КИБЕРНЕТИКА
Ю. и. МАНИН
ДОКЙЗУЕМОЕ
И НЕДОНЙЗУЕМОЕ
-§Ш^
Москва «Советское радио» 1979

ББК 32.81
М23
УДК 51—007
Манин Ю. И. Доказуемое и недоказуемое. (Кибернетика). М.,
«Сов. радио», 1979, 168 с.
В наше время математические методы широко используются
в естественных и гуманитарных науках. Это способствует росту
интереса к самой сущности математического рассуждения и природе
доказательства в широких кругах потребителей математики. В книге
сделана попытка удовлетворить этот интерес, изложив яа
достаточно Доступном уровне теорию математического доказательства и
причины, по которым те или иные вопросы (типа гипотезы
континуума) оказываются принципиально неразрешимыми. Изложение
сопровождается экскурсами в физику, психологию и семиотику.
Кинга предназначена для молодых ученых и всех, кто
интересуется проблемами современной математики.
Рис. 5, табл. 3, табл. 36 назв.
Редакция кибернетической литературы
^30501-054 ^^_^д 2500000000
046(01)-79
Издательство «Советское радио», 1979 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Среди научно-технических достижений; связываемых с идеями
кибернетики, наибольшее значение имеет широкое использование
ЭВМ для решения задач расчета, моделирования и управления.
Работа ЭВМ, если отвлечься от ее воплощения «в железе»,
состоит в обработке и порождении символьных текстов. Таким образом,
она представляет собой языковую деятельность, понимаемую
широко. До появления вычислительных машин языковая деятельность
была исключительной прерогативой человека, и возможность ее
частичного отчуждения вызвала огромный общественный интерес.
Этот интерес отразился в популярной формуле «мыслящие
машины», в которой, к сожалению, совершена прискорбная подмена
термина. Многочисленные благоглупости на тему о том, может
ли машина мыслить, могли бы и не быть высказаны, если бы мы
поняли, чего следует ожидать от мышления, кроме и помимо
способности порождать тексты.
Языковая деятельность вычислительной машины является
математической в некотором глубоком значении этого слова, даже
когда речь идет о программе, переводящей с венгерского языка или
сочиняющей одноголосные мелодии. Сама по себе «математическая
речь» человека — удивительный пасынок-вундеркинд естественной
речи. Структура и семантика языка математики в какой-то мере
поняты благодаря ее постоянной связи с естественными науками и
технологией, а также благодаря огромной работе специалистов по
математической логике. Соответствующие проблемы для
естественных языков зачастую еще даже не поставлены. Физик-теоретик
лауреат Нобелевской премии Юджин Вигнер с большой
проницательностью озаглавил одну из своих статей «О непостижимой
эффективности математики в естественных науках», в то время как
немногие мыслители рисковали удивляться эффективности
функционирования языка вообще.
Чтобы разделить это удивление, мы приглашаем читателя
сопоставить два коротких отрывка и вдуматься в их смысл.
«В большом здании судебных учреждений во время перерыва
заседания по делу Мельвинских члены и прокурор сошлись в
кабинете Ивана Егоровича Шебек, и зашел разговор о знаменитом
красовском деле. Федор Васильевич разгорячился, доказывая
неподсудность, Иван Егорович стоял на своем, Петр же Иванович,

не вступив сначала в спор, не принимал в нем участия и
просматривал только что поданные «Ведомости».»
«Число делений, происходящих в 1 см^ котла за 1 с, равно
/«л (у/Л) X (3,9/7,2). Смысл множителей: доля тепловых нейтронов,
поглощаемых ураном, плотность нейтронов, обратное время жизни
теплового нейтрона, доля поглощений нейтрона ураном," ведущих
к делению. Принимая, что в акте деления освобождается 200 Мэв,
мы должны умножить (число делений/с-смЗ) на (200
Мэв/деление), т. е. на (0,0003 эрг/деление), чтобы получить эрг/с-см^.
В конечном выражении появляется произведение nv, т. е. поток.
Следует использовать средний поток nv. Можно показать, что для
куба средний поток связан с потоком в центре, nov, соотношением
лу^лоУ (8/я^). Окончательно получим (в киловаттах)
После подстановки должных значений 4-10-''лоу. Мощности
порядка 2,5-103 кВ^ (Клинтон) соответствуют потоку в центре около 104
В Хэнфорде поток нейтронов в центре котла составляет примерно
Ю'з н/с-см^.»
Первый отрывок —начало «Смерти Ивана Ильича» Л. Н.
Толстого, второй взят из «Лекций по нейтронной физике» Э. Ферми
(Э. Ферми, Научные труды. Т. П, М., «Наука», 1972, с. 327).
Те различия между ними, которые бросаются в глаза: в теме,
требованиях к подготовке читателя, для нас наименее
существенны. Разумеется, повесть Толстого апеллирует к более или менее
общечеловеческому жизненному опыту, а понимание лекций Ферми
требует специфических знаний физика или инженера-атомника.
(Впрочем, слово «неподсудность» у Толстого относится к терминам
специальной юридической системы, и его смысл для читателя без
специального образования едва ли менее туманен, чем смысл
понятия «тепловой нейтрон».)
Но мы хотим обратить внимание на следующее обстоятельство.
Ферми объясняет, как вычислить мощность атомного реактора,
т. е. некоторую величину, которую в принципе можно измерить,
считав показания стрелки подходящего прибора. Вместо этого
предлагается получить ту же величину обработкой несложного
3,9
арифметического текста типа 772 3,2-10~i*== ... Это — именно та
часть научного исследования, которая чаще всего передается ЭВМ
(конечно, обычно объем расчетов и их логическая сложность
гораздо выше). Именно привычность этого (решать задачи мы
учимся с первого класса) мешает взрослому человеку удивиться:
почему, собственно, формальная процедура перемножения двух деся-

тичных дробей с использованием таблицы умножения и правила
переноса цифр («дважды девять— восемнадцать, восемь пишем,
один в уме ... или в ячейке памяти») приводит к некоторому
предсказанию относительно реального хода событий? Ведь в
реакторе не происходит решительно ничего, что можно было бы хотя
бы ориентировочно соотнести с элементарным актом вычисления
«дважды девять — восемнадцать». С другой стороны, этот же
элементарный акт можег встретиться в вычислениях точки эстречи
ракеты с целью, положения корабля в море или времени жизни
Вселенной — вычислениях, которые не имеют никакого отношения
к реакторам.
Вычисление — это, разумеется, лишь простейший пример
целостного математического текста, однако на нем можно
проследить характерные черты математической речи вообще. В
отношении структуры математический язык подчинен жестким принципам
«правильной составленности». Эти правила должны гарантировать
«истинность выводов при истинности посылок». Чрезвычайная
неоднозначность, а зачастую отсутствие интерпретации каждого
отдельного фрагмента математического текста в реальности, которую
он может описывать, требует достаточно единой интерпретации
«в мире идей»: иначе мы не можем даже приближенно представить
себе содержание понятия «истинность» (кроме случаев, когда оно
относится к единичному событию, происходящему «здесь и сейчас»,
и тогда определенно находится вне математики).
Понятие «истинности» почти с неизбежностью требует
абстракции «бесконечности» уже потому, что правильное математическое
высказывание должно быть правильным всегда и везде.
Между тем языковая деятельность имеет принципиально
финитарные черты: каждый реальный текст делится на конечное число
однозначно воспроизводимых элементарных единиц. Иначе язык не
мог бы выполнять свои функции в общественной памяти и
общественных каналах связи человечества.
В какой же мере конечные тексты могут отразить абстракцию
математической бесконечности? Этот специальный случай общего
вопроса о том, насколько язык способен выразить мысль, и
составляет идейный стержень предлагаемой книги.
Более конкретно, книга посвящена изложению некоторых
современных результатов о неразрешимости математических задач.
В общих чертах представление о таких задачах широко
распространено: квадратура круга относится к числу старейших примеров,
проблема континуума — самых новых. Однако, несмотря на
значительный интерес к проблеме неразрешимости, точный смысл
полученных результатов известен сравнительно узкому кругу даже
профессиональных математиков. Во многом это объясняется тем, что
предмет математической дисциплины, внутри которой эти
результаты устанавливаются, не вполне обычен: этим предметом являет-

ся идеализированная .модель реальной математики внутри самой
математики. В более широком понимании речь идет даже об
идеализированной картине дедуктивного познания вообще, что
определяет общегуманитарную и гносеологическую ценность теорем о
неразрешимости.
Цель этой книги двоякая: описать основы математической
логики как модели математики и, пользуясь ее средствами,
изложить несколько доказательств неразрешимости, включая проблему
континуума по Коэну, теорему Тарского о невыразимости
истинности и частично знаменитую теорему Геделя о неполноте. К
сожалению, вне рамок этой книги пришлось оставить задачи
алгоритмической неразрешимости. Изложение их требует
предварительного развития аппарата рекурсивных функций или одного из его
эквивалентов (машины Тьюринга, алгоритмы (Маркова).
Ограниченный объем книги не позволил включить этот материал.
Книга состоит из трех глав. Две первые являются введением
в формальную логику и должны быть доступны читателю со
сравнительно небольшим математическим образованием и некоторыми
навыками теоретико-множественных рассуждений. Третья глава,
посвященная проблеме континуума, заметно труднее технически.
Однако полному изложению доказательства в ней предшествует
модельный вариант на языке «случайных вещественных чисел»,
позволяющий при желании уяснить основные идеи конструкции, не
вдаваясь в утомительные подробности.
К не вполне традиционному материалу относится параграф
о квантовой логике с доказательством теоремы фон Неймана
о скрытых параметрах, а также изложение теоремы Тарского
методом Шмульяна. Шмульян придумал остроумный вариант
формального языка арифметики, позволяющий легко написать на нем
формулу, утверждающую свою ложность. Это снимает половину
технических трудностей в доказательстве теоремы Геделя о
неполноте.
Наконец, существенную часть книги составляет серия
неформальных отступлений о смысле математических понятий в более
широком контексте человеческой культуры. В определенном
аспекте они выражают отношение автора к проблеме «обоснования»
математики. Вероятно, логика способна обосновать математику не
в большей мере, чем биология — обосновать жизнь.
Читатель, который пожелает расширить свои познания по
обсуждаемым в этой книге вопросам и ознакомиться с другими
точками зрения, может обратиться к многочисленной литературе,
часть которой указана в библиографии. В частности, на русском
языке имеются прекрасные курсы логики Дж. Шенфилда [1],
Э. Мендельсона [2], С. Клини [3]. Специально проблеме
континуума посвящена книга П. Дж. Коэна [7]. Теория множеств, ее
формальные аспекты и философские проблемы изложены в книгах

Н. Бурбаки [5], А. Френкеля и И. Бар-Хиллела [17], см. также
глубокий обзор К. Геделя [20] и статью П. Коэна [19].
Специально математической теории рекурсивных функций и алгоритмов
посвящены книги В. А. Успенского [15], А. А. Маркова [8],
А. И. Мальцева [10], X. Роджерса [И] и статьи В. А. Успенского
[15], Ю. И. Манина [13, 14], Ю. Матиясевича [12]. Различные
точки зрения на философские проблемы оснований математики
изложены в уже цитированных книгах С. Клини и А. Френкеля и
И. Бар-Хиллела, в монографии А. Тарского [16], а также в
содержательной книге В. Н. Тростникова [18] и популярной работе
И. Лакатоса [21].
В заключение я хотел бы выразить свою глубокую
благодарность С. Г. Гиндикину, оказавшему большую помощь автору еще
в период работы над рукописью, и И. М. Яглому, чье
внимательное и доброжелательное рецензирование книги помогло ее
улучшению.

Глава I
ВВЕДЕНИЕ В ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ
Gelegentlich ergreifen wir die Feder
Und schreiben Zeichen auf ein weisses Blatt,
Die sagen dies und das, es kennt sie jeder,
Es ist ein Spiel, das seine Regeln hat.
H. Hesse, Buchstaben
Ты пишешь на листе, и смысл, означен
и закреплен блужданьями пера,
для. сведущего до конца прозрачен:
на правилах покоится игра.
Г. Гессе. Алфавит (Пер. С. С. Аверинцева)
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
1.1. Пусть А — некоторое абстрактное множество —
алфавит. Конечные лоследовательности элементов А называются
выражениями в А, конечные последовательности выражений —
текстами.
Мы будем говорить о языке с алфавитом А, если некоторые
выражения и тексты отмечены (как «правильно составленные»,
«осмысленные» и т. п.). Так, в латинском алфавите А можно отметить
словоформы английского языка и грамматически правильные
английские фразы. Полученное множество выражений и текстов
будет рабочим приближением к интуитивному представлению об
«английском языке».
Язык Алгол-60 состоит из выражений и текстов, отмеченных
в алфавите {латинские буквы) U {цифры} U {логические
значения) У) {ограничители). К числу важнейших отмеченных текстов
принадлежат программы.
В естественных языках совокупность отмеченных выражений и
текстов имеет обычно зыбкие границы. Чем более формализован
язык, тем жестче эти границы очерчены,
8

Правила формирования отмеченных выражений и текстов
составляют синтаксис языка.
Правила их сопоставления с реальностью относятся к его
семантике.
Описание синтаксиса и семантики производится на метаязыке.
Чаще всего это фрагмент национального математического жаргона.
В нашей книге это понятие не формализуется; большая часть
следующего текста является метаязыковой.
1.2. «Реальностью» для языков математики являются
определенные классы (математических) рассуждений или
вычислительные процессы, реализуемые с помощью (абстрактных) автоматов.
В соответствии с тем или иным назначением эти языки делятся на
формальные и алгоритмические. (Ср. в естественных языках
противопоставление изъявительного и повелительного наклонения или
на уровне текстов, сообщения и приказа.)
Разные формальные языки отличаются друг от друга, в первую
очередь, широтой охвата формализуемых типов рассуждений -—
выразительностью, во вторую очередь — ориентацией на
конкретные математические теории, в третью — отбором элементарных
средств выражения (из которых затем синтезируются все
остальные) и оформленй.ем.
В этой главе систематически рассмотрен некоторый класс
формальных языков. Алгоритмические языки привлекаются
эпизодически.
Восходящее к Гумбольдту и Соссюру противопоставление
язык — речь столь же реально для формальных языков, как и для
естественных.
В § 3 этой главы даны образцы «речи» на двух конкретных
языках, ориентированных на теорию множеств и арифметику
соответственно: навыки речевой деятельности должны предшествовать
изучению грамматики.
Язык теории множеств принадлежит к числу самых богатых
выразительными средствами, несмотря на свою крайнюю
экономичность. На нем в принципе можно написать формальный текст,
отвечающий почти любому фрагменту современной математики,—
курс топологии, функционального анализа, алгебры или логики.
Язык арифметики — один из самых бедных, но его
выразительных возможностей достаточно для описания всей элементарной
арифметики, а также для демонстрации эффектов самоописания по
Геделю и Тарскому.
1.3. В качестве средства общения, открытия, фиксации
материала никакой формальный язык не способен конкурировать со
смесью национального математического арго и формул, привыч'
ной для каждого работающего математика.
Однако в силу своей жесткой нормализованности формальные
тексты могут сами служить объектом математического исследо-

вания. Результаты такого исследования являются теоремами
математики. Они вызывают значительный интерес (и сильные
эмоции), будучи интерпретированы расширительно — как теоремы
о математике. Но именно возможность таких и еще более
расширительных толкований определяет общефилософское и
общегуманитарное значение математической логики.
1.4. Мы условились, что выражения и тексты языка являются
элементами некоторых абстрактных множеств. Чтобы работать
с ними, их нужно как-то фиксировать материально. По
европейской традиции нового времени (в отличие от старовавилонской или
новейшей американской, использующей память ЭВМ) принята
следующая форма записи. Элементы алфавита обозначаются
определенными символами на бумаге (буквами разных шрифтов,
цифрами, дополнительными значками, а также их комбинациями).
Выражение в алфавите А записывается в виде последовательности
символов, читаемой слева направо, с переносами в случае нужды.
Тексты пишутся как последовательность записей выражений
с пробелами или знаками препинания между ними.
1.5. Большая часть интересных выражений и текстов на
формальном языке имеет записи, которые либо физически чересчур
длинны, либо психологически с трудом поддаются дешифровке и
запоминанию в приемлемое время, либо то и другое вместе.
Поэтому их заменяют сокращенными записями (которые могут
оказаться физически более длинными). Выражение хххххх можно
сокращенно записать «х ... х (шесть раз)» или «д;^»; выражение
Y2(2ex-«—>z^y) как €х^у», а выражение 101010 ... 10 как
«последовательность длины 2« с единицами на нечетных местах и
2
нулями на четных» или «двоичная запись числа — (4"—1)».
Сокращенная запись может быть также обозначением любого
выражения определенного типа, а не только индивидуального
выражения— это так называемые «метаязыковые переменные».
Со времен Виета, Декарта и Лейбница, к которым восходит
наша традиция, сокращенная запись служит неиссякаемым
источником вдохновения и ошибок. Нет ни смысла, ни возможности
систематизировать ее приемы: на них неизгладимо отпечатались
мода, дух времени, артистизм или педантичность авторов. Символы
S, /, е являются классическими образцами для подражания.
Забытая запись Фреге для «Р и Q» (на самом деле «не {если Р, то
не Q)», откуда асимметрия):
\-т-}
Q
п
показывает, чего следует избегать.
10

Как бы то ни было, сокращенные записи пронизывают
математику. Привычка к расчлененному триединству:
формальный текст
/ \
злц» текста — интерпретация тенета,
заменяющая неосознанное отождествление высказывания с его
формой и смыслом, должна выработаться у читателя одной из
первых.
2. языки ПЕРВОГО ПОРЯДКА
в этом параграфе описан важнейший класс формальных
языков S'i — языки первого порядка — и два конкретных
представителя этого класса: язык теории множеств Цермело — Френкеля
Li Set и язык арифметики Пеано LiAr. Другое наавание Si —
языки предикатов.
2.1. Алфавит любого языка класса 5'i разбивается на шесть
попарно непересекающихся подмножеств. В следующей таблице
Алфавит языков
Подмножества
алфавита
Связки И
кванторы
Переменные
Константы
Операции
рангов
1, 2, 3, .. .
Отношения
(предикаты)
рангов
1, 2, 3, . . .
Скобки
Обозначения и названия
общие
в L, Set
в L, Аг
<—* (равносильно; -* (следует); V (или неразделительное);
Л (И); П (Не); V (квантор общности);
g (квантор существования)
д£, у, Z, и, V, . . . с индексами
с . . .
(с индексами)
(с индексами)
Р' Q, ■ ■■
(с индексами)
0 (пустое
множество)
нет
е (быть элементом,
ранг 2)
= (равенство,
ранг 2)
0(нуль)
1 (единица)
■+■ (Сложение),
ранг 2
• (умножение),
ранг 2
= (равенство),
ранг 2
( (открывающая скобка); ) (закрывающая скобка)
11

перечислены: видовые названия элементов этих подмножеств,
стандартные их обозначения в общем случае, специальные
обозначения, принятые в этой книге для языков LiSet и ЦАг. Вслед за
этим мы описываем правила формирования отмеченных
выражений и вкратце обсуждаем семантику.
Отмеченные выражения любого языка L' класса ^i делятся на
два типа; термы и формулы. Те и другие определяются
рекурсивно. Отмеченные тексты — выводы — определены в § 4 гл. II.
2.2. Определение
Множество термов — это наименьшее под множество, выражений
языка, удовлетворяющее двум условиям:
а) переменные и константы суть (атомарные) термы;
б) если f — операция ранга г, а ti, ..., U—термы, то f[U, ...
..., и) — терм.
В условии а) элемент отождествляется с последовательностью
длины 1. Запятая не входит в алфавит, это — принадлежность
сокращенной записи f(/i, ..., U), означает то же, что /(^ife^a). В § 1
гл. II объяснено, как однозначно дешифровать последовательности
термов, несмотря на отсутствие знака-разделителя.
Если два множества выражений языка удовлетворяют
условиям а), б), то и их пересечение удовлетворяет им. Поэтому
определение множества термов корректно.
2.3. Определение.
Формулы — это наименьшее подмножество выражений языка,
удовлетворяющее двум условиям:
а) если р — отношение ранга г, а tu ..., U — термы, то p{U, ...
..., U) есть (атомарная) формула;
б) если Р, Q суть формулы, (сокращенная запись!), х —
переменная, то выражения (Р)*—*(Q), (^^ - (Q), (Р) V (Q). (^)A(Q)'
~1 (Р), Y-^i^)^ Я-^{Р) сг//пб формулы.
Из определений видно, что любой терм получается из
атомарных термов за конечное число шагов, каждый из которых состоит
в «применении символа операции» к полученным ранее термам.
Это верно и для формул. В § 1, гл. II мы уточним это замечание.
Следующие первоначальные истолкования термов и формул
даны для ориентировки и относятся к так называемым
«стандартным моделям» (точные определения см. в § 2 гл. II).
2.4. Примеры и толкования, а) Термы служат названиями
(обозначениями) объектов теории. Атомарные термы — это названия
неопределенных (переменные) или конкретных (константы)
объектов. Терм /(^1, ..., и) есть обозначение объекта, получившегося
в результате применения операции, обозначенной /, к объектам,
обозначенным tu ..., U- Вот примеры из Li Аг
0 — обозначение нуля,
1 — обозначение единицы,
12

-f-(lj)— обозначение двойки (1-|-1=2 в обычной записи).
-|-(1 + (11)) — обозначение тройки,
• (-Н1Г) + ГЙ))—обозначение четверки (2X2^4!)-
Так как эта нормализованная запись расходится с принятой
в арифметике, мы будем обычно писать в LjAr ti + tz вместо
+ (Wz) и ti-tz вместо '{tit2)- Можно рассматривать это
соглашение как очередную условность сокращенной записи:
X —_обозначение неонределенности целого числа,
х+1 или + (х1) —обозначение следующего за ним числа.
В языке Li Set все термы атомарные:
д; — обозначение неопределенного множества,
0 — обозначение пустого множества.
б) Формулы служат обозначениями высказываний (суждений,
предложений ...) теории. Высказывание, переведенное на
неформальный язык, может оказаться истинным, ложным или
неопределенным (если оно относится к неопределенным объектам): см.
точные определения в гл. II.
Атомарная формула p{ti, ..., U) в общем случае имеет
примерно такой смысл: «упорядоченная г-ка объектов, обозначенных
ti, ..., и, обладает свойством, обозначенным р». Вот примеры
атомарных формул в ЦАг. Их общая cTpyKTypa=(fiy или в
ненормализованной записи ^1=^2:
0=1, -]'(0=1), х+1=у.
Примеры неатомарных формул:
{х = Щ^ (^ + '^='1)'
Атомарные формулы в d Set: уех (у является элементом х),
у^=х, х=0, а также 0^у, х^0 и т. п. Нор-мализованная запись,
конечно, должна была бы иметь вид ^{ху) и т. п.
Некоторые неатомарные формулы:
3-^(У^(П (^G-''^)))' существует такое х, что ни одно у не является
его элементом. Неформально это означает «существует пустое
множество». Еще раз напомним, однако, что неформальное
толкование подразумевает некоторую стандартную интерпретацию,
которая будет явно введена в гл. II.
Y«/ {у&—*у^х): 2 есть подмножество х.
Это—лример очень употребительного приема сокращенной записи:
в формуле слева опущены четыре скобки. Мы не будем точно
описывать, какие скобки разрешается опускать: их восстановление
13

должно быть однозначно или определено контекстом и не
требовать специальных усилий.
Еще раз подчеркнем: сокращенные записи формул суть лишь
их материальные знаки. При выборе сокращенной записи дресле-
дуются в основном психологические цели: быстрота чтения
(возможно, в ущерб формальной однозначности), легкость
возникновения полезных ассоциаций и трудность — вредных, соответствие
привычкам автора и читателя и т. п.
Математическими объектами в теории формальных языков
являются сами формулы, а не их записи.
Отступление об именах
Мы неоднократно говорили, что некоторый объект (значок на
бумаге, элемент алфавита как абстрактного множества и т. д.)
является записью, или обозначением, или названием другого объ-г
екта. Удобный общий термин для такого отношения — имя.
Буква X есть имя некоторого элемента алфавита; войдя в
формулу, этот последний станет именем множества или числа; запись
х^г/ есть имя некоторого выражение! в алфавите А, которое,
в свою очередь, есть имя некоторого суждения о неопределенных
множествах и т. п.
В словесном оформлении имена объектов часто
отождествляются с самими объектами: мы говорим «переменная д;»,
«формула Р» «множество Z». Это не всегда безопасно. Следующий
пассаж из книги Россера «Логика для математиков» [6] указывает
на некоторые подводные камни:
«...суть дела в том, что если у нас есть утверждение типа «3
больше 9/12» о рациональном числе 9/12, содержащее некоторое
имя «9/12» этого рационального числа, то мы можем заменить
это имя любым другим именем того же рационального числа,
например «3/4». Когда же мы рассматриваем утверждение типа «3
делит знаменатель 9/12» о некотором имени некоторого
рационального числа, и наше утверждение содержит некоторое имя этого
имени, то это имя имени можно заменить другим именем того же
имени, но, вообще говоря, нельзя заменить именем другого имени,
хотя бы это другое имя было именем того же рационального
числа».
Впрочем, продолжает Россер, «отказ от скрупулезного
прослеживания этих тонкостей редко приводит к путанице в логике и еще
реже в математике».
Эти тонкости, однако, играют немаловажную роль в
философии и в практике математики.
«Роза пахнет розой, хоть розой назови ее, хоть как», — это
верно, потому что розы ч:уществуют вне нас и пахнут сами по себе. Но
гильбертовы пространства «существуют», видимо, лишь постольку,
14

поскольку мы о них говорим, и выбор слова здесь небезразличен.
Имя «пространство» для множества классов интегрируемых с
квадратом функций было одновременно кодом целого круга
интуитивных представлений о «настоящих» пространствах. Оно
организовывало мысль и вело ее в определенном направлении.
Удачное имя — мост между научным знанием и здравым
смыслом, новым опытом и старыми привычками. Понятийную
основу любой науки составляет сложная сеть имен вещей, имен
идей и имен имен. Она эволюционирует сама и меняется ее
проекция на реальность.
3. НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА ПЕРЕВОДА
3.1. Напомним, что формулы Li Set суть имена высказываний
о множествах; формулы LiAr — имена высказываний о
натуральных числах; в эти высказывания входят имена множеств и чисел,
возможно, неопределенных.
В этом параграфе собраны первые образцы двустороннего
перевода «арго-*—^формальные языки». Одна из целей этой
выставки— показать, насколько велики выразительные возможности
Li Set и LiAr, несмотря на крайнюю ограниченность средств
выражения.
Как и в естественных языках, перевод не может быть задан
жесткими правилами, неоднозначен и является творческим
процессом. Сравните четверостишие Гессе с его переводом в эпиграфе
к этой главе: важнейший инвариант перевода есть смысл, который,
однако, прозрачен лишь для сведущего. Впрочем, это утверждает
лишь перевод: в оригинале стоит «es kennt sie jeder».
Перед чтением дальнейшего следует просмотреть приложение
к гл. II «Универсум фон Неймана». Подразумеваемая семантика
LiSet относится к этому универсуму, а не к произвольным «кан-
торовским» множествам. Более полное представление о смысле
формул можно получить из § 2 гл. П.
Переводы Li Set — арго
3.2. yjx (П (xG0))' «для всех (множеств) х неверно, что х
является элементом (множества) 0» или «0 — пустое
множество». Второе утверждение равносильно первому лишь в универсуме
фон Неймана, где элементами множеств являются только
множества, а не вещественные числа, стулья или атомы.
3.3. Y2 (zG-^*~*2Gl/)*—* 'С = г/:
«если для всех z верно, что z является элементом х, тогда и только
тогда, когда z является элементом г/, то верно, что х -совпадает
15

с г/, и наоборот» или «множество однозначно определяется своими
элементами». В этом выражении пропущено по крайней мере
шесть скобок; подформулы гех, 2^г/, х=у даны в не
нормализованной по правилам ^i записи.
3.4. v"V^H'W'^(2G-^*—►(г=ы\/2 = о)):
«для любых двух множеств и, v существует третье множество х
такое, что и, v являются его единственными элементами». Это —
одна из аксиом Цермело — Френкеля. Множество х называется
«неупорядоченной парой множеств ы, о» и в приложении
обозначается {«, v}.
3.5. YyY^iii^&Ay^->c)-*2^x)A{yGx^~[ (у^у))): „множество х
частично упорядочено отношением ^ между своими элементами».
Условие у^х^'~\{у^у) мы перенесли механически
из'определения упорядоченности. В универсуме фон Неймана оно выполнено
автоматически, так как ни одно множество там не является своий
собственным элементом.
В качестве упражнения полезно написать формулы:
«X вполне упорядочено отношением ^»;
«X линейно упорядочено отношением ^»;
«X— ординал».
3.6. у^х{у&). Буквальный перевод «для всех х верно, что у
является элементом 2» звучит несколько странно. Еще хуже
выглядит построенная в соответствии с правилами формула
P^x-gxiyGz).
Можно было бы несколько усложнить правила и сделать
такие формулы незаконными, но в общем они ничему не мешают.
В гл. II мы убедимся, что с точки зрения «истинности» или
«доказуемости» они окажутся равносильны формуле г/^г. Так их
и следует понимать.
Переводы арго — Li Set
Мы выберем несколько фундаментальных конструкций
общематематического значения и покажем, как они реализуются в
универсуме фон Неймана, в котором нет ничего, кроме множеств,
полученных «собиранием» из 0, и в котором любые отношения
нужно конструировать из е.
3.7.
«X — прямое произведение yXz». Это означает, что
элементами X являются упорядоченные пары элементов из г/ и 2
соответственно. Определение неупорядоченной пары очевидно: формула
YU (и^х*-*(и = y,\/u=z,))
16

«означает» или сокращенно записывается в виде х={уи zi}
(ср. с п. 3.4). Упорядоченная пара г/i и z\ вводится приемом
Куратовского: это множество Xi, элементами которого являются
неупорядоченные пары {уи у^} и {уи zi}. Таким образом, мы
приходим к формуле
ЯУгЯ^Л'^г = {Уг' 2j«V"г/г = {«/,. y,}'A'^2 = {yt, 2,}"),
которая будет сокращенно записываться в виде
и читаться «д;1 есть упорядоченная пара с первым элементом г/i и
вторым элементом 2i». Сокращенные записи подформул в формуле
взяты в кавычки; позже мы перестанем это делать.
Окончательно, высказывание ^x=yXz» может быть записано
в виде
yfx, (х.^х *--*ду,дг, (l/.G«/A2,GzД«X, = {у„ 2,)«)),
чтобы в последний раз напомнить читателю о вольностях записи,
напишем эту же формулу по всем канонам S't:
YX, ((G(-x,x))—(дг/, (g2. (((G (i/,«/))A(G(2,2)))A(g«/, (g2, (((у« ((G
Ш(«-^.)) --*(Н («I/.)) V(=(«2j))))A(V" ((е(иг/,))—>(=(«!/,))))) A
A(v« ((e(«2,))*—((:= ("«/,)) V(= Ю))))))))))).
Упражнение: где находится открывающая скобка, парная
к пятой от конца закрывающей скобке?
В § 1 гл. II будет указан алгоритм для решения таких
вопросов.
3.8.
«/ — отобрао/сение множества и в множество и». Прежде всего,
отображения (или функции) отождествляются со своими
графиками: иначе их не удается- рассматривать как элементы универсума.
Следующая формула последовательно накладывает на f три
ограничения: / есть подмножество uXv; проекция f на ы совпадает
со всем и; каждому элементу из и отвечает ровно один элемент
из v:
V2>GMg«,go,(«,GMAOiei;A"2-=(u„ o,)")))Ay«, («,G«—
—до,д2(t;,GoA"2=(u., о,)"A2G0)Av«.Y».¥»2 (g^xg^, (2,GfA
Упражнение: написать формулу «/ есть проекция ухг
на Z».
2-1 17

3.9.
«X — конечное множество». Конечность далеко не является
примитивным понятием. Вот ее определение по Дедекинду; «не
существует взаимно-однозначного отображения / множества х на его
собственное подмножество».
Формула:
~lHf С/= отображение х в ^"Av«.V"2Y»iV»2 (("(«.. i;>Gf"A
Л«(«=. v,)a-'Al («.=«.))-^П (у,=у,))Ла«.(«1ед:А
Сокращение "(ы„ o,)Gf'' означает, конечно,
ЗУ (««/=:(и, v.YAy^)-
3.10.
«X — целое неотрицательное число». Естественными
представителями натуральных чисел в универсуме фон Неймана служат,
конечные ординалы, так что нужная формула может выглядеть так:
«X вполне упорядочено отношением е «Д» х конечно».
Это определение сразу дает естественный порядок
натуральных чисел.
Упражнение: подумать, как написать формулы «x+y=z»
«хг/=2», где X, у, z — целые числа ^0.
После этого можно будет обычным образом написать
формулы «X — целое число», «х — рациональное число», <х —
вещественное число» (по Кантору или Дедекинду) и т. д. и затем построить
формальную версию анализа. Записи приемлемой длины будут
получаться лишь при периодических расширениях языка LjSet
(см. § 8 гл. И). Например, в L'lSet нет возможности написать
термы—имена чисел 1, 2, 3,... (0 есть имя 0), хотя можно построить
формулы «X—конечный ординал из 1 элемента», <х — конечный
ординал из 2 элементов» и т. д. При таких окольных способах
выражаться простейшие числовые тождества будут иметь
невероятную длину, но, конечно, для логики важна принципиальная
возможность их написать.
3.11.
«X — топологическое пространство». В формуле придется явно
упомянуть топологию X. Зададим ее, скажем, множеством у всех
открытых подмножеств х. Запишем для начала, что у состоит из
подмножеств х и содержит х и пустое подмножество:
Пересечение w любых двух элементов и, v из у открыто, т. е.
принадлежит у:
Р^'. уыуоу^ {{u^y/\v^yl\-^z{{z^u/\z&)*—*z&D))-^wSy)-
18

труднее написать «объединение любого множества открытых
подмножеств открыто». Напишем сначала:
Р,: V" (и& *—► Y^ (v^u-^vGy)),
т. е. «Z есть множество всех подмножеств у».
Далее,
Это значит (с учетом Рз, определившей z): «если « — любое
подмножество у, т. е. множество открытых подмножеств х, то
объединение W всех этих подмножеств поинадлежит у, т. е. открыто».
Окончательная формула может выглядеть так:
p^/\p.Ay^(p.-p*)-
Следуюш,ие наблюдения над ней будут отражены в точных
определениях в § 1 и 2 гл. II.
Буквы X, у во всех Р, используются в одном и том же
значении, тогда как z играет разные роли: в Pi это подмножество х,
а в Рз и Р4 — множество подмножеств х. Мы можем позволить
себе это потому, что как только мы «связали» г квантором у,
скажем, в Pi, Z перестала обозначать индивидуальное, хотя и
неопределенное множество, а стала време.аяым обозначением «любого
множества». Коль скоро «область действия» квантора у
кончилась, Z можно использовать в новом значении. Чтобы «освободить»
Z для дальнейшего употребления, у 2 поставлен и перед Ps-^Pi
Переводы арго — Li Ar
ЗЛ2.''.\;<г/'':д2(г/=(л:+2)-|-!)• Учесть, что переменные суть
имена (неопределенных) неотрицательных целых чисел.
3.13. "х—делитель г/" :дг(£/ = .\;-2).
3.14. "л: —простое]|число": „Т<х" Л ("г/ —делитель ,jc"—►(«/=
^Wy=x)).
3.15. "Большая теорема Ферма":
уХ.у.Х,у.Х,уЫ {^^2<U^/\^^X^,-{-X", = x\^'~^^^X,X,X, = 0<^).
Неясно, как написать в LiAr формулу x'^i-{-x^z=x^3- Конечно, для
каждого конкретного и=1, 2, 3, ..., в L'lAr есть соответствующая
атомарная формула, но как сделать и переменной? Это не
тривиальная задача. Только недавно было доказано, что можно найти
такую атомарную формулу р{х, и, у, Zi, ..., Zn), что утверждение
gz, „. g2„ р{х, ..., Zn) в области натуральных чисел равносильно
у=х^. После этого x^^l-\-x^^2=x^з можно будет перевести хоть так:
2* 19

Существование такой р — нетривиальный теоретико-числовой факт,
так что здесь сама возможность перевода становится
математической задачей.
3.16. «Гипотеза Римана». Для понимания этого примера необходимо
некоторое знакомство с аналитической теорией чисел.
Дзета-функция Римана K(s) определена в полуплоскости Res>l рядом
2 п.~^- Она мероморфно продолжается на всю комплексную плоскость значе-
НИИ S. Гипотеза Римана состоит в утверждении, что нетривиальные нули t,{s)
лежат на прямой Res=l/2. В таком виде, конечно, гипотеза Римана не
переводится на язык LiAr. Однако известен ряд чисто арифметических утверждений,
доказуемо эквивалентных гипотезе Римана. Простейшее из них, возможно,
формулируется так.
Пусть (i(«)—функция Мебиуса на целых числах ^1: она равна О, если п
делится на квадрат, и (—l)', где г — число простых делителей п, в противном
случае.
Тогда имеем
l/2+e
Гипотеза Римана ф:=^ уг > Одхуг/ \ У'^ Х^ ^ ^>. (п) <Су
V п=1
Справа не цел лишь показатель степени, но е можно заставить пробегать лишь
числа вида 1/z, z>l, z — целое, и затем возвести требуемое неравенство в
степень 2z. Формулу
уже можно перевести на язык LiAr, хотя и не совсем тривиально.
Два последних примера мы привели для того, чтобы показать,
насколько сложными могут быть задачи, формулируемые на языке
LiAr, несмотря на кажущуюся простоту его выразительных средств
и семантики.
В заключение этого параграфа сделаем несколько замечаний
о языках высших порядков.
3.17. Языки высших порядков. Пусть L — любой язык первого
лорядка. Его выразительные средства принципиально ограничены
в одном важном отношении: нет возможности говорить о
произвольных свойствах объектов теории, т. е. о произвольных
подмножествах множества всех объектов. Синтаксически это отражается
в запрете формулировать выражения, скажем, вида ур(р(х)),
где р — отношение ранга 1. Отношения обозначают
фиксированные, а не переменные свойства.
Правда, некоторые свойства выразимы с помощью
неатомарных формул. Скажем, в ЦАг вместо «х четно» можно написать
•^у(х= {I +1)'у). Однако имеется континуум подмножеств целых
чисел, но всего счетное множество выразимых свойств (§ 2 гл. II),
20

