И. Р. ВЫСОЦКИЙ
И. В. ЯЩЕНКО
МАТЕМАТИКА
ВЕРОЯТНОСТЬ
И СТАТИСТИКА
классы
БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ
Учебник
Вдвух частях
Часть 2
Под редакцией И. В. Ященко
Допущено Министерством просвещения
Российской Федерации
Москва
«Просвещение»
2023
Деревья
В этой главе мы продолжим разговор о гра-
фах. Познакомимся со свойствами специ-
альных графов — деревьев и увидим, как
с их помощью можно изучать случайные
эксперименты
46 Деревья
47* Свойства деревьев
48 Дерево случайного
эксперимента
46J Деревья
Hhikimhiim. что такое цепь и цикл н графе» Цепь ото простой путь» то есть
путь, п котором hcpnihltid Hi* ИИКШрММПСЯ. Fft.l ilv I IDUtOprt MiTth tiCpill 11 II bl. Ю И рббрМ
т«Ж1’ не понторнюмм (риг. I, б). Цикл n ipaijir rrn замкнутый путь» н ксггором nr
повторкютсн ребра и ш* поиТОрпмггом промежуточные* шфшшш.
0*11411. интересны и Пилезны rp.vpi.i, и которых »ь*т циклоп. Если и шишом гршре
нет циклан. "(1 htKOH граф HHJiiiHikHii .черепам
Дерево синзмый грдф бел циклон
Ц0П1. ТОЛСС ЯПЛПРТСЛ ДГрСППМ. ПОСКОЛЬКУ Л ПОПП ПРТ ЦИКЛОП. И ЛЛ.1 Г Грлф. ГОСТИЯ
ЩИЙ ИЛ аДИпЛ-еДИНСТпеННоЙ МфШИИЫ бел ребер, ТАКЖе МОЖШ1 рл< i Мятрпнлть КЛК Про
гтейипч* дерево (рис. I. о).
о) Дерево, и котором
7 вершин
Рисунок 1
н) Простейшее дврвео —
одна Мишина
ПРИМЕР 1 11л рисунке 2 поклплнл схем» кшдоснабжгнип л Небольшом поселке.
Трубы идут пт ппдоилпориой опиши и петвятсЛф пролегая пдоль улиц. Ий больших
труб отходят мллыг к домлм. Граф ппдопроподл дерево. Здесь можно выделить
плчдлъпую першину подоплпорпую бвшпто.
Рисунок 2
ПРИМЕР Во.пьмем апммйтркчную монету
и 110.16(1 1ГНМ <м Ч р . Ч 1Н>ы к <обр<1 1ИТ1. ITUT
глучл 1Ы1' Ш ПГ. II ►строп ДР|Н*ВО. От ПйЧЛЛЬ*
поп вершины N нарисуем ветви лпнэ к перши
ним. которые оба лил ним О (орел) и Р (рс*ш
на) это результаты первого бросил. От каж-
дой m них идут еше дни ребрл внил
к ш^ршиплм О и Р. илобрпжпющнм результаты
второго броска. Точно так же покажем реауль
тпты третьего броски (рис. 3).
Получилось дерево случайного -эксперимен-
та. В :<то.м дерене посечь цепей, медущмх из
11пчплы1ой першины S и концгные перншим:
SOOO, SOOP. SOPO. S’OPP.
STOO, STOP, ЯРРО и ЯРРР.
4
ГЛАВА X.
Каждая цепь изображает одно из восьми воз*
ножных элементарных событий в этом случай-
ном опыте-
В примерах 1 и 2 понятно. какую вершину
следует выбрать в качестве пачольпои. пли кор-
невом. вершимы* на которой «растет* дарено.
Вода по трубам течёт из водонапорной башни*
□то и есть начальная вершима на схеме водо-
снабжения (ем. рис. 2). Во втором примере па
чальная вершима изображает начальный момент,
когда монету еще не бросили ни разу. Мы её
обозначили букьой S от слова л/orf, имея и виду
начало случайного '»ггьгтл.
Название «дерево» происходит оттого, что цепи «ветвятся** не обрлауя циклов.
Едтшетьешшя разница а природе деревья ибы’шо растут снизу вверх, в математиче-
ские даренья мы рисуем тик, кяк нам удобно.
Бывают бесконечные деревья, ти есть деревья, в которых бесконечны много вер’
шип и рёбер. Многоточие па рисунке 4 поклзывдет» что дерево простирается вправо
до бесконечности
ПРИМЕР 3. Предположим. что кто-то иы-
тяется послать ГМС из леса, где связь очень
плохая. Каждая отдельная попытка может
оказаться пгудаптгагг, и в таком случае теле
фон предпримет следующую. Будем считать*
что попыток может быть сколько угодно. Та-
кой случайный пиит можно и тбрнзить г по-
мощью бесконечного графа. Начинается граф
в вершине S, каждая попытка может оказать*
ся неудачной (в*ршш!н П) или удачной (вер
шняв У) (см. рис. 4|.
Рисунок 4 Бесконечное дерево
случайного эксперимента
Вопросы
Что такое? дерево'’
Может ял в дерене быть 4 ребра; бесконечно много рёберэ
Бывают ди в дереве петли, цепи, циклы
Задачи
Какие из графов на рисутпес 5 являются деревьями?
Рисунок 5
ДЕРЕВЬЯ
5
? Яплнгтсл ЛИ ДРр(ЧЮМ |рнф дорог и шипом ногодонном пункте? Постройте*
Н 'ПЧ'РНДН ЧИСТЬ ПЧНЧ1 грмфи И о(и X' МО НН Н IIP синего ОТНМ’И.
3 Нлрисуйте н тетради никое -иибудь дсдомо, и шггором 7 норшмн* примем сте-
пень 1 имеют ровно:
а)	2 н'ршины;
б)	I м ерш ины;
п) в IPpiUKH.
4 11 Г|ни|м> рсбрими roivtHJiriihi Вершины .1
тп граф деревом?
5 План тролинги и парке ирг,у*тип ’wot го
бпй ДС|МНЮ (pilV. 6), Вор<ЛЧ| и пирке <Л>*
яначеиы вершиной S. Сколько целей иг
дет мл вершины 5:
л) к илфс;
б) к пруду;
к) к сиду камней?
6 11рид ч МАЙТГ KfJK’ HI цибуль ГД учи иным
опыт, моделью которого служит дерево,
шмежишное ни рисунке 7.
7 Пряислитг пример смучлйнигп опыта,
для и.юбрн кпння которого т|м*бугтгя ле
реею г бесконечным числом пгрплип
8 Пр пл умейте п нарпгуйто d тетради:
л)дй» ПООДППДК<»ПЫХ деропл С Четырьмя
0срш|тшсми:
6) три шилиtin Ко них дерган е нитью пор
IIIIIIU1MII.
и Я, Я и (?♦ 4 и С. Ямялетсм ли
474 Свойства деревьев
Поскольку дс|ичм> смялнын гриф, но .Нобиц гг<« ncpiiiiiiibi можно npoirru :ю |н<
брам н любую лругум» lypiutuiy. Па- ц< отсутстяня циклов rrt» можно слслйть един
ствекным способом. Значит, керна следуют о» :с< -ем .
Тео ром а. Любые лш- иершюна к дерео.- соединены един< ’неннои цеиыо
Из лтоП тео|м?мы следует полезное своОство.
Свойство 1. Если из дерева удалил» ребро, го граф перестанет быть связным.
Дог лтлте.тьстпо. Докажем это спойстпо от противного. Предположим, что удалось
удалить некоторое ребро АН. но граф остался связным. Значит, в нем ить цепь, со-
единяющая вершины А и В (рис. 8, и). Пернем ребро АВ на место. Получится нс*
ходнын гриф, ни теперь в нем есть цикл (рис. 8, б). Притив1)|>ечне. Значит, при уда-
лении любого ребра дерево теряет связность.
6
ГЛАВА X.
а) После удаления гюбра ДН
с риф исылсп СВЯЗНЫМ
б] После эозщмщения ребра ЛЯ
оОрлзовилсп шил
Рисунок в
Концевсй (висячей) вершиной называется вершина ui которой выходит ров-
но одно ребро, го ость пиршинл ста пени 1
В 11|)ИМгрг 1 II lh *16 1ЦИЩ1ШЫМИ KOpIll 11II41 м и
ЯПЛВЮТСМ ДОМЛ, К Когир|4М ИОДШМГМ
а d примера 2 концевые вершины «то рсзуль
тлты последнего бросив монеты. Кл.шччм. что
рлл л дерем исп циклоп. го у дг|мчи» обнш1тгльмо
ДОЛЖНЫ бит» копиевые нершпиы. II ./ГО ДО пнре
ДГЛППНОЙ СТГПГНИ верно. Нп ГГП. ДШ1 псключс
пил, Во-первых. концевых трипш лот у дергил
бел ребер. Векторы , iHdii.ooi (мм-|пни*чпыг дещ*
ньн. Они тоже ж>гуг »<г им.ть ж.нн.-ных И.«н. РисумЬк 9 Бесконечное дерево
Н« рисунке 9 ипккипнн беек<течн<ж дк|*е«м> Леи	без комиеаых вершин
концевых вершин1.
Если дерево конечно и имеет хотя бы 1 ребро, го концевые вершимы у него есть.
Свойство 2. Если в дереве коиеиноо «дело вершим и ость хотя бы одно ребро,
то н таком дореши есть концевая вершин i
Доь4лител1.гтнп И|н>дполижмм» что ясе Першины нырнут стонень 2 или нышн. Тог-
да и каждую вершину можно июптп» по какому-то ребру н «выйти» н - ни* по дру-
гому ребру, нискольку петель нет. Начнем • г я и г ве^чны ч Гудем строить путь
без повторяющихся рёбер. По уедонню вершин кеш* шло число* п зтому рлпо плп
поздно клкая’ТО яррпшпа я патом пути шиггоритгн и получится цикл. Но пгдт. в де
ргве циклон нет.
Нротмвпргч1н 111'-‘;1И*гч>ж-ч»_ч^	Чмпчрт, з дерг»и чершч1»ы * г-чч чм
меньше, чем 2. Вершин гпчичш О нет. поскольку грлф связен и в нем есть хотя бы
одно ребро» Стало быть, пайдотся вершина стешши L т. е. концевая мршнва.
Свойство 3. В конечном дерене число ребер на 1 меньше числа вершин.
1 Вс нужно думлтъ^ что если дерево бесконечно, то у него обязательно нет кон левых вершин.
Мы видели 6t*cконецutM‘ дерево (см. ряс. 4). у которой» кинцииые першины есть, и Даже бес
мшечпо много.
ДЕРЕВЬЯ
7
ытвлмлпо. Покажем это. Если ребер нет, то дерево состоит из единственной
вершины. Значит, в этом дереве вершин на одну Гюльше. чем ребер: 1 - О = L
Пусть теперь в графе о рёбер (я > О). Мы знаем, ’по в таком дереве есть концевая
вершина. Удалим ее вместе с входящим в нее ребром. Снова получится дерево. Бу-
дем удалять копцотп.те ворпппты вместе с входящими в иих ргбрами до тех пор. пока
не останется дерево» состоящее из единственной вершины.
Мы удалили аге л ребер и л поршни. Осталась одна пврптипа. по ребер больше
нет. Следовательно, в исходном дерене было п 4 1 вершин. То есть вершин было ин
одну больше, чем рёбер. Свойство доказало.
Вопросы
В деуяэве 10 нершмн, две ИЗ когорых вершины А и У. Сколько существуй!
цепей, ведущих из X в У?
2 Kokov может быть степень начальной вершины дерева >онценой вершины?
3 Может ли в дереяе вершин быть больше чем ребер; ребер быть больше чем
вернин?
Задачи
9 Сколько концевых вершин в дереве на рисунке 10?
Рисунок 10

10 В дерене 1 вершины. Сколько концевых вершин в нЬм может быть? Приведи-
тс пример дерева для каждого аялможипго значения*
11 В дереве 100 вершин. Какое в нем •?<>;«< бг ть. I цаич льшес число копцг
пых пертппп; б) наименьшее число гоппгиы вщшптп?
12 На рисунке 11 покаянно де^и-во. Рассмотрите цени, гоедннянпцне начальную
пертану Я г концевыми. Сколько таких целен имеют длину 2; длину 3; дли-
ну 4?
Рисунок 1 1
8
ГЛАВА X.
13 Нарисуйте какие-нибудь дерево, п. кагором из начальной вершины к конце-
вым ведут:
в) ровно 3 цепи длины 2;
б) 2 цепи длины I и I цепи длины 2.
14 Сколько вершин в дереве, и котором:
а) 14 ребер;	б) 27 рёбер;	в) 31 ребро?
1 5 Сколько ребер в дереве, в котором:
а) 87 веошнн;	6) 187 вершин:	н) 317 вершин?
16 Будет ли г видным граф, который получится из дерева. если из него удалить:
а)	ребро, сшыывлюшее дог некой цены г вершины;
6)	концевую вершину вместе с выходящим нэ неё ребрам?
1 7 Изобразите какое-нибудь дерево, в котором:
в)	8 вершин» 5 из них концевые;
б)	10 везшим, 6 нп них коицсмые.
18 Изобразите какое-нибудь дерево, п катаром:
а)	4 вер пипы степепп 3 и б верпгпи степени I;
б)	2 вершины степени 4, 2 вершины степени 3 и 8 вершин степени 1.
481 Дерево случайного эксперимента
Мы уже видели. как можно построить дерево случайного эксперимента. о котором
монету бросают 3 раза. Мы даже построили дерево бесконечного эксперимента, и ко-
тором мобильный телефон цыгнете я передать СМС на глухого леса.
Многие случрйпые эксперименты удобно рассматривать, изобразив их г помощью
дщи'ппг При -ггом i-грелкм пл ребрах можно пе рнгоаать, поскольку ясно, кии ня вер-
шина выбрана и качестве начал иной шч» рёбра направлены пт пес к концевым пер
шинам. Мы будем обозначать начальную вершину дереве случайного опыта буквой S.
ПРИМЕР 1. г1н фабрике керами ческой посуды производят тарелки^ Каждой новая
тарелка может иметь дефект (пережог, деформацию, трещину), л может оказаться ка-
чественной. Поэтому все тармки проходят контроль качества. Система контроля вы
являет почти псе дефектные тарелки, по ипогдп может случайно иг заметить дефект.
Более того, реддо, но случается. что система контроля качества по ошибке бракует
тарелку без дефе1ста. Изобразим весь этот процесс г помощью дерева (рис. 12). Нач-
нём с вершины S, построим ребра к керши ним t и Л, которые наряжают события
«качественная тарелка» к «тарелка с дефекто в*. Ватгм пт вершин I и В проведем
ребра к вершинам, изображающим события К «тарелка :шбрдковяпа» и Q «тирелкд
не забраковаши. При этом вершины /? и Q нарисуем по
2 рала: одни раз для случая, когда тарелка хорошая, а вто-
рой раз для дефектной тарелки.	s
Получившееся дерево обладает интересным свойством: у	‘а
него из каждой неконцевой вершины (S, А и В) исходит	/	\
ровно два ребра. Такие деревья называют двоичными или	а/ \В
бинарными. Деревья ня рисунках 3 и I (с. 5) также бнппр-	\
ны<' / \ /\
Какие события являются элементарными в этом опыте?	q r !
Эти события, которые изображены цепями, идущими от точ
ки S к концевым вершинам. Например, элементарное собы-	Рисунок 12
ДЕРЕВЬЯ
9
•nil’ «качественная tiijhvikii аабрановлин* ивобрнжнстсл iv’iibHi NAH. Been» алвмвнтпр-
ных событий четыре: помимо цепи NAH есть еще цепочки SAQ, SHH и SHQ.
lie следует думать, что дерево любого случайною онытп облзатслыю бинарное.
ПРИМЫ’ . Три друга Андрей (А), Порш (В) и Владимир (В) и » тучайном
Порядке встают в очередь Изобразим дерево этого случайною опыта Начнем с вер
шины 5. Ни первое Mei.no можно
Рисунок 13
иаппннть «иною на т|юих. на второе одного из
двоих, а и конец оче|М’ДИ ости и питое а, Следуя
’Тому pIll-cyib.H-IIHIO. «троим дерен»’ (рис. 13». Оно
11ппучл1'Ч< и не бинарное; ин iiepimiiibi S' пыХОДИТ
три реб|№, »ы трех BopiiiHii По два |н*брп. а и 
IJIITTH — по одному.
Мы эпапм. что и таком эксперименте
3*8*1 "в нлементарных событий. В дереве псе
mt илгмвнтпрпые события маобрпжпютсл цена-
ми. ведущими от .S к концевым першнилм лере
nu: S'ABB. SABB, ЗВАВ, ЯННА. SHAB И SBBA.
Кашлял ил них о it редели ст порядок. а котором
А, Б и В выстроилис». Друг ли другом.
В дорою» случайного опыт .шим........ событии и «иСчмжиипси целыми, иду
щиме ui ннчананои нершины « концевым По:» I Ому исшичесво мшцннм* вершин
в дпрен»* случайного опыта равно числу :»лвмнн1арных событий
) Вопросы
1	Скот ко концевых вершин н дерем, изображающем случайный опыт с пятью
элеми»I гпр» 1ЫМИ собыгними?
2	Опишите словами злемонццл»ы< событии, изображенные целями .s.AQ shh
и SBQ но рисунке 12.
3	Как.тн цель и дерене на рисунко 12 соогпнн тнует событию «система контроля
прогт> тнлп бракованную таролгу-?
J Задачи
19 На рисунке II H.Mi6fHiMU'iin дерет» н китири- । глучабн»»!о опыта с началом
а тич»и* .S. (*код|<||«1 :»лем1»|гп1рных событий и ’том опыте?
Рисунок 14
10
ГЛАВА X.
20 Нп рисупкс 15 показлпо дореао случайного опыта. Сколько момсптлрпых со-
бытий и атом опыте благоприятствует событию А; событию Л?
Рисунок 16
21
22
Всем пациентам < riivhKipriiiivM ил т|мтнчягнуа> лихорадку делают тест. Егли
ТНГТ HUM ИЛИСТ llllpyc IllXOpn/ll II. ГО |Ю.ТуПЬТИТ И1ШЫИЛРТ011 1ВИОЖИ11‘Л1.11ММ.
В редких случаях тест (1ШиГк1ЧНо плнл.чыилгт наличие пируем у пдоропого чс
лопека, и нпобо|нп огг•утстннс ни руса у того. кто болен.
Событие «пациент болен* обозначим буквой //. а событие «пациент адо
ров» буквой А, События • jн*лу,tiuTiiT полоне 1ггглыгы Л* обоиначим буквой Р,
и ир<тшо||1»'го)кног» — буквой О, Сформулируйте единими событие» которое
и дг|мч1с случайного опыта (рис. 16) изобрели! стел цепью:
и) ЗАО;	б) SBO;	в» SAP.
Ня рисунке 17 нэоб{Н1жено дерево случайного опыта с начальной мерши*
ной S. Событии С и !> покдалны ллкршигнными фигурам и. Перечислите аяе-
ментпрмые событии	блдгоиркмпггмумлиис:
и) гобьиию С;
б) событию (’ iZ);
п) событию О;
г) событию СП 5.
23 Постройте дерево случайного опыта, в котором монету бросают 3 разп. От
метьте в этом дереве цепочки, изобршклющке элементарные собЫТНЯ» благо»
приятстиующие событию:
и) <ш> агорой рни выпил орел»;
б> • решка выпада ровно 2 рада*;
в) «орлов выпало больше, чем решек».
ДЕРЕВЬЯ
11
24 У прнвильнпго тецшадрп (треугольной штраяшды)
четыре вершины, Вершины помечены числами I, 2.	/ч?г5\
3 и 4. Тетраэдр бросают два раза. Постройте дерево / I X.
□того случайного опыта. Отметьте в этом дереве це- / I \j\
пн. ишбражлммцие элементарные события* благо-	1	У
прилгетнующие событию:
а)	«и первых! рнп выпало 3 очка»;
б)	«в первый рвэ выпало чётное число очков»:
в)	«сумма выпав тих очков делится ня 3».
25 У стрелка « тире 5 пуль дли пп<Ч1мнтнч1нмс<>п> ружья. Если стрелок попил
в мишень, то больше он не стреляет, а етли промахнулся, го продолжает
стрелять, пока остаются пули. Постройте дерево этого елршйного опыта. От
мотхле в этом дереве событие:
а) «стрелок попил я мишень»;
б) «для поражения мишени понадобилось но более трёх пуль»;
в) «в его было сделано 2 выстрела».
XI
Математические
рассуждения
Ми знакомы с математическими утвержде-
ниями Из двух или нескольких простых ут-
верждений можно строить более сложные
утверждения с помощью логических союзов
-и» и -или» Они очень похожи по своему
смыслу на союзы, которые мы используем
в повседневной речи.
49 Логические союзы «и» и «или»
50* Отрицание сложных
утверждений
49J Логические союзы «и» и «или»
ПРИМЕР 1 Рассмотрим два математнчпских утверждения: «5 больше, чем 2»
и »5 больше. чем 7*. Первое является истинным высказ!лишнем. а второе — ложным.
Эти дна высказывания можно соединить союзом «и». Получится сложное утверж-
дение «(5 больше. чем 2) и (5 больше, чем 7)». К сожа и-нню, *то ложное высказыва-
ние. потому что htojtoc высказывание ложно.
ф
Чтобы сложное утверждение *4 и Н> было истинным, нужно, чтобы обе части
этого утверждения были истинны.
Логический союз •»«* пе зря тан называется. Его дсп стене очень похоже па работу
союза «и» в русском языке.
Между двумя утверждениями можно поставить союз «или*. Паггучктся сложное
утверждение »(5 больше, чем 2) или (5 больше, чем 7)>. Оно истинно, потому что
истинна первая часть, я сомы «или» н<? требует, чтобы были истинны обе часты: до-
статочно одн:»н.
Чтобы сложное утверждение «Л или Н* было истинным, нужно чтобы хотя бы
одна часть этого утверждения была истинна.
Поясним слова «хотя бы один*. Они значат. что утверждение «Л или Я» будет нс
тшшым шдскл.тьпшттем, если пстпппым является только утперждшшс zt. только ут-
верждение Я или оба сразу.
Иногда ел тын утверждения не содержат к явном виде союзов «и* и «или». но
подразумевают один пз них.
ПРИМЕР 2. В утверждении «15 делится па 5. а также ив 7» союзов «к», «жлне
нет. Ио высказывание можно не реформу .тировать:
«(15 делится ян 5) я {15 делится на 7)»-.
Ясно, ’иго лто высказывание никни, поскольку шжиа его агоран часть.
ПРИМЕР < Ддпы дпл утверждения Первое утверждение «.задача решепа*. Второе
утверждение отрицание первого: «задача пе решена». Что получится, если мы со-
единим эти утверждения логическими союзами?
Сначала попробуем союз «и». Получится
«(задача решена) и (.задача пе решена)».
Если задача действительно решена. ти первая часть — истинное высказывание,
а втирая — ложное. Значит, аы* слижнов ^твьржденне бу^ы ЛоЖЬшм. Ииы же <мдл-
чл яг решена. то ложной будет первая чисть, поэтому и в этом случае утвержден не
окажется ложным.
Таким образом, это сложное утверждение с союзом »и* будет ложным тгезляпгпмо
от того, решена или не решеня задача.
Так можно поступить с любым утверждением 4.
CZ/ Утверждение «А и (не А)» является ложным высказыванием независимо от то-
го. истинно или ложно утверждение А
14
ГЛАВА XI.
Теперь попробуем сот д пиит ь утверждения еоюалм •или». Полупится
«(яндлил (юшвнл) пли (пддячн не решини)».
Обг ЧАСТИ ЗГОГП уТ1Н»р>НЛ«Ч1ИН НГ могут быть OrtlHHiprMoHHO ЛОЖНЫМИ, одни ил них
пвжшт*лша питанном. Кончит, hiv получи тпмчж илижног утннрж/пилг л ил ятя ие-
тннпым «ыскя;пиыиием.
Угяярждонмр *Д или (не Л)» яплящея истинным яьи глиинлниим независимо от
того, истинна или ложно утнерждрнип Л.
ПРИМЕТ I. Рисгмотрмгг фигуры на рисунке 1В.
Онура 1
Фигура 2
Фигура 3
Рисунок 18
Нстпппо или ложно утверждение?
I)	«Фигура 1 молястен тргуилльпиким или фигура 1 является имаратом«:
2)	«Фигура 2 лплмнтн тргугпиьннкпм млн кпплрлтпм»;
3)	«Фигура 3 1Н1Г|яггся треугольником млн КШ1ДРОТПМ>.
Мы сказали, чти логические сонмы похожи ин союзы. которые мы используем
П русском Л.1ЫГГх Пп СИМОМ Д1*ЛГ« п лонгедпгпиоИ речи дгйептг СОЮЗОВ по многом
определяется контекстом и ситуацией, Можно сказать, что на первое и школьной сто-
ликой щи и борщ» Пли можно гкл.ппь. что меню предлагает щи млн борщ. В обоих
случаях МЫ поймем lipilHtUlfcHO можно ШШТЬ ЧТП-ТН один.
Другой Пример. Мы МО НОМ ПОПИСАТЬ. ЧТО урЛЯИС'НИС (X 3>(J	4) О имеет кор
нм 3 и 1. понимая. что j должен рмцятьсп какому ли идиому на зтих чиггл. а не
обоим сразу. Казалось бы. нравилькес поставить союз «иди* Пи не обжштшыю: со
ЮЛ «Н» .ЩОСЬ ВЬ ГЛЯДИ? бОЛСТ I'tllt^llVOiOl О НТ МГ’ШО Г HOI.VMH ГК мЛННПГ.
1	Высказывание жж лежле. Ч;с межж оказать об ястг.нивсгк ytaep^e
ний д и /Р
2	Высказываний *д или Л* истинно. Что можно сказать об истинности утвержде-
ний А и В9
3	Придумайте утверждения А и /< так. чтобы оба утверждения
• А или /U и «Л и В»
оказались истинными высказываниями
4 Придумайте утверждения А и В так. чтобы оба утверждения
«Л или В» и «А и В»
оказались лажными высказываниями.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАССУЖДЕНИЯ
15
Задачи
26 Дин угч>л. Известно, что истинно утверждение «нсличинп данного угли Поль-
ше 23 и ЯОЛНЧНШ1 данного угла меньше, чем 15*». Клкиг ил следующих вы
СКЛЗЫПЛИИЙ ИСТИННЫ, П Ю1КИГ мог>т ПШЫМТЪСЯ ложными?
а)	«Величина донного угли Польше 17 •;
6)	«Данный угол острый»:
a) •Ffjumnihi д/шншп угли больше 3(1 •;
г) «Mi дичина доишно угла нс меньше, чем 21 •
27 Иаоапио, что и диме, где живет Кости, Гмктыие зтшкей. чем а аамв. где жнвйт
Олег, В доме, где живет Тина. меньше этдокей, чем в доме, где жпппт Олег,
л в доме, где ♦ нш*г Фодп. Пальни ияжей, чем и домр» гн» живот 'Пнш. Укажи-
те. какие п;1 следующих утверждений ни л шаттл нстиннммн иыскл ri.ninmuiMH.
а) »Л«'М. где ; инет Тния. самый мнгвигажнын нл всех чсгы]нх»:
б) <В даме, где жилет Олег, меньше лтяЛсеА. чем я доме, где жнвйт Фндл»;
н) «В доме, где жилет Когтя, лтмжей Польше, чем в диме, где жний TiiHHt;
г) •Среди н их четырех домин нет двух г одинаковым кодичеч тирм :п*лжеи*.
28 Даны два утверждения: -Число А больше. чем 10* и -Числи X меньше,
чем 20Могут ли оба утверждении аклшггьсл:
а) истинными выгкдлывлнплми;	П) южными пыгкдаылдппями?
29 Дины ДНИ утнер^ ИЧ1ИИ: <	»ДаН1Н>»‘ ЧИСЛО Прогни*» и В «Днишю ЧИСЛО
четное».
п) ('формулируйте У'ТПСРЖДЛПИС *(' к В» Может ли ано быть истинным?
б) Сформулируйте утверждение »С млн В». Может ли оно быть ложным?
30 Маши нашли гриб Мами скал< 1л: -У фин гриба ли шляпке чешуйки». Нина
склллл: «Элл гриб ядовитый». Ci>cti»iiwtb h.i гтгих утверждении г.ншлнм* ут
всржтсиис:
л) с помощью логического сох пл «к»:	6) с помощью лопгчгнчщго союза -или»
31 Извегтно, что число л натуральное. Дпнл утверждение • Число л ипллстгк
квадратом нехптгчюго ннтурплыкого числа или число л не делится ini 5». Дли
каких ил пр4'Д’11»юч|1(ых лначеипй п пю утверждение ложно?
л) л 16:	0) п - 15;	и) л * 14:	г) л 25.
32 11етверо школ|д|ш:ав обсуждали trrnrr к примеру ни р|еГ>никл по математике.
Калн сказа i: «Ответ 9»
Роман ответил: •Отпет гцкм тчк» ии- лп».
Кати добавили: »Опмгт чёткие чмедо».
Наташ л скнлдлв: «Это число делится ни 15».
Оказалось, что один мальчик и одна де ночки отиетили верно, я дней» детей
ошиблись. Каков ответ задачи на самим деле?
504 Отрицание сложных утверждений
Рассмотрим кдкое*нибуд|. утверждение с логическим союзом «и». Например: «Се
годил на небо ясно к дуст штерок». Чтобы оно стало истинным выекютыпаиием, долж
мы быть п пи 1ал и ены оба условии: и про небо, и про ветер. Кик сфпрмулиринпть отри-
16
ГЛАВА XI.
цапле? Достаточно «отменить» только ясное небо или только ветер (можно отменить
все сразу). Если хотя бы одна из частей сложного утверждения с союзом «и» стянет
ложной, ложным станет всё утверждение. Поэтому отрицание будет выглядеть так:
«(сегодня небо не ясное) или (нет ветра)►.
К каждой ла частой сложного утверждения мы добавили отрицание, а союз
заменили союзом •млн». Получилось отрицание сложного утверждения.
• If
Отрицанием к утверждению <А и В* является упаорхдемие »(ио А) или (не
ВК
ПРИМЕР 1. Построим отрицание утверждения Т: «R треугольнике ЛВС есть
мой угол н див угле равны между собой». Такой треугольник существует (риг.
поэтому это утверждение может быть истинным.
пря-
19).
Равнобедренный прямоу! ольныи
треугольник Для него истинно
утверждение Г
Рисунои. 19
Построим отрицание к утверждению Г. Сначала запишем утверждение Т билее
формально:
♦(и треугольнике АВС есть прямой угол)
н
(в треугольнике АВС лвл угла равны между собой)».
Теперь ясно, как построить отрицание:
»(в треугольнике АВС мет прямого угла)
нлн
(в треугольнике АВС никакие два утла не равны)».
Это утверждение можно сформулировать более привычным образом:
«Треугольник АВС нс прямоугольный нлн не пгшноКодргнпый>.
Оно пстиипп для любого непрямоугольного . туп пыгикд л даже для всех прямо
угольных, но не равнобедренных (риг. 20).
Равнобедренный,
но не прямоугольный
я
П рямоуг о л ьны й*
но не равнобедренный
Не прямоугольный
и не равнобедренный
Рисунок 20. Для всех этих треугольников истинно утверждение не Г
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАССУЖДЕНИЯ
17
Осталось научиться строить отрицания к сложным утверждениям с союзом •или*.
Ситуация здесь аналогичная. Нужно построить отрицания к обеим частим и заме-
нить логический СОЮЗ »1ЫН« СОЮЗОМ • >!».
ПРИМЕР 2, Утверждение гласит: «Две любые прямые на плоскости пересекаются
нлп параллельны». Это утверждение — штшиюе высказывание. Отрицание говорит:
• На плоскости найдутся две прямые,
которые не перссг.каклтя и не параллельны».
Это утверждение ложно*
Отрицанием • утверждению *л или Я» является утверждение <ih© А) и 1не В)»
Мы знакомы с доказательством пт противного. Новые знания позволяют ппм обсу
дить еще один интересный вид доказательства. Предположим. мы хотим доказать,
что некоторый объект обладает либо одним соойсгвом. либо другим. Можно попы
татъея предположить, что одно из свойств не выполшштси и доказать. что в ;»том
случае выполняется второе.
ПРИМЕР 3. Если у двух прямых <инялконы угловые коэффициенты, то эти две
прямые сошгчддют или параллельны.
Доказательство. Пусть даны две прямые, заданные уравнениями и = кх + и
и у = кх + б, Предположим, что эти прямые не совпадают, то есть а * б, Чтобы про*
верить, есть ли у этих двух прямых общая точка, составим уравнение:
кх 4- « кх f б, откуда о • Ь.
Это уравнение не имеет решений, поскольку л •- б. Значит, общих точек прямые
не имеют.
Считая. что прямые ле еоютадлют, мы получили, что у них пет общих точек,
то есть они параллельны.
Чтобы доказать утверждение вида «А или В» можно предположить, что истин
но утверждение «не А» и доказать только истинность утверждении В (или на-
оборот}
Вопросы
1 Как сформулировать отрицание к утверждению *л и В»?
2 Как сформулировать отрицание к утверждению *А или В»?
3 Что ь»(>жно скво8|Ь и аыск83о1Ь8нк1г|А .4 и В. если высказывание \А и В}•
ложно?
4 Что можно сказать о высказываниях А и В. если высказывание «не (А и В)»
истинно?
/ Задачи
33 Марина строила отрицание к утверждению •Зввтра будет снег или завтра бу
дет дождь». У нт* подучилось «Завтра будет солнечно». Верно ли построено
отрицание? Объясните свой ответ.
18
ГЛАВА XI.
34 Являются ли отрицаниями друг други утверждения А и В?
а)	А: «Лид]н*й пишет ручкой или Андрей пишет клрлнднпкни».
Я: «Андрей пишет фломастером».
6)	А: «Задуманное числи больше 10 или задумки лиг число меньше 10».
В: •Задуманное число ранни 10*.
п) Л: «Трпугольмшс ЛВС равнобедренный и тупоугольный••
Я; «Т|>еу гол вник ЛВС нгр(|нмоб<*д|юнныЙ и остроугольный»
35 Монету бросили 2 pti.ii!- Дли шиснх пдгмсшгерных ш мидии hctiihihj утиерЖдг
пип «по (Л и В)»?
и) А: «При первом Оросят вышин орел».
Я: «При втором брейке ныиплл решка».
б)	Л: «Сбя риал мпмстл упада одной и той же стороной««
В: «При втором броске шиш решка»
Выпишите гги элементарные исходы.
Укаламос Легче сначала имгтгяп. олсмситпрпыо исходы, при которых ис
тинии уа,и«ч>*кл1<|1иг «А и В».
36 Монету 6р1»Г|1Л1' 3 pH HI ДЛИ IUIKKX 1 H'Ml'HTnpiIMM ПГХО,ИН* »1<ГИННО утнгрждг
ПИП «ИС (Г или />)•?
л) С1 «При первом броске выпала решил»,
D: «При втором броско выпил орел».
б)	С: «Тн’рпыр дни риал монета упала одной и тон же стороной».
£>: «При третьем броске пыплл орел».
ВЫШТПГПТС ГГП! »ЛГМС1ГП1рПЫ« ИСХОДЫ.
Уколам I*. Легче сначала пыппептъ алемпптарпып исходы, при которых иг
тиion» у.тич^ждение «С или В».
