Text
                    6.A. ЛАДЫЖЕНСКАЯ
ЗАДАЧ И
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
сризики


О. А. ЛАДЫЖЕНСКАЯ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР 9 качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА> ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1973
517.2 Л 15 УДК 517 Краевые задачи математической физики, О. А. Л а- ды женская, Главная редакция физико-мате- физико-математической литературы, Изд-во «Наука», 1973. Книга является несколько расширенным из- изложением лекций, читаемых автором в течение двадцати с лишним лет студентам IV курса ма- тематико-механического и физического факуль- факультетов ЛГУ. В ней рассмотрены основные краевые задачи для линейных уравнений второго поряд- порядка эллиптического, параболического и гиперболи- гиперболического типов и типа Шредингера, а также для некоторых классов систем таких уравнений. Ко- Коэффициенты уравнений зависят от точки обла- области, в которой находятся решения, причем об- область может иметь произвольную форму. Иссле- Исследования ведутся в классах обобщенных решений. Книга рассчитана на студентов старших кур- курсов университетов и, технических вузов и на ма- математиков разных специальностей, желающих познакомиться с одним из главных отделов тео- теории уравнений в частных производных — реше- решением и исследованием краевых задач ^стацио- ^стационарных и нестационарных). Она будет полезна также вычислителям и инженерам, которые най- найдут в ней изложение различных приближенных методов решения краевых задач. Библ. 95 назв. Издательство «Наука», 1973. „ 0223-1850 042@2)-73
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 5 Список обозначений 23 Глава I. Вспомогательные предложения 29 § 1. Нормированные' пространства и пространства Гиль- Гильберта 29 § 2. Общие сведения о линейных функционалах и линейных ограниченных операторах в гильбертовых пространствах 34 § 3. О неограниченных операторах 39 § 4. Обобщенные производные и усреднения ...... 45 § 5. Определение пространств Wlm (Q) и Wlm (Я) 54 § 6. Пространства $2 (Q) и W\ (р) и их основные свойства 61 § 7. Мультипликативные неравенства для элементов про- пространств г'«№) и №1т(п) • • 77 § 8. Теоремы вложения для пространств ^1т{0.) и IF,4(Q) 83 Глава П. Уравнения эллиптического типа 88 § 1. Постановка краевых задач. Описание основного мате- материала, излагаемого в этой главе 88 § 2. Обобщеннее решения из W\ (Q). Первое (энергети- (энергетическое) неравенство 91 § 3. Исследование разрешимости зядачи Дирихле в про- пространстве Wl (Q) (три теоремы Фредгольма) .... 96 § 4. Теоремы разложения по собственным функциям сим- симметрических операторов 107 § 5. Вторая и третья краевые задачи 112 § 6. Второе основное неравенство для эллиптических опера- ¦ торов 116 § 7. Разрешимость задачи Дирихле в пространстве W% (Q) 125 § 8. Приближенные методы решения краевых задач ... 134 Глава III. Уравнения параболического типа 146 § 1. Постановка начально краевых задач и задачи Коши 147 § 2. Первая начально-краевая задача для уравнения тепло- теплопроводности 153 1*
ОГЛАВЛЕНИЕ § 3. Первая начально-краевая задача для параболических уравнений общего вида 165 § 4. Другие краевые задачи, метод Фурье и Лапласа, вто- второе основное неравенство 171 § 5. Метод Роте 189 Глава IV. Уравнения гиперболического типа .196 § 1. Общие сведения о гиперболических уравнениях. Поста- Постановка основных задач 196 § 2. Энергетическое неравенство. Конечность скорости рас- распространения возмущений. Теорема единственности для решений из w\ 201 § 3. Первая начально-краевая задача. Разрешимость в Wi(QT) 209 § 4. Об исследовании гладкости обобщенных решений . . 216 § 5.0 других начально-краевых задачах 225 § 6. Функциональный метод решения начально-краевых за- задач 227 § 7. Метод Фурье и Лапласа 234 Глава V. Разные обобщения 243 § 1. Эллиптические уравнения произвольного порядка и сильно эллиптические системы 243 § 2. Сильно параболические и сильно гиперболические си- системы • 251 § 3. Уравнения типа Шредингера и близкие к ним уравне- уравнения .258 § 4. О задачах дифракции 260 Глава VI. Метод конечных разностей 268 § 1. Общее описание метода конечных разностей и некото- некоторые принципы построения сходящихся разностных схем . . 268 ¦ § 2. Основные разностные операторы и их свойства . . . 278 § 3. Восполнения сеточных функций. Простейшие георемы вложения 284 § 4. Общие теоремы вложения 294 § 5. Основы конечно-разностного метода Фурье .... 302 § 6. Простейшие уравнения 309 § 7. Задача Дирихле для общих эллиптических уравнений 2-го порядка 338 § 8. Задача Неймана и третья краевая задача для эллип- эллиптических уравнений 345 § 9. Уравнения параболического типа 352 § 10. Уравнения гиперболического типа 367 § 11. Сильная сходимость, системы, задачи дифракции . . 385 § 12. Аппроксимационпые методы 395 Литература 402
ВВЕДЕНИЕ Данная книга является изложением курса лекций, читаемых мною с 1949 г. в Ленинградском университете студентам IV курса математико-механического и физи- физического факультетов, специализирующимся в областях математической физики и дифференциальных уравнений с частными производными. Содержание этих лекций варьировалось в связи с моим собственным пониманием предмета. Однако цент- центральная идея, определявшая весь стиль лекций, была четко сформулирована с самого начала. Она состоит в замене классических постановок краевых задач обоб- обобщенными, причем обобщенная постановка не единствен- единственна: она определяется указанием функционального про- пространства, в котором предполагается найти решение. Идея введения обобщенных решений начала проникать в математическую физику с 20-х годов. К тому имелось два различных источника. Первый — это двумерные ва- вариационные задачи. При их исследовании столкнулись с необходимостью расширить класс функций, среди ко- которым ищется минимум, и допустить к сравнению на- наряду с непрерывно дифференцируемыми функциями не- непрерывные функции, обладающие так называемыми об- обобщенными производными (классы Тонелли). На этом пути пришли к пересмотру одного из кардинальных по- понятий анализа — понятия частной производной. Был предложен ряд различных обобщений (см. работу [9] 1920 г. Г. Эванса, работы [27] Тонелли, работу [28] Н. Ви- Винера, работу [211] Ч. Морри и др. *)), в том числе и то определение обобщенной производной, которое нашло *) Жирным шрифтом даны ссылки на иностранную литера- литературу, а светлым — на русскую.
б ВВЕДЕНИЕ в дальнейшем всеобщее признание и которым мы будем пользоваться в данной книге (см., § 4 гл. I). Вторым источником возникновения обобщенных решений яви- явились нестационарные задачи и прежде всего волновое уравнение tin = с2Аи и уравнения гидродинамики. Для тех и других давно вводились определенные разрывные решения: для первых — плоские и сферические волны с сильным разрывом на фронте, движущемся со скоро- скоростью с, для вторых —решения, описывающие ударные волны. В 20-х годах пытались понять, какие разрывные решения следует считать «допустимыми». В нашей стра- стране эти вопросы были подняты А. А. Фридманом и изуча- изучались им и его учениками (И. А. Кибелем, Н. Е. Кочиным и др.) как вопросы о кинематических и динамических условиях совместности. На этом пути было понято, что «допустимыми» решениями линейного уравнения S?u = f (или системы) надо считать те, которые удовлетворяют интегральному тождеству J u&\dx = J fr\dx A) при любой достаточно гладкой функции т] (х) с компакт- компактным носителем (в A) 9?* есть дифференциальный опе- оператор, сопряженный к 9? в смысле Лагранжа). Тожде-. ство A) встречается также в работе [28] 1926 г. Н. Ви- Винера, относящейся к одномерному гиперболическому уравнению. Тридцатые годы привели к дальнейшему развитию указанных тенденций. В работе [12] 1934 г. К.. О. Фрид- рихса, посвященной нахождению минимума квадратич- квадратичного функционала I (и) = J {a{lux.uXt + аи2 + 2uf)dx B) Q при граничном условии ы|ап = 0 и условии эллиптично- эллиптичности ац%Ь} > "V 2 l\, v > О.рассмотрения ведутсяв клас- классе функций, который впосл'едствии стали обозначать че- О. о рез W-2(Q); элементы W2(Q)не являются непрерывными функциями, но имеют так называемые обобщенные про- производные первого порядка, суммируемые по Q, как и
ВВЕДЕНИЕ 7 сама функция и, со второй степенью. В этом классе функций, являющемся полным гильбертовым простран- пространством, сравнительно легко находится функция и(х), реа- реализующая inf/(и), если а(х)^0, f^L2(Q) и коэффи- коэффициенты fljj и а — ограниченные на Q функции. На ней первая вариация / обращается в нуль, т.е. х = О C) при y/r\^Wi(Q.), причем такая функция и(х) един- единственна. Это решение и(х) вариационной задачи находится непосредственно с помощью так называемых прямых методов вариационного исчисления, ведущих свое на- начало от работ Гильберта. При этом не используется ни- никакая информация о разрешимости задачи Дирихле ^)-au = f, м|5 = 0, D) в которой 2?и = f есть уравнение Эйлера для функцио- функционала J(u). Напротив, вариационная задача привле- привлекается для исследования задачи D) (в данной части исследования а.ц считаются гладкими функциями)-, Фридрихе доказывает, что если дифференциальный опе- оператор SB рассмотреть как неограниченный оператор в гильбертовом пространстве Lz(Q) с первоначальной об- областью определения ?){2?), состоящей из дважды не- непрерывно дифференцируемых в п функций, равных нулю на дО. (9?, как легко проверить, симметричен на 3){2^)), а затем присоединить к S){S) решения и(х) описанных вариационных задач для всех / из /-г(й) и условиться считать S?u = f, то получается самосопря- самосопряженное расширение 3? оператора 2. Впоследствии та- такое расширение 3? стали называть жестким расширен нием или расширением по Фридрихсу, а функции и(х), о , реализующие inf/(и) на tt^ (Q)>—обобщенными реше- решениями задачи D) из класса 11^2 (Q). Вопрос о том, имеют ли такие -обобщенные решения производные второго
8 ВВЕДЕНИЕ порядка и, тем самым, удовлетворяют ли они уравне- уравнению 2?и = f, оставался в то время открытым. Другой круг идей и методов был привлечен к иссле- исследованию разрывных решений нестационарных уравне- уравнений. С. Л. Соболев кладет в основу определения обоб- обобщенных решений и(х) тождество A), считая и(х) сум- суммируемой функцией. Он доказывает для дифференци- дифференциальных операторов 9? с постоянными коэффициентами, что такие решения суть пределы в L\ классических ре- решений уравнений SBu = / (точнее, им были рассмотрены уравнения иц—с2 Ди = 0, А« = 0 и ut—Ди = О). В со- соответствии с этим он приходит к другому определению обобщенного решения уравнения 2?и = f, как пределу (в том или ином смысле) классических решений таких уравнений, и с этим определением работает. На таком пути С. Л. Соболев получает обобщенные решения за- задачи Коши для гиперболических уравнений 2-го порядка с достаточно гладкими коэффициентами и однородными начальными условиями, но с весьма «плохими» свобод- свободными членами, причем выходит за классы функций точ- точки, вводя обобщенные решения как функционалы над определенным множеством достаточно гладких функций ([23d, 1936 г.). При исследовании всех перечисленных вопросов при- пришли к необходимости исследовать более подробно раз- различные классы функций, обладающих теми или иными обобщенными производными. В 30-е годы наиболее пол- полному анализу подверглись пространства ^(Q), состоя- состоящие из функций и(х), обладающих обобщенными произ- производными до порядка / включительно, суммируемыми вместе с и(х) по Q со степенью р. С. Л. Соболевым и его учеником В. И. Кондрашовым были получены наи- наиболее полные по тому времени результаты о простран- пространствах WP(Q). Им предшествовали результаты Ф. Реллиха по компактности вложения Wl2(Q) в L2(Q) и ряд нера- неравенств (неравенства Пуанкаре и др.), которые в совре- современной терминологии являются различными теоремами вложения. Весь этот комплекс аналитических фактов явился необходимой основой для дальнейшего формиро- формирования новых подходов к изучению краевых задач.
ВВЕДЕНИЕ¦ . 9 В 30-х годах выход за рамки классических решений краевых задач можно видеть также в работе [19] Ж- Лерэ по нестационарным задачам гидродинамики для вязких несжимаемых жидкостей и в работах [8i_4] Н. М. Гюнтера по задаче Дирихле для уравнения Аи = f и начально-краевой задаче для уравнения колебания неоднородной струны. Н. М. Гюнтер ведет активную пропаганду за отказ от классических постановок этих задач и за переход к обобщенным решениям, более тес- тесно отражающим физическую сущность явлений, описы- описываемых дифференциальными уравнениями. Им были введены и исследованы обобщенные решения задачи Дирихле для уравнений Аи = f, являющиеся функцио- функционалами над пространством С(й). Другой класс обоб- обобщенных решений он ввел при изучении начально-крае- начально-краевых задач для уравнения колебаний струны. (Отметим здесь же, что в данной книге мы работаем только с обобщенными решениями, являющимися функ- функциями точки. Работы, в которых рассматриваются обоб- обобщенные решения в виде функционалов над классами гладких функций, не найдут отражения ни в основном тексте книги, ни в данном введении. Большинство из них касается или задачи Коши или общей теории урав- уравнений во всем пространстве, В основном в них изучают- изучаются уравнения с постоянными коэффициентами или коэф- коэффициентами из каких-либо специальных классов. Соб- Собственно теория краевых задач в этом круге работ изу- изучена мало. Широкий интерес к обобщенным решениям—¦ функционалам начался с момента выхода в свет книги [26] Л. Шварца. Она заложила фундамент многочислен- многочисленным исследованиям, из которых упомянем монографии И. М, Гельфанда, Г. Е. Шилова [6] и L. Hormander'a [17]). В конце 40-х годов мною было предложено опреде- определять обобщенные решения краевых и начально-краевых задач для различных типов уравнений (эллиптических, параболических и гиперболических)с помощью инте- интегральных тождеств, заменяющих собою уравнение, а иногда и часть начальных и граничных условий. Более того, была отмечена важность того, что для каждой за- задачи можно вводить различные классы обобщенных
Ю ВВЕДЕНИЕ решений, определяемые тем функциональным простран- пространством W, к которому должно принадлежать искомое обобщенное решение, В соответствии с указанием про- пространства W должны быть переформулированы все тре- требования задачи. Выбор же пространства W находится в распоряжении исследователя и может быть использован им в зависимости от преследуемых целей. Единственное требование, которому надо при этом удовлетворить,— это требование «допустимости» вводимого расширения понятия решения задачи, состоящее в том, чтобы в классе W сохранялась теорема единственности (если она соответствует духу задачи и имеет место в классе клас- классических решений). Кроме этого, должна быть есте- естественная подчиненность классов обобщенных решений: решения из более широкого класса W являются обоб- обобщенными решениями из более узкого функционального класса W. Таким образом, определение обобщенного решения задачи было отъединено от какого-либо способа его по- получения (как это было раньше в работах К. Фридрихса и С. Л. Соболева) и тем более от каких-либо аналити- аналитических его представлений (как это было в работах Н. М. Гюнтера и Ж. Лерэ). Более того, для определен- определенных классов обобщенных решений классических крае- краевых и начально-краевых задач (так называемых обоб- обобщенных решений с конечной энергетической нормой) были доказаны теоремы единственности, не опираю- опирающиеся на умение решать данную или сопряженную за- задачу в классе гладких функций и использующие лишь свойства исследуемых уравнений, вытекающие из их определения. Для эллиптических уравнений такие тео- теоремы единственности выводятся из хорошо известных фактов. Для нестационарных же уравнений установлен- установленные мною теоремы единственности (см. гл. III [12г]) ба- базируются не на известных ранее энергетических нера- неравенствах (установленных для уравнений с переменными коэффициентами в работах К. Фридрихса, Г. Леви и Ю. Шаудера), а на иных неравенствах, названных впо- впоследствии Л. Гордингом дуальными. Несколько позже (в 1954 году, см. [126]) удалось доказать для нестацио- нестационарных задач теоремы единственности в классе обоб-
ЙЙЕДЕНИЙ 11 щенных решений из L2 (Qt) (т. е. решений, не имеющих даже обобщенных производных), из которых теоремы существования вытекают «почти даром», примерно так же, как в теории линейных алгебраических систем. Первоначально существование допустимых обобщен- обобщенных решений было установлено мною с помощью метода конечных разностей. Он же позволил исследовать затем и увеличение гладкости этих обобщенных решений в зависимости от увеличения гладкости данных за- задачи. Вся описанная программа была реализована в книге [12г] A953 г.), посвященной в основном наиболее трудным и наименее исследованным в то время началь- начально-краевым задачам для гиперболических уравнений. В годы ее написания A949—51) в моих лекциях основ- основное место занимал метод конечных разностей, с помощью которого доказывалась разрешимость всех основных краевых и начально-краевых задач для уравнений (и определенных классов систем) эллиптического, парабо- параболического и гиперболического типов. Кроме него для уравнений эллиптического типа был развит метод доказательства фредгольмовой разреши- разрешимости основных краевых задач, ведущий свое начало от упомянутой выше работы [1.2] К. Фридрихса. Но, в отли- отличие от [12], я рассматриваю случай общего несамосопря- несамосопряженного уравнения, уже не являющегося уравнением Эйлера для какого-либо функционала. Близкие резуль- результаты, но в иной форме, были получены также М. И. Ви- шиком и С. Г. Михлиным, причем М. И. Вишик рассмо- рассмотрел случай и так называемых сильно эллиптических си- систем. Предложенный мною метод (он описан в §§ 2—5 гл. II) имеет, как мне кажется, ряд преимуществ, во многом обусловленных самой формой трактовки обоб- обобщенных решений с помощью интегральных тождеств. Именно такая его форма обеспечила его применимость и в более трудных задачах, например, в стационарных линейных и нелинейных задачах гидродинамики для вяз- вязких несжимаемых жидкостей ([12i2]), в задачах нелиней- нелинейной теории оболочек ([5]) и многих других. Далее, для эллиптических операторов 2-го порядка мною было установлено так называемое второе основное
12 ВВЕДЕНИЕ- неравенство (см. §§ 6, 7 гл. И*)), позволившее дать ответ на один из важных вопросов, возникших на стыке функционального анализа и теории дифференциальных уравнений, а именно, на вопрос, из чего состоит область определения замыкания эллиптического оператора 3! как неограниченного оператора в гильбертовом простран- пространстве -L2(Q), определенного первоначально на гладких функциях, удовлетворяющих какому-либо однородному краевому условию. Этот вопрос был поставлен И.М. Гель- фандом в 1944 г. на его известном семинаре, где была намечена программа изучения краевых задач для эллип- эллиптических уравнений с точки зрения функционального анализа. Из второго основного неравенства следует, в частности, что для расширения i?, построенного К. Фри- дрихсом, область определения Ф{2) есть все простран- 2 ° 1 ство W2 (Q) П ^2 (й), если только граница области и ко- зффициенты 2 обладают некоторой гладкостью. Тем самым, решения вариационных задач для /(«) имеют обобщенные производные второго порядка, и удовлетво- удовлетворяют уравнению D) для почти всех х из Q. Второе основное неравенство является частным слу- случаем более общих неравенств, установленных мною при обосновании метода Фурье для гиперболических уравне- уравнений. В полном виде они опубликованы во второй главе [12г]. Здесь я ограничилась изложением лишь простей- простейшего из них (§ 6 гл. II). Позже, в 1955 г., мне пришел в голову весьма простой способ исследования разреши- разрешимости задачи Дирихле для эллиптических уравнений, основанный на этом неравенстве ([129]). Это способ про- продолжения по параметру, соединяющему данный эллип- эллиптический оператор с каким-либо простейшим обратимым эллиптическим оператором, например, оператором Ла- Лапласа (он изложен в § 7 гл. II). Однако несколько поз- позже я убедилась, что «открыла Америку». Оказалось, что такой же способ был предложен Ю. Шаудером в 1934 г. ([25]) при исследовании разрешимости задачи Дирихле в пространстве Гёльдера #2+a(Q). Эта замечательная *) В замечании 6.2 гл. II указаны работы других авторов, относящиеся к этому же неравенству.
ВВЕДЕНИЕ 13 работа была не известна в нашей стране и стала оказы- оказывать влияние на отечественных математиков лишь со второй половины 50-х годов. Из нее нашла широкое при- применение (у нас и за границей) идея сведения сложной задачи к модельным, простейшим задачам для уравне- уравнений с постоянными («замороженными») коэффициентами во всем пространстве или полупространстве. Из таких задач «склеивается» («сшивается») исследуемая задача. Работа Ю. Шаудера не включена в данную книгу ввиду ее большой технической сложности (см. о ней §§2,3 [1213]). Помимо перечисленных выше методов в лекциях и здесь излагается метод Галеркина, с помощью которого сравнительно просто доказывается существование обоб- обобщенных решений из Wl. Для эллиптических уравнений ему было посвящено довольно много работ. Для общих уравнений этого типа его сходимость в №г(й) доказана С. Г. Михлиным (см. [15]). Для нестационарных задач метод Галеркина был использован сначала для построе- построения классических решений (что существенно усложняло дело) уравнений с одной пространственной переменной ([10], [14]). Затем в работе [16] 1951 г. Е. Хопфа с его помощью было найдено слабое решение начально-крае- начально-краевой задачи для общих нестационарных нелинейных уравнений Навье — Стокса. Эта интересная работа так же, как и работа Ю. Шаудера, была «открыта» с боль- большим опозданием. Для линейных уравнений параболического и гипер- гиперболического типов метод Галеркина в его классической форме позволяет весьма просто доказывать существова- существование обобщенных решений в классе функций, несколько более широком, чем «решения с конечной энергетиче- энергетической нормой». Такие решения были введены мною и для них была доказана теорема единственности. Я излагаю этот метод в лекциях и здесь применительно к уравне- уравнениям всех трех классических типов, причем привожу некоторые его варианты, позволяющие доказывать су- существование и более гладких решений и дающие более хорошую сходимость, чем обычный метод Галеркина. Для уравнений параболического типа я комбинирую ме- метод Галеркина с другим, «функциональным» методом,
14 . ВВЕДЕНИЕ что позволяет доказать однозначную разрешимость в классе «обобщенных решений с конечной энергетической нормой» при минимальных предположениях о гладкости всех данных задачи. Остановимся подробнее на упомя- упомянутом «функциональном» методе доказательства теорем существования. Таким (не очень удачным) названием я наделяю методы, не использующие никакие аналитиче- аналитические конструкции для построения решений (т. е. ни точ- точные формулы, ни интегральные уравнения, ни какие-ли- какие-либо аппроксимации), а опирающиеся лишь на те или иные теоремы или рассуждения функционального анализа. Для уравнений эллиптического типа таким методом является метод, упомянутый выше в связи с фредголь- мовой разрешимостью задачи Дирихле и излагаемый в §§ 2—5 гл. II. Он существенно опирается на положи- положительность основной квадратичной формы, т. е. на свой- свойство эллиптичности уравнения, и считалось, что рассуж- рассуждения подобного рода невозможны для уравнений других ¦типов, особенно гиперболических, которым соответ- соответствует индефинитная метрика. Тем не менее удалось по- показать, что однозначная разрешимость начально-крае- начально-краевых задач может быть получена ка основе следующей -наивной идеи. Запишем задачу в виде операторного ура- уравнения Аи = /, где оператор А действует в гильберто- гильбертовом пространстве Н (у нас это — пространство L2(Qr)). Начальные и граничные условия считаем сведенными к однородным. Оператор А есть неограниченный линей- линейный оператор. Возьмем в качестве области его опреде- определения 3)(А) все не очень плохие функции, подчиняю- подчиняющиеся однородным граничному и начальному условиям, и попробуем доказать «в лоб», что область 91{А) его значений плотна в Н. Это означает, что тождество (Av,P) = Q, ?эе«(Л), E) гарантирует обращение в нуль элемента 9" е Я. С точки зрения функционального анализа тождество E) озна- означает, что 9" е 0 (Л*) и А*9~ = 0. В моей терминологии E) означает, что 9" есть обобщенное решение из Н за- задачи, сопряженной к исследуемой. Но такая задача яв- является задачей того же типа, что и исходная, и следова- следовательно, доказательство обращения 9~ в нуль есть не что
ВВЕДЕНИЕ 15 иное, как доказательство теоремы единственности для задачи рассматриваемого типа в классе обобщенных ре- решений из Я. Если удается доказать эту теорему непосредственно, то из нее теорема существования следует весьма просто, ибо во всех изучаемых задачах оператор А допускает замыкание Л и на Й(Л) существует ограниченный обрат- обратный оператор Л", а потому уравнение Аи = f будет иметь единственное решение из 3)(А) для всех f из Я. Во всей описанной схеме есть одно нетривиальное место —доказательство теоремы единственности обоб- обобщенных решений из Я (т.е. из L2(Qt))- Из нее разре- разрешимость получается легко. Такие теоремы единственно- единственности, а вместе с ними и теоремы существования, были доказаны мною в 1953 г. и опубликованы кратко в за- заметке [12б]. Они не использовали, по существу, того, что А есть дифференциальный оператор, и оказались приме- применимыми для широких классов операторных уравнений S, (/) % + S2 (/) -g- + S3 (/). и = / @, F) где Si(t)—неограниченные линейные операторы в гиль- гильбертовом пространстве 3@, зависящие от параметра t и обладающие некоторыми общими свойствами. Многие •начальные-краевые задачи и задачу Коши для неста- нестационарных дифференциальных уравнений и систем раз- разных типов оказалось возможным рассмотреть как част- частные случаи задачи Коши для уравнений вида F), до- допускающих только что описанный путь исследования [127,в]. Другие методы разрешимости задачи Коши для уравнений F) были предложены М. И. Вишиком [4г]. Он провел для них метод Галеркина, а для уравнений первого порядка дал еще функциональный метод, идей- идейно близкий (но более сложно оформляемый) к функцио- функциональному, методу, с помощью которого были исследо- исследованы уравнения эллиптического типа и который упоми- упоминался выше. М. И. Вишик работает в том классе обоб- обобщенных решений, который был введен мною в работах первого периода [122] и для которых была доказана тео- теорема единственности (это класс решений, которые в книге [122] я называю классом обобщенных решений; он несколько шире класса решений с конечной энергетиче-
16 ВВЕДЕНИЕ ской нормой, но существенно уже класса «обобщенных решений из L2(Qr)»). Описанные здесь результаты по нестационарным задачам, в том числе по задаче Коши для уравнений вида F), изложены довольно подробно в обзорной статье [43]. Они были продолжены многими математиками, в том числе Ж. Лионсом, С. Г. Крейном, М. А. Красносельским и П. Е. Соболевским (см. [20], [24], [11] и др.). Другой метод, имеющий своим источни- источником теорию полугрупп, был развит Т. Като для исследо- исследования задачи Коши для уравнений F) первого порядка ([18]). Эта работа также была продолжена рядом авто- авторов и ее развитие нашло применение в задачах матема- математической физики (см. [25], [11] и др.). В период написания работ [12б-в] я рассказывала на лекциях их содержание. Но это потребовало изложения основных фактов из теории дифференцирования и инте- интегрирования функций u(t) со значениями в гильбертовом пространстве и доказательства ряда предложений о не- неограниченных билинейных формах. Здесь, в книге, я ограничилась изложением описанного выше функцио- функционального метода на примерах уравнения теплопровод- теплопроводности и волнового уравнения, причем результаты, полу- получаемые на таком пути по уравнению теплопроводности, используются затем для получения более тонких резуль- результатов по общим параболическим уравнениям. Из сказанного видно, что в разные периоды предпоч- предпочтение отдавалось то одним, то другим методам иссле- исследования. Неизменным оставался лишь основной объект изучения — краевые задачи (первая, вторая и третья) для линейных уравнений эллиптического, параболиче- параболического и гиперболического типов и типа Шредингера с переменными коэффициентами в произвольных обла- областях изменения пространственных переменных (лежа- (лежащих в евклидовом пространстве Rn) и основной подход к их исследованию — рассматривать не классические, а обобщенные решения этих задач. Вопрос о том, когда обобщенные решения *) обладают той или иной глад- гладкостью, затрагивался лишь частично, а именно, выясня- выяснялось, когда об. решения имеют обобщенные производ- *) Далее будем для краткости писать «об. решения».
ВВЕДЕНИЕ 17 ные, входящие в уравнения, и удовлетворяют, тем са- самым, уравнениям почти всюду. Более подробный анализ обобщенных решений, в частности, выяснение того, ко- когда они становятся классическими, в лекциях не изла- излагался ввиду его сравнительной технической громоздко- громоздкости. Опишем теперь в общих чертах тот вариант лекций, который дается в настоящей книге. Книга содержит шесть глав. Первая глава имеет вспомогательный характер. В ней мы напоминаем о тех предложениях из теории гильбертовых пространств и тех конкретных функциональных пространствах, кото- которые используются в дальнейшем. Особое внимание уде- уделено одному из центральных понятий неклассического анализа: понятию обобщенной производной и описанию свойств таких производных и функциэнальным про- пространствам W\ (Q) и W\ (Q), занимающим главное место в книге. Для последних приведены доказательства важ- важных критериев сильной компактности семейств функций {ип(х)}, заданных в области Q, в пространствах 1,2(Q) и L2{dQ). Предварительно обсуждается поведение эле- элементов W2 (й) на поверхностях размерности п—1 (п—• размерность евклидова пространства Rn, в котором на- находится область Q.) В §§ 7 и 8 приведены для справок основные мультипликативные неравенства. С их по- помощью результаты, излагаемые в книге для уравнений с ограниченными коэффициентами, без большого труда обобщаются на случай, когда коэффициенты младших членов уравнений суть неограниченные функции, сумми- суммируемые по Q с некоторыми степенями. Такого типа обоб- обобщения оказались важными для исследования нелиней- нелинейных уравнений. Гл. I не претендует на полное изложе- изложение всех затронутых в ней вопросов. Доказательства приведены лишь для тех предложений, которые исполь- используются в основном тексте книги. Однако она может слу- служить путеводителем к тому, что должен понять и осво- освоить человек, желающий разобраться в современной теории краевых задач. Гл. И посвящена уравнениям 2-го порядка эллипти- эллиптического типа. В §§ 2, 3, 5 доказывается фредгольмова разрешимость краевых задач для таких уравнений в
18 ВВЕДЕНИЕ пространстве WliQ). Обобщенные решения, принадле- принадлежащие пространству IF2 (Q), имеют конечную энергети- энергетическую норму и коротко называются «энергетическими». В §§ 6 и 7 выясняется, когда эти решения принадлежат пространству W2 (Q) и удовлетворяют уравнению почти всюду, В § 8 излагаются приближенные методы реше- решения: метод Галеркина (в его классической и модерни- модернизированной форме), а также метод Ритца и метод наи- наименьших квадратов, как его частные случаи. В §§ 4 и 7 исследуются' спектральные задачи и вопрос о сходимо- сходимости рядов Фурье по собственным функциям этих задач. Другой приближенный метод решения краевых задач — метод конечных разностей — подробно анализируется в гл. VI, посвященной уравнениям всех типов. В гл, III изучаются начально-краевые задачи для уравнений 2-го порядка параболического типа. Задача Коши исследуется лишь постольку, поскольку она мо- может быть рассмотрена как частный случай таких задач. Для них устанавливается однозначная разрешимость в классе «энергетических решений» (в классе ^2'0(Qt)). Чтобы сделать это при минимальных возможных пред- предположениях о коэффициентах, приходится по ходу дела вводить и исследовать об. решения из других функцио- функциональных классов. Я решила провести читателя по этому извилистому пути не столько из желания максимально снизить все требования на данные задачи, сколько из намерения проиллюстрировать различные классы об. решений и ме- методику работы с ними. Можно было бы ограничиться любым из вводимых мною классов и в нем доказать однозначную разрешимость задач. В гл. III изложены метод Галеркина, функциональный метод, метод преоб- преобразования Лапласа, метод Фурье, метод Ротэ. Как ска- сказано выше, метод конечных разностей излагается в гл. VI. Экономя место, я не затронула метод продолже- продолжения по параметру. Он имеет две формы. Одна из них изложена в § 7 гл. II применительно к эллиптическим уравнениям. Для уравнений параболического типа она, по существу, ничем не отличается, надо только данное уравнение соединить параметром с уравнением теплопро-
ВВЕДЕНИЕ 19 водности (или с каким-либо другим подходящим пара- параболическим уравнением). Ее обоснование базируется на «втором основном неравенстве», которое имеет место и для параболических уравнений (о нем см. [126—в] и § 6 гл. III [12м]). Другая конструкция метода продолже- продолжения по параметру основывается только на первом (энер- (энергетическом) неравенстве. В ней параметром соединяют- соединяются билинейные формы, соответствующие оператору дан- данной и вспомогательной задач. Она также возможна для обоих типов уравнений: эллиптических и параболических (см, об этом, например, [128] и [43]). Гл. IV посвящена уравнениям гиперболического типа. Сначала эти уравнения рассматриваются во всем пространстве и для них доказывается «энергетическое неравенство». Из него следует: 1) характеристическое свойство гиперболических уравнений: конечность скоро- скорости распространения возмущений, описываемых этим уравнением, и 2) теорема единственности для задачи Коши в классе обобщенных решений из W~i((x, t)). Все эти факты были известны давно (для уравнений общего вида см. работы Ж. Адамара, Г. Леви, К. О. Фридрихса, Ю. Шаудера, С. Л. Соболева'; для систем—работы И, Г. Петровского, Ж. Лерэ, Л. Гординга; для частных классов уравнений они были установлены еще в XIX в.), только они доказывались для классических решений Переход к об. решениям из Wi'Kx, t)) не вызывает ка- каких-либо затруднений. Благодаря 1) и 2) задачу Коши можно рассмотреть как частный случай начально-крае- начально-краевой задачи с первым краевым условием. В дальнейшем исследуется именно эта и другие начально-краевые за- задачи, а задача Коши отдельно не рассматривается (только в гл. VI для нее строится конечно-разностная схема, несвязанная ни с какими граничными*условиями). Для них доказывается однозначная разрешимость в классе об. решений из W\(QT)-Решение и(х, t) получено как предел галеркинских приближений uN(x,t). Сходимость uN к и легко выводится с помощью «энер- «энергетического неравенства». Напротив, для доказательства теоремы единственности в этом классе потребова- потребовались новые соображения, отличные от тех, которые
20 ВВЕДЕНИЕ былп развиты ранее для доказательств теорем един- единственности в задаче Коши (мы имеем в виду метод Гер- глотца и доказательство, основанное на энергетическом неравенстве). Приводимый в тексте вывод (он взят из книги [12г]) основан на априорной оценке об. решений из W\ (QT), отличной от энергетического неравенства. Это и подобные ему неравенства Л. Гординг назвал «дуаль- «дуальными» (т.е. двойственными по отношению к энергетиче- энергетическим и его следствиям). Еще одно такое «дуальное» неравенство было найдено нами при доказательстве тео- теоремы единственности в более широком классе об. реше- решений— в классе L^(QT) (см. [ 126—в]). Как объяснено в пер- первой половине введения, из такой теоремы единственно- единственности разрешимость задачи извлекается весьма просто, причем разрешимость в классе «энергетических» реше- решений. Однако, экономя место, я изложила этот путь иссле- исследования начально-краевых задач лишь на примере вол- волнового уравнения (см. § 6), причем оба «дуальные» не- неравенства проводятся лишь для нулевых начальных и граничных условий и ненулевого свободного члена (толь- (только этот случай и нужен для доказательства теорем един- единственности). В § 4 описано, как исследуется увеличение гладкости об. решений из W^(QT) в связи с увеличением гладкости данных задачи и увеличением порядка их согласования. Выяснено, когда такие решения принадлежат «энергети- «энергетическому» классу и когда они имеют производные, входя- входящие в уравнение. Во всей главе я подробно .рассматриваю первое краевое условие, для остальных даю необходимые указания (см. § 5). В § 7 описаны метод преобразования Лапласа и метод Фурье. Для последнего исследована сходимость в пространствах L2(Q), W^(Q) nWl(Q). Более детальный анализ этих методов был дан в моей первой книге [12о]. Здесь излагается лишь небольшая часть, от- относящаяся к методу Фурье. При чтении [122] надо учесть, что со времени ее выхода в свет прошло двадцать лет, в течение которых были найдены менее ограничительные условия на гладкость области и коэффициентов, гаранти- гарантирующие ту или иную гладкость собственных функций и решений эллиптических уравнений. Эти улучшения при-
6ВЕДЕНИЕ 21 водят и к соответствующим ослаблениям условий глав II и IV книги [122], касающихся гладкости коэффициентов уравнений и области. В гл. V рассказывается о других задачах, которые могут быть исследованы методами, изложенными в гла- главах II—IV. К ним относятся некоторые краевые задачи для эллиптических и параболических уравнений любого порядка, а также для сильно эллиптических, сильно па- параболических и сильно гиперболических систем. Их част- частными случаями являются бигармоническое уравнение и система уравнений теории упругости. Близкой к эллип- эллиптическому случаю является линеаризованная система уравнений Навье — Стокса для стационарных течений вязких несжимаемых жидкостей. Она исследуется, по существу, так же, как одно эллиптическое уравнение в § 3 гл. II. Необходимые для этого указания даны в § 1. В § 3 рассматриваются уравнения типа Шредингера (в их абстрактной форме). Отмечается принадлежность системы уравнений Максвелла к этому типу (при пра- правильном учете всех требований электродинамики). В по- последнем, четвертом, параграфе показывается, как задачи дифракции для уравнений разных типов вкладываются в задачи на определение об. решений^ из. классов Wl обычных краевых задач, рассмотренных в главах II—IV. Последняя, самая объемистая, глава книги (гл. VI) отдана методу конечных разностей. В ней рассмотрены те же задачи, что и в главах II—IV. Упор сделан на по- построение сходящихся разностных схем и доказательство их устойчивости в метриках, соответствующих энергети- энергетическим. При исследовании метода конечных разностей я не использую никакой информации о точном решении задачи (даже факта его существования) и, напротив, могу доказать с его помощью теоремы существования и провести довольно полные качественные исследования этих решений и сходящихся к ним приближенных реше- решений. Будучи лимитирована местом и временем, я не про- провожу этих подробных качественных исследований, а о доказательстве теорем существования говорю довольно сжато. Принципиально метод конечных разностей весьма прост. Он сводит все проблемы к решению конечных ли- линейных алгебраических систем и их анализу. Впервые
22 ВВЕДЕНИЕ он был использован для решения обыкновенных диффе- дифференциальных уравнений и известен в математике как метод ломаных Эйлера. Его применения и исследования для уравнений в частных производных начались лишь в нашем веке. В последние два десятилетия роль метода конечных разностей возросла в связи с появлением бы- быстродействующих вычислительных машин, и в настоящее время он занял первое место среди других приближен- приближенных методов решения краевых задач. Гл. VI начинается с введения, в котором разъясняется, какими я руковод- руководствовалась соображениями при4 построении сходящихся разностных схем. В нем же описано и основное содержа- содержание главы. Предлагаемая книга имеет мало общего с учебни- учебниками по теории дифференциальных уравнений в частных производных, в том числе и с такими замечательными курсами, как II и IV тома «Курса высшей математики» В. И. Смирнова и «Лекции об уравнениях в частных производных» И. Г. Петровского. В них излагаются, в основном, классические методы исследования примени- применительно к краевым задачам для простейших уравнений. В известной, богатой содержанием книге «Методы мате- математической физики» Д. Гильберта и Р. Куранта, том II (в ее первом и втором издании), рассмотрен ряд задач для уравнений с переменными коэффициентами. Но и она отражает, в основном, то, что было сделано к мо- моменту написания ее первого издания (т.е. к 1937 г.). Имеется несколько монографий ([23i], [122,13, и]> [И], [20], [11], [15], [29] и др.), но они вряд ли могут быть ре- рекомендованы как учебные пособия студентам-четверо- студентам-четверокурсникам или как книги, из которых математики раз- разных специальностей и инженеры могут получить общее представление о краевых задачах математической физики. Данной книгой я рассчитываю восполнить пробел, имеющийся в учебной литературе по уравнениям в част- частных производных. Она базируется на результатах, уста- установленных в конце 40-х и 50-х годов, и содержит изло- изложение точек зрений и методов, которые успешно при- применяются и развиваются и в настоящее время. Почва к этим исследованиям и аппарат к ним были подготов- подготовлены в 20-х и 30-х годах нашего столетия.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ Приведем ряд обозначений, используемых в книге, Rn — евклидово пространство размерности п. х = (хь ..., хп) — точка Rn. Q — область в Rn, в подавляющем числе случаев ограниченная, S, dQ — граница области й, Q = Q (J S. п' — всюду ограниченная подобласть Я. Qr = {(*¦ 0 : л: е= О, / <= (О, Т)} - цилиндр в /?„+,. Sr = {(д;, 0 : х е <Эй, /s,@, Г)} — боковая поверхность Qr я — единичный вектор нормали к 6Q, направленной вне Q. Символы их и ихх — всюду, кроме гл. VI, обозначают произ- водные (классические и обобщенные) -?— и —=—g—. п их = (их .. их\, ul =(ихJ; и1=У,и1; I их I = V~iF; х \ xv ..., хп) х. у xt) х ?i X( ixi у их> п "Л = S "х.о^.; ихх = (иХ(V/) i, j = 1, ..., п- ul[Xj = (ux{xjf; n n uxx— 2j «v у > I «v-v-1 = У «!r; игЛхг= 2j urYvry. лл , . i \ ' • ^w i i i it Перечислим основные из функциональных пространств, встре- встречающихся в книге, LP(Q), р ;> 1,— банахово пространство (т. е. полное линейное нормированное пространство), состоящее из всех определенных и измеримых (по Лебегу) на Q функций, имеющих конечную норму a Часто норму в L2 (Q) обозначаем коротко || • ||, а скалярное произ- произведение как (,). Кроме того: || их || = [| их \^ Q = ( Г ul dx^'' X ' .a uxx Ih, a ,a
24 СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ . о . Пространства Wт (Я) и Wт (Я) определены в § 5 гл. I. В частности, гильбертово пространство Wl2 (Я) состоит из элемен- элементов Li(Q), имеющих квадратично суммируемые по Я об. (т. е. обобщенные) производные первого порядка. Скалярное произведе- произведение в нем определяется равенством (". ^2% = J ("» + "xVx) dx, Q а норма С°° (Я)—совокупность бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в Я. о . W2 (Я) — подпространство (как всюду, замкнутое) простран- пространства W{2(u), плотным множеством в котором является С" (Я), (или, что то же, все гладкие, финитные в Я функции). U7g(^)— гильбертово пространство, состоящее из всех эле- элементов ?2(Я), имеющих об. производные первого и второго по- порядков из ?г(Я). Скалярное произведение в нем определяется ра- равенством (и, v)f\a = J (ии + uxvx + uxxvxx) dx, а норма обозначается так; || • ||^'Q. W\ 0 (Я) — подпространство W\ (Я), плотным множеством в ко- котором являются все дважды непрерывно дифференцируемые в Я функции, равные нулю на дп. Для цилиндра Qt введены следующие пространства: wIq(Qt)~ подпространство пространства WJ,(QT), плотным множеством в котором являются гладкие функции, равные нулю вблизи ST. 1^2,0 {Qt) ~ подпространство Wl2(j (Qj), элементы кото- которого обращаются в нуль при t = 7" (в теореме 6.3 гл. I доказано, что следы элементов w\^ s (QT) определены на каждом сечении Qt цилиндра QT плоскостью t = t\ s [0, Т], как функции из L2{QtY и меняются непрерывно по t в норме ?2(Я) с изменением t e[0, T]). ^V° {Qt) ~ гильбертово пространство, состоящее из элементов u(x,t) пространства U(Qt), имеющих квадратично суммируемые по QT об. производные ^-, i¦= 1 п. Скалярное произведение
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ 25 и норма в кем определяются равенствами: (и, 0$$ = | (uv + ttxvx) dx dt, \\ и И»^ = У{и,и){1 •$ . Qt wl'°(Qj-)— подпространство w\' ° (Q;-), плотным множеством в котором являются гладкие функции, равные нулю вблизи St. V?l'' (Qt) — гильбертово пространство, состоящее из всех эле- элементов Z.2(Qr), имеющих об. производные ut, ux и ихх из L2(Qr). Скалярное произведение в нем определено равенством = J Or а норма обозначается так: || • II^'qL w\'l (QT) — подпространство w\' ' (Q;-), являющееся пересече- пересечением W\-1(QT) с <0(Qr). W%' ' (Qr) — гильбертово пространство, состоящее из элементов ^2 (Qr)' имеющих об. производные их х , 1, /= 1, ..., п, квадра- квадратично суммируемые по Qr = Q X (О, Г), где Q' — любая строго п внутренняя подобласть области Q, и имеющих Д« = Л —=- из L-2(Qt). Скалярное произведение в нем таково: («» a)^Qr = J ("° + "ЛУЛ + «Л + А" " Ао) <** d<- ^^'oJ (Qr) — подпространство W2' ' (Qf), равное пересечению ^•'(Q^c W^0(Qr). Следы элементов и (х, t) из W^ol (QT) (и тем более из Ifg' о (^г)) определены на всех сечениях Qt,t г [О, Г], как о', . элементы VF2 (Я) и непрерывно зависят от t г [О, Г] в норме U^ (й). Если граница дважды непрерывно дифференцируема (т. е. дп с: С5), то W^q1 (Qr) совпадает с Wf I (Qr) (см. гл. II). ^2 (^г) ~ банахово пространство, состоящее из элементов ^У {Qt)' имеющих конечную норму " 1<эг = vrai max || и (х, t) ||2, п + || их ||2> Oj,.
26 СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ Где Qr / V2 (QT) = V2 (QT) П Wl2" ° (Qr) - подпространство V2 (QT). T/g'° (Qr) — подпространство V2(Qt), элементы которого имеют на сечениях Qt следы из L2(Q) при всех t е [О, Т], непрерывно ме- меняющиеся с t s [О, Т] в норме L2(Q). VI' ° (Qr) = !/'• ° (Qr) П W[2' ° (Qr) - подпространство I^1 ° (Qr). В нем плотны гладкие функции, равные нулю вблизи ST. C'(Q) —совокупность непрерывных в Q функций^имеющих про- производные до порядка / включительно, непрерывные в Q (см. по этому поводу начало § 4 гл. I). Обозначения, использованные в гл. VI В этой главе частные производные обозначаются символами д д2 —— , -з—з— символы же иг , «? , «„„,... использованы dxt dxt дх, xi xi xixj для обозначения разностных отношений, а именно: 1 правое разностное отношение, причем Л;>0, 1 левое разностное отношение, Пространство Rn разбивается на элементарнйе ячейки (клетки) Ю(*Л) = {х: kthl <xt<- (ki + 1) Л;, / = 1, ,.., «}, где А4—целые числа, а Лг>0, Uft= (J do(Sft, ей. Этот же символ Qft употребляется для обозначения совокупности вершин (kh) ^ (k\h\, .,., knhn) решетки, принадлежащих замкнутой области Ilh- Граница замкну- замкнутой области Ял обозначается через Sh, a Qj,\S^ = Q/i есть мно- множество внутренних точек Qh- Символы Sh и Qh употребляются и для обозначения совокупности вершин (kh), принадлежащих мно- множествам Sh и О/, соответственно. ЙЛ — совокупность вершин ячеек (й(/,л>, имеющих с Q непустое пересечение, а также замкнутая область, состоящая из точек этих ячеек И(АЛ). В соответствии с вышесказанным, ?>д есть ^ \ ^й- Ясно, что ; ;
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ 27 Q+— совокупность вершин (kh) ячеек соDЛ) , принадлежащих Q (т. е. от каждой ячейки со^Л) берется одна ее вершина с коорди- координатами (kh)). Ясно, что Qj с: йл. ЯЛ = (йЛ) определяется для Q^ так же, как Q^" для Ял. Для функций «л, заданных на сетках, вводятся следующие нормы: uh I xi Urn, (O(ftft) ( - M(i) ' I где символ У означает суммирование по вершинам ячейки принадлежащим грани х{ — kiht. /т \1т "т, ал п 2) l!/n, QA I//n Величины || иА || — и || uh ||(" T называются нормами пространств Lm (Qh) и Wm (Qh) сеточных функций uh, определенных на U. Для случая функций ил, равных нулю на Sh, мы употребляем другие нормы, эквивалентные только что определенным. А именно*. I/m причем uft считаем доопределенной нулем на точках сетки, не при- принадлежащих Qft. Для таких функций II и || _ =11 и II , =|| и || > ¦¦/[ ' "h ' "h
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ п Символ \и I означает V«|, а и' = 2 «L причем «'. = («^.f. Аналогично ихх_ есть (ux.x*f- При написании разностных отноше- отношений их , их х , ... для сеточной функции uft индекс «А» опускается. В начале § 3 гл. VI _введено несколько интерполяций сеточной функции ил, заданной на Qi,, а именно: uh (x) аш й/, — кусочно-постоянная функция, равная для же со(ай) значению uh в вершине {kh); u'h (x) = u'h~ непрерывная, кусочно-гладкая, полилинейная на каждом (й(кц функция х, равная Uh во всех (kh) eQj; Щт){х) = «(,„) — в пределах каждой ячейки сощ) она по- постоянна по хт, а на грани д;т = kmhm интерполирована по прин- принципу ( )!г, описанному в предыдущем предложении. Символ (их.) (•*) — %х означает интерполяцию первого вида сеточной функции их , являющейся разностным отношением для се- сеточной функции ин- В нестационарных задачах временная переменная t играет осо- особую роль. В них шаг по t вместо An+i обозначается через т и сим- символ иь., h = (h\, ..., ftn+i). заменен на «д. Во всей книге предполагается, что коэффициенты ац, I, / = 1, ... ..., п, уравнений при производных второго порядка образуют сим- симметрическую матрицу, т. е. что ац = а^,
ГЛАВА I ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ Эта глава имеет вспомогательный характер. В ней мы изложим ряд понятий и предложений функционального анализа, которые используются в основном тексте при исследовании краевых задач для дифференциальных уравнений. Эти факты будут приведены без доказа- доказательства. Кроме этого, мы введем ряд конкретных функцио- функциональных пространств и опишем интересующие нас свой- свойства этих пространств. Для некоторых предложений бу- будут даны полные доказательства или будут описаны основные этапы, по которым читатель сможет восстано- восстановить полные доказательства. На протяжении всей книги мы используем меру Ле- Лебега и интеграл Лебега. Для чтения данной книги чита- читатель должен быть знаком с основами теории функций действительного переменного и функционального ана- лиза ([1], [132], [222], [23,], [23]). § 1. Нормированные пространства и пространства Гильберта Множество Е абстрактных элементов называется ве- вещественным {комплексным) линейный нормированным пространством, если: 1) Е — линейная система с умножением на веществен- вещественные (соответственно — комплексные) числа; 2) каждому элементу и системы ? ставится в со- соответствие вещественное число (которое называется
30 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I нормой этого элемента и обозначается ||ы||), удовлетво- удовлетворяющее следующим аксиомам: a) ||ы|| 5s 0. причем ||н|| = 0 только для нулевого эле- элемента, b) \\и + f II ^ 1|и|| + llf II — неравенство треугольника, c) ||Хм|| = \Ц-Ы\. В таком пространстве вводится естественная метрика: расстояние р(м, v) между элементами и и v определяется равенством р(н, v) = \\и — v\\. Сходимость последователь- .ности {«„} элементов Е к и е Е в норме Е (иначе гово- говоря— сильная сходимость в Е) определяется тем, что ||«п — ы||—*0 при Пг-»оо. Кратко это обозначается так: ип—у и. Говорят, что совокупность элементов Е' czE всюду плотна в Е, если любой элемент Е может быть получен как предел в норме Е элементов из Е'. Если в Е имеется счетное, всюду плотное множество элементов, то пространство Е называется сепарабельным. Если для любой последовательности {ип}, сходящейся в себе, т.е. такой, что \\ир — uq\\ —»-0 при p,q —* оо, суще- существует в Е предельный элемент, то пространство Е назы- называется полным. Полное линейное нормированное про- пространство принято называть пространством типа В или банаховым пространством. Все рассмотренные ниже пространства будут полными и сепарабельными. В основном мы будем иметь дело с частным случаем банаховых пространств — пространствами Гильберта. В вещественном гильбертовом пространстве Н для любой пары элементов и и v определено скалярное произведе- произведение (u,v) — вещественное число, удовлетворяющее сле- следующим аксиомам: a) (и, v) = (и, и); b) («1 + «2, о) = («1, v) + (и2, v); c) (U, v) == к (и, v); d) (и,и)^0, причем (и, м) = 0 только для нулевого элемента: ц = 0. В комплексном гильбертовом пространстве скалярное произведение (и,v) есть комплексное число, удовлетво- удовлетворяющее аксиомам b) — d) и аксиоме a') (u,v) = (v,u) вместо аксиомы а).
§ у\ ПРОСТРАНСТВА БАНАХА И ГИЛЬБЕРТА 31 В качестве нормы элемента и берется число ||и|| = = Y{u, и). Мы в определение гильбертова пространства включим требование его полноты и сепарабельности. Для любых двух элементов и и у из Я имеет место неравенство Коши — Буняковского — Шварца \(и, о)К1|и||.||о||, • которое впоследствии мы будем называть короче — нера- неравенством Коши. В пространстве Я, кроме сходимости по норме (силь- (сильной сходимости), мы будем рассматривать слабую сходи- сходимость. Последовательность \ип} называется слабо сходя- сходящейся в Я к элементу и, если (и,х — u,v)-*0 при и—>оо для Vo еЯ*). Кратко это обозначается так: ип—ги. Не- Нетрудно понять, что если нормы {ип} равномерно ограни- ограничены, то для доказательства слабой сходимости {ип} к и достаточно убедиться, что (ип— u,v)—*Q при п —» оо только для какого-либо всюду плотного в Я тйноже- ства v. Последовательность {и„}" не может слабо (и, тем более, сильно) сходиться к двум разным элементам Я. Если {«„} сходится к и в норме Я, то она сходится кии слабо. Обратное утверждение неверно. Однако, если' кроме слабой сходимости {«„} к и известно еще, что ||ы„|| -> ||и||, то {ип} сходится к и сильно. В дальнейшем мы часто будем использовать следующее предложение: . Теорема 1.1. Если последовательность {ип} схо- сходится к и слабо в Я, то причем правая часть этого неравенства конечна. Гильбертово пространство (напомним еще раз, что мы по определению считаем такие пространства пол- ными), а также любое его замкнутое подпространство, полно и в отношении слабой сходимости. Множество М, расположенное в банаховом простран- пространстве 5, называется компактным в В, если всякая беско- бесконечная последовательность элементов из М содержит сходящуюся в себе подпоследовательность. Если пре- пределы всех таких" подпоследовательностей принадлежат *) Символ V означает «любой».
32 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ, ! М, то М называется компактным в себе. В гильбертовом пространстве Н аналогично вводятся понятия слабой компактности и слабой компактности в себе. Имеет место следующий признак слабой компактности в Н: Теорема 1.2. Замкнутое ограниченное множество в Н слабо компактно в себе. Приведем два примера вещественных пространств В и Н. Совокупность всех вещественно-значных измеримых функций и(х), определенных на области Q евклидова пространства Rn и имеющих конечный интеграл u(x)fdx)llP A.1) с каким-либо фиксированным р^\, образует (полное) сепарабельное пространство Банаха, если норму в ней определить равенством A.1). Для этого пространства принято обозначение LP(Q). Строго говоря, под элемен- элементом Lp(Q) надо понимать не какую-либо функцию и(х), обладающую указанными свойствами, а класс функций, эквивалентных ей на Й (т. е. совпадающих с ней почти всюду на Й). Тем не менее, для краткости мы будем говорить об элементах LP(Q) как о функциях, определен- определенных на Q. В качестве всюду плотного в LP(Q) множества могут быть взяты, например: а) все бесконечно дифференци- дифференцируемые функции, или все полиномы или даже только полиномы с рациональными коэффициентами; Ь) все бесконечно дифференцируемые функции, равные нулю вблизи границы Q*). Пространство L2{Q.) есть вещественное пространство Гильберта, если в нем ввести скалярное произведение с помощью равенства (и, v) — j и (х) v (x) dx. *) Под выражением «функция и(х) равна нулю вблизи гра- границы Й» подразумевается, что для нее существует число б > О, обладающее следующим свойством: во всех точках Q, отстоящих от границы Q на расстояние, не большее б, функция равна нулю. Иногда мы в этом же случае будем говорить так: функция равна нулю в пограничной полосе ширины б.
§ 1] ПРОСТРАНСТВА БАНАХА И ГИЛЬБЕРТА 33 Почти во всей книге мы будем иметь дело с веществен- вещественными пространствами В и Н. Исключение составляют §§ 3, 4, 5, 7 гл. II и § 2 данной главы, в которых исполь- используются комплексные гильбертовы пространства, в том числе комплексное пространство L2(Q). Элементами по- последнего являются комплекснозначные функции и(х) — = ti\{x) -\-tu2(x), а скалярное произведение определяет- определяется равенством (и, v) = u(x)v (x) dx. и Приведем ряд алгебраических и функциональных не- неравенств, которые мы будем неоднократно использовать на протяжении всей книги. 1) Неравенство Коши n i,'/=l а/ЛИЛ/, A.2) справедливое для любой неотрицательной квадратичной формы ciijlilj с йц = ал и произвольных вещественных 111 •'¦•-, In, Tli, . .-. , Tin- 2) «Неравенство Коши с е»: A.3) справедливое при Ve > 0 и произвольных а и b. Из функциональных неравенств нам потребуются не- неравенства, являющиеся конкретизацией неравенства треугольника и неравенства Коши. Для пространства L2(Q) они имеют вид: 2 О. А. Ладыженская v'dxY. A.4)
34 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I Для пространства Li(Й), состоящего из вектор-функ- вектор-функций «=(ui,--->"n) с иг<=12(Й), неравенство Коши имеет вид • (Ь5) Левая часть в A.5) есть модуль скалярного произведе- произведения и на v, а правая—произведение нормы и на норму г>. Обобщением неравенства A.4) является неравенство Гёльдера A.6), uv dx справедливое для любых не 1Р(Й), у <= 1Р,(Й) и^ (р' всюду означает показатель, сопряженный р, т. е. р=—с—г • При р~1 показатель р = оо, и под ||и||рл,п в этом случае надо понимать vrai max | v \. Дис- Q кретным аналогом A.6) является неравенство N / N A.7) С помощью A.6) легко выводится неравенство треуголь- треугольника для элементов LV(Q.)\ § 2. Общие сведения о линейных функционалах и линейных ограниченных операторах в гильбертовых пространствах Линейным функционалом / на Н (комплексном или вещественном) называется линейная, непрерывная чис- числовая функция 1(и), определенная для Уи^Н. Линей- Линейность / (или дистрибутивность) означает, что для любых элементов и\ и и2 из Н и любых чисел 1иц B.1,)
, 2] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ 35 Непрерывность же 1{и) означает, что 1{ип) —*1(и), если Цп_>ы. Доказано, что для /(и), удовлетворяющих свой- свойству B.10, непрерывность эквивалентна ограниченности 1{и) на поверхности единичной сферы Si = {и: \\u\\ = 1} или, что то же, неравенству |/(«)|<с|!«|| для У/ие=Н. B.12) Teopeiwa Ф. Рисса утверждает, что линейный функцио- функционал / на Я может быть представлен в виде скалярного произведения l(u) = (u, v), причем элемент v определяется по /(«) единственным образом. Величину ||о|| называют нормой \\l\\ линейного функционала /. Очевидно, что Ц/||= sup -J^r и является ие=Н II "II наименьшей из всех возможных постоянных с, для кото- которых верно B.12) • Перейдем теперь к линейным операто- операторам в Я. Оператор А, определенный на некотором мно- множестве ?D(A) пространства Я, сопоставляет каждому элементу и из Ф (А) некоторый элемент у из Я, и это принято записывать так: v = Аи или v = А(и). Если на Ф(А справедливо равенство А {Хщ + ци2) = ХА (и,) + ц А (и2), то говорят, что А линеен (при этом предполагается, что SD(Л) —линейное множество). Если при этом существует постоянная с, такая, что для всех и из &)(А) || Аи || < с || «||, . B.2) то Л называется ограниченным оператором на ?D{A). Та- Такой оператор может быть непрерывным образом распро- распространен на замыкание Ща] в Н (которое, очевидно, бу- будет замкнутым подпространством Я), причем B.2) будет верно для Vm из 2)(А). Такой оператор можно распро- распространить (разными способами, если 3>{A)czH) на все Я с сохранением неравенства B.2). У нас встретятся различные ограниченные операторы, и они будут определены на всем Я. Наименьшая с, для которой я*
36 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I неравенство B.2) имеет место для всех и из Н, назы- называется нормой И|| оператора А, так что Нас будут интересовать два класса ограниченных линей- линейных операторов. Один — это класс самосопряженных опе- операторов: оператор А называется самосопряженным, если [Аи, v) = (u, Av), Vu, ye Я. B.3) Спектр такого оператора А вещественен и располагается на отрезке [—\\A\\, ||Л||]. Другой класс — это класс вполне непрерывных операторов. Оператор А называется вполне непрерывным, если он любое ограниченное множество переводит в компактное. Спектр такого оператора А состоит из точки нуль и не более чем счетного набора собственных значений, который может иметь точку на- накопления лишь в нуле. Каждое из этих собственных значений, кроме разве что точки нуль, имеет конечную кратность. Ввиду этого собственные значения А могут быть занумерованы в порядке убывания их модуля: h\ ;> | А.21 ^••, причем на каждой окружности вида Х\ = \%п\ может лежать лишь конечное число Хт, Точка нуль может быть еобственным значением бесконечной кратности. Если оператор А самосопряжен и вполне непрерывен, то его спектр вещественен и дискретен с единственной точкой накопления в нуле. Все собственные значения, кроме, может быть, нуля, имеют конечную кратность. Их можно расположить в порядке убывания их модулей: | X] | > 11,21 > ,.., причем %k -> 0 при k -> оо (здесь каждое собственное значение, кроме нуля, повторяется в ряду собственных значений столько раз, какова его крат- кратность). Соответствующие им собственные элементы {н/(} (т.е. решения уравнений Auh = Xhiih) можно выбрать так, чтобы они были взаимно ортогональны и нормиро- нормированы, Натянутое на них замкнутое подпространство 9/ совпадает с Я, если К = О не есть точка дискретного спектра (т, е, если уравнение Аи = 0 имеет только три- тривиальное решение: и = 0), В противном случае ортого- ортогональное дополнение к 3? в Я будет являться собственным
§2] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ 37 подпространством Я, отвечающим Я = О, Обозначим Л q д? = N и пусть {vh} — ортонормированный базис в N. Тогда любой элемент и^Н можно представить в виде суммы двух рядов и= 2(«» «*)«*+ 2 (и. а*) Я*> каж" дый из которых может содержать конечное или бесконеч- бесконечное число слагаемых. Имеют место равенства: и и IP =2 (и, «*J+2(«, vk)\. Л и = 2 Я, (и, ик) uk и ||Л« ||2 = 2 Я| («, ukf. Вернемся теперь к общим вполне непрерывным опе- операторам А и сформулируем известные результаты, ка- касающиеся разрешимости уравнений вида u — XAu = v, B,4) где v—'заданный элемент Н, а % — комплексный пара- параметр. Для них имеет место фредгольмова разрешимость, т, е. для уравнений B,4) справедливы три теоремы Фред- гол ьм а: 1) если однородное уравнение B,4), т.е. уравнение и-КАи = 0, B.5) имеет только тривиальное решение, то уравнение B,4) однозначно разрешимо при любом ие/f, (Иначе говоря, эта теорема утверждает, что для B.4) из теоремы един- единственности следует теорема существования.) 2) Однородное уравнение B.5) может иметь нетри- нетривиальные (т, е, отличные от нуля) решения не более чем для счетного числа значений {Kh}, каждое из которых имеет конечную кратность. Множество {kh} не может иметь точку сгущения Ко с \Ко\ < оо. Эти исключитель- исключительные значения {Xh} называются характеристическими для А. Для сопряженного оператора Л* характеристическими числами являются числа {Я^}, т.е. уравнение и — КА*и — 0 B,6) имеет нетривиальное решение только для Я=Х/(, при этом кратностьЯ/j для Л* та же, что кратность Ял для Л,
38 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I f 3) Уравнение B,4) при К, равном какому-либо харак- характеристическому значению Xh, разрешимо для тех и только тех и, которые ортогональны всем решениям уравнения B,6), отвечающим X=Xk- Если эти условия ортогональности выполнены, то уравнение B,4) имеет бесконечно много решений. Все т+р они могут быть записаны в виде и = ио-\- 2 ?/«/> где и0—какое-либо решение уравнения B,4) с X = Xh, Cj — произвольные постоянные, a Uj, j = m,., ,,т-\- р, — все линейно независимые решения B,5) при К = Xh, Такая разрешимость имеет место, например, для ли- линейных алгебраических систем, в которых и и v суть век- векторы с п компонентами, а А — квадратная матрица с п2 элементами. Это же справедливо для интегральных опе- операторов Л с не слишком плохим ядром, В гл. II будет доказано, что такая же разрешимость имеет место и для основных краевых задач для эллип- эллиптических уравнений с ограниченными коэффициентами в ограниченной области. Это не очевидно, ибо в этих зада-, чах приходится иметь дело с неограниченными операто- операторами. Однако они могут быть сведены к уравнениям вида B.4) с вполне непрерывным оператором А. Напомним еще один хорошо известный факт, касаю- касающийся разрешимости уравнения B.4) с произвольным ограниченным оператором А. Именно, такое уравнение однозначно разрешимо при УчеЯ для К с I ^ I < ттт и его решение представимо в виде ряда и = v + KAv + Н->А42у + . .., сходящегося в Я, причем|| и ||^————_|| v || 1 — | Л | || Л Ц В этом параграфе мы сформулировали различные предложения об ограниченных операторах в комплекс- комплексном гильбертовом пространстве Я. Они же верны и для вещественных пространств Я. Однако при исследовании спектров несимметричных операторов А, действующих в вещественном Я, естественно выйти в более широкое комплексное пространство, ибо для таких А спектр мо- может иметь и комплексные собственные (а тем самым и характеристические) значения.
§3] О НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРАХ ' 39 s 3. О неограниченных операторах Напомним некоторые факты о неограниченных линей- линейных операторах А в Н. Такие операторы определены не на всех элементах и из Н. Множество, на котором опре- определен А, называется областью определения А и обозна- обозначается через 3){А). Это множество — линейное, и для V«, v из 2Ь(А) и V чисел X, ц должно выполняться ра- равенство А (Аи -f \xv) = ХАи + \xAv. В отличие от ограниченных операторов, для неограни- неограниченного оператора А не существует постоянной с, при которой выполняется неравенство B.2) для всех и из 2?){А). Мы будем рассматривать лишь такие случаи, ко- когда 3){А) плотно в Н. Множество значений А будем обо- обозначать через 91(А), так что АC){А)) =&(А). Нас будут интересовать неограниченные операторы, порождаемые дифференциальными выражениями. Каж- Каждому такому выражению сопоставляются различные опе- операторы, определяемые указанием их области определе- определения. В качестве примера, рассмотрим дифференциальное d'u (х) выражение 3?и (х) = а\ на отрезке xg[0,1], взяв за - Н вещественное функциональное пространство L2@,1). Ему можно сопоставить оператор А, определен- определенный на всех бесконечно дифференцируемых функциях и(х) с носителем в @, 1). На и(х) из 3){А) оператор А вычисляется так: Аи — 2?и = —j-j • Легко видеть, что А на ?D{A) неограничен. Этому же выражению 2?и мож- можно сопоставить другой неограниченный оператор А, об- областью определения которого являются все бесконечно дифференцируемые на @, 1) функции. На них Л вычис- вычисляется так же, как Л на 3>(А), а именно: Аи= d'^x) . Между^Л и А есть естественная упорядоченность: 3){A)cz cz3)(A) и Аи = Аи для и^.З)(А). В такой ситуации го- говорят, что оператор А есть расширение оператора А. По- Понятно, что область определения для 3? можно выбрать бесчисленным множеством способов, и каждый раз мы придем к другому неограниченному оператору, вообще
40 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. Г говоря, с другими свойствами. Операторы А и Л, описан- описанные выше, имеют существенно различные свойства. На- Например, для оператора А справедливо соотношение C.1) что легко проверяется простым интегрированием по ча- частям (в C.1) и(х) .и v(x)—произвольные элементы из Й)(А)). Для оператора же А это свойство не имеет места, ибо du I — d.x) ¦*s= "•*• L=0 "•*• х=0 и сумма последних двух членов правой части не равна нулю для всех и(х) и v(x) из 3)(К). Свойство C.1) га- гарантирует симметричность оператора А, оператор же К несимметричен. Как известно из общей теории операто- операторов, симметричные операторы обладают целым рядом красивых свойств. Теория симметричных операторов хо- хорошо разработана и может быть использована для изу- изучения определенных классов дифференциальных опера- операторов. Одним из важных понятий в ней является поня- понятие самосопряженного оператора. Оператор А называется самосопряженным, если он симметричен, т. е. если [Аи, v) = (u, Av) для У и, ve=?>(A), C.3) и если из тождества (Аи, v) = (и, w), C.4) в котором v и w фиксированы, а и — любой элемент из &>(А), следует, что »GS(i) и w = Av. Иначе говоря, А самосопряжен, если сопряженный ему оператор Л* имеет ту же область определения 3)(А) и А = А* на &>(А). Тождество C.4) определяет область определения А* и его значения на ней, а именно: те v, для которых существует w. удовлетворяющее C.4) при Vu^?D(A), составляют 2)(А*) и A*v полагается равным w. В боль- большинстве случаев для операторов А, порожденных диф- дифференциальным выражением, легко проверяется справед-
§ 3] О НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРАХ 41 ливость (или несправедливость) тождества C.3) (это делается с помощью интегрирования по частям). Значи- Значительно сложнее эффективно описать для них область 3)(А*) и выяснить, совпадает ли она с 3){А) или нет. Для дифференциальных выражений, содержащих частные производные, это 'делается'тем или иным «обходным» путем, чаще всего с привлечением обратных опера- операторов, которые оказываются ограниченными. Для огра- ограниченных же операторов А, определенных на всем Я, со- сопряженность есть следствие их симметричности. Именно такие «обходные» пути используются для изучения эл- эллиптических дифференциальных уравнений при том или ином граничном условии. Вернемся к примеру дифференциального оператора 2?и = -г^. Мы уже выяснили выше, что соответствую- соответствующий ему оператор А симметричен. Однако нетрудно уви- увидеть, что он не является самосопряженным. Действитель- Действительно, для него равенство C.3) имеет место не только для а и р из ?)(/!), но, например, для и^З)(А) и vs2>(A). Это показывает, что 2)(А*) шире 2)(А). Возникает тогда естественный вопрос: нельзя ли расширить А до само- самосопряженного? Оказывается, это можно сделать, причем бесконечным числом способов. Первый шаг к такому рас- расширению дает общая теория операторов — это процедура замыкания оператора. Она состоит в следующем: пусть А (А сейчас не предполагается симметричным) опреде- определен на плотном множестве 2D(A) пространства Н. При« соединим к нему все элементы и, являющиеся пределами таких последовательностей {ип} элементов из 3){А), для которых {Аип} сходятся к какому-либо элементу v. По определению полагается и = Аи, где символ А означает замыкание оператора А. Множество ?D{A), пополненное всеми такими_элементами и, составляет 3){А) —область определения А. Однако эта процедура не всегда приводит к линейному оператору А, в определении которого содер- содержится требование его однозначной определенности на 3)(А), что эквивалентно требованию, чтобы он на нуле- нулевом элементе имел значение 0. Действительно, при опи- описанной выше процедуре мы можем столкнуться с таким ¦ случаем, когда ип сходятся к и = 0, а Аип сходятся к
42 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I v Ф 0. Если это имеет место, то, по вышесказанному, мы должны были бы положить АО равным 5^0 и тем са- самый прийти к оператору А, не удовлетворяющему усло- условию линейности. Примеры показывают, что описанная ситуация возможна для некоторых неограниченных опе- операторов и, следовательно, не любой неограниченный опе- оператор допускает замыкание. Нетрудно доказать, что для возможности замыкания оператора А необходимо и достаточно, чтобы область определения сопряженного оператора Л* была плотна в Я. Для операторов, определяемых дифференциальными выражениями с «не слишком плохими» коэффициентами, этот критерий легко проверяется, так что такие опера- операторы допускают замыкание. В частности, оператор А, определенный нами выше по дри = —— t допускает замыкание. Но возникает вопрос: как выглядит это замыкание А для Д, т. е. какие функ- функции при этом присоединяются к <Ю (А) и как вычисляется на них оператор А? Оказывается, ответить уже на этот вопрос непросто, особенно когда речь идет о дифферен- дифференциальных выражениях с частными производными. Его решение потребовало расширения понятия производной и введения так называемых «обобщенных производных». В следующем параграфе мы остановимся на этом поня- понятии более подробно, ввиду его кардинальной важности для всех разбираемых в книге задач. Здесь же сформу- сформулируем лишь окончательный результат, относящийся к оператору 3?u = -r-j: замыкание А приводит к пополне- пополнению &) (А) всеми непрерывно дифференцируемыми функ- функциями и(х), равными нулю в точках к = 0 и х' = 1, у ко- du ,, торых первые производные -т^- суть абсолютно непре- непрерывные функции, равные нулю в тех же граничных точ- точках Кроме того, производные от -т~, существующие почти всюду, должны быть элементами L%(§, 1). За этими про- изводными мы сохраним прежнее обозначение -т-?, но будем помнить, что они определены лишь как элементы ?г@, !)• В дальнейшем только что описанный класс
5 3] О НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРАХ 43 функций ?D{A) мы будем обозначать через Щ{<д, 1) и о его элементах говорить, что они имеют обобщенные производные из Ьг@, 1) до второго порядка включитель- включительно. Нолик наверху указывает, что его элементы обра- обращаются в нуль на границе интервала вместе со своими первыми производными. На 3){А) = Щ@, 1) оператор А определен как оператор вычисления «обобщенной» про- производной второго порядка. Легко понять, что процедура замыкания симметрич- симметричного оператора А (напомним, что мы с самого начала условились считать 2D{A) плотной в Я, и потому такие операторы допускают замыкание) приводит к симмет- симметричному оператору А. Однако это расширение может оказаться «недостаточным», т. е. А может оказаться не- несамосопряженным на 3)(А). Так оно и есть в случае опе- оператора Аи — 2?и = -jt на Wl@, 1). В общей теории сим- симметрических операторов разработаны абстрактные схемы дальнейшего расширения оператора с сохранением его симметричности, в том числе и построения самосопря- самосопряженных расширений. Однако их реализация для диффе- дифференциальных операторов с частными производными весьма непрозрачна, ибо оказывается, что «дефектное подпространство», на которое надо расширить 0(А),— бесконечномерное. Ввиду этого при исследовании задач, связанных с такими операторами, эти общие конструк: ции теории операторов предпочитают не использовать. Мы также не будем прибегать к ним в нашей книге и из- изберем другие способы, выработанные в теории краевых за- задач. Для дифференциальных же операторов (симметрич- (симметричных) с одной независимой переменной общая теория дает возможность просто и эффективно описать все возмож- возможные их самосопряженные расширения, но мы не будем это здесь напоминать, ибо такие операторы не являются предметом данной книги (их теория подробно изложена в ряде монографий). Приведем лишь несколько таких расширений для оператора Аи=-^- на ?>(A) = Wl@, 1). Первое из них имеет вид Аи= —-, где А рассматри-
44 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ (ГЛ. I вается на всех функциях из Wl@, 1), равных нулю на концах интервала. Здесь через Wl@, 1) обозначена со- совокупность всех функций, имеющих обобщенные произ- производные до второго порядка включительно, квадратично суммируемые на [0,1] (элементы u(x)^Wl@, 1) суть непрерывно дифференцируемые функции, имеющие абсо- du (х) лютно непрерывные производные —-——; эти же послед- последние имеют почти всюду производную как элемент Z-2@, 1)). Такое расширение А связано с первой краевой задачей для &и— задачей определения решения и(х) уравнения ^-17 = fW, C.5) удовлетворяющего краевым условиям ы@) = 0, иA) = 0. C.6) Оказывается, эта задача имеет единственное решение и(х) из 3)(А) при любой f из L2@, 1), что эквивалентно однозначной разрешимости уравнения Аи = f при Vf e eL2@,l). Итак, задаче C.5), C.6) соответствует рас- расширение А нашего исходного оператора А. Если бы мы не расширили оператор А, то мы не имели бы такой кра- красивой теоремы разрешимости: уравнение Аи = f не имеет решения в 3){А) для любой f из L2@,1). Другие краевые задачи для уравнения C.5) требуют других расширений А. Например, если к C.5) присоеди- присоединить условия и@) = 0, -g- =0, C.7) ах х=1 то А надо расширить как оператор двукратного обобщен- обобщенного дифференцирования на функциях из \^г@, 1), удо- удовлетворяющих условиям C.7). Такое расширение А тоже является самосопряженным и приводит к уравнению Au=f, однозначно разрешимому в 3)(А) для Vf e eL2@,l). В данном параграфе мы напомнили те понятия из теории неограниченных операторов, которые будут ис- использованы в дальнейшем. Никаких специальных теорем о разрешимости каких-либо классов уравнений с неогра-
. 4j ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И УСРЕДНЕНИЯ 45 ничейными операторами, а также способов расширения неограниченных операторов мы привлекать не будем. Теперь мы перейдем к описанию используемых в дальнейшем конкретных функциональных пространств. § 4. Обобщенные производные и усреднения В § 3 мы уже столкнулись с необходимостью введения обобщенного дифференцирования. Сделать это можно разными эквивалентными способами*). Мы выбираем один из них, который нам кажется наиболее удобным для целей данной книги. Известно, что для любых двух бесконечно дифферен- дифференцируемых в области QczRn функций и(х) и v(x), из ко- которых вторая равна нулю в пограничной полоске (т. е. y<=C°°(Q)), справедливо равенство \ i которое получается с помощью ^-кратного интегрирова- интегрирования по частям. Оно является основным аналитическим соотношением в теории краевых задач, и его мы сохра- сохраним для вводимых ниже обобщенных производных. Именно, назовем функцию coft __ft .суммируемую по лю- любой строго внутренней подобласти Q' области Q**), обобщенной производной вида —г г— функции dxl1J..dxnn и{х), суммируемой по таким же Q'czQ, если при * Vde C°°(Q) имеет место тождество .*) Укажем, что не все обобщения классического дифференци- дифференцирования, предлагавшиеся с десятых годов этого века, эквивалентны между собой. Мы выбираем из них то, которое отвечает запросам функционального анализа и теории краевых задач. Но и это обоб- обобщение можно ввести разными способами, которые, однако, приво- приводят к одному и тому же расширению. **) Это коротко будет записываться так: Q' а Q, причем Q' счи- считается ограниченной областью.
4g ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ |ГЛ. I Функцию соь и будем ооозначать так: —-k j- . J *!•••*» . «Эх,1 ...дхп" Это не вызовет недоразумений, ибо классическая произ- производная —z —г- для k раз непрерывно дифференци- дифференциал;,1 ... дхкпп руемой в Q функции и *) удовлетворяет тождеству D.1). Ясно, что введенное нами понятие есть расширение по- понятия (классической) непрерывной частной производной вида —г г—. Обобщенные производные (об. пр.) х1 ... охп сохраняют много (но не все!) свойств обычных (класси- (классических) производных. Так, например, если щ и и2 имеют об. пр. вида —i — в ^> то и сУмма ci"i + С2«2 имеет такую же об. пр. в Q и ¦ = С, Г ! Г- + Со Г Г— . Если v есть об. пр. вида ¦—; :—г- от и, а со есть дх1;...ех1г об. пр. вида —г г— от и в области Q. то со есть 3*7» ... дхпп об. пр. от „ вида y Из определения об. пр. —г -г- видно, что она дхк*...3хя* не зависит от порядка дифференцирования. Что касается правила дифференцирования произведения Р (»1»г) _ „ ди2 , дт dxt —"'1*7 +"г 1*7' ди, то для его сохранения надо потребовать, чтобы uk и ¦—, ОХ * й= 1,2, квадратично суммировались по VQ'cfi. Ана- *) Так мы будем называть функции и(х), которые имеют все частные производные до порядка k включительно.
. 4] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И УСРЕДНЕНИЯ 47 логичные требования надо налагать на «й и их об. пр. при вычислении об. пр. любого вида. Однако об. пр. сохраняют не все свойства классиче- классических и работа с ними требует некоторой осторожности. Так, например, из существования об. пр. у и(х) вида д не следует существование подчиненных производных более низкого порядка. Однако, если и(х) имеет об. пр. ?-го порядка всех видов и если р-е степени (р> О модулей и и этих производных суммируемы по VQ' с: Q, то и имеет все об. пр. порядка ниже k, также принадлежащие Lp(Q') (и даже Lq(Q') с некоторым q = q(n,p,k) > р) (см. [23i] или [222]). Другим важным отличием об. пр. от классических яв-. ляется то, что они определяются с точностью до множе- множества меры нуль и «привязаны» к области Q, иначе го- говоря, они имеют «интегральный характер». Это видно из самого определения об. пр. На каждую из них мы дол- должны смотреть как на элемент LP(Q) (или LP(Q'), Vfi'c: с Q) с каким-либо р ^ 1 К области Q они «привязаны» таким образом: если и имеет об. пр. —j—:—^— в обла- обладь,1 •¦• <3*/ сти Q, то она имеет ее и в V&' с: Q. Однако если область Q разбита на три части: две непересекающиеся подобла- подобласти Qi и Q2 и множество Г, их разделяющее, то из суще- дки ствования у и(х) об. пр. —г г—в каждой из Q,-, / = дх1*...дхкяп = 1,2, вообще говоря, не следует существование у и(к) д /J об. пр. —г г— во всей области Q. Это можно ви- дх]]... дхпп деть на примере функции и(х), определенной на отрезке Jt e [0,1], всюду бесконечно дифференцируемой, кроме точки х= '/г, в которой она имеет разрыв первого рода. Такая функция не имеет на [0,1] даже об. пр. первого порядка (несмотря на то, что она имеет классическую производную всюду, кроме точки а: = '/г). Это прове- проверяется непосредственно, исходя из определения. На лю- любом же интервале,, не содержащем точки х = '/г, эта функция имеет об. пр. любого порядка.
