Text
                    РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ПОВЫШЕННОГО И ВЫСОКОГО УРОВНЯ СЛОЖНОСТИ
МОСКОВСКИЙ ЦЕНТР НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
А. В. Семенов, И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. С. Трепалин, Е. А. Ку:
КАК ПОЛУЧИТЬ МАКСИМАЛЬНЫЙ БАЛЛ НА ЕГЭ
МАТЕМАТИКА
Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности
Москва Издательство «Интеллект-Центр» 2019
УДК 373.167.1:51(075.3)
ББК 22.1я721
М34
Семенов, А. В.
М34 Математика. Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности. Как получить максимальный балл на ЕГЭ. Учебное пособие. / А. В. Семенов, И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. С. Трепалин, Е. А. Кукса; Московский Центр непрерывного математического образования. — Москва: Издательство «Интеллект-Центр», 2019. — 144 с.
ISBN 978-5-907033-93-1
В предлагаемом пособии дана характеристика основных типов заданий повышенного и высокого уровня сложности, используемых на ЕГЭ по математике. Особое внимание уделяется разбору заданий, вызвавших наибольшие затруднения. Для тренировки и самоподготовки к ЕГЭ предлагаются задания с развёрнутым ответом различного уровня сложности по всем содержательным блокам.
Пособие адресовано старшеклассникам, преподавателям и родителям. Оно поможет школьникам проверить свои знания и умения по предмету, а учителям — оценить степень достижения требований образовательных стандартов отдельными учащимися и обеспечить их целенаправленную подготовку к экзамену.
УДК 373.167.1:51(075.3)
ББК 22.1я721
Генеральный директор А/. Б. Миндюк
Редактор Д. П. Локтионов Художественный редактор Е. Ю. Воробьёва Компьютерная верстка и макет: Ю. А. Погодина
Подписано в печать 15.02.2019 г. Формат 60x84 у8. Бумага типографская.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 18,0. Тираж 3000 экз.
Заказ № 204
ООО «Издательство «Интеллект-Центр» 125445, Москва, ул. Смольная, д. 24А, этаж 7, пом. I, ком. 14
Отпечатано в ГУП МО «Коломенская типография».
140400, г. Коломна, ул. III Интернационала, д. 2а. ИНН 5022013940. Тел.: 8(496) 618-60-16.
E-mail: bab40@yandex.ru, www.kolomna-print.ru
ISBN 978-5-907033-93-1
© ООО «Издательство «Интеллект-Центр», 2019
© МЦНМО, 2019
СОДЕРЖАНИЕ
Введение................................................................. 4
1.	Уравнения............................................................. 5
1.1.	Тригонометрические уравнения.....................................  5
1.2.	Показательные уравнения........................................... И
1.3.	Логарифмические уравнения........................................ 17
1.4.	Комбинированные уравнения ....................................... 22
2.	Неравенства и их системы............................................. 32
2.1.	Рациональные неравенства......................................... 32
2.2.	Логарифмические неравенства...................................... 38
2.3.	Показательные неравенства........................................ 45
2.4.	Системы неравенств............................................... 50
3.	Задания с параметром................................................. 55
4.	Стереометрия......................................................... 75
4.1.	Параллелепипеды ................................................. 75
4.2.	Призмы........................................................... 78
4.3.	Треугольные пирамиды ............................................ 81
4.4.	Четырёхугольные пирамиды .........................................86
4.5.	Тела вращения.....................................................90
5.	Планиметрия ......................................................... 94
5.1.	Планиметрические задачи (одна конфигурация с окружностью) ....... 94
5.2.	Планиметрические задачи (одна	конфигурация без окружности)........100
5.3.	Планиметрические задачи (две конфигурации)........................105
6.	Арифметика и алгебра.................................................  111
7.	Экономические задачи..................................................125
Ответы...................................................................137
з
ВВЕДЕНИЕ
Содержание заданий с развёрнутым ответом контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2019 года не будет отличаться от содержания вариантов 2018 года. Со структурой варианта можно ознакомится на сайте Федерального института педагогических измерений (www.fipi.ru) в разделе «ЕГЭ: демоверсии, спецификации, кодификаторы». В рамках спецификации экзамена по математике профильного уровня продолжается расширение тематики задач, особенно это касается геометрической части экзамена, а также заданий по началам математического анализа. Указанные изменения нашли своё отражение в книге, которую вы держите в руках.
Вторая часть варианта экзамена по математике содержит задания с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности и предназначается, прежде всего, для будущих абитуриентов технических, экономических, математических и других вузов, предъявляющих повышенные требования к уровню математической подготовки абитуриентов. Именно им и адресовано пособие «Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности. Как получить максимальный балл на ЕГЭ».
Все решения заданий с развёрнутым ответом должны быть записаны в Бланке ответов № 2 (дополнительном бланке ответов № 2). Обоснованность и полноту решения этих заданий устанавливают эксперты и выставляют баллы в соответствии с Критериями оценивания заданий с развёрнутым ответом (демонстрационный вариант ЕГЭ по математике на сайте ФИЛИ).
В пособии собраны задания, которые были в вариантах прошлых лет, диагностических работах. К этим заданиям даны решения, которые предлагались экспертам по проверке заданий с развёрнутым ответом. В каждом разделе сначала даны задания с решениями, а потом задания для самостоятельной работы. Ни в коем случае приведённые решения не претендуют на роль эталона — эти решения даны в очень сжатом виде. Очень часто придётся «расшифровывать» эти решения, дополняя их промежуточными преобразованиями и вычислениями, в них часто лишь обозначены основные этапы решения задачи. Задания пособия можно решать, используя разные подходы и методы, — ведь на экзамене проверяется математическая грамотность решения. Авторы рекомендуют сначала попробовать решить задание самостоятельно, а потом уже знакомиться с авторским решением. После изучения заданий с решениями обязательно нужно решить задания для самостоятельного решения.
Весь материал разбит на главы. Уравнениям (показательным, логарифмическим, тригонометрическим) посвящена первая глава. Вторая глава содержит задания по неравенствам (рациональным, показательным, логарифмическим). В третьей главе собраны задания высокого уровня сложности — задания с параметром. Геометрии посвящены четвёртая (стереометрия) и пятая (планиметрия) главы. В геометрических задачах есть пункт на доказательство какого-либо геометрического факта. Арифметические и алгебраические задачи повышенного и высокого уровня сложности даны в шестой главе. Последняя глава посвящена задачам с экономическим содержанием.
Гарантией успешной сдачи экзамена является систематическое изучение математики, включающее в себя вдумчивое решение математических задач и в школе, и дома, и на курсах подготовки абитуриентов.
При решении заданий повышенного уровня сложности нужно учитывать, что решение должно быть обязательно доведено до ответа — только в этом случае можно рассчитывать на какие-то баллы. В заданиях высокого уровня сложности баллы могут быть выставлены за законченный фрагмент решения. На экзамене нет калькулятора, поэтому в подготовительной работе особо следует уделить внимание вычислениям.
В пособии использованы задачи, предложенные А. Р. Рязановским, П. В. Семёновым, В. С. Панферовым, И. Н. Сергеевым, И. Р. Высоцким, М. Я. Пратусевичем, С. А. Шестаковым, О. Н. Косухиным, А. В. Семеновым, В. А. Смирновым, А. В. Хачатуряном, Р. К. Гординым, А. И. Суздальцевым, Д. А. Фёдоровых, М. А. Волчкевичем.
4
1. УРАВНЕНИЯ
1.1. Тригонометрические уравнения
1. а) Решите уравнение cos2x- i/^sin^y -xj + 1=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -4 л; --у. .
Решение.
а) Преобразуем исходное уравнение:
2cos2x - 1 — yTcosx + 1 = 0; 2cos2x — ‘/2'cosx = 0; cosx-(2cosx -	= 0.
Значит, или cosx = 0, откуда x = у + nk, или cosx =
' 2
2~, откуда x = -- + 2nn,
n € 7L, или x = -4 + 2л?п, m € 2.
4
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку -4 л;	•
Получим числа: — -у^-; — -у; —
Ответ; а) 4 + keZ; 4 + 2пп, пеЖ; - 4 + 2л?п, т 6 2; 2	4	4
15л, 7л, 5л
°' 4 ;	2 ;	2 •
2. а) Решите уравнение 2‘|/3sin2
(х + ^г) + sin 2лс = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
,	5л"
Решение.
а) Преобразуем исходное уравнение:
2}/3cos2x+ 2sinx-cosx = 0; cosx-(sinx + ‘/з'соэх) = 0.
Значит, cosx =0; х = у + л&, k 6 2, или sinx = —j/3'cosx; tgx = —'/З'; neZ.
X = -4 + лп, V
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадле-
жащие отрезку |_—4л; — —
Получим числа: — п4; — 4^
Z	о
5л
2 ‘
Ответ: а) у + nk, € Z; -4 + лп> n € Z;
6)-^-
Юл. 5л
3 ’	2 ’
5
3. а) Решите уравнение 4cos4x- 4cos2x + 1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2л; -л].
Решение. а)	Преобразуем исходное уравнение: (2cos2x — 1) = 0; 2cos2x = 1; cos2x = у, откуда cosx = —4; или cosx = -4=, значит, х = 4 + 44, n^TL. /Г	42 б)	С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-2л; - л]. Получим числа:	4 Ответ: а) + -у-, п 6 2;	—г 7л. 5л 6)	1 _ 7л \ 4 •	Л 1	1 1-2п 10	1 ] J	у
4. а) Решите уравнение 5cosx + 4 = о.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку £-4л;	.
Решение.
а)	Решим уравнение: - ct°s* +д
= 0;
Из уравнения cosx = -|
получаем, что х = л - arccos4 + 2лп, п е 2, или э
х = л + arccos4 + 2лА, k е 7L.
Пусть ф = arccosy тогда coscp = -| и ф€ (б; -у), значит зшф = у *7	О	\ Z /	О
= ^Ф = чего быть не должно.
4
то есть tg<p =
Следовательно, tg[ л + arccos-| + 2лп \	J
Получаем решение исходного уравнения: х = л - arccos4 + 2лп, п € 7L.
5
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку -4 л;—-у .
Получим число -Зл — arccos-j-.
Ответ: а) л - arccos^ + 2лп, п € 2;
О
б)	-Зл — arccos-^-.
kJ
4 COSX = -—, ч
6
С	у
5.	а) Решите уравнение-----—-------1— -----6 = 0.
COS2(1|1-X) «ПХ
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
у-; Зя
Решение.
а)	Преобразуем исходное уравнение: —Д— + -1----6 = 0. Пусть t = -Д—, тогда уравнение
sin2x smx	J	smx
примет вид:
5t2 + It - 6 = 0; (5t - 3) (t + 2) = 0, откуда t = 4 или t = -2. fj
3	5
При t = — получаем, что sinx = — — нет корней.
При t - -2 получаем, что sinx = -у, откуда х = --^ + 2я£, k е 7L, или х =	+ 2тсп,
и G Z.
б)	С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Др Зя .
гг	Ил
Получим число —.
О
Ответ: а) + 2itk, keZ; -^- + 2лп, neZ;
6	6
б)^.
5
б.	а) Решите уравнение 2tg2x-------—
+ 4 = 0.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Зя; -р- .
Решение.
2__2 cos2 х 5	г\
а)	Преобразуем исходное уравнение: 2tg2xH-----h 4 = 0; --------1------F 4 = 0.
COST	COS X COST
Пусть t = cosx, тогда уравнение примет вид:
2-2t2 , 5 ,л п. 2?2 + 5t+2_n. (2t+l)U + 2) _ п
откуда t = -у или t = -2.
При t = — 2 получаем, что cosx = — 2 — нет корней.
При t = - Д получаем, что cosx = - Д, откуда х =	+ 2я£, keZ, или х = ~ ДД + 2яи,
2	2	о	о
п € Z.
б)	С помощью числовой окружности отберём корни, принадле-
Q jr жащие отрезку Зя; — .
гг	Юл
Получим число ——. О
Ответ: а) + 2я&, k^Z; + 2яп, п € Z; О	о
б>Т
7
7. а) Решите уравнение 2cos(n — х)- cos^y + xj + ]/3^sinx = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [—Зя; -2л].
Решение.
а) Преобразуем исходное уравнение:
2cosx-sinx + j/S’sinx = 0; sinxl 2 cosx + /З’) = 0,
откуда sinx = 0; х = ли, п Е 7L, или cosx = — Xr; х = — Дг- + 2л£, k Е 7L, или х =	+ 2л?и,
zoo
т Е 7L.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-Зл; -2л].
Получим числа: -Зл; -2л.
Ответ: а) ли, nEZ; -Хг + 2л£, &EZ; Хг + 2л/и, hjeZ; О	о
б) -Зл; —фЬ -2л.
О
8. а) Решите уравнение -*£2х 1 = о. 1/7 cosx
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
'^;4л .
Решение.
а) 3tg2x-l = 0; l/7cosx
3tg2x- 1=0, cosx > 0;
tgx = ±—
г
_ cosx > 0,
откуда х = + 2л&, k Е 7L, или х =	+ 2ли, п Е 1L.
о	6
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принад-
лежащие отрезку 4^: 4л .
Получим число
Ответ: а) + 2лА, k Е Z; -£ + 2ля, п Е Z; о	6
23л
6) — 
8
9. а) Решите уравнение 8sin2* 14smx + 5 _ q
/-6 cosx
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
f;-3n .
Решение.
8sin2x- 14sinx + 5 _ g.
/-6 cosx
8sin2x- 14sinx + 5 = 0, cosx < 0,
(4sinx- 5) (2 sinx- 1) = 0, cosx < 0,
5 sinx =
4
cosx < 0,
х =	+ 2ля, п е 2.
О
откуда или
нет корней, или
[  1 sinx = —, 2
cosx < 0;
жащие отрезку
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадле-_9я. _3к _
2 ’
Получим число —
Ответ: а) + 2кп, я 6 2;
6
O-’F
10. а) Решите уравнение
= 0.
у —5sinx
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Преобразуем исходное уравнение:
— о- cosx(]/2cosx + 1) ]/-5sinx
]/—5sinx
= 0,
откуда «
cosx =0,	л
х = - — + 2ли, п 6 7L, или <
sinx <0;	2
COSX = - 2 ’ sinx < 0;
5л' Л'
2 _Г
2
x= -^ + 2л£, A €2.
4
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадле-5п' жащие отрезку л; — .
Получим числа:
Ответ: а) — £ + 2ли, п € 2; —+ 2лЛ, k € 2; 2	4
5л Зл
б> - -
9
Задания для самостоятельного решения
а)	Решите уравнение cos2x + sin(y + х) + 1 = 0.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку —— л .
2.
3.
а)	Решите уравнение 2cos2 (-у- + х) + sin2x = 0.
б)	Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку —Зл; — -у- .
а)	Решите уравнение 16cos4x- 24cos2x + 9 = 0.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2л; 3л].
4.
а) Решите уравнение
5tgx - 12 _ q
13cosx-5
б) Найдите все корни
л Ил"
этого уравнения, принадлежащие отрезку 4л; -у- .
5
9
5.
а) Решите уравнение Sln х cos
in 2
+ 4 = 0.
X
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
5л.
2 ’
Л
б.
а) Решите уравнение 4tg2x +
/ 1 ч х+1=0. sin(x +
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
'Зл.
. 2 ’
Зл
а) Решите уравнение 2sin(-y- -х
8.
9.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
y__ 3 г\
а) Решите уравнение ф = 0.
/3sinx
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Решите уравнение -sin x	—1 = q
l/-2cosx
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
10. а) Решите уравнение 2V^COS * + .3.s-i2-r—= q ]/8cosx
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
'5л
. 2 ’
5л,
2 ’
7л
2
л .
-2л;-| •
0:T
10
1.2. Показательные уравнения
В этом разделе при отборе корней часто приходится пользоваться не только приближёнными значениями логарифмических выражений, но и свойствами логарифмов. Далее приведём примеры оценки и сравнения чисел.
1.	log748 < log749 = 2.
2.	log7]/50’ > log71/49 = 1.
3.	log303 = j-g13Q  Поскольку 30 > 27, log330 > log327 (основание логарифма больше 1), следовательно,	= а значит, |og„3 < 1.
С другой стороны, 30 < 81, откуда log330 < log3 81 = 4, а значит, log303 > у.
4.	Сравним log03 10 и —2 несколькими способами.
Первый способ: log,.,10 = log^ 10 = -X- = ,^5 = — 18 10	log3 10
Далее будем преобразовывать неравенство по классическим правилам, при этом левую и правую часть при необходимости будем менять местами так, чтобы знак неравенства (изначально обозначим его « V ») оставался неизменным. Когда сравнение левой и правой части станет очевидным, вместо «V» Нодставим нужный знак и, пройдя цепочку преобразований в обратном порядке, получим необходимое сравнение чисел.
1°8о,з Ю V —2
_ '°8з10 v_2 log, 10 -1 2 у lofel° log3 10 - 1 21og3 10 - 2 v log310 log310 v 2 log3 10 v log3 9
Поскольку 10 > 9 и 3 > 1, значение выражения слева больше, значит, вместо « V »везде теперь можно поставить знак « > », и получаем ответ: log03 10 > -2.
Второй способ. Преобразуем —2:
-2 (log,, 0,3) = log0.3(0,3)-2 = logM(-y)2 =	= log,.3(ll{).
Рассмотрим функцию /(x) = log03x: она убывающая (т. к. 0,3 < 1), следовательно, если xt < х2, то log03xt > log03x2. Таким образом, поскольку 11-|- > 10, получаем:
logoff И < log03 Ю, откуда log0310 > -2.
Рассуждение, использованное при решении вторым способом, можно использовать более широко для любых монотонных непрерывных функций.
5.	Оценим значение log2y7’ = 4-log27 и logo.sVs’ = ylog055.
4 < 7 < 8	4 < 5 < 8
log24 < log27 < log28	logo,58 < logons < log0,54
2	7	.§.	1°1э28	1 1ЛГ1 e 1°ёо,5 4
5 < 5log2? < 5	--— < 7logo,55 <-------—
3 . 1 . r .	2
-y < ylog055 < --
11
Во втором столбце при переходе ко второй строчке все знаки поменялись (мы записали двойное неравенство в классическом виде, поэтому знаки-то остались, но «края» неравенства поменялись местами), потому что /(х) = log05x — убывающая функция (основание логарифма меньше 1).
-	л (- 2х^ — 1 Ох +12 лс—2х^ + 1 0-^ — 12	q
1. а) Решите уравнение 0,5	+0,5	= 2.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log520; log540].
Решение.
а) Пусть 0,52х2~ 10х+12 = t, тогда уравнение примет вид:
t + r1 = 2; t + - = 2; f2~2f+ 1 = О, t	t
откуда t = 1.
При f=l получаем: 0,52х2~,0х+12 = Г, 2х2 - 10х+12 = 0; 2(х-3)(х-2) = 0; откуда х = 2 или х = 3. >
б) Поскольку log520 < 2 < log540 < 3, отрезку [log520; log540] принадлежит только корень х = 2.
Ответ: а) 2; 3;
б) 2.
2. а) Решите уравнение 2х-2 + 9-25~х = 17.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log235; 6].
Решение.
а)	Преобразуем уравнение: 2х-2 + 9-23 + 2х = 17; 2Х~2 + —2 = 17
2х-2
Пусть 2х 2 = t, тогда уравнение примет вид:
t + I2	= 17. Г2 -	17t + 72 = a.	(t-8)(t-9) = „
t '	t '	t
откуда t = 8 или t = 9.
При t	=	8	получаем:	2х"2	= 8; х - 2	= 3; х = 5.
При t	=	9	получаем:	2х-2	= 9; х- 2	= log29; х = 2 + log29.
б)	Поскольку 5 < log235 < log236 = 2 + log29 < 6, отрезку [log235; 6] принадлежит только корень х — 2 + log29.
Ответ: а) 5; 2 + log29;
б)	2 + log29.
3. а) Решите уравнение 3 х - 2 - 3
= 25.
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
'1. А]
.3’ 2J
Решение.
а)	Преобразуем уравнение: 3 х-2-33-3 х = 25; 3* х-------= 25. Пусть = t,
з+х
тогда уравнение примет вид:
t _	= 25; *2-25f~54 = о; U~27)(t + 2) = 0
откуда t = -2 или t = 27.
х+±
При t = — 2 получаем: 3 х = — 2 — нет решений.
12
При t = 27 получаем: 3 х = 27; х +1 = 3; ^-~3х+1 = 0, откуда х = или
2
1 Q
б) Поскольку о	Л
5 . З + т/5
2 < —2t~’ отРезку
Г1 • 5 .3’2
принадлежит только корень
Х~ 2
Ответ: a) — 6)^.
,6х2- 10х- t _ 2-
4. а) Решите уравнение —------------ =13.
Здг —	— 0,5
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Iog63-^-; log863J.
Решение.
\ .-г	»Зх2 - 5х - 0,5	.
а) Пусть 4	= t, тогда уравнение примет вид:
f2 - 25 _	г2-13г + 40_п. (?-5)(t-8)_n
r-5 “	г-5	“ U’ ' c “ U’
с-5
откуда t = 8.
При t = 8 получаем, что
4зж2-5х-0.5 = 8; зх2_5х_0)5 _ ! 5; Зх2-5х-2 = 0; (Зх+1)(х-2) = О,
откуда х = или х = 2.
•J
б) Поскольку log63^ = -log634 < -log644 = -1 < log863 < 2, отрезку log^; log863 при-
надлежит только корень х =
о
4’
Ответ: а) 2;
О
б)-1
_ 2^2x2-5х+ 1-2	2 ]/2х2-5х + 1’-4
5. а) Решите уравнение 20
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку log49 log349 .
Решение.
а) Пусть t = ]/2х2 - 5х+ 1 - 2, тогда уравнение примет вид:
2о‘=2'-52'; 22с-5‘ = 2f-52';
1,
откуда t = 0.
При t = 0 получаем, что
)/2х2-5х + 1-2 = 0; 2х2-5х+1=4; (2х+1)(х-3) = 0;
откуда x = — у или x = 3.
1
13
6)	Поскольку = -log<97 < -log«3 = log«| < 3 < log,49,	отрезку [log«{; log,49
принадлежит только корень x = 3.
Ответ: а) -у; 3;
б)	3.
6.
2х + 1
. тч	-?2х2 + X	X + 1
а)	Решите уравнение 7	= 4У
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.
а)	Преобразуем уравнение:
О 2х+ 1	,,
72х2 + х = 7'х+1	2х2 + х = 2-^±т-;	х(2х+1)-2--^±у-= 0;	(2у+1)(х +х-2)_ = Q;
x+l v ' х+ 1	х +1
(2х+1)(х+2)(х- 1) _ Q, откуда х = -2; х = х = 1. х+ 1	2
б)	Поскольку
-2 = log<,.225 < logo.,(/S' + 1) < log±^=-| < ^ < 1,
отрезку log0.2 (УЗ" + 1):
1 принадлежит только корень х =	.
Ответ: а) -2; -у; 1;
6)4.
7. а) Решите уравнение ——-— = 7.
8-2“*
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-log4U; 0].
Решение.
а)	Пусть t = 2“*, тогда уравнение примет вид:
44-г2 . 7. 44-i2-56 + 7г _ л. г2-7г+12_п. (г-3)(г-4) 8-t	’	8-t	’ t —8	’	t-8	’
откуда t = 3 или t = 4.
При t = 3 получаем: 2“* = 3, откуда x = —Iog23.
При t = 4 получаем 2“* = 4, откуда х = —2.
б)	Поскольку -2 = -log416 < -log411 < -log49 = -log23 < 0, отрезку [-log4ll; 0] принадлежит только корень х = — log23.
Ответ: а) -2; -log23;
б) -log23.
-|х|	2	+ —
8. а) Решите уравнение 3-53 2 + 2- 8-125	3=3-532 Х+1 + 500.
б)
Найдите все корни этого уравнения,
Г1 4 принадлежащие отрезку log2 —
И.	W
1
Решение.
а)	Пусть t = 2 |х|, тогда уравнение примет вид:
Г + 1
3-53t + 2 - 8-125 3 = 3-53t+1+500; 3-52-53t-8-53t+I = 3-5-53' + 500;
75-53t - 40 -53r - 15 -53t = 500; 20 -53r = 500; 53t = 25,
2 откуда t =
О
При t = 4 получаем: 2 1x1 =	-|x| = log24 J 1*1 = log24> откуда x = -log24 или
X = log21.
3
б) Поскольку -log2| < -log2| = log21 лежит только корень x = log2-|-.
3	~	4 "
< log2y < ^og2 2 = 1, отрезку log2—; 1 принад-z	I—	—
2
Ответ: a) -log2-|; log2-|;
6)	log2|.
10-^_ g	5
9.	а) Решите уравнение --------------= 5.
2х-3
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а)	Пусть t = 2х, тогда уравнение примет вид:
? - 4t3 + 5 _ г г4 - 4t3 + 5 - 5г + 15 _ г3 (г - 4) - 5(t - 4) _ « (г3 - 5) (г - 4) _ 0 t-3	’	г-3	“ ’	г-3	’	г-3
откуда t = 14 или t ~ 4.
При t - |4 получаем: 2х - |4; х = 41og25.
При t = 4 получаем: 2х = 4; х = 2.
2	1
б) Поскольку — < -llog25 < 1 < 2, отрезку О о
1 принадлежит только корень х = — log25.
О
Ответ: a) 41og25; 2;
О
б)	|log25.
15
Задачи для самостоятельного решения
2х2- 13х-7
-2х2+ 13х + 7
1. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[log4|;log34 .
2. а) Решите уравнение 3х 1 + 5-33 х = 14.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log314; 2,5].
3.	а) Решите уравнение 7 х - 9-7 х = 40.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
„8х2 + 22х	.
4.	а) Решите уравнение °	~ =218.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log30,05; log803].
5.	а) Решите уравнение Зб^3^ + 5х + 7 '3 = 3У3*2 + 5* + 7 - 3.241/3*2 + 5* +7 -12
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
11х + 3
б.	а) Решите уравнение 93д2 + 4х - 9 X+1
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
13 _ q х
7.	а) Решите уравнение------— =12.
4 - Зг
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
и	3,Л| + ^	2-3
8.	а) Решите уравнение 5• 8	-5-64	= 9'8	+ 1024.
1°Й7 зб: 1°§21б 7
-2;
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку — 1; log3 .
9.	а) Решите уравнение	---— = 27.
3Л -3
б)
Найдите все
корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
1.
2’
г з_
4	J
16
1.3. Логарифмические уравнения
При решении логарифмических уравнений мы пользуемся методом равносильных преобразований. При этом иногда возникают ситуации, что при переходе к следующему уравнению некоторые ограничения можно не записывать, потому что запись и так содержит эту информацию. Покажем это на примере решения одного и того же уравнения.
log2(2x+ 1) = log4(x+2)2.
log2(2x + 1) = log2 |x + 2|.
Модуль появился, т. к. У = | а |.
log4(2x + I)2 = log4(x + 2)2,
2х + 1 >0.
Второе условие появляется, поскольку пер
вое уравнение системы уже не запрещает значению выражения 2х + 1 быть отрицательным или равным нулю.
«Отбрасываем» логарифм:
2х + 1 = |х + 2|;	J(2x+I)2 = (х+2)2;
х+ 2 * 0.	[ 2х + 1 > 0.
Дополнительно писать, что 2х + 1 >0 не нужно, т. к. 2х + 1 равняется модулю, который не может быть меньше нуля, а вот равным нулю он быть может, потому добавим условие х + 2	0; вместо него можно
было записать 2х + 1	0, это было бы
Поскольку слева и справа под логарифмом стояли полные квадраты, необходимости здесь уточнять, что они должны быть неотрицательными, нет; условие того, что они не равны нулю, содержит вторая строчка системы.
равнозначно.
Решение полученных систем:
2х +1 — х + 2, х + 2 > 0
х = 1;
Ответ: 1.
2х + 1 = —х — 2, х + 2 <С 0
нет решений.
2х +1 — х + 2, 2х + 1 >0
х = 1;
Ответ: 1.
или
2х + 1 = —х - 2,
2х + 1 >0
нет решений.
или <
1. а) Решите уравнение log9(х3 - 2х2 + 1) = log3 |х - 11.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку log54; ]/Т .
Решение.
a)	log9(х3 - 2х2 + 1) = log3|х- 11; log9(х3 - 2х2 + 1) = 21og9|x- 11;
х3-2х2+1 = (х-I)2,	[ х3 - Зх2 + 2х = 0, х(х- 1)(х- 2) = 0,
<	•<	s л
х^Г,	х * 1;	1x^1,
откуда х = 0 или х = 2.
б)	Поскольку 0 < log54 < 2 < УУ, отрезку log5 4; У1Г
принадлежит только корень х = 2.
Ответ: а) 0; 2;
б)	2.
17
2. а) Решите уравнение log4 (2x2 - 2x - 40) + log025(x2 - 3x + 2) - 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2л; 2л].
Решение.
а)	Преобразуем уравнение: log4 (2х2 - 2х - 40) = log4 (х2 - Зх + 2).
2x2 —2x-4O = x2 —Зх + 2,
х2 + x— 42 — О,
x — 6,
x2-3x+2 > 0,
откуда х = 6, х = —7.
б)	Поскольку -7 < -2л < 6 < 2л, отрезку [-2л; 2л] принадлежит только корень х = 6. Ответ: а) —7; 6;
б)	6.
3.	а) Решите уравнение logx2 + x_ 2 (*3 + ^х2 ~ 5х - 5) = 0.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log3 0,25; log317]. Решение.
а)	Исходное уравнение эквивалентно системе
х3 + 2х2 - 5х - 5 = 1,
(x + l)(x+3)(x-2) = 0, (x+2)(x- 1) > 0, x2 + x - 3 Ф 0;
x3 + 2x2 — 5x - 6 = 0, (x + 2)(x- 1) > 0, x2 + x - 3 * 0;
х2 + х — 2	1;
откуда х = -3, х = 2.
б)	Поскольку -3 < -log34 = log30,25 < -1 < 2 < log317, отрезку [log30,25; log317] принадлежит только корень х = 2.
Ответ: а) -3; 2;
б)	2.
4.	а) Решите уравнение (Зх - 1) log j	]/2х2 - 5х + 3 = 0.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 50,5; 50,5 Решение.
а) Заметим, что х = — является решением исходного уравнения.
Решим уравнение log ,	]/2х2 — 5х + 3 = 0. Оно равносильно системе
^2 “ 1
откуда х = —.
		2х2-5х+2 = 0, X * ±—4z, х 0, -1 < х < 1;	(2х- 1)(х - 2) = 0, х	±—4т, 1/Т х 0, -1 < х < 1,
1/2х2-5х + 3 = 1,  ?-1>0' [ X2	<		
1 яг 1	/с'  	г>—0,5 я** 0,5
— < у < уэ, отрезку |5	; 5
б) Поскольку у <
принадлежит только корень х — у.
Ответ: а) у;
6)1
18
5.	а) Решите уравнение log^ ~2 5х+^ = 0.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log50,01; log50,5].
Решение.
а)	Поскольку 2х + 1 > 1, исходное уравнение эквивалентно уравнению х2 - 5х + 6 _ ।. -х2 - 6х - 5 _ Q. (х+ 5)(х+ 1) _ q 2х2 + х + 11	’ 2х2 + х + 11	’ 2х2 + х + 11	’
откуда х = -5, х = -1.
б)	Поскольку
-5 < — log5100 = log5 0,01 < -1 < -log5 2 = log50,5, отрезку [log50,01; log50,5] принадлежит только корень х = -1.
Ответ: а) -5; -1;
б)-1.
6.	а) Решите уравнение log2x2 + 6х _ 8 (х2 + Зх + 2) = 1.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку - ]/2Г; log3 — .
4
Решение.
а) Исходное уравнение равносильно системе
х2 + Зх + 2 = 2х2 + 6х - 8,
< 2(х2 + Зх-4) > 0,
2(х2 + Зх-4) * Г,
х2 + Зх - 10 = О,
- (х + 4)(х- 1) > 0, 2х2 + 6х - 9	0;
(х + 5)(х-2) = 0,
(х + 4)(х- 1) > 0,
откуда х = —5; х = 2.
б) Поскольку -5 < -]/2Г < 2 = log3 ~ < log3 = log3 у,
отрезку
-•/Д’; log, { 4	.
при-
надлежит только корень х = 2.
Ответ: а) -5; 2;
б) 2.
Q 1
X 3	32’
x-3 = 2,
7.	а) Решите уравнение log2 (х - 3) + log2 (х - З)4 = 5.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log5119; log3l 19].
Решение.
а)	Исходное уравнение эквивалентно уравнению
log2 (х — 3) + 41og2(x- 3) - 5 = 0; (log2(x- 3) + 5)(log2(x- 3) - 1) = 0;
log2(x-3) = -5, log2 (x - 3) = 1;
откуда x = 3-^r или x = 5.
б)	Поскольку logs 119 < 3 < 3-^ < 4 < log3119 < 5, отрезку [log5119; log3l 19] принадле-
Q 1
жит только корень x = 3^y.
1
Ответ: a) 3—; 5;
6>3i-
19
।	1	2 /	1.	1 	।
8.	а) Решите уравнение log8llog21 log16(x + — I j + И I = 1.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ log2e4; 4].
Решение.
a)	log8(log2(logi6(x++ llj = 1;
log2(log?6(x + l)-|) = -3; log?6(x + l)-l = |; log]6 (x +	= ±|;
\	\ x) о/	\ x) о о	\ х/ I
x + — - 4, x
X + ± = ± x 4
Первое уравнение совокупности имеет корни х = 2 — УУ и х = 2 + ]/3\
Второе уравнение совокупности не имеет решений.
Решение исходного уравнения: х = 2 - Уз"; х = 2 + УТ.
б)	Поскольку 2 - ]/3" < у = log273 < log274 < log264 < 1 < 2 + УТ < 4, отрезку [log264 ; 4]
принадлежит только корень х = 2 + Уз\
Ответ: а) 2 - УЗ1; 2 + Уз’;
б)	2 + УЗ1.
9.	а) Решите уравнение log2 , (х2 + 3х-	- б) = 1 + log2 _ , (х2 + Зх - 8).
г+2 '	'	“ТТ2
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -пУд1; log2n .