так что заведомо не все свойства выразимы формулами. Стало
быть, запрещенное выражение ^р{р{х)) полностью нельзя
заменить никакой последовательностью выражений Р\{х), Рг{х),
Рз{х), ...
Языки, в которых допускаются кванторы по свойствам и (или)
но функциям (а также, возможно, по свойствам свойств и т. д.),
называются языками высших порядков. Один такой язык L'z Real
мы рассмотрим в гл. III для иллюстрации метода форсинга Коэна
Б упрощенном варианте.
Тем не менее такого же расширения выразительных возможно-
-стей можно достичь, оставаясь в классе языков 2'i.
Действительно, в языке Ц Set можно говорить о любых подмножествах любых
множеств, т. е. о свойствах, и свойствах свойств и свойствах
систем свойств ... (с трансфинитным продолжением), не выходя за
пределы формализма первого порядка. Кроме того, любой
конкретный ориентированный язык высшего порядка,
предназначенный для описания структурированных множеств, можно перевести
на язык L'lSet, сохранив смысл и истинность в стандартной
интерпретации. (Видимым исключением были бы языки для описания
классов Геделя—Бернайса и «больших» категорий, но они,
кажется, осуждены оставаться языками первого порядка при нынешнем
уровне понимания парадоксов.)
Внимательный читатель отметит следующее. В L, Set можно
написать формулу, в которую входил бы квантор у по всем
подмножествам целых чисел (конечных ординалов). Но в L'lSet нельзя
написать формулы, которые бы явно описывали многие
конкретные подмвожества, потому что их имеется континуум, а формул
всего счетное количество. В гл. II мы коснемся этих проблем
ближе, обсуждая парадокс Сколема.
Итак, в языки первого порядка (и в особенности в язык Li Set)
заложены почти все фундаментальные логико-множественные
принципы, используемые в повседневной работе математика.
Поэтому они будут основным объектом изучения в этой книге.
Конкретные ориентированные языки могут, однако, быть оформлены
иначе, с большими или меньшими отступлениями от правил 2'i.
Кроме L'aReal мы рассмотрим в качестве примеров таких языков
в гл. II SELF (язык Шмульяна для самоописания) и SAr —язык
арифметики, для которого удобно доказывать теорему Тарского
о невыразимости истинности.
Отступление о синтаксисе
1. Важнейшая общая черта большинства искусственных
языков— возможность задать богатый спектр средств выражения
конечным и небольшим числом порождающих принципов.
21

в каждом конкретном случае выбор этих принципов (включая
алфавит и синтаксис) есть результат компромисса между двумя
крайностями.
Экономия выразительных средств ведет к унификации записи
и упрощению механического анализа текста. Однако она удаляет
тексты от текстов на естественных языках и очень удлиняет их.
Обогащение выразительных средств приближает искусственные
тексты к естественным, но усложняет синтаксис и формальный
анализ. (Ср. машинные языки с языками программирования типа
Алгола, Фортрана, Кобола и т. п.)
Приведем несколько примеров на нашем материале.
2. Диалекты ^[. а) Не меняя логики, заложенной в S'l, мы
могли бы обойтись в алфавите без скобок и любого из двух кванторов,
а все связки заменить одной \ (конъюкция отрицаний) (кроме
того, константы можно было бы объявить функциями ранга О,
а функции свести к отношениям).
Это достигается следующим изменением определений. Если ^,,..
...,ir—термы, /—операция ранга г,/?—отношение ранга г, то ff;...tr—
терм, pt^...t^ — атомарная формула. Если Р, Q — формулы, то | PQ,
ухР — формулы. Содержательно | PQ означает "не Р и не Q", так
что на этом диалекте имеем следующие выражения:
1(Р): 1РР, (P)A(Q): i jPPjQQ, {P)\/{Q): \ \PQ.\PQ.
Видно, как экономия на скобках и связках ведет к многократному
повторению одной и той же формулы. Тем не менее доказательства
теорем о таком языке iMoryT упроститься за счет сокращения спи-:
ска его синтаксических норм. i
б) Язык теории множеств по Н. Бурбаки [5] содержит в алфа-|
вите знак □, t, V» "l» => S ^ буквы. Выражения в этом языке,]
однако, суть не просто последовательности знаков алфавита, но]
последовательности, в которых некоторые элементы объединены!
в пары (надстрочными соединителями). Пример: |
-Aien^'GD^"
Главное отличие языка Бурбаки от L, Set состоит в наличии
"символа выбора Гильберта". Если, скажем, ^ху есть формула "х —
I 1
элемент I/", то tGHj^ есть терм, который означает "некоторый
элемент множества y^^.
Язык Бурбаки не слишком удобен и не получил
распространения. Он стал известен в популярной литературе благодаря при-
22

меру сокращенной записи терма «единица», неосторожно
приведенной авторами:
.,m^^)iEU){u={U, {0}, Z)Af;c{0}X^A(Y-^)((xG{0}).^
гФ (ЗУ) а^' У) е ^)л (у-^) ш (y^O
(Цх, у)^и/\{х,у')G(f/) z^{у^у')) Л (уг/) ((г/ ^Z)^ (gx ((.v,r/) Gf^)))-
Полная запись этого терма содержала бы несколько десятков
тысяч знаков; для «единицы» этого, пожалуй, многовато.
в) Очень значительным расширением выразительных
возможностей почти любого языка класса 2'i было бы разрешение
формировать «классовые термы» типа {х\Р{х)}, которые обозначали
бы «класс всех объектов х, обладающих свойством Р». Эта идея
была использована Морзом в языке теории множеств и Шмулья-
ном в языке арифметики (см. § 10 гл. II).
3. Общие замечания. Для большинства естественных и
искусственных язьжов харакл-ерны дискретность и линейность
(одномерность) .
Восприятие внепшего мира человеком не ощущается нами ни
как дискретное, ни как линейное, хотя эти характеристики
прослеживаются на уровне физиологических механизмов (кодирование
импульсами-спайками в нейронных сетях). Однако языки
общения тяготеют к последовательному разворачиванию информации
в серию различимых элементарных знаков. Вероятно, главной
причиной этого является значительно большая (теоретически
неограниченная) степень однозначности и воспроизводимости
информации, чем это достижимо при других способах ее передачи (ср.
часто обсуждавшиеся преимущества цифровых ЭВМ перед
аналоговыми.)
Но человеческий мозг явно пользуется обоими принципами.
Целостное восприятие образов, а также эмоции связаны, скорее, с
нелинейными и недискретными процессами, возможно, волновой
природы. Интересно с этой точки зрения проанализировать
нелинейные фрагменты различных языков.
В математике к ним относится, в первую очередь, употребление
чертежей. Оно, однако, почти не поддается формальному
описанию, за исключением отщепившейся и формализовавшейся теории
графов. Граф — исключительно популярный объект, минимально
удаленный как от своего целостного пространственного образа, так
и от описания по всем правилам теории множеств. Всякий раз,
когда с задачей удается связать граф, обсуждение резко
упрощается и большие фрагменты словесного описания заменяются
манипуляцией с картинками. Менее известный класс примеров —
коммутативные диаграммы и спектральные последовательности
гомологической алгебры. Типичный образец — «лемма о змее». Вот ее
точная формулировка.
23

Пусть дана (заключенная в рамку) коммутативная диаграмма
абелевых групп и их гомоморфизмов, у которой строки являются
точными последовательностями:
О -^Kerf-^Kerg^ Kerb -]
J
Cokerf ^''Cokerg^Cokerh—- 0
Тогда ядра и коядра «вертикальных» гомоморфизмов f, g, h
встраиваются в шестичленную точную последовательность, как
показано на чертеже, причем вся диаграмма из сплошных стрелок
коммутативна. Морфизм — «змея» Кег/г->Сокет /, обозначенный
пунктирной стрелкой, и есть основной объект, который строится
в лемме.
Конечно, диаграмму «со змеей» легко описать последовательно
на подходящем более или менее формальном линейном языке.
Однако такая процедура требует искусственного и неоднозначного
разрыва связей двумерной картины (как при сканировании
телевизионного изображения). Более того, отсутствие целостного
образа мешает узнаванию аналогичной ситуации в других
обстоятельствах и оформлению ее в единый блок.
Детство гомологической алгебры сопровождалось увлеченным
распознаванием полезных классов диаграмм. Интерес к ним
поначалу был даже преувеличенным: ср. добавление редактора к
русскому переводу книги А. Картана и С. Эйленберга
«Гомологическая алгебра» [22, с. 466—473].
Имеется, вероятно, уникальный пример целой книги с
сознательно введенной двумерной (блочной) структурой: Ч. Линдси,
С. ван дер Мюйлен «Неформальное введение в Алгол-68» [23].
Она состоит из 8 глав, каждая из которых разбита на 7 параграф
фов (в числе которых для соблюдения системы восемь пустых!)i
Пусть (i, /) —имя /-Г0 параграфа t-й главы, тогда книгу можно
изучать «по строкам» матрицы (i, /) или по ее «столбцам», в
зависимости от намерений читателя.
Как и все великие предприятия, это плод попытки решить, по
всей видимости, неразрешимую задачу, ибо, по замечанию авторов,
Алгол-68 нельзя описать для того, как он уже описан.

Глава II
ИСТИННОСТЬ И ВЫВОДИМОСТЬ
1. ЛЕММА ОБ ОДНОЗНАЧНОМ ЧТЕНИИ
Основное содержание этого параграфа — лемма 1.4 и
определения 1.5 и 1.6. Лемма гарантирует однозначность расшИ'
фровки термов и формул любого языка класса S^i и служит
основой большинства индуктивных рассуждений. Читатель может
принять ее на веру, если он сумел самостоятельно проанализировать
последнюю формулу в п. 3.7 гл. I. Важно помнить, что
конструкция любого формального языка начинается с заботы о
недвусмысленности синтаксических правил.
Начнем со стандартных комбинаторных определений, чтобы
фиксировать терминологию.
1.1. Пусть А — некоторое множество. Последовательностью дли-
йы п. из элементов А называется отображение множества.{1, ..., «}
в А. Образ i при этом отображении называется i-м членом
последовательности. Значению «=0 отвечает пустая последовательность.
Последовательности длины 1 иногда будут отождествляться с
элементами А. '
Последовательность длины п записывается также в виде
ui, ..., Ui, ..., Un, где Ui — ее t-й член. Число i называется номером
члена а,. Если Р^^{аи .... Un), Q==(6i, .... Ьщ)—две
последовательности, их соединением PQ называется последоватс4льность
(ai, ..., а„, bi, ..., bm) длины т + п, t-й член которой есть а^- при
i^n, bi-n при n+i^i^n+m. Аналогично определяется соединение
конечной последовательности последовательностей.
Вхождением последовательности Q в Р называется любое
представление Р в виде соединения PiQPz. Подставить
последовательность JR вместо данного вхождения Q в Р — значит построить
последовательность Pi\RP2-
Пусть П+, П~—^два непересекающихся подмножества в {1, ...
,.., «}. Отображение с: П+-^П- называется скобочной биекцией,
если оно биективно и удовлетворяет условиям:
а) c{i)>i для всех ^Я+;
б) для каждого i условие /^[t, c{i)] равносильно с(/)е
e[i, с(0].
1.2. Лемма.
Для данных П+, П-, если скобочная биекция существует, то она
единственна.
Эта лемма будет применяться к выражениям в языках класса
Si'. Я+ —номера мест в данном выражении, на которых стоит
открывающаяся скобка, П-—номера мест, на которых стоит закры-
I 25

вающая скобка, отображение с сопоставляет каждой открывающей
скобке соответствующую закрывающую.
Доказательство. Пусть функция 8 : {1, .... п)—>-{0, ±1} принимает
значение 1 на Я+, —1 на П- и О в остальных местах. Утверждается, что тогда для
каждого i^n+, любой скобочной биекции с: П+—>-Я- и люббго k (\^k^
^c{i)—i) выполнены соотношения
с (/) с U)-k
Доказав их, мы установим лемму, ибо получим следующий рецепт,
однозначно восстанавливающий с по П+, П- : c{i) есть наименьшее l>i, для кото-
/
рого 2 ^ (/) = 0-
/='■
Первое соотношение следует из того, что элементы Я+ и П~ входят в
отрезок [t, c(i)] только парами (у, с(/)) и 8(у)+8(с(у)) =0. Для доказательства
с U) - k
второго допустим, что для некоторых i, k имеем ^ 8(у)^0. Так как
1=1 \
с (I) -k
8(0 = 1, ТО 2 8(у)<0. Значит, на отрезке [i+1, c(i)—k} число элементов
/=i + i
из П- строго больше, чем из П+. Пусть с(уо)еЯ~ — такой элемент на этом
отрезке, что yo^[t4-l, c(i)—k]. Тогда y'o^t, даже yo<i, ибо c(i) лежит вне
отрезка. Значит, лишь одни член пары /о, с(уо) лежит в [i, c(t)], что
противоречит определению с.
1.3. Пусть теперь А — алфавит некоторого языка L класса 5*!
(см. § 2 гл. I). Конечные последовательности элементов А суть
выражения этого языка. Некоторые выражения были отмечены
как формулы или термы.
Напомним, что из определений § 2 гл. I вытекает следующее:
а) любой терм языка L является либо константой, либо
переменной, либо представляется в виде f{ti, ..., U), где f — операци?
ранга г, а tu ..., U — термы меньшей длины;
б) любая формула языка L представляется либо в вид|
p{h, ..., tr), где р—отношение ранга г; ti, ..., U — термы мень
шей длины, либо в одном из семи видов:
(P)^->(Q), (P)->(Q), iP)\/iQ),
(P)A{Qh 'MP), Y^(P)' H-^l^»
где P, Q — формулы меньшей длины; x — переменная.
Отсюда индукцией по длине получается такой результат: если
выражение Е является термом или формулой, то между
множеством П+ номеров открывающих скобок в нем и множеством П- на
26

меров закрывающих скобок существует скобочная биекция. Дейсг*
вительно, новые скобки в п. 1.3а, б находятся в естественной биек-
ции, а старые (скрыты в сокращенных записях ti, .... tr, Р, Q)
допускают такую биекцию по индуктивному предположению.
Кроме того, новые скобки не разрезают пар старых.
Теперь мы можем сформулировать основной результат
параграфа.
1.4. Лемма об однозначном чтении.
Каждое выражение языка L является либо термом, либо фор'
мулой, либо ни тем, ни другим.
Эти альтернативы, а также все альтернативы, перечисленные
в п. 1.3а, б являются взаимоисключающими.
Каждый терм (соответственно формула) представляется точно
в одном из видов, описанных в п. 1.3а (соответственно п. 1.3,6), и
однозначно.
Кроме того, по ходу доказательства мы установим, что если
некоторое выражение является соединением конечной
последовательности термов, то оно представляется в таком виде однозначно.
Доказательство. Проведем индукцию по длине
выражения и опишем неформально алгоритм синтаксического анализа,
однозначно выясняющий, какая из альтернатив имеет место.
а) Если в выражении Е нет скобок, то оно является либо
термом-константой, либо термом-переменной, либо не термом и не
формулой.
б) Если в выражении Е есть скобки, но не существует
скобочной биекции между открывающими и закрывающими скобками, то
Е не является ни термом, ни формулой.
в) Пусть в Е есть скобки и скобочная биекция между ними.
Тогда Е либо однозначно представляется в одном из девяти видов:
/(fo) (/ — операция); р(£'о) (р— отношение);
(£j^_(EJ; (F,)-»(£,); {Е,)\/[Е.у,
{Ег)А(Е,У, 1(^з); У-^(^з); Н-^(^з).
либо не является ни термом, ни формулой. Подразумевается, что
; выписанные пары скобок связаны единственной скобочной биекци-
ей, по предположению существующей в Е: это и обеспечивает
! однозначность. В самом деле, вид f{Eo) получается, если первый
! элемент выражения есть операция, второй—^ скобка ( , а
последний— парная ей скобка), и только в этом случае, и т. д.
Таким образом, мы свели задачу к синтаксическому анализу
выражений меньшей длины £0, -^ь Ez, Е3, Это почти завершает
описание алгоритма, потому что относительно Ей Ez, Е3 нужно
выяснить, являются ли они формулами. Однако относительно ^о
нужно выяснить, является ли это выражение соединением термов
в надлежащем числе и однозначно ли это представление.
27

Ответ положителен. Следующий рецепт позволяет последова-
тельно отделять слева термы в соединении термов.
г) Пусть ^о — некоторое выражение, между скобками котэрого
есть скобочная биекция. Если представление ^о в виде Щ'о, где
t — терм, существует, то оно однозначно.
Действительно, ^о либо однозначно представляется в одном иа
видов:
(х —переменная, с —константа, f —операция, скобки связаны
единственной скобочной биекцией в Ео), либо вообще не пред
ставляется в виде tE^o, где t — терм.
В случаях Е^хЕ'о или сЕ'о это, очевидно, единственный способ
отщепить терм слева. В случае Еа=1{Е"о)Е'а вопрос сводите»
к анализу того, является ли E"q соединением термов в количестве
ранг /. Индукция по длине ^о позволяет предположить, что ответ
либо отрицателен, либо положителен и тогда Е"о разлагается в со-
единении термов однозначно. Лемма доказана.
Упражнение: сформулировать и доказать лемму об одно-
значном чтении для «бесскобочного» диалекта ^\, описанного
в гл. I «Отступление о синтаксисе», п. 2а.
Вот первые индуктивные рассуждения, описывающие
противопоставление свободных и связанных вхождений переменной в
термы и формулы. Корректность следующих определений
обеспечивается леммой 1.4.
1.5. Определение.
а) Всякое вхождение переменной в атомарную формулу или
терм свободно.
б) Всякое вхождение переменной s "1 (Р) или в {Р^:^{Р^ (}¥■—
любая связка) свободно (соответственно связано) в точности
тогда, когда свободно (соответственно связано) соответствующее
вхождение в Р, Pi или Р^.
в) Всякое вхождение переменной х в Чх{Р) и gx(P) связано.
Вхождения остальных переменных s ух(г) и ах(Р) таковы, же^
как соответствующие вхождения в Р.
Пусть дано вхождение квантора у (или д) в формулу Р. Из
определений следует, что вслед за ним в Р входит переменная и
открывающая скобка. Выражение, начинающееся с этой
переменной и кончающееся соответствующей закрывающей скобкой,
называется областью действия данного (вхождения) квантора.
1.6. Определение.
Пусть дана формула Р, свободное вхождение переменной х в Р
и терм t. Мы говорим, что данное вхождение х не связывает /, в Р,
если оно не лежит в области действия ни одного квантора вида.
дг/ или YU' ^^е у — переменная, входящая в t. \
28

Иными словами, после подстановки t, вместо данного
вхождения X все переменные, входящие в t, останутся свободными в Р.
Чаще всего приходится подставлять терм вместо каждого из
свободных вхождений данной переменной. Важно, что такая
операция переводит термы в термы и формулы в формулы (индукция
по длине). Если каждое свободное вхождение л в Р не связывает t^
мы будем говорить просто, что х не связывает t, в Р.
1.7. Работать с определениями 1.5 и 1.6 мы начнем в
следующем параграфе. Здесь ограничимся некоторыми интуитивными
пояснениями.
Определение 1.5 позволяет ввести важный класс замкнутых
формул. По определению, это — формулы без свободных
переменных (их называют еще суждениями). Интуитивный смысл понятия
замкнутой формулы таков. Оно отвечает вполне определенному
(в частности, в отношении истинности или ложности)
высказыванию: имена неопределенных объектов теории используются только
в контексте «все объекты х удовлетворяют условию ...» или
«существует объект у со свойством ...». Наоборот, незамкнутая
формула хег/ или 3 ^ (х^у) может быть истинной или ложной в
зависимости от того, какие множества нарекаются именами х, у (для
первой); у (для второй). Истинность или ложность понимаются
здесь для фиксированной интерпретации языка, как это будет
объяснено в § 2.
Определение 1.6, в частности, устанавливает правила гигиены
при перемене обозначений. Если в данной формуле мы хотим
назвать неопределенный объект х другим именем у, то обязательно
нужно позаботиться о том, чтобы х не фигурировало в тех частях
формулы, где это имя у было уже использовано в качестве
обозначения произвольного неопределенного объекта под знаком
квантора. Иными словами, х не должен связывать. Более того, если
мы хотим сказать, что х получился посредством каких-то операций
из других неопределенных объектов (х=терм от уи ..., уп), та
имена уи ..., Уп не должны быть связаны.
Близкая параллель к этим правилам из языка анализа: вместо
X X
[ f (у) dy можно спокойно написать (" / (г) dz, но не следует писать
i 1
X
^f{x)dx: переменная л: связана "в области действия знака /( )d{ )".
1
2. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ; ИСТИННОСТЬ; ВЫРАЗИМОСТЬ
2.1. Пусть задан язык L класса 2'i и некоторое множество (или
класс) М. Задать интерпретацию языка L в М — значит указать
способ придания смысла формулам L как высказываниям об
элементах М.
2»

Точнее говоря, интерпретация ф языка L в М состоит из набора
отображений, которые сопоставляют термам и формулам языка
элементы М или структуры над М (в смысле Бурбаки). Эти
отображения делятся на первичные, которые собственно и определяют
интерпретацию, и вторичные, которые естественно и однозначно
восстанавливаются по первичным. Сами эти отображения, а иногда
и их значения мы также будем называть интерпретациями.
Перейдем к систематическим определениям. Элементы
алфавита L будем иногда называть символами. Обозначение
интерпретации ф мы будем включать в обозначения связанных с ней
отображений или опускать его в зависимости от контекста.
2.2. Первичные отображения.
а) Интерпр_етация констант есть отображение множества
символов констант (алфавита L') в М, которое символу с ставит в
соответствие ф(с)еМ.
б) Интерпретация операций есть отображение множества
символов операций (алфавита L'), которое каждому символу / ранга г
ставит в соответствие функцию ф(|/) на МХ ... ХМ=М^ со
значениями в М.
в) Интерпретация отношений есть отображение множества
символов отношений (алфавита L'), которое каждому символу р
ранга г ставит в соответствие подмножество (f{p)^M^.
Вторичные отображения. Интуитивно, мы хотим
интерпретировать переменные как имена «общего элемента» множества М,
которым можно придавать конкретные значения из М. Терм /(xi, ...
Хг) мы хотим интерпретировать как функцию ф^/) от г
аргументов, пробегающих значения из Af и т. п.
Чтобь! дать точное определение, введем интерпретационный
класс М:
М'=класс всех отображений в М множества символов
переменных в алфавите L'. _
Таким образом, каждая точка %^.М ставит в соответствие
любой переменной х ее значение ф(х) (|)eAf, которое мы чаще будем
обозначать просто х|.
Это позволяет рассматривать переменные как функции на М
со значениями в М. Более общо:
2.3. Интерпретация термов есть сопоставление каждому терму t
функции ф (/) на М со значениями в М. Оно определяется
индуктивно следующими соглашениями:
а) если с — константа, го ф(с) есть постоянная функция со
значением, которое определено первичным отображением;
б) если X — переменная, то ф(х) есть >ф(^) (5) как функция от^;
в) если t=f{ti, ..., tr), то для всех |еМ
ф(0(Ю=Ф(0(<р(^1)а).---. Ф(^-)Ш).
30

где 'ф(^г)(^) определены по индуктивному предположению,
а ф (/) : М^-^М заданы первичным отображением.
Вместо (p{t){l) мы будем для краткости писать иногда t^-
2.4. Интерпретация атомарных формул. Всякой формуле Р
языка L' при интерпретации ф приписывается ее функция истинности
\Р\^. Это — функция на интерпретационном классе М,
принимающая только значения О («ложь») и 1 («истина»). Для
атомарных формул она определяется так:
\p{t. ди^)=Р' ''•"^^^' iD^^iP)'
-{;■
иначе.
Интуитивно высказывание р об именах tu ..., U объектов из М
становится истинным, если объекты, названные именами ti, ..., U,
удовлетворяют отношению, именем которого является это
высказывание.
2.5. Интерпретация формулы. На неатомарных формулах
функция истинности определяется индуктивно следующими
соотношениями (скобки и указание на <р и | для краткости опущены):
|P^^Q| = |P||Q|+(1-|P|)(1-|Q|):
P-d—)-Q истинна, когда либо Р я Q обе истинны, либо Р а Q обе
ложны;
|P-.Q|=1-|P| + |P||Q|:
P-^Q ложна, только когда Р истинна, а Q ложна;
PVQI=max(:P|, |Q|):
РУ Q ложна, только когда обе Р, Q ложны;
|PAQ| = mm(|P|, IQI):
Р/\Q истинна, только когда обе Р, Q истинны;
\-\Р1 = 1-\Р-
~\ Р ложна, только когда Р истинна.
Наконец, при введении кванторов происходит следующее. Пусть
l^M, X — некоторая переменная. Назовем изменением % по х
любую точку 1'^М, для которой у =у^', если у — любая
переменная, отличная от х. Тогда
I v^P I (^) = min IРI (Г); | Н-^Р i (^) =тах | Р | {^'),
где I' пробегает все изменения i| по х.
Корректность определений 2.3—2.5 обеспечивает лемма об
однозначном чтении.
31

Мы будем называть формулу Р f-истинной, если | Р | (5) = 1 для
всех ? G ^- Интерпретация ср (или М) называется моделью
множества формул е, если все элементы е ф-истинны.
2.6. Пример: стандартная интерпретация LiAr. Это — интерпре-
jraujiH во множестве N целых неотрицательных чисел, при которой
О, 1 интерпретируются как О, 1 соответственно; +, •, = как
сложение, умножение и равенство соответственно.
2.7. Пример: стандартная интерпретация LiSet. Это—^
интерпретация в универсуме фон Неймана V (см. приложение), при
которой 0 интерпретируется как пустое множество, е как отношение
■«быть элементом», ^ как равенство.
Все примеры перевода в гл. I относились к этим стандартным
•интерпретациям. Связь образцов перевода с нынешними
определениями такова. Пусть П(дс, у, z) высказывание на арго о
неопределенных множествах х, у, z из V; Р{х, у, z) —перевод П на язык
LiSet. Тогда для любой точки g, интерпретирующей х, у, z как
ямена множеств х\ у^, г^ из универсума фон Неймана, имеем
Л.{х^, /, г^) истинно <^z:^\P{x, у, г)|(5)=1.
Таким образом, каждая формула выражает некоторое свойство
объектов интерпретационного множества:
2.8. Определение.
Множество S^M^, r^l, называется ((-выразимым (формулой Р
<в языке L' относительно интерпретации (р), если суи^ествуют такие
переменные Xi, ..., Хг, что
\Р\^{^)=\^::^{х\ xl)^S.
Проникновение в структуру множеств:
х^-истинных формул в языке L';
(^-выразимых множеств в У}М''
принадлежит к числу важнейших задач о формальных языках.
2.9. Пример. Выразимые посредством LiAr множества относи
тельно стандартной интерпретации — это наименьший класс мно
жеств в и N'', который
а) содержит все множества вида
{{k,,...,k.)\F{:k,,...,kr)=Q)^Nr,
где F пробегает многочлены с целыми коэффициентами;
б) замкнут относительно конечных пересечений, объединенй
'И дополнений (в своем N^);
в) замкнут относительно проекций pri: N^-^N^^ (подразуме
вается, что число переменных языка бесконечно):
priik^, ... , К^) = (к,,.. , К|_1, Л;+1, ... , «г/*
32

в самом деле, множества типа а) выражаются атомарными
формулами t^i=it^2, где ^■'^i—терм, отвечающий сумме всех
одночленов F с положительными коэффициентами, а Fa — с
отрицательными.
Далее, если Sj, S^C.N'' выразимы формулами Pj, Pj с
одинаковыми свободными переменными, то Sifl^a выразимо PjAPj, 5ilJ5,
выразимо Р, V^2> ^^V'^j — формулой. 1Р,. Наконец, множество
от-г (5i) выразимо формулой длг; (Pj).
Связки —, ■<—»• и квантор у не дают ничего нового, ибо, не
меняя выражаемого множества, их можно заменить комбинацией уже
рассмотренных логических операций: ул: на "] дл: 1 и т. п.
Это — лишь первоначальное оогисание арифметических, т. е.
LiAr-выразимых множеств. Из него непосредственно нельзя
усмотреть выразимости многих конкретных множеств например
множества простых чисел в N (см. пример 3.14 гл. I), множества
неполных частных -при разложении у^2 в непрерывную дробь
или множества пар {(г, г-я цифра в десятичном разложении
«)}c:iV2.
Однако, как мы покажем в § И, «номера истинных формул
арифметики» образуют еще гораздо более сложное множество,
и оно невыразимо.
Приведем теперь несколько простых технических результатов.
2.10. Предложение.
Пусть Р — формула в языке L, ср — его интерпретация в М,
^. ^' G ^' Предположим, что для всех переменных х, имеющих
свободные вхождения в Р, х^, совпадает с х^'. Тогда \Р\ (?) =
2.11. Следствие.
Замкнутые формулы Р в любой интерпретации определены
в отношении истинности: | Р L (^ не зависит от t
Доказательство, а) Пусть t — некоторый терм и пусть для любой
переменной X, входящей в /, имеем x'=x'. Тогда лемма 1.4 и индукция по
длине t дают i^ = i^'.
б) Утверждение 2.10 верно для атомарных формул Р вида p{t\, ..., i^r).
В самом деле,
vO, в противном случае
и аналогично для |P|(J'). Но если J и |' совпадают на всех переменных,
входящих (обязательно свободно) в Р, то тем более они совпадают на всех
переменных, входящих в ii, и по условию а) имеем '^i= Ц > t=l, ..., г. Значит,
1^'!(£) = !Р|(Г).
3-1 33

в) проведем теперь индукццю по общему числу связок и кванторов в Р.
Если Я имеет вид ~\Q, или Qii^Q^, то вывод 2.10 для Р из 2.10 для Q, Q,, Qj
тривиален.
Пусть теперь Р имеет вид у* СЭ) и 2-10 верно для Q (случай дх (Q)
разбирается аналогично или сводится к ух заменой дх на "Iv'^l)*
Имеем по определению
П, если I Q 1 (■»)) = 1 для всех ■r^, изменений | по х,
IV^^I^^)=\0 иначе,
\\, если IQI (■^')= 1 для всех ■^', изменений ^' по х,
(О иначе.
Разрешим в правых частях этих равенств изменять т] и т)' также по всем
переменным, не входящим свободно в Q. Утверждения после слова «если» останутся
истинными или ложными в этой более широкой области значений, если они
были истинны или ложны раньше по индуктивному предположению для Q. Но
тогда Т1 и Ti' будут пробегать одинаковые области значений, потому что | н |',
отличаются как раз по переменным, не входящим свободно в Q, и еще по х.
Предложение доказано.
Следующий почти очевидный факт лежит в основе многих
явлений, свидетельствующих о неадекватности формальных языков
интуитивным представлениям (ср. ниже «Парадокс Сколема»):
2.12. Предложение.
Мощность. Мощность класса ср-выразимых множеств не
превышает
Xj-f-card ({константы} U {операции} U {отношения}!)
(card обозначает мощность).
Доказательство. Если в языке < к, переменных, то в нем
не более к, -}- card ({константы} IJ {операции} \J {отношения})
формул. Если же множество переменных несчетно, то каждое
выразимое множество может быть ^выражено формулой, переменные
которой входят в раз навсегда фиксированное счетное
подмножество переменных.
2.13. Следствие.
Если М бесконечно и card ({константы} [j {операции} IJ
{отношения}) ■< 2'^'^'' , то "почти все"' множества невыразимы.
Таким образом, единственный способ выразить все
подмножества уИ — набрать огромное количество имен-констант в языке. Для
языков, отражающих реальные математические рассуждения, это
нереалистический рецепт. По существу, любой финитно
описываемый набор средств выражения дает возможность выразить только
счетное число множеств. Технически, однако, бывает удобно
включать в алфавит языка, скажем, имена всех элементов М.
В следующих параграфах мы приступаем к систематическому
изучению множеств истинных формул.
34

3. СИНТАКСИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ИСТИННОСТИ
Пусть L — язык класса 5?,, 9—его интерпретация, T^L —
множество ip-истинных формул. В этом параграфе мы перечислим те
свойства Т L, которые отражают заложенную в языки £^ логику
независимо от конкретных особенностей интерпретации <?■
3.1.
Множество TJ^ полно. По определению это означает, что для
любой замкнутой формулы Р, либо Р, либо ~]Р лежит в Т L.
Это следует из утверждения 2.11.
3.2.
Множество Т L не содержит противоречия, т. е. ни для
какой формулы Р не может быть, чтобы Р и ~]Р лежали в T^L.
Действительно, Г^Ь = {Р | ] Р |^= 1}, а П Р i, = 1 -1Р |^.
3.3.
Множество Т L замкнуто относительно применения правил
вывода MP (Modus Ponens) и Gen (Generalization — обобщение).
По определению это означает, что если Р и P—*Q лежат
в Г L, то также Q лежит в T^L; если Р лежит в Т L, то ухР
для любой переменной х лежит в TJL. Проверка почти очевидна:
если |Р|^=1 и |Р—»Q]^=1, то обязательно jQ!^p= 1; если |Р]^(Е) =
= 1 для всех S, то и | ул;РЦ?)= 1.
Формула Q называется непосредственным следствием формул
Р, P-^Q по правилу MP.
Формула ул;Р называется непосредственным следствием
формулы Р по правилу вывода Gen.
Интуитивный смысл .правил вывода следующий. Правило MP
отвечает элементарному рассуждению типа: Если верно Р и верно,
что из верности Р следует верность Q, то верно Q. Таким o6pa30iM,
можно сказать, что семантика выражения «если ..., то»
естественных языков распределяется между семантикой связки-^ и правила
вывода MP в языках класса S'l.
Это часто не учитывается и приводит к недоразумениям при
объяснении правил приписывания истинности формуле P-^-Q.
Правило Gen соответствует практике записи тождества или
универсально верных утверждений в математике. Когда 'Мы пишем
{a+b)'^^a'^ + 2ab + b^ или «в прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов», кванторы уауб, у
(треугольник) опускаются. Восстановление их не меняет
истинности, но высвобождает связанные обозначения.
3* 35

3.4.
Множество Т L содерж:и.т все тавтологии. Чтобы определить
тавтологии, введем сначала понятие логического- многочлена над
множеством формул е: это элемент наименьшего 'множества
формул, содержащего е и замкнутого относительно конструкции
формул с ио'мощью логических связок.
Последовательность формул Р\, ..., Р^ и 'представлений
каждой из формул Pi в виде "] Q или Q\ >{< 'Q2, где Q, Qi Q2 лежат
в е и {Р\, .. ., Pi-\}, называется представлением Рп в виде
логического многочлена над е. Представление Рп не обязательно
определено однозначно: например, если 8= (Р, Q, P-^Q}, то P-^Q
имеет два представления.
Пусть I ]: е-^{0, 1} — любое отображение. Если задано
представление г формулы Рп в виде логического многочлена над е, то
можно рекурсивно определить \Pn\r относительно этого
'Представления, пользуясь формулами п. 2.5.
Формула Р называется тавтологией, если существует такое
множество формул г и такое представление Р в виде логического
многочлена над &, что \Р\т^1 для любых отображений 1 1 ; е-^
-{О, 1}.
Та'втологичность эффективно распознаваема, ибо
синтаксический анализ Р позволяет перечислить все 'представления Р как
логического многочлена.
Принадлежность тавтологий к Т L очевидна.
Вот первые примеры тавтологий:
А.О. Р-^Р,
А.1 P^{Q-*P),
А.2. (P^(Q^R))-.{(P-.Q)^{P-.R)),
А.З. (~]Q-.-\P)-.({-i^Q-.F)-.Q),
B.i. -\-\p-.p, p-^-\-\p,
B.2. -\P-^{P-*Q).
Здесь P, Q, R — любые формулы L; вид формул указьшает на то
представление тавтологий в виде логического многочлена над
{Р, Q, R}, которое имеется в виду.
Тавтологии — это рассуждения, истинные, независимо от ис-
тинно'сти или ложности своих составных частей. Проверка тавтоло-
гичности требует достаточно удачного выбора этих частей.
В.1—это закон исключенного третьего: двойное отрицание
равносильно утверждению.
В.2 — это 'Механизм, с помощью которого противоречие в
'некотором множестве формул е языка L приводит к выводимости
любой формулы и тем самым разрушает .всю систему (см.
приложение 4.2 ниже.) Продемонстрируем три варианта проверки тавто-
логичности простой формулы А.1.
36

Вариант А. По формулам л. 2.5 имеем
|p^(Q^P)| = 1-\р\ + \Pf,Q^P\ = 1-\Р\ +1P1(1-1,Q1 +'
-\-\P\\Q\) = l,
пбо\Р\'=\Р\. ,.
Вариант Б. Протабулируем \P-^(;Q~^P)\ в зависимости от
\р\,т--
l^'l
0
0
1
1
1Q1
0
1
0
1
\P-*Q\
1
1
0
1
1 Р^ {Q-»P) 1
1
1
1
1
Это — образец «таблиц истинности».
Вариант В. Основное свойство связкн->-состоит в том, что
P-^Q ложно, только если Р истинно, а Q ложно. Если бы
P-^{Q-^P) оказалось ложным, то Р было бы истинным, а Q-^P
ложно, откуда, в свою очередь, Q истинно, в Р ложно —
противоречие.
Читателю рекомендуется проверить тавтологичность более
сложных формул (скажем, А.2) и решить, какой вариант ему
больше нравится.
3.5.
Множество T^L содержит "логические аксиомы, с кванторами'^,
т. е. формулы
а) ^х{Р —*Q)—*{P—*^xQ), если все вхождения х ъ Р связаны;
б) Y-^n^^—^~]'^хР;
в) л^хР{х)—*Р{1), если X не связывает терм t ъ Р {аксиома
специализации). Здесь P{t) означает результат подстановки t
вместо всех свободных вхождений х в Р.
В остальном формулы Р, Q произвольны.
Проверку ф-истинности формул 3.5 мы проведем в п. 3.7. Их
интуитивный смысл более или менее ясен. Аксиома специализации,
например, означает, что если Р{х) верна для всех х, то верна и
P{t), где t—название любого объекта. Условие, чтобы х не
связывала t, — гигиеническое правило при 'перемене обозначений.
Множество
AxL =: {тавтологии L} \J {аксиомы с кванторами}
называется множеством логических аксиом языка L.
37

Будем называть для краткости гёделевым любое мйожество
формул е языка L, которое полно, не содержит противоречия,
замкнуто относительно применений правил вывода MP и Gen и
содержит все логические аксиомы языка. Зафиксируем основной
результат обсуждения:
3.6. Предложение.
Множество истинных формул языка (в данной интерпретации)
гёделево.
В § 6 мы докажем, что и, наоборот, любое гёделево множество:
является множеством истинных формул в подходящей интерпрета-
ции. Таким образом, гёделевость — это максимальное приближение
к 'ИСТИННОСТИ, которого можно достичь «безотносительно к смыслу>>.
3.7. Проверка истинности аксиом 3.5.
а) Пусть i? — формула 3.5а. Допустим, что |i?|(|)=0 для некоторой gsJ0
я придем к противоречию.
Действительно, тогда | V* (■^-^ Q) I (Ю = 1 а \ Р -* V^Q I (S^ — ^' Из второго
равенства следует, что |Р|(5)=1 и | yxQ | (^) = 0. Пусть ^'—такое
изменение 5 по X, что I Q I (^') = 0. Тогда | Р | (^'j = | Р | (|1 = 1 в силу предложения
2.10, ибо X не входит в Р свободно. Значит, \Р—>-Q|(|')=0> но это
противоречит тому, что 1 V* (^ "^ Q) I (ч) = 1-
б) Для всех gsM и изменений %' точки | по х имеем
Y X -^ Р\Ю = тах\ -[ Р\ (1-) = I = \-min\P\(V),
1Э^Р\( |) = l-min|Pl(n-
Значит, значения истинности \/х ~\ Р и ~\ дхЯ совпадают, а потому ух ~1 Р*—>
<—► ~\ дхР тождественно истинна.
в) Пусть I ухР (х) -* Р (t)] (5) = Q для некоторой точки ^^М. Выведем
отсюда противоречие. Действительно, тогда
ухР(х)|(5)=1; |Р(/)|(^)=0.
Из первого равенства следует, что |P(x)|(g')^l Для всех |' — изменений |
DO X.
Возь.мем в качестве |' такое изменение, для которого х^ =:Р. Если мы
докажем, что | Р (t) \ (^) = |Р (х) | {^'), то получим желаемое противоречие.
Установим этот результат индукцией по общему числу связок и
кванторов в Р.
Bi) Пусть Р —атомарная формула p(ii, ..., /„). Последовательно находим,
обозначая через й результат подстановки t вместо всех вхождений х в ti'.
fi = х^' (по определению ^');
Ч ^^ ^1 (индукцией по длине ti).
в.>) Пусть Р есть ~\Q или Qi^Q^, где >|< связка. Так как по
предположению X не связывает / в Р, то же верно для Q, Qi, Q2 и нужный индукционный
шаг производится автоматически.
38