48 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ, I Однако этот пример не должен породить мнег^е, что для существования об. пр. необходимо, чтобы ' чкция и(х) была непрерывной. Во-первых, как сказан выше, функцию и(х), имеющую какие-либо об. пр. в п, можно произвольно изменить на множестве меры нуль. Во-вто- Во-вторых, легко привести примеры функций, имеющих об. пр., которые никаким переопределением на множествах меры нуль не сделать непрерывными в Q. Так, функцияи{х) = = 1/| х\ е, 0 < е < 1, в круге| х\ = У х\ + х\ ^ 1 имеет об. пр. первого порядка, равные = е L_ (для этого дх? ¦ \xf+* надо проверить справедливость соответствующего тожде- тождества типа D.1)). Но такую функцию нельзя сделать не- непрерывной (и даже ограниченной) с помощью ее пере- переопределения на множестве меры нуль. Вопросы о том, какой гладкости можно добиться у функции и(х), имеющей те или иные об. пр,, суммируе- суммируемые по Q с теми или иными степенями, переопределяя ее на множестве меры нуль, составляют предмет исследова- исследования следующего параграфа (предложения этого типа но- носят название теорем вложения). Ответ зависит от раз- размерности пространства х, порядка об. пр. и степеней их суммируемости. В этом же параграфе мы опишем еще ряд более про- простых свойств об. пр. Начнем со связей, которые имеются между обобщенной дифференцируемостью и абсолютной непрерывностью функции. Если и зависит от одной пере- переменной хе[0,1] и является абсолютно непрерывной на [О, /], то, как известно (см., например, [222] или [28]]), и(х) da , имеет почти всюду производную -т— в обычном смысле, суммируемую на [0,1], причем функция и(х) однозначно восстанавливается по этой производной с помощью формулы Ньютона — Лейбница: X и(х) = и (*,) + J -^- dx, xu x2 e [0, /]. D.2) Нетрудно проверить, что так определенная функция -за- -заявляется об. пр, функции и(х) на [0,1]. Верно следующее
§4] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И УСРЕДНЕНИЯ 49 (обратное) утверждение: если и(х) принадлежит Li@,/) и имеет на @,1) об. пр. -^-, принадлежащую 1,@,/), то и(х) эквивалентна абсолютно непрерывной на [0,/] функции (мы будем обозначать ее также через и(х)), для которой справедливо равенство D.2), где в качестве du * du riL Взята об. пр.-т-. ах ах Этот факт мы условимся формулировать короче, го- говоря, что если «е W} @, /), то и(х) является абсолютно непрерывной функцией на [0,/]. Таким образом, здесь и в дальнейшем, говоря о тех или иных свойствах функции и(х) из LP(Q), мы будем иметь в виду существование по крайней мере одной функции, эквивалентной и(х) на Q, для которой это свойство выполнено. С этим отождествлением всех экви- эквивалентных друг другу (на Q) функций связана и приня- принятая система обозначений, использующая один и тот же символ и(х) как для конкретного представителя, так и для всего класса функций, эквивалентных и на Q. В этом духе надо понимать, в частности, все дальнейшие утверждения данного параграфа и § 5 по теоремам вложения. Рассмотрим теперь функцию и(х), зависящую от не- нескольких переменных х = (xh ... ,хп). Пусть она при- принадлежит L\ (Q) и имеет об. пр. —^- е Lx (&). Тогда, ока- оказывается, она абсолютно непрерывна по Х\ при почти всех значениях л^ = (л;2, ..., хп). Точнее, если Q\ есть ортогональная проекция области Q на координатную ги- гиперплоскость Х\ = 0, то для почти всех значений х\ из Q[ u[xv x\), как функция хи абсолютно непрерывна на замыкании любого интервала, принадлежащего Q. Если Q принадлежит цилиндр Q вида Q= lx : ^,s e(Z,, /2), Xj^Qj}, где Ц есть какое-либо измеримое множество из Q[, то для почти всех х\ из &1[ справед- справедливо равенство D.3)
50 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I при yfxi^[lu /2] и это равенство можно проинтегриро- проинтегрировать по л^еЦ и результат записать в виде Г Г Г Гdu(r, х'А J u(xv xi)dxl= J «(/,, x^dx\ + J J —¦s^—+dx'ldT D.4) (использовав теорему Фубини). Все сказанное относится не только к х\, но и к лю- любому координатному направлению. Предположим теперь, что функция и(х) принадлежит L\ (Q) и имеет все об. пр. ~0~г, i=l, ..., п, первого порядка, которые тоже при- принадлежат L\(Q). Предположим, далее, что в Q можно сделать невырожденную замену координат х на у, такую, что у = у(х) суть непрерывные в Q функции имеющие ограниченные об. пр. и* , якобиан -^Р~ >с>0в дх Q, и что обратные функции х = х(у) имеют такие же свойства, как и у(х). Тогда функция й(у) *= и(х(у)) будет принадлежать Ц(й), где Q есть область измене- изменения у, и будет иметь об. пр.-^- из Li(Q), которые вы- °yk ражаются через об. пр. -J^- по обычным формулам: oxi дп (у) ди (х) дх{ (у) дук дхг Весьма полезной для наших целей является операция усреднения с каким-либо ядром, точнее, с семейством ядер Q(x, у, р), зависящим от параметра р (непрерывного или дискретного), стремящимся к нулю. Обычно счи- считают, что Q(x, у, р) =0 при \х — у\ ^ ср. Мы тоже бу- будем предполагать, что это условие выполнено. Кроме этого, непременным условием является условие норми- нормировки Q: = J Q(x,y,p)dy=L D.5) Под усреднением произвольной функции и(х), кото- которую пока мы будем считать определенной для всех
I 4] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И УСРЕДНЕНИЯ 51 x^Rn, с ядром Q(x, у, р) понимается функция uQ(x)=$B(x,y,p)u(y)dy.- D.6) «я Для широких классов ядер 6 и функций и усреднения ир сходятся к и при р—»0. Ниже мы уточним это высказы- высказывание. Целью операции усреднения является получение семейства функций, обладающих нужной гладкостью и аппроксимирующих усредняемую функцию. Насколько мне известно, впервые одна операция такого типа была широко использована В. А. Стекловым при исследовании ряда вопросов из теории дифференциальных уравнений и теории рядов. Он использовал ядро вида е(,)«)р)=-^7Ге(^) D.7) с В(х), равной единице для х, лежащих в кубе {х: \Xi\ г^'/гЬ и нулю вне этого куба, ик«= 1. Для этого ядра D.6) можно записать так: u"(x) = jn J ... J u{y)dy. D.8) h h Y 2 « 2 Если и(х) есть локально суммируемая функция,то uh{x) будет непрерывной функцией х и при А—»0 будет схо- сходиться к и(х) почти всюду и в нормах Li(Q')- Кроме того, Uh(x) имеет об. пр. по xt первого порядка. Более общо: если и(х) ,е LP(Q), р>1,ии(х) продолжено, например, нулем вне области п, то uh(x) суть непрерывные в Q функции, имеющие об. пр. первого порядка из Lp(fi). Усреднения uh(x) сходятся к и(х) почти всюду в Q и в норме L$(Q). Ясно, что лучшей сходимости не может быть для произвольного элемента и(х) из LP(Q). Часто приходится использовать усреднения с доста- достаточно гладкими или даже бесконечно дифференцируе- дифференцируемыми ядрами, в частности, с ядром вида D.7), где при
52 Вспомогательные предложения |гл. i а Кга= expl . \х2_. \dx. Для таких ядер усредне- \х\<1 ния будут достаточно гладкими (соответственно, беско- бесконечно дифференцируемыми) функциями. Характер же сходимости их к усредняемой функции зависит от свойств этой функции, а именно: для них справедливо то же, что было сказано выше о стекловских усреднениях. Для усреднений ир с достаточно гладкими ядрами вида D.7) имеет место такое полезное свойство; если дки дкир и (х) имеет об. пр. —г ^-, то — — = дхпп д*,1 ... дхпп , т. е. операции дифференцирования и р такого усреднения перестановочны. Отсюда и из сказан- сказанного выше о сходимости ир(л) к и(х) следует, что если дки — и(х) и —i — СУТЬ элементы LV{Q), то для VQ' cr Q дхх ' ... дхпп дк усреднения ир и их производные вида —^ ^— при дх^ ... дхпп р-»-0 сходятся в LP(Q') (и почти всюду) к и и ее произ- производной того же вида, соответственно. При формулировке этого результата мы предполагали, что и(х) определена только на Q. Тогда усреднения ир(х) определены не для всех х из Q, а только для xeQ, отстоящих or dQ на рас- расстояние, не меньшее радиуса носителя ядра Q(x,y,p). Мы в дальнейшем будем использовать только стекловские усреднения D.8) и усреднения вида «р <*>=—*¦ J еA^1)«(,)^ D.9) |*-г/1<р в которых 8(т) есть неотрицательная бесконечно диффе- дифференцируемая функция х ;> 0, равная нулю для т>1 и 1 нормированная так: J 6(т)т'г-1с?т= 1, а яп есть пло- о щадь поверхности единичной сферы. Усреднения ир(х) определяются равенством D.9) для функций, заданных
§ 4) ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И УСРЕДНЕНИЯ 53 на Q, лишь для области Qp с: Q, отстоящей от <3Q на рас- расстояние р. Чтобы определить ир(х) для хе Q — Qp, надо каким-либо способом продолжить функцию и(х) на по- полосу ширины р, окружающую Q. Выше мы это делали для функций «(x)eLp(Q), полагая и(х) = 0 вне Q. Та- Такое продолжение приводило снова к функции (кото- (которую мы по-прежнему будем обозначать через «(*))> Р~я степень модуля которой суммировалась по VQzdQ, т.е. мы при таком продолжении не вышли из пространств Lp. Это позволило нам получить для и(х) е!р(Й) гладкую аппроксимацию ир{х), определенную на Q и сходящуюся к и(х) в норме LP(Q). Лучшей же сходимости для и(х) из LP(Q), вообще говоря, быть и не может. Однако если и(х) обладает лучшими свойствами, на- например, является непрерывной в Q функцией, то для нее желательно иметь такую последовательность гладких функций, которая аппроксимировала бы ее равномерно на Q (т.е. в норме C(Q)). Для этого и(х) надо продолжить вне Q так, чтобы она оставалась непрерывной, тогда усреднения, вычисленные по этому продолжению и(х), и выдадут же_лаемую аппроксимацию. Если же продолже- продолжение и(х) с Q не удовлетворяет этому свойству, то в точ- точках разрыва и(х) нарушается равномерность аппрокси- аппроксимации. Аналогично обстоит дело в том случае, если и(х) имеет в Q какие-либо производные. Если мы хотим построить, пользуясь операцией усреднения, приближаю- приближающую и(х) последовательность гладких функций «р так, чтобы их производные аппроксимировали в LP(Q) соот- соответствующие производные и(х), то для этого надо пред- предварительно продолжить и(х) на некоторую окрестность Q с сохранением ее свойств гладкости. Так, например, дки если и(х) и —i ?- принадлежат LP(Q), то и(х) в*,1 ••• Эхяя надо продолжить на какую-либо область Q => Q так, что- чтобы само продолжение и его производная указанного вида попали в LP(Q). Если это сделано, то усреднения ыр, по- построенные по формуле D.9) (или D.6)) с 8 вида D.7) для всех достаточно малых р, будут гладкими
54 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I функциями, которые сходятся вместе с —т —-г- — дх{1 ... дхпп дки \ дки к и (х) и —г г- соответственно, в норме LP(Q). Приведем в конце этого параграфа один полезный и просто формулируемый критерий существования у функ- функции и(х) об. частных производных. Теорема 4.1. Если к данной суммируемой на Q функции и(х) можно приблизиться с помощью последо- последовательности k раз непрерывно дифференцируемых в Q функций и&(х), s = 1,2,..., в том смысле, что для всякой функции v(x) eC lim Г (us — и) v dx -> 0, II dkus II ^ , и если, кроме того, —i —\\ ^с, то функция и г) г ' дх п ах\ •¦¦ ахп ¦ dku || dku имеет об. пр. —; г- г Теорема остается в силе, если us e Lp (Q) и обладают не непрерывными, а об, пр. указанного вида. Результаты, перечисленные в этом параграфе, срав- сравнительно просто выводятся из самого определения об. пр. и некоторых основных фактов теории функций действи- действительного переменного, касающихся измеримых и абсо- абсолютно непрерывных функций. Их доказательство можно найти, например, в книгах [23j] и [222]. i ° i § 5. Определение пространств W,n (Q) и Wm (й) Условимся говорить, что непрерывная в Q функция и(х) имеет непрерывную в Q производную какого-либо вида, если эта производная, определенная обычным об- образом для точек Q, продолжается по непрерывности на
§51 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ ^(?2) И wjn (Q) 55 Q*). Рассмотрим совокупность Cl(Q) всех функций и(х), имеющих в п непрерывные производные_по хи ..., хп до порядка / включительно, и введем в Cl(Q) норму t tv Q ft=0 (ft) [иС о = 1 I ?, 7, —г г- ***} , E.1) dx kn т в которой т ^ 1, а 2 есть суммирование всех возмож- возможных производных порядка k. Замыкание этого множества по указанной норме назовем пространством Wlm(Q), a функции и(х), принадлежащие этому замыканию, его элементами. Теорема 5.1. Пространство Wm(Q) является сепа- рабельным пространством типа В (причем в силу самого построения — полным). Все элементы Wlm(Q) имеют об. производные в п до порядка I (включительно), сумми- суммируемые по п со степенью т. Пространство Ф'г(й) является гильбертовым; скаляр- скалярное произведение в нем определяется равенством: («,<n=J 2л Lt^ Г^Г^^—7bTdx- E'2) 1 *) Утверждение «непрерывная в Q функция v(x) продол- продолжается по непрерывности на Q» само нуждается в уточнении. Можно под этим понимать следующее: v (x) доопределяется на dQ так, что у (х) становится однозначной непрерывной функцией на замкнутом множестве Q пространства Rn, расстояние между точ- точками которого измеряется как обычное расстояние между точками в Rn. Но можно придерживаться и другого понимания того же утверждения, при котором v доопределяется на дп не как одно- однозначная функция. Расстояние между точками х и х' области Q определяется в этом случае как минимум длин кусочно-гладких кривых, соединяющих х и х' и лежащих в Й. Если {хт}, т = 1, 2, ..., «цё Й, есть последовательность Коши в смысле так определенного расстояния ид/ — предельная для нее точка, то {i>(*m)} должны сходиться к некоторому числу, которое и назна- назначается как v(x'). Например, для области Q, которая есть куб К с выброшенным из него куском Г какой-либо гиперплоскости, эти ?ва толкования приводят к разным понятиям непрерывности на О = (К — Г). Тем не менее, излагаемое ниже справедливо при обо- обоих толкованиях непрерывности и{х) и ее производных на замыкании Q.
. ?б ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I Ввиду этого для Wf (Q) справедливы теоремы 1.1 и 1.2 § 1 и предложения §§ 2 и 3. Обозначим через Wlm(Q) множество всех элементов и(х) из Lm(Q), \имеющи-х об. пр. до порядка I (включи- (включительно) из Lm(Q). Если ввести в нем норму равенством E.1), то мы получим (полное) сепарабельное простран- пространство типа В*). Оно, вообще говоря, шире, чем Wlm(Q). Однако для областей Q с «не слишком плохой границей дп» Wlm (Q) совпадает с Wlm(Q). Это имеет место, на- например, для звездных областей Q (область Q называется звездной, если уравнение dQ можно задать с помощью непрерывной положительной функции /@) точки 0 еди- единичной сферы в виде х = х° + /@)«е. где ле — единичный вектор, соответствующий точке 0). Действительно, пусть u(x)<=Wlm(Q). Построим функции их(х) = и(х/Х), 1^ ^ X ^ 1 + е> считая х° совпадающей с началом коорди- координат. Легко видеть, что uK{x)^Wlm(?l\), где пх есть об- область, полученная подобным растяжением области Q в X раз, и ик(х) сходятся к и(х) в норме Wlm(Q)npu X-*l. Построим для Vux(x) усреднения и? (х) вида D.9) с р <d(X— 1), где d есть расстояние дп до точки 0. Из сказанного в § 4 следует, что ир (х) сходятся в норме Wlm(Q) к их (х) при р—>0. А тогда ясно, что можно так выбрать р = р(Х), что при Х-+ 1 функции «?w(*) (а они бесконечно дифференцируемы в Q) аппроксимируют и(х) в норме Wlm(Q). Но это и значит, что и(х) ^Wlm(Q) и потому Wlm(Q) = Wlm(Q). Это совпадение Wlm(Q) с Wlm(u) имеет место также и для областей Q, СЧдиффеоморфных звездным обла- областям (область Q Сг-диффеоморфна области Q, если функ- функции у = у(х), задающие этот диффеоморфизм, принадле- принадлежат C'(Q); обратные им функции х = х(у) также дол- должны принадлежать O(Q)). *) Доказательство сепарабельности Wlm (Q) имеется в [222].
55] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ W%m (Q) И Tp',(Q) 67 Для дальнейшего нам будет полезен следующий про- простой факт, который мы выделим для удобства ссылок в виде замечания. Замечание 5.1. Пусть функция u(x)^Lm(Q) и имеет об. пр. и,,,, из LP(Q) в области «вида цоколя», т. е. в 'й = {*:'-в<*1</К). < = (*2> •••> OeZ)}' r^e D — произвольная область на гиперплоскости Jtj = O, б-какое-либо положительное число, а /(^ — непрерыв- непрерывная на D функция, удовлетворяющая неравенству: ft/Л^б. Тогда и(х) можно аппроксимировать гладкими в Q функциями uk(x) так, что uk->u в норме Lm(Q), a ukXl(x)->uXl в норме Lp(Q). Функции uk(x) строятся примерно так же, как выше для звездных областей. А именно, положим их[х{, х'г) = «1-у-, х'Л для ,^ейи и1 (xv jfj) = 0 для х\ Ш D, где X s [ 1, 1 + е]. Функция и1 (х) определена в области QA = {x: — А,6<лг,<Л/(л;'), x^eZ)}U U {х: — оо < х{ < оо, л:^ ё= /)}, содержащей в себе Q, при- причем иле1т(Йл), а «^ е 1^@^. Усреднения для и%(х) вида D.9) определены при р<б(Я,—1) и являются гладкими в Q функциями. Легко убедиться, что при Я->1 и подходящем выборе р = р (Я-) —>0 они сходятся к и указанным выше образом. При доказательстве одной из центральных теорем следующего параграфа (теоремы 6.2) нам придется про- продолжать элементы Wm (п) с ограниченной области Q на более широкую область Q гэ Q так, чтобы они стали эле- элементами Wlm(Q) и чтобы выполнялись неравенства \\mtQ E.3) с постоянными, не зависящими от и(х) е Wlm (Q). (Здесь и ниже, если речь идет о каком-то одном способе продолже- продолжения элементов W\n (й), мы обычно сохраняем за продол- продолжением тот же символ и(х), что и за первоначальным
58 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I элементом и(х). Далее, условимся, говоря коротко о продолжениях, иметь в виду, если не оговорено про- противное, что каждое такое продолжение обладает ука- указанными свойствами.) Если возможно хотя бы одно та- такое продолжение на Q:r>Q, то по нему легко построить неограниченно много других, в том числе и таких, при которых продолженные элементы равны нулю вблизи дп и вне п. Пусть исходное продолжение функции и(х) на Q обозначено через п(х). Возьмем какую-либо глад- гладкую (или кусочно-гладкую) функцию ?,(х), равную 1 на Q и нулю вблизи дй и вне п. Тогда функция и(х), равная п(х)^(х) для x<=Q и нулю вне Q, будет желае- желаемым продолжением и на все /?„. Для целей данной книги нам достаточно иметь какое-нибудь одно продолжение указанного вида. Укажем ряд областей Q, для которых возможно нуж- нужное нам продолжение и которые используются в даль- дальнейшем. Это легко сделать для шара Kr, положив функ- функцию и(х) в точке ХоШКи равной функции и(х) в точ- точке х0, инверсно-сопряженной к х0 по отношению к шару Kr. Для гладких и(х) ясно, что это продолжение дает кусочно-гладкие функции, и эти функции принад- принадлежат Wlm (^) Для любой ограниченной области Q г> Кц и удовлетворяют неравенствам E.3) и E.4). Любой же элемент и(х) из Wlm(Q) для Q = Kr аппроксимируется в норме Wlm(Q) гладкими в Q функциями ии(х). Продол- Продолжая каждую из Uh(x) указанным способом и используя E.3) и E.4) для Uk—щ, убедимся, что функция и(х), являющаяся пределом Uk(x) в норме Wlm (Q), будет же- желаемым продолжением и(х) с Q на Q. Это продолжение строится по и(х) так же, как и для гладких функций. Другой пример того, когда возможно обсуждаемое продолжение, получается из первого с помощью гомео- гомеоморфизма у = у(х), с функциями у = у(х), обладаю- обладающими ограниченными об. пр. первого порядка. Как от- отмечено в § 4, гомеоморфизм у = у(х), отображающий область пх изменения х на область Qy изменения у и такой, что функции у = у(х) и им обратные функции х = х(у) обладают ограниченными об. пр. первого по-
. 5] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ ВГ„(О) И ИГ;1(О) 59 оядка (назовем такое преобразование регулярным), устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами и(х) пространства Wlm(ux) и элементами щи) = и(х(у)) пространства №,'„(&,,), причем нормы II и ц(|) „ и || й if" о оцениваются одна через другую с по- II " "т, ™'Х п1> у стоянными, не зависящими от и и й. Благодаря этому, если шар Kr, = {У- \у\< R\) переходит при «регуляр- «регулярном» преобразовании х = х(у) в область Q изменения х, то пространство №1т(Кя) функций п(у), где Kr = = {У'-\у\ <¦% <R^> порождает пространство Wlm(Q,) функций и(х) =п(у(х)), где й с й, и элементы этого пространства и(х) допускают продолжение на Q, удов- удовлетворяющее требованиям E.3) и E.4). Так как шар Kr можно «регулярно» преобразовать в параллелепипед Щ причем так, чтобы несколько боль- больший шар /CHi «регулярно» преобразовался в некото- некоторую окрестность Пг параллелепипеда Щ то только что проведенное рассуждение доказывает возможность про- продолжения с Пг. Впрочем, желаемое продолжение с Ш можно сделать и иначе — с помощью зеркального отра- отражения от граней, так что гладкая в Пг функция продол- продолжится в виде непрерывной и кусочно-гладкой функции на все Rn. Если область Q допускает продолжение элементов Wl (Q), то для нее Wlm (Q.) = #«(Q) (это верно и для Wlm(Q) с У/,если для продолжений имеют место неравенства типа E.3), E.4) для всех норм ||-gQ> k = Q, I, ...,/). Дей- Действительно, возьмем произвольный элемент и(х) е Wlm (Q) и его продолжение и(х) до элемента ^'т(й) и усредним последнее в соответствии с формулой D.9). В результате получим гладкие функции ир(х), которые при р—>0 стремятся к и(х) в норме Wi,(Q). В книге [212] указан широкий класс областей Q, до- допускающих указанное продолжение элементов Wlm(Q). Это так называемые «строго липшицевы области» (см. стр. 74, лемму Кальдерона и Зигмунда). К ним принад- принадлежат, например, области с гладкой границей.
60 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I Введем подпространства пространств Wlm(Q), играю- играющие важную роль при изучении краевых задач. Они по- лучаются замыканием множества С(со)(й) в норме . о . Wm(Q) и обозначаются символом Wm(Q)*). При /^ ^ 1 Wm (й) является собственным подпространством №т(й). Используя операцию усреднения, легко прове- рить, что функции из С1 (О) и даже из Wm(Q) входят в о . Wm (й). Кроме этого, полезно иметь в виду, что если о , функцию и(х) из Wm(Q) продолжить нулем на все Rn> о . г* то получается функция, принадлежащая Wm (й) для ~ ° i Уйгэй. Как будет объяснено ниже, элементы Wm(Q) на границе й равны нулю вместе со своими производ- производными до порядка /— 1 включительно. Отметим одно важное и используемое в дальнейшем свойство слабой сходимости в W2(Q) (а также в любом его замкнутом подпространстве). Слабая сходимость в ^(й) какой-либо подпоследовательности {ит}, т = = 1,2, ... (как в любом гильбертовом пространстве), определяется как сходимость проекций {(ит, т)J й) на любом элементе т) пространства. Предельный элемент и имеет в качестве своих проекций (и, т))^ пределы чис- числовых последовательностей {(ит, т))^}- Необходимым и достаточным условием слабой компактности последова- последовательности {ит}, т=1,2, ..., является равномерная ограниченность норм ||ит|^й. Покажем, что слабая сходимость {ит} в пространстве W[ (Q) (равно как и в любом его замкнутом подпро- подпространстве) эквивалентна слабой сходимости в L2(ii) са- самих функций {ит} и всех их об. производных {D(k)um} до порядка / включительно к предельной функции и и ее производным D(h)u соответственно. То, что из слабой схо- *) Напомним, что точка надС'(О) или над Wm(Q) означает, что из этих совокупностей берутся лишь те функции, которые имеют компактный носитель, лежащий в Q,
ПРОСТРАНСТВА W^iQ) И Щ (Q) 61 димости {D'*W, |*| = 0, .... /, в L2(Q) к /><*>«, \k\ = = 0 .-, /, соответственно следует слабая сходимость в пространстве W[{Q){um}K и, очевидно. Обратное же утвер- утверждение доказывается так. Из слабой сходимости в Wl (Q) {ит} к и следует равномерная ограниченность норм || D(k)um \ 0, U| = 0, .... /, m=l, 2, ..., а это гарантирует слабую компактность последовательностей {DWuJ, \k\ = 0, ...,/, m = 1,2, .... bL2(Q). Если функции y(ft), |/г| =0, ..., /, являются слабыми пределами в L2(Q) для каких-либо подпоследовательно- подпоследовательностей, выделенных из {D№um}, \k\ = 0, ...,/, m=l, 2, ..., то согласно свойствам об. производных каждое иСО есть D(ft'y or функции v, являющейся слабым преде- пределом в 1г(й) подпоследовательности, выделенной из {«„,}, /и = 1,2, ..., и, следовательно, у есть слабый предел в пространстве W¦>(?!) для взятой нами подпоследователь- подпоследовательности из {ит}, т = 1,2, .... Но по условию слабым пре- пределом {«»»}. m = 1,2, ..., в пространстве ^2(й) является функция и. В силу его единственности v = и. Из всего сказанного вытекает, что каждая из последовательно- последовательностей {D^Um}, m = 1,2, ..., сходится слабо в L2(Q) к D^u соответственно. Наконец, напомним, что любое замкнутое подпро- подпространство гильбертова пространства замкнуто и в отно- отношении слабой сходимости. В частности, из слабой сходи- сходимости в W'2(Q) последовательности {ит}, /и =1,2, ..., элементов W2 (Q) следует, что предельный элемент для о , нее принадлежит W2 (Q). § 6. Пространства W\ (Q) и W\ (Q) и их основные свойства Гильбертово пространство W\ (Q) играет основную роль при изучении первой краевой задачи для уравне- уравнений 2-го порядка различных типов, а пространство и^г(й) — при изучении других краевых задач классиче- классического типа. Скалярное произведение в №г (й) и b^I (й)
g2 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I было определено равенством (и, v){?g_=\{uv + uxvx)dx*). F.1) Будем считав Q ограниченной областью /?„. Пока- О жем, что в W<i (й) можно ввести новое скалярное произ( ведение [и, v] = J uxvx dx, F.2| порождающее норму, эквивалентную'исходной. Для это- го убедимся в справедливости для V«(x)eW2(Q) не- неравенства J и2 rfx<c| ]¦«*<**¦) F.3) Q Q (неравенства Пуанкаре — Фридрихса) с постоянной cq, зависящей лишь от области й. Неравенство F.3) доста- точно доказать лишь для и(х) из С°°(й), ибо отсюда не- неравенство F.3) для Vu(x) из Wl2 (й) получается «про- «простым замыканием в норме ^(й)». Поясним, что под этим понимается. Пусть «(л:) есть какой-либо элемент W2 (й). Аппроксимируем его в норме №г(й) функциями {«с»)}, пг— 1,2, ... из С°°(й). Пусть F.3) для и<-т) до- доказано. Тогда, взяв F.3) для м(т) и перейдя в нем к пре- пределу по т—»• оо (в норме W\ (й)), придем к F.3) для и(х). Эта процедура и называется кратко «замыканием F.3) в норме №г(й)». Мы ее часто будем использовать при доказательстве неравенств вида 1|и||а;<с||и||д F.4) для Vm s B2, где Bi — два банахова пространства. Имен- Именно, сначала F.4) будет доказываться для какого-либо п п *) Здесь и далее uxvx = 2 их vx • и\ == 2 их и п0 повто" ряющимся индексам предполагается суммирование от 1 до п, если не оговорено противное.
§6] ПРОСТРАНСТВА ipi(Q) И W\(Q) 63 плотного в ?г, множества 5Й элементов (обычно гладких функций), а потом замыкаться в норме В2 Но вернемся к доказательству F.3) для «(л:) еС°°(й). Заключим й в какой-либо параллелепипед П и будем считать без ограничения общности, что П = {х: 0 < х\ < /,}• Как бу- будет видно из доказательства, параллелепипед П выгоднее всего выбрать так, чтобы одна из его сторон имела наи- наименьшую возможную длину. Пусть это будет 1\. Предста- Представим и(х) в виде о *; = (*2, .••, л,)еП1 = (^:0<х(<1|1 /=2, ..., л}, считая и(х) = О для JtiQ, Возведем обе части этого равенства в квадрат, результат проинтегрируем по П и правую часть оценим по неравенству Коши. Это даст не- неравенство о П! L о J п из которого ясно, что F.3) справедливо с c2u = l\j2. Из него следует эквивалентность норм [и,и\1г и Ны^д, соответствующих F.2) и F.1). В неравенстве F.3) постоянную cQ можно взять также в. виде с2|й|2/га, где |Q| =mesQ, а с—абсолютная по- стоянная, зависящая лишь от п, т. е. для V« e W2 (Q) справедливо неравенство ИиЦ^сЮ^ИиД^. F.6) Доказательство этого факта несколько сложнее, и так как без него «можно обойтись», мы отнесем его к § 7, в котором излагаются разные красивые предложения, не используемые в основном тексте книги.
64 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I Перейдем теперь к доказательству наиболее важной о . теоремы о пространстве W2 (й). Теорема 6.1 (теорема Ф. Реллиха). Ограниченное о множество в W2 (Q) компактно в L>(Q)*). Это утверждение принято формулировать еще так: о . W2(Q) вкладывается в L2(Q) компактно. Известно не- несколько способов его доказательства. Приведем один из них. Продолжим все элементы W% (й) нулем вне й и рас- рассмотрим их на параллелепипеде П = {х : О <С Х{ <С /;}, считая й cz П. Как отмечено в конце § 5, при таком про- должении цы получаем элементы W2 (П), нормы которы-х II - IU. хх и НК'п совпадают с | ¦ ||2_ Q иЦ-^п соответ- соответственно. Разобьем П на элементарные параллелепипеды сог со сторонами Ih/N, k = 1, ..., п, и гранями, парал- параллельными координатным плоскостям. Для любой функ- функции и(х) из №2@)*) справедливо неравенство Пуанкаре: *-.*F-7» [(его доказательство мы приведем ниже). Из него следует dx. F.8) Пусть [| «(т) \^\_, ^ с. В силу теоремы 1.2 множество {н(т>} слабо компактно ?г(й). Предположим, не ограни- ограничивая общности, что вся последовательность {«("')} слабо сходится в L2(Q). Тогда для любых и&1 и ы(«) неравен- неравенство F.8) дает оценку 0 *) Еще раз напомним, что в этом параграфе мы считаем Q. ограниченной областью.
5 6] пространства w j (Q) и w J (Q) C5 Последнее слагаемое в правой части F.9) может быть сделано сколь угодно малым сразу для всех р и q за счет выбора малого |со,| (т. е. большого N), а первое будет стремиться к нулю при р и д-*оо и фиксирован- фиксированном разбиении П за счет слабой сходимости {«С"'} в 1г(П). Тем самым ||«<р> — и^>||2, q ->0 при р и <7->°о, т. е. {аGП)} сходится в L2(II). Теорема доказана. Для элементов №2 (Q) справедлива центральная фор- формула теории краевых задач — формула интегрирования по частям, причем для них она имеет особенно простой вид и справедлива при любой области п. Именно, для У и (х) е= W\ (Q) и Vo (x) e W\ (Q) . j uXivdx = - j uvXidx, 1 = 1, ...,n. F.10) а Справедливо и несколько более общее предложение: формула \*5Ldx.= 0 - F.11) J дх. v ' и ' для любой функции J4i из Li(fi), имеющей об. пр. ~^- из Li(Q), которую можно аппроксимировать функциями т = 1,2, ... из С°°(й) в следующем смысле; »("•)-*¦ ш в Li(Q) и -^^->-|j- в L,(Q). Действитель- но, для wi™) соотношение F.11) верно. Переходя в нем к пределу по т-+оо, получим F.11) для функции w. Если wsLi(Q), обращается в нуль вблизи <9Q и имеет dw jj- из L, (й), . то ее можно аппроксимировать указан- ным образом функциями а>Ат> из C°°(Q) (в качестве w(m) можно взять усреднения w типа D.9)) и потому для нее формула F.11) справедлива. Если и и че!г(Й) и имеют об. пр. -^— и -д—¦ из L2(Q) (i фиксировано) и если к и можно приблизиться функциями н(т) из C°°(Q) так, что W(m) и ¦ ? сходятся к и и -ч^- в норме L2(fi), то для 3 О. А. Ладыженская
g5 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ П'Л. Г и и v имеет место соотношение F.10) при взятом и Дей- Действительно, функции да(т) = «("% принадлежат L обращаются в нуль вблизи дп и имеют об. пр. == *=¦- и{т) -j^- -\—^— у из Ц (Q). Следовательно, для них справедлива формула F.11). Переходя в ней к пределу по ш-^оо (а это возможно), получим F.11) для w или, что то же, F.10) для и и v и взятого L Так как Vm из W2 (п) может быть аппроксимирована в норме №2 (Q) функциями из С°°(й), то для нее и VfeW^Q) будет верно соотношение F.10) при всех г= 1, ..., п. Замечание 6.1. Как описано в § 4, функции w из Li(Q) с wx. из Li(Q) для почти всех прямых, параллельных оси Xi и пересекающих Q, абсолютно непрерывны по хг на каждом интервале, лежащем на этих прямых и при- принадлежащем Q. Более того, они могут быть доопреде- доопределены по непрерывности на концы этих интервалов. Если функция w такова, что такое доопределение дает нуле- нулевое значение w на всех концах интервалов, то формула F.11) для w справедлива. Во второй части данного па- параграфа мы определим «следы элементов W\{Q) на дй» способом, отличным от только что описанного. Это будет сделано для дп, обладающих некоторой гладкостью, при- причем следы окажутся однозначно определенными функ- функциями на дО, (точнее, элементами Z-2(<5Q)). Указанный же здесь способ доопределения w на dQ (пригодный для любой области Q) приводит, вообще говоря, к много- многозначной функции w на дп (что вызвано возможностью подходить к точкам границы с разных сторон). Приведем доказательство неравенства F.7) или, что то же, неравенства в котором Иг = {л:: 0 < xt < /,-}. Его достаточно проверить лишь для гладких функций «(л:), ибо такие функции плотны в Wl{Yi.i). Итак, пусть «(*)<= С1 (П<). Перейдем
§ 6] ПРОСТРАНСТВА W!z ($2) И W\ (Q) 67 в F.70 к новым координатам yi = xifli, i=l, .... п. Это после умножения на (/, ... /„)"' даст эквивалент- эквивалентное неравенство J «2 dy <( J й dyf + ±^u\dy F.7") для функции й(у) = и (/,?/,, ..., /„?/„) в кубе П, = {у: 0 < < yt < О- Для доказательства же F.7") возьмем произ- произвольные две точки у = (у{, ¦¦¦, уп) и у' = (у\, .... у'п) и цепочку точек У{1) = (у[, У2> ..., уп), У{2) = (у[<у'2, у3, ..., #„), ..., у{п) = у'. В силу теоремы Ньютона — Лейбница й (г/0 -й(у)= J «Ti (т,, г/2, ..., г/„) c?rt + у + J йхЖ>Х2'Уз' '••' ^)rfT2+ ••' у(П) Возведем обе части этого равенства в квадрат и оценим правую часть, используя неравенство Коши, следующим образом; fi» rfA F.12) О Проинтегрировав F.12) по у s II, и /ellb получим неравенство 2 ja*Ut)dy-2(lu(y)dyt<n jjju^ совпадающее с F.7"), 3*
68 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I Обратимся теперь к пространствам Wl(Q,) для раз- различных областей Q. Начнем с простейшего случая, ко- когда Q есть параллелепипед П* = {х:0 < Хг < /,-}. Для него имеет место компактность вложения W\ (Q) в Li (Q). Это видно из доказательства теоремы 6.1, в котором при- принадлежность и{т) к Wl (Q) была использована лишь в са- самом начале вывода для возможности такого продолже- продолжения u<m>(x) на Щ при котором эти функции сохраняют об. пр. первого порядка и имеют равномерно ограничен- ограниченные нормы Ы^п* В данном случае функции u<m'(x) обладают этими свойствами по условию, и к ним непо- непосредственно применимы все дальнейшие рассуждения из доказательства теоремы 6.1. Пусть теперь область Q допускает продолжение эле- элементов Wl (Q) на какую-либо более широкую область О. zd Q в том смысле, как это описано в конце § 5 (см, E.3) и E.4)). Тогда такого же типа продолжение воз* можно и на параллелепипед Пг zd Q с выполнением не-* равенств E.3) и E.4) с т = 2 и Q = Пи Отсюда же и из компактности вложения W\ (Пг) в /^(Щ следует ком- компактность вложения W\(Q) в L2(Q,). Далее, легко по- понять, что это свойство сохраняется и для областей Q, для которых й может быть представлена в виде N _ U п{, где Q{ суть подобласти Q, допускающие про- j должение элементов W\(О?)- Итак, доказана теорема Теорема 6.2. Если Q можно представить в виде N _ \J Qh где Qt — подобласти Q, допускающие продолже- •2=1 ние элементов W2(Qi), то любое ограниченное множество в Wl2(Q) компактно в L2(Q)*). Займемся теперь вопросом о следах элементов и(х) из №г(й) на поверхностях размерности п—1. Возьмем *) Условия теоремы 6.2 выполняются, например, для областей гладкой границей.
j g] ПРОСТРАНСТВА Щ (й) И ПфЙ) 69 сначала гладкую функцию и(х) из \И(О) и множество Г, являющееся областью на какой-либо гиперплоскости. Пусть ради удобства записи Г есть область изменения ^ = (х2, . ¦., *„), лежащая на плоскости хх = О, и пусть цилиндр Q6 ^= Q6 (Г) = {х: 0< х, < 6, Л'{ е Г} тоже принадлежит Q. В_силу формулы Ньютона — Лейбница для любой u^.C(Qb), имеющей непрерывную в Qs про- ди изводную -з—, справедливо равенство:. и(xv х{) - и @, л-;) = J du{l'%Xl> dr. F.13) о Возведем обе части F.13) в квадрат, проинтегрируем по Г и правую часть оценим, используя неравенство Коши, так: г \о ' о г Выведем еще одно следствие из представления F.13). Для этого перенесем первое слагаемое из левой части F.13) в правую, полученное равенство возведем в квад- квадрат и проинтегрируем по Q6(T). После этого разделим его на б и правую часть оценим сверху следующим об- образом: [X, -1 / Q6(D J <гб(Г) | J J F.15)
70 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I Неравенства F.14), F.15), выведенные нами для «хороших» и(х), остаются справедливыми и для любой и(х) ^L2(Q6), имеющей uXl e L2(Qe). Для такой и(х) можно построить (замечание 5.1) последовательность гладких функций \и{т) (х)], которые сходятся в L2(Qi) к и(х) и для которых ыМ также сходятся в L2(Qe) к uXl. Отсюда и из неравенства F.15) следует, что ы<т>(л') бу- будут сходиться в L2(T). Функцию, определяемую на Г как предел ы<т>(х) в L2(T), естественно считать следом и(х) на Г. Из F.14) видно, что такие же следы и(х) имеет на всех сечениях Q6 плоскостями х{ = х°р х°{ е [0, б]. Пе- Переходя в F.14) и F.15), выписанных для u<m), к пределу по т-*оо, убедимся, что эти соотношения сохраняются и для предельной функции и(х) (и, тем более, для Vue Wl2(Q)). В силу F.14) следы и(хи х{) на сечениях Q6 указанными выше плоскостями являются элементами 12(Г), непрерывно зависящими от параметра xie[0, б]. Итак, мы доказали следующую теорему: Теорема 6.3. Для любой функции и(х) eL2(Q6), имеющей uXl e L2 (Q&), существует на любом сечении Qa плоскостью х{ = х\, х|е [0, 6], след, как элемент L2(T), причем этот след непрерывно зависит от х° е [0, б] в норме пространства L2(T). Для и(х) справедливы соот- соотношения F.14), F.15). Это утверждение принято формулировать кратко как ограниченную вложимость Wl(Qe) в L2(T). Поясним, как надо понимать теорему 6.3 и аналогич- аналогичные «теоремы вложения», формулируемые ниже. Пусть и(х) есть произвольный элемент, удовлетворяющий усло- условиям теоремы. Тогда, согласно теореме 6.3, существует такой представитель этого элемента (т. е. такая функция, эквивалентная и(х) на Q6(F)), для которого верны ее утверждения. Из доказательства виден способ нахожде- нахождения такого представителя для и(х): надо взять какую- либо последовательность и<т), m = 1,2, ..., из C'(Q6(F)), сходящуюся к и(х) указанным выше образом, и назна- назначить следом и(х) на V сечении Q6 плоскостью х\ = х\ предел в норме Ь2(Г) последовательности {«(m)(*i> x'i)h
. gj ПРОСТРАНСТВА П?> (й) И Wi (Й) 71 Замечание 6.2. Нетрудно видеть, что след элемента и(х) из 1^2(й),определенный на Г как элемент L2(T), не зависит от выбора последовательности гладких функций ;{ц(т)}, аппроксимирующих и(х). Этот след меняется не- непрерывно как элемент L2(T) при сдвиге Г не только в на- направлении Х\, но и в любом другом направлении, лишь бы сдвигаемое сечение не выходило из Q. Докажем теперь, что W\(Q) вкладывается в L2(Y) не только ограниченно, но и компактно. Теорема 6.4. Пусть область Q. содержит цилиндр Q6(F) такого же типа, как и в теореме 6.3, и пусть для Q6 (Г) или какой-либо области Q' s Q, содержащей этот цилиндр, справедливо утверждение теоремы 6.2. Тогда из любой ограниченной в норме W\(Q) последовательности {ит} можно выбрать подпоследовательность, сходящую- сходящуюся в L2(V) равномерно относительно х°{ е[0, 6]. Действительно, пусть || u(m) ||j"Q <^ с. По теореме 6.2 :{«("''} компактно в 12(<26(Г)). Предположим, не ограни- ограничивая общности, что вся последовательность {ы<то)} схо- сходится к и(х) в !2(<36(Г)). Рассмотрим неравенство F.15) для разностей ы<р)— и^ и 6i-«C6. Правая-часть его мо- может быть сделана сколь угодно малой при достаточно больших р и q, ибо, выбрав сначала 6i в F.15) столь ма- малым, чтобы 5.1 и(р) — и^ II оказалось меньшим е/2 для '« х, х, fc, Q6(r) всех р и q, мы можем указать затем такое <Ve, что при р и q~^>Ne первое слагаемое будет меньше е/2. Тем са- самым || Ж?) — u(<?) f2 г будет меньше е при р и q ^ Л^е. Такая же оценка || и{РЦхи х\) — и^Цхи Xi)\l,r имеет место для всех х\ из [0, б], если учесть, что в левой части неравенства F.15) вместо [ и2@, х{) dx\ можно •¦ г поставить | u2(xlt x[)dx[ с V*, е[0, 5], ч. т. д. г Обозначим через W2,0(Q&), где Qe = {x: Xi е @, б), •^i e Г}, замкнутое подпространство пространства ^(Qe), плотным множеством в котором являются бес- Конечно дифференцируемые функции, носитель которых
72 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ (ГЛ. X не пересекается с боковой поверхностью S6 = {х; #i s е @, 6), х[^дТ} цилиндра Q6. (Как будет видно из последующего, Wi, о (Q&) состоит, грубо говоря, из эле- элементов W^iQd), обращающихся в нуль на S6). Если Ми (х) е Wi, о (<2б) продолжить нулем для х\ е @, б), х\ е= Г, то получим элемент 1^2,о@б). Q& = {x: x\ е@, 6), x[eQ} при VQidQ, причем его норма в Wi.oiQb) равна || и II^'q . Из теорем 6.2 и 6.4 вытекает Следствие6.1. Пусть элементы последовательности {«("*>} принадлежат W2,о (Qe) и их нормы ||"(m)I^Q рав- равномерно ограничены. Тогда из {«(т>} можно выделить подпоследовательность, которая сходится сильно в LiiQb) и сильно в L2(T) равномерно относительно Х\ е е [0, б] (никаких ограничений на область Г,"кроме ее ограниченности, при этом не накладывается). Все предложения, установленные нами для плоских кусков Г, переносятся и на случай, когда Г есть область на гладкой гиперповерхности, в том числе и на гладкой части границы Q. Пусть Г однозначно проектируется на гиперплоскость (без ограничения общности можем счи- считать, что это есть плоскость хх = 0) в виде области ГA), так что Г имеет явное уравнение xi=f(x[), x\ e ГA), и feC'tr1"), и пусть «криволинейный цилиндр» Q6(T) = = {х: f (х[) <xi<f (x'i) + б, х\ е ГA)} принадлежит Q. Вве- Введем в <2б(Г) новые координаты: у1 = х1 — f(x\), yk = xk, k = 2, ..., п. Функция й(у) = и(х(у)) будет элементом WiiQt), где Q6 = {y: 0 < ух < б, 1,'еГ*1)}, и потому для нее справедливы неравенства F.14) и F.15), записанные в координатах у. Из них, возвращаясь к старым коор- координатам х, выведем неравенства J [и (х + /в,) - и (л;)]2 ds = || и (х + /в,) - и (х) |J г ^ г <<:/ j u2xdx, 0</<б, F.16) Qz (Г)
дх И §6] . ПРОСТРАНСТВА W.j(Q) И W\ (О) 73 в которых ei = A,0,0, ,..,0), а постоянная с опреде- определяется первыми производными функции f(x{). В форму- формулах F.16), F.17) сдвиг Г и аргументов у и(х) взят в направлении одной из координатных осей. С таким же успехом это можно сделать и по другим некасательным к Г путям, вводя вместо х те или иные невырожденные координаты у с ограниченными якобианами —- .. Например, в F.16) можно считать, что е\ есть единичный вектор нормали к Г в точке х, a Qi(T) —; «криволинейный цилиндр», образованный отрезками этих нормалей длины /, выходящими из точек Г. Если u^.W\{Q) и граница дп (или ее часть Г) есть гладкая поверхность, то, имея в виду наличие для и(х) неравенств типа F.16), F.17), говорят, что ее граничные значения (т. е. след) на dQ (на Г) дают элемент L2{du) A2(Г)) и «принимаются в среднем квадратич- квадратичном». Это же имеет место и для Q с «кусочно-гладкими границами dQ», т. е. такими, которые можно разбить на конечное число кусков Г\-, удовлетворяющих требова- требованиям, гарантирующим для них справедливость нера* венств вида F.16) и F.17) (эти достаточные условия на Yi сформулированы выше). В частности, для таких Q справедливы неравенства \u(x-ln)-u(x)f2 м<с/ \u\dx, 0^/<5, F.18) F.19) в которых Qe есть множество точек области, удаленных от dQ на расстояние, не превышающее б (такое множе- множество принято называть «пограничной полосой ширины б»), б — достаточно малое число, а п — единичная (всю- (всюду внешняя по отношению к Q) нормаль к dQ. Таким об-: разом мы установили следующее обобщение теоремы 6.3, Теорема 6.5. Для элементов и(х) из Wi(Q) опре- определены следы на областях Г гладких гиперповерхностей как элементы L2(T), и они непрерывно меняются (как
74 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I элементы L2(T)) при сдвиге Г*). Для них справедливы неравенства вида F.16), F,17). Если дп (или ее часть Г) есть гладкая (или кусочно-гладкая) поверхность, то на ней определяются следы и(х), как элементы Ь2(дп) (со- (соответственно L2(T)), и для них справедливы неравенства F.18), F.19) (соответственно F.16), F.17)). Теорема 6.4 также обобщается на криволинейные ку- куски Г, в частности, справедлива Теорема 6.6. Если область п имеет гладкую гра- границу дп, то ограниченное множество из W\ (п) компакт- компактно в L2(dQ). Это утверждение о компактности верно и для областей п с «кусочно-гладкими границами» N _ dQ = [jTi, если для каждого из кусков 1\ можно по- строить цилиндр типа Q6 (Г*) с: Q, для которого имеют место неравенства F.16), F.17) и компактность вложе- вложения W\(Q.) в L2(Q6(I\)). о . Замечание 6.3. Для элементов и(х) из W^iQ) глад- гладкость границы области Q не играет роли при выводе не- неравенств F.16) и F.17), ибо каждую из этих функций можно продолжить нулем вне п и считать, например элементом Wl(K), где К — шар, заключающий в себе Q. о . Благодаря этому множество элементов {и} из W2 (Q), продолженных нулем вне Q, будет компактным в ^2(Г), где Г есть пересечение какой-либо гладкой гиперповерх- гиперповерхности с произвольным шаром Kr, R <Z °°. Относительно о . элементов ^г(О) принято говорить, что они принимают нулевые граничные значения. Это надо понимать так: если Г есть гладкий кусок границы, для которого Q6(r) с: Q, то для и(х) eC°°(Q) неравенство F.18) пре- превращается в неравенство | и (х - In) t г = | «2 (х -In) ds < с/ J «2 dx, F.20) *) Имеется в виду сдвиг, описанный при выводе неравенства F.16) или неравенства вида F.18),
5 6] ' ПРОСТРАНСТВА W\ (Q) И W\ (Я) 75 По замыканию в норме W\ {Qt (Г)) оно остается справед- ливым и для V« (^) e f 2 (Q). Из него видно, что при /-»0 \\и(х— In) ||2,г—*0. Если же дп содержит такие ча- части Г, для которых поверхностные интегралы f u2(x— In) ds (понимаемые в обычном смысле) не су- г -ществуют, то около таких Г поведение и(х) можно оха- охарактеризовать, например, так: взять любую область Г на какой-нибудь гладкой гиперповерхности, не имеющую общих точек с Q, но содержащую часть точек Г. Для нее будет справедливо F.20), если считать и(х) доопреде- доопределенной нулем вне Q. Представляет естественный интерес обратный вопрос: пусть и(х) принадлежит W\ (Q) и принимает «в среднем квадратичном» нулевые граничные Значения. Будет ли о . тогда и {х) е W2(Q)? Ответ положителен, например, для строго липшицевых областей Q и областей Q с гладкой границей. Однако мы не -будем доказывать этого, ибо основной материал книги изложен так, что для его фор- формулировки и доказательства нет надобности проводить подобные кропотливые рассмотрения (о них см. [23j]). Обратимся теперь к формуле интегрирования по ча« стям ^-vdx=-ju~dx+ juvcosnxtds. F.21) Q l li ' ' да В ней п (как и везде в книге) есть внешняя по отно- отношению к Q единичная нормаль к dQ, a ds — инфините- зимальный элемент площади поверхности dQ. Хорошо известно, что F.21) справедлива для гладких поверхно- поверхностей дп и непрерывных в Q функций и и у, имеющих не- непрерывные в Q производные uXl и vx.. Отсюда и из до- доказанных в этом параграфе свойств следов элементов W2 (Q) следует, что F.21) сохраняется (для всех i =. .= 1,2, ..., п) и для функций и(х) и v(x), принадлежа- принадлежащих IF2(Q), если дп — гладкая поверхность (для про-' верки этого надо аппроксимировать и и у гладкими в Q
76 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ " [ГЛ. Г функциями {«С")} и {у(т)}, записать F.21) для «<т> и и перейти к пределу по т). (Заметим, что для гладких dil #i (Q) = 1^2 (Q).) Формула F.21) имеет место для указанных гладких а и у и в областях Q, для которых Q = Qj U пг, а области Q; имеют гладкую границу (Qj и Q2 могут пересекаться). Для доказательства этого надо убедиться, что F.21) справедлива для пересечения Qi П Q-2, после чего представить интеграл J • • • в виде а С + С — I , к каждому из них применить формулу с, р.г а,па2 F.21) и учесть, что интегралы по тем частям границ Q! и Q2, которые не принадлежат дп, сократятся. Формула F.21) верна и для Q, покрытых не двумя, а любым ко- конечным числом областей UiCzQ с гладкими границами. Для таких областей формула F.21) верна не только для гладких и и у, но и для Vu и у, принадлежащих W2(Q), что проверяется опять-таки с помощью аппроксимации в нормах W\{Q,i)u и у гладкими функциями. Вместо об- областей Q; с гладкими границами можно взять различного вида многогранники. Нам понадобится еще формула F.21) для областей Q типа цилиндра: Q = {x: О < х\ < 1\, л:(сГ}, где Г — (п—1)- мерная область на гиперплоскости #i = 0, и функций и и у из L2(Q), имеющих об. производные uXl и vXl из L2(Q) (формула F.21) берется в этсш случае для i= 1). Для и и о из С1 (Q) соотношение F.21) с / = 1 в такой Q справедливо. Функции же и и у из Ь2(п) с uXt и vXt из L2(Q) можно аппроксимировать Гладкими функ- функциями и(/п) и о(т) так, чтобы u{nt> и v{m), u(?> и v™ схо- сходились к и, у, uXt и vXl в Z-a(Q) соответственно (см. об этом замечание 5.1). Далее, надо взять формулу F.21) (с /=1) для и{т) и v{m) и устремить в ней т к <х>. В силу изложенного выше предельные переходы выпол- выполнимы в каждом члене, и они приводят к формуле F.21) для и и у, а именно F.22)
§ 7] МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ' 77 Мы не будем описывать^более сложные ситуации, при которых справедлива формула F.21), а отошлем к спе- специальной литературе ([21 г] и др.). Приведем, наконец, еще одну формулу, из которой выведем используемое в дальнейшем неравенство, а именно: .j\u\ds^c j (\ux\ + \u\)dx. F.23) дп Q Она справедлива для V«(*) <= WJ (Q) и области Q с «кусочно-гладкой границей». Для доказательства этого надо покрыть дп конечным числом замкнутых обла- областей Г,- и на каждом из 1\ построить «криволинейный ци- цилиндр» Qfi(F) того же типа, что и в неравенстве F.17) j далее, для Qe(F)—убедиться в справедливости нера- неравенства типа F.17), но с нормой Lj вместо Z-2, точнее, неравенства которое выводится так же, как и F.17), с помощью фор- формулы Ньютона — Лейбница (см. F.13)). Суммируя эти неравенства по всем i, придем к F.23). Применим теперь неравенство F.23) к функции и(х) = v2(x), где v(х) есть элемент Wl2(Q) (легко видеть, что и <= W\ (Q)), и продолжим его следующим образом? Q ' \ i I* О I J С J i i \ Oj 1 I / О l Q\ 1 I (У C\ A \ Q Я При этом мы воспользуемся неравенством A.3) с про-« извольным s >• 0. - § 7. Мультипликативные неравенства для элементов пространств Wlm (О) и Wlm (Щ Содержание этого параграфа не используется в ос- основном тексте книги и приводится как справочный мате-' риал для более полной характеристики пространств Wlm(Q). Начнем с наиболее простого из. них — с про-
78 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I о . странства Wm(Q), m>l. Для него справедлива сле- следующая теорема: Теорема 7.1. Для Уи (х) <= Wlm (Q), m>l, где Q — любая (не обязательно ограниченная*)) область Rn, п > 2, и V ^ 1 справедливы следующие мультиплика- мультипликативные неравенства: в которых A1\A4Г' ^L G.2) pj\r ml ' n-ni ' U 1) при т <; n число р может быть любым из [г, in], если г < ifi, и любым из [in, г], если г > in, а {5 = m) ; при изменении р между rum число а меняется между 0 и 1, включая оба конца; при г = р = — in в качестве а можно взять любое число из [О, 1]; 2) при т>п число р может быть любым из [г, оо), a г „_ 1 m_ i )« Р = max -J p; 1 -j —- r > . При изменении р от г I n r in J r пш до оо число а меняется от 0 оо ;—-, г, причем пш + г (ш — п) г правый конец исключается; 3) если m > п, то G.1) справедливо и при р = оо с некоторым Й <; оо (при этом а = т-—г г! ¦ Доказательство теоремы 7.1 можно прочесть, напри- например, в [1214], стр. 79—84. Ее разные частные случаи были установлены независимо В. П. Ильиным, Е. Gagliardo и мною. В дальнейшем были даны другие способы до- доказательства неравенств такого типа (L. Nirenberg, К. К. Головкин). *) Для неограниченной области Q пространство Wm (Q) опре- деляется как замыкание в норме Wm(Q) множества C°°(Q) беско- бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, лежа- лежащим в Q.
5 7j МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 79 Теорема 7.1 содержательна, если известно, что ||«Нг, й < °°> Важной особенностью неравенства G.1) яв- является его «безразмерность» — постоянная р в нем не зависит от Q. То, что р не меняется при преобразовании подобия: х-+\х (Я>0), легко проверяется непосред- непосредственно. Обе части неравенства G.1) при этом умно- умножаются на Я"/р (это гарантирует соотношение G.2)). Кроме того, G.1), как и все теоремы вложения, обладает свойством однородности: не меняется при умножении и(х) на постоянную. Под выражением ||ы||оо, в понимается vrai max| и (х) |, совпадающий для непрерывных на п а функций с тах| и(х) |.В случае 3) (при т > п) элементы а о Wm (Q) эквивалентны непрерывным на Q функциям. Дей- о ствительно, V«(x)eWra(Q) можно аппроксимировать в норме Wm(Q) непрерывными на Q функциями и^{х) (например, средними). Применяя неравенство G.1) с г = т к разностям и^Цх) — Ф){х), убеждаемся, что они сходятся равномерно на Q, и потому предельная для u(ii(x) функция будет непрерывной. Замечание 7.1. Как показывают примеры, макси- максимальный показатель р = т при г ^.т, гарантируемый п. 1) теоремы 7.1, пределен, т. е. не может быть увеличен о . для всех и(х) из 1^т@).Имея это в виду, говорят, что этот результат точен. Точны и другие утверждения п. 1). В случае т = п результат тоже точен: в неравенстве G.1) нельзя взять р = оо. Однако для т=* п и т > п установлены факты более сильные, чем в пунктах 2) и 3). А именно, при т = п для элементов и(х) конечен инте~. грал J exp {y I и (х) |} dx с некоторой постоянной у > О, и он может быть мажорирован c||«*llm,a- Элементы же О . и(х) из Wm(Q) при т>п непрерывны на й в смысле Гельдера с показателем а = (т — п)/т. Для случая п = 1 тоже можно написать мультипли-. кативные неравенства, но в этом обычно нет необходим мости, ибо достаточно полная информация (равно как и мультипликативные неравенства) элементарна
80 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I выводится с помощью формулы Ньютона — Лейбница. А именно, представим и(х) в виде G.3) G.4,) о Из G.3) следует, например, ограниченность и(х): t du при max х<=№, i] dx ' и непрерывность в смысле Гельдера: du х' „г Мт' х' du dx dx l/m G.42). при m > 1. Из G.4j) и G.42) при К оо следует компакт- компактность любого ограниченного множества элементов из Wlm@, /), т > 1 в С([0, /]) (теорема Арцела). Из теоремы 7.1 и теоремы 6.1 следует компактность о . вложения Wm(Q,) в Lp(Q) с любым р, меньшим макси- максимального возможного в G.1), если Q — ограниченная об- область. Для доказательства этого надо рассмотреть от- отдельно два случай: 1) m ^ 2 и 2) те A,2). Пусть II и(я) С q ^ с> ?=1,2, ... и т>2. В силу теоремы Ф. Реллиха {«<«'} компактно в 1г(й). Выберем из {иЩ сходящуюся в L2(Q) подпоследовательность («^fe^j и при- применим к разностям ее элементов и^к' — и^к+^ неравен- неравенство G.1) с г = 2, взяв р = р меньшим m для tn < п, произвольным конечным при т = п и оо при т > п. Для ,таких г и р показатель а < 1, и потому из G.1) будет следовать стремление |«(*fe) — «('*+') ||. Q к нулю при k и /-voo. Тем самым компактность {иЩ вЬр (Q) доказана, В случае иеA,2) и п^-2 надо рассуждать несколь- несколько иначе: сначала доказать компактность вложения о Wm(Q) в Lm(Q), а затем, используя неравенство G.1) с г = т, убедиться в компактности вложения Wm{u) в Lp(Q) в У р <С in. Доказательство же компактности вложения
I 7] МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 81 Wm (Q) B'Lm(Q) аналогично данному выше доказательству теоремы 6.1, надо только вместо неравенства F.7') при- привлечь неравенство в котором Пг = {х: 0 < х-х < /,-}. Оно выводится так: вме- вместо х{ введем переменные yt = х4Т!, так что Пг преобра- преобразуется в 111 = {у: О < г/, < 1}, а и(х) = п(у). Возьмем у и у' из IIi и представим \п(у')\ в виде \й(у')\ = J [ й (у) dy . Возведя обе части П, П.1 этого неравенства в степень т и проинтегрировав их по (/'en,, оценим правую часть с помощью неравенства \\а-\-Ь\т*^.2т-1 (\а\т-\- \b\m) и воспользуемся для п(у') — п(у) представлением, данным на стр. 67. Первый член правой части оценим согласно неравенству , \mdx . и учтем, что все интервалы интегрирования не пре- превосходят 1. Это приведет к желаемой мажоранте для J I й (у') Г dy'. Подытожим полученные результаты: о . Теорема 7.2. Ограниченное множество из Wm(Q), m~^\, компактно в Lp(Q) с р < m для m < я и с лю- любым конечным р для m = п. Для m > n оно компактно в C(Q). Область Q при этом считается ограниченной. Перейдем к пространствам Wlm (Q). Рассмотрим сна- сначала такие области Q, для которых элементы и(х) из Wlm(Q) можно распространить на более широкую область Q :э Q так, что и (х) будет элементом Wm (Q) и i0, G.5) C.o G.6)
82 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I для всех г, для которых конечна ||м||г, а- Постоянные сг и Cm в этих неравенствах не должны зависеть от и{х). Области Q, указанные в конце § 5, для которых воз- возможно распространение сг = ив G.5), допускают рас- распространение и для Vr, причем способ распространения тот же, что и для г = т. Применяя теорему 7.1 к и(х) о . ^ из Wm(Q)u используя G.5) и G.6), придем для ограни- ограничений и(х) на Q к неравенствам W»\\P,a<VCp,r,m(Q){\\uC9)a\\utaa*) G-7) с теми же параметрами, что и в G.1). Если Q может N _ быть представлена в виде (J Q* (области Qu i= I, ... ..., N, могут иметь непустые пересечения), в которой Q* допускают указанное распространение элементов \^г(Ог). то для нее также справедливы неравенства G.7). Дей- Действительно, записав G.7) для каждой из Ог-, возведем их в степень р и сложим по i от 1 до N, после чего получен- полученное неравенство возведем в степень \/р. Это даст нера- неравенство, в левой части которого будет стоять ||ы||р, а. Правую же часть его увеличим, заменив во всех слагае- слагаемых интегралы по Qj такими же интегралами по Q. В результате придем к неравенству G.7) с некоторой по- постоянной Cp>ri m(Q). Совершенно так же устанавливается справедливость теоремы 7.2 для Wlm (Q) с такими же Q, что и для G.7), Итак, доказана _ lV _ Теорема 7.3. Пусть Q = (JQf (Q{, i=\, ..., N, могут пересекаться), где Q* суть области, допускающие продолжение элементов Wlm (Q), удовлетворяющее усло- условиям G.5), G.6). Тогда дляУ/и(х)^1^\п{п) справедливы неравенства G.7) с теми же параметрами m, r, p и а, *) Если в G.6) и G.7) считать, что норма || И ||^'_ й определе-: на равенством | Q \"mln f | и \тdx + [ | их \тdx\' ", то по- L «-г а J стоянные в этих неравенствах не меняются при преобразовании поч добия для независимых переменных х.
$ 8] ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ 83 что и в теореме 7.1. Для пространства Wlm(Q) сохра- сохраняются утверждения теоремы 7.2 о компактной вложи- мости в Lp(u\ для ограниченных Q. В заключение данного параграфа выведем из G.1) неравенство F.6). Возьмем в G.1) m = 2, г = 1, а р = 2 и оценим последний множитель в нем с помощью нера- неравенства Кош и так: II и , Сократив обе части на || и |^(д+2) и возведя полученное не- неравенство в степень («+2)/о, получим неравенство F.6): , Q II и »i, a ^Pll Ux 112, й § 8. Теоремы вложения для пространств Wm(Q) и Wm(P) Из теоремы 7.1 можно получить разнообразные муль- О f типликативные неравенства для элементов «<=№m(Q), оценивающие норму любой производной Dhu с k •< / че- через произведение норм Dlu и Dpu с Vp-^й, причем эти нормы берутся в разных LP{. Выведем наиболее употре- ¦ бительные неравенства, указывающие наивысшие сте- степени, с которыми суммируются Dhu. Производные Dl~1u о . можно рассмотреть как элементы Wm(Q) и применить к ним неравенства G 1). Из неравенства, G.1) с r = m и а = 1 (если m < n) заключим, что D'-^ e 1^,@) с ть определяемым из равенства — = . Следо- Следовательно, Dl~2u e Wlm, (Q). Если mi < n, то, снова приме- применяя к Dl~2u неравенство G.1) с m = ть г = пг^.и а = 1, убедимся, что/)г-2иеЬтг(й), где-— = — — ==—— f[L2 ttl\ Yl lit 2 — —. Продолжая это рассуждение, мы придем или к неравенству ||<О'Ц0 (8.1) ^' если/т<«,
84 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I или к неравенству (8.1) с любым р < оо, если 1т = я, или к неравенству Q) (8.2) если 1т > п. Постоянные в (8.1) и (8.2) определяются п и числовыми параметрами, в них входящими. Мы не буч дем приводить другие следствия, а перейдем к простран- пространствам Wlm(Q). Для их элементов и(х) "вместо неравенств (8.1) и (8.2) устанавливаются неравенства иЧ.0ои«Са (8-3) с теми же параметрами, что и в (8.1), и неравенство тах|«|<с||«|?0 (8.4)' при 1т > п. Предположения относительно Й такие же, как в теореме 7.3 (т. е. они не усиливаются при возраста- возрастании /^1). Частные случаи неравенств (8.3) и (8.4) встречаются в работах разных авторов (например, в ра- работах А. Пуанкарэ, Ж. Лере и др.). В общей форме они были доказаны С. Л. Соболевым ([23i], [22г]) и сформулированы как теоремы «об огра- ограниченной вложимости пространств Wlm (й) в LP(Q) или в C(Q)» соответственно (С. Л. Соболев предполагал т> > 1). Его учеником В. И. Кондрашовым была доказана компактность вложения Wlm(Q) в Lp(Q) с Vp<p= B^"fm' при /m < п и с V/J < оо при 1т = п; при lm > n Wlm{Q) вкладывается компактно в C(Q). Этот факт можно вы- вывести из теоремы 7.3 о компактности вложения №m(Q) в LP(Q), применяя ее к самим элементам и(х) из Wlm{Q) и их производным Dhu, k < /, так, как это сделано при доказательстве (8.1). Кроме неравенств (8.3), (8.4), С. Л. Соболевым были установлены и более общие и тонкие факты об ограни- ограниченной вложимости Wlm{Q) в Lq(rs), где Ts — кусок до- достаточно гладкого многообразия (точнее: Г« е С1) раз-1 мерности s, лежащий в О. Параметры п, I, m, q и ?
$ 8] ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ 85 связаны между собою следующими условиями: т>1, lm <n, s>n — lm, q< n™lm *), (8.5) при 1т — п число ц <с оо. Это предложение утверждает, что для элементов и(х) из Wlm (Q) можно определить следы на Г4 и 11«11,,Гв<с(Гв)||«|?а. (8.6) Эти следы непрерывно меняются (как элементы Lq(Ts)) при непрерывном сдвиге Г5. В случае 1т > п,- как указа- указано выше, Wlm (Q) вкладывается в С(Й), так что для его элементов определены следы во всех точках Й — «много- «многообразиях Г8 нулевой размерности». Для показателей а, меньших а= т—, имеет место компактность вложения Wlm (О) в L? (Ts). Существует несколько разных способов доказательства перечислен- перечисленных теорем С. Л. Соболева. Сам С. Л. Соболев исходит из некоторого интегрального представления элементов и(х) из Wm(Q), выражающего и(х) в виде суммы поли- полинома степени I— 1 и интеграла, в который входят лишь производные Dlu. Это представление возможно для обла- областей Q, звездных относительно какого-либо шара KrCzQ [(заметим, что для таких областей Wlm(Q)= Wlm(Q)). Все утверждения доказываются сначала для таких Q. Из этого же делается вывод об их справедливости и для конечной суммы областей этого вида. Отметим еще один важный вопрос, касающийся про- пространств Wlm{Q)vi рассмотренный С. Л. Соболевым. Это вопрос об эквивалентных нормировках пространств Wlm(Q). В § 6 мы коснулись его для пространств о W2(Q) и W2(Q), доказав неравенства Пуанкаре F.3) и 'F.7'). Из первого следует эквивалентность исходной нор- мы в Т^2(й) норме II «л ll2 q • Второе гарантирует эквива- эквивалентность в Wl(Q) нормы HmII^'q и нормы, определяемой *} Случай равенства был изучен В. П. Ильиным,
86 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I равенством judx 2+ \uldxV\ (8.7) J Этот факт справедлив не только для параллелепипедов, как это было доказано в § 6, но и для широкого класса о . областей. В пространствах Wm(Q), как и в простран- стве \^г(й), норму можно определить особенно простым и удобным способом: J Чх Г «|| и CQ (8.8) a № 1 B — суммирование по всем производным порядка /V V @ / Более того, это справедливо и для подпространств про- пространства Wlm (Q), более широких, чем Wm (Q), а именно таких, которые получаются замыканием в норме Wlm(Q) множества элементов Wlm(Q), обращающихся в нуль в окрестности какого-либо участка Г„_1 границы dQ, яв- являющегося замыканием области на dQ. В книге [23i] С. Л. Соболева указан широкий класс норм, эквивалент- эквивалентных норме || и ||J^ Q для пространств Wlm (Q). Укажем, наконец, еще на одну проблему, связанную с пространствами Wm(Q) и их использованием в теории краевых задач. Это проблема «ограниченного продолже- продолжения» функций u(s) с границы dQ области Q на всю об- область Q. Она является обратной к вопросу о следах эле- элементов Wlm(Q) на границе dQ. Как сказано выше (см. (8.6)), следы элементов Wlm{Q) при т > 1 и т < п яв- являются элементами La (dQ), q = — —. Примеры по- называют, что этот показатель q нельзя увеличить для всего Wlm(Q). Спрашивается, является ли эта характе- характеристика следов «точной», т. е. нельзя ли любую функцию u(s), заданную на dQ и принадлежащую Lq(dQ), q= _ , продолл^ить на Q так, чтобы она стала
ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ 87 элементом и (х) е Wm (Q) и чтобы неравенство имело место с постоянной с, не зависящей от и? Оказывается, нельзя. Для решения этой проблемы пришлось найти другие, более тонкие характеристики следов элементов Wm(Q,). Они выражаются в терминах пространств функций, имеющих-об. производные дроб- дробного порядка. Чтобы избежать изложения теории этих пространств и решения поставленного вопроса о продол- продолжении функций с дп, мы в данной книге избрали такой путь: вместо того чтобы задавать, например, в задаче Дирихле граничные условия для искомой функции и(х) в обычной форме: с указанием свойств гладкости cp(s) на дп, требуем, что- бы и(х) — ф(х)еW2(й), где ц>(х)—заданный элемент Wo(Q). Эта форма задания граничного условия позво- позволяет отделить проблему продолжения <p(s) на Q от ис- исследования интересующих нас здесь проблем разреши- разрешимости краевых задач. От полученных в таком виде результатов по краевым задачам переход к их перефор- переформулировке на обычную форму задания граничных усло- условий делается простой ссылкой на соответствующие ре- результаты по проблеме продолжения.
Г Л А В А II УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА § 1. Постановка краевых задач. Описание основного материала, излагаемого в этой главе В данной главе мы рассматриваем линейные уравне- уравнения второго порядка п -\ ((хi% \хI их. ] а(iхi ti \х11 I I, /=i *1 — " *f (х) удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности в ограниченной области Q евклидова пространства Rn- Равномерная эллиптичность A.1) в Q означает выполне- ние неравенств v|2<a..U)|l.|/<tx|2, I2=2l?. A.2) с какими-либо положительными постоянными v и ja при VxeQ и любых вещественных параметрах \\, ..., |п. Левое из неравенств A.2) выражает требование эллип- тичности, правое—ограниченность коэффициентов ciij(x). Остальные коэффициенты _ уравнения A.1)—аи Ь{ и а — мы также будем считать ограниченными функциями в Q, хотя приводимые ниже результаты остаются спра- справедливыми при более общих предположениях: принад- принадлежности этих коэффициентов к LP.(Q) с некоторыми
§ 1) ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 89 рк, зависящими от п (подробнее об этом см. [12!3]). Все функции, рассматриваемые в книге, являются измеримы- измеримыми (по Лебегу) функциями. Это свойство предполагается выполненным всюду и специально в дальнейшем не ого- оговаривается. Во многих параграфах функции atj, at и fi не обязаны иметь производные (даже обобщенные). Как понимать в этом случае уравнение A.1), будет объясне- объяснено в следующем параграфе. В тех случаях, когда aij, сц и fi имеют обобщенные производные, уравнение A,1) может быть записано в традиционной форме; = ацих.х. + uiUXi + au = &~. A.10 Для уравнений A.1) (или A.1')) мы рассмотрим сле- следующие три краевые задачи: 1) задачу Дирихле (пер- (первую краевую задачу), состоящую в нахождении функции и(х), удовлетворяющей в области Q уравнению A.1) ' (или A.10) и на границе 5 области Q краевому условию H|s = <p(s); A.3) 2) задачу Неймана (вторую краевую задачу), в которой ищется решение и(х) уравнения A.1) ( или A.10). Удов- Удовлетворяющее краевому условию Ф(*), A.4) dN ди <-, где -=ru-==aijUx. cos nxi, a n — единичная нормаль к о (направленная, как всегда, вне Q) и 3) третью краевую задачу, в которой краевое условие имеет вид ¦~ + о{8)и\$ = ф). A.5) Во всех этих задачах функция cp(s), равно как Q, a, f, fi и коэффициенты уравнений, считаются известными. Под- Подлежит определению лишь функция и(х). Все перечислен- ныезадачи могут быть сведены к задачам с однородными краевыми условиями, т. е. к таким, в'которых <p(s) =з 0. Действительно, если вместо функции и(х) ввести новую неизвестную функцию v(х) = и(х) — Ф(х), где Ф(х) есть произвольная функция, удовлетворяющая лишь взя- взятому краевому условию (т. е. A.3), A.4) или A.5)), то исходная задача сведется к такой же задаче для
9Q УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1Г функции v(x), но с однородным краевым условием. Уравнение для v(x) Я1Ж- ^- A.6) отличается от A.1) лишь свободными членами (правой частью), а именно, в A.6) *- = /-*,ФХ(-аФ, ^, = /,-а(/ФХ/-а,Ф. A.7) Мы будем считать всюду, что такое преобразование за- задач уже сделано, т. е. искомая функция и(х) удовлетво- удовлетворяет однородному краевому условию. Из результатов по таким задачам и известных результатов по продолжимо- продолжимости функций с границы области на всю область (об этом см. [212] и др.) вытекают соответствующие заключения о разрешимости этих задач, когда краевое условие не- неоднородно. В §§ 2, 3., 5 исследуется разрешимость перечисленных краевых задач в пространстве W[2(Q). Именно в про- пространстве W\(Q.) удается сравнительно просто свести эти задачи к уравнениям с вполне непрерывными операто- операторами и доказать их фредгольмову разрешимость. Об этих обобщённых решениях (об. решениях) и(х) мы знаем лишь, что они являются элементами W2(Q). Примеры показывают, что при тех минимальных предпо- предположениях о данных в задачах функциях и Q, при кото- которых доказывается их разрешимость, эти решения дей- действительно не имеют производных второго порядка (даже обобщенных) и удовлетворяют условиям задач в некотором обобщенном смысле. Далее выясняется, что при небольшом улучшении коэффициентов и свободных членов уравнения A.1), а также при некотором увели- увеличении гладкости границы 5 все об. решения и(х} из Wl2(Q) принадлежат W22(Q) и удовлетворяют уравнению A.1) в обычном смысле (для почти всех ^eQ). Это сделано в §§ 6, 7 для первой краевой задачи. Аналогич- Аналогичные факты имеют место и в других краевых задачах. Более того, можно показать, что безотносительно к крае- краевому условию любое об. решение и(х) из W2(Q) уравне- уравнения A.1) фактически принадлежит W\{9.'), Q'cQ, если
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ИЗ Ш B) 91 коэффициенты и свободные члены уравнения A.1) «не слишком плохи» — удовлетворяют условиям, указанным в § 6. Все эти свойства об. решений уравнений A.1) вы- выводятся „на базе так называемого второго основного не- неравенства (см. § 6) и его следствий. Можно было бы показать, используя обобщения этого неравенства, даль- дальнейшее увеличение гладкости всех решений и(х) уравне- уравнений A.1) при соответствующем увеличении гладкости входящих в A.1) функций. Мы этого не делаем ввиду сравнительной громоздкости подобного анализа (особен- (особенно вблизи границы). Укажем лишь, что вопрос этот все- всесторонне исследован и окончательные ответы получены в терминах пространств Wlp(Q) и пространств Гельдера Ht+a(Q) (см. [12i3]). При этом между об. решениями краевых задач из различных функциональных классов имеется такое естественное соподчинение: если и(х) есть об. решение задачи из класса Эй, то оно есть об. решение этой задачи из любого более широкого класса ЗЙ'гэЗЙ. В § 8 изложены некоторые приближенные методы на- нахождения решений краевых задач, а именно: метод Га- леркина в его первоначальном и модернизированном виде. Показано, что метод Ритца и метод наименьших квадратов являются его частными случаями. В гл. VI дается другой метод нахождения приближенных решений краевых задач — метод конечных разностей (§ 7), и выясняется его связь с методом Галеркина (§ 12). В §§ 4 и 7 доказываются теоремы разложения в ряды по соб- собственным функциям симметрических эллиптических опе- операторов (о более полных результатах см. [122]). § 2. Обобщенные решения из W\ (Й). Первое (энергетическое) неравенство В данном и следующем параграфах мы займемся ис- исследованием разрешимости первой краевой задачи (ина* че — задачи Дирихле) ( + atu) + *ju*, + аи = f + -^, B.1) ¦ и|з = 0 B.2)
92 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II в пространстве W^iQ). Предположим, что уравнение B.1) эллиптично и его коэффициенты—'Измеримые огра- ограниченные функции, т. е. liii < Hi2, v, ц = const > 0, аи = ап, B.3) 2, B.4) Функции / и /;, образующие свободный член уравнения B.1), будем считать квадратично суммируемыми по Q, т. е. Назовем обобщенным решением из W^iQ) уравнения B.1) функцию и(х), принадлежащую W'2(Q) и удовлетворяю- удовлетворяющую интегральному тождеству и. *0 e J («(z"^.1!^. + aiur\x. — biuX{r\ — aur\) dx = x B.6) я при Vti(.\;)sC0O(Q). Легко видеть, что это определение в рассматриваемой ситуации имеет смысл: все входящие в B.6) интегралы конечны. Тождество B.6) получено формально из тождеству dx = O, т]еГ(Й) B.6') с помощью однократного интегрирования по частям в членах — (aijux + atu\ r\ и flx r\. Если коэффициенты ctij, пг имеют ограниченные об. производные первого по- df, рядка, fi(x) имеют об. производные -^- из L2(Q), а и(х) принадлежит W\ (Q) П W\ (пг), VQ'czQ, и почти всюду в Q удовлетворяет уравнению B.1), то тождество B.6')
§2) ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ИЗ WUQ) 93 следует из B.1), а B.6) —из B.6'). Таким образом, при указанных условиях и(х) является об. решением уравне- уравнения из W\(G). Верно и обратное: при тех же условиях на ац, at и /,• любое об. решение и(х) уравнения B.1) из W\(u), принадлежащее W\(Q'), VQ'cQ, удовлетворяет уравнению B.1) для почти всех х из Q. Действительно, из B.6) следует B.6') при \/ц <= С00 (Q), а из B.6') сле- следует справедливость равенства B.6) для почти всех х из Q, ибо ^u-/--^-sL2(Q0, VQ'czQ, и С" (О7) ox. плотно в ?г(О'). Благодаря этим (прямому и обратному) утверждениям можно сказать, что при дифференцируе- дифференцируемых ац, п{ и fi уравнение B.1) и тождество B.6) несут одинаковую информацию относительно и(х). Однако то- тождество B.6) имеет смысл и тогда, когда ац, at и fi не- дифференцируемы, а относительно и(х) известна лишь его принадлежность к W\(u). Поэтому данное нами опре- определение действительно является расширением общепри- общепринятого понятия решения уравнения B.1). Мы покажем, что такое расширение понятия решения допустимо для всех основных краевых задач для уравнения B.1), т. е. докажем, что для него сохраняются основные свойства этих задач — их фредгольмова разрешимость. Назовем, обобщенным решением из W2 (Q) задачи B.1), B.2) (сокращенно об. решением) функцию и(х) о . из W2 (Q), удовлетворяющую тождеству B.6) при любой rie#i(Q). Получим для таких решений и(х) первое основное не- неравенство. Для этого рассмотрим квадратичную форму ^(и,«), В силу B.3), B.4) и неравенства Коши § 1 гл. I Ц, «) = J [a;iuXiuXj -f (a* — bt) uXju — аи2] dx > 1 Ux I при Ve,>0. B.7)
94 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Здесь и далее символ ||«|| используется для обозначения нормы в L2(Q), а (и, v)—скалярного произведения в L2(Q). При е, = v/2 из B.7) следует Правая часть B.7) благодаря неравенству F.3) гл. I не меньше выражения (v — е,) с~2 — ц,4 — —-1|| и|!2, взятого при Ve, <= @, v], и потому 2 (и, «)>61||«||2, B.9) где Если 6, > 0, то, используя B.8) и B.9), можно оценить II "jc IF через 2'(и, и), а именно: или, несколько иначе, 62Ц их II2 <^(и, и), B.11) где Пусть и(х) есть об. решение из №2(Q) задачи B.1), B.2). Для него из B.6) следует неравенство 2(и, «) = -(/, «) + (/,, «,.)<11/Н1«Н + Ш|К||< <e2||«||2 + ^||/||2 + e3|I«J|2+4^ll/ll2, Ve2, e3>0, B.13) которое вместе с B.7) приводит к первому основному неравенству (иначе — энергетическому неравенству): 4-——Л-р III и IP B 14) т 4о T^lllMlr \^-1^!
