
.'; Йжеш&т т гтШ> -
1в*од
18.27:10.0
20:02:10.0
21 37 20 0
23:12:30.0
00:4/30.0
02:22:40.0
03:57:50.0
05:32:50.0
г &
n.**:.L
^Щыжал
10:55:10.0
20:30:10.0
22:05:20.0
23:40:20.0
01:15:30.0
02:50:30.0
04:25:40.0
06:00:40.0
ffltSwS " 1 """
00:28 00 0
00:28:00.0
00:28:00.0
00:27:50.0
00:28:00.0
00:27:50.0
00:27:50.0
00:27:50.0
ffcarv tf# c&jtfwc ■ \ ■: ;.3*«.*Л» Site
.#Ьяг»-а*/»
гш -\'^'fte-Щ*
f<h?:
~Э
\
Jd
Рис.10.29. Пример таблицы теневых участков
Важной информацией для принятия решений здесь является
суммарное время пребывания в тени и на солнце, что необходимо
для прогноза деградации солнечных батарей и состояния буферных
аккумуляторов.
10.7. Планирование работы бортовой аппаратуры
Целью приложения пакета АСУ КС, рассматриваемого в данном
разделе, является составление оптимального плана работы
бортовой съемочной аппаратуры спутников системы мониторинга, а
также планов работы наземных станций приема информации,
поступающей со спутников. Задача оперативного планирования
решается с учетом заявок на снимки, поступивших к моменту
составления плана, текущего состояния спутниковой системы и
прогнозируемого состояния факторов внешней среды в
планируемый период. Эффективность плана характеризуется набором
показателей, описывающих степень выполнения заявок на снимки
системой, а также участие отдельных спутников, бортовой съемочной
аппаратуры и наземных станций в выполнении этих заявок.
548

10.7. Планирование работы бортовой аппаратуры
Используемые в программе методы и алгоритмы
применительно к типичной современной спутниковой системе мониторинга
приведены в главе 9.
В первую очередь необходимо сформировать список заявок.
После запуска данного приложения из оболочки АСУКС
открывается окно «Менеджера заявок», пример которого показан на
рис. 10.30.
***айя Заявки Плен съемок. "> \
iaHFc.li
D
«а»
©с.
И опоя
Копня..
Удалить
П .1 1Н < ЫЮМК
1
J
1 '
преиьйущий г.яам
4§
V"-'
А
Очистить
выход.
1
1 ,
J J
Рис. 10.30. Менеджер заявок
Пользователь должен выбрать код спутниковой группировки из
числа имеющихся в Глобальной базе данных. В данном случае
выбрана Китайско-Бразильская система мониторинга CBERS.
Пользователь может редактировать список заявок на съемку целей путем
добавления новых, удаления существующих, а также изменения
параметров заявки. Для этого используются командные кнопки,
которые имеются в окне Менеджера. Окно редактирования
параметров заявки открывается двойным щелчком мыши на любой из
строк списка заявок. Его вид показан на рис. 10.31.
Каждая заявка, как нетрудно видеть, характеризуется
приоритетом, требуемым разрешением, датой получения изображения
наземным пунктом. С помощью команды Файл/Печать Менеджера
заявок пользователь может распечатать заявки в виде, показанном
на рис. 10.32.
549
N* 1 И*0#кс {Названы*
LMlLlif
*J
fi
7
0
3
Ш
П
У2
13
14
/Ь
.'•■
78
79
80
81
82
83
84
85
HjH.1. h
'lJll'-
Оттаеа
Рим
Осло
Лиссабон
М<аарид
Белград
Будапешт
Вена
^J
':;;л'й"-5С

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
. Н^Ьанив;'';. |Москва
:| 02.26.1338 12.32
'■••■ -п—ш-
Уроввн»* приоритет*
<Г_ Обычней
Г* .Низкий''
[ Сммйвк*...
Г Тр£б«*ания к времени съемки
j <• В люба$ время
) - С . 'ЙР .зеванной даты
JT В течениипериеЗАв •
Диапазон/раз
Р канал В1
Р канал В2
.-Г? н«иал:ВЭ
: Р канал В4
-Р к-«м4ггВ6 '.
Р«Ш*Иь*».
I
, .
I
I
«!»■-.-;■-
15 :
'•;V'\'
25
100
l*fe*».&'-
Шйротг.*.1г^};:.;' Jf"
* ■ Лолг<зпга: [град} ■. -; JT
57
Рис. 10,31. Параметры заявки
Печать: 18.10.1999
Описок заявок на съемку точечных целей
Код спутниковой системы; X
Страница: 1
Рис. 10.32. Распечатка списка заявок
550

