Author: Левитас Г.Г. Арутюнян Е.Б.
Tags: издания для определенного назначения элементарная математика математика энциклопедия для детей
ISBN: 5—7805—0488—1
Year: 1999
Text
МОЯ ПЕРВАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ
УДК 087.5
ББК 22.10
А 86
Арутюнян Е. Б., Левитас Г. Г.
А86 Математика: Учебное пособие для младших классов. — М.:
АСТ-ПРЕСС, 1999. — 96 с.: ил. — (Моя первая энциклопедия).
ISBN 5—7805—0488—1
Энциклопедия по математике содержит программный математический
материал начальной школы и имеет выходы в курс математики 5—6 классов.
Адресована учащимся младших классов для самостоятельного чтения, их
родителям для домашних занятий с детьми, учителям и воспитателям для
занятий в классе.
А 4Ж0205ИЕ122
8Ш9(03)-99
УДК 087.5
ББК22.10
ISBN 5—7805—0488—1
© «АСТ-ПРЕСС», 1997
Школьнику
Ты держишь в руках свою первую энциклопедию по
математике. Мы написали её специально для учеников
младших классов. А знаешь ли ты, что такое математи-
ка? На уроках в школе ты учишься считать, измерять,
решаешь задачи и примеры. Но это совсем не вся мате-
матика! Настоящая математика больше всего похожа
знаешь на что? На сказку. Ведь она занимается тем, чего
в природе вообще нет. Смотри: математика изучает
числа. Но разве существует, например, число 4? Может
быть 4 конфеты, 4 лапы, 4 угла у квадрата. А само число
4 существует только в воображении людей. И вообще
всё, что изучает математика, создано человеческим ра-
зумом. Тем она и интересна. Когда вырастешь, может
быть, и тебе захочется заняться этой наукой. А пока —
старайся, учись! Первый русский учёный Михайло Ва-
сильевич Ломоносов сам не был математиком, но вот
какие замечательные слова он о ней сказал: «Математику
уже затем изучать следует, что она ум в порядок
приводит».
В нашей книге ты найдёшь ответ на любой вопрос из
школьного курса математики для начальных классов. Най-
ди в алфавитном указателе (в конце книги) нужное тебе
слово и раскрой раздел, в котором это слово разъясня-
ется.
Ещё лучше — прочитай весь этот раздел. А ещё
лучше — прочитай эту книгу с начала до конца. Мы
старались, чтобы тебе было интересно и весело её
читать. Ведь математика — наука очень интересная и
притом — весёлая!
Втягивай в свои занятия математикой своих товари-
щей и взрослых. Ведь без них трудно проверить, хорошо
ли ты понимаешь прочитанный материал. А с ними это
сделать очень легко: умеешь понятно рассказать им о
прочитанном — значит, понимаешь.
3
Взрослым
Здесь разъясняется весь программный математический
материал начальной школы и имеются выходы в курс
математики 5-6 классов. Последнее сделано не случайно.
Многие дети, к счастью, интересуются математикой и
хотели бы знать чуть больше, чем даётся в учебнике,
и книги для внеклассного чтения (к которым относится и
наша энциклопедия) должны удовлетворять этот инте-
рес.
Мы надеемся, что к этой книге ребёнок будет прибе-
гать в случаях, когда ему понадобится вспомнить или
уточнить какой-нибудь материал. Хотелось бы, чтобы вы
вообще приучали ребёнка искать ответы на любые вопро-
сы в разных энциклопедиях, как это делала тётушка
Давида Копперфильда в знаменитом романе Диккенса.
Для удобства пользования текстом мы применяем
знаки на полях:
«для запоминания»,
«обсуждение вопроса»,
«это интересно».
4
Часть 1. ЧИСЛА
1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. Ещё до того, как человек
научится считать, он начинает понимать, что значит «поровну»,
«больше» и «меньше». Если на каждую руку надето по
варежке, то варежек и рук поровну. Если каждому гостю дали
по апельсину и больше апельсинов не осталось, то гостей и
апельсинов поровну. Гости и апельсины совсем не похожи
друг на друга. Но у них есть общее — их поровну.
Точно так же есть общее между пальцами твоей руки,
пальцами твоей ноги, лепестками цветка яблони, щупальцами
морской звезды. Это общее человек постепенно начинает выра-
жать словами: две руки и две варежки, семь гостей и семь
апельсинов, пять пальцев, пять лепестков, пять щупальцев.
Два, семь, пять — это натуральные числа.
Натуральными числами мы пользуемся, когда хотим отве-
тить на вопрос «Сколько?», когда хотим что-ниоудь сосчитать.
Самое маленькое натуральное число — это 1 (единица).
А самого большого натурального числа нет. Ведь какое бы
число предметов мы ни назвали, к ним можно добавить ещё
один предмет — и число предметов увеличится.
Натуральные числа и число нуль можно изображать
точками прямой:
0 *1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И >
Натуральные числа можно сравнивать, складывать, вычи-
тать, умножать и делить. Сумма и произведение натуральных
5
чисел — всегда число натуральное. Разность двух натураль-
ных чисел — число натуральное, если вычитаемое меньше
уменьшаемого. А если числа равны, то их разность равна
нулю. Частное двух натуральных чисел —- число натуральное,
если делимое делится на делитель без остатка.
Натуральное число — это название того общего, что
есть у равных групп предметов.
Натуральные числа используются при счёте предметов.
Самое маленькое натуральное число — 1 (единица).
Самого большого натурального числа не существует.
— А почему натуральные числа так называются? Вот
натуральные соки — это я понимаю: они от самой
природы!
— Натуральные числа — тоже от самой природы. На-
пример, у кота — четыре лапы и один хвост.
Сравнить можно любые числа: которое правее на
числовой прямой, то и больше.
2. ЦИФРЫ. Слова записываются буквами. Букв в разных
языках разное количество.
Хотя букв в каждом языке немного, их хватает, чтобы
написать любое слово, а слов в языке — тысячи.
Числа записывают цифрами. Цифр у нас всего десять: 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Мы называем их арабскими цифрами,
хотя придумали их в Индии около 1500 лет тому назад, а лет
через 500 после этого арабы познакомили с этими цифрами
европейцев.
До этого в разных странах числа записывали по-разному.
Мы и теперь используем римские цифры, придуманные этрус-
ками около 2500 лет назад. Интересно, что среди римских
цифр нет цифры нуль.
6
Цифра — это знак для записи чисел. Мы пользуемся
цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Очень интересовался происхождением арабских цифр
наш великий поэт Александр Сергеевич Пушкин. Он
думал, что все арабские цифры могли получиться из
квадрата, пересечённого диагоналями:
Вот какими цифрами пользовались древние славяне. Это
были буквы их алфавита со специальными чёрточками
наверху. Такая чёрточка называлась «тйтло».
•-* Г» г» •-* • «НВ
I
12345 6 7 89 10
Цифры нуль у древних славян не было.
Магический квадрат — это квадрат, разделённый на
маленькие квадратики-клетки, в которые вписаны числа,
причём суммы чисел во всех столбцах, во всех строках
и в двух диагоналях магического квадрата равны между
2+7+6=15,
9+5+1=15,
4+3+8=15,
Числовой ребус — особый вид математической задачи,
в которой цифры заменены звёздочками или буквами
(одинаковые цифры — одинаковыми буквами, различ-
ные цифры — различными буквами). Решить числовой
ребус — значит расшифровать его.
7
Вот примеры:
+
**
197
2) АБВ
х
ГБВ
Как же решать эти ребусы? Первый ребус нетрудный. Ведь если
сумма двух двузначных чисел равна 197, то одно из чисел обяза-
тельно 99, а другое тогда 98. Поэтому решений у этого ребуса всего
два:
98 или 99
+ 99 + 98
197 197
А со вторым ребусом дело посложнее. Во-первых, при умножении
В на В должно получиться В на конце. Но В — не нуль, значит, В
может быть 1, 5 или 6. В не может равняться 1, так как АБВ • 1 =
= АБВ, а не ГБВ. Значит, В = 5 или В = 6. Во-вторых, трёхзначное
число АБВ при умножении на 5 или на 6 даёт трёхзначное
произведение. Значит, А = 1. Поэтому либо 1Б5 • 5 = ГБ5, либо
1Б6 • б = ГБб. В первом случае подбором находим, что Б = 2, а
Г = 6: 125 • 5 = 625. Во втором случае перебором убеждаемся, что
ни одно значение Б не годится. Так что ответ один: 125 • 5 = 625.
3. НУЛЬ. Нуль записывается одной цифрой 0. Это число,
обозначающее отсутствие каких-либо предметов. Поэтому
нуль меньше любого натурального числа. При записи двузнач-
ных, трёхзначных и многозначных чисел нулём обозначается
отсутствие единиц в каком-нибудь разряде. Например, в числе
805 нуль обозначает отсутствие единиц в разряде десятков:
805 — это 8 сотен и 5 единиц, десятков здесь нет, так же,
как нет тысяч, десятков тысяч и т.д.:
десятки тысяч тысячи сотни десятки единицы
0 0 0 8 0 5
Число 805
При сложении с нулём число не меняется:
18 + 0 = 18, 0 + 23 = 23.
8
При вычитании нуля число не меняется:
46 — 0 = 46. Это можно проверить сложением: 46 + 0 =
= 46 и вычитанием: 46 — 46 = 0.
При умножении нуля на любое число получается нуль.
Например, 0-3 = 0 + 0 + 0 = 0. А так как при перестановке
множителей произведение не меняется, то и 3 • 0 = 0.
При делении нуля на натуральное число получается нуль:
0:4 = 0. Это легко проверить умножением: 0-4 = 0.
Делить на нуль нельзя!
Число 0 означает отсутствие предметов.
— 18 + 0 = 18?
— Конечно! Ведь не прибавили ничего!
— 46 — 46 = 0?
— Конечно! Ведь отняли всё, что было!
Свойства нуля:
При сложении: п + 0 — п, 0 + п = п
При вычитании: п — 0 = п, п — п = 0
При умножении: 0 • п = 0, п • 0 = 0
При делении: 0 : п = 0, делить на 0 нельзя
4. ОДНОЗНАЧНЫЕ И ДВУЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА. Однозначное
число записывается одной цифрой. Однозначных чисел всего
девять:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Цифрой 0 тоже записывается число, но совсем особое. Оно
меньше самого маленького натурального числа — единицы.
Двузначное число записывается двумя цифрами. Первая
цифра означает количество десятков, вторая — количество
единиц.
43 = 4 десятка + 3 единицы = 4 • 10 + 3
92 = 9 10 + 2
9
Числа первого десятка — это девять однозначных чисел и
двузначное число 10.
Числа первой сотни — это девять однозначных, девяносто
двузначных и одно трехзначное число 100.
Однозначное число записывается одной цифрой, дву-
значное — двумя цифрами.
1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9 — однозначные числа;
10, 11, ..., 98, 99 — двузначные числа.
Первый десяток: 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9, 10;
первая сотня: 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100.
— Одна цифра — число?
— Почему бы нет? В русском языке есть слова, записы-
ваемые одной буквой! Придумай 8 таких слов!
1. Сколько существует трёхзначных чисел?
2. Посмотри, сколько страниц в этой книге. Сколько
всего пятерок пришлось напечатать, чтобы перенумеро-
вать все страницы?
Двузначное число^аписываемое цифрами а и Ь, иногда
обозначают так: ab. Это значит, что в числе а десятков
и b единиц, то есть ab = 10а + b (так же, как 56 =
= 10 -5 + 6). Например, ху = 10х + у, Зх = 30 + х,
хЗ = 10х + 3. Точно так же обозначают буквами и
многозначные числа. Например, abc = 100а + 10Ь + с,
Зх4у = 3000 + ЮОх + 40 + у.
5. НАТУРАЛЬНЫЙ (ИЛИ ЧИСЛОВОЙ) РЯД. Натуральный
ряд — это ряд натуральных чисел, начинающийся с единицы
и не имеющий конца. Каждое следующее число натурального
ряда на единицу больше предыдущего:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, ...
Натуральный ряд можно изображать точками числовой
прямой. Натуральный ряд удобно использовать для сравне-
ния натуральных чисел, для вычисления их суммы и
разности.
10
6. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ — прямая, на которой точками
изображены числа.
Числовая прямая может быть горизонтальной или верти-
кальной.
Горизонтальную числовую прямую строят так.
Чертят горизонтальную прямую:
Отмечают на ней какую-нибудь точку и ставят около неё
букву О (эта точка будет обозначать число 0):
__________О_________________________________________
О
Правее точки 0 отмечают ещё одну точку, которая будет
обозначать число 1:
___________О
. •
Числовая прямая построена. На ней можно изобразить
точкой любое натуральное число. Для этого нужно отсчитать
вправо от точки 0 нужное число отрезков, равных отрезку от
0 до 1. Вот, например, изображение числа 5:
О _____________________________
t . • 5
Точно так же чертят вертикальную числовую прямую.
7. ЧИСЛОВОЙ ЛУЧ — часть числовой прямой от нуля
вправо.
8. СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ. Самое маленькое из известных тебе
чисел — число 0. Следующее за ним — самое маленькое
натуральное число — единица. Каждое следующее натураль-
ное число больше предыдущего. При расположении чисел
первого десятка в ряд их очень удобно сравнивать: чем правее
число, тем оно больше, а чем левее, тем меньше.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
Сравнивать числа первой сотни можно так: больше то
число, в котором больше десятков. А если десятков одинако-
вое число, то больше то число, в котором больше единиц.
Числа первой сотни можно записать в такую таблицу:
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
В нижней, первой строке этой таблицы стоят числа первого
десятка, во второй строке — числа второго десятка и так
далее до числа 100.
Поэтому числа в таблице удобно сравнивать:
— чем выше число, тем оно больше, чем ниже, тем
меньше;
— если два числа стоят в одной строке, то больше то,
которое правее, а меньше то, которое левее.
Какое число больше, а
или Ь?
Какое число больше, а или Ь,
b или с, а или с?
12
9. СЛОЖЕНИЕ. Сложение записывается с помощью знака
«+». Например, запись 5 + 2 означает сложение чисел 5 и 2.
5 + 2 — сложение
слагаемое слагаемое
7 — сумма
Чтобы сложить два числа, нужно уметь считать. Сложим 5
и 2. Для этого отсчитаем 5 палочек: и ещё 2 палочки:
А теперь положим их рядышком:
и пересчитаем, сколько их всего.
Оказывается, всего их 7.
Значит, 5 + 2 = 7.
Конечно, и 2 + 5 = 7:
Числа, которые складывают, называются слагаемыми;
число, получающееся при сложении, называется суммой.
От перестановки слагаемых сумма не меняется. Это свой-
ство сложения называется переместительным законом.
Если числа записаны в ряд, то их очень удобно складывать:
чтобы найти сумму чисел, записанных в ряд, нужно от первого
слагаемого продвинуться вправо на столько единиц, сколько
их во втором слагаемом.
Смотри, как легко складывать числа первого десятка:
13
3 + 4 = 7
4 + 3 = 7
Числа первой сотни можно складывать, пользуясь табли-
цей. Для этого надо найти в таблице первое слагаемое,
продвинуться от него вверх на столько рядов, сколько
десятков во втором слагаемом, а затем продвинуться вправо
на столько единиц, сколько их во втором слагаемом.