§ 2j ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ J13 W^ (fl) 95 с Vej > 0, i = 1, 2, 3. При ei + e3 < v оно дает оценку ||Ыд.|| через ||«||, ||/|| и ||/[[. В частности, при ei = v/4, ез = v/4 неравенство B.14) принимает вид B.15) с Ve2 > 0. Примечательной особенностью неравенств B.14), BЛ 5) является то, что они позволяют для реше- решений и(х) задачи B.1), B.2) оценивать «старшую норму» ||«.х|| через «младшую» — ||«|| и известные в задаче ве- величины. Особенный интерес представляют те случаи, ко- когда в B.14) можно отбросить последний член (с ||«||2). Это возможно, например, когда 6i > 0. Действительно, в этом случае имеют место неравенства B.9) и B.11) с бг>0, 1= 1, 2. Из B.11) в силу B.13) и F.3) гл. I следует B.16) откуда при е3 = е2с| = 62у/4 получим желаемую апри- орнукг оценку Из нее видно, что при / = / = 0 решение и(х) обязано равняться нулю, и, следовательно, задача B.1), B.2) при условии 6i > 0 может иметь не более одного обобщен- обобщенного решения из W\ (Q). Действительно, если и' и и" суть два ее об. решения, то ввиду линейности задачи B.1), B.2) разность « = «'—«" будет об. решением той же задачи с / = f = 0, и потому для нее справедлива оценка B.17) с нулем вместо правой чаети. Из нее и «|s = 0 следует совпадение и' с и". Итак, доказана такая тео- теорема единственности: Теорема 2.1. Задача B.1), B.2) может иметь не более одного об. решения из Wl(U), если выполнены усло- условия^ B.3) —B.5) и если 6i > 0. Условие 6i > 0 выполняется для уравнения B.1) с коэффициентами, удовлетворяющими неравенствам
96 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II B.2) — B.5), если постоянная с& «достаточно мала» или если верхняя граница щ коэффициента а(х) есть «доста- «достаточно большое» по модулю отрицательное число. Послед- Последнее заведомо будет иметь место для уравнения при всех «достаточно больших» числах Я. Выражения «достаточно малое» и «достаточно большое» уточняются условием 6i > 0, где 6i определено B.10). § 3. Исследование разрешимости задачи Дирихле в пространстве №г(й) (три теоремы Фредгольма) Покажем, что задача B.1), B.2) является фредголь- мово разрешимой в пространстве W\{Q)- Для этого вве- дем в W2(Q) новое скалярное произведение [и, v] = J a.ijUx.vXjdx. C.1) Q В силу предположения B.3) и неравенства F.3) гл. I норма || и ||f == |/[и, и] эквивалентна норме ||их|| и ис- исходной норме ЦыЦ^д пространства W\{Q). Запишем B.6) в виде [и, ц] + / (и, ц) = - (f, ц) + (ft, цх^, C.2) где * I (И, *l) = J (aiU\ — Ь1ихЯ — aUr\) dx- C-3) В силу предположений B.4) \1{и, ri)|<ti1||«MhJ| + ti1||«J|.|hll + + max(|-n3blH4l)ll«lllhll<c|l«lli-Bnlli. C-4) т.е. /(«,т]) при произвольно фиксированном элементе и е W2 (Q) есть линейный функционал над ti в простран- о . ртве 1^2 (й). По теореме Ф. Рисса (см. § 2 гл. I) 1(и, г\)
I 3! ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ W\ (Q) 97 однозначно представим в виде скалярного произведения /(и, Ц) = [Аи, ц], Vr\ezW2(Q), C.5) Причем А есть ограниченный линейный оператор в Wl (Q) С нормой, не превосходящей с из C.4). Сумма — (/,х\) + tt(fi> ТЦ) также определяет линейный функционал в W2(Q) над ц, и в силу теоремы Рисса существует един- ственный элемент Ре?г(й), для которого , ц] при V^e^^Q). C.6) Благодаря C.5) .и C.6) тождество C.2) эквивалентно тождеству [] + [А n] = [F,4]. C.7) о . Так как C.7) имеет место при Vr\^W2(Q), то C.7) эк- эквивалентно" операторному уравнению u+Au = F C.8) о в пространстве W2 (й). Покажем, что А есть вполне не- о . прерывный оператор в W2 (й). Для этого убедимся, что о . любая слабо сходящаяся в ^г(й) последовательность {«й}, k = 1,2, ..., преобразуется оператором А в сильно сходящуюся последовательность {Л«й}. Ввиду ограничен- ограниченности оператора А последовательность {Ащ} слабо схо- сходится к Аи, где и(х) есть слабый предел {«&}. Кроме о . того, ввиду компактности оператора вложения W^(Q) в ?г(й) (теорема 6.1 гл. I) последовательности {uh} и {Auh} сходятся сильно в L2(Q) к и и Аи соответственно. Пользуясь определением C.5) оператора А и неравен-, ствамн C.4), оценим [Л (ик — ит), A (uk — ит)} = l(uk — um, A (uk — ит)) < <(!, || uk - ит || • || (Auk)x - (Аит)х || + + Hi II Чх — итх II • II Auk — Аит || + + max (| ц31; 11-4 I) IIЩ — иА || || Аик — Аит ||. '4 О. А. Ладыженская
gg УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Отсюда ясно, что при k,m-*<x> правая часть стремится к нулю, и, следовательно, {Auh} действительно есть сильно сходящаяся в Щ{&) последовательность. Итак, полная непрерывность оператора А доказана. Ввиду этого для уравнения C.8) справедлива первая теорема Фредгольма: разрешимость уравнения C.8) при VF& о eF2(Q) есть следствие теоремы единственности для него. Ввиду эквивалентности уравнения C.8) тождеству B.6) с и{х) из №2(Q) и VT]e=lf2(Q) мы можем сформу- сформулировать эту теорему Фредгольма в виде: Теорема 3.1 (первая теорема Фредгольма). Если задача B.1), B.2) не может иметь более одного об. реше- решения из Wi (Q), то она действительно разрешима в W\ (Q) при любых f и f из L2(Q). Достаточные условия единственности, а, следователь- следовательно, и разрешимости для задачи B.1), B.2) даются теоре- теоремой 2.1. Однако они далеко не охватывают всех возмож- возможных случаев. Чтобы разобраться полностью в этом во- вопросе, рассмотрим не отдельно взятое уравнение B.1), а семейство уравнений gu = Xu + f + ^- C.9) с комплексным параметром X. Коэффициенты 3? по- прежнему возьмем вещественными, однако решение и(х) уравнения C.9) будет, вообще говоря, комплекснознач- ной функцией: и{х) = и'(х) + iu"(х). Ввиду этого вве- о дем комплексные пространства L2(Q) и W2(Q), сохра- сохраняя за ними те же обозначения, что и для вещественных. Элементами этих пространств являются комплекснознач- иые функции переменной х е fi, а скалярные произведе- произведения в них определяются равенствами: (и, v) = J uv dx, (и, yJ!(Q = J {ид + uxvx) dx a q соответственно. Обобщенное решение задачи {3.9), {2.2) из Wl{Q) определим, в соответствии с вышесказанным, как элемент
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ W\ (Q) 99 W\(Q)> удовлетворяющий тождеству 2 (", Ц) = J (atjuxviXi + а(«тц - Ь^ц - аих\) dx = = - Я j иц dx + J (- /ij + /?fi ) dx C.10) Q Q при Vris'^(Q). Для его нахождения преобразуем C.10) к уравне- О . нию, аналогичному C.8). Для этого введем в W2(Q) но- новое скалярное произведение А [U, t)]= J ClijUx.VxjdX, а которое, как и в вещественном слу; в Wl2{Q) норму Ц ЦHi = V^L^» »Ь эквив, ll"ll2!)Q = ^("' "J?a- Далее рассужд выше, в случае вещественного Wl(Of; дем к функциональному уравнению и + Аи = яб«;н- F шт) в пространстве \^г(й). В не^операторы деляются на всем 1^@) их квадратичными формами: [Аи, ц}— f (аг«т]л — bluxf\ — auf\\dx, C.12) [Ди, л] = - J* Mfi rfjc, C.13) Q а элемент У7 — тождеством ( ^) C.14) Соотношения C.12) — C.14) выполняются при Vt] e s W'l (Q). Так же, как и выше, доказывается, что опе- операторы Л и В линейны и вполне непрерывны. Более того,
100 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Й оператор В симметричен (а, следовательно, и самосопря-* жен) и отрицателен, т. е. [Ви, ц] = [и, Вц] при У и, r\s=W\(Q) и [Ви, и] < 0 при иФ 0. Оба эти свойства непосредственно следуют из тождества C.13), определяющего оператор В. Ввиду этого оператор В имеет на области 91{В) своих значений обратный (но, вообще говоря, неограниченный). Представим уравнение C.11) в виде и+ Au-k0Bu = (k — X0)Bu-{-F C.15) и убедимся, что при достаточно большом вещественном Яо оператор (Е + А — XqB) e= 2) имеет ограниченный об- обратный. Обозначим для этого SDv = w. В соответствии с C.12) — C.14) это равенство эквивалентно тождеству C.10) с и = v, К = Ко, f = w и /У= 0. Из этого тожде- тождества ст) = ив силу неравенства B.8) (для комплексных v неравенство B.8), как легко понять, имеет вид а II у* IP = \vx\2dx), выведем неравенство а [w, v] = [(E+A-KoB)v, у] = = 2 (о, v) + Яо || v |р > ^-11 vx |p + (я0 - щ ~ ~) II v |p. C.16; При Я0>щ + -2^- из C.16) следует: , C.17) т.е. оператор 3) при таком Яо действительно имеет огра« 2 ниченный обратный. Возьмем, напр перепишем уравнение C.15) в виде р ц2, ниченный обратный. Возьмем, например, Я0 = Ц4 + -о7 и C.18)
I gj ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ W\ (Q) 101 Оператор 2D~lB, как произведение ограниченного на вполне непрерывный, является вполне непрерывным опе- оператором. Ввиду этого для уравнения C.18) справедливы три теоремы Фредгольма. Первая утверждает, что из теоремы единственности следует теорема существования при любом свободном члене. Ввиду эквивалентности . о уравнения C.18) тождеству C.10) с VrjeW2(Q) эта тео- теорема гарантирует существование обобщенного решения и(х) из Wl2{Q) задачи C.9), B.2) при V/, f из L2(Q), если известно, что эта задача не может иметь двух раз- различных решений из W\ (Q). Переходим к следующей тео- теореме Фредгольма. Она утверждает, что теорема един- единственности для уравнения C.18) нарушается только для некоторого не более чем счетного множества значений % с единственной возможной точкой накопления в беско- бесконечности. Эти исключительные значения % называются спектральными для задачи C.9), B.2). Обозначим их че- через {Ik}, k= 1,2,..., причем пусть |A-i| < |Я2| < ... Каж- ' дому такому Я соответствует по крайней мере одно не- нетривиальное (т.е. отличное от тождественного нуля) ре- решение и(х) однородной задачи 5" C.19) о , или, что то же, и(х) из Wi (Q), удовлетворяющее тожде- тождеству 2{и, ц) = -Х(и, у]) C.20) о . при Ут)е№2@). Вторая теорема Фредгольма утверж- утверждает также, что каждое спектральное значение Ки имеет конечную кратность*) и сопряженное к нему число A,fe является спектральным для уравнения, сопряженного к C.19), т.е. уравнения *lv, **) C.21) *) Кратностью Я» называется размерность собственного под- подпространства, соответствующего этому Л», иначе говоря: число лн- нейно. независимых решений уравнения C.19) при X = Л*. **) Напомним, что S* = В, а B>-1)* = B5*)"S и потому (®'В)* B0*i '
102 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. И причем кратность Хи Для C.21) равна кратности Xh ДЛЯ C.19). Для w = ?D*~lv соотношение C.21) дает уравне- уравнение g?w = (Я - Яо) Вт, C.22) которое благодаря C.12) — C.14) и определению [ , ] эквивалентно тождеству Т (w, tj)a| (atlwx?[x + a.wxr\ - &;а>тц — awty dx = = - Я J a>fj dx при Vt) e Wl (Q). C.23) a Тождество C.20) выражает тот факт, что и(х) есть обоб- обобщенная собственная функция из W2'(Q) задачи &и = %и, ы Is = 0, C.24) а Я — соответствующее ей спектральное (или собствен- собственное) значение. Тождество же C.23) определяет собствен- собственную функцию w(x) из Wl2(Q) задачи S"w = -д— (ciijWx. — biw} — atwXi + aw = Xw, w \s = 0, C.25) сопряженной к задаче C.24). Вторая теорема Фред- Фредгольма для уравнения C.19) гарантирует, что задача C.24) имеет нетривиальные решения и(х) из Wl(Q) только для значений {U}, k = 1,2,;:.., и каждое Kh имеет конечную кратность, а задача C.25) имеет нетривиаль- нетривиальные решения w из W\ (Q) только для значений {Xh}, k = = 1,2,..., и каждое Xh имеет ту же кратность, что и Хь.- Кроме этого, ввиду вещественности коэффициентов 3?, легко видеть, что если Хн есть спектральное значение для задачи C.24), a uh(x) — одна из соответствующих ему собственных функций, то Яд и uh(x) суть решения той же задачи C.24), так что в данной ситуации спектральные множества {Я/4} и {Хп} задач C.24) и C.25) совпадают. Переходим к третьей теореме Фредгольма. Для урав- уравнения C.18) она дает необходимые и достаточные уело-
§ 3] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ W\ (9) ЮЗ вия разрешимости для спектральных значений %. А имен- именно, если Я = Xh, то задача C.18) разрешима для тех и только тех свободных членов 3)~lF, которые ортогональ- ортогональны ко всем решениям vh задачи C.21), соответствующим Я = As, т.е. для g)~lF, удовлетворяющих условиям [3>~lF,vk] = 0. C.26) Покажем, что условия C.26) эквивалентны условиям * = O, C.27) где wk = 3)*~lVk есть любое из об. решений задачи C.25)' с Я = Xk (при f = 0 C.27) выражает факт ортогонально- ортогональности f{x) в L2(Q) ко всем решениям задачи C.25) с Я = Действительно, в силу C.14) 0 = [STlF, vk] = [F, 2?-lvk] = [F, wk] т.е. C.27) эквивалентно C.26). Итак, мы доказали все три теоремы Фредгольма, т.е. следующую теорему: Теорема 3.2. Задача C.9), B.2) однозначно раз- разрешима в пространстве Wl(Q) при любых f и /еЬг(О) для всех Я, = Я/ -f i%", кроме не более чем счетного мно- множества {Xh}, k — 1,2,...,значений I, образующего спектр задачи C.9), B.2). Каждое Xk имеет конечную кратность, и единственной предельной для {%и} точкой может быть Я = с». Наряду с Xk ч спектр задачи C.9), B.2) входит и Xh. Это же множество {Хь} образует и спектр задачи C.25), сопряженной однородной задаче C.9), B.2), т.е. задаче C.24). Кратности Xk и Xh для задач C.24) и C.25) совпадают. "Для разрешимости задачи C.9), B.2) при . X = Хи необходимо и. достаточно, чтобы f и fi удовлетво- удовлетворяли условиям C.27), где Wh есть любое из об. решений задачи C.25) с Я=п. Решение задачи C.9), B.2) в данном случае неединственно. Ее общее решение есть
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. И ч сумма какого-либо частного решения и 2 cmv<^l) (*)> тпХ ст суть произвольные константы, a v^ {x) — собствен- собственные функции задачи C.24), отвечающие Я = А*. Если А не есть точка спектра задачи C.9), B.2), то о уравнение C.18) однозначно разрешимо в W% (Q) при V?>~lF,n оператора = Е— (X — %йK>~1В (согласно тео- теории линейных уравнений вида C.18) с вполне непрерыв- ным оператором S>'lB) имеет в W2 (Q) ограниченный обратный &~1. Следовательно, KuU^ltf-^Fl^cJ^Fl C.28) где сх есть норма <?~х (как оператора в пространстве W2 (Q)). Оператор 3) также имеет ограниченный обрат- о . ный в W2 (Q), причем для нормы З)-1 известна мажоранта с, явно выражаемая через известные нам величины (см. C.17)). Итак, II и 111 <с^ II/71|„ C.29) Наконец, вспоминая связь F с f и ft (см. C.14)), оценим НЛ11 через ||/|| и Ц/11: im<MII/ll + ll/||), C-30) где с2 зависит только от О. Из C.29), C.30) следует оценка решения и(х) задачи C.9), B.2) через свобод- свободные члены уравнения C.9): 11«11,<^с2(||/11 + 11/||). C.31) В этом неравенстве нам фактически не известна постоян- постоянная су,. Ее конечность гарантирована упомянутой выше теорией уравнений с вполне непрерывными операторами. Но выразить ее явно через какие-либо характеристики известных нам величин и число Я в общем случае невоз- невозможно. Она зависит от близости Я, к спектру 2х — (Ы> k= 1,2,..., задачи C.9), B.2). Вычисление собственных
§ 3] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ w\ (Я) 105 значений А* также является весьма трудной задачей. Ввиду этого представляют интерес различные утвержде-: ния, касающиеся расположения спектра. Одно такое ут-е верждение доказывается просто. А именно, спектр 2 \ расположен в параболе вида —Х'= с-\- (k")z на плоско- плоскости К = Я' + IX". Постоянная с вычисляется по констан« там v, ц и т из условий B.3), B.4). Для доказательства этого надо в (ЗЛО) положить ц = и и из полученного соотношения получить оценку \\u\\i через ||/|| и ||f||, считая К лежащим вне указанной параболы. Наличие такой оценки и укажет, что для К вне параболы имеет место теорема единственности, т. е. что такие значения К не принадлежат 2а- Значительно более трудные рассмотрев ния потребовались для получения асимптотики собствен* ных значений Хъ. в зависимости от номера к Это было сделано Т. Карлеманом (см. [221], стр. 710). В частности, им было показано, что 2 я состоит из бесконечного числа собственных значений. Замечание 3.1. Как было отмечено в § 1, все резуль- результаты, доказываемые нами в данной главе, сохраняются для уравнений B.1) с неограниченными коэффициентами аи bi, а, суммируемыми с некоторыми степенями. Так, например, утверждения теорем 3.1 и 3.2 справедливы, если а, и bt принадлежат Lqi (Q) с д,-> п, ое!,(й).с q > га/2, а /<= Lg(Q) с q > 1 при га=2 ис?^ 2га/(га+2)' при га^З (см. [12i3]). Замечание 3.2. Во всех главах, если не оговорено противное, мы считаем Q ограниченной областью про- пространства Rn. Однако часть результатов распростра- распространяется без большого труда на случай неограниченных областей. Например, задача C.9), B.2) однозначно раз- разрешима в Wl(Q) при любой области Q и любых / и /,- из jU(Q), если Я лежит вне параболы вида —К' «= c-f- (X")z. Постоянная с легко подсчитывается по константам v, ц и \ii из условий B.3), B.4). Для таких К устанавливается сначала априорная оценка Ь C.32). с постоянной с, не зависящей от Q. Разрешимость же доказывается так: берется последовательность
106 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. If ограниченных расширяющихся областей fim, m=l,2,..., исчерпывающая в пределе область Q. Для всех этих об-< ластей справедлива априорная оценка C.32) для любого возможного решения ит(х) задачи C.9), B.2) в области Qm. Существование же таких решений ит из W2 (Qm) га- гарантировано теоремой 3.1. Продолжим ит(х) нулем вне Qm на всю область и сохраним за этим продолжением то же обозначение ит(х). о | Все ит(х) будут элементами W2 (Q) и для них, благо- благодаря C.32), будут равномерно ограничены нормы \}um\i%- Выберем из {ит}, т= 1,2,..., подпоследова- подпоследовательность {итк}, & = 1,2,..., сходящуюся вместе с про- производными | ™к 1 слабо в L2(Q) к некоторой функции и(х) и ее производным -?— соответственно. Эта функ- ция и{х) и будет искомым об. решением из W\ (Q) задачи C.9), B.2) в области Q. Действительно, функции ит{х) удовлетворяют интегральным тождествам вида C.10) о - в областях Qm с Vrje W2 (Qm). Эти тождества можно пе- переписать в виде 2 («т, П) = - Я (ит, ц) + J (- fn + ftr\Xi) dx, C.33) считая, что все интегрирования проводятся по области Q, а функции ит и tj равны нулю вне Qm. Фиксируем в ра- равенстве C.33) какое-либо tj(x) e W\ (Q) и равное нулю вне Qm, и перейдем в нем к пределу по выбранной выше подпоследовательности {tnh}, считая ть.^ т. В пределе мы получим равенство C.10) для и с взятой нами функ- функцией tj(jc). Но указанные Т[(х) образуют плотное множе- множество в Wi (Q). Поэтому и(х) будет удовлетворять тожде- тождеству C.10) с Vtj elH(Q). Тем самым доказано, что и(х) есть об. решение задачи C.9), B.2) в области Q. В силу, теоремы единственности, гарантированной оценкой C.32), вся последовательность {ит} будет сходиться ука~ занным образом к решению и(х).
i 4] ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ Mff § 4. Теоремы разложения по собственным функциям симметрических операторов Рассмотрим симметрические эллиптические операторы 3?, т. е. такие, для которых S* = 9?. Из сравнения B.1) и C.25) видим, что в этом случае а; = — Ь% и 9!и = -^г{ацич +aiu) — aluXi-\-au. D.1) Покажем, что для таких S спектр {Я&} и собственные функции {ufc(x)} вещественны, причем Я& ->—°о при й->-оо, a {«h(x)} образуют базис в вещественных про- странствах L2 (Q) и №2 (Q)- Для этого введем в комплекс- ном пространстве W2 (Q) новое скалярное произведение [и, v] = J (auuXivxl + at (uXiv + uvXi) + (Яо — а) му) dx s ш<?(и,б) + ^(в,о)) D.2) считая Яо «достаточно большим», а именно ташш, чтобы |ij < v (Яо - |i^) D.3) (см. B.3) и B.4)). При выполнении этого условия [и, «]>v||«Jp-2fxI||«J|.||«||+(A0-fX4)H«ll2> |р), v, = const>0, D.4) что совместно с условиями B.3), B.4) дает эквивалент- эквивалентность нормы ||m||i —]/[м, и] и старой нормы ЦыН^а в о . W2(Q). Скалярное произведение D.2) отличается от вве- введенного в § 3, но мы использовали для него то же обо- обозначение [ , ], что и в § 3. Рассмотрим спектральную задачу 2и = Я«, и \s = 0. D.5) 1 ° j Ее обобщенные решения из W2 (Q) суть элементы W2 (Q), удовлетворяющие тождеству 3?(и, ц) = — К(и,ц), или, что то же, тождеству [и, тй = (Ло-Л)(и, п) D.6)
|08 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II при Vt)S 1^2@). Введем, аналогично C.13), оператор В с помощью тождества [Ви, г]} = - (и, Г)), Vrj е #2 (Q). D.7) Как и выше, в' § 3, доказывается, что оператор В вполне непрерывен и симметричен, (а следовательно, самосопря- самосопряжен) и отрицателен. Обратный ему оператор В опреде- определен на 32(В) (заметим, что он отличается от оператора В из § 3, ибо скалярное произведение D.2) отлично от ска- скалярного произведения [ , ] § 3). Ввиду D.7) тождество D.6) эквивалентно уравнению и = (Я — Ко) Ви, D.8) В D.8)—уравнению Ви = \ш, где р, = (Л — Яо). D.9) Из общей теории самосопряженных вполне непрерывных операторов следует, что спектр В вещественен, отрицате- отрицателен, собственные числа ци, k= 1,2,..., можно считать занумерованными в порядке убывания их модулей, при- причем с учётом их кратности*). Единственной предельной для {fift} точкой может быть ц = 0. Соответственные {pnL} функции {Uk(x)} можно считать вещественными и взаим- взаимно ортогональными, так что [ик, и,] = 0 при кФ1**). D.10) При ц = 0 уравнение D.9) имеет только нулевое реше- решение: и = 0, ибо, как видно из D.7), из Ви = 0 следует, что и = 0. Ввиду всего сказанного, {«/J составляют базис в пространстве #1@) (см. § 2 гл. I). Так как W\ (Q) - бесконечномерное пространство, то элементов базиса {«а} — бесконечное число, а так как к тому же каждое собственное число имеет конечную кратность, то различ- *) Т. е. если спектральное значение т — кратно, то оно повто- повторяется в последовательности {\ih} m раз. **) Функции Uk и «I, соответствующие разным собственным зна- значениям, ортогональны в силу общей теории, функции же, соответ- соответствующие одному и тому же собственному значению, мы ортогона- лизируем сами (это возможно, ибо их произвольные линейные ком- комбинации являются собственными функциями для того же X).
§ fl , ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ 109 ных собственных значений — также бесконечно много и lim \ik = 0. Далее, любой элемент F из W{2 (Q) разла-: ft->oo гается в ряд Фурье по элементам базиса {ы^}, т. е. в ряд сходящийся в пространстве W2 (Q). Напомним, что схо- О г димость в 1^2 (Q) означает сходимость в L2(Q) самого ряда D.11), а также рядов, полученных его (однократ- (однократным) почленным дифференцированием по любому хи i= 1, ..., я. Такая сходимость ряда D.11) весьма при- примечательна, тем более что ряды, получаемые в резуль- результате его почленного дифференцирования по xi, вообще говоря, не ортогональны в L2(Q). Сам же ряд D.11) яв- является ортогональным в Ь2(п), ибо из D.7), D.9) и D.10) следует Vk Wk> Щ] = [Buk, щ] = - (uk, щ) = 0 при Л #/.D.12) Нормируем собственные функции «&(*) так: \\uk\\ = 1, тогда (ик, ul) = blk=-{Kk-'Ku)-{[uk, щ], D.13) где Яй = Я0 + ц^1— собственные значения задачи D.5), а ряд D.11) может быть записан в виде F(x)=%(F,uk)uk(x). D.14) k=i о . Так как W2 (й) составляет плотное множество в L2{Q), о . а {«а}, будучи базисом в №г(О),ортонормирован в L2(Q), то разложение D.14) имеет место не только для F s о j ^W2(Q), но и для любого элемента F из L2(Q), причем ряд D.14) сходится к F в норме L2(Q). Подытожим уста- установленные в этом параграфе результаты в виде теоремы! Теорема 4.Ь Пусть для оператора 3? вида D.1), за* данного в ограниченной области Q, выполнены предпО' ложения B.3), B.4). Тогда спектральная задача D.5),
•НО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II о . для него в пространстве W2 {Щ имеет счетное множество решений: к = кк, и = Uh(x), ?=1,2,... Собственные значения As, за исключением, может быть, нескольких первых, отрицательны иХъ,->—°° при k -> оо. Соб- Собственные функции {uu(x)} образуют базис в L2(Q) и о . в W2 (Я), ортонормированный в L2 (Q) и ортогональный в смысле скалярного произведения D.2) (см. D.13)). Ниже, в § 7, "мы покажем, что разложения D.14) по собственным функциям {«&} тонко «улавливают» и даль- дальнейшее улучшение дифференциальных свойств разлагае- разлагаемой функции F(x), сходясь точно в том функциональном пространстве W2 (Q) (точнее, некотором его подпростран- подпространстве), к которому принадлежат Uh(x), ? = 1,2,..., и F(x). Из общей теории для самосопряженных вполне не- непрерывных операторов В известно, что собственные функции и собственные значения задачи D.9) могут быть получены как решения нижеследующих вариационных задач, Первое, наименьшее (левое) собственное значение щ (напомним, что оно, как и все остальные \ih, отрица- отрицательно) находится как inf [Bu, и] среди всех элементов W2(Q), удовлетворяющих условию [и,н] = 1, или, что то же, как инфимум / (м)= . "' "}¦ во всем Wi (й). Собственная функция щ(х) реализует этот инфимум. о • ' Пространства L2 (Q) и W2 (Q) здесь и ниже можно брать вещественными. Следующее собственное значение pi2 есть О | inf J(u) на всех функциях и из W2(Q), удовлетворяющих условию: [и, щ] = 0. Реализуется этот инфимум на одной (или нескольких) собственных функциях. Берем в каче- качестве решения одну из этих функций: «2(л:). Следующее }х3 (оно может совпасть по величине с ц2) есть inf/(и) о t на множестве всех элементов W2 (Й), ортогональных в смысле [ , ] к щ(х) и и2(х). Продолжая этот процесс дальше, найдем все yih, k= 1,2,..., и uh{x), k= 1,2,... Р. Курант установил так называемый минимакси- мальный принцип определения {\ih} и {«&(*)}, позволяю- позволяющий находить цт и ит(х) без предварительного опреде-
«41 • '" ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ Ш ления fife и ик(х) для k = 1,2, ...,т— 1 (см. [73], Bd. 1). А именно, он доказал, что цт= sup inf JgbijL, D.15) где Зй/п_1 есть любое (/и—. 1)-мерное подпространство о 1 W2(Q). Вспоминая определение D.7) оператора В, ви- видим, что /(«) =—nf"^f» и потому функция щ (х), реа- реализующая inf/(и) в Wl(Q), реализует и inf-;"' "I = *= — в #2 (Q). Так как [и, и] = 3? (и, и) + 10 {и, и), то «, (х) дает также inf 3? (и, и) = inf J [ацих.их/ +. а -\-2а\их.и — au2]dx при условии \u2dx=\. (Как сказано выше, пространства L2 (Q) и W\ (Q) и соот- ветствуюшие им скалярные произведения берем ве- вещественными. Это возможно из-за вещественности \1^ и uk (x), известной заранее). Нетрудно подсчитать, что mlS (и, и) в W2 (Q) при условии ||и||=1 равен Хо, т. е. — hu так что щ (х) и Х1 удовлетворяют равенству inf S (и, и) = 9? (и„ щ) = - Л„ D.16) о . где inf берется по всем вещественным меЦ72 (Q) с ||и||=1. Функция и2(х), согласно вышесказанному, ищется о . среди элементов «elF2(Q), удовлетворяющих условию [и,, и] = 0. Но в силу D.6) [«1, и] = (Ао — Ai) («ь и), при- причем Хо — h Ф 0, поэтому требование [«ь«] = 0 эквива- эквивалентно требованию («ь и) = 0, и «2, ^2 находится как решения задачи: inf S (и, и) = 9? («2, и2) =-Ъ2, D.17)
|J2 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II где inf берется по всем и е Wl (Q) с || и || = 1 и («ь «) ==. =а 0. Так последовательно находятся все Kh, Uh(x), 'k = 1, 2,... Принцип D.15) для лт и нт(я) дает следую- следующее: — Ат есть sup inf i? («,«), где inf берется по всем и с ||и|| = 1 и («, и) = 0, где v пробегает какое-либо \(т — 1)-мерное подпространство Шт-\ пространства ?г(О), а затем ищется sup по всем подпространствам Wlm-i. Реализуется этот sup inf 3?(u,u) на собственной функции ит. % 5. Вторая и третья краевые задачи , Рассмотрим задачу нахождения решении уравнения ^и—^-(ауих/) + М*, + а« = Лы + ^ E.1) удовлетворяющих краевому условию |? + аи|я = 0, ^ E.2) где 0=0 (s) —заданная функция на S,-g^-=aijUX[cosnX(-~ так называемая производная по конормали, а п — нор- нормаль к S, внешняя по отношению к Й. Пусть выполнены условия B.3) — B.5), | cr(s) j ^ ц$, a S — кусочно-гладкая .(точнее, 5 должна быть такой, чтобы элементы про- пространства W\ (Q) имели следы на 5 из Li(S) и для них была верна формула интегрирования по частям и тео- теорема о компактности вложения Wl{u) в L2(Q) и в L2(S). Достаточные условия для этого даны в § 6 гл. I). Выяс- Выясним сначала, что естественно понимать под обобщенным решением задачи E.1), E.2) в пространстве Wl (Q), при- придем X п и(х) будем считать комплекснозначными. Ясно, что произвольный элемент и(х) из W\ (Q) не может удо- удовлетворять ни уравнению, ни краевому условию в форме E.1) и E.2) (ибо он может не иметь обобщенных произ- производных второго порядка в Q, а его производные первого порядка могут быть не определены на S). Поэтому то и другое надо «погрузить» в интегральное тождество. Для этого, пока формально, умножим E.1) на произвольную
ВТОРАЯ И ТРЕТЬЯ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ИЗ функцию — 1){х) из w\ (й) и проинтегрируем по Q. После этого проведем в первом члене интегрирование по частям и учтем условие E.2). Это приведет нас к тождеству J {aiiuXif\xi ~ btux гл + (Л ~ a) «Tj) dx + Q + | 0ЫГ1 rfs = - J fr\ dx, E.3) s a справедливому при Vt) s W\ (Q). Соотношение E.3) име- имеет смысл для V« (х) и т) W из 1^2 (О), ибо согласно ре- результатам о таких функциях и и г\, изложенным в § 6 гл. I, можно говорить, что они принимают на S свои гра- граничные значения u(s) и r\(s), причем эти значения суть элементы L2(S). Итак, если функция и(х) и коэффици- коэффициенты 3? — достаточно гладкие и и(х) есть хорошее реше- решение задачи E.1), E.2), то она удовлетворяет тождеству E.3) при Vt)^W2(Q). Обратно: из такого тождества следует и E.1), и E,2). Для этого надо E.3) преобразо- преобразовать к виду = — \fr\dx ?2 и воспользоваться достаточным произволом в вы- выборе г\(х). Назовем обобщенным решением из №г(О) задачи E.1), E.2) функцию и(х) из Wl(Q), удовлетворяющую тождеству E.3) при VtjsW^Q). Роль основного функ- функционального пространства в этой задаче будет играть W2(Q) \a не W2(Q), как в задаче Дирихле). Введем в нем новое скалярное произведение [и, v]= j (auUXlvXj + uv)dx. E.4) Тождество E.3) молено преобразовать к виду [и, ц] + [Ли, у\]-К [Ви, л] + [Си, л] = [Р> Л]. E.5)
114 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 11 где операторы А, В и С определяются своими билиней- билинейными формами: [Аи, vi\ = J (- biUXlr\ — (а + 1) uij) rfjc, й [В«, л] = — / «Л d*, [Си, г\] = J (r«fj ds, Так же, как и в § 3, доказывается, что операторы Л, В, С вполне непрерывны в W\ (Q), причем полная непре- непрерывность С есть следствие компактности вложения W\(Q) в Lz{S). Для последнего требуется некоторая ре- регулярность S. Дальнейшее исследование уравнения и + Аи — КВи + Cu = F E.6) и задачи E.1), E.2) проводится вполне аналогично тому, как это сделано в § 3 для задачи Дирихле, и приводит к трем теоремам Фредгольма (т. е. к теореме 3.2) для за- задачи E.1), E.2). Мы не будем переписывать все эти рас- рассуждения и выводы, а только отметим, что сопряженная к E.1), E.2) задача имеет вид (цх) (i)x + + J ) dv E>7) -gjf + (а — bt cos nxt) v |s = 0, J что усматривается из тождества vSSu dx = J Q =s J uTv dx+ J (~ v - и -Ц- + bt cos (nxi) uv) ds, E.8) a s
5 5] ВТОРАЯ И ТРЕТЬЯ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 115 справедливого для любых и и v из W\ (й), если по- помимо B.3)—B.5) производные -~- и -~ существуют ОХ г 0 X/ и ограничены. Об. решение v (х) из W\ (Q) задачи E.7) определяется как элемент W\ (Q), удовлетворяющий тождеству J (а*/^Д,- — М%г + {l — a) vr\) dx + J avf\ ds = Q S = - j ffj dx при Vt) e 1Г2' (Q). • При 6, ss 0 дифференциальный оператор 3?и симмет- симметричен, т. е. 3?*и = S?u. В этом случае собственные числа Kk и собственные функции и% задачи = 0 E.9) вещественны. Для них справедливы утверждения, анало- аналогичные тем, которые были доказаны в § 4 для первого краевого условия. Так, система всех собственных функ- функций {«л} составляет базис в пространствах L2(Q) и W\ (Q), причем их можно выбрать таким образом, что (Цк,щ) = ь\, E.10) а & («а. «;) + J oukui ds = - %kblk. E.11)' s Любая функция и(х) из L2(Q) разлагается в ряд Фурье «W=5(m, ик)ик(х)( E.12) ft=i сходящийся в норме L2(Q). Если же и {х) ^ Wl2 (Q), то ряд E.12) сходится к ней в норме W\ (Q); иначе говоря, ряд E.12) и ряды, полученные его почленным дифферен- дифференцированием ПО ЛЮбоМу Х{, СХОДЯТСЯ В L2(Q) К U И 4^- состветственно.
116 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Замечание 5.1. Аналогично задаче E.1), E.2) рас- рассматриваются задачи для уравнения E.1) со смешан- смешанными краевыми условиями вида = 0, E.13) где Si U S2 = S. Их об. решения из класса W\ (Q) опре- определяются как элементы W\t 0 (Q), удовлетворяющие ин- интегральному тождеству RauuxAxt — biux .fj -j- (Я — а) иц) dx + Г aur\ ds = x\dx E.14) при Vrie 1^2,o(Q). Здесь 1^2,0(й) есть подпространство пространства №г(?2)» плотным множеством в котором является множество всех функций из С1 (й), равных нулю вблизи Sj. Для элементов u(x)el^2,o(Q) спра- справедливо неравенство J»rf* E.15) с постоянной сй s, зависящей только от Q и Sj (при этом «площадь» куска S, поверхности S должна быть положительной). § 6. Второе основное неравенство для эллиптических операторов В предыдущих параграфах мы выяснили, как обстоит дело с разрешимостью основных краевых задач для урав- уравнений B.1) в пространстве №г(й),где Q —ограниченная область. В данном и следующем параграфах мы пока- покажем, что все обобщенные решения из W\(Q) задачи Ди- Дирихле будут элементами Щ(О), если только известные в ней функции и граница S обладают некоторой глад- гладкостью (большей, чем это требовалось в §§ 2—5). Это же
$6] ВТОРОЕ ОСНОВНОЕ НЕРАВЕНСТВО 117 верно и для других краевых задач. Именно, относительно коэффициентов 3?, помимо B.3), B.4), предположим, что даи да, они имеют ограниченные на Q производные ¦, ¦ и -»—, °xk axi а относительно свободного члена — что f и -^- суть эле- ОХз менты L2(Q). Ввиду этого вместо B.1) достаточно рас- рассмотреть уравнения вида ~ш (а* >Ux>i) + aiUxi + ««=/» (б.¦ 1) переобозначив f + -ri~ через /, a -s—(а,«) + btux. + с*г c,v4. t -f- аи через fl/«^. + fl«. Итак, пусть для 5" вида F.1) выполнены условия B.3), B.4) и дп11 --¦¦ F.2) II/Н<«>. F.3) Границу S области предположим дважды непрерывно дифференцируемой (короче: S^C2). Покажем, что при выполнении этих условий относительно F.1) и S для лю- любой функции и(х) из C2(Q), равной нулю на S, справед- справедливо неравенство ^ (\\и\1%J F.4) с постоянной с, определяемой постоянными \ц из условий B.3), B.4), F.2) и S*). В частности,' для 5? = А в вы- выпуклой области & неравенство F.4) имеет вид II и« II < II Аи II. F-5) Неравенства F.4), F.5) весьма примечательны и неожи- неожиданны, что видно уже из F.5); оказалось, что сумма д'-и — оценивает каждое слагаемое отдельно, если dx *) Коэффициент 2/v* можно заменить на (l+e)/v2 с Ve > О, во при этом постоянную с надо заменить на соответствующую по- постоянную cv6.
118 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ц I в качестве нормы взять норму L2(Q) и это — для произ- произвольной функции и(х) из C2(Q), равной нулю на S! Если же взять какую-либо точку х0 е Q, то ясно, что в ней —Y нельзя оценить через |Д«|. Если F.4) верно для V«eC2(Q) и «|s=0, то оно верно и для замыкания этого множества в норме W\{&), которое мы обозначим через Wlo(Q). Действительно, для \/и{х)<= W%0(Q) есть последовательность {ит}, ит*= CM(Q), um\s = 0, сходящаяся к и(х) в норме W\ (й). Для каждой из ит неравенство F.4) справедливо, причем с не зависит от т. Переходя в нем к пределу по т -* оо, получим, как нетрудно видеть, неравенство F.4) для и(х) (эта про- процедура коротко называется «замыканием неравенства F.4) в норме Wl {&)»). Как видно из B.15), для V« (x) e W22,0 (Q) справед- справедливо неравенство eJI«ll2, F.6) где Се, — — it2 + — + е2 , а е2 > 0 (ибо «(*) есть об. решение из W\ (Q) задачи 2?u = f, u|s = 0, -с /(х), рав- равной Й(л;)е12(й)). Прибавим к обеим частям F.4) сумму || «х |f+ || «|р и в правой части полученного не- неравенства заменим ||«х|р мажорантой из F.6) и при- приведем подобные члены. Затем извлечем из обеих частей результирующего неравенства квадратный корень и воспользуемся для оценки правой части неравенством ]/а + Ь ^ УН + ]/&, справедливым для любых неотри- неотрицательных чисел а и Ь. Это при e2 = ^-^j—- приведет нас ко второму основному неравенству для эллиптиче- эллиптических операторов |+с2||ы||, F.7) где с2= V(с+ l)(ci + 1), a Ci = ce, при 62=^——г—-. Оно справедливо для У«е^2,о(й). В тех случаях,
J6J ВТОРОЕ ОСНОВНОЕ НЕРАВЕНСТВО 119 когда i?(«,«)> 61 ||u||2, 6i = const > 0, последний член ||и|| в F.7) можно оценить через \\3?и\\ и вместо F.7) получить неравенство \\и\$а<сй\\3?и\\, F.8) где с3 = — +сгбГ1. Действительно, |<?(u,u) | = | Bu,u)\^\\Zu\\- Hull и потому из нашего предположения следует Si Hull ^ ,г?С l|i?«!l, а отсюда и F.7) вытекает-F.8). Неравенство F.8) имеет место, например, при выполнении условия '(см. B.9), B.10)). В общем же случае неравенство F.8) имеет место тогда и только тогда, когда К = 0 не есть точка спектра оператора 3?, ибо только в этом случае справедливо неравенство ||u|| ^ c||i?u|| (см. C.31)), а по- потому и F.8). Для решений уравнения F.1), равных нулю на S, неравенства F.7) и F.8) дают априорную оценку нормы || и |g»0 через \\Zu\\ = \\f\\ и ||и||. Переходим к доказательству F.4) для u^C2(Q), «|s = 0. Для этого рассмотрим интеграл \{3?u)-dx и а оценим его снизу следующим образом: и J(#«Jrf*=J[(cJ/tt^ Лdx~^(\ — e) (ацих.х. о .x. & их аи) \dx>A - е) J {ацих.х^2 dx при Vee@, 1). F.10)
120 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. Tf Далее, с помощью двукратного интегрирования по ча- частям преобразуем (ацих,ху dx так: J я = J \ — ¦— (at,aki) uXiu l + -§Г(а//а«) u4uXjA dx+jl(s) ds *) > J /, (x) dx-f к ¦• s a ^jf F.11} при VejeKO, 1). Постоянная с^так же, как и Сь определяется щ из уело* вий B.3), B.4), F.2), а /i (х) = аг/ (х) аи (х) ux.XkuXjXl! I (s) = a(iaklux. \uXkH cos (n, xy) - uXjXl cos (n, xfe)] j^. Нетрудно видеть, что ^ F.12) Действительно, зафиксируем произвольную точку л'еЙ и введем в ее окрестности новые декартовы координаты: ук = аы {xt — xf). Ортогональную матрицу (аи) выберем так,чтобы она приводила квадратичную форму ац(х°)\1%] к диагональному виду, т.е. чтобыа1{{х®)ак1<л1}='кк(х®)Ъ1к, *) Для возможности первого интегрирования по частям и(х) должна иметь производные третьего порядка, однако написанное нами равенство, полученное в результате двукратного интегрирова- интегрирования по частям, содержит от и(х) лишь производные второго по- порядка и оно справедливо для Vи(х) из C2(Q). Чтобы убедиться в этом, надо продолжить и(х) с Q на более широкую область Qt так, чтобы M(*)eC2(Qi), и взять усреднения «р(*) с гладким яд-, ром. Для «р интересующее нас равенство верно и в нем можно перейти к пределу по р-»-0. В результате приходим к нему же для самой функции и(х).
§ 6] ВТОРОЕ ОСНОВНОЕ НЕРАВЕНСТВО 121 где hk (х), k=l, ..., п,— собственные числа формы an(x)lilj. Тогда, учитывая условие B.3), получим /i (*°)=si (м*°) к wo Ksyt^ > v2Ky Но и2уу (х°) = ихх (*°), и потому F.12) справедливо. Из F.10), F.11) и F.12) выведем неравенство J {2uf dx >( 1 - е)I"v21| ихх \f-\-\lds- с2б1 И ихх \? - из которого следует A - е) (v2 - е,с2) J «^ dx < J (^ыJ ^- A -е) J / ( й Й S J (s S 1 Vs При е = у и ei = -g^- F.13) примет вид: --^ \ 1{5)й$+с,(\\и\$ау. F.14) От неравенства F.14) самого по себе мало пользы, ибо в его правую часть входит интеграл по S, содержащий вторые производные от и(х). Однако, оказывается (и это есть «изюминка» всего вывода), что если воспользо- воспользоваться граничным условием «|s=0, то I(s) преобразует* ся к виду, содержащему лишь производные первого по- порядка от и(х). Чтобы доказать это, рассмотрим произ- произвольную точку х° поверхности S и введем в ней местные декартовы координаты yv ..., уп: yk = сы(xt — х°), т.е. такие, что ось уп направлена по внешней нормали п к S в точке х° и матрица (см) ортогональна. Пусть уп = = со (г/1,..., Уп-i) есть уравнение поверхности S в окрест- окрестности начала координат у = @,...,0). По •условию
J28 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 11 и-- -уУп-i) е С2. В силу ортогональности матрицы имеем: хг — tf = ck[yk, 1 = 1, ¦¦., п, и потому cos (я, Xi) — cni, I = 1, ..., п. Рассмотрим выражение /(s) в точке х° и перейдем в нем к координатам у: д2и ди д'и J^ CplCql -щ-^- Cnk = где Воспользуемся теперь граничным условием u|s = 0. Вблизи точки х° с координатами г/i = ... = уп = 0 это условие имеет вид и(уи ..., Уп-.х, о(г/ь ..., yn-i)) — 0, причем оно выполняется тождественно по уи ..., уп-\ вблизи х°. Продифференцируем это тождество по г/, и tjj, i,j = l,...,n — 1, учитывая, что в точке х°: &У( = 0, i = = 1, ..., п — 1. В точке х° это даст: ди п д2и ди д2в> ди д2® /с |СЧ —— = 0, -г—г—== = г—з—== з—з—з—, (о. 1 о) дУ1 дУ( дУ; дУп dyt dyt дп ду{ ду i i, /=1 п—1. Благодаря %г(х°) = 0, г=1,... ..., п— 1, /(s) в точке х° преобразуется к виду = (bnnbpq - bnpbqn) (|f-J -Jjfa-. F.17) bpq - bnpbqn) (|f) jfa При р = n и произвольном 9, а также при q = п и про- произвольном р члены, стоящие в круглой скобке F.17), взаимно сокращаются, что вместе с F.16) приводит к равенству /(*°) = - S (bnnbpq -bnpbqn){^J^^. F.18)
§ 6] ВТОРОЕ ОСНОВНОЕ НЕРАВЕНСТВО !23 Будем считать, что координаты yi,...,yn-i в касательной плоскости к S в точке х° выбраны так, что все смешанные производные , , , р, q—\, ..., я—1, в точке х° равны нулю (этого, очевидно, всегда можно добиться за счет ортогонального преобразования координат уи ... ...,i/n-i). Тогда % F.19) Пусть ¦^f- ^/c, p=l,..., n— 1, F.20) Ур ло где К ^ 0; тогда F.21) ибо матрица (Ьц), будучи связанной с матрицей (оц) преобразованием подобия, осуществляемым ортогональ- ортогональной матрицей (сц), сама является положительно опреде- определенной и удовлетворяющей неравенствам B.3), из кото- которых следует 0 < bnnbpP — ЬПр ^ Ц • Для выпуклых обла- областей Q производные —j- ^ 0, так что в качестве К можно взять нуль. Итак, для произвольных Q из F.14) и F.21) следует /(|^)(|«||ЗД, F.22) s а для выпуклых Q if J u*xxdx^ J {Suf dx +'Са(|| и |ВД. F.23) Интеграл {-^-j ds благодаря F.23) и A.3) из гл. I
124 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II может быть оценен так: с Ve>0- ]'1 Из F.23) и F.24) се = -? [~ ц2(п-1)с4к]'1 следует (H«IW. F-25) т. е. неравенство F.4). Справедливость F.5) для выпуклых областей следует из равенства F.11), имеющего для 2 = А вид J (АиJ dx = J u2xxdx+ J / Dis, F.26) Й П S = — (-д^-) 2j—j- и того, что для выпуклых обла- стей—тг<0, т. e. /(s)>0. Кроме того, в силу F.3) гл. I для «еС2(О)и ы|5 = 0 справедливы соотношения й п которые вместе с F.3) гл. I дают || и |||>0 < сп /Т + с% || Аы ||. F.27) Из F.26) и F.27) для выпуклых Q получаем а для произвольных Q с 5 из С2 из F.25) и F.27) еле- ¦||«||f <с||Аы||, F.29)
5 7] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ \Р| (Q) 125 где постоянная с определяется не только грубыми харак* теристиками Q (как постоянная cq), но и свойствами гладкости 5. Замечание 6.1. Из приведенного вывода неравенства F.7) видно, что предположение о принадлежности 5 к классу С2 можно ослабить. Для сохранения F.7) до- достаточно знать, что граница 5 — кусочно-гладкая, и не- неравенство F.20) выполняется для всех точек S, кроме точек, лежащих на «изломах» поверхности S (такие точ- точки составляют на 5 множество (п— 1)-меры нуль и не влияют на величину интеграла Г I(s)ds). Такие условия s выполнены, например, для любых многогранников. Дру- Другим примером областей Q, для которых справедливо не- неравенство F.7), являются произвольные выпуклые обла- области. Для них в качестве К в F.20) можно взять 0. Замечание 6.2. Неравенство F.7) было доказано мною в работах [122, з, J. Более того, оно является про- простейшим частным случаем неравенств, установленных в этих работах. В [122,3, J аналогичные неравенства до- доказаны не только при первом краевом условии, но и при любом краевом условии вида ди дГ^ои = 0, где -^j- есть дифференцирование по направлениям, нека^ сательным к 5. Независимо от меня и другим способом неравенство F.7) было доказано Р. Каччиополи для ЗеС2 ([5]). Как выяснилось впоследствии, неравенство F.7), когда п = 2, a Q есть круг, имелось в работе [2i] С. Н. Бернштейна (см, [22]). В этом случае неравенство F.7) для оператора 3?и выводится из того же нера< венства для оператора Лапласа. § 7. Разрешимость задачи Дирихле в пространстве W22(Q) Целью данного параграфа является доказательство того, что если для уравнения F.1) выполнены условия B.3), B.4), F.2) и F.3), и .граница 5 —достаточно хорошая, то любое об. решение из WiiQ.) уравнения F,1)
. 126 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1Г является элементом W\,o(Q), Предположим, что ^и5 удовлетворяют условиям, при которых выведено в § 6 второе основное неравенство. Тогда при достаточно большом Ко Для ??1 = 3? — %оЕ будет справедливо не- неравенство #,(«,«)> 6, || «If, 6, = const>0, G.1) для Vue=Wl,o(Q). Из G.1) и F.7), как показано в § 6, следует F.8), т. е. ||«|?>0<с||ЗД, G.2) где и(х)— произвольный элемент W'%о(й). Докажем справедливость следующего предложения: Теорема 7А.Пусть для S\ и 2, имеющего тот же вид, что и 3?, справедливы условия B.3), B.4), F.2) и G.1), а граница S удовлетворяет условиям, при которых справедливо второе основное неравенство. Пусть, далее, задача f, u\s = 0 G.3) имеет решения и (х) из Wl, о (й) для какого-либо плот- плотного в L2(Q) множества Ш элементов f(x). Тогда задача l u\s = 0, где <?t = <?0 + т (<?, - 2й), G.4) однозначно разрешима в №г, о(й) для V/ е 1г (й) при Vxe[0, 1]. Из условий теоремы следует, что для So справедливы неравенства G.1) и G.2), т.е. ы||2, б,>0, G.5) |2 G.6) для V«eW2,o(Q). Благодаря G.6) задача G.3) одно- однозначно разрешима в W|, о(й) для Vfei2(Q). Действи- Действительно, для / из Ш разрешимость дана одним из условий теоремы, а единственность следует из G.6). Если жё"~ /gL2(Q), но f е!ЭЯ, то возьмем последовательность fm, m = 1,2,..., из Ш, сходящуюся к f в норме 1г(й). Для
§7] • ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Щ{0) 127 каждого из /т существует решение ит задачи G.3) с / = = fm, принадлежащее W\, o(Q). В силу линейности за- задачи разность ид — Mm есть решение задачи G.3) с / = = fk — fm- Для нее верно неравенство G.6), т.е. из которого следует, что uk сходятся в W\(u) к неко- некоторому элементу ы е W|, о(й). В силу ограниченности коэффициентов i?0, функции 9?Quk сходятся в L2(Q) к i?ou> т- е- 3?ou = f- Итак, мы убедились, что для V/ из L2(Q) задача G.3) имеет решение и из W%,o(Q). Из G.6) следует его единственность в пространстве W% o(Q). Тем самым мы доказали, что оператор 2 устанавливает взаимно однозначное соответствие между полными пространствами Wl, o(Q) и 1г(О). Рассмотрим теперь семейство операторов ^ = ^0+^(^,-^0). TG[0,'l]. Очевидно, 9?х при т = 0 совпадает с 3?0, а при т= 1 — с 2?!. Покажем, что 2?х при Vt из [0, 1] устанавливает взаимно однозначное соответствие между Wl, о(й) и L2(Q). Так как оператор 9?й обладает этим свойством, то задача f, « |s = 0 G.7) эквивалентна задаче [E + xZolBi-2o)]u = &olf G.8) в пространстве W22l0(Q). Оператор SqX(S?x — 2?й) яв- является ограниченным в Wl,o(Q), ибо в силу ограничен- ограниченности коэффициентов 2Е и 3?0 и неравенства G.6) 1 <?0-' (^i - ^о) иg>0 < с|| (^, - ^о) и || < с, ||«|Ра, G.9) т. е. норма J^'^i - ^оЯР в пространстве W|,0(Q) не превосходит с,. Благодаря этому уравнение G.8) однозначно разрешимо при Vt < 1/с, (см. § 2 гл. I),
128 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. U т. е. операторы 3?х при т < 1/с, устанавливают взаимно однозначное соответствие между W\, 0 (Q) и L2(Q). Если число .1/с, ^ 1, то возьмем Т] = 1/2с, и применим к G.7) оператор 27/. Это в силу Sx — 3?хх + (т — тО (#, - 2) дает уравнение ^i-^oJltt-^1/, G.10) эквивалентное задаче G.7). Для исследования разре- разрешимости G.10) оценим норму оператора 2*7,' C?i — 2 о) в пространстве Wl, о(й). Для этого заметим, что из G.1) для 20 и ^! следует неравенство 2Х (и, и) = A - т) <?0 («. и) + т^, (и, и) > 6, || «IP, G.11) а из условий B.3), B.4). и F.2) для &0 и i?i — выполне- выполнение таких же условий с теми же постоянными для всех З'х, т е [0, 1]. Благодаря этому для \/и s W| 0 (Q) и всех операторов 2?х, те[0, 1], справедливо неравенство G.6), т. е. ||и|?>а<с||ЗД G.12) с той же постоянной с, что и в G.6). Из G.11) и G.12), как показано в G.9), следует оцен- . ка нормы \2?х {&1 —2>0)f2>^cl, если 27' существует. Возвращаясь к G.10), заключаем, что уравнение G.10) однозначно разрешимо для т — т, < 1/си в частности, для т = 2ть если 2ti ^ 1. Тем самым показано существо- существование обратного оператора к 2"^. Продолжая этот про- процесс, мы за конечное число шагов убедимся в существо- существовании 9?хХ для Vt e [0, 1]. Теорема 7.1 доказана. Для ее применения надо иметь разрешимость в W\tu(Q) задачи G.3) для какого-либо оператора 2?о, об- обладающего свойствами, требуемыми теоремой 7.1. Если Й есть шар Яр, или шаровой слой /СрР[ = [х: р<| х |^р,}, или параллелепипед П, то в качестве 2"о можно взять оператор Лапласа. Действительно, для этих областей (а также для многих других) известна полная система собственных функций {«й(х)} оператора Лапласа при первом краевом условии, причем Uft(x) суть бесконечно дифференцируемые в Q функции. Благодаря этому
§ 7] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ №jj (Q) 129 решением задачи N Дм = 2 ckuk (х), u\s = 0 k=i при произвольных числах ck и ViV^l является N fti .V где /±.ик = %кик, uk\s = О, причем суммы 2 плотны в L2(Q). Все остальные условия теоремы 7.1 для j?o = А также, очевидно, выполнены, надо только в каче- качестве v и jjii для ii?o и i?i взять подходящие постоянные. Следовательно, в указанных областях в качестве ??о можно взять А. Аналогичное рассуждение верно и для областей, которые могут быть невырожденным пре- преобразованием переменных у = у(х) с г/(х)е C2(Q) пре- преобразованы в одну из областей указанного ¦ вида *), Действительно, переходя к переменным у в уравнении — XqU = /, мы приходим к уравнению 2?и — Лоы =/, 5 д ду, где Su^lbuU^ + b^ + bu Ьц = ак1--^ ду, ду, д (ду. \ ~ а\) Ь = а> в области Q из-- менения у. Коэффициенты 3? удовлетворяют условиям вида B.3), B.4), F.2). Благодаря этому для Sfc\ sa = $ — XQE с достаточно большим Хо будут справедливы неравенства G.1), G.2) (вообще говоря, с другими по- постоянными), а потому и теорема 7.1. В качестве S'o мож- но п взять оператор V —т,— Яо?. Тогда теорема 7.1 га- ду} (й) рантирует однозначную разрешимость в W2,о(й) задачи = f, и\дЪ = 0. G.13) *) Т, е. функция у = у(х) должна давать диффеоморфное ото- — ¦ ¦ — — ' д (и) д (х) бражение Q на й, i/(x)eC!(Q) и якобианы У'- и-g-т-т-должны быть строго положительными. 5 О. А. Ладыженская
130 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II . Возвращаясь к переменным х, убеждаемся, что задача B?-l0E)u = f, u\s = 0 G.14) однозначно разрешима в W\, o(Q). Итак, доказана Теорема 7.2. Если коэффициенты 3? из F.1) удо- удовлетворяют условиям B.3), B.4) и F.2), /eL2(Q)> о об- область Q есть шар, или шаровой слой, или параллелепи- параллелепипед, или может быть преобразована в одну из этих обла- областей с помощью регулярного преобразования у = у(х) е e(?(Q), to задача G.14) однозначно разрешима в Wl, о (й) для достаточно больших Xq. Возьмем теперь произвольное обобщенное решение и(х) из W\(Q) задачи = f, u\s = 0 G.15) с f^L2(Q). Его можно рассмотреть как обобщенное решение из W\ (Q) задачи G.14) со свободным членом, равным /+ (I — lo)u&L2(Q). В силу теорем 7.2 и 2.1 эта задача разрешима в W\, o(Q) и для нее имеет место теорема единственности в классе W2(Q). Следовательно, взятое нами и{х) будет принадлежать W2,о (й). Таким образом, доказана следующая теорема: Теорема 7.3. Если для 3!, f и Q выполнены усло- условия теоремы 7.2, то любое обобщенное решение из W\ (Q) задачи G.15) является элементом W\, о(й). Из этой теоремы и результатов § 3 о фредгольмовой разрешимости задачи u\s = 0 G.16) в пространстве wiiQ) следует, что при выполнении ус- условий теоремы 7,3 эта задача фредгольмово разрешима и в пространстве W%, о (й). Спектр ее {/U}, k= 1,2 , не зависит от пространства, в котором мы ее рассматри- рассматриваем. Если К отлично от Kh, 6 = 1,2,..., то оператор Sf — XE имеет ограниченный обратный, что в условиях теоремы 7.3 гарантирует наличие оценки ||. G.17)
§7] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ №ijB) 131 Постоянную сх в общем случае мы не можем выписать явно через коэффициенты 3? — %?. и 5, как это было сде- сделано в § 6 в случае F.9), однако ее существование га- гарантировано теоремами Фредгольма. Замечание 7.1. Теорема 7.3 показывает, что увели- увеличение «гладкости» коэффициентов 3?, f и 5 гаранти- гарантирует увеличение гладкости всех обобщенных решений из Wi(Q.) уравнений G.15)*). Можно показать, что это улучшение свойств решений имеет локальный характер. Именно, если коэффициенты 3! и '/ удовлетворяют условиям теоремы 7.2 лишь в какой-либо подобласти Q; области Q, то V об. р. и(х)е№|(й) уравнения G.15) будет |лементом Wl(Si) для VQi с Qj. Если же Q, примыкает к границе Q по куску 5, с 5, и 2, f и Q, удовлетворяют условиям теоремы 7.2, то V об. р. «е?гй будет элементом W\{0.\) для VQiCiQ,, об- обстоящей от части границы Q[, не принадлежащей 5, на положительное расстояние. Из этих результатов следует, что теоремы 7.2 и 7.3 спргведливы для более широкого класса областей Q, а именно, для областей, N которые можно представить в виде суммы (J Qt обла- стей Q,', для каждой из которых есть такая е-окрест- ность Q/=)?!/, что пересечение Qeif]Q удовлетворяет требованиям теоремы 7.2. Этому условию, в частности, удовлетворяют области Q с дважды непрерывно диффе- дифференцируемой границей. С другой стороны, примеры показывают, что теоремы 7.2 и 7.3 не верны для областей, границы которых имеют «изломы с внутренним двугранным углом, большим я». Так, для плоской области Q = {х = ре'9, 0 < р < 1, 0<е<я + е}се>0 задача Дм = /, u\8=0, /<=L2(Q) имеет об. решения из Wl2(Q), не принадлежащие W\{u), и это несмотря на то, что для такой области, справедливо второе основное неравенство. *) Напомним, что в силу замечания 3.1 § 3 гл. II результаты §§ 2 и 3 .справедливы для / е ^2й/(«+2) (^)> гДе А — п при п > 2 и Л = 2 + е, е > 0, при я = 2.
132 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ' (ГЛ. II Локальный характер увеличения гладкости об. реше- решений уравнений G.15) обусловлен тем, что помимо оценок вида F.4) имеют место «локальные оценки» вида справедливые для V«(x)eW|(Q) и Vгладкой функции ?(х) с носителем в Q, и аналогичные оценки для и(х) из C2(Qi) в областях йь примыкающих к какому-либо глад- гладкому куску Si границы <3й. Во втором случае и(х) дол- должна обращаться в нуль на Si, но зато носитель t(x) мо- может пересекать границу й[ так, что это пересечение при- принадлежит Si. В первом случае гладкость границы не нужна. Эти неравенства выводятся из рассмотрений ин- теграла / (&uYl*dx, аналогичных проведенным выше, а Доказательства изложенных здесь фактов и ссылки на исследования по задаче Дирихле в плоских областях с границей, имеющей внутренние углы, большие я, даны в книге [12[з]. Замечание 7.2. Теоремы 7.2 и 7.3, равно как и нера- неравенство G.17), остаются справедливыми и для комплекс- комплексных X, и(х) и f(x). Если оператор З7 является симметричным, т. е. если 3?и имеет вид D.1) или, что то же, вид ^u, G.18) и для него и Q выполнены условия теоремы 7.2, то соб- собственные функции задачи gu=lu, «ls = 0 G.19) являются элементами Wi, o(Q). Более того, любая функ- функция f из W2,o(Q) раскладывается по ним в ряд Фурье - 7(*)=2(А а*)«*(*). G-20) сходящийся к f(x) в норме W\{Q) (иными словами, ряд G.20) и ряды, полученные его почленным дифференци-
§7] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ W'(Q) 133 рованием по Хг один или два раза, сходятся в 1г(й) *)). Действительно, сходимость ряда G.20) к/ в норме Щ(О) была доказана в § 4. Нам остается доказать его сходи- сходи\ мость в себе в норме W\{Q). В силу неравенства F.8), справедливого для оператора 3? — KqE с Хо ^ max а (х), X норма || • Ц®Q в пространстве W220(Q) эквивалентна норме Норме ЦиЦг соответствует скалярное произведение {и, v}2 = {2 и — %йи, 3?v — XqV) . Собственные функции ик задачи G.19) ортогональны относительно этого скаляр- скалярного произведения, ибо {«А. «/} = (h - Яа) (Я/ -10) («ft, «/) = (Я* - Я0J б*. В силу этого 1 I (f, «ft)«Jf = S (f, «ftJ (Я* - ^oJ. G.21) Uft=I 1J ft=I Для доказательства сходимости ряда G.20) в норме Wl, о (й) достаточно убедиться в сходимости числового ряда G.21). Для этого представим (/, uh) в виде (f, .«*) = i (f, 2»"*) = i m, «ft) —g". G.22) если Яд ф 0. Это возможно, ибо f и Uh принадлежат Wl,Q{Qi). Ряд 2 а2, сходится и равен Ц37И2. Но тогда сходится и ряд G.21), если учесть, что собственному чис- числу X = 0 может отвечать лишь конечное число собствен- собственных функций Uh. Итак, мы доказали следующую теорему: Теорема 7.4. Если коэффициенты 3? и Q удовлетво- удовлетворяют условиям теоремы?.2,то любая функция f&Wl,o(Q) раскладывается в ряд G.20), сходящийся к ней в нор- норме Wl,o(Q). *) Заметим, что ряды, полученные в результате дифференци- дифференцирований ряда G.20), уже не ортогональны в /г(йI
j34 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Замечание 7.3. Результаты данного параграфа, из- изложенные применительно к задаче Дирихле, установлены и для других «регулярных» краевых условий. Более того, они обобщены на пространства Wlp(Q) и Hl+a(Q), при- причем не только для уравнений второго порядка, но и для широкого класса систем, эллиптических в смысле И. Г. Петровского и Даглиса — Ниренберга. § 8. Приближенные методы решения краевых задач 1. Метод Галеркина. Решения краевых задач для эл- эллиптических уравнений могут быть найдены как пределы приближенных решений, вычисляемых по методу Галер- Галеркина. Классическая форма метода Галеркина для задачи о . B.1), B.2) следующая. В пространстве W2 (Q) берется какая-нибудь фундаментальная система {щ(х)} из ли- линейно независимых функций <рь <рг, ... (т. е. функции <р#-, k = 1, ..., JY> линейно независимы при V А^ <; оо). При- ближенное решение и^ ищется в виде и^ = 2 с^Фь (х), а постоянные с% определяются из условий Bи», <?,) = ([ + %?-, Ф/), 1 = 1, ..., N. (8.1) Равенства (8.1) представляют собою систему N линей- линейных относительно с%, k = \ iV, алгебраических уравнений. Если для задачи B.1), B.2) справедлива тео- теорема единственности, то система (8.1) при достаточно большом А^ оказывается однозначно разрешимой и ее решения uN стремятся в норме W2 (Q) к решению задачи B.1), B.2). Сходимости в более сильной норме (в част- частности, сходимости невязки 2'uN — f—^- в ZVQ) к нулю), вообще говоря, нет даже при условиях § 7. Дока- Доказательство этих фактов дано в ['5]. Мы дадим здесь обос- обоснование метода Галеркина в предположении , и) >v, (II и Ц'%J, v, = const > 0, (8.2)
§ 8] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 135 более жестком, чем предположение о единственности решения задачи. В этом случае рассуждения весьма про- просты, причем системы для с% однозначно разрешимы при всех N. Итак, пусть выполнены предположения B.3) — B.5) и (8.2). Область же Q может быть произ- произвольной, в том числе и неограниченной. Искомое об. р. и(х) задачи B.1), B.2) должно удовлетворять тождеству B.6), т.е. g() (f) + (fr]xt) (8.3) о при Ут^еИ^Сй). Приближенные решения ищем в виде /=¦2^D где (<pfe(#)} есть фундаментальная си- о стема в №|(Q). Коэффициенты с% определяем как реше- решения линейной алгебраической системы 2 (uN, Ф/) = - (/, Ф/) + {ft. <?lXl). I = 1, ..., N. (8.4) Соотношения (8.4) совпадают с (8.1), если qpfte№| 0(й), df. -г^-е!2(й) и коэффициенты 2 удовлетворяют усло- ах{ виям § 6. Система (8.4) разрешима при любых / и /,-, ибо для нее имеет место теорема единственности. Действи- Действительно, если бы uN было решением однородной системы (8.4), то, умножая каждое уравнение на свое cf и скла- складывая по / от / = 1 до / = N, мы пришли бы к соотно- соотношению 3? {uN, uN) = 0, из которого в силу (8.2) следо- следовало бы, что uN = 0, т.е. все eg, k = I,... ,N, равны нулю. Итак, система (8.4) однозначно определяет uN. Умножим каждое из (8.4) на cf и сложим по / от / = 1 до / — N. Это даст равенство из которого в силу (8.2) следует неравенство v,(II «^СоJ<II/IIII "wII+ 11/111«Я» гарантирующее оценку (8.5)
136 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. И о Обозначим через HN подпространство W2 (й), состоящее из элементов 2 ^фь (х) с произвольными d^ Благо- даря (8.4) uN удовлетворяет тождеству 2?(u»,r])=-(f,r]) + (fi,r]xi) (8.6) с Wr\^HN. Равномерная ограниченность норм II^II^V о в гильбертовом пространстве W2(Q) дает возможность выбрать подпоследовательность uNk, k—\, 2, ..., слабо ¦ о. о , сходящуюся в W2(Q) к некоторому элементу ueW2(Q) *). Нетрудно убедиться, что и есть решение задачи B.1), B.2). Действительно, в (8.6) можно перейти к пре- пределу по выбранной подпоследовательности Nh, k = kQ, &о+1, •¦•» при закрепленном- t] из Нык1 и получить в пределе Чх/) (8.7) для ?т] s Ялг6(). Индекс ^0 здесь произволен, так что (8.7), оо справедливо при Ух\ из (J ^лг> т- е- ПРИ Vrj вида N 2 <4<Pft (л:) с любым iV. Но такие г\ плотны в W\ (Q) (ибо по условию {ф6} есть фундаментальная система в W2 (й)). Поэтому функция и (х) будет удовлетворять (8.7) при \fr\^Wl2(Q:) и, следовательно, будет об. решением задачи B.1), B.2). Выбирая из {uN}, N=1,2,..., любую другую подпоследовательность, сходящуюся в том же смысле, что и \uNk\, мы опять в качестве предельной функции получим об. решение задачи B.1) *) Согласно доказанному в § 5 гл. I, слабая сходимость в W\(Q) \uk\ к и означает, что (и к\ и \ихк) сходятся слабо в L2 (Q) к и и Uxt соответственно. Из теоремы же Реллиха сле- следует, что (и к\ сходятся к и (я) сильно в Ls (й).
§ 8] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 137 B.2), а так как оно единственно, то это означает, что множество {uN}, N=1, 2, ..., имеет единственную предельную (в смысле слабой топологии в Wl2(Q)) точку и(х). Это же в силу слабой компактности мно- множества {и^}, N=\, 2, ..., в W2(Q) приводит к заклю- заключению, что вся последовательность uN, N = 1, 2, ..., о , слабо в W2(Q) сходится к и(х). Можно показать, что и^ сходятся при N —> оо к и о , сильно в W2(Q). Для этого возьмем последовательность uN, N = \ ,2,..., такую, что uNe±HN и || и — % |j«>Q-> 0. при N-*oo, и вычтем из (8.7) равенство (8.6), положив в них т] = uN — uN. Результат представим в виде {u — uN, u-u") = 2?(u-uN, u-uN). (8.8) о Так как uN сходится к и слабо в W2(Q), а uN сходится к и сильно в W2(Q), то правая часть (8.8) при N-*oo стремится к нулю. Это же вместе с (8.2) гарантирует сильную сходимость и" к и в W2(Q). Сформулируем до- доказанное в'виде теоремы: Теорема 8.1. Если выполнены условия B.3)—B.5) и (8.2), го галеркинские приближения uN вычисляются при всех N однозначно из системы (8.4), для них верна оцен- оценка (8.5), и при N —* оо они сходятся в норме W\{u) к ре* тению задачи B.1), B.2). Область Q может быть и не- неограниченной. Предположим, что для 2?, f и Q выполнены условия теоремы 7.2, и оператор 3? вида F.1) устанавливает вза-: имно однозначное соответствие между 1^2, о (й) и L2 (Q), так что jj«||f)Q<cjj^«jj (8.9) для VuelFl, о(й). В этом случае можно так изменить' процедуру вычисления приближенных решений uN, чтои^ будут сходиться к решению задачи в норме Wi(Q), и тем самым невязка в уравнении, т. е. 3?uN — /, будет стремиться к нулю в норме L2(Q). Именно, возьмем в Wt,о(й) фундаментальную систему {tyk(x)}. Тогда
138 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II функции {ф4 = S'ifft} образуют фундаментальную систему в L2(Q). Действительно, если / есть какой-либо эле- элемент L2(Q), то 3?~lf = v, как решение задачи 3?v = f, w|s = 0, существует и принадлежит W\, o(Q). По услО' вию v есть предел в W\ о(й) элементов вида vN = N N = 2 ^¦Фа (*)> но тогда i?»w = 2 &*<!>*(*) принадлежат L2(Q) и сходятся в L2(Q) K Sv = f, т. е. / принадлежит к замыканию в L2(Q) конечномерных подпространств, натянутых на функции {фА}. Приближенные решения задачи F.1), B.2) будем искать в виде uN = ^с^.(х) из системы уравнений Ъ) = if, &Ь), 1=1 N. (8. Щ При каждом iV эта система однозначно разрешима и ее решений справедливы соотношения |р = (/, 2и») < || /1| || 2?uN ||, (8. которые вместе с (8.9) дают оценку Равенство (8.11) получается в результате умножения каждого из уравнений (8.10) на свое cf и сложения всех этих равенств по / от / = 1 до / = N. Аналогично из (8.10) получается тождество iSu», 24i) = (/, ^n) (8.12) для Ут^е^лг. где Жп — линейная оболочка, натянутая на элементы \|31,...,г|з^. Слабая сходимость uN в W22(Q) к решению задачи доказывается на основе (8.1 Г) так же, как это было сделано выше в пространстве W2(Q) на базе оценки (8.5). Для доказательства сильной сходимо- сходимости в Wl(Q)uN к и надо из тождества (8.12) для и вы- вычесть тождество (8.12) для uN, взяв т] = uN — uN, где uN, N =_ 1,2,..., — последовательность элементов, аппро-
§ 8] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 139 ксимирующих и в норме №г(?2) и таких, что un^^Sn. Это даст соотношение (&(u-uN),Z (uN-uN)) = 0, из которого следует B {и - uN), 2 (и - uN)) = B {и - uN), 2 (и- uN)) < <\\3?{u-uN)\\\\2{u-uN)\\.- Из этого же неравенства, условия (8.9) и сходимости и^ к и в норме Wl (Q) заключаем, что и uN сходятся к и в норме Wl(Q). Итак, доказана теорема: Теорема 8.2. Если относительно 1,2 ип выполнены условия теоремы 7.2 и условие (8.9), то приближения N »" = 2 с^ь W однозначно определяются из (8.10) и сходятся к решению и(х) задачи B.1), B.2) в норме Wl(Q). В качестве {tyk(x)} надо взять какую-либо фун- фундаментальную систему в пространстве W% 0(Й). Сходимости приближенных решений uN к точному в норме W\ (Q), а тем самым, и сходимости невязок р () ^ — / к нулю в норме L2(Q), можно добиться также с помощью следующей модернизации метода Галеркина. Пусть для 2 выполнено условие (8.2). Возьмем какую- либо фундаментальную систему {^(я)} в пространстве Wl,о (Q) и произвольный эллиптический оператор Ми = (Ьц(х)их^Х[ + bt (x) uH + b(x)u (8.13) с коэффициентами, удовлетворяющими условиям ;*!/<Ц2?2. v2>0; dxk (8.14) Приближенные решения uN будем искать в виде uN = 2"Cj^i|>ft (x) из системы уравнений
140 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. It Число Яо должно быть достаточно большим; (насколько большим, будет указано ниже). Для доказательства од- однозначной разрешимости системы (8.15) и равномерной ограниченности норм || uN ||®_Q умножим каждое из урав- уравнений (8.15) на свое cf и сложим по / от 1 до N. В ре- результате получим BuN, J!uN-XouN) = (f, Ли" - %^iN). (8.16) Оказывается, для VueWl, 0(Q) и любых эллиптиче- эллиптических операторов 9? и Ж, удовлетворяющих лишь усло- условиям вида (8.14), справедливо неравенство {2и, Ли) > v3|| ихх |р - ц3A1 и %\J, Ъ > 0. (8.17) Доказывается неравенство (8.17) так же, как это сде- сделано выше в § б°для случая 9? = Ж (т. е. начинаем с ин- интеграла j S?u • Ли dx и преобразуем его в соответствии с F.10). Далее проводим преобразования и оценки, ана- аналогичные F.11) — F.25). При этом надо воспользоваться возможностью одновременного приведения двух положи- положительных квадратичных форм к диагональному виду). Из (8.17) и предположения (8.2) следует Bи, Ли - Кои) > v31| ихх |f + (XoV, - Из) (II и $ау. (8.18) Выберем Хо так, чтобы Aovi — цз > 0 (можно допустить и знак равенства: Aovi — ц3 = 0). Тогда для V« e Wl,0(Q) будем иметь оценку Bи, Ли - Яои) > v4 (|| и ||<*>аJ, v4 > 0. (8.19) Благодаря ей из (8.16) легко выводится оценка (8-20) с постоянной с, не зависящей от N. Она гарантирует од- однозначную разрешимость алгебраических систем (8.15) и слабую сходимость в L2(Q) uN, и% и и%х к и, их и их х . Дополнительное рассуждение, аналогичное прове- проведенному выше для случая Ж = 2', приводит к заключе- заключению о сильной сходимости и"к«в норме Wl,o{Q).
§ 8] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 141 Возможны еще другие модернизации метода Галер- кина, приводящие к более хорошей сходимости uN к а (см. [12,,]). Замечание 8.1. Заметим, что в случае, когда {^} яв- являются собственными функциями задачи Mty = Яф, 4>|s = 0, система (8.15) эквивалентна системе (8.4) (в которой ф; заменены на фг). Следовательно, при таком выборе фундаментальной системы {ф/} первоначальная форма метода Галеркина совпадает с модернизирован- модернизированной и приводит к решениям uN, сходящимся к и в норме W\{Q). Одни из первых обобщений метода Галеркина были предложены Г. И. Петровым в работе [17] 1940 г., в кото- которой рассматривается краевая (и спектральная) задача для одного обыкновенного дифференциального уравне- уравнения 3?и = / четвертого порядка (уравнения Орра — Зом- мерфельда). В первом из них приближенное решение uN N ищется в виде 2с"фА(*)> гДе 4>и(х), k = 1,2,..., — ка- какие-либо гладкие функции, удовлетворяющие поставлен- поставленным граничным условиям, а коэффициенты с? опреде- определяются из системы уравнений {S?uN — f, ф/) = 0, / = = 1 А^, в которой {ф/}, /= 1,2 есть какой-либо базис в Z-2. Второе обобщение напоминает обобщение вида (8.15). Замечание 8.2. В § 12 гл. VI мы еще раз вернемся к методу Галеркина и установим его связи с методом конечных разностей и другими проекционными методами. Мы изложили метод Галеркина применительно к пер- первому краевому условию. Если вместо него искомое реше- решение и(х) подчинено краевому условию E.2), то в описан- описанную выше схему надо внести некоторые изменения. На- Напомним, что об. решение и(х) из \^г(й) задачи я JL(atjuXj) + btux. + au = f, -j~ + ou =0 (8.21) i S определяется как элемент №2(Q), удовлетворяющий инте- интегральному тождеству Т (и, т]) + J а«т] ds = - (f, т]) (8.22)
142 уравнения эллиптического типа [гл. п при VneEfi(Q). Здесь S? (и, ц) = J {аИих.у\х. - biUx.r\ - аиц)dx. а Возьмем какую-либо фундаментальную систему {ц>к(х)} в пространстве 1^@) и будем искать приближенные решения uN в виде 2 с]^Фь М из равенств 3?(uN,%)+ lauN^ds=-(f,m), 1=1 N. (8.23) s Эти последние являются системой А^ линейных алгебраи- алгебраических уравнений относительно А^ неизвестных чисел cf, k= I, ..... N. Ее однозначная разрешимость и рав- равномерные оценки норм || uN ||^'Q выводятся из соотно- соотношения S?(uN, uN) + J о{uNf ds=-(/, uN), (8.24) s являющегося суммой равенств (8.23), умноженных на соответствующие cf. Если 9?, а и Q таковы, что для V« e \^г(й) справедливо неравенство S7 (и, и) + J a«2 ds > v, (|| и ||«)аJ, v, > 0, (8.25) s то из (8.24) следует II «1^ < ^11/11- Рассуждая далее так же, как и в начале параграфа, придем к заключению, что и^ сходятся в норме W\ (Q) к и(х). О модернизациях метода Галеркина для задачи (8.21), гарантирующих сходимость uN к и ъ норме ^(Q), мы говорить здесь не будем, поскольку для краевых усло- 1 вий третьего рода мы не вывели второе основное нера- неравенство. 2. Метод Ритца. Для симметрических операторов (aU + aiU) ~ uiUH + au <8-26)
§ 8] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 143 интегральное тождество 2{и, л) = J {ацих,цх. + a{ur\x. + aiUx.r\.— aur\)dx = -h + fii)Xi)dx, Vrjs^(Q), (8.27) лежащее в основе определения обобщенного решения задачи B.1), B.2) из ^(Q), есть не что иное, как равен- равенство нулю первой вариации квадратичного функционала / (и) = J (a{sux.uxj + 2atuuXt - аи2 + 2/и - 2ftuX{) dx, I рассматриваемого на всех элементах \F2(Q). Функция r\ в (8.27) играет роль допустимой вариации и. Если функ- функция и(х) дает наименьшее значение функционалу /(«) на Wi (О), то, как известно, б/ (и; 6«)=0 для \/6и^М(п), о , т.е. и удовлетворяет тождеству (8.27) при Vr]e\F2(Q). На этом основан метод Ритца, позволяющий строить ми- минимизирующую последовательность их, N = 1,2,..., для функционала /(«), т.е. последовательность, на которой J(uN) стремятся к infJ(u). При некоторых предположе- предположениях о 3?, f и /г функции uN сходятся в норме \^г(О) к функции и(х), реализующей inf/(«). Пусть пц, п{ и а — ограниченные функции и . % (и, и) > v, (|| и %%f, vj > 0, (8.28) о . при любых и е \^2(й). При этих условиях, как легко ви- видеть, задача "l = 0 (829) 7 не может иметь двух различных обобщенных решений из WliQ), а функционал /(«) полуограничен снизу на Wl2(Q), ибо для V«?=r2(Q) (8-30)
144 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Ввиду последнего inf/(и) > — оо и существует мини- минимизирующая последовательность uN, N = 1,2,... Ее, ока- оказывается, можно строить так: взять фундаментальную в о . W2{u) последовательность {q>k(x)} и соответствующую ей последовательность расширяющихся пространств HN, N = 1,2,... (так что HN есть линейная оболочка, натя- натянутая на фь ... ,qp]v). Функционал /(«) на Н^ есть квад- квадратичная форма от коэффициентов произвольного эле- мента uN = „2 dkyk из HN. Эта форма, рассмотренная как функция второй степени от переменных du...,d$ в евклидовом пространстве Rn, в силу полуограниченно- полуограниченности (8.30) принимает свое наименьшее значение в неко- некоторой точке d\ d%- В этой точке должны выпол- няться равенства -щ- J M^ dkyk I = 0, 1=1, .... N, которые, как нетрудно видеть, могут быть записаны так: u", Фг)=-(/. Ф/) + (Г*. Ф/х,). t=U ..., N, (8.31) N где иы = 2 d°kq>k (х) — функция, реализующая inf / (и) на Нн. Система (8.31), служащая для определения d°y ..., d°N, совпадает с соотношениями (8.4), опреде- определяющими галеркинские приближения. Это позволяет привлечь теорему 8.1, гарантирующую сходимость¦ uN к решению и задачи (8.29). Следует заме- заметить, что метод Ритца был сформулирован много раньше метода Галеркина, так что можно сказать, что метод Га- леркина есть обобщение метода Ритца на случай несим- несимметрических операторов 3S. 3. Метод наименьших квадратов. Рассмотрим задачу 2и = 1 «|5 = 0, (8.32) при условиях теоремы 7.2, и пусть X = 0 не есть точка спектра этой задачи.. Тогда для Уое1^2,0(Й) справед- справедливо неравенство II о |g>e < с || 2Ъ || (8.33)
§ S] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 145 и задача (8.32) однозначно разрешима в Wl,0(Q) при V/eL2(Q). В соответствии с методом наименьших квад- квадратов задача (8.32) заменяется вариационной задачей на разыскание infimum'a функционала /(о)= \{Sev-ffdx- (8.34) я на Wl, о(й). Ясно, что на решении «eW|,o(Q) задачи (8.32) функционал J(v) принимает свое наименьшее зна- значение: /(«)=0. Из (8.33) следует, что обе задачи имеют единственное в W\,0(Q) решение и(х). Первая вариация функционала / имеет вид 6J(v,ru = 2l(&v-f)&r\dx. (8.35) На решении и(х) б/ (и, ц) = 2 J (&и - /) 2i\ dx = О (8.36) а при Vtjs Wi, о(Й). Для решения вариационной задачи вводится фундаментальная система {фй(я)} в простран- пространстве Wl, о(Q) и берутся конечномерные подпространства 2SN, N =1,2,..., имеющие базисом функции {фь... ,tyN). Приближенное решение и^ ищется как элемент 36N, на котором реализуется inf J (v). Легко видеть, что эта ve3€N N задача однозначно разрешима,и ее решение uN = 2 CN>& определяется из условий 5/(u-v, т]) = 0, \jr\^mN, (8.37) или, что то же, из системы линейных алгебраических уравнений 0, /=1, ...,#. (8.38) Но эта система совпадает с системой (8.10), и тем самым приближенные решения «N совпадают с приближенными решениями uN одного из вариантов модернизированного метода Галеркина, рассмотренных выше. Там было дока- доказано, что «'v сходятся к решению и в норме Wl(Q).
