МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
СЕНЧУК Ю.Ф.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ
ИНЖЕНЕРОВ
Часть I
Учебное пособие
Утверждено редакционно-издательским советом университета протокол № 2 от 14. 05. 2003г.
ХАРЬКОВ 2003
ББК 22.161
С-31
УДК 517 (07)
Рецензенты. О.М. Литвин, д-р ф!з.-мат. наук, проф., Украшська педагопчна ака-дем!я.
С.Г. Голоскоков, д-р ф!з.-мат. наук, проф., НТУ “ХПГ.
С - 31 СенчукЮ.Ф. Математичний анал!з для инженер!в: - Навч. пошбник - Ч. I. -Харюв: НТУ “ХПГ, 2003 - 408 стор. - Рос. мовою.
ISBN
Учебное пособие Ю.Ф. Сснчука «Математический анализ для инженеров» написано на базе курса лекций по математическому' анализу, который автор читал на протяжении четырёх десятилетий студентам НТУ “ХПИ” с усиленной математической подготовкой. В первой части этого пособия изложены такие разделы: теория пределов, дифференциальное и интегральное исчисление функций, зависящих от одной переменной, функции нескольких переменных, кратные интегралы. Все изложенные теоретические факты доказаны и проиллюстрированы большим количеством примеров и задач.
Книга будет полезна студентам инженерно-физического, физико-технического факультетов, всех факультетов машиностроительного профиля, а также для экономических специальностей. Безусловный интерес она должна вызвать у преподавателей, так как материал в ней излагается в соответствии с учебными программами указанных факультетов, что значительно облегчит подготовку' к лекциям и практическим занятиям.
Навчальний поабник Ю.Ф. Сснчука «Математичний анал!з для шженер1в» написано на баз! курсу' лекщй з математичного анал!зу, який автор читав протягом чотирьох десятилггь студентам НТУ “ХПГ’ !з посиленою математичною шдготовкою. У перппй частин! цього пособника викладено так! роздгчи: теор!я границь, диференщальне й штегральне числения функщй, що залежать вщ одшё! змшно!, функцп декшькох змшних. кратн! штеграли. Bci викладен! теоретичн! факти доведено i прошюстровано великою юльюстю приклад!в i задач.
Книга буде корисна студентам !нженерно-ф!зичного, ф!зико-техн!чного факультет! в. yeix факультет!в машинобудевного профгчю, а також для економ!чних фах!в. Безумовний штерес вона повинна викликати у' викладач!в, тому' що матер!ал у шй викладаеться вщповщно до навчальних програм зазначених факультет!в, що значно полегшить шдготовку' до лекщй i практичних занять.
The Yu.F. Senchuk’s school-book “The mathematical analysis for engineers” has been written on the based of course of lectures on the mathematical analysis. The author has read it to students of NTU “KhPI” with intensive mathematical studying during four ten years. In the first part of this school-book such sections are set out: the theory' of limits, the differential and integral calculus of one-variable functions, multivariable functions, multiple integrals. All of stated theoretical facts are proved and illustrated with a great number of examples and problems.
The book will be useful for the students of physical engineering, energomashinebuilding and economic specialities. One will be interesting for teachers, so as the material is set out according to the educational programs of mentioned faculties. That can greatly facilitate the preparing to lectures and practice.
1л. 394. Табл. 3. Б!блюгр: 9 назв.
ББК 22.161
С-31
ISBN
© Сенчук Ю. Ф., 2003
Предисловие
Рукопись учебного пособия “Математический анализ для инженеров” была написана Юрием Федоровичем Сенчуком в 2002 году. К сожалению, он не успел закончить окончательную проверку компьютерного набора и увидеть книгу, вышедшую в печать.
Юрий Федорович был одним из лучших преподавателей Национального технического университета “ХПИ”. Многие студенты, убеленные сейчас сединами, хорошо помнят лекции Сенчука Ю.Ф., который был для них легендой. Опыт, стиль и манера изложения материала, присущие этому прекрасному педагогу, всегда вызывали восхищение не только у студентов, но и у многих преподавателей. Несмотря на то, что Юрий Федорович в совершенстве знал курс высшей математики и многие ее специальные разделы, он скрупулезно готовился к каждой лекции и тщательно продумывал методику изложения материала. Свой сорокалетний опыт работы он постарался изложить в этом учебном пособии. Сотрудники и аспиранты кафедры “Прикладная математики”, его коллеги постарались закончить издание первой части этого пособия и продолжают готовить к изданию вторую часть. Это сделано для того, чтобы не потерять лучшие достижения наших предшественников в области преподавания сложных предметов, к числу которых относится и математический анализ. Материал книги изложен последовательно, четко, на достаточном уровне строгости и в доступной форме. Отличительной особенностью данного пособия является не только простота его изложения, но и большое количество графических иллюстраций, способствующих наглядности и лучшему усвоению математических понятий. Книга содержит большое количество тщательно подобранных примеров, которые могут быть использованы как преподавателями на практических занятиях, так и студентами при самостоятельном изучении того или иного раздела. К достоинствам книги следует отнести и то, что при сравнительно небольшом объеме учебного пособия автору удалось изложить курс полностью соответствующий высокому уровню фундаментальной математической подготовки студентов физических, математических и инженерных специальностей технических университетов.
Сотрудники кафедры “Прикладная математика” уверены, что книга будет полезной не только студентам, но и преподавателям, читающим лекции и проводящим практические занятия по математическому анализу.
Зав. каф. “Прикладная математика” ПТУ “ХПИ”, профессор Л.В. Курпа
3
Сенчук Юрий Федорович родился 11 мая 1930 г. в семье педагогов в с. Богатырь Донецкой области.
Окончив среднюю школу с серебряной медалью в 1948 г., он поступил в Харьковский государственный университет им. А. М. Горького на физико-математический факультет, который окончил с отличием в 1953 году по специальности “астрономия”.
Свою педагогическую деятельность Юрий Федорович начал в августе 1953 года в Дрогобычском педагогическом институте, где преподавал математику и астрономию. Когда в Харькове открыли Планетарий, Сенчук Юрий Федорович, будучи лектором-методистом, консультировал молодых астрономов и занимался научной работой. В Ученых записках ХГУ и Астрономическом циркуляре вышли его работы: "Общая фотометрия солнечной кроны во время затмения 25 февраля 1952 г." и "Улучшение элементов орбиты планеты 729 (Metcalfia)".
В Национальном техническом университете ”ХПИ” Сенчук Ю.Ф. проработал 44 года, сначала на кафедре теоретической и математической физики, а впоследствии - на кафедре прикладной математики.
В L968 году Сенчук Ю.Ф. защитил кандидатскую диссертацию по теме "Градиентная минимизация некоторых классов функционалов в абстрактном пространстве и ее применения к задачам вариационного исчисления". В июле 1977 года он был избран по конкурсу на должность доцента кафедры автоматического управления движением. Па протяжении долгих лет работы Юрию Федоровичу приходилось читать не только лекции по классическому курсу высшей математики, но и по многим ее специальным разделам, в том числе по интегральным уравнениям и функциональному анализу, теории дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного и другим. Он читал курс статистической радиофизики на радиотехническом факультете ХГУ и курс вычислительной математики для аспирантов института.
Излагая сложные разделы математики, Сенчук Ю.Ф. всегда стремился к доступности. Он опубликовал работу "О неформальном подходе к определениям и доказательствам в курсе математики". Считая, что источником трудностей понимания абстрактных математических рассуждений является не их содержание, а форма, Юрий Федорович разработал новые информационные технологии обучения для облегчения восприятия студентам, создал новые программы и структурно-логические схемы математических дисциплин. Он был одним из организаторов модульно-рейтинговой системы контроля знаний студентов при изучении курса высшей матема
4
тики. В 90-е годы было опубликовано 9 научных работ Сенчука Ю.Ф. по этому направлению, с которыми он выступал на международных научно-методических конференциях. Он разработал алгоритм полного перехода на модульно-рейтинговую систему контроля знаний студентов, который он осуществлял на потоках факультета. В методическую работу Юрия Федоровича входило руководство методическим семинаром кафедры. Он проводил семинары по теории вероятностей и по теории графов для сотрудников института, а на кафедре электроники - семинар по теории случайных процессов.
За отличные успехи в работе Сенчук Ю.Ф. награжден знаком "Высшая школа СССР".
Юрий Федорович постоянно работал над повышением своего научно-педагогического мастерства, проходил стажировку в Ленинградском политехническом институте. А чаще повышением квалификации занимался самостоятельно, разрабатывая учебные пособия, методические рекомендации и учебники. Он фактически являлся учителем и наставником целого ряда преподавателей математических дисциплин на кафедрах прикладной математики и АУД. Его рекомендациями по проведению лекций и практических занятий и сейчас пользуются многие преподаватели. Лекции Сенчука Ю.Ф. отличались живостью, доходчивостью и в то же время тщательностью отбора материала и глубиной его изложения. Эти лекции пользуются успехом во всем институте; их прослушало немало преподавателей прикладных дисциплин.
Огромную работу Юрий Федорович проводил и по линии учебноорганизационного отдела, возглавляя контроль качества преподавания математики во всем институте.
Юрий Федорович был не только квалифицированным, но и требовательным преподавателем, читающим лекции на высоком теоретическом и методическом уровне. Он непрерывно работал над совершенствованием своих курсов, стараясь в каждой теме найти какое-нибудь методическое новшество.
Несмотря на высокую требовательность Юрия Федоровича, студенты высоко ценили его лекции и практические занятия и считали его одним из лучших преподавателей.
Он был отличный педагог, опытнейший лектор. Строгость изложения он блестяще сочетал с рассмотрением физической сущности данного математического положения, что чрезвычайно важно в математическом образовании инженера.
5
I. Введение в математический анализ
1. Основные логические символы
В дальнейшем мы будем систематически использовать следующие обозначения.
V - вместо слов «для всех», «для каждого».
3 - вместо слова «существует», «найдется».
=> - вместо слова «следует». Папример, запись А^>В означает, что «А влечет за собой В», «из А следует В».
Символ => называется импликацией.
<=> - вместо слова «равносильно», «эквивалентно». Папример, запись А о В означает, что «из А следует В» и наоборот из «В следует А», а значит А и В равносильны.
v - вместо слова «или». Запись Л v В означает, что имеет место по крайней мере одно из высказываний А или В.
л - вместо слова «и». Запись Ал.В означает, что одновременно имеют место высказывания А а В.
2. Простейшие понятия и обозначения теории множеств
Множеством будем называть совокупность некоторых объектов (точек, чисел, векторов, функций и т.п.), называемых элементами этого множества. Принадлежность данного элемента х множеству А записывают так: х е А. Если, наоборот, х не есть элемент множества А, то пишут: х <£ А .
Пусть множество А состоит из всех элементов х, обладающих некоторым общим свойством. Тогда пишут
А = (х|..},
где вместо многоточия записывается упомянутое свойство всех элементов множества А. Папример, пусть А - множество всех х, при которых величина arcsin х имеет смысл. Тогда, очевидно,
А = {х| -I <х<1}.
Если все элементы множества А одновременно принадлежат некоторому другому множеству В, то g есть (х е Л)=> (л е В), то А называют подмножеством множества В и пишут, что Л с В (символ с называют символом включения), рис. ЕЕ В частности, за
пись Л с В может означать, что множество Л совпадает с множеством В.
6
Пусть имеется два множества А и В. Множество элементов, каждый из которых принадлежит по крайней мере одно- х" "><А "х му из множеств А и В, называется объединением А [	(	)	\ В
множеств А и В и обозначается АНВ, рис. 1.2. X.	КУ	J
Итак,	ли в
(jc е AUB)<^> (jc е H)v(jc е В).	Рис.1.2
При этом множества А и В могут как иметь общие точки, так и не иметь их.
Пример 1.1. Пусть А - множество жителей данного города в возрасте от 18 до 30 лет, а В - множество жителей этого города старше 25 лет. Тогда A(JB есть множество всех совершеннолетних жителей данного города.
Пусть снова А и В - произвольные мио-жества. Совокупность всех элементов, принад-лежащих множеству А, но не принадлежащих	/ J
множеству В, называется разностью множеств	_____'
А и В и обозначается А\В, рис. 1.3. Иными	Рис. 1.3
словами
(jc е А\В)о {jc | (jc е Л)л(л £ В)}.
Пример 1.2. Пусть А - множество всех футболистов данной команды, участвовавших в данной игре, а В - множество игроков, проведших всю игру на поле. Тогда А\В есть множество игроков, которые были заменены в ходе матча, либо, наоборот, вышли на поле в качестве замены.
Множество элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, называется пересечением множеств А и В и обозначается А П В, рис. 1.4. Таким образом,
(jc е А П В) <^> {jc | (jc е А)л (х е В)}.
Пример 1.3. Пусть А - множество всех целых чисел, делящихся на
2, а В - множество всех целых чисел, делящихся на 3. Тогда АП В есть множество всех целых чисел, кратных числу 6.
В частности, если множества А и В не имеют общих элементов, т.е. не пересекаются, то АП В представляет собой так называемое пустое множество и в этом случае А П В = 0 .
Примечание. Легко заметить, что выражения АП В и AIJB есть
множественные аналоги соответствующих логических выражений А л В и HvB.
7
3. Рациональные и иррациональные числа
Всевозможные дроби вида —, где т и п - целые числа (и ф 0), на-п
зываются рациональными числами. Арифметические действия над рациональными числами приводят к рациональным же числам.
Педостаточность одних только рациональных чисел проявляется уже при извлечении корней. Папример, V2 не есть рациональное число.
Для доказательства этого факта предположим противное, т.е. пусть
2" т и
(1.1)
где т и и - натуральные числа. При этом дробь —, не ограничивая общ-п
ности, можно считать несократимой.
Из равенства (1.1) имеем
2 ?_ГП ~ 2 ’ И
ИЛИ
т2 =2п2	(1.2)
2
Последнее означает, что т - четное число. По тогда и т - четное число, т.е. тп = 2р, где р - целое. Следовательно, выражение (1.2) принимает вид
4/? =2и2, т. е.
о 2	2
2р =п .
Отсюда следует, что число п2, а значит и число п - четное. По тогда в т
дроби — возможно сокращение на 2, что противоречит начальному пред-77
г- ,П П положению о несократимости дроби — .□ 7 п
Каждое рациональное число изображается либо конечной десятичной дробью, либо бесконечной периодической.
Пример 1.4. Возьмём число х = 2,147(3). Оно равно
х = 2,147 + 0,0003 + 0,00003 + 0,000003 +... = 2,147 + 0,0003 = 2,147 + 1-0,1	9900
Здесь и всюду в дальнейшем символы  и □ означают соответственно начало и конец доказательства.
8
2,147 +
1
3300’
а это, как легко видеть, рациональное число.
Будем говорить, что всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь изображает иррациональное число.
Рациональные и иррациональные числа, рассматриваемые в совокупности, называют вещественными (или действительными) числами.
Возьмем произвольную бесконечную непериодическую дробь вида
х = а0,а}а2а3 ...ап ..., где c/q > 0. Введем конечные десятичные дроби
1
ХП = aQ,axa2a3...an, хп = а0,а}а2а3 ...ап.
10й
Их называют соответственно нижним и верхним и-значными приближениями вещественного числа х.
Папример, числа 3,141592 и 3,141593 есть соответственно нижнее и верхнее 6-значное приближения числа л.
Если число п брать достаточно большим, то разность х„ - х~ становится сколь угодно малой. Именно в этом смысле говорится, что любая бесконечная непериодическая дробь определяет некоторое иррациональное число.
Любое иррациональное число можно сколь угодно точно заменить рациональным числом. Исходя из этого факта и учитывая общеизвестные сведения о рациональных числах, можно сформулировать свойства вещественных чисел.
Свойство 1. Для любых вещественных чисел х и у имеет место одно и только одно из соотношений:
Х<У, Х = У, Х>У-
При этом, если х<у, y<z,rox<z. Последний факт называют транзитивностью множества вещественных чисел.
Свойство 1 означает, что множество вещественных чисел упорядочено.
Свойство 2. Для любых вещественных чисел х и у можно определить, и притом единственным образом, число х + у, называемое суммой чисел х и у. При этом а. х + у = у + х (переместительное свойство);
b.	(х + у)+ z = x + (y + z) (сочетательное свойство);
с.	существует число, обозначаемое 0 и называемое нулём, такое, что
х + 0 = х, Vx;
9
d.	для любого числа х существует число у, обозначаемое —ли такое, что х + у = 0;
число у = —х называется противоположным числу х.
Нетрудно показать, что числа 0 и — х (для любого л) определяются единственным образом.
е.	Если х < у, то для любого числа z
x + z<y + z.
Вычитание чисел определяется как действие, обратное сложению, т. е.
(z = x-y)o(x = y + z).
Свойство 3. Для любых вещественных чисел х и у можно определить, и притом единственным образом, число z, называемое произведением чисел х и у и обозначаемое ху. При этом f. ху= ух (переместительный (коммутативный) закон умножения); g. (xy)z = x(yz) (сочетательный (ассоциативный) закон умножения);
h.	существует число, обозначаемое L и называемое единицей, такое, что 1 ф 0, и
х • 1 = л, Vx;
i.	для любого х ф 0 существует число, обозначаемое — и называемое об-х
1 л ратным числу х, такое, что х • — = 1;
х
j.	если х<у, а с>0,то сх<су. Если же с<0,то сх>су\
к.	(л + y)z = xz + yz (распределительный (дистрибутивный) закон умножения).
Для любых чисел х и у (у ф 0) определяется их частное
х	1
— = х- —. У У
Свойство 4. Для любого вещественного числа х существует целое число и, такое, что п > х.
Свойство 4 называют свойством Архимеда.
Множество всех вещественных чисел геометрически изображается как бесконечная ось (имеется в виду, что на этой оси выбраны направление положительного отсчета и единица длины, т.е. масштаб, рис. 1.5).
Множество A = {x\a<x<b} называется--------1-----1---1------
!	°	1 х х
отрезком числовой оси с концами а и b и обо-
значается ещё \а, b ].	Рис 1 5
10
Возьмём на оси Ох систему отрезков
[б?!, by ], [б?2 > ^2 !>•••> \Яп > !>•••?	(1 -3)
таких, что
ах <а2 <...<ап <...<Ьп <...<Ь2 <Ьу, т. е.
[a2,b2\^[ay,by\[a3,b3\^[a2,b2\,...,[an,bn\^[an_y,bn_y\....
В этом случае систему (1.3) называют системой вложенных отрезков.
Свойство 5. Для любой системы вложенных отрезков (1.3) существует по крайней мере одно число х, принадлежащее всем отрезкам этой системы (рис. 1.6).
Свойство 5 означает, что на числовой оси отсутствуют пустоты. По-
X	X
------1---1	1—1—I—I—i—I-4---4----------*-Щ «2-------------------------------------6Zn On Z>2	#1
Рис. 1.6
этому его называют свойством непрерывности множества вещественных чисел.
Примечание. Мы получили свойства 1 -5 вещественных чисел на том основании, что этими же свойствами обладают сколь угодно близкие к ним рациональные числа. Однако можно было поступить и иначе, взяв упомянутые свойства в качестве аксиом, т.е. вводя множество вещественных чисел как множество, обладающее свойствами 1-5. Такой способ введения вещественных чисел называется аксиоматическим.
4.	Модуль числа и его свойства
Модулем вещественного числа х называется число, обозначаемое |х|, такое, что
[ х, если х > О, х = 1
[-х, еслих < 0.
Очевидны следующие свойства модуля:
1	|л+^<|л| + |^.
Действительно, если х и у - числа одного знака, то |а' + у| = |х| + |у|. Если же знаки чисел х и у различны, то |х+_у| < |х| + |_у|.
Данное свойство, очевидно, верно и для любого числа слагаемых.
2. |xj] = |-*IM
11
Геометрически величина |л| есть расстояние точки х на числовой оси от начала отсчёта. Поэтому неравенство ---1-------1----1—I-----*~
II	-а	0 х а х
л1 < а означает, что точка х находится между
. г.	Рис. 1.7
точками а и —а,т.е. что — а<х<а, рис. 1.7.
Рассмотрим теперь величину |л'| — а2|. Легко видеть, что при любом взаимном расположении точек 0,х1?х2 число о у, х2 |л'1 — а2| геометрически представляет собой '
расстояние между точками Х| и х2 на число
вой оси, рис. 1.8. Этот факт оказывается удобным при решении некоторых уравнений и неравенств, содержащих модули неизвестных величин.
Пример 1.5. Решить уравнение
|х-1| = |х + 3|.
Геометрически оно означает, что точка х _________।_____।_।___|.
равноудалена от точек х = 1 и х = —3. Легко -3	-10 1
видеть, что таковой является точка х = -1,	Рис. 1.9
рис. 1.9.
Пример 1.6. Решить неравенство |2х-1| <3.
Придав ему вид
заключаем, что искомое х находится между числа-
13^13
ми — + — = 2 и-= -1,рис. 1.10, т. е. что
2 2	2 2 F
-1 < х < 2.
Рис. 1.10
5.	Интервалы и промежутки
Мы уже видели, что, по определению, [н,/)] = {х| a<x<b}.
Множество [a,b] называют ещё замкнутым интервалом.
В то же время множество
(a, b) = {х | а < х < b] называют интервалом (или открытым интервалом).
Рассматривают также полуоткрытые интервалы [a,b) = {х| а < х < b} и
(<7,/’] = а < х < b}.
Интервал (а — £,а + s) называют 8-окрестностью точки х = а, рис. 1.11; будем обозначать её С8(<7). Здесь s - радиус окрестности.
12
Итак,	СЕ(а)
Се(а) = |х| |л - с/| < s}.	I	>
л,	г аг a tz+s х
Множество всех х, таких, что х>а, обо-
значают (<7,+°о).	Рис 111
Аналогично вводятся множества [<7,+°о), (-00,(7) и (-00,(7]. Под (-оо,+оо) подразумевается вся числовая ось. Её называют ещё множеством R.
Числовое множество Е называется ограниченным сверху, если существует такое число Q, что х < О (или х < О ) для всех х е Е. Аналогично, если для всех х е Е будет х > q (или х > q), то множество Е называют ограниченным снизу.
Пример 1.7. Множество Е = | 1, |ограничено снизу числом О (и, тем более, любым отрицательным числом).
Множество, ограниченное одновременно сверху и снизу, называется ограниченным множеством. Очевидно, множество Е ограничено тогда и только тогда, когда существуют такие числа а и b, что Е с \a,b].
Пример 1.8. Множество всех правильных дробей ограничено, поскольку оно полностью лежит на отрезке [0, 1].
Множество Е из примера 1.7. ограничено, так как лежит на том же отрезке.
6.	Постоянные и переменные величины. Классификация переменных
Если величина х в процессе её рассмотрения сохраняет постоянное значение или её изменением можно пренебречь, то её называют постоянной и пишут
х = const.
Если же величина х при её рассмотрении принимает разные значения, то её называют переменной.
Одна и та же физическая величина в одних случаях может рассматриваться как постоянная (если её изменение неощу-тимо), а в других - как переменная. Папример, при { малых высотах ускорение свободного падения g ( С) } может считаться постоянным. Если же высота h \-----'
сравнима с радиусом Земли R, то g уже нельзя счи- Рис. 1.12 тать постоянным, так как приходиться учитывать, что с ростом h величина g убывает пропорционально величине-----—— ,рис. 1.12.
(R + h)
13
Мы уже по существу говорили (см. свойство 1 вещественных чисел), что переменная называется упорядоченной, если о каждой паре её значений можно сказать, какое из них - предыдущее, а какое - последующее.
Переменная называется монотонно возрастающей, если каждое последующее её значение больше предыдущего. Геометрически это означает, что изображающая эту величину точка на числовой оси перемещается вправо.
Аналогично определяется монотонно убывающая величина.
По характеру своего изменения переменные делятся также на дискретные и непрерывные. Переменная называется дискретной, если она принимает лишь отдельные, изолированные значения. Примером может служить число жителей данного города. Характерный пример дискретной переменной - числовая последовательность ^хпУ = х1,х2,х3,.... Папример,
величина
(г 1 = 1 1 1 ±	1
VM ’ 2’3’4’"'’/г’"'
есть монотонно убывающая числовая последовательность.
Переменная называется непрерывной, если при переходе от одного
своего значения к другому она принимает и все промежуточные значения.
Множество всех значений, принимаемых данной переменной, называется областью её изменения. Если переменная - дискретная, то область её изменения есть множество изолированных точек на числовой оси. Область же изменения непрерывной переменной представляет собой некоторый промежуток на числовой оси (или всю числовую ось).
Переменная называется ограниченной, если область её изменения ограничена. Примером может служить фокальный радиус-вектор г точки М, рис. 1.13, движущейся по эллипсу, поскольку а — с < г < а + с.
Если х - ограниченная переменная, то найдётся такое число Л/>0,
что всегда будет
|х <М.	а	ь
Действительно, пусть a,b\ - отрезок, в который 0 рис можно заключить область изменения переменной х, рис. 1.14. Тогда достаточно положить М = тах{ |a|,|Z>|}.
Переменная х называется неограниченной, если область её изменения - неограниченная. Примером может служить фокальный радиус-вектор г точки М, движущейся по параболе, рис. 1.15.
Второй пример: числовая последовательность
14
{л„ } = 1,-2,3,-4,5,-6,....
Если х - неограниченная переменная, то какое бы большое число Л7>0 мы ни взяли, неравенство |х| < М будет бесчисленное множество раз нарушаться.
Примечание. Легко видеть, что деления переменных на монотонные и немонотонные, на дискретные и непрерывные, на ограниченные и неограниченные совершенно независимы друг от друга.
7.	Функция и способы её задания
Если каждому значению переменной х из области её изменения отвечает одно или несколько значений другой переменной у, то переменная у называется функцией переменной х, а сама переменная х по отношению к переменной у называется независимой переменной, или аргументом. Тот факт, что у есть функция переменной х, записывают так: у = f (х). Если одновременно рассматривают несколько функций, то пи
шут:
Т = /1(Ат = /2(Ат = /з(А---
или
У = /(-*), У = <Р(-4 У =	....
Функцию можно задать тремя основными способами.
1.	Табличный способ. Он состоит в том, что для некоторых «табличных» значений х: xj,	,..., хп задаются соответствующие значения
у: У!, у2, • • •, уп, т е. задаётся таблица
X	Xi	х2		хп
у=.К*)	У1	У2		Уп
Табличное задание функции удобно при практических вычислениях, но непригодно для теоретических исследований, а поэтому в математическом анализе используется очень редко.
2.	Графическое задание. График функции является как бы её «портретом». Поэтому графический способ задания функции наиболее нагляден.
3.	Аналитический способ. Если функция у = /(л) задана уравнением, связывающим х
и у и, следовательно, показывающим, какие действия надо проделать над переменной х, чтобы получить у, то говорят, что функция у = /(х) зада
15
на аналитически.
По аналитическому заданию функции делятся на явные и неявные. Если связывающее величины х и у уравнение разрешено относительно у, то функция называется заданной явно, или просто явной. Папример,
X3 +lg X
У = ~--:---•
З-sin х
Если же упомянутое уравнение не разрешено относительно у, то функцию называют заданной неявно.
В ряде случаев от неявного задания можно перейти к явному. Папример из уравнения
xlOj; - tgx = 1
легко находим
1 + tgx
T = lg-----•
X
Однако, если функция задана, например, уравнением sin(x+y) = 2x +lgy,
то переход к явному заданию в точном виде невозможен.
Аналитический способ задания функции является основным в математическом анализе, а графический - вспомогательным, используемым только для наглядных иллюстраций.
8.	Область оиределеиия функции
Возьмём функцию у = /(х). Символ /(<?) означает, что в этой функ-
ции мы положили х = а. Число f(a) есть значение функции у = /(х) в точке д- = а,рис. L17.
Пример 1.9. Пусть у = д/2 +х . Тогда
Д1)=7ГЙ = Л.
В то же время
/(-4) = ТГЛ = л/^2, т. е. /(-4) не существует (если ограничиться рассмотрением только вещественных чисел).
Совокупность всех значений х, при которых функция у = /(х) имеет смысл, называется областью оп-
ределения этой функции. Будем обозначать её Dy	Рис. 1.18
или D?.
Пример 1.10. Пусть у = лМ-х2 . Тогда
16
.2
.2
т. е. областью определения функции является отрезок [- 2,2], рис. 1.18.
Пример 1.11. Пусть у =	. Здесь
у 4-х2
х 4-х2
т.е. в данном случае множество Dy есть такой же промежуток, как и в примере 1.10, но не содержащий концов, рис. 1.19.
Рис. 1.19
Пример 1.12. Пусть у = arcsin(lg х) .Тогда
X
рис. 1.20.
Примечание. Легко видеть, что в общем случае область определения функции геометрически есть проекция графика функции на ось Ох .
д/2’
-л/2 - -
^~x
Рис. 1.20
9.	Чётные и нечётные функции. Периодические функции
Функция f(x) называется чётной, если для всех х е Dj будет
/(--*)=/(-*)•
Примерами могут служить функции у = х2, y = cosx, у = 2х +2~х и др. Очевидно, график чётной функции симметричен относительно оси Оу, рис. 1.21.
Функция /(х) называется нечётной, если
Рис.1.22
/(-*) =-/(4
3	1 + X
Папример, у = х - 2х, у = sin х, у = 1g-.
1 - х
Легко видеть, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат, рис. 1.22.
Если при замене х на —х функция /(х) меняет свою величину (не
зависимо от перемены или же сохранения знака), то эта функция не является ни чётной, ни нечётной.
Очевидны следующие утверждения.
1.	Сумма чётных функций есть чётная функция.
2.	Сумма нечётных функций есть нечётная функция.
17
3.	Сумма чётной и нечётной функций есть ни чётная, ни нечётная функция.
4.	Произведение чётных функций есть чётная функция.
5.	Произведение двух нечётных функций есть чётная функция.
6.	Произведение чётной и нечётной функций есть нечётная функция. Функция /(х) называется периодической с периодом а, если
f(x+a) = f(x), V.x е Dy, рис. 1.23.
Если а - период функции /(х), то 2а,3а,^а,... также есть её период.
Паименьший из периодов функции называется её основным периодом. Папример, основной период функции 2sm3x равен .
х х+а х
Рис. 1.23
10.	Однозначные и многозначные функции
Функция у = /(х) называется однозначной, если каждому х е Dy отвечает одно и только одно значение у . Примером может служить функция y = Vl + lg2-x .
Если же одному значению х отвечает несколько значений у, то
функцию у = f{x) называют многозначной.
Многозначность функции чаще всего бывает связана с неявным способом их задания.
2
Пример 1.13. Возьмём уравнение у -х = 0. Имеем из него у = ±у[х. Эта функция - двузначная.
Она распадается на две однозначные: у = 4х и у = -VI, рис. 1.24.
Пример 1.14. Пусть имеется уравнение
(у - л)2 = х. Имеем из него
у - х = +V-X или у = х + -\[х.
Эта функция - также двузначная, рис. 1.25.
11.	Обратная функция
Рассмотрим функцию у = f(x). Меняя х, мы будем менять и у. Обратно, всякое изменение у вызвано изменением переменной х, т. е., меняя у, мы изменяем и х. Следовательно, соотношение у = f(x) определяет не только у как функцию от х, но и, наоборот, величину х как функцию ве-
18
личины у. Иными словами, из равенства у = f(x) следует, что, вообще говоря, х = ф(>). Функция х = ф(>) называется обратной функции у = f(x).
Папример, для функции у = л3 обратной является функция х = ^[у, рис. 1.26.
Очевидно, что функции у = /(х) и х = ф(>) имеют один и тот же график, т. к. оба равенства описывают одно и то же соотношение между х и у.
Возьмём теперь функцию х = <р(у), обратную функции у = /(т), и снова обозначим аргумент через
х, а функцию - через у. Получим функцию у = <р(х), которую также называют обратной по отношению к функции у = f(x). Однако графики этих функций теперь уже не совпадают, а представляют собой две различные линии, симметричные, как легко видеть, относительно пря-
Рис. 1.28
мой у = х, рис. 1.27, рис. 1.29.
Пример 1.15. Пусть
у = 2х.
Тогда обратная функция
у = log2х, рис 1.28.
Если функция у = f(x) - монотонная, то обратная
ей функция у = <р(л) - однозначная. Если же функция у = f(x) - не монотонная, то обратная ей функция у = ф(л) - многозначная, рис. 1.29. Папример, функция у = Arcsin х, обратная немонотонной функции у = sin х, является «бесконечно
Рис. 1.30
Рис. 1.31
многоя-значной, рис. 1.30, 1.31.
Примечание. Понятие обратной функции и связанные с ним сведения мы затронули сейчас на элементарном уровне соображений наглядности. Мы вернёмся к рассмотрению этого вопроса позже, в одном из последующих разделов.
19
12.	Основные элементарные функции
1 .Степенная функция. Эта функция записывается так
У = ха,
где а - любое вещественное число.
График степенной функции существенным образом зависит от показателя степени а. Укажем некоторые характерные случаи.
а=\	а=2	а=3	а=4	а=5
Рис. 1.32	Рис. 1.33	Рис. 1.34 Рис. 1.35 Рис. 1.36
4	г- - л
вую у = х - параболой 4-ои степени и т. д.
3/ 2"
Линию у = V х называют полукубической параболой.
Определение функции у = ха для случая произвольного вещественного а будет дано ниже.
2.	Показательная функция. Эта функция имеет вид у = ах, где а > О и притом а Ф 1. Общий вид графика функции известен из школьного курса математики, рис. 1.40-1.42.
Угол ср между осью Ох и касательной к линии у = ах в точке (0,1) тем больше, чем больше основание а. При а = 2 он равен, как можно подсчитать, 34°44', а при а = 3 - 47°42'. Поэтому естественно предположить, что существует число а, такое, что 2 < а < 3, которому соответствует угол ср = 45°.
20
Такое число называется числом е; оно является иррациональным и
Рис. 1.40	Рис. 1.41	Рис. 1.42
равно 2,71828.... Функцию у = ех называют экспоненциальной функцией; она является наиболее используемой показательной функцией в математическом анализе.
Примечание. Использованное нами введение числа е на основании геометрических (угловых) соображений не является стандартным. Позже мы познакомимся и с общепринятым определением числа е и убедимся в равносильности обоих определений.
3.	Логарифмическая функция. Функция у = log а х (а > 0, а ф 1) об-
у=1п х
Рис. 1.43
ратна по отношению к функции у = ах. На практике чаще всего полагают а = 10 и рассматривают десятичные логарифмы у = 1g х. В математическом же анализе обычно полагают а = е. Логарифмы с основанием е называются натуральными логарифмами и обозначаются символом In, рис. 1.44.
Очевидно, функция у = In х обратна у = ех.
Получим формулы перехода от десятичных логарифмов к натуральным и наоборот. Для этого основное логарифмическое тождество
л = |(У'
прологарифмируем по основанию е. Получим In х = 1g х-In 10,
а так как In 10 = 2,30..., то
In х = 2,30...lg х.
Число М = 2,30... - есть модуль перехода от десятичных логариф-
Рис. 1.44
мов к натуральным. Обратно
21
,	1	1
Igi =------In л,
2,30... т. e.
Igx = 0,43...1nx.
Тот факт, что натуральные логарифмы примерно в 2,3 раза больше (по модулю) десятичных, легко объясняется, поскольку число е значительно меньше числа 10.
4.	Тригонометрические функции. К ним относятся функции у = sin х, у = cos х, у = tg х и у = ctg х. Эти функции имеют периоды соответственно 2л и л. Их графики хорошо известны из школьного курса тригонометрии.
5.	Обратные тригонометрические функции. Функции y = arcsinx, у = arccosx, у = arctg х и у = arcctg х (рис. 1.45-1.48) есть главные ветви многозначных функций у = Arcsin х, у = Arccos х, у = Arctg х и у = Arcctg х, обратные функциям у = sin х, у = cosx, у = tg х и у = ctg х.
6.	Гиперболические функции. Функция у =--- называется ги-
перболическим косинусом (величины х ) и обозначается у = chx. Функция ех-е~х
у =------- называется гиперболическим синусом и обозначается
y = shx, рис. 1.49, 1.50. По этим двум функциям вводят гиперболические
22
тангенс и котангенс
sh х ех -е х .
tn X =---=--------, cth X =
ch л ех+е~х
Очевидно, что функция у = sh х -нечётная, а функция у = ch х - чётная. Линию у = ch х называют цепной линией, так как именно такую форму принимает линия провисания гибкой нерастяжимой нити с закреплёнными концами.
Далее, легко видеть, что sh 0 = 0, chO = l.
ch л ех +е
В то же время очевидно, что гиперболические функции, в отличие от тригонометрических, не обладают периодичностью.
Из формул-определений ех+е~х	ех-е~х
епт =--------, shx =------
2	2
имеем
chx+sh х = ех, chx-shA = е-х.
Поэтому
х,+х9	-(х,+х9) X, Х9 -х, —х9
, / ч е 1 2 -е ' 1 2’ е 1е 2 -е }е 2
яЦ-И + х2) =--------------=-----------------=
= ^[(ch Х| +sh X|)(ch х2 + shx2)-(ch X| -shx^ch^ — sh х2)] =
= | (ch jqch x2 + ch X|Sh x2 + sh Xjch x2 + sh X|Sh x2 -- ch jqch x2 + ch X|Sh x2 + sh X|Ch x2 - sh X|Sh x2),
t. e.
sh(x| + x2 ) = sh X|Ch x2 + ch X|Sh x2.
Точно так же проверяется, что ch(x| + х2 ) = ch X|Ch х2 + sh X|Sh x2.
Заменяя x2 в обеих формулах на —х2, получим sh (х| - х2 ) = sh X|Ch х2 - ch X|Sh х2, ch^j - х2) = ch jqch x2 - sh jqsh x2.
Полагая jq = x2 = x, из первой формулы получим sh lx = 2sh xch x, из второй -
ch 2.x = ch2x +sh2x,
а из последней -
23
ch2J\ sh2A = I.	(1.4)
Эта формула есть аналог известной тригонометрической формулы 2	• 2
COS X + sin V = 1.
Левую часть последней формулы, как известно, называют тригонометрической единицей; по аналогии с этим левую часть формулы (1.4) называют гиперболической единицей.
Запишем теперь тождества:
ch х = ch2 + sh2 ,
1 = ch2 у - sh2 .
Складывая и вычитая их, будем иметь
chx + l = 2ch2^, chx-l = 2sh2^.
Эти формулы будут очень удобны позже при вычислении неопределённых интегралов.
7. Обратные гиперболические функции. Найдём функцию, обратную функции sh х. Если у = sh х, т. е.
ех -е у~ т
то отсюда
ех-е“х-2у = 0
т. е.
(ех)-2уех-1=0.
Решая это квадратное уравнение, получим ех = у ± -Jj2 +1 •
Знак «-» следует отбросить, так как ех быть отрицательным. Итак, ех=у + >1у2+1 ,
откуда
х = 1п
Меняя теперь местами х и у, получим, цией, обратной функции sh х, является
Рис. 1.52
что функ-функция
In
+ 1 . Её называют ареа-синусом величины
и обозначают
х
Arshx, рис. 1.51.
24
Точно так же из уравнения у
х —х
€ + С
------- получим
=у±д/т2-1,
т. е.
x = ln(y±Jy2-l
Итак, функцией, обратной функции ch х, является функция ln^x± д/х2 -1^. Она двузначна ввиду немонотонности функции chx . Беря только верхнюю ветвь, получим функцию
у = In	+ д/х2 — 1
Она называется ареа-косинусом и обозначается Arch х, рис. 1.52.
13. Сложные функции
Пусть у есть функция некоторой переменной и, которая в свою очередь является функцией переменной х, т.е. пусть
У = f(u), и = ср(х).
Тогда
У = /[фЫ1, или
В этом случае у называется сложной функцией переменной х (или функцией от функции), а переменную и называют промежуточным аргументом.
Пример 1.16. Пусть г = sin х. Это можно переписать так y = z/3, z/ = sinx.
Здесь сложная функция есть результат суперпозиции (наложения) двух основных элементарных функций: тригонометрической и целой степенной.
Предположим теперь, что а - иррациональное число. Тогда, поскольку х = е^х, то, по определению	У1'	/
a «1пх	1 > г71 /
X = е .	У х /
Таким образом, в случае произвольного показателя	/
а степенная функция ха определяется как сложная / функция в виде суперпозиции показательной и лога-рифмической функций. Поскольку выражение In х су- рис । 53
25
ществует лишь для х > 0, то и функция у = ха определена, вообще говоря, только при х > 0. Например, х11 = eKinx, рис. 1.53.
Сложная функция может иметь и не один промежуточный аргумент.
Пример 1.17. Пусть у = -^aretg2cllx . Это значит, что
у = Ju, и = arctg v, v = 2w, w = clix.
Итак, здесь имеются 3 промежуточных аргумента: и, v, w. Говорят, что операция взятия функции от функции здесь производится 3 раза.
14. Элементарные функции
Функция называется элементарной, если её можно задать одной формулой вида у = /(х), где выражение f(x) составлено из основных элементарных функций и констант при помощи конечного числа арифметических действий и конечного числа операций взятия функции от функции.
Пример 1.18. Функция
^/shx+lnfl-x) у = 10 ^2х“х3 - элементарная. Здесь в правой части производится одно сложение, два вычитания, одно умножение и 4 операции взятия функции от функции.
С некоторыми неэлементарными функциями мы познакомимся позже.
Уиражиеиия к главе I
Построить множества:
1. [-2,1]\{0};	2. (0,3)U({0}U{3});	3. [0,2]U(l,«>);
4. [о,2]\(1,ео);	5. (-со.О)П(О.со).
Найти области определения функций:
20. у = lg(lg х) + ylo-x2 
_	1	, х+3
9- У = I	+ig-—
ycosx 3-х
26
10.	у = .---= + arcsin — 
7i-h2x
11.	_)=75л-1 + lg(4-x2);
12.	у = —/ „ ------\ + arcsin (in л);
lg(x2-3x + 2)
13.	у = lg(lgA-)+arccos(2x-2j;
1
14.	y = arccos-----;
10x-l
1	. Зл-5
15.	y =
16.	у = Vl -2sin л + Jl - 1g(л2 - 2л + 7
21.	у = lg(l-2cos.x) + J*-— V x
22.	у = arcsin 10х + д/л3 -4л ;
23.	у = In 19л - л3)+ —j=	
24.	y = yl9x-x3 +lg(l-10x“2);
25.	у = ^со8л + л/5 + 4л-л2 ;
1	, л + 4
26- у=^—+^ё-—;
<8П1л	4-л
, Л з\ . 2л-5
27. у = ^4л-л	arcsin—-—
Данные функции исследовать на чётность и нечётность:
28.
5х-1
31.
ах-1
29.
32.
У =
30.
10х+1
У =-----
х
Найти функции, обратные функциям:
33.
У =
34.
36.
5х
1 + 5х
2х +2~
2Х-2“Х
37.	у = 4arcsin д/1-л3 ;
по	> п 	А'-1
38.	y = l + 2sin-----.
л + 1
Построить графики функций:
39.	_у = зМ;	43. ^ = lg|.x|;
40.	=	44. j' = |lg.x|;
41.	^ = Зх2;	45. jr = |lg|jc||;
42.	y = 5-x2;	46. J' = lg|l-x|.
27
II. Предел числовой иоследовательиости
1. Оиределеиие предела числовой иоследовательиости
Напомним, что числовой последовательностью называется упорядоченное бесконечное множество чисел
{^и}-И’ х2’ ’ хп> ’	(2-1)
причем каждое из чисел (2.1) является функцией своего номера, т.е. хп = в связи с чем говорят, что числовая последовательность есть функция целочисленного аргумента. Числа Х|, х2, х2... называют членами этой последовательности. Если н - не конкретное, а произвольное (текущее) натуральное число, то выражение хп = /(и) называют общим членом
последовательности.
Пример 2.1. В последовательности
-1,1,-1,1,-1,1,...
общий член равен (-1)”.
Пример 2.2. Для последовательности
I1 1 ± ’4’9’16’"'
1 очевидно, хп = — .
п
Еще раз укажем, что последовательность (2.1) есть частный случай упорядоченной дискретной переменной, принимающей значения
*1, Х2, х3-
Постоянное число а называется пределом числовой последовательности (2.1), если для любого, сколь угодно малого, но фиксированного, числа 8 > О найдется такой номер A^(s), что для всех n>N будет
|х„-б/| < 8.	(2.2)
В этом случае пишут, что а= lim хп.	(2.3)
п—>00
Итак,
I а = lim хп | <^> (vs > 0 zLV(s)|Vh > TV => |х„ - а\ < s).
V	п—>00 )
Равенство (2.3) на основе выражения х х х
(2.2) означает геометрически, что, начиная с —, л,+|—^±2-,----л,+3 । > х
n = N + \, все точки хп принадлежат 8- а~е	а а + г
окрестности точки х = а. Но, поскольку s	Рис. 2.1
можно взять сколь угодно малым, то это значит, что при л?—>оо точки хп
28
неограниченно сгущаются около точки х = а.
Таким образом, любая, сколь угодно малая, окрестность точки а содержит в себе бесконечное множество точек хп\ xN+\, xN+2, xN+2,..., в то время как вне каждой s -окрестности может находиться лишь конечное число точек хп: хг, х2, xN, рис. 2.1.
Пример 2.3. Возьмем последовательность
]_ 2 3
2’3’4’’"
п
п + 1
Покажем, что lim хп = 1.
п—>00
-1
П
1 =
Имеем, |х„ -1| =
Следовательно, неравенство |х/7
1
— 1| < 8 запишется так:
1
---7<е,
откуда
п + 1 >-, 8
т. е.
и > — — 1.
8
Взяв, например, 8 = 0,001, получим и >999, откуда следует, что 7V(0,001) = 999 +1 = 1 000. Итак, начиная с и = 1000, будет |х„ -1| < 0,001. Взяв меньшее s, получим большее п, начиная с которого будет -1| < 8.
..	„ .	4и2 +1
Пример 2.4. Пусть х = —5----.
2и2 -3
4и2
—- = 2 . Следовательно, можно предполо-2н
жить, что lim хп = 2 . Докажем, что это так и есть. Имеем
(2.4)
Если п велико, то хп
|Л'И
4и2+1
Э 2 о 2п -3
4и2 +1-4и2 +6
2и2-3
7__
2и2-3
При достаточно большом п величина —5------ сколь угодно мала, а
2и-3
поэтому для сколь угодно малого 8 > 0 будет
|х„-2|<8,
откуда и следует, что lim хп = 2 .
п—>00
29
Пусть, например, 8 = 0,001. Тогда неравенство |л77
2| < s примет вид
7 1п2-3
<0,001,
откуда
т. е.
1п2 >7003,
п2 >3501,5,
или
«>-73501,5.
Но целая часть числа ^/З 501,5 равна [д/3501,5]= 59, а значит 7V(0,001) = 60, т. е. начиная с п = 60, выполняется неравенство |.т„ - 2| < 0,001.
Пример 2.5. Возьмем последовательность
[Ы-1Г1
2
= 0,1,0,!,...
Очевидно, она не имеет предела, к которому при и^-оо неограниченно приближались бы числа хп.
2.	Простейшие свойства пределов числовых иоследовательиостей
Любая числовая последовательность не может иметь более одного
предела.
Cja\	Сг(У^\
--Г •—-Ч-----------71 
Д-Е а й+Е	0-Е Ь Р+£
Рис. 2.2
(х„еСЕ((/))л(л„еСЕИ),
Пусть а^Ь, тогда если бы было
lim хп = а л lim хп = b , то это п—>00	) \П—>00	)
означало бы, что, начиная с некоторого п, а так как С8(б/)г> Cz(b)= 0, рис. 2.2, то свой
ство 1 доказано.□
Если для всех и будет хп= а, (а = const), т. е. если {хп}= а,а,а,..,а,...,
то и lim xt = а. /7—>ОО
 Действительно, в этом случае |л77 - а\ = ОХ/н, т. е.
Vs > 0, V«|x„ - а\ < s .□
Если последовательность {хп } имеет предел, то она ограничена.
СЕ(я)	 Пусть lim хп =а. Зададим не-
/	/7—>00
с «-I 'а а+е	которое s > 0. Тогда вне интервала
р 2 3	Q(°) находится лишь конечное число
30
точек последовательности: Xi,x2,...,xN. Следовательно, существует такой отрезок [c,d], который содержит в себе все точки xl,x2,...,xf7,..., рис. 2.3 (очевидно можно взять с = min {x|, х2, х2.., xN, а - s}, d = max {х[,х2,х3,..., xN,a + s}.D
Примечание. Утверждение, обратное свойству 3, неверно, т.е. последовательность может быть ограничена, но не иметь предела. Примером может служить последовательность из примера 2.5, принимающая значения 0, 1, 0, 1, ...
Пусть имеется последовательность {xt1} = хъх2,х3,хл,х5,.... Выберем из нее некоторым образом числа х х х ,..., причем если в исходной последовательности число хп предшествует числу хП/, то это будет иметь место и в новой последовательности. Последовательность {xtlk } cz {x,J называют подпоследовательностью исходной последовательности.
Пример 2.6. Пусть имеется последовательность f 1
=111 1
2 3 п
(2-5)
\ji
Одной из ее подпоследовательностей является, например, последовательность
1
2£-1
(2-6)
1 £
3’5’
Другая подпоследовательность той же последовательности:
- i - —	(2 7)
2’5’9’14’"”	}
Если последовательность {х,,} имеет предел а, то и любая ее подпоследовательность имеет предел, также равный а.
Действительно, если, начиная с некоторого п, будет хп &СЕ(а), то этой окрестности принадлежат и все числа хП/, следующие после хп .□
В качестве примера можно указать последовательность (2.5), которая имеет предел, равный нулю, и ее подпоследовательности (2.6) и (2.7) име
ют тот же предел.
Если lim х, = а, lim у, = b, и если х, < у „, то и а < b. II	'	И	'	I1	11 '
Действительно, если бы было а>Ь, то, начиная с некоторого п, было бы хп >у„, рис. 2.4, что проти-
воречит условию^	Д кЧ+е------------«'-г ’У>+е
Следствие. Если lim х, = а, и
п	Рис. 2.4
при этом хп >ОУп, то и с/>0, т. е. неотрицательная последовательность
31
не может иметь отрицательного предела. Аналогично, неположительная последовательность не может иметь положительного предела.
Примечание. Если lim хп=а, lim уп = b, причем хп <упХ/п, то /7~>О0	/7—>СО
не обязательно а<Ь, поскольку может быть и а = b. Например, при всех п г	1	1
будет — < —, но тем не менее, последовательности
и2 п
f 1 11111
[(и +1)2 J 4’9’16’25’"’ и
f 1 ] 1 1 J_ 1
[и + 1] 2’3’4’5’’” имеют общий предел, равный нулю.
Если ип < хп < vn Xfn, и при этом lim ип = lim vn = а, то и последо-
И—>оо	И—>оо
вательность {xfJ} также имеет предел, и он равен а.
г1п Х}] Vn х	 Действительно, если, начиная с
<7-8	1 Ъ 1	1	некоторого п, будет ипеСЕ(а) и
Рис. 2.5	vn е С8 (а), то начиная с этого п и
хп е Се (а), рис. 2.5, а это значит, что lim хп = а .□ /7^-00
Свойство 6 иногда полушутя называют теоремой о двух милиционерах.
Следствие. Если lim ип = а, и если ип <хп<а или ип >хп>а Х/п то /7^-00
lim хп также существует и равен а.
П~><Х)
Примечание. Если последовательность имеет предел, равный а, то эта последовательность называется сходящейся к числу а. Очевидно, на сходимость последовательности к данному пределу не влияет добавление или отбрасывание любого конечного числа ее членов. В связи с этим в свойствах 2, 5 и 6 после слов «для всех» можно сделать оговорку «начиная с некоторого».
3. Бесконечно большие иоследовательиости
Числовая последовательность {х;,} называется бесконечно большой, если для любого, сколь угодно большого, фиксированного числа М > 0, начиная с некоторого п, будет |.ти| > М. Тот факт, что последовательность {х,,} - бесконечно большая, записывается так: хи —> со, или, условно,
П—>00
32
lim xn = oo. Из определения бесконечно большой последовательности еле-/7—>00
дует, что если {х,,} - бесконечно большая последовательность, то таковой является и последовательность {- хп }.
Пример 2.7. Пусть хп = -\ln - 1. Покажем, что йп хп = со. Зададим
/7^-00
произвольное М>0. Тогда соотношение |х,?|>Л7 означает, что л/и-1 > М, откуда п> М2 +1. Поскольку при любом М = const, начиная с некоторого п, будет п > М2 + 1, то требуемый факт доказан.
Если	—> со и если, начиная с некоторого п, будет хп > 0, то пи-
П—>00
шут, что хп —> + со, или lim хп = +со. Аналогично определяется равенст-77^-00	/7—>00
ВО
lim х„ = -со.
/7—>00
Пример 2.8. Пусть хп = л/и -1. Очевидно, что тогда lim хп = +со.
??->00
Пример 2.9. Пусть хп = (-1)” п2, т.е. пусть
{%„}=-!, 4,-9,16,-25,...
Очевидно, здесь не будет lim хп = +со или lim xfl = -со, а можно лишь пи-/7—>00	/7—>00
сать, что lim хп = со.
/7~>00
Легко устанавливаются следующие свойства.
1.	Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
2.	Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака.
3.	Произведение бесконечно большой последовательности и последовательности, не обращающейся в нуль и не стремящейся к нулю, есть бесконечно большая последовательность.
Далее, легко видеть, что бесконечно большая последовательность является также и неограниченной. Обратное утверждение неверно, т.е. неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Таковой является, например, последовательность
1,0,-2,0,3,0,-4,0,5,...
В данном случае, какое бы большое М > 0 мы не взяли, при одних п будет |.ти|>М, но уже для следующего значения хи+1 будет хи+1 =0, а значит |хи+1| <М.
33
4.	Бесконечно малые последовательности и их свойства
Последовательность {а„}=а1,а2,осз,... называется бесконечно малой, если lim аи =0, т. е. если для любого, сколь угодно малого £>0, П—>оо
начиная с некоторого п выполняется неравенство
|ос„|<£.
Иными словами, последовательность {(>-,,} называется бесконечно малой, если, начиная с некоторого своего значения, она становится и при дальнейшем изменении остается меньшей по модулю любого, сколь угодно малого, наперед заданного положительного числа.
/ 1V7-1
Пример 2.10. Пусть а„
т. е. пусть
2п
1
1
ОС, —	, ОС 7 — jOCq — ,ОСд
2	4	8
1
4
1 Г' ' 2’"х I 8 ’	16’
Взяв достаточно большое п, мы сделаем величину <х,( сколь угодно ма-лой, так что lim а„ = 0.
/7—>00
Положим 8 = 0,001 и решим неравенство |ос„| < 0,001. Получим
— <0,001, 2”
т. е.
2” >1000 ,
а значит и > 10. Итак, начиная с и = 10, будет |аи | < 0,001.
Из определения бесконечно малой последовательности следует, что если {оси } - бесконечно малая последовательность, то и {- ап } - бесконеч
но малая последовательность.
Бесконечно малые последовательности обладают следующими свойствами.
Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Возьмем сначала две бесконечно малые последовательности: {а„ } и {р„}. Зададим произвольное 8>0. Тогда, начиная с некоторого п, будет
8
< —, а значит, начиная с этого п, выполняется неравенство
|“„| + |Р„| <| + | = Е,
а так как |а„ + Р„| < |а„ | + |Р„ |, то тем более |аи + Р„| < 8, откуда следует,
34
что {аи + Р/7} есть бесконечно малая последовательность.
В случае трех бесконечно малых последовательностей {а/7}, {р/7}, {уи} мы полагаем а/7 +Р/7 +У/7 =(а/7 +Р/7)+У/7 и применяем только что доказанное утверждение. Таким образом, очевидно, что свойство 1 верно для любого конечного числа слагаемых.^
Примечание. Сумма бесконечно большого числа бесконечно малых последовательностей может и не быть бесконечно малой последовательностью. Например,
11 1 1	n 1 1 1 л
— + — + + — = —	0; - + - + ... + - = ! = const;
П П	И	П и—>оо	И И П
у	У
п слагаемых
11 1 /-
—j= + —j= +... +—j= = л/и —> +оо.
yjn yjn yjn n^-cc
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Пусть ’хн}- ограниченная последовательность. Тогда существует такое М > 0, что |лн| < Ms/n. Далее, пусть {а„ J - бесконечно малая после
довательность. Тогда, начиная с некоторого п
2?
будет |аи| < —. Поэтому.
начиная с этого п, выполняется неравенство
< — • М = 8, 1	1 М
а значит {апхл}~ бесконечно малая последовательность.□
Примечание. Произведение бесконечно малой последовательности на неограниченную может и не быть бесконечно малой последовательностью. Например,
1	1	„	1	1	Г~
— п = —	0; — -п = 1 = const; -j=-n = yjn —> + <ю .
Yl	П и—>00	П	-yjn	и—>оо
Если {х/7} - бесконечно большая последовательность, то {а/;} =
- бесконечно малая последовательность.
Зададим некоторое число Л/>0. Тогда, начиная с некоторого п, будет |лси | > М, а значит |а„ | =	< —. Поскольку М можно взять сколь
I I
угодно большим, то величина |а„| может быть сделана сколь угодно ма
лой.□
Совершенно аналогично можно доказать следующее свойство.
35
Если {а,,} - бесконечно малая последовательность, и при этом
аи ^0 ни при одном и, то {*„} =
- бесконечно большая последова-
тельность.
Понятие бесконечно малой последовательности тесно связано с понятием предела. Пусть lim xtl = а. Тогда из (2.2) следует, что последова-/7—>00
тельность {хп - а} - бесконечно малая, и, наоборот, если {хп - а} - бесконечно малая последовательность, то lim хп =а. Таким образом, для того 77—>00
чтобы число а было пределом последовательности {х,,}, необходимо и достаточно, чтобы их разность {хп - а} была бесконечно малой последовательностью. Иными словами, всякая числовая последовательность, имеющая предел, отличается от него на бесконечно малую величину, т. е. если а = lim хп, то 77 —>00
х„=й + а„,	(2.8)
где {а,,} - бесконечно малая последовательность.
5.	Арифметические свойства пределов числовых последовательностей
Теорема 2.1. Предел суммы последовательностей, имеющих пределы, равен сумме этих пределов.
Пусть lim хп=а, lim уп =Ь. Тогда, на основании (2.8), хп а + осн, уп b +	,
где {аи } и } - бесконечно малые последовательности. Поэтому
хп + У,, =(а + Ь) + (а„ + р„).	(2.9)
На основании свойства 1, последовательность {а/7 +	} - бесконечно ма-
лая. Поэтому из (2.9) следует, что последовательность {хп + уп} отличается от числа а + b на бесконечно малую последовательность, а это и значит, что
Кт (х„ + Уп) = а + Ь> /7—>00
т. е.
lim (х„ + у„) = lim хп + lim уп .□ /7—>00	77—>00	77—>00
Легко видеть, что теорема 2.1 верна для любого конечного числа слагаемых.
Теорема 2.2. Предел произведения последовательностей, имеющих пределы, равен произведению этих пределов.
36
Пусть lim xtJ=a, lim y„=b. Тогда
П —>00	П —>co
хпУп = (a + aJb + P„) = ah + (oc,7Z> + ap77 + a„p„).
Поскольку константа есть частный случай ограниченной последовательности, то {оси/>} и {аРи} есть бесконечно малые последовательности. Бесконечно малая последовательность тем более является ограниченной, так что и {аиРи} - бесконечно малая последовательность. Но тогда и {a„Z> + б/Р„ + а„Р„ } - бесконечно малая последовательность. Итак, величина хпуп отличается от числа ab на бесконечно малую величину, а значит lim хпУп = ab, /7 —>00
т. е.
lim хпуп = lim хп • lim уп .□ п—>00	П—>00	П—>оо
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела числовой последовательности.
Действительно, пусть с = const. Тогда, по теореме 2.2, lim схп = lim с • lim хп = с • lim хп
И—><Х>	И—><Х>	П—><Х>
(здесь мы использовали свойство 2 пределов числовых последовательностей).□
Теорема 2.3. Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному этих пределов, если только предел знаменателя
отличен от нуля.
Пусть lim хп = а, lim уп = h, причем b ф 0. Тогда И->ОО
хп _ а + ап
Уп Ь + $п
/7 —>00
а b
<7 + 0С,7
^рГ
а b
а Ьап - <тр,7
b b(b + ^>n)
Величина Ьап — б/Р77 очевидно есть бесконечно малая. Далее, поскольку b ф 0, то величина Ъ + Р77 не может быть сколь угодно близка к нулю, так
1
^ + Рн)
что последовательность
ограничена. Но тогда величина
1	X
(Ьа„ -«Р„)-----------бесконечно малая, т. е. величина — отличается от
^ + Р„)	Уп
а г
числа — на бесконечно малую величину. Итак, Ъ
lim хп
lim ^ = -
п^Уп b 1™ Уп
И
Примечание. Если lim уп =0
lim хп ф 0, то, очевидно
77 —>00
37
lim — = co. Случай же, когда »^°о уи
lim = 0 л lim уп = О
П—>00	)	\п—>00
будет рас-
смотрен ниже.
6.	Лемма о стягивающихся отрезках
Система (1.3) вложенных отрезков называется системой стягивающихся отрезков, если при и^-оо длина отрезка [afl,bf!] бесконечно мала, т. е. если
lim (bn-а„) = 0.
К—>00
Лемма 2.1. Если (1.3) - система стягивающихся отрезков, то существует одно и только одно число, принадлежащее всем отрезкам этой системы.
Тот факт, что хотя бы одно принадлежащее всем отрезкам системы число существует, вытекает из свойства 5 множества вещественных чисел, т. е. из аксиомы непрерывности числовой оси. Докажем, что это число -единственное.
Предположим, что существует два та- х у
ких числа х и у, что	—1	1	1	£ х
ап <х <Ьп, ап < у <Ьп Х/п .	” Рс26
Тогда |х - у| < bf] - ап, рис. 2.6. Поскольку
х ф у, то существует такое число h > 0, что |х - у| > h. Но тогда тем более bn - an>h\fn, а это противоречит тому, что, по условию, lim (6„-«„) = ().□
/7—>00
7.	Точная верхняя и нижняя грани числовых множеств
Пусть Е - некоторое множество чисел х. Число М называется точной верхней гранью этого множества, если: а) х <М\/х &Е, б) для каждого числа Мх <М найдется по крайней мере одно число х&Е, такое, что < х <М, рис. 2.7.	АД	х М
Условие а) означает, что множество Е ограни-	х
чено сверху числом А/, а из условия б) следу- Рис 2.7 ет, что число М является наименьшим из чисел, обладающих этим свойством. Очевидно, что М геометрически означает абсциссу самой правой точки множества Е.
Пример 2.11. Пусть множество Е состоит из конечного числа точек
38
%!,x2, --Xm  Tогда, очевидно M = max{x1,x2,...xm}.
Пример 2.12. Пусть E = [a, /9]. В этом случае M = b, а значит М &Е.
Пример 2.13. Пусть E = (a,b). Тогда снова М = Ь, но теперь уже МёЕ.
Эти примеры показывают, что само число М может как принадлежать, так и не принадлежать множеству Е.
Точная верхняя грань числового множества Е обозначается sup Е.
Если множество не ограничено сверху, то пишут, что sup Е = +со.
Теорема 2.4. Всякое непустое ограниченное сверху множество имеет
точную верхнюю грань, являющуюся конечным числом.
Пусть Е - непустое ограниченное сверху множество; тогда существует, по крайней мере, один элемент а &Е, и имеется такое число b, что для а аА Ъх	всех х е Е будет х < b (при этом вовсе не
/zz/z/i/z ।	обязательно, что Ь&Е}. Отрезок \a,b\ со-
Рис. 2.8
держит, по крайней мере, одну точку мно-
жества Е (например, точку х = а). Разделим этот отрезок пополам и рас-
смотрим два отрезка
а + b .
—ь
. Если правый отрезок содержит
и
хотя бы одну точку множества Е, то мы обозначаем его	а левый
отрезок отбрасываем (рис. 2.8). В противном случае (рис. 2.9) левый отрезок содержит по крайней мере одну точку множества Е, и мы его обозначим	а правую половину исходного отрезка [a,b] выбрасываем из
дальнейшего рассмотрения. Очевидно, в обоих случаях все множество Е лежит левее точки Ьх.
От отрезка точно так же переходим к отрезку [я2,Ь2] и т. д. На
/7-ом шаге отрезок	делим пополам, и, если правая его половина
ai	содержит хотя бы одну точку множества Е, то
а'''	1 л х" обозначаем ее [af!,bfl] (а левую половину отбра-
Рис 2.9	сываем), а если нет, то в качестве [afl,bfl] берем
левую половину, а правую половину, как не содержащую точек множества Е, отбрасываем и т.д.
В результате этого процесса получим систему вложенных отрезков [a,b],	[а2,Ь2],..., [а„,Ьп]... При этом для всех п множество Е пол-
ностью расположено левее точки а отрезок [afl,bf!] содержит по крайней мере одну точку множества Е. Кроме того,	У* >
,	Ь-а	пп М Ьп х
Ь„ - а„ =---, а значит hm (bn -а„) = и, т.е. по-
2"	Рис. 2.10
лучена система стягивающихся отрезков. На основании леммы 2.1 о стягивающихся отрезках, существует, и притом единственное, число х = М, 39
принадлежащее всем отрезкам [а„,Ьп]. Докажем, что М = sup Е.
Покажем сначала, что для любого х е Е будет х<М. Предположим противное, т. е. пусть существует такое х & Е, что х* >М (рис. 2.10). Поскольку lim (Ьп -аГ1) = 0, то, начиная с некоторого п, будет Ьп < х*, чего /7^-00
не может быть, поскольку все точки лежат левее точки Ьп. Возьмем теперь некоторое 8 > 0 Начиная с некоторого п будет Л7-е	х
b-a„<s, а значит а„>М-г. Но отрезок-1 1 1 г "	”	"	а„ М Е
содержит по крайней мере одну точку
хеЕ, причем, как уже доказано, х<М,	Рис. 2.11
рис. 2.11.
Следовательно,
М - х < Ьп - ап < 8, откуда
х > М - 8 .
Таким образом, для любого числа Мх =М - 8 существует такое число х е Е, что х >М{. Отсюда и следует, что М = sup Е .□
Теорема 2.5. Любое числовое множество имеет единственную точную верхнюю грань.
Заметим, что в этой теореме множество Е может и не быть ограниченным сверху; в противном случае sup Е = +со.
Предположим, что множество Е имеет М___________х У >
две различные точные верхние грани М и М'	х
(для определенности будем считать, что	Рис. 2.12
М< М’), рис. 2.12. Поскольку М' = sup Е, то существует такое х е Е, что М < х<М', а это противоречит тому, что М = sup Е. Тем самым теорема
Рис. 2.13
доказана.П	т х т,
Число т называется точной нижней гранью >//'//*// х множества Е, если: а) х > т Vx е Е,
б) для каждого числа т' > т найдется по крайней мере одно число х е Е, что х < т', рис. 2.13.
Точная нижняя грань множества Е обозначается inf Е. Если множество Е не ограничено снизу, то пишут, что inf Е = -со.
Теорема 2.6. Любое непустое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю грань, являющуюся конечным числом.
Теорема 2.7. Любое числовое множество имеет единственную точную нижнюю грань.
Теоремы 2.6 и 2.7 доказываются совершенно аналогично теоремам 2.4 и 2.5.
40
8.	Предел монотонной носледовательностн
Теорема 2.8. Если последовательность {х„} монотонно не убывает и ограничена сверху некоторым числом О, то она имеет предел, и этот предел не превосходит числа Q.
Пусть х1,х2,...хп,... - члены последовательности. Тогда, по условию
jq <х2 <х3 <...<xfl <...<О.
Поскольку последовательность {xf1} ограничена сверху, то, на основании теоремы 2.4, существует конечное число М = sup {хп }.□
Докажем, что М = lim хп . Для этого зададим произвольное 8 > 0.
п—>со
По определению точной верхней грани (часть а) определения) для всех и будет
<М,
а значит
Vh,Vs > 0,хи < А/+ 8 .	(2.10)
Далее, на основании части б) определения точной верхней грани, хотя бы при одном п будет
М - 8 < хп, а так как числа хп не убывают при п ^<х>, то и для всех последующих п будет
М-ъ<хп.	(2.11)
Из неравенств (2.10) и (2.11) следует, что, начиная с некоторого п будет М -,&<хп <М + г, т.е. хп & С&(Л/), откуда и следует, что М = lim хп . Тот факт, что М < Q, очевиден, так как если бы было М >Q, И—>со
то, начиная с некоторого п, было бы и х„ >О, что противоречит условию.□
В дополнение к доказанной теореме покажем, что если последовательность монотонно не убывает и не ограничена сверху, то lim хп = +со.
77—>СО
Действительно, пусть М>0 - произвольное число. В силу того, что величина хп не ограничена сверху, при некотором п будет хп > М, а так как числа не убывают с ростом п, то и при всех последующих п будет хп >М, т.е., начиная с некоторого п, будет хп >М\/п, откуда и следует, что
lim х„ = +со .□ 77—
Теорема 2.9. Если последовательность {х„} монотонно не возрастает и ограничена снизу некоторым числом q, то она имеет предел, и этот пре-41
1
8
дел не меньше числа q.
Эта теорема доказывается совершенно аналогично теореме 2.8.
Пример 2.14. Пусть
1 11 11 1 2	2 2 4 3 2 4
Очевидно, что для всех и будет хп < 1, и что последовательность {х„} монотонно возрастает. Па основании теоремы 2.8, последовательность
{х„} имеет предел и этот предел не превосходит числа 1, рис. 2.14. Легко проверить, что в данном случае предел равен именно 1. Действительно
Х1 х2 х3
о
Рис. 2.14
1 1
хп ~	+ 2
2 22
1----------
2п
1	2
тИ	1
j_l	2й
2
Если	то ——>0, а значит lim х =1.
2”
Пример 2.15. Рассмотрим последовательность
1	1 I	,ll	.ll	I
X. — I, Хо — Id-, Хэ — 1ч-1—,..., х„ — 1ч-1-ь... ч—,...
2!	2! 3!	2! 3!	п\
Очевидно, что последовательность {х„} монотонно возрастает. В то же время
1
2иЧ
. 11 1 .11
X™ — 1 +	+	+... +	< 1Ч" + ~
1-2 1-2-3	1-2-3-.. ,п	2 22
. 1	1 1 1 _э
<1ч- + ч- + •••-	-2.
2 22 23	j-l
2
Из теоремы 2.8. следует, что существует число а = lim хп, и при этом а < 2. /7—>СО
Позже мы увидим, что а = е -1 = 1,718....
9. Решение характерных нрнмеров на нрнзнакн существования пределов числовой носледовательностн
Пример 2.16. Пусть хи =
Тогда
_ п ч-1 х«+1 - 2”+1 ’
42
откуда
хи+1 (л +1)2” л +1 хп 2”+1и 2п
а значит
и +1 Xfl+l ~ ~~ ХП  2п
Поскольку и +1 < 2и Vn = 2,3,4,..., то
Хп+1 < %П Л > 1 •
Следовательно, последовательность {х„} монотонно убывает. Кроме того, хп >0\/п. Таким образом, последовательность {х„} монотонно убывает, но ограничена снизу числом 0. Па основании теоремы 2.9, существует число с = lim хп, и при этом с > 0.
77 —>СО
Поскольку рекуррентное соотношение (2.12) верно при всех п, то в нем можно совершить предельный переход при п—>оо.
Тогда получим
(2-12)
lim хп+1 = lim |jm
т. е.
с = lim
1
2 2и7
или
1
с = —с
2
откуда следует, что с = 0.
Итак, мы показали, что lim — = 0.
и ^оо 2"
Легко убедиться, что при произвольном к > 1 и при любом а > 1 бу-
г	„
дет hm — = 0, откуда, по существу, следует, что при х = п, и —> оо сте-п—>со
пенная функция неограниченно возрастает медленнее показательной функции.
Q П
Пример 2.17. Пусть х = —. Будем считать, что а>1, так как при п\
а < 1, очевидно, lim xfl = 0. Имеем
/7—>СО
_ at,+l _ап а _ а
”+1 (и + 1)! и!и + 1 ”л + 1’
43
т. е.
-\>+1 = а хп п +1 ’
а значит
(2.13) п +1
При больших п (точнее, при п>а-1) будет хи+1 <х„. Кроме того, хп >0\/п. Таким образом, последовательность {х„} монотонно убывает, но ограничена снизу числом 0. В силу теоремы 2.9, она имеет предел с, и при этом с > 0.
Совершая в соотношении (2.13) предельный переход при т?—>оо, получим
lim xn+l = lim —— lim хп, и—юо И +1 и—>оо
т. е.
с = 0  с откуда с = 0.
Итак,
а" lim — = 0, и—>со
т. е. при >оо показательная функция растет медленнее факториала.
Пример 2.18. Пусть хп = 14а, где а > 1. Очевидно, что хп > IV//. Положив хп = 1 + ос„, получим, что ос„ > 0 .
Таким образом,
^=1 + ос„,	(2.14)
а значит а = (1 + ос„)”, откуда, на основании формулы бинома Пьютона, .	п(п - 1) 2 п
а — 1 + YlCLy, ч-----осп +... + осп.
/ I	I	fl	fl
Поскольку ап > 0, то
а > 1 + иос„, так что
а -1 осн <	,
п
отсюда находим: lim ос„ = 0, 77 —>СО
т. е., на основании (2.14), lim у[а = 1.
44
Пример 2.19. Пусть хп = д/й. Снова положим х„ = 1 + ос„, где ос„ > 0. Таким образом,
п = 1 + оси,
а значит
« = (1 + а„Г,
или, по формуле бинома Пьютона, п(п -1) 2 п = 1 + /70С„ +---------------------“ОС,,
ч
откуда следует, что
т. е.
а значит
п -1
и, в то же время
оси > 0 Vh .
Полагая >оо, получим, что lim ос„ = 0, т. е.
п—>СО
lim = 1.
п—>СО
Пример 2.20. Пусть хп =	. Покажем, что эта последовательность
монотонно возрастает, т.е. что
Хп < ^77+1 •
(2-15)
Перавенство (2.15) равносильно следующему:
п+1	п+1
т. е.
гЛу[гЛ <(?? + !)!
или
у! п\ < и + 1
а значит
и!<(и + 1)”
45
т. е.
1 • 2 •... • п < (л +1)(/7 +1) •... • (п + 1).
Последнее неравенство очевидно, а значит доказано и неравенство (2.15), т. е. доказано, что последовательность {*„} монотонно возрастает.
Докажем, что последовательность {xf1} не ограничена сверху.
Предположим противное, т. е. пусть существует такое число Л/>0, что хп <М\/п, т. е., '-Ул! <М откуда п\<Мп, а этот результат противоречит тому, что
М”
Inn----= 0
п—>со и!
(см. пример 2.17).
Тем самым доказано, что lim д/л! = +оо. 77 —>С0 log и
Пример 2.21. Пусть хп =-------—. Будем считать, что л>1. Тогда, на
п
основании результата примера 2.19,
у lim пп =1. п—>со
Возьмем некоторое малое 8>0. Тогда, начиная с некоторого п, будет 1
пп <ае, откуда
1,
— log£/H<8,
Л или log«« о, И
а так как s можно взять сколь угодно малым, то log., л lim = 0.
п—>со И
Пример 2.22. Возьмем последовательность
х{ = л/2,х2 = д/2 + д/2,х3 = д/2 + д/2~+ л/2,... Рекуррентная формула:
— -J2 + xf1 .
(2-16)
46
Имеем
Л] < 2,л2 < д/2 + 2 = 2,jc3 < д/2 + 2, и вообще
хп <2Х/п, т. е. последовательность {х„} ограничена сверху числом 2. Па основании (2.16) имеем
•*77+1 — Хп = д/^ "* Хп ~ д/^ "* Хп-\ = /_	/_	= •
д/2 + хп + д/2 + хп_х
Легко видеть, что х2> хА. Применяя метод математической индукции, по
лучим, что
Х„ +1 > % И	?
т. е. последовательность {xf1} монотонно возрастает.
Итак, последовательность {xf1} монотонно возрастает, но ограничена сверху числом 2. Па основании теоремы 2.8, существует число с = lim xtl, и при этом с < 2.
Совершая в равенстве (2.16), т. е. в равенстве jc2+1 = 2 + хп, предельный переход, получим
с = 2 + с, т. е.
с2 -с-2 = 0, откуда	с} =2, с2 = -1.
Корень с = -1 отпадает, так как хп>у[2, а значит и 0V2. Итак, lim х =2.
Пример 2.23. Возьмем последовательность 10	10-11	10-11-12
Л = —, х2 =-------, х3 =--------
1	1	2	1-3	3	1-3-5
т. е.
_10-11-12-...-(и + 9) Xf’~ 1-3-5-..,-(2и-1)
Очевидно, рекуррентная формула:
_ п + 9
Хп ~	| ' ХП~1	(2-17)
2п -1 47
Из неравенства п + 9 < 2и -1 получим п > 10. Таким образом, из (2.17) следует, что, начиная с и = 11, последовательность {.\у} монотонно убывает. Кроме того, хп > OVh'. Следовательно, эта последовательность удовлетворяет условиям теоремы 2.9. Поэтому существует число с = lim хп, причем 77 —>СО
с>0.
Переходя в соотношении (2.17) к пределу при п —>оо, получим
откуда с = 0, т. е.
lim х = 0.
77—>ОС
Этот результат естественен, поскольку, на основании (2.17), при больших
п будет хп
1
2 х”-1
т. е. последовательность хп при больших п близка к
1
геометрической прогрессии со знаменателем q = —
10. Лемма Больцано-Венерштрасса
Возьмем последовательность
1	2	3	4
2,-,-2,-,2,-,-2,-,...
2	3	4	5
Она является ограниченной, но не имеет предела. Однако из нее можно выделить подпоследовательность
2 3 4 2’3’4’5’’"’ которая, очевидно, сходится, имея предел, равный 1. Возникает вопрос, случаен ли этот факт, или же он имеет общий характер?
Теорема 2.10 (лемма Больцано-Венерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к конечному пределу.
Пусть последовательность
•И, х2, ...,х„,....	(2.18)
ограничена. Тогда существует такой отрезок [a,b], что хп е [a,b]Vn. Разделим отрезок [a,b] пополам. По крайней мере одна из его половин содержит
48
бесконечное множество точек хи; обозначим эту половину через [ц,^]. Если бесконечное множество точек хп содержит каждая из половин отрезка [«,/?], то любую из них можно взять в качестве
Аналогично делим отрезок ] пополам и обозначаем	ТУ
из его половин, которая содержит бесконечное множество точек хп, и т. д. Па к-м шаге получим отрезок .], содержащий бесконечное множество точек хп, и т. д.
В результате получим систему стягивающихся отрезков \а,b\ [щ, Ь^, [а2, Ь2 ],..., [<^^,Ьк ],.... Па основании леммы о стягивающихся отрезках, существует единственная точка с, принадлежащая всем этим отрезкам.
Искомую подпоследовательность х х ...х ... можно построить, например, так (вообще это можно сделать бесчисленным множеством способов). В качестве х возьмем первое из чисел хп, содержащееся в
В качестве х возьмем первое из чисел хп, следующих в последовательности (2.18) после х и попавшее в [«2>^2]- В качестве хп берем первое из чисел хп, следующих в (2.18) после х и х и попавшее в [а3,Ь3] и т. д. Это построение возможно, поскольку каждый из отрезков \ак, Ьк ] содержит бесчисленное множество точек хп, а значит ему принадлежат точки со сколь угодно большими номерами.
Так как для всех нк будет ак < хп <Ьк, и в то же время lim = lim bk = с, то, в силу свойства 6 пределов, имеем к—>со	к—>со
lim х =с, к-><х> к
что и требовалось доказать.□
Унражнення к главе II
Построить последовательности и установить их расходимость 1.лг„=(-П"2;	2. л„=(-1)"п;
З.Л„	4.
49
5. х
' н
7. х„
_ (-1)Л+1И и +1
= (-1)"л?3.
6. хп
+1
8. Дана последовательность {*„}, где хп
1-2/72
------Пользуясь опре-3 + 4и2
г	1
делением предела, показать, что ши хп = — 2
Начиная с какого и будет
л„+1 <0,001?
Дана последовательность {xtl}. Пайти ее предел, а также 7V(s). 2и-1 3/7 + 1 ’ к2 -1 и2 +1
9- Хп
10. хп
и
И-
13. Дана
12. х„
к + 1 Зк-2’
1	13	2и-1
последовательность + =— ,jc9 =---=x,i-------------. По-
1 4 2 4 7	"	" *Зи + 1
казать, что она монотонно убывает, и что lim х„ = 0.
77->СО
14. Дана последовательность jcj = V12, х что она монотонно возрастает, и найти ее предел.
Вычислить пределы ап lim ----— (а > 1; а = 1; 0 < а < 1);
'„-I . Показать
15.
16.
г	О2”
™ ----5 Г
.^>1 . „2« + 1
1 + 2 + 3 + ... + (/?-!) lim -----------— -------
Н->со	/7 2
1Q г I2+32+... + (/?-I)2 19. lim------
п—>со
1+1-2 21. lim 2
п—>со
17.
18. lim
77^00
I2 + 22 + ...и2 и
3
и2
1-2 + 2-3 + ... + /?(/? + !)
20. lim
и3
и2
1
+.
4___
1 1
—।---ь.
3 9
1
F.
1 ’
1 1
1
22. lim-------1----h...+
3‘5	(2л-1)(2л + 1)
50
III. Предел функции. Непрерывность функций
1.	Предел функции в точке н на бесконечности
Пусть имеется функция у = f(x) с областью определения Df. Возь
мем некоторую последовательность
} Aj , Х<2., Хп,
(ЗЛ)
такую, что
а)	хп g Dy V77;
б)	lim хп = а, и при этом хп Фа Х/п . П—>00
Очевидно, последовательностей вида (3.1), удовлетворяющих условиям а) и б), существует, вообще говоря, бесчисленное множество.
По последовательности (3.1) строим соответствующую числовую последовательность
{f(xn )}= f(xi\f(x2\--,f(xn )>•••	(3-2)
Если для любой последовательности (3.1), удовлетворяющей условиям а) и б), соответствующая последовательность (3.2) сходится к некоторому числу Ь, то это число называется пределом функции у = f(x) в точке х = а, и
это записывают так
lim f(x)=b,	(3.3)
х^а
ИЛИ
/W b.
хЧ>а
При этом числа хп могут приближаться к точке а совершенно произволь-
но, и в любом из этих случаев будет
Нт Axn)=h-
П^*х>
Данное определение предела функции в точке можно сформулировать и короче:
lim хп = а lim /(.¥„) = Д v{jcn}-> я . (3.4)
Геометрически соотношение (3.4) означает, что
рис з । если абсциссы точек хп стремятся к а, то ординаты
этих точек неограниченно приближаются к b.
Пример 3.1. Пусть f(x) = у/х + 2 . Докажем, что lim -Jx + 2 = л/З .
X—>1
В данном случае Dy =[—2,+°о). Возьмем в Dy последовательность {хп }, такую, что	—> 1. Имеем
51
^хп + 2-д/3 =
(.*•„+2)-3
-J хп + 2 + д/З
= (хп -1)
1
J хп + 2 + д/З
Знаменатель во втором множителе не может быть сколь угодно близким к нулю, а значит, этот множитель является ограниченной величиной. Множитель же хп -1 бесконечно мал при и—>оо. По тогда и д/дч-2 — д/З, как произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную, есть бесконечно малая последовательность, а это, на основании (3.4) и (3.3), означает, что lim -Jx + 2 = д/З .
х—>1
Пример 3.2. Покажем, что lim sin х = 0. Пусть последовательность х—>0
К} сходится
дианах, то
к нулю. Если ос измерять в ра-
ос =---, рис. 3.2.
ВС
В то же время sin ос =	, а так как ВС < АВ, то
sinoc„<oc„ Vh.
Здесь мы считаем, что оси > 0. В общем же случае, очевидно, имеем |sin оси| <|ос„|.
Так как, по условию, оси —>0, а значит и |ос,7|—>0, то тем более и |sin осЛ71	0, откуда и следует, что
Н—>00
lim sin х = 0.	(3.5)
х—>0
Пример 3.3. Пусть а - произвольное число. Докажем, что
lim sin х = sin а.	(3.6)
х—>а
Имеем
_ . х„ - а х„+а
sin - sin а = 2 sin —--cos —---
п	2	2
Если	—> я, то, на основании (3.5), sin — -> 0. В то же время
Рис. 3.3
cos—— 2
< 2 Vh .
Следовательно, величина sin хп - sin а при
л?—>оо бесконечно мала, как произведение бес-
конечно малой величины на ограниченную. От-
сюда, на основании произвольности последовательности {хп }, и следует равенство (3.6).
52
В равенстве (3.3) каждое из чисел а и b может и не быть конечным. Пусть, например, а = оо. Тогда вместо (3.3) получим
lim f(x)=b.
X—>00
В частности, можно рассматривать пределы lim f(x) и lim f(x),
X—>+оо	х—>-00
рис. 3.3.
Пример 3.4. Из рис. 3.4 легко усматривается, что
yh	lim arctgjc = — , lim arctga =-— .	(3.7)
д/2 ___________ X —>+cO	2 x—>—co	2
Для доказательства зададим произвольное 8 > 0.
0	Решим неравенство
л/2	_ _	х < 8
Рис. 3.4	Получим
л arctg х > — - s, откуда
(л
X > tg - - е , т. е.
X > ctg 8 .
По хп —>+со, а поэтому, начиная с некоторого и, будет хп >ctg8. Тогда, начиная с этого п, будет
arctgхп <8,
откуда следует первое из равенств (3.7). Точно так же доказывается и второе из равенств (впрочем, оно вытекает и из нечетности функции arctg х).
Пусть теперь в равенстве (3.3) будет b = со, т. е. пусть lim f(x) = со. х—>а
В таких случаях говорят, что функция f(x) в точке х = и обращается в
Ун	।; ।	бесконечность.
/ ; \	Пример 3.5. Убедимся, что lim —-—- = +со.
:	^з(х_з)2
i	и -	з 1
J____________Действительно, если хп —> 3, то----------------хп есть
°	3	(*„-3)2
Рис. 3.5 бесконечно большая положительная величина (как произведение бесконечно большой положительной величины на величину, не стремящуюся к нулю и, начиная с некоторого п, положительную),
53
рис. 3.5.
Возьмем, наконец, случай, когда одновременно <7 = оо и /? = оо, т. е. когда
lim f(x) = со.
X—>00
Это равенство означает, что если \хп } - произвольная бесконечно большая последовательность, то и последовательность {f(xn )} - бесконечно боль
шая.
Пример 3.6. Покажем, что
У к	lim 1hjc = +oo.
X—>+оо
Зададим некоторое число М > 0. Решим нера-——	венство
-	In х > М.
О / 1	х	м
Рис 3 6 Оно выполняется Для х > е  По, поскольку хп +со, то, начиная с некоторого п, будет
хп > ем, а значит, начиная с этого п, будет In хп > М, рис. 3.6.
2.	Односторонние нределы функции в точке
Предположим, что числовая последовательность {хп } имеет предел
а, и пусть хп > а \/п, рис. 3.7. В этом случае говорят, что величина хп
стремится к числу а справа, и пишут:
а	х4 хз х2 Xi	ду, —> б/ + 0.
I I I I I I ]	|	|	|	77 >0О
р 3 7	Если же lim хп = а, и в то же время хп < а
п^х
Xfn, то величина хп называется стремящейся к числу а слева; в этом случае пишут:
хп а-0. п^х
частности, если а = 0, то пишут не
—> 0 + О или хп —> 0 - 0, а просто п—>00	п—>00
-^ + О или хп - 0 .
77—>00	77—>00
Предположим теперь, что у = f(x) - не-
0	а	х которая функция. Если для любой последова-
Рис. 3.8	тельности {ду} а-О будет {/(*„)} by, то
и—>00	п—>00
число by называют пределом функции f(x) в точке х = а слева, рис. 3.8, и
в этом случае пишут, что
54
/?( = lim f(x).
x^>a-0
Аналогично определяется предел функции f(x) в точке х = а справа:
b2 = lim f(x).
X—>67+0
Для произвольной функции в произвольной точке пределы слева и справа не обязательно равны между собой. Более того, любой из них (или даже оба) может не существовать.
Пример 3.7. Возьмем функцию у = arctg — и точку х = 0. Если
х
—> +0, то — —> + со, и, в силу первого из равенств (3.7), п—*х>	Хп п^х)
1 Л
arctg — —> —, так что
Xfl 77—>00 2
1 Л
lim arctg —= — .
х—>+о х 2
Аналогично, используя вторую из формул (3.7), получим
1л
lim arctg — = —.
х—>-о	х 2
Обычно, с целью уточнения предыдущих равенств, их пишут так:
I Л	I л
lim arctg — =--0, lim arctg — =----h 0.
x—>+o	x 2	x—>—о	x 2
Смысл каждого из этих уточнений очевиден, рис. 3.9.
Итак, в данном примере пределы функции в точке х = 0 существуют, но не равны между собой.
1
Пример 3.8. Пусть у = 2 х . Если хп —> + 0, то — —> + со, а значит
п—>00	Хп п^кх
х—>-0	х—>+0
т. е. предел функции в точке х = 0 слева существует, а предел справа - не
существует.
55
Заметим еще также, что, если хп —> + со, то — —> + 0, а значит п—>сс	X п^х>
1
2х"	1 + 0, так что
П—>00
1
lim 2х =1 + 0, X—>+оо и аналогично
1
lim 2х = 1-0.
X—>-00
Легко видеть, что для того чтобы данная функция в данной точке имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке пределы как слева, так и справа, и чтобы эти пределы были равны между собой.
3.	Свойства пределов функций
Рассмотренные выше определения и свойства пределов числовых последовательностей легко переносятся и на случай функций непрерывного аргумента. Перечислим основные из них.
Функция f(x) называется бесконечно большой при х—>а, если lim f(x) = со (здесь, как и всюду ниже, вместо х —>а может быть х —>оо). х—>а
Имеют место, в частности, следующие свойства.
1.	Сумма бесконечно большой и ограниченной функций есть бесконечно большая функция.
2.	Сумма бесконечно больших функций одного знака есть бесконечно большая функция того же знака.
 Докажем, например, свойство 1. Пусть lim f(x) = со, а ср(-х) - ог-х—>а
раниченная при х —>а функция (т.е. существует такое М > 0, что для всех хеС£(о), где 8 > 0 - любое число, будет |ср(-х)| <М). Тогда при хп а получим последовательность {/(х„ ) + ср(х„ )}, которая является суммой бесконечно большой {/(*„)} и ограниченной последовательности {ф(х,;)}. В силу соответствующего свойства числовых последовательностей будет /(х„) + ф(х„) ~> °0, а так как {х„| - произвольная последовательность, то lim [/(х) + ф(х)] = со, что и требовалось доказать. □ х—>а
Функция /(х) называется бесконечно малой при х—>а, если
56
lim f(x) = 0. Имеют место следующие свойства. х—>а
1.	Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
2.	Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.
3.	Если при х —>а функция f(x) является бесконечно большой, то функция ос(У) = —। есть бесконечно малая при х —>а.
/0
4.	Если при х —>а функция ос(х) есть бесконечно малая и если она не обращается в нуль в некоторой окрестности точки а (за исключением, быть может, самой точки а), то функция f(x) =	. является беско-
oc(jc)
нечно большой при х —>а.
	Докажем, например, свойство 3. Пусть хп а. Тогда при п —>оо п—>00
последовательность {/(*„)} есть бесконечно большая, и, по доказанному
ранее, величина {ос(х)} = < —> есть бесконечно малая последователь-L/wJ
ность, т.е. ос(хи ) —> 0, а так как последовательность {хп } - произвольная, п—>00
то lim ос(х) = 0 .□
х—>а
Предположим теперь, что lim f(x) = b. Тогда /(*) = b + ос(х), где х—>а
ос(х) - бесконечно малая функция при х—>а. Обратно, если f(x) = b + ос(х), где ос(х) 0 при х а, то b = lim f{x).
х-^а
	Докажем, например, первое из этих утверждений. Пусть
Л = lim f(x). Это значит, что если хп —> я, то /(а/7) —> />, а значит х—>а	и—>оо	п —>х
f(xn 0 • Положив
77—>СО
/(*„)-6 = ос(х„),	(3.8)
будем иметь ос(х„ ) —> 0. Следовательно, ос(х) - бесконечно малая функ-п—>00
ция при х —>а, а так как из (3.8) следует, что f(x) = b + ос(х), то утвержде-
ние доказано.П
Далее, справедливы следующие утверждения.
Теорема 3.1. Предел суммы любого конечного числа функций, имеющих предел, равен сумме этих пределов, т. е.
57
т	т
Mm £А(*)=£Мт AW-x^ak=l	k=lx^a
Теорема 3.2. Предел произведения функций, имеющих пределы, равен произведению этих пределов, т. е. т	т
Мт паМ = Пйп aW-
х^“к=\	к=\х^а
Из этой теоремы, в частности, следует, что постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.
lim [г/(х)] = с lim /(х).
х—>а	х-^а
Теорема 3.3. Предел частного двух функций, имеющих пределы, равен частному этих пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, т. е. ./ х lim Дх)
lim	> Мт ср(х) 0.
х-*а ф(х) lim ф(х) х^>а
х^а
Все эти теоремы доказываются совершенно аналогично.
	Докажем, например, теорему 3.1, причем для простоты возьмем случай двух слагаемых. Предположим, что
lim /(х) = b, lim ср(х) = с.
х^а	х^а
Это значит, что если хп —> я, то lim /(х/7)=Л, lim <р(х/7)=с. По тогда,
на основании теоремы 2.1,
lim [/(х„ ) + ср(х„ )] = lim f(xn ) + lim ср(х„ ), П—>СС	п—>00	п—>00
т. е.
lim [/(%„)+ <рМ)] = b + с.
А так как последовательность {хп } - произвольная, то это значит, что lim [/(х) + ср(х)] = Ь + с П п—*х
Пример 3.9. Па основании теорем 3.1. и 3.2, получим
lim ^2х2 + Зх - lj= 2 lim (х  х) + 3 lim х-1 = 2-12 + 3-1-1 = 4.
х—х1	х—х1	х—Д
Отметим еще следующие свойства.
1.	Если функция /(х) имеет предел в точке х = а, то она ограничена при х —>а.
2.	Если существуют конечные пределы lim /(х) = b, lim ср(х) = с, х—>а	х^а
и если в некоторой окрестности точки а будет /(х) > ср(х), то и Ь> с.
3.	Если в некоторой окрестности точки а будет ср(х)< /(х)< g(x) и если
58
lim ф(а ) = lim g(x) = b, то предел lim f(x) также существует и равен b. х^а х^а	х^а
4.	Пусть функция f(x) монотонно не убывает на отрезке [^1,^2] и огРа-ничена на нем сверху числом М (т.е. f(x)<M,Vxe[ai,a2]). Тогда существует односторонний предел lim ./(-v), и этот предел не пре-х—>о2-0
восходит числа М.
5.	Пусть функция f(x) монотонно не возрастает на отрезке [^1,^2] и ог" раничена на нем снизу числом т. Тогда существует односторонний предел lim ./(-*), и этот предел не меньше числа т.
х—>а2—0
Все эти свойства легко следуют из соответствующих свойств числовых последовательностей.
Докажем еще одно свойство.
I	Лемма 3.1. Если lim f(x) > 0, то существует
х^>а
такая окрестность точки х = а, внутри которой бу-"X дет /(х) > 0 (рис. 3.11).
—-Z-----!----\ j>	 Предположим противное, т. е. пусть в лю-
бой, сколь угодно малой, окрестности С8(я) содержится точка х, в которой f(x) < 0. Тогда в любом ограниченном интервале, содержащем точку а, имеется бесчисленное множество точек х, для которых f(x) < 0. Па основании леммы Больцано-Вейерштрасса, из этого множества точек можно выделить подпоследовательность {-*„}, такую, что хп а. По предположению, для всех этих п—>00
точек будет f(xn ) < 0. По тогда и lim ) < 0 (этот предел существует,
П—>00
поскольку, по условию, существует предел lim /(х)). Полученное нера-х—>а
венство противоречит условию, согласно которому lim f(x) > 0 .□ х—>а
Доказанное утверждение называют леммой о сохранении знака функции.
Заменяя в лемме f(x) на -/(х), получим, что если lim f(x)< 0, то х—>а
существует такая окрестность точки х = а, всюду в которой f(x) < 0.
4.	Второе определение пределов функции в точке и на бесконечности
Пусть lim f{x)= b, где а и Ь- конечные числа. Это равенство озна-х—>а
чает, что для любой последовательности {хи} —> а будет {/(хи)} Ь.
59
Покажем, что равенство lim f(x) = b может трактоваться более просто, без х—>а
связи с последовательностями, а именно: если х достаточно близко к а, то f{x) сколь угодно близко к b.
Зададим некоторое 8 > 0. Поскольку lim |/(л) — Л>| = 0, то
х—>а
lim [s - |/(jc)- Z>|]= s, x—>a
т. e.
lim I8 - |/W-£|]> o.
X—>CI
Па основании леммы о сохранении знака, существует окрестность Cg(a'), рис. 3.12, в которой будет
t. e.
Итак, если lim f(x)=b, то для любого x—>a
s > 0 найдется такое 5 > 0 (это 5, вообще говоря, зависит от 8), что неравенство |х - cz| < 8 вле
чет за собой неравенство |/(х)- b\ < 8, т. е.
(р-с/|<б)^(|/(.х)-б|<8).
Очевидно, чем меньше 8, тем меньше, вообще говоря, будет и 5.
Докажем теперь, что и, наоборот, если для любого 8 > 0 найдется такое 8(e) > 0, что
(|зг-а| < §)=>(|/(х)- b\ < е), то b = lim f(x).
х^а
Пусть {хп } - произвольная последовательность, такая, что хп а.
п—>00
Зададим 8 > 0. Поскольку lim хп = а, то, начиная с некоторого п, будет п—>00
|хп — €/| < 8. По тогда, по условию, начиная с этого п, будет \f(xfJ) - b\ < 8,
т. е.
lim f(xn) = b,
п^хх>
а так как последовательность {хп} - произвольная, то это значит, что lim f(x)=b.
х-^а
Итак, мы приходим к новому определению предела функции в точке (его называют определением на языке “8,5”, или определением по Коши): число b называется пределом функции f(x) в точке х = а, если для любого 8 > О найдется такое 5(e) > 0, что
60
Пример 3.10. Легко проверить, что lim V-X +1 = 2 (ср., например, с х—^3
примером 3.1). Положим 8 = 0,1 и потребуем, чтобы было у/х + 1 - 2 < 0,1,
т. е.
-0,1 < Vjc+T-2<0,1.
Получим
1,9 < 4х + 1 < 2,1
или
3,61 <х + 1< 4,41, т. е.
2,61 < х < 3,41.
Отсюда следует, что в качестве 8 следует взять меньшее из чисел 3 - 2,61 = 0,39 и 3,41 - 3 = 0,41, т. е. число 0,39.
Пример 3.11. Покажем, что lim ах = 1. Для х—>0
определенности будем считать, что а > 1. Зададим произвольное 8 > 0 и потребуем, чтобы было ах -1 <8,
т. е.
-£<ах: -1 <8.
Это неравенство выполняется, если
1-8<ах <1 + 8,
т. е. если
Поскольку
log67(l-8)<JC<log67(l + 8).
bg«(1 + £)<|1°g«(1-£) (см. рис. 3.13), то положим
б = log а (1 + s); получим, что если | jc| < б
то ах -1 <8, что и требовалось
доказать.
Обратимся теперь к равенству lim f(x) = b . X—>00
Рассуждая аналогично предыдущему, получим новое определение: число b называется пределом функции f(x) на бесконечности, если для любого 8 > 0 найдется такое 7И(е)>0, что
61
(W > M)^(\f(x)- b\ <s).
В частности, в случае х +°о или х —со условие |х| > М превращается в условие х> М или х < -М.
Пусть теперь lim f(x) = оо . Теперь этому х—>а
равенству можно дать следующее определение: функция f(x) обращается в бесконечность в
точке х = а, рис. 3.15, если для любого М>0 найдется такое 5(7И)>0 , что
(|х-а|<б)^(|/(х)>Л/).
а а й+5
Рис. 3.15
Пусть, наконец, lim f(x)=co, рис. 3.16. Это
X—>00 означает, что для любого N > 0 найдется такое M(n) > 0, что
Таковы различные варианты определения пре-
Рис. 3.16 дела функции в точке на языке Коши.
5.	Непрерывность функции в точке и иа промежутке
Функция называется непрерывной в данной точке, если ее предел в этой точке равен значению этой функции в этой же точке, т. е.
lim f(x)=f(x0).	(3.9)
X—>Х()
Это определение можно сформулировать и более подробно: функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если
а)	эта функция определена в точке х0 и в некоторой ее окрестности (т. е. существует такое 5 > 0, что	последнее необходимо для
того, чтобы можно было рассматривать ситуацию, когда х —> Xq ;
б)	в точке %о существуют пределы функции f(x) слева и справа;
в)	оба односторонние предела равны между собой;
г)	эти пределы равны значению функции /(х) в точке х().
Пример 3.12. Мы уже видели (см. пример 3.1), что lim -Jx + 2 = -Уз .
X—>1
Но -73 = л/2 + 1 есть значение функции у/х + 2 в точке х = 1. Следователь-
но, на основании (3.9), функция -Jx + 2 непрерывна в точке х = 1.
Пример 3.13. Мы видели также (см. пример 3.3), что lim sin х = sin х() при любом х(). Теперь это означает, что функция sin х х—>х(1
62
непрерывна во всех точках числовой оси.
Функция f(x) называется непрерывной в точке х$ справа, если вы
полняется равенство
lim /(х)=/(х0).
X—>х0+()
При этом слева от точки х0 функция / (х) может и не быть опреде-
лена.
брать сколь угодно малым, а {х;;| - произ-
Пример 3.14. Покажем, что функция Jx (рис. 3.17) непрерывна в точке х = 0 справа. Действительно, пусть хп —» + 0. Тогда, начиная с некото-п—>00
рого п, будет хп <82, а значит ^х^ <8, а так как 8 можно
вольная последовательность, стремящаяся к нулю, то
lim 4х = 0.
х—^+0
Если же х < 0, то функция у[х вообще не определена.
Функция /(х) называется непрерывной в точке х0 слева, если lim f(x)=f(xG).
х—>х0— О
Функция /(х) называется непрерывной в (открытом!) интервале, ес-
ли она непрерывна во всех точках этого интервала.
Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна во всех его внутренних точках, а на левом и правом концах непрерывна соответственно справа и слева.
Геометрически непрерывность функции на отрезке означает, что график этой функции на
данном отрезке есть сплошная, т. е. не имеющая разрывов, линия, рис. 3.18.
6.	Другие формы оиределеиия непрерывности функции в точке
Равенство (3.9), выражающее непрерывность функции в точке, можно сформулировать и на языке “8,8”: функция /(х) называется непрерывной в точке х0, рис. 3.19, если для любого 8 > 0 найдется такое 8(e) > О, что условие |х — х0| < 8 влечет за собой выполнение неравенства
|/(х)-/(х0)<8,
63
т. е.
V8>0 35(s)>0 I(]х-х0|<б)^> d/W-Ж) <z)
Можно придать и еще одну форму равенству (3.9), для чего введем сначала определение.
Возьмем функцию у = f(x) и некоторую точку х0. Придадим затем чис
Рис. 3.19
лу х0 приращение Ах, такое, что
[х0,х0 + Ах]• Разность
4у = Д*о + ^)- fM называется приращением функции у = f(x) в точке х0 и обозначается еще Af(x0), рис. 3.20. При этом каждая из величин Ах и Ау может и не быть положительной.
Пусть функция у = f(x) непрерывна в точке х0. Тогда, переписав равенство (3.9) в виде lim Ш-Л-о)]=° х-х0^>0
и положив х - х() = Ах, /(х)- /(х0 ) = Ау, будем иметь
lim Дг = О.
(3.10)
Итак, если функция в данной точке непрерывна, то бесконечно малому приращению ее аргумента отвечает бесконечно малое приращение самой функции.
Рассуждая в обратном порядке, получим обратное утверждение: если в данной точке для функции у = /(х) выполняется равенство (3.10), то данная функция непрерывна в этой точке. Таким образом, равенство (3.10) есть необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке.
Примечание. Пусть функция /(х) непрерывна в точке х0. Тогда выполняется равенство (3.9), которое в данном случае запишем так:
lim /(х) = /(limx).	(З.И)
Это значит, что вместо вычислений предела непрерывной функции достаточно вместо ее аргумента подставить его предельное значение. Поэтому равенство (3.11) называют правилом предельного перехода под знаком непрерывной функции.
Формально равенство (3.11) означает, что в случае непрерывной функции символы lim и f можно менять местами. Это обстоятельство бу-
64
дет не раз использовано в дальнейшем.
7.	Основные теоремы о непрерывных функциях
Теорема 3.4. Сумма функций, непрерывных в данной точке, есть функция, непрерывная в этой точке.
Пусть функции f(x) и <р(т) непрерывны в точке х0. Тогда lim f(x)=f(xQ), lim ср(дс) = ф(х0) х—х—xjcq
Обозначим F(x)= /(х) + ф(х). Тогда
lim F(x)= lim [/(х) +	= lim f(x) + lim ф(х) = /(x0) + ф(х0) = F(xq),
x—x—^Xq что и требовалось доказать.□
Поскольку в ходе доказательства была использована теорема о пределе суммы функций, то теорема 3.4. может быть обобщена на случай любого конечного числа слагаемых.
Теорема 3.5. Произведение функций, непрерывных в данной точке, есть функция, непрерывная в этой точке.
Теорема 3.6. Частное функций, непрерывных в данной точке, есть функция, непрерывная в данной точке, если только знаменатель не обращается в этой точке в нуль.
Две последние теоремы доказываются точно так же, как и теорема 3.4, на основании теорем 3.2 и 3.3 о пределах функций.
Теорема 3.7 (теорема о непрерывности сложной функции). Пусть даны функции у = fiu) и и = ф(х). Если функция ф(х) непрерывна в точке х0, причем (р(хо) = //(), а функция fiu) непрерывна в точке г/о, то сложная функция Е(х) = /[ф(х)] непрерывна в точке х0.
Покажем сначала, что функция F(x) определена в некоторой окрестности точки х0. Действительно, из непрерывности функции fiu) в точке и0 следует существование окрестности С8(г/0), в которой функция fiu) определена. Далее, в силу непрерывности функции ф(х) в точке х0, существует такая окрестность С§(х0), что из соотношения xeCg(x0) вытекает соотношение |ф(х) - ф(х0 ) < 8, т.е. г/еС8(г/0). Но если г/еС8(г/0), то f(ii) имеет смысл. Таким образом, существует такая окрестность С5(х0), в которой функция ,/ [ф(х)] имеет смысл.
Приступая к доказательству основного утверждения, зададим произвольное 8 > 0. В силу непрерывности функции fiu) в точке г/0, существует такое ч(е)>о, что (|w-w0|<	<s). Далее, поскольку
функция ф(х) непрерывна в точке х0, для полученного т] найдется такое
65
б(т]) > 0, что
(|х - х0| < б)^> (|ср(х) - ср(х0 ) < п), т. е.	1 <	- w01 < п).
Но
- UO | < и) => d/(w) - f(u0 ) < е), т. е.
dи - uq । < п) => d/Ш] - /М^о)] < s)>
откуда и следует непрерывность функции F(x) в точке х0 .□
Примечание. Выделяя "главную линию" в доказательстве основной части теоремы, можно записать ее в виде следующей цепочки импликаций: (х -> х0 )=> (<р(х)-> ср(х0))<^> (г/ -> Uq )=> (/(г/)-> f(u0))<^> (f(x)-> F(x0)).
Теорему 3.7 можно записать в следующем удобном для практики виде
lim /[ср(х)]= lim f(u).	(3.12)
JC—2/ —^A)
Это равенство выражает так называемое правило замены переменной при вычислении предела непрерывной функции.
Пример 3.15. Вычислим lim sink/*-11. Полагая и = ах-1 и учи-х^О
тывая, что, по ранее доказанному, lim ах =1, получим, на основании х—>0
(3-12),
lim sin[ах - 1)= lim sin и = 0.
x—>0	и—>0
Теорема 3.8 (теорема о существовании и непрерывности обратной функции). Пусть функция у = /(х) определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на некотором отрезке Тогда на соответствующем отрезке [c,d] значений этой функции существует и однозначна обратная функция х = <р(>), также монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная.
Эта теорема будет использована нами сразу же, но ее доказательство мы приведем несколько позже.
8. Пеирерывиость основных элементарных функций
Обратимся сначала к показательной функции у = ах. Пусть х0 -произвольное число. Имеем
lim (ах -ах°) = lim ах° (ах~х° -1) = ах° lim (ах~х° -1) =
' х—>.Го	'	'	х—Xq —>0 '	'
= ах° Нт (а" -1),
и—>сА	'
66
а так как, по ранее доказанному, lim а11 = 1, то
и—>0
lim -аХ(> )= 0, х—>х0
т. е.
lim ах = аХ(>.
х—>х0
Итак, показательная функция непрерывна при всех х.
Пусть теперь у = log а х. Эта функция обратная функции у = ах, которая монотонно возрастает (если а > 1) или монотонно убывает (при а < 1), изменяясь в промежутке (0,+°о) и, в силу только что доказанного, непрерывна при всех х > 0. На основании теоремы 3.8 об обратной функции, функция у = log а х монотонна и непрерывна всюду в промежутке (0,+°о).
Далее, как мы видели,
tz _ alnx
•7L —	
Из непрерывности показательной и логарифмической функций, в силу теоремы 3.7 о непрерывности сложной функции, следует, что и степенная функция непрерывна при всех х > 0. Если же а таково, что ха имеет смысл и при х < 0 (или даже и при х = 0), то функция ха, как нетрудно убедиться, непрерывна и при этих значениях х. Например,
lim (jc - JQ)) .— х^х(>	U/3^4
X 4” -Tq
= 0
з/2 2 + ^XqX
как предел произведения бесконечно малой функции на ограниченную; легко проверить, что этот результат верен и при х = 0. Таким образом, при
всех х
lim х2/3 - Л3 11111 Л	— -ЛQ
х—>х0
откуда следует непрерывность функции у = х2/ 3 при всех х.
Обратимся теперь к тригонометрическим функциям. Ранее была до-
казана непрерывность функции sin х при всех X. Поскольку
• I л cos .г = sin-X
12
то, на основании теоремы о непрерывности сложной
функции, функция cosjc также непрерывна при всех х. Далее, функция tg.v, как частное двух непрерывных функций, непрерывна всюду, кроме
67
_	л Зл 5л
точек, где cosx = 0, т. е. точек х = ± — ,х = ± — ,х = ± —,..., т. е. кроме точек, где функция tg х вообще не определена. Точно так же получим, что и
функция ctg л непрерывна всюду, где она определена. Из теоремы об обратной функции следует, что функции arcsin х и arccosx непрерывны всюду на отрезке [-1,1], а функции arctg х и arcctg х непрерывны при всех
х.
Совершенно аналогично устанавливается непрерывность гиперболических и обратных гиперболических функций.
Итак, все основные элементарные функции непрерывны всюду, где они определены. Поскольку же всякая элементарная функция "составлена" из основных элементарных функций, то в силу теорем 3.4 - 3.8 они также непрерывны всюду, где они определены.
9.	Классификация точек разрыва функций
1.	Разрывы 1-го рода. Рассмотрим сначала в качестве примера две х2-1
функции: у =----- и у = х +1. Если х Ф 1, то обе функции совпадают.
х-1
Если же х = 1, то вторая функция определена (и равна 2), а первая не опре
делена. В то же время
х2-1
lim ------
х—>1+0 X — 1
т. е. просто
г -к2-!
пт------= 2.
Следовательно, график х2 -1 функции у =------ отличается
х-1
от прямой у = х +1 лишь тем,
что в нем отсутствует точка (1,2), рис. 3.21.
х2 -1
Итак, в точке х = 1 функция у =---- имеет пределы слева и спра-
х-1
ва, равные между собой, но в самой точке х = 1 функция не определена, а значит и не непрерывна (в отличие от функции у = х +1). Но если бы мы определили первую из функций так
68
I 2, x = l,
то она стала бы непрерывной и в точке х = 1, т. е. разрыв устранился бы, рис. 3.22. Поэтому разрывы такого типа называют устранимыми, а их устранение описанным только что способом называют доопределением функции в точке разрыва.
Итак, функция имеет в данной точке устрани-
0	1	х мый разрыв, если она имеет
Рис. 3.22 в этой точке пределы слева и справа, равные между собой, но в самой этой точке функция не определена.
Возьмем теперь функцию у = arctg —
х
(рис. 3.4). В этом случае, как мы видели, пределы функции слева и справа в точке х = 0 существуют, но различны. Такие разрывы называют конеч-
ными скачками. Устранить такой разрыв путем доопределения невозмож-
но.
Устранимые разрывы и конечные скачки называют разрывами 1-го рода. Их общей особенностью является существование обоих односторон-
них пределов в точке разрыва.
2 . Разрывы 2-го рода. Если в точке разрыва отсутствует хотя бы один из односторонних пределов, разрыв называется разрывом 2-го рода.
Пример 3.16. Пусть f(x) = —, рис. 3.23. Тогда х
lim /(х) =
х—>-0
-оо, lim /(х) = +оо. х^-+0
Разрывы такого типа называют бесконечными скач-
ками.
Пример 3.17. Пусть f(x) = 2lv (см. рис. 3.10).
Имеем
lim /(х)=+0, lim /(х)=+оо,
х->-0	х^-+0
т. е. предел слева существует (и равен нулю), а предел справа не существует.
Здесь разрыв также имеет характер бесконечного скачка.
Пример 3.18. Пусть /(х) =	, рис. 3.24. Здесь
х2
69
lim /(%) =
x—>-0
lim /(x) = x^-+0
+oo.
В данном случае пределы слева и справа отсутствуют (т. е. разрыв - 2-го рода), но скачка нет.
Пример 3.19. Пусть f(x) = sin —, рис. 3.25. Эта функция обращается х
довательно, в окрестности точки х = 0 функция совершает бесчисленное множество колебаний, т. е. в этой точке пределы как слева, так и справа не
существуют.
Таким образом, разрыв 2-го рода не обязательно связан с обращением функции в данной точке в бесконечность.
Одна и та же функция одновременно может иметь несколько разрывов, вообще говоря, разных типов. Укажем на одну из возможных форм
записи исследования функций на разрыв.
Пример 3.20. Пусть у = arctgf ——
I х —1
1 А +
2 - xj
. Здесь имеются две точ-
ки разрыва: х = 1 и х = 2. Имеем
Таким образом, данная функция имеет две точки разрыва 1 -го рода в
виде конечных скачков.
Для получения общего вида графика исследуем еще поведение функции на бесконечности. Имеем
70
1 1
1
^х-1 2-х	(х-1)(х-2)>
Итак, график данной функции имеет вид. изображенный на рис. 3.26.
Пример 3.21. Пусть
1-х
^ = 3х(х-2)2
Функция имеет две точки разрыва: х = 0 и х = 2. Получим I - х
1 - X
1 - X
1 — X
Рис. 3.27
Таким образом, график функции имеет примерно следующий вид: в точке х = 0 - разрыв 2-го рода в виде бесконечного скачка, а в точке х = 2 -устранимый разрыв, рис. 3.27.
10.	О строгих оиределеииях основных элементарных функций
В главе 1 говорилось, что при произвольном значении показателя л	а	<7 In х
степени а степенная функция х определяется как е , т. е. выражается через показательную и логарифмическую функции. Гиперболические функции, как мы видели, также выражаются "напрямую" через показательную функцию. Позже мы увидим (см. главу VI), что функции sin х и cosx:, а значит и tg л и ctg.v, также могут быть выражены через показательную функцию, т. е. находятся с ними в "близком родстве". Следовательно, можно сказать, что показательные функции занимают центральное
71
место среди основных элементарных функций. Поэтому коснемся сейчас вопроса о строгом определении показательной функции ах. Пусть, для определенности, а > 1.
_	т
Если х - рациональное число, т.е. х = —, где т и и - натуральные и
числа, то ах определяется по правилам элементарной алгебры, т. е.
т
ап = л]ат . Поэтому будем считать, что х - иррациональное число. Но в этом случае число х можно представить как предел последовательности рациональных чисел:
х = lim г„.
п—>ос
Поэтому, по определению,
lim гп
С1Х =	= lim аГп .	(3.13)
п—>ос
Можно показать, что этот предел не зависит от выбора последовательности {ги}. Например, считая, что -72 есть предел последовательности 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;..., мы можем определить число 3^ как предел по
следовательности
nl,4. nl,41.nl,414.nl,4142.
"J 1	1	1	1
Если же а есть натуральное число т, то
In x+ln х+...+ln X
т _ т In х _	т раз
•/С	~~
_ 1пх 1пх. ,е1пх-х.х. ,х У-S	Цу	. . . V'	* * * •А,
у	/	у	у.__>
т раз	т раз
что и понимается обычно под ат.
* т
Аналогичное замечание касается и случая, когда х =-произволь-
и
ное рациональное число.
Примечание. Равенство (3.13) по своему виду аналогично определению (3.3) предела функции в точке на языке последовательностей, или, как еще говорят, определению предела функции в точке по Гейне.
11.	Основные виды неопределенных выражений и простейшие способы их раскрытия
1 .Неопределенности вида —. Пусть требуется вычислить предел
72
lim J где lim f(x)= lim <p(x) = 0 (здесь и в дальнейшем вместо х^-а ср(х)	х^а х^а
х^а, где а<<х>, может быть и х^<х>). В рассматриваемом случае тео-
рема о пределе частного неприменима. В подобных случаях говорят, что /(х)	& -
при х а выражение представляет собой неопределенное выраже-ср(х)
Z	ч О
ине (или просто неопределенность) вида —.
Из равенств lim /(х)=0 и lim ср(х) = О следует, что /(х) и ср(х) со-х—>а	х^а
держат в себе множители, стремящиеся к нулю при х —> «. Во многих слу-
чаях эти множители нетрудно выделить, а затем произвести сокращение, в г /1Ы
результате чего получим некоторый новый предел urn , ( , который х^>а <Р| (х)
может быть вычислен более просто.
х4 +2х2 -3
Пример 3.22. Вычислим предел А = lim —-----------.
х^-1 х3 - 2х +1
Легко видеть, что и числитель, и знаменатель обращаются в нуль при
,	0
х = 1, т. е. имеем неопределенность вида —. В данном случае числитель и
знаменатель содержат в себе множитель х -1. Выделяя его (путем деления числителя и знаменателя на х -1), будем иметь
. (х 1 Их 4~X 4”Зх4-3 )	X 4-X 4-Зх4-3 14-1 4-3 4-3 _
А = lim  ---------------—L = hm--------------=-----------= 8.
(x-l)(? +л-1)	>'	* +-X-1	1 + 1“1
Пример 3.23. Вычислим предел
. Vi 4-х -1
А = lim -------.
х—>0	X
тт	0
Непосредственная подстановка снова дает неопределенность вида —.
Раскрывая ее, будем иметь:
А = lim
х->0
= lim Х---------= lim . * —
x^°x(VT+x+l) *->°Vl + x+l
Пример 3.24. Поступая аналогично, получим
2
73
д/1 + Х -1
А = lim-------------= lim
х—>0	X	х—>0 ।
= 1im
х—>0
\2 + л/1 +Х + 1
1
•2+VTZI+i)
Нетрудно убедиться, что при произвольном натуральном п
1
(3-14)
lim
х—>0	X п
Кроме того, позже мы получим совершенно строго более общую формулу, из которой как частный случай будет следовать (3.14).
СО
2 .Неопределенности вида —. Так называют дробь вида 00
х^>а, если lim /(х) = со, lim <р(х) = со .
при
Для вычисления предела
X
1
3
lim
следует выделить множители в числителе и знаменателе, кото
рые обуславливают стремление к бесконечности, и затем произвести сокращение.
Пример 3.25. Имеем
2	3
2+ —-4 2	3
X X , \ 1	2"
< X X2 ,
о	X3
2х3+2х-3	V	Л	Л 7 г
lim —---------= lim —у---------= lim
х^° Зх3 -х2 +2х х^ж з [ о 1	2 ) х^ж
х' 3 — + —
2	3
2+ --4
X2 X3
„ 1 2
3“	+ 2
х х
(23 lim 2 + 4-4 х-хю1 х х
2
3
(	1	2
lim 3 — + — х—X х у
Практически при вычислении пределов такого типа надо числитель и знаменатель разделить на слагаемое с наивысшей степенью х. Очевидно, что
0
при и < т;
а^х” + а^х" 1 + ... + ал_ух + аг1 ^^ЬцХ™ +blxm~l + ... + bm_[x + bm
«о
ьо
при п = пт,
СО
при п > пт
Аналогичное правило применяем и в случае бей. Например,
иррациональных дро-
74
r л/бх3 +x2 -2 ^/8 2 lim -------------= — = —.
x—>oo	5x +1	5	5
3 .Неопределенности вида co - co. Неопределенностью вида co - co называют выражение /(x)-cp(x), в котором функции f(x) и <р(х) при данном поведении х стремятся к бесконечности одного знака. Во многих случаях для "раскрытия" такой неопределенности удобно превратить ее в не-
0 со
определенность вида — или —.
Пример 3.26. Имеем
( ГЗ 2Г Л ..	\х2 + 3х)- х2	Зх 3	3
пт Н/х + 3х-х = пт х '=-------------= пт	=---=-----= —.
2 х^+о° д/х2 + 3х + х х—>+сод/х2 + 3х + х 1 + 1 2
Пример 3.27. Аналогично
lim fл/х2 +1 - х^ = lim ---------= 0.
х^+Л	J х^+00^2 +1+х
4.Неопределенности вида 0-со. Для раскрытия таких неопределенностей чаше всего их также превращают в дробную неопределенность.
Пример 3.28. Имеем
lim xf-./х2 +1 - х^1 = lim Х = ' = —.
х—>+со \	J х—>+со.. /д.2 ।	1 + 1 2
12. Сравнение бесконечно малых
Под сравнением бесконечно малых величин понимают вычисление предела их отношения. При этом мы одновременно будем рассматривать сравнение как бесконечно малых числовых последовательностей {ос„} и {Р,7}, так и бесконечно малых функций ос(х) и р(х). Поэтому для общности „	.	ос(х)	а
обозначении мы вместо пт или пт будем писать просто пт .
и—>оо	х^>а Р(х)	Р
ос
Пусть ос и Р — бесконечно малые. Если lim — = 0, т. е. если ос стре-
мится к нулю быстрее, чем Р, то говорят, что ос есть бесконечно малая высшего порядка, чем Р . Это записывают так:
ос = о(р).
Пример 3.29. Пусть л? —>оо и пусть ос/7 =	, Р/7 = ' . Тогда
п2+1 Г1 + 1
г ап г ” + 1 л lim = lim —	= 0,
и-хюря /7^а/72+|
75
т. е. ос = о(р).
1- ос	л
Если ши — = со, то говорят, что а есть бесконечно малая низшего
порядка по сравнению с 0. Очевидно, в этом случае 0 = о(ос).
ОС
Если lim — = с, где с<<х> и с 0, то а и 0 называются бесконечно 0
малыми одного порядка. Это записывают так: ос = О*(0), или, что то же самое, 0 = 0* (ос).
Пример 3.30. Пусть х —>0 и пусть ос(х) = 71 +л- -1,0(х) = х. Тогда
(см. пример 3.23)
ос(х) - /1 + jc — 1	1
пт , / = пт ----------= ,
х—>0 0(х) х—>0	X 2
т. е., если х —> 0, то ос(х) = О* (0(х)).
Бесконечно малая ос называется бесконечно малой к -го порядка от-
носительно бесконечно малой 0, если ос = О (рА), т. е. если lim	= с, где
с - произвольное число, отличное от нуля.
Пример 3.31. Пусть х —> 0 и пусть ос(х) = /1 + х3 -1, р(х) = х. Определим порядок малости ос(х) по сравнению с р(х). Имеем
(1 + х3) -1 х3 а(х) = .	---= .	—,
V1 + X3 +1 V1 + X3 +1 а значит
ос(х)	X3	,.11
пт у = пт z	х = пт ,	= ,
[₽(*)]	Х^° X3 C-ll + X3 + 1) Х^° 1 + X3 + 1 2
откуда следует, что ос(х) = О* |р(л)]31, т. е. ос(х) - бесконечно малая 3-го порядка относительно 0(х).
Легко проверяются следующие свойства:
1	. Если ос = О (р), а 0 = О (у), то и ос = О (у) (свойство транзитивности).
2	. Если ос = О*(у), а р = о(у), то ос + 0 = О*(у).
3	. Если ос = О*(у), 0 = О* (у), то либо ос + 0 = О*(у), либо ос + 0 = о(у).
Проверим, например, свойство 3. По условию
lim — = О|, lim — = с2, у	у
где q и с2 - конечные числа, отличные от нуля. Поэтому
76
ос + 0	(ос 0^	ос .. В
пт------= пт —ь — = пт —h пт = q + с2.
Y	U У)	У У
Если с2 -ci, то q +с2 0, и тогда ос+ 0 = 0*(у). Если же с2 = -q, то q + с2 = 0, а значит ос + 0 = о(у). В общем же случае
ос + 0 = (ос + 0 = О*(у))и(ос + 0 = о(у)).П
13. Эквивалентные бесконечно малые
Бесконечно малые ос и 0 называются эквивалентными, если
lim - = 1;
эквивалентность бесконечно малых ос и 0 записывается так: ос ~ 0.
Пример 3.32. Пусть л? —>оо и пусть oq = —, 0„ =	. Тогда
п	п + 1
= 1
п
ос
Л->°° 0и а значит, если п ад, то oq ~ 0„.
Легко видеть, что (ос ~ 0) л (0 ~ у) => (ос ~ у) (транзитивность отношения эквивалентности).
	Действительно,
lim — = lim — •	= lim — • lim - = 1 • 1 = 1,
У I что и требовалось доказать.□
Далее, очевидно, что (ос ~ 0) => (ос = О* (0)). Обратное, вообще говоря, неверно. Например, из примера 3.27 следует, что если х^-0, то -71 +л: -1 = О* (х), но, в то же время бесконечно малые -71 + х —1 и х не
У
эквивалентны.
Теорема 3.9. Для того, чтобы бесконечно малые ос и 0 были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы они различались на бесконечно малую более высокого порядка.
	Необходимость. Пусть ос ~ 0. Обозначим у = ос - 0. Тогда lim — = lim ——- = limf— -fl = lim — -1 = 1-1 = 0, p p Ip J p
t. e. у = o(0), а так как ос = О* (0), то одновременно у = О(ос).
Достаточность. Пусть ос = 0 + у, где у = о(0). Тогда
77
lim — = lim = lim 1 + — =1 + lim — = 1 + 0 = 1, P P I Pj P
а значит, a ~ 0 .□
Пусть ос ~ 0. Тогда ос = 0 + у, где у = о(0). Это значит, что, начиная с некоторого значения, будет у < 0, а значит ос « 0. В этом случае бесконечно малую Р называют главной частью бесконечно малой ос.
Пример 3.33. Пусть х—>оо и пусть ос(х) = —-----. Тогда при боль-
ше2 +1
JC	1	1
ших |х| будет ос(х) « — = —, т. е. можно предположить, что 0(х) = — есть
X1	х	X
главная часть бесконечно малой ос(х). Покажем, что это так и есть. Имеем
, .	. х 1	1 Г| СП
<х(.х) - Р(х) = —----= —-------= О — = о - .
X +1 X х + X \Х J \.-Х)
Итак, если х = 100, то ос(х) и 0(х) различаются на величину порядка 0,000001.
Очевидно, одна и та же бесконечно малая имеет бесчисленное множество главных частей (различающихся на бесконечно малую более высокого порядка).
Для получения одного из следствий теоремы 3.9 перепишем формулу (3.14) так:
х—>0	X
И
Отсюда следует, что если х —> 0, то
^/Т+х-1~-,	(3.15)
и
а значит
'Vl+I«l+-.	(3.16)
и
Очевидно, эта формула тем точнее, чем меньше х. Она позволяет приближённо извлекать корни из чисел.
Пример 3.34. Вычислим приближённо V30 . Имеем, на основании (3-16),
•а— и------- I Г ( 1/9Л	1
V30 = V27 + 3 = 33 1 + - = 3 1+- =3 + - «3,11.
V 9	<	3 J 9
Примечание. Как уже отмечалось в связи с примером 3.24, формула
78
(3.14), или, что то же самое, формула (3.15), будет позже получена совершенно строго как частный случай более общего соотношения.
Теорема 3.10. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если заменить их эквивалентными им бесконечно малыми.
Пусть ос ~ ссх,Р ~	. Тогда
ос	Гос осх	р^	ос	ос.	рх	осх	осх
lim — = lim--------= lim—lim—lim — = l-lim------l = lim—,
P	ycq Px	P J	ocx	Pj	P	Pi	Pi
что и требовалось доказать.□
Пример 3.35. Используя теорему 3.10 и соотношение (3.15), имеем
х
VT+X-1 5	8
hm R. — = hm -А- = — х->о д/1 + Зх — 1 х—>о Зх 15
8
Пример 3.36. Точно так же
54->
X X
х4 +5х3 +1 — х)= lim х 4 1т
lim
х^+х
Пример 3.37. Вычислим предел
А = lim х3
х^+х
Имеем
5
4
Если х велико, то знаменатель может быть заменён эквивалентной бесконечно большой функцией
(д/х2 + х2 + хл/2 |х2 + х2 )= (хл/2 + xV2)2x2 = 4л/2х3
(подробнее об этом - в параграфе 17 данного раздела).
Таким образом,
х3 1
Л= lim —
^+X4y2x3	4V2
79
14. Первый замечательный предел и его следствия
Рассмотрим предел lim-----, где х выражается в радианах. Непо-
х—>0 х
средственно этот предел не вычисляется, так как при х —> 0 выражение sin х	О
---- представляет собой неопределённость вида —.
х	О
Попытаемся сначала "угадать", чему равен искомый предел. Для этого возьмём поочерёдно углы 10°,5°,2° и вычислим для каждого из них sin х отношение------.
х
Пусть ос = 10°. Тогда х = — =	4159 _ дд^453. По таблице нахо-
18	18
sin х 0,17365 дим sin х = 0,17365, а значит--=--------= 0,9950.
х 0,17453
п	314159
Пусть теперь ос = 5°. Тогда х = —----= 0,08726; sin х = 0,08716, а
36
sin х значит------= 0,9989.
х
о	314159
Пусть, наконец, ос = 2 . Тогда х = —----= 0,03491; sin х = 0,03490,
Sill X а значит-----= 0,9996.
х
sin X
Итак, естественно предположить, что lim-------= 1. Докажем, что это
х—^0 X
так и есть.
Пусть сначала	х > 0.
ВС < АВ < AD (рис. 3.28), откуда
ВС АВ АР R R R ’
т. е.
Очевидно,
sin х < х < tgx.
Делим это двойное неравенство на sin х. Получим
1 < х <	1
sin х cosx
(3-17)
Пусть теперь х —> +0. Тогда-----> 1, а значит, на основании (3.17),
cosx
80
х
тем более
sin х
> 1. Таким образом
sin X , lim -----= 1.
х—>+0 X
sin х
Ввиду очевидной чётности функции------------ следует, что и
X
sin х л lim -----= 1.
х->-0 X
Следовательно, вообще
sin х л
lim-------= 1
х—>0 X
(3-18)
sin X
(в точке х = 0 функция -------
X
очевидно, имеет устранимый разрыв
рис. 3.29).П
Равенство (3.18) называют первым замечательным пределом.
Выясним геометрический смысл формулы (3.18). Имеем
у sin х tgcp = - =---,
X X
а значит, lim tgcp = lim Sm X = 1.
x—>0	x->0 X
По, в силу непрерывности функции tg х и на основании формулы (3.12), обозначив lim ср = ф(), находим х—>0
sin х
lim tgcp(x) = lim tgcp = tgcp0. х-Я)	ср—>cp0
Таким образом, tgcp0 = 1, а значит ф0 = 45°.
По если Л'^-О, то секущая ОМ стремится занять положение касательной к синусоиде в точке О, рис. 3.30. Итак, если х измеряется в радианах, а масштабы на осях Ох и Оу одинаковы, то касательная к линии у = sin х в точке О образует с осью Ох угол ф() = 45°. В этом и состоит гео
метрический смысл первого замечательного предела.
Получим несколько простых следствий равенства (3.18).
Пример 3.38. Используя соотношение sin х х при х—>0, а также теорему 3.10, находим
Рис.3.29
81
1-cosx lim----—
x2
2 sin 2 —
= lim------
x2
£
2
1 — COS X
Перепишем это так: lim-----— = 1.
X1
2
Отсюда следует, что если х —>0, то 1 - cos л:--. Этот результат полезно
помнить при вычислении тригонометрических пределов.
Пример 3.39. Имеем
tgjr sin х	х	1
1im -2— = 1im---= 1im-------= lim -----= 1.
x—>0 X	X^OXCOSX x^XCOSX x->0cOSX
Итак, если x—>0, то не только sinx-x, но и tgx-x, так что tgx ~ sin х. По тогда, в силу теоремы 3.9, при х —> 0 должно быть
tgx - sin х = о(х).
Определим при х —> 0 порядок малости функции tgx - sin х относительно
X.
Имеем
sin х . sin х Z1 . х2 I з
tgx - sin x =----sin x =----(I - cosx) ~ x— = —x .
cosx cosx	2	2
Итак, если x —> 0, то tgx - sin x = O*(x3 ].
..	„	arcsinx
Пример 3.40. Вычислим предел A = lim----------. Для этого отметим,
х—>0	X
что если х —> 0, то не только sin х — х, но и наоборот, х ~ sin х.
_	л sin (arcsinx) х л
Следовательно, А = Jim —---------- = Jim — = I,
х—^0	X	x—^0 X
а значит, если x 0, to arcsin x — x.
Совершенно аналогично убеждаемся, что если х —> 0, то и arctgx ~ х.
Эти два последних результата также полезно помнить.
Пример 3.41. Вычислим несколько более сложный предел
А = lim х arctg —----— .
х-»°о	х +1	4
Положив ос = arctg —----—, получим, что lim ос = arctg I - — = 0,
х +1 4	4
т.е. ос - бесконечно малая функция при х —>оо. По тогда tgoc ~ ос, а значит и ос tgoc.
82
Поэтому
JC 71
А = lim xtg arctg--------------
X
tg arctg = lim x—----------—
, 71
“,g4
X
1ч-tg arctg —
, 71
‘,g4
—-1
= lim Л + *-= lim
X—>оо „ X
I
2
- X
15. Число е как предел числовой иоследовательиости
Пусть имеется последовательность
*2 =
х3 =