10.7. Планирование работы бортовой аппаратуры
ШЬЦЦШШИШШ
jv? Установлена | Минимальный угол возвышения Солнца [град]
| £> канал В10 £? канал В11
• QK J
ЕЙ
W УСТанОВЛвНа
р Установлен
1 канал - разрешение » надир JmJ ]
2 • 4 каналы - разрешение в надир fN] j
5 канал • рвзрвшенш в надир &**! 1
Максимальный угол захвата от надира [град] ]
Точность установки оси камеры [град} 1
Минимальный угол воэвьадгнйя Солнца (rpaaf ]
Минимальный угол возвышения Солнца frp*»| 1
|7 канвлВб Jv? канал В?
£/ канал В8 р канал В9
10
19.5
«3
27
06
10
^^^Р
10
Рис. 10.33. Окно настройки параметров аппаратуры
В состав исходных
данных программы
входят также
характеристики аппаратуры
наблюдения,
установленной на спутниках,
и координаты
станций приема
космической информации.
Окно настройки
параметров аппаратуры
показано на рис.
10.33. В данном
случае видно, что на
первом спутнике
космической группировки
установлены три комплекта аппаратуры: оптическая поворотная
камера, инфракрасный сканнер и широкоугольная оптическая ка-
Рис. 10.34. Активные станции
551

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
мера. Каждый из комплектов аппаратуры характеризуется
индивидуальными параметрами.
Программа планирования допускает работу с любыми
вариантами комплектации спутников аппаратурой наблюдения.
Соответствующие опции обеспечиваются надлежащей настройкой
программы.
На рис. 10.34 показан пример окна, в котором пользователь
формирует список станций приема информации со спутников. В
список активных станций можно включить все наземные пункты
приема космической информации, имеющиеся в Глобальной базе
данных.
Печать: 20.10.1999
Потенциальные сеансы работы
широкоугольной оптической камеры
Страница 1
Код спутниковой системы: X
Начало планирования; 10,Ок1ибр»Д999 12:00
Продолжительность [дней]; 7
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
Москва
10.10.19991211:29
11.10.199910:30:43
11.10.199912:0501
1210.199910:24:45
1210.199911:58:38
13.10.199910:18:50
13.10.199911:52:17
1410.199910:12:59
14.10.199911:46:00
14.10.199913:23:46
15.10.199910:07:12
15.10.199911:39:46
15.10.199913:1637
16.10.199910:01:31
16.10.199911:33:34
16.10.199913:09:46
17.10.1999 09:55:58
1710.199911:27:25
0:07:02
0:07:02
0:07:23
0:06:40
0:07:37
0:06:13
0:07:47
0:0540
007:52
0:0247
00500
0:07:53
0:04:21
0:04:10
0:07:50
0:0521
0:03:05
0:07:43
205.3
119.1
194.9
113.3
184.6
107.8
174.3
102.5
164.5
253.5
97.4
155.2
242.8
92
146.6
233.2
86.1
138.6
296.2
353.3
299.7
3.4
303.4
14
307.4
24.7
311.9
276.8
35
316.9
2823
44.9
3226
286.3
54.5
329.3
+
+
+
♦
+
-
♦
♦
♦
+
-
+
+
+
+
+
♦
♦
♦
♦
♦
+
♦
♦
♦
♦
♦
+
♦
♦
♦
♦
♦
+
+
♦
Рис. 10.35. Пример отчета
В процессе расчета моделируется траектория движения
спутника группировки и определяются моменты прохода зоны видимости
наземных станций. Для этих моментов фиксируются координаты
спутника и его азимут относительно станции. Если зоны
видимости станций перекрываются, проводится разделение сеансов связи
552

10.7. Планирование работы бортовой аппаратуры
в предположении, что спутник не может одновременно вести
передачу данных на несколько станций. Выбирается та станция, в зону
обзора которой он вошел раньше, и только после выхода из этой
зоны спутник переключается на другую станцию. Для полученных
сеансов связи исследуется возможность вести съемку и прямую
передачу данных с широкоугольной камеры в соответствии с
освещенностью подспутниковой точки на момент времени в середине
сеанса связи. Подобная проверка осуществляется и для
инфракрасного сканера. Если освещенность местности недостаточна,
некоторые из каналов сканера отключаются. Одновременно
определяются моменты времени окончания очередного витка каждого
спутника. Внутри каждого витка ищется момент, когда расстояние
между спутником и целями съемки минимально. Для этого
момента времени проверяется набор ограничений на угол визирования,
допустимое разрешение, время съемки и освещенность цели. Если
ограничения выполняются, потенциально возможная съемка
записывается в локальную базу данных. Расчеты проводятся либо до
конца периода планирования, либо до прерывания его
пользователем.
В результате расчета пользователь получает следующие отчеты:
- список потенциально возможных съемок с использованием
поворотной камеры всеми спутниками группировки;
- список сеансов связи с наземными станциями, включая
информацию о каналах работы ИК сканера;
- список сеансов включения широкоугольной камеры на
различных спутниках в районах станций приема.
Образец отчета о сеансах включения широкоугольной камеры
приведен на рис. 10.35.
Помимо статических ограничений, перечисленных выше,
имеются и динамические, которые на первом этапе планирования не
учитываются. К динамическим относятся ограничения на скорости
переориентации оптической оси прибора, передачи данных на
наземную станцию, записи данных в бортовое запоминающее
устройство, а также ограничение на емкость бортового запоминающего
устройства. Из последовательности съемок, полученной с учетом
статических ограничений, выбираются те, которые, с одной
стороны, удовлетворяют динамическим ограничениям, а с другой —
553