Вз) Пусть, наконец, Р есть gi/Q или yt/Q. Разберем первый случай; второй
разбирается аналогично.
Подслучай 1. у^х. Тогда х связана в Р; поэтому P(x)^P(t) и
IPH^^I'f'l (?') по предложению 2.4.
Подслучай 2. «/=5=^^;. Индуктивное предположение имеет вид: | Q(0 I (т]) =
= |QWIOl'). ^сли ц' —такое изменение ц по х, что х^'= f^, Ц —любая
точка из М.
Нужно доказать совпадение следующих двух значений истинности (где g,
Е' определены, как выше):
|3^WI(^')={
1, если I Q (х) I {i\') = 1 для некоторой vj', изменения %' по у,
О цначе.
(1, если I Q (f) I {f\) = 1 для некоторой ч\, изменения % по у,
^ \0 иначе.
Напомним еще, что %' —такое изменение \ по х, что х^' — t^-
Предположим сначала, что второе значение истинности равно 1. Выберем
ц^М так, что IQ (О 1(11)^1. и построим такое изменение т]' точки Т1 по х, что
x'i'=/''. Тогда по индуктивному предположению 1 = |Q(/) | (г]) = |Q(x) | (т)').
Покажем, что ц' есть изменение |' по у; отсюда будет следовать, что и первое
значение истинности равно 1. В самом деле, т]' получилось изменением т] по х,
Г] — изменением g по г/, а g — изменением g' по х. Значит, ti' есть изменение |'
по X и у; нужно проверить, что изменение по х на самом деле не произошло:
х^'=х^'.
Действительно, левая часть есть <1 по определению vj', а правая часть естч
t^ по определению |', но vj получилось изменением ^ по у, & у не входит в t,
ибо X не связывает t ъ Р = "gyQ.
Осталось проверить, что если второе значение истинности равно О, то и
первое равно 0. Рассуждения почти такие же. Если второе значение истинности
равно О, то |С(01(Л)=0 для всех Т1 — изменений g по у. По каждому такому
1] построим т]', как в первой части доказательства. Как выше, проверяется, что
т)' является изменением |' по у и, более того, пробегает все такие изменения,
когда т] пробегает все изменения g по у. Значит, и первое значение истинности
равно 0.
Предложение доказано.
Отступление об естественной логике
1. Предметом логики не является внешний мир, но лишь
системы его осмысления. Логика одной из таких систем —
математики — в силу своей нормализованности представляет подобие
жесткого трафарета, который можно накладывать на любую
другую систему. Соответствие или расхождение этого трафарета
с системой, однако, не служит критерием ее пригодности либо
мерилом ценности. Физик не обязан быть ни последовательным, ни
непротиворечивым — он должен эффективно описывать природу на
39

определенных уровнях. Тем менее логичны естественные языки и
непосредственная работа сознания. Вообще логичность как
условие эффектив'ности появляется лишь в узко специализированных
сферах человеческой деятельности.
Не имея нормативной силы, сравнение логики предикатов с
логикой естественных языков или их подсистем может оказаться
интересным и поучительным. Ниже приведены избранные данные
лингвистики и психологии.
2. Б. Расселл, К. Дёман, Рейханбах, У. Вейнрейх и многие
другие занимались выявлением в естественных языках категорий,
которые формализованы в языках класса S'\ и каталогизацией
способов их передачи.
Это приводит к разбиению слов на так называемые логико-
семантические классы В)место традиционного деления на глаголы,
имена, артикли и т. д. (А. В. Гладкий, И. А. Мельчук [24, § 6]).
Например, слова спать, умный, плакса параллельны символам
отношений (предикатам) ранга 1, слова любить, приятный,
сестра—отношения ранга 2. Им отвечают атомарные формулы
«Л^ опит», «X приятен Y» и т. п.
Все, иногда, нечто суть кванторные слова, и, или, но, если...
.. .то, — конечно, связки.
«The nose, le cadeau» суть константы «этот нос, этот подарок:».
Эффект константности достигается с использованием семантики
определенного артикля. В русском языке «нос, подарок» суть
скорее переменные для обозначения предметов, удовлетворяющих
одноместному предикату «быть носом», «быть подарком».
Возможны, впрочем, и другие толкования.
Местоимение «он», несомненно, является переменной.
Местоимения я и ты имеют гораздо более сложную семантику,
соотносясь с высказывающимся лицом, которое не выражено в
безличных языках S'l. Некоторые из аспектов местоимения первого
лица включены в семантику алгоритмических языков. «Ключ
памяти» надлежащего вида в программе для IBM-360 открывает
программе возможность изменить содержимое какого-либо байта
в блоке основной памяти. Защита памяти спрашивает: «Кто там?»,
и программа отвечает: «Это я». Наконец, уже в языках 5'i
удается смоделировать некоторые эффекты самоописапия (см. §§ 9—И
и последующее отступление об аутореферентности).
Или в русском языке выражает не только логическое V- но
также строгую дизъюнкцию и даже по ощущению лингвистов, /
иногда конъюнкцию Л> например во фразе «х^>0 при д:<0 или
при л>0» (Е. В. Падучева). В латыни функции разделительного
и нераздел'ительного «или» выражаются разными словами aut,
vel. «И» может выражать временную последовательность: ср.
фразу «Джейн вышла замуж и родила ребенка» с «Джейн родила
ребенка и вышла замуж» (С. Клини).
40

Конъюнкция л в разных языках может выражаться:
соположением: ма мо (кит.) —лошадь и осел; shika kitabu
usome (суахили)—возьми книгу (и) читай;
предлогом: Петя с Машей;
союзом: и, and, et;
постпозитивной частицей: que (лат.)—senatus populusque—
сенат и народ;
парным союзом: как ... так и
К. Дёман каталогизировал способы выражения 16 логических
многочленов от двух переменных во м'ногих языках мира.
3. При всей любопытности собранного материала, его следует
воспринимать критически: тонкости употребления при сравнении
с логикой часто ускользают. Разберем в качестве примера
естественную семантику связки «если .. .то».
Мы уже отмечали, что в языках 2'\ ей соответствует не только
«-^», .но также правило вывода MP. Более того, MP является
более адекватным представителем для «если. ..то».
В самом деле, правило приписывания истинности любому
импликативному высказыванию с заведомо сложной посылкой
почти не имеет параллелей в естественной логике. Кочующие по
учебникам примеры типа «если снег черен, то 2X2^5» способны
лишь дезориентировать, ибо выражения с такой семантикой не
реализуются ни в одной естественной подсистеме языка.
Исключением могут быть поэтические и экспрессивные формулы с крайне
ограниченной сферой употребления («если Она неверна, то весь
мир лжив»). Формальная математика, в которой одно
противоречие разрушает всю систему, безусловно, имеет черты
гиперэкспрессивности.
Наконец, в логике предикатов совершенно не отражен
модельный аспект употребления «если..то» в предписаниях типа «если
это произойдет, то поступайте так-то». Зато он хорошо выражен
в семантике связки «if... then ... else ...» в алгоритмических
языках типа Алгола. Попытки моделировать модальность в языках,
построенных по образцу 2'\, без учета опыта алгоритмических
языков приводят к явным неудачам (ср. А. А. Ивин [25],).
4. Неоднократно отмечалось, что выбор примитивных средств
выражения в логике предикатов не отражает психологической
реальности. Элементарные логические операции, одношаговые
выводы требуют весьма тренированного интеллекта; напротив,
логически сложные действия могут совершаться как почти
элементарные целостные акты даже поврежденным сознанием.
«Мл. лейтенант Засецкий, 23 лет, получил 2 марта 1943 года
пулевое проникающее ранение черепа левой теменно-затылочной
области. Ранение... осложнилось воспалительным процессом,
вызвавшим слипчивый процесс в оболочках мозга и выраженные
изменения в окружающих тканях мозгового вещества».
41

профессор А. Р. Лурия встретился 'С Засецким в конце мая
1943 года и следил за его состоянием в течение 26 лет. За это
время Засецкий написал около 3000 страниц, с мучительным
трудом описывая свою жизнь и болезнь, борясь за восстановление
разума. Его тетради, по материалам которых А. Р. Лурия создал
книгу «Потерянный и возвращенный мир» [26], являются не
только свидетельством высокого мужества, но и документом
большой выразительности.
Нарушения психики Засецкого поначалу ужасны. Над всем
доминирует асемасия — разрывы связей между знаком и его
значением.
Первая встреча Засецкого 'с врачом: «Попробуйте прочитать
эту страничку! «—»... Нет, что это? ... не знаю ... я не понимаю,
что это ... Нет ... какое это? ... — «Ну, лопробуйте посчитать
что-нибудь простое, 'например сложите семь и шесть!...»—
«Семь ... шесть ... как же это ... семь... 'Нет, я не могу ... нет,
я совсем 'не знаю ...».
Утрачено понимание простейших предикатов:
«Что бывает иеред зимой?» — «Перед зимой ... или после
зимы .. . лето ... или что-нибудь ... нет. Это у меня не выходит ...» —
«А перед весной?» — «Перед весной ... сейчас весна ... а вот
до ... или после ... я уже теряюсь ... нет ... у меня не выходит ...»
Нарушается интерпретация смыслоорганизующих кодов
синтаксиса:
«В школу, где училась Дуня, с фабрики пришла работница,
чтобы сделать доклад». Что это? Кто же сделал доклад? Дуня?
Работница? А где училась Дуня? И кто пришел с фабрики?
И куда?»
Это трудный пример (текст А. Р. Лурия), но вот что пишет
сам Засецкий: «А еще: «слон больше мухи» и «муха больше
слона» ... Я понимал только, что «муха» маленькая, а «■слон»
большой, но разобраться в этих словах и ответить на вопрос, муха
меньше слона или больше, я почему-то не мог. Главная же беда
была в том, что я не мог цонять, к чему относится слово «меньше»
(или «больше») — к 'Мухе или слону ...».
Обращает на себя внимание сложность метаязыкового текста,
описывающего языковые нарушения. Точ'ность анализа нарушений
кажется 'несовместимой с грубостью нарушений, которые
анализируются. Это можно было бы объяснить тем, что анализ
ретроспективен, но вот описание в «астоящем времени, еще более
глубокое: «... Я снова 'Припоминаю лро понятия «муха меньше слона»
или «муха больше слона». Берусь думать над ними, пак они
должны правильно пониматься и как неправильно. От
перестановки слов в этих понятиях изменяется смысл понятия. Мне же они
кажутся на первый взгляд одинаковыми, словно ничего не
изменяется от перестановки этих слов. А подольше подумаешь, заме-
42

чаешь, что or перестановки слов изменяется смы'сл указанных
четырех слов (слон, муха, меньше, больше). Но мой мозг, моя
память после ранения и до сих иор не в силах сразу охватить,
к кому отнести слово меньше (или больше) — к слону или к мухе?
Перестановок даже в этих четырех словах очень много».
Это сохранение сложных психических способностей -при утрате
«простых» видно и на образцах творческого воображения Засец-
кого, близких к литературно-'психологическим этюдам: «Вот-
я врач. Я осматриваю больного, сердечно обеспокоен его
состоянием, болею за него всей душой, ну как же, ведь это же человек,
такой же, как и все, но только он сильно болен, ему надо помочь.
Ведь я тоже могу болеть, и мне тоже кто-то должен -помочь, а
теперь вот надо помочь этому больному. Иначе 'нельзя. А вот я
другой врач. Ох, и надоели мне эти больные со своими жалобами.
Я не знаю, зачем я связался с этой медициной. Мне яе хочется
ничего делать, не хочется никому помогать. Правда, я, помогаю
больше тем, кто и 'Мне оказывает какую-нибудь 'помощь. И «е
беда, если умрет какой-нибудь больной, не в первый раз они
умирали и умирают».
Все это .показывает полную неосновательность мнения Дж. Рос-
сера [6]: «Когда доказательство открыто и записано иа языке
символической логики, его может проверить любой слабоумный
(moron)».
Человеческая психика эффективно работает отнюдь «е при
проверке формальных текстов.
4. ВЫ'ЮДИ'МОСТЬ
4.1. Определение.
Выводом формулы Р из множества формул е (в языке L класса
S'l) называется конечная последовательность формул Р\, ..., Рп=
= Р со следующими свойствами: для каждого i=l, ..., п
выполнена по крайней мере одна из альтернатив:
а) Pi^ef,
б) д/ <С i такое, кто Р,- непосредственно следует из Pj по Gen,
в) а/, k<^i такие, кто Р,- непосредственно следует из Pf,
Pfe по MP.
Мы будем кратко писать s|—Р вместо „суш,ествует вывод Р из
8». Вывод Р, сопровождаемый для каждого i^n точным
указанием 'на то, под какую из альтернатив а), б), в) попадает
формула Рг и каковы номера i, j, k в случаях б), в), называется
описанием вывода. Один вывод может допускать разные описания.
Чаш,е В'сего рассматриваются выводы из множеств е, содержа-
ш,их AxL — логические аксиомы языка L. Дополнительные элемен-
43

ты 8 могут быть формулами L, истинность которых в стандартной
интерпретации «угадана», — они называются специальными
аксиомами L. (Примеры будут даны ниже в етп. 4.6—4.9.) Такие выводы
рассматриваются как формальные эквиваленты математических
доказательств (формулы Р = Рп исходя из посылок е). Имеются
следующие основания для этого отождествления:
а) Как показано в п.3.3, если sCT^ для некоторой
интерпретации 9 и s|—Р, то P^TJu: из истинных формул выводятся
только истинные же.
б) Была проделана большая экспериментальная работа по
формализации математических доказательств, т. е. ио замене их
выводами 'В соответствующих языках класса S\, в частности
Li Set. Констатировано, что для огромных фрагментов математики,
включая основы теории целых и вещественных чисел, теории
множеств и т. д., формализация доказательств .в виде выводов в
рамках 2'\ удается. В литературе 'по логике имеется много материала
на эти тему (ом., в 'частности, книгу Э. Мендельсона '[2]).
в) Теорема Геделя о полноте логических средств 2'\ (см. § В)
показывает, что все формулы, истинные одновременно с s (во всех
интерпретациях), выводимы из е.
Дальнейшее обсуждение см. в «Отступлении о доказательстве».
Рассматриваются также выводы из множеств е другого типа.
Например, можно исключить из е некоторые логические аксиомы,
скажем, «Закон исключенного третьего» (В.1, п. 3.4) для
формального исследования интуиционистских принципов. Или можно
включать в е предположительно ложную формулу, с тем, чтобы вывести
из 8 противоречие, рассуждая «от противного».
Продемонстрируем формальные аспекты противоречия:
4.2. Предложение.
Допустим, что 8 содержит все тавтологии типа В.2, п. 3.4. Тогда
следующие два свойства г равносильны:
а) существует такая формула Р, что е\— Р и s\- ~\Р;
б) S |— Q для любой формулы Q.
Множество е с такими свойствами называется противоречивым.
Доказательство, б) п^а) очевидно. Наоборот, если t[-P
и з\— ~\Р, то, добавляя к описаниям этих выводов формулу IР —*
— (P — Q), по предположению лежащую в s, и дважды применяя MP
(к ней и iP; к P~>Q и Р), получаем описание вывода Q из s.
4.3. Значительная часть теорем логики состоит в доказательстве
утверждений вида „е |— Р" или „не s f- Р" для разных языков L,
множеств S и (классов) формул Р.
Результат „е |— Р" может доказываться посредством
предъявления описания вывода Р из е. Однако в мало-мальски сложных
случаях оно оказывается настолько длинным, что заменяется ии-
44

струкцией по составлению такого описания, более или менее
полной. Наконец, доказательство «е| —Р» может вообще не
сопровождаться предъявлением вывода Р ;из е, хотя бы и неполного,
В этом случае мы «не доказываем Р, а доказываем, что
существует доказательство Р» (см, пример в § 8 о расширениях языка).
Результат ,не s |— Р" в редких случаях может устанавливаться
чисто синтаксическим рассуждешем, но обычно доказательство
опирается на конструкцию модели, т. е. интерпретации, в которой е
истинно, а Р ложно (ср. обсуждение проблемы континуума в г л, III).
Если „не е [—Р" и „не е|—^Р", формула Р называется
независимой от е.
Приведем два полезных элементарных результата о выводах.
Видно, что .по сравнению с обычными доказательствами выводы
собраны из очень мелких деталей. Математик, как в семимильных
сапогах, за один шаг покрывает целые поля формальных выводов,
4.4- Лемма.
Пусть S содержит тавтх>логии. Если в\- Р и е|— Q, ffws|—
Доказательство, Если Рь ..,, Рщ', Qi, •>■, Qn—выводы
Р и Q соответственно, то
Р„,..,Р,, Q„,.,,Q„; P->(Q-(PAQ)). Q-(PAQ), PAQ
есть вывод PAQ, Третья от конца формула — тавтология, вторая
от конца .непосредственно следует по MP из нее и Pni^=P,
последняя — по MP из второй и Qn^^'Q-
4.5. Лемма о дедукции.
Пусть S Ц) Ах L и Р — замкнутая формула. Если ^{J {Р}\— Q,
то в|-Р->QT
Доказательство, Пусть Q,,,., ,Q„ — вьшод Q из s у {Р}.
Индукцией по п покажем, что существует вывод P—*Q из s.
а) п=1. Тогда либо Qee, либо Q = P. В первом случае P-^Q
выводится 'ПО MP из Q и тавтологии Q-^{P~^Q), во втором случае
Р-^Р есть тавтология,
б) /г 5й 2. Предположим, что для выводов длины < п — 1 лемма
доказана. Тогда s|—'^"'Qt Д-^я всех /</г—1. Далее, для Q„:=Q
имеются следующие возможности:
6i) Qee; 62) Q=P; 63) Q выводится по MP из Qu Qj=
= Qi-^Q; 64) Q имеет вид Y-^Q/ Лля j<n— 1.
Случаи 6i) 'Я бг) разбираются точно так же, как при п=1,
В случае бз) вывод P-^Q из е имеет такой вид:
1) вывод P-bQi (индуктивное предположение);
2) вывод P-^(Qi-^Q) (индуктивное предположение);
3) (P^(Qi^Q))^((P^Qi)^(P-^Q)) (тавтология);
45

4) {P-^Qi)-^{P-^Q) (MP к (2) и (3)); •
5) P-^Q (MP к (1) и (4)).
В дальнейшем такие рассуждения будут проводиться более
кратко, с указанием л'ишь последних шагов вывода (здесь 3, 4, 5),
Наконец, в случае 6J вывод Р—►y-'^^Q/ из s получается, если
добавить к выводу P-^Qj из е (индуктивное 1предположение)
формулы
V^'(^-Q/)(Gen);
Y л: (Р — Q^) — (Р — Y-^Q/) (зксиома в силу замкнутости Р);
Р —Y-^Q/(MP к двум предыдущим формулам).
Лемма доказана.
Отметим для будуш,его, что во фрагментах выводов, которые
строились в леммах 4.4, 4.5, использованы только тавтологии
типов А. О., А.1, А.2 из п. 3.4.
Приведем теперь образцы сггектральных аксиом.
Аксиомы равенства. Пусть L — язык класса S'u в
алфавите которого есть отношение ранга два = . Мы будем писать
t\ = t2 вместо = (^1'^2)-
Если Р — формула, х — переменная, t — терм, мы будем
обозначать через Р\х, t) —результат подстановки / в Р вместо любой
части свободных вхождений х в Р, не связывающих t.
4.6. Предложение.
а) Формулы
t:^ t; t, = t^ -^ t^ = t{. t, = t,/\t^ = t,-*t, = t,; x=t-^ (P {X, X) -^
-^P(x,t))
(f-ucTUHHU для любой интерпретации L, в которой (р( = ) есть
равенство.
б) Все формулы, пункта а) выводимы- из множества AxL \J
и{л::=л:[л переменная} и {л: =г/—»(Р (л", х)—^Р{х, у)), Р атомарные}
Формулы этосо_ списка, за исключением AxL, называются
аксиомами равенства.
в) Пусть ф—любая интерпретация L во множестве М, для
которой аксиомы равенства истинны. Тогда ф( = ) есть отношение
эквивалентности в М, совместимое с интерпретациями всех
отношений и операций L в М. Если обозначить через <р^ очевидную
интерпретацию L в фактор-множестве Л1'=Л1/ф( = ), то ф'( = )
есть равенство, uTJ^^=T^,L.
Набросок доказательства, а) ф-истинность
устанавливается без труда. Ограничимся последней формулой. Пусть она
ложна в точке geAf. Тогда \x=t\{l) = l, |P|(g)=l, \Р{х,
46

^)|(|)=0. Первое утверждение означает, что x^=t^. Но тогда
\Р\{\) = \Р{х, О I (S) 'ПО предложению ,2.10, вопреки -второму и
третьему равенству.
б) Вывод t^=t: к=х (аксиома равенства); у л: (л: = л:) (Gen);
s^x{x=-x)-*t::=t (логическая „аксиома специализации"); ^=^ (MP).
Вьшод ^j:=^jjt—► jjr=^j:
1) х=у'-^{х=^Х'-^у=х) (аксиома равенства для = в
качестве Р);
2) Q->'{(P-^i;Q-^R))-^{P-^R)), где Р есть х=у, Q есть х=х,
R есть у=х (тавтология);
3) х=х (аксиома равенства);
4) {P-^(<Q~^.R))^{P-^R) (MP к (2) и (3));
5) х=у-^у=х (MP к (1) и (4)).
Дальше нуж«о дважды применить Gen, аксиому специализации
и MP, чтобы вывести из (5) формулу tiz=t2-^t2=ti; замена ti
на t2 и наоборот дает вывод '^2=^i-^^i=4; конъюнкция этих
формул выводится по лемме 4.4; наконец, тавтология {ti=t2-^t2=
= i\) Л (^2='^1->^1='^2)-^(^1 = ^2-^—>-t2=ti) вместе с MP дает
требуемое.
Вывод третьей и четвертой формул п.4,6а мы оставляем
читателю. Существование вывода четвертой формулы доказывается
индукцией по числу связок и кванторов в Р; Р представляется в виде |Q»
Q, 4^ Qj или Y-^Q> a-^Q; предполагается, что для Q, Q,, Q^ вместо Р
вывод уже построен; он достраивается для Р (см. Мендельсон
|2, с. 87 — 88]).
г) Из ф-истинности аксиом равенства следует ф-истинность
формул п. 4.6а, так как они выводимы. Первые три формулы
п. 4.6 в применении к трем разным переменным х, у, z
показывают тогда, что отношение ф( = ) на М рефлексивно, симметрично
и транзитивно.
Действительно, пусть X, Y, Z — три любые элемента /И, ^ G
^.М — такая точка, что х^^=Х, г/^ = У, г^ = 2, '>^ — отношение
tp(=) на Ж.ср-истинность формул п.4.6а означает, что Хг^Х;
X'^Y'^^Y'^X; X^Y и Y'^Zz^X^Z.
Совместимость ~ с ф-интерпретацией всех отношений и
операций на М по определению означает следующее.
Пусть р — отношение, (f{P)^M^—его интерпретация. Если
{Хи ..., Хг) еф(р) и X'i^Xi, то (Хь ..., Х'г, ..., X.) еф(р).
Пусть f — операция, <f{f):M^-^M — ее интерпретация. Если
Ф(/) (Хь ..., X,) =У и X'i^Xi, то ф(Г) {Хи ..., Х'г, ..., Х,) = У'~ У.
Проверка совместимости использует «р-истинность последней
формулы п. 4.6а в подходящей точке geM, если взять в
качестве Р формулы p(xi, ..., Хт) и f (^1, ..., Хг) =у соответственно, в ка-

честве t переменную x'i, в качестве х переменную Xi и положить
Из совместимости следует, что можно построить интерпретацию
ф' языка L в М'=М1~, для которой ф'(р) =q5(p)mod '~., ф'(/)=,
=ф(/)то(1 ~, ф( = )—равенство. Из последней формулы п. 4.6а
будет тогда вытекать, что все ф-истинные формулы останутся
ф'-исти'нным'и, и наоборот.
В дальнейшем, говоря о специальных аксиомах любого языка
S'l € символом =; мы будем молчаливо включать в их число
аксиомы равенства для =. Модели, в которых они
интерпретируются как равенство, мы будем называть нормальными.
Специальные аксиомы арифметики
4.7. Предложение.
Следующие формулы истинны в стандартной интерпретации
языка LiAr и называются специальными аксиомами LiAr:
а) аксиомы равенства;
б) аксиомы сложения:
х-\-Ъ=х', х-\-у = у-\-х; {x-\-y)-\-z=x-\-{y-\-z);
x-\~z:=y-\-z^x=y\
в) аксиомы умножения:
x-0 = Q; лг-Т=л;; х-у=^у-х\ {х-у)-г = х-{у-г).
г) аксиома дистрибутивности:
х-{у-\-г)=Х'у-\-х-г;
д) аксиомы индукции:
Р (0) Д ул: {Р (х) ^ Р {х-{-1)) ^ \^хР {х), где Р — любая формула
языка.
Доказательство тривиально, и мы оставляем его читателю.
Отметим лишь, что «доказательство» истинности аксиом индукции
само использует индукцию как метаязыковое рассуждение.
Комментарии, а) В п. 4.7,6—г мы записали обычные
аксиомы коммутативного полукольца для С0'краш,ения формальных
выводов: любое неформальное вычисление, используюш,ее только
эти аксиомы, может быть без труда превраш,ено в формальный
вывод его результата в LiAr.
Э. Мендельсон [2 гл. 3] приводит более слабую систему
аксиом и затем показывает, как из нее выводятся наши фор|Мулы.
Это занимает 5—6 страниц текста и является в основном данью
исторической традиции, восходяш,ей к Пеано.
48

б) Аксиомы индукции — это счетное множество формул LiAr:
принято говорить, что запись предложения 4.7д есть схема
аксиом.
Формулировка соответствующего факта в интуитивной
математике таково: «для каждого свойства целых чисел Р, если О
обладает Р и если из того, что х обладает Р, следует, что х+1
обладает Р, то все целые числа обладают Р». Здесь «свойство целых
чисел» — то же самое, что «произвольное подмножество целых
яисел».
Однако в выразительных средствах LiAr нет 'способа сказать
«любое подмножество». Нет также способа назвать «все
свойства» — можно лишь перечислить по очереди те свойства, которые
выразимы формулами языка. Еще раз напам«им, что их всего
счетное множество, тогда как в интуитивной интерпретации
подразумевается континуум свойств. Таким образом, формальная
аксиома индукции слабее 'неформальной, а также слабее того ее
варианта, который получится при погружении LiAr в LiSet.
Специальные аксиомы теории множеств Цермело —
Френкеля (см. описание V в приложении к гл. II)
4.8. Предложение.
Следующие формулы истинны в стандартной интерпретации
языка Li'Set в универсуме фон Неймана V:
а) аксиома пустого множества: у-^ 1(a:G0);
б) аксиома объемности:
уг (г G л:-^-^ Z G г/) *--л-= I/;
в) аксиома пары:
Yu^w^ л: Y 2 (z G л- <--+ г := ы V 2; = ^)!
г) аксиома суммы:
V-^ai/Y" (32 (« Gг Л 2 G ^) *-- " G г/);
д) аксиома степени:
Y^a«/Y2 (^ С X -^^ Z G г/),
zdezClx — сокращенная запись формулы yiu{u^z^-u^x)-^
е) аксиома регулярности:
ул (—]х= 0—'ау(у^хАуГ]^= 0)).
где у f]x:=0 — сокращенная запись для ~\'^z{z^y /\z^x).
Доказательство и объяснения. Это — неполный
список аксиом Цермело — Френкеля, более тонкие аксиомы бесконеч-
4—1 49»

ности, подстановки, а также выбора будут обсуждены в
следующем пункте.
Доказательства истинности должны, конечно, состоять в вы-,
числении функции | | по описанным ш п. 2.4 и 2.5 правилам.
Проверим так, скажем, истинность аксиомы объемности. Пусть
g — любая точка иитерпретационного класса, Х= х^, У-^^ф.
Тогда мы должны установить, что
Y2 (г G ^v — г G г/) I (?) = I ^v = г/1 (?),
т. е., что
v^m{\Z^X\\Z^Y\-\.{\-\Z^X\){\^\l^Y\))^\X = Y\,
где мы пишем \Z^X\ вместо |гGл:) (?') с г^':= Z, л^':=А' и т. п.
Но левая часть равна 1 в том и только том случае, когда для
каждого ZG^ либо одновременно Z^X и Z^Y, либо одновре-
AiCHHO Z^X и Z^,Y, т. е. когда X-:=Y.
Более общо, заменяя здесь V на любой подкласс M'=V и
ограничивая стандартную интерпретацию LiSet «а М, находим из
того же вычисления: аксиома объемности истинна в М, если и
только если для любых элементов X, УеМ имеем X:=Y^::^XР\М
^=Y(\M, т. е. если каждый элемент М однозначно определяется
теми своими элементами, которые лежат в М.
Мы воспользуемся этим результатом лозже.
Аналогичные вычисления для ©сех остальных аксиам
систематически проведены в гораздо более трудной ситуации в гл. П1.
Поэтому ниже мы ограничимся переводом их на арго, как в гл. I,
и пояснениями относительно их выполнимости ib V.
а) Аксиома пустого множества не нуждается в комментариях.
Заметим лишь, что -при интерпретации LiSet в подклассе M'=V
константу 0 можно было бы интерпретировать любым элементом
Х^М со свойство.м X (\М^=0, не нарушив истинности этой
аксиомы.
в) Аксиома пары истинна, потому что если U, W ^ V^, то
{и, lF}G5^(^J = V^a+i. так что пары лежат в V.
г) Аксиома суммы истинна, потому что если X^V, то
множество Y::=\J Z тоже лежит в V. Действительно, если X^V ,=
z^ "*■
= ^ (^а)' ™ элементы X суть подможества V^ и их объединение
также лежит в V„,\.
д) Аксиома степени истинна, потому что, если Х^, то SF' {Х)^У.
Действительно, если X^V^, то XСУ^ и, значит, 5» (А')С5^ (FJ =
= F^^i, так что &>{X)^V^^^.
50

e) Аксиома регулярности истинна, потому что любое непустое
множество XeF имеет пустое лересечение с некоторым своим
элементом, и в таком виде она доказана в приложении к гл. II
«Универсум фон Неймана».
4.9. Собранные в п. 4.8 аксиомы языка LiSet объединены одним
обЩ'им свойством: в 'стандартной интерпретации их простейшей
моделью служит в точности объединение шо первых этажей
со
V = и ^п универсума фон Неймана. Иными словами, это-—
множество транзитивно конечных множеств XeV, таких, что если
Xn^^n-i^ • • ■ еХо=Х, то все Xi конечны.
V^ —надежный мир комбийаторики и теории чисел; нужны
дальнейшие принципы, чтобы выйти за его пределы. Их два:
аксиома бесконечности и схема аксиом подстановки.
а) Аксиома бесконечности:
2х{0 &х /\уУ {уGx^{у} Gx)).
Здесь {у}^х есть сокращение для а2(2 = {г/. у} А^^х),
сокращение z={y, у} объяснено в п.3.7 гл. I. Эта аксиома заставляет
нас добавить к V какое-нибудь множество, содержащее
элементы 0, {0}, {{0}},... (в счетном количестве). После этого для
обеспечения истинности аксиомы степени в ее содержательном
варианте придется добавлять ^{Х), ^^{Х), ..., безнадежно уходя
за пределы конечных, счетных, континуальных... множеств.
Поразительно, что в формальном варианте теории множеств
это не так, и мы всегда можем ограничиться транзитивно-счет-
ными подмоделя1ми V. Это важное обстоятельство будет подробно
обсуждено ниже, в § 7.
б) Схема аксиом подстановки. Введем следующую удобную
сокращенную запись (в любом языке класса S'l с равенством):
"u^yPd/)' которая означает
WP (у) Л Y^^Y^ {Р {^) АР (у)— х=у).
Таким образом, эта формула читается «существует
единственный объект у со свойством Р», если подразумевать, что = ннтер-
аретируется как равенство.
Если в Р входят свободно другие переменные, кроме у,
истинность формулы "^ly'Piy) означает, что Р задает у как «неявную
функцию» от этих остальных переменных.
Теперь мы можем написать аксиомы подстановки. Ниже в
формуле Р отмечены все переменные, входящие в Р свободно:
уг,... Y2„Y" (Y-^' (xGiU^ а' УР (-'^' У' ^i,..., г„)) -^ a^Y^(У ^
Е ш *-^ а-^' ixGu/\P{x, у, Zj,..., г„)))).
4* 51

Посылка читается так: «Р задает у как функцию от хеи при
любых значениях параметров Zi, ..., z„», заключение: «обзор любого
множества и относительно этой функции является некоторым
м'ножеством w».
Для нужд формальной теории полезно отметить, что из' этой
аксиомы 'И аксиом равенства выводимы так называемые'формулы
выделения:
Y^i... Y^nY^^y {u^y^^uGx/\P{u, z„...r z„)),
т. е. «если класс множеств и, обладающих свойством Р, пересечь
с множествам х, то получится множество».
Аксиома подстановки требует, очень пристального
рассмотрения. Она выходит за пределы пр'ивыч1ных (и потому
рассматриваемых как интуитивно очевидные) рабочих инструментов тополога
и аналиста. Действительно, она утверждает, что, скажем, любой
ординал а нельзя «растянуть» посредством некоторой функции /'
слишком далеко: как ни выбрать /, найдется такой ординал р,
что все значения f{y), у^а, будут лежать в V^, т. е.
бесконечность универсума V несравненно больше, чем бесконечность
любого его этажа V^.
Даже если принять эту аксиому, очень близкие к ней по стилю
вопросы,остаются интуитивно не .постигаемыми 'И не разрешимыми
с помощью «ее и остальных аксиом. Например, существуют ли так
называемые недостижимые кардиналы у}
Одно из свойств недостижимого кардинала х таково: если f —
функция из V в V (с а <""[), то множество ее значений является
элементом F,.. В частности, есть «верхняя граница», за пределы
которой не могут быть растянуты ординалы, не превосходящие у.
Существуют такие бесконечности или нет?
Размышления над этими и подобными проблемами
бесконечности привели 'МНОГИХ апециалистов по основаниям математики
к убеждению, что язык теории множеств типа LiSet и та или иная
система аксиом в нем — единственная реальность, с которой
следует работать, а попытки .придать смысл универсуму V ил'и
аналогичным моделям принципиально обречены на неудачу. В
частности, множество истинных в стандартной интерпретации формул
LiSet не определено, и можно говорить лишь о формулах,
выводимых из аксиом.
Мы не будем принимать эту точку зрения полностью по ряду
причин. Простейшая из них состоит в ощущении того, что язык
без интерпретации не только лишен внутреннего оправдания, но
и не может быть использован ни для чего. Даже в «формальную
игру» с символами мы играем хорошо, только руководствуясь
интуитивными представлениями о смысле этих символов. Язык
52

(вместе с внешним миром) помогает упорядочивать и уточнять
такие представления, что, в свою очередь, заставляет менять язык
или переоценивать прежние лингвистические конструкции. Но ни
3 какой момент мы не можем считать, что достигли пол'ной
ясности.
Последовательное самоограничение заслуживает понимания.
Однако интеллектуальный аскетизм (как все иные виды
аскетизма) не может быть уделом многих.
в) Аксиома выбора;
^х(—\х^=0—*'З.У{г,У — функция с областью определения х" Л
Д Y" (« G л: Л ■"!" = 0 ^ аоУ (оУ G « Л »(«. ои) Gy^^)))),
т. е. у выбирает по одному элементу из каждого непустого
элемента иех.
Вера Б истинность этой аксиомы в V представляется по
крайней мере столь же обоснованной, как вера в сущестВ'Ование
самого V. За 'прошедшие полвека она стала привычной для любого
работающего математика, и бурные споры начала века вокруг нее
сейчас почти не воспринимаются. Мы отсылаем заинтересованного
читателя к книге А. Френкеля и И. Бар-Хиллела [17, гл. 11]|.
4.10. Общие свойства аксиом. При всем разнообразии
связанных с аксиомами представлений, каждое описанное нам-и
множество аксиом в языках 5'i (тавтологии; Ал;Ь; специальные
аксиомы в LiAr и LiSet) обладает следующими неформальными
синтаксическими характеристиками:
а) 1М0ЖНО указать алгоритм, распознающий ло данному
выражению, Я1вляется ли оно аксиомой (ср. синтаксический анализ
в § 1 и проверки тавтологичности в п. 3.4);
б) можно указать конечное число правил порождения аксиом.
Ясно, что априори свойство б) менее ограничительно, чем а).
Действительно, раопоз'нающий алгоритм можно превратить в
правило порождения: «выписывай подряд в словарном порядке все
выражения и оставляй только те, для которых алгоритм дает
положительный ответ».
В действительности, естественно считать, что свойство а)
должно быть присуще аксиомам, а б)—выводимым формулам, какое
бы явное описание тех и других в конкретном языке ни принять.
В гл. П1 эти интуитивные представления будут оформлены в виде
точных определений и будет показано, что б) строго слабее а).
'Ср. также обсуждение в п. 11.6в этой главы.
Отступление о доказательстве
1. Доказательство становится таковым только в результате
социального акта «•принятия доказательства».
Это относится к математике в той же мере, что и к физике,
лингвистике или биологии. Эволюция признанных критериев дока-
53

зательности — почти не исследованная тема в истории науки.?
Однако со времени Евклида неиаменной остается идеальная струк-й
тура математической демонстрации «неочевидной истины»:
переход к ней от «очевидных» или установленных ранее посылок по--
средствам серии явно выписанных «очевидно законных» эЛемен-:
тарных умозаключений. " "■
Таким образом, дедукция как общенаучный метод является,
методом математики par excellence. («Математическая индукция»-
явно восходит к этой же идее. Принцип индукции Пеано
постулирует разрешение писать только первый и общий шаги
доказательства и, таким образом, является по существу 1первьгм метама-*
тематическим принципом. Это затемняется традиционным
отнесением аксиомы Пеано к числу апециальных (п. 4.7д), но так или
иначе она принадлежит к фундаментальным архетипам
математического мышления.)
Чем длиннее дедуктивное рассуждение, тем жестче требования
к эксплицитности и нормализованности его элементарных компо-"
нент. В конечном счете количество исходных данных в формальной
математике так мало, что несоблюдение правил гигиены в длинных
выводах ведет к распаду системы, если ее не корректировать
извне. При индукции, напротив, сравнительно короткие выводы
покоятся на обширном исходном материале: дарвиновскую
концепцию эволюции объясняют школьникам, но жизни едва хватило бы,
чтобы оценить убедительность ее доказательств. Аналогичное
положение дел наблюдается в сравнительном языкознании при
реконструкции праязыковых фактов. Поэтому здесь «правила
вывода» не могут быть столь жестки, несмотря на картину
младограмматиков.
2. Изложенные выше суждения согласуются с тем, что понятие
формального вывода в языках S\ является хорошим
приближением к представлению об идеальном математическом
доказательстве. Поэтому поучительнее рассмотреть различия между
выводами и наш'ими повседневными аргументами.
а) Надежность принципов. Не только математика, заложенная
в специальные аксиомы LiSet и LiAr, но даже логика языков З^х
не является общепризнанной. В частности, носле Брауэра
оспаривается закон исключительного третьего. С этих крайне критических
позиций наши «доказательства» в лучшем случае безупречно
выводят бессмыслицу из лжи.
Быть совершенно глухим к этой критике математик не может
себе позволить; вдумываясь в нее, следует по крайней мере
осознать, что существуют объективно различные «степени
доказательности» доказательств.
б) Уровни доказательности. Каждое предложенное
доказательство апробируется на етр^иемлемость математиками, иногда
нескольких поколений. При этом подлежит уточнению и само до-
54