Смотри:
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
81 82 83 & й S7 88 89 90
71 72 73 ^74 75 76 77 78 79 80
61 62 63 ^64- 65 66 67 68 69 70
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
64 + 23 = 87
два вверх
и три вправо
Многозначные числа складывают столбиком. Но для этого
надо знать наизусть суммы любых двух
однозначных чисел. Все они содержатся в таблице сложе-
ния:
14
Смотри: 4 + 8 = 12
Если ты не знаешь наизусть таблицу сложения однознач-
ных чисел, то тебе нужно потренироваться. Это можно
сделать так.
Вырежь из бумаги восемьдесят одну карточку длиной около
4 сантиметров и шириной около 3 сантиметров. На каждой из
них сделай одну из следующих надписей: 1 + 1, 1 + 2 и так
далее до 9 4- 9. На оборотах карточек можно написать ответы:
2, 3 и так далее до 18.
Перемешай карточки и сложи их в стопку примерами
вверх.
Прочитай пример в верхней карточке. Если ты уверенно
называешь ответ, то надорви эту карточку и положи её
вниз, а если не знаешь ответа, то прочти его на обороте,
несколько раз повтори и положи карточку вниз. Бери
следующую карточку и поступай с ней так же. Когда
какая-нибудь карточка окажется надорванной трижды, вы-
брось её. Постепенно твоих карточек будет всё меньше и
меньше. Работа закончится, когда будут выброшены все
карточки, то есть когда ты будешь твёрдо знать всю
таблицу сложения.
Иногда бывает нужно сложить три числа. Это можно
делать в любом порядке:
15
3+4 + 2 =(3 + 4) + 2 =(3 + 2) + 4 =3 + (4 + 2)
Это — сочетательный закон сложения.
В уме ДО СТА ТОЧНО - ДОСТАТОЧНО
2. Сложи, пользуясь таблицей: 23 + 62; 48 + 2; 57 + 23;
58 + 14.
Законы сложения
т + п = п + т — переместительный закон сложения
т + (п + р) = (т + п) + р — сочетательный закон
сложения
л + 0 = 0 + /? = л — свойство нуля при сложении
Числа первого десятка прибавляй, пользуясь числовым
рядом. Двузначные и многозначные числа складывай
столбиком.
16
10. СУММА — результат сложения.
11. СЛАГАЕМЫЕ — числа, которые складывают.
— Зная два слагаемых, можно найти их сумму. А если
известна сумма и одно из слагаемых? Как найти второе?
— Нужно вычесть из суммы известное слагаемое. Смотри:
3 + х = 9; х = 9 — 3, то есть х = 6;
х + 7 = 8; х = 8 — 7, то есть х = 1.
12. ТАБЛИЦА СЛОЖЕНИЯ — запись сумм однозначных
чисел.
13. ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ. От переста-
новки слагаемых сумма не меняется: а 4- b = b + а.
14. СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ. Чтобы приба-
вить число к сумме, можно прибавить его к первому слагаемо-
му этой суммы, а потом к полученному результату прибавить
второе слагаемое этой суммы: а + (Ь +с) = (а + Ь) + с.
— Я придумал ещё одно свойство сложения: если одно
из слагаемых увеличить на какое-нибудь число, то сумма
увеличится на то же число.
— Да, ты прав. И если одно из слагаемых уменьшить на
какое-нибудь число, то сумма уменьшится на это число.
15. СВОЙСТВО НУЛЯ ПРИ СЛОЖЕНИИ. От прибавления
нуля число не меняется: о+0 = о, 0 + о=о.
16. ВЫЧИТАНИЕ. Вычитание записывается с помощью знака
«—», например, 7 — 2 — запись действия вычитания числа 2
из числа 7.
Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым.
В примере 7 — 2 число 7 — уменьшаемое.
Число, которое вычитают, называется вычитаемым. В при-
мере 7 — 2 число 2 — вычитаемое.
Число, которое получается при вычитании, называется раз-
ностью. Разностью двух чисел является то число, которое в
сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое. Разность чисел 7 — 2
равна 5, так как 5 + 2 = 7.
2—2421
17
7 — 2 — вычитание
уменьшаемое вычитаемое
5 — разность
7 — 2 = 5, так как 5 + 2 = 7
Чтобы научиться вычитать, достаточно уметь считать.
Вычтем из числа 7 число 2. Для этого нарисуем 7 палочек:
А потом зачеркнём 2 палочки:
и подсчитаем, сколько палочек осталось незачёркнутыми. Их
пять. Значит, 7 — 2 = 5.
Точно так же и 7 - 5 = 2 - если из семи палочек
зачеркнуть пять, останутся две:
Г/Г X X /Г I I-
Удобно выполнять вычитание, если числа расположены в
ряд. Смотри, как легко найти разность двух чисел первого
десятка. Нужно от уменьшаемого продвинуться влево на
столько единиц, сколько их в вычитаемом.
Смотри:
1 2 3 4 • 5 6 7 • 8 9 10
Вычитать числа первой сотни удобно, пользуясь таблицей.
18
Смотри:
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
71 72 73 74 75 76 77 78 г79- 80
61 62 63 64 65 66 67 68 №9 70
51 52 53 54 55 56 57 58 >59 60
41 42 43 44 45 46 47 48 М9 50
31 32 33 34 35 36 37 38 >39 40
21 22 23 24 25 26 27 28 >29 30
11 12 13 14 £ 16 17 т М9 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
79 - 64 = 15
шесть вниз и четыре
влево
Многозначные числа вычитают столбиком. Однако для
этого надо уметь вычитать устно числа первого десятка из
чисел первых двух десятков.
Если хочешь потренироваться, сделай карточки со следу-
ющими примерами: 2 — 1, 3 — 1, 3 — 2, 4 — 1, 4 — 2,
4 — 3 и так далее до 20 — 10 (всего 145 карточек).
И потренируйся с ними так же, как описано в статье о
сложении.
А теперь складывай и вычитай числа столбиком, сколько
твоей душе угодно. Сперва — без перехода через десяток:
24 4- 43, 61 + 28, 95 — 34 и так далее. А потом — с
переходом через десяток: 56 + 24, 57 + 29, 53 — 27 и
так далее.
Разность каких чисел находит попугай?
19
Найди этим способом:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Правила вычитания:
а — b = с, если b + с = а и если а — с = b
а — (Ь + с) = а — b — с — вычитание суммы
из числа
17. РАЗНОСТЬ — результат вычитания. Например, в дейст-
вии 6 — 2 = 4 число 4 — это разность.
18. УМЕНЬШАЕМОЕ — число, из которого вычитают. На-
пример, в действии 5 — 2 = 3 число 5 — это уменьшаемое.
19. ВЫЧИТАЕМОЕ — число, которое вычитают. Например,
в действии 11 — 7 = 4 число 7 — это вычитаемое.
— А я придумал новое свойство вычитания: если увели-
чить уменьшаемое или уменьшить вычитаемое на какое-
нибудь число, то разность увеличится на это число.
Смотри: 7 — 4 = 3. Увеличиваю 7 на 2: 9 — 4 = 5 —
разность увеличилась на 2. Уменьшаю 4 на 2: 7 — 2 =
= 5 — разность увеличилась на 2.
— Верно. А если уменьшаемое уменьшить или вычитае-
мое увеличить на какое-нибудь число, то разность
уменьшится на это число.
20. ПРОВЕРКА ВЫЧИТАНИЯ И СЛОЖЕНИЯ. Вычитание и
сложение связаны друг с другом. Из примера 6 + 2 = 8 можно
получить два примера вычитания: 8 — 6 = 2и8 — 2 = 6. Любой
из этих трёх примеров можно использовать для проверки двух
других. Значит, сложение можно проверить вычитанием, а
вычитание — сложением.
20
21. СВОЙСТВА НУЛЯ ПРИ ВЫЧИТАНИИ: а - а = О, а-0 = а.
— Скажи, 6 — 6 = 0?
— Конечно, ведь забрали всё, что было.
— А 13 - 0 = 13?
— Конечно, ведь не взяли ничего!
22. ВЫЧИТАНИЕ СУММЫ ИЗ ЧИСЛА. Чтобы вычесть из
числа сумму двух слагаемых, можно вычесть из него сначала
одно слагаемое, а потом из полученной разности вычесть
другое слагаемое: а — (Ь + с) = (а — Ь) — с.
23. «БОЛЬШЕ НА...», «МЕНЬШЕ НА...». С помощью сложе-
ния и вычитания решаются задачи, в которых есть слова
«больше на...» или «меньше на...».
Задача. Маша нарисовала 8 тигрят, а Вася на 2 тигрёнка
меньше. Сколько тигрят нарисовал Вася?
Наблюдение. Напишем числовой ряд и число 8 обозначим
словом Маша (так как Маша нарисовала 8 тигрят):
...» • ! •.. • • • • » И, » » • » »
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
М
а
ш
а
Вася нарисовал тигрят меньше, чем Маша, значит, словом
Вася нужно обозначить число, которое левее числа 8. При
этом он нарисовал на 2 тигрёнка меньше, значит, располага-
ется на 2 единицы левее Маши:
21
Теперь понятно, как записать решение задачи.
Решение. 8 — 2 = 6. Ответ. Вася нарисовал 6 тигрят.
Попробуй пересказать эту задачу так, чтобы в ней вместо
слова «меньше» было слово «больше». Для этого дополни текст:
«Маша нарисовала 8 тигрят, что на 2 тигрёнка ..., чем их
нарисовал .... Сколько ... нарисовал ...?»
Картинка будет такой же и решение таким же.
А вот задача, которую надо решать сложением:
Задача. У Коли 75 наклеек, а у Пети на 18 больше. Сколько
наклеек у Пети?
Наблюдение (используем числовую прямую):
О 1 2
75 (18) ?
К П
о е
л т
я я
Чтобы найти число Пети, надо к 75 прибавить 18:
Решение.
.75
+ 18
93
Ответ. У Пети 93 наклейки.
«Зе — А я придумал задачу с многозначным числом, кото-
РУЮ можно решить в уме: «Папа в январе заработал на
i Р 34568 рублей меньше, чем в феврале. На сколько
сь 2гг больше заработал папа в феврале, чем в январе?»
— Фу, какая неинтересная задача: всё про деньги, да
про деньги. Моя гораздо лучше: «Волга на 1331 км
длиннее Днепра. На сколько Днепр короче Волги?»
22
24. РИМСКИЕ ЦИФРЫ — семь знаков, с помощью
которых древние римляне записывали числа:
I — один, V — пять, X — десять, L — пятьдесят, С — сто,
D — пятьсот, М — тысяча.
Римские цифры пишут подряд, начиная с ббльших, а
затем все значения цифр складывают. Например, запись
MDCCCLI означает 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 50 +
+ 1, то есть 1851. Можно записывать меньшую цифру и
перед большей, но тогда из значения большей вычитают
значение меньшей. Например, IV означает 5 — 1, то есть 4;
IX означает 10 — 1, то есть 9; XL — это 40; ХС — это
90; CD — это 400; СМ — это 900. Вот запись года
рождения А.С. Пушкина: MDCCXCIX — это 1000 + 500 +
+ 100 + 100 + (100 - 10) + (10 - 1), то есть 1799 год.
1 - I 6 — VI 11 — XI
2 — II 7 - VII 14 — XIV
3 - III 8 — VIII 19 — XIX
4 — IV 9 — IX 40 — XL
5 — V 10 — X 99 — XCIX
25. УМНОЖЕНИЕ. Умножение можно записать с помощью
косого креста или с помощью точки: 2x8 или 2-8 — это
записи умножения числа 2 на число 8. Каждое из перемножа-
емых чисел называется множителем: в нашем примере числа
2 и 8 — множители. А результат умножения называется
произведением.
2 5 — умножение
множитель множитель
10 — произведение
Чтобы найти произведение двух чисел, нужно найти
сумму нескольких одинаковых слагаемых; каждое из слага-
емых должно равняться первому множителю, а число
слагаемых должно равняться второму множителю. Например,
чтобы найти произведение чисел 5 и 3, нужно найти сумму
23
нескольких одинаковых слагаемых; каждое из слагаемых
должно равняться первому множителю 5, а число слагаемых
должно равняться второму множителю 3:
5. 3 = 54-5 + 5 = 15.
В древности числа умножали так. Если нужно было
умножить 5 на 3, чертили прямоугольник, состоящий из трёх
полосок, в каждой из которых было по 5 квадратов:
одна полоска
из 5 квадратов
прямоугольник 5 ♦ 3
А потом подсчитывали число квадратов в получившемся
прямоугольнике. В нашем прямоугольнике их 15. Значит,
5 • 3 = 15.
В наше время числа умножают столбиком. Но для этого
нужно знать наизусть таблицу умножения однозначных чисел:
X 1 2 3 4 • 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8» 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81
Смотри: 4 ♦ 8 = 32
24
Выучивать таблицу умножения можно так же, как и таблицу
сложения, — с помощью карточек (см. с. 15).
От перестановки множителей произведение
не меняется: а b = b а
Это правило называется переместительным
законом умножения
Иногда бывает нужно перемножить три числа, например,
найти произведение чисел 5, 3 и 2. В древности это делали так.
Строили ряд Строили слой А потом строили фи-
из 5 кубиков: из трех таких гуру из двух таких
рядов: слоёв:
Сколько кубиков в одном
кубиков в одном слое? Их 3 •
во всей этой фигуре? Их в 2
слое, то есть 2 • 15 = 30.
ряду? Их пять. Сколько
5 = 15. А сколько кубиков
раза больше, чем в одном
25
Сложение и умножение имеют общие свойства. Оба они
подчиняются переместительному закону (от перестановки
слагаемых сумма не меняется и от перестановки множителей
произведение не меняется): 24-5 = 5 + 2 и 2-5 = 5- 2.
И оба они подчиняются сочетательному закону:
2 + (3 + 5) = (2 + 3) + 5 и 2 • (3 • 5) = (2 • 3) • 5.
Но есть и такой закон, в котором эти действия участвуют
по-разному. Это распределительный закон умножения от-
носительно сложения (чтобы умножить число на сумму,
можно умножить его на каждое из слагаемых, а результаты
сложить): 2 • (4 + 6) = 2 • 4 + 2 • 6.
И в самом деле, рассмотрим такую картинку:
'ШШ
1ШЛ
Светлая часть прямоугольника даёт нам 2-4 = 8, тёмная —
2 • 6 = 12, а весь прямоугольник даёт нам 2 • 10 = 20. То есть
2 • 10 = 2 • 4 + 2 - 6,
2 • (4 + 6) = 2 • 4 + 2 • 6.
Существует и распределительный закон умножения от-
носительно вычитания: 2 • (10 4) = 2 • 10 — 2 • 4. И правда,
раз 2 • 10 = 2 • 6 + 2 • 4, то 2 • 6 = 2 • 10 — 2 • 4.
Законы умножения:
a b = b а — переместительный закон умножения
а • (Ь • с) = (а • Ь) • с — сочетательный закон
умножения
а (Ь + с) = а- Ь+ а с — распределительный
закон умножения относительно сложения
а • (Ь — с) = а • b — а с — распределительный
закон умножения относительно вычитания
о • 0 = 0, 0-а = 0 — свойства нуля при умножении
а • 1 = а, 1 • а = а — свойства единицы при
умножении
26
1. Придумай задачи, которые решаются так:
1) 3 + 0 = 3; 2) 30 = 0; 3) 3-1 = 3.
2. Нарисуй прямоугольник длиной в 5 см и шириной в
1 см, расчерти его на квадратные сантиметры и подсчи-
тай, сколько их в этом прямоугольнике.
3. Построй прямоугольник для умножения числа 4 на
число 3.