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
обеспечивают максимальное значение критерия оптимальности. В
программе реализованы два алгоритма оптимизации:
приближенный алгоритм последовательных назначений и более точный
алгоритм, реализующий модифицированный метод ветвей и границ.
Теоретические основы оптимизации плана съемки с учетом
статических и динамических ограничений рассмотрены в главе 9.
Пример оптимизированного плана работы инфракрасного сканера и
сеансов связи приведен на рис. 10.36.
[План работы инфракрасного сканера
/Г':' -" V И - Y
К
I
\
\Ьтапщя I НО | Врймямшй.
'■?■■■
JL
■3-
JL
4
9
т
и
•J2
щ
■и
ж
шшшшшшшюшшш^шшшя
Москве 1 10.10.199920:43:03
Москва 1 10.10.199922:18:35
Москва 1 11.10.19998:00:43
Москва 1 11.10.1939 7:35:01
ШШШШШШШШШШШШШжШШтШШяЖ
Москва 1 11.10.1999 20:36:49
Москва 1 11.10.1999 22:12:07
Москва 1 12.10.1999 5:54:45
Москва 1 12.10.1999 7:28:37
Москва 1 12.10.1999 20:30:36
Москва 1 12.10.1999 22:05:42
Москва 1 13.10.19935:48:50
Москва 1 13.10.1999 7:22:17
ганс связи не используется для передачи f
\ Дяиттносгт \
тшшшт
(ВИм
0:07:50
0:04:40
0:07:02
0:07:23
1 '■■*■!
Ж О О О О О О О £> . . ;
"и!
•>■ . .;■':■ '• ..sj
SB
48.1 ;:
24.5. I
54.Г-1
32.С .
' 50.
27.S
56.2- .
34.£
52.2
31Х::
58.3
, Щ
Рис. 10.36. Пример оптимального плана
Результаты планирования работы бортовой аппаратуры
передаются в программу планирования полетных операций (см. раздел
10.6) и учитываются Центром управления полетом при
планировании сеансов связи.
10.8. Пакет анализа и синтеза управляемых созвездий
Комплекс анализа и проектирования управляемых созвездий
входит в состав АСУКС как отдельная интегрированная
подсистема. Комплекс предназначен для решения задач проектирования,
554

10.8. Пакет анализа и синтеза управляемых созвездий
анализа и стратегического планирования функционирования
орбитального сегмента спутниковой системы наблюдения.
В состав комплекса входят оболочка и четыре программы:
~ Априорный анализ эффективности созвездия.
- Оптимизация созвездия.
~ Развертывание созвездия.
- Управление поддержанием созвездия.
Программа априорного анализа эффективности созвездия
предназначена для вычисления характеристик, которые определяют
целевую эффективность созвездия, т.е. его способность решать целевые
задачи. Эффективность оценивается как вероятность решения
заданной совокупности целевых задач с учетом требований к
космической информации по спектральному диапазону, разрешению и
периодичности наблюдения заданного района. Возможен анализ
полетных характеристик созвездия на круговых орбитах с
разнотипной аппаратурой. Программу можно использовать для анализа
различных вариантов созвездия на этапе проектирования, а также
и для стратегического планирования процессов развертывания,
поддержания и восполнения системы.
Программа оптимизации созвездия предназначена для
определения такой структуры орбитального сегмента системы мониторинга,
которая обеспечивает максимальную целевую эффективность при
заданных требованиях к космической информации и составе
бортовой аппаратуры. Эта же программа используется приложениями
развертывания и управления поддержанием как сервер данных.
Программа развертывания созвездия предназначена для
формирования оптимальной стратегии развертывания созвездия,
конечная конфигурация которого известна. Искомая стратегия
устанавливает такую последовательность выведения спутников созвездия,
которая обеспечивает максимальную эффективность
функционирования космической системы в течение всего периода ее
развертывания. Программу можно применять как для стратегического
планирования, так и при решении проектных задач, например задачи
выбора типа ракеты-носителя для развертывания созвездия.
Программа управления поддержанием и восполнением созвездия
позволяет определять частоту коррекции орбит, величины коррек-
555

