Ипатов в.п.
Периодические дискретные сиrналы с
ошимальными корреляuиOlПIЫМИ свойствами.
 М.: Радио и связь, 1992.  152 с.

'Дl\ 621.391
Ипатов В. п. Перно..'{ическне дискретные сиrн.алы С оптимальными KOppC
'nИШЮIIНЫМII L' i;":lОЗМII.  \\.: РаДIIО 11 CI:HIJL, Нl2.  J52 С_: И.l1.  ISBN
5-25600986-9.
I пожеllbl основы теории и конечныс птоти СllПтеза кОДОВЫХ посnедонатеnь
Н{Л nеР"ОДИljеских дискретных сиrнаЛQВ (ПДС). ОПТНМ.3 'lbHblX И ква:пюпти
м...! U смысле критериев. 01ражающнх стреМ'Ilше к ПQULlшению разрешаю
щ JНОСТИ rю ре\-1енu и час отс. к МИIIIIМИЗ3Шll1 УРОВНЯ взаимных l Iмех
"'р "нхрон"ом КОДОВОМ уrlЛQТflСJIИП, а также кускоре iЮ вво..'{з J.lеСТIЮТО
 "1 НlI В СНIIХрОf1ИЗМ С IIРЮ Iыаемым снп!аnоМ_ Oc r l!ioe ВНЮd r . 'С Y.1e
JlL L'-" С простейшими 11 потому нанбо.пее удобными для приложеЮJП aп
ф..I бllнарным и троичным. Реt.омендуемые (антарныс 11 ТрОllЧНЫС llДС
(с и .алыI:v/ии потеrИМtl Н.1 ПОДавление БОО8ЫХ л('пссТliШВ, либо с ИД 'аль-
НЬ.  JрреЛЯЦlЮНIIЫ\1Н саоЙс, Н3МИ И Мt!ЛЫМ mшфd.КТОрОМ, либо образую
ЩliС "ПТПм,]"'iЬНО уп::коваlllше семеikТiЗЗ, либо. HaKOHЦ. МШIНМНЗIlРУlощие 8pe
ми Д( ТН JlИЯ СИНХРОНlIзма) сведены D подрО(jные катапотн. сопровождаемые
Heou.. ИМ! RНпр)'кuп' МИ по фОр1ИрО.d!ШЮ СООТ6NСТО}ЮЩНХ KOAO:J">IX
ВОСЛЕ' 01 ITfThl1 ей. Крш. Toro. в I\Щlrс 01 lещсl'lЫ в такие ПРВКJ13.1ные acrn:K
ТЫ, 1..3K устоi'QИЬvCТЬ ПОК3.;Jзтелей ПДС I{ Р ..!oI1н.за.цIIОННЫМ поrрешuостям, 8ЛНЯ
IIне на к СТIЮ I )IJаботки пдс соср lI"оточеl!НЫХ Jlомех, рее} рсы ЬРНlIтозащи-
щенности KOДQВЫ'\: ПОСnСДОВ3Тельнос.тей u др.
Дли научных рабо,ников; может быть 110.'JеЗR3 разра60ТIJIIкам перспектив
Bbl't радиосистем. ориеНТirровзнных па примененне шумопо..'{оБныx ctlrB3.'10B.
Табл. 13. ИЛ. 16. Бн6лноrр. 8'1 8азв.
Рс!.!.ензенТ ДОКТ. TE'XI-I. наук и. А. ЦИКИН
".
РедаКЦlIR литературы 110 paAIIOTeXHHKe и электросвязи
,
'.
\
З02020000-004 7 " 2
И .4.
046(01)-92
ISBN 5-256-00986--11
g:; Ипатов В. п., 1992
ПРЕДИСЛОВlil:

Теорня и теХНJlка ш\'\оюподобных сиrналов начала обретать
сой ННДllВfIДуа'1изированныii об"шh. как пррдмепI3Я об"l3СТЬ pa
lllIOЭJEКТрОН!lКИ па р) беже БО-х rr. и с тех пор не  тратила 1СИ-
денций восходящеrо развития. перманеНТIIО оБОfюцаясь IIОВЫМИ
'nОСТJlженпямн и новыми лдеq\рr. Б '1аfО..'t3ря ИНlенсивным Jlссле
доваНIlЯМ целоЙ плеяды зарубежных н отечественных ученых. в чи
сле которых нельзя не упомянуть С. rоломба, Р. Турниа, д. Хаф-
фlена, и. Н. Амиантова, л. Е. Варакина, М. Б. Свердлика, [. и.
Тузова, Я. д. ШИРМ31lа и ДР., СJIOЖ1i.lСЯ опре1е.,еиный К.lассиче-
с({ий баrаж теОрПII ДlIскретных СllrналоIЗ. служ:ащиii Henpe\'feHHUI\of
достоянием специалистов, причастных 1\ ее пробlематике. Деrаль
Бое и прекрасное в методическом отношении изложение ) помяну
тых ключевых основ назваНIIОЙ ДИСЦlIПЛИИЫ в ряде популярных
моноrрафнй [12, 48, 61, 69] Позволнло автору пре;цаrае"ой не-
большой по объему кииrи не воспроизводить на ее страницах MHO
rие сведення, по праву относнмые к разряду фундаментальных,
предпочтя ЭТШIУ освещение вопросов, ПOl,а, быть может, не офор-
NИВШИХСЯ В традиционные. однако вполне аhтуальных в научиом
и IIрНКJJадном аспектах.
Набрасывая общ"е KOIITypbl содержання книrи, от..етим, что
О.l.ННМ из спеЦllфБческt'lх ее лейтмотивов является синтез пери
О.l.JfЧеских последоательностей Для манипуляции радносиrналов
без априорноrо ПОСТУЛНРОвання соrласованностн фильтра прнем-
кой стороны. иначе rоворя, стремленне извлечь МaI\СИМУМ ВОЗ
мо:жноrо нз ресурса обмена потерь за счет рассотласованностн
обработки иа выиrрыш в том или ИНО\1 ПОhа.зателе 1\8 чества. Эта
Jlиния в полной мере реализована в rл. 25. посвященных IICC'Ie
,""ованию процедур подавлення боковых лепестков пернодичеСЫIХ
дискретных сиrкалов и ПОнскам кодовых КОНСТРУI\ДНЙ. МНИ]JМПЗП
рующих энерrетнчесl<ие потерн при подобной обрабОТl<е. ПИ этuм
rJf. 3 .и 4 содержат не ТОЛЬhО описание технолоrltll решеиия cOO.
ветствующих задач. но 11 обшнрныЙ IIтоrовосправочный матери
ал, ({оторый можно кваЛИфllцировать как l<8талоr «rOTOBbl"'» бlJ
нарных последовате..lьностей с малыми nО'fерями, СОIlРОВОЖ..J["О
щнми полное устранение боковых лепеСтl\ОВ на временной оси. 3
также троичных последовательнос.теi( с и l..сальны].ш перНОДllЧСС
КRМИ автокорреЛЯЦlIОННЫ\111 cBoircTB3MII н маЛЫ\1И знзчеНПЯ\1'l
пикфактора. [оворя о пран:тичеСКIIХ стимуJ1ах. оБЪЯСНЯЮЩIIХ IIH
7ерес к подобным послез.овательностям, достаточно сослатьс'1 на
проблему выделеНIIЯ СIIl'налов на фоне их ннтенсивных мешающих
копий, расстроеиных по времени Il частоте (обычные нанменова-
ния  пассивные по:мехw. отражения 11 т. п.). с которой npl.l\o
дится сталкиваться в таких придш,кеНПЯХ 1 ({эк paДHO и rидроло
кацня, радионавиrаЦIlЯ и др.
1.
I
3

rлаnа 6 зНакоМИТ с несколько ннымн задачаМII. объеКiОМ по
иска в которых выступают уже не изолпрованно рассматрпвае
мые последовательности. 3 целые СОВОКУПНОСТII (ансамбли) пос
ледовательиостей. подходящих в смысле уровня взаимных ,о-.,ех
IIРИ передаче манипулированны'Х: ими CIrrHa 110B в общеЙ полосе
частот. Акценты здесь сдвннуты в сторон) ВЫlВлення ОПТlIмаль
ных (но н:райней мере аСПМllтотическп) ансамблей. т. е. сеi\tеЙств
110сл€.lователы-Iстейй с предельно ДОСТIfЖIIМЫ'>IИ знаЧСиlIЯМИ пока
зате..СЙ качества. ПОНЯТНО. что rенеЗllС подобных .:Jc.lдаll '-0....3ан с
11 '1('Оlоrиеil разнообразных систем, родстпенных в прпнпи. 11 .Iль
но 1 отношении асннхронным систе\fЗМ связи с множественным
.дОСТУ,ю'1 [72].
Ню\онец. в rл. 7 дается компатпиое I1ЗЛПil..:еНIIС ПО3МОiКН Me
ТО;J.олоrНII I[ HTorOB сиитеза последовательuостеii. преДПОЧ11 ель
ных с точки зрения КОМПРО\1исса между аппараТУРНОВLI"IIСJlН
тельными н вре\olеннымп заТратаМII на устаНОВТ"Jенпе синхро .13Ma
местноЙ временноЙ ШI(ЗЛЫ с принимаемым ДИСhретным cllr JM.
БаЗIIСОI'v:I для написаНIIЯ кНПfН послух-шли рез)'льта1Ы иссле
ДОВ3ПIIЙ автора. которые он попытался ИlЛОЖНТЬ в необходн'\f.ОМ
балансе н СОЗВУЧИII с материаламн публш\.аций Apyrux LI ециа
пистов. lvlатематнческие идеи. пронизывающие KHHry. вряд лн
можно назвать элементарными. От ЧJlтателя. обраТlIвшеrося ({ пей
не только за фактоrрафпеЙ, ио Jl n надежде ПОпОЛШIТЬ собствен
ный творческнй ннструментарнй, требуется довольно свободная
ориентировка в такнх катеrорнях современной алrебры, как rруп
пы, поля, формы над конечными полямн н Т. д. В то же время
постиженне общей лопши прнводимх в моноrрафии дказа
тельств, повндимому, доступно 11 читателю со стандаРТПОII Д'IЯ
радиоинжеиеров .математической подrотовкой. спосоБСТВОВ:lТЬ че
му призваны вкраплеиные в книrу беrлые математические экекур
сы ( 3.4, 6.3). .
Хотя предпочтнтельиым алrоритмом работы е кннrои следует
IIризнать поступательное движение от rлавы }..: rлаве. ВПО.Jlне воз.
можно и селективное чтение ее фраrмеитов. В частности. для yc
воення содержанни любой нз rЛ. 4, 6, 7 в отдельностн достаточно
преДВt!РIТ(>"'..1O просмотреть r.1. 1, ознакомившись с вве'Jешюй
там системой определений и обозначений. а также  при необ
КОДIIМОСТИ восстановить в памятн основы теории I{онечных по
лей  Э 3.4.
Автора радует случай засвндетельствовать признательность
кол IJeraM. прннимавшнм участне в обсуждении рукописи. а также
НаУЧ'IOинженерному центру лэти за спонсорское содействне
изданиJO кинrн. Особую блаroдарноость хотелось бы выразнть
проф. и. А. Цикнну, канд. техн. наук Б. ж. I(амалетдннову н
нанд. техн. наук и. М. Самойлову, чьн скрупулезное вниманне
и позитивную компетеитную критнку едва ли можно переоценить.
С блаrодарностью автор примет н любые чнтательские отклики
н замечания, которые можно направить по адресу: 101000, MOCK
ва, Почтамт, а/я 693, нздательство "Радио и связь».
4
r ЛАВА 1.
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДИСКРЕТНЫЕ сиrнАлы:
СВОДКА ОПРЕДЕЛЕНИй И ПРЕДПОСЫЛКИ
, ЗАДАЧАМ СИНТЕЗА
1.1. МОДЕЛИ И КЛАССИФИКАЦИЯ ДИСКРЕТНblХ сиrНАЛОВ
Содержание словосочетаний «дискретный СНПIал», <S:ДИСI\ретно
J<одированный сиrиал». встречающнхся во мноrи"{ ИСТОЧНИI\.зх [3.
13, 14, 48, 61, 68], вообще rоворя, не всетда однозначно. С точ!-.и
зрення семантики ДНСl{ретным вполне уместно называть любой
СИfнал, у которото модулнруемые пара\1етры скачкообразно нз
меняются в днс\(ретные моменты временн [59, 69]. Распространены,
-однако, 11 более узкне толковання упомянутых терминов. В paM
ках настоящей кинТи вслед за [3, 13, 61] дискретнымн именуют
я пишь те сиrналы. которые можно сформировать с помощью
Jdаннпуляции амплнтуд и начальных фаз одинаковых по форме
раднонмпульсов, повторяющнхся с фикснрованным ннтервалом 1'1.
Такнм . образом, запнсывая днскретный снrнал s (1) несущей час
тоты 10 на языке обычиоir КОМllлеI\СНОЙ СИМRОЛИI\Н: s(t) ==
Re15(I)exp(j2nfot)], под ето компле\(сной оrибающей 5(t) сле
Jlует пони маТЬ выраженне внда

5(t)  ai511(til'1),
l===oo
(1.1)
IJ ({отором ai  комплексная амплитуда (1 ail  действнтельная
амплитуда, arga,  начальная фаза) iro нмпульса снrнала s(l);
50(1)  \(омплексиая оrнбающая (за\(он амплнтудной 11 уrловой
одуляции) CTaHAapTHoro радионмпульса (элемента), маНIlПУЛЯ
щИЯ ПОВТОРЯЮЩIIХСЯ I\ОПIIЙ KOToporo и образ)"ет ДIlСКРетный сиr.
"ал. Последовательность {a;} {а;: i..., 1, О, 1, ...}, задаю
f ая закон манипуляцин амплнтуд н начальных фаз нмпульсов
ИСl<ретноrо снrнала, назЫвается кодовой (АlйI<ипулuрующей) по
ледовательностыо лнбо просто кодом [12, 13, 61].
Поскольку носнтелем всех существенных свОЙств любоrо сиr
'Нала служит еТО комплексная оrибающая, нменно с функцией
(I) прндется в основном нметь дело в дальнейшем, а потому в
Ннтересах краткостн разумно, как зто вошло в ПРal(ТИI<У [9. 10],
сохранить наименования «сиrнал». «нмпульс» и за КОМП'lе!\сными
оrнбающнмн 5(1), 50(1).
Если a,o пр" i<O н iN, сиrнал (1.1) является пакетом нз
N маюшулироваиных нмпульсов, т. е. uмпУЛЬСН""1 или фW/UТНЫМ
5

сиrнаЛО\i. Если же кодовая последопательность перПО;I,IIЧllа с пе
рИОДОМ N, т. е. ai+Nai, '..., 1, О, 1, ш. 5(1) ОКЯ1ывяет , пе-
Р'lOд"чес,шм д"скретным сиrивлом (ПДС). 11 в то" 11 В ,pYTO'
случае N можно назвать длиноЙ кода. а саму IЮДОВУЮ послеJl.О
иательность полностыо задать лrмерным веКТОрО\1 а:::::= (ао. аl. ...
.... aNI)T (перХН:l:i IllIдеl\С <T):. как оi'}ЫЧ!lО. ОЗlfаtlает Iранrпоии
роввние векторов и МЯТрllU). Любой ПДС МОЖIIО ПОЛУЧIIТЬ. 1I0В'
торяя С пернодом N6. NIIМПУ,Т1ЬСНЫЙ ФllНllТНЫЙ CJlfH3J1. П' ч-rо
для ПДС справедливы и с"еДУЮЩllе прсдстав.теНlIЯ:
 NI
5(/)  2; ai5u(/(i+,'N)/\)   a«/))5u(/i.lI, (1.2)
r=:::CX>I==O i:>o
тде «i» означает остатОК от делеНlIЯ i на .У: «i»==imodN.
O,;;;;«i»';;;;NI.
ДIIСКРетный сиrнал, в котором действительиые ампЛНТУДЫ всеХ
RМПУЛЬСОВ одинаковы: lail :=;;;const. i:::::=O. 1, ш. Nl, И меllЯТI.JСЯ
от импульса к импульсу MorYT только значения начадьных фаз..
естественно называть фазомшшпуд"роеанным (ФМ). Если у т"
КОТО сиrнала кодовая последовательность {ai} является бинарно.,
т. е. состонт только нз чисел :1::1: aiE{:l::1}, ,o. 1. ..., NI. назо
аем ето б""арны,", ФМ (БФМ) снrналом.
Чаще Bcero элементарный импульс 5. (1) днскретното сиrнала
f:ЧlIтают прямоуrольиым длительиости /\ {3. 14, 48, 59, 61, 69], с-
тем чтобы соседние импульсы в модели (1.1) п.римыкали друr "
друту. но не перекрывались. В реальных системах (например, ра-
.l.lIопавиrационнЫХ, работающих в диапазонах длинных и среДНII"
аOJIИ [43, 58]) применяют ФМ сиrналы и с непрямоуrольным эле-
ментом 50 (/) длительности !'!.о, меньшей интервала повторе ии я 1'1.
С ..рутой стороны, допустив интерференцию слаrаемых суммы
(1.1), )(ожио существенно расширить диапазон пр"ложимост" мо-
дели (1.1). охвзтив ею и шнроко популярные сиrналы с миии-
Iальной частотной маннпуляцией (МЧМ) или видами моду.чя,
цми, родствениыми МЧМ [22, 53,55].
Напомним, что достоинством МЧМ, как и вообще частоТНО
манипуляции без разрывОВ фазы. является сочетание компзктно.
сти спектра с постоянством мrиовенной мощнОСТИ Сllrналз , не на
рушаемое свойствеПI1ЫМП MHorHM реальным «aIIa1a\f узкополос,
IIЫH пелпнеЙнQCТЯМИ. Как способ передачи Д,воичных дэнны:Х
МЧ"'\ есть вид "анииуЛЯШllI, при которой каждому информаЦI!'
OHHO!J.'IY биту отвечает ПРЯ\10)ТОЛЬН3Я посылн:а ДЛIIтеЛЫ10СТII j"
I!мсющая частоту f о при передаче нуля и fo+ 1/2.l при пер' Jче
единицы. Таким образом. иибеr фазы за врем и /\ межд' ДИ} мя
возможными посылкаМII СОС7авляет а, причем каждая ПUСLI.П\:lI
начинается с той фазы. на котороЙ заКОIIчилась предыдущая. Ocy
ществпть этот вид манипуляцИИ можно. 1\ примеру. СI\а'lкообра..i
ным переключенне\1 частоТы reHepaTopa с 0..1.1101 о 113 1I0мпнаЛОБ
fo. fo+1/2/\ на друrой. Понятно, что, выбрав в качестие нес}шей
«нижнюю» частоту fo. комплексную оrибающую МЧМ сиrнала
6
lIa _временно" интервале [i/\, и+ 1) /\] с то
ИОН пОСТОЯНli;1I1 начальной фазы мо чностью До несуществен
5 (/)  ехр l j" I J:: d, + j п d, It  ;o /\Зj,писать Как
rne d,E { O I }  З начени .
, .1 е lro пе р е даваемото б
 ) ита. Обозначая
aoexp \ jn , .I. d, '1 З3\1ечзя, что G,E{:!:l}.
d,  t J  а, а,+.),2,
соотношению (1.3) можно придатЬ форму
51t)  а, ехр [j n а, G'+l'/  i /\),2/\] ехр [j п (/ i М, 2/\].
Воспользовавшнсь теперь форм . э.
cos (а,ан,х) cos Х siп (а 'а, Х ) ' ул ои J!лера с учетом тото, что
S   '.  +1 aiai+lslnX, lail 2:=;;;1. получим
(t!  а , os [n (/, t.) 2!'!.] ехр [j n (/  i /\)/2М 
 1 а,+, S1П [" (t  i.ll 2/\] ехр [j n (/ i t.}/2/\] 
 а, cos[n ,t i /\12.'1.] ехр [j n(/ i Ы/2/\] +
 аНI cos{ [/(i+ 1) /\12Мехр {j n [t(i+ J) !'!.]/2M
и, 5o(t I M+ai+1 50 (/ (! + J) /\).
r е
(1.3)
(1.4)
5u(t) { СОS(Л//2!'!.)еХР(jП/'2t.), Itl !'!.,
О. 1/1> /\. (1.5)
Теперь понятно что МЧМ сиr
буквально повторящем мо ель нал можно представнть в виде
КЮ{ прн этом а, мотут ПРИНlм;тьискретноrо сиrнала (1.1), а тю;
Может рассматрнваться !'Ю{ ишь значения :1::1. МЧМ сиrнал
ментом вида (1.5). Сосе;ние р:овидность БФМ снrнала с эле.
рекрываются. посколькv длнтельн:Ы такото БФМ сшнала пе-
Вышяет интервал повторения!'!. 3 импульса (1.5) B:I.BOe пре.
МЧМ сиrна..е(l.3) связан с Kдoa<:H чередования частот {d i } в
БФМ СИПldла, описываемоrо (1 1) в и последоватсльностью {ао}
ровка которorо весьма прозрач . .' соотношением (1.4), расшиф-
ре,dается посылка Шlжней ча с  о а т , на интерва:!е [1.'1.. (i+1)/\] пе.
е сл ы. если а.==п. и В Р .
и ai==ai+1 Как видно 1 """'1.+1. е ХИIIИ 
дифференциальым декодиро;:дователыюсть {d i } получается
Можно без т ' м последовательности {а.}
ответствующей ::oa справедливость модели (1.1) при' со-
общей версии МЧМ котда леиия элемента 5о(t) и для более
-А меняется по некото' р ом у нелин е а.. в теченне длитеЛЬНОСТlI ПОСЫ",1IП{
И иному закону [39]
( так. следуя стремленню маКСИМ1l3 .
1.1), не будем нак"адывать ировать обшность ""дели
ДJlительность элемета 5 (/) априорных оrраничений н" ?JpMY Н
вннмання В дальнейшем Ka' тем более. что объектом rлаВlIоrо
lJ.ости дискретных сиrналов. жутся лишь кодовые последователь
z

1.2. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ функции И ФУНКЦИИ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ сиrндлов
Пытаясь I13влечь необходимую информацию IIЗ наблюдае"оrо
колебания. приемная сторона любой радиотеХНllчесI\оii системы в.
конечном счете долж.на установить. I..:акаЙ lI\1eUHO из МfIол..есТВ8
(днскретноrо иЛЯ КОНТlIнуальноrо) возможных rНrН8.rюв coдep
ЖИТСЯ в прннятоЙ реализации. Т. е. осуществить выбор мея\ду MHO
rимн КОНКУРИРУЮЩИМИ СflСН3nзмн. ХОТЯ 1'\ОЛlIчественные ПОЮllате
ли достоnерности RЗВЛСJ\земой IIнформации в конкретных прпло
женнях MOf}'T существенно вары1оваться,' ВЛО.Пне очевидно, ЧТО с
ослаблением сходства конкурирующих сиrналОВ (хараhТерll3) СМО-
то. разумеется, подходящей численной мероЙ) «раЗШ'ЧИМDСТЬ» по-
следннх улучшается и. сле;l.Oвате.%НО. доверие ь резу.lьтатам об-
работки наблюдаемой реализащш прис\!Ноii стороноЙ возрастает..
В каналах, [де помехой ЯВЛяется аддитивныi'1 белый rаУССОDtЮIЙ
шум. адекватной мероII сходства сиrналов равной Зllерrии служит
JrX скалярное ПрОllзведеНJrе. Ee.'lll подлежащая извлеченню HH
формация заключена в запаздываНИII 11 частоте ПРННlIмаемых.. CHr
налов, на качество ее выде'1ения I\ард.инально влияют своиства
чаСТОТ'lOвременных вааимных корреляционных ФУНКljий (ВI\Ф).
т. е. зависимостей скалярных произведений всевозможных пар
снr.налов от ИХ относнтельных расстроек по запаздыванию и 'lac
ТоТе.
Пусть иМеется множество (аIlСаАlбль) V ПДС {S.(t)}
 {S.(I) : k 1, 2. ..., У}. манипул!'рованных "одами {а",} 
{a..:iO. 1,..., NI}. kl. 2...., У, одной и той же длины
N. и пусть форма So(l) и интервал иовторения {I,. элементов всех
V ситналов также ОДИИЯIювы. Несмотря на то, что моде.% ПДС
предполаrает. вообше rоворя, неоrраниченную ПрОДОЛЖJJте'1ЬИОСТЪ
сиrиала на входе снстемы выделения информации, реальнып ПрН
ем. безусловно. оrраннчен hонечным временным отреЗI\ОМ. ЕеЛlf
на этом отрезке укладывается М иериодов люБО'rо из V ПДС. ec
тественно счнтать, что прнемная систеМа анаЛИJнрует наБЛlOдае
мое н:олебание на пред:иет выяснения блнзости к сдвинVты\1. по
времени и частоте I{ОПИЯМ эталонных финитных сиrналов вида
MINI
S..(t)  23 u'iS,,(I(i+rN)I'o.). k 1.2,.... V. (1.6)
,===0 (O
обраЗ0В.анны Мир.атным повторение\i Nимпульсных ПaJ{етов..
lаНИПУЛllрованных кодами {а..} (при неотраииченном росте М
все S,.(t). Jюиечно. превратятся в ПДС  см. (1.2)). "онкретно
товоря, Kor да помехой является аддитнвный бел,:й rayccoBCKIW.
шум. приемная сторона для достнжения наllвысшеи помеХОУСТОII
чивости должна с помощыо набора корреляторов либо соrЛасО
ванных фильтров (СФ) вычислить скалярные ПРОll3всдения Ha
блюдае\lОЙ реализации с копиями сиrналов (1.6). и"еюшими Bce
возможные частотновремеиные расстройки. Тоrда естествеинон
мероЙ сходства или различия содержащеroся в иаблюдаемом rю
8
лебании ПДС 11 эталонноrо сиrнала с теми или ИНЫми значения
МИ сдвиrов ПО времеии -r и частоте F будет частотновремеиная
ВКФ kro и lro снrналов, вычнсленная по 1\1 период.ам 1:
B[;J (Т. Е) о

SS. (1) S:,(IT)exp (j 2л FI)d1
Ml ос) Nl
 L  , u..a;,Bo(T(is):i+rN{I,.. F)ехр(j2лiF{I,.),
rc:::::() io.: o
(1.7)
тде

Во(Т, Е)  SSo(IJS (IT) ехр(  j 2лFt)dl
oo
 частотновременная аетокорреляциоН1Шя ФУНКljllЯ (АI\Ф) эле
меита So (t).
3а\1е 1 НШ 13 (С7) ШIДСI,С СУ\I\fнрования i на m==isrN и BЫ
,/ИСЛIIВ сумму проrрессии по '. можио ирнйтн к результату
В ". F 11 { 'iПЛFМNI1. . }
..(Т, )  a.lllla,lI . еХР[jЛ E(M I)Nt..1 х
sщпF"l!1

х  R.,(m, F)ехр(j2лFт{l,.)Во(ттt... Е),
(1.8)
тoo
Б [{отором через Ila./1 обозначена евклидов а норма веl<тора a.
 (а.о. а... .... а. ;v,p(lIahI12  «зиерrия» последовательности
NI ) /2
{ан,} за пеРIIОД N): Ila.lI (  la.il' , а
,
1 Nl
R' 1 (т, E)  "\"' а',,+т а;1 ехр (j 2л F i /1) (1.9)
lIа.llllа,1I .-=0
 иор"ированиая периодичеСl<aЯ частотновре\lениая ВI\Ф KOДO
вьп: последовательностей kro и lro снrналов. Введением nрита
татеЛЬИОrо «иериодическая» В иазвание величины (1.9) удается
ПОД',еркнуть не только способ ее вычисления ({а".} циклически
сдвиrается на т позиций. и в сумме Bcer да присутствует точно N
c.qaraeMblx). но и факт двоякопериодичности R.,(m. Е)  по дис
кретиоЙ перемеино/j т ее период, как леrко убедиться. раиеи N,
а по непрерывиоЙ F равеи l/:i.
В структуре иыражении (1.8) четко ирослеживается смысл
ВЯkl(Т. Е) ка[{ отклика на kЙ ПДС линейиоrо фильтра (либо KOp
ре.qятора). HacTpoeHHoro на неКИlI частотновременной сдвиr M
периодноrо фраrмеита Iro сиrнала. Действнтельно, множитель В
фиrурных с[{обках ни[{ак не связан ни с кодамн ПДС. ии с фор
I Верхний индекс в вкде звездочки употребляется в традиционном CMЫC
ле  для обозначения J\ОМfJлексноrо сопряжеНIIЯ СК8.'IЯРНЫХ величин и KOMn
.lJeKCHoro сопряжеНИR с транспонированием (эрмитова сопряжения) 8eKTopHO
.,аТрJiЧНЫХ. I .
"

мой .лемента 5 о и} и отражает лншь эффект межпериодноrо Ha
коплення М ПОС.'Iедовательных ОТКЛиков на kii снrнал линеЙноrо
фильтра. соrласованноrо с однопеРIЮДНЬi''' отрезком с;!вин}'той по
времени и частоте копии lTO снrнала. Выходной же эффект упо
мянутоrо одноп.риодн.оrо СФ выражается В (1.8) сммой по т.
представляющеll собо!! как Фую,ция т ири Fсопst дискретный
снrнал вида (1.1). Э.тементом которото является ВО (т, Е). а KO
дОМ  последоватльность { Я..(т Е ) еХ Р(  J '2лFm"" ) . m   I
О. 1. ...}. I . ... I .
В сущности, соотношение (1.8) н сопутств}ющие ремарки ПОk
твер.ждают довольно очевидный вывод: «раЗЛIIЧИМОСТЬ» пдс на
М.иерrюдиом времепном отрезке полностью опреJ;еляется мерзй
их различня (СХОIства) на ,!нтервале протяженностью в один пе
рнод, т. е велнчиной В'о1(Т. Е). Как можно видеть из (1.8).
, 
В., ,т, F - lIа,,1I1 1 з,1I 2: Ян(т. F'еХР(J2лFIl"')В"tтmLl. Е).
mCIQ
(1.10)
Если к тому же Э.ТЕ'dент 50 (1) и\!еет конечную Д тите,тьность 110.
то B](TтД. пO прн ITmLlI>lIo. и потом} при .тюбых т ЧИС
..о ненулевых Car2e\lbl'{ в сумме (1.10) не превысит ]2.... o /дI+. це
]х[+  ближаишее j{ х целое. не меньшее х. В частно" случае,
Kor,! .1 \, i'З tI lv) .........'1 временных с;ншrов 1". кратных !J.. (-r:::!::
т""). слеJ;ует .
IB,(mLl, Е'I lla.lilla,IlIR.,lm, FJБ- ,О, F)I. (1.11)
Заметим теперь. что соrласно (1.8)(1.11) взаимосвязь зако-
.нОВ манuпуляции С качеством Н3D.lечения JIнформацпн о запззды
ваннях и Частотах пдс це'nJin:ОМ учитывается ВI(Ф КОДОВЫХ nn
следовательrюстей я.,(17'. п. Поэто\!у содержание большнистм
задач рациональноrо КОДНРОвания ПДС удается сформулировать
в терМIПIclХ управеНIlЯ поведение'\f RM(m. F) ilибо Tal{JIX связ.аFr
иых с нею ФУНКЦИИ, как:
пернодические частотно.времениые АI\Ф R." (т. п.. т. е. Bep
сип (1.9) при lk;
пер'юдичеСl<не ВКФ (ПВI\Ф)
Я., т)Я..(m. 0\  1
""." 11>,11
NI
" .
.LJ ak i+пJ аl{l
{=о::о
Ik. lV. (1.12)
По смыслу ПВI\Ф является нормпропанным скалярным ПРО'
изведеннем веl\ТОров DmЗk== (all.Jn' ahт+l. ..., аАО. . а,п- 1)1' (D 
матрнца оператора леnоrо ЦIIКЛIlч-еСhоrо сдвиrа На o ,'" п Hto)
и щ== (lЧо. ап, .... alNI)T, а потом} слу>кит хараIтерI[СТИI\.О )д
СТВз l{ОДОВЫХ последовательностей {a'ti} , {аи} при взаИ.dlЮМ "-f.,1I
re на т ПО.iнцин;
периоднчеСl{fIе АI\Ф (Ш\I\Ф) Я..(т);
пернодические взаи,ltные функции "еопределенности (ПВФН)
(я.,(т, Е) 1. Вернувшнсь к равенствам (1.8)(I.ll). можно BrL-
АII
.)leт b , ч1О ПВФН задает закон маннпуляцин амплитуд "мпульсов
.....2 ВО (т, Е) в выражении для ВI\Ф ВМ., (т, Е) kro и lro пдс;
периодические фУНКШJlJ неопределенности (ПФН) IR..(т. F) 1.
В 'приведеНIIОМ перечпе, как и везде далее. СНМВОJl R закр
Jlel за харЮ\.ТЩНlСТIIкпМII с"".одства кОДОВЫХ последовательностси.
ПО.:l )1uтр\.б1енне "fIIVI1C.IOHHbJX расшвФровOI{ Тllпа «ПВКФ
кодзвых последовательностеЙ» становитСя излишним.
Построен не последующих [дав будУТ опира'IЬСЯ на миоrrl
своЙства вве,1,енных ФУНКЦИЙ. Некоторые нз НИХ, в достаточно и
мере хресто:м:аТlIlшые 11 леп;:о доиазываем:ые. целесообразно при
веСlН сразу.
N 1116-
1 !'1 J ,я",(т. FjledFI.
,.,-.----..0 О
(1.13)
Этот результат. в сущности. служит эквивалентом известноrо
прrшципа инвариантности объема тела неопределенности [9. 10,
12. 48, 69] в приложении к кодовым последовательностЯМ.
2 R..(m)r.,(m)+rhl(Nm). OmNI. (1.14)
r е
1 Hт1
rhl(m) . аkl+та;р rhl(т'lr;.(m). m;;;;'0.(1.15)
11".1111",11 ,
 Шlериоди'lеская (UA!nульсная) ВI\Ф кодов {а.;}. {а,,}, нrрзю
ЩIЯ в теорпи фИННТIIЫХ ДНСhретных СНfиа.1ОВ ту )ье роль. что
R ,(т) по отношению к пернодическнм [3, 12,48.61].
,VI .... ....
3. L RhI (т)  а.оа;о lIa.lllla,II,
тO
(1.16)
NI
["де аАО===  Ghi  постоянная составляющая кода {all.i}.
Е"""О
NI .. NI .
4  R,"'-i+m)R'l\iJ2:Rhk(i+mJR,,(i). (1.17)
1---------0 i---=O
СООТlIоше lНe (1.17) ! '..е1 ..обопытную ннтерпретацшо: если
ПЫ(Ф я.,(т) и ПАI\Ф я..(т). я,,(т) кодовых последователь
,пстей {U.i} , {ан} сами приняты за некоторые новые кодовые по-
с_тедовательностн. то ПАI\Ф первой IIЗ них ПОВ'Iоряет 110 форме
ПВКФ двух последии.
Разнообразные варианты н обобщения равеиств (1.13)(1.17)
.риrурир} ют во MHorHx публикациях по теорин дискретиых CJlTHa
щв [3. 12. 13, 23. 27. 61. 65. 84 н др.].
1.3. ЗАДАЧfl СflНТЕЗД ПЕРИОДИ'!ЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ сиrНАЛОВ
Роль леiiтмотива в содержании последующих rлаn КНlirи прн
надлеЖIIТ вопросам ОПТlI\1альноrо в том или ИНО\1 отношения BЫ
е0ра периоднчеСКIIХ ДIIСl\ретных сиrналов. Хотя далее p.aCCMOT
11

рению каждой специфической задачи предшествует иеобходимая.
преамбула. в которой комментируются и постановочные аспекты.
и избранные критерии качества. н намечаемые пути решения, це-
лесообразно привести здесь иекоторые замечания, касающиеся
проблемы СИНтеза ПДС в целом.
Вопервых, ВОЗМОЖНОСТИ сиrнала RaK носителя информации
реализуются в максИмальной мере тоrда. коrда ПараnлеЛЬНQ с
сиrиалом оптимизируется и способ обработки. ИНЫМИ словами..
коrда в качестве объекта сннтеза выступает пара снrиа.h-фильтр.
освобожденная от априорных оrраничеНIIЙ ТИПа соrласованностп
фильтра [10, 21]. Такой подход и принят за основу в дальнеi'fшем,
и именно поэтому универсальным средством формализации тре-
боваиий к ПДС призиан язык взанмных корреляционных хара,,-
терисТIШ: ПВФН п ПВКФ.
Во-вторых, как видио нз (1.8), в отклю,е фильтра, соrласоваlJ-
иоrо с отрезком одноrо ПДС, на друrой ПДС удается локализо-
вать продукт обработки элемеита 50 (t) (-частотно-временную АК!1>
Во (т, Р» и результат преобразования фильтром кодовой посл-
довательности {а.;} (частотно-временную ВКФ Коопых последо-
вательностей RkI (т, Р». Это, KaI{ правило, оправдывает вошедшее
в обиход разбнение проuедур оптимизации пар ПДС-фпльтl' на
два независимых этаПа  синтез элем€нтарноrо импульса So(l)
и совместный синтез КОДОВЫХ последоваТСlьностеi'r ПДС и фИ1]Ь
тра. Результаты мноrОЧIIслеl1l1ЫХ работ. посвященных оптимнзаЦШl
импульсных сипшлов, нередко содержат rOToBble рецепты реше-
ния задач, ОТНосящихся к первому нз .названных этапов, тоrда как
в рамках нашсrо изложения внимаиие сосредоточено исключн
телыю па вопросах aAeI<BaTHOro выбора кодовых последователъ
иостей ПДс.
Втретьих, задача Оптимизации сиrнала для тех или иных KOH
кретных прнложеншi является. н:онечно. мноrон:рнтериалыюй. по
скольку эффективность реальных систем характернзуется обычно
довольно обширным набором показателей качества. Соrласио об-
щеЙ стратеrии J\.fноrокритернзльноrо синтеза (или. что то же са-
Мое, синтеза по BeKTOpfIO'!y критерию) [5, 6, 21] процедура ОПТJ!
мизацин ПДС осуществима в две стадип. Первая ИЗ них состоит
в выявленни так называемых нехудших [21] (неулучшаемых. оп-
тимальных по Парето [5, 6]) решений, т. е. таких ПДС, у которых
одни показатели качества MorYT быть улучшены тольн:о пеноi,
ухудшения друrих. Вторая же стадия предполаrает выбор IlЗ мно
жества КОНКурирующих (компромиссных, переrовориых [5]) не
худших решений предпочтительноrо. для чеrо нндивидуальные
СI<алярные по!<азатели качества, образующие векторный критериЙ..
свертываются в единую скалярную величину лпбо раНЖIlРУЮТСI1
по степени значимости [5, 6J.
Предлатаемые далее решения реализуют описанную схему в
варнанте. KorAa на второй ее стадии один из множества нндиви
дуальных показателей качества признается r лавным (доминиру'
ющим) , а требоваиия к остальиым учитываются с помощью со--
12
ответствующих оrраиичений [5]. Так, впоследствии повсеместио
фиrурируют оrраничения на аппаратурную сложность rенерирова-
ния и обработки ПДС, формализованные I<Ю, оrра!IИчения свер-
х иа объем алфавита кодовых последовательностеи {а.;}  чи-
co возможных значений комплексных амплитуд a"i ПДС на пе.
иоде кода N. ДЛЯ найденных при этом кодовых последовате'lЬ
остей потенциал улучшеипя доминирующеrо ПО,<азателя при
удержании названной характеристики сложности в допустимых
n еделах оказывается полностью (или почти полностью) нсч.'::р
пнны". В не06l<0димых случаях оrраничения на объем алфв" ra
будут варьнроваться с целью выявления количественных Ov1\.IeH
ных соотиошеннй между сложностью и значением доминнрующеrо
показате..'1Я. \ f
В З3ВIIСН\10СТИ ОТ Toro, К3IПIМ именно требованиям к спrнал}
ПРИПJ!сана роль домшшрующих. рассматрнваемые в книrе задач н
MorYT быть отнссенц: к трем направленням. признаком первоrо
из которых служит приорнтет I<рнтериев, характеризующих каче
ство разрешения ЛДС (см. rл. 25). Интерес к задачам подобно-
ro профнля стимулируется теми прпложениям, в которых полез-
НО\1У ПДС сопутствуют помехи n виде ero копии, смещеиных r:o за
паздыванrfЮ и частоте. Харю{терные примеры таКИХ ситуации да-
ют непрерывная локацпя мноrих целеЙ, радионавиrация и связь
в условиях мноrолучевоrо распространення радноволн, идеитифи-
кация селективных канадов и динамических систем и т  д.
В задачах вторorо направления (rл. 6) в ролн rлавенствую
щих выступают показатели уровня взаимных (переI{ре<:,тных. меж
каиальных) помt:'х. возиш\аюЩИ'\': при одновременном передаче
мноrИх ПДС в общей полосе частот. В опавдание ю{туальности
поисков хороших в этом смысле ансамблеи ПДС можно упомя-
нуть о заслуженно пропаrанднруемы,< системах связн с шумопо-
добными СНПIаламп [14, 72J, в которых за каждым. абонентом за-
крепляется ИНДИВIfДуальный ПДС, выполняющии параллельно
функции н адресноrо признака, н поднесущей для передачи циф-
ровых сообщеинй.
Наконец, третье направление (rл. 7) составляют задачи, в KO
торых первоочередная позицня отдана требованню достаточно бы-
cTporo ввода прнемной снстемы в СIШХРОНИЗМ с иаблюдаемым ПДС
при условии. что аппаратурные оrраничения исключают ВОiМОЖ
ность параллельной обработки всех циклических CABHroB сиrна.
ла. С ТЮШМII случая'\lШ можно встретиться в разнообразных I\OC-
мическнх СlIстемах [64], rде необходимость ПРllменения сиrналов
с весьма большими длинаМII N нереДI<О вынуждает про являть осо-
бую заботу об экономии временных затрат на поиск сиrналов с
помощью аппаратуры приемлемой сложиости.
13

r л А В А 2.
ФИЛЬТРЫ ПОДАВЛЕНИЯ БОКОВЫХ ЛЕnН;ТJ<ОВ
И ОПТИМИЗАЦИЯ nЕРИОДИЧЕСJ<ИХ
ДИСКРЕТНЫХ сиrн "'ЛОЕ
2.1. ФИЛЬТР ПОДАВЛЕНИЯ БОКОВЫ" ЛЕПЕСТКОВ
, "ОСТМIOЕка адач". Оратимся к рзспростраиеilНОЙ ситуации,
IOrta ДОСТ} ПНЫI1 ПрllеМIIОИ ('тороые полезный ПДС;! аддитивно ис
кажен не только. ФЛУКТУ!lЦИОННЫМ шумом, НО 1. супеРIIОjнцней
собственных копин, сдвинутых по времени 11 частоте. Помехи та-
Koro вида чаше Bcero имеют ПРИРОДУI связан ; rю с отра)}\.ениями
от ПОСТОРо,;иих предметов, rраНlЩ раздела ср д, различных неод.
нородностеи на трассе раСПРОстранения, н по му далее будут со.
кращенно нменоваться отраженuя.иu. Рассм/)трим особо случай
hUPJ.3 отражеНIJЯ Це'IИКОМ локализованы на ОСН запаздываннЙ:
т. е. смещены относительно ПОulезноrо ПДG только по временн.
Имея пред "ето" интереса взаимосвязь ((ода с конечным резу ль.
татом обработки пдс, достаточно соrласно сказанному в rл. 1
оrраничиться анализом преобразовзний наблюдае\юrо свrнал
ВН}ТРI:перио:шым фильтром, т. е. фильтром с конечной памятью,
равпон перноду.обрабатываемоrо пдс Ntl. Для тото, чтобы сде.
лать ВОЗМОЖНOII одиозначную (в пределах от О до Л'.'1) оценку
запаздывания полеЗflоrо сиrнала, названный фильтр должен ocr.
ществнть С}1\8тие пдс. то е. воспроизвёсти ero в ВJlде отчеТ..1lIВО
nыделяющихся основных ПИКDв (лепестков). следующих с интер-
вало N1.. Риунок 2.1 даetr иачес:венную ИЛЛIOCтр.:аПJIО СI{ззан.
ному. исходньш пдс. образованным иаи: последовательность сом-
кнутых прямоуrольных раДIIОИМПУЛЬСОВ длительности д,. :м.3Нf.1пу-
лир>ваины" пеРИОДllчеСЫiМ кодом {а,} длины N (рнс. 2.I,a),
проидя ВИУТРlшернодныЙ ф'ШЬТР, сжимается до TpeyrO'lЬHbIX ос.
новных ШIIШВ ДЛFlТельности 2,... совторяющихся сперподом N{I"
11 "eTHO возвыщающпхсн над БOlШВЫМН ле"естками (рис. 2.1,6).
ПреДПО,ОЖIIМ, ч.о НЗ вход внутрипериодноrо фильтра лосrу.
пает суrерпознция ра:шесенных по временн копий пдс, одна нз
KOTOrblX я-вляе'Н::я полез
ным CIUH8..1J:OM. а ОС1'аль
t ные  меШ3ЮЩИ\fИ отра-
}I\ениями. Еслп сжатне
неидеально. так. что каж
дая копня на вы.хдеe
внутр"перио.:щоrо фи.'lЬТ.
t ра нарядv с ОСfЮ'ВНЫ\1
I!i\feeT и БOJювые лепест-
ки (p'Jc. 2.1,6\, последнне,
об\"С'лорленные отраже
IIИЯ\llИ (а.lf.шой интенсив-
ности. MorYT. наложиn
ай ar
aH1 ай йl
[<1
а)
lI,,1 
N.
.)
Рис. 2.1
.J4
wись на основной пиК слабоrо
полеЗ110rо сиrналв. полностью за
маскировать ero. Иныи СЛОRа
МИ. ОТНLшение мощиостсН OCHOB
нО""О И МaI<симальноrо боковоrо
nе..естков 'fl  U 2 0п /U 2 БЛ макс cllr
lIала иа выходе внутрипериодно-
ro Фll.,ьтра (см. рис. 2.1,6) опре-
деляет динамичеСfiИЙ диапазон
разрещеиия П.J;Lс по запаздыва-
юно: тот \faKC :s OM nrсвышения отражениями полезноrо ПДС,
Прll I{ОП}РОМ И ..ечеНlIе информации из последнеrо еще поз
МО>'<ПО.
В случаях, кот а требуемые значения 1) весьма веЛики (пока-
зателен в ЭТОМ отн  еНIIИ пример навлrанионных радItOl<ЫlаЛОВ 1
rде разрешаемые си налы MorYT от-чнчаться на десятки депибеЛ)1
наllболее подходя щи и естественно считать такие ПДС 1 дЛЯ I<OTO.
рых осуществи,ю ид I\льнпе сжатие  преобразование внутрипе.
рнодным фильтром, Об  щающее в нуль боковые лепестки на все"
периоде NJ.. На первь  взrляд может показатьсп. что речь J-1..1Cl
о сиrналах с идеальной (не имеющей неиулевых боковых леIlест-
ков) ПАJ<Ф. Одиако ор;иентация суrубо на автокорреляционные
свойства сиrнаЛОВ 1 означающая апрлорное наложенне На внутри
периодный фильтр требования соrласованности, заведомо исклю.
чает нз поля зрения такоЙ важнейший в ПрИRJlаДIЮМ отношении
класс пдс, как БФМ сиrналы, для которых нереализуемость иде-
альной ПАКФ можст считаться доказанной (см. !i 3.1).
В настоящей rлаве развивается иной подход к оптимизации KO
довых последовательностей пдс, в основе которorо лежит дока-
зываемая далее возмоЖиосТЬ И.Jеалыюrо (в общем случае рас-
соrласованноrо) сжатия любых пдс, удовлетворяющнх достаточ-
но слабым оrраничениям. Опирающийся на 3ТОТ факт крнтерий
f{ачества кодовых последовательностей формулируется в !i 2.3.
Пусть пдс 51 и) и 5 2 (t) одинаковоrо периода N{I" соответст.
вуют векторы a (ао. UI, ... , aNlP, b (Ь О , Ь 1 , ..., bN'P. Подади"
сиrнал 51 (t) на виутрипернодныЙ фи.,ьтр, соrласоваиный с одним
периодом сиrнала 52 и). ПодобныЙ фнльтр в трансверсальной ре.
ализации без учета несуществеЮlOrо для НLlшеrо рассмотрення
фильтра, соrласованноrо с элементом 5 o (t), показан на рис. 2.2,
тде учтено, что для соrласования с отреЗlЮМ 52 (t) весовые мно'
жители внутрипеРIIO.'1.иоrо фильтра должны образовывать после-
довательность. зеркальную и КDмплеКСI,юсопряженную по OTHO
тенто к кодовой последовательности {bi} спrиала 5 2 и). При зтом
В переводе на практич('сиий язык aprYMeHT КОМIIлекспоrо весовО.
ro козффициента Ь'. задает фазовыil сдвиr колебания перед по.
дачей на соответствующиli в"{од сумматора.
В установивше"ся режи"е с выхода Вllутрнпериодноrо фильт-
ра будет сниматься пдс, описываемый вектором c (со, С" ...
О... СNдТ. компоненты KOToporo вычисляются с помощью перио
15
1:
зО
Рис. 2.2

дической (I<РУТОВОЙ) свеРТI<И [19]:
NI NI
С ;   а. b;"т   ОН/ ь;  lIallllbil R12 (i).
k==O k==oO
(2.1)
rде R,,(i)  ПВКФ (1.12) КОДОВЫХ последовательностей {а,} и
{b i }. Иначе rоворя. снrнал на выходе фнльтра рнс. 2.2 окажется
последовательностью импульсов вида 50 (1). манипулированных.
кодом {с,}. символы Iютороrо с точностью до извеСТНОrо 1<0ЭффИ
циента повторяют значения ПВКФ R I2 (i).
При выполненни условнй /
CiO. il. 2..... NI; со*О (2.2)
внутрипериодиый фильтр можио иазвать фильтром подавления бо
ковых лепестков (ФПБЛ). Понятно. что существование ФПБЛ дЛЯ
KOHKpeTHoro ПДС и означает возможность идеальноrо сжатия по
С'Iеднеrо, ПОСI{ОЛЬКУ установившийся отКЛИк  ПЕЛ На «СБОЙ» сиr
нал представляет собой элементы внда 50(1). повторяющнеся с
периодом NI1. При конечной длительиости элемента 110 сиrнал на
выходе ФПБЛ обращается в нуль на все'1 интервале [110. NL\l1o].
и потому рассматриваемый фильтр Полнqcтыо устраняет ВЛIlЯНlfе
отра}кений любой ннтенсивностн с запа1дываннями ИЗ ЭТоrQ ИН
тервзnа на основной лепесток сиrНаЛ8. Эквивалентным будет и
Tal<Oe утверждение: суперпозицня I<ОПИЙ ПДС с отиосительными
временными сдвиrами от 110 до NAo иа выходе ФПБЛ окажет
ся полиостью разрешенной. т. е. будет представлять собой непере
крывающнеся импульсы. I{аждый из которых будет основНым ле
пест ком ОДНОЙ из копий. Названные оеновные лепесТки по форме
в ТОЧИОСТlI ВОСПРОизведут элементы ВХОДНЫХ ПД с, оппсываемые
заl<ОНОМ 50(1), ПОСI<ОЛЬКУ ФПБЛ (см. (2.1). (2.2» не искажает
элементарные импульсы CHrHana. осуществляя лишь пх внутри
периоднос KorepeHTHoe весовое сложение.
Разумеется, следствием несовпадения ФПБЛ с СФ окажутся
энерrетические потерн, т. е. снижение выходноrо отношенпя сит
налшум по сравнению с потенцпально реализуемым, и в этом
СМЫсле на вели'чину ICol lIallllbIIlRI2(O) I желательно было бы
наложить определенные оrраничения СНIIЗУ. Однако. как будет
видно IIЗ дальнеЙшеrо, задание I{ОДОВОЙ последовательности ПДС
однозначно фикснрует структуру ФПБЛ и потому достижеиие при
емлемых потерь в последнем возМоЖНо лишь за счет выбора под
ходящerо закона манипуляции ПДС (см.  2.3).
Условие реализуемости и импульсная характеристика ФПБЛ.
Определенне структуры ФПБЛ сводится 1< решению элементар
НОй задачи линейной алrебры  построению вектора. ортоrональ
НОТО Hel<oтopoMY линейному подпространству. Действительно. объ
единяя (2.2) н (2.1) и пользуясь введенным в  1.2 !Оператором
О. перепишем (2.2) в форме
c/b*O/aO, il. 2..... NI; cob*a*O. (2.3)
показывающей. что вектор фильтра Ь. задающий структуру ФПБЛ.
16
ДОЛ>hен быть ортоrонален Nl циклнчеСКIlМ СДВИrам Dia, i==
""" 1, 2, .... NI, вектора а. .
Пусть все N векторов Dia в совокупностн линен но незаnисимы
И, следовательно, образуют в NMepHoM комплексном евклидовом
пространстве С Х базис. Тоrда в С: :; существует и так иаз,;,ваемый
дуальный (взаимный) базис {у/: /O. 1,..., NI}, I{аждIН .Ш ?e
торов KOToporo ортоrонален всем О'а, кроме одиоrо [45]. v JO 
f!ij. i.iO. 1....' NI. rде бijСИМВОЛ Киекера (б/iI,
б.,О, i*j). Нетрудно видеть, что вектор bc ОУО удов..етворя
вт (2.3), и. слеJJ,овательно. фильтр иа рис. 2.2 с весовыми мншки
теля\1.И, соответ&t:вующим:и компонентам TaKoro вектора, окажет
ся искомым ФПБJ).
С друrой CTOpOll.bJ. пусть для избранноrо ПДС вектор. удовлет
воряющий (2.3), Ha  eH' т. е. ФПБЛ существует. Тоrда. если cpe
ди циклическнх СДВI ов О'а, iO. 1..... NI. вектора а имеются
линеЙно зависимые, акойТО nй ИЗ них может бы.ть записан 
ВlIде линейной комбt tlации остальнЫх Dna::;;;;:::aiD'a, в котором
а,  некоторые комилексные коэффнциенты. а , пробеrает множе
СТI30 всех целых чисел О,Т нуля до Nn за исключен немо n. У шо 
жив обе 'ЧасТи этоrо рз.венства на О и учтя. что О  ()l'  1
(1  единичная матрипа). т. е. onoxn, придем I{ результату
Nl l
b*aco  а«нn))Ь*О aO.
''
противоречащему второму условию в (2.3) и означающему. что при
линейно" зависимости сдвиrов Iюда {а,} ФПБЛ наряду .с БOI,О
ВЫ1И подавит 11 основной лепестоК Таким образом. линеиная He
зависиМОСТЬ всех цнклических сдвиrов l<ода ПДС необходима и
достаточиа для осуществнмости ФПБЛ. причем едннственность
дуальиоrо базиса означает и единственность (с точностью до He
существенноrо коэффициента С'о) вектора ФПБЛ.
Явные выраЖеНИЯ для элементов вектора ФПБЛ можно полу
ЧIПЬ введя корре.,яц!IOНИУЮ матрицу (матрицу [рама) цикличес
, NI"
ких сдвиrов Bel<TOpa а: RIIR(ij) 11 .iO. элемеиты которои
R(ij) lIall2a'O;ja есть просто значения ПАКФ R,,(m) l<ода
{а,} при mii. Если условие осуществимостн ФПБЛ выполие
но. определитель этой матрицы de\ R отличен от нуля как опреде
литель [рама системы линейно независим:ых ,?екторов и R  He
вырожденная матрица. Torдa из соотношении. связывающих дy
альиый базис {у,} с базисом {О'а}. сле-'\ует
NI I
Ь  c у о  c Ilall2 (de\ R)' :s 11.0 о а.
IO
rде 11,.  алrебраическое дополнение элемента R (ij) в опре
делитее de\ R. Переходя к элементам вектора Ь. получаем
NI
b,clIall2(detR)I  11'00«/+/)\. iO. 1..... NI. (2.4)
/:4>
'11

Найденное выражеИIеолностыо задает импульсную хараl\те
ристику ФПБЛ H(t)  ,o b'((N)()(til1). т. е. комплексиую оrи
бающую (см. "I'инятую теРМИНОЛОrJflO в  1.1) ero реКЦlfП на
возденствие в в";(е /I,функции /1 и).
Коз;ф.щ"еит "ередаи Фr.БЛ. Подобно импу,ьснй "аракте-
ристике ни). коэффнциент передачи ФПБЛ F/(f) o"eВJIДHЫM об-
разо" связаи с весовы\ш множителями Ь, (см. рнс. 2.2):
 лr1
Н ({)   b;(Nl)) ехр ( j 2"/il1.). (2.5)
,
И зде::ъ и далее буьвенныir СJ:МВоЛ СО ЗНа!<Оl\1 €:TIIlb'121» означает
Фурье-спектр соответствующей велпины в с ысле I1нтеrралз Лlf
бо ДИСI{ретиоrо преобразования Фурье.
Исследя поие....еllие ФПБЛ при нерио пчесю,,, (с периодом
N 11.) поздеIlСТВИЯХ, достаточно знать знач ия Н (п па чаСТОтаХ
тармоник fk/N!'>. k.... 1. О, 1. "'. ву1дноrо сиrиала. Сотлас
110 (2.5) /
ii ( :r. )  %' b;(N..f)) ех р (  j 2  )  q., (2.6)
тде (
b.\iexp (  j2 N nik ) . k.... 1. 0.1..... (2.7)
iO
П дискретн ( ое преобразование Фурье ПОС.lедоватеЛЬНОСТII {Ь.}.
одставив 2.4) в (2.7). будем иметь
b,. cllall2(det R)' а> '!'>I'Jexp ( j2n/k ) . (2.8)
'O N
Пусть теперь 1-.0. Л'..... ЛN'  собственные зиачення матрнцы
R. Тоща. очевидно. собственными значениями матрицы R' бу
дут 1-.0'. Л'',,,,, Л'NI' Из циркулянТности матриц R 11 R' сле
дует. что Лh и ЛА' можно определить. ВЫЧИСЛIlВ ДПФ первых CT P OI{
R и R' [49]:
ЛА IR(i)exp (  j2;ik ) . k О. 1..... NI. (2.9)
i \
, NI ( . о . k )
,,;; (detR)'  !,>,,,ехр ].щ . kO. 1..... NI. (2.10)
i N
l{aK видно из (2.9). ЛА как ДПФ от ПАI{Ф после,а.овательности
{а;} с точностью д<: коэффициецта lIall2 есть эиертетичеСhИЙ ДПФ
спектр {а;} :л.lа.12/llаIl2. откуда ЛАIlIаI12/1l!.12. Объедннение
(2.8). (2.10) и иоследнеrо реЗУльтата с учетом деЙСТВIПелыlОСТИ
'АА (л'.л.) дает
Ь А  C lIall2 с4, л;;'  c!a;. (2.11)
111
"осле чето из (2.6) следует
ii lk "М co/aA' k  О, 1..... N  1.
(2.12)
Итак. с точностью до множителя со коэффицнент передачи
ФПБЛ на частотах таРМОНlJl{ входноrо ПДС "ринимает зна'.еIШЯ.
обратные компонентам ДПФ входиой кодовой ПОС,1едовательио
стн {а,}. Такой вывод, кстати, следующий и прямо из (2.1), (2.2)
после применеl!ИЯ теоремы о крутовой свертке [19]. конечно, не
является неожи.J.ЦННЫМ. нбо сотласно (2.2) механизм работы
ФПБЛ с частотно  очкн зрения состоит имеино в выравнивании
ДП1>Сflектра сиrна а. В пдане известиЫх параллелей между He
"реРЫБНЫМИ и дискр ТI!ЫМИ спектралы!мии "редставлениямн дaH
ное обстоятельство Wазывает на родство ФПБЛ с известными
фильтрами инверсиоЙ \обработки. изучавшимися еще в 50e тт.
11 В тех или иных Bapl!aHTax встречающимися во миотих "рило
жениях.
OTMeТllM два следствия нз полученных соотношений. ВОlJер
БЫК, установленное необходимое и достаточное условие осуще.
ствНМОсти ФПБЛ сотласно (2.11). (2.12) равносильно требованию
ОТЛIIЧИЯ от иуля всех компонентов ДПФ кода {ai}. BOBTOPЫX.
прнменив к (2.11) обратное ДПФ. можно ПОЛУЧIIТЬ следующнй
весьма полезuыiI эквивалент выражения для весовых множите
лей фильтра:
c N1 [ ( j2пik ) .
Ь, exp . ,O. I.ш. NI.
N k ,,--"-1)a k N
(2.13)
Потери изза рассоrласовашюсти ФЛЕЛ. Как ВИДI!О из (2.12),
при неравномерном ДПФ (l!h*const) кодовой последовательно
стн {ai} ФПБЛ не сотласован с отрезком ПДС S,(t) и пото,,}'
идеальное сжатие СПfнала в He оплачивается ЭflеrrеТlfчеСЮIIИ
ПQте(JЯМП по сравнению с СФ. Т. е. меt"IЬШИМ. чем для f'ослед.неrо,
отношением ВЫХОДНЫХ мощностеи полезноrо снrнала и шума. Пусть
Ре. 11 Ршi  соответственно МОЩНОСТИ сиrнала и шума на ВыХо-
дах СФ иo) и ФПБЛ (iI). Тотда естесТвеинОй мерой уномя-
HVTblX потерь оказывается величина
y(P"nIPw}) ,Р<!.Р пн )
(2.14)
 относительное уменьшение выходноrо отношения СППI3Л-ШУМ
изза рассотласованности ФПБЛ.
ПССКОu'lЬК\ At2 СФ пеlПIn qНI1ЬТрЗ J{()л.'шнеарен а, имеют Me
сто равенства Рею/Ре, cl a'aI 2 /lb'al', Ршо/Р ш ] c(a'Ka)/(b'Kb).
rде с  положнтельная константа. а К  I{орреляциоиная матри-
ца входното флуктуацнонноrо шума. Подставив ЭТlt равеиства .
(2.14) 11 учтя (2.3), ПО.lучltм y (la"al'lIcoi') (Ь'КЫа'Ка). Если
В\:ОДНШf шум нмеет неl1зменну,ю во времени среднlOЮ по ансам-
блю мощность Р ш и некорреЛltрован на интервалах. "ревышаю-
l'