4. Построй прямоугольник для умножения числа 3 на
число 4.
5. Докажи, используя этот прямоуголь-
ник, что 3 • (2 + 4) = 3 • 2 + 3 • 4.
Когда великому немецкому математику Карлу Фридриху
Гауссу было шесть лет, учитель велел ему найти сумму
всех натуральных чисел от 1 до 100. Маленький Карл
решил эту задачу за две минуты: он сложил первое из
этих чисел с последним и умножил результат на 50:
1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = (1 + 100) • 50 = 101 • 50 =
= 5050.
Как рассуждал Гаусс, мы легко поймём на более лёгком
примере: 1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.
Сначала решим эту задачу геометрически. Для этого
изобразим искомую сумму в виде геометрической фигу-
ры, состоящей из стольких квадратиков, сколько в этой
сумме единиц:
Теперь нарисуем такую же
фигуру в другом положении:
27
А теперь приложим одну фигуру к другой. Получится
прямоугольник, в котором квадратиков в два раза боль-
ше, чем нам нужно: ведь наших фигур в этом прямо-
угольнике две:
каждой из составивших его фигур квадратиков вдвое
меньше, то есть 11-5. Таким образом, 1+2 + 3 +
+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10 = (1 + 10)-5=11-5 =
= 55 (это легко проверить, сложив все десять чисел).
Можно обойтись и без геометрических фигур. Достаточ-
но сообразить, что суммы чисел 1 + 100, 2 + 99, 3 +
98 и так далее равны одному и тому же числу 101. Ведь
переходя от одной суммы к другой, мы увеличиваем на
1 первое слагаемое и уменьшаем на 1 второе слагаемое,
так что сумма не меняется. А всего таких сумм 50 (мы
разбиваем 100 чисел на 50 пар). Значит, вся сумма равна
101 • 50 = 5050.
26. ПРОИЗВЕДЕНИЕ — результат умножения. Например, в
действии 2-3 = 6 число 6 — это произведение.
27. МНОЖИТЕЛИ — числа, которые перемножают. Напри-
мер, в действии 3 • 7 = 21 числа 3 и 7 — множители.
28
— А я придумал новое свойство умножения: если увели-
V. чить °ДИН из множителей во сколько-то раз, то произве-
дение увеличится во столько же раз.
®* — Да, конечно. И если один из множителей уменьшить
во сколько-то раз, то произведение уменьшится во
столько же раз!
28. ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ — запись произведений одно-
значных чисел.
29. ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН УМНОЖЕНИЯ. От пере-
становки множителей произведение не меняется: а • b = b • а.
30. СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН УМНОЖЕНИЯ. Чтобы умно-
жить число на произведение, достаточно умножить его на
первый множитель, а затем полученный результат умножить на
второй множитель: а • (Ь • с) = (а • Ь) • с.
31. СВОЙСТВА ЕДИНИЦЫ ПРИ УМНОЖЕНИИ. От умноже-
ния на единицу число не меняется: а • 1 = а, 1 • а = а.
32. СВОЙСТВА НУЛЯ ПРИ УМНОЖЕНИИ: а • 0 = 0, 0 • а= 0.
33. ДЕЛЕНИЕ. Самое трудное действие с натуральными
числами — это деление. Деление записывается с помощью
двоеточия, например, 6:2 — запись деления числа 6 на
число 2.
Число, которое делят, называется делимым, число, на
которое делят, называется делителем. В примере 6 : 2
число 6 — делимое, а число 2 — делитель.
Число, которое получается при делении, называется част-
ным.
^6 : 2^— деление
делимое делитель
3 — частное
Если умножить частное на делитель, получится делимое.
Частное 6 : 2 равно 3 и 3 • 2 = 6. Понятно, что если 6:2 = 3,
то 6 : 3 = 2, так как если 3 • 2 = 6, то и 2 • 3 = 6.
Значит, деление — действие, обратное умножению, подоб-
но тому, как вычитание — действие, обратное сложению.
29
Сравни:
Разность — это число, кото-
рое в сумме с вычитаемым
даёт уменьшаемое:
9 — 3 = 6, так как
6 + 3 = 9
Частное — это число, кото-
рое в произведении с дели-
телем даёт делимое:
8:2 = 4, так как
4-2 = 8
а — b = с, если b + с = а а : b — с, если b • с = а
Деление — действие более трудное, чем сложение и вычи-
тание и даже чем умножение.
У любых двух чисел можно найти сумму и произведение.
Разность двух чисел можно всегда найти, если первое число
не меньше второго. А вот частное двух чисел можно найти не
всегда, даже если первое число больше второго. Например,
число 8 на 2 делится (8 : 2 = 4), а на 3 не делится.
Как же делят числа и как узнают, можно ли разделить одно
из чисел на другое?
В таблице умножения можно найти много примеров на
деление. Например, в ней сказано, что 8 • 7 = 56. Отсюда
сразу получается, что 56 : 7 = 8 и что 56 : 8 = 7.
Выучи наизусть все примеры деления, получающиеся из
таблицы умножения. Для этого поработай с такими карточками:
4 : 2 6 : 2 6 : 3 8 : 2 8 : 4 9 : 3 10 : 2 10 : 5
12 : 2 12 : 3 12 : 4 12 : 6 14 : 2 14 : 7 15 : 3 15 : 5
16 : 2 16 : 4 16 : 8 18 : 2 18 : 3 18 : 6 18 : 9 20 : 2
20 : 4 20 : 5 21 : 3 21 : 7 24 : 3 24 : 4 24 : 6 24 : 8
25 : 5 27 : 3 27 : 9 28 : 4 28 ; 7 30 : 5 30 : 6 32 : 4
32 : 8 35 : 5 35 : 7 36 : 4 36 : 6 36 : 9 40 : 5 40 : 8
42 : 6 42 : 7 45 : 5 45 : 9 48 : 6 48 : 8 49 : 7 54 : 6
54 : 9 56 : 7 56 : 8 63 : 7 63 : 9 64 : 8 72 : 8 72 : 9
81 : 9______________________________________________________
Как работать с карточками, посмотри на с. 15.
Зная эти примеры наизусть, можно приступать к делению
углом.
30
Человечество не сразу додумалось до этого способа деления.
Долгое время способы деления были так сложны, что школьники
не могли научиться делить многозначные числа.
Теперь же любой отличник умеет делить углом. Вот,
например, как можно разделить число 624 на 24.
Запишем эти числа так:
624 | 24
Делимое меньше тысячи, но больше сотни. Значит, при
делении его на 24 не может в частном получиться тысяч.
Посмотрим, получатся ли сотни. Разделим 6 сотен на 24. Нет,
сотен в частном не окажется. А десятки? В числе 624 десятков
62. Разделим их на 24. Будет 2 десятка, и ещё останется: ведь
24 раза по 2 десятка — это 48 десятков. А у нас их 62:
624 | 24
48 2
14
Осталось 14 десятков, то есть 140 единиц. Но в числе 624
есть ещё 4 единицы. Сносим их и узнаём, сколько единиц
получится в частном от деления 144 единиц на 24:
624 |_24
“41 26
_144
144
0
Вот ещё один пример на деление:
47076 | 12
~36_ 3923
110
“108
_27
24
_36
36
0
31
Решение этого примера можно показать на схеме:
47076 | 12 _ ' 47076 | 12 3 — • 47076 I 12 36 3
47076 | 12 36 3 11 * 47076 | 12 36 39 110 47076 | 12 36 39 110 108
-47076 | 12 _47076 | 12 -47076 | 12
36 _110 39 36 110 392 36 110 392
108 ~108 108
2 27 _27
24
-47076 | 12 36 392 -110 108 27 24 3 47076 | 12 36 3923 -110 108 27 24 36 -> -47076 | 12 36 3923 110 108 27 24 36
Д
32
1. Раздели таким же образом число 47078 на 12 и
убедись, что 2 единицы остаются. Например, если на
12 человек попытаться разделить поровну 47078 конфет,
то каждому достанется по 3923 конфеты, а 2 конфеты
останутся. Это — деление с остатком.
2. По таблице умножения составь примеры на деление
числа 35.
34. ЧАСТНОЕ — результат деления. Например, в действии
6:2 = 3 число 3 — частное.
35. ДЕЛИМОЕ — число, которое делят. Например, в дейст-
вии 12 : 3 = 4 число 12 — делимое.
36. ДЕЛИТЕЛЬ — число, на которое делят. Например, в
действии 24 : 6 = 4 число 6 — делитель.
37. ПРОВЕРКА ДЕЛЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ. Деление и умно-
жение связаны друг с другом так же, как вычитание и
сложение. Из примера 4-2 = 8 можно получить два примера
деления: 8 : 4 = 2 и 8:2 = 4. Любой из этих трёх примеров
можно использовать для проверки двух других. Значит, умно-
жение можно проверить делением, а деление — умножением.
38. СВОЙСТВА ЕДИНИЦЫ ПРИ ДЕЛЕНИИ, а : а = 1,
а : 1 = а.
39. СВОЙСТВА НУЛЯ ПРИ ДЕЛЕНИИ. 0 : а = 0, делить на
нуль нельзя.
40. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА НА ПРОИЗВЕДЕНИЕ. Чтобы разделить
число на произведение, можно разделить его на один из
множителей, а затем полученное частное разделить на второй
множитель:
24 : (2 • 3) = (24 : 2) : 3, и вообще а: (Ь • с) = (а: Ь) : с.
3—2421
33
41. «БОЛЬШЕ В...», «МЕНЬШЕ В...». С помощью умножения
и деления решаются задачи, в которых есть слова «больше
в...» или «меньше в...».
Задача. Миша исправил за неделю 3 двойки по поведению,
а Коля в 2 раза больше. Сколько двоек по поведению исправил
за неделю Коля?
Наблюдение. Напишем числовой ряд и число 3 обозначим
словом Миша (так как Миша исправил 3 двойки):
О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
М
и
ш
а
Коля исправил двоек больше, чем Миша, значит, словом
Коля нужно обозначить число, которое правее числа 3. При
этом Коля исправил вдвое больше двоек, поэтому он
располагается от начала ряда вдвое дальше, чем Миша:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
М К
и о
ш л
а я
Теперь понятно, как записать решение задачи.
Решение. 3-2 = 6. Ответ: Коля исправил 6 двоек.
Ту же самую задачу можно пересказать так, чтобы в ней
вместо слова «больше» было слово «меньше». Дополни
текст этой задачи: «Миша исправил 3 двойки, что в ... раза
..., чем Коля. Сколько ... исправил ...?»
А вот задача, которую надо решать делением:
Задача. У Веры 185 ирисок, а у Любы в 5 раз меньше.
Сколько ирисок у Любы?
34
Наблюдение (используем числовую прямую):
О 1 2
в 5 раз
Л
g
185
В
е
Р
а
Чтобы решить задачу, нужно 185 разделить на 5.
Решение. 185 : 5 = 37. Ответ", у Любы 37 ирисок.
— Некрасиво получается. От нуля до Веры почти столько
у/оЖейК же, сколько до Любы, а надо в 5 раз больше.
LP ” А ты стР°й по клеткам. Возьми расстояние от нуля до
os fer Веры в 10 клеток, чтобы делилось на 5.
— А единицу где ставить?
— Вообще не ставь.
0
185
В
е
Р
а
42. ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ. Не всегда удаётся разделить
одно натуральное число на другое. Например, нельзя разде-
лить 15 предметов поровну между двумя людьми; нельзя
разделить 15 предметов на равные части по 2 предмета в
каждой. Вообще 15 не делится на 2. Однако, если всё же
начать делить 15 на 2 части, можно узнать, что из числа 15
получается 2 части по 7 предметов в каждой и 1 предмет при
этом останется: 15 : 2 — 7 (1 в остатке). При таком делении
число, которое делят, называется, как обычно, делимым, а
число, на которое делят, — делителем. Частное называется в
этом случае неполным. Итак, при делении делимого 15 на
делитель 2 получается неполное частное 7 и остаток 1.
15 : 2 = 7 (ост. 1)
делимое делитель неполное частное
35
43. НЕПОЛНОЕ ЧАСТНОЕ — результат деления с остатком.
В действии 14 : 3 = 4 (2 в остатке) число 4 — неполное
частное.
44. ОСТАТОК — число, получающееся при делении с остат-
ком. Например, при делении числа 10 на 6 получается оста-
ток 4.
45. ЧЁТНОЕ ЧИСЛО — число, которое делится на 2 без
остатка. К чётным числам относятся 0, 2, 4, 6 и т. д.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...
46. НЕЧЁТНОЕ ЧИСЛО — натуральное число, которое не
делится на 2 без остатка. К нечётным числам относятся 1, 3,
5, 7 и т. д.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...
Когда великому русскому математику Андрею Николаевичу
Колмогорову было шесть лет, он придумал, как вычислять
суммы первых нечётных чисел. Например, чтобы найти сумму
100 таких чисел, достаточно умножить 100 на 100:
1 + 3 + ... + 197 + 199 = 100 • 100 = 10000.
Почему это так, мы поймём, изображая нечётные числа
в виде таких вот фигурок:
А теперь будем прикладывать к первой фигурке вторую,
потом третью и так далее. Каждый раз будет получаться
квадрат со стороной, равной числу сложенных фигурок:
36
1
1 + 3
1 + 3 + 5
1 2-2 3-3
Понятно, что и следующие нечётные числа будут
достраивать этот квадрат до новых квадратов:
Поэтому, чтобы найти сумму нескольких первых нечётных
чисел, достаточно умножить их количество само на себя.
47. ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. Пришёл черёд
разобраться, как устроена та система, в которой мы записыва-
ем числа, — как устроена десятичная система счисления.
В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
Каждая следующая цифра на 1 больше предыдущей:
1-0=1, 2-1 = 1, 3-2 = 1, 4-3=1,
5-4=1, 6-5 = 1, 7-6 = 1, 8-7 = 1, 9-8 = 1.
Если число записано несколькими цифрами, то каждая
цифра означает в 10 раз больше единиц, чем такая же
соседняя цифра справа. Так, в числе 555 вторая пятёрка
означает в 10 раз больше единиц, чем её соседка справа:
не 5 единиц, а 10 • 5 = 50 единиц. А третья справа цифра
37
этого числа означает ещё в 10 раз больше единиц: не 5 и
не 50, а 10 • 50 = 500 единиц. Всё число 555 получается
сложением 100 -5 + 10-5 + 5.
5
5 сотен, то есть |
500 единиц________I
5 десятков, то есть
50 единиц ----------
5 5
5 единиц
— А чему равно число, у которого самая первая справа
цифра а, следующая цифра Ь, следующая цифра с и
следующая цифра сП
— То есть число dcbdl Оно равно
1000с/ + 100с + 10b + а.
— К какие ещё бывают системы счисления?
— Ну, например, двоичная! В двоичной системе всего
две цифры: 0 и 1, — и каждая цифра означает в два
раза больше единиц, чем такая же соседняя цифра
справа.
единица
• 2, то есть 2 единицы
• 2 • 2, то есть 4 единицы
• 2 • 2 • 2, то есть 8 единиц
8
+ 4
+ 2
+ 1
Запись 1111 в двоичной системе означает число 15.
А запись 101110 в двоичной системе означает число 46.