Решение.
а)	Пусть у = 2 -	, z = х2 + Зх - 8, тогда уравнение примет вид:
log,(z+2y-2) = 1+logyz; -			log, Z >	(z + 2y-2) = log,yz, 0;			z -1- 2у - 2 - уг = 0, z > 0, у > о, у * 1;
	(z-2)(1-у) = 0,		= 2,		x2 + 3x-8 = 2,	(х+ 5)(х- 2) = 0,	
	z > 0,	Z -			9	1 s О	> о, х+2 ^4*о, х + 2	
	У > 0, у * 1;	У > о, у * 1;		*	“	х + 2 > U’ 2	1 зь 1 •		
					х+2*1’		
откуда х = -5; х = 2.
б)	Поскольку -тгУтГ < -ЗУУ < -5 < log2n < log24 = 2, отрезку лУУ; log2rcj принадлежит только корень х = — 5.
Ответ: а) —5; 2;
б) -5.
20
10. а) Решите уравнение 1 + log3(9x2 + 1) = log^j/Зх4 + 63'.
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
3. 51
2’ 2J'
Решение.
а) 1 + log3(9x2 + 1) = log^i/Зх4 + 63';
log3(9x2 +1) = log3(Зх4 + 63) - log33; log3(9x2 + 1) = log3(x4 + 21); 9x2+1 = x4 + 21; x4 — 9x2 + 20 = 0; (x2 - 4)(x2 - 5) = 0.
Таким образом, уравнение имеет 4 корня: х =	х=-2, х = 2, х = уТ.
б) Поскольку —< —2 < у < 2 < 1/5" < у, промежутку Гу; у! принадлежат только кор-ни х = 2 и х = 1/5".
Ответ: а) —j/5’; -2 2; ]/5';
б)	2: ]/5.
Задания для самостоятельного решения
1. а) Решите уравнение log25 (х3 - 8х + 8) = log51 х - 21.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку log73; у7
2.	а) Решите уравнение log ( (2х2 + 4х - 30) + log9 (х2 + х - 2) = 0.
9
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку л:
3.	а) Решите уравнение logx2 + x_6(x3 - 13х+ 13) = 0.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log20,03; log27].
4.	а) Решите уравнение (х+ l)-log9 ]/2х2 - Зх- 1 = 0.
^2 "4
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку |"-3-0'5; З0'3"].
у-2 _ 7у 4-12
5.	а) Решите уравнение 1°87-> + 2'^2—х+ 5 = б-
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
-^;iog76 у
6. а) Решите уравнение log2x.2_4x_30(x2 - х- 2) = 1.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку	log30,03;^
7.	а) Решите уравнение log* (х + 1) + log025(х + 1 )2 = 3.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log26 24; 65].
21
8.	а) Решите уравнение log3 ^log36 (jog216 (х + “) + ‘^’/ + 7/~ 1 ’
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [logj26 24; 5].
9.	а) Решите уравнение log ,	(Эх2 — 27х ч—+ 1$) = 1 + l°8_t_. (^х2 — 27х 4- 22
7Л"П	х i /	x_t
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку log2 л; /тГ .
10.	а) Решите уравнение log «•у/2х4 + 20 = 14- log2(10x2 4-1).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
1.4.	Комбинированные уравнения
1. а) Решите уравнение log4(sinx4- sin2x4- 16) = 2.
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
-4л, -TJ.
Решение.
а)	Преобразуем исходное уравнение, избавившись от логарифма:
sinx 4- sin2x4- 16 = 16; 2sinxcosx4- sinx = 0; sinx-(2 cosx 4- 1) = 0,
1	9 TT
откуда sinx = 0; x = Tin, neZ., или cosx = x = ±-=^- 4- 2nk, kbit. £	0
б)	С помощью числовой окружности отберём корни, принадле
жащие отрезку —4 л;—.
Получим числа: -4л; -Зл;
О	0
Ответ: а) х = ля, n € Z; х = ±-^- 4- 2л&, k 6 Z; 0
б) -4л; --Ць -Зл; 0	0
2.	а) Решите уравнение 9sinx 4- 9 sinx =
0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.
а)	Пусть t - 9sinx, тогда 9-ь1ПХ - —— - Аи исходное уравнение запишется в виде gSlIlX (
14- у = откуда t = 3 или t = 4.
С 0	0
При t = 3 получим: 9s,nx = 3, откуда sinx = х = 4 4- 2лА, k € 2, или х = Д?- 4- 2лп, Z	о	6
п € 2.
22
При	получим: 9s,n* =откуда sinx=-b х=-^ + 2пт, meZ, или
°	о	2	6
х = ~^ + 2nl, leZ. О
Полученные решения также можно записать одной серией:
х = ± £ + ns, 6
sez.
б)	С помощью числовой окружности отберём корни, принадле
жащие отрезку

Получим числа:	17к
13л
6 ’	6 '
Ответ: а) х = ± + ns, s$Z.
19л.	17л.	13л
’	6 ’	6 ’	6 ‘
3\ г»	4 г» sinx	< sinx r>-V^cosx
. а) Решите уравнение 12	=4	-3
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.
а)	Преобразуем исходное уравнение: 4S1IU .3iinx — д^х 3 узсоы -рак как > g при любом
значении х, на 4МПХ можно разделить обе части уравнения:
3sinx o-v'Scosx •	ДТ’	,/о1
= 3	; sinx = -у 3 cosx; tgx = -уЗ,
откуда х = -— + nk, k € Z. «3
б)	С помощью числовой окружности отберём корни, принадле-5л , жащие отрезку —; 4 л .
тт	8л 11л
Получим числа: —; ——. <3 о
Ответ: а) + nk, ktZ;
*5
8л Ил
б) т: — •
/	, X Sinx
4. а) Решите уравнение (25 е ;	= 5COSX.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ; —п
Решение.
а) Преобразуем уравнение:
25	= 5	; 5	= 5	; 2sinxcosx = cosx; cosx(2smx- 1) = О,
откуда или cosx = 0; х = 4 + nk, kcZ, или sinx = 4-; х = + 2пп, пе^.-, х =	+ 2пт,
2	2	6	о
т & Z.
23
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадле-
жащие отрезку
-Я
Получим числа:
5л. Пл. Зл.	7л
“ 2 ’	6 ’	2 ’	6 ’
Ответ: а) £ + лЛ, k € 7L\ £ + 2яи, п € 2;	+ 2лт,
2	о	о
_ 5л .	11л. Зл . 7л
°'	2 ’	6 ’	2 ’	6 '
COSX	/ 4 \ cosx
+ 3.1	-4 = 0.
\ 4 /
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [4л; 7я]. Решение.
\ cosx
—J , тогда уравнение примет вид:
г/2 + Зг/- 4 = 0; (у + 4) (у - 1) = 0, откуда у = -4 или у = 1.
(J \ cosx
— \	= -4 — нет корней.
COSX
= 1, откуда cosx = 0; х = 1 + ли, п € 2.
5. а) Решите уравнение —
При у = 1 получаем, что
б) С помощью неравенств найдём корни, принадлежащие отрезку [4л; 7л].
4 л < у + ли < 7 л; 4-|<и<7-|; 3,5 < и < 6,5, значит, поскольку п целое, получаем: п = 4, п = 5, п = 6.
Подставляя полученные значения и, получим числа: Др рр; рр.
Ответ: а) у + ли, п € 2;
хч 9л. 11л. 13л J 2 ’ 2 ’ 2 '
. \ sinx
т -2 = 0.
4 /
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
7тг. 17jtl
7ТГ, —J.
Г 5л,
L 2 ’
(. \ sinx
—)
Решение.
> sinx
— I , тогда уравнение примет вид:
г/2-г/-2 = 0; (у + 1)(г/- 2) = 0, откуда у = -1 или у = 2.
/ . \sinx
При у = — 1 получаем, что I —I = -1 — нет корней.
При у-2 получаем, что (-7-)	=2, откуда sinx =--4; х = --4 + 2яи, п G 2, или
х = -Дг- + 2лА, k е 7L. ь
24
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадле-
жащие отрезку
7л;
17л'
2 .
Получим числа:
О 6
Ответ: а)-~- + 2пп,	~ + 2nk, keZ;
о	6
хх 43л. 47л } 6 ’ 6 ’
7.	а) Решите уравнение 4lgx+ 5-2lgx- 14 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку л
Решение,
а)	Пусть у = 2'8\ тогда уравнение примет вид:
У2 + 5у - 14 = 0; (г/+ 7)(г/- 2) = 0, откуда у = -7 или у = 2.
При у = —7 получаем, что 2t8x = —7 — нет корней.
При у = 2 получаем, что 2tgT = 2, откуда tgx = 1; х =	+ ли, п € 2.
6)	С помощью числовой окружности отберём корни, принадле-
5л" жащие отрезку л; — .
Получим числа:
Ответ: а) + ли, п € 2;
хч 5л. 9л
' 4 ’ 4 ’
• 2	2
8.	а) Решите уравнение 2s111 х + 2C0S х = 3.
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
5л ~
2 .
Решение.
х ТТ X	nl-COS2X . r>COS2.V о. 2	. rxCOS^.r n
а)	Преобразуем	исходное уравнение: 2	+ 2	=3;	——+ 2	=	3.
Пусть t = 2СОЬ х, тогда уравнение примет вид:
2 , г = 3. f2 — 3f +	2	= 0.	(г-1)(г-2) = 0
г ’ г	’ t
откуда t = 1 или t = 2.
При t = 1 получаем: 2cos2* = 1; cos2x = 0, откуда х = у + ли, п € 2.
При t = 2 получаем: 2соь2х = 2; cos2x = 1; sin2x = 0, откуда х = пт, meZ.
Объединяя эти два решения, получаем решение исходного уравнения: х = keZ.
25
б)	С помощью числовой окружности отберём корни, принадле-
Г _ яП
жащие отрезку -я, — I.
тт	7t л Л
Получим числа: -л; -у; 0;
Ответ: а)
б)	-п-.	0; f.
9.	а) Решите уравнение (3cos2x — 11 cosx + 7) ]/—7tgx = 0.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
]/—7tgx = 0 и системы
Решение.
а)	Произведение равно нулю, если хотя бы один из его множителей равен нулю и все множители определены. Поэтому решение уравнения — это объединение решений уравнения
3cos2x— И cosx + 7 = 0,
tgx < 0.
Решим уравнение: i/-7tgx = 0; tgx = 0, откуда х = nk,
Решим систему:
3cos2x- 11 cosx + 7 = 0, tgx < 0;
6cos2 х — 3 — 11 cosx + 7 = 0,
(3cosx- 4)(2cosx- 1) = 0,
4 cosx = —
о
COSX = у,
cosx = у,
откуда получаем, что х = -у + 2лте, тп е Z.
О
б)	С помощью числовой окружности отберём корни, принадле-
’5л ,
-у; 4л .
жащие отрезку
Получим числа: Зл; -Ц^-; 4л.
Ответ: a) nk, -у + 2лт, mtl;
О
б) Зл; 4я.
О
4COST _ 2/3
10. а) Решите уравнение —-	= 0.
y7sinx
6) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Зл; у- .
Решение.
, cosx
у 7 sinx
„ tgx < 0;
26
4 cosx
sinx > 0;
22cosx _ 2/3" sinx > 0;
2 cosx = 1/3, sinx > 0;
cosx = -E—,
< 1
sinx > 0,
откуда x = £ + 2nk, keZ.. О
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку ^Зя; -yj.
Получим число -^у-.
Ответ: а) £ + 2я£, k € 2; О
25 л
б) —
-sinx q
11. а) Решите уравнение -—-----------------= 0.
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Г-2*;-Н
Решение.
а) Исходное уравнение эквивалентно системе:
16*“*-6-4*"*+8 = 0, ^tgx- 1^0, cosx 0.
Решим первое уравнение системы. Пусть t = 4sinx, тогда уравнение принимает вид: Г2-6Г + 8 = 0; (t-2)(t-4) = 0,
откуда t = 2 или t = 4.
При t = 2 получаем: 4sinx = 2, откуда sinx = х =	+ 2nk, или х = -у + 2яп,
и €2.
При t — 4 получаем: 4s,nx = 4, откуда sinx = 1, х = у + 2ятп, т G 2, — не удовлетворяют условию cosx # 0.
Решим неравенство: j/S’tgx— 1	0; tgx Хг-, откуда хг £ + я/, /€2.
О	о
5 л
Таким образом, исходное уравнение имеет решение: х = -у + 2пп, n^TL.
б)	С помощью числовой окружности отберём корни, принадле
жащие отрезку [~2я; - у .
Получим число --у--
Ответ: а) + 2яи, п € 2;
6
7л
6>—г-
27
12. а) Решите уравнение (6sin2x — llsinx + 4)log13(—tgx) — 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку % »Зя •
Решение.
а) Произведение равно нулю, если хотя бы один из его множителей равен нулю и все множители определены. Поэтому решение уравнения — это объединение решений уравнения
log13(-tgx) = 0 и системы
6sin2x- 11 sinx + 4 = 0, -tgx > 0.
Решим уравнение:
logis(-tg*) = 0; tgx = -1,
откуда х = -~ + nk, keZ.
Решим систему:
6sin2 х — 11 sinx + 4 = 0, -tgx > 0;
(3sinx- 4)(2sinx - 1) = 0, tgx < 0;
1 sinx = 2’, tgx < 0,
откуда получаем, что x = -^- + 2nm, m € Z. О
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадле-
жащие отрезку
Зл
Получим числа:	-Ц^-.
J	4	4	6
Ответ: а) + nk, k 6 Z; + 2пт, mel; 4	о
7п. 11л. 17л
б) - —; — •
13. а) Решите уравнение )/2cosx+ 1 -log2(2sinx) = 0.
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
-2л’
Решение.
а)	Произведение равно нулю, если хотя бы один из его множителей равен нулюи все множители определены. Поэтому решение уравнения — это объединение решений систем
У2cosx + 1 = 0,	2cosx + 1 > 0,
и <
2sinx > 0	log2(2sinx) = 0.
28
Решим первую систему:
откудах = -^ + 2nk, k^Z.
О
Решим вторую систему:
]/2cosx+ 1' = О, 2sinx > О;
cosx = -у, sinx > О,
2 cosx + 1 > О, log2(2sinx) = 0;
cosx > -у, 2 sinx = 1;
COSX > - у, sinx = у,
откуда получаем, что х = £ + 2пт, meZ. О
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадле-
жащие отрезку
Получим число —
Ответ: а) + 2пт, т € 2;	+ 2nk, keZ\
О	□
б) о
14. а) Решите уравнение 2со$ х	= 0.
'	J	log7(sinx)

б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Исходное уравнение эквивалентно системе:«
Iog7(sinx) 0;
2cos2х - ]/з'cosx = 0, sinx 1, sinx > 0.
Решим первое уравнение системы:
/—•	/ т/з1 \
2cos2x — уЗ cosx = 0; cosxI cosx - -*y- I = 0,
откуда cosx = 0; x = у + nk, kzZ, или cosx = -^y-; x = ±y + 2nn, neZ.
С учётом условий sinx * 1 и sinx > 0 получаем решение исходного уравнения:
х = — + 2пп, neZ.
О
б)	С помощью числовой окружности отберём корни, принадле-Ья].
жащие отрезку
Получим число —.
Ответ: а) + 2пп, n€Z; О
29
15. а) Решите уравнение	= 0.
Гп 3x1
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку jy yj.
Решение.
а) Исходное уравнение эквивалентно системе:
3tg2x- 1 = О, log5(cosx) # 0;
3tg2x-l cosx # 1, cosx > 0.
= О,
Решим первое уравнение системы:
3tg2x- 1 = 0; tgx = ±Л-» О
откуда х = ±— + nk, A G Z.
С учётом условий cosx 1 и cosx > 0 получаем решение х = ± 4 + 2itk, keZ.
О
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку ^0; y-j.
Получим число
исходного
уравнения:
1.
2.
3.
4.
Ответ: а) х = ± + 2л£, k 6 Z;
6
6)|.
Задания для самостоятельного решения
а)	Решите уравнение log7(2cos2x + 3cosx- 1) = 0.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку у;
а)	Решите уравнение 4С“Ж + 4 cosx =
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -Зл; -у .
а)	Решите уравнение (25с“х)	= (0,2)^'“'.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку л; у .
а)	Решите уравнение (4COSX) = (0,5)>^COSJr.
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

30
5. а) Решите уравнение 81 ““х - 2 «9“** -3 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2л; л].
6. а) Решите уравнение 3 • 81япх + 2 • 9ИПХ - 1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [—2л; л].
а)	Решите уравнение
\ /
tg*
-6-
/ 1 \ tgx
4 +9 = 0.
\ о /
б)	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5л; 8л].
• 2	2
8.	а) Решите уравнение Зяп х + 3COS х = 4.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
9.	а) Решите уравнение (6cos2x — 8cosx — l)]/5tg.r = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
gsinx _ ^/2
10.	а) Решите уравнение ,	- = 0.
j/5 cosx
2 к-.
-2л .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [л; 4л].
(1 \COSX / 1 \cosx
1	_9. 1	+2
XI. Л) гсшпн- урйвпспис ------—------------------- = 0.
tgx - ]/3
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
12. а) Решите уравнение (10cos2x— 17cosx + 6) log4 (]/2sinx) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
13. а) Решите уравнение y2sinx + ]/Т -log4(2cosx) = 0.
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
л. Зл'
2’2.’
5^].
-л
14. а) Решите уравнение 2sinx j/2sinx _ q
logl7(cosx)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку	2л; — у
f д 2 y __ Q
15. а) Решите уравнение	- 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
2Е-
2’2
2.	НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ
2.1.	Рациональные неравенства
_	1ZX — О1Х +	- п
1.	Решите неравенство —+ зх _ ।01
Решение.
Исходное неравенство равносильно неравенству	откУДа “1 < х < J
или — < х < 2.
Ответ:
^•5 „ ^2	1
2.	Решите неравенство ——— >	2 .
Решение.
Исходное неравенство равносильно неравенству
х2 (х3 — 1) х3 - 1 п, (х3 — 1)(4х2 — 1) Л. х2 4х2	’	4х2
(х-1)(х2+х+1)(2х-1)(2х+1) > 0. (х—1)(2х—1)(2х+1) > 0
X2	' '	X2	'
1 1
откуда - х < 0, 0 < х < у или х > 1.
Ответ: —	0^, ^0; у , [1;+оо).
-г»	z о	вх3 - 42х2 + 75х — 51 п
3.	Решите неравенство 4х2— 10х-2х ~~5-~9-
Решение.
Исходное неравенство равносильно неравенству
8х3 - 20х2 - 20х2 + 50х - 8х3 + 42х2 - 75х + 51 + 18х - 45 <
2х —5	’
2х2 - 7х + 6 . п (2х - 3) (х - 2)	. 3 о ^5
—й-----z— < 0; 2—_ ,—< 0, откуда х < — или 2 < х < —.
2х-5	2х-5	J 2	2
Ответ:
4.	Решите неравенство 2х(х- 1) < -‘/28’(х- 1).
Решение.
Исходное неравенство равносильно неравенству
(х-I)(2x+2V7) < 0; (х-1)(х +1/7) < 0, откуда —rfT < х < 1.
Ответ: -1/7; 1 .
5.	Решите неравенство 6х > 12х + 6| + 13 - 2х|.
Решение.
О
Исходное неравенство равносильно неравенству |х+3| + х— — -Зх<0. Рассмотрим
три случая.
32
Первый случай: х < —3. Неравенство принимает вид:
-х-З-х + у-Зх < 0; 5х>-|; х >
С учётом условия х < —3 получаем, что в этом случае решений нет.
3
Второй случай: — 3 < х < —. Неравенство принимает вид:
х +3-х +- Зх < 0; Зх > у; х > у.
3
С учётом условия — 3 < х < — получаем, что в этом случае решений нет.
Третий случай: х > Неравенство принимает вид:
х + 3 + х-у-Зх<0; х > у.
Получаем, что в этом случае все значения переменной удовлетворяют исходному неравенству.
Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: х >
6. Решите неравенство
1
х2 - 1
Решение.
Заметим, что х = ±1 не является решением неравенства.
Рассмотрим два случая.
Первый случай: — 1 < х < 1. В этом случае х1 — 1 < 0 и неравенство принимает вид:
4х2 - 4 - 3 > -пД—; 4х4 - Их2+ 7 < 1; (х2 - 2)(4х2 - 3) < 0. xL - 1
Поскольку х2-2<х2-1<0, неравенство равносильно неравенству 4х2 - 3 > 0, откуда
-/з* Уз1
получаем, что х < - -*у- или х >
С учётом условия -1 < х < 1 получаем решение:
2 > 2 •
Второй случай: х < — 1 или х > 1. В этом случае х2 — 1 > 0 и неравенство принимает вид:
—4х2 + 4 - 3 >	; —4х4 + 5х2 - 1 > 1; 4х4 - 5х2 + 2 < 0.
х2 -1
Последнее неравенство решений не имеет.
Решение неравенства: — 1 < х < ~2~’ 2
Ответ: (-
1;	2
2
19.. 1
, г.	о , 19	1 . о 2 1 1 „	19
7.	Решите неравенство LxL + —х -	> Зх2 + -х-х ——.
о О	о о
8 ~ 8
Решение.
Исходное неравенство равносильно совокупности неравенств:
2х2 + -£х- | >	Зх2	+	|х-
О О	о	о
-2х2 - ^-х +1 >	Зх2	+	|х -
О О	о	о
9	9
4Х 4
1Х_1
2	2
(х- 3)(х +	< О
откуда -1 С х < 3.
Ответ: [—1; 3].
зз
8.	Решите неравенство ।	। > 1 — х
Решение.
Преобразуем исходное неравенство:
—-------1 + j
|Зх+1|
Заметим, что х = —не является решением неравенства, а при х оно равносильно О
неравенству 1 + | Зх 4-11 (х — 1) > 0.
Рассмотрим два случая.
Первый случай: х < Неравенство принимает вид: О
1 — (Зх + 1)(х — 1) > 0; Зх2-2х-2 < 0;

откуда —г1 О
£
3'
3 '
„	1	1 - -/7
С учетом условия х < - — получаем решение: ——
Второй случай: х > —Неравенство принимает вид:
О
1 + (3х + 1)(х- 1) > 0; Зх2 - 2х > 0; х(Зх-2)>0, 2
откуда х < 0 или х > -г-.
О
1	12
С учётом условия х > -— получаем решение: -—<х<0, х>^.
D	О	О
1 _1
3’	3
2
3’
Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: —
О
Ответ:
'2
.3
3	’ 3/’
9.	Решите неравенство х(|3х- 8| - |х- 21) < 2|3х- 8| - 2|х- 21.
Решение.
Преобразуем неравенство: (х—2)(|3х — 8|-|х — 2|) < 0.
Заметим, что х = 2 является решением неравенства.
Рассмотрим три случая.
Первый случай: х < 2. В этом случае х — 2 < 0, Зх — 8 < 0 и неравенство принимает вид: -Зх+8+х-2>0; 2х < 6; х < 3.
Получаем, что в этом случае все значения переменной удовлетворяют исходному неравенству.
О
Второй случай: 2 < х . В этом случае х — 2 > 0, Зх — 8 < 0 и неравенство принимает вид: О
—Зх + 8— х + 2 < 0; 4х> 10; х > у.
С учётом условия 2 < х < получаем решение: < х <
g
Третий случай: х > •=. В этом случае х — 2 > 0, Зх - 8 > 0 и неравенство принимает вид:
О
8	8
С учётом условия х > — получаем решение: — < х < 3.
О	о
Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: х < 2, у < х < 3.
Ответ: (-оо; 2], у; 3 .
34
10.	Решите неравенство —Ц-т - -—-— > - — н	|х + 2| |х —3|	6
Решение.
Заметим, что х = -2 и х = 3 не являются решением неравенства, а при х * -2 и х * 3 преобразуем неравенство:
б(|х-3| -|х+2|) + |х+2||х-3| > 0; б(|х- 3| - |х + 2|) + |х2 -х- 6| > 0. Рассмотрим три случая.
Первый случай: х < —2. В этом случае х + 2 < 0, х-З < 0 и неравенство принимает вид: 6(-х + 3 + х+ 2) + х2 — х — 6 > 0; х2-х + 24>0.
Решением последнего неравенства является любое число, значит, в этом случае все значения переменной удовлетворяют исходному неравенству.
Второй случай: — 2 < х < 3. В этом случае х + 2 >0, х-3 < 0 и неравенство принимает вид:
6(-х + 3 -х- 2) -х2 + х-+ 6 > 0; х2 + Их- 12 < 0; (х + 12) (х - 1) < 0, откуда -12 < х < 1.
С учётом условия —2 < х < 3 получаем решение: —2 < х < 1.
Третий случай: х > 3. В этом случае х + 2 > 0, х — 3 > 0 и неравенство принимает вид: 6(х —3 — х — 2)+-х2 — х—6>0; х2 — х — 36 > 0;
L 1--|Л45Л/	1-+-/Й5Л > 0
\	2 Д 2	/	’
. 1 -1/14?	. 1 + 1/14?
откуда х <-------- или х >----£----.
С учетом условия х > 3 получаем решение: х >----.
Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: х < -2, —2 < х < 1, х > 1 +	.
Ответ: (-со; -2), (-2; 1],
1 +V145 ,	\
2---;+°°1
11.	Решите неравенство 18х - 21 -	+ 5 > 8* 1 - 6.
О х	о I х I
Решение.
Преобразуем неравенство:
214х - 11 + 4 —— +— -----— > О
’ X Л + 4	|х| + 8|д.|	8х - и-
Заметим, что х = 0 не является решением неравенства.
Рассмотрим три случая.
Первый случай: х < 0. В этом случае 4х — 1 < 0 и неравенство принимает вид:
- 8х+2 + 4+1-^-- -^->0; 8х-7 + -^-<0. 8х 8х	4х
Поскольку х < 0, домножим обе части неравенства на 4х, поменяв знак неравенства:
32х2 - 28х + 3 > 0; (8х-1) (4х-3) > 0,
. 1	з
откуда х С — или х > —. о	4
Получаем, что в этом случае все значения переменной удовлетворяют исходному неравенству.
Второй случай: 0 < х < j. В этом случае 4х - 1 < 0 и неравенство принимает вид:
-8Х+2 + 4- 1+J-- ^->0; 8х-5+-^<0.
35
Домножим обе части неравенства на 2х > 0:
16х2- 10х + 1 < 0; (8х-1)(2х-1) < 0,
1 . .1 откуда - < х <
О	Z
С учётом условия 0 < х < получаем решение: < х < j.
Третий случай: х > j. В этом случае 4х - 1 > 0 и неравенство принимает вид:
8х-2 + 4-1+-4---Л > 0; 8х+1-^->0.
8х 8х	2х
Домножим обе части неравенства на 2х > 0: 16х2 + 2х - 1 >0, откуда х < — *	1 или
. /17-1
1в~ 
Получаем, что в этом случае все значения переменной удовлетворяют исходному неравен-/17- 1	1
ству, поскольку	< ~4 ’
Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: х < 0; х > 4-.
О
Ответ: (-оо; 0),
Г1 . 'l
L8:+O°>
х2 + 1	17
12. Решите неравенство у—;—- <	.
х| — 1	12
Решение.
Пусть t = |х|, тогда неравенство принимает вид: Г2+ 1 < __17 , г2 + 1	17 < 0. 12г2 + 17Г-5
t- 1 " 12’	t —1 + 12	’	12(Г- 1)
5	1
откуда t < - у или — < t < 1.
5	5
При t < - — получаем, что |х| < —у — нет решений.
При j < t < 1 получаем, что -у < |х| < 1, откуда -1 < х <
Решение неравенства: -1<х<~4-, —<х<1.
4 4
(3t + 5)(4l- 1)
t- 1
1.
4
Ответ: ( -1; -4-1, .
\	4 J L4
т;1У
13.	Решите неравенство 14х - 11 + 14х - 71 <6.
Решение.
Решим неравенство графическим способом.
Рассмотрим функцию: /(х) = |4х- 11 + |4х- 7|. Её графиком является ломаная: при х < у это часть прямой у - — 8х + 8, при 1	7	7
— < х < — это часть прямой у = 6, а при х > — это часть прямой у = 8х - 8 (см. рисунок).
График функции /(х) лежит не выше прямой у = 6 только на
1	7
своем горизонтальном участке при — < х < —, а значит, решением
.4’ 4_Г
исходного неравенства является отрезок
1.1' .4’4.’
Ответ:
36
Задания для самостоятельного решения
1.	Решите неравенство	+	< 0.
2.	Решите неравенство Э-- *5"8*2 > 16- *3~8—. н	х2 + 2х+1 х2 + 2х+1
3.	Решите неравенство х2 - 5х+ 10 + -*3	+^Х ~ 102 <
4.	Решите неравенство Зх(х- 1) < '/18’(х- 1).
5.	Решите неравенство 3х-|х+6|-|3-х| >0.
Решите
неравенство
1
2-1
8.
Решите
Решите
Решите
10. Решите
неравенство
неравенство
неравенство
неравенство
^х+18
4	10
1
|2х- 1|
2х з •
х
3’
^х + 1
20	2'
- 3 |х+ 2|.
6
7
9
2
2
11. Решите неравенство
|6х- 121 --2^8. > 1—9£-5,
г»	3(х + 1) - 16 . И
12.	Решите неравенство з|х + ц _g~ <
13.	Решите неравенство |5х — 21 + 15х + 61 < 8.
«/г»	зс2|21х2 + Зх +12	□
14.	Решите неравенство xJ — bx1 4-----х + 4.--
15.	Решите неравенство 2 |х + 21 + у |х - 11 - ~х < 7.
Тренировочная работа
л	20х2 —32х+3 . п
1.	Решите неравенство з*2	-- < 0.
хЗ + Х^ n X 4“ 1
2.	Решите неравенство 4• *2_	< 9 х2_2х~^'
,	„	2,о х3 + 5х2 - 21х-104
3.	Решите неравенство х2 + 2х------> 1U.
4.	Решите неравенство х(х- 2) < -1/28’(х-2).
5.	Решите неравенство 6х + |2х- 181 + |2х + 9| > 0.
6.	Решите неравенство — 81 х2 — 11 — 2 > х2 _ ]
7.
„	I 2 29	35
Решите неравенство х2 - -&х - -уу
> 2х2 - —х - — ZX 12х	12.
8.	Решите неравенство уууу-уу	—з—'
9.	Решите неравенство (х — 1) (| Зх — 141 — | х — 41) < | Зх - 141 — | х — 41.
6	6
10.	Решите неравенство |х + g| ~ ууу < 4.
11.	Решите неравенство 12х - 21 —	> ^х[~ ~
гл	(2х-1)2	.	1
12.	Решите неравенство 12х - 11 - 2	~"15‘
13.	Решите неравенство | Зх + 81 + | Зх - 21 < 10.
14.	Решите неравенство xJ + 5х2 ч------------< 5.
1	5
15.	Решите неравенство 4|x+l| + y|x-4|-yx< 12.
2.2. Логарифмические неравенства
1.	Решите неравенство log6x2_х_, (2х2 - 5х+ 3) > 0.
Решение.
Рассмотрим два случая.
Первый случай: 0 < 6х2 — х - 1 < 1. В этом случае получаем систему неравенств:
	6х2 - х - 1 >	0,	(2х — 1)(3х+ 1)	> 0,
	6х2 - х - 1 <	1,	(2х+ 1)(Зх-2)	< 0,
	2х2 - 5х + 3	> 0,	(х- 1)(2х —3) >	0,
	2х2-5х + 3	с 1;	(х-2)(2х- 1) <	0.
Изобразим решение каждого неравенства на координатной прямой, расположив рисунки				
друг под другом:
111	I 12 I	I	I
“III	I 13 I	I	।
38
Получаем решение системы неравенств: < х < —.
2	3
Второй случай: 6х2 — х — 1 > 1. В этом случае получаем систему неравенств:
f 6х2 - х - 1 > 1,	f (2x4- 1)(3х —2) > О,
1 2х2-5x4-3 > 1; | (х-2)(2х-1) > 0. к.	L
Изобразим решение каждого неравенства на координатной прямой, расположив рисунки фуг под другом:
Решение системы неравенств: х < --? или х > 2.
11	2
Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: х < -—, — <х<-г-, х > 2.
L L	О
Ответ: (-оо;-4), (4-; 4)’ [2; +°о).
2.	Решите неравенство log4 _х х — 2 > — 2. (х-4)
Решение.
Исходное неравенство равносильно следующему неравенству:
log4_x(jf 4-3) - log4_x(x-4)2 >-2; log4_x(x + 3) > 0.
Рассмотрим два случая.
Первый случай: 0 < 4 - х < 1. В этом случае получаем систему неравенств: f l°g4-x(x + 3) > 0, [о<х + 3<1, J	4	нет решении.
0 < 4 -х < 1;	[ 3 < х < 4,
Второй случай: 4 - х > 1. В этом случае получаем систему неравенств: log4_x(x+ 3) > 0,	х4-3>1,
| 4 — х > 1;	I х < 3,
к.	V.
откуда —2 < х < 3.
Решение неравенства: —2 < х < 3.
Ответ: [—2; 3).
3.	Решите неравенство log2(-log2x) 4- log2 log2x < 3.
Решение.
Из условия следует, что -log2x > 0, поэтому log2log2x - 2log2(-log2x).
Пусть t = log2(-log2x). Тогда неравенство принимает вид:
t2 + 2t<3; (t-l)(t + 3) < 0; -3 < t < 1.
39
Обратная замена:
-3 < log2(-log2x) < 1; | < -log2x <2; -2 < log2x <
1 . . 1 откуда — < x < -g—.
Ответ:
1 _L 4’ ^2
4.	Решите неравенство log2 (4x) • log4 (0,125.x)2 < log2 3 • log3
Решение.
Преобразуем отдельно множители левой части неравенства и произведение, стоящее в правой, с учетом того, что х > 0:
log2(4x) = (log24 + log2x)2 = (log2x+ 2)2.
log4 (0,125x)2 = log2 £ = log2x — log2 8 = log2x - 3.
log23-logK =	= log2= log2x-log28 = log2x —3.
О lORo x.	О
Теперь исходное неравенство примет вид: (log2x + 2)2(log2x- 3) < log2x- 3.