Iцих {I,., то I(Ршl, что вместе с (2.3), (2.1) ведет к следующему
результату:
'I' IIall'IIbll'  R'(O) IIali' 1Ib.12 (2.15)
(c 0 1 2 12 IC o l 2 l J 
принимающему после подстановки в Hero (2.13) вид
11' Nl
'1'  II,  (а; a,)1 ехр [j 2л i (k l' N].
1, k. I==fJ
Просуммировап по i rеометрическую проrреССljio (корни N-й сте-
пени из единицы [15]) и ВСПОМнив о связи собственных значений
матрицы I с энерrетическим ДПФ-сиектро, Ja/,I'. иридем ({ со-
отношениям
'1'   ;" ' 0 ' '   S P OI
N .t..... k N 1'. .
k=o--O
тде Sp l  С."ед матрицы l. I
Полученные формулы подтверждают предвндимый аириори
факт возрастания потерь. соиутствующих идеальному сжатию
ПДС, по мере "неличени" lIеравномерности ДПФ.спектра ({ода
{а,}. !юличественно оцениваемой в (2.16) отношением средней
Nl
арифметичес!юй IIall' lah/'fN и средней rармонической
1<0=0
C':IOhl'/N)l мощностей спеиральных составляющих .,
kO, 1, ..., NI.
С друrой стороны, если в (2.15) вместо (2.13) подставить (2.4),
получится иная верСIIЯ выражения ДЛЯ потерь:
'1'  {l,.rv: det . (2.17)
Этот результат имеет столь же прозрачный смысл, что и (2.16).
Известно [46]. что определнтель rpaMa dct  равен квадрату объ-
ема NMepHoro параллелепипеда ПП1. I10CTpOeHHoro на пучке BeI\
торов O'a/llall. iO, 1, ..., NI. В то же время соrласио (2.3) уро.
вень полезноrо сиrнала (а значит. опюшеннс сиrнаЛШУ'1) на вы-
ходе ФПБЛ оиределяется квадратом длины проекции Bcr;тopa
a/llall на направление. ортоrональное системе векторов О'а, i
O, 1, щ. NI. т. е. квадратом высоты ПП,. если за основание
последнеrо принят параллелепнпед ПП 2 . построенныЙ на пучке
векторов O'a/llall. il, 2, ..., NI. Поскольку !шадрат объема
ПП, равен {l,.oo. квадрат высоты ПП 1 естЬ det f!'!.oo.
/
(2.16)
Об оптимальных свойстr.ах ФПБЛ. В работах, ПОСВЯЩеJJIfЫХ ВЫЩ'ле"ПlO
сИl....'JliзJюВ .на фоне мешающих отраженмй (паосиВ\ны)! по.мех, Iревербера,uий IН т П )
[4. 10. 35 iИ др.]. В iKa-чecrве iКрiИтеpd:lЯ .оптимальности часто фИ-I'УfJ!Ирует вели
чина Р1:  .{)I'1{ОШeзi'и-е .мощностей CIИ'JlН3IЛа 11 .суммарной ('О"nрзжен'Ня nлlOC ФJrYК
ТУЗIЫЮННЫЙ шу-м) помехи на вых.оде фиJIЬ'J1рз приеМ_АоА C'НJCTeм:ы. ХОТЯ в 00-
сыJLкix.. оПрИвеДIШНХ .к iИдее ФПБЛ. в'мичинз Р1: Ц1рнмо.не УПОМiИналась. lI,е'1'РУAfЮ
20
npодемOНICТрН:рОiВЗТЬ IИЗвестную общность зщцач ,идезлыrorо о(:жarrнЯ он макси
JlИзащни Р1:.
Пу.сть 3jДдJН.тнвная сме.сь ПDЛe:mоro ПДС .с флуктуa.цrпонным шумом и Me
шаюЩJiJМIИ О11ражeIНiНЯt.\ШI п()стynает iНa вход ВНУТрJюерИ'оitноrо фильтра, показaa-t
иOfO n-IЗ Р'И''':. 2.2 Пусть попрежнему S(t)  rnr.нал, с Qд.нолерио..l.IНЫМ 01'рез
ком KOТOJIOro соrлЗ!сован раС;CIМзrrр,wваемый фи.1ЬТР. Ес.1J1И считать. что ООН'ОВ....
иш,rу nИ1КУ ПДС ма выход.е фильтра ОТВ'ечаifТ комппе.коная амплитуда
i:o>=llallllbIIRt2(0) (ом. (21». ПJIIКовую МОШj}ЮСТЬ по.леэноrо вых-однorо CiИl'наШI
Раф в J1lреДIЮЛОЖCIШЫI отcyrcтвия «за.цеплети.я» сосед'Ннх 'НМПУЛQВ пдс
(o-.6.) МОЖlНО .найТIИ !Ка1К
Рсф  Ilall'llbjJ'IR,,(O)l'P c ,
r.де р с  ,nНlКовая 'Мощность полезпоrо ПДС 'На ВХQ.де u
Ее.1И фЛfiКтуаI1IИОННЫЙ шум. пО'тупаюшшrI lJ1a внутрlипер.иодlныи ФМЬТР..
lИiМеет '}IIHTepBaJt коррел,яцщ:н в елах 11, ero lOpедняя МQЩНО(1rЬ Р Ш (пол'аrае
мая постоянноЙ) пересчитывается в мощность на выходе фпльтра Ршф соrлаСНD
равенству
(2.18)
(2.19)
ршфIIы
2рш__
ВОСПО.'IыуеМ';:я рз'СпроС'"т,р'а.неmюй МoQllf.,1ЪЮ мешающи,х mражепий в Вilдe
супсрпозицн-и rnrналов, .излучаемых З.'Iем:ента'РНЫМiИ ,некорремрооэ-н:ным'В МСТQЧ
инкаМIИ (Оrf.ражателя,м!я). распределен:ным1И .диакrеnю lIJ1И КОllтинуалыю в He
КО1'OIjIOЙ облаС11Н ЧaJCТО1lНoQ-времешюn плоакости [4, 35, 48] Пусть п("t. Р) 
фyrнЮIlliЯ tраюсеянrия. ха,р3!КтеРlИзующая зависимость .интенаивнос11Н излучения
источника от ero координат 'Т' F на упомянутой п:юскости. Не выХодЯ З3
раlМКiИ IJJPИlНЯТЫХ orOBOpOlК О пренебреЖИМОСl1И час1'о11нымн рa.ocrpойкамш OTpa
жеЮfЙ, -Т. е. раССМrЗт;ривая лишь pa-CJсея!НJi.e по '1', "Следует по.'1'ОЖIЯТЬ 0("['. Р) ==
==о'(т)6(Р), r.;:J:e 'Теперь a("t)  ФУВ:КДIIЯ ра'СсеЯLН\ЯЯ по запаздывашию. МощrН.QСТЬ
Раф ('t). создаваемая па выходе фильтра элементарным отражателем. ;раIСJI{)JЮ-
женпым в тачке 't' lfCI осп за.nаздываlJrnЙ, очевидно. ОfllРе.п.eлнrrся СОО111'OШ8П1ием
I  l '
и(т), .
Рvф(Т)  C,So(T'''') ,
Ре l==-----оо
пршmмаюlll)ЯМ при .l\o::S;; вид
рvф(т)llаll'IIы
'' и(т)  IR12(i)l2ISo(Tit.)I'.
Рс, l-==::DO
В ОИ1у период.ичпос:m СНI'наJ10И днапзон возможныХ З3'П3ЗДЫВЗIННЙ oтpa
жепий можно оrраНIIЧИТЬ интервалом [О, Лf). Тоrда полная МОЩНОСТЬ отра-
жениir .на oНblx,o;J:e фИЛЬ"l1р'З Роф В момент ПiЯКа поле31Юro С!ИJ1нала
о' N!J. QQ
рофllаll'IIы
' SUV(T)  IR12(i)I'ISv(Ti"')l2dT. (2.20)-
Ре о l
rAe введенная фа/К'rаризац.ия О(Т) === аоо'о (Т) разделяет п-rютность ipЗlC'JIред.елeRiИП
N-'
S uo(y)d't==< 1 Н общую иоЩ
отражений O'o('t) , удовлетворяющую нормировке .
)
ность отражений на входе 0'0.
2[

ЛеРИО.J.!JII'I80СТЬ R12.(i) с пеpGIQПОМ N ПОЗВ()J[яет перепиоеаlТЬ (2.20) в виде
N'
P..lIall'IJbll'a,  1т IR..(mН', (2.21)
т""'О
['де [., 11, ..., INI  неотрицателы:lеe коэффициенты, в сумме не бо.-;.ьшне
ДWrI'ИllЫ и по своей lpOЛИ бтi.е к lКонmнуальпоii функlJ.Шi рассеЯН:ШI ao{'t).
Теперь для велН1IИIНW РЕ===Рt:41!(Рmф+Роф) из (2.18), (2.19). (2.21) ПOJlу
.'!Iэетс.я
Р" p,IRlI (0)1',(1 + ош 10IRlI (ОН2+ ош 1;' 1т IR,,(m)I'). (2.22)
тде Ра=== Ilаllt!Рс/Р ш  .иошносrnое or.ношеIЫlе CJWRа.пшум (Ыа БЫJЮДе ВНУl'рИ4
лсptИО,J;rноrо СФ; Au'Doollall:!/PUI .. то ОТН01lleнiИе МОЩООС1еА отраже:юиfr .и шуиа
на ВЫ"'-Q..'I. СФ, !Которое 'ИlИеоо бы .ие:зто при С1"ямвaн.nи отражений с пomюй
.иОIЦНО'-:ТЬЮ 00 в оо:-ну TOqкy ()LiJl "t" (Оv("t}===б(т». а ШТр'Н:tом lНaд ЗlНаlКОМ CYM
мы отмечено JI..lКJIЮЧCiЫ1,е -из llfee c..raeMoro -с т===О
В диапаЗоне пзмененнн IRI:!(О)lз (OIRI2(O)l21) Рх является MOHOTOнt/O
воз.р&стающей функu.ией IRH(O) (2.. Этот фаlКТ оовмес.тно с 'НеОтpiИДате'IЬНОСТЫО
лоследиеrо C.'I.araeMOi'O в ЗН<3IМенаТСJl.е (2.22) устанавливает СJЩЛУЮЩ}"Ю Bepx
шою I1рЗ'НJИIt}Т I4SjКИМ31ЬНО ДQСТИЖJи,моrо 1D1UIОШeНrn:Я аиr.на.п(шум+отрзжeJИf'Я):
p о.. ,,;; р,/( 1 + ош 10).
С .ц.руroй стороны. пусть Р.I:фn(iЛ
..t;зк АЛи !I1OCJleд'Нero RI2(m)==O, m===I.
(2.23)
 значение РЕ на Hы,одеe ФПБЛ. TaiК
2, ..., NI, ю (2.15), (2.22) llолуча€тся
Р" ф.б" P,1'I/(1 + ош 101'')'
ПОЭ"IОИУ ДЛЯ вt>лнчины '\' ===РОllт/Р1:ФП6л спра!Зед:mвы rpan-IНUbl (см.
'«1',,1'(1 + ош ["1'I)/(1 T1.om [о).
(2.23»
(2.24)
и ПОСКОlЪК}' 1'11. "")I'lloO, ТО Y,;.::G.;"..
Тз!Ким образом. ПРОИI1pЫШ ФПБ 1 в отноu;енИiИ {'!JшнаЛШ}Пd со'rлаСОiВаiНJНОМУ
фп.%ТРУ OДHOBpeмeНlНO с.'I}'ЖiJП оцонп,юй сверху прс_нrрыша в отношении alr
кал.. (шуы+'ОО"рзжен-ия) фильтру, МВ1КС"ПJdЯ3Иiрующему r:E' СлеДQВ:J.те.'IЫЮ. ФПБЛ
оказывается пракТИ1Jе.жв ОПТmfar.ьНJ.,М по ООрiНтерliЮ мш..сп.му:м-з Р.:Е дЛЯ п....ех
достаточно С'!::О110ШШ:':», т е. 1IДе"ЛЬ'Нj(I IC1t"ПL\4:З'Е'...'dЫХ с ыалымlИ по.терями '\'. ПДС
. любых рас.ссяннLOi '{ по заоПЗ 'ЦЫnЗНiНIО отражсний.
}-слов'ие Gлизо\.'m 'у к е-дшыщс iНe я-Бля.ется. О'{'НБ'!Ю. !lеобходимым ДЛЯ
оптим"льно....тн ФПБЛ В укзз.аIIШОМ C (еле. Де;1стительnо. р&'с,мотrи){ MHO
же:тво фу.нкtНЙ ра.хенния (J(J(r), для !Которых в (2.21) l:J4=O..T. е ос,}юВ'Иые
лепес1'КИ отражений iН DOJIезНоrQ пдс перекры:ваIОТСЯ Тоrда длS! люооrо сиr
Пала. .идеаЛhlIО СЖ-ПМ8('МОСО е <конечными лотеРИМ'll (,\I<СО). пр.и ДOCT370-tJНOЫ
преш,zшенни отражеШIЯм.я флyu.::туа;цмоиноrо Ш}Ма выпо.лннтси lНерзDeП'CТВО
ЛпJДlО,\II>">1 ,н из (22-1) будет еледо:вmь fJ.:::=:::I. В итоrе для дarниоfi моде..rnи
ИIlreж.швнbl.'{ ОТР<Jженmii -оптимальность ФПБЛ по критерию Р1: paClIl!J0C1'p3
няет('я Uia любые ПДС, длЯ .к-от.орых ФПБЛ реа.imlзуем.
Разумеется, aдeквaruo<=Tb хр,нтерия РЕ J-Iео:."поримз лишь тоrдэ. Ror;i.a co
Iюкупные оtlраження в ClМеси ос шумом '.{QП}'С11НМО 'интерпретировать -как rзус
совскиii случаЙlнЫИ процесс. rПОМlИlая О coorуацнях. ,не поддающихся подоб
ному оЛ'ш:анию. МОЖНО оо:латься flз результа-ты работы [67]. rде фильтры.
8iНвл,оrНЧJlые ФПБЛ. ОПИСЫв3.ются как продукт СТЗТИС1'Иче-CIКОro синтеза опТ1l
"22
М2.льнblX .и-НВЭ'р'и.з'Нтных nрав'ид обна-руженlИЯ и различения сющалов на фоие
пао.'/ИвныХ .fюыех рiВор:н неолрцдслеп_н-оЙ C11p)'IКTYPЫ.
Боковые лепестки вне оси запазДЫВаuий. Полностью осообождClЯ от боко
Bых J"с:пеmюв ось 't. ФПБЛ н силу ИНВ::JpIИзнm-юс-rn объем:а тела .неооределеl'l4
"ости } ве.'JНЧИ-В.ает сред..н'нй их уровень в остальноЙ чacrи п..'юокост\и "t". F_
О .u:е..ущепвеннасти по:ле.дств.'Ий IOOI'O эффекта у6е)IЩтеJlЫI.O roворит сопо'С.тав
JleH' средних мощ.ноОС1"еit боковых лепес'JlКOВ в .!щск'ретныx точ!{а.'{ T==т.
ro k/\:i, т, k.... 1, О, 1. .... дЛЯ ФПБЛ я СФ. ПОOlюльку rorлаана (1.10),
(1.11) рa..з.n:в-чие OТlOВ }":Кзза,нных фJ-!ЛЬ1'рОВ проявляет,::я JJlНШЬ в поведен:и.и
R (т Е) доста'fОЧНС подвеР,flНУТЬ 31Иадп.зу CQotb-ет;;ТВУIOщие ПБФН
IRз(,F) i на Ч1стотах F===kIN!!., причем периодичность IRI2(т. k/N!!) I по
т и k с ОДНН-М 1]1 тем же пер;иодом N (I.:M. (1.9)) свод:ит облз'оть СCJ1О1Нз,нrия
ПВФН IК швадрату Oт. kNl.
Непосре;({_"'Твенн,о .из (1.9) МОЖiНО ПОJI)'Ч:ИIТЬ ф.авснк::rво
1]' IR" (т, Nkf. )\2  N,
m.k===O
JШ .Jnoe явля'я.-:ь 3IН&IЮroм соотношешня (1.13). CBндeтeJlЬCTByeT об JIlНВар.иант
.ocт «бъема» тела .неолре.деле.н.ности над рассм!.'Трнвземым д;и'СlКpe'tIНым .мHO
:жесТВОМ точек.
Остав.ляя .R-Н'деК'.с i===O за СФ. а i==l за ФПБЛ. вычиCJПИ'М з.начеRИЯ "/}f 
- ЫО Щ ОС'l!И OOHORИOI'O. Дл"
среднеЙ М:OЩRОС'l1И. бокоооro леIreCI1Ка, <rrn&eI:lIНОИ к и
СФ RI2(О)===Rи(О, 0)===1 и. П{)('IКQЛЬКУ юбщее 'ЧIOCЛО боковых л,епестков в КВЗД4
рате Oт. kN1 IpaBНiO NZI. iJЫ (225) получается
N  IR" (О, 0)1" 
(N' 1)IR 12 (O, 0)12 N + 1
Для ФПБЛ IR,,(O. ()I'y'. R,,(т)O, lт';;NI. н в OTJlJ!..e ОТ
IIpС.Jыдущero случая сре..'IJИ N2I боковых лепестков ЛrИШЬ }P'N J.юryт быт.
иснулевЫJМIИ. Поэтому вместо (2.26) tимееы
N 1 N l .1
.... 1'
1Ci1' N2N N(NI)'
(2.25)
,
x
(2.26)
ТЗJКИМ 06,рззом, ОThаз от СФ в пользу ФПБЛ ПplИВедет IК воора'ОТ3iНЮ 20:
НОСПТeJlьноir оор,едн,сй мощаЮС.ТТd бакоВых леnес.-мов вне ос.и т Б 'Х I/x О
(N1'l)(N+I)/N(NI) раз. При N:»I X'Jx"""1', что не. У;JjllВи;rо. та"
KlI.K изза пре.не6реЖiН1МОС1lli N по сраDНению С N аб.::{)ЛI011fIЫИ сре.дrн.ии уронен..
боковых JIепеcr.к.ов вне 0000 т у обоих фильтров пракrorчес'КМ ()ЛНН3lJ{ОВ и раз-
Jll{ЧИЯ з.вз'Чснии 'Jeo. х 2 1 обусловдены ИСКЛIОЧИТС.'1ЬНО ПРO!IiI'pышем у ФПБЛ .
МОIIШЮ'СТН О::J}ювпоrо леneсТ'Ка IRI2(O. О) 12.
2.2. ФИЛЬТРЫ ПОДАВЛЕНИЯ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ ДЛЯ сиrНАЛОJl.
С НЕКОТОРЫМИ СТАНДАРТНЫМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ
АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫ\\И Ф'НКЦ!I"lА\И
Из соотношении (2.16), (2.17) следует, что пот!'ри В ФПБЛ це.
ЛIIКОМ определяются видом ПАКФ R(m) кодовои последователь.
иости сжимаемоro ПДG. Кроме тoro. из (2.4). следует. что для
25

ft
1
любых кодов {Ui}. обладающtlх
одной и той же ПАКФ. весовые
козффициеиты фильтра b i , i
==0,1, 0.0' NI, связаны с элемен-
тами последовательности ai, i==
т ==0.1, о-о , N  1. ОДНОЙ линейной
формой. Поэтому "редставляет
ся интересной конкретизация pe
зультатов предыдущеrо параrрафа применительно к иекоторы"
достаточно тИпичным ПАКФ.
Обратимся к ПАКФ с двухуровневыми, реryлярио располо.
женными боковыми лепестками (рис. 2.3):
11,
11
О
1/,
Рис. 2.3
-
(1, т"",О modN,
R(m){ R, mфО modN"
l R" т"",О modN 1 , mфО modN,
rде N,IN (читается «N, делит N»). Поскольку всеrда справедливо
равенство R(m) R*(Nm), то RR*, R,.R*, и R, R,  дей.
ствительиые числа. Миоr"е из хорошо известных [3, 1214, 48,
59, 61, 69], а также описываемых далее последовательностей об.
ладают ПАКФ вида (2.27). Подверrиув (2.27) ДПФ, будем иметь
j laol2, k "'" О mod N,
1;;.12 laLl2, k == O modL, kфО modN,
1a.1 2 , kфО modL,
!'де LNIN,  число точек, в которых R(m)*tR; laoI2lIaIl2[1+
+(LI)RI+(NL)R]; laLl2 liaI12(IR,+L(R,.R)]; la,12
llaI12(IR,).
Теперь соrласно (2.16)
'I'  { l+(LI)Rl+(NL)R +
+ (N 1)(1 R,)+N(L IJ(R, R) }
(IR,JlIR,+L(RlR)] .
Непосредственное приложенне ЭТОТ результат найдет в rл. 3,
а пока рассмотрим ero важный частный вариант, относящийся к
случаю, коrда ПАКФ иМеет одноуровневые боковые лепестки, т. е.
R(m) { 1, т"",О modN, (2.30)
R, mфО modN.
Поиятно, что (2.30) следует из (2.27), если R,R, либо N,N,
лнбо, наконец, N,I. Подставив любое из ЭТllХ равеИСТ8 в (2.29),
I10ЛУЧИМ (27)
'1'  [1 + (N  2)R);(1  R) [1 + (N  1) RJ. (2.31)
Пусть RIIN, что выполняется, иапример, для Мпоследо
вательностей с произвольным основанием, а также ДЛЯ ряда ce
(2.27)
(2.28)
(2.29)
24
мейств бииарных последовательностей с элеме'lТами + 1,  I [3,
12I4, 61, 69). ПоследоватеЛЫIOСТ1 TaKoro типа В силу мИиимакс
НОСТИ их автокорреляциоиных сНоНетв часто считают наилучшими
с точки зрення разрешеиия сиrналов. рассеянных по запаздыва
иню. В то же время, как видно из (2.31), для подобных последо
ватеJV>иостей ,,2NI(N+l), что при N» 1 означает. потерю поло
вииы ,иерши ПДС при идеальном сжатии. С друr01l стороны, 110-
ложив В (2.31) RkIN, rде k;;;'O, леrко убедиться, что при N» 1,
k«N ,,N (Nk) [25]. Таким образом, в С.lучае ПОЛОЖ1lтельно-
[о фоиа боковых лепестков ПАКФ', даже MHoroKpaTHo превыша-
ющеrо уровень l/N, возможны заметные выиrрыши в значешш у
по сравнению со случаем RIIN. Объяснить этот факт можно
тем, что при RIIN одии из компоиентов ДПФ (а именно по
стояниая составляющая до) близок к нулю  для бииарных пос
ледовательностей эТО обусловлено примерно равным числом CHM
волов +1 и 1 на периоде {а;}  11 средиее rаРМОИII'ческое зна
чеиис энерrетическоrо ДПФ--спектра оказывается малым по cpaBHe
иию со средиим арифметическим. .
Вернемся опять к (2.27). Для вектора ФПБЛ '!ри такои ПАКФ
после подстановкн (2.28) в (2.13) и несложиых преобраЗ0ваиий
получится
b,c ( a, a.,i'i112R RlR  'a,+sN' ) ' (2.32)
1a.1" I"LI" '''LI" 
rде с'осопst, iO, 1, ..., NI. При ПАКФ вида (2.30) послед.
ний результат прииимает вид
Ь, c [а, I +(.  I)R а., J. i  О, 1,..., N  1. (2.33)
Соотиошеиие (2.32) показывает, что дЛЯ ПДС с ПАКФ (2.27)
далеко ие все N весовых миожителей ФПБЛ b i , iO, 1, __., NI:
обязательно различны. Обозначая число иесовпадающих зиачении
весовых миожителей ФПБЛ через М ф , На ОС'lOваиии пернодичио
СПI по i с периодом N, суммы в (2.32) имеем.МфМ.N" rде М. 
объем алфавита (число возможных значении сиыволов) кода {а;}
обрабатываемоrо пдс. В то же время простейшие комбииатор
L I
ные рассуждения показывают, что сумма  Ui+I!N. может при..
s"",,1
ннмать не более чем (L+Ma2)!/(LI)!(M.I)1 различных
Значеиий. В итоrе
М . { М N M.(L+M.2)1 N } (234)
ф<:;;;mш . l' (L l)!(Ma 1)1' . .
Для бниариых последовательиостей a;:i:I, Ma2 и (2.34)'
превраuцается внеравенство
М ф <:;;;m iп{2N 1 , 2L}. (2.35)
1 Примеры последоватеlЪностеЙ с такими ПАКФ t'iУДJТ раССI.ютрены :g
 3.5.


Фактический объем алфавита весовых миожите."2Й ФПБЛ дЛЯ
конкретных ПДС может оказаться существенно меньшим оцеиои
(2.34), (2.35) (см.!\ 3.5).
При одиоуровневых боковых лепестках ПАКФ (см. (2.30»
вместо (2.34) прямо из (2.33) следует МФМа, что, в чаС1ll0Стн,
для БФМ ПДС означает двузначность весовых множителей ФПБЛ.
2.3. КРИТЕРИЯ оптт,\АЛЫЮСТИ сиrндлов
Мноrочнслениые работы, посвященные анализу и синтезу ши
рокополосных спrналов. в ОСНОВНОМ ориентнрованы На" критерии
качества, оценивающие предпочтнтельность ПДС уровием (Mal<'
симальным, среднеквадратичеСКIIМ и др.) боковых .1el:eCTKOB
ПАКФ [3, 13,48,61]. Установленная в!\ 2.1 для весьма широко.
ro I<ласса сиrналов осуществимость ФПБЛ дает повод усомипть-
ся В бесспорной адекватности подобных критериев задачам выде.
ления ПДС на фоие рассеянных по запаздыванию отражений.
Действительно, располаrая ВОЗМОЖНОСТЬЮ ПоЛноrо устранеНIIЯ по
мех от боковых лепестков отражении, вряд ли целесообразно 11"
уровень На выходе непременно соrласованноrо фильтра считать
единственным мерилом приемлемости сиrиалов. Более рациональ-
ную Шl<алу качества ПДС образуют, по-виднмому, те цены, кото,
рыми оплачнвается полное избавлеиие от вредиых эффектов, обу-
словленных отражениямн. Таl<ИМ образом, можно сформулиро'
вать следующий критерий оптимальности ПДС В приложенин к
рассматриваемому классу задач разрешения: в задаииом миоже-
стве сиrналов лучшим следует признать ;сот. для KOToporo потери
В ФПБЛ '1' минимальны.
Уместио ilOдчеркиуть, что отмечеиная В !\ 2.1 близость ФПБЛ
фильтрам, макси>,jНЗИРУЮЩим отношеlll'е сш'иа.л-(шум+отраже-
ния), родннт оптимизацию ПДС по критерию миип"у"а '1' с зада.
чамн синтеза пар сиrналфильтр из УСЛОБllЯ РЕ:::=:.тах, детально
исследовавшимися мноrими авторами применительно к ФИНППIЫМ
сиrналам [10, 21, 47]. Более тoro, теория фи.1ЬТРОВ, подавляющи>
до иуля отклнк На фннитный Сllrнал в задаином миожестве точен
qастотновременной ПЛОСКОСТII, также разработана достаточно
подробно блаrодаря трудам школы проф. М. Б_ Свердлнка и ие-
которых друrнх исследователей. В то же время, за исключеНllем
классической моноrрафии [16], очерчивающей общне контуры
проблемы, трудно указать какие-либо источники, предшествующие
[25, 27], rде идея полноrо подавлеиия боковых лепестков увязы-
валась бы с задачами сиитеза пдс.
Разумеется, при отсутствии оrраннчеиий на код {а,} задача
ero оПтнмнзации по критерию мннимума V решается тривиально:
любая последовательиость с равиомерным ДПФспектром, т. е. с
ндеальной ПАКФ, обращает функциоиал '1' (2.16) в мннимумми,
ниморум, равный едннице. Еслн единствеиным оrраничеиием на
код ЯВЛяетсЯ ОТСУТСТI!ие (или малая rлубнна) амплитудной МО-
ДУЛяции, т. е. блнзость к единице nUl,фа"тора 'VNmaxlaiI211Iall'
i
26
(отиошения пиково!i мощности ПДС к средней), задача сиитез&
вь не иуждается в специальном рассмотрении. IIбо хорошо нз-
::TIIЫ мноrочислениые мноrофазиые [3, 14, 48 и ар.] либо бинар
ные (с непротивоположными символамп) [3] последовательности
с идеальиой ПАКФ.
Для практики. однако, основиую цеиность представляют рсше
на Мll ожествах кодов с априори фиксированны
НlIЯ получаемые
, Ф Оrран ичения TaKoro типа позволяют в максимаЛЬ 4
ми ал ввнтами. я
., ме е честь факторы теХЮlческоrо и технолоrическоrо пор д
иои р Укак сложность аппаратуры, ее надежность. c:oI-Iмосты'
ка. такие П По ви д имом у нет осиоваиии сомие
оспроизводимость и т. . ,
в ться В ТОМ что при прочих равиых условиях раэработчик пред-
ва ПДС 'с простейшнм из возможиых алфавитов кода. В этой
::T оБЪЯСИИМ ме а llт О о С в ОБ :i: аЯ1 i.озь :i:бlИЫ:П:в:'fЧ:':НI::ОфрС:
таящпх из эле, ми Koдa
ования и обра60ТКИ сиrналов. манипулированных таки .,
и ие требует применения коммтируемых фазовр ф ащатле'::;е::
к CHO сопряrается с современнои нитеrральНОl.t.и pBOII э
той базой, наименее 'l)'вствиorельна к уходам н дреифаll и ' д t
Ф О М у ли р ованная выше задача отыскания
Поэтому далее с р лыми ) значениями '1' нсследу.
с минимальными (или приемлемо ма 
стея В приложении к бннарным и троичным кодовым последова
ТeJlЬНОСТЯМ.
r ЛАВА 3.
БИНАРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ С МАЛЫМИ
ПОТЕРЯМИ НА ПОЛНОЕ ПОДАВЛЕНИЕ
БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ
3.1. КОА\А\ЕНТАРИИ К ПОДХОДУ
Оr р аиичив множество нсследуемых ПДС БФМ сиrиалами, длЯ'
} . 1 О 1 разумио В качестве предва.
которых aiE {:!: 1 , L==== .-. ,  I , ,.... таточно оБШIl иый пере-
рительноrо шаrа проанализировать дос _ ( БП ) Р [ 3 1214
чень «roToBblX» бииарных последовательностеи., , т
23 6l 72 и др ] на предмет приемлемосТII значении '1"
'Прежде Bero необходимо отметить, что, за исключеиием eT:
виальной последователыюсти Д.1ИНЫ N==::;4, в Уi10мя 1 иyr Б ОМ п Р
П - ПАК Ф т е с 'I'  олее Toro,
не отсутствуют Б сидеальнои ,. . . БП
С Сто е ом доказано несуществование таких
Р. Турииом и . 4< .  12100 [ 74 ] Известно также, что MaKclI
В дипазонс длии ,,. ПАКФ БП
мальное абсолютное зиачеиие RaM 601\:0BOl'0 лепестка
оrраничеио сиизу соотношенпями [23, бl]
[1 'N N == 1 mod 2,
Ra..;;' t2'N: N =:: 2 mod 4,
(3.1)
27

'и потому, если придерживаться минимаксноrо критерия качества,
оптнмальиыми среди БП ДЛЮI. не кратных четырем. следует при
зиать те. которые обращают (31) в равеиство. Аналоrично, по
скольку N[1R(т)] == Omod4 [23. 61]. иаилучшим (по крайией
мере. В интервале длии 4<N12100) в минимаксиом смысле при
N ==0 mod 4 ДОЛжиы быть сочтеиы такие БП, дЛЯ которык. Rпм
==:=4/N. Последовательиости с указанными мниимаксными свойст-
вами и оказываются традиционно в фокусе внимания исследова.
телей.
Одиако, как показаио В !i 22. иаиболее популярные среди ми
ннмаксных БП посдедователыlOСТИ с одноуровневыми боковыми
лепесткамН ПАКФ RI{.v (Rпм I{N)  известны пять их ти-
пов: Мпоследовательности, последовательности Якоби. Холла,
квадратичных вычетов. [ордона  Миллса  Велча [3. 12.61. 83] 
малопривлекательиы в смысле критерия мииимума "". Составляю
щие друrоЙ известный класс миНимаксНЫХ БП «характеристичес-
кие» коды четных длин N. детально изучавшиеся В работах p Ty
рииа. B М. Сидельникова. М. и. Пелехатоrо и др., как устаиовле
но В [30]. либо вообще ие поддаются идеальному сжатию. либо
сжимаются с большими потерями"\,.
Таким образом. очевидиа самостоятельность задачи сиитеза
БП с малымн потерями "". неТРИБиалыlOСТЬ ее отличия от более
стаидартной задачн поиска мнниМакснЫх последователыlOСтей.
3.2. ПРЯМОЯ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ БИНАРНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕИ
Рассмотрим следующую задачу целочислениой оптимизация:
}la множестве всех NMepHblX сиrнальных векторов а с двоичными
компоиентами a;==::j:I. i===O. 1. .... Nt. паi1ти вектор а О . ДOCTaB
JIЯЮЩИЙ минимумминиморум целевой функции "\' (2.16). После.
довательность. задаваемую вектором а О , уместио назвать r лобаЛk
но оптимальной при данном N. Существование удовлетворяющих
условию реализуемостя ФПБЛ БП при любых длинах N3. под
тверждаемое. к примеру. вычислеинем ДПФ кода ao+I. ai
1. iI, 2. .... NI. делает сформулированную экстремальную
задачу содержательиоЙ во всех представляющих практический ин.
терес случаях.
При отыскании rлобапьио оптимальНых БП изза невыпуклос-
ТlI и несепарабельиости целевой фуикции l' приходится примеиять
переборные алroритмы. Одии И3 них был реализоваи на ЭВМ с
учетом резервов ускорения вычислеинй. вытекающих нз следую
IЦHX соображений:
1. Целевая фуикция "\'. как нетрудно проверить. ш!Вариантна
.относительио rрупп отображений простраиства сИ'rнальных векто-
ров иа себя. задаваемых соотношеНIIЯ:\rШ aia;. aiai+т. ai"""""
",-+а«н)). rде т  произвольное целое, а t  целое взаимно про-
етое с N. Поэтому ка:щдая иэ этих rрупп разбнвает множество
БП на классы эквивалентностн, так что для расчета целевой функ-
'8
иии достаточно брать лишь по одному представителю l<аЖдоrо
J<JIacca. 
'". Независимость aoo:::<=2KN. rде К  число симВОЛов + 1 иа
л е р7"о;:;..е БП. от коикретной внутренней структуры посдедователь
nости позволяет воспользоваться довольио простой версией MeTO
да ветвей н rраннц [2]. Предположим. что наимеИl>шее из най
деи ИЫХ До текущеrо Шnfа перебора значение целевой ФУНl\ЦИИ
равно "\,'. Тосда исходя из неравенства
"\' i";;ol2+(N 1)2(N2 1a.,12)1. (3.2)
устаиавливающеrо нижнюю rраницу потерь прн фиксироваииом
абсолЮТНОМ значении постояииой составляющей ао. можно исклю-
ЧИТЬ из дальиейшеrо рассмотреиия все БП с такими значениями
у. при которых правая частЬ (3.2) !,е меньше у'. Для ченых длнн
N можио получить дополнительным тест качества ве.!веи. IIСПОЛЬ
зуя усиленный аналоr (3.2), учитывающий наряду с ао и UЩ2 [30].
Практическим итоrоМ применения УПОМЯИУТОfО алrоритма яви
лось uтыскаИllе все). rдобально оптимальных БП длии N30.
представлеиных в табл. 3.1 номерами позиций i, На которых сто.
-Таблица 3.1. rлобальuо оптимальные бинарные последовательности
N I
I М Ф Iv.дБ
ПОСJlСДСВ8ТС.'lhНОСТЬ
3 О 2 1.76
4 О 2 О
5 О 2 0.46
6 О 2 1.19
7 О 2 1.88
8 О. 1. 3 3 1.25
9 О. 3 3 2,21
10 О. 1. 2. 4 10 2,24
11 О. 1. 2. 5 11 1,11
12 О. 1. 4, 6 4 0.5\
13 О. 1. 4, 6 2 0.17
14 О. 1. 4. 6 3 0.85
15 О. 2, 5, 6. 7. 9 15 0,62
16 О. J. 4, 5. 7. 9 14 1.00
17 О. 1, 4. 5 7. 9. 10 17 0.85
18 О. 2. 4. 5. 10. 11 18 1.09
19 О. 1. 5. 7. 8. 9. 10. 13 19 0.46
20 О. 3. 7. 9, 10, 11. 15 4 0.46
21 О. J. 2, 4, 8, 11. 16 5 0.45
22 О. 1. 5, 8. 10. 12. 13. 14. 16 22 0.86
23 о. 4. 5. 7. 10. 14. 15. 16 23 0.46
114 О. 1. 6. 9. 11. 13. 14. 15. 17. 18 20 0.25
1!5 О. 2. 3, 4. 5. 8. 11. 13. 17. 18 25 0.49
26 О. 5. 7. 8. 9. 10. 13. 17. 19. 20 26 0.51
117 О. 3. 4. 5. 6. 8. 11. 13. 17. 20. 21 27 0.40
118 О. 2. 3. 6. 9. 10. 11. 15. 16. 18, 20 28 0.53
29 О. 3. 4. 5. 6. 11. 12. 14. 16. 19. 23 29 0.50
30 О. 3. 5. 8. 9. 10. 11. 12. 16. 20. 23. 24 30 !J.51
_ _о
Jlg

Ят символы ai==]. Таблица демош;трирует достаточно Mтыe зна
..ения потерь 'l'цБ  10 Ig'l' для мноrих ПРИВЕ1деииых в ней БП.
Рассмотренной прямой стратеrии сиитеза БП своЙственны сле.
дующие очевидиые дефекты.
Во-первых, прн больших размерностях (N;;a.25) требуемое ма.
шиниое время стаиовнтся непомерно большим. Попытки повысить
скорость алrоритма за счет перехода к более совершеиным моди,
фикацням метода ветвеЙ и rраииц оказались безуспешиыми изза
трудностей в полученни аиаЛИТJ.!чесl\J[Х оценок целевой функция
на миожествах частично целочислеины.х векторов. Неприемлемы
ми вследствие резкоrо увеличеиия размерности задачи оказаЛIlСЬ
и методы сведеиия проrраммнроваиия к лииеЙному. В итоrе ;--o
ворпть о серьезных перспективах заметноrо продвижеиия в об
ласть длии N;;a.30 в рамках прямоrо синтеза БП не прпходится_
Во-вторых, при прямом синтезе невозможно уловить реrуляр-
ность БП, т. е. существование единоrо правила кодирования, ана-
литически описывающеrо алrоритм построения последовате.rlЬНО
стей для счетиоrо набора д.лин и тем самым задающеrо структу-
ру reHepaTopa для целоrо семейства БП.
В-третьих. ПАКФ большинства из найдеиных rлобалыlO оп-
тимальных БП имеют достаточно нереryлярный вид (см. рис. 3.1,
отвечающий N 29), что HueeT следствием значительный объем
М", алфавита весовых множителей ФПБЛ. С точки зрения прак-
ТflКИ. напротив, предпочтительны, КаК правило. малые ЗН811ения
М",. Действительно, еслн весовые коэффициенты фильтра Ь. при-
надлежат алфавиту {Ь ' . Ь', .... Ь МФ } при Мф<N. то из за,шси
(2.1) в виде
м
с,  'L'" (ь')*}:а,+"
1===1
r..e виутреинее суuмирование осуществляется по всем k. для ко-
торых bk==b ' , следует ВОЗМОжНОСть оБOliтись при вычислеини CBep
тки С. всесо М Ф умножеинями вместо N. Сокращение числа YMHO
жеиий обычно способствует более экоиомиому иСпользованию ап
паратно-проrраммиых ресурсов, упрощая и удешевляя техиичес-
кое воплощение соответствующеrо алrоритма. С друrой стороны,
как видио из табл. 3.1. для половины из перечислеиных II wеЙ по
1 r.
II/}f
'.

f/'
Рис. 3.1
30
слt:,J.оватепьностей Мф==N. Понятно, ЧТО сопутствующие ЭТО:\r1У YC
J10жиеНIIЯ фильтра снижают практичсскую ценность r лобальио оп
ти"альных БП.
СК8Зllиное обосиовывает переориентацню да Чьнеишеrо MaтepH
ала rлавы в направлении поясков реrулярных БП с малыми (xo
ТЯ Н не обязательно МИНИ'1ально возможиыми прн соответствую
lllH>: дчинах) значеииями потерь V и проrнозируемо малым объе
>10>1 алфавита весов ФПБЛ М ф .
3.J. Б H'PhblE ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НД ОСНОВЕ
р"З/ЮСТНЫХ i\:JIОЖЕСТI:
Как видно нз !i 2.2, среди БП с одноуровневы"и боковыми ле-
пе, ,1,"'111 ПАI(Ф MOryT существовать такие, ДЛ" которых потерн
'1' достаточно малы. Так как к тому же всем БП с ПАКФ (2.30)
ОТL:>IIaЮТ простые (ИJl.(еlOщне мИIlJ.!мально возможный q"бъем алфа
ВIIТ весов Мф2) ФПБЛ. налИЦо осиования д."я особоrо рассмо-
треНИЯ последовательностей этоrо ТИПа. .
Начне.. со след}ющеrо определения [61. 71. 74]: (N. К. л)
разII.ОСТII.Ь!J.! МlI.ожествоJ.' S {s,: iO. 1, ..., к} иазывается МI10-
жсство К иаименьших иеотрицательных вычетов по модулю N.
таких, что среди K{KI) всевозможных разностей s,s;, i*i,
i, i 1, 2, ..., К. каждое из зиачеиий 1, 2'.... NI встречается
ровно л раз '.
Соrласно этому определен"ю множества S и Sп,({(SI+m»,
«( 2+пl}), .... {(SR+m»} пр,! любом mФОmоdN имеют ровно
л общих элемеитов. Поэтому, ПО.'Iожив aj==-l для iES. ai==l
для iфS, получим БП, Циклический сдвиr которой иа mфО mod N
позицпЙ оставляет на месте ровно').., из К символов положительио
ro знака. Леrко убедиться в справедливости для БП с таКим свой-
ством СООТllOшеиия (2.30), в котором [61]
R!4(Кл)N, (3.3)
I(aK и в соответствии любой БП с одиоуровиевы\ш боковыми JIe
ПС'тками ПАКФ некоторому (N, К, л) разиостному множеству
(РМ). Такп" образом, РМ являются взаимно одиозиачиыми экви-
валеитам" иитересующих нас БП, и потому для прояснеиия воп-
роса о существовании и возможных правипа'Х построення послед
них можно воспользоваться реестром известиых к ИЗСТОЯIце,"у
времени разностиых множеств [71, 74]. Адаптированная к прово-
димому анализу версия этоrо реестра исчерпывается следующими
классами РМ:
1. Тривиальные РМ. В этом классе, обычно оставляемом без
внимаиия, но оказывающемся полезиым при конструированин БП,
описываемых в !i 3.5, выделнм два семейства РМ, существующ"х
. Понятие раЗНQСТНоrо множества :может быть обобщено На пропзnольиые
Конечные rpYnnbl [71]. ОДНaIЮ д,я данноrо ИЗJ"lожеШJЯ достаточно классичес.
ХOl'"о определения.
31

при произвольных N: пустые (ПРМ) (К o, лО) 11 одноэлемен
Тl!ые (ОРМ) (K\, лО).
2. РМ Зинrера (ЗРМ) и их обобщения [ордоиа.Миллса-Велча
[74,83] с параметрами N(q"\)/(q\), K{q'H\)/{q\),
л{qn'\)/{q\), <де qpW, рпростое, а n и wиатураль,
ные ЧИСlJа.
3. РМ типа Адамара (APM) ДЛЯ ннх N=:3mod4 либо про
стое число, лпбо произведение просты'l: чисел-БЛlIЗlIецов р и р+2,
Лllбо ЧIIСЛО вида 2"1, <де nHaTypa:lbIlOe; K {N\)/2, Л
 {Л3)/4. Этот класс распадается на пять семеЙств РМ: :iпн.
<ера и [ордонаМплсаВелча с q2 (общие в классах АРМ
11 ЗРМ), квадратичных вычетов, Якоби и Холла. Перечнсленпые
семейства объеднняет то, что для соответствующих БП (см. Э 22,
3\) RI/N. Различия же их, проявляющиеся в тоикой струк-
туре БП и специфике оrраничений на N, в данном коитексте "e
существениы
4. РМ биквадраТIIЧНЫХ вычетов (БРМ). В этом класседва
семейства РМ: собственно биквадратичиых вычетов и Уитмена
Для первых Nпростое число вида 4х'+\ (хнечетно), для вто-
рых Npq, [де р и qпростые, TaKlle, что р == \ mod4, q3p+2.
в обоих случаях K (NI)/4, Л {N5)/16
5 РМ биквадраТlIЧНЫХ вычетов С добавлением иуля (БНРМ)
с параметрами N4x2+9, [де хнечетно, K(N+3)/4, Л
 {N+3)/\6
6 РМ восьмеричиых вычетов (ВРМ). ДЛЯ нпх N  простое
число вида N8a'+\64b'+9 (а, b. нечетпые) (либо N
8a'+4964b'+441, а  нечетно, Ь  четио), K {N\ )/8,
Л (N9)/64 (либо Л (N+7)/64).
В табл 32 приведеиы следующие из (3.3) соотношения дЛЯ R,
с помощью которых совместио с (2.31) можио иаЙТИ потерп в
ФПБЛ дЛЯ БП, порождаемой данным PM [лаВIШЙ ннтерес, од-
нако, представляют два последних столбца таблицы, содержащие
значения "со== Нт V и "оадБ ==IOlgVIXI 1 ПОЗБQ.пяющие соПоставить
Noo
качество всех достаточно ДЛИННЫХ известных БП. }ДОВJ1етворяlO
т а 6 л и u а 3.2 Параметры бинарных последоватепьностеii Н3 ОСНове разностных
множеств
т"п РМ
R
У ОО
V<XIp;B
ОРМ
ЭРМ
АРМ
БРМ
БtJPM
ВРМ
(N4)/N
14q"2(qI)/(q" 1)
IJN
(J/  1) /4N
(Н 9) /4N
(9N  1) /16N ми (9N + 15) / 16N
00
00
ч';4(ч 1)
2
1,33
1,33
2,29
10 Ig [ч'/4 (Ч 1)]
3
1,25
1.25
3,60
32
oJ.l" (2.30), с позицнi't IIзбр а пноrо здесь критерня ОПтимально
CTJI.
Как ВИДНО. оптимальными в paCCMaTplJBaeMOM множестве ПО
r:JI('1.0вательностей являются БП основанные На 3P.J\'\. (коды 311н.
,ера), с параметром q3 Малые потери (VООДБ ",,0,51 дБ) в со-
qeTa 1ИИ с IIрщ...'}lце", псе\1 БП П.3 таб,'1. 3.2 ДR\lЗllаЧIЮСТhЮ весов
фПБЛ дают осиование счптать ЭТ} раJIЮВIl1.НUСТЬ I...О;:l,ОВ Зlll1rера
весь,{а ПРИБле({ательной для приложеишi. в КОТОрЫХ неоБХОДII\10
вьшсдять ПДС па фоне пнтенсивиых отражений. Обычно теОрllЯ
кодов Зииrера (и ЗРМ) изЛаrается на языке проеКIIIВНЫ' reo-
метрий L61, 711. О;::,нзко таКОе IIХ описанне не ЯАЛЯется еДШIСТ
BeIlIIIJ" (и изиболее простым). В чаСТIIOСТИ, В  3.5 ЭТII КОl,Ы fiO
явятся как O.1.I:IH 113 варпаитов реrуляриых БП. ПОЛУI]аемы отоб
ражснпем элемснтоВ линейиых последовательностеЙ над конЕ'чны .
МИ пОЛЯМII на '1II0жество {:!: I} 
На фоие кодов Зш"ера с q3 (11 в особенности ПОС.1едова-
те,1ЬНОСтеЙ, описываемых далее В Э 3.5) все прочие БП из табл.
32 выrлЯДЯТ Не столь интересиыми. Так, дли кодов Зинrсра с q
4 прн сжатни сишала В ФПБJl теряется не меисе четвсрТII
ЭНСрПIII (1'ЛБ порядка нли более 1 дБ), для БП на осиове БРМ
около трети (Vоодr.  1.25 дБ) Н T д В ЭТОЙ связи умсстно сос-
латься иа популяриые оценки [70], со[ласно которым экономичес-
киЙ урон от. казалось бы, малозаметиых эиерrстН'чеСI'\ИХ потерь
порядка 1 дБ может llСЧИСЛЯтЬСЯ ДОВО.1ЫIO внушительными цпф
рамп"
3.4. I(ОНЕЧНblЕ ПОЛЯ И ЛИНЕИНblЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Для усвоепия содержаиия ряда последующнх разделов книш
требуется ДОВОЛЫIO уверенная орнентировка в таких ПOlIЯТИЯХ
СОВРСVIеииой алrебры. ,(ак rруппы и коиечные поля. ЛI-Iмитироваи
НL..Й формат издания ие остаВ.'IЯет достаточноrо простор а для под-
,ооиоrо и включающсrо все сопутствующие доказательства НЗ.'10
Жения соответствующих разделов матеМ8ТИКII. Поэтому настоя.
щшi параrраф посвящается справочио-конспектнвной констатаllИll
тrебуемоrо минимума сведеиий с сохраиеинеVl ЛИШЬ ДОI<азательств,
прииципиально важиых либо не СТаВШИХ пока достояиием обще
доступных ру"оводств. Чнтатслю же, стремящемуся к большеЙ r лу.
бине постижеНIIЯ иден современной прпкладной алrебры. можно
порекомечдопать ИСТОЧНИКII [7, 11,51,54 и дp].
rруппы. r.РУППОli называется множество G. на котором за l.a
На б/тарная (двуместная) операЦIIЯ 0, ставящаи В cOOTBe1cTRlle
Любой паре эле\1еитов а, Ь ИЗ G некоторыЙ третий элемент с. TaK
Же принадлежаЩIIЙ G: ca0bEa, н удовлетпоряющая пр" этом
3i\( юмам:
1) аССОЦН3ТИВИОСТII:
(a0b)0ca0 (Ь0с);
279
33

2) существования h-еuтраЛЬfЮ20 элемента е. ие нзмеияющеrо
любоrо эЛемеита а. участвующеrо вместе с е в бинарной операции:
a0ee0aa, YaEG;
3) существоваиия для любото а из G обратноzо элемеита al,
обращающеl'O с помощью бииарной операции а в е: a0al
a10ae, YaEG.
Далее речь будет идти только о KOM,"YTOТlIBHbtX (абелевых)
fr:'P!lax. бинзрная опер:з.uпя в которы. пере12Т3110110чна: а0Ь==
1)Ca, Уа, bEG. Бпнарную операцию в абелевых труппах при.
ня-а обозначать лнбо знаком СJJожеиия. называя а+Ь сум\юй,
а ca.y труппу  аддитивной, либо знаком умножения, имеиуя
а.Ь (или просто аЬ) nроuзведением, а труппу мультиnликотивной.
Б аддитивных rруппзх неЙтраЛJ,НЫЙ зле\1еит обозначают каи О 1]
называют нулевым (a+Oa, YaEG), а элемеит aI, обратный
а,  как a, называя ero противоположным а: а+ (a) O,
YaEG. В мультипликативиых rруппах для е принято название
едllНнЧ1-'ЫЙ э..!\'IеНт С обозн. е i-e с== t '.'. ==а, VaEG). Прос
теЙШIIМИ примерами абелевых rрупп служат: множество целых
чисеfJ Z с обычной операциеЙ сложе!шя; мн()жеСТRО наименьших
неотрицательных Bbl"IeTOB по модулю N (т. е. ,?статков от деления
целых чисел на N) О, 1, .,., N1 с операциен суммы по модулю
N (J.Lоrда результатом сложения а и Ь считается остаток от деле.
ния на N их обычной арифметической суммы); миожество раци.
оиальных ЧIlсел. за исключением нуля. с операцией обычнзrо ум.
Rож.еllИЯ и т. д. Б то же время миожество uелых с обычиым YM
ножением rруппу не образует. ПОСЫJЛЬКУ 1111 для каких иеJlЫХ,
"ро"е +1, и 1, обратные целыми не являются.
В любой rруппе операцию 0 можно повторио ПРИ"снять К <'.'1'
ному и тому же элемеиту, оставаясь в пределах rруппы и иазы
вая реЗУJ1ыат степенью,: a0aa2, (a0a)0aa3 и т. д. В ад'
дитивных rруппах степени а 'Iззрвают кратными а: a2==aJ.a.
a3a+a+a и т. д. Леrко проверить, ЧТО степени HKOTOpOT'O .'е.
мента а С::1:\.1II образуют rrIШУ ОТ"ОСIПРЛ':J]Ю П1}ежнеи опеРЦIiИ 0.;
Эта rруппа иаЗЫВается циклической nод2РУnnОЙ G, порож;rеннOI:
эле\fе}-{том а. Если же вся rруппа G состоит только из с-епене:
иекотороrо CBoero элемента, т. е. полностыо совпадает со своеи
ЦИК1JнческоЙ подrруппоЙ. то циклпческой Называют саму rруп
пу G.
Если rруппа G состоит из конечноrо числа L элемеитов, ее на-
зыва ЮТ KOhC-U-ЮЙ. а чнсло L  nоря(Jком rруппы. Понятно, что лю
бая циклическая подrруппа конечной rруппы также коиечна. По
рядок циклической подrрУППы. образоваиной все\1И иесовпадаю
Щими степеиями элемента а. иззывается порядком d a элемеит
а в G. Соrласно следствию из извесТIIОй теоремы Латраижа [7.
11, 51] порядок любоrо элемеита а труппы G делит порядок этоi1
труппы: d.IL.
Среди rрупп, фитурпровавших В трех перечислениых ранее при
мерах. первые две  циклические. образоваиные кратными цело.
34
то числа (либо вычета по модулю N), равиоrо одному, причем
вторая из назваиных rрупп Коиечиа и имеет порядок N. rруппа
113 Tpeтbero примера  неЦИКЛllческая. Нетрудно также прове
ритЬ. что циклической rрупой порядка М является 1[ иабор KOM
П.1ексных чисел вида exp(J211k/M), kO, 1, ..., MI, с операциеfi
обычноrо комплексноrо умножеиия. Все элементы этон rруппы
явлнются степенями числа е"р (j211/:\1) 11 УДОПJ1еторяют paBe"CT
ву aM]. т. е. являются М комплексными корнями степени М НЗ
едННИЦЫ. Рассматриваемая rруппа Ом порождается. конечно, ие
только элемеитом exp(j211/M), но н любым элемеито" O)
exp(j211T/M), тде r взаимно просто с М (заппсывается (т, М) 
1иаибольший общнй делитель т и М равеи единице). Каж-
дый из таких элементов (1) называется nервоо6раЗliЬUtt пли npu
,М,итиВIiЫМ корне" из единнцы степени M
Предположи" теперь, что абелева rруппа G отобра",ается На
труппу комплексных корией ИЗ едииицы степеии М ПОСРСДСТВО:,I
TaKoro соответствия w: G--+G M , которое переводит опера,ЦIIIО 0
труппы G в УМllожеиие КОрllей из едииицы в й М . Иначе rоnоря,
это озuачает, что образом W(c) элемента ca0b из G в О" Bcer
да оказывается произведение корней нз еДИНИIIЫ С1епеии 1\1. яв
ляющихся образами а и Ь: W(c)w(a0b)W(a)W(b). Отобра
жени я такото типа иазывают характерами (Мзнаqиымн xapaKтe
рами) rруппы G. При этом и сам образ W(a) произвольноrо эле-
меНта а иазывают характером а. Входя в более общий класс OTO
бражений трупп в rруппы  rомоморфизмов, характеры наследу-
ют такие важные свойства последних [7, ]1,51]: необ"одимым (а
в случае цикличиости G и достаточным) условием существования
Мзначноrо характера конечной труппы G является дели"ость ее
порядка L на М; характером единичиоrо элемента е всеrда явля
ется I (w(e)  1); если циклическая rруппа G порождена элемеи-
том а, характером а служит примитивиый корень из еДИНIIЦЫ в
й.\[ : Ф (а) ,"'. Кроме тото, довольно просто доказывается, что ка;к-
до "у элементу труппы О м отвечает в G cTporo одио и то же чIlС
,по прообразов (т. е. элементов с однп\of Н тем же значенпем xa
раиера) , поэтому сумма М-Значиых характеров всех ЭJ1е\!еIlТ"В
труппы G пропорциональна сумме всех раЗ-'IIЧИЫХ корней из еди-
HL....{bl степени М. Этот факт находит выраженне в важиом соотио
шении
, () Ll' ( j2ni ) { L,Ml,
',ф а   ехр  
Щi.о Mi=oO М О,М>I.
(3.4)
I(онечиые поля. ПОЛЯМII в математнке иазывают такпе MHo}r';:C
ства. в пределах которых элементы можно складывать, вычитать,
Умножать и делить с соб.fJюдеllllСМ законов коммутативности. acco
ШiаПШllOСТII и днстрибутивностн подобио обычным арифметичес
ЮI'd действиям над раЦllональными (действительнымн) чнслам:и.
Строrая I'аСШllфровка с"азаllНоrо может быть такой:
2* 3

Поле}tt f!F Иазывается множество, удовлетворяющее слеДУЮЩIIМ
аксиомам.
1. Все элементы !Т образуют абелеву rруппу с иекотороЙ опе-
рацией а+Ь:::::::.с (называемую аДДИТИВИОЙ с использованием всей
соответствующей СII:\r1ВО.IJИКИ и теРМИИО.IJоrни).
2. Все элемеиты назваиноli аддитивноЙ rруппы, кроме нулево.
то. одновремеино образуют абелеву rр"ппу !ТО с друrой операци-
ей a.babd (,ту rруппу назЫВаЮт >!ЛЬТlIпликаТlIШIOJ.', Оllера-
ЦIIЮ в неlUrумножеllIlем 11 т. д.).
.'1. Умноженне дистриБУТIIВИО OTHoclITeJIbHo сложеиия. т. е. для
лlC'Ы" TpC элементов а, Ь. С нз !Т (a+b)cac+bc.
Нуль О аддитивной и еДIlНИЦУ 1 мvльтиплпкэтнвноi't rpynn на.
"iЫП tЮ1 соответствеиио нуле\'!: и еДИНИllеЙ поля. 3тн злемеиты, KO
flСЧНО, различны, так как по опреде 'lеНllЮ нудь в !Т* Не ВХОДJП.
ПрЯVl8Я проверка ПоКазывает. что :\r1l-южества раllиоиалыlх..
деЙствитсльных н КО'dплексных чнсел со «.ШI\.ОЛЬНЫМИ» сложени-
ем 11 умиож.ением являются полями, Tor..'J,a как множество це-
лых  иет. Kpo:\r1e Toro. применяя 8hСИОМЫ поля н rруппы. леrhО
убеднться, что в любо" поле !Т a.OO.aO 11 a(I).a для
всякоrо аЕ!Т; ab=l=O для любых lIеиулевых а, ЬЕ!Т.
С точки зреиия поиска ПОДХОДЯЩИХ кодов для маНПЛУЛЯllИII
ПДС особенно интересны конечные по lЯ пли поля Талуа, порядок
которых (общее число Э.'lементов n поле) коиечеи. Довольно оче-
Blf;IHbl\f прнмером TaKoro поля оказывается "ШОЖf'ство вычетов
Zp по модулю простоrо числа р с операцпями сложеипя 11 умио
жения по 'dодулю р, [де в роли нуля выступает вычет О. а в роли
еДИНIiЦЫ  вычет 1. В то же время вычеты по COCTaBHOM}r модулю
N пoJ1я ие образуют, поскольку и это'li случае множество {I, 2.__.
_._, NI} с умножением по мо;J.У.Ю N rруппоЙ не является: если
а l,v, Ь Nla. то ПрОllзиедеllие а/' 110 модулю N равно ну.1Ю и В
противоречии с определением rруппы ОliаJывается вне пределов
рассматриваемоrо миожества.
Коикретиые примеры полеЙ [алуа oJHoro порядка MorYT быть
различными в том cMыc..т-Ie. что таблицы сложения н УМllожеНIIЯ в
них можио коиструировать поразному. С точки зрения изучеНIIЯ
общих своЙств конечных полей этот факт серьезноЙ роли не иrра
ет, поскольку все поля rалуа ОДИОI'О ПОРЯ..'J,ка оказываются изо
морфиы>!и, т. е. взанмио одиозначно отображаются друr на друrа
так, что образами суммы 11 произведеиия любых элементов одно.
ro поля В друrом являются сумма и произведение (по правилам
BToporo поля) их образов. С друrой стороны, Прll построении ко.
довых последовательиостеЙ иа основе полеЙ rалуа иеоднознач
ность задания поля фИКСИрОВ8нноrо порядка проявится существо.
ванием несовпадающих кодов одноЙ длины, идентичных по своим
I(орреляционным (метрическим) своЙствам.
Характеристика поля. Подполя и расширення. Простые поля.
В аддитивной rруппе поля fF т-Й степеиью элемента 1 будет сум-
Ма т слаrаемых 1+1+... +1. Такие суммы при разиых т (как
разные степени 1) должны составлять циклическую подrруппу aд
36
]J. IIТИВНОЙ rруппы !Т, порожденную элементом 1 В котор
, ую eCTe
с1'Бею ю , ДОЛ,hеll входить и нулевоЙ элемеит О П о л я т- Н ,
" .> J . азовем
характеРИСТlln.ОИ поля порядок эле\1ента 1 в аддитивноЙ r ппе
/Т, т. е. наИ"еНblпее число слаrаеых, при КОтором 1+1+ ш I
::::::=0. Так, подя рациональных, депствительных н комплексиых Чlf
се.1 можно назвать полями характеристики бесконечность (упот
ребляется, впрочем.: и иазвание «поле характеРИСТIIКlI нуль»). 
коиечных же полеи характеРНСТИhа всеrда простое число Р. 110-
.скольку при составном числе слаrаемых т == nZlт2 в левоЙ части
p3Ht'lcTBa 1 + 1 Т... + 1 == О по аксИОме дистрибутивности пол, Ча
етСЯ, чТО нулю равна и сумма тl слаrаемых, равных 1, а тоrда т
не мож.ет быть характеристикой поля. как Не нвпмеНI,шее число
сла,аемых, обращающее в иуль сумму 1+1+ ... +1. Отметим, что
из 8НСИО\1Ы дистрибутивностн такЖе следует равеиство НУ.1Ю в
полях характеристики р суммы р любы\': одииаковых c1araeMbIx.
Конечные поля, имеющне порядок, равныЙ характеристике р, иа
Зblвают nростыми и обозиачают GF(p) (GF  иннциалы латин-
СКО" траискрипции Galois field  поле [алуа). ПростыV!и полями
Яв..'lяются любые поля вычетов по простому модулю р.
Пусть теперь в поле fТ содержится подмножество fТ(J, са\1О яв
JIяющееся полем относительно сложения и умноження в fТ. Tor
да !То иазьmают подполем !Т, а !Т  расширен.ием !ТО. ОПII-
раясь на аксиомы поля, можио проверить, что ПОД'dиожество ()
ЯБлоется подполе м поля f!F тоrда, и ТО.."]ько тоrда, KOr.1a в fТ(J иа
ряду с любыми а, Ь содержатся их разность ab и частное ab1
(при b=l=O). Если ПРIl"еНIIТЬ этот КрllтерllЙ к подмножеству сумм
т слаrаемых 1+1+ ... +1 (ml. 2, ....1')' можНо вндеть, что оно
оказывается простым lIодполем fro=l=GF(pJ поля !Т. Таю!>! об-
рз"'ом, справедливо важное утверждение: всякое конечное поле
хаt1атеристики Р является расширением Hel\.oToporo простоrо по
Jlя GF(p). В сплу IIзоморфизма поле" [адуа однOI"О поряд"а
GF(p), конечно, изоморфно полю вычетов Zp по просто"у модулю
р. Так как изоморфизм есть ие что :иное, как возможиость транс.
форV!аЦIIII одноrо поля В друrое путем переобозначеllПЯ элементов,
ZlJ может рассматриваться как }"ниверсальный представитель всех
Простых полей СР(р). При этом сфор"улнрованиыЙ только что
тезис позволяет трактовать любые поля характеристики р как pac
шнренне поля вычетов 110 простому модулю р.
Весьма необычный иа фоне привычиых своЙств деЙствительиых
(комплексных) чисел вывод содержится в следующей тео-
реме.
'Теорема 3.1. В поле fF характеРIlСТИКН Р для любых а,ЬЕ
Е!Т (а+ь)Рт apт +ЬРт (через а" здесь, как н повсеместно да-
лее. обозначеиа kя С'терень а в" мулыиппикативиой rруппе f!F,
т. е. произведенне k сомножнтелеи аа__.а).
Для доказательства 9ТОТО утверждения достаточио рассмот.
реть рю степень бннома а+Ь и убеднться, что в nронзведеннн р
СО'!ИожнтелеЙ (а+Ь) (а+Ь) ... (а+Ь) после раскрытия Сl(обок все
37

слаrаемые вида aibpl при lipl повторятся кратиое р ЧIII
ло раз, т. е. в сумме дадут нуль.
Векторные пространства и расширенные поля. В траJПЦIЮН
ном курсе линейной алrебры изучаются nMepHыe векторные про
странства Rn и СП над полЯми соответствеино действительиых l
11 комплексных С чисел. Однако. сохраняя неизмеиным класснче
ский набор аксиом. nмериые векторные пространства можно CTpO
ить над ПРОИЗВО.fIьнымн. в том числе конечными. полями. Имени о
пусть !'т  некоторое поле. Тоща векторным (линейным) nрост.
раliСТВо.м Уа: над!У" наЗЫВается миожество, описываемое след)-
ющими аксиомами:
1. V g:-  абелева rpynna (которую удобно считать аддитнв.
ной).
2. V g: замкнуто отиосительно умиожения ero элемеитов Х (век-
торов) на элементы поля !'т (скаляры): XEVg:-, аЕ!'Т=?ахЕу....
3. Операции сложения векторов и умножеиия их на скаляры
подчиняются закоНам дистрибутивиости: х, УЕУ 9", а, E!'Т=?
=?а(х+у) ax+ay; (a+)xax+x.
4. Умиожение векторов на скаляры ассоциатнвно: ХЕ V!F' а,
E!'Т=?(a)xa(x).
5. Умножеиие на единицу поля !'т любоrо вектора из V 9" ос.
тавляет ero нензмеиным: l.xx, УХЕУ 9"'
Использованне в этих утверждениях одиой и тои же СИМВОЛIl
ки для обозначеиия, вообще rОВОРЯ 1 разиых действий не приво.
ДИТ К путанице, так как смысл операций коикретизируется запп-
сью операндов: х+у  сложение векторов в У.,>, a+  сложе.
нне скаляров В !'Т' ах  умножение вектора на скаляр, a  ум.
ножение скаляров в .
Для опредеJlениых выше пространств V 9" сохраняют смыс.;
ключевые лииейноалrебр аическне K3TeropHH  линейная незаВII-
симость, базис. размерность. Любые т векторов XI. Х2. .... Х т , ЛIJ-
т
неИП8Я комбннация которых  UiXi обращается в »уль (нулевоil
1==1
вектор О) TOollbKO иа скалярах Ul, а2. .." ат. одиопре\1енно равны...:
НУ.1JЮ поля fТ, иаЗЫЕаются линейно незаВШUJlbt.'IU. МаhСIН8ЛЬНОI..
число линейно иезависимых векторов, существующих в V.I?,r. И2
зывается раз.ltерностью У. "," и обозначается dim V  . Любой не
бор из n==dim У.1" линеЙно незаВИСlIМЫХ векторов е), е2. ..., ('/
образует в У." базис: добаВЛСIIllе к нему произвольноrо вектора х
влечет за собшi линеIiную заВИСIlМОСТЬ получпвшейся СОВОКУШ(IJ
СТII n+ 1 векторов. что означает возмОЖПDCть выраЗIJТЬ ПРОllЗВОЛЬ
п
ныЙ вектор ХЕУ в: в виде Линейиой комбинаЦИlI х==  Xiej ба-
1==1
зисиых векторов el, е2, ш. е п . в которой скаляры XI. Х2, .... Х п На-
3ЫВ81ОТСЯ коордuн.итаА!и вектора х в баЗllсе el е2. .... е п .
эв
СпеПИфИJ<:оii .l'Jинейных прос:ранств над I(онечными полями (по
сравнению ( пространствамн R ,сп Н др.) оказывается конечность
чJ1сла их элемеитов. В самом деле. возможность представления
лlOбоrо вектора нз V g: в виде линейной комбинации n базисных
lJeKTOPOB озиачает. что число различных векторов в V.!'ji"'" в точ
IIОСТИ равно числу несовпадающих упорядоченных совокупностей
"
tl коэффициентов ХI. Х2, .... Х n линейной комбииации  Xie1.. т. е.
,==.
n, rде q  порядок поля !'Т.
Справедлива доказываемая прямой сверкой с аI{сиомами BeK
TopHoro пространства следующая лемма.
Л е м м а 3.2. Всякое поде !'т является векторным простраист.
вом иад любым свои'\! подполем !'То.
Заметим, что размериость расширеиия !'т поля !'То Как вектор.
Horo пространства над o называется степенЬЮ расширения поля
!'т иад f'Fo.
Поскольку подполем любоrо конечиоrо поля характеристики
р служит простое поле Zp, а векториое пространство иад Zp раз.
мериости n содержнт точио рп элементов. нз приведенной леммы
следует теорема.
Т е о р е м а 3.3. Порядок поля rалуа есть степень ero xapaK
"I'ерllСТИКИ р. Иными словами. поля rалуа MOr}l существовать
tолько порядков qpn.
К:оrда n> 1, поле rалуа порядка qpn В отличие от простorо
Jlазывают расширенным, обозначая GF(q) либо GF(p").
М,..ннмальные мноroч.пены и прнмит"вные элементы. MНflcO
q. leliOAt (nОЛUflОlОМ) степени n над ПОЛеМ fТ от переменной . х
иазывается выражение а(х) ==anxn+a'I)x7l1...L ... +ао. в котором
все коэффициеиты а, прииадлежат полю !'Т. В разиообразных ал
rебранческнх построеииях можио выделить два параллельиых TOJТ
К'1ваиия Мllоrочлепов_ С одной стороиы, мноrочленами можно
оперировать как некоторыми формалыю.алrебраическими объек.
тами, в которых степеfiИ Xi используются лишь для расстановки
ПО соответствующим местам коэффициеитов ai.
На миожестве трактуемых так мноrочлеиов можно задать опе
рацию сложення. назвав суммоЙ двух полиномов третиЙ, коэффи
Iщенты KOToporo по...'lучаются по правнлам сложения в  коэф
фициентов прн ОДIlН81{ОВЫХ степеня>.. х в суммируемых полиномах.
Точно так i'l<e можно определить и ПРОllзведеиие двух полиномов,
распростраиив на множество их законы коммутативности н pac
КрЫТIlЯ скобок (дистрибутниности) из !'Т. При этом, если а(х) 
a..Xn+aпIXnl+ ... +ао. Ь(х) brnxm+brnIXrn'+...+bo, то с(х) 
i
a(x)b(x) Cn+mXn+m+Cn+mIX,,+mI+ ш +Со, rде c;  a"b;.,
lO
iO, 1, .... n+т. если условиться, что aiO при i>n, biO пр"
i>m
Множество полиномов. наделенное такими сложеиием и YM
Jюженпем. весьма напомннает множество целых чисел. являясь.
з9