казательство, и его результат. Чаще всего доказательство является
более или менее краткой схемой формального вывода в
подходящем языке. Однако, как уже было отмечено, иногда утверждение
р устанавливается посредством доказательства того, что
доказательство Р существует. Эта иерархия доказательств
существования доказательств в принципе иможет быть как угодно высокой.
Мы снимаем ее с помощью высших логических или теоретико-
множественных принципов, с которыми, однако, можно и не
соглашаться. Работы по конструктивной математике пестрят
утверждениями типа: «не 'может не существовать алгоритма,
вычисляющего л;» там, где классический математик сказал бы просто
«х существует» или в крайнем случае «л; существует и эффективно
вычислим».
в) Ошибки. Особенности человеческой психики делают
формальные выводы практически не поддающим'ися проверке, даже
если согласиться, что в принципе это идеальный вид
доказательства. Два обстоятельства действуют в одну сторону с губительным
эффектом: формальные выводы гораздо длиннее текстов на арго;
скорость их сознательного чтения человеком гораздо ниже.
Нередки доказательства одной теоремы на пяти, пятнадцати
я даже пятидесяти страницах. Доказательства двух гипотез Берн-
сайда из теор'ии конечных групп занимают около пятисот страниц
каждое. Длина соответствующих формальных выводов не
поддается воображению.
Поэтому отсутствие ошибок в математической работе, (если
они не обнаружены), как и в других естественных науках, часто
устанавливается по косвенным данным: имеет значение
соответствие с общими ожиданиями, использование аналогичных
аргументов в других работах, разглядывание «под микроскопом»
отдельных участков доказательства, даже репутация автора; словом,
воспроизводимость в широком смысле слова. «Непонятные»
доказательства могут сыграть очень полезную роль, стимулируя поиски
более доступных рассуждений.
В последние десятилетия появилось очень мощное средство
для проведения длинных формальных выводов: речь идет об ЭВМ.
На поверхностный взгляд это может резко изменить статус
формального вывода и сделать достижимым Лейбницев идеал
механической проверки истинности. На самом деле положение дел
гораздо менее тривиально.
Приведем сначала два авторитетных мнения на этот счет,
принадлежащие К. Л. Зигелю и X. П. Ф. Суиннертону-Дайеру [32, 33].
Оба высказывались по поводу машинной обработки конкретных
теоретико-числовых задач.
3, Современный уровень наших знаний о большой теореме
Ферма таков. Пусть р — простое число. Оно называется регуляр-
55

ным, если оно не делит числитель ни одного из чисел Бернуллн
о 1 о 1 о
2 6 ' * 30 >'"»^Р-3-
Для регулярных показателей р теорему Ферма доказал Кум-
мер. Для нерегулярных р имеется иерархия критериев истинности
утверждения Ферма, сводящихся к проверке того, что не имеют
места некоторые делимости; если они имеют место, следует
пробовать другие делимости и т. д. Проверка критериев для каждого
р требует большого счета на ЭВМ; по сводке 1955 г. она была
с успехом проведена для всех р<;4002 [32] *.
Обозначим через v{x) отношение числа иррегулярных ^.«,
простых к числу регулярных. Куммер предположил, что у(л;)-^1/2
при х-^сх>. Зигель [34] считает более правдоподобным значение
предела ]/е—1, приводит в его пользу вероятностные аргументы
и срав'нивает с данными Селфриджа — Никеля — Вандивера,
обсуждение которых заключает неожиданной фразой: «Кроме того,
следует принять во внимание, что приведенные выше числовые
значения функции v{x) получены с помощью вычислительных
машин и поэтому, строго говоря, «е могут считаться доказанньш'И»?
4, Точку зрения Зигеля можно объяснить естественной реакцией
на информацию, получен'ную из вторых рук. Ниже следуют
обширные выдержки из статьи профессионального математика и
опытного программиста [33],, посвященной следующей задаче.
Пусть Li, I2, L3 — три однородные линейные формы от трех
переменных с вещественными коэффициентами и определителем А.
Предположим, что нижняя грань |LiL2-^3| на ненулевых целых
точках (исключая начало) равна 1. Что можно сказать о таких
значениях А?
Задача для двух форм от двух переменных была в значительной
мере решена А. А. Марковым: значения Д<[3 составляют счетное
множество{]/9 — 4jn^\n==l, 2, 5, 13, 29,...}. Здесь п пробегает
явно описываемую вычислимую последовательность целых чисел.
Для трех форм Давенпорт (1943) доказал, что А=7, ил'И А=9,
или А>9,1. X. П. Ф. Суиннертон-Дайер в цитируемой статье [33]
вычисляет все значения А^17 в предположении, что их конечное
число, и дает их список: третье равно 1/148, последнее
(восемнадцатое) ]/2597/9. Обсуждая этот результат, он приводит очень
интересное свидетельство: «Если некоторая теорема была
доказана с помощью ЭВМ, оказывается немыслимым так изложить ее
доказательство, чтобы оно удовлетворяло обычному требованию —
дать возможность достаточно терпеливому читателю проработать
его и увериться в его правильности. Даже распечатка всех про-
* К настоящему времени с помощью ЭВМ теорема Ферма доказана для
всех р< 125 000. (Прим. ред.)
56

грамм и входных данных (в нашем случае они заняли бы страниц
сорок весьма скучного чтения) не может гарантировать, что при
реальном счете перфокарты не были ошибочно пробиты или
ошибочно считаны. Сверх того, у любого современного компьютера
имеются скрытые пороки в глухих закоулках программ и
электроники,—столь редко приводящие к ошибкам, что они остаются
не замеченными годами, — и любой компьютер подвержен
случайным сбоям. Как ни редки такие ошибки, некоторые из них могли
случиться в ходе вычислений, о которых мы сообщаем в этой
статье».
Положительные аргументы также весьма любопытны:
«Однако, суть наших расчетов состоит в поисках всего
нескольких иголок в шестимерном стоге сена, и почти весь поиск ведется
Б тех частях стога, где иголок на самом деле нет. Поэтому ошибки
в этих областях не повлияют на конечный результат... я думаю,
что список дискриминантов А^17 полон, и 'немыслимо, чтобы мы
пропустили бесконечно много допустимых значений ^17».
Заключение: «Тем не менее, единственный апособ проверить
эти результаты (если они того заслуживают)—атаковать их
независимо, написав другую программу для другой машины. То'чно
такова же ситуация в большинстве экспериментальных наук».
Отметим, что обработка и отчасти хранение больш-их массивов
оперативной информации вообще вне человеческого мозга
приводит к все яснее осознаваемым социальным проблемам, выходящим
далеко за пределы вопросов о достоверности математических
выводов.
5. Наконец, процитируем впечатление от механических
доказательств, даже проводимых вручную, которое приходилось
испытать многим.
Сформулировав некоторое предложение о том, что „функция
Т™ в определена корректно", сильный и активно работающий мате-
матик Д. Мамфорд пишет [35, с. 230]: «Это предложение
устанавливается с помощью чудовищно длинных, хотя совершенно
бесхитростных выкладок. Проведя их до конца во всех деталях, я
затратил несколько часов, но не стал умнее, а лишь уверился в
правильности определения. Поэтому здесь я опущу подробности».
Мораль: хорошее доказательство — это рассуждение, которое
делает нас умнее.
5. ТАВТОЛОГИИ и БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
5.1. предложение.
Можно указать конечный список базисных тавтологий —
логических многочленов от трех аргументов Р, Q, R со следующим
свойством.
57

Пусть L — любой язык класса З'и ^ — множество всех
формул L, которые получаются из базисных тавтологий подстановкой
вместо Р, Q, R всевозможных формул языка. Тогда любая
тавтология в L выводима из ^ с применением только правила MP.
Выбор базисных тавтологий ни в какой мере 'не однозначен.
Наш список будет состоять из тавтологий А. О, А.1, А.2, А.З, В.1,
В.2 п. 3.4 и следующих тавтологий;
ел. n(P-nQ)->(PAQ), (PAQ)->n(P-nQ);
С.2. (-iP-^Q)-^(PVQ). {P\/Q)--r\P-*Q)\
С.З. P-.(-iQ-n(P-Q));
C.4. {P-.Q)-^{{-\P-^Q)^Q)-
C.5. (nP-^nQ)-^(Q^P);
C.6. {P-*Q)f\{Q-^P)~-{P^-^Q);
C.7. nPAQ->n(P-Q).
Мы экономим не на размере базисного списка, а на длине
доказательства предложения 5.1, поэтому список А.О—С.7 не является
кратчайшим. Для логики S'l это несущественно; лид1Ь для
видоизмененных логик типа интуиционистской требуется более
осторожный анализ.
Доказательство. Пусть е — конечное множество
формул L, Р — логический 'многочлен (с фиксированным
представлением) над 8. Рассмотрим отображение и : 8-^(0, 1} и продолжим
его на Р по тем же формулам, которые в п. 2.3 определяли
функцию истинности I |. Положим
ра I Р, если у(Р)= 1,
ПР, если у(Р) = 0.
5.2. Основная лемма.
Пусть s° = {Q°|QGs}- Тогда для любого и имеем: if U ^"г^Р"
(с помощью MP).
Лемма является оформлением следующей идеи. Естественно
доказывать предложение 5.1 индукцией по длине тавтологии, но
части тавтологии могут не быть тавтологиями. Операция,
переводящая Р в Р^, насильственно делает любую формулу «у-истин-
ной» и дает возможность провести индукцию.
5.3. Доказательство 5.1 с помощью основной леммы.
Пусть Р — тавтология и Р^=Р для всех v (обозначения
прежние). Положим 8={Pl, . . ., Рг).
По основной лемме, f \J {Р°^,... ,Р'\}\-Р с помощью MP для
любого V. Покажем, что тогда f [j {P"i , ■•■ > Р"_^} \-Р с помощью
MP. Индукция в'низ по г даст требуемое (предположение о том,
58

что Р есть логический многочлен от Ри ..., Рг в индуктивном
переходе не используется).
Лемма о дедукции 4.5 показывает, что ^ (J {Р° ,..., Р"_ } ^
1_- (Р",. -^Р) с помощью MP: нужно обратиться к ее доказательству
и удостовериться, что в выводе участвуют лишь тавтологии из ^
и MP, потому что Gen не участвовал в выводе Р.
Так как для любого у существует у', совпадающее с у на Р,,...
..., Pr~i> но отличающееся на Р^, имеем: Р^-^Ри "] ^г~*^ выводятся
йз f и l^"' ••• ♦ ^"_,} с помощью MP. С другой стороны, тавтология
С.4: (Р^ —Р) —((П^г^^)-^Р) лежит в f. Дважды применяя MP,
выводим Р.
5.4. Доказательстве основной леммы. Проведем
индукцию по числу связок в представлении Р в виде логического
многочлена над S. Если их нет, т. е. Р^в, утверждение очевидно.
В противном случае Р имеет вид ~] Р или Q, ^ Q^, где >|< — одна
из бинарных связок.
а) Случай Р=ПС- Если u{Q.) = Q, то Q''='-]Q=:P = P''.
Выводимость 0° = Р'' из f [J в° является индуктивным предположением.
Если же y(Q) = l, то Q°=^Q, P°:=~\~\Q. Здесь Q выводится из
^и^°по индуктивному предположению, затем тавтология из f:
Q—"IIQ и MP дают вывод Р°.
б) Случай P = Q^:^Q^. Сначала сведем в таблицу при разных
сочетаниях >|< и y(Q,), ^(Qs) формулы, выводы которых существуют
по индуктивному предположению, и формулы, которые нужно
вывести.
В столбцах для Д, V указаны такие формулы, из которых
(Q, Д Qj)" и (Q, V Qi)" соответственно выводятся применением MP
с помощью тавтологий из ^ (тавтологии В.1, В.2 п. 3.4).
«Выводимость» в комментариях к таблице означает
«выводимость из ^ и пары формул первого столбца с ламощью MP».
2
0
0
1
1
2
0
1
0
1
Даны
выводы
~\Qi. ~\Q2
-\Qu Q.
Q.. ~\Q^
Qi. Q.
Нужно вывести
-*
1. Q, ^.Qj
2. Q, _>. Q,
3. -| (Qi ^ Q.)
4. Q, ^- Qa
Л
5. -|-|(Qi^-|QO
6. ~l~l(Qi^-|QO
7. -\-\(Qi^-\Q-^)
8. ~1 (Qi-* ~|Q2)
V
^■~\ (~\Qi^Q^)
10. "1 Qi -* Q»
11. -|Q, ^ Q,
12. -| Q, _> Qj
•«—*
13. Q, -5-^. Qj
14. "1 (Qi «-^ Qa)
15. -] (Q, ^-* Q,)
16. Qi ♦--> Qa
Вывод формул 1 —16 (номера формул указаны в
таблице). Вот простейшее соображение: если Р выводима, то для
любой Q формула Q-^P тол\е выводима (тавтология А.1 и MP).
59

Это сразу доставляет выводимость формул 2, 4, 10 'И 12. Сняв
в столбце Л двойные отрицания с помощью тавтологии В.1 и MP,
получим 'ВЫВОДИМОСТЬ формул 5 и 7. Вывод формул 4 в последней
строке по симметрии дает вывод Q2-^Qu лемма 4.4 и тавтология
С.6 дают вывод формул 16 из Q\-^Q2 'И Qr-^-Qi-
1 выводится из nQ2~^nQi и С. 5 посредством MP. По
симметрии выводится Qj-^Qi и затем 13 так же, как 16.
3 выводится из С.З: Qi-*(~1 Сг"^ П (Qj—*Q2)) и данных
двукратным применением MP.
6 выводится из В.2: П Qi ~* (Qi ~* П Q2) и данных применением
MP, В1 и MP.
8 выводится из С.З: Q^_>(-in Q,-> П (Q,-> П Q,))
9 вьюодится из С.З: П Qi-> (П Qj -> П (П Qi -> QJ)
двукратным MP.
И выводится из В.2: ~\~\Qi—*{'~]Qi—*Qs) заменой "lIQi на
Q, по В.1 и MP. _
14 выводится из С.7: I Qi Л Q2 ~* П (Qi *-* Q2) с помощью
леммы 4.4 и MP.
15 выводится аналогично 14.
Предложение 5.1 доказано.
5.5. Тавтологии и вероятность. Тавтологии — высказывания,
истинные независимо от истианости или ложности своих «составных
частей». Это утверждение сохраняется, даже если компонентам
тавтологии придавать вероятностные значения истинности ||Р|(
в алгебре измеримых множеств какого-нибудь вероятностного
пространства.
Например: тавтология R\/S\/ ~\R\/ ~\S — „то ли дождик, то
ли снег, то ли будет, то ли нет» — является достоверньш
прогнозом погоды, несмотря на крайнюю сложность метеорологического
вероятностного 'пространства.
Точный результат удобно формулировать в терминах булевых
алгебр.
5.6. Булевы алгебры. Булева алгебра В — это множество с
операцией ранга 1 и двумя операциями V' Л ранга 2, а также с двумя
отмеченным^и элементами 0,1, которые удовлетворяют следующим
аксиомам:
а) {а')'=а для всех а^.В;
б) Д, V ассоциативны и коммутативны;
в) Л, V дистрибутивны друг относительно друга;
г) {а\уьу = а' /\Ь', {а/\Ь)'= а'\/Ь';
д) ау а=:а/\а=^а;
е) 1Да==а; 0\/а=а.
Примеры, а) В — множество всех частей множества М,
' — дополнение, Д —^пересечение, V — объединение, О — пустое
подмножество, 1 — все М.
60

б) в — множество открыто-замкнутых подмножеств
топологического пространства М с теми же операциями.
в) В — множество измеримых лодмиожеств вероятностного
пространства М с теми же операциями.
Во всех этих случаях В можно отождествить с пространством
характеристических функций соответствующих подмножеств
(принимающих значения 1 на подмножеетво, О на дополнении).
5.7. Булева функция истинности. Пусть В — булева алгебра,
6 — некоторое множество формул языка L. Пусть || ||:
г-^В—любое отображение. Продолжим его на логические многочлены над s
(точнее, «х представления) по рекурсивиым формулам:
||P.-.Q|| = (||PllAllQ||)V(il^ll'AIIQII').
||P-Q|l = Ii^lI'VIIQI'. I1^VQII = II^'1IVIIQ||.
I|PAQI1=I1P|1AIIQI!. in^ll = ll^ll'-
в случае 5= (О, 1} эти формулы переходят в определения из
п. 2.5. Отметим, что V и Д в левых и правых частях имеют
разный смысл.
5.8. Предложение.
Пусть Р — логический многочлен — тавтология над е. Тогда для
любого отображения \\ \\ : г-^В в любую булеву алгебру В имеем
\\Р\\ = 1.
Доказательство. Пример естественного отображения || |
получается так: если задана интерпретация языка L в
множестве М, то функции истинности \Р (1) можно рассматривать как
характеристические_ функции выразимых подмножеств
интерпретационного класса М (см. § 2). Поэтому наша обычная функция,
истинности по существу принимает булевы значения. Они
вкладываются в булеву алгебру всех подмножеств М, которая
разлагается в прямое произведение двухточечных булевых алгебр
{О, 1}. Поэтому здесь заключение тривиально следует из
условия.
В общем случае можно было бы воопользоваться теоремой
Стоуна о структуре булевых алгебр.
Вместо этого мы укажем, как редуцировать задачу к
нескольким несложным вычислениям с помощью предложения 5.1. Для
этого достаточно проверить || ||-истинность базисных тавтологий и
сохранение || ||-'Истинности при применении MP. Например, если
||Р|| = 1 и ||P-^Q|| = 1, то ||Р|Г=0, ||P|rV.IIQll = l, откуда ||Q|| = l
в силу 5.6е: это решает вопрос об MP. Аналогично вычисляются
значения истинности базисных тавтологий с помощью аксиом п. 5.6.
Булевы функции истинности будут основным 'инструментом
в изложении метода форсинга Коэна в гл. III.

Отступление с кеннингами
1. Процесс, описанный в § 5, порождает всевозможные
тавтологии с помощью конечного числа правил. В современной
лингвистике попытка адекватного огтисаяия естественных языков
посредством порождающих правил очень популярны (Н.' Хомский
и др.), см., например, книгу А. В. Гладкого, И. А. Мельчука [24].
Многие психологи, однако, полагают, что эта концепция имеет
мало отношения к реальному процессу речи. Последний, согласно
одному из мнений, скорее уподобляется вероятностной игре,
погоне, течению реки по местности со сложным рельефом. Выбор
очередного слова при порождении фразы статистически
определяется как общим формирующим принципом (мысль, ситуация,
психологическое состояние), так и особенностями семантики,
грамматического оформления, фонетики, ассоциативного облака уже
сказанных слов.
Можно надеяться, что формальные грамматики более
адекватны специальным фрагментам естественных языков, жестче
организованным в том или ином смысле: скажем, языкам
определенных поэтических или юридических систем. В этих фрагментах
существенную роль играют «правила запрета», отсеивающие, на-
прйхМер все тексты без выраженного ритмического рисунка. Даже
поверхностная интроспекция позволяет удостовериться в
психологической реальности таких прав1ил при версифицировании. Это
значительно менее очевидно относительно порождающих правил.
2. Все же существовала по крайней мере одна поэтическая
система, в которой порождающие правила занимали важное место.
Одним из существенных элементов скальдической (древнеис^
ландской) поэзии были специальные формулы, называемые
кеннингами. Кеннинг есть выражение, которое может заменить одно
слово. Например,
„вьюга копии" есть кеннинг
„Древо битвы"
„куст шлема"
яметатель меча"
„раздаватель золота"
„море телеги"
„огонь войны"
„небо песка" |
„поле тюленя" /
суть кеннинги
есть кеннинг
есть кеннинг
суть кеннинги
„битвы"
„война"
„мужчины"
„человека"
„земли"
„золота"
„моря" и т. п.
Простой кеннинг — это кеннинг, никакая часть которого не
является кеннингом. Приведенные выше примеры являются
простыми кеннингами. Они играют роль аксиом, и создавать новые прос-
62

тые кеннинги, очевидно, имеют право только великие поэты. На
долю невеликих поэтов остается создание новых кеннингов по
правилам вывода. Правило вывода нового кеннинга из уже
имеющихся; любое слово в одном из данных кеннингов может быть
заменено его кеннингом (не обязательно простым). Пример
сложного кеннинга с его расшифровкой (пример реальный):
„ метатель огня Вьюги Ведьмы луны ноня корабельных сараев"
норабль
Воин, пужчана, человек
Леонид Мартынов, воспринял кеннинги как метафоры
(глубокое заблуждение, хотя и простительное. Структурные роли
кеннингов и метафор в разных поэтических системах совершенно
различны) и написал стихотворение «Песни скальдов», которое
кончается так:
... А может быть, переводчики что-то перемудрили?
Нет! Возможно и в наши живут времена
какие-то метатели огня вьюги ведьмы луны коня
корабельных сараев или
расточители янтаря холодной земли великанского кабана?
Все возможно!
И кто утверждать может твердо.
Что и ныне нет песен, которые можно назвать
Прибоем дрожжей людей костей фьорда?
Может быть, есть и нынче такие песни, как знать?
После этого профессиональное замечание М. И. Стеблнна-Ка-
менского, из книги которого «Культура Исландии» [27] взяты
примеры, звучит несколько расхолаживающе: «Любой кеннинг воина,
или мужчины, был, как правило, не богаче содержанием, чем
местоимение «он»».
Упражнения:
а) Восстановить простые кеннинги, входящие в вывод двух
последних кеннингов, процитированных Мартыновым.
б) Построить кеннинги максимальной длины, выводимые из
приведенных в тексте. Доказать, что более длинных кеннингов
вывести нельзя.
63

6. ТЕОРЕМА ГЕДЕЛЯ О ПОЛНОТЕ
6.1. Пусть L — некоторый язык класса i?„ <р—его
интерпретация, T^L — множество <р-истинных формул. В § 3 было показано,
что множество Г^Ь геделево, т. е. полно, не содержит
противоречия, замкнуто относительно вьшода и содержит все логические
аксиомы AxL.
Основная цель этого параграфа — доказательство обратного
результата (Гедель):
6.2. Теорема.
а) Любое геделево множество Т является множеством всех
<р-истинных формул T^L для подходящей интерпретации L
в некотором множестве М мощности ^card (алфавит Ь)-|-я,
(здесь и ниже имеется в виду мощность алфавита без переменных:
ср. 2.12).
б) Любое непротиворечивое множество формул г, содержащее
AxL, можно вложить в геделево множество.
Модель М, которая будет построена в доказательстве, состоит
из выражений в некотором расширении алфавита L, т. е. носит
несколько искусственный характер. В следующем параграфе будет
показано, что если некоторая естественная интерпретация (М, ф)
языка L задана, то из нее можно выбрать подмодель мощности
^card (алфавит L)-]-''»-
6.3. Следствие .(критерий выводимости).
Пусть еэАхЬ.
а) Формула Р выводима из г в том и только в том случае,
когда либо е противоречиво, либо Р (^-истинна для всех моделей
<р множества е мощности ^card (алфавит Lj-bt^,,.
б) Формула Р независима от г в том и только том. случ,ае
когда s[J{PYu sU{~l^} непротивореч,ивы, или, кто то же по
теореме 6.2, когда s (J {Р} и г U {"1 ^} имеют модели.
В дальнейшем мы будем часто опускать проверку
существования разных формальных выводов. Если читатель захочет это
восполнить, почти всегда проще устанавливать выводимость с
помощью критерия 6.3, чем непосредственно.
Доказательство, а) Если s противоречиво, то из s выводится
любая формула (предложение 4.2). Пусть s непротиворечиво и Р<р-
истинна для всех моделей s. Для доказательства е |— Р рассмотрим
два случая.
aJslJCl^'} противоречиво. Тогда s\J {'~[Р}\-Р, откуда по
лемме о дедукции 4.5. s[—~]Р-^Р. Тавтология {'^Р-^Р)-^Р
и MP дают S [— Р.
^г) sU{~l^} непротиворечиво. Тогда по теореме 6.2 множество
S и {"1 ^} имеет модель; в ней е истинно, а Р ложна, так что этот
случай невозможен.
64

б) Допустим, что Р независима от s, т. е. Р и 1 ^ невыводимы.
Тогда по результату п. 6.3а существует модель s, в которой Р
истинна, и модель г, в которой Р ложна. Обратное очевидно.
Теперь приступим к доказательству теоремы Геделя.
6.4. Определение.
Пусть г — некоторое множество формул языка L. Алфавит
языка L называется достаточным для е, если для любой формулы
Р(х), содержаш,ей ровно одну свободную переменную х,
существует такая константа Ср (зависящая от Р), что формула
Rp^.~\,ixP{x)^'^P{c;i
принадлеоюит е.
Интуитивный смысл Rp. «если не все х обладают свойством Р,
то можно указать конкретный объект Ср, не обладающий этим
свойством».
Терминология «достаточность алфавита» связана с тем, что
в случае нехватки формул вида Rp в г мы сможем просто
увеличить 8, добавив все Rp, а если не хватит констант Ср, нам
придется добавить их к алфавиту языка.
План доказательства теоремы 6.2 состоит в следующем.
Сначала мы установим, что справедлива следующая
6.5. Основная лемма.
Если множество е формул языка непротиворечиво, полно, со-
дерокит AxL и алфавит L достаточен для г, то существует модель е
мощности ^card (алфавит L)-|-x,.
Следующие две леммы позволяют вложить любое
непротиворечивое 8 в полное множество или в такое, для которого алфавит
достаточен.
6.6. Лемма.
Если г непротиворечиво и содержит AxL, то существует
непротиворечивое полное множество формул е'Эе.
6.7. Лемма.
Если 8 непротиворечиво и содержит AxL, то существуют:
а) язык и, алфавит которого получается из алфавита L
добавлением множества новых констант мощности ^card (алфавит
б) множество формул г' языка L', непротиворечивое,
содержащее е и AxL' и такое, что алфавит L' достаточен для ?!.
Однако эти конструкции мешают друг другу. Пополняя
множество 8, для которого алфавит был достаточен, мы можем
получить множество с недостаточным алфавитом, а добавляя новые
константы, мы увеличиваем общий запас формул в языке и тем
нарушаем полноту старых множеств.
Поэтому конструкции L5 и L6 придется по очереди провести
счетное число раз, чтобы в конце концов доказать последнюю
лемму
5-1 65

6.8. Лемма. |
Если еэАхЬ непротиворечиво, то существует: |
а) язык L'°°*, алфавит которого получ.ается добавлением^щ
алфавиту L множества новых констант мощности ^card (алфа-^
вит Lj■+'«(.; ■ I
б) множество формул s'°°* в языке L'°°*, полное, непротиво^^
речивое, содержащее е и AxL'°°* и такое, что алфавит L'°°* doJi
стштючен для него. 'I
После того как лемма 6.8 будет доказана, теорема 6.2 получит,
ся из основной леммы, если применить ее ке'°°*, а затем
ограничить получившуюся модель на L и 8.
Приступим теперь к доказательству лемм. Основная лемма бу-,
дет доказана в п. 6.9, леммы 6.5—6.7 — в п. 6.10—6.12.
6.9. Доказательство оснонной леммы. Начнем с явного пестрое- '■
ния интерпретации ф языка L, которая окажется моделью для е.
а) Назовем постоянным термом такой терм в L, который не содержит сим.
волов переменных. Положим далее М = «второй экземпляр» множества постояи>
ных термов языка ^{t|^—постоянные термы} и определим первичные отобра-<
жения интерпретации ф языка L в М условиями:
Ф(с)^с для любой константы е;
¥{/)(^ tr)=nt, tr)
для любого символа операции ранга г и любых постоянных термов;
(f,, ..., fr )еф(р),
если и только если p{iu ..., <г)ее (для любого отношения р ранга г и
постоянных термов ti, ..., и) ■
Докажем теперь следующее.
б) Утверждение. Пусть Р—замкнутая формула. Имеем \Р\^^\ в tomJh
только том случае, когда Ре г. (Отсюда уже будет следовать, что <р-модель е,
В самом деле, если P^s незамкнута, то ее замыкание yXi ... ух„Р выводимо
из е с помощью Gen и в силу полноты и непротиворечивости е должно
содержаться в е. В силу утверждения, | v^u-" V^.n-^l<()='• ^откуда \Р\^= 1).
Доказательство утверждения б). Проведем индукцию по общему
числу кванторов и связок в формуле Р. Будем писать |Р| вместе IP |,j^.
б,) Р—атомарная формула p{tu ..., ^„). Утверждение следует из
определения |Р| н списка первичных отображений, потому что из замкнутости Р
вытекает, что термы ti постоянны.
б,) P=1Q.
Если |Р| = 1, то |Q|=0 и Q^e по индуктивкому предположекию для Q
в силу полноты "IQSe, т. е. Р^г.
Если же |Pj = 0, то iQ|=l и Q е^. откуда IQ^e в силу непротиворечи
ВОСТИ^е.
бз) P=(Qi-^Q2).
Сначала покажем, что если |Р|=0, то^Р^е. 'Действительно, в этом слу
чае I Q J = 1, I Qj I = 0; по индукции Qi S е, Qa ^ е; в силу полноты 1 Qa S «
тавтология Q,,-^ (1 Qj*- 1 (Q, -^Qj)) и два MP дают e |— П (Q, -*Q^). В силу
66

полноты выводимые из е замкнутые формулы содержатся в е; значит, 1 (Qi -»
_>(32)= ~1 Рее, так что Рф.е.
Теперь покажем, что если Рф.^, то |/'| = 0. Действительно, тогда в силу
полноты q Р^ q (Qj -^ Q2) ее. Тавтологии ~1 (Qj -»■ Q2) -♦ Qi и 1 (Qj -^ Q^) _»
_> "] Qa и MP дают г]—Qj, e|_-lQj, откуда в силу полноты QiSe, "lQ2Se.
По индуктивному предположению, j Qj | = 1, | Q21 = О, откуда | Р [ = | Q, -* Q21 =
б,) P=Q,VQ2 или Q, AQ2.
с помощью тавтологий, выражающих \1, Д через —>, ~1, этот случай
сводится к предыдущим, и мы опускаем его разбор.
Если X не входит в Q свободно, то |Р| = 1 равносильно |Q|=1, т. е., по
индуктивному предположению, Qee. Это включение, в свою очередь,
равносильно включению yxQee в одну сторону по Gen, в другую — по аксиоме специа-
лизации с t^x и MP.
Дальше мы предполагаем поэтому, что х входит в Q свободно.
Сначала предположим, что |Р| = 1, но Р^е, н придем к противоречию.
Если Рф.е, то ~\P^s, т. е. ~\Ах.С1{х,\^г. Так как алфавит L
достаточен для е, в е содержится формула '^Y^4i^) -^ "1Q(Cq)- Применяя MP,
получим е I— ~[Q (Cq), откуда в силу непротиворечивости е, Q (cq) ^г. По
индуктивному предположению 1 Q (Cq) [^0 {Q{C(i^ замкнута!). Это означает, что | Р|(|) =
= 0 для sSAf, если x^^Cq, что противоречит предложению \Р\^\.
Теперь предположим, что |Р|=0, но _Рее, и придем к противоречию.
Так как |Р|=0, для некоторого |eilf имеем |Q|(|)=0. Найдем
постоянный терм t из условия х^=:Л Очевидно, х не связывает t в Q, так что 0=
= |Q W I (1) = IQ(01. откуда Cl{t) ф.е по индуктивному предположению, в
1Q(iOes в силу полноты.
С другой стороны, если PSe, т. е. YXQ(x)Se. то по аксиоме
специализации YxQ{x)-»Q(0 получаем е[—Q.{t). Эго несовместимо с
непротиворечивостью е по результату предыдущего абзаца.
б,) P=a^Q.
Этот случай сводится к предыдущему с помощью аксиомы, выражающей g
через Y и отрицание, и мы опускаем его разбор.
6.!0. Д оказ ател ьство леммы 6.6. Чтобы вложить множество е
в полное непротиворечивое множество е', мы должны будем воспользоваться
траисфинитной индукцией или эквивалентной ей леммой Цорна и леммой о
дедукции для языка L, доказанной в п. 4, 5 гл. IL
Лемма Цорна будет применяться к множеству
Се = {множество множеств формул е' языка L, содержащих s и непротиворечивых,
которое упорядочено включением.
Проверка условий, лемми Цорна. Пусть {е'„}„„;'— линейно упорядоченное
подмножество в Се для [^любых а, ре/ либо ^'аС^'д, либо «'дС^'^. Тогда
объединение U^'a принадлежит Се. Действительно, иначе U^'a ^Ь1л° бы
противоречиво. Существовал бы вывод прэтиво'речия из конечного числа формул. Пусть
они содержатся ^в г'^^...., е'^ . Среди s\^ е'^ есть множество,
содержащее остальные п—1; оно было бы противоречиво вопреки «редположению.
Вывод из леммы Цорна: в множестве Се существует максимальный элемент,
т. е. такое непротиворечивое множество е'эе, что если Q0.z', то е' U {Q}
противоречиво.
Утверждается, что е' полно. Действительно, предположим, что Р замкнута,
Рф:^', ~[Рф.г' и придем к прэтиворечию. Из максимальности е' следует, что
5* 67

^ U{^}I—^> ='и {"1 •''} |—^. где /? —любая формула. По лемме о дедукции
е' \—P^R, е' I— 1 я -^R. Тавтоюгия {Р-^ R)-^ [[-^ Р-^ R) ^ R н MP дают
е' I— R, ЧТО несовместимо с непротиворечивостью е',
6.11. Доказательство леммы 6.7. Чтобы построить язык
с достаточным алфавитом для непротиворечивого множества
формул &', содержащего е и Ах L', поступим самым естественным
образом.
а) Добавим к алфавиту языка L множество новых констант
той же мощности, что и алфавит L. Получится язык V.
б) Рассмотрим множество формул slJAxL' в языке L', где
AxL' — все логические аксиомы языка L'. Оно непротиворечиво.
Действительно, если бы существовал вывод противоречия из s у AxL
в L', то следующая процедура превратила бы его в вывод
противоречия из 8 в L: возмем конечное множество всех новых констант,
входящих в формулы этого вывода, и заменим эти константы
старыми переменными (из L), не входящими в формулы этого
вывода. Легко проверить, что вывод противоречия останется
выводом противоречия и будет проходить целиком в L.
в) В L' возьмем множество всех формул Р{х), содержащих
ровно одну свободную переменную. Для каждой такой формулы Р
выберем свою новую константу Ср, определим формулу
и положим окончательно
s' = sUAxL'U{i^p}.
Очевидно, осталось проверить только, что е' непротиворечиво.
Если бы из &' выводилось противоречие, то оно выводилось бы
с участием конечного числа формул Rp. Поэтому достаточно
проверить, что добавление одной формулы Rp не может привести
к противоречию, если Rp добавляется к непротиворечивому
множеству. Изменив обозначения, можно считать, что это
непротиворечивое множ;ество и есть s \J AxL'.
Предположим обратное: sUAxL'lJ{i^p} противоречиво. Тогда,
в частности s (J Ах L' (J {Rp} \- ~[Rp и по лемме о дедукции s \J
и Ах L' h ^Р — П ^р- Тавтология {Rp -> П ^р) — П ^р и MP дают
B\JPaL'\-~\Rp=-\nY^P{x) ^-\Р{Ср)).
Пользуясь тавтологиями КР—1Q) — PAQ. ^AQ-^^'. PAQ""
— Q, получаем s U Ax L' [- П y^xP(x),s\JPoiL' \- P (Cp).
Покажем, что тогда множество s (J Ах L' противоречиво вопреки
предположению.
68

Действительно, в выводе Р {с^ из s (J Ах L' всюду заменим с^
переменной у, не входящей в этот вывод. Получим вывод Р(г/)'из
sQAxL'. После этого Gen, аксиома специализации, MP и снова
Gen приведут к выводу ухР(х).
6.12. Доказательство леммы 6.8. Пусть L — язык
класса 2'и 8 — множество формул в нем. Вложим е в полное
непротиворечивое множество &', затем к (L, е') применим лемму 6.7,
Получившиеся язык и множество формул обозначим через L*, е*.
Положим, далее, по индукции
(L<°\ s<'") = (L, е); (L"+", s<' + ") = (L<''*, s<'»*)
И наксшец,
00 00
Множество s*°°* непротиворечиво, ибо иначе вывод
противоречия получался бы „на конечном уровне", а все s*'*
непротиворечивы. Оно полно, ибо каждая замкнутая формула L*°°* записывается
в алфавите L*'', для какого-то /, а s*'"*" * содержит пополнение s*'^
в L*''. Наконец, алфавит L*°°' достаточен для s*°°* по тем же
соображениям.
Этим заканчивается доказательство лемм.
6.13. Вывод теоремы 6.2 из лемм. Пусть Г^геделево
множество формул в L. Применяя к нему лемму 6.8, вложим (L, 7)
в (L<°°*, Г<°°'), где пара (L<°°*, Г<°°*) удовлетворяет лемме 6.5. Пусть
<р*°°'—интерпретация L*°°*, существование которой
утверждает лемма 6.5, Мощность Л1*°°' не превышает card (алфавит L)-f-&..
Ограничение <р интерпретации <р*°°* на L удовлетворяет условию
ГсГ L. Докажем, что T = T^L. Действительно, пусть Р ^ Т L.
Если Р замкнута, то Р^Т, ибо в силу полноты либо Р, либо ~\Р
лежит в Г, а второе несовместимо с (у-истинностью Р. Если она
незамкнута и Xi, ..., х„—переменные, входящие в Р свободно, то
YXj... Y^nP замкнута и принадлежит Т. По аксиоме
специализации, Р выводима из Г (J {yXj.. .у-'^^л^'}. откуда Р^Т в силу
замкнутости Т относительно выводов.
Это доказывает первое утверждение теоремы.
Второе следует из аналогичного рассуждения: применяя его
к 8 вместо Т, находим модель ф для е; тогда s^T^L и Т^Ьгеделево,
6.14. Заметим в заключение, что если алфавит L содержит
символ ^, для которого в 8 (или Т) включены аксиомы равенства,
то существует нормальная интерпретация, удовлетворяющая те->
69