37	Постройте отрицание к утверждению:
а)	«При брогпнпи игрального кубика пылала мспег пяти, но более трех
ОЧНОЕ »1
б)	«При бросании игрального кубика выпало немее ПЯТИ или более трёх
очков»;
и)	«В данном треугольник? дни угля равны и в нём нет двух рапных сторон»;
г) »В диплом треугольнике два утпп рпптп.т или п пгм пгт дплтс рлппых стпроп»;
л)	«Пдтурлльтюс число при делении ил 3 даст остаток I или 2»:
е)	»Ннтур11Льн(М1 число деЛитсм на 3 н гуммп его цифр том* дглмтея мп 3».
38	ПрИПГДНТ? пример. ПОКПЛЫНММНЦИЙ. ЧТ! К7О инч* Bl.’CKHJ' I шин иг ЧПЛЛГ1ГЛ
ИСТИННЫМ. (’<|И1рмуЛНрУИ7Г ОТрМПЛИЖЬ ЯВЛМСТЧ Я ЛИ <П pH ЦП ИНГ НСТИ1И1ЫМ ВЫ"
СКАЛЫ1Ш1ХИГМ?
п) «Любое натуральное число лнлш*тся простым пли составным»
б) «Любой треугольник яплягпя тупоугольным или остроугольным».
39 Даны лип высклаыппння А и В. Петиции или Ломаю выскааывпммо
• нс (А или В)»?
и) А: «А. С. Пушкин — поэт».
Я: «А. С. Пушкин писал расшашм и прсыг».
б) Д: «У кошки 4 лапы*.
В: «У паука 6 ног*.
п) А: »Рс1ш Волга впадает в Черное море».
В: «Река Амазонка впадает в Красное морс*.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАССУЖДЕНИЯ
19
40 Постройте высказывание «ие (А и В)» и определите, истинно оно или ложно,
и) Л: «Солнце —* ото авеада»,
В: «Солнце — зто пддпгтл»,
б) А: «Лиссабон — столица Португалии»,
В: «Канберра — столиня Австралии»•
н) А: «Картину «Бонрыня Морозове» нпцисал В. М. Впснецпп».
В: «Картину «Запорожцы пишут письмо турещюму султану» написал П. Пи-
клгсо».
XII
Операции
над
случайными
событиями
С событиями, так же как с множествами,
можно производить действия В этой главе
рассказывается о трех основных действиях
с событиями и о том, как правильно скла-
дывать вероятности двух событий, чтобы
найти вероятность их объединения Способ
сложения вероятностей зависит от того, яв-
ляются эти события несовместными или нет
51 Определение
случайного события.
Взаимно противоположные
случайные события
52 Объединение и пересечение
событий
53* Формула сложения
вероятностей
54* Решение задач с помощью
координатной прямой
Определение случайного события.
Взаимно противоположные случайные
события
В ГЛАБС М МЫ обсуждали СЛуЧПМВЫО ОПЫТЫ II припилили МИОЖТТ1Ю tl|)IIM(*|)OI>
случайных событий. Нпиимним. что случайный опыт окапчивагтсл кипим либо одним
элементарный событием. Какое имеппо тпемеитирпос событие наступит п данном
опыте — дело случил. Дал ризных адемептлримх события имеете произойти ио мо
гут.
Элементарные событии образуют множества. которые мы нллыппем случайными
событиями. Симо им ГОЙО <VH'Ml4IJ7lplll>V СибЫТИГ МОЖНО	Г1Ц Г1. к.о МНИМ естио
ИЗ ОДНОГО МОМИНПЬ
Hhikimhhm тпкж1*. что пустое событие И — ото случайное событие, которое иг со*
держит НИ О ОНОГО ююментирпиго событии II . •  1Л 	II* коамо ясным.
Напротив, достоверное событие по множество всех ал см си тарных событий о опы
те. Можно считать. что достоверное событие по сам случайный опыт.
Случайные I обытнн МОЖНО разными СИ1нг>бнМИ ГОЧСТПТЬ Jipyi 1 другим При атом
образуются полые случайные события. Мы обсудим три наиболее упи разительных
Действия С гобытнлмн.
Противоположные случайные событие
Рассмотрит пакой пл будь случайный опыт и псе элементарные события. которые
ВОЗНИКАЮТ Я ЭТОМ опнпг. РллобЫ’М Г1СО ДЛСМ»ЧГН1р]|1.1е гопмгня ПЛ ДИЛ МНПЖС( ;
Пусть первое множество образует случайное событие Л. Тогда все остальные злемен
тарные события благоприятствуют другому событию, которое мы будем аболпачлть /1
н говорить» что оно противоположно событию Л.
Событие, противоположное событию Л, это множество всех зл©ме>парных
собы «ни. которые но принадлежа! событию А
Если событие А протмдоиолпжнп событию Л. то собюти* Л противоположил (Обы
тпю А. 11 сотому гпбытпя Л п Л ппвывают втлпмпо протпвоположпьпчн.
ПРИМЕР 1 Вра лют игральную кость. Собы*
Событие Л ’	т,|ю * !L падет больше четы) очков* благопри-
*_ J •_J	ятетвунгт xuivmbh шрные события «илтеркл* и «Ше-
_ _ -г	♦ П 7 П стирка». Н« блшопрнятствуют событии» А злемон-
Событие А	1 •	_	нн
 [• ►  тарные события <едипмца*. «двойкл», «тройка*
и «четверил* (рнс. 21), Вместо эти элементарные
Рисунок 21	события благоприятствуют событию Л «выпадет
четыре u'LKa или меньше».
Взаимно иротнноположные события одновременно произойти не могут, но какое-
либо на них происходит обязотвлъпо. Поэтому
ИА) + ИА) - L
Это равенство можно записать иначе;
ИА) 1 - ИА) и Р(А) " 1 - ИА).
22
ГЛАВА XII.
Сумма верояпюстнм шимми п|мминогюложных собъпим рання единица
□то ГПОЙСТПО ЧПСТО ока.зыЙ41ОТСЯ ПОЛГ.П1ЫМ, если ИДЙТИ щ*роятпоеть нужного собы-
тия сложнее, чем и<‘|мипи<мтъ п|ютик»о|ц^южма*<>
ПРИМЕР 2, Knicoiui вероятность того. что при дяуирятпом
брогпннн МГрЯЛЬМОЙ КЖТГИ но 1ГП>роЙ рц.'1 ИЫШ1Д1’Г иг то жг
число очко», что II первый?
PriuriiM. HnilCJIlCM уКМДЮТОС событие А. Ему блнюпрннт
гглуот много ЯЛОМ<ЧГГП|ШЫ1 событий. Проще Ш1ЙТИ МГрОН'Г-
шизть П|Н»Т||Щ|||ОЛН^.ЩН о события Д; <обп раю мыиадгт одно
н то же число очвеенг». Всего и опыте N - 3G рлмшнммножных
Ш№М1ШТПрН14Х событий. СобЫТИИ» А АЛИГ <Н||Н1НТГТНуИП V(A) - 6
ио них (рис. 22,.
Зиичит,
Р(Л)- "(4.1. Tow Р(Л)-1	g-
5
в’
<<»отнп1ШЧП1Я между событиями удпбии И '-ГН. с Г|ОМ1>11П.и> диаграмм Лн.П-рл
Нссь случайный эксперимент, то осп» псе элементарные событпп опытл. пллбрллПМ
прямоугольником. Если событие Д изображено кругом внутри прямоугольника. то
гк'твптллся часть прямоугольника изображает противоположное событие Л.
На рисунке "3 с помощью дпнграмм Эйлера пока ыны иапимио протпяопаложны1'
события Л и Л.
Достопор»ки? и нопозможноо события пзпимно прптинсиюложны
Вопросы
1	Что ТЭКО'* про I иНО1Юложные события?
2	Обязательно ли события на диаграммах Эйлера
изображаются кругами?
3	Что означает приыоутчнтьник внутри которого
изображу поте я события на диаграммам ЭАлвра?
4	Сформут,ируйи< слонами т.лойстно юр и юс
той протиттоположмых событии
Событии 1
Событие Л.
прог наополо жт тое
событию Л
Задачи
Рисунок 23
41 Н случайном лкенприменте 20 «лемантнрных событий. Событию Л блнгопри*
ятстнуют 12 ил иих. Сколько ллгмептариых событий &ллпн1рилтст>вухп' собы»
тих» 4?
42 Н некотором случлйттом опыт?» может произойти событие К. Найдите вероят-
ность события К. если вероятность события А' рання:
я) 0.4:	б) 0.85; в) 0,18:	rl ’.
4»
43 Докажите, что события Л и В не могут быть иротшишаложмымн, если
Р(Л) 0,7, а Р(В) 0,44.
ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ
23
44
45
46
47
48
49
SO
51
52
53
54
Вероятность события rl равна 0.3. п вероятность события В равна 0.7. Обяза
тслъио ли события А и В взаимно противоположны?
Предположим, что ид некотором производстве из 100 изготовленных сумок
в среднем 3 бранопанные (плохой нпш. дек|м?кт кожи и т. п.). Это олннчиет.
ЧТО »Ц'|МВ|ГГИ1М ГТЬ событии «ИЛГОТОННЧННШ сумка брнкпннниня* ранне 0,03.
Найдите ннрогттиоггь того, что изгогопленнля сумка качественнаи.
При чзгсттоалопни батареек в среднем па 1000 качественных батареек прпхо
дитсг 4 батарейки с дефектом. Найдите вероятность того:
л) что случайно выбранная батн(жйка имеет дефект;
б) чтл случайно пыбрвниая батарейка иг имеет Д1*фектон.
Вероятность того» что новям шариковая ручка пишет плохо (или не пишет),
ранш 0,19. Покупатель м мппыипг пыбирлет лиь шариковую ручку. Найди
те нс|1оитжм ть того. что .mi ручка пишет xnpuiiio.
В Каледон четвертой блике кофе согласно условиям акции сгп* приз. Призы
распределены по банкам । лучлипо. Аня покупает банку кофе в надежде вы
играть приз. Найдите вероятность того, что Аня не найдет приз в своей банке.
В среднем из каждых 80 поступивших н продажу аккумуляторов 76 аккуму*
ляторов заряжены. Пойдите вероятность того, что выбранный в магазине мп
удач} аккумулятор нс заряжен.
Мотут ли быть противоположными события С и D, если:
а)	Р( Э = 0.12; РДО-О.ТЯ;
6)	Р(С) = 0,14; P(D) = 0.86;
в)	Р(С') - —тт» И/» = —г* где « • О. b > 0:
п 1 &	а ♦ ft
г)	Р(С) “ 0,5 4 п; PCD) « 0,5 - л. где -0.5 < п < 0.5?
Бросают одну игральную кость. Перечислите злвмннтлрныЕ событии. благо-
принте гнупицие событию 4, опишите событие А слипами и найдите Р(А). ес
ли событие А состоит н том. что:
а)	выпадет шестерка;	в} выпадггг число очком, кратное трём;
6)	выпадет четпое число очков; г) выпадет от 2 до 5 очко».
Игральную кисть бросают дважды. Опишите словами событие, противополож-
ное событию А, и найдите его вероятность, гели событие А состоит в том.
что в сумме прн двух бросках выпадет: д) 2 ичкп; 6) 12 очков; а) мгнее 1 ич
коп; г) более 1U очков.
В классе 15 мальчиков и 10 делочгг Ил клпсеа глучлйпмм образом пьтбира-
kit одной» ученики. Событие /> — «ныбрннь д^»ь<ч.
а)	Сколько злемептариых coolithii блягонриятствуст событию D?
б)	Чему рпинп вероятность события D?
в)	Опишите словами событие £>.
г)	Чему равна вероятность Р(/>|?
Мп диаграмме Эйлера (рис. 24) изображены события
А и В. Нарисуйте диаграмму в тетради и выделите нд	।
ной событие, которое состоит а том. что:
а)	наступило событие А;
б)	наступило событие В;	X
в)	событие А наступило, и событие В нет;
г)	событие В наступило, а событие А пет.	Рисунок 24
24
ГЛАВА XII.
55 Симметричную минету бросили 1 рази
3 пли 4 рала, а может пр выпасть пи
в таблице 1.
Найдите яероятшмтгь события. протп-
вопояожиого событию:
о) «орел не выппдет ни разу»;
б) «орел пыплдот более одного рлза»;
в) «репгкд выпадет мрпм трпх рпл*:
Г) «(фёЛ НЫПНЛСТ HPII.iHvcriH) СКОЛЬКО
раз, но точно яс лил рллл».
56 Из класт выбирают двух учеников, (
тип В состоит л том. что:
l Орел при этом может выпасть 1. 2,
разу. Вероятности этих событий ддпы
Таблица I Вероятности выпадения
О. !. 2. Я и 4 срл::п
Чме л о ар лив	□	1	2	3	4
	1	1	3	1	1
Неролгниггь	Гб	4	8	1	16
словами событие В. егли собы-
а)	оба выбранных ученики — мальчики:
б)	выбраны ученики одного пола.
57 В люстр* пять новых лампочек. Опишите слонами событие. противоположное
событию:
л)	«в течение года перегорит хотя бы одна ю лампочек»;
6)	«в течение года перегорят ровно две лампочки»:
в)	«и течение года перегорит больше трёх лампочек»;
г)	«в течение года перегорит мрпыш* четырех лампочек».
52J Объединение и пересечение событий
Случайные события это множества. С ними можно пропзводить действия, как
н со всякими другими множествами.
Объеднпениг двух глупайных событий 4 11В	это множество «лгмепторных собы-
тий. которые бдпгапрпятстеуют хотя бы одному ил событий 4 и Я.
Пересечение двух случайных событий Л iB это множество влементврпых собы-
тий. которые благоприятствуют и событию Л. к событию В.
ПРИМЕР 1. Продавщица выбирает дна костюма. дли того чтобы помн.-лпь их в ви-
трину магазина. В /icrnjirrBMoinv г<нп. черные (Ч) п riui№> (С) костюмы. Заимеют! рн не
события Этого случайного опыта представляют собой пары костюмов, которые мы обо
значим:
ЧС. ЧЧ. СС н СЧ.
Пусть» шшрпмер, событие Д состоит в том. что первый костюм черного цвета.
Этому события» йлпгоприл :г гнуют алемепгарные события
ЧС и ЧЧ.
Событие В нмггупает. если второй костюм чёрного цвета; ему благоприятствуют
элементарные события
СЧ и ЧЧ.
Объеднненню событий AUB «хотя бы одни из костюмов чёрного цвета» в этом
случае благопрнятетнуют три элементарных собьпмя:
ЧС. ЧЧ и СЧ.
ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ
25
событие Д
• в первый раз
ПсргасЧГПИГ Л tB состоит в том. что ОПП ко
1ТЮМН черные. Этому событию бдакшриятствует
сдн1штвеш1ое элементарное событие: ЧЧ.
Объединение н пересечении событий можно
изобразить пл диаграмме лидера (рис. 25>. Пусть
левый круг изображает событие Л, правый
крут — событие В. Тогда фигура, ссктоящая из
обоих крутое» ятп событие А' В. л псресече-
ине AiiB п ас брал: летел общей частью крутою
ПРИМЕР 2 Игральную кость бросают дважды.
пылало мепыпг трех очков». а событие В «но второй pan пылало меньше трех оч
ков*. Сформулируем слонами и изобразим и таблице эксперимента события Л1'В
и ДиВ.
Событие л В состоит в том. »гто оба раза ньшало меньше трех очков. Событие
Д'.'В состоит в том, что хоти бы раз выпало меньше, чем три очка.
На рисунке 2Г» событии А. В» их пересечение и объединение локюшны и таблице
случайного эксперимента, в котором 2 рала бросают игральную кость.
а)	Красными мюсгмками
показано событие А.
синими — событие В
Рисунок 26
б) Закрашено событие
AUB
в) Закрашено событие
АиВ
Несовместные события
Если события Л н В не имеют общих благопрнятсгвуюшнх алементарных событий*
то они не могут наступить одновременно в одном н том же опыте. Такие события ид
зывают несовместными. а их пересечение нс iv шкным. из пустым, событием.
Можно написать А нВ 0.
Собыч'я А ч В называются несовместными, есче ч/ сересе**ечнч че содержи»
элементарных событий.
Вероятность пересечения несовместных событий рпв
на О: Р(0) = О. На диаграмме Эйлера несовместные собы
тил илобралсаются в виде двух непересекающихся фигур
(рис. 27).
ПРИМЕР < В одном и том же году события <8 марта
приходится Ш1 шгтпицу* н «8 марта приходшги на суб
боту* япляются пееппмгатпымп.
Несовместные события
Рисунок 27
26
ГЛАВА XII.
©
1
2
3
4
58
59
60
61
62
63
64
Вопросы
Нго tiikou пересеченно дщух событий?
Чю такое объединение двух событий?
Сформугируй1е определение несоемосгнык событий
Спортсмен uidf.ryti.ioi на соревновании» по прыжкам Першею событие -спирт
смен тронмнропап лппую ногу* Втпросг собыпче -спортсмен трлнмиропал пра-
вую ткну- Опишите словами обьеДи»Ю1<ис и псросо»*с»нис лих событий.
Рисунок 28
Задачи
Ня ДКАПМММГ Эйлера (рнг. 2Н) показано число • и мен
тарных событий, бллгопрмятстаующих каждому из
двух событий А и В. Псрени* иге рисунок н тетрадь
и [ткрпгьтг объединение событии Л и В. Сколько зле
мгнтпрп.лх событий благоприятствует событию АНЯ?
Событию / п ходе некоторого опыта бллгппрпятгтпуктг
Г> элементлрных событий. Событию F бла с -иириитгтиуюг
8 хзпмоптлрных событий. tin пи одно и » ннл не блин нпрнятетлуег событию Г’.
Сколько «исм г «тарных событий благо iipiiBTi’riiyt’T событию U* F?
Событию А благоприятствуют 6 аяемгптпрпых событий, а событию В
8 олемеитпрных событий И .a mix 8 элементарных событий I благой рнмтстпу*
ют орде/ двум событиям. Нарисуйте п тетради с<нггогтт1ующую диаграмму
Эйлера и отпетые мл шюрогы.
л) Сколько алементпрных событии блюииринтплуют событию Л, ио ИГ благи-
приятгтлуют событию Я?
б)	Сколько элементарных событий <“»'1мпн1рия‘1стнуют событию П. ни ие бла-
паирнипттнумуг событию А?
к) Скадню алгментпрных событии б’нн твирнятст пуют событию А« Я?
В ходе мекитириги опыта событию А благонрилтггвуют 0 элементарных собы
тнй. событию В 8 стам си тарных событий. При атом 3 элементарных собы-
тии блпсйприятштуют событию А Л. Сколько элгмен'1ири1.1Х событии бпшть
ПрИЯТСТИуиГГ Г<)Гн.1ТМК1!
л) ♦событие А ппгтулпет. а событие В пгт>;
б) «событие Н наступает, п событие А пгт»?
В ходе некоторого случайного опыта г ицтги А блшппри ri тиуют 7 :» н*мгн-
тарных пнн.ттий, событию Н 10 вл» мюнлрных событии 12 «лем1‘нтнрных
событий благоприятсткуип событию A i В, Сколько здемгнтлрных событий
благоприятствуют событию:
а)	«событие Л наступит, а событие В нет»;
б| «событие В наступит, а событие А нет»?
Монету бросают дшивды. Событие А — <первый раз пыппдит орёл». Собьпме
В «второй раз ныпад<ьт орел». Выпишите алементлрные события, благо-
нрмятствуюннн* каждому но этих событии н событию А Ш.
Монету бросают далжды. Предстаньте п виде объединения дпух событии со-
бытие:
л) «хоти бы один раз выпадет решка*;
п| «оСм| рн;ы нм падет одна и та жн сторона монеты*.
ОПЕРАЦИИ КАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ
27
65 Пл дингрнммг Эйлера (рис. 20) шм|брлжгпы события Л и Н,
Нарисуйте диаграмму к тетради и укажите ни ннй собы-
тие (\ которое состоит л том» что:
л) событие Л наступило* л событие Н игт;
б)	НС ПОСТУПИЛО 1111 одно по событий А II В;
в)	нттупило хотя бы олио ил событий Л и Я;
Рисунок 29
г)	пл тупили 11бл события.
Кими* на тгнх побитой я ал лете it событием ДИЛ? Какое ил rmix событий мв*
илстся событием Л ив?
66	Пл клшхгл случайным образом лоследомтелько выбирают двух ученикснь Со-
бытии	вцгрлый ПЫбрЛП11Ь1М ученик ДСИОЧКЛ» OlflhlTIO’ С «второй
пыбрлнпый ученик девочкиОпишите глинам и гобьггни ДПС и ДОС.
67	Из класса случайным образом последовательно выбирают двух ушшимои. Со-
бы ти • /I «норный выбранный ученик - девочка». Опишите словами объ
СДИНГН ИР И 1Н*р»Ч C'lCHilC ГпбЫГНП >1 и Я, если гобытиг В1
а) «с,м‘ДН выбранных учеников net к только avoid девочка»;
б) «второй выбранный ученик мальчик*.
68	Брось ют одну игральную кость. Событие Л	• выпадет чётное число очков».
Событие Н состоит и том. что:
л) выпадет число очков, кратпш* 3;	и) выпадет число очков, кратное I.
б) цып идет неч'гтнов числи очков;	г) выпадет число очков* кратное б.
Выпишите все »лвмектарпыв события, блйгииршггствуюише событию Л1 Я.
Найдите ИЛ МВ).
69	Игральную кость бросают дважды. Событие Д «при нервом броске иына
ДИТ ГЛНШ1Ы». СмбьПИО Я «При мирим (ipot 1.г вышинч СДННИЦЛ*.
л) Уьл.гпто И гиб 1ИЦ1' JBIHI глучайнигс» <П1МТИ BIT 1 |ГМГНТЯрИЫ1к событии*
блшх1приятгтвуинпмг событию Л*1#,
Г>) Скольки у событии 4 и Я «пнинх блнгинрилтгтнунчцнх ».111*мен Г41рпых со-
бытий?
н) Оглннмтг едоками событие ЛМЯ.
г) Нгйдкте ве|м»дткость событии Л1 Я.
70 Игральную ипсп» бросают дважды, ("•ябг.гтис (/’ «и первый р»п выпадет чис
ло очков, кратное трем». Событие V «во второй раз выпадет число очков,
кратное трем».
а)	В тибчнп» глемснтирпых собьтп то » л ьггп ныдг п <• вдгмстгнфныс со-
бьтия. блн1т>прш1тегвукшию одновременно событию 17 и событию К
б)	OtlltlilBTO СЛСШИМЫ событие Г V*.
в)	НаЙДиТО 1Н-рилТО<к lb СкИлЫГаИа i 1 г*.
71 Игральную касп» броовют 2 рп.лп. Событие А — »п первый pn.i нышкдет четное
число очкпн». Событие /. «при втором броске выпадет чстиос число очков»,
и) Выделите и таблице злементмрныг события» которые благоприятствуют хо
тя бы одному из событий К и L. Сколько их?
б)	Опишите глпкимн событие
в)	Найдите вероятность события KUL.
72	Докажите* что для лм!бых событий Л и Я верпы неравенства
P(AUB) ИА) л P(AIJB) ИВ).
28
ГЛАВА XII.
Рисунок 30
73	I In диаграмме Эйлера (рис. 30) нинлплпы событии Л,
В и С. Нарисуйте диаграммы, изображающие событие:
а) ДИВ:	г)	AufluCi
в) ЛОВ:	д»	дийй’с;
и) AU0UC;	г)	Аи/КИ?,
74	Врисают одну игральную нот» Событие А «иыипдет
четное ЧИСЛО очкод». Событие В шлючш'П'И в том, что:
а) пыплдет число <и1кпй, крптшн» 3;
б) выпадет число очков, кратное 4:
л) ли налет числа очком, большее I;
г) выпадет число очной. мепьшее Я.
Для каждого случая укажите алиментарные события. блптнрпнтстиующие со-
бытию Д''В.
75	Игральную кшт. бросают днажды. Событие Л «а первый рп.» иыпаДгт
меньше 3 очкоа». Событие В «ВО второ# pm выпадет больше I очков*.
и) В таблице •тот опыта укажите .итементарнше события, бдмпшртггсТиуЮ'
щие событию Ai B.
б) Найдите 1*|Л В).
76 Запишите формулой событие. одобри л)
жйяиое ид диаграмме Эйлера (рис. 31).
77 Изобразите на диаграмме Эпнера со
бытие:
л) А<'В;	в) АПЛ;
б) ЛИВ;	г) Л«' В.
76 Докажите. что I’GI'/I)  1*(Л)
иНЛП/0' ИВ).
79 Запишите формулой событие, и ий»рд Bj
jKcnnoc ил диаграмме Эйлера (риг 32).
80 Изобрлзгггс пп диаграмме Эйлера со.
бытие:
д)АПВПС;	г)А«1В<1<>.
б) лпЙг.С:	д) ЛйвпС.
о) АпВСС;
81 С помоодю димгримм ЭАлери локнжип j тпп н с
д) Апв AUS;	6) А ид - А у th
У кал^нч* Для локп.плтельстш1 нужно нвобрпиить oo/i события пп двдгримме
Эйлера. Ёа^н кзо£рйжаг1н& ывдхаддют» то емвпмшют к события.
Формула сложения вероятностей
Случай! когда события несовместны
Вели события Л н В нс имеют общих блмтириятч^тнуютнх шюмвнтяркмх собыы
тий. то инн несовместны, их nepin^cMCHiii* лвля<гг<-м нснолможным событием. Поэтому
ш*ролтп1мгп. пересечения песопмгстпых событий рппш» пулю: Р(АЛВ) 0.
ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ
29
Рисунок 33
ПРИМЕР 1 Иг|шлы1уи> кос?!- броепмтт дважды. Рассмотрим событие А «и первый рлл
выпало больше ОЧКО», чем по второй* н событие /< «В первый рал ВЫПАЛО меньше очков,
чем по второй*. IlapitoytiM таблицу итого случайного опыта. Выделим п ней ршшымн
цн.чими алемен*П1|1НЫ1* события, бЛ111,ппрШГГСТ»уюЩ1ш событию Л и событию Н (рис. .33).
Общих ШП МСМТнрНЫХ событии У событий Л Н Я НОТ, И >Т0 ВИДНО ни |И1<-у)1К«>. Со
бытия ЛиЙ пгсопмсстпы.
Поставим вопрос: чему рпиип м'|ммгпннт* обплдннопля
AUB7 Элеметтарныи событии рмвиоиовмоишы. Нужно tnqio
считать вое илгмгчггмрные событии, которые Плт*<»ирннтгтку-
ют событию 4. и все. которые благоприятствуют событию Н.
сложить полученные числа и разделить сумму ни общее чне
ЛО здементирных гобьпнП 36:
N( А) + М Я) 1й + :ь &
Р<А"6'- N - 3ft -«•
Можно разбить дробь пл двл слагаемых:
Р(Д„, ^.•МЯ.м..,Мт	я).
ТО ОСТЬ 1М*РОНТНОСГЬ ибыднпинпн двух событий ШШЛЬ'ШСЬ pilBHii сумме 1КЧЮНТШ1СТ1Ч1
этих событий *>тп rooftcTso пгрнг» для любых двух посопместаых событий п тюбом
случайном опыте*
Правило
ОДИНГ НИЯ
сложения вероятностен’ несовместных событии. В«ро«пност<. обь-
Н«Л СОЯ МЕСТНЫХ событии рпйнп сумме И* плроятностри
P(AUB| » Р(А) + Р(Й>.
Общим случай
Еглк события Л и В не япляяптя iw пл местными, т. о. oust совместны и могут
пдконремгино нютухштъ и результате одиопв опыта, то к ним нельзя применить про*
вило дпя нес он мнет ных событий. Убедимся н пом нл иримере.
ПРИМЕР 2. Правильную игральную кость бросают 2 рллл. Событие Л «п пгр
вый раз вышло меньше 3 очкпп». Событие В «во второй рвл выпало меньше
3 04KOD*.
Событию Л бллпн1рня7ттнуп 12 ЛЛГМГКТДр>1ЫХ ИГ» 4. «Р
Событии* В Г| tHITHipUH ьтнугг П1ЖГ 12 злем > «И| X virfri.
ГНИ. Пн ЧГПв1|М‘ 1ДГМГНП1|И1ЫХ события общиа, ногколмсу
собьггня А и В совместны. Событию Л В благоприятст-
вуют 20 мекемтврвь'х снытей (рмс. 34).
Поэтому
Р(А) - ~	. Р(Л) - S - !•
1	’	36	3'	' '	36	3
112	20	&
Р(Л) + Р(Д) - - + - А Р(Ли£) —
л л «1	Л<1	If
2	Ь
Очевидно, * . значит. Р(ЛИВ) * Р(Л) * Р(В).
3	!*
1	1	2 ft й 5
ПОСКОАЬКУ з + 8 “ з - г 9 > р.
Рисунок 34
30
ГЛАВА XII.
Получается, что формула P(AUB) = P(zt) + Р(В) в этом случае певорпа,
Как быть? Изобразим совместные события .4 и В ин диаграмме Эйлер»* (риг. .35).
Рассмотрим два события: событие (' * наступило Л, ио не наступило В» и собы-
тие D <наступило Я. по пс наступило Д»* На диаграмме Эйле-
ра (см. рис. 35) видно, что события С и Л ‘В иесопместпы. по
скольку гоотпетгтпующпе фигуры па имеют общих точек. Вме-
сте ЭТИ события образуют событие Л. Поэтому ио правилу
сложения вероятностей для несовместных событии находим:
Р(А) ₽ Р(С) + FU В).
Точно так же получаем PfB) Р(1>) 4 F(A^B).	р^с О|( 35
Сложив эти равенства почленно, получим	у
Р(А) 4 Р(В) = Р(С) + Р(ЛПВ) 4 Р(В) + Р(А* В).
События С» А Н и D несовместны и вместе образуют событие - V В. Получаем
Р(Л) I Р(В) - Р(ДиВ) + PfAfIB),
откуда
Р(Д1 Н)-Р(/П ♦ Р|В) Р(ДОВ).
Мы вывели общую формулу, и теперь можно сформулировать общее правили.
Правиле' сложения вероятностей. Вероятность объединения дну* событий
равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения:
HAUB)= Р(Д) + Р(Я)-Р(АПВ).
Полученная формула справедлива для любых двух событии. и том число для иг
совместных. tHXWivihKy а случае несовместных событий P(Ai B)=O.
( Q , Вопросы
1	Что тако несовместные события в случайном опыте? Приведите пример несен-
местных событии в опыте, в котором монету бросают 2 раза
2	Сформулируйте словами правило сложения вероятностей для несовместных со-
бытий Запишите формулу сложения вероятностей для несовместных событий
3	Как несовмес1ные собьним изображаю! ся на диаграммах Эйлера?
4	За пи шит формулу сложения нароягностей для двух произвольных событий
Задачи
82 Бросают одну игральную кость. Событие I — «пьтполо чстп^с число очков».
Событие В — «выпало число очков, кратное пяти»,
л) Являются ли события А И В НШЮИМЬСТНЫМН?
б)	Используя правило сложения вероятностей, найдите Р(АиВ).
83 События U и F несовместны. Найдите вероятность их объединения, если:
а) Р(П) • 0.2. P(V) - 0.4; б) Р(17) - 0,5. P(V) - 0.2.
84	Могут ли события А н В быть несовместными. если:
д) Р(А) = 0.6, РЦП = 0.5;	в) Р(Л) = а, Р(В) 1,2 и;
б)	Р(А) - 0.1. Р(В) - 0.7;	г) Р(Л) « Р(В) - 0.6?
85	Вычислите P(AUfJ). если:
а)	Р(А) - 0.8, Р(В) - 0.6. PfAflB) = 0.4;
б)	Р(А) - 0.5. Р(«) 0,6, Р(АНВ) = 0,3.
ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ
31
86	Вычислите вероятность пересечения событий Л и В. если:
а)	Р(А) 0.8, Р(В) 0.6. Р(А* В) 0.9;
6)	Р(А) 0.5. Р(В> 0.6. P(AUJ3) 0.8.
87	В торговом центре недалеко друг от друга расположены два я кто мята. продд-
ишип кофт. Вероятность пи о, что к вечеру м нервом автомате закончится ко-
фс. раина 0,3. Такая же вероятность того, что к<м|и- закончится но втором лн
томпто. Вероятность того, что кофе закончится в диух автоматах, рялпп 0.12.
Найдите вероятность события:
а)	«кофе закончится хотя бы в одном из автоматов»;
б)	«кофе закончится только п одном из пптомлтон».
88	В байке рядом друг с другом стоят два банкомата старый и новый. Веро-
ятность того, что в течение дия в старом банкомате закончится денежные ну
пюрьь равна 0.2. Вероятность того, что купюры закончатся в новом банкомд»
те. рчпнк 0.1. В днух банкоматах купюры могут закончиться г вероятностью
0.05. Ннидите вероятность события:
а)	«в течение дня купюры закончатся хотя бы в одном на банкоматов»:
б)	«в течение дня купюры не закончится пн в одном из банкоматов!»:
п) »и точение дпя купюры закончатся только в старом банкомате»;
г) *к закрытию банка купюры останутся хотя бы н одном из банкоматов».
89 Могут ли события С и Л был. такими, что ИО 0,6; !*(/» 0,7 и PtC 'D) 0.1?
90 Пользуясь диаграммой Эллера, докажите, что посовместтгы события:
а) А н АнВ:	6) АсВ и АПВ.
91 Пользуясь диаграммой Эйлера для событий А. В и (\ выведите формулу сло-
жения иг|кмтии’.Т1*й для трёх событий:
Р(АЧУ< ,’О з- р(д > р(/П + р(С) Р(А В) Р|А КЗ И Й1 С) + Р(А AHCL
Решение задач с помощью
координатной прямой
Часто на практике случайные эксперименты и события в них связаны с изменяв
ными или случайными величинами. События состоят в том, что та пли иная велнчи-
нп принимает определённое значение иля попадает а какой-то прим» жуток значений.
При этом вел числовая прямая содержит 1>< г	п.•»* им ме парные события икс
перпмепта, поэтому является достоверным с о бытием.
ПРИМЕР 1. Барометр измеряет атмосферное давление р. Рассмотрим события:
А — (атмосферное давление о г 750 до 760 мм рт. ст.},
В = (атмосферное давление больше 7 10 мм рт. от.},
С (атмосферное давление от 755 до 770 мм рт. ст.}.
Изобразим события пд числовой прямой промежутками (рис. 36). Это пемпиго по-
хоже на изображение событий иа диаграмме Эйлера.
А
710	750 755 760
770	ммрт.гт.
Рисунок 36
32
ГЛАВА XII.
Данных и условии нгдогтдточпо, чтобы найти вероятности ЭТИХ СОБЫТИЙ. Но неё
жг некоторые выводы можно сделать. Событие Л целиком содержится п событии Н,
Эго илипчш’Г, что вероятность события Л не может быть больше неромтноспи сойм
тим Л. Значит, Р(Л) * Р( В). В втом опыте можно даже утверждать, что Р(Л) Р(Й)
(иодумнйтг ничему). ГЬчяо та»: же И< ) * KHh
Сравнить нср>нт1ии'тм событий Л и (' нельзя, даже несмотря ий to, что событие ('
изображается более длинным огрета ком. чем событие Л. II»- ип libomviio. что событие Л
случается члше. чем гобЫТЯ* <
ПРИМЕР 2. При Прилнже ЛИТ1>МобнЛЬНО1Ч> нккумулятчвря щюдлнеи и присутствии
покупателя изм'рлгт шшряэшшнг ин клеммах аккумулятора. Замечено. что при про
верке у 87% поных 1и;кумуллторШ1 ппиряженшэ ил клеммах больше I I В. и у 05%
не больше 13 В Расс мотрим шшможмыг события н игом эксперименте и изобрввим
их ил чисиюлоЙ прямой (рис. 37).