Г Л А В А III УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В данной главе мы рассматриваем параболические уравнения второго порядка. Для них будет доказана однозначная разрешимость начально-краевых задач в областях Qr — {(х, t): х e Q, t^(O,T)} при первом, вто- втором и третьем краевых условиях. Область Q считаем ограниченной, хотя все результаты справедливы и для произвольной неограниченной области п. Более того, методы решения, излагаемые для ограниченных Q, при- применимы и для неограниченных Q (в том числе для Q = Rn), но нуждаются в небольших видоизменениях, о которых мы скажем в замечаниях. В основном проводится подробное исследование пер- первой краевой задачи. Для нее доказывается однозначная разрешимость в функциональных пространствах W12'°(Qt), VI'°(Qt) и WI',o(Qt) при различных предполо- предположениях о данных задачи. Все теоремы §§ 2 и 3 увязаны своеобразным образом друг с другом. Это позволило максимально снизить ограничения на данные задачи (заметим, что предположения об ограниченности коэф- коэффициентов п{, Ъ{ и а младших членов можно заменить условиями их принадлежности пространствам вида Lqt,rt{QT}. Это снижение требований возможно в рам- рамках избранного здесь способа исследования и приводит к тем же результатам об однозначной разрешимости. Однако такого рода обобщения мы не излагаем в дан- данной книге, ибо не хотим, чтобы чисто технические услож- усложнения, преодолеваемые использованием теорем вложения §§ 7 и 8 гл. I, затемнили основной ход мысли). Однако, если на коэффициенты уравнения наложить ограниче-
§ lj ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ 34ДАЧ 147 ния, несколько большие, чем в теореме 3.2, то однознач- однозначная разрешимость всех начально-краевых задач в про- пространстве W12°(Qt) может быть доказана совсем про- просто — так, как описано в п. 1 § 4. В том же § 4 и в § 5 мы даем краткое описание других методов решения на- начально-краевых задач, не касаясь, впрочем, традици- традиционных методов исследования, основанных на теории по- потенциала и сводящих всю проблему к интегральным уравнениям вольтерровского типа. Они для уравнений с переменными коэффициентами весьма громоздки (см. [224], стр. 732—737, [29], [11] и специальную литературу). Оставлены в стороне и многочисленные результаты по разрешимости начально-краевых задач в других функ- функциональных пространствах: пространствах Wp' (QT) и H2l+2a'l+a(QT) (см. [1214] и др.). Они базируются на значительно более сложных аналитических оценках и специальных представлениях решений параболических уравнений. Часть из них (оценки в #2'+2°.'+°(Qr)) опи- опирается на так называемый принцип максимума и его обобщения. Не изучается специально и задача Коши, Она для параболических уравнений имеет ряд специфи- • ческих особенностей, связанных с тем, что в ней можно допускать весьма сильный рост начальных данных и ре- решений при |х|-^оо (см. об этом, например, в [6] и [29]). В гл. VI мы возвращаемся к параболическим урав- уравнениям и описываем для них еще один метод их иссле- исследования и решения — метод конечных разностей. § 1. Постановка начально-краевых задач и задачи Коши Как известно, уравнение п+1 п+1 [== 2 at](x)uxx+'Zalux+au=f A.1) i, /=i ' i~i l называется параболическим в точке х°, если оно в новых координатах У^с^Д*, — *°), i, j= 1, ..., п + 1, где (а(.) — ортогональная матрица, приводящая матрицу
148 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ш \{ац{хй)) к диагональному виду (т. е. atj(л;0)о,к1ац = , приобретает в точке х° вид п+1 п+1 22 " = /(А A.2) в котором одно из Khix0) (пусть Kn+i(x0)) равно нулю, остальные ^(л:0) имеют одинаковые знаки и Ьп+1(х°)Ф0. Поделив A.2) на bn+i(x°), приходим к уравнению вида щя+1 + 211** (*°) щкУк + i bk w иУк + b.u = f: A.3) Если цй(л;0) < 0, ^ = 1 п, то уравнение A.3) имеет «стандартный» вид; если же ^a(x°)>0, to, меняя направление оси yn+i и умножая A.3) на (—1), мы снова приходим к уравнению «стандартного» вида. Если уравнение A.1) параболично во всех точках х какой- либо области, то говорят, что оно параболично в этой области. Если коэффициенты Ж — гладкие функции и уравнение A.1) параболично в области, то в окрестности (вообще говоря, малой) любой точки этой области его можно невырожденной заменой переменных привести к виду y + bu = f, A.4) причем форма 2 &^i»i/ будет положительно опреде- определенной. Переменная yn+i играет исключительную роль. При описании тепловых (и ряда других) явлений эта переменная есть не что иное, как время. В соответствии с этим обозначим ее через t. Остальные переменные У и ¦ ¦ ¦, Уп в физических задачах описывают положение точки в пространстве. Мы будем рассматривать пара- параболические уравнения, уже приведенные к виду A.4). Более того, нам удобнее качать изучение параболических
§ I] ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 149 уравнений с уравнений вида п + ^bt(x, t)ux. + a(x,t)u = f (x, t) + dfi? ° . A.5) i=i ¦ ' При дифференцируемых ац, at и /f уравнение A.5) эле- элементарно преобразуется к уравнению вида A.4), и, на- наоборот, при дифференцируемых Ьц уравнение A.4) мо- может быть записано в форме A.5). Мы начнем с изучения уравнений A.5), коэффициенты которых и возмущающие силы /г, вообще говоря, недифференцируемы. Частным случаем уравнений A.5) является уравне- уравнение теплопроводности описывающее распространение тепла в какой-либо части пространства (x)^Rn- Для уравнений A.5) основными являются: 1) Задача Коши, в которой ищется функция u(x,t удовлетворяющая при х е Rn и t >0 уравнению A.5 а при t = 0 — начальному условию и U ¦=?(*)• A.7) 2) Первая начально-краевая (сокращенно: н. к.) за- задача. В ней уравнение A.5) считается заданным для (х, /)е QT = Q X [0> Л> гДе ^ — какая-либо область в пространстве Rn. Подлежит определению функция и, удовлетворяющая уравнению A.5), начальному условию «Uo = q>(*), x^Q, A.8) и для V/e[0, T] — граничному (краевому) условию «U = *(s.O- A-9) В пространстве /?п-н область QT естественно назвать ци- цилиндром, 5г = 5 X [0. Т\ — его боковой поверхностью, а {(x,t): *eQ, t = 0} — нижним основанием. В этих
150 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ill терминах первая начально-краевая задача состоит в оп- определении решения уравнения A.5) в цилиндре Qr. обра- обращающегося в заданные функции ф и -ф на нижнем осно- основании Qr и его боковой поверхности St. Рассматривают и более общий случай, когда область изменения Qt пе- переменной х меняется со временем. В этом случае QT = = {(х, t): isQ(, t^[0,T\) не будет цилиндром (во всяком случае «прямым» цилиндром). Однако если «бо- «боковая поверхность» 5т—гладкая и «скорость» измене- изменения точек границы Out конечна, то заменой переменных ее можно преобразовать в боковую поверхность прямого цилиндра (во всяком случае, для малых 7') и свести задачу к задаче с неизменной границей 0Q. 3) Вторая и третья начально-краевые задачи отли- отличаются от первой лишь условием A.9), которое для уравнения A.5) с а* == 0 заменяется или вторым крае- краевым условием с =аци cos(п, х{) =%(s, t), A.10) или третьим dN ¦¦X(s,t) A.11) соответственно. Мы рассмотрим подробно первую н. к. задачу в огра- ограниченной области Q. Вторая и третья рассматриваются аналогично. Предположение об ограниченности области Q накладывается нами лишь ради некоторых удобств. От него сравнительно легко избавиться, причем резуль- результаты для ограниченных и неограниченных областей одни и те же. Целью данного раздела лекций является доказатель- доказательство того, что перечисленные задачи всегда однозначно разрешимы, если их данные не слишком плохи. Так же, как и в главе II, мы введем различные классы обоб- обобщенных решений. Проще всего разрешимость доказы- доказывается в гильбертовом пространстве Wl'°(QT). Скаляр- Скалярное произведение в нем определяется равенством Л) dx dt, A.12) Qt
§ I] ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ J51 WI'°(Qt) состоит из всех элементов u^L2(QT)> имею- имеющих обобщенные производные uXl из L2(QT)- Норму в W12'°{Qt) обозначим через || • g'J Через #t°(Qr) обозначим подпространство WI'°(Qt), являющееся за- замыканием в норме || • ||^> множества гладких функ- функций, равных нулю вблизи 5г. Щ'°(С}т) является соб- собственным подпространством W2'°(Qt), что видно хотя бы из формулы интегрирования по частям J uX{vdxdt= — Г uvXldxdt, A-13) Qt Qt справедливой для произвольной гладкой v и произволь- произвольной гладкой и, равной нулю вблизи 5г. Действительно, по замыканию в норме Wl'° (Qt) равенство A.13) остает- остается справедливым для Vv^W120(Qt) и \/иеЩ'°№т)- Если же ни и, ни v не равны нулю на 5г, то для них A.13), вообще говоря, неверно, так что во всем про- пространстве W2l0(Q7-) формула A.13) не имеет места. Это же рассуждение показывает, что элементы u^w2'°(Qt) в определенном смысле обращаются в нуль на 5г. Если граница 5 — гладкая, то теорема вложения 6.5 гл. I (см. замечание 6.3) гарантирует стремление к нулю интегра- интеграла ju9dsdt при ST = dQ'X[0, T]->ST. *'т' С параболическими уравнениями вида A.5) теснее всего связана «энергетическая» норма, определяемая равенством I и L s vrai max I!и (*» 0 112, о + IIи* Ib. Or (l ¦14) В следующем параграфе мы поясним это, показав, что из основного соотношения «баланса энергии» следует априорная оценка нормы \u\Q решений начально-крае- начально-краевых задач через данные задачи. Здесь же определим банаховы пространства, норма в которых определяется равенством A.14). Наиболее широкое из них V2(Qt) со- состоит из всех элементов W2°(Qt), имеющих конечную
152 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III о норму | • \р . Его пддпространство Vz(Qt) состоит из элементов W2 (Qt), имеющих конечную норму | • L . Другим подпространством Vz(Qt) является V2'°(Qt)> состоящее из всех элементов u^V2(Qt), сильно непре- непрерывных по t в норме Lz(Q), т. е. таких, что II и (х, t -f At) — и (х, t) ||2, q -> 0 при At —> О равномерно на отрезке [О, Т]. Наконец, Vl'0 (Qt) есть пересечение W"°(Qr) с Щ'° (Qt)- Во второй половине параграфа 3 мы докажем, что любое обобщенное решение уравнения О . л ' A.5) из W2 (Qt) (при тех предположениях, при которых установлено его существование в начале § 3) фактиче- О . Q ски принадлежит -W (Qt) и для него справедливо соот- соотношение баланса энергии. Это позволит доказать теорему единственности для первой начально-краевой задачи в пространстве W2q(Qt) при тех же предположе- предположениях о коэффициентах уравнения A.5), при которых имеют место соотношения энергетического баланса и теорема существования об. решений из W2 (Qt). Чтобы осуществить намеченную программу, сначала подробно исследуем уравнение теплопроводности. В заключение параграфа докажем известную лемму, которая используется при получении априорных оценок решений различных нестационарных задач. Лемма 1.1. Пусть неотрицательная абсолютно не- непрерывная функция y(t) удовлетворяет для почти всех t из [О, Т\ неравенству —-г—^ Cj (t) у (t) -f- c2 (t), (Ы5) где ci(t) — суммируемые на [0, 7"] неотрицательные функ- функции. Тогда y(t)< |{ Ci(T)rfrJ • ^@)+{ с2(|)ехр ^.-{ c{(x)dx\d% |< <ехр jcl(x)dx J L@) + jc2(x)dx . A.16)
§ 2] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 153 Действительно, если A.15) умножить на о результат записать в виде ехр | — J с, (т) dx j, dt у ехр ( - j cj (т) dx\ < с2 (t) ехр ( — J сх (т) dx\ и проинтегрировать от 0 до t, то из полученного нера- неравенства очевидным образом следует A.16). § 2. Первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности Рассмотрим для уравнения Щ B.1) задачу нахождения его решения u(x,t) в ограниченной области Qt = Q X @, 7"), удовлетворяющего начальному и краевому Чг = 0 B.3) условиям. Для задачи B.1) — B.3) введем и исследуем несколько классов обобщенных решений. Начнем с наи- наиболее узкого из них (т. е. с наиболее гладких об. реше- решений). Для 5 из С2 об. решения этого класса суть эле- элементы гильбертова пространства W%'' (Qt)> скалярное произведение в котором определяется равенством (и. <'qt - J («о + «Л + «*°* + и**»**) <**<" *)• B-4) я *) Здесь, как и всюду, uxvx= 2 ttx.vx-> 4 = "А> "хЛ
154 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III Точнее, об, решение задачи B.1)—B.3) из этого клас- класса принадлежит подпространству Wf_ l0 (Qr) s Wf ' (Qr) f| о (]W2-0(QT).Upn негладких границах 5 для этих об.ре- об.решений об. производные иХХ) вообще говори, не будут квадратично суммируемы по Qt, однако для них будет определен оператор Лапласа Д и Ды будет элементом U(Qt). В соответствии с этим введем гильбертово простран- пространство W?-l(QT), элементы которого u(x,t) принадлежат L>2(Qt) вместе с щ, имеют в QT об, производные их и ихх и конечную норму I J [и2 + и* + и\ + (Д«J] dx dtf # B.5) Vc?r I Скалярное произведение в W2'1(Qt) определяется равен- равенством J (uv + utvt + uxvx + Ди До) dx dt. B.6) QT Нас будет интересовать лишь подпространство W2:o(QT)=Wtl(QT)(]Wl2°(QT). В нем вместо B.5) удобнее взять эквивалентную норму 11«й? = ( $[u] + (bu)*\dxdty B.7) и соответствующее скалярное произведение ("' vt%l = J (utvt + Аи До) dxdt. B.8) QT Для 5еС2 пространство Wl'.oiQr) совпадает с W^'o'(Qr) (это следует из результатов §§ 6 и 7 гл. II). Мы будем исследовать задачу B.1) — B.3) в основном для произ- произвольной ограниченной области Q. Пусть сначала свободный член / + -J^-^F^L2(QT). Под об. решением задачи B.1) —B.3) в простран- пространстве W^'l(Qr) естественно понимать элемент и про-
§ 2] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 155 странства Wt'o (Qt)> удовлетворяющий почти всюду в QT уравнению B.1) и равный <p(x) при t = 0. Последнее можно понимать как стремление к нулю || и(х, t) — <р(х)||2_Q->0 при t->0. Это имеет смысл для элементов Wto (Qt)> ибо они определены для We [0, 7"] как элементы L2(Q) (и даже, как мы увидим ниже, как элементы Щ(&)) и непрерывны в норме L2(Q) (и даже в норме Wl2(Q)) no t. Задачу B.1)-B.3) ^ axi переформулируем как задачу решения операторного уравнения Au = {F; <p}, B.9) где А есть оператор, сопоставляющий u(x,t) пару эле- элементов Jtou и и(х, 0), так что Аи = {Жои;и(х,О)}. B.10) Оператор А рассмотрим как неограниченный оператор, действующий из пространства L2(Qt) в гильбертово про- пространство Ж, являющееся прямым произведением про- пространств Lz(Qt) и Wl(Q). Элементами Ж являются пары {f(x, t); -ф(лг)} с /eL2(Qr), 1|>еИ^(?2), а скаляр- скалярное произведение определяется равенством ^yx. B.11) В качестве области определения 25 (А) оператора А возь- возьмем элементы вида iM*)+ Г %(х, х) dx, где 1|зе?Ю(Д), о X (л;, ^) е S5 (А) для почти всех t из [0,7"] (сокра-i щенно: п. в. t) и А%^ L2(Qt). Здесь под ^)(Д) пони- понимается совокупность об. решений из Wl(Q) задачи Ды = /(х), «|s = 0, B.12) когда / пробегает все L2(Q). Из результатов гл. II сле- следуют такие факты: если в B.12) f = f (x, I) e L2(QT), то решение й(х, t) задачи B.12) принадлежит вместе с йх к L2(Qt), производные йхх существуют и. квадратично
156 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА П"Л. Ш суммируются по Qt= Q'X@. T), VQ'crQ, для й и Vw e W2<0(Qr) справедливо равенство J M-vdxdt=- J uxvxdxdt, B.13) уравнение Дй= 2 и*.*, =f удовлетворяется для п. в. Кроме того, функции /= J f (л;, т) dx соответствует о t решение и(х, t) задачи B.12), равное Г й(х, x)dx (так что о t t t \ Ди (л;, t) = A J й (х, х) dx = J Ди (х, x)dx= J f (*, т) rfr , о о v о / ¦ причем и(х, t) будет элементом ^(й), непрерывно зависящим от t (в норме этого пространства). Ввиду этого, элементы v (x, t) = -ф(х) + Г %(х, x)d%, о составляющие 55 (Л), при V7e[0, Г] принадлежат ^(Д), Ду = Д-ф + Г Дх dx и ux = ij3x+ | 5Сх dx суть элементы о о L2(Q), непрерывно зависящие от ?, и ух< е L2 (Qr). Опе- Оператор Л на v(x, t) вычисляется так: = |х —Дф— J k%dx; ¦$>). B.14) Легко видеть, что множество 3)(Л) плотно в L2(QT). Докажем, что А допускает замыкание. Для этого надо или в соответствии с известной теоремой теории неограниченных операторов показать, что сопряженный к А оператор определён на плотном множестве, или про- проверить непосредственно следующее: если vm^<2)(A), т = 1, 2 »™->0в норме L2(QT) и Лут={/т, <рт}-> гг>{/,ф} в норме W, то / = <р з= 0. Убедимся в справед-
§ 2] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 157 ливости последнего утверждения. Для этого возьмем произвольную достаточно гладкую функцию r\(x,t), рав- равную нулю на 5Г и" при t = Т, и соответствующий ей ин- интеграл J J[oVmr\dxdt. Преобразуем его с помощью ин- QT тегрирования по частям так: J ЛоУтЧ dxdt = J vmЖЬ\ dxdt — J vmr\ dx . QT qt' в В этом равенстве можно перейти к пределу по т -> оо. В результате получим J fr\dxdt = — J фт](x, 0) dx qt q для любой r\(x,t), обладающей указанными выше свой- свойствами. Отсюда известным способом выводится тожде- тождественное равенство нулю функций / и ср. Итак, опера- оператор А допускает замыкание: Л. Для описания области определения 2) {А) и вычисления А на элементах 3) (А) докажем, что для Жо справедливо равенство || vx (х, t) f2t Q + | (у? + (ДуJ) dx dt = = \\vx (x, 0) \i Q + J (jr0vJ dx dt. B.15) Qt В нем v(x,i) есть произвольный элемент 2)(A), a t — любое из [О, Т]. Отметим, что для общих параболических операторов имеет место равенство, соответствующее B.15), из которого.выводится так называемое «второе основное неравенство», аналогичное «второму основному неравенству» для эллиптических операторов (см. о нем п. 4 §4). Справедливость B.15) видна из соотношения J (Jovf dxdt=\ \v) + (ДуJ + Щ dx dt = Q Q \v v*xdx й t=t
158 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. III Из1 B.15) видно, что сходимость Avm (ume 2)(А)) в W влечет сходимость vm в нормах W^'^Qt) и sup || ¦ ||, Q. Это доказывает, что элементы области определения 2) (А) замыкания А оператора А «немногим хуже» элементов 2)(А), а именно: они принадлежат W^'o (Qt), непрерывно зависят от / в норме Wl2(Q) и для них справедливо равенство B.15). Оператор А на них определен тем же равенством B.10), т. е. Av*={*ov, v(x, 0)}. B.16) Наконец, из B.15) следует, что процедура замыкания А сводится к замыканию области значений 31 (А) в Ж, так что 91{А) = Л(А) и на Л{А) существует ограниченный обратный оператор А~~1. Если мы докажем, что к Й?(Л) в Ж нет ортогонального дополнения, то из только что сказанного об А будет следовать, что Л определен на всем Ж, т. е. уравнение B.9), точнее, Au = {F; ф), B.17) однозначно разрешимо при V{F; cp} e Ж. Тем самым бу- будет доказана Теорема 2.1. Для любой ограниченной области Q задача B.1) —B.3) однозначно разрешима в W2,'o(Qt), если F=/ + -|^- (=L2{QT), a q><=Wl2(Q). Решение и(х, t) о . непрерывно зависит от t в норме W2(Q). Итак, нам осталось доказать, что в Ж к М(А) нет ортогонального дополнения, т. е. доказать, что из тождества J w{vt-kv)dxdt+ J Kfxvx(x, 0)d* = 0, B.18) QT Q где v — произвольный элемент 2)(A), a {w; ^} eF, сле- следует: w s 0 и гр = 0. Для этого возьмем v(x, t) равной Г ЬГхтю{х, x)d% при t ^ /, и нулю при t < tu где ^ — какое-либо из [0, Т]. Легко видеть, что такое v при-
§ 2] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 159 надлежит области Я)(А). Подставив его в B.18), полу- получим т | hvt(vt — &v)dx.dt = 0, откуда следует t=T (hvfdx =0. B.19) Так как Av\t=t=0 и /i произвольно, то из B.19) заключаем, что о^ s 0 и Ди = 0, а потому и w=Avt = Q. В силу этого тождество B.18) примет вид j f iM*(*> 0)rfx = 0 B.20) для любой у (х, 0) из 3) (Д). Так как -ф е W'i (Й), а о . плотно в W2 (Й), из B.20) следует ijj sa 0. Итак, до- доказано, что w = ^ = 0, т. е. #(j4)=3f. Теорема 2.1 доказана. Одновременно с нею доказана, по существу, теорема единственности для задачи B.1) — B.3) в клас- классе обобщенных решений из Lz(Qt). Таким решением назовем элемент и(х, /)е Lh(Qt), удовлетворяющий тождеству J и (nt + An) dxdt+$ m(x, 0)dx= { (-/n +f(r\\ dx dt B.21) при Vti e Wf.'o1 (Qr), равной нулю при t = Т. Если и есть об, решение из Lz{Qt) задачи B,1) — B.3) с f = fi = ф = 0, т. е. если для и верно тождество B.21) с / = fi = ф = 0, то из этого тождества следует, что и = 0. Действительно, это тождество заменой / на —/преобразуется в тождество вида B.18) с ф = 0. Роль w при этом играет и, a v — функция г\, причем мно- множество г\ в B.21) даже шире, чем v в B.18). Ввиду этого и выведенного из B.18) заключения о равенстве нулю w следует, что и = 0, если ф, f и /,• в B.21) равны нулю. Тем самым доказана Теорема 2.2. Задача B.1) —B.3) не может иметь более одного обобщенного решения из L2(QT).
160 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. ПГ . Замечание 2.1. Если S<=C2, то по доказанному в §§ 6, 7 гл. II из принадлежности Дм к L2(Q) и «к W2(Q) следует, что u^W22:0(Q). Тем самым при S^C2 про- пространство Wl'oiQr) совпадает с WI',o(Qt)> и теорема 2.1 гарантирует разрешимость задачи B.1) — B.3) в W2',o(Qt)- Замечание 2.2. Любой элемент u(x,t) пространства Wi'o (Qt) принадлежит W2(Q)upn We=[0, Т] и непре- О t рывно зависит от t в норме W2(Q). Кроме того, \\их(х, /) |||, п является абсолютнонепрерывнойфункцией / на [0, Т] и t IIМ*. t) i,a = \\ "х (х, 0) Ig. a— 2j (ux(x, т),Аи (х, т)) dt. Действительно, эти факты имеют место для достаточно гладких функций и (х, t), равных нулю вблизи ST, и со- совокупность Ш всех таких функций плотна в простран- пространстве WVo (Qt)- Они, очевидно, сохраняются и для замы- замыкания Щ в банаховой норме Но эта норма эквивалентна на Эй норме || • I^qL ибо для V« e Ш и любой гладкой функции \ux(x,t)W\{a-\\ux(x,t t dx " х к ' <, a с (max 1 ? f + max 1 ?' ft J J [и2, + (АыJ] At Л,
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ . 161 откуда следует, что sup Jux(x, .&% Рассмотрим теперь задачу B.1) —B.3) для q>^L2(Q), ft e= L2 (QT) и f e= L2, i (QT)- Пространство Lq> r (QT) состоит из всех элементов L1 (QT) с конечной нормой / \г'а \'/г ( ) \ ( Покажем, что в этом случае решения принадлежат про- пространству V\' (Qt) и для них справедливо энергетиче- энергетическое соотношение (уравнение энергетического баланса): = J (/« - ftuXi)dx dt + i-Ц и (х, 0) \lQ B.22) при V^ щ [О, Т]. Такие решения назовем обобщенными решениями задачи B.1) — B.3) из класса V2°(Qr) или, что то же, об. решениями из энергетического класса. Уравнению B.1) и начальному условию B.2) они удо- удовлетворяют в смысле интегрального тождества J «(*, t)n\(x, t)dx—^ щ(х, 0)dx+ | (—ur\t+uxi\x)dxdt = a a Qt t, B.23) которое должно выполняться для V/ е [0, Т] при Vn s 1^2. о (Qr). Удовлетворение же граничному усло- О . Q вию содержится в том, что и е Уг' (Qt). Пространство Wl,0(Qt) состоит из. всех элементов v ^WI'0(Qt), имею- имеющих vt из L2(QT). Скалярное произведение в нем опреде- определяется равенством {и, у)^ = J (uv + utvt + uxvx)dxdt, а норму обозначим через |J • f^ . 6 О. А Ладыженская
162 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III Тождество B.23) формально получается с помощью интегрирования по частям в соотношении Г Q B.24) и учета условия B.2) и принадлежности г\ к Wl, o(Qr)- Энергетическое же равенство B.22) получается из ра- равенства Jtou -udxdt = J // + jf\ u dx dt B.25) Qt с помощью интегрирования по частям и учета обраще- обращения и в нуль на St. Однако соотношения B.24) и B.25) предполагают наличие у и производной щ и Д« из Li(Qt), тогда как B.23) и B.22) имеют смысл для лю- бого элемента Уi (Qt)- Следовательно, введенное нами определение об. решения задачи B.1) — B.3) из V2' (Qt) является расширением понятия об. решения этой задачи из Wt.'o (Qt) и, как легко видеть, сужением понятия об. решения из L2(Qt). В этом определении есть одна осо- особенность, отличающая его от определений обобщенных решений, введенных нами выше в гл. II и настоящей главе. Именно, из него непосредственно не видно, что если и' есть об. решение из V12'°(Qt) задачи B.1) — B.3) с ф = q/, / = /' и /;=/р а и" — такое же решение с ф = ф", f = f", f{ = f'{', то «' + u" есть об. решение из Vl2-°(QT) задачи B.1) —B.3), отвечающее ф = ф'+ ф", / = /' + /" и f{ = f\ + f?. Причиной тому является не- нелинейность соотношения B.22), благодаря которой только из B.22) для и' и и" не следует B.22) для и' + и". Однако нижеследующие рассуждения и теоре- теорема 2.1 позволяют доказать, что B.22) справедливо и для и' + и". Труд, затраченный на доказательство этого факта, с лихвой окупится в следующем параграфе, где исследуются уравнения с переменными коэффициентами и где соотношение B.22) будет существенно использо- использовано,
§2] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 163 Из B.22) можно вывести априорную оценку для «энергетической» нормы решения, т. е. нормы I ы U . Для этого правую часть B.22) мажорируем величиной max || и(х,х) ||2> а|| /||2,,,^+|| /||2> Q(\\ их \\2>Qt+~\\ и(х, 0) ||flf где/ = (/„ ..., /„), a II/H = \f]dxdt\ , и вы- \Qt 1=1 ведем из B.22) два следствия: а, B.26) Извлечем из обеих частей B.26) и B.27) квадратный корень и результаты сложим. После этого в правой ча- части max || «|L о, || ыД 0 и ||ы(х, 0) ||2 „ заменим на большую величину | и L и полученное неравенство со- сократим на |и № . Возводя это неравенство в квадрат, придем к желаемой оценке I и \Q( < A + V2J (ll /112.,, Qt + II / \\2;Qt + у II и (х, о ц2> Q). B.28) Докажем теперь следующую теорему существования: Теорема 2.3. Задача B.1) —B.3) имеет.об. реше- решение из Vz°(Qt) при ips L2(Q), feL2,i (Qt), ft ^ MQr)- Единственность в Vl2° (Qt) есть следствие теоремы 2.2. Для доказательства же существования аппроксими- руем ф в L2(Q) функциями cpm, m= 1, 2 из №2(й), / в L2,i(QT) функциями fm, m=l, 2 из L2(Qr) и ft в L2 (QT) функциями fim, m= 1, 2 из W?:°(Qr). В силу теоремы 2.1 задача B.1) — B.3) имеет решение ит
164 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ш л I dfi из W2 о (Qt), соответствующее фт и Fm = fm-f--e2L axi • Разности ит — ир суть решения из W2t'o (Qt) задачи B.1) —B.3), отвечающие фт — Фр и Fm — Fp. Для них справедливо B.22), а потому и оценка B.28), т. е. I ит — UP \q{ < 0 + V^f [ll /т — /р ll2, I, Q, + II fm ~ fp ll2, Qf + + ]-||«т(х, 0)-мр(х, 0)||2Q]. Она показывает, что {ит} сходятся в норме V2 (Qt). В силу полноты пространства V2 (Qt) предельная для О . Q них функция и будет элементом V2 (QT). Кроме того, для и будет справедливо соотношение B.22) и тождество B.23), которые получаются из этих же соотношений для ит в результате предельного перехода по т —> оо. Тео- Теорема 2.3 доказана. Замечание 2.3. Оказывается, об. решения, гаранти- гарантированные теоремой 2.3, имеют производную по / поряд- порядка 1/2. Как понимать это утверждение и как его дока- доказывать,— см. [12и]. Замечание 2.4. Оператор В, сопоставляющий вектор- функции {f; fi\ ф} из L2>i(QT) X L2(QT)X L2(Q) об. ре- решение u(x,t) из V2'°(Qt) задачи B.1) — B.3), является линейным. Действительно, если ii = B({f; ft, ф}), а «== = B{{f; fi\ ф}), то и =й + и есть об. решение из L2(Qt) задачи B.1) — B.3), соответствующее {f+J;h +Jf, cp + ф}. Но, с другой стороны, эта последняя задача в силу тео.- ремы 2.3 имеет об. решение v из V2 (Qt), а в силу тео- теоремы 2.2 v должно совпасть с и = и + и, т. е. и = v = = fi({f + f; f{ + fi, ф + ф)). Тем самым показано, что Q множество об. решений из V2 (Qt) задачи B.1) — B.3), соответствующих всевозможным {/; /{; ф} из L2, i(Qt)X X L2(Qt) X L2(Q), линейно, несмотря на нелинейность соотношения B.22), которому должны удовлетворять такие.решения. Причина в том, что B.22) следует из тождества B.23) и даже из тождества B.21).
§ 3J ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ОбШЕГО ВИДА 165 § 3. Первая начально-краевая задача для параболических уравнений общего вида В этом параграфе мы исследуем задачу — щ ~ ж: (ач (*» *)"*,+ at (х> 0 ") + для ограниченной области Q при условиях: а^ = ац, \ %fi> ]/ 2*?, \а\<». C-3) 2?, \\<». cpeL2(Q), /eL2>I(Qr), h<=L2(QT), C-4) и условии равномерной параболичности ,' v, Jx = const>0. C.5) Сначала докажем, что эта задача имеет обобщенное ре- решение из пространства WV (Qt)- Это можно сделать многими способами. Мы используем для этого метод Га- леркина. Затем, используя теоремы 2.2 и 2.3, покажем, что каждое такое решение фактически принадлежит V2°(Qt) и для него справедливо уравнение энергетиче- энергетического баланса. Наконец, из этих фактов извлечем тео- теорему единственности для задачи C.1), C.2) в классе об. решений из W\' (Qt)- Уравнение энергетического баланса для задачи C.1), C.2) имеет вид \\\и{х, ОII1.O + J Q 1ц и [х, 0) \1 а + | (/« - ftux^ их dt. C.6) Qt
Ig6 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III Формально оно получается с помощью интегрирования по частям в равенстве J Ми • и dxdt = Г (/ + ~-\ и dxdt C.7) с учетом краевого условия u\s = 0. Из C.6) можно вывести оценку | и \Q аналогично тому, как из B.22) была выведена оценка B.28). Дей- Действительно, из C.6) в силу C.3) —C.5) следуют нера- неравенства ;-g-1| и(х, о) ||2_ Q -+- 2jxи и n2i Qt\\ и , т) 1|| и(х, 0)Щ.0+ ?Н «*?<,,+ ^-Н «||], Приведем подобные члены, затем умножим обе части неравенства на 2 и величину \\и\^ Q заменим на ty2(t), где y(t)= max \\u(x, т)||2 Q, a \\u(x, 0)||] Q — на y(t)\\u(x, 0)||2 Q. Это даст неравенство 2_^||H;c||2iQi, C.9) / 2ц2 \ где с = 2(-!— +ц). Из него следуют два неравенства
§ 3] ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА 167 Извлечем из обеих частей C.10) и C.11) корень квад- квадратный, полученные неравенства сложим и правую часть мажорируем следующим образом: и ]Qt = y(t) +1| их ||2> Qt < A + v-v«) /''¦ @ < < A + WO \Tc~tI и \Qt + A + v-V.) I и |* X Для . /</I = c-i(l+v-".)-2, c = 2(-^ + ji). C.12) отсюда получим оценку | и \Q : I u\Q(<\l -A + v-v.) Kd](l + v-v>JX C.13) Разобьем отрезок [О, Г] на интервалы Ai = [0, V Д2 = ['/г^, /i], ..., Ajv длины, не большей '-^h; для каж- каждого из них справедлива оценка вида C.13). Из них, учтя || и(х, /)||2iQ ^sl u \q . выведем интересующее нас энергетическое неравенство C.14) справедливое для любого / из [0, Т\. Функция c(t) опре- определяется величиной Т и постоянными v и \х из C.3) и C.5). Определим теперь обобщенное решение и(х, t) за- задачи C.1), C.2) из пространства WI'0(Qt) (или, что то же, из W2°(Qt)) как элемент W2°(Qt), удовлетворяющий тождеству = J (— = J ФП(х, 0)dx+ jifn-f^.jdxdt C.15)
Igg УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (Гл. Ш при Vt]s ^2,0 (Qt), равной нулю при t — T. Ясно, что множество таких решений линейно. Для доказатель- ства разрешимости задачи C.1), C.2) в W2 {Qt) возьмем о , фундаментальную систему {срА (х)} в №г(й) и будем считать ее, ради удобства, ортонормированной в L2(Q). Будем искать приближенные решения uN (x, t) в виде n uN(х, /)= 2 ^(t)(fk(x) из системы соотношений*) k=i (и»{х, 0, Ф,(*)) + (а</И* + atu», Ф/х.) + F.^ + аи», Ф/) = = (/, Ф,)-(/,-. Ф„.> '/=1, .... ^ C-16) и равенств с«@) = (ф,Ф/). C.17) Соотношение C.16) есть не что иное, как система N ли- линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных ct(t) = cf(t), /=1, .... N. dc. (t) Ее главные члены имеют вид —^—, коэффициенты при • с*(/)'суть ограниченные функции /, а свободные чле- члены являются суммируемыми на @, Т) функциями. По известной теореме о разрешимости таких систем заклю- заключаем, что C.16), C.17) однозначно определяют абсо- абсолютно непрерывные на [0, Т] функции tf(t). Получим для uN оценки, не зависящие от N. Для этого умножим каждое из C.16) на свое с;, просуммируем по / от I = 1 до / = /V и проинтегрируем по / от 0 до t =^ Т. В ре- результате придем к C.6) для и = uN. Из C.6), как было доказано выше, следует неравенство C.14) с &~(t) =• поэтому для uN имеем оценку 1«%Г<С C-18) *) Эти соотношения есть не что иное, как равенства преобразованные к форме, соответствующей выбранным нами про- пространствам.
§ 3] ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА 169 с постоянной Су, не зависящей от N. Благодаря C.18) из последовательности {uN}, N=l,2,..., можно выде- выделить подпоследовательность {uNk}, k=\, 2, ,,,, слабо сходящуюся в L2(Qt) вместе с производными uNxk к не- некоторому элементу ue^'°(Qr)*). Этот элемент и (х, О есть желаемое об. решение задачи C.1), C.2). Действи- Действительно, умножим C.16) на произвольную абсолютно непрерывную функцию dL{t) с d'i{t) из L2@,T) и di(T)=0, сложим полученные равенства по всем I от 1 до N и результат проинтегрируем по / от О до Т. Затем в первом члене проведем интегрирование по частям по /. Это дает тождество (t) C.19) a qt N вида C.15), в котором Ф = 2 ^Ш) Ф/(*)• Обозначим через Шы множество всех таких Ф с указанными выше свойствами функций di(t). Совокупность (J ЗЯр плотна в подпространстве W\ 0(QT) пространства W\ 0(QT), со- состоящем из тех элементов Wl2_0(QT), которые равны нулю при t=T (доказать самостоятельно). При фикси- фиксированном Ф из Шр в C.19) можно перейти к пределу по выбранной выше подпоследовательности Nk, начи- начиная с Nk^p. В результате получим C.15) для и с т1 = Фе Шр. Но так как \J$lp плотно в W\ 0(QT), то C.15), как нетрудно проверить, будет справедливым при Vt] из Wl%0(Qг), т. е. и(х, t) действительно есть об. решение.из ^2l0(Qr) задачи C.1), C.2). *) В результате последующих рассуждений мы увидим, что вся последовательность {uN} сходится к и.
170 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ш Тем самым доказана Теорема 3.1. Задача C.1), C.2) имеет по крайней мере одно об. решение из W2°(Qt), если выполнены предположения C.3) — C.5). Переходим теперь к исследованию этого решения u(x,t). Для этого рассмотрим его как об. решение из L2(Qt) задачи B.1) —B.3) с /, равным / — М*, —«" = /> и ft, равными fi + uijUx. -f- u{U — ux.=fi, взятыми из уравнения C.1). Это возможно, ибо feL2, i(Qr), U^L2{Qt) и C.15) может быть преобразовано к виду B.21) для л 6Ё Wt'o' (Qt), л(*1 Т) = 0. Но тогда из тео- теорем 2.2 и 2.3 следует, что и(х, i) будет об. решением за- задачи B.1) — B.3) из Vl2'°{Qt), так что оно есть элемент V\'°(QT) и для него справедливы соотношения B.22) и B.23), в которых f надо заменить на f, а ft на fi. Соотношение B.22) может быть переписано в виде C.6), а тождество B.23)—в виде J и(х, t) ц (х, t) dx-j щ(х, 0) dx + е п + J (—Щ + 0//"*^',+ п1Щх1 + biUx.r\ + aur\)dxdt = = l(M-frt*t)dxdt, C.20) в котором л есть произвольный элемент W2,o(Qt) и / — любое из [О, Т]. Мы доказали, что V об. решение из W-2'°{Qt) задачи C.1), C.2) есть ее об. решение задачи C.1), C.2) из V2°(Qt)- Такие решения для задачи C.1), C.2) (в соответствии с § 1) мы определяем как 01 о элементы V2' (Qt), Для которых справедливо тождество C.20) и энергетическое соотношение C.6). Покажем, что задача C.1), C.2) не может иметь двух различных ре- решений этого класса. Действительно, если бы она имела два таких решения и' и и", то их разность и = и' — и" была бы об. решением задачи C.1), C.2) из класса
§ 4] ДРУГИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОД ФУРЬЕ . 171 Wl' (Qt)> соответствующим нулевому начальному усло- условию и нулевому свободному члену. По только что дока- доказанному и фактически будет об. решением этой задачи из класса V12°{Qt), и потому для и будет справедливо со- соотношение C.6), в правой части которого стоит нуль. Но из такого соотношения следует оценка C.14) с правой частью, равной нулю. Следовательно, и(х, t) будет рав- равна нулю. Совпадение и' и и" доказано. Из этих же рассуждений относительно любых двух об. решений и' и и" из класса V2 (Qr) задачи C.1), C.2) с различными /, /,- и ср следует, что оператор В, сопоставляющий {/; /,•; ср} об. решение u(x,t) из класса ^2°(С?г)> является линейным, и уравнение энергетиче- энергетического баланса C.6) есть следствие тождества C.20) (при тех предположениях о коэффициентах Ж и функ- функциях /, fi и ф, которые указаны в теореме 3.1). Таким образом, нами доказана следующая теорема: Теорема 3.2. Задача C.1), C.2) однозначно раз- разрешима в классе vI'°(Qt) при любых / е L2, i(Qr), fi^L2(Qr) и фЕ1г(й), если выполнены предположе- предположения C.3), C.5). § 4. Другие краевые задачи, метод Фурье и Лапласа, второе основное неравенство 1. О неограниченных областях Q. Ограниченность области Q в §§ 2 и 3 была использована, по существу, лишь там, где мы описывали область 3)(А) определения оператора А (см. § 2, B.12)). Для неограниченной об- области Q надо вместо оператора А взять оператор А— Е. Для А — Е область определения 2D(\ — Е) будет со- состоять из об. решений задачи Au — u = f, u|s = 0, B.12') когда / пробегает всё L2(Q). Эти решения и будут эле- элементами W]2(Q). Если граница области Q — достаточ- достаточно «хорошая», то и будут принадлежать W2,o(Q). Это доказывается так же, как и для ограниченной области Q в §§ 6, 7 гл. П. В качестве оператора Жои лучше взять
J72 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III 'Лйи = Ut — Аи + и и для него провести все доказатель- ства, помня, что для неограниченной Q норма в W2 (Q) не эквивалентна НиЛг.ц. Все оценки, рассуждения и ре- результаты § 3 сохраняются и для неограниченных обла- областей Q. 2. Вторая и третья краевые задачи. Эти задачи со- состоят в нахождении решения уравнения Лизвщ — -^--(а,7 (*, /)) + + Ь(х, t)uX{ + a(x, t)u=*f{x, t), D.1) удовлетворяющего условиям Для них определим сначала об. решения из простран- пространства W2'°{Qt)- Напомним, что это пространство состоит из функций u(x,t), имеющих конечную норму \Qt ¦ / Скалярное произведение в Wl2°(Qr) определяется ра- равенством (v, w)^ = j (vw + vxwx) dx dt. Qt Об. решением задачи D.1), D.2) из W2'0(Qr)'назовем функцию и (х, t), принадлежащую ^'"(Qr) и удовле- удовлетворяющую интегральному тождеству Л (и, ц) за \ (— ui\t -{- a{jUx цх. -{¦ Ь{иХ{ц + aui\j dx dt + + J aur\ dsdt= f щ (x, 0)dx+ J f\\ dx dt D.3) sT a QT при yr\<=W2(Q.T), равном нулю при t = Т. Существование по крайней мере одного такого реше- решения можно доказать, например, с помощью метода Га- леркина так же, как это сделано во второй половине § 3
§ 4] Другие краевые задачи, метод фурьё 173 для первого краевого условия. Надо только функции Фй(лг), /г = 1,2, ..., выбрать так, чтобы они образовы- образовывали фундаментальную систему в Wl(Q), и считать, что граница п — не слишком плохая (такая, как в § 5 гл. II). Энергетическая оценка для решений задачи D.1), D.2) имеет тот же вид C.14), что и для задачи C.1), C.2). Она выводится из уравнения энергетического баланса, которое отличается от C.6) лишь наличием одного (не- (несущественного для оценок) члена: \au2dsdt. Это st уравнение получается из равенства J Ли- udxdt= J fu dx dt Qt Qt с помощью интегрирования по частям я учета условий D.2) и имеет вид ¦i-ll и (х, t) || а + j (a(juXjux. + biux.u + аи2) dx dt + + | аи2dsdt = \\\u(x, 0) \\{ Q + J fudxdt. D.4) st '¦ Qt Из D.4) оценка C.14) выводится так же, как и из C.6). Если а ^ 0, то член /t (/) = | au2dsdt можно просто вы- выбросить из D.4) и получить неравенство, из которого следует C.14). В противном случае |/i(/)-| надо оценить так: Г Г i о 1 <Л 17i (t) I^ с и2ds dt =С с, ги2 А— и2) dxdt, Sf Qt Vee@, 1]. D.5) При этом мы предположили, что \а\ ^ с, и воспользо- воспользовались неравенством F.24) гл. I. Весь дальнейший вы- вывод C.14) из D.4) совпадает с тем, который был прове- проведен в § 3. Итак, мы можем считать доказанным, что для и(х, t), удовлетворяющих равенству D.4) при V/ ^ [0, Т], справедлива оценка вида C.14). На ее основе существо-
174 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ш вание по крайней мере одного об. решения из W12°(Qt) задачи D.1), D.2) доказывается так же, как в § 3 для задачи C.1), C.2). Далее, можно поступать двояко: или доказать «в лоб» теорему единственности в классе таких об. реше- решений, следуя первому из предложенных мною способов доказательства теорем единственности для нестационар- нестационарных задач (см. [122], гл. III), или провести более длинное рассуждение с привлечением уравнения теплопроводно- теплопроводности, аналогичное рассуждениям §§ 2 и 3. На первом, бо- более коротком пути надо предположить существование у ajj, 6j и о ограниченных производных по t. На втором же пути никаких новых ограничений на данные задачи не требуется. Опишем несколько подробнее эти способы. Пусть задача D.1), D.2) имеет два об. решения из класса W\'°{Qt). Тогда их разность u(x,t) принадлежит W12°(Qt) и удовлетворяет тождеству Ж {и, ti) = 0 D.6) при \/r\^Wl2(QT), равной нулю при t = T. Возьмем в качестве i\(x, t) функцию ( 0, / е= [b, T], Н где b — произвольно фиксированное число из промежут- промежутка [о, п Нетрудно проверить, что она является допустимой для D.6). Подставим D.7) в D.6) и результат запишем в виде 6 J J \ ^ '' ц( *j ' lxi l 7 О Q + ar\tr\ ds dt = О, D.8) что возможно, ибо при t<=@,b) u = r\l. Запишем аит\1х цх 1 д 1 даи в виде -2~дТ\аЦг\х ЛЬ,) ~ -я—7JJ- Л^.-Лл;;. а ст^г) — в виде
4] ДРУГИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОД ФУРЬЕ 1 да о ~ ~Т ^ 175 1 д , о% 1 да о Т~dt (аг]' ~ ~2 ~дТ ^ ' и пРовеДем в0 втором, третьем и последнем членах D.8) интегрирование по частям сле- следующим образом: ЯН-т О i! да и dbi ~дГ dbi ^ dt = 0. D.9) Воспользуемся теперь нашими предположениями о коэффициентах Ж и функции а, а также учтем, что \ ... dx в D.9) при t = Ъ равен нулю в силу выбора D 7) функции г\. Благодаря этому из равенства D.9), взятого с измененными знаками, выведем неравенство 1(х, 0)dx + «6 D.10) в котором ej — произвольные положительные числа, а постоянная с определяется мажорантами коэффициентов Ж, а и их производных по t. Интегралы по S& и S оце- оценим, используя неравенство F.24)v гл. I, так: Jrf (s, 0) rfs < с, J[A + J-) л2 (х, 0) + е^ (х, 0)] rfjc, D.И)
176 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III f rf (s, *) ds dt < с, J [A + -1) л2 + е3л|] ^ Л. D.12) sb Qb Кроме того, из D.7) или, что то же, из представления t следуют неравенства Qb J rfdxdt^b2 j rfdxdt. ¦ D.13) Подставим D.11) и D.12) в D.10), затем приведем подобные члены, перенеся ц1(х, 0) и rft налево, и выбе- выберем е{ столь малыми, чтобы коэффициенты при rfx(x, 0) и т^ оказались равными v/4 и 1/2 соответственно. По- После этого воспользуемся неравенствами D.13) для из- изгнания членов т]2(х,0) и if из правой части полученного неравенства. В результате придем к неравенству ¦J | ц2х (х, 0) dx +1 J rft dx dt^c2j (yfx + br§ dx dt. D.14) a Q Будем считать b столь малым, что При таких b из D.14) следует D.15) D.16)
§ 4] ДРУГИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОД ФУРЬЕ 177 Воспользуемся теперь произволом в выборе числа Ь и укажем явно, что взятая нами функция ц(х, t) зависит от Ь. Для этого введем обозначение t J и (х, x)dx = y (x, t). Тогда r\(x,t) для t<=[0, b] есть y{x,t) — y{x,b). Подста- Подставим это выражение для ц в D.16), отбросив пока второй член из D.16), и затем мажорируем правую часть полу- полученного неравенства следующим образом: J у\ (х, Ь) rfjc < c3 J [ух (х, t) - ух (х, b)f dx dt < Q Qb <2c3 \[y\{x, t) + y2x(x, b)]dxdt = = 2c3b J y\ (x, b) dx + 2c3 J y\ (x, t) dx dt. D.17) Q Q.b При 6 < l/Dc3) D.18) из D.17) получаем неравенство J y\ (x, b) dx < 4c3 J y\ (x, t) dxdt. D.19) a Qb Оно верно при всех b e [0, b\], где bx = min< -^-; j^- >. Так как у{х, 0) = 0, а потому и ух(х, 0) = 0, то из D.19) следует, что ух{х, b)s=0 для b<=[0, b,] (см. лемму 1.1). Но тогда и T\x(x,t) =yx(x, t) — yx{x, b) = 0 для t^[O,bi]. Отсюда и из неравенства D.16) заключаем, что и r\t(-x, t) = u(x, t) == 0 для t e [0, 6i]. Тем самым мы дока- доказали совпадение двух решений и' и и" на цилиндре Qb =Qx[0, b\]. Повторяя это рассуждение для цилин- цилиндров QX[^i>2&i], Q У. [2bi, 3bi] и т. д., мы исчерпаем весь цилиндр QT, доказав желаемую теорему единствен- единственности.
178 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ III dt dbt dt да dt Итак, доказана следующая теорема: Теорема 4.1. Пусть коэффициенты уравнения D.1) удовлетворяют условиям v|2<ai/(x, /)|,|/<ц|2, v = const >0, |&,Иа|<ц„ D.20) и \а\ ^ [Xi. Тогда задача D.1), D.2) имеет по крайней мере одно об. решение из класса Wl2-°(QTy если q)GjL2(Q), a f ^ L2, i(Qt). Если дополнительно выпол- выполняются условия D.21) то имеет место теорема единственности для об. решений задачи D.1), D.2) из класса ^'°(Qr). Граница Q дол- должна удовлетворять тем же требованиям, что ие§ 5 гл. II. Для первого краевого условия аналогичная теорема может быть доказана так же, как мы только что дока- доказали теорему 4.1. Однако она грубее теоремы 3,2, в ко- которой не требуется существования производных у коэф- коэффициентов уравнения. Ограничения D.21) можно снять и для краевых условий D.2). Для этого надо провести рассуждения, подобные рассуждениям §§ 2 и 3. Опишем их в общих чертах, не вдаваясь в детали и предполагая, что a(s,t) не зависит от t. Сначала надо рассмотреть вспомогательную задачу J(QU sa Щ — Д« = f (x, dft (х, t) dx, du dn -cos (n, xt) ST = 0, D.22) считая cpeElF'(Q), /eL2(Qr), a ft<=Wl2-°(QT), и для нее доказать теоремы типа 2.1 и 2.2 (назовем их тео- теоремами 4.2 и 4.3), используя те же приемы, что и в § 2. Затем ввести об. решения задачи D.22), принадлежащие пространству Kj,'°(Qr)> которое отличается от V2°(Qt) лишь тем, что его элементы не обращаются в нуль на Sy.
§ 4) ДРУГИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОД ФУРЬЕ 179 Такие решения и(х, t) являются элементами V12'°^t)' удовлетворяющими тождеству J и{х, t)r\(x, t)dx— J щ{х, 0) + J (— wx\t-\-ux.r\x^dxdt-\- + J our] dsdt= J (/л - /ЛЦ)<** Л D.23) при V/e[0, Г] и VtisW^Q^,) и энергетическому со- соотношению 7II»(*. О «I q + II «* 111 <?, + = /(/"- ft"xt)dxdt + \\\u(x, 0)Hio' /s[0, T]. D.24) С помощью теоремы 4.2 доказывается существование та- таких решений при любых cpeL2(Q), / e L2yi(QT) и fje L2(Qr)- После этого можно перейти к общей задаче D.1), D.2). Для нее мы уже знаем существование по крайней мере одного об. решения u(x,i) из Wl2'°(QT) (см. теорему 4.1). Это решение удовлетворяет тожде- тождеству D.3), которое можно записать в виде J (— «т^ + "лг^лг^) dxdt-\- f оиц ds dt = Qt st = J ФЛ (x, 0) dx + J (ГЛ - Ц) dx dt, D.25) ?2 где 3T=f-biuXi-au<=L2,l(QT) и fi=acluXl-ux.<=L2{QT), a TieU7](Qr) и л^. 7') = 0. Благодаря этому функцию и(х, t) можно объявить об. решением из L2(QT) задачи D.22) с только что указанными свободными членами З7 и fi. Но, с другой стороны, задача D.22) имеет об. ре- решение v(x,t) из класса V\>0(QT), и в силу теоремы 4.3 оно должно совпасть с и{х, t). Поэтому и(х, /)е е V\j9(Qr) и для него справедливы соотношения D.23)
J80 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III и D.24), которые, если в них подставить выражения для Sr = f — biux. — au и ft = a.i[Ux —их приобретают вид u{x, t)r\{x, t)dx—j щ{х,0)с1х + dx dt + . + Ja«Tidsd/= jfodxdt D.26) и D.4) соответственно. Если бы задача D.1), D.2) имела два об. решения и'(х, t) и u"(x,t) из tt^-°(Qr), то их разность «(#,/) была бы об. решением из Wl2'°(QT\ той же задачи, но с f s 0 и ф = 0. Из только что доказанного следует, что и принадлежит ^'"(Qj-) и удовлетворяет D.4) с f = =г ф^ 0. Но из D.4) вытекает, как указано выше, не- неравенство C.14), в котором правая часть будет равна нулю. Тем самым и и(х, t) будет равно нулю, т. е. и' и и" совпадают. Таким образом доказывается, что любое об. решение задачи D.1), D.2) из ^'"(^г) фактически является ее об. решением из Vl2'°(QT) и в этих классах справедлива теорема единственности. При этом мы обо- обошлись без ограничений D.21), правда, предположив, что о не зависит от t. 3. О методе Фурье и методе преобразования Лапласа. Для параболических уравнений щ — 2и = 1 D.27) с симметрическим оператором 3?\ Zu = ?-(at,{x)uX{ + ai(x)u)-at(x)uXt-a{x)u, D.28) коэффициенты которого не зависят от t, начально-крае- начально-краевые задачи при любом из условий A.9) — A,11) (в A.11) а не должна зависеть от t) могут быть решены с по- помощью метода Фурье. Сделаем это применительно к за- задаче ut — Zu = 0, D.29) "Uo = <PW> "Is=°. D.30)
§ 4] ДРУГИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОД ФУРЬЕ 181 считая Й ограниченной областью. Изложим пока фор- формальную сторону метода в его классической форме (т. е. считая коэффициенты ац, сц дифференцируемыми и решения удовлетворяющими уравнению в обычной форме). Найдем все решения уравнения D.29) вида u = T(t)X(x), удовлетворяющие при W ГЗ5 О краевому условию и \S{ = 0. Последнее, очевидно, есть условие на X: Х\а = 0. Подставим и = ТХ в D.29) и поделим обе части уравнения на ТХ. Это даст равенство Г (t) _ SX (х) Г (<) — Х(х) ' из которого следует, что левая и правая части должны равняться постоянной, т. е. 2'Х = кХ, X\s = 0, D.31) и Т' = кТ, D.32) где Я = const. Задача D.31) есть спектральная задача, изученная нами в § 4 гл. II (см. также § 7 гл. II). Все ее линейно независимые решения можно расположить в виде последовательности {tik(x)}, k = 1, 2, ..., ортонор- мированной в L2(Q), причем соответствующие им {кк}, k = 1,2,..., вещественны, расположены в порядке убы- убывания и kh-*-—оо при &->оо. Собственные функции {uk(x)} взаимно ортогональны также в следующих смыслах: [uk, щ] = g (uk, щ) + Яо (ик, щ) = J {a + Яо) икщ\ dx = ? D.33) [vk. щ} - ((<? - Яо) ик, C? - \) ut) = (Яо - Хку Ь[, D.34) где ко выбрано так, что Xi <С к0 (а потому и !),< Яо, k = 2, 3, ...). Если коэффициенты 3! удовлетворяют условиям C.3), C.5), то норма [и, и]''2 эквивалентна норме W\ (й). Если к тому же для коэффициентов 3? и области Q выполнены условия теоремы 7.2 гл. II, то
182 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ill норма {и, и}" эквивалентна норме пространства Wt,o(Q). В первом случае (при выполнении лишь усло- вий C.3) и C.5)) ик(х) суть элементы №г(й), и для них имеет смысл говорить лишь об ортогональности в L2(Q) и в виде D.33). Во втором случае «j(Jc)eF220(Q) и для них верно также и D.34). Если в качестве решения задачи D.31) взять Х = = ии(х), то соответствующее ему решение T(t) уравне- уравнения D.32) имеет вид Тк (t) = akelk' с произвольной по- постоянной ah. Рассмотрим ряд и(х,г)=Ъаке^ик{х). D.35) Сумма любого из его конечных отрезков есть реше- решение уравнения D.29) (вообще говоря, обобщенное), удо- удовлетворяющее граничному условию из D.30). Чтобы удовлетворить начальному условию (хотя бы фор- формально, не обращая внимания на сходимости), надо взять весь ряд D.35). Его коэффициенты определятся из равенства а именно: ак = (<?, ик). D.36^ Наша задача состоит в исследовании характера схо- сходимости ряда D.35) при разных предположениях об из- известных величинах. Это легко сделать, опираясь на ука- указанные ортогональности и на то, что %*-*¦— <х> при k -> оо. Подсчитаем следующие нормы ряда D.35), пола- полагая для удобства записи, что среди {Хк} нет Я&, = 0: \\и(х, t)\\lQ= |a*A', D.37) ft — I оо [и (х, /), и (х, /)] = 2 4 (Ло - h) еЧ\ D.38) k i -е2^), D.39) и{х, t), u(x, {)]сИ=^а
§ 4] ДРУГИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОД ФУРЬЕ 183 {и (х, 0, и (х, 0Г= 2 fk (Ло - Я,J е2Ч D.40) JIM*, 0lf2,c2=i^4e24 D.41) J{m(jc, /), u{x, tydt^Y^ak (X°_2lf (l-g8***), D.42) 0 ft=l ' oo Если выполнены лишь условия C.3), C.5) и 00 ф? L2(Q), то 2 а| = IIФ Иг, й> и ряды, стоящие в правых частях D.37) и D.39), сходятся, причем равномерно от- относительно t е [О, Г]. Благодаря этому сумма и(х, t) ряда D.35) является об. решением задачи D.29), D.30) из О пространства V^'0^) c ^^- Действительно, из указан- указанной сходимости следует принадлежность и(х, t) к о V\ (Qt). Далее надо проверить, что» «(я, t) удовлетво- удовлетворяет соответствующему интегральному тождеству (см. C.20)). Но это легко сделать, исходя из того, что суммы uN(x,t) N первых членов ряда D.35) удовлетворяют этому тождеству с начальной функцией yN(x) = N = 2 akuk {x), и в нем можно перейти к пределу по jV->-oo. Наконец, справедливость для u(x,t) уравнения энергетического баланса (см. C.6)) следует из его спра- справедливости для всех uN(x,t) и сохранении его после пе- перехода к пределу (N-*oo). Итак, мы доказали для за- задачи D.29), D.30) теорему существования ее об. реше- О ния u(x,t) из V^°(Qr) и его представимость суммой О ряда D.35), сходящегося в норме FJ,>0(Qr) при У/Т. Об этом решении можно сказать дополнительно, что оно о . есть элемент Н7г((-0 ПРИ V/> 0 и непрерывно зависит
]84 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. Ill о W о , от t в норме Wz (Q). Это видно из равенства D.38) и оценок 0<(Л0-Л*)е2^<с@, k=l, 2,..., где c(t)= sup \%0 — K)e2U есть ограниченная на любом отрезке [е</<Г], е > 0, функция t. Более того, анало- аналогичные подсчеты и оценки показывают, что ряд D.35) можно дифференцировать почленно по / любое число раз, О . и получаемые при этом ряды сходятся в норме W2 (Q) при t > 0 равномерно по / на любом отрезке [е</<7], е>0. Если помимо C.3), C.5) выполняются предположе- предположения теоремы 7.2 гл. II, то можно воспользоваться соот- соотношениями D.34) и D.40) —D.43). Они гарантируют сходимость ряда D.35) и рядов, полученных его почлен- почленным дифференцированием по t любое число раз, в норме Wl,о (Q) при W>0, равномерную по te[e,T], Ve > 0. Если при этом от (f(x) потребовать большего, например, у(х) ^W:{Q), то, как показано в § 4 гл. II, числовой оо ряд 2а!(Ло~\) сходится- Отсюда и D.38) следует сходимость ряда D.35) при всех t ^ 0, равномерная для *е[0, Т). Кроме того, из D.42) и D.43) следует сходи- сходимость ряда в нормах, соответствующих левым частям этих соотношений. Для <р {х) е W2, о (Q) сходится числовой оо ряд 2 а* (^о — ^k)' что влечет соответствующие сходимости ряда D.35). Каждая из этих сходимостей гарантирует принадлежность суммы ряда к соответ- соответствующему функциональному пространству. Перечисленные нами результаты по сходимости ряда D.35) улавливают одно специфическое свойство уравне- уравнений параболического типа, о котором мы не говорили в предыдущих параграфах. Это свойство называется свой- свойством «мгновенного сглаживания». Оно состоит в том, что решения' и(х, t) параболических уравнений при />0 «лучше», чем при / = 0 («лучше» в смысле гладкости). «Насколько» они улучшаются, зависит от гладкости коэффициентов уравнения и свободного члена. В данном случае свободный член равен тождественно нулю (т. е.
§ 4] - ДРУГИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОД ФУРЬЕ 185 является бесконечно дифференцируемой функцией), а коэффициенты уравнения не зависят от / (т. е. являются бесконечно дифференцируемыми функциями t). Это об- обусловило неограниченную дифференцируемость и(х, t) по / при / > 0 даже для (р(х)=и(х, 0) е L2(Q). Влияние гладкости коэффициентов 2? по х было уловлено выше в нормах пространств W2{Q) и Wi,о (Я). Для параболических уравнений верен также «прин- «принцип-локальности», аналогичный «принципу локальности» для эллиптических уравнений. Но мы его определять и доказывать здесь не будем. Для неоднородных уравнений D.27), где 2'и имеет тот же вид D.28), решения задачи D.27), D.30) могут быть представлены в виде ряда и(х, t) = %akexktuk(x) + 2ijfk(T)eW-^dTUk(x), D.44) fc=I k=l О где ah = (ф, uh), a fh{t) = {f(x, t),uh{x)): Легко прове- проверить, что он формально удовлетворяет всем условиям задачи. Его сходимость исследуется так же, как и схо- сходимость ряда D.35). Предоставим читателю самостоя- самостоятельно сделать соответствующие выводы. Перейдем к описанию схемы метода преобразования Лапласа. Он применим к уравнениям общего вида C.1), если их коэффициенты не зависят от t. Будем предпола- предполагать это условие выполненным. Запишем уравнение C.1) так: = щ-%и = &(х, t), D.45) где Su = [ац (х) uXj -f at {x) u)^ — bt (х) иХ{ — а {х) и, а 9~(х, t) = f{x, t)-\ j--—• Обозначим преобразования Лапласа по / функций и(х, t) и 9~(х, t) через v(x, X) и $Г (х, X), т. е. v (Х) X) =-. | и {х, 0 е-« dt, §-{x,%)=\9~ (х, 0 е~и dt.
186 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. III Не обращая пока внимания на сходимость введенных и появляющихся ниже интегралов, выполним формально следующие преобразования: J ще~и dt = K j ue~M dt-u (х, 0) = Kv {х, К) - и (х, 0); о о ОО dt = 9?v (х, К). Ввиду этого, если D.45) умножить на е~и, проинтегри- проинтегрировать по / от 0 до оо и учесть начальное условие D.30), то результат можно записать в виде gv = Xv - (§- (х, Я) + Ф (х)). D.46) К этому уравнению надо присоединить граничное усло- условие v\s = 0, D.47) получаемое из условия «|s==0. Если задача D.46), D.47) однозначно разрешима для К из какой-либо полу- полуплоскости вида Xi = Re A ^ Ко, и решение v(x,K) доста- достаточно быстро убывает при ImA-+±oo, то его обратное преобразование Лапласа u(x>t) = 4ti J «(x,k)evdK, Я,>Я0, D.48) даст решение задачи D.45), D.30). Используя результаты гл. II и проводя необходимые оценки норм в L2(Q), Wl2(Q), Wl,0(Q) решения v(x,K) через К и известные величины, нетрудно доказать, что такой путь решения задачи D.45), D.30) всегда возмо- возможен. Мы не будем приводить здесь все эти рассуждения, равно как и окончательные результаты (которые в ос- основном совпадают с полученными выше). При желании читатель это может сделать самостоятельно, обратись к [122], где рассмотрен более сложный случай гипербо- гиперболических уравнений и даны общие указания относи- относительно параболических уравнений.
§4] ДРУГИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОД ФУРЬЕ 187 4. О «втором основном неравенстве». Для параболи- параболических операторов Ж общего вида C,1) справедливо не- неравенство, аналогичное «второму основному неравен- неравенству», доказанному в § 6 гл. II, если граница S обла- области Q и коэффициенты Ж обладают некоторой гладко- гладкостью. Коэффициенты Ж, помимо условий C.3) — C.5), должны удовлетворять требованиям даи дац dt D.49) Oh. дх, . В силу последнего неравенства Ми может быть записано короче: Ми = щ — 7г— (а{( (х, t) и Л + й{ (x, t) ux + axi ' причем |«ь а| ^ цг. Условия на S те же, что в § 6 гл. II. Как доказано в § 6, для любой функции кеИ72р0(О) справедливо неравенство (|| и |g»QJ < с || Zu ||2_ Q + сх || и И2, а, D.50) постоянные в котором определяются v и ц из C.5), ць ^2 и S. Возьмем интеграл Г (МиJ dx dt для произволь- произвольной «достаточно гладкой» функции ,и(х, t), равной нулю на 5(, и преобразуем его следующим образом: J (МиJ dxdt= J [и] - 2ut&u + (SuJ\ dx dt = -/[' dx dt = = J a4uXiuXj dx | 2ut •du)Jrfjcrff. D.51)
188 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III Отсюда в силу наших предположений о коэффициентах 2? и неравенства Коши A.3) гл. I выведем такое нера- неравенство: atjUXlux dx | _ + [«, + (i?«J] dx dt ^ aijUXiuX/ dx \{=o + c2 J \u3x + ъи] + — (u2x + «2I dx dt + D.52) с Ve > 0. Заменим \ (?Euf dxdt и \ a{iuxux dx\ меньшими величинами в соответствии с D.50) и C.5). После этого соберем подобные члены, считая е=-5—: v | и\ (х, t)dx+ | A и? + c-wj rfjc Л < < ц J и\ (х, 0) йл; + с3 | D + «2) rf* d/ + J (^"J d* dt < < ц | 4 (jc, 0) йл; + c4 J u\ dxdt+ | (J'uJ йл; dt. D.53) При этом мы учли неравенство F.3) гл. I. Если отбро- отбросить второй член из левой части D.53), то из получен- полученного неравенства выводится оценка их (х, t) dx < с5 J \ La -Qt D.54) в которой с5 (/) = v ' exp (c4v~'/) (см. в связи с этим лемму 1.1). Подставив ее в D.53), придем к нера- неравенству v J и\ (х, t)dx+ \ (| и\ + c~lu%\ dxdt^ a Qt < с6@ U J и\(х, 0)dx+ J (Muf dxdt\, D.55) | х a ыводится оценка @ Гц J и\ (х, 0)dx+ J (Muf dxdt] , La -Qt J
§ 5] МЕТОД РОТЕ 189 t где c6(t)= I -f c4 J с5(т)^т. Из него в силу D.54) и не- о равенства F.3) гл. I следует желаемое неравенство: I О/ J\ 4 I 111 О t I/O • Л ¦ (\ъ I 4 Jl _^ v ux(x, t)dx-\- -rii]+ c~x (u2XK -f ux -f и2\\dxdt^. u\(x, 0)dx+ J (MuJdxdt\, D.56) в котором с7(/) имеет тот же рост но t, что и Сб@- Его мы и называем «вторым основным неравенством» («пер- («первым» считается энергетическое—C.14)). Из проведен- проведенного доказательства видно, что мы использовали сле- следующую «гладкость» u(x,t): и, их„ их х , щ и щх суть элементы Ьг@.т)- От предположения о существовании производных щх можно было бы избавиться, но это требует некоторых рассуждений. Существенно было ис- использовано то, что u(x,t) удовлетворяет граничному ус- условию: и \s = 0. Его можно было бы заменить любым ди ди условием вида: -gr + аи =0, где -jj- есть производ- производная по направлению, некасательному к 5 и гладко ме- меняющемуся при перемещении по 5 (от 5 при этом надо потребовать принадлежность к классу С2). § 5. Метод Роте Для доказательства теорем существования и факти- фактического определения решений начально-краевых задач можно использовать метод Роте, сводящий, по существу, эти проблемы к краевым задачам для уравнений эллип- эллиптического типа. Этот метод был предложен в 1930 г. не- немецким математиком Е. Роте [24] и был обоснован им применительно к одномерному параболическому уравне- уравнению. Это обоснование дано им, естественно, в рамках классической разрешимости при условии достаточной (но не слишком завышенной) гладкости всех данных задачи.
190 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III Дальнейшие результаты по разрешимости краевых задач для многомерных эллиптических уравнений позволили без особых затруднений перенести результаты Роте и на случай параболических уравнений общего вида при лю- любом п ^ 1 (см. об этом § 16 гл. Ш [12м]). Это сделано в различных классах обобщенных и гладких решений. Мы приведем здесь обоснование метода Роте в том классе об. решений, в котором все рассуждения особен- особенно просты, а именно, в классе об. решений из W}2-°(QT\ Рассмотрим задачу C.1), C.2) и будем считать в ней лишь ради экономии места, что сц = ft = 0. Итак, бу- будем искать решение u(x,t) задачи — dt XU — U L=o E.1) E.2) где Ти^-^[ац(Xt Q-E^-bflf--аи, считая вы- выполненными условия C.3) — C.5). Рассечем цилиндр Q7. = QX@, Т) плоскостями t = kx, k = 0, I, ..., N, x = T/N, и обозначим через Qk сечение QT плоскостью t = kx. Введем для k=l, ..., N функции kx a}j{k)^a]i{x,k) = ^ | ач(х, t)dt, (ft-i)t kx bl(k) = bl(x, k)=Y J bt{x, t)dt, (ft-l)T kx ax {k) = a* (x, k) = 1 | a (x, t) dt, (ft-l)T kx f(x,t)dt. (k-l)x E.3) Они определены для всех k<^.N для почти всех х из Q» причем f (x, k)<^L2(Q), а остальные функции ограни-
§ Б] МЕТОД РОТЕ 191 чены на Q. Уравнение E.1) заменим дифференциально разностным jCu = и, (k) - Sxu (k) = Г (k), k = 1, ..., N, E.4) где u{k) = u{x, k), Га (k) ^ -?- (a?, (k) *?&) - b\ (k) Ц& - a* (k) и {k), а u{(k) s u{ (x, k) = ±.[u(k) -u(k- 1)]. E.5) Функции u(k) будем определять как решения уравне- уравнений E.4), удовлетворяющие условиям u@) = q>(*), u(k)\s = Q, k=l,...,N. E.6) При всех достаточно малых т (т^т0) u(k) опреде- ляются однозначно как элементы W2(Q) (см. § 3 гл. II)*). о Они при V"ne\^2(Q) удовлетворяют интегральному тождеству J щ (к) л (х) dx + 2х {и (k), л (х)) = {Г (k), л (*)), E.7) в котором Получим для u(k) априорную оценку, не зависящую от шага т. Для этого возьмем в E.7) г\(х)= 2ти(/г) и вос- воспользуемся соотношением 2xut (k) и (k) = «2 (k) - и2 (k - I) + %ги\ (k) E.9) и неравенствами C.3) и C 5), которые остаются спра- справедливыми и для усреднений E.3) коэффициентов 3?. Это *) Как видно из E.10), это будет при т < 1/с.
192 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II! гарантирует справедливость следующих неравенств: — 2т j (Ь]иХ1и + аи2)dx + 2% j fudx< откуда для k — l, ..., N <стЦы| +2t||/T| ||u||2 E.10) Д Aft где с= — + 2ц. Отбросим из левой части E.10) третий и четвертый члены и поделим обе части полученного неравенства на ||ы||2 fi +||«||2 Q , если эта сумма > 0. В результате, заменив в правой части выражение II"It Qt(H"ll2 ofc + H"ll2 аи У1 единицей, придем к нера- венству для т^Bс)~ . Оно верно, очевидно, и для тех k, для которых || и Ik 0 +1| « \ q = 0. Из E.11), как нетрудно R ft — 1 проверить, следует k | || и ||2j L «Г* | || и ||2j Qo + 2т |, 0 1 J ( E.12)
§ 5] МЕТОД РОТЕ 193 где (при этом мы воспользуемся тем, что ст <'/«)• Просуммируем теперь неравенства E.10).от k = 1 до k = т ^ N и воспользуемся оценкой E.12). Это даст E.14) m = 1, ..., N, где d зависит только от v, ц и Т. Нера- Неравенства E.12), E.14) дают нам оценку для «(&), с по- помощью которой можно оправдать сходимость метода Роте при -с-*0. Величины \fт|, , „ не превосходят ||/||2 , 0 .Введем кусочно-постоянные интерполяции по t для u(k) и всех остальных функций, вошедших в наши рассмотрения. Именно, будем обозначать через й%(х, t) функцию, равную функции u(x,kx) при t^((k—1)т, kx]. Очевидно, что йх(х, t) будут элементами Wl2'°(QT) и для них, в силу E.14), справедлива оценка , С?у 11 * Иг, Qj. ~~^ 2 с постоянной Сг, не зависящей от т. Устремим теперь .V к бесконечности. Благодаря E.15) из множества {йт} можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящую- о ' о ся в W9'°(Qr)K некоторому элементу u{x,t) изЯ^'Ч^г)- Убедимся, что и(х, t) удовлетворяет интегральному тож- тождеству C.15), т. е. является обобщенным решением из №'-°(Qr) задачи E.1), E.2). Тождество C.15) доста- достаточно установить лишь для гладких r\(x,t), равных нулю на ST и при t = Т. Пусть т\ (х, t) e O(Qt+x) и равна нулю на ST и при t е [Т, Т + т]. Построим по ней функ- функции r\(k)=f\(x,k), 4T(x,t) и (г^)х, где т)/(^)=- = x~l[r\(k + 1)—"п(^)]- Легко проверить, что Ч%>.~^7~ 7 О. А. Ладыженская
194 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III и ijj e= (ti()t равномерно сходятся в QT к i\, -~- и -Л соответственно, причем fjT(x, t) равна нулю для t е [Т, Т -\- х]. Возьмем в E.7) r\ =xr\(x,k) и просумми- просуммируем E.7) по k от 1 до N. Результат можно преобразо- преобразовать к виду J u{k)y\t{k)dx- J a a=i a ). Л (А)). E.16) если воспользоваться формулой «суммирования по ча- частям» 2 2) E.17) и учесть, что ti(/V)^ r](iV + 1) = 0. Равенство E.16) запишем в интегральном виде: Qt Г = J//лт</дсЛ. E.18) о а » В E,18) можно перейти к пределу по выбранной вы- выше подпоследовательности. В результате, как нетрудно проверить, получим тождество C.15). Тем самым дока- доказано, что предельная функция и(х, t) действительно есть об. решение задачи E.1), E.2) из пространства о W'>0(Qr). В силу теоремы единственности (теорема 3.2) *) Соотношение E.17) легко проверяется непосредственно.
S 5] МЕТОД РОТЕ 195 и оценки E.15) вся • последовательность {пх} сходится о слабо в W^°(QT) к и(х, t). Итак, доказана Теорема 5.1. При выполнении условий C.3) — C.5) решение задачи E.1), E.2) есть предел функций {;7Т}, вычисляемых из соотношений E.4), E.6). Обосновав метод Роте, мы по пути доказали и тео- теорему существования решения u(x,t) задачи E.1), E.2) о в пространстве W^t0(Qr). Зная несколько большую ин- информацию о u(x,t), нетрудно доказать и сильную схо- о димость йх к и в ^2>0(^г) и Даже в ^(Qr). Методом Роте можно решать и другие начально-крае- начально-краевые задачи (задачи D.1), D.2)). В них к эллиптическим уравнениям E.4) добавляется второе или третье краевое условие. Однозначная разрешимость таких задач в Wl(Q) установлена в § 5 гл. II. На основе этих резуль- результатов разрешимость задач D.1), D.2) в №^'°(Qr) Д°ка' зывается так же, как мы только что сделали для задачи E.1), E.2),
ГЛАВА IV УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА § 1. Общие сведения о гиперболических уравнениях. Постановка основных задач Напомним необходимые нам сведения из общей тео- теории гиперболических уравнений. Уравнение п+1 п+1 2 аи(х)и +^щ(х)и +au = f(x) A.1) называется гиперболическим в точке х°, если все соб- п+1 ственные значения квадратичной формы 2 ац (*°) hit не равны нулю и одно из них имеет знак, отличный от знака остальных (как всюду, аг} = ац). В точке х° такое уравнение может быть преобразовано к виду п+1 п + 1 2 bt (x°) uy. + b(xP)u = f (x% A.2) 2 h () Ут + 2 t () uy. где Я„+1(х°)>0, а Я1-(х°)<0, I =],..., п, с помощью замены переменных у = у(х) (в качестве у можно взять ортогональную систему координат с началом в точке x°t тогда Xi(x°) будут собственными значениями формы п+1 2 ац (х°)III/). Если уравнение A.1) гиперболично во i, /=l всех точках некоторой области Zfr cr Rn+\, то говорят, что оно гиперболично в области. S>. Приведение таких урав- уравнений к виду A.2) в области в общем случае невозмож- невозможно, если п -f- 1 > 2, причем невозможно даже локально (т. е. в малой окрестности точки 0)
б 1] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ 197 Вместо A.2) уравнение A.1) допускает преобразова- преобразование к виду .n+l + '?bi(y)uy. + b(y)u = j(y), A.3) n в котором форма 2 &*/(#)§*§/ положительно опреде- определена. Такое преобразование достигается специальным выбором переменных у = у(х) причем, вообще говоря, в малой окрестности точки х е 2). Более простой заме- заменой переменных у = у(х) уравнение A.1) может быть преобразовано к виду п п иУп+1уп+1 + 2 Ь i,n+l%yn+l - ^ Ьц (у) ит + га+1 + 2 Ь;, (у) иу. + b (у) u = j (у), A-3') п в котором форма 2 ftt/lil/ положительно определена. I, i=i Но и это преобразование не всегда выполнимо в произ- произвольной области ?Е>. Мы будем изучать уравнения, при- приведенные к виду A.3). Типичным представителем таких уравнений является волновое уравнение utt — c2hu = f. A.4) Методы, которые будут изложены в данной главе, при- применимы и к уравнениям (Г.З'): члены 2 входящие в A.3'), не оказывают существенного влияния ни на ход рассуждений, ни на окончательные результа- результаты. Класс уравнений A.3) достаточно широк. Он охва- охватывает все уравнения второго порядка гиперболического типа, встречающиеся в задачах механики и физики. Пе- Переменную г/n+i называют временем и обозначают через t, переменные же г/ь ..., уп называют пространственными
198 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА {ГЛ. IV и чаще всего обозначают через х(, ..., хп. Итак, нашим объектом изучения будут уравнения вида п иа — ^ ^ at, (х, t) их.х. n+l t)ux +a(x, t)u = f(x, t), A.5) l в которых форма a,-/(x, /)|tiy положительно определена, a uXn+l = ut. В пространстве Rn+i переменных (x,t) по отношению к уравнению A.5) выделяют три типа глад- гладких поверхностей: пространственно ориентированные, временным образом ориентированные и характеристиче- характеристические. Пусть поверхность задана уравнением Ф~(хи ... ..., Хп+))=0. Она называется пространственно ориен- ориентированной, если на ней выполняется условие <* (*"*) = П„+1 - *ц (*> 0 ^"^ > °- d -6) Поверхность называется характеристической, если она удовлетворяет уравнению co(<FJ = 0. A.7) На поверхностях временной ориентации должно быть выполнено условие Плоскости #" = ^— с = 0, очевидно, ориентированы пространственным образом, а цилиндрические поверхно- поверхности, образованные «вертикальными» прямыми (считаем, что ось t = хп+1 направлена «вверх»), т. е. прямыми (х, t) = {xt = х°, г = 1 л, ?е(—оо, оо)] ориенти- ориентированы временным образом. Обе полости конусов являются характеристическими поверхностями для урав- уравнения A.4).