48. РАЗРЯДНАЯ СЕТКА. Число, записанное в десятичной
системе счисления, очень удобно располагается в разрядной
сетке. Разрядная сетка — это таблица, у которой столбцы
содержат разряды единиц, десятков, сотен, тысяч и так
далее:
38
Разряды
Милли- оны Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Едини- цы
Чтобы не ошибиться, лучше записывать натуральные числа
справа налево, начиная с разряда единиц. Например, число
8403279 можно записать в разрядной сетке так: сначала
цифру единиц 9:
Разряды
Милли- оны Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Едини- цы
9
Затем можно записать цифру десятков 7 и остальные
цифры:
Разряды
Милли- оны Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Едини- цы
8 4 0 3 2 7 9
Каждые три разряда, начиная справа, образуют класс:
первые три разряда — класс единиц, следующие — класс
тысяч, следующие — класс миллионов, затем идут милли-
арды, квадриллионы, квинтиллионы, секстиллионы, септил-
лионы, октиллионы, нониллионы, декаллионы. Следующие
классы не имеют специальных названий. Внутри каждого
класса есть разряд единиц, разряд десятков и разряд сотен.
39
Например, цифра, стоящая в разряде сотен в классе тысяч,
обозначает сотни тысяч.
Разрядная сетка с написанными классами выглядит так:
Классы и разряды
Миллионы Тысячи Единицы
Де- сятки Еди- ницы Сотни Де- сятки Еди- ницы Сотни Де- сятки Еди- ницы
49. РАЗРЯДЫ — столбцы разрядной сетки.
50. КЛАССЫ — тройки столбцов разрядной сетки, считая
справа. Первый, второй и третий столбцы образуют класс
единиц. Четвёртый, пятый и шестой столбцы — класс тысяч.
Седьмой, восьмой и девятый столбцы — класс миллионов. И
так далее.
51. КРУГЛОЕ ЧИСЛО — число, запись которого оканчива-
ется нулём: 10, 70, 100, 130, 34567800.
52. УМНОЖЕНИЕ НА 10, 100, 1000... Умножение какого-ни-
будь числа на такие числа это передвижение его в разряд-
ной сетке влево. При умножении на 10 число смещается влево
на один разряд, и в его записи появляется нуль справа:
37 • 10 = 370, 420 • 10 = 4200.
При умножении на единицу с несколькими нулями число
смещается влево на столько разрядов, сколько нулей в
записи второго множителя. Объясняется это распределитель-
ным законом умножения:
523 • 100 = (100 • 5 4- 10 • 2 4- 3) • 100 = 10000 • 5 +
+ 1000 • 2 4- 100 • 3. Так что цифра 5 из разряда сотен
перешла в разряд десятков тысяч (сместилась на два
разряда влево). Цифра 2 также сместилась на два разряда
влево: из разряда десятков в разряд тысяч. И’ цифра 3
40
сместилась из разряда единиц в разряд сотен — на два
разряда влево:
Разряды
Милли- оны Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Едини- цы
0 0 0 0 5 2 3
0 0 5 -— —(Г 0
53. ДЕЛЕНИЕ СУММЫ НА ЧИСЛО. К Новому году папа и
мама принесли детям конфет: папа 15 конфет и мама 25 кон-
фет. Как разделить их поровну на пятерых детей?
Можно сложить все конфеты вместе: 15 4- 25 = 40 —
а затем разделить на пятерых: 40 : 5 = 8.
Но можно поступить и иначе: разделить на пятерых
конфеты папы: 15 : 5 = 3, а затем конфеты мамы: 25 : 5 = 5.
Каждый получит сначала три конфеты, а потом ещё пять, то
есть всего 3 + 5 = 8 конфет.
Чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на
это число каждое слагаемое, а затем сложить результаты.
Конечно, это можно сделать только если каждое слагаемое
делится на это число. Например, (23 + 17) : 5 = 40 : 5 = 8, но
23 и 17 разделить на 5 нельзя, так что это правило применимо
не всегда.
— А к делению разности это правило относится?
— Конечно, относится, если только уменьшаемое и вы-
читаемое делятся на данное число.
54. ДРОБЬ. Иногда нам бывает нужно разделить что-нибудь
на две равные части. Например, разделим отрезок длиной в
1 см на две равные части. Результат можно записать по-раз-
ному.
Например, так: 1см:2=10мм:2 = 5 мм.
Или так: 1 см : 2 = j см.
41
2 — это дробь. В записи дроби три элемента:
1) черта дроби,
2) число, стоящее над чертой, — числитель,
3) число, стоящее под чертой, — знаменатель.
1 -----► числитель
2^ ----► знаменатель
1
У дроби числитель — число 1, а знаменатель —
число 2.
Когда единицу делят на п частей, получается дробь —,
которую иногда называют долей:
1 1 1
1 см : 2 = тг см, 1 кг : 5 = -= кг, 1 : 4 = — .
2 5 4
Вот как мама разделила пирог на б частей.
Знаменатель дроби показывает, на сколько равных долей
разделили единицу. Числитель дроби показывает, сколько
, q 2
таких долей содержит дробь. Вот как мама отделила пи-
о
рога в подарок соседям.
Если весь пирог весит 900 г, то его
2
тг можно наити так:
б
42
1) найти р разделив 900 г на 6:
900 г : 6 = 150 г;
2
2) найти д-, умножив 150 г на 2:
150 г • 2 = 300 г.
Наоборот: зная, чему равна дробь числа, можно найти
само число. Найдем, чему равна длина улицы, если у ее
равны 150 м.
1) Найдём у длины, разделив 150 м на 3:
150 м : 3 = 50 м;
2) найдём длину улицы, умножив 50 м на 7:
50 м • 7 = 350 м. 2
1. Кабачок весит 1 кг. Сколько граммов весят т этого
Йшд кабачка? °
2. v числа равны 160. Чему равно всё число?
4
-=- числа
э
0 160
всё число
55. ДОЛЯ — дробь с числителем 1, например, у, ууз •
56. ЧИСЛИТЕЛЬ — число, которое расположено над чертой
дроби. Числитель показывает, сколько равных долей составля-
ют данную дробь. Например, числитель дроби равен 5. Он
показывает, что в этой дроби содержится 5 долей (каждая из
1 .
которых равна уу).
О /
43
57. ЗНАМЕНАТЕЛЬ — число, которое расположено под
чертой дроби. Знаменатель показывает, какие равные доли
составляют данную дробь.
3
Например, у дроби -уу знаменатель равен 11. Он показы-
< - 1
вает, что дробь состоит из долей -уу .
58. РАВНО, БОЛЬШЕ, МЕНЬШЕ. Вещи и существа, которые
нас окружают, обладают различными свойствами. Человек
может быть высоким или низеньким, худым или толстым,
добрым или сердитым, весёлым или грустным. Лист дерева
может быть большим или маленьким, симметричным или
несимметричным. Кошка может быть пушистой или гладкой,
пятнистой или полосатой.
Некоторые из этих свойств можно измерять, другие
измерять нельзя. Например, можно взвесить кошку. А зна-
чит, всегда можно сказать, какая из двух кошек тяжелее,
или определить, что они весят одинаково.
Измерить — значит выразить свойство с помощью числа.
Измерив рост человека, мы сможем сказать не просто
«высокий человек», а «человек ростом 180 см». Измерив
площадь листа, скажем не просто «большой лист», а «лист
площадью 40 см2».
Те свойства, которые мы можем измерить, можно и
сравнивать. Не скажешь, что этот кот более полосатый, но
скажешь, что он более лёгкий или более тяжёлый.
Результат сравнения записывается с помощью знаков <,
= или >.
Легко сравнивать числа, расположенные на числовой
прямой: которое правее, то и больше.
♦
0
4-
17
8 = 8, 8 < 17, 17 > 8, 17 = 17.
Равенства и неравенства обладают свойствами, которые
полезно знать:
44
Свойства равенств Свойства неравенств
Если а = Ь, то b = а Например, если папе столь- ко лет, сколько маме, то маме столько лет, сколько папе. Если а > Ь, то b < а Например, если щенок Кутька тяжелее котёнка Барсика, то Барсик легче Кутьки.
Если а = b и b = с, то а = с Например, если Катя одно- го роста с Любой, а Люба одного роста с Женей, то Катя одного роста с Женей. Если а > b и b > с, то а > с Например, если линейка длиннее карандаша, а карандаш длиннее спички, то линейка длиннее спички.
Если а = Ь, то а + с = = b + с Например, если два тигра одинакового веса съедят одинаковое количество мяса, то вес у них будет одинаковый. Если а > Ь, то а + с > > Ь+ с Например, если пустой портфель Коли тяжелее пустого портфеля Васи, то портфель Коли, в который положат книгу, будет тяжелее портфеля Васи с такой же книгой.
Иногда бывает известно не только то, что число а
больше числа Ь, но и на сколько а больше Ь. Тогда
вместо неравенства можно написать равенство. Например,
если известно, что пёрышек у попугая Проши больше, чем
пёрышек у вороны Каркуши, то это можно записать так:
П > К.
А если известно, что пёрышек у Проши на 400 больше,
чем у Каркуши, то это можно записать ещё и так:
П = К + 400,
45
или так:
К = П “ 400,
или так:
П - К - 400.
Бывает, что мы знаем, во сколько раз число а больше
числа Ь. Тогда тоже можно записать не только неравенство,
но и равенство. Например, если число пёрышек у попугая
Проши в 2 раза больше, чем у вороны Каркуши, то это
можно записать так:
П = К • 2, или так: К = П : 2, или так: П : К = 2.
Если сказано просто «больше» “ пиши неравенство;
если сказано, на сколько больше или во сколько раз
больше — придумывай равенство.
Часть 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
1. ТОЧКА. Самая простая геометрическая фигура — это
точка. Нарисовать точку можно, прикоснувшись к бумаге
шариковой ручкой или остро отточенным карандашом. Но это
будет не точка, а именно ее рисунок. Сами же точки сущест-
вуют только в нашем воображении. Они не имеют ни цвета, ни
запаха, ни длины, ни ширины, ни высоты, ни веса.
— Как это не точка, а её рисунок?
— Очень просто. Что это, по-твое-
му?
— Дом.
— Нет, это не дом, это рисунок
дома. В нём жить нельзя. Так и
точка. Можно нарисовать рисунок
точки, её портрет, а не саму точку.
Ведь твой рисунок — это кусочек
грифеля, приставший к бумаге. Он
имеет цвет и даже вес. А точка их не имеет.
2. ЛИНИЯ. Если точка будет двигаться по листу бумаги, то
получится линия. Линия может быть прямой, если она прове-
дена по хорошей линейке. А может быть и кривой. Линия,
состоящая из отрезков прямых линий, называется ломаной.
Линии, как и точки, не имеют цвета, запаха, ширины и
толщины. Но они имеют длину и даже могут быть
бесконечны.
47
Кривые линии могут быть плавными, а могут иметь
угловые точки.
Линии могут быть незамкнутыми и замкнутыми. Замкнутая
линия выделяет на плоскости ограниченную фигуру, внутри
которой нельзя провести бесконечную прямую или даже луч.
— А какая линейка хорошая?
— Это проверяют так. Берут линейку и проводят по ней
линию на листе бумаги. Потом линейку переворачивают
и снова проводят линию по тому же её краю поверх
первой линии. Если линии совпадут, то линейка хорошая,
а линии, которые проводятся по этой линейке, — пря-
мые. Если же линии не совпадают, то линейка плохая.
3. ПРЯМАЯ. Прямая линия, бесконечная в обе стороны,
называется одним словом: прямая. Как и всякая линия, прямая
не имеет ни толщины, ни ширины. Длину её измерить тоже
нельзя: прямая бесконечна. Прямую обозначают одной малой
латинской буквой. Или двумя большими латинскими буквами,
которые обозначают точки, лежащие на прямой.
а АВ
f полуплоскость^ Прямая линия делит чертёж на две
lJL_________________А части — на две полуплоскости.
\ полуплоскость у
А
В
1. Скопируй по клеткам в свою тетрадь положение этих
двух точек и проведи через них прямую линию.
2. На сколько частей делит прямую
одна её точка? Сделай рисунок.
3. На сколько частей делят прямую
три её точки? Сделай рисунок.
4. На сколько частей могут разделить
этот лист две прямые? Три прямые?
48
4. ЛУЧ. Точка, поставленная на прямой, делит её на две
части — на два луча:
----------.----«
луч А ЛУЧ
Луч так назван не напрасно. Ведь он напоминает луч
солнца или луч карманного фонарика. Как и они, математи-
ческий луч имеет начало и не имеет конца. Луч обозначается
двумя большими латинскими буквами, первая из которых
обозначает начало луча, а вторая — любую другую, внутрен-
нюю точку луча.
•—------------------------
Луч MN. М — начало луча м м
5. ОТРЕЗОК. Две точки, поставленные на прямой, делят её
на три части: два луча и отрезок.
-------•-------------------•---------
луч А отрезок В луч
Отрезок имеет два конца. Отрезок обозначается двумя
большими латинскими буквами на его концах (в любом поряд-
ке). Отрезок на этом рисунке можно назвать АВ, а можно ВА.
Отрезок АВ (или ВА)
концы
6. КРИВАЯ. Если линия не совпадает с хорошей линейкой
никакой своей частью, то она кривая. Кривые бывают замкну-
тые и незамкнутые.
7. ЛОМАНАЯ. Если линия своими частями совпадает с
линейкой, но вся с ней не совпадает, то она — ломаная. Точки,
в которых «ломается» ломаная, называются её вершинами.
Бывают замкнутые и незамкнутые ломаные. Отрезки, из кото-
рых состоит ломаная, называются её звеньями.
Ломаная ABCDE;
А, В, С, D, Е — вершины;
АВ, ВС, CD, DE — звенья
49
8. ДЛИНА ОТРЕЗКА. Отрезок имеет длину. Чтобы её изме-
рить, достаточно узнать, сколько единиц длины помещается в
этом отрезке. Например, длина этого отрезка равна 3 см.
Удобно прикладывать линейку нулём к началу отрезка,
тогда другой конец отрезка покажет его длину.
i.........||||||||||||||||||||[пН||1И|к
О 1. 2 3 41
Измерь отрезок MN на этом рисунке.
М»-.........--N
Какой из этих отрезков длиннее? Устано-
ви на глаз, а потом проверь результат
линейкой.
9. УГОЛ. Два луча с общим началом делят плоскость на две
части. Меньшая из этих частей называется углом. Сами лучи
называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной
Угол обозначают тремя буквами, из которых первая —
точка на одной его стороне, вторая — вершина, а третья —
точка на другой стороне угла. При обозначении угла
используется значок Z.. Например, Z. АВС — угол АВС.
10. ПРЯМОЙ УГОЛ. Среди всех углов самый важный —
прямой угол. Прямой угол можно проверить с помощью
хорошего угольника. Легко сделать бумажную модель прямого
50
угла. Для этого нужно сложить лист пополам и ещё раз
пополам. Получится целых четыре прямых угла.
11. ОСТРЫЙ УГОЛ. Если внутри
прямого угла начертить угол с той же
вершиной, то он окажется меньше
прямого. Такие углы называются ост-
рыми.
12. ТУПОЙ УГОЛ. Угол, больший
прямого, но меньший двух прямых,
называется тупым углом.
13. ПЕРПЕНДИКУЛЯР. Прямые на-
зываются перпендикулярными, если
они пересекаются под прямым углом.
Перпендикулярность обозначается
значком ±: АВ ± CD означает, что
прямая АВ перпендикулярна пря-
мой CD.
14. ПРЯМОУГОЛЬНИК - это та-
кой четырёхугольник, у которого все
углы — прямые.