Пусть t = log2x. Тогда получаем неравенство
(r + 2)2(t-3) < t-3; (г-3)((Г+2)2-1) < 0; (Г-3)(Г+1)(г + 3) < 0, откуда —1 < t < 3 или t < —3.
Обратная замена:
-1 < Iog2x < 3 ГО,5 < х < 8
log2x < -3;	0 < х < 0,125.
Ответ: (0; 0,125], [0,5; 8].
5.	Решите неравенство log123 (4х - х2) • logx+1 123 < log, j (1 + 2х - х2).
2л-	2 + 27
Решение.
Iogi23(4x-X2)-Iogx+1 123 < log± J_(l + 2х —х2); 2х	2 + 2х
logx+1 (4х - X2) < logx+1 (1 + 2х - х2). 2х	2х
Рассмотрим два случая.
Первый случай: 0 < - - < 1. Получаем систему неравенств:
	X + 1	0,	^1>0.
Л г- х+ 1 ' 1	2х '		
0< 2х < 11	<	0,	Тх' > °’
4х — х2 > 1 + 2х — х2,	2х	1	
Л+2х-х2>0;	2х > 1,		Х > 2’
	х2 - 2х	-КО;	(х - 1 - /21) (х - 1 + j/?) < 0.
40
Изобразим множество решений каждого неравенства полученной системы:
Получаем, что 1 < х < 1 + уТ.
Второй случай:	> 1. Получаем систему неравенств:
1
откуда 0 < х < —.
х + * > 1
2х ’
4х- х2 < 1 + 2х- х2, „ 4х- х2 > 0;
' х- 1
2х
< о,
х(х- 4) < 0,
[2х < 1,
Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: 0 < х < у, 1 < х < 1+
Ответ: ^0; -j-J, (1; 1+/?).
x2	1°8з T
б.	Решите неравенство log2 — -log05(0,5x) <
Решение.
Преобразуем отдельно множители левой части неравенства и частное, стоящее в правой части, с учётом того, что х > 0:
X2
log2 -д- = log2x2 - log2 4 = 21og2x — 2; log0>5 (0,5x) = log0>5 0,5 + log0,5x = 1 - log2x;
l°g3 4 х
= log2- = log2x- log22 = log2x- 1.
41
Теперь неравенство примет вид:
(21og2x-2Н1 -log2x) < log2x- 1; -2(log2x- I)2 < log2x- 1.
Пусть t = log2x, тогда неравенство принимает вид:
-2(t-l)2 <t-l; (t-l)(2t- 1) > О,
/да t < у или t > Обратная замена:
log2x < | log2x > 1;
0 < x < x > 2.
Ответ: {0; y2 , [2; +oo).
7.	Решите неравенство log3 у + log^ 3 < 2,5.
Решение.
Преобразуем неравенство:
- log3 х - logr 3 < 2,5; log3x + —J— + 2,5 > 0.
40g3X
Пусть z = log3x, тогда неравенство принимает вид:
Z + - + 2,5 Z	> О’	+ 5z + 2 > Z	0;	(2z+l)(z + 2) > 0 Z	'n 1 ' V ^5 О Л N /Л	-0,5
Обратная замена:	’-2 < log3x < -0,5 _log3x > 0;		-I1?. V/ н V Л r|q> *.		
Ответ:
(1; +оо).
9 ’ ]/3
8.	Решите неравенство log^ (х + 1 )2 < 1.
Решение.
Рассмотрим два случая.
Первый случай: 0 < х2 < 1. Неравенство принимает вид:
(х+ I)2 > х2: 2х + 1 > 0; х > — у.
С учётом условия 0 < х2 < 1 получаем решение: -у < х < О, 0 < х < 1.
Второй случай: х2 > 1. Неравенство принимает вид:
0 < (х + I)2 С х2;
2х + 1 С 0;	1
откуда х < —1 или 1 < х С - —.
х * -1,	2
С учётом условия х2 >1 получаем решение: х < — 1.
Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: х < —1, -у < х < О, О < х < 1.
Ответ: (-оо;-1),	(0; 1).
42
9.	Решите неравенство log, _ 3 (х - 1) • log2x + 3 (х - 3) > 0.
Решение.
Преобразуем неравенство:
1о8х-з(*~ И logx_3(2x +3)
log2x + 3(x- 1) > 0.
< х- 3 > 0, х — 3	1.
Решим неравенство log2x+3(x — 1) > 0. Рассмотрим два случая.
3
Первый случай: 0 < 2х + 3 < 1, то есть - у < х < -1. В этом случае неравенство принимает вид:
0 < х- 1 < 1; 1 < х < 2,
3 откуда с учетом условия - — < х < -1 получаем, что решений нет.
Второй случай: 2х + 3 > 1, то есть х > -1. В этом случае неравенство принимает вид:
х— 1 > 1; х > 2, откуда с учётом условия х > — 1 получаем решение: х > 2.
Исходное неравенство равносильно системе
х > 2,
х > 3,
х 4,
откуда получаем решение: 3 < х < 4, х > 4.
Ответ: (3; 4), (4; +оо).
10. Решите неравенство logx2 _ ] (2х2 + Зх + 1) < 1.
Решение.
Рассмотрим два случая.
Первый случай: 0 < х2 — 1 < 1, то есть 1 < х2 < 2. Неравенство принимает вид: 2х2 + 3х+ 1 >х2- 1; х2 + Зх+2>0; (х+1)(х +2) > 0,
откуда с учётом условия 1 < х2 < 2 получаем решение: 1 < х <
Второй случай: х2 - 1 > 1, то есть х2 > 2. Неравенство принимает вид:
0 < 2х2 + Зх + 1 < х2 — 1;
х2 + Зх + 2 < 0, 2х2 + Зх + 1 > 0;
(х+ 1)(х + 2) < 0, (2х + 1)(х + 1) > 0,
откуда -2 < х < -1. С учётом условия х2 > 2 получаем решение: -2 < х < -уТ.
Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: -2 < х < ->/F; 1 < х < уТ.
Ответ: [-2;--/2 ),
Задания для самостоятельного решения
1.	Решите неравенство log2x2 + 9x + 10(Зх2 + 4х + 1) С 0.
2.	Решите неравенство log3 _х-х + -(х-3)
43
3.	Решите неравенство log2 (-log3x) + log2 log3x < 8.
4.	Решите неравенство log2 (16x) • log16 (0,0625x)2 < log4
5.	Решите неравенство log813 (x2 - 4x + 3) • log2x + 3 813 < log2 1 (x2 - 2x - 8).
3i	3 + x
x3	51°g2
6.	Решите неравенство log5 — • log0 2 (0,04x) <	.
7.	Решите неравенство log4 — + logj 8 < 3,5.
.V
8.	Решите неравенство logv2_ , (x + 2)2 < 1.
9.	Решите неравенство logx_ 2 (x + 3) • log3x+ 4 (x - 2) > 0.
10.	Решите неравенство log2x2 _ t (x2 + Зх - 3) > 1.
Тренировочная работа
1.	Решите неравенство l°g6x2 + 5x(2x2 - Зх + 1) > 0.
2.	Решите неравенство log5_x х + 2 > -4. (х-5)4
3.	Решите неравенство logo5 (-log3x) - log0 5 log3x < 3.
4.	Решите неравенство logo,5 (4х) • log0.25 (0,25х)2 < log0;5 5 • log5 j.
5.	Решите неравенство log12(x2 + 2x - 3) • log2x 2 12 < log 2 (x2 - 5x + 6). Л	X
« D	, X2 , X 31°*Н
6.	Решите неравенство log3 • log t
7.	Решите неравенство log5 — + logt y/T < -1,5.
X
8.	Решите неравенство logx2 2 (x + 2)2 < 1.
9.	Решите неравенство logx + 2(x + 4)-log2x + 5(x + 2) > 0.
10.	Решите неравенство log2x2 + x_ t (3x2 - x - 4) > 1.
44
2.3. Показательные неравенства
1. Решите неравенство 22х + 4 - 16-2х+3- 2Х+1 + 16 < 0.
Решение.
Пусть t = 2х, тогда неравенство принимает вид:
16f2-128t-2t+16 < 0; 8t2-64t-t + 8 < 0; 8t(t-8)-(t-8) < 0; (8t — 1) (t — 8) < 0,
откуда < t < 8. О
Обратная замена: -j- < 2х < 8, откуда —3 < х < 3.
Ответ: [-3; 3].
1
2. Решите неравенство------------------< 0,75.
2х - 2	21 - 4
Решение.
Пусть t = 2х - 3, тогда неравенство примет вид:
6____1	_3- 24г-24 - 4г - 4 - Зг2 + 3 < Q. -Зг2 + 20г- 25 < Q
г+1	г-1	4’	4(г+ 1)(г-1)	" ’	(г+1)(г-1) "
Зг2 - 20г + 25 п. (Зг-5)(г-5) > 0 (г+1)(г-1) " и’ (г+1)(г-1) " и’
откуда t < -1, 1 < t < или t > 5.
При t < -1 имеем: 2х — 3 < — 1; 2х <2; х < 1.
При 1 < t < 4 имеем: 1 < 2х - 3 <	4 < 2х <	2 < х < log2-£.
О	ООО
При Г > 5 имеем: 2х — 3 > 5; 2х > 8; х > 3.
Ответ: (-оо; 1), (2; log2-^~ \	*5
[3; +оо).
Решите неравенство
2х + 5
< 0.
Решение.
Преобразуем неравенство: |хг + 4х+2|	2	, „ |*2 + 4х + 2|-2
/ О \	/ О \	/ О 1
Полученное неравенство равносильно неравенству ' * 2х +5 '—~	ТаК КаК Iff <
Рассмотрим два случая.
Первый случай: х2 + 4х+ 2 < 0. Неравенство принимает вид:
-х2 - 4х - 2 - 2 п. х2 + 4х + 4 . n. (х+ 2)2 п 2х+5	> U’ 2х+5	* U’ 2х+5 С °’
5 откуда х < или х = -2.
С учётом неравенства х2 + 4х + 2 < 0, то есть -2 -	< х < -2 + i/?, получаем решение
в этом случае: —2 - ^2 < х < -у; х = —2.
45
Второй случай: х2 + 4х + 2 >0. Неравенство принимает вид:
х2 + 4х + 2 - 2 - п. х2 + 4х
2х + 5	’ 2х + 5
х(х + 4) 2х + 5
откуда — 4 < х < — у или х > 0.
С учётом условия х2 + 4х + 2 > 0, то есть х < — 2 — УТ или х > — 2 + '/2', получаем решение в этом случае: —4 < х < —2 — j/2* или х > 0.
Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: -4 < х < -у,
Эх2-*
9x2
4. Решите неравенство 4 4
Зх
2
4|Og2(f+1)
1	<3.
Решение.
Преобразуем неравенство:
9x2
4 4
Зх
2
(1О«Зх
2
9x2-4
4
< 3;
Эх2 9x2-4 4 4 - 2 4 < 3, ^+1 >0,
Т+1 # 1;
9х2
2-4 4
9х2
- 2 4 <6,
2
3’
9x2
Пусть t = 2 4 . Тогда первое неравенство системы принимает вид:
2t2 - г < 6;
2t2-t —6<0; (2? + 3)(Г-2) < 0,
Q откуда -у < t < 2.
о
Обратная замена: — — <
9x2
2 4
2; ~ < 1; х2 < откуда < х < 4	У	О
2
3‘
>4
* о
С учётом условий <
получаем решение исходного неравенства:
О
2
3'
Ответ: (

46
(x^ + tjlog^ х
5. Решите неравенство  ------------—32 > о
1 - Зх
Решение.
(x^+l)iog~2
7	> - 32х
1-Зх
> 0;
1 - Зх
> 0;
О2х2 + 2	05х
2 „	<0;
Зх - 1
2хг + 2 — 5х , л
Зх- 1 С U
(2х-1)(х-2)	0
Зх-1
откуда х < 4 или < х < 2. «3 л
Ответ:
1
Решите неравенство (5 • 2х2) * - 2
2-5
2х+ 2.
Решение.
1 , (5-2х3)х — 2\2-5х)	> 2Х + 2;
5Л.2х-2-2х -5 х
> 4-2х;
/
2х 5х-5
- 1 --
> 4 2х; 5х -5 х > 4.
1
Пусть t = 5 х, тогда неравенство принимает вид:
А > 4- f2 ~ 4f ~ 5	0. (t-5)U+ 1)	0
t ' t " ’	t
откуда —1 < t < -0 или t > 5.
При -1 < t < О имеем: -1 < 5х < 0 — нет решений.
При t > 5 имеем: 5х > 5; — > 1, откуда 0 < х < 1.
Ответ: (0; 1].
7.	Решите неравенство 54’3х*+ 2х 1 —з’ 1эх+20< > 3х +2j + 2
Решение.
Представим 54 как 2-33, тогда неравенство примет вид:
2.3x2 + 2x+2_3,-J5x+M| > 3х3*21*2; з^ + ьг+2 зЫэг+а#1. х2 + 2х + 2 > |-15х+20|; х* + 2х+ 2 > -15x4-20,	f х2 4- 17х— 18 > О, Г (х 4-18)(х - 1) > О,
х2 4-2x4-2 > 15х-20; х2 - 13х 4-22 > 0;	(х-2)(х-11) > О,
откуда х < —18; 1 < х < 2 или х > 11.
Ответ: (-оо;-18], [1; 2], [И; 4-со).
XX	9х
8.	Решите неравенство 45х — 3 • 5х + 0,6 < -у.
Решение.
45х-3-5х + 0,6 <	(5х-0,2)(9х-3) < 0; (5х-5-1)(з2х-з) < 0;
(х + 1)(2х- 1) < 0, откуда -1 < х < 0,5.
Ответ: (-1; 0,5).
2
9.	Решите неравенство 2х-3х > 6.
Решение.
Возьмем от каждой из частей неравенства логарифм по основанию 2: /	j_\
log2\2x-3x) > log26; х + — log23 > log23 + 1;
x2-x(l +log23) + log23 0	(x- l)(x-log23) > 0
X	’	X
откуда 0 < x < 1 или x > log23.
Ответ: (0; 1), (log2 3; +oo).
10.	Решите неравенство 4-16 x - 65-4 Л + 16 < 0.
Решение.
Пусть t = 4 х, тогда неравенство принимает вид:
4t2 - 65г + 16 < 0; (4г- 1)(г- 16) < 0;
откуда j < t < 16.
Обратная замена: < 4‘л < 16; -1 с -х < 2, откуда -2 < х < 1.
Ответ: [—2; 1].
Задания для самостоятельного решения
1.	Решите неравенство 52х + 4 - 25 -5Х + 4 - 5х + 25 < 0.
2.	Решите неравенство------------------ С —-—.
1-2-2х	1- 4-2х	2Х + 2
4-Р-4х + 2| __1_
3.	Решите неравенство--------—-----— < 0.
5 — 2х
х2-1
4* Решите неравенство 4х2 —(1 -x)l°82(1 х) < 3. (л'2 — 3) log ~3	-
с	у s  27а +
5. Решите неравенство------------------> 0.
6 — х
48
1	,	±^-2
б.	Решите неравенство (9 • 5х ) * - 50 \ 5 • 3 х )	> 5Л.
7.	Решите неравенство 6-52х2~7х+13 - 5|-9х+171 > 52*2-7х+ 14
8.	Решите неравенство 250х- 5-2х + 1,25 < —.
4
1
9.	Решите неравенство 3х-25 х > 45.
з
у-*
10.	Решите неравенство 9	- 244-3 х + 9 < 0.
Тренировочная работа
1. Решите неравенство 0,52х + 5 - 2-0,5х + 3 - 64-0,5х+2 + 128 < 0.
2.
Решите неравенство
6
2х"2 -2
1
2х-2 — 4
J3
4 ’
5 -|о,25х2 + 2х + 2| _ 004
3.	Решите неравенство  ----------------------’— < 0.
X 4“ -Э
1	(Х+
4.	Решите неравенство 4“+11 - (-х)	1	< 3.
(•V2- 0 log-16
2	__ 39
5.	Решите неравенство ----------- _ -------< 0.
1	/	и*-1
б.	Решите неравенство (? • 6х2) — 6 \6• 7 х )	> 6х +1.
—	zx2-9x+54 z|-12.r + 57|	п z.r2~9x+53
7.	Решите неравенство 4	- 4	>3-4
8.	Решите неравенство 12х — 729-4х + 364,5 <
9.	Решите неравенство 8х+1-3 х > 3.
10. Решите неравенство 814	-730-9 х + 27 < 0.
2.4. Системы неравенств
Решите систему неравенств
< 0.
Решение.
1. Решим первое неравенство системы: Зл +	> 29.
Пусть £ = 3‘, тогда неравенство примет вид:
t + Q _ 29 > 0; f2 ~	+--~ > 0; (f~2Hf~27) > о,
/да 0 < £ < 2; £ > 27.
При 0 < £ < 2 получим: 0 < 3х < 2, откуда х < log32.
При £ > 27 получим: 3х > 27, откуда х > 3.
Решение первого неравенства исходной системы: х < log32, х > 3.
2. Решим второе неравенство системы: logx4.3^x^ 1 j С 0.
Рассмотрим два случая.
Первый случай: 0 < х + 3 < 1.
£±1 > 1
4	’
0 < х + 3 < 1;
х>3,
нет решении.
-3 < х < -2;
Второй случай: х + З > 1.
0 <	< t
4
х+З > 1;
-1 < х < 3, х > —2,
откуда -1 < х < 3.
Решение второго неравенства исходной системы: —1 < х < 3.
3. Поскольку — 1 < log32 < 3, получаем решение исходной -1 < х < log32, х = 3.
системы неравенств:
-1 log32 3
Отлет: (-1; log3 2], 3.
2.
Решите систему неравенств
log2_х(х + 2)• logI+з(3 — х) < 0, 4ж2 + х-3_0 52^-6х-2 < 0
Решение.
1.	Решим первое неравенство системы: log2_x(x + 2)logx + 3(3 -х) <0.
Значения, при которых определено неравенство: -2 <х<1, 1<х< 2.
Рассмотрим два случая.
Первый случай: -2 < х < 1. Получаем, что х+З > 1, 3—х >2, а 1°вх+з(3-х) > 0; 2-х > 1, тогда
значит,
log2_x(x +2)-logx+3(3-x) < 0,
-2 < х < 1; *
откуда —2 < х < — 1.
tofe-x(*+-2) < 0,
-2 < х < 1;
0 < х + 2 < 1,
-2 < х < 1,
50
Второй случай: 1 < х < 2. Получаем, что 0 < 2 - х < 1, х + 2 > 3, х + 3 > 4, 3 - х > 1, а значит, log2_z(x+ 2) < 0 и logx+3(3 -х) > 0, следовательно, при 1 < х < 2 первое неравенство исходной системы верно.
Решение первого неравенства исходной системы: —2 < х < — 1, 1<х<2.
2.	Решим второе неравенство системы:
д.^ + х-З _ q ^2х2-6х-2 Q. 22х2 + 2х-6 < 2~2х2 + 6х + 2-
2х2 + 2х - 6 < -2х2 + 6х + 2; х2 - х - 2 < О, откуда -1 < х < 2.
Решение второго неравенства исходной системы: -1 < х < 2.
3.	Решение исходной системы неравенств: х = -1, 1<х<2.
Ответ: -1, (1; 2).
3.	Решите систему неравенств
Решение.
4Х 2 - 17-2х-2 + 2 < 0, log3x_5(2x2-9x+10)>0.
1 х~2	х-2
1.	Решим первое неравенство системы: 4	—17-2	+ 2 < 0.
Пусть t — 2х, тогда неравенство примет вид:
^--r-i + 2 < 0; 2t2-17t + 8 < 0; (2f- 1)(t- 8) < 0, 2	4
откуда | < t < 8; | < 2X< 8; -1 Cx<3.
Решение первого неравенства исходной системы: —1 < х < 3.
2.	Решим второе неравенство системы: log3j_5(2x2 - 9х + 10) > 0.
Рассмотрим два случая. Первый случай: 0 < Зх - 5 < 1.
log3x-5(2x2 - 9х + 10) > 0;
|<х<2.
0 < 2х2-9х + 10 < 1;
- < х < 2
3 <; х< z,
(2х-5)(х-2) > 0,
Д2х-3)(х-3) < 0,
5 откуда — < х < 2.
О
Второй случай: Зх - 5 > 1.
2х2-9х + 10 > 1;
l°g3x-5(2x2 - 9х+ 10) > 0;
откуда х > 3.
Решение второго неравенства исходной системы: — < х < 2, х > 3.
3.	Решение исходной системы неравенств: -|<х<2,х = 3.
О
(2х-3)(х-3) > 0,
-1
Ответ:	2^, 3.
\ о /
5	2	3
3
51
Решите систему неравенств «
25*~ 2 - 26-5x-t + 5 > О, x-log5(3 + х-х2) > О.
Решение.
1 х-J-	х_|
1.	Решим первое неравенство системы: 25	- 26 -5	+ 5 > 0.
Пусть t = 5х, тогда неравенство примет вид:
^--^г + 5>0; г2 - 26Г + 25 > 0; (t- 1)(г-25) > 0, 5	5
откуда t < 1 или г > 25.
При t < 1 получим: 5х < 1, откуда х < 0.
При i > 25 получим: 5х > 25, откуда х > 2.
Решение первого неравенства исходной системы: х < 0, х > 2.
2.	Решим второе неравенство системы: x log5(3 + х-х2) > 0.
Очевидно, х = 0 является решением.
При х # 0 рассмотрим два случая.
Первый случай: х > 0.
х > 0, log5(3 + х-х2) > 0;
х > 0,
3 + х - х2 > 1;
х > 0,
(х+ 1)(х- 2) < 0,
откуда 0 < х < 2.
Второй случай: х < 0.
log5(3 + х-х2) < 0,
(х+ 1)(х-2) > 0,
откуда	< х < -1.
Решение второго неравенства исходной системы: 1	<х<-1,0<х<2.
3.	Решение исходной системы неравенств: 1	< х < -1, х = 0, х = 2.
2
Ответ: ( 1	; -11, 0, 2.
Решите систему неравенств
х3 + 6х2 +	2х—— < 2,
х —5
3|х + 1| + ||х-2|-|х < 8.
Решение.
1.	Решим первое неравенство системы:
х3 + 6х2 + —-2 + 2* 10 < 2; х3 + 6х2 + -^4- < 0: х —5	х-5
Г4 + X3-2х2	0. х2(х + 2)(х- 1) Q
х — 5	х - 5	''
откуда х < -2, х = 0 или 1 < х < 5.
Решение первого неравенства исходной системы: х<-2,х = 0, 1<х<5.
1	3
2.	Решим второе неравенство системы 3|х + 1| +~2 |х — 2| - JX < 8.
Рассмотрим три случая.
Первый случай: х < — 1. Неравенство принимает вид:
-Зх-3 - jx+1 - jx < 8; 5х > —10; х >-2.
С учётом условия х < — 1 получаем решение: —2 < х < —1.
Второй случай: -1 < х < 2. Неравенство принимает вид:
Зх + 3 — ух + 1 - -|-х < 8; х < 4.
Получаем, что в этом случае все значения переменной удовлетворяют исходному неравенству.
Третий случай: х > 2. Неравенство принимает вид:
Зх + 3 +-j-x - 1 --j-х < 8; 2х < 6; х < 3.
С учётом условия х > 2 получаем решение: 2 <х< 3.
Решение второго неравенства исходной системы: -2 < х < 3.
3.	Решение исходной системы неравенств: х = -2, х = 0, 1 < х < 3.
—2	0 1	3	5
Ответ: -2, 0, [Г, 3].
Задания для самостоятельного решения
	320-4 * > 5,
1. Решите систему неравенств «	64 — 2 .	/х+ 6 \	4 у 4 /	1'
2. Решите систему неравенств «	5х+2 + 2-5~х > 51, log2x0,25 > log232x- 1
3. Решите систему неравенств «	3-9-х-28-3-х + 9 <0, log^x-b I)2 < 1.
53
	4ж-6-2х + 8 > 0,
Решите систему неравенств«	, л 2х2 4- Зх - 5 ~ 4 log3	П	< 1- х 4-1
	2Ж+— > 21, о*
5. Решите систему неравенств -	2 < 0- \ / ч. log3_x(x + 3) logx+4(5-x) < 0,
6. Решите систему неравенств -	16х2-5х + 5 _ q 252х2 + 8х-30 < q
7. Решите систему неравенств <	9 2 -82-3 3 4-3 < 0,
	log3x_8(2x2 - 13х + 21) > 0.
	
8. Решите систему неравенств <	81 2 - 10 9х 4- 1 > 0, х- log8 (5 + Зх - х2) < 0. ж + 4	х~7>
9. Решите систему неравенств -	16 4 -33-4 2 + 1 > 0, (х — l)-logx+5(x + 3)-log5(x + 5)2 < 0.
10. Решите систему неравенств -	Зх4-8-3"х>9, ?10g(^-O + 5)2(4x2+1) * 1О^-4х+5(3х2 + 4х+ !)• х + 1	х + -^
11. Решите систему неравенств <	9 9—4-3 9 +27 >0, ^°в8х2-23х+15^Х-2) < 0- logT-x-^^ > -8.
12. Решите систему неравенств -	(х-7)8 х3 + 6х2 + 40x2+ 3^-.24 < з х-8 1°б4-х(28 - Зх-х2) < 1,
13. Решите систему неравенств >	v . 7 , 14х-24 .	5 Х+ 7 4-	>	. х2 — 4х + 3 х - 1 [	> 4,
14. Решите систему неравенств «	х2-12x4-12	х2-5х + 3 .ж «	.. .	4-	_ С LX 11. х-1	х-5
15. Решите систему неравенств «	log_i_x—4-~:- < -1, ° 1 х х+ 1 х2 + 6х + 7 , 2 - 6х .	о 		1	< X— L. х+ 2	х
54
3. ЗАДАНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
1. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
—-3 - ах-2 х
на промежутке (0; +оо) имеет более двух корней.
Решение.
Рассмотрим функции /(х) = ах- 2 и g(x) =	-з|. Исследуем уравнение /(х) = g(x) на
промежутке (0; +оо).
При а < 0 все значения функции /(х) на промежутке (0; +оо) отрицательны, а все значения функции g(x) — неотрицательны, поэтому при а < 0 уравнение /(х) = g(x) не имеет решений на промежутке (0; +оо).
При а > 0 функция /(х) возрастает. Функция g(x) убывает на промежутке (0; поэтому \ w J
уравнение /(х) = g(x) имеет не более одного решения на промежутке (О; 41. причем решение \ J
41) <<
будет существовать тогда и только тогда, когда
5
откуда получаем а - — - 2 > 0, то
О
есть а >
□
На промежутке
(5	\	5
-г-; +оо) уравнение /(х) = g(x) принимает вид ах- 2 = 3-. Это урав-
5	/	X
нение сводится к уравнению ах2 - 5х + 5 = 0. Будем считать, что а > 0, поскольку случай а < 0 был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения D = 25 — 20а, поэтому при а > — это уравнение не имеет корней; при а = уравнение имеет единственный корень, рав-4	4
ный 2; при 0 < а < 4 уравнение имеет два корня.
4
Х2=1а
принадлежит промежутку
Если уравнение имеет два корня х, и х2, то есть 0 < а < j, то больший корень
Т' 5	5	(5	\
- > — > 2 > -у, поэтому он принадлежит промежутку +о°). Меньший корень
4-оо j тогда и только тогда, когда *3	f
(	5\/	5\
°1х’"зНХ2~з)
= a(i)2-H+5 =
25g-30 9
> О,
6 то есть а > —.
э
Таким образом, уравнение | ~ _ з| = ох - 2 имеет следующее количество корней на проме-
жутке (0; +оо):
—	нет корней при а < 0;
—	один корень при 0 < а < 4 и а > 4; 5	4
6	5
—	два корня при а = -= и а — —; Э	4
—	три корня при 4 < а < 4-5	4
Ответ: 4 < а < 4« 5	4
55
2.	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение а'Х-3'=Т+2
на промежутке [0; +оо) имеет ровно два корня.
Решение.
Рассмотрим функции /(х) = а|х-3| и g(x) =	. Исследуем уравнение f(x) = g(x) на
промежутке [0; +оо).
При а < 0 все значения функции /(х) на промежутке [0; +оо) неположительны, а все значения функции g(x) — положительны, поэтому при а < 0 уравнение /(х) = g(x) не имеет решений на промежутке [0; +<х>).
При а > 0 функция /(х) возрастает на промежутке (3; +оо). Функция g(x) убывает на этом промежутке, поэтому уравнение /(х) = g(x) всегда имеет ровно одно решение на промежутке (3; +оо), поскольку /(3) = 0 < 1 = g(3) и /(з + -i-j - 1 >	= g^3 +
5
На промежутке [0; 3] уравнение /(х) = g(x) принимает вид Зе — ах =	2‘ Это уравнение
сводится к уравнению ах2 - ах + (5 - 6а) = 0. Будем считать, что а > 0, поскольку случай а < 0 был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения D = а2 - 4а(5 — 6а) = 25а2 - 20а, поэтому при 0 < а < j это уравнение не имеет корней; при 4	„	„ 1	4
а = — уравнение имеет единственный корень, равный —; при а > — уравнение имеет два корня, э	Z	э
Пусть уравнение имеет два корня, то есть а > ^. Тогда оба корня меньше 3, поскольку при
ГТ
х > 3 значения функции За - ах неположительны, а значения функции - положительны.
По теореме Виета сумма корней равна 1, а произведение равно - 6. Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку [0; 3], а меньший принадлежит этому промежутку тогда и 5	5
только тогда, когда-6 > 0, то есть а < —.
а	6
Таким образом, уравнение а|х — 3| = ——— имеет следующее количество корней на промежутке [0; +оо):
—	нет корней при а < 0;
—	один корень при 0 < а < —;
5
4	5
—	два корня при а = — и а > 5	6
4	5
—	три корня при — < а < — 5	6
Ответ: а = 4, а > о и
3.	Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции /(х) = 4х2 - 4ах + а2 + 2а + 2 на множестве |х| > 1 не меньше 6.
Решение.
Графиком функции /(х) = (2х— а)2 + 2а + 2 является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты 2а + 2^. Значит, минимум функции f(x) на всей чис-«л	(2
ловои оси достигается при х = —.
56
На множестве |х| > 1 эта функция достигает наименьшего значения либо в точке х = если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек х = ± 1.
Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,
/(1) > 6; а2 - 2а + 6 > 6; а(а - 2) > О, /(-1) > 6; а2 4-6а 4-6 >6; а(а + 6) > О, откуда получаем систему неравенств
а(а —2) > О,
а(а 4- 6) > О, ч
решениями которой являются а < —6; а = 0; а > 2.
При а < -6 имеем: у < -3, значит, наименьшее значение функции достигается в точке х = у и /(у) = 2а 4- 2 < -10, что не удовлетворяет условию задачи.
При а = 0 имеем: у = 0, значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек х - ± 1, в которых значение функции не меньше 6.
При а > 2 имеем: у > 1, значит, наименьшее значение функции достигается в точке х = у и /(у) = 2а + 2 > 6, что удовлетворяет условию задачи.
Ответ: а = 0, а > 2.
4.	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение |2х2-Зх-2| = а - 2х2 - 8х либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
Решение.
Рассмотрим функцию
/(х) = 2х2 4-8x4-|2х2 - Зх-2|.
При 2х2 - Зх — 2 > 0:
с / 1
xel-oo;--
/	5 \	57
U [2; +оо) И /(х) = 4 (х +	.
При 2х2 - Зх - 2 < 0:
хе(-|;2) и Дх) = 11x4-2.
(5 V 57
X 4- — I - — убы-
вает при х < — — и возрастает при х > — —. Таким образом, функция /(х) убывает при х < --г г	О	О	°
5	57
и возрастает при х > Наименьшее значение этой функции равно -— и достигается при
5
Х ~	8'
57
Значит, уравнение /(х) = а не имеет решений при а < - —, имеет единственное решение
57	57
при а - и имеет два решения при а >	.
х/	57
Условие выполняется при а < — -jg.
.57
Ответ: а < lb
57
5.	Найдите все значения а, при которых уравнение
]/х4 + (а-5)4 = |х + а - 5| + |х - а + 5|
имеет единственное решение.
Решение.
Заметим, что если число х0 является решением уравнения, то и число — х0 также является решением этого уравнения. Значит, если уравнение имеет единственное решение, то это решение х = 0.
При х = 0 уравнение принимает вид
]/(а - 5)4 = 2|а - 5|; (а - 5)2 = 2|а - 5|; |а - 5|-(|а - 5| - 2) = 0, откуда а = 3, а = 5, а = 7.
При а = 3 и а = 7 исходное уравнение принимает вид ]/х4 + 16 = |х-2| + |х+2|. При х < -2 правая часть уравнения равна -2х < х2 < ]/х4 + 16'. При -2 < х < 2 правая часть уравнения равна 4, а левая часть уравнения не меньше 4, причем равенство достигается только при х = 0. При х > 2 правая часть уравнения равна 2х < х2 < ух4 + 16. Значит, исходное уравнение имеет единственное решение х = 0.
При а = 5 исходное уравнение принимает вид ]/х^ = 2|х|. Числа -2, 0 и 2 являются корнями этого уравнения.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение при а = 3 и а = 7.
Ответ: а = 3, а = 7.
6.	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение х2 + (2 — а)2 - |х — 2 + а\ + \х - а + 2\ имеет единственный корень.
Решение.
Если х0 является корнем исходного уравнения, то и -х0 является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если х0 = -х0, то есть х0 = 0. Подставим значение х = 0 в исходное уравнение:
(2-а)2 = 2|2-а|; 12 - а|-(|2 - а| - 2) = 0, откуда либо 12 - а| = 0; а = 2, либо \ 2 - а\ = 2; а = 0 или а = 4.
При а = 2 исходное уравнение принимает вид: х2 = 2|х|. Корнями этого уравнения являются числа -2; 0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня.
При а = 0 и при а = 4 уравнение принимает вид: х2 + 4 = |х-2| + |х+2].
При х < —2 это уравнение сводится к уравнению х2 + 2х + 4 = 0, которое не имеет корней.