II	13 ин
Рисунок 37
Обомшчим ннприж<чн1г V, Событие Л 'напряжение больше И В» теперь можно
обозначить А = (Г ИВ]. Так же обозначим и другие событии: К U 13 В).
С (11 В < 17 13 В), F {Г* 1! В] и G U 13 В).
Из услошш следует. что ГЧЛ) 0.87 и Р(В1 • 0.95. Пийдем вероятности остальных
событий. В атам 1шмнж<*т рисунок. СМыгнг F инлнстся противоположным собы*
ТИК! 4: лучи, КЛоорНЖйКНЦПг »ТН ообЫТМЯ ил ррсункг 37, ЯИ.1ЯЮТГЯ ирпдо i.lieniiMMH
друг друга. Значит. Р(Г)= Р(Д)-1 - Р(А) - I-0.87 - 0.13.
Аидлогнчш) глндгм пероитшкггь события G*: Р(С)*Р(В) = 1 Р(Н) = 1 0.95 0.05.
Найденные вероятности удобно указывать ни числовой прямой (риг. 38).
р(Н ода (	p(Gi о,об
н	13 цв
Рисунпк ЗЯ
Тгпгрь nepojri HtM'Ti. событии С чегко кийти. '* •*».л. .г; Г i ич чинмггны. 0 км«*-
еге они заинлиь?! всю числовую прямую, то есть содержит все .мемеитириые событии
□ксперимептд. Поэтому Р(Fl + 1'|< ) *	I.
Тогдп Р(С)= , Р(Г) P<G)-1	G.!3 G,G&»0.o£.
Вероятность события С можно найти н другим снособом. Оно является пересече-
нием событий А н В. Из формулы сложения вероятностей налучием
R(X'JB) НА) + Р(Л) P(Q.
Объединение A 'li — mt достоверное событие, зминммющее всю чиглонум» пря-
мую, поэтому Р(А’*В) - 1. Подстнинм клнегтные л пячен ил в формулу:
I - 0.87 + 0.95	Р(Г).
откуда
Р(С) - 0.87 + 0.95	1 = 0,82.
ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ
33
©,
2
3
^92
93
94
95
96
97
98
99
100
Вопросы
Чину ранив вероятность собы ши изображение которого ни числовой прямой
занимая! всю прямую?
Ю|К И Змбри*. ь. t . .« и. >	। .д иь.,| । in Hi *1|м»МОЙ МИМяЙНО 1»< • 1ЫЮМЙ10 । И»Г'
Пром »угеи и зображдкмнмй пореем1 событие, целиком содержится и промажут
м?. ииображаюшем итороо событие Сравните вероятности этих собьний
Задачи
Аня жд<*т аягобус ни и< тлноике. Нжтбршпгп* ни коордпнлтиой примой следую
щие чгбытим:
А - (автобус придет мо	меньше	чем	черед	1	мни},
В (автобус придёт иг	меньше	чем	через	2	мии1.
С (дигибус прилет не	меньше	чем	черед	fl	мин).
РнС1П>Лпжнте тбытин R нирлдиг подригтлипм ИХ Ш*|кНГГ1ЮГПЧ1«
МДМЛ II 1МерЯ> IHMHi p.nypy ИННЫ .ТЛЯ iC, ПИНИЯ IHHM HKII. ИштГфШНП'О ни koup-
дннач<н<1Й прямой следующие события:
А — {температура поды не ниже 35.5 ’(’)♦
В (темнературм виды пс пшке 36,2 С}«.
С (температура ииды иг пл же 36 ’С).
Расположите яти события я порядке яолрнстанпм их вероятностей.
Ни КЧвГюзаиодг lipottiTiuiAHTVH hiiHTfwi ihiioe n.Hieiniiuniine иснечОмноП буханки
клебл Изобразите ил координатной примой следующие события:
А • (масса буханки больше 790 г).	С * (масел бу хил ни от 792 до НОН г},
В *= (масса бухинмн меньше 81U г).	D (масса буханки от 790 до 810 г).
Укшемтс событие. которое имеет наименьшую иероятноггь.
Игроктноеть тот, что II гтучпингий Момент кремнии отмен*ф«>|шпг ддмлении
п некотором городе не лытпг 7*15 мм рт. ст,. jninim 0.53. Найдите вероятность
того, что н случайный момент давление превышает 715 мм рт. ст. Изобрази
те соответствующие события ил ’ШСЛОВОЙ прямой.
При Ч1готоолси11н подшипников диаметром 65 мм перонтиедть того, что дни
мгтр будет отличаться от заданного бплег чем пп 0,01 мм, рпппл 0,031 linfi
дпте вероятность тот. что случайный подшипник будет иметь диаметр » пре-
дедах от 64,99 до 65.01 мм.
При iKironuuiriiiiH пшкплядных бптошшкоп помнппльной млгтм 55 г короит
нот того, что масса батончика бу. '-i п щюлелкх от ГН ц» 5Г> г, ранни 0.76.
Ннйдпте вероятность того, что чип а Ллюлчнкг отлпчдотгн от нимнннльиой
больше чем пп 1 г.
Bcpoiiruoi гь того, что новый отошвр прослужит больше года, раммо 0,9(к
Вероятность того, что он прослужит два годи пли Польше, ровна О.»7. Нанди
те вероятность того, что скип ср прос.туткпт меньше двух лет. по больше года.
Термометр измеряет кимпптную температуру. Вероятность того, что тгмпгрп
тура окажется нс ниже 18 °C, равна 0.78. Вероятвость того, что температура
окажется ио пыше 23 °C. ранил П,63, Найдите вероятность того, что темпера
тура окажется я пределах от 18 до 23 РС.
В роддоме измеряют массу наворожденпоги. Вероятность того, что масса ока-
жется не меньше 3 кг. ранни 0,87; вероятность того, ото масса окажется не
больше 3 кг 600 г, равна 0.93. Найдите вероятность того, чго масса случай-
но выбранного ношцюжденнпт окажется в пределах от 3 кг до 3 кг 60(1 г.
34
ГЛАВА XII.
XIII
Условная
вероятность
и независимые
события
Когда проводится случайный опыт, наступив-
шие события могут менять вероятности дру-
гих событий Получаются условные верояг
ности. то есть вероятности при определён-
ном условии. Рассматривать связи между
событиями в одном ткслериметгте можно но
только с помощью диаграмм Эйлера Часто
это удобно делать с помощью дерева слу-
чайного опыта
55	Условная вероятность
и правило умножения
вероятностей
56	Дерево случайного опыта
57	Независимые события
58	Об ошибке 3/тгара По и о том,
как победить стечение
обстоятельств
55) Условная вероятность
и правило умножения вероятностей
рАССКЛЙ Об угломной ВГрОМТШМТГИ ННЧНГМ Ct ПрИМОрН. И ксггором НЭТ ни CU1IIHII О ИР
роятпостях.
ПРИМЕР I. В некотором городе 18% населенна мужчины (для простоты к
мужчинам <Л1П ‘» М 1НТ*-’1’ Й Му*КС|«1ГО НОЛИ, ПКЛЮЧНЛ Д1П И1. гредн мужчин 55%
работают. Какую часть жителей городи mrniiuuiioT рабптимицис мужчины?
Такне ждьчи решаются с помощью правила умножения: чщобм найти часть от
числа, ныражсннун дробью. нужно числи умножить на эту брабь. Предположим,
что п городе пегого п жителей. Тогда жителей мужского П<М1П п городе ч 0.48 чело
нгк. Теперь. аольауяеь этим же пранилом. ииЙлом число работающих мужчин: нужно
полученную чгличнну умножить ни дробь 0.55:
п 0.48 У.56.
Значит, доля работающих мужчин раина
4.0,^ 0.55-0,264.
rt
Общая чи< 'нчикмгть жителей л. по сути, в решении иг участи уст. Результат полу-
чается умножением чисел 0,18 и 0.55.
Г>гу же за.чачу можно < формулировать, указывав не доли, и вероятности. Раегмо
трим случайный опыт, в котором на всех жителей случайным образом выбнриггтгя
один.
Введем обоавачонил алл событий. Пусть
R* [юлбрмннмй житель окажется мужчиной).
Л = |пыПрпнпый житель рлботтп’1.
Вгролтногтв. событии В равно доле мужчин, то ость 0,18. Вероятность события А
нгилпетгна. *1о патл нлпгетпд вероятность этого гобьттил при уелппнл. что выбран
мужчина. г»то доля работающих мужчин, то есть 0,55. Это (/глоячол вероятность
гибытия А при условии В. Обсьтпячпют <*г F*(A|B). В нашем случае Р(Л|В) 0,Г>5.
Вопрос теперь звучит иначе. Вместо того, чтобы спросить, какую часть составляют
работающие мужчппы, спросим, какова всролтноать событии •выбранный житель
работающий мужчина».
Иными слонами, нужно найти пгр<»мтн<н п п«и тгн A ifl. которое состоит и том.
что выбранный житель окджепч! мужчиной и при этом раГк-амт.
Применим то жг правило, по топерь множителя не долм» а шзроятности:
1ЧА 13} - :чв; 1ЧА13; - УЛЬ 0Л5 0.284.
Дадим определение условной вероятности.
Вероятность события /1 при условии. *гго событие В произошло, называется
условной вероятностью события А при условии В Обозначается эта вероят-
ность Р(4|В)
Из прякнлн нахождении чагги от величины мы получили (тринило умножения нг-
рпятиогтой.
36
ГЛАВА XIII.
Прлпило умножения иороятмостой. ВорДОПНОелн гюрмсрч<шия собьнии Л и Н
долил проилподонию лероитносш одного иэ них и условной перомпкили другого
Р(АПВ) PUO Р(Л}В)
Г>тп ПрНПНЛО МОЖНО njKHI 'Июггрнрпнлтъ с помощью
ШЧ1И S7M (риг 30) Okuio I .4юр ijhk .ihi i неринтно
ITH. СПНЧЛДЛ 111 НЛЧВЛЫН1Й ТОЧКИ 5 ММ г IWP'JHTYIO
ггью 1ЧЛ) •переходим* к событию Я, о лотом к со
бытию А, ио таге с условной вероятпоеппо Pl А Л)
о. |М
ол&
ТГл
Рисунок 39
В реэультяте си^чцггтпляютгя обо события. Л ЗНАЧИТ* ИХ
нерп пчение Ан Я.
Такое изображение наглядно: нут» просто умножать вероятности идол к нгии
и гриф» ел у'hi in глх» ины nt.
Правило умножения мы получили на пример* > пп 0,10 иерпс» для любых случай
ПЫХ событий В ЛМ»6ЫХ глучдним* ОПЫТАХ И <Ml»4tl. ПОЛГИЮ при |ИЧ!П>НИН М1Д41Ч
ПРИМЕР 2. В коробке 3 емких и 7 красных карлнддшгй. Ио очереди и .тлею, ют
2 КЛДОНДЛШЛ* Пойдем 1М1рШ1ТЦОГТЬ того. ЧТО СНДЧНЛЦ ПОЯВИТСЯ НрШНЫЙ. II лнтгм
емкий клркнднш.
Можно построить довольно обширное миожсстно длементирпых событий (икр кн
рАНДЛШОЙ) И рй&бирятмш. СКОЛЬКО МЛ НИХ бдЛГПСфИЯ'ПТПуЮТ ППЯ1М1СННЮ ГПИЧАПн КРАС-
НОГО, к йотом синего кдрнндмШД. Зги нсулобло. Решим шдлчу мннче.
Решение. ПуКТЬ Событие Л СОСТОИТ В ТОМ. ЧТО ШфВЫЙ КЛДОПДДШ ОШШАЛГЛ КрЯС
7
ним, тогда Р(А1 После того КИК гго случилось» п коробке исТи4*тсл 3 синих
и 6 присных кл»ынди|пгм Значит, меройthoi-ti* событии Я «мтп|ЮЙ карандаш гнпий*
Л ।
при углом и и А члмнн (’(Я|Л)” - ТрН>угтгм няйти 1м»|м>я гшкть тоиц чти обл собы
V и
тня Произошли, т г. пгромтногтъ события Р(АнЯ):
ИЛ л» - Р(Л) ‘ Р(Л|Л> - ” 3 - J).
ПРИМ1 I : В торгином ш nipt устлшныгны im< автомат» придлющис i«m|h Bt
|юятностъ того, что х концу дня кофе закончится в кпждом отдельном автомате,
рдппп 0.3. В обоих пптомдтпх Г игре ЛЛКЛПЧИТЛГ CJT к Pl npt п< ролтпостыо 0.21
Вечером пришел мастер, чтобы обслужить ш* мн ы и «бьяруни . что ко втором
аптомлто Кофе закончился. Кикоин теперь пгрня пни ть, что и н нервом нитммате
уже нет кофе?
Рышние Обозначим гобыгмн. Пусчь А -• {кофе аахинчнлсм н иерьом ннк>мл1е|»
Я — {к<кре аакончввем во втором автомятс}.
Нужно найти условную хероитность P(Aifl).
По условию Р(В) 0,3 и Р(Л В) 0.2]. Запишем правило умножения вероятнос-
тей:
14А^В) - Р(В) IX/11B)
и вырллпм ил него нужную перолтнпсть:
Pint 11.1
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ
37
Мы помним. чтп вероятность событий Л рллилстсл 0,3. Но это было до того, как
мы уашиш. что по втором автомате кофе эакончнлся. Теперь вероятность события Л
пыроелп ДО 0,7. Это tlflHMTMo: как ТОЛЬКО «О птором интомлге кофе ЛИКОИЧНЛГЯ. писс-
ТИТ1ЫИ торгоши'о цен*1рл СТДЛИ IIWIhdOblftTbCJl только норным, и кофе II нем СТИЛ рис-
ХОДОКаТЫЛ быстрее.
На ЭТОМ Примере мы получили формулу уелмлпий Нер<MITIIости.
Формула условной вероятности Если нироятнисть события 0 Оолншо нуля, го
Р(А1Я>-
Р(Л
РОИ
Р] Вопросы
1	Запишите обозначение для успешной вероятности события с при условии собы-
тия £.
2	Чему раина условная иирояшоегь выпадения двух орлий при двукратном броса-
нии монеты, если « парный раз выпала решая?
3	Чему равна условная вероятность выпадания двух орлов при двукратном бросн
нии монеты, если и первый р«з ♦ выпал орбл?
4	В не» и горели опыте произошло собы।иг В Мсист ли это упеличи'ь еерояпюс1ь
другсго события, уменьшить вероятность другою собы мн Приведите примеры,
когда условная внртоягнешть схИжпии больше и когда она мннывн исходной ве-
роятности того события
Задачи
101 При двукратном бросании монеты п первый раз ьынпла решки. Найдите ус-
лиямрю вероятность события:
л)	»о4н раза пыпадгт решки»;
б)	«выпадет хоти бы один орел»;
в)	«выпадут два орла».
102 Эрм двукратном 6р<нлннк игральной когти сумма ныплншмх пчкоп ранил 8.
Найдите условную вероятность события:
а)	«п аирпын раз пыплдст 3 очки»;
6)	«при одном ид бросков иыиддят 3 о к:«»;
н) «и первый рля ИМ1ЩДИТ меньше Г» очков»;
г)	«по второй рмл пыппдгт меньше 2 очков».
103 Прп двухрптпом броелппн гггрллъппп когти гумм л выпавших очков равна 9.
Найдите- условную вероятность события:
а)	«в первый рал ныпндгт 5 очков»;
б)	«прп одном ил брогкок КЫПЛД1Т 4 пчкя»;
|») •« первый раз выпадет меньше очков, чем но второй»;
г) «по второй рад выпадет меньше чем 3 очка».
104 Игральную кость бросают 2 раза. В первый раз выгпьпо 3 очка. Найдите пе-
рпятиогт}. того, что после нторопг броска сумма очков окажется:
а)	ранни 9; б) больше чем 7; и) больше чем 10; г) меньше чем 5.
38
ГЛАВА XIII.
105 В (лучинном опыте 1ЧТ1. гобытнн Д и Л. Ннйднтг вг|иштшн*ть пересечения
событий Л •'•Я, гглн штдетмо, чти:
й) 14«) ОЛ >i Р(А|»)	0,5;
б)	р(В) ’ и пд|л} -
п) Р(Я)~0.72 и ИД7<) «1.25;
г) Р(В) ’• 0.3 I к Р( Л [Л |	0,2
106 В некотором городе 7% ндсглеямя студенты. Ия всех студсптол 60% учат
гл h yirtiirpriiTtrrv. НпЛдитн вгронтность того, что случайно нмбрапныб ни
тиль этого города является студентом у ни игрец гота.
107 В ПОГОД ИГ 40% II (рослого плсглсимл шшято к сельском хизяйстлс, причем 5%
МрОСЛОТО НЛССЛ<ЧН1Я ИОГОЛКл рПбоТШОТ II 11ГрО1ЦН1МЫ111Л1гННОМ хаишнгг «Ни
ил». Для опроса случайно выбран житель ггого поселки, и оказалось, ‘iru ин
ЛМНЯТ II ГГЛЫКОМ Ш.ШШ Т1«*. При ЭТОМ yt .inHHII иандитг угломнум) ИС|Я1ЛТН1Н!*1 1«
ТОГО, ЧТО НИ рпбггпнтт К ХИЛЛ II НГО «Нина»
108 Ни кассе и мншаинг продаются леденцы» В какой го момент а кедюбке «и та-
лось 10 красных. 9 синих и б зелёных леденцов. Тана. Ванн и Мана по иче
ради покупают по одному леденцу. Клесир не глад л достиг? леденцы на ко*
робки. Найди ГС HcpiHCniiH Th того, что:
о) Тли я и Вопя нодучлгт тглгныс, л Мппя крпспый лгдепгц;
б) Таня и Маня получат слинг ледгпцы, л В пня красный:
о) Топя получит зелёный ледгаец. Ваня красный. о Мапл синий;
г) нет трое получит красные леденцы»
109 Ниидитг Вероятность подучить п рплиых релудьтлтлн, бросил игральную кпСТЬ
л раз, если:
а)	л — 3*	б) л = 4;	в) п = 5:	г) л * б;	д) л » 7.
110 В ящике 20 левых и 20 правых перчаток. Сколько нужно достать перчаток,
нс глядя и ящик, чтобы среди пыпутых перчаток шнплась хотя бы одна ле
пая и хота бы одна Правая нгрчатки:
л) imiicpiiiiKD (с пгриятпостью I);
б)	с пгроятлостыг» пе мгпыпе чем 0,957
Дерево случайного опыта
ПРИМЕР 1. Рассмотрим случайный опыт, в ко>
тором монету* бросают дважды. Будем изображать
возможные последующие гогчагия с иимшцыо де-
рма.
Нлчалыюе п>гтияпиг. когда ни один бросок ещё
иг сдвлпп, и:юбрл.п1М нгршпний S. Or *гой |м*р
шины проведем рёбра к вершинам О и Р, которые»
н.иИ)р(1жам»т события «орил» и «р<*шкл« при пер-
вом броске (рис. 10). От каждой нз атих вершин
пдюведгм спи- двп ребра к таким же событиям,
которые могут случиться нрн втором броске. Око-
ло ребер напишем вероятности событий.
Рисунок 40 Дерево случайного
опыта, в котором монету
бросают два раза
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ
39
При построении дерева случайного опыта нужно следить, чтобы сумма вероятно
стеи около всех ребер, выходящих из одной вершины, была равна единице.
Обратите внимание:
около ребро ОО написала вероятность \ Это условная вероят
..
НГИТЬ события «дин орла* при условии. что » первый рп.< вышел open.
Около ребер а дереве случайного опыта подписываются условные вероятности
Если дерево случайного опыта конечное, то элементарные события а дерев».*
случайного опыта изображаются целями (ищущими из начальной норшины к ко-
нечным нершинам дерева
Напрнмср. элементарное событие ОР ни рисунке 10 изображается цепью SOP. Ош»
выделена на рисунке красной линией
Найти вероятность элементарного события можно с помищыо правил.» умноже-
ния еероягностей нужно найти произведение условных вероятностен вдаль со-
ответствующей цепи.
ствуют элементарные
S
Например, чтобы найти вероятность события ОР. пулшо умножить вероятности
вдоль цепи SOP;
Р(ОР) - P(S'OP) - P(SO| • Р(ОР)- 1 • |	.
£24
Нс элементарные, а баиое сложные епбьггпп изображаются промежуточными пер-
шинами дергпя пли какой -пибудь фигурой (пл пример. овалом!, объединяющей благо
приятствуютис элементарные события.
ПРИМЕР 2 Ня рисунке И изображено дерева некоторого глучвпяопэ опыта, п ко
тором I элементарных события: л. Ь, г и d. Случайное событии Д показано овалом*
объединяющим элементарные события с н d A р. •/].
Промежутэчипя вершина К изображает другое событие. которому благопрнят
события п. b и е: Л' = fa. 6. с). Найдем вероятности событий
A ft К
Событию Л благонрнятитвуют элементарные события г и d.
Значит, оужно найти сумму вероятностей цепей SKc п Sd:
PI А» = Р(5Ке) + P(Sd> = 0.3 0.3 + 0,7 = 0.79.
Событию К благоприятствуми* три элементарных события.
Но ним даже не нужно искать нероятнгмити всех трёх цепеп.
Три ветки, ведущие к вершинам а, Ь и г, «растут» из реб-
ра SJT. которое пмоот вероятность 0.3. Поэтому
Рисунок 41	Р(ЛЭ • Р(5ЛЭ - 0.3.
40
ГЛАВА XIII.
Можно ('формулировать общее привило нахождения вероятностей событий с помо-
щью дерева- Оно получается из правила сложения вероятностей несовместных событий.
Правило. Чтобы найти неооятность события с помощью деосеа нужно сло-
жить верой।нести всех цепочек, ведущих к этому событию от начальной вер-
шины
Дерево позволяет pare матуш вать случайный опыт как бы пп частям, мысленно рпг
положив случайные события в некотором порядке. Очередность ли только мыслен-
ная» к её при желании можно поменять. Деревья очень удобны при решении задач,
связанных со случайным выбором.
ПРИМЕР 3, Решим задачу. В груши? 3 мальчика и 5 девочек. Случайным образом
из группы выбирают двух человек. Какова вероятность того, что будут выбраны один
мальчик и одна девочка?
Решение Мысленно разобьём одновременный выбор случайной пары пп два после
дователышх выбора к изобразим дерево случайного опыта. Выбор малышкл обозна-
чим буквой М, а девочки Д. При нервом выборе пероят
3
ность ньгорэть мальчика равпл
S
а девочку	Укажем гги
8
ве{ы»ятнемтти около ребер ЯМ и ЯД (рис. 12).
При выборе второго ребёнка вероятности появления мальчп
ка п девочки здпнеят от того, кто был выбрап в первый раз.
Если « первый раз был выбран мальчик, то мальчиков оста-
лось 2 из 7 человек. Поэтому во второй раз мальчик будет вы
2
бран (ребро МЛЛ) с вероятностью ;, а де кочка будет выбрана
Рисунок 42
(ребро МД) с MpoirmocTbBj „»
Точно так ж<. если в первый раз была выбрана девочка, то остаётся I девочки
и 3 мальчика из 7 остатнппхся детей Вероятности выбора мальчики и девочки то
3
верь — и
4
— соответственно.
Событию Л «один мальчик и одна девочка* блвтприятггвуют дм ллемтггпрных
события, которые изображаются в дереве ценичкщнп 11 Ь'ДМ (выделены на рн
сункс 42 красным цветом С Значит.
.	3 5	5 3	15
Р|А> - ГЧЬМД) + Р1&ДМ; й 7 1 8 ’ 7 " 2Н'
Вопросы
1	Как а дереве случайного опыта изображаются элементарные события?
2	Чему раана сумма вероятностей около рёбер, выходящих из одной вершины?
3	Сформулируйге правило вычисления нероятносги элементарного события в де-
реве.
4	Сформулируйте правило сложения для вычисления вероятностей событий с по-
мощью дерева.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ
41
) Задачи
1 1 1 Симметричную монету Просшот дмюкдм<
а) Ндобрллитг делено ггглгл пкспептиеитк и по лишимте охопп пебер пероптчпстп
стн/гтггетнующих событий.
Г>) Нгйднте цепь, изображающую ».п*ииптдрц<»с событие РО<
и) Укл + нте и ш нт ] к я* и ном дерене гоб|4тмн А «н иерпый pan выпала рсшкн*.
г) Унижите и шн-тр<нч1ппм дерене событие /< «проц выпил хоти бы одно рпл».
112 Пн рисунке 13 изображено дерево пекстцюго случайного 1ксиеримектл. Кл-
име сшибки допущены?
113 Пн рагункс И H.ui6|in i ••иг* дирсно iietarro|H»rti г 15 чайного опыта,
л) Пер1риеуйт де|НЧН> II ПТрпДЬ И ПОД 1111Ш НТе 11ГД’.11*ТИН)ШИе Ill’poJITIIOrnt око
ло ребер.
б)	Сколько аломоптлрпых событий п атом .ткспгримептс?
в)	llo.ll.iyili l. ItpiinunoM УМКОЖ1Ч1НЯ мероитюнтей. Н1.1Ч1К лите нерояггккл И Це
почек ЯА< н SRK.
г)	Н|.нд1п< пе|и»ятн<н'ть событии F,
1 14 Ин рисунке 15 изображено дерево некоторого < lyniiAnoi'u опыта,
л) Постройте .его дг|м!ио и nwwii те грид 11 о подпишите недостающие нн|мштно>
«ттм около ргбор.
б) Вычислите огроятпостп цешео’к SAC к SAGK
115 Пл рчсунмс 46 нлобрижеци дерепо некоторого елу’шйпого ииытп и событие А.
Pc6pJJ яропсдспы пунктирам. Илп«тпо. что па КАЖДОЙ ТОЧКИ пп Л МП ЖПЫС ПС
рсхпды к следумицпм гобытилм рл нН о нер< IДТIИ J!.
л) th pciiHcyirrr дерево н т< 1|шдь и иодшипнгс около |мЧх*р мкггнетгткующие
тпингпимтн.
б)	Обведите сплошной линией цепочки, блвгопрннтгпдующпс событию А.
в)	Пл идите вероятноств. событии Л.
116 Пл рлеуккг 17 плобрлжгнп дгрппо иек<1то[и>го случайного опыта и поклллиы
события А и Н, Ребрл проведены пунктиром. Итгстш», что peOfin, исходящие
пл одной лгршппы, рлиповсроятны.
л)	Постройте по лерепо a cam и п-фпдп Обпедщс гплошпоЙ тиниен цепоч
км, Ллк1ЧИ||ЖЯТт1Тлую1Цне событию А. Другим цпетом обведите цепочки.
бллгопрнян-тнующие событию R.
б) ПгЙлггп? троятмоста событии А,
в) Пойдите псротггпость события В.	S
Рисунок 43
Рисунок 44
Рисунок 45
42
ГЛАВА XIII.
117 Сергей Петрович гуляет по своему поселку. Схема дорожек показано пл рисун-
ке 48. Оп плчнплет прогулку в точке S и па каждой развилке с равными шан-
сами выбирает любую из дорожек (ио не возвращается).
Найдите вероятность того, что Сергей Петрович н конце кон цок придет:
к) на школьный двор;
б) к ферме;
а) на луг;
г) к фбрмю пли к колодцу.
118 R групп • 18 чши»ш% ил них 7 мальчиков, остальные девочки. По сигналу
учителя физкультуры они быстро построились в одпу шеренгу в случайном
порядке Найдите вероятность того, что на концах шеренги окажутся две
дево'ски или два мальчика.
119 Из ящичл, где х|м1нмтгн 9 желтых и 16 ведён ых карандашей. продавец не
глядя вынимает один ;in другим 3 карандаша. Н лидите Вероятность того. что:
а) 2 первых карандаша окажутся зелёными;
б) все 3 карандаша будут жёлтые;
и) цветя будут чередоваться в нирндке желтый зелёный жёлтый.
120 Ни фабрике керамической посулы 10“*« произведенных тарелок имеют дефект.
При контроле качества продукции выявляется 80’ » дефектных тарелок.
Остальные тарелки поступают в продажу. 11ашште вероятность того, что оче-
редная произведенная тарелка попадет в продажу.
121 Ня западе производят электрические лампочки, причём 6% всех изготовлен»
пых лампочек пенс при ni ид. Система контроля качества выявляет все нснс-
правные лампочки, но по ошибке бракует еще 1% исправных лампочек. Вег
забракоьяпные лампочки поступают в переработку, а остальные — к прода-
жу. Найдите вероятность того, что очередная изготовлен пая лампочка отпра-
вится в переработку.
1 22 Автомат плескал лпппя изготавливает батарейки. Вероятность того, что го-
товяя батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарей-
ка проходит систему коит^юля. Эта система бракует 99% нешсирахных бата-
реек и по ошибке бракует 3% исправных батареек. Найдите Шфоятн4мгть
того, что очередная nanrn»i лепная батарейка будет зпбрлкпшшл системой
контроля.
Школьный
двор}
Рисунок 46	Рисунок 47
Рисунок 48
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ
43
123 В торговом центре рядом друг с другом установлены два автомата, продаю-
щие кофе п стокапчнкпх. Вероятность того» что к концу дня кн«|м* закончится
п первом автомате, равна 0.2. Если зто случилось. то нагрузка на второй ав
томат растет, и кофе может закончиться в нем с вероятностью 0,8. Найдите
вероятность того, что:
а) к донцу дня п обоих автоматах закончится кофе;
б) к чоитгу для кофе лакотпгптгя только в первом автомате.
Уко.!.1М1я Найдите сначала условную вероятность того, что кофе во втором
автомате не закончится.
124	Н серии* дым* детей. Известно, что среди них есть мальчик- Найдите нгрпят
11ПГГ1. того, что второй ребенок тоже мпльчпк (считайте, что рождение маль-
чика и девочки рапновозможны).
125	В коробке было 2 красных и 3 синих фломастера. Ваня не глядя достал на
коробки 2 фломнетерм. причем оказалось, что средн них есть синий. Какова
нероиткость. что Ваня достал:
а) 2 гшшх фломастера;	б) 1 красный и 1 синий?
126	Ua двух заводах наготавливают одинаковые лшпп’ши для автомобильных фар.
30% всех лампочек делают па первом ;ишод<г. гитдлшыг ни втором. В сред-
пем 10*)'. продукции первого лпподл и 20* продукции второго шппдп поступа-
ют в торговую есть •Автоимидж». Найдите вершгтот. того, что лампочка,
купленная в магазине сети «Автонмнлж», произведена ня нервом заводе.
57
Независимые события
В жнлнн мы чисто и строки имея с ситуациями, когда события каких-то образом
связаны между собой. По наступлению одного события можно судить об изменении
вероятности другого. Например. если небо ясное, го мы считаем вероятность дождя
небольшой. Но как только сгустились тучи, мы заново оцениваем вероятность дождя
и считаем, что теперь ома высокая.
Если мы броском игральную кость, то вероятности аы пиления 3 и б очков одним
ковы и равны g. Но если нам сказали (мы сами не видели). что выпало больше чем
-I очка, то вероятность 6 очков выросли до а выпадение 3 очков стало Нглозмож
нмм событием: условная нероитненть итого «-гл о : вил н> лю.
Бывают сс бытия, которые иг зависят друг от друга. Пд пример. при брогшши двух
костей результат брогания первой когти не влияет ня число очков, выпавших на кто*
рой кости. Про такт собышл говорят, что пни дькмздездк.
Разумно считать, что события А н В независимы, если наступление одного на них
не влияет пп вероятность другого.
Если вероятности событии Л и В больше пуля, то полпписимость событии А и В
можно выразить равенствами
Р(А|В) = Р(Л) и Р|В4)= Р|В).
Но тогда из известных вам формул
Р(АПВ) = Р(В) Р(А1В) и Р(А |В) = Р(А) P(BjA)
получается равенство Р(А‘ В) = Р(А)  Р(В).
44
ГЛАВА XIII.
□то рлпгпгтло МТ4 ППЛ1.МГМ ПЛ ппрсдгагимг ItrnntntCIIMOCTtt двух событий1.
Два события Л и В нязыннютси нозаиисимымн если ввроягнорп- их пересеяв
ний раина пооизийдлнию их иеоошностеи
Р(А В) • РИ) - ИЯ).
Чисто 1ПЧ1ППИ«'И МТ.Н’ событии НИИ 1(11 K4lMJT« К<*1 'ЦП (Л|у'Ы11Н1ЛЙ Ш1МТ СОСТОИТ 11.1 IHHKU’lb-
КИХ ЯО0айНС1ПШХ случпйпьпс П(’Ш4ТЛШШ
ПРИМЕР 1 Рассмотрим двукратное б росли ш игральной ио
стп и ДИЛ гобыгпя: тобыти» Л *и пгрпый рал пылало бнтч
тр4*х очком» и событие Я «ни нторой рал выпило минее трех
ОЧКОМ», Вудут /II События I И Л 1КЫП1О1С ИМЫМЛ? <’ И11М«ИЦ1.М>
таблицы (риг, 41П находим. что
Р(Л> - Р(В) - ’ и Р(Л11Л) -
Значит. НЛПВ) Р(Л) то есть события Л и Л нгаи
впсшш
Нг:м1нисимыг события встречаются иг только при пелипигп-
мых испытаниях Поясним ич> ня примера.
ПРИМЕР 2. Наудачу выбираем число ил ряда or I до 100.
Пусть событие Л состоит И том. что ото число ^пни*; событие
И что это чигло делится на 5.
Рисунок 49
Покажем, что события Л н Н иелнниепмы. Нужно найти н^кштности Р(4). Р(Н),
Р(ДГ Н) к убеди гым и том. что нынплнмгтгя рингпепсо
Р(Л Л) - RA) Р(Л)
Репнине Среди 100 перпых интуфальпых чисел всего 100 : 2 - 50 четных «шеел
и 100 : 5 - 20 чисел, i.irropiar делится на 5. Поэтому
Р(Л> - “ - 0.S - Р(Я) - “° - 0.2.
Пропапедепиг равно ОД:
Р(А) Р(Я) “ 0Л 0.2 - ОД.
Событие АНЯ состон: я том. что ныбр-’Hih чиг ь лилагг я и i 2. и ин Г>, г. с.
□во делится на 10. Среди первых 100 натура .ып г чиг» л hi -то 10(1: 10	10 чисел,
кратных 10. Сл»моамте.тоно,
нипи -	о.:.
Таким образом.
Р(АНВ) - ОД н Р(Л) • Р(В) » 0.Г1 0.2 - ОД.
Палучнсм, что
Р(АРВ) Р(А) Р(В).
1 Алвлоппшо можно говорить о нешвнсммостм трёх, четырех, и более со бытии. Еглн вероят-
ность ш*р1И’1мнч|ИИ jimWjoiv Ш1(мцш лтмх сибытмА рнвип ириииигдению их вероятностей, то собы-
тии НИЗЫВ1ШЛТМ нс аниме нмымн.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ
45
Значит. события Л и В независимы.
Так получилось потому, что число 100 делится и ни 2. и ни 5. Если бы мы мыби-
роли числа ис из 100, а. например. из 99 первых натуральных чисел, то это был бы
другой случайный: опыт, п события А и В ш? были бы независимыми. Проверьте это.
Не следуй: пугать независимые и »и?г,онм^.пмые событий Несонместнью тбы-
тия. гак правило, зависимы, если произошло одно из них, то мы заведомо зна-
ем. чсо нс произошло другое
Чаще о независимости событий гудят не по тому выполняется или нет равен
сгво Р(/1 В) Р(А) Р(В). а по тому, как устроен случайный опыт, в котором
эти собы1ия наступают.
