В. А. Смирнов
ЕГЭ 2010
Математика
^_ Задача С 2
сз —
М Геометрия
Стереометрия
С5
-^ Под редакцией
С А. Л. Семенова и И. В. Ященко
Разработано МИОО

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ
В. А. Смирнов
ЕГЭ 2010. Математика
Задача С2
Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко
Москва
Издательство МЦНМО
2010

УДК 373:51
ББК 22.1я72
С50
Смирнов В. А.
С50 ЕГЭ 2010. Математика. Задача С2 / Под ред. А. Л.
Семенова и И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — 64 с.
ISBN 978-5-94057-592-4
Пособия по математике серии «ЕГЭ 2010. Математика»
ориентированы на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче
Единого государственного экзамена по математике. В данном учебном
пособии представлен материал для подготовки к решению задачи С2.
На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уров-
невый подход к организации повторения, осуществить контроль и
самоконтроль знаний по стереометрии.
Пособие предназначено для учащихся старшей школы, учителей
математики, родителей.
ББК 22.1я72
© Смирнов В. А., 2010.
ISBN 978-5-94057-592-4 .,--> © МЦНМО, 2010.
ш

Введение
Данное пособие предназначено для подготовки к выполнению
задания С2 ЕГЭ по математике. Его целями являются:
— показ примерной тематики и уровня трудности геометрических
задач, включенных в содержание ЕГЭ;
— проверка качества знаний и умений учащихся по геометрии, их
готовность к сдаче ЕГЭ;
— развитие представлений учащихся об основных геометрических
фигурах и их свойствах, формирование навыков работы с рисунком,
умений проводить дополнительные построения;
— повышение вычислительной культуры учащихся.
Пособие содержит задачи на нахождение углов между прямыми
в пространстве, прямой и плоскостью, двумя плоскостями;
нахождение расстояний от точки до прямой, от точки до плоскости, между
двумя прямыми. Наличие рисунков помогает лучше понять условия
задач, представить соответствующую геометрическую ситуацию,
наметить план решения, провести дополнительные построения и
вычисления.
Для решения предлагаемых задач требуются знание определений
тригонометрических функций, формул для нахождения элементов
треугольника, теоремы Пифагора, теоремы косинусов, умение
проводить дополнительные построения, владение координатным и
векторным методами геометрии.
Каждая задача оценивается исходя из двух баллов. Один бал
начисляется за правильное построение или описание искомого угла или
расстояния. Также один бал начисляется за правильно проведенные
вычисления и правильный ответ.
Вначале предлагается диагностическая работа на нахождение
углов и расстояний для различных многогранников. Для тех, кто хочет
проверить правильность решения предложенных задач или убедиться
в верности полученного ответа, приводятся решения задач, как
правило, двумя различными способами и даются ответы. Затем, для
закрепления рассмотренных методов решения задач, предлагаются
тренировочные работы на нахождение углов и расстояний для каждого
из рассмотренных в диагностической работе видов фигур.
В случае успешного решения этих задач можно переходить к
выполнению заключительных диагностических работ, содержащих
задачи разных типов.
В конце пособия даны ответы ко всем задачам.

Введение
Отметим, что лучшим способом подготовки к ЕГЭ по геометрии
являются систематические занятия по учебнику геометрии. Данное
пособие не заменяет учебника. Оно может быть использовано в
качестве дополнительного сборника задач при изучении геометрии
в 10—11 классах, а также при организации обобщающего повторения
или самостоятельных занятиях геометрией.

Диагностическая работа
1.1. В единичном кубе A...Dj найдите угол между прямыми АВг
иВСг.
/
D
/1
1.2. В единичном кубе A...Dj найдите угол между прямыми Т)АХ
Pi Q
\
\
\
\
\
\
N
\
\
\
\
\
\
1.3. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми ADl и СЕЪ где Dj
и Е1 —соответственно середины ребер АгСг и ВгСг.