При —2 < х < 2 получаем уравнение х2 — 0, которое имеет единственный корень.
При х > 2 получаем уравнение х2 = 0, которое не имеет корней.
При а = 0 и при а = 4 исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: а = 0, а — 4.
7.	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение |(х-'1)2 - 2,-в| + |х- 1| +(1 -х)2 + 2“-1 = 4 + 4а
имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого полученного значения а.
Решение.
Если х0 является решением исходного уравнения, то (2 — х0) также является его решением. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если х0 = 2 — х0, то есть х0 = 1. Подставим значение х = 1 в уравнение:
58
21-« + 2«-' = 4+4“;
^ + ^ = 4 + 4“; 2е 2
1
2«+1
= 1,
откуда а = -1.
При а = — 1 исходное уравнение примет вид
|(х-I)2 - 4| + |х-11 = 4-(1-х)2.
Отсюда следует, что 4 - (1 - х)2 > О, а значит, | (х - 1 )2 - 41 = 4 - (1 - х)2. Исходное уравнение принимает вид |х - 1| = 0, и оно имеет единственное решение х = 1, удовлетворяющее условию 4 — (1 — х)2 > 0. Следовательно, а = -1 удовлетворяет условию задачи.
Ответ: а = -1, х - 1.
8.	Найдите все значения а, при которых уравнение
(log5(x + 3) - log5(x - З))2 - 7(log5(x + 3) - log5(x - 3)) - 4а2 - 6а + 10 = 0
имеет ровно два решения.
Решение.
Пусть t = log5(x+ 3) - log5(x- 3), тогда уравнение запишется в виде t2 - It - (4а2 + 6а- 10) = 0, откуда t = 2а + 5 или t = 2 - 2а. Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений log5(x + 3) - log5(x - 3) = 2а + 5 или log5(x + 3) - log5(x - 3) = 2 - 2а.
Исследуем, сколько решений имеет уравнение log5(x + 3) - log5(x - 3) = b в зависимости от Ь. При х > 3 левая часть определена и принимает вид log5 (* + _ ) = log5( 1 +  "—). При
х > 3 выражение 1 + —принимает по одному разу все значения из промежутка (1; +оо). Та-ким образом, уравнение log5(x+ 3) - log5(x- 3) = Ь имеет одно решение при b > 0 и не имеет решений при b < 0.
Уравнения log5(x + 3) - log5(x - 3) = 2а + 5 и log5(x + 3) - log5(x - 3) = 2 - 2а могут иметь общие решения при 2а + 5 = 2 — 2а, то есть при а = При а = — — оба уравнения прини-7 мают вид log5(x + 3) - log5(x - 3) = — и имеют одно решение.
При других значениях а исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения log5(x + 3) - log5(x - 3) = 2а + 5 и log5(x + 3) - log5(x - 3) = 2 - 2а имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:
2а + 5 > 0,
2 -2а > 0, то есть —< а < 1.
5
Ответ: - — < а < 1.
9.	Найдите все значения а, при которых уравнение
(log2(x + а) - log2(x - а))2 - За (log2(x + а) - log2(x - а)) + 2а2 - а - 1 =0 имеет ровно два решения.
Решение.
Пусть t = log2(x+ а) - log2(x- а), тогда уравнение запишется в виде t2 - 3at + 2a2 - a - 1 =0,
откуда t = a - 1 или t = 2a + 1. Значит, решения исходного уравнения — это объединение решений уравнений log2(x + a) - log2(x - a) = a - 1 и log2(x + a) - log2(x - a) = 2a + 1.
59
Исследуем, сколько решений имеет уравнение log2(x 4- а) — log2(x — а) — b в зависимости от а и Ь. При а^0их>аих>—а, то есть при х > | а|, левая часть определена и принимает вид log,(= log2f 1 + -^-1 При x > |a\ выражение 1 4- принимает по одному oz\x — а) \ х-а/	х — а
разу все значения из промежутка (1; +оо) для а > 0 и принимает по одному разу все значения из промежутка (0; 1) для а < 0. Значит, при х > |а| выражение log21 4- j принимает по одному разу все значения из промежутка (0; 4-оо) при а > 0 и принимает по одному разу все значения из промежутка (—оо; 0) при а < 0. Таким образом, уравнение
log2(x + а) - log2(x-а) = b
имеет одно решение при ab > 0 и не имеет решений при а 0 и ab < 0. При а = 0 и х > 0 уравнение принимает вид 0 = b и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.
Уравнения log2(x 4- а) — log2(x - а) = а — 1 и log2(x 4- fl) - log2(x - а) = 2а + 1 могут иметь общие решения при а - 1 = 2а 4-1, то есть при а = —2. При а = -2 оба уравнения принимают вид log2(x — 2) — Iog2(x + 2) = -3 и имеют одно решение.
При других значениях а исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения log2(x 4- а) - log2(x - а) = а - 1 и log2(x + а) - log2(x - а) = 2а + 1 имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:
(а - 1)а > 0, (2а 4- 1)а > 0,
то есть а < — -i; а > 1.
Ответ: а < -у, а > 1.
10.	Найдите все значения а, при которых уравнение
(|х4-1|4-|х-а|) - 2(| х 4- 11 4-1 х — а|) + 4а(1 - а) = 0 имеет ровно два решения.
Решение.
Пусть t=|x4-l|4-|x — а|, тогда уравнение запишется в виде t2 - 2t + 4a( 1 - a) = 0, откуда t = 2a или t = 2 - 2a. Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений |x4-l|4-|x-a| = 2a или |х4- 11 + |х- а\ = 2-2a.
Исследуем, сколько решений имеет уравнение |х4-1|4-|х-а| = 6в зависимости от а и Ь. Рассмотрим функцию /(х) = |х4- 1| 4-|х — а|. При а — 1 графиком этой функции является ломаная, состоящая из трёх звеньев, угловые коэффициенты которых равны —2, 0 и 2. Минимальное значение достигается на отрезке с концами -1 и а и равно | а + 11. Таким образом, уравнение |x+l| + |x-a| = b имеет два решения при b > \а 4- 11, бесконечно много решений при b = |а + 11 и не имеет решений при b < |а 4-11. В случае а = -1 уравнение 2|х-Ь 11 = b имеет два решения при b > 0, одно решение при b = 0 и не имеет решений при b < 0.
Уравнения |х 4-11 4- |х - а| = 2а и |х 4-11 4-1х — а| = 2 — 2а могут иметь общие решения при 2а = 2 — 2а, то есть при а = При а = у оба уравнения принимают вид
= 1 и не имеют решений.
При других значениях а исходное уравнение имеет ровно два решения, если одно из уравнений |х4-11 4- |х - а| = 2а и |х 4- 11 4- |х- а| = 2 - 2а не имеет решений, а другое имеет два решения. Эти условия равносильны неравенству (2a - |a 4- 11)(2 - 2a - |a 4- 1|) < 0. При a < — 1 неравенство принимает вид (За 4-1)(3 — а) < 0, которое выполняется при любом
60
а < — 1. При а > — 1 неравенство принимает вид (а — 1)(1 — За) < 0, откуда с учётом условия а > -1 получаем: -1 < а < -j-; а > 1.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при а < а > 1.
Ответ: а < а > 1.
О
11.	Найдите все значения а, при которых уравнение
((а - 1)х2 + Зх)2 - 2((а - 1)х2 + Зх) + 1 - а2 = О
имеет ровно два решения.
Решение.
Пусть t = (а - 1)х2 + Зх, тогда уравнение запишется в виде t2 - 2t + 1 - а2 = 0, откуда t = a+A или t= 1-а. Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений (а - 1 )х2 + Зх = а + 1 или (а - 1)х2 + Зх = 1 - а.
Исследуем, сколько решений имеет уравнение (а - 1 )х2 + Зх = b в зависимости от а и Ь. При а 5* 1 уравнение принимает вид (а - 1 )х2 + Зх — b = 0. Это квадратное уравнение, дискриминант которого равен 9 + 4(а — 1)6. Таким образом, уравнение (а - 1)х2 + Зх = 6 имеет два 9	9
решения при (а — 1)6 > — —, одно решение при (а - 1)6 = —— и не имеет решений при
Q
(а — 1)6 < — —. При а = 1 уравнение принимает вид Зх = 6 и имеет одно решение.
Уравнения (а - 1)х2 + Зх = а + 1 и (а - 1)х2 + Зх = 1 - а могут иметь общие решения при а + 1 = 1 - а, то есть при а = 0. При а = 0 оба уравнения принимают вид -х2 + Зх = 1 и имеют два решения.
При других значениях а исходное уравнение имеет ровно два решения, если либо оба уравнения (а-1)х2 + Зх = а+1 и (а - 1)х2 + Зх = 1-а имеют по одному решению, либо одно из них не имеет решений, а другое имеет два решения. При а = 1 каждое из этих уравнений имеет единственное решение и эти решения различны. При других значениях а выполнено неравен-Q
ство а2 - 1 > -—, поэтому уравнение (а - 1)х2 + Зх = а + 1 имеет два решения. Уравнение
2	9	1	5
(а - 1)х2 + Зх = 1-а не имеет решений при (а - 1) > —, то есть при а < -у и при а > —.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при а<-у;а = 0;а = 1;
1	5
Ответ: а < -у, а = О, а — 1, а > —.
12.	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ах + У-7 - 8х-х2 = 2а + 3 имеет единственный корень.
Решение.
Запишем уравнение в виде
у—7 - 8х-х2 = -ах + 2а + 3.
Рассмотрим две функции:
/(х) = ]/-7 - 8х-х2 и g(x) = -ах + 2а + 3.
Графиком функции /(х) = ]/з2 — (х + 4)2 является полуокружность радиуса 3 с центром в точке (-4; 0), лежащая в верхней полуплоскости (см. рисунок). При каждом
61
значении а графиком функции g(x) является прямая с угловым коэффициентом — а, проходящая через точку М(2; 3).
Уравнение имеет единственный корень, если графики функций /(х) и g(x) имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.
Касательная МС, проведённая из точки М к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при а = 0 исходное уравнение имеет единственный корень. При —а < О прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Прямая МА, заданная уравнением у = -ах 4- 2а 4- 3, проходит через точки М(2; 3) и Л(-7; 0), следовательно, её угловой коэффициент -а = у. При 0 < -а < у прямая, заданная уравнением у = -ах 4- 2а 4- 3, имеет две общие точки с полуокружностью. Прямая МВ, заданная уравнением у = -ах 4- 2а 4- 3, проходит через точки Л/(2; 3) и В(-1; 0), следовательно, её угловой коэффициент -а = 1. При j < -а < 1 прямая, заданная уравнением у = -ах 4- 2а 4-3, имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой МА, и не больше, чем у прямой МВ, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при -1 < а < исходное уравнение имеет единственный корень. При — а > 1 прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Ответ: -1 < а < --L а = 0.
О
13.	Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции _ sin2x- 2а
cos4x 4- 2
содержит число 1.
Решение.
Пусть z = sin2x, тогда -1 < z < 1 и требуется найти все значения параметра а, при каждом из которых множество значений функции у = ^-~а2 . -1 < z < 1. содержит число 1.
Число 1 принадлежит множеству значений функции у = * ~ 2а , -1 < z < 1, если и только если уравнение 1 = имеет хотя бы одно решение на отрезке -1 < z < 1. Заметим, что при — 1 < z < 1 знаменатель не обращается в ноль. Поэтому уравнение 1 = 2а приводится
к виду
3-2z2 = z-2a; 2z2 + z-2a - 3 = 0.
Рассмотрим квадратичную функцию /(z) = 2z2 4- z - (2а 4- 3). Уравнение /(z) = 0 имеет хотя бы одно решение на промежутке [—1; 1] тогда и только тогда, когда дискриминант уравнения /(z) = 0 и значение функции /(z) на конце отрезка [-1; 1] неотрицательны.
Г/d) > о
> 0,
1 4-8(20 4-3) > 0;
Г-2а-2 > 0 —2а > 0, 16а 4- 25 > 0;
а < 0,
„ .	25
а * "16’
25	. п
то есть -тг < а < 0.
1О
25
Ответ:	< а < 0.
1О
62
14.	Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции
_ а + Зх - ах х2 + 2ах + а2 + 1 содержит отрезок [0; 1].
Решение.
Запишем уравнение, задающее функцию, в виде у = а + (3~а)х- Область определения (х + аг + 1
функции есть всё множество действительных чисел, и на нём эта функция непрерывна. Следовательно, если при некоторых значениях а существуют такие числа х0 их,, что выполняются а + (3 - а)х0 а + (3 - а)х,	„
равенства и =----------и 1 =-----------, то весь отрезок [0; 1] будет принадлежать множе-
(х0 + а) + 1	(х, + а) + 1
ству значений данной функции. С другой стороны, понятно, что существование таких х0 и х, необходимо.
Рассмотрим уравнение 0 = —*~а^х; (а - 3)х = а.
(х + а) + 1
Оно имеет решение при любом а Ф 3.
Рассмотрим уравнение 1 = а + (3~а)х; х2 + 3(а _i)x + a2 —	= 0.
(х + а) + 1
Это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:
9(а - I)2 - 4(а2 - а + 1) > 0; 5а2 - 14а + 5 > 0;
7-21/6’	7 + 21/6
откуда а < —или а > г .
«J	«J
Таким образом, поскольку	< з, условию задачи удовлетворяют значения
«J
7-21/6’1 ,, Г 7+-21/6’	|1/9 ,	,
ael-oo;-----г-*1— U ---—;3 1и(3;+оо).
\	Э	О	/
„	/7-21/6	7 + 21/6/ /О
Ответ: а С----=-*—, ----—< а < 3, а > 3.
э	э
15.	Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции у —	'/а — 2 sinx + 1
cos2 х + а + I'/a + 1
содержит отрезок [1; 2].
Решение.
Пусть z = sinx, a /(z) = —1— 1 - г2 + (|/я + 1)
Поскольку |z| < 1 и 1 +(l + ^а) > 2, то для любого а > 0 функция /(z) определена на всём отрезке [—1; 1] и непрерывна на нём. Следовательно, если при некоторых значениях а > 0 на отрезке [—1; 1] существуют такие числа z, и z2, что выполняются равенства /(z,) = 1 и /(z2) = 2, то весь отрезок [1; 2] будет принадлежать множеству значений данной функции. С другой стороны, понятно, что существование таких z, и z2 необходимо.
63
Рассмотрим уравнение —_ - 1. С учётом того, что |z| < 1, оно эквивалентно 1 - г2 + (т/o’ +1)
уравнению z2 - 2z - (а +	+ 1) = 0. Дискриминант этого уравнения
D = 4 + 4 (о +	+ 1)^0
при всех значениях а > 0. Значит, оно имеет хотя бы одно решение на отрезке [-1; 1] тогда и только тогда, когда значение функции <p(z) = z2 - 2z — (а +	+ 1) хотя бы на одном из кон-
цов отрезка [—1; 1] неотрицательно:
3 — (а +	+ 1)^0
-1 - (а + ~\[а + 1) > 0;
а + ^а - 2 > 0
_а +	+ 2 < 0;
(]/а + 2)(‘/а’ - 1) < 0 а + т/а + 2 < 0;
-2 < ]/аЧ 1,
откуда 0 < а < 1.
Рассмотрим уравнение —~ ^г+ 1—_ = 2. С учётом того, что |z| < 1, оно эквивалентно 1 - г2 + (‘/а’ +1)
уравнению 2z2 — 2z - (2а + 3~/а + 3) = 0. Дискриминант этого уравнения
D — 4 + 8 (2а + 3~^~а + з) 0
при всех значениях а > 0. Значит, оно имеет хотя бы одно решение [-1; 1] на отрезке тогда и только тогда, когда значение функции <p(z) = 2z2 - 2z - (2а + Зт/а + 3) хотя бы на одном из концов отрезка [-1; 1] неотрицательно:
4-(2а + Зуа’+з) > 0 Г2а + ЗУа-1<0
—(2а + Зу^а + з) 0; 2а + З^/^Г + 3 < 0;
(^+з±УИ)(^_^Ьз)<0;
откуда 0 < а < ——
О
13 — Зт/17
Поскольку------— < 1, получим все значения параметра а, при каждом из которых мно-
жество значений функции у = —^~2sin* + 1— содержит отрезок-[1; 2]: 0 С а < 13 ~ cos2r + а + 2уа + 1	8
Ответ: 0 < а <	3^^-.
о
16.	Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства а - (а2 - 2а - 3) sinx + 4 <
cos2x+ а2 + 1
содержит отрезок 0
5тс~
6 .
Решение.
Условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда для любого х € 0; — L 6 _ венство верно.
Пусть z = sinx, тогда 0 < z < 1 исходное неравенство принимает вид а - (а2 - 2a - 3)z + 4	. z2 - (a2 - 2а - 3) z + 2 + a - а2 п
а2 + 2 - z2
данное нера-
а2 + 2 - г2
64
При 0 < z < 1 имеем: а2 + 2 - z2 > 0, поэтому исходное неравенство эквивалентно неравенству z2 — (а2 — 2а — 3)z + 2 + а — а2 < 0. Таким образом, необходимо найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство z2 - (а2 — 2а - 3)z + 2 + а — а2 < 0 справедливо для всех z, принадлежащих отрезку [0; 1].
Рассмотрим функцию <p(z) = z2 - (а2 - 2а - 3)z + 2 + а - а2. Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того, чтобы при всех г, принадлежащих отрезку [0; 1], выполнялось неравенство <p(z) < 0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система неравенств
ф(0) <0,	2 + а - а2 < 0,
ф(1) < 0; 1 1 - (а2 - 2а - 3) + 2 + а - а2 < 0;
(а + 1)(а — 2) > 0,
3-1/57	3 + 1/57
откуда а < —— или а > —.
/ч,	. 3 — V57	3 +1/57
Ответ: а <-----f—, а >-----*—.
4	4
17.	Найдите все неотрицательные значения а, при каждом из которых множество решений неравенства
а + х2 - 41og05(a2 - 2а + 4)
3"|/7х4 + х2 + а + 4 + logo 5(a2 - 2а + 4)
состоит из одной точки, и найдите это решение.
Решение.
Если неравенство выполняется в точке х0, то оно выполнено и в точке -х0. Следовательно, чтобы неравенство выполнялось только в одной точке, необходимо, чтобы оно выполнялось только при х = 0.
Таким образом, должно быть выполнено неравенство
а ~ 41og05(a2-2a + 4) > а + 4 + logo5(a2 - 2а + 4)
Поскольку а > 0, знаменатель дроби положителен, а значит, неравенство эквивалентно следующему неравенству:
а + 4 + log^ (а2 - 2а + 4) < а - 41og05 (а2 - 2а + 4), (log05 (а2 - 2а + 4) + 2) < 0, log05 (а2 — 2а + 4) + 2 = 0, а2 — 2а + 4 = 4,
откуда а = 0 или а = 2.
При а = 0 или а — 2 имеем: log05 (а2 - 2а + 4) = —2.
При а = 0 неравенство принимает вид
—гх2	; 3]/7х4+х2 < х2; 63х4 + 9х2 < х4; (62х2 + 9)х2 < 0,
З^л^+х2 +8
откуда х = 0.
При а = 2 неравенство принимает вид
1<	, х2 + 1 j; 3}/7х4 + х2< х2; 63х4 + 9х2<х4; (62х2 + 9)х2 < 0,
31/7х4+х2 + 10
откуда х = 0.
Таким образом, условию задачи удовлетворяют а = 0 и а = 2.
Ответ: а = 0, х = 0 или а = 2, х = 0.
65
18.	Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение |3sin22x —а| + |3cos4x— 2а — 3| = а + 6 имеет хотя бы одно решение.
Решение.
Пусть у = 3sin2 2х, тогда 0 < у С 3 и уравнение принимает вид'
\у — а| + 2|у + а| = а + 6.
Таким образом, необходимо найти все значения параметра а, при которых последнее уравнение имеет хотя бы одно решение на отрезке [0; 3].
При а = 0 уравнение принимает вид 3|у| = 6 и имеет решение у = 2 на отрезке [0; 3].
Рассмотрим функцию f(y) = \у — а\ + 21у + а| — а - 6.
Если а < 0, то при у < — а эта функция убывает, а при у > — а она возрастает. Значит, функция достигает наименьшего значения в точке -а. Если 0 < — а < 3, т. е. — 3 < а < 0, то для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение на отрезке [0; 3], необходимо, чтобы f(-a) < а и достаточно, чтобы хотя принимала неотрицательное значение:
бы на одном из концов отрезка [0; 3] функция /(х)
1/(3) > 0;
3
2
3
2
откуда -2 < а < 0.
Если -а > 3, т. е. а < -3, то функция /(х) убывает на всем отрезке [0; 3], а значит, чтобы уравнение имело на нём решение, неодходимо и достаточно, чтобы /(0) > 0 и /(3) < 0:
-3,
и	°
’ ’ нет решении.
а + 6,
Если а > 0, то при у > — а функция f(y) возрастает. Значит, эта функция возрастает на всём промежутке [0; 3]. Следовательно, чтобы уравнение /(у) = 0 имело хотя бы одно решение на отрезке [0; 3], необходимо, чтобы /(0) < 0 и /(3) > 0:
/(3) > 0;
13 — а\ + 2(3 + а) > л + 6;
—а,
66
откуда 0 < а < 3.
Таким образом, уравнение |3sin22x- а\ + )3cos4x- 2а - 3| =а + 6 имеет хотя бы одно решение при -2 < а < 3.
Ответ: -2 < а < 3.
19.	Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений 2х2 + 2у2 = 5ху, (х - а)2 + (у - а)2 = 5а4
имеет ровно два решения.
Решение.
Преобразуем систему уравнений:
(х-2у)(у-2х) = О, (х - а)2 + (у - а)2 = 5а4;
х = 2у,
(х - а)2 + (у - а)2 - 5а4
У = 2х,
(х - а)2 + (у - а)2 = 5а4.
Заметим, что вторая система в совокупности получается из первой заменой х на у, а у на х. Значит, если первая система имеет решение (а; Ь), то решением второй будет (Ь; а). Следовательно, исходная система уравнений имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда система
х = 2у,
(х - а)2 + (у - а}2 = 5а4
имеет ровно одно нетривиальное решение.
{х = 2у,	Г х = 2у,
(х - а)2 + (у - а)2 = 5а4;	(2у - а)2 + {у - а)2 = 5а4;
х = 2у,	х ~
5у2 - вау = 5а4 - 2а2; ' (у -	= а2(5й ~^(5а + .
Последняя система имеет ровно
a.(?.g..~JK5q + И = 0, то есть при а = 0, а
одно решение
1 1
“ 5 И а 5'
тогда и только тогда, когда
25
При а = 0 получаем, что последняя система имеет тривиальное решение. _6_. А 25 ’ 25
При а = получаем, что последняя система имеет решение система имеет ровно два решения.
При а = -? получаем, что последняя система имеет решение исходная система имеет ровно два решения.
, а значит, исходная
25’ 25? а значит’
6
3
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения только при а = ? или а =
J	3
Ответ: а = ?; а =
3	3
67
20.	Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений (у2 - ху + Зх - у - 6) -]/х + 2 _ Q
«	l/б -х
х + у - а = 0
имеет ровно два различных решения.
Решение.
Запишем первое уравнение в виде
(у - 3) (у 4-2 - х) ух + ? _ Q
У 6 - х
При х < -2 и х > 6 левая часть не имеет смысла. При -2 < х < 6 уравнение задает прямые у = 3, у = х-2, х = -2 (см. рисунок).
При каждом значении а уравнение х 4- у - а - 0 задает прямую, параллельную прямой х + у = 0 или совпадающую с ней. При -2 < х < 6 такая прямая пересекает прямую у - 3 при 1 < а < 9, пересекает прямую у = х- 2 при -6 < х < 10, пересекает прямую х = -2 при любом значении а. При этом прямые х + у - а = 0 проходят через точки пересечения прямых х = — 2, у = 3иу = х — 2 при а - -6, а = 1 и а = 8.
Число решений исходной системы равно числу точек
у = х-2, х = — 2 с прямой х + у - а = 0 при условии -2 < х < 6.
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при -6 < а < 1; а - 8; 9 < а < 10.
Ответ: -6 < а < 1; а = 8; 9 < а < 10.
21.	Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
2х-2у - 2 = |х2 4-у2 - 11, у = а(х- 1) имеет более двух решений.
Решение.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1)	Если х2 +у2 > 1, то получаем уравнение
2х - 2у - 2 = х2 + у2 — 1;
х2 — 2х 4- у2 + 2у 4- 1 =0;
(х-1)2 + (у+1)!= 1.
Полученное уравнение задает окружность с центром в точке СЦ1; -1) и радиусом 1.
2)	Если х2 + у2 < 1, то получаем уравнение
2х — 2у — 2 = 1 — х2 — у2; х2 4- 2х 4- у2 - 2у — 3 = 0; (х-ь I)2 + (у — I)2 = 5.
Полученное уравнение задает окружность с центром в точке О2(—1; 1) и радиусом уТ.
Полученные окружности пересекаются в двух точках 4(1; 0) и В(0;-1), лежащих на окружности х2 4-у2 = 1, поэтому в первом случае получаем дугу с концами в точках А и В, во втором — дугу со2 с концами в тех же точках (см. рисунок).
68
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задает прямую т, которая проходит через точку Л и угловой коэффициент которой равен а.
При а = 1 прямая т проходит через точки А и В, то есть исходная система имеет два решения.
При а = 2 прямая т перпендикулярна прямой О2А, угловой коэффициент которой равен — у, значит, прямая т касается дуги <о2 в точке А и пересекает дугу (о, в двух точках (одна из которых — точка Л), то есть исходная система имеет два решения.
При 1 < а < 2 прямая т пересекает каждую из дуг соj и со2 в точке А и еще в одной точке, отличной от точки В, то есть исходная система имеет три решения.
При 0 < а < 1 прямая т не пересекает дуги (Oj и <о2 в точках, отличных от точки А, то есть исходная система имеет одно решение.	-Ь
При а < 0 или а > 2 прямая т пересекает дугу coj в двух точках и не пересекает дугу <о2 в точках, отличных от точки А, то есть исходная система имеет два решения.
Значит, исходная система имеет более двух решений при 1 < а < 2.
Ответ: 1 < а < 2.	-
22.	Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений х2 - 8х + у2 + 4# + 15 = 4| 2х - у - 101, х+2у = а
имеет более двух решений.
Решение.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:	4
1)	Если 2х- у - 10 > 0, то получаем уравнение
х2 - 8х + у2 + 4г/ + 15 = 8х - 4г/ - 40;
х2 — 16х + у2 + 8у + 55 = 0;
(х- 8)2 + (у + 4)2 = 25.
Полученное уравнение задает окружность с центром в точке Ot(8; —4) и радиусом 5.
2)	Если 2х-у - 10 < 0, то получаем уравнение
х2 - 8х + у2 + 4г/+ 15 = 4у - 8х +40;
х2 + у2 = 25.
Полученное уравнение задает окружность с центром в точке О2(0; 0) и радиусом 5.
Полученные окружности пересекаются в двух точках Л(5; 0) и В(3; -4), лежащих на прямой 2х- у — 10 = 0, поэтому в первом случае получаем дугу CDt с концами в точках А и В, во
втором — дугу (О2 с концами в тех же точках (см. рисунок).
Заметим, что точка С?(	2]/5’) лежит на дуге (О2 и прямая О2С перпендикулярна прямой
OtO2.
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задает прямую т, параллельную прямой Ot О2 или совпадающую с ней.
При а = 5 прямая т пересекает каждую из дуг ей] и (О2 в точке А и еще в одной точке, отличной от точки А, то есть исходная система имеет три решения.
Аналогично, при а = — 5 прямая т проходит через точку В и исходная система имеет три
решения.
При а = прямая т проходит через точку С, значит, прямая т касается дуг и о)2, то
есть исходная система имеет два решения.
69
Аналогично, при а = —5]/fT прямая т касается дуг со2 и wi> т0 есть исходная система имеет два решения.
При -Sys’ < а < -5 или 5 < а < 5‘/б’ прямая т пересекает каждую из дуг (о, и w2 в двух точках, отличных от точек А и В, то есть исходная система имеет четыре решения.
При -5 < а < 5 прямая тп пересекает каждую из дуг со2 и cot в точке, отличной от точек А и В, то есть исходная система имеет два решения.
При а < -5)/5^ или а > 5)/У прямая т не пересекает дуги со2 и (Ор то есть исходная система не имеет решений.
Значит, исходная система имеет более двух решений при -б}/? < а < -5 или 5 < а < 5;/5\
Ответ: —б^У < а < —5; 5 < а < 5'/б'.
23.	Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
х2 + |х2 - 2х| = у2 + \у2 - 2у |, х + у = а
имеет более двух решений.
Решение.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим четыре случая:
1)	Если х2-2х<0 и у2 - 2у < 0, то получаем уравнение
х2 - х2 4- 2х = у2 - у2 + 2у; х = у.
Полученное уравнение задает прямую у = х.
2)	Если х2 - 2х < 0 и у2 - 2у > 0, то получаем уравнение
х2 -х2 + 2х = у2 +у2 - 2у, х - у2 -у.
Полученное уравнение задает параболу у — х2 — х.
3)	Если х2 — 2х > 0 и у2 — 2у < 0, то получаем уравнение
х2 + х2 - 2х = у2 - у2 + 2у, у - х2 - х.
Полученное уравнение задает параболу у = х2 - х.
4)	Если х2 — 2х > О и у2 — 2у > 0, то получаем уравнение
х2 + х2 - 2х = у2 + у2 - 2у, х2 - у2 - х + у = 0; (х - у) (х + у - 1) = 0.
Полученное уравнение задает пару прямых у = х и х + у = 1.
Точки А(-1; 2), 23(2; -1) и €7(0; 0) являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых у = 2, х = 2 или х = 0 и у = 0 соответственно, поэтому искомое множество состоит из прямой Z, задаваемой уравнением у = х, лучей 1} и /2 прямой х + у - 1 с концами в точках А и В соответственно, дуги со, параболы у = х2 - х с концами в точках А и С и дуги о>2 параболы х = у2 — у с концами в точках В и С (см. рисунок).
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задает прямую т, параллельную прямой АВ или совпадающую с ней.
Заметим, что при а = 0 прямая т касается парабол у = х2 — х и х = у2 - у в точке С.
При а = 1 прямая т содержит лучи /, и /2, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.
70
При а = 0 прямая т касается дуг (Oj и со2 в точке С, пересекает прямую / в точке С и не имеет общих точек с лучами Ц и 12, то есть исходная система имеет одно решение.
При 0 < а < 1 прямая т не имеет общих точек с лучами Ц и 12, пересекает прямую / в точке, отличной от точки С, пересекает каждую из дуг и ш2 в одной точке, отличной от точки С, то есть исходная система имеет три решения.
При а < 0 или а > 1 прямая т пересекает прямую / в одной точке и не имеет общих точек с дугами Wj и ю2 и лучами Ц и /2, то есть исходная система имеет одно решение.
Значит, исходная система имеет более двух решений при 0 < а < 1.
Ответ: 0 < а С 1.
24.	Найдите все значения а, при каждом из которых система
у2-х-2 = |х2 —х—2], х-у = а
имеет более двух решений.
Решение.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1)	Если х2 - х - 2 < 0, то получаем уравнение
у2 - х - 2 = х + 2 - х2; у2 + х2 - 2х - 4 = 0;
(х — I)2 + г/2 = 5.
Полученное уравнение задает окружность с центром в точке (1; 0) и радиусом ]Ж
2)	Если х2 - х - 2 > 0, то получаем уравнение
у2 -х- 2 = х2 — х- 2; у2-х2 = 0;
(у~х)(у+х) = 0.
Полученное уравнение задает пару прямых у = х и
У = -х.
Полученная окружность пересекает полученные прямые в точках А(-1; 1), В(2; 2), С(2;-2) и £>(-!;-1), поэтому в первом случае получаем две дуги Ю] и ы2 окружности (х — I)2 + у2 = 5 с концами в точках А и В, С и D соответственно, во втором — четыре луча 1Л
1В,	1С и lD с концами в точках А, В, С и D соответственно.
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задает прямую т, параллельную прямой BD или совпадающую с ней.
Заметим, что прямая т касается окружности (х - 1 )2 + у2 = 5 при а = 1 - уЖ и
<з=1 + уЖ.
При а = 0 прямая т содержит лучи 1В и lD, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.
При а = -2 прямая т пересекает дугу со, в двух точках (одна из которых — точка Л), пересекает луч 1Л в точке А и не имеет общих точек с дугой <о2 и лучами 1В, 1С и lD, то есть исход
ная система имеет два решения.
При а = 4 прямая т пересекает дугу со2 и луч 1С в точке С и не имеет общих точек с дугой (О] и лучами 1А, 1В и lD, то есть исходная система имеет одно решение.
При <2=1— уЖ прямая т касается дуги wlt пересекает луч 1А в точке, отличной от точки А, и не имеет общих точек с дугой со2 и лучами /в, /с и /D, то есть исходная система имеет два решения.
71
При а < 1 - /ЙГ прямая т пересекает луч 1Л в одной точке и не имеет общих точек с дугами со, и со2 и лучами 1В, 1С и lD, то есть исходная система имеет одно решение.
При 1 - /10 < а < -2 прямая т пересекает дугу ан в двух точках, отличных от точки А, пересекает луч 1А в точке, отличной от точки А, и не имеет общих точек с дугой ш2 и лучами /в, /с и т0 есть исходная система имеет три решения.
При -2 < а < 0 прямая т пересекает дугу он в одной точке и не имеет общих точек с дугой (о2 и лучами 1А, 1В, 1С и lD, то есть исходная система имеет одно решение.
При 0 < а < 4 прямая т пересекает дугу со2 в одной точке и не имеет общих точек с дугой со, и лучами 1А, 1В, 1С и lD, то есть исходная система имеет одно решение.
При а > 4 прямая т пересекает луч 1С в точке, отличной от точки С, и не имеет общих точек с дугами <В| и <о2 и лучами 1А, 1В и lD, то есть исходная система имеет одно решение.
Значит, исходная система имеет более двух решений при 1 — /ГсГ < а < -2 или а = 0.
Ответ-. 1 - /пГ < а < -2; а = 0.