Докажем, что существует предел lim хп.
П^><Х)
Полагая п = 1,2,3,..., получим
jq = 2;л2 = 2,25;д:3 = 2,37;..., т. е. при начальных значениях и величина хп возрастает. Докажем, что и при всех п будет х„+1 > хп.
Формула бинома Пьютона даёт:
з п

= 1 + Д i-^77"1) 1 ,.^-1X^-2) 1 !
Z7 2!	,72	3!
п(п - I)(/? - 2).. \п -(п-1)] 1 и!	пп
т. е.
1
1
— 2 ч—11 — ч—11—
3!
и!
"	’ 2!



1— п)
(3-19)
-...- 1-----
I "J
При замене и на и ч-1 увеличивается каждое слагаемое справа, начиная со второго, и, кроме того, появляется ещё одно положительное слагаемое, так что, действительно, хп+х > х„.
С другой стороны, на основании (3.19), ^111	1^11	1
х„ < 2 ч----1-----1---------1-...Ч-------< 2 ч----ь —— ч-...ч--- <
2 2-3 2-3-4	2-3-...-Z?	2 22	2”"1
83
111
2 ч-и —+ — +...= 2 -+
2	22 2з
1
2
1-1
2
т. е. хп <3 Х/н.
Итак, последовательность {хп} монотонно возрастает, но ограничена сверху числом 3. Следовательно, существует предел lim хп, не превосхо-п—>оо
дящий числа 3. Кроме того, поскольку уже хп > 2, то и lim хп > 2 . Таким
И—>00
образом
2 < lim 1 + —
и—>ху	}q
Предел lim 1 + —
/?—>ху	Yl
называется числом е. Позже мы покажем, что
это определение числа е равносильно ранее введенному (см. п. 12 гл. 1).
Примечание. Очевидно, что если п^, п2, 	... - произвольная
возрастающая подпоследовательность натуральной последовательности 1,2,...,и,..., то всё равно
А—>х>
16. Второй замечательный предел
(3.20)
Докажем теперь, что если х- непрерывная переменная, то также имеет место равенство
<	1V
lim 1 + - = е.	(3.21)
х—>ху	х
Для этого возьмём произвольную последовательность jc1,jc2,...jch,..., такую, что хп —> + со. Очевидно, для каждого к найдётся такое натуральное чис-
ло что пк <хк <пк +1, а значит.
1 У1к
1 +------
A7A.+1J
1 1
пк+\ хк
( 1
: I + —
—. Поэтому "к
1+-
(3.22)
1
= е.

По, используя формулу (3.20), имеем
84
1
1
lim 14 к^<х>
пк +1
= lim
к—>со
пк +1>
1+	1
лк +1
lim 14-
к—>со к
lim 14-к—>со к
е
1 = е’
nk+l)
1