Диагностическая работа
2.1. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой AF и плоскостью ВССг.
>
А
s:_
4
^с
2.2. В правильной шестиугольной призме А.. .Fj, все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой ССг и плоскостью BDEX.
2.3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите синус угла между прямой BE и плоскостью
SAD, где Е — середина ребра SC.

Диагностическая работа
3.1. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите угол между плоскостями AFFX и
Y1
л
El
3.2. В единичном кубе A...DJ найдите тангенс угла между
плоскостями
3.3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1D1, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями АСВг
иВАгСг.
-А

8
Диагностическая работа
4.1. В правильной шестиугольной призме A...Fl, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой DiFi.
А
FV
к
\
A1
A, !
>-
-——
в
p
\
\
4.2. В единичном кубе A...D1 найдите расстояние от точки А до
прямой BDX.
4.3. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки F до прямой BG, где G — середина ребра SC.

Диагностическая работа
5.1. В единичном кубе A...Di найдите расстояние от точки А до
плоскости
5.2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки А до плоскости SBC.
5.3. В правильной шестиугольной призме А.. .Fly все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости

10
Диагностическая работа
6.1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и ВС.
6.2. В единичном кубе A...DX найдите расстояние между прямыми
АВг иВСг.
6.3. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ААг и CF^

Решения задач 1.1—1.3 диагностической работы
1.1. Первое решение. Прямая АБг параллельна прямой ВСг и,
следовательно, угол между прямыми АВг и ВСг равен углу B1AD1.
Треугольник BlAD1 равносторонний и, значит, угол B1AD1 равен 60°.
Второе решение. Введем систему координат, считая началом
координат точку А, осями координат — прямые АВ, AD, ААг. Вектор АВг
имеет координаты (1,0,1). Вектор ВСг имеет координаты (0,1,1).
Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла у между
векторами АВг и ВСг. Получим cosy? = ^ и, значит, угол ^ равен 60°.
Следовательно, искомый угол между прямыми АВг и ВСг равен 60°.
/---JC
Ответ. 60°.
1.2. Первое решение. Рассмотрим ортогональную проекцию АВг
прямой £DT на плоскость ADDX. Прямые ADX и ИАг перпендикулярны.
Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что прямые DAX и £DT
также перпендикулярны, т.е. искомый угол между прямыми DAl

12
Решения задач 1.1—1.3 диагностической работы
и £Dj равен 90°.
Второе решение. Введем систему координат, считая началом
координат точку А, осями координат — прямые АВ, AD, ААг. Вектор DAl
имеет координаты (0, -1,1). Вектор £D2 имеет координаты (—1,1,1).
Скалярное произведение этих векторов равно нулю и, значит,
искомый угол между прямыми DAa и BDX равен 90°.
\
\
\
\
\
\ E
\
\
\
\
\
\
\
Ответ. 90°.

Решения задач 1.1—1.3 диагностической работы
13
1.3. Первое решение. Обозначим D и Fa соответственно середины
ребер АС и AjBj.
At
1
1
1
1
1
1 *
"7 Fy
1 I
1 I1
1 I1
1 ,'
I1
li! / \
* i /
i /
i /
i /
r1'
Ы
Bx
Прямые DCi и DFT будут соответственно параллельны прямым ADX
и СЕг. Следовательно, угол между прямыми ADX и СЕХ будет равен
углу C^DF^ Треугольник ClDFl равнобедренный, СОг = CFX = -у,
л/3
QFj = -2~. Используя теорему косинусов, получаем cos ZQDFx = 0,7.
Второе решение. Введем систему координат, считая началом
координат точку Л, как показано на рисунке. Точка С имеет
координа0J точка D имеет координаты (
ты Г 2> "у» 0J» точка Dx имеет координаты (j, -т-, lj, точка Ег име-
ет координаты f 7, —, 1J. Вектор AD1 имеет координаты f 7, ~т", 1) •
Вектор СЕг имеет координаты Г^, —j-, IJ. Косинус угла между
прямыми ADY и СЕг равен косинусу угла между векторами ADX и СЕг.
Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла <р между
векторами. Получим cos (p = 0,7.
Ответ. 0,7.