как и последнее, КОЛbl{ОМ. Это значнт. ЧТО ПОЛИНОМЫ можно Не
ТОЛl'lко складывать. но и ВЫЧlIтать. в то время как ) Мllожеllllе
обратнмо далеко не Iкеrда  не I..аждый ПОЛИНОМ степени n раз
ЛО>hIlМ. т. е. предстаВl-lМ как пронзведение двух полиномов MeHЬ
шей степени. Полиномы. не РЗ.:iлоя..пмые На миожителп меньшеii
ненудеnоЙ степенн (их также называют liеприводи.ыыми). иrрают
в KO'Ibue мноrочленов ту же роль, что простые ЧИС.fJа в кольце
целых чисел, тоrда как разложимые (приводимые) Мl:Iоrочлень
аналоrпчпы составным lle'IblM чНtJlаМ.
Замечеиная параJlдель столь rл}'бока. что. упорядочив \1HOrO
Ч.:'Jены по возрастанию степени. можно осуществлять де!]ение MHO
rочленов большей степени на миоrочлеllЫ меньшсй с остатком
степень Koтoporo всеrда будет меньше степенн делнтеля (подобн
тому. как в кольце целых остаток  всеrда неотрицате'IЬНЫЙ 
меньше абсолютноrо значеиия делителя). Более Toro. выбор Ka
KOI'o-лнбо неприподимоrо ПОДllllOма f (х) степенн n и введение Ila
множсстве вычетов по модулю этоrо полинома (всех полниомон
степени п1 и меиьше) вместе со сложеннем операции умиоже
ния по модулю f(x)  вычнсления остаТка от деления на ((х)
стандартноrо произведеНIIЯ полиномов  породит конструкцию с
теми же своЙствами. что и совокупность вычетов по модулю прос
Toro числа Р со сложением 11 умноженпем по модулю Р. а именно:
вычеты по моду'IЮ неприводимоrо мноrочЛеиа можно будет скла
дывать и вычитать. умножать и делить. оставаясь в пределах ис
ходноrо множества и соблюдая закон дистрибутивности. Таким
образом, рассматриваемая система вычетов образует поле.
К:оrда исходное поле [Т, которому принадлежат коэффициенты
непр,шоднмоrо мнorочдена f(x) н всех только что упомяиутых
вычетов, конечно н имеет порядок q (5' GF(q», поле вычетов
по модулю Нх) такЖе конечно и содержит ровно столько элемен-
тов, сколько существует несовпадающих наборов n коэффициен-
тов aJll. a'l2. .... ао в записи пОлинома степени. не большей nl:
а(х) aп,xпl+aп2xп2+ '.' +ао, rде все а, прннадежат 5'. По-
этому поле вычетов но модулю f(x) имеет порядок q" (запнсы-
вается GF(q"». Следовательно, отправляясь от любоrо конечноrс
поля GF (q) и располаrая неприводпмым Мноrочлепом степени n
над GF(q), можно вееrда постронть поле большеrо порядка qn
явдяющееся. как .'IerJ{o пронеряется. расширением степени n «иа
ча"ЫlOrо» (OcHoBHoro) поля GF(q). Во Мllоrих руководствах до-
казывается С} щеСТВОВ3Iше неПРПВОДIIМЫХ миоrочленов любых
степенеЙ над всеМИ конечными ПОЛЯМII [51. 54]. а 3lIачит ОПlI
раясь иа теорему 3.3. МОЖНО утверждать, что равенство порядка
степеНII простоrо числа не TO.1JbKO неоБХОДIIМО. но и достаточно
д.'Iя существования Поля raJlya, н, начав С Zp. можно построить
поле GF(pn) для любorо HaTypa.%llOro n как поле пычеТОА по
модулю неприводнмоrо над Zp полинома f(x) степени n.
Иной является интерпретация мноrОЧ'Iенов как полиномиаль
иых функций, областью определення которых служат Аекоторые
40
r.!нпжсства. lr в частностн поля. Wl ак. в заппси а(х) ==-апХn+а71lХ
)l.X"-' + ... +ао, rде вее а, прннадлежат GF(q), СИМВО."ику СЛоже-
НIIЯ 11 УМНО>hення можно считать обозиачающей операЦПII в GF(q)
11.11' в расшнреИПII ноля GF(q"), н Tor,1a, подетавнв В а(х) Аместо
]с HE'l,)TOPblli I{ШII\:рстныi'l ;I.'I(>MeHT aEGF(qn). можно ПО..:1ЧIfТЬ
.Ha'.I" 'е а(а) а'IЮIИОЙ а GF(q") q>У'IКЦИИ а(х) прн знаЧеШIII
apr)' ента Xa. Ес.... а(х) обращзется в нуль прн xa (а (а) 
()). а называют корнем мноroЧ.lеиа а(х). В по,"ной аналоrни е
,.ем, что общеизвестно для мноrочленов с дейсттштеJlЬНЫМII коэф
ФI1ШlеllтаМII. мноrОЧJlСН степени n над GF(q) нс может IIметь нн
в каком расшнреннн GF(q) (т. е. и в GF(qп» более n KopHei,
[7. 5 ].
Теорема 3.4 (теорема Ферма). Все элементы поля GF(qn)
"
ЯБ" ются корнями мноrочдеиа xq x.
Д.ПЯ xo утверж,\енне очевидно. Еслн xaO. достаточно
БСIl""МНИТЬ. что порядок М)ЛЬТИПЛIlI(аТIIПНОй. rруппы GF(q7l) ПО.1Я
О, (qп) равен q"l, а так как мультипликаТllВИЫЙ порядок d
Э.1lС'меIlТ3 U (т. е. порядок порожденноЙ а циклической полrр\ ппы
GF>(q"» делнт qnl, то a_"l (ad)(.nI)/d 1 илн а_ n a.
П) 'ТЬ теперь а  произвольный Э'"емРнт GF(qn), т. е. расшн
ре Н" стеПl'нн n поля GF(q). Так как GF(q")  векторное HpO
странство размерности n пад GF(q) (см. лемму 3.2), n+ 1 етепе
lICt1 элемента а: а О == 1. а. а 2 . .... а"  в СОВОКУПНОСТИ ПС M01YT
БL ть линеiiно иезависимымн и. значит, при некоторых aiFGF(q)
лх ЛlIненная комбннацня аоаО+аlа+ ... +a п a 1i :::=O. Отсюда ВИДllО.
что aEGF(qn) обяэатеJ1ЫШ служит корнем пекотороrо мноrочле-
на иад GF(q) степени, не большей n. Мноrочлен fa(x) наимень-
шеii степени с коэффнциентами нз GF(q), нмеющнЙ корнем аЕ
EGF(qn). назыпается иUliuиаЛЬflblМ МIiОi!ОrtЛеIiОМ элемента а. He
ТJ1) IНО видеть, что корнямн (",(х) наряду е а являются II элемен-
ты аЧ. UЧ':!. .... a'1п I . В самом де...-lе, пусть fa(x) ==  fiXi.. Тоrда на
j.=oO
"
ОСlIонаНШI теоремы 3.1 o [(а(а) ].  f,.a'., н так каК f,E
iO
EGF(q). то по теореме Ферма fi.fi н, значит, [f",(a)].f",<aq) 
О.
Еслн бы мноrочлен Та (х) делился па некоторыЙ мноroчлен над
GF(q) \lен"шей степени, т. е. допvскал разложенне (а(х) a(x) Х
хЬ(х) при нен)'левых степенях мноrочленов над GF(q) а(х).
Ь(х) то из Ta(a)O елеДОВ8лобы a(a)O либо b(и)O (так как
а(а), b(a)EGF(qп», что ненозможно. ибо fa(x)  мноrочлеri
Мlшп-ма1JЫЮИ степени. обращающпйся в н)ль при x:::=(J.. Это ОЗllа
чает ВСПРИRОДНМОСТЬ любых минимальиых МIlоrочленов.
ОТЛИЧlIтельноЙ особенностью конечных полей оказыпается
rнrкличпос.Тh их МУJIЬТJJпдикаТflВНЫ't( rр}пп. }станаВЛllваем.ая c..r:re
дующеiI теоремой.
41

Т е о р е м а 3.5. В поле G F (чn) существует элемент 1;, называе_
мый nримитивньtAl. степени Koтoporo 1;.1;.п'I, 1;. 1;2. .... 1;.n2
есть в точности все ненулевые элементы GF(qn).
Разные варианты доказательства этой фундаментальной тео
ремы можно найтн в :[7. 8, 11.51.54].
Понятно. что наряду с 1; прнмитивиым будет и любой элемеН1
1;". rде k  взаимно просто с ч"1 «k. qnI)I). поскольку и:.
(1;")dl. rде d  порядок 1;". следовало бы. что dlqnl. Но Tor-
да. если 1;""""1, то из равенства (1;d)'1 должна ВЫТекать дели-
мость qnl на I{акойто бо..'IЬШИЙ единицы делитель k. Остается
поло.жить t;d==: 1. а это в силу прнмитнвности t означЗет
ЧТО d==:qnl и что МУ..1ЪТIIПЛИI<ЗТИВНЫЙ порядOl< h рЗRеи
qnl. Отсюда сразу видно, что общее число ПРИМIIТНВ-
ьых ':;'" .о" r: iJ.- (ч ,) состаВ.lяет <p(q"I). rде <р(т)  фу'-К-
ция Эн.:'ера в теории чисел. ПО!lэывшощая. СIЮЛЬЮJ чп:сеr:l. в a
им'lo) n,1UclblX с т, в ПОС"СДОваlе%,юстн 1. 2. .... т1 [15].
Мш.шма.1ЬJ1l..1li мноrочлен f\.(x) ПРllмнтивноrо элемента  IIa
ЗЫР'"'lOт npu'dU ..ивны.м. Естественно. ero корнями ВМесте с  ЯВЛЯ
юте 1 Ii э..т&е?'е.( [Ы t q . t lfl . "'. 6ql1 I ТШ'-.ii е ПРI1МIfТlIвнь:е вследствие
Бзалчншi ПРОС'....тн qlt и qil I прн дюбс'.1. нат} ралыlOМ k. Можно
леrhU обобЩllТu 10 наблюдение 1Iа пrонзво.иы-Iеe миннмаЛЬные
мноrОЧ1еJIЫ  все ':"{ ]{ОРН1I нмеют однн н тет же мультиплНI{З
ТН!ШЫЙ П,)РЯДОК. НесовпадеШ-Iе n ПРНМПТ П 31IЫХ Э1]ементов (/, 1===
==0, 1, ..., пI. обусловленное примnтипностью t, означает, что
степ('-:з ПрИМИТЧВl:lоrо по,аЧНоМа . е меньше n и, сле..10вате'1Ы.О, в
точности panJ! n. так как МИНН'\1аЛЬНЫ!1 над GF(q) полпно"l лю
боrо элемента ПОЛЯ GF(q") не МО>Ь.ет иметь степень, большую n.
С"еды 11 Лllhсit.iые fiос,"едо"атf"НОСТИ. Пусть GF(qn)  рас-
шиrен",с стеПСНlI l поля GF(q). Назовем следом tra элемента а
поля Gl'(q") в оснс,ВЧО'1 ПО.'е (т. е. в GF(q» сумму вида
n'
tra  а О '_ (3.5}
iD
Т е о р е м а 3.5. Функцяя tr (.) оБJ]адает следующими свойст-
ва'- Н:
J) traEGF(q). VaEGF(q"). т. е. tr(.) есть отображение
ср(ч")......т- ,ч);
2) (tra)p'"trapт rде Р  Xapa({TepHCТllKa поля GF(qn). т
ue..1f'e.
3) соед  лнне'iное отображенне GF(qп)---+-GF(q);
4) Коrд а пробеrает все поЛе GF(qn). tr а ПРll'llIмает каждое
из зна'.ении в GF (ч) РОnllО чп' раз.
Д о к а з а тел Ьст ВО. По теореме 3.1 нмеем
n1 ) q пl "I
(tr ajq  I  а О '  )' а О '+'   а о '.
\Е=;() i==O 1==0
так как соrласно теореме Ферма а." a. Значит, (tr a).tr а. Но
в GF(qn) корнями бинома x.x служат все эЛемеllТЫ подполя
-42
оЕ(ч) и только онн. нбо по теореме Ферма 60(,. V(,EGF(q). :1
бо. lJьше q ]ЮрllеЙ назваННЫЙ бином иметь не может.
Второе утверждение ЯВ.'lяеrсЯ прямым следствием определеНИR
еЛе"а (3.5) и теоремы 3.1. _
J[ля доказательства TpeTbero достаточно убедиться, что след
линейноЙ комбинацнн элемеIlТОВ а, EGF(qn) иад GF(q) равен
соответствующей лпнейнОЙ комбинации ]Р( следов. ПРНМСIIЯЯ Teo
peMI- 3.1. 3.4. нз (3.5) получаем
п1 1 1 )
tr(6,a+62}  (6,a' +6:.'  6, tra+
1==0
+ 62 tr. 'rJa. EGF (чп). '16" 6 2 EGF (ч).
Чствертое утверждение эквивалентно следующему: уравнен,:е
Ir ,I\ при юобом 6EGF(q) имеет в GF(qn) TO чп' корнен.
Чтобы убедиться в этом. приравняем (3.5) к 1\: ,o х.' 6. Число
1<ОрНnЙ N(6) полученноrо }равнения степен" чп' не може'.: быть
БО.тIЬШllМ qлl. С друrой стороны. с}ммарное чнсло.. кориеи всеХ
q (по числу элементов GF(q» раЗЛllЧНЫХ уравнении этоrо вида
раВlЮ чп так как каждый элемент GF(qn) служит корне" KaKoro-
то из ни. Поэтому :Е N (Ь) ;з.q", а поскольку В сумму слева
l\EGF(q)
IlХОДЯТ q слаrаемых N(6). записанное HecTporoe неравенство сов-
меСТIIО с нестроrим неравенством N(6)qn' только при N(b)
чn1 прп любых 6EGF(q), что н требовалось доказать.
В дальнейшем придется часто оперировать выраженнями вида
1rFa rде 8  некоторый фШ(Сllроиан'lЫЙ э.чемент GF(q"). а а
П[JIIl;нмает разные значення нз GF(qn). Это отображенпе GF(qП)---+-
GF(q) копе\J.но, вновь линейUо по отношенио к а, и, боnее Toro,
'МОЖНО доказать, что все МНОЖеСТВО ЛинеИНЫХ отображений
GF(qn)......GF(q) псчерпыпаеТС:J фуикциями Вllда trEX при разлиЧ-
иы.. фикснроваll'lЫ'< 8EGF(qn). _ _
т е 'J р е м а 3.7. Пусть 8  некоторыи фиксированныи эле-
мент GF(qn), а N(61. (,2)  ЧllСЛО решений в GF(qn) системы
дnyx линейныХ уравнений
f tr x 6,.
treXl).
при некоторых фиксироваllНЫХ 61. b 2 EGF(q). Тоrда
r ч"2 при е  GF (ч),
N (6,. 62)  \ чп' при е Е GF (ч). 62  86,.
10 при eEGF(q).6 2 =1=8b,.
Док а з а теЛ ь ств о. Каждый нз элемеНТОll GF(qn) обяза-
'телыIo явТ(ястся решением каКОЙJ!ибо из ч2 (по ЧIlСЛУ различных
lIар 6,. I\,EGF(qn» систем (3.б). Следовательно,
 N(6,.6.)-;;"qn.
.e.,l\.EGF«(I')
(3.б)
(3.7)
(3.8)
...

с друrой стороны, с учетом (3.5) снстема (3.6) распшфРОВЫВII-
еТСЯ как
п1
/ h x"'I3"
 (их)qf  132'
<
Вычтя здесь вторую строку 113 первой. домноженной на Eqп1
ПО.'IУЧИМ уравнение
(иqп1  иqп2) x"п2 + (и.п1  и.пз) x.п + '" + (и.п1  и) х 
 (и.пII3J  13,) О,
(3.9)
среди "орнеЙ "ОТОРШ'О, разуместся, присутств}'ют 11 Все реше'шя
CIICTeMbI (3.6). Если ефGF(q), то и"о/=е 11 и""lо/=е"п2, 11 потому
МНШ-Оч.пен в .'Iевой части (3.9) имеет степень ЧП2 11 как резуль
Tar  не более q"2 "орнеЙ В GF(qп), что, В свою очередь, озна-
чает N (6" 62) qп2. Это иестроrое неравенство не противоречнт
иеравенству (3В) тосда, и ТО.%"О тосда, "осда N(I3 I , 62) qп2
длн нсех 6" 6,EGF(q).
ПрlI еЕСЕ (q) Bтupoe ypaBHeHlIc ClIcтeMbl (3.6) с учетом линей-
НОСТИ следа можно псреписать I{Ш{ Е tr x==b z _ ВНДИО. что оно COB
меСТlIО с первым ТОЛЬКО при еб l ==62_ При ЭТОМ любое решение
першн'о уравнешш удов.петворяет п второму и соrласно предыду
ще.. теореме .v (61, 6,) N (6,) q"', что и требовалось до"азать.
.ТI с м м а 3.8. ПУСТЬ степень МНllliмальноrо мноrочлена над
GF(q) элемента aEGF(q") равиа в точностн n. Тосда при любом
нснревом eEGP(q,,) trш;*О хотя бы при одном оЦелом i.
До"азате."ьство. Пусть XE{X:XEGF(qп), trexO} 
подмножество всех Э.'1смеuтоn GF(q11). имеющих нулевой сЛеД.
Пусть Х, УЕХ Е , а f>EGP(q). ToriIa в Clтy линейности следа Х+
+УЕХ е . ЬХЕХ". Проверив ана..'JОflIЧНQ выполнение остаВliIIIХСЯ aK
СНОМ DeKTopHoro пространстна. МОЖНО видеть, ЧТ() Хе  векторное
ПрОСlрапстпо над GF(q) размерности n1 (dim XEnI), по-
сколь'"' в Л, содержптся qпl Э1ементов (см. теорему 3.6). По-
ЭТОМ n Х[: не.IlЪ3Я OTbICI{aTb более чеlld nI линейно н€зависимых
Э.'Jt'М(' 'ТОН. В то же время элементы 1, а. .... an1 линеЙно незавн
спыы. ТаК как степень МИНlIмаЛъноrо ПОЛИНОма а равна n. Это
ОЗН(":LI1.ет хотя бы ПрlI ОДНОМ i==O. 1. .... пl аiфХ в . ЧТО n утверж
Д3..10СЬ
13педем тсперь ПОНятие линейной последовательности (ЛП)
па МЯТ" п над полем [!Т. ПрИСnОИБ подобное наименоваНие последо
ваТСЛЬИОСТII {d,}  {d,: i..., I, О, 1, ...} элементов поля !Т, В "о-
торои iй Член связан с n ПРС..J.ЫД}ЩИМII линеi'1ным разностным
ураВШ:'нием
d i   '''I dl'  'п2 dl2  ... 'o dlп,
ПМСlUщим коэффпцпенты fi, лежащпе в ПОЛе !Т, приче1
(3.10)
foo/=O.
44
На рис. 3.2 приве:..ена Т, 1;
тру"тура reHepaTopa ЛП над
оиеЧ1lЫМ поле" GF(q), пре:l-
rавляющая собоЙ. реrистр
С..'I,Ш1Пl. образоваНIIЫИ n qlIЧ
. . 11 Т Т И ох-
НЫМН Я4.енКC:lМ I ш un ...
вачеИJ-lЫИ цепью линешши,.- об
ратноЙ связи [8, 18, 54]. l,ю,...
дая ячеЙка реrисrра {)c шеств
ЛЯrТ' задержку на один такт Рис. 3.2
(ЦL Ib такти,.-рования на cxee ых состояний ячейкн отождествлено
опущена). l,аЖ:lое нз воз\\о ( ) В текvщем (i-M) такте на ВЫ-
е О.J,I"Ш\1 нз Эlt:'М'-'llТСВ ПОТ1Я q . - d . св язанныЙ с
 формир\ ется эле"ент., .
ходе петЛИ обратнои с"вязи Il П ез.ы.lУЩИХ тактах н лраиящи
э.\\ентаМ!i' сформнроваННЫ'еlН\\ (3.10), задающи\\ И.СКОМУЮ
МП....я В ячеш{эХ рсrистрэ, СООТ L" Р ОЙ второй n.й ячееК
ЛII. После.'J.онатеЛЫIOСТull СОСТОЯНIlп:зез.ва:Ощие пd ;ношенню к
естЬ, о"еВН:lНО. "опии ТО1l же ЛП { ' I } (d . } { d- } . ОнераЩI1l
} а п тактов. l il, 12. ..., t 11
(cl, на ОДИИ. дн : ш, цe11 обратноЙ связи выполняются по
умножсния 11 СJlожеНlIЯ в  1С При W === 1  это
прапн-"ам OCHOBHOro поля GF(q), rде qp. > 1 GF (q ) само
 ПО мод"то простосо р, прн w
обычные деиствня ,. С " ( ) ожст быть вос-
ем простоrо поля '" р и м
являеТОI раСШllреНII"  ,б IV формальных полиномов степени
создано, иапример. как Ia ор р МОД'I]Ю lIеПрlIводимоrо над
U1.'1 11 НИЖе, нереМlIожасмьтх по J.
G F (р) Мllоrочлсна CTerIl p l a p a ЛП СОСТОI-IТ нз ТИПОВЫХ .дllскрет
Описанная схема .. з)'ется КШ<
ных узлов п б('з принцнпиалыlхx затруднении реаЛlI
аппаратурно. так н проrраммн<: я на следующее утверж
Ряд дальнеЙших построении опираете .
дение. 3 <) П ,  э-"емент GF(q"), имеющий мульти-
т е о р е м а .. . } сть а . f ( х ) степенн
 .. ПО р ЯiЮК d 11 :МIIИl1МЛЫIЫИ мноrочлен а
"",',,атнвныи, { I } GF (q) внда d.
" Т lеJ.овательность l i элементов I 
:tr fa i, 1. О. 1. ..., прlI ДlOбом ненулеnом фШ{СИ:рОВВIllIOМ
E GF ( ' q ") является ЛП пз"ЯТII n 11 перllода d.
е П . f ( ' ) x" +f хпt+ш+'о, r;le
Д о." а з а т С'] Ь с т в О. ) СТЪ r:x Х 11 I .
, ШlliJ "оэ фф пцнент t n
f;.=GF(q) (не оrраllНЧllnая общностп стар шобом
М..оrоч"сна f,,(x) можно полаrзть рапным 1). Torдa Прll .
це"о'! i ea;"f,,(a) O, т. е.
. .q , '
, . , " a l1 ' E'.a'  ...  uE'.a "
Е".а.   пl'" 11 .4;
Взяв С1еды обеих частей 3Toro равенстна 11 полаrая di===tr f."f1\ 
Л " Ч ' IМ п п { d- } памятн ", ОШlсьшаем)1O прапилом (з.10)..,П " I
,..., } Т . "1 т е а" a.
Л  пеРIЮД ПОЛУl1ешlOЙ JIП {di. al< 1<8К б (1  , t. "i+N ===tr f-u i
N l d однако lIеравенстно N<d означало ы, R'IO r Еа 
, - . . 1 О . . Эт о по лемме 3.8 возмоЖНО. ее-
нли tl'[8(1a")a'  прн все\: С. 11 N*1
ЛII. и ТО.1ЬКО еСЛIl laJV ::::::0, так Iшк по условию Е'.=#=О. о а 45

при N<d. так как порядок а есть d. Значит. Nd. Теорема дока{
заl'
Полезно убеднться. что ПОС.1едопателыIOСТЬ {tr Еа'} нельзя по)
СТрОIlТЬ как ЛП памяти. меньurей n. ДеЙСТВlIте.1ЪНО. если бы АЛЯ
всех i имело MeTO равенство d i + т ==q'Щ1di+тIС:Рm2di+m2 ...
..-q;od, при т<n и <PJEGF(q). jO. 1. .... тl. это бы значило.
что tT-[Е<р(а)а'] o дли всех i. 'де <р(х) xm+Cj)"HxmT+ ... +'1'0 
ПОЛИНQМ над GF(q) степени т<n. Но Torдa в силу леммы 3.8
при 8*0 а оказалось бы KOplJeM <р(х). что невозможно. так Как
МIlНi.I\1.3ЛЪi-lЬП; nOj ИНОМ а ПО УСJiШШЮ теоремы З9 имеет степень n.
Следстпие 3.10. Если   ПРПМИТИВIJЫЙ элемент GF(qn). то
при 1::=1=0 ЛП di==trEil i==.... I. О, 1. ...1 имеет максимально ВОЗ
МО>ЕЧЫй для заданных q и n период Nq"I.
Такая .,.fIП называется qI!ЧIЮЙ последовательностью .мaKcи
.малщ.юй дЛUllbt ИЛII МnоследО8атеЛЬftостью.
Чтобы воспользоваться теоремой 3.9 как практическим рецеп
том построения ЛП нужноrо пернода над избранным конечным
ПОлем GF(q). необходнмо прежде Bcero располаrать мини"аль
lIЫМ мноrочленом .с соответствующими степенью II порядком KOp
Hel1. Таб:пlUЫ rOТOBblX» минимальных мроrочленов пад простыми
по.ч.тмп GF(p) при небольших р и n Можно найти в литературе
(см.. напрнмер. [18]). При сочетаннях Ч. n. d. не охватываемых
существующими таблица'-tи понс]{ неприводимых мноrочленов
можно производпть маШИНl:ы},.tи методами с помощью алrоритмов
[54]. родственпых решету Эратосфена. прнменяемому для 'eHe
рир"вння простых чисел р 5].
ПрипеДСl\1 еще ОПНО пплезппе утnерждение, в определенном
СМЫС1е обобщающее тeope1Y 3.9.
Теорема 3.!!. Пусть ат. а2. .... а"  элемеиты GF(q"). нмею
щне МllfшмаЛЬ'lые палИIЮМЫ fl(X). f2(X). .... t,(x). Тоrда последо
BaTe..1ЬHOCT
,.
di trEIGt:, i .... 1. О. 1.....
Il
'-де псе Е EGF(qn), ЯП.'jетси линейной и может быть построена с
помощыо раЗllостноrо уравнения di==rpтldi1([Jт2di2 ... 
oa1. В ]{отором «ре. (р. .... «Pт:I  коэффициеты ПОЛIНIQ".'Iа
<р(Х) над GF(q). ивляющеroся наимеНЫIlIIМ общим кратным по
лино,,"ов f,(x). f2(X). .... f,(x).
Доказательстпо. ОчеПИДНQ. а/. ЯВЛЯЯСЬ корнем f,(x). об
рэщает в нуль и <р(х). Но Torдa для всех ll. 2, .... k a,т
==тIUlmlflIт_2alm2 ... «pe. умножив обе части каждоrо ИЗ
этих равеаств На Elalim. взяв следы обеих частеir и просуммнро
ваn по [. придем к доказываемому результ?т)'.
Xaf';'Tepbl rrупп '--'-ОJ"И. Элемептамп RОДОDЫХ n()С1е..J.ователь
ностей пдс {o} ЯЕ.'1'ЯЮТСЯ комплексные (либо, я частном случае l
деЙСТIЗителыrые) ЧНС.1"а. Чтобы какямлибо образом связать ]{OH
стр) КЦIfИ над конеЧIIЫ!\ПI полями с задачами построения подхо
дищих манипулнрующих кодов {ai}. необходимо ввести некоторое
46
д бражеиие элементов конечноrо поля GF(q) на алфавнт {ai}.
3 в ПОе комплексных чисел. Продуктивными н часто исполь
l' ыми разновидностями таких соответствиЙ являются xapaKTe
Зl итнвной и мультнпликаТIIВlIоii rрпп GF(q) т. е. rомом()рф
р адд б аз n аН IIЫХ r р УПП на rруппу См комплексных
fll е ото Р8жения н u . 
КО ! e:i 113 е;rJ'ШИЦЫ степеНII М. t  сле'! эе?\.;:ента
П . GF (q)  поле характеристики р. а 'а .
-,сть GF(p) Тракт,.я tra ка" вы"!)т по
аЕС<"(Ч) в простом подполе . о. о p1 мож-т' BCC
МQ..'1.УЛЮ Р. т. е. целее число n прсдеYJах от Д А TMirof> lе
обращеие функцию ехр (J2:n:tr а/р). в которо )
ТII В . I н ПОСl]ед)'ющее вычпсленпе экспоненты понимвются
tr а нв J1t Р.. мп п ексН1Р.-И числаМII. НеТРУДIlО \'бе
К2 Т "; сБы'ныыe ..J.епстrшя с ко' . GF (ч) отобnажени€
дlП ся, ЧТIJ при любом фШ\СlIрО!ШНlIОМ E. J
F(q)r-rJ ШРЩ
е'х) expO 2п tr !'-х'р). х Е GF(q).
( )  ( ) е (у) т е являетси xa
'. д о' 'ство р иет соотношение е х+у e х д . д .. ара " те
' - . ( е п осто а итивны/о1. х ..-
рактером аддитивнои rр}ппы дале р
ро-и) поля GF(q). _ оля GF ( q) Назовем лоrа
П) сть   примитнвныи элемент.. п . .. ) по ОСIlО
f'.фМОМ элемента мультипликативнои rруппы aEGF (ч 
.  Н обоз наЧ I IМ lofТ...u показатель k степени в равенстве a
,аllНЮ , - ь. 1 +Iog "- Уа E
r;," (очевидно. 0log.aq2. 10g(1 og а 1 м .ЬTII
ор(ч) Тоrда для любош М. де.1nщеrо порядок q }
I'кативой rруппы GP*(q). отображение GF*(q)---+-G М
/М G F*. I (3.12)
1jJ(x)exp(j2:n:logtx ). ХЕ Л.
}довстворяет соотношению 1jJ(ХУ)1jJ(Х)_'Ф(У): Ух, Y ( :=GF*<tl;::
Я-В'1яется характером M-У.'-ЬТIIПЛНI<:аТnВНОll rр)'ппы ;..;.8лее
ны,,, МIJльтunдшштuвным xapan;TepOftt) поли GF(q).
(3.11)
3.5. БI:НЛРНЫЕ J'ОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСП\ НА ОСНОВЕ ЛIIНЕRНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕИ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
Отоб р аженv.я эле.iенто" ."П ,'а д"оичныi! алфаLlIТ. Пусть t:---
GF( П ) , Ч  р '- w и n  HaTypaъ
П Р IJМI!тлвиы'l элемент по.чя Ч. r__.e  . ( ) ( .' ) "
" 1)/( 1 ) H'EGF q так как '- 
lIые числа. Если It (ч" ч. то  . ини е
"[(QI)+IIh и р оме TOro (1;")' не может быть равным ед Ц
':I ':1 . ." < 11 ! C8 1 а ЗТО
П р и k <q 1 ибо это означа.чо бы. что при s ч. , _ '.
. t Т б р азом "1;  ПDlIМН
ПрОТIlворечит Щ)!lМИТНВIIOСТИ .. аким о . ...  (d }
тпвпыii э,"еМеЧт подпол я GF(q) поля GF(q") пу ст\ дле i З
lИПОС1едовательность над GF(q): d,trr;,'., ..., ... .... а
меНИ:\1 каждый ее Э..lемент символом двоичноrо алФ,,-вита +] cor
ласъо праnплу
a,e(d,)e(tr1;'). i ....  1, О. 1.....
б О ля GF (q) иа множест
В котором е  некоторое ото ражение п Л Л
во {+I} Назовем последовательность (3.13) БЛ на основе .
Оче внд н для получения приемлемы'\ в смысле критерия потерь в
ФПБЛ . БП (3.13) следует подобрать подходящие q и отобра
V 
(3.J3)

».еПllе 8: GP(q)---+{::I::[}. Не оrраНlIчнвая общности, мШt.но сразу
ПОЛОжнть 8 (О)  [. Пр" этом юобое отображсние 8 можно по
иостыо o"caTb как «короткую» БП: {8.}  {8,o (1-"): i .... [.
О. [. ...}. }станаВЛlшающю праВII"Ю замены на +[ JI [ ,поря.
ДOleHHЫX ПО возрастаНIIIО степешr J(. ЭЛС'\l[СIIТОВ МУ.:1ъrИП.НlhаТlnз..
ПОи сруппы GP(q) ПО.1Я GP(q). Пусть v  период {8,}. т. е. та.
"ое МlIIшмаJlьное ЧИСЛО, при котором ei+I.ei Д:IЯ tlcex i. Ясно.
что v делнт порядок !?Р'(ч) (vlq[). Поном\". обраТIIВШНСЬ к
(1.12), ПАКФ короткон БП Ro(l) можно найти как
1 1'--........1 1 f72
Ro(l}  8(l-'f+I)0(1-")  811-" ')O(I-")
__==о qIi
I
 I  8(1-'1/1)8(11). ( 3.141
ч 6EGP(Q)
сде учтепо. что lIРIl пробеrаНlШ i миожестоа О. 1. .... ч2 I-'ib
пробеrает всю мультипликаТIIВНУЮ rруппу GF(q).
Вnедем также параметр короткой БП r  ЧИ1l0 СlIМВО.;10В I
lIа ее перноде. Для краткости далее и, r 11 Яв (О будут называть
ся пер ,юдом, весом Il ПАКФ отображення о.
Вернемся к «длннным» БП (3.[3), т. е. именно ){ тем. с ){OTO
рЫМJI сязываются определенные надежды на ДОСТlIженне малых
значеНlIII потерь в ФПБЛ. На ОСlIоваНIШ ([.12) дЛЯ ПАI(Ф БП
(3.13) нмеем
1
Я(т)
Qп2
 8(tri+m)O(tri)
1==0
qпl
[  8 (tr Е х) О (tr х) 'I J .
q l'l .......
xeGF(qn}
rде обозначено ьПl:::=в. а вычитанием единицы в скобках КомПенсн
руется ВКлючение в сумму сдаrаемоrо. отвечающеrо нулевому
эле"еl1ТУ (xO) поля GF(q") :8(trO)8(0)[.
.связь ПАКФ (3.[5) с пзраметрами и ПАI(Ф отображения yc
Т8навливает cдeд ющая теорема.
Теорема 3.12. Бинарная последовательность (3.13) имеет
период Nvl! н ПАК Ф
I q " I [ qП' ( q2 q 1 r' ) '"  1 ] ' m ФО тод 1,.
R (т)  ,V
п1 1 "I ( I (3.16)
q  + q q) R ( l) m  ll
п I по. l,
q  q I
l.... I. 0.1.....
Доказательство. Пусть mФОП10d/,. Тоrда ЕтфGF(q)
11 В силу теоремы 3.7 из (3.15) с.оедует
Я(т) п 1 I [ qП'  0(/I.J8(/I"'I ] 
q  б l . бf;ЕGF(q)
1 ( qп' f ; 8(/1) ] "  I\'
qtl  1 БЕCJF (q) J
(3.[5)
48
Ц ! " ПрlШQДИТ ){ первому выражению в (3.16). так как соrласно
11 "еденному описанию отображення О ровно (q[)rlv нз q эле
.. тов GF(q) IIмеют образаМI' I.
Пусть теиерь тlh. l.. I, О. [, .... Тоrда Fr,IEGF'(q) 11
113 (3.[5) после ПРllменения теоремы 3.7 ПО"У'IIIТСЯ lIыран,еНllе
R(lh)  1 { q"l l  811-' I\)A'II)+I J I } 
ч1l  1 БЕGР(q)
qп1  1 r{'1
+  811-'(11)8(1\).
qп 1 q'l I lI6GF+(q)
которое с учетом (3 [4) приводится ко второму равенству в
(316).
УтвеrждеНJlе о периоде {а,} с."едует 113 TOro, что Яв (i + v) 
Ro(i) ДЛЯ всех i, причем, ь..ак отмечалось. v  минимальное из
чТ' "!'I С подобиым соойством.
Теоре\ш 3.12 показывает, что боковые лепеСТКII ПАI(Ф БП на
()CIIOBe ЛП при все'\: т, не кратных 11, ОДИНЮШВЫ 1I зависят то.llь
КО от периода 11 веса отображешlЯ, тоrда как «тонкая структура»
ОТс :iра>I,ения п нменно ero ПАКФ ВЮlяет ЛIIШЬ на выбросы .R (т)
в roчках т == ОПlOд h.
Потери lIа подавление боковых лепестков. Д1Я Toro ч'Тобы
найти потеrи у. сопровождающие сжаТllе БП на основе ЛП в
ФllБЛ. можио ВbIЧlIСЛIIТЬ энерrетнческий ДПФспектр БП (3.[3)
чеrnз ДПФ ПАКФ (3.16):
.... NI
la.I"lIaI12 R(m)ехр(j2лik'N). kO. 1..... NI,
т==О
По,-Ле чеrо подставить наЙденный
(2.16). В резу,"ьтате получим [34]
1 t/'II
y +
(N 2rqпI)2 4qП....з r"(q 1)
набор I ii.l' в соотношение
+'lle.I'.
vr{'1 I
(3.17)
rдr последнее слаrаемое при t i ==. 1 считается равным нулю. а
. <I ( .2nlk\
10.1 '5' R B (l)exp L......... ) , kO, '. .... vl,
lO v
 ДПФ ПАКФ отображення 8 (с точностью до КОЭФФИЦllента 
знr")rетичеСКIIЙ ДПФспектр короткой БП {О,}).
Равенство (3.17) связывает потерп прн сжатии БП (3.[3) в
ФllБЛ с порядком q OCHOBHoro поля GF(q), а также с периодом,
весом и ПАI(Ф отображеШIЯ 8, нспользованноrо дЛЯ KOHCTPYHPO
ШШНЯ пос.пС1.0вателыюс'Тrt (3.13) 
HCTP'ДHO показать, что n преде1J3.Х каждоrо счетноrо се\iейст-
1!а Бll (3.13), СфОР\lпrованноrо по признаку общностн OCHOBHOro
ПО.IЯ GF(q) и отобrажения 8 (спецнфпческой для каждоrо пред
Ст(шителя семейстпа остается прп этом лишь степень п раСШllре-
"IIЯ GF(qn) над GF(q). т. е. Д.1Iша N(q"I)vf(qI». потерII у
49

монотонно возрастают в зависимости от 2
:;;;;'I', rде соrласио (3.17) п при п;;. , тан что 'y
j q ( O. )
. q1 1+  lehl' при p2, vq' 1, r.!L
'I'Jlm'l' "1 2'
n q q ,,I  )
q 1 1 4,' +  'Ohl2 в остальиых случаях.
\ k==l
(3.18)
ЯВЛЯЯСЪ аСIIМПТОТlIческон верхней rраНllцей фаКТI[l.lескпх nOTepl::
ве..пчпна Уоо С'I)'ИТ универсальной обобщающеЙ характеристи
нои h3Ждоrо сс"еиства БП (3.13) и удобна на" uе<lевая Ф IНUИЯ
при ОПТlIмалыюм (МИИИМllЗир}ющем потери в ПБ!I) у1 б
отображеНliл е. Диапазон варьир}емых при это"; пеемехО
r -йо д ж п но ф определять, воспользовавшись равенстном Па р сева л
для -спектра .
и1 :lehI2v1 [ (V2rJ'+ ' ,ehI2 ] vRe(0}V.
1<0=1
откуда Д lЯ фш{снроnапны"{ u и r следует
"'
 IбhI241'(vrj.
"1 (3.19)
ОбцеF;пвая с ПОlИОЩЬЮ неравенства БУНЯКО8скоrо суммы в скобках
о еих строк (3.18), леп.Q убедиться,. что при соблюдении (з.19')
1'l
}; lehl2;;;' (v 1)' ,
"1 4, (v ,) (3.20
причем минимум, укаЗЫDаемыii правой частью ( 32 0) до
если и ТОЛЬКО . , стиrзется,
I если все КО'!поненты энерrетичес]{оrо ДПФспект
ра отображеня (за исключением. быть может. ПОСТОЯННОЙ сос.
таDляющей leol') ОДИl1аКОDЫ: 1&124'(t'r ) " ( vl ) k O 1
vl v , ,. ..
..., Учет' (3.20) в (3.18) прнводпт ){ rраницам, ииже ){оторых ве-
JlИчина ,\,00 Прll заДН1fЫХ значениях Ч, v и r лежать Ее может:
(2 при p2, vqI, rq2,
'Y] q l q (VI)' J
l q 1 4т2 + 4r(v,) в остальных случаях.
Очевндно БП ( 313 )
3' . с параметрами. отвечающими первой
строне ( .21), Эllерrетичес"н Ilевыrодны: при сжаТ'1II иХ В ФПБJl
теряется Не менее ПОЛОВIПIЫ энерrии Нз второй же строки МОЖIIG
заключить, что для получения малых значений '1.' l ' е"Ь " Я ДОП} ' С
кать заме ,00 1.'  -
4r(vr) THoro преВЫl1lения едиН1ЩЫ величииами q/4r' и (и1)'!
диапазоаче: л(с }чтом нсравенства .v;;.r) ди){туются оrраничения
е есоо разных варнацни v и r в процессе ОПТИ),Нlза
(3.21)
50
I1 H1 ' отображеиия е: Vq/2:;;;;v:;;;;ql, (и Y 2и 1)/2:;;;;r:;;;; (и+
+,' 2и 1 )/2.
iВ принципе сказанное дает краткую инструкцию ]{ машиннОМ
СIIН 'y БП (3.13) с малымИ потерями '1', позволщощему отыски.
]З81Ъ БП сколь уrодно больших ДЛllli С YMepeHliblr.!1I вычнслптель
H:ы' -1 затратаuи. определяемыми исключительно длиной короткой
БП (е,}. rораздо важнее, однако, то, что ннжней строкой в (3.21)
110дrотовлена почва для суrубо аналитических построений pery
ляриы', БП с /.tалыми (и даже сколь уrодно малыми) потеряМИ в
фПБ.'1 '1'.
Б:шарные r.:оследовательности иа основе JlииеЙБЫХ последова
тельиостей и рази()стных миожеств. Из выражеиий (2.27), (2.28)
можно видеть, ЧТО одинюшвые по амплитуде rарМОНИIПI дпФ
спентра (кроме постоЯ иной составляющей) может иметь только
таl.:ая последовательность, ПАК Ф ){отарой описывается равеист
80\ (2.30), т. е. обладает одиоуровнеDЫМИ БOl<ОВЫМИ лепест){ами.
С 1РТОЙ стороиы, подобную ПАКФ в ){лассе БП имеют пос.ле
до']"тельности иа основе РМ, 11 только ОllИ (см.  3.3). Поэтому
ВЫ' ШН!lвания ДПФспектра отображения. неоБХОДI-fмоrо соrласно
pe'pKe к (3.20) для обращения (3.21) в равенстно и, с.леДОDа
T€.I1btiO. для придания 1'00. предельно МИllнма.'1ьноrо при фиксиро
В3Н11ЫХ Ч, V, r значения, МОЖНО добиться тоrда, и только тоrда,
коrда ){ороткая БП (ei} образоваиа расстановкой сИМВОЛОD ei
 + 1 лишь на тех позиuиях, которые прииад.лежат некоторому
(и, t'r, ;\,) разиостному миожеству. Таким образом, c}eCTBOBa.
ищ (;". иT, ;\,) РМ необходимо н достаточно для минимизаuии
j'00I в семействах БП на основе ЛП с одинаковыми заданными
v (vlql) R т.
Удлиним уже используемое наимеРОВЗlше до «БЛ на основе
ЛЛ u РМ", закрепив ero за те"lII раЗНОВl'l\НОСТЯМИ БП (3.13),
для ){оторых ){ороткая БП (ei} есть ){аl{аялибо БП на основе РМ
из  3.3. Выразив R. (1) с помощью (3.3) и изиеСТlюrо из теории
разиостяых множестn равенства t'r;\,r(vr)J(vl) [71],
ПЛКФ БП на основе ЛП н РМ соrласэо (3.16) МОЖIJО ааписать
.ак
(1, m == О modN,
Я!m)1 qn 1 l [qn2(q2 q V l rY11, mфО modh, (3.22)
I q"I1 qnl(ql)
l + Я., mlh, lфО mod(ql)
q"1 qn1
rде R.I'1r(;,'r)fv(vI).
Кан ВIIДIIО, БП на осиове JlП и РМ имеют ПАКФ с ДByxypOB
l1еВЫl\fИ реrулярно расположенными БШШJЗЫМII лспеСТI{ами (см.
(2.27) " рис. 2.3). Поэтому д/Iя расчета потерь '1' при конечиых
ДЛlIнах N БП (3.13) наряду с соотиошеиием (3.17), преобразо
ванным подстаиов"ой правой части (3.20) вместо суммы по k,
"Ожет быть яспОЛЬЗОDаи и более ранний результат (2.29), в KO
51

тором следует положить L==-v, а вместо R 11 .R. подставять COOT
ветственно вторую и третью строки (3.22).
Оценим теперь колнчественнО потери 1'00, свойственные семеЙ
ствам БП на основе ЛП и РМ. При этом иеобходимо, пользуясь
перечием IfзвеСТIIЫХ РМ из !i 3.3, подставлять параметры послед.
них в нижнюю строку (3.21), помня, что для БП иа основе ЛП и
РМ в ией соблюдается равенство (БП, отвечающие верхней стро.
ке (3.21), были забракованы ранее).
Пусть для построеиия отображения используется (и, "T, л)
ПРМ. Так как <'  пернод короткой БП, а для ПРМ "TO, то
достаТОЧlIО рассмотреть случай v==r== 1. Подстановка значеН1IЙ
vI, T1 в (3.21) дает рез}'льтат уч2/4(ч1), уже встречав.
шийся при анализе БП иа осиове РМ в !i 3.3 и зиачащийся во
второй строчке табл. 3.2. Речь здесь, разумеется, идет lIе о каком.
то совпадении: пр" v ==;r== 1 отображение 8 заменяет все элементы
GF*(q) символами 1, в символ же +1 отображается лишь
иуль поля GF(q). Иными словами, БП (3.13) в этом случае ока.
зывается продуктом замены всех ненулевых элементов q-НЧIlОЙ
М-последовательности {tri} на 1, а нулевых (и только их) 
на +1. Но по этому же правилу строятся и коды ЗНlIrера [61],
так как ЗРМ и ЯВ.'1яется множеством номеров позицнй, па KOTO
рых в qичной М-последовательности расположены пулевые эле
менты [34]. Следовательно, коды Зинrера (см. вторую строку
табл. 3.2) составляют простеilшее семейство из описываемоrо MHO
жества БП на основе ЛП иРМ. НаПОМIIИМ (см. !i 3.3), что луч.
шими среди кодов Зинrера (или, что, .как теперь выяснилось, oд
ио И то же,  среди БП на основе ЛП и ПРМ) являются после-
довательности над GF(3), для которых УдБ O,51 дБ.
Подставнв rt'1 (v*l) в (3.21), леrко убеДIIТЬСЯ, что отоб.
ражеиия, основанные на аРМ, прнводят к последовательностям
(БЛ на основе ЛП u ОРМ), дЛЯ которых Y как функция v ми.
ШIМИЗlIруется при vI:rq до ЗlIачення 3ч.: q/4; 4(ч1). Из
этоrо след}"ет, что отображения 8. которым отвечают коротки('
ЕП {8i} С единственным симнолом + 1 на периоде v. заслуживают
ВНlIмания лишь при относнтельно неболыпих Ч.
Так, для удержания УБ в пределах 1 дБ БП (3.13) должна
строиться над полем GF(q) порядка ч 13. Если учесть, что q 
степень npOCToro числа, а t l делит ч 1. нетрудно заключить, что
УЦБ  1 дБ лишь д,lя тех семе"ств БП иа основе ЛП 11 ОРМ
пара"етры Ч, ", r которых образуют ТРОЙКII 5, 4, 3: 7. 3, 2: 13
4,3.
ОбраТIIМСЯ теперь к (и, <'T, л) РМ Тllпа типа Адамара. ДЛЯ
БП на осиове ЛП и АРМ положпм внача.'е 1 <L'<qI, что
с учетом ДС.1Jимостн ql на t l равносильно оrраничению l<[}
 (qI)J2. Подставив "T (и1)/2 (см. !i 3.3) в (3.2]), полу.
чим
y.....!L... [ q + O 1 ] .
q1 (v+I)' о+1
(3.231
52
бывание правоЙ части (3.23) с ростом v позволяет подстаllОВКО;!
11 = (ч1)/2 получить достижимую нижнюю rраницу
(324)
y;;;,q(q+3)/(q+ 1)'.
Очевидно, для существования семейства БП на основе ЛП "
АРМ с потерями, определяемыми правой частью (324), достаточ.
ио, чтобы 2и+ 1, rде v удовлетворяет условию существовани>!
(и, "T, л) АРМ, было целой степенью npocтoro числ.а. Напри-
мер, при следующих наборах Ч, и, r существуют семеитва р.':.с-
сматриваемых типов БП на основе ЛП и АРМ: ч 2 3, v 11, ,6
(  1 038 o 16 дБ); ч31, v 15, ,8 (Y 1,029, VдБ
3013' Б ) '. УБ47, 23, ,12 (yI,02, УцБ 0,09 дБ) и т. д.
, д ' ( ч r ' ) АРМ с .'2'1 существ)ют при любых
Поскольку v, v.........,. "" .... - r Мил
натуральных s (например, ЗРМ и их обобщения ордона  .
саВелча[71, 74]), для ДОСТIlжения rрашщы В (3.24) доста-
очно также чтобы чнсЛО 2и+ 1 2'+'1 было простым. Простых
чпсел подобюrо вида (чисел Мерсенна) IIЗвепно достаточно
мною [I] так что с учетом стремления праной часТИ (3.24) к
единице с' ростом q можно rоворить о на'шчНИ среДII.. ЕП на ос.
иове ЛП и АР М с v  (ч] ) /2 последовательностеи со сколь
}rОДIЮ малымп потерями У в ФПБЛ. .
Сняв оrраннчеИIlе и<ч1, остается рассмотреть случаи v
ql. Так как q  стелеНl. простоrо числа. а для .1юбых (и, ".
T. л) РМ типа Адамара t'==3mod4, то 113 q == Omod4 след)
q2W ..':::;"2. Прп этом ситуация, I<оrла t'r(vI)/2. т. е. '
qI2: иетересна как отвечающая верхией строке (3.21). ДH:
ко вычеты по модулю v, не входящие в (v, r..1. л) РМ; сам. о
разуют (и, " л,) РМ, что позволяет по:южить ' (vI)/2qI21.
Тоща вторая строка (3.21) даст
(3.25)
Y  1 + (2W1  1)2 .
Существование (и, т, л) АРМ дЛЯ тобых v вида и2"1 сл}2"';;
rарантией существования БП с потерями (3.25) при всех ч2 ,
w;;;'2. Стремление (3.25) к еДИННl!е с возрастаиием w }казьшает
lIа наличие в данных семейства"", БП со сколь ). rодно малымИ
потерями из.за рассоr.1асованности ФПБЛ. Так, уже при w4
(ч16) yI,02 (0,09 дБ). 
Сре;щ остальных известных ТИПон РМ (см. !i 3.3), если и оо-
наРУihнваlOТСЯ 13 какойто мере ПОДХОДЯЩIlС для конструировюlИЯ
БП (3.13), по ДОСТИЖI-IМЫМ значеН1IЯМ 1'. ,\,00 они за'dеТIIО \'ст\ЛСНО'I
АР1\1. Это вполне преДСIшзуемо. ПОСJ\ОЛЬКУ заметное ОТЛ1lчие зна
чсния r от (с':!: 1)/2, характерное Д.чя ЗРМ с v*2"'I, r;PM,
БНрМ. ВРМ. влечет за собой ощутимое превышеИIlе еДИIIIЩЫ
сщ rаемьш (vI)2/4r(vr) в (3.21).
Структура ФПБЛ. Прямап лодстаНОВhа н неравеиство (2.35)
значенпЙ N 1 == 11. L === v показывает. что а.:1фавнт весоВЫХ МНОЖlIте
м,! ФПБЛ для БП на основе ЛП и РМ состонт 113 1\1ф2v эле.
Э3

ментов. ВО.'1ее пристальный анализ, однако, убеждает. что в дей
сшительностн число различных ВесовЫХ коэффициентов ФПБЛ
равно двум при <'  1 и трем в остальпых случаях. Для подтверж
Аения этоrо обратимся l{ выражению для nесовых I{оэффпциентов
фнльтра (2.32). охватывающему все случаи. Iюrда ПАКФ кода
ИмСет двухуровиепые реrулярно расставленные боковые лепестки,
и переписанному После подстановок Nh. [и в упрощенном
Биде
.!
Ь;. ==С 1 +C2ai + Са ai+Sh i == О. 1,..., N  1.
S:=oU
{'де С,. С2. Сз  не зависящие от i постоянные. Обращаясь к (3.13)
и принимая во внимаНllе, что t;i+.!/t==b8hti==llsti. из свойства ли
иеl1НОСТИ следа (теорема 3.6) получаем
.I
Ь'С'+С2а,+сз erf!'tr(;'). iO, 1..... NI.
,
(326)
П}'сть /  {i: () (;' O}  множество номеров познцнй. на KOTO
рых В Мпоследовательности {tr (;i} стоят нулевые элементы.
Torдa. поскольку для БП (3.13) прннято О (О)  1. из (3.26) сле
дует
Ь,  С, +с 2 +с з v. iE J.
(3.27)
.I
При iф/ (3.26) представимо и форме ЬiСI+С2аi+СЗ  е.н. rде
00=0
jлоrарIiфМ tr(;i в GF(q) по основанию f!(;h, а так как KopOT
кая БП {ei} имеет перllOД <'. сумма по s в записаниом выражении
есть постоянная составляющая ДПФспектра {Oi}. Отсюда
Ь'С]+С2а,+сз(v2r). iфJ.
(3.28)
Так как a;E{:f:I}, веСОЕые ЧIЮЖИтелн ФПБЛ при iф/ соrласно
(3.28) принимают не более двух значений. В то же время при
iE/. как видНо из (3.27). все Ь , одинаковы. Это и устанавю!Вает
верхнюю сраннцу объема алфавита весовых коэффициентов
ФПБЛ для БП на основе ЛП и РМ: Мф3. В частном случае,
косда vrJ. e(tr(;i)J при всех iфJ, так что (3.28) прннн
мает вид Ьi==СIС2Сз, ifjEJ. а это, в свою очередь. означает, что
Мф2. Тот же вывод. КОlIечно. следует и из (2.33). поскольку при
vr1 БП (3.13) вырождаются в коды Зинrера. имеющие ПАКФ
с ОДНОуровневыми боковыми лепесткаМII.
Для получения явных зависнмостей весовых коэффициентов
ФПБЛ от параметров q. и. r БП на осиове ЛП [1 РМ можно п
ложить в (2.28) и (2.32) N,h. Lv, а в качестве R и R. в (2.32)
f10дставнть уровни боковых лепестков ПАКФ. определяемые ДBY
мя последиими строками (3.22). Torдa после несложиых. но Hec
.54
gолько rромоздких алreбраических манипуляций MOJКHO прийти g
сОотношению
f Ь  q"1 ( q 2 q v 1 т). i t= J.
b,{b'1 V(b+/) , iфJ. e(tr(;I)I.
ч
I b" + r(vI)+bv(rI)
t ч 1 (Ч l)(vr)
(3.29)
iфJ, е (tr;')  1.
пр чем из довольно простых расс}ждениЙ можно заключить, что
среди N весов ФПБЛ каЖдое llз трех Зhаченнй (3.29) повторяется
(ч'II)v/(qI), qnlr И qn'(vr) раз соответствеюю.
Прн иT 1 БП (3.13) становится кодом Зннrера, для KOTOpO
со e(tr')1 нри всех iфJ. Torдa в (3.29) остаются лишь пер
BЫ две строки, пр.внимающие после с('кращения на общий MHO
ЖJl;е lb q ЧНД
b. { bqn'(q2\. iEJ,
. b'[qп2(q2)+J](qI). iфJ.
Чпсла qn2(q2) Н qn2 (q2) + 1 взаимно просты. а q1 делит
qп. '(q2) + 1. и потому последнее расенство дает наименьшие
по абсолютному эначению целочнслеlIНые весовые коэффициенты
ФПБЛ для кодов Зпиrера.
rеиераторы БП на основе лп. Как неоднократно отмечалось.
процесс формирования БЛ на основе ЛП сводится к построению
обычной Мпоследовательности над GF(q) и замене ее элементов
доичными символами =1:::1 по некоторому заранее выбраНlIОМУ за
кону. Следовательно reHepaTop любой БП (3.13) с заданными
эш lениямн n. Ч. V, r можно реалнзовать КЗI{ цепь из двУх после
довr.тельно включениых блоков (рис. 3.3): rеиератора ЛЛ (rЛП)
на основе qИЧIIOР') реrистра сд.nпrа с ЛШlеi'lНоii ('братвой связью,.
CTpYIcrypa которой отвечает ПРИМIIТИВИОМУ полиному степени n С
к,чффициситами иэ GF(q) (см. рис. 3.2). н преобразователя П.
сопостапляющеrо (ql)r,jv заранее назначенным ненуле-sым co
СТО) 'ИЯ'f I{ЗI{ойлибо (скажем, крайнеЙ спраnа) ячейки реrистра
CIP БО1J l. а. oCTa:rтЬHЫM состояниям  символ +1. П:",добнvю
(1псрацшо может выполнять соответствующая I{омбllнационн'ая
схе'\1'8 II...'ПJ постоянное ЗВНОМИ'l2ющее УСТРОЙСТВО. из l(OTOpOro СЧП
ТL.ваются еднницы И.'JИ F}.ЛIl в заШIСIIМОСТИ от адреса, задаваемо
ro состОяНием ячейкн СДвиrовоrо perllCTpa. Скомпонованные YK3.
зю 'ым образом структуры сенераторов БП (3.13) весьма ПI'''СТЫ,
компаКТШ')I и ilerKO реализуемы как в виде физических устроЙств,.
так и в nиде проrрr '\'[мных бдоков.
КатаЛОr БП иа основе ЛП и РМ. л".
дробные сведения о лучших (I'ДЕ  1 дБ)
ЬП на осиове ЛП и РМ с длинами N<:;;;, 1200
содержит табл. 3.3. в которой указаны: По
(3.30)
1;..;;.l............1,;I a

Рис. 3.3
55

Т .а б л 1I и а З3. параметры бинарных nосш'доватеJJыfсrенH на основе линеины,,"
послсдователыюстей и разностных МНОЖеств
q, 1.', r
ТШ1РМ
I п I N I УдИ I Y дИ 1 М Ф
I 2 4 О
3 13 0,17
3, 1. 1 (1. О. О) ClP1'I 4 4'! 0,37 0.51 2
I 5 121 0.46
6 364 0.49
7 109З 0,51
2 24 0,28
5,4,3 (4, 1. О) ОРМ 3 124 0.41 0,46 3
4 624 0.45
7, 3, 2 2 24 0.29
(3. 1. О) ОРМ. 3 171 0,35 0,39 3
4 1200 0.39
8, 7, 3 (7. 4, 2) АРМ 2 63 0.30 0.46 3
3 511 0,44
13. 4. 3 (4. 1. О) ОР1I! I 2 I 561 0.69 I 0,81
3 732 0.80 3
4. 1. 1
2
3
(1. О, О) ClP1I!
16. 15. 7
23, 11, 6
29, 7, 4
31, 15, 8
32,31. 15
47. 23, 12
53. 13.9
61, 15,8
56
I
I
I
I
I
I
I
I
(15. 7. 3) .'\РМ
(15, 8, 4) АРМ
I 2 I 2551
I 2 I 264/
I 2 I 210 I
I 2 / 480 I
I 2 1102з1
/2 I НО4/
I 2 I 7021
/ 2 I 930 I
(11, 5, 2) АРМ
(7, 3. 1) АРМ
(15. 7, 3) АР1Il
(31, 16, 8) АРМ
(23. 11, 5) АРМ
(13, 4. 1) ЗР1'I
2 I
0.46
1.00
0.05 I
0.15 I
0,90 I
0,12 I
0.01 I
0.08 I
0.73 I
0.52 I
1,25 I
2
0.09 I 3
0.16 I 3
0.96 I 3
0,13 I 3
0,02 I 3
0.09 I 3
0,74 I 3
0,54 I 3
р" 'ОК q oCHaBHoro поля G F (чj; период v и иес r отабражения 8;
TJll РМ, порождающеrо КОРО1кую ПОс.,едовате.1ЬНОСТЬ {8,};
степень n. ПрПМИТlIвноrо полннома IIСПО.lьзуе:\юrо для Построе
HIIII ЛП (q'IIЧНОЙ М.последовательности); д.lIIна N !ОП (З.IJ)
потер"" 'VдБ. Ilоследние ДВе КОЛОНI{Н таблицы СОJ,ержат 3Ha
цсНИЯ предельных потерь 1'ООдБ и объема алфавита весов ФПБЛ
Мф ДilЯ семейств. включающих данн}ю БП Первыс два ceMeHCT
ва БП нз табл. 3.3 являются кодами Зинrера [61], остальные две-
eaдцaTЬ в число которых входят 11 семейства с НСКЛЮЧIПСЛЬНО
маЛЫ'!II потерями у, y, бы.ll1 описаны в 1,и].
Дополнением к табд. 3.3 служит табл. 3.4, в которой приве.1е
"Ы рассчитанные соrласно (3.29), (3.30) наимеиьшие по абсолют
"ому значению целочислеииые весовые коэфф,щиеиты ФПБЛ, от-
ве'шющие БП на основе ЛП 11 РМ с ДЛИllаМII N2б4.
Пример. 06ра'ТlI!МСЯ .к семейству IИЗ табл. 3.3, для jI{oroporo 9"",5, v4. r:=3.
Пусть п2. Соответпвующая БCl (3.J3) ДJПJUIы (9nl)vl(9J) 24 сrpoится
на оано.ве МПОС.'Iедовзтельно("ти ДJ1JИНЫ qnl ===24. Выберем 1'13 таБJDllЦ [18]
КaJюii.."l1tоо ПРIlМII'Т'ИВНЫЙ ПQJIIИ'Н!QIЫ степени 2 над GF(5), скажс.м [(х)==х 2 +4х+2.
ТО1 а последовательность {di}=={d i :lli=::trt;;,i+m. (O. 1. ..) может Оыть по
строе,на рекурсиеil di==ldiI+3di2. (==2, З. .... прич,ем произвольиый выбор lIа
ча '/ЬНЫХ у.СЛОWIii пр'иведет лишь к lI.ому, что послсдовarrеЛblНОСТЬ (d,} будет
JИАСТЬ месушесТБеНJНЫЙ IJJЯlКЛи,че;жш.й с.д,БlЯI' 1Jf3 т позиций l()J'lнoшrrслы
ю М uocле
.ао,ва.ТeJ1ЬнОС'11И (tr I}. фиrурирующей в (3.13) Положив do"='O. d l == 1, ПОЛ}"Ш{II
{d;: iO. 1. __, 23}  {о, 1, 1,4,2,4, О. 2, 2, 3, 4.3, О. 4, 4,1,3.1. О, 3. 3. 2,1. 2}. BornQJ1'"
эовзвшись соо.тношение.м dHh.....trtHm+h==>-1-L trt;;HmJ.tdi. Т. е. di+e==Jldi. убеж-
даемся, ЧI'О при IИзбраWFIОМ поли.ном-е [(х) J.t==2 ПОЭl'ому МУЛЬПИ1ли;кз-мrВiНЗП
rр}ппз пмя GF(5) ,в I1'орядке стС'пеней Jl IJ-шеет ВИ'l GF*(5)=={I,2,4,3). Из
этоiI ['1руппы образ + 1 на :МНi()Жест»с ::!:: 1 слсдует прIИСВО!ПЬ ЛИШЬ те.м ЭJJемеН4
там, K.oropbloe занимают ПО3ПJ..I,(НJИ. состав.'lяющие (v. tlr. '") РМ с ШUрЗ 1 меl'ра1Мfl
v4. ("==3. Та,к :как вы,бор СД:НlНСТВ6НпorQ э...1емита OPJ\oi ПрОll3DOЛен, ЩЫQЖJiIl
O(l)I, o(2)O(3)O(4)I. Та,J<ИМ обр""""". ооrл",.ио (3.13) в построениой
JЧП(,..JIе.дQваТ'еш,JfI-,(ТИ {di} э.лементы 0,1 с.'1едует за,м.eIlIllТЬ 'Нз + 1. а элементы.
2,:1, 4  .па l При Эl'GМ по.rrуЧiИТСЯ БП {ai}, {)писывае.мая вектороом а==
Т а б л и u а 3.4. Весовые коэффициенты фильтра
Ч, V, r
п
N
ь
Ь'
ь-
М Ф
3. 1, 1 2 4 2 1 I 
3. 1. 1 3 13 2 3 2 
3. 1. 1 4 40 2 9 5 
3. 1. 1 5 121 2 27 14 
4. 1. 1 2 5 2 2 1 
5, 4, 3 2 24 3 5 7 11
5, 4, 3 3 124 3 25 27 51
7, 3. 2 2 171 3 7 5 3
8, 7.3 2 63 3 32 28 17
13, 4. 3 2 56 3 65 23 43
16, 15, 7 2 255 3 ]28 120 97
23, 11,6 2 264 3 93 13 11
7

