/
Author: Шёпф Х.-Г.
Tags: оптика физика квантовая физика электромагнитные волны тепловое излучение
Year: 1981
Text
Х:Г Шёпф
От КИРХГОФА
до
ПЛАНКА
VON KIRCHHOFF
BIS PLANCK
Theorie der Warmestrahlung
in historisch-kritischer Darstellung
von
HANS-GEORG SCHOPF
Akademie-Verlag" Berlin 1978
Х:Г Шёпф
От КИРХГОФА
до
ПЛАНКА
Перевод с немецкого
под редакцией
д-ра физ.-мат, наук
Д. Н. ЗУБАРЕВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
ББК 22.317
Ш48
УДК 535. 23
Шёпф Х.-Г.
Ш48 От Кирхгофа до Планка. Пер. с нем./Пер
Л. Г. Мищенко; Под ред. н с предисл. Д. Н. Зу
барева. —М.: Мир, 1981.—192 с, ил. 9.
Книга проф. Х.-Г. Шёпфа (ГДР) представляет собой краткс
изложение истории развития теории теплового излучения. Авто
очень иитересио преподносит ее читателям: в первой части он и;
лагает теорию теплового излучения с современной точки зрент
во вторую часть включает оригинальные работы основоположнике
теории теплового иалучения — Кирхгофа. Больцмана, Вина, Рэле:
Планка.
Книга позволяет читателям (от студентов-физиков до широки
кругов научных сотрудников в области физики) познакомиться с oj
кой из наиболее ярких идей нашего века — идеей квантования н:
лучения.
Ш пл14/°п|Т08о. 66-81, ч, 1 1704020000 ББК 22.317 + 22.!
041@1)-81 530.1 + 53@8
Редакция литературы по физике
© Akademie-Verlag-Berlin 1978
ПРЕДИСЛОВИЕ
ГОРЁЮДА
ttiiMii М. = Г, ШРнфй солержиг оригинальные ра-
§«1и нншшмшлнжникон теории тсплоного излучения
И илпцнш in трико критические главы автора, где
PiMii'iHHriHyioiiiiiA мшериал изложен систематически с
§»1Р?ом niiipfMt'inioft точки зрения, однако по возмож-
Ищчи Шш (ко к оригинальным статьям классиков. Ее
iittop и составитель Ханс-Георг Шёпф — профессор
ifflttwi#tiH»i физики Технического университета в Дрез-
дада, ¦ -. •
Дйнпйи книга, несмотря на малый объем, охваты-
iiii почти нее важнейшие работы основателей теории
излучения. В нее включены работы: Г. Кирх-
cifi отношении лучеиспускательной способности
к его поглощательной способности; Л. Больцмана
i nnkoiic излучения абсолютно черного тела; В. Вина
р иконе смещения для распределения теплового из-
#|уч§шш но частотам; М. Планка о связи закона Вина
I штропией излучения в замкнутой полости (эта
ifiTM предшествовала его работам по квантованию
Излучения); Дж. Рэлея о нормальных колебаниях из-
Пучении п полости и законе распределения, получив-
цшм шнк'ледствии название закона Рэлея — Джинса.
i пошли также три статьи М. Планка, в которых
и его замечательное открытие квантования
, а именно вывод формулы Планка для рав-
I излучения как усовершенствование закона
Иння и соотпетствии с экспериментальными данными
II тряЯонпшшми термодинамики, ее вывод на основе
имнтопашш системы гармонических осцилляторов и
идем об элементарных квантах энергии и электриче-
I'iвя. Тихой подбор статей очень удачен, так как они
1ЛТ П tJTOO \XVttr\t
6 Предисловие редактора перевода
научных открытий в одной из важнейших областей
теоретической физики.
Вводные главы написаны очень интересно и До-
ступны широкому кругу читателей. Особая ценность
их состоит в том, что автору в результате тщательного
изучения первоисточников удалось исправить многие
широко распространенные неточности в изложении
истории создания теории теплового излучения. В част*
ности, он показывает, что «ультрафиолетовая ката-
катастрофа», связанная с именем Джинса, возникшая а
1905 г., не могла играть никакой роли при обсуждении
законов теплового излучения в 1900 г. Очень интерес*
но обсуждение гипотезы «естественного излучения»
как основы для возможного применения статистиче-
статистических методов к излучению. Чтение этой книги не толь*
ко интересно, но и очень поучительно; она дает воз-
возможность узнать по первоисточникам, как возникло
и развивалось одно из наиболее ярких направлений
развития физики этого века — идея квантования из-
излучения.
Перевод выполнен Л. Г. Мищенко при участии
А. Е. Рубинского. Для двух последних статей М. План-
ка использован перевод Р. Б. Сегаля из книги: Маке
Планк. Избранные труды. — М.: Наука, 1975.
Д. Я. Зубарев
ПРЕДИСЛОВИЕ
В учебных курсах теоретической физики (да и не
только этой науки) нередко подходят с совершенно
различной степенью тщательности к положениям фи*
зико-математического содержания (или им подобным)'
н к попутным историческим отступлениям. В первом
случае лектор, если только он претендует на чтение
серьезного курса, как правило, ие будет преподносить
слушателям такого материала, в достоверности кото-
которого он предварительно не убедился бы лично, хотя
проверка выкладок учебников, предпринимаемая с
атой целью, почти всегда подтверждает их правиль-
мость. Во втором же случае преподаватель слишком
часто принимает и передает учащимся исторические
сведения без проверки, хотя здесь обращение к перво-
первоисточникам могло бы показать, что мы нередко имеем
дето с историческими легендами. Я увидел это совер-
совершенно отчетливо, когда подготавливал юбилейный до-
клад к 75-летию квантовой гипотезы Планка, и тогда
Шш почувствовал необходимость изучения источников
р|1»дшествующего периода истории физики, с 1860 по
1000 г, Это время развития теории теплового излуче-
излучении, отмеченное именами Кирхгофа, Больцмана,
И Пина, Рэлея и Планка. Из работы над трудами этих
вещ них физиков и родилась данная небольшая книга.
I • псторико-научные притязания достаточно скром-
МЫ. Мм нидеемся, что нам удалось исправить по край*
тцш самые грубые из распространенных ошибок
Предисловие
в истории вопроса. Объем книги, однако, не позволил
показать иа общем фоне общественных и научных яв-
явлений личную судьбу и индивидуальный стиль каж-
каждого из названных исследователей и всесторонне оце-
оценить их вклад в научный прогресс.
Воспроизводя здесь тексты этих авторов, мы не
противопоставляем им «современное представление»
как якобы во всех отношениях наилучшее и наиболее
понятное. Напротив, мы старались держаться хода
мысли оригинальных работ, и тогда материал в из-
известной мере сам собой сложился в очерк теории теп-
теплового излучения в историческом аспекте. Из него, как
нам кажется, видно, что идеи и методы великих физи-
физиков, живые в.их первозданности, столь же глубокие,
сколь и простые, могут быть чрезвычайно полезны в
современном учебном процессе.
Мы всячески приветствовали бы использование;
данной книги студентами. Мы стремились к тому,
чтобы ее содержание можно было понять без спе-
специальной подготовки. Это, в частности^ послужило
одной из причин иаписания небольшой главы о статич
стической теории газов Больцмана. Другой причиной;
было, конечно, то важное значение статистики Больц-
мана, которое она имела для развития теории излу-
излучения.
Само собой разумеется, что и в физике необходим
критический подход к классическому наследию. Если
классики, g одной стороны, в некоторых пунктах про-
проявляют больше тщательности, чем это свойственно
современной учебной литературе, то, с другой сторо-
стороны, у них есть и места, которые не могли нас удовле*
творить в смысле стиля, математического аппарата
или логической строгости. Как мы поступали в таких
случаях, читатель увидит сам, сравнивая наше изло-
изложение с оригинальными текстами. Он сможет решить,
Предисловие
нисколько мы при этом действовали в духе авторов.
II одном случае, а именно, при обсуждении работ
Нлпнкп, предшестиоиаишнх осени 1900 г., мы ограни-
ограничились перепечаткой только краткой выдержки из них.
Это оправдывается тем, что шкшаниие работы имеют
большой объем и в сущности не иедут к цели. Мы
сочли, однако, уместным подробно передать их содер»
жшшс. В истории науки нередко оказывалось, что
крупные заблуждения порой больше стимулировали
научный прогресс, чем некоторые маленькие истины.
В немалом числе случаев только свет позднейших.
яканий Выявлял истины, которые уже содержались в
исходных оригинальных работах, но тогда еще не
могли быть замечены. Законная задача историко-кри-
тического анализа — извлечь их, хотя бы при этом и
пришлось мириться с анахронизмами. Такой характер
имеет гл. 6 дайной книги, содержащая интерпретацию
теории излучения Вина как теории классического газа
спешных корпускул. Нельзя писать о тепловом излу-
излучении, игнорируя корпускулярный подход к свету.
II тесной связи с этим стоит и проблема флуктуации.
Мы рассмотрели ее в гл. 7, которая тоже выходит за
пределы тесных исторических рамок.
Мы, разумеется, оставили в неприкосновенности
ufio ншченпн фнличееких величин, избранные авторами
Ириподнмын н'ксю». Дли удобстиа читателя важней-
важнейший и* пни мы • (миншпили ни стр. 185 с употреблен-
ними нами и чягтн I. При этом в тех случаях, когда
(>(i«tpiiiiPitii# оригинальных обозначений не представля-
представлялось по-шожиым или желательным, мы считали вполне
прйпимерпым в историческом изложении ориентиро-
впгься на продержавшиеся в течение десятилетий обо-
шшчения Планка.
Конечно, орфография оригинальных статей по-
исюду приведена к современной. Это было выполнено
10 Предисловие
маей женой при подготовке ею рукописи книги. Она-
же подобрала использованную оригинальную литер а»
туру. Я хотел бы сердечно поблагодарить ее за су»
щественный вклад в создание данной книги. Я при»
ношу также мою благодарность проф. Г.-Й. Тредеру
(Потсдам — Бабельсберг), который воодушевил меня
на эту работу и в дальнейшей проявлял к ней живой
интерес. В заключение выражаю искреннюю благо»
давность издательству Академн?Ферлаг за чуткое и
внимательное сотрудничество.
Дрезден, 30 октября 1976 г. Х.-Г. Шёпф
Часть 1
Глава 1
ГУСТАВ КИРХГОФ
И ЗАКОН ИСПУСКАТЕЛЬНОЙ И ПОГЛОЩАТЕЛЬНОЙ
СПОСОБНОСТИ ТЕЛА
Повседневный опыт убеждает нас в том, что тепло
передается не только посредством теплопроводности,
но и путем излучения, и что это тепловое излучение
должно быть тесно связано со светом. Солнце (как
и все раскаленные тела) посылает нам как тепло, так
н свет. Невидимые тепловые лучи отличаются от све-
световых лучей фактически только большим значением
длин волн. Таким образом, физика теплового излуче-
излучения представляет собой связующее звено между тер-
термодинамикой и оптикой, и в силу этого она с самого
начала была призвана способствовать созданию еди-
единой физической картины мира, а тем более впослед-
впоследствии, когда оптику стали рассматривать как ветвь
электродинамики. Этот фундаментальный характер
проблемы теплового излучения и заставил Планка в
конечном счете обратить на него внимание. Планк не
мог предвидеть, что объединение термо- и электро-
динамики разорвет рамки классической физики, а сам
он невольно начнет одну нз величайших революций в
[физике. Но именно это и делает столь интересной исто-
историю теории теплового излучения.
Она начинается с Пьера Прево. В 1809 г. Прево
установил, что излучение любого тела не зависит от
окружающей его среды. Исходя из этого, он развил
диалектическое представление о равновесии, при_ко-
при_котором нет затухания излучения и при котором испу-
испускание пропорционально поглощению (тепла, приноси-
приносимого излучением извне). Эта концепция стала образ-
образцом для всех более поздних теорий динамически рав-
равновесных состояний. В частности, она составляет фун-
фундамент всей теории теплового излучения.
/Ч /, f. Кирхгоф и закон испускания — поглощения 13
Теория теплового излучения вскоре пришла к по
пулпту о равенстве поглощения и испускания не толь-
только для всего излучения в целом, но и для каждой его
составляющей. В 1853 г. Ангстрем выдвинул предпо-
предположение, что тело «в раскаленном состоянии должно
испускать излучение всех тех видов, которые оно по-
поглощает при обычной температуре» [1]. Здесь налицо
еще недостаточное понимание явления, так как следо-
следовало, конечно, сказать «при той же температуре».
В 1858 г. Балфур Стьюарт провел исследование из*
лучения и поглощения тепла пластинками и пришел
к следующему выводу: «Поглощение пластинки равно
ее лучеиспусканию, И это справедливо для любого
вида теплоты (тепловых лучей)» [2].
Но только Густаву Роберту Кирхгофу принадле-
принадлежит заслуга раскрыть тонкий и глубокий смысл, скры-
скрывавшийся за такого рода представлениями. Его осно-
основополагающая работа «Об отношении между испу-
скательной и поглощательной способностями тел для
тепла и света» A860 г.) перепечатана (с небольшими
сокращениями) в этой книге1). Основанием для ста*
тьи Кирхгофа послужило открытие, сделанное за не*
сколько месяцев перед этим Кирхгофом и Бунзеном?
они обнаружили, что фраунгоферовы линии поглоще-
поглощения в солнечном спектре совпадают с линиями испу*
екания известных паров и газов. Кирхгоф расценил
свое открытие как доказательство того факта (весьма
существенного для нашего представления о мире), что
материя н вне Земли представлена известными нам
химическими элементами. При этом он, разумеется,
не мог знать, что в большинстве случаев свечение га»
зов вызывается химическим или электрическим воз-
возбуждением, и поэтому совпадение линий поглощения
й испускания здесь не может быть объяснено теорией
теплового излучения.
При каких же условиях можно говорить именно
о тепловом излучении? Если излучение падает на эле-
') О Роберте Кирхгофе см. статью А. Г. Столетова [42];'
Прим. ред.
|4 . Част 1
мент поверхности какого-либо тела, то часть его отра-
отражается, а остальная часть проникает внутрь. Из про-
проникшего излучения некоторая доля снова выходит на-
наружу, а остаток поглощается. В случае теплового из-
излучения вся потерянная им при -этом энергия идет
исключительно на нагревание тела. Если же, наоборот,
излучение идет изнутри тела наружу, то часть его про-
проникла в тело раньше, а остальная часть производится
телом. В случае теплового излучения необходимая для
9того энергия отбирается у тела и оно охлаждается,
Больцман в некрологе, посвященном Кирхгофу, так
характеризует его физическое мышление: «Предель-
«Предельное уточнение гипотез, тонкая проработка деталей,
спокойное, даже эпическое развитие рассуждения с
железной последовательностью, без замалчивания ка-
каких бы то ни было трудностей и с освещением малей-
малейших неясностей». Хотя Больцман и называет с полным
правом статью Кирхгофа о поглощении и испускании
«художественно прекрасной», но как раз именно эта
Эпическая форма рассуждений иногда мешает пра-
правильно оценить сравнительную значимость отдельных
аргументов в доказательстве. В нашем изложении мы
сконцентрируем внимание на данном обстоятельстве,
©то тем более необходимо, так как в соответствии со
своими интересами Кирхгоф посвящает много места
рассмотрению оптических подробностей, и они почти
заслоняют термодинамику.
Предварительно мы напомним несколько необхо-
необходимых для дальнейшего понятий геометрической оп-
гнки и постараемся изложить их как можно проще.
Ограничения, налагаемые геометрической оптикой, по-
позволяют выбрать такие размеры, при которых можно
лренебречь явлениями дифракции. Лучи, заполняю-
заполняющие пустое пространство, классифицируются по их
длинам волн X и направлениям распространения s.
iTaK как не существует ни абсолютно монохроматиче-
монохроматического излучения, ни строго параллельного пучка, то
мы рассматриваем лучи определенного «вида», длины
волн которых лежат в интервале между % и % + d%,
а направления — вокруг оси s, образуя конус с узким
телесным углом dil. В точке х мы выделяем элемент
йоверхности dA, нормаль к которому образует, С
Гл. I. Г. Кирхгоф и закон испускания — поглощения 13
осью s угол Ф (острый). Для энергии, которая пере*
носится лучами данного вида через dA за время dt,
напишем
dW=*St(k, х, s)d%cos$dAdQdt. ~ A.1)
Так как пропорциональность dW величинам dA, dXt
<2Й, dt здесь очевидна, то выражение A.1) есть опре-
деление «удельной интенсивности» $. Оно выбрано
так, чтобы при ft = я/2 заведомо выполнялось есте*
ственнр необходимое условие dW = 0.
Далее, луч можно разложить на две компоненты,
линейно-поляризованные по направлениям а и Ь, пер*
пендикулярным друг другу и s. Интенсивности этих
компонент аддитивны; складывая их, имеем
$ = $а + $й. A.2)
Для неполяризованного излучения ®а = ®ь-
Пусть теперь в поле излучения находятся два элё-
мента поверхности dAi и dA%, линейные размеры ко-
которых малы по сравнению с расстоянием г между
ними. Лучи, исходящие из любой точки dA\ и дости-
достигающие с/Лг, образуют, как видно из рис. 1, конус
с осью s и отверстием с телесным углом
dux = dA2 cos ФгА.
размер которого с точностью до величин высшего по-
порядка не зависит от расположения точки на dA\. По-
Поэтому и потому, что в вакууме излучение не теряет
вперши, от dA[ к dA2 передается вся та энергия
tlWi^i, которая проходит через dA\ и определяется
мд» иным и параметрами:
dW\ ,;¦• Я'| til nw ft, riAi <lih dl • •
• М, ilk к -tin «i ilAi cos #2 dA2 dt/r2. A.3)
C.iiMMiMpitM (ипсн'итслыю геометрических величин дает
ociioiiniiiie для следующего полезного замечания: Если
в поле излучения энергия dW'i_»2, записанная в виде
A.3), передается элементом dA\ элементу dAz, то dAt
передает элементу dA\ энергию
. dWt+\ = t2 dX cos #i dAi dui dt, A.4)
т. е. в выражении A.3) заменяется только $i на J?z.
Прежде чем перейти к рассмотрению испускания
и поглощения излучения, отметим, что Кирхгоф начи«
Часть t
нает исследование не с любых излучающих тел. На-
Напротив (и это служит ключом к успеху), он в самом
начале вводит предположение о существовании неко-
некоторого тела, поглощение которого принимается по оп-
определению наиболее простым, так что остается иссле-
исследовать только его эмиссию. Речь идет об абсолютно
черном теле. Оно определяется как тело, которое во-
Рис. 1.
Рис. 2.
обще не отражает и не пропускает, а полностью по-
поглощает все падающее на него излучение» Испускае-
Испускаемое им «черное» излучение имеет универсальный ха-
характер. Оно одинаково для всех черных тел. Таково
содержание первой теоремы, выдвинутой Кирхгофом.
Кирхгоф окружает абсолютно черное тело С чер«
ными же стенками (рис. 2). Перегородка Si, в кото-
которой вырезано отверстие dAu также должна быть чер-
черной. Далее он рассматривает лучи малого интервала
длин волн и определенной поляризации; эти лучи, вы-
выходя из С, попадают через отверстие dA\ на элемент
стенки dA2. Несомую ими энергию dWi+2 можно
идентифицировать с энергией излучения, испускаемого
с элемента поверхности dA тела С:
dW^o^dWl^WdXcosbdAdQdt, A.5)
Га, 1. Г. Кирхгоф и закон испускания — поглощения 17
Otti не зависит от состояния поляризации, а также от
природы, формы и ориентации черного тела С. При
ifeiJ множитель <S° в выражении A.5) представляет
Собой универсальную функцию длины волны и тем-
температуры:
<?0 = <?°(А, Г). A-6)
В самом деле, если бы эта величина зависела от места
1миссии и от направления излучения или поляриза-
поляризации, то она была бы, конечно, жестко связана с те-
телом, что проявилось бы в пространстве при вращении
тела. Но так как величина dA cos Ф (связанная только
с пространством1)) и величина dW°ma (по теореме
Кирхгофа) остаются постоянными, то такого рода за-
зависимость существует не в большей степени, чем за-
зависимость от природы тела.
Кирхгоф под «лучеиспускательной способностью»
черного тела понимает dW4cn'> мы, однако, будем от-
относить этот термин к универсальной функции <S°.
Хотя приводимая в начале работы концепция тер-
термодинамического равновесия занимает в формулиров-
формулировке самое незначительное место, именно она служит
важнейшей предпосылкой для доказательства теоре*
мы. Это равновесие, как замечает Кирхгоф, сохра-
сохраняется, если dA% заменить сферическим зеркалом, ко-
которое посылает назад рассматриваемый пучок лучей.
Так как в обоих случаях С испускает одинаковую
энергию, то и поглощаемая энергия не может изме-
измениться. Но в обоих случаях поглощаемые лучи оста-
остались теми же самыми, за исключением того, что
вместо излучения, испускаемого элементом dA%, мы
имеем дело теперь с излучением, отраженным от зер-
зеркала. Таким образом, энергии, поглощаемые С в обо-
обоих случаях, должны быть равны друг другу. При этом
энергия, испускаемая dAz, не зависит от С, а следова-
следовательно, не зависит также от С и энергия во втором
случае. Но последний вследствие конструкции вогну-
вогнутого зеркала есть как раз энергия, испущенная самим
телом С в рассматриваемый телесный угол.
' *) То есть со взаимным расположением и формой выбранных
•лементов dA\ и йАгх см. работу Кирхгофа, стр. 125, § 1.—v
Прим. перев. '
18; Часть 1
Все это доказывает только, что излученная в неко-
некоторый телесный угол энергия, проинтегрированная по
всем длинам волн и поляризационным состояниям, не
зависит от рода излучающего тела. Эту независим
мость, однако, необходимо еще доказать и для каж-
каждого цветового интервала, и для каждого направления
поляризации в отдельности. Позднее в пересмотрен*
ной редакции своей работы Кирхгоф замечает, что та-
такой результат можно получить сразу, если отверстие
йА\ перекрыть фильтром, который полностью пропу-
пропускает излучение одного определенного цветового ин-
интервала и определенной поляризации, а остальное пол*
ностью отражает. Тогда проведенное выше рассужде*
ние будет относиться к составляющей излучения, про-
прошедшей через фильтр. Сегодня предположение о
фильтре такого рода представляется нам вполне пра-
правомерной идеализацией, по мнению нес Кирхгофа, оно
«ничем не оправдано».
Применим его сейчас в дальнейшем изложении,
так как это упростит последующую аргументацию»:
Кирхгофа и тем самым яснее выявит существенный;
факт: универсальная функция <S° (Я,, Т) имеет определен-
определенный смысл также и для любого теплового излучателя.
Если предположить, что в нашем мысленном опы-
опыте С является такого рода излучателем, то, конечно,
остается справедливым вывод, что должны быть рав-
равны между lofxifi <>Гнч 'лн-ргни dW\ и dW% которые
тело С поглощает либо п,ч пучка, идущего от dA%, либо
из излучения, отраженною or вогнутого зеркала (при-
(причем в связи с применением фильтра речь здесь идет
об излучении определенного вида):
dW{ = dW2. A.7)
Используя сделанное вначале (стр. 16} «полезное
замечание», можно энергию излучения, испускаемого
элементом поверхности dA2 на dA, записать в виде
dW°Hcn- При этом учитывается, что оно испускается;
черной стенкой. Это тот существенный пункт, который5
"в первую очередь сделал необходимым введение iio-j
нятия абсолютно черного тела. Для поглощаемой ча*|
сти энергии dW^zn запишем '•
AЩ
Гл. 1. Г. Кирхгоф и закон испускания — поглощения 19
Здесь необходимо особо подчеркнуть, что «поглоща-
тельная способность» зФ относится к излучению в на-
направлении —s, падающему на элемент поверхности С
В точке х.
Для энергии излучения, испускаемого элементом
поверхности dA в направлении s, можно, обобщая
формулу A.5), написать
dWaca — S (Я, Т, х, s) dX cos Ь dA dQ dt. A.9)
Кроме того, в том же самом направлении из dA вы-
выходит излучение, которое не было испущено телом С,
а попало в рассматриваемый пучок вследствие отра-
отражения и пропускания. Энергия его будет определяться
выражением
dWr, t = M(%, Т, х, в) ©> (Я,, Т, х, s) dX cos # dA du dt,
A.10)
где коэффициент ®° появляется в связи с тем, что это
излучение было испущено черной стенкой. Излучения
с энергиями dW,H-u n dWr<t полностью отражаются ре-
рефлектором обратно к AЛ, где доли их id- поглощается.
Таким образом, имеем
dW2 = ^(dWKcn + dWr.t). A.11)
Если мы подставим все полученные выражения в
A.8), то получим
°uf); A.12)
таким образом
т~Ш^Ьт-^°^т) AЛЗ)
есть функция, одинаковая для всех тепловых излуча-
излучателей и зависящая только от А, и Т.
В этом месте мы прервем ход рассуждений и об-
обсудим ту его модификацию, которую применяет Кирх-
Кирхгоф в § 11. Здесь (рис. 3) роль поляризационного
фильтра выполняет пластина Р, поставленная на пути
лучей, ибо ее можно расположить так, чтобы лучи
пучка, исходящего нз dA, после отражения от Р были
линейно-поляризованы в желаемом направлении.
Пусть зеркальное изображение dAz площадки dA%
даваемое пластиной Р, лежит на стенке полости; мы
Часть Ч
предположим дополнительно то же самое относитель-
относительно dA'— зеркального изображения dA. Если пере-
перекрыть прямой ход лучей, то лучи, идущие из йАг к
dA, будут вести себя так, как будто они исходят из
dAz. Но их энергия вследствие отражения от Р умень-
уменьшается в соответствии с коэффициентом затухания 91.
Рис. 3.
Поэтому вместо выражения A.8) имеем
dWl = a9idW0ma. A.8а)
Если теперь на место dA3 поставить вогнутое зеркало,
то для лучей, которые выходят из dA, падают на это
зеркало и отражаются обратно, будет иметь место со-
соотношение, аналогичное A.11). Так как на своем пути
эти лучи отражаются от Р дважды, то вместо A.11);
следует написать
«). AЛ1а)
Наконец, не надо упускать из виду, что от вогнутого
зеркала на dA попадают также лучи, которые выхо-
выходят из dA'.
Так как оба конуса на рисунке зеркалыю-симме-
тричны; то только что названные лучи обладают на-»
чальной энергией dW°mn. Если пластина Р не погло-
поглощает, то ослабление энергии при прохождении через
Гл. 1. Г, Кирхгоф и зшкон испускания — поглощения 21
нее будет характеризоваться коэффициентом A —Ж),
а при отражении от нее — коэффициентом 91; часть зФ
будет поглощаться. Итак, дополнительно принятая в
расчет энергия, поглощаемая С, имеет вид
Так как цветного фильтра не существует, то и те-
теперь составлять баланс энергии надо после интегри-
интегрирования по X. Тогда вместо выражения A.7) полу-
получим
J dWI = J dW3 + J dW3
к к к
или после всех подстановок будем иметь
st-W (б + й°М) dX + ^бФЯ, A
A.12а)
т. е.
^ X = 0. A.14)
В этом месте мы сталкиваемся с трудностью, ко-
которая возникает в связи с отказом от цветного филь-
фильтра. Из равенства нулю интеграла предстоит сделать
заключение, что подынтегральное выражение тоже
равно нулю. С этой целью Кирхгоф предполагает для
коэффициента отражения Ш пластины специальную
форму
A.15)
и выполняет исключительно красивое математическое
преобразование, подобное проведенному в § 3 для нн-
теграла того же тина. Расчет Кирхгофа не нуждается
в коммментарии. Точно так же мы не будем коммен-
комментировать физическую аргументацию § 3: легко видеть,
что она представляет собой упрощенную модифика-
модификацию проведенного выше рассуждения.
Формулу A.15) можно обосновать, опираясь на
предположение, что показатель преломления пласти-
пластины «бесконечно мало отличается от единицы». А это
означает, что 91 практически равно нулю, т. е. отра-
отражение почти отсутствует. Таким образом, можно ечн-
22 Часть 1
тать, что в основе теоретического эксперимента Кирх*
гофа лежит идеализация, идущая не менее далеко»
чем применение идеального цветного фильтра.
Результат такого теоретического эксперимента, ко-*;
торый, конечно, совпадает с выражением A.13), пока-
покажется, однако, почти тривиальным, если воспользо-
воспользоваться утверждением, сделанным в последнем пара-
параграфе оригинальной работы Кирхгофа. Речь идет не
о «следствии из доказанной теоремы», а о следствии
из определения черного тела, которое мы здесь сфор-
сформулируем следующим образом: излучение в непрони-
непроницаемой для него полости с любыми стенками есть
излучение черного тела.
Вероятность того, что проникший внутрь полости
через очень миленькое отверстие dA луч заметной ин-
интенсивности снопа отразится через dA наружу, исчё-.
зающе мала. Так как он, согласно условию, не может
проникнуть сквозь стенку, то он полностью поглотит-
поглотится. Если же излучение выходит через dA наружу (при
этом нарушением состояния равновесия можно преие-»
бречь), то оно ведет себя как излучение, испущенной
черным телом.
Полная энергия излучения данной длины волны,
прошедшего через dA, равна nQPdkdAdt'). Перед этим
излучение должно было пройти через некоторую по-
поверхность А, опирающуюся нл контур отверстия
(рис. 4). Используя выражение A.4), получаем
я©> = J д cos Ъ du = J $C cos О rfQ.
Л N
Здесь Si или SS* — значения интенсивности излучения
на поверхности А при двух различных положениях по-
полости (и отверстия,). Поскольку А может быть любой
формы, можно заключить, что- $ — постоянная, а так
как оставшийся интеграл равен я, то
' «(я., г)=е°(я, т), (Lie)
*) Нужно проинтегрировать выражение A.5) по направле-.
киям луней следующим образом:
f
\
f Г
W<p \
J J
0 0
Гл. 1. Г. Кирхгоф и закан испускания — поглощения 23
т. е. интенсивность излучения в полости повсюду рав-
равна лучеиспускательной способности черного тела.
Эта идентификация излучения полости е излуче-
излучением черного тела есть также один из важнейших ре-
аультатов рассмотрения, проведенного Кирхгофом. Он
Заказывает путь к экспериментальной реализации чер-
черного излучения, введенного вначале в качестве идеа-
идеализированного объекта: надо просто взять излучение,
Рис. 4.
исходящее из маленького отверстия полости. Далее,
теперь легко можно обосновать A.13) в виде ® +
}ir<<SPjf = <?°. А именно, при термодинамическом рав-
равновесии интенсивность й° излучения непосредствен-
непосредственно на поверхности помещенного в полость тела со-
состоит из интенсивности @ излучения, испускаемого в
направлении s, и интенсивности ОРЖ излучения1), от-
отраженного и пропускаемого в том же направлении.
Кирхгоф, однако, хочет доказать пс A.13), а соот-
соотношение
е^.мгй", A.17)
т. е. что «отношение лучеиспускательной способности
к поглощательной способности для иссх тел при одной
и той же температуре одинаково». Таким образом, не-
необходимо показать, что
а—1—Л. A.18)
Речь- идет, конечно, о некогерентном излучении.
2* Часть 1 . ". .' " ^_
В то время как Jt относится к излучению, которое ис-
исходит от тела в направлении s, М- есть поглощаемая
часть того излучения, которое падает на тело, посту-
поступая в направлении —s. Если М' — отраженная и про*
пускаемая часть этого излучения, то соотношение
$ф = I —л' тривиально. Напротив, выражение A.18);.
ни в коем случае не тривиально. В соответствии е<
этим разъяснение данного пункта занимает в работе.
Кирхгофа много места (§ 8—10).
Характерно, что современная учебная литература
обходит эту трудность, либо молчаливо вводя выра-
жение A.18) как определение s4-, либо ограничиваясь
рассмотрением очень специальных случаев, либо при-
приводя ошибочную аргументацию. Напротив, классиче-
екая литература (Кирхгоф, Гсльмгольц, Прингсхейм,
Планк) рассматривает эту трудность и приводит в
принципе следующую аргументацию: исходящий с эле-
элемента поверхности стенки dA\ луч после многократ-
многократных отражений и преломлений от тела С расщепляет-
расщепляется на несколько лучей, которые, в конце концов по-
поглощаются черной стенкой, например один из них в
dA2 (рис. 5). Пусть при этом его компонента, линей»
но-поляризованная в какой-нибудь плоскости а, пере-
переносит энергию 8W. Вследствие обратимости оптиче-
оптического хода лучей луч, испущенный из dA2 в противо-
противоположном направлении, попадет на dA\, Если теперь
предположить, что его линешю-поляризованная в пло-
плоскости а компонента также имеет энергию 6W, то!
М ~ М'< чем и доказывается равенство A.17).
Что касается этого предположения, то все авторы
ссылаются иа теорему взаимности Гельмгольца, ко-
которую цитирует также и Кирхгоф. С этой теоремой
связано одно любопытное обстоятельство: она нигде-
не была доказана с необходимой общностью. Для на-
наших целей мы постараемся обосновать ее следующим
образом. Выделим из полости черными перегородками
два частичных объема A) и B). Сделаем в них два"
отверстия с диафрагмами dAs и dA4 так, чтобы обмен'
энергией между объемами A) и B) был возможен'
только с помощью узких пучков лучей, проходящих
между dAi и dA2. Поставим перед отверстиями такие-
фильтры F, чтобы в обмене участвовало только почти
Гл. 1. Г. Кирхгоф и закон испускания — поглощения 25
монохроматическое излучение. Пусть, далее, эти филь-
фильтры будут прозрачны каждый только для одной — не
обязательно одной и той же с двух сторон — линейно-
поляризованной компоненты.
Примем, что определенные таким образом лучи пе-
переносят в направлении тела энергию dW как через
dAg, так и через dA±, а в направлении стенки часть
энергии 8W = ydW или соответственно y'dW. Так как
у
/
¦
\
/
J
Рнс. 5.
оба объема A) и B) посылают друг другу в точности
эти значения энергий, то для сохранения термодина-
термодинамического равновесия требуется, чтобы
Y' = Y. A.19)
Этот результат в каждом случае относится к одной
линейно-поляризованной компоненте луча, исходящего
из стенки. Читатель легко может усовершенствовать
это доказательство, если использует аргументацию
Кирхгофа (§ 9, 10). Теперь остается оправдать сде«
данное выше допущение о равных потоках энер-
энергии dW.
Предположим для этого, что расстояние между dA\
и dA3 равно 1 и расстояние между dA2 и dAK тоже
равно 1 и что все эти элементы поверхности располси1
Часть 1
жены перпендикулярно направлению излучения. Это
не ограничит общности рассуждений. Тогда при dAi,=*
= dxidyi (t = 1, 2, 3, 4) рассматриваемая энергия*
притекающая к телу, составит (учитывая сделанные
вначале выводы)
= Щ° dxx dyx dx3 dy3,
= <S° dx2 dy2 dXi dyt. (
. Но для пучка лучей, попадающих на стенку, опре-
определяющее значение в нашей конструкции имеет наи*
Рис. S,
меньшая диафрагма. Пусть это будет d/l3; следова-
следовательно, мы можем ограничить dA4 областью, которую
вырезает там приходящий б.олее узкий пучок лучей.
Но тогда оба выражения A.20) оказываются равными
друг другу, как и должно быть. Чтобы это лучше по-
понять, можно воспользоваться рассуждениями Кирх-
Кирхгофа, приведенными в § 8.
Согласно принципам геометрической оптики, две
точки определяют луч. Если луч проходит (рис. 6)
через точки {хи у{), (х3, (/3), (*4, у*), {xi, У2) или со-
соответственно от (x'v |/j) до (х?2, //2). то из 8 координат
независимыми будут только 4. Остальные будут функ-
функциями первых. Их можно рассмотреть, исходя из
принципа Ферма кратчайшего нремепп прохождения.
Гл. 1. Г. Кирхгоф и закон испускания — поглощения 27
При легко понятных обозначениях время реального
прохождения света из точки 1 в точку 2 составит
Аналогичное соотношение выполняется и для пути
света из точки 1' в точку 2'. Из принципа Ферма вы-
вытекает
и, следовательно,
TV2' - TV3 - Г^ < Тп - Тхг - Ti2. A.21)
Стоящее справа выражение есть именно то, которое
Кирхгоф использует для определения Х\, Ух, х2, Уг при
заданных хз, уз, xit г/4. Время iFi2 надо идентифициро-
идентифицировать со временем Ф~ = 3~{х\, у\, х%, Цг), а времена ^"is,
Wьг — с квадратными корнями в оригинальной работе
Кирхгофа. Как мы видим, выражение A.21) для ре«
алыюго пути луча определяет максимум, а не мини-
минимум, как пишет Кирхгоф. На чту ошибку уже в 1864 г.
обратил внимание Клаузиус [3]. Но здесь важно толь-
только то, что в точке экстремума первые производные
должны обращаться в нуль, а это (при сделанных
Кирхгофом предположениях) ведет к выражению
Хз = хх — дТ1дхх и т. д. A.22)
По элементарному правилу элемент поверхности
можно представить в виде
Отсюда, подставляя A.22)' и аналогичные формулы,
получаем
dx\ dyx йхг йуз =
д2ЗГ . д2ЗГ д2ЗГ
.Такое же выражение подобным образом можно найти
для dxidy2 dxudy*; этим [см. A.20)] и доказывается
равенство dWi = dW2 dW
28 Часть 1
Чтобы доказать правильность теоремы взаимно-
взаимности Гельмгольца, согласно которой для затухания в
обоих направлениях распространения имеет место ра-
равенство A.19), Кирхгоф рассуждает не так, как мы.
Если исходить из предпосылок Кирхгофа, то равен-
равенство проходящих в обоих направлениях излучений
можно показать или с помощью нашего мысленного
эксперимента, или же, как это делает Кирхгоф, по-
посредством только что разобранного оптико-геометри-
оптико-геометрического рассмотрения. Нам при наших более слабых
предпосылках понадобилось и то и другое. Мы, од-
однако, не видим оснований для вводимого Кирхгофом
различия в порядке малости «бесконечно малых» эле-
элементов.
Глава 2
ЛЮДВИГ БОЛЬЦМАН
И ЗАКОН ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ Г4
Как замечает Кирхгоф, его заключение о суще*
ствовании универсальной функции 6° (X, Т)= ®(i, T)
ставит перед физикой «задачу огромной важности:
найти функцию 6°{X, Г)». Первый шаг в этом направ-
направлении состоял в определении мощности, излучаемой
с единицы поверхности *):
Н(Г)= J $Ш$ cosddQ = я J StdX.