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
тирующих импульсов, а также моменты окончания рабочего тела
на борту спутников. Определяются также стратегические
характеристики моментов выведения новых спутников.
Все программы имеют одинаковый формат входных данных.
Ввод информации из глобальной базы данных АСУКС
осуществляет программная оболочка ИКАРУС, которая преобразует данные во
внутренний формат приложений и проверяет их правильность с
целью предотвращения ненужных вычислений. Исходные данные
проверяются специальным механизмом обработки данных,
включающим SQL-запрос к глобальной базе данных и тестирование
результата. В случае ошибки пользователь получает сообщение и
программа блокирует все вычисления до ее исправления.
Поддерживается ведение каталога расчетных вариантов.
тштшшшшт
Qafixn Просмотр Донные Запуск £ервис
ни ш
[Созвездие | Приборы | Задачи ] Опции |
Tools
SatCodajSiotCode [LatitudeAfgument{PerigeeAltitude]Eccen4|
SPOT-3 1
SPOT-3 2
SPOT-3 3
788.959
788.959
788.988
fid [Name
Res.
L±LJ
A
m
Щ High Resolution Visii 20
Wide Field Imager 260
8 infrarftect Spectral Si 7$
Slot count! 3
Pilfered I 3
Synchro fNen-sun-^ynchro j
View*mo3e~'~{РСШЛТЖГ^"" """"""P*
Рис. 10.37. Главное окно интегрированной среды ИКАРУС
Главное окно оболочки ИКАРУС показано на рис. 10.37.
Работа начинается с выбора интересующего пользователя созвездия из
числа имеющихся в Глобальной базе данных. Для этого в окне
имеется выпадающий список, связанный с базой данных
созвездий. Пользователь может видеть все спутники данного созвездия,
параметры аппаратуры и список требований потребителя к косми-
556

10.8. Пакет анализа и синтеза управляемых созвездий
ческой информации. Если открыть страницу Задачи, мы увидим
окно с предварительным анализом соответствия аппаратуры
наблюдения, имеющейся на спутниках созвездия, требованиям
потребителя. Так, если какое-то требование не может быть
выполнено из-за того, что ни на одном спутнике нет необходимой
аппаратуры, соответствующая строка таблицы требований будет помечена
красной точкой. Пример страницы требований потребителя
показан на рис. 10.38. Для решения задач проектирования
оптимального созвездия, развертывания и определения стратегии удержания
необходимо задать ряд дополнительных данных, расположенных на
соответствующих страницах окна оболочки.
■ЕШЗЗЯЯЕ
3>айл Просмотр Данные Запуск Сервис
■ Jbixi
•а*
швт
в
Созвездие I Приборы [Задачи | Опции 1
Task list with respact to constellation parameters
Title
Deforestation
Forest fire
Rtver flooding
Oceanography
Land cultivation
SpectBand |l_Top JFJTop |L_Bottom-d
VIS
IR
VIS
VIS
VIS
-74.944
79.628
80.967
-48.178
82.305
1.187
54.855
53.43
-4.987
52.005
-34.796
119.777
121.115 -J
-8.03
122.454 t
J
Спектр! диапазон ! 31 (Visible Oqht
fVi^modfe IFCeOATA
Рис. 10.38. Предварительный анализ исходных данных
С помощью команд меню Запуск пользователь может
выполнить одну из четырех прикладных программ, названных выше. Так,
программа априорного анализа эффективности созвездия
запускается по команде Запуск/Априорный анализ.
На рис. 10.39 приведен пример окна программы априорного
анализа после проведения расчетов.
Большую часть окна занимает изображение карты Земли и
заданных районов наблюдения. Справа от карты имеется селектор
разрешения, а под ней - гистограмма распределения периодично-
557

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
сти наблюдений. В данном случае видно, что при текущих
исходных данных в инфракрасном диапазоне (IRed) 61% площади
наблюдается с периодичностью 3 суток при разрешении 100 м. Цвет
на гистограмме совпадает с цветом соответствующего участка в
районе наблюдения. Таким образом, пользователь получает
наглядное представление о свойствах анализируемого созвездия.
Опции периодичности
. Отн.площадь. %
| Запуск |
4 5 6 7 6 9 10 11 12 13 14 15 16 1? 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 26 29 3ПершдИЧНОСТЬ^ут
:1 Я/ЮЛ 999 11:13:11'
:Baod: IRed Resolution:! 00 m
Рис. 10.39. Программа априорного анализа эффективности
Карта Критерий J Варианты J
>
Задачи
тшшшшшшшшшшшшшшт
шшшвшшшвшшш
Forest Sre
River flooding
Oceanography
Land culhveUor
Decertification
Mineral resources
Vegetation health
{Becoe
0125
о.ш
0.125
0.125
0125
0.125
0125
]Диаг{Разреи
0 0
1 1
( 0
1 0
1 1
0 0
0 0
jjnepHOriMvtHJ
0
0852П455ЯП4
0
0
1
0
0
л
-J
Равновзвешэнная периодичность {0.356605691056909
Взвешенная периодичности 1о"з56605Е31056309~~
lie/Oe/iiJSe 11:13:18
[Band: IRed Resolution:!ПО гг.
Рис. 10.40. Составляющие критерия эффективности
558