Тренировочная работа 1.
Угол между прямыми
1. В кубе A...DX найдите косинус угла между прямыми АВ и САг.
2. В правильном тетраэдре ABCD точка Е — середина ребра CD.
Найдите косинус угла между прямыми ВС и АЕ.
3. В правильной треугольной призме АВСАгВгС1, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и САг.

Тренировочная работа 1. Угол между прямыми
15
4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точка Е — середина ребра SD. Найдите тангенс угла
между прямыми SB и АЕ.
5. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и FET.
Fl
F
Ei
^^7\
ft1 ''' '
\
A
/ El
n
i
\
N
В
6. В правильной шестиугольной призме А...РЪ все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВг и ВСг.

16
Тренировочная работа 1. Угол между прямыми
7. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
угла между прямыми SB и АЕ.
8. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
угла между прямыми SB и AD.

Решения задач 2.1—2.3 диагностической работы
2.1. Решение. Пусть О — центр нижнего основания призмы.
Прямая ВО параллельна AF. Так как плоскости ABC и ВССг
перпендикулярны, то искомым углом будет угол ОВС. Так как треугольник ОВС
равносторонний, то этот угол будет равен 60°.
^—
V1
А
^ -" *"
Е
О*
\
\
-Р
\
N
\
Ответ. 60°.
2.2. Решение. Так как прямые ВБТ и ССг параллельны, то искомый
угол будет равен углу между прямой ВВг и плоскостью BDE1.
Прямая BD, через которую проходит плоскость BDElt перпендикулярна
плоскости АВВг и, значит, плоскость BDEX перпендикулярна
плоскости ЛБВ]. Следовательно, искомый угол будет равен углу А^ВВЪ т. е.
равен 45°.
Ответ. 45°.
2.3. Решение. Через вершину S проведем прямую, параллельную
прямой АВ, и отложим на ней отрезок SF, равный отрезку ЛВ. В
тетраэдре SBCF все ребра равны 1 и плоскость BCF параллельна плоскости
SAD. Перпендикуляр ЕН, опущенный из точки Е на плоскость BCF,

18
Решения задач 2.1—2.3 диагностической работы
равен половине высоты тетраэдра, т. е. равен -g-. Угол между прямой
л/2
BE и плоскостью SAD равен углу ЕВН, синус которого равен -=-.
л/2
Ответ. -«-.

Тренировочная работа 2.
Угол между прямой и плоскостью
1. В кубе Л...
стью BDD^
найдите тангенс угла между прямой АСг и
плоско2. В кубе A...DY найдите синус угла между прямой АВ и
плоскостью CBlDl.
Dl Г.
D
\
9
3. В правильном тетраэдре ABCD точка Е — середина ребра BD.
Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью ABC.
D

20 Тренировочная работа 2. Угол между прямой и плоскостью
4. В правильной треугольной призме ABCA^yC^, все ребра
которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой ВВг и плоскостью
АВгСг.
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью
SBC.
6. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус
угла между прямой ВС и плоскостью SAF.

Тренировочная работа 2. Угол между прямой и плоскостью 21
7. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой ААг и плоскостью ВСЕ1.
8. В правильной шестиугольной призме А...¥ъ все ребра которой
равны 1, найдите синус угла между прямой BCj и плоскостью AFFX.

Решения задач 3.1—3.3 диагностической работы
3.1. Первое решение. Так как плоскость FCC^ параллельна
плоскости ВЕЕЪ то искомый угол равен углу между плоскостями AFFX
и FCC^ Так как плоскости AFF^ и FCC1 перпендикулярны плоскости
ABC, то соответствующим линейным углом будет угол AFC, который
равен 60°.
Второе решение. Так как плоскость AFF-^ параллельна плоскости
ВЕЕЪ то искомый угол равен углу между плоскостями ВЕЕг и DEE^.
Так как плоскости ВЕЕг и DEEi перпендикулярны плоскости ABC,
то соответствующим линейным углом будет угол BED, который
равен 60°.
Е'—
Ответ. 60°.
3.2. Решение. Так как плоскость ADDl параллельна плоскости
ВССЪ то искомый угол равен углу между плоскостями ВССг и BDC1.
Пусть Е — середина отрезка ВС1. Тогда прямые СЕ и DE будут
перпендикулярны прямой ВСг и, следовательно, угол СЕВ будет линейным
углом между плоскостями ВССг и BDCX. Треугольник CED прямо-
угольный, катет CD равен 1, катет СЕ равен -=-. Следовательно,