ореме 6.2 и переводящая = в равенство. Для доказательства
следует построенную выше модель М профакторизовать по
отношению эквивалентности ф(=), как в п. 4.6.
7. СЧЕТНЫЕ МОДЕЛИ И ПАРАДОКС СКОЛЕМА
«I know what you're thinking about»,
said Tweedledum, <but it isn't so,
nohow». «Contrariwise», continued
Tweedledee, «if it was so, it might
be; if it were so, it would be: but as
it isn't, it ain't. That's logic».
Lewis Carroll, Through the
Looking Glass.
7.1. В этом параграфе изложена техника «урезания моделей»,
в частности, для LiSet.
Пусть L — язык класса 2'и M^N — два множества (или
класса в F), ф, tj) — интерпретации L в М, N соответственно, согласо^
ванные в очевидном смысле слова, так что г|5 есть расширение ф.
Интерпретационные классы М, N естественно вложены: M^N.
7.2. Определение.
Формула Р языка L называется (М, N)-абсолютной, если для
всех |^Л4 имеем
\P\m{1) = \P\n^.
Мы пишем Ид, вместо И^ и т. п.
Свойство абсолютности используется обычно так: если Р абсо^
лютна и к тому же Л' истинна, то она заведомо М-истинна.
Стандартный механизм нарушения абсолютности: если формула
3 xQix) Л'-истинна, значит в Л' есть объект со свойством Q, но
в М такого объекта может не оказаться. Доказательство
следующего факта описывает, как с этим бороться.
7.3. Предложение.
Пусть 8 — множество формул языка L, ij) — интерпретация L
в Nj Mo^N — некоторое подмножество. Сществует множество М,
Mo^M^N, мощности ^cardMo+carde-bt^,, такое, что все
формулы из 8 (М, Л'^-абсолютны.
7.4. Следствие (Левенсейм — Сколем).
Если алфавит L счетен и N является моделью г, то в N
существует счетная подмодель г.
(Ее можно строить, сохранив абсолютность всех формул L,
в частности истинность всех формул, которые были истинными.)
Доказательство. Пусть множество МjSiV, t^O, уже
определено. Положим
M^^,=M,[j {х^' \1' = V {X, Р, Щ,
70

где X пробегает переменные L; Р — подформулы формул из е;
I — точки из Mi,.2i при фиксированной тройке {х, Р, \) 'g является
каким-нибудь одним изменением g по л; со свойством \р\^^С^')^\,
если оно существует; в противном случае {х, Р, g) не вносит вкла^
да в Mi+i.
00
Положим далее M=\J М^. Утверждение о мощности М оче-
/=о
видно. Покажем теперь, что все подформулы формул из s (М, N)-
абсолютны. Проведем индукцию по числу кванторов в формуле.
Для атомарных формул результат очевиден; индуктивный шаг,
отвечающий конструкции новой формулы с помощью связок, также
ясен. Квантор v сводится стандартным способом в д.
Итак, пусть Р абсолютна. Установим абсолютность дхР.
Достаточно считать, что х входит в Р свободно. Имеем для Е G ^i:
(1, если существует VGA^. изменение ^ по х,
c|PU(V)=l.
О иначе;
{1, если существует V'^M, изменение ? по х,
с \Р\„{1")=^1,
О иначе.
Но условия за фигурной скобкой эквивалентны. Действительно,
существует такое изменение ц точки ^ по переменным, не
входящим свободно в Р, что Ti^Afj для подходящего /. Тогда в случае
\2xPUi^) = \'BxP\Nin)=\ существует |'^Л? с |P|j^(g') = l
существует ri'^Mi+i с |P|jv(ti') = |/'|m-(ti')=1. т]'—изменение т]
по л; в силу конструкции Mi+i и индуктивного предположения. Это
доказывает требуемое.
7.5. Применим теперь следствие 7.4 к стандартной
интерпретации LiSet в универсуме фон Неймана F и к множеству г аксиом
Цермело — Френкеля. Мы получим счетную модель iV для этой
системы аксиом, у которой, однако, будет один недостаток: еслн
X^N, некоторые элементы X могут не принадлежать iV, т. е. .V
не будет транзитивна. Следующий результат Мостовского
показывает, как заменить N транзитивной счетной моделью.
Пусть N^V — некоторый подкласс, e^N'XN — бинарное
отношение на нем. Мы будем писать ХгУ вместо {X, Y)^s. Для
любого X^N положим
[Х]={¥\УгХ}.
Предположим, что [ZJ^V для всех X^N, т. е. что [Z]
—множества, а не классы. Рассмотрим интерпретацию ф языка LiSet
в классе Л^, для которой <p(e) есть е, и ф(^) —равенство.
71

7.6. Предложение (Мостовский).
Предположим, что аксиомы объемности и пустого множества
^-истинны и в N не существует бесконечной цепочки Z„8X„_i8...
Тогда существует единственный транзитивный класс M^V и
единственный изоморфизм f: (N, e)z(M, е).
Применяя это утверждение к счетной модели (Л^ е) аксиом
Цермело — Френкеля из п. 7.5, мы найдем транзитивную счетную
(М, е) ^ «маленький универсум». (Условие об обрыве цепочек
выполнено в F, а не только в N\ [X] есть подмножество Xf]4^X
и потому является элементом V.)
7.7. Д ок а 3 ательств о предложения 7.6. Для каждого ординала а
мы построим трансфинитной рекурсией (см. приложение Универсум фон Нейман)
множества N ^N, M^sV, согласованные изоморфизмы ■ f^: (Л^„е |д, ) ~ (./W^^ ,
е|д1 ) и покажем, что ]JN^=N.
а) Из (р-истинности аксиомы объемности и того, что if> (=)—равенство,'без
труда получаем Xi =^2 <$:=» [Xi] = [Х^] 'для всех Xi, Х^ ^N. Пусть Z>,^Nt-
интерпретация константы 0 языка LiSet. Согласно сделанному замечанию,
с учетом истинности аксиомы пустого множества находим, что 0n —
единственный элемент N, для которого [0iv]=0eK. Положим
iVo={0iv}, Mo={0};h{0N)=0.
б) Рекурсивное построение. Пусть а—ординал. Допустим, что
■^а> ^'W». /а уже построены. Положим:
Г.+1 {X) = {/. (Л IУ е [X]} для Xел^.+rvv,; f^^, i^, = /„;
iVf^^i-образ /„+1.
Если р—предельный ординал, положим
iVg= и ^.;м= и ^v/s=Uf».
Наконец, положим М= \J М^, /= у /^ по всем ординалам.
в) Индуктивное доказательство. Мы проверим, чтй для
каждого а:
Bj) Л^^ есть множество, т. е. A^^SV,
Вг) ^а. — транзитивное подмножество V,
Вз) f^—изоморфизм N^CLM^, переводящий е в е;
в,) iv = и л^„.
Утверждения в,)—Вз) для а = 0 очевидны. Если ^.ни верны для всех а<р и
Р предельный, то они верны и для р. Остается проделать переход от а к а+ 1.
Bj) Очевидно, [ ] есть функция из ^^_^{\Ы^ъ ■^'[NJ; в силу истинности
аксиомы объемности существует обратная функция. Ее образ Na+i\N^ecTb мно-
72

жество, ибо Л/'^ и, значит, ^ (NJ по индуктивному предположению является
множеством.
Ва) Любой элемент из М^_^_{\М^ имеет вид {/„ (К) ] KS И}, гдеХд
e^ii+i\^a> но тогда [X] СЛ^а- Значит, элемент f^ (Y) этого элемента Af a+iX^f^
принадлежит образу /„, т. е. множеству M^CZ^^^a+i- ^° доказывает
транзитивность Л1„+1.
Вз) Проверим сначала, что f^^^ является биекцией. Сюръективность
очевидна; пользуясь индуктивным предположением, убеждаемся, что достаточно
проверить инъективность ва N^_^_i \N^_ Но если Z,, ^2 SA/'j^^,\iV„ и /^^j (Xi)=
= /a+i(^2). то {U(Y)\Y^[X,]} = {U(Y)lYe{X,]}. Пользуясь инъектив-
ностью f^, получаем [^i] = [^2]. откуда Xi^X^.
После этого находим
Y^X^^YS [X] <^ /„ {Y) е /,+ , (X);
поэтому для XsN^^^\N^ отношение YsX переходит в f(Y)et(^)- Это,
очевидно, достаточно для завершения индукции.
bJ Проверим, наконец, что Л^—U^a" Пусгь Л^'=Л^\иЛ^в1^допустим, что
N' непусто и придем к противоречию.
Если существует X^N' такой, что lX]f)N' = 0, то [X] f]NCZU^^l
тогда [X] СЛ^дд для некоторого а^ и, значит, X^N _^_^ , вопреки условию ^е
еЛ/\ил^а. Если же Для всех X^^N' имеем [Х^] f\N' ф 0, тогда, выбирая
последовательно Xn+i^[Xn\f\N', '^ получаем бесконечную цепочку ...
... Xn+ieXn& ... 8^0, вопреки условию теоремы.
г) Допустим, что есть два транзитивных подкласса М, М' и изоморфизм
g:{M, e)5(iM', е). Положим Af„ = KaU-^^. ■Л^'а=^'аП^'- Очевидная
индукция по а тогда показывает, что g — тождественное отображение.
Предложение доказано.
7.8. Парадокс Сколема.
Пусть М — транзитивная счетная модель аксиом Цермело—■
Френкеля. В этом случае следующие формулы М-истинны:
аксиома бесконечности;
аксиома степени;
теорема Кантора об отсутствии отображений х на 0^{х) для
любого множества х (она выводима из аксиом Цермело —
Френкеля) .
Так как при счетном X множество ^{Х) несчетно, то содержа»
ние утверждения об М-истинности аксиомы степени в счетной
модели М должно сильно отличаться от содержания утверждения
об ее V'-истинности.
Действительно, пусть в Ц8е1 „ г/=5^ (х)" —сокращение формулы
уг(„гgх" ^ ► z^y). Пусть %^М, х^ = ^GМ, /= Y^М. Тогда,
как нетрудно убедиться,
\'^y = Sf>{xY\^{\) = \^^Y={Z\Z(ZX, Z&M},
т. е. роль д^{Х) в М играет 3^ iX)j^ — g^ {Х)С]М. В этом случае
3^{Х)^ не более чем счетно, ибо М счетно, и с обычной точкой
73

зрения отображение счетного X на ^{Х)м существует. Это не
противоречит теореме Кантора потому, что ее Л1-истинность
влечет лишь отсутствие таких отображений (графиков) в модели М.
Вне нее они вполне могут существовать, но, добавляя один из них
к М {ц все, что нужно будет добавить для сохранения истинности
аксиом), мы увеличиваем М, а вместе с этим S'{X)m, и
добавленное отображение перестает быть сюръективным отображением.
Все эти эффекты изменения смысла высказываний теории
множеств в счетных моделях принято называть парадоксом Сколема.
Коэн был первым, кому удалось использовать свойства
счетных моделей для доказательства невыводимости гипотезы
континуума. В его моделях между соо и ^{а)о)м лежат множества «Л1-
промежуточной» мощности, хотя с внешней точки зрения и щ, и
^{щ)м, и все остальные множества просто счетны. Но он добавил
фундаментальную новую идею о релятивизации самого понятия
истинности, и лишь постфактум можно представить себе
положение дел в его моделях с такой простотой (см. детали в гл. ГП).
Сам Сколем и другие специалисты, по основаниям математики
готовые работать со счетными, но не большими бесконечностями",
рассматривали парадокс Сколема как проявление относительного
характера теоретико-множественных понятий. В частности,
существуют «разные континуумы» ^(icoo)m, из которых ни-один не
совпадает с «настоящим» ^(©о).
С точки зрения тополога или аналитика, для которого
континуум является рабочей реальностью, существование его счетных
моделей просто означает ограниченность формального языка как
средства имитации содержательных рассуждений. Мы уже
встречались с подобными ограничениями при обсуждении формальных
аксиом индукции в § 4.
Возможно, для психолога или философа науки наиболее
интересно то, что любой математик может понять точку зрения
другого (хотя и не обязан с ней соглашаться). Это означает, что
речь математика А, доказуемо неспособная нести
недвусмысленную информацию о континууме, способна все же привести мозг
собеседника В в состояние, при котором он формирует
представление о континууме, адекватное представлению в мозгу А. После
чего В волен это представление отвергнуть.
«Я значаю, что ты думаешь, — сказал Труляля Алисе, — но это
вовсе не так, а совсем наоборот».
8. РАСШИРЕНИЯ ЯЗЫКА
8.1. в этом параграфе изучается формальный вариант «введения
новых обозначений». При этом мы ограничимся рассмотрением
только имен таких новых функций и констант, которые
«доказуемо выразимы» в языке. Их добавление к алфавиту сокращает фор-
74

мальные выводы и записи формул, но не увеличивает множества
выводимых формул, в чем п будет состоять основная теорема.
Практически, конечно, и сокращение записей, и удачные новые
имена сразу делают доступными интуиции целые области фактов,
остававшихся за ее пределами до того. Группы, обнаруженные
Галуа в теории уравнений, — один из самых известных примеров.
Гильберт в 1923 г. скептически отозвался о попытке прекратить
инфляцию в Германии введением новой денежной единицы Ren-
tenmark: «Задачу нельзя решить, переименовав независимую
переменную». Как замечает его биограф Констанс Рид [30], он был
неправ: экономическое положение постепенно стабилизировалось.
Мы будем работать со следующими данными.
8.2. Пусть L' — некоторый язык класса S\ с равенством и
бесконечным множеством перелменных, Р' {х) —формула в L', в
которую X входит свободно. Напомним, что сокращенная запись д!
хР'{х) (читать: «существует единственный х со свойством Р»)
относится к формуле
ахР' (X) Д ухуг/ (Р' (X) /\?'{у)-^х = у).
Пусть е' — некоторое множество формул языка, содержащее
AxL' аксиомы равенства и, возможно, дополнительные
специальные аксиомы. Допустим, что из е' выводима формула д! хР'{х,
Уи---,Уп), где в Р' нет свободных переменных, кроме х, yi,...,yn.
В содержательном истолковании это значит, что формула Р'
определяет X как неявную функцию от у\,...,уп и в неформальном
тексте мы вправе ввести для этой функции новое обозначение,
скажем x=:f{yi,... ,Уп), и дальше пользоваться им.
Вот формальный вариант этой процедуры.
8.3. Предложение.
В условиях п. 8.2 обозначим через L язык класса 2'ь алфавит
которого получается из алфавита L' добавлением нового символа
операции f ранга п, если п'^1, или константы f при п=0.
Пусть 8 — наименьшее множество формул L, содержащее AxL,
аксиомы равенства, е' и формулу Р'1(уъ...,Уп), Уъ---,Уп)-
Тогда существует явно описываемое отображение множества
формул (богатого) языка L в множество формул (бедного)
языка и, которое формуле Q сопоставляет ее перевод Q', со
следующими свойствами:
а) если f не входит в Q, то перевод Q совпадает с Q;
б) если Q выводима из г в L, то Q' выводима из г' в V.
В частности, множество формул L', выводимых из е' в V,
совпадает с множеством формул L, не содержащих f и выводимых из
8 S L.
Доказательство. Перевод формул. Пусть п^1 (случай
п=0 разбирается аналогично, но проще, и мы его опустим).
Добавление / сказывается прежде всего на увеличении мнолсества
75

термов: в языке L есть термы f{ti,...,tn), где Д в свою очередь,
может входить в ti,... ,tn, и т. д. Чтобы уменьшить количество
упоминаний / при назывании f{ti, ..., tn), приходится говорить
обиняками: «такой X, что Р{х, tu ..., tn)»- Это и есть основная идея
перевода формул. Дадим теперь индуктивное точное определение.
а) Терм /(^1, ..., tn) называется простым /-термом, если / не входят
в ti, ..., tn.
б) Пусть Q — атомарная формула в L. Если / не входит в Q, назовем ее
своим собственным переводом. Если / входит в Q, то существует простой f-терм
/{^1, - •-, ^п), входящий в Q. Возьмем самое первое вхождение простого /-терма
в Q, выберем символ переменной х, не входящий в Q, подставим его вместо
этого вхождения, получив формулу Q*, н построим формулу
Q'r.ax(P{^ <„...,<„)ЛQ*U))-
Применив эту процедуру к Q'(i), получим Q(2) и т. д. После конечного числа
шагов получится формула Q'(i) = Q', в которую / ке входит, она и будет пере-
водо.м Q.
в) Если Q не атомарная фэрмула, она имеет вид "~lQi или Q, >!< Qa (^j< —
связка), или Y У^1' ""''^' 3i/Qb Во всех этих случаях перевод Q получается иЗ
переводов ее составных частей автоматически — «добавлением штриха».
Перевод выводов. Задача состоит в следующем: пусть Qi, ..., Qti^=Q —
вывод Q из 6 и пусть Q' — перевод Q, Нужно построить вывод Q' из е'. Первое,
что приходит в голову, — построить последовательность переводов Q'l, ..., Q'n-
Почему она может не быть выводом Q из е, хотя MP и Gen переводятся
тривиальным образом, а тавтологии переводятся тавтологиями же? Потому что
в некоторых местах может стоять, например, логическая аксиома Y^^M—*
—^R{t), которая после перевода перестает быть аксиомой, если / входит в R.
Значит, мы должны дополнить последовательность Q'l, ..., Q'„ выводами
некоторых ее промежуточных членов нз е', чтобы превратить ее в вывод Q'. Это
довольно громоздкая комбинаторная процедура, с которой можно познакомиться
по книге Клини [3, § 74]. (Мораль изложенного состоит в том, что новые
обозначения действительно экономят время и место).
!-. Вместо этого мы неэффективно докан<ем выводимость е' j— Q' с пэмощью
критерия выводимости из п.6.3. Сформулируем его еще раз:
а) Если Q' истинна в любой модели е', то е'|— Q'. Так как в е' содержатся
аксиомы равенства, мы можем слегка усилить этот критерий;
б) Если Q' истинна в любой нормальной модели е', го Q истинна в любой
модели а'.
Напомним, что в нормальной модели «=» интерпретируется как равенство.
С другой стороны, как показано в § 4, в любой модели « = » интерпретируется
как отношение эквивалентности, совместимое с интерпретацией всех констант,
функций и отношений. Факторизация по нему приводит к нормальной модели,
причем значения истинности всех формул остаются прежними.
в) Нормальные модели е' {в языке L') совпадают с нормальными
моделями 6 {в языке L).
Точнее говоря, между ними устанавливается следующее взаимно-однозначное
и естественное соответствие, сохраняющее функции истинности. Ограничимся
разбором случая п^\.
Пусть <р — нормальная интерпретация L' в М, для которой |Q'L= 1 при
всех Q' Ss'- В частности, поскольку г' |—д! хР',
\2\хР'{х, у„ .... i/„)U = l.
76

Вычисляя левое значение истинности в точке ^ S jM и пользуясь нормальностью
модели, получаем, что отсюда вытекает, что любой п = ke {у\, ... , tj^ ) ^ W^
отвечает единственное значение х^' ^М, такое, что \Р' (х^', y\, ... , у^ ) \ z=l
(запись нестандартна, но смысл очевиден).
Будем тогда интерпретировать f (новый символ в языке L) кзк функцию
М" -* М, которая переводит (у^ у^) в х^'. Очевидно, мы получим нормальную
модель S в языке L.
Наоборот, ограничивая любую нормальную модель е на L', получим
нормальную модель е'.
г) Если Q выводима из г в L, то Q' истинна в любой нормальной модели е'.
Действительно, Q истинна в любой модели ф множества е. Чтобы доказать
истинность Q' начнем с атомарных Q, содержащих f.
В обозначениях первой части доказате.пьст8а (перевод формул) построим Q*
и затем Q'(,)==2 х (Р {х, t,, ... ,t„)/\Q* (х)). Для проверки того, что |<?'(,)|^=1,
HjoKHo для каждой^точки ^^М найти такое изменение ^' точки ^ по х, что
Найдем X'' из условия \Р{х^', t}, ■■■ ,t\) \^— 1.
Описание интерпретации /, данное в пункте в), показывает, что
тогда |^*Ц?') = |^и^) = 1-
Таким образом, переход от Q к Q\i) сохраняет истинность;
итерируя его, находим, что Q' истинна для атомарных Q. Наконец,
индукция по числу связок и кванторов доказывает истинность Q'
в общем случае.
Объединяя результаты а) — г), получаем окончательно е' j— Q', что
завершает доказательство предложения 8.3.
8.4. Примеры, а) В языке LiSet из аксиомы объемности и
аксиомы пары (а также аксиом равенства и логических аксиом)
выводима формула
д! л:уг(гG-^^ 'z = u\/z^=:v).
Пользуясь предложением 8.3, убеждаемся, что если добавить
к LiSet новый символ функции ранга 2 — «неупорядоченная пара»
{ }, то множество формул языка LiSet, выводимых из аксиом
Цермело — Френкеля в этом расширении, не изменится.
Поэтому мы можем спокойно пользоваться не только
сокращенной записью «;с={м, ш}», как это делалось раньше, но и термами,
составленными с помощью символа { }- В частности, (пользуясь
{ } не нормализованно, а в соответствии с традицией);
б) мы можем ввести обозначения для конечных ординалов
0, {0}. {0, {0}}. •••

уже как термы в нашем расширении языка, и затем «погрузить»
формальную арифметику в формальную теорию множеств.
в) Выведя из аксиом Цермело — Френкеля формулу д! х («х
ординал» Л « не конечен» Д« у ординал у<.х конечен»), мы
сможем ввести новую константу ©о и продолжать вводить'имена
новых и новых ординалов, которые доказуемо однозначно
характеризуются формулами языка LiSet (или его расширения, полу-,
ченного таким же способом).
Этой новой свободой действий мы будем пользоваться в гл. III.
9. НЕВЫРАЗИМОСТЬ ИСТИННОСТИ: ЯЗЫК SELF
9.1. Суждения типа «парадокса лжеца», будучи смоделированы
в формальных языках, приводят к важным теоремам о
принципиальной ограниченности выразительных и доказательных средств
таких языков. К самым известным из них принадлежат теорема
Тарского о невыразимости множества истинных формул арифме»
тики и теорема Геделя о невозможности эффективно
аксиоматизировать арифметику. Теореме Тарского посвящены ближайшие
три параграфа. Наше изложение основано на изящной работе
Шмульяна [31].
В этом параграфе описан крайне элементарный язык SELF (не
лежащий в классе 2'i), предназначенный для самоописания, на
котором выпукло демонстрируется идея конструкции. В § 10
введен новый язык арифметики SAr, столь же выразительный, как
LiAr, но также не принадлежащий классу S'l: его синтаксис
приближен к синтаксису SELF, что резко упрощает доказательство.
Наконец, в § 11 теорема Тарского доказана для SAr методом
Шмульяна.
9.2. Язык SELF (S'mullyan's Easy Language For selfreference).
Алфавит SELF: E, :4c (симметричные кавычки); г (отношение
ранга 1); ~~i (отрицание).
Синтаксис SELF. К отмеченным выражениям принадлелсат: ярн
лыки, экспонаты, формулы и имена.
Ярлык любого выражения Р—это %Р>|< (Р в кавычках).
Экспонат любого выражения Р — это P>j<P>jc (я вещь с
ярлыком"). '"^
Формулы — это выражения вида гЕ.. .Е>^Р-)^ и WE'.. .Е:^
:lfcP^. Здесь Е стоит на k^O местах после г. Сокращенная
запись: г£*^Р^ ила —1 г£'*%Р>|<.
Наконец, введем бинарное отношение на множестве всех вы-"
ражений: «быть именем». Оно определяется рекурсивно:
а) ярлык Р является именем Р;
78

б) если Р —имя Q, то ЯР —имя экспоната Q, т. е. имя выра^
жения. Q^Q>^.
9.3. Замечания, а) Если Р есть имя Q, то экспонат Q имеет
по крайней мере два разных имени: ЕР, >^Q^Q^>^. Таким
образом, выражение может иметь несколько имен. Наоборот по имени
выражение восстанавливается однозначно: имена имеют ви;) Я* >к
:JfcP>^, k^O.
Мы будем писать N{Q) вместо «одно из имен Q».
б) Каждая формула имеет вид rNiQ) (или П rNiQ)). В
следующем пункте мы ее интерпретируем как высказывание
«выражение Q (не) обладает свойством Д», и естественно, что, говоря
0 Q, формула «называет Q по имени».
в) Выражение £■%£■% является одним из двух своих имен.
Точно так же формула гЕ:^гЕ>^ „говорит о себе самой" (п. 9.5).
Язык SELF и был сконструирован так, чтобы эти эффекты
самоописания проявлялись при возможно более скромных
выразительных средствах.
9.4. Стандартные интерпретации. Чтобы определить одну из
стандартных интерпретаций языка SELF, выберем любое множество
(свойство) R выражений языка и введем функцию истинности
1 |л на его формулах соглашением
l_n,-A^(Q)|^ = |nV(Q)|, = j^
1, если QGiR,
иначе.
Будем говорить, что формула 7?-истинна (^-ложна), если значение
I |л на ней равно 1 (0).
9.5. Теорема о невыразимости.
Для любого свойства R
„ , - , \ R-ucmuHHue формулы,
RП {формулы}ф\^ v- и V
{R-ложние формулы.
Доказательство. а)'формула Q=~'r£'>jc~'r£'>jc /?-ис-
тинна <^z^rE:^~\rE:^R-noMna^^Q^R, ибо Я ijc ~1 гЯ-^f
есть имя экспоната ~^гЕ, т. е. Q. Таким образом, Q не может
одновременно лежать в i? и быть истинной, что доказывает первую
часть теоремы.
Связь с парадоксом лжеца становится ясной, если учесть, что
Q говорит о себе: «Я обладаю свойством R^.
6) Аналогично формула гЕ^гЕ^ говорит о себе: «Я обладаю
свойством R^ и потому не может одновременно лежать в ^ и быть
i^-ложной.
79

10. язык АРИФМЕТИКИ ШМУЛЬЯНА
10.1. В ЭТОМ параграфе описан язык арифметики SAr и его
стандартная интерпретация. Главное отличие SAr от LiAr состоит
в возможности формировать «классовые термы» — имена
некоторых множеств натуральных чисел. Точнее, если Р{х)—формула
SAr с одной свободной переменной х, то выражение х{Р{х))
в ЗАг именует_ множество {xeN\P{x) истинно}, а выражение
x{P{x))k, где fe-терм — имя целого числа k^l, именует
высказывание «k удовлетворяет Р». Это расширение средств выражения
в SAr по сравнению с LiAr не увеличивает класс подмножеств
в U7V^ которые выразимы формулами, но приближает синтаксис
/■5:1
S Аг К синтаксису SELF настолько, что позволяет имитировать
доказательство теоремы 9.5.
Кроме того, алфавит SAr по сравнению с алфавитохм LiSet
несколько изменен и сокращен, но это сделано лишь для упрош,е-
ния описаний синтаксиса и логику SAr не обедняет.
10.2. Алфавит SAr : д; (переменная);'(штрихдля формирования
счетного множества переменных х, х', х'\...)\ • (умножение—'
операция ранга 2); \ (возвышение в степень, как в АЛГОЛе,—
операция ранга 2); = (равенство); \ (связка — конъюнкция
отрицаний); (,)—скобки; 1 (константа единица).
10.3. Синтаксис и интерпретация SAr. Из-за разрешения
формировать классовые термы х{Р(х)) и формулы х{Р{х))к.
описание синтаксиса слолшее, чем в языках класса 2'i.
Рекурсией по целому числу i^O мы определим две
последовательности множеств выражений: Тмг^ (термы- ранга ^2/) и
Фл21+1 (формулы ранга ^2j-|-1). (Попутно двойной индукцией —
по рангу терма или формулы, а внутри множества Тмгг, Фл2i^-l —
по длине устанавливается лемма об однозначности чтения, на
которую опираются определения в свободных (замкнутых)
вхождений и функций истинности. Ничего нового по сравнению с § 1
здесь нет, и мы оставим эти детали читателю).
Параллельно с синтаксисом описывается стандартная
интерпретация S Аг в Л'. Чтобы интерпретировать выражения со
свободными переменными, нужно фиксировать точку l^N^^NyCN^i ...,
которую мы будем отождествлять с бесконечным вектором с
натуральными координатами: на k-u месте находится значение k-й
переменной {x'"''f {k—1 штрих).
ао) Тмо — числовые термы: наименьшее множество выражений,
содержащее переменные х, х', х",..., имена натуральных чисел
Г, и, ГГГ, ... « замкнутое относительно образования выражений
Вместо л''"' (k—l штрих) будем кратко писать л'й.; вместо
Т.. .Т (k>l единиц) будем писать k.
80

^^ Терм k интерпретируется как k (независимо от ?); х| — k-я
координата ?; если t\, tl^N уже^определены, то {(0-(^2)]^= ^!4 K'^i) I
I (4)'] = (^!)^'.
Вхождения выражений д:^^=х'"'/ в любой терм из Тм,,,
очевидно, не перекрываются. Все они считаются свободными.
бо) Фл1—наименьшее множество выражений, содержащее все
выражения вида ti=ti2 (где /г^Тмо) и замкнутое относительно
образования выражений (Р)|(Р2). где PjeФлl.
Иными словами Фл1 — логическое замыкание множества
атомарных формул {/i=^2H^eTMo}.
Выбор точки g определяет значение истинности любой
формулы РеФл1 рекурсией по числу вхождений связки |.
[о иначе;
(PJ I (pj[(^)_n. если \Р^\(Щ = \Р,\(^) = 0,
\0 иначе.
Все вхождения переменных в элементы Фл1 не перекрываются и
считаются свободными.
Пусть теперь /^1 и множества Tu2k-2, Флг^-! определены для
k^i вместе с интерпретациями и противопоставлением свободных
замкнутых вхождений.
Определим очередные множества следующими соглашениями.
а-;) ТЩг — классовые термы ранга ^2i:
(при г'=1 не нужно включать Тмо).
Р1нтерпр стадия:
(Хй(Р))^ = {х^'I пробегает те изменения ? по х^, для которых
IPI (?')-!}.
Все вхождения переменной Xk в Xh(P) считаются связанными,
вхождения остальных переменных — такие же, как в Р.
б,-) Фл21+1—логическое замыкание множества выражений
р, (ЗеФл,,-лиг%,, тетмз,}.
6-1 В\

функция истинности: положим Xk{P)=Ti, Xk(Q)=T2; тогда
rj^ (Р) = а: (Q)I(^) = / ^' ^^™ ^1 = ^2' ^^^ подмножества Л^;
[о иначе;
|Г^[^)=(Ь если k^T\
[О иначе.
На логическое замыкание функция j j продолжается тем же
способом, что в п. 10.3 бо).
Все вхождения переменных в Xk{P)=XkiiQ) н Тк те же, как
в соответствующий классовый терм. Композиция с помощью
связки I не меняет качества вхождения.
Как в п. 2.10, доказывается-, что 1^1 (|) зависит только от
I — значений переменных, имеющих свободные вхождения в фор-
00
мулу PG и Фл,г+:.
1—0
На этом описание синтаксиса и семантики SAr закончено.
В заключение покажем, что классы множеств в UN'', выразимых формулами
LiAr и SAr, совпадают. Этот результат ие используется в доказательстве
теоремы Тарского в следующем параграфе. Однако он сам и метод его доказатель-
ства поучительны.
Пусть LiAr имеют счетное множество переменных. Обозначив их Xi, Х2, ...
..., Хп, ... и отождествив Х{ с х'—' (t—1 штрих), мы очевидным способом
отождествим также интерпретационные классы для LiAr и SAr. Утверждение о рав-
новыразимости немедленно получится тогда из следующего более сильного
факта:
10.4. Предложение.
Можно эффективно определить два отображения перевода
{формулы LiAr} =р* {формулы SAr}
со Следующими свойствами:
а) в каждой точке | значения истинности любой формулы и ее перевода
совпадают;
б) множества свободных переменных любой формулы и ее перевода
совпадают.
Заметим, что отображения, которые мы определим, не будут
взаимно-обратными!
Доказательство.
а) Перевод LiAr—SAr. Перевод формулы Р будем обозначать «Р». Сначала
переведем атомарные формулы, затем проведем рекурсию по длине. В алфавите
SAr нет сложения, зато есть умножение и возведение в степень, это позволяет
вместо z=x+y писать 2^ = 2=^-21'.
fef'a,) Атомарные формулы. Они имеют вид ti = ti. „Выполнив действия',
заменим каждый ненулевой терм в LjAr „нормализованным термом' — многочленом
вида Sxj'... xjp, где одночлены записаны в ввде (... ((Xi^x,)- ...)'Хг) •••)•
расположены в словарном порядке и отделены [скобками (... ((^от,+ОТг;-Ь'Яз)-Ь •••)•
Ясно, как такому терму поставить в соответствие терм »2 t '" в SAr: скажем,
82

„2 t {{Xl)^(Xl)_+x^)^^ есть (2 t {Xi)-{x^))- (2 t (Xj)). Перевод „2 t 0« no
определению есть 1. После этого перевод формулы <, = t^ по определению будет
„2 t <,'* = „2 t <2"- Ясно, что они имеют одни и те же переменные и истинны
в одних и тех же точках |.
Зг) Если „Q", „Q,", „Qj" уже определены, то »"~1 Q" определяется как „Q" J. »Q«.
Аналогично строится »Q, >|с; Qj" для остальных связок (ср. отступление о
синтаксисе в гл. 1).
За) Если t,Q^^ Определена, то nY^kQ" определяется как
Обе формулы истинны в точке ё, если и только если Q (и «Q») истинны во всех
изменениях g' точки ^ по Хл.
Свободные переменные у них общие, ибо по индукции можно предположить»
что это так для Q и »Q".
aj n^XkQ" по определению совпадает с »"~1 V-^--^ ""2"-
б) Перевод SAr—LiAr.
Перевод Р по-прежнему будем обозначать «Р», хотя иа этот раз Р будет
формулой SAr, а «Р» — формулой LiAr.
Тонким местом является перевод формулы X]=X2\xz. Известно, хотя и не
слишком легко доказать [12], что он существует и даже может быть взят
в виде "gXi ... 3 Xnp{xi, Х2, ..., Хп), где р — атомарная формула LiAr, Здесь
мы примем этот факт иа веру и выберем некоторый перевод <uci=X!i\x3» раз
навсегда.
6i) Перевод формул из Фло. Следующие правила дают рекурсивное
определение:
„/i = <2" имеет тот же вид, если <i<2 G {переменные} (J {1, 1, 1,...} ( в
том Гомысле, конечно, что х '" заменяется на х^, а 1 ... 1 —на (... (1 + 1) +
+ Т)+...).
„Хй=<,-<2" имеет вид gx^gx/ („х,-= /,« Д „Х/ =/j" Л ■«* = ■*=«•■*^/)
y>Xk=ti t 'г" имеет вид gx^gx/(«xj = <,« Л»-«/ ='2"Л»^А = ^г;Т ■«/").
где Х{, Xj — первые две переменные, не входящие в tu t^.
Аналогично переводятся формулы с переставленными правыми и левыми
частями, а также с 1 ... 1 вместо Xk- Далее, положим
»/] = /а" имеет вид дх; (•X;=/i« Д »Х/ — t^^^),
где Хг — первая переменная, не входящая в ti, ti, если только нн один из термов
tu is не является переменной или 1 .. .1.
Ясно, что функция истинности и множество свободных переменных при
таком переводе сохраняются.
бз) Пусть формулы из Фл2<-1 уже переведены. Положим
„Xft(P,) = ^ft(Pa)« есть YXki»Pi'^^«P2"):
„Xk{P)'Я^^ есть „Р»0^),
где справа й=(... (1+1)-Ь ...) подставлен вместо всех свободных вхождений
Xk в «Р». Это завершает доказательство.
П. НЕВЫРАЗИМОСТЬ ИСТИННОСТИ: ТЕОРЕМА ТАРСКОГО
11.1. Язык SAr интерпретируется в N, не во множестве своих
формул, как SELF. Чтобы иметь возможность определить вырази-
6* 83

мое множество формул, мы занумеруем их (некоторыми) целыми
числами следующим способом.
Символы алфавита (их девять) занумеруем целыми числами
от 1 до 9 в любом порядке, но так, чтобы Т имела номер 9. После
этого положим {ui^ (алфавит SAr), v{ai)—номера а,);
k
номер {а^ ..., aj,)^n{a„ ..., а^)=^ v(a;)-10*-'+1.
Иными словами, номер выражения получится, если заменить все
входящие в него символы соответствующими арабскими цифрами
(а 1 заменить на 9!), затем прочесть полученную десятичную
запись и увеличить это число на единицу. Ясно, что по номеру
выражение восстанавливается однозначно.
Ярлыком выражения Р назовем имя номера Р в SAr, т. е.
1..Л (/г(Р) раз). Будем обозначать ярлык Р через >|<Р>|<, как
в SELF (но теперь это — сокращенная запись).
Экспонатом Р назовем выражение Р >j< Р >j<.
11.2. Определение.
Пусть Р(х)—формула SAr с одной свободной переменной х.
а) Выражение Q удовлетворяет Р, если номер Q лежит во
множестве {Л\Р(к)} истинна):
б) выражение Q выставлено в Р, если экспонат Q
удовлетворяет Р.
11.3. Лемма. Пусть Р{х), как в п. 11.2. Обозначим через
Р^{х) формулу P((x)-((lO)"t W)) Терм „хЮ^" подставлен вже-
сто всех свободных вхождений х). Тогда мнооюество выражений,
удовлетворяющих Ре, совпадает с мнооюеством выражений,
выставленных в Р.
Доказательство. Если Q имеет номер k, то экспонат Q
имеет номер k- \0'^ (вот зачем 1 имеет номер девять):
^(Q^Q>|<)=n(Qn_^j = («(Q)-l)lO'"^' +
n(Q) раз
+ 9...9H-l=/i(Q)-10''*^'.
л (Q) раз
Значит, номер Q удовлетворяет Ре в том и только в том случае,
когда номер экспоната Q удовлетворяет Р.
84

11.4. Теорема.
Для любой формулы Р(х), как в п. 11.2, имеем
{Множество формул, удовлетворяющих Р} ф
Множество
истинных формул,
Множество
ложных формул.
Доказательство. Р'ассмотрим формулу Тарского — Шмулья-
яа 5:л:Р^ %xPg >|<. Согласно определениям, шмеем (учесть, что
хР^ — классовый терм, а Э^хР^'^ — имя числа):
S истинна фгфхР^ удовлетворяет Р^^гг^хР^ выставлена в Р{лем-
ма 10.3)'^z^ экспонат хР^ удовлетворяет P<^z^S
удовлетворяет Р.
Значит, либо S не ложна и удовлетворяет Р, либо ложна и не
удовлетворяет Р; поэтому множество удовлетворяющих Р формул
не может совпадать с множеством ложных формул.
Как в § 9, формула 5 говорит: «Я удовлетворяю Р».
Аналогично, формула
^ЦР) I (Р))я*-^((Р) 1 iP)h
говорит; «Я не удовлетворяю Р» и потому либо удовлетворяет Р,
либо не истинна. Теорема доказана.
11.5, Лемма 11,3 — это, конечно, чистое волшебство. Десятичная
система тут ни при чем, и 1 не обязательно было нумеровать
девяткой, но так все гораздо красивее.
Более общо, пусть ?Аг — любой язык арифметики с конечным
алфавитом, содержащим алфавит SAr. Пусть правила
образования и стандартной интерпретации формул в ?Аг расширены как
угодно по сравнению с SAr. Требуется лишь, чтобы термы и
формулы SA.r сохранили прежний смысл и для любой формулы Р{х)
в ?Аг со свободной переменной х выражение x{P{x))k было
формулой в ?Аг и интерпретировалось бы по тому же рецепту, что и
в SAr. (Например, можно добавить к SAr знак «+», связки и
кванторы и разрешить строить формулы также по правилам 2'::
так мы вложим LiAr в ?Аг.)
Тогда для ?Аг справедлива теорема о невыразимости п. 11.4.
Нумерацию нужно выбрать так; если т — число элементов
алфавита ?Аг, V — нумерация символов, при которой v(l)=m, то
л(а....а,)=2 v(a,)(/"+l)'"' + l-
85