пк +J
1
1
\'У + |
1
1
lim 14 к—>со к
= lim 14 к—>со к
 lim 14 к—><Х1
= е • 1 = е.
”к)
к пределу в соотношении (3.22) и используя свойство 6 из простейших свойств числовых последовательностей (и. 2 гл. 2), будем иметь
Поэтому, переходя
1
= е
(3.23)
lim 14 к—>со(^
а так как последовательность {хк } +оо - произвольная, то отсюда и следует (3.21).
Докажем теперь, что
lim
= е.
(3-24)
X—>-соу	X у
Возьмём последовательность {хк}, такую, что хк —> - со, и поло-к—>со
жим ик = ~(хк +1), откуда следует, что хк = -{ик +1). Если хк —> - со, то к—>со
ик + со . Поэтому, используя (3.23), получим к—>со
1 Y*
1
= lim
lim 14
к—>со к
= lim I -к—>со к
= lim 1 4
= lim 14
ик
= lim
к—к + 1
\«к	(
• lim 14
= e-1 = e
Ufc +1
к
1
1
1
uk)
ик)
ик ; А->со^ ик)
откуда, в силу произвольности последовательности {хк }, и следует (3.24).
Положим в соотношении (3.21) и = —. Тогда получим х 1
lim (1 + и} =е,
или, если снова заменить и на х:
1
= е.
х—>0
(3-25)
85
Формулу (3.21) (или равносильную ей формулу (3.25)) называют вторым замечательным пределом.
Q
Пример 3.42. Вычислим предел А = lim 1 + —
X—>00	j
щественное число. Па основании (3.21) имеем
где а - любое ве-
А = lim 1 т
Х^-ХЛ
х! а
Окончательно
( а V lim 1 + — X—>соу	X J
(3-26)
В частности, lim 1 —
X—>соу	X
17. Следствия второго замечательного предела
Прологарифмируем равенство (3.25) по основанию е. Получим 1
In lim (1 + х) = 1,
х^-0
или lim 1h(1 + jc)a =1,т. е.
х—>0
lim ln(1 + -y) = i	(3 27)
х—>0	X
Отсюда следует, что если х 0, то 1п(1 + х)~ х.
Вычислим теперь предел А = lim -------, где а > 0, а ф 1. Поскольку
х—>0 X
при А' —> О будет ах — 1 —> 0, то, на основании только что доказанного, сГ -1 ~ 1п[ 1 + (<7Х -1)], а значит
. 1нГ1 + (ах -1)1	.. In ах jdn а
А = lim —----------— = lim------= lim-------.
х —>0	JC	x —>0 JC	x —>0 JC
Окончательно
ax -1
lim ------= In a.	(3.28)
x—>0 X
В частности
86
ех -1 lim -----= 1.
х—>0 х
Отсюда следует, что если х —> 0, то ах -1 ~ х In о, ех -1 ~ х.
Установим геометрический смысл формулы (3.29).
ех -1
Очевидно (см. рис. 3.31), что ----= tgcp, а
X
(3.29), lim tgcp = 1, откуда следует, что х->0
lim ср = 45°. Следовательно, касательная в х—>0
(3.29)
значит, на основании
Рис.3.31
точке
к линии у = ех образует с осью Ох угол 45°. Тем самым мы установили, что оп-
ределение числа е как предела lim 1 + — rt—>соу И )
равносильно первоначальному определению.
Далее, на основании (3.29), shx	,. ех-е~х
lim----= Jim---------= lim
х—>0 X	х—>0 2х	х—>0	2х
е~х2х л = пт -------=	1
х—>0 2х
Следовательно, если х —> 0, то slur ~ х. Так же, как и в случае триго-
нометрических функций, легко получить отсюда, что если х—>0, то
X2
th х ~ х, Arsh х ~ х, ch х -1-.
2
Рассмотрим теперь предел л ,.	(1 + х)а-1
А = lim  ---------,
х—>0	X
где а ф 1- произвольное число. Поскольку (х —> 0) => (^(1 + х)а -1)—> о), то
1п(1 + х)а а 1п(1 + х) = lim —------— = lim —---------.
х—>0	X	х—>0	X
А = lim —---------------U-
х—>0	X
Окончательно, на основании (3.27)
= ос.
(3.30)
lim   -х—>0	X
Формулы (3.26) - (3.30) (или вытекающие из них соотношения эквивалентности) очень полезны при решении соответствующих примеров.
При раскрытии неопределённостей вида Iе0 очень полезна также
87
следующая теорема.
Теорема 3.11. Пусть (при данном поведении аргумента) будет ос —> 0, у —> со, и пусть р ~ oc,z ~ у ). Тогда, если lim(l 4- cc)J существует, то
существует и равен ему предел lim (14- p)z, то есть в этом случае
lim (14- ос)37 = lim (14- p)z.	(3.31)
Используя теорему 3.10 и соотношение (3.27), получим
lim(l + oc)v = limevln(1+a) = e^Hi+a) = elimw = e,im "₽ =
= ^--Hi+P) = lim(1 + py n
Отметим, что в ходе доказательства мы использовали ещё не сформулированную официально теорему 3.13.
Пример 3.43. Па основании (3.31) и (3.26), имеем
2x-lV ,.
-----	= пт
lim
(2х + 3)-4~|х 2x4-3
г h 4
= Jim 1-------------
X—>coI	2x4-3
= lim 1 — X—>соу	X J
Пример 3.44. Аналогично, используя теорему 3.11, находим
1 1
lim (^1 ч-tg 3jc)ctg х = lim (l-btg3x)tgx = lim(14-3x)x =eJ.
x—>0	x—>0	x—>0
Пример 3.45. Имеем
А	1
^2	——
lim (xsin 2x-i-cosx) = lim {l-b[xsin 2x- (1- cosx)]}x =
x—>0	x—>0
Пример 3.46. Пусть
A = lim — arccosx
Тогда
1
Г	(2	Ylx
A = lim 1 + — arccos x -1
x—^0	у 71	у
1	2 (	7Г^
14- — arccos x — 7C у	2,
= lim 1 —--------arccos x
x—>0	7Г I 2
T 2 . (7Г
1 — sin------arccosx
7Г ^2
х _ 1
= 7
*•* cm § 18
88
1
г 2	lx
= lim 1 — cos(arccos x)
x—>0	7Г
1
(	9	A
= lim 1-------x x
x—>O\^	71 j
Пример 3.47. Имеем
ln(2x-3) ln[l + (2x-4)] lim — ------- = lim — -------—
x—>2 5х — 25	x^2 25/5x—2 _ |\
2x-4
*->2 25(x-2)ln5
2(x-2)	2
11m---1.
x-»2 251n5(x-2) 251n5
L8. О сравнении бесконечно больших величии
Теория сравнения бесконечно малых величин почти без изменения переносится на случай бесконечно больших величин.
Пусть у и z - бесконечно большие величины. Если lim — = 0, т. е. z
если у стремится к бесконечности медленнее, чем z, то у называется бесконечно большой низшего порядка, чем z. В этом случае пишут, что у = O(z). Паоборот, z есть в этом случае бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с у.
Если lim — = с, где с^О и с<<х>, то у и z называют бесконечно z
большими одного порядка и пишут, что Z = О (у), или, что то же самое,
*	• У
z = O (у). В частности, если lim — = 1, то бесконечно большие у и z на-z
зываются эквивалентными, т. е. у ~ z. Очевидно, в этом случае величины
1 1
— и — есть эквивалентные бесконечно малые.
У z
Теорема 3.12. Для того, чтобы две бесконечно большие были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была либо ограниченной величиной, либо бесконечно большой более низкого порядка.
Эта теорема доказывается так же, как и теорема 3.9 для эквивалентных бесконечно малых.
Пример 3.48. Пусть х —>оо и пусть у = х2, z = х2 - 2х + 4. Тогда
г у г	1
lim —= lim ---------= 1,
х^-со Z Х^-со х1 -2х + 4
т. е. у ~ z. При этом
y-z = 2х-4,
89
т.е. у-z = о(у).
Пример 3.49. Пусть снова х со, у = х2, но z = x2 -2 sin 2 х. Очевидно, снова у ~ z, но теперь уже у - z есть не бесконечно большая величина, а ограниченная.
Так же, как и для бесконечно малых величин, можно ввести понятие главной части бесконечно большой величины. Папример, если х—>оо, то х2 - есть главная часть бесконечно большой х2 — 2.x+ 4.
Далее, аналогично теореме 3.10 для эквивалентных бесконечно больших можно доказать следующее утверждение.
Теорема 3.13. Если у и z- бесконечно большие величины, а
У1	у
У1 ~ у, Z\ ~ z, то lim — = lim —. Z\	z
Пример 3.50.	Пусть	требуется вычислить предел
х2 । 5х — 8
А= lim -----------. Поскольку при	х—>оо,	очевидно, будет
•г-*30 2.x2 -х + 6
х2 +5х—8 ~ х2, а 2х2 — х + 6~2.x2, то
х^с0 2х2	2
Итак, сформулированное ранее правило вычисления подобных пределов оказывается теперь следствием теоремы 3.13.
Примечание. Символы f (х) = о[<р( х )], f (х) = О* | <р( х) | используют и в тех случаях, когда функции /(х) и ф(х) при данном поведении х не является ни бесконечно малой, ни бесконечно большой величинами. Папример, выражение f(x) = о[ф(х)] при х^>а (или при х—>оо) означают про-
f(x}
сто, что lim -----= 0. В связи с этим символ о(1) иногда употребляется
х—>а ф(х)
как обозначение бесконечно малой. Действительно, равенство ос = о(1) оз
начает, что lim — = 0, т. е. что lim ос = 0.
1
*	f(x)
Аналогично равенство f (х) = О [ф(х)] означает, что lim -= с,
х—>а
где с < со,с + 0 . В этом случае /(х) и ф(х) при х —называют функция
ми одного порядка.
19. Теоремы Больцаио-Коши
Теорема 3.14. Пусть функция /(х) определена и непрерывна на от-
90
резке [a,b] и принимает на его концах разные по знаку значения. Тогда существует по крайней мере одна точка £ е (а, Ь), в которой /(£;) = 0.
Пусть, для определённости, /(<7)<0,..., f(b) > 0, рис. 3.32. Разде-г 71	~ а + b
лим отрезок [<7, ЬJ пополам точкой с = —-—. 1 огда возможно два случая:
1. /(с) = 0, т.е. с = £, и теорема доказана.
2. f(c) ф 0. Тогда либо /(с) < 0, либо /(с) > 0. Пусть, например,
/(с) < 0. В этом случае положим с = а\,Ь = by, получим новый отрезок [ai, , такой, что f(a{) < 0, /(/?[)> О. Аналогично делим пополам отрезок ] и обозначим [с2/21 ТУ ег0 половину, для которой /(с2) <0, f(b2) > 0, и т.д. Па каждом последующем шаге будем иметь //>„)< 0,/(/>„) >0.
В результате получим систему стягивающихся отрезков
такую, что lim (b„ -а„) = 0, и при этом у п^>сс
/(cJ<0,/(^)>0,Vh.
По lim ап = с, lim bn = с, а посколь-П—>со	П—>со
ку функция f(x) непрерывна в точке с, то о
lim f(an} = lim = /(c) <0;
n—>co	\77—>co J
lim /(M = /f lim bn} = f(c) > 0.
77—>00	V7—>00 J
По (/(с)<0)л(/(с)>0) = (/(с) = 0), t. e. с и есть упоминаемая в теореме точка £.□
Примечание!. Из проведенного доказательства не следует, что фигурирующая в теореме 3.14 точка £ единственна. Очевидно, таких точек может быть и несколько, рис. 3.33.
Примечание 2. Если функция /(.
Рис.3.33
) непрерывна не всюду на отрезке
[а, Ь\, рис. 3.34, то она может и не принимать на нём значения, равного ну
лю, а значит требование непрерывности функции в теореме является суще
ственным.
Теорема 3.15. Пусть функция /(х) на отрезке [а, Ь\ непрерывна, а на его концах принимает различные значения /(с) = A, f{b)=B. Тогда для
91
любого С, лежащего между А и В, найдётся по крайней мере одна такая точка £ е (а,Ь), что /(£) = С (рис. 3.35).
Для определённости предположим, что А<В. Тогда А<С<В. Введём вспомогательную функцию <p(jf) = /(х) - С. Очевидно, что она, как и функция /(х), непрерывна на отрезке
[а,Ь]. Кроме того,
(p(a) = f(a)-C = A-C<0;
(p(b) = f(b)-C = B-C>0.
Па основании теоремы 3.14, существует по крайней мере одна точка £ е (а, В), такая, что ф(£) = 0, т. е. /(£) - С = 0, а значит, /(£) = С, что и доказывает теорему.□
Геометрический смысл теоремы 3.15
очевиден из чертежа, рис. 3.35.
Следствие. Если функция f (х) const определена и непрерывна в
некотором промежутке Е (не обязательно замкнутом и не обязательно конечном), то принимаемые ею значения также сплошь заполняют некоторый промежуток.
Действительно, пусть F - множество всех значений /(х) при условии, что х&Е. Обозначим т = inf F,M= supF, и пусть С - такое число,
что т<С<М. Тогда существуют такие значения /(xj) и /(х2) функции /(х),что m </(xj)<C </(х2)<М
(это вытекает из самого определения точных верхней и нижней граней). Поскольку то, на основании теоремы 3.15, существует по крайней мере одна точка £ между х} и х2, такая, что /(^) = С, а значит C&F. По С- произвольное число между т и М, а поэтому
функция /(х) при изменении х в промежутке Е принимает все значения между т т. е. F представляет собой промежуток на оси Оу, рис. 3.36, с концами т и М (каждый из них может принадлежать этому промежутку).
Примечание. Промежуток F иногда называют образом промежутка Е и пишут, что F = f (/:). Промежуток Е называют в этом случае прооб
92
разом промежутка F.
Рассмотренные теоремы 3.14 и 3.15 называют соответственно 1-й и 2-й теоремами Больцано-Коши.
20.	Условие непрерывности моиотоииой функции
Если при изменении х в некотором промежутке соответствующие значения функции f(x) сплошь заполняют некоторый промежуток, то данная функция не обязательно непрерывна на этом промежутке (см. рис. 3.37). Однако оказывается, что если функция f(x) в данном промежутке монотонна, а соответствующие значения f(x) сплошь заполняют некото
рый промежуток, то функция f(x) непрерывна в указанном промежутке
изменения х.
Теорема 3.16. Пусть функция f(x) монотонна в промежутке Е и пусть при изменении х на множестве Е соответствующие значения f(x) сплошь заполняют некоторый промежуток. Тогда функция f(x) непрерывна в промежутке Е*\
Пусть для определённости функция f(x) монотонно возрастает в
промежутке Е. Далее, пусть х0 - произвольная точка множества Е, не яв
ляющаяся его правым концом. Положим f (х0) = Уо. Тогда у$ е F, причём
Уо не есть правый (верхний) конец промежутка F (поскольку на множестве Е есть точки х > xq , а им отвечают на множестве F значения у>Уо). Зададим произвольное 8 > 0, такое, чтобы было не только у q е F, но и у0 + s е F . Обозначим у0 + 8 = у\. Значению yi отвечает некоторая точка Х|, такая, что /(xj) =	. При этом, очевидно,
X|>Xq. Поэтому МОЖНО положить Xj - х0 = б, где 8 > 0. В силу монотонности функции /(х),
Рис.3.38
*’ Промежуток Е может быть как конечным, так и бесконечным, как открытым, так и замкнутым (или же полузамкнутым).
93
(х0 < х < хх) => (у0 < f(x) < я), т. е. (О < X - х0 < 8) => (f(x) - f(xQ) < s). Это значит, что lim f(x)= /(х0), т. е. что функция f(x) непрерывна в х—>хо+О
точке Xq справа.
Совершенно аналогично убедимся, что если точка х0 не есть левый конец промежутка Е, то функция f(x) непрерывна в точке х0 слева.
Из совокупности этих двух фактов следует непрерывность функции f(x) в прямежутке Е.
21.	Доказательство теоремы о существовании и непрерывности обратной функции
Предположим, что в некотором промежутке Е функция у = /(х) непрерывна и монотонно возрастает (случай монотонного убывания рассматривается совершенно аналогично). Из непрерывности функции /(х) в промежутке Е следует, что F = f{E) представляет собой сплошной промежуток. Возьмём произвольное е F. В силу 2-й теоремы Больцано-Коши ему отвечает по крайней мере одно х0 е Е. По поскольку функция у = /(х) монотонна, то значению у о может отвечать только одно х0 (действительно, еСЛИ Xq > Xq ИЛИ Xq <Xq, ТО СООТВСТСТВСННО /(xq)> Jq ИЛИ /(*о)< Л))-
Число yQ е F было взято произвольно, а значит каждому у е F отвечает одно и только одно значение х е Е, т. е. на промежутке F определена однозначная функция х = ф(у), обратная функции у = /(х). При этом значения функции ф(у) сплошь заполняют промежуток Е. Действительно, пусть х&Е - произвольное число. Пайдём для этого х число у = /(х). Тогда можно сказать, что выбранному значению х функции ф(у) отвечает именно это значение у.
Докажем, что функция ф(у), как и /(х), монотонно возрастает. Возьмём в промежутке F произвольные числа ух и у2, такие, что ух < У2-Обозначим ф(я) = хь ф(у2) = х2 (это значит, что /(хг) = уь /(х2) = у2). Если бы было х( > х2, то, в силу монотонного возрастания функции /(х), было бы f(xi) > /(х2), т. е. ух > у2, что противоречит условию.
Аналогично, (хх = х2)^>	= у2). Итак, (у] < У2)^> (х| < х2), что и
доказывает монотонное возрастание функции ф(у) в промежутке F.
Таким образом, функция х = ф(у) монотонно возрастает в промежутке F, и её значения сплошь заполняют промежуток Е = ф(F). В силу
94
теоремы 3.16, функция (p(j) непрерывна в промежутке F, что и доказывает следующее утверждение.
Теорема 3.17. Пусть в промежутке Е оси Ох функция у = f(x) непрерывна и монотонно возрастает (убывает).Тогда в промежутке F = f(E) существует обратная ей функция х = ср(у), также непрерывная и монотонно возрастающая (убывающая) в промежутке F.
22.	Теоремы Вейерштрасса
Возьмём, например, функцию In л, рис. 3.39. Она непрерывна в лю-
бом промежутке (0,а], где<7> 0. В то же время она не является ограниченной в этом промежутке, так как нет такого числа М > 0, чтобы для всех х е (0, а] было |1п х| < М.
Итак, из непрерывности функции в промежутке ещё не следует её ограниченность в этом промежутке. Иначе обстоит дело, если промежуток непрерывности функции замкнут, т. е. является отрезком.
Теорема 3.18. Если функция непрерывна на
отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Предположим противное, т. е. пусть функция f(x) непрерывная на
отрезке \a,b\ , является, например, неограниченной сверху. Тогда для любого натурального п найдётся такое число хп е [а, Ь\, что f (хп ) > п. Из по
следовательности {хп}, на основании леммы Больцано-Вейерштрасса,
можно извлечь такую подпоследовательность
что lim х„ = xq, где к—>ос к
х0- некоторое число. Поскольку, очевидно, х0 е[а,Ь], то функция f(x)
непрерывна в точке х0, так что lim f\x ) = /(х0) .С другой стороны, из А—>оо v к >
неравенства	f (хи*) > пк	следует, что
lim f\xn ) = +оо. Полученное противоречие и м доказывает теорему .□
Из теоремы 3.18 следует, что если функция f(x) непрерывна на отрезке \a,b\ , т то существуют такие конечные числа т и М, что для всех х е \a,b] будет т < /(х) < М, рис. 3.40. При этом наибольшее из всех воз-
95
Рис.3.40
можных чисел т есть, очевидно, inf f(x), а наименьшим из всех возле^,/?]
можных чисел М является число sup f(x). Будем ниже под т и М подра-
зумевать именно эти числа. В связи с этим возникает вопрос: существуют ли на отрезке [a,b] точки и jq, такие, что f(x0) = m, Дху) = М.
Теорема 3.19. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] , то она достигает на нём своих точных нижней и верхней граней тп и М, т. е. существуют такие точки и ?q на отрезке [a,b] , что /(х0) = w, Дху)=М.
Предположим, что упомянутой точки jq е [a,b] нет. Тогда для всех хе[а,Ь] будет f{x)<M. Введём вспомогательную функцию ф(х) =--- / ч • Очевидно, она непрерывна для всех х е а значит, в
М - Дх)
силу теоремы 3.18, существует такое Му > 0, что для всех х е \a,b\ будет <р(.х) < М, т. е.
м - Дх)
откуда	М - Дх) >	,
а значит
По отсюда следует, что sup f(x) < М, что противоречит условию, а значит доказано существование такой точки xe[a,b] ,что /(ху) = М.П
Аналогично доказывается дости-	Рис.3.41
жимость точной нижней грани.
Примечание. Если функция f(x) на отрезке ограничена, но не непрерывна, то её верхняя и нижняя грани могут не достигаться. Примером может служить функция Дх) = arctg — на отрезке [-2, 2], рис. 3.41. Дейст-х
1 7Г
вительно, sup arctg — = —, но нет такой точки на этом отрезке, в которой [-2,2]	*	2
96
отрезке, в которой arctg — = —. х 2
Доказанные теоремы 3.18 и 3.19 называют соответственно 1-й и 2-й теоремами Вейерштрасса. Числа т = inf f(x) и М = sup f(x\ благодаря [а,Ь]
достижимости этих значений, называют соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции f(x) на отрезке \a,b\ и пишут /?? = min f(x) и 1«7>]
М = max f(x).
23.	Равномерная непрерывность функции
Пусть функция /(х) непрерывна в промежутке Е. Возьмём произвольную точку Xq е Е. Тогда для любого 8 > 0 найдётся такое 8 > 0, что (|х — х0| < з) => (|/(х) - /(х0 )| < s). При этом очевидно, что б зависит, вообще говоря, не только от е, но и от х0, т. е. при одном и том же значении s для различных х0 будем иметь разные б, что связано с различной скоростью изменения функции f(x) на разных участках промежутка Е.
Возникает вопрос, нельзя ли из всех чисел б, отвечающих данному 8 для различных х0, выбрать наименьшее. В этом случае для всех xq е Е ихеЕ было бы
(|х-хо|<б)=>(|/(х)-/(хо)|<8), /х)и \ (3.32)	г—\
т. е. число б не зависело бы от хп, а зависело бы „ Т
ТОЛЬКО ОТ 8.	:	!	:	X
Если функция /(х), непрерывная в проме-		;	;	
жутке Е, такова, что для любого 8 > 0 найдётся та-	I		I	;
кое 6(8)>0, что соотношение (3.32) выполняется для любого Xq е Е и хе £, то функция / (х) назы-	х0 1 х
вается равномерно непрерывной в промежутке Е.	Рис 3 43
Возьмём конкретную функцию f (х) = —,
X
рис. 3.43. Она непрерывна в промежутке (0,1]. Пусть х0 е(0,1] и хе(0,1] -произвольные числа. Имеем
97
A'g X
x- Xq
Xq  X
1
а значит, неравенство
< 8 выполняется, если |л' - Xq | < s -A'()  x.
Таким образом, в данном случае 5 = 2 •	• х. Поскольку же их
можно взять сколь угодно близкими к нулю, то числа 5, единого для всего промежутка [0,1], не существует, т. е. функция у(х) = — в промежутке х
(0,1] непрерывна, но не равномерно непрерывна.
Иначе обстоит дело, если промежуток непрерывности функции явля
ется замкнутым.
Теорема 3.20 (Кантора). Если функция f(x) непрерывна на отрезке то она и равномерно непрерывна на нём.
Предположим противное, т. е. пусть для некоторого s > 0 не существует такого 8 > 0, что соотношение (3.32) выполняется для всех xq,x е[а,Ь]. Тогда для любого 8>0 найдутся такие хе[а,Ь] и х'е[а,Ь], что |л' - х'| < 8 и в то же время |/(л) - f (х')| > s.
Возьмём такую последовательность {8И}, что 8„ >0 V/7 и 8И —>0. Для каждого указанного 8 существуют такие хп и х'п из отрезка что \хп ~ х'п\< и в то же время \f(xn) - /(х'7 )| > s. Па основании леммы Больцано-Вейерштрасса, из последовательности {хп} можно извлечь подпоследовательность {хп, }, такую, что lim хп =	, где xQ - некоторое
к	к^><х> к
число. Поскольку, очевидно, хое[а,Ь], то функция f(x) непрерывна в
точке xq , а значит,
lim /(^.) = /(^о)-	(3-33)
Далее, подпоследовательности {хпк} отвечает некоторая подпоследовательность {х'пк } подпоследовательности {х'п}. При этом
х"к
<5к, Ьк -^0}^ lim х =Xq , '	\£->сс к )
а значит, lim f(x' ) = /(х0). к^сс
Отсюда и из (3.33) следует, что
/(Ч)-/(4)
—> 0, а это проти-к—>со
воречит тому, что при всех к будет f (хп ) - f (х’п) > s. Полученное про-
98
тиворечие и доказывает теорему.I
Уиражиеиия к главе III
1. Пользуясь определением предела функции доказать, что
6.x+ 5 lim -------
X—>оо 2х +1
= 3.
При каких х будет
6.x+ 5
2х +1
<0,001?
2. Дана функция у = л/х2 +1 -
*\/ х Пользуясь определением преде
ла функции, показать, что lim у = 0. Каким должно быть М, чтобы было
X—>оо
(|л|>М)=> (у<е)? х + 2	3
3. Дана функция у =------. Если л^-1, то у^>~. Каким должно
Зх-1	2
быть 5, чтобы было Одс —1| < б) =>
Исследовать точки разрыва функций:
5. у = xarcctg-------;
х(1-х)
7.	у = (х - l)arcctg	1	;
х(х -1)
n fl 1
9.	у = arctg - + ---- ;
^х 2 - xj
_(1 + 2 ''
10.	у = 2	х~12
1
12. у = arcctg----
1-х2
1 1
14. у = 5*-! -5х;
х-2
И. у = 3(1“х)х2 ;
1___J1
13. у = 2(х“1)2 х;
1
лс 10х-1-!
15. у = —।;
10 X+1 -1
99
26. у = (1 + jc)arctg----;
1-jc2
2|x -11
28. y = -}-----к
X (1 - A')
Вычислить пределы:
>2 jc4-8jc2+16
31.	bn
*->0 x2 +x5
Вычислить пределы:
_ _ 'sle + x + x2 — у1э — 2х + х2 33. lim------------------------
*->l	x^-3x + 2
37.
_ .	-j2 + x - у/Зх-2
34. lim —==-------j=
x^-2 y/4x +1 - yJ5x- 1
Vl + 3x + д/1 + x — д/1 + x —	+ 14x
lim----------—=-------------—--------------
x->0	л/1 + 2х + X - yll + x
39.
_ , v д/1 + Зх - Vl-2x
36. Jim -------------;
x + x2
_o	y/a + x-y/a-x
38. lim ------------;
x—>0	X
40.
100
X—>+со\
34а2+ах + х2-1]а2-ах + х2 42. hm (VT+l + VT^T-2-х—>0	у/а + х - у/а-х	х^-нэо
44. lim [л/16л4 +20л3 -1 -
А'—>+со\
-л/Бл3 - 6л2 + 5 );
45. lim Г д/Бл3 + 6л2 -1 - л/з2л5 - 12л4 + л + 6
X—>00\
Вычислить пределы:
.,	1 — tgJC
46.	lim ----
л 7Г
Х^4 4~Х
48. lim tg Х~Х-
х к cos2л
Х 4
50. lim
xV 1-tg X
4
cos(<7 + л) + cos(<7 - л) - 2 cos л
52. lim ------------------------------
х—>0	1 - cos л
„„	д/1 + Л8т л - cos л
47. hm -----------------------
х—>0	• 2 х
sin
2
49. lim -—
х—>1 sin 7ГЛ
у/cos ах - ^cosbx
51. lim ---------------
l-VЗtgл 53. lim ------—
71	I	я I
x^,cos л +
6	I	3j
3/1 + Зtgл — л/1 — sin 2л
54. lim --------------------
х—>0	• 2 X
лагс8ш
2
Вычислить пределы:
(
56.	lim cos— ;
п—>00^	И J
сс, х I 7Г п . 2
58. lim cos—+ 3sin —	;
п—>00^	/7	П;
l-2sinA'
55. hm ----------
cos 3л x^—
6
57. lim tg”
л a
co г	a	U • a
59. hm cos— + bsin—
n—>00^ И	И
ctg2x
101
sin а +
62. lim
64. lim
sin
~\П
sin a
л2т7 + 1 ч2/7 -1
1
тот*2
77+1 7C
77+3 2
63. lim sin
77 + 1 7Г Й^1’2
65. lim
х—>0^ tgtfj
4-|tg2
\Ctg(x-<7) tgx
ТТ ТГ
68. lim 77In tg —+ — ;
п^<х> у 4	77 >
In tg X 67. hm ------—;
x-^l-Ctg X
4
In tgx lim ---—;
к cos2л
4
69.
-IИ
70. lim
3
71.
lim /72 In ch—;
7—>00	И
72.
lim x
2
2
74.
,.	, 2а+ х
lim л In-------
V—>со	а + х
>7-1 7t 77+1'2
arctg(<7 + x) - arctgtf hm ----------—	----;
ln(x2 + Vl + л)
2
75. lim —	,
1 In 2x x—> -2
1 + х2
111	2
1-Х2
76.
lim
x—>0 cos x - cos 2x
„„ r lnch(2x-l)
78. hm ---------y2;
х-Д (9*-3)2
2
__	ln(2x-3)
77. lim —-----
*->2 5х-25
In X + д/1 + x'
79. lim —-----------------
x—>0	ch 2x - ch x
1
81. Доказать, что если x —> 0, то
еах — ebx ~ sin ах—sin bx.
82. Сравнить при ср(х) = ch ах - ch bx.
Z \	2	7 2
х^-0 функции /(х)=10б|Х -10Лх
и
102
IV. Производная и дифференциал
1. Некоторые задачи, приводящие к понятию производной
Задача 1.1 «О скорости точки при неравномерном движении». Пусть точка М движется по прямой1 траектории так, что пройденный ее путь есть известная функция времени: л = /(/). Вычислим мгновенную скорость этой точки в момент 1.
Пусть zte - путь, пройденный точкой за время от момента t до мо-мента t + At (рис. 4.1). Очевидно, As = f{t + Al)-f(t). Тогда —есть At средняя скорость точки на участке ММ', на
промежутке времени \t,t + At]. Пусть теперь У0 5	>
As	Рис. 4-1
At—>0. Тогда —, очевидно, стремится к
At
мгновенной скорости точки М в момент t. Итак, искомая скорость равна
л. As	л ,
v= lim —.	(4.1)
At^ti At
Пример 4.1. Рассмотрим свободное падение точки. В этом случае
2 ’ а значит
_ g(t + /I/)2 gt1 _ g(2Mz + (3/)2) / I KJ   ---------- .
2	2	2
Отсюда
g\2tAt+ (At)2} g,	.4
v = lim	—-—-—= lim — (21 + At) = gt.
At^o 2At At^o 2
Примечание. В школьном курсе физики, как известно, наоборот, из т2 формулы v = gt выводится формула s =
Задача 1.2 «О плотности неоднородного стержня». Пусть имеется стержень некоторой длины I. Масса его участка ОМ зависит от положения точки М, т.е.
т = f(x). Считая функцию f(x) известной, найдем плотность стержня в
О х М Ах М'
I	I	I	X
Рис.4.2
^Траекторию мы предполагаем прямолинейной в связи с тем, что для дуги произвольной формы у нас пока отсутствует строгое понятие длины кривой.
103
данной точке М. Пусть Am = f(x + Ах)- f(x) - масса участка ММ', рис. Лтп
4.2.	Тогда - есть средняя плотность участка ММ'. Предположим те-
Ах
перь, что Лх —> 0. Тогда в пределе будем иметь искомую плотность в точке М
Ат у = lim --.
zk->0 Ах
Задача 1.3 «О силе тока». Пусть через сечение проводника за время от момента Д° произвольного момента времени t протекает количество электричества, равное О = f(t). Тогда за время [/, t + At] через это сечение протекает количество электричества, равное АО = f{t + Л/)- f{t). Величи-AQ на -==- есть средняя сила тока в данном сечении на промежутке времени At
[t, t + At].
Пусть теперь At —>0. Тогда в пределе получим силу тока в данном сечении проводника в данный момент t
Т г Л<2 J = lim -^=- . л/^о At
Примечание. Рассмотренные задачи, несмотря на полное различие их физического содержание (вместо них можно было бы рассматривать задачи и с другим физическим смыслом), с математической точки зрения решаются одинаково. Они приводят к одному из важнейших понятий математического анализа - понятию производной.
2.	Производная, ее геометрический смысл
Возьмем некоторую функцию у = f(x) и произвольное х()е/)у. Придадим величине х приращение Ах, такое, что [х0,х0 + AxJeDf. Вычислим соответствующее приращение функции Ay = /(xq + Ах)- f(xo) и составим отношение — . Пусть теперь Ах—>0. Предел lim —, если он Ах	Лг—>о Лх
существует и не зависит от способа стремления Ах к нулю, называется производной функции у = f(x) в точке .Xq и обозначается /(xq). Сама же функция /(х) в этом случае называется дифференцируемой в точке .х().
Итак, по определению
гМ= Ь1 Ж+^)-Ж)	(42)
Лх—>0	Лх
104
Иными словами, производной функции в данной точке называется предел отношения приращения этой функции к вызвавшему его приращению ар
гумента, когда последнее стремится к нулю.
Пример 4.2. Вычислим производную функции у = х3 в точке х = 2.
Имеем
Лу = (2 + Лх)3 - 23 = 12Лх + б(Лх)2 + (Лх)3.
Отсюда
, 12Лх + б(Лх)2+(Лх)3	(	t л \2\ 1П
у = lim ---------—-----—— = lim I12 + 6Лх + (Лх) l=12.
zlv—Л)	Их	Ax—Л)
Пример 4.3. Пусть у = ^Jx, a x = 0. Тогда
Лу = ^/0 + Лх-^0 = ^Лх,
а значит
у' = lim = lim	= +co.
zir—>0 Ax	Ax^>0 3 //
Итак, функция у = \l~Ax в точке х = 0 не дифференцируема, по-скольку предел шн для нее в этой точке не существует.
Лг->0 Ах
Если в равенстве (4.2) заменить фиксированное -х0 на произвольное
х, то получим
rW= fa
V 7 zir->0 Лх
или
,	1- ф
у = lim —.
zk^>0 Лх
Величина у’ = f\x), вообще говоря, является функцией от х.
Выясним геометрический смысл - п	Лу
производной. Отношение — есть угло-Ах
вой коэффициент секущей ММ', рис. 4.3. Если Ах^-0, то точка М' приближается к точке М, и положение секущей стремится к положению касательной в точке М.
Итак, производная функции в данной точке геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к
графику этой функции в точке с данной абсциссой х.
105
Обратимся снова к равенству (4.1). Оно означает теперь, что скорость точки есть производная пути как функции времени или, как говорят, производная пути по времени. Но скорость точки - это «быстрота» изменения пройденного ею пути. В связи с этим производную любой функции можно рассматривать как скорость изменения этой функции относительно ее аргумента. В этом и состоит физический смысл производной.
Рассмотрим функцию, график которой представлен на рис. 4.4. Г еометрически очевидно, что и /'(-и)>0, но при этом f\x2) (поскольку углы О| и ос2 - острые, причем ос1 > ос2). В тоже время /'(лз)<0, поскольку угол ос3 - тупой. Физически же это означает, что в точках Х| и х2 функция Дл) возрастает, причем в точке Х| быстрее, чем в точке х2, а в точке Л'3 эта функция убывает.
Итак, если производная функции положительная, то функция возрастает и тем быстрее, чем больше производная; если же производная отрицательная, то функция убывает, причем тем быстрее, чем больше модуль производной.
Ниже, в главе V эти утверждения будут несколько уточнены и доказаны более строго, без использования геометрических соображений.
3.	Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции
Получим сначала одну важную формулу. Пусть функция у = f(x} дифференцируема в точке . Это означает, что существует предел
/'(*о) = lim
Дг—>о Лх
~	Лу
Отсюда следует, что — отличается от своего предела на бесконечно ма-Лх
лую величину, т. е.
^ = /'Уо) + а,	(4.3)
Лх
где lim ос = 0. Следовательно,
Лх—>0
Эу = f'(xQ)Ax + аЛх.	(4.4)
Переходя от (4.3) к (4.4), мы молча предположили, что Лх не обра
106
щается в нуль. Но если Лх = 0, то из (4.4) следует, что тогда Ау = 0, что, естественно, и должно быть. Таким образом, формула (4.4) верна при любом способе стремления Лх к нулю.
Теорема 4.1. Если функция дифференцируема в данной точке, то она и непрерывна в этой точке.
в силу условия, /'(xq) есть конечное число. Но тогда, на основании (4.4), получим
lim Ay = lim \f' (х0 ) + а]Лх = 0, Дх—^0	Дх—^0
что и доказывает теорему. □
Утверждение, обратное теореме 4.1, неверно, т. е. функция может быть непрерывной в данной точке, но не дифференцируемой. В частности (см. пример 4.3), функция у[х в точке х = 0 непрерывна, но не дифференцируема. Геометрически это значит, что в точке О касательная к линии ЗГ~
у = у/х вертикальна.
Другие случаи нарушения дифференцируемости в точке непрерывности функции будут рассмотрены в главе V.
4.	Производная стеиеииой функции
Пусть у = ха, где а - любое число. Тогда
Лх^О Лх
X
На основании формулы (3.30), имеем окончательно у = аха 1.
Итак, производная степенной функции (с любым показателем) равна
показателю степени, умноженному на основание в степени, на единицу меньшей первоначального показателя.
Пример 4.4. Пусть у = х3. Тогда, в силу (4.5) у = Зх2. В частности, положив здесь х = 2, получим у = 12. Этот результат ранее был получен непосредственно (см. пример 4.2).
Пример 4.5. Пусть у = 4х . Тогда у = (х1 2 ) = —х-1 2 = —.
2 2ух
1	( -1V	-2	1
Пример 4.6. Пусть у = —. Тогда у = lx 1 = -х	= —-.
X	X2
107
Пример 4.7. Пусть у = х. Тогда у = L1) = 1 • х° = 1. Этот результат
очевиден, так как если у = х, то Лу = Лх, а значит у' = 1.
5.	Основные иравила нахождения ироизводиой
Теорема 4.2. Производная постоянной величины тождественно равна нулю.
Пусть у = С, где С = const. Тогда при любом Лх будет Лу = 0, а
значит и у = lim — = 0 .□
Лх—>0 Лх
Этот результат очевиден, так как постоянная величина не изменяется, т. е. скорость ее изменения равна нулю.
Теорема 4.3. Производная суммы дифференцируемых функций равна сумме их производных.
Пусть у = и(х) + г(х). Тогда
, Лу Ли + Лу	(Ли АЛ Ли Лу
у = lim —= lim ---------= lim — + — = lim — + lim —,
Zk^-0 Лх Zir->0 Лх	Лх Лх J Zk^-0 Лх Zk^-0 Лх
т. e.
У' = u' + v', что и требовалось доказать.□
Очевидно, данная теорема верна для любого конечного числа слагаемых.
Пример 4.8. Пусть у = х4 +	- 2.
1/х
о 1	-4	1
Тогда	у = 4х3 —х 3 + 0 = 4х3-----—.
3	Зхух
Следствие теоремы 4.3. Если две функции при всех х различаются между собой на одно и то же число, то их производные тождественно равны между собой.
Теорема 4.4. Производная произведения дифференцируемых функций равна производной первого сомножителя, умноженной на второй сомножитель без изменения, плюс производная второго сомножителя, умноженная на первый сомножитель без изменения.
Пусть у = u(x)v(x). Тогда
Лу = и (х + Лх)у (х + Лх) - и (x)v (х).
Но так как
и(х+Лх) - и(х) = Ли,
108
то
и(х+Ах) = и(х) + Ли,
и, аналогично,
v(x+Ax) = v(x) + Av.
Поэтому
Лу = (и(х) + Аи){у{х) + zlv)- и (x)v (х) = и Av + vAu + Ли Av.
Отсюда
,	и Av + vAu + Ли Av
у = lim -----------------
Ах
(uAv vAu AuAvy
= lim -----+-----+-------
zk—>(\ Ax Ax Ax у
hm — ь-—>o Ax ,
( ,. Au
+ v lim — ь—>o Ax
+ lim-------lim Av.
tv—>0 Ax tv—>0
Поскольку функция дифференцируема, то она и непрерывна, а значит lim Av = 0. Поэтому zk^-0
у' = u'v + v'u + u' -О
т. е.
у' = u'v + v'u .□
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Действительно, пусть у = Cf(x). Тогда, на основании теоремы 4.4,
у' = Cf(x) + Cf\x) = 0  f(x) + Cf\x) = Cf\x) .
Пример 4.9. Пусть у =
. Тогда
Теорема 4.5. Производная дроби с дифференцируемыми числителем и знаменателем равна новой дроби, числитель которой есть производная числителя исходной дроби, умноженная на знаменатель исходной дроби без изменения, минус числитель исходной дроби, умноженный на произ
водную ее знаменателя, а знаменатель равен квадрату знаменателя исход
ной дроби.
Пусть у = Тогда у(л)
и(х + Лх) и(х) и + Ли
v(x + Лх) v(x) v + Av
и (и + Au)v - (v + Av)u vAu - uAv v (v + zlv)v (v + zlv)v
Отсюда
109
Лу
Лх
Ли Ау
V -и
Лх Лх
(v + Hv)v
а значит
Ли	Лу	Ли	Ау	Ли	Ау
у------и— urn v------------lim и— у lim-------------и lim
Лх	Лх	_ Zbc—>0	Лх	ztr—>о	Лх	_ Дх^>0 Ах	Лг—>0 Лх
Дх^о у(у + Ау) lim v(v + Ay)	v lim (v + Ay)
Дх^О	Дх^>0
Поскольку функция у(х) дифференцируема, то она и непрерывна, а значит lim Лу = 0 . Поэтому, окончательно
Дх—>0
, и'у - иу'
У =—— п
У
X2
Пример 4.10. Пусть у = —-. Тогда
х3 + 4
, _ 2л(х3 + 4)-л2Зл2 _ 8л - х4
У~ (Д+дУ "(Д+дУ
(4.6)
6.	Производная показательной и логарифмической функций
Пусть у = ах. Тогда
, ах+Лс-ах	ах(аА-1)	х	-1
у = пт ------------= lim —4-------L = a lim 2-------
zfc->0 Лх Дх^Д) Лх	Дг—>0 Лх
На основании формулы (3.28) имеем окончательно
у = ах In а.
В частности, если а = е, т. е. если у = ех, то у = ех.
Пусть теперь у = In х. Тогда
(л +Лх)	In f 1 + —
у= lim +	____L= Un I A
Дх^о Ax	Дх^о Ax Дх^-о Ax
а так как, в силу (3.27), при Лх —> 0 будет In 1 + —
—, то
у' = lim
Дх^-0 Лх
т. е.
110
Примечание. Пусть у = 1g х. Тогда (см. главу 1) у = Л/jlnx, где
Му = 0,43..., а значит у = ^У-. Аналогичное замечание, относится и к ло-х
гарифмам с любым другим основанием, отличным от е.
7.	Производные тригонометрических функций
Пусть у = sin х. Тогда
_	(	21x0 . Лх
, ч	2 cos хч-----sin —
, sin (х + Лх)-sin х ,. I 2 J 2 у = пт -------------------= пт -----------------------
Лх—Л)	Ах	Лх—Д)	Ах
Лх^О
2 cos
( лЛ
lim cos хч----
Лх—>0	у 2
COSX.
Аналогично, если у = cosx, то
~ . ( ЛхЛ . Лх
, ч	- 2 sin х ч-sin —
, cos(x4-Ar)-cosx	I 2 J 2
у = Inn ------------------= Inn ---------------------
Лх—Л)	Лх	Лх—Л)	Ax
Точно так же можно вычислить производные функций у = tg.v и у = ctg.г.
Однако целесообразнее воспользоваться формулой (4.6). Имеем для у = tgx
sin лА (sin х) cosx-sin x(cosx) cos x cos x-sin x(-sinx) C0SJ(: J	cos2 x	cos2 x
cos2 x 4- sin 2 x 1
2	—	2 ’
COS X	COS X
Аналогично, пусть у = ctgx. Тогда
, (cosxy у = H—
(yin X J
- sin xsin x- cosxcosx sin2 x
cos2 x 4- sin 2 x 1
• 2	—	• 2
Sin X	sin X
111
8.	Производная обратной функции
Теорема 4.6. Пусть функция у = f(x) определена и строго монотонна в некотором промежутке Е и пусть в некоторой точке х g Е существует производная у0 = /(хо)^О. Тогда в соответствующей точке у0 = /(Ло) обратная функция х = ср (у) также имеет производную Xq = ср'(у о), причем
Положим Ay = /(xq	Тогда из (4.4) находим
Лу
где ос^О при Ах^>0. Следовательно, ср' (х0 ) = lim — = lim —-----------•
Лу^ОАу 4’->0 /'(х0)+ос Из монотонности функции у = f (х)
следует, что (Дт^-0)<^>(Ду^-0). Поэтому \ 1 1
ср(Уо)= |1т	---= VD
zfc->o/(x0)+oc f (х0)
Доказанную формулу записывают еще так
X- =-L
У Ух
Примечание. Формула (4.7) имеет простой геометрический смысл (рис. 4.6). Действительно, очевидно, /'(x0)=tgoc, ф'(уо)= tg Р, атак как
Р = 90° - ос, то tg Р = ctg ос =-, откуда следует (4.7).
tgoc
Пример 4.11. Пусть у = 1п х. Тогда х = еу, и формула (4.8) дает
1111
что совпадает с результатом, полученным ранее непосредственно.
9.	Производные обратных тригонометрических функций
Пусть у = arcsin х. Тогда х = sin у, а значит
1 _ 1 _ 1 _ 1 cosy -Jl-sin2 у 71-х2
112
V2
1 - sin у, так как функция у = arcsin х
изменяется в интервале
7Г . 7ГЛ
2’2,
рис. 4.7.
Точно так же можно найти производную функции у = arccos х. Однако проще поступить
иначе. Действительно, из тождества
7Г arcsin х + arc cos х = —
2
имеем
7Г arc cos х = — arcsin х, 2
а значит
Пусть теперь у = arctg х. Тогда х = tg у, а значит , _ t _ i _ i 1	1
У х ~ ~ ~ у—	1	—	— Т •
ху (tgj) --------- 1 + tg у 1 + Х
cos2 у
Наконец, в силу тождества
71 arctg х + arcctg х = —,
находим
(arcctg л) =---------
1 + х2
10.	Производные гиперболических и обратных гииерболических функций
Пусть у = shx. Тогда
а поэтому
ИЗ
ех + е х
= chx.
Аналогично, если у = ch х, то
Далее, chxchx-shxshx ch2x-sh2x 1 ch2 x	ch2 x ch2 x
shxshx-chxchx ch2x-sh2x 1 sh2 x	sh2 x sh2 x
Пусть теперь у = Arsh x. Тогда x = sh у, а значит
Аналогично, если у = Arch х, то х = ch у, а значит
' 1 _ 1 1 -1
(chу)	S,1T -Jch2 у-1 six2 -1
Легко видеть, что результаты этого параграфа еще раз подтверждают аналогию между тригонометрическими и гиперболическими функциями.
11. Таблица основных формул и иравил нахождения производных
(Const) '= 0							;и-у)	= u’v + uV
(г/ + у) = и’ + у'							f u'v — uv' IvJ v2	
	ха	) = ах‘! '	(sin х) = cos х	(arcsin x^		' 1 7i -x2		(shx) =chx
1	ах	1 = ах ha	(cosx) = -sinx	(arccosx)		1 x/1 -x2		(chx) =shx
	ха	) = аха-'	, < 1 (tg*) =	2 COS X	(arctg x				(*») - 2 ch x
	( х\	X V / =е		i	<	1 (ctgx) = sin X	(arcctgx^		•=-1+д		(cthx) = sh2x
114
(Arshx) =-	1	 х2 +1
(Archx) =-	1	 У-l
12. Производная сложной функции
Теорема 4.7. Пусть функция zz = <р (а ) дифференцируема в точке х0, а функция у = /(и) дифференцируема в точке и$, где Uq = (р(х0). Тогда и сложная функция F(x)=/[ф(х)] дифференцируема в точке х0, причем
F'(*o)= Л)ф'Ш-	(4-9)
Пусть А и = (р(х0 + Эх)-(р(х()), Ау = /(zz0 + Аи)- f(u.q) . В силу (4.4), имеем
Ay = f’{uo)Au + осЛг,	(4.10)
где ос^О при Лг/^-О. Следовательно,
F'(x0) = lim — = lim /"'(г/0)—+ ос — =
Лх^оАх Лх^о  Ах Ах
\ Аи	Аи
= j \Uq ) lim — + ос lim —.
Лх—>0 Ах	Лх—>0 Ах
Функция и = <р(х) дифференцируема в точке рывна в ней, так что (Лг^-0) <^> (Иг/^-О). Поэтому
х0, а значит и непре-lim ос = lim ос = 0, и
Лх—>0	Ли,—>0
получаем
F'(xo) = f'M-ф'(*о)+ 0 -и'М= f'M’<Р'(*о)-п
Примечание. Функция и = ср(х) не обя-
зательно монотонна. Поэтому при некоторых Ах ф 0 может быть А и = 0. Однако формула (4.10), как отмечалось, верна и при А и = 0.
Формулу (4.9) чаще записывают так Л =	(4-11)
Итак, производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу, умноженной на производ
ную самого' промежуточного аргумента.
Пример 4.12. Пусть у = sin3x. Это значит, что у = sin?/, где и = Зх, и формула (4.11) дает
у' = (sin и) и (Зх) х = cos и  3 = 3 cos Зх.
115
Пример 4.13. Пусть у = 10tgx. Это значит, что у = 10м, где и = tgx, и поэтому
у' = 10м In 10-!— = In 10---!-— i otgr.
cos2 x cos2 x
Пример 4.14. Пусть у = (л3 + 2)100. Это значит, что у = и100, где и = л3 + 2. Имеем
у' = 100 • и" • Зх2 = 300 • (л3 + 2у9 х2.
Пусть теперь имеются два промежуточных аргумента, т. е. пусть у =f (и), и = ср (у), у = \|/(х). Тогда, по формуле (4.10),
Ух = У и ' их 
Но в данном случае и, в свою очередь, есть сложная функция аргумента х, а значит эта же формула (4.10) дает
— ^v^x *
Поэтому окончательно
Ух = У и uvvx 
Аналогично обстоит дело и в случае большего числа промежуточных аргументов.
Пример 4.15. Пусть у = e'^arcsin х Тогда у = еи, и = л/у , у = arcsin х, а значит
I	1	Varcsin х
у' = е11 —-__J =_________-______==.
-Ji - х2	2Varcsin xVl - x2
Пример 4.16. Пусть у = ch[ln2(l - х)] . Мысленно вводя промежуточные аргументы, находим
у’ = sh[ln2(l - х)1- 2  1п(1 - х)—-—(-1) =--— 1п(1 - х)- sh[ln2(l - х)].
L J	1-х	1-х	L J
Примечание. Нахождение производной данной функции при помощи описанных выше формул и правил называется дифференцированием этой функции.
13. Диффереицироваиие неявных функций
Пусть задано уравнение, содержащее х и у. В общем виде его записывают так:Дх,у) = 0. Такое уравнение определяет, вообще говоря, некоторую неявную функцию у = ср(х), подставляя которую в уравнение, мы, естественно, обращаем его в тождество, т.е./[х,ср(х)] = 0. Поэтому для нахождения у х надо дифференцировать уравнение f (х,у) = 0 именно как тожде
116
ство, помня о том, что в нем у есть упомянутая выше функция (р(л‘). В этом случае у играет роль промежуточного аргумента.
Пример 4.17. Возьмем уравнение .r3+tgr = 2. Дифференцируя его по только что сформулированному правилу, получаем
Зл2+—*— / = 0, „____2 ,, у
cos у
откуда
у' = -Зл2 cos2 у.
В данном случае, очевидно, от неявного задания легко перейти к явному. Имеем
tgy = 2-л3,
откуда
а значит
1 + (2-л3)2 ’
что совпадает с предыдущим результатом, поскольку, в силу исходного уравнения, tgy = 2 - х3, а значит
Пример 4.18. Пусть имеется функция, заданная уравнением ху + ех + sin у = О
(в этом случае переход к явному заданию, очевидно, невозможен). Тогда у + ху' + ех+ cosy  у' = О,
откуда
у + ех
у=-
X + cos у
Пример 4.19. Пусть х = <р(у) - функция, обратная функции у =f (х). Дифференцируя равенство х = ср(у), как уравнение, определяющее неявную функцию, получим
1=фШ
откуда
т. е.
ф'О) ’
117
У'х=^г-
Тем самым получена уже знакомая формула (4.8).
14. Логарифмическое дифференцирование
Возьмем функцию
3/1+ х2 ,2sinx(tex-l)5
У ~	3 1 2
X 1п X
Непосредственное дифференцирование такой функции, хотя и возможно, но затруднительно из-за большого числа сомножителей. Здесь удобнее сначала прологарифмировать эту функцию. Получим тогда
In у = In (1 + х2)+ sin х  In 2 + 51n(tgx-l)-3In jv — 2 ln(ln x).
Дифференцируя теперь это равенство, как уравнение, задающее неявную функцию, находим
1 ,	1 2х	1 „	5	1	3	2	1
— у =------- + cosx-ln2 +--------------------.
У 3i + JC2	tgx-1 cos2 х х Inx х
Отсюда
3(1 + х2 )	(tgx - l)cos2 х х xln х
т. е.
3^1 + х2)	(tgx-l)cos2x х xlnx
J/l + x2 -2sil“(tgx-l)5 x3 In2 X
Описанный прием называется логарифмическим дифференцированием. Он применим также к дифференцированию т. н. показательностепенных функций, т. е. функций вида у = [f(x)]^x\ Такие функции нельзя отнести ни к степенным, ни к показательным, а значит нельзя воспользоваться соответствующими формулами таблицы производных1.
Пример 4.20. Пусть у = (sin x)cosx. Тогда
х) Впрочем, этой трудности можно избежать, если воспользоваться тем, что [/(х)Г(х) =еф(х)1п/(х).
118
In у = cos x • to sin x,
а значит
у’ =
COS X
- sin х • In sin x т
sin X
— • y' = - sin x  In sin x + cos x-cosx,
у	sin x
откуда
у = (ctgx • cosx - sin x • In sin x)- (sin x)cosx.
Методом логарифмического дифференцирования легко получить и некоторые из уже известных формул. Пусть, например, у = ха. Тогда ln> = (71m:, откуда
1	,	<7
-у = -, У х
а значит
, (7	Q a (7—1
у = — у = — x = ax , X	X
т.е. мы получим формулу для производной степенной функции, не используя предел (3.30).
Аналогично, пусть у = и(х)у(х). Тогда
Иц = In// + Inv,
а значит
1 ,1,1,
—  у = —  и 4-V ,
У w v
откуда
и’ vA
—+ — w V J
1,1,]
— -и ч-V у =
и V )
 г/v = uv + uv'.
Точно так же получается формула для производной дроби.
15.	Геометрические и физические ириложеиия производных
Пусть Дх) - некоторая функция, а х0 - некоторое число, принадлежащее Df. Тогда, как мы видели, число /'(х0) равно угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х0, рис. 4.9. Поэтому уравнение этой касательной (САГ) записывается так
119
У-Уо = /'(xq^X-Xq),
где Уо = /(*о)-
Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к данной кривой в данной точке. Очевидно, - ли.	1
ее угловой коэффициент равен--—г, а значит, уравнение нормали име-
/Vo)
ет вид