В 1879 г. в своей работе «О связи между тепловым
излучением и температурой» [4] Иозеф Стефан очень
тщательно анализирует ряд измерений Дюлонга и
Пти, а также Де ля Провостэ и Десэна. Он устанав-
устанавливает, что измерения находятся в удовлетворитель*
ном согласии с предположением
Первым поводом для этого предположения послу-
послужили опыты Тиндаля с излучением раскаленной пла-
платиновой проволоки. В опытах Тиндаля при нагрева-
нагревании от слабого красного каления (около 525 °С) до бе-
белого (приблизительно 1200 "С) шпененшюеть излуче-
излучения Бозроела и 11,7 pain, Оиюшсиие же абсолютных
температур и четверти пччичш ешнтлнло 11,6.
Эксперименты назнлиных ргпнч1 ннтороп касались
более низких температур (от 20 до 240°С). Термо-
Термометр с температурой Ti помещали и нокуумнронапиый
баллон с температурой Гг < Т\. Измерялись скорость
охлаждения V\ = df/dt. Стефан пишет соотношение
') См. примечание на стр. 22.
SO Часть 1
Здесь С — теплоемкость, А — поверхность термометра,
Н(Т\)—испускаемая и Н(Т2)—поглощаемая мощ-
ность, a D учитывает теплопередачу через оставшийся
в баллоне воздух. Измерения проводились последова-
последовательно с необработанной, зачерненной, посеребренной
и позолоченной поверхностью термометра. Если в каж-
каждом из этих случаев рассматривать величины vl и v\t
соответствующие температурам Т\ и Т[, то при вы*
полнении закона пропорциональности Г4 будет спра*
ведливо соотношение
, А. . ,
/4 = — (а - а') = const.
с
Г4 т/4 = —
м — м с
Именно это соотношение, как обнаруживает Стефан,
достаточно хорошо подтверждается, если в него под-
ставить измеренные значения и, и v\.
Измерения, которые Стефан анализирует еще е с
других точек зрения, проведены, как мы видим, не
с абсолютно черным излучением. Но лишь черное из»
лучение строго подчиняется закону пропорционально-
пропорциональности Г4. Это показал в 1884 г. Людвиг Больцман в
своей работе «Вывод на основании электромагнитной
теории спета .чамшп Стефана о зависимости теплового
излучения от темперагуры»; она приводится нами во
втрон чает д.митп кит п.
Для построении ieopiiii целесообразно рассматри-
рассматривать вместо величины й\ относящейся к потоку энер-
энергии, долю плотности энергии излучения, приходящую-
приходящуюся на интервал (к, %-\-d%). Эту величину обозначают
udk. Мы выведем для общего случая зависимость ме-
между it и й, причем через Й будем обозначать удель-
удельную интенсивность произвольного поля излучениЕ а
соответствии с A.1).
Для этой цели рассмотрим сначала излучение, рас-
распространяющееся в направлении s. Перпендикулярно
s возьмем элемент поверхности dA2 и построим на нем
цилиндр с образующей dl. Тогда.в его объеме dV —
= dAndl этот вид излучения будет иметь такое коли-
количество энергии dW, сколько ее будет перенесено излу-
излучением через йА% за время dt = dl/c, так как перенос
энергии происходит со скоростью света. Излучение
Гл. 2. Л. Больцман и закон пропорциональности Т* 31
с энергией dW испускается в направлении к dAi эле*
ментом поверхности dA\, находящимся на расстоя-
расстоянии г от dV, и определяется, согласно A.3)')> форму-
формулой
где du2 = dAi/r2 — телесный угол, под которым из
dV видна поверхность dA\. После деления на dV и ин-
интегрирования по dU2 для лучей в интервале (X, X + d%)
мы получим суммарную по всем направлениям плот-
плотность энергии
^J B.1)
Так как наше черное излучение полости изотроп-
изотропно, то
B.2)
Само собой разумеется, что плотность энергии всего
излучения равна
J B.3)
Людвиг Больцман в 1884 г. устанавливает, что эта
величина -
и = аТ\ 0 = const. B.4)
В основе аргументации Больцмана лежит тот факт,
что излучению приписывается не только энергия, по и
давление р. Это, собственно, уже и к тому времени не
было новшеством, Еще Кеплер енрпнедливо считал,
что в хвосте кометы мелкие частицы отталкиваются
солнечным излучением. Кроме того, и теория света
как квазиупругих колебаний предполагала существо-
существование квазнмеханических напряжений эфира, а сле-
следовательно, и давлений. Из теории Максвелла в ин-
интересующем нас изотропном случае -ытекала следую-
следующая зависимость между давлением и плотностью энер-
энергии излучения;
р = и/3. B.5)
J) Пусть не только cos Оъ =. 1. ио и cos fh = 1.
82 Часть 1
Кроме выражения B.5), Больцман использует еще
дифференциальную форму;
К которой мы обратимся ниже. Комбинируя выраже-
выражения B.5) и B.6), приходим к соотношению с?«/и=»
= 4dT/T, откуда путем интегрирования сразу полу-
получаем закон Стефана — Больцмана B.4). Как подчер-
подчеркивает Больщман, можно провести и обратное доказа-
доказательство, получив формулу B.5) для максвелловского
давления излучения на основании закона пропорцио-
пропорциональности 7м B.4). Действительно, согласно ему, вто-
второе уравнение B.6) запишется в виде oT2—d(p/T)/dT,
и после интегрирования будем иметь <тГ4/3 = и/3 = р.
Благодаря этому обстоятельству выводы Больцмана
были в свое время восприняты и как подтверждение
теории света Максвелла.
Между тем было признано нелишним обосновать
существование светового давления и чисто термодина-
термодинамически. Этой цели послужил мысленный эксперимент
Бартоли, в остальном почти неизвестного ученого.
Больцман уточнил этот эксперимент в статье, написая*
ной ноля дол го до оспопиой работы, и вывел с его по-
помощью дифференциальную форму B.6). Сегодня мй
нолуч.чем ее очень просто ил дифференциала энтро-
энтропии:
,о dW + pdV 1 aw ±(W_4-
ал— т — т дТ ai -\ r{dV-f-
Надо лишь заметить, что множители, стоящие в пра-
правой части при дифференциалах, равны dS/dT и dS/dV^
и воспользоваться соотношениями d(dS/dT)/dV =
= d(dS/dV)/dT и W = uV. В 80-е годы прошлого века
понятие энтропии, вероятно, еще слишком недостаточ-
недостаточно вошло в научный обиход для применения в выводе
такого рода. Физики еще вовсе не были готовы к тому,
чтобы приписать излучению энтропию. Ведь даже тем-
температуру связывали не с самим излучением, а с за-
заключающими его материальными стенками. В против»
ном случае пришлось бы говорить о температуре не*
весомого эфира.
Гл. 2. Л. Больцман и закон пропорциональности Т*
33
Нам, однако, ничто не помешает говорить о тем-
температуре излучения в полости, когда мы будем более
подробно обсуждать лишь кратко очерченный Больц»
маном мысленный эксперимент как пример широко
распространенного в то время стиля физического мы-
мышления.
Пусть полый цилиндр Z содержит абсолютно чер-
черное излучение температуры 7". Пусть, далее, у дна
, т
а
То
If
я
—I
г
j
1
г
ГР>Т
д
Рис. 7.
цилиндра находится способный двигаться без трения
идеально отражающий норикчи, S (рис. 7,а). Теперь
приведем верхнее основание Z в соприкосновение с
очень большим резервуаром тепла R температуры Т,
а поршень внизу с таким же резервуаром Ro темпера-
температуры Го. Пусть Го > Г. Пусть затем 5 продвинется
с бесконечно малой скоростью на отрезок а вверх
(рис. 7,6). Таким образом, черное излучение в верх-
верхней части устройства будет изотермически сжиматься,
в то время как внизу будет возникать черное излуче-
излучение температуры Го. Чтобы движение происходило
квазистатически, поршень должен нести нагрузку G,
34 Часть f
которая (с точностью до бесконечно малой перегруз*
ки) определяется условием
Во время этого процесса энергия черного излучения
внизу возрастает от нуля до Ааи(Го). Кроме того, это
излучение совершает работу
аА
\ = Aap(T0).
Следовательно, по первому закону термодинамики
у резервуара Ro должно быть отобрано количество'
тепла
Соответственно резервуару R должно быть
количество тепла
так как в верхней части излучение в полости теряет
энергию Ааи(Т) и над ним совершается работа АаЫТ),
На третьем этапе дно снова изолируется от резер-
резервуара и нижний обы'м адиабатически увеличийаётся
еще па отрезок х, пика не будет достигнута тёМпера-
¦iypa '/', Одновременно nepxinift объем изотермически
сжимается на тот же отрелок (рис. 7, в). При этом
процессе нагрузку G необходимо непрерывно умень-
уменьшать, чтобы на поршень 5 с обеих сторон всегда дей-
действовала одинаковая сила (с точностью до бесконечно
малой перегрузки). Очевидно, что количество теллй,
которое получит резервуар R, будет равно
Всего от более теплого резервуара Ro будет ото-
отобрано количество тепла Qo, а более холодному резер»
вуару R отдано тепло
Aia + x) {и (Г) + Р (Т)) B.8)
') А — площадь основания цилиндра.
Гл. 2. Л. Больцман и закон пропорциональности Т* 35
и будет совершена положительная работа
а+х
Qo-Q= 5 G(z)dz.
Таким образом, устройство работает как тепловая ма*
шина и притом обратимая. Ибо очевидно, что все эта*
пы можно провести в обратной последовательности и
в обратном направлении, и тогда при затрате полу-
полученной работы от резервуара R будет отобрано коли-
количество тепла Q, а резервуару /?о передано Qo.
Если бы не существовало давления излучения^ то
нагрузка G была бы также тождественно равна.нулю
(G еэ 0) и было бы возможно таким способом, не
производя никаких изменений во внешней среде, пе-
передать тепло от более холодного резервуара к более
теплому. Так как это противоречит второму закону в
формулировке Клаузиуса, то Бартоли пришел к вы-
выводу о существовании давления излучения.
Этот мысленный эксперимент, однако, представ*
лист гобой цикл Кирио, и поэтому должно выполнять-
выполняться [шиенетио
B.9)
Будем теперь рассматривать а и Го как постоянные
величины, а Г и х = х(Т) как переменные. Тогда из
B.9) с учетом B.7) следует
--^Г. B.10)
Если теперь излучение при температуре Т будет адиа-
адиабатически расширяться на элемент объема dV =
= d[A (a 4- лс)], то работа pdV будет компенсировать-
компенсироваться только изменением энергии на величину d(Vu). Та-
Таким образом, применяя уравнение B.8), получаем
0 = d[A(a + x)u(T)] + p(T)d[A(a + х)] =
B.U)
Тогда, используя B.J1), B.8) и B.10), мы без за-
затруднений придем к выведенной Больцманом ф^
ренциальной форме B.6),
Глава 3
ВИЛЛИ ВИН И ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ
В протоколе заседания физико-математического от-
отделения Королевской прусской академии наук в Бер-
Берлине от 9 февраля 1893 г. в п. 5 можно прочитать:
«Господии фон Гельмгольн представил приводимое ниже ис-
исследование ассистента Германского физико-технического инсти-
института господина В. Вина: «Новое о связи между излучением чер-
черного тела и вторым законом термодинамики».
Вин характеризует свою работу (перепечатанную
во второй части нашей книги) как усовершенствова-
усовершенствование выводов Больцмана, понимая под этим учет спек-
спектрального распределения энергии и(%, T). Таким об-
образом, статья непосредственно посвящена поставлен-
поставленной Кирхгофом «пад.чче огромной важности» — нахож-
нахождению :1.'1нпгя1Ц1-п <ir диух переменных универсальной
функции 11 (Л.. '/'). »iy :к1Д.'1чу ;Ю-летипй Вилли Вин су-
сумел рл.фепш i ь пае только, что после этого осталось еще
определить только одну функцию, зависящую всего
лишь от одной переменной. В этом и состоит выдающе-
выдающееся значение выведенного Вином «закона смещения»:
и=т5хе (it) = яг5ф (кт). (зл)
Правда, в такой форме, как ни странно, закон был
представлен только в 1900 г. Рэлеем') и М. Тизеном
[5]. Вин же формулирует свой результат следующим
образом: пусть для некоторой определенной темпера-
температуры То нанесено на график спектральное распределе-
распределение Uo в зависимости от Ко- Чтобы получить распреде-
распределение и в зависимости от К при температуре Т, нужно
на этом графике начерченную кривую оставить неиз-
') См. работу Рэлея во второй части данной книги.
Гл. 3. В. Вин и закон смещения 37
менной, а масштабы осей абсцисс и ординат подверг-
подвергнуть соответственно преобразованиям
C.2)
C.3)
Но выражение C.3) с учетом C.2) можно привести
к виду
C.4)
Так как правая часть должна быть, как и левая, не-
независима от Го, то решением этого функционального
уравнения будет C.1).
Сущность преобразования можно сформулировать
и по другому: на графике кривой распределения энер-
энергии черного излучения при изменении температуры от
7'о к Т все длины волн как бы смещаются в соответ-
соответствии с C.2) (чем и объясняется название «закон
смещения»). При этом полоса d%, конечно, также пре-
претерпевает изменение
C.4')
так что для соответствующей спектральной плотности
энергии, учитывая C.3), найдем
Г*
Обратно, закон Вина в форме C.3) можно получить
из правила смещения C.2), C.4), используя C.5).
Чтобы определить неизвестную функцию «(X, Г),
одним h:i термодинамикой прошлого стлетпя был нри-
думап подходящий Промпт, посредством которого
часть чернот м «лучшим in иЛллпи (Хо, К» -f- dXo) при
температуре 7'0 переводи кя и п uiyienne с параме-
параметрами (%, %-\-dk), Т. В рсиульипе рассмотрения со-
соответствующего бесконечно малого процесса получим
для и дифференциальное уравнение п частных произ-
производных первого порядка. Как и уравнение C.1), его
общий интеграл содержит произвольную функцию од-
одной переменной.
Решение такого дифференциального уравнения
.равносильно решению системы двух обыкновенных
«8 Часть 1
дифференциальных уравнений. В соответствии с этим
мысленный опыт с самого начала можно построить
так, чтобы прийти к двум подобным уравнениям. В на-
нашем случае их интегралами должны были бы быть
C.2) и C.5).
Приводя уравнение C.5), Вин просто ссылается на
закон пропорциональности Т* Стефана, что без пояс-
пояснения не вполне понятно '). Но как мы увидим, можно
довольно просто получить дифференциальное уравне-
уравнение, проинтегрировав которое, найдем C.5).
Итак, главное заключается в выводе правила сме«
шения C.2). Но какой же процесс позволяет устано-
вить зависимость, связывающую изменение темпера*
туры с длинами волн? По гениальной идее Вина надо
рассмотреть обратимое адиабатическое сжатие чер-
черного излучения и полости с зеркальными дном и порш-
поршнем. Ибо здесь с изменением объема одновременно
изменяются из-за отражения от движущегося зеркала
в соответствии с принципом Доплера также и длины
волн. Изменению объема Vo—V, по расчетам Вина,
соответствует (эффективное) изменение длин волн:
С другой стороны, linn noK.'i.-iMiincT, что при этом про-
процессе 1Ш110Л11НС101 CiKllllnlllClllIC
VP VJl C.7)
Таким образом, ход р.чггуждпшм млесь следующий:
-доказательство C.0) и (.4.7). <нкудн :штем получаются
выражения C.2) и (ЗА); л<и\л читсльство C.5), что
вместе с предыдущим иедп к конечному результату
C.3); доказательство оСицно» гн '/того результата.
Так как сжатие происходи г кназистатически, рас*
чет изменения К при отражении от движущегося
зеркала можно производим, п нерелятивистском при-
приближении. Для этого ооратнмеи к рис. 8. Пусть для,
*) Кроме того, несколько шчи-нп формулировка в конце ори-
оригинальной работы. Так, ми ш-фоч.-н-м тям два противоречащих
друг другу уравнения: <р = Ф0О/О0 и <р — «V
Гл. 3. В. Вин и закон смещения
падающего луча участок QP = Я, так что в точках Р,
и Q фаза одинакова. В момент / = 0 этот луч. отра-
кается от движущегося поршня ВВ' в точке Р под
углом а. Отраженный луч через время / достигает точ-
:<и А'. За это же время поршень передвинется до вы-
•оты СС. Свет, отраженный в данный момент времени
з точке О под тем же углом а, имеет при нашем по-
:троении ту же фазу, что и свет на фазовой плоско-
:ти АА' в этот же момент. Поэтому О А =*%\ — длина
золны отраженного луча. Из геометрии чертежа по*
1учаем
i.'iii
oAccosa) *
i иерелятивистском приближении изменением угла
этражения относительно угла падения можно прене-
пренебречь. Из рис. 8 также следует
%i = ct — (Я, — ct) cos 2a.
После подстановки вышенаписанного значения ct и
разложения по v/c до члена первого порядка выра-
40 Часть 1
жсние для измененной длины волны после однократ-
однократного отражения примет вид
/,, = 7,A — 2d cos а/с).
Следовательно, для многократного отражения в том
же приближении получим
Я„ == К A — 2v cos а/с)" = Я A — 2nv cos а/с). C.8)
Легко видеть, что это изменение % зависит от а, и
хотя в рассматриваемом процессе каждый отдельный
ориентированный пучок претерпевает вполне опреде-
определенное цветовое смещение, однако глобальное излуче-
излучение полосы d% в целом расщепляется на всевозмож-
всевозможные цвета. Поэтому в предстоящем выводе смещения
спектра надо будет говорить не о действительном сме-
смещении, а об эффективном.
Вин обходит эту трудность, связанную с косым па-
падением лучей с помощью искусственной модели: ис-
исходя из энергетических соображений, он заменяет чер-
черное излучение таким, каждая треть которого распро-
распространяется параллельно одной из трех пространствен-
пространственных осей. Это несколько грубое представление, и по-
построенная на основании его аргументация подверга-
л.1п. нпоследпипп критике1). Однако спорных мо-
моментик i.lcci. мол\(к> пк'и'/к.-иь, если слегка Мидифици-
1>|>н.-1П. ч|1с.(|||,1ч:ишп i.;iy(ii)Kiu> рассуждения Вина.
Для jioii пели мы прежде всего рассчитаем, как
дел лет Нин в другом месте, сколько отражений от
поршня претерпевает вытерпссмотреппый луч, пока
поршень проходит расстояние 6х. На прохождение рас-
расстояния Ьх требуется время 6f = 8x/v, за которое све-
световой луч проходит отрезок / = сЫ = cbx/v. Если 6л;
очень мало по сравнению с высотой (а — х) цилинд-
цилиндрической полости, то можно сказать, что луч одно-
однократно отражается от поршня при прохождении пути
Д/ = 2(а — x)/cosa. Искомое число отражений п со-
составит поэтому
п = ЦЬХ = Ьхс cos a/2v (a — х).
') В частности, неясно понятие «нормальная компонента на-
наклонно падающего луча», поскольку такой луч отражается как
й луч определенной длины волны.
Гл. 3. В. Вин и закон смещения 41
Тогда, согласно C.8), изменение длины волны свето-
светового пучка будет равно
(>аК = Кп — К = — K&xcosza/(a — х) =
= k(W/V)cos2a. C.9)»)
Итак, пучок имеет интенсивность
<ЗЛ0>
При 6V = 0 речь идет об изотропном черном излуче-
излучении, на что указывает индекс 0. Далее мы опускаем
малый член более высокого порядка &aXd&a%. Мы ум-
умножаем теперь C.10) на dfi = sinadadcp и интегри-
интегрируем по полному телесному углу2). При этом заме-
замечаем, что Dл/с)№0 = и, а также что
баЯ du = 4лЯ (бК/3V) в 4я 6Я, C.11)
н в заключение снова добавляем малый член более
высокого порядка bkdbh. Тогда для плотности энер-
энергии всего излучения, первоначально относившегося к
полосе d%, после адиабатического сжатия на 8V по-
получим
Аи = и (/,) d (Я, + Щ + -— Ш (Я + дХ) =
= u(/, + 6/,)rf(/, + 6/-). C.12)
Таким образом, наши рассуждения показывают,
что, хотя исследуемое излучение после отражения от
движущегося :iepK:i.'i;i теряет гной первоначально мо-
монохроматический характер, тем не менее его плотность
энергии можно рассматривать как ту долю, которую
вносит в черное излучение длина волны Я + 6К. Со-
Согласно C.11), (>%/% = bV/ZV, что, конечно, после ин-
интегрирования даст C.6). Этим смысл закона смеще-
V = (a — x) X (постоянная площадь основания).
При a < л/2 речь идет о лучах, которые сначала имеют
направление от поршня. Поэтому они испытывают от него в рас-
рассматриваемом процессе (я—1) отражений. Но при п ^> i можно
также и для таких лучей использовать формулу C.9).
42 Часть 1
ния полностью разъяснен. Если же за А, специально
выбрать ту длину волны Хт(Т), при которой функция
распределения энергии для данной температуры до-
достигает своего максимума, то получим доступный на-
наблюдению эффект
Km(T)T = COnst. C.13)
Чтобы вывести соотношение C.7) (VT3 = УоТо),
необходимо учесть, что при адиабатическом сжатии
изменение полной энергии W. = uV должно быть рав-
равно затраченной работе:
-jy-dV. C.14}
Интеграл равен wV'3= WtV4\ т. е.
„1/'Л = «оу;л, C.16)
и так как и = аТ*,
'h C.16)
.что совпадает с C.7).
Но эти же самые рассуждения будут применимы и
для доли энергии VAtt составляющей излучения, рас«
смотренной выше, если мы будем вычислять оказывав'
мое ею парциальное давление. Из-за изотропности из*
лучения его давление составляет А«/3. Следовательно,
C.15) справедливо также для Aw = udX. Тогда,' при-
применяя C.16), получим соотношение .C.5):
\xd% ^_ Дц /У„у/з г*
Итак, мы провели все рассуждения, необходимые для
вывода закона смещения Вина.
Остается, однако, вопрос, не зависит ли этот ре-
результат от специального выбора мысленного опыта?
Н? этот вопрос можно полупить отрицательный ответ,
если обратиться к § 1 работы Вина. Согласно ему,
спектральное распределение и (Л, Т) при заданной об-
обшей плотности и(Т), т. е. при заданной температуре,
однозначно. Оно не зависит от того, каким образом
достигнуто данное состояние. Правда, этот результат
Гл. S. В. Вин и закон смещения
it i-iioefl основе не нов. Как мы видели, уже Кирхгоф'
доказал, что существует только один тип черного из-
излучения и что пространственное излучение в полости
«черное». Если строить всю теорию, исходя из понятия
пространственного излучения, то, конечно, рассужде-
рассуждение, подобное проведенному Вином в § 1, необходимо.
В связи с очевидными методическими преимуществами
этому пути сегодня отдают предпочтение, однако ча-
часто ошибочно ссылаются на Кирхгофа. Доказатель-
Доказательство Вина построено в духе эксперимента Больцмана,
подробно нами рассмотренного (гл. 2), так что чита-
читатель сам с легкостью сможет его провести и упро-
упростить. В- методическом отношении интересно приме-
применение цветного фильтра, который мы использовали
в гл. 1.
Со временем вместо длины волны чаще стали при*
менять частоту
v = cK dv/dk = - с/А2. C.17)
Переходя к частоте, спектральное распределение энер-
энергии следует определить так, чтобы
тогда, согласно C.17),
uv = uAA2/c. C.18)
Таким образом, закон смещения Вина C.1) можно
iiptvu'T.'iiiiiTb и виде
nv '¦-- v\ (v/Г) ~ 7'Л11> (v/T). C.19)
Аналогично можно пыризмть и другие спектральные
характеристики. Так, например,
ffv=^A2/c. C.20)
Здесь прежние обозначения и и Л заменены на % и
$?v Там, где это не может привести к недоразумениям,
индексы Я или v мы опускаем. Если используется уг-
угловая частота © — 2jtv, to аналогично будем иметь
C.21)
Глава 4
ВИЛЛИ ВИН, МАКС ПЛАНК
И ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
В своей рекомендации принять Вилли Вина в
Ялены-корреспонденты Берлинской академии A910 г.)
Планк писал, что закон смещения был открыт в то
время,
«когда об экспериментальной проверке еще не могло быть речи.
Ио после того, как ему (Вину), спустя 3 года, удалось совместно
с Отто Луммером реализовать модель черного тела в удобной
для измерений форме, выяснилось, что закон смещения Вина
представляет собой совершенно точный закон природы, который
в настоящее время служит одной из основ всей теории излучения.
Точно так же и другой установленный Вином закон излучения, так
называемый закон распределения энергии, оказался если и не
вполне всеобщим, то все же применимым в весьма широкой об-
облает», а именно для достаточно коротких волн и достаточно
низких температур, причем он выдержал испытание самыми чув-
чувствительными опытами» [6]. ,
Этому закону излучения (закону распределения
энергии) и посвящена настоящая глава. Здесь не в
последнюю очередь следует подчеркнуть роль экспе-
эксперимента. Кирхгоф и Больцман могли ориентироваться
на экспериментальные данные. Но последующие экс-
перименты, проводившиеся на реальных лучах, не при-
привели тогда к новым более глубоким теоретическим
представлениям '). Поэтому, как мы прочли у Планка,
в течение некоторого времени ведущее место принад-
принадлежало теории — работам Вина. Однако Вин, не ме-
менее одаренный и как экспериментатор, помогает тех-
технически реализовать теоретическую идею — создать
М Упомянем цитируемую Вином работу цюрихского физика
Г. Ф. Вебера A888 г.), который предложил для излучения стран-
странную формулу:
UA, «= Я~2с ехр (аТ - F2Г2Я2Г'), а, Ь, с<= const.
Гл. 4. В. Вин, М. Планк и закон распределения энергии 45
полость, испускающую действительно черное излуче-
излучение. И этим ведущая роль снова передается экспери-
экспериментальной физике.
Решающий вклад в разработку упомянутой про-
проблемы внес Германский физико-технический институт
в Берлине. Владельцы крупной капиталистической ин-
индустрии, понимая важность науки для развития про-
производительных сил, учредили этот институт как иссле-
исследовательский центр, в котором государство финанси-
финансировало работы над задачами, имеющими предвидимое
техническое значение, даже если их решение и не да-
давало непосредственной прибыли. Проведенные там из-
измерения лучеиспускания не в последнюю очередь по-
послужили также интересам промышленности, произво-
производящей источники излучения.
Это, однако, нисколько не умаляет иринципиаль»
но важной роли института в истории физики. Измере-
Измерения спектральной интенсивности позволяют Вину в
1896 г. предложить первую заслуживающую обсужде-
обсуждения формулу для фундаментальной функции излуче-
излучения k(k, Т) |п »iим (-«мим для а(А, У')]. Точно так
же р'.мулм.'пы iioiiux измерений позволяют Планку в
1п0() г. сформулировать окончательный закон излуче-
излучения.
Конечно, сразу же бросается в глаза схожесть экс-
экспериментальных кривых спектральной интенсивности
с графическим представлением максвелловского за-
закона распределения скоростей. Но не к этому обстоя-
обстоятельству обращается Вин при выводе своей формулы
излучения. Вместо этого он развивает на первый
взгляд совершенно фантастическую мысль. Он пред»
полагает, что излучение может каким-то образом на-
находиться в термическом равновесии с испускающим и
поглощающим газом. Количество молекул газа, ско«
рость которых лежит в интервале (v, v-{-dv), по
Максвеллу пропорционально произведению
% _ const.
Опираясь на это, Вин пишет [7]:
«Мы выдвигаем гипотезу, что каждая молекула испускает коле-
б.-шия с длиной волны, зависящей только от скорости движущей-
|-ч молекулы, и интенсивность колебаний есть также функция этой
I М>|н>ГП|.
Часть 1
К этому заключению можно прийти, сделав некоторые спе-
специальные предположения относительно процесса излучения, но
поскольку такие предположения показались бы здесь пока совер-
совершенно произвольными, мне представляется сейчас более надеж-
надежным выс1авить нужную гипотезу в как можно более простом и
общем виде.
Так как длнна волны К испущенного молекулой излучения
есть функция V, то и v есть также функция К.
Таким образом интенсивность Mi. излучения, длнна волны
которого лежит между X и X + dX, пропорциональна
1) числу молекул, испускающих колебания в этом интервале
длни волн;
2) некоторой функции скорости v, т. е. также функции К.
Таким образом,
где.- F r f — две неизвестные функции, а Г — абсолютная темпе-
температура» *).
С помощью формулы C.1) для закона смещения
отсюда сразу получаем закон распределения энергии
Внна
4 = js-e~aIt-T, С, а = const. D.1)
Вин же приходит к этому выводу после почти целой стра-
страницы вычислений, и это служит верным признаком того, что его
закон смещения в форме C.1) в то время еще не был известен.
В конце своей работы Вин приводит формулу, которая эмпири-
эмпирически была получена Пашеном и отличается от D.1) только тем,
' что в ней вместо Xй стоит в знаменателе ЯЛ Неопределенный
показатель степени ц Пашей намеревался подобрать в соответ-
соответствии с' результатами свонх измерений. Ои пользовался тогда
источниками излучения, которые недостаточно точно аппроксими-
аппроксимировали черное тело. При абсолютно черном излучении не потре-
потребовалось бы никакого особого подбора, так как закон пропор-
пропорциональности Т* с неизбежностью ведет к и = 5.
Признание, которое получил закон излучения Вина,
Фыло обязано, несомненно, тому, что он удовлетвори-
удовлетворительно описывал имевшиеся экспериментальные дан*
*
*) Вин использует вместо $ и Т буквы <р и ф. Его гипотеза
представляет собой модификацию подобной гипотезы, которая
уже в 1887—1888 г. привела В. А. Михельсона к закону излу-
излучения
Последний, однако, не удовлетворяет закону смещенвя^УЦити-
|>уется по работе [8].) *
Гл. 4. В. Вт, М. Планк и закон распределения энергии 47
ныс, а.не его теоретическому обоснованию. При всей
унзвимоети этого обоснования, оно, однако, заключает
в себе замечательное рациональное зерно. Здесь впер*
вые предпринято обращение к дисциплине, которая
оказалась незаменимой для окончательного решения
проблемы излучения, а именно к статистической фи-
физике. Перенося статистику газовых молекул на излу-
излучение, Вин впервые связывает длину волны излучения
с энергией некоторых частиц.
Это, в сущности, та же мысль, которая в 1905 г.
приведет Эйнштейна к революционной гипотезе фото-
фотонов. Ее здесь можно интерпретировать следующим об-
образом: в модели частиц Вина мы в действительности
имеем дело не с газовыми молекулами, взаимодей*
ствующими с излучением, а с частицами, из которых,
как можно себе представить, состоит само тепловое
излучение. Эйнштейн в 1905 г. будет ссылаться не на
окончательный закон излучения Планка, а на закон
Вина. Хотя к тому времени закон Вина уже считался
всего лишь приближенной формулой, его фундамен-
фундаментальное физическое значение было совершенно оче-
очевидным. К этому мы еще вернемся в гл. 6.
Теперь мы должны описать первые попытки План-
Планка решить проблему излучения. Мы обращаемся к
ним в данной главе потому, что в них ПлаНк прояв-
проявляет себя решительным сторонником как раз закона
излучения Вина. В отличие от прагматического под-
подхода Вина A896 г.) Макс Планк почти в то же самое
время приступает к проблемам излучения с точки зре-
зрения основных принципов. Одним из них он считает
необратимый характер теплового излучения. Это на-
находит отражение уже в названии пяти сообщений, ко-
которые он делает в академии с 1897 по 1899 г.: «О не-
необратимых процессах излучения». Из явления необра-
необратимости «вырастает для теоретической физики фунда-
фундаментальная задача свести односторонне протекающие
изменения к консервативным взаимодействиям» [9,
ДО] ')•
По сути дела это представляет собой программу,
статистической физики, к которой Планк, хотя и не-
*) Далее цитируется по изданию [10].
48 Часть 1
решительно, но постепенно приближается. Сначала он
обращается к тому типу необратимости, который, по
крайней мере на первый взгляд, не имеет ничего об-
общего с термодинамической диссипацией, а именно к
невозможности опережающих решений в электродина-
электродинамике 1). Например, осциллятор Герца излучает волны,
но не поглощает их, т. е. ведет себя односторонне, и,
пока в идеальной модели отсутствуют трение и элек-
электрическое сопротивление, процесс остается консерва-
консервативным. Если осциллятор привести во взаимодействие
с любым полем излучения, замкнутым со всех сторон
идеальными зеркалами, то ничто не должно изме-
измениться. И, хотя осциллятор будет здесь также и по-
поглощать, Планк предполагает, что поглощаемая энер-
энергия будет настолько характерно отличаться от испу-
испускаемой, что с течением времени установится стацио-
стационарное состояние, при котором излучение полости бу-
будет обладать искомым распределением энергии и.
Таким путем входит в физику теплового излучения
линейный осциллятор, сыгравший в ней впоследствии
столь большую роль. Планк продолжает заниматься
исследованием одного неподвижного в пространстве
осциллятора, взаимодействующего с излучением, так-
также и после того, как Больцман убедил его в шаткости
основной концепции. Больцман переносит парадокс
обратимости нз механики в электродинамику: так как
основные уравнения механики инвариантны по отно-
отношению к обращению времени, то в механике для каж-
каждого движения может существовать такое другое дви-
') Дальнейшее развитие теории неравновесных процессов
полностью подтвердило предположение М. Планка о связи между
выбором запаздывающих решений и явлением необратимости, ко-
. торая была иавеяна аналогией с выбором запаздывающих по-
потенциалов в электродинамике. Эта аналогия может быть продол-
продолжена и далее, если вспомнить о необходимости выбора запазды-
запаздывающих решений уравнения Шредингера при вычислении эффек-
эффективных сечевий в квантовой теории столкновений. В иеравновес-
. нон статистической механике нужно выбирать запаздывающие ре-
решения уравнения Лнувнлля для того, чтобы объяснить возраста-
' нпе энтропии. Выбор опережающих решений, как показано Коэ-
ном и Берлином [43], приводит не к возрастанию, а к убыва-.
нию энтропии (см. также [44]). — Прим. ред.
/' i I П. Вин, М. Плат и закон распределения энергии 49
почте, при котором все состояния протекают в обрат-
null последовательности. Это движение выглядит так,
ник будто фильм с заснятым исходным движением
демонстрируется в обратном направлении. Все ска-
сказанное справедливо и для электродинамики (если до-
дополнительно изменить направление магнитного поля
на противоположное). Полю излучения, которое пере-
переходит в равновесное состояние, должно соответство-
иать другое поле, которое спонтанно выходит из рав-
равновесия.
Но такого рода процессы, подобные фильмам, де-
демонстрируемым в обратном направлении, «неестест-
«неестественны», как показывает феномен необратимости. В то
же время «фундаментальная задача» объяснить этот
феномен с помощью только механики и электродина-
электродинамики оказывается непосильной. Для этого требуются
какие-то дополнительные гипотезы. Для Планка та-
такой стала гипотеза «естественного излучения». Со-
Согласно ей, излучение в полости полностью некоге-
некогерентно.
Мы но будем здесь вдаваться в принципиальное
обсуждение этого положения. Работы Планка под-
тнорждают правило, что в начальной стадии исследо-
исследования возникающей проблемы такого рода гипотезы
в общем виде не формулируются. Наоборот, обычно
сначала делаются конкретные частные предположе-
предположения, облегчающие расчет. И если последний привел к
обнадеживающим результатам, то тогда уже форму-
формулируется гипотеза для оправдания выдвинутых допу-
допущений. Поэтому мы сейчас и обратимся к конкретным
соображениям Планка.
Он рассматривает макроскопически наблюдаемые
величины типа и, и, $ и др. как средние значения ми-
микроскопических переменных. Этим Планк делает пер-
первый маленький шаг в направлении статистической фи-
физики. Так как он выделяет фиксированную точку в
пространстве, то он оперирует средними значениями
по времени. Они отмечаются черточкой сверху. В си-
системе единиц Гаусса (которой в то время благоразум-
благоразумно пользовались все теоретики), обозначая векторы
напряженности электрического и магнитного полей
^60 Часть 1
через ? и Я, получаем
\
о
Очевидно, что El нужно представить (как и другие
квадраты) в форме \ Зе<2со, где Sada — макроско*
о
пически измеримая величина. Напомним, что при ста*
ционарном изотропном излучении в полости все шесть
средних значений должны быть равны между собой.
Поэтому [учитывая B.2)]
Более сложная, но линейная зависимость получается
вместо этой в общем случае, к которому мы сейчас
перейдем.
Если микроскопическое поле Ех на очень большом временибм
интервале (—&" <t <&~) представить интегралом Фурье
оо
\ D.3)
то иожно записать
t+Х во оо
С (Ю) С* (в'
dm
ОО «-СО
ОО — ОО
da
Г i 1 П. Вин, М: Плат и закон распределения энергии 51
•1>|>1>м;|.ч1.111>1Й смысл здесь ясен: во втором уравнении была вве-
п| пи копая переменная интегрирования ц = ш' — ш. Среднее по
|>|1гмг11И в следующей строке снова представляется в виде инте-
ipiuin Фурье, и в заключение проводятся простые преобразования.
Для понимания физического смысла важно сле-
следующее. Чтобы величину $<„ можно было считать ма-
макроскопической интенсивностью, она должна сущест-
iiiMiiio изменяться только за такие промежутки вре-
времени, которые велики по сравнению с длительностью
колебания 1/ш. Вследствие линейной связи то же са-
самое относится и к %а. В случае преобразования Фурье
это означает:
величина 9f(co, ц) вносит значи-
значительный вклад в интеграл Фурье
только при ||л| <& | со |. D.5)
Такого рода сглаживание сильно флуктуирующей
во времени микроскопической величины \«/|аС(<о)Х
ХС*((о + ц)ехр(—/цО должно достигаться путем усред-
усреднения и притом на некотором определенном ннтервале
независимо от выбора времени усреднения т. Эти тре-
требования Планк рассматривает просто как входящие
в определение естественного излучения.
Обратимся теперь к осциллирующему диполю.
Пусть диполь имеет (приведенную) массу т, заряд е,
собственную частоту шо и находится в возбуждающем
электрическом поле с компонентой Ег в направлении
колебаний. Его уравнение движения имеет вид
еЕ,. D.6)
Здесь член *fi учитывает пока чисто феноменологи-
феноменологически затухание из-за потерь энергии на излучение.