Тогда в прежних соглашениях
я (Q * Q *) =/г (QT... Т) = (/г (Q) - 1) (т +1)"'^' +
n(Q) раз
n{Q)~l
+ /П 2 (/n+l)4l = /i(Q)(/7z+l)'"«
/=0
И, определив Ре{х) как Р((х) • ((m-f-l) f (а:))), мы без дальнейших
изменений получим лемму 11.3 и теорему Тарского для ?Аг.
11.6. Комментарии, а) Если бы теорема Тарского была не верна
и для какой-то формулы Р{х) оказалось, что {Q\Q — формула и
P{niQ)) истинна} совпадает с множеством всех истинных формул
арифметики, это означало бы, что все теоретико-числовые вопрос
сы сводятся к серии однотипных задач. Вместо того, чтобы спра-
шивать, верна ли проблема номер п, можно было бы спрашивать,
истинно ли утверждение Р{п).
Хотя такая массовая проблема может иметь значительную
сложность (и в определенном смысле быть «бесконечно сложной»),
теорема Тарского утверждает, что вся арифметика является еще
гораздо более разнообразной.
б) Пока у нас остается повод для подозрения, что все дело
в «слишком удачной» нумерации формул. Это не так. Можно по-
казать, что теорема Тарского остается верной для любой нумера"
ции, при которой формула и ее номер эффективно восстанавливав
ются друг по другу.
в) Естественно задаться вопросом, выразимо ли множество нО"
меров доказуемых или выводимых формул (при каком-нибудь
определении аксиом и правил вывода, скажем, в SAr). Ответ: да,
выразимо.
Приведем интуитивные соображения в пользу этого.
Как бы мы ни определили понятие доказуемости, можно
естественно считать, что оно обладает следующим свойством:
существует алгоритм (скажем, программа на ЭВМ), который по любому
тексту данного языка распознает, является ли этот текст доказа-
тельством и какой именно формулы.
Напишем теперь программу, которая будет подряд в словарном
порядке строить тексты на языке, проверять, являются ли они до-
казательствами, и вычислять номер доказанной формулы в случае
положительного ответа. График функции (номер доказательства)
->- (номер доказанной формулы) выразим в LiAr, грубо говоря,
потому, что машинная логика и арифметика заложены в LiAr,
Поэтому множество номеров доказуемых формул выразимо в LiAr,
в SAr или в любом языке ?Аг, как в 11.5.
Объединяя это обсуждение с теоремой Тарского, получаем
следующую форму теоремы Геделя:
86

11.7. Теорема Геделя о неполноте арифметики.
В любом языке арифметики типа ?Аг и при любом определе-
нии выводимости, при котором множество (номеров) выводимых
формул выразимо,
{истинные формулы}ф{выводимые формулы}.
Отступление об аутореферентности
В естественных языках лингвисты лишь недавно отметили
loiacc так называемых перформативных высказываний. Их
характерной чертой является аутореферентность — «способность
соотноситься как со своим референтом с той реальностью, которую оно
само создает, в силу того, что она производится в условиях,
которые делают его действием» (Э. Бенвенист). К ним относятся:
«клянусь», когда само высказывание составляет акт клятвы; «объ-
являю всеобщую мобилизацию», «назначаю вас директором»,
когда эти высказывания составляют акт власти, уполномоченной
совершать называемые действия.
Пристальное рассмотрение семантики перформативных
высказываний выявляет в них императивный оттенок, хотя и
выраженный изъявительным наклонением глаголов.
В связи с этим интересно сопоставить роль аутореферентности
в формальных и алгоритмических языках (ср. п. 1.2 гл. I). В
формальных языках (и вообш,е языках описания) она приводит к
логическим кругам, парадоксам или при попытках избежать круга
к демонстрации неполноценности. Напротив, в алгоритмических
языках (и вообш;е в языках и системах управления)
аутореферентность является важнейшим приемом разворачивания финитной
программы в потенциально сколь угодно длинный процесс
(циклы); она участвует в актах управления (обратная связь) и
принадлежит к числу фундаментальных возможностей системы.
Подобная двузначность прослел<ивается и в психологии: ср.
противопоставление самоанализ — самовоспитание.
Наконец, аутореферентность, может играть роль в генетической
обусловленности процессов старения (биологических и
социальных систем). Цикл с самообращением, реализованный
многократно, приводит к эрозии места обращения.
12. КВАНТОВАЯ ЛОГИКА
12.1. Последний параграф главы посвящен некоторым
физическим фактам и математическим конструкциям, принятым для их
описания. В частности, обсуждается теорема фон Неймана о не^
возможности ввести скрытые параметры в квантовомеханическую
картину мира. Этот материал не вполне традиционный для курса
логики, имеет к нему двоякое отношение.
87

Во-первых, теорема фон Неймана является редким примером
метафизического утверждения. Она относится к свойствам языка,
а не микромира, как, скажем, теорема Тарского в метаматематике.'
Этим объясняется ее изолированное положение в физике и наш
интерес к ней здесь.
Во-вторых, анализ квантово-механических эффектов обнаружил
глубокое реальное расхождение внутренних логик макро- и
микромира. Хотя передача этих различий средствами естественного
языка и естественной логики муч.ительно трудна и в конечном
счете всегда оставляет чувство неудовлетворенности, попытки эти
постоянно продолжаются. Основания физики XX века преподали нам
суровый урок. Для их создания и понимания оказались
совершенно не существенными именно те гносеологические абстракции,
которые так ценили критики оснований математики XX века: финит-
ность, непротиворечивость, конструктивность и вообще
картезианская интуитивная ясность. Вместо этого на первый план выступили
никем не предсказанные принципы: дополнительность,
неклассически вероятностная функция истинности.
Следующее изложение основано на статье [36]. В п. 12.9—
12.16 содержится чистая алгебра, формально не опирающаяся на
остальной нолуфизический текст.
12.2. Атом ортогелия. Мы опишем сейчас некоторые
характеристики поведения физической системы «атом артогелия в состоянии
/г=2, 1=0, 5=1». В этом состоянии атом гелия возбужден: два его
электрона находятся на втором энергетическом уровне, их спины
направлены в одну сторону. Тем не менее состояние метастабиль-
но: чтобы свалиться на первый уровень, электроды должны
развернуться спинами в противоположные стороны (парагелий), что
и создает некоторую устойчивость.
Спин есть физическая величина той же размерности, что
«угловой момент количества движения». Полный спин нашей системы
(в атомных единицах: единица действия равна постоянной Планка
Л/2я) представляется единичным вектором в трехмерном
физическом пространстве. В качестве первого приближения можно
вообразить, что он меняется со временем, но его мгновенные значения
поддаются измерению. (Неадекватность этих представлений скоро
будет продемонстрирована.)
Эксперимент по измерению мгновенного значения спина нашей
системы может состоять во включении магнитного поля
определенной геометрии и регистрации сдвига энергетических уровней
(спектральных линий) атома. Каждый исход такого эксперимента
определенным образом интерпретируется как измерение проекции
спина на то или иное направление, однозначно выделенное
геометрией поля. Направления мы будем отождествлять с точками
единичной сферы S^. Квантовая механика делает следующие
позитивные утверждения об измерениях спина ортогелия.
88

Следующие величины измеримы:
а) проекция спина s{a, t) на направление a^S^ в момент
времени ^,
б) длины трех проекций спина {|s|(af, t)}, l=\, 2, 3, на три
попарно ортогональные направления (репер) {oi, аг, аз}с=5- в
момент времени t.
Предсказания о результатах измерения таковы:
в) 5 (а, /) есть случайная величина, принимающая только
значения— 1, О, 1. (Вероятности этих значений могут быть
предсказаны по результатам предыдущих измерений, но здесь для нас не
существенны.)
3
г) 2 \^\i'''i^ 0 = 2 для любого орта {а,, а^, а^} и любого t.
г=1
12.3. Попытка классического истолкования. Она могла бы
состоять в принятии следующих гипотез:
А. Имеется некоторое пространство Q. «скрытых параметров»
или «внутренних состояний» системы и функция s{a, t; а), aeQ,
такая, что если в момент времени t система находится в состоянии
<1), то 5 (а, t; (о) есть «истинное значение проекции спина на ось а»
в этот момент.
Б. Вероятностный аспект предсказанный в п. 12.2в есть
следствие нашего незнания точных значений а)=(й(0, так что для
некоторой меры d{x((o) имеем математическое ожидание s{a, t) =
= j s(a, t; a) dp,(a); аналогично для |sj.
a
Обобщая, можно было бы считать, чго Q зависит не только от
самой системы, но и от установки для измерения спина; jx может
зависеть от времени и т. п. Все эти возможности, однако,
находятся в противоречии с предсказаниями п. 12.2в, г) по следующей
поразительной причине.
12.4. Предложение (Кохен, Шпеккер).
Не существует отображения S^-^{0, 1} такого, что для любого
репера {сь аг, Сз} значение этого отобраоюения равно О точно на
одном направлении аи
Более того, можно построить конечную систему из 117 точек
TczS^ со следующим свойством. Для любого отображения k: Г->
->-{0, 1} либо найдется репер (сь а^, аз}еГ, на котором k
принимает значение О не в точности один раз, либо найдется пара
перпендикулярных направлений {сь а2}с=Г, на которых k равно 0.
Между тем одновременное принятие утверждений п. 12.2 и
гипотез п. 12.3 позволило бы такое отображение сферы построить.
Действительно, достаточно было бы рассмотреть
5*—{О, l}:aH|s|(a, f, о)
при фиксированных t, со. Согласно п. 12.2в |s| принимает лишь
89

значения 0,1, а согласно 12.2г на любом орте |s| дважды
принимает значение 1 и один раз 0.
Мы докажем предложение 12.4 в п. 12.12—12.15, а сейчас
приступим к более систематическому изложению «квантовой логики».
Будем придерживаться удобного и привычного дуализма
«язык/интерпретация», хотя и другое в физике гораздо менее формализо-.
вано и труднее разделимо.
12.5. Язык нерелятивистской квантовой механики. Для описания
физической системы 5 типа «свободный электрон», «атом гелия
в магнитном поле» и т. п. квантовая механика использует
некоторый фрагмент языка функционального анализа,
«ориентированный на описание 5» (см, [28, 29]). Предполагая, что читатель
знаком с функциональным анализом, мы ограничимся словником
важнейших используемых терминов. Тут же приведены их
синонимы, употребляемые физиками: они указывают на «физический
смысл», т. е. интерпретацию, которая в нашем тексте будет
обсуждаться отдельно.
а) Комплексное сепарабельное гильбертово пространство Жв.
Важны также его одномерные подпространства и вектора длины
единицы. Синоним для первых: (чистые) состояния, для вторых
■ф-функции (нормированные), точнее, мгновенные значения т|з-функ-
ций.
б) Унитарное представление R в Ж^'-Ц—*Ч1 = ^~^"^*-
Синонимы: t\-^ut — динамическая группа; i—время; инфинитезимальная
образуюш,ая Яд (самосопряженный оператор) — динамический
оператор, или гамильтониан 5.
в) Уравнение Шредингера: (З'ф</(3^=—iH^f Ему
удовлетворяют эволюционирующие со временем Tfi — функции: 'ф<=е~' ^ .
г) Самосопряженные операторы в 3>es- Синоним: наблюдаемые.
Оператор Яд есть наблюдаемая энергии. Дискретный спектр Hs—'
энергетические уровни S.
Для нас особое значение будут иметь
наблюдаемые—ортогональные проекторы. Так, чистые состояния С'фсЗ^д находятся во
взаимно-однозначном соответствии с проекторами Р^ на
соответствующее подпространство.
Другой важный класс проекторов строится на основе теоремы
00
о спектральном разложении. Пусть Л= f иРд(Я). Тогда для лю-
—00
бого борелевского подмножества u^R определен проектор Pa{u)-
Его образ в простейших случаях натянут на те вектора в 3^s,
которые собственны для А с собственными значениями из и.
Наблюдаемые-проекторы называются также «вопросами» (Мак-
ки) или «альтернативными свойствами» (русский перевод термина
фон Неймана).

д) Коммутирующие операторы. Синоним: совместно
(одновременно) измеримые наблюдаемые.
Для неограниченных операторов А, В, формальный
коммутатор которых может вообще иметь пустую область определения,
коммутативность определяется как перестановочность Pa{Ui),
Pa{U2) для всевозможных борелевских Ui, U2^R.
е) Унитарные представления в Жв различных групп, как то
S0(3), Su(2), Sn и т. п. Синоним: симметрии системы S (если
представления коммутируют с гамильтонианом Hs)\
приближенные симметрии (если Hs^Ho-\-Hi, где представления коммутируют
с Но, а Hi — «малое возмущение»).
12.7. Пример. 5 — «электрон в электрическом поле протона» (без
учета движения протона», релятивистских эффектов и спина)".
Здесь Ж8=Ь^{Е^)—интегрируемые с квадратом комплексные
функции в эвклидовом «физическом пространстве координат
электрона». Hs — самосопряженное расширение оператора
' д-4-"'
4п7Я h г '
где h — постоянная Планка; т — масса электрона; е — его заряд;
г — расстояние до начала координат (где сидит протон).
Уровни энергии (дискретный спектр Hs) '■
Собственные г|)-функции, отвечающие точкам этого спектра,
суть состояния электрона, связанного с протоном в атом водорода.
Уровень энергии л=1 отвечает невозбужденному атому,
остальные — возбужденному. Положительная полуось — непрерывный
спектр Hs',, в состояниях с положительной энергией электрона
«атом водорода ионизирован».
Важнейшие наблюдаемые электрона: операторы умножения на
три координатные функции Xj (наблюдаемые координаты):
самосопряженные расширения операторов Pj=^{hl2m) [djOxj)
(наблюдаемые проекции импульсов). Операторы Xj, pj не коммутируют,
так что координата Xj и проекция импульса на ось Xj
одновременно не измеримы.
Система 5 сферически симметрична. Естественное
представление S0(3) в L^{E^) коммутирует с Hs. Ограничение этого
представления на подпространство 3^s, отвечающее дискретному
спектру Hs, естественно разлагается в прямую сумму представлений,
отвечающих уровням энергии Еп- В свою очередь, Еп —
подпространство разлагается в прямую сумму представлений S0(3) на
сферических многочленах степеней /=0, 1, 2, ..., п—1 с кратностью 1.
Если 'ф-функция электрона принадлежит уровню Еп и подпрост-
91

ранству, отвечающему представлению S0(3) на сферических
многочленах степени/, говорят, что (л, /)—главное и орбитальное
квантовое число соответствующего состояния электрона в атоме
водорода.
Мы дали образец учебного физического текста. «Язык» смешан,
в нем с «метаязыком», указывающим на стандартную
интерпретацию языка. Опишем теперь ее отдельно и более систематически.
12.8. Интерпретация. Очень важный аспект интерпретации,
которого мы здесь не можем касаться — список неформальных рецеп^
тов для выбора Ms, Hs и наблюдаемых, отвечающих данной
системе 5. Этот выбор «единиц выражения» производится часто в два
этапа: выбор классического описания и применение «правил
квантования» к нему. Он может быть «приближенным» в том смысле,
что не учитываются те или иные обстоятельства (как спин
в п. 12.7).
Пусть 5^s и Hs уже выбраны. Характернейшая особенность
интерпретации квантового языка — ее «двуслойность». Часть
математических высказываний интерпретируется как утверждения о
«свободно эволюционирующей системе», другая как утверждения о
результатах наблюдения над ней.
а) Свободная эволюция. Считается, что (в рамках выбранного
приближения) максимально полная информация о состоянии
системы в момент t задается ее г1)-функцией ■yjpt^S^s- Пока за
системой никто не подглядывает, \pt эволюционирует как е~''^'^''фо,
исходя из начального состояния ijjo. (Как узнать ijjo? См. пункт
п. 12.8в).
б) Наблюдение. Пусть мы хотим измерить мгновенное
значение какой-то физической величины для нашей системы 5 в момент
t. Этой величине отвечает наблюдаемая А. (Как узнать вид Л? см.
начало п. 12.8.) Будем для простоты предполагать, что А имеет
однократный точечный спектр.
Предсказания относительно наблюдений таковы.
Если A-\jpt^a-[^t, то а будет значением наблюдаемой А в момент
t для системы S в состоянии с -ф-функцией ■\Spt-
В общем случае пусть tjja'^', г=1, 2, ..., —ортонормированный
базис Жа из собственных векторов для А. Разложим ajj* по этому
базису
Ь = Ъ «""'(ОФ.л'- Пусть Лф^''=а,<];
А •
Тогда результат измерения А будет случайной величиной,
принимающей значения а^ с вероятностями 1а(^>(^)|2 соответственно.
(Ее математическое ожидание, как нетрудно видеть, равно
скалярному произведению (Л-фг, г}з<)). Эта формула годится для всех Л-
Более общо, вероятность попадания значений Л в борелевское под-
92

множество UczR равна {Pa{U)%, ijji), где Pa{U) определен
в п. 12.5г).
в) Эволюция после наблюдения. В предположениях
предыдущего пункта г1)-функция системы после наблюдения определяется
его результатом; если регистрация дала в момент to для А
значение Ui, то 5 эволюционирует начиная с ф^'* в момент to до
очередного наблюдения совершенно независимо от прежнего пути
эволюции.
ТакИхМ образом, результат наблюдения может позволить нам
узнать вид г}з-функции после наблюдения, но не дает информации
о том, какая она была до наблюдения.
Поэтому физики часто говорят, что регистрация значения ai
приготавливает систему в состоянии ф^'' ^ момент времени t^.
Другой синоним: в момент наблюдения <Ь-функция системы стягивается
Если нам удалось зарегистрировать одновременные значения
двух наблюдаемых, то мы приготовили систему с г1)-функцией,
собственной для них обеих. Поскольку для некоммутирующих
наблюдаемых всегда есть не общие собственные вектора, их значения,
вообще говоря, одновременно не измеримы.
12.9. Квантовая логика. Выделим теперь алгебраический скелет
квантовой логики. Мы будем исходить из следующих аналогий.
Пусть дан формальный язык класса 5'i с единственной
переменной и его интерпретация во множестве М, где эта переменная
может принимать значения. Тогда в М выделяется булева алгебра
В выразимых множеств (ср. § 3). Конъюнкции формул отвечает
булево пересечение выражаемых ими множеств и т. п. Согласно
определению N^B, если средствами языка можно задать вопрос:
«Принадлежит ли Л^ значение переменной?». Алгебра В есть
важнейший инвариант пары {язык, интерпретация}.
Теперь рассмотрим язык квантовой механики,
ориентированный на описание системы 5. Нам придется исключить временной
аспект, фиксировав момент времени, к которому относятся
высказывания о состоянии системы. Тогда «состояние системы» будет
единственной переменной языка. Она принимает значения во
множестве прямых гильбертова пространства Жа- Единственные
вопросы, на которые возможен двузначный ответ, таковы: «принад-
лел<:ит ли состояние системы данному замкнутому подпространству
^s?»- Замкнутые подпространства a^s образуют аналог алгебры В.
Конъюнкция вопросов отвечает образованию пересечения
подпространств, дизъюнкция — их сумме, но обе операции можно
производить лишь в том случае, когда соответствующие наблюдаемые-
проекторы коммутируют, и лишь в этом случае выполнены булевы
тождества.
93

Аксиоматизируем ситуацию:
12.10. Определение.
Частичной булевой алгеброй В называется множество,
снабженное следующими структурами:
а) рефлексивное и симметричное бинарное отношение -)f ^ов-
местной измеримости». Вместо {а, 6) ^ >^ мы пишем а-^Ь; •
б) частичные бинарные операции V> Л " унарная операция';
в) элементы О, 1еВ.
Эти структуры должны удовлетворять следующим аксиомам:
г) Отношение -^ замкнуто относительно операций Д, V>':
если''а^, а^, а, попарно совместно измеримы, то (а^/\а^) :^ а,,
(аД\/Л)%^з' a-'i^a-v кроме того, а>|<0, a-^-l для всех а^В.
д) Если йь «2, из попарно совместно измеримы, то вместе с О,
1 они порождают булеву алгебру относительно операций V> Л»'-
12.11. Пример. Пусть Ж — гильбертово пространство
(возможно, вещественное и конечномерное). Частичная булева алгебра
В {Ж) определяется как множество замкнутых подпространств Ж
со следующими структурами:
а) аг^Ь, если и только если существуют такие три попарно
ортогональные замкнутые подпространства c,d,eQ9€, что а = сф(^,
b=e®d.
Мотивировка: это условие равносильно перестановочности
проекторов на а, Ь;
б) а Дй=пересечение а, Ь;
в) а\/Ь=суыиа а, Ь;
т) а' — ортогональное дополнение к а;
д) 0=т, 1=5^.
Одна из форм теоремы о несуществовании скрытых параметров
такова
12.12. Теорема.
Если dim Ж^Ъ, то В (36) нельзя вложить в булеву алгебру с
сохранением операций.
Результат поддается разнообразным формальным усилениям
(см. [36, § 5]). Мы не будем на них останавливаться.
Доказательство. Выберем в Ж вещественное эвклидово
подпространство Е^<^Ж и покажем, что уже В{Е^) не
вкладывается в булеву алгебру. Иначе существовал бы гомоморфизм
частичной алгебры В{Е^) на двухэлементную булеву алгебру {О, 1}, ибо
для любой пары элементов любой булевой алгебры существует
разделяющий их гомоморфизм на {О, 1}.
Пусть h — такой гомоморфизм. Если а^, а^, а,аЕ—попарно
ортогональные прямые, то
h{ai/\aj) = h{ay/\h{aj)=^0 для г^^/.
94

Поэтому из любой пары ортогональных прямых хоть одна должна
переходить в 0. Далее, h(а, У а^\/ a^)=^h(а,) Vh(aj уh{а^ =
=/г (£■') = !. Поэтому из любого репера ровно одна прямая должна
переходить в 1.
Отображая точки единичной сферы S^ на прямые, соединяющие
их с началом, мы получили бы с помощью h отображение 5^ со
свойством, уже описанным в предложении 12.4 (нужно лишь
поменять местами О и 1). Докажем, что отображения с таким свой^
ством нет даже на подходящем подмножестве из 117 точек в S'^.
Этот усиленный результат комбинаторно красив и физически
значим: попытка измерять проекции спина ортогелия одновременно по
всем направлениям могла бы вызвать возражения даже при
надежде на скрытые параметры. На самом же деле уже конечного
числа направлений достаточно, чтобы показать несостоятельность
попытки.
Рассмотрим некоторый конечный граф. Его реализацией на S^
назовем такое вложение множества его вершин в 5^ при котором
расстояние между концами любого ребра равно 90°.
12.13. Лемма.
Пусть а, р — такие точки на S'^, что синус угла между их
радиус-векторами содержится в [О, 1/3]. Тогда существует реализация
графа Гх: при которой ао переходит в а, а^ в р.
Доказательство. Пусть а;, у, z репер на S^. Переведем ag
в X, й!д в Z. Положим далее для некоторых |, т]е7?
а.
У-\-1г
/1+^=
а.
X +'Г]У
Тогда образцы аз и а4 определяются с точностью до знаков по
ортогональности к (as, as), («j, ag), и мы выберем
а
iy-
а.
У]Х—у
Затем аналогично положим
а,
Vi + i^+iY '
а.
95

и, наконец, с точностью до знака определяются а, и а,. Синус
угла между а, и а, легко вычислить: он равен
Это выражение принимает все значения между О и 1/3.
12.14. Лемма.
Рассмотрим граф Га, который получается из картинки
Га в
отождествлениями вершин а=ро, b^^q^, С:=го {видимые
пересечения ребер внутри окружности не являются вершинами).
Этот граф реализуется в S^.
Доказательство. Положим для 0^fe^4
Ttfe — I . Ttfe
■ COS -Г7^ X-f- Sin -j^ «,
10
10
I Ttfe — 1 . Ttfe —
'7feHcos-f^y + sin-jQ-z,
•sm^A- + cos^^2.
10
Так как sin (я/10) < 1/3, это отображение можно сначала
продолжить до реализации подграфа мел<ду точками ро, Р\ и го,
воспользовавшись предыдущей леммой. Вращая полученную реализацию
вокруг Го так, чТгобы (ро. Pi) перешла в (Рь рг), (р2, Рз), • ■ •,
получаем реализацию «нижней дуги» и Го. Аналогичные вращения
вокруг образов Ро, Яо доставляют реализацию остальных двух дуг.
12.15. Конец доказательства предложения 12.4 и теоремы 12.12.
Рассмотрим произвольное отображение k вершин графа Гг в {О, 1}.
Допустим, что ровно одна вершина каждого треугольника
переходит в 1 и хотя бы одна из вершин каждого ребра переходит в 0.
Пусть в треугольнике {ро, го, (/о) в 1 переходит ро. Рассмотрим
копию графа Гх между вершинами Ро, Го, р\, отождествив их с «о, ^8,
Аэ соответственно. Мы должны иметь k{p{)=k{a^)=^\. Действи-
96

тельно, если бы ■Л{ад).=0, то »fe(a7) = l и затем k(a\)==k(a2) =
=jfe{a3)=/fe(a4)—О, jfe(a5)=^(ag) = l — противоречие.
Теперь вернемся к Гг. Так как k{ro)=k(pi)=.l, аналогично на^
ходрш k{p2) = l и затем к{р^)=^к{р^)=>к{до) = 1. Но k{qo) = l
противоречит тому, что k{Po)=:l. Этим завершается доказательство.
12.16. Квантовые тавтологии. Эта тема почти не исследована:
мы приведем один контрпример Кохена и Шпеккера [36] и
формулировку недавних результатов Гельфанда и Пономарева.
а) Контрпример. Он состоит в следующем: можно указать
представление лагического многочлена от 117 переменных, которое
будет классической тавтологией, но в частичной булевой алгебре
В{Е^) при некоторых значениях переменных определено и
принимает значение 0. Это — просто другой аспект невозможности
вложить В(Е^) в булеву алгебру.
Действительно, пусть Р{р, q, г) —такой логический многочлен
от трех переменных, который принимает значение истинности 1,
когда в точности одно из значений \р\, \щ\, |г|_есть 1. Можно
считать, что в Р входят только связки V> А и ~|. Аналогично,
пусть Q (/7, (7) = П iP V ""I "7 • Q принимает значение 1, когда среди
\р\, \q\ есть хоть один 0.
Перенумеруем вершины графа Гг числами от 1 до 117 и
положим
R {р„ ..., /?,,,) = ( Д Р {р^, pj, р^) Д Q {р„ р^)у.
(i.l.k) (r,s)
Первое произведение взято по всем тройкам (i, /, k), образуюш,им
треугольники в Гг, второе — по всем парам (г, s), соединенным
ребром в А-
Рассуждение п. 12.15 показывает, что при любом отображении
{Pi, ■■; Рт}—ко. 1) хотя бы один из булевых сомножителей
принимает значение О, так что R является классической тавтологией.
В то же время если подставить вместо pi прямую,
соединяющую начало координат с образом i-й вершины в фиксированной
реализации графа А, мы получим в качестве значения R элемент
Os5(£3).
В самом деле, р^, Ps ортогональны, то р\\/р'^ = Е^;
аналогично, если pi, Pj, pk ортогональны, то Р{pi, Pj,pk) = l ^В(Е^). Это
проверяется следующим образом: положим а-\-Ь={а/\Ь')\/(а'/\Ь),
тогда
P{p<q.r) = p + q-{-r-{-p/\q;\r
(при любой расстановке скобок), откуда
Р iPi' Pi' Pk) = Pi фЛ- ФЛ = ■^'•
7—1 97

б) Результаты Гельфанда и Пономарева. Начнем со
следующего замечания. На множестве замкнутых подпространств В {Ж)
гильбертова пространства Зё операции V' Л и ' определены
всюду, хотя перестают удовлетворять булевым аксиомам и при
пренебрежении отношением >{с совместной измеримости, как будто
лишаются физического смысла.
Тем не менее естественно исследовать и такие структуры, впер*
вые предложенные в качестве квантово-механических логик
Г. Биркгофом и Дж. фон Нейманом. Вот их аксиоматизация:
Определение.
Модулярной структурой L называется множество с бинарными
операциями Д, V» которые удовлетворяют следующим условиям:
з) Л. V ассощативнн и коммутативны;
б) а/\а=а\/а=^а для всех a^L.
в) Если а/\b=b, то {а\/ с) Ab^=b\/ {с /\Ь) {модулярное
тождество).
Биркгофф и фон Нейман требуют еще существования операции
«ортогонального дополнения» с обычными аксиомами, но здесь мы
ее опустим.
Заметим, что модулярное тождество в В {Ж) универсально
выполняется, только если <3^ конечномерно. Оно выполнено также для
троек а, Ъ; с, элементы которых имеют конечную размерность или
коразмерность в Ж.
И. М. Гельфанд и В. А. Пономарев изучали линейные представления
свободных модулярных структур с л образующими в В{3^) для конечномерных
пространств над произвольными полями. Такое представление называется
неразложимым, если оно не разлагается в прямую сумму представлений в В{а(ё\) ф
е В{%2).
Определение.
Модулярным вопросом называется элемент свободной модулярной
структуры, который при любом неразлооюимом конечномерном представлении принимает
значение либо О, либо 1.
Один из главных результатов Гельфанда и Пономарева состоит в
конструкции очень нетривиальной счетной серии модулярных вопросов. Мы ограничимся
формулировками.
Пусть L" —свободная модулярная структура с п образующими {аь ..., ап}-
Положим /^{1, ..., л}.
Последовательность длины f^l-.a^ih, ..., ii) элементов / назовем
допустимой, если в ней нет одинаковых соседей.
Последовательность длины /—1 : Р^= (fe,, ... , fe;_,) элементов / назовем
подчиненной а, ес.ии она допустима и у/</—1, kj^iif, ij+i}- Положим для
допустимой а:
''« = «й...гг = «йЛ(уаз)'
где р пробегает все последовательности, подчиненные а. Далее, определим для
te{l, ...,п}
At (I) - V а„,
а
98

где а пробегает все допустимые последовательности длины / с последним
элементом t. Наконец, положим
Ht(l) = \/Ai{l).
Подструктура в L", порожденная элементами Hi{l), ..., Нп{1), целиком
состоит из модулярных вопросов для всех /^1.
Это — трудный результат; легче доказывается, что эта подструктура
является булевой алгеброй нз 2" элементов. Подставляя ее элементы в качестве
значений переменных в обычные булевы тавтологии, мы получаем «квантовые
тавтологии», но для этого нужно рассматривать структуры с дополнениями.
Остается выяснить, извлекается ли нз этой алгебры нетривиальная физика.
Возможно, следует соединить ее с техникой представлений групп симметрии.
12.17. Атом ортогелия: второе посещение. В заключение мы вернемся к
атому ортогелия S и покажем, как материал п. 12.2 выглядит с общих позиций.
а) Выбор Эёз, как было объяснено в п. 12.7, бесспиновому электрону
отвечает пространство L^{E^). Учет спина заставляет ввести «двухкомпонентную»
^-функцию, т. е. перейти к пространству L^{E^)® С^. Система двух электронов
гелия описывается ф-функцлями из тензорного квадрата этого простраиства. Но
согласно принципу Паули ф-фуикция этой системы должна оставаться в
антисимметричной относительно перестановок электронов части тензорного квадрата.
Поэтому окончательно 3es=A?{L^{E^) ф С^).
б) Выбор Hs- Это — трудная задача, потому что каждый электрон движется
в переменном электромагнитном поле, созданном ядром и другим электроном.
Главный член гамильтониана отвечает постоянному сферически симметричному
потенциалу, который получается усреднением по времени. Остаток
рассматривается как малое возмущение. Приведем приближенный вид ф-функцин
ортогелия, точнее, элемента нз A?-{U-{E^)), отвечающего проекции Эёв иа
подпространство единичной проекции спина:
^^-А{г,+г.1 [(с,4-С2(г,4^г)+С4Г,2+С5Г,г(г,4-^2) shCo(r,-r2) +
4-(''1-'-2) (Сз+СбГ,2) Ch Со(/-,-/-2)].
Здесь
/ 3 \1/2 /3 \ 1/2
константы к. Со, ..., Cq находятся экспериментально.
в) Приближенные симметрии. В пространстве З^з действует
группа SU{2): на L'^iE^) через свой фактор 50(3), на С^ своим
стандартным представлением. Это — группа приближенных
симметрии системы; ■ф-функция ортогелия «не слишком удаляется» от
подпространства, отвечающего подходящему представлению
SU{2), что позволяет говорить о главном (п), орбитальном (/) и
других квантовых числах состояния, как в атоме водорода.
г) Спин. Оператор полного углового момента / коммутирует
с гамильтонианом Hs- В состоянии п=2, /=1 его собственное
значение равно 2 (в атомных единицах). Собственное подпространство
Nd^s, отвечающее этому значению, трехмерно. Далее, операторы
квадратов проекций спина Рх, Ру, Рг попарно коммутируют (это—
особенность спина 1).
•г* УУ

Обозначая через Р проектор SSs на N, мы получаем возможность вложить
частичную булеву алгебру В{Е^) и В [Зёв), сопоставив прямой aczE^ образ
оператора Р1^л в S^s- Это заменяет несколько наивную картину п. 12.2.
Приложение. Универсум фон Неймана
1. Предпосылки канторовокой «наивной» теории множеств
сводились к следующим: множество может состоять из любых
различимых элементов (физического или интеллектуального мира);
множество однозначно определяется набором своих элементов;
любое свойство определяет множество объектов, которые этим
свойством обладают.
• Формальный язык теории множества LiSet призван описывать
более ограниченный класс множеств (универсум), чем канторов-
ские. Часть этих ограничений вызвана соображениями удобства,
другая — желанием избежать так называемых парадоксов. Это
дает «оценку сверху» для рассматриваемых классов. «Оценка снизу»
определяется желанием, чтобы рассматриваемый класс множеств
был замкнут относительно всех математических конструкций,
необходимых для реализации той или иной части (в идеале «всей»)
содержательной математики.
2. Вслед за Цермело, фон Нейманом и другими мы
рассматриваем два основных ограничения на множества.
а) Элементами множеств могут быть лишь множества же. В
частности, в универсуме V фон Неймана (см. ниже) любая цепочка
включений Xq^Xx^X^^ ... обрывается, и, значит, последним
элементом ее обязательно является пустое множество. Таким образом,
все множества V строятся «из ничего».
б) Предположение о том, что всякая совокупность хотя бы
таких множеств снова образует множество из V, немедленно
приводит к противоречию (Бурали — Форти, Расселл и др.). В
частности, совокупность всех множеств универсума элементом F не
является. Поэтому требуется точная формулировка (по крайней мере
части) тех операций, которые не выводят за пределы F. Два
основных формальных языка теории множеств: Геделя — Бернайса и
Цермело — Френкеля — отличаются тем, именами каких объектов
являются символы переменных при стандартной интерпретации
ъ V. V Цермело—Френкеля (наш LiSet) это имена множеств.
У Геделя—Бернайса это имена таких совокупностей множеств—-
классов, которые «не обязательно являются множествами», и
свойство класса «быть множеством» специально определяется как
свойство «быть элементом другого класса». Язык Геделя —
Бернайса изучен в гл. 4 книги Мендельсона [2]. В этом параграфе
мы опишем универсум фон Неймана, пользуясь обш,епринятыми
средствами обычной содержательной математики. Отношение этой
конструкции к формализму будет обсуждено в п. 18.
100

3. Первые этажи. Универсум фон Неймана строится индуктивно
начиная с пустого множества последовательным применением
операции ^■. «множество всех подмножеств». Тем самым
к;=55(0) = {0},
Уа^.-=^(Уп),
Легко видеть, что V^„C^n+i (позже это будет доказано'в пол-
ной общности). Этаж К„ состоит из 2" {п.— 1 двоек) конечных
множеств, элементами которых, в свою очередь, являются
конечные множества, и т. д. Выйти за пределы конечных множеств
нельзя, если не обратиться к рассмотрению всех Vn как «уже
построенных», к объединению которых снова применяется операция ^.
Полагаем
«о
л=0
Индексы, которыми теперь помечаются этажи, суть имена первых
бесконечных ординалов. Кантору принадлежит эта замечательная
идея трансфинитного итерирования конструкций, которую он
впервые применил к исследованию тригонометрических рядов, и затем
исследовал систематически, найдя в ней ключ к бесконечному.
В продолжение ближайших двух пунктов наши множества
временно являются канторовскими. Мы вернемся к универсуму V,
несколько ознакомившись с ординалами.
4. Ординалы.
Пусть X — некоторое множество, на котором задано бинарное
отношение <. Рассмотрим следующие свойства этого отношения:
а) У < У для всех УеХ; если Yi<Y2 и У2<Уз, то УК Уз;
б) для любых У, ZeX, либо Y<,Z, либо Z< У, либо Y=Z;
в) любое непустое подмножество X имеет наименьший (в
смысле <) элемент.
Отношение < частично упорядочивает X, если оно
удовлетворяет а); линейно упорядочивает X, если оно удовлетворяет а) и б);
вполне упорядочивает X, если удовлетворяет всем трем условиям
а), б), в).
101

Пусть (X, <;) вполне упорядочено. Начальный отрезок ?, опре^
деленный элементом УеХ, — это вполне упорядоченное множество
(Z, <), где 2={У'|У'<У}. Как принято, говоря о вполне
упорядоченном множестве, мы можем опускать явное указание порядка,
если оно ясно из контекста.
5. Лемма.
Пусть X, Y — два вполне упорядоченных множества. Тогда
имеет место ровно одна из трех альтернатив:
а) X и Y изоморфны;
б) X изоморфно начальному сегменту Y;
в) Y изоморфно начальному сегменту X.
Изоморфизм, существование которого утверждается, определен
однозначно.
Доказательство. Разобьем рассуждение на несколько
шагов.
а) Пусть X вполне упорядочено, f:X—*X — монотонное
отображение, т. е. Zj •<22 1ф^ (Zi)<f (ZJ. Тогда для всех ZQX имеем
f{Z)'^Z. Действительно, среди элементов, не обладающих этим
свойством, должен был бы существовать, наименьший, скажем Zq.
Но из /{Zo)'<Zo и монотонности f следовало бы f{f{Zo))<f{Zo),
так что нашелся бы и еще меньший элемент.
б) Поэтому X не изоморфно никакому своему начальному
отрезку X,: еели f:XZ JC„ то / {X,) < X,.
в) Пусть теперь X, Y вполне упорядочены. Положим f:={(X„
Y^) 1 А", G А', У; G У и существует изоморфизм .Х", с ?,}. Прежде
всего, /sXX^ есть график взаимно-однозначного отображения
prif на ргг/. Действительно, если Xi=?^X2, скажем Xi<X2, то в силу
б) ^1 не изоморфно ^2; по симметрии то же верно для f~^. Отсюда
же видно, что / и ,f~^ монотонны.
Далее, если Xi^prif и X2<Xi, то Ха^ргх! и аналогично для
Покажем, наконец, что либо pr^f^X, либо pr4=Y. Иначе
существует минимальный элемент Xi из X \ prif и минимальный
элемент У: из У \ ргг/. Но в силу вышесказанного / индуцирует
изоморфизм ^1 с Рь По определению / тогда <Xi, У1>е/ —
противоречие.
г) Все сказанное означает, что либо / есть изоморфизм (точнее,
его график) множества X на начальный сегмент У или У, либо
f~^ есть изоморфизм У на начальный сегмент X. Из определения /
ясно, что график любого другого изоморфизма должен
содержаться в графике /, откуда следует единственность. Лемма доказана.
В качестве предварительного определения мы можем теперь
рассмотреть класс всех вполне упорядоченных множеств,
изоморфных данному вполне упорядоченному X, и назвать его ординалом.
102