£
2
Длина отрезка СМ касательной от точки касания до точки пересечения с осью Ох называется длиной касательной данной кривой в данной точке М. Аналогично, длина отрезка МВ нормали между точками пересечения с кривой и осью Ох называется длиной нормали данной кривой в данной точке М. Отрезки АС и АВ называются соответственно подкасательной и поднормалью данной кривой в данной точке. Поскольку AM = уо, а ZMCA = ZAMB = arctg f(xo), то длины всех четырех отрезков: АС, АВ, МС и МВ легко находятся из прямоугольных треугольников. Например,
,,,	., ,	,, г„ . AM Vn
А С = АМ  ctgZMCA =------= —,
tgZMCA у’о
где Уо = f(x0).
Пример 4.21. Составим уравнение касательной и нормали к линии
у = — в точке М(2, 1/2), рис. 4.10. х
Имеем
а значит у'(2) = —. Поэтому уравнение касатель-
ной:
У-^ = ~4(х-2)-
Пример 4.22. Найдем угол, под которым пересекаются линии у = х2 и у = 4х в точке Л/(1,1), рис. 4.11. Из уравнений линий находим
120
у = 2х, у’ = —
а значит угловые коэффициенты касательных в точке М (1,1) равны
*1 = 2, к2Л,
отсюда для искомого угла ос получаем
2-1 о
2 2_2
4
известен угловой коэффициент касательной
tgoc =
1 + 2- 12
2
Пример 4.23. К линии у = 2х + 4х -1 провести касательную, параллельную прямой а + 2 у — 3 = 0.
В данном случае точка касания (х0, Уо ) заранее не известна, но зато
к = - . Поэтому, находя
у' = 4х + 4, полагаем
л л 1
4хл + 4 — —
и 2
откуда
, 1
*0 +1 -
а значит
9	81 9 ,	95
и 8 и 32	2	32
Итак, уравнение искомой касательной: 95	If
J4----=----А +
32	2^
Пример 4.24. К линии у = х2 - 4х +1 провести касательную из начала координат, рис. 4.12.
Пусть (a'o,Jo) - неизвестная точка касания. Тогда искомое уравнение касательной:
y-y0 =(2x0-4)(x-x0).
Потребуем, чтобы касательная проходила через точку О. Получим -И) =(2*0 -4)(-*о),
т. е.
JO - 2a'q -4х0,
или
A'q — 4Aq +1 — 2 A'q — 4Aq ,
121
отсюда
у2 -1 х0 - 1,
а значит xq = 1, xq = -1.
Получаем две точки касания Л/[(1,-2), Л/2(-1,б). Уравнения каса-
тельных у + 2 = -2(х -1), у - 6 = —б(х +1).
Пример 4.25. Точка движется так, что пройденный ею путь изменя-
ется по закону s = 2^ + 3^ + 1. Найдем скорость этой точки в момент t =2.
В произвольный момент скорость данной точки равна
v = s' (г) = 6/2 + 3.
Следовательно, при t = 2 будет
v = 24 + 3 = 27.
16.	Производные высших порядков
Пусть имеется дифференцируемая функция у =f(x). Найдем ее производную y'=f'(x). Предположим, что она также является дифференцируемой функцией. Тогда можно найти ее производную, т.е. производную производной. Ее называют производной 2-го порядка функции у =f(x) и обозначают у", или f"(x). Прежнюю производную у' =f'{x) можно назы-вать в этом смысле производной 1-го порядка .
Аналогично вводится понятие производной 3-го порядка как производной функции у"=f"(x) и т. д. Производные 3-го, 4-го, 5-го, ... порядков обозначаются у j/1, ут, ... , или, соответственно,/'"(х),/л(х),/г(х). Если и - произвольное натуральное число, то производную 77-го порядка функции у =flx) обозначают у^п\ или f^(x).
Очевидно, что производная любого порядка находится из производной предыдущего порядка при помощи обычных правил дифференцирования.
Пример 4.26. Пусть у = хп, где w >0 и целое. Тогда
у =nxtl~[, у” = п(п -1)хТ1~2, у" = 77(77 - 1)(т7 - 2)У'-3,..., у^’ =
= 77(77 - 1)(т7 - 2) ...  2х,
j(«) = 77(77 - 1Х« - 2)-...  2  1 = т?!= const, у(и+1) = 0, у(и+2) = О,...
Очевидно, и для любого многочлена т?-ой степени все производные, начиная с производной (т7+1)-го порядка, тождественно равны нулю.
Пример 4.27. Пусть у = 1 пл . Тогда
В ряде случаев саму функцию fix) удобно рассматривать условно как производную этой функции нулевого порядка (см. например #17).
122
fl ff 1 fff 1'2 П' 1-2-3 LX z yj /7 1
у = -> у =—2^ y =^“’ у =------------~’•••’ =bl) ~—
X	x	x	x	xn
Последнее равенство верно при любом и > 1. Правда, при этом мы (для /7 = 1) должны считать, что 0!=1, хотя выражение 0! кажется вообще лишенным смысла. Однако ниже мы познакомимся с таким обобщением понятия факториала, при котором выражение 0! не только приобретает смысл, но и окажется равным именно 1.
Заметим еще, что получение общего вида производной у^, пригодного для любого /7, как это имело место в последнем примере, возможно лишь для очень немногих функций простейшего вида. Для подавляющего же большинства функций в выражениях для у', у", у’”, ... отсутствует какая-либо видимая закономерность.
Пример 4.28. Пусть теперь функция задана неявно. Возьмем, например, уравнение
х3 + у2 = 1.
Если подставить в него y = g(t), то мы получим тождество, дифференцируя которое, имеем
Зх2 + 2jy/= 0,	(4.12)
откуда
Зх2
Дифференцируя теперь уравнение (4.12), получим
6х + 2у2 +2уу" = 0,	(4.13)
откуда
„ _ 6х + 2у'2 _ Зх + у'2
У 2у У '
Подставляя сюда ранее найденное выражение для у', находим окончательно
о 9х4
Зх Ч--—	„
4у2 _ 12ху2 + 9х4
У	л	’
У	4у3
Аналогично, дифференцируя равенство (4.13) и используя уже полученные выражения для у' и у", находим у’” и т. д.
17. Формула Лейбница
Пусть и(х) и v(x) - функции, дифференцируемые нужное число раз.
123
Тогда
(wv)' = u'v + uv', (uv/ = u"v + 2u'v' + uv", (uv)m = u"’v + 3u"v' + 3u’v" + uvm и т. д. Легко видеть, что правые части этих равенств напоминают разложения соответствующих степеней бинома и + v. Докажем, что это правило верно для любого натурального и, т. е. при любом п
О)(и) =	и(я-2)у’ +... +
2!
+ к(к-1)(к-2)-...-(/?-(/77-1)) и{п-т\т +	+ wv(h)
т\
или, если воспользоваться известной формулой комбинаторной теории для сочетаний, то получим
(«v)W = tS"K +	+ C2n,"2,v" + ... + C"uvM,
или, еще короче,
(иу)<и)= &”и("~т)у(т).	(4-14)
т=0
Для доказательства применим метод математической индукции. Мы видели, что формула (4.14) верна при /7 = 1, 77 = 2,77 = 3. Предположим, что
она выполняется для некоторого /7, и докажем, что тогда она верна и для производной (?7+1)-го порядка. Отсюда и будет следовать, что формула (4.14) имеет место при всех /7.
Имеем из (4.14)
(4-15)
т=0	т=0
Приведем справа подобные члены. Первое слагаемое первой суммы, равное iSn+^v, и последнее слагаемое второй суммы, равное	не
имеют подобных себе слагаемых. Следовательно, они будут соответственно первым и последним слагаемым правой части равенства (4.15). Если же 1</7?<77, то произведение	имеет общий коэффициент, рав-
ный С™ + С™-1.Но
,т_\ _ 77(77 - 1)...(т7 - (т - 2))(/7 - (т -1)) 77(77 - 1)...(т7 - (т - 2))
п	т\	(/77-1)!
(/7 + 1)77(77 - !)...((/7 + 1) - (/77 - 1))
Итак, равенство (4.15) принимает вид
124
п
+	- W("+1)v4. Vr'" ?.(«-«7 + l) (w?) . 7n,(« + 1)
\Uv) — U V i 7	V ' wV 9
m=\
t. e.
о)(и+1) =	.
m=0
Но эта формула получается из (4.14) путем замены п на л I ]. Тем самым доказана справедливость формулы (4.14) для любого натурального п.
Формулу (4.14) называют формулой Лейбница.
Пример 4.29. Пусть у =	+1). Вычислим
Формула Лейбница дает
/15)=(^)(15)(х2+1)+15(^)<14)(х2+1у+15 14(е.)(13)(л2+1Г
(все остальные слагаемые справа тождественно равны нулю, так как (л-2 + 1/т) = 0 для всех т = 3,4,..., 15). Следовательно,
у(15) =^15еот(х2 +1) + 15Лат2х + ^^б713еот -2 =
V >	2
(713eflY а2(х2 +lj + 30<rx + 210 .
18. Дифференциал функции
Пусть функция у =fix) дифференцируема в данной точке х0. Тогда, согласно формуле (4.4), приращение этой функции в точке х0 имеет вид Лу = у'Лх + аЛх.
Здесь ос^-0 при Лх^>0, а значит при Лх^>0 будет осЛх = о(Лх). В тоже время, если в точке будет у'^0, то у'Лх = О* {Лх). Отсюда следует, что при Лх^>0 будет Лук у'Лх, т. е. при Лх^-0 бесконечно малая у 'Лк есть главная часть бесконечно малой Лу.
Бесконечно малая у 'Лк, являющаяся главной частью бесконечно малого приращения функции, вызванного бесконечно малым приращением аргумента Лх, называется дифференциалом функции у =fix) и обозначается dy или dfix).
Выясним геометрический смысл дифференциала, рис. 4.13. Поскольку y'=tgcp, то
dy = у'Лх = Лх • tg ср = АВ.
Итак, геометрически дифференциал представляет собой бесконечно
125
малое приращение ординаты касательной к графику данной функции в точке с данной абсциссой х. Иными словами, дифференциал - это приращение, которое имела бы функция при бесконечно малом приращении аргумента, если бы она, начиная с данного х, стала линейной.
Пример 4.30. Пусть у = х2. Положим = 1, Лх = 0,1. Тогда 4у = 1,12-12 =0,21;
dy = 2х0 Лх = 2 • 1 • 0,1 = 0,2 .
Следовательно,
4^ = Ж = 0,05. dy 0,2
Пусть теперь Лх = 0,01. Тогда
Ду = 1,012 -I2 = 2,01-0,01 = 0,0201, dy = 2-1-0,01 = 0,02, а значит =	= о,оо5.
dy 0,02
Если бы мы взяли Лх еще меньше, то и отно-
Лу - dy	z-
шение —-----— уменьшилось бы. Это иллюстрирует
dy
тот факт, что если Лх—>0, то dy = О (Лх), а значит Лу - dy = o(dy), т. е. lim ——— = 0. Разумеется, —^0 cly
это имеет место не только для функции у = х2, но дифференцируемой функции.
Отметим, что в рассмотренном примере было Лу > dy (при Лх > 0). Это связано с тем, что линия у = х2 вогнута, в силу чего касательная к ней расположена под этой линией. В случае же выпуклой линии, рис. 4.14, (например, у = 4х ), очевидно, при Лх > 0 будет Лу < dy .
Результаты примера 4.30 можно сделать совсем наглядными, если Лх функцию у = х2 рассматривать как площадь квадрата со стороной х. Тогда dy = 2х0Лх представляет собой сумму площадей двух одинаковых прямоугольников со сторонами и Ах. Эта величина отличается от истинного приращения площади квадрата, на величину равную (Лх)2, которая явля-
Рис. 4.15	ется, очевидно, бесконечно малой 2-го порядка от
и для любой другой
	\\\\
Хо Хо	Лх
126
носительно dy. Чем меньше Лх , тем с меньшей относительной погрешностью этой площадью можно пренебречь.
Возьмем снова произвольную функцию у = f(x) и придадим аргументу х бесконечно малое приращение, которое по аналогии с обозначением dy обозначим не Лх, a dx, и назовем дифференциалом независимой переменной х. Тогда равенство, служащее определением дифференциала, примет вид
dy = y'dx.	(4.16)
Отсюда получим
, dy у =— • dx
Итак, производная функции есть отношение ее дифференциала к дифференциалу независимой переменной. Вместе с тем отношение — dx можно рассматривать как новое обозначение производной. В связи с этим символ — (именно символ, а не дробь!) используется как обозначение dx
действия дифференцирования.
Из формулы (4.16) следует, что нахождение дифференциала функции фактически сводится к нахождению ее производной. Поэтому нахождение дифференциала функции также называют дифференцированием этой функции (что и служит оправданием данного термина).
Пример 4.31. Пусть у = 2dx. Тогда, очевидно, dy = 2^ In 2 —\=dx.
2-Jx
Из таблицы производных вытекает соответствующая таблица дифференциалов.
1.	б7с = 0.
2.	d(u + v)= du + dv.
3.	d(uv) = udv + vdu.
л /иЛ vdu-udv 4. d - =--------5---•
\vj v
5.	б/(л'“ )= ax^dx.
6.	d\ax )= ax In adx.
7.	d\exj=exdx.
8.	j(ln x) = —. x
9.	<7(sin x) = cos xdx.
10.6?(cosx) = -sin xdx.
14. <7(arccos л) = —	.
Vi-x2
15.c/(arctg x) =	.
1 + x2
16. <7(arcctg .v) =-.
1 + x
17.6?(shx) = chxdZ 18.6?(chx) = shxeZx.
19.<7 (th x) =	.
ch2 x
20.<7(cth x) = —. sh2 x
127
ll.e7(tgx)-	. COS X х	dx 12.e7(ctgx)=	. sin2 x	21 Л(Агсйу)-
	X . 04 It VI 1 J	I	 . \x2 +1 22 d(Arch x) -
	\x2 -1
L . 04 1 dl wolll J	I	 . д/1-х2	
19.	Пивариаитиость дифференциала
Пусть у = /(и), где и = ср(х). В этом случае у есть сложная функция от х. Имеем
e7y = y^dx.	(4.17)
При этом ух = y'uuxdx. Но yxdx = du, а поэтому получаем
dy = y’udu.	(4.18)
Равенства (4.17) и (4.18) одинаковы по форме. Это значит, что форма дифференциала не зависит от того, является ли переменная дифференцирования независимой переменной или же она, в свою очередь, есть функция другой переменой. Это свойство дифференциала называется его инвариантностью (т.е. неизменностью).
Перепишем равенства (4.17) и (4.18) так
,	dy= ,
,	Ух ’	J У и 
dx	du
Тогда формула ух = у'иих принимает вид dy dy du dx du dx
Левую часть можно получить из правой, если попросту сократить на du. Таким образом, с дифференциалами можно в этом смысле обращаться как с обычными числами. В частности, формула для производной обратной функции может быть получена теперь так:
,	dx	1	1
xv = — = —- = —.
J dy Ух
dx
20.	Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Мы уже видели, что если Дх —> 0, то Лу = dy + о(Лх). Практически это означает, что при достаточно малых Лх можно положить
128
т. е.
Ду -dy
f(x0 + zk) - f(x0) « /Vo )zk,
откуда
f(x0 + zk)«/(xo) + /Vo)^-	(4.19)
Эта формула служит для приближенного вычисления значений функции при значениях аргумента, близких к т.н. “табличным” значениям.
Позже, в главе V, будет доказано, что погрешность формулы (4.19) не превосходит по модулю величины М  (Их)2, где М = шах |/"(х)|. При |х0,х0+Лг]
малых Лх величина |/"(х)| мало изменяется на отрезке [a'q,a'o + Лх]. Поэтому, как правило, можно полагать М ® |/"(х0 )|, т.е.
\Лу-Лу\<М-(Лх)2.	(4.20)
Пример 4.32. Вычислим приближенно tg45°10'. Для этого вводим
функцию у = tgx и полагаем х0 = 45°
Их = 10' =
л 180-6
3,1416
1080
= 0,0029.
Формула (4.19) теперь дает
tg45°10' « tg45° +-------Лх = 1 + 0,0029 = 1,0058.
cos2 45°	1 2
Оценим погрешность этого результата. Поскольку
<cos2 х>
2 sin х
Г“ ’
COS X
то
2 sin 45° cos3 45°
Следовательно,
tg45°10'-1,0058 <4-0,00292 <0,00005.
Таким образом, в полученном результате верны все четыре знака.
Примечание. Мы уже отмечали, что если функция - линейная, то для нее приращение и дифференциал совпадают. Поэтому, полагая Лу = dy, т. е. пренебрегая отрезком ВС = о(Лх), мы исходим из того, что на малом отрезке график функции мало отличается от прямой, т. е. функция ведет себя почти как линейная (рис. 4.16). Таким
129
образом, применение формулы (4.19) заключается в том, что произвольная функция “линеаризуется“ на малом отрезке [а(),	+ Лх].
21.	Дифференциалы выеших порядков
Пусть у = /(а) - дифференцируемая функция. Найдем ее дифференциал dy = /'(х)Лх. Вообще говоря, он также есть функция аргумента х. Будем считать эту функцию дифференцируемой и вычислим ее дифференциал, т. е. дифференциал дифференциала. Он называется дифференциалом второго порядка функции у = f(x) и обозначается d2 у, или d2 f(x).
Поскольку Лх не зависит от х, то при дифференцировании по х будем считать, что Лх = const. Поэтому
d2y = d(dy') = d [/"(х)Лх] = [/”'(х)Лх]  Лх = zlx[/'(x)]  Лх = /"(x)(zlx)2.
Аналогично вводится дифференциал 3-го порядка:
d3y = d(d2y) = d /”"(x)(zlx)2 = /”"(x)(zlx)2|  Лх = /”w(x)(zlx)3, и т.д. Вообще для любого натурального п дифференциал и-го порядка равен
Если Лх —>0, а /(”\х)^0, то d"y = О’дЛх/7). Обозначим, как и прежде Лх через dx. Тогда получим
d2y = f”(x)dx2, d3y = f"(x)dx3,..., d"y =/^(xjdx11.
Отсюда
Правые части можно рассматривать как новые обозначения производных d”
высших порядков. В связи с этим символ --- используют для обозначе-
dx”
ния действия и-кратного дифференцирования.
22.	Параметрическое задание функций и линий
Пусть переменные х и у являются функциями некоторой третьей переменной f.
х = ср(О, у = W)-
(4-21)
130
Из первого равенства можно определить t как функцию от х\ f = %(*)
Здесь функция %(t) обратна функции ср (f). Но так как t - одно и то же в обоих равенствах (4.21), то, заменяя во втором равенстве t на /(Z), будем иметь у = \|/ [х (х)], т. е. у = /(х).
Итак, равенства (4.21) определяют у как функцию от х. Такой способ задания функции называется параметрическим, а вспомогательная переменная t - параметром. Переход от параметрического задания функции к явному или неявному ее заданию называют исключением параметра. Одним из способов (но не единственным) исключения параметра является его нахождение из первого уравнения (4.21) с последующей подстановкой во второе уравнение.
Пример 4.33. Возьмем уравнения (х = 4t +1, [у = sin It.
Первое уравнение дает:
4t = х -1, т. е.
t = (х -1)2.
Подставляя это во второе уравнение, получаем y = sin[2(x-1)2] .
Исключить параметр возможно далеко не всегда. Например, нельзя исключить t из уравнений
х = I +ef, [у = to t + cos2 t.
С геометрической точки зрения уравнения (4.21) определяют, вообще говоря, некоторую линию. Уравнения (4.21) называют в этом случае параметрическими уравнениями этой линии. При каждом конкретном t мы получаем конкретные х и у, т. е. конкретную точку на кривой. Когда t принимает всевозможные значения, соответствующая точка пробегает всю кривую. При этом возможен случай, что одна и та же точка линии отвечает нескольким различным значениям t.
Пример 4.34. Возьмем уравнения
131
Полагая t = 0, получим точку (-1,0). При t = 1 имеем точку (0,0). Значению / = —I также отвечает точка (О,О). Значения t = 2 и I = -2 дают соответственно точки (3, 2) и (3,-2). Вообще, беря два значения t, различающиеся только знаком, мы получим одно и то же значение х (поскольку функция х = t2 -1 - четная) и два
одинаковых по величине и противоположных по знаку значения у (ввиду
1	11 з к
нечетности функции у = —у -tl). Следовательно, данная кривая симмет-
рична относительно оси Ох. При изменении L от - со до +со соответствующая точка движется по кривой так, как показано на рисунке 4.17. При этом точка (0,0), отвечающая различным значениям: / = I и t = -1, называется
точкой самопересечения.
Введем параметрические уравнения некоторых важнейших линий.
1.	Окружность. Возьмём окружность радиуса а с центром в начале
координат. В качестве параметра t выберем полярный угол. Тогда
х = a cos/, у = a sin t.
Это и есть параметрические уравнения окружности. Исключим параметр t. Для этого здесь удобно возвести оба уравнения в квадрат:
2	2	2
х = a cos t,
2	2 • 2 ,
у = a sin t
и сложить. Получим
- знакомое уравнение окружности.
2.	Эллипс. Возьмем эллипс с полуосями а и Ъ с центром в точке О, рис. 4.19. Его можно рассматривать как результат равномерной деформации окружности радиуса а вдоль оси Оу. При этом, как известно,
Ъ .
ум = —asm/ = /? sm /, а
Рис. 4.18
132
а значит параметрические уравнения эллипса запишутся так pc = acos/, [у = Л sin /.
При изменении / от нуля до 2л точка М описывает весь эллипс. С целью исключения параметра перепишем полученные уравнения так
(х — = cos/,
<« у — = sin /.
. ъ
Возводя обе части в квадрат и складывая, получим известное уравнение эллипса
2	2
X У 1
---у-— = 1 2---12
а b
3.	Гипербола. Рассмотрим уравнения fx = ach/, [у = 6sll/.
(4.22)
Перепишем их так:
X ,	Г 2	
	X	- ch 2/
— = СП/,	2	— С11 1
а	или	а о	
— = sh/ 7	2 У	= sh2/
1 ь	ь2	
откуда, используя формулу ch2/ — sh2/ = 1, получаем
2	2
*у = 1
2 Л2 а b
Итак, уравнения (4.22) изображают гиперболу с полуосями а и Ь. При
Ь = а получим уравнения равносторонней гиперболы (х = acht,
I v = ash/,
аналогичные уравнениям окружности.
Полученные результаты ещё раз иллюстрируют аналогию между тригонометрическими и гиперболическими функциями и - параллельно - между эллипсом и гиперболой (в частности, между окружностью и равносторонней гиперболой).
Заметим, что в уравнениях
133
(4.22) параметр t уж не имеет смысла некоторого полярного угла, как в уравнениях окружности и эллипса. Однако можно придать параметру t некоторый другой геометрический смысл, при котором параметрические уравнения эллипса и гиперболы останутся прежними и который теперь уже будет одинаковым для обеих линий. Мы на этом останавливаться не будем.
4. Циклоида. Пусть окружность радиуса а катится без скольжения по некоторой прямой (мы её примем в качестве оси Ох). Траектория точки этой окружности называется циклоидой. В качестве t возьмём угол поворота того диаметра окружности, который в начале качения (т. е. когда точка Мнаходилась в начале координат) был вертикальным, рис. 4.20. Тогда
хм = OD = О А - AD = AM- МВ = at -a sin t, ум = АС - ВС = a- a cos t.
Итак, параметрические уравнения циклоиды: (х = a(l - sin t), [у = а(1 -cost), при этом первой арке циклоиды отвечает промежуток [0, 2 л] изменения /. В частности, если t = 2л, то х = 2ла, у = 0, что и должно было иметь место.
23. Диффереицироваиие функций, заданных иараметрически
Пусть функция у = f(x) задана параметрическими уравнениями 1х = (р(Ц, 1т = v(0-
Из первого уравнения имеем
^ = х(*)>
а поэтому
У = v[x (*)] = /(*)•
Здесь /(х) - сложная функция, a t = х(х) - промежуточный аргумент. Следовательно,
Ух =У^х 
Но, по формуле для производной обратной функции,
f = — х х' ’ Ч
а значит
л=4-	(4-23)
ч
134
т. е.
, _ W)
3^X	f / .\
ф (/)
Пример 4.35. Составим уравнение касательной к линии
х = t2 -1,
в точке (Л Ц-
На основании формулы (4.23) имеем
Z2——
у'х =--
х 2t
Точке (3, 2), как мы видели, отвечает значение параметра I = 2. Следова-
тельно, угловой коэффициент искомой касательной равен
,.d"
4
12
а значит её уравнение:
Т“2 = —(х-3).
Формулу (4.23) можно получить совсем просто, если воспользоваться следствием инвариантности дифференциала. Действительно, dy
, =dy=dL=}£
х dx dx x't'
dt
Воспользуемся этим приемом для нахождения производных высших порядков в случае параметрического задания функций. Имеем
Ухх (Тх)х
d(y'x)
d(y'x)
dt
dx x't
dt
xtytt xttyt
(*;)3
Совершенно аналогично находятся y”^, у . и т.д. Каждая очеред-
X
ная производная получается из производной предыдущего порядка путем дифференцирования её по t с последующим делением на x't.
Пример 4.36. Возьмём опять уравнения
135
Мы имеем
Отсюда
ит. д.
х = t2 -1,
Тх 2
1. I
„	2—6/£
У xx	~
6t
1 1
4r + 12/s ’
1 _ 1
4? 4?	1Г1 ! 1Л
2Z	8 + t5J
Задачи и уиражиеиия к главе IV
1.	Пользуясь только определением производной, вычислить (tgx) .
2.	Пользуясь только определением производной, вычислить (л/х) .
3.	Показать, что функция у = -Jln(l +х2) в точке х = 0 не дифференцируема. Найти у'(+0) и у'(-0).
4.	Показать, что начало координат есть угловая точка линии у = 2х — х2
и найти угол между касательными к этой линии в этой точке.
5. Показать, что точка (2,0) есть угловая точка линии у = х2 - 2х , и
найти угол между касательными к этой линии в этой точке.
6. К линии
2	2
X У 1
--+ — = 1
30 24
провести нормаль, параллельную прямой
х + 2у + 17 = 0.
7. К линии
сательную, 9х + у + 3 = 0.
х = t -1, у = t —12/ +1
провести ка-
параллельную прямой
8. Точки А и В одновременно выходят из начала координат и движутся по осям Ох и Оу соответственно, причем vA = 50, vB = 10 . С ка-
136
кой скоростью они удаляются одна от другой?
9.	Одна сторона имеет постоянную величину а = 10, а другая - Ъ -изменяется, возрастая со скоростью 4 см, с. С какой скоростью возрастает диагональ прямоугольника в тот момент, когда Ъ = 30 см?
10.	Вдоль оси Ох со скоростью г=0,2 см с движется точечный источник света Л, от которого точка М (2,2) отбрасывает тень на оси Оу. С какой скоростью движется эта тень в тот момент, когда ОА=3 см (рис. 4.21)?
11.	К линии у = ^2-х провести касательную так, чтобы её отрезок, заключённый между осями координат, делился точкой касания пополам.
2	2
12.	К линии х +4у =16 провести касательную так, чтобы её отрезок, заключенный между осями координат, делился точкой касания пополам.
13.	К линии у = х2 - Зх +1 провести касательную из точки (4,1).
14.	К линии у = х2 - 4х +1 провести касательную из точки (-1,1).
15.	Показать, что отрезок любой касательной к линии у = aln Ьх (а = const, b = const), заключённый между точкой касания и осью Оу, имеет постоянную проекцию на ось Оу.
16.	Показать, что проекция ординаты любой точки линии у = а • ch—
а на её нормаль есть постоянная величина, равная а.
17.	Период колебания маятника равен Т = 2п — с, где I (см) - длина маятника. Как нужно изменить длину маятника /=20 см, чтобы период колебания уменьшился на 0,1 с? Воспользоваться тем, что АТ » dT.
18.	Исходя из того, что Лу к dy, вычислить приближённо л/70 . Оценить погрешность результата.
19.	В круговом секторе радиус равен 100 см, а центральный угол -60°. Как изменится площадь этого сектора, если радиус увеличить на 1 см? Воспользоваться тем, что As « ds.
12,ОЗ2 -1
20.	Вычислить приближённо —— --------. Оценить погрешность ре-
V 2,ОЗ2 +8
зультата.
Г97~
21.	Вычислить приближённо 31 —_ . Оценить погрешность результата.
22.	Заменяя приращение функции её дифференциалом, вычислить
, •• 3’]
приближенно .
V3.12 + 7
137
V. Применение производных к исследованию функций и линий
1. Случаи иедиффереицируемости функций, непрерывных в данной точке
В предыдущей главе было доказано, что если функция дифференцируема в данной точке, то она и непрерывна в этой точке. Обратное утверждение, как отмечалось, неверно, т.е. функция может быть непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке. При этом возможны, в частно
сти, следующие случаи.
1°. Пусть в точке М график функции У = f(x) имеет две различные касательные, рис. 5.1. Такую точку М называют угловой точкой. В этом случае, очевидно,
Д у	Д у _
lim —- = tgoc, lim —- = tgP ,
Л л—>—О Д X	Л х->+0 Д х
О	х0 х
Рис.5.1.
г Лу
т. е. единого предела пт ---, не зависящего от спо-
Zlv—^0 Д X
соба стремления Дх к нулю в точке х() не существует (легко видеть, что в точке х() производная f\x) терпит разрыв 1 -го рода в виде конечного скачка, рис. 5.2). Итак, в точке х0 функция /(х) не диффе-
ренцируема, хотя и непрерывна. х|
Примером может служить функция у = е 1 в точке х = 0, рис. 5.3.
2°. Пусть в точке М линия у = f (х) имеет единствен
ную касательную, но эта касательная параллельна оси Оу,
0 Хо х
Рис.5.4
рис. 5.4. Такую точку М называют точкой возврата. В этом случае, очевидно, производные слева и справа равны соответственно + со и -оо (или наоборот), т. е. производная в точке х0 не существует. Очевидно в этой точке производная терпит разрыв 2-го рода в виде бесконечного скачка, рис. 5.5. Между тем, функция /(х) не
прерывна в точке х0.
Рис. 5.3
*)
Эти пределы часто называют соответственно производной слева и производной справа и обозначают /'(хо-О) и /'(хо+О).
138
Пример 5.1. Пусть у =
1
, 2 ~3 2
У = — х J .
3 Зу[х
В точке х = 0 функция непрерывна, рис. 5.6, но не дифференцируема.
3°. Пусть в точке М линия у = f (х) имеет вертикальную касательную, которая в этой точке не только касается данной линии, но и пересекает её, рис. 5.7 (такую точку М
называют точкой перегиба с вертикальной касательной). В
Рис.5.7
этом случае производные слева и справа одновременно равны либо + со (как на рис. 5.8), либо -со. В точке же х0 производная fix') терпит разрыв 2-го рода, хотя
и не являющийся бесконечным скачком.
Пример 5.2. Пусть у = ^/х. Тогда
Рис. 5.9
а значит в точке х = 0 производная не существует, обращаясь в
+ со, рис. 5.9.
Примечание. Мы указали лишь наиболее типичные примеры нарушения дифференцируемости непрерывной функции. Возможен, например, случай, когда /'(х0 - 0) = -ко , а /'(х0 + 0) есть конечное число.
2. Теорема Ферма
Теорема 5.1. Если функция в некоторой внутренней точке промежутка принимает своё наибольшее или наименьшее в этом промежутке значение и если она дифференцируема в этой точке, то её производная в этой точке равна нулю.
Пусть, для определённости, функция /(х) в точке х0 принимает наибольшее в промежутке [a,b] значение. Тогда в отношении
/(х0+Лх)-/(х0)
Лх
числитель всегда отрицателен (если, конечно, х0 +Лх е Поэтому, если Лх > 0, то
139
/(х0+Лх)-/(х0) <() Лх
Отсюда
Л*о +Лх)-/(ло)<о
Лг—>+0	Лх
(5-1)
(поскольку предел отрицательной величины не может быть положитель-
ным), т. е.
Г(х0)<0.
Если же Лх < 0, то
Л*о + Лх)-/(х0)
Лх
а значит
Л*о +^)~ Л*о) > о
Лг->-0	Лх
т. е.
Но соотношения (5.2) и (5.4) могут одновременно иметь место тогда
и только тогда, когда /'(х0) = 0 .□
Доказанная теорема геометрически означает, что касательная к графику функции f(x) в точке М параллельна оси Ох, рис. 5.10.
Если же в точке х0 функция /(х) не диффе-
Рис.5.11
ренцируема, то условия теоремы Ферма и её утвер-
ждение не имеет места (см. рис. 5.11).
3. Теорема Ролля
Теорема 5.2. Если функция непрерывна на отрезке, дифференцируе-
ма во всех его внутренних точках и принимает на его
Рис.5.13
концах одинаковые значения, то внутри отрезка существует по крайней мере одна точка, в которой производная этой функции равна нулю.
Рис.5.12
Опуская из рассмотрения тот очевидный случай,
когда /(х) = const всюду на отрезке рис. 5.12, а значит f'(x)=0,
Переход от (5.1) к (5.2) и от (5.3) к (5.4) мы совершаем на основании дифференцируемости функции f (х) в точке хд •
140
Vxg[<t,Z>], обратимся к рассмотрению общего случая. Поскольку f (а) = f(b), то существует, по крайней мере, одна точка S,g((7,Z>), в которой f(x) принимает своё наибольшее или наименьшее на отрезке [a,b] значение, рис. 5.13. Но тогда, на основании
Рис.5.16 теоремы Ферма, /'(О = 0 .□
Примечание 1. Если функция f(x) непрерывна не на отрезке а лишь в интервале (a,b) (см. рис. 5.14), то одно из условий теоремы Ролля не выполнено и утверждение этой теоремы может не иметь у I'	места. Таким образом, замкну-
Рис.5.14
тость промежутка непрерывности функции является необходимым требованием.
Примечание 2. Наоборот, требовать дифференцируемости функции /(х) не в интервале (a,b\
Рис.5.15 а на отрезке очевидно, не обязательно, так как
точки А в В могут быть, например, угловыми точками графика, т.е. в точках х = а и х = Ь функция /(х) может и не быть дифференцируемой,
рис 5.15.
Примечание 3. Зато во всех внутренних точках отрезка [а, /?] функ-
ция f (х) обязана быть дифференцируемой, так как в противном случае точка А может оказаться, например, угловой (рис. 5.16) и точки £, в которой f'(£) = 0, в интервале (a,b) может и не быть.
Примечание 4. Фигурирующих в теореме Ролля точек очевидно, может быть и несколько
(рис. 5.17).
Примечание 5. Пусть f(d) = f (Z>) = 0 (в этом случае числа а и b на
зывают корнями функции /(х)). Тогда из теоремы Ролля 5.2 получаем
Рис.5.18
следующий её частный случай.
Теорема 5.2'. Между двумя корнями дифференцируемой функции лежит по крайней мере один корень её производной.
Пример 5.3. Пусть f (х) = х(х - 1)(х - 2)(х - 3). Это многочлен 4-ой степени, имеющий корни
Х| = 0, х2 = 1, х3 = 2, х4 = 3. Тогда f'(x), являясь многочленом 3-ей степени,
имеет 3 корня. В силу теоремы 5.2' все эти корни вещественны и лежат (по одному) в интервалах (0,1), (1,2) и (2,3).
141
4.	Теорема Лагранжа и её следствия
Теорема 5.3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке \a,b\ и дифференцируема во всех его внутренних точках. Тогда внутри отрезка [а, b существует, по крайней мере, одна такая точка £, что
f(b)-f(a)_
Ь-а
 Для доказательства введём вспомогательную функцию
F(x) = f (х) - X х, где X - некоторое число. Подберём X так, чтобы было F(a) = F(b). Имеем f{a~)-Fa = f{b)-Fb,
откуда
f(b)-f(a) л =---------
b-a
ТЯ Ж	EV х zy х /(6)-/(О
Итак, функция F(x) = f (х) -	— х удовлетворяет условиям
Ь-а
теоремы Ролля, а значит, существует, по крайней мере, одна такая точка е (а,Ь), что F'(g) = 0, т. е.
Л6)_/М)=о
Ь-а
а значит
Ь-а что и требовалось доказать.□
Доказанная теорема называется теоремой Лагранжа. Геометрически
она выражает тот факт, что на дуге АВ найдётся по крайней мере одна такая точка М, в которой касательная к графику функции f (х) параллельна
хорде АВ, рис. 5.19.
Примечание 1. Очевидно, что к теореме Лагранжа можно сделать примечания, аналогичные у примечаниям 1-4 к теореме Ролля. Действительно, если, например, хотя бы в одной внутренней точке отрезка [a,b] функция f(x) не дифференцируема, — рис. 5.20, то точка S,e(<7,Z>), для которой выполняется равенство (5.5), может и не существовать.
Примечание 2. При f(b} = f(a) из равенства
Рис. 5.20
(5.5) следует, что
142
f'(t,) = O, т. e. в этом случае теорема Лагранжа превращается в теоре
му Ролля.
Примечание 3. Пусть /(х) - дифференцируемая функция. Придадим данному х приращение Лх и применим к этому отрезку [х, х + Лх]
теорему Лагранжа, рис. 5.21. Получим
/(х + Лх) - /(х)
x+Jx
Рис.5.21
т. е.
Лу Лх
или
Лу = /'^)Лх.	(5.6)
Фактически это есть другая запись теоремы Лагранжа.
Из формулы (5.6) нетрудно получить неравенство (4.20), которое ранее было приведено без доказательства. Действительно, имеем теперь
Лу - dy = f’(QAx - f\x)Ax = (/'© -	.
Предположим, что функция /(х) имеет и непрерывную производную второго порядка. Тогда, применяя теорему Лагранжа к функции f'(x) на отрезке [х,S,], рис. 5.22, получим
Ду - dy = /"(ц)(^ - х)Лх.
Отсюда	х т] х+^\
|4у-^| = |/ЧпЖ-*|И	Рис.5.22 х
Пусть М= шах |/"(х)|. Тогда окончательно
[х.х+Лг]
| Ду - dy\ < МЛх1, что и требовалось получить.
Таким образом, неравенство (4.20) оказалось следствием теоремы Лагранжа.
Из теоремы Лагранжа легко следует ещё один факт, который будет использован ниже. Предположим, что для функции f (х) выполняется то
ждество
f\x) = 0.
Возьмём произвольные Xj и х2 и применим к отрезку [х|, х2 ] теорему Лагранжа. Будем иметь
Ж)-Лх2)^ х, - х2
Но /’(&) = 0, а значит f(xx) = /(х2). Отсюда, ввиду произвольности чисел Xj и х2, следует, что вообще f (х) = const. Доказанное утверждение обрат-143
но доказанному в главе IV, где мы доказали, что если f(x) = const, то /'(*) - 0.
5.	Теорема Коши
Теорема 5.4. Пусть функции f(x) и ср(х) непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причём cp'(.Y) не имеет корней в интервале (а,Ь). Тогда существует, по крайней мере, одна такая точка е (а,Ь), что
/(*i)~/(*2) АО
cpCxj) - ср(х2 )
 Для доказательства введём вспомогательную функцию F(x) = f (х) - Ахр(х). Подберём X так, чтобы было F(d) = F(b), т. е.
/(<7) - Хср(<7) = f(b) - Ахр(&).
Получим
ф(Ъ) - ф(<7)
При таком X функция F(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, а значит существует, по крайней мере, одна такая точка £,е(с/,/?), что F'© = 0,t. е.
ф(Ъ)-(р(<7) откуда и следует, что
/(*i)-/(*2) АОД
фО1)-фО2) ф'(О’
Примечание 1. Легко видеть, что теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при ср(х) = х.
Примечание 2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши называют дифференциальными теоремами о среднем (поскольку в каждой из них фигурирует некоторая внутренняя точка £ отрезка [<7,&]).
6.	Возрастание и убывание функции иа промежутке
Функция /(х) возрастает на отрезке [а,Ь] , если для любых Xj, х2 е [а, £>] будет
(х2 > хх) => (/(х2 ) > /(хх)).
Столь же очевидным образом определяется убывание функции на
144
промежутке.
Теорема 5.5. Если функция возрастает в некотором промежутке и дифференцируема в нём, то её производная в этом промежутке положительна и лишь в отдельных точках может обращаться в нуль.
Пусть функция f(x) возрастает на промежутке и пусть х0 е (a,b) - произвольная точка. Если Л х > 0, то и f (х0 + Л х) - f (х0 ) > 0. Если же Л х < 0, то и f (х0 + Лх}- f (х0 ) < 0. Следовательно, как при Л х > 0, так и при Л х < 0 будет
Лх
Но тогда и
Лх^>0
/(х0 + Лх)-/(х0) > о
Лх
т. е.
Л*о) 0.
Докажем, что равенство f\x) = 0 может иметь место только в отдельных точках интервала (а,Ь). Действительно, если бы это равенство выполнялось в некотором промежутке [c,d]cz то, в силу следствия теоремы Лагранжа, в промежутке [с, было бы f(x} = const, что противоречило бы монотонному возрастанию функции f (х) на всём промежутке [а,Ь] .□	I
Геометрически теорема 5.5 выражает тот факт,	у ;
что касательная к графику возрастающей функции всю-	;
ду в промежутке возрастания образует острый угол с Г	;
осью Ох и лишь в отдельных точках может быть па- q а	х
раллельна этой оси, рис. 5.23.	рис 5 2з
Пример 5.4. Для функции у = х3, возрастающей
на всей числовой оси, имеем
У = з*2
- т. е. У>0 для всех х, кроме точки х = 0, в которой У = 0, рис. 5.24.
Теорема 5.6. Если во всех точках некоторого промежут-
Рис.5.24 Ка производная функции положительна, то функция в этом промежутке возрастает.
Пусть f'(x) > 0 Vx е \a,b\. Возьмём произвольные точки Xj е \a,b\ и х2 е [а, /?], такие, что х2 > Xj и докажем, что f (х2 ) > f(x\) •
По теореме Лагранжа имеем
145
/(•У2) /(*1) = у(5
Х2 “Л-!
Поскольку S,e(x1,x2), то тем более Е,е[а,Ь], а значит /'(£>) >0- Но х2 — Xj > 0, а поэтому из (5.7) следует f (х2 ) - f(xx) > 0 .□
„(1	Теорема 5.7. Если функция убывает в некотором
К промежутке и дифференцируема всюду в нём, то её производная в этом промежутке отрицательна и лишь в отдельных точках может обращаться в нуль (рис. 5.25).
—ь-----------Теорема 5.8. Если во всех точках некоторого
0 а	х промежутка производная функции отрицательна, то
Рис. 5.25	функция в этом промежутке убывает.
Теоремы 5.6 и 5.7, очевидно, доказываются совершенно аналогично теоремам 5.5 и 5.6.
7. Экстремум функции
Рис.5.26 название: экс-
Если в некоторой точке х0 функция f (х) принимает значение, наибольшее по сравнению с её значениями в некоторой окрестности этой точки, то говорят, что в точке х0 функция f (х) имеет максимум, рис. 5.26. Если же для всех х из некоторой окрестности точки х0 будет / (х) > / (х0), то говорят, что в точке х0 функция f (х) имеет минимум, рис. 5.27.
Максимум и минимум имеют общее
Рис.5.27 тремум.
Пусть в точке х0 функция /(х) имеет экстремум. Это значит, что существует такой промежуток, содержащий внутри себя точку х0, что /(х0) является наибольшим или наименьшим значением функции f (х) в этом промежутке. Но тогда возможны два случая:
1°. Функция f (х) дифференцируема в точке х0. Тогда, на основании теоремы Ферма, f'(xa) = 0 .
2°. Функция /(х) в точке х0 не дифференцируема. В этом случае
/'(х0) не существует.
Случай 2° иллюстрируется, например, функцией з/ 2
у = у/x , которая в точке х = 0 имеет минимум (рис. 5.28),
но поскольку у' =
1
Зл/х
в этой точке производная не су
ществует.
146
Итак, можно считать доказанным следующее утверждение (необходимый признак существования экстремума).
Теорема 5.9. Если в данной точке функция имеет экстремум, то её производная в этой точке либо обращается в нуль, либо не существует.
У>
Рис. 5.29
Обратное утверждение неверно, т. е. из равенства нулю производной или из её отсутствия, вообще говоря, не следует наличие экстремума (рис. 5.29).
Для наличия экстремума функции f (х) в точке х0 нужно, чтобы при переходе через эту точку произ-
водная функции меняла знак: с «+» на «-» в случае максимума и с «-» на «+» в случае минимума (рис. 5.30, 5.31 и рис. 5.32, 5.33 соответственно).
М
х0
Рис.5.33
Если же при переходе через точку х0 производная не меняет знака, то экстремума в этой точке нет. Если при этом будет /'(х0) = 0, то соответствующую точку М графика функции называют точкой перегиба с горизонтальной касательной, рис. 5.34.
Итак, имеет место
Теорема 5.10. Для того, чтобы функция имела в данной точке экстремум, необходимо и достаточно, чтобы её производная при переходе через эту точку меняла знак.
Пример 5.5. Исследуем на экстремум 3d _ 3	- 2 л тт
у = —х -2х + 3х +1. Имеем 8
у’ = -х3 - 6х2 +
2
Итак, производная обращается в нуль в двух точках \ Х| = 0 и х2 = 2. Это значит, что эти (и, очевидно, только эти) точки подозрительны на экстремум.
Поскольку (х - 2)2 > 0 при всех х, то величина у' при переходе через точку х = 0 меняет знак с «-» на «+», а зна
чит в точке х = 0 имеет место минимум (при этом у(0) = 1). При переходе
О
Хо X
Рис.5.34
функцию
2
3
1
о
2 х
Рис. 5.35
*)
Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называют стационарными точками этой функции.
147
через точку х = 2 знак величины у' не меняется, поскольку и слева и справа от этой точки будет у’ > 0 . Следовательно, в точке х = 2 функция не имеет экстремума, рис 5.35.
8. О наибольшем и наименьшем значениях функции иа промежутке
Пусть функция /(х) непрерывна в интервале (а,Ь). Поскольку он является открытым промежутком, то наибольшее и наименьшее значения f (х) в нём могут и не достигаться. Однако имеет место следующее утвер
ждение.
Теорема 5.11. Если функция /(х) в интервале (а,Ь) имеет единственный экстремум, то соответствующее значение функции является либо наибольшим, либо наименьшим значением /(х) в интервале (а,Ь), в зави
симости от того, будет ли этот экстремум максимумом или минимумом.
Пусть, для определённости, экстремум является максимумом и
достигается в точке х0, рис. 5.36. Предположим, что существует точка
х} е (a, b), такая, что f(xx) > f(x0 ). Рассмотрим отрезок [xn,X| (с/,б). В силу 2-ой теоремы Вейерштрасса (см. раздел 111), функция f(x) принимает в некоторой точке х2 е [х0, Xj ] своё наименьшее на отрезке ] значение. Очевидно, что точка х2 не
может совпадать ни с точкой х0, ни, тем более, с точкой Xj. Следовательно, х2 - внутренняя точка отрезка [х0,Х] ]. Но тогда функция /(х) имеет в
точке х2 минимум, что противоречит единственности экстремума этой функции в интервале (a,b). Тем самым доказано, что ,/(х0) есть наибольшее значение /(х) в интервале (а,Ь).
Пусть теперь функция /(х) непре-рывна на отрезке [a,b]. В этом случае ----------------------,
функция достигает на этом отрезке и наи-	/ \
большего и наименьшего значений. Если ( I \	;
наибольшее или наименьшее значение т_____________;
достигается во внутренней точке отрезка,----!—!----:--!—।----!---
О а	b х
то эта точка является соответственно точ-
кой максимума или точкой минимума. Но	Рис. 5.37
оно может достигаться и на одном из концов отрезка. Следовательно, для нахождения чисел М = max f (х) и т = min f (х) надо вычислить значения [a,b\	[а,ь\
f(x) во всех экстремальных точках отрезка а также в точках а и
148
наибольшее и наименьшее из всех этих чисел будут соответственно числами М и т (см. рис. 5.37).
Пример 5.6. Найдём наибольшее и наименьшее значения функции у = 2х3 + Зх2 - 12х +1 на отрезке [- 4,2]. Имеем
у = 6х2 + 6х —12.
Поэтому, полагая у' = 0, получим уравнение
х2 +х —2 = 0, корни которого: Xj = 1, х2 = -2 .
Находим:
/(1) = -6, /(-2) = 21, Д-4) = -31, /(2) = 5.
Следовательно,
шах /(х) = 21, min /(х) = -31
[-4,2]	[-4,2]
(на рис. 5.38 для удобства на осях Ох и Оу взяты различные масштабы).
Примечание. Конкретизируя ситуацию, рассмотренную в теореме 5.11, укажем отдельные случаи, когда значение функции в стационар
ной точке заведомо является либо наибольшим, либо наименьшим её значением в заданном промежутке (конечном или бесконечном). Пусть, например, известно, что )
1.	функция f (х) обращается в нуль на концах
промежутка [а,Ь] ;
2.	f (х) > 0 для всех х е [а,Ь] ;
3.	всюду внутри промежутка функция f(x) дифференцируе
ма;
4.	внутри промежутка [a,b] существует единственная стационарная точка х0 функции f (х) .
0 а х0 b х
Рис. 5.40
Тогда, очевидно, /(х0) есть наибольшее значение /(х) в промежутке [а,Ь] , рис. 5.39.
Другой аналогичный случай может быть, в частности, таким (рис. 5.40):
lim f (х) = +оо, lim f (х) = +оо; x^a+Q	x^>b-0
выполняются условия 3 и 4 из предыдущего случая. Тогда
Эта и подобная ей ситуация встречаются в большинстве задач прикладного характера на наибольшее и наименьшее значения в промежутке (см. следующий параграф).
149
f(x0) есть наименьшее значение f(x) на промежутке [a,b] .
9.	О решении задач иа наибольшее и наименьшее значения
Рис.5.41
На практике часто встречаются задачи следующего рода. Даны две величины, определённым образом связанные между собой. Требуется найти значение одной из них, при котором вторая величина принимает наибольшее или наименьшее значение. Для этого составляют функцию, выражающую вторую величину через первую, и ищут её наибольшее (или наименьшее) значение в определённом промежутке, который диктуется условием задачи.
Пример 5.7. Из углов квадратного листа со стороной а требуется вырезать одинаковые квадраты, чтобы, согнув лист по пунктирным линиям, получить коробку наибольшей вместимости. Какой должна быть сторона х вырезаемого квадрата?
Легко видеть, что объём коробки равен
V(x) = (a-2x)2 х.
Требуется найти то значение хе 0,^
ром величина И(х) принимает наибольшее на отрезке п а~
0,— значение.
2
при кото-
*0
Рис. 5.42
то ис-
Поскольку 1(о) = V — = 0 и, кроме того, V(x) > 0 Vx е 0,—
V 2) комое х есть внутренняя стационарная точка функции П(х) (ср. с рис. 5.39). Имеем
Поэтому для стационарных точек получим
4(7 ± д/16<72 - 12<72	4(7 ± 2(7
X =-------------------=----
12
12
Q	Q
т. е. х1=—,х2= — . Очевидно, что хь удовлетворяя уравнению У'(х) = 0 2	6
а
не является решением задачи, а значит искомое х равно —.
6
150
10.	Выпуклость и вогнутость линий. Точки иерегиба
Кривая является выпуклой, если она лежит ниже любой своей касательной, и вогнутой, если любая её касательная расположена под нею.
Теорема 5.12. Если /*(х)>0 всюду на отрезке [a,b] , то линия
y = f (х) на этом отрезке вогнута.
Возьмём произвольное х0 е (а,Ь) и в точке Л/(х0,/(х0 )) проведём касательную к линии у = f (х), рис. 5.43. Её уравнение:
J-/(*o) = /'(*oX*-*o)
или
Т = /(*о)+/'(*оХ*-*о)-
Возьмём теперь некоторое хеПусть,
для определённости, х > х0. Имеем
Ур “Ту = /(*)-[/(*о) + /Vo)(-r-xo)] = [/(x)-/(*о)]-f'(xo)(x~xo),
или, на основании теоремы Лагранжа,
Ур - Уы = Г<&КХ - *о ) - f\xQ )(х - *о ) = [/'(£) - f'(xo )](* - *о ) •
Ещё раз применяя теорему Лагранжа, получим
Ур - Уы =	- *оX* - *о) •	(5.8)
Поскольку е (х0, х), а х > х0, то (S, - х0 )(х - х0 ) > 0. Далее, г] е (х0, £,), а
значит тем более т]е[<7,/)] , так что /"(т])>0. Таким образом, уР >yN,
откуда и следует вогнутость линии у = f (х) на отрезке [а,Ь] .□
Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Условие
/"(х) > 0 можно переписать так: [/'(х)] > 0, а это у значит, что /'(х) на отрезке [а,Ь] возрастает, а так как f'(x) = tgoc, то величина tgoc, а значит и угол ос, возрастает при возрастании х, т. е. касательная ста- q
новится всё круче, что и свидетельствует о вогнутости линии, рис. 5.44.
Теорема 5.13. Если кривая у = /(х) вогнута на отрезке [а,Ь] , то величина /"(х) на этом отрезке положительна и лишь в отдельных точках может обращаться в нуль.
Возьмём произвольные числа х0 е[б7,/)] и хе рис. 5.45. Из равенства (5.8) следует, что и в случае х>х0, и в случае х<х0 будет /"(р) > 0. Пусть теперь х —> х0. Тогда и г] —> х0, а значит /"(р)	/"(х0 ).
151
Отсюда и из того, что f\x) > 0 для всех х, вытекает, что /"(х0 ) > 0, что и требовалось доказать. Действительно, если бы равенство f\x) = 0 выполнялось не только в точке х0, но и в некоторой её s-окрестности, то, начиная с некоторого х, было бы г] е Се (х0), а значит /"(ц) = 0, откуда, в силу (5.8),
следовало бы, что уР = yN, а это противоречило бы предположению о во
гнутости линии. □
Примечание. Исходя из равенства lim f(x} = /*(х0), мы молча X—>Xq
предполагали, что функция /"(х) в точке х0 непрерывна. Это предположение не является обязательным и сделано для упрощения доказательства теоремы 5.13.
Совершенно аналогично доказываются следующие две теоремы.
Теорема 5.14. Если /"(х) < 0 всюду на отрезке , то линия у = f (х) на этом отрезке выпукла.
Теорема 5.15. Если кривая у = /(х) выпукла на то величина f(x) на этом отрезке от-
Я
Рис. 5.46
отрезке рицательна и лишь в отдельных точках может обращаться в нуль.
Точка кривой, отделяющая её выпуклую часть от у	вогнутой, называется
\точкой перегиба этой кривой, рис. 5.46.
271 х Например, линия у = sin х имеет бесчисленное множество точек перегиба: (0,0), (71,0), (- 71,0), (271,0),..., рис. 5.47.
Теорема 5.16. Если точка Л/(х0,у0) есть точка перегиба линии у = f (х), то в точке х0 величина f\x) либо равна нулю, либо не сущест-
— 71
/	\71
О \
Рис. 5.47
вует.
Действительно, на основании теорем 5.13 и 5.15, величина /"(х)
при переходе через точку х0 меняет знак, т.е. меняет знак величина
[/'(х)|, а это значит, что в точке х0 величина f\x) имеет экстремум. Но тогда, на основании теоремы 5.9, величина [/'(x)J = /4х) в точке х0 либо обращается в нуль, либо не существует.^
Если же величина /\х0) либо равна нулю, либо
Рис.5.48
не существует, то это ещё не свидетельствует о наличии точки перегиба.
152
Например, пусть у = х4. Тогда у" = 12х2, т. е. у"(0) = 0. Однако в точке (0,0) перегиба нет, т. к. и при х<0, и при х>0 будет у">0, т.е. линия всюду вогнута, рис. 5.48.
Таким образом, для установления существования точки перегиба нужно убедиться, что при переходе через данную точку величина f\x) меняет знак.
Пример 5.8. Исследуем на выпуклость и вогнутость линию у = х3 - Зх2 + 5х -1. Имеем
у = Зх2 — 6х + 5, откуда
у” = 6х — 6 = 6(х — 1) .
Отсюда следует, что если х = 1, то у" = 0, причём при переходе через точку х = 1 величина у” меняет знак с «-» на «+». Таким образом, в промежутке (- оо,1) кривая выпукла, а в интервале (1,+°о) - вогнута. Точка (1,2) является, следовательно, точкой перегиба данной кривой.
11.	Второе правило исследования функции иа экстремум
Теорема 5.17. Пусть /'(хо) = О и пусть в точке х0 функция f(x) имеет производную 2-го порядка, причём /"(х0) ф 0. Тогда функция f (х) имеет в точке х0 максимум или минимум, в зависимости от того, будет ли Г(хо)<О или /"(х0)>0.
Пусть, например, /\хц) > 0. Перепишем это так rw-.m)>Oj JC ^Л-Q
а так как f'(xG ) = 0, to
lim ^->0.	(5.9)
JC ^Л-Q
В силу леммы о сохранении знака функции, из (5.9) следует, что при дос-f\x)
таточно малых (х-х0) будет и -------->0. Поэтому, если х>х0, то
X — Xq
х - Х() > 0, а значит и f\x) > 0. Если же х < х0, то х - х0 < 0, а значит и f'(x) <0. Таким образом, при переходе через точку xQ величина f\x) меняет знак с «-» на «+», так что в этой точке функция f (х) имеет минимум.
Аналогично рассматривается случай, когда /"(х0) < 0 .□
153
Пример 5.9. Возьмём функцию у = 2х - Зх . Имеем
у = 6х2 — 6х = 6х(х — 1) , т. е. стационарные точки: Xj = 0, х2 = 1. Далее, / = 12х-6,
а значит
У(0) = -6<0, /(1) = 6>0,
т. е. в точке х = 0 - максимум, а в точке х = 1 - ми- Рис.5.49 нимум (рис. 5.49).
Примечание. Теорема 5.17 даёт правило исследования функции на экстремум, более «узкое» по сравнению с теоремой 5.10, так как в точке экстремума даже f\x) может не существовать, а тогда тем более не существует и /"(х). В подобных случаях можно применять лишь первое правило. Кроме того, второе правило «отказывает» в тех случаях, когда одновременно /'(хо) = Ои /"(хо) = О.
12.	Пахождеиие асимитот линий
Если кривая при её продолжении на бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой, то эта прямая называется асимптотой данной линии.
1 °. Горизонтальные асимптоты. Прямая у = Ь является горизонтальной асимптотой кривой у = f (х) (рис. 5.50), если выполняется хотя бы од-
но из равенств
У
Ъ
0
Рис.5.50
lim f (х) = b, lim f (х) = b .
Пример 5.10. Поскольку
Л hm arctgx = — :->-оо	2
V	Л
hm arctgx = —, то линия :->+оо	2
у = arctg х имеет две горизонтальные асимпто-
У
71
2
__Зл
0 ^^2лх
Л
ты:	у = —
2
7Г С у = рис. 5.51.
____ л
~2
Рис.5.51
Рис.5.52	Пример 5.11. Ось Ох является горизон-
тальной асимптотой линии у =---(рис. 5.52), поскольку, очевидно,
х
1
И
х
154
sin х „ sin x Jim ------= lim ---------= 0.
X——oo X	x—>+oo X
2°. Вертикальные асимптоты. Прямая x = a является вертикальной асимптотой линии у = /(х) (рис. 5.53), если
Рис.5.54
выполняется хотя бы одно из нера- 0 а венств	Рис.5.53
lim ,/(х) = оо, lim /(х) = 00 . х—>а—0	х—>о+0
Например, линия y = tgx (рис. 5.54) имеет бесчисленное множество вертикальных асимптот:
3°. Наклонные асимптоты. Прямая у = кх+b (к ф 0) является наклонной
асимптотой линии у = /(х), если (см. рис. 5.55) lim МР = 0, т. е. х—>00
lim \кх + b- f (х)] = 0.
х—>0С
откуда
Из (5.10) следует, что тем более
b /(х) hm к + —
X—>оо	X X
= 0,
/(х) b к= lim	v 7 —
X—^оо	X X
к= lim .
X—>оо X
Теперь, когда число к известно, из равенства (5.10) получаем b = lim [/(х) - кх\.
(5.Ю)
(5.И)
(5.12)
Существование пределов (5.11) и (5.12) есть необходимое и достаточное условие наличия наклонной асимптоты. Существование же одного
только предела (5.11) ещё не означает наличия асимптоты, так как может не (5.12).
Пример 5.12. Найдём х2 У =
х-2
Поскольку lim у = оо
асимптот нет. Вертикальной асимптотой является.
существовать предел
то горизонтальных
асимптоты линии
Рис.5.56
очевидно, линия х = 2, так как
155
lim у = -oo, lim у = +oo. x—>2-0	x—>2+0
Далее имеем
к= lim =1.
X—>00 х — 2
Итак, если наклонная асимптота существует, то её угловой коэффициент равен 1. Наконец,
( 2 Л ?
b = 1im —------л = 1im —— = 2,
х—>00 X 2	X—>00 X 2
так что наклонная асимптота действительно имеется, и её уравнение: у = х + 2 . При этом 2	2	2/1/1
х z х -х +4	4
-----(х + 2) =--------— =	-х-2	х-2	х-2
а значит при х>2 кривая лежит выше наклонной асимптоты, а если х < 2, то под нею, рис. 5.56.
Пример 5.13. Возьмём теперь линию у = х + у[х. Имеем lim у = +оо, х—>+оо
т. е. горизонтальная асимптота отсутствует. Далее, функция определена при всех х > 0, а значит отсутствует и вертикальная асимптота. Наконец, х + у[х	х
к = lim ------= lim — = 1;
X—^“Ьоо X х—^“Ьоо X
b = lim х + у[х - х = lim у[х = +оо.
X—>+ое	х—>+оо
Поскольку последний предел не существует, то наклонной же нет.
Таким образом, рассматриваемая линия вообще не имеет асимптот, рис. 5.57.
Рис.5.57
асимптоты так-
13.	Схема и иример иолиого исследования функции
Полное исследование функции включает в себя следующие этапы:
1°. Нахождение области определения функции.
2°. Исследование функции на чётность или нечётность, а также на периодичность.
3°. Нахождение корней функции и других характерных точек её графика (если таковые имеются).
4°. Нахождение асимптот графика.
156
5°. Нахождение экстремумов функции и промежутков её возрастания и убывания.
6°. Нахождение точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости графика.
7°. Завершение построения графика функции.
з/ 2 з"
Пример 5.14. Исследуем функцию у = \3х -х . 1°. Очевидно, что функция определена на всей числовой оси. 2°. Функция не является ни чётной, ни нечётной (а значит её график соответствующей симметрией не обладает), ни периодической.
3°. Функция обращается в нуль при х = 0 и при х = 3.
4°. Поскольку lim у = °о, то горизонтальная асимптота отсутствует. От-
X—>00
сутствие вертикальной асимптоты следует из того, что функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Наконец, з/о 2 з
, уЗх -х -х к = lim --------= lim --= —1;
х—>оо	X	х—>оо X
i------ ('} 2	3)	3	о
, г 3/7^	3 г	|3х -х )+х	3
b= lim =\/Зх —х + х = lim .	=^=-----7	----=----------= 1-
х->оо	х^ос3 / 2 зУ 3/о 2	3	2	1-(-1) + 1
\13х — х I — хуЗх -х +х
Итак, существует наклонная асимптота у = -х +1.
5°. Имеем
, _ 6х - Зх2 _ 2х - х2 _ х(2 - х)
У	М3"*)2
Отсюда следует, что имеется одна стационарная точка: х = 2, и, кроме того, в точках х = 0 и х = 3 производная не существует. Все эти точки подозрительны на экстремум.
Исследуем сначала точку х = 0. Имеем
.. , .. О’(Д lim у = lim —АА = 00 • х^-0 x^OQ з J
При этом, как нетрудно видеть, lim У = -оо, lim у’ = +оо. х—>—0	х—>+0
При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в точке х = 0 - минимум, причём у(0) = 0.
Поскольку поведение функции вблизи точки х = 0 уже исследовано, то теперь в выражении для у' можно произвести сокращение на х. Получим
157
Следовательно,
2-х
(5-13)
lim у' = —оо5 lim у' = —оо
—>3—0	х—>3+0
т. е. при переходе через точку х = 3 производная не меняет знака, т. е. в этой точке экстремума нет, а есть перегиб с вертикальной касательной.
С целью исследования точки х = 2 найдём предварительно у". Из (5.13) имеем
,	2-х
^9х - 6х2 + х3
а значит
з/7 Т-? з /п \ 9-12л + Зл
- V 9х - 6х + х - (2 - л)—.	—
Зд/ 9л-6л2 + л3У
^9л-6л2 + л3^
9х - 6х2 + х3 + 6 - 8х + 2х2 - Зх + 4х2 - х3	2х - 6	2(х - 3)
^9х-6х2+?)*
Отсюда следует, что у"(2)<0, а значит в точке х = 2 функция имеет максимум; при этом у(2) = ^/4.
6°. В точке .V = 3 величина у" не существует, но мы уже видели, что соответствующая точка (3,0) является точкой перегиба. Если же х ф 3, то
т. е. величина у" в нуль нигде не обращается, а значит других точек пере
гиба нет.
7°. На основании всех полученных сведений строим график функции, рис. 5.58.
14.Кривизиа плоской кривой
Очевидно, чем сильнее искривлена кривая, тем бы-стрее вращается касательная к ней при движении точки М z по кривой.
158
Угол Ар между касательными, проведёнными в начале и в конце дуги ММ’, называют углом смежности этой дуги, рис. 5.59. Этот угол сам по себе ещё не характеризует искривлённости дуги ММ', так как существенна
Рис.5.59 и длина того участка пути, по которому касательная повернулась на этот угол. Поэтому нуж- ТИ2
но рассматривать отношение . Оно называется сред-As*
ней кривизной дуги ММ' (ср. со средней скоростью точки за данный промежуток времени).
Пусть теперь As* —> 0. Предел
Г
д$--»о As*
называют кривизной данной дуги в точке М. Очевидно к=^.
ds
Ниже это определение будет несколько уточнено.
1°. Пусть кривая задана в декартовых координатах уравнением у = f (х). Перепишем (5.14) так dtp
ds
Поскольку tg ср = у', т. е. ср = arctg у', то d<P __ у slv 1 . . /2
Кроме того, в главе VII будет показано, что
,2
Поэтому получаем
Если кривая - вогнутая, то у" < 0, а К, по определению, есть неотрицательная величина (как скорость вращения касательной, отнесённая к единице длины дуги). Поэтому в общем случае пишут так:
159
/2 V 2
(5.16)
Это значит, что фактическим определением кривизны является не равенст
во (5.14), а равенство К =
ds
Пример 5.15. Найдём кривизну линии у = е точке Л/(0,1). Имеем
К(х) = ---
Отсюда
Пример 5.16. Пусть y = kx+b. Тогда у' = к, у" = 0, \	/
а значит и К = 0, т. е. кривизна прямой линии в любой её--^=—===——
точке, как и естественно было ожидать, равна нулю.
Пример 5.17. Пусть у = х4. Тогда у = 12х2, т. е. у"(0) = 0, а значит и
К(0) = 0, хотя линия в окрестности точки 0 и не является прямой.
У Пример 5.18. Вывод предыдущего примера относится /—*-----' также к тем точкам перегиба, которые связаны с обращением
' М величины у" в нуль.
2°. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями
л- = ср(О, У = <И(0-
„ = W)	ч>'(г)ч'',(г)-ф',(г)ч>'(')
* -<₽'(/)’	[фТг)]3
Подставляя это в (5.16), находим
g |ч>'(г)ч>',(О-<Р,,(Оу'(О| (ф’аТ+к’С')]2}’2
15. Радиус кривизны и центр кривизны
Возьмём сначала окружность радиуса R. Для её кривизны в произвольной точке М имеем
160
К = lim — = lim ^(p = JL Ду-»о As a?->o RAp R
Итак, кривизна окружности во всех её точках одинакова и х. / обратна её радиусу, а значит и наоборот
R-1-	М\^^ум'
к
В связи с этим результатом величину R = — для щ
~	Рис.5.61
произвольной кривой называют радиусом кривизны этой
кривой в данной точке, рис. 5.61. Из (5.16) следует тогда, что
Проведём в точке М нормаль к кривой и отложим на ней в сторону вогнутости отрезок МС = R. Полученная таким способом точка С называется центром кри
визны кривой в точке М, а окружность радиуса R с цен-
тром в точке С называют окружностью кривизны (или кругом кривизны) в точке М, рис. 5.62. Очевидно, что малый участок кривой вблизи точки М можно приближённо рассматривать как дугу соответствующей окружности кривизны.
Последнее обстоятельство используется в механике. Предположим, что точка движется со скоростью v = const по некоторой кривой, рис. 5.63. Тогда в каждый момент можно
считать, что эта точка движется не по своей траектории, а по соответствующей окружности кривизны точки траектории. Поэтому её ускорение в каждый данный момент направлено по нормали к траектории в направлении центра кривизны (в связи с чем его называют нормальным, или центробежным), а его величина равна
где R - радиус кривизны траектории в данной точке.
Выведем формулы для координат центра кривизны.
Заметим, что если при данном х будет у" = 0, то для соответствующей точ
161
ки М(х,у) кривой будет А = оо, т. е. центр кривой уходит на бесконеч
ность.
Далее, если в точке М(х,у) будет У = 0, то, очевидно,
Рис. 5.66
^ = х, t} = y+R при у">0 (рис. 5.64) или ^ = х, г] = у-7? при у" <0
(рис. 5.65).
Оставляя в стороне все эти тривиальные случаи, отметим, что
остальные случаи разбиваются на 4 группы:
Обратимся к случаю 1. Имеем (см. рис. 5.67)
= х- 7?sincp, т] = у + Acoscp. (5.17)
Но поскольку tg ср = у', то
tgcp у' sm(P= ,-------— = I-------у’
д/1 + tg (р д/1 + У
1 1 COS(p =	= .	.
-Jl + tg1 2 3(p д/1 + у2
3 f 2 2
Далее, в этом случае R = + п , а по
этому окончательно для случая 1 имеем
+	(5..8)
У	У
Легко видеть, что в случае 2 (рис. 5.68) имеют место те же формулы. Аналогично проверяется их справедливость для случаев 3 и 4.
16. Эволюта, эвольвента н нх свойства
Геометрическое место центров кривизны данной кривой называется эволютой этой кривой. Если кривая (А) является эволютой кривой (В), то
162
кривая (В) называется эвольвентой (или развёрткой) кривой (Л), рис. 5.69.
Пусть кривая имеет уравнение у = f(x). Тогда из (5.18) следует, что
для любой точки эволюты будет
П = /(*) +--
Это - параметрические уравнения эволюты (роль параметра играет л:).
Пример 5.19. Найдём эволюту
у = х2. Имеем
параболы
2
2 1 + 4л2 +---------
2
т. е.
= -4л,3
-2	1
Г] = 3л +—.
2
Исключая параметр л, находим
Это - полукубическая парабола, рис. 5.70.
Теорема 5.18. Нормаль кривой является касательной к её эволюте в
соответствующем центре кривизны.
Проведём доказательство для случая 1 (см. рис. 5.66). Из равенства (5.17) имеем
= dx - dR sin ср— Z? cos cpc/cp, dv\ = dy + dR cos (p - R sin cpc/cp. (5.19)
Далее, формула (5.15) даёт:
dr 1	1
-- = i	= i	= COS (p,
ds yfl + у'2 v1 + tg2(P
а значит, dy dy dx — = —----------------------------= tg (p  COS (p = sin (p.
ds dx ds
Поэтому
163
ds dx	. ds dy
/<cos(p6/(p =------dy> = dx, /<sin(p6/(p =----— dy> = dy.
dtp ds	dy> ds
В связи с этим, равенства (5.19) перепишутся так: d^ = dx- dRsux ср - dx, dv\ = dy + dRcos cp - dy, d^ = -dR sin cp, dv\ = dR cos cp.
(5.20)
т. е.
Отсюда
т. е.
1
= —ctgcp =-------
tg<p
Д 1
откуда и следует утверждение теоремы.□
Легко проверить, что в случаях 2-4 доказательство проводится совершенно аналогично.
Теорема 5.19. Если на некотором участке кривой её радиус кривизны изменяется монотонно, то приращение дуги эволюты этой кривой равно изменению радиуса кривизны кривой на данном участке.
Пусть, для определённости, величина R на данном участке МХМ2 возрастает, рис. 5.71. Докажем, что
2 ~ 1V12^2~
На основании формулы (5.15) имеем для длины дуги эволюты (отсчитываемой от некоторой точки)
или, в силу (5.20)
т. е.
а значит.
откуда
do
do2 = dR2 do = ±dR,
do dR
Применим к функциям <т(х) и R(x) на отрезке [х1?х2] теорему Коши: су(л2) - с(хг) _ сугу(т)
/?(л2)-Я(л-1) Л;(т)’
На основании (5.2 1) получаем:
164
g(-X2) - cfo) +1
Я(л2) - R(Xl) а значит,
g(^2 ) - c(Xj) = |Л(х2 ) - R(xx )|, что и требовалось доказать.□
Из доказанной теоремы вытекает простое правило механического построения эвольвенты. Пусть гибкая линейка согнута по форме эволюты С0С5 (рис. 5.72). Предположим, что нерастяжимая нить, одним концом укрепленная в точке Со, огибает эту линейку. Если мы будем эту нить развертывать, оставляя ее все время натянутой, то конец нити опишет кривую M5Mq - эвольвенту. Отсюда происходит и название «эвольвента» - развертка. Отсюда, в свою очередь, следует, что всякая кривая имеет бесчисленное множество эвольвент.
Пример 5.20. Возьмём окружность х2 + у1 = <т2 и найдём ту её эвольвенту, которая выходит из точки А(а,0), рис. 5.73. Имеем
хА/ = ОС + CD= a cost + ВМ sin t = acost + HBsin t = acost + at sin R уи = BC - BF = a sin t- BM cos t = a sin t - at cos t.
Итак, параметрические уравнения искомой эвольвенты: x = a(cost + /sin/), у = <7(sin/ -tcost\
17. Правило Лоннталя раскрытия неопределённостей вида —
Теорема 5.20. Пусть функции f{x) и cp(.v) обращаются в нуль в точке х = а, и в некоторой окрестности этой точки удовлетворяет условиям теоремы Коши. Тогда, если существует (конечный или бесконечный) пре-165
дел lim-------, то существует и предел lim---, и оба предела равны ме-
х^а ф'(л)	х^-а ср(л)
жду собой.
Пусть lim --------= А, где А - некоторое число (или А = оо). Требу-
х^-а ф'(л)
f 00 ется доказать, что тогда и lim---= А.
х^>а ср(л)
Возьмём произвольное х, близкое к <7, и применим к отрезку [а, л] теорему Коши. Получим
/(*)-/(«) ло ф(л) - ф(о) ф'(0 А так как по условию f(a) = ф(<7) = 0, то
ZW = £©.	(5.22)
ф(л) ф'(О
Пусть х^а. Тогда и S, —> <7 -----------1-------।---------।------*-
а х
(рис. 5.74), а значит --- А. Отсюда и
ф'(0	Рис.5.74
из (5.22) следует, что
/	\ (Л*)
(л —> б/) =>	Л/1 ,
1ф(*)	)
что и требовалось доказать.□
Доказанное равенство
]im/W = limZ_W	(5.23)
х^а ф(л) х^а фГ(л)
выражает собою правило Лопиталя, удобное для раскрытия неопределён-0
ностеи вида —.
О
При доказательстве теоремы 5.20 предполагалось, что а - конечное число. Если же л—>оо, то приведенное доказательство неприменимо. Докажем, что, тем не менее и в данном случае
..	/(л)	,.	/'(л)
hm = hm 7.
х—>оо ф(л) х—>оо ф'(л)
Положим л = -, где t - новая переменная. Тогда (л—>со)^> t
и, применяя правило (3.13), а также уже доказанное равенство (5.23), получим
166
что и требовалось доказать.□
Пример 5.21. Вычислим предел А = lim----------. Непосредственная
х->0 сх _
подстановка даёт А = —, выполнение условий теоремы 5.20 очевидно, а значит, можно применить правило Лопиталя. Получаем
ln-. axha-bxhb Ina-lnb fr
A = hm----------=-------= —-
cx Inc- dx In Inc-In <7 Jn _ d
Пример 5.22. Аналогично
vz х х л — х	-1	_. 2х
hm (тс - x)tg = lim --= lim----------= 2 lim sin — = 2.
X—>71	2 X—>71	X X—>7t	1	X—>71	2
Ctg2
~  2 *
2 sin
2
Пример 5.23. Применяя правило Лопиталя (5.23), имеем
1
.---COSX	, з
„ tg X - S1H Л cos2 X	1-cos X
А = hm —--------= hm eos х „-------= hm —-------—.
х3 х~>° Зх2 *->°3x2 cos2 х
Поскольку вновь получена неопределённость вида то снова при
меним правило Лопиталя. Получим
.	3cOS2ASillA	COSXSillX
А = hm------------------------= hm------------------.
х->° 6xcos2 х - Зл 2 cos л sin х х->° 2(х cos х - х2 sin л)
При последующем применении правила Лопиталя получим в знаменателе ещё более громоздкое выражение и т. д. Итак, применять правило Лопиталя в чистом виде здесь (как и во многих других примерах) нецелесообразно. Однако, заметив, что lim cos2 х = 1, получим х—>0
. l-cos3x 3cos2xsinx 1 .. sin х 1
А = lim --------= hm------------= — hm-----= —.
x—И)	Зх	%—2 х—>0 х 2
Примечание. В примерах 5.21-5.23 можно вообще обойтись без правила Лопиталя, а использовать только элементарные приёмы вычисления пределов, основанные на известных соотношениях эквивалентности. На-
167
пример, в примере 5.23 имеем
------sinx sinx------------1	.	л--
А =	-----= lim-----U°,SJ = |imsmXl-cos.r) =, = J_
л-^0	л-—>0	хл	л-->0 X COSX	А'^° X 2
Вообще же при раскрытии неопределённостей следует разумно сочетать правило Лопиталя и элементарные приёмы вычисления пределов. Приведём примеры, когда одними лишь элементарными приёмами обойтись вообще нельзя.
Пример 5.24.
х2
x-sinx 1-cosx ,	2	1
пт -------= lim -----— = lim —- = —.
x3	3x2	X^°3x2 6
Пример 5.25. Вычислим предел
,	Arsh 2x - 2Arsh x
A = hm-----------------.
x->0	x
Вначале применяем правило Лопиталя:
2 _ 2
л г л/1 + 4х2	д/1 + х2 2	л/1 + х2 - л/1 + 4х2
х^°	Зх2	3 х—>о л2 ^1 + 4X^1 + Xi
а так как lim д/1 + 4х2 = 1, lim V1 + х2 = 1, то
х—>0	х—>0
Дальше уже проще воспользоваться тем, что (а 0)	fVlTa- b -
Получим
1 + X2 -1 - V1 + 4X2 -1
А =
= -1.
31 2)
х2 4х2
3 х—>о	х2	3 х—>о	х2
Сделаем ещё одно существенное замечание. Пример 5.26. Имеем на основании правила Лопиталя .. 2х + 1	2	.
пт —-----= пт — = 1.
х->1 х2 +3	х->12х
Здесь правило Лопиталя даёт заведомо неверный результат, так как неопределённость здесь отсутствует, и непосредственная подстановка даёт 168
2л+ 1	3
lim-----= —.
^'л2+3 4
В данном случае равенства f{a) = ф(б/) = 0 не выполнены, т. е. не выполнены условия теоремы 5.20.
Итак, прежде чем применять правило Лопиталя, необходимо убедиться в наличии неопределённости.
СО
18.	Раскрытие неопределённостей вида — но нравнлу Лоннталя
СО
Теорема 5.21. Пусть функции /(л) и (р(л) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х = а, кроме самой этой точки, причём всюду в этой окрестности будет ф'(л) 0; пусть, далее, при х а будет /(х) —> °о / \ Т	Г /'W
и ф(х)—>со. 1огда, если существует предел lim---, то существует и
х^а ф'(л)
f (^0
предел lim----, и оба предела равны между собой.
х^а ф(х)
Предположим, что
lim 4^ =-4-	(5.24)
х^>а ф'(х)
Докажем, что тогда и lim^^ = n.	(5.25)
х^а ф(х)
Возьмём вблизи точки х = а две точки: х = хх и х = х2, так, чтобы было Х| < х2 < а, рис. 5.75. На основании теоремы Коши имеем
/Ы-fM	f526)
ф(х2)- ф(Х1)	ф'(О’
где S,e(x15x2).
Т
Х1
Q Х2
Рис.5.75
Из равенства (5.24) следует, что для
х. любого 8 > 0 существует такое 5(e) > 0, что
Будем считать, что Xj еС8(о). Тогда и S,eCg(<7), откуда следует,
что
< 8, а значит, в силу (5.26),
169
ф(*2) -ф(*1)
т. е.
Л	/(*2 ) “ f(xl) Л
А - е <	—7417 < А + 8 ,
ф(х2)-ф(*1)
или
j_ /Си)
X_e<Zfe). ^)<Л + £.	(5.27)
ф(х2) L Ф(х1)
фО2)
Далее, поскольку lim Дх) = го и lim ср(-Х’) = со, то при Xj = const бу-х^>а	х^>а
дет
t ф(*1)
|„„	ФД>=1.
х2^а । _ J\.XV
/(^2)
Следовательно, существует такое (8) > 0, что
, Ф(*1) ф(*2) л
! /(-^1) /(•^2)
2
т. е.
2
t Ф(*1) ф(*2)
t_/Си) /(^2)
Пусть 62 =min{ 61,62}. Тогда, перемножая почленно неравенства (5.27) и (5.28) (это возможно, поскольку члены в неравенстве (5.28) положительны), получим, что
(5-28)
2- q
fix
(А - 8)(1 - 8) < 2-^2 < (А + 8)(1 + 8) ср(л2)
т. е.
.8 + Ае - 8 2
2
ср(л2)
Поскольку 8 можно взять сколь угодно малым, то
170
.8 +
г	А
пт -----— = А.
х2^а (р(л2)
Заменяя здесь х2 на х, получим
lim ^ = А. х^>а-0 ф(л)
(5.29)
Взяв теперь точки Xj и х2 так, чтобы было а <х2 <Х\, точно так же дока
жем, что и
lim ^ = А. х^а+0 (р(л)
Отсюда и из (5.29) и следует равенство (5.25).П
Примечание 1. Доказательство теоремы 5.21 содержало немало деталей чисто технического характера, за которыми могла скрываться сущность доказательства. Поэтому приведём сокращённый вариант этого до
казательства.
Возьмём некоторое хъ близкое к <7, а между а и х1 - произвольное
х2 (рис. 5.75).
Тогда	г
/(^|)~/(^2) /'(g)	° х‘ «
<p(j|) - <pu2) ф'(О’	Рис576
ИЛИ
Ли) j
Ли) Ли) _л(о ф(И) ф(и) _ J ф'(£) ’ ф(и)
т. е.
г ф(и)
Ли)=	ф(и) Л Л)	(530)
ф(и)	Ли) ф'(£)'
Ли)
Взяв х2 сколь угодно близким к а и не меняя мы сделаем величины
ф(и) Ли)
---— и ------- сколь угодно малыми, т.е. сделаем первый множитель ф(н) Ли)
справа в (5.30) сколь угодно близким к единице. Беря теперь Х| сколь угодно близким к а, мы сделаем и сколь угодно близким к а, так что
171
r /(*) r /'(*) hm = hm , x->67+0 (р(л)	x->67+0 (р'(л)
что и доказывает “правостороннюю” часть теоремы.□ Примечание 2. При доказательстве предполагалось, что Л<со. /Дх)
Пусть теперь Л = °о, т.е. пусть lim------- = <х. Тогда lim , 7 = О < со,
х^а (р'(х)	х^а f\x)
причём в некоторой окрестности точки а будет f\x) ф 0 (поскольку в про-/'(х)
тивном случае при условии, что ср'(х) 0, не было бы -------> со ). Поэто-
ф'О)
му из уже доказанного следует, что
х-»б7 /(х) х^>а f'(x) а значит,
г /(*) г Г(х) hm = hm t . х^>а ср(л) х->а Ср,(_Х‘)
Примечание 3. Так же, как и в случае неопределённости вида
легко убедиться в справедливости правила Лопиталя и для тех случаев, когда Х—^<Х>.
ах
Пример 5.27. Рассмотрим предел lim —, где а > 1, а и - натураль-х->-К=0 хп
ное число. Непосредственная подстановка даёт неопределённость вида —.
СО
Применяя п раз правило Лопиталя, получим
аХ <7Х1п<7	<7Х(1п<7)2	<7Х(1п<7)'7
hm —= hm ------------— = hm ------------- = ...= hm -----------= +°о
x^-^c Xn X->4W ИЛ'7-1	х^+х/г(/г_])А-/н2	x^+x Yi\
Очевидно, что и при любом (не обязательно целом) с также будет ах hm — = +со.
С п
Л = X
Действительно, пусть п - натуральное число, такое, что с < п. Тогда
ах	ах	ах
— > —, а так как---------> +со при х +оо то тем более
хс	х'1	х”
е.
а
-----> +со.
Xе
Итак, показательная функция с любым основанием а > 1 растёт при х—>+оо быстрее любой степенной функции со сколь угодно большим по
172
казателем.
Пример 5.28. Аналогично при любом с > 0 имеем 1
In X	х 1	1
lim ----= lim ------ = — lim — = 0,
x—>+oo xC	x—>+oo cxC~^	C x—>+oo xC
t. e. логарифмическая функция при x—>+oo растёт медленнее любой степенной функции со сколь угодно малым положительным показателем.
Пример 5.29. Имеем 1
lim х In х = lim = lim —-— = lim (-x) = 0. x—^+0	x—^+0 1	x—^+0 1	x—^+0
x	X2
Пример 5.30. Правило Лопиталя даёт x-sinx 1-cosx	э х
lim-----;— = lim---------= lim tg —.
x->oox + sinx x—>col + cOSX x—>oo	2
Последний предел не существует, в то время как исходный предел существует и, очевидно, равен 1. Но противоречия с правилом Лопиталя г /V) здесь нет, так как оно утверждает лишь, что если предел hm----- суще-
х^а ф'(х)
г /(*) ствует, то существует и равен ему предел hm--------, но этот последний
х^а ср(х) предел может существовать и без существования первого.
19. Раскрытие ноказательно-стененных неопределённостей
Пусть требуется вычислить предел lim [/(х)] ф^х) в одном из сле-х^>а
дующих трёх случаев:
1	. lim /(х) = 1, lim ф(х) = со (неопределённость типа 1”, уже рассматри-х^>а	х^>а
вавшаяся в главе 3);
2	. lim /(х) = 0, lim ф(х) = 0 (неопределённость вида 0° ); х^>а	х^>а
3	. lim /(х) = со, lim ф(х) = 0 (неопределённость вида со0). х^>а	х^>а
Во всех случаях поступаем одинаково. Обозначаем [/(х)]ф(х) = у.
Тогда 1п(у)= ф(х)-1п /(х), а значит
lim In у = lim ф(х) In f (х).
х^>а	х^>а
Легко видеть, что во всех трёх случаях справа имеем неопределён
173
ность вида 0-сл, которую можно, следовательно, привести к виду — или
СО
—. Раскрывая эту неопределённость, например, по правилу Лопиталя, по-
СО
лучим
lim ср(х)In f(x) = А,
х^>а
где А - некоторое число, а значит и lim In у = Л, т. е. In lim у = Л, откуда х^а	х^>а
для искомого предела имеем
1-	А
lim у = е .
х^а
1
Пример 5.31. Вычислим lim (е~х + 3х)х . Непосредственная подста-х—>0
1
новка даёт неопределённость вида 100. Полагаем у = (е х + Зх) х. Тогда
In у = — 1п(е“х +3х), х
а значит,
-е~х +3
1п(в“х+3х) е~х+3х -1 + 3 э
lim In у = lim —--------- = lim-------=--------= 2,
х—^0	х—^0	Д'	х—^0	X	1
откуда	limy = e2.
х—>0
20. Приближённое вычисление корней уравнений методом хорд н касательных
Пусть требуется решить уравнение
Дх) = 0,	(5.31)
где Дх) - произвольная функция. Геометрически решение такого уравнения означает нахождение точек пересечения линии у = Дх) с осью Ох,
„ J	/ Рис- 5-77-
z-x	/	В связи с уравнением (5.31) могут возник-
/ \	/ нуть две следующие задачи.
qT^—--------а3/ х** I • Определение числа всех корней и выяснение
'	\ / их примерного расположения.
2 . Нахождение одного или нескольких корней с Рис.5.77
данной степенью точности.
Одним из способов решения первой задачи является графический способ. Проиллюстрируем его на конкретном уравнении.
174
Пример 5.32. Возьмём уравнение ех + х = 0.
Перепишем его так:
X е = -х.
Строим линии у = ех и у = —х. Они имеют единственную точку пересечения, рис. 5.78. Следовательно, данное уравнение имеет один единственный корень ос, лежащий, как легко видеть, в интервале
(-1,0).	Рис.5.78
Возвратимся к уравнению общего вида (5.31). Пусть [a,b] - такой отрезок, что /(а) и f(b) имеют разные знаки, рис. 5.79. Тогда, если функция /(х) непрерывна на данном отрезке, то, в силу 1 -й теоремы Больцано-
Ж
i/OCi ОС2<ЛХз х Рис.5.80
У
ъ
Коши, в интервале (а,Ь) уравнение (5.31) имеет по крайней мере один корень.
Однако, корней в интервале (а,Ь) может быть несколько, рис. 5.80. Гарантировать единственность корня можно, в частности, тогда, когда всюду в интервале (а,Ь) функция /(х)
монотонна, т. е. если величина f\x) не меняет знака на отрезке
Корень уравнения называется изолированным, если известен интервал, в котором он лежит, и если
известно, что других корней уравнения в этом интервале нет.
Очевидно, чем меньше интервал изоляции, тем точнее известен корень. Сузить интервал изоляции можно, например, методом проб. Проиллюстрируем этот приём на конкретном уравнении.
Пример 5.33. Возьмём уравнение
х3 + 2х - 2 = 0.
(5.32)
Имеем
/(0) = -2<0,	/(1)=1>0,
т. е. в интервале (0,1) имеется по крайней мере один корень.
В то же время
/'(х) = Зх2 + 2, т. е. /'(х)>0 Vx. Следовательно, уравнение (5.32) имеет один единственный вещественный корень, и он лежит в интервале (0,1).
Возьмём в этом интервале произвольную точку, например, х =
Имеем
175
7
8
<0
Следовательно, корень расположен в интервале
Положим теперь х =	. Имеем
/(0,7) = 0,343 +1,4 - 2 = -0,257 < 0,
т. е. корень лежит в интервале (0,7;1).
Взяв теперь х = 0,8 и учитывая, что
/(0,8) = 0,512 +1,6 - 2 = 0,112 > 0,
заключаем, что искомый корень находится в интервале (0,7;0,8), рис. 5.81.
_________ +	+ х Продолжая этот процесс, можно найти
0	0 5 0 7 0 8 1 корень с любой точностью. Однако описанный
’	’ ’	метод проб всё же весьма примитивен ввиду
Рис. 5.81
случайности выбора точек деления интервала
Рис.5.82
изоляции, что приводит к весьма медленному сужению этого интервала.
Пусть дано уравнение (5.31) и пусть - интервал изоляции его корня. При помощи метода проб этот интервал всегда можно сузить настолько, что в нём не будет ни экстремумов функции /(х), ни точек перегиба её графика, т. е. /'(*) в этом интервале не будет обращаться в нуль, a fix') не будет менять в нём знака, рис. 5.82.
Будем считать, что это не имеет места с самого
Рис.5.83
Рис. 5.84
начала (рис. 5.83-
Рассмотрим сначала случай 1 (рис. 5.83). Применим для нахождения корня ос метод, называемый методом хорд и касательных. Проведём хорду АВ, рис. 5.87. Её уравнение:
J-/(<?) _х-а f(P) - f(a) b-a
Положим здесь у = 0. Получим
/(б?)	_х[-а
f(b)-f\a) b-a’
176
откуда
, п _ (h -
Xi (J —
f(b)-f(a)
а значит.
,	(b-a)f(a)
Xi = a---------.
1	/(*)-/(*)
Проведём теперь касательную в точке В, рис. 5.87. Её уравнение y-f^ = f\b\x-b).
Положив здесь у = 0, получим
-Л*)=ЛВД-*).
(5.33)
откуда
а
А *1” ь
А Рис.5.87
Ж
X1 /W
Полагая Ь = х$, ci=x'q, перепишем формулы (5.33) и (5.34) так:
(4-4)Ж)	Ж)
Х1’Хо’/(4)-/«)’Х1’Хо’7«) (5'35)
Проведём теперь хорду и касатель-в точке В\. Получим числа х'2 и х2. Оче-
(5.34)
ную видно (x[-x{)/(xQ	/(х[)
Лэ ЛС1	- ЛСо ЛС1	•
/W)
и т. д. Следовательно, рабочие формулы процесса имеют вид
!	_ Г
^77+1 — %П	с( П\ r( t \
x;7+i хп
(5.36)
Докажем, что последовательности {х'п} и {х'}7} сходятся (соответственно слева и справа) к искомому корню ос уравнения (5.31). Проверим сначала, что х" -> ос+0. 11—>со
Пусть /.(х) - правая часть уравнения касательной в точке В, разрешённого относительно у, т. е. L(x) = f'(b)(x-b)+f(b). Из вогнутости линии у=f(x) следует, что если а<х<Ь, то Л(х)< /(х). Поэтому (/(<7) = 0)^(£(<7)<0). В то же время L(b)=f(b)>0. В силу монотонности функции £(х), имеем: а<х”<Ь, т. е. oc<xf<x(". Повторяя те же рассуждения для отрезка [ос,х"], получим, что ос < х<> < х", и т. д. Итак,
, Jf .	. , Jf . , Jf
Таким образом, последовательность {х"} монотонно убывает и ограничена снизу числом ос. Следовательно, она имеет предел с>ос. Докажем, 177
что с=сс. Для этого во второй из формул (5.36) совершим предельный переход при ц—>оо. Учитывая непрерывность функций f(x) и /'(х) на отрезке [а,Ь\ (это следует из существования f\x) и f"(x) на этом отрезке), получим
ло
с = с---
f(c)
т. е.
Л^)
f'ic) °’ а так как f\c) < со 5 то /(с) = 0. Но это значит, что с - корень уравнения (5.31), т. е. что с=ос.
Докажем теперь, что х'п ос-0. Обозначим 1(х) правую часть урав-77—>СО
нения хорды АВ, разрешённого относительно у, то ч fib)~fia)
Ь-а
есть
(х-<7)+fig). Если а<х<Ь, то в силу вогнутости линии y=f{x), будет l(x)>f{x). Следовательно, (/(а)=0)^>(/(х)>0). В то же время /(ос)=/(а)<0. На основании монотонности функции 1(х) заключаем, что <7<х1<ос, т.е. х[)<х[<а. Теперь, учитывая, что f(x{)>0, а Лхг) > 0 (поскольку х{ < ос, а х” > ос) и, повторяя те же рассуждения для отрезка ,х[], получим, что х{ < х'2 < ос и т. д. Итак,
т. е. последовательность {х'п} монотонно возрастает и ограничена сверху числом ос. Поэтому существует предел lim х’п = с, причём с < ос. Пока-77—>СО
жем, что с=ос. Для этого, применив теорему Лагранжа, перепишем первую из формул (5.36) так
, =Х,_Ж2 "+1 "
где ^77 е (х'7,х"). Перейдём здесь к пределу при 77^-ад. Получим с = с-	Ш .
т. е.
^ = 0,
И—>00
а так как величина f'(fn) ограничена, то /(с)=0, откуда и следует, что
С = ОС.П
Заметим, что по величине разности х” - х'п можно судить о точности
178
найденного корня на каждом шаге.
Легко видеть, что то же самое имеет место и в случае 4. Обратимся
Полагая b = Xq , a = Xq, будем
(a-b)f(b) Ai — U	.
Аналогично, проводя касательную в точке А, получим х--а ш
иметь
(х0 ~ х0 )Дх0 ) Ж)-Ж)’
Ж1
Ж)’
•X j	x0
А| — Aq
что совпадает с формулами (5.35) для случаев L и 4. Следовательно, и рабочие формулы в случае 2 и 3 совпадает с формулами (5.36) для случаев 1 и 4.
Таким образом, различие между случаями L, 4 и случаями 2, 3 фактически проявляется лишь на первом шаге (если не считать того, что в случаях 2 и 3 точки х„ приближаются к ос справа, а не слева, а точки х„, наоборот, слева). Это различие состоит в том, что в случаях 2 и 3 касательная проводится не в точке В, а в точке А, т. е. в ка
честве x'q берётся не Ь, а а. Можно сформулировать на этот счёт следующее правило: в качестве Xq берётся тот конец отрезка в которой ве
личины f(x) и f\x) имеют одинаковые знаки. Несоблюдение этого пра-ff
вила может привести к тому, что хх окажется не внутри, а вне отрезка [<7,Z?], т. е. мы можем на первом шаге не приближаться к искомому корню,
а наоборот, удалиться от него, рис. 5.89.
Пример 5.34. Возьмём то же уравнение (5.32), имеющее, как мы ви
179
дели, единственный корень ос в интервале (0,1), и найдём его описанным способом с точностью до 0,01.
Имеем
f\x)=3x2 +2, f"(x)=6x.
Таким образом, в интервале (0,1) и f \x) и f"(x) положительны, т. е. имеет место случай 1. Поэтому полагаем
Xq = 0, Xq = 1 .
Тогда
^О-а-ОХ-^^р.ббУ;
1	1-(-2)	3
1 4
< = 1 — = - = 0,800.
1	5 5
В данном случае xf - х{ = 0,133 , а поэтому совершаем следующий шаг:
х' = 0,667(0,800- 0,667)(0,6673+2-0,667-2)	=
(0,8003 + 2  0,800 - 2) - (0,6673 + 2  0,667 - 2) х; = 0,800-0,80°3 +2'°,800~2= 0,771.
3-0,8002+2
Итак, с точностью до 0,01 х = 0,77.
Примечание. Вторая из формул (5.36) содержит только величины
Рис. 5.90
хп, т. е. эти величины не зависят от хп. Следовательно, можно вместо пары формул (5.36) пользоваться только одной формулой
х„+1=х„-2^Ц.,	(5.37)
J (х„ )
причём, как мы видели, будет lim хп = ос.
Метод, основанный на формуле (5.37), называют методом касательных или методом Ньютона.
21. Приближённое решение уравнении итерационным методом Пнкара
Возьмём уравнение (5.31) и перепишем его произвольным образом в виде
х = ср(х).	(5.38)
Очевидно, это можно сделать бесчисленным множеством способов. На
180
пример, из уравнения (5.32) можно получить: х=л/2-2х, л=—(2-А'3), х = 2-х3-х,
ИТ. д.
Возьмём некоторое число х0, вычислим ф(х0) и результат обозначим через А|. Вычислим теперь <р(-V|) и результат обозначим х2 и т. д. В
результате получим
•*1 = ф(х0),
•*2=ф(*1),
*з=ф(*2),
и т. д. Рабочая формула процесса:
Хц+1 ~ ф(-^п ) •
(5.39)
(5-40)
(5.41)
Предположим, что существует предел ос = lim хп. Тогда ос - корень
уравнения (5.38), а значит и уравнения (5.31).
Поскольку формула (5.41) носит рекуррентный характер, то в ней можно совершить предельный переход при /7—>со. В результате получим
ос = ср(ос).	(5.42)
Итак, если процесс Пикара сходится, то он сходится к одному из корней уравнения (5.38).
Выясним теперь условия сходимости метода Пикара. Для этого из равенства (5.39) вычтем равенство (5.42). Получим
A, - а = ф(х0 ) - ф(ос),
или, в силу теоремы Лагранжа,
%! - ос = ф'(£)(х0 - а),
где £е(ос,х0). Положим, например, х0 = Ь, и пусть с - точка, симметричная точке b относительно точки а, рис. 5.91.
Предположим, что всюду на отрез
а
и—1------
а Ь=х0
Рис. 5.91
ке \с,Ь] будет |ф'(л:)| <</, где д<1. Тогда, на основании (5.43)
|xj -ос|<^|х0 — ос|,
(5.44)
а так как q <1, то точка Х| ближе к ос, чем точка xG.
Аналогично, вычитая равенство (5.42) из равенства (5.40), будем иметь
х2 - ос = ф'(т])(*1 - «),
(5.45)
где г] е (х,ос), а значит, тем более, г] е [с,Ь]. На основании (5.45) и (5.44), |х2 - ос| < с/2|х0 - ос|,
и т. д. Очевидно, что при любом натуральном п будет
181
|х„ — сс| < </л/1 jc() -ос|,	(5.46)
откуда, поскольку lim qn = 0, следует, что л—>со
lim хп = ос.
п^<х>
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 5.22. Если |q/(.x)|<1, Vxe[c,Z?], то числа х^, вычисляемые по методу Пикара, сходятся к корню уравнения. При этом каждое последующее приближение хп даёт результат, более близкий к ос, чем предыдущее хп_х.
Из неравенства (5.46) следует, что чем меньше q, тем быстрее сходимость последовательности {х„} к ос. Более того, зная q, можно, на основании (5.46), заранее оценить число шагов, необходимых для достижения требуемой точности.
Примечание!. Если cp\s,)<0, то может оказаться, что xje^a). Именно поэтому необходимо было ввести дополнительный отрезок [с,ос]. Если же cp,(x)>0, Х/хе[«,Л], то “переброс” точек хп на отрезок [с,ос] невозможен, и, следовательно, необходимости введения этого отрезка нет.
Если же вместо х0 =Ь положить х0 = а, то, очевидно, отрезок [а,Ь] надо продлить не влево, а вправо на такую же величину, рис. 5.92.
Примечание 2. Процесс Пикара обладает очень важным свойством самоисправляемости. Это значит, что если на каком-то шаге будет допущена ошибка в вычислениях, то сходимость от этого не нарушится, а может лишь несколько замедлиться. Действительно, ошибочно вычисленное значение хп можно принять в качестве нового начального приближения (естественно, если оно не оказалось вне отрезка [c,Z?]).
Разумеется, данным свойством обладает и ранее рассмотренный метод хорд и касательных, а также его частный случай - метод Ньютона.
Выясним геометрический смысл метода Пикара. Из уравнения (5.38) следует, что корень ос есть абсцисса точки пересечения линий
у = х и у = ср(х).	Рис.5.93
Отложим на оси Ох отрезок ОА = х0, рис. 5.93. Так как xj =ср(х0), то для получения Х| надо отложить на оси Ох отрезок АВ = ср(х0). Но AB=CD=OD, т. е. О1) = х[. Аналогично строим на чертеже точки х2,х3,....
182
В изображённом на чертеже случае будет 0<ср,(л)<1, а значит хп —> ос+0.
Л—>СО
Пусть теперь на отрезке [с,Ь] будет
—1 < фЛ(лс)< 0.
В этом случае, как следует из рис. 5.94, числа х„ стремятся к ос с обеих сторон.
Предположим теперь, что <р,(л')>1. Тогда (рис. 5.95) числа х„ не приближаются к ос,
а наоборот, удаляются от корня, т. е. процесс расходится.
Аналогичная картина имеет место и тогда, когда ср,(х)<-1.
Возьмём опять конкретное уравнение (5.32). С изолированным корнем в интервале (0,1). Приведём его к виду (5.38), например, так
з
1 х
х = 1---
2
Тогда
7 ч 3 2 ^(Х) = ~2Х >
а значит на отрезке [-1,1] условие |ср,(х)|<^<1 выполняется.
В связи с этим возникает вопрос: как привести конкретное уравнение вида (5.31) к виду
Рис.5.95
(5.38) наиболее выгодным способом, т.е. так, чтобы величина |<р (^)| в тре-
буемом промежутке была по возможности меньше единицы? Изложим по этому поводу один удобный метод. Начнём с конкретного уравнения (5.32). Перепишем его в виде
х = х + к(х3 +2х-2).
Здесь к - некоторое число, которое мы подберём наилучшим образом. Имеем
Обозначим
Рис. 5.96
ср'(х) = 1 + к(2>х2 + 2).
Зх2 + 2=t, и рассмотрим величину w=l+kt. Если х изменяется на отрезке [-1,1], то t изменяется от 2 до 5. Следовательно, нужно подобрать к так, чтобы величина |w| была на отрезке [2,5] как можно меньшей.
Считая равенство w=l+kt уравнением пря-
мой с угловым коэффициентом к, легко видеть из рис. 5.96, что наиболее
183
выгодное значение к соответствует прямой, пересекающей ось Ох в точке 2 + 5 „ с
t=~2~=3,5'
Следовательно,
к=-±	1
3,5
7
и в этом случае 2	3
тахЫ = 1----2 = — .
[2,5]’	7	7
Итак, исходное уравнение (5.32) следует переписывать в виде 2( з э
х = х—1х +2х-21,
т. е.
3	2 з 4
х = — X—X + —.
7	7	7
При этом характеризующее скорость сходимости число q равно, как мы 3
видели,
Положим л'о =1. Тогда
3 2 4 5 _
Л', =-------и —= — = 0,714;
1 7 7 7 7	’	’
35 2 125 4
7’7 7343 + 7
= 0,773.
Вспоминая результат примера 5.34, мы видим, что уже на втором шаге получен тот же результат, но путём меньшего числа вычислений.
Обращаясь к уравнению общего вида (5.31), точно так же перепишем его следующим образом
х = х+к-/(х).	(5.47)
Повторяя в общем виде только что приведенные рассуждения, получим £ =______________________________?__
М+т’
где Л//= max f\x\ m = min f'(x). [с,Л]	[с,Ь]
Примечание 3. Описанный метод неприменим в том случае, когда числа Мат имеют разные знаки, т. е. когда при изменении х от с до b величина f\x) меняет знак, рис. 5.97. Следовательно, надо, чтобы функция f(x) на отрезке \с,Ь\ была монотонной. Этого всегда можно добиться методом проб.
184
Примечание^ Уравнение (5.31) можно заменить не только уравнением вида (5.47), но и уравнением
х = х + к(х)- f(x), где к(х) - монотонная функция, не обращающаяся в нуль на отрезке [c,Z?].
В частности, полагая к(х) =-—, получим
f (*)
х = х —
/(*)
Рабочая формула метода Пикара в этом случае запишется так:

хп
f\xn )
f'<Xn ) ’
что совпадает с формулой (5.37). Таким образом, метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода Пикара.
22. Формула Тейлора
Рис.5.98
Пусть /(х) произвольная функция, для которой в данной точке х0 известны значения её производных: f'(xQ), f"(x0), ... ,f{n\xQ). Будем приближённо искать эту функцию в виде некоторого многочлена Рп (х), где п - степень этого многочлена.
Пусть сначала и = 0, т. е. положим /(х) = Ро(х), рис. 5.98. В данном случае наиболее
естественно взять P(l (х) = f (х0 ). Итак, в этом случае будет / о (х) = f (*о ) •
При этом, очевидно, если х —>х0, то f (х)-Р0 (х) = О (х-х0 ).
Пусть теперь и=1, т. е. заменим f(x) многочленом 1-й степени. В этом случае в качестве графика многочлена Р\ (х) естественно взять касательную к линии у=,/ (х) в точке Мо. Уравнение этой касательной:
y-f(x0)=f\x0Xx-x0).	(5.48)
Рис. 5.99
Таким образом, положив у"(х)«Д(х), мы будем иметь f(x)~f(xo)+fXxQyyc-xo).	(5.49)
В данном случае будет /(х0)=Д(х0),/,(х0)=Р/(х0).
Здесь уже при х —>х0 будет f (х)-Д (х) = О(х-х0 ).
Пусть п = 2. Потребуем теперь, чтобы для равенства /(х)«Р2(х) было
/(х0) = Р2(х0), /(Х0) = Р2(Х0), /"(х0) = Р2(х0)
185
(последнее, на основании формулы (5.16), означает, что в точке Л/о линии у=f(x) и у = Р2^х) имеют не только общую касательную, но и общую окружность кривизны). Легко получить, что
Р1 (•*) = Л*о )+/(*о )(*-*о )+^ (*°\*-*о )2,
а значит, равенство f (х) « Р2 (х) запишется так:
/(х)« f(x0)+/(х0)(х-х0)+^ у °\х-х0)2, причём точность этого равенства, как усматривается из рис. 5.100, значительно выше, чем у выражения (5.48).
Взяв теперь и = 3, мы потребуем, чтобы было
/М=/зМ, f\xo)=p^xo), /\х0)=Р^х0),/т(х0)=Р^х0),и т. д.
Предположим теперь, что функция f(x) дифференцируема п раз, и потребуем, чтобы в равенстве f (х) = Рп (х) было
Р„ (*о ) = /(*о ), Рп (*о ) = /Ххо ),
Р,ы = /'Uo), - ,^"4*0) =	(5.49)
Будем искать Рп (д’) в виде
Рп (х) = ао +ai (x-Xq )+а2 (х-л0)2 +аз (х-х0)3 + ...+ап(х~хп)п  (5.50)
При x=xq имеем отсюда
»() =Рп (*о),
т. е., на основании (5.49),
«o=/Uo)-
Далее, дифференцируя равенство (5.50), имеем
Дг(л) = а1+2а2(л-л0)+Заз(х-л0)2+...+иа„(л-л0)” \	(5-51)
откуда
Рп (*0 ) — ^1 ?
или, на основании (5.49),
«1 = /(*о)-
Аналогично, дифференцируя (5.51), получим
Д" (л) = 1  2а2 + 2  За3 (х - л0 ) +...+(и - 1)и  ап (х - л0 )//-2,
откуда P^Xq ~) = 2\а2, а значит, на основании (5.49),
<72 =
2!
Продолжая этот процесс, будем иметь
186
<73 =
/Ъ))
3!
/ОО(*о)
п\
Таким образом, многочлен степени <п, удовлетворяющий условиям (5.49),
имеет вид
Рп(х)=/(х0)+/'(х0)(х-х0)+^ ^°\х-х0)2 +...+^ ^Х°\х-х0)п . (5.52)
Оценим теперь порядок точности равенства f (х) « Рп (х). Для этого
обозначим гп (х) = f (х)-Рп (х). Тогда условия (5.49) запишутся так
г„ (*о ) = r’n {Xq ) = г"г(х0 ) =...=	(х0 ) = 0.	(5.53)
Применив и раз правило Лопиталя и последовательно используя равенство (5.53), находим
г ^(х) г ^(х) г Г\Х)п	г ГпПЧХ)
lim —— = lim -------—- = lim ------------------ =... = lim ——— =
х->.гь (х-хо)"	Х->ХЬИ(Х-ХО)”-1	х-^х» (и-1)и(х-х0)”-1 х-Mb п\
п\
откуда следует, что г„(х) = о((х-х0)”), т. е. что при х^>х0 будет /(*)=Рп (х)+о((х - х0 )” ),
где Рп (х) даётся формулой (5.52).
Итак, мы получаем следующее утверждение.
Теорема 5.22. Если функция /(х) определена в некотором промежутке (а,Ь) и в точке х0 имеет непрерывные производные f\x\ f\x\...,f^(х), то в этом промежутке выполняется равенство
/(х) = /(х0 ) + /'(х0 )(х - х0 ) + <f°\x - х0 )2 +...+	(х - х0 ) +
2!	п\
+ о^х-хо)п).	(5.54)
Эту формулу называют формулой Тейлора, а величину г„(х) = о((х-х0)”) - остаточным членом формулы Тейлора в форме Пеано.
При х0 =0 формула (5.54) принимает вид
/(x) = /(0)+/'(0)x+=Q^x2 +...+/ЕА£)х" +о(х").	(5.55)
2!	и!
Этот частный случай формулы Тейлора называют рядом Маклорена.
Примечание. Нетрудно доказать и утверждение, обратное теореме 5.22. Именно, если функция /(х) в точке х0 дифференцируема п раз и
и
если /(х)=Р„(х)+о((х-х0)”), гДе Р»(х) = ^ак(х~хо) ~ некоторый
к=0
187
многочлен, то коэффициенты этого многочлена даются формулой иХ(|) (* = 0,1,2,...,«), кл
т. е. Рп (х) совпадает с многочленом (5.52).
Пример 5.35. Пусть f(x) = ex, а хо=О- Поскольку /(А)(х) = ех Х/к,
то
/(0)=/'(0) = /’(0) =... =	’ (0)=1,
а значит, в силу (5.55)
2	3	п
Х1 XX	X	п
е =^+х+—+о(х ).	(5.56)
2!	3! п\
Пример 5.36. Пусть /(x)=sin х. Тогда
Z’'/ X	Z^Z X	•	Z>W, X	z(4) z X •	/>(5) / X
f (x) = COSA, f (x) = -S1HX,/ (x) = -COSA, f (a) = S1OA, f v 7(x)=cosx,...,
а значит
/(0)=0, /(0)=l, /'(0)=0, /"(0)=-l, /<4)(0)=0, /<5)(0)=ir..
откуда
Y3 Y5	Y2”+1	/	\
sin a = a-----1-----... + (-1)”-----ho(x2fl+2 I.	(5.57)
3!	5!	(2и + 1)!	v ’
Пример 5.37. Совершенно аналогично на основании той же формулы (5.53) будем иметь
Y2	Y4	Y2”	/	\
cos X = 1-----+-----...+ (-])”----+ o(x2”+l),	(5.58)
2!	4!	(2и)!	v	’
ит. д.
В дальнейшем мы получим целый ряд применений формул (5.56)-(5.58) и других подобных формул. Отметим сейчас лишь то, что они позволяют находить приближённые значения соответствующих функций при
разных х. Например, при х = ^ находим из (5.56)
1 1 1 1
+ 2 + 222! + 233!+”’+2”и!’
причём точность этого равенства, очевидно, тем выше, чем больше п.
Задачи и уиражиеиия к главе V
1. Вокруг прямоугольника со сторонами 2р и 2q описать эллипс наименьшей площади.
188
1
2.	Найти асимптоты линии у = хе
2
3.	Найти окружность кривизны линии у = 1 - (л -1) в её вершине.
4.	Составить уравнение окружности кривизны линии Vx + -Jy = 2 в
2
5.	Найти окружность кривизны линии у=2х-х в её вершине.
6.	Найти вершину (точку экстремальной кривизны) линии 2
К---In Л'.
2
При помощи правила Лопиталя вычислить пределы:
1 sh лЛх
1
7. lim
A'^O^Sin X )
1
х i Лу е -1 х
8. lim -----
X->(\tg X J
1
х—>0
х
arcsin 2 X-2 arcsin Л'
11. lim
10. lim
X—>0
При помощи формулы Тейлора 3-го порядка вычислить приближён-
X
3 X
но:
12. 1п1,1	13.-=;
Vv
Построить графики функций:
1 с-	arctgx
15. у=е ;
18. y = arcctg--------;
J. I Х<
16. y = earcctgx; о 1 2
1 о 3 л
19. У =—
17.
20.
1 -х y = arctg----
1 + л
1
5ху/1-х
22.
2
;23. у=
4 (1-х2)
27. у = е
2х-х
26. у = е	;
1
29. у = (х + 2)ех \
32. y = jc+arcctgл;
л'2-2л' + 1
36. у = д/(л:-1)(л:-2)(л:-3) ; 37. у = + Л ;	38. у = 4хе
X
189
39.
42.
X	7	3
J=~+l+~----X-
2	2х 2х
^=ioV(*-i)2.
45.
л2 +9
1
41. у=х+ —;
х
44. у = ^4л3 -12л;
48.
У = ^-----
х -4л+5
у = ху1’2-х2 ;
47. у = ху1 х-х2 ;
51.
54.
+ = л —21п л;
1
>=A'arccos—;
х
49.
52.
55.
57.
у = х2 In л;
50. у = х+у/\-х;
60.
1 x^Jl-x
62. у = л arctgл-1;
63.
y= xarcctg л;
Найти приближённо корни уравнений (предварительно убедившись в их единственности):
65. л3-2л2 +Зл-5=0;	66. ех =2(л-1)2;	67. 5л3-л2-л-6=0;
68. л3-2л2-4л-7=0;	69. 2х =4л(л^4);	70. л-^л=1;
71.	л3-2л-5=0;	72. л-1пл-14=0;	73. х+ех=0.
74.	Найти меньший корень уравнения 4л—51пл=5.
75.	Найти больший корень уравнения 4л—51пл=5.
3	2
76.	Найти положительный корень уравнения л — 5л —15л—7=0.
з
77.	Найти наибольший корень уравнения л — Зл+1=0.
78.	Найти наименьший корень уравнения 2л5 — л2 —7л+ 5=0.
79.	Найти средний корень уравнения 2л3 -л2-7л + 5=0.
80.	Найти наибольший корень уравнения 2л —л — 7л + 5=0.
81.	Найти больший корень уравнения л4 — л—1=0.
з
82.	Найти наименьший корень уравнения л — 6л+2=0.
з
83.	Найти средний корень уравнения л — 6л+2=0.
з
84.	Найти наибольший корень уравнения л — 6л+2=0.
85.	Найти меньший корень уравнения л — л—1=0.
86.	Найти корни уравнения со8л=л .
2	1
87.	Найти меньший корень уравнения л +— = Юл.
л
190
VI. Пеоиределеииый интеграл и необходимые сведения из алгебры
1.Первообразиая функция
Функция F(x) называется первообразной функции ./(х), если F'(x) = /(х). Например, функция sinx является первообразной функции cos А', функция х3 + л есть первообразная функции За2 +1 и т. д. Если дана функция b(x), то соответствующая ей функция /(х) находится путем дифференцирования. Следовательно, нахождение первообразной для данной функции /(х) есть действие, обратное действию дифференцирования. Его называют интегрированием функции /(х).
При помощи таблицы производных легко составить соответствующую таблицу первообразных. Например, если f(x)=xa, то, очевидно xa+i
F(x) =----. При этом, однако, предполагается, что а ф -1. Если же а = -1,
а + 1
т. е. если у(х)= —, то F(x)=ln х. Но последняя формула имеет смысл х
лишь при х 0. Если же х 0, то F(x)= 1н(- х). Действительно, [h(-x)]'=-*-(-!)=-.
- X	X
Итак, если f(x) = —, то
х
{1пх, х>0,
1п(-х), х<0, т. е.
F(x)=ln|x|.
Аналогично, “обращая” остальные формулы дифференцирования, получим остальные простейшие случаи нахождения первообразных. В итоге будем иметь следующую таблицу.__________________________________________________
Исходные функции	Первообразные
ха (а ф 1)	<7+1 •V <7 + 1
X	]п|х|
ах	ах ha
191
ех	ex
COSA'	sin A
sin х	— COSA
1 cos2 X	tgA
1 sin2 А	-ctg A
1 д/1 — X2	arcsin a
1 1 +А2	arctg a
ch А	shA
shA	ch A
1 ch2A	th a
1 sh2A	- CthA
1 д/а2 +1	ArshA
1 д/а2 -1	Arch a
Пусть, например, /(а)=2а-3. Тогда F(x)= х2 -Зх. Но в то же время данная функция f(x) имеет и другие первообразные: а2+За+1,
Вообще, если F(x) - первообразная функция /(а), то и любая функция F(a)+C, где С - произвольная постоянная, которая является первообразной функции /(а). Действительно, при любом С = const будет [f(a)+C]'=F'(a)=/(a).
Обратно, пусть Fx(x) и F2(x) - первообразные одной и той же функции /(а). Тогда Ti(.x)= f(x) и F2(a)= f{x), а значит F{{x)~ F2(x)= 0, т.е. [Fi(x)-F2(x)]r =0. Но, как мы видели в главе V (следствие теоремы Лагранжа), это означает, что
192
Fx (x) - F2 (x) = Const
а значит
F2(x)=F}(x)+C.
Пример 6.1. Легко видеть, что Fj(x)= sin 2 .у и F2(x) = cos2x-
первообразные одной и той же функции f (х) = sin 2х. Действительно:
F| (x) = 2 sin
xcosx = sin 2x, F2(x)= s'n 2x)- 2 = sin 2x.
Поэтому
77 / \	77 / \	-2,1 э • 2	, COS2 %-sin2 %
F(x)-F2(x) = sm * +—cos2% = sin x-f------------=
cos2 x 4-sin2 x 1
=------------= — = const.
2	2
Итак, если функция имеет хотя бы одну первообразную (таковыми, как мы увидим в главе VII, являются, в частности, все непрерывные в рассматриваемом промежутке функции), то она имеет бесконечное множество первообразных, различающихся между собой на постоянную величину. Таким образом, интегрирование, в отличие от дифференцирования, не является однозначным действием. Говорят, что первообразная находится по данной функции с точностью до произвольной постоянной.
2. Неопределенный интеграл и иростейшие формулы иитегрироваиия
Таким образом, если функция f(x) имеет первообразную F(x), то любая функция F(x)+C, где С - произвольная постоянная, также есть ее первообразная.
Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается /(x'jdx. Итак, по
определению
j/(x)Jx = F(x) + C,	(6.1)
где F(x) - одна из первообразных функции /(х), а С - произвольная постоянная. Функция f(x) в равенстве (6.1) называется подынтегральной функцией, а /(х)с/х - подынтегральным выражением.
Из формулы (6.1) имеем
193
[[y(jv)cZxJ =f(x),	(6.2)
что естественно, так как действия дифференцирования и интегрирования взаимно обратны.
Заменяя /(л) в формуле (6.1) на /'(л:), получим
|/'(х)й6г = /(х)+С.	(6.3)
Эту формулу можно считать обратной формуле (6.2).
Далее, имеем
а значит, в силу (6.2),
e/J f(x)dx = f(x)dx, так что символ d уничтожает символ j . Обратная формула:
^df(x)=^f'(x)dx,
т. е., в силу (6.3),
|#Ы=/Ы+с.
Из формулы (6.1) и из таблицы первообразных получаем следующие простейшие формулы интегрирования:
г	Xa+i
1°. lxadx =---+ С,
J	а + L
Например:
з
х$	г /— 7 х^	2 /—
= — + С, -\lxdx = —- + С = — xylx + С,
5	J	3	3
2
rdx f -2 7 X-1	_	1	„
j-? = Jx dx = — + c = — + c, Ji	LA
ИТ. Д.
fx4dx
2». F = taH + C.
Ji
ax
3°. [axdx = —— + С. В частности, [ exdx = ex + C.
J	In 6/	J
4°. jcosjc<ix= sin x + C.
5°. jsin xdx = -cosx + C.
194
/-о Г ^7^ j
6	. I---— = Х%х + С.
COS X
„о г dx	„
7	. f—— = -ctgx + C. sin х
е dx
8	.	,	= arcsin х + С. Но, в то же время,
= -arccosл: + С. Убедимся, что обе формулы равносильны.
- X2
тт ~	’	71
Действительно, arcsin х + arccos .х = —,
л arccos х = — arcsin х
2
а значит
----arcsin х + С = arcsin х + С------
\2	)	v 2J
что совпадает с первой из формул, если заменить С - у на С, что законно, поскольку С - произвольная постоянная. Откуда
,	f dx
= arctg х + С , или, что то же самое, ----- = -arcctgjc + С .
J 1 + JC2
q0 г *7^
JT77
10°. JchjceZx= shjc + С.
11°. Jshjcdx= chjc + C. , r dx ,
ch2x'
13°. f —— = -cthjc + С.
J sh2jc
i л о Г dx	.
14 .	,	= Arsh х + С , или, что одно и то же,
\х2 +1
Формулы 14° и 15° можно объединить в одну
195
3. Свойства неопределенных интегралов
Теорема 6.1. Интеграл суммы конечного числа функций равен сумме их интегралов, т. е.
Для доказательства достаточно продифференцировать обе части последнего соотношения и воспользоваться правилом дифференцирования суммы (теорема 5.2.), а также формулой 6.2.
Теорема 6.2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.
J ос/ (x)dx =	(x)dx.
Для доказательства достаточно продифференцировать обе части этого равенства и воспользоваться соответствующим свойством производной.
Пример 6.1. На основании теорем 6.1 и 6.2 находим
гГ? 3 ), г ? . ~ г dx
dx cos2x
' 1
<cos2x
1
„ -X2
1
2
Теорема 6.3. Если ^f(x)dx = F(x) + С, то J f [cp(x)]Jx = F[<p(x)] + С, какой бы ни была дифференцируемая функция ср(х).
Действительно, производная левой части подлежащего доказательству равенства равна
|}/[<р(х)]Д)(х)] = Ij/[<p(wux4 = /[ср(*)]ф'(*), а производная правой части равна
{F[cp (х)] + С}' = {F[cp (х)]= F' [ср (х)] ср' (х) = Дср(х)] ср' (х),
т. е. производные обеих частей доказываемого равенства совпадают. □
Пример 6.2.
1
г	1г	1
J cos2xc/x = — J cos29tz/(2x) = —sin 2х + С
2
Пример 6.3.
196
Пример 6.4.
2
и совершенно аналогично
J / 2	2
yjx - a
Пример 6.6.
jsin 3 jccos xdx = j (sin A')3 e/(sin A')=
Пример 6.7.
2
3
2
Пример 6.8.
з
2V
 4
SIH X "T~
£ 2-x2]2d(2-x
.2
_L
3
2-x2
fctgx^=	[
J	J sin Л' J
<7(sin jc) sin x
Пример 6.9.
Пример 6.10.
J cos2 xdx= “ JC + cos2x)7x = fdx +^cos2xd(2x)
2l
1 • n
x + —sin 2x
2
Пример 6.11.
197
X
dx
~ . X X
2 sin cos
2
2
Пример 6.12.
X 2 x tg COS
2	2
,( x d tg~
к 2/
X ,gi
dx
7Г
2
COSA'
• । я
sin — + X 12
7Г X +
4 2)
x
2
Примечание. Результаты примеров 6.3. - 6.5. обобщают формулы 8°, 9°, 14° и 15°, а поэтому их полезно запомнить вместо этих формул. Результаты примеров 6.11. и 6.12. также стоит помнить.
4. Питегрироваиие ио частям
Пусть и(х) и г(а) произвольные дифференцируемые функции. Тогда d(uv) = udv + vdu
откуда
udv = d(uv)~ vdu
а значит
judv = uv - j vdu.	(6.4)
Эту формулу называют формулой интегрирования по частям. Ее применение целесообразно, в частности, тогда, когда интеграл Jvdu проще интеграла judv.
Пример 6.13. Вычислим интеграл J хех dx . Для этого положим
u = x,dv = exdx.
Тогда
du = dx,v = ех, а значит, в силу (6.4),
J xexdx = хех - J exdx = хех - ех + С .
Примечание. Если бы мы положили и = ех, dv = xdx, то получили бы
. х 1	1 2
du = е dx, v = —х , 2
а значит
198
[ xexdx = — ex - — [x2exdx, J 2 2J
t. e. новый интеграл оказался бы сложнее первоначального.
Пример 6.14. Возьмем интеграл I = J a2 cosxdx. Полагая
х2 = и, cosxdx= dv, откуда следует, что
du = 2xdx, v = sin х, будем иметь
/ = х2 sin х - 2J* лсsin xdx.
Очевидно, что новый интеграл вычисляется аналогично. Полагая и = х,dv = sin xdx, откуда du = dx,v = -cos a , будем иметь
2 .	(	г	12-
/=А Sin А — 2^—ACOS А + COSAdxj=A SIH A + 2a COS A - 2 SIH A + C .
Легко видеть, что путем “и-разового” интегрирования по частям аналогично могут быть вычислены любые интегралы вида Pn(x)cosaxdx,JPH(A)sin axdx и J/^(а)с6/х z/a , где Рп(х) - многочлен и-й степени.
Пример 6.15. Для вычисления интеграла I = Ja resin xdx полагаем и = arcsin a, dv = dx.
Тогда
, dx
du = —^^=, v = x, 4PP
а значит
т . r xdx
1 = a arcsin a -	.
J 1л
= AarcsinA + — Hl — A2 ) 2б/|1-А2
2Л /	\
1(1-a2)2
= a arcsin a + — 2—
2	1
+ C = AarcsinA + yl - a2 + C’.
2
Пример 6.16. Дважды интегрируя по частям, получим
sin az/a =
и = ех ,dv = sin az/a du = exdx,v = -cosA
= -ex cos a + ex cosxdx =
u = ex, dv = cosxdx du = exdx, v = sin a
= -ex cos a + ex sin a - I ex sin xdx,
t. e., обозначая вычисляемый интеграл через I, будем иметь
199
Z = ex(sinjc-cosjc)- I, откуда
ex
I = —(sin x ~ cosx) + C.
Очевидно, подобным способом можно вычислить любой интеграл вида
Jеах sin bxdx или Jcosbxdx.
5.	Питегрироваиие иутем замены иеремеииой
Рассмотрим интеграл J f (x)dx. Введем новую переменную t формулой
7 = ф(Л,	(6.5)
где t - некоторая дифференцируемая функция. Тогда х = \\i(l),dx =
а значит
f (x)dx = ,/[v|/(/)]\|/' (0^ •
Докажем, что
J f{x)dx = J/[W)lvW^=(p(x) •	(6-6)
Для доказательства достаточно убедиться, что производные обеих частей этого равенства совпадают, т. е. что производная правой части равна /(%).
Используя (6.2), а также формулу для производной обратной функции, имеем
t =ср(х)
= Л v(0]v'(04
= /МО]ч',(оД-	=Лч<(0]	=/W,
V V ) /=<р(х)	Г=ср(х)
что и требовалось доказать.□ г "\/х
Пример 6.17. Вычислим интеграл I = ——dx. Для этого положим J JC + 1
4х = t, откуда х = t1, а значит dx = ltdl. Формула (6.6) дает
I = [ —2tdt J Г+1
t=dx
Но
200
а значит
Описанный метод называют методом замены переменной, или методом подстановки.
Иногда замену переменной производят не по формуле вида (6.5), а сразу по формуле вида х = <р(/). Укажем некоторые важные подстановки такого вида.
1°. Пусть интеграл содержит радикал вида удобна замена
х = <7sin t (или х = acost). Действительно, положив х = <7sin t, получим 1 2	2 • 2~
а - a sin t = acost,
2
-x .В этом случае
si a - x t. e. радикал исчезнет.
Пример 6.18. Вычислим интеграл I = J
-J4 — х2
----у—«А. Полагая
х2
х = 2 sin t, придем к интегралу
_	, г cos2/ ,
2 costal = ——dt =
J sin2/ Возвращаясь к переменной х, получаем
2 cost 4sin21
' I
<sin2/
1-
cos/
^sin/
x
x
2
. X
+ arcsin — 2
Vl - sin2/
sin?
sl^-x2
X
x
2
2°. Пусть под интегралом содержится радикал вида ** этом случае удобны замены х = atgt (или х = actgt) и х = <7sh/.
Действительно, положив х = atgt, будем иметь
/ 2 , 2	/ 2 , 2. 2. Л , . 2. а
vа + jc — -уа + <7 tg t — a-\j 1 + tg t —-.
cost
+ a2sh2t = acht.
.2 , 2.2
Аналогично, если x = tzsh t, to
Пример 6.19. Вычислим интеграл I = J
+ л2 . В
——dx. Полагая эс = tg/ х4
201
получим
1
Аналогично, полагая х = tzsht, будем иметь
о	/22
3°. Пусть подынтегральная функция содержит радикал ух -а .В
_	а ,	а .	, тт -
этом случае удобно положить х =-------(или х =-----) и х = асы. Деистви-
sinZ	cos/
тельно эти подстановки дают соответственно
/----- ГП гп----------------
/221^	? I 1
\1х -a =J—----a =а—--------l=actg/;
Vsin2f	Vsin2f
y]x2 - a2 = ->Ja2ch2t - a2 = ch2^ -1 = б/sh /.
Пример 6.20. В интеграле I = lylx2-Idx положим jr = ch/\ Полу-
6.	Таблица основных интегралов
Приведем окончательную таблицу интегралов, которые полезно помнить при интегрировании.
202
1-.	r	xc,+X xadx =	hC, (a^l). a +1	9 J	dx	 X „ = arcsin — + C . a		
			1 2	2 yja - x			
2-.	Г x j aX a dx =	+ C . Ina	10.	C dx	1	x = arctg + C. ' x1+cS	a	a			
3-.	ex dx = ex + C.	11.	r dx 	= In sin x	X *2	+ C.	
4d	— = ln|x| + C.	12.	r dx 	= In COSJC	(71 хУ tg — + - U 2j		+ C.
5J	cosxdx = sin x + C.	13.	chxdx=shx + C.			
	sin xdx= -cosx + C.	14.	shxdx=chx + C.			
„ dx 7.	=tgx + C. cos x		15.	r dx ,	„ —— = thjc + C. 'ch2jc			
	r dx = ctgjc + C. sin x	16.	r dx	, —— = -cthx + C . 'sh2jc			
		17J	dx	= In	x + V	2	2 x ±a +C.
			/2,2 "V X ± Cl			
7.	Комплексные числа и действия с ними
Комплексным числом называется пара вещественных чисел а и Ь, рассматриваемая как единый “комплекс”, записываемый в виде с = а + Ы. Для этого “комплекса” вводятся арифметические действия по правилам, которые формулируются ниже.
Числа а к b называются соответственно вещественной и мнимой частью комплексного числа c = a + bi. Это записывают так:
а = Re с, b = Im с.
Если а=0, то вместо c = Q + bi пишут просто с = Ы и говорят, что в этом случае с- чисто мнимое число. Если Л>=0, то пишут, что с=а, и говорят, что в этом случае комплексное число превращается в вещественное. Следовательно, множество всех вещественных чисел можно рассматривать как подмножество множества всех комплексных чисел.
Если a=b=Q, т. е. если с = 0 + 0/, то пишут, что с=0.
Комплексные числа q = ci\ + b\i и с2 = а2 + b2i называются равными, если.б?! = а2, Ь\ = Ь2 Иными словами,
С| = с'2 <^> Re q = Re с2, Im q = Im c2 • 203
Комплексное число a-bi называется сопряженным по отношения к числу с = a + bi и обозначается с. Очевидно, равенство с = с есть необхо-
димое и достаточное условие вещественности числа
Число г = лМ2 + 62 называется модулем с = a + bi и обозначается |с|. Очевидно, что всегда
с.
комплексного числа с = |с|. Если с - веще-
ственное, т. е. с = а + 0 • i, то
|с| = 4а1 +02 = Л&2" = |tz|.
Таким образом, в этом случае модуль комплексного числа превращается в абсолютную величину вещественного числа.
Суммой комплексных чисел cj = а\ + b\i и с2 = tz2 + ^2Z называется комплексное число, обозначаемое q + с2 и равное
С1+ с2 =(tzl+tz2)+(^l+^2)’z	>	(6-7)
т. е. при сложении комплексных чисел складываются (по определению!)
отдельно их вещественные и мнимые части.
Из (6.7), в частности, следует, что
(а + bi) + (а - bi) = 2а + 0 • z = 2а,
т. е.
c + c = 2Rec	(6.8)
Далее, на основании правила (6.7), можно написать, что
а + Ы' = (а - 0 • z) + (0 + bi).
Этот факт оправдывает то, что любое комплексное число записывается именно в виде суммы слагаемых an bi.
Лемма 6.1. Сопряженное суммы комплексных чисел равно сумме чисел, сопряженных каждому слагаемому, т. е.
q+c2=q+c2	(6.9)
Это сразу следует из (6.7).
Разностью комплексных чисел и с2 называется такое число с, что с2 + с = q • Отсюда и из (6.7) следует, что если q = а\ + b^i, с2=а2+ b2i, то
q-c2 = (al-a2)+(bl-b2)-i.
Произведением комплексных чисел q = q + b\i и с2 = а2 + b2i назы
вается число
qc2 = (аха2 -blb2) + (аха2 + bxb2)• z.	(6.10)
В частности, если т - вещественное число, то
т(а + bi) = (m + 0 • z)(tz + bi) = (та + 0 • b) + (mb + 0 • a)-i: = ma + mbi.
Из формулы (6.10) следует, что комплексные числа можно перемножать по правилу перемножения двучленов и при этом полагать, что 2
z = -1. Действительно, это правило дает
204
(q +	”1” ^2Z)— q^2 ”1” ci\b2i + a2b\i + byb2i —
(a\a2 ~ byb2 ) + (°1^2 + а2^\ ) ’z • Поэтому, в частности,
(cz + bi^ci — bi)= a — bi = ci + b , t. e.
-	-2
cc= c .
Если c = bi, to c2 =b2i2 = —b\ t. e. c1 <0. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то именно поэтому числа вида bi называют мнимыми, т. е. “воображаемыми”.
2
В частности, поскольку равенство i = -1 позволяет условно написать, что i = V-Т, то число z называют мнимой единицей.
Далее, из равенства i = -1 следует, что
3 -2-	• -4 -3-	л 5 -4 •
z =1 / = -/', I = z z = -zz = 1; z = z z = z и т. д.
Лемма 6.2. Сопряженное произведение комплексных чисел равно произведению Чисел, сопряженных каждому из сомножителей, т. е.
qc2=q-c2	(6.11)
Это непосредственно вытекает из (6.10).
Поскольку (6.11) верно для любого числа сомножителей, то
(6.12)
Теорема 6.4. Если Р(с) - многочлен с вещественными коэффициентами, то
=	(6.13)
Действительно, пусть
Р(с) = Росп + Р}сп 1 + ... + Рп_}с + Рп.
Тогда, используя (6.9), (6.11), (6.12) и вещественность чисел Pq,P[,...,P„ , получим
Р(с)=РосА7 + Р]СП 1 + ••• + Рп-Ас + Рп = PqC11 + Р\СП ^ + ... +Рп_\С + Рп =
= Р^СП +Р[СП 1 + ... + Рп_\С +Рп =Р0(с)” +Pj(c)” + ... +Рп_уС + Рп= р{с\ что и требовалось доказать. □
Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Число z = x + yi называется частным чисел q = a\+b\i и с2 = а2 + b2i, если c2z = q, т. е., если
(а2 + b2i)(x + yi)= q + bii.
Используя (6.9) и приравнивая отдельно вещественные и мнимые части, получим
205
а2х-Ь2у = аъ b2x + a2y = bl, а значит
v_^2+^2
Л 2,2
6Z2 +^2
£2^1 4
U\b2 z>22
(6.14)
+
Отсюда следует, что деление комплексных чисел можно производить, умножая числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Действительно,
а1 + ^lz	(а1 + ^10(а2  ^2Z) а1а2 + ^1^2 а2^\ ~ a\bzi
а2 + ^2Z (й2 + ^2^а2 ~ ^27)	«2 + ^2 а2 + ^2
что равносильно (6.14).
гл	4 + 3z (4 + 3z)(5 + 2z) (20-6) + (8 + 15)z 14 23
Пример 6.21.-----= ------------ = ----—--------- = — + — z.
5-2/	25 + 4	29	29 29
Пример 6.22. - = —- = -z.
z - Z2
8.	Геометрическая форма комплексных чисел
Поскольку комплексное число есть пара двух вещественных чисел, то его можно изображать в виде точки на плоскости. Эту плоскость называют комплексной плоскостью. Числа а и b играют роль координат точки с в этой плоскости, рис. 6.1. Точки с и с, очевидно, симметричны относительно оси Ох. Если />=0,т. е., если с=а, то эта точка лежит на оси Ох. Если же <7=0, т. е. с=Ы, то точка принадлежит оси Оу. Иными словами, оси Ох и Оу есть геометрические изображения множества всех вещественных и всех чисто мнимых чисел, соответственно. В связи с этим ось Ох называют вещественной, а ось Оу - мнимой осью комплексной плоскости.
Запишем теперь выражение c=a+bi так с = а  1 + b  z.
Это позволяет изображать комплексное число в виде вектора комплексной плоскости, рис. 6.2. Числа а = Re с и Л = Imc играют роль проекций вектора с на оси Ох и Оу, а 1
-v и z можно рассматривать как “орты” этих осей (последнее является еще одной мотив и-
Рис.6.2	ровкой термина “мнимая единица”).
206
Векторная трактовка комплексных чисел позволяет придать модулю комплексного числа простой геометрический смысл. Число |с|, очевидно,
есть не что иное, как длина вектора с.
Правило (6.7) сложения комплексных чисел также становится теперь естественным, если вспомнить, что при сложении векторов складываются их одноименные проекции.	у ц
Полученное ранее равенство (6.8) становится совершенно очевидным с геометрической точки зрения (см. рис. 6.3).
Рассматривая комплексные числа как 0‘ векторы, заключаем, что вычитание комплекс-
ных чисел можно производить как вычитание '	Рис.6.3
векторов. Очевидно, что величина |q -с2| равна расстоянию между точ
ками <?j и с2, рис. 6.4.
Таким образом, модуль разности комплексных чисел геометрически представляет собой расстояние между соответствующими точками комплексной плоскости. Далее, из известного свойства треугольника, получаем (см. РИС. 6.5), ЧТО ДЛЯ Любых С| и с2
|о+с2|	•
При этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда с2 = тс где
т - вещественное положительное число.
9.	Тригонометрическая форма комплексных чисел
Угол ср между вектором с и осью Ох называется аргументом комплексного числа с и обозначается Arg с. Определяется он с точностью до 2л. Поэтому вводят в рассмотрение т. н. главное значение аргумента, которое обозначается arg с и изменяется в промежутке [-л, л].
Таким образом,
Argc = argc + 2n«.
Далее, имеем
6z = rcoscp, b = rsincp,	(6.15)
207
а значит
a + bi = r(coscp + isin cp).
Правая часть этого равенства и есть тригонометрическая форма комплексного числа (выражение a+bi называется алгебраической формой этого числа).
Из (6.15) находим
b tgcp = -. а
Это равенство вместе с равенством г = '\]а2 + Ь2 служит средством перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической его форме. Очевидно, этот переход означает не что иное, как переход в комплексной плоскости от декартовых координат к полярным.
Пример 6.23. Представим в тригонометрической форме число с = у[3 + 1.
Имеем
г = д/З + 1 = 2, <р = arctg -^= = ,
а значит
У 71 • • с = 2 cos—+ /sin — . у 6	67
Пусть даны два комплексных числа:
q = гДсозфх + zsin фх) и с2 = T2(COS(P2 + sin ф2)
Тогда, на основании правила (6.10) и замечания к нему,
qc2 = Г]Г2 [(cos ф] cos ф2 - sin фх sin ф2) + /(sin фх cos ф2 + cos фх sin ф2)], т. е.
С1С2 =Г1Г2[сО8(ф1 +ф2)+78т(ф1 +ф2)].	(6.16)
Итак, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Очевидно, это правило верно и при большем числе сомножителей.
В частности, если перемножаются а одинаковых сомножителей, то получим т. и. формулу Муавра:
г [(cos ф +zsin ф)]”= rn (cos/xp + zsin /?ф).	(6.17)
Кроме того, из (6.18), и из определения частного комплексных чисел находим
^(coscpj 4-zsincpj) гх	ч • / VI
-5-----!= —[С08(ф] - ф2 ) +1 sm( ф! - ф2 )].
Г2(СО8ф2 +/8Шф2) Г2
Рассмотрим теперь извлечение корня из комплексного числа. Пусть требуется вычислить, например, л/4 + 4/.
208
Имеем 4 + 4z = a/32(cos 45° + z sin 45°). Положим л/4 + 4/ = r(cos cp + z sin cp). Тогда формула Муавра дает
г5 (cos 5ср + z sin 5ср) = л/32 (cos 45° + z sin 45°),
откуда
г5 =л/32, cos5cp = cos45°, sin 5ср = sin 45°,
а значит
r = V2, 5ср = 45° +360°-и.
Из последнего соотношения находим
ср = 9° + 72°-z?.
Поэтому
ср1=9°, ср2 =9° +72° =81°, ср4 = 9° + 216° = 225°, ср5 = 9° + 288° = 297°. В соответствии с этим получаем 5 различ-
Q =
ных значений корня:
= V2(cos9° + zsin9°), с2 = V2(cos81° + zsin81°). с3 =V2^cosl53° +z sin 153° J
V2 (cos225° + zsin 225
c5 =V2(cos297° + zsin 297°).
1 П 1 •
-j= —Z—= —1 —z
12 y/2j
с4 =
Приведенное решение фактически содержит в себе описание метода вычисления Ц[с, при произвольных сип.
10.	Последовательность комплексных чисел и ее предел
Пусть заданы две последовательности вещественных чисел {хп}= х1,х2,...,хГ1,...; {уп}= у1,у2,...,уГ1,.... По ним можно построить последовательность комплексных чисел
К +iyn}=x\ +9'1,*2 + 1У1,Хп	у
Число с = a + bi называется пределом последовательности к, =	+ /у’ }, если
hm |z„-с| = 0.	(6.18)
п—>00
В этом случае пишут, что с = lim zn .
A7—>00
Геометрически равенство (6.20) означает, что о для любого 8 > 0 существует такое jV(s), что при любом n>N точка zn находится в 8 - окрестности точки
209
с.
Перепишем (6.18) так
lim yj(xn-a)2 +(yn-b)2 =0.
Л7—>00
Отсюда следует, что lim хп = а, lim yn=b. 77—>ОС	77—>00
Итак, равенство lim zn = с равносильно одновременному выполне-
нию двух равенств:
lim Re zn = Re с, lim Im zn = Im c .
77—>00	77—>00
Пусть теперь
zn = r„(coscp„ + isin cp„), c = p(cos\|j + zsin vj/).
Поскольку rn = ylx2 + у2 , to lim rn = /lim x2 + lim у2 = yla2 +b2 = p.
77—>00	V 77—>00	77—>00
Аналогично, поскольку tg <p,7 = —, to
x„
hm tgcp„ = - = tgy,
/7—>CO	Q,
откуда следует, что
lim cp„ = \|/.
77—>СО
При этом предполагается, что ср„ = arg zn, ф = arg с, а хп и уп не стремятся одновременно к нулю.
Итак, если с ф 0, то
lim zn = с lim \zn\ = |с|; lim arg zn = arg c .*}
77->OO	77—>C0
11.	Комплексная степень числа e
Известно, что для любого вещественного а будет
Z
( л С1 а lim 1 + —	= е .
п—>ооу	П
Заменим здесь а на комплексное число с = а + Ы и положим по оп
ределению, что
( с\п ес = lim 11 + — п—>ооу	П
(6-19)
Второе из этих равенств верно, если условиться равенства arg с = л и argc = —л считать равносильными.
210
т. е.
а+Ы v Л a + biX ea+Dl = hm 1 +------- .
n—>cr\	И j
Для вычисления стоящего справа предела положим
л а + Ы
1 +------= (coscp„ + I sin сри
п
Тогда
а + Ы Y п ,
14
= г" (cosHcp„ + z sin иср„ ),
а значит, по доказанному выше,
a + biY1
lim 14
И—>ооу	п 7
Т7	л а + Ы
Но, поскольку 1 ч-------
п
lim r"
cos lim nqn
л а\ и .
1 + — +—Z,TO
Г
'и
nJ
Ь2 и2’
+ z sin lim ntyn
(6.20)
b .
п
а
а значит
а
п
2
э 7 Л 2й а + b
и
2
и
= ecl.
lim rn = lim
nJ
п2
п2
Здесь мы молча предполагали, что а Ф 0, в силу чего
= lim 1 + —
а1 +Ь2 п1
= 0 — при < п )
п
л?—>оо. Но если а = 0, то
и
Ь^ lim r‘: = lim 1 + — 7—>оо	П—>ool 72
п
2 =1 = е°
t. e. полученный выше результат верен и для а = 0. Далее,
ь
tg<p„
ь
п
а
п + а
_	b
т. е. при az^-oo будет tgcp,7 ~ — п
b
—, t. e. n
а значит и сри
п
211
b
Фи =- + — п п
где lim cq = 0. Но тогда п—>ос
ткрп = Ь + ап,
откуда
lim тщ>п = b.
п^-<х>
Подставляя оба результата в (6.20), получим
eci+bi _ (cosZ) + z sin/>).	(6.21)
Итак, равенство (6.19), являющееся определением комплексной степени числа е, приводит к формуле (6.21), по которой величина находится очень просто. При а = 0 имеем из (6.21)
eb}' = cosb + isinb.	(6.22)
Из (6.21) и (6.22) следует, в частности, что
ea+hi = еа  ebi.	(6.23)
Покажем, что если q и с2 произвольные комплексные числа, то
eci -еС2 =еС1+С2 .
Действительно, пусть q = ах + bxi, с2 =a2+b2i. Тогда, в силу (6.21), (6.16), (6.22) и (6.23),
eCi ,ес2 _ ^(cosZ^ +zsinZ>l)] • |e°2 (cosZ>2 +zsin/?2)]=
= е°1+°2 [cos(Z?1 + b2 ) + z sin( bx + b2 )] = е°1+°2  e(/’1+/,2)/ =
_ z?(‘7l+fl2)+(^l+^’2)7 _	— лс1+с2
tx	tx	tx
что и требовалось доказать.□
Далее, поскольку |cos£> + zsinb\ = ylcos2 b + isin2 b = 1, то из (6.21) следует, что
ea+bi =ea,
т. e.
ec = eRec.
Аналогично из (6.21) имеем
Arg c"1'"=b,
т. e.
Argec = Imc.
Здесь под Arg ec подразумевается одно из значений аргумента числа
Заменим в (6.21) b на Ь. Получим
212
ea bl = еа (cos b - i sin b).
Но это можно переписать так
ea+bt = еа (cos b + i sin b)
или
,/t+bi _ ~a+bi
t. e.
c c e =e .
Пример 6.24. По формуле (6.21) имеем
71	.	п
2+7z	21	л . • л ] е	,ч
е 4 =е cos— + zsin— =—=(!+/).
I	4	4 J V2
Пример 6.25. Аналогично
e™ = cos л + / sin л = —1, т. e. комплексная степень числа е может быть и вещественным числом.
Из результата последнего примера следует, что три важнейших константы математики: л, е, и / связаны простой зависимостью
12. Понятие о комилексиозиачиых функциях
Пусть и(х) и г(а') - вещественные функции, заданные в некоторой области Е.
Построим по ним функцию
/(х) = u(x)+ /у(х).
Она называется комплекснозначной функцией, заданной в области Е. На нее переносятся все основные определения и теоремы, рассмотренные ранее для вещественных функций. Например, функция Дх) называется непрерывной в точке Xq&E, если lim /”(х) = /”(х0). Но это равенство, в
X—^•Я’о
силу доказанного выше, распадается на два равенства lim w(x) = w(x0), lim v(x) = v(x0).
X—>X(j	X—>X(j
Таким образом, комплекснозначная функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывна ее вещественная и мнимая части.
Производная функции /(х) = г/(х)+/у(х) определяется обычной формулой:
Д(х) = lim
Лг—>0 Их
откуда легко следует, что
213
f'(x)= u'(x)+ iv'(x).	(6.24)
Следовательно, дифференцируемость комплекснозначной функции равносильна дифференцируемости ее вещественной и мнимой частей.
Если а - вещественное число, то (еда) = аес,х. Докажем, что для любого с будет
т. е.
[е(й+&,)х ] = (а + bi)e^+bi)x.	(6.25)
Имеем
e(a+bf>x = eax+bxl = e«*(cosfev +, sin bx) = е»х + ^ах sjn Отсюда, на основании (6.24), находим
j = аеах cosfrx - beax sin bx + i{aeax sin bx + beax cos foe)=
= em[6z(cos bx +1;sin bx)+bi{cos bx + isin foe)] = e‘7X(6/ + fo)(cosfoc + /sin bx) = = (a + bi}e{a+bi>)x,
что и требовалось доказать. □
Интеграл функции f(x) = и(х)+ iv(x) определяется формулой J f (x)dx = j u(x)dx + i j v(x)dx.
Отсюда, в частности, следует, что
Re j f (x)dx = j Re f (x)dx, Im j f (x)dx = j Imf (x)dx. (6.26)
Формула (6.25) позволяет написать соответствующую формулу интегрирования
(а+Ы)х
[e(a+bi)xdx =---------+ С.	(6.27)
J	a + bi
Эта формула оказывается полезной при вычислении некоторых интегралов.
Пример 6.24. Пусть требуется вычислить интеграл J sin bxdx.
Имеем
е ах sin bxdx = Im[e ах (cos bx + z sin foe)] = Im e ax+bxi = hn e (a+bbx ,
а значит, в силу второй из формул (6.26) и формулы (6.27)
г ах . , ,	7 г (а+ыухл т	г е °* (cos foe + zsin foe)
I e sin bxdx = Im fo } dx = hn---------= Im-------------------=
J	J	a + bi	a + bi
, (cosfoe + zsinbx)(a-bi) eax T rz . ...	.	. . . ...
= e Im1------------------------ = —----- Im[( a - oz)(cos bx + z sin bx)] =
a1 +b2	a1 +b2
214
еах
= —----- (a sin bx - b cos foe) + C.
a2 +o
Описанный метод удобен и для вычисления интегралов более общего вида:
J Ал')еш sin bxdx или J А(х)еж cosbxdx, где Р(х) - некоторый многочлен. Например,
J/>(л)е<7Х cos bxdx = Re J P{x)e^a+bl^xdx, а последний интеграл вычисляется путем «-кратного интегрирования по частям, где п - степень многочлена.
13. Показательная форма и логарифм комилексиого числа
Возьмем комплексное число с = /’(cos ср + i sin ср). На основании формулы (6.22) перепишем его так
с = ге^.
Это - так называемая показательная форма комплексного числа. Ее можно представить и в таком виде
c = |c|ezargc.
Если последнее равенство формально прологарифмировать по основанию е, то получим
lnc = ln|c| + zargc.	(6.28)
Например,
ln(-3) = In |— 3| + та = In 3 + та, ln(2 + 2z) = ln 8 + ^z = 31n 2 + ^z, ит. д.
Таким образом, формула (6.28) обобщает понятие логарифма не только на отрицательные вещественные, но даже и на комплексные числа. Если же с - вещественное положительное число, то |с| = с, argc = 0, и формула (6.28) дает In с в обычном понимании логарифма.
Примечание. Поскольку Arg с определяется не однозначно, а с точностью до 2лн, то и логарифм комплексного числа есть многозначная функция. По определению, логарифм комплексного числа дается формулой
Lnc = ln|c| + zArgc.
Взяв вместо аргумента его главное значение arg с, получим т.н. главное значение логарифма, определяемое формулой (6.28).
Очевидно,
215
Ln с = In |с| + z(arg с + 2 тш)
т. е.
Lnc = lnc + 27w.
14. Формулы Эйлера
Заменив в формуле (6.22) b на х и на -х, получим exl = cosx + zsinx, e~xl = cosх — zsinх.
Разрешая эти равенства относительно cos л: и sin л, будем иметь :
xi -xi	Xi -xi
cos x =----------, sin x =--------.
2	2z
Эти формулы называют формулами Эйлера. Они, в частности, дают новую иллюстрацию аналогии между тригонометрическими и гиперболическими функциями. Очевидно, их можно переписать так
,	. shxz
cosx = cnxz, sin х =---.
z
Пример 6.25. Применим формулы Эйлера к вычислению сумм
sin ср + sin 2cp + ... + sin иср.
Имеем
еч» _ е~(р> е2(р' _ е~2(р>	е,/(р/ _ е~гг(р>
sin ср + sin 2ср +... + sin иср =-1------------h... ч---------=
2z	2z	2z
— e(p/ + e2cp/ +... + e77cpz - e~(pz + e“2cp/ +... + e“z7cpz'
2zLV	7 v
। е(и+1)ср7 _ eq>i
e-(f3+l)(pi _ e~q>i e^-l
efxpi | e(«+l)q» + e4>i _ e~fKpi + | + e-O+W _ ^-qx
”	2z(l-ecp7-e-cp7+l)	”
?2ф7 _ -Иф/ ф/ _ -ф/	(и+1)ф/ _ —(/7+1)ф7
Сх	Сх	Сх	Сх	Сх	tx
---------------1--------------------------------•	•	• Z л \
2/	2z	2z _ sin/тер + sin ср — Sin6 77 + 1)ср
-е~^	2-2cos(p
2
_ . (77 + 1)ср (П- 1)ср . (/7 + 1)ср (77 + 1)ср 2 sin -	— cos1	— - 2 sin1	— cos -	—
2 2 2 2
. . 2 9
4 sin —
2
216
. (п + 1)ф	{п- 1)ф	(п + 1)ф	. (и + 1)ф _ . Л2ф . ф
Sin	cos--------COS	sin -	— • 2 sin — sin —
2 L 2 2 J =	2 2	2
э • 2ф	о • 2 ф
2 sin —	2 sin x
2	2
Окончательно
. (и + 1)ср . иср sin -	—  sin —
2	2
sin <p + sin 2<p +... + sin n<p =------— .
 Ф sin 2
15.	Разложение многочлена на множители
Рассмотрим произвольный многочлен
Р(л) = р^х1 + р, л'"' +... + рп_хх + рп, коэффициенты pQ, ръ..., рп которого, вообще говоря, комплексные. На основании т.н. основной теоремы алгебры он имеет по крайней мере один корень Х| (вещественный или комплексный). В этом случае он делится без остатка на х - Х|, а значит
Р(х) = (х - Х!)/[(х), где 2j(x) - многочлен (п1)-й степени. Он также имеет по крайней мере один корень х2, а значит
Р1(х) = (х-х2)/>2(х), так что
Р(х) = (X - Х| )(х - х2 )Р2 (х).
Отсюда следует, что х2 одновременно является корнем и многочлена Р(х).
Многочлен 2^(х) (п2)-й степени имеет корень х3, откуда следует, что
Р(х) = (х - Xj )(х - х2 )(х - х3 )Д (х), а значит х3 есть корень и многочлена Р(х), и т.д. Наконец, многочлен Рп_[(х) 1-й степени имеет корень хп, а значит, окончательно,
Р(х) = Pq(x - хг)(х - х2) •... • (х - хп).	(6.29)
Здесь х1,х2,...,х„ - корни многочлена Р(х). Если они попарно различны, их называют простыми. Если же среди них имеется к одинаковых, то их общее значение называется к- кратным корнем многочлена Р(х).
Иными словами, х*- Л-кратный корень многочлена Р(х), если Р(х)
представим в виде
217
Р(х) = (х- х*)кР(х), где Р(х*) Ф 0 (если бы было /Дх*) = 0, то кратность корня х*, очевидно, была бы большей, чем к).
Теорема 6.5. Если х* - к--кратный корень многочлена Р(х), то он одновременно является (к-1) - кратным корнем его производной Р'(х).
Действительно, пусть
р(х) = (х - х*)к Р(х).
Тогда
Р'(х) = к(х - х*/'-1 /Дх) + (х - х*/ Р'(х) =
= (х-х*)А-1|д/Дх) + (х-х*)/>'(х)] , т. е.
Р'(х) = О - х*)к~}	(6.30)
где
Р(х) = кР(х) + (х — х*)Р'(х).
Поскольку Р(х*) = кР(х*)> а Р(х*)0, то Р(х*) 0. Но тогда из (6.30) и следует, что х* - (к-1) - кратный корень многочлена /Дх).
Простой корень многочлена можно рассматривать как частный случай кратного (с кратностью, равной 1). Поэтому будем считать, что многочлен Р(х) имеет корни xi,x2,...,x„, кратности которых равны соответственно ki,k2,---,km. Тогда, объединяя в (6.29) одинаковые сомножители, получим
/Дх) = р$(х — Х|)Л1 (х- х2/2 •... • (х - хп1)кт .
Представим теперь, что все коэффициенты многочлена Р(х) - вещественные.
Теорема 6.6. Если с = а + Ы - корень многочлена с вещественными коэффициентами, то и c = a — bi является его корнем.
Действительно, пусть Р(с) = 0. Тогда и Р(с) = 0, или, на основании (6.15), />(с) = 0, что и требовалось доказать.П
Из доказанной теоремы следует, что комплексные корни принадлежат многочлену парами, т. е. многочлен (с вещественными коэффициентами!) может иметь лишь четное число комплексных корней: 0, 2,4 и т. д.
Пусть а ±Ы - пара взаимно сопряженных корней многочлена /Дх). Ей отвечает в (6.31) выражение
[х - (а + £>/)][х - (а - bi)] = [(х - а) - /ч][(х - а) + bi] =
= (х - а)2 + Ь2 = х2 - lax + (а2 + Ь2).
Итак, паре взаимно сопряженных комплексных корней в разложении
218
многочлена соответствует квадратный трехчлен вида х2 + gx + h с комплексными корнями. Если ci±bi - пара корней 7-й кратности, то ей отвечает в (6.29) выражение (х2 + gx + h)1.
Таким образом, в самом общем случае многочлен Р(х) с вещественными коэффициентами можно разложить на множители следующим образом:
Р(х) = р0(х-Xj)A1 (х-х2/2 •...•(x-xr)/t' (x2 +g1x + h1)11 - ...-(x2 +gsx+hs)lg. (6.31)
Здесь xl,x2,..., xf. - вещественные корни многочлена с кратностями ку,к2,...,кг, а остальные s множителей отвечают парам взаимно сопряженных комплексных корней кратностей ly,l2,...,ls соответственно. При этом, очевидно, к\ + к2 +... + kr + 2/| + 212 +... + 21 s =п, где п - степень многочлена.
Пример 6.26. Пусть многочлен Р(х') - имеет корни х, = 1, х2 = 1, х3 = 1, х4 = -2, х5 = 3 + /, х6 = 3-i, х2 = 3 + z, х8 = 3-z, х9 = 2z, х10 = -2z.
Тогда
Р(х) =	(х -1)3 (х + 2)(х2 - 6х +10)(х2 + 4).
Число здесь, разумеется, произвольно.
16.	Рациональные дроби и их разложение на ироетейшие
Дробно-рациональной функцией, или просто рациональной дробью, Р(х)
называют выражение вида —, где Р(х) и (2(х) - многочлены. Если 2U)
степень числителя ниже степени знаменателя (это записывают так: deg/>(x)<degC)(x)), то дробь называют правильной. Если же deg /Дх) > degO(x), дробь называют неправильной.
о	а Л»
Очевидно, что всякая неправильная дробь --- путем непосредственного
(2(х)
деления /Дх) на (7(х) может быть представлена в виде
^ = ЛДх) + ^^,	(6.32)
х) 2W
где R{x) - остаток от деления. Например,
219
Зх + х — х + Зх + 3 I х — Зх + 4
— Зх4 - 6х3 + 12jc2	Зх2 + lx +1
1х3 —13л2 +3x
lx3 —14л2 + 28x
x2 -26x + 3
x2 -2x + 4
-24x-l,
так что
Зх4 + x3 - x2 + Зх + 3 _ 2 rz i 24л +1
-------------------= Зх + lx +1 - —--------.
x -2x + 4	x -2x + 4
Многочлен 7V(x) в равенстве (6.32) называется целой частью непра-
вильнои дроби —. Его степень равна разности степеней числителя и £?(•*)
знаменателя. Поскольку дробь , очевидно, правильная, то из (6.32) следует, что всякая неправильная дробь может быть сведена к правильной путем выделения целой части.
тт	а к
Пусть —- правильная рациональная дробь. Будем считать, что О(х)
/*(х)и О(х)не имеют общих корней, так как в противном случае /*(х)и О(х) имели бы общие множители, и дробь можно было бы на них сократить.
Пусть, далее, х-к--кратный корень многочлена Q(x)  Тогда (2(х) = (х - х)^(2|(х), причем Оу(х) ф 0 . Докажем, что в этом случае дробь
может быть представлена в виде
Л*)	= Л	|	Д(*)
(х - х )А Оу (х) (х - х )к (х-х )А-1 Оу (х)
где Ао ф 0 - некоторое число, а второе слагаемое справа есть правильная дробь.
 Для доказательства напишем тождество Л*)	= Л [ ^(*)~42i(*)
(х - х )к Оу (х) (х - х )к	(х-х )А Оу (х)
Здесь Aq - произвольное число. Подберем его так, чтобы многочлен 220
Р(х) - AqQi(x) делился на х - х . Для этого положим Р(х) - 4)21 С-^) = 0,
Р(х)	_
откуда Aq =—44 • Поскольку P(x)jtQ, то Aq отлично от нуля и нахо-210)
дится однозначно.
При этом значении Aq получим
Р(х) - А0От (х) = (х- х)Р} (х).
Р(х)-Л021(х)
Сокращая дробь ---------5----- на (х-х), представим ее в виде
(х - ху 21 (х)
ВДх) тт	г г
------г-------. До сокращения эта дробь была правильной, так как сте-(х-х/“ !2i(x)
пени многочленов В(х)и 210) ниже степени знаменателя. После сокращения эта дробь также останется правильной, что и требовалось доказать.□ Применяя доказанное только что утверждение к дроби ВДх) ------7-------, получим
(х-ху J2iO)
Л (-У)	=	4	1 Л (-У)
(x-x)a_1Q(x) (х —x)A1 (х -х)А'2 2iO)
где второе слагаемое справа есть правильная дробь, и т. д. Окончательно будем иметь
^О)	= 4 + 4 + 4 + + 4 + Л-О)
(х-х/ОДх) (х —х)А (х-х/4 (х-х)А-2 х-х 21(4 ’ /*О)
где —- правильная дробь. Если 210) имеет другие вещественные 210)
корни, то к ней также можно применить доказанное только что утверждение. Итак, если (?(х) имеет корни: корень Xj кратности ку, корень х2 кратности к2, корень хп кратности кп, то есть, если Q(x) = (х-х1)А1(х-х2)Аг •... • (х — хН7 )А”', а Р(х) - любой несократимый с />(х)
0(х) многочлен, такой, что deg Р(х) < degO(x), то дробь v 7 можно 2(4
представить в виде
Л4 = Л) t A f [ Ар-<
Q(x) (x-Xj/1 (x-Xi/1-1	X-Xj
Bo	Bj	ВА /
_(х - х2 )А'2 (х - х2 )А'2 -1 X - х2
221
|_(x-xw/'« (x-xm)k™ 1 X-Xm_
Обратимся теперь к случаю, когда знаменатель правильной дроби имеет комплексные корни, т. е. пусть Q(x) = (х2 + рх + q)lQ\(x), где Q(x)
Qi(x) не делится на х2 + рх + q. Докажем, что в этом случае дробь ^^Х^ 20) можно представить в виде
Л-у) = MqX + Nq	Р^х)
2	I	2	I '	2	I—1	’
(х + рх + q) Qi(х) (х +px + q) (х +px + q) Qi(x) где второе слагаемое справа есть правильная дробь.
Запишем тождество
Р(х) _ Mgx + Ng	7>(x)-(M0x + JV0)Q1(x)
(х2 +px + q)lQl(x) (x2+px + q)!	(х2 + рх + q)1 О^х)
Здесь Mq и Nq - произвольные числа. Подберем их так, чтобы многочлен Р{х) - (Мох + Nq)Qi(x) делился на х2 + px + q. Это будет в том случае, если корни трехчлена х2 + рх + q (обозначим их а+Ы и a bi) будут в то же время корнями многочлена P(x) — (Mqx + Nq)Q](x) . Действительно, в этом случае Р(х) - (MqX + Nq )Qi (х) делится на разности х (а+Ы) и х (а bi), а значит и на их произведение, равное х2 + рх + q. Итак, положим
Р(а + bi) — {Mq (а + bi) + Nq	(а + Ы) = 0,
откуда
,, z ,	, Р(а + Ы)
Mq (a+bi)+ Nq - ——	—.
Ox(a + bi)
Правая часть есть некоторое комплексное число p + vz, т. е.
MG(a + bi) + Nq = р + vi,
а значит откуда
Итак, если взять P(x)-(Mox + No)Qi(x) 2	/
(х +px + q)Qx(x)
MqU + Nq — р,
MQb = v,
, „ v , т	av
-Ц_~-
b	ь
именно эти значения Mq и Nq , то дробь сократится на х2 + рх + q, и мы придем к равен-
222
ству (6.32).
Применяя те же рассуждения к правильной дроби Л(*)
--------1---, получим
(х2 + рх + qy lQi(x)
Р^х)	Мрс + Ny	Р2(х)
(х2 + рх + q)liQ\{x) (x2+px + q)l~X (х2 + рх + q}l~2 Q\(x) и т. д. Следовательно
Р(х)	Mqx + Nq M}x+N}
(х2 + рх + q)1 Qi(x) (x2+px + q)! (x2+px + q)!~l
[ Mj xx +	। Pj{x)
x2+px + q <21 (Л)’ причем если СД(х) имеет другие комплексные корни, то правильная дробь 7}(х)
может быть разложена подобным же образом.
Объединяя случаи вещественных и комплексных корней, можно считать доказанным следующее утверждение.
/>(х)
Теорема 6.7. Любая правильная рациональная дробь ---, где мно-
Q(x)
гочлен О(х) имеет вид (6.31), может быть, и притом единственным обра
зом, представлена в виде
Л ,	4	, , Л-i , в0 [ д ।
<2(х)	(Х-Х|)А|	(x-Xj)^-1 X-Xj (x-x2/2	(х-х2)Аг-1
42-i	Fo	Fk г Mox + No
x-x2 (x-x2)A'2 (x-x2)a'2-1 x-x2 (jc2 + ppc + qrf1
M[X+N{	Ml lx + Nl Y RqX + Sq
(x2 + pxx + qx)1-1	x2+/71x + ^]	(x2 + p2x + q2 )2
R1x + S1	R, pc+S, !	Vgx + Wg
+ —-----i+... + ---------------г— +... +	+
(x + p2x + q2)2 x +p2x + q2 (x +psx + qs)°
V1x + W1	!	! Vi^x + W^
(x2 +psx + qs)l2~l x2+psx + qs
Дроби, стоящие в правой части, можно разделить на 4 группы:
1 °, дробь вида----;
х-а
2°. дробь вида-----г-, где к > 2;
(х - ау
223
0	Mx + N
3	. дробь вида —-------;
х1 + px + q
,о «	Mx + N
4	. дробь вида —г--------, где / > 2.
(х + px + q)
Эти дроби называют простейшими дробями соответственно 1, 2, 3 и 4 типов. Поэтому теорему 6.7 можно переформулировать так.
Теорема 6.7. Любая правильная рациональная дробь единственным образом может быть разложена на конечное число простейших дробей 1,2, 3 и 4 типов.
Заметим, что выражение “простейшая дробь” значит, что такая дробь не может быть разложена на еще более простые дроби.
,,	,	„	Зх3 + 12л2 +18jc + 10
Пример 6.27. Разложим на простейшие дробь ------------------.
(л + 1)2 -(х2 + 2х + 2) Имеем
Зэс3 + 12х2 + 18х + 10	А В	Cx + D	„
------------------=-------+------+---------. (6.33) (х + 1)2-(х2 + 2х + 2) (эс + 1)2 х + 1 х2+2х + 2
Отсюда
Зх3 + 12х2 +18эс +10 = Л(х2 + 2х + 2) + В(х + 1)(х2 + 2х + 2) + (Cx+D\x2 + 2х + 2), т. е.
Ах2 + 2Ах + 2А + Bx3 + 2Вх2 + 2Вх + Bx2 + 2Вх + 2В + Сх3 + 2Сх2 + Сх + + Dx2 + 2Dx + D = Зх3 + 12х2 +18х +10.
Поскольку (6.33) должно быть тождеством, то и последнее равенство есть тождество. Поэтому приравниваем в нем коэффициенты при одинаковых степенях х. Получим
В + С = 3,
A + 3B + 2C + D=[2, < 2A + 4B + C + 2D = IS,
2A + 2B + D = 1Q.
Умножим 2-е уравнение на 2 и из результата вычтем 3-е уравнение. Будем иметь
2В + ЗС = 6.
Решая это уравнение совместно с 1-м, находим С = О, В = 3 .
Теперь 2-е и 4-е уравнения дают
A + D = 3,
2A + D = 4, отсюда
224
A = 1, D = 2.
Подставим это в (6.33), получим окончательно
Зэс3 + 12х2+18х + 10	1	3	2
------------------=--------1-----1---------.
(х +1)2 + (эс2 + 2х + 2) (х + 1)2 Х + 1 х2+2х + 2
Описанный метод нахождения чисел А, В, С и D называется методом неопределенных коэффициентов.
Пример 6.28. Па основании теоремы 6.7 имеем х + 5	А ВС
(х-2)3(х + 3)2(х2+4х + 5)2 ~ (х-2)3 (х-2)2 х-2
D Е Fx + G	Kx + L
(х + З)2 х + 3 (х2 + 4х + 5)2 х2 + 4х + 5
Неизвестные числам, В, ...,L могут быть найдены тем же методом.
17. Питегрироваиие рациональных дробей
Рассмотрим сначала интегрирование простейших дробей всех 4-х типов. Имеем
Интегрирование простейших дробей 3-го и 4-го типов целесообразнее рассмотреть на конкретных примерах. Для дроби 3 -го типа имеем
Г Зх-1 J	f|(2x + 2)-4	3 Г<7(х2+2х + 5) j л Г J(x + 1) J
J x 2x + 5	J x +2x + 5	2 J x +2x + 5 J (x + 1) +4
= -| ln( x2 + 2x + 5) - 2arctg ~~ + C.
Аналогично поступим и с простейшей дробью 4-го типа:
Г Зх-1 , Г IC2X + 2)-4
I —о-------т-ях = I	=
J (х2 + 2х + 5)3 J (х2 + 2х + 5)3
_ 3 г t/^x2 + 2х + 5) г ф + 1)	_ 3 j _
2^ (х2+2х + 5)3 J (х + 1)2 + 43 2
Очевидно, h =----------------------------7---------7 + 
2(х2 + 2х + 5)2
Для вычисления интеграла I2 положим х + 1 = 2tg /. Получим
225
г 1 2dt L г dt 1
2 J 26(tg2/ + l)3 cos21 32J 1	21 32
cos6t
1 r	?
---- (cos It +1) dt = 128J
I 128
1 + 2 cos 2/ + cos2 2t)dt
--- 1 + 2cos2/ ч---h — cos 4/ dt =- — t + sin 2t +—sin 4t 128Л	2 2 J 128l2	8
1	3	_ .	1 .	.	2	-2
---- — / + 2sin / cos/+ — sin / cos/(cos /-sin 128 2	2
=J_ 3M2 tg/ i , i tg; 1 Г i tg2/ '
128 2	д/14-tg2Z -Jl + tg2/ 2 71 + tg2/ -Jl + tg2/V + tg2^ l + tg2/>
lt + 2tg^ + tg^o-tg2o 2	1 + tg2/ 2(1+ tg2/)2
1
128
3 arctg х +1	4(л + 1) (х +1)(3 - 2х - х2 )
2 х + 2х + 5
(х2 + 2 jc + 5)2
Окончательно
-3
I
32
Г Зх-1 dx
J (х2 + 2х + 5)3	4(х2 + 2х + 5)2
3 х + 1	4(х + 1) , (х + 1)(3-2х-х2)
-arctg
2	х2+2х + 5	(х2 +2х + 5)2
л Л-V)
dx, где —-— -
вообще говоря, неправильная рациональная дробь. Па основании (6.29) находим
Пусть теперь требуется вычислить интеграл
ад
ад,
dx.
20)
Для вычисления интеграла
----dx раскладываем правильную дробь
20)
226
—на простейшие дроби и интегрируем каждую из них.
Итак, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и простейших дробей различных типов.
Z	Г Зх2+2х + 1 ,
Пример 6.29. Вычислим интеграл -------—-----сос.
J(x + l)2(x2 +1) Подынтегральная дробь - правильная. Имеем
Зх2 + 2х + 1 X В	Сх + D
(х +1)2 О2 +1) (х +1)2 X +1	х2 + 1 ’
откуда
т!(х2 +1) + В(х2 + 1)(х +1) + (Сх + D)(x2 + 2х +1) = Зх2 + 2х +1. т. е.
Ах2 +А + Вс3 + Вх2 +Вх + В + Сх3 + 2Сх2 + Сх + Dx2 + 2Dx + D =
= 3х2 + 2х + 1.
Получим
В + С = 0,
A + B + 2C + D = 3,
B + C + 2D = 2,
A + B + D = l, т. е.
С = 1,B = -1,D = 1,А = С
Итак
Зх2 + 2х + 1	1	1 х +1
-------------=	+	 (х + 1)2(х2 +1) (х + 1)2 Х + 1--JC2+1
Значит
г Зх +2х + 1—_--------I--]п|х + в +1	д.2 + j) + arctg х + С.
J (х + 1)2(х2+1) х + 1	1	1 2
Примечание. Существуют достаточно широкие классы интегралов, вычисление которых, после соответствующих подстановок, сводится к интегрированию рациональных дробей. Однако в прикладных задачах такие интегралы встречаются сравнительно редко. Поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь одной группы таких интегралов.
18. Питегрироваиие рациональных тригонометрических выражений
Под R(a,b,...,l} будем подразумевать выражение, в которое величины входят рационально, т. е. над ними в этом выражении произво-227
дятся только рациональные действия. Иными словами, такое выражение представляет собой многочлен или рациональную дробь.
Рассмотрим интеграл вида \R(a,b,...,l)dx. Положим T = tg2 Тогда
x = 2arctg/,
значит
J 2dt dx =-------
1 + Г
Далее
_ . X x ~
sin x = 2 sin—cos—= 2 2	2
X
tg2 l+tg2l
L х 2 X
1 + tg 2
2—2
1 2t
-i + ^2’
1
поэтому
1 - м 2dt
2 ’ i , .2
1 >
т. е.
j/?(sin x,cosx)<7x = jRi(t}dt, где R\(l) - некоторое новое рациональное выражение, а значит интеграл J R\(j)dl может быть вычислен.
х
Итак, подстановка i = tg— позволяет вычислить любой интеграл вида j /?(sin x,cosx)Jx, в связи с чем ее называют универсальной тригонометрической подстановкой.
Пример 6.30. Вычислим интеграл f----—----. Полагая
J 3 + 2 sin х
х
^ = tg-, ПО-
лучим
2dt
п 4/
3 +-----у
1 + ^2
2dt 2 Г dt
3 + 3^2+4r 3J^2 + 4-^ + i
3
228
X
2	3/ + 2 z, 2	3tg2+2
= —f= arctg —j=- + C = —j= arctg-ф=— + C.
V5 V5 75 V5
Универсальная тригонометрическая подстановка нередко приводит к излишним, громоздким вычислениям, и иногда ее можно заменить более простой подстановкой. Отметим несколько подобных случаев.
1°. Подынтегральная функция не меняется при одновременной замене sin х
и cos а соответственно на - sin а и — cos.y,t.c.
7?(-sin a,-cos а) = /?(sin a,cos а) Р	(6.34)
Поскольку sin А = tg А • COS А, то
/?(sin A, cos а) = 7?(tg А  COS A, cos а) .
Правая часть на основании (6.34), не меняется при замене cos а на — cosx,
а значит она содержит cos а только в четных степенях, т.е.
о
7?(tg А  COS A, COS а) = /?, (tg A, cos а) = /?, tg А.
1
= 7?2(tgA).
Итак, в этом случае
j*7?(sin a,cosa)<7a = J R2(tgx)dx
и, положив tg а = t, получим интеграл
[й2(О-^2-=[Яз('Х*.
J 1 + r
который можно вычислять без принципиальных затруднений.
г dx
Пример 6.33. Вычислим интеграл -----. Поскольку tg а = t, будет
J 1 + tgA
иметь
dt
I = f 1 + f2 = f dt
J 1 + / (l + ()(l + 72)
По
1 A Bt + C (l + t)(l + t2)~ i + t 1 + t2
откуда
A + At2 + Bt + C+ Bt2 +Ct =1,
а значит
В частности, это относится ко всем интегралам вида
229
так что
И
1	1	]_ -Г + 1
(1 + Г)(1 + Г2) ” 2(1 + /) 2 1 + t2 ’
В результате находим
1 Г dt	If — Г + 1	11 I I 1. Л 2^1
I =— I----+ — I--— dt = — lnl + Г—In tl +/)+ —arctg / +C =
2 J 1+ Г 2 J 1 + r2	2	4	2
= |ln|l + tgx|-
—ln(l + tg2 x)+ — X + C = —ln|l + tg jcj + — In |cosx| + — X + C.
2°. Подынтегральная функция нечетная относительно sin х, т. е.
/?(— sin x,cosx) = — /?(sin x,cosx).
/Cfsin x cosxl
В этом случае выражение —---------------- вообще не меняется при замене
sin х
sin х на - sin х, а значит она содержит sin х только в четных степенях, т. е. 7?(sinx,cosx) „ , . э
-------------= К2 (sin х, cos X) . sinx
Следовательно
J /?(sin x, cos x)dx = J R{ (sin 2 x, cos x) sin x dx,
и, положив cosx = Г, получим интеграл
— JT?2(1 — Г2,Г)б/Г = j/?з(r)Jr.
sin УС
Пример 6.32. Возьмем интеграл I = [------------dx. Полагая cosx = Г,
J 2 + cos х
находим
fl —Г2 f< 3 )
• ——dt= Г-2 + -— dt =
J 2 +1	Г + 2>
= —-2r + 31n|r + 2| + C = C°s * ~2cosx + 31n(cos x + 2) + C.
3°. Совершенно аналогично, если подынтегральная функция нечетна относительно cosx, то удобна подстановка Г = sin х.
230
19. Об интегралах, не выражающихся в конечном виде через элементарные функции
Мы видели, что, каким бы громоздким аналитическим выражением не была задана дифференцируемая функция, мы можем без всяких принципиальных трудностей найти ее производную при помощи правил и формул дифференцирования. Для интегралов же, оказывается, это не имеет места. Папример, интеграл е х dx не может быть вычислен в нашем прежнем понимании. Это вовсе не значит, что функции, производная кото-_ 2
рой равна е х , нет. Такая функция существует, но не может быть выражена через конечное число элементарных функций. Это совершенно аналогично тому, как, например, число л/2 существует, но не может быть записано в виде конечной десятичной дроби.
Позже в главе XVII будет доказано, что
а значит
Je х dx =
3	5-2! 7-3!
Певозможность выразить интеграл J е х dx через конечное число элементарных функций означает всего лишь, что имеющегося запаса основных элементарных функций для этого недостаточно. Предположим, например, что в математике не существовало бы тригонометрических
функций. Тогда об интеграле [ —говорили бы, что он не выражается в J 1 + х2
конечном виде через элементарные функции, так как он равен arctgx, а этой функции среди элементарных не было бы. Для преобразования этого интеграла в элементарную функцию пришлось бы пополнить запас основных элементарных функций тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями. По тогда можно было бы указать другие не вычисляющиеся в конечном виде интегралы, например, fxtgxdx, так что пришлось бы еще расширять группу основных элементарных функций, и т. д.
Интегралов, не являющихся элементарными функциями, имеется бесконечное множество. Вот лишь некоторые из них:
Законность почленного интегрирования сумм бесконечного числа слагаемых подобного вида также будет доказана.
231
Задачи и уиражиеиия к главе VI
Вычислить интегралы:
1. j Vsinjc cosJ xdx;
3. J A'2 In Vl - xdx;
5. jearrcos\&;
13. f *	;
x4 Vx2 +4 r x2dx 'JW
Вычислить: 18. (5 + 2z)(3 — z);
16.
x2 dx 7x8-l
J l+COSJC
4. Je^Vl + e^x;
19. (2 + 31X3-20;
20. lii;	21. (1 + 02;
1 -I
„	4 + 3z
22. (1 + /Г;	23.-—;
1 - 2z
24.
i
Представить в тригонометрической форме комплексные числа:
25. l + zV3;	26. 1-z;
27.-V3-z;	28.-2z;
29. 2;	30. i.
232
Построить в комплексной плоскости области:
2
л
2
При помощи формулы Муавра вычислить:
36. (л/3 + z)5;
-8
37. (l-zV3)6;	38. (1-z)8.
39. Вычисляя (cos ср + zsin ср)J по формуле Муавра и непосредственно, выразить sin Зср и cos3cp через sin ср и cos ср.
40. Вычисляя (cos ср + z sin ср)4 по формуле Муавра и непосредственно, выразить sin 4ср и cos4cp через sin ср и cos ср.
Пайти все значения следующих корней:
44. Ill 
46.
49. л4 + 4 = 0.
51. ln(2-2z);
53. ln(l + z).
4/. ^-» + »-V3z.
Решить двумя способами уравнения: 48. х3+8 = 0;
Вычислить:
50. In z;
52. 1п(-2);
Пользуясь формулами Эйлера вычислить:
54.	sinx + sin2x + ... + sinzix;	55. cosx + cos2x + ... + cosm’.
Вводя комплексную степень числа е, вычислить интегралы: е"~ cos bxdx
Вычислить:
1п( х2 + 1) .
———-dx\ х^ dx
(tg х +1) sin 2 х dx
2 5
3 + cos x
ах
ах
sin bxdx.
tgx<7x tg2 х + 2 tg х + 2 dx
64.
• 2	•	2
3sin x-8sinxcosx + 5cos х
_ г dx
sin х(2 - cos х)
233
VII. Определенный интеграл и его ириложеиия
1.	Некоторые задачи, приводящие к иоиятию определенного интеграла
Задача 1. Вычисление пройденного пути при неравномерном движении. Пусть точка движется по прямолинейной траектории с переменной скоростью ((/) Вычислим путь s, пройденный этой точкой за время от момента t = до момента t = T.
Разобьем мысленно промежуток [/(),/] на и частей (не обязательно одинаковых) моментами	• Обозначим
/0 =zJZ15 t2~ti=At2, Т-tn_i= Atn.
В каждом из промежутков	к = \,п возьмем произвольный момент
(в частности, это может быть или и вычислим К(т^). Пайдем произведение V(xk}Atk. Это - путь, который прошла бы точка за время А 4, если бы она на этом отрезке времени двигалась с постоянной скоростью Поэтому можно обозначить Ask = V(xk)Atk. Составим теперь сумму по всем к от 1 до и:
5 = К(т1)Эг1 + К(т2)Э/2 + ••• + V(yn)Atn ,
п
т.е. s = ^y(Tk)Atk.
к=\
Это - путь, который прошла бы точка за время [/(>, / ], если бы она на каждом из отрезков времени Atk двигалась равномерно со скоростью К(т^), т.е. если бы ее скорость за время [/q, / ] изменялась не плавно, а скачками в моменты	 Чем меньше промежутки Atk, тем, оче-
видно, ближе должно быть найденное ? к искомому s. Обозначим X = max{zd^}. Предположим теперь, что X—>0. Это значит, что продолжи-к
тельность каждого из промежутков Atk стремится к нулю (при этом их число и, разумеется, неограниченно растет). Предел
п
s= lim ^V(rk}Atk	(7.1)
и является, как легко видеть, искомой величиной.
Задача 2. Вычисление массы неоднородного стержня. Пусть стержень занимает промежуток [0,/] оси Ох и пусть его линейная плотность есть известная функция p(.v). Вычислим массу этого стержня.
Разобьем мысленно стержень на и частей точками хъх2,...,хп_ъ
234
обозначим х^—х^_\=Лх^, к = 1,2,...,п и в каждом из промежутков [xfc_i,Xfc] возьмем произ-
вольную точку , рис. 7.1.	£1	£,2	£,з
Вычислим р(^) и найдем величину А = р(^ )А х^. Это - масса, которую имел
I • I • %1 х2 х3
Рис. 7.1
I •	Н
Х„-1	/
бы участок Лхк, если бы он имел равномерную плотность р(^ ). Составим
сумму
к=1
Она равна массе стержня, если его плотность изменялась бы не плавно, а скачками при переходе через точки х1,х2,...,х„_1. Обозначим X = max {A xj, }. к
Тогда, очевидно, искомая масса равна
т= lim ^У^кУхк-	С7-2)
Х^°/с = 1
Аналогично предыдущей задаче, соотношение X—>0 означает здесь, что стержень подвергается неограниченному дроблению, т. е. что каждый из участков А х^ стягивается в точку .
Задача 3. Вычисление количества электричества при переменной силе тока. Пусть через сечение проводника течет ток силы /(/). Вычислим
количество электричества, протекающего через это сечение за время [<оЛ
Разобьем промежуток [^о,т] на и частей моментами	и
обозначим	= At к. Количество электричества, протекающего через
сечение проводника за время Atk, приближенно равно AQk = I^Ak )^к ’
где т е ]• Составим сумму
Q=X/(Tk)^k-
к=1
Это - количество электричества, которое протекло бы через данное сечение, если бы сила тока изменялась не плавно, а скачками. Полагая Л, = тах{Э^}, получим для искомого количества электричества
Для единства обозначений мы положим >'о = 0, хп = /
235
2= lim ^l(rk)^k-	C7-3)
X^°/c = l
Легко видеть, что все эти (и другие, подобные им) задачи решаются с математической точки зрения совершенно одинаково. При этом они по своей постановке противоположны соответствующим задачам, приведшим к понятию производной. Поэтому приведенные здесь задачи Г, 2°,3° также приводят к математическому понятию, в некотором смысле противоположному понятию производной: понятию определенного интеграла.
2.	Определенный интеграл и его геометрический смысл
Пусть на отрезке \ci,b\ задана функция f(x). Разобьем отрезок \ci,b\ на и произвольных частей точками х1,х2,...,х„_1 и положим х0=а, хп = Ъ. Обозначим Xfr -х^_\ = Лх^. В каждом из промежутков [x^_i,x^] возьмем произвольную точку вычислим значение функции f(x) в этой точке и умножим результат на Лх):. Получим величину /(^)zlx^. Составим сумму этих произведений по всем участкам:
к=1
Она называется интегральной суммой для функции /(х) в промежутке [щй].
Обозначим теперь X = шах {Лх^ } и предположим, что X —> 0, т. е. что к
промежуток [a,b] подвергается неограниченному дроблению. Если при этом существует предел интегральной суммы (ее в этом случае обозначают не S, a ), и этот предел не зависит от способа дробления промежутка [a,b], то он называется определенным интегралом функции /(х) на про-ь
межутке [a,b] и обозначается J/(x)jx, а сама функция /(х) называется в а
этом случае интегрируемой на отрезке
Итак, по определению
b	п
Функцию /(х) в интервале называют подынтегральной функцией, выражение f(x)dx - подынтегральным выражением, а числа а и b - соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
236
Па основании формулы (7.4) результаты задач предыдущего параграфа, выражаемые равенствами (7.1), (7.2) и (7.3), можно записать теперь
Действительно, если бы при а<х<Ь функция f(x) не была
Рис. 7.2
ограниченной, то интегральная сумма Sy могла бы содержать в себе и неограниченные слагаемые, и тогда ее предел не существовал бы. Итак, ограниченность функции является необходимым условием ее интегрируемости на данном отрезке.
Выясним геометрический смысл определенного интеграла. Для большей наглядности предположим, что функция /(х) непрерывна в промежутке
[а,	. Кроме того, будем считать, что /(х)>0, Х/хе[а, 6] . Тогда
f(^kWk есть площадь прямоугольника с основанием Лх[. и высотой /(^)- Следовательно,
п
величина S =	- это
площадь ступенчатой фигуры с основанием \а, /?] , т. е. площадь
под графиком, который имела бы	рис 7 3
функция f{x), если бы она в про-
межутке [a,b] изменялась бы не плавно, а скачками при переходе через
точки х1,х2,...,хп_1, рис. 7.2. Если Л, —>0, то ступенчатая фигура в пределе
превращается в так называемую криволинейную трапецию с основанием [a,b] и верхней границей у = /(х), рис. 7.3.
Итак, если функция /(х) интегрируема в промежутке непре-
ь
рывна и неотрицательна в нем, то интеграл J / геометрически пред-
а
237
ставляет собой площадь фигуры, ограниченной линиями у = 0, х = а, х = Ъ и У = /(х).
Случай разрывности функции /(х), а также случаи, когда /(х)<0 хотя бы на части промежутка	будут затронуты ниже.
Отметим, в заключение, два следующих очевидных факта, вытекающих из определения (7.4):
а)	если а и Ъ постоянные числа то и интеграл f f(x\h есть посто а) если ci и о — постоянные числа, то и интеграл i / ia icix есть посто-
а
янное число;
б)	интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.
ь	ь	ь
J f(x)dx =
а	а	а
ИТ. Д.