-II='(I.I.1.I.I, l,l..........,1.1.l,..........I,1.1. 1.I,I.l,l. 1.1,1.1. 1.
1)T .и еющая ПА1\Ф с двухуровневЫМ!И боковbl!МИ леПе'стка'М!И R(m) ==R==O,
т4::0mод6; R(m) """'RI== 1/6. m  Omod6. .тФ{) mod 24. ПодстзlШВ 311И вязче.
f!Шя R он RI вместе с L==v"""ql ==4 в (2.29), найдем 'IJотери в ФПБЛ: у== 1.061
(0,28 :l\Б).
Ве"овые КОЭффИlLИенты ФПБЛ. 'К3IК ВИДНО ИЗ табл 34. ПрикиМ8ЮТ трм
ЗН8'Ч13Н-ИЯ: Ь-==5, b'==7, b"==ll, пpm:чем СOI'лаоно (3.29) bf==b==5 при df==O,
bi==b'==7 пptН ai==I, bi-==b"==ll при Йi==l. d i =1=O. В я"юre век'юр ФПБЛ
b (5, 11, ll, 7, 7, 7, 5, 7. 7, 7, 7, 7, 5, 7. 7, ll. 7, 11. 5. 7,7,
7.I1,7)7 Прямая пров'ка шжазъmает. Ч'J\O Ь*О'а==О оря всех iФОmоd24
(cм (2..3». rr  e век.тор Ь в дейС1'ВИre.тIЬiНОСТИ задает последовательНость весо-
вых коэфф.lщи-ентов фнльТ'ра. идезлыiO сжимающerо ПДС. 'М3aНlИIJу.лн'рооВ3ЮlЫЙ
построенной БП.
3.6. СОСТАВНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Заметное пополненне перечня БП. идеально сжимаемых с Ma
.лЫМИ потерями V. дает описываемый далее метод построення HO
вых последовате'Jьностей на осНОВе уже имеющнхся.
Пусть {а,,}  {а,,: i .... I. О. 1. ...}. {a2i}  {а2;: i.... I, О,
1. ...}  I{Одовые последовательности взаимно простых периодов
М.. N 2 с алфавитами произвольиоrо пбъема (т. е. не обязательио
бинарные). Назовем последовательность {а;: i..., I. О, 1, ...},
образованную по правилу
ai==a1ia2i, i== .... l. 0.1....,
и имеющую период NN.N,. составнп
кой последовательности R (т) связat'"
компоне'lТОВ {аи}, {а,,} равенством
Я(т)Я,(т)Я2(т), т..., I. 0'1.....
(3.31)
И:<щ,ст,lO. что ПАКФ Ta
с ПАКФ Rl(m). Я2(т)
(3.321
-открывающим определенные возможности в плане синтеза после
довательяостей с малым уровнем бокоr.ых .спестков ПАКФ [61].
Оказывается, что столь же простое соотношение связывает поте
ри В ФПБЛ '1' для составной последовательности {ai} с потерямн
'1'1. '1'2 компонентов {ali} , {a2i}. Де"ствительно. подверrнув (3.31)
прямому ДПФ. ПОСЛе подстановки в Hero выражений для ан, a2i
через обраТl!ые ДПФ будем иметь
 NI ( j 2" i k )
а.   "', и., ехр 
IO N
I N,' N.I  N. N,l f j 2" Ц/ N. + sN,  k) ]
   a,la 2 .  ехр .
NJ. NtJ, 1====0 5==0 1===0 NJ. N 2
I"де kO. 1, .... N..N21.
Нетрудно вндеть. что внутренняя сумма в (3.33) отЛична от
нуля (н равна N,N 2 ) лишь для значений 1. s. k, удовлетворяющнх
сравненню
1 N.+sN, == kmod N,N,.
(:1.33)
(3.34)
58
1'ак как N, и N 2 взаимно просты, при пробеrании 1 н S полных
систем nычетов по модулям N 1 И N 2 сООтветственно с}"ммз lN 2 +
 sN , пробеrает полную систему вычетов по модулю N [15]. OT
сюда. в свою очередь. следует взаимно однозначное соответствие
межДУ kE{O. 1. ..., NI} и параМIl IЕ{О. 1, .... N,I), SE{O,
 1, .... N21}. Поэтому при любом k в (3.33) от нуля ОТЛIlЧНО лишь
ОДНО сдаrаемое 1{
a.aIla2" kO, 1....' N,N21, (3.35)
rде 1 11 S находятся яз (3.34). В итоrе из (2.16) для иотерь. co
путствующих идеальному сжатию составной последоватеЛЬНОСТII,
имееМ
11 11 2 Nl 11 11 ' N,l  Il a ll ' N.l 
'I'  la.I2  laIlI2  la..I2'I','I'..
N k==D NJ. 1==D N lI 5==0
(3.36)
Пусть теперь {Ь(: iO. 1, .... NI}. {ЬН: iO, 1, ..., NlI}..
{b 2 i: iO. 1. ..., N21}  наборы весОвых коэффициентов ФПБЛ
составной последовательиости {ai} и ее компонентов {ан}. {а2;}'
На осиованни (2.13). (3.35), (3.34) с точиостью до несуществен
Horo множителя. не зависящеrо ОТ i. получается
N' 1 ( j2"ik )
bl '" exp  
/...J..... N
k==-O й k
1 N,IN.I 1
'5; 
N 1 NtJ, t;h 5==0 ..... .....
QLl a 2s
[ j2"i(/N2+sN,) I
ехр 
N 1 N 2
I N,' I ( . 2"а ) 1 N.l I ( . 2"i8 )
 '5; exp J   exp I. 
N 1 lo . N] N';1, 5-==-0 й. N'f}.
a l1 
 Ь, ((/)). '''''((1)).. 13.37)
rде ((i))., ((i»)2  остаткя от деления i на N, и N 2 COOTBeтCT
Ее НО. Таюi.М образом, составной КОДОВОЙ последовате.'1ьностIt OT
вечает «составной" ФПБЛ, весоnые коэффициенты которою полу
чаются поэлементнЫМ перемножеНIIем пос'Тедовательностей весов
ФПБЛ отдельных компонентов. Следствяем из (3.37) является
оцрвка
М Ф ';;;; М Ф1 М Ф2 ' (3.38)
в которой М Ф , М ФI , М Ф2  объемы алфавнтов весовых КОЭффIlЦIl
е rOB ФПБЛ соответстnеIlНО cOCTaBHOli последоватеЛЬНОСТll {а,}
11 ее I{омпопентов {ан}. .{a21}'
Рез}'льтаты (з.36)(3.38). без труда обобщае\lые иа пронз
во ']ыюе чпсло компоиентов с попарно вззнмно ПРОСТЫМII длпна
МII. позволяют конструировать БП больших длпн яз «короткях,.
состаnляющих. nроrПОЗllрУЯ Не толЬКО потерIl на сжатпе, но и
сложность ФПБЛ.
59'

Особоrо внимания заслуживает частный вариант описанной
'МеТОДНЮi. в paMI{8X KOToporo в качестве ОДIIоrо из компоиеllТОВ
выбирастся БП (а,;}  (1, l, l, l} ДЛИНЫ .v24  единст
веииая изнестная БП с идеальной ПАКФ (1'21, см. табл. 3.3, а
также [61] и др.). ЕсЛl! прн этом друrнм компонентом является
К3I{аялибо БП uечеТllоrо периода, составная последовательность
имеет по сраонеШflО с ней вчетверо БОЛЫIIУЮ ДЛlIНУ N ===4N 1 прн
тех )hC' потерях в ФПБЛ 1'===1'1 If едннствеи'юй П.I1атоЙ за «уд.rrине
нне» БП СЛУ;hИТ удвоеиие объема алфавита ВеСОВЫХ коэффициеи
тОв фильтра Мф2МФI'
Пусть, напримср, {а,,}  {l, 1, 1, 1, 1}. Эта БП, ямяясь
rлобально оптимальноЙ для Д..'lИlIЫ ,V 1 ===5 (r'IAB :::::::;0,46 дЕ, СМ. таб.lJ.
3.1), мо",ет также строиться на основе (5, 1, О) ОРМ (см. табл.
3.2) _"Iбо как КОД Зииrера Аад GF(4) (см. табл. 3.2,3.3). Д.1Я по.
злеМ('(lтноrо перемноження ее с )помянутоii БП длины N 2 ===4 дoc
таТОЧIЮ выписать ПОДРЯД четыре периода {ан}. изменив на про
'j'ИПОПО.lожные ЗI1ЗIНI псех элементов. кроме каждоrо четпертоrо.
Ана'10rично СЛс.з."ет поступить и с веСОВЫМII коэффициентамп
ФПБЛ, ВОсПОЛЬЗОАаВlIlJIСЬ прн этоМ данными табл. 3.4. В резуль
таТе подобllЫХ :IеikТilНЙ ПОlJучатся с..lед} ЮЩllе векторы а. Ь, OTBC
чающие составной БП {а,} и иабору весов ФПБЛ. идеальио сжи
.мающсrо (а,}:
a(1,I.I,I,I,I,I,I,I,I, 1,1,1,1,1, I,I,I,I,I)T,
Ь  (2,1,1, 1, I, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1,1, I)Т.
Убедиться u том, что для полученных. БП и фнльтра Ь*О lJ1 а==
19
-к::::  a({i+'rll»bi==O прп тфО mod 20, IH1K Н В равенстве знаЧеlllIЯ
=-=0
потерь 0,46 !/ь, можно с помощью прямой ПрОRСрКИ. Отмстим, что
ПОЛ}.'liснная БП. как свидетельствует Talkl. 31, ЯIЗ.'1я('тся одноЙ из
rлобалыIo ОПТН\IIальных при длине лr==20.
т а 6 '] И ц а 3.5. Пара:метры составных бинарных последовательностей
N
'-1! табл. I N i I V2,uБ I
v,Б
I М Ф
N.
VlnБ
20 5 0,46 3.\3.3 4 О 0,46 4
52 \3 0,17 3.13.3 4 О 0,17 4
76 19 0,46 3.\ 4 О 0,46 38
84 21 0,45 3.1 4 О {).45 10
92 23 0,46 3.1 4 О 0,46 46
100 25 0,49 3.1 4 О 0.49 50
108 27 0,40 3.1 4 О 0,40 54
116 29 0,50 3.1 4 О 0,50 58
252 63 0.30 3.3 4 О 0,30 6
312 24 0,28 3.3 13 0,\7 0,45 f
484 \2\ 0,46 3.2, 3.3 4 О 0,46 6
520 40 0,37 3.2, 3.3 13 0,17 0,54 4
684 171 0,35 3.3 4 О 0,35 6
60
Параметры неlШТОрЫХ составных БП, построенных на основе
J1(l('.педователыюстеЙ. описанных ранее. содержатся в табл. 3.5. В
111(' '1ертом се столбце указано, какая из предыдущи",- таблиц ВJ{лю
qпСТ оrшсаПlIе компонента {ан}. В I{a(IeCTBe компонеНта {a2i} для
()дИНllадцаТII составных БП ИСПО.'lЬЗОВаН УllО\1:инавшийся I{ОД ДЛН
"Ы N,4, а для ДВ)Х  КОД Зинrера д.шШЬ/ N2 13 (см. табл.
з.3.3).
ПvдчеркнеJИ в заключение. что выбор алrоритма комбннироnа
1'111'1 компонентоn (3.31) имеет под собой более серьезную основу,
чс только простота определения l' н Мф. По существу, (3.31)
()I\ jывается еДIlнственным прашыюм поснмвольноrо объединения
БП, rараНТИРJ ющнм достижеНllе прие..лемых потерь 1'. Можно
ПOl,азать, что любоЙ друrой поэлементный продукт БП {а,,} и
(о }, от.шчный от (3.31) не только знаком. будет иметь потери,
не меньшис значеиня 4(N,1)2(N21)'/.'III'N22, быстро стрсмя
шеr СЯ к 4 по мере y-велнчеНIIЯ N) и N 2 .
r ЛАВА 4.
IРОИЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ С ИДЕАЛЬНЫМИ
ПЕРИОДИЧЕСI{ИМИ АВТОI\ОРРЕЛЯЦИОННЫМИ
СВОЙСТВАМИ
1.1. ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ И КРАТКИП ОБЗОР
Сосредоточим теперь внимание на троичных пас 'eд08aTeДbHOC
ТЯ.\ (ТП), состоящих из эЛементов О, :1::1. Отличие ПДС, манипу
,nирuванных T3}HJMJI пос.rrедовате.r1ЫiОСТЯ!\flf. от БФlvl CIl-rН8..'ЮВ co
сТ....I1Т в ПОЯВlJеНИII пау.i на тех временных позицнях. rде al==O,
тоrда как на остальных позициях попрежнему передаются CTalI
дартНЫе радионмпульсы с фазой О (a,I) либо " (aiI).
Изза иаличия пропусков пикфактор ТП 'VNmaxlaiI2/"al(2
;
превышает единицу, н потому подобные последовательности YCTY
пают бинарным в равномерности рассредоточения энерrии ПДС
по период}". Тем не менее имеются веСЮlе доводы, оправдывающие
Прпстальный интерес к пим. Дело в том, что дополнение бинар
носо алфавита { + 1} нулевым элементом, т. е. переход к троич-
Ному алфавиту (О, + l}, открывает перспективы построения Пос-"е
довательностей с идеальной ПАКФ:
R(m) { 1, m =: OmodN, (4.1)
О, mфОmоdN.
Понятно, что прн этом ФПБЛ оказывается соrласованным фильт-
ром и потому, вопервых, идеально сжимает ПДС без эиерrети-
чеСКIIХ потерь (1'1), а BOBTOpЫX, НМеЯ веСОвые коэффициенты
{О, :l::1}, несколько проще в реализации, чем, скажем, ФПБЛ дЛЯ
61

любой БП из табл. 3.13.5 (разумеется, кроме БП длины N4,
обладающеi1 идеальной ПЛКФ). К этому следует добавить, что в
ОтЛИ'-lIlе от друrllХ типов дискретных последовательностей apceHa.l
технических средств, требуемых для формирования и обрабоТlЩ
ПДС на основе ТП, в целом остается теМ же, что и в случае БФ,\\
СИfНПЛОБ. Можно без oc060ro риска утверждать, ЧТО в плане ]{PII
териев. связанных с аппаратурновычислительной сложRос1ыо.
троичным последовательностям на фоне MHoroypOBHeBblX н MHoro
фазных принадлежат те же приоритеты, что и бинарным.
Естественно, что пренмущества, обусловлениые реализуемостыо
идеальной ПАКФ, позволят троичным последовательностям к,
курировать с лучшими бинарными лишь при относительно небо:,
шнх отличнях пик-фактора ТП от единицы. Поэтому paCCMOTpll'
Clштез таких правил кодирования, которые порождают ТП с идс-
альной ПАКФ и приемлемо малыми значениями ОУ_
Вообще rоворя, понски последовательностей с алфавитом {О.
:!::1} и идеальной ПЛКФ (4.1) нмеют довольио давнюю ИСТОРИЮ.
Как одну из первых можно назвать упомииаемую во мноrих ис-
точннках работу Д. Томпкннса (см. [28, 29]), в которой с ПО
мощью перебора былн найдены ТП со свойством (4.1) для исех
длин N';; 18. Возможности переборной технолоrнн поиска подхо.
дящнх последовательностей крайне оrраннчены (см.  3.2), и, ко-
нечно, более важиы и HHTepeclIbl реryлярные алrоритмы кодиро-
вания, позволяющне стронть требуемые ТП единообразно д.,я
мноrих, в ТОМ чисде пронзвольно больших значений N.
В работах, предшествовавших [28, 29, 40], были описаны ДВР
разновпдности реrуляриых ТП с ндеальной ПАКФ. Одну нз т"
составляют так называемые последовательности Чаиrа [69], С'"-
ществующпе при длинах N(3"1)/2, п0Е1mод2, и являющиеся
обычными ЛП иемаксимальиой длииы иад полем GF(3). задаииы\\
предстаилеlшем {О, 1,1}. Имея иа периоде (3"11)/2 пуле;'.
ТП Чаиrа обладают пик-фактором oy (зпI)/2.зпt, зиачеппя
]{OTOpOro при п3 ..1ежат в дпапазоне 1,44 ш 1,5. ПОМИМО ДОВО.у!ЫЮ
большоrо пикфактора можио указать п друrо'i ',едостаток ТN
Чаиrа: большую «разреженность» набора их длин: NE{13, 12..
1093, ...}.
Друrая разиовilДНОСТЬ реrулярных ТП с ПАl(ф (4.1) объед
няет предлаrа "тнеся ШlОrпми авторами конструкпии, баЗИРJ"
щнеся Аа использовании весьма прОДУКТНВНОfО УТl1еР:;f{деш' l'
торое здесь целесообразно прнвести в редакцпн, н:шБOJIсе
пой ДЛЯ псследующих ССЫЛОI\:.
Т ео р е м а 4.1. Пусть {ан} и {а,.}  две пос'едова-rе.1ЬНОС
длины N с ПРОIIЗВОЛЫIЫМИ алфаВlIтамн и ПОСТОЯllllЫМИ СОСТШЛЯlI'
NI Nl
ЩИМII аl0==  ан. б20==  a2i. такими. что arguIO==arga20. Пус '
'o 'O
ПАКФ ЭТИХ последовательностей RlI(m), R,,(m) имсют ОДНОУрОВ
невые и одинаковые по значению боковые лепеСТКII. т. е. УДОВJ1ет
воряют соотношенню (2.30): RlI(m)R,,(m)R, тФОmоd;\'.
6
Л:'СТЬ, кроме тоro,их ПВКФ RI2(m) трехзначна: RI2(m)E{RR.,
Я, R+R,}. Torдa последовательность {а,}, образованная по пра-
:в1I.'1
ai . [R..(i)R], i .... 1. 0'1,.... (4.2)
!lО.'РСТСЯ троичной с алфавитом {О, + 1} и идеальной fL\КФ (4.1).
Д о к а з а т е л ь с т В о. Утверждение относитеJIьно алфавита
с,вдует прямо из запнси (4.2). Для доказатеЛЬСтва идеальности
Л \КФ ТП (4.2) рассмотрнм сумму
HI
 [R..(i+m)  RI ]R;,(i) R],
/=0{)
которая с учетом действнтельности R (см. пояснения к (2.27»)
сnвпвдает С ПАКФ ТП {а;} с точностью до КОЭффliцнента. После
fСКРЫТИЯ скобок, использования равенств (1.16), (1.17) н факта
пер', 'дичносТII Rl' (i) эта сумма примет вид
NI
 R H (; + т) R;, (i)  2 (R/llа,lIl1а.Ю Re (;;10 П;О) + NR,'.
/o
При тфО mод N первое слаrаемое здесь леrко ПОДсqитывается с
yqeтOM внда ПАКФ RlI(i). R,,,(i) н в сумме с ПОСJIедннм слаrае-
мым оказывается pBHЫM 2R+ (N---=-2)R'+N'2.R[1 + (.I'JI)R].
Дa.ee. так как argaIO==arga20, ТО alпa*20== lalollu201. а поскольку
шr. асно результатам  2.2 при ПАКФ Rl .(i), R,,(i) вида (2.30)
lalOl/llalll la20llIla,ll V 1+ (NI)R,
....0 зваченне BTopOtO слаrаемоrо есть 2Rf1+(NI)R]. т. е. вся
рассматрпваемая сумма прн т;;ЕО mод N обращается в иуль ЧТО
11 1'1-,еБОI!алось .i'.Gказать. J
.Несмотря на каЖУl'.\УЮGЯ чрезмерноii оrраинчиТельность усло-
IШI теоремы 4.1. IIзвестно ДОВОЛЬНО MlIoro пар ПОследоватеЛЬRОС
тен с оrоворенными В ней СRОЙСТВаМИ. Так, еще в 60-е rr. Т. Ка-
CaMI!, Р. rолдом, а позднее I! друrИМIf автора"" (см. бl!блиоrра
фшо в [60]) была установлена трехзначность ПВКФ пар опреде
ленным образом подобра!шых M-ПОС.1едовательностей (RIIN),
что и повлекло за собон серню публикаций, ПРОпаrаНДИРУЮЩIiХ
nOCTpOe'lJ'e ТП (4.2) на базе именио Мпоследовательностей. OT
МС?,НМ. ЧТО Д.УН УllОМЯflУТЫХ ПОДХОДЯЩИХ пар jНп()след.оватепыюс
те; «среднее» из трех возможных зиачений ПВКФ RI/N пов-
торяется на периоде Яа(т) не меИее (NI)J2 раз (минимум нме-
ет место для двончиых Мпоследовательностей) п потому пикфак
тор 'v построенных с их ПQМОЩЬЮ ТП (4.2) окаЗывается не MeHЬ
тим значеиия 2N/(N+1), близкоro к двум при больших д.,Иllах
', С дру:ой стороиы, алrоритм, содержащийся В теореме 4.1, как
}дет Показано В  4.3, 4.4, при более адеJ{иатном ОТборе исходпых
ПОследовательнОстей {ali} , {а,;} все же пОзволяет строить ТП с
идеальной ПАКФ и близким (даже сколь уrодно близким) к еди-
63

Нlще ш,кфактором Однако прежде целесообразно остановнться
Н3 БОlес простых 11 практнчных средствах ДОСТllжеНIIЯ той же ЦC'
ли [28.29.40].
4.2. ТРОИЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НАД ПОЛЯМИ НЕЧЕТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
Правило кодирования. f\i\стод. состоящий В засНе СПМВОло
qlIqlibIX ЛП I1Х образами на заданном алфавите. у.же применяв-
шийся в !i 3.5 для СlIнтеза БП. чрезвычайно продуктивен н в пр"
ложеНИII к ТРОIlЧНОМУ алфавиту {О. + I}. Начнем с описания ДО'
таТОЧIIQ npOCToro и мощноrо алrоритма построения ТП, основан
Horo на свойствах двузиачноrо характера МУ.J1ьтиплнкаТИВIIОII
rруппы поля нечетной характеристнкн. Пусть GF(q)  ОСНОИНОс
ПО."е, qpw. р  простое нечетное. w  натуральное. Пусть f! 
ПР"'IIIТИВНЫЙ элемент в поле GF(q). Тоrда двузначным МУЛЬТII
пликатнвным характером поля GF(q) соrласно (3.12) (M2) яв
ляется следующее отображение мультипликативной rрynпы
GF*(q) OCH()BHoro поля lIа МlIш>.ество {::!::I}: 'ф(о)(I)'оg 6.0 Е
EGF*(q). Если Ii пробеrает всю rpynny ОР(Ч), log./\ принимает
каждое нз значений О, 1. ш. ч2 ровно по одному разу. Поэтому
ДОВОЛЬНО очевидным является равенство
 'ф (6)  О. (4.3.
6eGF.(q)
которое. как леrко проверяется. справедливо для любоrо Мзнач
Horo (Mlql. М;;'2) мультипликатнвноrо характера GF(q) (см.
(3.4». Для дальнейшнх примененнй полезно доопределить 'ф(/\)
и для нулевоrо элемента GF(q):
'ф(1\)  { (  1):".6. /\Е GF*(q).
О. /\  OEGF (ч)..
При этом, разумеется. останется в силе важнейшее СБОЙСТВО
функции 'ф ( . ) :
'ф (/\'/\2)  'ф (/\,) 'ф (/\,).
а суммирование в (4.3)
(4.1.
(4.51
можно распространить на все по-"е GF(q):
(4.61
 'ф(/\)О.
lIEGF(q)
Теперь первое из рассматриваемых правило кодирования ТП
может быть сформулироваио в виде следующей теоремы.
т е о р е м а 4.2. Пусть GF(qn)  расширенне нечетной степени
n OCHOBHoro По-"я GF(q) иечетной характеРIlСТИКИ Р (qpW). 
аэлемент GF(qn) мультиплик.ативноrо порядка (qnI)lv. ЩЕ
V  взанмно простой с n дешпель ql. Тоrда ТП. образованная
по правилу
а,(I)"i'ф(trа'). i.... I. 0.1.....
в котором -ч(.) расшифровывается cor-"асно (4.4). имеет идеаль
54
(4.7'
ую ПАI<Ф (4.1). период N (qnI)/(ql) и пикфактор "
". (qnI)/(qnqn').
Установнм вначале Несколько вспомоrательныx фактов.
Лемма 4.3. Пусть h(qnI)I(qI). а v  взаимно простой
nделитель ч1 ((и. n)I, vlqI). Тоrда v взаи"но просто с h.
"I
Доказательстио. Так как h. qi""nmod(qI). то ИЗ
1:=00
ulq1 следует (и. h)(v. n)I.
I Лемма 4.4. Пусть vlql, (и. n)1. Тоrда существует такое
натуральное s. что v  наибольший общий делитель чисел sh+ I
..qrl-l.
Доказательство. Пусть и  наибольший делитель qnI,
взаИМIIО простой с h. Так как (и. n)  1. то 110 лемме 4.3 v взаим
во просто с h п. значит. vlu. u;;'и. Если s пробеrает полную сИс
тему Вычетов по модулю u. sh+ 1 при (h. и)  1 пробеrает ту же
систе"у В KaKOMTO ином порядке [15]. Поэтому найдется такое
SS" что s,h+I == vmodu. т. е. s.h+I/u+v при иекотором 1.
При этом, очевидио. v I s,h+ 1, однако НИкакой друrой де-"нтель и
больший ". s,h+ 1 не елит. Следовательно. при выбранном s;
(s,h+ 1. и) и. С друrои стороны, в каноническом представлении
числа (q"I)/u  pVf p'... pv т как произведеиия степеней П р ос-
т
ТЫХ Pi> 1 ('1',;;'1) присутствуют лишь простые делители числа h
I1И OIН ИЗ которых не может делить s,h+ 1. Значит. (s,h+ 1. чn......'.
I)  (s,h+ 1. и) и, что и доказывает утверждавшееся.
Л е м м а 4.5. Пусть а  элемент GF(qn) мультИпликативноrо
Порядка (qnI)lv. rде vlqnl. Тоrда для любоrо примитивноrо
элемента  поля GF(qn) наибольший общий делитель чисел 10gt O
чn1 равен и.
Доказательство. Так как a' при подходящем r. а
.J'nlJIv(rlv)(qnl!I.TO в силу примнтивности С (rlv)(qnl)
делится иа qnl. т. е. v делит r. С друrой стороны. u (r, qnl)
Не больше V. так Как иначе оказалось бы. что cr{Qnl}IU
(rlи) (.n,)  1
б   и в противоречии с условием леммы порядок а
ыл бы не больше (qnI)lu, т. е. меньше (qnl)Vv.
Лемма 4.6. Пусть а  элемеит поля GF(qn) мультиплика-
иоrо поряда (qnI)/v, rде vlql. (и, n)I, а n нечетио.
да в GF(q ) существует такой примитивный элемент  что
"f!', rде ",1;'  примитивный элемент OCHoBHoro поля GF (q)
а S+v"" 1 mод2. .
Доказательство. Предположим что { "i1 2 (q n
I) } ( ( ) , .. .. .... ер 
пер.  функция Эйлера, см. !i 3.1)  миожество Бсех
"РИМИТИВНЫХ элементов GF(qn). Так как v делит qI, то vlqn1
cor ласно лемме 4.5 в равенстве
a1;T,
, (4.8)
(r, qnI ) 
,_ . v. причем, как леrКQ понять, любому фиксированному
а;лоrарифму а по осиоваиию 1;,  отвечает «свой" примитив
65

ный элемент 1;" удовлетворяющнй (4.8). В множество {r,} cor.
ласно лемме 4.4 входнт и rish+ 1. Обозначим примитивный эле.
мент, фиrурирующий В (4.8) совместно с r,sh+ 1, через 1;. Тоrда
a,h+IJ!'1;. Далее, поскольку vlsh+I, при четном v sh нечеТНQ
(в условиях леммы h всеrда нечетно, так как h == nmod(qI), а
q 1  четно). Если же v нечетно. sh + 1 также нечетно. ибо в
протнвном случае v не было бы наибольшим делителем qnI, де.
лящим и sh+ 1. Но Torдa sh чепю, т. е. ЧеТНО (в силу нечетност"
h) и s. В итоrе s+ v всеrда нечетно.
Доказанная лемма фиксирует факт линейной зависимости иад
GF(q) элемеита а, удовлетворяющеrо ее условиям, от HeKoToporo
примнтнвноrо элемента t;EGF(qn).
Доказательство теоремы 4.2. Как видно из (4.7),
аi==аl+qпIДЛЯ всех i, поэтому период рассматриваемой ТП ЯВЛЯ-
q" 2
ется делителем qnl. Следовательно. сумма  ai+maj совпадз-
,
ет с ПАJ<Ф ТП (4.7) с точностью до HeKoтoporo коэффициента с:
qn2
R(m) c(  ,)"т Lj 1j>(trа'+т)"ф(trа').
,
По лемме 4.6 для иодходящеrо иримитивноrо элемента  ПО.1В
GF(qn) af!', rlje sФvmоd2, так что с учетом линейности следа
(теорема 3.6) tra'f!"tr1;'. trah-mf!.(Нт)tri+m. Кроме Toro, в
силу (4.4), (4.5) "ф(f!)  (I)'1J>(I\), VIIEGF,(q). Поэтому
oп2
R (т)  с (  1 )(.*> m Lj 1j> (tr '+т) "ф (tr 1;') 
,
c(  1)'" Lj "ф(trвх)"ф(tr х),
хеОР (q")
тде введены замены x1;' (XEGP(qn», eт и учтено, чтQ
1j>(tr х) o при xo, а s+v == 1 mod 2. После дополнительных з
мен tr XI\I, tr BX1\2. 1\1. 11 2 EGF(q) имеем
R(m)c(I)т Lj N(II., 112) 1j> (11.) 1j> (112)'
б , . б,еGF(q)
rlje N(II" 1\2)  чнсло решений в GF(qn) системы линейных на'
GF(q) уравненнй (3.6), определяемое формулой (3.7).
Пусть вначале mlh, l..., I, О, 1. .... Torlja B1;lhlt'6
EGF(q) и соrласно теореме 3.7 N(I\I. 1\2) qn1 при 1\2f!11l1, N(I'
62) O В остальных случаях. Поэтому
R(l h)c (I)'(h+I)qn1 Lj 1j>2(1I)cqn'  "ф2(II).
беGF(q} lIeGF(q)
поскольку h нечетно. Тем самым доказано, что R (lh) от 1 не заВИ'
сит и, следовательно, R(lh) R(O)  1, т. е. период N ПАJ<Ф R(/II)
и самой ТП (4.7) во всяком случае не больше h.
66
(49,
Пусть Teв.ь mфОmоdh, т. е. вфGF(q). Тоrда по теореме 3.7
}l(I\I, 1\2) q независимо от конкретных значений 1\.. 1\2, В. По-
этому из (4.9). (4.6) вытекает
R(m)c(I)mqn2  "Ф(IIJ"Ф(1I2)
б. о б,ЕGF( 11)
c( I)mqn2 [ Lj "Ф(1I) ] 20.
беGF(q)
ПолученныЙ результат совместно с иредыд}щим доказывает. что
период ТП (4.7) в точности равеи h (qnI)/(ql) н что ее
п,\J<Ф идеальна.
Наконец, для квадрата нормы вектора, отвечающеrо кодовой
последовательности (4.7), МОЖиО заПисать
1 qп2 1 .qn2
lIaI12  ai  Lj "ф2(trа')
ч1 , ql,
1 qп2
 ----=--  "ф' (J!")"Ф' (tr ') .....!..... '" "ф2 (tr Х ) . ( 4 . 1 0 "
q I, ч 1 LJ . J
xeGF (qn)
Как следует из п. 4 теоремы 3.6, при пробеrании х поля GF(qn)
tr х принимает нулевое значение qnl раз, а так как сумма в
(4.10) с учетом (4.4) есть не что иное, как число решевий в
(iF(qn) И!,;lВенства tr X-FO. т. е. qnqnl. то lIall2 (qnqnl)1
(ql) q . Отсюда для пик-фактора ТП (4.7) получается ,,
NmaxlaiI2/1IaI12hlllaIl2  (qnI)/(q"qnl). чем и завершается
кззательство теоремы.
ПАчетом теоремы 3.9 правило построения ТП с идеальной
н ,содержащееся в теореме 4.2. означает формирование q_
ЧИ ф ОИ ЛП периода (qnI)lv. замену ее элементов троичиыми нз
Ц ввита {О, :!::I} соrласно отображенню (4.4) и поэлементное
"еремножение полученноЙ таким образом ТП с БП (I)vi Пос
Ведняя из перечислеиных операций может быть исключена 'выбо:
ро. четноrо v. что всеrда возможно, ибо, скажем, v2 удовлетво-
риет всем оrpаничениям теоремы 4.2. С друтой стороны, v 1 ко-
jНИО ( 4 ; ) акже подпадает под все условия этой теоремы и, знчит.
HIiI>. . можно строить H основе ЛП периода qnI, т. е. q-ич.
Мпоследовательностеи. Если воспользоваться вытекающим
нз Леммы 4.6 представлением aJ!'1; т е и'
ЭЛементы полей GF ( ) GF ( " ) ,Д  f! .  Примитивные
с ( q и q, а s+v 1 mod2, алторитм (47)
учетом 4.4). (4.5) перепишется в следующеЙ версин: .
a.(I)(,+v)'1jJ(tr')(I)'1j>(tr')...., I,O, 1..... (4.II)
;сюда видио, что любая из ТП (4.7) может интерпрети оваться
к продукт поэлементиоrо преобразования ( 4 4 ) и у мн ож Р
'меанд р » ( 1 ) ' не . М . сиия на
3  которо" -последовательиости {tr '}
иачения ник-фактора. Простая оценка .
" q"l ччl--n <....!!.......
qnq". ч 1 ч 1 (4.12)
3<
67

показывает, что пнкфактор рассматриваемых ТП МОЖ!lО сделать
произвольно близкнм к единнце выбором достаточно большоrо ц.
При одиой н той же степени расшнрения (памяти ЛП) n это, ко-
нечно, будет сопровождаться ростом длины N (цn1)!(ц1)
тп. Отметим, ЧТО в практическнх задачах оптимизации кодовых
последовательностей редко ПРИХОДИТСЯ сталкиваться с жесткой ап
риорной фиксацией длины N. Более типична постановка, косда до-
пустимы варнации N в пределах заранее oroBopeHHoro днапазоиа.
В этой связи обращает на себя вииманне факт возрастания Ве-
личнны (4.12) как функцнн n при qcons1. Блаrодаря зтому ока-
зывается, ЧТО среди всевозможных пар q. п. rарантирующнх попа-
данне периода N ТП в заданный диапазон. лучшей должна быть
ПРИЗН8118 пара с минималыfмM значением n, так как q для меР,
наоборот, будет максимальным и это В совокупностн минимизиру-
ет пик-фактор\> на множестве всех ТП подходящих длин N. Ины-
мн словамн, среди нзучаемых ТП нанболее ценны в приклаДНО\l
отношении те, для которых n3. Нетрудно убедиться в следую-
щем оптимальном свойстве ТП (4.7), соответствующнх n3: при
фнксированном значении N (qЗI)/(ql) ц2+ц+ 1 никакая
друrая ТП не может иметь меньшеrо значения пик-фактора \'.
NI
Действительно, постоянная составляющая любой тп ао== 1: О}
i()
как разность числа положительных и отрицательных ед.иниц за
пернод N  целое число. Но соrласно (1.16) при идеальной ПАI(Ф
lIa112 1;;01', т. е. в случае ТП оказывается квадратом целоrо. Так
как дЛЯ ТП (4.7) ири n3 IlaIl2q2, а (ц+ 1)2>ц2+ ц + 1, наи-
большим целым квадратом, меиьшим ч2+ч+ 1. служит именно ц'
и никакая ТП длины ч2+ч+1 не может иметь на своем периоде
меиьшеrо числа нулей, чем ТП (4.7).
Побочным следствием приведеИlIЫХ рассуждений является
справедлнвый для всех ТП (4.7) результат l(++l(llaI12qn', в
котором K+(K)  число злементов + 1 (1) на периоде ТП. Тю,
"I
как одновременно l(+l(;;o::I::llall::I::q 2 . то
пl
к+  q"1 ч2 , K
"I
q"1+q2
2
(4.131
Мощность правнла кодирования. Произвол в выборе элемента
а В (4.7) (нли Прllмитивноrо элемента t в (4.11» означает воз-
можность сушествовання при одной и той же длине N  (цnl)'
(ql) иабора ТП (4.7) с одииаковым зиачеиием \>, ио с разлиЧ-
ной внутренней структурой (т. е. расположением элементов О, + 1.
1 на периоде). Для определения мощности правила (4.7), т. е.
числа порождаемых им последовательностей одной длины. ОТЛII
чающихся более чем циклическим сдвиrом. необходимо ВЫЯСНИ'Ih,
В каких случаях различные примитнвные элементы 1;" t2 в (4.1 I)
порождают идентичные (отличающнеся не более чем сдвиrом) т1l.
Во-первых, такая ситуация возникает, коrда 1;, н t2 линейно завJl-
«18
('имы над основным полем GF(q): t2l\t" rде I\EGFI(q). В самом
}J.еле. Itthl (h'(qпI)/(qI»  некоторый прнмнтнвный эле-
",ент GF(q). Но тоrда I\lts прн некотором s, прнчем s обизатель
но QeTHO, ибо иначе в соотношении 2==lJ.sl==tlsh+1 показатель
slt+] в снлу нече1'НОСТН h окажется четным. а это будет озиачать,
'1то порядок элемента t2 lIе больше (цn1)/2. т. е. t2 непримнтн
.вен. В HTore нз (4.11) с учетом (4.4). (4.5) нмеем (I)i1jJ(lr1;i2) 
 (I)'1jJ(It" tф')  (I)i'IjJ(trtl;). т. е. ТП, порожденные t" t2:
ОБПадают.
Далее наряду с элементом t примитивным В GFI(qn) является
и элемент t P ' при любом натуральном " так как характеристика
JlОJIЯ р взаИМllO проста с цn1. Но Torдa по теореме 3.6 (п. 2) и в
СJlЛУ нечетности р 'IjJ(tr[(t P ')'])  'IjJ(tr[«(;i)p'])  'ljJПtr1;']Р') 
1I.(tr1;'), так что примитивные элементы 1; н tP' вновь порожда
Ю1 одну и ту же ТП. Такнм образом, для определення мощности
Q правила (4.7) (илн (4.11» достаточно подсчитать число клас
сов эквивалентности в множестве всех примнтивных элементов по
J1я GP(qn), считая эквивалентными как линейно зависимые так
и р-соряженные (связаниые равенством 1;2tlP') элемеиты: По-
}J.обныи несложный расчет проведен, напрнмер. В [61] для слу-
чая, косда GF(q)  простое поле (ЦP. wI). Обобщение на
расширенные поли GF(q) (w;;'l) достаточно тривиально Jl имеет
"rОЛЬко ту спецнфику, что Число рсопряженных ПРИМНТJlВНЫХ зле-
:ментов становится равным lЮп. Поэтому. используя rотовый pe
зультат из '['61], имеем:
Q  '1' (N)/wn.
(4.14)
Подчеркнем. что соотношение (4.11) позволяет полvчить все Q
ветрнвиально различные ТП (4.7) длнны N из единсТвенной по
еледватеJ]ЬНОСТИ.. аналоrично тому, как это делается для Мпо
следовательностеи- Пусть {а,,} и {аи}  две ТП длины N по
строниые соrласно (4.11) с помощью пр.нмитивных элемеН1'В tl
t. a"('1j1(trt'l), au{I)''IjJ(trt'2). i.... 1, 0,1, ....
!Tb logt. t2sh+1 для иекоторых s и 1, причем. конечно, (sh+1
q 1)1. Torдa из h == lmod2 следует s == I+1 mод2 (иначе sh+
'I окажется. четным) и на осиованин (4.4) , (4.5) получится aи
;;;; (I)''IjJ(It..tr 1;,")  (I)(8+1)''IjJ(tr 1;.")  (I)"'IjJ(tr1;l"). Таким
э разом, ТП {аи} можно рассматривать как составленную из I-x
лемеllТОВ последов.ательности {ali} или, как rоворят, полученную
из Са,,} децимациеи с индексом деци."ации 1.
Оа rеиераторы ТП. в соответствии с прнведеиным ранее толко
Нием алrоритма (4.7) сенераторы рассматриваемых ТП можно
CfPOIITb по схеме, показанной на рис. 4.1. Помимо сенератора ЛП
fП), формирующеrо последовательность {tra'} периода (цn
(4 )fv, она содержит преобразователь П, реализующий операцию
"'-:. Если для избранной ЛП v четно, требуемая ТП (4.7) сни
ся прямо С выхода П. При нечеТНО!-1 же v последовательность
69

на выходе П Iпаэлементио переМНQжаеТа
ся с меаидром (I)i, формируемым <е.
иератором меандра r.
Напомним, что r ЛП представляет со.
бой qИЧНЫЙ ре.rистр сдвиrа с линейноij
обратной связью (рис. 3.2), коэффициен.
ты в петле которой {о, {" ... ,fn1 являют.
ся коэффицнентами неприводимоrо над
GF(q) полинома {(х) xn+f"IXn'+", +fo, миннмальноrо для
элемента а (в качестве упражнения можно провернть, что В усло.
2 "I
внях теоремы 4. все элементы а 7 и q . .... a q разчичны. Т. е. CTe
пень минимальнаrа полинома а обязательно равна степени pac
шнрення ор(чп) над GF(q». Для упрощения цепи обратной свя.
зи желательно максимальное число коэффицнеитов f (х) имет
равными НУЛlO, а среди оставшихся  равными 1, так как прн
ЭТОМ минимизируется число операций сложения и умножения в
GF(q). Кроме Toro, для нсключения «ЛИIПнеrо» узла  r на
рис. 4.1  разумно отдать предпочтенне тем полиномам, У кото
рых порядок корней (qnI)/v отвечает четному v(vlql, (v, n)
 1). Отобранные из имеющихся в литературе таблиц либо на Й.
денные на ЭВМ полиномы. подходящие в смысле названных КрИ
тернев, нриведены в табл. 4.1 для n3 и всех простых чр (ш
 1) вплоть до ч47. Помнмо этоrо В табл. 4.2 представлены не-
приводимые полиномы над расширенными полями GF(q) поряд-
ков чрш32, 52, 3'. В последней таблице обозначения It и g(y)
использованы соответственно для примитивноrо элемента G F (ч)
и миннмальноrо полинома It над GF(p).
 BblXOiJl
rлп п
I
1
(' r 'ehIXO2
I rM -+i)( J..=....
L...J L.:'"""'.J
Рис. 4.1
т а бл н ц а 4.1. Полиномы над простыми полями
. I v I
11 q I
f(x)
v I
Т(х)
3 2 х'+ 2х+ 2 23 2 Х"+ 22х+ 19
5 4 х з + 4х+ 4 29 14 х З +28х+28
7 2 х з + 6х+ 5 31 2 х З +30х+22
11 2 хз+ IOх+ 7 37 2 х'+36х+33
13 2 х з + 12х+ 9 41 40 х'+40х+40
17 2 х З +16х+ 15 43 2 х з + 42х+33
19 2 х з + 18х+ 15 47 46 х'+46х+46
т а б n и n а 4.2. Полнuомы НаД расширенными полями
q==pW V Т(х)
9З" I хз+х+...
255' 1 х З +х+2...+2
273' 2 х З +2х+...
70
g(g)
у'+у+2
у'+у+2
уЗ+ у '+2у+1
Любой из полшюмов табл. 4.1, 4.2 задает единствеиную кон-
фllrурацию петли обратной связи в rлп, т. е. едииственную ТП
(4.7) для каждой длины N. В принципе существуют алrоритмы
перехода от одиих ПОЛИНОМОВ к друrим, имеющим корни Toro же
му'Ыlшликативноrо порядка, т. е. порождающим друrие ТП той
Jl{e длины. Альтернативный способ формирования любой из Q ТП
дЛИНЫ N по существу описан ранее и состоит В осуществлении де-
1Lи ма ции с соответствующими индексами 1 какойлибо ОДНОЙ имею
JПеJiся последовательности. т. е. в считывании состояния выхода
схемы на рис. 4.1 через каждые 1 тактов ее работы.
По поводу реализации <енераторов ТП (4.7) можно дословно
повторить сказанное в  3.5 о схемах <енераторов БП на основе
ЛП.
Таблица параметров троичиых последовательностей. Наrляд-
ное представление о ВОЗМОЖНОСТЯХ описанноrо правила построе
пИЯ ТП с идеальной ПАJ<Ф дает табл. 4.3. Для девятиадцатн нан-
меньших длин N (qnI)/(qI), n == lшоd2, в ней указаны: по-
рядок q OCHoBHoro поля GF(q), степень n ero расширеиия GF(qn),
а также параметры К+, K, " и Q (см. (4.13), (4.12), (4.14».
Как видно, в интервале длин N2.10' обиаруживается значитель-
ное чнсло ТП с идеальной ПАJ<Ф и несущественно отличающимся
от единицы пик-фактором, так что В свете высказанных в  4.1
<:оображений последовательности, задаваемые правилом (4.7),
вполне успешно конкурируют с бина р ными описанными в " 3.5
&& .  t
Заметим, что поле ОР(3) можно представить элемеитами О,
+1, 1, причем 11>( + 1) :H, 11>(0) o. Поэтому при v2, ч3
т а (i n и Ц а 4..3. Параметры троичных послеДовательностей (4.7)
N
к+

Q
к--
.
n
13 3 3 6 3 1,444 4
121 3 5 45 36 1,494 22
1093 3 7 378 351 1,499 364
31 5 3 15 10 1,240 10
781 5 5 325 300 1,250 140
57 7 3 28 21 1,163 12
91 93' 3 45 36 1,123 12
133 11 3 66 55 1,099 36
183 13 3 91 78 1,082 40
307 17 3 153 136 1,062 102
ЭВ1 19 3 190 171 1,055 в4
553 23 3 276 253 1,045 156
651 255' 3 325 300 1,042 60
757 2733 3 378 351 1,038 84
871 29 3 435 406 1,036 264
993 31 3 496 465 1,033 220
1407 37 3 703 666 1,028 264
1723 41 3 861 820 1,025 574
1893 43 3 946 903 1,024 420

VI

(4.7) можно перепнсать: a,tr a i . i .... I, О, 1, ..., rде а  эле-
мент ОР(3 n ) порядка (3nI)/2. Получаемые таким образом Tf]
оказываются линейными пернода (3nI)/2. т. е. последователь_
ностями Чанrз, содержащимися как частный подкласс в paCCMaT
риваемом классе (4.7). Соrласно (4.12) пик-фактор ТП (4.7)
максимален при ч3. и потому среди всех ТП (4.7) последова-
тельности Чанrа составляют наименее привлекательную разно
ВИДНОСТЬ.
Пример. Пусть q===5. n:::::З, что отвечает четверroй C'I1JIOKe тэбл. 4..3. Так
КЭIК vc=::4 УДQ8JIе'Творяет УСЛ'()оВИЯ!М rreopeмbl 4.2. требуемую ТП мож/но DО.лучвтЬ.
из ЛП {d.} периода (531)/4o=:31. Для OOIC1IpoeffИЯ ЛOCJI€ДНеи ВOCDOJIьзуе'Мя
nОЛИlНОМОМ :из Т8,БJI. 4.1 Нх)-==х 3 +4х 2 +4. naрож.даюIJ..iJffМ рекураиЮ didil+
+di8. i==-.._, 1. 0,1. "... 3адэ'В. iН8'ПРИМер, do==l. dl==O. d 2 ==O. 1ЮJIУЧ!ИIМ {d i : i=::
. 1. ..З()}{f.О.О, 1, (, 1,2,3.4.1,4,3.4.3, 1.0.3,4,4,2,1.0,2.3,3.0.3.1.1,4.0).
Заметив, что 2  ПрИМИТИВНЫЙ Эllемент GF(5), СОrпаспо (4.4) (МОЖНО таКЖе
воспользоваться I'01'OВbl!М'H та6.rnиц3IМ!И 'ИlНдeIOOOВ (поrарифмов) [15]) :имеем
1jJ(I)1jJ(4)I. <r(2)1jJ(3)1. Tor.I(a 'lЮCле аамеаы злеменюв {d,} по nn"_
ЮlЛУ (4.'4) ПОЛ)"UliМ .JЮК,()мую ТП, S8даваем}'ю .векropои 8.-==:: {1 О О I 1 1 1  I
1.1, 1........,1.1.1, 1.0..........!I.lll.1.I.O........,1. 1.1.O........,1.1.1: 1:0)Т 'Пяа,я .ПРО:
верка Показывает, 1НО а*DМи"",О. т'ФО mod 31, 'Т е. "то ПАI<Ф IJJОЛУЧenmtоЙ ТП
IIдеаЛblНа. ТЗ'К как fН3 периоде этой ТП ПРНlCY'I'Cтвует 25 'НевулеБ з.rnе:меlil'OВ
(K+15, КlO), ее пнк-фактор ,,31/25],24.
Если выпи\сзть IIQдJJHU 'КaJКдыи второй элемент П'Олyчeнrной ТП, при.n.ем Б
новой П I OCJIеДОВЗ\ТfЛЬНОC11R. .не .оо.вnздающен с прежней. /8'0 g.меющеii ту же ДЛIO-lу
и 'ИДеальную ПАКФ AiналОIlИlЧН'О ДЛЯ п"Остроения еще трех ТП ДJИЫ:lЫ N==31
достаточно ВЬШlfСЗiТЬ подряд л'ибо lКаждыи 'I1рет.и-ii. JIlИ60 Rаж,дыи черверТЫI\
либо кащдый ВОСЬМОЙ элементы первоначальноiJ последовательности. Для
завершения П<X:I1Pоения ВLel'O -шюжес.твз. iНЗ Q == 1 О !различных ТП дJшиы N:=o3 1
можно перестзв:ать в зеркальном поре элементы iJIЯ1'1И получеШlЫJX ПОСЛ{:
доваrтeлЬJИooreй.
Друrие варианты аnrоритма кодирования. В [40] установлено. что KOH
ОТJ!YiКl.lJНЯ (4.7) яе .иочерпьmает всех БММОЖНОстей LIIОС1'рОeR!ИЯ ТП С ид.еалыноп
ПД-I(Ф с IП'OМ-ОШЬЮ IDолей rалуа lНече''JТНЫХ хара:к;терн'стик .н, .tI Ча!СТПОС11И. дo:кa
заоНа .следующая орем2I.
Теорем а 4.7. Пуcrь ч==р'О, р  простое нечет.ное. w  l::Iатурал'ьнr-.
ПУСТЬ U  элемент поля GF(q!), !ИмеющиЙ .муль1'ИoIIJIJWа.1'В!ВIНblЙ оорЯДОК
(qSI)/fJ. rде v делит ч1 и iИе делится lНa 3. Тorда ТП, C,QC;T3BJI-eнJIая по
lIIPа.вилу
ai(I)vl1jJ(tr(a/2a(q'+1)1/2J1, i. ].O.I,. (4.]5)
8 !Котором '$(.) Р3Юlll!Ифровы:вается 'СОТ'лаlОН'О (4.4). имеет перrиод N
 (q'I)/(ql) q'+q+], rвдеальвую ПАКФ "П1НК-фalIOТор "(q'I)/(q'q') 
1+(q+I)lqZ.
KalК медует .из этоro утверждения, з.нз'Чени'я П1I!Кф3'Ктора ", равно 'Как 11
пз;раме1JPОВ К+, K, ДЛЯ ТП (4.15) сов'падают со звачeнIИЯIМIИ аiВ3IJIОrnч;нЫ"
beJI-иЧИiВ тп (4.7). lI'Меющих 'Те же дтшiы N. Кроме тoro, дословное повторе.
flIНe раооуж.д.ений, пр:иведшях к (4.14), mжззшает, что м .:мОЩJIOCТь правиJl З
(4.15) оnpеделяе11СЯ рая<яством (4.]4} прн "3: Q<r(N)/... Goхраоаяется.
конеЧНlO. 'и ВОЭМ:ОJЮlfОС:ТЬ IIPJlученшя :всех ТП (.415) ФИК:QИРОВalКНОЙ ДJlIЯНЫ N ИЗ
72
().!10} й,с ПQМОЩЬЮ !IlQ.:I,ХОДЯЩИХ дец;имадий МОЖl80 ОТДеJШН{) показ8lТЬ, что М!JЮ
.]tI:сСТВЗ llик.л.нчеrn<:иХ ICДвиroв ВС{'Х ТП (4.7) iИ (4.15) не перeoekзются и. сле
)l:DИЗ ,ЫЮ, IJIраВИ,JЮ (4.15) tК ч>tq'2+q+l}/3W .неТрИВИЗIJIЫЮ 'РЗЗJIiИЧНЫМ ТП (4.7)
Jl,J1Jt'Rbl N =='q2+q+ 1 добав.пfreТ еще rСТQЛЬ'КО же IЮВЪСХ, ДОВОДЯ общее ЧJf'CJlо
епдентичнblX iIIO.::.ледовательНОl"'Т'еЙ до 2fl'{q2+ q + 1)13W.
Схему (енератора ТП (4 15) МОЖIRО пр.еДЛОЖiИТЬ Н'.СХОДЯ .непосредственно.
.IIЗ Ilравила кодирования. Как пCfKO видеть, К3ЖДУЮ из лп {tr a i } {tr a(q2+1)i/2}
(t)r '"/Во T€OIp6Ы.e 3.9 'Можно сфори,щюва:ть .с помощью трехразряДilЮro q...JfIПlOf'О
"..::тра СДШl-rа с JШнеiшюй 06рamнofl связью. посл.е Чеrо. 'УДВОИВ (па ПlpОШШЛ3'И
OF(q» э.л.ементы второЙ ЛП, следует выrчесть -ее из перво.й. Использовав
J1алеl npео6ра:ювз'1:CJJЬ, заменяющи.FI э.1ементы ПQлучеН!Ной _тЗlI<:ИJМ образом по
('.'J('доваТeJll:dIо....т.и по I1рав'ИJlУ (44). I четном v придем tК «rотOJЮЙ» ТП (4.-15).
ПРИ .нечетом v ДОl10JIJыпелыю ПОl1ребуе-ося D03.l1eMeнTBoe u-ереМ-НОЖeIIiИе с
'МeaiНдpoM (1p.
Можно tПОСТУп.ить  .:неrnЮJlЫОО иrначе. В СООТВе1'iСТБ.ИIИ 1:. rreopемой 3.11 ,IJOCJle
J!<-Ш3Тельнос:ть элементов tr(a'2a(q8+1) 1/2 ) tr a1:+tr{2a(q8+1) 1/2). i=='....
 1. О, 1, .., является .шrнейн-uй. разностноо УРaJВнеlШfe .которой (3JO) задается
аJ{УеньШiИМ оБЩИIМ rюpаnfЫМ .МlilНlИмальных oII0JJ!КHOМOB эл€:ме-нroв а IИ a(qll+l )/2 .
1;:111\. oКaJК корнями 'МiJЫlИ;МaJlbНОП) И'Н.оrоч.лена а .служаr элементы а. а'l. ц'l3. и
'1"Qwl:ЬКО ОШИ. '1'0 МИНlИмаЛЫllые мноroчлепы элементов а -и a(q8+1)/2 ;различны
(qh(qZ+l)/2шоd{qll.........Jl) llDИ при какОМ k). :Е. е. OCJlедсmие ;неПip:mJОдlИМОСТИ
.взаимно DiPосты. Поэтам:у иаммевьшее общее IКp3J'J1Hoe эТtИХ Nиоrочленов равне
.llJI. произведеwпю  ЬQJIШЮМУ шестой степе.ни. Это. в СВОЮ очередь. означает
-что ЛП {tr(a.i2a(qll+l) i/2 )} можно сфор:ми'ровать 'йд.JI\ИМ шеcrи'Р33рЯДНЫМ:
-9,",r...qным perncтpaм сдвиrз. после чеro переход iК "I1ребуе.мой ТП rCDe)I.ется к
JIpe н.нM операUiИЯМ.
ПР'нВОД'ИТЬ отделыную таблицу пара-метров ТП (415) Шe.JJ.-елесообраооо. ПО.
o't-VlЬХУ она в тоq!юи :воспроизведет '1:абл. 4..3 без второй. третьей и пяreй
11рОК. ПрОИЛЛЮСl'рrИ'русм mОСТpoeRIИе такИХ пocnедаватеЛЫlостей. положив 9==,5.
4 (при roм N31. (qz+I)/2]3). Воспольауемсн ЛП {d.}. п""",оеmюй
предыдущем ПУНlfеI'е. ОСУЩеС'ТВ'1ШJ !Переход от Нее к ЛП{tr a i }. ПОСКОЛЫКУ nep
вая из них построена при н3чa.tlliных у.с:ловиях. ВЗЯТЫХ !Наудачу и !Не обнза
te.'1hHO СОWЩJ.аюших с tr (10, tr (11. tr {l2, :между JlJИММ возможна Ip3lЭНGIuа. МОЖНО
'( ззть. IJ:ТO прiИ избрЗJННЫХ Rачалыных условиях d o ==l. dl=='O, d 2 ==,(). tra i ==
-=-d +diQ+dCq3 ('Попробуйте удостовериться в ПQДобпом ДЛЯ 'ПрО!КЗвопыюrо п).
В резу.,ьтате {tr а' : iO, 1. .... зо}  {3. 1. 1,4, О. ], О. О.], 1, 1,2,3,4.],4,3,4.3, ], О.
-3,4 4.2.1, 0,2,3,3. О}. ДЛИ ОТЫСКRВя ЛП {(tr a'2a(q'+1)i/2 )} достаточно
.н lКаждоI'Q fro 'ЧЛена по.лученlН.'ОЙ ЛП вычесть удооен-ный элемент с номером
(по м""улю 31) (q'+I)i/2'13i. Это даст (tr(ai2a(.'+I)1/2) :i0.1.....30}
 (2, 3.1,2,4.3,4,4,2,2.1. 0.1,2.2.2, О, 4, О. 1,4.].4.4, О, 3, 4, О. 0,1, 4}. 3амена аде-
IfEE; ОВ этой лп В СОО11Ветсrвня t (4.4) Б снлу ЧСТJ{ОСтrи [) сразу прн,ведеТ' к
,яСЖОМ'О11 ТП, которой отвечает ве.ктор 8"",,(1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 О
1.I,I.1,O.1.0.].I."":I.I.I,O,I,1:0:0.I:I;.' С 'помь пя:
МоА провер-К!И !Можно убед.ить("я IКЗIК в iИД-еалшюс.т.и ПАКФ этой ТП, та.к IИ в
-ОТ.1И-..ш.nп ее -ОТ люб0I10 ЩI.Кл-ическOJ'О QДВИf'З !КЗЖДVЙ ИЗ :десяти ТП тай же ДЛI}J.
Ifbl. П'ОС'ТрОСООbl'Х IP3ft:lee по nрав'Илу (4.7). Тот же BblВO:ll.. разумеется, crnpаедлив
:н в применеНiИЯ IК ТП, !К,оторые можно п-o.rI1YЧlИТЬ с ПОМОЩЬЮ соответствующих
.децимац:ий :найденной.
73

Воопроиз&e.J,.eИ теперь в слепка ШfДоизменеПIНОЙ ред.з.кЦВiН IИRтереC1lЫЙ p
зульта'Т Iработы [4]], IJЮroрый может раiCС'Ма11рХВ3'IЬеЯ K8IК оlЮБЩе>mre HO_
""Й (Н), (4,15).
Теорема 4.8. Пть GF(qt1)  расширеи.не пеЧ€Нlоif СТОООО!И п ОСНоОВНс ()
ПOJlЯ GF(q) lНечerrnюй хараК'Териcrикн р (qрЧl) Пупь а  элемент GF(qТi,
МУJIЬ1ШJlтrxаТИВIЮro QорЯ\ЩКа (qn])lv. тде v  .вз-аиМ'Но проотой с п дели_
тель ql. Тorда ТП. ооразоваlН'Ная по npзвилу
(k ql +l)VI [ rl Q(2J+I)LrI
a;(I) 2 '1> (I)Jlra 2
J
']. '..., I.O.I,
(4.16)
в iКoroром '$(.) расшифровываЕТСЯ сослзсно (44). k  IП,РОПЗВOЛЫlое целое.
а rn/(k. п), ИlЫеет щдеаЛЫlУЮ ПАI(Ф, лерио", N (qnI)/(qJ) " """.факrop
,,(qnI)}(qnn').
Доказательcrrвo эnwo )'тверж1дення доста!точно rpoмоод'Ко. r лзвньvм есо зве
ном является установление трехзначности ПВI(Ф двух кодов Зииrера длины
N== (qТiI)/(qI). nocrrpOOНlНbIx с помощью орвМ!ИТИ'ВIН'Оrо ЭJlе.мe.:wrа t м есо
(qlt+I)_й lCТепeнnI После этою оказывается воэ;мож'ньrм 'Обращение IК теореме
4.1 Перех()д от (4.2) к ПрЗIВИ.IIУ (4.16) осуществляется З'з'Тем с ИСПОЛЬЗOlВанrием
lIекоroрых ф)1lllда.менталь'Ных -СВОЙСТВ ма..щРЗТИЧПЫХ фары Шtiд lКонечиы'М,и по-
лями [41].
Рассмотрим частные версии правила (4.16). Пусть kO. Тоrдв, очевидно.
r==l, и ai(l)vi'$(trai). что букnальио повторяет (4]) То же, как можно
ООК.Вlзз,тъ. Шdеет Mecro 111 пр'и люБОМ k == O moд n.
Пусть теперь п 3, k2. Тоrда '3, k(q 1)/2 == 0 тод2. a(q'+1)/2
== (оqlI)(q-+I)l2а == о и по теореме З.б tr a,(qIO+1) 1/2 == tr a(qIS+qlr) i/2. Но
a(QIJ<+ql)/2 == (a(qlI)(ql+I)/2 a(qlr+I)/2 == a(QI+I)/2. В результате (4.16) ПpиllШ-
мает фQj>му й; (I).;1jJ(I)ф[(lr ai2a(q'+I)l/2 ]. C<>ВIIадающую с (4.15) с
точностью до зшш<з. К этому же Иl1DrУ IМОЖН{) I),pи.йmи, е.с.ли ПОJLОЖ!И.ТЪ k== 1 JЫJiИ 
С бо.льшей .сТ€пенью 06щност,и  k == 1 тод 3, k"=.2 mod з.
1(Зi{ йlи.ц;но, алropи1'(М К1ОДllfровап.и.я тп ('4.16) оказывается обо6щаюm.им по
оm:ошенню :к nр3ВИJlЗМ (4.7), (4.15). В то же время ero 1К0000000000000ВНЫЙ по.
теНПlиал (lКaIК, ВП'рочем, и npа:вила (4.15» оrrpЗ'J:fjИ.чивается лишь добавлеmие:ы
н тп. ОIliНсьrвземым J1IpIOСТЫМ Прзmuюм (4.7). lEIеко1'lOрЫХ ПОCJIе.дователыюстей.
не oQOвпащающи.х с (4.7) 1в деталях, 110 ш'МеюJ.I:ШX. те же пeptи'QДы :и Зflачения
fIJИ\кфаlК11ара, т. е. у;Бe.rпи.чеН'Ием :МОЩ!НQС'11И код.нровa.mия ПрlR каждом N без p3C
ШНlpeНJrя .ca.Mor() IIЗ 1 оора ДЛiИп, IПpН /КОтQpЫХ существуют рerУЛяplllые тп с
идеальноu ПАКФ. В IIIз.иболее Же цe:mпом !для Il1pЗiКтИiIOВ eJIучае пЗ np3О3.ВЛО
(4.16), lКaM ТОJlЫЮ ЧТО -было oПiро:деМOJIIClip:Rrpiавз'llО, .просто объеДfИВ.ет З3П1И1СБ.
(4.7). (I4.15),:не порожtП.ая !К3IК:IUJmбо oвoBыx послеДОВ3/I'€льностей.
4.3. ТРОИЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НАД ПОЛЯМИ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВА
Покажем. что ТП с идеальной ПАКФ и пикфактором (4.12)
существуют и тоrда, коrда q  степень ДВОЙКII. Довольно триви.
альная н мало иитересная их разиовидность, отвечающая q  2
(wI), как вскользь отмечалось в !i 4.1, была известна давно.
74
!I сь же речь пойдет о ТП [78], среди которых, как и среди
о:;санных ранее. имеются последовательности с малым и даже
сколь уrодно малым пикфактором. Используемая далее TeHHKa
QI\[lательств, математическое обрамлеиие н окончательны и вид
 авнла кодироваиия ииые, чем В [78], более приспособленные "
апарату, применяемому В KHII,re, и более прозраЧllые в IIнтерпре
1anlIlI. . Ф об
llелесообразно начать с констатацин некоторои специ ИКII 
ащеНIIЯ с полями rалуа четиой (т. е. равной двум) xaJ'aKTepllc
IIKH. Вопервых, по определению характеРИСТIIКИ любои элемент
QEGF(qn), rде q2w, противоположен самому себе: a+aO. По-
,ТОМУ операции сложения и вычитания в поле характеристики ДB
совпадают и знак «» можно вообще ие употреблять. По этои
же причине для любоrо aEGF(qn), q2W,
 { О тчетиое,
""'\1 а== I
II а. т  нечетное.
(4.17)
Во вторых, роль, родственная той, которую в !i 4.2 иrрал ДBY
значны-Й мультипликативный характер. далее будет отдана aДДH
тивному характеру GF(q), qpW. Сохраияя и далее обозначение
tr Х для следа элемента расширеиноrо поля GF (чn) в осповном
шl
ОЕ(ч), введем также tToI'>  I5 Р '  след элемента (j основиОТО
1=4)
поля GF(q) в простом поле GF(p). Очевидно, trоБЕ{О, 1'...' pI}.
Тоrда сотласио определению (3.11) аддитивным характером GF(q)
будет отображенне e(fJ)exp(j2ntToMlp), л,I5ЕGF(q) (в частно
сти, при p2 е(l5)  (I)tr"o, troMO.I, УЛ, I5EGF(q». Далее
будем пользоваться и записью е(лl5), подчеркивая ею возможность
варьироваиия параметра л в пределах GF (ч). Поскольку при про
беrании (j веето поля GF(q) tтоб принимает значения О, 1'...' p1
из GF(p) одииаковое (н равиое pWI) число раз, можно видеть,
'1то
 е (Лб)  { ч, л  О, (4.18)
OEGF(q) О, 10.*0.
К 3 6 tт ЯР (tT (j) Р И потом у для любоrо
I )ме тото, по теореме. ov'  о '
целоrо i
е (&,')  е (15), v 15 Е ОЕ (ч). (4.19)
Наконец, положив l5tT Х, ХЕОР(Чn), придем к аддитивИОМУ
характеру расширеииото поля е (лtт х), тде ЛЕGF(q). При пробе
таиии переменной Х Bcero поля GF(qn) tT Х ровно чn' раз прнни-
Мает любое значение из ОР(ч) (пА теоремы 3.6), т. е. чn' раз
nробеrает GF(q). Поэтому из (4.18) следует
 е(лtтх) { чn, лО,
XEGFlqn' О, 10.*0.
(4.20)
75