4 i] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ 199 Сформулируем теперь для уравнения A.5) задачу Коши. Наиболее часто встречающийся в математической физике вариант этой задачи состоит в определении ре- решения и(х, t) уравнения A.5) при <е[/о, Т] и х е Rn, удовлетворяющего условиям Коши: « \t=t% = Ф (*)» Щ \t=u = *(*)• ({ 8) Функции ф(х) и ${х), задающие начальные условия, не зависят друг от друга и от уравнения A-5). Заменяя переменную t на т = t —t0, мы всегда можем добиться того, чтобы начальным моментом времени был т = 0. Кроме того, заменяя t на т =.—t, мы не нарушим пере- перечисленных выше свойств, так что задачи о разыскании решений для Т > t0 и для t <= [T, to], T < ^о, однотипны. Нетрудно проверить, что с помощью условий A.8) и уравнения A.5) можно вычислить все производные от искомого решения при t = to, если только они суще- существуют и если коэффициенты уравнения A.5), /, <р и i|) бесконечно дифференцируемы. Это обстоятельство яв- является проверкойЛнепротиворечивости условий A.8) урав- уравнению A.5), а также указанием на то, что этих условий, по-видимому, и достаточно. Задача Коши в ее общей постановке ставится так: начальные условия A.8) задаются не на плоскости t = t0, а на какой-либо пространственно ориентирован- ориентированной поверхности У, разделяющей все пространство Rn+i на две части. В одной из этих .частей надо найти реше- решение уравнения A.5), удовлетворяющее на #" условиям. Мы ограничимся исследованием задачи A-5), A.8). Общий случай сводится заменой переменных к задаче A.8) для уравнений вида A-3') и исследуется аналогич- аналогично задаче A-5), A.8). Более трудными, но и более часто встречающимися в приложениях задачами, являются начально-краевые задачи. В них решение u(x,t) уравнения A.5) ищется в какой-либо области Q с: Rn изменения х при t e [to, T]. Это решение при ^ей и t = t0 должно удовлетворять начальным условиям A.8), а при t &[t0, T] одному из
200 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV краевых условий: «lsr = xE, 0. A.10) или *L (s,i), A.11) dN sT где ST = 5 X [*o, T], S = 50, a(s, t) и %(s, t)— заданные функции, а -дтт- = at/Ux. cos (n, xt), n — нормаль к S*). В общей постановке эти задачи формулируются так; в пространстве Rn+i задана область QT, гомеоморфная цилиндру Qt = {(х, t) :j;e Q, t^(to,f)}. Ее нижнее и верхнее основания, соответствующие нижнему и верх-- нему основанию Qt, лежат на пространственно ориенти-> рованных поверхностях, а боковая поверхность, соответ- соответствующая ST, ориентирована временным образом. В Qt, ищется решение уравнения A.5), удовлетворяющее на нижнем основании начальным условиям A.9), а на бо- боковой поверхности — условию A10) или AЛ1). Если Qt может быть преобразована в Qt с помощью достаточно гладкой замены переменных, то эта задача сводится к соответствующей задаче в цилиндре Qt для уравнения A.3'), которая рассматривается так же, как и для урав- уравнения A.5). Мы уделим основное внимание задаче A-5), A.8), A.10) в QT, причем граничное условие A10) будем счи- считать сведенным к однородному. Задача A.5), A.8), A.11) рассматривается аналогично. Решив задачу A.5), A.8), A.10) для ограниченной области Q, Мы тем самым докажем разрешимость задачи Коши и задачи A.5), A.8), A.10) для неограниченных областей Q. Это свя- связано с весьма важным (характеристическим) свойством уравнений A.5): конечностью скорости распространения возмущений, позволяющей решать указанные задачи «по частям», разбивая исследуемую область на ограни- ограниченные подобласти специального вида. С доказательства этих фактов мы и начнем следующий параграф. *) В этой главе, как и в остальных, я направлена вне Q,
§2] ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО 201 § 2. Энергетическое неравенство. Конечность скорости распространения возмущений. Теорема единственности для решений из Wl + Пусть в полосе Цг={(х, t)'.x^Rn, уравнение [О, Г]} задано п+1 - + 2 а, (х, 0 иХ[ + а (х, t)u = f (x, t) B.1) (здесь, как и выше, для удобства записи ut в сумме 2jaiUx. обозначено через Цхп+А и для него выполнены условия: ац = ait, vl2 < пц (х, t) Ы, < Щ2, v > 0, B.2) и да,, dt ¦, ah a B.3) в полосе (х, 0<=Hr> a fe^2, i (Qr)> Qr = ^ где Q есть произвольная ограниченная область Rn *). Предположим, что «е1^^Юг)для VQ. Возьмем в Пт ограниченную область SDX, х ^ Т, гомеоморфную цилин- ДРУ ^CiX @,т)= {(x,t): \х\ <1,/е @,т)} и обладаю- обладающую следующими свойствами: ее нижнее основание (т.е. то, которое соответствует нижнему основанию /GX@,t)) лежит в плоскости t = 0, верхнее — в плоскости t = т, а боковая поверхность во всех точках ориентирована *) Вместо ограниченность даи dt дац достаточно потребовать локальную dt да[ ~~ЪТ 1г1/<A212. где 1,, .... 1п здесь и в B.2) суть произвольные вещественные числа.
202 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV пространственно-характеристическим образом и нор- нормаль к ней п = (<Х], ..., ап+)), направленная вне $ЬХ, образует с осью t острый угол. Такую область SDX есте- естественно назвать «конусом», сужающимся вверх (т. е. в направлении оси /). Условия на боковую поверхность Sx «конуса» ЗЬХ имеют вид: ®(n) = al+l-ai]alal>0 . B.4) и а„+1 = соз(я, 0>0, B.5) причем считаем Sx гладкой поверхностью. В остальном область 2)х произвольна. Обозначим через 3)t и St пересечения 3)х и Sx соот- + ветственно с полосой 11*, <<!т, а через Qtt — сечение 3)х плоскостью t ~ /,. Умножим уравнение B.1) на 2щ и результат проинтегрируем по SDi, t ^ т: 2 [ gu-utdxdt=2 jf -utdxdt. B.6) Левую часть B.6) преобразуем с помощью интегрирова- интегрирования по частям следующим образом: -gj- + 2aijUXjuiXl + 2aiUXlut + 2auut) dx dt — \jUxuta,ids= (u2.-\-a,,uur\d i J \ l '' *i xj/ ix.-\- 2a.ux Щ -\- 2auuA dx dt -\- Uu?:-\- а,л и \a ,. — 2auux u.aAds B.7) 2auu s't \ ( daU J \ dt
§ 2] ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО . 203 и запишем соотношение B.6) в виде y(t)+ jjds-=y(O) + ' st + U^-uXluXj-2aiuxut-2auut + 2fu)dxdt, B.8) где y{t)= [(u] + aiiuxu\dx, B.9) а через / обозначено выражение, стоящее в B.7) под знаком интеграла \ ... ds. В силу выбора области 3)х V величина / |s !>0, ибо j можно представить в виде и воспользоваться предположениями B.2), B.4), B.5). Отбросим из левой части B.8) интеграл J j ds, а инте- st грал | ...dxdt, стоящий в правой части B.8), мажо- At рируем более простым, используя условия B.2) и B.3). Это приведет нас к неравенству t y(t)<y(O) + cj y(t)dt + Cl ju*dxdt + о 3>t + 2 fll/lt «у* (О Л, B.10) о " ' постоянные в котором определяются постоянными v и (.ц из условий B.2), B.3). Оценим интеграл от u2(x,t) че- через интегралы от и2(х,0) и y(t), исходя из равенства ¦и (х, t) = u (*,0) + J щ (х, |) d%. B.11)
204 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV Возведем обе части B.11) в квадрат и проинтегри- проинтегрируем по Q(, а затем в правой части проведем нижесле- нижеследующие оценки: \ иЦх, t) dx < 2 [ и2 (х, 0) dx + 2 J (J «,(*, /) dt\ dx < с, a, a, \o / <2 [ и2(х, 0)Же + 2/ f«Jrf*rf/< 2(лг, 0)?Гл.+ 2/ J y(t)dt. B.12) Q, 0 Сложим это неравенство с B.10) и, несколько завышая правую часть полученного неравенства, результат на- напишем в виде <2z@) + (c + Cl+ 20 Jz(O# +2 Jia, „,«'/,(/)#. B-13) о о Обозначим max z(Q = z(t). Ясно, что из B.13) сле- дует неравенство z @ < 2z @) + (с + с, + 20 *г (/) + 21| /1|2 ,_ ^ «V, (/), , из которого при <sg:min(<i, т), где t\ > 0 определено равенством (с -\- cx-\-2tl)tl = lJ, получим z'/.@<4z'/.@) +411^2.,.^. B-14) Если t\ <C т, то, беря в качестве начального момента t = tu мы в силу проведенных рассуждений можем ут- утверждать справедливость неравенства ||/||2iIie(( B.14') для t ^ min {2t{; т}. В B.14') S>tl,t есть часть 2Ьи рас- расположенная между плоскостями t = t\ и / = t > tx. Неравенство B.14') справедливо для любых tx и t~>_tx из [0, т], лишь бы t—ti удовлетворяло условию
§ 2] ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО 205 (c + Ci-\-2(t— ti))(t — ti) s^ l/2- Благодаря этому для V/e[0,T] d*f < l^t> B,15) где c2(t) и c3(t) определяются постоянными v и (ii из B.2), B.3) .и величиной t. Это и есть энергетическое не- неравенство, позволяющее оценить энергетическую норму решения и(х, t) через начальные данные Коши и силу l(x, t). Для волнового уравнения 0 B.16) неравенство B.10), из которого было получено B.15), имеет вид dx, B.17) причем в качестве g)T можно взять, например, нижнюю половину любого характеристического конуса {(х, t)& е/?п+1: \х — лго|<с(т— 0, 0</<т}*). Из B.17} и B.12) следует оценка для Г («2 + «/ + c2«y dx. Вернемся к общему случаю уравнения B.1) и соот- соответствующего ему неравенства B.15), дающего априор- априорную оценку для любого решения и(х, t)&WlC)x)- Сде- Сделаем из него два заключения. Первое — теорема един- единственности для задачи Коши: Т еорем а2.1. Если для уравнения B.1) выполнены. условия B.2), B.3), то задача Коши 2u = f,u \i=0 = Ф (х), щ |/=0 = ф (х) B.18) *) Если производные и(х,() достаточно быстро убывают при Ixl-^oo, то в качестве 3)% можно взять и полосу {(x,t) e.Rn+., 0<<^т}. Для нее неравенство B.17) примет вид равенства J {и] + сги2х) dx — (u2t + c2u2x)dx, выражающего закон сохра- <-=*, /=о пения энергии, Отсюда взято название «энергетическое» для нера-. венств B.17)и B.15).
206 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV для него в Пг не может иметь более одного решения в классе функций, локально квадратично суммируемых + по (х, t) e Пг вместе со своими производными первого и второго порядка. Действительно, если и' и и" суть два решения за- задачи B.18), обладающих указанными в теореме свой- свойствами, то их разность и = и' — и" есть решение одног родной задачи: 2'и = 0, и|(=0 = 0, М(|*=о=:О. Приме- Применив к нему оценку B.15), видим, что z(t) для него рав- равно нулю, т, е. и = 0. Это верно для любой области типа 2Ь%, т •< Г, а, следовательно, и для всей полосы Пг- Бо- Более того, из B.15) следует и более сильное заключе- заключение: и' и и" совпадают в области типа i25T, если началь- начальные значения для и' и и" и соответствующие им сво- свободные члены в уравнении B.1) совпадают лишь на нижнем основании SD% и в самой области 3)% соответ- соответственно, а их поведение вне 3)х безразлично. Это обстоятельство связано с другим свойством уравнений гиперболического типа, выражающим тот факт, что возмущения, описываемые такими уравне- уравнениями, распространяются с конечной скоростью. Пояс- Поясним это, Предположим, что начальные возмущения, т. е, функции ф и г|), отличны от нуля лишь в какой-либо ограниченной области Q пространства х, а / = 0. Тогда отвечающее им решение и(х, t) (мы предполагаем, что оно существует в Пг) при V< e [0, Г] будет равно нулю всюду, кроме reQ(/) — «Y\it окрестности» области Q (т. е. совокупности точек Q и всех точек х, отстоящих от Q на расстояние, меньшее или равное Y^t)' Дей- Действительно, если точка х отстоит от Q(t) на положи- положительное расстояние d, то для точки (х, т) можно постро-" ить область типа 2)х, нижнее основание которой не пе- пересекается с Q, а верхнее (при t = т) содержит точку (х, т). В качестве 3)х мо'жно взять сферический усечен- усеченный конус с осью, лежащей на прямой {(x,t): x = x}, с верхним основанием {(х, t): \х — x\<d, t = т} и с нижним основанием {(х, t): \ х — х|< d + Y\ix, t = О}.
§ 2] . ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО 207 Если применить теперь неравенство B.15) к нашему решению и этой области 2)х, то в силу / = 0 и 2@) = О получим, что к = 0 в ?ЬХ, а потому и при х = х, t e е[0,т]. Итак, мы показали, что начальное возмущение, со- сосредоточенное в области Q, распространится за время т не больше чем на расстояние |/ц т от области Q. Но это и означает, что возмущение, описываемое решением u(x,t) уравнения B.1) с / = 0, распространяется с ко- конечной скоростью, причем эта скорость не превосходит V\i, из условия B.2). Также распространяется и воз- возмущение, обусловленное наличием силы f(x,t). Для уравнений B.16) это рассуждение показывает, что ско- скорость распространения возмущения не превосходит с. С другой стороны, формула Пуассона, выражающая ре- решение задачи Коши для уравнения B.16), показывает, что скорость распространения возмущения для него равна с. Это показывает точность сделанного нами вы- вывода из неравенства B.15) для всего семейства гипер- гиперболических уравнений B.1). Сформулируем доказанное в виде теоремы: Теорема 2.2. Гиперболические уравнения B.1) опи- описывают распространение возмущений, скорость которых не превосходит Ур, из условия B.2). Благодаря свойствам, установленным в теоремах 2.1 + и 2.2, решение u(x,t) задачи Коши B.18) в полосе Пг + можно находить «по частям», разбивая Пг на конечные области типа 2ЬХ- Если, положим, нас интересует и(х, t) для (х, t), принадлежащих какой-либо ограниченной об- области Qell2', то нет необходимости (в отличие от эл- эллиптических и параболических уравнений) находить и(х, t) во всей Пг- Достаточно Q заключить в ограни- + ченную область типа $ЬХ еПг с основанием на плоско- плоскости ( = 0 и определить и(х, t) лишь в 3)х. Более того, 3)% можно, в свою очередь, заключить в цилиндр Qt = ¦= {ЙХ[0 ^ t ^ т.]}, нижнее основание которого содер- содержит в качестве своей внутренней подобласти нижнее
208 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV основание ЗУХ, и затем вместо задачи B.18) решать пер- первую начально-краевую задачу 2"u = f, u\t=o = y{x), «iL=o = 4-W, «Ic =0 B.19) X с функциями ф(х) и ty(x), совпадающими с ц>(х) и ty(x) на нижнем основании 3)х и равными нулю вблизи дО.. В силу теоремы 2.1 решение задачи B.19) будет совпа- совпадать в SDX (а тем самым и в Q) с искомым решением задачи B.18). Этот путь решения задачи B.18) не всегда является наилучшим, особенно если речь идет о фактическом вычислении и(х, t). Для простейших уравнений гиперболического типа, например, для урав- уравнений A.4), имеются сравнительно простые формулы, определяющие решение и(х, t) задачи Коши по /, ф и г|) (для однородного уравнения A.4) — формула Пуассона, а для неоднородного — формула Пуассона — Кирхгофа). Нет никакой необходимости привлекать начально- краевую задачу и при решении задачи Коши методом конечных разностей, который мы излагаем в гл. VI. Кроме того, задача Коши допускает и другие «классиче- «классические» методы исследования, в том числе метод аналити- аналитической аппроксимации (см. известные работы Ю. Шауде- ра [25г], И. Г. Петровского [18|] и др.) и далеко идущие обобщения теории потенциалов, сводящие задачу к ис- исследованию интегральных уравнений (см. знаменитые исследования задачи Коши Ж Адамара [73], «обобщен- «обобщенный метод Кирхгофа», предложенный С. Л. Соболевым [234], и др.). Задача Коши исследована не только для одного гиперболического уравнения, но и для уравнений и си- систем гиперболического типа любого порядка (см. ра- работы Р. Куранта, К. Фридрихса, Г. Леви, И. Г. Петров- Петровского, Ж. Лерэ, Л. Гординга и др.). Однако для одного гиперболического уравнения второго порядка вида B.1) выбранный нами путь дока- доказательства однозначной разрешимости задачи Коши, как частного случая первой начально-краевой задачи, имеет несомненные преимущества (хотя бы методичес* кого характера).
§ 3] ПЕРВАЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 209 § 3. Первая начально-краевая задача. Разрешимость в W\(Qt) В данном параграфе мы исследуем разрешимость первой начально-краевой задачи для уравнений B.1), т. е. задачи нахождения функции и(х, t) в Qt = Q X Х@, Т), где Q — произвольная ограниченная область в Rn, удовлетворяющей требованиям: Как и всюду, мы считаем граничное условие сведенным к однородному. Пусть ff=L2.i{QT), cpelH(Q), ij>e=L2(Q), C-2) и для 9? выполнены условия B.2), B.3). Покажем, что для решений и(х, /)eWi(Qr) задачи C.1) в предполо- предположениях теоремы 2.1 можно дать априорную оценку типа B.15), а именно = // (и2 + и] + aijUx.ux} dxX C.3) t e [0, Т], с теми же функциями c2(t) и с3@. что и в неравенстве B.15). В данном параграфе Qt, есть сече- сечение цилиндра QT плоскостью t = /,, Для доказательства ХЗ.З) рассмотрим равенство 2 J gu-utdxdt = 2 ^fUfdxdt. Qt Qt Из него так же, как и в § 2 из B.6), получим B.8) с той разницей, что интеграл по St обратится в силу условия и \Sj, = 0 в нуль*). Все дальнейшие выводы §2 из B*8) сохраняют свою силу и приводят к C.3). Из C.3) следует теорема единственности для реше- решений задачи C.1) из пространства Wl(Qr). Однако мы *) При плохой границе Q обращение и и и( в нуль пони- понимается в том смысле, что и и ut принадлежат пространству №'2i0(Qr), определяемому ниже.
210 - УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV хотим установить более сильную теорему единственно- единственности для обобщенных решений из W2(Qt). Это вызвано тем, что именно в этом классе легче всего доказать раз- разрешимость задачи C.1). В соответствии с подходом к краевым задачам, описанным в гл. II и III, назовем обобщенным решением из пространства WI(Qt) задачи C.1) функцию и(х, t), принадлежащую W2\o(Qt), рав- равную ф(х) при ( = 0 и удовлетворяющую тождеству (— u?i\t -f пцих .т^. -f aiUXjr\ -f аиц) dx dt ~ Qt — J tn(*, O)dx= J /ti rfjc rf^ C.4) a qt при Vt] e #2, о (Qt)- Здесь под ^2,o(Qr) понимается за- замыкание в норме W\(Qt) множества всех гладких в QT функций, равных нулю вблизи St, a wI,o(Qt) состоит из элементов W2,o(Qr), равных нулю при t=T. То, что такое определение имеет смысл и действи- действительно является расширением понятия классического решения, проверяется так 'же, как это было сделано в гл. II. Надо при этом вспомнить свойства элементов W\(Qt) и Wl2, о (Qt), перечисленные в гл. I (см. § 6), в частности, то, что они определены на каждом сече- сечении Qt как элементы L2(Q) и непрерывны по t в норме L2(Q). Докажем теорему: Теорема 3.1. Пусть коэффициенты 3?, помимо B.2), удовлетворяют условиям дац max —тг-, -J-, ait а <ц,. . C-5) Тогда задача C.1) может иметь не более одного об. реше- ния из W2(Qt). Вместо дх. можно потребовать dt Пусть задача C.1) имеет два обобщенных решения и'и и" из Wi(QT). Тогда их разность и = и' — «" э
§ 3] ПЕРВАЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 211 ^W2,o(Qt), удовлетворяет тождеству C.4) с / = г]) = О и при t = 0 обращается в нуль. Возьмем в этом тождестве О при Ь < t < Т, t , t) \ и(х, x)d% при C.6) Нетрудно показать, используя определение об. производ- производных, что r\(x,t) принадлежит классу W\,о(<2г)и имеет в <2б = ОХ@, Ь) обобщенные производные r\tx — ux, суммируемые со второй степенью по Qb- Кроме того, т], Цх и и являются элементами L2(Q), непрерывно за- зависящими от /<=[(), Г]. Подставим ц из C.6) в C.4) с f = 1|з = 0 и выразим и, ut и их через у\ и ее производ- производные. Это даст после изменения знака в C.4) J [ibTk — а*/1Ъ/Че, — at4tx.4 — а^т]]dxdt = 0. C.7) Интегрируя первые три члена и учитывая i\t\(-_0=u |<_0=0 и Tjjj. |/==ь == 0, получим соотношение - J [т^Г *&, + аЛч\н + (^ - а)ад] dxdt, Q из которого в силу C.5) следует J Шх, Ь) + a,;TL tU _ \dx<c\ (yfx+yft+yf)dxdt, C.8) где с зависит только от p,j. Введем функции Vi{x,i)=- о * = J uX{(x, x)dx. В силу C.6) тц= J ыХ/(лг,т)йт=оН^.6)— * • ъ ~Vi(x,t), t^.b. Кроме того, для почти всех х е Q 6,t n2rf/= Г (Г в о V&
212 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV. Ввиду этого из C-8) следует неравенство J [иЦх, Ь) + аИ (х, 0) vt (x, Ь) vs (x, b)] dx < It C.9) из которого, в свою очередь, используя условие B.2), получим J и2 (х, Ь) dx + (v- 2bc) J J о» (аг, Ь) dx < Qb \i-i A C.10) где с, = сB + 62). Воспользуемся теперь произволом О, ~г- коэффициент v — 2bc~^-^, а и(аг, 6) и V{(x, b) при 6 = 0 равны нулю. Это в силу леммы 1.1 гл. III гарантирует, что из C.10) следует и (аг, Ь) = 0 и о4 (а-, Ь) == 0 при 6 <= Го, -^-1. Повторяя рассуждение для /g |у-, у-1, убедимся, что и(х, /) = 0 на этом промежутке. И так в конечное число шагов докажем обращение и(х, t) в нуль для всех t е- [0, Т]. Если условие заменить усло- в и ем i, то член ; = J —atr)tX{4dxdt в C.7) надо преобразовать так:
§ 3] ПЕРВАЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 213 Кроме того, прибавим к обеим частям C.7) слагаемое J Atj2 (аг, 0) dx = - J 2A%tj dx dt, a Qb в котором постоянная % выбрана так, чтобы при любых т) и у\Х[ выполнялось неравенство Это приведет к неравенству J к (*'6) + VX (^ °) + viTi2 (*' °)]dx типа C.8). Из него же, как показано выше, следует «(х, 0 = 0. Перейдем теперь к теореме существования: Теорема 3.2. Пусть коэффициенты 3? удовлетво- удовлетворяют условиям B.2) и дпи C-11) max -,, , ct{, Qt dt .Тогда задача C.1) имеет обобщенное решение из WI(Qt) для feL2,i (Qt), феГ1й и г|) е L2 (Q). Для доказательства воспользуемся методом Галер- кина. Пусть {фа(аг)} есть фундаментальная система в W\(Q) и (фА, ф/) = 6а. Приближенное решение «^(аг, /) ищем в виде «w«= 2 ^(Оф^М из соотношений -=(/, Ф/), /=1 N, C.12) И
214 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV N где а^ суть коэффициенты сумм флг(лг)=2 а^фА(*)> аппроксимирующих при N—> оо функцию <р(лг) в норме Wl(Q,)- Равенства C.12) являются системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по t для неизвестных c^{t), k— 1, . • •, N, раз- разрешенной относительно ~jn-- Коэффициенты ее суть ограниченные функции, а свободные члены fi = (f(x,t), eL|(O, T). Эта система однозначно разрешима при начальных данных C.13), причем ,-2 s L; (О, Г). Для u-v справедлива оценка C.3). Действительно, умно- умножая каждое из равенств C.12) на свое "j7civ@ и сум- суммируя по / от 0 до N, придем к равенству из которого и было выведено неравенство C.3) (см. § 2). Правая часть C.3) для uN мажорируется постоян- постоянной, не зависящей от N и t е [О, Т], так что J [(«"J + (u»f + (ufJ] </лг < с, t s [О, Г], C.14) и тем более II «Ч?^ с,. . C.15) Благодаря C.15) из последовательности {иЛ}, Л/ = 1, 2, ..., можно выбрать подпоследовательность (за которой мы сохраним то же обозначение), сходя- сходящуюся слабо в W\ (Qt) *) и равномерно по /е[0, Т] в норме L2(Q) к некоторому элементу u^WI,o{Qt) (cm. § 1 и § 6 гл. I). Покажем, что и(х,t) есть обобщенное решение задачи C.1). Начальное условие и|/=о = ф(*) *) Т. е. uN, uf и и^ сходятся слабо Bf L2(QTy
§ 3] ПЕРВАЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 215 будет выполнено в силу только что отмеченной сходимо- сходимости us(x,t) к и(х, t) в L2(Q) и того, что uN(x,0)->ф(а') в L2(Q). Для доказательства же справедливости тожде- тождества C.4) для и(х, t) поступаем так же, как в § 3 гл. III. А именно, умножим каждое из соотношений C.12) на свою функцию di{t)s= W\(О, Т), di(T)=0, полученные равенства просуммируем-по всем / от 1 до N и проинте- проинтегрируем по t от 0 до Т. После этого в первом члене проведем интегрирование по частям, перенося ^- с в" N на ц = 2 d[ (t) Фг (аг). Это даст тождество Г f— ufy\t -f аципху\х -f atuNx4\ -f auNr\\ dxdt — Qt i i i dx= J fy\dxdt, C.16) справедливое при Vt] вида 2 ^г @ Фг (х). Совокупность таких ц обозначим через ffir?. В C.16) можно перейти к пределу по выбранной выше подпоследовательности при закрепленном г\ из какого-либо 2)?л- . Это приведет к тождеству C.4) для предельной функции и при оо УлеЗИдг,. Но[J Ж» плотно в wIMQt), а u<=W12,0(Qt), N=1 следовательно, C.4) будет выполняться для и(х, t) при Vti e#i о (Qt). Итак, мы доказали, что предельная функция и(х, t) есть обобщенное решение из Wz(Qt) задачи C.1). Если вместо C.11) выполнены несколько более сильные усло- условия теоремы 3.1 (так что для задачи C.1) будет спра- справедлива теорема единственности 3.1), то нетрудно по- понять, что вся последовательность {и1*}, N = 1, 2, ..., бу- будет сходиться к и слабо в W^Qt). Для полученного нами решения1 и(х, t) справедливо неравенство C.15), или, что то же, неравенство \\г,й+ и/it.,.«г)- (зл7)
216 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV. § 4. Об исследовании гладкости обобщенных решений В § 3 мы установили существование обобщенных ре- решений задачи C.1) из W\(Qt). Покажем, что при не- несколько более сильных предположениях о данных зада- задачи они принадлежат W\ (Qt). Именно, пусть помимо условий B.2) и B.3) в QT = QX@,T) коэффициенты уравнения B.1) удовлетворяют условиям I aijn, пц, ui, ацх | ^ fj,2i D.1) свободный член / имеет производную // и ft^L^iQr), D-2) а начальные функции обладают свойствами. фЕ^гйП^Й. ty^Wl(Q). D.3) Тогда справедлива теорема: Теорем а 4.1. При выполнении условий B.2), B.3), D.1) — D.3) обобщенное решение u(x,t) из WI(Qt) за- задачи C.1) имеет производные utt и щХ{ из L2(QT) и II и (х, 0 — \|> Ik a-* Onput-* +0. Мы докажем существование у задачи C.1) обобщен* ного решения, имеющего свойства, указанные в теоре» ме 4.1. В силу теоремы единственности (теоремы 3.1)' оно совпадает с об. решением из W2(Qt), гарантирован- гарантированным теоремой 3.2. Для доказательства существования такого решения снова воспользуемся методом Галерки- на, взяв в качестве базиса {щ(х)} фундаментальную систему в ?2(Й)П^'(Й), ортонормированную в L2(Q). Приближенное решение uN(x,t) ищем в виде uN =* N — 2 с?@флМиз соотношений C.12) и начальных ус- условий cN @) = aN с \v) — % D.4) где а^ и р^ подбираются так, чтобы суммы <piV (*)«=* N N ¦= 2 а^Фй (х) и tyN (х) ~ 2 Р^ФА (х) аппроксимировали
О ГЛАДКОСТИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИИ 217 ф и ty(x) в нормах пространств Wl(Q) и №г(й) со- соответственно. Для так построенных uN(x,t) нормы \\uN{x, 0)|2»Q и \uf(x, 0)|"а ограничены равномерно по N. В силу этого и предположений теоремы 4.1 из C.12) следует, что |м$(*, 0)[| также ограничены равномер- равномерно по N. Это нетрудно проверить, умножив каждое из C.12) на —gp- и сложив по / от 1 до N. Коэффициенты cf(t), однозначно определяемые' C.12), D.4), имеют производные по t до третьего порядка включительно (что нетрудно проверить, используя условия теоремы). Продифференцируем C.12) по t, затем умножим на j2 N й ci и просуммируем по / от 1 до N. В результате dt2 'получим равенство f + ^й) ^ - (ft> "«)¦ D-5) Представим первые три члена в виде: («Я*.«й)=т-я-№ А- и, подставив их в D.5), проинтегрируем D.5) по t от О до t. Это дает соотношение t с= \ \—(а uN uN \A- (a uN 4- a uN uN \ — J L 2 \ Ut tx:' utx.) i \aiittuXj i aatutx,> utx.J о <f + «i^ + < + «t«'V - /i. «Я)] dt> (
218 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА |ТЛ. IV первый член которого имеет тот же вид для функции v=-m, что и первый член левой части B.8) для функ- функции и. Из D.6) с помощью энергетического неравенства C.14) выводится неравенство КЕ0,+КДа,<с' Ш[О'Т]' D-7) и тем более неравенство К И +К1 <с D-8) II il 1B, Qj- И txh,QT v ' с постоянной с, не зависящей от N. Этот вывод аналоги- аналогичен выводу энергетического неравенства B.15) из соот- соотношения B.8), причем он даже несколько проще, ибо в . D.6) не входят интегралы по боковой поверхности. Правда, в D.6) есть «лишний» по сравнению с B.8) член j = (aljtu%, и?А . Его надо оценить так:| / |<е[ и^Ц-f + се||и^||. взяв e = v/4 и затем воспользоваться уже имеющейся оценкой C.14). При написании мажо- мажоранты с в D.7) мы учли, что левая часть D.7) при / = 0 мажорируется постоянной, не зависящей от N. Оценка D.8) вместе с оценкой C.15) позволяет выпол- выполнить предельный переход по N —*¦ оо и заключить, что некоторая подпоследовательность {uNk} сходится в Lz(Qt) вместе с производными первого порядка н про- производными ы^*, ы^й к искомому решению u(x,t) за- задачи, обладающему свойствами, указанными в теореме. В силу теоремы единственности (теоремы 3.1) на самом деле вся последовательность {uN} сходится к этому ре- решению. Для u(x,t) (в силу D.8)) справедливо неравен- неравенство 2,,5г ,,5г] D.9) а также неравенство C.17). Следствие 4.1. Если к условиям теоремы 4.1 доба- добавить предположение, что 6fi e С2, то решение u(x,t) задачи C.1) имеет производные их.х. из L.2(Qt), так что «eF2(Qr), Если же границу Q не предполагать глад-
§4] О ГЛАДКОСТИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 219 кой, то производные иХ[Х квадратично суммируемы по \fQi = Q' X (О, Т) с VQ' c= Q. Такое решение удовле- удовлетворяет уравнению B.1) для почти всех (.t,/)eQr. Действительно, решение u(x,t), гарантированное теоремой 4.1, удовлетворяет уравнению SB и = f в форме C.4), а также и в форме dxdt= J }ц dxdt,(i.lO) (ч+ цх.\ + 1х.П) Qt ' ' Qt где т] есть произвольный элемент w2'°(Qt) (это про- пространство определено в § 1 гл. III). Тождество D.10) можно вывести из C.4), а также.и независимо, исполь- используя то, что для uN D.10) имеет место при \/ц(х, t) вида 2<М0<Р/М, rf,@ei,(O, Г). Возьмем в D.10) ц(х, t) =%(t)<D(x), где х@ — про- произвольный элемент Ь2@,Т), а Ф(х)—произвольный о . /• элемент W<2.{0), и запишем интегралы ... dxdt как г повторные интегралы вида Г %(t)( \ ... dx]dt. В силу 0 \Q / достаточного произвола в выборе %(t) из D.10) будет следовать, что для почти всех t из [0, 7'] («хороших t») выполняется тождество J (аци au<S)dx= j (—utt+f)®dx. D.11) ut Но это тождество означает, что и(х, t) при таком «хоро- о . шем t» есть обобщенное решение из W2 (й) для соответ- соответствующего эллиптического уравнения со свободным членом —«/( + /• В силу теоремы 7.3 и замечания 7.1 гл. II это решение фактически имеет производные икх, причем в случае дп е С2 uXiXj e L2(Qt), а в слу- случае произвольной Q uXiXj e L2 (Q') для VQ'c= Q. Более того, оно удовлетворяет уравнению в обычной форме,
220 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV т. е. в форме B.1). Из B.1) и C.17), D.9) следует, что \\uxx\\2.Q (соответственно \\uxx\\>,q>\ мажорируется теми нормами ф, г|), f, которые входят в C.17) и D.9). Следствие 4.2. Пусть коэффициенты 9? удовлетво- + ряют в полосе ПГ = {(х, t): x e Rn, t e [0, Т]} условиям B.2), B.3) и D.1), функции f (x, t) и ft(x,t) принадле- принадлежат L2,i(Q?),jp(Jc)e^(/C«), a ^eWliKid, где Q^ = *={(x,t);.xe=KR, *е=[0, Т]}, KR = {х: | х |< R} и R- произвольное положительное число. Тогда задача Коши B.18) имеет единственное решение и(х, t), принадлежащее Wi№) при VR>0. Это следствие вытекает из следствия 4.1 и результа- результатов § 2. Постоянные v1, ц и ц{ в неравенствах B.2), B.3) и D.1) могут неограниченно расти вместе с радиу- радиусом R области Qt, в которой берутся аргументы (х, t) коэффициентов 3? в этих неравенствах. Надо только предположить, что области типа 2DX (см. § 2) суще- + ствуют и в совокупности исчерпывают всю полосу Пг (это накладывает ограничение на зависимость ц из B.1) от Я). Итак, мы показали, как можно доказать существо- существование у об. решения задачи C.1) производных второго порядка, если известна соответствующая гладкость дан- данных задачи и нужный порядок согласования начальных и граничных условий и уравнения. В случае теоремы 3.2 выполнялось условие согласования нулевого порядка, что выражалось в требовании равенства нулю ф(х) на S — условие ф (х) е №2 (Q). Это находится в соответствия с тем, что в силу граничного условия и на ST равно нулю. Следующий порядок согласования учитывает об- обращение в нуль ut на Sx{0} = SO, что было выражено о . нами требованием: -ф (х) е W2 (Q). Во втором порядке согласования речь идет о непротиворечивости на множе- множестве So граничного условия, начальных условий и са- самого уравнения B.1). Именно, из граничных условий вытекает, что «//lsr = 0; с другой стороны, ы(( на ниж- нижнем основании, в том числе и на So, определяется из уравнения B.1) и начальных данных, так что надо
§ 4] О ГЛАДКОСТИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 221 требовать обращение в нуль на So выражения п 2 — «n+i^ — «Ф + f ls, = «« (s, = 0- Все следующие порядки согласования приводят к со- соответствующим требованиям на данные задачи, вызван- вызванным обращением в нуль на St производных Dfu. Ана- Аналогично исследуется дальнейшее увеличение гладкости решения задачи C.1) в зависимости от увеличения глад- гладкости данных задачи и порядка согласования. Общий план этого таков: сначала доказывается повышение глад- гладкости по t, а потом по Xi (для чего привлекаются соот- соответствующие результаты об эллиптических уравнениях). Мы не будем приводить получаемые на этом пути ре- результаты (см. об этом гл. III [122]). Вместо этого иссле- исследуем другой класс об. решений задачи C.1), который естественно назвать «энергетическим». Он несколько уже класса об. решений vl3W\{Qt), но шире класса об. решений из теоремы 4.1. Этот класс интересен ввиду двух фактов. Во-первых, именно в нем удается устано- установить специфическое свойство гиперболических уравне- уравнений: доказать, что решение и(х, t) имеет ровно те же дифференциальные свойства, которые предполагаются выполненными в начальный момент времени (напомним, что для гиперболических уравнений направление оси времени безразлично: все задачи одинаково решаются как в сторону возрастания t, так и в сторону убывания). Иначе говоря, в терминах этого класса мы получаем «продолжаемые начальные условия». Этим свойством обладает не только этот класс об. решений; «продолжае- «продолжаемые начальные условия» могут быть выражены в тер- терминах всей шкалы пространствами) (т. е. в требова- требованиях и(х, О)е^(й), Щ(х, 0)еГ2"'(й) плюс соответ- соответственные условия об обращении и(х, 0) и щ{х, 0) в нуль на S). Однако энергетический класс об. решений является в определенном смысле главным среди осталь- остальных, что связано со вторым его свойством, имеющим непосредственное отношение к закону «сохранения энергии». Мы поставили кавычки, ибо в общем слу- случае, описываемом уравнением B.1), энергия системы не
222 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. IV сохраняется: в систему входят внешняя сила f(x, t) и дис- сипативные члены а-,их Более того, мы считали, что и характеристики среды могут меняться со временем (ко- (коэффициенты в B.1) могли зависеть от t). Но если / = О, а{ = О и коэффициенты не зависят от t, то энергия си- системы, выражаемая интегралом = i J ("? + ai, /"*А/ + а)dx' не зависит от t. Ввиду этого естественно назвать об. решением зада- задачи C.1) из энергетического класса функцию u(x,t), при- О j надлежащую W2 (Q) при V/ е [О, Т] и непрерывно ме- меняющуюся в зависимости от t в норме W\ (Q); кроме этого, ее производная щ должна существовать как эле- элемент L2(Q) при We [О, Т] и непрерывно меняться по / в норме L2(Q). Начальные условия должны приниматься о по непрерывности в пространствах W^(Q) и Z-2(Q) соот- соответственно, а уравнение — удовлетворяться или в смысле тождества C.4), или (что то же) в смысле тождества J uti\ dxAr J (— uti\t + ачих.цх. + а{их.ц + аиц) dx dt — — J ipi\dx= J f^dxdt, V/e=[O, 7], D.13) где ц — произвольный элемент W\,o(Qt)- Наконец, для них должно быть выполнено.энергетическое соотношение (являющееся для общего случая уравнения B.1) экви- эквивалентом закона сохранения энергии) Qf = \futdxdt, V/s[O, 7]. D.14)
§ 4] О ГЛАДКОСТИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 223 Из этого равенства выводится «энергетическая оценка» (О Г J («2 + и] + «2) rfjc' + J || / ||2i л] . D.15) Делается это аналогично тому, как из B.7) было полу- получено неравенство B.15). Непрерывная функция c(t), во- вообще говоря, монотонно растет с увеличением t и опре- определяется лишь постоянными из условий теоремы 3.2. Легко понять, что об. решения, гарантированные тео- теоремой 4.1, являются об. решениями этого класса (для проверки этого надо лишь.вывести D.14) из D.10). Для этого надо взять в D.10) в качестве ц(х,t) функ- функцию, равную нулю при t^[tu Т] и равную ut(x,t) при / е [0, ^]. Это приведет к равенству, из которого D.14) получается в результате преобразований главных чле- членов, аналогичных преобразованию, выполненному в B.7)). Обобщенные же решения из энергетического класса являются об. решениями из W\{Qt). Существо- Существование об. решений задачи C.1) из энергетического клас- класса можно доказать при предположениях несколько более сильных, чем. предположения теоремы 3.2, но более сла- слабых, чем предположения теоремы 4.1. Теорема 4.2. Пусть коэффициенты уравнения из C.1) удовлетворяют условиям B.2), B.3) и \ацц, aifx\^\i2, D.16) и пусть ФеГ1й, i|>eL2(Q), /e=I2.i(Qr). D.17) Тогда задача C.1) имеет об. решение из энергетиче- энергетического класса, и в этом классе об. решений справедлива теорема единственности. Теорема 3.2 гарантирует существование по крайней мере одного об. решения и(х, t) задачи C.1) из класса ^2 {Qt)- Обозначим вычисленное с его помощью выра-
224 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV жение —uiUx. — au-\-f через &~ {х, t) (очевидно, что ^" е L2, i(Qt)) и перепишем уравнение S'u = f в виде ^о« ^ иа - (ачиХ/)Х[ = $- (х, t). D.18) Наша функция и(х, t) есть об. решение из класса' W\{Qt) для уравнения D.18) и начально-краевых условий причем в силу теоремы 3.1 оно единственно для задачи D.18), D.19) в классе об. решений из W\{QT). Покажем, что оно обладает свойствами, указанными в теореме 4.2. Для этого аппроксимируем &~, ф и -ф функциями g~(m\ ф("») и -ф<т), удовлетворяющими условиям теоремы 4.1, в нормах Z-2,1 (Qr). Wl(Q) и Z.2 (Q) соответственно. В силу теоремы 4.1 им однозначно соответствуют решения uW{x, t) задачи D.18), D.19), в которых вместо Зг, ф и rj) поставлены #"(»'>, ф(т) и ф(»«). для ц(;п) справедливы энергетические соотношения, которые для уравнения D.18) имеют вид с Г (^"(m>, u(tm^dt. D.20) 2 11 < ic, u0 i. \ •• ¦*] ~i /й Разности um> p = ы(т)(ж, 0 — ы(р) (х, /) суть решения той же задачи D.18), D.19), но с Зг, ф, г|}, замененными на Для них также справедливы соотношения вида D.20). Из этих соотношений легко получить оценку с постоянной с, не зависящей от т и р. Из нее следует сходимость ыт(х,/) к некоторой функции v(x,t) в нор- норме, определяемой левой частью D.21). Нетрудно прове- проверить, что эта функция есть об. решение задачи D.18), D.19) из энергетического класса. В частности, для нее
$ 5J О ДРУГИХ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ 225 справедливо соотношение вида D.20). Но, с другой сто- стороны, мы знаем, что задача D.18), D.19) имеет об. ре- решение u(xj) из класса Wl2{QT). В силу теоремы 3.1 оно совпадает с v(x, t) и потому обладает теми свойствами гладкости, которые требуются теоремой 4.2. Если вспо- вспомнить теперь выражение для &~(x,t), то из всего ска- сказанного легко понять, что u(x,t) является об. решением задачи C.1) из энергетического класса. Осталось дока- доказать последнее утверждение теоремы 4.2 —• теорему единственности. Она не вытекает из теоремы 3.1, так как теперь мы не предполагаем существования производных ац. Пусть задача- C.1) имеет два решения и' и и" из энергетического класса. Тогда их разность v(x,t) может быть рассмотрена как об. решение из класса WI(Qt) задачи D.18), D.19) с 9~ = —ciiVXi — av, ср = 0 и if = 0. Но каждое такое решение, как установлено выше при доказательстве первой части теоремы, является и об. решением задачи из энергетического класса. В частно- частности, для него справедливо энергетическое соотношение вида D.20), т. е. II?. а, /' vH%t — J (°'Л°*у v*i)dt = о t = 2 J (- aivx. - av, vt)dt. D.22) При его написании мы учли выражения для Зг, ф и ф. Но D.22) совпадает с D.14), в котором /, и(х,0) и щ(х, 0) положены равными нулю, а из D.14) следует D.15), поэтому v гз 0, т. е. ы' и и" совпадают. Теоре- Теорема 4.2 доказана. § 5. О других начально-краевых задачах Начально-краевые задачи где -^- = aifux cos nx(, могут быть решены, как и за- задача C.1), методом Галеркина. Единственное отличие в 8 О. А. Ладыженская
226 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. IV N построении аппроксимаций «^=2 с«Ч0Ф*(*) состоит в том, что на этот раз функции {q>h(x)} должны обра- зовывать базис в W2 (Q), а не в №г(О). Вся остальная часть, касающаяся вычисления uN и доказательства схо- сходимости uN к и, аналогична § 3. Так же доказывается и теорема единственности обобщенного решения задачи E.1) в классе Wi(QT). Обобщенное оке решение u(x,t) задачи E.1) из пространстваШ\{С1т) определяется как элемент WI(Qt), равный ф(х) при t ¦= 0 я удовлетворяющий тождеству j (— «м + а</Их/гц + «г"х(т1 + аит\) dx dt -f Qt -f \aur\dxdt— \щ{х, O)dx= J fr\dxdt E.2) ST i>. QT при любой функции r)(xj) из W\{Qt), равной нулю при / = Т. Если а Ф 0, то от границы Q надо потребовать некоторой регулярности (такой же, как в § 5 гл. II). Подытожим сказанное в виде теоремы: Теорема 5.1. Пусть для коэффициентов 3? выпол- выполнены условия B.2) и B.3) в QT, а функция a(s,t) в краевом условии ограничена вместе со своей производ- производной at. Тогда задача E.1) имеет обобщенное решение u(x,t) из WI(Qt) для любых f из L2,i(QT), Ф из Wl2(Q) и ф из L2(Q). Если помимо перечисленных условий а\ имеют ограниченные в Qt производные ~- или -г—-, то для задачи E.1) имеет место теорема единственности в классе обобщенных решений из W\{QT). Указание к доказательству теоремы 5.1. При выводе энергетического неравенства и доказа- доказательстве теоремы единственности имеется интеграл auutdsdt. Его сначала надо преобразовать к виду J аищdsdt=-~ | atu2dsdt+~ J аи2ds |?J,
eat o §8] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД 227 а затем для оценки Гuzds использовать неравенства J (ей* + се«2) dx < t < e J u\ dx -f 2ce J ы2 dx + 2ce* J 'и8 d* dt, E.3) в которых в качестве г можно взять любое положитель- положительное число (см. F.24) гл. I и B.12) гл. IV). § 6. Функциональный метод решения начально-краевых задач Для фактического нахождения решений задач C.1) и E.1) с 3? общего вида можно использовать метод ко- конечных разностей. Он будет изложен в гл. VI. Здесь мы опишем функциональный метод решения задачи C.1), аналогичный методу § 2 гл. III. Он основан на доказа- доказательстве теоремы единственности для обобщенных реше- решений из класса L2(Qt), из которой «почти даром» следует теорема существования об. решений из энергетического класса. Этот метод, данный нами в 1954 г. (см. [126,7, s]), применим не только к широким классам дифференциаль- дифференциальных уравнений любого порядка и систем гиперболиче- гиперболического типа, но и к задаче Коши для операторных урав- уравнений вида где Si(t) суть неограниченные операторы в гильбертовом пространстве Я, зависящие от параметра t\ u(t) и f(t) суть элементы Я, зависящие от /, а ф и ф — элементы Я. При определенных условиях на Si(t), обеспечивающих гиперболичность задачи F.1) и гладкую зависимость Si(t) от t, доказана однозначная разрешимость задачи F.1) (см. [12у]). Условия на 5г-(/) таковы, что за- задача Коши и первая начально-краевая задача для
228 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. IV гиперболических уравнений B.1) и так называемых сильно гиперболических систем (к ним, например, отно- относится нестационарная система уравнений теории упру- упругости) оказываются частными случаями задачи F.1) и, следовательно, их однозначная разрешимость вытекает из однозначной разрешимости абстрактной задачи Коши F.1), установленной в работе [127] (см. по этому поводу работу [128], в которой сделаны эти выводы из резуль- результатов работы [12т]). Аналогичный метод дан нами и для нестационарных уравнений других типов: параболическо- параболического, типа Шредингера, линеаризованной системы уравне-* ний Навье — Стокса (см. [127,в])- Он позволил исследо- исследовать начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла ([3]) и ряда других систем механики ({10], [27] и др.). Проиллюстрируем этот метод на примере первой на- начально-краевой задачи для волнового уравнения .^и = ы„ — Аи =/, «|г=0 = ф, и, |<=0='Ф. «lsr = 0, F-2) в QT = Q X @, Т), где Q — ограниченная область, счи- считая f^LziQr). Пусть граница Q обладает свойствами, описанными в теореме 7.2 гл. II и гарантирующими однозначную разрешимость в Wz(Q) задачи Аи = х(х), ы|5 = 0 F.3) при V%<s L2(Q) *). Запишем задачу F.2) в виде опера- операторного уравнения Лы = {/;ср;ф}, F,4) где А есть неограниченный линейный оператор в про* странстве L2(QT), сопоставляющий каждой функции *) Собственно, для уравнения F.2), а также для гиперболи- гиперболических уравнений, у которых коэффициенты a%j при производных их х не зависят от t, это условие о разрешимости в W\ (й) зада- задачи Дирихле -q — [пцих \ = %, и|5 = 0 можно отбросить и ра- работать в пространстве W2 (Й), считая Q произвольной областью. Однако, если коэффициенты ajj зависят от t, то нам приходится иметь дело с пространством w\ (Q), чтобы быть уверенными, что решения указанной задачи Дирихле, когда % пробегает все /-г(?2), заполняют некоторое подмножество Lz(Q), не зависящее от t (т. е. не зависящее от коэффициентов atj{x,t)).
i в] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД , 229 и(х, t) из области своего определения 2Ь(А) элемент {2?и(х, t)\ и(х^ 0); и,(х, 0)} гильбертова пространства W = L2(Qt) XW2(Q) Хи(И). Скалярное произведение в Ж определим так: ({/Г. Фь 4>i>- 0У, Ф2 = (/i> hJ, QT + (Ф1- Ф2)^а + (Ь, Н. й' а норму в 3f обозначим через || • ||у. В качестве .25(Л) возьмем 1^1 о(Qt) — совокупность элементов W2(Qt), равных нулю на боковой поверх- поверхности ST. Целью дальнейших рассуждений является до- доказательство того, что оператор А допускает замыка- замыкание А, оператор А имеет обратный и множество значе- значений оператора А совпадает со всем Ж. Функция и =» ==Л—1{/; ф; ф} будет обобщенным решением задачи F.2). Возможность замыкания А доказывается так же, как в § 2 гл. III. Для доказательства остальных фактов, а также для описания оператора Л, вспомним энерге- энергетическое неравенство C.3). Применительно к волно- волновому оператору из F.2) его можно, несколько огрубляя, записать в виде: 0)Щ.а +112^1^]'/.. F.5) Оно справедливо для Vu из 3){А). Благодаря ему из сходимости Аит={]т\ фт; фт}, т=1, 2, ..., ит е &)(А), в норме W к некоторому элементу {/; ф; ф} ^.Ж следует сходимость самих функций ит в норме \-\qt из F.5) (и тем более в норме L2(Qt)) к некоторому элементу и(х, t) пространства L2(Qr). Это означает, что А_ имеет ограниченный обратный и область значений Й(Л) есть замкнутое подпространство пространства Ж. Предель- Предельный элемент и(х, t) присоединяется, по определению, к 2)(А) и Аи полагается равным {/; ф; ф}. Так строится ЗУ (А). Из F.5) также следует, что для и из &)(А) ко- конечна норма | и \Qt, u(x, t) непрерывна по t e [0, 7"] в
230 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА " [ГЛ. IV норме (j(u?t + u2x+u?)dx\1' и «ef|(Q) при War е[0, Т\° Однако производных второго порядка присоединен- присоединенные к 2)(А) элементы ЗУ{А) могут не иметь, и потому нельзя утверждать, что для всех элементов и из 2) (Л) элемент Аи = {3?и; и(х, 0); и((х, 0)}. Чтобы понять, как «вычисляется» А на иё®A), заменим равенство F.4) для и из 2Е>(А) эквивалентными ему требованиями: 1) и(х, 0) = ф и 2) u(x, t) удовлетворяет тождеству j щ (х, t) т] (х, 0 dx + J (— «Л + ихг]х) dx dt — — J фт! (х, 0) dx = J /т) dx Л F.6) il Qt при любой Ti e= Wl о (Qt) (т. е. tis^(Qr) и T)lsre0). Эти требования 1) и 2) сохраняют свой вид и для ке2)A). Действительно, если ип^2)(А) и Лыт = = {/ml фт; фт} сходятся в норме Ж9 к {/; ф; ф}, то, как указано выше, ит сходятся к и в норме | • \Q , и потому в тождестве F.6), записанном для и = ит, f = fm, ф = фт, можно перейти к пределу по т —»• оо. В резуль- результате получим F.6) для предельных функций и, / и ф. Равенство ы(х, 0)=ф(х) тоже будет иметь место для предельных функций и и ф. Итак, мы показали, что если и е2) (А) и F.7) то для и, f, ф и ф верны соотношения 1) и 2). Докажем теперь, что &(А) = Ж. Так как , т. е. Й(Л)_есть замкнутое подпространство Ы() Ж9 () ()_ у рр то несовпадение Ы(А) с Ж9 означает, что существует эле- элемент {f; ф; ф} в W, ортогональный всем элементам из Я{А), т. е. такой, что J f 5?v dx dt + J фл (x, 0) dx + J фу, (х, 0) dx = 0 F.8) Й
§ 6] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД 231 для Vv ^&>(А). Покажем, что из F.8) следует тожде. ственное' обращение f, ф и -ф в нуль. Для этого возь- возьмем в F.8) в качестве v функцию v(x, t) = 0 при и v(x, t)=jdljy(x, Ti)rfri, /eft, T], где ф(л:, t) есть решение задачи t Аф(х, f)=Jf(x, т)с?т, ф|5 = 0, /е[*„ Г|- F.9) г Нетрудно видеть, что такое у принадлежит 2)(А). Под- Подставим его в F.8), и и и f выразим через ф. Это даст со- соотношение i ) = О, т / t J J AqJq>-Jdg из которого с помощью интегрирования по частям и учета ф|в = 0 и ф|<=г = 0 получим г t а отсюда J rfjc = O. F.10) Ввиду произвола /| е [0,7] из F.10) заключаем, что Ф = 0, а потому и" / ^ 0. Благодаря этому соотношение F.8) приобретает вид J vt(x, 0)dx = 0. F.11) Так как F.11) верно при Vog25(/1), т. е. Vo из ^2, о (Qr), то легко попять, что из F.11) следует: <р == О и ¦$ == 0. Итак, мы доказали, что 91{К) есть все W, т. е. уравнение F.7) имеет решение кё^(Л) для
232 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV V{/; ф; i|)}eF. Оно единственно в классе 2D(А). Для него справедлива оценка F.5), т. е. I « lQr < с [(|| Ф |?>йJ +1| ф |? в +1| / \l Qrf', F.12) и энергетическое равенство ~2 ^ Qt Действительно, (€.5) и последнее равенство справед- справедливы для любого ы(х, t) из Ф{А), а тогда «по замыка- замыканию в норме | • \qt» они будут выполняться и для () Из всего сказанного о функциях из @)(А) следует, что и — А-1 {/; ф; ф} является об. решением задачи F.2) из энергетического класса. Таким образом, мы доказали теорему: Теорема 6.1. Задача F.2) имеет единственное обоб- обобщенное решение из энергетического класса при V/ е ( Из рассуждений данного параграфа следует, что единственность решения задачи F.2) имеет место в 2)(А). Однако в силу теоремы 2.1 она сохраняется и в классе W\ (Qt)- Более того, в процессе доказательства теоремы 6.1 мы фактически доказали теорему единствен- единственности для F.2) в классе обобщенных решений из L2(Qr). Обобщенным решением задачи F.2) из пространства Li(Qt) назовем функцию и(х, /)е L2(Qr) и удовлетво- удовлетворяющую тождеству Т " (% — Дт1) dxdt— J фт] (х, 0) dx + Q + J ФЛ< (*, 0) dx = J /л dx Л F.13) Qt при Vi\e=Wl г Теорема 6.2. Для задачи F.2) справедлива теорема единственности в классе обобщенных решений из L2(Qr)- Действительно, пусть ueL2(Qr) и удовлетворяет тождеству F.13) с ф = ф = / = 0. Заменим в нем пе-
§ 6] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД 233 ременную t на Т — т. Тогда F.13) примет вид J и(г)хх - At))dxdx = О, QT= {(х, т): х е= Q, те @, Г)}, F.14) г до т) е Г22, о (Qr), л Uo = °> Лх Uo = °- Но FЛ4) несет ту же информацию, что и F.8) при ф = г^ = 0. А из та- такого тождества нами было выведено заключение о ра- равенстве J нулю, так что из F.14) следует и г= 0. Тео- Теорема 6.2 доказана. Используя C.3) для уравнения из F.2), легко показать, что утверждение теоремы 6.1 верно и для Vf e L2(i (Qr)- Теоремы 6.1 и 6.2, как сказано в начале этого пара- параграфа, справедливы и для уравнений B.1) общего вида. Примечательной особенностью рассуждений данного параграфа является то, что мы вывели теорему суще- существования задачи F.2) из теоремы единственности для сопряженной задачи (рассуждение, связанное с доказа- доказательством отсутствия ортогонального дополнения в Ж, к Я(А), и есть теорема единственности в L2(Qr) для за- задачи, сопряженной к задаче F.2)). Сам по себе этот факт почти тривиален и одинаково формулируется как в конечномерном эвклидовом пространстве для линейных алгебраических систем, так и в бесконечномерных про- пространствах для уравнений Аи = / с ограниченным и не- неограниченным линейным оператором А. Нетривиальная же часть рассуждения состоит в том, что нам удалось «в лоб» доказать теорему единственности для сопря- сопряженной задачи в классе обобщенных решений из L2(Qt) (заметим, что задача F.2) и формально сопряженная ей задача для случая волнового уравнения просто совпадают, если в F.2') заменить t на Т — т, а для общих уравнений B.1) однотипны: отличаются друг от друга младшими, несущественными членами). Из такой же теоремы единственности теоремы суще- существования выводятся без каких-либо аналитических
234: - уравнения гиперболического типа [гл. iv« представлений для искомых решений и даже без no-i строения каких-либо их аппроксимаций. Такие методы доказательства теорем существования мы называем «функциональными». Их схема типична для рассужде-: ний, проводимых в функциональном анализе. § 7. Метод Фурье и Лапласа Начально-краевые задачи (и задачу Коши) для уравнений B.1) с коэффициентами, не зависящими от t, можно с помощью преобразования Лапласа по t свести к решению соответствующих краевых задач для эллип- эллиптических уравнений с параметром. Делается это так. Пусть и(х, t) есть решение задачи C.1), причем коэф- коэффициенты 3? C'и выписано в B.1)) не зависят от t. Умножим уравнение Зи = f на е~и, и результат про- проинтегрируем по t от нуля до оо. Если и(х, t) и ее про- производные, входящие в 3, возрастают при t —»• оо мед- медленнее, чем eRekt, то все интегралы сходятся. Введем обозначения: оо оо J«(jc, 0 e~hi dt = v (x, Я), J f(x, t)e~btdt = &'{x, Я). о Тогда J "У J ине~и dt = K2 J ue~u dt — (ut + Я«) \l=Q = X2v - гр — о о ' оо оо и потому f 3ue~u dt= f fe~u dt дает уравнение о + ;Г(л;, Я)), G.1) где 30v = -jr(au (x) vx.) — щ (х) v4 -a(x)v- эллипти- эллиптическая часть оператора 3 из B.1). Краевое условие
§ 7] ¦ ' МЕТОД ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА 235 из C.1) для и(х, t) дает краевое условие для о: v\s = 0. G.2) Таким образом, задача C.1) сведена к задаче G.1), G.2). Задача G.1), G.2) однозначно разрешима в полу- полуплоскости A)=ReA^A? при достаточно большом А? (см. гл. II), ее решение аналитически зависит от А и оно стремится к нулю при |Я| —> оо в норме того или иного пространства. Чтобы добиться лучшего убывания о по Я, надо задачу C.1) предварительно свести к задаче с однородными начальными условиями (или даже к та- а ЪЧ кои, в которой ф = ф = 0 и —у = 0, /=0, По функции v(x, Я) решение задачи C.1) восстанавли- восстанавливается по формуле обратного преобразования Лапласа: и (х, t) = -~ J v (х, А) еи dX, ' А. > Кй{. G.3) Оправдание этой схемы в классе классических решений дано в моей первой книге [122] (гл. IV)*). На базе до- доказанной там разрешимости задачи G.1), G.2) в классе 0 I A) ¦ №2 (Q) и оценок норм || v l^ g и || v \\, Q ее решений дает-' ся оправдание метода Лапласа в классе обобщенных решений из энергетического класса (см. [122], стр. 273). Если привлечь для задачи G.1), G.2) результаты §§ 6, 7 гл. II по разрешимости ее в W2(Q), то нетрудно получить соответствующие результаты о разрешимости задачи C.1) в пространстве W\{QT). Более полные результаты по эллиптическим уравнениям, изложенные в книге [12i3], позволяют аналогично получить соответствующие *) Надо при этом принять во внимание, что в годы, когда пи- писалась эта книга A950—51), еще не были получены нами резуль- результаты, изложенные частично в §§ 6, 7 гл. II. Единственным мето- методом исследования гладкости обобщенных решений в то время был метод конечных разностей, который и занимает в книге централь- центральное место. Вопросам снижения предположений о гладкости вхо- входящих в задачи функций и границы области Q не уделялось осо- особое внимание: основные результаты книги были новы и для сколь угодно гладких данных.
236 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV результаты по разрешимости задачи C.1) в других функциональных пространствах. Перейдем теперь к методу Фурье. Его полное иссле- исследование во всех пространствах W\(Q), 1=1, 2,..., при всех трех краевых классических условиях было дано мною в книге [12г]. Зд'есь мы изложим его для слу- случая первого краевого условия при / = 1 и 1 = 2. Метод Фурье применим к уравнениям вида utt-&ou = f(x, 0. G-4) где 2>oU — -g^-(aii(x)uXj) + a(x)u. Пусть ради удобства дальнейшей записи а(х)^.О. (Если а(х) не удовлетво- удовлетворяет этому условию, то несколько первых собственных значений, отвечающих оператору So, мосут оказаться положительными или равными нулю. Отвечающие им частные решения уравнений вида G.4) будут иметь форму, отличную от формы решений, соответствующих отрицательным собственным значениям! Однако это по вносит никаких изменений в проводимые ниже рассуж- рассуждения, касающиеся сходимости бесконечных рядов, об- образующих решение задачи C.1): наличие нескольких первых слагаемых в этих рядах, имеющих другой вид, не влияет на характер сходимости этих рядов.) Начнем с исследования однородной задачи 3Su s= utt — 3?ои = 0, u\sr = 0, ы|,=0 = Ф> и* 1/==0 = *- " G-5) Уравнение из G.5) имеет частные решения вида и = = T(t)X(x). Подставив такое и в уравнение G.5) и по- поделив обе части уравнения на и = ТХ, получим Т" 2Х Т X = 0, 3! X Т" откуда ясно, что —j— и -у должны равняться кон- константе, т. е. 3?0Х = XX G.6) и Т" = %Т, G.7)
§ П МЕТОД ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА 237 где К = const. Возьмем только те решения и = ТХ, кото- которые удовлетворяют при всех t ^ 0 граничному условию, поставленному в исследуемой задаче, т. е. в данном слу- случае условию X\s = 0. ¦ G.8) Задача G.6), G.8) есть спектральная задача, исследо- исследованная выше, в §§ 4, 7 гл. II. Она имеет нетривиальные решения (fh(x), k = 1, 2, ... лишь при X = Kh, k — = 1, 2, ..., образующих спектр задачи. Пусть система всех линейно независимых собственных функций {щ(х)}, k = 1,2, ... ортонормирована в ?г(Й), так что Тогда [фь Ф/] = J (а*/Фй*уФгх, + афйф/) d* = — ЯАб|. G.10) Q В силу предположения а(х)^0 все собственные зна- значения отрицательны. Нам удобно ввести обозначение: Kjt = — V\, 0 < (.ii ;<fj,2. ••• Числа {j,ft->-oo при fe->-oo. Возвратимся к уравнению G.7). Его общее реше- решение Th при Я = — {д,| равно ah cos jj^ + Ь& sin jW с про- произвольными постоянными аи и Ьл. Ввиду этого ряд оо « = 2(айсо5М + Ьй51пМ)фй(^) G.11) формально удовлетворяет уравнению G.5) и гранич- граничному условию и|5г = 0 при любых числах а^ и Ьи- Эти постоянные однозначно вычисляются из начальных ус- условий C.1). А именно, и |/=0 = 2 akyk (х) = Ф (х), щ \t=0 = 2 V-ФкЩ (x)=ty (x), откуда в силу G.9) Обоснование метода Фурье состоит в исследовании того, когда ряд G.11) с ak и bk из G.12) сходится в норме того или иного функционального пространства и в каком.
238 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV смысле сумму этого ряда можно считать решением за- задачи G.5). Справедлива следующая теорема: Теорема 7.1. Пусть Q есть произвольная ограни- ограниченная область, для S выполнены условия B.2) и О ^' >а(х)>С, a w(x) и ty(x) суть элементы пространств W2(Q) и L2(Q) соответственно. Тогда ряд G.11) с ah и bh из G.12) и ряды, полученные его однократным по- почленным дифференцированием по любойу из х( или t, сходятся в норме L2(Q) равномерно по t е [0, оо). Сумма ряда есть обобщенное решение задачи G.5) из энергети- энергетического класса. Если коэффициенты S из G.5) и область Q удовле- удовлетворяют условиям теоремы 7.2 гл. II, а(х)^0, фе еГ2,0(й), а $ <=W\{Q),to ряд G.11) с ahubh из G.12) допускает двукратное почленное дифференцирование по Xi и t и все ряды сходятся в L2(Q) равномерно по t е [0, оо). Сумма ряда есть об. решение задачи G.5) из класса W\{QT), причем она удовлетворяет уравнению при yt для почти всех точек х из Q.. Теорема 7.1 легко выводится из теоремы 4.1 и тео- теоремы 7.4 гл. II. Действительно, в силу предположения о оо фЕ^(О) ряд для ф(х)= 2 ak4»k(x) сходится в норме Wi(Q) и ||Ф|g n = 2 а\, а [Ф, <р] = 2 »\а\. Ряд для ft—I ft=l оо оо сходится в L2(Q) и |[ -ф ill Q = 2 ибо гр(л;)е L2(S). Поэтому ряд G.11) сходится так, как сформулировано в первой части теоремы, причем для суммы его справедливы соотношения Иг, а оо <?о = 2 (a* cos nkt + bk sin nktf < 2 2 fe* + **) < oo [и, и] = 2 »l {ak cos ^ + bk si /В—¦! sin
S 7] МЕТОД ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА 239 к С п^Ж^к (~ ч *щ ^+bk cos При выполнении условий второй части теоремы 7.1 собственные функции (pft(x) принадлежат Щ 0(Q) и об- образуют базис в 1^2,0@), причем G.13) Напомним, что обычная норма в Wl,о(п) эквивалентна норме | и |2 = {и, и}'1'. Норма же |,-|2 для ряда G.11) легко подсчитывается, исходя из G.13), а именно: А—-1 G.14) оо Этим же числовым рядом } = 2 ^ nl(a2k-\-bfy мажори- мажорируются и величины [щ, щ\ и ||att|^ g. Числовой же ряд / сходится, ибо из условия y^Wl, o(Q) следует «А = (ф, Фй) = х~(ф> ¦2'оФа) = — (^оФ> Фа) ф|? „< оо, а из условия гре= о . е 1^2 (Q) следует сходимость ряда в норме [ , ]1/2, причем в силу G.10) Итак, утверждения теоремы 7.1 о сходимости ряда G.11) доказаны. То, что его сумма есть обобщенное решение задачи G.5) из соответствующего функциональ- функционального пространства, лэгко проверяется, исходя из опре- определения таких решений. При выполнении условий второй
240 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV части теоремы сумма ряда G.11) удовлетворяет урав- уравнению Su = 0 при W ^ 0 для почти всех х из Q, так что она заведомо есть об, решение задачи G.5) из класса W2(Qt)- Начальные условия выполняются в пер- первом случае в виде || и (х, t) - Ф (х) \ffa -> 0, || щ (х. 0 - ф (х) ||2_ а -> 0, а во втором — в виде: || и (х, t) — cp (x) \^Q -> 0 и || щ (х, t)-~ -4>Wl^n->0 при f->0. Рассмотрим теперь случай неоднородного уравнения. Начальные условия можно взять однородными: 2?u^utt-2?Qu = f{x, t), G.15) Сумма решений задач G.5) и G.15), очевидно, даст решение задачи l «|Sr = 0, и|/=0 = Ф, Щ\м = % G.16) Пусть f(x, t)^ L2(QT). Разложим f в ряд по собствен- собственным функциям (f>k(x) /(*, 0=2Ы0ф*М, Ы0 = (Л ф*). ¦ G.17) Он, очевидно, сходится в L2(Q) при почти всех значе- значениях t из [0, Т]. Решения задачи G.15) ищем в виде ряда u(x,t)=fiTk(t)ifk(x). G.18) Подставив его в уравнение 3?u = f, получим для опре- определения функций Th{t) уравнения Их решениями, удовлетворяющими при t = 0 одно- однородным начальным условиям, являются функции t Tk @ = -п- f fk (r) sin цк (t - т) dr. G.19)
$ П МЕТОД ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА 241 Итак, ряд G.18) с Th(t) из G.19) формально удовле- удовлетворяет всем условиям задачи G.15). Он сходится в Wl2(Q) равномерно по t е [О, Т] с V71, ибо m+N m+N -, m+N ft=l 0 Кроме того, легко проверить, что сумма ряда G.18) есть об. решение задачи G.15) из энергетического класса. Для двукратной дифференцируемости ряда G.18) надо обеспечить, как мы видели выше, сходимость ряда оо j = Ул Tl(t)ni. Если предположить, что f(x, t) имеет производную f( из L2(Qr), то ряд / мажорируется для W е [0, 71] сходящимся числовым рядом, т. е. / сходится равномерно по t е [О, Т]. Действительно, Tk(t) можно представить в виде П ^(^)A-соз^(/- откуда следует
242 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. IV m+ti m+N T . m+N при m, N-*¦ оо. Тем самым доказана Теорема 7.2. Яг/сгь Q — произвольная ограничен- ограниченная область, для 3? выполнены условия B.2) и О ^ 5га(х)>с, a /,e=Z.2(Qr). Тогда ряд G.18) с ГА из G.19) сходится в Wl(Q) равномерно по t^[O,T], и его сумма есть об. решение задачи G.15) из энергетического класса. Если коэффициенты 3? и область Q удовлетво- удовлетворяют условиям теоремы 7.2 гл. II, 0>а(х), a f и ft принадлежат L2(QT), то ряд G.18) и ряды, полученные его почленным дифференцированием один и два раза по Xi и t, сходятся в L2(Q) равномерно по /е[0, Л- Сумма ряда есть об. решение задачи G.15) из Wf(Qr), причем она удовлетворяет уравнению G.15) при всех t е [О, Т] для почти всех х из Q. Замечание 7.1. Как сказано выше, предположение О ^ а(х) в теоремах 7.1 и 7.2 можно отбросить. Это мо- может повлиять лишь на вид первых членов рядов G.11) и G.18). Утверждения же теорем 7.1 и 7.2 о сходимости рядов не меняются. Во второй части теоремы 7.2 условие существования у / производной ft можно заменить, например, условием существования fXi^ L2(Qt) и f \St = 0. Аналогичная теорема установлена в [122] и для дру- других краевых условий, ~ " "
Г Л А В А V РАЗНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ В этой главе мы коснемся ряда более сложных за- задач, которые могут быть исследованы методами, изло- изложенными в гл. II — IV. § 1. Эллиптические уравнения произвольного порядка и сильно эллиптические системы Рассмотрим в ограниченной области Q a Rn систему уравнений ^«= 2 {-\)ula>i{A{l-i){xJD'u) = f, A.1) 1*1.1/К"» в которой <2>< = 'дх_ д" дх_ , М«ь • • •> Q, I t l=s.« и /— Ч s векторы («1 «jv) и (/ь .... /jv), а А»- П(х) — квад- квадратные матрицы порядка N, причем А^-^(х) = А^-{1(х), 1г1 == I/I == m- Система A.1) называется сильно эллип- эллиптической в точке хей, если для любого вектора g = = (?i, ..., ^w) =#= 0 и любых чисел |i ?„ с 2 ^ квадратичная форма = "V A^'^(r\? ? ? P ? • ? *> П A9) M|.l/I=™ l "» ' m Здесь символом ij-g обозначено скалярное произведе- ние Л^-мерных векторов, т. е. 2 Л^г- Будем считать,
244 РАЗНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ 1ГЛ. V как и в большинстве предшествующих параграфов, все величины вещественными. Неравенство A.2) наклады- накладывает ограничение только на симметрическую часть ма- матриц Л<г^>, ибо если представить каждую матрицу Аи>Я в виде Аи'п = A{i'л + A(i' '\ где А{1'1) = -„ А{1г1) + -S" А{1}1)* — симметрическая часть л(«\/>( а р./> = ±Л(''Я — |л(и)'- кососимхметрическая часть Л<г'- # (звездочка над матрицей означает ее тран- транспонирование), то Уравнения, рассмотренные в гл. II, очевидно, являются частным случаем сильно эллиптических систем вида A.1). Эллиптическое уравнение любого порядка удовле- удовлетворяет условию A.2) и, следовательно, является сильно эллиптической системой. Напротив, класс общих эллип- эллиптических систем, выделенный И. Г. Петровским [18г], и тем более системы, эллиптические в смысле Даглиса —¦ Ниренберга [1], обширнее класса сильно эллиптических систем, определенного М. И. Вишиком [4j]. Нетрудно показать, что если Л<*'Я при \i\ = |/| = m не зависят от х, то из A.2) вытекает справедливость неравенства J 5J \ ] 1х, A.3) v = const > О, о для любой вектор-функции и, принадлежащей W^iQ) О (пространство ^^(Q), состоящее из скалярных или век- векторных функций, определено в § 5 гл. I). Для этого надо и(х) продолжить нулем на какой-либо куб и пе- перейти к преобразованиям Фурье по х. Если же Л<»> Л зависят от х и являются непрерывными функциями х е Q, то для любой функции и (х) е W^ (Q) имеет место
СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 245 Неравенство I Л. l!\=m >vj A.4) с некоторыми v = const > 0 и щ = const ^ 0 (см. [3i,2], [13]). Мы не будем приводить здесь доказатель- доказательство этого факта, а положим его в основу определения сильной эллиптичности системы A.1). Приведем крат- краткую схему доказательства фредгольмовой разреши- разрешимости задачи Дирихле для системы A.1). Граничные условия для нее имеют вид да дп дп' т-1 = 0. A.5) Случай неоднородных граничных условий Дирихле легко сводится, как и везде, к однородному. В качестве сво- свободного члена f можно взять любую сумму вида: в которой f° и р суть квадратично суммируемые по Q функции (для /° и f* с |г|<т можно потребовать сум- суммируемости со степенями qt ^ 2 "__ . г., при n> 2(m — |i(), V^t > I при я = 2(т —((() и <7i = 1 при Лишь ради экономии места возьмем р = 0, l<^.\i\^ ^ т. Элементы всех матриц Л<*•#(*) будем считать ог- ограниченными функциями (для А&Цх) с jij-f \j\<2m это условие можно ослабить). Ограничимся рассмотре- рассмотрением задачи A.1), A.5) без включения комплексного параметра Я. Общий случай, т. е. задача = 0, A.6) т-1 дп1 где X—комплексное число, а и (х) — искомая комплекс- нозначная функция, рассматривается аналогично.
246 РАЗНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. V; Обобщенное решение и(х) задачи A.1), A.5) из. О класса Wf(Q) есть элемент W? (Q), удовлетворяющий интегральному тождеству tl-4dx A.7) при VneWT(Q). Введем в WiP(Q) новое скалярное произведение с по- помощью равенства [в,Ч]=* f Л^Ф'и-аУч! Лс+ц, f and*. A.8) ¦ 'IK В силу A.4) и неравенств 2 I№1I!q> 0<|/|</и, A.9) I ? |=m о легко доказываемых для Vaef^O), норма || и ||ш=» = ]/[и, и] эквивалентна первоначальной норме || и Ц^д пространства VFf(Q). Разобьем матрицы A{t'!\ |/| = = |/| = т, на суммы Л(''л + ЛA>/) и перепишем A.7) в виде [и, ц] 4 { 5J ^<г' П®'и ¦ ®\dx U |i |,|/|=7t J 5] #'?и-^г]^=|/-П^. A.10) 11 Каждый член левой части этого тождества при произ- произвольно фиксированном элементе «ef"(Q) есть, как легко проверить, линейный (т. е. аддитивный и ограни- О ченный) функционал над ц в пространстве W™ (Q), и по- потому в силу теоремы Рисса может быть представлен в виде скалярного произведения [, ] ц на некоторый эле- О мент IF2 (Q), зависящий от и. Правая часть A.10) также
S 1] СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 247 может быть представлена в виде [&~, ц], где &~ есть эле- элемент WT(Q), определяемый f. Итак, A.10) может быть переписано в виде тождества [и, ц] + [Жи, ц] + [Ви, ц] = [Т, ц] или, что то же, в виде операторного уравнения и + Жи + Ви = &~ A.11) о в пространстве Wf (Q). Так же, как и в § 3 гл. II, до- о называется, что Ж есть ограниченный оператор bW2 (Q), а В — вполне непрерывный. Кроме того, в силу равенств (Л<». i))* = —До", Л оператор Ж является кососимметри- ческим: [Жи, ц] = [и, Ж'ц] = - [и, Жц] = - [Жц, и]. Спектр любого кососимметрического оператора лежит на о мнимой оси (ибо в комплексном пространстве W2 (Q) оператор t'Jjf является самосопряженным). Поэтому опе- оператор Е + Ж обратим, и оператор (Е + Ж)~х является ограниченным оператором, определенным на всем о №T(Q). Ввиду этого уравнение A.11) эквивалентно урав- уравнению и + (Е + Ж)~1Ви = (Е + Ж)~1&-. A.12) Оператор (F + Ж)~1В, как произведение ограниченного оператора на вполне непрерывный, есть вполне непре- непрерывный оператор. Следовательно, для уравнения A.12) справедливы теоремы Фредгольма. В частности, из един- единственности следует разрешимость A.12) при любой пра- правой части. В силу эквивалентности A.12) тождеству A.7) это утверждение означает, что если для задачи A.1), A.5) имеет место теорема единственности в классе об. о решений из 1^2 (й), то задача однозначно разрешима в W<?(Q,) для V/eZ-2(Q). Теорема единственности для A.1), A.5) заведомо имеет место, если матрица Л@:0), стоящая в A.1) при и, удовлетворяет неравенству (Л<0' °!и, и) ~^ vi (и, и) с достаточно большим vi = const.
248 РАЗНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. V Сформулируем доказанное в виде теоремцг Теорема 1.1. Задача A.1), A.5) разрешима по Фредгольму, если /eL2B)*), элементы матриц А^-^(х) суть ограниченные в tl функции и выполнено условие A.4). Аналогично доказывается фредгольмова разреши- разрешимость задачи A.6) в комплексном пространстве W% (Q.) при любом комплексном Я. Так же просто исследуется разрешимость в Wf (Q) тех краевых задач для систем A.1), для которых обобщенное решение в классе Wf(Q) определяется тождеством вида В нем 9S и{щ ц) есть интеграл по Q от суммы произведе- произведений производных и и ц порядка не выше m, 2?s(u,ц) —¦ интеграл по границе 5 от суммы произведений производ- производных и и ц порядка не выше пг— 1, а ц(х) —произволь- —произвольный элемент некоторого подпространства пространства W™(Q), к которому принадлежит искомое решение и(х). Однако не все краевые задачи для системы A.1) укла- укладываются в эту схему. Их исследование, равно как и ис- исследование задачи A.6) в других функциональных про- пространствах (например, в пространствах С. Л. Соболева Wlp(Q) и в пространствах Гельдера #/+a(Q)), требует иной, более сложной техники (см. [1] и [26J)-. Теорема 1.1 до- доказана в работе М. И. Вишика [4]]. Как отмечено выше, одно эллиптическое уравнение любого порядка 2пг принадлежит'к рассмотренному здесь классу систем. В частности, бигармоническое уравнение удовлетворяет условию A.2), ибо для него левая часть In \2 A.2) имеет вид ( 2 "й ?2 (в данном случае ? есть ска- 2я *) Достаточно потребовать, что f e Lq (О) с ^ —-г—— при п>2пг, с V9>1 при n = 2m и с q— 1 при п<2ш.
§ 1] СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 249 ляр). Условию A.2) удовлетворяют также уравнения вида i?H == л?<т>(н) = f, где JL есть произвольный эл- эллиптический оператор второго порядка с главной частью ациХ1х., а Ж{т) — его т-я итерация, ибо для них левая часть A.2) имеет вид B anhliTl2- Другим примером рассмотренного здесь класса си- систем является система уравнений теории упругости. В изотропном случае она имеет вид где 3 rik (и) = 2ц • eik («)+6*А 2 е„ (и), elk (и) = I ^ + ^), и = («1, и2, "з). а Я и ц — положительные постоянные. Для нее левая часть неравенства A.2) равна з / з \2 "*=' ' *&k' ~t~ ** i, 4=1 4=1 / и следовательно, условие A.2) выполняется. Наиболее просто для системы A.13) решается первая краевая задача, когда на S заданы смещения и. При условиях жесткого закрепления имеем: a|s = 0. Инте- Интегральное тождество A.7) для данной задачи удобно за- записать в виде j4dx. A.14) Оно должно выполняться при Vti<=W2(Q), а об. реше- ние и(х) должно лежать в W2(Q). Легко видеть, что в этом классе справедлива теорема единственности (ибо при f == 0 и г\ = и из A.14) и и|s = 0 следует и = 0), а потому и теорема существования при V/eL(Q)
250 РАЗНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. V Рассмотрим еще один пример, который хотя и не под- подходит под случай сильно эллиптических систем, но иссле- исследуется тем же методом, что и одно эллиптическое урав- уравнение. Пусть Яз — трехмерное эвклидово пространство и в нем ограниченная область Q, которую ради простоты будем считать односвязной (в том смысле, что любой замкнутый путь стягивается в ней в точку). Обозначим через и(х) вектор-функцию с тремя компонентами {и\{х), и2(х), и3(х)), а через р(х) —скалярную функцию. Требуется найти и и р, удовлетворяющие системе v Аи + ас (х) их. = grad p + f (x), A.15,) уравнению несжимаемости div« = 0 " ( и граничному условию «is = 0. A.16) В A.15i) a= (ai,a2,a3) и /= (/ь[2,/з)—заданные век- вектор-функции, причем а(х) принадлежит W2(Q) и diva = = 0, а /<= L2(Q). Система A.15,) называется системой Озина, а при а = О— системой Стокса. Обе они являют- являются разными вариантами линеаризации системы уравне- уравнений Навье — Стокса (в случае, когда и и р не зависят от t), описывающей движение вязких жидкостей. Функция р есть давление, и—вектор скорости, v>0 — коэффици- коэффициент кинематической вязкости, / — вектор массовых сил,, а A.16) есть условие прилипания при неподвижных стен- стенках сосуда Q. Давление р, по его физическому смыслу, определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Будем искать решение, для которого и есть элементW\(Q)(Wl2(Q) — векторное пространство). В силу о . A.16) и будет принадлежать W2(Q). Уравнение A.152) рассмотрим как условие, выделяющее из W2(Q) под- подпространство, которое обозначим через #(Q). Итак, о . #(Q) есть подпространство пространства №2(Q), состоя- состоящее из всех вектор-функций и(х), удовлетворяющих урав- уравнению A.15г) (последние называются соленоидальными).