Вопросы
1 Дайте определение независимых событий
2 События А и А имеют положительные вероятности Могут ли события А и А
быть независимыми7
3 Являются ли элементарные события в случайном опыте независимыми событиями?
Задачи
127 События U и V независимы. Найдите вероятность события I V. если:
и) Р(7) - 0.4. Р(П - 0.6;	б) Р(П - 0.1. Р(П - О.Я.
128 События К и L независимы. Найдите вероятность события А\ если:
а)	Р(1) = 0,8. Р(К L) = 0.48:	б) Р(£) - 0,2, Р(КП£> - 0.08,
129 События U. V и Иг независимы. Найдите вероятность события m'lilF. если:
а) Р(10 - 0.4. ИИ - 0.6. Р(ИП = 0,5;
б)	Р((/)	0.4. Р(П 0.3. 1’(Н > - 0.1.
130 Событии К. L и М независимы. Найдите вероятность события А. если:
a)	PCL) 0.8. Р|М) - 0.6. Р(А'. £. &f)	0.096:
б)	Р<Л| М) - O.I. Р(КГ L АГ) = 0.06.
131 Монету бросают 2 рази. Являются шм.« ш лмы и • i гпя:
а)	А «в первый рлл выпадет орел* : с- во второй раз пытлдст рсгпкл»;
6)	А «при перлом броске выпадет орел» и В «орел выпадет хотя бы один рал»?
132 Игральную кость бросают дважды, Являются ли независимыми события:
а)	/1 «при первом броске выпадет шестёрка» и В «при втором броске выпадет
меньше трёх очков»;
б)	А «при перлом броске выпадет* больше трёх очков» и В «сумма выпавших
очком меньше девяти»?
133 Случайным образом выбираем ннтурнльное число от 1 до 24. Событие С
• число чётное». Являются ли события С и I) независимыми. если событие 1)
состоит в том. что;
а)	выбранное число делится на 3;
б)	выбранное число делится на 7?
46
ГЛАВА XIII.
134 Н|ИМЧ1МН* <1Д1<у lirpiUlbHVM) KIK’Tb. Со6|.ПНГ Л «ПЫШ1ДГГ ЧГТШИ* ЧИСДП очкпн*.
Являются ян жкшиисимыми события Л и Л* если событие Я состоит н том, что;
л) выпадет числи очкпи. кратное 3;
б) выпадет число очком» кратное 5?
135	Вероятность того, что лампочка в iioctjm’ Ш’рггприт п точение гидщ раним
0.2* Онкаи. что шмиочки перегорают иезлаигимо друг от трута, наидито in
рплтннггь того, что п точение год* перегорят нее лампочки и люстре. если
и люстре:
а) 2 лампочки:	б) 3 лампочки; и) 5 ламппчм»
136	Стрилок а тире <т|й»1л<*1 по мп шан И до тох пор. пока ие гобми ер. Рнсгмо
ТрИМ СОбЫТНЯ Л «rrpc.iKy !1ОТр«ЧЬншЛНГ>. Иг бОЛГО Грех пЫсТргДоа* И Я •< Т|НЧ1
ку потребовалось не болен пяти пыстролоя». Являются ли события Л и Я нс
зависимыми?
137	В некотором случайном опыте пгроятпоеть событии Л раппл 0.4. псродтаоетъ
события Н рапид 0.5, Лимитно. что события А и Я независимы. Найдите не
рмтпекпч» событии /Г'Я.
138	(Ьбытня 1 и Я нгмлпш'имы Докл ните, чти не ыпигп.мы событии А и В
584 Об ошибке Эдгара По и о том,
как победить стечение обстоятельств
Знаменитый лвтор детсктивоп Э. А. По п лппдоге рассказа «Тайна Мари Рожв«
рассуждает о веронтшмтях, 1ныннхпюипгх при брогпяинх ноете й, таким обрнзпм:
* ..обычно/о читателя почти игкамашш ибеАитб. члто при и/рг а когти двукрат-
ное «тылаЛчгис шсст^рми Л*лигт почти иенс/ммгтпм.к ам/инкчшг сг н третий рп г
и duf'nt ягг orniHiuHiiK лог/гшкить против лто/о любрмг г^м.и// ЗаррлДямб интел-
лект нс жожт »тпси иоспринмть, ин нс л«»жгт ргзгот/>еть. кпки.н пбра/им
брагкп. npHHath^’<ащиг ух» лро1нтому. .могут поилавтп на бросок, существующим
еще пока толью' а tfyrfymr.u... -
Разумеется, п ошибку пппдягт сам Эдглр Ио. Эта ошибка известна к лк ошибка
игрока. Дпбствптольпо. псролтпот. пыплдгппл трех шостсрлк мллл. Опп рлппл
111	1
6	6 G 216
Однпкп ВОДИ ННЧ'ТСрКД У*»КГ ПЫПЛ 1М 2 рази ИОДрЯД. ТО УСЛ1М1НЛЯ Не|М1МППК2ТЬ ПЫПЯДС-
пня трбх шпетёрг»»: етлш» раанл »«m i с««ппндцет Р |1стм>чтп»«ст*.к» пыплдгпия тцпькл
одной шестёрки. Когда выимли дне перпыг пмчгтёрки. уелнкия опыт изменились,
и вероятность трех шестерок теперь утке нс является пренебрежимо малой. *Геперь
вовсе ист •uctiohaiitiil поставить против этого любую сумму*»
Впасть в опшбку, похожую пл ошибку Эдгара По. очень просто. Считая опасность
маловероятной, практически пеполможплй, люди лабыплют. что по мере наступления
различных неблагоприятных событий вероятность наступления опасного события мо-
жет увеличиваться.
При создании систем безопасности и защиты используются свойства независимых
событий.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ
47
Чтобы многократно уменьшить вероятность катастрофы, все жизненно важные гп
стомы автомобилей, судов и самолетов дублируются. При том шикали такал система
не шнигит от рдЛоты остальных. Поломки двух io-ллписимых гнетом ТПКЖС ИВЛМИУГСЯ
нгониисимымм,
ПРИМЕР Предположим, что и автомобиле дм шпшвнсимых тормозных контура*
и вероятность отказа одного пл них при иажлтпи пл тормол равна D.00001. Это боль
шал всрояткосггь Если бы тормола в автомобилях отказы наян с такой частотой, то
в крупных городах аварии МЗ"М итхлиа тормозов случились бы много р«ы п день.
Но вероятность HAIliiHpCMCMIlHilv OTKII.U1 двух К<1НТу|МШ ранни
0*(ММКЮ1* О.ООООООООООО! 10 ".
Эта вероятность ничтожна. поэтому тормозные системы современных автомобилей
считаются ш дежи нм и даже ю угчояикх млтснс нашит» движения в гоп ремешках мшп-
Подйспх.
В ЛПТПМОбЧЛЯХ ДШ1 МОТШПИСИМЫХ Тормозных коитурл- В ПЛОГЛЖ1Ц1СПИХ ГЛМОЛГТЛХ ПО
меньшей мор* дни двпглтодя, дпг системы ллектроспабжсяня, две системы упрлплг
нмя. два пилота» И все ранни.Мы слышим, что антошпистрофа случилась ид-м не-
цгирянногти гормнлои. Мы уднпляемч л кик же тик. н»«дь тормшш продублн|иптны!
Л на самом деле одни тормозной контур к этом Автомобиле но работал уже год,
п владелец в* г никак нс и и ход пл времени отдать машину в |жмонт.
При палет- разбнлгн самолёт негчАСТлнвое стечение обстоятельств. Плохая но-
года, обледене 1 датчи» дипленим нл i рмло. пил»? ошибся п оценке яыспгы и гкорог
ти. диспетчер не проверил Информацию... Каждая из «тих пеиринтиогчей iiihlihi- »н
ромтин и сама ш> то с ещё не смертгльни. А вот вероятность гпм|иш*ния неех нелн-
ипсимых обстолтсл1«ств событий ничтожна. Пи кита случилось одно ни них.
вероятность катастрофы многократно виаригла. Случилось еще одно веронтиость
песчагты! унеличиллс!», по ни ни земле, пи в полдухе этого не .шляп.
Есть много неприятных обгтнятолы’ти. которые никто не может ни и|н«дусмотреть,
ин прелопцм.т1Г!ъ. Но есть и такие, про которые говорит «челокечеч-кий фшггор».
Обычно это сленьн'очетиннс ииучнт. когда кто то понлдгилси пи опыт, надежность, вс
зеине, п пдд* жды не онрапдtumen.
Многие иь пог. ребята, скоро сядут те руль иктомобклл. Кто-то будет поднимать
Я во.йух тякелые самолеты. Другие ПиВгдут желелиодорожиые гостлпы. морские
м речные суда. Кто го будет проектировать или строить здания и сиоружгнпн. корлб
ли. самолеты п яптпмобплп. Л кто то будет прнштмлтъ важные решения.
<*йибо* не ысгрлиосшн ни» то, но > <е> . *<ц> nt няпг в беды можно. Для
этого нс следует оставлять на волю случая то, что должно быть во пре мм
предусмотрено и сделано человеком
1 В чём состоит ошибка Эдгара По?
2 Приведите примеры дублирования важных систем Зачем это делается?
1 Тормозной контур гидраллвг<сскмй привод тормо:мш. Обычно один контур нримшигг м днйст
ямг ТОрмизв иередшгх колес, л ети|юй шдннх.
48
ГЛАВА XIII.
XIV
Элементы
комбинаторики
Часто приходится иметь дело с комбинация*
ми. составленными из фигур, чисел, событии
или предметов Предметов может быть мно-
го, но комбинаций из них несравнимо боль-
ше Их бывает так много чго невозможно
упорядочить или пересчитать их непосред-
ственно.
Перечислением и подсчетом комбинаций эле-
ментов разных множеств занимается специ-
альным раздел математики комбинаторика
В теории вероятностей комбинаторика при-
меняется, когда событий в случайном опыте
очень много и их невозможно выписать или
даже просто перечислить без специальных
методов.
59	Комбинаторное правило
умножения
60	Перестановки. Факториал
61	Число сочетаний
и треугольник Паскаля
Имея дело г большим кол и честном чисел, фигур, событий или просто предметов,
часто приходится составлять ил них рахтнчпые комбинации, которые составляют по-
лое множество.
Эти комбинации трудно упорядочивать или пересчитывать непосредственна — их
очень много. Нужно научи гы л перечислять кочпишщин гак. чтооы не запутаться, не
лябыть пи одной и пе посчитать одну п ту же дважды-
Методы перечисления и у породотивання множеств, сосгпалеиных нп чисел, фигур
или предметов» изучаются л специальном разделе математики. который называется
комбинаторика. Типичной палачей комбинаторики является перечне лент» комбина-
ций, составленных на нескольких предметов.
В теории вероятностей комбнн&торпкл применяется тогда, когда случайный опыт
обширный и колкчоство событий и нем настолько велико, что их невозможно выпи
сать или даже просто перечислить без применения споцпалъпых методов.
591 Комбинаторное правило умножения
В главе VII (и. 35* j мы познакомились с правилом умножения. Напомним его.
Комбинаторное правило умножении. Если множество А состоит из л элем пн-
тов. о множество В — из к элементов, то множество всех упорядоченных пар
(а. Ь) где а *7 A, b В. состоит из л/г элементов
ПРИМЕР 1 Предположим. что есть белый хлеб, черный хлеб. сыр. колбаса и варе-
нье. Сколько рнлных бутербродов (хлеб и что-то одно сверху) можно приготовить?
Выпишем спичалл бутерГцюды с белым хлебом. Это бутерб|м>д с сыром (БС). < кол-
басой (БК) п г наргпы-м (БВ). Столько кг бутербродов можно приготовить н с чер-
ным хлебом: ЧС. ЧК и ГГВ.
Всего получается 6 разных бутербродов. Это число можно найти г помощью прл
вила умножения
В данном случае у нас два пила хлеба и три вида дополнений к хлебу. Получает
ся: 2 3-6.
Такое же правило действует, если имеются предметы трех пли более типов.
(Т)
Комбинаторное праоило умножение для песчаный- можсств, Чтобы найти
число всех упорядоченных наборов : и мег • ч трйх или о ее множеств, нужно
перемножить количества элементов в этих множествах
Поясним стр правиле на прямсро мрзстятасм гс^уддретв^г.ныс регистрацией
ные автомобильные номера в Новосибирской области.
ПРИМЕР 2. Государственные регистрационные автомобильные номера состоят нз
буквы, трёх цифр, ещё двух букв и номера региона. Букам и цифры могут повто-
ряться. Буквы берутся не всякие. Можно нспольаомть только 12 буки: Л, В, Е. К,
М, Н. О. Р, С. Т, У. X. (Почему именно эти буквы? Попробуйте догадаться.) Цифры
можно брать любые — от О до 9. Номер региона на автомобильном номере и Ново-
сибирской области может быта 54 пли 154.
Сколько всего можно <чм:танить регистрационных номеров дчя автомобилей а Но-
восибирской области?
50
ГЛАВА XIV.
Вудом рассуждать тик же. it h предыдущем примере: первую букву можно
пллть одну из 12. Норную цифру бором одну из Ю. вторую снопа одну hi 10
и TjH-n.Mi споил одну нл 10 Затем две буквы подряд. Каждая ныбнрмотсл ил
12 разрешенных букв. И наконец, номер региона. Он может оказаться одним нл двух.
12 • 10 • 10 10 • 12 • 12 * 2	2 10* • 12’	8 450 000.
Номер рГГПОПЛ ПГ ПрИГППНШМ'ТСЛ пропшюльяо. СНВЧИЛИ ПСОМ ИОВГК’МбЯрСКИМ И1ГТОМО
билли иригпли in in номер 5 1. пос колы, у 11опоси1ц|ргнал об/nim. пвгиюп л 51 м суГл.
гитом Ригги нгк<«й Ф» лернцип Впоследствии, могли ни померк были нгчгрплны. гтя
ли ДИ1НГП. номер 151. Bo.imiokiio. < коро шл ргбуклгя ппмгрл 25-1 или 754.
Вопросы
1	Сформулируйте* жомбинлторноо правило умножения дин поделив числа комби-
наций Предметов дпух мкожогтн
2	Сформулируйте комбинаторное привило умножения для нескольких множеств.
Задачи
139	Сколько можно нн иицпь нар. выбирая:
к)	пнрвь и П|мммнт ил L и агорой ил Я |ци*дмгт«1||;
б)	Первый предмет пэ 6. л второй из 3 предметов;
в)	пгрвь й предмет па 15. л второй из 12 предметов;
Г) порнын предмет па 10 предметов, а второй из всех оставшихся после вы
бора первого щюдмгта?
140	Сколько можно составить тр<нк. выбирая:
•т	) Первьft предмет из I. второ* ив 8. л третий из 5 предметов;
б)	первый предмет из 7. второй пз I. л третий ил 9 предметов:
в)	первый предмет из 5. второй на 13. а третий па 21 предмета:
г)	первый предмет па 8 предметов, второй и третий из оставшихся после вы
борд предыдущих’?
141 В школе ггть пге классы г I по 11. Каждый пп ппх имеет дополпптель
ную бухну А+ К, В. Г или Д. Например, класс 1А. 7Н и т. д. (’кальки всего
классов п лтпй школе?
142 В литом ттических камерах хрипения нл желшшодорсякпых мокадлях применя
ется шифр, который состоит КЗ одной огивы п трех цифр. Буквы берутся пт
А до К. исключая буквы Й и И. а цифры могу* быть лтобычн от 0 до 9,
Нипримор. Д195,
Сколько можно составить различных шифров?
143 На день шьадъ. кджкдл доьочыа лод.флль к«»я;доыу малинку открытку,
н каждый мальчик подарил каждой девичке гвоздику. г1сго было больше
НОДЛ|ИЧШЫХ открыток или подл рви ВЫХ ГВОЗДИК?
144 Сргтйкляются различные лоследпмат<и1ьностм из цифр 0 и 1 (двоичные после-
дивательногтн). Сколько существует двоичных пислвдош1тел|||«>гто1< длины:
я) 1; б) 3; в) 10:	г) л?
145 На приеме в посольстве встретились две лелетипп. в каждой ил которых бы-
ло нггкшько дипломлт1И! (болыпг одного). Каждый дипломат одной делегя*
инн пожал руку каждому дипломату второй делегации. Сколько было члгноп
в каждой делегации, если всего произошло 143 рукопожатии?
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
51
Уклллнпс Если п пгрпой делегации Лило х дпплпмлтощ л по второй у.
то всего рукопожатий были хи Число I 13 можно разложить на патуральпыр
множители дпумя способами: 113 I 113 и 143 • II 13.
146 Важные данные и компьютере часто шщпши ют паролем. Для инроля можно
ИГПОЛЬ 1ОГН1ТН большие II МИДЫ Г liirilll' MK' букны. цифры* некоторые Шаки.
Веете разрешённых (ингмиов 92. Сситтавьта числовое нырджешме дли общего
ЧИСЛИ 1НЫ.МОЖИЫЖ ПН]ЮЛГЙ. состоящих IU ft симнпион. Полытумь КЯЛЫСуЛНТО
ром* вычислите приближенно иго лнячепин.
60J Перестановки. Факториал
Подсчитаем» сколько существует ршшых способов построить трёх человек в шс
ренту. Воспользуемся комбинаторным Правилом умножения. Нп первое Место МОЖНО
Поставить любого пл трех челорек На второе любого иэ дпух оетлninтгхея. И Па
последнее мггто можно пси глвнть только одного остмишсгосн чглинек*. Первого чело-
века можно пыбнрптъ тремя сппсоблми. птирОГо длумл способами, и третьего
одним еднш лисиным способом.
Таким образом, мы получили 3 2 1	6 сППСОбоп пгрегтаи«»яки трех ченнген Ни
рисунке SO П«ШНЗАНЫ «он ЗТН гШнюбы.
*
Андрей Владимир Боре»
Рисунок 50
4 в
Владимир
А
* ь
Вопдимир
А
Андреи
Б<к»и| Андрей Владимир
Влщямир
1
Борке
Андреи

Если ЛХЩ1-Н Ч1*тмг|Н1, то пгрнын номер мы можем пригкоить любому и < ’ил верых.
а оставшиеся w<»v«|vi р'1ги»н*д«‘лч*”1 еим”*’ь*> споспбчж" WM'iy *чгп’врхм>*шч». По-
лучаем 4 6	24 способа нумерации. Остаётся пппомпггтъ. что 6 мы получили ялк
3*21.
Проди (ждя рясгужденпн тем же способом, мы обнаружим, что «ели люден, нлпрн-
мср» семеро, то на них можно состпннть 7 6 5 4 3 21	5040 рпалмчпых пере-
становок.
Перестановкой из л предметов называется любой способ нумерации этих
предметов (способ их расположения в ряд)
52
ГЛАВА XIV.
Обобщим полученные результаты. Если есть л предметов» то число способов пере*
нумеровать их равно п • (л - 1) • (л - 2) •	• 3 • 2 • 1.
Факториалпм натурального числа л калывянгга пппитне ч<*ние асах натуралкньнг
чисел си I до и Обозначается факториал п\
л! - 1 • 2 • 3 • ... • (л - 1) • л.
Для того чтобы к различных формулах не делать исключения для числа О. приня-
то соглашение 6! = L
Получается, мы доказали тгоргму.
(J) Число перестановок л предметов равно и!
Приведем таблицу фтггориллов от 0 до 10.
Таблица 2 Факториалы чисел от О до 10
п	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
л!	1	1	2	В	2-1	120	720	5040	40 320	862 880	3 028 800
Факториал л! быстро растёт с увеличением л.
Поэтому даже для 10 предметов перестановок очень
много я выпита п. все практически пои от»можно.
В электронных таблицах фак-
ториапы вычисляются с по-
мощью функции
ФАКТР()
Вопросы
1 Что тако перестановка?
2 Что thkchj факториал натурального числа?
3 Чему раина число различных перестановок из
л предметов?
4 Чему patL'H факtopнал нуля?
/к cWKT»(CGl
с	о
Час*‘О	Флшхм-м.-
ч	3991^10
12	4 <9 Ci>vji.
	13	fi??70?ttKI0
14	87178291200
__________________7
3 для участия d соревповдлилх.
Задачи
147 Саша. В дня и Петя получили номера 1. 2 н
Перечертите таблицу 3 о тетрадь и запишите асе возможные способы распре-
деления этих номеров между участниками.
Таблица 3
Сшил	• * 1-й способ	2-н способ	3-и способ	4-й способ	5-н способ 6-и способ
Виня					
Петя					
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
53
148
149
150
151
152
153
154
155
s
g156
157
®158
s
159
s
®160
g161
В автосервис одновременно приехали 3 маптппы для ремонта. Сколько суще-
ствует способов выстроитт. их л очередь па обслуживание?
Сколько ость способов роздан, пяти хоккеистам номера с 1 го по 5-й?
Участники лыжных со(и*ннсишний стартуют с интервалом и 30 секунд. Чтобы
определить порядок ста рггп. спортсмены тянут нци’бпн. оп|м»дпляи>1пип номер
спирта. Сколько существует различных последовательностей выхода шжипмш
ни сгирт, если в соргяионнннях принимпют учшггнв:
а) б дыжниион;	и) 10 лыжников;
б) R лыжников;	г) k лыжников?
Сколько различных нос л едоки тельно «тс ft (не обязательно осмысленных) мож-
но ссггинить из букв слова:
л) учебник;	и) фонарь;
6) авггор;	г)* бабуин?
Вычг.'лито значение дроби:
5!	с 7!	10!	1001	u 15!	12!
а> 2Г °’ БГ П) «!' Г 99! *	Д> 13! 21’	°* ЗГ 9!’
Вьптыппте пег натуральные делители числа: а) I!; б) 5!.
Докажите. что если л < гл. то т\ делится на л! без остатна.
Н классе 30 человек. Среди них нет двоих одинакового роста. По команде
учнтг ля физкультуры они выстраиваются п одну шеренгу п случайном поряд-
ке. Найдите вероятность того, что они встали по росту.
В страховой компании проходит рекламная акция: компьютер случайным об'
ршюм выбирает а и*гом обильны ft номер, и нллделец юпомобилн г таким номе-
ром получает скидку. Найдите вероятность того, что счастливым окажется
номер «В 845 МА».
Какова вероятность того» что средн последних четырёх цифр в семизначном
номере телефона есть цифра К?
Найдите вероятность того» что тршнмнып номер случайно проезжающем
мимо машины состоит ил цифр 0» 4 н 5< взятых я произвольном порядке.
Найдите вероятность тою. что среди грех последних цифр случайного т« »г
фонты го номера не окажется:
л) цифры 0;	в) цифр 1 и 6;
б) цифры 2;	г) цифр 2» □ и 7.
Какоив вероятность того, ЧТО среди пос ышах Трёх ил Ьр случайного теле-
фонного номера:
н) вс-ретится цифра 7;
б) встретится цифра 2 плп цифра 3;
в) встретится хотя бы одни из цифр 4» 0 нлн 1;
г) будет хотя бы одна из цифр 1. 2. 4 и 9?
Десять школьников в случайном порядке заходят па экзамен. Каждый пз
пих называет фамилию (однофамильцев пот). Председатель экзаменацион-
ной комиссии -записывает по листочке фамилии в том порядке, в коком
входят школьники. И вадите вероятность того, что фамилии окажутся за-
писаны:
л) в алфавитном порядке;
б) в порядке, обратном алфавитному.
54
ГЛАВА XIV.
162 У инхторл и комнате доски и крючками Breni 12 крючков, и на них 12 кли>-
га чей. Доски упала и ключи рассыпались. Вахтер собрал ключи и рмшюсил их
и случайном порядке. Каксом мфоитпость того» что:
м) каждый ключ лисит на споем крючке;
б) хита бы один ключ и не мт не ни слоем крючке;
л) дан определенных ключа перепутаны местами, л остпльныг штат на сьоих
крючках:
г) ровни один ключ нисит ио на споём крючке. п остальные на споим.
163 Слепо «ЛЛЕДЫ ШЬ ипинпеш на полоске картона и разраэалм полоску нп
S 6vkiuj. Леночка, игран, им ли ftyi.iu.i н ряд и < лучпйном порядке НяЛли
те П"|ЮЯТН<>4*ТЬ two. Что 1н туч инн I. । limn «СПАНИЕЛЬ*.
164 НаАдмт. веройTMiMTb того, что среди шм ледник четы|м>х цифр случкйнок»
га мнзначного телефонного номера есть ранни одно цифра 1 к ровио один циф
ра 7.
6U Число сочетаний и треугольник
Паскаля
ПРИМ Г.Р I Из трех игроков, зляплгппых па гечтлигпый матч, подо выбрить двух
для выступления а парном разряде1 (порядок игроков по важен). (.Сколькими способа-
мн ;т> можно сделать?
Решение Об«|инчнм игриноп различными буквами А. В, С и пыхшшем иге мось
можпые комбиптнн:
АВ АС ВА ВС СА C1I
Сначала мы Ррлпн игрока Л и добшгтмтп к нему п пару ищи одного ин двух WTH«b
шнхея игроков. Тик получились первые две пары АВ н АС в нашем списке. Зятем
мы паяли игрока В и к нему добавляли одного на двух оставшихся. 1Ък получились
нары ВЛ н ВС. Па кин сц. первым постшшлм игрока С и добавляли к нему одного из
оставшихся игроков. Подучили последние дпе пиры СЛ п (’В.
Однако поди полученных таким образом комОннаняй получились шресташтакн од-
ной и той жг игры, Например. АВ и ВЛ — :гп> один н та жг плра. Сопллдшот н дру-
гне пиры: АС н СЛ. я также ВС к СВ. Таким образом, пссгп рдзлнчпых пар три:
ЛВ АС ВС
Общее число комбинаций бука А. В и Г cni рлтил<ч-ь а 2 ;»ri;ui. J о произошла п<е
тому, ЧТО ил дпух разных буки МОЖНО гостлпп . i'U ill Д •• 11 п- 7 Н1 КИ.
ПРИМЕР 2. Сколькими способами можпо пыбрать дпух игроков из четырех лаяп-
лс иных пл матч ?
Решения Обозначим нг|юкон А. В. С и Г). Начины, как и и предыдущем примере,
гостанлять пары. Парного игроки мы можем выбрать четырьмя способами. Вторым
к нему мы можем шшть любого ия остающихся трёх:
АВ	AC	AD
ВА	ВС	ВО
СА	СВ	CD
DA	DB	DC
Плрный pujpjj.i и большом теннисе чти игра «дног ил двое»: плрм игриком ш ршн прогни
пары счшгрниьии.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
55
Получилось 12 комбиницин. При этом, как и к предыдущем примере, каждая пи
pit посчитана диажды. Поэтому ржшичных пар всего 6:
AB AC AD ВС BD CD
Число способов, которыми можно выбрать ровно Л предметов из множества,
в котором п предметов, называется числом сочетаний иэ п по к и обознача-
ется С* (читается -цэ из эн по *а-),
До сих поэ мы установили, что CJ  3 п 6» 1Сак быть п других случаях?
Если число л небольшое, то число сочетаний CJ можно впить нл треугольной
таблицы, которая называется треугольником Паскаля1,
Обычно треугольник Паскаля изображают в виде равнобел репного треугольника,
поэтому столбцы я треугольнике получаются наклонные. Число CJ стоит в л-й строке
и 8 ки столбце. Например, чтобы найти С^. посмотрим, какое число стоит ни пере-
сечении 6-й строки и 4*го столбца. Это число 15. Значит. С?! 15 (риг. 51).
I	4-Л столбец
I 1
I	2	I
I	3	И	I
14	6	4	1
1	5	10	10	&	1
бнецныл	1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1
1	8	28	56	70	56	28	8	1
1	9	36	81	126	126	84	36	9	I
1 10 45 120 210 252 2Ю 120 15 Ю 1
Чтобы книги число сочета-
ний с помощью электронной
таблицы. удобно использо-
вать функцию
ЧИСЛКОМБО
/л
D	Е
К	4
N _____________9
СЖК> |	1261
1_	______
Рисунок 51 Треугольник Паскаля
Столбцы и строки треугольника Паскаля нумеруются начиная с нуля
м	л!
Если чнел » л велико. п> лучше полыюплтьгч форме.тон г'А -
/г!(л - Аг)1
ПРИМЕР 3. Найдем С{.
9!	9!	9 87 0
Рсшсяие. По формуле получаем С. -— ---	}	~ 4	12«.
Эго ?ке значение можно найти в треугольнике Паскаля (см. рис. 51) ип пересечении
9-й строки и 4 го столбца.
Вы. наверное, обратили внимание на то. что каждая отрока треугольника Паскаля
начинается и закапчивается единицей. Эго нс случайно:	1, поскольку выбрать
О пред метон можно единственным способом.
Числовой треугольник, содержащий число сочетаний, известен по крайней мерс с X н. В араб-
ских трудах он появляется пе позже ХИ я. В Иране его называют треугольником Хайями,
n Kimie тре уголь инком Яна Ху вл. Мы полы ин ем эти г треутчизьник треугольником Пнгкапн
по имени французского учёного Блеза Паскаля, который и середам XVII а. издал •Трактат об
арифметическом треугольнике•. где подробно oiiut.a-j его слойстии.
56
ГЛАВА XIV.
Так sicr I. потому что пыбрлть «со л предметов ив л имеющихся можно тоже
ТОЛЬКО одним способом.
Вопросы
Что такое 'пила < «гичаний?
2 Как обозначить число сочетании и» 6 по
Задачи
165 Нмйдмте:				Л г с*«;	ье ci,,.	
л» cj:	б) ci;		М С?;	Н- с?,;			
166	Срннинт* числа: л) С{ и С»;	П) ।	С? и С?;	и)* Cj| м	f Л»	гГ <	13 И с11'
167	Нийлт анАчение: л) С2;	б) С};	n)	г) сЦ;	Л) CjUtfi		
168	Сколько < von «Tiiyr-r < ши обоц нмбрлт1- один объгит ил гощ1куп1кнтн:					
п ) 50 предм 11 .’IH,
6) 67 предметом?
169 Сколькими снпсоблмн можно выбрать;
в) 49 предмет» и ня 50;	б) 64 предмет ил 6ft?
Сколькими способами можно выбрать;
л) 7 предметом ил 9;	м>* I предмета на 12;
б) 2 предмета ил 6;	г)* 5 предметов ин 13?
Сколькими способами можно отобрать стартовую шсстбрку игроков о полой
больном мптчи. если всего & команде:
л) 10 игроков;	б)' 14 КГрОКПВ?
Предпринимать и. мнич «гтприннть рекламные чь-кяе и’ния в 3 ган'ты. Сколь-
кими способами можно кыбрать лтн 3 i теисты ил:
л) 6 гвшт;	61 7 галет;	п) 10 псн*т7
Сколько существует способов составить двоичную иоследоватвлыюсть на:
л> 5 еди.1 иц и I путей;
61 3 единиц и 7 нулей;
в) 2 нулей н 8 единиц;
г) 5 нулей и 5 единиц?
175
Сколько < Vturrniyv i пен тгдопл ГГЛ1.1ПН-1ГИ
л) три буквы У. остальные буквы И:
б) пить Лука Ук ос гл ЛЬНЫ I буквы П?
Муха пи । irrr пн П|Н1Шгшчнои решетке ил
точки Д и точку К (риг. 52), днигнягь
все время вправо плп впил. Сколько
различные ^лршрутсв моих*? ххыйрлть
муха?
Указание. В случае и). как бы ни полз-
ла муха, они должна сделать всего 6 ши
гоп: три шлгп вправо (П) и три шпгл
вниз (11). Маршрут мухи можно записать
в вид** последовательности шести букв.
Например, ГППТННП.
из шести букв, в которых;
Рисунок 52
Таким образом, вопрос сводится к тому, сколько существует способов расста-
вить три буквы П в последовательности шести буян.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
57
176
s
в77
178
179
180
si81
182
В
в183
184
g185
186
В
Сколько существует ппследовлтельностой, в которых 4 буквы У. и остальные
буквы Н. если всего в последоклтел1ли>стях:
а)	11 букв:	б) 12 букв;	в) 15 букв;	г) 20 букв?
В B<rrc|)w разыгрывается несколько выигрышных номерок из общего количества
iioMi'jx'iu Сколько теги существует комбинации пыигрышных номерок, оди:
и) разыгрываются 5 номеров из 36; б) разыгрываются б номеров на 19?
Одно время была популярна лотерея «Честная игра*. В билете лотереи име-
ется 20 элкрьгтых букв, ровно 10 на пик буквы глава  АВТОМОБИЛЬ».
Буквы разбросаны случайным образом. По правилам лотереи, если владелец
билета, открыв ровно 10 букв, откроет все буквы слова «АВТОМОБИЛЬ*. то
он выигрывает машину.
я) Сколько всего существует снособол открыть 10 буки?
б)	Сколько существует способов открыть 10 букв так, чтобы выиграть авто
мсбиль?
в)	Какова вщюятногть выиграть автомобиль?
В группе пять человек: Вппя. Саша, Маша, Таня п Коля. По жребию двое из
них выбраны дежурными. Найдите вероятность того, что ото Ваня и Тпия.
В яшико 4 красных и 2 желтых флажки. Из него наудачу нлвлоквкнг 3 флаж
кн. Кнкиш! вероятность того, «гго псе ггн фляжки красные?
Для уч петля в телевикторине случайным образом выбирают 3 игроков из
Я преттнлннтов. Какова вероятность torn. что будут выбраны I я, 4й и 8-й
игроки?
В тираже лотами «Спортлото» разыгрывались 6 случайных номеров из 49.
а)	В кинокомедии «Спортлпто-82» главный герой зачеркивает намерз 1. 2, 3,
4, 5 п в. Найдите вероятность того. что л тираже выиграют именно .ни
шесть Номеров,
б)	Какова вероятность того, что в тираже лотереи выиграют померл 4, 28,
17. 8, 12, 32? Отличается ли она от вероятности выигрыша комбинации 1,
2. 3, 4, 5 и б?
На двери устпнннлеи кодовый замок г кнопками. Ни кнопках изображены
цифры от 0 до 9. Чтобы открыть дверь, путкно одповрсмсппо п гикать три
кнопки неизвестного нам кода- Найдите вероятность открыть дверь г первой
попытки, налгав три КНОПКИ наудачу.
На книжной полке б романов и 4 понести, расположенные а глучпйнам по-
рядке. С пилки СНЯЛИ 7 первых ИО1НР з1Ш< Я XI г Илйдетс вероятность того,
что па палке остались:
а) только шншетн;	6) только романы.
Указание. а) Элементарным событием будем считать комбинацию из трех
оставшихся па полк? книг. Всего таких коыбипьцай С*о« Событию «остались
только повести» благоприятствуют С] элементарных событий, поскольку по*
вестей ягего 4.
Известно, что последние четыре цифры в семизначном телефонном номере
некоторого абонента — это 1, 2, 3 п 4. Найдите вероятность того, что номер
оканчивается на 13 или 34.
В партии из 15 детален 3 детали брякимяниые. Покупатель приобрёл 5 дета-
лей. Найдите вероятность того, что среди них:
а) нет ни одной бракованной;	в) ровно 2 бракованные детали;
б)	есть хотя бы одна брпконнннлн;	г) ровно 3 бракованные детали.
58
ГЛАВА XIV.
XV
Геометрическая
вероятность
Иногда случайный опыт можно представить
как выбор точки из некоторой фигуры на
плоскости или из промежутка на прямой.
В таком опыте каждое отдельное элементар-
ное событие имеет нулевую вероятность,
поэтому обычный способ подсчёта вероят-
ностей не подходит. На помощь приходит
геометрическая вероятность.