3.	Суммы Дарбу и их свойства
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и ограничена на нем. Разобьем этот отрезок на п частей точками Х|,Х2,...,х/?_| и обозначим хк -хк_\ = Ахк. Поскольку функция /(х), очевидно, ограничена в каждом из промежутков [x^_j,x^], то существуют числа тк = inf /(х) и к-1Л]
Мк = sup f(x).
Составим суммы
5 = ^ткАхк > к=1
s = умклхк.
к=1
Г еометрический смысл сумм s и S легко угадывается из рис. 7.4 и рис. 7.5, соответственно.
Суммы s и S называют нижней и верхней суммами Дарбу на отрезке \а,Ь\.
Поскольку для всех к = 1,2,...,и при любом е [уу-1,хк] будет ™к ^fkk)^Mk,
238
то, умножая эти неравенства на Лхь и суммируя по всем к, получим
s<S<S.
Если разбиение отрезка [а, к] - фиксированное, то а и S - постоянные числа, а 5 есть переменная величина, зависящая от выбора точек . Из определения точной верхней грани следует, что за счет выбора точек величины /(^ ) можно сделать сколь угодно близкими к соответствующим числам (рис. 7.6), а значит величину 5
можно сделать сколь угодно близкой к S. Отсюда и из того, что S <S, следует, что при данном разбиении отрезка [а, /?] и при всевозможных наборах чисел е [Ч-ьЧ ] будет
S' = sup S.
Совершенно аналогично убеждаемся, что в том же смысле
.s = inf S.
Установим два свойства сумм Дарбу.
1.	При добавлении к имеющимся точкам деления новых точек нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя - не увеличивается.
Достаточно рассмотреть случай, когда к уже имеющимся точкам х0,Х1,х2,...,хп_1,хп*) добавляется новая точка х*, такая, что х,_[ <х* <xt (рис.7.7).
Пусть S' - новая верх-
няя сумма. Если в старой	**
сумме S отрезку [x,_i,x,] от-	~	~ ~ь
вечало	слагаемое	п „ „
Рис. 7.7
Mj^Xj:-Xj_i), то в новой
верхней сумме S этому отрезку отвечает сумма двух слагаемых
М'{х* - Xj_i )+ M''(xj - х*), где М'= sup /(х),	М”= sup /(х). По [х^х^с[x^xj и
[х,_15х*]	х*,х,-
*
X ztxi
cz [х,_1,х, ], то М' <Mj, M"<Mj, а значит
Как и прежде, мы полагаем х0 = а, хп = h.
239
М-ус* - X/_i)+	- х* j< Mj\x* - Xj_y)+ Mj\Xj -x* j= Mj(xj - xz_i),
откуда и следует, что S' < S.
Аналогично убеждаемся, что s' > s .□
2.	Любая нижняя сумма Дарбу (т. е. нижняя сумма, отвечающая любому разбиению отрезка [t/,Z?]) не превосходит любой из верхних сумм (даже если она отвечает другому разбиению).
Возьмем произвольное разбиение и пусть для него нижняя и верхняя суммы Дарбу равны соответственно лд и 5) . Возьмем теперь некоторое другое разбиение и отвечающие ему суммы Дарбу обозначим s2 и S2.
Для доказательства объединим точки обоих разбиений. Получим новое разбиение, которому отвечают суммы s2 и S3. В силу свойства L, имеем
51 -53> *^3-^2, а так как s3 < S3, то
что и требовалось доказать. □
Пусть S- произвольная верхняя сумма. Тогда для всех нижних сумм, на основании свойства 2, будет s<S, т. е. множество {5} всех нижних сумм ограничено сверху. Следовательно, существует число а = §ир{у}, причем а < S. По здесь S - любая из верхних сумм, а значит для всех верхних сумм будет S > а. Следовательно, множество {5} всех верхних сумм ограничено снизу, а значит существует число 27 = inf{S'}, причем 27> а.
Итак, для любой верхней и для любой нижней сумм Дарбу будет s<g<Z<S.	(7.5)
4.	Пеобходимое и достаточное условие интегрируемости функции
Теорема 7.1. Для того чтобы функция /(х) была интегрируема на отрезке необходимо и достаточно, чтобы для этой функции и этого
отрезка выполнялось условие lim(Sx-iJ = 0.	(7.6)
ь
Пеобходимость.  Пусть интеграл I = J f(x)dx существует. Это зна-
а
чит, что для любого 8 > 0 найдется такое 8 > 0, что
т. е.
240
(лхк <8, Х/к = 1,и)=> (1 - е <	<1 + £)	(7.7)
для любого набора чисел е	Беря подходящие наборы чисел
£>к, можно получать значения Sk, сколь угодно близкие к inf Sk т. е. к sk, а также значения Sk, сколь угодно близкие к sup Л), т.е. к Sk. Поэтому из (7.7) следует, что
(X<S)^(7-8<.4<Sx<7+8),
а поскольку 8 можно взять сколь угодно малым, то это означает, что lim sk = 1, lim Sk = I,
откуда и следует (7.6). □
Достаточность.  Пусть условие (7.6) выполнено. На основании (7.5), это означает, что с = 27. Обозначая через I общее значение чисел о и 27, получим вместо (7.5)
^<I<Sk.	(7.8)
Здесь sk и Sk- нижняя и верхняя суммы, отвечающие некоторому разбиению.
Пусть Sk - какая-нибудь из интегральных сумм, отвечающих этому разбиению. Тогда
Л'х -	•
Отсюда и из (7.8) следует, что Sk-I <Sk-sk. Но, в силу условия (7.6)
для любого 8 > 0 найдется такое 8 > 0, что (X<5)=>(Sx-^<e), а значит тем более
a<s)=.(jy -/|<8),
ь
откуда и следует, что 1 = lim Sk, т.е. что I = f f(x)dx .□
а
5.	Интегрируемость непрерывной функции
Теорема 7.2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а,£>], то она и интегрируема на нем.
Зададим некоторое 8 > 0. Поскольку функция f(x) непрерывна на отрезке \а,b\, то она, в силу теоремы Кантора 3.20, и равномерно непрерывна на нем. Следовательно, для выбранного 8 найдется такое 8 > 0, что для любых х' е [tz, b\ и х" е [tz, b\ будет
241
точками на и частей так, чтобы меньше, было
снова
Разделим отрезок \а, b\ ’ ^2 ’ • • • ’^п—1
длина каждой из них была чем 8, т. е. чтобы Лхк < 8, Х/к = \,п, а значит Далее,	пусть
тк= inf /(х), Мк= sup k-i>
и пусть х'к и х'к - точки отрезка [хд--Ьха! в которых достигаются значения тк и Мк (рис. 7.7); эти точки существуют, на основании 2-ой теоремы Вейерштрасса. Поскольку, очевидно
8, то и |
Рис. 7.7
х' - х" < Лхк, а Лх а значит, в силу (7.9), в этом случае
х' - х"
JL--1-
и
8
т. е.
Итак, если Лхк < 5, Х/к = 1, п, т. е. X < 8, то
п	п	п
п
S-s = ^МкЛхк - ^ткЛхк = у(Мк - тк )Лхк < г^Лхк = г{Ь - < к=1	к=\	к=1	к=1
Поскольку 8 можно взять сколь угодно малое, то отсюда следует, что
5->0
а отсюда, в свою очередь, вытекает интегрируемость функции f(x) на отрезке [а,£>].
л
Ирнмер 7.1. Вычислим интеграл I = Jsin xdx.
о
Поскольку функция sin х непрерывна на отрезке [0, л], то она и интегрируема на нем. Поэтому предел интегральной суммы существует при любых способах дробления отрезка [0, л]. Для простоты разобьем отрезок л	2л	(п- 1)л
на п равных частей точками Х| = —, х2 = —, ...,хп_\ = ---— и в качестве
п	п	п
точек ^к возьмем правые концы отрезков [хл i, хк ], т. е. положим
„ л „ 2л	„ пл.
= “> ^2 =—,; kn =— ПИ	П
242
Получим
S = sin Ax1 + sinS,2 -Zk2 +...+ sinS,;7 -Zk;7 =
( . л .2л	. ппЛп
sin- + sin--h...+ sm— —
\ n n	njn
Используя формулу ( см. раздел VI)
. (n + l\p . rap sm -	— sm—
2	2
sm <p + sm 2<p +...+ sm rap =----------—
sin —
2
будем иметь
. (и + 1)л .Tin sm —  sm
2л 2л
Пусть теперь X —> 0; это значит, что Л —> оо . Получим
. (п + 1)л	л
л	sm
[sinxdx= lim -----—----— = lim — = 2.
J	n—>oo	 71	yi	Л
o	sm —
2n	2n
Ирнмер 7.2. Вычислим интеграл
/= [—. С этой целью отрезок [1,2] разобьем
точками х1,х2,...,хп_1 так, чтобы числа xk образовывали геометрическую
прогрессию:
X\=q, x2=q2, x3=q3,...,xn=q" ;
при этом х0 = 1 = q°. Поскольку qn' = 2, то q = ^2 . Итак, получаем
xx=”41,	=
а значит
243
Следовательно,
1 1 1
--In 2
~	1 — 7 п 7 /7 — I	111 х
I = lim S = lim ----j--= lim --------— = lim ——— = In 2.
n—>00	n—>00	1	n—>00	1	n—>00	1
6.	Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва
Теорема 7.3. Если функция f(x) ограничена на отрезке [a,b] и име
ет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке (рис. 7.9).
Примером функции, удовлетворяющей условиям этой теоремы, может служить функция sin — , рассматриваемая на отрезке [-л,л] (см. при-х
мер 3.19). В точке х = 0 она имеет разрыв 2-го рода, однако всюду на от-
резке [- л, л] удовлетворяет неравенству
. 1 sin
<1.
X
Заметим, что если все разрывы функции на отрезке - 1-го ро-
да и их - конечное число, то эту функцию называют кусочнонепрерывной на этом отрезке.
При доказательстве теоремы можно, не ограничивая общности, предполагать, что функция /(х) на отрезке \а, b\ имеет единствен-
*
Рис. 7.9
ную точку разрыва х ,
причем x*e(a,b). Возь-
мем произвольное 8 > 0 и рассмотрим интервал Се 1х
а также два остав-
шихся промежутка: Ех = ja,x -f] и Е2 = |х + £,&] (промежутки Е^ и Е2
(* 1
xi- открытый). На основании тео
244
ремы Кантора, для любого 8 > 0 найдется такое 5 > 0, что для любых х',х" е Е\ или х',х" е Е2 будет
(к- *1 < б)=> d/(x')- /И < е).	(7.10)
При этом можно считать, что 8 < 8.
Разобьем отрезок \a,b] точками х15х2, ...,ли_1 на п частей так, чтобы для
всех к	было Лхк <8. Отрезки Ахк разделим на две группы. К
группе 1 отнесем те отрезки, которые полностью лежат вне Cslx ), а к
группе 11 - те отрезки, которые полностью или хотя бы частично принадлежат СДх*).	с Д*)
Как и в доказательстве теоремы 7.2, рассмотрим величину
k=Y
а	/-------\	b
Рис. 7.10
В данном случае она разбивается
на две суммы, отвечающие отрезкам 1 и 11 групп. Для группы 1 имеем, в силу (7.10),
" тк№к <^Лхк< ~ а) 
I	I
Далее, положив М = sup f(x\ т = inf f(x\ получим для 2-ой суммы [<7,б]	[<7,б]
^(Мк-тк)Лхк <{М - т-(м - т\2г + 28) < 4(М - in)s.
п	п
Итак,
(Лхк <&,Х/к = 1,2,.../?)^> (S - 5 < г\Ь - а + 4(Л/ - у??)]),
а так как 8 можно взять сколь угодно малое, то отсюда и следует утверждение теоремы.□
Если функция f(x) кусочно-непрерывна и неотрицательна на отрезке [а, к], то, очевидно, что интеграл ь
J f(x\lx геометрически пред-а
Рис. 7.11
ставляет собой площадь заштрихованной фигуры (см. рис. 7.11).
245
7.	Теорема о квазнннтегральнон сумме
Пусть функция f(x) = ср(х)^(х) интегрируема на отрезке Разобьем этот отрезок на п частей точками х1?х2, ...,хп_у и на каждом из отрезков [л^_| - хк ] возьмем произвольные точки и т]^. Составим сумму
и s* =
k=i
Если бы было т]£ =	, \/к = 1,2,... ,и, то сумма S* была бы инте-
гральной суммой для функции f(x) = <р(л')б/(л') на отрезке [а,£>]. Если же, вообще говоря, т]^ ф , то величину S* назовем квазиинтегральной суммой.
Теорема 7.4. Если функции ср(.х ) и г/(.\') непрерывны на отрезке [<я,б],то
ь
lim	= Jty(x\(x)dx.	(7.11)
a
Перепишем величину S* так
k=i	k=i
или, для краткости,
s* = s + s.
Поскольку S - интегральная сумма для функции ср(х)д(х), а эта функция непрерывна на отрезке \а, b\ то
ь lim = j (^(x)q(x)dx, a
и остается доказать, что
lim 8)=0.	(7.12)
Поскольку функция ср(х) непрерывна на отрезке [а,£>], то существует такое М>0, что |ср(х)| < М для всех хе[а,Ь]. Далее, поскольку функция q(x) также непрерывна на отрезке [а,£>], то, по теореме Кантора, для любого 8 > О существует такое 8(s)> 0, что для любых х’, х" е [а,£>] будет
(|х' - х"| < б)	< s).
Поэтому, если X < 8, то |#(т]£ )- q(^ )| < 8, VA, а значит
246
|4|^	<M^Axk=M&(b-a),
к=\	к=\
а так как 8 может быть сколь угодно малое, то отсюда и следует (7.12), а значит и (7.11).□
Примечание. Легко убедиться, что одна из функций ср(х) и q(x) в теореме 7.4 может быть и не непрерывной, а лишь кусочно-непрерывной.
8.	Простейшие свойства онределенного интеграла
1°. \dx = b-a,
а
т. е. если f(x)= 1, то интеграл равен разности верхнего и нижнего преде
лов интегрирования (существование последнего интеграла следует из очевидной непрерывности подынтегральной функции).
Действительно, в этом случае равенство (7.4) дает
Ъ	п
\dx = lim = lim [(xj - а) + (х2 - Х|) +... + (b - хп_у)] =
а	к=1
= lim (b - tz) = b - а .□
Геометрически свойство (1°) выражает тот очевидный факт, что если высота прямоугольника равна 1, то его площадь численно равна длине основания (рис. 7.12).
2°. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], a c=const, то и функция с/(х) интегрируема на этом
У
1 -----------i----------------------->
0|__________!_______________________'___а.
а	Ъ х
Рис. 7.12
отрезке, и
ь
ь
j cf\x)dx = c\f(x)dx
а	а
(7-13)
т. е. постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла.
Действительно, для любого разбиения отрезка [a,b] имеем
XcWkWk = Wk  к=\	к=\
п Отсюда при X—>0, учитывая, что предел lim V f{Ek}Axk по условию су-^=1
247
п
ществует, убеждаемся и в существовании предела lim V cf	, а
также в выполнении равенства (7.13).П
3°. Если функции /(х) и ср(х) интегрируемы на отрезке \а функция /(х)+ <р(х) интегрируема на этом отрезке, и ь	ь	ь
J[./(x) + <д(х)]<7х =J f(x)dx + J (p(x)dx, a	a	a
t.	e. интеграл суммы интегрируемых функций равен сумме их интегралов.
Действительно, если взять для всех сумм одно и то же разбиение и одни и те же точки , будем иметь
b\, то и
(7-14)
к=1	к=1	к=1
Отсюда при X—>0, учитывая существование пределов обеих сумм в правой части, получим, что и предел левой части существует и удовлетворяет
формуле (7.14).П
Очевидно, что свойство (3 ) верно и для случая любого конечного числа слагаемых.
4°. Если /(х) - интегрируемая и неотрицательная на отрезке [a,b] функция, то
ь
J f(x)dx > 0.
а
b
Действительно, в этом случае, в силу (7.4), интеграл Jf(x)dx есть
а
предел суммы неотрицательных слагаемых, а значит и он неотрицателен. □
5°. Если функции f(x) и ср(х) интегрируемы на отрезке [а,£>] и f(x) > ср(х) для всех х е [a,b], то и
b	ь
J f(x)dx >^{x)dx,	(7.15)
а	а
т. е. функциональные неравенства можно интегрировать.
 Действительно, для всех xe[a,b] будет f(x) - ф(х) > 0, а значит, на основании свойства (4 °),
ь
J [/(Л) _ ср(*)]<7х > 0,
а
248
b
J [./(x) _	0,
a
или, в силу свойств 3° и 2°, b	ь
j f(x)dx- j cp(jc)tZx > 0, a	a
откуда и следует (7.15).П
Геометрический смысл свойства (5°) совершенно очевиден, рис. 7.13.
6°. Если функция f(x) интегрируема на отрезке то функция |/’(л)| интегрируема на этом отрезке, и
Ъ	Ъ
f/(x)dx < а	а
Рис. 7.13
(7-16)
Обозначим М^= sup |/(х)|,	= inf |/’(х)|. Очевидно, что
[-Ч-ь-ч!	[-Ч-ь-ч!
~тк -Мк ~тк (см- Рис- 7.14). Поэтому для функции |/’(х)| получим
№к^(Мк~тк№к> откуда, учитывая также, что S >.s ,
к-1	к-1
На основании непрерывности модуля перепишем это так
249
lim k^(}k=\
откуда и следует (7.16).П
9. Свойство аддитивности интеграла
Сделаем предварительно одно замечание. До сих пор, рассматривая b
интеграл J/(x)tZx, мы молча предполагали, что а<Ь. Если же а>Ь, и а
функция /(х) интегрируема на отрезке то, по определению, Ъ	а
j f(x)dx = -j f(x)dx .	(J AT)
a	b
b
Это можно мотивировать следующим образом. Символ J f(x)dx а
означает, что нумерация точек х1? Х2,...,хи_1 ведется от точки а к точке Ь.
Поэтому, если Ъ < а, то Лх^ < 0, \/к, и вместо (7.4) получим равенство
b
J f(x\ix
а
lim ^f(&k\Axk\, К^}к=\
т. е.
b
J/(x)tZx=
а
- lim ^/^к^к-^°к=1
Легко видеть, что доказанные выше свойства 1-3° верны и для случая, когда а > b. В свойствах же (4°) и (5°) предположение о том, что а <Ь необходимо (в случае, если а >Ь, неравенства, выражающие эти свойства, изменяют смысл). Наконец, в свойстве (6 °) 6° при а >Ь вместо (7.16), оче
видно, надо писать
Ъ
а
Заметим также, что, на основании (7.17), естественно - также по
определению - положить
250
a
J/(x)ix=O,
a
что согласуется и с геометрическим смыслом интеграла.
Теорема 7.5. Если функция f(x) интегрируема на наибольшем из отрезков [b,c], [а, с], то она интегрируема и на двух других отрезках,
и при этом
с	Ъ	с
lx
(7.18)
а	а	b
каково бы ни было взаимное расположение точек а, Ь, с.
Предположим сначала, что а < b < с, и, следовательно, функция /(д') интегрируема на отрезке [г/, с ]. Разобьём этот отрезок на и частей так, чтобы точка х = b оказалась одной из точек деления. Тогда для этого отрезка будет
п
- тк)^к = YSMk - тк}^к +	" ткУ^к 
к=\	[б.с]
По условию, предел левой части равен нулю при X —> 0, а так как обе
суммы, стоящие справа, неотрицательны, то и каждая из них стремится к
Ь	с
нулю при X—>0, а значит интегралы JДг> И j f(x)dx существуют*).
а	Ъ
Далее, в этом случае
к=\	[a,b]	[Ь, с]
и, переходя к пределу при X —> 0, получим формулу (7.18).
Пусть теперь, например,	а	с
а<с<Ь, рис. 7.15, и, функция -----------1-------1-----
/(х) интегрируема на отрезке	Рис 7.15
[tz, Z>]. Тогда, по уже доказанному,
Ъ
а	а
т. е.
Легко видеть, что мы фактически доказали следующее утверждение
Теорема 7.5’. Если функция интегрируема на отрезке то она интегрируема и на любом отрезке [c,d] cz
251
b
b
а
или, на основании (7.17),
a
b
а	а
что опять таки совпадает с (7.18).□
b
10. Интегральные теоремы о среднем
Теорема 7.6. Если функция f(x} интегрируема на отрезке т = inf /(Д М = sup f(x}, то
\a,b\ и
ь
j f(x)dx = ц(Ь - а)
Cl
(7-19)
Действительно, поскольку для всех х е
[a,b] будет
(7.20)
то, в силу свойства (5 ),
ь
ь
ь
а а
или, на основании свойств (1 ) и (2 ) ь
а
т
а
т. е.
ь
Ь-а
(7-21)
а значит
ь
-----= ц’
Ь-а
где т < ц < М. Отсюда и следует равенство (7.19).
252
При доказательстве молча предполагалось, что а <Ь. Однако легко видеть, что при а > b из (7.20) все равно вытекает (7.21), а значит и доказательство теоремы остается в силе и при а > b .□
Примечание. Наиболее интересен случай, когда функция f(x) непрерывна на отрезке [a, bl. Тогда числа М и тп превращаются соответ-
ственно в max fix) и min fix), и, в си-
лу 2-й теоремы Больцано - Коши существует такая точка 2,е(б7,£), что /(£,) = ц. Следовательно, для этого случая теорема 7.6 принимает вид.
Теорема 7.6. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует, по крайней мере одна такая точка 2,е(б7,#),что ь
\f(x\lx = f(^b-a\ (7.22)
а
Последняя формула имеет простой геометрический смысл. Она выражает тот факт, что площадь криволинейной трапеции равна площади некоторого прямоугольника с тем же основанием [я, /)] и с некоторой «средней» высотой /©, рис. 7.16. В связи с этим число /(£,) из равенства (7.22) называют интегральным средним функции /(х) на отрезке \а, b\.
Теорема 7.7. Если функции ср(х) и ,/(х) ср(х) интегрируемы на отрезке [a,b], причем функция ,/(х) удовлетворяет на этом отрезке неравенству т < f(x)<M, а функция ср(х) не меняет знака на отрезке [a,b], то
'х.
(7.23)
где т < ц < М.
Пусть сначала ср(х)>0 всюду на отрезке [a,b]. Тогда из неравенства т < f(x)<M следует, что для всех х е [a,b] будет
/жр(х)< /(х)ф(х)<Мср(х),
откуда
(7.24)
т. е.
253
а значит
b
j f{x^x)dx
---------<M,
Jcp(jc)tZx
a
(7-25)
\f(x}^(x)dx
a
а так как m < jll < M, то формула (7.23) для этого случая доказана.
Заметим, что при переходе от (7.24) к (7.25) мы предполагали, что ь	ь	ь
J* ф(эс)tZx =/= О (т. е. что J<p(jc)7x >0). Но при
а	а	а
ли бы
J ty(x)dx = 0 мы из (7.24) получи-
ъ
а
и формула (7.23) все равно оказалась бы верной.
Пусть теперь ср(-х)<0 всюду на отрезке [а,£>]. Тогда -<p(x)>0, Vx е и значит, в силу уже доказанного,
Ь	Ь
f /OOf-	= gj[- <p(x)]cZx.
ci	а
Если вынести множитель (-1) за знак обоих интегралов и сократить на него, снова получим (7.23).
Итак, теорема 7.7 полностью доказана. Легко видеть, что она верна и при а > b .□
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то ч = где S, е (а,£>). Поэтому приходим к следующему частному случаю теоремы 7.7.
Теорема 7.Т. Если функция f(x) непрерывна на отрезке а функция ф(л') не меняет на нем знака, то ь	ь
J /(x)p(x)cZr = /ft)J q(x}dx,
Cl	Cl
где
Теоремы 7.6 и 7.7 называют соответственно 1-й и 2-й интегральны -
254
ми теоремами о среднем. Очевидно, что 1-я теорема получается, как частный случай, из 2-й теоремы, если <р(л')= 1, Vx е
11.	Интеграл с неременным верхним пределом
Пусть функция ,/(а') интегрируема на отрезке Возьмем произ-
t
вольное t е \а,£>] и рассмотрим интеграл J f(x)dx. При переменном t он яв-
а
ляется функцией аргумента t, которую мы обозначим Ф(/), т. е. положим
t
ф(/)= J
а
Теорема 7.8. Если функция /(а) интегрируема на отрезке то функция ф(1} непрерывна при любом te[a,b],
Возьмем произвольное t е \a,b\ и t + At е Тогда
tt
Аф(т) = Ф(1 + /1/) - <7>(/) = J/(.cjr/.v - J f{x^x,
Cl	Cl
или, в силу аддитивности интеграла,
t+Л/
АФ(г)=
t
На основании теоремы 7.6, имеем отсюда
ПФ=цЛг.	(7.26)
Здесь pj < ц < ц2, гДе El = inf f(x), М-2 = SUP f(x)- Поэтому \t,t+At\	\t,t+At\
lim ПФ=0,
At->Q
что и доказывает теорему. □
Теорема 7.9. Если функция ,/ (а') непрерывна в точке х = t, то функция ф{[) дифференцируема в этой точке, и
Ф'(0=Ж	(7.27)
Действительно, из (7.26) имеем
ЛФ
---= ц.
At
Если At 0, то Pi —> fit) 1Щ2 f(t) (в силу непрерывности функции f(x) в точке t), а значит и f(t), так что
Ф'(/)= lim ^- = f(t).n
At^O At
255
Теорему 7.9 называют теоремой Барроу. Переписав (7.27) так
(7.28)
мы видим, что теореме Барроу можно придать следующую формулировку:
Теорема 7.9'. Если подынтегральная функция непрерывна на некотором отрезке, то производная ее определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции на этом пределе.
Выясним геометрический смысл теоремы Барроу. Очевидно, что <7>(/) это площадь заштрихованной фигуры (рис. 7.17), а значит ЛФ= SABCD. Но тогда при /1/^>0
фигуру ABCD можно в пределе считать прямоугольником, а значит
Ф'(/)= lim Sabcd =f(t).
v 7	AB
Теорему Барроу можно истолковать и физически. Будем считать, что х - это время, a f(x) - скорость, зависящая от времени. Тогда интеграл
t
J f(xflx есть путь, пройденный точкой за время и, если t переменно,
а
то и путь зависит от времени. Но тогда его производная по t равна скорости в данный момент /, откуда и следует (7.28).
Примечание 1. В формуле (7.28) обозначим х через t, a t - через х.
Тогда она примет вид
Рис. 7.18
Отсюда следует очень важная
Теорема 7.10. >
Если функция f(x) непрерывна на отрезке то она имеет на этом отрезке первообразную (а значит она имеет на нем и q
0
(7.29)
Рис. 7.19
бесчисленное множе-
256
ство первообразных).
Действительно, если хе
то одной из первообразных функции
х
/(х), в силу (7.29), является функция ф(х) = j .□
а
Примечание 2. Мы видели ранее, что производная ограниченной на данном отрезке функции может быть неограниченной функцией; примером ж	з/-	- >	1
может служить функция у = v х, для которой у = —у=
(рис. 7.18, 7.19).
Аналогично, производная непрерывной функции может быть разрывной функцией (см. рис. 7.20) и т. д. Таким образом, производная функции обладает, вообще говоря, «худшими» свойствами, чем сама функция, т. е. действие дифференцирования «ухудшает» свойства функции. Из доказанных же теорем 7.8 и 7.9 следует, что действие интегрирования, наоборот, «улучшает» свойства функции: интегрируемую (но не обязательно непрерывную) функцию оно превращает в непрерывную функцию (теорема 7.8), а непрерывную, но не обязательно дифференцируемую, функцию - в функцию дифференцируемую (теорема 7.9). Иными словами, операция интегрирования «сглаживает» функцию. Этот результат воспринимается естественно, поскольку интегрирова
ние есть действие, обратное дифференцированию, а значит оно должно обладать свойствами противоположного характера.
12.	Формула Ньютона-Лейбница.
Связь онределенного интеграла с неопределенным
Пусть j(l} - непрерывная на отрезке \a,b\ функция, a /(/) - одна из ее первообразных. Из равенства (7.28) следует, что и функция t
является первообразной функции f(t). Но тогда F(t) и а
ф(/) различаются на некоторую константу, т. е. t
\f(x}lx = F(t} + C,	(7.30)
а
257
где С - неизвестное число, зависящее от выбора функции F(t) и числа а. Для его нахождения положим t = а. Тогда получим из (7.30)
O = F(tz)+C, откуда
С = -F(a),
а значит
t
J f(x)dx = F(t) - F(a).
a
Теперь уже можно зафиксировать величину t. Положив t = b, будем иметь ь
j f(x}jx = F(b)-F(a),	(7.31)
а
или короче
ь
$f(x)F = F(xfa.
а
Формулу (7.31) называют формулой Ньютона - Лейбница. Она является важнейшей формулой интегрального исчисления. Эта формула позволяет вычислять определенный интеграл, не пользуясь его определением как предела интегральной суммы. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона - Лейбница сводится к нахождению первообразной для подынтегральной функции. Именно поэтому вычисление определенного интеграла и нахождение первообразной называют одним и тем же термином: интегрирование.
л
Ирнмер 7.3. Вычислим уже встречавшийся нам интеграл J sin xdx.
о Формула (7.31) дает сразу л
J sin xdx = (- cosx)|y = cosx|n = 1 - (-1) = 2 , о
что, естественно, совпадает с результатом, полученным в примере 7.1.
Установим связь между неопределенным и определенным интегралами.
С одной стороны,
J f{x)dx = F(x) + С = [f(x) - F(tz)] + С, т. е.
j f(x)dx = j f(t)dt + С,	(7.32)
a
258
(здесь а - произвольное, но фиксированное число). С другой стороны, ь
-b
a
\a
a
t. e.
a
(7.33)
a
Формулы (7.32) и (7.33) выражают неопределенный интеграл через определенный и наоборот.
13.	О связи между дифференциальными н интегральными
*)
теоремами о среднем
Установим связь между теоремой Лагранжа и теоремой 7.6'. В силу последней,
ь
=	(7.34)
а
где S, е (tz,Z>). Но, на основании формулы Ньютона - Лейбница, ь
\f\x)dx = f(b)-f(a). а
Итак,
f (b) - f (а) =	- а),
что совпадает с теоремой Лагранжа. Поэтому теорему Лагранжа можно было бы рассматривать как следствие теоремы 7.6'. Однако, следует иметь в виду, что, написав равенство (7.34), мы предположили, что функция f'M непрерывна на отрезке \а,Ь\, в то время как в теореме Лагранжа требуется лишь, чтобы функция f'M существовала на отрезке но не обязательно была непрерывна на нем.
Совершенно аналогична связь между теоремой Коши и теоремой 7.7'. Действительно, возьмем функции fM и cp(jc), такие, что f'M и существуют на отрезке [a,b], причем ср^л ) не меняет знака на отрезке [a,b] f'M
и не обращается на нем в нуль. Рассмотрим выражение —, и пусть qM cp'W
- первообразная этой дроби, т. е. пусть
Здесь под 1-й и 2-й интегральными теоремами о среднем подразумеваются теоремы 7.6' и 7.7', в которых функция f(x) считается непрерывной.
259
Тогда /'(*)=	а значит
b	b
J f'(x)dx = Jq'(x\\)'(x)dx,
Cl	Cl
или, на основании теоремы 7.7', b	b
J ,f\x}dx = g'(S,)j cp'(.x)tZx,	(7.35)
a	a
t. e.
f(b) ~ f(a) =	[cp(Z>) - cp(tz)l
<pU) откуда и вытекает теорема Коши.
Однако и здесь следует помнить, что, написав равенство (7.35), мы r(jc)
молча предполагали непрерывность функции q'(x) = —на отрезке ф'М
[a,b], что фактически для теоремы Коши не обязательно.
Таким образом, можно говорить, что 1-я и 2-я интегральные теоремы о среднем (в вариантах 7.6 и 7.7) являются интегральными аналогами теорем Лагранжа и Коши соответственно.
14.	Формула ннтегрнровання но частям для онределенного интеграла
Пусть функции и(х) и г(х), а также их производные и'(х) и v'(x) непрерывны на отрезке [a,b]. На основании формулы (7.33),
6,	г	*
u dv = udv
J	J	a
a
Но, как мы знаем,
J udv = uv - J v du,
а значит
b
= uv
Окончательно
*	b I
udv = uv	I v du.
J	a J
a	a
(7-36)
Существование каждого из интегралов обеспечивается непрерывно
260
стью подынтегральной функции.
Нрнмер 7.4. Па основании формулы (7.36), имеем
е	g е	е
fln.xz/.x = jvIhjv - f.x'— = jclnjc -\dx = elne - (e -1)= 1
15. Новые формы остаточного члена формулы Тейлора
Пусть функция f(x) п + \ раз дифференцируема в некотором промежутке Е, содержащем точку эс0 . Тогда, как мы видели, в этом промежутке справедлива формула Тейлора
/(эс)=/(эс0) + /'Ы
(jc-jc0)+^^°\jc-jc0)2+...+ ^ ^\х-х^ +гп(х\ (7.37) 2!	п\
причем, как было доказано,
(*0 ) — fn (*0 ) — fn (*0) —	— гп^ — 0-
Формула Ньютона-Лейбница дает
X
х0
а так как (эс0 ) = 0, то
>М = рДО*-
х0
Перепишем это так
Х0
Интегрируя по частям, будем иметь
гп W = ~гп (0(* - ф0 + f <(0(* -
х0
а так как г'п (эс0 ) = 0, то
^(*) =
х0
ИЛИ
261
J	2!
x0
Снова интегрируя по частям, имеем
<•„«=|*.о + j
х0
откуда
ГМ = рЛО— х0
ИЛИ
х0
Аналогично можем получить, что
'•и«=-^)^3 *+ 3!	0 J 3!
х0
т. е.
rAx) = \AV(t/X	dt.
J	3!
х0
Продолжая этот процесс, получим в конце концов х	f \П
rAA= Р«"+1)(0^р
х0
а так как, на основании (7.37),	, то окончательно
'iW = l |/и+1>('Х-»-'ГЛ.	(7-38)
п\ J
х0
Правую часть (7.38) называют интегральной формой Коши остаточного члена формулы Тейлора.
Предположим дополнительно, что функция	непрерывна в
промежутке Е. Тогда, учитывая, что функция <р(/) = (%-/)” не меняет знака на отрезке [х0, получим, на основании теоремы 7.7,
п\ J х0
262
т. е.
х0
или окончательно
(х}. /(”+1)fe)G. , У-+1 гп\х) (	.ч. V
\п +1)!
Правая часть есть так называемая форма Лагранжа остаточного чле-
на формулы Тейлора. Она позволяет переписать формулу Тейлора (7.37)
так
/(-*) = f(x0 ) + f'(x0 )(jc - x0 )
,/(и)Ыь. л у, /("+1)fe)Lv x ri. n\	\n +1)!
Папомним, что здесь S, e (Ль-О
16.	Замена переменной в определенном интеграле
ь
Рассмотрим интеграл J f(x)dx, где f(x) - непрерывная на отрезке а
\a,b\ функция. Положим jc = (p(/), и пусть ос и р - такие числа, что ср(ос) = а, <р(р) = Ь. Предположим, кроме того, что:
а)	функции ср(/) и ср'(/) непрерывны на отрезке [ос, р]:
б)	если ос < I < Р, то а < ср(/) < Ь.
Докажем, что в этом случае справедлива формула ъ	Р
f /ОЛ-* = f /[<р(0И^-	(7 -39)
а	а
При сделанных предположениях сложная функция /[<р(/)] непрерывна на отрезке [ос,р]. Поэтому оба интеграла из формулы (7.39) существуют, в силу непрерывности подынтегральных функций.
Пусть F(x) - одна из первообразных функции f(x), тогда ₽
= |Лф(0]ф'(0^|а = №(0]+<^ =
а
263
b
= у [ф(Р)] - ^[<p(a)] = F(b) - F(a) = j f^)dx,
a что и требовалось доказать.
Формула (7.39) позволяет после выполнения интегрирования по переменной t не возвращаться к старой переменной х, а подставлять в полученную первообразную вместо новой переменной новые пределы интегрирования.
Нрнмер 7.5. Вычислим интеграл j dx о ^1 + х
Положив х = tg t, замечаем, что значениям х = 0 и х = 1 отвечают
значения t = 0 и t = —. Поэтому, на основании (7.39),
71	71	71
4	4	4
1 = I* —I—-----= I* cos4 tdt = — I* (1 + cos2/ Y dt =
J cos’61 cos2/ J	4J
0	0	0
1П	1 1	A
— I 1+2cos2/h--h—cos4/ dt =
4JI	2 2	J
17.	Интегралы от четных н нечетных функций в симметричных пределах
а
Возьмем интеграл J f(x)dx, где а - любое число. Имеем
-а а	0	а
J f(x)dx = J f(x)dx + J f(x) dx. -a	-a	0
В первом интеграле справа положим x = —t. Тогда, на основании формулы (7.39), 0	0	<7
f f(x)dx = - j f(-t)dt = j f(-t)dt = -a	a	0
264
a
= J/(-*)dx
0
(на основании независимости определенного интеграла от обозначения переменной интегрирования). Итак,
а	а	а
J f(x)dx = J f(- x)dx + J f(x)dx, —a	0	0
t. e.
a	a
j f(x)dx = j [/(a) + /(- jr)]dZv.
-a	0
Пусть f(x) - четная функция. Тогда /(- a) = f(x\ а значит
(7.40)
a	a
J f(x)dx = 2 J f(x)dx.
-a	0
Этот результат имеет простой геометрический смысл (рис. 7.21).
Пусть теперь f(x) - нечетная функция. Тогда /(- х) = - f(x), т.е. /(*)+/(-*) = 0, и формула (7.40) дает
а
J f(x)dx = 0.
-а
Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции с отрицательными функциями можно условно считать отрицательной, рис. 7.22.
18.	Вычисление нлощаден фигур нрн номощн интегралов
1°. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке Из геометрического смысла определенного интеграла и из результата, полученного в конце предыдущего параграфа, следу-
Рис.7.23
265
b
ет, что интеграл J f(x)dx представляет собой алгебраическую сумму пло-а
щадей фигур, заключенных между линией у = f(x) и осью Ох на отрезке [a,b], рис. 7.23. Сумма же “модулей” этих площадей равна, очевидно,

Если для всех х е
будет f(x) > ср(л ), то площадь фигуры, изображенной на рис. 7.24, очевидно, равна
}[/(*)-<р(*)]^
Нрнмер 7.6. Площадь фигуры, заключенной между
У = <рЫ
Рис.7.24
параболами у = х2 рис. 7.25, равна
и у2 = х
5 =

2 1 1
2
У = \
г 2
у = х
Рис. 7.25
3 3 3
2°. Пусть теперь дуга АВ задана не декартовым уравнением, а параметрически:
рс = (р(О, Ie=v(4
(7-41)
причем точкам А и В отвечают значения пара-
метра t = ос и t = р. Обозначим ф(ос) = а, ф(р) = Ь. Будем считать, что функция ср(/), ф'(/) и v|/(/) непрерывны на отрезке [ос,р], и
(ос < t < р) (а < ф(/) < 6,ср(О > 0).
Кроме того, мы естественно, считаем, что любая прямая х = с
(a<c<h) пересекает дугу А В только один раз, т. е. что определяемая уравнениями (7.41) функция у = f(x) однозначна на отрезке [а,Ь]. Тогда площадь заштрихованной фигуры (рис. 7.26), очевидно, равна
266
b
S = J f(x)dx
a
Совершим в этом интеграле замену переменной по формуле х = <р(/). Тогда, очевидно, /НО] = \р(/), и, на основании формулы (7.30), получим
' ₽
S = J\\f(ty>(t)dt.
а
Рис. 7.26
Нрнмер 7.7. Вычислим площадь фигуры, ограниченной эллипсом с полуосями а и b, рис. 7.27.
о
Параметрические уравнения дуги АВ: X = 6ZCOS/, у = Asin/,
причем 0 < t < п. Поэтому учитывая симметрию эллипса, находим о	о
sin2/ dt =
- б/sin
71
= ab I
\ ( 1
- cos2t )dt = ab\ t —sin It I 2 JO о
Этот результат легко было предусмотреть, учитывая, что площадь круга радиуса а равна
па2, а эллипс есть равномерно деформированный круг с коэффициентом
= nab.
Рис.7.27
деформации —, так что должно быть а
S = — па2 = nab. а
3°. Пусть дуга
Л/, к
Рис. 7.28
Рис. 7.29
-1
АВ задана полярным уравнением r = g(cp), где g(cp) - однозначная, непрерывная и неотрицательная на отрезке [ос,р] площадь сектора АОВ, рис. 7.28.
Разобьем сектор на и частей лучами ср = срх ср = ср2> •••, Ф = Ф«-1 и, как всегда, положим ср0 = ос.
функция. Вычислим
267
В
м.
1
A
О
Рис.7.30
ср„ = р. Кроме того, обозначим (рА. - <рл._1 = Ар^., к = 1,2,...,л?
Внутри каждого сектора	рис. 7.29 проведем произволь-
ный луч ср = и обозначим ONk = рк. Площадь кругового сектора с радиусом Рк и центральным углом zkp^ равна
= ±Pk^Pk = Л<Рк-
Составим сумму (рис. 7.30) п 1 5 = LyfelMM*  к=\л
Она равна площади ступенчатой фигуры, составленной из круговых секторов.
Легко видеть, иго S ееть интегральная сумма для функции l[g(<p)F на отрезке [ос,р]
X = гпах{/крд.}, получим для искомой площади
1 п
а т. к. эта функция непрерывна на нем, то, полагая
S=limSz = -lim ХЖ Г <Р 7^0	2 7^0 , ,
k=i
Этот результат обычно записывают так
=|f[g(<p)N<p-а
а подразумевая под г функцию g(cp).
Легко убедиться, что формула (7.42) верна и	Рис. 7.31
для случая, когда линия г = g(<p) - замкнутая, и полюс находится внутри
нее, рис. 7.3L В этом случае, очевидно, надо положить, например, ос = 0, Р = 2 л .	<
Нрнмер 7.8. Вычислим площадь фигуры, огра------------------)—*-
ничейной кардиоидой, рис. 7.32, г = г/(1 + cos <р).
Имеем	Рис.7.32
2л
- J г/2 (1 + coscp)2<7cp =
2 о
а1
3	1	V71
—ср + 2 sin ср + — sin 2 ср
2 <2	4	JO
а1 3	3 2
-----2п = — па .
2 2	2
268
19. Вычисление длин дуг нрн номощн интегралов
Пусть в плоскости хОу задана
дуга АВ, рис. 7.33. Разобьем эту дугу на и частей точками М^, М2, Мп_± и впишем в нее ломаную ЛЛ71Л/2----Л/„_1В . Пусть 5 - длина ломаной.	Обозначим
Ask = мк-\мк (^ = 1,2,... л), и пусть
8 = max{zLs%}. Предположим теперь, что 5—>0, т. е. что длина каждого звена ломаной стремится к нулю. Если существует предел 5= lim не 5^0
х
Рис.7.33
о
зависящий от способа разбиения дуги АВ точками М1,М2,...Л^и-1 > т0 он
о
называется длиной дуги АВ, а сама дуга в этом случае называется спрямляемой.
о
1°. Пусть дуга АВ задана декартовым а < х < b. Будем считать, что функции f(x) и /'(х) непрерывны на отрезке Обозначим хк,Ук координаты точки (к = 1,2,а хк - хк-\ = Лхк> Ук~ Ук-1 = лУк, рис- 7-34- Пусть, далее, X = max{zk^}. Тогда, очевидно, (X —> О) «> (б —> О). Имеем
п
* = ТА'к 
к=\
уравнением у = /(х),
Рис.7.34
По
Па основании теоремы Лагранжа,
т. е.
лУк
Ахк

269
где е (^A-l>хк)• Следовательно, ZLs^ =
а значит
?= Z71+Lrfo)]2At.
k=l
(7.43)
Справа стоит интегральная сумма для функции ф(х) = yl + [/ '( v)]2 на отрезке при этом значения в этой сумме - это вполне определенные точки из теоремы Лагранжа. По, в силу условия, функция Ф(х) непрерывна на отрезке а значит точки в интегральной сумме можно выби
рать произвольно; в частности, в качестве можно взять именно “ла-
гранжевы“ точки. Поэтому при X —> 0 получим из равенства (7.43) п	b
5
а
т. е.
ь
S= [
или короче
(1.М)
А
о
Рис. 7.35
Нрнмер 7.9. Длина дуги АВ цепной линии равна
у = clix (О < л < 1), рис. 7.35, на основании (7.44)
5=J
О
= shl = о
е — . е)
Примечание. Пусть а(а) - длина дуги линии у = f(x) от фиксированной точки Mq до “текущей” точки М, рис. 7.36. Тогда в силу (7.44),
м0
Рис. 7.36
х0
где у = f{x). Отсюда, на основании теоремы Барроу,
dx
а
о
£
2
ь
S= [
а
л(а) = f у/1 + y'2dx,
О
*о
X
X
270
что совпадает с формулой (5.15), принятой ранее без доказательства, о
2°. Пусть дуга АВ задана параметрическими уравнениями |х = ср(/),
(7.45)
причем движению точки М от А к В отвечает монотонное изменение параметра t от ос до р . Совершим в формуле (7.44) замену переменной, положив х = ср(/), где <р(/) - функция из параметрических уравнений (7.45). Тогда
у = /[ч>0] = А), у' = 4=. л-, <р (?)
а изменение х от а до b отвечает изменение t от ос до р. Следовательно, на основании (7.39), формула (7.44) примет вид
Р Г 'СП2
iv Lw)J
v'(0
т. е.
5 = | 7[<Р'(0]2 + ['/(OFdt, а
или короче
5 =
(7.46)
а
Нрнмер 7.10. Пайдем длину первой арки циклоиды, рис. 7.37
(x = a(t - sin/),
[y = a(l - cos/).
Имеем, на основании (7.46)
2л
5 =
- cos/)]2 + (<7sin/)2<7/ =
о
2 71
Рис. 7.37
= а
2 j • 2 j Ji
+ cos t + sm tat =
О
2л
2л
= а
L° 2 2л
о	о
Примечание 1. Легко убедиться, что формула (7.46) верна и в слу-
271
о
чае, когда вместо некоторой дуги АВ имеется замкнутая линия.
Кроме того, нетрудно видеть, что если кривая - пространственная, и ее параметрические уравнения:
х = <р(х), < У = <и(0> / = /М
где ос < t < Р, то, на основании формулы As = (Ах)2 + (Ay)2 + (zb)2 , для
о
длины дуги АВ получим
5=j VkWF+MOF+MOFdt >
а
где функции ф'(/), \|/'(/), и '/'(t) предполагаются непрерывными.
о
Примечание 2. Пусть ММ’ - элементарная дуга, отвечающая отрез
ку \(А + At] изменения параметра t. Обозначим ММ’ = As , ММ’ = ZLs-.
Имеем, в силу (7.46),
t~\~ At _________
As= f 7M0F + M0]2 t
или на основании теоремы о среднем,
45=^[ч>'(е)]2+к(0)М,
где 6^(t,t + At).
Далее,
As = 7(zbc)2 + (Ду)2 = VkW]2 +КТ*)]2’ где т е (t, t + At), т* е (t, t + At). Следовательно,
Рис.7.38
на бесконечно малой дуги спрямляемой
Рис. 7.39
линии эквивалентна длине стягивающей ее хорды. Это значит, что если
272
zV —> 0, то As = As + O(As), рис. 7.38.
3°. Пусть дуга АВ задана полярным уравнением r = g(cp). Поскольку
х = г cos ср, у = г sin ср, то для любой точки М е АВ будет I* = g(cp)coscp,
V = g(<p)sin Ср,
т. е. мы снова пришли к параметрическому заданию, а поэтому формула (7.46) дает
Р _________
^ = /7ч2+-42б/(р =
а
Р ___________________________________________________
= J 7[g'(<p)coscp - g(cp)sin ср]2 + [g'(cp)sin ср + g(<p)cosср]2z/cp =
а
= J л/к'(ф)]2 + к(ф)]2d<?, а
или короче,
Р _________
5 = j ф*'? + г2<7ср.
а
Нрнмер 7.11. Пайдем длину кардиоиды г = tz(l + coscp) (см. рис. 7.32). Учитывая симметричность кривой относительно полярной оси, получим
71	71
5 = 2 J-J(- tz sin ср)2 + [г/(1 + cos ср)]2zAp = la J-Jsin2 cp + l + 2coscp + cos2cp б/ср = о	о
71	71
=	2а^ д/2 + 2coscp <7<р = 4г/ J cos <7ср = 8а sin у = 8а. о	о
20.	Вычисление объема нрн номощн интегралов
Пусть требуется вычислить объем произвольного тела, отнесенного к некоторой оси Ох, рис. 7.40. Будем считать, что площадь .s(jc) сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, есть известная функция, непрерывная на отрезке [а,Ь].
Разобьем отрезок [a,b] на п частей точками JCj, дс2- Проведем через эти точки секущие плоскости. Они разобьют тело на п слоев.
273
Па каждом из отрезков	возьмем произвольную точку	и вычислим S(^). Произведение S^)Axk есть объем цилиндра с основанием S(^) и высотой Лх^. Составим сумму и =	. к=1 Она равна объему “ступенчатого” тела, со-ставленного из и цилиндрических тел. Обозначим теперь Л = max {Лхк } и пусть к X —> 0. Тогда для искомого объема полу-	—	 1	1	1 1	1	1 —						** X ах	Ъ Рис. 7.40
i j j : a	xi	х2	Хи-i Ъ Рис. 7.41 Н	чим а V = ^S(x)dx.	(7.47) ь Нрнмер 7.12. Вычислим объем тела, ограниченного эллиптическим	параболоидом х	2	2 Л	у	у Z = —— +	- и плоскостью а2 Ь2 z = Н, рис.7.42. Формула (7.47) дает
V= \S{z)dz. 0 Для нахождения S(z) перепишем к уравнение параболоида так	1 l7F*t7F"'	Ч \chjz) \bdz)	\ Используя результат примера 7.7, получим S(z) = na-Jzb-Jz = nabz, а значит 77	2 L7 i f	Z Г7 1	2 V = nab zdz = nab —	= — nabH .	x i	202	Z и / 0 Рис. 7.42
274
Предположим теперь, что рассматриваемое тело образуется путем
вращения вокруг оси Ох некоторой линии у - /(х) (а < х < b), рис. 7.43. Тогда при любом х
S(x)= лу2,
а значит, в силу (7.47), ь
V = л J y2dx,
а
Рис. 7.43
где под у подразумевается функция Лх)-
Нрнмер 7.13. Вычислим объем веретенообразного тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной арки синусоиды у = sin х, рис. 7.44.
Рис. 7.44
Получим
—sin2x 2
21.	Вычисление нлощаден поверхностен вращения
Пусть дуга АВ линии у = /(х), отвечающая отрезку вращается вокруг оси Ох (предполагается, что /(х) >0, V хе [<7,б]). Разобьем ду-
гу АВ на п частей точками	и пусть хк,ук - координаты
точки Мк(к = 1,2,...,и). Впи- у м
М	в
шем в дугу АВ ломаную	;
АМ^М2..Л/1Г1_хВ , рис. 7.45.	/	 I
Ее звено Мп_хМп при враще- А( ''	!	;
нии вокруг оси Ох описывает ! I ;	;	>	!	!
поверхность конуса (вообще 0 а xi х2	х„ i Ь
говоря, усеченного). Ее пло-	рис 745
щадь, следовательно, равна
ASk=n(yk_l+yk)Ask.
275
Составим сумму
п
5 = 7lE(№-i + ^)4s>-
к=1
Пусть 5 = max{zlsy }. Предположим теперь, что 8—>0, т. е. что длина к
каждого звена ломаной стремится к нулю. Если существует предел
S = lim , то он называется площадью поверхности, образованной вра-5—>0
щением дуги АВ вокруг оси Ох.
Предположим, что функция /(х) непрерывна на отрезке [а, 6]. До
кажем, что в этом случае упомянутый предел существует и найдем его
значение. Для этого перепишем выражение для S так
и	п
^Ук-О^к +
т. е.
Справа в (7.48) стоят суммы, в которых и - точки разбиения
отрезка а - точки из теоремы Лагранжа (см. п. 20). Поэтому обе суммы являются не интегральными для функции Ф(х)=ДУ/1 + [/'(Д]2, а квазиинтегральными. В силу теоремы 7.4 о квазиинтетральной сумме (ее условия, очевидно, выполняются), получим из (7.48) при X —> 0
Нрнмер 7.14. Пайдем площадь поверхности, образованной вращением дуги линии у = сйх (0<х<1) вокруг оси Ох,
276
рис. 7.46.
Имеем
1 ___________ 1
S = 2nJchx-\/l+sh2x6& = 27tfch2xdx = о	о
22.	Нахождение координат центров тяжести. Теоремы Гульднна
Рассмотрим дугу АВ материальной линии у = /(х), отвечающую отрезку [a,b] оси Ох. Будем считать функцию f'(x) непрерывной на отрезке Предполагая дугу однородной (ее линейную плотность можно, не ограничивая общности, считать равной 1), найдем центр тяжести С этой дуги.
Для этого разобьем дугу на п частей точками М1,М2,...,ЛТ„_1. Пусть хк,ук - координаты точки
Мк_\Мк  Тогда
хк
Ask = J 7i+[/'W]2dx> xk~i
или, на основании теоремы 7.6',
4ч = л/1 + [Ж)]2Аь где	е (хк-1, хк ) •	Пусть
/7 к = /(^). Очевидно точка
"а-) принадлежит лут&Мк_хМк .
Каждую из малых дуг Мк_\Мк будем рассматривать как материальную точку с массой Лтпк, численно равной Ask, помещенную в точку Nk. Тогда, на основании полученной в аналитической геометрии формулы, имеем
277
ZUi+l/'fa)]2^
_ k=l _ k=l______________
k=]	k=l
Пусть теперь X —> 0. Тогда в пределе получим формулу ь _____________________________________
J xyl + [f'(x)]2dx
|л/1 + [/'Ы]2^ а
т. е.
хс
и аналогично
(7.49)
Перепишем формулу (7.49) так ъ ______________________________
ycs = $y\1 + y,2dx> а
где s - длина дуги АВ, т. е.
ь _______
2л j уу 1 + y,2dx = 2Ttycs.
а
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 7.11. Площадь поверхности, полученной при вращении дуги вокруг некоторой не пересекающей ее оси, равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности, описываемой центром тяжести этой дуги.
Эту теорему называют 1-й теоремой Гуль дина.
Возьмем теперь материальную фигуру, ограниченную линиями х = а, х = Ь, у = /(х) и у = ср(х), где функции /(х) и ср(х) непрерывны и
278
неотрицательны на отрезке причем /(л)> ср(л’), V.ve[«,/)]. Считая
эту фигуру однородной с поверх- у i > ностной плотностью р = 1, будем искать ее центр тяжести. Разобьем фигуру на п вертикальных полос. Масса каждой полосы численно равна Лтк = [f^k ) - (pfo )]zb^. Считая эту полосу материальной 0 точкой с массой Лтк и с коорди-
Рис. 7.48
натами
и |[Ж) + Ж)], по-
лучим п	п
^^кАтк [Ж)" Ж)Ж
~ _ А==1____ А =1____________
с п	п
^Атк ^[Ж)" Ж)Ж
А=1	А=1
[Ж)+ф(Л/с ^к | X [Ж)+Ж )1Ж) - Ж )Ж
= k=l£________________ Zk=l_________________________
Y Атк	X [Ж) - Ж )] At
£=1	Ж1
и
2 X ^ж )]2 - (ж )]2 }^к к=1
п
^[/Йа-)-9Йа-)Ж
А=1
В пределе, при X —> 0, получим точные формулы:
или
279
b	b
j4/Ы- cp(-v)]^,	yc = j{./(a)]2 - [<p0)]2 }dx, (7.50)
a	a
где S - площадь рассматриваемой фигуры.
В частности, если ср(х) = 0, \/х е то для центра тяжести криволинейной трапеции, рис. 7.49, имеем
*с = ^]хУах> Ус:
а
где под у подразумевается функция /(х).
a
Перепишем вторую из формул (7.50) м
так
2itycS = nJ
Cl
У
0 ----1------------
a Рис. 7.49
tx
или
b	b
л J [f(x)]2dx - л j [<p(x)]2<7x = 2nycS.
Cl	Cl
j—x
b
Отсюда вытекает следующая
Теорема 7.12. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг на пересекающей ее оси равен площади этой фигуры, умно
женной на длину окружности, описываемой ее центром тяжести.
Эту теорему называют 2-й теоремой Гуль дина.
Нрнмер 7.15. Объем тела, образованного вращением круга радиуса г вокруг оси, удаленной от его центра на расстояние R, рис. 7.50, равен
V = лг2 2 л/? = 2л2 Rr2,
Рис. 7.50
а площадь поверхности этого тела, как легко следует из 1-й теоремы Гуль дина, равна
S = 2лг2лЛ = 4л2/7? .
23.	Нрнмеры нрнменення интегралов к решению физических задач
Задача 1. Вычислить силу, с которой однородный стержень длины (. и массы М притягивает материальную точку массы т, находящуюся на линии продолжения стержня на расстоянии а от ближайшего его конца, рис. 7.51.
Пусть	малый участок стержня (его называют элементарной
частью, или просто элементом, стержня). Его масса находится из пропор-280
ции
откуда
Хк~]
Рис. 7.51
Считая этот участок материальной точкой, получим, что он притягивает точку А с силой
тЛМъ тМ Ахи
Y--=	'--уЧ }
а так как все силы Aly. коллинеарны и сонаправлены, то суммарная сила ~ Л _ тМ^Лх,
к=1	k=i ч>к
откуда в пределе, при X —> 0, получим точную формулу
тМ( 1}а + е тМ (I 1 -------- =у----------------
С \ х Ja	(, I а' a-i
тМ а(а +1
тМ
с ‘ х а
Примечание. Оформление решения подобных задач можно сократить следующим образом. В физическом объекте задачи выделяется лишь один элемент, для которого вычисляется подлежащая нахождению величина, а затем сразу, опуская суммирование и последующий предельный переход, находим искомую величину в виде интеграла.
Задача 2. Вычислить потенциальную энергию песка, образующего коническую кучу с радиусом основания R и высотой Н, если удельный вес песка равен р.
Выделяем элементарный объем и вычис- -ляем его как объем цилиндра. Имеем гк _H~zk
Рис. 7.52
откуда
rk = 1rAH-zk)
Здесь у - постоянная тяготения.
281
а значит
jR.
AVt=n^H-zkf^k.
H
Потенциальная энергия этого элемента равна
ЛЕ к = P^kzk = ъ-ргк(Н- zk
к,
так что
я 2	2 я
Е = (ъ^—рг(Н - z)2dz =	[[h2z - 2Hz2 + z3 Vz =
J H2	H2 P	r
о	0
H2 t 2	3 + 4 Jo
7tR2H^p(\ 2 ! Г H2 U 3+ 4,
7tR2H2p
12
Задача 3. Найти момент инерции однородной пластинки плотности р, ограниченной линия-миу = 0,х = 1иу = V7, относительно оси Оу.
Напомним, что момент инерции точки массы т относительно другой точки (или относительно оси), находящейся от нее на расстоянии г, равен / = тг2. Поэтому элементом этой пластинки будет полоска ширины Лхк, параллельная оси Оу. Ее масса равна Лтк = рукЛхк = pJx^Axk, а значит
ее момент инерции относительно оси Оу
Л1к Аткхк p-J хк хк Лхк ,
так что
г /— 2 f	212
I = p\dxx dx = p\x2dx = —px2 =— р.
о	о
Задача 4. Однородная пластинка в форме полукруга радиуса R и плотности р вращается вокруг диаметра с угловой скоростью со. Найти ее кинетическую энергию.
Масса элементарного прямоугольника: Лтк = 2рукЛхк = 2p^R2 -хкЛхк,
Рис. 7.54
а значит ее кинетическая энергия
2	2 2
282
Отсюда для кинетической энергии всей пластинки находим:
R _______
Е = рсо2 j ^R2 -x2x2dx.
о
Полагая х = 7? sin t, получаем л	л
2 ______________ 2
Е = рсо2 j^Ir2 -R2 sin2 tR2 sin2 tRcostdt = pco2/?4 J sin 21cos2 tdt =
о	0
2
0
7Г
L
1	9 .^Д1 I •
-рсо R О—sin 4/ 2 =
8	1
4
0
2
= —pco2/?4 f(l - cos4^)cifr =
8 J о
1	2 r>4 71	1	2 r>4
= - pco R — = — 7Г Ct) R p.
8	2 16
Легко видеть, что данная задача родственна предыдущей, так как ки-
нетическая энергия пластинки отличается от ее момента инерции относ и-со2
тельно оси вращения лишь множителем .
Задача 5. Заряд q отталкивается от одноименного заряда q\ на ос-
новании закона Кулона. Первоначальное расстояние между зарядами равно а, а окончательное a + d. Найти работу по перемещению заряда.
Элементарная работа на участке Лхк равна
Лхк
Рис. 7.55
а значит
a + d
Полагая q = 1, d = +оо, получим А = 8—; это -а
т. н. потенциал электрического поля заряда q\ в
точке х = а.
Задача 6. Пластинка в форме параболи-	Рис 7 56
ческого сегмента с высотой Н и верхним основанием а, погружена верти
283
кально в воду. Найти силу давления воды на каждую из сторон пластинки.
Парабола имеет уравнение вида у = кх2. Полагая х = а, полу-
2	Н
чиму = Н, и значит Н = ксг, откуда к = —. Таким образом, уравнение а1
Г	Н 2	2 а^У
параболы у = ——х , т. е. х =—^~ ширины Лук равна
Площадь горизонтальной полоски
ASk=2xkAyk=2 ^Ук
н Лук'
Сила давления воды на эту полоску /1Р4.=(Я-ЛМ=2^Й
(н~Ук)4Ук-
Следовательно
Р =
о
у . 2а 2
-у dy=-r^ 
. 3 2 5
-Ну2--у2 3	5
(	5	,
Р= -Н^--Н2 = 2Я2/--
Jh 3	5	кЗ
=—н2.
15
Задачи и уиражиеиия к главе VII
1.	При помощи определенного интеграла вычислить предел
1 Г	7Г	2 л	(п-1 )тг
Jim — cos----hcos----h... + cos---— .
п^-оо и	2п	2п	2п
2.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией (х2 + у2/ = 4лг2у2.
^2	2 V
3.	Найти площадь фигуры ограниченной линией 1л + у I = 8ху.
у
4.	Определить длину дуги линии у
(2 - а )3 , отсеченной прямой
х = -1.
5.	Вычислить длину дуги линии у =----1, отсеченной осью Ох.
6.	Найти длину дуги линии
1
2
О
4
9
284
t3
' 3’
л f2
y = 4-------
2
заключенной между точками пересечения с осью Ох.
7.	Ветвь гиперболы —------ = 1 (0 < у < Н)
а2 Ь2
вращается вокруг оси Оу. Вычислить объем получаемого при этом тела (рис. 7.57).
2	2	2
8.	На хордах астроиды х3 + у3 = а3, па-
Рис. 7.57
раллельных оси Оу, построены квадраты, сторо-
ны которых равны длинам хорд, и плоскости ко-
торых перпендикулярны плоскости хОу. Найти объем тела, образованного
этими квадратами.
9.	Вычислить момент инерции однородного полукольца радиуса R и массы М относительно касательной, параллельной диаметру (рис. 7.58).
10.	Найти момент инерции однородной пластинки в форме 2	2
X У
эллипса — ч—— < 1 и массой М относительно оси Ох.
а2 Ь2
11.	Вычислить момент инерции относительно оси Оу од- рис 758 неродной пластинки с плотностью р, ограниченной линиями
у = sin х, у = 0 и х = —.
12. С	какой	силой однородный стержень	1 1 1 1
длины 2/ и	массы	М притягивает материальную	: / 1
точку массы т,		расположенную относительно	1 •
стержня так,	как указано на рис. 7.59.		Рис. 7.59
13. Эллиптическая пластинка с полуосями а и b и с плотностью р вращается с угловой скоростью со вокруг оси 2Ь. Найти кинетическую
энергию пластинки.
14.	Однородная пластинка с плотностью р, ограниченная линиями
285
2	2	1
х - у = 1 И X
со. Найти ее кинетическую энергию.
15.	Однородный полукруг радиуса R и массы М, может вращаться вокруг горизонтальной оси, совпадающей с его диаметром, но удерживается в горизонтальном положении вертикальной нитью, рис. 7.60. Пользуясь теоремой о моментах сил, найти натяжение нити.
16.	Учитывая изменение силы тяжести с
высотой, найти работу по поднятию тела массы т на высоту Н над поверхностью Земли (радиус Земли равен R, а ее масса - М).
17.	Вычислить момент инерции однородного квадрата со стороной а и массой М относительно оси, проходящей через его вершину параллельно диагонали, рис. 7.61.
18.	Однородный стержень длины и массы М враща-
ется в горизонтальной плоскости вокруг своего конца с уг- Рис 7 61 ловой скоростью со. Найти натяжение в точке закрепления, возникающее в результате действия центробежной силы, рис. 7.62.
= 2 (jc > О), вращается вокруг оси Оу с угловой скоростью
Рис. 7.60
Рис. 7.62
19. Изображенная на рис. 7.63 однородная пластинка с плотностью р вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со. Найти натяжение в точке закрепления, возникающее в результате действия центробежной силы .
20. Квадрат со стороной а и массой М вращается вокруг оси, проходящей через его вершину параллельно диагонали (рис. 7.64), с угловой скоростью со. Найти натяжение в точке закрепления, возникающее в ре-
286
зультате действия центробежной силы.
21.	Найти момент инерции однородного параболического тела (рис. 7.65) относительно его оси.
22.	Вычислить потенциальную энергию опрокинутого однородного параболоида вращения (рис. 7.66), если его плотность равна р.
23.	Однородное тело с плотностью р, ограниченное параболоидом
Рис. 7.67
Рис. 7.68
Рис. 7.69
вращения (рис. 7.67) и плоскостью, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью со. Найти его кинетическую энергию.
24.	Ветер оказывает равномерное давление р на треугольный флюгер с основанием а и высотой h. Найти суммарный момент силы давления
Рис. 7.65
Рис. 7.66
относительно оси вращения (рис. 7.68).
25.	Ветер оказывает равномерное давление р на флюгер в форме параболического сегмента (рис. 7.69). Найти суммарный момент силы давления относительно оси флюгера.
287
VIII. Песобствеииые интегралы
1. Песобствеииые интегралы иервого рода
Пусть функция /(х) интегрируема на любом участке отрезка
где Ь>а. Рассмотрим интеграл
ь
|/(х>7х.
а
При переменном b он является функцией аргумента Ь. Пусть Ь^»+<х>. Пре
дел
ь
lim Г f(x\dx
а
называется несобственным интегралом функции [<7,+°о] и обозначается символом
(8-1)
/(х) на промежутке
оо
(82)
а
Если предел (8.1) существует, то несобственный интеграл (8.2) называется сходящимся. В про-тивном случае говорят, что несобственный интеграл (8.2) расходится. В частности, это будет тогда, когда предел (8.1) равен со .
Если при всех х>а будет /(х)>0 , то ин- о
теграл (8.2) геометрически представляет собой а Рис. 8.1 площадь заштрихованной бесконечной области, рис. 8.1.
Пример 8.1. Имеем
.	оо 7	оо 7
1-	1 n [dx	[dx
а так как lim — = 0, то — = 1, т. е. интеграл — сходится.
ь^Ь ] х2	‘ х2
Пример 8.2. Аналогично
288
"'dx	rh 1
т. e. интеграл — расходится. Это вызвано тем, что функция —
* х	х
при х—>со недостаточно быстро.
Пусть функция /(х) непрерывна в промежутке [<7,+со]. Тогда она имеет в нем первообразную F(x) и ь
J f(x)dx = F(b)-F(a). а
Следовательно, интеграл (8.2) в этом случае сходится тогда и только тогда, когда существует конечный предел F(+oo)= lim F(b), и в этом случае
Ь—>+<х)
оо
J/(x)d/x=F(+oo)-F(<7).	(8.3)
а
Это равенство обобщает формулу Ньютона-Лейбница на случай несобственного интеграла (8.2).
Формула (8.3) позволяет не только установить сходимость или расходимость несобственного интеграла, но и вычислить его в случае сходимости. Однако часто бывает достаточно лишь исследовать интеграл (8.2) на сходимость. Для этого функцию F(x) находить не обязательно, т.е. необязательно выполнять интегрирование. Укажем на этот счет наиболее простые признаки сходимости несобственных интегралов, известные как признаки сравнения.
1°. Если при всех х>а будет 0 < /(х)< </(х), то из сходимости инте-
ОО	00
трала J*</(x)dZx вытекает и сходимость интеграла J/(x)<F. а	а
Действительно, пусть оо
\q(x)dx = Q, а
где О - некоторое число.
ь
Тогда при любом Ь> а будет J q(x)dx <Q', а значит тем более
а
b
j /(x)t/x < О.
а
b
Итак, при b +оо интеграл J /(x)t/x возрастает, но не превосходит
а
289
числа О, а значит существует предел ь lim \f(x)dx<Q, fe->+oo J a
что и требовалось доказать.□
оо
2°. Если при всех х>а будет 0 < q(x}< /(х), и интеграл J\/(x)tZx- рас-а
оо
ходится, то расходится и интеграл J f(x)dx.
а
Действительно, в силу условия, ь
[^(xVx +оо,
а b	b	b
а так как при любом b > а будет J f(x)dx > J q(x)dx, то и J f(x\Jx —><».□ а	а	а
оо	оо
Примечание. Очевидно, что интегралы j f(x)dx и j f(x)dx одновре-а	с
менно или сходятся или расходятся, если только в промежутке [а,с] (или [с,а], если с<а) функция f(x) интегрируема. В связи с этим неравенство 0< f(x)<q(x) в признаке 1° и неравенство §<q(x)< f(x) в признаке 2° мо
гут выполняться не при всех х>а, а лишь начиная с некоторого х=с>а.
3° (предельный признак сходимости). Если, начиная с некоторого х=а будет f(x)>Q, q(x)>Q, и при х^+со функции /(х) и q(x) есть
бесконечно малые одного порядка:	</(х)= О*[/(х)], т. е.
\	оо	оо
lim J ^ = т (т > 0), то интеграл Г/(х)7х и ы/(х)7х одновременно или
(7IX)	J	J
J х 7	а	а
сходятся, или расходятся.
в силу условия
г /(*) lim ; ( = т, х->+х б/(х)
где т > 0. Следовательно, для любого £ > 0 существует такое М > 0, что
(х > Л/) =>
290
т. е.
тп + е .
(8.4)
Не ограничивая общности, можно считать, что М>а. Тогда из выражения (8.4) будем иметь
(х >М)=> \\т - E)q\x)< j{x)<\m + E)q\x)).
Поскольку s произвольно, будем считать, что z<m. Тогда
(х > Л/) => (О < (т - s)q(x) < f(x) < (т + £)б/(х)).
оо
Пусть интеграл J f'(x)dx сходится. Тогда, на основании (8.5) и при-
а
(8-5)
знака 1°, сходится интеграл
оо
J(/7? -s)q(x)dx, а значит сходится и интеграл а
оо
а
оо
Если же интеграл J f(x)dx расходится, то, в силу (8.5)' и признака 2° а
00
расходится интеграл
lx, а значит расходится и интеграл
а
оо
J^(x)dr .□
а
Очевидно, и в признаке 3° неравенства /(х)>0, q(x)>§ могут выполняться не при всех х > а, а лишь начиная с некоторого х = с > а.
00
Исследуем теперь на сходимость —, где к # 1 (случай, когда к = 1, J
уже был рассмотрен в примере 8.2). Имеем г_^+1	1
~ (к-\у-''
Следовательно, если к > 1, то lim F(x) = 0, а значит интеграл сходится.
х-»+оо
Если же к < 1, то lim F(x) = w , и интеграл расходится.
оо 7
т z-	tdX	7^1
1 аким образом, интеграл I — сходится при всех к > 1 и расходится.
2
291
если к < 1.
Отсюда и из признака 3° вытекает следующее утверждение:
Теорема 8.1. Если ,/(х) > 0 начиная с некоторого х, и если при
ОО
то интеграл J f(x)dx сходится при к > 1 и а
х +оо будет f(x) ~ О* — кА .
расходится, если к < 1.
тт ei ы	7arctSx
Пример 8.3. Исследуем на сходимость интеграл .------
J х\х-1 а
dx. Имеем
при X 4-СО
7Г arctgx 2 1т77/
4
а так как — > 1, то, на основании теоремы 8.L, данный интеграл сходится.
В признаках 1°-3° фигурировали несобственные интегралы от неотрицательных функций. Возьмем теперь случай, когда при х > а функция f(x) произвольным образом может менять знак. Укажем для этого случая следующий признак.
оо	оо
4°.Если сходится интеграл J|/(x^Jx, то сходится и интеграл [f(x)dx. а	а
В этом случае последующий интеграл называют абсолютно сходящимся, а поэтому признак 4° означает, что если интеграл сходится абсолютно, то он сходится и в обычном смысле. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
_	/ \ |/(х) + /(*)
Для доказательства признака 4° введем функции <р(х) =J---------
/ \ I/W-/W	/ \	/ \
и \|/(х) =J--------. Очевидно, что ср(х)> 0 и ip(x) > 0 для всех х , и
/(х) = (р(х)— \|/(х), |/(х) = ср(х)+ \|/(х).
оо
Пусть интеграл J|/(x)|dr сходится и равен некоторому числу О. То-а
оо
гда величина J|/(x)tZr, монотонно возрастая при b	+оо, не превосходит
а
при этом, числа О . Но
292
IX .
Каждый из интегралов справа неотрицателен и не убывает при b +оо, оставаясь меньше числа О . Следовательно, оба этих интеграла имеют пределы при b +оо. Обозначим их Q\ и О2; очевидно, что Q\ +Q2 = Q. Но
тогда ь	ь	ь
lim lf(x)c/x = lim [cp(x)dr- lim [\|/(x)dr = Q} - Q2, Ь—>+oo*J a	a	a
00
t. e. интеграл J f(x)dx сходится, что и требовалось доказать. □ а
Мы рассматривали до сих пор несобственные интегралы вида
оо	а
J f(x)dx. Подобно этому вводится и несобственный интеграл J f(x)dx. По а	—оо
определению,
J= lim J f(x)dx.
— OO	C
Очевидно, что для такого интеграла верно (с соответствующими перефразировками) все то, что было сказано об интегралах вида (8.2).
а	оо
Сумму интегралов j*f(x\lx и J/(x)dr условно обозначим через
-оо	а
-Изо
j f(x)dx. Таким образом,
—оо
+00	а	b
J f(x)dx = lim |/(х)б/х + lim jf(x)dx,
-co	c	a
причем величины с и b стремятся соответственно к - оо и к + со независимо одна от другой. Если хотя бы один из пределов в правой части не су-
а	оо
ществует, т. е. если хотя бы один из интегралов J f(x)dx и J f(x}dx расхо-
-оо	а
дится, то интеграл J f(x)dx считается расходящимся.
—оо
а	оо	+эо
Интегралы вида ]7(х)К ff(x)dx и ff(x)dx называют несобствен-
а
— оо
—оо
293
ними интегралами с бесконечными пределами, или несобственными интегралами 1-го рода.
ь
Часто встречаются пределы lim 1/(х)с/.х'. Такой предел называется Z)->oo J
-Ь
-Изо
главным значением несобственного интеграла J/(x)t/x и обозначается
—оо
-hoc	-hoc
v.p. J/(x)tZx. Очевидно, что если интеграл J/(x)tZx сходится, то сходится
—00	—оо
и его главное значение, и в этом случае
-hoc	-Нос
v.p. j/(x)7x« |/(х)7х,
—оо	—оо
однако из сходимости интеграла v.p. J /(л)Л' еще не следует сходимость
—оо
-hoc
самого интеграла j f(x)dx. Например,
—оо +оо	b ,
xdx Q
^у = О*
г х
v.p. ----- .
J 1 + х b^°°J,l + x —оо	— о
(ввиду нечетности подынтегральной функции). В то же время сам интеграл
+оо т г xdx .	/ х
——rdx расходится, так как (х—>оо)^>
1 + х —со
оо	у	О
г	xdx	г
дыи из интегралов --------- и
1	+ Х	J
О	-оо
а значит каж-
xdx
---— расходится.
2.	Песобствеииые интегралы 2-го рода
Пусть функция /(х) задана в промежутке [a,b], но lim /(х)=оо. х—>а+()
Будем также считать, что функция /(х) интегрируема на любом отрезке [с,/?], где а < с <Ь. На отрезке же [a,b] функция /(х) не может быть интегрируемой, так как она не ограничена на нем.
Пусть е > О— произвольное число, такое, что а+г<£>. Рассмотрим ь
интеграл J /(х)dx. Предположим, что 8 —> 0. Предел
<7+Е
294
b
промежутке [a,b] и обозначается обычным символом
а+Е
называется несобственным интегралом от неограниченной функции f(x) в ь
j* f(x)dx. Если этот а
предел существует, то интеграл называется сходящимся. В противном слу-ь
чае говорят, что несобственный интеграл
а
геомет-
одна из ее первооб-
е—>0
расходится.
Если функция /(х) непрерывна и неотрица-ь
тельна на отрезке [а, /’], то интеграл ff(x)dx
а
рически представляет собой площадь заштрихованной бесконечной области (рис. 8.3). Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [a,b] и пусть F(x) -разных. Тогда ь	ь
Jf(x)dx = lim Jf(x)dx = lim [f(Z>)- F(a + s)] = F(t a	a+e
b
Следовательно, интеграл J f(x]dx сходится тогда и только тогда, ко-а
гда существует конечный предел lim F(<7 + s). Это будет, в частности, ко-Е—>0
гда функция F(x) непрерывна в точке х = а (хотя бы справа). Обозначая предел lim F(<7 + s) через F(a), получим
Е—>0
ь
Е—>0
а
Это обобщение формулы Ньютона-Лейбница на случай интеграла от неограниченной функции.
ь
В качестве примера рассмотрим интеграл J а
на сходимость при различных к. Имеем в данном случае (	\-А'+1
dx
——, и исследуем его \к
J-A-
-Л + 1	\-к
(8-6)
295
Если к<\, то, очевидно, lim F(x)<0. Если же к>\, то х—>а+()
lim F(x) = оо. Если же к = 1, то вместо (8.6) имеем х^>а+0
F(x)= 1п(х-<7), а значит lim F(x) = оо.
X—><7+0
Т+	f dx
Итак, интеграл --------- сходится при всех к < 1 и расходится, если
к>\.
Нетрудно видеть, что свойства интегралов от неограниченных функций аналогичны соответствующим свойствам несобственных интегралов 1-го рода.
Например, предельный признак сходимости, по аналогии с признаком 3°, читается так.
3'°. Если при x^a + G функции f(x) и q(x) являются неотрица-ь
тельными бесконечно большими одного порядка, то интегралы J f(x)dx и а
b
Jq(x)dx сходятся или расходятся одновременно.
а
Из этого признака и из результата, полученного для интеграла
г dx
I------—, следует утверждение.
Лх~аУ
Теорема 8.2. Если при х g (a,b\ будет /(х) > 0 и если 1 Yl
*
ь
то интеграл J f(x)dx сходится при к < 1 и расходится при к > 1.
а
Пример 8.4. Исследуем на сходимость интеграл J у--dx.
Це* -1] cosx
Если х —> +0, то
Vx arctg х Vxx 1
(Л	=
|е -1^ cosx х х
296
а так как — < 1, то интеграл сходится.
ь
Мы рассматривали интеграл J f(x)dx для случая, когда f(x) оо
а
при х —> # + 0. Совершенно аналогично вводится несобственный интеграл для функции, бесконечно большой при х —> £ - 0. В этом случае, по определению,
Ь	b-E
J/(x)7x = lim J /(x)t/x.
a	a
Если же /(x) обращается в бесконечность в точке с & (а,Ь), то пола
гают
С-8	с+8
Н------1—I----1-------1-
а с	b
т. е.
Рис. 8.4
а
с
h	с—е	b
где е и 8 стремятся к нулю независимо друг от друга, рис. 8.4. Если хотя
ь
бы один из пределов в правой части не существует, то интеграл J/(x)7x
а
является расходящимся. Формула Ньютона-Лейбница в этом случае, во-
«	и	\dx
обще говоря, не имеет места. Например, для интеграла — она дает Дх2
1
-1
dx
= -1-1 = -2,
что абсурдно, поскольку интеграл от положительной функции не может быть отрицательным (в данном случае этот интеграл вообще расходится, так как к = 2 > 1).
Аналогично рассматривается случай, когда функция /(х) обращается в бесконечность не в одной, а в нескольких точках отрезка [a,b].
Интегралы от функций, неограниченных в промежутке интегрирования, называют несобственными интегралами 2-го рода.
297
Примечание 1. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода не следует
противопоставлять друг другу, поскольку вторые получаются из первых, если в них, грубо говоря, поменять местами аргумент и функцию. Пусть,
например,
Тогда
оо	1
а поэтому, если интеграл	сходится при к > 1, то интеграл	,
1	о
I , сходится при — > I, т. е. при к < I.
к
Примечание 2. Помимо несобственных интегралов I -го и 2-го рода, встречаются и интегралы, имеющие одновременно несобственность и 1-го и 2-го рода. Каждый такой интеграл можно представить в виде суммы нескольких несобственных интегралов либо 1-го либо 2-го рода. Интеграл является сходящимся, если сходится каждый из составных интегралов.
Пример 8.5. Пусть
Очевидно
Для первого интеграла имеем
а значит, этот интеграл сходится.
Для второго же интеграла получим
298
так что и этот интеграл сходится, а значит, сходится и первоначальный интеграл I.
Пример 8.6. Возьмем интеграл
оо р
Г х*
I ——dx, где q > 0. При х —> +со
О + х'
z-	\ ХР	1
будет Дх)~ —= —
так что для сходимости должно быть q - р > 1.
Далее, при х —> +0 будет /(х)~ хр = — х р
а значит сходимость означает,
что - р < 1, т. е. р > -1.
3.	Питегрироваиие ио частям и замена иеремеииой в иесобствеииом интеграле
ь
Пусть интеграл J/(x)tZx - несобственный. Для определенности бу-а
дем считать, что “несобственность” этого интеграла связана с верхним пределом интегрирования. При этом с целью одновременного рассмотрения несобственных интегралов как 1-го, так и 2-го рода, говоря об интегра-ь
ле	, не будем исключать и случай, когда, например, b = +оо.
а
Покажем, что на случай несобственных интегралов обобщаются формулы интегрирования по частям и замены переменной.
ь
Возьмем интеграл fudv, где функции и(х), г(х), а так же и’(х) и а
г'(х) непрерывны в промежутке [a,b). Пусть с е [a,b) - произвольное число. Тогда, как мы знаем,
С	с
J udv = [w(c)v(c)- г/(б/)у(б/)]- J v du а	а
(оба интеграла здесь собственные, и их существование очевидно). Переходя теперь к пределу при с —> — 0, получим
299
J udv = [z/(/?)v(/?) - ?/(б/)1’(б/)]- J v du,
t. e.
b
b
(8-7)
a
а
Здесь под w(Z?)v(Z?) подразумевается предел lim и(х x^b-Q
b
предел существует, то из сходимости интеграла J vdu следует сходимость
а
)v(x). Если этот
ь
интеграла Judv и наоборот.
а
Примечание 1. Легко видеть, что формула (8.7) верна и в случае, когда “несобственность” интеграла связана с его нижним пределом.
Примечание 2. Формула (8.7) бывает полезной не только для вычисления сходящегося несобственного интеграла, но и для самого исследования интеграла на сходимость, поскольку может случится, что интеграл b	ь
f vdu в этом случае проще исходного интеграла J udv. Возможен даже слу-а	а
b
чай, когда исходный интеграл fudv является несобственным, а интеграл
а
b
Jvdu - уже собственный.
a
,, о	г In sin х
Пример 8.7. Возьмем интеграл
о
dx. Он является несобствен-х
In sin у
——— = -оо. Формула (8.7) дает
ным, поскольку lim
х—^+0
г In sin х 2-
0
2
О
О
300
Но, по правилу Лопиталя,
Гл  v In sin л	ctgx
lim -x/х In sin x = lim —-— = lim ----------—
x—У+0	x—У+0 1	x—У+0	1
x^+o sm x
Следовательно,
Вновь полученный интеграл легче исследовать на сходимость, чем исходный. Имеем при х —> +0
I—	-\[х	1
д/xctgx------= -гТ’
х х'
1 ,
а так как — < 1, то интеграл сходится.
b
Рассмотрим теперь интеграл j /(х)7х и предположим, что функция а
/(х) непрерывна в промежутке [a,b). Произведем в нем замену переменной по формуле х = ф(/), где <р(/) - монотонно возрастающая функция, а ее производная ср'(/) непрерывна в промежутке [ос, р] изменения переменной t, отвечающем промежутку [a,b) изменения величины х (последнее означает, в частности, что ср(ос) = а, lim ф(/) = Ъ ).
с->р-о
Пусть с е (cz,Z?) - произвольное число, а у е (ос, р) - отвечающее ему значение переменной с. Тогда, как мы видели,
с	у
J f (x)dx = j f [ср(О]ф'0 a	a
(существование каждого из этих собственных интегралов очевидно). Переходя теперь к пределу при с —> — 0 (что равносильно соотношению у —> Р - 0 ), получим
Ь	Р
j f(x)dx = j f [<р(/ )]ф'(0^.	(8.8)
а	а
При этом, как и для формулы (8.7), мы не просто установили равенство
301
двух интегралов, но и показали, что сходимость одного из них влечет за собой сходимость другого.
Легко видеть, что формула (8.8) верна и в случае монотонного убывания функции ср(/) в промежутке (ос, Р).
Кроме того, легко убедиться, что для формулы (8.8) справедливы оба примечания, сделанные в связи с формулой (8.7).
оо , г ах Пример 8.8. Рассмотрим интеграл ---------rz-—. Его сходимость сле-
J L 2 г 2
о (1 + х Г
Для вычисления этого интеграла положим х = tgt. Эта замена превращает исходный интеграл в собственный. Действительно,
71	71
оо ,	2	3. >-	2	71
г dx	fcos t at	г	,	. .у
т------\Т7Т = -----5—= cosZ^ = smrE =1.
о(1 + эс2 Г	о cos	о
Задачи и уиражиеиия к главе VIII
Исследовать на сходимость интегралы:
7. Бесконечный прямолинейный однородный стержень плотности р притягивает материальную точку массы т, удаленную от стержня на расстояние а. Вычислить силу притяжения.
302
IX. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
1. Точки и окрестности в й-мериом иростраистве
Точкой «-мерного пространства R" (или Rn ) называют упорядоченную совокупность п вещественных чисел х1,х2,...,хп. Будем это записывать так:
М = (хъх2,...,хп'),
или, что, то же самое, М{хъх2,...,хп\ Числа хх,х2,...,хп называют координатами точки М.
Расстоянием между точками Л/(хъх2	и N{yx,y2,...,yn) назо-
вём величину
р(Л/Л) = 7(хх - У! )2 + (л2 - у2 )2 + • • • + [х„ ~ уп )2 .
Мысленно вводя в «-мерном евклидовом пространстве Еп векторы
X {%1, х2 ,• • •, х„ } и у{У1, у2 • •, у„ } и замечая, что
р(Л/,7У)=|х- у|,
заключаем, что р(Л/,7У) обладает следующими свойствами модуля:
1°. p(M,N}> 0, причём (р(ЛТ,Л')= 0)<^> (AT = 7V);
2°. p(7V,A/)= p(a/,7V) для любых точек М и N из R„;
3°. p(M,P)<p(M,n)+p(N,P) (неравенство треугольника).
Пусть дана точка	Rn. Совокупность точек
М R„ таких, что р(Л/0,Л/)<8, называется 8-окрестностью точки Л/о и
обозначается Се(Л/0). Таким образом, Се(М0)= {м\Ме R,„p(M0,M)< т. е. Се(^о)=]МчЛ2,---Ли)|Е(х/-40))2 <82L (9.1) 1	/=1	J При « = 1 имеем отсюда сАмо)= {х||х-х0| < ~ Л т. е. получаем окрестность точки на числовой оси в нашем прежнем понимании, рис. 9.1.	х2* При « = 2 получим из (9.1) +(*2-40))2 <s2}> т. е. в этом случае получаем внутренность круга	:s}, 	—i—	X -%0-S	Хо	Xo+s Рис. 9.1 2	/	2т\ 0)		/	] T : М \ 0	х,<">	” Х‘ Л 1 Рис. 9.2
303
радиусом 8 с центром в точке Л/о, рис. 9.2.
Аналогично при п = 3 Се(ЛТ0) есть внутренность шара радиуса 8 с
центром в точке •
Возьмём точку	и пусть е1,е2,.- произ-
вольные положительные числа. Множество
й1.Е2,..Л(^о)=^1^2г-А„И)-Е/ <xi <-v/o) + e,,Vz = l,z?}
называется /7-мерным параллелепипедом с центром в точке Mq  Очевидно,
что при и = 1 будет
а(Л/0)=СДМ0);
при /7 = 2 (2Б1 е2 (^о) представляет собой прямоугольник с центром в точке Mq и со сторонами длиной 2sj и 2s2 параллельными координатным осям, рис. 9.3, и т. д.
Лемма 9.1. При любом 8 > 0 суще-	Рис 9.3
ствует такой параллелепипед Е^ Е (MQ ), что ее1,е2,...^(Л/0)сСе(Л/0)5 и, наоборот, для любого Q е (Д/о) найдётся такое 8>0, что сЕ(л/о)<=а1,Е2,...^(^о)-
Пусть M&Qg6 б(Л/0). Тогда - 8 < х, <	+ 8 для всех
i = 1,2,...,и, а значит
р(М0,М)=	< V/782 = 8-Уй.
V 7=1
Поэтому, положив 8 = ~^=, получи (м е (?gg Лы^^МеСМ),
а это значит, что
a.6...^(JWo)cCe(Mo).	(9.2)
Обратно, пусть даны е1,е2,...,еи• Обозначим s = min {s1,82,...,s„}. Тогда, если М е Се(Л/0), то для любого к = 1,2,...,п
л, -х(о)
лк лк
<8,
т. е.
хк “40) <е^б/ Vz = 1,h.
м, что р(М о ,Л/) < 8. Таким образом,
Таким образом,
304
(М е Се (Мо))=> (м е	(Мо)),
а это значит, что
С>0)сйл^(М0).(93)
Из соотношений (9.2) и (9.3) и следует утверждение леммы. □
При п = 2 содержание леммы легко усматривается из чертежа (см. рис. 9.4).
Лемму 9.1 называют теоремой вложения.
Рис. 9.4
2. Предел иоследовательиости точек
Рассмотрим последовательность точек {Мк }е Rtl (к = 1,2,3,...). Точка М е Rn называется пределом последовательности {/Ик } (это записывается так: М = lim Мк ), если lim р(Мк,М) = 0. Это значит, что для любого А*—>оо	к —>оо
8 > 0 найдётся такое К{г), что
Из леммы 9.1 следует, что lim Мк =М тогда и только тогда, когда к —>оо
для любых 8i,89,...,8„ > 0найдётся такое A'fsi ,89,...,8„), что
Очевидно, что если последовательность {/Ик } сходится к некоторой точке М, то к ней сходится и любая подпоследовательность к} этой
последовательности.
Теорема 9.1. Для того, чтобы последовательность	сходи-
лась к точке М е Rn необходимо и достаточно, чтобы для всех i = 1,2,...,и было
lim х^ = х.	(9.4)
А—><х
 Необходимость. Пусть lim Мк =М . Тогда для любого 8>0 су-
А—><х
ществует такое АГ(е), что (к>К}=>(Мк е Се (м)), а значит тем более
(А >	- х, < e,Vz = 1,и)
откуда и следует (9.4).
Достаточность. Пусть для всех 7 = 1,2,...,п выполняется (9.4). Зададим произвольное 8>0. Для него найдётся такое	что
305
(* > j^)=>	- лг,-
то
<8,Vz = l,nj , а поскольку р(Л/А.,Л/)< zjn, lim Mt. = M .□ k—>oo
Из доказанной теоремы легко следует, что последовательность {Мк } может иметь не более одного предела.
Множество R cz Rn называется ограниченным, если существует такое £>0, что R сС/ (о), т.е. если его можно заключить в некоторый шар с центром в начале координат.
Лемма 9.2. (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности точек Мк е Rtl можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Пусть, для определённости, /7 = 3. Предположим, что последовательность точек	ограничена. Тогда ограничена каждая из
числовых последовательностей {х^}, {>'/;}, {zA} . На основании леммы Больцано-Вейерштрасса для числовых последовательностей, из ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность {хА } . Рассмотрим соответствующую подпоследовательность \ук } . Являясь подпоследовательностью ограниченной последовательности {>у}, она также ограничена, а значит содержит в себе сходящуюся подпоследовательность |уА: г . Возьмём теперь соответствующую подпос-
ледовательность ук г Она ограничена как подпоследовательность огра-ниченной последовательности {z^}, а значит содержит в себе сходящуюся
подпоследовательность рА: ( . ' ’л '
Возьмём теперь подпоследовательности рА ( и рА ( . Они схо-дятся как подпоследовательности сходящихся последовательностей \ук. } и к,} •
Итак, последовательности рА ( , wk I , R I сходятся к неко-торым пределам x,y,z, а это значит, на основании леммы 9.1, что последовательность {Mk(xk,yk,zk)} сходится к точке M(x,y,z), что и требовалось
доказать. □
306
3.	Открытые и замкнутые множества в Rn
Пусть Rd Rn - некоторое множество. Точка М называется внутренней точкой множества R, если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью, т. е. если существует такое 8 > 0, что
(Л/е(Л/)с Л').
Множество называется открытым, если все его точки - внутренние.
Лемма 9.3. Любая 8 окрестность любой точки М е Rn есть открытое множество.
Пусть N& СЕ(м). Обозначим 5 = s-p(M,N) и /	( *Ру\
рассмотрим множество. CS(7V). Предположим, что	\
PeCs(iV)- Тогда p(P,2V)<5, а значит в силу неравен- I	I
ства треугольника,	\	J
p(P,M)<p(P,N)+p(N,M)<p(N,M)+6,	7
т. е.
р(Р,М)<е,	Рис. 9.5
а значит
СДтДсСДЩ (см. рис. 9.5).
Таким образом, TV (m)^C8(w)cCs(m), т.е. произвольная точка N множества Се (Л/) является внутренней его точкой, что и требо
валось доказать. □
Точку М е Rn будем называть точкой прикосновения множества Rd Rn, если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку
множества R.
Очевидно, каждая точка множества является его точкой прикосновения (поскольку она содержит в себе уже, по крайней мере, одну эту точку).
Если точка М & R имеет окрестность, не содержащую никаких других точек множества R, кроме самой точки М, то точка М называется изолированной точкой множества R.
Точка М е Rn называется предельной точкой (или точкой сгущения) множества R, если любая её окрестность содержит хотя бы одну точку множества R, отличную от М.
Очевидно, любая предельная точка множества является и его точкой прикосновения. Обратно, любая точка прикосновения
является либо изолированной точкой множества, либо его предельной точкой (в последнем случае она может как принадлежать множеству, так и не
307
принадлежать ему), рис. 9.6.
Пример 9.1. Пусть п = 1 и пусть R = (0;1). Тогда все точки интервала (0;1) являются предельными точками множества R, а значит и его точками прикосновения. Точки же д = О и х = 1 также являются предельными точками множества R, но не принадлежат этому множеству.
Пример 9.2. Если R = [0; 1], то точки х = 0 и л = 1 принадлежат множеству R , а значит, в этом случае множество точек прикосновения совпадает с самим множеством R.
Пример 9.3. Пусть множество R состоит из интервала (0,1) и точки х = 2. Тогда точка х = 2 есть изолированная точка множества R, а множество его точек прикосновения есть объединение отрезка [0,1] и точки х = 2.
Совокупность всех точек прикосновения множества R называется замыканием множества R и обозначается R . Очевидно, что всегда R<^R .
Множество R называется замкнутым, если R =R, т. е. если все точки прикосновения множества принадлежат этому множеству.
Например, множество |0,1| в пространстве R^ есть замкнутое множество.
Всё пространство R„, как нетрудно видеть, одновременно есть и открытое, и замкнутое множество.
Лемма 9.4. Замыкание любого множества есть замкнутое множество.
Пусть R с: Rn - произвольное множество. Требуется доказать, что
R) = R. Выше мы отмечали, что всегда /?<=/?. Заменяя здесь R на R, по
лучим
R^fy .	(9.5)
Поэтому, если мы докажем, что одновременно
(fl) <^R,	(9.6)
то отсюда и из (9.5) и будет следовать, что (/?) = R.
Пусть М е (/?) - произвольная точка. Это значит, что М есть одна из точек прикосновения множества R. Следовательно, в любой окрестности Се (М) существует, по крайней мере, одна точка N е R. Поскольку Се (М ) есть открытое множество (лемма 9.3), то существует та- _______
кая окрестность CS(7V), что С8 МсС,(м). Но COOTHO-шение N е R означает, что N есть точка прикосновения	\
множества R, а значит в C8(TV) существует по крайней	'
мере одна точка R&R. Поскольку C5(TV)cz Се(м), то
308
тем более Р [М). Следовательно, в любой окрестности точки
М e\R) имеется точка Р множества R, а это значит, что М е R. Таким
С	7—ТУ	(	—\
образом, мы убедились, что М е (7?) => \М е R) откуда и следует (9.6). □
Точка М е Rn называется граничной точкой множества 7? cz Rn, если в любой окрестности этой точки имеются как точки, принадлежащие множеству R, так и точки, не принадлежащие ему, рис. 9.7. При этом сама граничная точка может принадлежать множеству R, но может и не принадлежать этому множеству.
Совокупность всех граничных точек множества R называется его границей. Границу обычно обозначают dR. Очевидно, всегда
dR cz R (поскольку каждая граничная точка множества является и его точкой прикосновения).
С другой стороны, каждая точка прикосновения множества является либо его граничной точкой, либо внутренней точкой этого множества, а значит
R=R^jdR.
Если R - открытое множество, то любая точка М е/( - внутренняя, т. е. М <£dR. Следовательно, в этом случае множества R и dR не имеют общих точек: R dR = 0.
Пример 9.4. Возьмём в пространстве R3 шар
С (б)— fax х х Их2 + х2 + х2 < /?21
V'i v ।	5*^2?*^3 /1*^1 '^2'^3 I •
В силу леммы 9.3 он является открытым множеством. Его замыканием является замкнутый шар
5 *^2 5 *^3
V2 4- V2 4- V2 - Z?2 “г -А-2 ' *^3 —
Сфера
одновременно является границей обоих шаров. Однако в первом случае множества R и dR не имеют общих точек, а во вором случае, очевидно, dR^R.
л	М 2	2	2	2 (
Пусть теперь R= ^Xi,x2,x3Jxj + х2+х3 =R J . Любая точка этого
множества является граничной, и при том других граничных точек данное множество не имеет, т. е. в этом случае множество R полностью состоит из своей границы:
dR = R.
309
4.	Линии и области в иростраистве Rn
Множество точек М e.Rn, координаты которых являются непрерывными функциями некоторого параметра t:
xi = 9/(0, * = 1,2,-Л; ос<^<р,	(9-7)
называется непрерывной кривой в пространстве Rn (точнее дугой этой кривой). При этом точки Л(х1(а),х2(а),х3(а),...,%„(«)) и B(xj(p),x2(р)лз (Р ),•••, х„ (Р)) называют соответственно началом и концом Дуги.
В частности, если
Xj=x^+Cjt, / = 1,2,...,и; - оо < z <+оо, (9.8) то получим бесконечную прямую, проходящую через точку в направлении вектора с^с1,с2,...,с/г}. Часть прямой, отвечающая изменению параметра t в некотором конечном промежутке, называется прямолинейным отрезком в пространстве /?;;.
Соотношение (9.7) представим в развёрнутом виде:
Ч = 91(0,
Ч =92(0, <
.4, ==9„ (О
Эти равенства естественно назвать параметрическими уравнениями данной линии. В частности, соотношениям (9.8) можно придать вид
jq = _х(°) + cxt,
.4 =40) + <v-
Это - параметрические уравнения прямой в пространстве R„. Разрешая последние равенства относительно t и приравнивая результаты, получим ч-ч(0) = ч-40) = = ч-ч(,0)
С1	С2	Сп
а это - канонические уравнения данной прямой в пространстве Rn .
Множество R cz Rn называется связным, если две любые его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству. Примером связного множества может служить квадрат {(ч,ч)||ч| <1,|ч| <1}, Рис- 9-8. В то же время множество /? = С2(0)оС|(4)
310
не является связным, рис. 9.9.
Рис. 9.9
1	
0	
Рис. 9.8
Открытое связное множество называется областью.
Множество, являющееся замыканием некоторой области называется замк
нутой областью. Примером области может слу- *2М жить множество, изображённое на рис. 9.8.
Пример замкнутой области (см. рис. 9.10)	2
-R = {(х],х2)|0 <.Y| <4;0 <х2 <2}.
Ограниченную замкнутую область назы- 0 -вают компактом.
Рис. 9.10
5.	Понятие функции п переменных
Пусть имеются п упорядоченных переменных: хъх2,...,хп. Предположим, что каждому конкретному набору этих переменных из некоторого множества 7? с Rn отвечает одно или несколько значений вещественной переменной и. Тогда переменную и называют функцией п независимых переменных х\,Х2,...,хп. Это записывают так
и = f(xx,x2,...,xn\	(9.9)
а множество R в этом случае называют областью определения данной функции (9.9) и обозначают 1)и.
Если ввести точку М(хъх2,...,хп) в пространство Rn, то вместо (9.9) можно писать просто: м=/(Л7). т. е. в этом случае и трактуется как «функция точки» в и-мерном пространстве Rn .
В дальнейшем, если не будет специальных оговорок, мы будем рассматривать только однозначные функции.
Предположим, что число независимых переменных равно п = 2. То
311
гда, вместо Х| и х2 > эти переменные будем обозначать х и у, а их функцию - через z, т. е. будем писать: z = f(x,y). Область определения такой функции представляет собой некоторое множество точек (х, у) плоскости хОу.
Пример 9.5. Пусть z = -J1 - х2 - 1у2 . Очевидно, Dz = {(х,у)|1-х2 -1у2 >0}={(х,у)|х2 + 2у2 <1}, т. е. область определения есть компакт, ограниченный эллипсом х2 + 2у2 = 1, рис. 9.11.
Пример 9.6. Пусть теперь z = 1п(1-х2-2у2). Очевидно, в данном случае Z)z = ^х,у)|х2 +2у2<1}, т. е. область определения
ограничена тем же эллипсом, но является теперь не замкнутой, а открытой, рис. 9.12.
Пример 9.7. Пусть, наконец, z = фпху. Тогда Dz = {(х,у)|1п ху> 0}= {(х,у)|ху > 1}.
Легко видеть, что множество Dz в данном случае неограниченно и замкнуто, рис. 9.13.
Геометрически функция z = f(x,y) изображается, вообще говоря, некоторой поверхностью в пространстве Oxyz. Эту поверхность естественно называть графиком данной функции, рис. 9.14.
При п = 3 независимые переменные х,, х2
Рис. 9.12
У
и х3, обычно обозначают х, у и z, а поэтому ра- Рис 9 13
венство (9.9) пишут в виде и = f(x,y,z). Областью определения такой
функции является некоторое множество точек в пространстве Oxyz.
В отличие от функций двух переменных, функции большего числа независимых переменных не могут изображаться при помощи графика. Тем не менее, свойства функции /(х1,х2,...,хи), при произвольном и, совершенно аналогичны свойствам функций двух переменных. Иными словами, специфика функций многих переменных (по сравнению с функциями одной переменной) проявляется, в доста-
Рис. 9.14
точно общем виде уже на функциях двух переменных. Поэтому, не огра-
ничивая общности, а лишь во избежание излишней громоздкости записи,
312
и, кроме того, для сохранения возможности геометрической иллюстрации, мы будем рассматривать, главным образом, именно функции двух переменных.
6.	Предел функции многих переменных
Число Л называется пределом функции Дх,у) ух в точке М$(а,Ь), если для любой последователь- _______/___дА70
ности точек Мп(хп,уп}^ Df, сходящейся к точке / м‘ :
Л/о 7 будет lim f(xn,yn) = А. В этом случае пи-	!
”	о----------?-----* X
шут, что
lim/(x,y) = 4,	Рис. 9.15
х^>а у^-Ъ
ИЛИ
Jim f(M) = A.	(9.10)
м^м0
При этом молча предполагается, что величины х и у стремятся к числам а и b произвольным образом и независимо друг от друга, т. е. что точка М(х,у) приближается к точке Mq по произвольному пути (рис. 9.15).
Пример 9.8. Покажем, что функция
f(x,y) = s не имеет предела в точке 0(0,0). х +у
Для этого возьмём две различные последователь
ности точек:
Рис. 9.16
чит, что в первом случае мы будем приближаться к
точке О по прямой у=х, а во втором - по параболе у = х , рис. 9.16). Име
ем
lim —*пУп	= lim Ц^- = -
м„^>0хп2+уп2	2
и2
** Очевидно, в этом случае, точка 7И0 должна быть предельной точкой множества Dy
313
1
lim —Х'1Уп = lim	—— = 0,
+ y„	+
772 И4
t. e. предел lim f(x,y) зависит от траектории приближения точки М к Л/->0
точке 0.
В данном случае отсутствие предела функции в точке О связано, в частности, с тем, что в этой точке и числитель, и знаменатель функции обращаются в нуль. В то же время, например, в точке Л/(1,1) функция имеет предел. Действительно, пусть Мп (1,1) произвольным образом. Тогда хп = 1 + ос„, уп = 1 + р„, где lim ос„ = 0, lim Р„ = 0. Тогда
(1 + ос„ )(1 + Р„ )	1	1
lim f(x,y)= lim —---------------^—7 =----= ~
)->(!.!)	«^-“(1 + GC„)2 +(1 + P„)2 1 + 1 2
независимо от способа стремления к нулю бесконечно малых ос„ и Р„ . Таким образом,
lim 2ХУ 2 =^-
Как и для функции одной переменной, определение предела функции многих переменных можно сформулировать на языке 8 — 5: число А называется пределом функции fix,у) в точке	если для
любого 8 > 0 можно указать такое 5(8) > 0, что
((х-а)г+(у-Ь)г <52)^(|/(x,j)-Xp е, (9.11) т. е.
8).	(9.12)
Очевидно, что, на основании леммы 9.1, вместо выражения (9.11) можно писать
(|б/ -х| < 5, |у - b\ 8) => (|/(х, у) - А\ < 8 ).
Отметим также, что выражения (9.10) и (9.12) записаны в форме, не зависящей от числа п независимых переменных.
Определение предела функции легко сформулировать и для случаев, когда, по крайней мере, одно из чисел а, b и А равно .
Заметим также, что, поскольку исходное определение предела функции было сформулировано на основе предела числовой последовательности, то теория пределов, построенная для функций одной переменной, легко переносится на случай функции многих переменных. Например, предел суммы любого конечного числа функций равен сумме их пределов и т. и.
314
7.	Повторные пределы
Пусть существует предел lim f(x,y). Здесь предполагается, что хиу х^уа у->Ь
стремятся к своим пределам а и b одновременно. Такой предел называют двойным, или двукратным (в случае функции трёх переменных предел liin f(x,y,z) называют тройным, или трёхкратным, и т. д.). Рассмотрим те-х^>а у—>Ь z^>c
перь следующий предел: lim lim f(x,y) . Здесь уже предполагается, что у—>Ь\_х—>а
сначала производится предельный переход по переменной х, и лишь затем - по переменной у. Такой предел, в отличии от предыдущего, кратного, называют повторным. Меняя порядок предельного перехода, получим другой
повторный предел: lim lim f(x,y) . х^>а v^>b
3	2
Пример 9.9. Возьмём функцию f(x,y) =	. Имеем
jf3 + 2у
lim lim
у^О^А'^-О х1 + у1
х3 + 2у
= lim = 2;
г *3	.
= lim — = 0, х->ол2
т. e. в данном случае оба повторных предела существуют, но не равны между собой.
lim lim
х—>0^у—>0 у1 +у2
3	2
X + у
Пример 9.10. Пусть теперь /(х,у) = ——. Тогда
f х3
lim lim —
<	..з
lim lim
2 ,	3
г 1
= lim — = оо;
= lim ^— = 0,
*->0х2
т. е. один из повторных пределов существует, а другой - нет.
Пример 9.11. Пусть
Z-/ А
—:?•
х у +О--0
Легко видеть, что
315
lim lim f(x, y)
x^Q y—>0
= 0, lim lim f(x,y) y—>o|_x—>o
т. e. оба повторных предела в точке О существуют и равны между собой. Между тем, предел lim f(x,y) не существует. Действительно, приближа-Л/—>0
ясь к точке О вдоль прямой у=х, получим
х4
lim f(x,y} = lim — = 1,
Л/->0	х—>0 х4
а двигаясь, например, вдоль оси Ох, будем иметь lim f(x,y) = 0, т. е. по-л/—>о'
лучаем два различных предела.
Пример 9.12. Пусть f(x,y) = (x + y)sin — sin —. Здесь, наоборот, оба х у
повторных предела в точке О не существуют. В то же время, если одновременно х —> 0, у —> 0, то первый множитель в выражении fix,у) бесконечно мал, а оба следующих множителя ограничены, так что lim /(х,у) = 0, т. е. предел функции в точке О существует.
Л/-Я)
Теорема 9.2. Если
1) существует двойной предел lim f(x,y) = А, и
х—>а у—>Ь
2) при любом фиксированном у существует предел lim f (х, у) = ср(у).
х—>а
То существует и повторный предел lim ср(у)= lim lim /(х,у) у->Ь	у-ьЬ\_х^>а
И ОН
равен двойному пределу.
По условию, для любого 8 0 найдётся такое 8 0, что
(|х-«| ф-у 8)^(|/(х,^)-Л|<£).	(9.13)
возьмём произвольное у е (Ь - 8, b + 8) и зафиксируем его. Переходя в выражении (9.13) к пределу, при х^>а, получим
(|у-^8)^(|(р(у)-Л| щ).
Отсюда следует, что
lim ср(у) = А,
у—>Ь
т. е.
lim lim /(х,у)
у—>а
что и требовалось доказать. □
Легко видеть, что доказательство остаётся в силе и тогда, когда А = оо. Кроме того, легко видоизменить доказательство для случаев, когда, по крайней мере, одно из чисел а и b заменено на со .
316
Примечание. Пусть, кроме выполнения условий 1 и 2, существует при любом фиксированном х предел cp(jv) = lim f(x,y). Тогда, мысленно у^Ь
поменяв местами величины х и у в проведённом только что доказательстве, получим, что существует и второй повторный предел:
lim ср(х) = lim lim f(x,y} , х^>а	х^>а y^>b
также равный А, т. е. В этом случае оба повторных предела существуют и равны между собой.
8.	Непрерывность и разрывы функций многих переменных
Пусть функция fix,у) определена на некотором множестве R в плоскости хОу и пусть A/0(x0, Jo) _ некоторая предельная точка этого множества, причём Mq е R. Функция fix, у) называется непрерывной в точке Mq,
если
lim f(x,y) = f(xQ,yQ), x—>x(l
У->У0
т. е. если
Ду-
Разность
to /(Л/) = /(Л70).	(9.14)
М^М0
На языке 8,5 это определение звучит так: функция fix,у) непрерывна в точке Mq, если для любого 8 0 существует такое 5(8); 0, что
(М е R,p(M,M0) < 5) ^ (| f(M) -f(MQ) |< 8).	(9.15)
Предположим теперь, что функция z=fix,y) определена на множестве R, и пусть М0(х0,у0~) - некоторая точка этого множества. Придадим значению х приращение Лх, а у оставим неизменным.	Величина
/(xq +Лх,уо)- /(xq,у0) называется частным приращением функции z/(x,y) по переменной х в точке Mq и обозначается Axz(Mq). Предположим теперь, что х = х0 = const, а величина у = Уо	получает прирап
A z<Mo ) = Л*о> У о + АУ) - f(xo Ло) нг
функции по переменной у в точке Mq . Пусть, наконец, величины х и у одновременно получают приращения Лх и Лу. Разность Дх(М о ) = Лхо +	Jo + ау)~Лхо ’ Jo ) называется полным приращением
частным приращением
317
функции в точке Мо (х0, у()). Отметим, что, вообще говоря, Az Ф Д.г + Avz. Введём обозначение
г = у]Лх2 + Ау1 .
Очевидно, что
(Ах -> 0,Лу -> 0) (у -> 0).
Теперь равенству (9.14) можно придать вид
HmAz = 0.	(9.16)
v—>0
Это равенство выражает определение непрерывности функции на языке приращений.
Равенство (9.14) и эквивалентное ему равенство (9.16) определяют непрерывность функции z = /(.х\г) по совокупности её переменных хиу.
Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке Л/0(х0,у0) по переменной х, если lim f(x,y0) = f(x0,y0), т. е. если lim Axz = Q. Анало-Х->Х0	Дг->0
гично определяется непрерывность функции z=J(x,y) по переменной у. Очевидно, что если функция непрерывна в точке по совокупности переменных, то она непрерывна в этой точке и по каждой из них в отдельности. Обратное, вообще говоря, неверно.
Пример 9.13. Возьмём функцию, определённую так:
2ХУ 2 ПРИ С*’-*')* (0’0)’	/о 1
z = <x +у	(9.17)
0 при (х = у = 0)
Мы видели (см. пример 9.8), что предел lim	не существует,
+у2
у—>0
так что функция (9.17) в точке (0,0) не непрерывна. В то же время Дх,0)=0 при всех х (включая и х = 0), а значит и lim /(л,0) = 0, и аналогично, х—>0
lim /(у,0) = 0. Таким образом, функция fix,у) в точке (0,0) непрерывна по v—>0
каждой из переменных хиу, но не непрерывна по их совокупности.
Всё сказанное обобщается на случай функции u = f(xl,x2,...,xn). В частности, выражения (9.14) и (9.15) в этом случае сохраняют прежний
И
вид, а вместо (9.16) получим lim Аи = 0, где v = Vzkz- .
v—>0	А . ,
V /=1
Отметим, что в случае п переменных (п > 3) непрерывность функции и = f(xx,x2,...,xn} по совокупности переменных влечёт за собой её непрерывность не только по каждой из них, но и непрерывность по каждой паре переменных xt,xk, непрерывность по каждой тройке переменных х{,хf,xk
318
ИТ. д.
Функция ДА/) называется непрерывной на множестве RczRn, если она непрерывна в каждой точке M&R.
Всякая предельная точка области определения R функции ДА/), не являющаяся точкой непрерывности этой функции, называется её точкой разрыва.
Пример 9.14. Функция z = —------
X +У единственную точку разрыва (0,0). 2	2
X + У
Пример 9.15. Функция z =-------
х-у разрыв в каждой точке, для которой рис. 9.18.
Рис. 9.18
9.	Свойства непрерывных функций
Легко видеть, что на случай функций многих переменных переносятся теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций, теорема о непрерывности сложной функции, а также лемма о сохранении знака функции. В частности, последняя утверждает, что если функция f(M) определена на множестве Rcz Rt1 и непрерывна в его предельной точке Mq е R, причём f (А/о) 0, то существует такая окрестность С8(А/о), что на множестве Се(Л/0)гэ7? функция /(А/) имеет тот же знак, что и f (М0 ).
Перейдём теперь к функциям, непрерывным не на произвольном множестве, а в некоторой области D.
Теорема 9.3. Если функция f(x,y) непрерывна в области D и существуют в D такие точки А и В, что Д(л) и /(в) имеют разные знаки, то
имеется по крайней мере одна такая точка N(y.,n) & D, что f(N) = Q.
Поскольку множество D есть область, то оно связно. Поэтому точки А иВ можно соединить некоторой непрерывной дугой АВ. Пусть
|х = Ср(О,
1у = W)-
её уравнения, и пусть точкам А и В отве
Рис. 9.19
чают значения параметра ос и Р. При монотонном изменении t от ос до Р
319
точка	описывает дугу АВ, рис. 9.19. Введём функцию
ф(/)=	Поскольку функции (р(/)и ЧД/) непрерывны на отрезке
[ос,р],то и функция ф(/), на основании теоремы о непрерывности сложной функции, непрерывна на отрезке [ос,р]. Но f(A) = Дф(а),Т,(а)] = ф(а), и, точно так же, Дв)=Ф(₽), а так как, в силу условия, числа ф(ос) и /(р) имеют разные знаки, то, на основании теоремы Больцано-Коши для функций одной переменной, существует по крайней мере одно значение О е (ос,р), такое, что ф(0) = 0, т. е. /[<р(О),<Р(О)] = О, а значит существует по крайней мере одна точка N е АВ, что f(N) = 0 .□
Доказанная теорема обобщает 1-ю теорему Больцано-Коши на многомерный случай.
Теорема 9.4. Пусть функция f(x,y) непрерывна в области D. Тогда, принимая в ней два некоторых значения, она принимает в этой области и все промежуточные значения.
Примечание. Теоремы 9.3 и 9.4, очевидно, верны как для открытой, так и для замкнутой области D.
Теорема 9.5. Если функция f(x,y) непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то она ограничена в ней и снизу, и сверху, т. е. существуют такие числа т и М, что для всех (х,у)е /) будет т < f(x,y)<M .
Теорема 9.6. Если функция f(x,y) непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то она достигает в ней своих точных верхней и нижней граней, т. е. существуют такие точки (хрдДе!) и [х2,у2)е D, что ЛХ1>У1) = М, ЛхъУ1)=™, где Л/= sup/(x,y), m = inf f(x,y).
d	D
Теоремы 9.5 и 9.6 называют соответственно 1-й и 2-й теоремами Вейерштрасса и доказываются, благодаря лемме Больцано-Вейерштрасса (см. лемму 9.2), точно так же, как и для функции одной переменной.
Функция f(x,y), непрерывная в области D, называется равномерно непрерывной в ней, если для любого 8 > 0 существует такое 5(s) > 0, что для произвольных точек М'(х',у')& D и М"(х",у")& D будет
(P(M',M")<8)^(/(M')-/(M")Ke).	(9.18)
Неравенство р(М' ,М")<Ь означает, что Л/"еС8(Л/')- Очевидно (см. лемму 9.1), вместо этого можно потребовать, чтобы было
Тогда вместо выражения (9.18) получим
(| х'-х"|< 8,1 у’-у"\< 8)=> (| f(x',y')-f(x".y")< е)
Теорема 9.7 (Кантора). Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она и равномерно непрерывна в ней.
Доказательство не содержит в себе ничего нового по сравнению с
320
одномерным случаем (опять таки благодаря лемме Больцано-Вейерштрасса).
10.	Частные производные функции
Пусть функция s = f(x,y) задана в некоторой области D. Возьмём точку (x0,y0)eD и придадим х приращение Лх, такое, что (х0 + Лх,у0)е D. Вычислим разность = /(л0 + Лх,у0)-/(х0,у0) и со-
ставим отношение . Если существует предел Лх
г 4-
zk->0 Лх
то он называется частной производной функции s = f{x,y) по переменной
_	6<(л0,у0)	7 X .
л и обозначается ———— , или j х (х0,у0 J. Аналогично определяется ча-дх
стная производная функции по переменной у:
д/(хо,Уо)= 4s = Jihj /(*о,То + 4f)-/(wo) ду	Лу 4у->0	Лу
Если частные производные вычислены не в конкретной фиксированной точке (хо,уо), а в «текущей» точке (х,у), то их обозначают просто — дх df	dz	dz
и — (или — и — ). При переменных х и у они являются, вообще говоря, ду	дх	ду
функциями ОТ X и у.
dz
Очевидно, — находится по обычным правилам и формулам диффе-дх
ренцирования, но при этом дифференцирование ведётся только по пере-
Л
меннои х, а у считается постоянным. Аналогично, при вычислении — бу
предполагается, что х = const. Вообще, частная производная функции любого числа переменных по одной из них вычисляется в предположении, что все переменные, кроме переменной дифференцирования, сохраняют постоянные значения.
Пример 9.16. Пусть z = arctg —. Тогда
х
dz 1 д у А у dz 11 х
дх у2 t х2 J х2 + у2 ’ ду у2 х х2 + у2
1 + 2_	z 1 + 4"
X2	X
321
Пример 9.17. Пусть w = jcsin(^ + 52j Имеем
ди . t 2\ ди (	2} ди _	/	2\
— = sinly + 2s 1 -= JCC0Sly + 5 1 -= 2sC0S|y+Z 1
дх	ду	7 dz
Пример 9.18. Пусть функция z = f(x,y) задана неявно уравнением 3	2
xz~ + yz = х — у.
Дифференцируем это уравнение по переменной х как тождество в
предположении, что у = const, a z есть функция от х. Получим
z3 +jc3s2— + y2z— = 1, дх дх
откуда
dz _	1-?
дх 3xz2 + 2yz
Совершенно аналогично имеем
jc3z2 — + z2+y2z— = -1, ду	ду
откуда
dz _	1 + z2
ду 3xz2 + 2yz
Выясним геометрический смысл частных производных для случая двух независимых переменных. Возьмём функцию f(x,y), произвольную точку (х0,у0) и проведём плоскости х = х() и у = Уо, перпендикулярные плоскости хОу. Они пересекут поверхность z = f(x,y) по кривым и z = f(x,yQ\ рис. 9.20. Функция z = f(x,yo) есть функция од
ной переменной: х, и её производная в точке равна
[/(^Jo)L'|x=xo = /'xfcy
^(Ыо) дх
В то же время она равна tgoc, а значит дмЛшУо)
= tgoc. Совершенно аналогично дх
_	df(xn,yn)
убеждаемся в том, что	= tgp.
ду
Итак, частные производные функции f(x,y) геометрически представляют собой
Рис. 9.20
тангенсы углов наклона каса-
тельных к сечениям поверхности z = f(x,y) плоскостями х = const и
у = const.
322
11.	Полный дифференциал функции
Предположим, что функция s = f(x,y) и её частные производные — дх
и — заданы в некоторой области, содержащей точку (х,у), а в самой этой ду
dz dz
точке величины — и — есть непрерывные функции. Придав хи у при-дх ду
ращения Лх и Лу, получим
Az = f(x + Лх,у + Лу)-/(х,у),
т. е.
Л? = [/(* + Лх,у + Лу)~ f(x, у + Лу)] + [/(л, у + Лу) - f(x, у)].
В силу теоремы Лагранжа, отсюда имеем
дх	ду
где £ е (х,х + Лх), п е (у,у + Лу).
,	dz dz	, ч
Поскольку функции — и — непрерывны в точке (х,у),то дх ду
1im dffc,y + Лу) _df(x,y) df(x,n) _df(x,y) zk^-0 dx	dx ’ 4y->0 dy dy
4r->0
а значит
где ccj и oc2 - бесконечно малые при Лх —> 0 и Лу —>0.
Теперь получаем
. df(x,y)	df(x,y)
Az. = -ЛУ—'Z/lx + лл—гл Ду + СХ] zbc + ос2 Лу. дх	ду
Если одновременно Лх—>0 и Лу—>0, то ОС] Лх + ос2 Лу = о(г), где
(919)
дх
2
+ Лу . В то же время величина
как мы ранее обозначали, г = df(x,y) df(x,y)	л л	г
j. ' z—относительно Лх и Лу, а значит, если не будет од-6у
df(x,y)	8f(x,y)
повременно	—— = 0 и	—— = 0, то
дх	ду
,=о* („), дх	ду	У ’
т. е. эта величина есть главная часть бесконечно малой Az.
323
Главная часть бесконечно малого приращения функции, линейная относительно бесконечно малых Лх и Лу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz. Функция, имеющая в данной точке полный дифференциал, т. е. функция, полное приращение которой в этой точке может быть представлено в виде
Zt = — Лх + — Лу + о(у),	(9.20)
дх ду
называется дифференцируемой в этой точке. Тем самым доказано, что если функция z = f(x,y) имеет в данной точке непрерывные частные производ-& dz
ные — и —, то она дифференцируема в этой точке.
дх ду
Равенство (9.20) определяет дифференцируемость функции z = f(x,y) «по совокупности переменных х и у». Мы видим, что это значительно больше, чем дифференцируемость данной функции по каждой из переменных х и у в отдельности. Ведь для получения формулы (9.20) мы dz dz	/	\
предполагали, что — и — в точке (х,у) не просто существуют, но и не-dx dy
прерывны. Одного же существования частных производных в данной точке может оказаться недостаточно для дифференцируемости функции в этой точке.
Пример 9.19. Возьмём функцию z = %[ху и точку (0,0). Имеем в этой точке
Axz = 3/(0 + Лг)-0 - VcTo = 0, а значит и f'x (0,0) = 0, и, аналогично, f'y (0,0)=0, Поэтому выражение (9.20) в этом случае запишется так:
Zlz = о(г), т. е.
^ЛхЛу = о(у).	(9.21)
Это равенство должно выполняться при любом способе стремления Лх и Лу к нулю. Между тем, при Лх = Лу будем иметь из (9.21)
х!лх2 = о(у), т. е.
х] Л\2 = о(Лх),
что абсурдно. Таким образом, функция z = ^ху имеет в точке (0,0) обе частные производные, но не дифференцируема в ней.
Возвратимся к произвольной функции z = f(x,y), фигурирующей в формуле (9.20). Назовём величины Лх и Лу дифференциалами независи-324
мых переменных х и у и обозначим их соответственно dx и dy. Тогда формула для полного дифференциала примет вид dz	dz
dz = —dx + —dy.	(9.22)
дх	ду
Величины —dx и —dy называют частными дифференциалами функ-дх ду
ЦИИ S = А*,у) по переменным х и у соответственно и обозначают dxz и dyz. Тогда из (9.22) следует, что полный дифференциал функции равен сумме её частных дифференциалов.
Для функции и = /(х^,Х2,---,хп) вместо (9.20), очевидно, будем иметь
du / \
Au = \-—Axi +o(v), ,=] 8x<
а полный дифференциал определяется формулой
du = > ——dXi. ^дх
Пример 9.20. Пусть z = jx- у. Тогда
j	1	1
dz = —.	dx-----. dy.
Пример 9.21. Для функции u = xy2z3 аналогично имеем du — у s dx + ^xyz + Зху s dz.
Пример 9.22. Для иллюстрации приближенного равенства Az «dz, вытекающего при малых г из (9.20), возьмём функцию z = xy. Вычислим её дифференциал и приращение в точке (4;3) при Лх = 0,1; Лу = 0,2. Имеем
Az = (x + Лх)(у + Лу) - ху = у Ах + хАу + Лх- Ау = = 0,3 + 0,8 + 0,02 = 1,12;
dz = у Ах + хЛу = 0,3 + 0,8 = 1,1.
Рис. 9.21
Разность Az —dz есть обозначенная «двойной» штриховкой площадь мало
го прямоугольника со сторонами Ах и Лу.
12.	Применение полных дифференциалов в приближенных вычислениях
1.	На основании (9.20), при малых Лх и Лу будет
325
f(x0 + Лк, y0 + Лу)-/(x0, Jo)~ д/(*О,У°)Лк + dx	dy
откуда
/(*o + Ax, y0 + Ay) « f(x0 ,y0)+ д^Ло) +	Ay_ 23)
dx	oy
Пример 9.23. Вычислим приближённо -\/з,052 +3,932 Для этого вве-/ 2	2
дём в рассмотрение функцию s = у х + у .В данном случае
*0=3; Jo =4; Лх = 0,05; Лу = -0,07; /(х0,у0) = ^З2 +42 = 5, а значит формула (9.23) даёт
-у/з.05 + 3,932 « /(х0,у0)+	zk+	Лу =
зИо +Jo зИо +Jo
= 5 + 3-0,05-4-0,07 = 5 0J3 = 5	5
2.	Пусть из эксперимента получены следующие результаты:
X = х0 ± dx, у = Уо+ бу, где 5х и бу - максимальные в условиях этого эксперимента погрешности, характеризующие степень точности эксперимента. Требуется по этим данным вычислить s = f(x,y) и оценить погрешность полученного результата.
Пусть Лк и Лу - истинные погрешности измерения величин х и у. Тогда погрешность вычисления величины z равна
.	,	6f(x0,y0)	6f(x0,y0)
Jz » ct = v u /u/Ax + v ж, dx	dy
откуда
dx
^f(x0,y0) dy
(9.24)