§ 1] СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 251 Ясно, что Я(й) есть полное пространство. Скалярное произведение в нем определим равенством з [u,v]=^uxvxdx = J Yi UixkVixkdx- 0-17) Соответствующая ему норма |#|H(m эквивалентна норме о . W-2 (Q). Для того чтобы определить обобщенное решение задачи из энергетического класса, умножим A.15i) ска- лярно пока на произвольную гладкую вектор-функцию ц(х) и результат проинтегрируем по Q: v | Аи • r\dx-{- J aiuxx\dx= | grad/? • x\dx-\- J / • r\dx. у и а и A.18) Преобразуем теперь обе части равенства с помощью фор- формулы интегрирования по частям к следующему виду: v J uxr\x dx - v J |?L i) rfs — J сцих.ц dx = и s и = \ P -diviidx— J pn -r\ds— J f -r\dx. A.19) и s a Чтобы в этом соотношении пропал член -^—i\ds, не S имеющий смысла для произвольных элементовr\<^W2(Q), подчиним т) условию: r\\s = 0. Кроме того, если ц подчи- подчинить еще второму условию: divr) = 0, которому должно удовлетворять искомое решение и, то A.19) примет вид v J uxr\xdx— J aiux.r\dx= — J / -r\dx. A.20) В это тождество не вошла функция р(х). Назовем обоб- обобщенным решением задачи A.15г) — A.16) из энергетиче- энергетического класса вектор-функцию и(х), принадлежащую #(Q) и удовлетворяющую тождеству A.20) при любой T)e#(Q). Проведенные нами рассуждения показы- показывают, что достаточно гладкое решение и, р задачи
252 РАЗНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ 1ГЛ. V A.15-j) — A-16) удовлетворяет тождеству A.20). Ниже мы покажем, что тождество A.20) однозначно опреде- определяет поле скоростей и(х), Таким образом, переход к та- такой обобщенной трактовке задачи позволил отделить нахождение и от нахождения давления р. Если и(х), определяемое тождеством A.20), окажется достаточно гладкой функцией, например, элементом W\ (Q) (а это б /?(й) S С2) B фу рр () ( будет так, если /е?г(й) nSe С2), то тождество A.20) с помощью интегрирования по частям можно преобразо- преобразовать к виду | (v Аи +cnuXi — f) -цс1х = 0. A.21) U Покажем, что из этого тождества, справедливого при V^e #(Q), следует, что vA« -+- aiUX( —f есть градиент некоторой однозначной функции, которая и есть давле- давление р(х), определяемое с точностью до произвольного слагаемого с (с = const). Итак, пусть вектор-функция г>(х) eL2(Q) удовлетворяет тождеству Jvr\dx = 0 A.22) а при Vi^e Я (Q). Докажем, что v есть градиентная век- вектор-функция. Для этого возьмем в качестве ц функцию Tj = rot®p, где Ф(х)—произвольная гладкая функция, равная нулю вблизи S, а Фр-—ее усреднение вида D.9) гл. I. При р, меньших расстояния от носителя Ф до S, ц будет элементом #(Q). Подставим ее в A.22), и левую часть преобразуем так: 0 = JwrotOprfx= J vp rotФ dx = J roiv^dx. A.23) 11 Q Q При этом мы воспользовались известными свойствами операций усреднения и взятия ротора. Ввиду достаточ- достаточного произвола в выборе Ф из A.23) следует, что rot Vp = 0 для х е Q', если Q'cQ, a p меньше расстоя- расстояния Q' до S. По известной теореме анализа vp(x) будет градиентом некоторой гладкой функции ф(х, р), причем в силу предположения об односвязности Q функция ф(х, р) является однозначной. Она определяется (с точ-
§ 1] СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ *253 ностью до постоянного слагаемого) криволинейным инте- х 3 градом: q>(x, р) = J ^(vk)p dxk. Зафиксируем Q'czQ и перейдем в этом равенстве к пределу по р—*_0, считая х0 закрепленной, а х — произвольной точкой Q'. Так как Vp(x) сходится к v(х) в L2(Q'), то ф(х, р), как нетрудно понять, будет сходиться в L2(Q') к функции ф(х) = i -Ы-^ = «*. Так X, ft=l k k как Q' есть произвольная внутренняя подобласть Q, то равенство v = grad ф имеет место во всей области Q. Желаемое утверждение доказано. Возвращаясь к A.21), видим, что vA« + aitix.-—f есть градиент некоторой одно- однозначной функции р(х), которая вместе с и(х) дает реше- решение задачи A.15,) — A.16). Итак, задача A.15г) — A.16) сведена к нахождению и(х), принадлежащего #(Q) и удовлетворяющего тож- тождеству A.20) при Чц<=Н(п). Этот же вопрос решается совершенно так же, как в § 3 гл. II вопрос о нахождении об. решения одного эллиптического уравнения. Тожде- Тождество A.20) сводится к операторному уравнению вида vu + Au = 3T A.24) в пространстве #(Q). В нем А есть линейный вполне не« прерывный оператор, определяемый тождеством Viietf(Q), A.25) a a eF— элемент Я(Q), определяемый тождеством Для разрешимости A.24) при любом W из #(Q) необхо- необходимо и достаточно (согласно первой теореме Фредголь- ма), чтобы однородное уравнение A.24) имело только нулевое решение. Но такое уравнение эквивалентно тож- тождеству v j uxr\xdx— ^ aiUXit\'dx = 0, Vn «= #(Q). A.27) Q U
254 РАЗНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. V: Возьмем в нем ц = и, произведение — щихм запишем C v ur = Zju{\ и интеграл от него преобра- преобрази / t=i / зуем с помощью интегрирования по частям к виду у \u2d\vadx, учтя A.16). В силу предположения diva = 0 он равен нулю, так что A.27) при ц = и дает а что вместе с A.16) гарантирует тождественное равенство и{х) нулю. Таким образом, теорема единственности для A.24) доказана, а вместе с нею доказана следующая теорема: Теорема 1.2. Задача A.15,) — A.16) имеет един- единственное обобщенное решение из #(Q) при любой /е e=L2(Q), если аеГ1B) «diva = 0. Приведенное исследование задачи A.15,) — A.16), взятое из [12i2], дает пример нестандартного использова- использования метода, изложенного в § 3 гл. II применительно к одному эллиптическому уравнению второго порядка. Не- Нестандартность состоит в том, что часть уравнений систе- системы (а именно — уравнение A.152)) была включена в ука- указание того подпространства основного пространства W\(Q), в котором рассматривается интегральное тожде- тождество A.20), заменяющее собою остальные уравнения си- системы (уравнения A.15i)), и к которому тем самым при- принадлежит решение задачи (точнее, часть решения — функция и(х)). Такой же подход оказался полезным при исследовании ряда других краевых -задач математиче- математической физики, например, различных краевых задач для систем магнитной гидродинамики ([1215], [263]) и системы уравнений Максвелла [3]. § 2. Сильно параболические и сильно гиперболические системы Сильно параболическими системами мы называем системы вида 2 f, B.1)
§ 2) НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ 255 где 3 есть сильйо эллиптический оператор, описанный в § 1 (его коэффициенты могут зависеть не только от х, но и от <). Для таких систем являются корректными за- задача Коши, в которой вектор-функция и(х, t) задается в начальный момент времени t = t0 и ищется для всех х <= Rn при t ^ t0, и различные начально-краевые задачи, в которых и(х,t) ищется в области Q = {(х,t) : ле flc c/?n, t > t0} как решение системы B.1), удовлетворяю- удовлетворяющее начальному условию и|;„, =ф и каким-либо гра- граничным условиям (например, условиям Дирихле A.5)) на поверхности Г = {(х, ():jte <3Q, t ^ /0}. Задача Коши и начально-краевые задачи при граничных условиях, ука- указанных в § 1, исследуются для них так же, как это сде- сделано в гл. III для одного параболического уравнения вто- второго порядка. Начально-краевые задачи для систем B.1) при других краевых условиях требуют более сложных рассмотрений. К настоящему времени выделены значительно более широкие, чем B.1), классы систем, которые принято на- называть параболическими (в смысле И. Г. Петровского, Т. Сироты, В. А. Солонникова). Их исследование потре- потребовало развития иной техники (см. [26г], [29] и др.). Сильно гиперболическими системами мы называем системы вида utt + 3?u = f, B.2) где 3 есть сильно эллиптический оператор из § 1, в глав- главной части которого отсутствует кососимметрическая часть (т.е. А<^'> = 0 для \i\ = \j\ = m) (коэффициенты 3? могут зависеть как от х, так и от /), Для них задача Коши и некоторые из начально-краевых задач (те, кото- которые обсуждались в § 1) исследуются теми же методами, что и для одного гиперболического уравнения в гл. IV. Мы не будем приводить здесь эти исследования, ибо они вполне аналогичны изложенным в гл. IV. Частным слу- случаем сильно гиперболических систем являются динами- динамические уравнения теории упругости. Неклассический подход к начально-краевым задачам и методы их исследования, изложенные в главах III и IV,
258 РАЗНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. V позволили изучить более общие объекты: уравнения вида ^ B.3) B.4) и ряд их обобщений. В них u(t) и f(t) суть функции /со значениями в гильбертовом пространстве Я, a S;(/) — линейные, вообще говоря, неограниченные, операторы в Я, зависящие от параметра /. К уравнениям B.3) и B.4) присоединяются начальные условия Коши; «Uo = "o B-5) для B.3) и для B.4). Покажем, что начально-краевые задачи (и за- задачи Коши) для уравнений и систем вида B.1) и B.2) параболического и гиперболического типов могут быть рассмотрены как частные случаи задачи Коши для опе- операторных уравнений B.3) и B.4) соответственно. Возь- Возьмем для определенности первое краевое условие A.5) и будем ради большей наглядности считать коэффициенты в дифференциальном операторе S достаточно гладкими функциями х, t. В качестве основного гильбертова про- пространства Н выберем пространство L2(Q), так что реше- решение и(х, /) и свободный член f(x,t) будем трактовать как функции / ^ 0 со значениями из L2(Q). Роль оператора Si (t) в B.3) будет играть дифференциальный оператор 3 из B.1) (он имеет вид A.1), но элементы Л<'^> могут зависеть не только от х, но и от /), определенный на всех элементах W\m (п), удовлетворяющих краевым условиям A.5). Этот оператор является неограниченным в L2(Q), но определенным на плотном в L2(Q) множестве. Если коэффициенты 3 зависят от t, то Si тоже зависит от t. Область же определения Si(/) в случае рассматриваемых краевых условий A.5) не зависит от t. Итак, задача = 0 sT BJ)
§ 2] НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ 257 действительно есть частный случай задачи Коши B.3), B.5). Граничные условия ее «спрятались» в указание области определения оператора S\(t). Для задачи B.7) оператор S\(t), определенный выше, обладает одним важным свойством: он полуограничен. Оказалось, что если в абстрактной задаче B.3), B.5) наложить на опе- оператор S\(t) условие полуограниченности, то это вместе с некоторыми другими «естественными» ограничениями на S\(t) (типа гладкости по t плюс независимость от t либо области определения самого S\(t), либо какой-либо степени самосопряженной части S\(t)) и достаточно для того, чтобы доказать однозначную разрешимость задачи^ B.3), B.5) в том или ином классе «обобщенных» реше- решений. Первые результаты такого типа были установлены в работах М. И. Вишика и моих ([4г], [126,7]^ см. также [43]), Из них однозначная разрешимость задачи B.7) сле- следует как частный случай. В работе [24] были даны другие способы исследования задачи B.3), B.5), позволившие охватить ряд других краевых условий для сильно пара- параболических систем. Другой цикл работ по исследованию задачи B.3), B.5) ведет свое начало от работы [18] Т. Като, в которой уравнение B.3) рассматривается в ба- банаховом пространстве. Это привела к доказательству раз- разрешимости ряда начально-краевых задач для сильно па- параболических систем в функциональных пространствах Wlp (см. [25] и др.). Уравнениям B.3), B.4) посвящены также монографии [20i], [11]. В качестве одного из приложений результатов работ [12в,7] по задаче B.3), B.5) укажем на задачу гидроди* намики щ — v Аи + aL (х, t) их. = — grad p + f (х, t), \ diva-0, u\t_0 = <t(x), «|Sr = 0 J B<8) для вязких несжимаемых жидкостей. Ее однозначная разрешимость выводится из этих результатов и резуль- результатов по стационарной задаче A.15,) — (Ы6) (см. [12i2]). Начально-краевые задачи для сильно гиперболиче- гиперболических систем включаются в задачу Коши B.4), B.6) так же, как в параболическом случае. Их анализ подсказал те ограничения на операторы S2(t) и S3(t), при которых Q О, А. Ладыженская
258 РАЗНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. V однозначно разрешима задача B.4), B.6) и которые тем не менее столь широки, что охватывают ряд начально- краевых задач (а тем самым и задачу Коши) для си- систем B.2) как частные случаи. Мы не будем приводить здесь окончательные результаты по задачам B.3) — B.5) и B.4), B.6) и их обобщениям вида •+d*~'5t'l(')-+ ••• +s*+1 (/)« = /, dt" du (=о = Фо. j; dtk 1=0 а отошлем к специальной литературе ([127,в], [4г] и др.). Мы не приводим также и требований, накладываемых на Sk(t) как функции t. Укажем лишь, что для этих задач были предложены разные методы исследования, причем как предположения на Si(t), так и окончательные ре- результаты несколько отличаются друг от друга. Иногда эти отличия связаны с выбором класса обобщенных ре* шений задачи, иногда они продиктованы желанием охва- охватить какую-либо неисследованную начально-краевую за- задачу, интересующую автора, а иногда обусловлены про- просто избранным методом решения задачи или желанием ослабить предположения работ предшественников. Один из методов, с помощью которого удалось иссле- исследовать разрешимость задач B.3), B.5) и B.4), B.6), а также задачу Коши для уравнений Шредингера и для ряда их обобщений, и который был первым по времени, позволившим однотипно исследовать все эти задачи, из- изложен в § 2 гл. III и в § 6 гл. IV применительно к урав- уравнению теплопроводности и волновому уравнению. Он взят из заметки [126] (см. также [127, в])- § 3. Уравнения типа Шредингера и близкие к ним уравнения Уравнениями типа Шредингера называются уравне- уравнения вида C.1) если S](t) есть самосопряженный оператор, действующий в комплексном гильбертовом пространстве Н. Он может
§ 3] ' УРАВНЕНИЯ ТИПА ШРЕДИНГЕРА 259 зависеть от параметра t (здесь и ниже мы не приводим ограничений, накладываемых на характер зависимости S\(t) от /). Для них рассматривают задачу Коши, т. е. задачу определения решения u(t) уравнения C.1), удо- удовлетворяющего начальному условию «Uo = «p. C.2) Решение u(t) и свободный член /(/) суть функции t со значениями в Я, а <р есть заданный элемент Я. В кванто- квантовой механике обычно f(t)=O. Однозначная разреши- разрешимость задачи C.1), C.2) в том или ином классе при со- соответствующих предположениях о <р, f{t) и зависимости S\(t) от t доказана разными способами в работе [127]. Первый способ, которым это было сделано, аналогичен способу, изложенному в § 2 гл. III и в § 6 гл. IV приме- применительно к дифференциальным уравнениям параболиче- параболического и гиперболического типов. Он оказался примени- применимым и к несколько более общим уравнениям, а именно к уравнению вида S0(t)Adj + Sl (t) и + S2(t)u = f(t), C.3) где So@—ограниченный, самосопряженный, положи- положительно определенный оператор в гильбертовом простран- пространстве Я, iS\(t) —самосопряженный оператор с плотной в Я областью определения ^5(Si), не зависящей от t, a S2U) —ограниченный оператор в Я. Все операторы Si(t) гладко зависят от t. Задача Коши для этого случая была изучена в работе [3]. В ней же было доказано, что под этот случай подпадают различные начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла. Заметим, что абстрактная задача C.3), C.2) мало отличается от за- задачи C.1), C.2), ибо она сводится к задаче вида . ~ + S, @ v + % @ v=f, v |i=0 = v0, C.4) где v = s'i'(f)u, s,(9 = So- = so-'A(9s2(9So'1'(9-т^s*4'W. f(t) = 5o'1/2(9/(9. В силу условий, налагаемых автором на St(t), оператор So* существует и ограничен, iSi(t)—самосопряженный оператор, a S2(/) —ограниченный оператор. Однозначная
260 РАЗНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. V разрешимость задачи C.4) доказывается, по существу, так же, как и для задачи C.1), C.2). Однако доказатель- доказательство того, что начально-краевые задачи для системы ура- уравнений Максвелла удовлетворяют условиям, при которых установлена разрешимость задачи C.3), C.2), нетриви- нетривиально и потребовало анализа этих задач, перекликающе- перекликающегося с кратко описанным в § 1 для задачи A.15,-) — A.16). В качестве других обобщений результатов по задаче C.1), C.2) укажем на работы [10], [27]. Так,-в работе [27], посвященной параметрическому резонансу упругих си- систем с распределенными параметрами, автор сталкивает- сталкивается с задачей Коши для уравнений вида • i-jf(Sou) = (E-\-Sl(t))u, C.5) где So — самосопряженный вполне непрерывный опера- оператор в Я, имеющий (неограниченный) обратный, Е — еди- единичный оператор, a Si(t) —симметричный оператор, при- причем оператор Si {t)So~1 является ограниченным в Я, глад- гладко зависящим от t. Такая задача сводится к задаче типа C.4), если вместо и ввести новую неизвестную функцию v= Sou. Действительно, v будет решением задачи При ее исследовании надо иметь в виду, что начальное значение для v является «очень хорошим элементом Я» —имеет вид Sou, «ёЯ, и надо доказать, что это свойство (т.е. принадлежность v(t) к области значений Sq) сохранится при всех t > 0. Заметим, что подобные сведения исходного уравнения к уравнению, имеющему главные члены, такие же, как в C.1), не всегда удобны, и иногда выгоднее исследовать задачу в ее первоначаль- первоначальной форме, приспосабливая к ней рассуждения, лежащие в основе исследования задачи C.1), C.2). § 4. О задачах дифракции Задачи дифракции с математической точки зрения состоят в решении краевых задач (стационарных или не- нестационарных) для уравнений (или систем), коэффици- коэффициенты которых терпят разрывы первого рода. На поверх-
§ 4] О ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ 261 ностях Г, где рвутся коэффициенты, ставятся так назы- называемые условия сопряжения, выражающие непрерыв* ность среды и равновесия сил, действующих на нее. Раз* рывность коэффициентов уравнения соответствует тому, что среда составлена из двух или нескольких разнород- разнородных по своим физическим характеристикам материалов. Одной из первых задач такого рода является следующая: аЛк = /, D.1) u\s = 0, D.2) Решение и(х) ищется в области Q с границей S. Поверх- Поверхность Г (размерности п— 1) разделяет Q на две области Qi и ?2г- В одной из них коэффициент а равен постоянной й[ > 0, в другой — постоянной а2 > 0. Символ [и] в D.3)^ означает разность между предельными значениями и(х) на Г, вычисленными при подходе к Г со стороны области Qi и области Й2- Аналогично понимается и символ) а -^Н . Первое из условий D.3) требует непрерывности и(х), „ да второе предписывает скачок производной -^, взятой по нормали л к Г (пусть п направлена внутрь йг). Задача |D.1) — D.3) встречается, например, в дифракции элек* тромагнитных волн. В указанной постановке задачи этого типа существен-, но отличаются от обычных краевых задач (когда среда имеет гладко меняющиеся характеристики), и их иссле- исследование классическими методами (методами теории по- потенциала) даже в простейших задачах с кусочно-посто- кусочно-постоянными коэффициентами потребовало развития теории интегральных уравнений (в этих задачах' возникают так называемые нагруженные интегральные уравнения). Еще более тяжелыми для классических методов были дифракционные задачи для уравнений гиперболического типа. Однако анализ этих задач с точки зрения теории обобщенных решений, которой пронизана вся эта книга, показал, что они могут быть рассмотрены как частные
262 РАЗНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ (ГЛ. V случаи обычных краевых задач. Так, задача D.1) — D.3) эквивалентна задаче нахождения функции и(х) из Wi(Q). удовлетворяющей интегральному тождеству J аих.цх. dx= — J f-r\dx D.4) Q Q о при Vti^WMQ). Такую функцию¦ и(х) естественно на- назвать обобщенным решением задачи D.1) — D.3). Если и(х) есть классическое решение задачи D.1) — D.3), то, умножая D.1) на гладкую функцию ц(х), равную нулю на S, и интегрируя по Q, мы придем к равенству J а Аиц dx = J f ¦ ц dx, D.5) Q U которое в результате интегрирования по частям (его надо выполнить для каждой Qi отдельно и потом резуль* таты сложить) преобразуется к виду — j аих.цх. dx + j [a -|^] цds = J }ц dx. D.6) q r a Но это тождество совпадает с D.4), если учесть второе из условий D.3). Итак, классическое решение задачи D.1) — D.3) является обобщенным в смысле данного выше определения. Верно и обратное: если и(х) есть об. решение задачи и если оно достаточно гладкое в каждой из областей Qt- (например, ueC2(Qj), /= 1,2), то оно удовлетворяет всем условиям D.1) — D.3) в их классической форме. Действительно, для такого и(х) тождество D.4) преобразуется к виду D.6), из которого в силу достаточного произвола в выборе ц(х) следует как уравнение D.1), так и второе из условии D.3). Ос« тальные же два условия выполняются благодаря при* о , надлежности и(х) к №2(Q) и указанной гладкости и(х). Итак, мы убедились, что тождество D.4) заключает в себе уравнение D.1) и второе из условий D.3). Осталь* ные два условия задачи выражены в требовании принад« о , лежности и(х) к №г(Й). Покажем, что такое расширение
§ 4] О ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ 263 допустимо и с точки зрения теоремы единственности (легко показать, что для классических решений теорема единственности имеет место). Действительно, разность о , двух таких возможных решений будет элементом W2 (й). удовлетворяющим тождеству J аих.цх.с1х = 0 Q о . при VTieU^Q). Полагая ц = и, убеждаемся, что и=0, т.е. в нашем классе обобщенных решений действительно сохраняется теорема единственности. Существование же таких решений и(х) было доказано в гл. II, ибо рассма- рассматриваемая здесь задача есть весьма частный случай за- задачи Дирихле, исследованной в гл. II. Там же даны и приближенные способы фактического вычисления и(х). В гл. VI будет изложен другой приближенный метод их нахождения — метод конечных разностей. По задачам типа D.1) —D.3) остается один вопрос: когда об. реше- решения ее обладают той'или иной гладкостью, в частности, когда они являются классическими? Для уравнений (и систем) эллиптического и параболического типа глад- гладкость их решений — свойство локальное: в той части об- области Q, где все данные решения гладкие, их об. решения обладают соответствующей гладкостью, в частности, там, где коэффициенты уравнения и свободный член суть бес- бесконечно дифференцируемые функции, решения тоже яв- являются бесконечно дифференцируемыми функциями. Бо- Более подробный анализ зависимости гладкости решения от гладкости данных задачи потребовал развития специаль- специальной техники, которой мы не касаемся в данной книге. В задачах дифракции имеется дополнительный вопрос о поведении об. решений вблизи поверхности Г. Он иссле- исследуется в основном так же, как вопрос о поведении об. решений краевых задач вблизи границы S. Результат в общих чертах такой: вблизи гладких кусков Г, поверхно- поверхности Г об. решения являются гладкими функциями вплоть до Г-г, с той и другой стороны Г,, и следовательно, удо- удовлетворяют условиям сопряжения в классическом смы- смысле. Для задачи D.1) — D.3) доказан, например, такой результат: если }(х) принадлежит классу Гельдера
264 РАЗНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ 1ГЛ. V /fa(Q),SG Я24"", Г <= Я^* и Г не имеет общих точек с S, то гф)е=С(Й)Г)Я1+а(Ог)Г) #2+a(Qi), i= 1,2. Такой же результат установлен и для случая переменных коэффи- коэффициентов, если они суть элементы Ha(Qi). Описанный план исследования задач дифракции при- применим, например, для нижеследующих случаев. Пусть требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую урав- уравнению = JL [ац (х) ^j) + bt (х)их. + a(x)u = f (x), D.7) граничному условию u\s = 0 , D.8) и условиям сопряжения: Обобщенное решение этой задачи ищется как элемент №г(О), удовлетворяющий интегральному тождеству 2? (и, л) = J (а{1их.цх. — Ь{их.ц — аиц) dx= — J fi\dx D.10) о , при любой TieW2(Q). Вопрос о существовании и един- единственности такого решения исследован в § 3 гл. II. Если aij(x) в каждой из областей Q/, /=1, 2, на которые поверхность Г разбивает область Q, имеют об. производные aijXk(x) из L2(Qt) и /eL2(Q), то об. решение ы(х) принадлежит WI(q'i), 1= 1, 2, в VQj'cr Q;. Если к тому же SgC2, ГеС2 и S и Г не имеют общих точек, то и(х) е 1F2(QO, / = 1,2. Отсюда и из тео- теорем вложения следует, что не только и(х), но и ее произ- производные -Q— имеют следы на Г (эти следы суть элементы 12(Г)), понимаемые как пределы со стороны Qi и Q.%- Следы самой функции и(х) на Г, вычисленные как пре- предельные значения и(х) со стороны области Qi и области Ог, совпадают друг с другом (как элементы L2{T)) в
§ 4] О ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ 265 силу принадлежности и к Щ (Q). Следы же -Д- терпят, вообще говоря, скачок при переходе через Г, но -зтг === = 0. Последнее вытекает из принадлежности и(х) к Wl(Qi), 1= 1,2, и тождества D.10). Из этих же свойств и(х) следует и то, что в каждой из Qt и(х) удовлетворяет уравнению D.7), которое в Q; может быть переписано в виде / дац \ atiих.х. + \-щ + bijux. + au = f, xeBQh 1=1, 2. Если 5 и Г имеют общее пересечение, то вблизи этого пересечения требуется специальный анализ и(х). Аналогично исследуется задача D.7), D.9) при усло- условии -^- + cr«|s = O вместо условия D.8), а также ди- дифракционные задачи для D.7) при несколько более об- общем условии сопряжения (встречающемся в задачах на определение электромагнитного поля). В последних ус- условия D.9) заменены требованиями =0,c(x)>0, D.11) в которых с и а—заданные гладкие функции, имеющие разрывы первого рода на Г. Обобщенное решение и(х) о ' задачи D.7), D.8), D.11) определим как элемент №2(Q), удовлетворяющий тождеству J (ацсихл\Хг + ацсх.их.ц — bicux.i\ — асиц)их + + J [ст] илrfs = — \с\ч\йх D.12) Г Q о , при Vti^W2(Q). Это тождество получено из соотноше- соотношения — j S?u • сцdx = — | fci\dx с помощью формально Q - Q выполненного интегрирования по частям первого члена левой части и учета условий D.11) (а также того, что Ы о)
266 РАЗНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. V Доказательство разрешимости тождества D.12) в о , классе W2{Q) ничем по существу не отличается от дока- доказательства разрешимости третьей краевой задачи, про- проведенного в § 5 гл. II. Для его правомерности надо нало- наложить на поверхность Г те же условия гладкости, что и на 5 в § 5 гл. II. Гладкость а не обязательна, достаточно знать, например, что [а] —ограниченная на Г функция. Иногда условия сопряжения бывают неоднородными, т. е. в правых частях условий D.9) или D.11) стоят не нули, а известные функции. Такие случаи сводятся к рас- рассмотренным с помощью введения вместо и(х) новой не- неизвестной функции v(x) = и(х) — Ф(х), где Ф(х) под- подбирается так, чтобы условия сопряжения для v стали однородными. Описанный подход к исследованию задач дифракции для эллиптических уравнений применим и к дифракцион- дифракционным задачам для уравнений параболического и гипербо- гиперболического типов. Результаты по обобщенным решениям из энергетических классов, изложенные в главах III и IV, гарантируют однозначную разрешимость этих задач (а также дифракционных задач для систем, описанных в данной главе). В гл. VI будут построены разностные схемы для различных краевых и начально-краевых за- задач, которые обслуживают и задачи дифракции. Вклю- Включение задач дифракции в обычные краевые задачи оказа- оказалось возможным благодаря тому, что существование обобщенных решений из энергетических классов, тео- теоремы единственности для них и различные приближенные методы, позволяющие вычислять такие решения, дока- доказаны нами без предположения о гладкости коэффициен- коэффициентов уравнений. Изложенное в главах II—IV позволяет исследовать и вопрос, когда обобщенные решения этих дифракционных задач имеют в каждой из областей Q; обобщенные производные, входящие в уравнения, и удо- удовлетворяют всем условиям «почти всюду» (точнее, урав- уравнениям для почти всех х из Q и t из [О, Т], а граничным условиям и условиям сопряжения — для почти всех х на 5 и Г при почти всех t из [О, Т]). Вопросы же о большей гладкости решений мы в данной книге не излагаем (см. по этому поводу [12i3, и] и др.). Изложенное в данном
§ А] О ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ 267 параграфе ни в коей мере не охватывает громадную ли- литературу по задачам дифракции, посвященную деталь- детальному исследованию тех или иных свойств (чаще всего асимптотических по каким-либо параметрам или t) ре- решений простейших уравнений для конкретных простых областей Q. Здесь изложена лишь заметка [125], в кото- которой было показано, как эти задачи включаются в хорошо разработанную уже тогда теорию обобщенных решений для обычных краевых задач, и что эта теория дает для задач дифракции.
ГЛАВА VI МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕРГ § 1. Общее описание метода конечных разностей и некоторые принципы построения сходящихся разностных схем ¦"" Этот метод исследования различных задач для диф-" ференциальных уравнений состоит в их сведении к си- системам алгебраических уравнений, в которых неизвест- неизвестными являются значения сеточных функций Ыд в верши-" нах сеток йд, и к изучению предельного перехода, когда длины сторон ячеек сеток стремятся к нулю. Он приво- приводит к цели, если функции ыд в пределе дают решение поставленной задачи. Такое сведение задачи к беско- бесконечной последовательности вспомогательных конечно- конечномерных задач, определяющих приближенные решения и.и неоднозначно и неединообразно для задач различных ти- типов. Иными словами: для каждой задачи можно построить различные сходящиеся (к ней) разностные схемы, и для задач разных типов такие схемы суще- существенно отличаются друг от друга. Мы в данной главе рассмотрим те же краевые и начально-краевые задачи для уравнений основных типов, что и в предыдущих гла- главах, и для каждой из них построим -несколько простей- простейших разностных схем, приводящих в пределе к реше- решениям этих задач. Это будет сделано так, что существо- существование последних не предполагается заранее и, напротив, устанавливается с помощью метода конечных разностей. Мы ограничимся «прямоугольными» сетками: в них ячейками являются параллелепипеды с гранями, парал- параллельными координатным плоскостям. Исследования краевых задач, проведенные в главах II — IV, существенно опирались на некоторые общие
§ 1] • ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДА 26D факты, касающиеся нескольких функциональных про- пространств, и прежде всего пространств Wl(Q) и Wl(Q\ Подобно этому и в данной главе мы изложим сначала ряд общих свойств, касающихся семейств функций, за- заданных на сгущающихся сетках, и в том- числе необхо- необходимые для всей главы теоремы вложения в разностях. Это будет сделано с помощью некоторых простейших «восполнений» сеточных функций Ыд, сопоставляющих каждой ыд функции, определенные на некоторых обла- областях, связанных с сеткой Од. Такие восполнения, вве- введенные в [122], позволяют свести различные вопросы, возникающие для сеточных функций, к соответствующим уже изученным вопросам для обычных функций, опреде^ ленных в областях. Итак, предложения, которые излагаются в §§ 1 и 2, будут использованы во всех последующих параграфах (в §§ 3, 4 даны их обобщения, которые в данной книге не используются, но весьма полезны при более деталь* ном исследовании задач, обсуждаемых здесь, и при ис- исследовании других задач и вопросов, связанных с мето- методом сеток). Они имеют общее значение, не связанное со спецификой той или иной краевой задачи. С их помощью предельные переходы выполняются единообразно во всех задачах, коль скоро для приближенных решений иА этих задач установлена равномерная (относительно длин ре- ребер ячеек) ограниченность (в какой-либо норме). Если такая равномерная ограниченность имеет место для взя- взятой разностной схемы, то говорят, что схема устойчива (в смысле той нормы, ограниченность которой установ- установлена). Об этой связи между равномерной ограниченностью семейства {ыд}, вычисляемого по данной разностной схеме, и его сходимостью можно сказать: из устойчиво- устойчивости схемы ^следует ее сходимость. Для того чтобы пре- предельная для {ыд} функция и(х) оказалась решением рассматриваемой задачи, необходимо еще знать, что разностные уравнения схемы аппроксимируют соответ- соответствующие уравнения задачи. Это свойство схемы прове- проверяется стандартно и, как и «теоремы вложения в разно- разностях», вне зависимости от типа изучаемой задачи. Обычно такая проверка делается для каждого отдельно
270 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI взятого члена, входящего в уравнения задачи, причем ее достаточно сделать лишь на гладких функциях. Пояс- Поясним это. Пусть в уравнение входит производная д . Ее можно получить (для гладких функций и(х)), на- например, как предел разностных отношений _ (ег есть орт, направленный по оси Х{). В связи с этим Ди (х) ди (х) т^ , и говорят, что —]гт~ аппроксимирует —дт- Если диф- п ференц'иальное. уравнение имеет вид $и = V оц-^~ + п + аы=/, то разностное уравнение 2'дЫ=\, а,-г—^ + аи = f считается аппроксимирующим его. Итак, проверка того, что разностные уравнения взя- взятой схемы аппроксимируют соответствующие уравнения задачи, проводится единообразно для всех задач на ос- основании некоторых общих положений. Так же обстоит дело и в той части исследования, которая относится ко всей процедуре предельного перехода от {иА} к и(х), если известно, что данная схема устойчива. Однако это «если» и есть главный камень преткнове- преткновения на пути исследования избранной разностной схемы. Проверка устойчивости или, что то же *), получение оце- оценок для и а, не зависящих от величины ячеек сетки, и составляет центральную часть исследования схемы. Если схема аппроксимирует задачу и устойчива, то она (по крайней мере принципиально: т. е. при точном или до- достаточно точном вычислении иА, которое гарантируется теоретически) приведет к решению и(х) исследуемой за- задачи. Напротив, при неустойчивости схемы можно по- подобрать такие данные задачи (т. е.-свободный член или функции, входящие в начальные или граничные усло- условия), для которых {иа} будут образовывать неограни-* *) Мы имеем в виду всюду линейные задачи.
§ 1] ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДА 271 ченную последовательность и тем самым не могут дать в пределе ограниченное решение и(х) задачи. Приведенное нами описание ситуации, имеющей ме- место в методе конечных разностей, требует уточнений, ка- касающихся аппроксимаций, устойчивости и сходимости, т. е. указания тех пространств, в топологии которых они берутся. Здесь возможностей очень много. В §§ 1 и 4 мы доказываем «теоремы вложения в раз- разностях», аналогичные теоремам вложения для про- пространств Wlm(Q), изложенным в §§ 6—8 гл. I. Из них следует, какая устойчивость гарантирует какую сходи- сходимость, причем речь здесь идет не о сходимости к реше- решению какой-то задачи, а о внутренней сходимости в мно- множестве сеточных функций. Аппроксимацию дифферен- дифференциальных уравнений и граничных условий мы берем в слабом смысле и занимаемся в основном «обобщен- «обобщенным решением с конечной энергетической нормой». Это позволяет охватить уравнения с разрывными коэффи- коэффициентами и при этом не использовать каких-либо теорем о разрешимости исследуемых задач. Для них устанав- устанавливается слабая сходимость в «энергетических» про- пространствах. В § 11 на примере задачи Дирихле пока- показано, как при таких же предположениях о данных задачи можно доказать и сильную сходимость в энергетической норме (но при этом приходится привлекать точное ре- решение задачи). Остановимся теперь на самом важном вопросе: как же строить сходящиеся разностные схемы? Первое, что приходит в голову, это просто заменить все уравнения задачи разностными, которые их аппроксимируют. Но, во-первых, таких аппроксимаций бесконечно много, и которой из них отдать предпочтение? Естественным ка- казалось взять.ту, которая «красивее» (проще) остальных (иначе — вычисление решений которой требует меньше всего времени), или ту, которая дает наилучшую по по^ рядку шага аппроксимацию, вовлекающую в замену производных фиксированное (не очень большое) число соседних точек сетки. Но будут ли эти аппроксимации давать сходящиеся схемы? Оказалось, что для большого количества задач не будут (доказать это было совсем непросто, как непросто доказываются многие отрица-.
272 метод конечных разностей [гл. vi тельные утверждения). В § 6 я приведу примеры, пока- показывающие, что самые естественные, казалось бы, схемы не приводят к цели. Но вспомним о сказанном выше, что сходимость есть следствие аппроксимации и устой- устойчивости. Отсюда мораль: среди аппроксимирующих схем надо выбирать те, которые устойчивы. Однако в нормах каких пространств можно надеяться доказать устойчи- устойчивость? Естественно, в тех, в которых устойчива сама ис- исходная задача (устойчива относительно малых возму- возмущений коэффициентов и других данных задачи, в том числе и области). Такие пространства известны для мно- многих задач. Так, например, для всех хорошо поставлен- поставленных задач математической физики ими являются «энер- «энергетические пространства», квадраты норм в которых выражают полную энергию системы. Ввиду этого вполне естественным было намерение построить такие разност- разностные схемы, для которых имеется разностный аналог «энергетических оценок», гарантирующий устойчивость. Именно этому желанию я и следовала, разыскивая схо- сходящиеся разностные схемы. Дальнейшие соображения были такие: надо проанализировать выводы энергетиче- энергетических оценок и составлять схемы так, чтобы для них можно было имитировать эти выводы в разностях. Как видно из соответствующих параграфов глав II—¦ IV, при доказательстве энергетических оценок были ис- использованы, кроме неравенства Коши (которое одина- одинаково как для дискретных сумм, так и для интегралов), две формулы: формула дифференцирования произведе- произведения и, главное,- формула «интегрирования по частям». К сожалению, оказалось, что .обе они несколько «пор- «портятся» для их разностных аналогов (см. формулы B.2), B.3) и B.11) данной главы)—происходит «разъезжа- ние» аргументов у сомножителей, и, как будет видно из дальнейшего изложения, эта-то «порча» и является ana-, литической причиной расходимости «на глазок» написан- написанных схем. Избежать этих операций можно в случае эл- эллиптических уравнений, если исходить не из самого диф- дифференциального уравнения, а из соответствующего ему интегрального тождества, положенного выше, в гл. II, в основу определения «обобщенного решения из^г(й)» .(или, что то же, решения из энергетического простран-
S I] ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДА 273 ства). Если это тождество аппроксимировать сумматор- ным тождеством так, чтобы производные -^— заменя- лись однотипным образом разностными отношениями и, тем самым, чтобы положительно определенная форма ди ди °11~дк—~дх~ заменилась снова положительно определен- определенной формой, то нетрудно уже увидеть, что с помощью этого тождества оценка разностного аналога энергети- энергетической нормы приближенного решения иА может быть получена так же, как оценка для энергетической нормы, решения исходной задачи (см, § 2 гл. II). Отсюда сле- следует такой вывод: надо исходить не из дифференциаль- дифференциального уравнения, а из соответствующего ему интеграль- интегрального тождества и искать аппроксимации не первого, а последнего. Исходя из тождества, легче понять, как ап- аппроксимировать и краевые условия, опять-таки имея в виду основную цель: получение аналога энергетической оценки. В §§ 7, 8 мы опишем это подробно для всех трех классических краевых задач для эллиптических уравнений. При этом способе конструирования разност- разностных схем видна и большая свобода их выбора, при ко- которой, однако, имеет место устойчивость, а, следова- следовательно, и сходимость. Более того, такой подход охваты- охватывает сразу и случай разрывных коэффициентов, в том числе и задачи дифракции, указывая рецепт построений разнообразных правильных аппроксимаций в окрестно- окрестности разрывов коэффициентов. Наконец, с его помощью перекидывается естественный мостик между методом ко- конечных разностей и методом Галеркина, на который по- помещаются различные варианты «метода конечных эле- элементов», вошедших в моду за последние годы (см. об этом § 12). Реализация описанной идеи по построению сходя- сходящихся разностных схем для уравнений параболического и гиперболического типов сложнее (особенно для по- последнего), ибо в соответствующих им интегральных тождествах главные члены не образуют положительно определенных билинейных форм и в соответствии с этим выводы энергетических оценок используют интегрирова- интегрирование по частям, а для гиперболических уравнений — и
274 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI дифференцирование произведений. Но соотношение, из которого получается энергетическая оценка для парабо- ди лических уравнении, есть сумма члена и -gr- и члена того же вида, что и для эллиптических уравнений. Ввиду этого для всех членов параболического уравнения, кроме первого, можно использовать любую из разностных ап- аппроксимаций, найденных для уравнений эллиптического типа. Таким образом, остается позаботиться лишь о за- замене одного члена -гт~. Этот вопрос можно исследовать „ ди д9и предварительно на простейшем уравнении -~? = -тт и ОХ ОХ полученные рецепты использовать для общего параболи- параболического уравнения. При составлении сходящихся разностных схем для гиперболических уравнений также существенно помо- помогает то, что замены для эллиптической его части уже изучены. Одновременно с последним выяснены и воз- возможные аппроксимации краевых условий (ибо, как из- известно, постановка краевых условий диктуется эллипти- эллиптической частью уравнения). Остается понять влияние д2и члена -др-'. Это можно сделать на простейшем уравне- уравнении гиперболического типа — волновом уравнении. На нем удается выявить возможные разностные аппрокси- аппроксимации для общих гиперболических уравнений второго порядка (если в последние не входят члены вида ui0 д. " ). Правда, зависимость в них коэффициентов от х и t привносит свои трудности, ибо в этом случае при использовании формулы B.2) (а ее приходится при- привлекать) происходит расползание аргументов у сомно- сомножителей. Но с этой неприятностью можно справиться, используя то, что в формуле B,2) сдвиг аргумента можно отдать любому из двух сомножителей, и когда одним из них является коэффициент уравнения (т. е. известная нам функция), то ему-то и надо его отдать. Из сказанного об уравнениях параболического и ги- гиперболического типов видно, что разыскание сходящихся разностных схем разумно начать с простейших предста« вителей этих уравнений, т. е. уравнения теплопроводно-
§ 1] ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДА 275 сти и волнового уравнения. Так как вопросы, касаю- касающиеся замены краевых условий, выясняются на случае эллиптических уравнений и для них мы выдали четкий план действия, то при предварительном анализе про- простейших уравнений параболического и гиперболического типов в качестве краевых условий можно взять те, ко- которые исследуются наиболее просто. Такими условиями являются условия периодичности. Итак, изучение неста- нестационарных задач мы начнем с уравнения теплопровод- теплопроводности и волнового уравнения при условии периодич- периодичности по пространственным переменным. Для построе- ¦ ния сходящихся разностных схем для таких задач мною был предложен в 1947—48 гг. «разностный аналог ме- метода Фурье» (см. [12]]). Он позволяет не только найти сходящиеся схемы, но и исследовать, вообще говоря, любую разностную схему с точки зрения ее устойчивости (а, следовательно, и сходимости). Этим способом уда- удалось строго доказать расходимость ря"да, казалось бы, разумных разностных схем, для которых, однако, не удавалось ранее доказать сходимость. Мы излагаем его основы в § 5. В § б он применяется к простейшим одно- одномерным уравнениям эллиптического, параболического и гиперболического типов. Этот метод оказывается полез- полезным и для анализа метода переменных направлений и метода дробных шагов. Однако мы этого не делаем, из- излагая последний в § 8 сразу для общих параболических уравнений. Разностный аналог метода Фурье удобен для анализа разностных схем для тех задач, решения которых пред- представляются обычными рядами Фурье (я имею в виду классические разложения по функциям ei(-h'x^), т. е. для уравнений и систем с постоянными (или более общо—• с не зависящими от пространственных переменных) ко- коэффициентами в областях параллелепидального типа. Его можно использовать и для исследования разностных схем для уравнений с переменными коэффициентами, что мы и сделали в упомянутой выше работе [12i] при- применительно к весьма общему объекту—гиперболическим системам И. Г. Петровского (линейным и даже квази- квазилинейным!). Но лучше этого не делать. Как видно из ра- работы [12i], такой путь слишком громоздкий и требует
276 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ " [ГЛ. VI излишней гладкости коэффициентов (в п. 3 гл. III ра- работы [12j] он проиллюстрирован для удобства чтения также и на примере одного гиперболического уравнения первого порядка). Думаю, что в большой степени из-за этой громоздкости работы [12]] (а также ее малой до- доступности: в широкой печати она была опубликована лишь в виде заметки в ДАН СССР) предложенный в ней простой и красивый метод анализа разностных схем для уравнений с постоянными коэффициентами не привлек должного внимания, пока не появилась в 1951 году популярная статья [4] трех американских ав- авторов,' в которой он излагается применительно к одно* мерным уравнениям со ссылкой на фон Неймана как автора метода. Простота объекта и изложения (в статье пет никаких доказательств) позволила познакомиться с этим методом не только теоретикам, но и вычислите- вычислителям. Появилось много статей, а в последние годы и книг, где он применяется к ряду уравнений с постоян- постоянными коэффициентами (см. [7], [14], [20], [21], [31]). Было построено и его обобщение на случай, когда простран- пространственные переменные меняются в произвольной области ([20]). Это обобщение есть разностный аналог метода Фурье, изложенного в § 4 гл. III и в § 7 гл. IV. В нем ре- решения разностных уравнений ищутся в виде суммы по собственным функциям разностного оператора, соответ- соответствующего эллиптической части уравнения. Однако с практической точки зрения это обобщение вряд ли по- полезно, ибо вычисление даже одной такой собственной функции для непрямоугольной области является обычно более трудоемкой задачей, чем решение начально-крае- начально-краевой задачи с помощью известных разностных схем. Итак, я описала основные принципы, которыми по- полезно руководствоваться при составлении устойчивых разностных схем. В их основу положены априорные оценки решений исходной задачи в «энергетических нор- нормах» (и их следствия). Вместо них можно было бы взять за основу оценки, получаемые из «принципа мак- максимума» (в его расширенном толковании). Но мы этого здесь не делаем в силу нескольких причин. Одна из них — «нельзя объять необъятного», особенно в одном курсе лекций, которые и без того включают немало ма-
§ 1] ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДА 277 териала. Во-вторых, оценки такого рода имеют место для значительно более узкого круга задач, нежели энерге- энергетические. В-третьих, даже для тех задач, в которых та- такие оценки справедливы, далеко не всегда возможно сохранить их аналог для разностных аппроксимаций (примером этого могут служить эллиптические уравне- . пия второго порядка, в которых имеются смешанные производные ¦¦... ¦,—, 1ф]\. В-четвертых, полный ана- лиз конечно-разностных схем, базирующийся на оцен- оценках," получаемых из принципа максимума, как правило, более громоздкий и требует большей гладкости, чем тот, который будет изложен в данной главе. Но из всего ска- сказанного не следует делать вывод, что такой анализ «хуже» избранного нами. Напротив, в тех случаях, где он возможен, он нередко дает более полную информа- информацию о приближенных решениях и их скорости прибли- приближения к точному решению задачи. Именно такое под- подробное аналитическое исследование было проведено в широко известных основополагающих работах [13i], [72] и [184], в которых были рассмотрены простейшие уравне- уравнения различных типов. Данная глава не претендует на полное освещение всех вопросов, связанных с методом конечных разностей. Так, например, мы оставили в стороне исследование та- такого важного вопроса, как оценка скорости сходимости приближенных решений к точным. В работах 30-х— 50-х годов они проводились для простейших эллиптиче- эллиптических и параболических уравнений в метрике пространств C(Q). В последнее десятилетие оценки скорости сходи- сходимости получены в энергетических метриках для различ- различных задач при значительно более слабых предположе- предположениях о данных задач и их точных решениях (см. работы [19], г], [16г, з]> [9] и др.). Мы не рассматриваем также слож- сложные разностные схемы, имеющие иногда некоторые пре- преимущества перед простейшими. Не затронута обширная область численной реализации разностного метода. Не излагаются интересные работы F. John'a, P. Lax'a и L. Nirenberg'a по исследованию «принципа заморажи- замораживания коэффициентов» (см. о нем в [12ю]), работы С. К. Годунова, В. С. Рябенького, А. А. Самарского
278 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI и др. по исследованию устойчивости произвольных раз- разностных уравнений с постоянными коэффициентами, не являющихся разностными аппроксимациями дифферен- дифференциальных уравнений, принадлежащих к одному из хо- хорошо изученных типов. Нет ..., но тут лучше остано- остановиться, ибо лишь одно перечисление того, чего здесь нет, заняло бы многие страницы. Однако мы надеемся, что эта глава даст внимательно изучившему ее читателю представление о методах теоретического исследования разностных схем, а также поможет ориентироваться в том огромном хозяйстве, которое возникло в связи с появлением быстродействующих вычислительных ма- машин и использованием метода конечных разностей как одного из основных при численном решении разнообраз- разнообразных прикладных задач. § 2. Основные разностные операторы и их свойства Разобьем евклидово пространство Rn переменной х = (хи ..., хп) плоскостями Xi = kihu hi>0, i = 1, ... ..., n, где k{ — целые числа, на элементарные параллеле- параллелепипеды (ячейки) (O(ftft), координаты точек которых опре- определяются неравенствами: kihi < х,- < (k{ + l)h{, i = 1, ... ..., п. Вершины этих ячеек назовем точками сетки (ре- (решетки) . Функции, определенные на точках сетки (точ- (точнее, на какой-либо совокупности этих точек—множестве определения функции), будем обозначать через Uh и на- называть их сеточными. Иногда, если это не вызовет пута- путаницы, индекс h у них будем опускать. Для них введем разностные операции «лгг (л:) = ^- [и (л: + Лг^г) — «(д:)] и B.1) где ei есть единичный вектор, направленный по оси xt *). О первой из них говорят, что это правое разностное *) Было бы правильнее обозначить их uhx и uhR. Но мы всюду будем использовать более .короткие обозначения B.1).
§ 2] ОСНОВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 279 отношение (или правая разделенная разность), о вто- второй— левое. Во всей данной главе частные производные функций и(х), заданных на областях Q *), будут обо- обозначаться как -д—. Если и(х) непрерывно руема в Q, то uXi (х) и иХ{ (х) сходятся к ¦ ^ при ft, ->0 (равномерно в VQ'c Q), иначе говоря, разностные отно- отношения их. и%. аппроксимируют производную-^-. Ясно, что суммы аих. + A — а)и* также аппроксимируют-т-^- при Va. Можно написать и более сложные разделенные разности, которые сходятся при /г^->0 к -х—, но мы ими пользоваться не будем. Разностные отношения "V/= "Vе* = ("*«¦)*/' Uxisi = Uxixi и uh*t аппроксимируют ~5—^—' (если последняя существует). Аналогично опре- ОХ; ОХ ! деляются разностные отношения их. ...х. х, ...а, любого ll lk '1 'I порядка. Если в дифференциальном уравнении произ- производные заменены соответствующими разностными отно- отношениями по указанным правилам, то говорят, что полу- полученное разностное уравнение аппроксимирует данное. Коэффициенты уравнения при этом также могут быть заменены на какие-либо функции, сходящиеся к ним при hi-*0, i = 1, ..., п. Разностное уравнение рассма- рассматривается обычно лишь на точках сетки. Принято оп- определять также понятие порядка аппроксимации (для какой-либо производной и для всего дифференциаль- дифференциального уравнения). Так, например, для их. он равен еди- единице, ибо согласно формуле конечных приращений их (х) = " ' -|—hi—'—тр-. Мы не будем останавли- ' dxt 2 дх\ ваться на этом понятии, так как в дальнейшем оно не используется. Разностные отношения B.1) от произве- произведения uv двух сеточных или обычных (т. е. заданных *) Напомним, что область Q всюду считается ограниченной.
280 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI в области) функций можно представить так: (uv)x. (х) = их. (х) v (х) + и (х + htet) vXi (x) = = иХ{ (х) v (х) + и (х + htet)vXt (х + hiei), B.2) (uv)^ (x) = us. (х) v(x) + u (x — hiei) Vxt (x) = = Uxl (x) v (x) -f и (х — /г/вг) у^ (л; — hid). B.3) Как видим, эти формулы отличаются от формулы диф- дифференцирования произведения. В них имеется то самое неприятное «расползание» аргументов, о котором мы го- говорили во введении. Благодаря им мы теряем соотноше- ди 1 ди2 ние и -5— = y ~7Г7> весьма важное при выводе всех ап- априорных оценок. Ни для одной из аппроксимаций А „ д , Дн —— производной ~5—не имеет место равенство и -г— = _ 1 А(и2) "" 2 Axt ' ¦ Разностным аналогом формулы интегрирования по частям в одномерном случае является формула 771-1 • h 2 ux(kh)vh(kh) = fc=0 т = -h 2 Ид'(М)оИ^)+«й(«/г)рйН)-@)эЛ@)- B-4) В ней ии и Vu—произвольные сеточные функции, задан- заданные на точках х = kh, k = О, ...., т, а ( )* и ( )х вы- вычислены в соответствии с B.1) с шагом hi = h*). Ра- Равенство B.4) элементарно проверяется с помощью пере- перегруппировки слагаемых (преобразования Абеля) **). *) Первое слагаемое правой части B.4) можно записать и так: т—\ — h ^uh({k-\-\)h) vx(kh), но мы предпочитаем первую форму, в которой аргументы у обоих слагаемых взяты в одной и той же точке. **) Формула B.4) может быть получена и как следствие оче- ->. т— I видного равенства h У\ w (kh) = w.(mh) — w. @), если в ней jfi Л взять ffiift = tihVh. и воспользоваться B.2),
§ 2] ОСНОВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 281 В нем также есть отклонение от обычной формулы ин- интегрирования по частям: в его левой и правой частях стоят разностные отношения различного типа. Из-за этого в разностях теряется еще одно важное равенство: 2 u-^-dx=u2(l) — м2@), существенно используемое о при выводе оценок. Вместо него приходится пользоваться следующими: т 2 2/г 2 «,(*А)иЛ*А)=и2(тА)-и2(О)+АЦ к{ил{Ш)J B.5) fci я fci и ш— 1 т—1 2/г 2 а (ЛА) и. {kh}=u\ (mh)-u\ @)-A 2 h{ux(kh)J. B.6) fc0 я fc0 Они получаются суммированием элементарно проверяе- проверяемых соотношений: 2hu. {kh) uh (kh) = и\ (kh) - и\ {{k-\)h) + h2 (u, (kh)f B.7) . B.8) Складывая B.5) и B.6), получим такое представление разности квадратов значений Uh(kh) в разных точках; m m—1 = h 2 и, (АА) м„ (ЛА) + /г 2 их {kh) uh {kh). B.9) fc=l Л Я fc=0 В многомерном случае формула суммирования по ча- частям получается простым сложением равенств B.4) по всем отрезкам, параллельным оси xit для которой взяты разностные отношения ( )Xl- и ( ) xt в B.4), принадле- принадлежащим области определения функций uh и vh. Мы ис- используем ее для одного важного случая, когда «внеин- тегральные члены» отсутствуют, т. е. когда uhvh обра- обращается в нуль на «границе сеточной области», Поясним это.
282 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI - Условимся символом Qh обозначать замкнутую об- область, состоящую из ячеек ah (или, что то же, со&ь.)), при- принадлежащих Q. Ее границу обозначим через 5/„ a Qh — 5/i = Qh. Эти же символы Qh, Sh и Qh будем упо- употреблять и для указания множеств вершин (точек) сетки, принадлежащих Qh, Sh и Qh соответственно. Точки сетки ид называются «внутренними»: вместе с ними к Qh принадлежат и все их «ближайшие соседи», точнее, вер- вершины всех ячеек щш), одной из вершин которых является взятая точка Qh- Напротив, точки Sh называем гранич- граничными. Возьмем на Qh сеточную функцию wh, равную нулю на Sh, и доопределим ее нулем вне Qh (т. е. на все точки решетки из Rn). Легко проверить, что для нее справед- справедливы равенства Ль2>х. = 0, /=-1, ...,л, AhseA, ... А„. B.10) Если в качестве Wh в B.10) взять произведение двух сеточных функций и воспользоваться формулой B.2), то получим весьма важный частный случай много- многомерной формулы «суммирования по частям»: Aa2«Va = — Лл 2 «Vv B.11) Напомним, что в ней uhVh = 0 вне Q^ (можно считать, например, что B.11) имеет место, если uh = 0 вне Qh, a Vh произвольна). Обратим внимание на удобную за- запись в B.11)—суммы слева и справа распространены на одно и то же множество Qh (в отличие от общего случая, когда uhvh \s ф 0, — см. B.4)). Это оказалось возможным благодаря нашему распространению функ- функций uh и Vh вне Qh. А распространение было необходимо: в обеих, суммах B.11) есть слагаемые, которые содержат значения ии и о/, в точках, не принадлежа- принадлежащих Qh. Формулы, похожие на B.4) и B.10), B.11), можно написать и для функций и и v, заданных на области.
§ 2] ОСНОВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 283 Так, если функция w(x) определена на отрезке [0, /] и суммируема на нем, то для h <c / l-h I ft J wx(x)dx=j- J w(x)dx-jjw(x)dx. B.12) 0 l-h 0 Отсюда и из формулы B.2) следует для w(x)=u(x)v(x) l-h I I ft J uxvdx= — J uvzdx + j J uvdx — ~ J uv dx. B.13) 0 ft . . /-ft 0 Если же и(х) и v(x) равны нулю вне @, /), то i i ( uxv dx = — J uvi dx. B.14) о о Это же верно, если только v(x) равна нулю при х <0 и х > / — Л. В многомерном случае для и(х) и u(jc), равных нулю вне области Q, j ux.vdx<= — \uvxtdx. B.15) Q Q Формула B.15) справедлива и тогда, когда только функ- функция v равна нулю вне пересечения области Q со сдви- сдвигом Q на вектор — /tje,-. В равенствах B.12) — B.15) Ui(x), и(х) и v(x) — произвольные суммируемые функции на их областях определений. С помощью B.15) легко доказывается следующий факт: Лемма 2.1. Пусть u(x)eL2(Q) и пусть ее разност- разностные отношения их.(х) при hi-*-0 сходятся слабо в 12(й') для VQ'cQ к функции vx(x) {так что vx e е/,2(й') для Vfl'cQ), Тогда v{(x) есть обобщенная производная -^— функции и(х) в Q. Заметим, что в fi'cQ функции uXl(x) определены - для всех hi, меньших расстояния от Q' до dQ. Возьмем произвольную Ф(л:)е С00(Q) и применим ки(х) и Ф(х) формулу B.15). Она верна для всех достаточно малых/ц.
284 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI Устремим в ней ht к нулю. Функции Фх{(х) будут стре- дФ ¦= миться к -^j- равномерно в Q, и следовательно, в пре- пределе мы придем к равенству I „ , Г дФ , ' и,Ф dx — — и -т— их, ди гарантирующему желаемое: и,-== -g^r* Из данного вывода видно, что условия леммы можно ослабить, потребовав,более слабую сходимость их. к vt. Кроме того, вместо разностных отношений ( )х можно взять любые другие, аппроксимирующие производные д § 3. Восполнения сеточных функций. Простейшие теоремы вложения Пусть Rn разбито на ячейки о\щ так, как описано в начале § 2. Возьмем какую-либо ограниченную об- область Q и соответствующие ей множества Q^, Qh и Sh, определенные в § 2. Для произвольной функции «/„ за- заданной на сетке Qh, построим несколько простейших ин- интерполяций и выясним связь между ними и uh. Первая из них — кусочно-постоянная — имеет вид: ДЛЯ Шй(щ - C.1) (напомним: kh — \k{h\, ..., knhn)', ®(ш = Iх • ^»^» < < (ki -f- I) hi}). Вторая — полилинейная: п п .. + s^*, ...хг_л+1 ...*„ п (^ -ш + -М|)- C.2). r
§ 3] ВОСПОЛНЕНИЯ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИИ . 285 для JGMW|, В C.2) uh и все разностные отношения вычислены в вершине (kh). Функция u'h(x) непрерывна в Q/j, в пределах же одной ячейки она линейна по каждому переменному xt. Во всех вершинах Q,h u'h(x) совпадает с uh. Ясно, что u'h (х)e Wlm{u^, V/n>l. Третья интерполяция, точнее, п интерполяций третьего типа определяются равенствами и i \ (у\ — н I 7 // ( у — Ъ h \ttl) V / ' **/! —Г™ jjipJ X \ Г ¦ /Ьг'и г=1 г тфт г=1 тфт для х е сО(йЛ); Uh и все разностные отношения вычислены в вершине (kh). Функция и(т)(х) в пределах a№ft) по- постоянна по хт, линейна по остальным х$ и совпадает со значениями uh в тех вершинах Щщ, которые лежат на плоскости хт = kmhm- Нетрудно проверить, что ди'Лх) Здесь и ниже интерполяции вида C.1) для разделенных разностей их сеточной функции Uh будут обозначаться (uxi)(x) или, короче, йхг Можно было бы для тех же целей, для которых будут использованы описанные ин- интерполяции, ввести другие, например, вместо «?(¦*-) взять другое непрерывное на Qh восполнение, совпадающее с uh во всех вершинах Qh) линейное по всем переменным в пределах элементарных симплексов, на которые пред- предварительно надо подразделить каждый параллелепипед W(ftft). Таких интерполяций можно построить несколько в соответствии с различными возможными разбиениями со(йа) на симплексы. Но мы не будем пользоваться ими (исключение составляет § 12, где о них говорится для случая п = 2) из-за неудобства их аналитической за- записи. Пусть положительные числа hu ..., hn пробегают ка- какие-либо' числовые последовательности, имеющие своим
286 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI пределом нуль. Рассмотрим соответствующие им ре- решетки и множества Ял. Допустим, что на каждой из Q;t определена своя функция uh. Доопределим их нулем на все точки решетки, не принадлежащие Qh, и построим по этим сеточным функциям интерполяции uh(x), u'h(x) и M(m)(jt). Убедимся в справедливости следующего пред- предложения: Лемма 3.1. Пусть ДА2«|<с*). C.5) Тогда, если одна из последовательностей {йй}, {м^}, {м(т)} сходится слабо в L2(Q) к функции и(х) при hu ... ..., hn—*0, то и другие сходятся так же к и(х). Важное замечание. Постоянная с здесь и все по- постоянные с и С{, встречающиеся ниже, не зависят от ша- шагов h = (hu ,.., hn). Во-первых, заметим, что из C.5) следует равномер- равномерная ограниченность норм ЦйД -Q, Ци^ q и |"(m)lL,Q**)> и потому каждая из этих последовательностей слабо ком- компактна в L2(Q). Кроме того, из этого же следует, что для доказательства интересующих нас сходимостей доста- достаточно проверить сходимость проекций (в L2(?l)) со- соответствующих функций лишь на функции Ф(х) из С°°(й). Пусть J и'нФ dx -> [ мф dx, докажем, что а й | ййФ dx -> мф dx. Другие случаи рассматриваются ана- логично. Построим по Ф(х) кусочно-постоянную функ- функцию Ф/Дх), совпадающую с Ф(х) на точках решетки. Легко видеть, что j и h<bh dx -> (" мф dx. Возьмем hit *) Напомним, что Ал = h{ ... hn. **)Ибо значения функций uh (x), uh(x) и и^(х) в каждой из ячеек Ю(йл) заключены между наибольшим и наименьшим значе- значениями Uh в вершинах Ю(йл).
§ 3) ВОСПОЛНЕНИЯ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИИ 287 i—\ /г, уже столь малыми, что на Sh и вне Qh функция Ф/4 равна нулю. Тогда где 2 означает суммирование по всем ©^мсО, Не- (*Л) трудно подсчитать далее, что Г=1 где через ФЛ обозначены значения Ф в вершинах сетки. Перенесем в каждом слагаемом скобки одно из раз- разностных отношений с Мл на Фл, используя формулу B.11). Это приведет к равенству Но и, следовательно, /?->0 при hx /гд->0. Итак, до- доказано, что j uh<bh dx --> j мф dx. а и Поэтому и f ЙЙФ dx — f ййФ/г rfjc + f йЛ (Ф — Фй) Лс -> f мФ dx. a q а й Лемма доказана.
288 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕР1 [ГЛ. VI Введем следующие сокращенные обозначения, ко- которые будут использованы в дальнейшем: KUx) "*-("•¦)'• 4- их= 2l ux> "(kh) C.7) \\lm ""• ffltw В C.7) символ 2 означает суммирование по вер- вершинам ячейки @(йЛ), принадлежащим грани Далее, 1.и. В„ II т »,а, ^ 1/т 1/т C.9) C.10) C.11). сеточных функ Величины ||«Л||тц и II«лС ц естественно назвать нор мами пространств Lm(iih) и W ций uh, определенных на Qh. В суммах C.9) и C.10) имеются одинаковые слагае- слагаемые— значения \их. .вычисленные в одной и той точке сетки, но они повторяются не более чем 2п~1 раза. Ввиду этого вместо норм, определенных выражениями C.9) — C.11), можно ввести другие, им эквивалентные, в которых таких повторений нет (напомним, что число п при наших рассмотрениях мы считаем фиксированным). Мы это и сделаем в следующих параграфах. Так, напри-
$ 3] ВОСПОЛНЕНИЯ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ 289 мер, в случае, когда функции uh равны нулю на Sh, мы их будем считать доопределенными нулем вне Qh, и под величиной || их f2 ? будем понимать сумму Дл 2 и2х (со- h "а V ответственно || U/jll,"-^ считать определенной равенством Г^А 2 (и1 + w*)l'/aV Но в данном параграфе мы, ради L "а ' J / удобства записи, будем использовать нормы вида C.9) — ¦-C.11). Предположим,_что функции uh определены на сеточ~ ных множествах Qh, состоящих из вершин ячеек ю^а), имеющих с О. непустое пересечение. Лемма 3.2. Пусть ч Тогда, если одна из последовательностей функций {ыд|, \u'h} или {«(т.)} сходится при ^-*0 в L2(Q) к некоторой функции и(х), то и две другие сходятся в L2{Q) к и(х). Прежде всего покажем, что величина | u'h — и{ (т) до- достигает своего наибольшего значения на ы-щ в одной из вершин щщ, и это значение равно произведению Ulxm\hm, взятому в одной из вершин ю(йл), принадлежа- принадлежащей . плоскости хт = kmhm. Действительно, на грани хт = kmhm взятой ячейки щщ функции «а и щт) совпа- совпадают. Вдоль отрезка,, выходящего из какой-либо точки этой границы параллельно оси хт, функция u'h линейна по хт, а ит постоянна. Поэтому (х„ — kmhm\ == дХт хт=кт»т «А ~ "(*) I = x 1\. hhH( Но функция (ыл:т)(т) на грани хт = kmhm линейна по всем переменным хи i Ф т, и потому принимает свое 10 О. А. Ладыженская
290 .МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI наибольшее значение в одной из вершин этой грани, где она равна просто их . Поэтому верно равенство тах|ы' — и, . = h max и , C.12) I п \tn) tn и и т a(kh) xm= т"т где max взят по вершинам щш), лежащим на грани хт ^ ктпт. Разберем один из случаев, указанных в лемме, ибо остальные доказываются аналогично. Пусть («ft — ufdx^O при й,->0, /=1 п. Тогда J (*h-uJFdx, C.13) Q (ft/i) e,(kh) где суммирование 2 проведено по всем ©(ftft)eQ*. (fth) Используя C.12), можно правую часть C.13) мажори- мажорировать так: 2 при /гт->0. Отсюда следует, что J («(.) - UT dx <2 J [К - "J +' К - "Л ** - ° при Л] /г„->0. Лемма 3.3. Пусть || ыл ||^* ^ с, гйе п\ — те же се- сеточные множества, что и в лемме 3.2. Пусть, кроме того, hi = ... = hn = h —> 0, ы граница S области Q — глад- гладкая. Тогда если [u'h(x)} сходятся к и(х) в норме L2(S), то {uh(x)} таююе сходятся к и(х) в норме L2(S). Доказывается эта лемма так же, как лемма 3.2, надо только учесть, что h ds^.chn, где постоянная с не зависит от h. Перейдем к доказательству теорем о сильной ком- компактности семейства' сеточных функций (точнее, их вос- восполнений) в Ь2(п). Они являются аналогами теорем 6.1, 6.2 и 6.6 Ф. Реллиха, доказанных в гл. I.
I 3] ВОСПОЛНЕНИЯ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ 291 Теорема 3.1. Пусть последовательность функций {Uf), каждая из которых определена на своей сетке Qh, удовлетворяет условию 4-\ 2 К+ «*]<<% C.14) •h и пусть ,Uh равны нулю в граничных точках Sh и вне йл. Тогда восполнения \u'h (х)} образуют равномерно ограни- ценное мнооюество в W2(Q) и, следовательно, оно сильно о . компактно в Li(Q) и слабо компактно в Wi{Q). Замечание 3.1. В этой теореме можно не предпола- предполагать, что ребра ячеек сеток Qh стремятся к нулю, хотя она применяется именно к этому случаю. Если же Лг->'0, i = 1, ..., п, то из теоремы 3.1 и лемм 3.1 и 3.2 можно вывести такие заключения:пусть из[ид|выбраналодпосле- довательность (ида(х)}, сходящаяся к некоторой функции о . о . и(х)е!^2@) сильно в норме L2(Q) и слабо в uopMeW2(Q). Тогда все другие восполнения «ла также будут стре- стремиться в L2(Q) к и(х), а построенные по ида функции Uxt(x), (их,)(т){х) и ("*j)laM сходятся слабо в L2(Q) к -5— (для проверки последнего утверждения надо вспо- axi мнить соотношение C.4)). Для доказательства теоремы 3.1 достаточно убедить- убедиться, что из C.14) следует равномерная ограниченность Для этого заметим, что функцию u'h (x) в паралле- параллелепипеде щщ можно представить в виде V «a(s/j)X XXs(-~, ..., —-), где Xs суть полиномы порядка п, а символ 2 означает суммирование по всем верши- Л(ад нам ©(ил;. Из этого представления ясно, что 10*
202 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI где i/«=4L, *=1, 2, ..., п, a u'h(y) = urh(x). Но C.15) duh (x) Производная же —^— в (о(Ал) есть сумма вида > ux.(sh) Xs[-г-, ..., -г5-), где Xs суть полиномы сте- пени п—1, а символ 2 означает суммирование по тем вершинам a(kh), которые лежат на грани xi = kihi. Ввиду этого и потому " C.17) о Каждая из функций uh(x) является элементом W\ (Q), равным нулю в области Q\Q/j. Неравенства C.15), C.17) и предположение C.14) гарантируют для них рав- равномерную ограниченность норм I u'h II*1'' . Итак, из условия C.14) следует равномерная ограни- ограниченность в W\ (Q) семейства {«л(х)}, а так как каждая из Г ° 1 AА(^)е^2(й), то теоремы 6.1 и 1.2 гл. I гарантируют справедливость теоремы 3.1. Аналогично со ссылкой на следствие 6.1 гл. I уста- устанавливается следующая теорема: Теорема 3.2. Пусть для цилиндра Qt={(x, х0) : хе ей, хо е [О, Г]} построена последовательность решеток Qrh = ил X l*o = hh0, Ао=^-, ^о = О, 1, ,,,, N],
§ 3] ВОСПОЛНЕНИЯ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ 293 Qhczu, с ht -> 0, i = 0, 1, .... л, и на каждой из них имеется функция щ, равная нулю на Sh и вне Qh при всех х0 = koho, k0 = 0, 1, ..., N. Если то из {h} можно выбрать подпоследовательность {1ггх}, для которой функции \uha [x, х0)} сходятся к некоторой функции и(х, Хо) в норме L2(QT), в норме L2(Q) равно- равномерно относительно х0 е [О, Т\ и слабо в пространстве W2 (Qt)- Предельная функция и(х, х0) есть элемент WloiQr)*). Теорема 3.1 может быть обобщена на случай функ- функций ы/,, не равных нулю на Sh, нижеследующим_образом. Пусть имеется последовательность областей Qh (таких же, как в лемме 3.2), содержащих область Q, удовлетво- удовлетворяющую условиям теоремы 6.2 гл. I. Пусть, далее, на сеточных множествах Qh (т. е. на вершинах ячеек щл), принадлежащих Qh) определены функции «л. Для та- таких функций справедлива теорема: Теорема 3.3. Пусть функции {«;,} определены на последовательности сеточных множеств Qh, удовлетво- удовлетворяющих только что описанным требованиям, и пусть для них II ЧЙ'п* < с- C.18) h Тогда семейство восполнений Wh(x)\ равномерно ограни- ограничено в норме W2(Q) и, следовательно, компактно в L2(Q). Оно компактно и в L2(dQ), если dQ удовлетворяет условиям теоремы 6.6 гл. I. Утверждение теоремы следует из сравнения членов левой части C.18) с нормами в L2(Q) и^(О) для «л(х), приведенного выше при доказательстве теоремы 3.1 (см. C.15) —C.17)). *) Напомним, что У'1.о(®т) полУчено замыканием в норме W;2 (Qt) множества гладких функций, равных нулю вблизи боко- боковой поверхности Тт цилиндра Qt. Об элементах W\t о {Qt) имеет. смысл говорить, что они равны нулю на Гг.
294 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI Замечание 3.2. Для случаев, рассмотренных в тео« ремах 3.2 и 3.3, справедливы утверждения замечания 3.1, Для сеточных функций «д, заданных на Йл и равных нулю вне Qft, справедливы неравенства «А °* где /f есть длина i'-й стороны параллелепипеда П/ =з «= {х: О < х; < l\, i = 1, ..., «}, заключающего в себе Q, Они являются разностными аналогами неравенства F.3) гл. I и выводятся так же, как F.3) в гл. I. Надо только вместо формулы Ньютона — Лейбница F.6) взять ее разностный эквивалент: т-\ у' ( у у у у \ лг ^л,, , лг_,, лг+], ..., лпу § 4. Общие теоремы вложения В § 3 при доказательстве теоремы 3.1 мы показали, '"' *) не превосходит не- что отношение \\и которой постоянной, не зависящей ни от щ, ни от ht. Оказывается, что и обратно: отношение!и, II ЦыЦГ1 () №) ограничено сверху постоянной, не зависящей от uh и h-,, причем оба эти факта верны не только для норм L<i, но и для любой нормы Lm, т ^ 1. Условимся такие вели- величины KL ат) и ||ыл!|т> &т называть эквивалентными. Для доказательства эквивалентности ||ы'|| и и. .во-первых, заметим, что их отношения не зави- н й т. &{kh) сят от величин hi, ..., hn,u6o при переходе к у.=хгН~х-~ — ki они преобразуются в Д''т|«'|| и Д''т1« | Л " 'I'm, <d(o) '' м'т, *S/q\ *) Обозначения норм для сеточных функций введены в § 3.
$ 4] ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ 295 соответственно, где щ0) есть куб {у: О < yi < Ц, под- подстрочный индекс «1» указывает, что щ есть сеточная функция, определенная в вершинах щ0), а и\(у) — ее ин- интерполяция на @@), вычисленная согласно C.2) с hi — 1, ki = 0. Представим и\ {у) в виде u[(yv г/2) = «@, 0)A — г/,)A — у2) + ыA, 0)A — У2)у1 + + ы@, 1)A —yjya + uil, l)yiy2*) D.1) для случая « = 2и аналогично для любого п. Из этого представления ясно, что отношение\и',\ \\иЛ~1 не превосходит некоторой постоянной ст, зависящей только от т. Для доказательства же ограниченности отношения ;'('«,)= и.\ •||WiirI на множестве всех сеточных 4 '' ' «т, й(о) I' ' 'та, @@) функций ui, заданных в вершинах ©(о), заметим, что /(«;) не изменится, если это множество сузить требованием: ||«,||т й =1. Допустим, что sup/(«i) по всем таким функциям «1 неограничен, или, что то же, irif(/(ui))~1=O. Ввиду компактности допустимого к сравнению множе- множества функций {«]} этот инфимум достигается на некото- некоторой функции й'Лу), так что ifi'll =0. Из равенства А " "ТП, й)@) нулю нормы в Lm((o(o)) функции й\{у) следует тожде- тождественное обращение в нуль самой функции й\ (у) на ©(о). а отсюда и из линейной независимости функций, входя- входящих в выражение D.1) в качестве множителей при зна- значениях й'{ (у) в вершинах, следует, что и сами эти зна- значения равны нулю. Но это противоречит предположению: || й[ ||т й = 1, и потому sup/(«i) равен некоторой конеч- конечной ПОСТОЯННОЙ Cm **). Итак, мы убедились в эквивалентности величин ||м'| и II "* II . Отсюда следует эквивалентность » ""т, ода) И "«.-я, <й(щ величин ||«1|| и ||«.|| _ . Аналогично доказывается II «lim.Q,, II "Urn, Яь *) Для справедливости D.1) достаточно убедиться, что так ' определенная линейная по каждому переменному функция совпадает с заданными значениями в вершинах куба Ш@). **) Такой метод рассуждения имеется в работе [232]. В ней до- доказана теорема типа теоремы 4.1, приводимой ниже.
29Q МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ¦ [ГЛ. VI I < эквивалентность дх, хЛ — , а тем самым i lint, Я ь г «т \ 1/та ~дТ~\ I и HU*IL,?- Эти Факты позволяют перенести мультипликативные неравенства § 7 гл. I на сеточные функции. Так, например, пусть uh задана на сетке Q.h и равна нулю на Sh. Ее восполне- восполнение щ (х) будет элементом W% (Q^) и потому для нее справедливо неравенство G.1) гл. I, т. е. (относительно значений параметров см. теорему 7.1 гл. I). В силу доказанной только что эквивалентности разных норм сеточной функции uh и ее восполнения u'h из D.2) следует с теми же параметрами, что и в D.2). Подчеркнем, что постоянная J3 определяется этими параметрами и размер- размерностью я и не зависит ни от функции и^ ни от сетки Q/, (в том числе от величин h\, ¦.., hn). Для сеточных функций щи не равных нулю в «гра- «граничных точках» сетки Q/,, также справедливы неравен- неравенства D.2) и' D.3), ибо области вида Q/( удовлетворяют требованиям, при которых были выведены неравенства D.2). Однако постоянная р, которая в них войдет, вообще говоря, зависит от области Q^. В приложениях интересны те случаи, когда р может быть выбрана об- общей для всей совокупности областей Q^, аппроксими- аппроксимирующей данную область Q. Это так,'например, в сле- следующей ситуации: пусть область Q удовлетворяет тре- требованиям теоремы 6.2 гл. I и на сетках Qh, состоящих из вершин ©(йл), имеющих с Q непустые пересечения, взя- взяты их восполнения и'п{х). Последние рассмотрим как
§ 4] ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ 297 элементы W^iQ)!) Lr{Q) и применим к ним неравен- неравенства G.7) гл. I, т. е. Постоянная ср>т, r(Q) в нем определяется областью Q (и, как всюду, параметрами р, in, r и п). Н А ^ 'II i'l у рр Но, как показано выше, и А _ «'II _ L.o 1 t ¦т,й* h \ ux \\m -у», причем постоянная с зависит лишь от р, т, г и /г. Поэтому из D.4) следуют нера- неравенства а]и^1' D-5) постоянная Pi в которых зависит лишь от Q и р, т,- г, п. Используя эти же свойства эквивалентности норм сеточ- сеточных функций uh и их восполнений u'h и теорему 7.3 гл. 1 о компактности вложения Wlm{Q) в Lp (Q) с Vp < p, по- получим теорему о компактности в Lp(Q) множества функ- функций \и'Л, для которого равномерно ограничены сеточные нормы IKl?y*- h Нетрудно убедиться, что нормы других восполнений сеточных функций uh, рассмотренных в § 3 данной главы, мажорируются такими же нормами uh и u'h, если те и другие рассматривать на любой сумме ячеек щпь.)- Спра- Справедливы также и обобщения теорем § 3 данной главы на любое т > 1. Все сказанное позволяет работать одно- одновременно со всеми интерполяциями uh и быть уверен- уверенными, что на сгущающихся сетках (т. е. когда все hi,..., hn~*0) они приведут к одной и той же предель- предельной функции в смысле сходимости не только в L^, но и в любом Lp (с р, определяемым сформулированными выше теоремами вложения).