Точки А, В и С на этом
рисунке — вершины прямо-
угольника ABCD. Скопируй их
по клеткам и начерти весь пря-
моугольник. Могут ли быть
вершинами какого-нибудь пря-
моугольника точки М, N и Р1
51
15. КВАДРАТ — четырёхугольник,
давно и хорошо тебе знакомый. Все
углы квадрата прямые, а все его сторо-
ны равны между собой. Всякий квадрат
является прямоугольником. Но квадра-
том является не всякий прямоугольник,
а только такой, у которого все стороны
равны между собой.
Точки А и В на этом рисунке —
вершины квадрата ABCD. Скопи-
руй их по клеткам и начерти весь
квадрат.
Углы прямые;
АВ = ВС = CD = DA;
ABCD — квадрат.
16. МНОГОУГОЛЬНИК. Замкнутая ломаная выделяет из
плоскости такую часть, в которой не помещается ни одна
прямая. Эта часть называется многоугольником, а ломаная —
его границей. Отрезки ломаной называются сторонами много-
угольника, а концы этих
многоугольника. Сколько у
В
Многоугольник
(пятиугольник) ABCDE;
А, В, С, D, Е — вершины;
АВ, ВС, CD, DE, DA —
стороны.
отрезков называются вершинами
многоугольника сторон, столько и
вершин. По их числу много-
угольник называется тре-
угольником, четырёхугольни-
ком, пятиугольником и так
далее. Многоугольник обозна-
чается большими латинскими
буквами, обозначающими его
вершины в том порядке, в
каком они следуют на лома-
ной.
17. СТОРОНА МНОГОУГОЛЬНИКА — звено замкнутой ло-
маной, ограничивающей многоугольник.
18. УГОЛ МНОГОУГОЛЬНИКА — угол между двумя сосед-
ними сторонами многоугольника.
52
19. ВЕРШИНА МНОГОУГОЛЬНИКА — вершина одного из
углов между соседними сторонами многоугольника.
20. ПЕРИМЕТР — сумма длин сторон многоугольника. У
прямоугольника стороны попарно равны: две из них равны
ширине прямоугольника, а две другие — его длине. Поэтому
периметр прямоугольника можно найти так: сложить его длину
и ширину и результат умножить на 2. У квадрата все стороны
равны. Поэтому периметр квадрата равен длине его стороны,
умноженной на 4. Периметр многоугольника обозначают ла-
тинской буквой Р.
15 16
15 см \ /
17 см
10 см
6 см 6
см
8 см
Р = 15 + 15 + 16 + 8 + 17 = 71 (см)
см
10 см
8 см
8 см 8 см
8 см
Р = (6 + 10) • 2 = 32 (см)
р = 8 • 4 = 32 (см)
21. ОКРУЖНОСТЬ - замкнутая
кривая. Все её точки находятся на
одинаковом расстоянии от одной
точки, называемой центром окруж-
ности. Само это расстояние на-
зывается радиусом окружности.
Окружность чертят с помощью цир-
куля или с помощью шаблона.
Шаблоном пользоваться удобнее.
Но зато циркулем можно нарисо-
вать много разных окружностей, а
Окружность; О — центр;
АО = ВО = СО =
= DO — радиусы.
53
шаблоном — только равные между собой. К тому же у
окружности, нарисованной с помощью шаблона, трудно
найти центр. А если рисовать окружность циркулем, то
одна ножка циркуля (его игла) находится как раз в центре
окружности.
©22. РАДИУС — расстояние от точки
окружности до её центра.
В 23. ДИАМЕТР — отрезок, соединяю-
щий две точки окружности и проходящий
через её центр. Диаметр окружности все-
гда вдвое длиннее её радиуса.
АВ — диаметр
Как установить ножки циркуля, чтобы начертить окруж-
ность диаметром 6 см?
24. ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ — точка, от которой одинаково
удалены все точки окружности.
25. КРУГ — часть плоскости, ограниченная окружностью.
Сама окружность тоже входит в круг. Окружность рисуют
шариковой ручкой, а круг можно раскрасить фломастером и
вырезать из бумаги. У каждой окружности есть свой круг, и у
каждого круга своя окружность. У них один и тот же центр и
один и тот же радиус. Чтобы нарисовать круг с центром в
данной точке и с данным радиусом, нужно нарисовать цирку-
лем окружность с этим центром и с этим радиусом.
О — центр
окружности и круга;
ОА — радиус
54
Эта окружность разделена Этот круг разделён на три
на три равные части. равные части.
26. РАВНЫЕ ФИГУРЫ — фигуры, которые можно совмес-
тить наложением.
Если наложить два листа бумаги друг на друга и сразу
вырезать из них фигуру, то фигур получится две, и они будут
наложены друг на друга. Поэтому такие фигуры будут равны.
Если скопировать нарисованную фигуру через копирку, то
получившиеся две фигуры (старая и новая) будут равны.
27. СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО
ПРЯМОЙ. Если при перегибании плос- I
кости по прямой две фигуры совпада- У / \
ют, то они называются симметричными / / \ \
относительно этой прямой. А сама пря-
мая называется осью симметрии этих
двух фигур.
Если перерисовать по клеточкам эти фигуры и эту прямую
а, а потом перегнуть рисунок по прямой, то фигура А
совпадёт с фигурой В, а фигура С совпадёт с фигурой D. Они
симметричны относительно
этой прямой. А вот фигура
Е не симметрична никакой
фигуре. Но можно нарисо-
вать фигуру, симметричную
фигуре Е относительно на-
шей оси симметрии. Удоб-
но это делать, перегнув ри-
сунок и приложив его днём
к оконному стеклу.
Симметрией можно воспользоваться для вырезания узо-
ров. Вот узорчатые фигуры, вырезанные из бумаги, сло-
женной один раз. Если перегнуть бумагу несколько раз, то
можно получить ещё более сложные узоры.
55
28. СИММЕТРИЧНЫЕ ФИГУРЫ — фигуры, совмещающиеся
при перегибании плоскости по какой-то прямой.
29. ПОСТРОЕНИЕ СИММЕТРИЧНЫХ ФИГУР. Строить сим-
метричные фигуры можно и ничего не перегибая. Сначала
построй точку, симметричную данной точке относительно дан-
ной оси. Для этого:
—• проведи через эту точку
прямую, перпендикулярную оси,
— найди на этой прямой по
а Другую сторону от оси точку,
” удалённую от оси на такое же
расстояние, что и данная точка.
Сразу видно, что если плос-
кость перегнуть по этой оси, то
данная точка и точка, которую мы построили, совместятся.
Значит, эти точки симметричны.
Какие бы две точки тебе ни дали, всегда можно найти
прямую, которая служит им осью симметрии. Для этого
достаточно соединить данные
В точки отрезком, разделить этот
• отрезок пополам и провести через
точку деления прямую, перпенди-
Л кулярную к этому отрезку, — это
и будет ось симметрии.
56
По точкам строят и сложную фигуру, симметричную
данной относительно данной прямой:
Иногда бывает так, что на рисунке даны две симметрич-
ные фигуры, а сама ось симметрии не проведена. Чтобы её
провести, нужно догадаться, какие две точки симметричных
фигур симметричны друг другу, и начертить их ось
симметрии.
Две симметричные фигуры всегда равны между собой —
ведь они совмещаются при перегибе плоскости. Но не всякие
равные фигуры симметричны. Вот,
например, эти два прямоугольника
равны, но не симметричны: нельзя
так перегнуть плоскость, чтобы эти
прямоугольники совпали. Для того
чтобы наложить эти прямоугольники
друг на друга, придётся вырезать
один из них.
30. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФИГУР. В геометрии часто прихо-
дится вычерчивать равные фигуры. Один из способов делать
это мы уже разобрали — рисуй симметричные фигуры, и они
обязательно окажутся равными. Но, как мы уже видели, не
всякие равные фигуры симметричны. Существуют ли другие
способы рисовать равные фигуры? Конечно, существуют.
57
Можно нарисовать фигуру, равную данной, перенося все её
точки в одном и том же направлении и на одно и то же
расстояние. Это называется параллельным переносом. Вот,
например, если нужно нарисовать такого же человечка, как
этот, в новом месте — чтобы его нос упёрся в точку М, — как
это сделать? Нарисуем стрелку от старого положения носа к
новому. Эта стрелка показывает, что нос должен переместиться
на 8 клеток вправо и на 6 клеток вниз. Значит, надо точку за
точкой перенести всего человечка на 8 клеток вправо и на
6 клеток вниз. Вот он, наш человечек, в новом положении.
Можно рисовать равные фи-
гуры и по-другому — как фигу-
ры центрально симметричные.
Возьмём того же человечка и
представим, что он вращается
на турнике. Вот его положение
внизу. А вот — вверху. Такие
два положения фигур называют-
ся центрально симметричными.
Центрально симметричные точки
находятся на концах отрезка с
серединой в центре симметрии.
58
Построим точку, симметричную точке А относительно цент-
ра О. Для этого нужно провести луч АО и на нём отложить
отрезок ОВ, равный отрезку АО. Точка В и будет симметрична
точке А относительно центра О.
Если мы хотим построить фигуру, симметричную более
сложной фигуре, то построение, как обычно, ведём по точкам.
Потренируйся в построении многоугольников, окружностей
и кругов, равных данным. Многоугольник строят, перенося его
вершины. А окружность и круг — перенеся центр и восполь-
зовавшись циркулем.
31. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. В жизни мы
встречаемся с предметами различной формы. Чемодан и
футбольный мяч могут иметь один и тот же цвет (например,
коричневый), они могут быть обтянуты одним и тем же
материалом (например, кожей). Но несмотря на это, чемодан
и мяч совершенно не похожи друг на друга — они имеют
разную форму.
Часто встречаются и такие предметы, которые имеют оди-
наковую форму. Они могут быть сделаны из разных материа-
лов и окрашены в разные цвета, но по форме напоминают друг
друга. Вот чемодан, шкаф, почтовая посылка и телевизор. Эти
предметы имеют похожую форму. Правда, они отличаются
мелкими деталями: у чемодана есть ручка, а у шкафа — ножки.
Но если не обращать на эти мелкие детали внимания, то все
они напоминают по форме изображённую здесь фигуру. Она
называется прямоугольным параллелепипедом.
59
Обращённая к нам сторона прямоугольного параллелепипе-
да имеет форму прямоугольника. Это — передняя грань
прямоугольного параллелепипеда. Точно такой же прямоуголь-
ник, равный передней грани, имеется сзади. Это — задняя
грань. Мы её не видим. Сверху и снизу имеются ещё две грани.
Верхняя грань нам видна, а нижняя не видна — прямоугольный
параллелепипед стоит на нижней грани. Наконец, с боков есть
ещё две грани. Правую грань мы на рисунке видим, а левая
скрыта от нас.
передняя грань
верхняя
задняя грань
нижняя
Всего у прямоугольного параллелепипеда 6 граней. Каждая
грань имеет форму прямоугольника.
Та грань, на которой прямоугольный параллелепипед стоит,
называется нижним основанием, а противоположная грань —
верхним основанием. Остальные 4 грани называются боковыми.
На чертеже — ещё один прямоугольный
параллелепипед. Но он не стоит ни на одной
из своих граней, он висит в воздухе. У него
по-прежнему шесть граней, но никакую из них
нельзя назвать нижней или верхней. Однако
мы можем сделать верхним или нижним осно-
ванием любую его грань, поставив этот прямо-
60
угольный параллелепипед на стол или на пол и нарисовав его
в таком положении.
Стороны прямоугольников, огра-
ничивающих прямоугольный парал-
лелепипед, называются его рёбрами.
На рисунке мы видим несколько рё- £
бер: АЕ, AD, ЕН, DH, EF, HG, FG,
CG, CD. Ещё три ребра нам не
видны: АВ, BF, ВС. Всего у прямо- А
угольного параллелепипеда 12 рё- D
бер. Сосчитать их можно так: 4 ребра у нижнего основания,
4 — у верхнего и ещё 4 ребра, которые идут от нижнего
основания к верхнему (принадлежат боковым граням).
Концы рёбер называются верши-
нами прямоугольного параллелепи-
педа. 4 вершины лежат в верхнем
основании, 4 в нижнем, а всего у пря-
моугольного параллелепипеда 8 вер-
шин.
Среди шести граней прямоугольного параллелепипеда есть
равные: верхняя и нижняя, передняя и задняя, левая и правая.
Среди двенадцати его рёбер также есть равные. Равны между
собой все 4 ребра, соединяющие его верхнее и нижнее
основания. Равны между собой 4 ребра, являющиеся перед-
ними и задними сторонами оснований. Равны между собой и
остальные четыре ребра. Ты видишь, что у прямоугольного
параллелепипеда три четвёрки равных рёбер.
Три ребра, сходящиеся в одной вершине, принадлежат трём
разным четвёркам рёбер. Например, в вершине А сходятся
рёбра АВ, AD и АЕ. Длины таких рёбер называются измере-
ниями прямоугольного параллелепипеда. А теперь обведи
жирными линиями три ребра, сходящиеся в одной вершине.
61
Их длины — это измерения прямоугольного параллелепипеда:
его длина, ширина и высота.
Зная измерения прямоугольного параллелепипеда, можно
склеить его из бумаги. Например, склеим прямоугольный
параллелепипед, у которого высота равна 4 см, ширина 2 см
и длина 3 см. Для этого нужно вырезать шесть прямо-
угольников; два со сторонами 4 и 2 см, два со сторонами 4 и
3 см и два со сторонами 2 и 3 см — и склеить их скотчем.
Можно склеить прямоугольный па-
раллелепипед и из одного листа бума-
ги, начертив развёртку. На рисунке
показано, как построить развёртку пря-
моугольного параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед — это тело, ограни-
ченное шестью гранями, каждая из которых является
прямоугольником.
У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер
и 8 вершин,
У прямоугольного параллелепипеда три пары равных
граней и три четвёрки равных рёбер.
Сколько граней примыкает к одному ребру прямоуголь-
ного параллелепипеда?
Сколько вершин на каждой грани прямоугольного парал-
лелепипеда?
Сколько граней примыкает к одной вершине прямоуголь-
ного параллелепипеда?
32. КУБ — одна из самых известных тебе фигур. С
кубиками ты играешь всю жизнь. Но вместе с тем куб — и
одно из самых важных геометрических тел. Длину меряют
отрезками, площадь —« квадратами, а объём и вместимость
меряют кубами. Так и говорят: объём класса — 72 кубических
метра. Что же такое куб?
62
Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все
три измерения одинаковы: длина равна ширине и равна высоте.
Это значит, что у куба шесть граней и все они не простые
прямоугольники, а квадраты. У него двенадцать рёбер, и все
они равны между собой. И, разумеется, у куба восемь вершин.
Рисовать куб удобно по клеткам. Сначала рисуют переднюю
грань в виде квадрата. Нарисуй в своей тетради квадрат со
стороной в 3 клетки. Затем проводят из каждой вершины
квадрата отрезки, ведущие от передней грани к задней. Они
проходят через углы клеток. Считается правильным, если
длины этих отрезков на рисунке будут в два раза меньше
сторон передней грани. Если отмерить по диагонали одну
клетку, то это будет очень похоже на точное изображение этих
рёбер. Наконец, через концы получившихся отрезков строят
ещё один квадрат — изображение задней грани.
скрыты от глаза. У тебя таких возможностей нет. Чтобы
показать это обыкновенным карандашом или ручкой, чертят
видимые рёбра сплошными линиями, а невидимые — штрихо-
выми линиями. Не поленись и ещё раз нарисуй куб так.