Соотношения (4.17)(4.20) совместно с мультипликаТНВНЫ\l
свойством хараКТера
е ().б, + ,.б,)  е ().б,) е (,.б,), 'f/б" б" ,.ЕОР(Ч),
(4.211
будут широко применяться далее.
Вспомоrательиые утверждения. Первым нз ни" является до-
вольно очевидная лемма.
Л е м м а 4.9. Пусть v делит qr1 (т  натуральное) и не де.
лит чn1 ИИ для KaKoro целоrо n. меньшеrо т. Тоrда из делимос.
ТИ чn1 на v следует, что т делнт n.
Д о к а з а т е л ь с т В о. Записав n как продукт деления на т с
остатком: nsT+U, Oи<T, имеем qnlqu(q"I)+qиl.
Из делнмости чn1 н qr1 (а значнт, н q"I) на v следует. чтu
и ЧU1 делится на v. При и>О это протнворечит определению т,
т. е. иO и nsT.
Лемма 4.10. Пусть q2w. nнечетное, а kцелое: k;;'O
Torдa ч"+1 взаимно просто с ч"1.
Д о к а з а т е л ь с т В о. Пусть v  некоторый общий делИте.%
чА+1 и q"I, а т определено предыдущей леммой. Torдa Tln и.
значит, , нечетно. НО ИЗ делимости q1r.+ 1 На v следует ЧТО И
q'hI(qh+1)(qhl) делится на v, а тоrда по лемме 4:9 T12k,
т. е. в силу нечетиости т T/k. Значит. q'"llqh1 и vlqkl. Но
любой общий делитель чисел чА+1 и чА1 делит и их разность.
Т. е. 2. ЧТО в силу несомненной иечеТНQСТИ v означает v== 1.
Л е м м а 4.11. Пусть q2w, ОР(ч")  расширение нечетно;'
степени n поля ОР(ч), k взаимно просто с n. а tr х  след эле.
мента поля Ор(чn) в поле ОР(ч). Torдa уравнение
k 
z' +z' E+trE (4.22)
ИМеет в Ор(чn) решения при любом ЕЕОР(Чn), прнчем при EO
этнмн решениями служат все элементы ОР(ч). и только они.
3 3k М е ч а и и е. Запись zq1t эквиваленТна zqnk: уравненпl....
zy' имеет единствениое решение относительно у в ОР(Чn)
прн всех zEGF(qn)  по теореме Ферма y (y.k).nk Z'nk.
Д О К а з а т е л ь с т В о. Начнем со BTOpoi! части утверждения.
При EO возведением обенх частей (4.22) в степень ч' получнм
q2k  2k1 1 Э "
z z или z!1 ==. то означает, что мультипликативныи по-
рядок v любоrо кория Z уравнення (4.22) с нулевой правой ча.
стью должен делнть q'k1 (и, конечно, чn1). Но тоrда прн т.
определенном в лемме 4.9, rI2,kиrlп. а поскольку п НечеТIJоивза
И'lIllО просто с k, то TI и vlql. Следовательно, z<lII, а та.
как решения этоrо уравнення  все ненулевые элементы ОР(ч).
и тол,:ко они (уравнен не степени ч1 не может иметь более чl
корнен), множество решений (4.22) при EO с учетом тривиаль-
Horo ZO есть в точности все подполе ОР(ч).
76
Существованне решения уравнення (.22) при произвольном
e G F (чn) продемонстрируем подстановкои
'y (n)/2B.(4II)k. (423)
ри ';ом в левой части с прнменением теоремы 3.1 получим
(IIi.I)/2 ( 4t1 ) k + k (nl)/2 (4tl) kk (nI)/2 4kt
Ее' +Ев' E'+
t=:l /::::::1 1=-----1
(nI)/2 2k(2tl) "l 2Ы I t
+ '" в'   в'  7, 8'
L.J ..::..J ,
Il 1==-1 t==-l
rде последиий переход возможен потому, что при (2k, п)  1 2kl
следом за t (но в ином порядке) пробеrает множество всех нену-
Ф '+'1 (i
левых вычетов по модулю n, а по теореме ерма 8'  е для
любоrо целоrо 1. Теперь сравиение с равеиством .+trBf'+
+е.'+.... +8'n' показывает, что элемент (4.23) деilствптельно
служит корнем (4.22).
Лемма 4.12. Пусть ор(чn), Ч, п, k определены. как В преды-
дущей лемме. Torдa при любом б из подполя ОР(ч). не равном
еДIlНlще,
Е е(бtr x+tr X,'+I)  О.
xEGF (qn)
До К а з а те л ь с т во. Обозначая сумму в (4.24) через (}"(б).
после возведения в квадрат получаем
(}", (б)  Е е [бtr(х+ у)+ tr х.'.н + tr Y"'+IJ.
-". geGF (q")
П р и замене X+yz будем нметь tr y"+Itrx"'+I+tr x"'z+ tr xz" +
.' k t .
I tr zЧ' +'. Учтя, что в силу теоремы 3.6 tr х' z r XZ, ,прн'
I ем к равенству
(4.24)
(}". (б) 
Е
2EGF (q")
е [бtrz+trz"+'] Е
zEGF (q")
е {tr [(z.' +z'') х]}.
Саrласпо (4.20) внутреиняя сумма здесь отлична от нуля и
равна чn только прll Z</' +2'1 . O, т. е. по предыдущей лемме прн
всех zEGF(q). Но для всех элементов GF(q) в снлу теоремы Фер
ма и (4.17) tr zz+z'+ ... +z.n1 z, так как n нечетно. Также
по теореме Ферма Z</,+IZ'. VZEGF(q). Имея в виду все это COB
Местно с (4.19), (4.21). получаем соотношение
(}"'(б)cf Е е[lб+ I)z],
2EGF(q)
из KOToporo утверждение леммы вытекает на осиовании (4.18). "
Пусть теиерь   примитивный элемеит расширеНIlЯ нечетНОIl
степеНlI n поля ОР(ч). <де q2w. В силу леммы 4.10 при любом
77

целом неотрицательном k t</' +1 также б у дет п
'Сом в GF ( N ) римитивиым элеме!'.
об' q . поэтому последовательиости {tr t'} и {tr t(</' +ф }
е окажутся М.последовательностями иад GF( )
еJТ(;З5 q:J'лс::вт:а:"е ИЫ I Bce ие;:У:I::rл:
ЯВляется БП З 1( , а нулевыхиа +1
ПОЛМJI характ:iин :вЧ;',оr;:::;;аР::: тп иа;]
еорема 4.13. Пусть q2w ОР ( N ) .
степени n попя GF( )  . q  расширеиие нечетиоii
имио П р осто  n Т Ч, прнмитявиыii элемент GF(qn), а k вза.
. отда последовательности Зиитера
а'iе(trИ, a2,e[trt(.k+I)') iш I О 1
. . 1. ..... (4.25)
Tд el ртжеиие GF(q)--+{::I::I}, такое, что e(O}1 и е(I\)
R + R } , ИМеют трехзначную ПВl(ф RI2(m ) E { RR R
. . прнчем R  уровеиь ПАI(Ф. ., .
R'2 (т) (qnII}/(ql) аз за каждои из БП {а,,}, {а2'} и
равное R. р период N принимает значеllие,
заМТI:а:таезьство. Введем обозначения .tm xti и
. О r o. составим следующее выражение ля ПВI(Ф:
1 qп2
R'2(m)  '), а,'+ a.
qnl i 1 т 21
 n', [  e(trex)e(trx.k+I)I ]
q ZEGP(qn)
Подстав:м сюда летко проверяемыЙ результат (см. (4.18»
е (I\)   е (1.I\) ч 2 I\Е ОР( ч )
q ).eGF. (11) q ,
и прнмем 80 внимание, ЧТО Y===XlJ k +1 пробеrает
вслед за х. а значит, на основанни (4.20) все поле GF(qn)
  е (fttrx. k + I )   
l'еарс.I zeGF(.n)   e(lttry)o.
....eGF. (1;1) I/EGF( Cl п )
(4.26)
Поэтому
R'2{m) I
4чn2 (ч  1)
+
чn,
4и,
q'{qnl)
т=== .... I.O,I.....
тде
о,    е (1. tr ех + ft' tr х"О+I)
).oJ.&.EGF.(q) хеОР( qn) .
причем употребление ,, 2 вместо It здесь допустимо.
пробеrает всю труппу ОР(ч) вместе с У
tr ( Х ) ОО+I ". чтя. что
 It , после замен "х--+х, 1./1t--+1. будем иметь
al(ql)   e(1.tr.x+trx"k H )
).еОЕ. (q) xEGF( qn) .
(4.27)
так ка\{ J.12
It.tr x.k+I
78
Сделаем подстаиовку xy+z. Пря этом trx. kH  tr у,О+. +
+ r у." z+ tr Yz"k + tr Z."+I.
[10 еоремам 3.6. 3.4 tr У." z  tr Yz"k. Поэтому
о,(ч 1)   e{tr [1.8 + Z.k +
\ ).eGF8 (11) IIЕGF(qП)
+ ") у]} е ( tr у"+1 + 1. tr. z + tr z.k+ I ) . (4.28)
РасСмотрнм два случая.
1. Пусть treO. Тоrда лtrеtrЛвО и соrласно лемме 4.11
существует такое z. что л.+z" +1Z.kO. Выбрав z имеIШО таКIIМ.
убедимся. что суммнроваиие по у В (4.28) по аналоrии с (4.26)
дает нуль н OIO, Вернувшись к исходиоЙ символике, из (4.27)
ВIIДНМ, что для тех т, прн которых trtmO. R.2{m) 14чn2{ч
1}/{чn1). Это в точностИ то зиачение, которому соrласно табл.
3.2 равен уровень боковых лепестков R пАI(Ф кодов Зинrера. I(or.
да m принимает значення О. 1. .... чn2. t m пробеrает все поле
ор{чn). за исключением нуля. При этом по теореме 3.6 trt..O
ч' .'1 раз (поскольку заведомо trOO). Период же N ПВI(Ф
R12{m) (т. е. период кода Зинrера) в ч' раз меньше. чем qnl.
а это значит, что R12{т)R на периоде N не менее {q"II)1
(й 1) раз. Остается показать. что при тех т, для которых
tr t;,m=l= О, ПI принимает тОЛЬКО два противоположных значения.
2. Пусть 'Т .*0. При ЭТОМ В силу лемМы 4.11 сушествует z,
ри котором ЛЕ+zqk +zч k;::::::л.trЕ И. значит.
tr [(1.8 + z." + z.k) у)  (л tr в) tr у. Л8Z + Z.k+l  (л tr е) z + z"----k+l.
Учитывая это вместе с вытекаюшим IIЗ (4.19) равенством
t(trz'"+I)e(trz"k+I). имеем
о,(ч1)  e[(1.tr.)trz+trz'"+I) х
).eGF- (q)
Х  е [(л tr.) tr у+ tr у'"+I)
g Е aF (qn )
Обращаясь к лемме 4.12. виднм. что сумма по у В последнем
выражении совпадает с (4.24). т. е. отлична от нуля только при
1.trel. Но тоrда
01  (ч 1) е (tr z + tr z""+I) о (1). (4.29)
тде o{l)  константа. равная значенню суммы (4.24) при I\ 1.
Поскольку е(') принимает лншь значения ::1::1. теорема доказаиа.
Правило кодирования. l(aK видно из теоремы 4.13, коды Зин-
repa (4.25) полностью подходят под условия теоремы 4.1, и, сле.
довательио. нх ПВI(Ф после неБОЛblIlОЙ подrонкн (4.2) оказыва-
ется ТП с идеальноЙ ПАI(Ф. Однако ход доказательства теоремы
4.13 и некоторых предшествовавших еЙ предложеннЙ позволяет
сформулировать правило. напрямую связывающее снмволы ТП
79

(4.2) с элементами (;' поля GF(qn). чем устраняется иеобходимоdь
промежуточной операции  вычислеиия ПВКФ RI.(i) «испом  а.
тельных:> БП (4.25)  и открываются пути к построению reH ра.
торов. родствениых по структурам. описаниым В !i 4.2.
Теорема 4.14. Пусть GF(q). Ч. n. k.{; определены условпя.
ми предыдущей теоремы. Тоrда ТП
{ О tr{IO
о,  е '(d, trО....з {;). tr {' =1= О.
rде
(п11/4
I  tr {[0(611) k+ I ]" n "'" 1 mod 4.
d i === tl
(пЗ)/4
L; trt[0(81+I)k+ 1 ]" n"",3mod4.
1"",0
i.... 1. 0.1...., ИМеет идеальную ПАКФ, период N(qnI),
(ql) и Шlк-фактор \,(чn1)/(чnчn1).
Доказательство. Чтобы соrласио (4.2) превратпть ПВКФ
из теоремы 4.13 в ТП с идеальной ПАКФ. требуется Bcero лишь
расположить симиолы +1. О и 1 иа тех позициях. rде R..(i)
принимает значеиия соответственио R+RI. R и RRI' Как вндно
из доказательства теоремы 4.13 (случай 1). нуль следует поста.
вить на всякой i-й позицнн. rде tr{;'O. как н предусматривается
правилом (4.30). Тоща на периоде ТП {а,}. совпадающем с пе.
риодом ПВКФ R..(т) N (чnI)МчI), окажется (ч'НI)/
(ч1) иулей. а это значит. что V (qnI)/(qnqnI).
Остается доказать, что .символы +1, 1. расставленные cor
ласно (4.30). также попадут пменио на те позиции, ще Rl. и)
соответстиеиио ИМеет значения R+R, и RR.. Как следует из
(4.27). (4.29). Знак СЛаrаемоrо R. в отсчетах R..(т) определяет.
ся знаI<ОМ иыражеиие e[tr (Z+zok +1)]. в котором z есть корень урав.
Неиня ZOk +zоkл,е+лtfE при лtrе 1. ЛЕGF(q). Решеиием та-
Koro уравнения соrласно лемме 4.11 служит. в частности, элемент
поля GF(qn)
(nI):2 (4tl)k (nI)f2 J4tl)k
z '5' {л е). л  е Ч ' .
[1 '1
Возведя z в степень q't, умножив На z и СЛОЖИВ с z. после взя-
тия следа получим
(nI)/2 (nI)/2
tr(z+z'1 k . ц ) л Lj trе+л' Lj treq(4t')k+o4k'
tl 1.05==1
I (nI)/2
 Л n  tr е + л' ". tr eo4(t)kk+1 (4.31)
2  .
1.5==-1
rде использована инвариантность следа к возведению в степень
ч'. а m/\ обозначает сумму т одинаковых слаrаемых /\ из GF(q).
80
Подсчитав число слаrаемых в (4.31) с одииаковымн ts н
спользовавшись теоремой 3.6. после замены (nI)/2t-+t бу-
д м иметь
... n1 n1 . +
tr(z+zч+')лtrе+л' trе Ч '+
2 2
(nЗ)/2 (nЗ)/2
л' ",,' t.tr ,,0(4I+')k+ 1 +1.' '" t.tr ,,0(4t+З)lЧ. 1
L.J ."-..J
tl tl
CпaraeMble с четными t в двух последних суммах равны иулю. и
поэтому
k n 1 , n I t k I
tr(z+zo +IJл  tre+....  re o + +
2 2
](п. 1/' [ Hп1 ,/41
+1.'  trео(61З)k+1 +1.' Lj treo(6tI)k+1 (4.32)
1==1 t===l
rде. как и впоследствии, ]х[  целая часть действительноrо ЧИс
па х.
Пусть n == 1 mod4. Тоща первые диа слаrаемых в (4.32) в со-
ответствии с (4.17) обратятся в нуль. а кроме тото, в третьем сла-
raeMoM члены с номерами t и (t!+3)/4t совпадут. дав В сумме
нуль, поскольку trE'2 IВtЗ)/(+1 ===trEq[2(n+3)!tlA+I. ТаI<ИМ образом,
при n == 1 mод 8. т. е. при четиом (n 1) /4. третье слаrаемое обра
тится в нуль, а при n"",5 mod 8 и нем останется лишь член, OTBe
чающий t (n+3)/8 и раиный tre'. В итоrе
(пI)/4
1 1.' " tr"o(6tI)'+1 п=s 1 mod8 .
LJ '
k t===.l
tr(z+z'1 +I) (nI,/,
л' (I trео(61I)'+I+л'trе'. n == 5mод8.
Вспоминая теперь. что лtrе 1, e'. л (tfE)I. л' (tre)'
tro3i, нз (4.27). (4.28) видим. что ПВКФ R1.(i) равиа R+R.
н RRl при тех i. при которых знак выражения
{ (nI'/4 }
е Irqзt'  tr lq(8t11 "+ 1 ] ,
,I
COQTBeTC"fBeHHO положителен н отрицателен. Но эТО в точности
повторяет правило расстановки символов + 1 и  1 в ТП (4.30).
Справедливость теоремы при n"",3 mod 4 устанавливается aHa
оrIlЧНО.
Общность зависимостей длпны и пнк-фактора от q и n для ТП
(4.30) и последовательностей из !i 4.3 позволяет по-прежнему счн-
Тать предпочтительным значеипе п3. При n3 правило (4.30)
принимает ДОВОЛЬНО простой ВИД
{ О. tr t'  О, (4.33)
о,  е [(trОЗ ') tr t(Ok+I)I], tr' =1= О,
i===... r l, О. 1. ...
81

Отметим. ЧТО В этом случае последова..
тельиость {d;} оказывается, как и {tr'},
МпоследО'Ватель'иостью и может быть IJO
строеиа децимацией  последовательиоtти
{trt;} с иидексо:\! чо+ 1.
Структура тенератора. Ашоритм кодllро-
РИс. 4.2 ваиия (4.3.0) достаточио просто переводится
.13 техипческий язык. Поскольку {d;} как
сумма ЛП сама является ЛП, схему rеиератора ТП над полем
четиой характеристики можно составить ИЗ двух rеиераторов ЛП
и преобразователя П (соответственно rЛПl, rЛП2 и П на рис.
4.2). reHepaTop rЛПI формирует М-последовательиость {tr'},
r ЛП2  ЛП {d;}. Преобразователь П выдает на выход символ .о
всякий раз, котда текущий элемент М-последовательиости {tr'}
равен нулю. Если же tr'*.o, П возводит tr' в степень ч3, ум-
ножает иа текущий элемеит ЛП {d.} с выхода rЛП2, а затем оп-
ределяет значеиие аддитивиоrо характера полученноrо произве-
деиия соrласНо (4.3.0). Функции преобразователя, разумеется, мо-
жно возложить на постоя ИНое запомииающее устройство. по ЯЧеЙ"
кам которото зараиее расписана соответствующая таблица. Прн
этом адрес ячейки. из которой производится считывание в данном
такте, задается парой выходиых состояиий rЛПI и rЛП2.
Для построеиия М-последовательности {tr'} (остальиые пос-
ледовательиости в правилах (4.3.0), (4.33) можно получить из нее)
необходим прнмитнвный полином степенн n над GF(2 w ). Для n
3 и w2, 3, 4, 5 такие полиномы (по одному для каждоrо w)
прнведеиы в табл. 4.4, в которой, как и в табл. 4.2, обозначения
JJ. и g(y) присвоены соответственно примитивному элементу ос-
новното поля GF(2 w ) и мииимальному полиному JJ. над GF(2) '.
Таблица параметров. В табл. 4.5 приведены зиачения парамет-
ров N, Ч, п, К+, K, " дЛЯ ТП (4.30) с длинами, меиьшимн 2.1.03.
Таблицей намеренно не охвачены ТП, отвечающие ч2 (wI),
упоминавшиеся во мноrих источниках задолrо до работы f78], по-
скольку, как уже отмечалось, Из-за большоrо пик-фактора (,,"" 2)
иитерес к иим невелик.
т а 6 п п Ц а 4.4. Примитивные ПОЛИНОМЫ над GF(2 1O )
q==
«(у)
t (х)
42'
82'
162'
322'
х'+х'+х+I'
х'+х+I'
х' + ".х+ 1'12
X 3 +f.i 21 X+!LI8
у.+у+ 1
у'+у+1
у'+у+1
У'+у.+ 1
t Полиномы найдены на ЭВМ Д. В. Новосельцевым.
В2
а б л J! Ц а 4.5. Параметры троиqных поспедоватеJlьностеА (4.30)
N
к+
...
.
к----
n
21 21 == 4 3 10 6 1,313
341 23 == 4 5 136 120 1,332
73 2' 8 3 36 28 1,141
273 2' 16 3 ]36 120 1,066
1057 2'32 3 528 496 1,032
Пример. ПоС11><Ж" т(4.33) дли случая q2Z4, kl. При этом q3I,
11+ 1==5 IИ правило (4.33) приобретает вид
{ О, tr'O,
Щ .Щ
 е [(Ir ') Ir 'I, Ir 6' .. О,
.с:::....1.0.1.....из табл. 4.4 .8ИДIНО. rrro ЦРИМИТИВНЬnМ lI'aJд GF(4) является
.'n_ "ком f(x) x'+xz+x+,I', rде l'  '",рень g(y) yz+y+ 1 в GF(4). Прн э-rом
12= 1, ftl. fof.i и Мпосщщова'тe.nЫНQСТЬ {tri;i} дJшны 43Iб3. ПОС'llpоен
НLlЯ на ОСНОВе рекурсии (3.10) после переходз к Jlачальиым условиям tr ьо.
1r', Ir' (см. .примеры Э 4.3), прн iO, 1,_..,20 бусдет m<eть элеменrrы 1,1,1,1',
1,1,1'+1,0,1,0,1,1'+1,1',1'+1,0,0,1,1,0,1'+1,1. Т"" как h(4'1)/321 И.
е rb ПрlИiМНТIOIНЫЙ элемент f.i поля GF(4). элементы trt;i пpm. i21.22.....41
f .пучаются умножен,ном ;наИДеНlНых!На f.i. а при i42.43.....62  'На f.i2f.i+l.
ВIи'HO, ч-то tr i;f:::::::O IIPIН i7, 9,14.15,18 И и'меННIQ lI'а этих ПOOlШI.l.ИЯХ слует
расстёmИТЬ !Нули 8 ТП {af}. УМНОЖlИiВ IКЗждый пятый элемент ЛП {trt i } l:Iа
tr; н учтя. что tr.ltr.OO, Ir'I'tr'(I'+t)I, т. е. e(I)e(O)I, e(I')
e(I'+I)I, соrласно (4.34) ПрНДем к ТП {а,} периода .N(4'1)/321,
.оисьшземой вектором a==(I,I, I,I,l,I.I.0.1.0.I,I,l, 1.0.0.l,I,O.1.
I)Т. ПJIlК-'Фактор этой тп v==21/1б'I,З131 В щдеалы'!:ОС'Тн ее ПАКФ ЛeJ1КО
у"еди'Ться с ПОМОЩЬЮ прямых ВblЧИICJlБНIИЙ.
4.4. СОСТАВНЫЕ ТРОИЧНblЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬИОСТИ
Длины последовательностей из  4.2, 4.3 определены единым
соотношеиием N(qnl)f(qI), в котором q  степеиь просто-
ro 'Числа, п  Нечетно. Добавить к этим значениям N ряд новых,
при которых также существуют реryлярные ТП с ндеальной ПАI<Ф
и приемлемым пик-фактором, позволяет описаииый в  3.6 сп 0-
с::об комбинирования так называемых составных последовательно
стей {И;} из соответствующим образом подобранных исходных
'компонентов {а,,}, {а2'}. Как леrко видеть из (3.32), поэлемент-
lюе произведение (3.31) любых компонентов {а,;}, {а,,}, имеющих
взаимио простые периоды N" N 2 и идеальные ПАI<Ф, оказывает-
ся последовательностью с идеальной ПАI<Ф и периодом NN,N2.
Помимо тoro, из взанмиой простоты N, и N 2 следуют элемеитарно
доказываемые соотношеиия rnaxla.12rnax I a,,12rnaxl a2;12 и lIa112
i ,
 Ila,1I2I1a2112, так что пик-фактор составиой последовательности
83

{а,} оказывается равиым произведеиию пикфакторов '" н "2 ком.
понентов {а,,} и {а2О}:
,,Nrnax fa,l"ilfalf'  ". ".. (4.35)
i
Так как подмножество {О. + I} множества целых чисел замкну-
то относительно умножения, поэлементное произведение.. любых
троичных компонентов {а,,}. {а2'} само является трончиои псле-
довательиостью с алфавитом {О. :!:I}. Отсюда следует простои ре.
цепт построения ТП с идеальной ПАКФ дЛЯ длин, ие oxвaTЫBa
емых предыдущимн правнлами: подобрать трончиые компоиенты
{а,,}, {U2i} с подходящими взанмно простыми длинами N,. N 2 .
идеальнымн ПАКФ и малыми значеннями пикфактора. а затем
объедиинть их в составную ТП {а,} соrласно (3.31). Напрнмер.
поэлементное перемиожение двух ТП из табл. 4.3 с параметрами
N,57. ",1.163 и N291. "21.123 дает составную ТП с иде
альноiI ПАКФ длины NN,N25187 с пикфактором ""'''2
1.306.
Подобная методика автоматически обобщается на пронзволь-
ное число компонентов с попарно взаимно простыми длинами, од.
нако самым продуктивным ее итоrом является возможность «учет
вереиии» длииы любой из описанных в  4.2. 4.3 ТП с сохранени-
ем как идеальности ПАКФ. так и прежнеrо значения пикфакто-
ра. Соответствующее правило может быть сформулировано в виде
теоремы.
Теорема 4.15. Пусть GF(qn)  расширение нечетной сте-
иени n поля GF(q). qpW. Р  простое. w  натуральиое. Tor
да ТП. образованная по правилу
a,(I)/]II'[ali. i.... I. 0.1..... (4.36)
rде {а,,}  ТП. задаваемая любой из теорем 4.2. 4.7. 4.8 при He
четном р и теоремой 4.14 при p2. нмеет идеальиую ПАКФ. пе-
риод N4(qnI)!(ql) и пик-фактор "(qnl)/(qnqnl).
Доказательство. При i..., 1. О, 1._.. иоследователь
иость {(1)i]i12[} есть БП длины N.4: {a2i: iO. 1, 2. 3} 
 {l. 1. 1. 1}. С друrой стороны. длнна N, любой нз ТП {а,,} в
(4.36) нечетиа. Таким образом. N, н N 2 взаимно просты. а потому
период ТП (4.36) NN,N.4N, и ее ПАКФ соrласио (3.32) иде
алЬНа. Утверждение о пикфакторе автоматически следует из (4.35)
с учетом Toro. что последовательность {U2i} бинарная, и. стало
быть. имеет пикфактор. равный единнце.
Сводк}' параметров всех составных ТП, полученных с помощью
теоремы 4.15 для ДЛИН в пределах N<2.10'. дает табл. 4.6, в
которой значения велиЧИН N. К+, K И '\.'. имеющих ТОТ же смысл.
что и ранее. относятся к составной ТП (4.36). а N,. q и n xapaK
теризуют тип комионента {а,,}. Во всеХ строках таблицы значения
N, К+ И K вчетверо больше тех, которые свойственны КОМПОНеН
ту {а,,} и содержатся в табл. 4.3 для нечетноrо р и в табл. 4.5
для четиоrо, тоrда как знз,чение 'V совпадает с '\'1_
84
"1' а б п и ц а 4_6. Параметры сОСтавнЫХ троичных послеДовательностей
N
к+
v
",
""
q
n
52 13 3 3 24 12 1.444
484 [21 3 5 180 144 1,494
84 21 224 3 40 24 1.313
1364 341 22==4 5 544 480 1,332
124 31 5 3 60 40 1.240
228 57 7 3 112 84 1.]6З
292 73 238 з 144 112 ],141
364 91 3'9 3 180 144 1,123
532 133 11 3 264 220 1,099
732 183 13 3 364 312 1.082
1092 273 2 ]6 3 544 480 1.066
1228 37 17 3 612 544 1,062
1524 381 19 3 760 684 1,055
I
Оrраннчнваясь условнымн цифрами N<2.10'. ,,<1,5. табл. 4.6
можно дополнить еще двумя составными ТП, полученными KOM
бинированием троичных компоиентов с длинами N,31. N.57
,(см. табл. 4.3)  прн этом для составной ТП N1767. ,,1.442.
а также с длинами N,91 (табл. 4.3) и N22] (табл. 4.5) y
соответствующей составной ТП N1911. ,,1.474.
Как общее резюме к правилам. рассмотреиным в  4.24.4.
можно отметИ1Ъ. что с нх помощью ТП с идеальной ПАКФ и пик.
фактором ,,<:;; 1.5 удается построить для тридцати девяти зиачений
длин из диапазоиа N<:;;2.10'.
4.5. ЭI(ВИВАЛЕНТНАЯ ЛИНЕIIНАЯ СЛОЖНОСТЬ ТРОИЧНЫХ
nОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕII
В последние rоды в ряду показателей, характеризующих KOДO
вые последовательности для манииуляции ПДС. все чаще упоми
нается так называемая эквивалентная линейная сложность
(ЭЛС)  миннмальная длина реrистра сдвиrа с линейиой обрат
ной связью. воспроизводящеrо соответствующую последователь
ность [75. 82 и др.]. Внимание к этому параметру особенио оправ
дано тоrда. коrда сторона, нспользующая ПДС. вынуждена про
являть заботу о неразrлашеннн структуры последиеrо. Дело в том,
что схем а действий иекоеrо абонента. пытающеrося автономно и
без должных санкций выяснить закон кодирования ПДС. ие pac
полаrа-я СКО.i7ьконибудь надеЖНЫМII априорными сведеннями н
Возможностью достоверноrо поэлеМентиоrо приема сиrнала, сво-
дится. но существу. к перебору вариантов маиипулирующеrо кода
И проверке (скажем. по максимуму правдоподобия) сходства каж,
доrо из них с кодом реальноrо ПДС. циркулнрующеrо в наблюда-
емом каиале. Экспоненциальный в зависимости от N рост обще
ro числа MN a последовательиостей длииы N с алфавитом объема
М. придает задаче прямоrо перебора всех М.-ичных последова
85

тельностей практнческую необозрнмость уже прн N порядка дe
сятков. Поэтому распространена точка зрения, приписывающая
дешифрующей стороне стратеrию приоритетной ориентации на ли
вейиые способы формирования кодовых последовательностей по
следуюшей nporpaMMe: проверяются на совпадеиие с кодом, наблю-
даемоrо пдс все ЛП с памятью т, затем с памятью т+l и т. д.
ОчеВlIДНО, что Прll этом СТОрОllа, использующая пдс и противо.
стоящая дешифрующей, будет иметь тем большую криптозащн-
щенность (нммуиитет к попыткам несанкционнрованноrо доступа
к сиrиалам), чем больше элс используемых в ней кодовых пос.
ледовательностей. Довольно тривиальными нижней и верхией rpa.
ницами элс служат соответственно 10gM a (N+l) И N. Первая из
них оБУС.rIовлена тем, ЧТО qичная ЛП памяти n Не может иметь
периода, большеrо чпl (см.  3.4), вторая следует из очевидной
возможностн rеиерировання любой последовательности периода N
замкнутым с выхода на вход N-разрядным реrистром сдвиrа.
Покажем, что все ТП нз  4.2, 4.3, за исключением последова
те.rIЬНDстей над ПОЛЯМИ характеристики р====3, обладают макси.
мальной (равной длине N) элс, если формнрующий реrистр по
Лаrается троичным, т. е. построен на осиове арифметикн в ОР(3) 
минимальном поле, содержащем алфавит ТП {а,}.
Положим вначале, что элс ТП {а,} при сделаниых оrоворкаж
равна L. Это зиачит, что {а,} является троичной ЛП периода N
с памятью L и описывается линейным разностным уравнением
типа (3.10)
а,  fL1 a'l fL2al2 ... fO;alL, i...,  1, О, 1,.... (4.37)
в котором все а" f,EGF(3) И все действия ВЫПОЛНЯЮТСя по пра
вилам Toro же поля. Умножив обе части (4.37) на Il; и просуммн
ровав по i от О дО NI, будем иметь
NI Nl Nl NI
. ai==== fL1 . а, al1.fL2 .lltai2 ...  fo .ailliL,
i===D i i==O i==:D
(4.38)
rде символы всех арифметических действий, в том числе знак CYM
M'
МЫ N С.rIзrаемых iIr, подразумевают оперзuии по праВИ.rIа:м
;==0
ОР(3).
Таблица умножения в поле ОР(3) при задании ero элементами
О, 1, 1 повторяет ашоритм перемножения тех же элементов как
обычных целых чисел. Сумма же любоrо числа элементов ОР(3)
совпадает с остатКом от деления на три результата их сложения
как целых чисел. Поэтому справедливо соотношение
NI Nl
'aia, ==  a,acmod3. (4.39)
i i==:O
Правая часть сравнения (4.39) в силу идеальности ПАI<Ф pac
сматриваемых ТП равна нулю при всех тфОmоdN н Ilall' при
в6
т==О mod N. В итсте из (4.38) при L<N получается lIall 2 ==O mod 3
Но для всех ТП из  4.2, 4.3 lIaI12qn1 и при р*3 qФОmоd 3
т. е. IIаl1 2 фО mod 3. Следовательно, для любых ТП над поле
ОР(ч) характеристики, ие равной трем, элс максимальна и COB
падает с ДЛИНОЙ последовательиости N.
Отметим, что ВЫВОД может оКазаться совершенно иным, если
алфавит ТП отождествить не с полем ОР(3), а с подмиожеством
{О, + 1} ОР(ч)  основиоrо поля, фиrурирующerо В теоремах
 4.2. При этом элс оказывается ЧИCJ!ом ячеек qичноrо реrист-
ра с лннейиой обратной СВЯЗЬю и, в частности, дЛЯ ТП (4.7) оп
ределяется формулой [36]
L [(n+=)/2) ]'",
rде р, п и w имеют тот же смысл, ЧТО и во всех теоремах rJlaBbl.
Из приведениоrо результата видно, что дЛЯ ТП (4.7) над полем
характеристики три в расчете на qичный (q3w) реrистр сдвиrа
1 пw, что при w 1, т. е. дЛЯ ТП Чанrа, выливается в соотноше
ине Lпt ожидаемое априори, так как упомянутые ТП линейны
над GF(3) по определению (см.  4.1).
r л А В А 5.
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ I<АЧЕСТВА
ПАР ПЕРИОДИЧЕСКИй ДИСКРЕТНЫй сиrНАЛФИЛЬТР
6.1. УРОВНИ ,БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ В СИММЕТРИЧНЫХ
ПОМЕХОВЫХ ЗОНАХ НЕНУЛЕВОП ШИРИНЫ
Энерrе1ТИ'ЧеСiКи-е потери ,... соnравождающие BTo.rnн{)e подавление OOкOiВЫX л,е
пестков lНa временrн.ой OCIИ, служа"Т .вполне адеювв'Т'8QЙ :мерой l(.a"ICCTB3 ПДС
там. тде (У11ражеmя .roOO)"C,ТRМ'Q ЧJИТзть ;ра.осеЯiН!НЫМIИ "ТOJIЫOO по запаздыванию,
IИ1RОРИlРУЯ Iвoзыонооть I}LX 'Часто11НОro фа.ссоrлiЗСОВ3НИЯ с полезны!м сн'пналом.
Котда же !J>'OCсеЯiНИем rю частоте 'ПРенебречь нельэя, Т. е. зона ПJJ<Х"КОС1"И Т, Р.
orР3ilШчнвающая IЮ3мож.ные Ч3<:ТО1'Но...:аременньrе СДВИIlИ O'I"ражemнй (по....ехОiВ3я
зона). 1Н'м-eeT неН'Улевую lDJf']JIИiНУ ВJ[,OJIЬ ОСИ Р, !Критерием !Ка,честиа, естествеН1НО.
ДОЛЖ1НЫ IК'OПТротl'рова'ТЬСя боковые лепe'C'ТЮf ПБФ Н СНПlaЛ8 IИ филЬ'ЦР8 В пре.
делах всей П3ЗВЗIННОЙ зоны, а tНe ТОJllilЮ !На ОСИ Т. Б этой -стязи lIk"'CJIe.дyeM
потенциал снижения боковых лепестков в характерных для ряда ситуаций по-
меховых зонах типа доплеровских полос [10], симметричных относительно оси
sanазды.ваlfIlИЙ, а затем iIIipOдеМQIН'С"IJPИlPуем фв!кт Ulр3IКТичос.коrо ДОСТiИЖеRiИЯ этorо
потен.щи.з.па дл.я 'ПдlР ПДС-фнЛЬтр. peкO'МeJi,!ДOBaНlНЫx 'РЗlFlее. Тем \Самым JIIoкa
Жем. что iПолученные 'Решения ОСТЗЮ1"СЯ оп'I1ям3льнь04ои (.л..и:бо I.ПОЧII\И ОП"'lfiМа.ль
выМIЯ) :н iЦptИ 'НенулеlIOЙ ШВlpине .сим'ме1'pИЧif.ОЙ ДOlIJlероваюой лоJlосы. а ЛO"I'OМУ
Нет особых npаютичеаюн-х стимулов 3Зf10ВО решать задачу On11Я'МJIзади.и пар
ПДС--филь-тр с }'ЧIeТОМ ФЗlКт.ичеOlOOЙ ЛРОТЯЖt:!НIНостн УПОМЯiнутой :помеховой ооны
ItдOЛЬ оон Р.
81

F
Основу содержания параrрафа со-
ставляют результаты работ [20,56.57].
посвященных построению нижних rрзНИЦ
среднеквадратическоrо уровня ПБФН
8 зОнах типа доплеровских полос.
ШИрОJoiая сМошная доплеро8СIUIЯ
ПОЛоса. Под этим наиме1ЮВal-шем далее
будет фНl'урнровзть полоса. простираю
щаяся ндаль ОСИ т на весь период пдс
N!! (РВС_ 5.1). Определение сш'иракаи» подчерюивает. что :макспмальп-о во.з:мож
lIое чз;crrQ1'Jное .рас"оrласова.нне р в -отражений m: ПOJlСЗНОТо 'ОШ'Н3JI3 ILревышетT
ОДИiI элемент 'РазреШениЯ по частоте I/fvj.. За "счет Э'ТО['Q уае'ОСя ПрiЯбеrнуть
к ДОВOJIbIНО 'Рзспрос.т.раненному lIРИем:у  ана'JIИ3У ПБФН .rnишь в u:tJИ1CКрет.ны:х
П'О Ч3'СТQте ТQ'lКЗХ FkINt1. k=:::....1.0.I. .__, что 'СуществеНIJIО об.лerчаerт OTЫC
I{а-н.ие требуемых I'РЗIJЫЩ. ВОЗМОЖНОСТЬ так-т-о упрощemия обнз!ружмвается с осо-
бой наrлJIДtНоотью тоrда. tКorДa обра6cmка пдс включаe-r в себя lКоrерентное
накопленн-е ДОС'Т3'f\OЧfIО бо.'lЬШО.ro ч.исла шероодiOВ М. При этом IВ :rnp:иемной
08сте:ме nPОИСХ'ОДИТ осла'меНИе IIЮШИЙ пдс С чаСТQ'1\НbIJМ/И !расстроЙками, не
КJpaтHЫMB l/NI1, 00 .сравнешию 00 сдвинутыми по чаlс.тоте на елое ЧИСJЮ ЭJlе
Ментов разрешения I/N6. (СМ. фиr)1lНУЮ .екобку в (1.8» !н. CJlеДоватeлLНО.
Вf3;жнее Bc.ero !Изучить поведение ПБФН именно 'На частотах Fk/NI1.
РаiOm.ютр'И.М ФУНК1lIИЮ ДВУ:JI ДН\Ж:рe'IlНblIX переыеявых
Xi2(m, k) IR 12 (m, k/NlI>r'/IR..(O, 0)1', т, k., I,O,I,...,
NI
<де IR,,(m, F>II'lall'1lbll'  a'+mb'.exl'(j2niFlI)1  ПВФН ПДС ..
Eo
фиJIЬ'lIра, ОIlМlCывзе-мых coonreтdТВeН'Нo IВeКТQрами а== (ао, аl. .... aNtP. Ь==< (ЬО.
b 1 . .--. bNI)T. Обозначим ч-ерез W]F..[ ,п,о.лytll!ИРИ1l:IУ доплеровскои полосы в
ЧИсле элеМентов ipазрешен;ия IЮ част,Фе. Так как пеplИQД .Rt2(-т. F) oIJО F равен
l/lI, ecTecTBe1lJНO пола<вть w] (NI)/2[.
ОIШраясь lНa энаiJI'ОI1ИИ ос трад'и:ц:и.QнныM lI'OIНятием Q,бъема Te.'Ia r:неопреде-
ЛeJfНос-ти [9. 1 О]. назовем вeJ1IiIЧIИНУ
W Nt
.p   xf2(т, k)
k==W т""'-О
fЮр.fjfllровйн.н.ым объемо'м' неоnределен.ностu (в дамом случае  .над шыюшной
полосоЙ)_ БеJllНЧJrна 1):1 л€люо перес-чнтьrвве-тС'я в оцеН!Ку среднеКВЗJдlpа11Ичесжоrо
уровия боковых ЛМССl1КОВ ПВФН. 01'Иесe8lНЫХ .к OCJН1Omroмy nепecmу, за KOТO
рый принят ()т{"чет ПВФН при тO, FO:
F,
/.o:"hr#h'"h@'
  /
о
",,/;!b///##//,-W////$/h'"hjNJ '"
=Fa
Рис. 5.1
(5.1)
XV(.pI)'[{2W+I)NI],
<.де учтено, 1'O x,,(O,O),1 " ЧТО (2W+I)N1
HW{3. ЭЩД3IВ,аемоrо lНерзвеж':твзiМН О.m::е;;N---.-.I,
nеneC"I!ЮН.
В {20] JЮквзаtfЮ. что, Xi01'Я БeJМIlJИН3 ", может 6mb мшн.имизирова;на ПО
значmяя N/]N/{W+I)[, с'npeмiWIЪСЯ IК Iд()CТrНжению IИм-ен'JlO дапной IILНЖGlей l1pa
IIицы !Иа Пр3iК11JiIКе беООМblсл-ешю. [lООК'ОJIЬoХУ это сопряжено с С:ВЫ1'еСИе!Нием»
боiJIЬШОro объеМа :неоп:р-еде.леJl1НОС1'И .яа ОСЬ зашазnываний. т. е. с HeдOOYCТНIМЫM
возрастанием боковых лепестков ПБКФ RI2(m) RI2(т. О) снrнзла и фильтра.
(5.2)
И3 (2W+I)N точек nрямоуro.ль
I k I :s::;; W. при.ходятся На боковые
88
Чтобы зз.с.траховаrrься от IЮдобных не llIipедставляюших !Интереса решений, цe
lIPl'()()(jp8I3RO сразу lRалоЖ/Нть .оrраничения lНa у.ровень 'НорМlироваiННЫХ боКОВЫХ
леllеC"I"КОВ ПБКФ, ,п-стребовав у:дерЖ3lНия ero 18 Пiр'еделах rнCКOTQP'Oro ФlИксиро
ваииоло LдИапазо'Нз, .окажем [О. I/V N] :
тах IIR12(т),Rl"(O)I] I/V N. (5.3)
tт::!Nt
Лопыrаеv.::я (Щ6Н'II1ТЬ 1р СlИfзу npш условЯIН (5.3).
ВОСПOJIhэовавши-сь тем, что соrлаrnro свойствам ДПФ cneк11pы lПоследова
те.Iьностей {a.+ 1n } и {b i exp(j 2лik/N)} есть .соотвеТСТВенно аrеJЩJ{j 2лlт/N) и
fjj А. l==....I.O, 1..... по теореме ПирсеваJlЯ lПолучим
R" (т, ;... )  "all ",, N 1'ЩЬ;kехр ( j2:1m ).
п цставив это в (5.1) IJ{ УЧТЯ. что RI2(O.0)RI2(0). lJIСХ'ле reУМ'МИРQваIННЯ IЮ т
придем IК !результату
W Nl I щl" I i "
 ,.
.pkW I I/B"'llb"'N IR,,(O)I' (5.4)
Поско.'IЫКУ пределы 'cyM'мы по k в ЧИCJJlИТеJJе вщ>ажения (5.4) СИМOrfе1'1ря'ИlЫ. ее
можно зашосаiТЬ lКaк
1 w Nt
""2   (1;;'11" Ib;kl'+ lalkl'lbIl');;'
k==W l==O
W Nt I \17' Nl I
 L  Ia;b;a;----kb',hl   alb;a;kbl'
k==\V '"",() k==W 1:=4J
["Де Две послеДон.ие оценки следуют IИЗ .нepaвeнcrвa между средмнм а'Рифме1'lИ
чс Иf.М в средним rеоме1"p!}IЧООК.и.м IИ СООТIНошоо.яЯ l1:zil.::s;;1;IZII. Далее, }'Ч'Тя.
что o.r6*,. l ....I.O.I..... есть ЛПФ последовательности IlallllbIIRt2(т). т-== ....
1. 0.1, .-., соrл3C'RО paвeНC"JIВY Парсев3JIЯ И!Меем
!  ............. ..... ! (  j 2п Ьт )
' Ojblal.bl.llall'llbll'N ': D'R..(m)"exl' N .
ПQэrому НЗ (5.4J -получаем
.р;;. 1  '' I R12(m) l ' ехр (  j2nkm )1 
kWтD R,,(O) N
 I 'I I R12 (т) l ' siп '(2 + I)mn/N] / . (5.5)
тD R.,(O) SIП(mп,N)
БсJLИ ПОЛ{)ЖНТЬ R12(т) :::t::0. тфО mod N. слеДС,ТDИем (5.5) будет веравею::'Тво
.p;;'2W+I. (5.6)
Попу1'НО 'OТIМет,И!М, ЧТО '1JJНЖIЮJЯ rp'аНИllа (5.6) доС'Тиrается Gl3 оШloре пдс с щдеаль
Вой ПАКФСФ. Дейcrвите.аыно. при ЭТОМ" (5.4)
R.,(O)I, la,I"lIall'. Ibll'lIbll', IO,I...., NI.
,вк TO .p2W + 1.
89

Чтобы !НайТИ ;иижrнюю 1IJj>8iНlИЦУ 'ф при Cdблкщени.н (5.3), ЛООТ3IТQчно IIplJI
.дать ,.lJроби IRI2(m)/RI2(O) I маllШИlМ'альное значение I/f N iдЛЯ 7ех т, ('Де
sin[(2W+ I)тл/N]/siп(тn/N) <О, .н 'Нулевое для осталЬflЫХ т. Это ПРIИ:ведет
IC oЦeJllКe
1jJ;;'>«N. W)(2W + 1).
(5.7)
еде
\., т.(') . 2W ) /N)
>«N. W)I+ '" '" ып[( +1 т"
(2W+I)N "'т(I) sin(т"fN)
т,и)  1(21 1) Nf(2W + 1)[ + 1, т.{/) J2IN/(2W + 1)[.
При N> 1 суммы no m в ООDpеделel1lШИ x(N, W) :можно замfiН'ИТЬ ll1iТerpa
.JIа.м,и, ПOJIучив пprиближеняе
>«N, W),.,>«W)lim>«N. W)
N--+oe
W
I+
 (2W + 1)'
1
"(2W+1)
\V

1==1
tg [" 1/(2W + 1»)
1
3ави-си.мocrь J{()ЭффЮJ;IН.епта К( W) В деJUllбeлах ют ПOJ1УШИ!рШIЫ ЗОНЫ W
показ-ама 1НВ рис. 5_2 СПJllOiШЮii J1!ИН'Ией. Здесь же Штрн1IOВОЙ линней ПОКШJ'ЗIIЫ
значения x(N, W) для N;>o<IO .и N==15. II(3IК ВИДillO. рзсхождewlЯ 'Правых час.тей
(5.6). (5.7) "Р" всех W;;>I "езна""телъ"ы, так ЧТО простое <ООТ1НOllIе.ние (5.6)
дает RПолне достоверную оценку объема 'Ф в шн.рокой ДOnJIОВС'КОЙ зоне npи
соблюдении условия (5.3). 7. е. удержан.и.я ООк(JIВЫХ выбросов RI2(m) в np;нeM
лемых пределах. ЕСJI.И СОПCJCТавить Пр<l1ВyЮ часть (5.6) с 6еэусловнЬiIЫ IМIИiНIИму-
МОМ 'Ф, 7{) мз !Нер3'венств'а N!]NI(W+I)[W+I будет следовать, что lI3.JIоже-
l:DИе оrр3lНИЧ-ениЙ на баковые лепесl1КН ПВКФ Rt2(m) «ПОДНIИiМает» НИЖНЮЮ
I'Ip3а:ШЩУ 'Ф ше Iб'о,лее чем !На 3 дВ.
Т епtWь леf1КО IOцеНiИ'ТЬ CНiИЗУ q>ед,некваiдра."1tИqeаюии уровень боковых .nепест
«ОВ ПБФН в ра.ссм.з.триваемой зО'Не. Используя (5_6) 18 (5.2) получаем
X;;.V2W/[(2W+ I)N 11> V2W/(2W + I)N .
(5.8)
Как впдно. праd3Я часть (5.8) I1)pIИ W 1 !Слабо ЗЗВИ,СЯ:Т от W. возрастая
or Y 2/31V,., O,82/yN до l/y"N. ТawиМ 06р""Щ ДЛЯ '""РОЮlх <ТLIЮIIIяых доп
.перовClКlИХ полос унифиrцнрова1fП'ОЙ 'НiИЖiНеЙ npа,Нlицей ореднеквад:р8lШfчесiКОСО бо
к-овоno леПОС'I1ка !Может .с'ИПЗТЫСЯ IJ1fN. {щ.еНlН'Вающая CJI1И'ЗУ У1'овень flорМИ
рованных боковЫХ JlenecTKoB и на всей пnоскости "t, F (СМ. (2.25». Такой ВЫВОД
поиятен в .свете неравенства (5_6), ЯВJIяющеrося в IСУЩНОС"IШ. усиленным aR'ЗЛО.
то.м: соопюшеНJJЯ lНеспреде.лснности. ,устанавл:иваю1I..UИ.'М iШlЖ<mИЙ пrpедел объема
в полосе шири.иой в 2 W ЭJIемент.ов разрешения 00 частоте iК3IК \l{QЛЮ общеrо
.объема ,на ПJIОСКОС11И '1', F, не rменьшую (2W+ I)/N.
.подчерюнсм, что, хотя .l'Ip3IНПЦЫ (5_6), (5.8) \досmrаются ШtptИ .соrлаrcоваlНВОII
обрабо'I!Ке, выведены ОНiИ ДJIЯ проиэвольвыx пар пдсф:lUlЬ"лр. КipoMe Toro. !J
ПрОll2<Х:е iИХ Bыодаa ,не потре60валось каоои.х....rnибо OroBopOK отIносiитeJtывo до-
nyc'I1Ииых видов а'Нипуляции 'Или значeНJИИ mrкфакroра IlДc.
Широкая конечная ДОП,llСРОlIская полоса. ДOBOJIЬHO частыми на практике
(в 'РЦJЮiНИiВиrаu'ИiИ, службе времеН!В 11 Jф.) оказьшзют-ся случЗlИ. 1Коrда oт;pa
жения мoryr .иметь ТОЛbIКО положwreлъные временные СДШIrи 011El'OC'ИТfJlЬНО Il0
iЮ
""rW).:J8rN, W}, Д
F
o.'
I
/
/
/
/
!i.
N-tО
о 11
:t;
(Nt)l! -z;-
2
Рис. 5.3
O,J
лезноrо Сlrrнала. Б подобных ситуаUII
ях длите..1ЬНОСТЬ элемента /! J[ перlЮД
NA пдс целесообразно выбllрать НЗ
усnониЙ. априори исключающих пало.
жение основных лепестков сиrнала и
отражений: /!TJII]IB. (NI)/!ТМИI!(:..
7 W тде ['1'мtlн. "tмаис]  интервал возможных
запаздываниi'I отражеЮlii. Б связи с
ЭТИМ интересно выянить,. до каких
СНJlжен уровень боковых лепестков ПВФН в
«конечноЙ:. ДОП1еровской полосы (plrc. 5.3), no.тry
"оказанной На рис. 5.1. удалением тех окрестностей
которые отвечают запрещенным запаздываниям OTpa
2
J
*
5
6
Рис. 5.2
пределов может быть
помеховой зоне типа
чаемой из области.
линий "[==0. ==NА,
жен.ий. П}'ICТЬ
w
1jJP   X2(O, k)
k==W
(5.9)
 -норыи..ров&нныir объем ш€опредеJIешtос'Ти :НЗ'д, уда.пенной ч8,стью 'Сплошной
зоны Очеви..'UIО. объем iИад lКuн('Ч'Ной .пШ1rOCОН будет !равен 'Фр IИ. ПОСКОЛЬКУ
р.ксмаJ1ри.в.аемая зон-а содерЖоНт (2W+I) (NJ) точек, СРe.дiRеквщдратический
уровень ЛБФ Н в неи iИОЖ!НО наЙти K3IК
XV(1jJ1jJp)/(2W+ I)(N 1).
(5.10)
Оrpа'lЛAИМ множество расамзтрива-е,мыx IКOД-OBЫX последовательностей усло
ем '"'I'E(O, Ilall"'/.'\I}. cд iO,I...., NI, а v  пп.кфажrop. Лоня.,но, что
ПQДоБНЫ'-:l ОIШсаняем охватыиаются .как фМ ПДС. 'Так iJI сиmаJlЫ. .мarнкпул.и
РОВЗlJJные тп, IИ 'ВОобще любые пдс. ,у lКol'QpЫX все Ulенулевые деЙ'ствите;uмые
амплитуды в lКoдe ОДИJI3'КОВЫ. Будем Б'наЧ&IIе считать .()браб01fКУ соrласован
НоЙ. задав вес,овые коэффиuиен'Ты ф.ит.тра !равенством bi==ai, i==O, 1, _._, N].
lurдa R,,(O, O).R,,(O)  1 н из (5.9) <ледует оценка
1jJp<JRl'(O. Nkj). )1.lIall'I%,Ia;I.exp( j"ik )I.,
fiуеобраэуемая IC !ПОМОЩЬЮ a'вeHC1'Ba П3lpICева.JI'Я IК виду
NL
1jJp";;lIall N  1a;1v.
'
при W == 1 верХ1НЮЮ .npавнцу величины 'Фр удается iНeCКOJIЫКo У,ТОЧlШТь [56] :
'Фр::е;; 1+2 siп2.(nJv)/(лJ\,)2. Теперь, пользуясь в соотношении (5.10) найденными
91

оuеreк8.М1И tдЛЯ 'Фр roIШecrrlf1O с нижней .rрамИдеА (5.6) объема
полосе, леrко 71р.иilти к .:нижней rpа.ffiи:це среднеква.а.ра'J1нчеохоrо
в !КонеЧНQЙ полосе ДЛЯ .сorлас.ова:sиюй пэры J1ДСфиль.,..р:
'Ф в CIIJIоmНQЙ
У!IOВJlЯ ПВФН
<де
X;;'Y2>«V. W)W/(2W+1)(NI).
(5.11)
{ I sinl("/v)/("/v)". W 1.
>«v, W) 1+(Iv)/2W. W>I. v";;2W+I.
ДЛЯ ФМ ПДС (vl) оцеяка (5.1,1) цl'ИIН....аеТ вид
(5.12)
'J(;;?Y2WI(2W+I)(NI) >Y2W/(2W+I)N.
аналоrичныЙ (5.8), что шеудивителыю, поскольку при ,,I и соrласовашroIi
обраОО11Ке объем 'фF определяется только (}С'ноrвиым лепестком RI2.'(O) ="" 1 и вы-
1'сClИИТЪ 'К8IКУЮ-Jш'бо _часть объема 'Ф o1iЗ 'КонечООИ полосы В зону tt а tЛpeщеНiНЫ1(
запаЗДbliВа.н.ий не удается.
ЗаIВИ'\:И:ЫОС11И x(v, W) ==t(v). П()IКазаrНIНые .па рж. 5.4, iIlOЗвo.nяют (щеНJИТЬ IЮ
poroBNe 3Rзчен,ия rLИкфакrroра ". I]р'Н fJревышеПiНiИ .которых МОЖJНО Ipа-осчитывзть
на тот .ил-и инои вы:и"pьlш В }IIpOВHe бакоoorо JIeneC!1'1K3 ПО орcшm:еп.ию со слу
чаем ФМ ('\'==1). Даж-е для ЗОО мa.rюii lDlИipRНы надеЖДЫ :па ошyrnмое YMeнь
шеине 'х ИlМеют ПОД собо:А какую.ТQ почву JТИШЬ при больших З4Начевшя,х ".
laK. при W== 1. 2 попытки снизить уровень боковоrо лепестка па 3 дБ MoryT
оказаться успеllEНЫМИ Т()лыко тосда. lIюrда ",.2.2 н ,,3 'СООТветст,вепно ('1lIPG{
w==ю  KorAa ,,H). Подчер'К'Не-м особо. 1JТ() :до\.".товерна JFВШЬ .неоБХО.II,mюсть,
но не достаточнос.ть выполнения э11их Ol1pah-ичеНiИЙ.
ТаlКИМ образом. при небольши.х 3IНзчениях пекфактора (охаж,ем. .J1]РИ 'V:s::;;
::е;; 1,5) roворить о OIOO.ЛЪКОПИiбуд-ь заме11НЫХ ОТJLИчнях x(v. W) от 1 ше IIРИХО-
д'ится .и nO'J'lOMY. lКaJК BBДlНO IИз (5.И) после повторения .комментариев. отн.осИБ
шихси К (5.8), при соrласованно-И обработке пдс с близким к 1 пикфакто-
ром среднеКБадратический уровень боковых лепестков в широкой конечноЙ
доплеровской полосе оценивается спизу тра 
диционным значением ну N .
Попробуем теперь на примере ФМ пдс
(v::::: 1) выяснить, сколь реальны надежды На
снижение уровня ПВФН в рассматриваемой
зОНе при допущении рассоrласования впутрп
пеРИQДноrо фильтра. Т. е. в обмен на энерrе 4
тические потери у. Для этоrо верпемся к
формуле (5.9) и. распрострзпив в ее правой
части суммировапие на все k==O, 1, .... NI
с учетом Toro, что IR,,(O, OJl' IR,,(O) I'
== l/у. запишем оценку
:Je(,W},дБ
T
2
J

1
2
J
Рнс.5.4
-92
.
NI I ( k )/ '
1/>..";; у o R" О. NI1
ЛQдставив СЮДа .вы,рзжеНiИе для Rt2(O.k/N.tJ.) И вьtПOJЫl'ИВ СУММИipОВЗ"НiИе по k.
110ЛУЧИ'И
N'
1/>р";; Ilall2 Ilbll2 yN  lo,I"lb,I".
,
Лl'tlнммая ВО БнимаНlие. что дЛЯ ФМ ПДС IЙiIZ==llаIIZ/N. iO.I....,NI, прlН
.дем iК oQоот.ношенмю 'Фр::е;;у, так -по.нз (5.1(). (5.6) попучи-м
X;;'Y(2W+ ly)/(2W+ l)(N  1).
(5.13)
ХОТЯ II!р3IВая -часть (5.13), очевидно. !Не я.вляется точной (ДОСТоИ1ЮПМQй) npаип
пеЙ Х. по .ней .совмсст.НО .с (5 12) 'Мо.ЖНо. судять о том. ;иа .кaJЮИе потери IIJ>И
.детсн за.ведомо. соrЛ3QИ'ТЬСR в 'lJОПЫ"lIКаХ уменьшить БОКQlВые лепес.11GI .в Il{ОНеч
.вой ПOJlOCе за счет .иcnользовamяя раСООl'JI3ICова'Нной 06ра60ТtIOИ. T8IК, пр.и самоil
ма.l0Й :цро;rяжен'Носl'И зоны Вдоль ОСи F (W == 1) }'iЫf'ньшеНlИИ 'х аз 3 дБ по
.сра.вненпю.с (5.1) МОЖiНО ОЖLидать лишь в обмен на потери \'. не меньшие
3 дБ. ЕC.JIIИ Же. к II1рНМеру, w== 10. на такое же уменьшеНоИе 'х можно .рассчи
тывать. "I'оль'ко начиная с y.20 дБ.
Так,и'М образом, В oQНтуаЦiИЯХ, rде с энерrетичеок'имiИ потерямя, превы'Шаю
ЩИМИ е.1'шн'ицьr децибеJ-'. МИpiиться lIельзя, резервы ,r:lOдавл.ения боковых лепест
НОВ в ШИiроКrИ'"< 1юнечн:ых доnлероOOКRХ :юнах, заложенные в рас<:оrласова.тюи
обработк-е. незна:чнтельны iН обих{):.jJдlыIм значением ну N IМОЖНО ОЦCif!ивать
.иЮ-lмаJlЫiЫИ СРe.l'Н6Квадрат.ическ.ий ytЮвень боковых jJ]enec'1'IКOB не тольк.о Д.'1Н
ооrш!'с.овЗоННbl.X. Н'О и для JIюбых ПОДХQДЯЩИХ 'По значению у пар I1ДС-tpильтр.
Узкая доплеровсквя полоса. Обсудим теперь вкратие случай, коrДа На
.Il'Олушир-ипе ломехооой .зоны УК.'lа!дbl'Ва.ется менее одноrо элемента разрешен,"я
no аС'I'Oте: F JI < I/N6.. Прlн этом. очевидно, roВорlЯть о боковых .nепесТ!Ках. в
пр'еделах .зоны вдоль о,с.и F не ПРИХОДИТСЯ и в конце !КОНЦОВ практичеCIКН iИrн
тересна лишь оценка уровня ПВФН в к,онеч.пой полосе. Тем не lМeнee, Пр'ИД
Ж'иваясь прежней ПОСЛeJ11)вателЬНОСТн ВЫКЛадок. пелесоо6разпо iВначале HOBЬ
оценить объем .ноопределеННОС11И в сшюшно-И полосе Невозм,ожlНОСТЬ t'едуюши
зav:r.ачи :до ана'DИЗа ПВФН 1Н3 Jl.:JllcIq)eтHblX ЛИНМЯХ F==k/N!! 331Мет.но осложняет
картину, одна'К() наrля.дны,е ана.л:иrnчес.iК.Ие rрЗ:НИllЫ все же удает.ся получить
J10CJJe небольшой кор;рeк;rир.QВКИ определенмя объема нестределенн-ос11Н, Y-C'l1pa-
ниющей З3,ВИОИМОС1'Ь от КORwре'Июrо ц:и!Кличеохсro сдв.иrа ПОCJIед{)ва-те.лыюсТ1Н
весОВЫХ UШЭффиIlИ6Н.l"ОВ фИЛЬТ.ра. Именно. обоз.'Начнм через
I NI I
. Gi+m b;<l+/)} ехр (  j 2л iF !!)
,
ПВФН пдс IИ фи..Th'l1Р'З, если весовые коэффициенты последнеrо цтиклически
с:двинуты на t позициЙ. Тоrда, ПQJl3i1'ая XZtu(m, F)==IRI2t(m, F) 1 2 I1Rlz(0) 12.
назовем -объемом 'Не<.ЩредеЛ-eJl-НОС'11И Над ICПЛОIШIЮЙ полосоЙ величину
IR,", (т. F)I
1
lIallllbll
(5.14)
I NI FBNl
1/>N  J  xi2' (т. F)dF. (5.15)
1==0 p в т==О
HeтrpYДHO (ПОНЯТЬ, чrrо -объем (5.15) луж'И-,т ащекваmо.А характернс'МfiКОЙ l1арал
.nелыйй схемы обработки, включаЮЩей N внутрипернодных фильтров. каждыЙ
R.... КОТОРЫХ .н:зстрoei:! на свон. tй JJ/IЫCJFИЧecf{ИЙ сд.виr пдс. С д:руrой c1'opoHы.
"м же велич-ина СОО11Веl'ствует объему неолре.де.'IеВiНОСТJJ для об:ычноro QДHO
93