Решения задач 3.1—3.3 диагностической работы
23
Ответ, л/2.
3.3. Пусть DE—линия пересечения данных плоскостей, F —
середина отрезка DE, G — середина отрезка АХСХ. Угол GFB1 является
линейным утлом между данными плоскостями. В треугольнике GFB!
имеем:
По теореме косинусов находим cos AGFBX = =.
-Pi
Ответ. =.

Тренировочная работа 3.
Угол между двумя плоскостями
1. В кубе A.-.Di найдите тангенс угла между плоскостями ABC
А^
2. В кубе А-..D^ найдите косинус угла между плоскостями ВА1С1
>
\
3. В правильной треугольной призме ABCA^BXCX, все ребра
которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и САгВг.

Тренировочная работа 3. Угол между двумя плоскостями
25
4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями S AD и SBC.
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите косинус двугранного угла, образованного
гранями SBC и SCD.
6. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
угла между плоскостями SBC и SEF.

26
Тренировочная работа 3. Угол между двумя плоскостями
7. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
угла между плоскостями SAF и SBC.
8. В правильной шестиугольной призме A...Flt все ребра которой
равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DB^F^.

Решения задач 4.1—4.3 диагностической работы
4.1. Решение. Так как прямая D1F1 перпендикулярна плоскости
AFFly то отрезок AF^ будет искомым перпендикуляром, опущенным
из точки А на прямую D^F^. Его длина равна л/2.
Ответ, л/2.
4.2. Первое решение. Искомым перпендикуляром является высота
АН прямоугольного треугольника ABDly в котором
АВ = 1, ADi = л/2, BDj = у/з.
Для площади S этого треугольника имеют место равенства
2S = AB-AD1 =BD1-AH.
Откуда находим АН = -^-.
i d
\ D\
\
\
\
\
\
Второе решение. Искомым перпендикуляром является высота АН
прямоугольного треугольника ABDly в котором
АВ = 1, АЛг = л/2, BDi = у/3.

28 Решения задач 4.1—4.3 диагностической работы
Треугольники BAD1 и ВНА подобны по трем углам. Следовательно,
ADj : BDX = АН : АВ.
Откуда находим АН = -~-.
Третье решение. Искомым перпендикуляром является высота АН
прямоугольного треугольника ABDly в котором
АВ = 1, АЛг = у/2, BDX = у/з.
Откуда sin LABDX — -^- и, следовательно,
АН = АВ- sin ZABH = ^.
Ответ, -г-.
4.3. Искомое расстояние от точки F до прямой BG равно высоте
кото
р
FH треугольника FBG, в котором FB = FG= \/3, BG = -^. По теореме
Пифагора находим FH —
S

Тренировочная работа 4.
Расстояние от точки до прямой
1. В единичном кубе A...D1 найдите расстояние от точки В до
прямой DA1.
\
\
\
в
Р.
2. В правильной тре)тольной призме АВСА^В^С^, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой AC2.
3. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки S до прямой BF.

30
Тренировочная работа 4. Расстояние от точки до прямой
4. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки В до прямой SA.
5. В правильной шестиугольной призме А...РЪ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой А^.
6. В правильной шестиугольной призме A...Fl9 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой AjDj.