63
33. ПИРАМИДА. Самое высокое сооружение, существующее
на Земле более 4 тысяч лет, — это пирамида Хеопса, постро-
енная древними египтянами. И
все геометрические тела, похо-
жие на неё, называются пира-
мидами. В основании пирамиды
Хеопса лежит четырёхугольник.
Такие пирамиды называются че-
тырёхугольными. Но бывают и
треугольные пирамиды, и пяти-
угольные, и шестиугольные. Кроме основания, пирамида имеет
и боковые грани. У пирамиды Хеопса их четыре, а, например,
у шестиугольной пирамиды боковых граней шесть. Боковые
грани пирамиды имеют форму треугольников. Все они имеют
общую вершину, которая называется вершиной пирамиды.
боковая грань
основание
— Но ведь пирамида Хеопса не простая, а правильная.
— Конечно, ведь у неё в основании не простой четырёх-
угольник, а квадрат, и все боковые рёбра у неё равны
между собой.
Часть 3. ВЕЛИЧИНЫ
1. ИЗМЕРЕНИЯ. Математики занимаются не только числами
и вычислениями, но и измерениями. Они измеряют разные
величины. Но вы, наши читатели, ещё совсем юные математики.
И мы будем с вами говорить только об измерении длины,
площади, объёма, массы и времени.
2. ДЛИНА. Посмотри на эту карту. Какой город дальше от
Москвы: Киев или Санкт-Петербург? Правда ведь, сразу видно,
что Петербург к Москве ближе? Видно-то видно, но как это
доказать?
65
А очень просто: взять линейку и смерить. Если на этой
карте города окажутся ближе, значит, так и есть на самом
деле. Вот теперь доказали!
У Кати и Вари длинные косы. Чья коса длиннее? Это
можно узнать, приложив одну косу к другой. Но можно
измерить косы. Да! Катина коса имеет длину 50 сантиметров,
а Варина 45 сантиметров. Катина коса длиннее.
Какой отрезок на этом рисунке короче, АВ или ВС?
Кажется, что короче отрезок АВ. Проверим это. Мы ошиб-
лись, отрезки равны: АВ равен 3 сантиметрам и ВС равен
3 сантиметрам. Отрезки MN и PQ тоже кажутся неодинаковы-
ми, но измерь — и увидишь: длина обоих равна 2 сантимет-
рам.
Главный способ сравнения длин — измерение. Но измере-
ние ценно и само по себе. Ведь часто бывает нужно просто
узнать длину какого-нибудь предмета, высоту здания, ширину
реки, глубину лужи, толщину дерева.
А какова длина указательного
пальца на этой руке? Она больше,
чем 11 сантиметров, но меньше,
чем 12 сантиметров. Чтобы узнать
поточнее, можно воспользоваться
другой линейкой, на которой сан-
тиметры разделены на более мел-
кие единицы — на миллиметры.
Кроме сантиметров и миллиметров, есть и другие
единицы длины: дециметр, метр, километр.
В одном дециметре 10 сантиметров.
66
О 1 дм
•—1----1---1--1---Ь—I----1---1--1—•
О 123456789 10 см
Метр получится, если взять дециметр 10 раз. В одном
метре 10 дециметров, или 100 см, или 1000 мм.
В километре 1000 метров. Это большое расстояние. Ты
проходишь его быстрым шагом минут за 12—15.
Впрочем, у каждого человека своя скорость ходьбы. Она
зависит от средней длины шага человека и от частоты его
шагов. А средняя длина шага, конечно, зависит от того, какой
у человека рост. Например, взрослый мужчина среднего роста
(около 175 сантиметров) проходит в час столько километров,
сколько он делает шагов за 3 секунды.
А как узнать, с какой скоростью ходишь ты? Для этого
нужно узнать длину твоего среднего шага и частоту шагов.
Длину шага можно узнать, пройдя обычным шагом известное
тебе расстояние и сосчитав число сделанных шагов. Напри-
мер, если тебе известно, что отрезок пути равен 200 м, и ты
сделал на этом отрезке 400 шагов, то раздели 200 на 400 и
получится, что длина твоего шага равна половине метра, то
есть 50 см.
Чтобы узнать частоту шагов, нужно пройти обычным шагом
в течение 2 минут, считая шаги. Если за это время сделано
240 шагов, то раздели 240 на 2, и ты узнаешь, что за одну
минуту ты делаешь 120 шагов. При таких данных скорость
твоей ходьбы равна 120 • 50 — 6000 сантиметров в минуту,
или 60 метров в минуту, или около 3 с половиной километров
в час.
Зная длину своего шага, ты можешь измерять расстояния.
Сколько метров от дома до школы? Иди и считай шаги.
Готово? Теперь умножь число шагов на длину шага в метрах.
Не только ноги, но и руки помогают в измерениях. Измерь
длину своего указательного пальца. Им очень удобно пользо-
ваться для измерения небольших предметов.
Ты растёшь, и полученные тобой сегодня данные меняются.
Их нужно возобновлять примерно каждые полгода.
Единицы длины часто используются в жизни. Их принято
67
обозначать сокращённо: километр — км, метр — м, деци-
метр — дм, сантиметр — см, миллиметр — мм.
При особо точных измерениях используются такие едини-
цы, как микрон — одна тысячная часть миллиметра и
миллимикрон — одна тысячная часть микрона. А при изме-
рении очень больших расстояний (например, расстояния меж-
ду звёздами) используются такие единицы, как световой
год — расстояние, проходимое лучом света за год.
Основной единицей измерения считается метр. Измерения
с помощью метров люди проводят с начала XIX века. Прежде
существовали (да и теперь существуют в разных странах)
другие единицы мер. Они приведены в этой таблице:
Меры длины
1 км = 1000 м 1 дюйм = 25 мм 1 вершок = 45 мм
1 м = 10 дм 1 ярд = 91 см 1 аршин = 71 см
1 дм = 10 см 1 фут = 30 см 1 верста = 1067 м
1 см = 10 мм 1 сажень = 213 см
Нарисуй точки М и N так, чтобы расстояние между ними
равнялось одному вершку.
3. МЕТР — основная мера длины. Метр введён в употреб-
ление в конце XVIII века во Франции. Метром назвали одну
сорокамиллионную долю длины парижского меридиана Зем-
ли. Эталон метра отлит из сплава платины с иридием; он
хранится в специальном помещении в городе Севре, близ
Парижа. Копии этого эталона хранятся в таких же помещени-
ях в разных странах мира. Российская копия эталона метра
находится в Пулковской обсерватории, в Санкт-Петербурге.
Вот почему метровые линейки во всех странах мира имеют
совершенно одинаковую длину.
4. МЕТРИЧЕСКИЕ МЕРЫ — меры длины, площади, объёма
и массы, созданные на основании метра.
68
5. ДЕЦИМЕТР — метрическая мера длины. Дециметр равен
одной десятой доле метра. Записывается один дециметр так:
1 дм (без точки).
6. САНТИМЕТР — метрическая мера длины. Сантиметр ра-
вен одной сотой доле метра, то есть десятой доле дециметра.
Записывается один сантиметр так: 1 см (без точки).
7. МИЛЛИМЕТР — метрическая мера длины. Миллиметр
равен одной тысячной доле метра, то есть десятой доле
сантиметра. Записывается один миллиметр так: 1 мм (без
точки).
8. МИКРОН — метрическая мера длины. Микрон равен
одной миллионной доле метра, то есть одной тысячной доле
миллиметра. В последнее время микрон чаще называют мик-
рометром.
9. МИЛЛИМИКРОН — метрическая мера длины. Миллими-
крон равен одной тысячной доле микрона, то есть одной
миллиардной доле метра. В последнее время чаще называется
нанометром.
10. КИЛОМЕТР — метрическая мера длины. Километр равен
тысяче метров. Записывается один километр так: 1 км (без
точки).
11. СВЕТОВОЙ ГОД — мера длины, употребляемая в астро-
номии. Световой год равен расстоянию, которое проходит
световой луч в течение одного года. Имей в виду, что за одну
секунду свет проходит 300 000 км!
12. ПЛОЩАДЬ. Если нужно окрасить стены в комнате
масляной краской, то встаёт вопрос: сколько краски понадо-
бится? Обычно мы просто идём и покупаем банку краски, а
если не хватит, покупаем ещё. Но всё-таки можно решить этот
вопрос и заранее, зная... Что же для этого нужно знать?
На банке краски бывает написано, на какую площадь она
рассчитана. Значит, нужно знать площадь окрашиваемых стен.
Площадь геометрической фигуры — это место, занимае-
мое фигурой на плоскости. Её измеряют с помощью единиц
площади. Единицы длины — это метры, дециметры, санти-
метры, миллиметры. Единицы площади — это квадратные
метры, квадратные дециметры, квадратные сантиметры,
квадратные миллиметры.
69
Квадратный сантиметр — это место, занимаемое на
плоскости квадратом со стороной в 1 см. Квадратный
V
занимаемое квадратом со стороной в
Квадратные метры, дециметры, сан-
тиметры, миллиметры кратко обозна-
чаются так: м2, дм2, см , мм2.
Чтобы узнать, сколько квадратных
сантиметров в 1 дм2, начертим квад-
рат со стороной в 1 дм. (На рисунке
даны условные размеры.) Его пло-
щадь равна 1 дм . Посмотрим, сколь-
ко раз помещается в этом квадрате
маленький квадратик площадью в
1 см2. Для этого расчертим наш
квадрат на такие маленькие квадраты.
Ясно, что маленьких квадратов здесь
10 • 10, то есть ровно 100. Значит, в одном квадратном
дециметре 100 квадратных сантиметров.
Точно так же можно узнать, сколько квадратных децимет-
ров в одном квадратном метре. Их тоже 10 • 10 = 100; в
одном квадратном метре 100 квадратных дециметров.
И квадратных миллиметров в одном квадратном сантимет-
ре тоже 10 • 10, то есть 100.
А вот квадратных метров в одном квадратном километре
1000 • 1000, то есть целый миллион.
Для измерения земельных участков пользуются такими
единицами, как гектар (га) и ар (а). Ар — это площадь
квадрата со стороной в 10 м, поэтому 1 а = 100 м2. Гектар —
это 100 аров. Квадрат площадью в 1 га имеет сторону
в 100 м.
т 1 1
Так как 1 а равен га, то ар часто называют соткой.
Меры площади
1 м2 = 100 дм2 1 а = 100 м2
1 дм2= 100 см2 1 га = 100 а
1 см2= 100 мм2
70
13. КВАДРАТНЫЙ МЕТР — метрическая мера площади.
Один квадратный метр — это площадь квадрата, сторона
которого равна одному метру. Обозначается один квадратный
метр так: 1 м2.
14. КВАДРАТНЫЙ ДЕЦИМЕТР — метрическая мера площа-
ди. Один квадратный дециметр — это площадь квадрата,
сторона которого равна одному дециметру. Обозначается один
квадратный дециметр так: 1 дм . 1 дм2 равен одной сотой доле
квадратного метра.
15. КВАДРАТНЫЙ САНТИМЕТР —• метрическая мера пло-
щади. Один квадратный сантиметр — это площадь квадрата,
сторона которого равна одному сантиметру. Обозначается
один квадратный сантиметр так: 1 см2. 1 см2 равен одной сотой
доле квадратного дециметра, то есть одной десятитысячной
доле квадратного метра.
16. КВАДРАТНЫЙ МИЛЛИМЕТР — метрическая мера пло-
щади. Один квадратный миллиметр — это площадь квадрата,
сторона которого равна одному миллиметру. Обозначается
один квадратный миллиметр так: 1 мм2. 1 мм2 равен одной
сотой доле квадратного сантиметра, то есть одной миллионной
доле квадратного метра.
17. КВАДРАТНЫЙ КИЛОМЕТР — метрическая мера площа-
ди. Один квадратный километр — это площадь квадрата,
сторона которого равна одному километру. Обозначается один
квадратный километр так: 1 км . 1 км2 равен миллиону квадрат-
ных метров.
18. АР — метрическая мера площади. Один ар — это
площадь квадрата, сторона которого равна 10 м. Обозначается
один ар так: 1 а. В одном аре 100 м2. Употребительное
название ара — сотка.
19. СОТКА — то же, что ар.
20. ГЕКТАР — метрическая мера площади. Один гектар —
это площадь квадрата, сторона которого равна 100 м. Обозна-
чается один гектар так: 1 га. 1 га равен 10 000 м2. В одном
гектаре 100 аров.
21. ОБЪЁМ. Объём геометрического тела — это место,
71
занимаемое им в пространстве. Объём измеряют с помощью
единиц объёма. Единицы объёма — это кубические метры,
кубические сантиметры, кубические миллиметры.
Кубический сантиметр — это место, занимаемое в про-
странстве кубом, ребро которого равно 1 см. Кубический
дециметр — место, занимаемое в пространстве кубом с
ребром 1 дм, и так далее.
Кубические метры, дециметры,
сантиметры, миллиметры кратко обо-
значаются так: м3, дм3, см3, мм3.
Чтобы узнать, сколько кубических
сантиметров в 1 дм3, начертим куб с
ребром в 1 дм. Его объём равен
1 дм3. Посмотрим, сколько раз поме-
щается в этом кубе маленький кубик
объёмом в 1 см3. Для этого разделим
наш куб на такие маленькие кубики.
Так как 1 дм = 10 см, наш куб можно
разделить на 10 слоёв толщиной в
1 см каждый. В каждом таком слое помещается 100 маленьких
кубиков. Значит, во всех 10 слоях таких кубиков 100 • 10 =
= 1000. Итак, в кубе с ребром 1 дм помещается 1000 кубиков
с ребром 1 см, а значит, 1 дм3 = 1000 см3.
Точно так же можно узнать, сколько кубических
дециметров в одном кубическом метре. Их тоже 1000, так
как 1 м = 10 дм. И кубических миллиметров в одном
кубическом сантиметре тоже 10 • 10 • 10 = 1000, так как
1 см = 10 мм.
А кубических метров в кубическом километре целый
миллиард, так как 1000 • 1000 • 1000 = 1 000 000 000.
В жизни мы часто пользуемся ещё одной единицей
объёма — литром. Литр равен одному кубическому деци-
метру.
Меры объёма
1 м3 = 1000 дм3 1 дм3 = 1000 см3 1 см3 = 1000 мм3
72
Сводная таблица мер длины, площади и объёма
1м = 10 дм
1 дм = 10 см
1 см = 10 мм
1 м2 = 100 дм2
1 дм2 =100 см2
1 см2 =100 мм2
1 м3 = 1000 дм3
1 дм3 = 1000 см3
1 см3 = 1000 мм3
22. КУБИЧЕСКИЙ МЕТР — метрическая мера объёма. Один
кубический метр — это объём куба, ребро которого равно
одному метру. Обозначается один кубический метр так: 1 м3.
23. КУБИЧЕСКИЙ ДЕЦИМЕТР (литр) — метрическая мера
объёма. Один кубический дециметр — это объём куба, ребро
которого равно одному дециметру. Обозначается один куби-
ческий дециметр так: 1 дм3. 1 дм3 равен одной тысячной доле
кубического метра.
24. КУБИЧЕСКИЙ САНТИМЕТР — метрическая мера объ-
ёма. Один кубический сантиметр — это объём куба, ребро
которого равно одному сантиметру. Обозначается один куби-
ческий сантиметр так: 1 см3. 1 см3 равен одной миллионной
доле кубического метра.