Задания для самостоятельного решения
1.	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
- - 3 = ах - 2 х
на промежутке (0; +оо) имеет ровно два корня.
2.	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
на промежутке [0; +оо) имеет более двух корней.
3.	Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции
/(х) = ~х2 - Зах + а2 + За + 3
4
на множестве |х| > 2 не меньше 12.
4.	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение I Зх2 - 5х + 21 = а - Зх2 + 2х либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
5.	Найдите все значения а, при которых уравнение
2)/х4 + (а-2)4
= |х+ а - 2| + |х— а + 2|
имеет единственное решение.
б.	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение х2- |х - 5 + а| = |х- а + 5| - (5 - а)2 имеет единственный корень.
72
7.	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
|(х + I)2 - 2-e"’| + |х + 1| + (1 +х)2 + 2а+1 = 0,25 + 4°
имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого полученного значения а.
8.	Найдите все значения а, при которых уравнение
(log6(x +4) — log6(x—4))2 — 10 (log6(x + 4) - log6 (х - 4)) — 4а2 + 4а + 24 = 0 имеет ровно два решения.
9.	Найдите все значения а, при которых уравнение
(log7 (х + а) - log7 (х - а)) - За (log7 (х + а) - log7 (х - а)) + 2а2 + За - 9 = 0 имеет ровно два решения.
10.	Найдите все значения а, при которых уравнение
(|х - 9| - |х — а|)2 - 9а(|х- 91 - |х- а|) + 8а2 + 28а - 16 = 0 имеет ровно два решения.
11.	Найдите все значения а, при которых уравнение
(ах2 - 2х)2 + (а2 - а + 2) (ах2 - 2х) - а2 (а - 2) - 0 имеет ровно два решения.
12.	Найдите все значения а, при которых уравнение
10а + ]/-35 + 12х-х2 = ах + 1 имеет единственный корень.
13.	Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции cosx — а	о
у =--------- содержит число -2.
14.	Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции у = —5а + 150х- Юдх— СОдержит отрезок [0; 1].
у 100х2 + 20ах + а2 + 25	. F L J
15.	Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции у =	1 sin + — содержит отрезок [1; 2].
cos2 2х + а + 2]/« — 1
16.	Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства
————2fl)cos2*+ 2 < j содержит отрезок Г—2л; —
3 - cos4x + а2	н	L 6 .
73
17.	Найдите все отрицательные значения а, при каждом из которых множество решений неравенства
________х2 - 2х 4-1 - а3 - 10logp 5 (fl2 +	+ 32)_ i 11 У23(1 -х)4 4-7х2 - 14х+7* - а3 + 25 4- logj 5 (а2 + 10а + 32)
состоит из одной точки, и найдите это решение.
18.	Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение 12cos2x — а \ 4- 31 cos2x 4- а 4- 11 = а 4- 9 имеет хотя бы одно решение.
19.	Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений ' Зх2 + Зу2 + Юхг/ = 0,
(х - а)2 + (у ~ а)2 = 10а4 имеет ровно два решения.
20.	Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
(у2 -ху-3х+ Зу) УЗ - х = 0 -	i/x + 4'
х+2у - а
имеет ровно два различных решения.
21.	Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений х2 + 20х + у2-20у + 75 = |х2+у2-25|, х-z/ = а
имеет более одного решения.
22.	Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений х2 4- 5х + у2 - у - |х — 5у + 5| = 52, у-2 = а(х-5)
имеет ровно два решения.
23.	Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
Jx2-1|+ 2х-х2 = \у2 — 1\ + 2у - у2, х + у = а
имеет более двух решений.
24.	Найдите все значения а, при каждом из которых система х2 - 6г/4-|у2 - бу - 7| = 7, а = Зу 4- х
имеет ровно два решения.
4. СТЕРЕОМЕТРИЯ
4.1.	Параллелепипеды
1.	В правильной четырёхугольной призме ABCDAXBXCXDX сторона основания равна И, а боковое ребро ААХ = 7. Точка К принадлежит ребру ВХСХ и делит его в отношении 8:3, считая от вершины В,.
а)	Докажите, что сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки В, D и К, — равнобедренная трапеция.
б)	Найдите площадь этого сечения.
Решение.
а)	Пусть L — точка, в которой плоскость сечения пересекает ребро CXDX. Отрезок KL параллелен диагонали BD. Искомое сечение — трапеция BDLK (рис. 1).
Плоскость сечения пересекает нижнее основание по прямой BD, параллельной В^, значит, KL параллельно BXDX.
Треугольники LCXK и DXCXB подобны, следовательно,
CXL.CXDX = СХК:СХВХ = KL:BXDX = 3:11.
Рис. 1
Значит, BD = BXDX = llj/F, KL = Э/Г
В равных прямоугольных треугольниках DDXL и ВВХК имеем
ВК = DL = ]/DD2 + DxL2 = /ИЗ1, значит, трапеция BDLK равнобедренная.
б)	Пусть LH — высота трапеции BDLK, проведённая к основанию BD (рис. 2), тогда:
DH = BD- LK = LH = /dl2 _ dh2' = 9.
sBDLK =	LH = 631/21.
Рис. 2
Ответ: б) 63/?.
2.	Точка М — середина ребра CXDX = 2 куба ABCDAXBXCXDX. Найдите угол между прямыми AM и ВАХ.
Решение.
Пусть N — середина ребра ССХ. Поскольку MN — средняя линия треугольника DXCCX, MNW CDX\\ ВАХ, то есть угол ZAMN искомый.
AM = ]/ АА2 + AXD2 + DXM2' = /4 + 4 + 1' = 3, аналогично, AN = 3, то есть, треугольник AMN равнобедрен-
ныи с основанием MN —	= у 2 .
Тогда cosZAA/N = -д — -
n	V2
Ответ: arccos-*— ь
75
3.	В основании прямого параллелепипеда ABCDA{BXC\DX высотой 1 лежит ромб ABCD, у которого АВ = 2 и Z.4 = 30°. Проведена плоскость, содержащая ребро АВ и составляющая с плоскостью основания параллелепипеда угол 60°.
Найдите площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью.
Решение.
Проведём через точку D сечение DD^H^H параллелепипеда, перпендикулярное АВ. В плоскости этого сечения будет располагаться линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. Поскольку DH - 2 sin 30° = 1 = DD]t сечение будет квадратом, а значит, наша плоскость пройдёт через точку М, лежащую на стороне поскольку /.MHD = 60° > 45°. Искомое сечение будет параллелограммом со стороной АВ и высотой МН к ней.
1	2
Из треугольника МНН, получаем, что МН - -	= —
sin 60°	уз
Площадь параллелограмма 5 = МН-АВ =
Уз
Ответ: -—У?
4.	В правильной четырёхугольной призме ABCDAiBlCtDl стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 4. На ребре AAt отмечена точка Етак, что АЕ'.ЕА\ = 3:1. Найдите угол между плоскостями АВС и BED{.
Решение.
Пусть прямая D{E пересекает прямую AD в точке К. Плоскости АВС и BED} пересекаются по прямой КВ.
Из точки Е опустим перпендикуляр ЕН на прямую КВ, тогда отрезок АН (проекция ЕН) перпендикулярен прямой КВ. Угол АНЕ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями АВС и BEDX.
Поскольку АЕ'.ЕА\ = 3:1, получаем:
ЗАА
АЕ = 3; ЕА1=АА1-АЕ=1. 4	1	1
Из подобия треугольников AXD}E и АКЕ находим:
АК = =3
£✓/11
В прямоугольном треугольнике АКБ с прямым
ВК = /ЛЯ2 + АК2' = /10, откуда высота
л jj_ АК-АВ __ 3]/10
ВК 10 
углом А: АВ = 1; АК = 3;
76
Из прямоугольного треугольника АНЕ с прямым углом А получаем: tg^AHE = 4# = Ж
/\Г1
Ответ: arctgj/To".
5.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX АВ = 2, AD = АА, = 1. Найдите угол между прямой Л,В, и плоскостью ABXDX.
Решение.
Пусть точка Е — середина отрезка ADX. Прямые АХЕ и ВХЕ являются медианами равнобедренных треугольников, перпендикулярны прямой ADX, значит, прямая ADX перпендикулярна плоскости А^Вр Плоскости ABXDX и АХЕВХ перпендикулярны, значит, искомый угол равен углу АХВХЕ. В прямоугольном треугольнике АХВХЕ
АХЕ = &, АХВХ =2.
Следовательно, tgZA^B =
Ответ: arctg-1^-.
6.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX известны рёбра АВ = 4, AD - 3, ААХ = 7. Точка О принадлежит ребру ВВХ и делит его в отношении 3:4, считая от вершины В. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, О и Сх.
Решение.
Пусть точка Р — такая точка на ребре DDX, что АР II ОСХ. Тогда сечение параллелепипеда плоскостью АОСХ — четырёхугольник АРСХО. Поскольку противоположные грани параллелепипеда параллельны, PC, НЛО, следовательно, АРСХО — параллелограмм (рис. 1).
Треугольники ADP и СХВХО равны, следовательно,
DP = ВХО = ~ВВХ = 4;
ВО = ВВХ-ВХО = 3.
АР = ]/ AD2 + DP2 = 5;
АО = ]/аВ2 + ВО2'= 5, значит, АОСХР — ромб со стороной 5 и диагональю АСХ = ]/АВ2 + ВС2 + СС2Х = уТТ (рис. 2). Тогда диагональ
Ответ: У481.
Рис. 1
77
Задания для самостоятельного решения
1.	В прямоугольном параллелепипеде ЛВС£)Л1В1С11>1 известны рёбра АВ = 5, AD = 4, ЛЛ t = 9. Точка О принадлежит ребру ВВХ и делит его в отношении 4:5, считая от вершины В. а) Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Л, О и Сх, — равнобедренная трапеция.
б)	Найдите площадь этого сечения.
2.	Точка М - середина ребра ВВХ = 3 куба ABCDAXBXCXDX Найдите угол между прямыми DXM н DCX.
3.	В основании прямого параллелепипеда ABCDAXBXCXDX высотой 1 лежит ромб ABCD, у которого ЛВ = 4 и ZA = 60°. Через ребро АВ проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания параллелепипеда угол 30°.
Найдите площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью.
4.	В правильной четырёхугольной призме ABCDAXBXCXDX стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 5. На ребре ААХ отмечена точка Етак, что АЕ:ЕАХ = 1:4. Найдите угол между плоскостями АВС и BEDX.
5.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX известны рёбра ЛВ = 3, AD = ЛЛ1 = 2. Найдите угол между прямой АХВХ и плоскостью ABXDX.
6.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX известны рёбра ЛВ = 5, AD = 3, ААХ = 8. Точка R принадлежит ребру ААХ и делит его в отношении 3:5, считая от вершины Л. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В, Я и Dp
4.2.	Призмы
1.	Дана правильная треугольная призма АВСАХВХСХ, стороны основания которой равны 2уТ. Сечение, содержащее боковое ребро ААХ и проходящее через середину Мребра ВхСх, является квадратом. Найдите расстояние между прямыми АХВ и AM.
Решение.
Пусть данное сечение призмы — квадрат AAXML. Тогда его диагонали перпендикулярны: AMA.AXL, а по теореме о трёх перпендикулярах AM ± ВС. Следовательно, AM±АХВС. Отсюда следует, что искомым расстоянием между прямыми АХВ и AM является длина перпендикуляра ОР, опущенного из точки О пересечения диагоналей квадрата AAXML на прямую АХВ, так как ОР±Л,В и ОР1.АМ.
Сторона квадрата AAXML равна высоте треугольника ЛВС, то есть AL = 1/2Г, а его диагональ AXL = ]/42\ В равнобедренном треугольнике АХВС основание ВС = 2у7, боковая сторона АХВ = 7. Отсюда, используя подобие треугольников АХОР и ЛXBL, найдём
пр - Ai0LB _ AxL BC
АХВ 4АХВ
•/4?-2-/7 = /б1 4-7	2 •
Ответ:
/6
2 '
78
2.	В основании прямой призмы ABCAiBiCi лежит треугольник АВС, у которого АС = ВС = 18 и АВ = 12. Высота призмы АА} = 7. Точка К — середина ребра В\С}. Найдите площадь сечения призмы плоскостью АСК.
Решение.
Плоскость сечения пересекает основания по параллельным прямым, поэтому она пересекает верхнее основание AtBtCi по прямой, параллельной АС. Эта прямая будет параллельна и A t Ct, то есть будет проходить через середину М ребра AjBp Искомое сечение — трапеция АСКМ.
В трапеции АСКМ основания АС = 18 и А С
КМ — 1 1 = 9. Опустим из точки М перпендикуляр
MN на плоскость АВС. Получим, что N — середина АВ. Проведём из точки N перпендикуляр NH на АС. По теореме о трёх перпендикулярах МН будет высотой трапеции АСКМ. Теперь найдём NH, вычислив площадь треугольника ACN двумя способами:
2SACN = ANCN = ACNH,
„„„ ANCN 6 /324-36 .пг
откуда NH = ——  = —yg-----------= 4 у 2.
Из треугольника MNH найдём МН = /32 + 49 - 9.
Площадь трапеции АСКМ равна у-9 (18 + 9) =
Ответ: 121,5.
3.	У правильной треугольной призмы ABCAiBjCj сторона основания равна АВ = 6, боковое ребро АА{ = 8. Найдите синус угла между прямой ВС{ и плоскостью ВСА}.
Решение.
Пусть М — середина ВС, а Мх — середина B,Ct.
Синус искомого угла равен где h — рассто-£101
яние от точки С{ до плоскости ВСАХ. Поскольку ВС) = ВС2 + CCf = 10, задача сводится к отысканию h. Заметим, что, поскольку ВХСХII BCA1t расстояние от М{ до данной плоскости также равно h. В плоскости АММ}, перпендикулярной плоскости ВСЛр это расстояние равно высоте МХН треугольника АММ{. Вычислим его катет А\МХ - З/З^ и гипотенузу А{М = У64 + 27 = /эГ. А теперь, вычисляя двумя способами площадь, запишем 25д,мм1 = 8-3/3 = Л-УЭТ, откуда /г = Из формулы sinot = -7^7- получаем, что sino< =
5/91
Ответ: 1^.
79
4.	В правильной треугольной призме АВСА.В. С. стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D - середина ребра ССГ. Найдите угол между плоскостями АВС и ADB..
Решение.
Прямая B.D пересекает прямую ВС в точке К. Плоскости АВС и ADB. пересекаются по прямой АК.
Из точки D опустим перпендикуляр DH на прямую АК, тогда отрезок СН (проекция DH) перпендикулярен прямой АК. Угол CHD является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями АВС и ADBX.
Точка D — середина ребра С С., поэтому CD = DC. = |.
Из равенства треугольников B.C.D и KCD получаем:
СК = В.С. = 1.
В равнобедренном треугольнике АСК угол С равен 120°, АС = СК = 1, высота СН является биссектрисой, откуда
СН = AC cos60° =
Из прямоугольного треугольника CDH с прямым углом С получаем:
t^CHD =	= 3.
СП
Ответ: arctg3.
5.	В правильной шестиугольной призме ABCDEFA.B.C.D.E.F. все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости FB.C..
Решение.
Прямые ВВ. и FB перпендикулярны прямой EF. Плоскость FB.C., содержащая прямую EF, перпендикулярна плоскости BB.F, значит, искомое расстояние равно высоте ВН прямоугольного треугольника BB.F, в котором ВВ. = 1, BF = j/з’, B.F = 2.
ВН =
BB.BF
1-1/3 2
/3
2 ‘
Ответ:
2 ’
Задания для самостоятельного решения
1.	Дана правильная треугольная призма АВСА.В.С., стороны основания которой равны 2. Сечение, содержащее боковое ребро АА. и проходящее через середину М ребра В. С., является квадратом. Найдите расстояние между прямыми А.В и AM.
2.	В основании прямой призмы АВСА.В.С. лежит треугольник АВС, у которого АС = ВС = 10 и АВ = 12. Высота призмы АА. = 9. Точка К — середина ребра В.С.. Найдите площадь сечения призмы плоскостью АСК.
80
3.	У правильной треугольной призмы АВСА}В}С] сторона основания АВ = 5, боковое ребро АА} — 12. Найдите синус угла между прямой ВС} и плоскостью ВСА}.
4.	В правильной треугольной призме ЛВСЛ1В1С1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 4, точка D — середина ребра CCt. Найдите угол между плоскостями АВС и ADB}.
5.	В правильной шестиугольной призме ABCDEFAxBxC\DyExFx все рёбра равны 2. Найдите расстояние от точки В до плоскости FB{CX.
4.3.	Треугольные пирамиды
1.	Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет у от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.
Решение.
Пусть SO = 5х и SM = 1х. Тогда
ОМ = х 1/49-25 = х/24 = 2х^,
а ОС = 2 -ОМ = 4х‘|/б’. Из треугольника COS находим
<	✓ с*z-»_ OS _ 5лг ___ 5 6*
tg Z5C0 = — =-------— =
ос 4x^6	24
Тогда искомый угол равен arctg .
,51/б'
Ответ: arctg-т*—.
24
2.	В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС боковые рёбра равны 5, а стороны основания равны 6. Найдите расстояние от вершины А до плоскости SBC.
Решение.
Пусть SO — высота пирамиды, М — середина ВС. Тогда
до=:Л| = 2Уз, ом = 4? = /з’;
уз	2
SO = ]/SA2-AO2' = /25-12 = /13;
SM = ]/S02 + 0M2' = 1/13+ 3‘ = 4.
Расстояние от А до плоскости SBC равно высоте АН треугольника SAM.
Подсчитав площадь этого треугольника двумя способами, получаем
AMSO
2
SMAH	AU AMSO 3-/39
—5—, откуда АН = —— = 2	эм 4
Ответ:
4
81
3.	Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен
Найдите угол между двумя боковыми гранями пирамиды с общим боковым ребром.
4
Решение.
Пусть SABC — данная пирамида, SH — высота, М — середина ребра ВС. Тогда косинус угла наклона боковой грани
к основанию равен cos Z.H MS =	Не ограничивая
MS 4
общности, можно считать, что НМ = ^3 и SM — 4. Тогда
AM = З ИМ = 31/31 и ВМ = СМ =	= 3.
Уз
По теореме Пифагора в треугольниках SHM и SHA имеем:
SH = ]/sM2-MH2' = /ЙГ; SA = ]/АН2 + SH2 = 5.
Заметим, что искомый угол равен 2ф, где ф — угол меж
ду плоскостями ASB и ASM. Найдём этот угол. Для этого проведём высоту ME в треугольнике ASM. Вычислим площадь треугольника ASM двумя способами:
2Sasm = SH AM = AS ME,
откуда ME =	= Ж
SA	5	5
По теореме о трёх перпендикулярах AS ± BE, так что АВЕМ = ф и
tg9 = ™	= _А_
ME 3|/зэ узд'
Ответ: 2arctg -
4.	Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 6, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен —. Точка М — середина ребра SC. Найдите косинус угла между прямыми ВМ и SA.
Решение.
Пусть W — середина АС. Поскольку MN II SA по те-
ореме о средней линии треугольника, искомый угол —	$
угол BMN.
По теореме о средней линии треугольника	\
MN=^ = 3.	/ \м \
„ 2 \ А
В треугольнике BSM по теореме косинусов получаем:	~ Д
ВМ = 1/зб + 9 - 2-6-з4 = -/4?.	N
V	9 v	с
В треугольнике BSC по теореме косинусов получаем:
ВС = |/36 + 36 - 2-6-6-| = Уб4 = 8.
Треугольник АВС равносторонний, значит, медиана	м
BN = 4|/3’.
В треугольнике BMN по теореме косинусов получаем:	\
cos^NMB = 9 + 41-~48 = —1—.
2-3-/4Т	31/4Т	В	N
Ответ:	.
82
5.	В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 10. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM точка L. Известно, что AD — АЕ = LM = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.
Решение.
Пусть О — центр основания пирамиды. В треугольнике АВС имеем:
АЕ.ЕВ = AD.DC = 2:1,
2
значит, DE = —ВС = 4, отрезок DE делит медиану, О
проведённую из вершины А, в отношении 2:1, то есть содержит точку О. Кроме того, О — середина DE.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АМО. В нём АО = 2'|/3’. Опустим из точки L перпендикуляр LK на сторону АО. Тогда
АК = ^АО = КО =
э	э	э	5
Значит,
LK = ]/LA2 - АК2' =	LO = LK2 + КО2' =
5	5
Равнобедренный треугольник DLE — искомое сечение, a LO — его высота. Площадь искомого сечения равна ^LO DE =
Ответ:
э
6.	В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = АЕ = AL = 4. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.
Решение.
Пусть О — центр основания пирамиды. В треугольнике АВС имеем АЕ-ЕВ = AD.DC =2:1, значит, отрезок DE делит медиану, проведённую из вершины А, в отношении 2:1, то есть содержит точку О. Кроме того, АО и DE перпендикулярны.
Прямая DE перпендикулярна МО и АО, поэтому искомый угол между плоскостями равен углу AOL. Рассмотрим прямоугольный треугольник АМО. В нём АО — 2^3\ Опустим из точки L перпендикуляр LK на сторону АО. Тогда
ОК = -АО = О	О
LK = ^МО = ^]/МА2-АО2' =
5	5	5
Значит,
tgZ4OI =
Ответ: arctg-^X^-
О
83
7.	В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро МА равно 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM - точка L. Известно, что AD = АЕ = ML = 2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.
Решение.
Пусть У — середина ВС, К — основание перпендикуляра, опущенного из L на плоскость основания, Р — основание перпендикуляра, опущенного из К на DE. Отрезок LK параллелен МВ, поэтому точка К лежит на ребре АВ и делит его в отношении 3:2,
LK = ^гМВ = ^]/мА2-АВ2' = 5	о	о
В треугольнике АВС имеем:
АЕ.ЕВ = AD-.DC = 2:1, 2
откуда DE = -^ВС = 2 и прямые DE и ВС параллель-ны. Значит, треугольники ABN и КЕР подобны и
КР = ^АКАВ
1 /3 о /3 15 ’ 2	10 '
Прямая DE перпендикулярна КР и LK, поэтому эта прямая перпендикулярна плоскости KPL, следовательно, LP — высота треугольника DLE, являющегося искомым сечением. Площадь искомого сечения равна
±LPDE = LK2 + КР2' -DE =
Ответ:	.
8.	В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро МА равно 1/13. На ребре АС находится точка D, а на ребре АВ находится точка Е. Известно, что AD = 2, BE = 1. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и середину ребра МА.
Решение.
Пусть L — середина AM, К — середина АВ, N — середина ВС, Р — основание перпендикуляра, опущенного из К на DE. Отрезок LK — средняя линия треугольника АВМ, поэтому LK перпендикулярен плоскости АВС и
LK = -MB = МА2-АВ2' = 1.
В треугольнике АВС имеем:
АЕ:ЕВ = AD-.DC = 2:1, значит, прямые DE и ВС параллельны. Следовательно, треугольники ABN и КЕР подобны и
кр =	|-V-3 =
Ad	о z	4
Прямая DE перпендикулярна КР и LK, поэтому искомый угол между плоскостями равен углу KPL. В прямоугольном треугольнике KPL имеем:
tgZKPL =
KL _ 4j/T
LP 3
Ответ: arctg-^y^-.
84
Задания для самостоятельного решения
1.	Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.
2.	В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС боковые рёбра равны 3, а стороны основания равны 2. Найдите расстояние от вершины А до плоскости SBC.
3.	Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 10, а косинус угла ASB при м	17
вершине боковой грани равен —. Точка М — середина ребра SC. Найдите косинус угла между прямыми ВМ и SA.
4.	Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды ра-1
вен у^=;- Найдите угол между двумя боковыми гранями пирамиды.
5.	В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что CD = BE = LA = 2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.
б.	В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что CD - BE = AL = 2. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.
7.	В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 6, а ребро МА равно 6]/2\ На ребре АС находится точка D, а на ребре АВ находится точка Е. Известно, что AD = 4, BE = 2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и середину ребра МА.
8.	В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро МА равно 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что ЛР = Л1 = 2и BE - 1. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.
85
4.4.	Четырёхугольные пирамиды
1.	В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD угол наклона бокового ребра к основанию ABCD равен 30°. Найдите угол между соседними боковыми гранями пирамиды.
Решение.
Пусть SO — высота пирамиды SABCD.
Не ограничивая общности, можно считать, что SO = 1. Тогда ZLSBO = 30°, поэтому SB = 2 и ВО = ^3\ Очевидно, что требуемый угол вдвое больше угла <р между SAB и SBO.
Пусть ОН — высота в треугольнике SOB. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах AH±SB, и ZAHO = <р.
Вычисляя площадь треугольника SOB двумя способами, получим
2SSOB = SO OB = ОН-SB,
пи so-ов i-VS откуда ОН =	— = —f—-
JD	Z
_ AO _ BO _ ,/7. 1/3 _ Q
T Д	OH OH '3  2	2'
Получаем, что искомый угол равен 2arctg2.
Ответ: 2arctg2.
2.	У правильной четырёхугольной пирамиды SABCD сторона основания АВ = 4, а боковое ребро SA = 5. На ребре АВ отмечена точка К так, что сечение SKC пирамиды является равнобедренным треугольником (SK = КС). Найдите периметр этого сечения.
Решение.
Пусть SM — высота в грани SAB, тогда
cosZ5BK = ¥£ = 1
Пусть ВК - х. Тогда в треугольнике BKS по теореме косинусов получаем:
SK2 = ВК2 + BS2 -2-ВКBS-cosZSBK = х2 + 25 - 4х.
В треугольнике ВКС по теореме Пифагора имеем:
СК2 = ВК2 + ВС2 = х2 + 16.
Q
Из условия SK = КС находим, что х = —. Тогда
4
SK = СК = у/х2 + 16' =
4
а периметр сечения равен 5 + 2 • ^37 = 5 + ^337 .
Ответ: 5 + ^337 .
86
3.	В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 2, а боковое ребро SA, равное 4, перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, перпендикулярной ребру SC и проходящей через точку А.
Решение.
Опустим перпендикуляр АН к прямой SC. В треугольни-
ке SAC имеем:
SA = 4; АС = 2/F, SC = SA2 + АС2' = 2'/б';
SH = ^- = ^Д; АН = ]/sA2-SH2' =
SC	/3
В точке Н построим два перпендикуляра НМ и НК к ребру SC, причём точка М лежит на прямой SB, а точка К — на прямой SD (см. рисунок).
В треугольниках ZSHK = Z.SDC = 90°, откуда
SHK и SDC угол 5 — общий, следовательно, эти прямоугольные
треугольники подобны,
значит,
SK =	= ^< 2/^ = SD,
следовательно, точка К лежит на ребре SD.
Аналогично, точка М лежит на ребре SB.
Таким образом, искомое сечение — четырёхугольник АМНК.
Из прямоугольного треугольника SHK получаем:
НК = У SK2 - SH2 = ^Д.
/ту
Аналогично, МН =
/15
В прямоугольном треугольнике ASD имеем:
,ЛСГ4 Л5 4	2
cosZASD = -^=7 = —-= = —=.
SD 2/Т /У
По теореме косинусов в треугольнике ASK получаем:
АК = AS2 + SK1 -2-AS-SK-cosZASK =
/5
Аналогично, AM -
2	16
Рассмотрим треугольник АНК. В нём АН = —
= тт +	+ АК2, значит,
15	5
он пря-
моугольный, откуда получаем:
е _ 1 4/2	4 _ 8/б
ЛНК~2'^'^	15-
.	с _ 8/6
Аналогично, Sдим — < г •
1 j
Таким образом, SAMHK = SAHK + SAHM =	.
Ответ:  - Д.
15
87
4. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 2, а боковое ребро SA, равное 3, перпендикулярно плоскости основания. Плоскость, перпендикулярная ребру SC и проходящая через точку А, пересекает прямые SB, SC и SD в точках М, Н и К соответственно. Найдите угол МНК.
Решение.
Из условия следует, что отрезок АН перпендикулярен прямой SC. В треугольнике SAC имеем:
SA = 3; АС = 2/2;
SC = /5А2 + ЛС2' =
СП _ SA2
SH-Уе-
ли = ]/SA2 - SH2 =
/17
Также из условия следует, что НМ и НК перпендикулярны прямой SC.
Прямоугольные треугольники SHK и SDC подобны, значит,
SK = SH
SC SD’
откуда
SK = -SC-SH =	< /Тз1 = SD,
SD у?з
следовательно, точка К лежит на ребре SD.
Аналогично, точка М лежит на ребре SB.
Таким образом, сечение пирамиды плоскостью, перпендикулярной ребру SC и проходящей через точку А — четырёхугольник АМНК.
Из прямоугольного треугольника SHK получаем:
НК = V SK2-SH2' = — /22?
Аналогично, МН =	.
/22?
В прямоугольном треугольнике ASD имеем:
cos AASD =	= UU-
SD ]/ТУ
По теореме косинусов в треугольнике ASK получаем:
А К = У~А52 + SK2 -2-AS-SK-cosZ.ASK = -1-.
/13
Аналогично, AM = ——.
/13
Получаем, что AM НК = 2ААНК.
Рассмотрим треугольник АНК. В нём АН2 = 21 =	+ -51 = НК2 + АК2, значит, он пря-
моугольный, откуда:
sinZAHK = -А_: 6/1 = I/1Г /17 /17 v 26
Ответ: 2arcsin
1/к. |/ 26
88
5. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной М стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку С и середину ребра МА параллельно прямой BD.
Решение.
Пусть точка Е — середина ребра МА. Отрезок СЕ пересекает плоскость MBD в точке Р. В треугольнике МАС точка Р является точкой пересечения медиан, следовательно, МР.РО - 2:1, где О — центр основания пирамиды. Отрезок FG параллелен BD и проходит через точку Р (точка F принадлежит ребру MB, G — ребру MD), откуда
MF:FB = MG:GD = МР.РО = 2.1;
FG = ^BD =	= 4/2.
Четырёхугольник CFEG — искомое сечение. Отрезок СЕ — медиана треугольника МАС, значит,
СЕ =	+ 2МС2 - МА2
4АВ2 + МС2
2
= 6/F.
Поскольку прямая АС перпендикулярна плоскости MBD, диагонали СЕ и FG четырёхуголь-СЕ' FG
ника CFEG перпендикулярны, следовательно, SCFEG = —т;— =
Ответ: 24.
6. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной М стороны основания равны 18, а боковые рёбра равны 15. Точка R принадлежит ребру МВ, причём MR-.RB = 2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки С и R параллельно прямой BD.
Решение.
Отрезок QR параллелен BD (точка Q принадлежит ребру MD). Пусть QR пересекает МО в точке Р (О — центр основания пирамиды), причём МР.РО = MR.RB — 2:1, тогда точка Р является точкой пересечения медиан треугольника МА С. Прямая СР пересекает ребро МА в точке Е — середине МА. Четырёхугольник CQER — искомое сечение.
Отрезок СЕ — медиана треугольника МА С, значит,
_ 1/2АС2 + 2МС2 -2МА2 _ УаАВ2 + МС2 _ 39
2	2	2 ’
RQ = ^BD = 12/21.
О
Поскольку прямая АС перпендикулярна плоскости MBD, диагонали СЕ и QR четырёхугольника CQER перпендикулярны, следовательно,
Scqek = -^2^ = ШУ?-
Ответ: 117/F.
89
Задания для самостоятельного решения
1.	В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD угол наклона бокового ребра к основанию равен 60°. Найдите угол между соседними боковыми гранями пирамиды.
2.	У правильной четырёхугольной пирамиды SABCD сторона основания АВ = 6, а боковое ребро SA = 8. На ребре АВ отмечена точка К так, что сечение SKC пирамиды является равнобедренным треугольником (SK = КС). Найдите периметр этого сечения.
3.	В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 1, а боковое ребро SA, равное 3, перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, перпендикулярной ребру SC и проходящей через точку А.
4.	В основании четырёхугольной пирамиды лежит квадрат со стороной 3, а боковое ребро SA, равное 4, перпендикулярно плоскости основания. Плоскость, перпендикулярная ребру SC и проходящая через точку А, пересекает прямые SB, SC и SD в точках М, Н и К соответственно. Найдите угол МНК.
5.	В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной М стороны основания равны 4, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь синения пирамиды плоскостью, проходящей через точку В и середину ребра MD параллельно прямой АС.
б.	В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной М стороны основания равны 12, а боковые рёбра равны 24. Точка G принадлежит ребру МА, причём MG : GA = 2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки В и G параллельно прямой АС.
4.5. Тела вращения
1. Правильная четырёхугольная пирамида SABCD, каждое ребро которой равно 2, расположена внутри цилиндра таким образом, что стороны АВ и CD основания являются образующими цилиндра, а вершина 5 — серединой образующей PQ. Найдите объём цилиндра.
Решение.
Так как АВ = 2 — образующая цилиндра, для вычисления объёма осталось найти его радиус. Пусть точки Р, В и С лежат на окружности одного и того Же основания, тогда искомый радиус — это радиус описанной окружности треугольника РВС.
В прямоугольном треугольнике SPC имеем:
pc = ]/sc2-sp2 = ]/3?
Аналогично, РВ = уТ.
Треугольник РВС равнобедренный. Пусть РМ — его высота, тогда
РМ = У PC2-СМ2 = 1/2, а площадь этого треугольника равна
SPBC = РММС = 1/2.
Воспользуемся формулой радиуса описанной окружности треугольника:
R = РВ PC ВС = /3-/3 2 = 3 iSPBc	2/?
90
По формуле объёма цилиндра получаем:
9л
4 ’
Ответ:
4
2. Отрезок АВ = 24 — диаметр верхнего основания цилиндра, а С — точка на окружности нижнего основания. Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью основания цилиндра, если АС = 10 и ВС = 22.
Решение.
Пусть CH = h — образующая цилиндра.
Так как АВ диаметр, угол АНВ прямой. По теореме Пифагора в треугольнике АНВ получим: АВ2 = 576 = АН2 + НВ2.
Из треугольников АСН и ВСН имеем:
АН2 = 102 - Л2; ВН2 = 222 - Л2.
С учётом предыдущего равенства получаем уравнение:
576 = 484 - Л2 + 100-й2,
откуда h = 2.