Но о Лк и Ay известно лишь, что | Лх |< 8х, | Лу |< бу. Поэтому из (9.24)
следует, что тем более
д/(хр,Уо) dx
dx +
Sy
Sy-
Обозначая правую часть этого выражения через получим окончательно
= = f(.xQ,yQ)+dz.
Пример 9.24. Для радиуса основания и высоты цилиндра получены
следующие данные:
R = 6см±0,1 см ; Н = 10 см±0,2см .
Вычислим по ним объём цилиндра.
326
дН
Из формулы V = л/?2// получаем, на основании (9.24), |Ж|< dV^H^^R +
dR
= (2-л-6-10-0,1 + л-36-0,2)см3 = 19,2л см3, а значит
V = л-36-10см3 ±19,2лсм3 = (360±19,2)л см3
8Я = 2nR0H0SR + TtR&H =
13.	Дифференцирование сложных функций
Рассмотрим функцию s =	где w = cp(x,y), v = v|/(x,y). Здесь
предполагается, что функция /(w,v) определена в некоторой области D, а величины х и у изменяются так, что при этом точки (г/, г) не выходят за пределы области D. В этом случае s = /[ср(х, у), \|/(х, у)] есть сложная функция переменных х и у. Будем считать, что функция з = /(г/, г) дифференцируема по совокупности переменных и и г, а функции ср(х,у) и \|/(х, у) дифференцируемы по каждому из своих аргументов. При этих ус-& & ловиях найдём — и —.
дх ду
Придадим величине х приращение Лх. Тогда и и у получат приращение Л^и и zlxv, а значит и s = f(u,v), на основании (9.19), получит приращение, равное
л df df
Л.2 = —Aai + — Д-V + cozl?/ + а7Д.у. .А	Л	-A	JL -А	-А
ди ду
Отсюда
Л~ df Л.и df Л.у	Ли	ZLv
=  ----— +  -----— + OC]	+ a 2	
Лх	ди Лх	ду Лх	Лх	Лх
Если Лх —> 0, то cq —> 0 и ос2 —> 0 а поэтому в пределе получим д^ = ^_ди_ + ^_ду_ дх ди дх ду дх
Совершенно аналогично
ду ди ду ду ду
Пример 9.25. Пусть z = u + v2, где u = x2+siny, v = ln(x + y). Тогда
&	1 Г 1н(х + у)
— = 1-2х + 2г---= 2 х + —----— ;
дх	х + у	х + у
327
&	1	2ln(x + y)
— = 1  cos j + 2v---= cos j + —  —•
X + у	X + у
Формулы (9.25) и (9.26) легко распространяются на случай любого числа промежуточных аргументов и любого числа аргументов промежуточных аргументов. Пусть, например, r = /(w,v,w), где w = cp(jc,y), v = \|/(*>у), w = 7.(л j) • Тогда, очевидно, &	&	ди	dz dv	dz dw	dz	dz du	dz	dv	dz dw
— = —.------1--.----1-.—• — = —.---------1---.---1--.—
dx	du	dx	dv dx	dw dx	dy	du dy	dv	dy	dw dy
Пусть теперь w = f(u,v), где и = cp(jc,y,s), v = \|/(л,у,з). Тогда dw dw du dw dv dw dw du dw dv dw dw du cw cv — = —------1--------• — = —. — _|_ —. — • — = —.-------1-----
dx du dx dv dx dy du dy dv dy dz du dz dv dz
Пусть z = f(x,u,v), где x - независимая переменная, a w = cp(jc), v =	. Тогда z в конечном счёте есть функция одной переменной х, и
dz dz dz ди dz dv — =----1---.----1-. —
dx dx du dx dv dx dz	„	„ dz
Величину —, в отличие от частной производной —, называют пол-dx	дх
ной производной. При её вычислении величины и и г считаются не по-/	& \ л.
стоянными (как при вычислении — ), а функциями аргумента х. дх
Если аргумент х в функции z явно не содержится, а входит в неё д~ лишь через и и г, т. е. если z = f (u,v), где и = <p(x) , v = \|/(.v), то — = 0 и ’	дх
формула для полной производной примет вид: dz dz du dz dv
— =--------+-------.	(9.27)
dx du dx dv dx
Пусть теперь функция z = f(x,y) задана неявно при помощи уравнения
F(x,y,z) = 0.
Дифференцируя это равенство по х как тождество, получим dz
F'x+F'z — = ^ Л-	£	'
дх
откуда
(9 28) дх F'z(x,y,z)
и аналогично
328
dz F'v(x,y,z)
— =-----J .	(9.29)
dy F'z(x,y,z)
Итак, при дифференцировании неявных функций можно поступать и не непосредственно (см. пример 9.18), а сразу пользоваться «готовыми» формулами (9.28) и (9.29).
14. Пивариаитиость формы иолиого дифференциала
Рассмотрим для определённости случай, когда z = f(u,v), где
w = cp(x,y), v = \|/(jc,y). Тогда полный дифференциал функции s = /[ср(л, у), у(х, у)] равен, в силу формул (9.25) и (9.26),
& (du , du ' — —ах + —dy du dx dy
т. е., на основании формулы (9.22), dz = —du ч----------------------------dv.
du dv
Итак, дифференциал сложной функции выглядит так же, как если бы и и г были независимыми переменными. Иными словами, мы доказали сейчас инвариантность формы (см. главу IV) полного дифференциала функции многих переменных.
Пример 9.26. Пусть функция z = f(x,y) задана уравнением
cos2 х + cos2 у + cos2 z = l.	(9.30)
Найдём её полный дифференциал.
В силу свойства инвариантности, полный дифференциал левой части уравнения находится так, как если бы величина z была независимой переменной, а не функцией переменных х и у. Поэтому, взяв полный диффе
ренциал обеих частей уравнения (9.30), получим
- 2cosjc • sin xdx-2 cosy • sin ydy - 2coss • sin zdz = 0,
t. e. sin 2xdx + sin 2ydy + sin 2zdz = 0,
откуда
, sin 2x , sin2y , dz =-------dx--------dy.
sin 2z sin 2z
dz	sin 2x dz	sin 2 v
Отсюда, между прочим, следует, что — =---------, — =---------.
dx	sin 2z dy	sin 2z
Применяя эти же рассуждения к уравнению общего вида
329
F(x,y,z) = 0, ещё раз получим формулы (9.28) и (9.29).
15.0диородиые функции. Тождество Эйлера
Функция f(x1,x2,...,xn) называется однородной функцией к-й степени, если для неё выполняется тождество
f (tXy,tX2,...,tXn) t f(Xy,X2,---,Xn).	(9.31)
При этом число к может быть любым вещественным числом (не обязательно целым и не обязательно положительным).
2 У3
Пример 9.27. Функция г = 2х + Зху + — есть однородная функция х
2-й степени.
Пример 9.28. Функция z = х2у + -Jx6 - у6 In — является однородной х
функцией 3-й степени.
Пример 9.29. Функция и = ^х + 2у + 5з есть однородная функция 1 степени -.
3
Пример 9.30. Функция z =—-— - это однородная функция (-1)-х + Зу
степени.
Пусть f{xi,X2,...,xn>) - однородная функция к-й степени. Поскольку
1 в тождестве (9.31) может быть любым, то положим t =—. Тогда полу-jq
чим
— /(*!,Х2,...,Х„ jq
х2 kjq
Обозначая левую часть через ср
х3	хп
X j	УС ।
'ъудш иметь
f(xi,X2,...,Xn)=xl^^,^,...,^- .
^xl jq Aq J
В частности, при к = 0 получаем
/(х1,х2,...,х„)=ф	,	(9.32)
УС'j
т. е. в этом случае функция зависит по существу не от переменной п аргументов, а от п -1 отношений этих аргументов к одному из них.
330
Пример 9.31. Функция -= л + является однородной функцией 0-й х~у
степени. Равенство (9.32) для неё запишется так:
1 + ^ _ _ х ' = 1-У X
Возьмём теперь для простоты записи функцию двух переменных f(x,y) и предположим, что она является однородной функцией ^-степени, имеющей . ,	а/ df
в некоторой области и непрерывные частные производные — и —. дх ду
Пусть (х0 ,у0 ) е D - произвольная точка. Тогда
.Л^Уо) = /\Л^о,Уо)-
Дифференцируя это тождество по t, имеем
Г х (tx0 > (То )*0 + Г у (tx0 > (То )Т0 = ktk~lf(x0, у0 ).
Полагая здесь t = 1 и заменяя фиксированную точку (jcg, уо) на «текущую» точку (х,у\ получим
Xfx U,T) + yf'y (*,Т) =
Эту формулу называют тождеством Эйлера для однородных функций. Для однородной функции /(х^,Х2,--;Хп) °н°, очевидно, записывается так:
Xх! -т- = kf(xi, )• 1=1
Для к = 2 эта формула используется, в частности, в теоретической механике.
16. Частные производные высших иорядков
,,	.	у/ ч	dz dz
Пусть функция z = j(x,y) имеет частные производные — и —.
дх ду
л-.	as dz
Предположим, что — и —, в свою очередь, дифференцируемы и по х, и дх ду
dz
по у. Тогда, дифференцируя — по х, получим производную 2-го порядка дх
d2z функции z = f(x,y) по переменной х. Её обозначают —у, или /"хх(х’У)-дх2
331
Дифференцируя функцию — по переменной у, получим т.н. смешанную дх
частную производную 2-го порядка, обозначаемую через —— , или дудх
dz f"xv(x,yy Аналогично, дифференцируя функцию — по х и по у, полу-?	дх
д2=	d2z
чим частные производные —— (или f['x(x,y) и —(или //^(х,т))-дхду	у	Qy2-	уу
3 У2
Пример 9.32. Пусть z = х у - -—. Тогда х
dz 2 У2 dz з 2у
— = 3л у + ^у, — = х — дх	х ду х
а значит
82:	.	2у2	82:	, 2 2у	82:	, 2 2у	82:	2
-у = 6^—у,	= + А ^“ = 3х + А > =—
дх1	х2	дудх х	дхду х	ду	х
В частности, мы видим, что для данной функции выполняется равенство д^ = _д^_ дудх дхду ’
т. е. смешанная производная не зависит от порядка дифференцирования. Докажем, что этот факт имеет общий характер.
Теорема 9.8. (Шварца). Если функция z = f(x,y) и её частные про-dz dz d2z	d2z
изводные —, —, ------ и----непрерывны в точке (хо,уо) и в некоторой
дх ду дудх	дхду
её окрестности, то
aVowo) б2/(-*о,л>) дудх	дхду
 Для доказательства составим выражение
= [/to + Аг,Уо + Ду) - f(xQ + Ах, у0)]- [/to, Уо + Ду)- f(xQ,у0)]. Положив
Ф t) = f(x, Уо + Ду) - f(x, Уо ), получим
Axyz = ср(л0 + Ах) - ср(х0).	(9.33)
Поскольку ф'(х) = /; (х, Уо + Ду)-/xfc То), а функция fx(x,y) определена в некоторой окрестности точки (хо,Уо), то и величина ф'(х) существует в некоторой окрестности этой точки. Поэтому из равенства (9.33), в силу 332
теоремы Лагранжа, имеем
= cp'fe)zfr
+ 4v)-Д&УоЖ. (9.34) где е (xq,Xq + Лх).
Но функция f'Ху(х,у) также определена в некоторой окрестности точки (Ло,уо)- Поэтому, снова применяя теорему Лагранжа, получим из равенства (9.34)
Д^ = /хуЙ1Ш1)4У^,
где Гц е(уо,Уо +4у)-
Представим теперь величину Axyz в виде
Ду = [/'(^ + ^г,Уо + д)-/(л»лл + Д)]-[/(Л) + ^И))-/(Л),И))]-Вводя функцию
чХл) = /(*о + Лх, у) - f(xQ, у), будем иметь
Ду* = шСпо + 40" Хуо) или
Ду* = чГ(т|2)4У, т. е.
Ду* = 1/J(Л) + Лх, т)2) - /у (*о, п2)]Д •
Здесь т)2 ^(уо,Уо +Лу).
Повторное применение теоремы Лагранжа даёт
Ду* = /ухЙ2Ш2)^4У, где ^2 е (х0,х0+Лх).
Сравнивая оба выражения для Axyz и сокращая на ЛхЛу, получим /Жп1)=/"(г;2,г|2).
Отсюда в пределе при /tr—>0 и Лу—>0, учитывая непрерывность смешанных производных, будем иметь
f хуС-ЛьЛо)- f ух(Ло,УоУ> что и требовалось доказать. □
Очевидно, теорема Шварца верна для функций любого числа переменных.
Аналогично вводятся частные производные 3-го порядка функции = = f(x,y):
d3z д3= d3z d3z
дх3 дх2ду дхду2 дуА
333
Применяя теорему Шварца к функциям — и —, получим, напри-dx ду
мер, что
d3z _ d3z _ d3z
дхду2 дудхду ду2дх
Аналогичный факт верен и для частных производных ещё более высоких порядков.
17.	Полные дифференциалы высших иорядков
Пусть функция г = /(х,у) имеет в некоторой области D непрерывен	&
ные частные производные — и —. Тогда (см. §11) в любой точке дх	ду
(х,у) е D она имеет полный дифференциал
dz = —dx-\--dy.
дх ду
При фиксированных dx и dy и при переменных х и у величина dz есть
,	dz dz
функция величин х и у. вели функции — и — имеют непрерывные ча-дх ду
d2z
стные производные по x и по у, т. е. если частные производные — дх2
q2_	q2_
—— и —непрерывны в области D, то dz как функция переменных х и dxdy Qy2
у имеет полный дифференциал d(dz). Он обозначается d2z и называется
полным дифференциалом 2-го порядка функции z = f(x,y). Имеем
dz , V
—dy dy =
Sy J
dz	d:,}
—dx + —dy = dx	dy ,
_d2s 2
— ——dx + dx2
dz	)	d ( dz
—dy dx +— —dx dy )	dyl^dx
d2s , , d2 z, , d2z , 2 ----dydx ч-----dxdy ч----- dy
drl дх
т. е.
2 S2Z 2 n S2Z	d2Z 2
z = —-dx +2----dxdy a--dy
to? <№Sy	dv2
Символически это записывают так:
334
2
а )
.... . —dy z. дх ду , Правую часть этой формулы следует понимать как квадрат дифференциального оператора
д, д J
—ах-\---dy
дх ду
(его линейность очевидна), применённый к функции г = f(x,y).
Точно так же, полагая d^z =
,3 a3s з a3s 2 / о
a z — ——dx + 3———dx dy + 3
dx3 dx2 dy
получим
а3-	а3-
।--^dxdy2 ч---
т. е.
з
d ) dz dy Методом индукции легко показать, что при любом натуральном т будет
d z = — dx-\-------dy z.
I Sr	dy )
Для функции u = f(xi,x2,...,xn) этот результат, очевидно, запишется так
dmu =
д д	д
dx\ +	dx'j + + dx„
L	Л,	fl
и.
18.	Формула Тейлора для функции многих переменных
Предположим, что в области D функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные всех порядков до (т + 1)-го включительно. Возьмём произвольную точку (льУо)е D и рассмотрим новую точку (л'о + Лх, уо + 4у) такую, чтобы отрезок прямой, соединяющей точки (х0,Уо) и (Ло + Ах, у о + 4у) полностью принадлежал области D.
Введём вспомогательную функцию F(t)= ,f(xQ + tAx,y$ + tAy), определённую на отрезке [0,1] и имеющую на нём, в силу сделанных предположений, непрерывные производные 1-го, 2-го, ..., (т + 1)-го порядков. Но тогда для этой функции на отрезке [0,1] выполняется формула Тейлора в форме Маклорена (см. раздел F)
335
F(t) = F(0)+ F'(0> + ^-(2)z2 + +F^ X°)tm +
2!	m\	(m +1)!
где т e (0,1)*\ Полагая t = 1, получим
2!	m\ (m +1)!
Ho
F(o)=/(xo,yo).
Далее, на основании формулы (9.27),
F'(t) = fx(xo +/ЛУ y0 + tAy)Ax + fy(xQ + tAx,yQ + tAy)Ay,
откуда
д	S ] /	\
—Лх + —Лу Дх0,у0). дх	ду J
Аналогично
F"(0= f™(xo + Уо + ИуХАг)2 + 2/",(x0 + tAx,y0 + tAy)AxAy + + /w(xo + ^,y0 +tAy\Ay)2
и t. д. В конечном счёте, будем иметь
f(x0 + тЛх,у0 + тАу).
(Дх ду f	\т-
f(",+1)(t)= I — Ах + — Ay ' I Sr dy )
Подставляя всё это в выражение (9.35) и полагая ^ = х0 + тЛх т] = у0 + тА у получим
f(xo +Ах,у0 +Ay) = f(x0,y()) +
F’zU + F’zlT Wwo)+ дх ду
1 ( д . д . ) „/ х
- —Ах + —Ау Дг0,у0)+ тлдх ду
1 ( д . д . ) „/ х 1 ч; тЛх+^гЛу ЛхО’Уо)+-+— 2!1 дх ду	г
1 (8 л 8 л р . .
rat У
(9.37)
Это и есть формула Тейлора для функции двух переменных. Она естественным образом распространяется и на случай функции п перемен
ных.
Вид последнего слагаемого в правой части формулы (9.35) будет получен в разделе XVI.
336
19.	Экстремум функции многих переменных
Пусть функция f(M) определена в области DeRn. Тогда точка Mq е D называется точкой максимума	zn
этой функции, если существует такая окрестность Се(7И), что для всех то-
чек М е Ce(M0)r>D будет	;
Ж)</(М0). Если же для всех	I
М eCe(M0)r>D будет f(M)>f(M0),	\-------j——-------
то точка Mq называется точкой ми- i	• У
нимума функции f(M\	м0
Пример 9.33. Возьмём функцию
s = (х -1)2 + (у - 2)2 + 2.	Очевидно,	Рис 9 22
что s(l,2)=2, а во всех остальных точках М(х,у) будет г(м)>2. Следовательно, точка Л/0(1,2) является точкой минимума данной функции, рис. 9.22.
Возьмём для сокращения записей функцию двух переменных. Предположим, что в точке М0(х0,у0) функция имеет, например, максимум. Тогда всюду вблизи точки (х0,_у0) будет f(x,y)< f(x0,y0). В частности, для всех х, близких к х0, будет f(x,y)< f(xQ,yo) (это значит, что на прямой
Рис. 9.23
у = Уо, параллельной оси Ох функция f(x,y) имеет максимум в точке х = х0). В силу необходимого условия экстремума функции одной пере-
менной, в этом случае величина	= /уООьЕо) либо равна ну-
х = х0
лю, либо не существует. Тот же результат получим и для /j(-Vo,To)- Кроме того, очевидно, что это верно и для функции любого числа переменных. Таким образом, можно считать доказанным следующее утверждение.
Теорема 9.9. Если в данной точке функция п переменных имеет экстремум, то каждая из её частных производных 1 -го порядка в этой точке либо обращается в нуль, либо не существует*^
Случай отсутствия частных производных в
/ 2	2
точке экстремума иллюстрируется, например, функцией s = у х + у ,
Легко представить случай, когда в точке экстремума одни частные производные обращаются в нуль, а другие - не существуют.
337
рис. 9.23. Имеем для неё dz х	dz у
дх yjx2+y2 ’ дУ -Jx2 +y2 ’
а значит в точке (0,0), где функция имеет минимум, обе частные производные не существуют.
Теорема 9.9. является лишь необходимым условием существования
экстремума. Действительно, пусть, например, z = x2-y2. Тогда — = 2х, dx
dz
— = -2у, т. е. в точке (0,0) обе частные производные обращаются в нуль.
Однако, экстремума в этой точке, очевидно, z , нет, поскольку в любой её окрестности функ-	у
ция принимает как положительные, так и от- /	\
рицательные значения, рис. 9.24. Точнее го- I	—г\—х
воря, в точке (0,0) достигается минимум 1^^.— функции по переменной х и максимум - по переменной у, но не достигается экстремум	рис 9 24
«по совокупности» переменных х и у. Точки такого типа называют седловыми (или точками минимакса).
Исследование функции в точке, подозрительной на экстремум, производится, как и в случае функции одной переменной, по её производным 2-го порядка.
20.	Необходимые сведения о квадратичных формах
Квадратичной формой называется однородная (см. §15) функция 2-й степени вида
п
Ъ\хъХ2,...,хп)= ^алкх{хк i,k=l
т. е.
2
F = (7|| JC| + t7|2-^J-^-2 + ••• + ^lnXlXn +
2
+ а21х2х1 + а22х2 + •• + а2пх2хп
(9.37)
2
+ an]XnXi + an2XnX2 +... + атхп
С квадратичной формой (9.37) можно связать матрицу
338
«11	«12 ••	«1и
«21	«22 •	а2п
ап\	«и2	апп
(9.38)
В выражении (9.37) все числа х1,х2,...,хи и все числа а^,к = 1,п) будем считать вещественными и кроме того, будем предполагать, что aik = aki Таким образом, матрица (9.38) (её называют матрицей квад
ратичной формы (9.37)) - симметрическая.
Квадратичную форму (9.37) называют положительно определённой, если при всех х1,х2,...,хи будет F(x1,x2,...,x„)>0 причём
(f(x1,x2,...,x„)=0)<^>(x1 = х2 =...=хп).
Квадратичную форму называют отрицательно определённой, если при всех xj,x2,...,x„ будет F(x1,x2,...,x„)>0 причём
(f(x1,x2,...,x„)=0)<^>(x1 = х2 =...=хп).
Квадратичную форму называют знакопеременной, если при одних значениях х1,х2,...,х„ будет F(x1,x2,...,x„)> 0 при других -F(x1,x2,...,x„)< 0, а значит при третьих, в силу теоремы Больцано-Коши, -F(x1,x2,...,x„) = 0. На основании матрицы (9.38) составим определители
4 ~ак> 4 -
«11
«21
а22
«11 «12 «13
«21 «22 «23> ->
«31 «32 «33
4 =	«11 «12 •• а\п «21 «22 ••• а2п ап\ ап2  апп
Здесь An=DetA, а Л1,Л2,...,ЛИ_1 называют диагональными минорами
матрицы А.
В курсе линейной алгебры будет доказано следующее утверждение.
Теорема 9.9 (Сильвестра-Якоби). Для того чтобы квадратная форма (9.37) была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы определитель её матрицы и все её диагональные миноры были положительны. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки определителей А^,Аг2г...,Ап чередовались, начиная со знака « - », т. е. чтобы было
д<о, 212>0,...,4>0, (-1УЧ>0.
21.	Достаточные условия экстремума функции и переменных
Пусть Мо W ’4 ’	4}) - стационарная точка f(M) т. е. пусть
339
а/(м0)_д/(л/0)_ д/(л/0) 0	(939)
дхг дх2	дхп
Будем считать, что существует окрестность Се(Л/0), в которой
функция /(Л/) иметь непрерывные частные производные 1-го и 2-го по-
рядков.	Тогда	для	любой	точки
Мо+ AJV],х^ + Ах2,..., х^ + Ахп)еСе(Мо) на основании формулы
if д л	д . д
+ — ---Zbci +--Ах2+...+----
2fdjq	дх2	дхп
/И
(9.40)
где N - точка с координатами	= х^ + тПх,-, i = 1,2,...,п, т е (0,1), т. е. N
- точка прямолинейного отрезка MqM .
В силу (9.39), получим из (9.40)
Дм)=/(м0)
21 дх1
т. е.
Дм)=/(м„)+1 у
1
2
———-AXjAxu.
T-r	5
Поскольку все частные производные --------- непрерывны в точке
dxtdxk
(9.41)
Мо то при всех i и к
a2/(w) а2/(м0)
lim
/V—>Л/(| dXjdx^	dXjdXfr
а значит
a2./M гЖ)
I '-Х jk- «
дх^хк дх^хк
где ос,А. 0, при N -^Mq . Поэтому равенство (9.41) принимает вид
k'(M)=	1 ^^кАх,Ахк.
zi,k=i dxidxk	zi,k=i
Обозначим
Ар = р(М0,М\ у,. =^- (/ = 1,2.,.„л).
Пр
Тогда получим
340

U J \IV1 Q I
Полагая для краткости ajk =------—— , будем иметь окончательно
dXjdx^
/(м) - Ли)=v S	+°(Jp2) •	<9-42)
2 /Л=1
Если Ар мало, то знак разности /(м)-/(М0) в равенстве (9.42) определяется знаком первого слагаемого правой части, т. е. знаком выра
жения
п
(9-43)
i,k=l
которое представляет собой квадратичную форму переменных У\,У2,-,Уп-
Отметим, что при этом величины У[,У2,---,Уп не могут одновременно об
ращаться в нуль, поскольку
2	2	2 Ахл + А Ху +... + Ах
У{ + у2 +... + у2 = —i" Пр2
Возможны следующие случаи:
1.	Квадратичная форма (9.43), порождаемая полным дифференциалом 2-го порядка функции f(M) в точке Mq положительно определённая.
Тогда при всех значениях у\, у2, • • •, Уп будет
>0’
i,k=l
а значит, на основании (9.42), f(M)- f(M0) > О /(7И)>/(М0), а значит, в этом случае функция f(M) имеет в точке Mq минимум.
2.	Квадратичная форма (9.43) - отрицательно определённая. Рассуждая точно так же, как и в случае 1, установим, что тогда в точке Mq функция f(M) имеет максимум.
3.	Квадратичная форма (9.43) - знакопеременная. Тогда в любой окрестности точки, подозреваемой на экстремум, она принимает как положительные, так и отрицательные, значения, а значит, в этом случае, разность может быть как положительной, так и отрицательной. Следовательно, экстремума в точке Mq в данном случае нет.
Из сказанного только что и из теоремы 9.9 вытекает следующее утверждение.
Теорема 9.10. Пусть Mq является стационарной точкой функции
341
/(м) и пусть в этой точке и в некоторой её окрестности функция /(Л1)
имеет непрерывные частные производные 1 -го и 2-го порядков. Тогда
1.	Если определитель
	<?2Жо)	а2/(м0)	82f(M0)	
	дх2 <?7(м0)	дх{дх2 d2f(M0)	SXj d2f(M0)	
4(«о)=	дх2дх\	дх^	дх2дхп	*)
		82f(M„)	82f(Mtt)	
	дхпдХ\	дхпдх2	дх2	
и все его главные диагональные миноры Д(Л/0), И2(ТИ0), •••> 4?-1(АЛ)) _ положительны, то в точке Mq функция f(M) имеет минимум;
2.	Если определители Д(Л/0), И2(ТИ0)..., 412(ТИ0), 4?(^о) имеют соответственно знаки +,	то в точке Mq функция /(Л/) имеет
максимум;
3.	Если Лп (Мо ) ф 0, а числа 4(«о), 4>(М0) .... 4,-1(«о), 4(«о) ни положительны, ни знакочередуются по закону	..., то в точке Mq
функция /(м ) не имеет экстремума.
Пример 9.34. Е1усть в 1-м октанте (х > 0,у > 0,z > О) задана функция
16
и = х + у + z --.
xyz
Исследуем её на экстремум.
Имеем
ди 16	ди 16	ди 16
Sr	x2yz	Sy	xy2z	dz	xyz2
Для нахождения стационарных точек полагаем — = 0, — = 0, — = 0. дх ду dz
Получим систему уравнений
x2yz = 16,
<xy2z = l6,	(9.44)
xyz1 =16.
Этот определитель называют определителем Гессе, или гессианом функции f(M} в точке Mq.
342
Разделив 1-е уравнение на 2-е, а затем- 2-е на 3-е, получим
-=1,^=1.
У z
Итак, в области D = |(x,y,z)|x > О,
0| система (9.44) имеет единственное решение х = у = z = 2, т. е. функция имеет в области D единственную стационарную точку Mq (2,2,2).
Имеем, далее, д2и 32
д2и 16
дх2 x3yz ’ Sxdy д2и 32
2 2
X У Z
д2и 16
dydz xy2z2
д2 _ 16 dxdz x2yz2'
д2и _ 32 dz2 xyz3
Отсюда
<Ж) ,
М2
д2и(М0)_ 1
д2и(М0)_ 1
д2и(М0 )
,2
dxdz 2
Э2»(М0); . ^2
2	3
ху Z
дхду 2'
с2»(Л/„) 1
2
z
Составляем определители
1
2
1
Получаем
^зС^о) -
]_ 2 ]_ 2
1
2 I
2
1
Л(^о)-
Лз(л/0)-1 + - + О
£ 2 1-1-1-8 4 4 4’
^>0 4
->0.
2
На основании теоремы 9.10 в точке Mq(2,2,2) фуНКЦИЯ имеет минимум. При этом
/(Мо) = 8.
Примечание. Теорема 9.10 решает проблему исследования функции многих переменных на экстремум не полностью. Возможен случай, когда
1
1
2
1
I
2
1
343
Д1(Л/())=О. В этом случае с/2/(Мо)=О, и тогда равенство (9.42) имеет вид
/(л/)-/(л/)=о(4>2),
где правая часть включает в себя полный дифференциал функции f(M) 3-го порядка, исследование которого, вообще говоря, намного сложнее. В этом случае вопрос о наличии экстремума в точке Мц остается открытым и требует дополнительного исследования.
22. Условный экстремум функции
Рассмотренный выше экстремум функции /(Л/) называют безусловным. Это значит, что если Mq - точка экстремума функции, то неравенство /(М)</(МО) (или /(М)>/(МО)) выполняется для всех точек М в некоторой окрестности Се (Мо ).
Предположим теперь, что упомянутое неравенство выполняется не для всех М еЛ/0Се(Л/0), а лишь для тех, координаты Х|,а'2,...,.гя которых удовлетворяют некоторым условиям
ф1(х1,х2,...,х„) = 0,
Ч>2(х1Л2,...,х„) = 0,
<	(У.4Э)
ср„,(х1,х2,...,х,г) = 0, где т<п. Эти условия называют уравнениями z связи.	11
Пусть R - множество точек М &Rn для 
которых выполняются уравнения (9.45). Если \	• Л
для всех точек М е Се(7И0)гэ R справедливо ра-	1______у
венство /(ТИ)>/(М0) (или /(Л1)>/(Л10)), то
говорят, что функция f(M) имеет в точке Mq х г условный экстремум (соответственно максимум или минимум) при уравнениях связи (9.45).	Рис. 9.25
Пример 9.35. Возьмём функцию
z = х2 + у2. Она имеет в точке (0,0) безусловный минимум, равный нулю. Найдём теперь минимум этой функции при условии х + у -1 = 0. Очевидно, при этом условии будет zmjn > 0.
344
Для нахождения точки условного минимума, рассматриваем функ-(\ / 2	2
х)=|х + у	Она равна
z = х2 +1 — 2х +2 = 2х2 — 2х +1.
Отсюда
dz
— = 4х- 2, dx
dz а	Г1 С
а значит, полагая — = 0, получим искомую точку Л70 —• dx	у 2 2?
Выведем необходимые условия условного экстремума. Для определённости будем рассматривать сначала случай, когда п = 4, т = 2, т. е. рассмотрим функцию и = f(x,y,z,i) с уравнениями связи
(<p(x,y,z,t) = O,
(9-46)
Будем предполагать, что и функция f и функции ф и \|/ имеют в рассматриваемой области непрерывные частные производные по всем своим аргументам.
Уравнения (9.46) определяют величины z и t как функции переменных X и у.
z = g(x,y\ t = h(x,y)	(9.47)
Пусть функция f(x,y,z,t) при связях (9.46) имеет в точке A/0(x0,y0,z0,r0) условный экстремум. Тогда функция f(x,y,g(x,y\h(x,y^ имеет в точке (а'о,>’о) безусловный экстремум. Поэтому в данной точке равны нулю обе её частные производные, а значит и полный дифференциал. В силу инвариантности полного дифференциала, последнее условие можно записать так
—dx + — dy + — dz + — dt = O.	(9.48)
дх dy dz dt
Здесь все частные производные вычислены в точке Mq , а под dz и dt подразумеваются дифференциалы функций (9.47) в точке (хо,То)-
Взяв полные дифференциалы обеих частей выражений (9.46), получим
6<р ,	6<р ,	6<р , дф ,	„
—dx + — dy + —dz + —dt = 0, дх ду dz dt
<	Будем считать, что здесь, как и в
dip ,	д\у . dip , dip ,	_
—-dx ч——dy ч——dz ч——dt = 0.
I д	д д д
равенстве (9.48), все частные производные взяты в точке Л70, a dz и dt -
345
полные дифференциалы функций g(x,y) и Л(х,у), вычисленные (*о>Хо)-
точке
Умножив тождества (9.49), соответственно, на числа X и произвольные) и сложим почленно с тождеством (9.48). Получим
(пока
дх
1-Х
+ h X h Li dz + dt + X h LI dt — 0. dz dz dz) dt dt	dt ,
Подберём теперь числа X и li так, чтобы было
'^+хар+>Л=о, dz dz dz
dy n
+ Ц—= 0;
dt
-^ + Х^ _ dt dt
это возможно, если
М^о) dz дф(Ч)) dt
М^о) dz М^о) dt
*0.
(9.50)
(9.51)
При таких X и ц получим из равенства (9.50)
. 6ф ду ] .	~
1-Х— + р—- dy = 0.
дх дх дх
Здесь dx и dy - произвольные приращения переменных х как равенство (9.52) выполняется при любых dx и dy, то д(р ду
1-Х— + р—= 0.
и
(9.52)
, а так
----h X----h Ц---— 0. дх дх дх
Итак, для нахождения шести неизвестных: Jco,yo,zO’?O’^ и
имеем 6 уравнений:
- мы
346
^ + )Д + М^ = О,
дх	дх	дх
df	Sep	S\p
—+ Z—+ Ll—= 0, dy	dy	dy
Д+Х^+Ц^=о, dz dz dz
df	Sep	6\p
—+ Z—+ Ll—= 0.
dt	dt	dt
(p(x,y,z,t) = 0, y(x,y,z,f) = 0.
Введём вспомогательную функцию
F(x,y,z,t;k,ix) = f(x,y,z,t) + kcp(x,y,z,t) + \i\y(x,y,z,t).
Тогда система (9.53) означает, что равны нулю частные производные этой функции по каждому из 6-и её аргументов. Таким образом, нахождение точки условного экстремума функции f(x,y,z,t) сводится к нахождению стационарной точки функции /(.y,),z,/;a,|h).
Всё сказанное легко распространяется на случай любого числа п аргументов функции f(M) и любого числа т связей. Очевидно, для функ
ции f(xi,X2,..;Xn) и уравнений связи (9.45) вводится вспомогательная
функция
т
F(xx,x2,...,xn,\fk2,...;km) = f^^^	(9.54)
A'=l
а поэтому вместо (9.53) будем иметь систему:
^ = 0 дхг
dxf2 cp1(x1,x2,...,xw) = 0,
(9.55)
cp„,(x1,x2,...,xw) = 0.
347
Описанный метод называют методом Лагранжа, а числа 'къ'к2,...,'к1П
- неопределёнными множителями Лагранжа.
Система (9.55) даёт лишь необходимое условие условного экстремума, т. е. из неё находится лишь точка, подозрительная на условный экстремум. Вопрос же о наличии условного экстремума в этой точке решается дополнительным исследованием. Опишем его схему.
Заметим, прежде всего, что если рассматривать лишь точки ТИ(х1,Х2,--,^и), удовлетворяющие уравнениям (9.45) (т. е. точки M&R), то функция (9.54) совпадает с функцией f(xi,X2,...,xn). Поэтому если числа	есть решение системы (9.55) и если
обозначить
то
f (4°) + Л , х^ + Лх2,..., х^ + Ахп j - f	, х2(0),..., х^ j =
= Ф(4°} +^х1,х2^ + Лх2+ Лхп j - Ф ,...,*4°) ),
или на основании формулы Тейлора,
Л/	\х2^\..., х^ j = | </2ф (4°\ xz\- • •, 40)) + ° ( 4>2 ) • (9.56)
Величина б72ф^О\х^°\...,х^ j есть квадратичная формула от пере-
менных Лх\,Лх2,...,Лхп, которые ниже мы будем обозначать dx\,dx2,...,dxn. Эти величины независимы, поскольку, в силу (5.45),
аФ1(М>),	аФ|(Н)),	аФ|(Н)),	п
-----------dxy ч-----------dxQ ч-... ч--------dx„ = О,
аФ2(М)) ,	аФ2(Ч)) ,	аФ2(Ч)) ,	л
----------dx, ч-----------dxi Ч-...Ч--------dx„ =0, ЙХ'2
(9-57)
аФот(Мз) ,	6Ф/«(Н)) ,	аФ„,(Н)) , п
------	-dx, ч	---dxi Ч-...Ч----dx„ = 0. ССЦ--------------------------------------C~^*2
Ранг этой СЛАУ равен т, по аналогии с выражением (9.51) для случая п = 4,т = 2, мы молча предполагали выше, что, например,
348
dcpi(A/0)	acpi(A70)	acpi(M0)	
^Хп-т+\	^Хп-т+2	^Хп	
6ср2 (7И0)	аср2(л/0)	аср2(м0)	
^Хп-т+\	дХц-т+2		^0
дут(Мо)		асрот(м0)	
дХц-т+Х	д%п-т+2		
а значит, она имеет п—т свободных неизвестных, рис. 9.26. Поэтому из системы (9.57) можно выразить, например, dxn_m+\,dxn_m+2,...,dxn через ,...,	_fyi * Подставляя результат в
d^x^x^,...^0-*), получим новую квадратичную форму
п
п-т	т
i,k=l
Если она - положительно определённая, то, на
основании (9.56), точка Mq есть точка услов-	Рис. 9.26
ного минимума. Если квадратичная форма В - отрицательно определённая, то в точке Mq - условный максимум. Если же В - знакопеременная квадратичная форма, то условного экстремума в точке Mq нет.
Пример 9.36. Исследуем функцию и = х - 2у + 2z на экстремум при условии х2 + у2 + z2 = 9.
Составляем функцию F(x, y,z; Z) = х - 2у + 2z + A (х2 + у2 + z2 - 9j.
Система (9.55) в этом случае имеет вид
1 + 2Ах = О,
-2 + ТКу = О,
2 + 2М = 0,
х2 + у2 + z2 =9.
Имеем из неё
1	1	1
х =---, У = —, z =--,
2А	А	А
а значит
1	1 J_
4А2 + А2 + А2
349
т. е.
9
— = 9’
4Z2
2	1	1
откуда 4Z =1, а значит Xj = —, Z2 = -—. Итак, имеется две точки, подоз
рительные на условный экстремум: М\(-1,2,-2) и Л/2(1,-2,2).
Для точки М\ получаем
(J)(x,y,z) = х -2у + 2z +	+ у1 + z2 - 9^.
Поскольку
дф	дф	дф
— = 1 + х, — = -2 + у, — = 2 + z, дх	ду	dz
то
^Ф=1 а2Ф . 0	^* = 1 а2ф . о ^* = 1
дх2 ’ дхду ’ дхдг ’ ду2 ' dydz ’ dz2
а значит
</2ф(ЛД) = dx2 + dy2 + dz2.	(9.58)
Но уравнение связи даёт
xdx + ydy + zdz = 0,
а потому в точке М\:
- dx + 2dy - 2dz = 0,
откуда
dx = 2dy - 2dz.	(9.59)
Следовательно,
B{dy,dz)= 4t(y2 - *&dydz + 4Jz2 + dy2 + dz2 = 5dy2 - Sdydz + Sdz2.
Составим определитель
j2(a/i)=
Поскольку Д (мj) = 5 > 0, Zl2 (мj) = 9 > 0, то в точке М\ - условный минимум, причём = -9.
5 -4
-4 5
Легко видеть, что в точке М2 - условный максимум, и z/max = 9.
Примечание. Выкладки, произведенные после равенства (9.58), в данном случае излишни, поскольку из (9.58) следует, что б/2ф(Л/1)>0 при любых значениях dx, dy и dz, а не только при выполнении условия (9.59). Упомянутые же только что выкладки мы провели с целью более чёткого описания алгоритма в общем случае исследования.
Пример 9.37. Исследуем на условный экстремум функцию u = xyz
350
при условиях х2 + у2 + Z2 = 1, X + у + Z = 0. Составляем функцию
Тогда
dF	dF	dF
— = yz + 2Fx + p, — = xz + TFy + p, — dx	dy	dz
Система (9.55) запишется так
= ху + 2Xz + ц.
Решая её, находим
М3
2 1
д/б у[б у[б
_ 1 2_________1
д/б д/б д/<
Имеем из (9.60)
м5
откуда - л/бк = 0
Таким образом
так что
yz + 2кх + jLL = О
.2 , ,2 ,	2
точки
1
л/б д/б
а также точки
(1
^6 -rz-
6
(9.60)
( 1	2 1
M2lV6’"V6’V6. , ( 1_____i_ 2z_
6	5/6 5/6
4
—г= . Остановимся на точке Му.
1	2 ,
---1 Л + Ll:
з Тб
1 4
----;= Л + LL —
i
—а значит
2V6
1 _2________
ц-з V6’2V6_3 б“б’
т. е. Х =