10.8. Пакет анализа и синтеза управляемых созвездий
Для просмотра результатов в цифровой форме необходимо
переключиться на страницу «Критерий* (см. рис. 10.40), на которой
представлены составляющие вероятности, входящие в вероятность
выполнения каждой задачи, и в обобщенный критерий. Имеется
возможность сохранения результатов в базе данных вариантов для
их последующего сравнения и принятия проектного решения. Вид
страницы вариантов приведен на рис. 10.41 в виде гистограммы
эффективности.
Программа априорного анализа эффективности реализует
методы и алгоритмы расчета, изложенные в главах 1-3. Она пригодна
для расчета показателей при любых параметрах орбит и спутников,
оснащенных разнотипной аппаратурой. Это обстоятельство
позволяет говорить об универсальности данного приложения АСУКС.
!VК/0//Л 999 16.06:23 Dmid. IRod Hocolutionl ПО т
Рис. 10.41. Сравнение проектных вариантов
Три другие программы подсистемы ИКАРУС, связанные с
проектированием, развертыванием и поддержанием спутниковой
системы мониторинга, реализуют соответствующие подходы,
изложенные в главах с 1 по 3. Однако главным ограничением здесь
выступает кинематическая правильность орбитальной группировки,
оснащенность спутников однотипной аппаратурой и требование
синхронности (солнечной синхронности) орбит.
Программа оптимизации созвездия позволяет определить
параметры орбитальной группировки по критерию максимума целевой
559

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
эффективности в заданном классе кинематически правильных
структур. Программа имеет два режима работы - расчет
эффективности (анализ) и оптимизация (синтез). В первом случае программа
решает задачу, смысл которой в общем аналогичен предыдущей.
Однако специфика рассматриваемых созвездий позволяет
применять более "быстрые" алгоритмы. Время решения задачи
оптимизации зависит от числа спутников созвездия и объема требований
потребителя. Результат оптимизации группировки из трех
спутников показан на рис. 10.42.
<£айл Просмотр Ленные Запуск Сервис
Созвездие | Приборы | 3***ачч j £пиим СО результаты
I Слоты
| I'siptCocte jSatCode iLatrtudeAfgumenJQptLatAjrgt [AscandingNpdeJQptAgcNodej
! |wi " spot-з
} M? SPOT-3 60 Б0
iTest 3/3: Анализ ,--■--•-
■View mode ' FCGDATA ; "• """ " "- "' ' ""-
Рис. 10.42. Страница результатов оптимизации созведия
Двойной щелчок на таблице «Задачи» отображает результаты в
виде графиков.
Для определения оптимальной стратегии развертывания
созвездия главном меню оболочки ИКАРУС следует выбрать пункт
Запуск/Созвездие/Развертывание. В блокнот результатов будут
добавлены страницы диаграмм критерия эффективности и график
развертывания. Диаграмма, иллюстрирующая поведение критерия
эффективности при оптимальном развертывании системы из трех
спутников, показана на рис. 10.43. В данном случае был принят
интервал запуска спутников в 10 суток. Таблица справа от
диаграммы содержит ключевые параметры орбит выводимых спугни-
■ЕЛ
3
jd
560

J0.8. Пакет анализа и синтеза управляемых созвездий
ков. Диафамма показывает поведение критерия целевой
эффективности при вводе в систему очередного спутника.
штшшшшшавшшшшшшшшшшшшш
3>айл Просмотр Данные Запуск Сервис
Ш*>"'т щ ^тщ -й
Созвездие | Приборы j 3»Двчи j £)пции j СО результаты PC результаты |
Criteria diagram | Time tataie | Schedule |
Launching sequence:
Launching!Sat numberjAsc. node,!Latitude
0.0 1
10 0 2
20.0 3
0.0
80.0
120 0
0.0
0.0
0.0
E
2
Steps
Criterion of Maximum mean efficiency for
OPtimallty : deployment period
index of efficiency I
[F_T
iVie^ mude ■^СШуЖА-
Рис. 10.43. Диаграмма критерия эффективности
шттюшшттж
' Фщт
Ш*"Ф1 *%Щ1
Ш:
т
'•• Швпв«йв§г«т_ Time table 'f Schedule} '"'" . - .;'/■;
;.Ottt;ti lit «alts:]
$lotlcicatiem(de9) / pmpeltewt'cftftswm^^tMil. •. \ ;.;. ..."_' .
.;' •.'..'''. •- • Moments of launching (dey*X .'' :-:': •'.'••';■■
^ШтШт
h "'""'
[i
3
шш*>&
0
Б0
120
-/-
; . -|изж;',; ■■ |го.оо ; -j
^^O,O,O75OO.QO:.D.OQ/:SQ0.OO
"" ™
.PFSssar
»¥1еш modi !№ШШ"'
Рис. 10.44. График выведения спутников
561