Тренировочная работа 4. Расстояние от точки до прямой 31
7. В правильной шестиугольной призме А...РЪ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой FEX.
Е*
8. В правильной шестиугольной призме А...РЪ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой АОг.
м
El
%

Решения задач 5.1—5.3 диагностической работы
5.1. Первое решение. Пусть О — середина отрезка BD. Прямая BD
перпендикулярна плоскости АОАг. Следовательно, плоскости BDAX
и АОАг перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным
из точки Л на плоскость BDAlt является высота АН прямоугольного
треугольника ЛОЛ!, в котором
ААг = 1, ЛО = у, ОАг = у.
Для площади S этого треугольника имеют место равенства
2S = AO-AAl =ОЛ1-ЛЯ.
Откуда находим АН = -^-.
Ал</
V
А,£
Второе решение. Пусть О — середина отрезка BD. Прямая BD
перпендикулярна плоскости ЛОЛ!. Следовательно, плоскости ВВАг
и АОАг перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным
из точки Л на плоскость BDAl9 является высота АН прямоугольного
треугольника ЛОЛЪ в котором
ЛЛ2 — 1, ЛО = 2 , ОАг = 2 •
Треугольники ЛОЛ! и НОА подобны по трем углам. Следовательно,
Уз
ААг: ОАг = АН: ЛО. Откуда находим АН = -у.
Третье решение. Пусть О — середина отрезка BD. Прямая BD
перпендикулярна плоскости ЛОЛ!. Следовательно, плоскости BDAl
и АОАг перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным
из точки Л на плоскость BDAlt является высота АН прямоугольного
треугольника ЛОЛ1} в котором
ААг = 1, ЛО = -^-, ОАг = -г-.

Решения задач 5.1—5.3 диагностической работы 33
Откуда sin ААОАг — -«- и, следовательно,
АН = АО- sin ZAOH = ^.
Ответ. ^.
5.2. Первое решение. Пусть О — центр основания пирамиды.
Прямая АО параллельна прямой ВС и, значит, параллельна плоскости
SBC. Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от точки
О до плоскости SBC. Пусть G — середина отрезка ВС. Тогда
прямая OG перпендикулярна ВС и искомым перпендикуляром,
опущенным из точки О на плоскость SBC, является высота ОН
прямоугольного треугольника SOG. В этом треугольнике OG = -~-, SG = -у,
SO = у/3. Для площади S этого треугольника имеют место равенства
2S = OG-SO = SGOH. Откуда находим ОН =
Второе решение. Пусть О — центр основания пирамиды. Прямая
АО параллельна прямой ВС и, значит, параллельна плоскости SBC.
Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от точки О до
плоскости SBC. Пусть G — середина отрезка ВС. Тогда прямая OG
перпендикулярна ВС и искомым перпендикуляром, опущенным из точки
О на плоскость SBC, является высота ОН прямоугольного
треугольника SOG. В этом треугольнике
Треугольники SOG и OHG подобны по трем углам. Следовательно,
SO:SG = OH: OG. Откуда находим ОН = :^р.
Ответ. ^5.

34
Решения задач 5.1—5.3 диагностической работы
5.3. Первое решение. Пусть О и Ог — центры оснований призмы.
Прямая АОг параллельна плоскости BFEj и, следовательно,
расстояние от точки А до плоскости BFEi равно расстоянию от прямой
АОг до плоскости BFE^. Плоскость АООг перпендикулярна плоскости
BFEr и, следовательно, расстояние от прямой АОХ до плоскости BFE^
равно расстоянию от прямой АОг до линии пересечения GG!
плоскостей АООг и BFEX. Треугольник АООг прямоугольный, АО = ООг = 1,
GGi — его средняя линия. Следовательно, расстояние между
прямыми АОг и GGX равно половине высоты ОН треугольника АОО1у т.е.
л/2
равно -г-.
Второе решение. Пусть G—точка пересечения прямых AD и BF.
Угол между прямой AD и плоскостью BFE^ равен углу между прямыми
ВС и ВСг и равен 45°. Перпендикуляр АН, опущенный из точки А на
л/2
плоскость BFEl, равен AG • sin 45°. Так как AG = 0,5, то АН = —г-.
Ответ, -j-.