КClIНальноrо филЬ"J1ра, }'QPе:днен-ному по tpавновероятно 'ВыбираеМQМУ ЦJИLКJUiЧес
I'ЮМ)' .сдвиrу BecoBых IJ<ОЗффИI1!Непт-ов '1ЮСJIе.roнero
Выразив в (5.14) Ui. bl. через ДПФ-4СПектры .и IЮДСТ8SИВ (5.14) .в (5.15),
nQCJIe С)'М1drироВ8!НИЯ .по t -Н т .можно а:юлучи:rь
1j>
I
Ilall'llbll' r RI2 (0)1' N
Nl
 1a..I'lb.I'1 gr,I'.
'. .S==O
(5.16)
rде
rg.I' ? I  Iexp ( j2"iF+j 2"ik )/ 2 dF
F Ni N
в
 2F. l s inI2(iI)F.J exp [ j2"(iI)k] _ (5.17)
N I.I 2,,(.I)F. N
Заметив, 11110 IgIr.12==lgJlI2. .можно З8LIЪиса"l'Ь сумму в (5.16) в ВИДе
+ ' (Ja r " Iь.,ч la,"Ib,.I')lir,I'> 1 Nl а.. ь; а; b.1 gH12 1 . (5.18)
'.5==0 ',5==0
rде оценка снизу DOлучена ПOCJIедоватмblНЫМ пр.имен.ением неравен-ств между
средннм а(»Iфмеl'ИЧН'М и оредН!ИIМ ,rеометрlИчеоким. а также между СУМiМоЙ
МQДулей DI 'моОдулем CIyiМ!MЫ.
ПО..1ставив (5.17) в правую ча,С"IЪ (5.18), :после су.мми.роваIlЮ!Я ПО r и s с
учетом Toro, что ii.rБ*т есть ДПФ ПВI(Ф RI2(m). из (5.16) получим
2 l l l l R12(iI) I 'SinI2"(iI)F.! 1
1jJ> F.N LJ .
i.l R 12 (O) 2"(iI)F.
Для любых зон ШiИpiННЫ 2F B :S::;; 1/(Nl)A .все слa.rаемые суммы в npавой части
зтorо неравенства .неотрицательны {и iПО1'ому ее ННЖIНей rра.нндей может служять
ЗlНаченrне, отвечающее ПВI(Ф с 8уnевЫ'М'и .боковыми лепecrка,мн RI2(m) ==0-.
т-Ф О l110d N, так что
1jJ>2F.. (5.19)
Теперь для iЛереХОД'2 d{ конечной ;uолосе предстоит оценить объем неопре
деnеНН'fJ;:ТН в окрестности ос.и F:
1 NI р в
IjJF  J i'12'(O, F)dF, (5.20)
N t===O F
 .
после чеrо с,реднеКВ2ДратичеокнА Y'JIOВеБЬ боко-воrо лепеСтКа в конечной :юне
можно будет оцflliИТЬ с lIОМ-DЩЬЮ СО0'J180ШеН.ИЯ
x f(1j>IjJF)/2F.(N 1).
(5.21)
Если rоворить пока о соrласованной обработке. то величине (5.20) МОЖНО
придать !вид
F.Nl I Nl l '
IjJFlIаll-----4N1 J  lai+t12exp(j2"iF)dF
PB t l
'и тля ПДС с 1I.ВУМЯ значениями амплитуд импульсов la:i 1 2 е{О. Ilall2v/N}.
(5.22)
94
.1.:0, 1, .... Nl, при F p <I/NJ! с помощью оценки сверху модуля суммы по i
в (5.22), следующей из элементарных rеомеТрическнх рассуждений, можно
получить соотнощение
2v 2 FB I Nlv1 1 "
IjJF";; !  exp(j2"iF) dF.
N2 F i==O
.
I{oroдa N/v достзl'lОЧВО велико, ДОПУCТIИ'Ма rЗ3lМен& еуММВIPовапяя по i lI-нтеrpJil
ровашием, после чеrо /На оонаваfliНИ (5.21). (5.19) МОЖIIЮ построить сл-е,цУЮlЦУ18
(щен'ку:
1 [ Si (B/v) 1  cos(B/v) J
':;;, 12+2
  N1 в/" (B/v)"
J1дe Si х  ИНтeI'раJIЪНы.И .с.и.нус Х, а fJ==2лNF.tJ..
При 2F p <v/NA с лоrpeшНOICТью, меньшей долей деl.1И.бела. IIOЖНО в раз-
.ложенни правой час1'Н (523) в СТЕпеНiНоl1 ,ряд oropoaнrrь все стеПEIН.И выше
второй. В результате ifIiЯЖ-НЯЯ rраmщ,а .с.ре.д.пеквадратическоrо 6aкoвaro лепест
ка в lJЮНечной _узкой полосе при соrласавашюй обрабо'llКе примет ИСКЛЮЧIИтельно
О'ростой вид
(5.23)
x>yiV"F.M3.
(5.24)
При доп)'шенин раоооrлзrоваiННОСТill обработrюи удается :получить JIiИШЬ вeCЬ
.ма l1>убые оценк.и м:ин.и..мума х. ТЕМ .не .менее из ннх МОЖНО видеть. сколь боль-
ШИМII потерями чреваты IЮпы1'ЮИ ООД3!lJ'ИТЬ лепестки ПВФН .в 'УЗКОЙ зоне ценОЙ
.оrаза от rorЛ3.С'ооапноЙ ФИЛЬ"'РaдiEИ. Так, дЛЯ ФМ ПДС :в [57] ыайдена.
1IO.lЩJ..Иlмuму, неД'ОСТИЖJiмая npанща
X>y >«V) 1/N"F.M3, >«V) 13(V 1)/,,',
(5.25)
HJ КQТОроЙ следует, что в .rЮПЫ1lКах СНИЗИТЬ уровень ПВФН ,на 3 !ДЕ !fiO opalВ
нен-ию С .мrRнимумом, ,возможным ЩiИ соrлаСОВМl!IlOЙ фи.пьтраЦИiИ, 4J1Э. успешный
.нс од .моЖНiO надеяться. JlJИШЬ соrласИ'ВW-ись па ПQтер.в y (:rt 2 +6)/б, Т. е. не
:меньш.ие 4,2 дБ.
В 'ю..естве общеrо ,резюме к оп,,",ка<м (5.1I)(5.l3) . (5.23)(5.25). /ЮJlу
ЧCIИIЫМ: для 'КонечtНых ЗОН. можно отмет.нть, ч.то :ПрИ .жес11К1lХ ОnpЗiНlИчепиях
на ИН-К'фактор ПДС v iИ 'ПОТ€.piИ 'от .рОСdQrл.аСОВ8\НDОСТ.и обраб<mк::н \' lIеэоз
можно ДQОиться ЗН8'Чен:иJi Х, ощуТlИМО меньш,"х V Nл Fв:li/З при 2F B :s::;;I/NA
R 1/1/ 1'1 при FB I/NA. Поэтому, ()l(Jруrляя n до 3. аа ОРНfШТИР 'п'р.и оценке
I4ИНИiмаЛllноrо уровня х....u:и ПВФН dJ доплеровоюих зонах в oroвopeнHblX :YCJIo
ВНИХ МОЖ1l0 пр.внять I1раmщу х 2 "ш-ц/F р А==<NF н А ДЛЯ NFBli1 м х 2 н.кп/F.J1==
 I/NF. ддя NF" 1, ,.де повед",,"е Хм.. на чаC'l'К О, 1/2 (00. (5.24»
экстраполировано на отрезок [1/2, 1]. rрафическую ннтерпретацию этой rрани
l:i в .зависимости .от 'll]1Нjpн!ВЫ Jl,оnлеровакоЙ ООJЮСЫ !дает :ряс. 6.5.
Оценка уровня ПВФН дЛЯ пар ПДСФПБЛ. Сопоставим с н.айдеННЫМIf
rpa-FI1ИIlaJМИ сре.днеКВaдiра'11Н'чоок.ие 'уровн.и ПВФН В КОНeщlой доплеРОJl:a<:ОЙ по
..лосе для ситуаций. lIюrда внутрипеРИОДIНая обработка осуществляет,ся ФПБЛ.
Во избежание недоразумений напомним. что аббревиатура ФПБЛ закреплена
за фильтрами, обр-ашающи.м.и в .н.уль боковые лепесТ!f{.Я lНa оон зanз.здыtзlвiнй..
ОrpапиЧ1ИМСЯ зде-еь раoreмотрeJllИebl ТOJIЬKO "arких !КОДОВЫХ п.оc.rrедовarтельностеА.
ПАКФ :которы,х оп,нсшается .выражением (2.27). Т. е. IOdеет двухуровневые
95

реrулярно расположенные боковые ле
лестки. о.сновные рЗЗБОВИд'НОСТИ бинар-
ных и троичных последовательностей Из
предшествуюUlИХ rлав облада именно
таки"и П.\КФ ,«,,  з-з. 35. 42. 43)
Пусть RI1(m)  ПАКФ кодО'Вой no
следов'ательност.и {а;} пдс. задаННая
рыенством (2-127). в котором R и Rlза
Hfв!! менены -на RI1 и Rrl.l !Соответственно.
Пусть также Rb(m)  ПАI\.Ф последо-
вательности весовых коэффициентов
ФПБЛ. ДПФ Rb(..m) с,оrлЗJCНО (2.11) с точностью дО несуществeilИЮЙ КОНС.НЩ1:Ы
есть IБпI2===1/IUIl12. Бычи.слив обiрЗ'11IЮе ДПФ от 16,,12. можно вцдеть. что
Rb(m). lКaK и RI1(т). 'ТОже описывается .соотношением (2.27), 7. е. при тФ
Ф-Оmоd,N rl'р.инимает JliИшь два З1Iачен'Ия: Rb(т)==Rb. тфОmаdN t н Rb(m)===
===RbI. m == ,()modN 1 .
Докажем два bcn-ом.оr3lтеJlliНblХ результат,а. Полаrая ,в (228) IВUзчале
R===Ra. RI===Rul. з затем R===Яь. R1===RbI. !: учетом С'вязиlu" 12 iИ 1611.12 лerко
получить ра"енетва R.' Ilall'N'(lii, 1'laLI'). Rollbll'N' (lii,I'liiLI').
Перемножая ИХ и воспользовавшись (2.15). заметим. что
'Х.../F.Л
0,8
0.6
0.'
11'
/ '"
/ ...... ........
/
i/
0.2
о
2
J
Рис. 5.5
RaRb yl N2(faol'/laLI'+ i;;LI'/laol'2)''';;O.
(5.26)
с друrой стороны. используя (2.28) в (2.16) и записывая IIal1 2 через paBeH
СТВО Пар'сеВ8ЛЯ, areI\рУДIНО убедить'ся в .сП'раведJI'ИВОСТН ('Iоотношення
у;;'1 +(N 1  IHla,I'/laLI'+ laLI'/Ia,I'2)/N",
из Ор3JооеНlИЯ iКOTOpoTO с (5.26) следует. 'Что
y 1 ;;'V(N,  l)RaRb'
(5.27)
Перейдем теперь оНепосредственн.Q .J{ построению Тtребуемых OиcH()IК. начав
с ШИ:рОКiих доплеровск.их п'Олос. Обра'l'1ИВntись  (5.4) и заметив. что laJr.12,
11i.1' с ТОЧНОСТЬЮ Д'О коэффициеитов есть ДПФ R.(m). Ro(m). а IR,,(O) I'v'.
ПОС.'1е ПipililМенения равен,тва Па'рсеваля будем иметь (при [)jрOИЗiВОJlliНЫ-Х Ra(т).
Ro(m»
w NI (
фv   Ra(m)Rb(m)CXp
kW тO \
jnkm ).
Т"" как ДЛЯ ПАКФ R.(m). Ro(m) вида (2.27) "Роиэведеи,ве R.(m)Ro(m)
имеет 8Jнал{)!1ИЧВЫЙ вид. :мотно !найти ДПФ Ra(т)Rb(т) с помощью формул
(2.28). посл-е чета .П'ОЛ}'ЧИ11СЯ
[ 2]W/L[+1 NRoRh
ф(2W+I)v 1+ 2W+1 L(RalRblRaRb)+ 2W+1
Ral R bl]'
(5.28)
(1.17) DpЯ
Д"н пары ПДС.ФПБЛ R,,(m)O, m...OmodN и иэ рав,",ства
ПАКФ Яа(m). QIШiCываеwoй JCоот,",ошен'ием (2.27), следует
I +(L 1) Ra,Rbl +(NL) RaRb  IR,,(O)I'  I/у-
(5.2g)
96
в част.ном CJlучзе L===J. т. е при OДiНOYPOBHeBЫX боковых лепесm:ах Ra(т)
(-СМ. (2.30)), RalRQ,. Rhl===Rb И соrласио (5.29)
RaRb IVI)/vINI).
Ло.>стаилнн (530) .в (5.28), получаем ф2W(КvI)/(NI)+I, т e пр.
1\"",2W+I.
Бсл.в L> 1. то, учтя в (528) связь R..Rb и RatRbI. устанав.'IIIRi:lС'IУЮ (5.29),
Jf(}ЖiНО видеть, что
(5 30)
N»l
1 2W(LVI)
, +
L1
 :LV 1 (]  [ У V 1 [W(N'\)(NI)]  []RoRbj.
Pi:IJ.JНo.. ть В фиrурных окоб.ках по:ле..1.,неrо выражения. как М'ОЖJЮ убе.J,ИТЬСЯ
ПОМОЩЬЮ (5.27), оu('ни.в'ает:ся снизу реличJИЮЙ RaRb[k(NIL)+
+1{N11)]/(2W+I)(LI). в 'КотороЙ k и t  чз.с11Ное И .ОСТ..аТОК 01' деления
W Н3 [. Пр.и NIL этз оценка н.еО11рИцателЬ'на в -силу .непол,оЖJfТ€ЛЬНОСТИ
Rb (см. (5.26)). Поэтому справедливо соотношеН1iе
{ 2WV+ 1, L 1,
ф";; 2W(LVI)i(LI)+I. L;;'2. N,;;'L,
...'-'Торое СО&'vIес:rио с очешr,.ulЫМ .неравенством фF 1 И формулоЙ (5.10) дает
Р'" хнюю rРЗflИЦУ СРe.JJН6Квадратическоro уровня ПБФН в ШJiрокоЙ конечной
on..lероВi...'UЮИ полос{' ДЛЯ 'pa<:CM8тptВ.вaeмЬLX пар ПДСфильТtр:
х";;У2к(у. L)W/(2W + I)(N  1), (5.31)
'е К!У. L)V при L1 11 К(У. L)(LVI)/(LI) при L;;'2 . N,;;.L.
Обратимся к 'Конкретным .кодовым последовательностям. ДЛЯ БП па oc
'"ве ЛП . РМ (см.  35) L"ql. тоrда '''''' N,h(qn+I)/(ql) и,
r......доВаТелЬно. прlЯ п2 N(L. т. е. оrpЭНичeIOIЯ в (5.31) соблюдены Сопо
I авив (531) с (513), !МОЖНО вид-еть. ЧТ'О резуль11ИРУЮЩИЙ проиrрыш 110 ПОКЗ
за Ю х 2 в широкой зоне дЛЯ БП на оонове ЛП он РМ. 06р3lба7ываемых
ФIlБЛ. относительно rипотетическоЙ (В'Р.JlИIМ'О. ере4:lJl!Изуемоi'I) пары. имеющей
те же [lотери "..}!{) .пежащей IНЗ llp8iПиде (5.1-3). состав.и..r 2x('V.L)W'(2W+lV).
Для осех БП .из табл. 3.3 эна'Ч6I:IИЯ Х(\'. L) .и У, как .nerK{) npoверяется. не
превоХодят 1 дБ, ТЗIК I{Т'О даже :для caMЬLX малых J1ротяжешюс:тей зо.н по
ОСiи F (W===I) УПОМЯIН,утый П!ронryыш маХQ.;1!И"'[СИ в Itpen.eJl&x 1.6 дЕ (1 дВ пр'И
W 1). .подобный резерв снижения Х. М'QЖilЮ. .конечно, IИЛНQpRрова7Ь, считая.
Чт .среднекв'з.д..ратичес.к.ий у,}IOвень боковых лепестков на выходе ФПБЛ для
lIЮбой -из рас:::маrтривземых БП цраК1'ичеаки ,м,И'Н.имален.
ДЛЯ ТП с .идеальноЙ ПАКф из rл 4 ФПБЛ совпадает с СФ. Т81К что y==l.
KIV ЦI и из (5.11). (5.31) <ледует 2K(V, W)W/(2W+I)(NI).,;;
";;x.";;2WI(2W+I)(NI) Но. "'", в сво< времи отмечал",ь (C'M р><с. 5.4). при
стремлении и'МеТЬ достаточн{) малый ШIк--фаiКЮР (скажем. ,,::е;;1.5) спросвет»
kr ...д.у левой IИ правой частя.мм з.ЗПИС3Нl10ro двойпоrо иерзвflНСТВ3 не Пlревы
Ш. т 1 дБ. Следова7еJlЬНО, любые ТП с .идеальноЙ ПАКФ и БJm3КJltМ к едrи
lUI.e п,ик.фа.ктором 'V в паре с .соrла{'QВЗ.нной обработК'Ой пра'Ктичеок'И .реЗJJIНЭУЮТ
1l00Тlщиальиый минимум уров.ня боковых лепесТКОВ в широкой доплеров'с:кой
ПOJюсе. о .кОТQ,PОМ можно I'Oвори.ть при 3C1ДМlHOМ эиачеии:и 'v II )'===1.
479
91

Остается рас.смотреть узкие допnеровские поп'осы (2FB1INA). Подстав-
ляя (5.17) в (5 16) ,П СУМ'м,ируя п-о " S, .прн ПАКФ типа (2.27) получае-и
NI ( т ) siл2лтF А
1j>2yF.  I N Ro (т) Rb (т) 2 F 
m>==(NI) п т I!
[ N:11 ( т ) sin (т е:т
2yF. 12R.,Rb,+2R.Rb1;. lN те!Л' +
. ' ( .!!.'.. ) sin(mefL) ]
+2(R.,Rb,RoRb) пo 1 L mB'L '
rAe В2лNFвtl..
При О..J.ноуровиевых бсжовых nеneс11К3Х ПАКФ (L'==l. RaIRbtRI;iRb) .:из
(532) с учетом (5 30) MeeM
{ Nyl yl [ l ( т ) sin(me!N) ]J 1 .
1j>2F. N  I  l+2 I
Nl т' N mefN
С А'рулой ICTOpOНbl, IнеПОС-рЕЩ'QтвеlfИО .из (5.20) .м-ожн{) .получить
(5.32)
(5.33)
Nl
1j>F h 1d"1"li,l"fld,,I",
k=:==O
rде di==-nibi. i==O, 1, .... NI. а lйlr. р. k==O. 1. .... Nl. определены РаБен:ством
(5.1 7). ОчевНДOJО.
[ HI ( т ) sin(mBfN) ]
1j>F";;lg.I"2F.N1 1+21 IN mBfN .
01"Куда -совместно с (5.33), (5_21) после ДОПУС'l1ИМОЙ при N» 1 ЗЗ1мены: СУ;ЬЫ,f
J.f.Нтеnрала.ми будем иметь
(5.34)
I
[ Ny1 ( 2SiB IcosB )] '
Х..;; (NI)" 1+2 В"
Сд.елав те же, что и при выводе (5.24). DpJr.ближени-я. пмучи'м
x";;YVNпF.t.l3.
(5.35)
в 'Случае L> 1 Rтш' окажется БJLН3КИ'М по СМblCлу Действите.лыю. подста
аив в (5.32) ЗJНа'Чснrие R!l.tRbl. !НаЙденное IНЗ (5.29), и удерживая IВ степеннЫХ
разложениях функции sin х/х члены не выше ItТCpOI'O порядка малости, М'QЖН()
с YQeTOM неполож'И'ТелЬiНОСТ:И RaRr.. прий1"И к оцепке
1j> ..;;2F. (1 + [y I + (у  l)fL] В"f3б}.
Если в (5.34) испольэоваrть то же п,риБJl.ижеНlИе для sinx/x, :из (5.21) ;УIOЛ}'
чнтся epaBeHCТBO
х..;;У",(у, L)NпF.t.l3.
(5.36)
кот.орое срэзу yчmы:вает и результат (5.35). ес.ли IКDэФФиЦ[Нент Xt(Y. L) олре
делить соотношениям-и ",(у. [)y, LI; ",(у. L)[(L+I)yI]/L. [;;;'2.
Проа.наJш,З,и,руем опять .пли KOИiКpereblX КодоВ ра,схождerния IJ'O,.lJ.ученноЙ
оцеJmИ с rютеащиальнЬПМJi rpa'h-ица!dИ уровня Х. в узкой заве. ПООКOJIьку
98
')(I(\', L)x(v, L). rде правая часть .расШiИф.ров3IНЗ в (5.31), 7-0 для всех ЕП
".а OOBe ЛП и РМ .из ТЗlбл. з.з .энач-ення х(у. L) -н потерь V о:дноврем-енно
не оолее 1 дЕ. Но п'р* у.::::;; 1 дЕ зна<чен,ие IКОэффШlllента x(v) в (5_25) iНe меньше
.......{).4 дЕ, так ЧТО полныЙ про,иr;pыш 11 "оказателе Х пар БПФПЕЛ r,JlПОТСТИ
ческоЙ паре с потерям.и Vl ..1.Б. до:ти.rаюшеЙ rpаНrИЦЫ (5.25). !ie превыCJ1Т
,4 дБ.
д..iЯ ТП С .и..1.еа.'1IНОЙ П)"КФ. обрабатываемых СФ. )(1(\'. L)==l я 'Из (5.24),
(536) получается 1  N;:т FDj3\''Х'::::;;V.nFD/З. а так КЗIК при v поряд'Кэ
1 ._ 2 дБ «зз:'юр» между np-ающамн Х в записанном ..1Боfыюм нерз,венстве имеет
ТО же ПОРЯДОК. мож,но считать. ЧТО ;я для этих КО;:{ОВ ре2ервы мИ!Н.ю,lнзаIШИ
уровня ПВФН Б уэкоЙ ,поло:е И'сч'ерпзНЫ lJIрактИ'чеоки до но.нцз_
Ит,к. СУММiИ'руя IНl'OI'И П'fЮВet.'I,еНiНОro З'ИЗJ1иза, можно констати!ровать, что
О\.НОВНЫе виды пар ПДСфильтр. рекоменДОВЗJ8Iные в rл. 2. пом.и'мо пrp'Очеrо
обладают и фJ.JКniчеIКИ ПОТС-НЦИЗ.l:ЬНЫМИ ХЗlра,ктерипиками поме\:QУОТ'ОЙЧ;ИВОI:ТИ
по отношеfЫlЮ к o-тражеНlИЯ-М, ЛОКЗJI,И30ВЗоНl--/ЫМ в си).{мет.р:ичных ДQnлерОБСКИХ
nooо.:-ах
5.2. I(AqECТBO ОБРДБОТI(И ПЕриодиqЕСI(ИХ ДИСI(РЕТНЫХ
сиrндлов в присутствии ПОМЕХ С СОСРЕдотоqЕННЫМ
СПЕI(ТРОМ
Сопоставляя относительные достоинства тел или нных KOHKpeT
ных типов манипулирующих последовательностеIi, нередко прихо-
ДИТСЯ ПрШШ'\1ать во ВНIIмаиие и ТaJЮЙ фактор, как иммунитет к
УЗКОПШ10СНЫМ (сосредоточенным по спектру) помехам_ Общие pe
комендаЦИII по выбору широкополосных сиrналов, обеспечиваю
ЩIIХ маКСНМ8.:1ЬИОС ОС.:1аб.пеllие подобных помех в процессе COr..'l8.
сов анной обработ"и, хорошо известны [13, 14, 72]. Покажем, что
для MHorHX пар ПДСфильтр, оиисаниых В rл. 24, характеристи
"и качества внутрипериодной обработки в присутствии уз"оиолос
ных помех совпадают либо приемлемо близки к потенциальным.
(''Jответствующий ана.qНЗ будет ироводиться в предположении, что
Пnмеха являетси тональной Т. е. немодулированной rармоникой,
а средства, специально ориеитнрованные на подавление cocpeдo
точенных помех (режекторные фи.%тры. авто"омиенсаторы и др.),
Во всех случаях работают одинаково эффективно и потому уровень
остаточных (иескомпенсироваииых) Помех може'! быть оцеНен по
Стеиени их ослабления на этапе внутрипериодной обработки.
Пусть на вход HeKoToporo фильтра внутрниериодиой обработ
кп, описываемоrо вектором Ь, поступает помимо полезноrо пдс
Помеха в ВИ,.1.е rарм:оническоrо колебания с мощностью Рп И Часто.
той f.. Если в ириемное устройство входит кроме виутрииериод.
Horo и фильтр межпериодиоrо накопления, наиболее вредной OKa
>l{СТСЯ так называемая синхронная rармоническая помеха (сrп),
частота которой f.kfNA. kO, 1, ..., совпадает с частотой одной
и rармоиик пдс. Мощность такой помехи на выходе фильтра
I-.. ф , очевидио, оиредеюпся равенством РпФР"IБkI2. в котором
В силу периодичностн ДПФ можно оrраничиться значеииями k
4'
99

из диапазона О. 1, .... NI. При фиксироваино'\l значеиии Р П иа-
ибольшую МОЩНОСТЬ на выходе создаст та помеха, частота KOTO
рой совпадает с частотой rармоники пдс, пропускаемой фильт-
ром с максимальным усилением. Оrраиичиваясь далее paCCMOTpe
нием именно такой наиболее опасной сrп. запишем отношеНие
РФ мощностей пдс и сrп на выходе фильтра в виде
Рф  lа*Ь!'РDI11.I;'.п  Ilbll giyl Ь.I;'п '
rде glIаl12lРп  отиошеиие знерrии одиоrо периода
мощности сrп иа входе, аIБ.12м,,mахIБ.12.
.
Из (5.37) следует. что при gconst РФ зависит от степеии рас-
соrлаеованности пары сиrнал-фильтр 11 неравномерности КОЭффll-
циента передачи фильтра по мощностн, характершуемых соответ-
ственно веЛИЧlIнами " II IIы
2 / /Б.12м , ,.. Так как IIыl//Б.12м,
NI
NI :!: IБ.12/IБ.12 мп "';I, то рф",;g, приче" равенство З.1есь дое-
I =-0
Тиrается только д.ня соrласованных фильтров и КОДОВЫХ последо
вательиостей с равномерш"" ДПФ-спектром (идеальной ПАI<Ф).
Помимо РФ введем коэффициент Qфрф/р (рР,/Рп. Р, 
входная МОЩНОСТЬ сиrНЗ.rIа) I показывающий. ВО СКО.'1ько раз УвС'
лнчивается превышение снrН8.па над сrп в процессе внутрипеРIl
одной обработки. С учетом Toro, что P, IIall 2 v/N, можно заПисать
(5.371
ПДС f
Qф  Nllbll"",.! 11.1;,.  N. (5.381
rде равенство возможно лишь при yvl. IБ.l'м,,IIы
2,' т. С.
дЛЯ соrласованно обрабатываемоrо ФМ ПДС с идеальиой ПАI<Ф.
Соотношение (5.38) есть просто модифицированный в примеиеШ!ll
к сrп вариант общеrо результата, хорошо известноrо В TeopIl"
сложных сиrналов [14. 69].
Поскольку рассмотреиные в rл. 4 ТП обладают идеалыюti
ПАI<Ф и близким к 1 Пllк-фактором, их соrласованная обработка
!llbll2/1 Б. 12M' 1, " 1) обеспечивает предельное отношение вы.
ходных мощностей сиrнала н сrп рфg н близкое к потеицн,
альиому зиачение QN/v. Таким образом, в части, касающейсв
ТП, задача обсуждення уже выпо."нена.
Перейдем к парам БП.ФПБЛ. Подставив (2.15) и (2.11) в
(5.37), (5.38). найдем отношение мощностей сиrнала и сrп иВ
выходе ФПБЛ и значеиие параметра Q при идеальном сжатии:
Рф  (а.l;,п g IIal1 2 , Qф  Nla.I;'" IlIаll'. (5.39)
rде учтеио. что vI, IБ.12м.lсоI2/1а.12мп, причем la.12MK
. 1  1 2
==mlП а" .
.
ДЛЯ БП с ПАI<Ф вида (2.27) соотношение (2.28) дает
la.I"illa\l2  min {I + (L  1) R, + (N  L) R,
1 +L(RlR)Rl' 1 Rl}' (54(1)
100
в частности, при одиоуровневых боковых лепестках ПАI<Ф (см.
(2.30» из (5.40) с учетом LI, R,R следует'
 { 1+(NI)R, RO,
la./;'"illall'  1  R, R> О. (5.41)
ОТVlетим попутно одну деталь, вытекающую из приведенных
ф"рмул и касающуюся лучших мииимаксных БП. Подставив
Rl/N (см. !i 3.1) в (5.41). из (5.39) получим рфg/N. Qфl.
Тем самым обнаруживается исключительно низкая помехоустой-
чивость к сrп. так как наиболее ОПасиые сrп не ослабляются
в ФПБЛ и отношеиие мощностей сиrиала н помехи иа выходе
внутрипериодноrо фильтра оказывается в N раз меньше предель-
поrо. Этот факт в дополнеиие к большому значению потерь '1',
сопровождающих идеальное сжатие мннимаксных БП, CJIужит еще
ОДНИМ aprYMeHTOM целесообразности предпринятых в rл. 3, 4 по.
псков НОВЫХ правил кодирования дискретных сиrНаЛоВ.
1< иным значеииям параметров (5.39) приводит рассмотрение
друrой разновидиости БП с ПАI<Ф вида (2.30)  кодов Зинrера
иад GF(3). ДЛЯ пих из табл. 3.2 и (5.41) прн N» 1 можно поJI)'-
чить R"" 1/9. la. I 2 мп lllаll 2 "" 8/9. что после подстаповки в (5.39)
прпведет к зиачениям Рф8g/9. Q,,8N/9. лишь иа 0.51 дБ мень.
ШIlМ потенциально достижимых.
Для остальных семейств БП, представлеиных В табл. 3.3, па-
раметры РФ н Qф нетрудно рассчитать с помощью (3.22), (5.40).
(5.39). При этом оказывается, что во всех случаях значения РФ и
Qф с."або убывают с ростом n и почти безошнбочно "orYT быть
заменены СВОIIМИ пределами при noo. Вычисленные таКИ\1: об-
разом Зllачення giрфN/Qф IIall 2 /1 а/. I 'ми в децибелах для всех
пар пдс.ФПБЛ, охватываемых табл. 3.3, прнведены В табл. 5.1.
На основании табл. 5.1 можно заключить, что тоrдз, коrда МОЖ..
НО мириться со снижением помехоvстойЧИВОСТИ к сrп относи-
те.%ио потенциальной, иаПРИ'\lер на -3 дБ, приrодны Бсе семейст'
Таблица 5.1. ПОl\ззатели качества обработки БJlнариых последовательностей
в присутствии синхронных f"армонических помех
q 3 4 5 7 8 13 16
v 1 I 4 3 7 4 15
r 1 1 3 2 3 3 7
g Рф' дБ 11 n.51 1,25 0.97 1.85 2,50 1.94 1,16
q 23 g 31 32 47 53 61
v 11 7 15 31 23 13 15
r 6 4 8 15 12 9 8
g Рф' ДБ 11 2.61 5.20 2.73 I 0.56 I 2.83 3.36 5.60
101

ва БП из табл. 3.3, "роме тех. дли "оторых параметры q, v. r об-
разуют ТрОЙI<И 29,7.4; 53,\3,9; 6\.\5,8. В связи с табл. 5.1 виов"
подчеРJ{нем. что дЛЯ ТП с идеальиой пАI\Ф значение РФ предель-
НО велико и потому в ситуациях, требующих максимальноЙ ПОМе-
хоусrойчивости J{ сrп. парам ТП-СФ прпнадлежит приоритет пе-
ред парами БП-ФПБЛ. Сомиительно, впрочем. чтобы ПрОllrрыш и
показателе РФ порядка 0.5 щ 0.6 дБ был значительиым, позтом,
коды Зииrера над GF(3) (столбец 3.1.1 в табл. 5.1) либо БП но
основе ЛП 11 (31,15,8) АРМ (столбец 32,31,15 таб,". 5.1) ВПОЛНе
можно Прllравнять J{ ТП по показателям качества обработки Е
ПрllСУТСТВИИ сrп.
5.3. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ПАР ПДС-ФИЛЬТР к РЕАЛИЗАЦИОННЫМ
поrРЕШНОСТЯМ
Обладающие теми или IIНЫМИ теоретическими пренмуществаМII
кодовые последовательности ВОСПРОИЗВОДЯТСЯ реа.llЬИЫМИ YCTpoii-
стваМII формирования и обработки сиrналов с неизбеЖНЫ\lИ поr-
решностями. обусловлеииыми техиолоrичеСJ{ИМП разбросами. дреЙ-
фами и фЛУJ{туациими параметров деталей н узлов. измеичивостыс
внешних условий и Т. п. rОБОрЯ об оптимальных в определеИНОJl,'1
смысле парах сиrнаЛФИЛЬТРI нельзя упускать изпод контроля
возможность нивеЛllрова НИЯ ИХ ДОСТОИНСТВ за счет эффектов
связаННbIХ с названнЫМи поrрешиостяМИ. Особая предусмотрн-
те.1]ЬНОСТЬ должна проявляться тоrда. коrда речь идет о показз-
теляХ разрешения сиrнаЛQВ в большом динамичеОi:ОМ диапазоне,
поскольку аппаратурные поrреШНОСТII MorYT вызвать появлеНllе
паразитных «теХничесКих» боковых лепестков вполие ощутимоrо
уровия. Естественно поэтому что с точки зрения задач разрешf'
НИЯ предпочтительиыми должны признаваться пары сиrналфильтр.
которые при прочих равных условиях ианменее крнтичны к ап-
паратурным поrрешностям, т. е. иМеют минимальные теХНllческие
боковые лепесткн.
Анализ последствий иеточиоrо формирования законов моду.'1Я
ции дискретных сиrналов явиЛся темой мноrих публикациЙ (ем..
например. ссылки в [33] н др.). В частности, подробно исследо-
ваны случаи. коrда моделью поrрешностей ВОСПрОIIЗВОДИМЫХ кодо
Бых СНмволов может служить ПОС.'1едовательность неIшррелиро
ванных случайных величин. Здесь же имеет сМЫсл привести ОIIен
ки уровней технических боковых лепестков, обусловлен ных боol'Т('L'
типичной для формирователеЙ двоичных и троичных сиrналов раз
иовидностью коррелированных поrрешностеЙ  отличием элемен-
тарных радиоимпульсов. ВОСПРОIIЗВОДЯЩПХ кодовые символы + 1.
от противоположных, вызванным разбалансом амплитуд н откло-
нением разности начальных фаз от 3t [33].
Названные эффекты удобно описывать синфазноЙ " и квад-
ратурноЙ Е2 относительными поrрешностями, считая. что кодовые
снмволы .+1 н I заменяютси соответственно на 1+'I+j'2 11
\+E,+JE2. При этоМ оТНосительный разбаланс амплнтуд н от.
102
J{лонение разио сти иачальн ых фаз от 3t и выразятся как [ У 11+:
+ El)'+'2' V (IEI)'+82']/2 и arctg['2/(1+81)]+arctg[,,/(I
............81) ]. что при малых еl и Е.2 составит соответственно BI и 282.
Оrраничимся далее рассмотрением только бинарных последо
"ательностеЙ (распространение результатов на ТП с малым пик-
фактором почти тривиально). Для кодовых символов ие; БП, ис-
каженных поrрешиостями, можно записать
"",(a,+E,+j,,). i .... I. О, 1..... (5.42)
е U;E{ + I}.
Как показывает (5.42). влияние поrрешностеЙ на БП ЭJ{вива-
леитно добавленню к ПДС немодулированной rаРМОИИJ{Н. т. е.
сrп с частотой. равноЙ иесущей ПДС. Поэтому можно заранее
предсказать. что технические боковые лепесткя, связаиные с pac
сматриваемым видом поrрешностей, окажутся тем меиьшимн. чем
меньше модуль коэффициента передачи внутрипериодиоrо фильт,
ра на нулевой частоте 11101. Продемонстрнруем. в частиости, до-
BD.lbHO любопытныЙ факт: рассоrласованность ФПБЛ с БП из
rл. 3 служит позитивным фактором. снижающим критнчность .
п\...решностям по сравнеиию с ТОЙ, которая была бы свойственна
соrласованным парам ПДС-фильтр.
Обозначим через Ce.j зиачение iй комплексной амплитуды на
выходе внутрипериодноrо фильтра. на входе J{oToporo действует
ПДС с кодовой последовательностью (5.42). Имеем (см. (2.1»
NI Nl
Се'   щ+, ь; + (в, + j '.)  ь;  lIallllbll R12 (i) + (в, + j в,) .
1==fJ 1'==0
Счнтая " и В2 некоррелированнымн и имеющими нулевые сред.
ине. для средией мощности iro боковоrо лепестка I Ce.i 12 подучим
ICeiI2 Nllba'IR12(i>l2+B'lbvl"
rдe через 8' обозначеиа сумма средннх квадратов сннфазной и
квадратурноЙ поrрешностей (8' в', + в'2) н учтено. что при aiE
E{::I::I} Ilall'N. Сумма всех ICei l' по i от \ дО NI даст объем
иеопределенности над осью т, та" что среднеквадратнческиЙ уро.
Вень Х. БОJ{ОВЫХ лепестков (с учетом техническнх). нор"нрован-
иых J{ номинальному (вычнсленному без учета поrрешностеЙ) ос-
новном)' IcoI2lIaIl2I1bI12IR'2(0) 12Jlillblll/1'. можно определить ра-
венством
( 1 N'
X:l' N I.e, IR , .(i>l'+
e1il1IZ. ) .
N Ilbll'
(5.43)
Как видио, величина х.2.е. содержит две составляющие, первая
из которых не связаиа с поrрешностями и целиком определяется
«теоретическоЙ» ПВКФ пары ПДС-фильтр, вторая же, иапротив.
характеризует техннческие боковые лепестl<И. Формула (5.43) по-
казывает также, что появления технических боковых лепестков в
103

принцнпе можио нзбежать, еслн весовые коэффициенты фильтра
выбрать так, чтобы их сумма (постояниая составляющая Ь о ) бы
па равноЙ нулю. При этом. однако, первое слаrаемое в скобках
(5.43) обязательио окажется иеиулевым, поскольку обеспечить pa
веиство R.,(i) иулю при всех iФОmоdN можио лишь при paBeH
стве модулей всех произведеНIIЙ д.Б., kO, 1, ..., NI. В свок
очередь удовлетвореиие последиеrо условия означало бы (при по
терях "1'<(0), что 1501>0 и техническиЙ боковоЙ лепесток ОТЛIl
ЧеН от нуля. Таким образом, МОЖНО, манипулируя спектраЛЬ:ЫМII
компонентами а А . 511.. управлять относительным вкладом в Х. r: НО-
Минальной и технической составляющих. Это дает ВО3МОЖНОСТL
сформулировать задачу совместиой оптимизации ДПФ-спектров
a  . b  k  O 1 N1 ( па р ы сиrнал- ф ильт р) из условия минн
, 11., . ...., - l
мума суммарносо средиеквадратическоrо боковоrо лепестка Х.
при оrраничеиии сверху на потери у. Поиятно, ЧТО при зтом син
тез сразу сориентироваи на мииимизацию ущерба от реализаци 
оивых иеточностей и получаемая в результате пара окажется на.:
иМенее чувствительной к ТаКовЫМ. Оценим ВОЗМОЖНОСТИ ПОДИОII
оптнмизацни для соrласованных пар, т. е. косда y 1, R., (1) 
Ra(i) (ПА!(Ф БП {а,» и все Ь , с точностью до общеrо коэффи.
циеита повториют а,. При таких подстаиовках (5.43) дает
1 N1 . 82 IПоl.
X; NI , R(IJ+N 
 ( N'!"a.I' /I 'la.J' I '  1 ) +e'laol' / 'la.I', (5.44)
Nl k--=O 11.'='0 11.==0
rде последний переход сделан с использованиеМ теоремы Парсе-
ВалЯ. ..
Примении стандартиые методы поиска экстремумов фУНКUИII
Мноrих перемеиных, МОЖИО показать, что минимум (5.44) дости.
rается иа кодовых последовательностях, у которых мощности всех
ДПФ-rармоиик, кроме постоянной составляющей, одинаковы:
lд.I'л, kI, 2, ..0' NI, l до l 'л[2N(NI)Е']![2N+(N
1)e'J при e'/N2/(NI)' и до 'o при e'/N2/(NI)'. rne
лнормирующая константа. Значеиие этоrо минимума равно
(e'/N)[I(NI)'(e'/N)/4], если e'/N2/(NI)', и 1/(NI)
если e'/N>2/(NI)'. Следовательио, при e'«2JN для соrласо
ваниых пар БП-фильтр иМеет место иижияи rраница
X;;. e'/N,
(Б.45)
котораи, ка" леrко видеть из (5.44) ДТИI.:ал:сь ы для любоii
БП с равномерным ДПФ-спектром la.1 Iaol ,kI, 2,... Nl
(идеальиой ПА!(Ф), если бы таковые существовали. ,
Вернемси теперь к соотиошеиию (5.43) и оцеиим значеиие х-,
дли иар БП.ФПБЛ из rл. 3. Очевидно, пр,: этом .иомииальная со-
ставляющаи х'. равна нулю, так как R12(I) o, '*0 mod N. Поэ-
104
тому, рассматриваи только последовательности с ПА!( Ф Ra (т)
вида (2.27), из (2.11), (2.15), (2.28) Нмеем
)'e2IN(J'iioI2:llaI12)  e'!N[1 +(L  1) R, +(N L)RI. (5.46)
ДЛЯ БП с одноуровневыми боковымн лепесткаМи ПА!(Ф [ 1 н
x;e"N(1 +/N  I)R].
Если rоворить о кодах Зинrера над GF(3), то дли НИХ пр"
больших длинах N -R"" 1/9 и x'.",,ge'/N', что соrласио (5.45) в
N/9 раз меиьше, чем было бы дли оитимальной в смысле мини-
мума х'. соrласованной пары БП-фильтр. Таким образом, внутри-
периоднаи обработка кодов Зинrера над GF(3) с помощью ФПБЛ
значительио устойчивее к поrрешностям формирования сиrнала,
"ем соrласоваиная обработка любой БП. Аналоrичный вывод спра-
ведлив н дЛЯ БП на основе ЛП и РМ из табл. 3.3. Так как дли
них Lv, а R>O. то при N» 1 преобладающим в квадратных
скобках выражеиии (5.46) ивитси слаrаемое (NL)-R""NR и вся
праваи часть (5.46) окажетси меиьшей дроби e'N в NR раз. На-
пример, дли БП, у которых тройка q, v, r есть 8,7,3, NR""N/16;
косда q, v, r есть 16,15,7, NR""N/64 и т. д.
С противоположной картиной пришлось бы столкнутьси при
поиытке реализовать ФПБЛ дли любой минимаксной БП на ос'
иОве АРМ (скажем, двоичной М-последовательности). При этом R
lfN, та" что из (5.47) получаетси x'.e'. Таким образом, ни
о какой компенсации в ФПБЛ поrрешностей формироваиия кодо-
вых символов rоворить ие приходится и потому примеиять БП на
осиове АРМ в паре с ФПБЛ нецелесообразио не только в связи
с Низкой эиерrетической эффективиостью (см.  3.1), но и по при-
чине резкоrо завышения требований к точиости воспроизаедения
закона манипулиции ПДС.
Интересно оцеиить количественио диапазои допусков при фор-
мировании "одовых сиМволов БП. Если например. уровень боко-
Boro лепестка (с учетом технической составлиющей) х. ПДС дли-
ны иорядка N"" 3.10' не должеи превышать 60 дБ, то при сос.
ласованиой обработке, как вядно из (5.45), требовалось бы удер-
жание е' в пределах З,IО'. Это означало бы  при распределе-
нии Bcero допуска поровну между синфазной и квадратурной по.
rрешностями  недопустимость амплитудноЙ разбалансировки,
большей 1,2%. н отклоиеиий полиоrо каrчаииИ фазы от n более чем
на 1,5". При использовании же БП Зииrера над GF(3) примерно
той же длины допустимо увеличение е' более чем в 30 раз, так
Что приемлеМыми оказываются расхождение аМПЛИТУД вплоть до
7% и фазоваи поrрешность до 8", Напрашивающийси из сопостав-
ления этих цифр практическнЙ вывод должен. однако, воспрнни
Маться с известной осмотрительностью. поскольку ощутимое смяr
чеиие ДОПУСJ{ОВЫХ оrраничеиий на поrрешиости манипулиции ПДС
дли БП Зинrера может обернутьси существениым ужесточением
требований к тоЧиосТИ воспроизведеиии весовых коэффициентов
579 105

соответствующеrо ФПБЛ. Чтобы в этом убеднться, достаточно .'
в (5.43) прннять за днсперсию поrрешностей весов фнльтра, за.
меннв одновременно 111012 на ,a o I 2 . Torдa вместо (5.47) получит-
ся X2.[I+(N2)R] (.2N/llbI12)/N(IR), что длн прежннх зна.
чениЙ N и хе даст верхнюю rраНIIЦУ допустимой средиеквадр.аТII
чесКОй отиоснтельной поrрешностн воспронзведення весов Ф ПБJj
порядка десятых долей процеита. Таким образом, преДПОЧТlпель-
иость пар БП 3ииrера-ФПБЛ с точки зрения влняння аппаратур-
ных эффектов безоrоворочна лншь Torдa, коrда (как, скаже",
прн ЦIIфРОВОЙ реалнзацнн ФПБЛ) нмеются rараитни отсутствия
заметных отклонениЙ отношения весов фильтра Ь/Ь' ОТ знач('
ния, следующеrо нз формул (3.30) (см. также табл. 3.4).
f ЛАВА 6.
ОПТИМАЛЬНЫЕ АНСАМБЛИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ДИСКРЕТНЫХ СИfНАЛОВ
6.1. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА АНСАМБЛЕП ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ДИСКРЕТНЫХ сиrНАЛОВ
в отличне от rл. 25, rде речь каждый раз шла о единствен-
ном изолированно рассматриваемом ПДС, объектом виимаИl'"
здесь будут ансамблн (миожества, семейства, иаборы) кодовых
последовательностеЙ, лучших в том смысле. что манипулирован
иые ими ПДС оказываются максимально различимыми друr с дру-
fQM при всех взаимных временных СДБиrах. Подобные ансзмблп
необходимы тоrда. коrда в общеЙ полосе частот ПРИХОДИТСЯ OДHO
временно передавать шумоподобные сиrналы ОТ мноrих несинхро
низированных или ПРОИ3ВОЛЬНО ориентированных в пространстве
иСТОЧНИКОВ. В разнообразных системах связи, радионавиrации 11
пр. [13, 14, 62, 64, 72], использующих этот пр"нц"п, саШЩИОНIlРО-
ванныЙ пользователь. принимаюшиЙ суммарный rрупповой CHrH8.1
всех передатчиков системы, имеет ВОЗМОЖНОСТЬ доступа к IIНфОр
мации, содержащейся в IIндивидуальном сиrнзле заинтересовав
шеrо ero I.Iсточника, за счет так ИЗЗЫвэемоrо кодовоrо разделения,
при котором в роли адресноrо признак а каждоrо передатчика вы.
ступает закон манипуляции (кодовая последовательиость) излу-
чаемоrо ИМ сиrиала Выбирая кодовые последоватеЛЬНОСТII для
всех источников, ВХОДЯЩИХ в систему этоrо типа. естественно CTpe
МИТЬСЯ к минимиззции взаимных (виутрисистемных. перекрест
иых) помех, т. е. Нежелательноrо просачивания иа ВЫХОД прием
Horo устройства, иастроенноrо на сиrнал K3Koro либо KOHKpeTHoro
передатчика. сиrналов остальных передатчиков.
Если rОБОрНТЬ об ансамбле ПДС одной и той же длииы N, СЧII-
тая любые отиосительные временные сдвиrи сиrиалов равновоз
можными, а частотные расстроЙки пренебреЖIIМЫМН, то миними-
106
sация взаимных помех сведется к минимизации сходства каждоЙ
нз кодовых последовательностей со всеми циклическими СДвиrами
остальных. Помимо этоrо. традиционно нежелательно и заметное
сходство любой кодовой последовательности с собственными l1ИК
JlнчеСКl'IМИ сдвиrами на т позиций, rде тфО mod N, так как оно
затруднило бы выделение ПДС на фоне мноrолучевых помех н
увеЛИЧIIЛО риск принятия боковоrо .пепестка за основной. Такнм
образом, среди ансамблей заданиоrо объема V (т. е. включающих
l' кодовых последовательностеЙ) самым лучшим можно было бы
СЧllтать тот, в котором ПВК:Ф любых несовпадающих последова-
тельностей равиа нулю при всех сдвиrах т, а ПАК:Ф .1юбой по-
следовательиости не имеет ненулевых боковых лепестков: Rkl(т) ==
o, k=l=l; R/I(m)O, тФОmооN, rде k, I1, 2, ш, У. Прн У>I
ансамбль с подобными своЙствами является, конечно. rнпотетиче
ским. поскольку ero реализуемость означала бы существование
VN>N ортоrональных векторов в N'MepHOM пространстве. Поэто-
МУ. обозначив максимальныЙ по ансамблю боковоЙ лепесток
П'-\К:Ф через Ra,, тa IRIl(m) 1, максимум по ансамб-
1==-1. У. m==l. NI
лЮ выброса ПВКФ через R.,, тах IRkI(m) 1 и, наконец, наи-
k#-I.m
большую из величин RaM, R." (максимум корреляциОliliоео выбро-
са) через R,,max{RaM, R.M}, назовем оптимальным 110 МИlIимакс-
иому критерию такой ансамбль кодовых последовательностей в
котором величииа RM достиrает МИНнмума, возможноrо при задН
ных объеме V и длиие N.
Естественно задаться вопросом, до KaKoro же предела во3мож
но уменьшен не R" при фиксированных V I! N. Простейшая (но
тем не менее точиая в определенном диапазоие V н N) нижняя
rpаинца RM [33, 50, 60] может быть найдена построеинем оценок
СИlfЗУ и сверху суммы по k, 1, т квадратов модулей отсчетов
ПВК:Ф R.,(m). Примеияя теорему Парсеваля, неравенство Буня-
oBcKoro  К:ошн и вновь теорему Парсеваля, для кодов с произ-
В()льным комплексным алфавнтом имеем
v NI 1 NI V
  IR..(m)12  
k. '1 т N s==o k. 1==1
I NI I v  ' " I V N I "
   la,.I' :::;. 1  i 1;;;'.1'  У2.
N  10=1 lIa,II' ""'" N 'I...o 11з,11'
С друrой стороны, та же сумма не больше чем V+(V'NV)R2M'
ОТкуда следует, что V+(V2NV)R'M;;'V2 и
R;;'(VI)/(VNI). (6.!)
I\aK можно вндеть нз (6.1), в ансамблях достаточно большоrо
объема (Y 1) недостижимы значения RM' меньшие I/V N .
Прll V>N известны более точные rраlIИЦЫ R" в ансамблях
:омплексных кодовых последовательностей. Кроме Toro, зиачение
5тенциальиоrо минимума RM существенно зависит от априорных
107
1;#(sI2I a ' s I 2
lIа,1I 2 l1з,II'

оrраннчений, иаложениых на алфавит кодов. Не yrлубляясь в де-
тали из-за их сложности [50], приведем здесь итоrовые rраницы
ЯМ дЛЯ тех диапазонов V и тех алфавитов, которые будут фиrури-
ровать далее [50, 60], а именно:
в ансамблях БП с алфав нтом ::1::1
j }]N . V N.-\ [:' 1:%;;V:%;;(N'Z+2),
R",;;'
...!..... ] 1 /3VNN'2V [ + N'N+2 ,;::v,;:: N'3N+ 8
N' Vl N' 2N  """'=:: 6 t
(6.2)
rде ]Х[+Nближайшее к х целое, не меньшее х и ИМеюшее ту же
четность. ЧТО N;
в ансамблях мноrофазных последовательностеЙ с алфавитом
exp(j2"t/s), rде tO. 1. .... s'. а sфиксированиое целое, боль-
шее двух,
I
VI N'N+ 1
. l:%;;V:%;; ,
VNl N
(6.3)
2VNN'V
N'(Vl)
N'N+ I ,;:: V,;:: N'3N'+5N4_
N ...., "" 2N3 .
в ансам блях с произвольным комплексным алфавитом
I V1 . l:%;;V:%;;N,
VNl
я; ;;.
2V(N+l) N';::V,;:: N(N+I) .
(V  I){N + 1)' "" "" 2
Верхняя строчка соотиошений (6.2)(6.4) повторяет правую
часть (6.'), с ТОЙ лишь оrоворкой, что В (6.2) учтены обязатель-
ные ДЛЯ БП целочислениость NR,,( и выполнение сравнения
NRhl(т);e;Nmod 2.
Наряду с неравенствами (6.')(6.4) интересны и двойствен-
иые к инм, устанавливаюшие верхний предел объема ансамбля V
при фиксироваииых длине N и макснмуме корреляционноrо вы-
броса Ям. Стремление иметь ансамбли по возможности большеrо
объема естественно там, rде требуется маКСИМlIзировать число ак-
тивных абонеитов, варьировать излучаемые ПДС дЛЯ защиты цир-
кулирующей в системе информации и т. д. Разрешив (6.2)(6.4)
отиосительно V, будем иметь:
дЛЯ БП
r 1  (JNRMlt )2/N'
I l(JNR",ltY/N
V :%;; 1 N'  (JNRMrt )2
l3N2(JNRMlt)2
(6.4)
O:%;;R; :%;;(1V2)iN2.
. (6.5)
(N2) ,;::Jt.,;:: (3N8)
N2 -..;;;::;.м""<::::;: JV2.. J
108
для последовательностей с алфавитом ехр (j2"i/s).
r lR O,;::R;,;:: (NI)
I lNR;'  -...:::: N2
V:%;;\
I N'(lR)
l 2N1N'R
N 1 2 2N'5N+4
<R M :%;;
N'(Nl)
(6.6)
N'
для произвольиых комплексиозначиых последовательностей
r 1R2 2
I М , O:%;;R M :%;;
1NR2
\'';:: ! м
"" I (N+IJ(1R;)
l 2(N+ l)R
1
(N+I) .
(6.7)
1 ,;:: R2,;:: 2
, (N+l) "" м"" (N+2)
Уместно теперь вернуться к вскользь сделанному допущению
о пренебрежимости частотных расстроек сиrналов и кратко обсу-
ДИТЬ вопрос о ТОМ, каким образом отказ от Hero может ПОВЛИЯТЬ
иа подход к оптимизации ансамблей ПДС. При ощутнмых частот
ных рассоrласованиях мероЙ сходства. и различия сиrналов слу-
жат, конечно, не ПВI(Ф, а ПВФН. Тем не менее и в зтом случае
стремление к МНННМИЗ8ЦИИ RM можно признать вполие aдeKBaT
иым. Дело в том, что уровень ПВI(Ф характеризует зффект воз-
действия «неПОДБИЖНОЙ». «статичноЙ» ВИУl'рисистемной помехи.
особая опасность котороЙ связана с неизменностью. реrуляриос
тью, нестатистическим характером ее влияния. Напротив. выбро
сы ПВФН «вдали» ОТ оси запаздываиии. повидимому. можно счи
тать менее опасиыми. поскольку они отвечают взаимиоЙ помехе.
«скользящей» относительно полезноrо сиrнала и оказывающей
эффект, близкий к статистическому (поддающемуся в той илн
иной мере сrлаживаиию). Немаловажно и то. что минимизация RM
автоматически rарантирует удержание средиеквадратическоrо
уровня ПВФН в симметричной доплеровской полосе ниже некото.
poro предсказуемоrо предела. Пусть, как и в  5.1, w ]FBN[
полуширина доплеровской полосы в числе элементоВ разрешения
110 частоте. Тоrда для kй и lЙ последовательностеЙ ансамбля
объем неопределенностн ч' kl В полосе можно иаЙтн как
w NI I ( s )1 '
"'"    R. , т, NA .
s==w
Внутренняя сумма здесь может быть выражена через k-ю и
-ю ПАI(Ф. после чеrо получнтся
NI
"',,  R..(т)R,,(т)
......,
sin{(2W+l)m1tf N )
sin (т n/N)
109

Суммирование этоЙ величины по k н 1 приведет к соотиошению
v NI I v l ' siп [(2W + l)mnIN)
 1JI.!  R..(т) . (/N) .
k, 1==1 т==О k==1 SJП m:п:
Если RMY c/N при некотором с>О, то и IR..(т)IY c/N .
тФОmоdN для всех k, а тосда найденную сумму леrко оценить
сверху и снизу с помощью тех же приемов. которые в свое время
привели к неравенству (5.7). Б результате после вычитания из
оценок Toro, что fJ,aer вклад от осиовных лепестков ПАКФ. и дe
ления на суммарное по всем парам последовательностеЙ число TO
чек в доплеровской зоне за вычетом Чllсла V основиых лепестков
ПАJ<Ф «2W+I)NV'V), при N, У»I придем к следующим
rраницам среднеквадратическоrо уровия Х ПБФН в рассматрива-
емоЙ зоне:
{1 c[l x(W)I}flV ";;Z',,;;{I +с[l x(W)] +c/(2W + 1)}/N, (6.8)
сде ветlчина x(W)  lim x(N, W) уже встречалась в  5.1 в
N--+oo
связи снеравенством (5.7). При W;;;'l х(W);;;'О,9З (см. рис. 5.2).
так что x2 (1 +О,4с)/М и непревышение корреляцнониым выбро-
сом уровн я yCfN ока зывается достаточным для неныхода Х за
предел V (I+O,4c)/N.
J<poMe TOro, поскольку с ростом W x(W) приближается к еди-
нице. диапазон В03\fОЖНЫХ вариаций х 2 . начиная с Hel{OTOpOro
значения W. становится преиебрежимо малым. Так. для мноrих из
рассматриваемых далее ансаvrблеЙ с близко к единнце и даже при
W'l, O,93/Nx2I,4/N, т. е. маиипуляцин тонкой структурой ко-
дов MoryT изменять среднеквадратическиЙ боковоЙ лепесток в дo
плеровской полосе не более чем иа 1,8 дБ. Если же, например.
W  10, различие между rраннцами в (6.8) уменьшнтся до 0,4 дБ.
Из зтосо следует, что контроль блнзости фактическоrо значеиня х'
к нижней сранпце из (6.8) н конкретных ансамблях. приемлемых
в MllНlIMaKCHOM смысле. может иметь оправдание разве что Д..'lЯ
зон относительно небольшоЙ ширины.
Далее будут рассмотреиы иаиболее интересные при меры из-
ВестнЫХ в настоящее время ансамблей, состоящих из последова
тельностеЙ с единичным пикфактором и нмеющих максимум KOp
реляциоиноrо выброса RM. близкий ИJ1И точно совпадающиЙ с rpa
ничными значениями, предсказываемыми (6.1)(6.4). Попутно в
меру надобности будут коммеитироваться и соотношения между
фактическими значениями V. Х в этих ансамблях и соответствую
щи ми rраиицами (6.5)(6.8).
6.2. АНСАМБЛИ ПРОСТЕПШИХ мноrОФА3НЫХ
ПОСЛ ЕДОВАТЕЛЬ НОСТЕП
Э11ИМ lНазва.н.яем rOбъeilljlИlены ансамбли с а 'IфавитOIМ ехр(] 2nt/s). t==O, 1.
.sI. .s  некоторое uелое, интереаные Cl\.opee в 1'оеретоИческом, нежели в прLИJК
,I13:.lHOM Ql'IНQШенин нзза Toro. чт.о для iНИХ приемл€),(о БОЛЬШJIе .значен:ня объе
110
МОО (Ч'111ла .последовательностей) ДОС"ЛИrзются JlЯШЬ щm 'ПРОПОРЦИi01lВЛЪНО БОJIЬ
Пl1Нх объемах .алф8iВlЛта Ма IJlоследо:вз'телыlатей..
Ансамбли последовательностеА квадратичных вычетов. Предложено Be
CKOJIЬK-D МQ..'];ифИ'кац:яЛ мнoroфа..з.ных ансамблей, в .коroрых нвiII8лblIыe фазы им
пульсов ПДС !Мсняю1'СЯ по iКвщз.РЗТlИЧНOМУ закану [13, 14, 73] Ра'СClМО1'р'ИМ ."I:JIЯ
ПрJlмерз одну IПЗ -наибо.лее на,rлядных.
Пусть kя ,пос;reДfJвательность -сat:бля образуется по пра:вя.лу
аА'  ехр (j 2пki'fN).
(6.9)
f"де i==....I,O.I,.._,N  Н8четно; k==I.2..... V. а У+I  наименьший простой
.делитель N. С'Т..1'нчныJ:i от единицы. HeTpyДiНO видеть. "l'OO ,.1.JIИНЗ любой 113 после
ДQоательн'остей (6.9) ра,эна N и ЧТО
IR.,(т)1  I +  lexP{j2n[(kl)i'+2kimJ/N) I .
'
В силу нечетности т и Toro. что (k. N) =:: 1. 2kтфО mod N при всех тф.
ФОmоdN. Поэro"у R..(m)O при mФОmоdN, т. е. ПАI<Ф любой после-
.доватeлыtо...J1И раroм:а'11рн:вземоrо aLR'Сьбля :идеа.lJЪна. При k=l=-l и любом т
сумма в (6.10) есть известная сумма raycca, аБСОJIюnюе зваченве которой
все,,,а равно y N [1, 15], TaiК '<1'0 IR..(т)II/VN н для """''''''ума корре-
.пяциошюro выIросаa получа€я R.I(=::I/V N.
Сопоставляя значения парамеТРОБ RM н V ансамбля (6.9) с предельно
JJ,'QiCТИЖiИМЫШf, ilI.ел'ОСообразно ПОЛЗl1а'Ть дJtИ!Ну N npocтым: числом, 'Так 1К8IК при
:ЭТОМ объем ансамбля оказывается наибольшим (V==Nl). Прн V=::NI<
< (N'lN+I)iN Bepwee неравен.ство в (6.3) .дает следующ ее btИiН!ИМ&/lblюе
значение k-оррелЯЦИ DmlОro выброса: RMrp """I/t! N+l+I/(N2). Karк :IЩД!llО. O'Т
ношеНIНе RN/RM['p===V [N+I+I/(N2)J1N -при Noo стреМl1l'СЯ к е.Д;ИШМЦе, что
.овидетс.'lЬСТВует об ЗJCИ'М'I!'Тотн;чеокой ОII"J1ИМальности ансамбля (6.9) в смыcnе
iLJ иt.\<Iаh."CНOrО ,к'pI{терия iК8Jче.C'I':ва.
Gравн.им теперь ф3lК"I'ИЧeqкое ЗНЗlчен.ие объема alH-са'мбля (6.9) с IIOтенn:иа.лъ
FO возможным (V rp ) при значеннв !Кqpреляu.ионrнo.rО выбр'Оса.. lНМеющем место
н деЙС7ВК7eJ1ЬНОСТИ (Rиl/V N) . Т,к ""'к (NI)/N'<I/N«2N2------5N+4)1
/Л (NI), rи.з второй cnpок:и (6.6) ЛOJIучаем Vrp=::,N, откуда следует, :что
V 1 /V==N/(NI) также прнБJ!нж,зется к е;шв.и..це по мере роста N н. значит.
..H зМ\бль (б.9) асИМIП'OIТНЧ{"('JКИ ОП1)имаЛeJ{ .н по .КJ.рmерию объема nрiИ оrpaiНlИ
чешlO'-f максимуме коррелЯllПОНRОro выброса RM.
Ансамбли последовательностей кубичных вычетов. В ансамб.'1е тзкоrо ТJша
(6.10)
а,,ехр{j2п[iЗ+(kl)iJ/N), '., 1.0,1,...,
(6.11)
("де k===II,2..... V; Л.5  драстое, а V=::N [73]. При этом. 'КaiК лeмro прQБе4
ряетсft. Rkl(т) для всех тф-О mod N оказывается равной (с 'юЧ'Ностью до
lюэффиuиента IIN) суМме laycca, в при т == О mod N н k=l=l  нулю. Поэтому
ы== I/)I"N: что ори V=::,N coвnaeт с 1'p3IН'ИЧiНЪLМ значением Rи ,"р""" I/J,/N, полу-
.,аемым 0113 (6.3). АнаJlOf.JllllilЮ V==N в тоЧIJ:fЮIQ'М 'P3IВНo значен.ию Vrp:::::;:N. по.лу_
чаемому !из (6.6) при RM""" I/V N. Следовательно. аН'сам'бд'и 1I10следоваТеЛbllOС-
теА куб.пчных вычетов троro OIJ'ТН'MaJlliНЫ !в <"мы;:-ле и М1IiНиму.ма R.. при фик.
<"ИfЮВaIIOНОМ объеме. o}f !М'8%оимума V tПpИ fOl1.Р3IНJfЧен:ии иа RJI..
111