Интересно, что в геометрических случайных
опытах удобно считать, что событие и фигу-
ра — это одно и то же Вероятности на
плоскости измеряются отношением площа-
дей фигур на прямой — отношением длин
промежутков.
62	Выбор точки из фигуры
на плоскости
63	Выбор точки из отрезка
и дуги окружности
62J Выбор точки из фигуры на плоскости
Рисунок 53 Ноиспропкый
пиксель на экране
компьютера
Рисунок 54
Рисунок 55
Вывигт так. что какой-то отдельный пиксель ни »кр«
по компылпчрнот монитора или i млртфопп перестает
работать. Тогда на лгрнне появляется черная точки
(риС4 5Я). Mortuio погтлнить ион рос о иеримтшм’ги того.
ЧТО HiMHIlpilHMKHt НННГ1Ч|Ь 11СНН1ДЙГ И <М1|М"Д1'ЛеНИуИ» об-
ласть «крапп.
Пикселей ил «кране может быть больше ммлдмоил.
Удобно 1'ЧНТЛТЬ. ЧТО мы имеем дело г точкой, пыбрлн
ной случайным образом Hi ПрЯМоуП»ЛЫ1НШ1
ПРИМЕР I Рассмотрим опыт: из прямоугольника со
(’тринами 3 и 4 выбирают случи иную гичку (рис. 64).
ICalCOlin вероятность того. ЧТО ИЛ ТОЧКИ ООН IIЛ Л л Лгпын
нижний к rut драт со стороной 1?
В гг11Й задаче речь идет о тик наллпаемнй геометри-
ческой нсронттнмти. Элементарными событиями и итом
случайном опыте являются точки прямоугольника. Их
бгГЬС.П' IIIO МИ<Н‘>. II 1Н«|И>ЛП1ОГТЬ ныбрать КЛЖЛуЮ КОН
крстную точку равна нулю.
Мы сгоалнулисъ с опытом и котором этемеитар-
г ные события имеют нулевые ве|хмпносги, но не
являются неооэмажными
OllpV/l» ТИТЬ В1Гр(1ЯЛ1ОГТ1. СОбЫТНЙ II ДГО.М OHI4T0 С НО
МОЩЬЮ суммы НГ|ЮЯТН1НТОб элементарных событий
нельзя. Нужен другой гпособ.
Рассмотрим более общий опыт. Ни плоскости дана
фигура F. которая пмегт пгпт.чпвую площадь. Ид фигу
ры F иыбирают одну случайную точку. Какова веройт
Horn. таги. что выбран ним точка при надлежит фигу
pr G\ imTOp.ul ro.v’P'Ki’ ггл И фигуре F (рНг. 55)?
Отпет элплгит <тг того, клк мы нанимаем, что тпког
•случайно выбранная точка». Е< ги мы считаем, что псе
ТОЧКИ ДОЛЖНЫ • tMf... у	пп i ы». то нужно при-
нять следующем" ip "Ui ли:
Вероятность сооыгия -иыоранная точка принадлежит фигуре G- прямо пропорцио-
нальна площади фигуры G и не зависит от расположения и формы фигуры G
Мы знаем наверняка, что точка выбирается на фигуры F. Поэтому событие •точка
принадлежит фигуре F» является достоверным и его вероятность ряппл единице;
ИГ)= 1.
При таком подходе мы. по гути деля, отождествляем (не различаем) случайные со-
бытия и геометрические фигуры, полому событие и соответствующую ему фигуру
мы будем называть одинаково. Подведем irror.
60
ГЛАВА XV.
Правило вычисления геометрической вероятности. Пусть из фигуры /•’ произ-
водится случайный выбор точки. Вероятность события G -выбранная точка при-
надлежит фигуре G. которая содержится а фигуре £•, равна
Кб) -
где S? и 8С — площади фигур F и G соответственно (площадь фигуры F должна
быть богьше нуля)
Вернёмся к примеру 1. Фигуре F прямоугольник си сторонами 3 и -1 (см.
рис. 54). Слсдог дтсльпо, 8Г 3 1	12.
Квадрат (7, расположенный слева внизу в пря моугалъпике F, по условию имеет
длину стороны I. Поэтому SG • 1.
Значит, bojmijithoctu того, что точка попала л квадрат (7, равна
P(G) - & - -Т.
Л/- LZ
Решая такие задачи, мы предполагаем, что 4шансы любой точки ошшдкоиы».
В большинстве случайных опыте л это ш* так. по при определенных условиях можно
считать, что наше предположение недалеко от истины.
Рассмотрим, ни пример. стрел на. который может попасть в любое место мишени.
Он стреляет не d случайное место, а целится. Значит, вероятность нон петь в цен-
тральный круг мшпепн несколько выше, чем вероятность попасть в такой же круг
пдето с краю.
Но представим себе» что мишень мала, стрелок находится далеко от нее, о слу-
чайное рлссеингнне пуль но время стрельбы нялнко (оно нызнмпи ш*Г|ЮМ, ошибкой
прицеливания, гшашргяам ружейного ствола и другими факторами). При этих усло-
виях можно считать, что вероятность попасть в какую-то часть мишени плавным об-
разом зависит только <гг площади «той части и очень мало — от меткости стрелки.
ПРИМЕР 2. Стрелок стреляет издалека по круглой мишени диаметром 5 см. Из
постно, что стрелок попил в Мишель» которая разбита па три киты (рис. 56). Радиус
центральной кротовой зоны равен 1 см. средняя п впешпяя зоны кольцевые, они
имеют одинаковую ширину 2 см. Найдём вероятность того, что стрелок попал во
внешнюю ;и>пу мишени.
Решение. Фигурой F я описанном опыте якя гея мишень шюш i дыо
S, - 5? • я - 25п см<
Фигура G — внешняя эона. т. е, кольцо» у которого
радиус внешней окружности pasexi S ci:4 а внутрсн
ней 3 см. Площадь эоны равна разности площадей
двух кругов:
So •* 25л — 9л — 16л (см1).
Следовательно, Р(б») —	— 0,64.
oj 2ол
Иногда для iioHcica вероятностен не нужно знать пло
1ЦПДП фигур, достаточно уметь пплодить отношения их
площадей.
Рисунок 56
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
61
ПРИМЕР । И;» треугольника Л ВС случайным обра»
ном выбирается точка X. Найдем нероятнопь того, -но
они при надлежит треугольнику. гицгатнпми кото|иич> пн
ДЯН1ТСМ ГГ(Н'Д11ЯЫ сторон треугольники АНС (рис?. 57).
Реин пиг IKMHIb ШИНН рНЗбИИЛИП ГроУГо ЛЫ1ИГ. АВ(
на четыре ранных малых треугпчыипп, клошидь каждо-
го из которых оболипчим Q (гм риг 57). Значит. пяо
щадь треугольники ЛГИ' и I ргыи болмпн: 5‘ЛЛ, • 4Q.
Интгр<х?ух>|цгг нас событие состоит и том. что точка X
принадлежит малому треугольнику Л/,\Л Всро/ишнть
ЭТОГО ООбыТНЛ ptltllin Р(ЛГЛЖ) y'X“ “	“
лдяг 1Чг
Вопросы
1	Какие события раег.мпгримюгг.я н опыте, состоищом н случайном иыборе точки
фигуры нет плоскости?
2	Точку иыОирлил из некоторой данной Фигуры От чего занизит и or чего не за
ниси1 порой гмооть попадании иыбрннной пени н фигуру сидер* лчумк н внутри
длинен* фигуры?
3	Напишито формулу для поройтности попадания выбранной точки л фи(уру G при
выбора точки ил фигуры F, содержащей м г<М5о фигуру G
4	Точку наудачу выбирают из квадрата ABCD. Какова верой! кость того, что ны-
бранная точка принадлежи» треугольнику АВС?
Задачи
187 Внутри тргу ГОД hihkjh АИС случайным образом ныбнриеггя точки. Найдите
ttrpor<ногти tihti. что эти точка попали и треугольник АВЛ/. где AM
медиана треуголытнкл АВС.
188 Из прямоугольники случайным образом пыбнрпстгя точка. Пандлтс г.громт
нот события:
п) «точка принадлежит ромбу, ж’рпшнлми которого служат ссцм'днпы сторон
пркмоуголыпткп»;
б) «точку» нринддлижнт треугольнику, яерптнлмн глтироп» служат дм? госад-
iiiir цг|Н1Шнм прямоугольники н чкл ш-р ггч« him ri <• диагоналей*.
189 В КНЛДрНП’ случайным нбри.н>м к 14Г При- л К ТО’ir.a. ТТиАдще кернит 1«и*ть тоги,
что точка принлдлгнигт пяисиннгсму п гптт ККПЛрЛТ кругу.
190 В кводратг АШ /> случайным обрплпм лыбнрпгтгя точка X Нпйдптг пгроят
ность того, что эта точка принадлежит треугольнику ADM. где точка Л/:
л) середина стороны CD:
б) долит отрезок ('D к опкннгпин I : 2. считая от точки С;
н) делит отрезок CD п опнткчгни т:л. считая от точки С.
191 В квадрате A BCD случайным образом выбирается точка X. Найдите вероят-
ность того, что эти точка принадлежит трапеции /\AfCD, где точка М:
л) ггредиии стороны ВС:
б) делит отрезок ВС и отношении 1 : 2, считая от точки С;
в) делит отрезок ВС я «птгошеппп т : и. считая от тичеп В.
62
ГЛАВА XV.
192 В круге случайным образом выбирается точки. Найдите вероятность того, что
эта гочкм принадлежит:
н) нимсмшмому и круг квадрату;
0) вппснтюмгу п круг равностороннему треугольнику.
193 В примеУГОЛЬИИКМ СО СТОроННМН 6 CM II 2(1 CM IIOplh!Oni|IU.I ДИЛ НСПОрС Cl »Ю
шнхея круги дидлптрим 3 гм КЛЖДЫЙ ПпЙДШе 1И*роКПИК“ГЬ ТОШ. ЧТО . ЦИЛИ
ко нмбр Н111ИЯ гочкл пиго прямоугольника:
л) не 1финдлЛ№С1гт ни одному на этих кругои:
б) нг ПрННЛДЦРЖНГ хоти бы одному ии этих кругов.
194 Буратино посиди ч п цтчгг|и> квадратного листа бумпги го стороной 22 см круг-
й дую кляксу радиусом 1 гм. Сразу после «ты о Нураinпо иогидпл ниш одну та
кум» же кликсу, которая также целиком окнлллнсь ни листе. Нлйдэте лсрешт-
ЖМ*Т|. ТОГО» ЧТО ЭТИ лиг кляксы Hi* сопрнкигшотгл.
195 Монету диаметром 2 см наудачу бросают на шахматную доску со шириной
клетки 3 см. Каковы перавтппсть того, что уплпшал монета целиком помосте*
ЛЯСЬ К П1|НПЙ I 1ГТКО?
бз! Выбор точки из отрезка
и дуги окружности
Выбор точки из отрезка
Случайную точку можно выбирать не пл фшуры ни пдошогти. к на отреикн. Важ-
ный пример такого зкеиернмоктн срок службы нового прибора (скажем. мобильно-
го телефона) до первой пиломги. Новые телефоны ломают» я реже, чем старые, по-
этому поломки п течение первого годи службы менее вероятна, чем и течение второго
или третьего, ho если огряничитыя небольшим периодом времени. то можно счи-
тать» что телефон m<»ki~t выйти из строп и пюбпи момент этого периода <с ранными
шансами».
Рассмотрим опыт, которым счюгоит н случайном ны(юрг «vnioH точки X н « отрг »
км МАЛ Элемен^прнымм событиями служат псе точки отрг »кл
Пусть оггредол CD содержится п <ггр«ык» М\ II а
интересует событие «точка А* принадлежа отриа*	у
ку CD« (рис. 5Г). Это собх.ггпс удобно пбознпжгп. так	£	* р
же. как отрезок событие CD.
Применим тот же метод вычисления вероятноегги	Рисунсж 58
события CD, какой мы ксполъяомлн для фигур на
плоскости; будем подшить, что вероятность прош1рцмсшнльш1 длине отрезка CD. Тог-
да пероятппгть события CD «точки X принадлежит отрезку CD, содержащемуся п от
резке MN* ранив
CD
Г ” MN’
Это число неотрицательное и нс превосходит 1. кик н полагается шчхштности слу-
чайного события.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
63
ПРИМЕР I. Внутри отрезка MN случайным образам выбирается точка X. Найдём
вероятность того, что точка X ближе к N. чем к Л/,
g
М	* V
Рисунок 59
Решение Пусть О середина отрезка Л/Х
/V (ряс. 59), Указаппое событие поступит только тогда,
когда точка X лежит внутри отрезка ON. Тогда его
ON
вероятность ранни P(ON) - --- - 0,5.
Л * л
Выбор точки из дуги
Ничего як меняется, если точка X выбирается не из отрезка, а ня дуги некото-
рой кривой линии. Например, можно случайным образом выбирать точку на
ПРИМЕТ 2 Е1а окружности даны точки Л и В.
причем .ггн точки ж» являются диаметрально njwmtHo
ноложнымн. На этой же окружное то случайным обра-
зом кмбирнется точка С. Найдём вероятность того, что
отрезок ВС пересекает диаметр окружности, проходя -
шип через точку Л.
Реин-пн'» Пусть длина окружности рампа L. Интере-
сующее пас событие Е «отрезок ВС перетекает дна
метр DA» наступает. только если гички В и С лежит
на полуокружности f)A. то есть ни ранных полуокруж-
ностях (или хотя бы одна на точек совпадает с концом
_ ri L
диаметра) (рис. 00). Длина полуокружности равна
Найдем вероятность события Е: WE}
ju	£
Выбор точки из числового промежутка
Геометрическую вероятность можн» применять к числовым промежутки м. Предан,
ложим» что случайным образом выбирается число х, удовлетворяющее условию
т ъ х £ п. Этот опыт можно заменить опытом, с котором из отрезка (ш; л| пп пне
левой прямой выбирается точка с координатой х (рнс. 61).
Рясг-мотрнм событие, состоящее в том. что точка
т	. *__ t__с координатой 1 яыбрапи «и греггл |а; Ь|, содержаще
w о	я гося в отрезке |т; л), 1тп п>бытн< < болппчнм о х 6.
Его йероятноеть ранни (ниишники длин отрезкой |п; б|
Рисунок 61	ь а
и (т; л]: Р(в чх • М - -	.
Поясним сказанное на примере.
1!РП ЧЕР 3, Найдем вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрез-
ка [0: 1]. принадлежит отрезку I \ J.
I о »£ I
Pvuh'hh) По формуле ггчхмгтрпчсскип вероятности плходпм:
I 1
2~8 = 1
1-0	6‘
64
ГЛАВА XV.
Вопросы
1	Сколько эгюмонгарных событии нознишкн при выбора случайной точки из фигу-
ры ив плоскости или из отрезка?
2	Как найти вероятность событии точка, случайно выЬроннлп из отрезка MN при-
подлежиi отрезку СО. которым содоржип п о отрезке A/W-7
Задачи
196 Отрезок АН разбит точками С и D ил три рамные чисти AC. CD и (Hi. Hi
отрезка АН пыбирлнгг случайную точку X. ИаНдмтн вероятность того, чти
ТОЧКА Х‘
й) приш».иной нт отрезку CD;
б) ПС ПРИ1П1ЛЛ<’3.‘ПТ отрезку <7>.
197 Длила отрезка MN рлппл < см lh этого » грелка гглудлчу выбирают одну гоч
ку, Найдите пгролтность того. чп» .«тп пенса удаленя от точки М:
л) мент* чем пн 1 СМ;
б) ПО бодсо чем пл 2 см»
198 Углы ЛОВ н COD tHjiTiiкалъиbn*. Ирл »том точки С лежит нп л ум г АО
и АО/1 60 . Ид окружности । цпнтром и точке О случайным образом мм
бирмют точку X. ILiH.iinv аероятмость того. что точки X и з нт:
л) кнутри xtmi бы одного на углов ВО<' Или AO/J;
б) внутри утло DOC,
199 На окручанк’тл с центром О выбрана точки Л. Из этой окружности выбирают
случайную точку X. Найдите пе|м1птмость тоги, что угол ЛОХ:
а) мсгныпг 90 ;
б) болыьг 120 ;
п) кпхядится о ирелелих от 30 до б0\
200 В окружность пи нс а к равносторонний треугольник ЛВС Ila этой окрчтинкти
случайном образом (выбирают див точки D и Е. Найдите лсроптнсюПк
топц что uTfAMtiK ЛЕ:
а)	иг поткчгоклат пи одну из сто|нш треугольника;
б)	пересекает ровно лип стороны треугодьппгл»
201 Вериугш’игь из отпуска» Ими Иплнопич пбнлруэки’!. что юс тгнныг часы дав-
но ОСТДЕОВИЛНСЬ* НиЙДИТС вероятность 1ЧИЧ». ГП время» Ко. ipiw ПОКАЗЫВАЮ?
остАЖИШВШмезд часы» отлиняйте)! от жйс пит-.гсыгого примени иг больше чем
на 30 мчнут.
202 Иа отремга [0; I] случайным образом выбирлеггя число г. Найдите исроят-
шжть тиго, что:
а)	х < 0.5;	«> х 0.3;
б)	х > 0*7;	г) х * 0*9<
203 Иа отрезка [□: 1| случайным образом выбирается число х. Найдите вероят
востъ того, что:
а)	2х < 0.5;
б)	2х 1 < 0.4;
в)	0.4 < 2х с 0.6;
г)	Зх 0.3 или 8х > 0.9.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
65
204 Иван Иванович обещал позвонить Ивану Никифоровичу между 15:00 и 16:00.
Известно» что Ивон Иванович всегда держит свое слово. Иплп Никифорович
ждал звонка, ио около половины четвертого отлучился на 10 минут, забыв
взять с собой телефон. Найдите вероятность того, что» когда Иван Иванович
позвонил, Ивин Никифорович бы л у телефоне»
205 Из о;-резка |0; 1| случайным образом независимо друг иг друга выбираются
два числа л* и у. Найдите вероятность того, что:
а)	х <	в! 0.2 < х < 0.8. 0,3 < у < 0.5;
6)	х > 0.7. у < 0.4:	г) л < 1. у > 0.4.
206 В самом штиле поэмы И. В. Гоголя «Мёртвые лутпн* дни мужика спорят нт
ноеия’ льно того, как далеко доедет колесо в экипаже Чичикова:
*..»Дла русских мужика. стоявшие у дверей кабака против гостиницы, сде-
лали кое-какие замечания, отногипшисся впрочем Гиысс к экипажу. чем
к сидевшему в нем «Нишь ты», сказал, один другому; *вон какое колесо f
Что ты думаешь, доедет то колеса, если б случилось. в Москву, или не
доедет?» — * Доедет*. отвечал другой. *Л в Казань то. л думаю, не do-
едет!» — "В Казань нс доедет», — отвечал другой».
Предположим, нт путь от упомянутой гостиницы и Казань ведёт через
Москву и что ди Москвы 140 вёрст» а от Москвы до Казани ещё 760 вёрст.
Будем считать, что колесо обязательно сломается, причём »то может случить
ся к любой момент на пути от гостиницы до Казани. Найдите вероятность
тот. что:
а)	колесо доедет до Москвы, как и предполагают мужики;
б)	колесо не доедет даже до Москвы.
207 Из отрезка [0; 1] случайным образом выбирается число а. Найдите вероят
поел того, что:
п) хи < 0,25;	б) х1 > 0.09.
208 Из отрезка |2; 5| случайным образом выбирается отрезок |а; 5| хппты 1.
Найдите вероятность события:
а)	а < 3;
б)	b < 4;
и) 4го;ммиш» отре.псл |«; б| лп»сдн1че111> между чпелпми 3 и 4*;
г) •середина отрезка |н: Ь| заключено между ш Лами 2 к 1.5».
XVI
Испытания
Бернулли
Испытание Бернулли, или просто испыта-
ние. — эго простой случайный опыт, в кото-
ром всего два возможных элементарных со-
бытия: успех и неудача Пример испыта-
ния — бросание монеты. Из таких простых
опытов можно составлять гораздо более
сложные В этой главе мы рассказываем
о важных случайных опытах:
испытания до наступления первого успеха;
— серия, состоящая из заданного количест-
ва испытаний.
Помимо этого, мы рассмотрим случайный
выбор из конечного множества
64 Успех и неудача.
Испытания до первого успеха
65*	Серия испытаний Бернулли
66*	Число успехов в испытаниях
Бернуг пи
67* Вероятности событий
в испытаниях Бернулли
641 Успех и неудача.
Испытания до первого успеха
Успех и неудача
Испытанием Бернулли' или гцюсто испытанием называют случайный опыт. ко-
торый может закончиться олним из днух элементарных событий
Например. подброшепппя монета падает либо орлом, либо решкой вверх. Стрелок
может попасп» о мишень, а может промахнуться* Избиратель может проголосовать
пли по проголосовать за некоторого кандидата. В жизни мы постоянно потреплемся
с такими опытами.
Одно из днух 'стомелтлрных событий в таком опыте называют успехом, а другое
неудачен. Эти названия условны, их можно поменять местами. Например, для фут
болнетл побед я успех, л для игрока проигравшей команды эт« же событие по
удачи.
Вероятность того, что испытание Бернулли мисотппгггя успехом, обычно оболнпчв
ют буквой р, а вероятность неудачи буквой д. Числя р и g в сумме дают единицу,
поэтому q =» 1 р. Чтобы в испытании было действительно два возможных события,
будем считать, что О < р < I н 0 < g < 1.
Случайные опыты, н которых много элементарных событий, чисто можно свести
к изучению испытаний Бернулли. Пусть, например, на молочном комбинате и бутыл-
ки наливают по 1 л молока. Мы знаем, что при массовом производстве всегда пропс
ходят отклонения в ту или иную сторону от поминальной массы, размера пли
объема. Выберем случайную бутылку для контроля. Будем считать успехом событие
«объём молоки п бутылке отличается от 1 л не больше чем на 5 мл». Протинопониж
кос событие можно считать неудачен* Возникнет испытание Бернулли.
Испытания до первого успеха
Рассмотрим опыт, п котором одинаковые испытания проводятся до наступления
первого успеха. Как только успех случился, испытания прекращаются.
ПРИМЕР I Монету бросают ди тех пор, пока не выпадет орел.
ПРИМЕР 2 Стрелок н тире стреляет по мишени до тех мор, пока не собьёт её.
ПРИМЕР 3 Мобильный телефон и ус  »hhh‘ лабой снн;н пытается итпрлннть
СМС, Если попытка неуддчппя. телефон пр•дпрппп лк - елпг о. Таг. продолжает
ся до тех пор. пока очередная попытки не окажется удачной, либо пока не кончится
время, отведанное на попытки.
ПРИМЕР I Фрагмент файла загружается из Интернета в компьютер. Загрузка
идёт до тех пор. пока нс пройдёт без ошибок*
ПРИМЕР 5. Самолет осматривают перед каждым рейсом и допускают к полету,
пока не обнаружено отклонение <vr нормы в работе жизненно важных систем.
Мы будем предппчнгить. что в каждом испытании вероятность успеха неизменно
раина р и что вес испытания независимы. Исследуем такой случайный опыт.
1 Название дано в ч<ч«ть Якоби Бернулли, который триста лет и панд изучал серии испытаний.
Эти простейшие случайные опыты тлклзллись очень важными лпн науки.
68
ГЛАВА XVI.
Ободпачмм неудачу буквой И, а успгх буквой У. Тогда дгссмсчттлрпыми событии
ми являются шюлеловятальпостя
У, НУ. ННУ. НИНУ. ННННУ и т. д.
ВуДСМ СТЧИТПТК ЧТО ПОПЫТКИ	’![">
долждтьсл скоп- угодно долго, Значит, ТОО
|М‘ТИЧгг КН и ЭТОМ ОПЫТ*» бесконечно МНОЮ
UU'MI'M торных < иПЫТИЙ I !’•- Л".К1П1 нирию*
влть начальный фрагмент дермин танит*» опы
та (рис- в2).
Элементарны* событии наабрпжпютсп цепочками. ведущими in точки S i Ы НОЧ-
НЫМ 1М»РШ11Ш1М. Ншцшмер, идеМС1ПОрН<№ СО<»ЬГПН« НИНУ (ТрИ ИечДЛЧН И П1ТГМ V<ip ОД
из обри жнется в »том ДП|мч1г цриочкпй ЯНННУ (нылелеин красным шотом).
Ппльзумиь IIPHIIIUIIIM yMHOKItfllHJG ШМ ЛОЖНО НПЙТИ «МЦИН1ТНИГ VI. КЛ^ДИГО О1ГМ1Ч1ТИР-
нок» события:
Р{У) р. Р(НУ) </р. Р(ННУ) /р/р </др- Р(НННУ) vV
и т. я. Получается общлн ||м|рмули; ьшр'Штнш ть »1имсшмрноп> события ННН^НУ,
* ЖТЛГЧ
В котором перед успехом ГЛУЧ1МНГЬ poilllo Л нс уд ич. рНПНП Р
HHJL 31У
к»<УДЛ1
- Ч*Р’
Есть сше ОДНО >1» чеНТЛрИОг событие, шпором м нгбр.Ы ает« и fwn;..печной ШЧ1ЫО и<
удач 5H1IHH... , Клмшы вероятность этого мгмектлрнпго события? Не может ли • лу-
читься так. что успех никогда «о наступит? Сложим iwpoMTHucTM ил вести ых ипм эле
мантнрпых событий: р I г/р ♦ //Jp * </"/* 1 ••• 4 </ *Р + ••• •
11плуЧНЛШ:|» СУММЛ бесыШГЧПО УбыплиЧЦсй ГГОМ<*ТрНЧГГ1Соб ПроГр<ч1'1ГН СО ЛИЛМГН»
телом </. При этом О * q 1. шмгиму сумма суще» таусг» н на курса алгебры нзосст
но, как ей найти: р 4 чр + </р * </’р ' ... 4 ?* хр ¥
Г
I <1
Вероятвостм мемоитнрных событий^ онякяшающихся успехом, п сумме дают гдн
ницу. Следовательно, на долю события ♦бесшшгчппи цгпочка неудаче приходится пс
роятаость О. Taw событие нг промоойлит. Рани или поздно пигтутшт успех, как бы
нн были мола ею юероптность р (мы догопорилнсь. что р 0).
ПРИМЕР 6. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вг|нмггн<нть но*
1ШЛ11ПИМ при ксскдим (1тделы1ши ni.n t pr.ir рдпмн р 0,2. Kuioinu верилтши ть того, чго
стрелку потребуете л:
д) ровно два выстрели;	б) по больше пяти жыотр шоп *
Решение д) ВпролтЕЮСТЬ событии НУ — (ШДЧШШ промпх. а датам потпиншпе
рммна </р = 0,8 • 0.2	0.18.
б) / й глосоД Событию Л «не болыиг пяти выстрелов» блшлшршггстпуют алемеи
тарные события У. НУ, ННУ. ИННУ и ННННУ. Сложим нх вероятности с помощью
формулы геомегрнческоА прогрессии:
Р(А) = р + qp + qlp ¥ дяр -г q*p - р’ - рЦ-- “ 1~<Л
1 -fl	р
2-й спота. Рассмотрим ирптиноположние событие Д «пот|и?буетсн больше пяти
выстрелом». Оно шктупнег, *голько если пять первых вы<т|>ел<ж неудичны. Ве|юят-
могт1. .того Р(.4 I = q;‘. (ии’Лом.1тгльнс», !’(41 =1 Р(л) = I д'.
Подставляя q - 0.8. получаем PG4) — 1	0.8* « 0,672.
ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ
69
Вопросы
1 Что такое испытание Бернуппи? Приведите примеры испытании, помимо тех. что
даны я учебнике
2 Чему равна сумма аероятнпстеи успеха и неудачи?
3 Сколько элементарных событий в опыте ««испытания до первого успеха*?
4 Запиши re формулой вероятность события -произошло восемь неудач, а при де-
вятой попытке случился успех-
Задачи
209 Обычную симметричную монету бросают дл выпадения первого орля. При первых
пяти бросках выпали решка. Каю** или какие из следующих утверждений верны?
I) Слишком много решек подряд быть пг может, поэтому более перпятно, что
в ле стой раз выпадет срез.
2)	По какой-то причине в этом опыте решки имеют преимущество перед ор-
лами. Более вероятно, что в следующий раз тоже вьшядет решкя.
3)	При шестом броске орел и jm’luku имеют равные шансы, так же как они
иягели равные шансы при каждом из предыдущих бросков,
4)	Более вероятно, что орел случится при шестом броске, чем при седьмом.
210	Проводите эксперимент. Возьмите обычную монету и бросайте (лучше трясти
её в пллсгн ковом гтя клинике и выбрасывать нп ладонь) до тех пор. пока не
выпадет орёл. Сколько бросков для этого потребовалось?
Проведите эксперимент 15 рал и заппшпте. сколько бросков вам пришлось де-
лать каждый рлз. Пусть это оделяет каждый ученик в вашем классе, (.'оберите
результаты я таблицу (мы для иллюстрации провели 50 таких якппери ментон).
Таблица -1. Бросания монеты до черного орла
Номер броска, при котором выпал первый cipi.i	1	2	3	1	5	в	7	Всего
Число экспериментов	26	11	б	1	2	0	1	ОО
а)	Что является элементарным событием в таком эксперименте?
б)	Сколько элементарных событии и атом .эксперимента?
в)	Что про иса о лиг чище	орёл вы. ддс •- первой попытки нлп со второй?
г)	Что происходит чаще	орел вышилт с t jpofi нодыгкн пли с третьей?
211	Монету протают до тех пор, пока не выпадет орел. Постройте дерево экспери-
мента. Укажите в дерене событие /I и найдите его вероятность, если собы-
тие Д состоит п том. что;
а)	потребуется ропно дм броска;
б)	три раза ныпадет решка, на четвёртый рая — орел;
н) потребуется три или четыре броска, чтобы орёл появился н первый рвя;
г) первые четыре броска окончатся решкой.
212 Минету бросают ди тех пор. пока пе выпадет орел. Найдите вероятность того,
что к моменту выпадепил орла будет сделало:
а) ровно i броска;	к) больше 2 бросков;
б) 2 или 3 броска;	г) не больше 3 бросков.
70
ГЛАВА XVI.
213
214
8
215
в
216
217
8
218
8
й19
220
221
8
В Hciti.iiiuiiiii Всрнулли Н.1П1ЧТНН нс|юит11шт1. успеха />. Illinium* iipjwjitkchti.
({«•удачи q, гели нерпм'пкнп'ь уси«>хм р раним:
a) i; б) 0.02; в)	г) 0.83.
ИгрПДМ1ул1 ноги. б|ю<чн<>Т До 11\ пор. пока не иыицдет ни* и |н л НнНдигг ю
роятпость того, что будет одеялко:
д) ровно 2 броска;	и) ровно б бросков;
0) ровни 3 броска;	г) lie билет I броской.
ОгрПЛОК •• тмро (Т|И‘.'1ЖП ПИ MHIIIUI1II ДО 1ГХ пор. ПОКП Hr IICMhl li'T h ЯГ»1. hr'|M>
нтпость паппданпя при каждом «лдольпом выстрел»' рапид р 0.6. Найдите
пгродтш»етъ того, что стр» псу потребуется:
л) |юпно 5 попыток;	6) от 2 до I попыток
I I рои Л пол»» тел 1П1ГЛГ*ДПНДТГЛЮ1Ы1’ ОДШП1КОПЫО И IwniinilntMMl’ ШЧП.ГПН1ИЯ ДО 1ГЖ
пор* поил кг наступит успех. В каждом отельном нспытипли вероятность
успеха ; овил р. d вероятность неудачи равна ц - 1 р Найдите вгролтшкть
события (пырл.што «ч* через р и </), за ключа ющегпг п и том. что:
л) «успех случится при втором испытан мн*;
6)	«успех случи ГСП ПОЛЖГ Ч 1ГПН'рто ГП непштнппл •;
в)	«успех случится пе позже шестого испытания»;
г)	«ДЛЯ НН'ТНЖГНИН успехи 110T|H?6ytrrt‘M О1 Тр|’Х ди пяти испытаний».
Сергей отправляет СМ< сообщение другу. Свиль игуггойчипни. поэтому клж
дал попытка «ггпршшть СМС имеет вероятность у» ш ха 0.3. Нийдато n»*po»rr-
кисть того, что СМ<' будет отправлено:
к) со второй попытки; б) по псыЖо. чем при шестой попытке.
ВсрОМПЬЮТЬ ТОГО. ЧТО HOkllilH мобильный телефон выйдет nil строя н точен ИГ
первой» годи работы. равна 0.2. Нели телефон проработал какое то время. то
вероятность его поломки п течение следующего годи такая ль Ut телефоне нет
манятнплинцихсл деталей. гнштому Ht'piMinmrn. его потомки не растет со ер
мснем). Найдите норимпнн ти тою. что ноиый тол(ч|юн выйдет и i гтроя:
it) ни чепюргый год службы:
б) но поглсо чем черед »рп года после покупки
Вероятность того, что новый планшет пыпдет пл строп в точение голп теле
покупки, ранни 0.1 Нс 111 планшет прориботпт неисплько ЧТ. ГМ исроятногть
1*П1 ПОЛИМКИ И точение СЛАД ушицею ГОД » ЛЮ Т. Нжиптт ЧггриЯТНогГ ь тот.
что новый плпитет выйдет из строя:
я) нл третий 14>л службы; б) прослужит ГМ1ЛЫШ» 3. но не бодыпя 5 лет.
OrpnJtQK И тире стреляет ПО МИПК’НИ до тох пор. шжв иг гобьгт ев. Пгронт
ноетъ ппппдяния при каждом отдельном выст]>ел<ч рлнна р O.-i. Сколько ин-
тронов должен иметь стрелок перед началом стрельбы, чтобы порллнть ми-
шень с вероятностью не менее 0.9?
Инженеры проектируют систему пптомптпчгскоп передачи информации от ан
томобпля d кризисный центр п слу»нм? аварии. Возможны помехи разного ро-
да. поэтому система должна уметь делать пескольнл попыток, чтобы достичь
успеха. Число попыток нужно ограничить, чтобы система не зависла. Но тех-
ническому ладан ню нгроятноеп. передачи информации должна быть не пинье
0.95. если вероятность успеха в каждой отдельной попытке 0.2. Каким чис-
лом ограничить разрешенное количество попыток?
ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ
71
65J Серия испытаний Бернулли
II п|юлылущем пнpitграфе мы рисгматрнпкли опыт. п котором испытания пряно
днлнсь до первого угшчн FhrtMinpiiM другой <лучпАныГ| опыт Вчднм пронодмгь
испытании видлнпое количество рал, iKMitmirHMo от того, успехом или неудачей
Краш-тест автомобиля
окончилось предыдущее. Важно, чтобы одццдко
кыг нгпытаннм можно было прополота много рис
и чтобы пин были нв;твмсммымм исход каждо-
го не .юл жен быта сплин с предыдущими.
Такую серию испытаний можно устроить далеко
пп всегда. Бывают испытания. которые не удается
riHDTOpHTh. Birr пример. Новую модель ЛВТОМобнЛЯ
подпгргиюг НГПШТПННЮ ПЛ бг 1ППЛГ1Н1ГТа При СТО.1К
иолгннн крпштест. Если манекен. гндящпй
внутри автомобили» не налучия сгрьгипых повреж-
дений, тест считают yi нотным.
Од пл ко иядежиость юн видов при крлш тесте не
очень пыгокни, поскольку иптимобкпь разбито пгт-
ся. Попторнть испытание много рая п тех же ус
лопнлх псвоиможно Можно, конечно, пгпольпоппть другие такие жг лптпмобплн,
во это слишком дорого делать множество автомобилей только для того, чтобы
их разбить.