Тренировочная работа 5.
Расстояние от точки до плоскости
1. В единичном кубе А.. .Иг найдите расстояние от точки А до
плоскости CB1D1.
2. В единичном кубе А.. .D2 найдите расстояние от точки А до
плоскости ВОСг.
At
3. В правильной треугольной призме ABCAlBlCl, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости ВСАг.

36 Тренировочная работа 5. Расстояние от точки до плоскости
4. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости САгВг.
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости SCD.
6. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки А до плоскости SDE.

Тренировочная работа 5. Расстояние от точки до плоскости
37
7. В правильной шестиугольной призме A...Fl} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости
8. В правильной шестиугольной призме A...Flt все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEFX.
А
Щг

Решения задач 6.1—6.3 диагностической работы
6.1. Решение. Прямая ВС параллельна плоскости SAD, в которой
лежит прямая SA. Следовательно, расстояние между прямыми SA и ВС
равно расстоянию от прямой ВС до плоскости SAD.
Пусть Е и F соответственно середины ребер AD и ВС. Тогда
искомым перпендикуляром будет высота FH треугольника SEF. В
треугольнике SEF имеем:
EF = 1, SE = SF = ^-,
л/2
высота SO равна -^-. Для площади S треугольника SEF имеют место
равенства
2S = EFSO = SEFH,
из которых получаем FH = -~-
Ответ. -«-.
6.2. Решение. Плоскости
и BDCly в которых лежат данные
прямые, параллельны. Следовательно, расстояние между этими
прямыми равно расстоянию между соответствующими плоскостями.
- ^ /
^ ч
/ у
щ
i
ZjlC

Решения задач 6.1—6.3 диагностической работы
39
Диагональ САг куба перпендикулярна этим плоскостям.
Обозначим Е и F точки пересечения диагонали САг соответственно с
плоскостями ABXDX и BDC1. Длина отрезка EF будет равна расстоянию
между прямыми АВг и ВСг. Пусть О и О2 соответственно центры граней
ABCD и A1BiClD1 куба. В треугольнике АСЕ отрезок OF параллелен
АЕ и проходит через середину АС. Следовательно, OF — средняя
линия треугольника АСЕ и, значит, EF = FC. Аналогично доказывается,
что ОгЕ — средняя линия треугольника АгСгР и, значит, АгЕ = EF. Та-
ким образом, EF составляет одну треть диагонали САЪ т. е. EF = -j-.
^3
Ответ. ~о~-
6.3. Решение. Расстояние между прямыми ААг и CFY равно
расстоянию между параллельными плоскостями АВВг и CFFl9 в которых ле-
жат эти прямые. Оно равно -^-.
V3
Ответ. ~2~.

ВАг
Тренировочная работа 6.
Расстояние между двумя прямыми
1. В единичном кубе A...D1 найдите расстояние между прямыми
\
П
В
У
2. В правильной треугольной призме АВСАгВгС1у все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ССг и АВ.
3. В правильной треугольной призме АВСА^^, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ЛВ и СВ^

Тренировочная работа 6. Расстояние между двумя прямыми
41
4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SB и АС.
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и CD.
6. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние между прямыми SB и AF.

42 Тренировочная работа 6. Расстояние между двумя прямыми
7. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние между прямыми SB и АЕ.
8. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и EFlm

Диагностическая работа 1
1. В кубе A...Di найдите угол между прямыми ВАг и BlDl.
Pi
2. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВг иВСг.
3. В правильной шестиугольной призме A...Flf все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВг и DC1.

44
Диагностическая работа 1
4. В кубе A...D! найдите синус угла между прямой
стью ЛСВа.
и плоско-
А,
л
в,
\
5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус
угла между прямой АВ и плоскостью SBC.
6. В правильной шестиугольной призме A...F1? все ребра которой
равны 1, найдите синус угла между прямой AFl и плоскостью ВСС1.

Диагностическая работа 1
45
7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями ABC и SCD.
8. В правильной шестиугольной призме А...г найдите угол между
плоскостями AFFX и ВССХ.
Si
Vi
E
A
в
9. В кубе А...Вг найдите косинус угла между плоскостями AB1D1

46
Диагностическая работа 1
10. В единичном кубе A...Dl найдите расстояние от точки В
прямой DAl.
11. В правильной шестиугольной призме A...Flf все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой ЕВг.
F.
1
F
-—
El/
В
n
\
12. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки А до прямой SD.