Пусть НЕ — высота прямоугольного треугольника АНВ. По теореме о трёх перпендикулярах СЕ .LAB и поэтому угол СЕН искомый. Вычисляя двумя способами площадь треугольника АНВ, находим:
Из прямоугольного треугольника СЕН получаем:
tgZCEtf =	=
4/?	2-/?
Ответ: arctg^^-.
3. Высота конуса равна 6, а радиус его основания равен 7. Плоскость проходит через вершину 2
конуса и пересекает его основание, образуя с плоскостью основания угол arcsin—. Найдите
площадь сечения конуса этой плоскостью.
Решение.
Пусть S — вершина конуса, SAB — искомое сечение. Треугольник SAB равнобедренный, так как SA = SB — образующие конуса. Пусть М — середина АВ, тогда по условию sinZSMO = 4* а 0$ = 6. О
Из прямоугольного треугольника SMO находим: 5Л/=6:| = 9; ОМ = д/81 - 36' = /451 = З]/?.
Из прямоугольного треугольника МАО получаем: AM = У49 - 45’ = 2, откуда SSAB = -AB-SM = 18.
Ответ: 18.
91
4.	Высота конуса равна 1, а радиус его основания равен 7. Плоскость проходит через вершину конуса таким образом, что сечение конуса этой плоскостью является прямоугольным треугольником. Найдите синус угла, который эта плоскость образует с плоскостью основания.
Решение.
Пусть S — вершина конуса, SAB — указанное сечение. Треугольник SAB равнобедренный, так как SA = SB — образующие конуса. По условию он также прямоугольный, поэтому ЛА5В = 90°.
Пусть М — середина АВ и О — центр основания конуса. Обозначим ОМ = х и
AM = ВМ = SM = у.
Применяя теорему Пифагора к треугольникам SOM и АОМ, запишем: у2 — х2 — 1 и у2 + х2 = 49. Сложив уравнения, найдём у = 5 (искать х не обязательно).
Из прямоугольного треугольника SOM находим:
sin Z5 МО =	= 0,2.
SM
Ответ: 0,2.
5.	Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки Л и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:3. Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.
Решение.
Пусть О — центр основания конуса, М — середина хорды АВ. Дуга АВ составляет четверть окружности основания, поэтому ZAOB = 90°. Треугольник равнобедренный, следовательно,
АВ = 2АМ = 2АО-sin^^ = б]/?.
Равнобедренный треугольник АРВ — искомое сечение. Отрезок РМ — его высота,
РМ = У АР2-AM2' = 3yY.
Площадь искомого сечения равна
^РМАВ = 9/1Т.
Ответ: ЭуТГ.
б.	Две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно 6, пересекают шар таким образом, что центр шара лежит между плоскостями. Площади сечений шара этими плоскостями равны 25л и 49л. Найдите радиус шара.
Решение.
Пусть О — центр шара, О] и О2 — центры первого и второго сечений. Тогда 00j и ОО2 — перпендикуляры к плоскостям сечений, а так как плоскости параллельны, то О лежит на отрезке О] О2 = 6.
Пусть OOt = х, тогда ОО2 = 6 — х. Выберем на окружностях сечений точки А (на окружности первого сечения) и В (на окружности второго сечения). Радиусы сечений можно вычислить, зная их площади: они равны 5 и 7 соответственно.
Применяя теорему Пифагора к треугольникам ОО{А и ОО2В, запишем:
ОА2 = 25 + х2; ОВ2 = 49 + (6-х)2.
92
Но О А = ОВ как радиусы шара, поэтому 25 +х2 = 49 + (6-х)2, откуда х = 5. Из тре угольника ООХА находим радиус шара:
ОА = ]/25+х2 = 1/501 = 5-^.
Ответ: 5]/Т.
7.	Диаметр шара перпендикулярен некоторой плоскости и делится ею в отношении 2:3. Площадь сечения шара указанной плоскостью равна 54я. Найдите радиус шара.
Решение.
Пусть АВ — данный диаметр, О — центр шара, Ot — центр круга, являющегося сечением, причём 0}А < ОХВ.
Площадь данного сечения шара равна 54я, значит, радиус круга Зу"(Г
Пусть 001 = х, тогда из условия следует, что АО{ = 4х, ВО} = 6х.
Пусть N — точка на границе круга, тогда из треугольника О] ON находим по теореме Пифагора:
ON2 = ОО2 + NO2-, (зУб1)2 + х2 = 25х2;
3 откуда х =
п	„ АО' + ВО.
Радиус шара равен к =----—------ = 5х = 7,5.
Ответ: 7,5.
Задания для самостоятельного решения
1.	Правильная четырёхугольная пирамида SABCD, стороны основания которой равны 2, а боковые рёбра равны 3, расположена внутри цилиндра таким образом, что стороны АВ и CD основания являются образующими цилиндра, а вершина 5 — серединой образующей PQ Найдите объём цилиндра.
2.	Отрезок АВ = 8 — диаметр верхнего основания цилиндра, а С — точка на окружности нижнего основания. Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью основания цилиндра, если АС = 9 и ВС =11.
3.	Высота конуса равна 5, а радиус его основания равен 4. Плоскость проходит через вершину конуса и пересекает его основание, образуя с плоскостью основания угол arcsin-j-. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
4.	Высота конуса равна 1, а радиус его основания равен 3. Плоскость проходит через вершину конуса таким образом, что сечение конуса этой плоскостью является прямоугольным треугольником. Найдите синус угла, который эта плоскость образует с плоскостью основания.
5.	Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.
6.	Две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно 7, пересекают шар таким образом, что центр шара лежит между плоскостями. Площади сечений шара этими плоскостями равны 18л и 25я. Найдите радиус шара.
7.	Диаметр шара перпендикулярен некоторой плоскости и делится ею в отношении 1:6. Площадь сечения шара указанной плоскостью равна 150л. Найдите радиус шара.
93
5.	ПЛАНИМЕТРИЯ
5.1.	Планиметрические задачи (одна конфигурация с окружностью)
1.	В треугольник АВС вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны АС в точке D, причём AD — R.
а)	Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
6)	Вписанная окружность касается сторон АВ и ВС в точках Е и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R = 5 и CD =15.
Решение.
а)	Пусть О — центр вписанной окружности тре-	в
угольника АВС (см. рисунок).	У
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его	s'
биссектрисе, значит, АО — биссектриса угла ВАС. Тре-угольник AOD прямоугольный и равнобедренный, по-	\
этому XAOD = 45°. Следовательно, ХВАС = 90°.	е
б)	Пусть BF = х. По теореме о равенстве отрезков	I
касательных, проведённых к окружности из одной точ-	\
ки, АЕ - AD = 5, CF = CD = 15 и BE = BF = х. По теореме Пифагора	D
ВС2 = АС2 + АВ2;
или (15 + х)2 = 202 + (5 +х)2. Из этого уравнения находим, что х = 10. Тогда
ВС =25, sinZABC =	= || = |.
Следовательно,
Sabef = ^BEBFsinXABC = 1.10-104 = 40. X	X	О
Ответ: 40.
2. На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС опустили высоту СН. Из точки Н на катеты опустили перпендикуляры НК и НЕ.
а) Докажите, что точки А, В, К и Е лежат на одной окружности.
6) Найдите радиус этой окружности, если АВ = 12, СН = 5.
Решение.
а) Пусть точка Е лежит на катете ВС, а точка К —
на катете АС (см. рисунок). Проведём отрезок КЕ и
заметим, что он является гипотенузой прямоуголь- л	.
ного треугольника КСЕ, подобного треугольнику ВСА.	0
Рассмотрим углы четырёхугольника АВЕК. \ \	//
Пусть ХАВЕ = а, тогда
ХВЕК = ХВЕН + ХНЕК = 90° + <х,	VA
а ХКАВ = 90° - а.	/Х\\
Значит,	-у	в
ХВЕК + ХКАВ = 90° + а + 90° - d = 180°.	с
Сумма двух противоположных углов в четырёхугольнике 180°, следовательно, четырёхугольник вписан в окружность.
б) Радиус окружности, проходящей через точки А, В и Е, по теореме синусов равен
АВ	АЕ
2sinXBEA 2sinXABC'
94
Четырёхугольник СКНЕ является прямоугольником, значит, треугольники НЕС и КСЕ равны. Из подобия треугольников ВСА и КСЕ получаем, что	откуда СЕ = СНА£С 
Тогда
АЕ = 1/сЕ^ + АС2' = АС ]/Сн2+^- = /сЯ2 + АВ2‘. v АВ2 АВ
Поэтому sinZAEC =	= АВ —--
АЕ 1/сн2 + ав2'
Следовательно, искомый радиус равен
АВ:	глв— =	СИ1 + АВ? = Аг-
i/ch’ + hb2 2	2
Ответ: 6,5.
3. Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую АВ в точке Е. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны АЕ в точке К и стороны АО в точке Т. а) Докажите, что прямые КТ и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и КТ = 3.
Решение.
а)	Прямые АЕ и CD параллельны (см. рисунок), a DE — биссектриса угла ADC, поэтому ZAED = Z.CDE = /LADE. Значит, треугольник ADE равнобедренный, AD = АЕ. Отрезки АК и АТ касательных, проведённых к окружности из точки А, равны, значит, треугольник АТК также равнобедренный.
Угол при вершине А у треугольников АТК и ADE общий, поэтому они подобны, а значит, ААТК = /LADE. Следовательно, KTWDE.
б)	Пусть окружность касается основания DE равнобедренного треугольника ADE в точке М. Тогда
М — середина DE. Пусть DM = х. Тогда DT = DM = х, АТ - AD - DT = 6-х. Треугольник АТК подобен треугольнику ADE, поэтому
АТ _ ГК. 6-х = JL
AD DE' 6	2х’
откуда х = 3.
Получаем, что DE = 2х = 6, значит, треугольник ADE равносторонний. Следовательно, ZBAD = 60°.
Ответ: 60°.
4.	Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке М. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках Р и Q, причём точка Р лежит между точками D и Q. Прямая ВС касается окружности, а точка Q лежит на прямой ВМ.
а)	Докажите, что ZDMP = Z.CBM.
б)	Известно, что СМ = 5 и CD = 8. Найдите сторону AD.
Решение.
а)	Поскольку DMP — угол между касательной MD и хордой MP, a MQP — угол, вписанный в окружность, то Z.DMP = /LMQP = /LMQD.
Поскольку /LMQD = Z.CBM как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых третьей, получаем, что ZDMP = ZCBM.
95
6)	Пусть окружность с центром О касается прямой ВС в точке Е (см. рисунок), а Н — основание перпендикуляра, опущенного из точки О на PQ. Тогда Н — середина хорды PQ. Так как СЕОМ — квадрат, ОЕ = СМ. Из прямоугольного треугольника OHQ находим, что
HQ = 1/OQ2-OH2 =	ОЕ2 -DM2' = j/52 - (8 - 5)2 = ^25 - 9' = 4.
Поскольку ОЕ ± PQ, точки О, Е и Н лежат на одной прямой, CDHE — прямоугольник, а так как СЕ = СМ = 5, получаем:
DQ = DH + HQ = CE + HQ = CM+HQ =5 + 4 = 9.
Треугольник ВСМ подобен треугольнику QDM с коэффициентом — -|-, следовательно, им о
AD = ВС -	=	= 15.
о	о
Ответ: 15.
5.	В параллелограмм вписана окружность.
а)	Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б)	Эта окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 4 и 1. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
Решение.
а)	Пусть ABCD — данный параллелограмм. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, поэтому AB + CD = AD + BC, а т. к. противоположные стороны параллелограмма попарно равны, то 2АВ = 2ВС, или АВ - ВС. Значит, все стороны четырёхугольника ABCD равны. Следовательно, это ромб.
б)	Пусть К, L, М и У — точки касания
окружности радиуса R со сторонами соответственно АВ, ВС, CD и AD ромба (см. рисунок), О — точка пересечения диагоналей ромба, АК — 4, В К — 1. Диагонали ромба перпендикулярны, значит, /.АО В = 90°.
Отрезок ОК = R — высота прямоугольного треугольника АОВ, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
R2 = АКВК = 41=4,
откуда R = 2.
Пусть /BAD = о(. Поскольку АК > КВ, а < 90°. Пусть ВН — высота ромба, опущенная на сторону AD. Тогда
КМ = LN = ВН = 2R = 4; sina = sin/BAD = sin/BAH =	= 4-
AB 5
Угол между диагоналями КМ и LN четырёхугольника KLMN равен углу BAD (углы с соответственно перпендикулярными сторонами). По формуле площади четырёхугольника получаем:
SKLU„= ^KMLNsma = ±.4.4.4 = ^ = 6.4.
Ответ: 6,4.
96
б.	Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О. На продолжении отрезка АО за точку О отмечена точка К так, что ABAC + ААКС = 90°.
а)	Докажите, что четырёхугольник ОВКС вписанный.
б)	Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника ОВКС, если cosABAC = аВС = 48.
5
Решение.
а)	Пусть ABAC = а, тогда АОКС = ААКС = 90° - а и АВОС = 2ABAC = 2а. Треугольник ВОС равнобедренный, следовательно,
АОВС = АОСВ = 180°2~ 2(* = 90° - а; АОВС = АОКС.
Получаем, что точки О, В, К и С лежат на одной окружности. Следовательно, четырёхугольник вписанный.
б)	По условию cos АВ А С = поэтому sinZBXC =
Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен
ОС = о 	= 30-
2 sin ABAC г,
5
Пусть R — радиус окружности, описанной около четырёхугольника ОВКС. В треугольнике О СК имеем:
R = ос = ос = 0С = 30 = ?5
2sin АОКС 2sin(9O°-o() 2coso( 9 3
5
Ответ: 25.
7.	Высоты ВВ} и СС, остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.
а)	Докажите, что АВВ}С} - АВАН.
б)	Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника АВС, до стороны ВС, если В, С, = ЮУЗ1 и ABAC = 60°.
Решение.
а)	В четырёхугольнике АСХНВ} углы С} и Вх — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём АН — её диаметр. Вписанные углы НВ{С{ и НАС{ опираются на одну дугу, следовательно, они равны, а значит, АВВ^С^ = АВАН.
б)	В прямоугольном треугольнике ВВ\А имеем:
АВ{ = ЛВ-cosZBXB, = АВ cos60° = ^АВ.
В прямоугольном треугольнике СС,А имеем:
Л С, = ЛС-cosZG4Ct = А С-cos60° = ^АС.
Получаем, что
АВ _ АС_
АВ^ АС{'
Треугольники АВС и АВ}С} имеют общий угол А и
АВ АВ\
= следовательно, они подо-74 С,
бны. Тогда	= 2. Значит,
П 4 С- 1	С- 4
ВС = 2В, С{ = 201/3.
97
Пусть О — центр окружности, описанной около треугольника АВС, М — середина стороны ВС. Тогда расстояние от точки О до стороны ВС равно длине отрезка ОМ. Треугольник ВОС — равнобедренный, следовательно,
ЛСОМ = | ZBOC = ЛВА С = 60°.
В прямоугольном треугольнике ОМС имеем:
ОМ = MCctgZMOC = 4~ctg60° =	= 10.
Ответ: 10.
8.	Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.
а)	Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.
б)	Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит её на отрезки, равные 2 и 8.
Решение.
а)	Пусть О — центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию ABCD с основаниями AD и ВС, О, — центр окружности, касающейся большей боковой стороны и продолжений оснований трапеции (рис. 1).
Точка О лежит на биссектрисах углов BCD и ADC, следовательно,
/.COD = 180° - |zBCD - ^/ADC = 90°.
Точка О, лежит на биссектрисе угла, смежного с углом BCD, значит, ZOCO( = 90°. Аналогично, углы CO,D и ODO, — прямые.
Значит, OCO,D — прямоугольник, поэтому
CD = ОО,.
б)	Пусть окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается стороны AD в точке Р, а стороны CD — в точке М, вторая окружность касается прямой AD в точке Q (рис. 2).
Радиусы окружностей ОР и O,Q равны половине расстояния между параллельными прямыми AD и ВС. Получаем, что ОО, QP — прямоугольник, следовательно, ОО, = PQ.
В прямоугольном треугольнике COD имеем:
Рис. 1
Рис. 2
ОМ = 1/CM-MD = 4.
AQ = AP + PQ = ОР+ ОО, = ОМ+ CD = 14.
В прямоугольном треугольнике AQO, имеем:
АО, = ]/AQ2 + Q0f = 2]/53.
Расстояние от вершины прямого угла трапеции до центра второй окружности равно
ВО, = АО, = 2/53.
Ответ: б) 2]/53’.
98
Задания для самостоятельного решения
1.	В треугольник АВС вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны АС в точке D, причём AD = R.
а)	Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б)	Вписанная окружность касается сторон АВ и ВС в точках Е и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R = 2 и CD =10.
2.	На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС опустили высоту СН. Из точки Н на катеты опустили перпендикуляры НК и НЕ.
а)	Докажите, что точки А, В, К и Е лежат на одной окружности.
б)	Найдите радиус этой окружности, если АВ = 24, СН = 7.
3.	Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую АВ в точке Е. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны АЕ в точке К и стороны AD в точке Т.
а)	Докажите, что прямые КТ и DE параллельны.
б)	Найдите угол BAD, если известно, что сторона AD = 8 и КТ = 4.
4.	Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке М. Продолжение стороны AD последовательно пересекает окружность в точках Р и Q, прямая ВС касается окружности, а точка Q лежит на прямой ВМ.
а)	Докажите, что ZDMP = ZCBM.
б)	Известно, что СМ = 13 и CD =18. Найдите сторону AD.
5.	В параллелограмм вписана окружность.
а)	Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б)	Эта окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 5 и 1. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
6.	Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О. На продолжении отрезка АО за точку О отмечена точка К так, что Z.BAC + ZAKC — 90°.
а)	Докажите, что четырёхугольник ОВКС вписанный.
б)	Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника ОВКС, если cosZBAC = -^, а ВС = 96.
•Э
7.	Высоты ВВХ и СС] остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.
а)	Докажите, что ZBBjC, = ZB АН.
б)	Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника АВС, до стороны ВС, если В\С{ = 9уТ и Z.BAC = 30°.
8.	Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.
а)	Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.
б)	Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит её на отрезки, равные 4 и 36.
99
5.2.	Планиметрические задачи (одна конфигурация без окружности)
1.	На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а)	Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б)	Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°.
Решение.
а)	Возьмём на диагонали АС параллелограмма ABCD точку О, отличную от её середины, и проведём через неё перпендикуляры NL и КМ к сторонам параллелограмма (см. рисунок). Прямоугольные треугольники СКО и АМО подобны. Точно так же подобны треугольники CNO и ALO, откуда
ОК: ОМ = ОС: ОА = ON: OL.
Отсюда следует подобие треугольников ONK и OLM. Тогда накрест лежащие углы ОМЬ и OKN равны, а поэтому прямые NK и ML параллельны. Следовательно, четырёхугольник KLMN — параллелограмм или трапеция.
Докажем, что это трапеция. Если KLMN — параллелограмм, то ON - OL. В этом случае ОС = О А, то есть О — середина АС. Противоречие. Значит, KLMN — трапеция.
б)	Пусть S — площадь параллелограмма, а его острый угол — ос Угол между диагоналями NL и КМ трапеции KLMN равен углу между перпендикулярными им прямыми ВС и CD, то есть этот угол равен о(. Поэтому площадь трапеции равна:
1 \тт VM , 15 5	, S  AD  АВ  sin2 a 5sin2cx
^NLKM-мсс =	—  — sin« = —= -j-.
Подставляя d. - 60° и 5 - 16, получаем, что площадь трапеции равна
16sin260°	16 3 с
----2---“ — = 6'
Ответ: 6.
2.	Дан четырёхугольник ABCD.
а)	Докажите, что отрезки LN и КМ, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б)	Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если LM = 3у/3', КМ = б/Т, Z.KML - 60°.
Решение.
а)	Пусть К, L, М и N — середины сторон соответственно АВ, ВС, CD и AD четырёхугольника ABCD (см. рисунок). Тогда KL и MN — средние линии треугольников АВС и ADC соответственно. Значит, KL - --АС = MN и KL IIACW MN, поэтому KLMN — параллелограмм. Его диагонали КМ и LN делят друг друга пополам.
б)	В треугольнике KLM имеем:
KL2 = КМ2 + ML2 -2КМ-ML- cos60° = 81.
Получаем, что КМ2 = KL2 + LM2, поэтому треугольник KLM прямоугольный с прямым углом при вершине L. Значит, KLMN — прямоугольник, поэтому
SKLMN = KL-LM = 9-3yz31= 21^3.
100
Пусть искомая площадь четырёхугольника ABCD равна S. Поскольку KL — средняя линия треугольника АВС, то S^KBL = -^-5ДЛЙС. Аналогично SAMDN = у5длос- Значит,
S&KBL + S&MDN = д'^ДЛВС + ~£$ЬАОС ~ (*$ДЛВС + ^ДЛОс) ~
Аналогично S^CML + 5ДЛКЛ, = Поэтому
Следовательно, 5 = 2SKLMN = 2-27'/з’ = 54‘|/3’.
Ответ: 54 у1Г.
3.	На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD. а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что cosZABC = у. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ?
Решение.
а)	Пусть ZABL = Z.CBL = й. Тогда
Z.ACB = Z.ABC = 2й; ZBDL = Z.DBL = а.
Угол АСВ — внешний угол треугольника DCL, значит,
Z.DLC = ZACB- ZCDL = 2й - й = й.
Получаем, что ZDLC = Z.CDL, следовательно, треугольник DCL равнобедренный.
б)	Пусть АН — высота равнобедренного треугольника АВС (см. рисунок). Тогда Н — середина ВС. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропор-
CL ВС
циональные двум другим сторонам, поэтому — = —.
АД Ли
Из прямоугольного треугольника АВН имеем:
= cosZABC = cos2rt = -5-, A D	3
CL ВС 2ВН 2	,г 3 л уп 3 л п
ЗНаЧИТ- AL = ЛВ = ~ЛВ~ = 3' °ТКуда AL = 5АС = 5АВ-
Пусть прямая DL пересекает сторону АВ в точке М. Тогда
ZAML = 180° - ЛМАЬ - ЛАЬМ = 180° - (180° - 4й) - й = Зй.
Применив теорему синусов к треугольнику AML, получим, что	, откуда
AM ~ ^sino( _ ALsind _ ALsind sin3d sin(d + 2d) sindcos2d + cosd sin2d
Aisind	AL	AL
sind (cos2d + 2cos2 d) cos2d + 1 + cos2d 2cos2o< + 1
=>=HAB=&B-
Значит, MB = AB — AM = -xf-AB. Следовательно, 25	MB lb
Ответ: 9:16.
101
4.	На сторонах AD и ВС параллелограмма ABCD взяты соответственно точки М и N, причём М — середина AD, a BN.NC =1:3.
а)	Докажите, что прямые AN и АС делят отрезок ВМ на три равные части.
6)	Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой ВМ с прямыми AN и АС, если площадь параллелограмма ABCD равна 48.
Решение.
а)	Обозначим точки пересечения прямой ВМ с прямыми AN и АС буквами Р и R соответственно.
Пусть О — точка пересечения диагоналей параллелограмма (см. рисунок). Тогда АО и ВМ — медианы треугольника ABD, значит, MR = ^ВМ.
О
Треугольники BPN и МРА подобны. Следовательно, находим, что
BP _ BN = 1
PM AM 2‘
сч |со
Значит, ВР = ^ВМ.
Получаем, что BP = PR = RM.
б)	Пусть площадь параллелограмма равна 5. Из подобия треугольников MRA и BRC с коэффициентом у следует, что высота треугольника BRC, проведённая к стороне ВС, составляет
высоты параллелограмма, проведённой к той же стороне. Следовательно, площадь треугольника BRC равна
о 1 2 с _ 5
Sbrc- - у-
Аналогично найдём площадь треугольника BNP. Его высота, проведённая к BN, составляет
высоты параллелограмма, проведённой к стороне ВС, а сама сторона BN в четыре раза мень-О
ше стороны параллелограмма ВС.
Поэтому
с _ 1 1 1 с _ 1 с
Sbnp- 2’з'4д " 24д-
Следовательно, площадь четырёхугольника PRCN равна
5„c-5,w=|j-^ = ^S = ^-48 = 14.
Ответ: 14.
5.	Высоты ВВХ и ССХ остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. а) Докажите, что ХАНВх = ХАСВ.
б) Найдите ВС, если АН = 8}/? и ХВАС = 60°.
Решение.
а)	В четырёхугольнике АСХНВХ углы С, и В, — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём АН — её диаметр. Вписанные углы АСХВХ и АНВХ опираются на одну дугу, следовательно, ХАНВх = ZACjBp
Углы ВСХС и ВВХС прямые, значит, точки В, С, Вх и С( лежат на окружности с диаметром ВС. Следовательно,
ZACiB, = 180°-ZBC,Bt = ZBCBp
Получаем, что ХА С В = ХАНВх.
102
б)	В треугольнике АВХСХ диаметр описанной окружности АН = 8д/з", откуда ВХСХ = AHsm/BAC = ЛЯ-sin 60° = 12.
В прямоугольном треугольнике ВВХА имеем:
АВХ = АВ - cos/BABx = ЛВ-соз60° = -^АВ.
В прямоугольном треугольнике ССХА имеем:
АСХ = AC-cos/CACx = AC-cos60° = ±АС.
Получаем, что —-/1131
АС
АСХ ’
Треугольники АВС и АВХСХ
имеют общий угол А и
АВ _ АС_
АВХ АСХ’
следовательно, они
подобны. Тогда = -££-ВХСХ АСХ
= 2. Значит,
ВС = 2ВХСХ = 24.
Ответ: 24.
6.	В остроугольном треугольнике АВС провели высоту ВН. Из точки Н на стороны АВ и ВС опустили перпендикуляры НК и НМ соответственно.
а)	Докажите, что треугольник МВК подобен треугольнику АВС.
б)	Найдите отношение площади треугольника МВК к площади четырёхугольника АКМС, если ВН = 3, а радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 4.
Решение.
а)	В четырёхугольнике КВМН углы К и М — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём ВН — её диаметр. Вписанные углы ВКМ и ВНМ опираются на одну дугу, следовательно,
/.ВКМ = /ВНМ = 90° - /НВМ = /ВСА.
Треугольники МВК и АВС имеют общий угол В и /ВКМ = /ВСА. Значит, эти треугольники подобны.
б)	Радиус окружности, описанной около треугольника 1	3
МВК, равен -^-ВН = Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 4. Значит, треугольники МВК и АВС подобны с коэффициентом подобия —. Получаем, что
О
$мвк _ / 3V _ 9
$АВС  8 '	64
Следовательно, искомое отношение равно
$мвк _	$мвк	SMBK SABC	9 64	9
$АКМС	$ АВС~ $МВК	1 _ smbk SABC	’ 1-A 64	55
Ответ:
55
103
Задания для самостоятельного решения
1.	На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а)	Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б)	Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 24, а один из его углов равен 45°.
2.	Дан четырёхугольник ABCD.
а)	Докажите, что отрезки LN и КМ, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б)	Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если KL = 6, КМ = 4]/з\ Z.MKL = 30°.
3.	На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD. а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
2
б)	Известно, что cos ЛАВ С = —. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? О
4.	Точка М — середина стороны AD параллелограмма ABCD. Из вершины А проведены два луча, которые разбивают отрезок ВМ на три равные части.
а)	Докажите, что один из лучей содержит диагональ параллелограмма.
б)	Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного двумя проведёнными лучами и прямыми BD и ВС, если площадь параллелограмма ABCD равна 40.
5.	Высоты ВВ} и СС} остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.
а)	Докажите, что ЛАНВ} — ЛАСВ.
б)	Найдите ВС, если АН = Ю]/^ и ЛВАС = 30°.
6.	В остроугольном треугольнике АВС провели высоту ВН. Из точки Н на стороны АВ и ВС опустили перпендикуляры НК и НМ соответственно.
а)	Докажите, что треугольник МВК подобен треугольнику АВС.
б)	Найдите отношение площади треугольника МВК к площади четырёхугольника АКМС, если ВН = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 3.
104
5.3.	Планиметрические задачи (две конфигурации)
1.	В треугольнике АВС известны стороны: АВ = 7, ВС = 9, АС = 10. Окружность, проходящая через точки А и С, пересекает прямые АВ и ВС соответственно в точках К и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник АВС. Найдите длину отрезка KL.
Решение.
Обе точки К и L не могут лежать вне треугольника, по-	в
скольку в этом случае отрезок KL не может касаться вписан-	/ \.
ной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих то-
чек лежит на стороне треугольника.	Al \l
Пусть обе точки К и L лежат на сторонах треугольника /л	V \
(рис. 1). Четырёхугольник AKLC — вписанный, следовательно, //\	/	\	\
ЛК А С = 180°- AKLC = ABLK.	\
Значит, треугольник АВС подобен треугольнику LBK, \
так как угол АВС — общий. Пусть коэффициент подобия ра- \	/
вен k, тогда BL = kAB, ВК = kBC, KL = kAC. Суммы про- \.	У
тивоположных сторон описанного четырёхугольника AKLC	______
равны:
АК + LC = KL + А С\	Рис. 1
АВ{\- k) + ВС(1 - k) = ЛС(1 + k);
, = АВ+ВС-АС
R АС+АВ+ВС
Подставляя известные значения сторон, находим	в
k = 7 + о~ = ТГ Следовательно, KL = ~^АС =	/\
7 + 9 + 10	13	13	13	/ \
Пусть точка К лежит на продолжении стороны АВ	Г* >l
(рис. 2). Углы AKL и ACL равны, поскольку опираются на	/_______£
одну дугу. Значит, треугольник АВС подобен треугольнику	л
LBK, так как угол АВС — общий. Более того, они описаны	АГ
около одной и той же окружности. Следовательно, коэффи-	у	'Дч
циент подобия равен 1, то есть треугольники LBK и АВС рав-	^/1	I
ны, поэтому KL = АС = 10. Заметим, что В К — ВС > АВ и	' \	/
точка К действительно лежит на продолжении стороны АВ.	\	/
Если точка L лежит на продолжении стороны ВС, то	'к	/
BL > ВС, но аналогично предыдущему случаю получаем	-----------
BL = АВ < ВС. Значит, этот случай не достигается.
30	Рис. 2
Ответ: — или 10. 1 о
2.	Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Решение.
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = АС — 26, ВС = 20. Пусть АН — высота треугольника АВС. Тогда Н — середина ВС.
Обозначим ЛА В С = ЛА С В = <х. Тогда
, ВН 5	• ,	12	12
cose = лё = 7з’ slncl = Тз’ tg<< = ~5-
105
Предположим, что окружность радиуса г с центром О] вписана в угол АСВ и касается основания ВС в точке N, а окружность того же радиуса с центром О2 вписана в угол АВС, касается основания ВС в точке М, а первой окружности — в точке D (рис. 1).
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому
улл о az ot sinot 2 ZO2BM = tg— = —-------= -.
2	1 + cos<x 3
Из прямоугольного треугольника ВМО2 находим:
ВМ = О2М  ctgZ.MBO2 = г-ctgy — yr.
з
Аналогично, СУ = ВМ = —г.
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому О^О2 = 2г, значит, MN=OxO2 = 2r, поскольку OXO2MN — прямоугольник. Следовательно,
20 = ВС = ВМ + MN + CN = |г+2г+|г= 5г, откуда находим г = 4.
Пусть теперь окружность радиуса г с центром Ot вписана в угол ВАС и касается боковой стороны АВ в точке Р, вторая окружность радиуса г с центром О2 вписана в угол АВС, касается боковой стороны АВ в точке Q, а также касается первой окружности (рис. 2).
Из прямоугольных треугольников АРО} и BQO2
находим:
АР = OtP-ctgZPAO] = rtgc< = -=-r, J
= O2QctgZQBO2 = rctgy = |r.
Следовательно, аналогично предыдущему случаю,
26 = АВ = AP+PQ+QB = AP+O{O2 + QB = -y-r+2r+|r =
260
откуда находим г =	.
В случае, когда окружности вписаны в углы ВАС и АСВ, получим тот же результат.
Ответ: 4 или
3.	Боковые стороны KL и МУ трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.
Решение.
В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия — полусумме оснований трапеции. В нашем случае полуразность оснований равна 7,5, а полусумма оснований равна 17,5, поэтому основания трапеции равны 10 и 25.
106
Предположим, что LM = 25, KN =10 (рис. 1). Стороны LM и KN треугольников ALM и AKN параллельны, поэтому эти треугольники подобны с 2 коэффициентом k = -=•. Значит,
О
ЛТ KL 40 йк. MN 85
Заметим, что AL2 + LM2 = AM2, поэтому треугольник ALM — прямоугольный с гипотенузой AM. Радиус его вписанной окружности равен:
AL + LM-AM е г =-----2-------5.
Пусть теперь KN = 25, LM = 10 (рис. 2). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника AKN равен 5. Треугольники AKN и ALM подобны с коэф-2
фициентом k — -=•. Значит, радиус вписанной
окружности треугольника ALM равен г = 5 k = 2.
Ответ: 2 или 5.
4.	На прямой, содержащей биссектрису AD прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С, взята точка Е, удалённая от вершины А на расстояние, равное j/261. Найдите площадь треугольника ВСЕ, если ВС = 5, АС = 12.
Решение.
По теореме Пифагора АВ = 13.
Пусть точка Е лежит на луче AD. Биссектриса AD длиннее катета АС, АЕ < АС, поэтому AD длиннее АЕ и точка Е лежит внутри треугольника АВС (рис. 1).
Опустим из точки Е перпендикуляр EF на прямую АС и рассмотрим подобные прямоугольные треугольники AFE и ACD. Точка D делит ВС на отрезки, пропорциональные АВ и АС. Поэтому
пс _ АС-ВС = 12.
АС + АВ 5’
AD = ~\/ АС2 + DC2 = -^--1/26. э
Из подобия треугольников AFE и ACD находим:
ЛГ=^.ЛС=5.
Следовательно, CF = АС - AF = 7. Тогда
Sbce = ±BC-CF = 17,5.
Пусть теперь точка А лежит между Е и D (рис. 2). В этом случае
CF=AC + AF= 17.
Тогда SBCE = у ВС- CF = 42,5.