Энергия осциллятора равна
5( ф) D.7)
откуда сразу следует
fc = eE|2--my?>. D.8)
Тик как последний член всегда отрицателен и не за-
uiiciiT от возбуждающего поля, то он представляет
52 Часть 1
спонтанную эмиссию. В противоположность этому пер-
первый член, зависящий от Е, может принимать как по-
положительные, так и отрицательные значения. Поэтому
он описывает как вынужденное поглощение, так и вы-
вынужденное испускание.
Используя D.3), можно найти стационарное реше-
решение дифференциального уравнения D.6):
D.9)
— G>2
Откуда получим выражение, аналогичное D.4):
1 m2 S S (cog —
С (со) С* (со + И) e~itlt da dy
to2 + iya>) (to2, - (ш + цJ - /у (<o + H)) *
D.10)
«Гипотеза, которую мы сейчас вводим как вполне
естественную и, пожалуй, единственно возможную»
состоит в предположении, что в выражении D.10)
«быстро изменяющуюся» величину С (ш) С* (ш + кО
можно заменить «медленно изменяющимся средним
значением» 9?(<в, ц). Излучение, «которое удовлетво-
удовлетворяет введенной здесь гипотезе», Плапк называет «есте-
«естественным излучением» [11]. Как мы видим, эта кон-
концепция возникла не из принципиальных соображений,
а из конкретной потребности продвинуть дальше ре-
решение задачи.
На том же оснобании дальше предполагается слабое затуха-
затухание излучения, т. е. что \ <С too. В соответствии с этим мы ап-
аппроксимируем знаменатель D.10), как показано ниже, и приме-
применяем к интегралу по и теорему вычетов теории функций:
X {(«> - то - /Y/2) (и + <о0 - /Y/2) (<d + ji - ш0 + i\P) X
СО
ХФ + Ц + Шо + МЗ)}-1 — -J-r \ dpe-i^niX
— ОО
X (Res (<а = шо + »Y/2) + Res (ш = - ш0 + /y/2))- D.11)
Г я. 4. В. Вин, М. Планк и закон распределения энергии 53
Дли этих вычетов имеем
Кг. (со - ± ш0 + /Y/2) - ±Я-^ + ад^2?+!| + 1у)
'¦^-, D.12)
где мы пренебрегли значениями y и Мч малыми по сравнению
г ft>o [см. замечание D.5)]. Мы можем избавиться от множителя
|i +- iy в знаменателе, если вычислим [см. последнее уравнение
D-4I
+ yz2 = —r \ —s-jl
dt m2 i 4ml \ ц + iy )
D.13)
- ш
0,
Как легко видеть, в пределах используемых при-
приближений
а также 22 = <в2/г2. D.14)
Теперь мы опустим индекс 0. Из D.8) и D.14) сле-
следует, что осциллятор с собственной частотой со имеет
и среднем энергию
ё = U = шоАг2 = ml2. D.15)
Отсюда, используя соотношение D.13), приходим
к «фундаментальному уравнению развиваемой здесь
теории» [11]:
Для обсуждения уравнения D.16) возвратимся к вы-
выражению D.8) и относящимся к нему замечаниям.
Учитывая D.15), получаем
^L = eEzz-yU. D.17)
Согласно уравнению D.17), правая часть уравнения
D.16) представляет среднее значение поглощаемой
осциллятором мощности. (Вынужденная эмиссия пала
жертвой усреднения.) Средняя эмиттируемая мощ-
iHicn. составляет просто yU.
Б4 Часть 1
С другой стороны, возьмем для той же самой ве-
величины выражение из электромагнитной теории Д1Г«
поля Герца
[с учетом D.14) и D.15)]. Сравнивая с yU, для фено-
феноменологически введенной постоянной затухания на-
находим значение
2
«Фундаментальное уравнение» D.16) вскрывает
почти очевидное сегодня содержание: осциллятор по-
поглощает излучение того же самого диапазона частот,
в котором он и испускает. Следовательно, из взаимо-
взаимодействия между осциллятором и излучением ничего
нельзя сказать о спектральном распределении послед-
последнего. Таким образом метод Планка не приводит к же-
желаемому результату.
Следует, однако, отметить один, хотя и не очень
исчерпывающий, но все же весьма значительный ре-
зультат. Чтобы его получить, подставим выражение
D.18) в D.16) и перейдем к равновесному состоянию
" dil/dt = 0. Так как здесь справедливо соотношение
¦ D.2), то мы будем иметь U = п2с3со~2ии. Таким обра-
образом, в равновесном состоянии спектральная плотность
энергии uv = 2mia связана со средней энергией U ос-
осциллятора с собственной частотой v уравнением
u(», D = -^?/(v, Г). D-19)
Итак, проблема излучения сведена к физике гармони-
гармонического осциллятора. Это обстоятельство в ходе даль-
дальнейших исследований Планка приобретет огромное
значение для истории физики.
Далее Планк рассматривает прежде всего един'
ственный осциллятор в поле излучения. Здесь можно
было бы спросить, в каком смысле вообще осцилля-
осциллятору можно приписывать энергию, зависящую от тем-
температуры. Мы не будем прослеживать за соображе-
соображениями Планка по этому вопросу. Удовлетворимся за*
мечанием, что речь идет о средней энергии осцилля*
I'.i 4. В. Вин, М. Планк и закон распределения энергии 55
1п|щ, которой он обладает в термостатированном теп-
липом поле излучения.
Но если признать применимость понятия темпера-
температуры к осциллятору, то надо согласиться также и с су-
существованием энтропии S осциллятора. И тем более
позволительно говорить о плотности энтропии, прихо-
приходящейся на долю излучения в полосе частот
(v, v + rfv). Обозначим эту плотность энтропии
»(v, T)dv. Кроме того, Планк применяет, как это де-
делал Вин [12], понятие энтропии к отдельному моно-
монохроматическому линейно-поляризованному пучку лу-
лучей.
Как мы уже говорили, любой пучок можно разло*
жить на два линейно-поляризованных во взаимно пер-
перпендикулярных направлениях пучка, причем интенсив-
интенсивности этих пучков складываются, т. е.
Я = Я, + ЯЬ. D.20)
Так как лучи между собой не взаимодействуют, то
они транспортируют энтропию точно так же, как и
свою энергию. По-лому ннедем п тесной аналогии с
Hiviii'iinioii St удельную интенсивность излучения эн-
энтропии
8 = 8, + Й,. D.21)
Тогда [см. A.1K
d2 = 8ldvcos®dAdQdt D.22)
— энтропия, перенесенная за время dt линейно-поля-
линейно-поляризованным пучком определенного вида через элемент
поверхности dA. Между и, St и з, 8 имеется соответ-
соответствие также в другом отношении. Так, для стационар-
стационарного (изотропного, неполяризованного) черного излу-
излучения $i = $2 и 8i = йг, и в этом случае мы имеем
(см. B.2)]
и = (8я/с)Я„ 8 = (8я/с)8,. D.23)
С учетом {4.19) отсюда следует
S1 = ^2 = v2c-2?/. D.24)
Уже на этой стадии своих исследований Планк де«
¦Ниш и постановке задачи некоторое изменение, коя*»
|м« и значительной мере способствовало тому, что уже
56 Часть 1
к осени 1900 г. он смог вывести окончательный закон
излучения. Как выдающийся термодинамик, он пони-
понимает, что наиболее глубокая связь существует не ме-
между энергией и температурой, а между энергией и эн-
энтропией. Поэтому Планк обращает свое внимание на
неизвестную функцию S(U, v). Закон смещения Вина
с учетом D.19) сразу же дает U = v<p(Tjv). Если вве-
ввести в рассмотрение температуру с помощью универ*
сального термодинамического соотношения
т ~ du ~ dw ~~ <т з ккго)
то можно прийти к заключению, что
D.26)
Но чтобы продвинуться дальше, нельзя обойтись
без новых предположений. Поэтому Планк решает те-
теперь исследовать с точки зрения связи между энтро-
энтропией и энергией закон излучения Вина, находившийся
в 1899 г. в центре внимания физиков. Используя фор-
форму записи для частоты и учитывая D.19), Планк вы-
выражает закон в виде
^l D.27)
Отсюда с помощью D.25) после простого интегриро-
интегрирования получаем
^-^1п^. D.28)
5 = -^Т1п1^Г <4-29а>
и вследствие D.23) имеем
\е — основание натуральных логарифмов).
Постоянная Ъ, как мы увидим, имеет физический
смысл кванта действия, постоянной Планка, получив-
получившей впоследствии обозначение Л. Таким образом эта
постоянная была введена Планком в физику уже в
1899 г. и рассчитана с помощью закона Вина и су-
существовавших результатов измерений.
/'i 4 П Пин, М. Планк и закон распределения энергии 57
Ни и горой части данной книги приводится этот рас-
•нч и уже найденные в 1899 г. «естественные едини-
единицы*, «которые независимо от специфики тел и веществ
Н1Ч1.'1менно сохраняют свое значение для всех времен
и для всех, даже внеземных и не созданных человеком
культур». Хотя Планк, разумеется, не мог предвидеть
истинного значения своей постоянной Ь, он был, оче-
1ШЛИО, с самого начала убежден в ее универсальности
и ставил ее в соответствии с этим в один ряд со ско-
скоростью света и гравитационной постоянной.
Это можно объяснить, предположив только, чта
11л;шк в то время был убежден в справедливости за-
Kiuia Вина, лежавшего в основе его рассуждений.
Чтобы обосновать свое убеждение, Планк делает еще
один шаг в направлении развития идей Больцмана.
Гтльцман (см. гл. 5) объяснил необратимый характер
i силового движения в газах, введя некоторую новую
пеличину и доказав, что она не уменьшается со вре-
временем; ее он идентифицировал с термодинамической
энтропией. В тесной аналогии с этой так называемой
//-теоремой Планк дает формулы D.28) н D.29) как
определения энтропии, действительные также и для
неравновесного состояния. Затем он показывает, что
потно определяемая упомянутыми формулами энтро-
п и» замкнутой системы, состоящей из излучения и ос-
осциллятора, не уменьшается со временем. Если пред-
представить, что исследуемая здесь система в неравновес-
неравновесном состоянии может иметь различные температуры,
¦ю тогда производные D.25) для каждого направле-
направления излучения и для осциллятора будут различны.
Рассуждения Планка приводят к необходимости
составлять балансы энтропии и энергии. Последний
уже имеется в виде уравнения D.16). В правой части
1пм стоит относящееся к Е\ спектральное распреде-
распределение За- Остается только более общим способом, чем
и D.2), связать последнее с интенсивностью излучения
Я1. С этой целью мы разложим ff, согласно D.20), та-
hiiM образом, чтобы вклад в Е% давал только линей-
ни поляризованный пучок лучей с интенсивностью Фг-
И iiiiMiM пучке электрический вектор Е должен коле-
r.ii i i.i и и плоскости, проходящей через ось z и направ»
Часть I
ление распространения 8. Тогда перпендикулярно этой
плоскости поляризованный пучок с интенсивностью $i
не имеет, согласно определению, компоненты Ея. В ли-
линейно-поляризованном пучке лучей величина вектора
потока энергии по теории Максвелла равна (с/4зт)?2,
Из определения этого вектора следует
dW = (фп) Ш- cos Ь dA dt;
здесь мы заменили Е на dE, a dW имеет то же самое
значение, что и в A.1). Из сравнения с формулой A.1),
следует
d~E1=Dn/c)St2(v)dvdQ.
Так как Е перпендикулярно s (рис._9), то вклад луча
рассматриваемого направления в Ег получается п>>
х.
Рис. 9.
тем простого умножения на sin2 в, где в — угол между
в и направлением оси г. Тогда интегрирование по всем
частотам и направлениям дает Е\ =¦ \ % dv. После
выполнения этих простых действий сразу очевиден
искомый результат:
= % = ~ J 9л (v) sin2 9 dQ.
D.30)
Наконец, надо еще учесть формулу D.18), и
Г1 4. П. Вин, М. Планк и закон распределения энергии 59
1огда баланс энергии D.16) принимает следующий
нпд:
¦§¦-•&$(*-
$(*-»
§S$ i-J®dQ. D.3t)
где
jin2e. D.32)
Левая часть D.31)" описывает прирост энергии осцил*
лятора, следовательно, правая часть в силу закона
сохранения энергии — убыль энергии излучения*.
А именно, из падающего на осциллятор пучка с ин*
тенсивностью if = $i + S?2 им будет поглощаться, со*
гласно D.30), только часть $2sin28. Остальная часть
$i + ®2 cos2 8 проходит мимо резонатора и проявляет»
ся снова в интенсивности $? = К{ + Кг пучка, поки«
дающего осциллятор в том же направлении. Дополни-
Дополнительно $' содержит интенсивность v2c~2U sin2 8 излу*
чення, испускаемого в данном направлении в соответ*
ствии с теорией Герца. [В случае равновесного со*
стояния нужно пользоваться формулой D.24).]
Аналогично получаем баланс энтропии:
D.33)
при 2i = ?i. Энтропия всей системы складывается из
энтропии осциллятора и энтропии поля излучения.
Выражение для последней энтропии, по нашему
мнению, не совсем тривиально. Изменение энергии
ДЦР, которое претерпевает луч определенного направ*
ления при прохождении мимо осциллятора, опреде-<
ляется разностью dW — dW переноса анергии через
два одинаковых элемента поверхности, расположен-
расположенных до и после осциллятора. То же самое относится
и к изменению энтропии А2, и переносу энтропии
«/? — dZ'. Теперь должно быть понятно отношение
А1Р _ dW — dW
А2 ~~ dZ-dZr *
вО Часть 7
Если надлежащим образом воспользоваться выраже-
выражениями A.1) и D.22), а также AW = Cvc2)/(8nv2)X
Х(^ — ^)dQ, то получим желаемый результат для Д2.
Теперь, рассчитав dS/dt =(dS/dt/) (dU/dt) соглас-
согласно D.29а) и D.31) и подставив это одновременно с
D.30) в D.33), получим
ttS 3vc I *-/о f с 5?о с $ъ ^
Итак, остается доказать, что это выражение не может
быть отрицательным '). Обозначив логарифмические
члены через х и х', увидим, что для доказательства
достаточно, чтобы выполнялось неравенство
х In х ^ х' In х'.
Теперь, согласно D.32),
Таким образом xf лежит между х и 1/е. При хг = 1/е
функция х1 In xf достигает своего единственного мини-
минимума, и наше утверждение оказывается правильным.
Этим, разумеется, всего лишь доказано, что вы-
выбранное определение энтропии допустимо с точки зре-
зрения термодинамики. Обоснование закона излучения
Вина потребовало бы, кроме этого и прежде всего
также и доказательства необходимости этого опреде-
определения. Здесь Планк допускает исключительную сла-
слабость аргументации. Как можно прочитать во второй
части данной книги, он ограничивается сообщением,
что ему не удалось создать другую конструкцию эн-
энтропии, несмотря на неоднократные попытки. Но фак-
фактическая неудача построения некоторого понятия ни в
коем случае не доказывает отсутствия такового; в луч-
лучшем случае ее можно рассматривать как эвристиче-
эвристическое указание на это. Однако, по мнению Планка,
«отсюда необходимо сделать заключение, что ... данное опреде-
определение энтропии излучения, а тем самым и закон распределения
энергии Вина представляют собой необходимое следствие распро-
') Мы несколько усилили предположение Планка, чтобы
упростить доказательство.
Гл. 4. В. Вин, М. Планк и закон распределения энергии 81
странения принципа возрастания энтропии на электромагнитную
теорию излучения и что, следовательно, границы применимости
этого закона, если такие вообще существуют, совпадают с грани*,
цами второго закона термодинамики».
Это слова из пятого сообщения Планка «О необра*
тимых процессах излучения», представленного Берлин»
ской академии 18.5. 1899 г. Без изменения вошли они
7.11.1899 в журнал «Annalen der Physik». В противо-
противовес этому уже 3.2.1899 г. О. Луммер и Е. Прингсхейм
[13] сообщили на берлинском коллоквиуме Физиче-
ского общества, что ими обнаружены систематические
отклонения от формулы излучения Вина в области от,
814 до 1426 К для длин волн, лежащих между 1,21 и
4,96 мкм. Так как они еще не могли решить, присут-
присутствует ли здесь или нет систематическая ошибка изме-
измерений, то был проведен контрольный опыт с расширен-
расширенным диапазоном измерения. На заседании 3.11.1899 г,
авторы сообщили, что, вероятно, полученные вновь от-
отклонения от формулы Вина «не вызываются случай-
случайными ошибками наблюдений» ').
В своем отчете or 18.05. 1899 г. Планк ссылается
на периую работу Луммера и Прингсхейма и рассма-
рассматривает ее как свидетельство того, что закон Вина «по
меньшей мере очень близок к действительности». В ру-
рукописи от 7.11.1899 г. слово «очень» Планк подчеркнул.
По-видимому, при подготовке этой рукописи он не об-
обратил внимания на содержание второй работы Лумме-
ра и Прингсхейма, так как при корректуре он добав-
добавляет замечание о найденных отклонениях от закона
Вина. Во всяком случае уже в конце 1899 г. чрезвы-
чрезвычайно сильно сформулированное теоретическое выска-
высказывание Планка, приведенное выше, не находилось в
удовлетворительном согласии с экспериментальной си-
ситуацией. Вероятно, Планк больше доверял результа-
результатам Пашена и его сотрудника Ваннера. Эти авторы
полагали, что им удалось с поразительной точностью
подтвердить закон излучения Вина между 1 и 9 мкм
для низких и высоких температур 2).
М См. [131 стр. 215—235.
г) Планк представляет в Берлинскую академию два сооб-
сообщения Пашена. В то время как первое от 27. 4. 1899 г. содержит
заслуживающие доверия результаты для области температур от
в» Часть 1 ч
Все-таки Планк считает нужным заново продумать.
всю проблематику. Он понимает, что в его аргумента-»
• ции есть слабый пункт, а именно специальное опре-
деление энтропии B96), и исследует, чтб-можно еще
сказать по поводу связи между изменением энергии
и. энтропии, не прибегая к такому специальному опре-
определению [16]. Для упрощения он предполагает, что
энергия осциллятора отличается от своего равновес-
равновесного значения С/о лишь на небольшую величину
U = U0 + AU. D.35)
Пусть, далее, Sfi = Sf2 = $0 — постоянная равновес-
равновесная интенсивность.
При этом также С2 = Со- Для ®0, Uo выполняются
соотношения D.24) и D.25), из которых еще следует
№№&% = &-*№&№% D.36)
С учетом D.24) из D.32) получаем
ASt = $&~Sto = v2c-2AUsin26, D.37)
а из D.31) и выражения V sin28dQ = 8я/3 имеем
- D.38)
это означает, что осциллятор стремится к своему рав-
равновесному состоянию и далее от него не отклоняется.
Если теперь в ряд Тейлора
Подставить D.37), D.25) и D.36), то в результате
найдем
1Q0 до 450 "С, то по поводу второго, представленного 7.12.1899 г.,
неписано: Автор «провел болометрические измерения излучения
здергии черным телом между температурами от 400 до 1300 "С
по всему спектру. В соответствии с более ранними результатами
найдено подтверждение закона Вина с некоторыми отклонения-
отклонениями, которые, возможно, в основном происходят от недостаточно
совершенной реализации модели черного тела» [14]. Ванвер даже
полагает, что «можно сделать вывод о справедливости закона
Вра в видимой области до 4000 °С» [15].
Гл. '4. В. Вин, М. Планк и закон распределения энергии 63
а так как \ sin46dQ = 32:rt/15, то, применив D.38), бу-
будем иметь
•SSF J(Й2 ~ Йо) dQ = ~ ~df IVduh + Т l"dZFj0 Af/J'
Наконец,
dt ~ dt dU~ dt 1Л dU Jo "t" V. rff/2 /o J"
Суммируя оба выражения, получаем в соответ-
соответствии с D.33) искомое изменение энтропищ
± (-g-)o. D.39)
Согласно D.38)', dU и At/ имеют разные знаки. Итак,
из принципа энтропии dSnom > 0, как теперь ясно
представляет Планк, ничего больше заключить нельзя
кроме того, что вторая производная энтропии по энер-
энергии должна быть отрицательной. Если записать
¦g|=-/(?/) D.40)
и считать / какой-либо положительной функцией, то
рассчитанное на этой основе общее выражение D.33)
для полного изменения энтропии будет всегда поло-
положительным, как замечает и Планк, опровергая тем
самым слишком категоричное утверждение в своей
последней публикации.
Однако он предпринимает последнюю попытку спа-
спасти закон излучения Вина. С этой целью он рассма*
тривает в стационарном поле излучения вместо одного
осциллятора N совершенно одинаковых осцилляторов,
энергия каждого из которых вначале отличается от
равновесного значения Uo на одинаковую величину
AU. Теперь Планк делает два предположения.
1. N осцилляторов ведут себя и в присутствии поля
излучения совершенно независимо друг от друга. Тог-
Тогда происходящее изменение энтропии должно быть в
N раз больше, чем при наличии одного осциллятора,
I. с, согласно D.38),
в4 Часть 1
2. Эта энтропия зависит только от полной энергии
UN = N11 ансамбля осцилляторов и от величины ее
отклонения от стационарного значения AUn = iVAt/
так что
Сравнивая оба выражения, получаем функциональное
уравнение
f(NU) = f(U)/N,
общее решение которого
f(U)=l/AV, A = A(v)>0. D.41)
С учетом D.41) из D.40) после двухкратного интегри-
рования следует
" Л (v) "' В (v) '
Тогда закон смещения Вина в форме D.26) приводит
к D.29а), т. е. к закону излучения Вина.
После этого результата у Планка «еще больше ук-
укрепилось мнение о его значительности, хотя основа-
основания, на которые это мнение опиралось, несколько из-
изменились» [16]. Однако, прежде чем Планк
22.3. 1900 г. отослал в печать эти строки, 2. 2. 1900 г.
Луммер и Прингсхейм на Берлинском коллоквиуме
обосновали полностью противоположную точку зре-
зрения [17]. Они доложили результаты измерений в диа-
диапазоне длин волн от 12 до 18 мкм и в интервале тем»
иератур от 85 до почти 1800 К. И если при низких
температурах закон Вина подтверждался, то при вы-
высоких отклонения были настолько велики, «что их,
безусловно, невозможно объяснить ошибками наблю- *
дений». При наиболее высокой температуре отличие
измеренных значений от теоретических составляло от
40 (при 12,3 мкм) до 50% (при 17,9 мкм). Авторы
приходят к выводу: «Таким образом доказано, что
спектральное уравнение Вина — Планка не описывает
измеренного нами черного излучения в области от 12
до 18 мкм». Так как отклонения от этого спектраль-
спектрального уравнения с произведением %Т становились все
больше, то Курльбаум и Рубенс исследовали остаточ-
Гл. 4. В. Вин, М. Планк и закон распределения энергии 65
ные лучи ') после многократного отражения от плави-
плавикового шпата и каменной соли и дошли при этом до
значений КТ, которые почти втрое превышали значе-
значения, достигнутые до этих пор при спектральном раз-
разложении.
Только когда эти эксперименты в октябре 1900 г.
показали несомненную несостоятельность формулы из*
• лучения Вина, Планк решил отказаться от своей тео-
теоретической концепции. Но одновременно глубокое про-
проникновение в проблематику излучения позволило ему
быстро (хотя, разумеется, и не сразу во всем) преодо-
преодолеть кризис. Таким образом, описанные в этой главе
исследования были далеко не напрасными. Они за-
заслуживают пристального рассмотрения тем более, что
закон Вина, как уже было сказано, даже в качестве
приближенной формулы имеет глубокое физическое
содержание. Его понимание дает одновременно ключ
к пониманию последующего пути развития теории.
В связи с этим необходимо подробнее остановиться на
некоторых основных понятиях статистической физики.
Для наших целей будет достаточно рассмотреть ее
простейший вариант — наглядную теорию Больцмана
идеального одноатомного газа.
') Эта методика была уже предложена Рэлеем для проверки
формулы излучения (см. стр. 165).
Глава 5
ЛЮДВИГ БОЛЬЦМАН И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗА
Состояние одной молекулы газа, рассматриваемой
в качестве материальной точки, можно задать с по-
помощью ее вектора положения х и импульса р, или,
другими словами, с помощью точки в 6-мерном фазо-
фазовом пространстве координат х, у, z, рх, py, pz-
Теория газов Больцмана рассматривает распреде-
распределение / в фазовом пространстве N газовых молекул *)•
При этом число молекул, которые в момент времени t
находятся в небольшом объеме Ах Ар фазового про-
пространства вокруг точки х, р2), есть
Ns = f(x,p,t)AxAp. E.1)
Мы разобьем фазовое пространство на очень малень-
маленькие ячейки и пронумеруем их. Исходя из этого выбран
и способ обозначения: Ns — число молекул, находя-
находящихся в s-й ячейке.
Число молекул в ячейке меняется, во-первых, из-за
движения молекул по инерции и, во-вторых, вследствие
столкновений их между собой, т. е. вследствие их взаи-
взаимодействия, проявляющегося на малых расстояниях.
Анализируя этот процесс соударений, Больцман дока-
доказал, что выражение
Q = _Jd* С dp/In/ E.2)
V -оо
(V — объем газа) не может уменьшаться со временем
(dQ/dt > 0). Таким образом, оно должно достигать
*) Кинетическая теория газов подробно изложен:! Больцма-
ном в его замечательных лекциях [45]. См. также его статьи и
речи [46]. — Прим. ред.
2) В дальнейшем мы будем при необходимости заменять
Ах Ар элементом объема dxdp.
Гл. б. Л. Больцман и элементарная теория газа 6 7
максимума в равновесном состоянии и в этом состоя-
состоянии / задается, как дальше показал Больцман, рас-
распределением Максвелла. Из-за такого поведения ве-
величины ?2 ее можно рассматривать как аналог энтро-
энтропии газа S; далее будет показано, что Q и S пропор-
пропорциональны друг другу. Но тогда выражение
dp /In/ E.3)
должно быть пропорционально плотности энтропии s.
Если записать
|-(/ln/)dp>0, E.4)
Г
то это не означает, что плотность энтропии не может
убывать; убыль, конечно, возможна за счет выноса
энтропии. Неравенство E.4) нужно понимать в том
смысле, что энтропия может только производиться, но
не уничтожаться. Аналогичным образом справедливо
соотношение
\§dp = 0, E.5)
означающее, что частицы газа не уничтожаются и не
создаются.
Утверждение dQ/dt >0и соответственно E.4) вы-
выражают содержание уже упоминавшейся Я-теоремы,
и читатель узнает аналогию с аргументацией Планка
(см. стр. 60). Для нас более важно не это «кинетиче-
«кинетическое» толкование второго начала, а переход к его в
узком смысле «статистической» интерпретации. Ибо
именно этот переход, кратко описываемый ниже, осу«
ществит в обобщенной форме Планк осенью 1900 г.
Исходным пунктом для Больцмана было уже упо-
упоминавшееся (см. стр. 48) утверждение Лошмидта о
том, что невозможно доказать второй закон термоди-
термодинамики с чисто механической точки зрения. Ибо если
существует такого рода движение, что dQ/dt > 0,
то согласно законам механики точно так же воз-
возможно и другое движение, при котором dQ/dt < 0,
Больцман в начале 1877 г. возражает на это [18, 19J;
он считает, что обсуждаемое неравенство, согласно
кинетической теории газов, выполняется с наибольшей
68 Часть 1
вероятностью, йо не является абсолютно необходи-
необходимым. Далее он высказывает предположение, что это
обстоятельство, «возможно, могло бы привести к од-
одному интересному методу для расчета теплового рав-
равновесия». Несколько месяцев спустя эти качественные
аргументы в основополагающей работе Болыдмана
«О связи между вторым началом механической тео-
теории теплоты и исчислением вероятностей в примене-
" нии к теоремам о тепловом равновесии» выкристалли-
выкристаллизовываются в физическую теорию — в статистическую
теорию газа [20, 21].
Мы рассмотрим ее в несколько модернизованном
изложении. Представим себе, что в упомянутых выше
ячейках фазового пространства распределено N ато-
атомов газа, причем все атомы помечены, т. е. предпола-
предполагается, что они различимы. Каждый способ распре-
распределения их Больцман называет комплексией, в то
время как сегодня мы говорим о микросостоянни. Та-
Таким образом, для характеристики микросостояния
(комплексии) необходимо иметь данные о том, какие
частицы в каких ячейках находятся. В противополож-
противоположность этому для характеристики макросостояния не-
необходимы сведения лишь о количестве частиц в каж-
каждой ячейке. Число возможных реализаций одного
макросостояния из различных микросостояний Больц-
Больцман называет перестановочностью (Permutabilitat) !)
и обозначает $р.
Обозначив число частиц в отдельных ячейках че-
через Ns, можно определить ф в виде
так как существует NX перестановок N атомов, но при
этом, однако, любая из Ns\ перестановок Ns частиц
в s-й ячейке не ведет к новому микросостоянию. Ис-
•) Введенный Больцманом термин «перестановочность» не
стал общепринятым. Ему соответствует современный термин «ста-
«статистический вес макросостояния», который используется далее
гри переводе. Менее распространенный, но вес же применяемый
термин для этой величины — «термодинамическая вероятность
макросостояния». Последняя не есть вероятность в обычном
смысле, так как она больше единицы. — Прим. ред.
Гл. 5. Л. Больцман и элементарная теория газа
69
пользуя справедливую при больших значениях х фор-
формулу Стерлинга
In х\ — х In х — х, E.7)
получаем
\n'$ = N\nN-N-ZNslnNs + YJNs. E.8)
5 S
Так как
ZNS = N, E.9)
S
то два члена в E.8) взаимно уничтожаются. Если,
принимая во внимание E.1), заменить суммы инте-
интегралами, то, сравнивая E.8) и E.2), можно показать,
что In 5J3 с точностью до постоянного слагаемого иден-
идентичен величине Q, которую Больцман поэтому пазы*
вает «мерой» статистического веса и которая таким
образом получает свою вероятностную интерпрета-
интерпретацию.
Так как, согласно кинетической теории, Q дости-
гает своего максимума при термодинамическом равно-
равновесном состоянии, то, следовательно, это равновесное
состояние можно характеризовать как такое макро-
макросостояние, которое реализуется наибольшим числом
микросостояний, т. е. имеет наибольший статистиче-
статистический вес 5J3. Это в свою очередь ведет, согласно Больц-
ману, к следующему толкованию перехода к равнове-
равновесию и роста величины Q1). Каждое отдельное соот-
соответствующее термодинамическому равновесию микро-
микросостояние, которое возникает из произвольного на-
начального состояния по прошествии определенного вре-
времени, столь же маловероятно, как и отдельное микро-
состояние, при котором газ макроскопически отстоит
сколь угодно далеко от термодинамического равнове-
равновесия, «точно так же как при игре в лото каждая от-
отдельная пятерка номеров так же маловероятна, как и
пятерка 12345». И только потому, что микросостоя-
микросостояний, соответствующих термодинамическому состоянию
равновесия, гораздо больше, чем других, возникает
') Мы здесь строго придерживаемся стиля изложения Больц-
мана. См. [19], стр. 245.
70 Часть I
ббльшая вероятность того, что со временем образуется
равновесное макросостояние и Q увеличивается.
Тот случай, когда все молекулы газа вдруг устрем-
устремляются в один угол сосуда, по своей крайней невероят-
невероятности является чисто академическим и «неестествен-
«неестественным». Такого рода упорядоченные движения предпо-
предполагают тесную корреляцию между положением и ско-
скоростями частиц газа. Естественное же поведение мы
можем, напротив, охарактеризовать отсутствием та-
такого рода корреляций. Это и составляет содержание
«гипотезы молекулярного хаоса». Последняя входит
как предпосылка в кинетическую теорию Больцмана
и играет как в идейном, так и в методологическом от-
отношении такую же роль, как и «гипотеза естествен-
естественного излучения» Планка. Планк подчеркнуто ставит
свою гипотезу параллельно гипотезе Больцмана. Но
к этому мы вернемся несколько позже.
Расчет максимума In 5J3 должен проводиться при
дополнительных условиях: необходимо задать число
частиц E.9) и энергию
ZesNs = W, E.10)
где es — энергия одной частицы, находящейся в s-й
ячейке1). Как известно, для нахождения максимума
функции необходимо прибавить к пен эти дополни-
дополнительно заданные значения, умноженные на коэффи-
коэффициенты Лагранжа —а и —р, и затем написать усло-
условие абсолютного экстремума
Отсюда сразу получим
Ы8 = е~а-*е*- E.11)
Теперь заметим, что
*) Мы пренебрегаем тем, что частицы внутри ячейки могут
иметь различную энергию.
Гл. 5. Л. Больцман и- элементарная теория газа 71
определяет число ячеек, которым соответствует вели-
величина импульса ps. В числителе здесь стоит объем, за-
занимаемый данными ячейками в фазовом простран-
пространстве, а именно объем 6-мерного цилиндра, «основа-
«основанием» которого служит сферическая оболочка 4яр^ Ар,
а «высотой» — объем газа V. Деление на объем ДжДр
одной ячейки дает искомое число.
Если es зависит только от ps> то $lskpNs — число
частиц с этой энергией и, следовательно, их вклад
UsVAp в общую энергию газа будет определяться фор-
формулой
и,V Ар = еА ApiVs = e, ^ffi" e^e'». E.13)
С помощью E.9) можно исключить а. Получим
^ = |е-рЧ E.14)
где
Z = eaN = ? е'^г = ^ gr^-fXV Д/7 E.15)
г
— так называемая статистическая сумма.
Подставим E.12) в E.15), помня, что для моле-
молекулы (массы пг) классического одноатомного газа
и заменим сумму интегралом
Тогда для статистической суммы получим
2пт \Ъ V
)
Параметр р можно выразить через среднюю энергию
ё одной частицы. В общем случае
У esNs V e^s
72 Часть 1
следовательно, для нашего случая
В ———
Далее, проведя элементарный расчет средней по
времени силы, действующей на стенку вследствие
ударов молекул, для давления получим
р = -р--3 е = -рГ-г. E.17)
Здесь второе выражение представляет собой уравне-
уравнение состояния идеального газа, где R — универсаль-
универсальная газовая постоянная, a L — число молекул газа в
одном моле. Чтобы иметь возможность пользоваться
привычными обозначениями и в то же время не на-
нарушать исторической последовательности, мы введем
здесь для сокращения записи величину
А = 4" EЛ8)
Тогда будем иметь
V=T[T=-W- E-lQ)
Таким образом, средняя энергия частицы и тем са-
самым также полная энергия одноатомного газа про-
пропорциональны температуре:
g = 1 kT, W = -| NkT. E.20)
Равновесное распределение, действительно, оказывает-
оказывается максвелловским, т. е.
N N . c-fr
s BrnnkT)''* V
при
2mkT
Мы установим теперь важную связь между
и энтропией S. Согласно E.20), имеем
Гл. 5. Л. Больцман и элементарная теория газа 73
Причем здесь и в дальнейшем мы вводим постоянные
неявно. Учитывая, что Р ? esJVs = PeN = 3JV/2 = const,
а также E.9), представим теперь E.8) в форме
1пф = ЛПп(УГ'-) + С8. E.22)
С другой стороны, для газа, согласно первому закону,
квазистатически подведенное количество тепла равно
dQ = Ndl + pdV = Nk (| dT + -~ dV ).
Здесь учтены формулы E.20), E.17) и E.18). Тогда
окончательное выражение для энтропии имеет вид
$= \^Г + So = Nkln(VF'>) + So =
«=А1пф + C3 = ?Q + C4. E.23)
Теперь мы можем результат проведенного рассмо-
рассмотрения резюмировать словами Больцмана:
«Отсюда следует, что мера статистического веса
есть величина, которая в случае теплового равнове-
равновесия с точностью до постоянного множителя и слагае-
слагаемого идентична энтропии, но которая, однако, сохра-
сохраняет смысл также и при необратимом процессе, когда
она также постоянно возрастает» •).
Именно на это утверждение будет ссылаться Планк
в конце 1900 г. при обосновании своего закона излу-
излучения.
') См. [21], стр. 217. Вместо меры статистического веса
здесь, очевидно, можно говорить о In % т. е. о логарифме числа
возможных реализаций макросостояния из микросостояний.
Глава 6
АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН И КЛАССИЧЕСКИЙ
ГАЗ СВЕТОВЫХ КОРПУСКУЛ
В этой главе мы применим принципы теории газов
Больцмана, чтобы подтвердить высказанную уже на
стр. 47 мысль, согласно которой внутренний физиче-
физический смысл закона излучения Вина (а также его трак-
трактовка Планком) представляет собой, в сущности, клас-
классическую корпускулярную теорию света. Как уже упо-
упоминалось, эта теория восходит к Эйнштейну A905 г.),
а именно к его известной работе «Об одной эвристи-
эвристической точке зрения касательно возникновения и пре-
превращения света» [22] '). Аргументация Эйнштейна ле-
лежит полностью в рамках закона Вина, и свои выводы
он ограничивает только областью его применимости.
Эта аргументация совершенно не зависит от квантовой
гипотезы Планка A900 г.) и его окончательного за-
закона излучения. Последний упоминается Эйнштейном
в 1905 г. только как закон, лучше всех соответствую-
соответствующий экспериментальным данным; при этом закон при-
приводится в элементарной форме (которой Эйнштейн
придерживался также и в дальнейших публикациях).
Фотоэффект, флуоресценция и фотоионизация не со-
составляют главного в работе Эйнштейна, а служат в
первую очередь для подтверждения его принципиаль-
принципиальных соображений.
Рассмотрим вместе с Эйнштейном энтропию и энер-
энергию излучения, лежащего в интервале частот
(v, v -f Av) :
F.1)
') Эта работа перепечатана в т. 56 настоящей серии книг
[23], благодаря чему она легко доступна.
Гл. 6. А. Эйнштейн и гаэ световых корпускул 75
Подставляя F.1) в соотношение D.29а), справедли-
справедливое в теории Вина, имеем
Изменение этой энтропии при постоянной энергии W?
можно записать в виде
Принимая во внимание, с другой стороны, что для од-
одноатомного идеального газа энергия W пропорцио-
пропорциональна температуре Т, получаем, согласно E.23), по
аналогии с F.2)
S-S0 = A;iVlnT7 = A-rIn-^. F.3)
Это наводит на мысль рассматривать излучение в ин-
интервале частот (v, v + dv) как газ, состоящий из кор-
корпускул света. Их (средняя) энергия была бы равна
е — akv, F.4)
а их число —
Nv = Wv/akv. F.5)
Окончательный вывод Эйнштейна гласит:
«Монохроматическое излучение малой плотности (в границах
применимости формулы излучения Вина) ведет себя с точки
зрения теории теплоты так, как будто бы оно состоит из незави-
независимых друг от друга квантов энергии величиной Rfiv/N»').