Диагностическая работа 1
47
13. В единичном кубе А...Иг найдите расстояние от точки В до
плоскости DAjQ.
14. В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости
15. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки А до плоскости SCE.

48
Диагностическая работа 1
16. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ААЛ и ВС,
17. В правильной шестиугольной призме A...Fly все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВ1 и СБг,
18. В единичном кубе A...Da найдите расстояние между прямыми
ABl
/
\ в
X
D \
\
\

Диагностическая работа 2
1. В кубе A...D1 найдите угол между прямыми АВг и £Da.
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точка Е — середина ребра SB. Найдите тангенс угла
между прямыми SA и BE.
3. В правильной шестиугольной призме A...F1? все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВг и £Da.

50
Диагностическая работа 2
4. В кубе A...D1 найдите синус угла между прямой DDl и
плоскостью АСВг.
Pi a
А
/
\
5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус
угла между прямой AF и плоскостью SBC.
6. В правильной шестиугольной призме A...Fly все ребра которой
равны 1, найдите синус угла между прямой ВСг и плоскостью ВСЕг.

Диагностическая работа 2
51
7. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус
угла между плоскостями ABC и SEF.
8. В правильной шестиугольной призме A...FX найдите угол между
плоскостями AFFi и
F
r1
\
A
n
—->
^>
9. В кубе A...D! найдите тангенс }тла между плоскостями ABC

52
Диагностическая работа 2
10. В правильной треугольной призме АВСА^В-^С^, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой СВг.
11. В правильной шестиугольной призме A...Fb все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой ВЕг.
12. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки А до прямой SC.

Диагностическая работа 2
53
13. В единичном кубе A...Di найдите расстояние от точки В до
плоскости ABiD1.
14. В правильной шестиугольной призме А...ЕЪ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости
15. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки А до плоскости SBF.

54
Диагностическая работа 2
16. В правильной треугольной призме ABCA^^i, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ААг и ВСг.
17. В правильной шестиугольной призме A...Flf все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и FEX.
F\~
>
\
/ i
/ ^
-
\
\
\
В
ВА1
18. В единичном кубе A...DX найдите расстояние между прямыми
\
р,
*

Диагностическая работа 3
1. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между прямыми АВ
и CD,
2. В кубе A...DX найдите тангенс угла между прямыми АВ и DBX.
3. В правильной шестиугольной призме A...Fly все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямыми ВАг и DBX.
FV

56
Диагностическая работа 3
4. В кубе A...D! найдите угол между прямой АС и плоскостью
BCDj.
A
\
N jy
4
4
>,
N
4
\
4
5. В правильной шести)тольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус
угла между прямой SA и плоскостью SBC.
6. В правильной шестиугольной призме А...ЕЪ все ребра которой
равны 1, найдите синус угла между прямой FC^ и плоскостью ВСЕг.

Диагностическая работа 3
57
7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точка Е — середина ребра SC. Найдите угол между
плоскостями ABC и BDE.
8. В кубе A...DX найдите угол между плоскостями АВСг и
9. В правильной шестиугольной призме A...Flf все ребра которой
равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BFEV

58
Диагностическая работа 3
10. В единичном кубе А...Вг найдите расстояние от точки В до
прямой ЛСХ.
Ai
Б
Ь
a
11. В правильной шести)тольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние от точки А до прямой SB.
12. В правильной шестиугольной призме A...Fly все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой СРг.

Диагностическая работа 3
59
13. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точка Е — середина ребра SB. Найдите расстояние от
точки В до плоскости АСЕ.
14. В правильной треугольной призме АВСА^С^, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости ABxCi.
15. В правильной шестиугольной призме А...ВЪ все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости CFAX.