Потому дли и роизводителей лнтомабцлггй, самолетов, Ж4'лг.ц|цдорожш»й техники
очень важно собирать информацию об откл.шх и л парнях. произошедших ужг а про
цеосю зкссигунтлнпи.
Бслм псе же удаетс я пропостн несколько (определенное количттгао) одинаковых
и нжжмисимых испытании ширил, то говорят, что проведена серпы испытаний
Бгрнулл и.
Серия испытании Бернулли по последив.! гольмии и» идищо аню нсыпи
симых испытаний, каждое из коюрым может окончиться wfx> успехом, либо
неудачей
Рассмотрим элементарные события и нос • доилтелi иск гн ил трех непытлпим. Кпж
дог непытнниг оканчипастся либо успехом \ »ие> ие'.ллчгй (I1L После трех нгпы
ТШШЙ МЫ можем Ом лучить O2LUII UB ВОСЬМИ UeMtHlTUpnblX событий:
УГУ УУП УНУ ГЕН ИУУ ИНУ НУН ШШ.
Отдельные испытания Бернулли независимы, поэтому вероятность каждого хтемеи
тарного событии можно найти с ио мощью пршшлп умножения веропшсгеЙ. Поври
мер. хтсмептдрноо событие УУ11 имеет пероятипсть
Р1Ч = Р3Ч’
Блпессм результаты вычислений в таблицу 5.
Таким же способом можно составить таблицу элементарных событий и их вороят-
ногтей для серин из четырех, пяти и более испытаний Бернулли.
72
ГЛАВА XVI.
Тпблппл 5. ЭЛ0МС1ГГИрПЫС событии II сорим 114 Тр^Х мгнытнпий
Элгш'шдрног событие	УУУ	УУН	УНУ	УНН	НУУ	ННУ	НУН	НИН
licpwiTMor. Ir 	j л’	л.			А	Рм"	й»’	у»	।
Дли трёх испытаний мы получили Н 21 2 3 лп* мои гарных событий» дли четырёх не
пытаний их будет уже 16* 24 5. дли инти нспытппнй их будет 32 — 2* и т. д.г для
л испытаний мн цапучим 2м мл 1*м*мтарных событии
Элнменглрмым событием п серии испытаний Бернулли ни пи?тсп ни отдельный
ycilt/х ИЛИ М(’УД1 ЧЛ • II' ' 1РДС1Н ППЛЬНО< П> VI П< ‘(HI и »«♦ удич Г орим И . п иппы
твмий Бернулли всего 2* различных элементарных собы ши
ПРИМЕР 1. Прост» 'ftniiui серия испытаний Бернулли бриг.nine симметричной мо
ниты. В 4ГГОМ опытт вороятнгмти успеха (орла) н неудачи (|нчпкп) однплконы и рамы
0,5. Полтму перон пин гр нт л 1смгнтйрпых « обытпА одииныион Кг ы мошггч б|нх1мнгг
дважды, то нгрпм-лих’ти ПГРХ отбытий (X). 01\ 14) и рр paniHd 0.25 Если могилу ври
пиит 10 рил» тп штго 1021 «лгмептариых событии, и пгронткогть казцдпго ранил
। О*‘i
Опыт Г многократным б|УОГ|НЦП'М монеты 11ИТГР1ЧЧЧ». н мы к нему Ж’РНСМГН. Но
намного интереснее иаучлги серии испытаний. где пероятассти успехи и неудачи шт
ОДННМХОНЫ.
ПРИМЕР 2. 1>нмп1о|Ц1ст дглл»л по оч<!|И1Ди ft мыгпм'лии но инти мшпеним. Инвест-
но. что он попидшо и мишень я грелпвм 8 рл!» ил 10. Калпам намости ость того, что
будут иорджепь вервия, третьи и четверти мишг
пи. а вторая и идти л нгг (рис. 63)?
Такое событие и наших обскшпчоцмлх имеет вил
УНУУН. В вероятность его равна рцррц p"tf В >
условия следует, что р - 0,8. a q 0,2. Подгтппляя
jth эначепня. Пллучлгм
pV - O.R* • 0.2" - 0.512 0.01	0.0304Я	0.02.
Рш-гуждпп таким ski* oCiptr.KiM и <»Л>цгм случиг, мы
приходим И ибик'.му флкту
В Онзглонс минюми черные.
Порджсчошк,- мишени
гакрынаются белыми щитклми
Рисунок 63
В серил из и ИСИЫ13НИЙ Бернулли ы р .ина ц. in мерного собы-
'••• • тия, о котором произвопьиыы образом чередуются Л успехов и и к неудач,
рпона р*7* •
1 Какими должны быть испытания, чтобы получились серия иепытаний Бернулли?
2 Сколько позможных элементарных событий у одною испытания Бернулли? Как
они называются?
3 Пользуясь обозначениями У и Н ныпишите нее элементарные событии которые
мечут наступить н серии иэ двух и ил трек испытаний Бернулли
4 Каким соотношением связаны вероятности успеха и неудачи?
5 Что яплшпея элементарным событием в серии из пяти испытаний Берттулли?
ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ
73
/ Задачи
222 Эксперимент состоит из четырех последовлтелъпых испытаний Бернулли.
Пользуясь обозначениями У для успеха и U для неудачи* выпишите иен эле-
мента рные события. и которых ровно:
а) 1 успех;	б) 2 успеха;	в) 3 успеха.
223 Пользуясь результатами задачи 222* перечертите б тетрадь и заполните таб-
лицу б, в которой указано* сколько может быть элементарных событий без
успехов* с одним успехом* с двумя успехами и т. д. в серин из четырех ис-
пытаний Бернулли.
Таблица 6. Элементарные событии в серии из четырёх испытаний
Числа успехов
О 1
Число блигопрмятггву1ои1их ыемеатнрных событии
224 Эксперимент состоит из пято поспел и котельных испытаний Вернул in. Поль*
зуясь обозначениями У и II для успеха и неудачи. пьпппттитр все элсмептлр
ные события, и которых ровно:
я) 0 успехов;	б) I успех:	в) 2 успеха.
225 Игральную кость бросают 4 рада. Нойд1пт вероятность события, состоящего
в том. что шестерка выпадет:
а)	только при первом и третьем броских;
б)	только при втором броске;
в)	ровно 3 рази при первом. нтщюм и четвёртом бросках.
226
Миши кидает мяч п баскетбольное кольцо. Вероятность попадания равна
Р

Найдите вероятность того» что. сделав 5 бросков» Миша попадет о коль
цо только при втором п четвертом бросках.
664 Число успехов в испытаниях Бернулли
В предыдущем параграфе мы нпнеалн -рнн слытаннн Бернулли и научились
вычислять вероятности элементарных событий. Н.хгли- щ угую задачу. Сколько
элементарных событии а серии из л испытаний Бернулли благоприятствуют насту
пленяю определенного числа успехов? Например, пусть проводится 5 испытаний.
Сколько элементарных событий этой серии благоприятствуют событию «случится
рению 3 успеха»?
Снова применим обозначения У и II для успеха и неудачи. Элементарные события
серии из 5 испытаний с 3 успехами могут выглядеть следующим образом:
УУУНН УУНУИ УУННУ и т. д.
Таким образом, элементарных событий с 3 успехами н 5 испытаниях ровно столь-
ко, сколько существует способов расставить 3 буквы У в последовательности из
5 букв. Это. как известно, число сочетаний то есть 10.
Обобщим этот результат па произвольное число испытании гк
74
ГЛАВА XVI.
Число элементарных событий. благоприятствующих к успехам а серии из л ис-
пытаний, равно С*.
ПРИМЕР 1. Чтобы быстрее считать мелочь и да ни ть сдачу, клегнр в метро заранее
складывает монеты столбиками по 10 монет и каждом. При .ттом кассир кладет моги--
ты случайной стороной вверх. Сколько всего есть способов положить 10 монет в стол-
бик так. чтобы ровно I из них лежали орлом вверх?
Решение. Главное — увидеть в задаче знакомый случайный опыт. Положение каж-
дой монеты внутри столбика можно считать испытанием Бернулли с успехом «.моне-
та орлом вверх». Выкладывание столбика серия из л « 10 испытаний. Число тре-
буемых успехов к » 4.
Слелонятельни, задачу можно гшрефпрмул и ронять так: сколько ялемеигорных собы-
тий блнгопршпттпует наступлению 1 успехи» в К» независимых испытаниях Бернул-
ли? Эти число равно с{п = 210 (см. рис. 51 на с. 56).
ПРИМЕР 2. На борту самолёта 100 пассажиров. Им предлагается ужин ку-
рица с рисом или рыба с картофельным пюре. Каждый пассажир делает сноп вы-
бор. Сколько в этом опыте комбинаций, в которых ровно 67 пассажиров выбирают
курицу?
Решение. Задача укладывается в схему испытаний Бернулли. Одно испытание за-
ключается н выборе, который делает очередной пассажир. Успехом назовем выбор ку-
рицы» неудачей выбор рыбы. Число испытаний л 100. Число требуемых успехов
к = 67.
Отпет: С^оо- Число ;>то огромно, по мы псе же паптппом его:
<'*100 = 294 692 427 022 541 (ИМ) 000 000 000.
/) Вопросы
1	Сколько различных нюментарных событий благолриятстиует 5 успехам п серим
из 7 испытании Бернулли? Для ответа можно воспользоваться треугольником
Паскаля (см. рис 51).
2	Сколько в серии из п испытаний Бернулли элементарных событий, содержащих
ровно к успехов?
J Задачи
227 Выпишите fire элементарные события» блшчшрнятотвующие:
а) 2 успехам в серии u.i I испытаний Бернулли;
п) 5 успехам и серии пл 6 испытаний Рм»рпулли*
228 Сколько элементарных событий а серии на 8 испытаний Бернулли благппрн-
ятстиует:
д) 2 успехам; б) б успехам;	в) 5 успехам; г) 3 успехам?
229 Сколько элементарных событий благоприятствует появлению трёх орлов, если
монету бросают:
а)	3 раза;	б) Г> раз;	в) 7 раз;	г) п раз?
230 Проводится серии ни 10 испытаний Бернулли. Каких элементарных событии
больше: тех. в которых 3 успеха, пли тех. п которых 7 успехов?
ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ
75
231 11|юпгд1шл сорил иа л испытаний Бернулли. Найдите л, сгпп общее число
:>лгм1»итнркых событий ршпкк
и) 10:	б) 64; п> 250:	г) 2048:	л) 2*.
232 Донижите, что и серии ил 15 испытаний Вернул ш число :11гмгнтпрных ixiGij
той, Алтнирикптнующн* 6 успехам. ровно ЧИСЛУ ' Н"М1ЧГП*рНЫХ событий,
бл л re пр и ятетпу шщмх:
а) 9 неудачам;	б) 9 успехам;	и) б неудачам.
233 П|н)п 1ДНТГН серия и» л испытании Нерву пи, м 9. Uiapaiiri* »Нрм\ ши чш
ло элементарных событий. cirropi н- благопринтстну н т поля ичнпо:
л) 2 тли 3 успехов;	и) ровно I. 6 или 9 успехов;
б)	но б<ш*г 5 успехов;	г) мсигг 1 неудач.
234 Г1аЙД1Г1Т ЧИСЛО ллгмоитярпых событий И (Ч’рИН мл 131 испытанно Бернулли,
кегтнрые благоприятствуют полпленню:
л) 133 успехов:	0) одного успеха.
67ч Вероятности событий
в испытаниях Бернулли
Мы .шаем. что при проведении серим на л независимых испытаний Бернулли г.м-
доп конкретнее элементарное событие, п котором А успехов и п к неудач имеет пг
роятностть p*q' *.
Мы ТЛЮКГ .тнпгм. что число таких ЭЛГМСПТарП14Х событий с к успехами рпвип Г*.
Слодоплтольпо, событие «наступило ровно А успехов* имеет вероятность Ct р*<Г *.
Эту формулу чисто называют формулой Бернулли.
Cjy' Формула Бернулли, В серии испытаний Бернулли иеронпюегь события •роимо
к успохон равна
cfrVе.
где гг число испытании, р нсроятног ть уепгскв иг/ ! р оерояпюсть
меудЕ чи
ПРИМЕР I Стрелок 7 р!ш стречмит но мншенм г пе|нжтн<к*тьм> нонндянпм , tipii
3
каждом отдельном >ии<’т|>елг. Какова кер*шгность <гпб[„цг чи ень будет 1Н}раяшнн
ровно 3 ряки«?
Этот опыт серны из 7 iit*ni4*niiniii Бернулли г вг(Икяп1шгп>н» устав р = н нерп
2
ятностъю неудичн q I р . Вероятность события Л «ровно 3 попадания* раина:
3
P(^)-CW=3s[‘|’ • [з]4^0.256.
Рассмотрим топррк более сложные события, состоящие в том, что число успехов
:т)и1К1чено и некоторых пределах.
ПРИМЕР 2. Брослем игральную кость. Успехом будем опггпть пиподспне тестер
I	5
км. Неудлчвн — яыллденне любого другого числа ст коя. Таким образом, р - ., q - .
о	Ъ
Найдем пероитаость того, что при 8 б|юских шестерки выпадет or 1 до 6 риз.
76
ГЛАВА XVI.
Чтобы решить эту задачу, нужно отдельно найти вероятности того, что шестерка
ныпнлн 4, 5 или 6 раз» и их сшожиты
ctpV.W^w-jo.|1|‘. ||f. Se-[|f- ||f + 28-||f- ||f=о.зов.
В некоторых задачах удобно вместо вероятности нужного события сначала пойти
вероятность противоположного события.
ПРИМЕР 3. Проводится серия из 6 испьгпгннн Вериуллш Вероятность успеха р
равна 0,3. Найдем вероятность события А, состоящего к том, чти в этой серии насту-
пит хотя бы оды! успех.
Решение. Вм *сто события А рассмотрим П|мп иво1толожтп)с событие А «наступит
0 успехов». Вероятность этого события нднтн несложно. Учитывав. чти вероятность
неудачи g рапнг 0.7. подучпем р(А) - C<pc<7rt 1 0.3° ‘ 0.7* ---• II. 118.
С ледотште ль ни. Р(А>	1 Р(л) ® 0,882.
Чтобы найти вероятность по формуле Бернулли
в электронной таблице. используй ie функцию
БИНОМ РАСП()
На рисунке найдена вероятность того, что и 10 ис
пытаниях Бернулли с вероятностью успеха р- 0.4
наступи! ровне 6 успехов. Обратите внимание на
последний аргумент и скобкгос Он равен 0 Если
вместо 0 написать 1. гп функция вычислит вероят
НОСТЬ того, чтс успехов случилось 6 или моньше
(от 0 до 6).
•	/* БИНОМ РЛСП<Ё4;£2Е3.0)
□	£	F
N	10| О Н 1477
Р	0.4
* «
ПРИМЕР 4. В 2009 г. и первой части ЕГЭ по математике было 10 заданий с вы-
бором ответа. К каждому заданию предлагалось 4 «принята ответа» но только один
из них был верным. Если участник акзашша выбирал »»тветы случайным обрядом, то
для пего эти 10 заданий превращались в серию из 10 испытаний Берлулля с «сроят
ностью успеха р =• 0,25. Чтобы успешно сдать экзамен. участнику нужна было ука-
зать верные ответы хотя бы к трем заданиям. Какова была вероятность при таких
условиях едггп. жзамсн. ничего ire зная и выбирая ответы наудачу?
Решение. Пойдем вс|юятнютъ событии А »3 успеха шш больше». Ве|юктн£итгь
противоположного события А «успехов 0. I н и ?» равно
Р(А) =(Topp/'fl + C)'0p'<7<,+C,a,lpJ7" = O.75,,l+ 1  '2> 0.75" ч5-П. :.г 0.75* «0.53.
Значит. Р(А) - 0,47. Следпвателъпо. при таких условиях примерно 53% участпикоп,
нр знавших абсолютно ничего, пропаливались, а примерно 17% таких участников
успешно сдавали экзамен. С 2010 г. и ЕГЗ ио математике нет зилач с выбором ответа.
Вопросы
1 Запишите формулу вероятности события «наступило 3 успеха в серии из 8 ис-
пытаний Бернулли».
2 Запишите выражение для вероятности события -наступило 2 или 3 успеха в се-
рии из 9 испытаний Бернулли».
3 Как найти вероятность события «хотя бы один успех» в серии испытаний Бер-
нулли?
ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ
77
Задачи
235 FA к<''Ш*то|юм испытании Бернулли успех наступает г перпмтносгтыо р - 0,5,
НпЙДКТТГ ВО1Х)ЯТ1ЮСТЬ ТОГО» ЧТО Г» CvDHIt ИЗ I ТАКИХ ИГ1114ТЛПИЙ:
л) пл гуппт ровно 2 успехи.
б) нмгтуппт рению 1 успех;
п) наступит роппо 3 успеха;
г) осе испытания окоичагтд неудачей.
236 Ниндгп» цр|мжтп1м п. инли h’iiiih |1<П11П1 грех орлои, если шииту б|ннним :
а) 3 *>л.ш; б) 7 раа; п) 9 ран; г) л рем.
237 Игральную кость бросают 6 раз. Найдите асролтиость того* чти шестерка пь
падет:
л) 3 ршш; 0) 5 риз; в) 1 рн.т; г) <» рай; л) 2 раза; г) нп рилу.
238 ПгрОД <1ПЧ1» ’IOM фуТ<миц.Ю1П1 МЛГЧН < УД1*>< бриеюч монету, чтобы uilpl’Jir И1ТЪ.
хин команда пегрмон будет алмдеть млчом. НлАдапт вероятного. того, что и трех
матчах. кеггпрыг команда «Стпртбр» Проводит г другими КОМАНДАМИ, мич кшк
ДЫЛ ’ Ш » будет Д1МТТПКЛГМЯ именно rrtlll КОМЛПДИ.
239 Случайный :»ki НОрИМГИТ UIIUIMI’UIi’H Л И ПЯТИКрЛТИОМ брОГЛИНК < ПММСТрНЧИНИ
меннт ы. Найдите bihkmithocti. события:
л) «решки лыппдет |ХИШО 3 рЛ 1Л » J
6) «орел выпадет от лпух до четырех рал»;
и) «решил выпадет либо I рил, либо 3 рала»;
г) «<х>ел аыипдгк нгч&тшю число рил».
240 (’грелок три pci in стреляет по мишени, Вероятность пипадаппл при каждом
отдельном пыстрето рлппл 0,7 I Клкопп асроптиость события
а) «цель не будет иораженм ни разу»;
Г>) «и м три лыстрелл ппилдут л цель»?
241 В некотором исиытшшк Верауллм неудачи илступапг с мфшггиоетыи </=- .
4
НпАд|т< 1к*|юл riiucn. тик», что н «ери» из Г» тнкнх нгиытиний:
я) нятуинт рояно 2 yuiiexii;	и)‘ HMcryiiirr Гнуц» 2 угш-хон;
б)	наступит роппо 1 уипех;	г)* пяступпт мепге -I успехов.
242 В ПС котором ИСПЬГПИИШ Борпуллн успех пясгуплот с вероятностью Р‘ 0,1.
Найдите вероятность того» что н серии пл I таких испытаний:
а)	па rviiнт более 2 успехов;	и) не вес псныгнпим окончатся пгуъги’й;
б> наступит не более 2 пгудлч;	п шп улит м п« с 4 venexon.
243 Перед началом шдхмптной партии с и» п ю «пг-.п игроки определяют,
кто играет белыми, л кто черными. Остап Бендер проаодпт селис одиппре
мрин и' игры с любителями шяхмл’Т города Внгмч/и па 12 дгикох Нпндиге ш*
рентного» того, что он оудет играть белыми:
а)	роппо па 3 досклх;	л) хотя бы пл I доске;
6)	ровно па 5 досках:	г) по крайней мере на 2 досках.
244 Олегу зядали 10 одинаковых по трудноети задач. Вероятность того, что Олег
решит каждую отделыгую оплачу, рампа 0,75. Найдите вероятность того, что
Олег решит:
а) все задачи;	б) нс менее 8 задач;	в) нс менее 6 задач.
VATIT Случайные
у гг величины
Случайная величина — это величина, значе-
ние которой зависит от элементарного со-
бытия. которым закончился опыт. Чтобы пол-
ностью описать случайную величину нужно
знать все ее значения и их вероятности то
есть распределение вероятностей случайной
величины.
Случайные величины служат для представле-
ния изменчивых величин, которые встреча-
ются в природе и в повседневной жизни
68	Примеры случайных величин
69*	Распределение вероятностей
случайной величины
70‘ Математическое ожидание
случайной величины
71* Дисперсия и стандартное
отклонение
72* Математическое ожидание
и дисперсия числа успехов
и частоты успеха в серии
испытаний Бернулли
73* Закон больших чисел
и его применение
68) Примеры случайных величин
В ризных школьных предметах вы изучаете различные величины — длины и рас’
стояния, массу и темгоратуру, схсростг. и время. Р жчзльнсй нпсояе рлссмдтрнсхти
постоянные неличным. Ппа:ке вы полнлкоми лигь г величинами. которые зависят друг
от други ил.ч меняются со временем. Для описания таких величин используются
функции.
ЗШГНМЗЯСЬ СИХТНСТШСОЙ, МЫ узцнлн. ЧТО бОЛЫШШСТВО ВС.1МЧШ1 в окружающем мире
подвержены случайной изменчивости: па их значения влияет множество известных
или неизвестных случайных факторов. Про некоторые величины мы заранее знаем,
что они случайные. Например, число успехов и серин испытании Бернулли — заве
домо случайная шмичина. Другие величины принято счиглть итшшмыми, но ни сл
мом деле они изменчивы их значения во многом случайны. Важный пример
напряжение > электрической сети. В тс» же нрнмя, говоря в главе 111 о случайной из-
менчипогти, мы отмечали, что часто изменчивость подчиняется закономерностям,
нришляюшмм» ч при большом числе измерений или наблюдений. Важная лишни теп
рип пероятпе стен изучение случайных величин н их числовых характеристик.
Изменчивые п* тичппы, возникающие при проведении случайного опыта. мы пущем
называть случайными величинами.
Случайная величина — это величина, значение которой записи! от того, каким
эпемнн гарным событием закончился случайный опыт
Чтобы не 1туглт>. на письме случайные ш»лн»пшы и переменные, будем обозна-
чать случайные величины большими латинскими буквами. Приведем несколько при
мерой.
ПРПМЕР 1. Предположим. некто кпдлет игральную кость. Случайной ве.тпчи
ной X будем считать число нынншиих очков. Поскольку кубик имеет 6 граней и чис-
ло очков на каждой грани — целое число от 1 дп б, случайная величина А при ни
мает значения из множества [1; 2: 3; 4; Б; 6).
ПРИМЕР 2 Рост наудачу выбранного человека можно рассматривать как случай-
ную величину.
ПРИМЕР 3. Участник лотереи покупает билет. Цена билета фиксирована. но
выигрыш случайная величина.
ПРИМЕР 1 Время безотказной службы телевизора н ти сткрсшьиой машины —
случайная величина. Свойства втвй случайной величины важны, например при уста*
повлеки и гарантийного срока ил новую технику.
ПРИМЕР 5. Число бракованных деталей в контрольной партии — случайная вели-
чина.
ПРИМЕР б. Напряжение н бытовой апе дорической сети — случайная величина,
значения которой колеблются около 220 В.
ПРИМЕР 7. Масса расфасованных продуктов — случайная величина. Она может
немного отличаться к ту или другую сторону от номинальной массы. Покупатель та-
кие отличия не замечает. Зато производителю колебания в лесе небезразличны.
В случае серьезного смещения среднего веса в гу или иную сторону производитель
может понести убытки.
80
ГЛАВА XVII.
11 РИМ IP ч ВпЖНЫМ Примером ГЛуЧЛЙНОЙ ПСЛИЧИПЫ ЯПЛЯеТСЛ ЧИСЛО угпгхоп П гг
рин испытаний Ьсрнуллм. Пусть» например, проводится 10 испытаний Бернулли.
Число ycnrxnn В ;»П»Й ГГрПИ МПЖСГТ ПрППНМВТЬ Лй»б»м’ целое шячпниг от 0 до 10. Чш
ли неудач тихла* явлистая случайной гн • лич иной <
5	;<
ПРИМЕР 9 Можно Hi'iiKi аычисл1гГьк чему patina гумми чип*.'» и Пюгиму
W о
1НЛЧ<Ч1МС 1ТОЙ суммы lie llh 1КГТГН случлйкой 1МЧИНОЙ. ОдИЛКО rv.ru Ilin rrv I.I I.I4V
Шк контрольной рнОоТс II G H.liM tl*. ТО Полученные ОТПИТЫ могут отличаться от ПСрНО
го отмсти непредсказуемым обратом. Лозтиму итист шкодышки можно pat < мигриппп.
клк случайную величину.
ПРИМЕР 10. Монету б|нклЮТ ДП первого ПЫ11ЛДННИИ 11рлл. Число б|им’ЛНп(1 слу
ЧАЙНАЯ ПГЛИЧИИ •» tllil’H lllll’м НОТОрОЙ м<111 . т быть ЛКИМИ* пл rvpn I bliw ЧИ1 IO
Если сдучдйглп величина принимш t отдельны' точения, которые «ип сливают
си» п пнтгргшли пли отрелкп. тп такую случайную величину ШЫЫЛЛЮТ лигкргттиэй.
Например, |мму п.т.п братнин одной игра ihinni кости и ги сумма iihimhnhihk пчкнж
При двух броелкмнх кисти по дискретные величины
Н природе лнлчгинм многих случайных величин изменяются нспрсрыппл. Напри
мор. температура опаду ха и помещении меняй пц непрерывно кнутри iivitoniporo нм
торпплл. Рост случайно пыбрлнпого челппека может иметь любое нтчопнг внутри ти
которого промежутка* Такие iпучинные нсличины нилыплнт и непрерывными
7)	Вопросы
1	Чю такое алучлйноя величина?
2	Приведите два три при мера слу«<айных вегмчин. помимо тех. «вторые даны
н тексте учебника Вы мохсте легко нпин< примеры вспомнив игры, н «оторыл
ны играет Другие примеры можно наши при ^юблюденичх эл гцмодон
3	Можно ли рассматривать школьную оценку как случайную величину' Приведите
dpi умен 1ы за и протии
4	Приведи in П|Х4Мнр ДИСКрвтНОЙ и пример нннрерынной случайной медичины по*
мимо тех, чю даны н тексте.
' } Заданы
245 Серил 3oaapnutf*riaix матчей ирсимдопс д« двух п<.м >д эддей из кома ил
п Трех млтчлх ш тн нлкпж тп комамлп •»> »р	и дп- юбег w она оГгьджш
стся поСедптелсМ. п следующий млтч ужг пг пропццптгл. Можно ли считать
число матчей случайной пглгггипоП? Какие лнлчгпия может прптгпмятъ ттп
еяучяйиае •елпчмие.?
246 Два шахматиста решили провести дружескую встречу до трех побед и пяти
партиях. Какие значения может принимать случайная величина «число гм-
гряппых партий»?
247 В моментальной лотерее участвуют три типа билетов: без выигрыша (вы
мгрыш 0 рублей), г выигрышем 20 рублей и с выигрышем 1(К> рублей. Мож-
но ли считать выигрыш играющего случайной величиной? Какие значения
может пршшмить лтв иеличниа. если in pjiinuuiii покупает:
а)	один билет;
о) дпд билета?
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
81
248 В книжке 16 страниц. Вы наугад открываете книжку и смотрите номер стра-
ницы слева. Можно лн считать эту величину случайной? Какие значения опа
может принимать?
249 Какие значения может принимать случайная величина:
л) сумма очной при бросании двух игра.плых костей;
б)	сумма очком при браспннн трех игральных костей;
в)	число испытаний в опыте, где испытания проводятся до первого успеха;
г)	количество успехов п серии из п испытаний Бернулли?
250 Известии, что к классе <32 учнинка. Из них 20 девочек. Какие значения мо-
жег прнпнмлт|« случайная пелнчшш:
а)	число девочек, присутствующих сегодня в классе;
6)	число учеников, отсутствующих сегодня в классе?
Сколько различных значении может принять каждая из этих случайных ве-
личин?
69*1 Распределение вероятностей
случайной величины
Чтобы описать случайную величину, нужно указать се лозмпткные лплчепия п их
вероятности.
Распоеделением вероятностей или просто распределением случайной вели-
чины называется закон, который каждому значению случайной величины ставит
в cociBeiLtHne вероятность мго, что величина примет это значенин
Если. папрпмер. величипп А' может принять значение 5. то пужпо указать встроят
поста события «А рлппо а», Если полтгтппа X может прппяп. .тпачоппс 4. то пуяспо
указать вероятность события <А равно —4*. Такне события принято обозначать
(X - 5). (X - -4) и т. д.
Распределение вероятностей молено м
мулпмп или даже словесным оппсаппем.
Таблица 7. Число вы павших очно и
Значение У	1	2	8	4	5	б
	1	1	1	1	1	1
Вероятность	6	6	6	6	6	б
бытия (3 »• У < 5), Это событие состоит в т
ныпнло от 3 до 5 очков. Вероятность этого
гъ таблицей, графиком, диаграммой, фор-
ПРИЗЕР I. Случайная величина У
ранни числу очкощ выпивших при одно-
кратном бросании игрального кубики.
Расптшлелиппе удобно задать таблицей 7.
В этом примере вероятности всех шее
тп лилчепип пдттплкояып, Вероятность
распределена поровну между шестью
аолможпымп значениями.
Найдем, чему равна вероятность co-
in. что при одном броске игральной кости
равна сумме трех вероятностей:
р(зг'у^-ч-
82
ГЛАВА XVII.
ПРИМЕР 2, Рпгсмотрпм случайную величину 5 «число выпавших орлов прп
пяти бросаниях монеты». Количество выпавших орлов может быть целым числом от
О до f>. Не|юнтпостг> тот. что орлов случится ровно к, можно найти по фо|шулс Ги*р
нуляи:
Составим таблицу рнг пред слои ил.
Тлблипн 8, Рпспрсдслсппо числа орлов в серии ил 5 испытапип

Значение S	0	1	3	3	4	й
	1	5	10	10	Б	1
ВгрОЯГЯОГТК	32	S2	32	32	82	32
НнНдсм, чем} рпвнл ппюмтиость того, что при пяти броских монеты случится от
2 до 5 ирлнв. Это событие можно иаиисять (2 А» 5|, и его вероятность (ыинл
13
10'
>2) -
10 4 ‘% 01 + '
32	32	32	32
ПРИМЕР 3. Количество попыток о серии н< ггитоьгп .о ш jtn_.ro пехп. если перо
ятность успеха j каодо.м испытании равна р.
Отшгше от Двух предыдущих примеров D ТОМ. что у случайной величины «число
попыток до достижения первого успеха» (тгдлопем ее X) лначепип бесконечно мно
m от 1 до бесконечности. Не будем изображать бесконечную таблицу, а «шдадим
рп ей редел ин не форм ул ой:
Р(Х - fc) - pq* *,
где q 1р тто дероятпость пгудлчп в каждой отдельно взятой попытке.
ПРИМЕР 4 Иногда распределение вероятностей случайной величины можно изо-
бразить с помощью столбиковой диаграммы. Па гориаоитпдьиой оси отмечаются зна-
чения. » высоты столбиков ровны вероятностям с<игг«етсгвумпцих значений. Димгрям-
мп I погт|1о«чш ип основе давчепий таблицы Я.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
83
Диаграмма I. Распределение вероятностей случайной величины Я
Основное свойство рос проделе нмя. Сумм.» асех вероятностей и рас отделе-
мин любой дискретной случайной величины равна 1
Объясняется это свойство тем. что сумма вероятностей всех значений случайная
величины радии сумме вероятностей всех элементарных событий эксперимента.
г \ Вопросы
1	Что такое распределение вероятностей случайной величины?
2	Сформулируйте основное гяпйстно распределения случайной величины
3	Всегда ли различные значения случайной величины имеют равные вероятности?
4	Приведите пример случайной величины все возможные значения которой имеют
равные вероятности
Задачи
251 Задайте с помощью таблицы рлен редел инне вероятностей случпйнан величи-
ны X. рДВПОН ппглу Орлов. ПТхГПНПШТ ’ пр I
а) одном;
6)	двух;
в)	трех бросаниях мопгш.
252 Опыт состоит в бросании двух игральных костей. Заполните таблицу распре-
деления вероятностей и постройте со<тпк*тстпующне диаграммы для случай
ной величины:
а)	наибольшее из двух выпавших очков;
6)	наименьшее из двух выпавших очков.
Указание. Наибольшее из данных чисел — это число, больше которого пет.
Поэтому, если числя равны, то считается, что каждое из них наибольшее.
Например, сели оба раза выпало три очка, то считается, что наибольшее вы
ишиасе число очков — три. То же самое с наименьшим значением.
84
ГЛАВА XVII.
253 В таблицах 9 и 10 дано распределение вероятностей некоторой Л1ППИП.1. Одпа пэ вероятностей неизвестна, Найдите се.				случайной нс-
а)		Таблица 9		
	Зилчгниг	1	13	4	5	6
	1	1 1	1	1
	Вероятней ть W	3	6	4	8
б)	Таблица 10
Зилчяшс	4	’3	-2	*1	0	1	2	3	*
Церон—нгнтк	0.05	ОД	0Д5	0,18		одн	0.15	од	0,05
254 Распределение перпяткоггсй случлйний величины X лидано таблицей 11.
'Гибли mi 11
Значение X	0	0гб	1	1.5	2	2,5	3	3,5	4
Всрспгчюстъ	ОД	0.04	0.2	ОЛЯ	0,05	0Л5	0Л1	0.1	0.07
Найдите вероятность события:
а)	(1 < X < 2.5);
б)	(X = 0.б или X > 2):
в)	(X > 0,4 млм X = 2,5);
г)	(X* — целое число).
255 По таблице распределения (табл. 12) постройте диаграмму расиреледепня еду-
чинной не л и чины Z.
Таблица 12
Значение Z	-5	-3	-1	1	3	5
Вероятпогть	ол	0.15		0.25	0Д5	ол 
256 По дппгчпмме 2 постройте таблицу рлсттрс де лепил случайной пглтгпптът Т,
Диаграмма 2
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
85
704 Математическое ожидание
случайной величины
Рассмотрим случайную величину X и ес
рясщищедонвг, .шднижн? таблицей 13.
Если бы у нас был числовой набор
11 мы аншш бы частоты значений, то мог-
ли бы найти среднее значение кик сумму
произведений различных значений и их
частот (см. ч. ! ни с. 60).
Таблиц» 13
Значение X	*1	*1	хг ... хл
BrpOliTHDClb	Pi	Pl	р» — р.
В донном случае мы имеем дето не с набором, л со случайной величиной. Вместо
частот пам жлюстеш пероятпогтп пппчшпгя. Если умножить толчгппя случайной вс
личины ня их вероятности и сложить произведения, то получится некоторое среднее
значение случайной величины. 5>го среднее низынлют математическим ожиданием.
Математическое- ожидание случайной величины X обозначают ЕХ или Е(ХР- Мы бу-
дем пользоваться скобками только при необходимости.
Математическое ожидание случайной величины это сумма произведений
значений этой величины и их вероятностей
ЕХ - xtp! +	4- ха/», f i х.рл.
Матемнти1 ее ное ожидание иногда называют ожидаемым значением иди средним
значением случайной величины» Математическое ожидлние случайной величины и.»
меряется н тех же единицах, чти и сими величмня (средний рост я сантиметрах,
средняя темьерптури в п,аДуспх).