298 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI Введенных интерполяцией достаточно и для того, чтобы получить сеточные аналоги теорем вложения Wlm в Lp (см. § 8 гл. I). Сформулируем две из них. Теорема 4.1. Пусть на последовательности сгу- сгущающихся сеток uh (Qh с= й, hi, ..., hn —*¦ 0) заданы функции Uh *), удовлетворяющие условию 2)| 2 =Д_. 2 . (uxli...X[kJ<c. D.6) В D.6) символ 2 означает суммирование лишь _ /го ге.^ точкам решетки Qh, для которых их. ... ^ об- 1 А разовано с помощью значений uh в вершинах Q.h, обла- обладающих тем свойствам, что а>(щ, через которые прохо- проходят отрезки, соединяющие эти вершины, принадле- принадлежат Qh. Тогда существует подпоследовательность {ha}, для которой функции u'ha и (их. ... х. У , k = 1, 2, ..., / —1, i-u •••> г'*^1. •••> п, сходятся сильно в L2(Q')> а функ- функции [щ ... {Y ' сходятся слабо в Z.2(fi') no любой строго внутренней подобласти п' области Я, к некоторым функ- функциям и, Uit ... tk и щ{ ... i соответственно. Предельные функции обладают следующими свойствами: и ¦ k dxtr..dxth . Для доказательства возьмем возрастающую последо- последовательность областей Q<8), s = 1, 2, ..., стремящихся при s —> оо к Q и удовлетворяющих условию теоремы 6.2 гл. I. Для hu ..., hn, меньших некоторого б3 > 0, функ- *) На каждой сетке Qh — одна функция
§ fl ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ 299 ции (u{i ... /fty, 0s^& s^Z, будут определены во всей об- области Q(8). Из условия D.6) следует [ Q(s) А=0/, /„=1 где постоянная сх определяется лишь сип. На основании теоремы 1.2 гл. I существует такая подпоследовательность ha (s), для которой функции u'ha ( и («г, ... ^a(s)« й ^ * 1> г'ь • • • • 4 s*1!» • • •. п., схо- сходятся слабо в L2(fi(s)) к некоторым функциям u{s) и м(/'... iA, квадратично суммируемым по Q<s). На основании леммы 3.1 отсюда следует, что восполнения (щ ... ,- ) , <7= 1 п, й = 0, ..., /, соответствующие взятым (щ ... и)' , также сходятся слабо в Z-2(Q<s)) к «(/\.. и> \ 1 R'h (s) ' a Поэтому можно утверждать (см. формулу C.4) данной главы и теорему 4.1 гл. I), что функция $}... imim+t есть обобщенная производная —~ — в Q ' (напом- "xi ним, что ввиду перестановочности разностных отношений в их. ... х, функция Ui ... j. не меняется от перестановки индексов), из чего следует, что ik Кроме того, ll«(S>lfa(s)<c, Для разных s==rl, 2,... последовательности {"ла (s)} согласуем так, чтобы {"Aa(s+I)} находились среди {"лаE)}. Затем из последовательностей {МЛаA))> {МЛаB)]> образуем диагональную, которую обозначим через {"Аа). Обычное рассуждение приведет, нас к доказательству
300 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI того, что последовательности сходятся слабо в L2(Q') для VQ'c Q к некоторой функ- функции и(х) и ее обобщенным производным, причем'«=«(') в Q<s> и If" l4? a ^ ci- Последнее утверждение теоремы .следует из только что доказанного, если учесть установ- установленные выше связи о сходймостях различных восполне- восполнений сеточных функций и теорему 6.2 гл. I, гарантирую- гарантирующую сильную сходимость в L2(Q') для последователь- последовательности, слабо сходящейся в WI(q')*). Теорема доказана. Аналогично, с использованием неравенств D.5) для произвольных сеточных функций (не равных, вообще говоря, нулю на границе Йд), доказывается такая тео- теорема: Теорема 4.2. Пусть последовательность сеточных функций {uh} задана на таких же сетках, как в тео- теореме 4.1, но пусть область О удовлетворяет условиям теоремы 6.2 гл. I и в неравенстве D.6) вместо квадратов (и.ц ... х, J стоят ин ... хг т, т^\. Тогда существует \ 1 k/ I ft подпоследовательность {ha}, для которой функции JuftCt] сходятся к некоторой функции и (х) е Wlm (Q) в нормах Lq{u'\ VQ'cQ, где q = ~~ при ml < n, q — любое при ml —п иа = оо при ml > п. Функции (их, ... Х; У {х), I — 1, при этом сходятся к _ в нормах Lqk(Q'), VQ'czQ, где qk — —_ 7ir?,_ ,-, при *) Действительно, из их ——~^-и и (их V ди ka ди а з « = 1, ..., n, следует, что -^-= [ux^ .—^ _?- (CH. C.4) H лемму 3.1). Из слабой же сходимости и а в W1 (пг) следует силь- сильная сходимость в L2 (Q'). Аналогичные факты верны и для ()i*</L
§ 4] ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ 801 т(I — k) < п, qk-~ любое при тA — k) — n и q = <х> при m(l — k)> п. Наконец, функции (uXi ... xt У (х) сходятся " слабо в Lm{9J), VQ'cQ. v axil При доказательстве теоремы 4.2, которое проводится по тому же плану, что и доказательство теоремы 4.1, надо взять последовательность областей Q(s) a Q, сходя- сходящихся к Q, так, чтобы для них в неравенствах D.4) (а потому и в неравенствах (8.3) гл. I) постоянные с можно было выбрать не зависящими от s. При исследовании сходимости разностных схем и особенно при оценках их скорости сходимости полезно следующее предложение: Лемма 4.1. Пусть и(х)^ LP(Q), р>1, н и(х) = 0 вне Q. Разобьем Rn на элементарные клетки а^ь.) и по- построим по и(х) сеточную функцию Uh, равную в верши- вершине (kh) клетки й)(йЛ) числу uh = A~l J u(x)dx, D.8) а по Uh построим интерполяцию uh(x), равную на значению ин в вершине {kh). Тогда | ы -%(*) ||р, R/t-> 0 при (й)->0. Замечание. Результат не изменится, если в точках Sh мы положим ил = 0. Тогда uh{x) буд^т равна нулю на S и вне О,. Для доказательства представим \\ufl{x) — u{x)\\lPtRn в виде dx = dx
302 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI и воспользуемся неравенством Гельдера (*) «(ftft) »(ftft) (ft) I»1,I<A, «(ftft) <-I It max f \u(x + rd-u(x)fdx = = 2" max f | н (x + tj) - и {x) \" dx. Так как u(x)^ Lp(Rn) (заметим, что и(х) = 0 вне ограниченной области Q), то по известной теореме об ин- интегральной непрерывности элементов Lp(Rn) (см., на- например, [22г]) правая часть последнего неравенства стре- стремится к нулю при (А)-*0, ч. т. д. Если и(х) е WiiQ), то относительно сеточных функ- функций Uh, построенных по и(х) так же, как в лемме 4,1 (при этом считаем, что и(х) = 0 вне п), можно дока- доказать, что не только ||ый(а;)—w(лг) ||г, а —*¦ 0, но и !"*•(*)—л^~ -*0- Более того, если граница Q II ' xi h а не очень плохая, то эти свойства имеют место и для се- сеточной функции uh, равной Н/, для точек Q/, и равной нулю в точках Sh и вне Qh- § 5. Основы конечно-разностного метода Фурье Рассмотрим сначала одномерный случай. Пусть от- отрезок [0, /] = t оси х разбит на т равных частей, причем ради удобства записи будем считать т нечетным. Обо- Обозначим — =А. Рассмотрим на сетке //,, состоящей из т точек х = kh, k = 0, 1 т — 1, совокупность <gh всех сеточных комплекснозначных функций Uh- Каждую из них доопределим на все точки оси х с координатами х = kh, k = 0, ±1, ±2, ..., так, чтобы получилась /-пе-
8 5] КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД ФУРЬЕ 303 риодическая сеточная функция; в частности, tih(mh) = t= uh@). Совокупность всех таких функций обозначим через §h- Введем в gh скалярное произведение m-l К, vh)t =h S uh{kh)vh{kh). E.1) " fc=o Выражение E.1) возьмем так же и за скалярное произ- произведение в §>и. Рассмотрим в Вь разностный оператор ij=l( )* + "( )*' гДе ( Ь и ( ) хпо-прежнему озна- означают правое и левое разностные отношения с шагом h. Оператор i-r— симметричен на S'k, ибо из формулы B.4) суммирования по частям и /-периодичности элемен- элементов Uh и Vh из Bh следует, как нетрудно убедиться, спра- справедливость тождества m—I . m—1 ft—0 . ft=0 " Ввиду этого собственные числа оператора i-j— на %h вещественны, а соответствующие им собственные функции ортогональны друг другу. Их должно быть т, ибо элемент %h определяется его значениями (комплекс- (комплексными) в т точках решетки //,. Функции ц{к){х) = е ' , & = 0, ±1, ..., ± -^Ц—*), /-периодичны, а соответ- соответствующие им сеточные функции ц^ (т. е. ц^> равна цк (х) в точках &i) удовлетворяют уравнениям ± E.3) *) В качестве k можно взять также числа 0, 1, 2, ..., т—1, "Именно в таком виде мы их возьмем в конце данного параграфа4 где число точек деления т будет четным.
304 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI где ak (А) = -7- sin и, очевидно, линейно независимы. Следовательно, \if\ k = 0, ±1, ..., ± -^Цт—, и являются искомыми собственными функциями оператора /—— /ал (Л \ или, что то же, оператора -^\, причем Д/f * = й/f*0 и а-к V1) = — ak (h). В силу известных свойств корней т-й степени из 1 (Ц(«, Ш\ = /*§ enMk~P)^ = mhbl = Ibl E.4) где й|— символ Кронекера. Любую функцию щ из &h можно разложить в «сумму Фурье» (m-I)/2 иА= 2- a,k)^\ E.5) коэффициенты которой в силу E.4) вычисляются как проекции uh на ц*^, точнее: Функции ц^, & = 0, ±1, ..., ± ~y—. являются также и собственными функциями операторов ( )х и ( )^ на <?,, причем P»W= и • <5-7> a (n(ftfe)). = —РА(А)ц^. E.8) В силу этого ц^>, & = 0, ±1, ..., ± -^——, образуют полную систему собственных функций любого разност- разностного оператора ??Л, являющегося суммой операторов вида asrDshDrhuh с постоянными коэффициентами ает, если 3?h рассматривается как оператор на ён (здесь и ниже через Dshuh и Dshuhбудем обозначать разностные отноше- отношения от Uh s-ro порядка вида uXXit,x и Uu...x соответ-
§ 5J КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД ФУРЬЕ 305 ственно). Это позволяет различные вопросы (как-то: раз- разрешимости, устойчивости, сходимости) для таких урав- уравнений S'hUh = fh (и системы таких уравнений) на Шь сводить к чисто алгебраическим. Остановимся еще на вопросе о предельных перехо- переходах для сеточных функций, когда Л->0. Из E.5) и E.4) следует равенство (m-I)/2 IIЧ III ih = К, uh)h = I fe=_S_i)/21 fl(*) I2, E.9) являющееся разностным аналогом равенства Парсеваля. Аналогично подсчитываются (m-I)/2 \Dluhll=l 2 IP* (А) ГI awf, E.10) ' « fc=-(m-I)/2 где |p,(A)| = ^Lsin-^-. E.11) Полезпо также иметь в виду неравенства L-7Ll*l EЛ2) для k = 0, ±1 ± т 7 -, где к = min -^^- > 0. z ae@, п/2) a Теорема 5.1.Пусть имеется последовательность се- сеток &н с Л -> 0 и соответствующих им функций {uh} из &h, удовлетворяющих условию Тогда тригонометрические полиномы ? E.14) ft=-(m-0/2 коэффициенты которых вычислены по формулам E.6), a H(fe)(A;)^e ' , образуют ограниченное в Wr2{l) мно- множество. В силу соотношений G.3), G.4,) гл. I семей- семейство {uh(x)} компактно в Сг~1 (I), если г^1, и слабо компактно в W2(l).
306 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ (ГЛ. VI Функции uh(x) являются интерполяциями сеточных функций Uh, ибо, как легко видеть, они совпадают с uh в вершинах сетки <§V Теорема 5.1 может быть рассмо- рассмотрена как теорема вложения для сеточных функций. Для ее доказательства надо подсчитать нормы \\Dpuh\\2j, где Dp есть производная от uh р-го порядка. Как легко видеть, (Я1-0/2 S \awf\k\\ E.15) fc=-(m-l)/2 Сравнив ее с E.10) и учтя E.12), получим 2 2, Dpuhl t<K~2p\\Dphuhl .. E.16) Теорема доказана. Для исследования уравнений с коэффициентами, за- зависящими от х, полезно иметь оценки скорости убыва- убывания чисел а(й) из E.6) в зависимости от номера к, если известно, что uh есть сеточная функция, совпадающая с гладкой /-периодической функцией и{х) в вершинах сетки %к- Эти оценки |а(й)| аналогичны оценкам обычных коэффициентов Фурье для и(х) по системе функций {2Л 1 е l ], k = 0, ±1, ±2, ..., и зависят от степени гладкости и(х). Они получены в работе [12J и исполь- использованы там для исследования разностных схем для уравнений с переменными коэффициентами. Но, как ска- сказано во введении к данной главе, здесь мы изложим раз- разностный аналог метода Фурье лишь для уравнений с по- постоянными коэффициентами и потому упомянутые оценки оставим в стороне. Функции ц|*> удовлетворяют уравнениям E.7), E.8) при любых (не обязательно целых) значениях числа k. Ввиду этого они могут быть использованы и в задачах, в которых вместо условий периодичности поставлены ка- какие-либо другие краевые условия. В этих случаях из них надо построить другое семейство, элементы которого яв- являются линейными комбинациями ц^, удовлетворяю- удовлетворяющими поставленным краевым условиям. Рассмотрим один из таких случаев, используемый ниже. Пусть от-
§ 5] КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД ФУРЬЕ 307 резок [0, I] 2= I разбит, как и выше, на т равных частей длины h, и требуется решить спектральную задачу -uxi = kuh, E.17) М0) = 0, «,(@ = 0. E.18) Разностное уравнение E.17) должно выполняться во всех внутренних точках сетки /д: х — kh, k = I, ... ,..,m-l. По аналогии с обычным методом Фурье возьмем все сеточные функции Vh, определенные на?д и удовлетво- удовлетворяющие условиям E.18), и продолжим их сначала не- нечетным образом на сетку [/, 2/]д, а потом 2/-периодиче- ским образом на сетку (с шагом h), заполняющую всю ось х. Совокупность всех таких функций составляет под- подмножество <§д множества S'h всех 2/-периодических се- сеточных функций. В качестве скалярного произведения в &и возьмем т-\ т-\ («a. vh)i, =А 2 uh(kh)vh(kh) = h 2 uh{kh)vh{kh). E.19) " ft=0 k=l Оно лишь множителем 1/2 отличается от скалярного про- произведения в S'h, равного 2т-1 К> vh\2h = h Д "л (kh) vh (kh). E.20) В силу E.7), E.8) функции ц|*\ k = 0, 1, ..., 2т — 1, равные ]1(#>(х) = е п =е 1 в вершинах сетки, со- составляют полный набор решений уравнения E.17) в про- пространстве S'h, причем Xk, соответствующее ц<*>, равно Xk = | Pa (h) |2 = (-p sin-^-1 . Этому же значению Kk соот- соответствует второе 2/-периодическое решение д№ уравне- уравнения E.17). В качестве другой пары линейно независимых 2/-периодических решений уравнения E.17), соответствую- соответствующих Кк, можно взять Re \tS® {x) = cos у kx и 1тц^](х) = = siny^A;. Из этих двух решений только второе входит
308 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI в <§"/„ следовательно, полным набором решений спектраль- спектральной задачи E.17), E.18) являются функции %<®(x)ss sssin-y/>,r, k= 1 2т—1, отвечающие Я,= АА. Но на сетке lh с шагом h функции y^-k){x) = sin у-Bm — 6) jc и X/,4 00 = sin у ^* отличаются лишь множителем (—1). Поэтому в качестве полного набора линейно независи- независимых решений задачи E.17), E.18) можно взять функции %M(x) = sm?jkx, k=\, ..., т — 1, рассмотренные на точках х — kh, k = О, 1, ..., т. Их столько же, сколько и «внутренних точек» у решетки th, состоящей из точек x = sh = s — , s = 0, 1, ..., т. Соб- Собственные числа можно записать з виде sin) (sn) В силу E.4) и отмеченной выше связи скалярных про- произведений E.19) и E.20) функции %(?\ отвечающие раз- разным k, ортогональны друг другу в смысле E.19). Кроме того, нетрудно подсчитать, что (х*^, у}^\, ==:"^"' следова- следовательно, V-h ' лА )ih 2 к' \O.zi) Кроме этой ортогональности, имеет место и такая: т-\ )(sh)^(xik\ %'xm\=Y^k- -E.22) Для доказательства E.22) надо взять уравнение E.17) для uh = y}?\ умножить его на hy}^ и просуммиро- просуммировать по точкам х = sh, s = 1, ..., т—1. После этого левую часть преобразовать с помощью формулы сумми- суммирования по частям к виду левой части E.22), помня, что %!f' и %{™) удовлетворяют условиям E.18).' Правая же часть в силу E.21) равна правой части E.22),
§ 6] ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ 309 Произвольная функция uh, заданная на сетке th и равная, нулю в ее точках х = kh, k = 0, k = т, пред- ставима в виде «суммы Фурье»: т-\ ^, E.23) в которой (ввиду E.21)) fl«=TKU*V E-24) Кроме того, т-\ И K-=ir2X> E-25> т-\ 1 ^ 'IK E-26) Все сказанное об одномерном случае автоматически пе- переносится на многомерный, причем периоды по раз- разным х{ могут быть взяты разными. Делается это так же, как для обычных рядов Фурье. § 6. Простейшие уравнения 1. Уравнения эллиптического типа. Начнем с рас- рассмотрения простейшей краевой задачи эллиптического типа, а именно: #и = —3p- + <w = f F.1) на отрезке х е [0,1] = X с условиями периодичности «@) = «(/), F.2) du dx X=Q du dx F.3) Число а будем считать положительным, а искомую функцию «(л;), как почти всюду, вещественной. Положи- Положительность а гарантирует однозначную разрешимость за- задачи F.1) — F.3). Такие задачи мы не рассматривали в гл. II, но они исследуются так же, как и задача
310 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 1ГЛ. VI Дирихле, К тому же решение задачи F.1) — F.3) мож« но представить обычным рядом Фурье. Возьмем на оси х сетку с вершинами в точках xh=kh, k — 0, ±1, ±2, ..., /г = — , и будем считать т нечет* ным числом. Ей соответствуют пространства <Sh и &ь се- сеточных функций, определяемых их значениями в точ« ках Xk, k = 0, 1, ..., т — 1 (см. о них § 5). Для составления сходящихся разностных схем для F.1) — F.3) воспользуемся идеей, описанной во введе* нии. А именно, придадим условиям задачи F.1) —F.3) иную форму, соответствующую определению ее «обоб« щенного решения с конечным интегралом энергии», т. е. об. решению из пространства W2. Обозначим через W2{t) подпространство пространства W2(l), состоящее из /-периодических элементов W2(l){W2(t) есть замыка- замыкание в норме W2(l)множества сколь угодно гладких /-пе- /-периодических функций). Об. решением задачи F.1) — F.3) из пространстваЖ2 назовем функцию и(х) из W2(t), удо- удовлетворяющую интегральному тождеству F-4) при Vtjs#K0- Тождество F.4) поглотило в себя уравнение F.1) и условия F.3); условия же F.2) вошли в указание класса W2, в котором следует искать функцию «(л;), удовлетворяющую тождеству F.4). Теорема единственности в этом классе об. решений сохраняется: действительно, если / = 0, то, полагая в F.4) т] = и, убедимся, что и и = 0. В соответствии с упомянутым принципом построения разностных схем заменим интегралы из F.4) суммами Римана, соответствующими разбиению lh, а производ- du df\ , ные —г- и -г1— какими-нибудь однотипными разност- разностными отношениями, их аппроксимирующими. Известные функции (в данном случае /) можно «сносить» на сетку по-разному; если они являются непрерывными функ«
§ 6] ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ 311 циями, то можно брать просто их значения на lh, если же они разрывны, то их надо заменять сеточными функ- функциями, аппроксимирующими данные в требуемой ме- метрике (точнее, аппроксимируют не сеточные функций, а какие-либо их интерполяции). Пусть f^L2(t). Построим по f(x) сеточную функ- функцию /Л так, чтобы ее кусочно-постоянные интерполяции fh(x) сходились к f(x) в норме L2(t) при h-+ О*). В ка- качестве такой функции /д можно взять, например, xk\h = х J f(x)dx, 6 = 0, 1, .... «-1 F.5) (см. конец § 4 данной главы). Итак, заменим F.4), например, следующим «сумма- торным» тождеством: т—1 т—1 т—1 h 2 uxr\x + h 2 auhx\h = h 2 fhr\h. F.6) k=0 k=0 k=0 Тождество F.6) должно выполняться для Vt^ e §h. В него входят значения искомой сеточной функции uti в вершинах сетки th (т. е. в точках хк = kh, k = 0, 1, ... ..., in). К F.6) надо еще присоединить требование при- принадлежности Uh к %h, т. е. uh(x0) = uh(xm). F.7) Из соотношений F.6)' и F.7) мы надеемся однозначно определить uh на th. Они-то и задают разностную схему, подлежащую исследованию. Ее устойчивость (точнее: априорная оценка uh) в норме, соответствующей левой части F.6), видна сразу: положим в F.6) щ = ин и оценим правую часть с помощью неравенства Коши. Это даст: т—1 т—1 т—1 I т—1 \Ч%/ т—1 у/, * ?, <+ah ЪЛ=к Л 'А <(" 2д) (* 2 и;). F.8) *) Для дальнейшего достаточно знать, что fh(x) сходятся к f{x) слабо в L2(t) при /г-»-0. . ,
312 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. V! Ввиду положительности а отсюда следует m-I у/8 <6Л0> Поэтому F,9) и F,10) действительно дают равномер~ ные (т. е. не зависящие от h и и^) оценки: i ~ (б-12) r. ^ F.13) Итак, наиболее трудная часть вопроса доказательства устойчивости решена. Теперь надо рассмотреть внима- внимательнее разностную схему, содержащуюся в соотноше- соотношениях F.6) и F.7), и убедиться, что она представляет собою систему т линейных алгебраических уравнений с т неизвестными: значениями uh в точках сетки lh (т. е. в точках xh, k = 0, 1, ..., т — 1). Для этого положим «л в точке хт\\ = (т -f 1)Л равной «л в точке хх = h и fh(m) = /^@) и преобразуем первый член F.6) с по- помощью формулы «суммирования по частям» (формулы B.4)) к виду -h2uA + ux%\", F.14) затем сгруппируем все члены левой и правой частей т F.6) так, чтобы они приобрели форму 2{#}11л> учтя, что Uh и r\h подчинены условию F.7) и /й(т)^/л@). Наконец, воспользовавшись произволом в выборе щ
§ 6] ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ 813 в точках X/,, k = 1 т, приравняем друг другу вели- величины, стоящие в левой и правой частях при значениях r\h в одной и той же точке сетки lh. Это, как нетрудно под- подсчитать, приведет к следующим соотношениям: -««+<"** = /* (б-15) и 4X\x0 = Ux\Xm. F.16) Равенства F.15) должны выполняться в точках Xk, k=l, .... т. В них и в F.16) входит значение Uh(xm+\), причем Uh(xm+l) = uh(x\) следует, из F.16) и F.7). Равенства F.15), F.16) и F.7) являются системой т + 2 линейных алгебраических уравнений с т Л- 2 не- неизвестными: Uh(xk), k = О, 1, .... т + \. Они являются обычной формой записи разностной схемы, эквивалент- эквивалентной записи F.6), F.7). Если с помощью равенств F.7) и F.16) исключить неизвестные Uh(xm) и ыЛ(л:т+1), то оставшаяся система т уравнений — нераспадающаяся; она увязывает все т не- неизвестных tih(xh), & = 0, 1, ..., т — 1. Это отвечает су- существу дела: значения решений и(х) эллиптических за- задач в разных точках х области их определения связаны друг с другом. Для доказательства однозначной разрешимости си- системы F.15), F.16), F.7) нет необходимости вычислять ее главный определитель, ибо такая разрешимость сле- следует из уже доказанной устойчивости. Действительно,, если в этой системе положить fh = О (т. е. рассмотреть соответствующую ей однородную систему), то из априор- априорной оценки F.9) видно, что она имеет только нулевое решение: uh = 0. А это, как известно, гарантирует одно- однозначную разрешимость системы при любых свободных членах, т. е. при V/л. Теперь осталось сделать предель- предельный переход по h —у 0 и убедиться, что в пределе полу-, чается искомое решение. Этот этап, как описано во вве-' дении к данной главе, по существу одинаков для урав-" нений всех типов и базируется на доказанных выше предложениях о семействах сеточных функций,, равно- равномерно ограниченных в каких-либо нормах. В нашем распоряжении оценки F.12), F.13). Из них следует равномерная ограниченность норм IHI2V)для Р^ЗЛИЧНЬ1Х
314 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 1ГЛ. VI интерполяций найденных нами приближенных решений {«/,}. Воспользуемся сначала линейной интерполяцией Шх)}. Ясно, что все uh{x)^W[(l) и Juh(x)Ц^ < с, т. е. множество (%(х)} слабо компактно в W-2(l)- Благодаря теоремам §§ 1 и 6 гл. I из него можно вы- выделить сходящиеся соответствующим образом подпосле- подпоследовательности, а именно: {и^а) будут сходиться сильно к некоторому элементу u(x)^Wl(t), a |-gj будут иметь своим слабым пределом в L2{t) производ- производную -Г7. Ниже мы покажем, что любой такой предель- предельный элемент и(х) для {и'ь\ является об. решением из W\ задачи F.1) —F.3). Но задача F.1) — F.3) может иметь не более одного такого решения. Следовательно, множество \и'Л имеет лишь одну предельную точку и(х), что вместе с его равномерной ограниченностью гаранти- гарантирует сходимость всей последовательности [и'^ к и(х). Итак, пусть подпоследовательность {u^aJ сходится ука- указанным образом к и(х). По доказанному в § 3 гл. VI кусочно-постоянные интерполяции йна (х) сходятся в L% (l) к той же функции и{х), а {ux)ha, равные всюду, кроме точек решетки, сходятся слабо в L2(t) к -j-. Запишем F.6) в виде интегрального тождества fhr\hdx. F.17) о Возьмем произвольную гладкую /-периодическую функцию т](х). Для нее сеточная функция щ> равная т](х) в вершинах сетки, принадлежит %ь. и порождает функции щ(х) и (y]*c)h, равномерно сходящиеся при h—+0 к ц{х) и —Д- соответственно. Взяв в F.17) за rj/i эту функцию, перейдем в F.17) к пределу по выбранной
« 6] -. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ 315 выше подпоследовательности {ha}. В результате полу- получим равенство F.4) для нашей предельной функции и(х) и взятой гладкой /-периодической функции ц(х). Так как такие функции ц(х) плотны в Wi(l) и u(x)^Wl2{i), то тождество F.4) будет справедливо при Vt] e W\ (I). 1Гем самым доказано, что и(х) есть искомое об. решение задачи. Вместе с этим доказано, что вся последователь- последовательность \и'^ сходится к и{х) так же, как {«^а}- Для исследуемой задачи легко доказать более силь- сильное утверждение: сходимость в L2(t) функций {(ux)h] и {(UxxYh) (равно как и (ux)h, (uZ)k) к -^ и -0 соответственно. Однако в общей многомерной задаче для произвольной области Q даже с гладкой границей последнее (т. е. сильную сходимость в L2(Q) каких- либо интерполяций разностных отношений их.х, вто~ рого порядка к -г—^—) доказать не удается. Сильная OX. OXt * f - diiu -> йи же сходимость ("*)/* = ~^ в L2(l) к -^ проверяется сравнительно просто как для задачи F.1) — F.3), так и для многомерного случая. Мы это проиллюстрируем в п. 1 § 11. Разностная схема F.15), F.16), F.7) является да- далеко не единственной устойчивой разностной схемой, ко- которую можно составить, исходя из описанного выше принципа, и исследовать так же, как схему F.15), F.16), F.7). Мы советуем читателю убедиться в этом само- самостоятельно. Покажем теперь, как исследовать схему F.15), F.16), F.7) с помощью «конечных сумм Фурье», описанных в § 5. Для этого удобно сеточную функцию /л построить по f(x) иначе, используя разложение f(x) в ряд Фурье 2nkx по функциям n(fe) (х) = е ~г~, к = 0, ±1, .... ±^-~. Именно, пусть /л есть значение на сетке функции (от-1)/2 f*(*)= 2 FW*), F.18) *<i)/a
316 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI _ ¦ 2якх _ ¦ 2якх где ^(« = — Г f(x)e ' l dx. Известно, что fh(x) схо- о дятся к f(x) в норме L2(l) при Л->0 (т. е. при /п->оо). Решение ил з*дачи F.15), F.16), F.7) представим в виде (от- 1)/2 "•=•=-!-„/<»* FЛ9) где / Все сеточные функции ц(^ удовлетворяют требованиям F.7) и'F.16). Кроме того, в силу E.7) и E.8) где \fa(h)\ = ~sm~-. Подставим F.19) в F.15) и учтем, что правая часть F.15) имеет вид (m-I)/2 h 2 F-22) и сеточные функции ц№ линейно независимы. Это опре- определяет однозначно все a(fe): lf{k), k = 0, ±1,..., ±± . F.23) Так как f{x) мы взяли вещественнозначной, то f~k) = j{k\ и потому a(_fe)^a(ft), т. е. uh (равно как и вводимые ниже интерполяции йл(х)) тоже будут веще- вещественными. Далее, в силу E.9) fe=- (m- (m-l)/2 ft—(от-1)/2
§ 6] ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ 317 2 iP*(A)f!(fl + iP*(A)p)-2|/<*)f< =- (m-1)/2 (m-D/2 2 I Pa (A) I4 (a +1 P* (A) |2)1 (I)/2 Эти неравенства доказывают устойчивость исследуемой разностной схемы, из которой уже легко заключить о ее сходимости. В данном методе это удобно сделать, ис- используя интерполяции <m-l)/2 uh(x)= 21 a{k)liW(x). F.27) ft(l)/2 Для них из F.24) — F.26) следует, как показано в § 5, равномерная ограниченность норм || йй Ц^ ^ с. А это га- гарантирует равномерную сходимость {йЛ} и на [0, /] к некоторой функции и(х) и ее производной du {d2uh\ Л du •jj и слабую сходимость {-^Jrf в L2(l) к -j^ (как и выше, сначала это устанавливается для подпоследова- подпоследовательностей {ha}, а затем — для всей последовательности </г= —>, /п = 2р+1, Р=1> 2,...). Благодаря такой сходимости и оказывается непрерывно дифференцируе- дифференцируемой на [0, /] функцией, удовлетворяющей условиям пе- периодичности F.2) и F.3). Уравнению F.1) и(х) удовлетворяет почти всюду на [О, /]. В этом можно убедиться по-разному. Например, можно воспользоваться тем, что йп{х) удовлетворяет разностному уравнению - (Щ (х))хх + auh (x) = fh (x) F.28) при 'всех х. Второй и третий члены F.28) сходятся в Liit) к аи{х) и f{x) соответственно. Следовательно,
318 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI (uh{x))xx тоже сходится в L2(l) к некоторой функция, которая будет ни чем иным, как -j-j- . Конечно-разностный аналог метода Фурье позволяет исследовать аналогично какие угодно другие однородные разностные схемы для задачи F.1) — F.3). Точно так же с его помощью исследуются другие краевые задачи для уравнения F.1) (и для уравнений и систем любого порядка с постоянными коэффициен- коэффициентами). Например, если вместо условий F.2), F.3) по- поставлено первое краевое условие: \ то для задачи F.1), F.29) оказывается сходящейся раз- разностная схема, определяемая уравнениями F.15) и краевыми условиями «л1 =о = о> «Л =г = 0- * F-3°) О ПТ Уравнения F.15) должны выполняться во «внутренних» точках сетки: xk = kh, h = l/m, k = 1, 2, ..., m — 1, a F.30) — в граничных. Приближенные решения щи следуя конечно-разност- конечно-разностному (к. — р.) методу Фурье, надо искать в виде (где %®> определены в конце § 5), подчиняя тем самым краевым условиям F.30) каждый член суммы F.31). Се- Сеточные функции Is Xs=-m' s = 0, 1, ..., m, k = l, 2, ..., m — 1, образуют полную систему собственных функций раз- разностной задачи — %x_=Xxh, хЛ| =ХЛ| =0. F.32) Разностная схема F.15), F.30) обладает такими же свойствами устойчивости и сходимости, что и схема Сб. 15), F.7), F.16), исследованная выше.
S 6] ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ 319 Такой же анализ разностных схем можно провести и для многомерных задач, если дифференциальные урав- уравнения имеют постоянные коэффициенты, а область изме- изменения х есть параллелепипед. В более общих ситуациях предпочтительнее первый подход, изложенный в начале данного пункта. 2. Уравнение теплопроводности. Исследуем ряд раз- разностных схем для уравнения теплопроводности в области Qt = {(х, t) :хе[0, /] = Г, t^[O,T\} при ус- условиях периодичности F.2) и F.3), которые должны вы- выполняться при всех t ^ 0, и начальном условии u\t=o = v(x)e=L3(t). F.34) Случай неоднородного уравнения F.33) и других клас- классических краевых условий рассматриваются аналогично. Для анализа разностных схем применим конечно-раз- конечно-разностный метод Фурье (к.-р. м. Фурье). Исследования, проведенные в п. 1, указывают, какие разностные замены можно брать для эллиптической части уравнения F.33) и граничных условий. Мы возьмем ту из них, которая рассмотрена подробно, а именно F.15), F.16), F.7). Для производной же ~^т проанализируем разные за- замены и убедимся, что заключения, которые можно вы- вывести «по здравому смыслу» -из общих соображений, мо- могут быть ошибочными. Получение же правильного от- ответа требует точных подсчетов. Разобьем ось х точками xs = sh, где h = —, s = О, ±1, ..., т — нечетное чис- число, а ось t — точками ^s = sr, где s = О, 1, ..., а т — какое-либо положительное число (h называется шагом по х, а т — шагом по t). Начнем с простейшей разност- разностной схемы, называемой явной. Она имеет вид: Ut — uxz = 0, F.35,) Ч1=Ч\Х , F.352) О т "*l*o = "*lv F-35з)
320 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI Равенства F.352) и F.353) должны выполняться при всех t = ts, s —0, 1, 2, ..., N = \— 1, уравнения F.35i) — для х = ха, s = 1, .,., т, и t = ts, s = 0, 1,... ..., N, a F.354) —для x = xs, s = 0, 1, • ••> m + 1. Ясно, что уравнения F.35,-) аппроксимируют соответствующие уравнения исследуемой задачи. Функция фл построена по ц>(х) так же, как fh по /(*) в п. 1, а именно: фд совпадает в узлах сетки с тригоно- тригонометрическим ПОЛИНОМОМ в котором |==т J Уравнение F.35Х) символически изображают так: . ; s; эти четыре крестика указывают, что уравнение F.35]) в точке (х,„ Хг) связывает между собою значения щ в че- четырех точках: (xs, xr), (xs—h, тг), {xa + h, xr) и (•^s, тг + т). Легко видеть, что уравнения F.35,), f = = 1, 2, 3, 4, однозначно определяют щ на сетке Qt={(xs, тг): s = 0, 1, ..., /п+1, г = 0, 1, ..., iV+1). Устремим А и т к нулю (точнее, т и N — к бесконечно- бесконечности). «Общие соображения» подсказывают, что т должно стремиться к нулю быстрее, чем /г, т. е. так, чтобы-^ -»0. Действительно, в противном случае значение «д в точке (xs, xr) определяется значениями фл(хр) в точках х9 с р — s — г, s — г + 1, ..., s + г, если 0 ¦< s — г <s +] ,+ г ^ m + 1, т. е. «;г(х5, т,) будет зависеть лишь от ча- части значений начальной функции фй. Но это противоре- противоречит основному свойству параболических уравнений: они описывают процессы, распространяющиеся с бесконечной скоростью, т. е. их решения u(x, t) в какой-либо момент t = to в какой-либо точке х = Хо зависят от значений u(x, t) с t < /о, взятых во всех точках х области опреде- определения u(x, t), в частности, от всех значений начальной функции и(х, 0). Если же т и h стремятся к нулю так,
§ 6] ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ 321 что i^AO, то ясно, что uh(xs, тг), вычисляемая в целой области изменения (xs, тг) лишь по части значений ф(х), не может дать в пределе истинное решение и(х, t), зави- зависящее от всей функции ф(х). Итак, «общие соображения» подсказывают необходимость требования -т- -> 0 при h и т —¦ 0. «Здравый же смысл» одобряет схему F.35;) даже без этого условия на т и h. Однако, как мы увидим ниже, схема F.35;) является неустойчивой, если на т//г не наложить ограничения: , Чтобы доказать это, будем искать щ в виде (m-D/2 и\= 2 afoiij», r = 0, 1, ..., N+1. F.38) Верхний индекс «г» указывает номер слоя по t, т. е. и? есть сеточная функция щ на слое t = tr. Условиям F.352) и F.353) удовлетворяет каждый член суммы F.38). Подставляя F.38) в F.35i) и учитывая линейную независимостьnf\ получим для каждого из коэффициен- коэффициентов ar{k) свое разностное уравнение: ah t - 7 К' ~ аЯ = ~\h (h) f ay r « 0, 1.... F.39) К F.39) присоединим начальное условие для ar{k): <)=Ф{*), F-40) которое следует из F.354) и F.36). Из F.39) получим — I + 1 1а^12 = 11-т1РА(ЛI2Г1Ф№)р. • F.41) И О. А. Ладыженская
322 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ (ГЛ. VI Модуль | рА (Л) l = sin (— )|. h = ±,k = O, ±1, ... | ( )| ~9—• следовательно, при -^-^1/2, т. е. при условии F.37), Ц-т|р*(ЛI21 = а (« (ft) I F.42) Это вместе с равенством E:9) дает равномерную оценку норм (l)/2 (I)/2 ,, ?< (б-43) при Vr. Неравенство F.43) гарантирует устойчивость схемы F.35г-) в норме L2{t). Оно выведено при условии F.37). Пользуясь F.43), можно выполнить предельный переход по h—>0, т—>0, считая-р-^у, и получить об. решение и(х, t) исследуемой задачи из класса Lz{QT). Чтобы гарантировать более хорошую сходимость при- приближенных решений к точному, надо дать равномерную оценку более сильных норм uh. Это можно сделать по- разному: или. усиливая ограничение F.37) на -^, т. е. требуя, например, выполнение условия с каким-либо фиксированным se@, 1), или усиливая предположение относительно начальной функции ф(х), требуя ее принадлежности к какому-либо Wl2, t^l. Покажем теперь, что если условие F.37) заменить условием с каким-либо малым е > 0, то схема F.35j) будет не- неустойчивой и вычисленные по ней Ыд для широкого клас- класса начальных функций ф(*) не будут сходиться к реше-
§ 61 ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ 323 нию рассматриваемой задачи. Пусть, например, ф@) = О и |ф<*>| = —i— для \k\ > 1 с каким-либо а > 1. Ясно, что <р(х) с такими коэффициентами Фурье принадлежат L2(t) и с увеличением а становятся все более и более гладкими /-периодическими функциями. Рассмотрим по- поведение соответствующих им аг{р) с р ~ т~ . Из F.41) и F.45) следует с некоторым б > 0 при всех достаточно больших р. Возьмем какое-либо ^е@, Т) и г= — — м (~2^2) — .^.. F.4б) При р-* оо правая часть F.46) стремится к оо при лю- любом а > 1 и, следовательно, \итЛ неограниченно воз- ' h растают, т. е. сеточные функции иЛ действительно не мо- могут дать в пределе искомое ограниченное (хотя бы в норме L2) решение и(х) исследуемой задачи. Перейдем к исследованию других разностных схем для задачи F.33), F.34), F.2), F.3). Рассмотрим про- простейшую неявную схему. В ней аппроксимации гранич- граничных и начальных условий берутся такими же, как в яв- явной схеме, т. е. в виде F.35j), i = 2, 3, 4, а уравнение F.35i) заменяется уравнением и1-ихх*=°> F-47) которое должно выполняться в точках сетки: х = х3, s— 1, 2, ..., т, на слоях t=tr, r=\, 2, ..., [-J. Ясно, что разностное уравнение F.47) аппроксимирует
324 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ " [ГЛ. VI уравнение F.1). Символически эта схема обозначается так: * « *. Она называется неявной потому, что для определения ее решенияы? на слое t = tr(r^\), когда иг~1 уже вычислена, требуется решать алгебраиче- алгебраическую систему, содержащую т уравнений F.47) с т не- неизвестными — значениями urh (x\ в точках xs с s = = 1, 2, ..., т (значения же иЦ*0) и иЦ*т+1) заме- заменяются в силу F.352) и F.353) величинами urh(xm) и ыЦл:,)). Мы покажем, что эти системы однозначно раз- разрешимы, причем вычисление urh надо вести последова- последовательно по слоям, начиная с г = 1. Более того, описанная схема устойчива при любом стремлении h и т к нулю, и, следовательно, приближенные решения urh дают в пре- пределе при Лит-+0 искомое решение и(х, t). Для доказа- доказательства этого снова будем искать и\ в виде F.38). Гра- Граничные условия F.352) и F.353) удовлетворяются при любых ц^К Коэффициенты же ar(k) определятся из урав- уравнений F.47) и начального условия, точнее, из F.354). Действительно, подставляя F.38) в F.47) и используя линейную .независимость функций |х<*>, получим для г=1, 2, ..., Г-^-1- К F.48) присоединим равенства F.40). Из F.48) имеем Отсюда уже видна устойчивость исследуемой схемы в норме L2(t) при любых /гит. Именно, в силу E.9) и F.49) при любом г K|^ft = /Jm|T 7\arwf<lJm|)/21)/2law'|2<' <' (т2)/2.|^|2=|ФЛ|!, <1!ф11|г- F-50)
§ 6] ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ 325 Можно оценить и более сильные нормы urh, например, fe=»-(m-l A + т | pA(Л) p)-^| egj, p. F.51) откуда [Г/т] [Г/т] r=l — ' -- la(*)l 2r|Pft(/i) Неравенство F.52) дает еще одну равномерную оценку для цгк. Для получения же равномерных оценок более сильных норм urh надо налагать более сильные ограни- ограничения на начальную функцию у(х)- Но это мы предо- предоставляем читателю сделать самостоятельно. Также в ка- качестве упражнений предлагаем исследовать разностные схемы для задачи F.33), F.34), F.2), F.3), в которых уравнение F.33) заменяется на одно из следующих: иг — ииг — A — a)ur-' = 0, F.53) urt-uurx+l-(l-a)ux- = 0, F.54) аи +A —a)^ —и^ = 0, 0<а<1. F.55) Последнее из них увязывает три слоя, и потому для воз- можности вычисления с его помощью urh надо к нему до- добавить какой-либо способ определения и\ на слое t = = tl=x (например, F.53) или F.54), 0 ^ а< 1). При
326 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI исследовании это'й4 схемы придется столкнуться с реше- решением разностных уравнений вида a(r+i) + aa(r) + pa(r-i) = 0) г=1, 2 F.56) когда а(°> и аС известны, а а и 0 — заданные числа, при- причем р Ф 0. Такие уравнения называются разностными уравнениями второго порядка. Для исследования зави- зависимости а<г> от номера г полезно воспользоваться извест- известным представлением общего решения уравнений F.56), а именно F.57) где Cft — постоянные, определяемые начальными усло- условиями (т. е. а<0) и а*1'), г/ь — корни квадратного уравне- уравнения а #? — r-я степень #ft. Проверяется это непосредствен- непосредственной подстановкой каждого из yrk в F.56). Формула F.57) дает общее решение F.56), если ух Ф у2. При у{ = у2 = у общее решение имеет вид c« = c,y + c2(r+l)/. ^ F.5.9) Мы рассмотрели краевые условия F.2), F.3). Ана- Аналогично исследуются другие краевые условия, напри- например, условие Дирихле (условие F.29)). При условиях F.29) решение итн надо искать в виде F.31). Выводы, полученные в данном пункте для условий периодичности, справедливы и для этих краевых условий. 3. Простейшие уравнения гиперболического типа. Начнем с уравнения первого порядка 4f+a-^"^0' « = const>0. F.60) Так же, как и всюду в данной книге, неоднородность уравнения не оказывает существенного влияния ни на доказательства, ни на окончательные результаты. Рас- Рассмотрим для него задачу Коши «U = (pM- _ F.61)
§ 6] простейшие уравнения 327 Решение задачи F.60), F.61) дается формулой и(х, t) = y(x-at), F.62) если ф(л;) есть гладкая функция. Прямые х — at = const являются характеристиками уравнения F.60). Вдоль них происходит распростране- распространение возмущения (что отчетливо видно из формулы F.62)). Для взятой нами задачи, очевидно, оптимальной раз- разностной схемой является следующая: щ-\-аия = 0, F.63) "Д=о=ФЛ F-64) с h = ах (как всюду в данной главе, h — это шаг по х, а т—по t, т. е. точки сетки имеют координаты: x=xs = = sh, t = ts = sx, s = 0, ±1, ...)• При использовании к.-р. м. Фурье считаем h =— (т — нечетное). Сеточная функция щ берется равной ср(л:) в точках сетки, если ф(л:) —гладкая функция. Мы ради простоты будем счи- считать ф(л:) гладкой. Схема F.63), F.64) символически обозначается так: . *. Ее решение urh, как легко ви- видеть, дается формулой так что urh(x^ равно значению решения и(х, t) задачи F.60), F.61) в точке (xs, tr), и, следовательно, urh в пре- пределе при А-»-0, т-vO даст и{х, t), если шаги /гит свя- связаны равенством h = ах. Из «общих соображений» (т. е. из теории характеристик, которая в данном случае по- позволила явно выписать решение — формулу F.62)) ясно,. что если /гит связать равенством -?¦ = с и взять по- постоянную с > 1/а, то решение ы^ схемы F.63) — F.64) не будет сходиться при /г—>-0 к и(х, t) (ибо uh в точке (xs, tr) не зависит от значения ц>(х) в точке х = хя — atr, от которого зависит истинное решение и(х, t) в точке
328 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI (xs, tr)). В силу этих же соображений не может сходить- сходиться к и(х, t) и решение И/, разностной схемы Щ + аих = 0, uh |,=0 = фл F.66) при любой связи между /гит. Напротив, схема F.63), F.64) и схема F-67) казалось бы, должна выдавать решения ин, сходящиеся к и(х, t) при Л —> 0, если т/Л подчинить условию: — = =const^ —. Однако строгий анализ, который мы сей- сейчас проведем, приводит к другим выводам, которые не- невозможно предугадать исходя лишь из общих свойств решений изучаемых краевых задач. Предварительно за- заметим, что если коэффициент а в F.60) отрицателен, то рассуждения, аналогичные предыдущим, бракуют схему F.63), F.64) (при любом т/Л) и схему F.66) при т 1 -т- > -j—г. Схемы же F.66) и F.67) кажутся хорошими, т , ^ 1 если -г = const^-j—г. Если коэффициент а в F.60) зависит от (х, t) и ме- меняет знак в рассматриваемой области (х, t), то в силу только что проведенного предварительного анализа схемы F.63), F.64) и F.66) не годятся. Схема, пре- претендующая на сходимость, должна либо учитывать из- изменение величины и знака а(х, t) (и, следовательно, быть разной в разных областях (х, t)), либо.обладать таким свойством: область зависимости ma(*s)' от Фа должна содержать область зависимости истинного ре- решения u(xs, tr) от ф. Последним свойством обладает схема F.67) при лю- любом а = а(х, t)t если только-г- подчинить условию: тг^ ^ шах | а (х, t) | • Посмотрим теперь, что дает строгий анализ для взя- взятых нами схем. Без ограничения общности будем счи- считать ф(л:) периодической функцией периода /. Рассмо-
§ 6] ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ 329 трим случай а > О (случай а < О рассматривается ана- аналогично) и также, не ограничивая общности, положим а= 1. Решение и(х, t) будет иметь по х тот же период /, что и ф(л:). Возьмем во всех схемах щ равной в узлах сетки функции (т-\)!2 Ф/Л*) = *__(!-,, 2ф№)(Х№){Х)' ¦' F'68) I где ф<*) = -у- ф(л:)е ' их. Решения uh разностных о схем представим в виде b=-(m-D/2 Это возможно, ибо мы ищем Mh, обладающие периодом/. Если иЛ есть решение для схемы F.63), F.64), то, под- подставляя F.69) в F.63), F.64) и используя E.8), полу^ чим Из условия же F.64) найдем <, = Ф№)- ^ F.71) Равенства F.70) позволяют выразить ar{k) через a°,k), а именно «Й1=0 +т^(л)) «5в = • • • - 0 + ^ (Л)Г' <,. F-72) i — kh где рй(/г) =(е ; — 1)//г. Используя это выражение для pfe(/z), подсчитаем Еслитг^1> то 0^1 — 4^-A—г I ^ 1 и тем более п п \ п / ll + 2-jf-j-— Ijfl — cosi-ykhjj < 1. Следовательно,
330 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI для всех «г» и К,|2<К,|2> F-74) т. е. схема F.63), F.64) действительно устойчива при любых т и Л, лишь бы т/Л ^ 1. Такой же анализ пока- показывает, что для схемы F.66) часть гармоник (т. е. сла- слагаемых из суммы F.69)) будет неограниченно расти при любой величине отношения т/Л. Проанализируем схему F.67). Подставим F.69) в F.67) и воспользуемся E.3), E.4) (напомним, что мы положили а=\). Это приве- приведет к равенствам = 0, F.75) где ak(h) = -jsm(~khy Из F.75) и F.71) выразим а\к) через a(°fe): a[k) = {\ -/таА(Л))«-' = A - «%Щa*ky F.76) Отсюда WK*)!8- <6-77) При ft, близких к -j> afeW = Tsin~m~ ^Тш Для та" ких k выражение A + т2а| (Л))"/т1 неограниченно растет при т—>-0, как бы ни фиксировать т/Л и t > 0. Но это и означает, что схема F.67) является неустойчивой: вы- вычисляемые по ней решения ин для широкого класса на- начальных данных будут неограниченно расти, когда Л —> 0, если т/Л при этом равно какой угодно постоянной. Из F.77) нетрудно увидеть, что для устойчивости (а, следо- следовательно, и сходимости) схемы F.67) необходимо и до- достаточно, чтобы при предельном переходе по Л—»0 оста- оставалось ограниченным отношение т/Л2 — вывод, неожи- неожиданный для уравнений гиперболического типа. Доста- Достаточность условия т ^ ch2 следует из того, что при всех k, х и Л. Необходимость же его устанавли- устанавливается так же, как это было сделано в п. 2 (см. F.46))!
§ в] простейшие уравнения 331 из предположения -^-~>oq выводится неограниченное возрастание \ar{k)\ с k « т/4, когда Л и т->-0, а г—[*/т] (*— произвольно фиксированный момент времени (*>0)). Укажем для задачи F.60), F.61) схемы, сходящиеся при любом соотношении шагов h и т. В работе [12^ (из которой мы берем весь излагаемый в §§ 5 и 6 материал) доказано, что такие схемы сходятся-не только для урав- нений F.60), но и для общих гиперболических систем первого порядка. Применительно к рассматриваемому здесь частному случаю они имеют вид «Л=о = Фл- F.782) Уравнение F.780 выписано для слоя t = tr = rx, при- причем г = 0, 1, ..., и должно выполняться, как всюду в данном пункте, в точках *х = xs = sh, s = 0, ±1, .. -, с учетом /-периодичности ф/, и вычисляемых urh. Схема F.78<) является неявной, ибо для определения urh на слое г, когда известны «?"', требуется решать систему алгебраических уравнений, связывающую все значения uh(xs) в точках х* с s = l, ..., т. Для доказательства устойчивости схемы F.78») представим и\ в виде F.69). Подставив F.69) в F.78i) и воспользовавшись E.3), по- получим следующие соотношения для вычисления коэффи- коэффициентов ar(k): Из них определим act. \-i-Y ааь Отсюда следует, что |аг(+1 \ = |a\k)\ и потому |а\+1 \=\й°т] для всех k и г. Это гарантирует независимость нор*!
332 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI / (m-0/2 у/, 1ыл11 t = ^ 1а^)|2) от слоя г и тем самым устой- ' 2'1/г \fc=-(m-l)/2' '/ чивость схемы F.78г) в норме L2 при любых hut. В схеме F.78,) мы сохранили важное свойство задачи F.60), F.61): закон сохранения энергии, который для /-периодических решений выглядит так: i i J иЦх, t)dx=^2{x)dx. о о Он следует из равенства 0= {¦—¦ + a-^-)udx = о i = -2"-j7 u2dx. Кроме этого классического закона со- 0 хранения, имеют место и такие равенства i i J (?>?« (х, ОJ rfjc = J (?>™Ф (^)J dx, F.80) о о где D™u есть производная по л; порядка т (при усло- условии, что и(х, t) имеет эти производные и /-периодична). Они получаются из равенства 0 = D™ j-^- -j- a-^-\ • о ¦ DxUdx = j-^j(D7u(x, t)fdx. Схема F.78,-) coxpa- o няет все эти равенства (точнее, их разностные ана- аналоги). Рассмотрим еще один пример начально-краевой за- задачи для уравнений гиперболического типа, а именно: F.81,) .F.8У = ч|>(к), F.813) и и д'и dt2 U=o = Uo = --U = ф д'и дхг Ijy—л (х), = 0, ; = 0, . dt
§ 6] ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ 333 в области: {(x,t): *е[0, л], t>0}. Пусть y(x)<=Wl2@,n), а г|з(л:) е/-2@, я). Мы проанализируем простейшую раз- разностную схему, введенную впервые в работе [72] и иссле- исследованную в ней применительно к задаче Коши. Она имее"- вид и_ — и = 0, F.82,) it XX Ч * и.\ = и° и.\ =ы> F.82з) Ось х разбита на отрезки длины h = л/т точками xs — sh, s = 0, ± 1, ..., а ось /— на отрезки длины т точками ts = st, s = 0, ±1, ... Уравнение F.82i) дол- должно выполняться в точках (xs, 4), s = 1, ..., m-^1, r=l, 2, ..., равенства F.822)—при ж = 0, и л: = = mh = п для всех tr, г = 0, 1 а F.823) — в точ- точках ха, s = 0, 1, ..., т, при ^^0 и / = т соответ- соответственно. Сеточные функции и\ и и\ мы выпишем ниже. Они определяются функциями ф(х) и $(х). Равенства F.82,), как легко видеть, однозначно определяют реше- решение uh в точках (xs, tr), s = 0, 1, ..., т, г = 0, 1, 2, ... при любых /гит. Схема F.82,-) — явная; нЛ опреде- определяются последовательно по слоям t = tr, начиная с г = 2. Из теории характеристик для уравнения F.810 следует, что сходимость для схемы F.82;) может быть лишь при условии -г-=^1*)- Мы покажем, что схема F.82;) действительно устойчива при т^ если "а и ulh выбрать подходящим образом. Сделаем это, имея в виду устойчивость в энергетической метрике. Представим искомое решение uh в виде E.23): т-1 4 = 2 ar(k)tf, F.830 *) Говоря о необходимости ограничений подобного рода, мы не рассматриваем предельных переходов, при которых отношения т/Л (или т/Л2 в п. 2) могу.т меняться при А->-().
334 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI где <*, = "|К> Л\ г —0, 1, ... F.832) Верхний индекс «г» указывает номер слоя по t (t = tr), a %^(x)=smkx. Подставим F.83i) в F.82i) и учтём, что %№\ k=l, ..., т—\, образуют полный набор ли- линейно независимых решений спектральной задачи E.17), E.18). Это даст для определения коэффициентов аг{к] ра- разностные уравнения аг . + Аа' =0, г=1, 2, ... F.84) (к) it ' к (к) ' ' ' ' В них Xk == [-J sin -y-J , k = l, 2, ..., m — 1, A = •— . Уравнения F.84) однозначно определяют все аг(к), если известны агщ для г = 0иг= 1. Как указано в конце п. 2 (см. F.56) — F.58)), общее решение уравнения ав + Ха = 0 F.840 имеет вид r = 0, 1, ..., F.85) где С} — произвольные постоянные, qj — корни квадрат- квадратного уравнения • = 0, а = ^Кх\ F.86) a (^/)r — r-я степень ^/. Формула F.85) дает общее ре- решение, если q{ Ф q2. В силу предположения ^- ^ 1 числа aft = -jAftT2 = 2(|sin-yJ, 4 = 1, 2,..., m - 1, h — ~ лежат в интервале @, 2) и потому корни ^12== = 1 — a ± / V^aB — a) — различные, причем |^i,2|=l- Представим их в виде: <7i,2 = e'6, ^2 = e~l6. где sin 0 = ¦== YaB — a), a cosB = 1 — a. Тогда общее решение F.85) может быть записано или как сумма
§ б] ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ 335 или как сумма ar = tx cos Щ + с2 sin (r0) F.87) с произвольными числами ?i, ^2. В силу вещественности всех данных в задаче величин и вещественности системы %f\ по которой мы разлагаем искомую функцию uh, ко- коэффициенты а(й) тоже вещественны, и потому сх и 4 сле- следует брать вещественными. Вернемся к уравнениям F.84). Их общие решения запишем так: iftsin(reft> г = 0,1, .... F.88) где 0ft связаны с а*—уЯ^т2 равенствами sin 9ft = КайB-айУ, cos 0ft = 1 - ak, ak e= @, 2). F.89) Представление F.83t) перепишем "в виде ]S 2,ftsin(r0ft)]XW. F.90) Коэффициенты. 61, ft и <?2, k определяются однозначно через функции и\ и ulh из F.823). Однако мы еще не указали правила, по которому u°h и ulh вычисляются по ф(х) и ty(x). Для u°h предыдущие рассмотрения подска- подсказывают такое правило: m-l ;f = $ F.91) где л Ф(й):=~" Ф (jc) sin /где rfx. F.92) о В качестве же и\ обычно берут сумму фА + x^h, где фА вычислено по ty(x) в соответствии с F.91), F,92). Од- Однако, как показывает подсчет «разностной энергетиче- энергетической нормы» для Uh, она не будет равномерно (по h) ограниченной, если т/А = 1. Чтобы добиться этого, надо несколько изменить выражение для ulh, а именно,
336 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI выбрать uxh так, чтобы формула F.90) для решения за- задачи F.82j) имела вид т-1 F.93) 6=1 Из F.93) следует, что u°h соответствует F.91), а cos е*+¦%)cos - uh т~' 6=1 Отношение — V _ о, ?Л. _i_ * cos — I v(ft) (x) F 95) — ZA m6) X ^ M6)CUb 9 Aft W \и-У°) аппроксимирует ty(x) в слабой норме L2@, я). Действи- Действительно, любой член суммы F.95) с фиксированным но- мером «ft» стремится при /г->0 1и -^-^ 1) к г|з(Л>sin^jc, аь \ 6. ибо X.-+k2, — = — X.x-+0 и cos-tt->-1 и нормы к т 2 * z т-'Ци^л:) — «й(*)| для F.95) ограничены равномер- ' h но по /г. Для проверки последнего воспользуемся ортогональностью %%[ в смысле E.23) и E.24) и тем, что Xk ^ k2: т—1 т—1 т-1 * * Ф^2 + ^)] = 2|Щ + 21| Ч»It «- F-96) 4=1 Из этих двух фактов следует слабая сходимость в 1г@, п) функций — к ifi(je). Функции же
§ 6] ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ 337 о u°h(x) = q>h(x) в силу принадлежности ф(х) к Wl2@, я) и их построения (см. F.91), F.92)) сходятся к ф(х) в норме Wi (О, я), причем сеточные нормы [(фЛ, фй)я + + (Ф*. Ф^)лй]!/2 для них Равномерно ограничены (см. F.96)). Благодаря этому и F.96) равномерно ограничены «раз- «разностные энергетические нормы» \(иг, иг) +(иГ.,и!\ для решений urh, определенных равенствами F.93). Действительно, благодаря E.24) и равенствам, свя- связывающим ак, %k, 0ft и т: т-1 ft=l m-1 ft=l 2 sin -f hk)\ т-1 m-1 cosrBj, — cos (r — 1I v(k) -1 2 2 . eb ilUlill] 1\ I2 m-1
338 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ , [ГЛ. VI Из F.97), F.98) и F.96) видно, что\\(г) не превосходит 4ll>xl +4||i|)||i3t для-всехти А, если только-|-< 1, т. е. мы доказали устойчивость разностной схемы F.82;) в «энергетической норме», если -г-^1 и если Функции u°h и и\ вычислены по формулам F.91) и F.94). Устремляя h к нулю, нетрудно убедиться, что urh в пре- пределе дадут решение и(х, t) задачи F.81 г), имеющее ко- конечную энергетическую норму. Аналогично исследуются другие разностные схемы для задачи F.81 г), например, неявные схемы, в которых разностное уравнение F.82[) заменено уравнением а у = const > 0. § 7. Задача Дирихле для общих эллиптических уравнений 2-го порядка Используем метод конечных разностей для решения задачи Дирихле -, G.1) в произвольной ограниченной области Q с: Rn. Предпо- Предположим, что коэффициенты уравнения являются ограни- ограниченными (как всюду, без особых оговорок — измери- измеримыми) функциями, удовлетворяющими условию -bl)lll0-a^>yl^i: G-2) в котором vi = const > 0, а |0, |i, •'.., In — произволь- произвольные вещественные числа. Это условие можно ослабить, заменив его условиями B.3), B.11), B.12) гл. II или даже условием эллиптичности и предположением об од-
§ Я ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 339 нозначной разрешимости задачи G.1). Но мы этого де- делать не будем, ибо первое из указанных ослаблений чи- читатель сможет сделать самостоятельно, а второе, напро- напротив, требует дополнительных рассуждений, которые от- отвлекли бы нас от основного материала. Относительно f и Д- предположим, что они суть эле- элементы L2(Q). Разобьем всё Rn на элементарные ячейки со(вд пло- плоскостями xh = mhh, k = l,.,.,n, m = 0, ±1, ±2, .,. ..., hh > 0, и используем обозначения, введенные в §§ 2, 3 данной главы. Будем конструировать устойчивые разностные схемы для задачи G.1), следуя принципу, описанному во вводном параграфе. За основу возьмем пространство W\(Q) и энергетическую оценку II и ft, < с, (II / It. о+ «П. в) G.3) для об. решений и(х) задачи G.1) из W\{Q). Эта оценка гарантирует устойчивость задачи G.1) по отношению к вариациям f и f; и, в частности, справедливость тео- теоремы единственности для задачи G.1) в классе об. р. из W\(Q). Напомним, что об. решение и(х) задачи G.1) из класса Wz(Q) определяется как элемент №г(?2), удо< влетворяющий интегральному тождеству при V^e Wl (Q). Оценка G,3) легко выводится из G,4), если в G.4) взять tj = и и использовать предположение G.2). Мы хотим построить разностную схему, для кото- которой был бы справедлив разностный аналог неравенства G.3). Для этого будем исходить из тождества G.4) и строить его аппроксимацию. Интегралы по Q заменим суммами интегралов по элементарным ячейкам соад, со- содержащимся в Q, и в пределах каждой ячейки и и tj заменим кусочно-постоянными функциями «л и f\h, a
340 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI ди дг, производные -х— и -~— кусочно-постоянными воспол- ах. axi нениями каких-либо однотипных разностных отношений, их аппроксимирующих, например, их и г\х„ Требование О . принадлежности и и г\ к W2(Q) естественно заменить требованием, чтобы сеточные функции uh и щ обраща- обращались в нуль на границе области их определения, т. е. на Sh. Итак, тождество G.4) заменим следующим: %н ("л. %) = J \{ацпХ} + а,ый) г\х. — (Ь{йХ{ + auh) щ\ dx = = j{ftbt-fth)dx, G.5) или, что то же, тождеством (^-/ft%> G.6) Qft где QjJ" есть множество вершин х = (fe/г) тех ячеек со(вд, которые принадлежат области Q/, (напомним, что <О(/т,= == {х: fejfti < х{ < (fei + I)h^, и мы относим каждой ячейке со(ш только одну ее вершину: х =(kh); следова- следовательно, множество Qft" есть часть множества fi/O^B G.6) суммы Д/,2"- можно распространить и на всёйл, есл_и условиться, что Uh и Tjft доопределены нулями вне Qh (на Sh они также равны нулю) и все остальные функ- функции aijh, ¦ ¦ ¦, fh тоже положены равными нулю в тех точ- точках Sh, где они не были определены описываемым ниже способом. В G.6) сеточные функции aiih равны в узле (kh) = — (&i/jb ..., knhn) усреднению Ад J aij(x)dx, взя- тому по ячейке щщ- Это так для всех коэффициентов и свободных членов уравнения G.1). Взятый нами «снос» известных функций (т. е. коэф- коэффициентов и свободных членов) на сетку — далеко не единственно допустимый. Например, если они непре-
§ 7] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 341 рывны, то для вычислений удобнее брать просто их зна- значения в узлах сетки. Но если они разрывны, то прихо- приходится брать те или иные их усреднения. Мы будем рабо- работать для определенности с теми, которые описаны выше. Тождество G.6) должно выполняться для всевозмож- всевозможных сеточных функций r\h, определенных на Qh и равных нулю на Sh и вне Qh. Следовательно, оно содержит столько независимых свободно варьирующихся величин; сколько «внутренних» точек решетки Qh, т. е. сколько вершин в Qi = Qh\Sh- Преобразуем G.6) с помощью формулы B.11) «суммирования по частям» к виду К 2 [(ацНиХ/ + aihuh)_ + (bihux. + ahuh)] r\h = 2 G.7) и воспользуемся произволом в выборе щ в точках ?2/г. Это приведет нас к следующей системе разностных урав- уравнений: &нин s (Ч/А, + а1нин) + biн\ + «А = fiMt + /а- G-8) Они -должны удовлетворяться в точках 'сетки Qh- К ним надо присоединить граничное условие «ftlSft = 0- G.9) Уравнения G.8), G.9) или, что то же, соотношения G.6), G.9), дают нам желаемую разностную схему. Они образуют линейную алгебраическую систему, содержа- содержащую столько же неизвестных (значений ии), сколько и уравнений. Однозначная разрешимость этой системы, равно как и устойчивость схемы, следует из априорной оценки для Uh, которую мы сейчас получим. Для этого возьмем в G.6) щ равной Uh (что допустимо) и учтем, что, в силу предположения G.2) и построения сеточных функций ctijh в точках Qt п
342 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI Итак, v Д S и\ < <?ft (uh, uh) = Ah t <Ш12 0+\\иЛ2 О+ + 11/Д „+11иД Q а о « С другой стороны, для любой сеточной функции «л, равной нулю на Sh и вне uh, справедливо неравенство 22M2; GЛ1) являющееся разностным аналогом неравенства Пуан- Пуанкаре— Фридрихса (см. C.19)). Если система G.8), G.9) однородна, т. е. если во всех точках Qh правые части G.8) равны нулю, то, как видно из G.10) и G.11), ей может удовлетворять только функция ии = 0. Иначе го- говоря, система G.8), G.9) допускает не более одного ре- решения. Но тогда, по основной теореме линейной алгебры, эта система имеет решение uh при любых свободных чле- членах, т. е. при любых fih и fh, и для uh справедливы оцен- оценки G.10), G.11). Из них следует неравенство ft а из него -*- неравенство ' ft * V * ft ' ft / Из определения сеточной функции fh и неравенства Коши следует, что Q+ ? J S J /2^=J/2^<II/H,Q. G.13) "(ftft) eSA"»(*A)
§ 7] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 343 аналогично: п и/* i?, а+< и / ft „ «/?/?<**• GЛ4) h В силу этого неравенства- G. 12) и G.11) гарантируют устойчивость построенной нами разностной схемы в се- сеточной норме, соответствующей энергетической норме. Они являются разностным аналогом неравенства G.3). Исходя из того же принципа аппроксимации тождества G.4), можно построить и другие разностные схемы, об- обладающие устойчивостью вида G.11), G.12). Они отли- отличаются от G.5) видом замены производных -к— ^ ностными отношениями и способом построения сеточных функций aijh, ..., fh по данным функция,м a,j, ..., f. Например, можно в G.5) заменить йх и х\х на й^ и т)г . Будут устойчивыми также схемы, отличающиеся от G.8) «младшими членами»; точнее, в них вместо {aihuh)h и blhuXi стоят (aihuh)X( и bihux. или a(aihuh)X[ + + <1 — a){aihuh)Xi и abihuXi + A — a)bihuXi, a<= @, 1).Но для этого надо несколько изменить вид предположения (условие G.2)), гарантирующего положительную опре- определенность формы & (и, и). Переходим теперь к доказательству сходимости схемы G.8), G.9), когда все hi, i = 1, ..., п, стремятся к нулю, т. е. к доказательству того, что интерполяции решений {uh} систем G.8), G.9), описанные в § 3 дан- данной главы, сходятся к функции и(х), являющейся об. ре- решением задачи G.1). При этом мы не будем использовать факт существо- существования об. решения и(х) задачи G.1), а, напротив, до- докажем его, пользуясь приближенными решениями {uh}. В соответствии с § 3 данной главы, из G.11), G.12) и G.9) следует, что интерполяции {и^М} образуют огра- о j ничейное множество в пространстве W^Q) (мы считаем при этом, что Uh равны нулю вне Q^). Выделим из него любую подпоследовательность |«'a(x)J, слабо
344 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI сходящуюся в L2(O) вместе с производными о . i = 1, ..., п, к некоторой функции и(х) е №2(Q) и ее про- производным ¦57~соответственно> и покажем, что такая пре- предельная функция и(х) будет об. решением из №2(Q) задачи G.1). Так как задача G.1) при условии G.2) может иметь не более одного об. решения из W2(Q), то тем самым будет доказано наличие • единственной пре- предельной точки bwI(Q) для всего множества {и1{х)}, или, что то же, слабая сходимость bL2(Q) ( г) ' \ {и^М} и |. Ufl I I dxi ) о | fill. и е W2 (Q) и -г— ,В силу теоремы 6.1 гл. I сами функции u'h будут сходиться к и(х) сильно в Z-2(Q). Итак, .надо убедиться, что предельная для {"/^М} функция и(х) есть об. решение задачи G.1). Для'этого используем предложения, доказанные в § 3 данной главы. Лемма 3.1 и замечание 3.1 к теореме 3.1 гарантируют для подпосле- подпоследовательности {ha} сильную сходимость в iU(Q) интер- интерполяций {uha(x)} к и(х) и слабую сходимость в L2(Q) функций \uXl (x)j к -^-. Благодаря этому в тожде- тождестве G.5) можно сделать предельный переход по {ha}, если в качестве щ брать значения на сетке Qft произ- вольной, но фиксированной функции ч)(х) из С°°(п) (ибо при всех достаточно .малых h{ функции щ будут равны нулю на Sh и вне Qh, и при ht—>0 построенные по ним интерполяций щ(х) и г\х.(х) будут сходиться равно- равномерно на Q к г\(х) и -gj-)- Область интегрирования Qh в G.5) можно заменить на область Q, не зависящую от h, ибо функции fjfe и r\Xi равны нулю вне Qh. В ре- результате предельного перехода в G.5) по {ha} убедимся, О | что предельная функция «elf2(Q) удовлетворяет тож- деству G.4) при взятой функции ц(х)^Ссо(п). Но от-
§ 8] ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 345 сюда следует, что и(х) есть об. решение задачи G.1) из W2(Q) (ибо т] — произвольный элемент C°°(Q), a C°°(Q) плотно в W2 (Q)). Итак, доказана Теорема 7.1. Разностная схема G.8), G.9) устой' чива в энергетической норме, и интерполяции {«^(*)}, по- построенные по решениям {uh} систем G.8), G.9), сходятся сильно в L2(Q) к об. решению и(х) из W\(Q) задачи G.1), а их производные {-т-М сходятся слабо в L2(Q) ( axi I к j~, г = 1, ..., п. При этом предполагается, что ко- axi эффициенты G.1) являются ограниченными измеримыми функциями, удовлетворяющими условию G.2), f и ft при- принадлежат L2(Q) и Q — ограниченная область. Можно было бы показать, что фактически функции {} сходятся к и(х) сильно в Wi(U). Мы это сделаем в п. 1 § 11. . ' § 8. Задача Неймана и третья краевая задача для эллиптических уравнений Рассмотрим в области Q с границей S гз дп, удовле- удовлетворяющей условиям § 5 гл. II, краевую задачу где -—¦ = ац -0j- cos (я, xt). Будем предполагать коэф- коэффициенты ? и <y(s) ограниченными функциями, а / е eL2(Q), Кроме того, пусть при любых вещественных io, 1ь • • • > in выполняется неравенство ац(х) |.?у. - bt (х) |.|0 - а (х) Ц > v, 2 %\ + Щ (8.2) с положительными постоянными vi и Я. Если <y(s)^0, то vi и X могут быгь произвольными постоянными, большими нуля. Если же a(s) неположительна, но
346 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI ограничена на S, то % в (8.2) должно быть достаточно большим. Эти ограничения на a(s) и коэффициенты 2 должны гарантировать для Vue W\{&) неравенство 2 (и, и) + J ог«2 <*s > v2 (|| и ||^J, v2 > 0, (8.3) S где обеспечивающее единственность решения задачи (8.1). Они, являясь более сильным требованием, чем условие однозначной разрешимости задачи (8.1), позволяют по- построить для задачи (8.1) такие устойчивые разностные схемы, для которых решения «л вычисляются однозначно при любых шагах hi. Обобщенное решение и(х) из Wl(Q) задачи (8.1), как было определено в § 5 гл. II, есть элемент W\(Q), удовлетворяющий интегральному тождеству J = -tf, л) (8-5) S при y/r\^Wi(Q). Если в (8.5) взять г] = «, то мы придем к соотношению 2" («,«)+/ои» ds = -(f,u), (8.6) s из которого в силу (8,2) следует неравенство -(/, и a s ' (8.7) Если а ^ 0, то из (8.7) получим априорные оценки для решения и(х): n«iu<xii/iu и ii«4,fl<-^iml!.Q. (8.8) Если же <у ^ — с, с > 0, то мы получим для и(х) оценку II" li?1,^ ^. ci IIЛ12, а» считая Я достаточно большим (см.
§ 8] ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 347 § 5 гл. II). Ограничимся рассмотрением случая а ^ 0. Второй случай рассматривается аналогично. Итак, пусть о > 0, a vi и i в (8.2) больше нуля. Разобьем Rn на ячейки O(ftft) плоскостями х,- = kihi, hi > 0, k{ = = 0, ±1, ±2, ..., и обозначим через Q/j совокупность ячеек «(ад, покрывающих Q и имеющих с Q непустое пе- пересечение. Границу замкнутой области Q*h обозначим через SI, a 0,1 \ S*h = Q^. Эти же символы Q*h, S% и QZ используем и для обозначения множества вершин на- нашего разбиения, принадлежащих Ql, SI и Qh - Будем считать, что коэффициенты уравнения (8.1) и функция f(x) продолжены t Q на несколько более ши- широкую область с сохранением свойств, указанных в на- начале параграфа, Устойчивую конечно-разностную схему будем строить, исходя из аппроксимации тождества (8.5). Интеграл по У заменим суммами по ячейкам coDft) с^Щ, функции и(х) и у\(х) — кусочно постоянными интерполя- интерполяциями uh(x) и rth(x), производные -J^~ и у^-— кусоч-. но-постоянными функциями йх. и г\Х{ (можно было бы взять вместо них, например, й- и г\я\, а из- известные функции оставим неизменными. Кроме этого, добавим к левой части сумматорного тождества, которым мы хотим заменить левую часть (8.5), сумму . **,П*,1 (8-9) в которой 0 и 0г суть функции на множестве вершин, принадлежащих SI, принимающие значения, равные 0 или 1 и определяемые по правилу, которое мы объясним чуть позже. Итак, заменим (8.5) следующим тожде- тождеством: J \ац uXj4Xl — biuXix\h — auhr\h\ dx + + J auhr\hds + Jh(uh, rift)= - J fihdx. (8.10)
348 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI Его можно переписать в виде Ал 2 + 2 «Wk + /л("л, Пд) = - Aft S fftTfe, (8-И) Su где Ql+ есть множество тех точек из ?2Л, которые являются вершинами с координатами (kh) для ячеек <O(jift)Cr Qa (аналогичный символ Йа\ определяемый по Qft, был использован в § 7; еще раз подчеркнем, что каждой ячейке «<ад <= Йй сопоставляется одна ее вершина: x — (kh)). Сумма 2 <W)ft есть другая форма 'записи «л интеграла | auhy\hds, указывающая на то, что этот s интеграл зависит от значений uh и % лишь на некото- некотором множестве точек сетки, которое мы обозначили через Sh; сеточные функции ат, .. ., fh вычислены по atI, ..., f как средние по соответствующей ячейке «(ftft), а именно: ацк \х=т = — J ац{х)йх и аналогично для всех остальных коэффициентов S и f. Сумма Ай 2 "лЛй содержит значения uh (а тем самым и r\h) не во всех точках Qh. Эти недостающие значения uh мы и добавляем в виде суммы АЛ 2 ^"лЛл» которая Sft содержит, как нетрудно понять, часть вершин, при- принадлежащих множеству Sft. Кроме того, сумма АЛ 2 atihux,4}x, из (8-П) содержит не все разностные отношения их. (а тем самым и т)*.}, которые можно образовать из значений uh на Q*h. Эти недостающие нам отношения и%1 мы добавляем к ней в виде членов
§ 8] ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 349 п Ал 2 2 вг«х,1Ъ;- Они также образованы из значений uh на части вершин S\. Теперь все члены, входящие в тождество (8.11), описаны. Они образованы с помощью значений uh и y]h во всех вершинах Q,"h. Значения % в этих вершинах Qh варьируются произвольно. Если в (8.11) выписать явно все их и г\х в виде разностных отношений от uh и r\h и затем представить левую и правую части (8.11) в виде 2 #*(«*)•%= 2 ^(fft)TU. (8-12) й то в силу независимости значений r\h в точках йл тожде- тождество (8.12) эквивалентно следующей системе уравнений: &h("h)=yh(h\ WsS. (8.13) Система (8.13) содержит столько уравнений, сколько вершин имеет сетка Ни- В нее входит столько же и неиз- неизвестных — значений щ в вершинах Q/,. Покажем, что^из этой системы однозначно определяется Нл на Q^. Для этого положим в тождестве (8.11), которое эквивалентно системе (8.13), щ = ин и воспользуемся тем, что из ус- условия (8.2) следует неравенство aiihUXjUxt - bihUx.Uh ~ ahUl > VlUl + К- (8-14) Это даст такое соотношение: *+. (8.15) В силу предположения а ^ 0 интеграл J a(uhfds s может быть отброшен из левой части (8.15). Если еще
350 ¦ МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI учесть правило составления суммы /&(%, uh), то из (8.15) следует такая оценка: где V2 = min(vi, Я, 1), а величина эквивалентна квадрату нормы j| uh if1' , определенной равенством C.11) с /и = 2. В (8.17) символ 2 означает суммирование по всем точкам Q^, в которых определено разностное отношение их. для функции «л, известной лишь на Q/i. Добавка члена /й(ий,т)й) в (8.10) вызвана желанием иметь в неравенстве (8.16) сеточную норму, эквивалентную норме, фигурирующей. в условиях тео- теоремы 3.3 данной главы. Из неравенства (8.16) следует, что если система (8.13) однородна, т. е. если /л = 0, то ей может удовлетворять только «л = 0. Но тогда по основной теореме линейной алгебры неоднородная си- система (8.13) однозначно разрешима при любых свобод- свободных членах, т. е. при любых fh- Для ее решения «л спра- справедливо неравенство (8.16), из которого следует устой- устойчивость построенной разностной схемы в «энергетической норме», а именно: (8Л9) (см. ,G.13)). Для проведения предельного перехода по hi—*0, i = l, .,,, п, воспользуемся теоремами вложе-
§ 8] ЗАДАЧА НЕНМАНА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 351 ния для сеточных функций, доказанными в §3 данной главы. Как и выше, из последовательности Щ, "стремя- щейся к нулю, надо выделять сначала подпоследователь- подпоследовательности, для которых имеют место сходимости, указывае- указываемые ниже. Но затем окажется, что они нас приведут к предельной функции и{х), которая будет об. решением задачи (8.1), а так как такое решение единственно, то мы сможем заключить, что вся последовательность {uh} будет сходиться соответствующим образом к и(х). Эта часть вывода вполне аналогична проведенной в § 7, и потому мы разрешим себе некоторую вольность говорить сразу обо всей последовательности {«л} и ее сходимости, вместо того чтобы формально строго проводить все рас- рассуждение на подпоследовательностях. Итак, из оценок (8.18), (8.19) в силу теорем § 3 следует, что интерполяции {«^(я)} сходятся в L2{Q) к некоторой функции и (х) е W\ (Q). Более того, они сходятся к и(х) и на поверхности S в норме L2(S). 1К Их производные \ —у, }, 1=1 п, сходятся к -^— ( axi ) axi слабо в L2(Q). Далее, функции {uh{x)} сходятся в ?2(й) и в L2{S) к и(х), а \их ], i = l, ..., «, сходятся слабо в ?2(й) к -j,—. Наконец, учтем, что величины ||й*||, „,, axi 2. "л ||«Л||2 Q*, /л(ил, ил) ограничены некоторой, постоянной с,, не зависящей от h. Будем теперь переходить в соотно- соотношении (8.10) к пределу, взяв фиксированную гладкую функцию \{х), определенную на какой-либо области QnQ. В качестве r\h в (8.10) возьмем значения этой функции г\(х) в вершинах QI, считая hi уже столь малым, что область Q*h cz й. Функции r\h{x) и х\х.{х) будут сходиться к т] (л:) и -Д- равномерно в области Q, содержащейся в й и содержащей все йд, начиная с не- некоторых h\ > 0, /=1, ..., п. Интегралы ?h— J
352 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI будут стремиться к нулю при 1ц-+0, ибо для них верна оценка X [ II г\х ||2, о» \0 + II г\н ll2, а;\и] и mes(Qft\ Q)-h>-0. В силу таких же оценок убеждаемся, что ) /% dx и /ft («ft, Tift) также стремятся к нулю а\\а при hi ->• 0, г= 1, ..., п. Но тогда ясно, что предель- предельным для (8.10) тождеством будет тождество (8.5), ле- лежащее в основе определения об. решения и(х) задачи (8.1). Мы доказали его справедливость для предельной функции и(х) при всех гладких ч){х). Но такие функ- функции т] плотны bWI(Q), следовательно, (8.5) выполняется при Vt] Ё?г(й). Обратим внимание, что при этом, рав- равно как и при использовании теоремы вложения W\{Q) в Z-2(S), мы должны знать, что граничная поверх- поверхность S обладает некоторой регулярностью (которая и была оговорена в самом начале параграфа). Из прове- проведенного анализа разностной схемы видно, что ее можно в определенных пределах варьировать (например, взять в ней вместо (8.9) а/л(«л, щ) с каким-либо а > 0). Это не изменит окончательного результата (т. е. в пределе мы получим «(*)), но изменит систему (8.13). Такую возможность надо иметь в виду при составлении раз- разностной схемы для конкретного уравнения (8.1) и кон- конкретной области. § 9. Уравнения параболического типа Рассмотрим первую начально-краевую задачу >=*?.-Zu = f{x, t), (9.1) , = Ф(лг), u\s =0, (9.2)
§ S] УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 353 где "(/(Х' 0 f^-)-*,(*,-0-^--а(*. t)u, в ограниченной области QT = Q X (О, Т). Будем пред- предполагать, что выполнены условия C.3) — C.5) гл. III. Функции а,{ и fi мы взяли равными нулю лишь ради эко- экономии места. Для эллиптической части уравнения (9.1) и граничного условия возьмем ту разностную замену, которая подробно рассмотрена в § 7 (напомним, что она — не единственно возможная). Для производной же -Qj- рассмотрим две замены: u-t и щ. Первая из них дает неявную схему, вторая — явную. Как будет показано ниже, получаемые при этом разностные схемы будут устойчивыми, по существу при тех же' соотношениях ме- между шагами по t и по х, что и для простейшего предста- представителя уравнений (9.1), рассмотренного в п. 2 § 6. Кроме этих двух схем, мы проанализируем еще один вариант неявной схемы для многомерных уравнений (9.1) (т. е. когда п ^ 2), в котором алгебраические системы, опре- определяющие сеточную функцию uh, существенно проще си- систем, возникающих в первой неявной схеме. Такие схемы сходятся, как и первая неявная схема, при любом соот- соотношении шагов по х и t, однако их сходимость имеет место в более слабой норме, чем в первой. В настоящее время имеется много вариантов раз- разностных схем подобного типа, отличающихся друг от друга ^способом расщепления многомерной эллиптиче- эллиптической части на более простые компоненты. Все они ис- исследуются принципиально так же, как и случай, который мы рассматриваем в п. 2. Разобьем всё эвклидово пространство Rn+i перемен- переменных {х, t) плоскостями Х{ = kihu hi > 0, h = 0, ±1,... и t = кох, х > 0, &о = 0, 1, 2, ..., на параллелепипеды Q(*. ад = щщ X (Аот, {h + 1) т) = {(*, t): kihi <xt< {kt + + 1) hi, ka% <t <{kQ-\-\)x), и используем обозначения uh, Uh, Qh и Sh, введенные ранее (см. § 7). Для обозначения функций и, заданных на сетке, будем использовать индекс А: «д. При написании же разностных 12 О. А. Ладыженская
354 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI отношений для таких функций, как и выше, индекс «Д» будем опускать, так что под uXl понимается («д)*.. Кро- Кроме этого, условимся, что индекс «k» у «д (k) указывает на то, что сеточная функция «д берется на слое t = th = kx. Наконец, ради сокращения записи, мы часто вместо се- сеточной нормы ||«д(?)|J о будем писать просто ||«д(&)|!. 1. Первая неявная разностная схема. Первая неяв- неявная разностная схема имеет вид (А) - Щ (*) ~ {aUA W \ Щх. + + b.A{k)ux.(k) + aA(k)и(k) = fA(k), . (9.3) ид(*)| =0, (9.4) и (=0 (9.5) Разностные уравнения (9.3) должны выполняться на слоях &= 1,2, ..., N = [Tjx] во «внутренних» точках сетки Qft, т. е. в точках Qh; равенства (9.4) —для k = = 0, 1, ..., /V; равенство (9.5)— в точках Qh, причем в качестве фл возьмем функцию % \{kh) = Д/Г1 ) y{x)dx, АЛ = /г( ... hn. Функции aijA, ..., /д строятся по из- известным функциям ац,...,{ так: ацА \хМШ< <=feoT = ^^А^'т" ( J аг/(л:, t)dxdt, и аналогично для ft) остальных. Решение «д системы (9.3)—(9 5) определяется последовательно по слоям t = tk, начиная с k= 1. Для каждого слоя приходится решать линейную алгебраиче- алгебраическую систему, содержащую столько уравнений и неиз- неизвестных «д(&), сколько точек у решетки Q;,. Эти системы имеют тот же вид, что и в § 7. Мы покажем, что они однозначно разрешимы для всех т, меньших некоторого то > 0. Это будет следовать по существу из .той же оценки, которая гарантирует устойчивость построенной схемы. Она будет иметь место при любом соотношении
§ 9] УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 355 шагов т и hi. Уравнения (9.3), (9.4) эквивалентны сум- маторным тождествам 11д + ати « + biAu r\A + ад«дт1д] = Aft 2 /ДЧД, "M"V'A ' "Д"-Д'1д — "л . ' ч (9.6) в которых т)Д — произвольная функция на Q&, равная нулю на Sh. Тождества (9.6) выполняются на всех слоях t = tk, k = 1, ..., N. Для доказательства разрешимости системы (9.3), (9.4) на слое 4 возьмем однородную си- систему, ей соответствующую, или, что то же, тождество (9.6) на слое th, в котором /д и uA{k— 1) заменены ну- нулями («д(?—1) входит в выражение %(&)). Положив в этом тождестве г)д = «д, получим равенство 2 [ х х + iA иА ади|] = 0. В силу предположений C.3) —C.5) гл. III из него лучим ч Если т < fij- + 1ч = т0, то из (9.7) следует тожде- тождественное обращение «д(&) в нуль. Т. е. мы показали, что при т< т0 система (9.3), (9.4) однозначно разрешима на слое 4 (где k — любое, начиная с 1) при любых /д (&) и «д(?— 1). Докажем теперь ее устойчивость, а именно, оценку типа E.14) гл. III. Делается это абсолютно так же, как вывод неравенств E.10) — E.14) в гл. III. При этом сохраняются даже все постоянные в этих неравенствах, если только в них под ||и|| Q понимать = AftS«i(*), а под||«Д2 - сумму \их(Щ*т 12*
356 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI = Дл2их(&) (в § ^ гл. III через их были обозначены ди производные -?—, а здесь— «правые» разностные от- axi ношения; заметим, что в силу (9.4) 2«д(&) = 2"д(&) = — 2"д(&) и 2  (&) — 2  (&)> если считать uA(k) "fi h ^ продолженной нулем вне Q/t). Итак, для «д верны оценки \\f\\\\ (9.8) и т т II Ид («) II2 + VT 2 II UX (k) If + 2 || бИд (k - 1) |Р < fel ftl где с = ——h 2ц, т<с ', постоянная С[ зависит только от v, ц и 7*1 би. (й — 1) = и, (&) — и. (&—1), а II^, г , = m = т 2 S/i(^)- Эти неравенства гарантируют устой- л чивость рассматриваемой разностной схемы (без каких- либо ограничений на шаги hi и т, кроме т < с), ибо правая часть (9.9) не превосходит постоянной С2 = ==ci (II ф111, с+ 11/II], 1. q ) (см- в связи с этим выбор фд и /д и G.13)). На их основе и теоремах § 3 данной главы доказывается слабая сходимость в WI'°{Qt) ин- интерполяций иА(х, t) к об. решению из Wl'°(QT) задачи (9.1), (9.2). Делается это так же, как в § 7 для эллип- эллиптических уравнений, и мы предоставляем читателю сделать это самостоятельно. Дадим лишь несколько
§ 9] УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 357 указаний. Именно, из тождеств (9.6), справедливых для слоев t = tk, k = \ N, следует тождество Qr jj (9.10) при любой функции т)д(?), равной нулю на Sh и вне Q;t при всех k и равной нулю на слое t = [Г/т] и выше. Функ- Функцию «д(&) также считаем доопределенной нулем вне Qn. при всех k (на Sh она равна нулю по условию (9.4)). Восполнения пА, йх , г\А и fjx оказываются рав- равными нулю вне Qft при всех k. Это дало возмож* ность считать, что все интегрирования по х прове- проведены по области Q. Кусочно-постоянные интерполяции ( ) выполнены так: йА(х, t) — u{kll {kt+i)x) на ячейке Q(ktKr Предельный переход по /г*-»0 и т->0 в (9.1Q) надо производить, взяв в качестве г)д значения в точках сетки какой-либо гладкой функции х\{х, t), равной нулю в окрестности боковой поверхности цилиндра Qt и его верхнего основания. Таким образом, можно считать до- доказанной следующую теорему: Теорема 9.1. Пусть для задачи(9Л), (9.2) выполнены условия C.3)-C.5) гл. ш, /<=L2;I(Qr), a q>e=L2(Q). Тогда разностная схема (9.3)—(9.5) однозначно опреде- определяет сеточную функцию «д при всех т < (-^- + 2ц) , и ее интерполяции и'А(х, t) при ht~^-0 и т-н>-0 сходятся слабо в L2{QT) к об. решению и(х, t) из W\'u{Qt) ди'А задачи (9.1), (9.2). Производные дх сходятся слабо в L2(QT) к-щ. 2. Вторая неявная схема (схема переменных направ- направлений). Системы (9.3) —(9.5), определяющие ид, содер- содержат столько неизвестных, сколько узлов решетки в Qt,. При п^2и малых hi число уравнений в этих системах, очень большое, причем системы не распадаются на
358 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ VI отдельные блоки. Решение таких систем требует огром- огромной памяти машины и много времени для их решения. Ввиду этого для частных классов уравнений (9.1) были предложены другие неявные разностные схемы, требую- требующие решения значительно более коротких систем *) (см. [8], [22], [31], [21], [14] и др.). Они, как и схема п. 1, схо- сходятся при любом стремлении т и ftj к пулю, однако сама сходимость имеет «более низкое качество», чем в п. 1 (т. е. ыд сходятся к и в более слабой норме). Доказать это можно, по существу, так же, как в п. 1 была дока- доказана сходимость для схемы (9.3) —(9.5). Покажем это применительно к задаче (9.1), (9.2) на приводимой ниже схеме (9.11). Возьмем описанное в начале параграфа разбиение Rn+i на ячейки и добавим к нему сечения tk+pln~(k+¦%)*, /7=1, 2,..., rt-1, k = 0, 1, ... ..., N—1. Решение ыд будем вычислять на всех слоях / р из [0, Nx] по следующей схеме: + ?). (9Л1) где k = О, 1, ..., N — 1, р = 1, 2, ..., п. К ней присо- присоединяются начальное и граничное условия = 0, ыД=0 = ФА. (9.12) *) Схемы подобного типа известны в литературе под названием схем переменных направлений, схем дробных шагов и расщепляю- расщепляющихся схем.