Рис. 1
Ответ: 17,5 или 42,5.
107
Рис. 1
Рис. 2
5.	Окружности радиусов 2 и 3 с центрами и О2 соответственно касаются в точке А. Прямая, проходящая через точку А, вторично пересекает меньшую окружность в точке В, а большую — в точке С. Найдите площадь треугольника ВСО2, если ХАВО{ = 30°.
Решение.
Точки Ор О2 и А лежат на одной прямой. Поскольку треугольники ВО{А и СО2А равнобедренные,
Z4B0( = ZBAO' = ЛСАО2 = ААСО2 = 30°,
откуда АВ = ЗО^ созЗО0 = 2‘/з’, АС = 2О2Лсоз30° = Зу/З1.
Возможны два случая. Первый случай: окружности касаются внутренним образом (рис. 1), тогда точка В лежит между точками Л и С, откуда ВС = АС- АВ =
_ BCCO2sinZ.BCO2 _ 3|/Т
^всо2 —	2	~ 4
Второй случай: окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка А лежит между точками В и С, ВС = АС + АВ = S'/?.
_ BC CO2 sinZBCO2 _ 15уТ
Ответ:	или 15Д
4	4
б.	Окружности радиусов 4 и 13 с центрами О, и О2 соответственно касаются в точке L. Прямая, проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке К, а большую — в точке М. Найдите площадь треугольника KMOi, если Z.LMO2 = 22,5°.
Решение.
Точки Ор О2 и L лежат на одной прямой. Поскольку тре-
угольники KOxL и MO2L равнобедренные,	----
ZZKOt = ZXZOj = ZM£02 = ЛЬМО2 = 22,5°,
откуда
KL = 2OxLcos22,5° = 8cos22,5°, LM = 2O2L- cos 22,5° = 26 cos 22,5°.
Возможны два случая. Первый случай: окружности касаются внутренним образом (рис. 1), тогда точка К лежит между точками L и М, откуда МК = LM - KL = 18-cos22,5°.
Рис. 1
$кмог ~
MK XOpSinZMKO, _ MK KOX • sinZLKOy
= 36 • cos 22,5° • sin 22,5° = Э/?.
108
Второй случай: окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка L лежит между точками К и М, МК = LM + KL = 34- cos22,5°.
n	MKKO.smZMKO,
SKMOi  -------2-------= 68-cos22,5 sin22,5 =
Ответ: 9д/2" или 17У?.
Рис. 2
7.	Окружности радиусов 13 и 20 с центрами Ох и О2 соответственно касаются внешним образом в точке С, АОХ и ВО2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ХАОхО2 = 60°. Найдите АВ.
Решение.
Точки О,, О2 и С лежат на одной прямой.
Возможны два случая. Первый случай: точки А и В лежат по одну сторону от прямой OtO2 (рис. 1). Отрезок AM параллелен отрезку ОХО2 (точка М принадлежит радиусу ВО2), следовательно, ОХО2МА — параллелограмм:
AM = ОХО2 = 33, О1Л = О2Л/=13, АО2МА = ЛАОхО2 = 60°.
В треугольнике АМВ имеем МВ = 7, AM = 33, ЛАМВ = 120°, откуда
АВ = AM2 + МВ2 - 2-AM-MB-cosZAMB = 37.
Второй случай: точки А и В лежат по разные стороны от прямой О(О2 (рис. 2). Отрезок AM параллелен отрезку ОХО2 (точка М лежит на продолжении радиуса ВО2 за точку О2), следовательно, ОХО2МА — параллелограмм:
АМ=ОХО2 = 33, O,4 = O2A/=13, ZO2MA = Z4OfO2 = 60°.
В треугольнике АМВ имеем МВ = 33, AM = 33, Z.AMB = 60°, значит, треугольник АМВ — правильный, откуда АВ = 33.
Ответ: 33 или 37.
8.	Окружности радиусов 13 и 20 с центрами Oj и О2 соответственно касаются внутренним образом в точке К, МОХ и NO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём Z.M0x02 = 120°. Найдите MN.
Решение.
Точки О], О2 и К лежат на одной прямой.	-------Uy
Возможны два случая. Первый случай: точки М и N лежат по
одну сторону от прямой ОХО2 (рис. 1). Отрезок ML параллелен / f /^\
отрезку ОХО2 (точка L принадлежит радиусу NO2), следователь- |	। / /	]
но, O\O2LM — параллелограмм:	\ у2 °' J
ML =	= 7, ОХМ = O2L = 13,	\ X------------у
£O2LM = АМ0х02 = 120°.
В треугольнике LMN имеем LM = 7, LN = 7, Z.MLN = 60°,
значит, треугольник LMN — правильный, откуда MN =7.	Рис' 1
109
Второй случай: точки М и N лежат по разные стороны от прямой ОХО2 (рис. 2). Отрезок ML параллелен отрезку ОХО2 (точка L лежит на продолжении радиуса NO2 за точку О2>, следовательно, OXO2LM — параллелограмм:
ML = 0t02 = 7, ОХМ = 02L = 13, ZO2LM = ZMOXO2 = 120°.
В треугольнике LMN имеем LM = 7, LN = 33, Z.MLN = 120°, откуда
MN = ]/ LM2 + LN2- 2-LM-LN- cos ZMLN = 37.
Ответ: 7 или 37.
Рис. 2
Задания для самостоятельного решения
1.	В треугольнике АВС известны стороны: АВ = 6, ВС = 7, АС = 9. Окружность, проходящая через точки А и С, пересекает прямые В А и ВС соответственно в точках К и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник АВС. Найдите длину отрезка KL.
2.	Дан треугольник со сторонами 20, 20 и 24. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
3.	Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 7 и 25 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 18. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.
4.	На прямой, содержащей биссектрису AD прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С, взята точка Е, удалённая от вершины А на расстояние, равное ~/Т7. Найдите площадь треугольника ВСЕ, если ВС = 8, АС = 15.
5.	Окружности радиусов 5 и 8 с центрами Ох и О2 соответственно касаются в точке А. Прямая, проходящая через точку А, вторично пересекает меньшую окружность в точке В, а большую — в точке С. Найдите площадь треугольника ВСО2, если ААВОХ = 15°.
6.	Окружности радиусов 9 и 15 с центрами Ох и О2 соответственно касаются в точке L. Прямая, проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке К, а большую — в точке М. Найдите площадь треугольника КМОХ, если Z.LMO2 — 15°.
7.	Окружности радиусов 13 и 35 с центрами Ох и О2 соответственно касаются внешним образом в точке С, ДО, и ВО2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём /ЛОХО2 = 60°. Найдите АВ.
8.	Окружности радиусов 1 и 15 с центрами О, и О2 соответственно касаются внутренним образом в точке К, МОХ и NO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём АМ0х02 = 120°. Найдите MN.
но
6.	АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА
1.	В числе 86 957 205 вычеркнули три цифры так, что получившееся число делится на 60.
а)	Приведите пример какого-нибудь одного получившегося числа.
б)	Укажите все возможные получившиеся числа и докажите, что других таких чисел нет.
Решение.
а)	Например, 69720.
6)	Получившееся число должно делиться на 10. Значит, оно должно заканчиваться на 0, поэтому необходимо вычеркнуть последнюю цифру 5. Заметим, что нельзя вычеркнуть цифру 2, поскольку если её вычеркнуть, то получившееся число будет заканчиваться на 70 или 50 и не будет делиться на 4. Таким образом, число будет заканчиваться на 20, а из оставшихся цифр надо вычеркнуть две так, чтобы получившееся число делилось на 3. Остаток от деления суммы цифр числа 8695720 на 3 равен 1. Значит, надо вычеркнуть две цифры, сумма которых даёт остаток 1 при делении на 3. Такие пары это 8 и 5, 6 и 7, 9 и 7. В результате получаются числа 69720, 89520 и 86520.
Ответ: б) 69720, 89520 и 86520.
2.	Трёхзначное число, большее 500, при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки, а его средняя цифра является средним арифметическим крайних цифр.
а)	Приведите пример какого-нибудь одного такого числа.
б)	Укажите все возможные такие числа и докажите, что других таких чисел нет.
Решение.
а)	Например, 543.
б)	При делении на 6 и 5 число даёт равные ненулевые остатки. Значит, эти остатки могут быть равны только 1, 2, 3 или 4, а число имеет вид 30& + г, где г — остаток от деления на 30, равный 1, 2, 3 или 4. Заметим, что либо три цифры числа имеют одинаковый остаток при делении на 3, либо остатки от деления цифр на 3 попарно различны, поскольку средняя цифра является средним арифметическим крайних. Значит, число делится на 3, и его последняя цифра равна 3.
Заметим, что первая цифра должна быть нечётной, поскольку её сумма с 3 равна удвоенной средней цифры. Зная первую цифру, мы можем найти среднюю. Получается пять вариантов: 123, 333, 543, 753, 963. Числа 123 и 333 меньше 500, а остальные числа удовлетворяют условиям задачи.
Ответ: б) 543, 753 и 963.
3.	Трёхзначное число, большее 800, делится на каждую свою цифру. Все цифры этого числа различны и не равны нулю.
а)	Приведите пример какого-нибудь одного такого числа.
б)	Укажите все возможные такие числа и докажите, что других таких чисел нет.
Решение.
а)	Например, 824.
б)	Первая цифра числа равна 8 или 9. Значит, число должно делиться на 8, если первая цифра равна 8, и должно делиться на 9, если первая цифра равна 9. Такие числа, не содержащие нулей и повторяющихся цифр, следующие: 816, 824, 832, 856, 864, 872, 896, 918, 927, 936, 945, 954, 963. 972 и 981. При этом числа 856 и 954 не делятся на 5, числа 872, 927 и 972 не делятся на 7, числа 918 и 981 не делятся на 8, числа 896 и 963 не делятся на 6, число 832 не делится на 3, а число 945 не делится на 4.
Таким образом, условию задачи удовлетворяют только числа 816, 824, 864 и 936.
Ответ: б) 816, 824, 864 и 936.
111
4.	Пятизначное число делится на 15, а любые две соседние цифры этого числа отличаются на 2. а) Приведите пример какого-нибудь одного такого числа.
б) Укажите все возможные такие числа и докажите, что других таких чисел нет.
Решение.
а)	Например, 42 420.
б)	Число делится на 5, поэтому его последняя цифра это 0 или 5. Далее мы разберём возможности остальных цифр этого числа.
Если последняя цифра — 0, то предпоследняя цифра — 2. В этом случае третья цифра либо 0, либо 4. В случае, если третья цифра — 0, то вторая цифра — 2, а первая — 4. Но число 42 020 не делится на 3. Значит, третья цифра — 4. Тогда вторая цифра — 2 или 6. Среди чисел 42 420, 46 420 и 86 420 только 42 420 делится на 3.
Если последняя цифра — 5, то число может быть равно 13 135, 53 135, 13535, 53535, 57 535, 97 535, 13575, 53575, 57 575, 97 575, 57975 или 97975. Среди этих чисел только 53535, 13575, 97 575 и 57975 делятся на 3 и удовлетворяют условиям задачи.
Ответ: б) 42420, 53535, 13575, 97575 и 57975.
5.	Сумма цифр чётного пятизначного числа равна их произведению.
а)	Приведите пример какого-нибудь одного такого числа.
б)	Укажите все возможные такие числа и докажите, что других таких чисел нет.
Решение.
а)	Например, 51112.
б)	Обозначим цифры числа через a, b, с, d и е. Можно считать, что а < b < с < d < е. Тогда получаем abcde — a + b + c + d + e. Значит, произведение abed не превосходит 5. Разберём возможные случаи.
Если abed = 1, то a = b = c = d— 1. Получаем е - е + 4, чего быть не может.
Если abed — 2, то а = b = с = 1, d — 2. Получаем 2е — е + 5.В этом случае е = 5. Условию задачи удовлетворяют числа 51112, 15 112, И 512 и 11 152.
Если abed — 3, то а = b = с = 1, d = 3. Получаем Зе = е + 6. В этом случае ее = 3. Но из этих цифр нельзя составить чётное число.
Если abed = 4, то либо а = b - с = 1, d = 4, либо a - b = 1, с = d = 2. В первом случае 7
получаем 4е — е + 7, откуда е = Во втором случае получаем 4е = е + 6, откуда е = 2. Условию задачи удовлетворяют числа 11222, 12 122, 21 122, 12 212, 21212 и 22112.
Если abed = 5, то a = b = c= l,d=5. Получаем 5е = е + 8, откуда е = 2, что противоречит условию d < е.
Ответ: б) 51112, 15112, 11512, И 152, 11222, 12 122, 21 122, 12212, 21 212 и 22112.
6.	Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более от
2 общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более — от
общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а)	Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б)	Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в)	Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительных условий пунктов а и б?
Решение.
а)	Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков.
112
б)	Предположим, что мальчиков было И или больше. Тогда девочек было 9 или меньше. Театр посетило не более 4 мальчиков, поскольку если бы их было 5 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше	что больше Аналогично, кино посетило не
5 + 914	13
более 6 мальчиков, поскольку - 7 * * * * - =	> 4, но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни
/ 4- У 10 Э
театра, ни кино, что противоречит условию.
В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 10.
в)	Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.
Пусть в группе тх мальчиков, посетивших театр, ттг2 мальчиков, посетивших кино, и d. девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.
„	4	2
По условию----— < —, — < —
mx + d 13 т2 + а 5
т,	4	т2	'2	тх+т2	\q
значит, -г- < —, -г- < —. Тогда-, поэто-
а	9	а	3	а	9
му доля девочек в группе:
d _	1	>	1	_ 9
mx+m2 + d тх+т2	10 .	19'
Т~+1	9
Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля 9 девочек в группе равна —.
19
Q
Ответ: а) да; б) 10; в) —.
7. Моток верёвки режут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но не больше 120 см. (назовём такие куски стандартными).
а) Некоторый моток верёвки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот же моток верёвки?
б) Найдите такое наименьшее число I, что любой моток верёвки, длина которого больше I см, можно разрезать на стандартные куски.
Решение.
Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.
Рассмотрим моток верёвки длиной х см. Условие того, что его можно разрезать на п стандартных кусков, записывается в виде 115п < х < 120и или 115 <	< 120.
а) В данном случае имеем 115-23 < х < 120-23 (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту верёвку можно разрезать на п стандартных кусков, тогда 115 <	< 120. При п > 24 получаем	< 12^2^ = 115, то есть этот моток верёвки
нельзя разрезать больше чем на 23 стандартных куска.
При п = 23 получаем 115 <	< 120. Значит, эту верёвку можно разрезать на 23 одина-
ковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.
б) Отрезки [115п; 120п] и [115(п + 1); 120(n + 1)], являющиеся решениями неравенств 115и < х < 120п и 115(n+ 1) < х < 120(n + 1), имеют общие точки для всех п, при которых 115(и + 1) < 120и, то есть при п > 23. Значит, любую верёвку длиной 115-23 = 2645 см или более можно разрезать на стандартные куски.
из
Докажем, что верёвку, длина которой х см больше 120-22 = 2640 см, но меньше 115 -23 = 2645 см, нельзя разрезать на п стандартных кусков ни для какого п. При п > 23 получаем х< 115-23 < 115и, что противоречит условию 115п < х. При п < 22 получаем х > 120-22 > 120и, что противоречит условию х < 120и. Таким образом, искомое число равно 2645.
Ответ: а) 23; б) 2645.
8.	Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, —2, —3, 4, —5, 7, -8, 9. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, —2, —3, 4, —5, 7, —8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а)	Может ли в результате получиться 0?
б)	Может ли в результате получиться 1?
в)	Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Решение.
а)	Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю.
б)	Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1.
в)	Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4.
Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1;-2), (-2; 1), (-3; 4), (4;-3), (-5; 7), (7;-5), (-8; 9), (9;-8).
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.
9.	Максим должен был умножить двузначное число на трёхзначное число (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трёхзначное число справа к двузначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз (N — натуральное число) больше правильного результата.
а)	Могло ли N равняться 2?
б)	Могло ли N равняться 10?-
в)	Каково наибольшее возможное значение N?
Решение.
Обозначим двузначное число а, а трёхзначное — Ь.
а)	Для чисел 63 и 504 условие выполняется:
63504 = 2-63-504.
б)	Пусть N = 10. Тогда выполняется равенство Юаб — 1000а + Ь, откуда получаем: 1000а = 6(10а - 1). Числа 1000 и 10а — 1 не имеют общих делителей, значит, число b должно делиться на 1000, но оно меньше 1000. Полученное противоречие доказывает, что N не может равняться 10.
в)	По условию Nab = 1000а + Ь, откуда получаем:
v_ 1000а+ 6 _ 1000	1	1000	. _ ..
ab	b	а	100
Поскольку N 10 и N < И, получаем, что наибольшее возможное значение N не превосходит 9.
Для чисел 14 и 112 условие выполняется:
•14112 = 9-14-112.
Таким образом, наибольшее возможное значение N — это 9.
Ответ: а) да; б) нет; в) 9.
114
10.	На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а)	Могли ли все полученные разности быть не меньше И?
б)	Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в)	Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
Решение.
а)	При любой расстановке разность числа Ии любого соседнего с ним числа меньше 11. Значит, всегда найдутся хотя бы две разности меньше И.
б)	Например, для расстановки 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, И все разности не меньше 10.
в)	Оценим значение k. Рассмотрим числа от 1 до 7. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то найдётся разность меньше 7. Иначе они стоят через два, поскольку всего чисел 21. В этом случае число 8 стоит рядом или через одно с каким-то числом от 2 до 7 и найдется разность меньше 7.
Таким образом, всегда найдётся разность меньше 7. Все разности могут быть не меньше 6. Например, для расстановки 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, И, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 все разности не меньше 6.
Ответ: а) нет; б) да; в) 6.
11.	Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
а)	Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, 1 о равняться — ?
Ov
б)	Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, 1 о равняться -=•?
03
в)	Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
Решение.
Обозначим рейтинг кинофильма, вычисленный по старой системе оценивания, через А, а рейтинг кинофильма, вычисленный по новой системе оценивания, через В.
а)	Заметим, что А = -у, В = где т и п — некоторые натуральные числа. Значит,
А — В =	— у- =	. Если А — В = то 5т — 7п = что невозможно. Таким обра-
7	5	35	30	30
зом, разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, не может равняться
б)	Например, для оценок экспертов 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равна
0 + 1	+2 +	4 +	7 + 84-9	_	1	+	2 + 4 +	7	+ 8	=	31 _ 22	=	_1_
7	5	7 5	35'
в)	Пусть х — наименьшая из оценок, z — наибольшая, а у — сумма остальных пяти оценок. Тогда л _ о _ х + у +	г	у	_	5х - 2у +	5г	<	5х + 5г - 2 ((х +	1) + (х + 2) + ... + (х + 5)) _
7	5	“	35	35
- 5г - 5х - 30	5 10-5 0-30 _ £
35	35	7'
115
4 „	<
Для оценок экспертов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10 разность А — В равна Значит, наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, 4 равно
Ответ: а) нет; б) да; в) у.
12.	Из 40 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5,..., 79 выбрали 7 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть А — четвёртое по величине среди этих чисел, а В — среднее арифметическое выбранных семи чисел.
а)	Может ли В — А равняться у?
б)	Может ли В — А равняться у?
в)	Найдите наибольшее возможное значение В — А.
Решение.
а)	Например, для чисел 1, 3, 5, 7, 9, И, 15 разность В — А равна
1+3 + 5 + 7 + 9+11 + 15 _у _ 51 _у _ 2_
7	“ 7	“ 7’
б)	Пусть выбраны числа ах, а2, ... , а7. Тогда
о л а1 + а2 + а3 - 6а4 + а5 + а6 + а7 В-А =---------------.
3 Заметим, что числитель этой дроби — чётное число. Значит, В — А не может равняться —.
I
в)	Представим выбранные числа в виде А — с17 А - с2, А - с3, А, А + dx, А + d2, А + d3, где сх > с2 > с3 > 0 и 0 < dx < d2 < d3. Заметим, что числа сх, с2, с3, dx, d2, d3 — чётные, поэтому ci + с2 + сз > ^ + 4 + 2 = 12. Поскольку а4 > 7 и а7 С 79, получаем:
dx + d2 + d3 < 68 + 70 + 72 = 210.
Значит,
(dx + d2 + d3)-(cx + c2 + c3)	210-12	198
B-A =-------------------------
Для чисел 1, 3, 5, 7, 75, 77, 79 разность В —А равна -у^-. Значит, наибольшее возможное значение В - А равно -у^-.
198
Ответ: а) да; б) нет; в) -у-.
13.	На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно, а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 29?
б)	Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в)	На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 7. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Решение.
а)	Если рейтинг футболиста на сайте равен 29, то доля голосов, отданных за него, находится в границах от 0,285 до 0,295. Поскольку всего проголосовало 13 посетителей сайта, получаем,
116
13N < 200Л < 15М
13N+ 187 < 200# < 15У.
13W+ 187 < 200# < 15W+ 185;
что количество голосов, отданных за этого футболиста, не меньше 13-0,285 = 3,705, но меньше 13 -0,295 = 3,835. Это противоречит целочисленности количества отданных голосов.
б)	Например, если за одного футболиста было отдано три голоса, а за остальных двух по 3	2
два голоса, то доли голосов, отданных за этих футболистов, равны у = 0,428... и у = 0,285... соответственно. Значит, их рейтинги равны 43, 29 и 29 соответственно. Сумма этих чисел превосходит 100.
в)	Пусть проголосовало N посетителей сайта, включая Васю, среди которых k предпочли того же футболиста, что и Вася. Условие задачи выполняется тогда и только тогда, когда N и k удовлетворяют системе неравенств
' 6,5 < k_	7,5
100	N	100’
6,5	k-1	7,5	.
100	N- 1	100’
Значит, 13У+ 187 < 15W; W > 94.
Пусть N = 94 + х, где х — неотрицательное целое число. Тогда
1409 + 13х < 200# < 1410 + 15х.
Имеем k > 8, поэтому 1600 < 1410 + 15х; х > 13; N. = 94 +х > 107.
Для чисел W-107 и # = 8 выполнено условие задачи. Значит, наименьшее число, удовлетворяющее условию задачи, — это 107.
Ответ: а) нет; б) да; в) 107.
14.	На сайте проводится опрос, кого из 146 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, И и 13 соответственно, а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 31.
Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 30?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
Решение.
а)	Если рейтинг футболиста на сайте равен 31, то доля голосов, отданных за него, находится в границах от 0,305 до 0,315. Поскольку всего проголосовало 13 посетителей сайта, получаем, что количество голосов, отданных за этого футболиста, не меньше 13-0,305 = 3,965, но меньше 13-0,315 = 4,095, то есть равно 4. После того, как Вася проголосовал, доля голосов за первого футболиста стала равна = 0,285... Значит, его рейтинг стал равен 29.
б)	Пусть за 145 футболистов было отдано по одному голосу, а за оставшегося — 55. В этом случае 145 футболистов имеют рейтинг 1, а последний — 28; сумма рейтингов равна 173. Если Вася отдаст свой голос за последнего футболиста, то его рейтинг останется равным 28, а рейтинги всех остальных футболистов станут равны 0. В этом случае сумма рейтингов станет равна 28, то есть уменьшится на 145.
в)	Заметим, что для каждого из 146 футболистов доля отданных за него голосов, выраженная в процентах, отличается от рейтинга не более чем на 0,5. Поэтому сумма рейтингов всех футболистов отличается от 100 не более чем на 0,5-146 = 73. В частности, эта сумма не может превосходить 173.
Пример, приведённый в предыдущем пункте, показывает, что сумма рейтингов может равняться 173. Значит, наибольшее значение суммы рейтингов всех футболистов — это 173.
Ответ: а) 29; б) да; в) 173.
117
15.	Про некоторый набор, состоящий из И различных натуральных чисел, известно, что сумма любых двух различных чисел этого набора меньше суммы любых трёх различных чисел этого набора.
а)	Может ли одним из этих чисел быть число 3000?
б)	Может ли одним из этих чисел быть число 16?
в)	Какое наименьшее возможное значение может принимать сумма чисел такого набора?
Решение.
а)	Например, набор чисел 3000, 3001, 3002, ... , ЗОЮ содержит число 3000 и удовлетворяет условию задачи.
б)	Занумеруем числа в порядке возрастания: йп й2, ..., йп. Если среди этих чисел есть число 16, то выполнены неравенства ах <16, а2 + 8 < а10, й3 + 8 < йп. Складывая эти неравенства, получаем:
+ а2 + 8 + й3 + 8 < 16 + Лю + йц! й] + й2 + й3 < й]ц + йц.
Последнее полученное неравенство противоречит условию задачи. Значит, среди чисел нет числа 16.
в)	Аналогично предыдущему пункту можно показать, что в наборе нет чисел, меньших 17. Следовательно, 17, 18, ... , 27 — это наименьшие возможные значения первого, второго, ... , одиннадцатого чисел из набора.
Рассмотрим набор 17, 18, ... , 27. Сумма любых трёх чисел этого набора не меньше 17 + 18+19 = 54, а сумма любых двух не превосходит 26 + 27 = 53. Значит, этот набор удовлетворяет условию и имеет наименьшую сумму чисел среди таких наборов. Эта сумма равна 242.
Ответ: а) да; б) нет; в) 242.
16.	Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Если какое-то число п, выписанное на доске, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число п, а остальные числа, равные п, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а)	Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 6,9,12,15. б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, И, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 8, 9, 10, 17, 18, 19, 20, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 47.
Решение.
а) Для задуманных чисел 3, 3, 3, 3, 3 на доске будет записан набор 3, 6, 9, 12, 15.
б)	Поскольку задуманные числа натуральные, наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 23 — 1 = 22. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.
в)	Число 8 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуман-47	г
ных чисел не превосходит целой части числа —, то есть 5.
О
Кроме того, числа 9 и 10 меньше, чем сумма двух восьмёрок, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 47 — 8 — 9 — 10 = 20. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 8, оставшиеся задуманные числа — это 10 и 10 или 20 (если бы 20 получалось как 8+12 или 9 + И, то были бы выписаны числа 12 или 11, но их нет).
Для задуманных чисел 8, 9, 10, 10, 10 и 8, 9, 10, 20 на доске будет записан набор, данный в условии.
Ответ: а) 3, 3, 3, 3, 3; б) нет; в) 8, 9, 10, 10, 10 или 8, 9, 10, 20.
118
17.	Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а)	На доске выписан набор —9, —6, —4, —3, —1, 2, 5. Какие числа были задуманы?
б)	Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число О встречается ровно 5 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в)	Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Решение.
а)	Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 положительных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх положительных чисел. Значит, положительное число одно, и это число — наибольшее число в наборе, то есть 5. Наименьшее число в наборе -9 является суммой двух отрицательных задуманных чисел. Из отрицательных выписанных чисел только —6 и —3 дают в сумме —9. Значит, были задуманы числа —6, —3 и 5.
б)	Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2А + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.
Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы; три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.
Аналогично, если было задумано не более трёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более одного нуля. Значит, если было задумано не более четырёх различных чисел, среди которых есть нуль, то на доске окажется не более трёх нулей.
Если были задуманы числа —3; 0; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно пять нулей. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.
в)	Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел —3, 1, 2 и -2, —1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор —3, -2, —1, 0, 1, 2, 3.
Ответ: а) —6, -3, 5; б) 5; в) нет.
18.	По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.
а)	Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?
б)	Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?
в)	Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?
Решение.
а)	Да, могло. Например, если числа записаны в порядке 9, 16, 15, 14, 13, 12, И, 18, 17, 10.
б)	Всего по кругу записано 10 чисел. Для каждой пары соседних чисел мы ищем наибольший общий делитель, следовательно, получим 10 наибольших общих делителей. Если они все попарно различны, то хотя бы один из них не меньше 10. Но такого быть не может, так как для данных чисел наибольший из всевозможных .наибольших общих делителей есть НОД(18, 9) = 9.
119
в)	Числа И, 13 и 17 являются простыми, наибольшие общие делители этих чисел со всеми остальными числами равняются 1. Каждое из чисел имеет двух соседей, следовательно, хотя бы два числа из этих трёх будут иметь по крайней мере одного соседа, отличного от этих трёх чисел. Таким образом, хотя бы четыре из всех наибольших общих делителей будут равняться 1, то есть совпадать. Следовательно, не может быть больше, чем семь попарно различных наибольших общих делителей, поскольку всего их десять, причем четыре совпадают. Для расстановки 9, 18, 12, 16, 14, 13, И, 17, 10, 15 получается ровно 7 попарно различных наибольших общих делителей.
Ответ: а) да; б) нет; в) 7.
19.	а) Приведите пример такого натурального числа п, что числа п2 и (п + 24)2 дают одинаковый остаток при делении на 100.
б)	Сколько существует трёхзначных чисел п с указанным в пункте а) свойством?
в)	Сколько существует двузначных чисел т, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел п, таких, что п2 и (п + т)2 дают одинаковый остаток при делении на 100?
Решение.
а)	Например, п = 13. Имеем 132 = 169, (13 + 24)2 = 372 = 1369. Эти числа дают остаток 69 при делении на 100.
б)	Пусть п2 и (п + 24)2 дают одинаковый остаток при делении на 100. Тогда число (тг + 24)2 - п2 = 24(2и + 24) = 48(п + 12) должно делиться на 100. Это будет выполнено тогда и только тогда, когда п + 12 делится на 25. Значит, все искомые п имеют вид п — 25р +13, где р — натуральное число, и удовлетворяют неравенствам 100 < п < 1000. Решая неравенства 13	13
относительно р, получаем 4 — —<р<40 — —, р = 4, 5, ... , 39 — ровно 36 различных решений, каждому из которых соответствует единственное искомое число п.
в)	Пусть п2 и (и + т)2 дают одинаковый остаток при делении на 100. Тогда число (п + т)2 — п2 — т(2п + т) должно делиться на 100. Наибольший общий делитель d чисел т и 100 может равняться 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25 или 50. Чтобы т(2п + т) делилось на 100 необходимо и достаточно, чтобы число 2п + т делилось на а
Если d — 1, 5 или 25, то т нечётно и таких п не существует. Если т чётно, то для некоторого натурального k имеем т = 2k и условию удовлетворяют те и только те трёхзначные п, для которых 2(п + k) делится на
При d = 2 и d = 4 таких п существует ровно 36, так как подходящими будут те и только те п, при которых п + k делится на 25 (решение аналогично решению из пункта б). При (7=10, d = 20, d = 50 таких чисел п будет существенно больше, так как подойдут все трёхзначные числа, для которых п + k делится на 10. Значит, условию задачи удовлетворяют чётные двузначные числа т, не кратные 5. Так как чётных двузначных чисел существует 45 и 9 из них кратно 5, то подходящих чисел т существует ровно 36.
Ответ: а) например, 13; б) 36; в) 36.
20.	а) Чему равно число способов записать число 1193 в виде
1193 = а3-103 + а2-102 + ах-10 + а0,
где числа а, — целые, 0 < а, < 99, г = 0; 1; 2; 3?
б)	Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде N = а3-103 + а2-Ю2 + ах-10 + а0, где числа а, — целые, 0 < а, < 99, i = 0; 1; 2; 3 ровно 120 способами?
в)	Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде W = а3-103 + а2- Ю2 + ах • 10 + а0, где числа а, — целые, 0 < а, < 99, i — 0; 1; 2; 3 ровно 120 способами?
120
Решение.
Каждое число 0 < а, < 99 однозначно представляется в виде а, = 106; + с,, где 0 <	< 9
и 0 < с,< 9 (г = 0; 1; 2; 3). Значит, для каждого представления некоторого числа N в виде N = а3-103 + а2-102 + ах-10 + а0 имеет место единственное представление N в виде W = 10п + т, где п = b3 -103 + b2-102 +  10 + Ьо и т = с3-103 + с2 -102 + q • 10 + с0 — произвольные целые числа от 0 до 9999. Число способов записать число N в виде У = а3 • 103 + а2 • 102 + «1 • 10 + а0 равно числу способов записать число N в виде W = Юл + т.
а)	Для представления числа 1193 в виде 1193 = 10п + т в качестве п можно взять любое целое число от 0 до 119. При этом т = 1193— Юл определено однозначно. Таким образом, искомое число способов равно 120.
б)	Повторяя рассуждения предыдущего пункта, несложно показать, что каждое из чисел от 1190 до 1199 представимо в требуемом виде ровно 120 способами.
в)	Рассмотрим представление некоторого числа N в виде N = Юл + т, где пит — некоторые целые числа от 0 до 9999. Представим т в виде т = ЮА + /, где I — цифра единиц числа т, a k — некоторое целое число от 0 до 999. Тогда выполнено:
У = Юп + 106 +/; W-/=10(n + 6); ~+ = n + k.
Найдём все числа К, представимые ровно 120 способами в виде К = л + k, где л — некоторое целое число от 0 до 9999, a k — некоторое целое число от 0 до 999.
Пусть для некоторого числа К представления К = пх + kx и К = п2 + k2 таковы, что пх — наименьшее возможное л, а л2 — наибольшее возможное л. Тогда пх — 0 или kx = К — п} = 999, иначе бы было представление К = (п} — 1) + (6] + 1). Аналогично, л2 = 9999 или k2 = К — л2 = 0.
Заметим, что для любого целого л0 такого, что пх < л0 < л2, имеется представление К = л0 + 60, поскольку 0 < л: < л0 < л2 < 9999, 0 < k2 < k0 <	< 999. Таким образом, коли-
чество представлений равно л2 — пх + 1. Если л, = 0; л2 = 9999 или kx = 999, k2 = 0, то представлений больше. Значит, или пх = 0; л2 = 119; k2 — 0; К — 119; N = 1190 + /, или л2 - 9999; Л] = 9880; k} = 999; К = 10879; W = 108790 + /, где I — произвольная цифра. Таким образом, искомое количество чисел равно 20.
Ответ: а) 120; б) да; в) 20.
Задания для самостоятельного решения
1.	В числе 30239545 вычеркнули три цифры так, что получившееся число делится на 22.
а)	Приведите пример какого-нибудь одного получившегося числа.
б)	Укажите все возможные получившиеся числа и докажите, что других таких чисел нет.
2.	Натуральное трёхзначное число при делении на 16 и на 5 даёт равные ненулевые остатки, а его первая цифра слева является средним арифметическим двух других цифр.