Это заключение неудовлетворительно в двух смыс-
смыслах. Во-первых, оно выведено из совершенно специ-
специальной формулы, а во-вторых, не хотелось бы огра-
ограничивать аналогию между обычным газом и излуче-
излучением только монохроматической составляющей по-
последнего. Поэтому желательно развить следствия из
эйнштейновской теоремы полностью. В таком случае
мы, конечно, отойдем от историчности изложения.
Прежде всего свяжем с излучением частоты v пред-
представление о световых корпускулах, энергия которых
•) Эйнштейн использует буквы р, N вместо а и L. Обратите
внимание, что k = R/L.
76 Часть 1
задана соотношением F.4), т. е., отклоняясь несколь-
несколько от вышеприведенного утверждения, не будем го-
говорить о средней энергии. Тогда, если подставить F.4)
в формулу излучения D.27) Вина, экспоненциальное
выражение ехр(—av/T) сразу примет форму ехр(—Ре),
найденную в теории газов. В то время как в работе
Эйнштейна символ h вообще не появляется, мы будем
обозначать в дальнейшем (только в качестве сокраще-
сокращения записи)
ak = l?- = h. F.6)
Далее, мы припишем частицам массу m и используем
соотношение е = тс2, которое Эйнштейн в это самое
время нашел совсем в другой связи. Импульс световых
частиц есть, очевидно, р = тс. Таким образом, если
hv = e = pc F.7)
подставить в закон излучения D.27) Вина, то он при-
примет вид
uv dv = updp = 2 ^glR-te-^. F.8)
Для сравнения напишем аналогичное соотношение
E.13) из теории газов в форме
e-*°e-a. F-9)
Различия между двумя очень сходными формулами
F.8) и F.9) легко объяснимы. В соответствии с по-
появившимся множителем 2 удваивается число состоя-
состояний (ячеек в фазовом пространстве) нашей классиче-
классической корпускулы света. Оказывается, она обладает
некоторой внутренней переменной характеристикой
(спином), способной принимать только два значения.
Это соответствует разложению монохроматического
пучка лучей на два пучка, линейно-поляризованных
во взаимно перпендикулярных направлениях. Кроме
того, величине ДхДр ячейки фазового пространства от-
отвечает величина №/Ь. При сделанных допущениях
пока еще нет теоретической необходимости положить
Л = &, F.10)
Гл. 6. А. Эйнштейн и газ световых корпускул 77
так как в классической теории величина ячейки про-
произвольна. Но, с другой стороны, эта же произволь-
произвольность позволяет нам сейчас сделать такой выбор F.10),
необходимый для квантовой теории.
Самое важное различие между F.8) и F.9) за-
заключается в отсутствии множителя е~а. В предыдущей
главе он оказался пропорциональным Г~3/2. Вин с са-
самого начала избавился от этой Г-зависимостп, взяв
максвелловское распределение скоростей. В противном
случае он пришел бы к формуле излучения
которую не допускают термодинамические соображе-
соображения. Положение вещей в корпускулярной модели сразу
становится ясным, если вспомнить, что множитель Ла-
гранжа а был введен с целью учесть постоянство
числа молекул газа. Таким образом, а = 0 означает:
в фотонном газе количество частиц переменно!
Для наглядности можно себе представить, что при
нагревании стенок эмиссия фотонов увеличивается.
Однако нельзя упускать из виду, что, как известно,
тот же самый эффект достигается и путем адиабати-
адиабатического сжатия. Так или иначе необходимо предполо-
предположить — число корпускул увеличивается с температу-
температурой. В подтверждение этого подсчитаем полное коли*
чество частиц N, просуммировав (проинтегрировав)
по всем частотам (импульсам). Комбинируя F.4),
F.5) и F.1), находим
Z F.11)
в согласии с тем, что [см. E.15)] в случае а = 0
число частиц и статистическая сумма равны друг
другу. Взяв интеграл, получим
м 7 ШУТ3 /а lov
где сильная зависимость числа частиц от температуры
сразу же бросается в глаза.
78 Часть 1
Если рассчитать давление классического фотонного
газа по стандартной формуле
p = NkTdlnZ/dV, F.13)
вывод которой мы не приводим, то подтвердится соот-
соотношение р =» и/3 '), справедливое для излучения в по-
полости. С другой стороны, формулы F.12) и F.13) по-
показывают, что наш газ формально подчиняется урав-
уравнению состояния pV = NkT, если под, N понимать за-
зависящее-от температуры выражение F.12).
Чтобы выразить интенсивность $ линейно-поляри-
вованного монохроматического пучка через величины,
относящиеся к корпускулярной модели, мы вместо
формального подхода воспользуемся наглядным рас-
рассмотрением. Мы рассчитаем энергию dW, которую пе-
переносят корпускулы с энергией в интервале от « = рс
До е = (р + dp) с с направлением полета в телесном
угле dQ за время dt через элемент поверхности dA.
Эти корпускулы занимают в импульсном пространстве
объем pPdQdp, а в координатном пространстве должны
находиться, очевидно, в наклонном цилиндре объемом
dA cos bcdt. Произведение этих двух объемов, делен-
деленное на ft3, дает число ячеек в фазовом пространстве,
которые заняты исследуемыми корпускулами. Таким
образом,
6
если N — среднее число корпускул в одной такой ячей-
. ке. При этом число корпускул N не обязательно долж-
ро иметь равновесное значение е~~®е. Сравнивая с со-
соотношением A.1), которое можно записать в форме
dW = В. (v) dA cos Ь dt dQ, (c/h) dp, F.15)
получаем
. St (v) = Ncffi/h2 = Msp2/A2. F.16)
Выражение Планка D.296) для интенсивности из-
излучения энтропии с учетом F.4), F.7) и F.10) при-
примет вид
g klp(N In N-N). F.17)
') Плотность энергии удобно определить, используя E.16).
Гл. 6. А. Эйнштейн и газ световых корпускул 79
Плотность энтропии излучения рассчитывается тогда
следующим образом:
= - 2k \ dp (f In (fft3)-/) F.18)
(dp = p2dpdQ). Множитель 2 добавлен в связи с тем,
что выражение F.17) относилось к линейно-поляри*
зованному излучению. Далее мы в соответствии с за»
дачей модифицировали E.1) и ввели функцию рас-
распределения / = N/h3. Как показывает сравнение с
E.3), речь идет фактически о плотности энтропии
Больцмана.
Здесь удалось избежать неудобного по соображе-
соображениям размерности выражения In f, а присутствие до-
дополнительного члена —f объясняется тем, что из-за
несохранения числа частиц уравнение E.5) больше
недействительно.
Планковская энтропия осциллятора D.29а) прини-
принимает в нашей корпускулярной модели света вид
S = -?-^ln-ii = -MlnJL, F.19)
если мы положим
-7 = й- F-2°)
При этом энтропия всей системы, состоящей из излу-
излучения и осциллятора, будет равна
^ + nln-f\- F.21)
Если последовательно придерживаться гипотезы
световых частиц, то необходимо предположить, что
осциллятор может изменять свою энергию при эмис-
эмиссии и поглощении только скачкообразно, а именно на
целое кратное е = hv. Далее хотелось бы сделать вы-
вывод, что и энергия самого осциллятора состоит из
квантов величиной е. Тогда мы пришли бы к правилу
квантования Планка, согласно которому осциллятор
способен иметь только дискретные состояния энергии
е„ = «е = nhv. F.22)
80 Часть 1
Этот вывод ни в коей мере не неизбежен, однако со-
соотношения F.20) и F.21) на него наталкивают. На-
Напрашивается интерпретация п как среднего числа за-
занятых состояний осциллятора в поле излучения с
квантами энергии.
Теперь условие равновесия D.24) вследствие F.7),
F.16) и F.20) принимает простой вид
т. е. среднее число занятых состояний ячейки фазового
пространства с энергией е фотонного газа равно числу
занятых состояний осциллятора с частотой v = e/h.
Это обстоятельство подкрепляет внушаемую выраже-
выражением F.21) точку зрения на роль осциллятора Планка
в поле излучения: осциллятор можно интерпретиро-
интерпретировать как дополнительное состояние, которое искус-
искусственно добавлено к фазовому пространству газа све-
световых корпускул. Корпускулы, которые попадают в
это состояние, выбывают из активного процесса излу-
излучения, чтобы снова принять в нем участие, когда они
это состояние покинут. То, что Планк определяет в
качестве энтропии одного осциллятора, естественным
образом становится понятным, если рассматривать
эту энтропию как составную часть энтропии всей си-
системы. Тогда перед осциллятором ставится только за-
задача имитировать больцмановский процесс столкно-
столкновений между частицами, который не имеет места в
сиободном поле излучения из-за отсутствия взаимо-
взаимодействия. В самом деле, если перейти от «кинетиче-
«кинетического» к статистическому способу рассмотрения, про-
проведенному в гл. 5, то он с неизбежностью приведет
при необходимых модификациях от концепции класси-
классического газа световых частиц (без вспомогательной
конструкции осциллятора) к закону излучения Вина.
Внутренняя логика предмета и ее раскрытие в исто-
историческом процессе познания не идут здесь рядом. Ло-
Логически концепция световых квантов и, как мы ви-
видели, в принципе также и квантование гармонического
осциллятора относятся до некоторой степени к тому
наследству, которое физика получила от теории излу-
излучения Вина и сохранила в своем арсенале. С истори-
исторической же точки зрения можно сказать, что в данном
Гл. 6. А. Эйнштейн и газ световых корпускул 81
случае оставлявший наследство ни в коей мере не
знал, что именно он завещает. В отношении квантов
света это стало ясным только впоследствии (в 1905 г.)
благодаря Эйнштейну уже после того, как Планку
(в конце 1900 г.) удалось (диалектически) переосмыс-
переосмыслить теорию Вина. Напротив, квантование осцилля-
осциллятора исторически не имеет отношения к теории Вина,
так как оно было открыто Планком в 1900 г. при ин-
интерпретации им своей собственной уже окончательной
формулы излучения. Казалось бы, из квантования ос-
осциллятора тогда же можно было сделать заключение
и о существовании квантов света. Ибо если осцилля-
осциллятор обладает энергией, состоящей из дискретных кван-
квантов, то и испускать он может только их. Но при та-
таком дискретном испускании и сам свет должен иметь
дискретную природу. Однако от подобного вывода
Планк был в то время еще очень и очень далек. Эйн-
Эйнштейн, после того как он в 1905 г. сформулировал
квантовую гипотезу света другим способом, только в
1906 г. отчетливо говорит, что «Планк в своей теории
излучения ввел в физику новый гипотетический эле-
элемент— гипотезу световых квантов» [24]. Планк же
таким образом не интерпретировал свою работу.
Это и понятно, ибо гипотеза световых квантов в ее
сырой наглядной форме оказывается несовместимой
с эмпирически совершенно явными волновыми свой-
свойствами света. Так как теория Вина полностью интер-
интерпретируема в понятиях такой наглядной классической
теории световых частиц, то само собой разумеется,
что в ней может содержаться только часть истины.
С другой стороны, поскольку в окончательной теории
излучения корпускулярный аспект, как известно, со-
сохранен, то и классическая наглядная волновая теория
тоже не может быть справедливой без ограничений.
Ирония истории состоит в том, что Планк в 1899—
1900 гг. фактически развивает классическую корпу-
корпускулярную теорию света. Сам он, конечно, считает, что
разрабатывает волновую теорию излучения, от кото-
которой он опять-таки фактически уходит. При последо*
вательном применении волновой теории проблема из-
излучения в полости получает совсем другсе решение —
это мы покажем в следующей главе.
Глава 7
ЛОРД РЭЛЕЙ
И СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОЛОСТИ
От первоначального представления Вина о части*
цах, взаимодействующих с излучением, мы перешли
к модели излучения как газа, состоящего из световых
квантов. Точно так же, вместо того чтобы рассматри-
рассматривать осциллятор, как это делает Планк, во взаимо-
взаимодействии с излучением, можно считать, что он сам —
составная часть излучения, и представлять его как
собственные электромагнитные колебания зеркально
отражающей полости. Такая трактовка черного излу-
излучения восходит к Рэлею. Поводом для основной статьи
Рэлея, приведенной во второй части книги, послужило
¦показавшееся ему странным следствие из закона из-
излучения Вина. А именно, если применимость закона
не ограничена, то плотность энергии в определенном
цветовом интервале не может бесконечно возрастать
с температурой, а должна асимптотически прибли-
приближаться к конечному пределу {8nbv3c-*Av). Этот «ви-
«видимый парадокс» Планк надеялся еще объяснить
с помощью гипотезы «естественного излучения» [16].
В методическом отношении Рэлей исходит из своих
исследований колебаний замкнутой воздушной массы.
Он ссылается на свою монографию «Теория звука»
A877—1878 гг.I), которая еще и сегодня (по проше-
прошествии 100 лет) имеет практическое значение и рас-
рассматривает «вибрации эфира» по аналогии с колеба-
колебаниями воздуха. Здесь также можно говорить о стоя-
стоячих волнах, которые образуются вследствие наложе-
наложения волн, падающих и отраженных от стенок. В зави-
зависимости от природы волны и стенок граничные усло-
л) См. перевод, этой книги [471 и статью Дж. Говарда о
творчестве Рэлея [48]. — Прим. ред.
Гл. 7. Рэлей и собственные колебания в полости 83
вия определяют наличие у стенки узлов или пучностей.
Например, в случае звука, согласно граничному усло-
условию, молекулы воздуха у стенки не должны иметь
нормальной к ней компоненты скорости. Требование,
чтобы стенка была поверхностью узлов, очевидно, мо-
может выполняться при заданном объеме V не для лю-
любой длины волны К. Таким образом, встает вопрос,
сколько вообще волн в интервале (Я,, Я, + d%) может
существовать при данных условиях 1). Исключительно
из соображений размерности можно ожидать, что
число возможных волн пропорционально VK^dX. Как
мы увидим, если перейти от длины волны к частоте v,
выражение
%dv = ^Vdv G.1)
действительно определяет число возможных стоячих
волн в интервале частот (v, v + dv). Но это как раз
тот член, который с большими трудностями нашел
Планк; этот член после умножения на среднюю энер-
энергию U осциллятора с собственной частотой v опреде-
определяет полную энергию волн данного интервала частот.
Таким образом, в связи с новой интерпретацией G.1)
энергию U можно теперь рассматривать как среднюю
энергию стоячей волны собственного колебания поло-
полости с частотой v2).
Чтобы лучше разобраться в этом, представим элек-
электрическую и магнитную напряженности поля Е и Н
излучения в полости с помощью векторного потенци-
потенциала А:
? = -1-|-Д H=rotA,
причем потенциал А в свою очередь удовлетворяет
уравнениям
divA 0. G.2)
') Допрос, сформулированный таким образом, имеет смысл,
если линейные размеры объема очень велики по сравнению с X,
т. е. если в интервале dX может находиться достаточно много
возможных волн.
2) Вспомним, что выражение G.1) определяет также число
ячеек в фазовом пространстве корпускул света с энергией в ин-
интервале (е, е + de). Следовательно, число ячеек равно числу волн.
84 Часть 1
Для простоты выберем полость в виде куба: 0 ^ х,
у, z ^ L. На стенках, которые здесь должны быть
идеально отражающими, тангенциальная компонента
Е и нормальная компонента И должны по соображе-
соображениям непрерывности исчезать.
Как легко убедиться, это условие выполняется,
если суперпозицию стоячих волн можно представить
в виде
Zx, y,z), G.3)
где Ап имеет следующие компоненты:
п3пг
П\Ях . шли .
— am cos -i— sin -jf- sin
^ G.4)
Вектор п имеет здесь целочисленные компоненты
Л|, п2, «з = 0, 1, 2, 3, ... . Легко видеть, что члены
разложения, соответствующие различным векторам m
и л, ортогональны друг другу:
L L L
л* л* л*
[ [ \dxdydzAn- Лт = О для тфп. G.5)
0 0 0
Волновое уравнение G.2) требует, чтобы
15 <7 + 7-
vr(fl?
15
слагаемые здесь должны взаимно уничтожаться, в чем
можно убедиться, умножая на Ат и интегрируя с
учетом G.5). Таким образом, речь идет о колебаниях
с угловыми частотами
ю„ = —JJ- (п\ + Щ + Пд)' (' •")
тогда можно записать
-f со2с-2Л==0. G.7)
Гл. 7. Рэлей и собственные колебания в полости 85
По аналогичным соображениям из второго урав-
уравнения G.2) для каждого п имеем
div А„ = 0; anmi + an<ini + а„ъп3 = an • n = 0. G.8)
Очевидно, для любого заданного вектора п можно
найти два вектора а*,1' и а^\ которые перпендику-
перпендикулярны п и друг другу. После того как волну каждого
вида мы с помощью этих векторов построим из двух
волн, линейно-поляризованных во взаимно перпенди-
перпендикулярных направлениях, мы сможем более подробно
и полно сформулировать выражение G.5):
/,/=1,2. G.9)
Нормируя на 4яс2, мы тем самым произвольно изме-
изменяем величины векторов aJJ\ Это допустимо, посколь-
поскольку существенна только величина произведения q^ajf'.
Полезно заметить, что при расчете энергии поля
в результате интегрирования по частям с учетом G.8),
G.7), G.9) можно получить
IV (rot A?-rotA?)=*
= \ dV Am (.grad div An — ААД ) = 4ясйп0тл0
Тогда для полной энергии поля без труда находим
Здесь отчетливо выявляется принципиальное значе-
значение, которое гармонический осциллятор имеет для
всей проблемы излучения: в энергетическом отноше-
отношении излучение ведет себя как система невзаимодей-
невзаимодействующих гармонических осцилляторов1). Подобно
') Равным образом, если бы мы захотели трактовать излуче-
излучение как газ, состоящий из корпускул света, мы опять-таки были
би вынуждены энергию каждого осциллятора составлять из дис-
дискретных квантов е .= ftv.
86 . Часть 1
тому как в корпускулярной модели осциллятор План-
Планка в известном смысле выступал как дополнительная
препарированная ячейка фазового пространства (со-
(состояние частицы), так и при только что описанном
подходе его следует рассматривать как некую своеоб-
разную разновидность собственного .колебания (стоя-
(стоячей волны). Таким образом, вполне понятно, почему
Планк получил тот самый член, который дан здесь
формулой G.1).
-Но если ход рассуждений Планка был очень слож-
сложным, то сейчас мы можем проверить соотношение
G.1) простым способом. Если рассмотреть G.6) в
виде
то ясно, что каждой тройке натуральных чисел соот-
соответствует некоторая собственная частота полости.
Число собственных частот между 0 и v равно тогда
числу точек с целочисленными координатами в первом
октанте шара радиуса п = 2vL/c или при большом L
(см. примечание 1, стр; 83) приближенно равно са-
самому объему восьмой части шара. Точно так же число
собственных частот между v и v + dv равно объему
восьмой части сферического слоя такого же радиуса
и толщины 2Ldv/c. Если еще принять во внимание,
что каждой собственной частоте соответствуют два
различно поляризованных собственных колебания (две
стоячие волны) и что L3 = V, то мы придем к G.1).
Этот результат получен для куба, однако он должен
быть верен независимо от формы полости; иначе, во-
вопреки тому, что нам известно об излучении абсолютно
черного тела, uv зависело бы от формы полости ').
Вторая основная идея Рэлея сводится к поиску
средней энергии V отдельного собственного колеба-
колебания с помощью метода статистической теории газов
Больцмана. В соответствии с этим часть излучения
б определенном интервале частот рассматривается как
своего рода «газ независимых осцилляторов». Вместо
') Это замечание не делает, конечно, излншннм математиче-
математическое доказательство. Вейль в 1912 г., к счастью, дал такое дока-
доказательство, так как отсутствие его ставило бы под сомнение вто-
второй закон термодинамики.
Гл. 7. Рэлей и собственные колебания в полости 87
Л; газовых частиц вводится KvAv осцилляторов. Фазо-
Фазовое пространство, задаваемое координатами положе-
положения х, у, г и импульса рх, ру, рг газовых частиц, заме-
заменяется на двумерную фазовую плоскость ц, q осцил-
осциллятора. Далее программа расчета протекает точно в
такой же последовательности, как и в гл. 5. Поэтому
справедлива фундаментальная формула E.16)
^u=^7^ — WlnZ- GЛ1)
Статистическая сумма Z —?е~Рея снова заменяется
интегралом. Так как энергия одного осциллятора рав-
равна (д2 + <о2<72)/2, то мы получим
DO OO ,
J J dq ^е-СМЧад/2=(^ д^ Д^)-1. G.12)
— оо — оо
Тогда, согласно G.11), U — 1/р. Но можно ли здесь
вместо 1/р взять значение kT, как это было в случае
совершенно- специальной системы — одноатомного
идеального газа? Оказывается, можно. Нетрудно по-
показать, что р представляет собой параметр, опреде-
определяющий тепловое равновесие, т. е. р есть универсаль-
универсальная функция температуры, для определения которой
достаточно исследовать одну подходящую систему.
В нашем случае мы можем использовать более
простую аргументацию. Согласно выбранному методу,
величина U, во всяком случае, не зависит от частоты,
т. е. U= U'(T), в то время как закон смещения тре-
требует, чтобы U = щ(Т/\). Но отсюда следует
U = kT G.13)
(причем эта аргументация не дает, конечно, истинного
значения k = R/L).
Подставляя G.13) в фундаментальную формулу
Планка D.19), приходим к так называемому закону
излучения Рэлея — Джинса
uv = 8nvV-3A:r. G.14)
Закон Рэлея — Джинса несправедлив, так как он при-
нпднт после интегрирования по всем частотам к бес-
бессмысленному результату — бесконечно большой плот*
88 Часть 1
ности энергии излучения. Поэтому Рэлей ограничи-
ограничивает его применение исключительно областью высоких
температур и больших длин волн. Для указанной об-
области закон G.14) был качественно подтвержден как
асимптотический закон уже экспериментами Курль-
баума и Рубенса. Как видно из оригинального текста
(см. вторую часть данной книги), Рэлей принимает
в качестве точного закона излучения не G.14), а (в
нашей записи)
и» = 8nv2c~3kTe-av'T. G.15)
Это неверно, но не бессмысленно, так как не ведет
к бесконечному значению полной энергии, т. е. к «уль-
«ультрафиолетовой катастрофе».
Последнюю вызвал не Рэлей, а только Джине в
1905 г., объявив закон излучения G.14) обязательным
для всех частот; так как природа этому закону, безус-
безусловно, не подчинялась, Джине постулировал, что в из-
излучении не устанавливается термодинамическое рав-
равновесие. Вопреки мнению, которого придерживаются
даже серьезные авторы, «ультрафиолетовая катастро-
катастрофа», возникшая в 1905 г., не могла играть вообще ни-
никакой роли при обсуждении закона излучения в 1900 г.
Причина ультрафиолетовой катастрофы лежит, ко-
конечно, в независимости средней энергии U от частоты,
что в свою очередь служит выражением закона рав-
равномерного распределения, который был назван Рэлеем
«доктриной Максвелла — Больцмана»'). В то время
') Этот закон равномерного распределения гласит: если энер-
энергия статистического объекта (молекулы газа, осциллятора нли
чего-либо подобного) имеет форму
а переменные ?< распределены непрерывно между —то и +оо, то
статистическая сумма рассчитывается по формуле
и средняя энергия при этом составляет
ё dlnZ f
e
Гл. 7. Рэлей и собственные колебания в полости 89
как из классической корпускулярной концепции света
следует хотя и неточная, но приемлемая формула из-
излучения (Вина), волновая теория явно ведет к прин-
принципиально бессмысленному результату1). Для его
разбора прибегнем еще раз к гипотезе «естественного
излучения».
Планк представляет компоненту электрического
поля в некоторой фиксированной точке в интервал^
времени (—2Г <. t <. 0~) в виде ряда Фурье:
G.16)
Тогда в своей сильной формулировке гипотеза гласит,
что амплитуды Ап и фазы сс„ парциальных колебаний
ни в какой мере не проявляют корреляции, «а распре-
распределены абсолютно беспорядочно в смысле теории ве-
вероятностей» [25]. В слабой формулировке это отно-
относится только к амплитудам и фазам колебаний, при-
принадлежащих узкому интервалу частот B=(v,v + Av).
Если гипотезу применять к амплитудам и фазам
обсуждаемых в данной главе собственных колебаний
л/2
qv.=All sin (юд/ + ад)=-^ К sin aj + b^ cos юд/), G.17)
то потребуется некоторое конкретное уточнение. При
такой записи энергия излучения в интервале В соста-
составит, согласно G.10),
Wv = I (а* + Ь1) = % Av (al+bl) = 3lv Av?/. G.18)
В своей слабой формулировке уточненная гипотеза
предполагает, что в естественном излучении элементы
«газа осцилляторов», соответствующего интервалу ча-
частот В, беспорядочно распределены по фазовой пло-
плоскости q, q. Таким образом, эта гипотеза в точности
соответствует постулату «молекулярного хаоса», т. е.
беспорядочному и некоррелированному распределению
реальных молекул газа в 6-мерном фазовом простран-
пространстве, свойственному «естественному» газу.
') Когда Рэлей в A7.15) устраняет возникшую трудность с
помощью экспоненциального множителя, то это делается ad hoc,
без теоретического обоснования.
90 Часть 1
Так как инде.кс ц относится к собственной частоте,
то сильная формулировка гипотезы исключает систе-
систематическую частотную зависимость величин Лд, ад и
соответственно а^ и Ь^. Тогда и среднее значение в
,G.18) также должно быть независимым от частоты.
Но это ведет, как мы видели, к закону излучения Рэ-
лея — Джинса G.14). Однако, поскольку Планк не
приходит к этому несостоятельному закону, можно
заключить, что во всяком случае сильную гипотезу
естественного излучения он не проводит последова-
последовательно.
Нечто подобное можно сказать и о слабой гипо-
гипотезе, хотя и не столь определенно, как в предыдущем
абзаце. Мы будем исходить из того, что неупорядо-
неупорядоченность естественного излучения происходит, как из-
известно, от неупорядоченности производящих его эле-
элементарных актов. Мы основываемся на слабой гипо-
гипотезе, когда для отдельных ориентировочных оценок
допускаем идеализацию, ограничиваясь монохромати-
.ческими волнами. Мы считаем, что они испускаются
некоррелированными точечными источниками со слу-
случайными фазами.
Не касаясь поляризационных свойств, представим
возбуждение света ¦§ в точке прихода Р как наложе-
наложение элементарных волн вида
Ф = Е ам exp i {krM + aM — at). G.19)
м
Здесь k = 2n/K, а гм — расстояние от М-то источника
до точки Р. Как обычно, интенсивность света
/ = фф* = J alt + E2J aMaNexp i [k {rM—rN)+aM-aN].
G.20)
Имеющийся здесь интерференционный член (двойная
сумма) при усреднении практически исчезнет; другими
словами, измеряемая интенсивность будет описывать-
описываться формулой
7 |>m- G.21)
Естественный свет некогерентен.
Однако, несмотря на это, существуют простран-
Гл. 7. Рэлей и собственные колебания в полости 91
ственные флуктуации интенсивности. Пусть J' — ин-
интенсивность в точке Р', а г'к — расстояние /С-го ис-
источника до этой точки, тогда легко найдем
//' == ? ? сша\ + ZZ а%а% exp ik (rM — г'м. + гк — г'к).
G.22)
Второй член показывает, что интенсивности в различ-
различных точках пространства не совсем независимы друг
от друга. Это дает повод для вопроса, не состоит ли
ошибка Планка при последнем выводе закона Вина
в том, что он рассматривал свои осцилляторы в раз-
различных точках поля излучения как полностью незави-
независимые друг от друга. Но можно ожидать (и более
подробный разбор это подтверждает), что упомянутые
корреляции -короткодействующие и заполненное излу-
излучением пространство можно разбить на участки, ко-
которые флуктуируют практически независимо друг от
друга. Поэтому метод Планка в этом пункте можно
считать оправданным.
Тем не менее метод, который де-факто ведет к
классическому газу световых корпускул, уводит нас
от волнового аспекта света. Согласно G.21) и G.22),
средний квадрат отклонения интенсивности в опреде-
определенной точке равен
(/-7J«Я G.23)
Теперь, собственно, уже нельзя говорить об интенсив-
интенсивности чисто монохроматических волн, как это было
предположено в нашем приближении. Наоборот, мы
всегда имеем дело с полосой частот Av. Так как число
степеней свободы, которые определяют состояние из-
излучения интервала Av, в объеме V равно 9lvAv, то
естественно понимать под 7 средний вклад одной из
таких степеней свободы в энергию этой полосы частот,
т. е. положить 7 пропорциональным U. Это приводит
нас к следующей форме квадрата отклонения для
энергии рэлеевских собственных колебаний:
(AiJ = (е — JUf = и», G.24)
Теперь мы покажем, что эта форма квадрата от«
клонений, а тем самым и вся классическая волновая
92 Часть 1
теория света совместимы только с законом излуче-
излучения G.14) Рэлея— Джинса. Для этой цели придадим
нашим рассуждениям несколько другое направление
и прибегнем к фундаментальной формуле G.11) для
«газа» собственных колебаний. После дифференциро-
дифференцирования по р получим
dU „ dU
yri
til
ар вт
Но из 1/7 = dS/d?/ следует
„2 ас/
V6*-Bes '
При этом мы получаем важное соотношение
*- G.25)
Отсюда в первую очередь следует большое значе-
значение используемой Планком второй производной энтро-
энтропии по энергии. Хотя вторая производная была введе-
введена для равновесного состояния, она сразу же дает
среднее квадратичное отклонение эиергии рэлеевского
собственного колебания, или (что то же самое) осцил-
осциллятора Планка.
Мы комбинируем теперь G.25) и G.24) и полу-
получаем после интегрирования доказательство нашего ут-
утверждения, что G.24) требует выполнения закона
Рэлея — Джинса:
JL — ЛЯ. — Л. и — ьт
Т ~ dU ~ U '
Повторное интегрирование даст
S = JfeIn?//e G.26)
(где постоянная интегрирования е по различным со-
соображениям должна быть пропорциональна v)'.
Выражение G.26) противоречит, конечно, опреде-
определению энтропии D.29а) Планка. Из последнего в про-
противоположность G.24) получаем
Виа
Гл. 7. Рэлей и собственные колебания в полости 93
Правда, в данном случае вышеприведенное обоспо-
niiniie соотношения G.25) не вполне подходяще, так
как оно предполагает использование формул G.11) и
G.12), а этот путь трудно модифицировать так, чтобы
он привел к U = Ьх ехр (—aT/v) вместо U — kT. Од-
Однако мы покажем в другой связи, что независимо от
закона излучения выполняется равенство
G.28)
где, как и раньше, Sv и Wv означают соответственно
энтропию й энергию диапазона частот (v, v + Av) из-
излучения полости. Столь же общий характер имеет, по-
поскольку Wv = 9lvAvf/, соотношение
"" — G.29)
dW% dU2
%
и равным образом
2 = 9flvAv(AeJ. G.30)
так как квадраты отклонений независимо флуктуи-
флуктуирующих величин складываются. Но G.28) — G.30) дают
выражение G.25).
Как теперь можно видеть, Планк неявно делает
предположение о господствующей в излучении стати-
статистике, а именно о квадратичном отклонении энергии,
когда он выбирает выражение для d^/dU2. Непосред-
Непосредственное «определение энтропии» S = S(U) имеет, ко-
конечно, точно такое же значение. Оно ведет к опреде-
определенному ответу на вопрос о спектральном распределе-
распределении энергии и, таким образом, в достаточной мере учи-
учитывает то обстоятельство, что речь идет, собственно,
о вопросе из области статистической физики. Но ста-
статистика естественного излучения классического волно-
волнового характера оказывается идентичной определению
энтропии G.26), которое в свою очередь ведет к за-
закону излучения Рэлея — Джинса.
Напротив, подход Планка уводит его от поставлен-
поставленной цели. То, что этот подход, как мы знаем, соответ-
стнует классической корпускулярной модели света, в
94 Часть 1
нашем рассмотрении явствует из выражения для от-
относительного квадратичного отклонения
G.31)
Его можно легко рассчитать с помощью имеющихся
формул. Мы получим
°*«-тг7втЬ G-32)
где Nv, как известно, — число корпускул света. Итак,
относительные отклонения тем больше, чем меньше
число световых корпускул.
В отличие от этого в случае Рэлея отклонение оп-
определяется числом собственных колебаний, т. е. стоя-
стоячих волн. Ибо здесь
Срэлей = m Av" • G.33)
Глава 8
МАКС ПЛАНК
И ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ')
Если вспомнить, что сильнейшая приверженность
Планка к спектральной формуле Вина как раз совпа-
совпадала по времени с экспериментальными опроверже-
опровержениями ее всеобщности, то будет понятно его затрудни-
затруднительное положение. К тому же уже тогда были вы-
выдвинуты и обсуждались эмпирические формулы, ко-
которые описывали экспериментальные данные лучше,
чем формула Вина, и для Планка было делом чести
самому предложить такого рода формулу. Это произо-
произошло 19 октября 1900 г. на памятном заседании Физи-
Физического общества.
Историческое событие идет здесь вслед за обыден-
обыденным и трагикомическим. Эмиль Варбург открывает за-
заседание деловыми сообщениями, рекомендуя, напри-
например, институтским библиотекам приобретать журнал
«Fortschritte der Physik». Затем участники слушают
длинный некролог недавно скончавшемуся чудакова-
чудаковатому оригиналу проф. Рейыхольду Хоппе. И наконец,
настает звездный час науки. В протоколе говорится
[26]:
«Г-н Ф. Курльбаум сообщает о поставленных совместно с
г-иом X. Рубенсом опытах по испусканию длинных волн черным
телом.
На состоявшейся после этого доклада оживленной дискуссии
г-н Планк говорит об улучшении спектрального уравнения Вина».
Это улучшение окажется окончательным ответом
на вопрос о спектральном распределении энергии, а
его интерпретация разорвет рамки классической фи-
физики. Один из величайших переворотов в научном
*) См. работы М. Планка [49—52] н его биографию [53].-ч
Прим. ред.
96 Часть 1
представлении о мире берет свое начало в дискус- -
снонном замечании по докладу на физическом коллок-
коллоквиуме! Наше восхищение уровнем тогдашних Берлин-
Берлинских коллоквиумов не должно уменьшаться из-за того,
что речь идет о подготовленном дискуссионном высту-
выступлении. Курльбаум и Рубенс познакомили Планка со
своими результатами уже за несколько дней до засе-
заседания. Таким образом, у Планка было время сделать
из них свои выводы.
Что касается той формы, в какой это было сделано,
то первоначальное сообщение Планка, воспроизводи-
воспроизводимое в этой книге, отличается от его более поздних
формулировок. Но даже если мы будем придержи-
придерживаться только самой скромной редакции — первого со-
сообщения, то уже и здесь будет отчетливо видна огром-
огромная качественная разница усилий по созданию улуч-
улучшенной спектральной формулы со стороны Планка и
со стороны его конкурентов.
Упомянутые вначале эмпирические формулы мож-
можно записать в общем виде
= ci*-»k-» ехр ( ?-А. (8.
Здесь при ц — 5, р = 1 получается закон Вина, а при
(-1 = 4 и р = 1—закон Рэлея G.15) (с экспоненци-
экспоненциальным членом). Кроме этих формул, были предло-
предложены еще другие:
Тизен: ^ = 4,5, р=1;
Луммер, Янке: (i = 5, р = 0,9;
Луммер, Прингсхейм: |х = 4, р = 1,2,
или р = 1,3.
В направлении, указанном В. А. Михельсоном и В. Ви-
Вином '), Луммер и Янке выполняют несколько работ по
теоретическому обоснованию формул, используя при
этом максвелловское распределение скоростей. В ре*
зультате своих расчетов авторы, однако, ставят под
сомнение пригодность распределения Максвелла для
теории излучения. Фактически речь идет не более чем
') См. примечание на стр. 46.
Гл. 8. М. Планк и окончательный закон излучения 97
о попытке аналитически представить эксперименталь-
экспериментальные кривые. Даже исходя из чисто эстетических сооб-
соображений, можно было бы держать пари, что такого
рода формулы с дробными показателями не могут
отражать фундаментального закона природы. Уже
Кирхгоф был убежден, что искомая функция, «несом-
«несомненно, имеет простую форму, как и все функции, кото-
которые не зависят от свойств отдельных тел» (см. стр. 140
этой книги).
Именно этим руководствуется Планк. В своем
дискуссионном выступлении он трижды подчеркивает
простоту предлагаемой им формулы. Ведь и подле-
подлежащее исправлению спектральное уравнение Вина
Планк сам в своей статье в марте 1900 г. привел к
наипростейшей форме, а именно:
d2S const
иш
Далее, он был глубоко убежден в том огромном зна-
значении, какое дифференциальное уравнение (8.2) имеет
для подтверждения необратимости обмена энергией
между осциллятором и излучением. В отличие от своих
коллег Планк не пытается модифицировать уравнение
Вина в его явной форме. Вместо этого он решает ви-
видоизменить соответствующее ему выражение (8.2).
А оно настолько простое, что успех, как кажется, воз-
возможен с первой же попытки.
И Планк начинает прежде всего «совершенно про*
извольно конструировать выражения для энтропии».
Среди прочих его привлекает одно, «которое по своей
простоте ближе всего к выражению Вина» и которое
действительно оказывается правильным. Оно имеет
вид
~ U(e+U)-
Интегрируя уравнение (8.3), получаем
') Здесь k, e, а также h — пока просто некоторые постоян-
постоянные. Они, конечно, имеют значения, разъясненные нами ранее.
Но сейчас они должны считаться неизвестными.
4 Зак. 900
98 Часть 1
или
(8'5)
Закон смещения требует, чтобы
е = hv. (8.6)
Тогда, согласно D.19), окончательный закон излуче-
излучения Планка гласит:
Т. (8.7)
8пС
* Л5 еНс1кКГ — 1 * v '
Для hv <C kT, или для длинных волн и высоких тем-
температур, он переходит в закон Рэлея — Джинса G.14),
тогда как для противоположного случая hv ^> kT его
приближением служит закон излучения Вина D.27).
Положив b = h и а — h/k, мы придем к обозначе-
обозначениям, использованным в гл. 6.