Два ординала а, р связаны отношениями а=р, а-<р или а>-|5
в зависимости от того, какая из трех альтернатив леммы 5
выполняется для представителей Хеа, Кер (от выбора представителей
это отношение, очевидно, не зависит).
Следуюпхий шаг, естественно, состоит в том, чтобы рассмотреть
«все» ординалы как класс и показать, что -< индуцирует на нем
отношение полного порядка, получив таким образом
универсальную Ш'калу полного порядка. Здесь, однако, возникает излишняя
сложность: класс вполне упорядоченных множеств, изоморфных
данному X, непомерно велик, и класс ординалов должен быть
«классом классов», что бессмысленно усложняет дело. Фон
Нейману принадлежит изяш,ная техническая находка, снимаюш.ая эту
трудность: вместо многообразия навязанных извне отношений
порядка на X рассмотреть единственное отношение, заданное
внутренними свойствами.
6. Определение.
Ординалом называется множество множеств X, которое вполне
упорядочено отношением е между его элементами и транзитивно,
т. е. удовлетворяет условию: если ZsFeX, то ZeX
7. Теорема.
а) Класс ординалов On вполне упорядочен отношением аер
{мы будем записывать его также a<f).
б) Любое вполне упорядоченное множество изоморфно
однозначно определенному ординалу а, а также однозначно
определенному начальному отрезку ординалов {меньших а [j {а}).
Доказательство, а) Мы должны проверить утверждения
а), б), в) п. 4. Первое из них немедленно следует из определения.
Для доказательства б) рассмотрим два ординала а, р. Согласно
лемме 5, суш,ествует изоморфизм / одного из них (скажем, а) ка
начальный сегмент р либо на р. Покажем, что тогда a^i^ или
а=р.. С этой целью установим, что /('у)=у для всех y^o.
Действительно, если Yi — минимальный элемент с /('Vi)¥='Vi> то /(у2)=:у2
для всех 72^71. Так как f — изоморфное вложение а относительно
упорядочения е и yi и /(yi) суть множества, имеем
f(Yi) ={/(72) lY2eYi}={Y2lY2eYi)=Yi
в противоречие с выбором yi- То же рассуждение показывает, что
f(a)=:a, откуда следует требуемое.
Наконец, пусть С — непустой класс ординалов, аеС. Если а ие
наименьший в С, то наименьший элемент пересечения а С\С б\^дет
наименьшим в С.
б) Пусть X — некоторое вполне упорядоченное множество.
Обозначим через S множество ординалов, изоморфных какому-нибудь
начальному, отрезку X. Оно непусто, например ординал {0}
изоморфен отрезку, состояш,ему из наименьшего элемента X
103

Множество р = (J а, как нетрудно видеть, является ординалом,
который "изоморфен X. Действительно, если бы это было не так, р
был бы изоморфен начальному отрезку X (скажем, ^,), но тогда
ординал р U {р}, больший р, был бы изоморфен начальному отрезку
■^i!U {^1} вопреки определению р.
Вот элементарные свойства ординалов.
8. а) Конечные ординалы — это «натуральные числа» (и нуль)
первых этажей универсума V. Так мы и будем их зачастую
обозначать; 0=0, 1=40}, 2={0, {0}}, 3={0, {0}, {0, {0}}}, ...
что для конечных а находится в согласии с отождествлением
в п. 8а.
' б) Ординал, непосредственно следующий за данным а, есть
а и {а}. Он обозначается также a-j-1, что для конечных а
находится в согласии с отождествлением в п. 8а.
в) Ординал р называется предельным, если р#0 и р#а+1
ни для какого а. Первый предельный ординал щ как вполне
упорядоченное множество изоморфен {О, 1, 2, 3, ...). Если
а—^предельный ординал, то а= \J р. Верно и обратное.
.Э<а
Ординалами пользуются для трех главных целей: доказательств
с помощью (трансфинитной) индукции, конструкций с помощью
(трансфинитной) рекурсии и для измерения мощностей. Вот
основные принципы.
9. Трансфинитная индукция.
Пусть С — некоторый класс ординалов, причем
а) 0GC;
б) если аеС, то а+1еС;
в) если множестве ординалов {щ} содержится как
подмножество в С, то и OtSC. Тогда С содержит все ординалы.
Действительно, иначе существовал бы наименьший ординал, не
содержащийся в С, но он не мог бы быть пустым в силу а),
предельным в силу в) и любым другим в силу б). В конкретных
приложениях проверка а) и в) часто оказывается тривиальной и
опускается.
10. Трансфинитная рекурсия.
Пусть G—некоторая функция от множеств {в дальнейшем
будет достаточно считать, что она определена на всех множествах
универсума) со значениями в множествах. Тогда существует
единственная функция от ординалов iF, удовлетворяющая соотношению:
F{a)=G {множество значений F на элементах а).
Действительно, это соотношение однозначно определяет F{0) =
=G(0), затем F{\)=^G{{F{0)}), F{2), ... Таким образом, если мы
рассмотрим класс С таких ординалов а, что F с нужным свойством
можно определить на начальном отрезке ординалов <а, то этот
104

класс будет удовлетворять условиям 9а—в и, значит, он содержит
все ординалы. Единственность устанавливается попутно (если Рф
фР', рассмотреть наименьший а с Р{а)фР'{а)).
11. Измерение мощностей. Разные ординалы могут быть рав-
номощными, например все ординалы сао, сао+1. «io+2, ... (и
многие последующие!) —счетные. Однако как угодно далеко
происходит скачок мощности.
Ординал, который не равномощен никакому предшествующему
ординалу, называется кардиналом.
Таковы все конечные ординалы и ©о-
Любой бесконечный кардинал является, конечно, предельным
ординалом. Далее, любое множество равномощно кардиналу, и
притом единственному (см. § 1 гл. III). Бесконечные кардиналы
образуют вполне упорядоченный класс, который естественно
именуется ординалами. Итак,
сао=первый счетный ординал;
.(01:=первый ординал мощности >сао=множество всех счетных и
конечных ординалов;
(В2=первый ординал мощности >'(В1:=множество всех
ординалов мощности ^(01 и т. д.
Теперь мы можем ввести наше основное определение.
12. Определение.
Универсумом V (фон Неймана) называется класс множеств
и V^, где множество V^определяется следующей трансфинит-
о^Оп
ной рекурсией:
^<.+.=^(^«).
Уд = и V , если а — предельный ординал.
Приведем некоторые элементарные свойства универсума V.
13.
Каждое множество V^ транзитивно: если Y(=:X^V^, то
Y^V^ {иными словами^ 1^„СУ^,).
Допустим, что это неверно. Тогда должен существовать
наименьший ординал а с Уд С^^Уд.,, причем а>2. Если а не предельнБгЙ,
a = p-j-l, Y^X^V^ и2У|^У„, то противоречие получается так:
X&V^, = 3^(y^)=^X^V^=^Y^V^z^Y^V^^,=^V^.
потому что для р еЩе верно, что V^C.V^^^ [по ["выбору а. Если а
предельный, противоречие достигается аналогично (находим у<*
с Y^XG:V.^, Y^yj-
105

Определим ранг любого множества X^V: ранг Х = а, если
X^V^j^^, и это наименьший а с таким свойством. Если Y^X, то
ранг Х^ ранг У+ 1.
14.
Все ординалы принадлежат V; {ранг а) = а.
Покажем сначала, что «GV'^+i для всех ординалов а. Это так
для a=zQ. Предположим, что а — наименьший ординал с аф,У ,,.
Если а = р+1, то ^G^g+i, откуда ^, {р} GV^^+g^^ (^B+i) и, sTia-
чит, а = р-|-' = ^ и {p}G^g+2 = ^a+i—противоречие. Если же
а—предельный ординал, то а= U ^ и SGVg.jC]/^ по выбору а,
так что а= и В и V^=V^ и a^Sf (1/J = 1/^^, — противоречие. Та-
КИМ образом, ранг а<а; аналогично доказывается строгое
равенство.
15.
Универсум V замкнут относительно стандартных операций над'
множествами: разность, объединение, пересечение, образование
£Р{Х)^а и Y, «собирание» множеств, пронумерованных некоторым
множеством {Ху\У^Z}. В ^частности, если X,Y^V^, то пара
{X, F}Gl/^^i. Мы пишем {X} вместо {X, X}.
16. Прямые произведения, отношения, функции также могут
быть определены как элементы V с помощью приема,
предложенного Куратовским. Интуитивное представление об упорядоченной
паре множеств X, Y^V реализуется с помош,ью множества
{X,Y) = {{X}, {X,Y}}.
Упорядоченные пары как элементы V характеризуются
следующими свойствами: это множества из двух элементов X', Y'\ один
из них является подмножеством другого (скажем, Х'=У'); если
X'<=,Y', то Х'={Х} — одноэлементное множество, и его
единственный элемент X называется первым членом пары; У является не
более чем двухэлементным множеством, и его отличный от X
элемент Y (если он есть) или сам X (в противном случае) называется
вторым членом пары. Поэтому (Л", У) = (Л'', У) в том и только
том случае, когда Х^=Х', Y=Y', что оправдывает название.
Подчеркнем, что это определение вводится для того, чтобы при
конструкции прямых произведений не выходить за пределы Y и
чтобы множество, отвечающее прямому произведению, можно
было описать только в терминах отношения е, т. е. на языке LiSet.
Упорядоченная п-ка множеств определяется как
(А!",, ..„ Х„) = {... {{X,, Х^), X,) ...).
106

прямое произведение:
Аналогично
^iX ... ХХ„=(... (№ХХ2)ХХз) ...).
Заметим, что, вообще говоря, {Xyj)yiY=^Xy,{YxZ): между
этими множествами существует лишь каноническое взаимногоднознач-
нее соответствие. Отождествление их и запись XxYXZ является
вольностью, обычно безобидной.
Бинарное отношение (или соответствие) г есть множество (или
класс), элементами которого являются только упорядоченные
пары. Если геУ — отношение, то его область определения dom (г)
есть класс всех первых членов элементов г, а область значений
rng (г) есть класс всех вторых членов.
Функция есть бинарное отношение, каждый элемент которого
однозначно определяется своим первым членом. Таким образом,
функции как отображения множеств в V отождествляются со
своими графиками. Если / — функция, мы часто пишем W=f{U)
вместо ф, W)^f. Кроме того,
f-HX)={Y\f{Y)^X},
Семейство {Ху}^ ^ как элемент V по определению есть'
функция, состоящая из пар {(У, Ху) \Y^Z) vi т. п.
Еще раз подчеркнем: самое главное в этих определениях то, что
мы не вводим никаких новых объектов, кроме элементов V, и
никаких новых отношений, кроме выразимых в терминах е. Стоит
также отметить, что в соответствии с oбы^шым (экстенсиональным)
пониманием, свойство элементов множества X из 1/ есть
множество Y^X (состоящее из всех элементов с этим свойством). Поэтому
Fsl/, так что свойства, и свойства свойств, и свойства множеств
свойств... (с трансфинитной интерацией) суть элементы V.
Универсум V заслуживает своего имени.
17. Покажем, наконец, что цепочки Х\^Х2^ ... из элементов
V обрываются (конечно, на пустом множестве). Мы установим, что
если X непусто, то существует УеХ с КП Х=0 (обрыв цепочек
получается, если применить это утверждение к множеству X
членов цепочки). Действительно, пусть Y — элемент наименьшего
ранга в X (он существует, ибо ранги, будучи ординалами, вполне
упорядочены). Если бы оказалось, что X f) УФ0, то элемент ZeX П
C\Y имел бы ранг, меньший ранга Y, — противоречие.
18. Связь с аксиомами LiSet. Точка зрения, принятая в этой
книге, состоит в следующе.м.
107

Интуитивные представления о множествах, к которым мы
апеллировали в предшествующем изложении, строя универсум 1/,
являются первичным материалом. Язык LiSet изобретен для того,
чтобы писать на нем формальные тексты, эквивалентные нашим
содержательным рассуждениям относительно F. Аксиомы LiSet
(включая логические) получены в результате анализа
содержательных доказательств. Критерием полноты их списка служит
возможность написать формальный вывод, являющийся переводом
любого содержательного доказательства. Эта возможность должна
быть продемонстрирована компендиумом формальных текстов
достаточного объема. Читатель найдет их в других книгах.
В частности, в L, Set можно написать и вывести из аксиом
формулу «Y^3 ординал a(xGyj», формально отражающую наше
ограничение множествами из V.
Вопрос о формальной непротиворечивости аксиом Цермело —
Френкеля должен оставаться предметом веры, пока и поскольку
не продемонстрирована их противоречивость. Все те
доказательства, 'Которые были основаны на них, до настоящего момента не
привели к противоречию, но развернули перед нами богатый мир
классической и современной математики. Этот мир обладает
некоторой реальностью и внутренней жизнью, мало зависящей от
формализмов, призванных его описывать.
Обнаружение противоречия в любом из этих формализмов, бу-
де оно и произойдет, послу^жит лишь прояснению, уточнению и,
возможно, перестройке наших представлений, но не их крушению,
как это многократно случалось в прошлом.
Глава ill
ПРОБЛЕМА КОНТИНУУМА И ФОРСИНГ
1. ЗАДАЧА; РЕЗУЛЬТАТ; ИДЕИ
1.1. Кантору принадлежат две фундаментальные идеи
в теории бесконечных множеств; открытие (или изобретение?)
шкалы их мощностей и доказательство неограниченности этой
шкалы.
Напомним, что два множества М, 'N называются равномощны-
ми (запись: card iVf=card JV), если между ними существует
взаимно-однозначное соответствие. Мы пишем сатйМ^сатйЫ, если М
равномощно части N. Мы говорим, что М и # сравнимы, если либо
cardiW^^cardJV, либо Card iA/^:<card М. Мы пишем card Л1>сагdA^,
если card iVf^cardiV, но М и i/V не равномощны.
108

1.2. Теорема (Кантор, Шредер, Бернштейн, Цермело).
а) Любые два множества сравнимы. Если card M^card iV и
card iV^card М одновременно, то card Al=card Л/. Коротко:
мощности линейно упорядочены.
■ б) Пусть ^{М) —множество всех частей (подмножеств) М.
Тогда card^(iW) >cardAl. В частности, самой большой мощности
не существует.
в) В любом классе мощностей существует наименьшая.
Коротко: мощности вполне упорядочены.
Доказательство, а) Пусть М равномощно части M'siiV и
N равномощно части JVisM-^M'..Отождествим М с М'. Мы
получим три множества N^^M^N и взаимно-однозначное
отображение: /: Л^—>-Л/^1. Построить же нужно взаимно-однозначное
отображение g : N—vM. Вот его явное описание:
. (f{x), если же X G Г (^\Г (Щ Для некоторого /г > О,
\х в противном случае.
Здесь r{y)=f(!...fiy)...){n. раз); ГW = {r(i/)\t/GiV}.
Проверка свойств f оставляется читателю.
Для доказательства сравнимости любых двух множеств доста-
гочно установить, что любое множество может быть вполне
упорядочено, сравнимость вполне упорядоченных множеств следует
из леммы 5 приложения к гл. II.
1 Пусть М — некоторое множество. Для каждого непустого
подмножества NC.M выберем некоторый его элемент с (Nfj^N.
Полное упорядочение <^ подмножества М'С ЛГ назовем допустимым
(относительно с), если с {М\Х)=^X для всех X^М', где -?=
= {У I Y^M', Y <Х}
Если М'фМ" — подмножества М, на которых есть допустимые
полные упорядочения, то одно из них является начальным
сегментом второго и упорядочения согласования.
Действительно, как в п. Та'^приложения доказывается, что
канонический изоморфизм /, скажем, М' с начальным сегментом М",
есть тождественное вложение: если f{X)=^X и X наименьший
с таким свойством, то 1{^='Х, X=c{M\^i^X=c{M\f()C))-:=
= f{X) — противоречие.
Теперь легко устанавливается, что объединение М' всех
подмножеств М, имеющих допустимое относительно с упорядочение, само
допустимо упорядочено и совпадает с М, так как иначе его можно
было бы вложить в М' и {с{М\М')}.
Отсюда, в частности, следует, что любое множество
равномощно некоторому ординалу и, значит, единственному кардиналу. Это
оправдывает обозначение card для мощности и употребление кар-
109

диналов в качестве стандартной шкалы мощностей (приложение,
п. 11).
б) Так 'Как ^{М) содержит все одноэлементные подмножеетва
М, card ^(Al)^cardAl. Кроме того, никакое отображение I: М—>-
—>-^{М) не может быть взаимно-однозначным (или даже етобра^
жением на). Действительно, положим
N,=^{z\z^fiz)}^g'{M)
и покажем, что N не лежит в образе f. Предположение о
существовании леМ такого, что N=f{n), немедленно приводится к
противоречию, если рассмотреть положение п относительно N:
n^Nz^n^f(n)^n^N по определению N;
ii[^N::^n^f{n)^fi^N по определению Л^.
Это — знаменитый «диагональный процесс» Кантора.
в) Полная упорядоченность мощностей устанавливается одно-!
временно со сравнимостью на первых шагах теории ординалов (см.
приложение к гл. П).
1.3. Замечание. Приведенное доказательство леммы о
возможности вполне упорядочить любое множество по существу
принадлежит Цермело. Оно было, вероятно, самым серьезным поводом
к жестокой критике аксиомы выбора. Действительно, стоящие за
ним интуитивные представления сводятся к рецепту: выбирать
один элемент множества М за другим, пока все М не будет
исчерпано. В таком виде «физическая» немыслимость предписания
бросается в глаза, и все доказательство многим современникам
представлялось не более чем фокусом. Предложение выбрать
«сначала» по элементу c(N) в каждом подмножестве N^M вызвало,
например, следующее возражение Лебега. Если отобранные нами
элементы не отмечены никакими специальными свойствами, то как
мы можем быть уверены, что в процессе всего рассуждения
продолжаем думать об одних и тех же элементах?
За исключением специалистов в основаниях, работающие
математики сегодня почти не склонны воспринимать эти сомнения.
Поставим теперь основную задачу, которой мы будем
заниматься в этой главе. Будем писать сгтй^{М) = 2р^^^^ , по
аналогии с конечным случаем. Континуум — это 2"°.
1.4. Проблема континуума.
Каково место континуума на шкале мощностей?
По теореме 1.26 2"'^ го,. Поэтому во всяком случае 2*"'>«,.
Если же 2"'''->а)„ >®г,..., >«„, для любого п, то 2"'°>а)^, ибо
континуум не может быть объединением счетного множества
подмножеств меньшей моищости (Кениг).
110

1.5. Гипотеза континуума (КГ): 2'°'' = »^. Обобщенная гипотеза
континуума утверждает, что 2'^^'^ непосредственно следует за cardM
для любого бесконечного М. Вот почти все наши знания об этом.
1.6. Теорема.
а) Отрицание гипотезы континуума нельзя вывести из
остальных аксиом теории множеств, если они непротиворечивы {Гедель).
б) Гипотезу континуума нельзя вывести из остальных аксиом
теории множеств, если они непротиворечивы (Коэн).
То же верно для обобщенной гипотезы континуума.
Если принять, что аксиомы теории множеств и логические
средства вывода в языке LiSet, подразумеваемые в формулировке,
фактически исчерпывают доказательный аппарат современной
математики, можно сказать, что континуум-проблема представляет
собой пример абсолютно неразрешимой задачи. Хотя теорема Ге-
деля о неполноте доставляет конкретные примеры неразрешимых
суждений в любой формальной системе с разумными свойствами,
эти примеры разрешаются «очевидным» образом в некоторой
высшей системе. Положение с континуум-проблемой выглядит гораздо
труднее. Если согласиться, что она осмысленна, ее решение может
быть достигнуто лишь введением нового принципа доказательств.
Хотя разные возможности этого обсуждались, предложенные новые
аксиомы теории множеств не кажутся ки достаточно
убедительными, ни, главное, достаточно эффективными в «большой»
математике. За сто лет после введения трансфинитной индукции ни один
новый метод 'Конструкции множеств не вошел в обращение. Между
тем идея доказательства теоремы Геделя 1.6. а) именно и состоит
в проверке того, что все старые методы позволяют построить не
более чем <oi подмножеств в натуральном ряде (или вещественных
чисел).
1.7. Идея Геделя. Гедель рассматривает основные теоретико-
множественные операции: образование пары, произведение,
дополнение, сумму и т. п. — и строит класс всех множеств, которые
получаются трансфинитным итерированием этих операций, исходя из
0. Такие множества называются конструктивными. Заранее
совершенно не ясно, любое ли подмножество {О, 1, 2, ...}
конструктивно или, более общо, любое ли множество из универсума V
конструктивно. (Оказывается, что эта задача столь же формально
неразрешима, как и проблема континуума.) Однако внутри класса
конструктивных множеств число подмножеств {О, 1, 2, ...}
оказывается равным ©1, вероятнее всего, просто потому, что массу
неконструктивных подмножеств мы пропустили. В то же время все
аксиомы теории множеств, ограниченные на этот класс, в разумном
смысле слова оказываются истинными, как и все выводы из них.
Поэтому отрицание КГ невыводимо, будучи неистинным в этой
модели.
111

в этой книге доказательство Геделя не излагается, см.,
например, [20].
1.8. Идея Коэна. Мы излагаем ее ниже в варианте Д. Скотта и
Соловья и к тому же на модельной задаче.
Мы будем обсуждать КГ в следующей форме: не существует
подмножества вещественных чисел \R, мощность которого была бы
строго промежуточной между мощностями {О, 1, 2, ...} и R.
Действительно, если 2"'''>а),, то множество мощности ю, в i?
имело бы промежуточную мощность.
Чтобы установить недоказуемость этого утверждения, что
равносильно теореме Коэна, достаточно построить модель
вещественных чисел, в которой все аксиомы и следствия из них выполняются,
а множество промежуточной мощности существует.
Этой моделью будет служить множество R случайных чисел на
очень большом вероятностном пространстве_й. Подбирая Q, можно
сделать R настолько большим, что между N (целые числа модели)
и R (континуум мод_ели) будет множество промежуточной
мощности, погруженное в R внутри модели.
Конечно, дело не может обстоять так просто, и проведению
этой программы должно что-то мешать. Мешает то, что почти все
свойства i?^B том чис£е большинство аксиом, оказываются
ложными для R, так что R не может служить моделью tR в обычном
смысле слова. Способ преодоления этой трудности и составляет
основную идею Коэна. Коэн заменяет свойство истинности
утверждения другим свойством, которое мы будем называть временно
«истинностью» и которое обладает нужными формальными
качествами. Именно, все аксиомы R оказываются «истинными» в R, все
выводы из «истинных» утверждений по правилам логики приводят
снова к «истинным» утверждениям, а КГ оказывается не
«истинной» и, значит, не выводимой из аксиом.
Покажем подробнее, как это делается.
1.9. Пусть /—^^ножество мощности >(ui. Положим Qb=i[0, 1]^
с мерой Лебега; Л=множество случайных чисел на £2-=множество
вещественно-значных измеримых функций на Q.
1.10. Теорема.
а) Для R <!:истинны» все аксиомы вещественных чисел и все
выводы из них.
б) Для R утверждение КГ не «истинно». _
Свойство: утверждение Р о случайных числах х, у, .. .^R
«истинно» нужно понимать так:
если рассмотреть точку а;е.й, взять значения ас(ш), y{w), ...
случайных чисел ^, ji^, ... в ней и образовать утверждение Pw об
этих обыкновенных вещественных числах, то для почти всех
w^Q (кроме множества меры 0) Pw окажется истинным в
обычном смысле слова.
112

Короче: «истинность» — истинность при всех испытаниях с
вероятностью единица.
Пример. Пусть Р — утверждение «в R нет делителей нуля»,
т. е. «если х, у^Я татавы, что л:г/=0, то либо х=0, либо у=0».
Тогда утверждение «в R нет делителей нуля», конечно, не истинно,
Однако_оно «истинно», потому что истинно утверждение: «если
X, у^Я таковы, что ^^=0, то для почти всех w^Q либо
x{w)=0, либо y{w)=0:».
1.11. Чтобы придать точный смысл определению «истинности»
и научиться эффективно проверять «истинность» достаточно
сложных утверждений, практически необходимо ввести формальный
язык (в данном случае язык теории вещественных чисел). Это —
математический объект, и теорема 1.10 в точной формулировке
будет утверждением об этом объекте, а вовсе не об /? и не от R.
Связь этого языка с >R осуществляется через систему
неформальных рецептов, которые позволяют переводить на этот язык
обычные неформальные тексты об R, и через систему теорем,
которые служат аргументами в пользу возможности адеквантности
такого перевода.
Роль R сведется к вспомогательной конструкции, которая
используется для определения и вычисления специальной функции
«истинности» на формулах языка.
Таково место логики в изложенной программе.
1.12. Подробное доказательство теоремы 1.9 было бы
достаточно длинным и нетривиальным по нескольким причинам. Прежде
всего, описание формального языка и аксиом R в нем само по себе
не может быть слишком коротким. Затем потребуется проверка
«истинности» всех аксиом и не «истинности» КГ, в общей
сложности одна-две дюжины проверок, каждая из которых является
индуктивным вычислением с бесконечными суммами и
произведениями внутри булевой алгебры измеримых множеств в Q. Самые
серьезные трудности, од11ако, связаны с тем, что смысл всех
утверждений об i? в ^ сильно меняется, и не всегда в удобную
сторону.
Мы проиллюстрируем качественную сторону дела, попытавшись
объяснить, почему КГ не «истинна» и почему это нетривиально. _
Как было сказано, мы хотим построить подмножество М в R
мощности, промежуточной между мощностью N и мощностью R.
Для этого можно поступить так; пусть для любого i^I случайное
число Xi: [О, 1]^—>-[0, 1] есть t-я проекция. Выберем
подмножество /с:/ такое, что <flo<card/<card/ (это возможно, если /
велико) и положим
Тогда в обычном смысле слова card iV<cardM<card Л. Однако
нам нужно доказать, что соответствующие утверждения «истинны»
8—1 113

в нашем пиквикском смысле. Но в этом смысле роль целых чисел
берут на себя «локально целые» (целые с вероятностью 1 при всех
испытаниях) случайные числа, мощность которых может быть
гораздо больше чем шо- Поэтому необходимая нижняя оценка cardM
оказывается резко поднятой. Аналогично, описание М, которое
мы дали в наивных те2минах, после формализации и
последующей расшифровки для R начинает иметь другой смысл и приводит
к множеству, гораздо большему, чем «настоящее» М, поэтому
неясно, что сохранится верхнее неравенство для cardM, То, что
в конце концов все оказывается в порядке, выглядит почти как
чудо.
План оставшейся части главы следующий. В § 2 и 3 мы
излагаем (с сокращениями) этот урезанный вариант теоремы о
невыводимости КГ в языке вещественных чисел второго порядка.
Читатель, которого интересует полное доказательство, может начать
прямо с § 4, где вводится булевозначный, «универсум случайных
множеств», заменяющий. К В § 5—7 проверяется «истинность»
аксиом Цермело — Френкеля, а в § 8 — «ложность» КГ.
2. ЯЗЫК ВЕЩЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА
2.1. В этом параграфе мы опишем формальный язык,
ориентированный на теорию вещественных чисел. Это значит, в частности,
что переменные х, у, z, ... будут рассматриваться «ак имена
вещественных чисел. Однако при попытке записать на языке первого
порядка интересующие нас утверждения, например гипотезу
континуума КГ или даже просто аксиому полноты (отличающую
множество всех вещественных чисел от рациональных), мы
обнаружим, что не в состоянии этого сделать. Действительно, в этих
формулировках речь идет о произвольных подмножествах (или
одноместных отношениях) вещественных чисел, тогда как в
языках первого порядка нет символов для переменных отношений: ср.
п. 3.17 гл. I.
Поэтому нам придется рассмотреть язык второго порядка
LaReal, самый экономный, в котором выражаются аксиомы и КГ.
При описании языка мы будем кратки, отмечая в основном
специфику, связанную с ориентацией и особенностями второго порядка.
2.2. Язык L?Real. Алфавит состоит из символов переменных х,
у, Z, ..., переменных ранга I :f, g, h, ..., констант О, 1, операций
+ , • ранга 2; отношений = , ^ ранга 2; связки, кванторы,
скобки, запятые — те же, что в языках 2'i.
Термы, — это л:, у, z, ... и О, 1, а также f {t), t^-t^ и ^j-j-^a. ^с-
ли f — символ функции; t, t^ и t^ — термы. Термы суть имена
вещественных чисел.
114

Ато-мйрные формулы: ^i=^2 и ^i^^2, где ti — термы.
Формулы, определяются индуктивно в точности, как'' в языках
^1, со следующим дополнением: yf (Q) и ST/(Q) — Формулы, если
Q — формула, f—символ переменной функции.
Понятия свободного вхождения переменной (х или I)
замкнутой формулы и другие очевидным образом переносятся на наш
язык. Приемы сокращенной записи — те же, что были
продемонстрированы в гл. I. Подразумеваемая стандартная интерпретация
формул языка должна быть очевидна из определений и
следующих примеров формул.
2.3.
Формула Z{y): «у — целое число». Способ записать это,
вероятно, не совсем очевиден: мы пишем «г/ можно получить,
прибавляя (или вычитая) 1 к О» или «любая функция / с периодом 1,
обращающаяся в нуль в нуле, обращается в нуль в у», что дает
2.4.
Формул^ КГ: «любое подмножество в R либо равномощнв R,
либо счетно, либо конечно».
Подготовленная словесная формулировка: «для множества
нулей любой функции h либо существует функция g, отображающая
его на все R, либо существует функция f, отображающая целые
числа на него».
Формула:
КГ : уА (31Г ¥У а ^ С^ (х) = О Л я —'g'ix)) V 3 !уУ (^ (У) =
=0-^'^x(Z{x)/\y=fixm-
Обратите внимание, что Z{x) входит в КГ как составная часть.
Запишем еще аксиому полноты
2.5.
Формула П: «любое ограниченное сверху подмножество в R
{множество значений функции f) имеет верхнюю грань (z):
Vf (ЗУ Y^' а W ^ ^) -* 3^ Yy (V-^ (li^) ^ у)'—- 2 < г/)).
Все остальные интересующие нас формулы пишутся еще проще и
не потребуют специальных комментариев.
Теперь мы дадим точное определение свойства «истинности»
замкнутой формулы языка ЬгКеа!, неформально описанного в § 1.
Подчеркнем, что оно не является абсолютным, а зависит от
выбора основного вероятностного пространства Q, которое
используется для конструкции «модели» вещественных чисел.
8* f15

2.6. Алгебра истинностных значений. Как в § 1, положим:
/ — некоторое множество;
Q^[0, l]-f — с мерой Лебега;
В — алгебра измеримых множеств Q по модулю", подмножеств
меры 0;
0 — класс пустого множества в В; •
1 —класс Q в В.
В алгебре В определены следующие операции:
а' — «дополнение» к элементу аеВ;
а fxb—«пересечение» элементов а, Ь^В;
а\/b — «объединение» элементов а, Ь^В,
которые удовлетворяют обычным тождествам и определяют на В
структуру булевой алгебры. Мы пишем а-^Ь, если а /\Ь'=а.
Более того, операции пересечения и произведения однозначно
доопределяются на бесконечные семейства элементов и
продолжают удовлетворять обычным тождествам, которые выполняются
в алгебре всех подмножеств любого множества. Мы не будем
проверять это.
Отметим лишь, что здесь суш,ественно отождествление множеств
«по модулю нз'^ля» и что тождества типа А тосЮДВ modO^
=(Л n!^)niod6 уже не переносятся на случай бесконечных семейств.
Наконец, В удовлетворяет условию счетности: если \/ a^z= i и
а^/\а^ = 0 для аф^, то aJ^O не более чем для счетного
множества индексов а. Это вытекает из положительности и
аддитивности меры Лебега.
Технически говоря, В является полной булевой алгеброй с
условием счетности. Ее точное происхождение и наличие на ней меры
играют менее важную роль.
2.7, Интерпретационное множество. Мы введем сейчас
большое множество М, каждая точка которого | будет состоять в
приписывании некоторых значений всем символам алфавита языка
ЬгКеа!. После фиксации | каждая формула языка окажется
конкретным высказыванием об измеримых функциях (случайных
величинах) на Q и функционалах над ними (ср, § 2 гл. II).
Положим для этого:
Я — множество измеримых вещественных функций на Q;
R^^i—множество всевозможных отображений i?—>i?, которые
удовлетворяют условию I ^
YX, у G i?|мнoжecтвo {w ^ й \x{w)=^ у (w)} mod О <
<]{w G й I Т(х) (w) =f (^) {w)} mod 0.
116

Интуитивный смысл определения W) таков. Если исключить в нем
условие «mod О», то требование будет означать просто, что
значение случайной величины f{x) при каждом испытании должно
определяться значением х при этом испытании. Конечно, это очень
естественное требование, если мы хотим, чтобы / адекватно
отображали свойства обыкновенных вещественно-значных функций
в смысле § 1. Добавление «mod О» ослабляет это условие до
требования «с условной вероятностью 1^.
Теперь вернемся к множеству М: одна точка с,^М состоит
в выборе
x^^R для каждого символа переменной л:;
f^Gi?^'' ДЛЯ каждого символа переменной функции f.
Опишем интерпретацию выражений языка, отвечающую выбо-
РУ ^- _ , _
а) Термы. Пусть t — терм, \^М. Тогда t^^R—случайная
величина, определяемая очевидным индуктивным процессом.
б) Функция истинности II II на атомарных формулах. Пусть
Р—атомарная формула ty^2 или ty=d2- Ее истинностным
значением в точке |еЖ называется элемент алгебры В, который
определяется так:
Рх < ^ Л(^ =. {^&^\t\ и < t\ [w)) mod 0.
Аналотичное определение относится к ti=t2.
в) Функция истинности II II в общем случае. Общее
определение индуктивно. Для соединения связками формулы те же, что и
в п. 5.7 гл. П:
j|lP|l=llPll', llPVQll-=ll^'llVllQil. ll^'AQlHII^'ilAIIQIl.
11P-^Q|1=11P11'V11Q1I. ЦР—Qll=(llPllAilQil)V(llPirAilQir).
в этих пяти формулах мы для краткости опустили указание |.
Наконец,
11 Y'^^il(^ = АН'РЦ (^') (по всем %', отличающиеся от I лишь
изменением л:);
11дл:Р||(?) = \/||^11(^') (по тем же V), и аналогично с квантора-
тт. по переменным функциям.
Интуитивно значение функции истинности утверждения о
случайных числах — это множество испытаний mod О, при которых это
утверждение становится истинным как факт о вещественных
числах.
117

2.8. Лемма.
Если Р — замкнутая формула, то ЦРЦЦ) не зависит от выб&ра
1^М и принимает только значения О или 1.
(Устанавливается несложным индуктивным рассуждением по
длине описания Р. Удобнее доказать более общий факт: если Р-г-
любая формула, а g и 'g' не отличаются на переменных, входящих
в Р свободно, то |1-Р||(^)=||-Р|| (1'): ср. предложение 2.10 гл. II.)
Это общее значение ||P||(i) мы можем обозначить просто ||Р||.
Теперь мы в состоянии сформулировать основное определение
этого параграфа.
2.9. Определение.
Формула Р языка LgReal называется «истинной», если ^Pf{%) =
=1 при всех |еЖ.
3. НЕВыеодимость континуум-пипотезы в La real
З.К ©сновная лемма.
а) Привила вывода сохраняют «истинность»;
б) логические аксиомы первого порядка и их варианты в LaReal
^истинны»;
в) специальные аксиомы языка LgReai ^истинны»;
г) КГ не «истинна», если card /><fli.
Отсюда вытекает
3.2 Теорема.
КГ не выводима из аксиом в языке LgReal.
В этом параграфе мы приведем те фрагменты доказательства
основной леммы, которые существенны и для «настоящей»
теоремы Коэна, а не только для нашей модельной задачи. Отметим, что
теорема 3.2 слабее теоремы Коэна так как язык LsReal содержит
гораздо меньше выразительных средств, чем язык теории
множеств. Хотя на нем и формулируется континуум-гипотеза, в силу
общих результатов Геделя нет никаких оснований ожидать, что
воображаемое ее доказательство тоже обязано допускать
формализацию на этом языке. Например, для вывода могло бы
потребоваться введение функционалов от функций, функционалов от
функционалов и т. д. Язык теории множеств, к которому мы
вернемся в § 4, содержит средства для одновременного рассмотрения
всех этих конечных и даже трансфинитных уровней.
3.3. Доказательство 3.1а. Если [(Р||=1 и ||Р—Q)P= 1, то
[[Р]!' = 0 и l|P|l'V|IQll = b откуда ||Q11=1.
Если 11Р||=1, то ||Р||(|)=1 для всех 1^М, но тогда Ц'
пробегает изменения g по л;):
\lYxPU) = M\P\\il') = M=\.
Аналогично разбирается Gen по функциям.
118

3.4. Доказательство 3.16 '(набросок).
Тавтологии. Их «истинность» доказана в § 5 гл. II.
Аксиомы с кванторами. Доказательство получается индукцией
по длине описания формул, входящих в схемы аксиом, и является
вполне прямолинейным, так что мы его опускаем.
■ 3.S. Доказательство 3.1в (набросок). Мы ограничимся
указанием списка аксиом и краткими комментариями.
Специальные аксиомы теории множеств: это аксиомы равенства
и (схема) аксиом выбора:
АВ: YA-gt/P {х, у) — a/Y-^^ (■•^' f W)-
где Р — любая формула, не имеющая свободных переменных,
кроме X я у, я у не ограничивает f в Р.
Специальные аксиомы теории полей: аксиомы аддитивной
группы, мультипликативной группы, дистрибутивности сложения
относительно умножения.
Специальные аксиомы порядка:
х<у\/у<х; {х<у /\у<х)^^х = у;
x<y-*(x-{-z<y-\-zy, {х<у /\Q<z)-<-xz<yz.
Аксиома полноты (п. 2.5).
Наибольших усилий требует проверка «истинности» аксиом
выбора и полноты. Характер вычислений при этом, однако,
аналогичен вычислениям в доказательстве «ложности» КГ, которые
мы проведем подробно ниже. Поэтому эти проверки мы здесь
опускаем.
Первая аксиома равенства травиальна. Вторая проверяется
сначала для атомарных формул Р, затем проводится индукция по
длине описания Р. Рассуждения довольно кропотливые, но
простые.
Аксиомы упорядоченного поля проверяются без труда.
Ограничимся одним примером: «ненулевое число имеет обратное»:
[1^х(1(л=Щ-^н^(л-у=Т))!1=л (11^=011 vyiLr^T= 111).
Чтобы проверить, что это значение равно 1, достаточно установить
это для каждого члена с фиксированным значением ЗсеЯ, для
чего, в свою очередь, достаточно построить по х такую случайную
величину ye.R, что 11х=0|| V 11-^^=41=1- Для этого положим
-, , ixiw)~\ если х(т))^0,
y{w)=\ ^ ' _ '^
\ О, если x{w) = Q.
119