ПРИМЕР. Пусть случайная величина X равна числу очков. выпавших ня одной
игральной кости. Вероятности выпадения каждой грани одинаковы и равны
(см. табл. 7 ди с. 82),
«	. 1 .. 1 .. 1 . , 1 х 1	1	1 + 2 + 3 + 4+54-6	7
Поэтому ЕА = l'6^2 ^J-t.+4-b^5 ->б-б = -------------------- - =3.5.
/* =CY'. Mn»V«3R4C3Ca.biO5l
Чтобы найти матнма1ичесжое ожидание
& электронной таблице, используйте
функцию	Cwiiwrpuim Ьероипюсли
СУММПРОИЗВО
200	0.1
Решение задачи про лотерею (с. 87} по-	.. .	(|
казано на рисунке.
Мгппж	4о1
а
______________________________________________;__________________	J
1 Букв» Е от инiлийского сломя гх/жсГаОпл «ожидание». Обратят^ ммимннми ни то. что
в обозначении митвмнтнчоскпто (кк и до ним букш! Е пиин-ттл прямо, л иг курсивом.
86
ГЛАВА XVIL
0 Л
0.М5-
0,1Г
0,1 Л
0.1
О,(1Г> -
0
• (HI
Рисунок 64 Математическое ожидание
точка равновесия диаграммы
Физический смысл математического ожидания
Смысл математического пжидпнид можно i фоня л (остри ргтлть с ihimoihmu дингрдм
мы рнси^н’делгнмл вероятностей случайной велишшы. Если представить, что дпв
граммя пыргдппл па лпстл кдптппл
или металла, то мата мигичогк(м>
ижиллние — точка, в которую про*
актируется центр мш< дипгрлммы.
Пл рисунке 61 шжл:шно распреде-
ление некоторой слуплйпой ведгош
МЫ X. Ее MBTUAIMTlfчет кое пв нданиг
рппно 5.09. Если шеи иннггь» под
точку с пбгцн1Ч’( о 5.05) опору» ”> ДИ
лгрдммл буДОТ 4ОХГ>Л1ПЧ^Н П РЛ1П1О
всеми.
Мы ликам, чл> таким же снпйсг-
1И1М обладает среднее арифмгтнче
скос, которое глужит «центром
МАСС» ЧИСЛОВОГО- паборл (см. Ч. I
и мл тематического ожндлкнн гни*
с, 33), :>гп общность свойств среднего лндчепнк
рал подчерки нпгт их единую природу.
lilt
случайной	— теоретическим аналог
М а темат .ячее кон ожидлн не
кого арифметического набора массива данных
Расскажем о двух важных применениях математического пжпдпппп
Лотерея
С одной стороны. погорая должна быть привлекательной должны быть большие
выигрыши, л выигрышных билетов ДОЛЖНО быть ДП1ЮЛЫ1СТ много
С другой лотерея должна приносить доход орган н.заторам догорев, то есть с уч
мерный выигрыш ДОЛЖСЛ быть МГИЫШ* лб(ШЧ1 выручки. Добиться ИТОГО 1ШВерНнШ1 ш
возможно, поскольку неизвестно, сколько билетов будет (мкцроднпо. Звишгг, этого
нужно добиться С бопанои Kej МНИ* ПИГГЬЮ. З.рчч. Ин ПОМОГИ ПрИХОДМТ irupHX KfpiVITKo-
стен. Она помогает установить цену билета, при которой логе|м»м при нт и чн гл нши’рнл-
ка прншювт прибыль.
В лотерее должны быть большие выигрыши поэт» му .и г>с_> тли что Ш1 Г . биле
тов выпадает выигрыш 2000 р. Выигрышных ПЛ- ТОВ долг по 6 и . немало, Пусть
10% билетов двгот выигрыш 200 р.
Участник лотереи случайным обра
□ом выбирает оцнв билет. Найдем
математическое ожщппис случайной
величины X «выигрыш учшггннкн».
Запишем распределен иг н киле таб-
лицы (табл. I I).
Математическое ижидвние выигрыши
ЕХ - 0 0,R9 4 200 > 0.1 4 2000 0.01 - 10 <р.).
Чтобы лотерея примости доход, иена билета должна быть больше, чем средний
выигрыш. Если назначить цену билета 50 р.. то средний диход от продажи одного
билета будет ранен 50	40 в 10 (р.).
Тийтннд 14 Распределение выигрыши
н л «те рее
1 \ Выигрыш, р.	0	200	2ГЮО
Неро 1ггнпеть выигрыша	1 0.Н9	0.1	0.01
рамно
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
87
Разу моется. мажет случиться так. что па спай билет участник лотереи получит
большой выигрыш, Но если бы некто решил купить нее билеты. ТО ему ДОСТАЛИСЬ бы
все выигрыши, мо и среднем он достопгриа потерял бы по 10 р, ял каждый куплен-
ный билет.
(О Ток у .троены иге потерпи: математическое ожидание выигрыши мн один би лот
меньше цинь бишчн
Это условно является непременным. оно oftccui’HiiBMOT доход организаторам i<m
рви. Чвлонок, который |Н’П1нл сыграть н лотх'|жю, должен понимать ото. Можим рас
СМИТрИВЯТЬ литорею КПК |>ЛЛДОН»ЧГ11Ш\ |«j Hit Kill- гннгнб получить МНОП1 ДеННГ. Hlll.1-
XIII* ГТрЯПЧ'Н I. которые мкибы ТЮХ1ШН11«ЮТ ИЫНГрЛТЬ II jo epviM, Ы ГНМ<’М Ir U- ||(< рц
бати и гг млтомнтичоског а^иданвь выигрыин' чеяыкг цены билета
Чем больше мит. магическое ожидание выигрыши, тем больше билетов требуется,
чтобы устроитель кгггрои получил ощутимый доход. Чем меньше млтем1ггическое
лжндпнмн. тем меньше людей привлекает такал игра. Полтму организаторы акт нерп
ментильным путем определи ЮТ Пл ибо нт МЫГОДНЫе углопИП ЛОТРргИ, П|ШД\МЫИаИ)Т
разнообразную рекламу н часто гтарлютгл сделать так. чтобы оцепить ажнллние вы
пгрышп было inчюзмоясно. Это не значит, что п лотерею нельзя выиграть. Иногда
ЛЮДИ пынгрыпдют. И даже Крупные гуммы. HQ II коночном птпп основной доход
всегда имеет организатор 1"П’|н«и Koivui игроков много, одни выигрывают, другие
нет. деньги чг[и’ршчцм*д<'лян»то|1 между ними, н при пом ihii'iiitmihiuni часть денег
достается устроителям лотереи
Если часть средств, вырученных от лотереи. идет на нужды культуры, спортн, нл
содержание бэлыпгц н другие обществен по пожмные цели, то такие латгр«*н ил.илвлютел
fijtnniTHopHTt1 ihiiiiiMii. Iln iHioyio лотерею и ни любой игральный лвтомит требуется
гпецилльпос разрешение (лпцеилня). Если кто-то устрлнпигт игру ил деньги или не
ЩИ без лицеи Iин. ТО по НЛруШСННС ЗЛКО||||, П СЯМ оргииН11ЛТ1>р ТОКОЙ лотереи, скорее
всего, мошешшк. В такие игры играть нельзя.
Обязательное страхование автомобильной
гражданской ответственности (ОСАГО)
Полис ОСЛГО должен иметь каждый владелец автомобили. Влпделгп н стрвхоппя
компания :иии>ючлют договор страхования. Иродьная кигоьл. ле, ну полис, страховая
компания берет нп свбя обнзательстяо возме-тить уцепГ fe npi и«лпх определенной
суммы), который ггот и нто дошл елец нанесёт окружякпним я случае дорожно-
трлненортното происшествия, случи мин» гос я по его пине.
Страховая сьшлдто язляетол елут1дйией зшячизей, но, чтобы эгрэделкть стен
мость полиса, пока ДТП де произошло, нужно знать математическое ожидание стра
хопоп выплаты нл один застрахованный пито мобиль.
Разумеется, часть стоимости полиса идет в доход страховой комгпиши, ня которого
выплпчнвлетгл .зарплата сотрулннклм. опллчинлетгя лрендн н с(|дгржлине офисов, ня
логи и все текущие расходы.
Стоимость страхового полиса складывается из математического ожидания стра
хоаои выплаты и доли, идущей в доход страховой компании
88
ГЛАВА XVII.
Вопросы
1
2
3
257
4io t.ixw мнтнмагичнсхое ожиданию и1учайной нвпичины?
Можпт ли быть так, что все значения случайной величины положительны, а мп-
темптичт-скоо ожидание мои шшичины отришмелыю?
Чему равно математическое ожидание числи очков лыпапших при бросании ОД-
НОМ ИГрЬЛЬНОЙ КОС1И?
Задачи
В тиблнцлх 15 н 16 дано рмчииодслетн* иероятиосттй случайной пелнчины.
Найдите мпп< магическое ожидание «той величины
п)	To&lliiui			15			
	Зиачсмие	1	2	3	4	5	0
		]	1	1	1	£	1
	Вероятность						
		У	в	12	4	1В	3
6)			ТнГнп11р|	16			
	Зпачокнп	-а	-2	-1	0	1	2	3
	Не|питиосль	ИДМ1	0.12	(1,21	0.26	0.(Н	0,05	0,24
258 Найдите EZ, если елучпЙшш величина X с рапными яероиттмтимп ирипммнш
а) все целые эпичиння от 15 до 15;
ft) все четные целые значении от 2 до 16.
259 Нл вокзале игрок иредлшнст прохожим игру. Он .шжимлнт в кулдю* носовой
плиток тик, что 4i-ri.t|«e уголки торчит наружу мг.кду олльилми. Прохожий берёг
плиток да доп yrwuui и пытигиипст его. Если прохожий вытитшт иллтож дл со
с едкие уголки, то tTpottrpWBai’T 50 р. Если прохожий ш.гтягиплст дпл протипооо
ложных yroruui. то иынгрып.к-г 50 р (лн’гиш.тг p.irnpe/u- IHHIIP и Hiduune ммп-м.»
ТИЧвскш inini.tiiiiiir случайной нелнчниы V •пыиг|1ыи1 прохожего».
260 OjiiiiiiH.t лор кнереи нипеча ги л чпЧ'о 10000 нн«|иЧ1пы. билетнп. Цена нам,
доги билета 50 р. Иавеетпо. что 1000 билетов длил- пыигрыш 100 р.» еще
it 10 билетах	выигрыш 1000 р., а нп 1 билет приходится глпппый
выигры!'! 10 000 р. Все iiiwiHitr билеты бел ныигрыша. Найдите митематиче-
ское ОЖЛДПНН1* случайной величины «нынгр1 in ы шин е чанный лите|н*й
иый билет*, (ринките средний выигрыш с leiioii 6нл**гв
714 Дисперсия и стандартное отклонение
ЗлППМПЛС!. СШПСЛТСЛЬПОП ГТПТИГТПКО1Ь мы говорили, что рдссспплпис зппчглпп ил-
мгрннп г JIOMLHIU'HI JUH'lirpi ни и гтинупцп КОГО ОТК.’1ОНеННН
В теории веромтногтий речь ндот о случайных велнчиннх. Для опнсинил рпгееи*
вавпя случайной величины исполмуются анллогнчнме характеристики: дисперсия’
и стандартное отклонен нс случайной величины
1 Игпплългтлнгтр п.тнпгп и того же глплп едпгпрргпЯй для измерения рлггеппяппя числовых
чнегммиь и ел v’lh ни их впличнн ИИО1ДН cimaeH* неудобства* В ниглоязычиой 1нп*ратуре ш дис-
персии случайной шмнчины <шцр используется слово 1югшлге (влрнлцня, кшинншне).
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
89
Обилнпчпют дисперсии» случайной величины 1)Л* или IX.V) . Кик и в случае с мат»
МПТИЧГСКИМ ОЖИДППИСМ. М1>1 будем НГППЛЫИНШТЬ скобки ЛИШЬ При необходимости.
Дмспорсиой случайной величины Л' называется математическое ожидание слу-
чайней величины (Л' - ЕЛ’Н
ЬХ  Е(Х - ЕЛ')’.
Если npMcMoTjx*w*i* ш можно увидеть. что дт tu p ин случл1Н1ой п<-тичины устро
•ни тик нее. как дисперсия чш лоиого ш|Парж СлучаЙння ннлнчннн V КА атп <гг*
клоненно от среднего .iiinneiuiM. Значит, листан.’и я *то матемятнчг<к<н ожидлинс
квадрат отклонения случайной величины от своего математического илиииишя.
Дисперсия случайной тличины ранни сродному ж нал рагу иилтчтния лтой слу
чойней величины ui своего среднего
Дисперсия случайной величины пеотриздтельшь Чем они меньше, тем менее перо
л тип. что тгл случайном нгднчппл примет значение. далекое от математического ожи-
дания.
Если дисперсия случайной величины мало. то мала нероятмость г пт о. что глу-
чнимрн iHoiHMHHii примет значение, значительно опвичдю1цпсся 01 miitpmihmmv
ского ожидания
Ес.ш же	равна нулю, го случайнее водцчшш А’ принимает единствен
пог зпдчеппг. Это осшачлгт. что случлйпая пгтичипа поетол>пп1.
Стацхартным отклонением случайном пеличины А малишюгся «вадратным »<
реи», из дисперсии;
ЧП.К=ЧЕ|Л' Е.\|л
Налианне •<inндо|л*наг отклингние* юморит гимн ля ггбм — лти >WKimi|Mie <*|И‘Д-
нгг. T11IIIHIHO’ (>*| Ь 1О1М ИНГ 1НЛЧ1Ч1НЙ глучд|п|мй II* ЛИЧИНЫ ОТ «V МИП’МПТНЧ.’-С глн
ДАНИЯ.
Нп рисунке 03 поппзаша лнш рлммы двух рагапел л» .ч и. М •-емптнчегкиг пжндл
ния а в обоих случаях одинпхопы» но crniu 4 и т чти нн рдспреде/ичшя4 по
ка^шнного гл.‘Ш1. больше.
Рисунок 65. Два распределения с разными стандартными отклонениями
90
ГЛАВА XVII.
Нил Ito, что ип рнсуикг* ГПрППЛ ПСрпЯТПоГТИ .шпчспнй. близких к а. боЛГ.ШГ. чем на
рисунке слепа. Дипгрпммл сирппл пыглядит уже и Iibime, чем лнлгрпммп слепя
9)	Вопросы
1	Сформулируй г г ппрмдепощю диегюг* им случайной прличины и илишии- фор
мулу для дисперсии.
2	Чю такое счиндщлнои и1клонннио случайной величины? Запишите формулу
стандарткосо отклонении
3	Результат измерения площади жилой кемиты случайная величина которая
измеряои.'я о квддрдтных метрах. 0 каких единицах намерятся дм me;* и я згой
случайной величины? 0 каких одинм!до измеряется стандартное отклонение
этой случайной тшичины?
2/ Задачи
261 Проводптсл один испытании' ВсриуЛЛМ с верши кистью успеха р 0.5, Слу
чайная величина S равна числу успехов в этом испытании.
А) Смиымч» ТаОЬШЦУ распределении случайной величины Я.
6) НпЙДПГГ ДПСИГрГПЮ И ГТЛНДЛрТИПГ ЛТКЛППГ’ППГ случайной лелпнины V
262 Впнлрппп случайная велпчипп 1 ранил ГДКННЦГ С ХН'РОЯТИОГТЬЮ р и пулю
с вероятностью q, Найдите дисперсию [)/. если
А) р - 0.8;	б) р • 0,1;	A) q - 0,1;	г) у •* 0,4.
263 Монету бросают 2 piuin* Постройте распределение и найдите лн< Персию слу-
чайной величины «число вышииинх орлов*.
264 Найдите стандартное отклонение случайной величины. сети ее дисперсия
рлинл:
10 26:	б) 0.86:	и) 0.04:	г» 2,89,
265 Найдите диеп1’рг1пл случайной валичкпы, если ch стаВДАрпюг отклоненнс
равно:
д) 7;	б) 0.9:	и) 1,3;	г) 2.4.
266 В тиблнцс 17 1ПНО рПГНр«4Д^Л1ЧГНС nrp'HlTITor н*й случайной величины \ .
а) Состпяьте распредели ине случайной величины X EX I спел о пенни пт мате-
матического ожидания).
б) Окта ил е рлсирсдслеиие квадра	1>|Ппмнл 17		
та откясн1свшя (X E.V)1. в) Вычи Л1иг ;ин пергпю случайной	Зидчккиг X	1	2	3
ААЛИЧШЫ X. г) Нандр г- г । «ндер’пнн* о*п ч'ЧР?нк*<ч	Верпкгвост>	0.4	0Л	ол
величины X.			
267 В таблице 18 дано рлгпрсделолпг вероятностей елд^гаинои величины X.
S а) Сосгмаьтр распредвлиние мтклояеяиж .V ЕХ.
б) Соетппкп» рлепдод^легние кпчлрн-
та отклонения (X ЕХ)’.	Таблицы 18
н) Вычислите дисперсию слу'шйной величины X.	Значение X	-3	-2	-1	0
г) Найдите стандартное отклонение величины X.	Вероятность	0.2	0.3	0.3	0.2
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
91
724 Математическое ожидание
и дисперсия числа успехов и частоты
успеха в серии испытаний Бернулли
Число успехов
IЫпомннм. чт<> серией испытаний Вернулам ал вывеются посдедовитсльность нд
л одинаковых пепдввснмых испытаний. каждое ио которых может окончиться yew
хам с воражтностыо /» или неудачей а вероятностью I р
Число успехов а серки испытаний Вер нулям это глучпйклм оелнчнил. (Хймнл
чмм гг буквой Я. Тогда формулу Бернулли можно записать тик:
P(S 4r) C>V •.
Случайная величина Я «число успехов о серин испытаний Вернудли• имеет мат»*
МЛТИЧ1ЧЖ<>е ОЖПДНПМГ К Л11('ПГ|Н inn
Теорема, Матемшические ожидание и дисперсия чи1 /м успехов s раним i q»h
нететанияо EX пр и l.).s npq
Следствие. Стандартное отклонение числа успехов ровно
Л>я
примем ;гу тепргму бгл докл тлтр.тьстпл.
ПРИМЕР I П|н*ди<Н1(глсим» производится серия ко п 20 испытаний Бернулли
с вероятностью у< игхя р = 0.1 Тогда мятежа? и чес । ое ожидание чн« ы успехов рамно
ЕЯ - пр - 2G 0.4	8. л дисперсия равна DS npq - 20 0.4 0.0	1.Я.
ПРИМЕР 2. Стрелок и тирс пп тренировке 20 pen стреляет по мпшгпп. Нпйдсм
среднее ;имч чшг и стандартное отк loiwmir числа попаданий. оелп иллегпнч что иг
роятипгть ноллдлнкн при каждом отдельном пыстрелс р/нши 0.6.
Ргшсмлс. Обоокачмм случяАиую iirjutHiitiy «число иопидмнмА» буквой Я. Сорим иы
стрелов ;ло серим ил 20 испытнппй Бириуляп. Всромтаость успехи рлмип OJk л нс
роятмость меудачи рмлкп 0.1. Тшдп
ЕЯ - 20 0.6 - 12. DS - 20 0.6 0 4	1.8
Слсдовлтсльни. стднлартпоо uTiuioiionno рив и>	, 4 4 1,19.
Частота успеха
Частота успеха н серии испытаний Бернулли — также случайная величина, кото-
S
ряд рлнна . Обоаннчим эту случайную неличипу буквой F.
п
Частота успеха F п л pmi меньше, чем число успехов Я. поегожу среднее аначенис
и стандартное отклонение частоты также в п раз меньше, чем среднее значение
и стандартное отклонение числа успехов. Доклзятельстпо птих фактов мы нс при во
дим. но ато интуитивно ясно. Поэтому
1	1	f---	1	fpo
EF= ЕЯ-= -пр-д и VDF»
Г1 л	п	\ п
92
ГЛАВА XVII.
Ойрлтнтг пппмйппп пи то. ‘пт» с ростом числа политипий п мотсмаппоскоо ожило
пне частоты успахл не меняется: оно равно mviioh itiimth успеха. Зато стлидлртмос <>г
клпнание умепынпегая: при п«.грпнпченном росте п пыражение стпнопнтся псе
меньше и меныне. нрнПлижпшж к 0.
(Т) „
у£У При увеличении числа пены гамий о серии нелишний Бернулли математическое
ОЖИДЛНН частоты yrni .НЧ11М»Ч»Н<» И p IHHO рй I сындирпкн I» гИЯНПОЧ* Ч4Н
тоты J,>,? приближается > 0.
) Вопросы
1	Чему рнино ожидаемое число услехин 5 при нерояпннпи успеха 05 в сирин нт
20 испымнии? Подбросьте 20 рал монету, считан успехом выпадение орла Под
считайте чист.* наступивших уелшиш Совпало ли число успехов с о«идаемым
значением? Сильно ли оно отличается от ожидаемого значения?
2	Производится серия испьплмий Бернулли. Выбсрт»* верной упяч'хдннмн
а)	чем больше вероятность успеха, том больше математическое ожидание числа
неудач;
б)	чем больше вероятность успеха, гем меньше мэпямэтичзджое ожидании числа
неудач
в)	среднее число успехов зависит только от числа .нсперимонтов и не слязано
с вероятностью успеха
3	Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии случайных ве-
личин •число успехов* и 'Частота успеха в серии из л испытаний Бернулли
с вероятностью успеха р
4	П|юнодм ся дне серии испытаний Бернулли длины л Вероятней успеха н пер-
вой серии раина 0.2. л во агорой вероятность успела равна 0,8 Нс гтроитпда
вычислений. < рзпните
а) матеь пиче» кие ожидания числа yi пехон в переои i vpin и во eiofKia « ',ми
6) дисперсии числа успехом в первой серии и но второй < нрии
5	Число испытаний п увеличивается Кл* себя ведёт при атом
а) математическое ожидание числа успехов,
б) матеыати'юское ожидание числа неудач
а) дисперсия числа успехов;
г) математическое ожидание 'чкпшы у<:.и!м
д) стацдзртног отклонение частоты успеха?
6 Верно ли. чю в сепии испытаний Бепнулли диспепсия числа успехов оавна дис-
персии числа неудач?
J Задачи
268 Па палу рипчипвли содержимое коробки, и Kirrtipofi было 100 канцелярских
кнопок. Каково м^гемвтнческое ожидание числа «оилевых» кнопок, лежащих
остриём вверх, если вероятность падения кнопки острием вверх равна 0.15?
269 Игральную кость бросили 120 раз. Пойдите математическое ожндпиис слу
чвйпия величины:
л) ♦ пыплпшег число очков делится нп 8»;	6) «выплял шггёркл».
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
93
270 В тесте из 16 задай каждая задача имеет 1 нарнаита ответов, но только один
ответ из четырех верный. Миша не готов к тесту и выбирает ответы наугад.
Найдите ожидаемое число нринилъных ответом» которые Миша угадает.
271 По полу ригсыпнли содержимое коробки» в которой было 100 канцелярских
кнопок. Кнопка пндпгт острием нверх г нероятностью О.Зв Найдите лнспер
сию в стандаргиос отклонение величины «число кнопок. уиаиших остригн
натру •.
272 Игральную кость брогплп 13 500 раз* Рассмотрим случайную величину X,
равную числу бросков, при которых:
а) выпавшее число очков кратно 3;	б) выпала пятерка.
Найдите DX.
273 Известно, что 40% жителей города считают. что центральный парк нуждает-
ся в реконструкции. Для последовой и я общественного мнения по пому по-
npocj доб|м»волыЦ11 опросили на улицах 1800 случайных горожан. Найдите
математическое ожидание н стандартное отклонение частоты ответа «да» пл
вопрос «Нужна ли реконструкция в центральном парко?».
274 Производится серия выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каж-
дом отдельном выстреле равна 0,3. Подсчитыншчсл чпстотн попаданий F. Нан
днти математическое ожидание ц стандартное сткднненме величины /•’, если
всего про шли» де по:
а) 10 выстрелов; б) 1000 выстрелов.
Во сколько раз стандартное отклонение но второй серии меньше» чем
в первой?
275 В условии задачи 274 в первой серии выстрелов оказалось 5 иопадцний» я во
второй 286 попаданий.
а)	Игидите отклонение частоты от своего мятемятнческпго ожидания в пер
пил серин. Что больше: истинное отклонение частоты или стандартное от
клонепне частоты?
6)	Ответьте пл зтп же вопросы для второй серин.
276 Проводится серия ил л испытаний Бернулли с вероятностью успеха р.
а) При каком р дисперсия числа успехии ннибозыпая возможная?
6)	Чему равно наибольшее возможное стандартное отклонение числа успехов?
Атсааннн* Рассмотрите ныражени* длн дисперсии DS - npq как ккпдрлтпып
трехчлен от pt у = п(р р“).
Закон больших чисел
и его применение
Измерение вероятностей
Когда говорят и бросании енмметрн’шой монеты, иредпошгают, что вероятность
появления орла радна 0,5, Говоря о бросании игральной кости, предполагают, что
вероятность пыпадепия любой из шести грллеп равна ". Мы так делаем потому, что
монета и кость симметричны.
94
ГЛАВА XVII.
В других случаях тоже тгогдл делают предположения о вероятностях. Например,
считают, что день рождения случайно выбранного человека с рапными шансами Мо-
жет приходиться на любом день года. Это нс стигм тан, но близко к истине. Но
II бо I t.l 1111Н1Г111 случаен ВС JM МГН I ОСТИ событий Hril.iinTHII.I.
В Л НДС Л ИЦ II мпгиаииа Л1П’Нрггу«'Т UB|K>HTI<OCTb ТОГО, ЧТО клиент гонерплгг покупку.
Покупателя, lip 1о6р«’Л пиши io Tt iriiH.Wp или гтирлишую машину. ИЛТОрегуот и\ ни
Ложность, то есть вероятность того. чти купленная тчц>. прослужи! долги. Узнать
или иы числить нероатгпн-тн и я тих случаях мы нс можем. В и 17 (ч. 1| мы гою»ри
ЛИ, ЧТО п ТЛ1С1П случаях ИС1К1ЛЫ1уЮТ оценку ырситпости V ПОМОЩЬЮ частоты, т. Г
оценку по выборке. Это НОПНЧ111Ы11 способ luiMrpriiiiH лсролтноотгА, он отпоили на uv
коне больших чисел.
V1Z Одно из прошипший закона большим чисел состоит в том. что при многоирвт
ном лоиторонии одного и тою же опыта чдогты событии п этом опыь Йуду>
близки к их вероятное him
Строем докасштильстно who утверждения мы не припилим, поясним лишь, почт
му так получается. Послсдивстельпость попторлиинихся и иг:швпгимых опытов меж
ни рассматривать как серию испытаний Бернулли. Пусть испытаний л. нсизвсстпнл
ыцюлтншггь нужного события (успеха) рання /». и HhMiqwniniui частота успеха ровня F
Мы зияем, чти ( ростом числа н среднее тмчснис частоты равно //. а стандартное
отклонение частоты . мепьншется. нрнГМ|ижлчеь к пулю:
RF- /ч Jdf-J— ~»а
Поэтому прп достато*ти больших л частота F изучаемого событии мало отд шшотс л
от его вероятно! тм р.
ПРИМЕР 1. Крупная почтовая компания амключмла договор г ГГ-комнаннгй на
обслуживание компьютерной системы Компьютерная епгтомл обширная, она
охиатывпгт множество городов, и пен десятки тысяч компьют* |юп, и иголки < туча
ютгя сбои или отказы, которые нужно быстро устрашт».
Рассмотрим событие Л «сбой устранен менее чем за 8 члени». Будем считать гго
событие успехом. Оцепим hcm.iwccthvio вероятность р атого события. Каждый «идгль
иый отказ обору дивинил можно рассматривать как испытание Бернулли. Начнем от
счет с «едкого то момента
Известно, чтс 71,2% отказов на первых 300 б ?л . стрючч.ы м н. • чем за 8 ча«*ов
после сообщения <н» опелле> Иными । липами, и серии M i ЗЛО иснытний < пбытие А
имеет шн*тоту 0 712. H i t лелухмцих 300 « боен гольш 19’^ были упрюн-нм менег м л*
ал 8 чпсоп, т. г. по второй серии ин испытан и и частота успеха ралнжгггя 6,49.
Но если рассмотреть объединённую серию мл ООО испытаний, то и атой серки чистота
успехи pjMina
300 0,7124 300 U.19
600
* 0.601
(мы проводим вычисления с точностью до тысячных). И тяк далее: каждая следую-
щая серия на 390 испытаний вносит свой вклад. Чистота события А меннпгя от се*
ркм к серии, по частота в объединенной серый, в которой нпкаплшшкт^я все новые
п пптдг ппблюдеппя, постепенно гтябплпппруется.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
95
I'pnctntK этого процесса показа п nil piirynw (ди а гр, 3).
Дин грим мл Я. Стабилизация частоты события
0.71П
0.(160
0.010
0.Л4Ю
—Iгпг—Iгпг"п—।—।гп।—।гпiгпiгпiгпiгпiгпiгпiгпi—i—iгпiгпi—iгпiгпr
//////////
Чем больше мс питаний. том меньше пэмгнчнпость частоты события А. Если «сны
тяннЛ мииго, то, скорее негто, частота события А близка к нго в«»|м>ятн«><*п1 (напри-
мер, можно считать частоту и шфпншиеть близкими, ггли различит между ними мг
нес 0,001). ПйЧинли с какого то момента ггу бяи.шггь мшкио считать прльгпчегки
достоверным гобытием. Напротив, событие •частота далека от ннрояпни-ти* с ростом
числя HviiMTirriift стинояитня мн iimiepoHTHidM. и нго можно не принимать п расчет,
пользуясь принципом прлятической невннможши-тн (гм. ч. I. и. 30).
Пусть, как и прежде, 5 и F тги число успехов к частота vriirxa и серин мглы
тпний Бернулли 1Ъория ясроятшм ттй не только утаерждпет. что при большом числе
испытании п пгрпо прпб.тозкгштое рапепстпо
р • F- ,
* л
но и позволяет оценить точность ятоп» нрнбтнэь^ння.
Если МЫ СОбИрВСМСН ШПОЛЬИШИТЬ ЧПСТОТУ события UMi t’TO СТО Ht!li:ilM*CTUi*H вероят
мости, то хотим, чтобы отклонение чистоты от вероятности было малым практически
плверилкл. Предположим, что пяг устроит паморемтнг nejMnrrnorni р С погрешностью
не балет 0.05, то »ч1тъ мы хотим, чтобы яынолня кюъ пирдетнетво
р 0.05  F < р + 0.05.
Следовательно, нужно выбрать л так, чтобы вероятность вьиппнення *того перл
пснсттш была близка к единице. О>сд.тьша«атгл. что уже при п - 100 вероятность пы-
пплнгния mvrn игрлнгигпш больше. чем 0.Н Тип (И1|миом. ри л 400 иигрчп
погть измерения с вероятностью 0.95 иг и| ’п; | ин» ( <>
Можно ДОСТИЧЬ меПЫПЯЙ погрешности и большей ДОСТШИфНОСТи. Например. при
л 1850 погрешность намерения не превышает 0.03 г верол гшнтью. большей
чем 0.99.
При измерении вероятности с помощью частоты следует помнить о двух вели-
чинах: допустимой погрешности измерения и вероятности того, что эта погреш-
ность не будет превышена
Чем меньше допустимая погрешность и чем выше желаемая вероятность Леэ
ошибочного измерения, тем больше опытов требуется. Ин практике зги очень важно,
поскольку большое количество опытом требует много времени и средств.
96
ГЛАВА XVII.
Социологические исследования
При большом числе испытаний Бернудли в силу закона больших чисел частота успе-
ха близка к его вероятности. Этот результат важен дли социологических исследований.
ПРИМЕР 2. Пре.п<ц«^ну что мч<* чятчрч*у«т	додя чубпрчтолеч. «оТСнму
шщдержять нн выборах кандидата К. С нашей точки зрении. упомянутая доля это
вероятпостъ р того. что наудачу выбранный избиратель окажется сторонником капли
дата К. Хорошо бы опросить всех избирателей и узнать, сколько из них поддержива-
ет кандидата К. Но. к сожалнншо. до выборов это невозможно. Кроме того, л кути не
облаяны отмечать ил вопросы о своих пплитичвгютх предпочтениях.
Вместо того чтобы опрашивать всех, оиряишвпют небольшую группу избирате-
лей выборку. Важпо. чтобы выборка правильно представлялп всю совокупность
избирателей. Оказывается, нет лучшего способа добиться такого сходства. чем состав-
лять выборку случайно.
Численность выборки обозначим л. Результат пирога каждою челояекл а выбор
toe (респондента) будем считать успехом» если он высказался и пользу кандидата К., а в
противном случгс назовем результат неудачей. Неизвестная вероятность успеха равна р,
к можно считать, что она остаётся неизменной на протлзкешш всего опроса. В качестве
приближенного лпдчешга згой вероятности принимают частоту успехи в выборке.
В отчетах о социологических опросах сюьпшо сообщается не только приближённое
значение р. по также точность приближения и численность выборки. И хотя выборки
бывают ризным и обычная их численность около 2000 человек. Этого объем» вы-
борки достаточно, чтобы обеспечить высокую точность пыш>д<ш? независимо от тою,
как велика млучвечая совокуинпсть.
К сожалению, н отчётах часто не говорят о том, что мгиыя погрешность достигает
ся не наверняка, а <• больший вероятностью.
Чйслойнпсп. выборки обеспечивающей нужную точность пыводоп не связана
с численное гью обследуемой совокупное « и
Связь выборочного среднего и математического ожидания
Закин больших чисел позволяет нам вместо неизвестных Вё(мнггкоггей событий иг*
польз овить их чистоты, подсчитанные по выборкам объёмом от нескольких сотен . ю
несколышх тысяч инблюдеинй.
Другое проявление зяхопв больших чисел состоит в том, что яьтгето псплвестппгп
математического ожидания случайной величин можн< псп льэогать среднее значе-
ние, полученное по выборке.
Если мы произведём много намерении случайной величины, то получим набор
данных. который нвлнглтя случайной выборкой. Мы найдем среднее арифметическое
:>тогп набора (сроднее выборочное), и и силу закона больших чисел это среднее зна-
чение окажется близко к неизвестному математическому ожпдшшю.
СО Среднее значение данных в выборке (среднее выборочное) используется как
приближенное значение математического ожидания.
ПРИМЕР 3. Рассмотрим случайную величину «размер горошины определённого
сорта». Мы хотим найти сё истинное среднее значение, то ж'ть математическое ожи
дапие. Мы пе знаем р яс предел енпе. которому подчиняется размер горошин, по
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
97
скольку мы ио можем собрать и намерить ore такие горошины. lio Mtu можем еде
дать иыборку. то ость произвести много измерений и найти среднее дрифмотичс
ГК<И% Возьмем 1000 горошин Ollpt'ACJlftllMOro ООрТА. измерим диаметр каждой
горошины с округлением ди 1 мм и .«ннесем результаты и таблицу 19.
Тдбтмцл 19. Измерение горошки
Диаметр гп|М11ианыт мм Г» в 7 К
Частота	0.109	0.517	0.328 0.010
Среднее нрифмргнч^кое рннни
Зг - S • 0.109 4 0 ♦ 0.517 4 7 « 0.328 4 8 0.016 - 6.25 L
Получение е среднее лнвчепиг ниллотся оценкой мате магического ожилапнм еду
чайной величины «диаметр Горошины». Чем больше и.1Мгр<*лиЙ сделано, тем выше
ТОЧНОСТЬ OIIPMKM. Иными ГЛОШ1МИ, ЛДКОИ больших 'висел |411*Г ним уШфГННвИ'ТЬ М ТИМ.