5ф х 1
— = yz + —== + -дх	6
1 111
.2 ,	2 , 2
2L + _L
Тб 6’ &
z 1 т= + -/б 6
351
а2Ф_ i	а2Ф _ а2Ф	_ а2ф_ i	^2Ф	_ а2ф	_ i
дх2 -ч/б’	дхду	' dxdz ду2 -ч/б’	dydz ' dz2 -ч/б’
откуда
а2ф(л^!) i	а2ф(м1)	2	д2^м})	1
дх2 л/б ’	дхду	у[б'	dxdz	у[б'
а2Ф(м1)_ 1	а2ф(Л41)_	1	а2ф(м1)_	i
ду2	dydz у/ё' dz2 -ч/б
Следовательно,
2	1	2	1	2	1	2	4	2
d u(Mi) = —i=dx + —i=dy + —i=dz —t=dxdy + —i=dxdz +
Тб л/б л/б л/б л/б 2
+—j=dydz.	(9.61)
Далее уравнения связи дают
Г 2xdx + 2ydy + 2zdz = О,
[dx + dy + dx = 0.
В точке My эта система выглядит так
[ 1 J 1 J 2 , м —j=dx + —j=dy---=dz = О,
< -ч/б	-ч/б -ч/б
dx + dy + dz = О,
т. е.
[dx + dy- 2dz = О,
[dx + dy + dz = О,
откуда находим
^=dx2 = y[6dx2. J6
dz = Q, dy = -dx и из (9.61) получим B(dx).
B(dx)= -j=
В данном случае Д(АД) = -ч/б > 0, а значит в точке Му - условный
/б
минимум, причем, как легко видеть,
Такой же результат
будем иметь и в точках М2 и 7И3, в точках же ЛТ4, Л/5 и Л/6 легко полу
чим условный максимум.
Примечание. С теорией экстремумов тесно связан вопрос о наибольшем и наименьшем значениях функции f(M) на компакте R. Найдем значения f(M) во всех точках условного максимума, лежащих внутри R,
352
а также во всех точках условного максимума, лежащих на dR. Наибольшее из этих чисел и есть, очевидно, max /(Al). Аналогично, min f(M) есть наименьший из минимумов функции внутри R и условных минимумов на dR.
23. Касательная и нормальная плоскость иростраиствеииой линии
Заметим, прежде всего, что линию в пространстве можно задать двумя способами.
1°. В параметрической форме линия задается уравнениями х = ср(г),
<у = \|/(г),	(9.62)
Z = X(O’
где <p(/), \|/(0 и /(О - функции, непрерывные в рас- z сматриваемом (конечном или бесконечном) проме-жутке изменения параметра t.
Например, уравнения
х = acost
у = a sin t z = bL
Рис. 9.27
изображают так называемую винтовую линию, лежащую на цилиндре
2.2	2	0^7
х = а , рис. 9.27.
Очевидно, что три скалярных уравнения (9.62) эквивалентны одному векторному уравнению г = r(t), где r(t) - известная вектор-функция.
2°. Линию в пространстве можно задать и как результат пересечения некоторых двух поверхностей, т. е. системой уравнений
[F1(x,y,z) = O,
1	(9-63)
Например, уравнения
х
Рис. 9.28
353
z = y]4-x2 -у2,
(x-l)2+/=l,
изображают (см. рис. 9.28) линию пересечения верхней полусферы и кру-
гового цилиндра.
Примечание. В ряде случаев можно, положив в уравнениях (9.63)
например, z = t, найти из них А'(/) и y(t). Тем самым будет сделан переход от системы (9.63) к параметрическому заданию линии.
Пусть некоторая кривая задана уравнениями (9.62). Возьмем на ней точку A/0(.x0,y0,z0), рис. 9.29, отвечающую значению t = tQ. Будем считать функции ф(/), \|/ (0 и /(/) дифференцируемыми в точке Iq .
Рис. 9.29
Придадим параметру t приращение J/; тогда получим близкую к точке Mq точку M^(xq + Ах,у0 + Ay,z0 + Az) этой же кривой. Уравнение
секущей MqM\ :
х~хо _У~Уо _z~zo
Перепишем их так:
х~хо _У~Уо _z~zo /Ух	Ау	Ас '
At	At	At
Пусть теперь Л1 —>0. Тогда точка М, неограниченно приближается к точке Mq , и в пределе получим из последнего выражения уравнения касательной к кривой в точке Mq :
х — хо _У — Уо _z — zo
ф'(*о) v'(ro) x'W
Направляющий вектор t = ср' (/0 ) i + \р' (/()) J + %' (/0	этой касатель-
ной называют просто вектором касательной данной кривой в точке Mq .
Пример 9.38. Возьмем винтовую линию
x = 2cos/,
< у = 2 sin/,
z = 3t,
и точку (1,-\/3,л) на ней. Этой точке отвечает значение t = —. Поэтому из
354
равенств
x'(l) = -2 sin t, y'(t) = 2 cos t, z’{t) = 3
получаем для касательной в точке (1,л/з, л) следующие уравнения
X - 1 у - л/з z - л
1 -ПГ’
Плоскость, проходящая через точку Mq перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормальной плоскостью данной кривой в этой точке. Очевидно, ее уравнение:
ф'Оо)О - хо) + w'(to)(y - у0) + x'0o)(z - zo) = °-
24.	Касательная плоскость и нормаль к иоверхиости
Возьмем некоторую поверхность F(x,y,z)=0 и на ней точку MQ(xQ,yQ,zQ). Проведем через эту точку множество всевозможных линий, лежащих на этой поверхности. Пусть
X = ф(Г),
<У = \|/(О,	(9.64)
z = х(0,
уравнения одной из этих линий, а -значение параметра t, отвечающее
точке Мо, рис. 9.31. Пусть функция F(x,y,t) имеет в точке Mq непрерывные частные производные, а функции ф(/), \|/(/) и /(/) будут дифференцируемы в точке tQ.
Поскольку линия (9.64) лежит на поверхности, то р[ср(/),\д(/),х(/)^| = 0. Взяв полную производную по t от обеих частей этого тождества, получим
+	+	(9.65)
Положим здесь t = tQ, тогда х = х0,
У = Уо, z = z0.
Введем в рассмотрение векторы
355
a = ср'ОоУ +	+ Л)* и
N = F^(xQ,yQ,Zo)i +f;(x0,j0,z0)J + +FzCxo>JWo)£ •
Тогда выражение (9.65) примет вид 0; а значит, alN. Взяв различные кривые на поверхности, мы будем иметь разные векторы а, но вектор N при этом будет оставаться одним и тем же. Итак, касательные ко всем рассматриваемым кривым перпендикулярны одному и тому же вектору N , а значит, все эти касательные лежат в одной плоскости. Ее называют касательной плоскостью данной поверхности в точке Mq . Поскольку вектор N есть нормальный вектор этой плоскости, то ее уравнение запишется так:
- *о)+(xo>To>zoXt - То)+ Fz(?Wo>zo)(z - zo)=0 •
Прямая, проходящая через точку Mq перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью данной поверхности в этой точке. Очевидно, ее канонические уравнения:
х — xQ _ y-yQ _ Z-ZQ Fx(xQ,yQ,xQ) Р',(х0,у0,х0) F'(xQ,yQ,xQy
Пусть теперь поверхность задана явно уравнением z = f(x,y).
Перепишем это уравнение так:
f(x,y)-z = 0.
Тогда
SF--J дх дх ’ ду ду’ dz
и уравнение касательной плоскости примет вид:
/х(*о>ТоХ* - *о)+/у (хо>ТоХг - Jo)- (z - zo)=°-
т. е.
z - zo = /Я-ЧъТо Xх - *о) + Л'GwoXy - То)-
Примечание. Пусть кривая задана уравнениями (9.63), и требуется получить уравнения касательной к ней в точке Mq . Для этого достаточно провести в точке Mq касательные плоскости к поверхностям Fi(x,y,z) = О и F2(x,y,z) = 0. Линия их пересечения, очевидно, и будет искомой касательной.
Пример 9.39. К линии
lyyz = 6,
|х2 +зу2 +2z2 =31, проведем касательную в точке Mq (1,2,3).
356
Согласно (9.65) уравнение касательной плоскости к 1-ой поверхно
сти
б(х -1)+ 3(у - 2)+ 2(z - 3)= 0,
т. е.
6х + Зу + 2z -18 = 0.
Ее нормальный вектор
М = {6,3,2}.
Уравнение касательной плоскости ко 2-й поверхности: 2(х -1) + 12(у - 2) + 12(z - 3) = 0 ,
т. е.
x + 6y + 6z-31 = 0,
и получаем 2-й нормальный вектор
У = {1,6,6}.
Следовательно, направляющий вектор касательной
Т = [Л?2,М] =
J к
1 66
6 32
= {-6,34,-33}.
Искомые уравнения:
х-1_ у-2_ z-3
-34 “ЗГ
25. Геометрический смысл иолиого дифференциала функции двух переменных
Проведем к поверхности z = f(x,y) касательную плоскость в точке
мо (хо , Ж zo ) • Ее уравнение:
z _ Zo=Шл) (х _ Хо)+_ Уо).
дх	ду
(9.66) Возьмем на этой плоскости точку Al(x,y,z), близкую к точке Mq и обозначим
х - х0 = Ж, у - у0 = Лу, z - z0 = Az .
Тогда равенство (9.661 примет вид
дх	ду
Справа стоит полный дифференциал функции z = /(х,у) в точке (хо,Уо). Следова-
Рис.9.33
357
тельно, полный дифференциал функции двух переменных геометрически
представляет собой приращение аппликаты точки касательной плоскости к
графику этой функции в данной точке (ср. с геометрическим смыслом дифференциала функции одной переменной). Если г—>0, то отрезок РМ
между поверхностью и касательной плоскостью, как было доказано, есть о(т).
26. Огибающая одиоиараметрического семейства плоских линий
Рассмотрим уравнение
Цх,кс)=о, где С - произвольная постоянная. Придавая величине С конкретные значения, будем получать из уравнения (9.67) разные кривые одного и того же типа. Поэтому говорят, что уравнение (9.67) изображает семейство линий. Величину С называют параметром семейства. Например, уравнение у = Сх изображает семейство парабол, осью которых является ось Оу, рис. 9.34. Уравнение у = С2х2 также определяет семейство парабол с общей осью Ох, но их ветви направлены только вверх, рис. 9.35. Сама же ось Ох входит, очевидно, в оба семейства (ей отвечает значение С = 0). Уравнение (х - С)2 + у2 = С2 изображает семейство окруж-
ностей, касающихся оси Оу в начале координат, рис. 9.36.
Огибающей данного семейства линий называется такая линия, которая в каждой своей точке касается одной и только одной линии семейства и, тем самым, вся состоит из точек касания, рис. 9.37. Например, эволюта кривой есть огибающая семейства всех нормалей этой линии (см. раздел V).
Предположим, что семейство (9.67) имеет огибающую. Покажем как найти ее уравнение. Пусть (х,у) - произвольная точка огибающей. Через нее проходит некоторая линия семейства,
отвечающая некоторому значению С, т. е. при этих х,у и С будет F(x,y,C)= 0. Взяв другую точку на огибающей, получим другую линию семейства, т. е. линию, отвечающую другому значению С, а значит, для 358
новых значений х,у и С снова будет F(x,y,C)=0 и т. д. Таким образом, для любой точки (х,у) на огибающей выполняется равенство
С(х,у,С(х,у))=0.	(9.68)
Если бы функция С(.г,у) была известна, то было бы известно и уравнение огибающей.
Взяв дифференциал от обеих частей тождества (9.68) и пользуясь инвариантностью полного дифференциала, получим dF	dF	dF
—dx + — dy + — dC = 0 .	(9.69)
dx	dy	dC
В то же время, поступая аналогично с равенством (9.67), будем иметь dF	dF
—dx + —dy = 0,	(9.70)
dx	dy
откуда
dF dy _ dx dx _dF~ dy
Ho — есть угловой коэффициент касательной к линии семейства. По-dt
скольку в каждой точке (х,у) огибающей касательные к огибающей и к
~	dy „
соответствующей кривой семейства совпадают, то величина —, найденная dx
~ dy из равенства (9.69), должна совпадать с величиной —, найденной из pa-dr
венства (9.70), а для этого должно быть
ас
При этом dC Ф 0, так как в противном случае было бы С = const для
всех точек (х,у) на огибающей. Следовательно, — = 0. Поскольку вели-ас
чина F есть функция от х,у и С, то и —, вообще говоря, есть функция ас
переменных х,у и С, которую затем следует подставить в (9.68).
Итак, уравнение огибающей семейства (9.87) (если оно существует)
находится путем исключения С из равенств
359
>(х,у,С) = 0, ; dF(x,y,C) дс
2	1
Пример 9.40. Возьмем семейство парабол у = Сх ч—. Система
(9.71) для него запишется так:
Сх2 + — - у = 0
х2—L=0.
Второе уравнение дает
„ . 1
х
а значит уравнение огибающей:
1 7
±— х2 + х- у = 0
X
Рис. 9.38
т. е.
Итак, огибающая здесь представляет собой пару прямых у = 2х и у = -2х,рис. 9.38.
Примечание. Линия, найденная из системы (9.71), может и не быть огибающей. Она может представлять собой геометрическое место т. и. особых точек линий (9.67) (например, точек возврата или угловых точек), см. рис. 9.39. Действительно, точка пересечения Р двух “близких” кривых семейства находится из системы
F(x,y,C) = 0,	0
F(x,y,C + AC) = 0,	Рис.9.39
которую можно переписать так
F(x,y,C) = 0,
F(x,y,C + AC)-F(x,y,C)=O,
ИЛИ
F(x,y,C) = 0,
/ ( .. гз - Л )	/ (	,
AC
Рис. 9.40
360
Если ИС —> 0, то точка Р неограниченно приближается к точке М, и в пределе получим, что координаты любой точки М на кривой (/.) удовлетворяют системе (9.71).
Итак, исключив С из системы (9.71) необходимо еще вычислить, является ли найденная линия огибающей. Обычно это делается на основании геометрических соображений.
Задачи и уиражиеиия к главе IX
1. Найти область определения функции
• У I ( 2	2^
s = arcsin — + д/sm lx + у I.
х х 7
2	. Заменяя приращение функции ее полным дифференциалом, вычислить приближенно
3	. 1п(1,052+0,933 -1).
4	. То же для д/1,082 +1.953 .
5	. То же для д/2,962 -1,063 .
6	. При изменении треугольника получены следующие данные: стороны а = Im ± 0,02m; b = 2т ± 0,03m; угол между ними ср = 60°±1°. С какой точностью может быть вычислена третья сторона?
7	. Используя формулу Тейлора 2-го порядка для функции s = х3/ + Зху4, вычислить приближенно s(2,l;0,95).
8	. То же для е0,1 In 1,2.
9	. Исследовать на экстремум функцию s = Зх2 - 2х^[у + у - 8х + 8.
10	. То же для функции г = х3 + Зху2 - 15.x - 12у.
11	.Исследовать на экстремум функцию и = х2 + у2 + ~2, при условии х + у + S = 1 .
12	. Найти	наибольшее и наименьшее значение функции
s = х3 + у3 - Зху, в области {(.х,у)|0 < х < 2;-1 < у < 2} .
13	.На параболе у = 1-х найти точку, ближайшую к прямой
х + у = 2.
361
14	.На параболе у2 = 8(х + 2) найти точку, наименее удаленную от прямой 2х - у + 8 = 0.
2	2	2
X V S
15	.На поверхности — +	+	= найти точку, касательная плос-
кость в которой образует одинаковые углы с координатными осями.
16	.Доказать, что сумма квадратов отрезка, отсеченных на осях коор-
2	2	2	2
динат плоскостью, касательной к поверхности х3 + у3 + s3 = d3 в любой ее точке, равна d2.
2	2	2
17	.К поверхности 2х +у + s =22 провести касательную плоскость, параллельную плоскости х - у - 2z = 0.
18	. К поверхности ~ = ху провести касательную плоскость, перпен-
„ х + 1 у+1 s-1 дикулярную прямой —-— = —-— = —J—.
Г 2 , 2 , 2
шт?-	х +у +s — 25
19	.К линии <	провести касательную в точке
|х + 2 = 5
(2,2733).
20	.К поверхности -\[х + -Jy + Vs = 12 провести касательную плоскость, параллельную плоскости 6x + 3y + 2s-7 = 0.
21	.К поверхности -\[х + -Jy + Vs = 8 провести касательную плос-
х +1 у s + 2 кость, параллельную прямой —— = — = —-—.
22	.К поверхности xz+yz + ху=5 провести касательную плоскость, параллельную плоскости Зх + 2у + 3s = 0.
23	.Найти огибающую семейства окружностей с центрами на оси Ох, радиусы которых служат ординаты точек линии у2 = 4х.
2	2
X у
24	.Найти огибающую семейства эллипсов — + —- = 1, произведение а2 Ь2
полуосей которых есть постоянная величина /.
25	.Найти огибающую семейства окружностей с центрами на оси Ох,
х
радиусами которых служат ординаты точек прямой у = —-j=.
V2
362
X. Кратные интегралы
1.	Некоторые задачи, приводящие к понятию двойного интеграла
1.	Вычисление массы неоднородной пластинки. Пусть пластинка занимает область D в плоскости хОу и пусть р(х,у) - ее плотность. Разделим эту пластинку на п произвольных частей AD^, AD2,... ADn и их площади обозначим AS), Д$2 > •••	 В каждой из областей ADk возьмем
произвольную точку (хк ,ук), вычислим р(х/с, ук) и умножим результат на ASk . Величина Атк = р(хк,ук)- ASk приближенно равна массе элементар-
п ной площадки А/)к. Составим сумму т=	, ук )ASk, величина кото-
к=1
рой равна массе всей пластинки в том случае, если ее плотность изменяется не плавно, а скачками - при переходе от одной области ADk к другой.
Пусть Хд. - диаметр ) области ADk и пусть А = max . Предположим, что Л. —> 0. Это значит, что каждая из областей ADk стягивается в соответствующую точку (хк,ук} (при этом их число и, разумеется, неограниченно растет). Искомая масса пластинки, очевидно, равна
п
т = lim ^p(xk,yk)ASk.
(ЮЛ)
2.	Вычисление потока жидкости через сечение трубы. Пусть попе
речное сечение трубы занимает область D в у плоскости хОу (см. рис. 10.1), a v(x,y) - скорость жидкости, протекающей через сечение D за единицу времени (его называют потоком жидкости через это сечение).
Разбиваем, как в задаче 1, область D на п частей ADk с площадями ASk (к = 1,2,...,и).
о
Поток жидкости через область ADk прибли
женно равен
АОк = v(xk,yk)ASk, где (хк,ук) - произвольная точка области ADk. Если бы величина v(x,y)
изменялась не плавно, а скачками - при переходе через границы соседних областей ADk, то поток через сечение D был бы равен
*’ Диаметром любой области D называют величину sup(/V/',A//") , где М',М” (А).
363
п

k=l
Пусть теперь каждая из областей ADk стягивается в точку. Тогда для искомого потока получим
п
2= lim ^\(хк’Ук)Л$к
где X - наибольший из диаметров областей AL\, AD2ADn.
2.	Двойной интеграл и его геометрический смысл
Пусть D - произвольная ограниченная область в плоскости хОу, a D - её замыкание. Предположим, что в области D задана функция f(x, у). Разобьём эту область на и частей ЛО2,... ADn с площадями ZLSj, Ж2... ASn. На каждой из площадок ADk возьмем произвольную точку (лу,.}%), вычислим f(.xk,yk) и умножим результат на ASk. Составим сумму
п
s = Yf^,yk)^st
к=1
которая называется интегральной суммой функции f (хк,ук) в области D.
Пусть А - наибольший из диаметров областей ADk. Предположим, что X—>0, то есть что каждая из областей А/)к стягивается в точку (хк,Ук)  Если существует предел lim Sk, не зависящий от способа дроб-ления области D , то он называется двойным интегралом функции f (х, у) в области D и обозначается [[/(Х,У)Ж-D
Итак, по определению
П7(*,уИ* = lim ^f(xk,yk)ASk.
D	^°к=1
В частности, формулу (10.1) можно теперь переписать так т = JJ p(x,y)ds.	(Ю.З)
D
Функция, для которой существует интеграл JJ f (x,y)ds, называется интег-
D
рируемой в области D. Очевидно, что ограниченность функции в области D является необходимым условием интегрируемости этой функции в дан
(Ю.2)
364
ной области.
Предположим для определенности, что функция f (х, у) непрерывна и неотрицательна в области D . Тогда f{x^,y^AS^ есть объем элементар-
ного столбика с основанием AD^ и высотой Величина 5 равна, следовательно объему “ступенчатого” тела, составленного из всех таких столбиков. В пределе при X—>0 получим, что интеграл
D
геометрически представляет собой объем так называемого цилиндрического тела с основанием D, ограниченного сверху поверхностью r = f(x,y).
Отметим в заключение, что при фик
сированных функции f (х, у) и области D интеграл JJ f (х, y)ds является
D
постоянным числом.
Примечание. Мы ввели представление о двойном интеграле на совершенно элементарном уровне. Такие важные здесь понятия, как площадь произвольной фигуры, объем произвольного тела (мера в случае пространства Rn) мы рассматривали как «сами собой разумеющиеся» и получали их свойства на основании соображений наглядности. Вместо этого можно было бы построить приемлемо стройную теорию мер хотя бы для и = 2, т.е. на плоскости, чего мы не станем делать (для экономии времени) именно в угоду соображениям наглядности.
3.	Основные теоремы об интегрируемости функции
Пусть функция f(x,y) ограничена в области D . Тогда она ограничена и в каждой из областей ADk (к = 1,2,...,и). Обозначим Мк = sup f(x,у), пц = inf f(x,y). Составим суммы
п	п
S	' AS к •> $	Шк^^к •
к=\	к=1
Они называются соответственно верхней и нижней суммой Дарбу для функции f(x,y) в области D. Их свойства аналогичны свойствам сумм Дарбу для одномерного случая. Поэтому, как и для функции одной переменной, здесь имеет место
Теорема 10.1. Для того чтобы функция f(x, у) была интегрируема в
365
области D, необходимо и достаточно, чтобы
lim (Sz-sz) = 0.
Л—>0
Отсюда, в силу теоремы Кантора для функций многих переменных вытекает следующая
Теорема 10.2. Функция, непрерывная в области D, интегрируема в этой области D.
Доказательство проводится так же как и в одномерном случае. Можно доказать также, что если функция f(x,y) ограничена в области D и имеет в ней разрывы лишь на конечном числе линий с конечной длиной, то она интегрируема в области D.
4.	О свойствах двойного интеграла
и
ъ
Ввиду полной аналогии определения интегралов J f (x')dx а
JJ f(x,y)ds свойства двойных интегралов совершенно аналогичны свой-D
ствам определенных интегралов. Поэтому мы ограничимся лишь формулировкой части этих свойств.
1.	JJ ds = S, где 5 площадь области D .
D
Геометрический смысл этого свойства совершенно очевиден.
2.	Если функции /(х,у)и (р(л, у) интегрируемы в области D, а С\ и С2 - постоянные числа, то и функция С) • f (х,у) + С2 • ty(x,y) интегрируема в области D и при этом
ff [Q  f(x,y) + С2  ср(х,y)]ds = Q jj f(x,y)ds + С2Я&x,y)ds.
D	D	D
3.	Если функции /(х,у)и <р(эс, у) интегрируемы в области D и если f (х,у) > ср(у, у) всюду в D, то и
Я f(x>y)ds Я <?(Х’У№  D	D
В частности.
Ц\Х,У) > о,(х,у) е D) => (Я f(x,y)ds > 0).	у
D
4.	(Аддитивность относительно области интегрирования). Если функция f(x, у) интегрируема в области D, то она интегрируема и в каждой ее части, и наоборот. При этом, если 0 /2 =/Д о/)2../Д о/)2 = () (рис. 10.3), то
366
ff f (*,y)ds = jj/(x,y)ds + jj/ (x,y)ds.
D	Dr	Dz
5.	(Теорема о среднем). Если функция f(x, у) непрерывна в области D, то существует по крайней мере одна такая точка (S,,T])eD, что JJ /(X y^ds =	П) * S •
5. Вычисление двойного интеграла ио ирямоугольиой области
Теорема 10.3. Пусть функция f(x,y) определена в прямоугольнике
D , ограниченном прямыми х = а, х = Ь, у = с, у = d и пусть:
1)	Существует двойной интеграл JJ f (x,y)ds = J;
D
2)	При любом фиксированном хе [а,к] гран
d
ФО) = J* J\x.y)dy.
с
Тогда существует и интеграл
Ъ	Ъ
существует определенный инте-
Рис. 10.4
d
а	а\_с
и он также равен J.
Для доказательства разобьем резок \а,Ъ\ на п частей Xi,X2’---’xn-l^ а промежуток [с,dj ПОЛОЖИМ Xq = а
отточками
- на т
частей точками у^уъ-? Уп-\ и хп=Ь, Уо = с, ym=d (рис. 10.4). Кроме того обозначим Ук - уk-i = АУк  Проводя прямые х = xf (i = 1,2,...,и -1) и у = Ук к = \,'2,..т -1, разделим прямоугольник D на пт элементарных прямоугольников. Пусть ADik ~ ОДИН из них.
Обозначим
™ik =	У), Mik = sup f(x,y)
ADik	ADlk
Тогда для всех (x,y) e ADik будет
™tk
Xj_
В частности, при любом х = S,z е [.
bxz] и при любом у^[Ук-ъУкУ будет mik
Интегрируя это неравенство по у в промежутке [Ук-1,Ук1> получим
367
Ук
т1к'лУк^ $/(Ъ,У)<Ь^Щк-Лук.	(10-4)
Ук-i
Написанный здесь интеграл существует на основании условия 2) теоремы.
Суммируя неравенства (10.4) по к от 1 до т, будем иметь
т	d	т
^Lmik • ЛУк 1/(^У^У	 ЛУк>
к=\	с	к=1
то есть
т	т
^Lmik • ЛУк ф(£/) < YaMik ‘ ЛУк-
к=\	к=\
Умножим это неравенство на Ах, и просуммируем по всем / = 1,2,...,и .
/=1\А'=1
/=1 \А = 1
Поскольку величина AXjAyk есть площадь области ADjk, то крайние члены этого неравенства есть нижняя и верхняя суммы Дарбу для функции f (х,у) в области D, т.е. это неравенство можно представить так
п
z=l
Пусть теперь одновременно все Zlxz и Лук стремятся к нулю. Тогда, на основании условия 1) теоремы, будет s J, J, а значит и п
/=1
b
Но пределом последней суммы есть интеграл J ty(x)dx, следовательно
а
ь
мы доказали, что J (р(х)йбс =./ , то есть что
а
b
d
D
а\_с
В стоящем слева интеграле сначала производится интегрирование по переменной у, а затем - по переменой х. В связи с этим такой интеграл называют повторным (сравнить с понятиями двойного и повторного пределов функции f (х,у)в главе IX ). Поэтому, переписав последнюю формулу
так
368
(Ю.5)
D	а 1_с
мы видим что двойной интеграл можно вычислить путем его сведения к повторному.□
Примечание. Если, кроме условий 1) и 2), выполняется еще условие:
3)	при любом фиксированном ye [c,d] существует интеграл
ь
^(е) = |/(уеЖ
а
то тогда существует и второй повторный интеграл
ь
d
С\_С1
также равный J. Следовательно, в этом случае, кроме формулы (10.5), мы имеем и другую, равносильную ей, формулу
ь
d
(Ю.6)
D	с\_а
Нример 10.1. Вычислим объем тела, ограниченного поверхностью ~(х2 + у2) и плоскостями х = 0,х = 2, у = 0, у = 1, z = a (рис. 10.5).
Исходя из геометрического смысла двойного интеграла, на основ а-
нии формулы (10.5), имеем
2
i
о
о
У
3
2J0<
3j° 2<3
0
5
3
£
2 3
2
6. Вычисление двойного интеграла в случае ироизвольиой области
Теорема 10.4. Пусть область D ограничена снизу и сверху линиями у = (х) и у = q2(х), а слева и справа - прямыми х = а и х = Ь, и пусть:
1)	. Существует двойной интеграл JJ f (x,y)ds = J;
D
2)	. При каждом фиксированном х е [а,Ь] существует интеграл
369
92 00
<р(*)= \f(x,y)dy.
9100
Тогда существует и интеграл
b

а
и он также равен J.
 Заключим область D в прямоугольник Г)\, образованный прямыми х = а, х = Ь, у = с,у = d( рис. 10.6). Определим в нем функцию
d
Рис. 10.6
c
-—*- X b
a

V(xj)e£>, 0,	\/(x,y}<£D.
Очевидно, что функция f\(x,y) интегрируема в области /0|, причем jf /1 (*, У)<& = JJ/(х, y)ds.
D
Далее
d	9100	9г 00	d
\f\(x,y)dy = f /iCxjW+ f f\{x,y)dy+ J/i(^jW =
с	c	^(x)	q2(x)
= o+ j/i(x,y)iy + O= ^fSxyyjly
а значит, в силу условия 2), при каждом фиксированном хе[а,Ь] существует интеграл
d
\f№,y)dy.
Итак, для функции fi(x,y) выполняются условия теоремы 10.3, так что
b
d
'i
ci\_c
то есть
b
j’2(-0
(Ю.7)
D
«|_яоо
370
что и требовалось доказать. □
Примечание 1. Пусть область ограничена У1 слева и справа линиями x = h](y) и x = h2(y), a d сверху и снизу - прямыми у = с,у = d (рис. 10.7), и пусть:	с
1) существует двойной интеграл JJ f (x,y)ds = J;	0
D
2) при любом фиксированном у е fc,d] существует
Рис. 10.7
интеграл
/г2(х) фО) = jf(x,y)dx.
Тогда существует и интеграл
Му)
d
d
С cLMr)
также равный J, то есть в этом случае d\ h2(y)
Рис. 10.8
с

Это утверждение доказывается точно так же, как и предыдущая теорема.
Примечание 2. Если£> - область более сложной формы (рис. 10.8), чем рассматриваемая выше, то ее разбивают на конечное число областей рассмотренного вида и к каждой из них применяют либо формулу (10.7), либо формулу (10.8), после чего используют аддитивность интеграла.
Нример 10.2. Вычислим массу пластинки ограниченной линиями у = х2 и у = Vx (рис. 10.9), если ее плотность равна 2д/х . На основании формул (10.3) и (10.7) имеем
0
1
Рис. 10.9
т =
2
I
х-х2 dx =
.2
0
2 э '
э X 2	2
= 2---------х1
2	7
3
7
1 =2f~-
о 12
371
Примечание 3. Если /(х,у)>0 для всех (x,j;)eD, то формула (10.7) имеет простой геометрический смысл. Действительно, в этом случае у2(х)
У1(Л)
а значит, трактуя двойной интеграл как объем цилиндрического бруса (смотри главу 11V), получим
ь
\\f(x,y)ds = ^S(x}dx, D	а
Рис. 10.10
то есть
что совпадает с формулой (10.7). Аналогичное замечание касается и формулы (10.8).
Примечание 4. В связи с формулами (10.7) и (10.8) интеграл jj/(x,y)<A часто обо-D
значают еще JJ f (x,y)dxdy. Величину ds = dxdy D
называют при этом элементом площади в де-
Рис. 10.11
картовых координатах (рис. 10.11).
7. Вычисление илощадииоверхиости ири помощи двойного интеграла
Пусть Z- часть поверхности s = f(x,y), проектирующаяся в область D плоскости хОу. Разобьем D на п частей ADi,AD2,..,ADn и пусть ASk - площадь области ADk. В каждой из областей ADk возьмем произвольную точку М^(хк,ук) (рис. 10.12), а на поверхности Z- отвечающую ей точку P^(x^,y^,s^). Проведем в точке касательную плоскость к поверхности Z. Пусть AZj, - та часть этой плоскости, которая проектируется в область AD/., а ~ площадь этой площадки. Составим сумму
372
п
s=•
k=l
Обозначим через X наибольший из диаметров областей ADk и предположим, что X —> 0. Если существует предел
= lim
к=1

не зависящий от способа дробления области D , то он называется площадью поверхности
Рис. 10.12
27, а сама поверхность в этом случае называется квадрируемой.
Предположим, что функция f(x,y) имеет в области D непрерывные
частные производные — и —. Докажем, что тогда поверхность 27 квад-дх ду
рируема и получим формулу для ее площади.
Уравнение касательной плоскости к поверхности 27 в точке имеет
(смотри главу IX) вид
г _ :к = (х _ +_ Л);
дх	ду
или
_	(х _ Хк) _	(у _ Ук)+(_- _	)=0.
дх	ду
Следовательно, нормальный вектор этой плоскости равен
й =	7 _	7 + £	(10 9)
дх	ду
Далее
373
Сумма под знаком предела
является интегральной суммой для функции
Ф(ЛУ) = -I 1 +
в области D. На основании сделанных пред-
положений, эта функция непрерывна в области D , а значит окончательно
ds.
(10.10)
D »	4 у v 77
Эта формула является пространственным аналогом формулы
ь ,__________________________________
а
для длины дуги плоской линии.
Нример 10.3. Найти площадь части поверхности z = 2jx, вырезан-
Рис. 10.15
ной поверхностью у2 =4х и плоскостью х = 1 (рис. 10.14, 10.15). Имеем в
данном случае — = дх
— = 0, а значит формула (10.10) дает
[л/х + 1 =-
J0	3
1
о"3
х
3
8.	Физические ириложеиия двойных интегралов
1.	Вычисление массы однородной пластинки. Мы уже видели, что масса пластинки, занимающей область D в плоскости хОу и имеющей плотность р(х,у), выражается формулой (10.3).
374
2.	Вычисление моментов инерции пластинки. Рассмотрим ту же пластинку, и пусть ЛО^.- ее элементарная часть, рис. 10.16. Момент инерции области ADk относительно точки О равен приближенно
(Z^o)# — ^к ~ ^к Ук}р^хк->Ук^)^^к > а значит, момент инерции всей пластинки равен
Л)=Д(*2+/)х*,.У)^-
D
Если пластинка однородная, то есть если р(х, у) = р = const, то
D
Очевидно, что моменты инерции неоднородной пластины относительно осей Ох и Оу равны соответственно:
4 = ff y)ds,	Iy = JJx2p(x, у)ds.
D	D
Откуда, в частности, следует что /0 = Ix + 1у
3.	Нахождение центра тяжести пластинки. Разобьем пластинку на части	ADn  В каждой из областей возьмем произвольную
точку	Рассматривая пластинку как дискретную совокупность
п материальных точек Л/|,Л/2,...,Л/И с массами Ат{ = р(лх,, Ат 2 = р(х2, у2 , • • •, Лтп = р(хп, Уп	, получим для абсциссы центра
тяжести:
п	п
Е хк^ч Е xkv(*k, у к Vsk
кА_______ кА_________
п	п
^Amk Epfe’^)^
кА	кА
откуда в пределе при X —> 0 будем иметь точную формулу
х =D___________
г г
JJp(x,y)<*
D
и, аналогично,
375
Ус = ~
D
Если пластинка - однородна, то, сокращая обе дроби на число р, по-
лучим
где S - площадь пластинки.
Нример 10.4. Найдем центр тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями у = х2 и у = 1 (рис. 10.16).
Очевидно, что хс = 0. Далее
а значит,
9.	Тройной интеграл, его вычисление и иримеиеиие
Изучение тройных интегралов является естественным обобщением на трёхмерный случай теории, относящейся к двойным интегралам.
Пусть функция /(х,у,г) задана в ограниченной замкнутой области D пространства R2 . Разобьем область D некоторыми поверхностями на п частей AE\,AD2,...,ADn с объемами AVi,AV2,..., AVn • В каждой из областей ADk возьмем произвольную точку	и вычислим значе-
ние f(xk,yk,zk). Составим сумму
376
«=ХЖ>Л,-Л-М-
не завися-
Она называется интегральной суммой функции f(x,y,z) в области D.
Обозначим через X наибольший из диаметров областей ADi, AD2,..., ADn. Пусть теперь X —> 0; это значит, что область D подвергается неограниченному дроблению так, что каждая из областей ADk стягивается в соответствующую точку Мк. Если существует предел lim 1
щий от способа дробления области D, то он называется тройным интегралом функции /(х,у,г) по области D и обозначается
D
Итак, по определению,
п
JJJ/(x,y,z)JE= lim ^f(xk,yk,zk)AVk.
D
Именно из этого определения и следует полная аналогия двойных и тройных интегралов, в частности, совпадение их свойств. Например, вместо равенства
D
теперь мы имеем
D’
D
где VD - объем области D.
Точно так же, как для определенных и двойных интегралов, можно установить, что если функция f(x,y,z) непрерывна в области D, то интеграл	з)<7Е
К
Z I
Рис. 10.17
существует.
Тройной интеграл не имеет геометрического смысла, но ему можно придать физический смысл. Пусть /(x,y,s)>0 для всех (x,y,s) е D. Тогда функцию /(х,у,г) можно рассматривать как плотность вещества в области D. В этом случае величина	приближённа
равна массе вещества в области А/)к. Суммируя
Рис. 10.18
377
эти массы и переходя к пределу при X—>0, получим, что интеграл JJJ/(x,y, з)<7г есть масса вещества во всей области D.
D
Вспоминая формулу для вычисления двойного интеграла и способ её получения, нетрудно вывести и формулу для вычисления тройного интеграла. Пусть s = gj(x,y) и s = gz(x,y) ~ уравнения нижней и верхней гра
ниц областей D, рис 10.17. Далее, пусть В - двумерная область, полученная в результате проектирования области D на плоскость хОу, рис. 10.18, а у = ЛДх) и y = /?2(-r)*^ (a<x<b) - уравнения нижней и верхней границ
области В. Тогда, рассуждая аналогично случаю двойного интеграла, получим в конечном счете формулу, выражающую тройной интеграл через
повторный:
Ъ h2(x)Fg2(x,y)
(Ю.П)
D
При этом порядок интегрирования по каждой из переменных x,y,z
может быть и изменен.
Величину dv = dxdydz называют элементом объема в декартовых координатах. Её вид напоминает о том, что в процессе вывода формулы (10.11) область D разбивается на элементарные прямоугольные параллелепипеды со сторонами Ax^Ayj и

Нример. 10.5. Вычислить массу тела,
ограниченного плоскостями х = 0, у = 0,
/2	2
х + у = 1 и конусами z = yx + у и
/ 2	2
z = 2ух + у , если его плоскость в каждой точке равна p(x,y,z) = xyz, рис. 10.19 и рис. 10.20.
На основании физического смысла тройно-
го интеграла имеем для данного случая
т = Я! x^dv-
D
Рис. 10.20
** Функции g1 (х,у), g2(x,y), ^i(x), h2 (х) предполагаются однозначными.
378
В силу формулы (10.11) получаем отсюда
~ь х 4х ~ь 6х 4х ~ь х е/х —
- 4х4 + 2х5
Кроме вычисления масс неоднородных тел, тройные интегралы, очевидно, могут быть использованы для вычисления моментов инерции, нахождения центров тяжести тел (как однородных, так и неоднородных) и
т. д.
Задачи и уиражиеиия к главе X
2	2
1.	Найти объем тела, ограниченного поверхностью z = 2х + у и плоскостями z = 0, у = х, у = 2х, х = 1.
2.	Найти объем тела, ограниченного поверхностью z = ху + 2 и плоскостями z = 0, у = 0, х + у = 1, х + 2у = 2 .
2	2
3.	Найти объем тела, ограниченного поверхностью z = x +4у и
/л	Х
ПЛОСКОСТЯМИ Z = 0, у = —, У=Х , X = 1.
2	2
4.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = х + 2у , у = X И ПЛОСКОСТЯМИ Z = 0, у = 1.
379
2
5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностью з = ху и плоскостями х + у = 1, х + у = 2, (х > 0,у > 0,з > 0).
2	2
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 2х + у , у = ех, у = е~х и плоскостями у = 2, z = 0.
7.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = xy, ху=1, ху = 2 и плоскостями z = 0, у = 1, у = 2.
2
8.	Найти объем тела, ограниченного поверхностью у = 2х и плоскостями z = 0, z = y, у = 2.
2
9.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями у = х , 2 = (у -1)2 и плоскостью z = 0.
2
10.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями у = 2х, z = 2ху и плоскостями у = 0, з = 0, х + у = 1, (у > О).
11.	Найти объем тела, ограниченного плоскостями z = 0, х +j = 4,
у = х, у = и поверхностью z = х2 + 2у2.
2	2
12.	Найти объем тела, ограниченного поверхностью z = x +у и плоскостями х = 0, у = 0, з = 0, у = 1 и поверхностью у = In х.
2	2
13.	Найти объем тела, ограниченного поверхностью х +z =1 и плоскостями х = 0, у = 0, з = 0, х + у = 1.
14.	Вычислить массу пластинки, ограниченной линиями х = 0, у = 0, у = 1 и у = In х, если ее плотность в каждой точке равна р = х + у.
15.	Вычислить массу пластинки, ограниченной линиями х = 0, у = 0, у = у/х -1 и х + у = 3, если ее плотность в каждой точке равна р = ху.
16.	Найти массу пластинки, ограниченной линиями ху=1, ху=2, у = 1, у = 2, если ее плотность в каждой точке равна р = ху.
17.	Найти центр тяжести однородной пла-п	х
стинки, ограниченной линиями у = 2х, у = — и
ху=2.
18.	Найти центр тяжести однородной пластинки (рис 10.21), ограниченной линиями у = х2, у = 2 + х и у=2- х.
Рис.10.21
380
2
19.	Найти объем тела, ограниченного поверхностью у = х и плоско-, 1
СТЯМИ У = 1, Z = —, z = у.
'У
20.	Найти объем тела, ограниченного поверхностью у = х и плоскостями z = 0, z = у, у = 1.
I 2	2~
21.	Найти массу тела, ограниченного поверхностью z = yx +у и плоскостями х = 0, у = 0, z = 0, х + у = 1, если его плотность в каждой точке равна z.
22.	Найти массу тела, ограниченного поверхностями у = -\[х, у = 2-jx и плоскостями z = 0, х + z = 6, если его плотность в каждой точке равна х.
23.	Найти массу тела, ограниченного плоскостями z = 0, у = 2, и х	—х	1 / 2	2 \
поверхностями у = е , у = е , z = —ух +у ), если его плотность в каждой точке равна х2.
2	2
24.	Найти массу тела, ограниченного поверхностями у = х , z = у и плоскостью z = у, если его плотность в каждой точке равна x2yz.
25.	Вычислить массу тела, ограниченного плоскостями х = 0, у = 0,
2	2
z = 0, А' + у = 1и поверхностью z = x +у , если его плотность равна р = х + у + Z .
2	2
26.	Найти массу тела, ограниченного поверхностями z = 2x +у , 2
у = х и плоскостями у = 1, z = 0, если его плотность в каждой точке рав-
2 на р = у + z.
27. Найти массу тела, ограниченного плоскостями z = x + y, z = 2(х + у), у = х, у = 2х, у = 2, если его плотность равна р = х + у + z.
28. Найти момент инерции относительно оси Ох однородного тела с плотностью р, ограниченного поверхностью z = y2 и плоскостями х = 0, у = 0, z = 0, 2х + Зу-12 = 0.
29. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверх-2	2
НОСТЬЮ Z = X + у и плоскостями х = 0, у = 0, z = 0, х + у = 2.
30. Найти момент инерции тела, ограниченного плоскостями х = 0, у = 0, х + у = 1, jv + z = 2 и jc + 2z = 2, относительно начала координат.
381
XI. Кратные интегралы в криволинейных координатах
1.	Криволинейные координаты иа плоскости
Пусть в ограниченной замкнутой области D плоскости хОу заданы непрерывные функции и=р(х,у) и v = q(x,y}. Взяв конкретные х и у, получим конкретные и и v. Поэтому можно говорить, что каждой точке (х,у)е£) отвечает точка (и,у) некоторой другой плоскости п()у.
Пусть G - множество точек (w,v) при условии, что точки (х,у) заполняют всю область D . Легко видеть, что множество G есть замкнутая область.
Будем считать, что если (w,v)e G , то система
ИНАЯ,	(11.1)
|у = ^(х,у)
однозначно разрешима относительно х и у. Тогда между точками областей D и G имеет место взаимно однозначное соответствие, причем, очевидно, точкам (x,y)<^dD отвечают точки (w,v)<z6G.
Говорят, что формулы (11.1) осуществляют отображение области D плоскости хОу в область G плоскости uOv. Область G при этом называ
ют образом области D .
Разрешая равенства (11.1) относительно х и у, получим
x = g(u,y), z: '	(112)
y = h(u,v).
Взяв произвольные числа и и v, такие, что (w,v)eG, однозначно определим по ним некоторую точку (х,у) в области D . Поэтому величины и и v могут играть роль координат точки {х,у).
Геометрическое место точек (.¥,))<£/), для которых координата и сохраняет постоянное значение w0, называется координатной линией ко
ординаты и. Из уравнения (11.1) следует, что уравнение этой линии p(x,y)=uQ.
Придавая величине Uq всевозможные значения, получим так называемой семейство координатных линий координаты и. Благодаря взаимной однозначности соответствия, через каждую точку (x,y)^D проходит одна и только одна линия семейства.
Рис. 11.1
382
Аналогично определяются координатные линии координаты v, также образующие семейство, рис. 11.1.
Поскольку линии обоих семейств являются, вообще говоря, кривыми, то и и v называют криволинейными координатами точки (х,у).
Примером криволинейных координат могут служить полярные координаты. Формулы (11.2) в этом случае имеют вид
* = pc°s<p,	(113)
)=psin<p.
_	_	л л
Если область D не содержит начала координат, а - — <ф< —, то формулы (11.3) допускают следующее однозначное разрешение относи-
тельно р и ф:
Р =
Рис. 11.2
у (p = arctg—.
х
Итак, при указанных условиях между парами чисел (х,у) и (р, (р) имеется взаимное однозначное соответствие. Координатными линиями координат р и
2	2
ф являются окружности х + у = const и лучи, выходящие из начала ко-
ординат, рис. 11.2.
2.	Элемент илощади в криволинейных координатах
Возьмем в плоскости uOv элементарный прямоугольник с вершина-
Рис. 11.3	Рис. 11.4
ми Q\(u,v), Q2{u + Au,v), Q?,(u + Au,v + Av) и Q^(u,у + Av), рис. 11.3. Его прообразом в плоскости хОу является некоторый криволинейный четырехугольник, образованный двумя парами координатных линий, рис. 11.4. Его вершины находятся в точках
plfe(wA),/?(^,v)),P2(g(« + Au,v),h(u + Au,vj),
(g(w + Ли, v + Av),h(u + Au,v + zlv)) и /4 (g(w, v + Av), h(u, v + zlv)).
383
J(Ли)2 л-(Av)2 . Тогда считая, что функ-
Положим для краткости 8 =
ции g(u,v) и h(x,y) имеют в области G непрерывные частные производ-
dg dg dh	dh	( x
ные -2-, — и —, получим, что с точностью до величины о(6), точки ди dv ди	dv
Д, Д> Д и Д можно заменить точками
Д fe(w,v),/?(w,v))
Р2 | v) + ~v)+—Au
I	du	du
dg dg , \ dh dh
— Лил Av, Mu,vp Au л- — Av du dv	du dv j
Д f g(u,v) +Av> h(u>v) +	A’T}
I	dv	dv J
---- I de dh
Поскольку	P{P^ = s — Au,—Au
du du
и p^p' = i^-Au,—Au I du du
Р4Р3 = P{P2, а значит, фигура	есть параллелограмм. Его площадь,
следовательно, равна
. Но Р7Р3 = < — Av,—Av >, а значит I dv dv
P{Pi,P^Pi
ди dh
ди
dv dh
AuAvk .
dv
Определитель
*) „	dg dh dg dh
Здесь и ниже предполагается, что частные производные —, —, — и — вычислены du ди d\’	d}’
в точке (u,v).
384
dv dh dv
du dh du
называется определителем Якоби, или якобианом, функций g(w,v) и h(u,v) и обозначаются —7—.
d\u,v)
Итак
Р1РЪР2Р3 = J(u,v)AuAvk
а значит
- г \ ’ v)\niinv 
Отсюда следует, что и площадь четырехугольника Р{Р2рзр^ с точноравна |«/(w,v)|zlwzlv. Поэтому в качестве элемента |j(w,v)|c/wc/v.
стью до величины о(§2 j
площади в криволинейных координатах берется величина В частности, для полярных координат имеем g(p, ср) = pcoscp, /?(р,ср)= psin ср,
а значит
J(p,cp) =
dh
дер dh дер
coscp -psincp sincp pcoscp
а так как всегда р > 0, то и элемент площади в полярных координатах равен ds = pdpdty.
Следовательно, с точностью до малых выс-
шего порядка фигуру ДДДД можно считать прямоугольником со сторонами ДР2 = Ф и ДР4 = рАр, рис. 11.5
= Р
3.	Вычисление площади в криволинейных координатах
Пусть область G в плоскости uOv является образом области D в плоскости хОу. Разобьем область G на элементарные прямоугольники прямыми и = const и v = const. Тогда область D разобьется координатными линиями на элементарные четырехугольники. Площадь ik -го четырехугольника равна |j(wz,v/f )| АцАу/с + o(d^. j. Суммируя
ки, получим, что площадь области D приближенно равна величине
эти четырехугольни-
385
5=Ek(w/’v/<)HAv/<-i,k
Пусть теперь каждый из прямоугольников в плоскости uOv стягивается в точку. Тогда - благодаря непрерывности функций g(w,v) и /?(?/, г) -элементарные четырехугольники в плоскости хОу также будут стягиваться в точки. Учитывая также непрерывность якобиана в области G, получим в пределе для области SD точную формулу
SD = jj|j(w,v)|c7w<7v.	(И-4)
G
Эта формула позволяет, в частности, выяснить геометрический смысл якобиана. Для этого применим к формуле (11.4) теорему о среднем. Получим:
SD =p(tn)|SG,	(11.5)
т. е.
с11-6) dG
Здесь (S,,T]) - некоторая точка внутри области G.
Предположим теперь, что область G мала, a (w,v) - произвольная ее точка. Тогда, в силу (11.6), а значит,
Отсюда вытекает следующий вывод: при отображении плоскости uOv на плоскость хОу величина	является коэффициентом растя-
жения плоскости uOv в данной точке (w,v).
4.	Замена переменных в двойном интеграле
Пусть имеется интеграл Д/(x.y)dxdy = / и пусть область D ото-
D
бражается при помощи формул (11.1) в область G плоскости uOv, причем это отображение взаимно однозначно. Разобьем область G произвольным образом на области z!G1,z1G2,..,/1G„ с площадями Лсу1,/1су2, -,ЭсуЛ7. Тогда и область D разбивается соответствующими линиями на области ЛО1,ЛО2,.., AD„ с площадями As\,As2,--, Asn. В каждой из областей AD^ возьмем произвольную точку и составим сумму
386
\ 4=1
rqiTTZ На основании формулы (11.5),
Ask = iX^Tb)!^,
q------------где (S,/f,i]/f) - некоторая точка области AGk . Возьмем в
Рис. 11.6 качестве точки	ту точку области ADk, которая
отображается именно в точку	(поскольку интеграл / существует,
то точка (-^а ,Уа ) в интегральной сумме может быть взята произвольно). Иными словами, мы положим
yk=h(^k,v\k).
Тогда интегральная сумма примет вид:
S =	),/?(^,n/f ))|J(^,T)/f )|Hc/f.
к=1
Считая функцию f(x,y), непрерывной в области D, получим в пре
деле
1 = fj/(g(w’v)’/?(w’v))lJ (w’vVQ ’ D
т. е.
ff/(*, у) dxdy = fff (g(w,v),A(w,v))|j(w,v)|JwJv.	(11.7)
D	G
Это и есть формула замены переменных в двойном интеграле. Очевидно, формула (11.4) является частным случаем формулы (11.7) при f(x,y) = l.
В частности, для полярных координат формула (11.7) запишется так:
JJ f (х, y)dxdy = JJ Др cos ф, р sin ф)р<7рс/ф.	(11.8)
D	G
Примечание. Предположим, что в некоторых точках или даже вдоль некоторых линий нарушается какое-нибудь из условий, при которых была выведена формула (11.7), т. е. либо взаимная однозначность отображения области D в область G, либо непрерывность функций g(w,v) и /?(?/, г) или dg dg dh dh o
их частных производных	—и —. Заключим эти точки и линии в
du dv du dv
плоскости хОу в некоторую малую область /X, и пусть G,. - образ области 1)Р в плоскости uOv. Обозначим SP и <х. площади областей DP и GP. о	о	о	о	о
На основании (11.7), имеем
ff f(x,y)dxdy= JJ f^g(u,v),h(u,v)^\j(u,v)^udv	(11.9)
n\ne	G\Ge
Интеграл справа, вообще говоря, отличается от интеграла
387
ff/(g(w,v),/7(w,v))|j(w,v)^Wd/v
G
на величину	Jf/(g(«,v),A(»,v))|j(»,v^udv.
ge
Если координатная функция ограничена в области G, то последний интеграл мал при малом о,, и в пределе при —> 0 и <де —> 0 получим из (11.9) формулу (11.7), т. е. формула (11.7) оказывается верной и в этом случае.
В частности, в случае полярных координат точке (0,0) плоскости хОу отвечает бесчисленное множество точек (р,ф), заполняющих весь от-
—<1	-**	—	I-------
О	х 0 2л (р
Рис. 11.7
резок [б,2л], рис. 11.7 т. е. в точке (0,0) плоскости хОу нарушается взаим
ная однозначность отображения. Поэтому если область D содержит начало координат, то формула (11.8) может оказаться неверной. Однако, она верна для не заштрихованных областей D\De и G\Ge (рис. 11.8 и рис. 11.9).
z|	Если величина /(р cos ср, р sin <р)р ограничена в
А X области G, то устремляя к нулю площади областей Ве и Ge (т. е. их меры), получим в пределе формулу д	(11.8) и для этого случая.
Пример 11.1. Вычислим объем тела, ограни-ченного плоскостью z = 0 и поверхностями
Рис. 11.10	+ у2 =1 и z = x2 + у1 (рис. 11.10). Имеем
И = jj(*2 + у2\х^У-
D
388
Перейдем здесь к полярным координатам. В данном случае /(pcosq^psin <р)р = (р2 cos2 ф + р2 sin2 фр = р3, а поэтому формула (11.8) дает
V = Др3б/рб/ф.
G
Перепишем уравнение границы области D (рис. 1 L11) в виде 2 . 2 х + у = 2х.
В полярных координатах это уравнение выглядит так: р2 = 2pcoscp, т.е.	р = 2coscp (рис. 11.12).
Следовательно, на основании (11.8), л 2 (2cos ср
л
2
л
2
4 2coscp О
л
2
л
2
О
71
2
71
~2
71
2r (	II	Л
= I l + 2cos2(p + —+ —cos4cp J(p =
2 2	)
3 —л.
2
71 2
Примечание. При решении конкретных задач область G можно и не изображать на чертеже, а пределы интегрирования по каждой из переменных риф определять, исходя сразу из вида области D.
5. Питеграл Пуассона и его вычисление
Будем рассматривать несобственный интеграл
вают интегралом Пуассона; он является одним из наиболее часто встречающихся несобственных интегралов в математике и ее приложениях, в первую очередь - в теории вероятностей. Геометрически он представляет собой площадь бесконечной (- со < х < +со) фигуры, расположенной между -х2
осью Ох и кривой у = е , рис. 11.13.
+оо
Г — 2
е х dx. Его назы-
— ОО
389
Поскольку неопределенный интеграл je х dx не выражается в конечном виде через элементарные функции (т. е. является «не берущимся»), то для вычисления интеграла Пуассона нельзя воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, а значит следует воспользоваться другим, специальным приемом.
Прежде всего, отметим, что интеграл Пуассона является сходящимся несобственным интегралом пер
вого рода. Действительно, при всех х>0 будет ех >х, (рис. 11.14), а зна-
г-	X2 .	2	-х2 , 1 п
чит, при всех х будет е >х , т. е. е <— По-	а
хл
скольку показатель знаменателя 2 > 1, то несобствен-оо	0	---------------£-
г _х2	г _ 2	а о	а
ные интегралы е dx и е dx сходятся, а значит
О	-СО 
сходится и равный их сумме несобственный интеграл
Рис. 11.15
+оо f _ 2	_ 2
\ е х dx. При этом из четности функции е х следу-
ет, что
+ ОС	+00
J е~х dx = 2 J е~х dx.
—со	О
Для вычисления интеграла Пуассона рассмотрим квадрат = ^х,у)\-а <х<а-а <у <tz},pHC. 11.15.
Имеем
т. е.
Пусть теперь б/^-оо. Тогда область Da в пределе превращается во
(ИЮ)
всю плоскость хОу, которую мы обозначим Пж. Поэтому
390
откуда
СО	I----------г--
fe~x2dx= ffe~‘xZ+};Z>ds.	(11.12)
\ d№
Заметим, что поскольку равенство (11.11) получено из (11.10) пре-
4-со
Г - 2
дельным переходом при	то под величиной е х dx в формуле
—00
а
Г - 2
(11.12)	фактически подразумевается предел lim е х dx, а это есть v.p. а—>сс J
-а
+оо	+оо
Г	— 2	Г	—	2
е х dx, т. е. главное значение интеграла е х dx. Но, как мы выдели,
— 00	—оо
интеграл Пуассона сходится, а значит, его главное значение совпадает с
самим интегралом.
Итак, для вычисления интеграла Пуассона теперь достаточно вычислить «несобственный» двойной интеграл, стоящий справа в равенстве (11.12). Поскольку подынтегральная функция в нем фактически есть функция одного аргумента: х1 + у2, то целесооб
разно совершить переход к полярным координатам. Для этого введем сначала круг у)| х1 + у2 <<72} , рис. 11.16.
Тогда
т. е.
Отсюда в пределе при а^<х> получим
[Г +у ^ds = тг.
(И14)
Но, на основании перехода от (11.13) к (11.14), область Вж есть круг
бесконечно большого радиуса, т. е. вся плоскость хОу. Поэтому, заменяя
391
Вж на Пж, перепишем равенство (11.14) так
jje“(x2+j;2U = n.	(И.15)
Но тогда из формулы (11.12) находим
+со
Г - 2	/—
е х dx = д/л.
—ОО
Это и есть формула для вычисления интеграла Пуассона.
Примечание. Заменяя равенство (11.14) равенством (11.15), мы считаем, что
jje“(x2+j;2U= jje“(x2+j;2U.	(И-16)
Оба интеграла являются интегралами по всей плоскости хОу, однако в первом интеграле эта плоскость получена как квадрат с бесконечно большой стороной, а во втором - как круг бесконечно большого радиуса. Поэтому для доказательства истинности равенства (11.16) покажем, что предел
не зависит от того, каким способом область В расширяется на всю плоскость хОу.
Пусть г <R. Рассмотрим круги Вг и BR, и пусть
В - область произвольной формы, такая, что Вг с В с BR, рис. 11.17.
Тогда, поскольку е~(х +у ) > 0 при всех (х,у), то
JJ е~(х2 +у2 Vs < JJ е~(х2 +у2 Vs < JJ е~(х2 +у2 Vs.	(11 -17)
Вг	В	BR
Но, на основании формулы (11.14)
lim JJe-(х +у Vs = n, lim JJe -(х +у Vs = k. Г—>00	В—>00
Br	BR
Поэтому из (11.17), в силу известного свойства пределов, следует, что и lim [[ е-(х +у Vs = л, какую бы форму не имела область В.
B^Da
6.	Криволинейные координаты в ироетраиетве
Пусть ограниченная замкнутая область D пространства Oxyz взаимно однозначно отображается в область G пространства Ouvw при помощи
392
формул
w = p(x,y,z\ <v = q(x,y,z), w=r(x,y,z),
(И18)
где правые части есть непрерывные в области D функции. При этом по
верхность 3D отображается в поверхность 3G.
Из равенства (11.18) для любой точки (w,v,w)e G имеем
x = g(w,v,w), < y = h(u,v,w\ z = /(w,v,w).
Следовательно, задание тройки чисел (w,v,w) равносильно заданию
тройки чисел (x,y,z), в связи с чем величины и, линейными координатами точки (x,y,z) в пространстве.
Геометрическое место точек, для которых одна из криволинейных координат сохраняет постоянное значение, называется координатной поверхностью этой координаты. Очевидно, для каждой из координат и, у и w существует целое семейство координатных поверхностей. При этом через каждую точку области D проходит по одной поверхности каждого семейства.
(П-19)
Примером криволинейных координат в пространстве являются так называемые цилиндрические координаты. Ими являются величины р, ф и
z, задание которых, очевидно, полностью характеризуют положение точки М в пространстве (рис. 11.18). Формулы (11.19) в данном случае имеют
вид
х = pcoscp, < y = psinq),
G = z, причем здесь р > 0, - л < ср < л.
Координатными поверхностями являются:
а)	для координаты р - круговые цилиндры, осью которых является ось Oz (откуда и происходит название этой системы координат);
б)	для координаты ср - полуплоскости, «выходящие» из оси Oz;
в)	для координаты z - плоскости параллельные плоскости хОу
Рис. 11.19
393
Вторым примером криволинейных координат в пространстве являются величины г, ф и 0, называемые сферическими координатами точки М (рис. 11.19). Очевидно,
х = rsin Ocoscp, < у = г sin 0 sin ср, z = rcosG, причем г>0, О<0<л, -п<ср<п.
Координатными поверхностями являются:
а)	для координаты г - сферы с центром в точке О (откуда и название этих координат);
б)	для координаты ср - круговые «полуконусы», осью которых служит ось Oz;
в)	для координаты 6 - полуплоскости, выходящие из оси Oz.
В случае цилиндрических и сферических координат взаимно однозначное соответствие отображения нарушается вдоль оси Oz.
7.	Элемент объема в криволинейных координатах
Возьмем в области G элементарный прямоугольный параллелепипед, образованный тремя парами плоскостей, параллельных плоскостям uOv, uOw, vOw. Ему отвечает в области D элементарное тело, образованное пересечением трех пар координатных поверхностей. Предполагая, что функции g(z/,v,n'), /7(7/, г, и') и /(7/,г, и') имеют в области G непрерывные частные производные по каждому из аргументов, заключаем (ср. с §2), что объем упомянутого элементарного тела с точностью до малых высшего порядка равен объему прямоугольного параллелепипеда, построенного [dg л dh л dl . ]	(dg л dh л dl . ]
на векторах	< — Ли,—Ли,—Ли>,	<—Лу, — Лу, — Лу>	и
(dw ди ди j	(dv dv dv j
[dg	dh	dl'	1
< — Луу, — Луу, — Луу >. Смешанное произведение этих векторов равно
I dw	dw	dw
dg л — Ли	dh — Ли	dl я — Ли		dg	dg	dg	
ди	ди	ди		du	dv	dw	
dg	dh	dl		dh	dh	dh	
—Лу	— Лу	— Лу					ЛиЛуЛуу
dv	dv	dv		du	dv	dw	
dg	dh	dl		dl	dl	dl	
— Луу	— zhr	— Aw					
dw	dw	dw		du	dv	dw	
Определитель:
394
j(u,v,w) =
ди dh
ди dl
dg dg dv dw dh dh dv dw dl dl
du dv dw
называется якобианом функций g(w,v,w), /?(?/, v, w) и l(u,v,w) (его обозна-
чают еще
d(g,h,f) d(u,v,w)
). Итак, объем упомянутого косоугольного параллеле-
пипеда равен
ЛУ = | j(u, v, w^AuAvAw.	(11.20)
Поэтому элементом объема в криволинейных координатах называют величину
dV = \j(u, г, xvjtdudvdw.
Применим этот результат к цилиндрическим и сферическим координатам.
Для цилиндрических координат имеем								
	dg	dg	dg					
j(p,cp,z) =	dp dh dp dl	Sep dh Sep dl	dz dh dz dl	=	cosep sin ep 0	-psin ep p coscp 0	0 0 1	= P
	dp	Sep	dz					
а так как всегда р > 0, то элемент объема в цилиндрических координатах
равен
dV = pdpdqdz.
Аналогично в сферических координатах sinGcoscp rcosOcoscp -rsinGsincp j(r,O,(p) = sinGsincp rcosOsincp rsin Gcoscp = cosO -rsin0	0
= (r2 cosOsin 0cos2 cp + r2 cosOsin 0sin2cp)cosO + cos20sin0 + sin30j = r2sin0.
+(rsin2 6 cos2 ср + г sin2 Osin2 ср) г sin 0 = г2 (
Поскольку эта величина всегда положительна, то элемент объема в сферических координатах равен
dV = г2 sin 0 dSdtydr.
395
Геометрический смысл обоих полученных результатов легко усматривается из чертежей (рис. П.20 и рис. 11.21).
8.	Замена переменных в тройном интеграле
Формула (11.20) позволяет для объема области D получить следующую формулу
Гр = ||||7(г/,г,щ)|сй/с/гсйт.	(11.21)
G
Теперь, рассуждая так же, как и в двумерном случае, легко получить общую формулу замены переменных в тройном интеграле:
JJJ/(^,y,z)cZxd7yd7z=
D
= jjj/(g(w,v,w),/?(w,v,w),7(w,v,w))|j(w,v,w)|jwJv^,	(11.22)
G
содержащую в себе как частный случай и формулу (11.21).
Для цилиндрических и сферических координат формула (11.22) име
ет соответственно вид
jjj / ( х, у, z ) dxdydz = JJJ f ( р cos ср, р sin ср, z) р с/ рс/cpJz, D	G
JJJ/(rsin0eos(p,rsin0sin(p,rcos(p)r2sin0cZrcZ(pcZ0.
Пример 11.2. Найдем массу тела, ограниченного поверхностями z = х2 + у2 и х2 + у2 + z2 = 2 (z > О) (рис. 11.22), если его плотность в ка
ждой точке численно равна z.
Уравнение данных поверхностей в цилиндрических координатах
имеют вид
z = p
2
р2 +z2 =2
т. е.
396
2	2
z = p , z = y/2-p .
Решая их совместно, найдем, что эти поверхности пересекаются по
окружности
1х2 + у2=1,
[z = 1.
т = JJJ z^x^y^z=
D
Поэтому:
Пример 11.3. Вычислим момент инерции относительно точки О однородного шара, ограниченного сферой х2 + у2 +(z-1)2 = 1 (рис. 11.23), если его плотность численно равна 1.
Данная сфера имеет в сферических координатах уравнение
г = 2 cos 0
(это следует из декартова уравнения сферы, если в него вместо х, у и z подставить их выражения че-
рез г, 0 и ср). Поэтому:
РЖ'2+ '2+zl
D
Рис. 11.23
^dxdydz = JJJr2r2 sinQdrdQdq = G
2 (2-cosO
r4sin0dr
2cos0
7t
\	"2	5 2cos0
r^dr dQ = 27tjsin0—
>	0	5 0
de=
71
64л|	5_ . _	64л cos60 64л 1 32л
----- cos 0 sin 0 <70 =--------------=-----------=-------
5 Jo	5	6 я 5 6	15
2
397
Задачи и уиражиеиия к главе XI
1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z =	+ у1) ,
2	1\ л( 2	1\	сх
x+ji=4lx-j/ln плоскостью z = 0.
2	2
2.	Найти объем тела, ограниченного поверхностью х +у =2у и плоскостями z = 0, у = х, z = x + у.
3.	Найти объем	тела,	ограниченного	поверхностями
7	9	9	9	/ 9	7	1! 1	7 \
х +у +z =R , Iх +у j =R lx -у I и плоскостью z = 0.
2	2
4.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями х +у = 4х, z = д/х И ПЛОСКОСТЬЮ Z = 0.
2	2
5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями х +у = 2у, Z = х2 + у2 И ПЛОСКОСТЯМИ Z = 0 , у = л/Зх (х > 0).
2
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = ху, х2+у2=4.
7.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 =2х,
2	2	2	2
X +у =2y,z = x +у И ПЛОСКОСТЬЮ Z = 0.
2	2
8.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 4-x -4у , 2	2
X + у = 1 И ПЛОСКОСТЯМИ Z = 0, у = 0, у = х.
2	2
9.	Найти объем тела, ограниченного поверхностью х +у =х + у и плоскостями z = 0, z = х + у.
2	2
10.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями х +у =4, z = (y + 2)2 И ПЛОСКОСТЬЮ Z = 0.
2	2	2
11.	Найти площадь поверхности z =х + у , находящейся внутри поверхности х2 + у2 = 2х.
2	2
12.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х +у =2х,
2	2	х	[X
X +у = X, у= -j=, у = д/3х.
13. Найти площадь сегмента, отсекаемого прямой у = х от окружности х2 + у2 = 2х.
398
14.	Найти площадь части поверхности z =	~ у2 j , вырезанной
плоскостью z = 0 и поверхностью х2 + у1 = 1 (z > О).
2	2
15.	Найти массу пластинки, ограниченной линией х + у = 8ху, ес--	2	2
ли плотность в каждой ее точке равна у = х + у .
16.	Найти момент инерции однородного сегмента, отсекаемого пря-2	2
мой у = х от окружности х +у = 2х, относительно оси Ох.
17.	Найти момент инерции относительно начала координат однород-
(2	2 г
х + у I = 2ху.
18.	Найти центр тяжести полукруга радиуса R, если его плотность численно равна расстоянию от диаметра.
19.	Найти центр тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями х1 + у2 = 2у, у = х, у = —х (у > |jc|).
20.	Найти центр тяжести однородного полукруга радиуса R.
21.	Найти момент инерции однородной пластинки, ограниченной линиями х2 + (у -1)2 = 1 и у = -\[3х, относительно начала координат.
2	2
22.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = x +у , 2	2,2
Z = X + у .
23.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями 7	7	7	777	777
Z + Jf + у = 1, х + у + Z = 4 И Z = х + у .
24.	Найти массу тела, ограниченного плоскостями х = 0, z = 0, у = 0, 2	2
у + х + z = 2 и поверхностью х + у = 1, если его плотность в каждой точке равна у = х + у.
2	2
25.	Найти массу тела, ограниченного поверхностями z = x +у ,
V2	2
х + у , если его плотность в каждой точке равна у = z.
26.	Найти момент инерции однородного тела, ограниченного по-/ 2	2~
верхностью z = у х + у и плоскостью z = 4, относительно начала координат.
27.	Найти момент инерции однородного цилиндра радиуса R, высоты Н и плотности у относительно образующей.
28.	Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверх-2	2	2
ностями z = x + у , z = ух + у .
29.	Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверх-
399
/ 2	2
НОСТЬЮ Z = д/ X + у И ПЛОСКОСТЬЮ Z = 4.
30.	Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверх-2	2
НОСТЬЮ 2z = X + у И ПЛОСКОСТЬЮ Z = X + у.
31.	Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверх-
2	2 п / 2 ,	2
ностями z = A' +у иг = 2-ух +у .
32.	Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверх-2	2	/ 2	2~
ностями z = 6-х - у , Z = ух + у .
33.	Найти центр тяжести той части однородного шара 2	2	2	2
х + у + z <R , которая лежит в первом октанте.
34.	Найти центр тяжести той части однородного шара, 2	2	2	2
х + у + z <R , которая лежит в первом и втором октантах.
35.	Найти объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью (2	2 2У (2	2^
LX + у + Z I = Z\X + у I.
36.	Найти момент инерции однородного тела, ограниченного по-(2	2 2Р 4
верхностью U + у + z ) = z относительно начала координат.
37.	Найти момент инерции однородного тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 + z2 = 1, х2 + у2 + z2 = 4 и z = у]х2 + у2 , относительно начала координат.
38.	Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверх-
2	2	2	2	2	2	/ 2	2
ностями z + х +у =1, х +у +z = 4,z = y3x + 3у .
2	2	2
39.	Найти массу шара х + у + z < 4z, если его плотность численно равна расстоянию от начала координат.
40.	Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверх-
2	2	2	2
ностями z = 2х +2у , z = 3-х -у .
2	2	2
41.	Найти момент инерции однородного шара х +у + z <4z относительно начала координат.
42.	Найти момент инерции однородного тела, ограниченного по-(2	2 2V
верхностью U + у + z J = z, относительно начала координат.
43.	Найти момент инерции однородного тела, ограниченного по-
(2	2 2Р 2
верхностью + у + z I = z , относительно начала координат.
2	2
44.	Найти объем тела, ограниченного поверхностью х +у =2х и плоскостями z = х, z = 2х.
400
ЛИТЕРАТУРА
1.	Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Физматгиз, 1959. - Т.1,2,3.
2.	Игнатьева А.В., Краснощекова Т.И., Смирнов В.Ф. Курс высшей математики. -М.: Высш, шк., 1964.
3.	Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. - М.: Наука, 1965.
4.	Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. Вып. 1. - М.: Наука, 1967.
5.	Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 2. -М.: Наука, 1973.
6.	Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. -М.: Наука, 1988.
7.	Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Государственное издательство технике-теоретической литературы, 1956.
8.	Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1985.
9.	Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). Учебное пособие для втузов. - М.: Высш, шк., 1983.
401
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть 1 Предисловие............................................... 3
I. Введение в математический анализ....................................... 6
1.	Основные логические символы............................................ 6
2.	Простейшие понятия и обозначения теории множеств....................... 6
3.	Рациональные и иррациональные числа.................................... 8
4.	Модуль числа и его свойства........................................... 11
5.	Интервалы и промежутки................................................ 12
6.	Постоянные и переменные величины. Классификация переменных...................................................................... 13
7.	Функция и способы её задания.......................................... 15
8.	Область определения функции........................................... 16
9.	Чётные и нечётные функции. Периодические функции...................... 17
10.	Однозначные и многозначные функции................................... 18
11.	Обратная функция..................................................... 18
12.	Основные элементарные функции........................................ 20
13.	Сложные функции...................................................... 25
14.	Элементарные функции................................................. 26
Унражнення к главе 1..................................................... 26
II. Иредел числовой последовательности................................... 28
1.	Определение предела числовой последовательности....................... 28
2.	Простейшие свойства пределов числовых последовательностей....	30
3.	Бесконечно большие последовательности................................. 32
4.	Бесконечно малые последовательности и их свойства..................... 34
5.	Арифметические свойства пределов числовых последовательностей..................................................................... 36
6.	Лемма о стягивающихся отрезках........................................ 38
7.	Точная верхняя и нижняя грани числовых множеств....................... 38
8.	Предел монотонной последовательности.................................. 41
9.	Решение характерных примеров на признаки существования пределов числовой последовательности....................................................... 42
10.	Лемма Больцано-Вейерштрасса.......................................... 48
Унражнення к главе II.................................................... 49
III. Иредел функции. Непрерывность функций............................... 51
1.	Предел функции в точке и на бесконечности............................. 51
2.	Односторонние пределы функции в точке................................. 54
3.	Свойства пределов функций............................................. 56
4.	Второе определение пределов функции в точке и на бесконечно-
402
сти....................................................................... 59
5.	Непрерывность функции в точке и на промежутке.......................... 62
6.	Другие формы определения непрерывности функции в точке..	63
7.	Основные теоремы о непрерывных функциях................................ 65
8.	Непрерывность основных элементарных функций............................ 66
9.	Классификация точек разрыва функций.................................... 68
10.	О строгих определениях основных элементарных функций...	71
11.	Основные виды неопределенных выражений и простейшие способы их раскрытия....................................................................... 72
12.	Сравнение бесконечно малых............................................ 75
13.	Эквивалентные бесконечно малые........................................ 77
14.	Первый замечательный предел и его следствия........................... 80
15.	Число е как предел числовой последовательности........................ 83
16.	Второй замечательный предел........................................... 84
17.	Следствия второго замечательного предела.............................. 86
18.	О сравнении бесконечно больших величин................................ 89
19.	Теоремы Больцано-Коши................................................. 90
20.	Условие непрерывности монотонной функции.............................. 93
2	L Доказательство теоремы о существовании и непрерывности обратной функции....................................................................... 94
22. Теоремы Вейерштрасса................................... 95
23. Равномерная непрерывность функции...................... 97
Упражнения к главе III.................................................... 99
IV. Иронзводная н дифференциал........................................... 103
1.	Некоторые задачи, приводящие к понятию производной.................... 103
2.	Производная, ее геометрический смысл.................................. 104
3.	Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции..	106
4.	Производная степенной функции......................................... 107
5.	Основные правила нахождения производной............................... 108
6.	Производная показательной и логарифмической функций..... 110
7.	Производные тригонометрических функций................................ 111
8.	Производная обратной функции.......................................... 112
9.	Производные обратных тригонометрических функций....................... 112
10.	Производные гиперболических и обратных гиперболических функций...................................................................... 113
1I.	Таблица основных формул и правил нахождения производных....	114
12.	Производная сложной функции.......................................... 115
13.	Дифференцирование неявных функций.................................... 116
14.	Логарифмическое дифференцирование.................................... 118
403
15.	Геометрические и физические приложения производных.....
16.	Производные высших порядков............................
17.	Формула Лейбница.......................................
18.	Дифференциал функции...................................
19.	Инвариантность дифференциала...........................
20.	Применение дифференциала в приближенных вычислениях....
21.	Дифференциалы высших порядков..........................
22.	Параметрическое задание функций и линий................
23.	Дифференцирование функций, заданных параметрически.....
Задачи н унражнення к главе IV.............................
V.	Ирнмененне производных к нсследованню функций н лнннн...
1.	Случаи недифференцируемости функций, непрерывных в данной точ-
ке......................................................
2.	Теорема Ферма...........................................
3.	Теорема Ролля...........................................
4.	Теорема Лагранжа и её следствия.........................
5.	Теорема Коши............................................
6.	Возрастание и убывание функции на промежутке............
7.	Экстремум функции.......................................
8.	О наибольшем и наименьшем значениях функции на промежутке..
9.	О решении задач на наибольшее и наименьшее значения.....
10.	Выпуклость и вогнутость линий. Точки перегиба	
11.	Второе правило исследования функции на экстремум.......
12.	Нахождение асимптот линий..............................
13.	Схема и пример полного исследования функции............
14.	Кривизна плоской кривой................................
15.	Радиус кривизны и центр кривизны.......................
16.	Эволюта, эвольвента и их свойства......................
17.	Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида .....
ОО
18.	Раскрытие неопределённостей вида — по правилу Лопиталя.
СО
19.	Раскрытие показательно-степенных неопределённостей.....
20.	Приближённое вычисление корней уравнений методом хорд и касательных................................................
21.	Приближённое решение уравнений итерационным методом Пикара	
22.	Формула Тейлора........................................
404
Задачи н унражнення к главе V............................................ 188
VI. Неопределенный интеграл н необходимые сведения нз алгебры....................................................................... 191
1	.Первообразная функция................................................. 191
2.	Неопределенный интеграл и простейшие формулы интегрирования...................................................................... 193
3.	Свойства неопределенных интегралов.................................... 196
4.	Интегрирование по частям.............................................. 198
5.	Интегрирование путем замены переменной................................ 200
6.	Таблица основных интегралов........................................... 202
7.	Комплексные числа и действия с ними................................... 203
8.	Геометрическая форма комплексных чисел................................ 206
9.	Тригонометрическая форма комплексных чисел............................ 207
10.	Последовательность комплексных чисел и ее предел..................... 209
11.	Комплексная степень числа е.......................................... 210
12.	Понятие о комплекснозначных функциях................................. 213
13.	Показательная форма и логарифм комплексного числа.................... 215
14.	Формулы Эйлера....................................................... 216
15.	Разложение многочлена на множители................................... 217
16.	Рациональные дроби и их разложение на простейшие..................... 219
17.	Интегрирование рациональных дробей................................... 225
18.	Интегрирование рациональных тригонометрических выражений..	227
19.	Об интегралах, не выражающихся в конечном виде через элементарные функции...................................................................... 231
Задачи н унражнення к главе VI........................................... 232
VII. Определенный интеграл н его нрнложення.............................. 234
1.	Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла	 234
2.	Определенный интеграл и его геометрический смысл...................... 236
3.	Суммы Дарбу и их свойства............................................. 238
4.	Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции...................................................................... 240
5.	Интегрируемость непрерывной функции................................... 241
6.	Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва	 244
7.	Теорема о квазиинтегральной сумме..................................... 246
8.	Простейшие свойства определенного интеграла........................... 247
9.	Свойство аддитивности интеграла....................................... 250
10.	Интегральные теоремы о среднем....................................... 252
405
11.	Интеграл с переменным верхним пределом.............................. 255
12.	Формула Ньютона-Лейбница. Связь определенного интеграла с неопределенным..................................................................... 257
13.	0 связи между дифференциальными и интегральными теоремами о среднем..................................................................... 259
14.	Формула интегрирования по частям для определенного интеграла	 260
15.	Новые формы остаточного члена формулы Тейлора....................... 261
16.	Замена переменной в определенном интеграле.......................... 263
17.	Интегралы от четных и нечетных функций в симметричных пределах..................................................................... 264
18.	Вычисление площадей фигур при помощи интегралов..................... 265
19.	Вычисление длин дуг при помощи интегралов........................... 269
20.	Вычисление объема при помощи интегралов............................. 273
21.	Вычисление площадей поверхностей вращения........................... 275
22.	Нахождение координат центров тяжести. Теоремы Гульдина.	277
23.	Примеры применения интегралов к решению физических задач..	280
Задачи н унражнення к главе VII......................................... 284
VIII. Несобственные интегралы........................................... 288
1.	Несобственные интегралы первого рода................................. 288
2.	Несобственные интегралы 2-го рода.................................... 294
3.	Интегрирование по частям и замена переменной в несобственном интеграле...................................................................... 299
Задачи и унражнення к главе VIII........................................ 302
1Х.Днфференцнальное нсчнсленне функций многих неременных..................................................................... 303
1.	Точки и окрестности в //-мерном пространстве......................... 303
2.	Предел последовательности точек...................................... 305
3.	Открытые и замкнутые множества в RtJ................................. 307
4.	Линии и области в пространстве R .................................... 310
5.	Понятие функции п переменных......................................... 311
6.	Предел функции многих переменных..................................... 313
7.	Повторные пределы.................................................... 315
8.	Непрерывность и разрывы функций многих переменных.................... 317
9.	Свойства непрерывных функций......................................... 319
10.	Частные производные функции......................................... 321
11.	Полный дифференциал функции......................................... 323
12.	Применение полных дифференциалов в приближенных вычислениях	 325
406
13.	Дифференцирование сложных функций................................... 327
14.	Инвариантность формы полного дифференциала.......................... 329
15.	Однородные функции. Тождество Эйлера................................ 330
16.	Частные производные высших порядков................................. 331
17.	Полные дифференциалы высших порядков................................ 334
18.	Формула Тейлора для функции многих переменных....................... 335
19.	Экстремум функции многих переменных................................. 337
20.	Необходимые сведения о квадратичных формах.......................... 338
21.	Достаточные условия экстремума функции п переменных......	339
22.	Условный экстремум функции.......................................... 344
23.	Касательная и нормальная плоскость пространственной линии 	353
24.	Касательная плоскость и нормаль к поверхности....................... 355
25.	Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных..................................................................... 357
26.	Огибающая однопараметрического семейства плоских линий...	358
Задачи н унражнення к главе IX.......................................... 361
X.	Кратные интегралы.................................................... 363
1.	Некоторые задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.	363
2.	Двойной интеграл и его геометрический смысл.......................... 364
3.	Основные теоремы об интегрируемости функции.......................... 365
4.	О свойствах двойного интеграла....................................... 366
5.	Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области....	367
6.	Вычисление двойного интеграла в случае произвольной области....	369
7.	Вычисление площади поверхности при помощи двойного интеграла...................................................................... 372
8.	Физические приложения двойных интегралов............................. 374
9.	Тройной интеграл, его вычисление и применение........................ 376
XI.	Кратные интегралы в криволинейных координатах....................... 382
1.	Криволинейные координаты на плоскости................................ 382
2.	Элемент площади в криволинейных координатах.......................... 383
3.	Вычисление площади в криволинейных координатах....................... 385
4.	Замена переменных в двойном интеграле................................ 386
5.	Интеграл Пуассона и его вычисление................................... 389
6.	Криволинейные координаты в пространстве.............................. 392
7.	Элемент объема в криволинейных координатах........................... 394
8.	Замена переменных в тройном интеграле................................ 396
Задачи н унражнення к главе XI.......................................... 398
Литература.............................................................. 401
Оглавление.............................................................. 402
407
Навчальний 11 ос i 611 и к
СЕИЧУК Юрш Федорович
МАТЕМАТИЧНИЙ АИАЛ13 ДЛЯ ИИЖЕИЕР1В
Частина I
Biдпов!дальний за випуск Курпа Л.В.
В авторськш редакцп
Комп'ютерний наб!р орптнал- макета
План 2003 р.
ГНдписано до друку	Формат . Патр друк. Друк - р1зограф1я.
Умов. друк. арк. . Обл1к. вид. арк. . Тираж 500 прим. Зам. №
Цша договхрна.________________________________________________________
ГНдрозды оперативного друку НТУ“ХП1”. Ргзограф НТУ“ХП1”, 61002, м. Харюв, вул. Фрунзе, 21