10. Программно-баллистическое обеспечение космических систем
Таблица с графиком выведения спутников показана на
рис. 10.44.
Ячейки таблицы с данными об уже выведенных и вновь
выводимых на данном этапе спутниках выделены различными цветами.
Для определения стратегии удержания спутников в процессе
эксплуатации системы мониторинга в основном меню ИКАРУС
имеется пункт Запуск/Управление созвездием. По окончании
расчетов в блокнот результатов добавляется страница, показанная на
рис. 10.45. Здесь представлены интервалы между коррекциями,
расход рабочего тела корректирующих двигателей, число
коррекций и зависимость этих характеристик от возможной
характеристической скорости и допустимого разрыва в наблюдениях.
ffl-)g
••:£аэвездив:-';..;:. )':
: €0 р#эуЛЬТ»ТЫ
Прй&оры | Задачи.
PC результаты
'<■.. \ ■'.''■' -"'ОПЦИЙ •
'•• ^р«*^1Ьтаты '■•
Интервал между коррекциями, сут
Корректирующий импульс, км/с
Цисло коррекций
^вмабеэ управления, сут .
V». po»8ibl&d»yiaUpn time, hour
F
Л
У», характеристической скорости
ilTfebJri:.;-;■■ [рУсрг _""" -jlstcor -д|.1 :-|Агд' '••' '■ \ '\тЫх- •.',' 1^Ш/Ш\^-:№Ш:--Ш
№#*ш<& f гссгота
Рис. 10.45. Стратегия управления удержанием
Таким образом, пакет ИКАРУС решает принципиальные
задачи, возникающие при проектировании и эксплуатации
спутниковых систем мониторинга.
В заключение отметим, что комплекс АСУКС,
спроектированный под операционные системы Windows 95 и Windows NT, имеет
поддержку национальных языков.

Литература
1. Авдуевский B.C., Успенский Г Р. Космическая индустрия. — М.:
Машиностроение, 1989.
2. Авиационно-климатический атлас-справочник СССР, т. 1, 2. — Л.:
Гидрометеоиздат, 1975.
3. Алексеев КБ., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование
космических аппаратов. - М.: Машиностроение, 1970.
4. Барите КН., Бурдаев М.Н., Мамон П.А. Динамика и принципы
построения орбитальных систем космических аппаратов. —М.:
Машиностроение, 1975.
5. Бобронников В. Т. Математические модели облачности для априорного
планирования наблюдений Земли из космоса. Исследование Земли из
космоса, 1, 1981, с.83-89.
6. Бобронников В.Т., Пельтихин А.В. Прикладные задачи оценивания
скачкообразных марковских и полумарковских случайных процессов.
Препринт. ~ М.: МАИ, 1989.
7. Брайсон А.Е., Ю-Ши Хо. Прикладная теория оптимального управления.
-М.: Мир, 1972.
8. Вентцель Е.С Теория вероятностей. — М.: Высшая школа, 1998.
9. Гарбук СВ., Гершензон В.Е. Космические системы дистанционного
зондирования Земли. - М.: Издательство АиБ, 1997.
10. Глобальное поле облачности. Ред. Матвеев JI.T. — Л.:
Гидрометеоиздат, 1986.
11. Гонин Г.Б. Космические съемки Земли. - М.: Наука, 1989.
12. Гроот М.Де. Оптимальные статистические решения. - М.: Мир, 1974.
13. Дарнопых В.В., Малышев В.В. Планирование управления съемочной
аппаратурой системы космических аппаратов // Известия РАН.
Теория и системы управления, 1998, N 6.
14. Кондратьев К.Я., Бузтенков А.А., Покровский О.М. Глобальная
экология: дистанционное зондирование // Итоги науки и техники.
Сер. Атмосфера, океан, космос. - М.: ВИНИТИ, 1992. 14. - с.1 - 312.
15. Кондратьев К.Я., Тимофеев Ю.М. Метеорологическое зондирование
атмосферы из космоса. - Л.: Гидрометеоиздат, 1978.
16. Космическое землевладение / Под ред. Садовничего В.А. - М.: МГУ,
1992.
17. Лебедев А.А., Бобронников В.Т., Красильщиков М.Н., Малышев В.В.
Статистическая динамика и оптимизация управления летательных
аппаратов. - М.: Машиностроение, 1985.
563