25. КУБИЧЕСКИЙ МИЛЛИМЕТР — метрическая мера объ-
ёма. Один кубический миллиметр — это объём куба, ребро
которого равно одному миллиметру. Обозначается один куби-
ческий миллиметр так: 1 мм3. 1 мм3 равен одной миллиардной
доле кубического метра.
26. ЛИТР — то же, что кубический дециметр.
27. ВРЕМЯ. Мы живем на планете Земля, входящей в
Солнечную систему. Центр Солнечной системы — звезда по
имени Солнце. Солнце — звезда, а Земля — планета. Солнце
горячее, а Земля — холодная. Солнце излучает свет и тепло,
которым пользуемся мы, живущие на Земле. Земля вращается
вокруг Солнца, и, кроме того, она вращается вокруг своей оси.
Вращаясь вокруг своей оси, Земля подставляет Солнцу
то один свой бок, то другой. Время, за которое происходит
один такой оборот, называется сутками. В сутках 24 часа,
73
в часе 60 минут, в минуте 60 секунд. Для более точных
измерений времени используются десятые и сотые доли
секунды. А тысячная доля секунды имеет специальное
название — миллисекунда.
Вращаясь вокруг Солнца, Земля подставляет ему по
очереди то Северное полушарие, то Южное. Время, за
которое происходит один такой оборот, носит название
года. В году немного больше 365 суток. Чтобы выровнять
календарь, люди придумали високосные годы, в которых
366 суток. Високосный год наступает раз в четыре года,
когда номер года делится на 4. Например, 1996 год был
високосным, и 2000 год будет високосным.
Интересно, что такие годы, как 1900, 2100 и другие, у
которых две последние цифры — нули, а предыдущие две
цифры образуют число, не делящееся на 4, високосными
не считаются. Так делается потому, что в году не точно 365
суток и 6 часов, а немножко меньше. За четыреста лет
набегают лишние трое суток. Из-за этого приходится три
раза в четыреста лет отбрасывать одни сутки.
Год состоит из 12 месяцев. Это январь (31 день),
февраль (28 дней в невисокосном году, 29 — в високос-
ном), март (31 день), апрель (30 дней), май (31 день), июнь
(30 дней), июль (31 день), август (31 день), сентябрь
(30 дней), октябрь (31 день), ноябрь (30 дней), декабрь
(31 день).
Сложи эти числа, и ты убедишься, что в невисокосном
году 365 дней, а в високосном 366 дней.
Вокруг Земли кружится её спутник — планета Луна. Она
бывает в разных фазах. От новолуния до полнолуния она
растёт, а потом уменьшается в размерах. Полный цикл она
проходит в 28 дней. 28 дней иногда называют лунным
месяцем. Лунный месяц состоит из 4 недель, по 7 дней в
каждой.
Разные дни недели приходятся на разные числа. Однако
каждые 400 лет всё повторяется. Например, мы пишем этот
текст 4 ноября 1996 года, в понедельник, и знаем, что 400
лет тому назад, 4 ноября 1596 года, тоже был понедель-
ник.
74
— А почему именно за 400 лет?
— Потому что, во-первых, если какой-то год — високос-
ный. (или невисокосный), то и через 400 лет год будет
високосный (или невисокосный), а во-вторых, 400 лет —
это целое число недель. Видишь ли, за 400 лет проходит
97 високосных лет, значит, 400 лет — это 365 • 400 +
+ 97 = 146 097 дней. Можешь посчитать, сколько это
будет недель. Раздели столбиком 146 097 на 7, получит-
ся 20 871.
28. СУТКИ — единица времени. Это время полного оборота
Земли вокруг своей оси.
29. ЧАС — единица времени. Это одна двадцать четвёртая
доля суток.
30. МИНУТА — единица времени. Это одна шестидесятая
доля часа.
31. СЕКУНДА — единица времени. Это одна шестидесятая
доля, минуты.
32. МИЛЛИСЕКУНДА — единица времени. Это одна тысяч-
ная доля секунды.
33. ГОД — единица времени. Это время полного оборота
Земли вокруг Солнца. В високосном году 366 суток, в невисо-
косном 365 суток.
34. МЕСЯЦ — отрезок времени, состоящий из 28, 29, 30 или
31 дня. В году 12 месяцев.
35. ДЕКАДА — отрезок времени длиной в 10 дней. В ме-
сяце, состоящем из 30 дней, ровно 3 декады; в феврале третья
декада неполная; в остальных месяцах по три декады и одному
дню.
36. НЕДЕЛЯ — отрезок времени, состоящий из семи дней.
Дни называются так: понедельник, вторник, среда, четверг,
пятница, суббота и воскресенье.
37. ВИСОКОСНЫЙ ГОД — год, состоящий из 366 дней.
В високосном году февраль содержит 29 дней, а не 28.
Високосный год наступает один раз в 4 года, когда номер года
делится на 4. Исключение составляют годы, оканчивающиеся
двумя нулями, у которых первые две цифры составляют число,
75
не делящееся на 4. Например, 1900 год был невисокосным,
1600 год был високосным, 2000 год будет високосным.
38. СЕЗОН — отрезок времени в 3 месяца, соответст-
вующий времени года. Зимний сезон: декабрь, январь и
февраль; весенний сезон: март, апрель и май; летний сезон:
июнь, июль и август; осенний сезон: сентябрь, октябрь и
ноябрь.
39. КВАРТАЛ — отрезок времени в 3 месяца. Первый
квартал: январь, февраль и март; второй квартал: апрель, май
и июнь; третий квартал: июль, август и сентябрь; четвёртый
квартал: октябрь, ноябрь и декабрь.
40. МАССА. Количество вещества называют его массой.
Масса измеряется в граммах, килограммах, миллиграммах,
центнерах, тоннах.
Грамм — это количество воды, помещающееся в кубике с
ребром в 1 см. Если взять 1000 таких кубиков воды (это
1 литр), получится 1 кг воды. Один кубический метр воды
содержит 1000 литров, и масса его — 1000 кг, то есть целая
тонна. Если взять кубик с ребром 1 см, сделанный из дуба
или из берёзы, его масса окажется меньше 1 г. Дуб и берёза
легче воды, они всплывают, если погрузить их в воду. А если
сделать такой же кубик из железа, его масса будет больше
1 г. Железо тяжелее воды, оно в воде тонет.
Массу определяют взвешиванием. Для этого служат весы.
Они позволяют сравнивать массу любого предмета с гирями,
имеющими вполне определённую массу. Так же, как сущест-
вует эталон метра, существует и эталон килограмма. Поэтому
все килограммовые гири в разных магазинах, разных городах
и даже в разных уголках Земли имеют одинаковую массу.
Кроме метрических мер массы, в разные времена и в
разных странах существовали и существуют и другие меры
массы. Некоторые из них имеются в этой таблице.
Метрические меры массы (связанные с метром)
1т = 10 ц (масса 1 м3 воды)
1 ц = 100 кг
1 кг = 1000 г
1 г = 1000 мг
76
Неметрические меры массы
1 пуд = 16 кг = 40 фунтов (русская мера)
1 фунт = 454 г = 96 золотников (английская и русская мера)
1 золотник = 4266 мг (русская мера)
1 карат = 200 мг (мера массы драгоценных камней)
41. ГРАММ — метрическая мера массы. 1 грамм — это
масса одного кубического сантиметра воды. Обозначается
один грамм так: 1 г (без точки).
42. МИЛЛИГРАММ — метрическая мера массы. 1 милли-
грамм равен одной тысячной доле грамма. Это масса одного
кубического миллиметра воды. Обозначается один миллиграмм
так: 1 мг (без точки).
43. КИЛОГРАММ — метрическая мера массы. 1 килограмм
равен тысяче граммов. Это масса одного кубического децимет-
ра (литра) воды. Обозначается один килограмм так: 1 кг (без
точки).
44. ЦЕНТНЕР — метрическая мера массы. В одном центнере
100 килограммов. Обозначается один центнер так: 1 ц (без
точки).
45. ТОННА — метрическая мера массы. 1 тонна равна
тысяче килограммов. Это масса одного кубического метра
воды. Обозначается одна тонна так: 1 т (без точки).
Часть 4. ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ
1. ЧИСЛОВОЕ ВЫРАЖЕНИЕ. Из букв составляют слова, из
цифр — числа. Из слов составляют предложения, из чисел —
числовые выражения. В предложениях используют знаки
препинания, в числовых выражениях — знаки арифметичес-
ких действий.
число число число
слово слово слово
I । I Знаки
предложение-----препинания
числовое Знаки
выражение -----действий
Числовое выражение состоит из чисел, знаков действий и
скобок.
Вот примеры числовых выражений: 2 + 3, 13 — 8, 19 • 2,
14 : 7, 72 + 2 • 3, (72 + 2) • 3, 21 : 3 + (8 - 7) • 9.
— А 13 — это числовое выражение?
— Конечно! Ведь бывают же предложения из одного
слова. И числовое выражение может состоять из одного
числа.
2. ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ. Действия, записанные в числовом
выражении, выполняются в следующем порядке:
1) сначала выполняются все действия в скобках;
2) умножение и деление выполняются раньше, чем сложе-
ние и вычитание;
78
3) умножение и деление выполняются в том порядке, в
каком они записаны в выражении;
4) сложение и вычитание выполняются в том порядке, в
каком они записаны в выражении.
Вот очень длинное выражение; цифры над знаками дейст-
вий показывают порядок действий:
1 57 42389 10 6
(17 - 2) : 3 + (12 + 2 • 6 : 3) - 1 + 5 + 17 • 0
3. ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛОВОГО ВЫРАЖЕНИЯ. Возьмём число-
вое выражение 2 + 3. Если выполнить записанное действие —
получится число 5. Мы пишем: «2 + 3 = 5», — и называем
число 5 значением числового выражения 2 + 3.
2jK3 = 5
числовое значение числового
выражение выражения
И вообще, чтобы найти значение числового выражения,
надо выполнить все записанные действия, соблюдая
порядок действий.
Например, значение числового выражения 21 : 3 + (8 — 7) • 9
равно 16. Смотри:
2 4 13
21 : 3 + (8 - 7) • 9
1) 8 - 7 = 1 2) 21 : 3 = 7
3) 1 • 9 = 9 4) 7 + 9 = 16
Значит, 21 : 3 + (8 — 7) • 9 = 16.
Числовые выражения часто появляются при решении задач.
Вот совсем простая задача: «У Маши живут три попугайчика,
а у Володи на одного попугайчика меньше. Сколько всего
попугайчиков у Маши и Володи?» Вот картинка к этой задаче:
3 на 1 меньше
У Маши У Володи
А вот числовое выражение, позволяющее решить эту
задачу: 3 + (3 — 1). Значение этого выражения равно 5.
79
Значит, у Маши и Володи всего 5 попугайчиков. Чтобы
решить задачу, мы составили числовое выражение и
нашли его значение.
Но не для всякого числового выражения мы можем найти
значение. Вот посмотри. Значение числового выражения 3 —
— (3 — 1) равно 1 (проверь!). Но представь себе, что при
переписывании забыли поставить скобки: 3 — 3 — 1. Чему же
равно значение такого выражения? Попробуем посчитать:
3-3-1
1)3 — 3 = 0 2)0— 1 — что это такое? Это действие
выполнить ты не можешь: ведь нуль меньше единицы. Значит,
ты не можешь найти значение выражения 3 — 3—1. Это
выражение для тебя не имеет смысла. Правда, когда ты
станешь старше и познакомишься с отрицательными числами,
смысл появится: ты сможешь найти значение этого выраже-
ния. А вот значение такого выражения: 1:0— найти вообще
нельзя, потому что нельзя делить на нуль. Математики
говорят: такое выражение не имеет смысла.
— Вот ещё задача. Тру-ля-ля смастерил 4 погремушки, а
Тра-ля-ля 3 погремушки. Потом Тру-ля-ля сломал 2 по-
гремушки. Сколько исправных погремушек у них оста-
лось? Составь-ка выражение к этой задаче!
— Пожалуйста! (4 — 3) + 2 !
— Подумай ещё.
4. ВИДЫ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ: СУММА, РАЗНОСТЬ,
ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ. Ты знаешь, что в русском языке
бывают предложения разных видов. Например, «Умеешь ли ты
считать?» — вопросительное предложение, а «Я очень люблю
слонов» — повествовательное. Точно так же и числовые
выражения бывают разных видов: сумма, разность, произведе-
ние, частное. _________________
Предложение:
повествовательное,
вопросительное,
восклицательное
Выражение:
сумма,
разность,
произведение,
частное
Вот, например, 2 + 3 — это, конечно, сумма (её значение
равно 5); 3 — 2 — разность (чему равно её значение?); 3-2 —
80
произведение (его значение равно ...); 3:2 — частное (его
значение ты пока не можешь найти).
А как назвать выражение 1 + 2-3? Оказывается, это тоже
сумма, потому что здесь последнее действие — сложение:
2 1
1+2-3. Значение этой суммы равно 7. А если
поставить скобки: (1 + 2) • 3, — получится произведение,
потому что теперь последнее действие — умножение:
1 2
(1 + 2) • 3. И значение этого произведения равно 9.
4 13 2
4 + (6 : 2 — 3 • 0) — сумма
2 14 3
(4 + б : 2) — 3 • 0 — разность
2 13 4
(4 + 6 : 2 — 3) • 0 — произведение
14 3 2
(4 + 6) : (2 — 3 • 0) — частное
Числовое выражение называется суммой, разностью,
произведением или частным в зависимости от того,
какое действие выполняется последним с учётом по-
рядка действий.
5. РАВЕНСТВО. Возьмём два числовых выражения: 2 + 3
и 7 — 2. Они имеют одно и то же значение: 5. Поэтому можно
записать равенство: 2 + 3 = 7 — 2.
Равенство — это запись, в которую входят два выражения,
соединённые знаком = .
Общий вид равенства можно изобразить, например, так:
Если в левое окошко вписать выражение 2 + 3, а в
правое — выражение 7 — 2, то полученное равенство будет
верным, так как значения этих выражений совпадают. А если
написать слева 2 + 3, а справа 7 • 2? Полученная запись —
тоже равенство, только неверное: ведь 2 + 3 = 5, а7-2 =
= 14. Чтобы показать, что равенство неверно, знак равенства
перечёркивают: 2 + 3 * 7 • 2.
Равенство верно, если значения выражений, из кото-
рых оно состоит, одинаковы.
81
6. НЕРАВЕНСТВО. Если значения двух выражений не оди-
наковы, то одно из них больше, а другое меньше. Например,
2 + 3 = 5, 7-2=14 — значение первого выражения меньше,
чем значение второго. Это записывают так: 2 + 3 < 7 • 2.
А читается эта запись вот так: «два плюс три меньше, чем
семь умножить на два». Знак <, как видишь, читается «мень-
ше». Но можно записать то же самое и иначе: 7 • 2 > 2 + 3 —
«семь умножить на два больше, чем два плюс три»; знак >
читается «больше».
Знаки > и < («больше» и «меньше») называются зна-
ками неравенства.
Знак неравенства всегда повёрнут остриём к меньшему
выражению.
Записи 2 + 3<7-2 и 7-2>2 + 3 — примеры
неравенств.
Неравенство — это запись, состоящая из двух выраже-
ний, соединённых знаком > или знаком <.
Неравенство, как и равенство, может быть верным или
неверным. Например, неравенство 2 + 3 < 7 • 2 верно, а
неравенство 2 + 3<7 — 2 — неверно.