Таким образом, закон излучения Планка факти-
фактически оказывается интерполяцией формул Вина и Рэ-
Рэлея — Джинса. Возникает вопрос: может быть, Планк
и пришел к своему закону путем сознательного интер-
интерполирования этих двух выражений? Ответ может быть
только отрицательным. Все указывает на то, что
Планк в то время либо не знал работы Рэлея, либо
не придал ей значения. Он цитирует ее только в
1906 г. в своих «Лекциях по теории теплового излуче-
излучения» '). Другие авторы, упоминающие около 1900 г.
о работах Рэлея, приводят всегда «разумную» форму
G.15) закона Рэлея (с экспоненциальным членом) и
никогда не приводят формулы G.14), называемой се-
сегодня законом Рэлея — Джинса.
В более поздних воспоминаниях [впервые в своем
нобелевском докладе A920 г.J)] Планк представ-
') В работе, представленной в январе 1901 г. (см. стр 176
данной книги), Планк указывает на М. Тизена как на автора
окончательной формулировки закона смещения Вииа, хотя по-
последняя была опубликована также и Рэлеем.
*) См. перевод в книге [48]. — Прим. ред.
Гл. 8. М. Планк и окончательный закон-излучения 99
ляс г другую версию открытия своей формулы излу->
чспия. А именно, он ссылается не на закон Рэлея —
Джинса, а на одно обстоятельство, которое в общем
сводится к тому же. Рубенс сообщил ему о результа-
результатах своих измерений, согласно которым с возраста-
возрастанием температуры интенсивность становится пропор-
пропорциональной Т, или, другими словами, выполняется со-
соотношение lim (R/T) = const. Тем самым также и U
Г-»оо
асимптотически приближается к виду const-Г, что
соответствует закону Рэлея — Джинса1). Все это,
как мы видели выше, равнозначно формуле R =
= (d2S/d?/2)-I = — const С/2, в то же время из (8.2)
следует R = —const U. По этому поводу позднее (в
своем нобелевском докладе) Планк говорит:
«Таким, образом, для функции R путем непосредственных опытов
были определены две простые границы: для малых энергий —
пропорциональность энергии, для больших энергий — пропорцио-
пропорциональность квадрату энергии. И поэтому для общего случая са-
самым простым было положить величину R равной сумме члена
с первой степенью и члена со второй степенью энергии так, чтобы
для малых энергий решающим был первый члеи, а для больших
энергий — второй. Таким образом была найдена формула излу-
излучения» [28].
Если все это так напрашивалось само собой, то
хочется спросить, почему «совершенно произвольно
конструировались выражения для энтропии», из кото-
которых потом одно, переходящее для малых значений U,
в выражение Вина, было избрано вследствие своей
простоты. О поведении при больших U в первом со*
общении Планка не упоминается. Опыт показывает,
') В работах Курльбаума и Рубенса по этому поводу гово-
говорится: «По нашему мнению, нз приводимых результатов, во вся-
всяком случае, следует, что только те формулы могут правильно
передать зависимость излучения Е [в наших обозначениях ffj\,
черного тела от длины волны X и температуры Т, в которых зна-
значение Е для очень больших длин волн и очень высоких темпе-
температур возрастает пропорционально Т» [27]. Конечно, эксперимент
тально было невозможно «перейти к таким большим длинам
волн и таким высоким температурам, чтобы влияние экспонен-
экспоненциальной зависимости полностью исчезло» [27]. Достоинство
формулы Плаика отмечается уже в данном сообщении Курль-
Курльбаума и Рубенса, представленном Кольраушем академии 25 ок-
октября 1900 г., и еще яснее подчеркивается в статье этих авторов,
поступившей 10.02. 1901 г. в журнал «Annalen der Physik».
100 Часть 1
что наш ум не сразу схватывает то, что, казалось бы,
лежит на поверхности. Чаще всего это удается лишь
после нескольких неудачных подходов к решению за-
задачи. По-видимому, так было и в данном случае, при-
причем, как очевидно, Планк очень быстро понял харак-
тер своего исходного уравнения (8.3).
Физический смысл уравнения (8.3), конечно, го-
гораздо глубже, чем можно было бы заключить из по-
последней цитаты. Как мы видели в конце гл. 7, вели-
величина R, которая играет здесь определяющую роль,
равна с точностью до постоянной квадрату отклоне-
отклонения энергии. Оба граничных случая соответствуют ка-
каким-то двум различным причинам, вызывающим от-
отклонения. И именно тогда, когда эти причины дей-
действуют независимо друг от друга, квадраты отклоне-
отклонений можно суммировать, что как раз и делает Планк.
Физическое содержание его исходного положения,
а тем самым и его формулы излучения заключено в
том, что флуктуации энергии ведут себя так, как будто
они вызываются двумя не зависящими друг от друга
причинами. Это положение очень четко развил еще в
1909 г. Эйнштейн [29]. Он подчеркивает то, что мы
пояснили в гл. 7: речь здесь идет об отклонениях
из-за интерференции и из-за движения независимых
частиц. Отсюда, пишет Эйнштейн, «неопровержимо
следует, что природа излучения должна быть не та-
такой, какой мы ее считаем в настоящее время». За
словами Эйнштейна скрывается, как мы теперь назы-
называем, дуализм природы света. Поэтому можно при-
присоединиться к мнению М. Штрауса, который в своей
заслуживающей прочтения работе «Макс Планк и воз-
возникновение квантовой теории» пишет:
«Закон излучения Планка представляет собой синтез двух, каза-
казалось бы, несовместимых теорий, которые на протяжении столетий
противостояли друг другу. Но так как в формуле Планка обе
эти теории содержатся как предельные случаи (hv/kT -*¦ оо и
hxIkT -*-0), то будет правильнее назвать этот синтез диалектиче-
диалектическим снятием противоречия между обеими классическими тео-
теориями.
Таким образом, Планк, сам того не предполагая, стал, в сущ-
сущности, основоположником современного представления о «дуализ-
«дуализме» материи, нашедшем позже свою адекватную математическую
формулировку в квантовой теории поля» [30].
Глава 9
МАКС ПЛАНК И КВАНТОВАНИЕ
ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
Несмотря на то что Планк посвятил не один год
выводу закона излучения, его формула (8.7) вначале
считалась всего лишь «удачно угаданной интерполя-
интерполяционной формулой». Поэтому, как само собой разу-
разумеется, Планк «со дня ее получения трудился над
задачей придать ей подлинно физический смысл» [31],
т. е. «вывести ее дедуктивным путем» [32]. Это уда-
удалось ему, как он сказал впоследствии, «после несколь-
нескольких недель самой напряженной работы в моей жиз-
жизни» [31]. В результате появилась публикация «О за-
законе распределения энергии в нормальном спектре»,
приведенная в данной книге. В другой форме резуль-
результат был доложен уже 14. 12. 1900 г. опять-таки на Бер-
Берлинском коллоквиуме Физического общества1).
Этот день считается днем рождения квантовой тео-
теории, так как именно тогда впервые публично была
высказана идея существования конечных квантов
энергии гармонического осциллятора. Как мы выяс-
выяснили выше, квантование гармонического осциллятора
в принципе подсказывалось уже законом излучения
Вина. Но теперь эти анахронистические замечания
можно забыть, так как в действительности квантовая
гипотеза сформировалась совершенно другим путем.
Она почти незаметна в чрезвычайно лаконично
сформулированном утверждении Планка, что «полную
энергию Un некоторого (ниже определяемого более
точно) ансамбля из N тождественных осцилляторов
необходимо рассматривать не как непрерывную неог-
неограниченно делимую величину, а как величину дискрет-
') Речь идет о работе [32].
102 Часть 1
иую, составленную из целого числа конечных порций
энергии» ').
Планк с самого начала ясно понимает, что это
«самый существенный пункт всех рассуждений» [33].
Тем более разочаровывает сегодняшнего читателя
краткость, с которой Планк упоминает о подходе, ло-
ломающем рамки классической физики. Нельзя считать,
что он находился здесь в самом начале своего иссле-
исследования. Напротив, следует спросить, во-первых, ка-
каким путем пришел Планк к такому утверждению.
И, во-вторых, встает также вопрос, в чем именно он
усмотрел тогда необходимость этого предположения, в
которой он был, конечно, убежден, ибо иначе не могло
быть п речи о выводе закона излучения. Но на чем
бы ни оснопыпалось убеждение Планка, к этому мо-
моменту он уже более не сомневался в огромной важно-
важности квантовой гипотезы2). Она, однако, не была не-
непосредственной темой анализируемой здесь работы,
ибо внимание Планка было сконцентрировано на его
старой теме — определить энтропию S осциллятора
как функцию энергии U.
Так как предыдущие попытки не привели к цели,
то теперь эта задача встает перед ним как вопрос бо-
более глубокого истолкования энтропии. Он приходит
к этому следующим образом. Ведь величину энергии
U надо было определить только как среднюю по вре-
времени, или, как считает теперь Планк, с точки зрения
статистики,
"*¦»
«вто то же самое, определить ее как мгновенное среднее значе-
значение энергий большого числа одинаковых осцилляторов, находя-
находящихся в рассматриваемом стационарном поле излучения на до-
достаточно больших взаимных расстояниях, чтобы не оказывать
влияния друг на друга. Поскольку в этом случае энтропия от-
отдельного осциллятора обусловливается характером мгновенного
распределения энергии по многим'-осцилляторам, то я предполо-
предположил, что эту величину можно, по-видимому, рассчитать путем
введения в электромагнитную теорию излучения вероятностного
метода, значение которого для второго закона термодинамики
впервые раскрыл г-н Л. Больцман» [33].
') См. стр. 173 данной книги.
2) Это подтверждает А. Герман в работе [34J на основании
до сих пор не опубликованного письма Планка от 1931 т.
Гл. 9. М Планк и квантование гармонического осциллятора 103
Ранее Планк «не задумывался» над этими идеями
Больцмана. В них не было для него «ничего притяга-
притягательного, потому что каждый вероятностный закон
допускает и исключения», а Планк «считал в то время,
что второй закон справедлив без исключений» [35].
Правда, уже в докладе от 19.10.1900 г. имеется крат-
краткая ссылка на теорию вероятностей, которая «наводит
на мысль» считать энтропию 5 логарифмической функ-
функцией энергии U. Однако это замечание могло отно-
относится и к той плаиковскоп трактовке энтропии, в ко-
которой мы увидели аналогию //-теоремы Больцмана.
Под давлением объективной реальности Планк те-
теперь решительно выбрасывает за борт свои предубеж-
предубеждения и принимает, как мы уже подчеркнули, больц-
мановский переход от «кинетического» образа мышле-
мышления к «статистическому» обоснованию понятия энтро-
энтропии. В этом заключается основная тема обсуждаемой
работы. Ее можно расценить как творческое обобще-
обобщение идей Больцмана. Но/и, сели но касаться смелого
применения Рч.пеем .lauoiu ранпоморпок» распределе-
распределении к колебаниям )фпра, ю статпетпческая термоди-
термодинамика ограничивалась «несомой материей», нрепму-
1ЦСЧ1 пенно газами. И тем, что Планк это ограничение
снимает, он также вносит очень значительный, но
большей частью недооцениваемый вклад в общую ста-
статистическую физику.
При этом речь идет сразу о центральном пункте,
а именно об утверждении Больцмана, что энтропия
равна логарифму величины % другими словами, числу
возможностей осуществления макросостояния из мик-
микросостояний, с точностью до постоянного множителя
и слагаемого. Определение аддитивной постоянной и
тем самым абсолютного значения энтропии оставалось
задачей дальнейших исследований. Постоянный же
множитель в больцмановской статистике газа равен
R/L. Хотя Больцман не записывает его в явном виде,
но это очевидно из контекста [см. E.23)]. Разумеется,
величины R и L, характеризующие состояние газа, не
имеют никакого отношения к теории излучения.
Поэтому Планк вводит для энтропии Sn своего ан-
ансамбля из N осцилляторов, взаимодействующего с из-
104 Часть 1
лучением, выражение
Sjv = ? In 2B +const (9.1)
с пока еще неопределенной постоянной k, где SB долж-
должно быть вероятностью того, «что N резонаторов обла-
обладают суммарной энергией UN»1). В соответствии
с только что повторенным утверждением Больцмана
одновременно предполагается, что «вероятность каж-
каждого отдельного состояния (макросостояния) пропор-
пропорциональна числу й соответствующих ему комплек-
сий [микросостояний], или, другими словами, что ка-
какая-нибудь определенная комплексия столь же ве-
вероятна, сколь и любая другая комплексия» [33]. По-
Поэтому, учитывая произвольность аддитивной постоян-
постоянной, Плапк. пишет:
SN = klnUt. (9.2)
О том, в каком объеме Планк обобщил идеи
Больцмана, говорит тот факт, что в соотношение (9.2)
входит только число й возможностей реализации мак-
макросостояния из микросостояний, но при этом не ис-
используется специальное определение этих понятий.
В самом деле, у Планка для его ансамбля осцилля-
осцилляторов определение должно строиться, конечно, по-дру-
по-другому, чем у Больцмана в статистике газа. На этом
примечательном пункте мы еще остановимся. Как бы
то ни было, опубликовешиая 9. 1. 1901 г. работа План-
Планка «Об элементарных квантах материи и электриче-
электричества», которая приведена во второй части данной кни-
книги, показывает, что Планк с самого начала отчетливо
осознает универсальный характер зависимости между
энтропией и вероятностью: «Если в газе имеются из-
излучающие осцилляторы, то энтропия всей системы
пропорциональна логарифму числа всех возможных
комплексий, образуемых скоростями и излучением,
вместе взятыми» 2). ц
Как явствует из оригинального текста, из выше-
вышесказанного сразу следует универсальное значение по-
постоянной k, которую мы отныне должны рассматри*
') См. стр. 173 настоящей книги.
2) См. стр. 183 настоящей книги. Результаты этой работы
сообщаются уже в докладе от 14. 12. 1900 г.
Гл. 9. М. Плана и квантование гармонического осциллятора 105
вать как первичную, в то время как газовую постоян-
постоянную R следовало бы считать производной. И так как
постоянную k можно определить из измерений излуче-
излучения, то Планк теперь оказывается в состоянии рас-
рассчитать ряд фундаментальных физических постоян-
постоянных, причем их точность у него «намного превышает
все прежде вычислявшиеся значения этих величин».
Например, для числа Лошмидта L до определения
Планка вообще существовали только ориентировоч-
ориентировочные оценки. О том, насколько был прав Планк в при-
приведенном выше утверждении, особенно наглядно сви-
свидетельствует полученное им значение элементарного
заряда е = 4,69-10-10 эл. стат. ед. Существовавшие в
то время значения находились в пределах от 1,29-10—t0
до 6,5-10~10 эл. стат. ед. Резерфорд и Гейгер в 1908 г.,
выполнив безукоризненные измерения, получили
4,65-10~10 эл. стат. ед. (Сегодняшняя величина равна
4,80 • Ю-10 эл. стат. ед.)
В своих расчетах Планк поднимается на более вы-
высокую ступень познания, чем Больцман, у которого
величины давались «с точностью до постоянных», чис-
численное значение которых лежало вне его интересов.
Таким образом, постоянная Больцмана k есть, в сущ-
сущности, постоянная Планка; точно так же и соотноше-
соотношение 5 = &1п8В введено в физику [в форме (9.2)] и
применено в своем всеобщем значении именно План*
ком.
Теперь мы сделаем небольшое отступление н с помощью это<
го соотношения докажем справедливость формулы для флуктуа|
ций G.28). При доказательстве используется в принципе идея
Эйнштейна, которая заключается в применении соотношения для
вероятности, т. е. обратного соотношению для энтропии:
SB = es/ft.
Далее считают, что
— энтропия не осциллятора, а всего излучения в полости. Разло-»
Жим энтропию Sv парциального излучения в интервале (v, v+rfvj'
в окрестности равновесного состояния в ряд Тейлора и ограни*
чимся квадратичным членом:
106 Часть I
Так как в замкнутой системе, согласно закону сохранения энер-
энергии, V Att^v = 0, то в этом приближении
где
(Производная должна быть отрицательной.) Среднее квадратич-
hoe отклонение тогда равно
Подставляя сюда найденное выражение для $Ш, получаем
—In-4=- J e-*°dx**-L.
Таким образом доказана справедливость выражения G.28):
Объединив с точки зрения термодинамики «весо-
«весомую» материю и «невесомое» излучение и поставив их
в конкретное соответствие друг с другом, Планк, в
сущности, вышел за рамки «чистой физики», так как,
с одной стороны, он дал свидетельство материального
единства мира, а с другой — нанес удар по господ-
господствовавшему в то время механистически-метафизиче-
механистически-метафизическому представлению о материи. Сегодня, оглядываясь
назад, мы видим, что квантовая гипотеза Планка име-
jia именно эту направленность.
Вернемся теперь к поставленному вначале вопросу:
каким путем Планк пришел к этой гипотезе. Как мы
помним, он свел вывод формулы излучения к задаче
определения функции S = S(U). Совершенно очевид-
очевидно, что эта задача представлялась Планку так, как
Гл. 9. М. Планк и квантование гармонического осциллятора 107
он позже формулирует ее в своих воспоминаниях, а
именно как «вопрос, можно ли истолковать как не-
некоторую вероятность выражение для W, которое по-
получается [из соотношения Sn = NS = k In SB], если
для энтропии S ввести значение, соответствующее най-
найденному закону излучения» [36]. Поэтому мы посту-
поступим правильно, если проведем в обратном направле-
направлении ход рассуждений перепечатанной во второй части
данной книги работы Планка о распределении энер-
энергии.
Итак, исходным пунктом пусть будет функция эн-
энтропии
которая получается путем интегрирования (8.4) как
«значение, соответствующее найденному закону излу-
излучения». Средняя энергия U и энтропия S одного ос-
осциллятора связаны с соответствующими величинами
On и Sn ансамбля N тождественных осцилляторов
формулами
UN = NU, SN = NS. (9.4)
Представляется естественным в выражение для SN,
вытекающее из (9.3), ввести сокращения
P-^-i. (9.B,
и тогда оно примет вид
Далее попытаемся найти более симметричную форму
и в результате получим
SN = k[(N+P)ln(N + P)-PlnP-NlnN]. (9.6)
С помощью формулы Стирлинга E.7) вместо (9.6),
можно написать
108 Часть 1
В учебниках по комбинаторике можно найти вы-
выражение, очень сходное со стоящим здесь под знаком
логарифма, а именно'):
P-l)\
m~ {N-1I Pi '
Оно дает число возможностей разместить Р нераз-
неразличимых элементов в N различимых ящиках. Это
легче всего понять, если наглядно представить себе
каждую комплексию рисунком. Так, например, кар-
картина
..! 1....Ц...
изображает распределение Р=15 элементов по N=5
ящикам таким образом, что с первого по пятый ящик
по порядку находятся соответственно 2, 6, 4, 0, 3 эле-
элемента. Тогда общее число перестановок точек и штри-
штрихов будет равно (Р-\-N—1)!, причем Р! перестано-
перестановок точек и (N— 1)! перестановок штрихов не меняют
картины.
После того как мы таким образом выяснили ста-
статистический смысл dt, уравнение (9.5) неизбежно ин-
интерпретируется как квантовая гипотеза для гармони-
гармонического осциллятора. Р подлежащих размещению
элементов — это дискретные элементы энергии ве-
величиной е; из них состоит полная энергия 11ц ан-
ансамбля осцилляторов, которую таким образом уже
нельзя считать неограниченно делимой. Эти Р элемен-
элементов энергии нужно теперь распределить между N ос-
осцилляторами.
Так как число N произвольное, то надо допустить,
что и каждый отдельный осциллятор может иметь
только дискретные уровни энергии:
F.22)
(причем выполнения последнего уравнения требует,
как известно, закон смещения).2) Правда, только в
1906 г. Эйнштейн впервые дал эту недвусмысленную
•) При больших N единицей можно пренебречь.
г) Само собой разумеется, что среднее значение U не обя-
обязано быть целым кратиым в.
Гл. 9. М. Планк и квантование гармонического осциллятора 109
интерпретацию в упоминавшейся уже здесь (стр. 81)
работе:
«Итак, следующее положение мы должны считать лежащим в
основе теории излучения Планка: энергия каждого элементарного
резонатора [т. е. осциллятора] может принимать только такие
значения, которые являются целыми кратными (RIN)fiv [т. е.
/iv]» [24].
В противоположность этой формулировке анализи-
анализируемые здесь рассуждения Планка еще не свободны
от некоторой неясности. Так, в докладе от 14.12.1900 г.
говорится:
«Если вычисленное так частное (Р = Uu/hv) ока-
окажется не целым, то для Р надо взять ближайшее це-
целое число» [33]. Это выглядит так, как будто Планк
видел тогда в квантовой гипотезе только формальный
вычислительный прием. Но это фактически лишает
фундамента все рассуждения Планка. То же самое
можно сказать и о различных вариантах более позд-
поздних предположении Планка, согласно которым только
обмен энергией между излучением и осциллятором
происходит дискретными порциями.
Тем не менее поскольку с квантованием гармони-
гармонического осциллятора (en = nhv) планковский вывод
формулы излучения связан совершенно неразрывно,
то приоритет этого квантования, следовательно, но
справедливости принадлежит Планку. Хотя и не в яв-
явной форме, но де-факто Планк его осуществил. Не
следует относиться слишком строго к обнаружившим-
обнаружившимся здесь неясностям. В известном смысле они сыграли
даже положительную роль, так как возможно благо-
благодаря им Планк не сошел преждевременно с избран-
избранного пути. Вполне вероятно, что он мог бы иметь к
этому повод, если бы уже тогда осознал, насколько
радикально квантовая гипотеза порывает с класси-
классической механикой. Ведь, согласно принципам послед-
последней, осциллятор может принимать какие угодно зна-
значения энергии. Но прежде всего энергия там задается
квадратом амплитуды и не находится в линейной за?
висимости от частоты.
Разумеется, нельзя доказать, действительно ли
Планк, как мы здесь изобразили, пришел де-факто
ПО Часть 1
к квантованию осциллятора путем преобразования из*
бранного выражения (9.3) для энтропии и его стати*
стической интерпретации. Косвенное указание на это
'(конечно, не бесспорное) можно увидеть в том, что
Планк не использует важного больцмановского прин-
принципа, согласно которому равновесное состояние идеи*
.тично макросостоянию с максимальным статистиче-
. ским весом ф. В описанном нами способе это действи-
действительно излишне, так как интерпретируемая формула
'(9.3) с самого начала отнесена к равновесному со-
состоянию, н здесь уже нет никаких свободных пара*
метров, по которым можно было бы проводить вариа-
вариации. В соответствии с этим и определение макросо-
стояння у Планка отличается от больцмановского. Оно
определяется просто как состояние, в котором N ре-
резонаторов обладают вместе энергией Un, так как ЙВ и
есть вероятность именно такого состояния.
Чтобы иметь возможность сравнить планковское
построение понятий с больцмановскнм, мы должны
идентифицировать больцмановские частицы с план-
ковскими осцилляторами, как это уже делалось в гл. 7.
Однако здесь не надо" заменять координаты положе-
положения и импульс молекулы газа на канонические пере-
переменные q и q осциллятора. Напротив, теперь в отли-
отличие от классической трактовки состояние полностью
задается энергией осциллятора пе. При таком условии
макросостояние по Больцману определяется числом
осцилляторов с энергией пе. Относительно же микро-
микросостояния расхождений между трактовками Больц-
йана и Планка нет. Ибо когда по Планку микросо-1
стояние определяется некоторым распределением Р
элементов энергии по N осцилляторам, то мы знаем,
какие осцилляторы имеют энергию пе, и наоборот,
этими сведениями задается распределение элементов
энергии.
Определение макросостояния по Больцману ведет,
очевидно, к уравнению E.8), которое мы сейчас за-
запишем в следующем виде:
- t NnlnNn]m (9.8)
n—о J
Гл. 9. М. Планк и квантование гармонического осциллятора 111
Чтобы придти к равновесному состоянию, нужно было
бы найти максимум выражения (9.8) при дополнитель-
дополнительных условиях постоянства N и заданной энергии ан-
ансамбля осцилляторов Uи = Ре. Дополнительные ус-
условия запишем в виде
t Nn = N, t nNn = P. (9.9)
n-Q n-0
Исключительно интересно, что Больцман именно
эту задачу из чисто эвристических соображений рас-
рассматривает в самом начале статьи, которую Планк
цитирует в качестве своего важнейшего источника ') 1
[Только там написано «частица» вместо осциллятора
и «живая сила» (кинетическая энергия) вместо энер-
энергии.] В случае больших значений q Больцман остро-
остроумным способом вычисляет для равновесного состоя-
состояния .:'
N*
Если подставить (9.10) в (9.8), то с учетом (9.9) по-
получится в точности уравнение Планка (9.6), которое
в свою очередь сразу ведет к закону излучения!
Отсюда можно как будто увидеть соответствие ме-
между числом всех комплексий, которое применяет
Планк, и меньшим числом комплексий (микросостоя-
(микросостояний), которые относятся к больцмановскому случаю
равновесия. Это, однако, неудивительно, ибо при боль-
больших значениях N и Р максимум Sn так резок, что эта
разница оказывается в пределах точности приближен-
приближенной формулы Стирлинга.
Больцмановская модель частиц, которые могут об-
обладать только энергией пе, особенно интересна тем,
что на нее Планк, несомненно, обратил внимание. По-
Поэтому мыслима также и следующая версия введения
квантования энергии осциллятора. В исходной фор-
формуле (9.3) Планку должна была броситься в глаза
характерная зависимость от U/e. Но она выступает
и в решающем правиле квантования (9.5), которое
') Речь идет о цитируемой на стр. 182 основополагающей
работе Больцмана [20].
П2 Часть I
опять-таки (только там используются другие обозна-
обозначения) явно лежит в основе модели Больцмана. По-
Поэтому нельзя исключить предположения, что Планк
мог в первую очередь попытаться с помощью формул
Больцмана выяснить, ие ведет ли больцмановская мо-
модель к желаемому выражению для энтропии, что в
самом деле и имеет место. Тогда решающая формула
(9.5), возможно, не была введена (как это мы раньше
предположили) в качестве формального сокращения,
интерпретированного лишь потом в смысле существо-
существования дискретных квантов энергии, а была обязана
идеям Больцмана. Если Планк пришел к цели таким
путем, то можно предположить, что после этого он
обратил внимание на возможность интерпретировать
выражение (9.6) для энтропии в смысле формулы
комбинаторики (9.7).
Но более вероятной кажется нам еще одна версия.
Хотя больцмановская модель и могла бы, как мы это
описали, подтолкнуть Планка к квантовой гипотезе,
однако он не мог считать подходящим для своего ан-
ансамбля осцилляторов больцмановское определение
макросостояния. Действительно, этот ансамбль у него
в известном смысле виртуальный, имеющий цель толь-
только смоделировать единственно интересное с физиче-
физической точки зрения среднее по времени значение энер-
энергии одного осциллятора, находящегося в поле излуче-
излучения. Поэтому вопрос, сколько таких виртуальных ос-
осцилляторов обладают определенной энергией, был ли-
лишен для Планка физического смысла, интерес пред-
представляла только общая энергия ансамбля.
Еще два довода свидетельствуют в пользу того, что
Плаик исходил из модели Больцмана, но по указан-
указанным соображениям макросостояние ансамбля осцил-
осцилляторов описывал их общей энергией. Во-первых, фор-
формула (9.7) для статистического веса dt определяемого
таким образом макросостояния приводилась также и
Больцманом (в другой записи и в другой связи) при
обсуждении его модели. Во-вторых, Планк в начале
своего первого сообщения (доклада от 14. 12. 1900 г.)
развивает в отличие от вышеприведенного метода про-
программу для вычисления равновесного распределения
на базе модифицированного понятия макросостояния,
Гл. 9. М. Планк и квантование гармонического осциллятора ИЗ
причем делает это в соответствии с идеей Больцмана
путем максимизации статистического веса St.
Так как при описании только одного ансамбля ос-
осцилляторов, как мы видели, не существует никакого
свободного параметра, Планк рассматривает совокуп-
совокупность такого рода ансамблей. Пусть Ne — число ос-
осцилляторов с частотой v = v(e) и, согласно (9.5),
Рее — соответствующая им общая энергия. Общую
энергию всех осцилляторов
? Рее = W = const (9.11)
можно распределить, согласно (9.7), следующим чис-
числом различных способов:
(Ne-l)\Pel
е
По Планку стационарное состояние — это такое со-
состояние, для которого \nf5to имеет максимум при вы-
выполнении условия (9.11). Учитывая надлежащим об-
образом обобщенную связь между энтропией (9.6) и ве-
величиной (9.7) с параметром Лагранжа —р, придем к
решению задачи на экстремум:
) In (Ne+Pe)-NE In Мг-Р?п Ре-реРЕ]=
или
(9Л2)
Тогда средняя энергия осциллятора с частотой v =
^=v(e) в стационарном поле излучения будет опре-
определяться формулой
а закон смещения Вина даст снова е = hv, Р = 1/kT.
Поскольку, по словам Планка, было бы «затруднитель-
«затруднительно выполнить весь этот расчет» [33] (что не вполне
соответствует действительности), то он указывает на
«исключительно легкое решение», которое приведено
114 Часть 1
во второй части нашей книги. Дальнейшие вычисления
были для Планка излишни, так как он сразу увидел
сходство интерпретируемого выражения для энтропии
(9.3) с комбинаторной величиной Ш [формула (9.7)],
значение которой ему уже было известно.
Но, как бы то ни было, нам еще остается ответить
на поставленный вначале вопрос, почему Планк рас-
рассматривал решающее правило квантования (9.5) как
«необходимое». Относительно этого можно найти не-
несколько косвенных указаний. Как видно из текста,
речь идет о «нахождении вероятности того, что N ре-
резонаторов обладают вместе энергией ?/#»'). В своем
последнем изложении истории открытия кванта дей-
действия Планк заменяет слова из воспроизводимой нами
работы «Для этого необходимо...» на следующее пред-
предложение: «Так как величину вероятности можно най-
найти только путем подсчета отдельных событий, то
прежде всего необходимо было представить энергию
Un в виде суммы дискретных одинаковых элементов
е» [35]. Соответственно и в своем нобелевском до-
докладе он делает следующее замечание: «Вычисление
вероятности физического состояния основывается на
подсчете того конечного числа равновероятных отдель-
отдельных случаев, которыми осуществляется рассматривае-
рассматриваемое состояние» [37]. Таким образом, для Планка не-
необходимость правила квантования диктовалась требо-
требованием подсчета числа отдельных событий. Планк
с самого начала придерживался этой точки зрения, что
подтверждается также и следующим предложением,
которым он предваряет правило квантования в своем
докладе от 14.12.1900 г.: если Un «рассматривать как
бесконечно делимую величину, то распределение воз-
возможно бесконечным количеством способов» [33].
В данной связи это может только означать, что прове-
провести подсчет нельзя.
Приведенные примеры усиливают впечатление, что
Планк в 1900 г. при формулировке квантовой концеп-
концепции руководствовался формальной точкой зрения. При
этом стимулом прогресса оказалась ошибка. Ибо для
рассмотрения вероятности совсем не необходимо, что-
См. стр. 173 настоящей книги.
Гл. 9. М. Планк и квантование гармонического осциллятора 115
бы множества отдельных случаев были счетными. До-
Достаточно, чтобы они были «измеримы», так что адек-
адекватную основу для расчетов теории вероятности
представляет «теория измерений».
Но даже если мы в нашем случае примем, что
множество распределений счетно, и предположим, что
осциллятор обладает только дискретными энергети-
энергетическими уровнями, то отсюда вовсе не будет следовать
эквидистантность этих уровней, т. е. равенство план-
ковских элементов энергии. Напротив, такое предпо-
предположение представляет собой в сущности самостоятель-
самостоятельную гипотезу. Планк не выдвинул ее особо, вероятно,
потому, что ему a priori казались равновероятными
«ступени» (ert+i — е„) = (п -f- 1) е — пе = е при распре-
распределении осцилляторов по энергетическим уровням. Мы
процитируем отрывок из монографии Криса о прин-
принципах теории вероятностей, поскольку Планк ссылает-
ссылается на эту книгу: «В качестве основного положения на-
нашей теории необходимо принять утверждение, что все
предположения, которые охватывают равные и индиф-
индифферентные первичные возможности, являются равно-
равновероятными» [38]. При этом «индифферентные», со-
согласно Крису, означает, что эти возможности не имеют
никакого логического предпочтения друг перед дру-
другом, а «первичные» — что они не могут быть сведены
к другим.
Но Планк не пользуется этим утверждением Криса
для оправдания априорного главного предположения
своей статистики. У Планка обоснование звучит не-
несколько по-другому, а именно: «Какая-либо определен-
определенная комплексия столь же вероятна, сколь и любая
другая определенная комплексия»1). Справедливость
этого положения можно установить только опытом,
что в свою очередь позволило бы «сделать дальней-
дальнейшие заключения относительно конкретной природы ко-
колебаний осциллятора, а именно относительно харак-
характера проявляющихся при этом „индифферентных и
сравнимых по величине первичных возможностей" по
терминологии Криса».
') См. стр. 175 настоящей книги.
116 Часть 1
Как показывает замечание Планка, он, несмотря
на свою спорную формальную аргументацию, по-види-
по-видимому, все же ясно сознает, что априорное предположе-
предположение о равновероятных случаях не есть просто некая
абстрактная фикция, а представляет собой гипотезу
относительно самой физической реальности. Поэтому
оно содержит в себе дальнейшие утверждения об этой
реальности. Это справедливо прежде всего в отноше-
отношении центрального положения планковской гипотезы —•
концепции дискретных квантов энергии.
Если бы речь шла о фикции, придуманной по фор-
формальному поводу для облегчения «подсчета», то было
бы целесообразно провести в конечном результате
предельный переход к непрерывному распределению.
Конкретно это бы означало, что нужно положить в
формуле излучения Планка h = О, после чего она nej
решла бы в закон Рэлея — Джинса. Именно этого по
упомянутой причине позднее, в 1905 г., настоятельно
требовал Джине [39]. Его требование было бы закон-
законным, если бы «возможности» — элементы, определяе-
определяемые конечной величиной h, — были бы не «первич-
«первичными», а сводимыми к сколь угодно малым. Но это,
конечно, путь классической механики, который ведет
к закону равномерного распределения. Здесь появ-
появляется еще одно счастливое обстоятельство: Планк
в конце 1900 г., как новичок в области статистической
физики, либо совершенно не знал закона равномер-
равномерного распределения, либо не видел, в каком удиви-
удивительном противоречии находится он с его статистиче-
статистическим методом.
Как уже упоминалось, в 1906 г. Эйнштейн со всей
ясностью раскрывает следствия этого метода. Но при-
примерно к этому же времени Планку и самому удается
достичь прогресса в данном направлении. В своих
«Лекциях по теории теплового излучения» он рассма-
рассматривает «первичные возможности» Криса как ячейки
в фазовой плоскости осциллятора. Он устанавливает,
что в этой плоскости кривая равной энергии U есть
эллипс площадью U/v. Если теперь покрыть такими
эллипсами всю фазовую плоскость так, чтобы все
кольца, образованные двумя последовательными эл-
эллипсами, имели равную площадь AU/v = h, «то мы
Гл. 9. М. Планк и квантование гармонического осциллятора 117
получим такого рода участки энергии, которые со-
соответствуют равным вероятностям и поэтому должны
считаться элементами энергии». Таким образом, «эле-
«элементарный квант действия предстает здесь перед нами
в новом значении, а именно как величина элементар-
элементарной области на поверхности состояний осциллятора»
[40].
Об «особой природе колебаний осциллятора», ра-
разумеется, и в 1906 г. еще не могло быть сказано ни-
ничего определенного. На этот вопрос дала ответ только
квантовая теория, в которой правило квантования
е„ = nhv (несколько модифицированное) выводится из
новых общих принципов. С возникновением квантовой
теории и ее понятием состояния классическое фазо-
фазовое пространство становится излишним. Тем не ме-
менее оно не бесполезно, и высказанное уже в первой
публикации предположение Планка о «первичных воз-
возможностях», как и замечания по тому же поводу в
1906 г., имеют глубокий смысл. Согласно соотноше-
соотношениям неопределенности Гейзенберга, локализация ос-
осциллятора внутри планковской элементарной области
величиной h оказывается физически бессмысленной.
Соответственно для неопределенного с классической
точки зрения объема ДдсДр элементарной ячейки в фа-
фазовом пространстве получается значение Л3 (так как
здесь у осциллятора три степени свободы вместо од-
одной). Это положение выявилось уже при корпускуляр-
корпускулярном истолковании формулы излучения Вина.
Остается еще только показать, как в свете оконча-
окончательного планковского закона излучения соотносятся
друг с другом корпускулярный и волновой аспекты
излучения. Мы можем придерживаться концепции Рэ-
лея и в соответствии с ней рассматривать осциллятор
Планка как собственные колебания полости. Неклас-
спческий характер теории выражается тогда в требо-
требовании, чтобы состояние такого колебания задавалось
его энергией е„ = пг = nhv. В остальном мы можем
действовать уже известным способом. Статистическая
сумма представляется геометрической прогрессией
Ш Часть 1
и мы получаем
в согласии с (8.5)').
Очевидно, что Планк выбрал не этот путь. Его
подход больше соответствует другой альтернативе,
к которой мы придем, если будем интерпретировать
кванты энергии электромагнитных собственных коле-
колебаний как фотоны. Тогда остается принять, что
9lvdv = 9lede, т. е. число возможных собственных ко-
колебаний в .полосе частот (v, v + ^v) равно числу со-
состояний фотонов, принадлежащих интервалу энер-
гий (е, е + de). Неклассический характер теории вы-
выражается здесь в принципиальной неразличимости
корпускул света.
Принцип неразличимости имеет глубокие физиче-
физические корни: частицы теряют свою индивидуальность.
Поэтому, собственно говоря, речь теперь идет уже не
о наглядно представймых частицах, за которыми мож*
ао индивидуально прослеживать по их траекториям.
Соотношения неопределенности Гейзенберга исклю-
исключают применимость понятия траектории. Простран-
Пространство и время становятся непригодными в качестве
principium individuationis (основы для идентифика-
идентификации) .
В нашем рассмотрении, однако, понятие частицы
приведет к правильным результатам, если только по-
последовательно учесть ограничения, налагаемые прин-
принципом неразличимости. Но этим, конечно, мы лишаем
почвы столь успешно применявшуюся статистику
Больцмана. Ибо ее определение микросостояния ис-
исходит из вопроса, какие частицы находятся в n-м со-
состоянии, и тем самым принципиально предполагает их
различимость.