что неличиш 6.251 мм близка к среднем^ динмгтру ж » х горошин пшо сорта. ныря
{ценных и похожих углопимх.
У1р|’Г(НШО1* И1МО|ШНОИ УП*Л1ИЧ1Ш Н‘1 дослиг.н-мухэ 1ОЧ1Ю1 1 >
Вопросы
1 ПрИШ'ЛИТС примеры II ЦО ПИ ПО НИЗ ЗЗД01Ш бОЛЬШИх ЧИССЛ
2	Кж оценимак)! млгвмвпичпемм* ожи/инио случдыипй пеличины?
3	Нужно ли зиять общух» числеииос1ъ нее* амтегюй России, чшбы с гшыснцыо ш-
борочного мнтодп v<лимонить клкля доли жителей предпочиглст пл утром чай.
а какая — кофе?
4	Как можно упеличить точность не очень точных измерений?
Ответы
Глава X
I. А), б) и »), Г|1||ф ИОД буквой l) IH* < UrtlH’ll, L! Граф под буквой О содержи? 11111 I.
5 n) 1; 6)3: й) 1 б Например. опыт» в котором сначала подбрпсыжпмп Moitory, а ла
том игральный кубик. 9 л» К; б) 12; а) 2. 12. л) Ч» гире цепи длиной 2 и ,iur iu-iiii
длиной 3; б) тр| цопп длиной 2, пять цепей длииой 3 и дим цепи длиной t л) Я;
6)7; в) 9. 20 6 «лемгитпрных событии Ала: иприлтстич юг событии* Л и б - ««бы
тию /Г 21, п) <> здорового шщшштп рсзульпгг тоста отрицателен*; 6) «у болшиго ш*
ппснтл результат теста отрицателей •; л) *у здорового папиепта результат положите
леи*- 22» л) г/» г, Л Л и А; Л) h и Аг; л) л, 6, г, J, г. Д д м л; г) и, 6, г» g и л.
Глава XI
26 Выскплыииннн и) и Л) iutiiiihi.i, и iiiiicKJUKirminiл н1 и I’) могут оянзатм и н* г
нымн. 27. Высказывании л) и и) истинны; иггнннгн 11. nbiriin.ibniaiiiiH б) и г) целы? и
определить. 26 п) Могут. нппримор, при X 15; б) нс могут. • ‘ л) «Данное чис ло
простое и четное*; ito утверждение может быть истинным, если данное число pan
ио 2; 6) «Данное число простое или чётное»; «то утверждение 6x41*7 ложным» если
данное число нечетное составное, например 35. 30 и) *У птаго гриба ни шляпке чг*
шуйкп. и он ядовитый*; б) *У этого грнбп нп шляпке чешуйки, или <ш ядовитый*.
31. 2. 32. 2. 34 и) Нет; б) да: в) мот. 35, а) ОО. РО и РР; б) (X). IX) it 0Р. 36 л) ОНО
и ОРР; б| ОРР и POP 39 л) Ложно; 6) ложно: в) истинно. 40. л| Игтпппо; 6) ложно:
в) истинно,
Глава XII
41. 8. 42. а) 0.0; fl) 0.15; п) 0.87; г)1. 4 1 Нс обдзптелыю. 45. 0.97. 46 а) '
2	2Г>1
9*J|
Г,)	47. 0.81. 40. 0.75. 49 0.05. 50 л) Нет; Г.) ди; и) дч. г) ди. 51 .и JI. 2. 3. 4. 5,
251
«выпало мгпьпн ШГГ-ПТ
и) 11. t 4, 51;
«НЫ1111Л11 единиц/! или
очков*; Р(Л) ” ; 6) |1. 3» &); «выпало почетное чпе.то очков»;
в
ИЛ) ’
2
выпавшее число очков не делится нп 3>; ИД) г) |1, б);
шестерка»} Р(Л) \ 52. а) «Сумма пыкииимик очком бопь-
3
_	35	. „	35
luc 2»;	; б) .cvmm.i iiiunaniuiix >cuuui	12.; u «суммк »ы паши их очи...................
36	3rt
МГШ.ШС, чем 4»; г) »и сумме лыпплп иг мгпгг 10 очной*; 53 п) 10; 6)0,4;
в) ♦ выбран мальчик»; г) 0,6. 55. a) J 6) -~; я) Д ; г) 56. л) Например, «хотя бы
|о In |о К
один из выбрпнных учеников — девочка»; б) евыбрли один мальчик и одна девоч-
кп». 57 л) Например, «в течение годп иг перегорит пи одна из лампочек*; 6) «в те*
чгниг года перегорит одна» три, четыре или иге пять лампочек»; в) «в течение года
перегорят одна, две или три лампочки»; г) например, «в течение года перегорит че-
тыре или пять лампочек». эВ. 49. 59. 13. 60. л) 2; 6)4; в) 10. 61. а) I; 6)6.
ОТВЕТЫ
99
1 I I 4 & •
	X		X		X
X	X	X	X	X	X
	X		X		X
X	X	X	X	X	X
	X		X		X
X	X	X	X	X	X
Рисунок в7
62 a) 2; li, ' : 4 {OO; OP); 13 (OO; Po ); ЛИ (<K); OP; K)J bl а) Первый
рал выпили решка. и rtdjkjh pnu iihiinviii fwunui; б) пбп |млл nuiuui *’ обл рала пы-
ПлЛЛ решки» GG • BijApuiihi дне дрючки» и «хоти Гни один из пыбрпнныv у*и«1ШКОЯ
2	I	2
дгштоо. ее п) {2; 3; I; 0); ; б) (I: 2; 3; I; 5; 0): 1; ) (2; I; бр : г) (2; 1; 5; б|;
3	2	3
69 а) См. pirr. 1Ш; б) <щно; и) «хоти бы один рпп hi.iiwi ы «днншт^ г) 1 /0 б) *Хпп»
36
бы <цдин pita иыпмдег число. к|штнпе трем»; а) 71 и) См рис. 67. 27: At «Xvm бы
рпз пыпплст чепин* число очков»; г) 0,75. 74 а)6: 6)4: м)6; »’)2. 75. и)Сч. рис. 68;
6)’. 76. л) Л И; б)Л>‘«. 79 в) (ЛИВР <Лнй); 6) (Л itf)1 (Л< ।Д), 82. а)Дя; б)*.
83. и| 0.8; 6/0,7. 84. и) Het; б)дя; п)игт; г) нет. 85. а) 1; 6)0,8. 86. л) 0.5; 6)0.3.
87. п)0,48; 6)0.38. 88. л) 0.25; 6)0,75; в)0.!5; г) 0.115 09 Нет. 92 СНА. 93. ВС Л.
94. Нлимепел вероятное событие С. 95. 0.17 98 0.968. 97 0.24. 90. 0.09. 90 0.41.
100. 0.8.
Глава XIII
101. л)О.В; 6)0.5; и)0. 102. в)1; Г.)2; ) ?; с)0. 103 в)*; 6) •и)1: 1)0. 104 л)*;
5	5	Г»	4	2	2	tt
б)-; в) 0; г) - 105. .1)0.15; б)-; в) 0.18: 1)0,068. 106 0,012. 107. 1. 108 п) -;
ЗОН	8	lb
6)~;	Г>.?Г ’°9- a>S’ б»£: "’А; Г>-.Д; Л>°-	п>21: б,й- в>5;
115	230	I I &	9	1Н	54	.42 4
B)HSAQ-0 35. PCSBE) 0.1 114 6)p(S,U i ’ I S IGF -	’’	n)*4. И6 6) — :
о	«»4	2'1	I <4
)£. 117. a) 6) в) 5 ; г) 5 . 118. * 0.235. 119 «)= 0.380; 6) = 0.012: в) « 0.089.
9	3	6 1H ll<
120.0.02. 121. 0.059ft. 122. 0,078. 123. a)0,18; 6)0,01. 124. 2 125. a) *; 6)2.
126. t 0.176. 127.11)0.24; 6)0.08. 128. e)0,6; 6)0.4. 129 n)0.012; 6)0,012.
130 11)0.2; 6)0,6. 13i н)Дн; б) нет. 132. п)Да; 6) нет. 133 »)Дй: б)дв- ’34. в|Дя;
б)нет. 135 а)0.04; 6)0,008; «>0,00032. 136 Ют. 137. 0.7.
Глава XIV
139. л) 32; б) |Я; и) ISO; г) 90. 140 л) 160; 6)252; к) 1365; г) 336. 141 55.
142 10000. 143. Поровну. 144. я) 2; 6)8; в) 1021: г)2л. 145. 11 и 13. 146. 92й =
100
ОТВЕТЫ
- 5132188731375620. 148.6. 149.120. 150. a) 720; 6)10320; в) 3628800; г)Л1.
151. a) 5040; 6)120; a) 720; r)360. 152. a) 60; 6)42; b)90; r) 100; д) 105; e)220.
153. a) 1, 2. 3. 1, 6. 8, 12; 24; 6)1, 2. 3. 1, 5. 6. 8. 10, 12. 15 . 20. 24, 30. 40. 60, 120.
155. —
30!
Prim nut Общее числю рнхнтюзмпжных событий ранни числу нерест» ю>-
вок 30 учшцихси: N 30!. Ученики по росту могут остпть двумя способами: по ваз-
рнстнншо или по убыванию* Поэтому искомая ясцюятностъ равнм
2
— О*ООООООООООООООООО0ООО(ХХ)ОООООООО7 5 L
30!
Эп> очень	типе событие. 1 - с _	(ЦМ)()0<ЮГ>7Н7. ’ ’	0,3439.
1	1728 000
зплн< . С начал» удобно пойти вероятность к ротнвоп сложного события 4 цифры 8 нет».
158. 0.006, 159 а)0.729: 6)0,729: н)0.512: г) И.313. 160 а)0,271; 6)0.488; в)0,657:
г)0,784. 161. н} и 6) Д, - 2,76 ’ 10 '. 162 а) * 2,088 10’"; 6) I -Д; в) г)0.
163. — » 2.48 • 10 4. 164 0.0768. 165 а)4; 6)10; в)21; гГ 165: д)» 924; е)” 495.
нт
166. В каждой паре числа	равны.	167.	Все числи равны 1. 168. и) 50;	6)67.
169. а» 50; 6)65. 170. л) 36;	6)15; в)	495:	г) 1287. 171. а) 210; 6)3003. 172.	и) 20;
6)35; п)120. 178 а)126; Ги1г<>: ! I J ।	>2. 174. и) 20; 6)6. 175. и) 20; 6)126.
176.8)330: 6)195; в) 1365;	г) 1845.	177.	а) 376992: 0)13983816. 178. а) 18-1756:
6) I; в) —« 0,0000054. 179. 0.1.	180	0,2. 181. -Д . 182. н)= 0.715 10Л	6) вс
184 766	56
роятпость такал же.
183 я= 0.0083. 184 а) ~ Д; б) Д 185. Д
CjQ 30 Ь	б
186. а) !- - 0.204;
6) « 0.736; н) (Д' ' = 0,22; г) = 0.022.
Cjr,
Глава XV
187. Д 188. л)Д б)’. 189. - * 0,785. 190. л)’; 6)Д в) —------. 191. а)Д б)Д
2	3	4	4	4	4 2(ттл)	4	3
192 а) - = 0.637; б) Д3 « 0.114.	193. а) I - ~ ~ 0.882;	6) I.
2/л 2л	я	4л	80
л	12	12	2	1	1
194. 1 -—* 0,969. 196, а)1; 6)-. 197 »)-; б)-. 198 я)-: б)-. 199. а)0.5; 6)
100	3	3	3	3	3	<5	'	' 3
в)’,. 200. а)Д б)'?. 201 ’	202. а)0.5; 6)0,3. а)0.3; 1)0.1. 203. а)0,25; 6)0.7;
6	3	3	12
в)0.1; г)0,8. 204 Д 205 <00.25; 6)0.12; в)0,12: 1)0.6. 206 <0'0.814; б)= 0.156.
207. д)0.5; 6)0,7. 208. п)0.5; 6)0,5; п)0,5; г)1.
Глава XVI
114	1	13	17	Т
209. 3 „ 4. 2«. .)!; в)д[ Н>Й: г<-. 212. .)±: Л>»-. Dj. 213. .)?,
б) 0.98; в)|; г) 0.17. 214. л) * 0.139; б) * 0,116; в) = 0,067; г)~ 0,518. 215. а)~ 0.015;
б) «0,874.	216. а) г/р; б)</4; а) 1	д*; г) </л( 1	//’).	217. а) 0,21; б) «0.882.
ОТВЕТЫ
101
218. и) % 0.102; 6)0.188. 219. а)0.081; 0)* 0.139. 220. 5 нитронов (вероят-
ность * 0,922). 221.14. 222. а)УННН; НУНН; НН УН; НИНУ; б)УУНН: НУУН;
1ПГУУ; УЛУН; ПУПУ; УЛЛУ: в) НУУУ: УНУУ; УУЛУ; УУУН. 224. а) ТПППШ;
б)УТППШ; ПУП1Ш: ННУНН: ПТ П ГУН; ННННУ; п)УУП1П1; УНУНН; УПНУН; УТП1
НУ; НУУНН; НУНУ11; НУННУ, Н11УУН. НПУНУ; НИНУ У. 225. а)а 0.019;
1296
б) 5=0,090; и) 0,001. 226.	0.033. 227 а)УУНН; НУУН: ННУУ; УНУН; НУНУ;
УПНУ; б)НУУУУУ; УНУУУУ; УУНУУУ; УУУНУУ. УУУУНУ; УУУУУН. 228. а) 28:
6)28; в) 56; г»56. 229. а) 1; б) 10; в)35; г)С’. 230. Поровну. 231. я) I; 6)6; в)8; г) 11.
232. JMuaii мс. Исиильзуйтс егюйстио чисел сочетаний. 233.	б) 1 4 п +
+ С*+С’ + С* <-С»; B)C*+-C*f (*; г) 1 + л +	234. п) 134; б) 131. 235. а)£; б) ;
в)|; г)—. 236.11)0.125; в) « 0.273; г)* 0.161: г)—. 237. л) = 0,054; б) = 0,00061;
1	16	2Л
п)5= 0,402; г) 0.00002; д) 0.201; е) = 0.335. 238. 0,125. 239. и) 0,3125; б)* 0.781;
в)= 0,469; пО.а. 240 я) = 0,018; б}* 0.150; в) ~ 0.105. 24 1. а) = 0.165; б) - 0.011;
и) * 0,790; е * 0,539. 242 .1)0.1792; 6)0,5218; в)0.8704; 1)0.9714. 243. я>* 0.054;
б) - 0.193; в) 5= 0.9998: г) * 0.997. 244 и) = 0.056; б)=» 0.526; в)* 0,922.
Глава XVII
245. Дл; но.1Мо;кны1* .шиченпм 2 я 3. 246 3, I it 5. 247. л)0, 20 и 100; 6)0, 20,
40. 100, 120 200. 248 Чётные числе от 2 до 16 (часто иа нескольких первых и по-
следних страницах помори не нечатают, но номера у них всё равио есть). 249. а) На-
туральные чнелл от 2 до 12; б) натуральные •гасла от 3 до 18; в) все натуральные
числа «т 1 ди бесконечности; г) целью числи от О до п. 2 50. л) От О до 20 (21 ишче-
пне); б) от 0 до 32 (33 значения).
Чмло <||Х_Т«1П	0	1
Веронтиосгь	0.5	ол
Чьсло орлий	0	1	2
Вероытиисгь	0.25	0,5	0.25
Число орлоп	0	1	2	3
BcpoMTMOCTli	0J S	0.375		0.125
252.
Наибольшее		2	3	4	5	6
Вероятность	1 36	3 36	5 36	7 Зв	9 36	11 36
Нпимени шее	1	2	3	4	5	6
Вероятность	11 Зв	9 36	7 36	5 36	3 36	1 36
102
ОТВЕТЫ
253. 8)^; 6)0.04. 254. a) 0.23; 6)0.17; в) 0.9; г) 0.53. 257. а) 6)0,11. 258. а)0;
50
6)9. 259. —— р.. то есгь = -16 р. 67 к. 260. 12 р.
»>
261. а)	Значение	. °	1	; о) дисперсия рппил 0.25. стандартное откло немие равно 0.5.
	Н+чютгтпогтъ	0.5	0.5	
262. л)0,16; 6)0.09; о) 0.09; г) 0.24. 263. Дисперсия рдннл 0.6. 264 д) 5; б) ().(>;
в)0.2; г) 1.7. 265. а) 49: 6)0,HI: в) 1.69: г)5.76.
266. я) н б)	3 на чини р X - £Х	-1.1	-0.1	0,9	; в) 0.89; г) = 0.913.
	3. лч« ннс (X - ЕЛ*)1	1.21	0.01	0.81	
	Вероятного.	0.4	0,1	0.5	
267. а) и б)	Зплчгнле X — ЕХ	-1.5	-0.5	0,5	1.S	; в) 1.06; г) = 1.02
	Зъачепис (X - ЕХУ*	2,26	0,25	0,25	2.26	
	Вероятность	0.2	ОЛ	0.3	0.2	
268. 45. 269. а) 40; 6)20. 270. 1. 271. 23.01 и 4.8. 272. а) 3000; 6)1875. 273. Мп-
темятнческое ажидпмие 0,4; стандартное отклонение = 0,012.	274. а) ЕЕ 0.3;
vDF - 0.145; б? ЕЕ 0,3; :DF -- 0.0115. Стандартное отклонение уменьшилось в 10
рад. 275. а) 0,2; 0.2 > 7DF; 6)0.014 < <DF. 276. а) При р 0.5; 6)0.570.
Предметный указатель
в
Вл.И’НТПШП I»	Я<?, ч. ’
Вярнацнокный pu.i Зв. ч 1
Величина случайная 32. ко, ч. 2
Вероятность события Но, 146, ч. I
— — аммюгтярного 139. ч, 1
Вершини грп |м 79. ч. I
-------ШЮЛИрОППНППИ 79. ч. I
Вершина дером 6. ч. 2
-------шмщевая 7, ч. 2
Выборка 69. ч. 1
— случайная 60. ч» I
Выброс* 36, ч. I
Вы сказы ванне 91, ч. I
Г
Геомсгричсскпл вероятность 61, ч. 3
Гпгтогрпммд 64. ч. 1
Граф 78. ч. 1
— связный 87» ч. 1
оАло{кт 89. ч. I
Группировка лдпиых G2, ч. 1
д
Дерево I, ч. 2
бегконгчипе 5, ч. 2
— бпппрн^е 9. ч. 2
Диаграмма 18. ч. 1
— воарастно-шэланин 27, ч. I
— Kpymruoi 22, 25. ч. I
— риссемвлпнм 167. ч. 1
— стплбикондл |8, 26» ч. 1
— Эйлера 127, ч. 1
Днгпергпл 160, ч 1; 90, ч. 2
Докамтельстао от протнпиогп 105. ч. I
3
Значение наибольшее 40. ч. 1
— наименьшее 40, ч. I
И
Испытанно Бернулли 68. ч. 2
Интервал группировки 62, ч. I
К
Контрпример 94. ч. 1
Л
Леттмдл днпгрлумы 20, I
Логический спим «я» 14, ч< 2
Логический союз • иля* 14. ч. 2
М
Математическая MaiiFfti 112. ч. I
Математическое ОЖИДДПИС 86. ч. 2
Медиана 36, ч. 1
Медианный представитель 38. ч. 1
Множество 122. ч, I
патуема Ынах чисел 124, ч. I
пугпю 123, ч. 1
— рацио над иных чисел 121. ч. 1
целых чисел 124. ч. 1
чнглокое 121. Ч» I
О
Облако рассеивания 167. ч I
Объединение множеств 126. ч 1
— событий 25. ч. 2
Опнопнае rmiiirmn распределения 8-1. ч. 2
Отклонение 157, ч. 1
абсолютное 158, ч. I
— стандартное 164» ч. 1
Отрицание 97, ч. 1; 17. ч. 2
Ошибка Д* Ля нм бери 141. ч. 1
п
Пер1<чн|гиме МНОЖГ5ПН 126, Ч. 1
— событий 25, ч. 2
11<»рн1тлнонкл 52, ч. 2
Погрешность 50. ч. 1
— вб<ч1лютиая 62. ч. I
допу* гимен 19. ч. 1
— относительная 52. ч. I
Иод множество 123. ч. 1
Подсчеты и таблице И. ч. 1
Посылка 99. ч. 1
Правило гложепии щцюятностгй 31. ч. 2
н гс< ж м еетн Ы х соб ы тн и 30,
ч. 2
— умножения 131. ч. 1
— вероятностей 37. ч< 2
комбинаторное 50. ч. 2
11 рннцнп практической и енол можн ости
1 15. Ч. 1
104
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
р
Размах 42. ч. 1
Рассеивание данных 11, 156. ч. 1
Распределение вероятностей 82. ч. 2
Ребро графа 79, ч. 1
С
Серия испытаний Бернулли 72, ч. 2
Свойства деревьев 6, 7, ч. 2
— среднего арифметического 15, ч. I
Следствие 99. н 1
Случайная изменчивость 18, о. 1
Случайный опыт (лксперпмечгт) 108.
136. я. 1
(’мета 12. ч* 1
Событие 108. я. 1
плнюприятст11уюпи*<' событию Л
144. ч. 1
— достовернее НО. ч. I; 23. ч. 2
маловер!»я nine 115, ч. 1
— певозможипе 110, ч. 1; 23, ч. 2
противоположное событию 4 22.
ч. 2
случайное 108, 143. ч. 1
— элементарное 136. ч. 1
События
— взаимно п^ютнншшложные 22. ч. 2
— независимые 45, ч. 2
несовместкые 26. ч. 2
— ранпонозможпые 110, ч. 1
Среднее арифметическое 32. ч. 1
Стандартное отклонение 90. ч. 2
Статистика 3, ч. 1
— описательная 32, ч. 1
Статистическая устойчивость 73. ч. 1
Степень вершины грифа 83. ч. 1
Сумма частот 64. ч. I
т
Тмилиня 6. ч. i
Тенденция 21. 54. ч. 1
— возрастающая 55, ч. 1
— убы плющил 56, ч. 1
Г|>еугольник Паскали 56, ц. 2
У
Упорядочивание данных 8. ч. 1
Условие достаточное 102, ч. 1
—	необходимое 102, ч. 1
Углоннпя вероятность 36. 38. ч* 2
Утверждения взаимно обратные 101, ч. 1
—	противоположные 104. ч. 1
—	равносильные 102. ч 1
—	условные 99. ч. 1
Ф
Факториал 53. ч. 2
ц
Цепь 86. ч. 1
Пикл 86, ч. I
Ч
Частота 58. ч. I
—	случайного события 110. ч. I
Число перестановок 53. ч. 2
—	сочетаний 56. ч. 2
ш
Шаг групннронкн 62. 66, ч. 1
м
Справочные материалы
Среднее арифметическое
Средним Лрв|фмеГИЧкЧ КИМ Л ЧИГЛНЫНИ МПГ1НМЛ НПНиННгГгл If Till ИНГИ ИГ Г\ММЫ ill» X
чисел МАСГНГЛ К их 1«»’1|14<‘<?тну л.
*1 ♦ Jfr »
Медин гы
Медиа нои числопип» mjhvhihi иин.шпигг тияос ЧИСЛО что хоти бы ин дониии чи« «*л
МИГГНИИ КО бнльпи* 4I1I7UI ГН И ХОТИ бы ПШЮ1Ш1Ш Ч11Г13Л мпгинми иг МГНЪШГ 'IHV.’III гл
Чтобы пппти мгдипну чпглопого млегипп, нужно выполнить следующие действии
!. Умирило пи । М41 гни mi n<>j|Hirr.niiiMi Ннчучстл шцтлцл'шныи ряд
2. Если II МЛГГЦНС 1Н”1ГГ1ПН* К<1!Ш ЧИСТИ!» ЧНГГЛ, Г11 М41Д1Ш1ИШ 1111ЦМРТГЛ число, стоя
ЦДО ПГНЖРВДННР nnpiinilWlHIHIini ряди.
3. Если п массппр чгтиог каличестпо чисел, то медиа г гой обычно считают среднее
арифметическое двух чисел. поящих посередине
Рн пшх
Phimiix 4i(i.ioB<iit> мнении пи ргкшисть ме> tv наибольшим и нлимк нычим 11111
нениями.
Частота 1ндченил а
Пусть л нлбирг всего N чисел, и .ншчгнии. рапные и. игтречаются рал. Часто»
/V.
И ГШПЧСПИЯ а ипаышнтей отношение .
л
Свойство частот. В ообом нлбор* сумма чатот шлчеянй рання единице,
Нинримгр, для нибора. н котором четыре (маличных аначепкм и. Ь, е и d:
I X	♦ У»	e N
N N N *V	N	N
Множества
Пустое множество гп> множестно, которое нс <чдс|и«нт »лсментпн. ОГммннчангт
пустпг М11<ыа*ггнп гнмтмк»м •?.
Множество Я нлпывлетел подмножеством множества Л* если любой ллемгнт мио
жестпл Н прннпл.ИР5кпт мпожестпу V Обошлчпют: Н А.
Пс[нч сченис мнглсестх Д и Н
Пересечение множеств Л и В это мполоч ию /ШЛ. Koi<jp<ie сидер i нт алементы.
припадлежапци* и множеству Л. и мнижисгву В.
Эмъедьл<kMv лложгета А и Л
Объединение множеств Л и Н — ;гго множество ЛЬ В. содержащее все ллемекты,
которые принадлежит хотя бы одному ил множеств Л и Я.
Пересечение множеств л и Л
Объединение множеств Л и В
106
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
События А и В ннзывакггся несовместными, если их пе-
ресечение не содержит элементарных событий.
АДВ - 0,
00
Прмннли уМНОЖГИПП
Несовместные собьиия
Если множество Л состоит нз л моментов, а множество Л из к элементов, ти
множество упорядоченных пар (о. 6), где о •• А. 6 *_ В. состоит из пк моментов.
Вероятность события
Если к случайном опыте конечное число алиментарных событий н иге они равно*
возможны, то впюятность Р(Д> события Л ранив отношению числа МЛ) элементлр-
пых событий, бидгииршггствукшшх событию А. к общему числу М элементарных со-
бытий:
РМ)-"'-”
N •
Гранило сложения вероятностен несовместных событий
Вероятность объеДИПГППЛ ПСГОИМОСТПЫХ событии Л и В ряппа сумме их вероятно
ггей:
Р(Л В) - Р<Л) + Р(В),
Правило сложения вероятностен
Вероятность объединения событии А и Л раппл сумме нх вероятностей без вероят-
ности их пересечения:
P(AdB)- Р(Л) + Р|В) Р(АПВ).
Правило умножения вероятностей
Вероятность пересечения событий А и В равна произведению вероятности одною
из них и условной вероятности другого:
P(AUB) - Р(В| • Р(Л|В).
Формула условной вероятности
v	г * а.	пмеи ПАПЛ)
Если вероятн'кть события В больше пуля, то Р(А Н) =—-—-— ,
пЖ
Перестановки
Перестановкой из л предметов пп нлыг-тгя иГюй епг б ну -лер дин .mix предмг
тов (способ их рлсположения я рнл>.
Факториалом натурального числа л пл.идпистгл крон ни-дсии» гнтх натуральных
чисел от 1 ди л. Обозначается факториал nt:
nt * i - 2 • л ‘ •„ ’ (л - 1) * л ; (h - 1
Число нерестапопок л предметов ранно л!.
Сочетания
Число способов, которыми можно выбрать ровно к предметов п.т множества, в ко-
тором л предметов, называется числом сочетаний из л по к и обозначается (чита-
ется «на ни эн по на*).
п
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
107
Если ЧИСЛО П llcftn Л 1.11101'. ТО ЧИСЛО cmrrnilldl С? МОЖНО НДМТЬ ИИ ТрвуГОЛЬИОЙ тл
6.ЧИЦЫ, мпторнм нллынлртсл треугольником Пнгкмлн.
1	4 Н столбец Cf - 15
1 1
1	II	I
19	3	1
I	t	П	4	I
I	5	10	10	&	1
<м строк*	I	0	13	<М1	13	0	I
I	7	21	М	33	2t	7	I
I	Я	28	36	70	36	ЗЯ	8 I
I	О	М	81	130	ISO	8-1	86	9	1
I 1(1 4Л 120 2К1 252 210 *20 43 10 I
Привило нм чис л синя геометрический всринтпости
Пусть 114 фигуры F 11|ЫНа1И1ЛИ |ГЯ ГЛуЧнЬнЫЙ пыбор ГИЧКИ. Bi‘(H4lT IHM TI, hi6mI|Iii <г
«ПМОрИПИЛН Т11ЧГЛ Щ>И1|ИДЛГЖИТ фигу|№ (7. inropHM ГОДср’АИТГЛ М фигур»' Г*. p.llMIkl
PWI-J.
где S/ н So — площади фигур F и 6* слютиетпенно.
Формула Бернулли
В CVpllH И ПЫТНПИО БорпуЛЛИ ВСроЯТИОСТЬ ГОбытНЛ «РОВНО k уеПГХО»* pniOHl
C*pV *»
где п — число ксшытшшй. р йориятноггь успеха и g« I р вероятность не-
удачи.
Математическое ожлллнпс
Математические ожидпнио случайной величины mi сумма произведений ишчт
ний :ггой величины и их не|кштност«А:
ЕУ -	+ лзГа ♦ хдр, ... ♦ ХпРя.
Дкелерсми
Дигперсиси случайной пелтптл X шьтывпгтся матгмлтнчггкпо п:цпддпие случлп
пой пелнчппы (X ЕХ)а:
1)Х = Е(Х КХ)1.
Стандартное отклонение
Стлмдлртным отклонением случайной величины X называется ккпдритный корень
из дисперсии:
<P.Y ^EIX-EA)2
108
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Функции электронных таблиц
Вспомним функции злсктрошхых таблиц, рассмотренные в первой части учебника.
Дли вычисления среднего арифмети-
ческого предусмотрена специальная
функция
ОРЗНАЖ)
Нп рисунке показан пример вычисле-
ния среднего .значения массмпп ил четы
PCX 4HCCJL
/х СРЗНАЧ1СI С4|
С	D
I
9
5
5.25
Чтобы подсчнтм’гь, сколько раз к на-
боре пстрсппстся определенное апочоипо.
используйте функцию
СЧКТВСЛИО
Ни рисунке подсчитано, что и дннном
нпборе число 1 вст|м?чпет«:я 5 рпа.
А	СЧГЕС. МВ! D5.U
8 С О i Е
°	*	3
t	3	'
I	2	I
1	3	2
2	4	4
Чтобы ПЯЙТИ количество .НП1ЧГНИН,
попавших и каждый интервал груштп
ропкн, используйте фуПКЦНЮ
ЧАСТОТАМ
Ип рисунке показан пример: сколько
значении меньше О. сколько от О до 1,
err 1 до 2 н т. д.
Внимание! Функция ЧАСТОТА нахо-
дит не частоту, я количество значений
в интервалах.
А - •	 I I.;
CDF	F
Для палупинтия случайного числа ни
интервале </г О до 1 используете л фупк
пня
слчисо
Другая функция для алучайинги выбора:
СЛУЧМЕЖДУО
Эта функция яыбиря^т целне случай-
ное число на укжпишом отрезке нату-
рального ряда. На рисунке показано,
как можно нмитпроппть браелпиг
игральной когти
/г ♦!
I	Е
| 0.6165Б&1
А -•• м|:-.л. 16'
D	I	F
I 6l
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
109
Чтобы пайтп мсдилну млсгпвл леп-
ных t удобно игпольловать функцию
МЕДИАНА!)
* А МЕДИАНАМ СI С5)
СОВ
._______1
9
5
Б
3 MttiUHfcNti |	5 I
Дня того чтобы быстро вычпс.тпгп.
сумму произведений значений н их ча-
стот есть функция
<ЛММ11Р0ИЗН<)
я С	/г -ОММГР -ИЧР. Л?			
	D	Е	F	G
<	I	?	У	А	5
1 гтгтп	0 1	ОД	0.45	т 1=.
Сдоднэд				3.65
Для вычисления дм г ti ер гни числово*
го массива используйте функцию
ДИСПРО или ДИСП.Г()
А ДИГПР.; ГС51
С 0
3
1
3
[	4.1б]
Чтобы узнать, сколько всего значе-
ний в массиве данных, используйте
функцию
счйто
А 'СчЕТ'.его?)
С	0	Е	F
Д^. <ще			
1 4	13		|	12,
ЕН	2.6		
23	3 1		
is	2-7		
2.1	1.8		
1 3	2.6		
Для поиска наименьшего и наиболь-
шего значений есть функции
МИНО Н МАКСО
Чтобы найти размах, нужно вычис-
лить разность:
= МАКСО МИНО
A MMCQC1 С«*МИН<С1 ГА|
С	D	5	F
9		
5	Нэим	1
6	Ндиб	_		9
3	Размах		8 I
Чтобы найти стандартное отклонение,
можно извлечь кореш, на дисперсии:
КОРЕНЫЛИСПИ ))
Но в • оврслиншых редакторах есть сие
цлпл: лая функция
СТАНДОТКЛОН.ГО
А -СТАНДОТКЛОН Г(С1 05)
С	D ~ I Е F
3
1
3
7___________
5|	2.039608]
110
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Оглавление
Глава X. Деревья......................................................   3
46.	Деревья........................................................... 4
47*. Свойств;* деревьев ............................... -............. 6
48.	Дерево случайного экспврпмппта.................................... 9
Глава XI. Математические рассуждения.........................  —	. ♦. -.	13
49.	Логические гоюиы «и» и ♦или...................................... 11
50*. Отрицание сложных утверждений .................................. 16
Глава XII. Опера ним над гл^аннммн событиями........................... 21
51.	Определение случайного события.
Взаимно противоположи ши случайные события ......................... 22
52.	Объединение и пересечение событий .. ............................ 25
53*. Формуле сложения ясроятиостгп.................................   29
54*. Решение задач с помощью координатной прямой.............♦....... 32
Глава XIII. Условная вероятность и независимые события ...............  35
55.	Условная вероятность и правило умножения вероятностей ..........  36
56.	Дерево случайного опыта.......................................... 39
57.	Независимые события.............................................. 44
58*. Об ошибке Эдгаря По и о том. как победить
стечение обстоятг-льств ....................................... 47
Глава XIV. Элементы комбитторшш..................	•...................	49
59.	Комбинаторное правило умножения.................................. 50
60.	Перестановки. Факторная........................................   52
61.	Числи сочетаний и треугольник 11 искал л.......................   55
Глава XV. Геометрическая вероятность —................................  59
62.	Выбор точки из фигуры на плоскости............................... 60
63.	Выбор точки на отрезка и дуги окружности......................... 63
Глава XVI. Испытании Бернулли ......................................... 67
64.	Успех и неудача. Испытания до первого успеха..................... 68
65*. Серия испытании Бернулли........	72
66*. Число успехов в исттпхях Бернулли...........................     74
67*. Вероятности событий в испытаниях Берну лян...................... 76
Глава XVII. Случайные величины ..................     .	............. 79
68,	Примеры случвппых величин ......................................  80
69*. Распределение вероятностен случайной величины .................  82
70*. Математическое ожидание случайной величины...................... 86
71*. Дисперсия и стандартное отклонение.............................. 89
72*. Математическое ожидание и дисперсия числи успехов
и частоты успеха в серии испытаний Бернулли.................... 92
73*. Закон больших чисел и его применение ........................... 91
Ответы ...................................................	.. ♦....... 99
Предметный указатель ................................................. 106
Справочные материалы .............................................     101
Функции электронных таблиц ........................................... 109
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
111