60
Диагностическая работа 3
16. В единичном кубе A...DX найдите расстояние между прямыми
АВиСАг.
Pi С
А^
Y7. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
расстояние между прямыми SB и DF.
18. В правильной шестиугольной призме A...Flf все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и CFX.

Ответы
Тренировочная работа 1
Л Л Л /- Л Аз Л Й1
1. —. 2. —. 3. —. 4. v2. 5. —. 6. -. 7. -7-. 8. -.
3 6 4 4 4 4 4
Тренировочная работа 2
f. 3.f. 4.f. 5.f. 6.^. 7.60. 8.^.
Тренировочная работа 3
1. у/2. 2. \. 3.^. 4. |. 5.-|. 6.0,6. 7.0,2. 8. |.
Тренировочная работа 4
Л4 VT3 /15 г ^ /7 л,
^"- 3-^"* 4-—* 5.—.6.—.7. Л. 8.—
Тренировочная работа 5
2Л Л л/21 v^21 л/6 2Л5 л/3
2 3 4 5 6 7
Тренировочная работа 6
л/6 Л л/21 л^б Л 2 Л9
2 3 4°5 5 6 7
Диагностическая работа 1
1.60». 2.1. 3.|. 4.f. 5.^. 6.^. 7.f. 8.60. 9.1. 10. f.
4°. 12.V3.13.^. 14. f. 15. ^H. 16. ^. 17. f. 18.^.
Диагностическая работа 2
L 90°. 2. V2. 3. ^. 4. ^-. 5. ^- 6. ^. 7. ^. 8. 30. 9. л/2.
.^5. Ц.^1.12.^. 13. f. 14.^1. 15. ^f. 16. f. 17.
18. £

62 Ответы
Диагностическая работа 3
1. 90°. 2. ч/2. 3. ^. 4. 30°. 5. ^. 6. ^. 7. 45°. 8. 60°. 9. 45°.
ȣ
12.^. 13.0,5. 14.^. 15.^. 16.^. 17.

Содержание
Введение 3
Диагностическая работа 5
Решения задач 1.1—1.3 диагностической работы 11
Тренировочная работа 1. Угол между прямыми 14
Решения задач 2.1—2.3 диагностической работы 17
Тренировочная работа 2. Угол между прямой и плоскостью ... 19
Решения задач 3.1—3.3 диагностической работы 22
Тренировочная работа 3. Угол между двумя плоскостями 24
Решения задач 4.1—4.3 диагностической работы 27
Тренировочная работа 4. Расстояние от точки до прямой 29
Решения задач 5.1—5.3 диагностической работы 32
Тренировочная работа 5. Расстояние от точки до плоскости ... 35
Решения задач 6.1—6.3 диагностической работы 38
Тренировочная работа 6. Расстояние между двумя прямыми ... 40
Диагностическая работа 1 43
Диагностическая работа 2 49
Диагностическая работа 3 55
Ответы 61

Смирнов Владимир Алексеевич
ЕГЭ 2010. Математика. Задача С2.
Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко
Подписано в печать 02.02.2010 г. Формат 60 х 90 Мб. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 4. Тираж 7000 экз. Заказ №190.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-74-83
Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография „Наука"».
121099, Москва, Шубинский пер., 6.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-72-85. E-mail: biblioQmccme.ru

Книгу можно купить
в магазине «Математическая книга»
в здании Московского центра
непрерывного математического образования.
Адрес магазина: 119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11.
Проезд до станции метро «Смоленская» или «Кропоткинская»,
далее пешком.
Магазин работает ежедневно кроме воскресенья
с 11:00 до 20:00.
e-mail: biblio@mccme.ru
Адрес в Интернете: www.biblio.mccme.ru
Книга — почтой; biblio@mccme.ru
Ш (499) 241-.7285 (495)745-8031
S (495) 229-6759
КНИГОТОРГОВЛЯ
КОМПАНИЯ
Оптовые заказы: abrisd@textbook.ru
I Розничные заказы: в интернет-магазине UMLIT.RU
ЕГЭ 201
Математика
ISBN 978-5-94057-592-4