§ 9] УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 359 Уравнения (9.11) должны выполняться на указанных слоях t p для х, являющихся «внутренними узлами» решетки Qh (т. е. хей/,). Нетрудно понять, что на каж- каждом слое приходится решать системы, в каждой из которых неизвестные «зацеплены» лишь по одному от- отрезку, параллельному какой-либ6"""координатной оси. Основная матрица таких систем трехдиагональна и срав- сравнительно легко обращается с помощью, например, ме- метода прогонки (его изложение дано, например, в [7]). Для доказательства разрешимости систем (9.11), (9.12), а также для доказательства устойчивости и схо- сходимости (в определенном смысле) исследуемого раз- разностного процесса выведем аналог оценок (9.7) — (9.9). Рассмотрим однородную систему, соответствующую системе (9.11) на слое / = (&+—) т. Она имеет вид р (9.13) из которого ясно, что система (9.13) распадается на от- отдельные подсистемы, в каждой из которых связаны ме- между собою лишь узлы решетки из Qh, лежащие на ка- какой-либо прямой 1Р, параллельной оси хр. Умножая (9.13) на hpuAk-\- -] и суммируя по всем узлам из пь, лежащим на 1Р, получим после элементарных преобра- преобразований lp 1Р + bpAuXp(* + .?) Вд (* + ?)+ ±aAul [k + ?)]-0. (9.14) 'При этом мы воспользовались формулой B.4) § 2 и об- обращением Ыд (& + ¦") в нуль во всех точках 1Р, кроме тех, которые принадлежат Qh. Из (9.14) в силу условий
§60 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. V! C.3) — C.5) гл. -1 III следует, что ыд == 0, если т < (-J- + ц) = т0 (см. (9.7) в п. 1 данного парагра- 4v фа). Тем самым доказана однозначная разрешимость всех систем (9.11) при т < то. Для оценки их решений умножим (9.11) на 2тАлыд [k + —), просуммируем по всем узлам Q/, и преобразуем полученное выражение с помощью формул E.9) гл. III и B.11) данной главы к следующему виду: ¦+ р-\ ¦+ р-1 Просуммируем равенства (9.15) по р от р = 1 до р = п и воспользуемся предположениями C.3) — C:5) гл. III. Это приведет к неравенствам -11 «a (k) IP
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 361 p=i ' р=1 6 = 0, 1, ..., Af — 1. Из этих неравенств выводятся нуж- нужные нам оценки, в основном так же, как в § 5 гл. III из E.10) были выведены неравенства E.12) и E:14) (надо только при выводе неравенства, аналогичного E.12), ис- использовать наличие третьего члена в левой части (9.16)). Ради небольших упрощений предположим, что fe <=L2{Qt). Тогда последний член правой части (9.16) оценим по неравенству Коши, заменив Из (9.16) следует [ р=1 р=1 р=1 где c = ^+-f + ~. Каждый из членов «А =1, ..., П— 1, можно оценить через слагаемые, стоящие в левой части (9.17), исходя из-очевидного представления ид «д ^)-ид [k + s-=± (9.18) '/г 12 О. А. Ладыжмскаа
362 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI Действительно, из (9.18) следует (9.19) Подставляя эти оценки в правую часть неравенства (9.17) и огрубляя их, получим п 2—1| Ыд (k) ||2+^ Ид (&+ -Н — Ид р=1 |д( ^)Г. (9.20) Отсюда при ст-^-^— ^Т (напомним, что в данном пункте п^2) получим 1 р=1 Отбрасывая сначала второй член левой части (9.21), по- получим рекуррентное соотношение для ||ыд(&)||2, с по- помощью которого оценим ||ыд(т)||2 через известные ве- величины: т—1 п "| [ [ кг+т2 2М*+-?)Г • (9>22)
§ 91 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 363 где С\ определяется v, \х, п и Т (аналогичная оценка дана в § 5 гл. III —см. E.11) —E.12)). Из (9.21), (9.22) и (9.19) выводим аналогичную оценку и для нецелых слоев: пг = О, 1, ..., N—1, р=1, ..., п. Суммируя неравен- неравенства (9.16) от? = 0до? = /ии используя (9.23), по- получим желаемую оценку fc=0 р=1 m п. |( |)|2+l) 0.24) для m = 0, 1 Л^— l(^"(m+ 1) определено в (9.23)). Правая часть (9.24) не превосходит некоторой постоян- постоянной, определяемой функциями у(х) и f(x,t). Эта оценка дает определенную устойчивость схемы (9.11), (9.12) по отношению к изменению ф и f. С ее помощью легко до- доказывается слабая сходимость в L2(QT_6), V6 > 0, ку- кусочно-постоянных интерполяций йд сеточных функций ыд, вычисляемых по схеме (9.11), (9.12), к решению u(x,t) задачи (9.1), (9.2). Лучшая сходимость ыд к ре- решению и(х, t) доказывается так: по u(x,t) строится се- сеточная функция йд (если и(х, t) —классическое решение и коэффициенты 9? — гладкие функции, то в качестве йд можно просто взять значение и(х, t) в узлах сетки), для нее записываются соотношения (9.11) с невязкими +—) в правых частях и из них вычитаются соот- соотношения (9.11) для Ыд. В результате для од = йд —ыд получаются соотношения (9.11), в. правых частях ко- которых вместо тГ^др'^Тг") будет стоять невязка
364 . МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI "?)< Сами невязки не обязаны быть малыми, п но суммы V гд (&-f — )-*0 при т и/г-*0. Это позво- p=i дяет для vA получить оценку вида (9.24), правая часть которой стремится к нулю при т и h -> 0. Так доказы- доказывается сходимость ыд к решению и в норме, соответ- соответствующей левой части (9.24). Подобное рассуждение проведено подробно для более трудной задачи в [12i2] (гл. VI §9 п. 2). 3. Явная схема. Явная разностная схема для задачи (9.1), (9.2) отличается от схемы (9.3) лишь заменой щ на щ, а именно: •' ut (k)-{at,A (*) «ж, Щ. +Ь( д (k) uXi (*)+ aJk)uA (kM д (*), (9.25) UA(k)\Sh = 0, ? = 0,1 N, идио = ФА- (9.26) Пространство Rn+i разбивается на элементарные ячейки так же, как и в п. 1. Уравнения (9.25) должны выпол- выполняться для t = tk~kx, k = 0, I, ..., N —I и x^Q/i- Сеточные функции а^д, ..., fд в данном пункте удобнее строить по ciij, ..., f так: (M-l)x а'/д U, ft.r) = Дл'т J J а« (*. 0 dx dt ft«T (»(ftft) и аналогично для остальных функций. Взяв (9.25) в одной из таких точек {х, tk), мы определим ид в точке (х, th -j-1) из этого равенства, если уже известны значения Ыд в узлах слоя t — h. Так весьма просто из (9.25), (9.26) однозначно определяется приближенное решение ыд. Для того чтобы эти решения мд давали в пределе ре- решение u(x,t) задачи (9.1), (9.2), надо на шаг по t на- наложить ограничение вида т ^ ctlu с некоторыми Cj. Не- Необходимость такого ограничения была показана в п. 2 § 6, где мы рассмотрели простейшее одномерное уравне- уравнение типа (9.1). Предположим, ради несущественных упрощений, что все hi равны h, и покажем, что при т = = c/i2 с с •< DПЦ,), где число ц взято из условия C.5)
S 91 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 365^ гл. III, решения Ыд дают в пределе (при Л—»0) решение u(x,t) задачи (9.1), (9.2). Итак, пусть выполнены условия C.3) — C.5) гл. III и <peL2(Q), a f(x, t) e L2, i(Qt). Выведем для реше- решений ыд уравнений (9.25), (9.26) нижеследующие «энер- «энергетические» оценки. Для этого умножим (9.25) на 2т/1"Ыд(&+ 1) и результат просуммируем по всем узлам Q/i (или, что то же, по узлам Qh). Далее, первые два члена левой части преобразуем с помощью формулы E.9) гл. III и формул B.5), B.11) данной главы к виду 1) II2 - II «д (*) И2 +1| 6ыд (АО f + +2тЛ" 2 [аиА (k) uXj (k) uh (k+ 1)+Ь(А (k) ux. + ад (k) ыд (k) ыд {k + 1)] = 2xhn 2 f д {k) ыд {k + 1). (9.27). 4 Сумму jl(k)^2aijA(k)ux {k)ux [k + 1) представим так: ± aiiA{k)uXj(k + 1) • uXi{k + 1) = ai!A(k)uXj{k)uX{{k) + + an a (k) uXj (k+l)uXi{k+l)- an (k) 6uXj (k) buXt (k). Это выражение j\(k) подставим в (9.27) и третий член из }i{k) перенесем направо, после чего левую и правую части полученного равенства оценим снизу и сверху со- соответственно, используя предположения C.3) — C.5) гл. III, следующим образом: (9-28) Выпишем явно бы* в произвольном узле (х, tit) нашей решетки и оценим его модуль так: |tttxt(ж,- к)| = i-| быд(х4- hei, k) -быд (*, Л) |< | вид(« + /!«*
366 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ . [ГЛ. VI откуда следует: || Ьих (к) IP < hn <~\\6uA(k)f. (9.29) Эту оценку подставим в правую часть неравенства (9.28). Кроме этого, 2ц || ы* (&) || || Ыд (/г + 1)|| в (9.28) заменим большей величиной: -j|| их (к) |р + -^— \\ Ыд (^ + 1)И2- В ре- результате этого и приведения подобных членов из (9.28) выведем неравенство (9.30) в котором 8=1 — 4rtjx/i т. Подчиним отношение h т условию 2 (9.31) где е — какое-либо число из @,1), фиксированное для всего дальнейшего рассуждения. Из (9.30) известным образом (см. § 5 гл. III) выведем желаемую оценку: II Мд (m) jp + vt _ ~ (9.32) в которой с определяется v, jx и Г и не зависит ни от uA(k), ни от выбора сетки. Это неравенство', указываю- указывающее на устойчивость разностной схемы и позволяющее доказать сходимость решений ыд разностных уравнений (9.25), (9.26) к решению задачи (9.1), (9.2), выведено при условии (9.31). Оно заставляет временные шаги т брать весьма маленькими, что приводит к необходимо- необходимости довольно длительного счета для определения Ыд в какой-либо момент времени t\ >• 0, если h мало.
§ 10] УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 367 Мы не будем приводить здесь доказательство того, что интерполяции и'А приближенных решений ыд схо- сходятся к решению u(x,t) задачи (9.1),. (9.2), ибо это делается по тому же плану, что и в § 7 (см. пояснения в конце п. 1 данного параграфа). На этом мы заканчиваем анализ разностных схем для параболических уравнений. Отметим лишь, что изло- изложенный здесь метод исследования разностных схем при- применим и ко многим другим неявным схемам. С его же помощью устанавливается сходимость разностных схем для второго и третьего краевых условий, если их «эл- «эллиптическая часть» составлена так, как описано в § 8, а производная по t заменена одним из описанных здесь способов. § 10. Уравнения гиперболического типа В этом параграфе мы рассмотрим задачу Коши и первую начально-краевую задачу для гиперболических уравнений вида т д2и д I , .. ди \ , - / ,. ди , , .> = /(*, t), A0.1) предполагая ради несущественных упрощений, что коэф- коэффициенты суть непрерывные функции (x,t). Кроме того, должны быть выполнены условия: v|2 < angjg,-< ц|2, v, jx = const>0, A0.2) где |i|H(i2- константы, а |ь ..., ?„, rji цп — про- произвольные вещественнее числа, и (Ю.4)
368 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI в тех областях Qt пространства (х, t), где рассматри- рассматривается задача *). Как показано в §§ 1, 2 гл. IV, решение задачи Коши для уравнения A0.1) можно свести к решению первой начально-краевой задачи для уравнения (ЮЛ). Однако это сведение, избавившее нас от необходимости отдельно доказывать разрешимость задачи Коши, имеет лишь ме- методическое значение. Для фактического нахождения ре- решения задачи Коши в общем случае оно невыгодно, ибо требует решения более трудной задачи. В данном параграфе мы найдем отдельно решения той и другой задачи с помощью конечно-разностных при- приближений. Однако доказательство сходимости разност- разностного процесса можно не проводить самостоятельно, а ре- редуцировать к доказательству сходимости для начально- краевой задачи. 1. Задача Коши. Разобьем полупространство /?n+i = = {(х, t); t^O) плоскостями я,-= &ft,-, hi>0, k = 0, ±1, ±2, ..., t = kx, k = 0, 1, 2 на элементарные ячейки и в их вершинах будем определять решения ыд разностных уравнений. Ради несущественных упрощений будем в данном параграфе считать hi = ft, I = 1, ..., п. Заменим дифференциальное уравнение A0.1) разност- разностным: , + at\ + аыД в f* A0>5) и потребуем, чтобы оно выполнялось во всех вершинах, лежащих в плоскостях t = kx, k = 1, 2, ... .К нему при- присоединим условия в вершинах сетки, лежащих на пло- плоскостях t = kx, k = 0, 1, а именно "д 1< о= <Ра> "д Ut = Фй + ""%• A0-б) Функции /д, ф/j и г)?/, построены по f, ф и г|), например, как их стекловские средние (см. § 9). Система уравне- уравнений A0.5), A0.6), как легко видеть, позволяет однознач- однозначно определить ее решение иА во всех вершинах решетки, *) Если вместо перечисленных условий коэффициенты удовлет- удовлетворяют меньшим требованиям — условиям теоремы 3.2 § 3 гл. IV, то при построении разностных схем их надо усреднить так, как это сделано в §§ 7 и 9 данной главы.
§ 10] УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 369 при этом вычислительный процесс весьма прост и не требует решения алгебраических систем: каждое урав- уравнение A0.5) содержит лишь одно неизвестное, причем коэффициент при нем равен т~2. Далее, из A0.5) видно, что решение иА в какой-либо точке решетки (х°, t° = kx) связано с его значениями лишь в точках, которые при- принадлежат пирамиде влияния QA(x°,t°)c вершиной в (х°, t°) и основанием на плоскости t = 0. Основанием этой пирамиды QA(x°) служит куб с центром в точке х° с длиной ребра, равной 2kh, и с гранями, лежащими в координатных плоскостях. Вспоминая основное свой- свойство гиперболических уравнений о конечности скорости распространения возмущений и конечности области влия- влияния (см. §§ 1, 2 гл. IV), нетрудно понять, что для сходи- сходимости решений ыд уравнений A0.5), A0.6) к решению задачи Коши для A0.1) необходимо, чтобы пирамиды влияния для A0.5) с вершиной в любой точке (х°, t°) содержали в себе (или хотя бы их пределы при А, т—>0 содержали в себе) область влияния для точки (x°,t°), определяемую уравнением A0.1)! Это условие наклады- накладывает на шаги т и h ограничение вида -j^C-Общей ма- мажорантой для с для всех уравнений A0.1) является цг'/2. Мы докажем, что если с взять меньше, чем B\т)~ч* или (nv)'V~'> T0 схема A0.5), A0.6) будет давать решения Ид, сходящиеся при А, т ->0 к решению задачи Коши. Доказательство этих фактов основано на оценке Ыд, являющейся разностным аналогом энергетической оценки B.15) гл. IV. Эту оценку можно получить для ыд в лю- любой «пирамиде влияния» QA(x°, t°) через /д в ней и ф/, и \!рн на ее основании Q4(л:0). Однако вместо этого по- поступим так: положим /д равной нулю вне Q^(x°,t0), фд равной стекловскому среднему от ф(л:)^(л:), где ?(*) — гладкая функция, равная 1 на fiA(*°) и в ее А-окрестно- сти и равная нулю на некотором расстоянии от QA(x°), а \рн — равной нулю вне QA(*°). Этим измененным вне QA функциям /д, ф/, и г|)Л соответствует решение йд, ко- которое на Q^(x°,t°) совпадает с прежним ид, на больших же расстояниях от <2Л(х°, t°) сеточная функция йд равна нулю. Следовательно, йд можно рассмотреть как прибли- приближенное решение начально-краевой задачи в некотором
370 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. Vt параллелепипеде fIA(x°,/°) высоты /° = kx, содержащем Qa(x0,t°) и таком, что на его боковой поверхности йд равно нулю. Именно такие й.л возникают при решении первой начально-краевой задачи с нулевым граничным условием с помощью разностной схемы A0.5), A0.6). Для них мы получим в следующем пункте разностный аналог энергетической оценки. Тем самым нужная нам оценка будет получена и для иц в Q&. С ее помощью сходимость ид к решению и(х, t) задачи Коши для A0.1) доказывается так же, как это было сделано выше в §§ 7—9 для уравнений других типов. 2. Первая начально-краевая задача. Для нахождения решения u(x,t) задачи Щ = 0 (Ю.7) в цилиндре QT = Q X @, Т) используем разностную схе- схему, аналогичную схеме, исследованной в п. 3 § 6 для уравнения струны. Она в главной своей части совпадает со схемой, взятой в п. 1 для решения задачи Коши. Пусть для A0.7) выполнены условия A0.2) — A0.4) и о . условие 9(x)eW2(Q). Испо_льзуем в данном параграфе те же обозначения Q/,, S/,, Qh, ut и ||мд||, ||и*||, что и б §§ 7—9. Наполним, что поскольку функции uA(k), ко- которые войдут в наши рассмотрения, равны нулю на Sh при всех k, то сумма || ид(^)||2= А/, 2 «д(^) равна сум- t мам | их (k) |f = Ал 2 2 и*, (k) = АА если условимся считать, что ид(д) продолжены нулем вне Q/г. Так же, как и в п. 1, будем ради несущественных упрощений в дальнейших оценках считать все hi = h, i=l, .... п. Построим по ф (х) сеточные функции фЛ так, чтобы срЛ равнялась нулю на Sh и вне Йл и чтобы интерполяции фЛ(х) и <pXi{x) сходились слабо в L2(Q) к ф(х) и -^-
§ 10] УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 371 соответственно (в частности, чтобы ||фл|| и Цфж|| были рав- равномерно ограниченными)*). Для ty(x) возьмем функции tyh так, чтобы tyh равнялись нулю на Sh и вне Q/, и чтобы tyh{x) сходились к гр(х) слабо в L2(Q). Функции же /д должны быть определены для х е 0% и t = tk, k = — , и при h и т->0 /д должны сходиться слабо в L2(QT_e), V6 > 0, к/(х, t) (тем самым сеточные нормы т/г" 2 2 /д (?) должны быть равномерно огра- ничейными) **). В качестве tyh и f& можно взять, напри- например, те же сеточные функции, что и в п. 3 § 9 для ф и / соответственно. Приближенные решения иА определим как сеточные функции, удовлетворяющие разностным уравнениям A0.5) в вершинах xh е пь на слоях tk, k= I, 2, ..., Л'. К ним добавим уравнения A0.6) в точках Xh s Qh и уравнения UA(k)\Sh = 0, k = 0, 1 N. . A0.8) Легко видеть, что эти уравнения определяют Ид одно- однозначно, причем вычисление Ид не требует решения ка- каких-либо алгебраических систем (т. е. эта схема —яв- —явная). Для Ид справедлива оценка г m-l т2 в которой с определяется постоянными v, ц, щ, Ц2 из условий A0.2), A0.3) и высотой Т, a m — любое нату- [Т Л "х — I + 2, если только -^ *) О построении таких фл см. конец § 4 данной главы. **) Как видно из дальнейшего, нам достаточно знать fA(k) лишь для je?!j, а'/д(^) в части точек Sh используется нами только для однотипности записи нормы ||f д||. В точках S/, можно, например, считать, что /д (k) равна нулю.
372 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI меньше Bцп)-'/* или (nv)V. Она и есть разностный аналог энергетического неравенства, о котором говори- говорилось выше. Из нее следует устойчивость изучаемой раз- разностной схемы и на ее основе доказывается сходимость Ид к решению и(х, t) задачи A0.7). Вывод A0.9) доволь- довольно сложный, и мы поясним его сначала на примере вол- волнового оператора. Итак, пусть u(x,t) есть решение задачи ди t=o и |s =0, A0.10) а Ид есть решение соответствующих ей разностных урав- уравнений t=x = 0. A0.11) Умножим обе части первого из уравнений A0.11), взя- взятого на слое th, на xhn(ut{k)-\- u}{k)), результат просум- просуммируем по всем узлам Q* и всем k от k = 1 до k = m и члены с Ux.it. преобразуем с помощью формулы B.11) «суммирования по частям», помня, что на Sh величина ut(k)-\- щ(к) равна нулю. Это даст равенство m т 2! а» 2 М Q h m Непосредственным подсчетом проверяется справедли- справедливость следующих равенств: т 2 utt (k) (ut (k) + щ Щ = х 2 {и] (k)\ = k—1 k=l A0.13)
§ 10] УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 373 где 6v{k) есть v{k + 1) — v{k), и 2iuXi (k) utXt (k) = иЦк+1)- u\{k) - Fux(k)f *). A0.15) Благодаря A0.13)—A0.15) соотношение A0.12) пре- преобразуется в равенство fe=I Сумму представим в виде /•2(т) = Ап2 2«*,(т+1К,(т) = Q = Л" 2. [*4(т + !)—¦«*,('" + 1)би^(т)], Q а ||бых(т)|| оценим, вспоминая определение симво- символов ( )х и б, так: щ (х, т + 1)]2У2 j ) ^[?)[. A0.17) Ввиду этого A0.18) *•) В связи с A0.14) и A0.15) см. B.7), B.8) данной главы.
374 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI В силу A0.18) из A0.16) следует неравенство При этих оценках мы представили /3A)=Л" 2 Wx(l)«x@) в виде || их @) ||2 + hn 2 би* @) • их @) и последний член оценили с помощью A0.17), взяв в A0.17) т = 0. Если т и h подчинены условию nj^l—e с каким-либо е<=@, 1), A0.20) то из A0.19) следует неравенство (/0 + ^д(т) max \и{Щ), A0.21) в котором т~^\, /о = Иф*1Р + ИАН2, (Ю.220 ¦"а
§ Ю] УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 375 Обозначим max max \\ux{k)\\ = y{m). A0.23) Для х(т) из A0.21) следует хЦт + 1) <2е-' [/0 + #~д (т)х(т + 1)] < < 2е"' [/0 + | х2 (т + 1) + е"'<Г2Д ( откуда ^(т +1Х48-Ч/0+e-'^l(m)]. (Ю.24) Из A0.24) и A0.21) получаем желаемую «энергетиче- «энергетическую» оценку 2е-« [/0 + $-А(т- 1Je-V. • //„ + е'^Цт - 1)] Замечание 10.1. Для задачи A0.10) в случае n= I устойчивость разностной схемы A0.11) имеет место при условии т/А ^ 1, несколько менее ограничительном, не- нежели условие A0.20). В этом можно убедиться, если в равенстве A0.16) соответствующим образом перегруп- перегруппировать сумму первых четырех членов левой части A0.16). Но мы этого делать здесь не будем, так как та- такая перегруппировка приводит к цели лишь для частных классов рассматриваемых в данном параграфе урав- уравнений. Докажем теперь A0.9) для общего случая, т. е. для решений Ид системы 2?AuA(k) = fA(k), A0.26) где 9?д определено в A0.5). Так же, как и в случае системы A0.11), умножим A0.26) на xhn(ut{k)-\-u^kj
376 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI результат просуммируем по всем узлам Q+ и k от k=l до k = tn и в двух главных членах проведем преобразования вида A0.13) и A0.12): + (а. (Л) и^ (Л) + а (Л) иА Щ (и, (Л) + и, (Л))] = Сумму т h И = т 2 «г/ (*) «Ж/ (А) ( преобразуем следующим образом: Л (т) = | аг/ (Л)Иж (Л) [и,. (Л + 1) - иж, (А - 1)] = ' 2 ц [) {+) {)l (+) (+) их (т) — k=i - ' ; * ; k=l
« 10] УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 377 Благодаря этому равенство A0.28) примет вид „+ — \at (k) ux {k) + a (k) ид (&I [ut {k) + Щ (&)] \ + /д Выражение /2 (m) = a (m + 1) и (m + l) и (т) представим в виде суммы 12(т) = аИ(т+ 1) и (m + 1)и (m+ 1) — — an (m + 1) иХ} (т -(- 1) 6иХ{ (т). Ниже, в замечании 10.2 при выводе неравенства A0.50), нам потребуется другое представление для /г(т), а,именно: к {т) = т \аа (т + 1) ux, (tn + 1) ux. (tn + 1) + tn) uXl (m) uXj {tn) — an {tn + 1) би^ {tn) buX{ {tn) + x(m)ux,{m)}. A0.30) Но пока вернемся к равенству A0.29). Входящие в него члены /4 (т)=-т 13 О- А. Ладыженская
378 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. УГ оценим, используя предположения A0.3), следующим образом: т I /з («) | < ц2т 2 hn 2 | иx(k + 1) 11 их (А) | < m А=1 < Ц.Т 2 (|| и, (А) || +1 «л (А) 1) A и, (А) || +1|«, (А) 1), 2 а последний член в A0.30) h (m) = т | Л" 2 /д (A) [ut (A) + и, (А)] оценим так: к—1 (Ю.32) Наконец, оценим А" 2 /2 (m) снизу, используя предпо- ложения A0.2), A0.3) и A0.17): hn 2 /2 (m) > v ||И;е (m + 1) ||2 - |ij| их (т + 1) |||| 6их (т) \\> A0.33)
¦§10] УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО'ТИПА Из A0.31)-A0.33) следует 379 n 2 /з @) + т 1) Ш1 и* ¦m+1 m+1 k=l Если т и А подчинить условию - 00.34) A0.35) где в —какое-либо из @, 1), то левая часть A0.34) будет не меньше, чем г\щ{т + 1)|2 + ev||«A.(m + 1)|2, и потому m+1 ft—I m+1 кЩ где m A0.37) 13*
380 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Из очевидного равенства [ГЛ. VI получим следующие оценки для || ид {К) |[: \Щ(Of (Ю.38) |ид (*)f < 21|ид @)|f + 2Ь2 S ||Щ (I)|f. A0.39) Подставим A0.39) в правую часть A0.36) и оценим ее так: е-'[2ц || Фх |р + 2 m+l m+1 k=i - (Ю.40) Введем обозначения: max \и~{Щ-=х{т), v max \ux{k)\ = y{tn), + Ц2) v-1 = с„ 2 (ттJ Ц! + 2ц! = с2 (m), A0.41) Так как A0.40) справедливо для любых т, начиная
§ Ю] УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 381 с т = 0, то из A0.40) следует: + с2(т)(т + 1)<м*(/и + 1)г/2(/и + 1)+ в^ («)}. A0.42) Для т, удовлетворяющих условию тах{2в-1с,т(/п+1); j + 2е-1с2(т)т(/и+ 1)}<-у« A0.43) из A0.42) получаем оценку х2 (ш + 1) + / (т +1) < 4в-' [с (т) + 88-'^2д (го)], A0.44) а отсюда и неравенства A0.39) выводим оценку A0.45) где г(т)= max ||ид(?)||. A0.46) Оценка A0.45) выведена для т, удовлетворяющих усло- условию A0.43), в котором Ci и с2(т) зависят только от v, Hi, цг ,и тт. От начальных данных ф и ty в правую часть A0.45) входят те же самые нормы, которые стоят в левой части A0.45), т. е. от ср —и|г=о — величина 11фл112 + Нфх112, а от -ф = M(|t=s0 — величина ||фл1|. Благо- Благодаря этому, если mi есть наибольшее т, для которого выполнено неравенство A0.43) и для которого, тем са- самым, справедлива оценка A0.45), и если t(mi + 1)<Г, то уровень ^i = mix можно взять за начальный и, от- отправляясь от него, вывести неравенство A0.45) для уровня t2 ^ min {Bmi + 1)т; Т). Если t2 окажется мень- меньшим Т, то можно от tz — x — 2mxx подняться на высоту (mi + 1)т, и так, пока не исчерпаем всего Г. Ясно, что
382 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI за конечное число шагов, удовлетворяющих условию A0.43), мы исчерпаем всё Т и придем к оценке max \\ul{kW + max \\u(kJ + max | uAk) IP < КК (тт; е) [| ^й f + || фх J2 + || Ф, ||2 + [| /д || ь Qд], A0.47) Т справедливой для всех т^—|- 1.В ней с(тх; е) зави- зависит только от v, (х, (хь (хг. tnx и е из условия A0.35). Не- Неравенство A0.47) есть разностный аналог энергетиче- энергетического неравенства. Оно гарантирует устойчивость рас- рассматриваемой разностной схемы (в тех нормах, которые в него входят). С его помощью устанавливается и схо- сходимость решений Ид разностных уравнений A0.5), A0.6), A0.8) к решению задачи A0.1), A0.4). Это можно сде- сделать так же, как и в § 7 для эллиптических уравнений, причем для этого вместо A0.47) достаточно иметь не- неравенство: h (Ю.48) являющееся следствием неравенства A0.47). Мы не бу- будем проводить подробно это рассуждение, ибо оно ни- ничем принципиально не отличается от соответствующих рассуждений из предыдущих параграфов. Опишем лишь основные его этапы и получаемые результаты. Из A0.48) выводится равномерная ограниченность норм в WHQj.), (а потому и слабая компактность в W^(Qr)) непрерывных полилинейных восполнений Мд решений ид систем A0.5), A0.6), A0.8) при любых Них, если только т/А подчиняется условию A0.35). Далее доказы- доказывается, что если какая-либо подпоследовательность из [Мд] слабо сходится в Wl2(QT) к некоторой функции u(x,t), то u(x,t) есть об. решение задачи A0.7) из класса Wl(QTy Из этих двух фактов и теоремы един- единственности 3.1 (если, конечно, выполнены ее условия)
§ Ш] УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 383 следует, что вся последовательность {мд} сходится слабо в Wl2(QT} (и сильно в L^Qj.)) к решению и{х, t). При этом рассуждении мы одновременно с вычислением при- приближенных решений задачи A0.7) доказываем и теорему существования об. решения из Wl2(QT). Замечание 10.2. Оценку вида A0.47) можно полу- получить и при несколько ином, чем A0.35), условии на x/h, а именно при условии Vr2juij=l—в, A0.49) где е —какое-либо из @, 1). Для этого надо оценить A" V/3(m) снизу, исходя из представления A0.30) для /2 (т) , так: . A0.50) Метод конечных разностей позволяет проследить за увеличением гладкости обобщенных решений из Wl2(QT) задачи A0.7) по мере увеличения гладкости всех данных задачи и увеличения порядка их согласования. Это до- довольно кропотливо технически, но прозрачно в идейном отношении. Такое исследование было проведено мною и изложено в книге [12г]. Оно позволило выяснить те истин- истинные связи, которые имеют место в задаче A0.7) между гладкостью данных и гладкостью решения. Кстати от- отметим, что этот путь был первым, с помощью которого удалось исследовать разрешимость задачи (Ш-?) в раз- различных функциональных пространствах при разумных предположениях о данных задачи. Он же (т. е. метод конечных.разностей) дает и сравнительно простой спо- способ фактического вычисления решения на конечном ин- интервале времени. Он применим и для определения решений начально-' краевых задач при других классических краевых уело-
384 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI виях. Более того, без каких-либо существенных измене- изменений с его помощью исследуются так называемые сильно гиперболические системы. Такими системами мы на- назвали системы вида в которых & есть сильно эллиптический оператор с сим- симметрической главной частью. К ним относится ряд важ- важных систем математической физики, например, система динамической теории упругости. Некоторые из этих си- систем мы рассмотрим в § 11. Для задачи A0.7) нами была построена и неявная разностная схема, сходящаяся при любых соотношениях между шагами по х и t. Ее частным случаем является схема F.99) при у = 1/2, рассмотренная в п. 3 § 6. Эта схема пригодна не только для уравнений A0.7), но и для самых общих гиперболических уравнений, содержа- содержащих члены вида -^х ¦ • Приведем ее для задачи u\St=o, «U=<pW, f м-*D (Ю.52) Введем обозначения: Уравнение A0.51) заменяется на следующее: п „ л „ Д2« V1 А2И . It i —' -г* t, /= n = f4- (Ю-53)
§ 11] СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ, СИСТЕМЫ, ДИФРАКЦИЯ 385 Оно должно выполняться для х е Qh и t = 4, k = 1, ... ..., N. К нему присоединяются условия A0.27). Дока- Доказано, что эта схема устойчива (и следовательно, в пре- пределе приводит к решению задачи A0.51), A0.52)) при любой величине отношения jj- (Ax,- можно, как и всюду, брать разными). Для ее решений ил справедливо неравенство вида A0.47), причем выводится оно много проще, чем неравенство A0.47) для схемы A0.26), A0.27). Заметим, что для задачи A0.51), A0.52) схема A0.26), A0.27) дает расходящийся процесс при любой величине отношения-д—= const (если, конечно, а0гф0). § 11. Сильная сходимость, системы, задачи дифракции 1. О сильной сходимости. В данной главе при пре- предельных переходах от решений ид разностных уравнений к решениям той или иной краевой задачи мы ограничи- ограничились доказательством слабой сходимости в энергетиче- энергетических нормах. Так, например, в § 7 для задачи Дирихле G.1) было доказано, что интерполяции и'А(х) сходятся сильно в ?г(й) к решению и(х), а их производные ~—— сходятся слабо в L2{Q) к -з—. Покажем, как oxt ох{ можно при тех же предположениях о данных задачи до-* казать сильную сходимость в ?г(О)ьЦ к -^-. Делается это принципиально так же, как в методе Галеркина (см. конец § 8 гл. II). А именно, возьмем решение и(х)\ задачи G.1). Так как оно есть элементЩ(&), a u°(Q) плотно в №г(й)| то существует последовательность функций ит(х) из С°°(Й), т=\, 2, ..., для которой' II "т — и к а +1 Чг ~ 1712 а ^ ~k ' ПусТь пРиблиЖенныв решения uh вычислены для сеток Q& с h =» (ftj, ... ,• hn) —* —>О. Будем ради несущественных упрощений в записи считать, что элементарные ячейки а(щ имеют одинако- одинаковые длины ребер: hi = ... = hn = h, а индекс «k» у И использовать для обозначения номера сетки Одй в по-:
386 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ' [ГЛ. Vr следовательности сгущающихся сеток {Qhk}, так что при &->оо шаг сетки hk, убывая, стремится к нулю. Для ка- каждой функции ит{х), продолженной нулем вне Q, сеточ- сеточная функция Uhk, равная ей в точках сетки с шагом hk, при hk, не превосходящих некоторого h(tn), обращается б нуль на Shk и вне Qv и \\ит - йЦ q + <1— . В силу неравенства треугольника !J2i Q ttl l для Возьмем интегральные тождества, которым удовлетво- удовлетворяют и(х) и uh\ Ж (и, r\) = g(u, r\)-T(ft, f, т)) = 0, A1.2) где И Mh("а» На) = 2н(«л. %) — ^а(/*» /. Ла) = 0, A1.3) где 5a(«a. %) = Г (aijuhxr\hx — a{uhxr\h — auhr[h)dx, Q Из A1.1)—A1.3) и наших предположений о данных за- задачи, указанных в § 7, следует: ^ при *) Здесь и ниже мы пишем значок «/» у uhx , чтобы подчерк- подчеркнуть, для какого шага вычислены иХ1. Выше мы его опускали.
§¦11] СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ, СИСТЕМЫ, ДИФРАКЦИЯ 387 Подсчитаем, используя A1.3) и считая hk^.h(m), выра- выражение = *ч (V \) ~ *»> (V ич) ~ *ч № \) ¦+ **ш (и V J ^ [в ?а - а*"ля?* В силу предположения G.2), а также A1.4) и свойств а{, fi и /, из A1.5) получим Via.q 11 нь hkh,v ¦Ml V Vlb,qII лйIb,q При этом мы использовали неравенство C.19) и рав- равномерную ограниченность \п™ А и IIй^ I. Неравенство A1.6) выведено для всех т = 1, 2, ... и всех hk^.h(m). Из него и A1.1) видно, что¦uhkxi сходятся в L2(Q) к -?-. 2. Сильно эллиптические системы. Эти системы были рассмотрены в § 1 гл. V. Здесь мы ограничимся систе- системами второго порядка ?) % А,-/ь<н.т) k, 1= 1, ..., N, I, /=1, ..., п,
388 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI причем предположим, что для них выполнено неравен- неравенство П N a!/Y/Mft>V2S Y?*. v = const > 0, af, = a« A1.8) при любых вещественных у«ь- Условие A1.8) является более ограничительным, чем условие A.4) гл. V сильной эллиптичности. Оно существенно облегчает доказатель- доказательство устойчивости разностной схемы, которую мы ис- используем для нахождения решения и = (ии .... ил-) системы A1.7), удовлетворяющего краевому условию »ls = 0. A1.9) Эта схема приводит к решению задачи A1.7), A1.9) и в общем случае, когда условие A1.8) заменено условием A.4) гл. V. Однако доказательство этого факта довольно длинное, и мы его излагать здесь не будем. Напротив, распространение следующих ниже рассуждений на слу- случай систем любого порядка 2т (к которым, в частности, относится общее эллиптическое уравнение порядка 2т) не представляет труда; Разобьем всё пространство Rn изменения х гипер- гиперплоскостями Х{ = kihi, hi >• 0, ki = 0, ±1, ±2, ..., и воспользуемся введенными выше обозначениями точеч- точечных множеств Qft, йл, Sh, &t. Систему A1.7) заменим системой разностных уравнений = /*„, (П.10) которая должна выполняться во всех вершинах Ол, а краевое условие — равенствами «;JSft = 0. ' A1.11) Сеточные функции afjh, ..., fkh построены по aft, ..., fk по тому же правилу, что и в § 7. К условию A1.8) добавим предположение • ^ п n i S g Y?*. v, > 0. A1.12)
§ li] СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ. СИСТЕМЫ. ДИФРАКЦИЯ 389 Неравенство A1.12) должно выполняться для всех ве- вещественных yik, i = 0, ..., п, k=l, ..., N. Оно га- гарантирует теорему единственности для задачи A1.7), A1.9). Кроме того, как и всюду, коэффициенты A1.7) считаем ограниченными функциями, a fel2(Q). Пока- Покажем однозначную разрешимость системы A1.10), A1.11). Для этого умножим A1.10) на Ukh и результат просумми- просуммируем по k от 1 до N и по всем точкам Ол (или, что то же, по всем точкам йл, считая Ukh продолженными нулем вне Qft). После этого воспользуемся формулой B.11) для преобразования главных членов. Это даст равен- равенство . ДЛ S [а^и^и - Ь\[и иш - с* V*/J = - Aft S fkh4h. A1.13) Из него и предположения A1.12) следует S (ukXif < - АЛ S fkflukh. A1.14) Ч '" -А Если система A1.10) однородна, т. е. fhh — 0, то, как видно из A1.14), Ukxt = 0 для всех k и »', а отсюда и A1.11) вытекает, что единственным решением «ьь такой системы является инн = 0. Тем самым доказано, что си- система A1.10), A1.11) однозначно разрешима при любых fuii. Более того, из A1.14) и неравенства C.19), справед- справедливого для любой функции ukh, следует оценка N Г п 1 ' N с постоянной с, не зависящей от h, которая гарантирует устойчивость разностной схемы в «энергетической» нор- норме. На ее основе сходимость икн к решению иь задачи A1.7), (П.9) доказывается так же, как это было сделано в § 7 для случая одного уравнения 3. Уравнения теории упругости. Рассмотрим задачу о равновесии изотропного упругого тела при условиях жесткого закрепления, т. е. задачу об определении век-
390 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI тора и = («1, «г, «з) упругих смещений, как решения си-' стемы ^^=-М*)> ' = 1»2,3, A1.16) fe k=l удовлетворяющего краевым условиям «|s = 0. A1.17) Напомним (см. § 1 гл. V), что з xik (и) = 2]i ¦ еik (и) + д$к 2 е„ («), tik («) = i=i A1.18) а Я и ^ — положительные постоянные. Пусть /e() a Q — ограниченная область R$. Сопоставим задаче A1.16), A1.17) разностную схему ^ш{Ч\ = ~!ш '¦ 01.19) в которой т*. (ил) связаны с е^(ил) равенствами A1.18), f lh строятся по f{ так же, как в § 7, а г\к (ил) = у ^«, + ukx \ Уравнения A1.19) должны выполняться во всех точ- точках QA, а в точках Sh иА|5й = 0. A1.20) Для доказательства однозначной разрешимости си- системы A1.19), A1.20) и устойчивости взятой схемы умножим A1.19) на Щи и полученные равенства просум- просуммируем по / от 1 до 3 и по всем точкам Qft *). После *) Здесь, как и во всех рассмотренных нами задачах с первым краевым условием, удобно функции «(л считать доопределенными нулем вне Пл и все суммы Дл2] записывать как суммы по точ- точкам Пл.
§11] СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ, СИСТЕМЫ, ДИФРАКЦИЯ 391 этого, используя формулу B.11), преобразуем результи- результирующее равенство к виду А»?^(в^„=Д»2^й. A1.21) Так как хн[к и гн.к не меняются от перестановки индек- индексов i и k, соотношение A1.21) можно переписать так: ^S^K)eLW = \2UT (П.22) uh Qh В силу положительности констант ц и Я, левая часть A1.22) неотрицательна: А К) < Ы=2^ ,|, 04 К)J + «¦ (|»« К)J -.A1 -23) Покажем, что она эквивалентна величине (ЦидЦ,1^ ]2. Для этого снова воспользуемся формулой B.11) сумми- суммирования по частям, считая ukh распространенными ну- нулем вне Qh- Благодаря ей t.k й* '¦* Из A1.22) —A1.24) и A1.20) следует, что однородная система A1.19), A1.20) имеет только нулевое решение, а потому неоднородная система A1.19), A1.20) одно- однозначно разрешима при любых fih. Кроме того, из этих
392 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VT же соотношений и неравенства C.19) гл. VI вытекает оценка ЛА21«А|ЧИ«*112 5,,<сШ2а;<С1, (П-25) йй н - н гарантирующая устойчивость схемы A1.19), A1.20) и позволяющая доказать, что йл дают в пределе при /г,- -> 0 решение и задачи A1.16), A1.17). Другие краевые задачи для A1.16) могут быть ис- исследованы в таком же духе. Но для них значительно сложнее вывод неравенства A1.24) (см. [30]). Рассу- Рассуждения данного пункта легко обобщаются на случай анизотропных сред, причем их коэффициенты могут иметь разрывы первого рода. В частности, коэффициен- коэффициенты Я и (х в A1.18) могут быть произвольными положи- положительными кусочно-постоянными функциями xeQ. 4. О нестационарных краевых задачах для систем па- параболического и гиперболического типов. Классические начально-краевые задачи для так называемых сильно параболических систем исследуются с помощью метода конечных разностей, в основном так же, как это было сделано для одного параболического уравнения в § 9. Такие системы имеют вид ¦^-<?« = /, A1.26) где 3? — сильно эллиптический оператор (см. § 2 гл. V). Исследования § 10, относящиеся к одному гипербо- гиперболическому уравнению второго порядка, без каких-либо принципиальных изменений обобщаются на так назы- называемые сильно гиперболические системы. Эти системы имеют вид ^-<?u=>f, A1.27) где 9? — сильно эллиптический оператор с симметриче- симметрической главной частью (см. § 2 гл. V). К ним относится, например, система динамической теории упругости. 5. Уравнения типа Шредингера. Такие уравнения (или системы) имеют вид 4 A1.28)
§ 11] СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ, СИСТЕМЫ, ДИФРАКЦИЯ 393 где &{i)—семейство симметрических операторов, за- зависящих от параметра t, a /«=¦]/' —1 .Изложим лишь об- общий план их исследования с помощью метода конечных. разностей, не конкретизируя вид оператора 2?. Обозна- Обозначим через Я комплексное гильбертово пространство, в котором действуют &{t). Предположим, что при любом / (из того интервала оси /, который нас интересует) опе- оператор 2?{t) является самосопряженным, и область его определения 2D {&) не зависит от /. Рассмотрим для A1.28) задачу Коши, причем ради экономии места бу- будем считать f sa 0. Итак, пусть требуется найти при / ^ 0 функцию u{t) со значениями в Н, которая удовлетворяет уравнениям g, «lw=f A1.29) Возьмем для A1.29) разностную схему A1.30) Уравнения A1.30) должны выполняться в точках / = x=tk = kh, k = 0, I, ... Они однозначно определяют Uh в этих точках сетки, ибо из A1.30) имеем , , k=*0,1, ..., и в силу самосопряженности 3? (t) оператор Е — 4-2? (tk) имеет ограниченный обратный, так что , )). A1.31) Схема A1.30) сохраняет главное свойство уравнения A1.29): норма его решений ||ыB)И не зависит от t. Спра- Справедливость этого для Uh {tk) видна из A1.31): оператор (Е - ~ 2? (/*))"' (е + 4 % (tk))«- A (tk) является преоб- разованием Кэлн самосопряженного оператора 3?Цъ) и потому изометричен на &){&), т. е. (АD)v, A(tk)w) =». = (у,да) для Уу и w из 2)(&). Если ipe^fS1), то ра- *) Здесь Е — единичный оператор в Н.
394" МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 1ГЛ. VI: венства A1.31) определяют «aD+i) при всех k = 0, 1, .^. и Uh(tk+t) ^2){2S). Если же ф есть произвольный эле- элемент Я, то формулу A1.31) надо заменить формулой uh(tk+1) = A(tk)uh(tk), A1.32) где A{th) есть изометрическое расширение оператора A (th) на всё Я. В любом из этих случаев мы имеем ра- равенство (П-33) которое показывает устойчивость разностной схемы A1.30) в норме Я. Пользуясь этим соотношением, можно ¦выполнить предельный переход по Л->0 и доказать су- существование у задачи A1.29) по крайней мере одного обобщенного решения u(t) из пространства #1 = ЯХ Х[0, Т]. Под пространством Hi понимается гильбертово пространство, элементами которого являются функции v(t). со значениями из Я, определенные и измеримые на отрезке t е [0, 7] и имеющие конечную норму При некоторых предположениях о гладкости ??(/), как функции t, устанавливается единственность таких реше- решений у задачи A1.29) ([127,s])- Делается это примерно так же, как в § 2 гл. III для параболических уравнений и в § 6 гл. IV для гиперболических уравнений. Метод ко- конечных разностей позволяет проследить и за тем, как улучшаются свойства об. решений задачи A1.29) в связи с улучшением ф и гладкости 3?(t) no t (делается это по том^же плану, который описан в конце § 4 гл. IV). Для абстрактных уравнений A1.29), когда пространство Я и оператор 2'(t) не конкретизированы, «улучшение» надо понимать как принадлежность <р к 3){А) или к 2)(Аа) с каким-либо а. В рассмотренной нами схеме A1.30) аппроксимиро- аппроксимирована только производная по t. Вместе с нею можно ап- аппроксимировать и 2?{t) в A1.30), но так, чтобы прибли- приближения S'ltit) были самосопряженными операторами в тех пространствах, в которых они определяются. Если Я есть
§ 12] АППРОКСИМАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 395 функциональное пространство с элементами и(х), а S(t) — симметричный дифференциальный оператор, со- содержащий всевозможные производные по xi и имеющий коэффициенты, зависящие от (х, t), то в качестве 3?h{t) можно взять какие-либо симметричные разностные опе- операторы, аппроксимирующие S'(/) и действующие на се- сеточные функции, подчиненные краевым условиям, со- соответствующим краевым условиям задачи. 6. О задачах дифракции. В § 4 гл. V мы показали, что задачи дифракции допускают включение в класс задач, рассмотренных в главах II—IV. В частности, для их решения могут быть использованы разностные схемы, исследованные в данной главе. Надо только иметь в виду, что при наличии двух или более разных сред коэф- коэффициенты в интегральных тождествах, соответствующих таким задачам, будут иметь разрывы по крайней мере на границах раздела этих сред, и потому кусочно-постоян- кусочно-постоянные интерполяции соответствующих им сеточных функ- функций (они должны быть равномерно ограниченными функциями) будут сходиться к ним не равномерно, а лишь почти всюду. Но такой сходимости достаточно для возможности предельного перехода по /i?->0 (см. [125|ю] и др.). Для отдельных классов задач дифракционного типа проведен более детальный анализ возможностей конеч- конечно-разностного метода. Так, в работах А. Н. Тихонова и А. А. Самарского (см. о них в [21]) построены для одномерных параболических уравнений с разрывными коэффициентами так называемые схемы повышенной точности, позволяющие добиться некоторого улучшения сходимости иА к и. § 12. Аппроксимационные методы Желание увязать метод Галеркина с методом конеч- конечных разностей привело к более общей концепции, вклю- включающей в себя оба эти метода как некоторые частные ее реализации. Это оказалось возможным опять-таки благодаря неклассической трактовке краевых задач, сво- сводящей решение этих задач к определению функций, удовлетворяющих соответствующему интегральному
396 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. Vt тождеству и принадлежащих определенному функцио- функциональному пространству. Покажем, как создавалась эта более общая концепция, на примере задачи Aa = f(x), «|s = 0. A2.1) Её обобщенное решение и(х) из класса W\(Q) должно о . быть элементом W2(Q), удовлетворяющим интегральному тождеству О ' l [и, til— f^-.-g-rfx ff.tirfx —— (/, n)A2.2) при яМ() В методе Галеркина (в его первоначальной форме, идущей от работ Галеркина) берется последовательность конечномерных пространств 2RN (N — размерность %RN), аппроксимирующих п*ространство Щ(&), в котором рас- рассматривается тождество A2.2). Эти пространства 9RN являются подпространствами Wl(Q), причем 3RNc3RN+i. В каждом из 9RN ищется функция uN, удовлетворяющая тождеству A2.2), в котором т| (л:) есть произвольный элемент Шы. Для ее определения вводится в 2ftn базис {ср*}, k = N = 1, ..., N, и uN ищется в виде uN(x) = 2S с%6 {х). То- ждества A2.2) дают для определения коэффициентов eg, k==l, ..., УУ.систему Л' линейных алгебраических уравнений, из которых и находятся с?. Из рассуждений1 § 8 гл. II, относящихся к исследованию метода Галерки- Галеркина, легко усмотреть, что требование включения *BlN в 2ftw+i можно отбросить. Действительно, в первой части этих рассуждений, где доказывается однозначная раз- разрешимость систем^ определяющих cNk, и дается оценка норм|| и^ Hj'q, оно не используется. Во вторую же часть, где осуществляется предельный переход по N~*oo, надо внести лишь следующее видоизменение. Пусть последо- последовательность [uNk] сходится слабо в Wl2(Q) к и(х) (т. е.
§ 12] АППРОКСИМАЦИОННЫЁ МЕТОДЫ 397 uNk и. сходятся слабо в L2{Q) к и и -g— соответствен- О | но). Возьмем произвольный элемент т](л;)из Щ (Q) и по- последовательность (п^*}, сходящуюся к т) сильно bW72(Q) и такую, что rfk e 2Kjvft при всех /г. Это возможно, ибо о . по предположению {Зйд^} аппроксимируют W^Q) в нор- норме Щ(п). Для пары ы^* и y\Nk справедливо равенство A2.2). Переходя в нем к пределу по к-*оо, получим A2.2) для и и т|. Таким образом, мы показали, что усло- условие: №n czTIn+i можно отбросить. В пределах же каж- каждого WlN базис {ерь}, k— l,...,N, можно выбирать про- произвольно: функция uN(x) от него не зависит (ибо, как легко видеть, существует лишь одна функция в ЗЙдг, для которой выполняется тождество A2.2) при любой г\ из $Rn). Это замечание позволяет построить конечномерные аппроксимации задачи A2.1), которые естественно клас- классифицировать как аппроксимации конечно-разностного типа. В них приближенные решения и/, определяются их значениями в вершинах сеток Q/,, причем сами «л вычис- вычисляются как решения линейных алгебраических систем, связывающих между собою значения ил лишь в несколь- нескольких соседних точках. Такие аппроксимации для задачи A2.2) строятся следующим образом: берутся клеточные разбиения пространства Rn и Соответствующие им сетки й/, (напомним, что замкнутая область QhCzQ). Каждой сеточной функции щ, определенной на вершинах Qh и равной нулю на S/,, ставится в соответствие какая-либо о . интерполяция, принадлежащая пространству ^г(й). Из интерполяций, определенных мною в § 3 данной главы, этим свойством обладает интерполяция v\'h{x). Рассмот- Рассмотрим, для определенности, ее. В качества Шн возьмем совокупность всех таких интерполяций r{h{x). Размер- Размерность ЗйЛ равна числу вершин, принадлежащих сетке Qh. Множества Шк <„,>, h (m)-»-0, могут быть рассмотрены как конечномерные подпространства пространства W\{Q). Они аппроксимируют №2(Q) в норме этого простран-
398 метод конечных разностей (гл. vt о, . • ства. Действительно, в №г(?1) плотны функции изС°°(О) и каждую функцию х\(х) из С°°(Q) можно приблизить о . в норме IF2 (Q) функциями r^(jc) из 3Rh, беря за % (при достаточно малых К) значения г\(х) в вершинах сетки Qh. Приближенные решения u'h{x) определяются из тождества в котором y\'h есть произвольный элемент Зй/,. В качестве базиса в Шп можно взять совокупность функций, каждая из которых есть интерполяция вида ( )'h сеточной функ- функции, равной единице в какой-либо вершине из Q/, и нулю в остальных вершинах Uh. Обозначим эти функции так: {<Pjift(«)], где (kh) есть координата той вершины й/,, в которой сеточная функция щ, h равна единице (в осталь- остальных вершинах uh функция ф^ равна нулю). Сеточная функция Uh, соответствующая искомому решению u'h(x), может быть представлена как сумма 2 uh(kh) • фг> h, (kh)Q h в которой через Uh{kh) обозначено значение uh в вер- вершине х = kh. Если в A2.3) подставить вместо u'h(x) сумму 2 "Л^Фг. *» а в качестве ц' {х) взять одну л из функций <р? л(х), то A2.3) после взятия всех входя- входящих в него интегралов окажется линейной алгебраиче- алгебраической системой, связывающей между собою значение Uh(koh) и значения uh(kh) в тех точках {kh), которые являются вершинами ячеек ©(Ли), имеющими точку (koh) в качестве одной из своих вершин. Все эти системы (их число, очевидно, равно числу вершин сетки Q/,) вме- вместе с равенствами uh \Sfi = 0 определят разностную схему. Ее однозначная разрешимость, а также устойчивость и сходимость (точнее, сходимость u'h{x) к и(х)\ вытекают из того, что сказано по поводу расширенного толкования метода Галеркина, описанного выше.
§ 12] АППРОКСИМАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 399 Если интерполяцию ( )'h заменить какой-либо дру- другой допустимой интерполяцией сеточных функций (т. е. такой, которая по сеточной функции щ дает элемент из W2 (Q)), то мы придем к другой сходящейся разностной схеме для задачи A2.1). Например, для двумерных за- задач (т. е. для п = 2) удобно использовать вместо y\'h (х) другую интерполяцию щ. А именно, каждую из ячеек cu(Wl) разобьем прямой х2 = -^- (*, — ?,/*,) + k2h2 на рав- равные треугольники и в каждом из них интерполируем щ линейной функцией. В результате сеточной функции щ, равной нулю на S/,, сопоставится непрерывная, кусочно- линейная функция f\h{x), равная нулю вне ЙЛ. Такие о интерполяции г\ь{х) принадлежат W2(Q). Если исполь- использовать их вместо T)'VW, то A2.3) приведет к простейшей разностной схеме их . —fh, uh\s =0. Это обстоятельство впервые было отмечено Р. Курантом [7i]*). H. А. Стрел- Стрелковым в работе «Симплициальные распространения сеточных функций и их применения для решения задач математической физики» (Ж. вычисл. матем. и матем. фи- физики, 11, 4 A971), 969—981) этот результат был обоб- обобщен на случай любого п > 2 (т. е. построены такие ку- кусочно-линейные симплициальные аппроксимации г\ь(х), которые для задачи A2.1) приводят к разностной схеме *) Более того, в [7iJ P. Курант высказывает идеи, близкие к тем, которые описаны выше. Однако долгое время они не были известны и не находили воплощения в строго математических иссле- исследованиях. Фактически же те или иные их реализации (называемые нередко «методом конечных элементов») появлялись в различных работах инженерного типа (без каких-либо теоретических оправда- оправданий). По-видимому, первой после [7,] работой, в которой разност- разностные уравнения возникли как уравнения Эйлера при решении одной вариационной задачи по методу Ритца, была работа [16i] 1963 г. Л. А. Оганесяна. В ней автор провел строгое исследование задачи Неймана для бигармонического уравнения. С этого времени начали появляться работы математиков, в которых анализируются и исполь- используются связи различных приближенных методов применительно к уравнениям эллиптического типа (см. [162,3] [9], {2], [6], книгу Е. Г. Дьяконова «Разностные методы решения краевых задач», ч. I, изд-во МГУ, 1971).
400 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. VI 2 их% — fA> uu\ —О)- Мы не будем приводить других реализаций описанного нами способа построения раз- разностных схем, отметим лишь, что он применим ко всем краевым и начально-краевым задачам, рассмотренным в данной книге. В ряде работ (см. ? 161_3] и др.) его на- называют вариационно-разностным. Нам кажется, что луч- лучше его назвать проекционно-разностным, ибо описанный способ охватывает не только те задачи, которые ре- решаются с помощью прямых методов вариационного ис- исчисления, но и все те задачи, к которым применим ме- метод Галеркина в различных его вариантах. Для уравнений с переменными коэффициентами раз- разностные схемы, получаемые этим методом, оказываются обычно сложнее тех, которые рассмотрены в §§ 7—10. Посмотрим, чем отличаются приближения, которые строятся с помощью разностных схем §§ 7—10 (назо- (назовем эти схемы классическими), от приближений, возни- возникающих в разных реализациях только что описанного проекционно-разностного метода. Возьмем для примера задачу G.1) и соответствующую ей разностную схему G.8), G.9), или, что то же, схему, определяемую тож- тождеством | (а{}пХ}цХ1 — biuXjx\h — auhr\h) dx = — J fr\h dx, A2.4) a a в котором u/i есть искомая, а т|л — произвольная сеточ- сеточная функция на Qh, удовлетворяющие условию и*ЬА«=0, %lsft = 0 ' A2.5) '(см. G.5), G.6)). Для этой задачи G.1) одной из реали- реализаций проекционно-разностного метода будет следую- следующая: приближенное решение v'h, являющееся интерпо- интерполяцией вида ( )'h сеточной функции vh, определяется то- тождеством b< -щ- < ~ «) **—[Я dx> A2-6) в котором y\'h есть интерполяция вида ( )'h от про- произвольной сеточной функции щ, удовлетворяющей
§ 12] АППРОКСИМАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 401 условию A2.5). Искомая функция v'h также обращается в нуль на границе Sh, так что Существенное отличие приближений йЛ, получаемых по схеме A2.4), A2.5), от приближений v'h, получаемых по схеме A2.6), A2.7), состоит в том, что v'h принадлежит пространству W\(u), которому принадлежит решение и(х) задачи G.1), а йЛ не принадлежит ему, и, более того, йХ{(х) не являются производными от «й (х). Таким образом, в схеме A2.4), A2.5) мы выходим за границы пространства JF2(Q)h аппроксимируем его эле* менты и(х) и их градиенты -?-—[-5— ~д~~) КУСОЧНО* постоянными функциями пн{х) и йх{х) — (йХ1{х), ... ..., пХп(х)) так, что uh{x) и пх{х) сходятся в Ь2(п)' (сильно или слабо) к и(х) и -р соответственно. (Как было отмечено в §§ 7—10, производные -^Д- можно за"* менять различными разностными отношениями, точнее, их кусочно-постоянными восполнениями, лишь бы была уверенность, что они действительно аппроксимируют эти производные.) Итак, метод конечных разностей в его классической форме (например, в форме A2.4), A2.5)) не включается как частный случай в метод Галеркина даже в расширенном толковании последнего, описанном в этом параграфе. Но его исследование, приведенное в § 7, нетрудно за- аксиоматизировать, переводя на язык теории операторов, и дать тем самым приближенный метод решения опера- операторных уравнений Аи = / в гильбертовом (или банахо- банаховом) пространстве, отличный от того, что называется методом Галеркина для таких уравнений (см. в связи с этим работу [6]).
ЛИТЕРАТУРА 1. Акилов Г. П. и Канторович Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах, Физ- матгиз, М., 1959. 2. Бернштейн С. Н. 1) Исследование и интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка эллиптического типа, Харьков, 1908. 2) Собрание сочинений, том III, Изд-во АН СССР, М., 1960. 3. Б ы х о в с к и й Э. Б. Решение смешанной задачи для системы уравнений Максвелла в случае идеально проводящей границы, Вестн. ЛГУ, № 13 A957), 50—66. 4. В и ш и к М. И. 1) О сильно эллиптических системах дифференциальных уравне- уравнений, Матем. сб. 29, № 3 A951), 615—676. 2) Задача Коши для уравнений с операторными коэффициен- коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных .уравнений и приближенный метод их решения, Матем. сб. 39, № 1 A956), 51—148. ВишикМ. И. и Ладыженская О. А. 3) Краевые задачи для уравнений в частных производных и не- некоторых классов операторных уравнений, УМН 11, 6 A956), 41—97. 5. В о р о в и ч И. И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек, Изв. АН СССР, серия матем., 19 A955), 173—186. 6. ГельфандИ. М. иШиловГ. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений (Обоб- (Обобщенные функции, вып. 3), Физматгиз, М., 1958. 7. Годунове. К. и Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем, Физматгиз, М., 1962. 8. Гюнтер Н. М. 1) Sur les integrates des Stilties et leurs applications aux proble- mes fondamentaux de la physique mathematique, Труды физ.-матем. института АН СССР 1 A932), 1—494. 2) О сглаживании функций и связанных с ними задачах, Ученые записки ЛГУ, серия матем. 17 A937), 51—78. 3) О постановке некоторых задач математической физики, Уче- Ученые записки ЛГУ, серия матем. 10 A940), 12—26. 4) К задаче о малых колебаниях струны, Ученые записки ЛГУ, серия матем. 15 A948), 23—74.
ЛИТЕРАТУРА 403 9. Д е м ь я н о в и ч Ю. К. Об оценках скорости сходимости некоторых проекционных ме- методов решения эллиптических уравнений, Ж. вычисл. матем. и ма- тем. физ. 8, № 1 A968), 79—96. 10. Д е р г у з о в В. И. и Якубович В. А. Существование решений линейных гамильтоновых уравнений с не- неограниченными операторными коэффициентами, ДАН СССР 151, № 6 A963), 1264—1267. 11. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом простран- пространстве, «Наука», М., 1967. 12. Ладыженская О. А. 1) Решение задачи Коши для гиперболических систем методом конечных разностей, автореферат канд. дисс, ЛГУ, март 1949, Уче- Ученые записки ЛГУ, серия матем. 23 A952), 192—246; ДАЙ СССР 88, № 4 A953), 607—610. 2) Смешанная задача для гиперболического уравнения, Гостех- издат, М., 1953. 3) О методе Фурье для волнового уравнения, ДАН СССР 75, № 6 A950), 765-768. 4) О замыкании эллиптического оператора, ДАН СССР 79, № 5 A951), 723-725. 5) О решении общей задачи дифракции, ДАН СССР 96, № 3 A954), 433-436. 6) О разрешимости основных краевых задач для уравнений па« раболического и гиперболического типов, ДАН СССР 97. № 3 A954), 395-398. 7) О решении нестационарных операторных уравнений, Матем. сб. 39, №4 A956), 491—524. 8) О нестационарных операторных уравнениях и их приложе- приложениях к линейным задачам математической физики, Матем. сб. 45, №2 A958), 123—158. 9) Простое доказательство разрешимости основных краевых за- задач и задачи о собственных значениях для эллиптических уравне- уравнений, Вестн. ЛГУ, серия матем., мех., астр., № 11 A955), 23—29. 10) Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными, УМН 12, № 5 A957), 123—149. И) Об интегральных оценках, скорости сходимости приближен- приближенных методов и решениях в функционалах для линейных эллиптиче- эллиптических операторов, Вестн. ЛГУ, № 7 A958), 60—69. 12) Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, «Наука», М., 1970, второе издание. Ладыженская О. А. иУральцева Н. Н. 13) Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, «Наука», М., 1973, второе издание. Ладыженская О. А., Солонников В. А. и Уральце- в а Н. Н. 14) Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, «Наука», М., 1967.
404 ЛИТЕРАТУРА Ладыженская О. А. иСол он ников В. А. 15) Решение некоторых нестационарных задач магнитной гид- гидродинамики Для вязкой несжимаемой жидкости, Труды МИАН СССР 59 A980) ,115—173. 13. Л юс тер вик Л. А. 1) Проблема Дирихле, УМН, вып. VIII A941), 115—124. ЛюстерникЛ. А. иСоболевВ. И. 2) Элементы функциональной анализа, «Наука», М., 1965. 14. Марчук Г. И. Численные методы расчета ядерных реакторов, Атомиздат, М., 1961. 15. Михлин С. Г. Прямые методы в математической физике, Гостехиздат, М.—Л., 1950. 16. Оганесян Л. А. 1) Численный расчет плнт, сб. «Решение инженерных задач на ЭВМ», Л., ЦБТИ A963), 84—97. Оганесян Л. А., РнвкиндВ. Я., Самокиш Б. А. 2) Вариационно-разностные схемы в задачах электронной оп- оптики, Труды 3-го Всесоюзного семинара по электронной оптике, Но- Новосибирск, 1970, 163—168. Оганесян Л. А., Руховец Л. А. 3) О вариационно-разностных схемах для линейных эллиптиче- эллиптических уравнений 2-го порядка в двумерной области с кусочно-гладкой границей, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 8, № 1 A968), 97—114. 17. Петров Г. И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости, Прикл. матем. и мех. 4, № 3 A940). 18. Петровский И. Г. 1) О задаче Коши для еистемы уравнений с частными произ- производными, Матем. сб. 2 A937), 815—868. 2) Об аналитичности решений уравнений с частными производ- производными, Матем. сб. 5, № 1 A939), 6—68. 3) Лекции об уравнениях с частными производными, Физмат- гиз, М., 1961. 4) Новое доказательство существования решения задачи Ди- Дирихле методом конечных разностей, УМН, вып. VIII A941), 161—170. 19. Ривкин д В. Я. 1) Об оценках скорости сходимости однородных разностных схем для уравнений с разрывными коэффициентами и об одном прибли- приближенном методе решения задачи Дирихле, ДАН СССР 149, № 3 A963), 1264—1267. 2) Об оценках скорости сходимости однородных разностных схем для эллиптических и параболических уравнений с разрывными коэф- коэффициентами, «Проблемы матем. анализа», вып. 1 A966), 110—119. 20. Р я б е н ь к и й В. С. и Ф и л и п п о в А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений, Гостехиздат, 1956. 21. С а м а р ск и й А. А. Введение-в теорию разностных схем, «Наука», М., 1971. 22. С м и р н о в В. И. 1) Курс высшей математики, т. IV, Физматгиз, М., 1958.
ЛИТЕРАТУРА 405 2) Курс высшей математики, т. V, Физматгиз, М., 1959. . 23. С о б о л в в С. Л. 1) Неквторы» применения функционального анализа в мате- математической физике, Изд-во ЛГУ, 1950. 2) Об оценках некоторых сумм для функций, заданных на сетке, Изв. АН СССР, серия матем. 4 A940), 5—16. 3) Уравнения математической физики, М. — Л., ОГИЗ, 1947. 4) Methods nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations lineaires hyperboliques normales, Матем. сб. 1 A936), 39—72. 24. С о б о л е в с к и й П. Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом простран- пространстве, Труды Моск. матем. о-ва 10 A961), 297—350. 25. Со л ом як М. 3. О дифференциальных уравнениях в пространствах Банаха, Изв. высш. учебн. завед., Математика 1 A960), 198—209. 26. С о л о н н и к о в В. А. 1) Об" общих краевых задачах для систем эллиптических в смысле Даглиса — Ниренберга, I, Изв. АН СССР, серия матем. 28 A964), 665-706; И, Труды МИАН СССР 92 A966), 233—297. 2) О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида, Труды МИАН СССР 83 A965). 3) О некоторых стационарных краевых задачах магнитной гид- гидродинамики, Труды МИАН СССР 59 A960), 174—187. 27. Ф о м и н В. Н. Параметрический резонанс упругих систем с бесконечным чис- числом степеней свободы, I, Вестн. ЛГУ, № 13 A965), 73—87. 28. Ш и л о в Г. Е. 1) Математический анализ. Спец. курс, М., Физматгиз, 1959. 2) Математический анализ. Второй спец. курс, М., «Наука», 1965. 29. ЭйдельманС. Д. Параболические системы, «Наука», М., 1964. 30. Э й д у с Д. М. О смешанной задаче теории упругости, ДАН СССР 76, № 2 A951). 31. Яненко Н. Н. ¦ Метод дробных шагов для решения многомерных задач мате- математической физики, «Наука», Сиб. отд., Новосибирск, 1967. 1. Agmon S.. Douglis A. and NirenbergL. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial dif- differential equations satisfying general boundary conditions. I, Comm. Pure Appl. Math. 12, № 4 A959), 623—727; II, Comm. Pure Appl. Math. 17, № 1 A964), 35—92. 2. Aubin I. P. Behavior of the error of the approximate solutions of boundary value problems for linear elliptic equations by Galerkin's *nd finite difference methods. Ann. Scuola Norm. Super. Pisa 21, Ms 4 A967).
406 ЛИТЕРАТУРА 3. В г о w d e r F. Е. 1) The Dirichlet problem for linear elliptic equations of arbitrary even order with variable coefficients, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 38 A952), 230—235. 2) Strongly elliptic systems of differential equations, Ann. Math. Studies, № 33, Princeton, 1954, 15—51. 4. O'B r i e n G. G., H у m a n M. A. and Kaplan S. A study of the numerical solutions of partial differential equa- equations, J. of Math, and Phys. 29, № 4 A951), 223-251. 5. Caccioppoli R Limitazioni integrali per soluzioni di un'equazioni lineare elli- tica a derivate parziali, Giorn. Mat. Battoglini 80 A950—1951), 186—212. 6. С е a I. Approximation variationnelle des problemes aux limites. Ann. Inst. Fourier Grenoble 14, № 2 A964). 7. С о u r a n t R. 1) Variational methods for the solutions of problems of equilib- equilibrium and vibrations, Bull. Amer. Math. Soc. 49, № 1 A943), 1—23. С о u r a n t R., F r i e d r i с h s K. O. and L e w у Н. 2) Uber der partiellen DiHerentialgleichungen der mathemati- schen Physik, Math. Ann. 100 ('1928), 32—74. С о u r a n t R. und H i 1 b e r t D. 3) Methoden der mathematischen Physik, Bd. I, Berlin, 1931, Bd. 2, 1937. (Русский перевод: т. I, M., Гостехиздат, 1934, т. 2 — 1945.) 8. D о u g I a s J. On the numerical integration of uxx + uuy = ut by implicit me- methods, J. Soc. lndustr. Appl. Math. 3, № 1 A955), 42—65. 9. Evans G. С Fundamental points of potential theory, Rice Institute, Houston, Texas, № 7 A920), 252—359. 10. Faedo S. Un nuovo metodo per 1'analisi esistenziale e qualitative dei problemi di propagazione, Ann. Scuola Norm. Super. Pisa I A949), 1-40. 11. Friedman A. Partial differential equations of parabolic type. Prentice-Hall, INC, 1964. (Русский перевод: М., «Мир», 1968.) 12. Friedrichs К. О. Spektraltheprie halbbeschrankten Operatoren und ihre Anwend* ung auf Spektralzerlegung von Differentialoperatoren. Part I, Math. Ann. 109 A934), 465—487, part 2, ibid. 109 A934), 685— 713. 13. G a'rdi n g L. Dirichlet's problem for linear elliptic partial differential equa- equations, Math. Scand. 1 A953), 55—72. . 14. G r e e n J. W. An expansion method for parabolic differential operators, J. Res. Nat. Bur. Standart 51 A953), 127—132.
ЛИТЕРАТУРА 15. Н i 11 е Е. and P h i 111 p s R. S. Functional Analysis and Semi-Groups. Revised Ed., Amer. Math. Soc. Publ, 31, 1957. (Русский перевод: М., ИЛ, 1962.) 16. Hopf E. Uber die Anfangswertaufgabe Шг die hydrodynamischen Grund- gleichungen, Math. Nachrichten 4 A950—51), 213—231. - 17. Hormander L. Linear partial differential equations, Berlin. Springer, 1963. (Рус- (Русский перевод: М., «Мир», 1965). 18. Kato T. Integration of the equation of evolution in a Banach space, J. Math. Soc. Japan 5 A953), 208—304. 19. Ler ay J. Essai sur les mouvements plans d'un liquide visqueux que limi- tent des parois. J. Math. Pures Appl., Serie 9, 13 A934), 331—418. 20. L i о n s J. L. Equations differentielles-operationneles et problemes aux limites, Berlin, Springer, 1961. 21. Morrey С. В. 1) A class of representations of manifolds, I, Amer. J. Math. 55 A933), 683—707; II, ibid, 56 A934), 275-293. 2) Multiple Infegrals in the Calculus of Variations, Springer- Verlag, Berlin — Heidelberg — New York, 1966. 22. Peacemen D. W. and Rachford H. H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations, J. Soc. Industr. Appl. Math. 3, № 1 A955) 28—42. 23. Riesz F. et Sz-Nagy B. Lecons d'analyse fonctionnelle, Budapest, 1953. (Русский пере- перевод: M., ИЛ, 1954). 24. Rothe E. Warmeleitungsgleichungen mit nichtconstanten koeffizienten Math. Ann. 104 A931), 340—362. 25. S с h a u d e r J. 1) Ober lineare elliptiche Differentialgleichungen zweiter Ord- nung, Math. Z. 38 A934), 257—282. 2) Hyperbolische Differentialgleichungen. Fund. Math. 24 A935), 213—246. 26. Schwartz L. Theorie des distributions, t. 1, Paris, Hermann, 1950; t. 2, Paris, Hermann, 1951. 27. T о n e I If L. Opera Scelte, Roma, v. 1, I960; v. 2, 1961; v. 3, 1962; v. 4, 1963. 28. W i e n e r N. The operational calculus, Math. Ann. 95 A926), 557—584.
Ольга Александровна Ладыженская КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ М.. 1973 г., 408 стр. Редакторы А. П. Осколков, М. М. Горячая Техн. редактор И. Ш. Аксельрод Корректор О. Л. Бутусова Сдано в набор 3I/V 1973 г. Подписано к печати 10/XII 1973 г. Бумага 84ХЮ81/», тип. № 2. Физ. печ. л. 12.75. Условн. печ. л. 21,42.. Уч.-изд. л. 21,14. Тираж 23 000 экз. Цена книги 84 коп. Заказ № 663. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 11707.1. Москва, В-71, Ленинский проспект. 15 Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография J* 2 имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии к книжной торговли г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29