При этих обстоятельствах статистика Больцмана
должна быть заменена другой — статистикой Бозе —
Эйнштейна. Но она в значительной степени предвос-
предвосхищена методом Планка. Ведь фактически он рабо-
работает с распределением неразличимых элементов.
*) Вывод, в принципе соответствующий этому, впервые опуб»
ликовал А. Эйнштейн [41].
Гл. 9. М. Планк и квантование гармонического осциллятора 119
У него это элементы энергии осциллятора. Если же
интерпретировать их как фотоны, то статистика План-
Планка приводит к распределению энергии в газе с пере-
переменным числом частиц, который отличается от рас-
рассмотренного в гл. 6 классического газа световых кор-
корпускул только неразличимостью частиц. Если теперь
обозначить через ДРе число частиц в интервале энер-
энергий (е, е + Де), то в обоих случаях закон распределе-
распределения (закон излучения) примет вид
иеУДе = ДРее. (9.14)
Чтобы внести окончательную ясность, коснемся
еще раз классического случая различимых частиц. Во-
первых, мы должны распределить N частиц по энер-
энергетическим интервалам. Для этого существует
^!—- (9.15)
)'
возможностей реализации.
Во-вторых, необходимо распределить АРе частиц
по 9itДе состояниям соответствующего энергетического
интервала. Как легко показать методом совершенной
индукции, число возможных реализаций составит
23е = (ЭТеДе)дре. (9.16)
Итак, в общей сложности
nj5$^- <9Л7>
Если при условии постоянства полной энергии
W = X>Pee (9.11а)
найти максимум 1п2В, то с помощью формулы Стир-
линга легко получим АРе = КвДее~Ре, что вместе с
(9.14) ведет к закону Вина.
Если повторить все рассуждения для неразличи-
неразличимых частиц, то получим просто SBi = 1, тогда как для
2Ве мы должны использовать применяемую Планком
формулу в виде ^е =-^^Ёгщ^ • Максимум
120
Часть 1
1пП2Ве при дополнительном условии (9.11а) уже вы-
вычислен выше с применением других обозначений. Со-
Согласно (9.12), он составляет
ЬРе = %Аг-~-. (9.18)
что вместе с (9.14) приводит к закону излучения
Планка.
Если при классическом подходе метод собственных
колебаний и метод газа световых корпускул ведут
к различным результатам (к закону Рэлея — Джинса
или к закону Вина), то при внесении обсуждавшихся
нами неклассических коррекций оба метода приводят
к закону излучения Планка. Таким образом, этот за-
закон можно интерпретировать двумя эквивалентными
способами:
Число состоя-
состоянии частиц
и Интерполе
энергий
Среднее число
занятых
состояний
такого рода
Энергия одной
частицы в та-
такого рода
состоянии
Энергия
UVV rfv =
интервала
частот
v, v + d\
(h\, h (v + rfv)
Bnv2V d\
Число волн
в данном
интервале
1
ehvlkT _
1
Средняя энергия
такой волны
hv
одной
ЛИТЕРАТУРА ')
1. Angstrom A., Ann. Phys., 94, 144 A853).
2. Stewart В., Trans. Roy. Soc. Edinburgh, 1858.
3. Clausius R., Ann. Phys., 121, 13 A864).
4. Stefan J., Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Abt. II, 79, 391
A879).
5. thiesen M., Verhandlungen deutsch. phys. Ges., 2, 66 A900).
6. Physiker fiber Physiker, Akademie-Verlag, Berlin 1975, S. 187.
7. Wien W., Ober die Energieverteilung im Emissionsspektrum
des schwarzen Korpers, Ann. Phys., 58, 662 A896).
8. Lummer O., lahnke E., Ann.. Phys., 3, 285 A900).
9. Planck M., Uber irreversible Stranhlungsvorgange, 1. Mitt.f
Sitzungsber. preufi. Akad. Wiss. Berlin A897), S. 57—68.
') Литература, отмеченная звездочкой, добавлена редакто-
редактором перевода.
'Литература 121
10. Planck M., Phys. Abh. u. Vortr., Braunschweig, 1958, Bd. 1,
S. 493.
11. Planck M., Ober irreversible Strahlungsvorgange, Ann. Phys.,
1, 69—122 A900).
12. Wien W., Temperatur und Entropie der Strahlung, Ann. Phys.,
52, 132 A894).
13. Lummer O., Pringsheim E., Verhandlungen deutsch. phys. Ges.,
1, 23—41 A899).
14. Paschen E., Sitzungsber. preufi. Akad. Wiss. Berlin, 894
A899).
15. Wanner H., Ann. Phys., 2, 157 A900).
16. Planck M., Entropie und Temperatur strahlender Warme, Ann.
Phys., 1, 719—737 A900).
17. Lummer O., Pringsheim E., Verhandlungen deutsch. phys. Ges.,
2, 163—180 A900).
18. Boltzmann L., Ober die Beziehung eines allgemeinen mechani-
schen Satzes zum zweiten Hauptsatz der Warmetheorie, Sit-
Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Abt. II, 75, 67—73 A877).
19. Brusch S. G., Kinetische Theorie II, Wissenschaftliche Taschen-
bucher, Bd. 67, Akademie-Verlag, Berlin 1970, S. 240—247.
20. Boltzmann L, Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Abt. II, 76, 373—
435 A877).
21. Boltzmann L, Wiss. Abh., Bd. 2, Leipzig 1909, S. 164—223.
22. Einstein A., Ann. Phys., 17, 132 A905). (Имеется перевод:
Эйнштейн А. Собр. научных трудов. Т. 3. — М.: Наука, 1966,
. стр. 92—107.)
23. Тег Нааг ?>., Quantentheorie, Akademie-Verlag, Berlin, 1970.
24. Einstein A., Zur Theorie der Lichterzeugung und Lichtabsorp-
tion, Ann. Phys., 20, 203 A906). (Имеется перевод: Эйн-
Эйнштейн А. Собр. научных трудов. Т. 3. — М.: Наука, 1966,
стр. 128—133.)
25. Planck M., Ober die Natur des weissen Lichts, Ann. Phys., 7,
390—400 A902).
26. Verhandlungen deutsch. phys. Ges., 2, 181 A900).
27. Kurlbaum /•'., Rubens H., Sitzungsber. preufi. Akad. Wiss., Ber-
Berlin, 932, 941 A900).
28. Planck M., Die Entstehung und bisherige Entwicklung der
Quantentheorie, Leipzig 1920. (Имеется перевод: Планк М.,
Возникновение и постепенное развитие теории квант. — В кн.:
М. Планк. Единство физической картины мира. — М.: Наука,
1966, стр. 138—151.)
29. Einstien A., Zum gegenwartigen Stand des Strahlungsproblems,
Phys. Zs., 10, 185—193 A909). (Имеется перевод: Эйнштейн А.
Собр. научных трудов. Т. 3. — М.: Наука, 1966, стр. 164—179.)
30. Strauss M., Forschen und Wirken, Festschrift zur 150-Jahr-Feier
der Humboldt-Universitat zu Berlin, Berlin, 1960, S. 381.
31. Planck M., Nobelvortrag, 1920.
32. Planck M., Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im
Normalspektrum, Verhandlungen deutsch. phys. Ges., 2, 237—
245 A900).
33. Planck M., Vortrag vom 14.12.1900. PI. I, 700.
34. Hermann A., Friihgeschichte der Quantentheorie, Mosbach, 1969,
S. 25.
122 Литература
35. Planck M., Zur Geschichte der Auffindung des physikalischen
Wirkungsquantums, «Fassung aus letzter Hand», Naturwissen-
schaften, 31, 153—159 A943); PI. Ill, 264.
36. Planck M., Wissenschaftliche Selbstbiographie, Leipzig, 1948.
(Имеется перевод: Планк М. Академические речи. — В кн.:
Af. Дланк. Единство физической картины мира. — М.: Наука,
1966, стр. 207—230.)
37. Anmerkung zum Nobelvortrag 21; PI. Ill, 134.
38. Kries J., Die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Frei-
Freiburg 1886, S. 157.
39. Jeans' J. H., A comparison between two theories of radiation,
Nature, 72, 293 A905).
40. Planck M., Vorlesungen fiber die Theorie der Warmestrahlung,
Leipzig 1906, S. 156. (Имеется перевод: Планк М., Теория теп-
теплового излучения. — М. — Л.: ОНТИ, 1935, стр. 204.)
41. Einstein A., Die Plancksche Theorie der Strahlung und die
Theorie der spezifischen Warmen, Ann. Phys., 22, 183 A907).
(Имеется перевод: Эйнштейн А. Собр. научных трудов. Т. 3.—
М.: Наука, 1966, стр. 134—148.)
42*. Столетов А. Г. Густав Роберт Кирхгоф. Собр. соч., Т. 2. —
М. — Л.: Гостехиздат, 1941.
43*. Cohen E. G., Berlin Т. N., Note on the derivation of the Boltz-
man equation from the Liotiville equation, Phys., 26, № 9,
717—729 (I960).
44*. Зубарев Д. Н. Современные методы статистической теории
неравновесных процессов. — В кн.: Итоги науки и техники,
сер. Современные проблемы математики. Т. • 15. — М.:
ВИНИТИ, 1980, стр. 131—226.
45*. Больцман Л. Лекции по теории газов. — М.: Гостехиздат,
1956.
46*. Больцман Л. Статьи и речи.—М.: Наука, 1970.
47*. Стрэтт Дж. В. (Лорд Релей). Теория звука. Т. 1, 2. — М.—Л.:
Гостехиздат, Т. 1, 1940, Т. 2, 1944.
48*- Говард Дж. Джон Уильям Стретт, УФН, 88, № 1, 149—160
A966).
49*. Планк М. Введение в теоретическую физику. Теория тепло-
теплоты.—М.: ОНТИ, 1935, ч. 5.
Ь0*.Планк М. Теория теплового излучения.—М. — Л.: ОНТИ,
1935.
51*. Планк М. Единство физической картины мира. Сб. статей.—
М.: Наука, 1969. ,
Б2*. Планк М. Избранные труды. — М.: Наука, 1975.
БЗ*. Кляус Е. М., Франкфурт У. И. Макс Планк. — М.: Наука,
1980.
Часть 2
1. ОБ ОТНОШЕНИИ МЕЖДУ ИСПУСКАТЕЛЬНОЙ
И ПОГЛОЩАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТЯМИ ТЕЛ
ДЛЯ ТЕПЛА И СВЕТА
Густав Кирхгоф
Guslav Kirchhojj, Ann. Pliys., 19, 275—301 A8C0)
Тело, находящееся внутри оболочки, температура
которой равна его собственной, не меняет своей тем-
температуры из-за теплового излучения, следовательно,
оно поглощает за определенное время ровно столько
лучей, сколько испускает. Из этого уже давно был
сделан вывод, что при одной и той же температуре
отношение между ноглощательной и нспускателыюй
способностью для всех тел одинаково. При этом пред-
предполагалось, что тела испускают лучи только одного
вида. Это положение было подтверждено опытами де
ля Пропостэ и Десэпа для многих случаев, в которых
испускаемые лучи можно было считать по крайней
мере приблизительно однородными постольку, по-
поскольку излучение было темным. Справедливо ли по-
подобное правило, когда тела испускают одновременно
лучи разного вида (что, строго говоря, почти всегда
имеет место), — об этом до сих пор ничего не было
выяснено ни путем теоретического рассмотрения, ни
посредством опытов. Я обнаружил, что высказанное
утверждение остается в силе также и в этих случаях,
если только под нспускателыюй способностью пони-
понимать интенсивность испускаемых лучей одного вида и
относить поглощательную способность к лучам того
же вида. Отношение испускательной способности к по-
елощательной способности, — если эти понятия при-
применять в указанном смысле, — для всех тел при оди-
одинаковой температуре одинаково. Я приведу здесь тео-
теоретическое доказательство этого утверждения и затем
выведу несколько достойных внимания следствий, ко-
которые из него непосредственно вытекают и которые
частично объясняют известные явления.
Г. Кирхгоф 125
Всякое тело испускает лучи, характер и интенсив-
интенсивность которых зависят от его природы и его темпера-
температуры. К этим лучам при известных обстоятельствах
могут добавляться еще и другие, что имеет, например,
место, если тело в достаточной степени наэлектризо-
наэлектризовано или если оно фосфоресцирует или флуоресци-
флуоресцирует.
Такие случаи здесь должны быть исключены. Если
на тело извне падают лучи, то оно поглощает некото-
некоторую часть их и превращает ее в тепло. К такому по-
поглощению может при известных условиях добавляться
еще и другое, например, если тело — поглотитель све-
света или если оно флуоресцирует. Здесь предполагается,
что все поглощаемые лучи превращаются в тепло.
§ 1. Вообразим, что перед некоторым телом С
(рис. II) поставлены два экрана S\ и S2, в которых
имеются два отверстия 1 и 2, размеры которых беско-
бесконечно малы по сравнению с расстоянием между ними
и каждое из которых имеет центр. Через эти отвер-
отверстия от тела С проходит пучок лучей. Рассмотрим ту
часть его, у которой длины волн лежат между К и
%-\-й%, и разложим ее на две поляризованные ком-
компоненты, плоскости поляризации которых а и Ъ взаим-
взаимно перпендикулярны и проходят через ось пучка.
Пусть интенсивность поляризованной в плоскости а
компоненты есть EdX, где Е — испускательная способ-
способность тела.
На тело С в обратном направлении через отвер-
отверстия 2 и 1 падает пучок лучей с длиной волны "к, ко-
который поляризован в плоскости а; из него тело погло-
поглощает некоторую часть, остальное же частично пропу-
пропускается, частично отражается; отношение интенсив-
интенсивности поглощенных лучей к интенсивности падающих
пусть будет А; оно называется поглощательной спо-
способностью тела.
Величины Е и А зависят от природы и темпера-
температуры тела С, от положения и формы отверстий 1 и 2,
от длины волны К и направления плоскости а. Надо
доказать, что отношение ? к Л не зависит от при»
') См. рис. 2 на стр. 16 данной книги.
128 Часть 2
роды тела; тогда отсюда будет само собой следовать,
что это отношение также не меняется с изменением
направления плоскости а, а его зависимость от поло-
положения и формы отверстий 1 и 2 может быть легко
найдена, так что остается неизвестным только, как оно
зависит от температуры и длины волны X.
Доказательство, которое будет дано для высказан-
высказанного здесь утверждения, покоится на предположении,
что мыслимы такие тела, которые при бесконечно ма-
малой толщине полностью поглощают все падающие на
них лучи, т. е. не отражают и не пропускают их.
Я буду называть такие тела абсолютно черными, или,
короче, просто черными. Необходимо исследовать в
первую очередь излучение таких черных тел.
§ 2. Пусть С — черное тело, его испускательную
способность, которая в общем случае обозначается Е,
обозначим е. Требуется доказать, что величина е
остается неизменной, если С заменить каким-либо дру-
другим черным телом той же самой температуры.
Вообразим себе тело С заключенным в черную
оболочку, часть которой составляет экран Si; второй
экран, как и первый, сделан из черного вещества, и
оба они соединены между собой сплошными черными
боковыми стенками (рис. 2I). Отверстие 2 предста-
представим сначала закрытым черной же площадкой, кото-
которую я буду называть площадкой 2. Вся система долж-
должна обладать одинаковой температурой и быть защи-
защищена от потери тепла наружу посредством непрони-
непроницаемой для тепла оболочки, например посредством
замкнутой полностью отражающей поверхности. Тогда
температура тела С будет оставаться постоянной, сле-
следовательно, сумма интенснвностей лучей, которые на
него падают (и которые оно, согласно предположе-
предположению, полностью поглощает), должна быть равна
сумме интенсивностей лучей, которые оно испускает.
Теперь представим себе, что площадка. 2 удаляется и
открывшееся отверстие закрывается поставленным не-
посредственно за ним элементом идеально отражаю-
отражающей сферической поверхности, центр которой нахох-
нахохлится в центре отверстия 1. Температурное равновесие
•) См. рнс. 2 на стр. 16 данной книги.
Г. Кирхгоф 127
'будет сохраняться и в этом случае. Существовавшее
^равенство интенсивностей лучей, испускаемых телом
С,-и лучей, попадающих на него, должно иметь место
И теперь. А так как тело С испускает теперь те же
, лучи, что и в ранее описанном случае, то отсюда сле-
следует, что интенсивность лучей, которые падают на
>(гело С, в обоих случаях одна и та же. С удалением
Площадки 2, тело С лишается тех лучей, которые пло-
Уиадка посылала сквозь отверстие 1; зато помещенное
ffi отверстие 2 вогнутое зеркало отбрасывает обратно
¦Ш телу С те лучи, которые оно само посылает через
^отверстия 1 и 2. Отсюда вытекает, что интенсивность
лучка лучей, посылаемого телом С через отверстия 1
?Л 2, равна интенсивности того пучка лучей, который
^испускает черная площадка 2 при той же температуре
через отверстие 1. Следовательно, эта интенсивность
^не зависит от формы и прочих свойств черного тела С.
.Высказанное положение было бы этим доказано, если
"фы все лучи обоих сравниваемых между собой пучков
гдмели длину волны К и были бы поляризованы в пло-
'скости а. Учет разнородности лучей требует несколько
^более сложного рассмотрения.
:;? § 3. Не меняя изображенного на рис. 2 располо-
расположения предметов, представим себе между отверстиями
;;1 и 2 маленькую пластинку Р (рис. ЗI), которая в
'видимых лучах дает цвета тонких пленок и которая
Частично вследствие своей малой толщины, а ча-
йстинно вследствие своих природных свойств) не ис-
испускает и не поглощает заметного количества лучей.
Пусть пластинка расположена так, что пучок лучей,
(проходящий через отверстия 1 и 2, падает на нее под
Йглом поляризации, и плоскость падения есть пло-
фкость а. Пусть стенке, соединяющей друг с другом
Экраны Si и S2, придана такая форма, что зеркальное
^изображение отверстия 2, даваемое пластинкой Р,
Находится на ней; представим себе на месте этого
Шеркального изображения совпадающее с ним по
"форме отверстие, которое я назову отверстием 3. Пусть
отверстие 2 закрыто черной площадкой, имеющей тем-
-Знературу всей системы, а отверстие 3 закрыто сначала
f\
;Ji' *), Си, i рис. 3 на стр. 20 данной книга.
128 Часть 2
точно такой же площадкой, которую я буду называть
площадкой 3, а в другом случае — полностью отра-
отражающим вогнутым зеркалом, центр которого лежит в
той точке, в которую пластинка Р отбрасывает зер-
зеркальное изображение центра отверстия 1. В обоих
случаях имеет место тепловое равновесие; согласно
рассмотрению, проведенному в предыдущем пара-
параграфе, отсюда следует, что сумма интенсивностей лу-
лучей, которых тело С лишается из-за удаления пло-
площадки 3, равна сумме интенсивностей лучей, которые
будут к нему направляться при установке вогнутого
зеркала. Пускай черный экран S3 (с температурой,
равной температуре системы) поставлен так, что ни
один из лучей, испускаемых площадкой 3, не дости-
достигает отверстия 1. Тогда первая сумма представляет
интенсивность лучей, которые вышли из площадки 3,
отразились от пластинки Р и прошли через отверстие
1; обозначим ее через Q. Вторая сумма состоит из
двух частей. Первая часть — интенсивность лучей, ис-
исходящих из тела С, она равна
dler2,
о
где г представляет собой величину, зависящую от
свойств пластинки Р и длины волны %; вторая часть —
интенсивность лучей, которые вышли из части черной
стенки, соединяющей экраны Si, и S2, прошли сквозь
пластинку Р, отразились от вогнутого зеркала и по-
потом от пластинки Р. Эту часть обозначим через R. Ис-
Исследовать более подробно величину R нет необходи-
необходимости. Достаточно заметить, что R, так же как и Q, не
зависит от свойств тела С. Введенные величины свя-
связаны уравнением
Если теперь заменить тело С каким-либо другим те-
телом с той же самой температурой и обозначить для
него через е' то, что мы для первого тела обозначали
Г. Кирхгоф 129
как е, то будет также выполняться уравнение
о
Отсюда вытекает
Предположим теперь, что коэффициент преломления
пластинки Р бесконечно мало отличается от единицы.
Тогда из теории цветов тонких пленок следует
где р обозначает величину, пропорциональную тол-
толщине пластинки Р и не зависящую от К, а р — вели-
величину, не зависящую от толщины пластинки. Вслед-
Вследствие этого выведенное уравнение принимает вид
Так как это уравнение должно выполняться для лю-
любой толщины пластинки Р, т. е. для любого значе-
значения р, то можно заключить, что для каждого значе-
значения К
Чтобы доказать это, заменим в уравнении sin4p/X на
-i-(cOs4-f-4cos2-f +
и продифференцируем уравнение 2 раза по р. После
этого получим
О
Введем теперь вместо К новую величину а, т. е.
2 •'
5 Зак. 900
130 Часть 2
и положим
(е-*')Р2 = /(а).
Тогда найдем
\ daf (a) (cos 2ра — cos pa) ¦= 0.
о
Примем во внимание, что если <р(а)] означает любую
функцию а, то
ео оо
\ daq>(a) cos2pa = -^- V daqify
о о
cos pa
(в чем можно убедиться, если вместо а подставить
а/2); тогда можно записать _^
сю
$ da (/(-f-)-2f (a)) cos pa = 0.
о
Умножим эт© уравнение на
dp cos xp,
где х — произвольная величина, и проинтегрируем его
от р = 0 до р = оо. Согласно преобразованию Фурье,
которое выражается уравнением
\ dp cos px \
о о
получаем
или
Отсюда следует, что функция /(а)" либо равна нулю
при всех значениях а, либо должна становиться беско«
нечно большой, если а стремится к нулю. Если а стре-
стремится к нулю, то К стремится к бесконечности. Вспом*
нив значение Да) и учтя, что р — правильная дробь
и что ни е, ни е' не могут обращаться в бесконечность,
Г. Кирхгоф 131
когда К бесконечно возрастает, легко понять, что вто-
второй случай не может иметь места и что, следователь-
следовательно, для всех значений К должно выполняться равен-
равенство
е = е'
§ 4. Если пучок лучей, испускаемый телом С че-
^рез отверстия 1 и 2, частью лннейно-поляризован, то
плоскость поляризации поляризованной части должна
вращаться, если тело С поворачивать вокруг оси пуч-
пучка. Поэтому такое вращение должно было бы изме-
изменять значение е. Так как, согласно доказанному урав-
уравнению, такого изменения произойти не может, то, сле-
следовательно, пучок лучей не имеет линейно-поляризо-
линейно-поляризованной части. Можно доказать, что он не обладает
также и частью, поляризованной по кругу. Однако
это доказательство здесь не будет приведено. Но даже
без него можно допустить, что мыслимы черные тела,
в структуре которых не заключено никакой причины,
по которой они в каком-либо направлении должны
были бы испускать больше поляризованных по кругу
лучей одного рода, чем поляризованных по кругу лу-
,чей другого рода. Следует предположить, что черные
тела, рассматриваемые далее, обладают этим свой-
свойством; они испускают во всех направлениях неполя-
ризованные лучи.
§ 5. Величина, обозначенная через е, зависит,
кроме температуры и длины волны, также от формы
и относительного расположения отверстий 1 и 2. Если
обозначить через w\ и ш2 проекции отверстий на пло-
плоскости, перпендикулярные оси рассматриваемого пуч-
пучка лучей, а через s расстояние между отверстиями, то
получим
„ г
e — i
Где / — функция только длины волны и температуры.
§ 6. Так как форма тела С произвольна, то его
можно представить в виде поверхности, которая за-
заполняет отверстие 1 и которую я назову площадкой 1;
Зкран S[ можно тогда считать отсутствующим. От
экрана S2 тоже можно отказаться, если пучок лучей,
jc которому относится е, определить как такой, кото-
132 Часть 2
рый падает с площадки 1 на площадку 2, в точности
заполняющую отверстие 2.
§ 7. Следствие, которое непосредственно вытекает
из последнего уравнения и будет использоваться в
дальнейшем, заключается в том, что значение е
остается неизменным, если отверстия 1 и 2 поменять
местами.
§ 8. Теперь надо доказать положение, которое
можно рассматривать как обобщение высказанного в
последнем параграфе.
Между обеими черными площадками 1 и 2 одина-
одинаковой температуры представим себе тела, которые
различными способами преломляют, отражают и по-
поглощают лучи, посылаемые этими площадками друг
другу. Некоторые пучки лучей с площадки 1 могут
достичь площадки 2. Выберем из них один и рассмо-
рассмотрим ту его часть у площадки 1, длины воли которой
лежат между К и к + dX, разложим эту часть на две
компоненты, поляризованные в двух взаимно перпен-
перпендикулярных (в остальном произвольных) плоскостях
а\ и Ь\. То, что из первой компоненты доходит до пло-
площадки 2, разложим на две компоненты, поляризован-
поляризованные в двух взаимно перпендикулярных (в остальном
произвольных) плоскостях а.2 и Ь2. Интенсивность по-
поляризованной в плоскости а2 компоненты пусть будет
Kdh. Из пучка лучей, проходящего тем же самым пу-
путем от площадки 2 к площадке I, рассмотрим часть,
длины волн которой лежат между к и % + d%, и раз-
разложим ее на две компоненты, поляризованные в пло-
плоскостях а2 и b2. То, что из перпой компоненты попа-
попадает на площадку 1, разложим на две компоненты,
поляризованные в плоскостях а.\ и b\. Интенсивность
компоненты, поляризованной в плоскости а.\, пусть
будет K'dK. Тогда
К = К'
Доказательство этого равенства будет вестись прежде
всего в предположении, что рассматриваемые лучи на
своем пути не претерпевают ослабления, другими сло-
словами, что преломления и отражения происходят без
потерь, поглощение отсутствует и лучи, исходящие из
площадки 1 и поляризованные в плоскости а.\, прихо»
Г. Кирхгоф 133
•дят к площадке 2 поляризованными в плоскости а2,
и наоборот.
Через центр площадки 1 проведем плоскость, пер-
перпендикулярную оси выходящего или приходящего
пучка лучей, и расположим на ней прямоугольную си-
систему координат с началом в центре площадки; пусть
х\ и у\ — координаты точки этой плоскости (рис. 4I).
На единице расстояния от этой плоскости представим
себе другую, ей параллельную, и на ней систему ко-
координат, оси которой параллельны предыдущей, а на-
начало лежит на оси пучка лучей. Пусть х3 и уз — ко-
координаты точки этой плоскости. Аналогичным спосо-
способом построим плоскость, проходящую через центр пло-
площадки 2 перпендикулярно оси выходящего или па-
падающего пучка лучей, и введем на ней прямоугольную
систему координат с началом в центре площадки; х2 и
1/2 — координаты точки этой плоскости. На единице
расстояния от этой плоскости введем, наконец, па-
параллельно ей четвертую плоскость и на ней систему
координат с осями, параллельными осям Х2, уг, и с на-
началом координат, на оси пучка лучей. xit уц — коорди-
координаты точки этой четвертой плоскости.
Пусть из произвольной точки {х\, у\) какой-либо
луч идет в произвольную точку (х%, i/г). Время, кото-
которое ему требуется, чтобы дойти от первой точки до
второй, обозначим через Т. Оно будет функцией х\, уи
*2, У2\ эту функцию будем предполагать известной.
Если точки (х3, !/з) и (xit у*) лежат на пути данного
луча, то (для простоты принимаем скорость распро-
распространения луча в пустом пространстве за единицу)
время, которое потребуется лучу для прохождения от
точки (х3, уз) до точки (xt, yd, будет равно
Т - У1 + (*! - x3f + (*,, - уз? -
Предположим, что точки (х3, уз) и (xif yt) заданы,
а точки (xi, yi) и \(хз, y<i) неизвестны. Тогда послед-
последние можно найти из условия минимума только что
приведенного выражения. Если представить, что 8 ко*
Ч См. рнс. 6 на стр. 26 данной книги.
134 Часть 2
ординат хи t/i, х2, у2, х3, у% х4, 2/4 бесконечно малы, то
условия расположения точек (х\, 2/i), (x2, у2), (х3, уз)\
Xxt, уц) на одном луче будут описываться следующнми
уравнениями: _.
— —.5ZL _ _^L
дТ дТ
Пусть теперь (#i,t/i) — точка проекции площадки 1 на
плоскость х\, r/i, a dxidyi — бесконечно малый элемент
этой проекции [на нем расположена данная точка
(•*i> уО]- Будем считать, что этот элемент более вы-
высокого порядка малости по сравнению с площадками 1
и 2. (х3, г/з)—точка, лежащая на пути луча, исхо-
исходящего из (х\, г/i) и достигающего поверхности 2,
dxa, dy$ — элемент поверхности, на котором располо-
расположена точка (*з, уз)- Размеры этого элемента того же
порядка, что н элемента dxidtji. Интенсивность лучей
данных длин волн и выбранных направлений поляри-
поляризации, вышедших из dx\dy\ и проходящих через dx%dyz,
описывается, согласно § 5, выражением
dh ldx\ dyx dx3 йул.
При сделанном предположении поток лучей без зату-
затухания достигает поверхности 2 и интенсивность его
будет равна К dk. Величина К выражается интегралом
в соответствующих пределах:
J J J ^dxldy1dx3dys.
Здесь интегрирование по х3 и t/3 распространяется на
те значения, которые получаются для них согласно
соответствующим уравнениям, когда х\ н у\ сохра*
няют постоянные значения, а х%, у2 принимают все
значения точек проекции площадки 2 на плоскость
Лг, у2\ затем проводится интегрирование по х\, у\ для
проекции площадки 1. Но в указанных пределах двои-*
ной интеграл
I Г. Кирхгоф 135
И
¦./Или, согласно уравнениям для хз, уг, равен
xi дх2 дух дуг дх{ ду2 дхг ду{
. :где интегрирование распространяется на всю проек-
'•• цию площадки 2. Отсюда следует
*-^Ш(:
д*Т д2Т
)xi дха dyt дуг
где интегрирование производится по проекциям пло-
площадок 1 и 2.
Если таким же способом рассмотреть величину К'
и учесть, что лучу для прохождения расстояния между
. двумя точками в одном и в другом направлении тре-
требуется одно и то же время, то получим для К.' то же
самое выражение, что и для К-
i Таким образом, высказанное предположение до-
досказано при том ограничении, которое было принято
вначале. Однако это ограничение сразу снимается од-
одним замечанием Гельмгольца из его книги «Physiolo-
gische Optik», стр. 169. Гельмгольц (используя не-
несколько другие обозначения) говорит:
! «Пусть луч света попадает после сколь угодно многих преломле-
преломлений, отражений и т. д. из точки 1 в точку 2. В точке 1 проведем
через его направление две любые взаимно перпендикулярные
плоскости ai и Ь|, по которым можно разложить его колебания.
: 'Две такие же плоскости аг и Ь2 проведем через луч в точке 2.
i Тогда можно доказать следующее: если количество света 1, по-
поляризованного в плоскости аь исходит из точки 1 в направлении
рассматриваемого луча и из него количество света k, поляризо-
поляризованного в плоскости Ог, попадает в точку 2, то справедливо и
обратное: если количество света »", поляризованного в плоско-
плоскости Оз, исходит из точки 2, то в точку 1 попадает точно такое
I же количество света k, поляризованного в плоскости <ц» 1).
У *) Утверждение Гельмгольца, как он сам замечает, неверно,
,Ьсли плоскость поляризации, согласно открытию Фарадея, испи-
тывает вращение, вызываемое магнитными силами. Поэтому при
дальнейшем рассмотрении нужно считать, что магнитные силы
ие действуют. Гельмгольц ограничивает также свое утверждение
¦ Предположением, что свет не испытывает изменений своей пре-
преломляемости, как это бывает при флуоресценции. Такое ограни-
ограничение перестает быть необходимым, если при применении теоремы
имеются в виду лучи только одной длины волны.
136 Часть 2
Принимая во внимание это утверждение и полагая
k/i = у для обоих лучей, которые распространяются
между точками (xit yi) и (л:2, yi) в прямом и обрат-
обратном направлении, получаем для К а К' выражение,
отличающееся от найденного только коэффициентом у
под знаком интеграла.
Равенство К и К' справедливо, согласно доказан-
доказанному, также и тогда, когда отношение у имеет разные
значения для лучей, на которые может быть разделен
один нз сравниваемых пучков. Оно, например, не нару-
нарушается, если часть пучка лучей задерживается каким-
либо экраном.
§ 9. Для тех же самых пучков лучей, которые
сравнивались друг с другом в предыдущем параграфе,
справедливо также следующее утверждение. Из пучка
лучей, идущего от точки 1 к точке 2, рассмотрим в
точке 2 ту часть, длины волн которой лежат между Я.
и X + dX, и разложим ее па две компоненты, поляри-
поляризованные в плоскостях а2 и bi\ пусть интенсивность
первой компоненты равна HdK. Из пучка лучей, иду-
идущего от точки 2 к точке 1, рассмотрим в точке 2 часть
с длинами волн между X и Я + (Ук \\ разложим ее на
две компоненты, поляризованные в плоскостях а2 и Ь2-
Пусть то, что из первой компоненты приходит в точ-
точку 1, равно Н'A"к. Тогда
Доказательство этого утверждения следующее. Пусть
К и /(' имеют те же значения, что и в предыдущем
параграфе; L и V — величины, которые образуются
из К и К', если поменять местами плоскости d и Ь\.
Тогда L = L' и /С = К'. Далее
так как лучи, плоскости поляризации которых взаим-
взаимно перпендикулярны, не интерферируют, когда приво-
приводятся в общую плоскость поляризации, если только
они являются частями неполяризованного пучка, а по-
поверхность 1 испускает, согласно § 4, неполяризован*
ные лучи.
Наконец, получаем
Г. Кирхгоф 137
так как лучи, плоскости поляризации которых взаимно
перпендикулярны, не интерферируют. Из этих уравне-
ний следует
§ 10. Возьмем рис. 2 (стр. 16), рассмотренный нами
в § 3; пусть все обозначения останутся прежними,
за исключением того, что тело С не черное, а лю-
любое. Отверстие 2 закроем площадкой 2. Эта пло-
площадка посылает через отверстие 1 к телу С пучок лу-
лучей, который тело частично поглощает, а частично
вследствие преломлений н отражений рассеивает по
разным направлениям. Из данного пучка лучей рас-
рассмотрим между площадками 2 и 1 часть лучей с дли-
длинами волн между Я и Я + clX и разложим ее на две
компоненты, поляризованные в плоскости а и в пер-
перпендикулярной к ней плоскости. То, что из первой%ком-
поненты не поглощается телом С, т. е. то, что попа-
попадает на черную оболочку, в которую заключено тело С,
обозначим M'clX. Из лучей, которые посылаются ча-
частями этой оболочки к телу С, некоторые будут попа-
попадать через отверстие 1 на площадку 2; другими сло-
словами, через посредство тела С создается такой пучок
лучей, который идет через отверстие 1 к площадке 2.
Рассмотрим из него часть лучей с длинами волн ме-
между Ян Я + dk и разложим ее на две компоненты,
поляризованные в плоскости айв перпендикулярной
к ней плоскости. Интенсивность первой компоненты
пусть будет равна Mdk. Тогда
Справедливость этого равенства вытекает из утверж-
утверждения предыдущего параграфа, если его применить
к каждому из всех тех пучков лучей, которыми пло-
площадка 2 обменивается через посредство тела С с эле-
элементами черной оболочки, окружающей тело С. Тогда
сумма соответствующих уравнений дает данное равен-
равенство.
§ 11. Обратимся снова к рис. 3 (етр. 20), описан-
описанному в § 3, только пусть теперь тело С будет не чер-
черное, а любое. Тогда точно так же в обоих представлен-
представленных там случаях будет иметь место тепловое равно*
138 Часть 2
весие, и живая сила1), которой тело С лишается при
удалении черной площадки 3, будет равна живой силе,
которая подводится к телу С заменившим эту пло-
площадку вогнутым зеркалом. Используемые в § 3 обо-
обозначения сохраняют здесь прежний смысл; обозна-
обозначения Е и А применяются в том же смысле, что и в
$ 1. Живая сила, которой лишается тело С при уда-
удалении поверхности 3, при учете сказан«ого в § 7 бу-
будет определяться выражением
Живая сила, которую тело С приобретает через по-
посредство вогнутого зеркала, состоит из трех частей.
Первая часть — это живая сила лучей, испускаемых
самим телом С:
Вторая часть — это живая сила лучей, которые вышли
из противолежащей зеркалу черной стенки, прошля
сквозь пластинку Р, претерпели одно отражение от
вогнутого зеркала и второе от пластинки; она, со-
согласно § 9, равна
\dheri\- г) А.
Наконец, третья часть — это живая сила лучей, ко-
которые из различных точек черной оболочки, окружаю-
окружающей тело С, упали на него, были им отброшены на
площадку 2 вследствие отражений или преломлений
и возвращены обратно через отверстие 1 посредством
одного отражения от пластинки Р, второго от вогну-
вогнутого зеркала и третьего снова от пластинки Р. Если
') Здесь и далее мы сохраняем устаревший термин «живая
сила», равнозначный е даином случае энергии. — Прим. ред.
Г. Кирхгоф 139
использовать обозначение М, разъясненное в § 10, то
эта часть живой силы будет равна
Может возникнуть сомнение в правильности выраже*
ний для первой и третьей частей, если тело С распо-
расположено как раз так, что конечная часть пучка лучей,
посылаемого площадкой 2 через отверстие 1 телу С,
отражается им обратно к площадке 2. Поэтому такие
случаи мы пока исключим.
Согласно § 10, М = М' и по определению
Тогда для третьей части имеем
о
и в результате получаем уравнение
Проводя те же рассуждения, как и в § 3 по поводу
аналогичного уравнения, можно прийти к выводу, что
для каждого значения X
Е
или, если подставить значение е из § 5,
Е
Таким образом, утверждение, которое требовалось
доказать, доказано в предположении, что из пучка лу-
лучей, попадающих от площадки 2 через отверстие 1 на
тело С, ни одна конечной величины часть не возвра-
возвращается назад телом С к площадке 2. Это утверждение
справедливо и без такого ограничения, как явствует
из следующего: если упомянутое предположение не
140 Часть 2
выполняется, то надо только бесконечно мало повер-
повернуть тело С, чтобы оно выполнилось, а при такого
рода повороте величины Е и А претерпят лишь беско-
бесконечно.малые изменения.
Величина, обозначенная через /, как замечено в
§ 5, есть функция длины волны и температуры. На-
Нахождение этой функции представляет задачу огромной
важности. На пути экспериментального определения
функции / стоят большие трудности. Несмотря на это,
существует надежда определить ее опытным путем,
так как она, без сомнения, имеет простую форму, как
и все полученные до настоящего времени функции, не
зависящие от свойств отдельных тел. Только после
решения такой задачи можно будет полностью уви-
увидеть плодотворность доказанного утверждения; но уже
и сейчас из него можно сделать важные заключения.