Литература
18. Лебедев А.А., Красильщиков ММ., Малышев В.В. Оптимальное
управление движением космических летательных аппаратов. - М.:
Машиностроение, 1974.
19. Лебедев А.А., Нестеренко ОМ. Космические системы наблюдения. -
М: Машиностроение, 1991.
20. Лебедев А.А., Соколов В.Б. Встреча на орбите. - М.: Машиностроение,
1969.
21. Малышев В.В., Бобронников В.Т., Карп К.А., Нестеренко ОМ., Федоров
А.В. Пакеты прикладных программ для оптимизации и управления
авиационно-космическими комплексами, "Системный анализ в
технике-3". - М.: Изд-воМАИ, 1994.
22. Малышев В.В., Дарнопых В.В. Оптимизация процесса планирования
съемок наземных объектов с помощью спутниковой системы
наблюдения // Доклады Международной научно-технической
конференции "Современные проблемы управления и обработки
данных", Алушта, 1997.
23. Малышев В. В., Карп К А., Федоров А.В. Автоматизация решения
вероятностных задач. - М.: Изд-во МАИ, 1995.
24. Малышев В.В., Красильщиков ММ., Карлов В.И. Оптимизация
наблюдения и управления летательных аппаратов, - М.:
Машиностроение, 1989.
25. Малышев В.В., Кузнецов А.К, Федоров А.В. Достаточные условия
оптимальности в задачах управления движением. - М.: Изд-во МАИ,
1990.
26. Малышев В.В., Моисеев Д.В. Оперативное планирование съемки земной
поверхности с помощью автоматического ИСЗ // Исследование Земли
из Космоса. 1982, N 5.
27. Малышев В.В., Федоров А.В. Управление движением спутников
космической системы // Сборник трудов II Международной
конференции "Малые спутники. Новые технологии. Миниатюризация.
Области эффективного применения в XXI веке", - М.: ЦНИИМАШ,
2000.
28. Малышев В.В., Чернов Д.Е. Планирование наблюдений наземных целей
с помощью системы автоматических ИСЗ // Известия РАН. Теория и
системы управления, 1997, N 6.
29. Минина Л.С. Практика нефанализа. - Л.: Гидрометеоиздат, 1970.
30. Можаев Г.В. Проблема непрерывного обзора Земли и кинематически
правильные спутниковые структуры // Космические исследования,
Т.10, 6, 1972.
564

31. Назаренко Л.И., Скребушевский Б. С. Эволюция и устойчивость
спутниковых систем. - М: Машиностроение, 1981.
32. Основы синтеза систем летательных аппаратов. / Под ред. Лебедева
А.А. - М.: Изд-воМАИ, 1996.
33. Основы теории полета космических аппаратов. — М.:
Машиностроение, 1972.
34. Павлыш СМ. Описание архива "Спутниковые данные о количестве
общей облачности в баллах, осредненные по условным квадратам",
ВНИИГМИ-МЦД, Лаборатория долгосрочных прогнозов, Обнинск,
1977.
35. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. - М.:
Высшая школа, 1989.
36. Радиолокация поверхности Земли из космоса / Под ред.
Л.И. Мытника. - Л.: Гидрометеоиздат, 1990.
37. Разумный Ю.Н., Ермаченков А.В. Аналитическая методика определения
периодичности обзора Земли спутниковой системой и различные
орбитальные построения для решения задач ИПР. ИЗК, 2, 1995.
38. Решетнев М.Ф., Лебедев А.А., Бартенев В.А., Красильщиков М.Н.,
Малышев В.А., Малышев В.В. Управление и навигация искусственных
спутников Земли на околокруговых орбитах. - М.: Машиностроение,
1988.
39. Савиных В.И, Соломатин В.А. Оптико-электронные системы
дистанционного зондирования Земли. - М.: Наука, 1995.
40. Сахаров Т.Н., Лумбовская Т.Н., Федоров А.В. Расчет возмущенного
движения искусственных спутников Земли. - М.: Изд-во МАИ, 1996.
41. Соати Т., Керне К Аналитическое планирование организации систем.
-М.: Радио и связь, 1991.
42. Сологуб , Аншаков Т.П., Данилов В.В. Космические аппараты
дистанционного зондирования Земли: математические модели для
повышения эффективности КА. - М.: Машиностроение, 1993.
43. Сонечкин Д.М., Хандурова И. С. Результаты исследования
пространственно-временной изменчивости облачности на
Европейской территории СССР // Труды ГМЦ, вып. 50, - Л.:
Гидрометеоиздат, 1969.
44. Справочник по климату СССР, т. 5, Облачность и атмосферные
явления, вып. 1-17, 28, 29. - Л.: Гидрометеоиздат, 1968-70.
45. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. - М.: Советское
радио, 1972.
46. Ханцеверов Х.Ф., Остроухое В.В. Моделирование космических систем
для исследований Земли. - М.: Машиностроение, 1989.
565