а)	Приведите пример какого-нибудь одного такого числа.
б)	Укажите все возможные такие числа и докажите, что других таких чисел нет.
3. Натуральное число, большее 2200, но меньшее 3000, делится на каждую свою цифру. Все цифры этого числа различны и не равны нулю.
а) Приведите пример какого-нибудь одного такого числа.
б) Укажите все возможные такие числа и докажите, что других таких чисел нет.
121
4.	Пятизначное число делится на 22, а любые две соседние цифры этого числа отличаются на 3. а) Приведите пример какого-нибудь одного такого числа.
б)	Укажите все возможные такие числа и докажите, что других таких чисел нет.
5.	Сумма цифр чётного трёхзначного числа на 1 меньше их произведения.
а)	Приведите пример какого-нибудь одного такого числа.
б)	Укажите все возможные такие числа и докажите, что других таких чисел нет.
6.	Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более от и
общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более
от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а)	Могло ли быть в группе И мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 22 учащихся?
б)	Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 22 учащихся?
в)	Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительных условий пунктов а и б?
7.	Моток верёвки режут без остатка на куски длиной не меньше 75 см, но не больше 80 см (назовём такие куски стандартными).
а)	Некоторый моток верёвки разрезали на 15 стандартных кусков, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот же моток верёвки?
б)	Найдите такое наименьшее число I, что любой моток верёвки, длина которого больше I см, можно разрезать на стандартные куски.
8.	Имеется 10 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, —5, 6, 7, -9, 10, -11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, —2, —3, 4, —5, 6, 7, —9, 10, —И. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.
а)	Может ли в результате получиться 0?
б)	Может ли в результате получиться 1?
в)	Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
9.	Максим должен был перемножить два двузначных числа (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал одно из чисел справа к другому, получив четырёхзначное число, которое оказалось в N раз (N — натуральное число) больше правильного результата, а) Могло ли N равняться 2?
б)	Могло ли N равняться 10?
в)	Каково наибольшее возможное значение N?
10.	На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 27 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а)	Могли ли все полученные разности быть не меньше 14?
б)	Могли ли все полученные разности быть не меньше 13?
в)	Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
122
11.	Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 1 до 15 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
а)	Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, 2 ~ равняться — ?
б)	Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, 2 о равняться -^-?
в)	Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
12.	Из 25 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5,..., 49 выбрали 9 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть А — пятое по величине среди этих чисел, а В — среднее арифметическое выбранных девяти чисел.
а)	Может ли В - А равняться
2
б)	Может ли В - А равняться — ?
в)	Найдите наибольшее возможное значение В — А.
13.	На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, И и 13 соответственно.
а)	Всего проголосовало 15 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 41?
б)	Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?
в)	На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 3. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
14.	На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, И и 13 соответственно.
а)	Всего проголосовало 15 посетителей сайта, и рейтинг некоторого футболиста был равен 47. Увидев это, Вася отдал свой голос за этого футболиста. Чему теперь равен рейтинг этого футболиста?
б)	Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть меньше 100?
в)	На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 6. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста, его рейтинг на сайте стал равен 8. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
15.	Про некоторый набор, состоящий из 15 различных натуральных чисел, известно, что сумма любых двух различных чисел этого набора меньше суммы любых трёх различных чисел этого набора.
а)	Может ли одним из этих чисел быть число 2015?
б)	Может ли одним из этих чисел быть число 24?
в)	Какое наименьшее возможное значение может принимать сумма чисел такого набора?
123
16.	Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число п, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число п, а остальные числа, равные п, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а)	Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
б)	Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, И, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 22?
в)	Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 5, 6, 8, 10. И, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 29.
X
17.	Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а)	На доске выписан набор —3, -1, 1, 2, 3, 4, 6. Какие числа были задуманы?
б)	Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 5 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в)	Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
18.	По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 10 до 21. Для каждой из двенадцати пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.
а)	Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?
б)	Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?
в)	Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?
19.	а) Приведите пример такого натурального числа п, что числа п2 и (и + 16)2 дают одинаковый остаток при делении на 200.
б)	Сколько существует трёхзначных чисел п с указанным в пункте а) свойством?
в)	Сколько существует двузначных чисел т, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел п, таких, что п2 и (п + т)2 дают одинаковый остаток при делении на 200?
20.	а) Чему равно число способов записать число 1595 в виде
1595 = а3-103 + а2-102 +  10 + а0, где числа а, - целые, 0 < а, < 99, i = 0; 1; 2; 3?
б)	Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде N = а3-103 + а2- Ю2 + а{-10 + а0, где числа а, - целые, 0 < а, < 99, i = 0; 1; 2; 3, ровно 160 способами?
в)	Сколько существует чисел таких, что их можно представить в виде N = а3-103 + а2-102 + а,• 10 + а0, где числа а, — целые, 0 < а, < 99, i = 0; 1; 2; 3, ровно 160 способами?
124
7.	ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
1.	В июле планируется взять кредит на сумму 6409000 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был. полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение.
Пусть сумма кредита составляет 5= 6 409 000 рублей, а ежегодные выплаты х рублей. По условию долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:
5, -|-5 - х, 5 - (^х + х) = 0, о	\ о /	\ о / •
Ш 5	92-6409000	004-7	<
откуда х =	— = -—---------= 3817 125 руб.
1 /	1 / • о
8	-
Ответ: 3817 125 руб.
2.	В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
—	каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.
Сколько млн рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?
Решение.
Пусть сумма кредита составляет 5 млн рублей, а ежегодные выплаты х = 2,16 млн рублей. По условию долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:
5, 1,25-х, 1,225-(1,2х + х), 1,235-(1,22х+ 1,2х + х) = О,
откуда 5 = (1’2 ~1)х =	= 4,55 млн рублей.
1,23(1,2-1)	1728 0,2
Ответ: 4,55 млн руб.
3.	В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:
—	каждый январь долг возрастает на г % по сравнению с концом предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
Найдите число г, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 55000 рублей, а во второй год — 69000 рублей.
Решение.
Пусть k = 1 + По условию долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:
100000, (1000006 - 55000), Ю000062 - 550006 - 69000 = 0,
откуда 10062 - 556 - 69 = 0. Решая квадратное уравнение, получаем 6 = 1,15 или 6 = -0,6. Последнее решение не удовлетворяет условию задачи. Значит, г = 15.
Ответ: 15.
125
4.	В июле планируется взять кредит на сумму 5 005 000 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?
Решение.
Пусть сумма кредита составляет 5=5 005 000 рублей, ежегодные выплаты в случае погашения кредита за 3 года составляют х рублей, а в случае погашения кредита за 2 года — у рублей. По условию долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:
5, 1,25 — х, 1,225-(1,2х + х), 1,235- (1,22х+ 1,2х + х) = 0,
1,23 (1,2 - 1)5	1728 0,2-5 005 000	OO7cnnn , „ D
откуда х = ——--------— =--------=^------= 2376000 рублей. В этом случае придется
1,2-1	728
отдать 7 128000 рублей.
Если отдавать погасить кредит двумя равными платежами, то долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:
5, 1,25—г/, 1,225-(1,2г/+ г/) = 0,
1,22 5	1,44-5005000
откуда у =	---= 3276000 рублей. В этом случае придется отдать
6 552 000 рублей, то есть на 576000 рублей меньше, чем в предыдущем случае.
Ответ: 576000 руб.
5.	В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на т% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
Найдите число г, если известно, что если каждый год выплачивать по 1464100 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 2674100 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года.
Решение.
Пусть k = 1 + сумма кредита составляет 5 рублей, ежегодные выплаты в случае погашения кредита за 4 года составляют х = 1464 100 рублей, а в случае погашения кредита за 2 года — у = 2674 100 рублей. По условию долг перед банком (в рублях) в случае погашения долга за 4 года по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:
5, kS - х, k2S-(kx + x), k3 S - (k2x + kx + х), kA 5 - (k3x + k2x + kx + x) - 0,
c (A;4 - 1 )x
откуда 5 = FoH)'
Если отдавать кредит двумя равными платежами, то долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:
5, kS-у, k'2S — (ky + у) — 0,
откуда 5 = t рублей. Таким образом, получаем к
k2x + x = k2 у\ k2 =	= 1,21; k = 1,1; г = 10.
у-х
Ответ: 10.
(k4 - 1)х (k + 1)у = ’ откуда
126
б.	В июле планируется взять кредит на сумму 1300000 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На какое минимальное количество лет можно взять кредит при условии того, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 000 рублей?
Решение.
Посмотрим, каким образом, будет изменяться долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль, если ежегодно платить по 350 000 рублей:
1300000, 1080000, 838000, 571800, 278980, то есть пятым платежом, равным 306878 рублей, кредит будет полностью погашен.
Ответ: 5.
7.	15 июля планируется взять кредит на сумму 900000 рублей. Условия его возврата таковы: — 31-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить некоторую часть долга.
На какое минимальное количество месяцев можно взять кредит при условии того, чтобы ежемесячные выплаты были не более 100000 рублей?
Решение.
Заметим, что меньше, чем за 10 месяцев погасить не удастся, поскольку за 9 месяцев суммарно будет выплачено не более 900 000 рублей, что покроет первоначальную сумму долга, но не покроет процентов. Будем считать, что долг на 15-е число каждого месяца уменьшается по сравнению с предыдущим месяцем. За 10 месяцев долг составит не более, чем 1,0110  900 000 < 995000 рублей, то есть возрастёт не более, чем на 95000 рублей, а, значит, десятый платёж полностью погасит кредит.
Ответ: 10.
8.	В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
—	каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?
Решение.
По условию долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:
5, 4,5, 4, ... , 1, 0,5, 0.
По условию каждый январь долг возрастает на 20%. Значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:
6, 5,4, ... , 1,2, 0,6.
Таким образом, первый платёж должен уменьшить долг с 6 млн рублей до 4,5 млн рублей, то есть он составит 1,5 млн рублей, и так далее.
Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:
1,5, 1,4, ... , 0,7, 0,6.
Всего следует выплатить 1,5 + 1,4 + ... + 0,7 + 0,6 = 1022,1 (млн рублей).
Ответ: 10,5.
127
9.	В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:
—	каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
—	в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1,8 млн руб.?
Решение.
Пусть кредит взят на п лет. По условию долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:
6 6(я-1)> j 62, 6 0 п ’	’ п ' п’
По условию каждый январь долг возрастает на 20%. Значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:
7 9 7,2 (п - 1)	7,2 2 7,2
п ’ п ’ п
Следовательно, наибольшая выплата составляет 7,2 - 6(ZLzll = 1,2 + —. Получаем, п	п
1,2 + < 1,8, откуда п > 10.
Ответ: 10.
10.	В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
—	каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
—	в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?
Решение.
Пусть кредит планируется взять на п лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:
16 16(n- 1)	16-2	16 q
п ’ п ’ п
По условию, каждый январь долг возрастает на 25%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:
20 20(n- 1)	20-2 20
’ п ’	’ п ’ п
Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:
4 + 16 4(п — 1) + 16	4-2 + 16 4 + 16
п ' п ’ ••• ’ п ’ п
Всего следует выплатить
16 + 4	~ 1 + ... + -1 +	= 16 + 2{п + 1) (млн рублей).
Общая сумма выплат равна 38 млн рублей, поэтому п = 10.
Ответ: 10.
128
11.	В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
—	каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
—	в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит 9 млн рублей?
Решение.
Пусть кредит планируется взять на п лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:
28 28<”~ D 28 2 28 ’ п	п ’ п
По условию, каждый январь долг возрастает на 25%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:
35 35(n- 1)	35-2 35
’ п ’	’ п ’ п
Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:
7 + 28 7(т? — 1) + 28	7-2 + 28 7 + 28
п ’ п ’	’ п ’ п ‘
28
Получаем: 7 + — = 9, откуда п = 14. Значит, всего следует выплатить
28 + 7^1 +Ц + ... +А +	= 28 + 7~ = 80,5 (млн рублей).
Ответ: 80,5 млн рублей.
12.	15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на г% по сравнению с концом предыдущего месяца;
—	со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—	15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите г.
Решение.
Пусть сумма кредита равна 5. По условию, долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля равномерно:
~ 185	25	5 0
’ 19 ’	’ 19’ 19’ '
Первого числа каждого месяца долг возрастает на г%. Пусть k = 1 + -у^-, тогда последовательность размеров долга на 1-ое число каждого месяца такова:
\8kS 2kS kS_ ’	19 ’	’ 19 ’ 19’
Следовательно, выплаты должны быть следующими:
(Ь ПС, -5	18(6-1)5 + 5	2(6-1)5 + 5 (6-1)5 + 5
1)Л + 19’	19	’ - ’	19	’	19	'
Всего следует выплатить
5+ S(k -1)(1++... + А + -L) = 5(1 +10(*- 1)).
Общая сумма выплат на 30% больше суммы, взятой в кредит, поэтому
10(Л—1) = 0,3; k = 1,03; г = 3.
Ответ: 3.
129
13.	Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь увеличить сумму налоговых поступлений, увеличило налог вдвое (до t( = 2i0), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после этого, чтобы добиться максимальных налоговых сборов, если известно, что при налоге равном t рублей за единицу товара объём производства товара составляет 10000 — 2t единиц, если это число положительно?
Решение.
Заметим, что налоговые сборы составляют f(t) = £(10000 — 2t) = 10 000t—2i2 рублей при t < 5000. Графиком функции у = f(t) является парабола, ветви которой направлены вниз. При 3t
этом /(t0) = /(2t0), значит, функция /(£) достигает своего максимума при t = Поскольку
3?р
2
составляет 75% от 2г0, государству следует понизить налог на 25%.
Ответ: 25.
14.	Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5000000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Решение.
Допустим, что на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся х2 часов, а на заводе, расположенном во втором городе, у2 часов. Тогда в неделю будет произведено Зх + 4г/ единиц товара, а затраты на оплату труда составят 500(х2 + г/2) рублей. В этом случае нужно найти наибольшее значение Q — Зх + 4у при условии 500(х2 + у2) = 5 000000.
Выразим у через х\
х2 + у2 - 10000; у2 = 10000 -х2; у =-/10000-х2'.
Значит, нам нужно найти наибольшее значение функции Q(x) = Зх + 4]/10 000 — х2 при 0 < х < 100. Для этого найдем производную функции Q(x):
Q'(x) = 3 -  —z.
/10000-х2'
Найдем точки экстремума:
(У(х) = 0; 3 = 4х ;
/10000-х2
3^/10 000-х2' = 4х; 90 000 - 9х2 = 16х2; х2 = 3600,
то есть х = 60 — единственная точка экстремума, удовлетворяющая условию 0 < х < 100. Найдем значения функции в найденной точке и на концах отрезка:
(2(60) = 500, Q(100) = 300, Q(0) = 400.
Наибольшее значение Q(x) равно 500, значит, наибольшее количество единиц товара равно 500.
Ответ: 500.
130
15.	Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5х2 + х + 7 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит рх — (0,5х2 + х + 7). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более чем за 3 года?
Решение.
Прибыль фирмы (в млн рублей) за один год выражается как
рх - (0,5х2 + х+ 7) = -0,5х2 + (р- 1)х — 7.
Это выражение является квадратным трехчленом и достигает своего наибольшего значения при х = р — 1. Наибольшее значение равно — 7. Строительство завода окупится не более чем за 3 года, если
7	(р-1)2>64; (р - 9)(р + 7) > О,
то есть при р > 9, поскольку цена продукции не может быть отрицательной. Таким образом, наименьшее значение р = 9.
Ответ: 9.
16.	В начале 2015 года Алексей приобрёл ценную бумагу за 20000 рублей. В конце каждого года стоимость бумаги возрастает на 3000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
Решение.
Заметим, что Алексей должен продать ценную бумагу в начале того года, на который 10% от имеющейся на счёте суммы превысит 3000 рублей, поскольку в этом случае доход от денег на счёте будет превосходить доход от ценной бумаги. Это произойдёт, когда стоимость бумаги превзойдёт = 30 000 (рублей). Это случится через 4 года после покупки ценной бумаги.
Таким образом, надо продать бумагу в начале 2019 года.
Ответ: 2019.
17.	У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 200 ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором — 300 ц/га.
Фермер может продавать картофель по цене 5000 рублей за центнер, а свеклу — по цене 6000 рублей за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
Решение.
Заметим, что на первом поле с одного гектара можно собрать либо 300 центнеров картофеля и получить 150000 рублей, либо 200 центнеров свеклы и получить 120000 рублей. Таким образом, нужно всё первое поле отдать под картофель. На втором поле с одного гектара можно собрать либо 200 центнеров картофеля и получить 100000 рублей, либо 300 центнеров свеклы и получить 180000 рублей. Поэтому второе поле нужно целиком отдать под свеклу.
В этом случае фермер сможет заработать 10-300-5000+ 10 -300-6000 = 33000000 (рублей).
Ответ: 33 млн рублей.
131
18.	В двух областях есть по 1000 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи Юх кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов труда, а для добычи 10у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?
Решение.
Поскольку не важно, какой металл добывать, а важно добытое количество, то в первой области нужно добывать только алюминий, потому что за час работы рабочие добывают его больше. Таким образом, в первой области будет добываться 1000 кг алюминия в день.
Во второй области можно добыть Юх кг алюминия и Юг/ кг никеля, причём х2 + у2 = 5000. При этом условии выражение Юх+Юу достигнет наибольшего значения, если х = у = 50. Это можно увидеть, например, построив на координатной плоскости множество точек х2 + у2 = 5000, являющееся дугой окружности, и заметив, что для прямых вида Юх + Юг/ = а, пересекающих это множество, наибольшее значение а будет в случае, когда прямая касается дуги окружности, что достигается в точке, для которой х = у — 50. В этом случае будет добыто 500 кг алюминия и 500 кг никеля.
Таким образом, наибольшее количество добытого металла равно 2000 кг.
Ответ: 2000 кг.
19.	На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работает 200 человек, и один рабочий изготавливает за смену 10 деталей А или 5 деталей В. На втором комбинате работает 100 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А или 10 деталей В.
Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужно 2 детали А и 3 детали В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?
Решение.
На первом комбинате за смену может быть изготовлено Юх деталей А и 1000 — 5х деталей В, где 0 < х < 200. На втором — 5у деталей А и 1000 - Юг/ деталей В, где 0 < у < 100.
Нам нужно, чтобы детали А и В были произведены в отношении 2:3 (если отношение будет отличаться от этого, то можно отправить часть рабочих, изготовивших избыточные детали, на изготовление других деталей и, таким образом, увеличить количество изготовленных изделий). Таким образом, получаем 30х+15г/= 2000 - 10х+2000 - 20г/, откуда 40х + 35г/ = 4000; 8х+ 7у = 800, причём масимальное количество деталей будет изготовлено, если число 10х + 5г/ максимально. Поскольку х = 100 - 0,875г/, получаем, что нужно достичь максимума выражения 1000 — 3,75г/, что достигается при наименьшем неотрицательном значении г/, при котором х не превосходит 200. Таким образом, у = 0, х = 100. В этом случае будет изготовлено 1000 деталей А и 1500 деталей В, из которых можно собрать 500 изделий.
Ответ: 500.
20.	Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 500 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 1000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 1500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?
132
Решение.
Заметим, что на площади 120 квадратных метров можно разместить 4 стандартных номера или 3 номера «люкс». В первом случае номера будут приносить отелю 4000 рублей в сутки, а во втором 4500 рублей. Поэтому стандартных номеров должно быть не более трёх, иначе предприниматель мог бы заменить 4 таких номера на 3 номера «люкс» и заработать больше.
Если в отеле нет стандартных номеров, то в нём можно разместить 12 номеров «люкс» и зарабатывать 18000 рублей в сутки.
Если в отеле один стандартный номер, то в нём можно разместить 11 номеров «люкс» и зарабатывать 17500 рублей в сутки.
Если в отеле два стандартных номера, то в нём. можно разместить 11 номеров «люкс» и зарабатывать 18500 рублей в сутки.
Если в отеле три стандартных номера, то в нём можно разместить 10 номеров «люкс» и зарабатывать 18000 рублей в сутки.
Таким образом, наибольшая заработанная в сутки сумма денег равна 18500 рублям.
Ответ: 18500 рублей.
Задания для самостоятельного решения
1.	В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга. Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
2.	В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 1,4641 млн рублей.
Сколько млн рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
3.	В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на г % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
Найдите число г, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 66 000 рублей, а во второй год — 58 000 рублей.
4.	В июле планируется взять кредит на сумму 4 026000 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?
5.	В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на г% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
Найдите число г, если известно, что если каждый год выплачивать по 777 600 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 1317600 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года.
133
6.	В июле планируется взять кредит на сумму 1300 000 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На какое минимальное количество лет можно взять кредит при условии того, чтобы ежегодные выплаты были не более 300 000 рублей?
7.	15 июля планируется взять кредит на сумму 800 000 рублей. Условия его возврата таковы: — 31-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить некоторую часть долга.
На какое минимальное количество месяцев можно взять кредит при условии того, чтобы ежемесячные выплаты были не более 200000 рублей?
8.	В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?
9.	В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:
—	каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
—	в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 3,6 млн руб.?
10.	Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь увеличить сумму налоговых поступлений за счёт уве-t0
личения производства товара, уменьшило налог вдвое (до tx = сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после этого, чтобы добиться максимальных налоговых сборов, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара, объём производства товара составляет 10000 — 2t единиц, если это число положительно?
11.	В июле планируется взять кредит в банке на сумму 12,5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
—	каждый январь долг возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 26 млн рублей?
12.	В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
—	каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
—	в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платеж составит 1,25 млн рублей?
134
13.	В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:
—	каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
—	в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите г, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший — не менее 0,6 млн рублей.
14.	В июле планируется взять кредит в банке на 19 лет. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на г% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите г, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту втрое больше наименьшего.
15.	15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на т% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 120% больше суммы, взятой в кредит. Найдите г.
16.	15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
—	со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—	15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?
17.	Бизнесмены Алексей и Николай каждый планируют 15-го июля взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 36 месяцев (3 года). Условия возврата кредита у Алексея таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
—	со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—	15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Условия возврата кредита у Николая таковы:
—	каждый январь долг возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;
—	с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
—	в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Кто из двух бизнесменов суммарно заплатит банку больше и на сколько?
18.	15-го января планируется взять кредит в банке на 36 месяцев (3 года). Условия его возврата таковы:
—	1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
—	со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—	15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат за последний год (последние 12 месяцев) равнялась 2,26 млн рублей?
135
19.	Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно Г2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 300 рублей. Григорий готов выделять 507000000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
20.	Строительство нового завода стоит 72 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5х2 + Зх + 20 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит рх - (0,5х2 + Зх + 20). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более чем за 6 лет?
21.	В начале 2015 года Алексей приобрёл ценную бумагу за 32000 рублей. В конце каждого года стоимость бумаги возрастает на 2500 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 5%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
22.	У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором — 500 ц/га.
Фермер может продавать картофель по цене 5000 рублей за центнер, а свеклу — по цене 8000 рублей за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
23.	В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи 10х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов труда, а для добычи 10г/ кг никеля в день требуется у2 человекочасов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?
24.	На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работает 400 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А или 15 деталей В. На втором комбинате работает 100 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 деталей А или 5 деталей В.
Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужно 2 детали А и 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?
25.	Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 25 квадратных метров и номера «люкс» площадью 30 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 350 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 1000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 1300 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?
136
ОТВЕТЫ
1.1.	Тригонометрические уравнения
1.	a) у + я&, keZ; ^ + 2яп, n€Z; -^ + 2япг, mtZ; 6)	--y^; -% 2. a) nk;
*€Z; -~ + nn, n$Z; 6) -Зя; --^; -2я. 3. a) ±£ + Tin, nil; б) 4	4	о	bo
4. a) arctg—+ я + 2яп, n €2; б) 5я + arctg-y-. 5. a) у + 2nn, n€2; 6) --^y-. 6. а) 2яи, 3	3	£	l
neZ; б) 2я. 7. a) ^ + Tin, neZ; -^- + 2nk, keZ; ~^ + 2nm, mtZ; б)	ZZL.
2	4	4	242
8. а)4 + 2я£, keZ; ^- + 2nn, пЫ; 6) -^; -4^. 9. a) ~^ + 2nn, ntZ; 6) 3	3	3	3	6	о
10. a) 2nn, neZ; -J + 2nk, k € Z; 6) 0; ± О	Э
1.2. Показательные уравнения
1. a) 7; 6)	2. a) 3; 1 + log35; 6) 1 +log35. 3. a) 1+1/2; 6) 1 + ]/T.
4. a) -3;	6)	5. a) -2;	6)	6. a) -3;	1; 6) -y. 7. a) -log37; -log35;
4	4	3	3	3	3
6) -log37. 8. a) -log3|; log3|; 6) -log3-|. 9. a) log32; 6) log32.
1.3. Логарифмические уравнения
1. a) —2; 1; 6) 1. 2. a) -7; 4; 6) -7. 3. a) -4; 3; 6) -4. 4. a) -1;	6)	5. a) -7;
1; 6) -7. 6. a) —4; 7; 6) 7. 7. a) 63; 6) 63. 8. a) 3 - ]/fT; 3 + ]/5’; 6) 3 - /Г 9. a)
4	зз
6) y. 10. a) -3; -1; 1; 3; 6) -1. 3
1.4. Комбинированные уравнения
1. a) ±4 + 2nm, mtZ;6) 2. a) ±y + nk, k € Z; 6) -%	3. a) £ + ли,
3	3	3	з з з	z
n 6 Z; 4- + 2nk, k € Z; + 2nm, mtZ; 6)	yp 4. a) у + Tin, ntZ; у + 2nk, k € Z;
+ 2л?и, m^Z; 6) 4?;	-Ц1- 5. a) ±y + 2яп, n^Z; 6)	-y; y. 6. a) -y + 2nk,
4	242	3	3	3	3	о
keZ; -^- + 2nm, mtZ; 6)	7. a) -^ + nn, n^Z; 6)	8. a)
6	О Ь	4	444Z
ktZ; б) 2я; ^E; Зя; 9. a) nk, k^Z; -^ + 2nm, meZ; б) -Зя; -2я. 2	2	3	3
10. a) 4 + 2nk, k E Z; 6)	11. a) + 2яп, n € Z; 2nm, m e Z; 6) 0; Ц-. 12. a) £ + 2я&,
4	4	3	34
k^Z; ^ + 2nn, neZ; ^ + 2nm, mtZ; 6)	13. а) -у + 2яи, ntZ; ^ + 2nk,
4	3	4	3	4	3
ktZ; б) -4r- 14. а) 4 + 2яи, n e Z; 6)	15. а) у + 2я£, keZ; ^- + 2nn, ndZ;
4	3	4	4	3	3
137
2.1.	Рациональные неравенства

оо; 3], [4; 5). 4.

сю;
7 - 1
2

145 - 1
2
’_5 .6
+ОО . 12. [-3,5;-3),
(1; 1,5]. 13.
. 14. (-4; -1], 0, [3; +оо). 15. [-3,5; 1,75].
Тренировочная работа
1.
_L- 2' .10’ 2.’
2.
[-1; 1).
3. [-6;-5),
4. Г—2У71; 2~|. 5.
-1;-^ 2
^;1). 7. Г-|;31. 8. (—оо; —2], Г-1;
Z / L J	L £ /
’_2
. 2
( 1./Т-3
\ 2’	2
И. (-оо; 0),
9. (-оо; 2],
Г9. 51
|_2 ’ Э_Г
10.
-оо- 9 + 3/15*
_31Л0’+6.0у	(0;+оо).
+00). 12. (
1.11 Г2. 3
2’ 3 J’ L3 ’ 2
Г 8. 21 . 3’ 3J'
14. (-00; -1], 0, [2; 6). 15. [-2; 5].
2.2.	Логарифмические неравенства
1
4
1. (-3; - 2,5), (—2; -1,5), [-|; -1), (-|; о]. 2. [-3; 2). 3.
J_. 1 81 ’ ’6/
16
• 4- (0:^"
\	64 J
5. (-оо;-2), (4;-у]. 6. (0; 0,2], [25;+оо). 7.	(1;+°°). 8- (-оо; -2), (-2;-/?),
-|; -1), (1; /2 ) 9. (2; 3), (3; +оо). 10.
(^у^;1), (1; 2].
Тренировочная работа
1. (—оо; —1),
(Ч)
гз
+оо . 2. [—1; 4). 3.
'!• 1"
.8’ 2.
[4; +оо). 5. (—оо; -3),
2
’|;2). 6. (0;]/з], [9; +оо). 7. (l;/^], [5;+00). (/F; /З1). 9. (—2; -1), (-1; +оо). 10. (- 1	-1)
8. (-00;
[3; +00).
-2), (-2;-^), (-|;-1^).
2.3.	Показательные неравенства
1. [-4; 2]. 2. (-оо;-3], (-2; log2 у-], (-1; +оо). 3. (-оо; 0], 2,	4]. 4. [-1; 0), (0; 1).
5. (-оо; -3], [|; б). 6. (0; 2]. 7. (-оо; -2], [1; 3], [5; +оо). 8. (-2;	9. (0; log35], [2; +00).
10. [-2; 3].
138
Тренировочная работа
1. [-9; -3]. 2. (—оо; 3), (4;log2^-"|, [5; +оо). 3. [-8;-5), -4, (0;+оо). 4. [-2;-1), (-1;0). 5.	[1; +оо). 6. (0; 1]. 7. (-со;-4], [1; 10], [И; +со). 8.	9. (-1;0),
(log83; +оо). 10. [-1,5; 1,5].
2.4. Системы неравенств
1. [-logs5; -2), (—2; 0), (0; 2), [3; +оо). 2. (о;|1, Г|; log521. 3. [-2;-1), Г-1; о), (0; 1). \ о J L 4	J	L Z /
4. (—-2], 2. 5. (2; log25], 4. 6. -2, (2; |]. 7.	з), 4. 8. -1, 0, [4;	9. -2,	1 .
10. 0, [log38;2), (2; 4]. 11. [-£; 2). 12. -2, 0, [4; 6). 13. -6, (3; 4). 14. (0; 1), (2; 3).
15. (-2;-1).
3. Задания с параметром
1. а = 1 а = 4- 2. 4 < а 3. а = 0, а > 3. 4. а < -4т- 5. а = 1, а = 3. 6. а = 3, 3	4	7	10	24
а = 1. 7. а = 1, г=-1. 8. -2 < д < |, 1 < а < 3. 9. а < -3, | < а < 6, а > 6.
10. -|<д<|, |<д<^-. И. а = -2, а = 0, а > 1. 12. а = 0, { < а < |.
13. —4У- < а < -5. 14. а < 7 - 2^6’, 7 + г/б1 < а < 15, а > 15. 15.1 < д < 212^-. 1D	О
16. д > 1,5. 17. а = -10, х=1. 18.	< а <	1 < а < 3. 19.д = -|, а =
5	5	5	5
20. -12 < а С -10, д =-9,	-3 < а < 9.	21. -5 < а < 5У?- 10.	22. -1- < а < 8.
23. 1 < а < 2. 24. -4 < а < 0, 0 < а < 18 + 10/5*.
4.1.	Параллелепипеды
1.	б) j/1281. 2. arccos^^-. 3. 8. 4. arctgi/17'. 5. arctg^. 6. 71/19'. о	о
4.2.	Призмы
1.	X?- 2. 76,5. 3.	4. arctg|. 5. i/З.
14	13-/217	3
4.3.	Треугольные пирамиды
1.	arctgf. 2.	3.	4- 2arctg^P^- 5. 21/10. 6. arctg^. 7. /39’. 8. arctg^.
Э	4	ZoD	ZJ)	У	Э
4.4.	Четырёхугольные пирамиды
1.	2arctg 2. 8 + лзф?. 3, i. 2arcsinJ^. 5. %. 6. 96. J	□	1 IV	Э	Э
139
4.5.	Тела вращения
1.	2. arctg-^p. 3. 61/5”. 4.	5. IS]/?. 6. ^34. 7. 17,5.
5.1.	Планиметрические задачи (одна конфигурация с окружностью)
1.	б) 2. б) 3. б) 60°. 4. б) 65. 5. б) -^]/5. 6. б) 50. 7. б) Эу/З' 8. б) 4/Т78. 10	£	о
5.2.	Планиметрические задачи (одна конфигурация без окружности)
1.	б) 6. 2. б) 24]/3. 3. б) 9:40. 4. б) 9. 5. б) 10. 6. б)
О
5.3.	Планиметрические задачи (две конфигурации)
1.	4т или 9. 2. 4 или 4т- 3. 4 или ^г- 4. 44 или 76. 5. 6 или 26. 6. 54 или 13,5. 7. 48 или И	4	4	4
62. 8. 14 или 26.
6. Арифметика и алгебра
1. б) 30294 и 30954. 2. б) 324 и 564. 3. б) 2316, 2364, 2436 и 2916. 4. б) 69696, 63030 и
69630. 5. б) 124, 142, 214 и 412. 6. а) да; б) И; в)	7. а) 15; б) 1125. 8. а) нет; б) нет; в) 4.
9. а) да; б) нет; в) 3. 10. а) нет; б) да; в) 8. 11. а) нет; б) да; в) у. 12. а) нет; б) да; в) -ур 13. а) нет; б) да; в) 115. 14. а) 50; б) да; в) 80. 15. а) да; б) нет; в) 480. 16. а) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; б) нет; в) 5, 5, 5, 6, 8 или 5, 6, 8, 10. 17. а) -3, 2, 4; б) 5; в) нет. 18. а) да; б) нет; в) 8. 19. а) например, 17; б) 36; в) 18. 20. а) 160; б) да; в) 20.
7. Экономические задачи
1. 3 110400 руб. 2. 4,641. 3. 16. 4. 950400 руб. 5. 20. 6. 6. 7. 5. 8. 13. 9. 5. 10. Увеличить на 50%. 11. 17. 12. 20,25 млн рублей. 13. 20. 14. 12,5. 15. 15. 16. 0,8 млн рублей. 17. Николай, на 55000 рублей. 18. 6 млн рублей. 19. 6500. 20. И. 21. 2023. 22. 65 млн рублей. 23. 640 кг 24. 1500. 25. 15000 рублей.
ДЛЯ ЗАМЕТОК
ДЛЯ ЗАМЕТОК