§ 12. Если взять определенное тело (например,
платиновую проволоку) и постепенно его нагревать,
то оно будет испускать лучи с длинами волн, боль-
большими, чем у видимых лучей, до тех пор, пока не до-
достигнет определенной температуры. При определенной
температуре появляются лучи с длиной волны, соот-
соответствующей крайнему красному цвету. При все боль-
большем и большем повышении температуры добавляются
лучи все меньших и меньших длин волн таким обра-
образом, что при каждой температуре возникают лучи со-
соответствующей длины волны, в то время как интен-
интенсивность лучей более длинных волн растет. Если при-
применить доказанное утверждение к данному случаю, то
увидим, что функция / для некоторой длины волны
равна нулю для всех температур ниже определенной
температуры, соответствующей данной длине волны 1),
и возрастает при более высоких температурах. Отсюда
следует, если применить это утверждение и к другим
телам, что все тела при постепенном повышении их
температуры начинают испускать лучи одной и той же
длины волны при одной и той же температуре, т. е:
при одной и той же температуре накаляются докрас-
*) Фактически функция Е/А не исчезает полностью для ко-
конечных длин волн и конечных температур, а приближается к
нулю только асимптотически. — Прим. ред. немецкого издания.
Г. Кирхгоф 141
на, при более высокой, но одинаковой для всех начи-
начинают испускать желтые лучи н т. д. Интенсивность же
лучей определенной длины волны, которые различные
тела испускают при одинаковой температуре, может,
однако, сильно различаться. Она Пропорциональна по-
глощательной способности тел для лучей данной дли-
длины волны. Поэтому при одинаковых температурах ме-
металл светится ярче, чем стекло," а последнее ярче, чем
газ. Тело, которое при самых высоких температурах
остается совершенно прозрачным, никогда не будет
светиться. Я помещал в согнутое из платиновой про-
проволоки кольцо днаметром примерно 5 мм немного фос-
фосфорнокислого натрия и накаливал его в слабо светя-
светящем пламени бунзеновской горелки. Соль расплавля-
расплавлялась, образовывала жидкую лнпзу н оставалась при
этом полностью прозрачной, но она также н совсем
не светилась, в то время как соприкасавшееся с ней
кольцо испускало ярчайший свет.
§ 15. Из утверждения, доказанного в первой части
данной работы, следует, что тело, которое из потока
с одним'направлением поляризации поглощает боль-
больше лучей, чем из потока с другим направлением поля-
поляризации, испускает в таком же отношении больше лу-
лучей первого направления поляризации, чем второго.
Согласно этому, раскаленное непрозрачное тело,
имеющее гладкую поверхность, должно испускать в
направлениях, наклонных к данной поверхности, свет,
который частично поляризован, а именно перпенди-
перпендикулярно плоскости, проходящей через луч и нормаль
к поверхности (что, как известно, и имеет место в дей-
действительности), ибо из падающих лучей, которые по-
поляризованы перпендикулярно плоскости падения, тело
отражает меньше, а поглощает больше, чем из лучей,
плоскость поляризации которых совпадает с плоско-
плоскостью падения. С помощью доказанного утверждения
легко определить характер поляризации испускаемых
лучей, если знать закон отражения падающих лучей.
Турмалиновая пластинка, грани которой отшлифо-
отшлифованы параллельно оптической оси, при обычной тем-
температуре поглощает перпендикулярно падающие на
нее лучи сильнее в том случае, когда их плоскость
поляризации параллельна оптической оси, чем когда
142 Часть 2
она перпендикулярна этой оси. Если предположить,
,что турмалиновая пластинка сохраняет это свойство
и в раскаленном состоянии, то тогда она в этом со-
состоянии должна испускать в перпендикулярном к ней
направлении лучи, которые частично поляризованы, и
именно в плоскости, проходящей через оптическую
ось, т. е. в плоскости, перпендикулярной так называе-
называемой плоскости поляризации турмалина. Я проверил
на опыте это бросающееся в глаза следствие, выте-
вытекающее из изложенной теории, и оно подтвердилось.
Употреблявшиеся турмалиновые пластинки, внесенные
в пламя буизеновской горелки, длительное время вы-
выдерживали умеренное каление, не претерпевая оста-
остаточных изменений; после охлаждения они оказались
лишь слегка помутневшими по углам. Свойство поля-
поляризовать проходящий свет присуще им также и в
раскаленном состоянии, хотя и в значительно мень-
меньшей степени, чем при низкой температуре. Это можно
было обнаружить, если смотреть через двоякопрелом-
лягощую призму и через турмалиновую пластинку на
платиновую проволоку, накаляемую в том же пла-
пламени, что и пластинка. Два изображения платиновой
проволоки имели неодинаковую яркость, однако раз-
различие было гораздо меньше, чем когда турмалиновая
пластинка находилась вне пламени. Двоякопрелом-
ляющая призма располагалась так, чтобы разность
яркостей двух изображений платиновой проволоки
была максимальной; предположим, что более ярким
было верхнее изображение. Затем, после удаления
платиновой проволоки, сравнивались друг с другом
оба изображения турмалиновой пластинки. Верхнее
изображение было, правда, не очень резко, но все же,
несомненно, более темным, чем нижнее; эти два изоб-
изображения выглядели как два одинаковых раскаленных
тела, из которых верхнее обладало более низкой тем-
температурой, чем нижнее.
§ 16. В заключение приведем здесь еще одно след-
следствие из доказанного утверждения. Если некоторое
пространство окружено телами одинаковой темпера-
температуры и через эти тела лучи не могут проникать, то
каждый пучок лучей внутри этого пространства будет
до своим свойствам и интенсивности таким, как если
Г. Кирхгоф 143
бы он был испущен абсолютно черным телом той же
температуры, т. е. он не зависит от свойств и формы
тел и определяется только температурой. Со спра-
справедливостью этого утверждения легко согласиться,
если учесть, что пучок лучей, имеющий ту же самую
форму, что и выбранный, но противоположное направ-
направление, после бесконечного числа отражений от пред-
полагаемых тел полностью поглощается. Внутри не-
непрозрачного раскаленного тела определенной темпе-
температуры сохраняется вследствие этого также всегда
одинаковая яркость, каковы бы ни были в остальном
свойства этого тела.
Гейдсльберг, январь 1860.
2. ВЫВОД НА ОСНОВАНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
ТЕОРИИ СВЕТА ЗАКОНА СТЕФАНА [1],
КАСАЮЩЕГОСЯ ЗАВИСИМОСТИ
ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
Людвиг Больцман
Ludwig Boltzmann, Ann. Pliys., 22, 291—294 A884)
Максвелл [2] на основании своей электромагнит-
электромагнитной теории света пришел к выводу, что луч света или
излучаемого тепла при перпендикулярном падении на
поверхность должен оказывать на единицу поверхно-
поверхности давление, которое равно содержащейся в единице
объема эфира энергии, обязанной движению света.
Пусть абсолютно пустой объем окружен со всех сто-
сторон непроницаемыми для теплового излучения стен-
стенками с абсолютной температурой t; обозначим содер-
содержащуюся в единице объема эфира энергию, связан-
связанную с тепловым излучением, через ty(t); при этом мы
должны принять во внимание, что не все тепловые
лучи, оказывающие давление на стенку, падают на
нее перпендикулярно. Здесь проще всего по аналогии
с методом, примененным Крёнигом [3] в теории газов,
рассмотреть объем в форме куба, грани которого па-
параллельны трем осям прямоугольной системы коорди-
координат. Результат, лучше всего соответствующий сред-
среднему состоянию, получается, если предположить, что
параллельно каждой из трех осей координат распро-
распространяется по '/з теплового излучения. Тогда на каж-<
дую грань будет оказывать давление только '/з всех
лучей, и давление на единицу поверхности стенки бу-
будет определяться согласно закону Максвелла:
эту формулу можно получить также путем следую-
следующего рассуждения.
Результат Максвелла справедлив, когда луч па-
падает на поверхность перпендикулярно и ею погло-
Л. Больцман 145»
щается. Если бы он падал почти перпендикулярно
и отражался под тем же углом, то давление было
бы в 2 раза больше; если же он образует с нормалью
угол Ь и отражается с неизменной интенсивностью
под тем же углом, то тогда, как и при ударе о поверх-
поверхность наклонно падающей газовой молекулы, в расчет
принимается только живая сила ') нормальной к по-
поверхности компоненты движения, которая равна пол-
полной живой силе луча, умноженной на cos2 Ф. (Как
количество движения, так и падающий поток умно-
умножаются на cos ¦&.) Если мы обозначим всю жи-
живую силу лучей в единице объема снова через г|з(/),
то живая сила тех лучей, которые образуют с нор-
нормалью к рассматриваемой поверхности углы, лежащие
между ¦& и Ь + db, и распространяются в направлении
к этой поверхности, равна -g- ар (/) sin Ф db. Точно та-
такую же величину имеет живая сила тех лучей, кото-
которые распространяются вдоль тех же прямых, но по
направлению от поверхности. Полная энергия лу-
лучей обоих направлений составляет, следовательно,
i|)(tf)sin bdb, и на единицу поверхности они оказы-
оказывают, согласно вышесказанному, давление, равное
^(tf)cos2 ¦& sin bdb. Чтобы учесть все вообще имею-
имеющиеся лучи, мы должны проинтегрировать это выра-
выражение от нуля до л/2, что и даст ранее написанное
значение '/з1р@-
В своей статье по поводу открытой Бартоли связи
теплового излучения со вторым началом термодина-
термодинамики [4] я показал, что для функций 1]з и /2) из вто-
второго начала вытекает соотношение
или в дифференциалах
Если подставить / = тг ty> как это следует из электро-
электромагнитной теории света, то получим
') См. примечание иа стр. 138. — Прим. ред.
2У tyif)—величина, обозначенная там как i<$(t)lcJ,
146 Часть 2
и после интегрирования будем иметь
— закон, который, как известно, сравнительно недав-
но эмпирически установлен Стефаном и находится в
хорошем соответствии с наблюдениями* Таким обрач
зом, из электромагнитной теории света и второго за-
закона термодинамики непосредственно следует закон
Стефана, связывающий тепловое излучение с темпе-
температурой,— достойный внимания результат, хотя, ко-
нечно, совершенно очевидно, что приведенный здесь
расчет имеет весьма ориентировочный характер.
Легко видеть, что и обратно, из второго закона и
закона излучения Стефана вытекает как следствие,
что в пространстве, окруженном непроницаемыми для
тепла стенками одинаковой температуры, давление
теплового излучения на единицу поверхности равно
Уз энергии излучения, содержащейся в единице объе-
объема, и что, следовательно, пучок лучей, падающий пер-
перпендикулярно на плоскую поверхность единичной пло-
площади, оказывает на нее давление, которое равно энер-
энергии, содержащейся в единице объема пучка, при усло-
аии, что он поглощается этой поверхностью; если же
он от нее с неослабленной интенсивностью отражает-
отражается, то это давление в 2 раза больше, т. е. равно энер-
энергии, содержащейся в единице объема в падающем и
отраженном пучке. Согласно теории излучения, дав-
давление, как мне кажется, в противоположность точке
зрения Хирна, приводимой в упомянутой работе Бар-
толи, должно быть во всех этих случаях в 2 раза боль*
ше, чем здесь найденное. Мне, впрочем, кажется, что
используя гипотезы, подобные гипотезам Кирхгофа в
его известной работе о равенстве поглощательной и
испускательной способности тел [5], можно также до-
доказать, что этот закон для абсолютно черных тел дол-
должен выполняться не только для полного излучаемого
количества тепла, но также и для каждого отдель-
отдельного вида излучения, так что при всех температурах
все излучение определенного вида, испущенное чер«-
ным телом, должно составлять одинаковую часть от
всего количества испущенного тепла, как это наряду
с другими предполагал и Лехер [6].
Л. Вольцман 147
'':- Я приведу здесь еще несколько более простой вы-
*вод уравнения зависимости 'фи/ для процесса Бар-
. толи. Пусть в полом цилиндре из абсолютно черной
:;:не пропускающей тепло оболочки имеется подвижный
'.поршень S, который в исходном положении касается
г основания В цилиндра с площадью, равной единице,
\и температурой t0; затем поршень отодвигается от ос-
основания на расстояние а (он находится справа от ос-
•-новация В). Все тепло, содержащееся в виде излу-
излучения между В и S и равное aty(t0), а также тепло,
затраченное на движение 5 и равное af(to), поступает
из основания В. Тепло мы измеряем в единицах ра-
работы. Отделим теперь от В посредством второго
поршня Т пространство между В и S так, чтобы его
состояние теперь менялось адиабатически, и дадим
возможность поршню S, который, как и оболочка ци-
цилиндра, должен содержать бесконечно малое коли-
количество тепла, продвинуться дальше еще на отрезок х.
Тогда для этого изменения состояния будет выпол-
выполняться условие
Пространство справа от 5 и ограничивающая его
с противоположной стороны крышка G цилиндра
должны все время иметь температуру t, которая
в конце концов устанавливается и слева. Все тепло
Ха + х) [ар (t) + f (t)] справа от S, полученное как за
счет совершения работы, так и вследствие сокраще-
сокращения объема, должно быть воспринято крышкой G. Этот
. процесс обратим. Таким образом, имеем
(а + х) ty (t) + f (t)]/t« a fo (/0) + f (to)yto ~ с
: Мы будем рассматривать а и to, а также с как по-
постоянные величины, а х и t как переменные. Если
^прибавить к обеим сторонам первого уравнения
d[(a + x)f(t)], то получим, принимая во внимание
дифференциал последнего уравнения, следующий ре-
гзультат:
нто согласуется с вышеприведенным уравнением.
148 Часть 2
ЛИТЕРАТУРА
1. Stefan I., Wien. Ber., 79, 391 A879).
2. Maxwell G., Treatise on Electricity and Magnetism, Oxford, Cla-
Clarendon Press, 2, 391 A873).
3. Krenig A. Grundziige dcr Theorie der Gase, Berlin bel
A. W. Hain, Pogg. Ann., 99, 315 A856).
4. Boltzmann L, Wied. Ann., 22, 38 A884).
5. Kirchhoff G., Pogg. Ann., 109, 275 A860); Berl. Ber. A961).
6. Lecher, Wien. Ber., 85, 441 A882); Wied. Ann., 17, 477 A882).
3. НОВОЕ О СВЯЗИ МЕЖДУ ИЗЛУЧЕНИЕМ
ЧЕРНОГО ТЕЛА И ВТОРЫМ ЗАКОНОМ
ТЕРМОДИНАМИКИ
Вилли Вин
Willy Wien, Sitzungsber. preuB. Akad. Wiss. Berlin, 55 A893)
Больцман [1] доказал, исходя из предложенного
Бартоли процесса, что из второго закона термодина-
термодинамики следует существование давления, которое ока-
оказывает излучение на облучаемую поверхность. Суще-
Существование такого давления вытекает также из элек-
электромагнитной теории света, и Больцману удалось в
этой связи вывести закон излучения Стефана для чер-
черного тела.
Эти выводы можно еще усовершенствовать, если
не ограничиваться рассмотрением излучения как це-
целого, а представить его разложенным по длинам волн.
В основу нашего рассмотрения будут положены
мысленные эксперименты, которые, как у Больцмана,
а ранее у Кирхгофа и Клаузиуса, настолько близки к
.действительности, что их реальное осуществление
должно быть возможно, по-видимому, с неограничен-
неограниченной степенью точности.
В качестве исходных предпосылок мы примем
прежде всего справедливость электромагнитной тео-
теории света, согласно которой давление, оказываемое
лучом света в направлении распространения, равно
энергии данного луча. Затем мы допустим возмож-
возможность существования абсолютно черных и идеально
отражающих тел, которые могут давать полностью
рассеянное отражение падающих на них лучей, как
это приближенно выполняется при полном отражении
от белых тел. Кроме того, мы считаем справедливым
второй закон термодинамики, в частности считаем,
что путем излучения, испускаемого твердыми телами
за счет их запаса тепла, нельзя получить из теплоты
работу без каких-либо других затрат работы, потерь
температуры или изменений состояния. И наконец, мы
150 Часть 2
предполагаем применимость принципа Доплера к све*
товым лучам.
Излучение, создаваемое черным телом в замкну-
замкнутом пространстве с зеркальными стенками, будет
иметь всевозможные направления. В этом случае наи-
наиболее близкое к существующим условиям усреднение
получается, если, следуя Больцману, предположить,
что в кубическом объеме параллельно каждой паре
граней распространяется одинаковая доля, т. е. '/з
всего излучения. Уменьшение объема увеличивает
плотность энергии (количество энергии в единице
объема) вследствие сосредоточения всего запаса энер-
энергии в меньшем пространстве и за счет работы по пре-
преодолению давления лучей. При обратном процессе за-
затраченная работа полностью возвращается, если ско-
скорость, с которой производятся изменения объема,
остается бесконечно малой по сравнению со скоростью
света, чтобы изменения плотности всегда выравнива-
выравнивались по всему пространству.
Тогда можно представить себе процесс, в котором
увеличение пуютности энергии достигается, с одной
стороны, за счет повышения температуры, а с дру-
другой — за счет уменьшения объема. Согласно второму
закону, при одинаковой плотности полной энергии
должна быть одинакова и плотность энергии для каж-
каждой отдельной длины волны. Длины волн излучения,
уплотненного из-за уменьшения объема, изменяются
только в результате эффекта Доплера. Это изменение
можно рассчитать. Тем самым становится известным
также н изменение, обусловленное повышением тем-
температуры.
§ 1. Описание процесса
Представим себе цилиндр, в котором находятся
два подвижных поршня В и С. Пусть площадь его
поперечного сечения равна единице. Поршни должны
быть снабжены клапанами, которые в закрытом со»
стоянии светонепроницаемы. Отсеки 1, 2, 3 совершен*
но пусты. А и D — черные тела различной абсолют-
абсолютной температуры #i и Ф2 > *ь Они таких размеров,
что их запас тепла бесконечно велик по сравнению
В. Вин 151
энергией, отдаваемой в отсеки 1, 2, 3 в виде излу-
Цвения. Предполагается, что внутренняя поверхность
Кнлиндра, поршни и клапаны обладают свойством от-
отражать все падающее на них излучение так, чтобы
ври этом не выделялось какого-либо предпочтитель-
предпочтительного направления, т. е. излучение было полностью рас-
веянным. Если допустить, что мыслимы идеальные
беркала, то тогда нельзя ничего возразить и против
возможности создания с любой степенью точности та-
;ких тел, которые можно было бы назвать совершенно
Целыми. Если оба клапана С и В закрыты, то лучи-
лучистая энергия объема 2 находится в замкнутом про-
пространстве с изолирующими стенками и остается неиз-
неизменной.
Пусть в начале нашего процесса клапан В открыт,
щ С закрыт. Тогда А излучает в отсеки 1 и 2, a D —
ш отсек 3. Плотность энергии в отсеке 3 больше, чем
отсеке 2, так как температура D выше, чем темпе-
температура А. Теперь закроем клапан В. Будем двигать
Поршень В к С со скоростью v, которая бесконечно
по сравнению со скоростью света с. Тогда плот-
плотность энергии в отсеке 2 повысится как из-за уменъ-
Йдоения объема, так и вследствие произведенной работы
преодолению давления. Продвинем поршень В на-
настолько, чтобы плотность энергии в отсеках 2 и 3
&тзла одинаковой. Тогда из второго закона можно
Заключить, что распределение энергии в спектре лу-
i обоих отсеков будет тоже одинаковым.
Если бы это не имело места, то должны были бы
^существовать лучи некоторой определенной длины
^олны, которые в отсеке 3 обладают большей энер-
ягией, чем в отсеке 2. Мы можем поместить тогда пе-
¦ред клапаном С тонкую прозрачную пластинку, кото-
которая преимущественно пропускает лучи рассматривае-
рассматриваемой длины волны, а другие преимущественно отра-
отражает, и после этого открыть клапан. Тогда из отсека
8 в 2 будет протекать больше энергии, чем в обратном
направлении, и плотность энергии в отсеке 2 станет
больше, чем в 3. Теперь закроем клапан С, уберем
вдастинку и позволим поршню С под действием из-
избытка давления в отсеке 2 двигаться и совершать ра-
', пока плотность энергии в обоих отсеках не вы«
152 Часть 2
равняется. Пусть Q — полученная при этом работа.
Затем,снова откроем клапан С и приведем поршень
в начальное положение. При этом работа совершаться
не будет, так как давление с обеих сторон теперь оди-
одинаково. Далее вернемся при закрытых клапанах С и
В к первоначальному расположению, при этом полу-
получим обратно работу, затраченную при первом движе-
движении поршня В. Если, наконец, снова открыть клапан В,
то исходное состояние будет достигнуто полностью, и
при этом нз теплоты будет получено количество ра-
работы Q без какого бы то ни было изменения состоя-
состояния, которое могло бы служить компенсацией. Так
как это противоречит второму закону термодинамики,
то, значит, спектральное распределение энергии в от-
отсеках 2 и 3 должно было быть одинаковым, когда
в них были равны плотности энергий. Следовательно,
если мы знаем распределение энергии в излучении,
создаваемом А, и изменение, которое оно претерпело
при движении поршня В, то мы знаем также и рас-
распределение энергии в излучении более нагретого
тела D.
§ 2. Расчет изменения распределения энергии
на основании принципа Доплера
Пусть v — скорость поршня, ас — скорость света.
Вследствие движения поршня В навстречу излучению
длины волн, согласно принципу Доплера, укорачи-
укорачиваются. Период колебаний Т перпендикулярно падаю-
падающего и однократно отраженного луча изменяется со-
согласно уравнению
г, _ с - 2t> _,
Так как Т = %/с, V = У/с, где Я, и V — длины волн,
то
,/ с — 2о ,
При наклонно падающих лучах играет роль только
нормальная компонента. При равномерно* распреде*
ленных направлениях излучения можно опять предпо»
В. Вин 163
/ложить, что в кубическом объеме над поршнем В со-
совокупность всех нормальных к нему компонент обла-
обладает '/з частью всей энергии излучения. Излучение,
идущее от движущегося поршня, отражается от по-
покоящихся стенок диффузно и, таким образом, нару-
нарушенная равномерность распределения сразу же снова
восстанавливается.
Пусть ф(Я)—существующая первоначально в от-
отсеке 2 плотность энергии, представляющая собой
функцию длины волны, так что q>dk — энергия лучей
с длинами воли между К и К + dX. После однократ-
однократного отражения от движущегося поршня длины волн
нормально падающих лучей укоротятся на некоторую
величину h. Пусть новое распределение энергии будет
fi(X). Если представить ф(Я,) в качестве ординаты,
а X — в качестве абсциссы, то точки новой кривой
f 1 (X) мы получим, если для каждого значения X оста-
оставим 2/3 отвечающей ему ординаты ц>{Х) в соответ-
соответствии с оставшимися без изменения 2/з энергии. По-
Последнюю же '/з надо заменить на '/з ординаты ф, ко-
которая относится к К + h потому, что Уз энергии умень-
уменьшила свои длины волн на h. Таким образом,
При малом h имеем
и после однократного отражения от поршня В полу-
получаем
¦ Л
тогда после n-кратного отражения находим
если nh также мало по сравнению с %.
Далее отсюда следует
M4 Часть 2
Изменение энергетического распределения- таково,
как будто нормально падающие лучи, представляю-
представляющие 1/3 всей энергии, сократили свои длины волн на
величину nh.
Таким образом, мы должны рассматривать п как
число, которое показывает, как часто в данном кубе
нормально падающие на поршень лучи при своем про-
прохождении взад и вперед по отсеку 2 отражаются от
движущегося поршня за то время, пока поршень про-
продвигается на определенный отрезок пути.
Если а — х — расстояние от поршня В до С, то,
пока поршень В передвинется на dx, произойдет
n-кратное отражение, где
dx с
П~ 2 (а —к) ~v
(по предположению п много больше единицы). Тогда
c/v должно быть много больше 2 (а— x)/dx; однако
при этом dx должно быть мало по сравнению
с2(а — х).
После однократного отражения имеем
»/ с — 2о 1
Л —~* "~^~ Л.
с
После n-кратного отражения получаем
dx ?_
. (c-2v\\ fc-2v\2(a-x> v
Это можно записать в виде
dx
Отсюда при с -*¦ оо-
dx I dx
Очевидно, что при обратном ходе поршня уравнение
имеет вид
dx
В. Вин155
Таким образом, А„ также возвращается к первона-
чальному значению. Значит, процесс и в этом отно*
шении обратим. Подставим теперь
где nh — бесконечно малая того же порядка, что dx\
тогда, пренебрегая малыми величинами второго по-
порядка, получаем
Мы имели
Теперь мы должны подставить
Каждое значение К уменьшается на эту величину,
когда х увеличивается на dx.
Интегрируя, получаем
где значение %0 соответствует х = 0. Итак,
Далее, пусть Е — количество энергии в отсеке 2,
когда В находится в положении х. Тогда плотность
энергии равна
а— х
Если х увеличивается на dx, то вследствие уменьше-
уменьшения объема и за счет совершаемой .работы плотность
тоже возрастает:
Е
156 Часть 2
Давление на поршень составляет
Произведенная работа равна
Отсюда находим
где "фо — значение при х = 0.
Таким образом,
и, согласно ранее полученному для одинаковых зна-
чений х.
г|>о в Л* '
Но в соответствии с § 1 распределение энергии ij>, ко-
которая испускается телом с более высокой температу-
температурой Ф, будет таким же. Если Фо — значение Ф, кото-
которое соответствует яро, то, согласно Стефану и Больц-
ману,
_?.= *!
Отсюда следует
В нормальном спектре испускания черного тела
при изменении температуры каждая длина волны оме-
ищется таким образом, что произведение температуры
на длину волны остается постоянным.
Если распределение энергии задано как функция
длины волны для некоторой температуры Фо, то те-
теперь его можно получить для любой другой темпера*
В. Вин 157
туры д. Представим снова "к как абсциссу, а ф(М как
ординату. Площадь между кривой и осью абсцисс
есть полная энергия г)). Теперь надо сначала изменить
каждое А так, чтобы произведение Ы оставалось по-
постоянным. Если на месте первоначального значения %о
вырезать узкую полоску шириной d%o и площадью
Фо^Ао, то после изменения этот отрезок передвинется
на место %, и вместо ширины dko теперь получим
dX = ?±
Но так как количество энергии <ро^о должно оста-
оставаться постоянным, то
<р d% = <р0 dAo, <р = фо —? — фо -^.
Но, кроме того, каждое значение ф меняется с темпе-
температурой по закону Стефана в отношении ©V^o* по'
этому новая ордината будет
Таким способом можно получить все точки новой энер-
энергетической кривой.
Этот результат согласуется со смещением макси-
максимума энергии, полученным Г. Вебером [2] из его за-
закона излучения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Boltzmann Z.., Wied. Ann., 32, 31, 291 A884).
2. Weber H. F. Sitzungsber. deutsch. Akad. Wiss. Berlin, 933
A888).
4. О НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССАХ ИЗЛУЧЕНИЯ
Макс Планк
Max Planck, Ann. Phys., 1, 69—122 A900)
'(Обработано автором по протоколам заседаний Берлинской
академии наук от 4 февраля 1897 г., 8 июля 1897 г., 16.декабря
1897 г., 7 июля 1898 г., 18 мая 1899 г. и по докладу, сделанному
на 71-м собрании естествоиспытателей в Мюнхене.)
§ 23. Распределение энергии
в нормальном спектре
Формула
ас
Е^Щ^-е ™ E5)
представляет полученный В. Вином [1] закон распре-
распределения энергии; его по меньшей мере приближенное
соответствие действительности в последнее время под-
подтверждено продолжающимися исследованиями Ф. Па-
шена [2, 8], Ф. Пашена и X. Ваннера [3], О. Лум-
мера и Е. Прингсхейма [4] (см. также [5, б]I).
Вин вывел свой закон, исходя из определенных
предположений о количестве центров излучения, на-
находящихся в единице объема, и о скорости их движе-
движения. В предложенной здесь теории эти величины не
играют роли, и закон выводится как необходимое
следствие из данного в § 17 определения электромаг-
электромагнитной энтропии излучения. Таким образом, вопрос
о правильности закона совпадает с вопросом о пра-
правильности такого определения. Я неоднократно пы-
пытался как-либо изменить или обобщить выражение
*) В последних трех работах найдены отклонення от закона
Вина, ...
М. Планк 159
'D1) для электромагнитной энтропии осциллятора, ко-
которое в свою очередь приводит к выражению D3) для
энтропии излучения; я хотел, чтобы оно при этом про-
продолжало удовлетворять всем теоретически обоснован»
ным законам электродинамики и термодинамики, од-
однако мне это не удалось сделать. Так, например, эн-
энтропию осциллятора D1) можно было бы в более об-
обще** виде определить следующим образом:
где f (v)' и ф (v) — неопределенные положительные
функции частоты колебании v. Хотя принцип увели-
увеличения энтропии и выполнялся бы тогда при рассмо-
рассмотренных в § 18 электромагнитных процессах, однако
для обратной величины температуры осциллятора вме-
вместо E) получалось бы выражение
J1 . еУ
ln
следовательно,
f(v)
и в качестве закона распределения энергии из D9)
вместо E1) следовало бы
f(v)
. E6)
Это как раз та форма закона распределения энер*
гии, к которой на основе вышеупомянутых предполо-
предположений пришел Вин и относительно которой он пока-
показал, что из нее путем надежно обоснованных заклю-
заключений выводится данная им частная форма.
Если же пытаться взять за основу какую-либо от-
отличающуюся от E6) форму закона распределения
энергии и, исходя из нее, проводить обратный расчет
выражения для энтропии, то это неизбежно приводит
. к противоречию с доказанным в § 18 законом увели-
увеличения энтропии.
Отсюда, по-вндимому, надо заключить, что данное
» § 17 определение энтропии излучения, а тем самым
160 Часть 2
и закон распределения энергии Вина представляют
собой необходимое следствие приложения принципа
увеличения энтропии к электромагнитной теории света
и что границы применимости этого закона, если они
вообще существуют, совпадают с границами примени-
применимости второго закона термодинамики. И именно по-
поэтому, конечно, дальнейшая экспериментальная про-
проверка закона Вина приобретает особенно большой
принципиальный интерес.
§ 25. Числовые значения
Значения универсальных постоянных а и Ь можно
вычислить с достаточно хорошим приближением на
основе существующих результатов измерений.
Если через St обозначить всю энергию, которая из-
излучается в воздух с I см2 черного тела при темпера-
температуре /°С в 1 с, то, как нашел Ф. Курльбаум [7],
Sjo, —So = 0,01763 г-кал.
С другой стороны, согласно E2), полная испускаемая
по всем направлениям полупространства энергия с
единицы поверхности черного тела в единицу времени
выражается формулой
2п л/2
Следовательно, если принять механический экви-
эквивалент тепла равным 419-105, то в абсолютной си-
стеме СГС
или, так как с = 3-1010,
?=1,278-1018, E7)
Далее Ф. Пашен [8] получил в качестве среднего зна-
значения из лучших результатов своих наблюдений вели-
величину постоянной в показателе формулы Вина E5),
М. Планк 161
равную 14455 мкм-°С. При переводе в сантиметры это
дает
ас— 1,4455,
или
а = 0,4818- 1О1Ос-°С,
и отсюда, согласно E7),
Ъ = 6,885- 1(Г27 эрг-с.
§ 26. Естественные единицы измерения
Все до сих пор употребляемые системы единиц,
в том числе и так называемая абсолютная система
СГС, обязаны своим происхождением совпадению слу-
случайных обстоятельств, поскольку выбор единиц, ле-
лежащих в основе каждой системы, делался исходя не
из всеобщих, обязательных для любых мест и времен
точек зрения, а в основном из специальных потребно-
потребностей нашей земной культуры. Так, единицы длины и
времени выведены из современных данных о размерах
и движении нашей планеты; далее, единицы массы н
температуры получены нз плотности и фундаменталь-
фундаментальных точек воды как жидкости, играющей важнейшую
роль на поверхности Земли, взятых при давлении, со-
соответствующем среднему действию окружающей нас
атмосферы. При такой произвольности принципиально
ничто бы не изменилось, если бы, например, за еди-
единицу длины была принята длина волны линии Na. Вы-
Выбор из многих химических элементов именно Na опять-
таки можно было бы оправдать его довольно боль-
большой распространенностью на Земле или бросающейся
в глаза его двойной спектральной линией, которая,
впрочем, не единственная в своем роде. Поэтому
вполне вероятно, что в другое время в изменившихся
внешних условиях каждая из принятых теперь систем
единиц частично или полностью могла бы потерять
свое первоначальное естественное значение.
В связи с этим небезынтересно заметить, что су-
существует возможность с помощью обеих постоянных
а и Ь, входящих в выражение D1) для энтропии излу-
162 Часть 2
чения, получить единицы длины, массы, времени я
температуры, которые независимо от специфики тел
и веществ неизменно сохраняют свое значение для
всех времен и для всех культур, в том числе внезем-
внеземных и не созданных человеком, и которые поэтому
можно назвать «естественными единицами измерения»*
Основу для установления четырех единиц длины,
массы, времени и температуры составляют две уже
упомянутые постоянные а и Ь, ватем величина ско*
рости распространения света с в вакууме и гравита«
ционная постоянная f. В системе СГС (сантиметр,
грамм, секунда, градус Цельсия) числовые значений
этих четырех постоянных следующие [9]:
о = 0,4818- КГ10 с -°С,
6 = 6,885-1(Г27 см2 т/с,
с = 3,00-1010см/с,
/ = 6,685.1(Г8см3/г-са.
Если теперь выбрать систему «естественных единиц»
так, чтобы в ней каждая из четырех написанных выше,
постоянных приняла значение 1, то получим в каче*
стве единицы длины величину
качестве единицы массы
5,56- 1(Г5 г;
качестве единицы времени
1,38-КГ43 с;
качестве единицы температуры
а д/~=3,5(Ы032оС.
Эти величины сохраняют свое естественное значе-
значение до тех пор, тюка справедливы законы тяготения,
М. Плат 163
.1
^распространения света в вакууме и оба начала термо-
термодинамики, и, следовательно, их измерение должно да-
?вать всегда одни и те же результаты, какими бы уче-
учеными и какими бы методами они ни были получены.
Г'1 ЛИТЕРАТУРА
fl. Wien W., Wied. Ann., 68, 662 A896).
$. Paschen F., Wied. Ann.. 60, 662 A897); Sitzungsber. deutsch.
). Akad. Wiss., Berlin, 405, 893 A899).
ijB. Paschen F., Wanner #., Sitzungsber. deutsch. Akad. Wiss., Ber-
¦ Hn. 5 A899).
«1. Lummer O., Pringshelm E., Verhandlungen deutsch. phys. Ges.,
| 1,23,215 A899).
tb. Beckmann H., Inaug.-Diss., Tubingen, 1898.
Кв. Rubens H., Wied. Ann., 69, 582 A899).
7. Kurlbaum F., Wied. Ann., 65, 754 A898).
;-& Paschen F., Sitzungsber. deutsch. Akad. Wiss. Berlin, 419
; A899).
rj}. Richarz F., Krlgar-Menzel O., Anhang zu den Sitzungsber.
< deutsch. Akad. Wiss. Berlin, 107, 110 A898); im Auszug: Wied.
^. Ann., 66, 190 A898).
5. ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ
ЗАКОНА ПОЛНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Лорд Рэлей
Lord Rayleigh, Philos. Mag., 49, 539—540 A900J
Под полным излучением я понимаю излучение иде-
идеального черного тела. Это излучение, согласно Стью-
арту ') и Кирхгофу, представляет собой определенную
функцию абсолютной температуры 6 и длины волны К.
Весьма веские (по моему мнению [1]) аргументы
были приведены Больцманом и Вином в пользу за-
заключения о том, что функция вида
СБФ @Я) dX A)
выражает энергию той части спектра, которая лежит
между К и К + d%. Позднее была сделана попытка [2]|
конкретизировать эту зависимость посредством опре-
определения функции Ф. Вин пришел к заключению, что
действительный закон имеет вид
drt"^0^, B)
где ci и Съ — постоянные. С точки зрения теории этот
результат мне кажется не более чем догадкой. Он был,
однако, поддержан Планком [3] на основании общих
термодинамических соображений.
С экспериментальной стороны закон Вина B) по-
получил важное подтверждение. Пашен нашел, что его'
наблюдения хорошо описываются этой формулой, если
положить
с2= 14455
и 6 измерять в градусах Цельсия, а Я — в тысячных
долях миллиметра. Тем не менее этот закон кажется
трудно приемлемым, в особенности из-за того, что, со-
*) Работа Стьюарта не была в достаточной мере оценена на
континенте.
Рэлей 165
гласно ему, излучение определенной длины волны при
повышении температуры стремится к некоторому пре-
предельному значению. Для видимого света этот предел,
правда, остается недоступным. Но если мы возьмем
Я =¦ 60 мкм, например, лучи, которые (согласно заслу-
заслуживающим внимания исследованиям Рубенса) отби-
отбираются при отражениях от поверхности сильвина, то
мы увидим, что для температур выше 1000 градусов
^абсолютных) излучение возрастает очень слабо.
Это вопрос, который требует экспериментального
решения. Однако я отважусь предложить одну моди-
модификацию B), которая a priori представляется мне бо-
более вероятной. Рассмотрение этой темы осложняется
.трудностями, вносимыми доктриной Больцмана —¦
Максвелла о распределении энергии. Согласно этой
доктрине, все собственные колебания должны быть
равноправны. И хотя эта доктрина по каким-то пока
еще необъяснимым причинам ие имеет всеобщей зна-
значимости, ее, по-видимому, можно применить к более
низким частотам. Рассмотрим в качестве иллюстра-
иллюстрации случай зажатой пружины, совершающей попереч-
поперечные колебания. По закону Больцмана—Максвелла
энергия должна быть равномерно распределена но
всем типам волн, частоты которых относятся как
1, 2, 3, ... . Если k— величина, обратная %, т. е. про-
пропорциональная частоте, то энергия, лежащая в преде-
пределах между k и k + dk (при достаточно больших зна-
значениях k), весьма просто определяется через dk.