Литература
47. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических
систем. - М.: Наука, 1988.
48. Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического
моделирования. - Л.: Машиностроение, 1987.
49. Beste D.C Design of Satellite Constellations for Optimal Continuous
Coverage. IEEE Transactions on Aerospace and Electronics Systems, May
1978.
50. Brown S.C Cloud - Cover Simulation Procedure. Astronautic and
Aeronautic, 7, p.p. 86-89, 1969.
51. Draim J.E. Three- and Four- Satellite Continuous Coverage Constellations.
AIAA Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 6, Nov-Dec.
1985, pp.725-730.
52. Garton, H. Frank. ROSAT Mission Planning and its Perspectives for
Planning Future Scientific Missions. AIAA, 1990.
53. Greaves G Development of a Global Model for Simulation Earth - Viewing
Space Missions. J of App. Meteorology, 12, 1, 1973, p.p. 12-24.
54. Greaves G, Sherr P., Gleaser A. Cloud - Cover Statistics and their Use in
the Planning of Remote Sensing Mission. Remote Sensing of Environment,
1969 - 70, p.p. 95 - 105.
55. Hairer E., Norsett S.P., Wanner G Solviky Ordinery Differential Equation.
I.: Non stiff Problems. Springer-Verlag , Besling, Heidelberg, New-York,
London, Paris, Tokyo, 1987.
56. IERS Technical Note 13. IERS Standard (1992). Edited by Dennis D. Mc
Cartny, V.S. Naval Observatory, July 1992.
57. Koelle D.E Raumfahrt Furschung; 15 Helf 5, 1971. S 182-197.
58. Leland E. Cunningham. On the computation of the spherical harmonic term
needed during the numerical integration of the orbital motion of on artificial
satellite. Celestial Mechancs, Volz, 1970.
59. Luders R.D. Satellite Networks for Continuous Zonal Coverage. American
Rocket Society Journal, Vol. 31, Feb. 1961.
60. Malyshev V.V., Bobronnikov V.T. Missing Planning for Remote Sensing
Satellite Constellation. International Workshop on Mission Design and
Implementation of Satellite Constellations, IAF, Toulouse, November 17-
19, 1997.
61. Malyshev V.V., Bobronnikov V.T Mission Planning for Remote Sensing
Satellite Constellation / J.C. van der Ha (ed.) Mission Design &
Implementation of Satellite Constellations, 1999, p.p.431-437.
62. Malyshev V.V., Bobronnikov V.T., Krasilshikov M.N., Nesterenko O.P.,
Fedorov A. V. Space System Toolbox for Satellite Constellation Design and
566

Control, Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences, Vol. XXI
- Special Issue, p.p.49-56
63. Malyshev V.V., Krasilshikov M.N., Fedorov A.V. Achievements and Trends in
Aerospace Control and Navigation in Russian Space Program, IFAC, 1992.
64. Malyshev V.V., Krasilshikov M.N., Karlov V.L. Optimization of observation
and control processes, AJAA, Washington D.C., 1992.
65. Malyshev V.V., Nesterenko O.P. Comprehensive approach to a low-cost
satellite system designing. IAF, Melbourne, Australia, September 1998.
66. Malyshev V.V., Nesterenko O.P., Nesterenko A. A., Motorny E.I., Fedorov A.V.
A Stereo Coupling Satellite Constellation Dynamics and Formation
Keeping, Netherlands, MAP, 1999.
67. Montenbruck 0.t Pfleger T. Astronomic mit dem ersonal Computer. Springer
Verlag, Berlin, 1993.
68. Rider L. Analytic Design of Satellite Constellations for Zonal Earth
Coverage Using Inclined Circular Orbits. The Journal of the Aeronautical
Sciences. Vol. 34, No. 1, Jan. - Mar. 1986.
69. Sellers F, Lawrence T. Results of low-cost propulsion system research for
small systems and services. Int. Symp, France, 1996, p.p. 267-276.
70. Walker J.G. Constellations Whole Earth Coverage by Circular Orbits
Satellites. Royal Aircraft Establishment Technical Memorandum Space 194,
Apr. 1973.

Научное издание
Малышев Вениамин Васильевич
Красильщиков Михаил Наумович
Бобронников Владимир Тимофеевич
Нестеренко Ольга Петровна
Федоров Александр Викторович
Спутниковые системы мониторинга
ИБ №378
Лицензия ЛР №040211 от 07.04.97.
Подписано в печать 27.04.2000.
Бумага офсетная. Формат 60x84 1/16.
Гарнитура Тайме. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 33,01. Уч.-изд. л. 35,5.
Тираж 500 экз. Заказ 2106. С27.
Издательство МАИ
125871, Москва, Волоколамское шоссе, 4
Отпечатано с готового оригинала-макета
в типографии Издательства МАИ
125871, Москва, Волоколамское шоссе, 4