— А 7 < 2 — неравенство?
— Конечно! Только неверное.___________________
Не путай! Запись 5^2 — это не неравенство!
7. БУКВЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ. Ты уже знаешь, что числа в
математике иногда заменяют буквами. Обычно — буквами
латинского алфавита.
Буквенное выражение состоит из чисел, букв, знаков
действий и скобок.
Вот примеры буквенных выражений: а + 5 («<7 плюс 5»),
2 — х («два минус икс»), у • 7 («игрек умножить на 7»), 12 : п
(«двенадцать разделить на эн»), v — к («вэ минус ка»).
Если в числовом выражении заменить буквой хотя бы
одно число, то получится буквенное выражение:
2 + 3 — числовое выражение;
а + 3, 2 + /?, а + b — буквенные выражения.
82
— A 2—1 — это буквенное выражение?
— Нет: в нём нет ни одной буквы. А ты попробуй
превратить его в буквенное выражение — и прочитай,
что получится.
8. ЗНАЧЕНИЕ БУКВЕННОГО ВЫРАЖЕНИЯ. Чему равно зна-
чение буквенного выражения а + 5? На этот вопрос ответить
нельзя: ведь мы не знаем, какое число скрывается под именем
а. А вот если а — это число 3, значение выражения можно
найти: ведь тогда оно превращается в числовое выражение
3 + 5. Записывается это так: «если а = 3, тоо+5 = 3 + 5 =
= 8» или так: «при а, равном трём, значение выражения а + 5
равно восьми».
о + 5 = 6
а + 5 = 9
а + 5 = 8
Чтобы найти значение буквенного выражения при
данном значении входящей в него буквы, надо эту
букву заменить данным числом и найти значение
получившегося числового выражения.
Значение выражения а + 5 можно найти при любом
значении буквы а. ведь любое число можно сложить с числом
5. А вот значение выражения а — 5 ты можешь найти только
в том случае, если а — это число 5 или ещё большее число:
например, от четырёх отнять 5 ты ещё не умеешь. Вот ещё
пример: значение выражения 6 : b ты найдёшь только в том
случае, когда b — это 1, 2, 3 или 6: ведь разделить число 6
ты можешь только на эти четыре числа. Со временем ты
научишься находить значение этого выражения при всех
значениях Ь, кроме нуля. А если b = 0, то выражение 6 : b
не имеет смысла.
Делить на нуль нельзя!
При каком а не имеет смысла выражение:
6 : {а - 1) ?
83
9. УРАВНЕНИЕ. Как ты думаешь, при каком значении буквы
а значение выражения а + 5 равно 12 ? То есть к какому числу
надо прибавить 5, чтобы получилось 12? Правильно, к числу 7.
Сейчас неважно, как мы до этого додумались: перебирали
разные числа, считали на палочках или как-нибудь ещё. Важно,
что теперь мы знаем: а + 5 = 12, если а = 7. Запись а + 5 —
= 12 называется уравнением, а число 7 — его корнем.
а + 5 = 12 — уравнение
7 — корень
а 5
12
Уравнение — это равенство, в котором имеется буква
и требуется узнать, при каком значении этой буквы
равенство становится верным.
Обычно для обозначения нужного числа используется
буква х (икс). Икс — это что-то вроде маски, за которой
прячется число, пока уравнение не решили.
При каких значениях икс верны эти равенства? Какие
свойства сложения и умножения они выражают?
х + 1 = 1 + х
3 +(х+4) = (3 + х) + 4
х + 0 = х
15 + х = 15
4 • (х + 9) = 4 • х + 36
15 • х = х • 15
8 • (х • 6) = (8 • х) • 6
X • 1 = X
12 • х = 12
10. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ. Решить уравнение — значит
найти значение входящей в него буквы, при котором уравнение
превращается в верное равенство.
11. КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ — это то значение входящей в
него буквы, при котором уравнение превращается в верное
равенство.
Возьмём уравнение 3 + х = 7. Если х= 4, оно превращается
в равенство 3 + 4=7; это равенство верно, поэтому число 4
является корнем уравнения. А вот если х = 2, уравнение
превращается в равенство 3 + 2 = 7; это равенство неверно,
поэтому число 2 не является корнем нашего уравнения.
84
Какие из этих уравнений имеют одинаковые корни?
х + 8 = 24 х - 8 = 24
х • 2 = 14 х:2=14
10 + х = 42
16 - х= 9
1 • х = 28
х: 16 = 1
12. НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО СЛАГАЕМОГО. Что об-
щего у уравнений х + 3 = 23 и 18 + х = 30? В обоих
случаях нам известно одно из двух слагаемых и сумма, а
найти требуется второе слагаемое. Поэтому и решаются оба
уравнения одинаково — вычитанием из суммы известного
слагаемого:
х + 3 = 23 18 + х = 30
х = 23 - 3 х = 30 - 18
х = 20 х = 12
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из известной
суммы вычесть известное слагаемое.
13. НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО УМЕНЬШАЕМОГО. Что-
бы решить уравнение х— 4=13, надо найти уменьшаемое, зная
вычитаемое и разность. Это уравнение решается так:
х — 4 = 13
х= 4 + 13
х= 17
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к извест-
ному вычитаемому прибавить известную разность.
х — а — b ------- х = а + b
14. НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ВЫЧИТАЕМОГО. Чтобы
решить уравнение 23 — х = 17, надо найти вычитаемое, зная
уменьшаемое и разность. Уравнение решается так:
85
23 — х = 17
х= 23 - 17
х = 6
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из извест-
ного уменьшаемого вычесть известную разность.
а - х = b ---------- х = а — b
15. НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО МНОЖИТЕЛЯ. Возьмём
уравнения 2 - х = 12 и х - 7 = 28. В обоих случаях известно
произведение и один из двух множителей и требуется найти
второй множитель. Оба уравнения решаются одинаково:
2 • х = 12 х • 7 = 28
х= 12 : 2 х= 28 : 7
х = 6 х = 4
Чтобы найти неизвестный множитель, надо известное
произведение разделить на известный множитель.
16. НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ДЕЛИМОГО. Чтобы ре-
шить уравнение х: 5 = 11, надо найти делимое, зная делитель
и частное. Уравнение решается так:
х: 5 = 11
х= 5 • 11
х = 55
Чтобы найти неизвестное делимое, надо известный
делитель умножить на известное частное.
х : а = b ------ х = а • b
86
17. НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ДЕЛИТЕЛЯ. Чтобы ре-
шить уравнение 24 : х = 8, надо найти делитель, зная
делимое и частное. Уравнение решается так:
24 : х = 8
х = 24 : 8
х = 3
Чтобы найти неизвестный делитель, надо известное
делимое разделить на известное частное.
а : х = b -----— х = а : b
18. ПЕРЕМЕННАЯ — это буква, которую можно заме-
нять различными числами. Выражение с переменной — это
то же самое, что и буквенное выражение. Например, в
выражении 7 — а переменная — это а; в выражении 12-х
переменная — это х. Подставляя в выражение с переменной
вместо буквы числа, мы получаем различные числовые выра-
жения.
а + 19 — выражение с переменной
переменная
Можно считать, что уравнение — это равенство с перемен-
ной, значение которой нужно найти.
19. НЕРАВЕНСТВО С ПЕРЕМЕННОЙ - это запись, состо-
ящая из двух выражений с переменной, соединённых
знаком > или знаком С.
При некоторых значениях переменной такое неравенство
превращается в верное числовое неравенство, при некото-
рых — в неверное. Возьмём неравенство 2 + х > 5. Если
х = 1, оно превращается в неравенство 2 + 1 > 5, которое
неверно. Точно так же это неравенство неверно, если х = 2
или х = 3. А вот если х = 4, то получается верное
неравенство 2 + 4 > 5. Верное неравенство мы получим и
при любом значении переменной, большем, чем 4.
А вот ещё неравенство с переменной: х < х + 1. При каких
значениях х оно становится верным? Смотри: слева стоит
87
какое-то число, а справа — это же число, увеличенное на
единицу. Конечно, правое число всегда больше! Значит,
неравенство х < х + 1 верно при любом значении переменной.
А бывает и так, что неравенство вообще ни при каких
значениях переменной не превращается в верное числовое
неравенство. Например, неравенство х > х + 1 не может быть
верно ни при каком значении х.
х < х + 1 — верно при любых х
х > х + 1 — неверно ни при каких х
20. ФОРМУЛА — это равенство, показывающее, как свя-
заны между собой значения двух или нескольких пере-
менных.
Формула позволяет найти значение одной из этих перемен-
ных, если известны значения всех остальных.
Тебе нужно знать по крайней мере три формулы: 3 =
= v • t — формула пути; 3 = а • b — формула площади
прямоугольника; V — а • b • с -— формула объёма прямо-
угольного параллелепипеда. Обо всех этих формулах дальше
рассказано подробно.
Формула — это запись какого-нибудь утверждения,
составленная из чисел, букв и математических знаков
Утверждение Формула
«Путь равен произведению скорости 3 = v • t
на время»
«Площадь прямоугольника равна 3 = а • b
произведению длины и ширины»
«Объём прямоугольного параллеле- V = а • b • с
пипеда равен произведению длины,
ширины и высоты»
21. ФОРМУЛА ПУТИ — это формула $= и- f, где S —
это длина пути, пройденного за время fco скоростью к
Прочитать эту формулу можно так: чтобы найти длину
88
пути, надо скорость умножить на время. Только надо
правильно выбирать единицы длины, скорости и времени: если
время измерено в секундах, а путь — в метрах, то скорость
измеряют в метрах в секунду (а не в километрах в час и не в
метрах в минуту). Если, скажем, автомобиль ехал 120 минут со
скоростью 50 км/ч, то он проехал не 6000 км (50 • 120 =
= 6000), а всего только 100 км (50 • 2 = 100), потому что
120 минут — это 2 часа, а за час он проезжал 50 км.
Теперь представь себе, что автомобиль ехал 4 часа и
проехал 180 км. С какой скоростью он ехал? Чтобы узнать
это, подставим в формулу пути вместо S число 180, а
вместо t — число 4. У нас получится уравнение: v - 4 —
= 180. Чтобы его решить, надо найти неизвестный множи-
тель (см. с. 86): и = 180 : 4, то есть v = 45. А так как
180 — это километры, а 4 — это часы, то 45 — это
километры в час: автомобиль ехал со скоростью 45 км/ч.
Вообще, чтобы найти скорость, надо разделить длину
пути на время движения.
Ещё задача. Автомобиль со скоростью 70 км/ч проехал 140
км; требуется найти время движения. И здесь из формулы пути
получаем уравнение 70 • t = 140 и, решая его, находим: t =
140 : 70, t = 2. Так как 140 — это километры, а 70 — это
километры в час, то 2 — это часы: автомобиль ехал 2 часа.
Чтобы найти время движения, надо разделить длину
пути на скорость.
22. ФОРМУЛА ПЛОЩАДИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА — это фор-
мула S = а • Ь, где 5 — площадь прямоугольника, выра-
женная в каких-то единицах площади, а а и b — его
длина и ширина, выраженные в соответствующих едини-
цах длины.
Эта формула означает, что для вычисления' площади
89
прямоугольника надо перемножить его длину и ширину,
измеренные в одних и тех же единицах длины; тогда
площадь получится в соответствующих единицах площади.
Объяснить эту формулу очень легко с помощью рисунка.
1 CJV?
3 см
8 см
8 = 3 см • 8 см = 24 см2
Смотри: длина этого прямоугольника 8 см, а ширина 3 см.
Поэтому его длинную сторону можно разбить на 8 санти-
метровых отрезков, а короткую сторону — на 3 сантиметро-
вых отрезка. Через точки деления проведём отрезки, которые
разобьют прямоугольник на квадратики. Тогда площадь каж-
дого квадратика — 1 см2, а всего таких квадратиков в
прямоугольнике помещается 8 • 3 = 24. Значит, площадь этого
прямоугольника 24 см2, и мы получили её, умножив длину на
ширину.
Не забывай при вычислении площади следить, чтобы длина
и ширина прямоугольника были измерены в одних и тех же
единицах. Если, скажем, длина равна 15 дм, а ширина 40 см,
то не надо сразу бросаться умножать 15 на 40, а сначала
следует свести длину и ширину к одним единицам измерения.
Здесь можно заменить дециметры сантиметрами: 15 дм =
= 150 см, — и тогда получим площадь 150 • 40 = 6000 см2.
А можно и наоборот: заменить сантиметры дециметрами.
Тогда площадь получится в квадратных дециметрах: 40 см =
= 4 дм, 15 • 4 = 60 дм2. И, конечно, это одна и та же площадь,
ведь 6000 см2 = 60 дм2.
Формула площади позволяет решить и другую задачу: зная
одну из сторон прямоугольника и его площадь, найти другую
90
сторону. Пусть, например, одна из сторон равна 5 м, а
площадь 50 м2. Подставим в формулу площади вместо S число
50, а вместо а — число 5. Тогда получим уравнение: 5 • b =
50. Решим его: b = 50 : 5, b = 10. Значит, вторая сторона
прямоугольника равна 10 м.
Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника,
надо разделить его площадь на известную сторону.
23. ФОРМУЛА ОБЪЁМА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕ-
ПИПЕДА — это формула V — а • b • с, где V — это объём
параллелепипеда, выраженный в каких-то единицах объ-
ёма, а а, b и с — его измерения, выраженные в соответ-
ствующих единицах длины.
Эта формула означает, что для вычисления объёма пря-
моугольного параллелепипеда надо перемножить его из-
мерения, выраженные в одних и тех же единицах длины;
тогда объём получится в соответствующих единицах
объёма.
Понять эту формулу очень легко, если взглянуть на рисунок.
Длина этого параллелепипеда 5 см, ширина 3 см, высота
91
3 см. Будем заполнять параллелепипед кубиками объёмом в
1 см3. Тогда в каждом слое поместится 5 • 3 = 15 таких
кубиков, а слоёв таких будет 3. Значит, всего для заполнения
этого параллелепипеда понадобится 5 • 3 • 3 = 45 кубиков, и
объём его равен 45 см3.
Чтобы вычислить объём прямоугольного параллелепипеда,
его измерения надо выражать в одних и тех же единицах
длины. Если длина параллелепипеда 13 см, ширина 40 мм,
а высота 2 дм, то прежде, чем выполнять умножение,
переведи все эти измерения в одни и те же единицы —
в сантиметры. Тогда получится так: а = 13 см, b = 4 см,
с = 20 см и V = 13 • 4 • 20 = 1040 см3.
Формула объёма позволяет решить и другую задачу: зная
объём и два измерения прямоугольного параллелепипеда,
можно найти третье его измерение. Если параллелепипед
объёмом 200 м3 имеет длину 5 м и ширину 10 м и
требуется найти его высоту, то мы можем составить
уравнение: 5 • 10 • с = 200. Решая его, получим:
50 • с = 200, с = 200 : 50, с = 4. Значит, высота
параллелепипеда равна 4 м.
Чтобы найти неизвестное измерение прямоугольного
параллелепипеда, надо его объём разделить на произве-
дение двух известных измерений.
а = V: (Ь • с)
I Н Lift!
irvKcaui
W++4
92
СОДЕРЖАНИЕ
Школьнику.............................. 3
Взрослым............................... 4
Часть 1. ЧИСЛА......................... 5
Часть 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ ....... 47
Часть 3. ВЕЛИЧИНЫ .................... 65
Часть 4. ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ....... 78
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.................. 93