Ансамбли мноrофазных поспедоватe.nьностей степенных вычетов. Пусть
р== VN + 1  простое Ч<ИСЛО. 3 t 'н l3==t v  Dlр.I04IНт.ивные кор,НИ из еднiНоИЦЫ
степеней p1 и N в поле GF(p). Пусть. kpOMeToro, элементы '. {==О.1. .... NI,
об.ра.зуют (р. N. Л) РМ. TorAa в ЗlНCа.м6ле ... ПОСJlедовательностей ДJ1Ш:IЫ N. 06ра.
зованных по правнлу [73]
a..exp(j2п.llp). ' ....  1.0.1 ..... k 1.2.... . V. (6.12)
иасим}'м коррелЯlJ.JЮнноrо выброса RM==Y (II/V + I/VN)/N. в настоящее вре-
мя неизвестны РМ BblqeTOB степенен. иных. чем два. четыре и восемь [71].
поэтому .1Iож.но rоворить JIlИШЬ об а!Н'Самблях ЭТDro "J"iFIIПа, состоящих .из V == 2
4. 8 пос.ле:.цоваТeJIьнос:тей. .
Ilоло"",,". к п!""меру, V2, ИЗ (6.3) получим R2..r.1/(2NI). откула
IЩдiН{). что R",i R... ..Р.......I с -ростом N. С Д'Р}"I'ОЙ IC'ТОрOOlы. при эначен.н.и RM, paB
HOk ф3lКт,нчоок'ОИу. 'Из (6.6) вытекает V2+1/N. т. е. Vl'p2. He7pyдrнo п<жа
зать. OIJТO iН .при ОСТa.lIЫНЫХ !Названных значениях V семеЙiства п(}Сле.дов'ателъ
ностей .степенных вычетоо ас..имптотичecIКiИ ОП11ИrмаЛbRЫ по JIOКаза7eJIЮ RJI. п
cтp'Qro ОП1'ИМaJlЬiНы в ('..Мbl'Cле rM-3IКСИМ}'iма объема при О'J'раmrчснки на RM.
АнсамБJJИ частотно сдвинутых Мпоследовател"нос.тей. С ПОМОЩЬЮ Bыpa
жения (2.28) МОЖiНО замеwlТЬ. что для JIюбых БЛ с oдв:oypoвнeBЫIМ:If ООковыми
пепестами ПАКФ. р8IВПЫМrИ IJN. осе !Компоненты ДПФ по абсолюТНiОМУ
значен,ию диrна'К(lВЫ .н !ИМеют 8Мшmry:ду 11 N + ]f N. IIOроме постоsmшой состав.
JIяющей, абсолютное ЗНзчен.ие КО-ropoй iМeHЫIle в равно I/N. Это яамюд.f8Не
позволяет .с.КOrЖ:'Ilруи.ро.ва1Ъ a!НIC3IМбль !из V==N 'Мноrофазных 1J0000едOlВЗiТельнос
7еп, в оооторо:м kя поспеДOlВа'ТеЛbl:ЮСТЬ ЗВJД3е1'1ся ,paBeflCТJIOМ
a..a",exp(j2пik/N). '.... I,O.I,.... k 1.2..... V. (6.13)
('не aOi  iй элемент ДВiО'ИЧНQЙ M-IIIоследова-reJlЬНОСТ>И {di} ДJlJfiНЫ N. npеобip.а
3ОJ3.ЗlННон к а..тфа:ооту {::t:I} в соотвеllCТВRИ с пра.Вil'.лом aOi===(I)di. ТаосQЙ 31Н
сз-мбль .м.оЖiНО .УЮСТрОН1'ь, оКонечно, лишь .орИ тех длинах. !lLpIИ которых сущест
вует !l"ВQlичrна:я М..onоследовательнQCТЬ. 'Т. е. iПplИ N===2nl, rле n  натуральное.
ПрaIК'Т.ичесК'и ПДС. маIНИnYЛ'и.ро.8aroныЙ kй пос.лед'оватьностью (6.13).
М{)JfИЮ фОРМ'и\рО'Вать, с.дmиrув IЮ частоте на k/NA rц .ои.rнал "с :код.овой ПOCJlе
дователыюстью {UOi} [33. 77] (в !р3IВJЮН .мере зто справедлiИВО и для ПOCJlе
д-овательностей п<убвч-ныx Iвычтов).. Поэтому семеЙrC'т:Ва (6.13) м можно пазВ.Э7Ь
ансамблями чэ.сТOtlНО--<ОДRИ!Н,утых М""IIо;:,ледовательностей.
Очевидно. в аll'СЭlМме (6.13)
IR./(т)1 I+ %,'ao,a o/ + т ехр P2пi(1) J I
If, rпоакольку последоватеЛ:ЫНОСТЬ йО'йЩ+I'IJ. i==.... I. 0.1. ..., прм любool т=l=
O mod N ЯВJ1яется 'Сдв.mнyroой .копией М..JJ]lоследователыности {йtli} 13, IЗ. 61].
обnдД-зющеи. ,разумеется, одноуровневы,Ми iSоковыми лепесткамв ПАКФ Rc::::1/N
j 1, k/. т == О modN.
I/N. k/. т>,О modN.
IR.,(т)1  О:.. k ../. т О modN,
laO'/IVN+J/N. k*l. т>,О modH.
Таким 'Об.ра:юМ'. для раоОСМэт.ривае.м:orо аПсэммя RM== V N + I /N.
112
fIoд<стЗiВИВ В (63) и (6.6) ф3IК'mЧеокие .з.начeнmя V он RM, МОЖIНО убеди'ться.
что R../R."l'p==rI И Vrl'/V===I+(N1)/N(N2). откуда ВНДJlа асимпто
оричес:-кая Qпт.u-маЛЫЮСТЬ ансамбля ча.стvТН{)""\Сд.вИ1lIутых М,после.дова'Те.'1Ы1остеi't
.как 110 .n<жазателю lIюрреляl.LНo.1liНОСО выброса Rы. так и по объe'Ъtу V.
Кшютр}'1Кn.и.и '(6.13) можно прнда.ть б6лъшую обll.l,;llОСТЬ, если в lpOЛМ {йtI,}
И,ШОЛЬ3OI1J'3'ТЬ последоватeJlынсть,, rю.лyчентную О'ТобраоЖеlШем элементо'в р""НЧ!Ной
M-Il10сле.доватеJlЫНОСТИ .на rpуппу xo.мll.,'Ie.KC'ВblX IКQpRей степени р GlЗ еДRН'ИЦЫ.
Т. е. положить йtli==e(t ' ). i==.,I,O.l..... ('де е(.) в t  соответственно
тивныи Х3rрз:к'Тер (см. (3.11» и .п.pш.t.иrmвный злемеRТ поля GF(pl); p
Про':-'l'Oе; п  .нВТ} ра.пъное. При ЭТOIМ все вьшоды об !ЗСИ-МrJТО11ИЧе.окой оп'Т\Ималь..
ИОС11И IС.оюрaJНяТСЯ в силе, ;нэбор же ЛJJИИ N, ДJIЯ lКOТopЫX Э8СЭМ.блъ (6.13) cy
ествует, ЭЗlМеmо ор3СlIIiИIptИi'CЯ. охватив все чис.ла вида pl)l.
6.3. НЕОБХОДИМЫЕ МАТЕМАТИчЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Комплекснозначные ФУНКЦНН на конечных полях и преобразова
ння Фурье. Пусть GF(q) поле rалуа характернстики р и степе
IШ расширенпя n над ОР(р) (qpn), а fjJ: GF(q)C  отображе
НlIе GF(q) в поле комплексных чисел С. Множество всех комплек
сных функций fjJ(X) на GF(q), очевидно, замкнуто относительно
обычных операций сложения ФУНКIIИЙ н умиожеНIlЯ их на KOM
плексные скаляры, т. е. образует векторное простраиство V с над
полем комплекснЫХ чисел С. посколыуy aprYMeHT XEGF(q) Функ
ции '1' (х) прииимает конечное число q различных значений нз
GF(q), размерность V c в точности равна q.
Элементом V c является. конечно, и лй аддитивнЫй характер
GF(q), задаваемый соотношеиием (3.11): е(лх)ехр(j2"trJ.хIР).
ЛЕGF(q). Понятно, что придавая л q различиых фиксированных
значений из GF(q), можно получить q функций е(лх). т. е. q aд
дитивных характеров GF(q). Кроме Toro. так как е"(,лх)е(лх).
из (4.21), (4.18) следует, что
 е(лх)е'(J!Х)  е[(ЛJ!)Х] ( q. ЛJ!. (6.14)
xeap(q) xeGF(q) О. л =F J.1,
т. е. функцни е(лх) ортоrональны прн различных ". Таким обра
зом. множество {е (ЛХ)} мошностн q образует в V с ортоrональный
базис. а зиачит. любая функция fjJ(X). отображающая GF(q) в С.
может быть представлеиа обратным преобразованием Фурье
fjJ(X)...!...  'l'Ще(лх). 'r/XEGF(q). (6.15)
q leGF(q)
в котором .р(л)спектр fjJ(X) в базнсе {е (лх)}.
прямым преобразованнем Фурье:
q;(л)  'I'(х)е(лх). 'r/ЛЕGF(q).
xEGFlq)
Дли преобразованнй (6.15). (6.16) летко
нение правила мультипликативноrо СДБиrа,
определяемыЙ
(6.16)
проверяется выпол
cor ласно которому
1<13

спектр Фуикции 'Р'(Х) 'P (.х). rде .  фикси р ованиый
элемент . иенулевой
;Р. (л)  OP(e1 л).
(6.17)
омим этоrо. введеииое преобразоваиие как и любое преобразо-
(j:НВУРФ;;И;IЯ(Я'Р(:)И:В с Парсеваля. а нмеиио для лю-
XEbl-(Q j 'P' (Х) '1'; (х) ...!...  q;, (л) q,; (Л). ( 6.18 )
q leGF(q)
 Билииейиые, квадратичные и симплектичеСкие Ф о рмы Пусть
J"  иекото р ое V .
поле, а g:- n-мериое векторное пространство
иад fF. Введем отображение декартова произведеиия V g:- Х V  в
ПО."е fFB. V g:-X V:;r-+fF (ф В ( 
х EV . уикцию х. у) двух перемеииых
, ! g:- со зиачеииямн в fF). удовлетворяющее требованию л-
H';pT;r: любому одиому из арrументов х. у при фиксироваи-
B(ax+fJzo y)aB(x, y)+fJB(z, у), В(х, aY+flz)
aB(x, y)+f1B(x, z), 'r/x, у, ZEV$, 'r/a, fJE1t.
Фуикции В (х у) с т .
формами . fF аким Своиством называют билинеЙНЫАtИ
В иад полем . Если для любых зиачеиий х у из V.
п. :le;vX), : ( M: (x, у) иазывается сuмметричеdкой. Есл-=-
$ .) o, форма В(х. у) иазывается сuмnлек
Тической. -
Положив xy в произвольиой билииейиой фо ме В ( Х )
дем к фуикции одиой перемеииой Q ( x ) B ( x ) Р б ' У . при:
V$BfF (Q'V fF ) . х. ото ражающеи
.  и иазываемой квадратичной формой О
ту же квадратичиую фо р Q ( ) . диу и
из различиых бн . му Х. можио. вообще rоворя. ПО."учить
Можно сопоставитИ::::тХ' д=;и:::дой квадратичноЙ фОрМе
коиструируемvю по Q ( ) prl ую. вполие одиозиачио ре-
ремениых' х. мен но. рассмотрим Фуикцию двух пе-
BQlx, у)  Q(x+y)Q(x)Q(y). (6.19)
оскольй Q(x+y)B(x+y. x+Y)Q(x)+Q(y)+B(x у) +В(у
B (;д) (. ( )  ) ие;от ( орая подходящая билииейиая форма. T
х У EY . У б + У. х). Теперь леrко видеть. что при любых
. о $ и лю ых а. f1EfF
B Q (ax+f1z, y)aB(x, Y)+flB(z, у)+аВ(у, x)+fJB(y. z)
 а BQ (х. у! + fJ BQ (z, у) и BQ(x. у)  BQ (у. х),
т. е. ФIИКЦИЯ B Q (х. у) сама оказывается билииейной формой при-
чем о язательио симметрической. Билииейная Ф о р ма В ( . )
связанная с фикси р оваин. . Q Х. У .
(619 ) ои квадратичнои Q (х) равенством
. . иазывается полярной формой Q(x). Отметим
.114 . что коrда
!т  поле характеристики 2, B Q (х. х)  В (х. х) + В (хо х) o, т. е.
полярная форма любой квадратичной формы оказывается сим-
Dлектической.
Выбрав подходящий базис в простраистве V $ любую квадра-
тичиУЮ форму Q (х) можно записать в иекотором стандартиом
(каноническом) виде. lIаодяще!1ofСЯ в определенноЙ зависимости
от раню полярной формы B Q (х, у). Симметрия B Q (х. у) позволяет
оrраничпться иллюстрациеЙ важных ПОНЯТИЙ раиrа, ядра и дефек
та иа примере си "метрических билииейных форм. В частности,
ядро\! симметрической билииейиой формы В (х. у) иазывают мио-
жество всех векторов z из V $. иа которых В(х, z) o для любоrо
x.=V $' Нетрудио проверить. что для любых u, v из этоrо миоже-
ства и произвольиых скаляров а. fI EfF В (х. au + flv) o. т. е. ядро
является линейным пространством над fF (подпространством век-
TopHoro пространства V $1. Размерность ядра как векториоro про-
странства иад fF называется дефектом билинейной формы. тоrда
как разность между размерностью V $ и дефектом В (х. у) иазы-
вают раиrом В (z. у).
Сформулируем теперь необходимые в дальиейшем теоремы о
приведеиии квадратичиых фор" к каноиическому виду.
Т е о р е м а 6.1. Пусть fF  поле характеристики, ие равиой
двум. Torдa любую квадратичиую форму Q (х) иад fF выбором со-
ответствующеrо базиса в V $ можно привести к виду
r
Q(x)  Х;,
i==l
тде rpaHr билииейиой формы, поляриой по отиошению к Q(x),
а Xi. i 1. 2. .... r  коордииаты вектора х в упомяиутом базисе.
Это утверждеиие является ие БО...е чем обобщением иа произ-
BOlbHbIe ПQ.,lЯ теорем. которые МОЖНО наЙти во всех популярных
руководствах по линейноЙ алrебре и теории матриц над ПОЛЯ}{Н
действительных и комплексных чисел. В формулировке. близкоЙ к
приведеииой. она доказана. например. в [I 1]. Осиовиой смысл те-
оремы состоит в констатаЦIIИ существованпя T3Koro баЗlIса (CBoe
'" Д.1Я каждой квадратичной формы Q(x». в котором только r из
п коордииат произвольиоrо вектора х влияют на зиачеиие Q (х).
Теорема 6.2. Пусть fFполе GF(2). Q(х)квадратичиая
форма. которой отвечает поляриая форма BQ(xo у) раиrа r2s.
Тш'да выбор-ом соотвеТСТВУlOщеrо базпса в V $ Q (х) приводитея
к виду
, n
Q(x)  X2iIX,i+ aiXi,
i==l i==l
тде Xi. i==O. 1, .... пкоординаты вектора х в названиом базисе,
а а,. iO. 1. ш. n коистаиты из GF(2) (Xi. a;O. 1).
Доказательство этой теоремы, ЯБляющеЙся несколько сужен
ным вариаитом упоминающейся в литературе теоремы Диксона.
можио иайти в [54].
115

6.4. АНСАМБЛИ р-ФА3НЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕП
Общая схеМа построения. Рассмотрим теперь ОППlмальные либо квазиоп
тималыные ансамбли пдс. правила КОНС1lpу.и.рОВ3tНЯЯ 'lЮl'DpЫХ IJiмеют значи
rrельи() бб.льшую iЦрн,Кл.щдиую ценность IIЮ с.раiШению с правилaJМIИ (6.9). (6.Il)
(6.13). так IКЗIК в 1IIJIO'1'и.вовес 1J10000e.д.111* допускают Н3iJJ3ЩВЗ3W1-f объемов V
а.н-ез'м-6лей без увеличения фнJкснровашшaro и рашюro избрз<FШIОМУ ПРООТОму
ЧНlСЛУ р объема алфавита Koдoвыx ПQCJIeДооателыюстеА Мао В основе ВСех
onиcываемьrх здесь н ДЗJIее 1IOНI:11рУКlllИЙ .лежит O)JJН3 и та же х.лючев-зя идея.
Пу<:ть ар(ч)  РaclШJiPен.ие n-Й степ",," ЦРОСТОro 110М ар(р) (чрп), а t
ПР'ИМН1"ЯВНЫЙ элемент GF (q). П{)следователыностть d i == tr t;i. i ""'.... ........Jl. О. 1, _.
ЯВJIяе'JICЯ р...иЧJЮЙ М...!JJоследовательпостью, IИ потому комплексн.о3ПaPmая ПОICJJe
ДовзтеЛЫRОСТЬ Gi==e(t i ) ==еХ'рО 2л tr tf/p) значен;нй аддИТ.я,вноro Xap3:I!:JTepa е(.)
на степенях элемента t есть просто IреЗУJIьтаrr l3&.'\ieнbl IUИМВОJ10tВ p-wmОЙ Мпо.
CJIедов-аТeJ!ЬИОСТН .их образа,МIИ в rруппе :комплексных .корней 'Из мвнnщы CTe
лени р: diех.р(j2лdi/Р). Назовем \ДЛЯ крз'"11КОСт.и код Di==e(i). i==,._,1.0.1.....
ДЛИНЫ N==pn1 р-фазной Мnоследовательн.ост"ю.
Пусть b i . i==.... 1. 0.1. ....  нек-oropая ilюмплексноз,вачная ll'OCJIедователь-
,юсть. 'Именуемая 8 дал:ыrейшем образующей, дл,ина !Котором .является Дел:ите
леи N==p7l1_ Прешполож.им. ЧТО уд&лось подобрать обраGУЮЩУЮ {b i }. обла.
дающую ,CJlедуlOlIliЮfи четырьмя I(:воА'С'твши:
1. Постоянная состаВЛЯЮЩая {b i } за перпоп N ПО а6СD.'rютному значению
;не оолышe NRfJ. {"де Ro  нек-оторое полоЖ!Ительное ЧИСЛQ. :не меньшее I/N.
Иначе rоваря.
1 1 NI I
Nb; ";;'R,.
1-=='0
2. М8IIOOималь-нO€ 31БСОЛЮ11Ное значе,НlИе выброоа ПВКФ образующей {b i } iИ
Р.фЗ'31frOЙ м..послЕщQвателынстпп {ai} пrе больше RG:
1 1 NI I
N. bI+ma; Ro'
.
т.... I.O,I.....
З. При всех uеЛhlХ t .мэ6tс.ималыlеe а6СOJIютное эначеWlе .выброса ПВКФ
последовательнос]!и, полученмон rпозлементны\м oJIереМНQжен:оНем -образующей {bi}
с roбствeН'RОЙ Комплек'с.Н<J....сОl1ряж-еННой едБИ-ПУТОЙ .на 1 позвu.ин копией {Ь..+I}.
IИ р....фз3НОй МI1OCJIе,довarrелhRОсТи {b i } .не больше Ro:
I  >'+mb;+t+тa;I,,;;,R,. t, т.... I.O,I.....
4_ Существует YI целых 11. 12. .... .tVI. так.их. "11'0 боковые лепесТКIИ
ПАI\.Ф оtWазующеЙ' {Ь.} nрlИ любых т==tlttl. k#=l. по аБCOJlЮ11НОМУ значению
Не превыш3lOТ Ro:
1 1 NI I
N, b'+t. ь;+., E;;R"
116
k. 1==1.2..... Y1. k7f!l.
Т:оrда в аиса,Уме. составл-енiНОМ !ИЗ V .последоватеЛЬrfюстеи {аА'}. k==l.
2. _о. V. IIO правилу
akf==bl+1hal.' k== 1.2..... VI; а У1 ==ai; i==..... 1.O.l..... (6.20)
МalКси'му;м: lКоррелЯl\iИОн.нor.о выбpoicа ые iIlр.евышает Ro-
ДеЙТВRТeJlbНО. ПВКФ kй и l-й ПОСJJe,довзтеЛbl:lостей (6.20) при k. ' V1
1 Nl
Rkl (т)== N  bl+ik+mb:+tlQi+ma; . (6.21)
.
В  6_2 применнтеJJЬНО 1( двоичному случаю ВСКОЛЬЗЬ УПОМИUЗJJОСЬ популярное
сВОЙСТВО МII'OCJIfiДOвэтельностеи. IК,OTopoe 'Теперь МОЖ'llО СФОI»lулщюва'Ть так:
.если {ai}  p-ф3ЗIНая M-.II'OCЛедова7eJ1ЬВОС'ТЬ. то тановой (с некaropым сдв,и.
rOM отн.осителыю {а.}) ока,Же-осЯ -Н ПОЭЛемтное п,роизведев.ие ее кoмn.лекClНО
.с01l.ряжеmной вер'ои.и с Q{опией {ai}. сдвН\Нyroй на т позиц,ии. пр.и всех тф.
!!ji=0 mod N. Убе..'UПЬ'СЯ в зтом не составляет 'ТPYlD.a: 78IК ,ка.к Йj"""е(t i ). то с
УЧ'СТОМ .с.воАств x-ap8IКTepoB Й.iанm==е(i+""4i)==ех.р(j2лtretjIР). rAe В==
=<tml. При т*О. mQd N Е  'Не.пулеоой элемент GF(q), т. е_ для :Н6КOTo!pO
ro s имеет место равенство E==t-. блаrодвря чему a.iai+m==exp(j 2л tr .Hlp).
С.1едова7ельво. прм всех тф.О mod N
1 Nl .
R,il(m}==N  bi+tk+mblIaC+5.
,
-ЧТО при любом oroвopeнHO'M т является iJ:I-екоторы1м ОТСЧетом ПВКФ после.до
В"ТeJIЫFюстеii {bib*i+t} ,и {ai]. Поэтому .в CИJliУ свойства 3 образующей {Ь.}
JljXII k, I<V он mФОmоdN IR..(т)IR._ ПРИ тOmodN и k. I<V (6_21)
npевраща-е'JICЯ в значеlLНе ПАКФ образующей {bi} при .m===IIr.t,. он. эн.ачит.
коrда k=l=l. I RIII(O) I Ro -н-а основании С80и'С"Тва 4. Остается расом:отреть слу
ай. ,к-().l'да х-отя бы ОД:ИВ: ;из 'иiНJдексов k, 1 ,равен V. При [ V iИмеем
1 NI
,<,. .
RVl (т) == N. b i + tl D С + т Gi .
.
....... [евцдно. IRvl(O) I Ro в 'Силу ("воiК1Ва 1. При тфО modN RVI(m) cOВdla
дает .с НЕ:'К'Оторым О"f1счетом ПВКФ образующеи {b i } п "..фазноi'1 M-".IIоследова
ЛЬНОС:I'IИ {ai}. т. е. 'По 'СВОйству 2 I RVI (т) I Ro. За.ме1\ИМ теперь. что
.R." ...(т)  ПАКФ рфЗ'ЗII'ОИ МПОCJIедоваТeJlb}ЮС'Пf. т. е. ПрИ тФО mod N
1 Nl 1 Nl
Ryy (т)   е (;+т')   е (et') 
N i==O N 1==0
1" 1 1
 N "--' e(.x)e(O) .
xeGF(q) N N
rде e"",,;ml =1=0 И в лоследнем переХ.Qде использовано свой.ство характеров
(4.18). Таким образом, IRvv(т}IRo при тФОmоdN и утверждение OTHO
<:HTeJ1bHO ансамбля (6_20) ДOI{азано.
Обобщая aJI'l'QрИТМ (6.20). можно тово.рнть об IИспользовашr.и не о.д'Н.ой. а
IfООКОЛbIКИХ образующих {Ь и '. {Ь:н}. __-о -ИЗ 'Которых ;каждая удовлетворяет свой
етваМ 1. 2, а .такЖе свойствам 3, 4 в усн.пеНlНОЙ ред8IКЦИИ. требующей orpa.
.ниченн.ост.и 'Уровнем Ro выбросов ПВКФ iIIосле.доватеJlьнос.тей {b..ib.lli+l} и {а.}
при Drex r, S, t. iК8iК (и пQitлед.ова-rмьН'остей (.bri) Н {b lll } пр.и всех r. s н m==
Jl7

-==tktl. С друroЙ стороны. требования :к об.р.ззyюmsм.t можно 'иеQi;олыкQ с.мяr.
ЧИТЬ. отказавшись от ,условия 2. В этом случае саму Р-фа.зную M-й1ОСЛQва
тельность {Йj} .из aaI-самбля (6.20) iПрцд.е1'СЯ IOCКJIIOЧ:IIть.
СоrлзС1Н-О .п.риведенной -схеме поис..к анrшблеiI с np,ием.лемым знач:еиве.м кор_
реляцношноI'О выброса .может вест.н'сь по Л1ИЫШ ПQД.60ра ПОДХQДЯnW:Х образую
ЩИХ. В СВQЮ очередь. отьюка.НiИе пo'cJIе.д.н:их экnива.леН1\1Ю Qтыскат.ию отобра.
жe.нrий GF(q)C с определенньrми .спектральныМ1l свойств8IМJi. В calМOМ ДeJiе
если ПО,1l0ЖИТЬ bi==cp(;'). rде ер  некоторое отображение GF(q} в С. то. no
(']Кольку аj+"I==е(лi) П!IШ lВекoropом Л#:О. а l==e(O.t;i). все УЧ8ICТiВуюnше 8
фОРМУJllИLро:вках переllИоСЛенных СJЮйств 'Нерв.веНства МОЖIНО с .и.сПOJIb30Вмtием
(6 17)(6.18) пе.ревести П3 язык OIJI3JНМЧенмй модулей 'Спектральных КОМПОВе.и
тон преобраwнаlЫ!Н Фурье (6.16) отображеннir Ч'(Х) н СР(Х)Ч' (ех) црв ооот-
ветсl'ВУЮЩИХ е.
НеокOЛhКО .пОВТОРЯЯСЬ. вновь п-одчеркнем. чro все раССМ311р.и'ваем:ые здесь
IИ в  б.5 раЗН{)8'ИДiНОСl1И ансамбл-ей це.ТЩfiКОМ охватываются Д31J::1HblIМ ОILИСaJНJНем
.и а>а.зJ1ичаются (ар.я од;ном и том же Р) JШШЬ apHaHTa.мв образующи..х. Вместе
с тем далее .не будет ОiделмlO доказываться оСоответстпне образуюIЦIRX пере
чис.п€.нным УСЛОВИЯМ  ВЫlКл.a;:uюн. СВЯЗЗ1Н!Ные с cцmкaм.н .RN. nplН !Нenoopeд
ственном вычислении ПВI(Ф представителей ансамбля оказываются более ком-
пактными.
Ансамбли рфазиых ЛП. Один из вариантов реализации рецеп
та, предложенноrо в предыдущем пункте. содержится в следую-
щем утверждении, являющемся вольной транскрипцией результа-
тов [63]_
Т е о р е м а 6.3_ Пусть   примитивный злемеит в расширении
GF(q) степенн п простоrо поля GF(p). причем p=l=2_ Пусть, как
обычно, е(х) e(j2n tr х/р). XEGF(q)  аддитивиый характер по-
ля GF(q). Тоrда последовательности. задаиаемые правилом
Uhie(H2L+[). kI. 2..... VI, uV[e([). (6_22)
i .__. I. О, 1, .__. имеют длииу Np"1 и образуют ансамбль
объема Vpn с максима.ЧЬНЫМ корреляцнонным выбросом
RMOr pn +I)fN о! N+I +I){N.
Д о к а з а т е л ь с т в 0_ Поскольку (tr i}  ричная Мпоследо-
вательность, а {tr и}  ЛП иемаксимальной длины. делящей
pnI (2непримитивен в GF(q», последовательиость {trh+2i+
+tr i} имеет длииу Npnl при любом k 1, 2, .__, p"l_' Для
доказате.чьства утверждения о значении RM .запишем ПВI<Ф kй и
Iй последовательиостей (6.22) и воспользуемся обычными свойст-
вами аддитивноrо характера
1 NI I Nl
RhI (т)    а><+т а;[    е (J;,2[ + ei: i ) 
N i==O N '
 N 1 [  e(J;,X'+BX) 1 ] . (6.23)
xEGF(q)
rде при распростраиении суммирования на все поле GF(q) учтеио,
что e!O)I; !;!;'+'oп!;' при k, I<V, J;,!;'+'m при k<V. IV,
J;,O при kl У; B!;mI_
118
Рассмотрнм функцию двух перемеиных иа GF(q) со значения-
МИ в GF(p) f(xy)trxy, х. YEGF(q). rде 5KOHCTaHTa. также
пр"надлежащая GF(q)_ Из элементарных свойств следа (теорема
3_6) очевидна лииейность f (Х, у) по любой из перемеиных Х, у при
фиксированноЙ друrой. Таким образом. если иметь в виду. что
GF(q) является пMepHЫM векторны" пространством иад GF(p)
(см.  3_4), tr!;хубилинейная форма иад GF(p), которой отве-
чает КDадратичная форма Q (Х) tr !;х 2 , xEGF(q)_ В свою очередь,
полярной билинейной формой Q(x) соrласио определению (6.19)
будет
BQ(x, у)  tr[s(x+ у)2]  tr sX' tr!;y'  2 tr!; ху.
Для нахождения дефекта BQ(x, у) выясним. для каких z
tr !;xzO при всех х Н3 GF(q). При 50 единственным такНм z
б}дет zO (см. теорему 3.6) и, зиачит, дефект BQ(x, у) окажется
равным нулю, а paHrcooTBeTcTBeHHo n. Тоrда соrласно 7еореме
б_I квадратичную форму Q(x) tr!;x2, выбрав подходящий базис
et. е2, ..., е п . можно предстаВIIТЬ в виде
"
tr Е х'  '" х 2 (6.24)
... L.J р
;==1
rде Xi. i === 1. 2, ..., n,  координаты х в названном базисе.
Из линейности следа вытекает и такое вполне очевидное pa
:венетво:
п
trH E,Xi' (6.25)
[==1
в котором 8i == tr eei.
Вернемся теперь к сумме в (6.23), учтя определение характера
l соотношения (6.24), (6.25). Поскольку пробеrание переменной
х Bcero поля GF(q) означает пробеrаиие каждой координатиой х,
фикспрованном базисе всех значений из GF (р), имеем
п [ j2" (х;+е,х,) ]
 e(!;X'+BX)  рехр р - 
xeGF(q) x 1 . x:I..... ХпЕОР(Р) 1==,1
п  ехр [ j2"(б'еiб)] _ (6_26)
l1 tJeGF(p) Р
Сумма по I\Е{О, 1, __', pI} в последнем выражеиии есть уже
упомпиавшаяся в  6.2 сумма raycca. абсолютиое зиачение KOТO
рой равно 11 р. Следовательио. абсолютиое значение суммы в ле
вой частн (6_26) есть ("Y p) ,, y N+I и, как видио из (6.23). при
тех т. для которых !;=I=O, IR.,(m) 1",;; ( V N+ I +I)/N_
Осталось рассмотреть ситуации, косда !;o_ Как иетрудно за
метить, при этом случай т::::=::шоd N обязательно отвечает ОСНОВ4
ному пику ПЛI<Ф какой-либо из последовательностей (6.22) И,
значит, необходимо положить mфО mod N_ Тоrда в (6_23) EO и
119

соrласно (4.18) IRhl(т)II/N«y N+I +I)/N, чем завершается
доказательство теоремы.
3 а м е ч а н и е. Формулировке теоремы Б.3 можно придать
большую общность, если учесть, что наряду с tr !',ху билинейными
являются и любые формы вида tr!',xyP', rде 5O, 1, ш Это, одна-
ко. Не пополнит иабор V и N какимилибо НОВЫМII значениями.
Сопоставим пара метры R. и V ансамбля (Б.22) с предельно
достижимыми в рамках р-фазных алфавитов. Подстав ив во вто-
рую ст року (Б.3) VpnN+I, будем иметь R",pV I IN+(N
I)/NЗ, так что R./R",р(V N+I +I)/УN+II/N-+1 при
N...........oo. В свою очередь. подстаВИБ фактическое значение R M ==
( VN+I+ I)/N в (Б.Б), можно видеть, что предельно достижи-
Мый объем р-фазноrо ансамбля с такНМ корреляuионным выбро-
сом Vrp(N2N2Y N+I 2)/(N2Y N+I 3). что при N>370
после выделения uелой части даст VrpN +2У N+I +Б. Ясно, что
при N--+oo Vrр/VI+2/у N+I +5/(N+I)--+I. Таким образом. ан-
самбль, описываемый теоремой (Б.3) , асимптотическн оптимален
как ПО показателю корреляционноrо выброса RM. так и по значе
нню объема V.
Близость величины R. в рассматриваемом ансамбле к I/y N
автоматически удержнвает средиеквадратический уровень ПВФН
Х в симметричных доплеровских полосах достаточно близким к то-
му же значению I/V N (см.  Б.I). Несмотря на это, для иллюст-
рации и одновременно во избежание в дальнейшем СХОДНЫХ вы.
кладок разумно продемонстрнровать возможность точноro опреде-
ления Х для ансамбля (Б.22). В соответствии с определением пос-
леднеrо и свойством характеров (4.21) имеем
v NI VI Nl
N R..(т)   c(!','1;'!i+E1;')+  e(EE).
k==l i==D k==l i==O
сде !',1;2ml; Eтl.
При тФОmоdN !',o, и при пробеrаНIIИ показателем k множе-
ства 1. 2, ..., VI pn1 !','1;" при любом фиксированном i про-
беrает вСе иенулевые элементы GF(q). Позтому для тФОmоdN
иа основании (4.18)
v 1 Nl
R..(т)   e(2'x)e(E')0.
l N i=:(l xeGF(q)
Так как для т == OmodN та же сумма равна V, из результатов
 Б.I следует, что в данном ансамбле X2[(2W+I)VI]/[(2W+
+I)VNI] иля при N»I XI/y N , а это означает практичес-
кую неотлИЧИМОСТЬ нстинноrо значения ОТ НlIжиеrо предела, yCTa
навливаемоrо неравенством (Б.8).
Коснемся теперь вкратне вопроса о возмоЖНОй структуре re-
нератора последовательностей (Б.22). Любая И3 них (кроме V-й)
может быть получена с помощью одной нэ двух образующих. ДеЙ-
120
СТВlfтельно, для четноrономрра k==2s trk+2;==tr2(i+.), т.е. после
довательность {tr ь, ч ,} есть сдвИr на 5 ПОЭlщий ЛП {Ir и}. При
иечепюм иомере k==2s+1 trh+2i==trE2(i+S). Т. е. последователь
ность {Ir ь"т2.} есть 5-Й c;lBllr .rrп {tr .';}, riIe E1;. В каждом из
эТll" случаев носледовате.%НОСТЬ (Б.22) есть продукт перемноже
НIIЯ симво.чов рфазиой Мпоследовательности {а,}  {е (i)} lIа
символы О:\НОЙ из ;lBY>' р-фuзных ЛП (так для краткости удобно
назвать последовательность, получаемую заменой э.nемеИТQБ рIIЧ
НОЙ ЛП по правилу 6--+ехр(j2:I1'j/р), 6EGF(p». Безусловно, BMec
то перемноження рфазных послел.овательностей МОЖИО выполнить
поэТ]емеитное сложение рIIЧИЫХ С ПОСollедующей зз\!еиой получеи
иых элементов поля GF(p) р-фазиыми символами (комплексными
КОРНЯМII степеНII р JIЭ едиНlЩЫ). Поэтому схему reHepaTopa по
следовате.%НОСТII (Б.22) при k J, 2, .... VI МОЖIIО реализовать
в виде двух ричиых реrистров СДБиrа с линеЙными обратными
связямн (reHepaTopoB М-последовательности  rМП и Р-IIЧНОЙ
ЛПrЛП на рис. Б.I), выходы которых суммируются по прави
лам GF(p). Получаемую последовательиость р-ичных символов
можно прямо использовать в фаЭDВОМ модуляторе для формирова
иия соответствующеrо пдс. Последовате.%ностью аисамбля
(Б.22) с иомером V яв."яется обычная рфазная М-последователь-
НОСТЬ, элементы котороЙ однозначно определяются ВЫХОДОМ
rМП на рис. Б.I.
Аисамбли р--фазных последовательностей бентФуикций. Пусть
q =рn, р  простое, п  натура.тьное и, следовательно, GF(q) 
расширение степени п простоrо поля GF(p). Пусть <р: GF(q)--+С 
отображение поля GF(q) в поле комплексных чисел С, такое, что
амплитудный спектр fjJ в смысле преобразоваиия Фурье (Б.15),
(Б.IБ) равномерен. В принципе для доказате.1Ьства оптимальности
lюрреляционных СDОЙСТВ ансамблеЙ. которые можно построить с
помощью функций <р, нет нужды в более жестком определении по
е,"!lедиих. Однако для Toro. чтобы алфавит названнЫХ ансамблей
н<' выход"л за рамкн р-фазноrо, раэумно сразу иринять за fjJ ото-
бпажен"е GF(q) в rруипу С р комплексных корнеЙ степеНИ р из
е ИIllЩЫ: fjJ(Х)Е{ехр(j2лr/р): rO. 1, .... pI}, VXEGF(q). ToriIa
УIIОМЯНУТое спектральное своЙСТВо fJ.1 запишется в виде
1(Л)l' 1  fjJ (х)е(лх) 1 2q. 'VЛЕGF(q). (Б.27)
xEGF(q)
Очев"дно. что <р(Х) ехр[j2лf(х)/р] при иекоторой подходящей
функини [(х), отображающей GF(q) в GF(p). В [80,81], rде рас-
СмотреШfе оrран"чпвалось С.1учаем p2. отображениям {: GF(q)--+
GF(p) со свойством IБ.27) бы.то прпсвоено назваиие бент-функ
Цfll' (см. также [79]) 1. ,
t Перевод"lПКИ моноrрафНl1 [54] пзбраЛIl следующее русское прочтеНllе их
Наимеllования: «маКСИМ8.ТЫЮ He.'llfНeilHble функции». Хотя последнее словосоче-
ТаНие. подчеркивающее, r;[TO функции /(х), удовлетворяющие (6.27), н опреде-
Ленном смысле наиболее отдпчиы от Лlшейных, бесспорно, содержательнее. ДЛИ
kра1'КОСТИ сохраним первое из прпведешrых пазваШfir.
679 121

Рис. 6.1
Но фОJо6!.!11
моr}УЛJlтDР
Теорема 6.4 [31]. Пусть G'F(q)
расширение степеии п npoCToro поля
GF(p), а GF(q")GF(p''') расшяре
ние степени два поля GF(q). или, что
то же самое, степени 2п поля GF(p)
(qp", GF(p)GF(q)c:GF(q"». Пусть
2п1 J Q
tr,x  Х.. trxx+x
1===0
COOTBeTCTBeHHO следы элемента XEGF(q') в простом поле
GF(p) и в поле GF(q). Пусть также
n'
jro/i  б.'
j===fJ
след элемента /iEGF(q) в простом поле GF(p). Пусть при-
митивный элемент поля GF(q'), а "lПРОИЗВОЛЬНЫЙ элемент
GF(q'), не принадлежащий подполю GF(q) полЯ GF(q'). Пусть.
наконец, 'P(/i)exp[j2nf(1»/p], тде [(б) бент-Функция. отобра-
жающая GF(q) в GF(p), а e(/i)exp(j2ntro/ilp) аддитивный
характер поля GF(q). Тоrда р-фазные последовательности бент-
функций (ПБФ), построенные по правилу
а',i'Р(tr')е[tr("l+.)И, i ...,I, О, 1,..., (6.28)
в котором k, k 1, 2, ..., q.  все разлнчные элементы поля GF(q),
имеют длину Nq'Ip'n1 и составляют ансамбль объема
Vq1r N+I с максимальным корреляциониыМ выбросом RM
 (JfN+\ +I)/N I/(qI).
Доказательство. Для ПВКФ k-й и !-й ПБФ (6.28) имеем
I 1 o'1 . 1
IR., (т)!  "5' аИ+т а li 
q21 i
I 1 QII
 '5; 'P(tr'+т)'P*(tri)e{tr[("l+.)i+т("l+tI']}
ч2l [
  I  'P(trex) 'P*(tr x)e{tr [("l+ .) BI"l+tI] x} 1 \ '
ч2  1 xEGF(q'l)
(6.291
rne Bт И учтено, что 1'1'(0) I'I. e(O)I.
РассмОТРНМ вначале случай, котда тфО mod h, <де h
 (p'nI)/(pl) q+ 1, и, значит, B<;EGF(q). Разумеется, элемен-
ты 1 и B<;EGF(q) линейно независиМЫ над GF(q), т. е образуют
базис GF(q') как расширения GF(q). Поэтому линейность сле:\а
позволяет для некоторых , 1] из G F (q) записать tr'[ (T+') B
("l+I)]xtr(6+1]B)xtrx+1Jtrex. Kpole тото, вспомним те
орему 3.7, сотласно которой систеМа уравнений
{ tr х  б,.
trBx/i.
122
при B<;EGF(q) имеет в GF(q') единственное решение для б
6,. 6,EGF(q). Тоrда (6.29) в силу (4.21) можно пе р е лю ых
виде писать В
IR.,(m)[ ,1 1 1  'Р*(б,)е(б,)  'P(/i,Je(1]/i,)1 1
q б 1 ЕйF (QJ lJ.EGF (q) .
откуда иа осиовании свойства (6.27) бентфуикций будет с е -
вать IR",(m)I(q+I)/(q'I)I/(qI). л до
Обратимся теперь к случаю m==Omodh т е B EG F(q) П
mфО d ( ' 1 ) , . . .. усть
то q  ,T.e.B*I. Тоrда в (6.29) (T+/,)B(T+Ma<;E
<;EGF(q), поскольку 'BIEGF(q), а "l<;EGF(q). Следовательно
в силу теоремы 3.7 СlIстема .
{ tr x б,.
tra.x/i,
имеет в GF(q') ровно одно решение при всех 1),. b,EGF(q) От-
сюда, учитывая (4.18). получаем .
I R..(m)I 1  'PIB/i!)'P*(/i,)e(/i,)I I .
q  б.. б.ЕGF(q) ч2 1
11з уже доказанноrо. в частности след\'ет что для всех k и
В п с ф m ( Ф 62 0ПlOd (q:I) IR.. (mJi<I: т. е. длиа N всех р-фзных
. 8) в деиствительностн равна q'1 p'''I.
Остается рассмотреть случай m == OmodN. При ЗТОМ .I "
так как '/EGF(q), то прн k*! нз (6.29) "ожно, восползо-
вавшись (4.20). получнть
IR.,(O)I N 1 I  e[(II.,)trX]I I ...!....
xF N'
что подведет IITOr доказательству теоремы_
Вычислив с помощью (6.3), (6.6) rраничные значения корреля-
Цllонноrо выброса R  объем V J1} (соответственно для фаКТlIчес
ких значений V -V N -:- 1 и RM O/ N+Т + 1) /N. убедимся. что
при р>2 RM/R,,,P П1N-:-1+lj' V.V( N+l)(N+ I)'/'+I/N',
т. е. Rм/R.ф-+I при N-+oo, н V,pIV ,r N + 1+2+5/1 N+ 1 (N)370)
Как свидетельству'от зтн данные, ансамбли ПБФ при р>2 aCHM
птотнчески оптималыlы по поКазателю RM. но далеки от ндеала
в смысле rраниц объс",а при фнксированном выбросе RM.
Прнведенная теорема распространяет на пронзвольиые прос-
тые р ориrииальные построения, описанные в [80] для p2.
Чтобы. проследить связь правила (6.28) с общей конструкцией.
ОПllсаннои в начале параrрафа. учтем следующее свойство TpaH
зитивности следа:
2пt п1
tr,x  х.'   (х+х<).' tro(tr х), (6.30)
1===0 iO
означающее, что след элемеНТ8 XEGF(q') в GF(p) можно иахо-
'nHTb как след в GF(p) от с,деда х в GF(q). По"имо этоrо, "(+II.
.
IZJ

'> при иекотором подходящем [. и, значит, tr(т+!З"п;tr.I+'k.
Теперь второй сомиожитель в (6.28) МОЖИО записатЬ как
e(tr1;"i+'k) exp [j 2ntro(tr+H.)/p], i ... I, О, 1, ..., илн С уче
том (6.30) как ехр О2п Ir,  '+'. jp), i ..., 1, О. 1,... Так как
{d,}  {trl'}  р-ичная М-последовательность длины N q'1 
p'n1, упомянутый сомНОЖитель (6.28) есть ие что иное, как
сдвит иа t. ПОЗНЦИЙ р-фазной М-последовательности длниы N 
p2"I. Следовательно, каждый предстаВlпель ансамбля ПБФ
можно получить, поэлементно умножив одну и ту же образующую
'!jJ {(1т ')} на соответствующий сдвит р-фазной М-последовательно
стИ {о,} (нли, что равносильно, некоторый сдвиr образующей на
саму (о,}). Вместо упомянутоrо перемноження можно, конечно,
выполнить поэлементное сложение рИЧНОЙ последовательности
{J(tri)} значений бент-функций f(.) на элементах tr i, i
 .... 1, О, 1, ..., со сдвитом р-ичной М-последовательности
{trl i}, после чеrо Заменить р-нчные символы I\Х образами в труп-
пе кОМплексных корней степени р нз еllИНИllЫ. Сказанное 0Знача
ет, что для теиерироваиия р-фазных ПБФ ПРllтодна схема на
рнс. 6.1, в которой вЗамен r ЛП следует использовать тенератор
последовательности (f(lr ;)}, реализованиый, к примеру, в виде
ПОСТQЯlшоrо запомннающеrо устройства. Отметим еще раз ЧТО
образующая для всех последоватеЛЬИОСтей (6.28) общая и дJIя' пе-
рестройки теиератора с ОДНОЙ ПБФ на друтую достаточно сменить
сдвиr Мпоследовательностн. т. е. перейти к иному начальному co
стоЯНИю rМП на рис. 6.1.
Заслужнвает внимания вопрос об отыскании СаМИХ бентфунк
Ilнй. Не вдаваясь в ДОВО-ЧЬНО непростую проблему пОлНотО перечи-
слениЯ 6еит-фу"кцнй, укажем, ЧТО простейшим их примером мо-
тут служить любые квадраТИЧНые формы. которым отвеЧаЮТ иевы-
рождеиные (нмеющие полный рант п) полярные формы. Чтобы
убедиться в ЭТОМ, любознательному читателю достатОЧНО ВОСПОЛЬ
зоваться приемами предыдущето пункта.
6.5. АНСАМБЛИ БИНАРНЫХ ПОСЛЕДОВДТЕЛЬНОСТЕII
Объяснимое стремление иметь дело с проетеЙШИМII алфавитами
оправдывает особый акцент, который обычно делается на paCCMO
трении ансамблей бинарных (состоящих 1IЗ + 1) последователь-
ностей. Номенклатура нзвеСтIIЫХ ансамблей БП, привлекательных
в сопоставленни с траIlицами (6.2), (6.5), относите,'ыlo неБОтата.
Чаще друrих упоминаются семейства последовательностей rолда
и I<асами, известные еще с 60-х тт. [14, 17,52,64,72 и др.]. I<aK
и прочие с котор ыи здесь предстоит познакомиться. они полно
стью подпадают ПОД общее описаиие, приведенное в начале!i 6.4.
Предварим конкретные детали двумя утверждениями, использо-
вание которых придаст компа\{тность ряду последующих доказа-
тельств. Отоворим сразу, что, поскольку все рассматриваемые дa
лее поля имеют характеристику p2, аДДИТIIВНЫЙ характер лю
124
ото ИЗ I1ИХ, скажем GF(q), как и в !i 4.3, Дается СООтношеIlием
(A)(I)''', тде trхслед xEGF(q) В ОР(2), q2" и таки
образом, е(Х)Е{ + I}. " м
Лемма 6.5. Пусть GF(q) расширеиие степени п по
l1F(2) , е(.)аддитнвный характер GF(q). а IJ(, е) 060знача
сумму
0(1;. e)  е (1; х 2 'Н +ех)
xeGF(Q)
ЛЯ фнкснроваиноrо натуралыlrоo 5 и некоторых КОНСтант 1; е I1з
GF(q). Пусть 1; II " не равны одновремеIlНО нулю. Тотда ри 5,
взаимно простом с п «5. п)  1), а TaIOКe при четном п и (5, п) 
2 jIJ(s. ej':;;2]'n+2'/2[, тде Jx[  КаК и прежде, целая часть х.
Доказательство. При 1;0, ,,*0 из (4.18) следует, ч-то
ля любых п. s IJ(1;, е) o. Поэтому далее положим 1;*0.
ФУНКЦIIЯ В(х, y)tr1;xy2, ка\{ иетрудно проверить с помощью
'орем 3.1 ,и 3.6,  билннейная форма над ОР (q), 11, значит,
(;;) tr 6>:2 н  квадратичная форма над G F (2). Полярной фор
о,. Q(x) будет (см. (6.19) с учетом эквивалентности сложеиия и
.ЫЧIIтаиия в полЯх характеристикн 2)
BQ(x, у) trHx2' + у2') (х+ y)+trsx2'+' + trsу2Ч\
 tr s х 2 ' у + tr 6 ху"  tr (62...... y'r' + s у") х,
е использоваIlа ЧаСтЬ теоремы 3.6, утверждающая, что 1.. х" 
",tr х для всех 5. СотлаСIlО ПОЗИЦИИ 4 той же теоремы для любых
ФиксироваНIIЫХ 6, zEGF(q) Ir(62......z2'+sz2')x0 "а всех
EGF(q), если н только если 62Z2' +622' o. следователыl..
фект BQ (х, у) равен размерности простраНСтва решеиий ypaB
неНIIЯ
sz...... Z2S +6Z Zs  о
в роле GF(q) при Фllксированном 6 EGF (q).
Помимо тр"виальното zo корнями (6.31) при 6*0 служат и
решения ураШiення
222S1 === 6.......(2i1).
Рассмотрим по отдельности Два случая.
1. Если п нечетно и s взанмно просто с п, Чllсла 22.!1] 11 2J1l
Взаимно просты. в чем леrко убедиться с помощью леммы 4.9. Но
TOrдa при про6етании z всето поля ОР (q)z' ,, Также пробетает
:с е ар(ч) в како,,-то ином ПОРЯдке н потому уравнеIlие (6.32)
"",еет в ОР(Ч) ТОЧио ОДНО решение, а уравнение (6.31) тОчно ДВа
ешения, в силу чеrо дефект BQ (х, у) оказывается равным еднии-
e. При этом СОтласио теореме 6.2 можно подобрать в ОР(Ч) Ta
'ой базнс, что
(пI)f2 rz
trsx"+I+trex  Xи\x,,+ AiXI'
II i1
(6.31)
(6.32)
(6.33)
125

rде х)  координаты х в упомянутом базисе. а 1.i  констаllТЫ '\.$
GF(2) (Xi, AEGF(2».
Так как в соответствИИ с (4.18)
. к { 2, ЛП  О,
 (I)n n
z eGF(2) О. Л П =1= О.
n
то при ЛП*О "(5, е) o, а при лп o
(пI)/2 n
 Ж211 X 2i + 1:: J. j Х;
(I) ,, 'I
"(5, e)

ж.. ж...... Ж п ЕGF(2)
 2 (п п /.  (1) K2I1 K,,+"'I K"I+"; К".
1==1 X:2CI. Х зi ЕGF(2)
Абсолютная величнна iro сомножителя здесь, как леrко провеrитf..
(см., например, (6.14», равна 2 при любых :Л'i', л.., отку.х
1"(5, е) I 2('H'i)/'. . 
2. Если n == Omod2, (5, п)1 или n==2mod4, (5, п)2, т'
(2'sl, 2"1)3, так как 312'o1 и 312"1, но есл.и бы сущест
вовал обшпй делитель чисел 22.s1 И 2"1, большни трех. то J
2s и n был бы общиЙ делитель, больщий двух (см. лемму 4.9), что
исключаетсЯ условием (5, n)  1 либо условиями п == 2 mod 4, ('
п) 2. Обозначив " (2'SI)/3, вместо (6.32) получим
(ZUJ"  5 4 'С').
Ясно. что, еслИ элемент 62St) является кубом HeKoToporo дру
roro элемента из GF (q), пос "едиее уравнеиие нмеет три решенш
(с учетом взаимной простоты u и 2"1). В противном же случ",
оно вообще не имеет корнеЙ в GF(q). Поэтому уравнение (6.31)
имеет в GF(q) либо один, либо четыре корНЯ и дефект BQ(x. у\
равен либо нулю, либо дВУм. Обращаясь вновь к. теореме 6.2, по
лучаем представленне (6.33), с тоЙ лишь разницеи, что число слd
raeM ых первоЙ суммы будет (п2) /2 либо п/2 в зависимостИ о
TOro, чему равен дефеhТ BQ (Х, у): двум либо иулю. Повторив вы
кладки, относнвшнеся к уже разобранному случаю, убедимся, чт
при четном п и (5, п)  1, а также при n == 2 mod 4 и (s,n) 
1"(5, е) I 2(n+')/', что совместНо с установленным под номером 1
исчерпывает доказательство леммы. 
Доказываемый далее результат. по сушеству. заимствован I1
[42]. .
Л е м м а 6.6. Пусть q2n, GF(q')  расширение второи степе
ии GF(q) trхх+хqслед XEGF(q') в GF(q), trо6слеJ
6EGF(q)  GF(2), е(б)  (1J',,6 аддитивиый характер GF(q);
а 'I'отображенне GF(q)......C с едннственным оrраничение>
1'I'(6)11, V(/i)EGF(q). Тоrда для суммы
,,(а, и)  'I'(trх)е(ах2 п + l +trих)
xEGF(ql)
126
р' любом ненулевом O:EGF(q) и любом ИЕGF(q2) справедлива
еика 1,,(0:. E)I2n.
Доказательство. Заметим прежде Bcero. что (x2n+l)2nl==
..п, 1. т. е. (2"+ I)-я степень любоrо XEGF(q') Является
емеитом подполя GF(q) поля GF(q'), а потому выражения
о:х""+I. e(nx'n,l) при nEGF(q) вполне корректны. Далее,
· n n
помнив (6.30), учтем. что !ro (ах' +'+!r их) !rl 5Х' +I+!r, еХ,
е !r.хслед XEGF(q') в GF(2), а 5такой элемент GF(q'),
ro !r 5a, причем из утверждення 4 теоремы 3.6 следует, что прн
-о 5фGF(q). Положнм
{ !r X()"
tr 5 X()"
етив. что эта система относительно х cor ласно теореме 3. 7 име
в GF(q') точно одио решение при любых 6., 6,EGF(q). I<poMe
I так как xQ::::::x+tr Х, то X2n+l==x61+x2 И. если вновь восполь
ваться (6.30) и теоремами 3.6, 3.4, можио записать
tr, 5 x'n+I+!r. ex!rl 561 x+!rl 5x'+!r, их
!ro(), ().+!r, (51+е)х,
!:: t:22n1
е blb .
Поскольку 5фGF(q) линейно иезависимо с элементом 1 иад
F(q), пара 1, 5 образует базис GF(q') как BeKTopHoro простраи-
а над GF(q). Поэтому для некоторых л, J-IЕGF(q) 5.+e
л ,I15 н
trob, b.+!r, (1;,+е)хtrо/i,62+!r,:(I.+J-I5)Х
!ro (), (),+tro M,+tro J-I6..
РШ-НIВ во внимание все сказаlIНое. придем к равенству
"(n, e) ")' qo(6,)е(ь,ь,+1.6'+J-I6.),

61 . бЕGF(q)
ММllрование в правой части KOToporo по 62 даст в соответствии
( .18) ненулевой результат только прн 6,J-I, так что ,,(а, е) 
.2 .. (J-I) е (J-J-I), откуда с учетом определения '1' (.) следует дока-
В....дмое.
т ....перь можно перейти к рассмотренню конкретных ансамблей
n
Ансамбли последовательностей rолда. Как 11 в [60]. объединнм
'им назван нем довольно широкиЙ класс семейств БП. СТрОЯШIIХ
I О,"1Отипно С первоначально описанными Р. rолдом [76]
Teope\la 6.7. Пусть  11 е(.) cooтвeTCTBeHHO ПР"МИТIIВНЫЙ
'емент и аддитивныЙ характер поля GF(q), rде q2". Пусть s
T ральное, ,,2n+ 1. Пусть" БП образованы по праВIIЛУ
а.. e[i+f!.("+I) i], k 1, 2, ... , ,,I,
JJ . r= е [(2' +1) '],
(6.34)
(6.35)
127