Если мы перейдем к трехмерному случаю, напри-
например к колебаниям кубической массы воздуха, то для
ka получим уравнение («Theory of Sounds», § 267)
где p, q, r — целые числа, которые означают число
единичных отрезков в трех направлениях. Будем рас-
рассматривать р, q и г как координаты точек кубической
решетки; тогда k — расстояние точки от начала ко-
координат. Количество точек, лежащих между k и k +
+ dk, пропорционально объему соответствующего сфе-
сферического слоя, и его можно представить как k2dki,
а это выражает распределение энергии по закону
166 . Часть 2
Болышана — Максвелла, если речь идет о длинах
волн или частоте. Если мы применим этот результат
к излучению, то получим, так как энергия волн каж-
каждого типа пропорциональна 6,
Wdk, C)
или в другой записи
6K-AdK. D)
Некоторым подтверждением правильности выражения
D) можно считать то, что оно имеет форму, предпи-
предписанную A). Есть основание полагать, что D) может
скорее, чем
Я~5<Д (Б)
[входящее в B)], соответствовать действительности,
когда Я6 велико. Если мы введем экспоненциальный
множитель, то окончательное выражение будет иметь
вид _ ^
%. F)
Если за независимую переменную взять k, что, пожа-
пожалуй, более предпочтительно, то F) превращается в
формулу
cfik2e-*№ dk. G)
Я не в состоянии сказать, описывает ли F) данные
наблюдений так же хорошо, как и B). Остается иа*
деяться, что на этот вопрос дадут ответ великолепные
экспериментаторы, которые занимаются этой пробле-
проблемой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Lord Raylelgh F. R. S., Philos. Mag., XLV, 522 A898).
2. Bollzmann L, Wien W., Wied. Ann., LVI1I, 662 A896).
3. Planck M., Wied. Ann., 1, 74 A900).
6. ОБ ОДНОМ УЛУЧШЕНИИ
СПЕКТРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВИНА
Макс.Планк
Max Planck, Verhandlungen deutsch. phys. Ges., 2, 202—204 A900)
'(Доложено на заседании от 19 октября 1900 г.)
Сообщенные на сегодняшнем заседании Курль-
баумом интересные результаты, полученные им и Ру-
Рубенсом при измерении энергии самых длинных волн
спектра, убедительно подтвердили точку зрения, впер-
впервые высказанную Луммером и Прингсхеймом на ос-
основе их наблюдений, что закон распределения энергии
Вина не обладает той общностью, которая ему до сих
пор многими приписывалась; этот закон скорее имеет
характер предельного случая, и его исключительно
простая форма обязана лишь ограничению его приме-
применимости на область малых длин волн и низких тем-
температур '). Так как сам я в этих же стенах защищал
мнение о строгой необходимости закона Вина, то я
позволю себе здесь коротко изложить, как развитая
мною электромагнитная теория излучения соотносится
с наблюдаемыми фактами.
Согласно этой теории, закон распределения энер-
энергии определен, если определена энтропия S линей-
линейного осциллятора, возбуждаемого облучением, как
функция колебательной энергии U этого осциллятора.
Между прочим, в моей последней работе [1] по этому
¦вопросу я подчеркивал, что закона возрастания энтро-
энтропии самого по себе недостаточно, чтобы полностью за-
задать эту функцию; к мнению о всеобщности закона
Вина я пришел в результате специального рассмотре-
рассмотрения, а именно в результате вычисления бесконечно ма-
малого увеличения энтропии некоторой системы из п
одинаковых осцилляторов, находящейся в стационар--
г ') Пашен также установил заметные отклонения от закона
Вина, как он сообщил мне об этом в письме.
168 - Часть 2
ном поле излучения. Расчет [1] проводился двумя
различными способами и привел к уравнению
где
отсюда следует закон Вина в форме
d2S _ const
dUi~ U '
В этом функциональном уравнении выражение в
правой части представляет, конечно, упомянутое выше
изменение, энтропии, ибо здесь п одинаковых процес-
процессов происходят независимо друг от друга, а потому
изменения их энтропии должны просто складываться.
Наряду с этим я допускаю возможность, хотя это и
нелегко себе представить и, во всяком случае, трудно
доказать, что выражение слева не имеет того всеоб-
всеобщего значения, которое я ему раньше приписывал.
Другими словами, значений Un, dUn и Д?Д, совершен-
совершенно недостаточно, чтобы определить нужное нам изме-
изменение энтропии; для этого еще должно быть известно
также и само значение U. Следуя этой мысли, я в
конце концов начал совершенно произвольно кон-
конструировать выражения для энтропии, которые хотя
и были сложнее, чем выражение Вина, однако, как и
оно, по-видимому, удовлетворяли всем требованиям
термодинамической и электромагнитной теорий.
Среди полученных таким образом выражений меня
особенно привлекло одно, которое в смысле простоты
было ближе всех к выражению Вина и которое — в
связи с тем что последнее недостаточно соответство-
соответствовало наблюдениям, — заслуживало более вниматель-
внимательного исследования. Оно получается, если положить ')
d2s о
Это самая простая форма из всех, которые приво-
приводят к выражению S в виде логарифмической функции
') Я исхожу из второй производной S по U* так как эта ве-
величина имеет простой физический смысл [1], ¦ ¦ ¦¦.
М. Планк 169
от U (чего требует теория вероятностей) и которые,
кроме того, при малых значениях U переходят в вы-
вышеприведенное выражение Вина. С использованием
отношения
dS _ 1
dU ~ Г
и закона «смещения» Вина ') отсюда получается фор-
формула излучения, содержащая две постоянных вели-
величины,
Е = сЯГ>
с
КГ
— 1
Она, насколько я сейчас могу судить, столь же удо-
удовлетворительно описывает опубликованные результаты
наблюдений, как и лучшие из до сих пор предложен-
предложенных спектральных уравнений, а именно уравнения Ти-
зена [2]2), Луммера — Янке [4] и Луммера — Принте-
хейма [5]. (Поясняется приведением нескольких чис-
числовых данных.) Поэтому я позволяю себе обратить
ваше внимание на эту новую формулу, которую я
с точки зрения электромагнитной теории излучения
считаю самой простой после формулы Вина.
ЛИТЕРАТУРА
1. Planck M., Ann. Phys., I, 730 A900).
2. Thiesen M., Verhandlungen deutsch. phys. Ges., 2, 67 A900)'.
3. Planck M., Ann. Phys., 3, 719 A900).
4. Lummer O., Jahnke E., Ann. Phys., 3, 288 A900).
5. Lummer O., Pringsheim E., Verhandlungen deutsch. phys.
2, 174 A900).
') Выражение для закона смешения Вина весьма- просто:
где V —частота колебаний осциллятора. В дальнейшем я оста-
остановлюсь на этом в другой связи.
2) В этой работе примечательно, что Тизен получил свое
уравнение' прежде, чем Луммер и Прингсхейм распространили
свои измерения на более длинные волны. Я это здесь подчерки-
подчеркиваю, так как до появления цитированной работы дал несколько
другую формулировку.[3].
U
*>WMijtHA.
7. О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
В НОРМАЛЬНОМ СПЕКТРЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
Макс Планк
Max Planck, Ann. Phys., 4, 553—563 A901J
[В другой форме доложено на заседании Немецкого физического
Общества 19 октября и 14 декабря 1900 г., Verhandlungen, 2, 202.
237 A900).]
Введение
Новейшие спектральные измерения О. Луммера и
Э. Прингсхейма [1], а еще более убедительно изме-
измерения Г. Рубенса и Ф. Курльбаума [2], подтвердив-
подтвердившие одновременно результат, полученный ранее
Г. Бекманом [3] '), показали, что закон распределе-
распределения анергии в нормальном спектре, выведенный сна-
сначала В. Вином из молекулярно-кинетических сообра-
соображений, а позднее мною, из теории электромагнитного
Излучения, не является всеобщим.
Следовательно, в любом случае теория нуждается
в улучшении, и в дальнейшем я попытаюсь это сде-
сделать на основе развитой мной теории электромагнит-
электромагнитного излучения. Для этого прежде всего необходимо
в цепочке заключений, ведущих к закону распределе-
распределения Вина, разыскать звено, поддающееся изменению.
Затем это звено из цепочки удалить и создать вместо
него подходящую замену.
То, что физические основы электромагнитной тео-
теории излучения, включая гипотезу о «естественном из-
излучении», способны выдержать даже весьма острую
критику, я показал в моей последней статье по этому
Поводу [5]; и так как вычисления, насколько я знаю,
также не содержали никаких ошибок, то остается ут-
утверждать, что закон распределения энергии в нор-
нормальном спектре будет полностью определен, если
удастся вычислить энтропию S облучаемого, монохрс^
Ч См. также [4]. *
М. Плат 171
матически колеблющегося осциллятора') как функ-
функцию его колебательной энергии U. Ибо тогда из соот-
соотношения dS/dU = 1/# получится зависимость энер-
энергии U от температуры О, а так как энергия U, с дру-
другой стороны, связана с плотностью излучения соот-
соответствующей частоты2), то получится также и зави-
зависимость этой плотности излучения от температуры.
Нормальное распределение энергии — это такое, при
котором плотности излучения всех различных частот
обладают одинаковой температурой.
Вся проблема тем самым сводится к задаче опре-
определения S как функции U; решению этой задачи по-
посвящена самая существенная часть нижеследующего
исследования. В первой моей работе по данному во-
вопросу я ввел S непосредственно путем определения
(без дальнейшего обоснования) в виде простой функ-
функции от U и ограничился тем, что показал, что такое
выражение для энтропии удовлетворяет всем требо-
требованиям, предъявляемым к ней термодинамикой. Я тог-
тогда считал, что такое выражение является единственно
возможным, и поэтому закон Вина, из него вытекаю-
вытекающий, обязательно является всеобщим законом. При
позднейшем более тщательном исследовании [5] мие
показалось, однако, что должны быть также еще дру-
другие выражения, удовлетворяющие тем же требова-
требованиям, и что поэтому, во всяком случае, необходимо
еще одно условие, чтобы можно было однозначно вы-
вычислить S. Я был уверен, что мне удалось найти такое
условие в виде утверждения, которое мне непосред-
непосредственно тогда представлялось убедительным. А имен-
именно, пусть имеется система из N одинаковых осцилля-
осцилляторов, расположенных в том же самом стационарном
поле излучения, и пусть состояние этой системы близ-
близко к состоянию теплового равновесия. При бесконечно
малом необратимом изменении [состояния] этой си-
системы связанное с ним увеличение полной энтропии
Sn = NS зависит только от полной энергии системы
IIи =в NU и от ее изменения, но не зависит от энер-
*) В оригинале используется термин «резонатор» (Resonator)',
однако в соответствии с принятой в настоящее время термино-
терминологией мы его заменили иа термин «осциллятор». — Прим. ред.,
2) См. ниже формулу (8).
172 Часть 2
гии U отдельных осцилляторов. Это утверждение
снова ведет с необходимостью к закону распределения
энергии Вина. Но так как последний теперь не под-
подтверждается опытом, то мы вынуждены прийти к за-
заключению, что и это наше утверждение не является
всеобщим и поэтому должно быть удалено из тео-
теории ').
Следовательно, необходимо ввести другое условие,
позволяющее выполнить вычисление S, а чтобы это
сделать, необходимо более тщательно рассмотреть
смысл понятия энтропии. Указание на то направле-
направление, которому должны следовать наши рассуждения,
можно получить, принимая во внимание несостоятель-
несостоятельность ранее сделанного предположения. Ниже описан
путь, ведущий к новому более простому выражению
для энтропии и одновременно с этим также к новой
формуле закона излучения, которая, по-видимому, не
противоречит пи одному из фактов, установленных до
настоящего времени.
I. Вычисление энтропии осциллятора
как функции его энергии
§ 1. Энтропия обусловлена беспорядком, и этот
беспорядок, согласно электромагнитной теории излу-
излучения, присутствует в монохроматических колебаниях
осциллятора, даже если последний длительно нахо-
находится в стационарном поле излучения; он заключается
в нерегулярности, с которой осциллятор постоянно из-
изменяет свою амплитуду и фазу, поскольку мы рас-
рассматриваем промежутки времени, большие по. сравне-
сравнению со временем одного колебания, но малые по срав-
сравнению со временем измерения. Если бы амплитуда и
фаза были абсолютно постоянными, т. е. колебания
совершенно однородными, то никакой энтропии не
было бы, а колебательная энергия могла бы совер-
совершенно свободно превращаться в работу. Сообразно
с этим под постоянной энергией U одного-единствен-
*) Это утверждение уже было подвергнуто критике, см- ра-
работу [6] и работу [13].
М. Плат 173
ного стационарно колеблющегося осциллятора надо
понимать ее среднее по времени значение, или, что ве-
ведет к тому же самому, среднее значение энергий в
одно и то же время большого числа N одинаковых
осцилляторов, находящихся в том же самом стацио-
стационарном поле излучения и достаточно далеко удален-
удаленных друг от друга, т. е. не взаимодействующих друг
с другом непосредственно. В этом смысле мы и будем
в дальнейшем говорить о средней энергии одного-
единственного осциллятора. Тогда полной энергии
A)
такой системы N осцилляторов соответствует опреде-
определенная полная энтропия
SN=NS, B)
где S — средняя энтропия одпого-единствеиного ос-
осциллятора; эта энтропия SN определяется тем беспо-
беспорядком, с которым полная энергия UN распределяется
между отдельными осцилляторами.
§ 2. Теперь положим энтропию Sn системы (с точ-
точностью до оставшейся произвольной аддитивной по-
постоянной) пропорциональной логарифму вероятности
того, что N осцилляторов все вместе обладают энер-
энергией Un; следовательно,
Sw = A:!nlF + const. C)
Такое утверждение, по моему мнению, приводит по
существу к определению названной вероятности W,
ибо в предпосылках, лежащих в основе электромаг-
электромагнитной теории излучения, нет никакой точки опоры,
позволяющей говорить о такой вероятности в опреде-
определенном смысле. В пользу нашего определения говорит
прежде всего его простота и его близкое сходство
с известным определением из кинетической теории га-
газов [7].
§ 3. Теперь речь идет о том, чтобы найти вероят-
вероятность W того, что N осцилляторов обладают колеба-
колебательной энергией UN- Для этого необходимо предста-
представить себе Un не в виде непрерывной, неограниченно
делимой величины, а в виде величины дискретной, со-
состоящей из целого числа конечных равных частей.
174 Часть 2
Если мы такую часть назовем элементом энергии е,,
.ТО можно положить
где Р — целое, вообще говоря, большое число, тогда
как значение е еще надо установить.
Теперь очевидно, что распределение Р элементов
энергии по N осцилляторам можно осуществить не-
некоторым конечным вполне определенным числом раз-
личных способов. Каждый подобный способ распре-
.деления назовем «комплексией» 1), используя термин,
применяемый для подобного понятия Л. Больцманом.
Обозначив осцилляторы цифрами I, 2, 3, ..., N, за-
запишем их в виде ряда и под каждым осциллятором
проставим число элементов энергии, доставшееся ему
при некотором произвольном их распределении. Для
каждой комплексии получим
1 2 3456789 10
7 38 110922044 5'
Здесь N=10, Р= 100. Число 91 всех возможных
комплексии, очевидно, равно числу всех возможных
числовых изображений, которые можно получить для
нижнего ряда при определенных N и Р. Ради ясности
следует еще заметить, что две комплексии считаются
различными, если соответствующие числовые изобра-
изображения содержат те же самые числа, но в различной
последовательности.
Так, для числа всех возможных комплексии, со-
согласно комбинаторике, получаем
m~ 1-2-3...P ~ (N—l)lPt '
Формула Стирлинга дает в первом приближении
N1 = NN,
?ледовательно, в соответствующем приближении
»
NNPP
') См. стр. 68. — Прим. ред.
М. Планк t7S
§ 4. Гипотеза, которую мы теперь хотим положить
в основу дальнейшего расчета, гласит следующее: ве-
вероятность того, что N осцилляторов в совокупности
обладают колебательной энергией L/ц, пропорциональ-
пропорциональна числу 91 всех возможных комплексий распределения
энергии 11ц среди N осцилляторов, или, другими сло-
словами, любая определенная комплексия так же вероят-
вероятна, как и любая другая определенная комплексия.
Осуществляется ли эта гипотеза на самом деле,
можно проверить в конечном счете только опытным
путем. Но зато становится возможным и обратное;
в том случае, если опыт однажды решит в ее пользу,
из справедливости этой гипотезы можно будет извлечь
дальнешие заключения относительно конкретной при-
природы колебаний осциллятора, а именно относительно
характера возникающих при этом, по выражению
Криса [8], «индифферентных и по своей величине
сравнимых первоначальных возможностей». При те-
теперешнем состоянии вопроса дальнейшее продвижение
в этом направлении должно, конечно, казаться еще
преждевременным.
§ 5. Согласно введенной гипотезе, в связи с опре-
определением C) энтропия рассматриваемой системы ос-
осцилляторов при удобном определении аддитивной по-
постоянной равна
SN «= *4n 8t = k {(N + Р) In (N + P) — N In N - P In P),
E)
и с учетом D) и A) имеем
Следовательно, согласно B), энтропия S одного
осциллятора как функция его энергии U равна
11, Введение закона смещения Вина
§ 6. Вслед за законом Кирхгофа о пропорциональ*
«ости излучательной и поглощательной способностей
тек называемый закон смещения, открытый В. Вином
176 Часть 2
[9] и названный его именем, включающий в себя как
частный случай закон Стефана — Больцмана о зави-
зависимости [энергии] полного излучения от температуры,
образует самую ценную составную часть в хорошо
обоснованном фундаменте теории теплового излуче-
излучения. В форме, приданной ему Тизеном [10], он гласит:
где % — длина волны, Edh — объемная плотность «чер-
«черного» излучения1), приходящегося на спектральный
участок от К до К + dk, ¦& — температура и ty(x) — из-
всстная функция единственного аргумента х.
§ 7. Теперь выясним, что же можно узнать из за-
закона смещения Вина о зависимости энтропии 5 нашего
осциллятора, от его энергии U и от его собственной
частоты в том общем случае, когда осциллятор нахо-
находится в произвольной диатермической среде. С этой
целью прежде всего обобщим формулировку закона,
данную Тизеиом, на случай излучения, находящегося
в произвольной диатермической среде со скоростью
распространения света с. Так как нам предстоит рас-
рассматривать не полное излучение, а монохроматиче-
монохроматическое, то будет необходимо при сравнении различных
диатермических сред вместо длины волны X ввести
частоту v.
Итак, обозначим объемную плотность лучистой
энергии, относящейся к спектральной области от v до
v + dv, через ndv, тогда надо писать udv вместо EdX,
c/v вместо К и cdv/v2 вместо dh. После чего получим
Согласно известному закону Кирхгофа — Клаузиу-
са, энергия, излучаемая в диатермическую среду с еди-
единицы поверхности черного тела в единицу времени
при определенной температуре ¦& и определенной ча-
частоте v, обратно пропорциональна квадрату скорости
') Возможно, еще удобнее было бы говорить о «белом» из-
излучении, имея в виду надлежащее обобщение того, что теперь
понимают под «совершенно белым светом».
М. Планк 177
распространения с2; значит, объемная плотность энер-
энергии и обратно пропорциональна с3, и мы получаем
О5 t ( Ь
где постоянные, содержащиеся в функции /, от с не за-
зависят.
Вместо этого мы могли бы также написать, пони-
понимая под / каждый раз (здесь и в дальнейшем) посую
функцию одиого-едннственпого аргумента:
Отсюда, между прочим, видно, что, как известно, лу-
лучистая энергия, содержащаяся при определенной тем-
температуре и частоте в кубе с ребром, рапным длине
волны, есть иК3 и для Есех диатермических сред она
одна и та же.
§ 8. Чтобы теперь перейти от объемной плотности
излучения и к энергии U находящегося в поле излу-
излучения осциллятора, колеблющегося стационарно с той
же самой частотой v, используем соотношение, при-
приведенное иод номером C4) в моей работе о необра-
необратимых процессах излучения [11], т. е.
4
($? — интенсивность монохроматического лннейио-по-
ляризовашюго луча). Отсюда, используя известную
формулу
_
находим
Из формул (8) и G) следует выражение
в которое с вообще не входит. Вместо этого выраже-
выражения мы могли бы также написать
178 Часть 2
§ 9. Введем, наконец, еще. энтропию осциллятора
S, полагая
J. _ dS (Q\
Тогда получим
dS _ I f(U
dU ~ v
и, проинтегрировав, найдем
т. е. энтропия колеблющегося в произвольной диа*
термической среде осциллятора зависит от единствен*
ной переменной U/v и помимо ее содержит только
универсальные постоянные. Это есть самая простая,
известная мне формулировка закона смещения Вина,
§ 10. Если мы сопоставим с законом смещения
Вина в последней формулировке выражение для эн»
тропии F), то увидим, что элемент энергии е должен
быть пропорционален частоте v; следовательно,
и, значит,
Здесь h и k — универсальные постоянные.
Подставляя в (9), получаем
A1)
hv
— 1
и из (8) следует искомый закон распределения энер»
гии:
М. Планк 179
или, если с помощью приведенных в § 7 подстановок
вместо частоты v ввести снова длину волны X,
т— A3)
г Выражение для интенсивности и для энтропии рас-
распространяющегося в диатермической среде излуче-
излучения, как и закон увеличения полной энтропии при не-
нестационарных процессах излучения, я намерен выве-
вывести в другом месте.
III. Числовые значения
§ 11. Значения обеих универсальных постоянных Л
н k вычисляются весьма точно, если использовать
имеющиеся намерения. Ф. Курльбаум [12] нашел, что
если обозначить через St полную энергию, излучае-
излучаемую в воздух черным телом в 1 с с 1 см2 при t °C,
5100 - 50 = 0,0731 Вт/см2 = 7,31 • 105 эргДсм2 • с).
Отсюда для объемной плотности полной энергии
излучения в воздух при абсолютной температуре, рав-
равной 1, получим
4-7,31-Ю6 _ п„. , .-.-15 ,/ я 4ч
3.10u)C73<-273<) — 7'061 ' 10 эргДсм3 • град4).
С другой стороны, согласно A2), объемная плот-
плотность полной лучистой энергии при Ь = 1 равна
О Oft
Oft,
е — 1
fty 2ftv 3ftv
180 Часть 2
и после почленного интегрирования имеем
<Л , 1 , I , 1 ,
A+ + + +
ЛЛттЬ*
Если сюда подставить ы = 7,06Ы0~1В, то, так как
с = 3- 10ш, мы найдем
-р- = 1,1682- 10». A4)
§ 12. О. Луммер и Э. Прингсхейм [1] нашли, что
произведение Ят^ (где Кт — длина волны, на которую
приходится максимум Е в воздухе при температуре ¦&)'
равно 2940 мкм-град. Следовательно, в абсолютных
единицах имеем
%тЬ = 0,294 см • град.
С другой стороны, если производную от Е по К по-
положить равной нулю, причем К = Кт, то из A3) сле-
следует ,
ch
/ eh \ "т* _
н из этого трансцендентного уравнения находим
л^— 4.9651А: *
Таким образом,
h 4,9651-0,294 . _ и
4oob-lU
Отсюда и из A4) для универсальных постоянных по-
получаем значения
h = 6,55-107 эрг -с, A5)
k = 1,346 ¦ 106 эрг/град. A6)
Это те же самые числа, которые я приводил в моем
предыдущем сообщении.
Представлена 7 января 1901 г.
М. Плат 181
ЛИТЕРАТУРА
1. Lummer О., Pringshcim E., Verhandlungen deutsch. phys. Ges.,
2, 163, 176 A900).
2. Rubens //., Kurlbaum F., Sitzungsber. deutsch. Akad. Wiss.
Berlin vom 25 Oktober, 1900, S. 929.
3. Beckmann H., Inaug.-Dissertation, Tubingen, 1898.
4. Rubens H., Wied. Ann., 69, 582 A899).
Б. Planck M., Ann. Phys., 1, 719, 730 A900).
6. Wien W., Rapport fur Pariser Kongrefi, 2, 40 A900).
7. Boltzmann L, Silzungsber. Akad. Wiss. Wien, Abt. II, 76, 428
A877).
8. /Cries Joh., Die Prinzipicn der Wahrscheinliclikeitsreclmun",
Freiburg 1886, S. 36.
9. Wien W., Sitzungsber. deutsch. Akad. Wiss. Berlin vom 9.
Februar 1893, S. 55.
10. Thiesen M., Verhandlungen deutsch. phys. Ges., 2, 66 A900).
11. Planck Af., Ann. Phys., 1, 99 A900).
12. Kurlbaum F., Wied. Ann., 65, 759 A898).
13. Lummer O., Rapport fur Pariser Kongrefi, 2, 92 A900).
8. ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КВАНТАХ МАТЕРИИ
И ЭЛЕКТРИЧЕСТВА
Макс Планк
Max Planck.Ann. Phys., 4, 564—566 A901)
' [Из докладов на заседании Немецкого физического общества;
Verhandlungen, 2, 244 A902).]
В своем основополагающем труде «О соотношений
между вторым началом механической теории теплоты
и исчислением вероятностей в применении к законам
теплового равновесия» Л. Больцман [1] выразил эн-„
тропию находящегося в равновесии одноатомного газа
через логарифм вероятности его состояния, при этом
он доказал соотношение')
Здесь dQ — подводимое извне тепло, измеренное в
механических единицах, Т — средняя живая сила [ки-г
нетическая энергия] атома и U = 1п$ — натуральный
логарифм вероятности стационарного распределения
скоростей атомов, измеряемой числом ф возможных
«комплексий».
Если m — масса 1 грамм-атома, и — отношение
массы действительного атома к массе грамм-атома и
с2 — средний квадрат его скорости, то имеем
и далее
m
где R — так называемая абсолютная газовая посто-
постоянная (8,31-107 эрг/(г-моль-град) для кислорода с
См. [1], стр. 428.
М. Планк 183
атомным весом 16), Ь — температура; следовательно,
энтропия газа равна
С другой стороны, в развиваемой мной электромаг-
электромагнитной теории теплового излучения для энтропии
большого числа линейных осцилляторов, колеблющих-
колеблющихся независимо друг от друга и находящихся в стацио-
стационарном поле излучения, получаем следующее выра-
выражение1):
где Я — число возможных комплексий, k — 1,346 X
ХЮ-10 (эрг/градJ).
Проявляющаяся здесь взаимосвязь между энтро-
энтропией и вероятностью имеет физический смысл, пожа-
пожалуй, ,только в том случае, если она справедлива не
только для скоростей атомов и колебаний осциллято-
осцилляторов в отдельности, но и для обоих процессов, взятых
вместе. Значит, если в газе имеются также излучаю-
излучающие осцилляторы, то энтропия всей системы должна
быть пропорциональна логарифму числа всех возмож-
возможных комплексий, образуемых скоростями и излуче-
излучением, взятыми вместе. Но так как по электромагнит-
электромагнитной теории излучения скорости атомов совершенно не
зависят от распределения лучистой энергии, то общее
число комплексий попросту равно произведению чи-
чисел, относящихся соответственно к скоростям и к из-
излучению, откуда полная энтропия имеет вид
где f — коэффициент пропорциональности. Первое
слагаемое есть кинетическая энтропия, второе — эн-
энтропия излучения. Сравнивая с предыдущими выра-
выражениями, получаем
или to = k/R = 1,62-Ю-24, т. е. действительная моле-
молекула в 1,62-10~24 раз больше грамм-молекулы, или
атом водорода весит 1,64-10—24 г, так как Я = 1,01,
или на 1 грамм-молекулу всякого вещества прихо-
') См. формулу E) нз статьи 7.
- *) Там же, уравнение A6).
184 Часть 2 ,
дится I/to = 6,175-1023 действительных молекул. По
подсчетам О. Е. Майера [2] это число равно 640-1021;
значит, числа почти совпадают.
Постоянная Лошмидта 31, т. е. число молекул газа
и 1 см3 при 0 СС и при давлении 1 атм, равна
m 1013200 ,„
Я «-273-сй "'/0 Ш '
Друде [3] нашел, что 91 = 2,1-1019 см-8.
Постоянная Больцмаиа — Друде а, т. е. средняя
живая сила атома при абсолютной температуре 1°,
равна
Друде [3] нашел, что а = 2,65-1(Н6 эрг/град.
Элементарный квант электричества е, т. е. электри«
чсский заряд положительного одновалентного иона
или электрона, если через е обозначить известный за-
заряд одновалентного грамм-иона, равен
е = ею =4,69- 10~10 эл. стат. ед.
Рихарц [4] нашел величину 1,29-Ю-10, Дж. Дж.
Томсон [5]—новейшее значение 6,5-10~10.
Все эти соотношения справедливы не приблизи-
приблизительно, а абсолютно, если только теория вообще пра-
правильна. Поэтому точность рассчитанных чисел по су-
существу определяется точностью сравнительно самой
ненадежной величины — постоянной излучения k и да-
далеко превосходит, таким образом, все определения
атих величин, имеющиеся до настоящего времени. Их
проверка прямыми методами становится столь же
важной, сколь и необходимой задачей дальнейшего
исследования.
Представлена 9 января 1901 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Boltzmann L, Siizungsber. Akad. Wiss. Wien, Abt. II, 76, 373
A877).
2. Meyer О. Е„ Die kinetlsche Theorie der Gase, 2 Aufl., 337
A899).
3. Drtide P., Anh. Phys., 1, 578 A900).
4. Richarz F.. Wied. Ann., 52, 397 A894).
5. Thomson I. /., Philos. Mag-. 46, 528 A898), :
СРАВНИТЕЛЬНАЯ ТАБЛИЦА ОБОЗНАЧЕНИЙ
Ниже мы сопоставляем некоторые обозначения, используемые
авторами в приведенных здесь работах (левая сторона), с обо-
обозначениями, лрииятыми иами (правая сторона).
Кирхгоф
Больцман
Вин
Рэлей
Планк
A
Ed%
ed%
I
Md%
r
s
T
f
t
E
T
Ф
A;
P,q,r
Л
dWKcn
dWnacn
l?
dWr<t
&i
r
W
dA cos ©
rf/42 cos Oj
P
T
и
W
Л/с
T
u
u
flC
n = const v
"l. «2. «3
tf
<u
T
ML
В работе «Об рдиом улучшеиии спектрального уравнения Вина»
Г обозначает абсолютную температуру. В работе «Об элемен-
элементарных квантах», напротив, Т — ё, т. е. средняя (кинетическая)
энергия атома, m — масса грамм-атома, а- не атома.
УКАЗАТЕЛЕ
Ангстрем 13
Бартом (Bartoli) 32, 35, 145,
146, 149
Бекман (Beckmann) 170
Бозе — Эйнштейна статистика
118
Больцман (Boltzmann) 14, 29—
35, 43, 44, 149, 150, 164, 174,
182
Бунзен (Bunsen) 13
Ваннер (Wanner) 61, 62
Варбург (Warburg) 95
Вебер 4У?еЬег) 44, 157
Вероятность 102, 103, 105, 107,
114, 173, 175, 182
Вин (Wien) 36—47, 55, 77, 82,
96, 97, 158, 159, 164, 170
Второй закон термодинамики
35, 36, 61, 67, 102, 103, 145,
151
Газовая постоянная 72 ,105
Гейгер (Geiger) 105
Гельмгольц (Helmholtz) 24, 36,
135
Герц (Hertz) 59
Герца диполь 48, 51, 54'
Десэн (Desains) 29, 124
Джине (Jeans) 88, 116
Доплера принцип 38, 150, 152
Друде (Drude) 184
Дюлонг (Dulong) 29
' Единицы естественные 57, 161—
163 .---
Закон > излучения Вииа 44, 46,
56, 60—65. 74, 75, 80, 82, 95,
97, 98, 101, 117, 119, 158—
160, 164, 167, 168, 170, 172
Планка 98, 120, 169, 178,
179
Рэлея — Джинса 87, 90,
92, 98, 116, 120, 166
— испускания—поглощения 12,
23, 124, 146
— пропорциональности Г4 29,
31, 38, 146, 149, 176
— равномерного распределения
88. 116, 165
— смещения 36, 37, 43, 44, 56,
64, 87, 113, 166, 164, 169, 175,
178
— Стефана — Больцмаиа см.
Закон пропорциональности Т*
Излучение в полости 22, 23, 31,;
34, 41, 45, 48, 50, 54, 55, 78,
81, 83
— естественное 49, 51, 70, 82,
89, 170
— тепловое 12, 14
Излучения давление 31, 35, 144,
149
— интенсивность 15, 22, 30, 41»
45, 57, 78
Испускание вынужденное 52
Карно цикл 35
Квантов гипотеза 74, 80, 81,
101-120
Кванты энергии 75, 80, 1055,
108, 116, 117, 173, 174
Указатель
187
Кеплер (Kepler) 31
Кирхгоф (Kirchhoff) 12—28, 36,
43, 97, 146, 149, 164
Клаузиус (Clausius) 27, 35, 149
Комгплехсия 68, 104, 108, 111,
115, 174, 175, 183
Константа й 56, 76, 108, 109,
ИЗ, 116, 117, 178, 180
Корпускулы света 74—81, 91,
119
Крёниг (Kronig) 144
Крис (Kries) 115, Ш, 175
Курльбаум (Kurlbaum) 64, 88,
95, 160, 167, 170, 179'
1 Лехер (Lecher) 146
Лошмидт (Loschmldt) 67
Лошмидта число 105, 184
Луммер (Lummer) 44, 61, 64,
96, 170, 180
Лучеиспускательная способ-
способность 17, 23, 124
Майер (Meyer) 184
Макросостояние 68—70, 104,
ПО
Максвелла распределение ско-
скоростей 45, 67, 72, 77, 96
— теория света см. Электро-
Электромагнитная теория света
Мчкросостояние 68, 69, 104,111
Михельсон (Michelson) 46, 96
Необратимость 47—49, 97
Неразличимость 118
Перестановочность 68, 103, ПО,
113
Планк (Planck) 12, 24, 44, 45,
47—65, 67, 70, 74, 81, 82, 86,
90—93, 95—120, 164
Плотность энергии излучения
31, 36, 41
— энтропии 54, 67
Поглощательная способность
19, 124
Поглощение вынужденное 52
Прево (Prevost) 12
Прингсхейм ( Pringsheim) 24,
61, 64, 96, 167, 169, 180
Провостэ (Provostaye) 29, 124
Пти (Petit) 29
Равновесие динамическое 12
Резерфорд (Rutherford) 105
Рихарц (Richarz) 184
Рубенс (Rubens) 64, 88, 95, 99,
167, 170
Рэлей (Rayleigh) 36, 82, 86, 88,
98, 117
Соотношения неопределенности
118
Статистика Бозе — Эйнштейна
118
Статистическая сумма 71, 87,
117
— физика 47, 49, 93, 103
Стефан (Stefan) 29, 30, 146
Стьюарт (Stewart) 13, 164
Счетность 115
Осциллятор линейный гармони-
тсский 48. 54, 85, 92, 101—
120
Осцилляторов ансамбль 63, 101,
104, 108, 112, 167, 173
Отклонение квадратичное 91 —
.* 94, 100, 106
Теорема взаимности 24
Тиэен (Thiesen) 36, 96, 169, 176
Тиндаль (Tyndall) 29
Томсон (Thomson) 184
Ультрафиолетова я
88
катастрофа
Парадокс обратимости 48, 67
Пашен (Paschen) 46, 61, 160,
164
Фазовое пространство 66, 78,
80, 87, 89
188
Указатель
Ферма принцип 26
Фотоэффект 74
Ф
Эйнштейн (Einstein) 47, 74—
фф 76, 81, 100. 108, 116
Фундаментальное уравнение 63 Электромагнитная теория света
30, 32, 68, 144, 149, 183
Энтропия излучения 32, 74, 78,
169, 160
— определение 66, 60, 62, 92
64 79 97 10
Хирн (Hirn) 146
//-теорема 57, 67, 103
Штраус (Strauss} 100
р , , ,
— осциллятора 64, 79, 97, 107,
159, 170, 172, 175
Янке (Jahnkel 96
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода '5
Предисловие 7
ЧАСТЬ 1
Глава 1. Густав Кирхгоф и закон испускательной и погло-
щателыюй способности тела 12
Глава 2. Людвиг Больцман и закон пропорциональности Г4 29
Глава 3. Вилли Вин и закон смещения 36
Глава 4. Внлли Вин, Макс Планк и закон распределения
энергии 41
Глава 5. Людвиг Больцман и элементарная статистическая
теория газа 6S
Глава 6. Альберт Эйнштейн и классичсскиий газ световых
корпускул 74
Глава 7. Лорд Рэлей н собственные колебания в полости . . 82
Глава 8. Макс Планк и окончательный закон излучения . . 95
Глава 9. Макс Планк и квантование гармонического осцил-
осциллятора 101
Литература 120
ЧАСТЬ 2
1. Г. Кирхгоф. Об отношении между испускательиой и
поглощательиой способностями тел для тепла и
света 124
190 Оглавление ¦
2, Л. Больцман. Вывод на основании электромагнитной
теории света закона Стефана, касающегося зависи-
зависимости теплового излучения от температуры .... 144
Литература 148
5. В. Вин. Новое о связи между излучением черного
тела и вторым законом термодинамики 149
Литература 157
4. М. Планк. О необратимых процессах излучения . . 158
Литература . 163
6. Лорд Рэлей. Замечания по поводу закона полного
излучения ...*.' 164
Литература ." ,166
6. М. Планк. Об одном улучшении спектрального урав-
уравнения Вина 167
Литература 169
7. М. Планк. О законе распределения энергии а нор-
нормальном спектре излучения 170
Литература 181
8. М. Планк. Об элементарных квантах материи и
электричества .182
'Литература 184
Сравнительная таблица обозначений 185
Указатель 186
Ханс-Георг ШСпф
От КИРХГОФА до ПЛЛНКЛ
Ст. паучн. редактор Е. Майкова
Мл. научи, редакторы Г. Сорокина, Р. Зацепина
Художник В. Логинов
Художестпсннын редактор Л. Везрученкои
Технический редактор Г. Алюлнпа
Корректор IL. Гири.
ИБ № 2-159
Сдано d набор 20.11.80. Подписано к печати 21 05.81. Формат ХЛь
Бумага типографская Ns 2. Гарнитура латинская. Печать высокая.
Объем 3,011 бум. л. Усл. неч. л. IO.ua. Усл. кр.-отт. 10,28. Уч.-изд. л. 8,38.
Тираж 16 700 экз. Зак. Э00. Цена 05 кон. Изд. К« 2/I25U.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москиа, 1-Й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография N» 2 голоииое предприятие ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединении «Техническая Кишн»
им. Eiircuuii Соколоиой Союзполиграфпрома при Государствен юм комитете
СССР по делам издательств, полиграфин и книжной торговли. 19ЖЪ2
г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.