<де i .... I, 0.1. .... а 11,. 112. lIи1  различиые элемеиты по,. роВИЮ коррел яциониоrо выброса R M . Подстаиовка же В (б.5)
GF(q). При иечетиом n в (5, n)1 либо прн n == 2mod4H (5, n), пr 2(N+I) +I)/N приведет при N»I к результату V,./V,."
составим аисамбль из Vll2.+1 БП (б.34), (б.35). При чет"с, 1+[VI!(N+I)+9]/N или V,./V---+I при N.+oo. свидетельств ю-
n и (5. n)  1 не будем включать в Hero БП (б.35) (тоrда' ему об асимптотичеСкой оптимальностн аисамблей rолда в cы-
ll1 2n). Построенные такнм образом ансамблн будут СОДе. еле значеннй объема прн оrраничеииом выбросе R".
жать БП только ДЛИНЫ N==2111 и иметь максимальный Koppe.l. Аналоrичио, проанаJJизировав случай п==Omod2. леrко прий.
ционный выброс 1'lt к ВЫВОДУ. что ансамбли rолда с четными п проиrрЫвают в по
](п+2)/2[ { [ У 2 ( М + 1 )+ I ] /N == 1 moct2 f(азателе Ям потенциалу Ям,., причем проиrрыш растет с роста..
RM 2 + l  ' n . N, стремясь к 3 дБ.
N (2 V N + J + J)иV, п == О mod 2. Весьма проста схема <енератора последователь"остей rолда.
Лрн n == 1 Inod 2 и n == 2 mod 4. (5. n) 2 последовательност"
Б lali}  {tr i} и {d иi }  {tr (2' +IJi} являются различными двоичны-
)АН Мпоследовательиостями ДЛИНЫ N==271lt причем последова 4
:тельность {tr 1I.(2'+')i} при 1\.*0 является каким-то сдииrом вто-
оЙ ИЗ ннх. Поэтому для формнрования рассмаТРЮlВаемых БП
новь применима структура на рис. б.l. на котором rМП и rлп
теперь формируют соответственИО последователыlOСТИ {ан} и {aui}.
Суммируя по модулю два поэлементно {а,,} с соответствуюшнм
сдвиrом {d ui }. можно получить двоичную последовательиость
{а..}  (tr[i+II.(2'+I)i)}. замена элементов которой по правилу
п.  (I) ". , и даст k-ю БП rолда (6.34), прнчем выбор Toro или
MHoro номера k равносилен установке иеобходимоrо "ачальноrо
(:оСТОяНИЯ rлп. Еще две БП rолдасами исходные М-последо-
Е"тельности, снимаемые с rМП и rлп. после Toro же перехода
к алфавиту {::I::I}.
Прн четном n н (5, n)  1 спецнфика СОСтОнт только в том. что
с "маемая с r ЛП последовательность {tr 1I.(2S+",} иМеет "емак-
о:имальную длнну и саМостОЯтельно продукт ее преобразова"ня к
алфавнту {:!:I}. т. е. БП (6.35). в ансамбль не вклюЧается.
Ансамбли последовательностей Касами.
Теорема 6.8. Пусть Ч2", r,F(q2}l'асширенне степени два
.(]nля GF(q), trоl\след l\eGF(q) в GF{2}. e(o)( l)I"Оад
,Днтнвный характер GF(q), примитнвный элемент GF(q'), а
tI tх+хqслед элемента xeGF(q') в GF(q). Тоrда БП внда
п., e [tr{;l +a.C(2 п +//l), i ...,  J, О. 1..... (6.36)
lIе а,. а,. .... аqразличные элементы GF(q), нмеют длнну
ч2122"1 11 образуют ансамбль объема VqV М+I с
,lЮрреЛЯЦlIDННЫМ выбросом RM (У N + 1 + I)/N.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде вcero заметим, что элемент
'2n+1)' прннад.оежит подпо.ою GF(q) поля GF(q2) (см. лемму 6.6)
1 запись (6.36) вполне корректна. Для пронзвольных k. 1
I q31
 е [a1;(2 п +I) ' + trв1;') 
q'[ ,"""
1 f  e(aX2п+I)+trex)I ] ,
q!  1 xeGF(ql)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрнм ПВКФ двух каких-.онбо
(6.34), (6.35). Используя свойства характеров. получаем
J 2'l1
R. , (т)   e[(2'+// l +e'! 
2п 1 [==1
[  e(x2'+1 +ex) 1 1 .
2"  I xe;:GF(q)
<де учтеио, что е(О)  1. а  н е определены следующнмн СООтн(
шеинями: прн k. l<и 1I.(2 +1)"'+11" e"'+I; прн k<u, l
1I.[2 '+1)"'+1. еtт: klu !;(2S+1)m+ 1. eO.
Теперь соrласио лемме б.5 !R.,(т)!  [2](n+2)/2[+I]I(2п!'
прн всеХ k, 1. т. для которых  и е не равНЫ одновременно нули
Коrда k. l<u. нз eO обязательно следует т == OInod(2пI). та
что обращенне  в нуль возможно, ЛИШЬ еслн 1I.1I1(kI). Следс
вательно, дЛЯ БП (6.34) равенство !;eO соотвеТСтвует ИСНЛК
чнтельно основному лепестку ПАКФ k-й последовательностн, н. та
как IR..(т)I<1 при тФОmоd(2"I), БП (6.34) имеют дЛ\ш
N2"1.
Прн k<lI, 11I е вообше не обрашается в иуль. Поэтому ос
тается рассмотреть случай klu. Прн этом равенство !;e=
оз"ачает. что (2'+I)т == Omod(2nI). Прн "ечетных n н (5, n)
чнсла 2'+ 1 и 2п1 взаимно просты (потому что взаимно прос
числа 2281 н 2пl CM. доказательство леммы 6.5). П
"",,2 mod 4 н (5, n) 2 (22sl. 2"п 3 (см. доказате.ТЬСТВО ,те .
мы 6.5). С друrой стороны. 3 делит н 2'I (так как 5четное)
а поскольку (2'+1, 2'I)I, то (2'+1, 2"J)1. Таким об,. .
зо\!. прн п"" I mod 2. (5, n)  1 и n == 2 mod 4. (5. n) 2 единстuе..-
ным решением сравнення (2' + 1) т == О тod (2n 1) является т '
== Omod(2nl) и БП (6.35) имеет длнну M2п1. Теорема ДDl,а
ззНа.
Положнu V2n+IN+2, из (6.2) нетрудно увндеть. что
аисамблях БП TaKoro о бъема кор реляцнонный выброс Не МОЖ«
быть меньШе R"rc.)V2 'Hl6!2 n[+N/N. Для нечетноrо n!
R",.[2(n+t)/2+1)/N[y 2(N+I)+I)/N. т. е. совпадает с фа'"
тИчеСКН\1 значением RM в ансамблях [алда. и. такиМ образом, n
следнне CTporo (а не только асимптотически) оптимальны lL L
12В
Я., (т)
IN

rде 1I1I.(2n+')m+II/EGF(q); ,,т+1 и учтеио, что e(U)I. Н.
осиоваиии леММы 6.6 1R..,(m) 1(2n+I)/(22nl) при всех k, 1,
ДДЯ KTOPЫX а*О. Если II{), _*0, то В силу (4.20) 1R..,(m) I :
 I/(q I) < (2"+ 1)/(22nI). Накоиец, из _O следует, что т'
== Omod(q21) а тоrда равеиство aO возможио лишь при k
э' ПАКФ V  . одобной возможностн дает следующая теорема.
то 03I1ачает, чтО оснОвные лепестки всех Ч БП (6.31 I Т 69 [ 42 ] П' GF ( ) GF ( q' )  tr 11 е(lI) tr х
слеДУЮ1'спериодомq2I,т.е.д.,инаЭ'fИхБПN2122П1 еорема. . }сть ч, '.' О, ,
значение RM совпадают с указанн ми Ф Ч. н Iмеют тот же смысл. что в теореме 6.8. но п  обязательно четное.
 в ормулнровке.. Уо.да ПВКФ любой бинарной (p2) ПБФ нз теоремы 6.4 илю.
о Подстаиовка в (6.2) yy N+I дает. преде,lЬНЫИ мини,,), ой БП Касами (6.36), кроме той, для которой щ,О, прн всех
к rряинноrо выброса ДЛЯ ансамuблеи БП T3Koro объе, I ;lIЧ.lrах т не превышает по абсолютной величине значения
Ям,р(2 TI)!N, Ч",:О rоворит о строrои оптимальности ансамБЛ! ( 1 N".I+ I ) /N
последовательностеи Касами (6.36) по показателю Ям, В то ,} . ". К Ф
время cor>aCHO (65) ст б БП б R. Доказательство. Обозиачив названную в теореме ПВ
 Y ' ., роя аисам лн с вы росом . срез Яа(т), для k.й БП I(асами и I.й ПБФ с использованием
 ( N . +I )/ N, мож но раССЧ\lтывать на объем вплоть СFОЙСТВ характеров получим
y",[yM+I(Y N+I+I)+I]/2, т. е. У,р""М/2 при N:»I, и, т. 1 N ]
ким образом, фактические объемы ансамблей I(асами далеки ( Яа (т)   [  '1' (tr х) е (а х 2 +1 + tr е х)  I .
V rp . Это 11 нзш.'ю отражение в ВОСПРОИЗВОДИМОМ далее интереСIIО N xeGF(q.)
результате [42]. позволяющем пополнить ансамбль (6.36) некото. rде аа.С(2n+')тЕОР(ч); e1;т+'t+I' Теперь доказываемое
РЫМII «посторонними» БП без увеличения корреляциониоrо выбрс р зу следует из леммы 6.6, поскОлькУ 11*0 при любом 11.*0, а
са ЯМ, <r(,)II.
Формирование БП (6.36), как и БП (6.34), (6.35), ВОЗМОЖIЮ с Итак, сведение вместе всехУ М+I бинарных ПБФ н у м+
помощью схемы на рис. 6. I.. в которой rМП rенерирует двоичную rr II БП I(асами образует ансамбль объема v I Jf N + I I, в
М.последовательность {tr,1;'} длины N2'nl. а rлплп ви, котором значеиие Ям остается прежним н стало быть, такой аи.
да {tro 6(2 п +I)i}. которая оказывается попросту «короткой» Мпо- с:амбль вслед 33 нсходными cTporo оптиз;ен в смысле миНИМ3КС3
следовательностью длины 2nJ, поскольку элемент 2"+I прн' орреляционноrо выброса. Хотя к фиrурировавшему ранее верхие.
митивен в GF(q). С точностью до перехода к алфавиту {:i:I} одиа У пределу объема У,р<:::>М/2 он по сравнеиню с исходнымн ансам'
из БП Касами  самая «ДЛиНная» М.последовательность с BЫXO блями приближается не слишком ошутимо. принципиально ВаЖ
да rмп, любая же из остальных получается на выходе сумма- НО что на дзиный момеит какихлибо ансамблей БП 6ольшеrо объ
тора при соотвеТСТnУЮЩIIХ иачальных состояннях rМП и rлп. ема с Я'м<:::> 11N неизвестно. Попутио не лишним будет обратить
Ансамблн бинариых П БФ и их объединеиия с ансамблями по. вннмание на существениую оrраничительность рамок бинарноrо
следовательностей KaC8Mn. Описанная в теореме б.4 КОНСТРУКЦJlЯ лфавита в сопоставленнн с рфазным (p3). Так. из сравеиия
р.фазtlыx IIБФ безотказна при любых простых р, в том Числе и (6.2) и (6.3) можно усмотреть. что для р.фазиых аисамблеи Я'м
при p2. Едниственная частность. которую следует принять 110 I ожио удерживать в пределах норядка 1/М вплоть до объемов
виимание,  то, что для ДВОИЧНЫХ бент,функций {(.) <jJ отобража. У<:::>м (как это и имеет место в ансамблях р.фазиых ЛП из теоре.
ет GF(q) на алфавит :i:1 н потому снектральиые I<оэффициенты МЫ 6.3), тоrда как в ансамблях БП подобноrо объема нижияЯ
(6.16) обязателыlo целые числа, т. е. ч2" в (6.27) KBaдpaI rраница Я'м близка к 21М и рассчитывать иа получение Я'., по.
целоrо чнсла, а значит, пчетное. Следовательио, ансамбли бн' рядка I/N можно лишь при условии, что V не превосходит "/2.
нарных ПБФ можно ПОСТРОить только для ДЛIIН вида N ===24tl:::=- Подводя итоr, укажем, что точные значения среднеквадратиче
16/1. При всех таких N (как и вообще при N2'nl) сущест Ckoro уровня ПВФН в симметричных донлеровских полосах дЛЯ
BYT, конечно. и ансамБЛII БП I(асами с теми же, что у аисю"б. ,всех рассмотренных семейств БП были иайдены в [32]. Приводить
леи ПБФ, значеIlНЯМИ V н Ям (ср. теоремы 6.4, 6.8). Поэтому пр'" Здесь соответствующие формулы ие имеет особоrо смысла, по.
вомерен вопрос, есть ли у ансамблей ПБФ какие.либо самостоЯ' с"ольку прн N » I во всех случаях значения J( практическн иеот
тельные прнкладные достоинства. В [80] подчеркивается такое J1Ичнмы от I/y N, т. е. от нижней rраницы (6.8), отвечающей
преllмущество ПБФ перед БП I(асами, как больший потенциа.т fj,щзкому к единице значению с.
криптозащишенностн, связаиный с большими значениями эле
(см.  4.5). rлавным, одиако, Является тот уже упоминавшийСЯ
факт, что ПБФ можио «ВЛИть» В ансамбль БП I(асами той же
130
JlllНbl, получнв новый аисамбль практически удвоенноrо объема.
I.::oTOpO значение RM те\1 не менее сохранится прежним  таким,
а.ким оно было в каЖДО\1 из исходных ансамблей. Основаиия для
131

rЛАВА 7.
КОДОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ,
МИНИМИЗИРУЮЩИЕ ВРЕМЯ ВХОЖДЕНИЯ
В СИНХРОНИЗМ
7.1. СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАЧИ
Завершая изложенную В !i 1.3 проrрамму, обсудим конспекТlШ-
но некоторые аспекты оптимизации манипулирующих поспедова.
тельностей в условиях, коrда доминирующим локазателем ПрИхо
ДИТСЯ считать скорость установления синхронизма между ПрНIIII
маемы\{ пдс и местной (т. е. формируемой приемиой стороной}
шкалой времени. На практнке такие ситуации достаточно pacnro
странеиы. например измерение расстояния до удаленноrо KOCMII
ческоrо объекта (скажем, в иавиrацни спутииковоrо базироваиия),
в процессе KOToporo нередко требуется уменьшить неопределен-
НОСТЬ в знании запаздывания ПДС. передаваемоrо космическим.
аппаратом. в сотни тысяч  МИЛЛИОНЫ раз по сравнению с апри
орНОЙ. Однозначные измерения со столь высокой ТОЧНОСтЬЮ воз-
можны лишь для пдс с базами (длннами) N порядка тысяч 11
более. При таких значениях N установление нзчаЛЬНоrо синхро
Ни3Ма между местным эталоноМ И приннмаемым сиrналом co
пряжено с известиыми затруднениями, большую роль в преодоле
иии которых может cblrpaTb рациональиый выбор кодовой после-
довательности ПДС.
Напомним, что под вхождением в синхронизм обычно понимаюу
понск пдс по времени и частоте, т. е. предварительное измерение
тем или ииым способом nременнбrо и частотноrо рассоrласованиii
наблюдаемоrо снrнала по отношенню к местНОЙ шкале с 1'очно
стью. достаточной для ввода в действие устройств, осуществляю
щих точное оценивание (фильтрацию) названных параметров
[24, 58. 59, 69. 72]. Прн отсутствии каких-либо аппаратуриых or
раничеинй оптимальной стратеrией подобиой процедуры будет
обычное правидо макснмума правдоподобия, состоящее в парал
лельном вЫчислении корреляций (скалярных произведений) при
liятоrо колебания со всеми КОПlfЯ\{И пдс, запаздывання 't и час
тотные сдВИrи F которых заполняют с заданным (зависящим ОТ
требуемой точности) шаrом всю область априори возможных зна
'Чеинй на плоскости времячастота. и выдаче в качестве оценки тои
пары значеннй "'(, Р, которой отвечает наибольшая из названныХ
корреляций. Структура, реализующая этот обычно иазываемыЙ
паралле..1ЬНЫМ вариант поиска, состоит из идентнчных ка валоВ.
каждый нз которых настроен на свой частотный сдвиr. И, в свою
очередь, является либо СФ. либо мноrоканальны" коррелятороМ
[14, 24, 52, 72].
В дальнейшем будем полаrать. что поиск ПРОВОДIfТСЯ лншь по
задержке, поэтому схема устройства параллельноrо понска будет
139.
мыслиться как единс'Твенный СФ либо мноrоканальный корреля
тор с числом каналОВ, равным числу дискретных точек в ИН,:-
тервале априорной иеопределенности т. Зачастую упомянуты!!
интервал равен перlЮДУ пдс NfI., а результатом поиска должна
быть оценка "L с поrрешиостью в пределах интервала повторения
А элементов сиrнала. При этом паралллЬНый поиск предполаrает
одиовременное вычисление как минимум N корреляции иаблюдае
Moro колебания со всевозможными циклическими сдвиrами ПДС
В условнях, коrда реализации параллеJIьноrо поиска ничто не
препятствует, нетрудно установить, какой должна быть :кодовая
последовательность пдс. если желательно минимизировать энер
rетическне затраты. т. е. при фиксированной средней мошности
пдс  время, требуемое для заверщения поиска правильным pe
зультатом с заданной вероятностьЮ. Очевидно. такая кодовая по
следовательность должна иметь максимальное евклидово расстоя
иие между свонМИ циклическими сдвиrами и потому в классе, Ha
при мер. БП оптимальными в указаниом смысле естественноси=
тать любые минимаксные БП, основаниые на РМ Адамара да
лее БПАРМ (см. !i 3.3).
Чаше, однако. лимнты по сложности Н стоимости аппаратуры
исключают возможность па раллельноro поиска при значниях N.
о которых уже rоворнлось. Простейшей а:?ьтернативои парл
лельному поиску являетСЯ последовательныи (однокаиальныи).
при котором один коррелятор поочередно «просматривает» все
точки априорноrо ннтервала иеопределенност [14,58, 72!. Понят
ио что прн этОМ одинаковая с параллельнои процедурои вероят
1l0TЬ правнльноrо исхода поиска достижима лишь в обмен на
MHoroKpaTHoe увеличение затрачиваемоrо времени. Определенноrо
компромнсса между аппаратурными затратами и продолжитель
ностью стадии ввода в синхронизм можно добиться с помошью
параллелыюпоследовательиых процедур поиска, реализуемых yc
тройствами. содержащнми N.(I<N.<N) одновременно работаю
щих корреляторов [14, 58].
Хотя усовершенствованию последовательных и параллельно
последовательных ашоритмов поиска пдс с равноудален.ным"
циклическими сдвиrами (в частностИ, Мпоследовательностеи или
вообще любых БПАРМ) посвящено MHoro работ [14, 24, 58, 66].
радикальное решение задачи минимизации длительности понска
при фиксированных вероятности правильноrо исхода и числе KOp
реляторов N K приемноrо устройства состоит в применении сеllИ
альнЫХ кодовых последовательностей. корреляционные своиства
которых MorYT быть существенно иными, чем у БПАРМ. Разнооб
разные варианты приемлемых кодов. ориентированных па OДHOKa
нальный по'!'ск (N.I), предлаrались еще в начале 60x rr., BO
врос же об "х оптимальной структуре был решен Дж. Дж. Стиф-
флером. впедшнм в обиход так называемые nоследоватеЛЫlOсти
быстрО20 поиска (ПБП) [52. 66]. Позднее ндеи, лежащие в OCHO
ве построення ПБП. удалось распространнть и на произвольиое
число корреляторов [37].
133

Подчеркнем, что учет аппаратурных затрат приемиой стороны
единственным локазвтедем  числом параллельно работающих
корреляторов N к  разумеется. несет в себе нзвестную долю субъ
ектнвнзма. Существует немало работ. в которых аппаратурная
сложиость формализуется иначе. Так, в [24. 52 и др.] детально
ИСС.педованы методы последовательной оцспки, которые за счет He
больших усложнений ОДlIоканальноrо коррелятора позволяют УТИ
лизировать ощутимую (при достаточных отношениях снrналшум
"а элемент ПДС) долю резерва сокращення времени вхождения В
синхронизм с МпоследоватеЛЬНОСТЬЮI связанноrо с ее припадлеж
НОСТЬЮ к циклическнм (и более Toro. к мажоритарио декодируе
мым) кодам. В [59] задача оптимнзацни закона манипуляции
ПДС решеиа в предположенни. что поиск представляст собой co
вокупность оценочнокорреляционных процедур. выпОлняемых CJle
ДЯЩИМ измерителем. Значительные результаты получены также в
плане упрощений параллельных процедур за счет применеиня В
них «быстрых алrоритмов свертки [52 и др.] '.
7.2. ОПТИМАЛЬНЫЕ MHOrOYPOBHEBbIE ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
в дальнейшем будем полаrать, ЧТО поэлементная (символьная,
тактовая) сннхронизация приемноrо УСТРОЙСтва с принимаемым
сиrналом выпол,н€на и целью ПОllска ПО запаздыванию является
лишь установление Toro. какой из N возможных uиклических
сдвиroв передаваемоrо ПДС присутствует во входной реализации.
Обычная параллельнопоследовательная процедура. нспользующая
N ккаНальный коррелятор с опорными сиrналами в виде COOTBeT
ствующих сдвиrов ПДС. выполняется как ряд последовательных
шаrов, на каждом из которых число подлежащих аиализу точек
.априорноrо интервала уменьшается на NJ(. Отказ От соrласованной
обработки совместно с оптимизацней передаваемоrо снrнала поз
ВОляет значительно эффективнее (в смысле времени вхождения В
СIIНХРОНИЗМ) распорядиться N кканальным коррелятором. oprallll
ЗОвав такую процедуру понска. каждый щаr которой сокращает
число точек интервала неопределенности не иа N)( единиц. а в He
которое ЧIIСЛО раз.
l(остаТОЧllые условия построення подобной процедуры состоят
В следующем. Пусть {пi}  КОДовая последовательность передава
eMoro ПДС. имеющая длину
N == Ni.
(7.1)
rде N, и пHeK070pыe натуральные числа. Пусть {Ь,,}. {Ь 2 .}, ..
.... {Ь п .} п опорных кодовых последовательностей. Rabh(m). k
I ВЫВОДЫ и рекомендации Д3ННОЙ r лавы следует рассматривать в едином
контексте с содержанием названных и друrнх работ. Не оспаривая преротатнв
разработчика в Окончательном предпочтении тех или иных конкретных реlJlений.
JЗ4
\  1 2  ПВКФ каждой из них с последовательностью {п.}.
Прдп'о;;;;жнм. что для Rabh(m) выполнены соотношения
b\ { R', 1 == 0 modN,.
R."h(IN, ) R. IФО modN,
2 ичем R,R>O. Тоrда поиск можно ocy
Прll всех k  1. ,.... п, пр ж ом из них N, rипотез. так
щеСТВIIТЬ за п шаrов, проверяя в H: p ece поиска rнПDтез составит
что общее числО проверяемых
не N",: а пN\. , с Ь {п . }  кодовая последовате.,ьиость п;ш-
ДеИСТВIIТельно. п' т ,+/ . } t
нимаемоrо пдс. отличающаяся от пер:::Jа п: ис
позиuпй. rде именио t и подлежит опр N e
Т - ша r поиска на кото р ом вычисляются 1 корр
ка. orAa первыи . { Ь } 'O 1 N l
ляций принятоrо колебания с N. сдвиrами li+T. L б' 1 .;я lнаи
первой опорной последоватеЛЬИОСТII {Ь,,}. а затем от ир1ае еле
большая из корреляций. ПО::JВОЛИТ опреде.,'шть остаток о от Д
ния t на N,. поскольку в СIIЛУ (7.2) соотношение
(7.2)
N , I R
 п' +, Ь' ,  Ila\lllb,ll R ab , (t ')  Ila\l \lb,1 ,
....J l 1I r'
E
ВЫПОЛНIIТСЯ только тоrда. коrда /""" mod N,. Теперь в представле.
Ф t N I t нензвестным является значение 51. На
иии t в орме SI t I О N еЛЯЦIlЙ принятоrо
втором шаrе следует вновь ВЫЧIIСЛИТЬ ,корр  1 N I
колебания теперь уже со сдвиrамн {b 2 i+f o + T .N 1 }. ,O, . .;. M;KCH
второй опорной послеовательностн {Ь 2 .}. что после отбр так как
мума позволит определить остатоК 11 от деления 51 на {.
иа основаниИ (7.2) равенство
,' п Ь.  IIallllb 2 11 R."2 (5,N 1  rN,)  IIallllb 2 11R,
 I+i 21+io+rN 1
;
выполннтся только тоrда, коrда sl == r ш.оd N 1 . В итоrе t предста;;.е
Ф t N 2 --'- ( N , / " д е неизвестно толькО значение 52. о
в орме ==52' 1 I . t I О. .. б ..
добн";м же образом вычисление N\ корреляц:;,аl.л. мо r. й
ализацпи с N 1 сдвиrами {bkf+lfI+tIN1+...+rNL}.
опорной последовательносТ1' {ь",} позволнт определ /'11 b 
таток от деления на N t числа Sht в представлении Sk1 1
--'-/ N b2+ ш +/ . Накоиец. пй шаr завершит поиск определе
I kZ I О N полное представле
нием остатка от деления Sn1 на 1. что даст N' t
нне t по модулю N в системе счислення с основанием 1. 
,
== }: IrN i l.
к:к видно. на кажл.ом mare описаиной процедуры реалз=я
деление области неопределенности на N, равных часеll (п 
классов вычетов по модулю N I ) и выбор для дальнеиших ::H
ний лишь ол:ной нз них. Такая операция. сокрашающая Д
обобшения известноrо поия
неопределенности в N 1 раз. в порядке ..
тия дихотомии может быть названа полихотомиеll [52].
135

При осуществлении поиска по указанной схеме в присутствии
флуктуаЦИОИIlЫХ шумов достоверность различения N I rНпотез на
каждом шаrе будет тем выше, чем больше величииа RIR, KOTO
рую мож,ю назвать контрастностью. Докажем. что при фиксиро
ванных N 1 и п справедлнва следующая верхняя rраница:
R.RN,'J!n(N, 1).
Для этоrо рассмотрим выражение
[ k1 NпIt+I1 ]
1 I I
o.  N,  ROЬh([N)  RObk([NI).
Nf'(N,I) '""" ,"""
(7.3)
С одной стороиы. прямо из (7.2) вытекает, что o.R,R. С дру_
rой, выразив ПВI<Ф RoЬh (т) через ДПФспектры последователь
Ностей {а,} и {Ь",}, можно получить
NI.... ....
 а, b;i ClI.i,
'"""
o.
N,
N II"/I/lb./I (N,  1)
rде
[ Nпk I Nпk+1 I
 1 '  exp( j2"ilN ) 1 1  ( j2"i/N' )]
C" Li   ехр 
N1l l==O N N] l==O N 
 { I при isN'i, sфО modN"
О в остальных случаях.
Поэтому. суммируя о. по k, ПО."учаем
Nl п ....
n(R,R) N,  а,  C'i'
N 11"/1 (N,  1) '""" ь, "Ь."
Прнменив дважды неравенство Буняковскоrо  Шварца, будем
иметь
n2(R,R)2 (  ) '' l f ь., C'i l '
N,  1 '""" N ,, Ilb.11
NI п...... n
 (  ) '    Ib.,I'  Ci'
N,  1 '""" N , /lb.II' ,,
n
откуда с учетом Toro, что  c2.,I, и следует (7.3).
k==1
Не представляет труда указать практический способ построе
ния последовательностей, для которых достиrается rраиица (7.3),
однако вначале целесообразно решнть вопрос о разумном выооре
значеиий N. и n. Дело в том, что с помощью N K корреляторов
можно за одно испытание проверить N.+I rИПОтез н. если N,I;;;;,
;;;;'N.. каждый шаr процедуры поиска придется выполнить В виде
136
\1(N,I)!N.{+ последовательных,
подшаroв (иапомним, что ]х[+ 
.ближайшее к х целое, не меНlJiшее
х). В этом плаие увеличение
N,I по сравнению с N. действу
ет в сторону «затяrИ'Ва'Ния» пои-с
ка. С друrой стороиы, жесткая t
{'вязь N t Н п через соотношение
(7.1) ведет к тому, что с увеличе-
нием N, прн фнксированном N
знаl.lенне п уменьшается. что дает возможность, увеличив KOHT
растность (см. (7.3», ускорить поиск. Таким образом, можно co
ворить об оптимальном значении N., при котором время понска
для фиксированных вероятности правильноrо исхода и числа KOp
редяторов окажется минимальным. В принципе возможно cTporoe
решение задачи оптимизации N, и п (для частноrо случая N.  1
оио даио в [26]), основанное на точныХ соотиошениях. связываю
щих вероятность правильнОЙ синхронизацни с общей энерrней
ПДС, используемой в процессе поиска. ДЛЯ N.> 1, однако, такое
решеиие оказывается rрОМОЗДКIIМ и, :кроме 10ro. прнводит к тем
же выводам, что н менее cTporoe. но более иаrлядное. Суть послеk
Hero состоит в следующем.
Пусть полная энерrия ПДС, отведенная на процесс синхроии
зацин, фиксирована и равна Е. Тоrда на каЖДЫЙ шаr понска при
дется эиерrня Е/п и с учетом возможноrо разбиення (при N,>
>N.+1) шаroв на подшаrи на каждый из последних может быть
выделена энерrия E,Elп] (N,I)/N.![+. За меру различнмости
проверяемых на каждом шаrе rипотез можно принять произведе
иие VE,(R,R), которое при Econst, Nconst и соблюдеиии
равенства в (7.3) пропорционально велнчиие
g(N,) N,lnN,
(N,  1) V ](N,  1){N и [+
Ht\+r
2Н...+1
JNI4.+1
Н,
Рис. 7.1
Именно эту меру целесообразно максимизировать подбором
N" поскольку влияние N, на общую достоверность синхронизации,
()бусловлениое друrпми механизмами, значительНО слабее. Так как
ма любом нз интервалов kN.<N,I (k+ I)N., kO, 1, ш, g(N,)
возрастает с ростом N, и в то же время g[i(ifl+I)N.+I]<
<g(kN.+I) для всеХ k;;;;'1 (рнс. 7.1), оптимальным зиачением
N, следует считать NlN.+I. I<од, для KOToporo N,NK+I, бу
.дем называть соrласованным С числом каНалов N K , так как при ero
полихотомическом поиске на каждом шаrе приходится различать
ровно столько rИПGтез, сколько в состоянии проверить за одно
нспытание устройство, содержащее N. корреляторов.
Теперь можно описать упомянутый ранее рецепт построеиия
.со'ласовuнных кодов (CI<), лежащих иа rранице (7.3). Пусть
{Ь,,}  любая последовательность длины N, N.+ 1 с симплекс-
ными циклическими сдвиrами, т. е. с ПАI<Ф, удовлетворяющей
131

условию RbI(m)I/(N,I). mФОmоdN,. Постояииая состав)
ляющая такой последовательиости Б,оО. так как соrласио (I.I)
N.l .... I
'" Ib,,"  I  N,
L..J Rbl(m)
тO I1b,ll' N,  I
Образуем последовательиости {ь..} «растяжеИllем» {ь,,} в N!.'
раз, т. е. ПОЛОЖИВ
b.ib1i.' i.... I, 0.1, .... kl. 2...., п. (7.4)
rде i. ]i/N,'''[. При этом в {ь,,} за N символами ь,о идут N.
Сн\1ВШ1DВ Ь Н . затем N t СИМВОЛОВ b l2 Н Т. д.; В {Ь зi } за N2t CH!\1BO
ламн Ь 1О слеfJ.ует N2t символов Ь Н 11 Т. д.; наконец, в {Ь 1li } за Nln1
символами b 10 идут Nlnt символов Ь Н И Т. Д. ПОНЯТНО, ЧТО КаЖ
дая из таких последовательностей имеет период N', и. как и {ь,;}.
иулевую постоянную составляющую БhON!.'БlОО, Кроме Toro.
все ЭТН последовательности ортоrональиы между собой прп любых
взаимных циклических сдшпах. Действительно. при l>k после
представления i в виде i===sNt'I+r, rде OrNI'tl. OS
:;;;;N,I. н"еем
Nf1 N,I
 Ьkl+т ь;,  
i==() 5===0
Nll1
,
. '" ь o
blsN/l  kr+rп,
. ,
так как внутренняя сумма здесь вне зависимости от т ПрОПОрЦПQ
нальна БkO-
Составим теперь последовательность {ai} по правнлу
1 n
а,  V  hb.i,
п k1
В силу отмечениой
i== .... l, 0,1, щ.
(7.5)
ортоrоиальностн слаrаемых (7.5). именуемых
NI
далее компонентами. lIall2  Ib..12. kI, 2..... п. и
1==0
1 NI
R aЪh (INI)   bkl+/N'l ь;, 
Vnllall', .
{ 1 '1/;;:1 == О mod N,.
 1/Vп(N,I). lфО modN,.
В результате и условие (7.2). н равенство в (7.1) оказываютсЯ
выполиенными. Как видно, равновесное суммирование компонен
тов. получаемых «растяжением» в Nlk1 раз исходной последова
тельности с симплексными сдвиrами, действительно порождает
Ск:. лежащий к тому же на rраниве (7.3). При этом на каждо>!
шаrе поиска в качестве опорных последовательностей в корреля
торах используются соответствуюшие СДВlIfИ самнх компонентов.
Отметим. что при одноканальной обработке (NK 1) оптималь-
иая длииа КОМпонента N, 2 н С!( вырождается в так называемую
лииейиую последовательность быстроrо поиска (структурно-меан-
lЗ8
\
дравый сиrиал [64. 66]). представляющую собой сумму меандров
(функций Радемахера) длин 2. 22 .... 2". В друrом предельпом
случае  при параллельном поиске NKNI. N,N п СК есть
просто последовательиость ДЛIIНЫ N с симплексными сдВнrами.
I(оrда N K > 1. ВМесто компонентов с симплексными сдвиrами
l>IOЖНО нспо.%зовать обычные БПАРМ (RM(rn)I/N,. mф
ФО mod ЛI,). Возникаюшне ври этом потери в контрастности,
обусловленные немаксимальным расстоянием между сдвиrами
{ь li } , неощутимы уже при N к ;;з.6. снижение же контрастностн нз-
за сопутствующеrо такой замене нарушения ортоroнальности KOM
ПОllеитов, 11 без Toro слабое, можно сделать пренебрежимым. ум-
ножив половину компонентОв на I.
В конце подчеркнем, что последовательности (7.3). (7.4) в
иетривиальном случае N,*N оказываются мноrоуровневыми. од-
нако, как показано далее. иа нх осНОВе леrко MorYT быть получе
lIbl бинарные последовательиости, незиачительно проиrрывающие
исходным по скорости вхождения в синхронизм_
7.3. БИНАРНЫЕ соrЛАСОВДННЫЕ КОДЫ
Пусть по-прежнему NNn" а N,NK+I таково. что существу-
ет БП на основе РМ длины N,. т. е. БП с одноуровиевыми боко-
вымн лепестками ПАКФ. значение которых здесь будет обозначе-
но через Ro. Полаrая {ыi} именно такой БП. образуем еше п 1
БП {b h ,}. k2. 3, .... п. «растяженнем:> {ь,,} по правилу (7.4). пос-
ле чеrо построим пОследовательность {Uj) с элементами
n
ai==signbhl, i== ".,  1, О. 1, ...,
>-----,
(7.6)
..де
{ 1.
sigп х 
I.
XO,
Х<О.
олученная БП {ai} может интерпретироваться как продукт ма-
жорнтарноrо объедииения (уплотнения) п БП {b. i } или. ииаче ro-
оря. предельиоrо оrраничеиия MHoroypoBHeBoro С!( (7.5). Мажо-
итарное УПЛОтнение среди всех вариантов комбинироваllИЯ бн-
арных комвонентов в составиую БП дает максимум коитраСТlIОС-
и ПВ!(Ф результируюшей последовательиостн и отдеЛЬноrо ком-
онеита, чем и объясияется ero выбор для построения {ai}.
Убедиться в справедливостн дЛЯ БП (7.6) свойства (7.2), т. е.
] принадлежиости {ai} к классу СК. можно. отождествив компо'
неиты {b.i} со случайными незавнсимымн БП. в которых символы
положительиой полярности появляются с вероятиостями, равными
aCTOTaM ПОЯВJIения элементов +] в исходных компонентах. He
-Трудио ПОllЯТЬ. что выполненне условий (7.4) достаточио для без-
139

/
ошибочиости рассчитанных таким образом значеиий ПВI<Ф {щ}
11 {b h ;}. после необходимых выкладок получится
Rl.(INfI) { Rt, [ == 0 modN 1 ,
R, ["е О mod N 1 ,
rде
"+' ( п 1 )
Rt  R  21 (1  Ro)""- п 2 1 (
"'
)2
N,I
N,
(7.7)
для нечетных п. 11
RlR2n(lRo)n/2(п;2)( NtN,1 YTI(I+ V I+(NI)Ro )
(7.8)
для четных n.
Таким образом, БП (7.6) действительно MorYT быть иазваны
бинарными СК по ОТНОшенню к (N,I)-канальному устройству
обработки. Важным ПОказателем бинарных Ск. является проиr-
рыш l' в контрастности по сравненню с ее верхним пределом, за-
даваемым правой частью (7.3). Разумеется, чтобы максимизяро-
вать контрастность бинарноrо СК, в качестве ero компонентов
лучше выбирать мииимаксные БП на основе РМ, обладающие
минимальным значеннем Ro: Ro1 при N,2 и RoI/N, Прll
N.>2 (см. табл. 3.2). Подставив эти зиачения Яо в (7.7), (7.8),
после выЧисления отношеиия квадратов правых частей (7.3) I!
(7.7), (7.8) ПОЛУЧI!М
1' 1'1 (п) 
22п2
п
(7 9)
[( ;п/2 [I )]2 п/2 прн пoo,
если N,2, и
{ N 2in + 1 '" (n ) ! ( N2 l ) n-;-1 п == 1 mod'2
'У== 1 п 1, . ,
Ni 1n +') 'I't( n)/(Ni  l)n(N 1 + 1)', п== О mod2,
если N,>2.
(7.10)
Таблица 7.1. Потери контрастности ДЛЯ бинарных corпaCOB3HHblX кодов
N.II 2
"
I 3 I . I 5 I 6 I 7 I 8 I 9 I 10 I 11 I 12 I 13 I ..
2 3,0 1.25 2,5 1,5 2.3 1.65 2.2 1,7 2.2 1.8 2.1 1.8 2.1
7 2,0 1.6 1.7 2,1 1.7 2.4 1.8 2.6 1.9 2.8 2.1 3,0 2.2
15 2.5 1.3 2,0 1.65 1.9 1.8 1.8 1,9 1.8 2.0 1,8 2,1 1.8
31 2.7 1.3 2,2 1.6 2.1 1,7 2,0 1,8 2.0 1,8 1.9 1,8 1.9
140
о степени сиижения контрастности бинарных Ск. по cpaBHe
пию с контрастностью MHoroypOBHeBblX МОЖНО СУДИТЬ С помошью
табл. 7.1, в которой даиы значения l' в децибелах для различных
сочетаний N. и п, рассчитанные соrласно (7.9) (7.10).
Подчеркнем, что в предельных случая,,; одиокаиальной (N.I.
Nl2) И параллельной (N.NI. N,Л) обработок бинарные
СК превращаются В хорошо известиые коды. Так. при N. 1 би-
иариые СК являются ПБП Стиффлера [52. 64. 66]. образуеМЫМIf
мажоритарным УПЛОтнением меандров (функций Радемахера).
каждый из которых формируется из предыдущеrо двукратным ра-
стяженИеМ. ОдноканаJJЬИЫЙ коррелятор МОЖНО ввести в снихро
ннзм С подобной последовательностью быстрее. чем с любой дру-
rой БП. В друrом крайнем случае N.NI бннарный СК есть ие
что иное, как иеКОТОрая БПАРМ длииы N. Можио также отметнть,
что В прииципиальном плане вычисление корреляций бинарноr
СК (7.6) с компонентамн {b h ;} не вполне использует резерв уско-
рения В80да в синхроннзм. CTporo rоворя, оnтнмальные опориые
сиrналы коррелятора при прнеме бинарноrо СК мосут отличаться
от ero компонентов. за счет чеrо значения потерь в контрастности
окажутся еще меньwими приведенных В табл. 7.1 [38].
7.4. ЭФФЕКТИВНОСТЬ соrЛАСОВДННЫХ кодов
Чтобы с должной наrлядностью продемонстрировать преимуще
СТва CI<, следует выяснить, иаскОЛЬКО их применение ускоряет
ввод В синхроивзм приемиоrо устройства фиксированной сложнос-
ти (с заданным числом корреляторов N.) по сравиению с исполь-
зованием Toro же устройства в более традиционном вариаите па-
раллельнопоследоват.ельноrо поиска МпослеДОБательностей (или
вообще любых БПАРМ). Разумеется, при этом одинаковымн для
обоих сопоставляеМЫХ вариантов должны удерживаться помимО'
чнсла каналов и вероятности завершения поиска правильным ис
ходом Р"р.
Пусть Е  полная энерrия всесо отрезка ПДС. используемоr
В процессе поиска. Поскольку полихотомический поиск СК произ:
водится за п последовательных равноправных шаrов, на каждыи
нз иих может быть отведеяа энерrия Е/п. Любой шаr представля-
ет собой проверку N1==N K + 1 П-fпотез. выполняемую как сравнение
N. корреляций. среднее значенне какой-то одной из которых боль-
ше. чем средние (равные между собой) N,I остальных: с точно-
СТЬЮ. возможно. до общеrо коэффициента упомянутые средние
есть соответствеиио V Е{п R. и V Е/п R. Кроме тосо. сравннваемые
величины имеют коэффиuиент корреляции Ro и одииаковые дис-
перСИИ N o /2 (с точностью до квадрата TOro же коэффиuнента), сде
N o /2  двусторонняя спектральная плотность широкополосною
шума на входе приемноrо устройства. Поэтому. аппроксимируя ве-
роятиость правильиоrо исхода р' пр произвольноrо шаrа поиска
(различения N, rипотез) известиой адднтивной rраницей [44] (ПрИ
141

этом допускается определенная перестраХQБка: фактическое значе
вне р' пр будет несколько выше расчетноrо). МОЖНО получить
. (V  RIR )
Рлр""I(N,I)Ф nN / ,
. 11R.
тде Ф(х)(  )lехр( 2/1 )dt иитеrрал вероятности.
Статистическая независимость шаrов позволяет записать Р пр ==
(P'.p)", а тоrда нз (7.11) вместе с (7.1) следует, что требуемое
для достижения надлежащей вероятности BepHoro исхода поиска
Р.. превышеиие энерrии ПДС над О'll!осторонией спектральиой
ЛJЮТИОСТЬЮ шума
J!......."" n(IR,,) [ Ф' ( I I P:!; ) ] I
N. (R,R)I N,I'
тде ф1 (. )  функция. обратная инrerралу вероятиости. Восполь
-зовавшись тем, что IRoNI/(N,I), а также соотношениям,"
(7.1), (7.3). получпм (вновь с некоторым запасом)
J!.......  (log N , N)2(N,  1) l' [ , ( ]  P;OgN. N )] '
N.  N, Ф 1 N,] , (7.12)
тде тем же, чro и в  7.3, коэффициентом,\, учтены возможные от-
личня коитрастности RIR от верхией rраницы В (7.3).
ДЛЯ ПБП, являюшихся, как отмечалось, разиовидиостью СК
flриспособленной к одиокаиальной обработке (NKI, N,2, Ro
I), выражеиие (7.12) прнмет вид
J!....... "" (Iog, N)'1' [ф1 (POK. N)]2.
N o 2
В противоположиом крайнем случае параллельной обработки
(NKN, nI, N,N) СI\ оказываются последовательностями дли
ЕЫ N с максимально удаленными циклическими сдвнтамн. Б клас
се БП, например, таковыми ЯВЛЯЮтСя БПАРМ. ДЛЯ них, положив
-в (7.12) 1''''' 1. получим
z. "" [ф1 (1 ';:p ) 1'. (7.14)
Соотношения (7.12)(7.14) позволяют судить о выrодах, co
lIУТСТВУЮШИХ примеиению СК Если бы N K корреляторов исполь-
завались для обычиоrо па раллельнопоследовательноrо поиска
БПАРМ. то для rараитии правильноrо исхода этой процедуры с
-вероятностью Р пр потребовалось бы значение E/No, большее пра-
вой частн (7.14) в N/N K раз. Поэтому с учетом достаточно слабой
-зависимости правой части (7.14) от N можно в первом приближе-
нии считать. что при N к == сопst продолжительиость па раллельно
1I0следовательноrо Поиска БПАРМ (пропорциональная при фикси-
рованной мощности сиrнала величине Б/N о ) лииейно растет с рос-
"l'OM длины БПАРМ N.
С друrой стороиы, иrнорнруя слабую зависимость сомиожите-
ля ф1 (.) в (7.12) от N, можио заключить, что дЛЯ СI\ возраста
142
(7.11)
tlие длительиости поиска с YBe Е/Н о . дЕ
личеllием Д.'IIШЫ N происходит
зиачительно медленнее, чем для 70
БПАРМ, а именно пропорцио-
иалыю [IOg(N.+I)N]2. Так как 60
[lOg'NK+I)NP/NO при Noo,
вхождение в синхронизм с СI\ 50
большой длины N осуществимо
за rораздо меньшее время, чем ,о
N кканальный параллелыюпо
следовательиый поиск БПАРМ JO
той же длины.
Если варьировать ие длину N, 20
а число каиалов N к прн N ==
===const. то с умеиьшением N K 10
длительность N кканальиоrо
параллельно  последователыюrо
поиска БПАРМ будет расти О
В обратиой пропорции, а вре-
мя ввода в синхроиизм с
СI\  зиачительно медлеииее, пропорциоиально [log"V.+I)Np.
ПРОНЛЛlOCтрируем эти выводы конкретиыми цифраМII. для чеro
обратимся к рис. 7.2, на котором СП.'lошными линиями изображены
рассчнтаииые соrласио (7.12) зависимости от числа каналов N.
отношения EJN o . необходнмоrо для правилыюrо вхождеиия в син
ХРОIlИЗМ С вероятностью Рпр0,99, дЛЯ СI\ длин N 10<, 10'. 10'
при '\' 1 (что соответствует MHoroypoBHeBblM СI\ из  7.2). Здесь
же штриховыми линиями показаиы зависнмости EJN o от N для
параллелыю-последовательноrо поиска БПАРМ тех же длин при
том же значении Р лр . Как видио, при числе корреляторов. ДOCTa
точио малом по сравиению с длииой N. применеиню СI\ сопутству
ет ускоренне (по сравнению с использованием БПАРМ) процеду
ры поиска на неско.ЛЬКО ПОРЯДКОВ. Так. при '11  10' и NK 102 про
должителыюсти поиска СК н БПАРМ отличаются более чем на
два порядка, а при N к  1  более чем иа три порядка.
Помимо Toro, если дЛЯ БПАРМ из"енеиие N K от NI дО 1 co
провождается пропорциоиальиым ростом времеии поиска (для
N  10', Pnp0.99 примерно в 105 раз). то для СI\ «чувствитель
WOCTb» К ЧIIСЛV каналов HaMHoro слабее  при тех же N и Р пр И
уменьшении N к от N 1 до 1 длительиость поиска возрастает Bce
ro примерно В 60 раз.
Зависимости для бииариых СI\ прошли бы несколько выше
сплошных лнний на рис. 7.2. одиако, так как зиачеиия l' даже для
неблаrоприятиых сочетаиий М, и n (см. табл. 7.1) ие ВЫХОДЯТ
за пределы 2... 3 дЕ, выиrрыш в продолжителъности ввода в син
хроиизм дЛЯ СI\ по сравиеиию с БПАРМ остается весьма внуши
тельиым. отличаясь от выиrрыша. присущеrо мноrоуровиевым
СI\. не более чем в 1,5... 2 раза.

"
......,
'. ,
1', " Н=-10 6
'. , ,
1', ......, /О' ,
1'. "' "
1', /о' , "
:::--... '- "
---...:::  H106 ...., "
--.... ....
1---------
/0' I /О'
10
102
10'
N.
Рис. 7.2
(7.13)
3

<ПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
26. Ипатов В. л. Об оптпмизаuии парамеТРО8 периодических составных сиrн.и
пов//Вопросы обработки сиrналов/ЛЭТИ  1978.  Бып. 2.  С. _ 38.
27. Ипатов В. Л. Выбор пары периодический фаЗОМ3НИПУЛИРОВ8ННЫИ сиrнап
фильrрilИзв_ ПУЗОВ СССР. Сер. Радиоэлектроника.  J978.  Т 21, М 4_ 
С. 6061.
28_ Ипатов В. П. Троичные послеДовательности с ИДеальныци периодиqескимн
автокорреЛЯЦИОННЫМJI СБойствам.иllРадиотехника u электроника.  1979_ 
Т. 24. 1'<, 10.  С. 20532051.
29_ Ипатов В. П. К теории троичных последовательностей с IfдеэльНЫМИ псрио
Дllческими автокорреnяционпыми cboH-ствами//Радиотехника и электроника. 
1980.  Т. 25. N, 4.  С. 123121.
30_ Ипатов В. Л. Синтез пары бинарный периодический сиrиаnфильтрI!Изв. ву-
З0В СССР. Сер_ Радиоэпектровика.1980.Т. 2З, N!! 4.c. 5ббl.
31 Ипатов В Л l(аМ8.JIетдннов Б. Ж. Ансамбли р-ичных последовательностеii"
. беНТ-ФУН1\нй7изв. вузов СССР. Сер. Математика.1988..N9 3.C- 2б-.........
32.
З2. Ипатов В. л.. Самойлов И. М. Оптимальные свойства ансамблеи бинарных
последовательностей//Радиотехника и злектроника. 1198б.  Т. 31, N!! 12. 
с. 23842389.
зз. Ипатов В. л., Самойлов И. М. Влияние поrрешностеи формирования нз KOp
реляционные характеристики ансамблей периодических дискретных сиrналов/J
Изв. вузов СССР. Сер. РаДИО9лектроннка..1987.Т. зо, N!! З.С- 4
44.
34. Ипатов В. л., Федоров Б. В. Реrулярные бинарные последовательности 
малыми потерями На подавление боковых лепест-ков/IИзв. вузов СССР. Сер.
Радиоэлектроника.  1984  Т. 27, Н!! 3.  С 29------34.
35. Ипатов В. л., I(азаринов ю. М., КорниевскиА В. И. Синтез сиrналов w
фильтров в заДачах. разрешенннJ/Зару6ежная радиоэлектроника.  1980. 
М 2.  с. 318.
36. Ипатов В. л.. I(амапетдинов Б. Ж., Иовосельцев д. В. Эквивалентная ли.
неиная сложность троичных поспеДовательиостей с пдеа.nьнымп aBTOKoppe
пяционныии своffствами/lРадиотехнвка и электроника.  1989.  Т. 34r
N, 11.  С. 2451 2454.
37. Ипатов В. л.. Коломенский Ю. А., Шарапов Л. В. Потенциальные возмож
ности COfJIaCOBalIHblX двоичных ко,Дов//радиотехиика .и электроника.  1975r
 Т. 20, М 4.  с. 1I5119.
38. Ипатов В. л., I(О.1l0менскиА Ю. А., Шарапов Л. В. Об оn.ном методе обра.
ботки последовательностей быстроrо поискаf/Радиотехника н элеКТРQника. 
1915.T. 20, М 8.C. 11З81141.
39. Ипатов В. л., I(орниевскнн В. И., Шутов В. К. Эквивалентность задач C"H
теза двоичных шумоподобных Ф М и МЧМ сиrналов//Ра,ДиотеХRика и 9лект
роuика. 1989.T. 34. М 1.C 14021401.
40. Ипатов В. л., Ллатонов В. д.. самоилои И. М. Новый класс троичных
последовательностей с идеальными периодическими автокорре.rlЯЦlЮННЫМИ-
своЙ'ствами//Изв. вузов СССР. Сер. Математика. 1983.M з.с. 470.
41. Камалетдинов Б. Ж. Троичные последовате'1ЬНОСТП с идеальными период1Н
ческими автокорреляuионпыми свойствами//Радиотехника и электроннка.
1981.T 32, N, 1.C.112.
42. I(амалетдннов Б. Ж. Оптимальный ансамбль бинарных последовательностей
на основе объединения ансамблеЙ последовательностеЙ Касами и бентфупк
цииflПроблемы передачи информации. 1988.T. 23, Н9 2.c. 10101.
43. I(ннкулькии И. Е., Рубцов В. Д., Фабрик М. А. Фазовый метод опреn.епе
ния коор.аинат.  М.: Сов. радио, 1979  280 с.
44. Коржик В. И. , Финк л. М. , Щелкунов К. Н. Расчет Пdмехоустоичивости-
систем передачи дискретных сообщений: Справочник.  М.: Радио '1i связь,
1981.2З2 с.
45. I(орн f.. I(орн Т. Справочник по математике: Пер. с аиrп-!Под ред. Н. r.
Арамановича.  М.: Наука, 1984.  БЗ] с.
46. I(ОСТРИКН" А. И., Манин Ю. И. Линейная алrеtiра в rеоцетрия.  М.: Нау.
ха, 1988.  304 с.
1. АйеРЛ9НД К., Роуэен М. Классическое введение в современную теорию чи
сел: Пер. с анr.'I.{Под ред. А. Н. Паршина.М.: МиР. IIБ1.4Iб с.
2. Алексеев О. f. l(oMMeKcHoe ПрИNенение методов дискретнои оптимизацИiИ 
М.о Наука, 1981.  248 с.
з. Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи.  М.:
Сов. радио, 1971.  41б с.
4. Бакулев Л. А., степин В. М. Методы и устройства селекции ДВИЖУII]JIХСЯ
целей.  М.: Радио и связь, 1986.  288 с.
.5. Батнщев д. И. Мето,Ды оптимаlьноrо проектированив.  М.: Радио и связь,
1984.  248 с.
f). Березин л. В., Вейцель В. А. Теория и проектироваине радиосистем.  М.:
Сов. ра.!I:JfO. 1977.  448 с.
7. Биркl'Оф f., Барти Т. Современная прнкладиая aпre6pa: Пер. с 3HrJl.  М.:
Мир, 1916.400 с.
8. Блейхут Р. Теория и практика кодов, КОНТРОЛИРУЮЩИХ ошибки: Пер. с
анrп-/Под ре.а. К ш. Зиrзнrирова.М.: Мир, 198б.57б с.
9 Вакман Д. Е. Сложные сиrнаJJ.Ы и прииuвп Ilеопределе-нности в радиооока.
llИИ.М.: Сов. радио, 19б5.З04 с.
10. Вакман Д. Е.. СедлецкиА Р. М. Вопросы синтеза Р3JliИолокационных сиrиа
ОВ.  М.: Сов. ра.дио. 1973.  312 е.
J 1 Ван дер Варn.еи Б. л. Алrебра: Пер. с нем.jПод ред. Ю Н. Мерзлнкова. 
М.о Наука, 1916.  648 с.
12. 8аракин Л. Е. Теория сложных сиrиаnов.  М.: СОВ. радио. 1970.  376 с.
13. Варакин Л. Е. Теор-ия систем сиrналов.М.: СОВ. рад1НО, 197B.304 с.
14 Варакин л. Е. Системы связи С шумоподобнымн сиrналами.  М.: Радио и
связь, 1985.  384 с.
15 Виноrраn.ов И. М. Основы теории чисел.М.: Наука, 1981. 17б с.
16 Вопросы стаТИСТИIJеской теории радиолокаuии. Т. 2/П. А. Бакут, Н. А. Боль
шз'Ков, Б. М. repacHMoB и др.; Лод ред. r. п. TapTaKoBcKoro. M.: СоВ.
радио, 1964.  1080 с.
17_ rабидулин э. М., Афанасьев В. Б. Кодирование в радиоэлектронике. M.:
Радио н связь, 1986. '176 с. -
18. fилл А. Линеiiные последовательностные машины: Пер. с анrл./Под ред.
я. з. uыпинна.  М.о Наука. 1914.  288 с.
19. fОНОРО8СКМЙ И. с. Радиотехнические uепи и сиrнапы.М.: Радио и связь,
1986.512 с.
:20. fpaHHUbl боковых пепесткQ.В периоднческоrо ;J.HCKpeTHoro сиrнала в ШИрокой
доплеровскоЙ полосе/В. л Ипатов, В. Н Корппепскии, В. д. Пnатоиов,
и. М Самоилов//РадиотеХНJlка н электроника.  1984.  Т. 29, N 2. 
С 228234.
21. fYTKH" л. с. Прое'Ктирование радиосистем и радиоустройств.  М.: Радио
он свнзl>. 1986.  288 с.
22. Дискретные сиrналы с непрерывной фазойJВ Б. Пестряков, А К Белоцкий,
В и. Журавлев, Л. Н. Сердюков)/3арубежнан радиоэлектроника.  1988. 
М 4.  С. 131.
23. ДЯДlOнов Н. f., Сенин А. И. Ортоrональиые IИ квазиортоrОRальные сиrна-
лы.М.: Связь, 1977.224 с.
'24. Журавлев В. И. Лоиск И синхронизация в широкополосных системах.  M.
Радио и СВЯЗЬ. 1986.  240 с.
25. Ипатов В. Л. Полное подавление боковых лепестков пеРИОдИческих корре.
ЛЯцнонных функций фаЗОМ3НИПУJlИрованных сиrналов)/Раднотехника и злект
роННХа.  1971.  Т. 22. N, 8.  С. .1600 1606.
144
145

47. Кошевой В. М. , Свердлик М. Б. Синтез пары сиrнал.фильтр при дополни
тельных оrраничеuинх//РадиотеХRИка и электроника.  lЭ76.  Т. 21, М 6.
 с. 12271234
48. Кук ч.. Бернфельд М. Радиолокационные сиrнапы: Лер. с анrп.fПод ред.
В С КеЛЬЗ0на.М.: СОВ. радио, 1971.5б8 с.
49. Ланкастер п. Теория матриц: Лер. с анrл.М.: Наука, 1978.280 с.
50. Левенwтейн В. и. rраницы для упаКОВОК в метрических пространствзх и
неКОТОрЫе ИХ при.nоженияllЛроблемы кибернетики.  М.: Наука, 1983. 
Вып. 40.c. 411O.
51. Лидл Р., Нидерраiiтер f. Конечные поля: В 2<'( т. Лер. с анr.n.{Под ред.
В. И. Нечаева.М.: МИР, 1988.822 с.
52. Лосев В. В., Бродская Е. 6.. Коржик В. и. ЛОИСК И декодирование слож.
ных дискретных сиrна,nов.  М.: Радио и связь, 1988. 224 с.
53. Макаров с. Б., ЦИНИН и. А. Передача дискреТJlЫХ сообщений по радиока.
палам с .оrраниqенной полосой пропускания.  М.: Радио и связь, 1988. 
304 с.
6-4. МакВипЬRМС Ф. Дж., СЛО9Н Н. ДЖ. А. Теория кодов, исправляющих ошиб.
ки: Лер. с анrл-!Лод ред. л. А. Бассаnыrо.  М.: Связь, 1979.  744 с.
55. Методы маlШПУЛЯЦИИ и приема uифРОВЫХ qаСТОТНОМОДУJlИрованных сиrна
.nов с непрерывноЙ фазоЙ/В. В. Крохин, В. ю. Беляев, А. В. rореЛИКDВ "
др./JЗарубежная радиоэлектроника.  1982.  Н2 4.  С. 5872.
.56. Минимальный }'ровснь боковых лепестков периодическоrо дискретноrо сиr.
нала в широкой конеЧНQЙ допперовскоЙ полосеjВ. Л Ипатов, В. И. Корни.
евский, В. Д. Ллатонов, И М. СамойловlIРадиотехника и эnектроника. 
1984.T. 29 N, 2.c. 235241.
57. Нижние rран"ицы уровня боковых лепестков взаимной функции неопределен
НОСТИ пары периодическиЙ дискретныЙ сиrиалфи.nьтр в узкон доплсровс
кой полосеjВ. Л. Ипатов, В. и. Корнисвс.кий, В. д. ЛлаТОНQВ, и. М. Ca
моЙ,nонj{Раднотехника и злектроника. 1985.T. ЗА, Н2 10.C. 1962
1969.
.58. Поиск, обнаружение и измерен-ие параметров сиrналов в радионавиrацион.
ных системах/В. п. Ипатов. ю. М. КазаРНlIОВ. ю. А КоломенскиЙ, ю. П
УЛЬЯНИЦКНII.  М.: СоВ. раllИО, 1975.  296 с.
"59. Помехозащищенность радиосистем со сложными сиrналамиjr. 1-1. Тузов,
В. А. Сивов, В. И. Лрытков И др.; Под .a. [. и. Тузова.М.: Радио и
связь, 1985.  264 с.
.fю. Сарвате д. В., Персли М. Б. Взаим()корреЛЯl1ионные свщiства псевдослуqаn
ных и родственны,.;: последовательностеiI/IТИИЭР.  1980.  Т. 68, Н2 5. 
С. 5990.
61. Свердлик М. Б. ОптимаЛЫiЫе дискретные сиrналы.  М.: Сов. радио, 1975. 
200 с.
62. Сетевые спутниковые радионавиrацпонные системы}В. С. Шебшаевич, п. П.
Дмитриев, Н В Иванuевич и цр.; Лод ред. п. Л. Дмитриева и В С. Шеб
ШаевИча.  М.: Радио н СБЯЗЬ, 1982.  272 с.
63. Сидельников В. М. О взаимной корреЛЯl1ИИ uоследовательностей//Проблемы
кибернетнки.М.; Наука, 1971 Вып. 24.c. 1542.
64. Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь; Лер. с 811rл jПод ред. В. В
Маркова.  М.: Связь, 1979.  592 с.
65. Стапдер, Кан. rраничные значения для пяков корреЛЯЦИОИlJЫХ функuий "е.
Рlюдически.!\ дискретных последовательностеиl!ТИИЭР.  1964.  Т. 52,
N, 10.  С. 1362.
66. Стиффлер Дж. Дж. Теория синхроНlIOЙ связи: Лер с аиrп./Под ред. э. М.
rаБИДУЛlJна.  М.; Связь, 1975.  488 с.
67. Теория 06Е1аружения сисналовjЛ. с. Акимов, n. А. Бакут, В. А. Боrдановиl./
и др.; Лод ред. п. А. Бакута.  1\1..: Радио и связь, 1984.  440 с.
68. Трахтмзн А. М., Трахтман В. А. Основы теории дискретныx сиrналов на
конечны,.;: ннтервалах.  .1..; Сов. радио, 1975.  208 с.
69. Тузов r. и. Статистическая теория приема сложных сиrпаЛов.  М.: СОВ.
радио, 1977.400 с.
70. ФинlК Л. М. Снсяалы, помехи, ошибки.  М.: Радио и связь, 1984.  256 с
71. Холл М. Ком6инаторика: Пер. с анrл.jПод ред. А. о. rельфонда R В. Е
Тара1\.аНОВ8.  М.: Мир. 1970.  424 с.
72. Шумоподобные сиrналы в системах передачи ннформации/В. Б. ПесТрЯХО8..
В. Л Афанасьев, В. л. rурвиц и др.; Под ред. В. Б. Пестрикова.  М.:
Сов. радио, 1973.  424 с.
13. Alltop W. о. Complex sequences \vith low periodic correlationj ЛЕЕЕ Trans. 
1980.  v. !Т-26, N, 3.  Р. 350354.
74. B8umert L. о. Cyclic different sets.  Berlin  HeideIberg. New York: Sprin
RCt Ver\.g, 1971. 166 р.
75. Games R. А., СЬап А. Н. А fast algorithm for determing the complexity of а
binary sequences with period 2 n j/lEEE Trans. 1983.V. IT-29 М 1.P
1146. ' .
76. Gold R. Optimal Ыпасу sequences for spread spectrum multiplexingj jIEEE
Тr.пs. 1967. v. !Т.I3, М 4.P. 619621.
77. Uoldberg В.  G. Code division multiplexing Ьу frequency shifted biphase-
шоdul.lсd Мsеquепсеs//IЕЕЕ Тrапs. 198\.V. AE517 N, 2.P_
303304. '
78. Hoholdt Т., Justesen J. Теrnасу sequences with penect periodic autocorreIati
оп//IЕЕЕ Тrапs.  1983.  v. !Т.29, N, 4.  Р. 597600.
79. Китат Р. V., Scholtz R. А., Welch L. R. Generalized bentfunction and their
properlics//J. 01 СошЬ. ТЬеоту. 50Т. А.  1985. v. 40, N, 2. Р. 90107.
80. Olsen J. о., Scholtz R. А., Welch L. R. Bentfunction scqucncesj/lEEE
Тrапs.  1982.  v. П.28, N, 6.  Р. 858864.
Вl. Rolh.us о. S. Оп Ьепl-Iипсliоп//J. 01 СошЬ. TbeOTY. 1976.  v. 20, j',; 3.
Р. 300305.
82. Rueppel R. А., Staffelbach О. J. Products of Iinear recurring sequences with
шахim.l спшрlсхitУ//lЕЕЕ Ттвпо. 1987. v. !Т.33, N, I.P. 124131.
83. Schol!z R. А., Welch L. R. GMW sеquепсеs//IЕЕЕ Ттапо. 1984. v. !Т-
30, N, 3.  Р. 549.....553.
84. Shedd о. А.. Sarwate D. V. Construction of sequences with good соrrеlаtiоп.
proper!ics//IEEE Тrапs.  1984. У. П.25, N, 1.  Р. 9497.
146

JlРЕДМЕТНЫП УКАЗАТЕЛЬ
АВТQкорре"lЯUПОНН8Я функция:
периодическая 10
частотновременная 9
  пеРllодическая 10
Алфавит весовых МНОЖlпелей 30
 кода 25
Ансамбль последовательностей:
бинарных 108
:мноrофаЗНhlХ 108
рфаЗllЫХ 117
сиrналов 8
частотносдвинутых М 113
Базис 38
дуальиыЙ 17
БеllТфУНКUIIЯ J21
fОМQМОРфИ3М 35
rруппа 33
аддитивная з4
коммутативная 34
конечная 34
МУ"IЬТИПЛI!l<ативная 34-
l.I.Ilклическая 34
Дефект полярной формы 115
Децимация 69
ИНдекс 69
Код 5
длина 6
Зинrера 33
соrласованный 139
 бинарный 140
Кодовая пос.rтеДОВ8теЛьИОСТЬ 5
Компонент соrласованното кода 138
I(орре.пяционная функция взаимная:
апериодическая 11
импульсная 1I
лернодиqеская 10
частотвовременная 8
 периодическая 9
Корень из еДИНИUhl первообразиыЙ 35
 мноrочлен 41
Коррелятор 8
Лепестки боковые 14
YXYPOBHeBыe 24
одноуровневые 24
Мксиму:м корреляuионноrо выброса
107
Мнилуляция без разрывов фазы 6
 максимальная частотная 6
Матриuа [рама 17
 корре'1ЯЦ80нная 17, 19
148
,
/V1ноrочлеu 39
минимальный 41
ПРИМИТИ8НЫИ 42
/V1ножителн весовые 15
Мощность праВИ.'1а кодирования 68
.J\'1последовательность 4. 28
 рфазная 11 б
Образующая 116
Объем неопределенностu нормиро
ванный 88
Оruбающая комплексная 5
Операции бинарная 33
Определитель [paa 20
Отражения 14
Пара сиrнаkфИЛЬТр 12
Пикфактор 26
Лоrрешности реализационные 103
Лодrруппа циклическая 34
Лодполе 37
Лоле:
raJIya 36
конечное 36
простое 37
ЛОlИНОМ 39
I1еприводимЫЙ 40
Полоса доплеровская 81
узкая 93
широкая 88
 конечная 90
Помеха:
взаимная 106
синхронная rармоническаи 99
ПОрЯДОК rруппы 34
 поля 36
 элемента 34
Последовательность:
бентФункций 128
бинарная 27
 rлоGалъно оптимальная 29
 минимаксная 28
 на ОСllове линеннпп послеДО8а
тельности 41
     и pa31IOC'IHOrO MHO
жества 51
быстроrо поиска 133
rолда 121
[ордона  Миллса  Ве.;1Ча 28
Касами 129
квадратичных вычетов 28
линейная 44
 рфазпап 121
максимальной длины 46

манипулирующая 5
мноrофазная 27. 110
составная 58
троичная 61
 над плем нечетноR :характери
стики 64
   характеристики два 74
Холла 28
Чанrа 62
Якоби 28
Потери изза рассоrласовзнности 19
Радиоямпульс стандартный 5
Размерность 38
Разностное множество 31
PaHr ПОJIярноit: формы 115
Расширение 37
Сиrнзл;
импульсный 5
периодический дискретный б
фазоманипулированный б
 бинарныЙ 6
фИИИТНЫЙ 5
След матрицы 20
 элемента поля 42
Степень расширения поля 39
Теорема Ферма 41
I
I
Фильтр;
внутрипериодный 15
инверсной обработки 19
подаВЛеНИЯ боковых лепестков 16
соrласованный 8
Форма билинеииая 114
  симметрическая 114
  снмплектическая 114
 квадратичная 114
Функи"я:
иеопределенности периодическая 11
  взаимная 10
рассеяния 21
целевая 28
Характер аддитивный 47
 rруППЫ 35
 tМзначНый 35
  мультипликативный 41
Характеристика поля 36
Эквивалентная линейная СЛQJКНОСТЬ
85
Э:lемеит:
дискретноrо сиrнала 5
единичный 34
неитраЛЬRЫИ 34
нулевой 34
обратный 34
ПРИМИТИБНЫЙ 42

lJrЛАВЛЕНИЕ
f1редисловие .
r п а Б а 1. Периодические дискретные снrна.пы: сводка определеннй н
предпосылки к задача.. синтеза
ll_ Моде.'Ш и классифнкзuия дискретных спrналов
1.2. Корреляционные ФУНКЦИИ и функции неопределенности периоди
ческнх дискретных СНТ1U!lJЮВ .
1.3. Задачи синтеза периодических дискретных снтналов
r JI а в а 2. Фильтры пода8JIеННА боковых .пепестков н оптимизация ne
риодических дискретных снтнапов.
2_1. Фильтр подавления боковЫХ лепестков
2.2. Фильтры nод.шлении боковых лепестков ДЛЯ снrналов с HeKOTO
рымн стандартными периодичеСКНМII автокорреЛЯЦИОFlНЫМН ФУНК
ЦИЯМИ .
2.3. Критерий оптимальности сиrналов
r JI а в а 3. Бинарные послеДовательности с малыми потерями на полное
подавление боковых лепестков 27
3.1. Комментарии к подходу. 27
3.2. Прямой синтез оптимальных бинарных ПОС.'1едовательнос.тей 28
3.3. Бинарные последоваТельносТИ на основе разностных множеств 31
3.4. Конечные поля и линейные ПОCJJедовательности 33
3.5. Бинарllые последовательности иа основе '11IНейнI..oJХ последова
тельностей IIaД конеЧIIЫМII полями 47
3.6. Составпые последовательности 58
r л а в а 4. Троичные последовательности с идеа.пьными периодическими
автокорреляuиониыми свойствами
предпосылки и Itраткий обзор
последователыlOСТИ над полями
4.1. Исходные
4.2. Троичные
ТИК
4.3. ТРOllчные последовательности над полями характеристики дnа
4.4. Составные троичные ПОСJIедовательности
4.5. Эквивалентная ..'1ннейная сложность троичных последовательнос
тей
"ечетных характерис
r л а в а 5. Некоторые дополнительные оценки качества пар периодпчес
КIIИ дискретный: сиrналфи.пьтр
5.1. Уровни С)ОКОВЫХ лепестков в симметричных "омеховых зонах H
нулевой ширины
5.2. 1\.ачество обработки пер"одичееких дискреТrIЫХ сиrналов в при 
158
61
61
сутствии помех с сосредоточенным спектром 99
5.3. Чувствительность пар nДСфИJ]ЬТр к реализационным поrреш
ностям . 102
3
r л.з'8 а б. Оптимальные ансамбли периодических дискретных сиrна.пов
6.1. Критерии качества ансамблей периодических дискретных сиrна
лов
6.2. АнсамБЛl1 простеliших мноrофазных последовательностей
6.3. Необходимые математичеСКИе дополнения
6.4. Ансамбли р--фазных последоnательностей
6.5. Ансамбли бинарных последовательностей
106
5
5
106
110
\13
116
124
8
\1
r л а в а 7. Кодовые последовательности, минимизируюшие вреМЯ вхож
дения в синхронизм
7.1. Содержание задачи
7.2. Оптимальные MHOI"0ypoBHeBble последовательности
7.3. Бинарные cO["JlaCOBaHHble коды.
7.4. Эффективность соrласованных кодоВ
<:'писок литературы
132
132
134
139
141
144
14
14
23
26
ИПАТОВ ВАЛЕРИИ ПАВЛОВИЧ
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИПIAЛЫ С ОПТИМАЛЬНЫМИ
КОРРЕЛЯЩЮННЫМИ СВОйСТВАМИ
64
74
83
Заведующий редзкuией В. Н. Вяльцев Редактор э. М. fорелик
Художественный редактор Н. с. Шеин Обложка художника В. Ф. fpOMOS3
е'\:НIIЧet."КИй редактор Т. Н. 3ыкина Корректор Т. л. I(ускова
85
Бухаrа типоrр. ]1(9 2
Уел. печ. л. 9,50
Тираж 2000 5IK3.
Лодnнеаио в печаТЬ 28.02.9З
rариитура п:итературная
Уел. Kp.oтт. 9.75
Из.ц.  2285j!
В7
дано в набор 17.06.91
арМат БОх901/1
.печать высокая
ч IIЭД. n. IО.БО
3.IK ]1(979
COM
87
Иэдатепьство ссРадяо В связь». 101000 МОСКВа. Почтамт. а/я 693
Типоrрафии издательства «Радио n евизЬ:'. 101000 Москва, уп. МЯСПИЦК8И, д. 4D