3.6. Доказательство 3.1г. Напомним сначала, как выгля*
дит КГ:
у/г(З^^Н-^ihix)==OAy=g W) V -af^y (^(У) = О — Н-^(^U=) Л^=
=/W))).
Обозначим через Р,,/'а первую и вторую альтернативы в этой
формуле: КГ имеет_вид у^ {^i V Рд- Мы хотим доказать, что для
любой точки fG'^^ имеем *|| y/i(PiV Л)1|(^)=0- Согласно
определению в. п. 2.7
lYh (Р. V PJ11 (^) = Л (11 Р. II (^') V IIЛ (^') II),
где I' пробегает все изменения. | по й. Чтобы проверить, что это
значение равно О, достаточно установить существование такой точ*
ки I', что IIPill(S') =||P2ll (^')=0- Посколькув Pi и Рд все
переменные, к^оме h, связаны, отыскание .|' равносительно выбору h =-
=ASjR('). Мы укажем h явно: это будет функция, «множество
нулей которой имеет промежуточную мощность».
С этой целью, как в § 1, фиксируем подмножество /с=/
мощности, строго промежуточной между <оо и card/. Напомним, что
Xi^R для каждого is/ есть функция «-я координата».
Далее, для каждой случайной величины x^R выберем такое
подмножество Q(;c):^Q, что
V |U=X;[[ = fi(x)modO
(здесь используется полнота 5). Наконец, определим й^Л('>,
положив для каждой x^R и w^Q:
[ 1 иначе.
3.7. утверждение о корректности.
а) h{x) как функция от w (при фиксированном х) измерима^
так что h отображает Rji R.
б) Для каждой x^R имеем
||ад=о|1=у|1;^==^/||.
в) йе7?(1) (см. п. 4.2), так что существует точка |'еЖ, для
которой h^'=^h:
Доказательство, а) Н{х) принимает на Q всего два
значения: О и 1, и множества уровня этих значений измеримы по
определению и свойству полноты В.
б) Очевидно из определения.
120

в) Мы должны проверить, что для всех х, y^R имеем
{w'G: й \х (w) = у (ay)} mod О < {ш G ^ I h(x) (ay) =li{y) (w)} mod 0.
Покажем, что множество точек w^Q, для которых одновременно
x{w) ^y{w) и h{x) {ш)фК{у) {w), имеет меру 0.
Достаточно рассмотреть случай Я(3с)(да)=0, h{y)\{w)^l, т. е.
установить, что
1[.:^=^11Л1|ад=о[|л1|л(^)=111=о.
Запишем второй множитель в виде \/||х=л:,-|| (см. утверждение
i&
3.76) и применим к нему и первому множителю правило
дистрибутивности (используется полнота 5). Учтем, кроме того, что
||jc=^|| Д !|x=:3cj||^||^=.^j||. Тогда получим
1к=^11Л11Л(х)=о||<у1й=^/11=Р('^)=0||,
/&
откуда и следует требуемое.
Пояснение. Выбор h — существенное место доказательства,
и мы хотим его мотивировать. Напомним, что h — это имя той
функции, мощность множества нулей которой нас интересует.
Выбор конкретной Я для «опровержения» КГ осуществляется так,
чтобы среди «почти всюду нулей» h были элементы множества
{xj\i^}, которое имеет промежуточную мощность в наивном
смысле слова (ср. §1). Однако Я не может быть каким угодно
ото_бражением ^ в ^: на нее наложено сильное ограничение Яе
eJ?(4 Поэтому вместе со всеми Xj в множестве нулей Я почти
всюду может оказаться неизбежным включить еще какие-то y^.R,
а также «частично включить» какие-то z^.R. Последнее
выражение есть попытка передать возможность того, что ||/z(z)=0|| есть
не О и не 1, так что z является нулем Я с «некоторой
вероятностью».
Таким образом, «множество нулей» Я может оказаться больше,
чем мы хотим, так что естественно ожидать затруднений в
доказательстве того, что его нельзя отобразить на все R
(альтернатива Pi). Казалось бы, что обстоятельство сделает тривиальным
опровержение альтернативы Рд {Z нельзя отобразить на
множество нулей), однако и это неверно! Как мы уже отмечали, окажется,
что !|Z(Jc)||=l для многих X, не являющихся постоянными целО'
значными функциями на Q, да к тому ж& ||Z(^)|| = 0,1 еще для
каких-то X, так что «множество целых чисел» в нашей модели резко
возросло.
Последнее замечание: в нашем обсуждении по существу
возникло понятие «5-случайного множества», которое будет
центральным в последующем изложении (см, § 4). Именно, «множе-
121

ство нулей /г» является случайным в том смысле, что для каждой
z^R утверждению «2^ (нули /г)» естественно приписывается
булево значение истинности ||Я(2)=0||.
Теперь вернемся к прерванному доказательству того, что
11КГ||==0.
3.8. Доказательство ll/'ill(|0=0. Согласно правилам,
вычисления функции истинности находим
1|Л11(^') = улу{|!ад=0||Л1й=^Й||}
е у X
{h определена выше, g пробегает все элементы i?('>, а х, у — все
элементы R). Мы предположим, что j[Pj||(^') = 0 и придем к
противоречию. Обозначим это значение через \/ci,{g).
_ е
_ Если оно:7^0, то а{§)фО для какой-то конкретной функции
g^R^^^- Выберем ее и положим
а= Л V (V ii ^=^/ II ЛII ^=i {X) ,
Здесь V появилось как замена ||/г(х) = 0|| в силу 3.76. Далее
_|
\\x=^Xj\\/\\\y=^g{x)\\<\\y = g{xi)\\. Пользуясь этим и
дистрибутивностью, находим
a</\V||^=J("X'/)l!-
у /SJ
в частности, для каждой Xi вместо у
a<\j\\x~~gCxi)\\.
Если, как мы предположили, а^О, то для каждого i найдется
/(г)е/ такой, что
\\Xг=g{x^^i))\\фO.
Поскольку / несчетно и card/<card/, должен существовать
такой индекс /os/, что jo=j{i) для всех i из несчетного
подмножества /oS/. Это, однако, противоречит условию счетности для В,
потому что члены семейства \\xi=:g [х j \\ (i^h) попарно не
пересекаются. В самом деле,
11 ^и== g (^i)\\ АII \= g Ц j IKI1 hr= \ II = о,
если 11=7^12-
Обратите внимание, в какой мере это рассуждение
параллельно «наивному» из § 1. Функция g, по предположению, отображает
122

нули h на R «с ненулевой вероятностью», но точный смысл вЫ'
числений едва ли поддается словесной формулировке.
Вычисление ||Z(y)|i. Формула Z{y), «у — целое число»,
выписана в п. 2.3. Так как она входит в Рг, вычисление ||Z(y)|| необ'
ходим© для вычисления ЦРзИ-
3.9. Лемма.
Пусть ■n^M,y'^ = y^R. Тогда \\Z(y)\\{-n) = \/l\i=n\\=={wG
€4l£HGZ}modO.
Доказательство. Мы должны установить, что
УШ1 т=о II') V (У ff w =7 (х+1) 11') V
f X
V..llf(y) = 0||=viU=«||.
Проверим по очереди неравенство в обе стороны.
Неравенство :^. Достаточно найти конкретную функцию
fejR(^), для которой соответствующий член левой части
содержался бы в правой части.
Определим f, положив р{х) {w)^sm^nx{:W) (вместо sin^rez
можно взять любую измеримую функцию R-^R с периодом 1 и
нулями только в целых точках). Легко видеть, что f{x)^R и fei?('>.
Тогда ||f(0)=0||'=0 и ||f(x)=;/(x+'l)r=0. Поэтому нужно лишь
проверить, что
11 sin» 11^= ОII < VIIУ = «11.
а это очевидно.
Включение ^. Достаточно проверить, что для любых
фиксированных значений n^Z, f^R<'^\ y^R имеем
\\у=^п\\<Ьус,
где 6=l|f(O) = 0irV(yilFW=7(^+l)ll'); с = ||Ш = 01|. Но
X
включение а<Ь'\/с равносильно тому, что а/\с'<.Ь. Далее, в
нашей ситуации
«Л^'=1й=«11А117(^)-=о|1'<|17н=0|Г
(га под знаком / — постоянная случайная величина, всюду
равна п). Поэтому достаточно убедиться, что
jlf(n)=oii'<i|7(0)=oii'V(V 117W= 7(^+1) 1Г)
X
123

или, переходя к дополнениям, что
[|7:(,г) = 01|> II f (0) = ОII Л (Л II Г(^Т=7 {Х+ 1) II).
X
Мы лишь увеличим правую часть, если оставим в ней только чле«
ны, отвечающие Зс^О, 1, 2, ..., п—1, но пересечение этих членов,
очевидно, равно
11/(0)=о||Л1|/(0)=7(1)=-=Т(«)11<117(я)=о11.
3.10. Доказательство !|i^2lKi')^0- По правилам
вычисления IIP2II. учитывая предыдущую лемму, находим
11 Р. II (^')=У_Л (11"^ Гу)=о\\' уу (V (|й=« IIЛII у=Т{х)\\))).
t у X п
Так как t^RS^\ имеем ||x^Ai||:^||f(^)=f(rt) ||, так что
||^=л||Л||.у = 7С^)|1<1|У=7(«)|1-
Далее, достаточно доказать, что член, отвечающий любому
конкретному выбору f, равен 0. Допустим, что это не так, и придем
к противоречию. Пусть афО — член, отвечающий f. По сказан»
ному,
л<Л(1|Л(у) = 0ГУУ1й=7(я)||).
в частности, для каждого /ё/ мы должны иметь (с Xj вместо у):
a<\/\\xj=^m\\
п
(учесть, что ||/ii(xj)=0||''^0 в силу 5.76). 3начит,_ для каждого /
должно найтись такое целое число п{]) что ||.г^^(п(/)) |М0. Так
как / несчетно, существует по и несчетное подмножество ]^'=:1
таких /о, что п(/о)^по для всех /os/o- Тогда l|xj^(rao)ll, /е/о
образуют несчетное множество ненулевых попарно непересекающихся
элементов В. Это противоречит условию счетности для В.
4. УНИВЕРСУМ НАД БУЛЕВОЙ АЛГЕБРОЙ
4.1. В этом параграфе мы фиксируем некоторую полную
булеву алгебру В (см. п. 2.6) и построим над ней универсум «5-слу-
чайных множеств». Он окажется моделью для аксиом Цермело—
Френкеля в том же обобщенном смысле, в каком случайные числа
R были моделью вещественных чисел i? в § 3. Мы проверим
124

«истинность» всех аксиом Li Set в § 5—7 и затем «ложность»
гипотезы континуума при подходящем выборе 5 в § 8.
Объекты V^ будут обозначаться большими буквами X, Y, Z.
Вместе с каждыми двумя объектами будут определены элементы
\\X^Y\\^B и ||У=Х||^В. Интуитивный смысл их таков: если В —
алгебра измеримых множеств вероятностного пространства, то
ЦХеУЦ есть максимальное множество, на котором «J является
элементом Y с вероятностью единица». Так как в общем случае
вероятностные меры не играют роли, мы будем называть
«вероятностями» просто элементы В и тогда ЦХеУЦ есть просто
вероятность включения X в У.
Конструкция точных определений нетривиальна, потому что мы
хотим сохранить «истинность» аксиомы объемности. Если
случайное множество должно однозначно определяться своими
элементами (тоже случайными) хотя бы в обобщенном смысле, то оно не
может, быть «слишком» случайным: см. п. 4.3.
Мы будем считать, что алгебра В как множество является
элементом универсума фон Неймана V. В таком случае все объекты
V^ тоже будут элементами V и нужные нам конструкции можно
будет формализовать средствами Li Set. Это позволяет в принципе
принять более формалистическую точку зрения, чем наша; тогда
излагаемое ниже доказательство независимости КГ можно
рассматривать как руководство к построению гораздо более
синтаксического варианта с использованием «внутренней интерпретации»'
языка Li Set в самом себе. Предположение о непротиворечивости
аксиом Цермело—Френкеля в формулировке теоремы 1.6
приобретает тогда смысл разумной предосторожности, ибо эта
непротиворечивость не может быть установлена средствами самого языка
(Гедель). В нашем изложении эта оговорка является чистым
лицемерием, ибо принятое нами «существование» универсума V,
являющегося моделью аксиом, и «доказывает» их
непротиворечивость: ср. приложение, п. 1.8.
4.2. Конструкция V . Мы построим для каждого ординала а
множество У^ трансфинитной рекурсией по а и затем положим У^=
= \JV^. Начало рекурсии: У^ = 0.
а
Индуктивное предположение:
Для ординала а>1 определено множество У^;
для каждого элемента X^V^ определено подмножество
D{X)<^V^ (его индуктивный смысл будет объяснен позже);
для каждой пары элементов X,Y^V^ определены „булевы
функции истинности" ii^G^llG^. ii-^;=y|lG5, которые следует
интуитивно представлять себе как «вероятность того, что X есть
125

элемент У» и «вероятность того, что X совпадает с У»
соответственно.
Эти данные, по предположению, удовлетворяют следующим
условиям:
а) если ^, < р, < а, то Vl С Vj ;
б) если ^<а, 'X^Vl,\Vl, JO 'P(X)=Vl; (1)^
Bj ll^G71i= V (11^=^11 AII^GFIIKl)».
Условие (1)^ является отражением требования, чтобы „истинной"
оказалась следующая формула теории множеств, легко
выводимая из аксиом:
в.) \\X=Y\\ = { А lJZG.Yir У11^еУ11)Л( Л 11ZG
Gyil'Vll^e^ll).
Условие (2) является отражением „истинности, выводимой
формулы ^
•^ = ^ t^ (^ S-^ ^> S г/)^Д (г е г/^ <е х).
Заметим, что на этом уровне не совсем понятно, почему, скажем,
в (1)^ мы ограничились только теми Z, которые содержатся в D(Y),
казалось бы естественным проверить все вообще Z. Позже мы
увидим, что формула остается верной, если булево объединение
брать по всем Z.
На этом мы заканчиваем описание данных для Vf.
Теперь укажем явную^ рекурсивную конструкцшо У_^[и связанных
с ним данных.
Определение Vl^.u D. Положим' yf^,=yf (J Vf;,, где Vf;,
состоит из всевозможных функций Z с Ъбластью ^определения Vf
и областью значений QS, которые удовлетворяют следующему
„условию экстенсиональности":
для всех ;r,yGyf,I|;^ = 71lAZ(Z) = (|Z = ri|A:Z(}0. (3)
Чуть ниже мы определим \\X^Z\\ = Z{X) для X^V^, Z^
^V^ j\y^; поэтому (3), как выше, можно интерпретировать как
отражение „истинности" формулы
{х=у) Л (х^г) ^^{х = у) Л [у&г).
126

Ср. также комментарии в п. 2.7 по поводу определения i?(^).
Элементы Fa+i\Va мы будем называть новыми (ранга а), а
элементы V^ — старыми. Положим D{Z) = V^, если Z новый.
Определение булевых функций истинности. На парах старых
элементов эти функции уже определены. Положим далее:
\\X^Y\\=Y{X), если X старый, а Y новый; (4)
llA' = i'il = ( Л \\Z^X\\'\/\\Z^Y\\)A{ Л ||ZGy||'V!|ZeZ!l). (5)
Формула (5) 'автоматически выполнена, если X и Y оба старые, в
силу (2)^; в остальных случаях она однозначно определяет [[Х^КЦ
с учетом (4) и того, что Z в (5) пробегает только старые
элементы.
Наконец, положим
||^GF||=V ]]X = Z\\M\Z^Y\\, (6)
если X — новый элемент, а У — любой. Правая часть однозначно
определяется с помощью (4) и (5), ибо D(Y) ^V^.
Формулы (4) и (6) для новых X и старых У показывают
следующее. В качестве первого приближения мы можем считать, что
случайное множество У ранга а «состоит» из множеств Z
меньшего ранга, входящих в У с вероятностями Y{Z), которые можно
выбирать со значительной степенью произвола, подчиняясь лишь
условию экстенсиональности (3).
Однако затем оказывается, что мы должны автоматически
«включать» в У все новые и новые элементы X с вероятностями,
которые уже предписываются формулой '(6). Условия (3) и (6) и
означают, что наши множества не могут быть совсем случайными.
Определение V^ и других данных для предельных ординалов
а. Мы просто полагаем V^= [J У,, а все остальные данные уже
построены.
4.3. Проверка корректности определений. Мы должны
проверить (1)„^1 и (2)^^, : свойства 4.2а и б при переходе от а к a-j-1,
очевидно, сохраняются. В свою очередь, единственное не совсем
очевидное тождество получается, если в (l)„+i взять X старым, а У
новым:
Y(X)=\y i\\X = Z\\AY{Z)).
127
^e^f

Оно проверяется так. Неравенство ^ получится, если записать
правую часть в виде V {\\X-=Z\\/\Y {X)) с помощью (3). Неравенство
Z
^ получится, если рассмотреть член с Z=X и учесть, что ||^=
=Х||=1 для всех X (легкая индукция по а).
На этом конструкция булевозначного универсума закончена.
4.4. Примеры и замечания. Рассмотрим несколько частных
случаев наших конструкций, чтобы прояснить их структуру.
а) Очевидно, V'i=^{0}, ибо существует единственная „пустая"
фушощя, область определения которой является подмножеством
V^=0. Вычислим V"2=l^, U ^2* - Будем обозначать через {0}ь£
^У,* функцию на одноэлементном множестве V^, принимающую
значение Ь^В. Все они экстенсиональны, так что
V2 = {0,{0}b для всех йеВ}.
Из (4) следует, что
\\0^{0}ь\\=Ь.
Из (5) видно, что
||0={0}ь||=&'.
Интуитивно эти формулы означают, что {0}ь состоит из одного
элемента 0 «над Ь» и пусто вне Ь. Снова применяя (5), находим
\\{0}a^{0}ь\\ = (a'\/b)A{a\/b') = {a^b)\/{a'AЬ')•
Таким образом, {i0}a и {0}ь совпадают там, где они либо оба
состоят из одного элемента 0, в согласии с интуицией.
Применяя (6), находим
!1{0}ае{0}а1=1|{0}„=0||Л110е{0Ы1=л'лб
(единственно возможное включение типа 0е{0} имеет место
там, где {0}а пусто, а {0}ь непусто).
Пусть, наконец, X^V^* — некоторая экстенсиональная функция
на подмножестве V^ со значениями в В. Тогда по (6)
!1:^:е,{0Ы1 = 11 ^= 0IIЛII0 G {0К11=II ^=0IIЛ ь
и в силу (5)
11х=0 11=(Л11{0}ае^11')Л110е^1Г=
= (VJl{0}ae^!lVll0Gxr
128

Таким образом, ||Z=0|1 интуитивно означает дополнение к
носителю X в В, а. \\Х^{0}ь\\ есть множество, где одновременно X
пусто и {0}ь непусто опять в соответствии с обычной формулой
0е{0}. Это показывает, каким образом новые объекты X могут
оказываться случайными элементами старых с ненулевой
вероятностью.
б) Рассмотрим случай 5={0, !}• Соответствующее
вероятностное пространство одноточечное, и наши случайные множества
должны стать детерминированными. Это и происходит: универсум
V^ естественно отображается на универсум фон Неймана V так,
что если через Я^У обозначить образ X^V^, то для всех X, Y
выполняются условия:
NB:|l0=:{0}„i| = l, но 0:5^{0}„.
Для конструкции этого отображения положим 0 ^= 0, {0}~ =
= {0}- Далее, допустив, что отображение ^^°''^—*^„ с нужными
свойствами уже построено, продолжим его до a-f-l. С этой целью
новому элементу Л'GУ^' J поставим в соответствие сначала то
подмножество V^ "\ на котором X принимает значение 1, а
затем образ этого подмножества в V^, т. е. элемент S/^ (VJ-^^У^^,:
по определению, это и будет X.
Проверка свойств этого отображения предоставляется
читателю.
в) Булевы функции истинности формул языка Li Set. Мы
определим их по об_разцу § 2. Введем интерпретационный класс Ж:
каждая точка ^^М ставит в соответствие любому символу
переменной X языка Li Set некоторый объект Л'^^Х универсума V^.
Будем еще считать, что любая точка I отображает символ языка 0
в пустое множество 0 = У^о.
Если Р — атомарная формула х^у или х=г/ языка LiSet, то
значения ЦРЦС^) определяются как \\х^^у'^\\^В и ||х^ = г/^|| G 5
соответственно.
Для всех остальных формул Р языка значения ||P||(g) затем
определяются индуктивно, в точности теми же формулами, что
в п. 2.7. Нужно лишь заметить, что хотя в вычислениях с
кванторами приходится рассматривать выражения \/а,, /\а^ по семей-
_ ч. ^ % ^
ствам, перенумерованным классом М, разные элементы семейства
образуют подмножество В, так что эти выражения имеют смысл.
Мы будем называть формулу Р «истинной» (в модели V^), если
ll-P||(U = l для всех ^, и.«ложной», если ||P||(g)=0 для всех g.
9-1 129

Как в § 3 гл. II проверяется, что все тавтологии и логические
аксиомы с кванторами «истинны» и что правила вывода
сохраняют «истинность». Поэтому оставшаяся нам часть работы состоит
в проверке «истинности» аксиом Цермело — Френкеля (при
любой В) и «ложности» гипотезы континуума (при подходящей В).
5. АКСИОМА ОБЪЕМНОСТИ «1ИСТИННА»
Мы начнем с доказательства нескольких соотношений, связывающих
функции истинности. Прежде всего, из формулы (5), § 4 видно, что ||Х^У||^||У=
= Х\\ и \\Х=Х\\ = 1. Следующая лемма требует более кропотливой работы.
5.1. Лемма.
Для любых X, Y, ZeV^ имеем
\\X = Y\\A\\Y=Z\\^\\X = Z\\; (1)
\\X=Y\\A\\Y^Z\\<\\XeZ\\; (2)
\\XGY\\A\\y=Z\\^]\X^Z\\- (3)
Доказательство, а) (3) верно, если XeD(Y). Действительно, тогда
по формуле (5) § 4
\\Y=Z\\^\\XeY\\'VUeZ\\,
откуда, пересекая с ЦХ^УЦ, находим требуемое.
б) (3) верно, если X, 7eVf. ^eVf+i- Действительно, выберем U^D (Y)
и применим уже доказанный частный случай (3):
\\UGY\\A\\Y=Z\\<]\UeZ\\.
Возьмем булево пересечение обеих частей с 1|Л^^[/|| и булеву сумму по всем
(/еО(У); затем к левой части применим формулу (6) § 4 и воспользуемся
дистрибутивностью. Это дает
\\XGY.\A\\Y = Z\\< \/ \\X = U]A\\U^Z\\^ V |1^ =
и^о (У) a^zD (Z)=vS
= u\\A\\uez\\ = i\xez\\.
в) (1) верно в Vf+j, если (5) верно в Vf. Рассмотрим элемент U^D (X)CZ
d V^. Согласно п. а)
\\UeX\\A\\X = Y\\<\\UeY\\.
Возьмем булево пересечение с \\Y = Z ||:
\\UGX\\A\\X = Y\\A\\Y = Z\\<\\UeY\\A\\Y=Z\\.
Правая часть всегда <||i/S Z\\, если Y^V^, то по п". б) или индуктивному
Предположению, если же YGV^_^_l новый, то по п. а).
Итак, мы установили, что для всех X, Y, Zel'f^.i, U^D{X)
\\u ex \\ А\\х ==Y\\ A\\Y= z\\^\\u ^z \\. ,
130

Воспользовавшись тем, что в любой булевоА алгебре из а Д 6 ^ с следует b ^
^ а' V с, получаем отсюда
\\X = Y\\A\\Y=Z\\<\\UGX\yV\\U^Z\]
и далее
\\X=Y\\A\\Y^Z\\< Л \\UGX\\'W\]U^Z\\.
U^D (X)
Меняя здесь местами X и Z, получаем для всех UeD(Z)
||Z = 7|lA||y = Zll< ^ Л \\UeZ\\'W\\UGX\\.
U^D (Z)
Из двух последних формул и (5), очевидно, следует (3).
г) (2) верно в Vf+i. если (/) верно в Vf+p Действительно, пусть £/S
e-D(Z). Согласно (1)
\\ X =Y \\ A\\Y=U\\<\\X=U\\.
Возьмем булево пересечение с llt/eZ|| и булеву сумму по всем VmD{Z):
ll^ = i'|lA( V l|£^eZ||Al|i'=y|l)< V \\x = u\\j\\\u^z\\.
U^p (Z) U^D (Z)
Применяя (1)д+1 §4, получаем (2).
д^ (ЗУ верно в Vf+ii если (2) верно в V^+i- Действительно, пусть У е
^D{Y). По п. а)
\\U^Y\\h\\Y = Z\\<\\UGZ\\.
Взяв булево произведение с llX=[/il и применив (2) к правой части, получим
\\X = U\\M\U^Y\\A\\Y^Z\\<\\XGZ\\.
Наконец, построим булеву сумму по всем UeD{Y) и воспользуемся (1) § 4,
получим (3).
Очевидно, все доказанное обеспечивает индуктивный переход от а к а+1.
Теперь мы уже можем установить основной результат этого параграфа.
5.2. Предложение.
Аксиома объемности
х = у *—>-"уг (г G л <—>• г е t/)
^истинна».
Доказательство. Формула WP-f—>-Qll(|) = l равносильна 1|/'11(|) =
= ||Q||(|). Поэтому достаточно доказать, что для всех X, Y^V"
II Л- = 7II = д (irz:sx\\\/\\zgyII') д (II z.ex\\'v\\z^Y\\).
Неравенство 5= немедленно следует из формулы (2) § 4. Чтобы получить
обратное неравенство, запишем два очевидных следствия из (3) леммы 5.1:
||^ = r||<||Zs;f||VI|2ey||'; ||.Y=y||<||Zs;f||'VI|Zsy||,
и возьмем булево произведение по всем Z. Предложение доказано.
Отметим, что из (2) следует общее свойство экстенсиональности: для всех
9» 131

X, Y, ZeV
||;^ = г||Л||Ге2|[==||^ = г||Л11^е2||.
5.3. Следствие.
Аксиомы равенства в языке LiSet «истинны».
Действительно (см. предложение 4.6 гл. II), они выводятся из аксиомы
объемности, «истинной» формулы х = х и «истинной» формулы х=у-(—>-угХ
X (xez-<—>-!/ez) с помощью стандартных правил вывода, которые сохраняют
«истинность».
5.4. Замечание. В большинстве вычислений нам будут важны лишь значения
ЦХеУЦ и ||Х = У||, а не точное определение объектов X, Y. Заметим в связи
с этим, что следующие два бинарных отношения на V^^.
а) \\X = Y\\=\,
б) у2ек«, II2SАЧ1 = IIzeyII,
совпадают (легкое следствие (2) и аксиомы объемности). Мы будем называть
такие X, Y эквивалентными и писать Х-~У.
6. АКСИОМЫ ПАРЫ, СУММЫ, СТЕПЕНИ И РЕГУЛЯРНОСТИ
«ИСТИННЫ»
6.1. Вычисления предыдущего параграфа показывают, что основная работа
по обеспечению «истинности» аксиомы объемности была вложена в определение
универсума V^. Явные формулы для рекурсивного вычисления ЦЛ^еУЦ и ||Х^У:|
отражали так много частных свойств включения н равенства, что их Объединение
гарантировало выполнение общей аксиомы.
Проверка ряда других аксиом требует по существу определения в V^
аналогов операций, имеющихся в V, неупорядоченной пары, множества
подмножеств и т. п. Эти операции можно определить посредством формул языка LiSet.
Напомним, однако, что, если Р{х)—формула с единственной свободной
переменной X, то совокупность-г^ eV, для которых Р (хЧ истинна, образует, вообще
говоря, лишь класс, а не множество.
Оказывается удобным ввести вспомогательное понятие «случайного класса»
и по отношеншо к V°. Последующие конструкции операций в У° после этого
часто производятся в два приема: сначала значением операции оказывается
случайный класс, который затем уже «отождествляется» со случайным множеством
с помощью отдельного рассуждения.
6.2. Определение.
а) Случайным классом называется любая функция W на V^ со значениями
в В, удовлетворяющая следующему условию экстенсиональности:
W (X) /\^\\X=rY\\ = W(Y) Д||^=Г|| для всех X, Y^V^.
б) Случайный класс W называется эквивалентным случайному множеству
ZeV^ (запись W-^Z), если W{X) = \\X^Z\\ для всех X^V^.
6.3. Примеры и замечания, а)"" Зля любого" случайного множества Z
функция X |-^|| A'sZy экстенсиональна-'в силу (2) § 5 и потому яв1яется
случайным классом. По аналогии с этим мы часто будем писать ||/'^е1?'1| вместо W(X)
и для любых случайных классов W.
б) Существуют случайные классы, неэквивалентные случайным множества.м.
Например, «универсальный» случайный класс; W(X)^\ для всех X. (Иначе мы
имели бы lltt^eiy'll^l, в противоречие с аксиомой регулярности, «истинность>
которой будет проверена позже.)
132

в) Пусть Ц7 — случайный класс, а а — любой ординал. Определим элемент
D(WJ = V^, W^= ограничение W на Vf
(как функции, см. 4.2}. Нетрудно видеть, что для всех ZsV^ имеем
||zewj|<||ze«7||. (1)
в самом деле, пусть f/eVf, X^V^- Тогда имеем
\\X=U\\/~,W^(U)^\\X = U\\^W{U) = \\X = U\\^W{X)<W(X),
откуда в силу (6) § 4:
||A-ewj|= V \\x = u\\^^w^(U)^W(X) = \\x^w\\.
Ниже мы часто будем проверять, что интересующий нас конкретный класс W
эквивалентен множеству, отыскивая такой ординал а, что W '-~W^. Из (1) видно,
что для этого достаточно проверить неравенство || A'SW !['< || A'Sl?'^ || для
всех X.
г) Пусть «7, U7j, Ц7^ — случайные классы. Тогда Wj Д W^, 1S7, V Ц7„ W' —
также случайные классы, ибо условие экстенсиональности для этих функций
проверяется тривиально. Мы (зудем писать W'l f] ^2. ^'i U ^2 вместо W^/\W2,
Wi V ^2 соответственно.
д) Пусть W—случайный класс, а X — случайное множество. Покажем, что
W {^ X эквивалентно случайному лгаожеству. Точнее, если D(A') = V^, то Ц7 f]
П ЛГ -N- (W fl Х)^. В самом деле, ддя любого F S V^ имеем по (6) §4:
\\у^(^Г]Х),\\= \j'\\u=Y\\/\\\u^[wr]X)A= У (11^ =
^^ а ^-- а
= Y\\^\\u^w\\^\\u^x\\^ V \\u=Y\\^\\Y^w\\^\\u^x\\===
= \\Y^W\\r\\\Y^X\\-=\\YeW(^X\\.
Из этого результата следует «истинность» формул выделения (см. п. 4,96 гл. И).
Следующее предложение дает общий способ конструкции случайных классов.
6.4. Предложение.
Пусть Р{х, 1/1, ..., уп)—формула, не содержащая свободных переменных,
кроме X, у\ Уп. Пусть Уь ..., Yn^.V^ фиксированы. Тогда функция
X\^W(X) = \\P{X, Y, Yn)\\
является случайным классом.
Интуитивно W содержит каждое множество X с той вероятностью, с
которой для него истинно утверждение Р{Х); Yi, ■■•, Уп играют роль «констант».
Доказательство. Воспользуемся «истинностью» соответствующей
аксиомы равенства:
II V*V^i- ■ ■ УУп (Х^ = У->■ (Р (х, г/,, . .., г/„) -» Р {у, у„ . .. , Уп))) \\ = 1-
133

Рассмотрев точку | интерпретационного класса, которая придает х, r/i, ..., г/„
значения X, Уь ..., У„еК° соответственно, находим отсюда
\\X=Y\\^\\P{X, Y„ .v., Y„)\\'y\\P{Y, Y, Y„)\\
или
\\X=Y\\f\W{X)^W(y),
откуда следует экстенсиональность W.
Теперь мы можем приступить к проверке аксиом.
6.5. Предложение.
Аксиома пары
умувудхуг (гел<—*2 = а\/ z=w)
<истинна^.
Доказательство. Имеем по определению
\\^Щ1!пщг(г^х*—*г = аУz = w) || =ДД'\/ /\\\Z^X*—*Z =
= u\/ z = w\\.
Поэтому достаточно для любых U, W^V найти такой X^V^, что для всех
\\Z^X\\ = \\Z=^U\\\J\\Z=W\\. (2)
При фиксированных U, W рассмотрим правую часть (2) как функцию от Z. Она
является случайным классом по предложению 6.4, ибо отвечает формуле z =
^U\J z^W. Покажем, что он эквивалентен случайно;иу множеству. Точнее,
если и, W^V^, то Х-^Х^. По замечанию в конце п. б.Зв для этого
достаточно проверить, что для всех Z
llze^lKllze^jl-
Но так как \\V ^Х^\\=\, то по формуле (2) §5 имеем
liz = [;ii<|ize^j|
и аналогично
irZ=:.rir<l|ZGZJl.
откуда следует требуемое.
6.6. Предложение.
Аксиома суммы
-^щу^а (дг (ме> /\z^x) *—>и^у)
«истинна».
Доказательство. Фиксируем X^V^ и построим такое случайное
множество У, что для всех UeV^
\\U^Y\\ = \\22{Ugz/\z^X)\\= ||,V;llt/eZ||A!l2e^||.
134

По предложению 6.4 случайный класс с таким свойством существует. Покажем,
что если D (X) = vf, то Y -^ Y^. Учитывая, что D (YJ = D (X), имеем
Л( V ||ZGZ,||A||Z,G^||). (3)
Покажем, что во внутренней сумме (3) можно ограничиться суммированием по
ZieD(X). Действительно, для любого Zi
l|Z,ez|i- \/ ||z, = z,iiAi|z,e^l|,
||ZeZ,||Al|2,ez||= v ll^eZJl aI|2i = z,|1a
AI|Z,ez||< V |iZez,||vil2,e^||. (4)
Учитывая это, проведем в (3) суммирование сначала по Z при фиксированном
ZieD(X). Так как Di(Zi)^D(X), сумма по ZsD(X) совпадает с суммой по
ZeZ)(Zt) и будет равна ||£/eZi||. Значит,
\\u^Yj\= V ||f/eZ,||Al,2,e^ll= V Ju^z,\\/\
Zi^D{X) Z,^V^
Al|2,e^|| = ||0eV||
в силу (4).
6.7. Предложение.
Аксиома степени
„истинна". (Напомним, что zdx — сокращение для \и(и^2->■ а^х).)
Доказательство. Фиксировав XeV°, мы построим такой КеУ°, что
для всех ZsY^
lizer|| = l|zc^||= л ll^eZji'VJlt^e^il.
Правая часть определяет Y как случайный класс в силу предложения 6.4.
Покажем, что если D (X) = Vf, то Y -^ ^а+1'
Прежде всего, построим элемент Z^^V^.^, рассмотрев Z как случайный
класс. Имеем в силу (I) \\ U^ Z^\\' ^\\ U^Z \\', так что
||ZGr||<||Z„G71|.= |lZ„G7„^,||. (5)
Мы докажем еще неравенство
l|zevii<||z„ = z||. (6)
Из (5) и (6) немед;1енно следует, что У-^-У^^^р ибо в силу (2) §4
l!Zeril<l|2,ey,+illAllz,= zi|<i|Zey„+il|.
135

Остается проверить (6). Пусть сначала U ^D (X)CZV^.Torjj,a Ц t'SZ^ |} .-=
= Iif/e2||, откуда \\U^Z^<—>-U^Z\\' = 0 и тем более
\\UeX\\/\\\U^Z^^^U^Z\\'^Q. (7)
Левая часть (7) при переменном U определяет случайный класс вида X P\W
где W отвечает формуле ~1(ае2^-«—>-«eZ). Так как D (X) =V^, в-силу
б.Зв имеем Xf]W'^(X(^ IF)^_
Но согласно (7) (X f) W)^ есть нулевая функция на V^ и значит || U^X f] W\\==
^0 для всех и^V . Следовательно,
\\UeX\\<\lUeZ^^^U^Z\\ для всех U. (8)
Теперь для проверки (6) запишем левую и правую части отдельно (пользуясь
„истинностью" формулы Z^ = Z *—>• у" (" ^ ^а ■•—* и е Z):
||2ег|:= Л \\u^z\\'V\\uex\\:
l|2, = Z||= Л \\UGZ^^^U^Z\\.
Теперь ясно, что требуемое в (6) неравенство имеет место почленно: для
Цб'еЛ^Ц это следует из (8), а для \\U^Z\\' — из того, что
\\и ^z^^^u ^z\\ = iwu^zjv \/ \\и ^z\\) /\(iu ^z^\\y \\и ^z \у)
и ||f/eZ||'<||f/eZJ|' для всех и.
6.8. Предложение.
Аксиома регулярности
v-« (а^ О/ех) ^ а^(г/ех Л г/П •« = 0))
«^истинна».
Доказательство. Фиксируем XeV°. Аксиома с «константой» X вместо
X имеет вид R—уЗ. Мы должны проверить, что \\R—>-S||^l. Для этого
достаточно установить, что || /? || Д || S ||' = О, где
||i?||= V ll^^e^ll; (9)
lisi|'= д ||ге^1Гл( V 112еУ1|д||2е^|:). (Ю)
Допустим, что II i? II Д II S|)'=а.^ о и придем к противоречию. Из (9) и (10)
следует, что существует FsV^ такой, что ЦУеА'Ц Да^О. Выберем У
наименьшего ранга с этим свойством.
Снова из (9) и (10) видно, что
||Уе^||да< V ||2еУ||д||2е;^||.
Справа можно ограничиться суммированием по ZeD(Y), не изменив всей
суммы, поэтому должен суш,ествовать такой ZeD{Y), что
||2е^||Д||7е^||Да9^0
я, значит, ||ZS^[| Да^О, но ранг Z меньше ранга У, что противоречит вы
бору Y
136

7. АКСИОМЫ БЕСКОНЕЧНОСТИ, ПОДСТАНОВКИ И ВЬКОРА
«ИСТИННЫ»
7.1. Мы начнем этот параграф с описания еще двух полезных способов
конструкции случайных множеств. Первый из них, очень употребительный, решает
следующую задачу. Пусть задано множество объектов Xie.V°, i^I, и элементов
йг^В. Предположим, что мы хотим построить случайное множество X,
содержащее каждый Хг с вероятностью аи Такое X может не существовать,
оказывается, однако, что всегда существует X с WXi^XW^at для всех fe/ и, более
того, существует наименьшее X с таким свойством.
7.2. Лемма.
а) В условиях предыдущего пункта функция X от Y
\\Y^X\\=VaiA\\Y=Xi\\ (1)
i
Является случайным классом X, эквивалентным случайному множеству. Кроме
того, ||Х,еХ1|^аг, и если X'— любой случайный класс, для которого ||XieX'||^
"^ai при всех i, то ||Уе^'1|^||Уе*|| при всех Y.
Мы будем говорить, что X (и любое эквивалентное ему множество)
собирает Xi с вероятностями at.
б) В тех же условиях функция Z от Y
||VeZ|| = v«iAI|Ve^HI (2)
i
Является случайным классом Z, эквивалентным случайному множеству. Если
сверх того «i Л аз = 0 при всех гф'и то i|Z = Xi||^a{ и для любого случайного
класса Z' с условиями ||Z' = Xii||>ai при всех i имеем ||Уе2'||^||Уе2|| при
всех Y.
Мы будем говорить, что Z склеено из Xi с вероятностями аи
Доказательство. Экстенсиональность функций Z и X определенных
формулами (1) и (2) проверяется немедленно.
Существует такой ординал а, что Х^ S V^ для всех /. Покажем, что Х'-~Х^
и Z -V Z^. Имеем для любого VsV^
\\YGXJ\= V l|r=ziiA|izeXj|= V V||y=z|iA«iAl|2 =
=^dl= V \/at/\\\Y = X,\\/^,\\Z=Xi\\.
ZGV^ ^
a
Рассматривая член с Z=:^i справа, получаем flj Д || У = Z; ||^ [|7е ^i ||>
откуда в силу (1) ll У е X IK II У е A'jjII, чего достаточно по п. 6.3г.
Аналогично для любого УеК"
i|yezj|= V VI|V = Z||AaiAl|ZeZii|= V Va^ ЛН^'е^л! д
V II У = 2|| Д li ys.^i II' откуда следует, что
ze.v^
а
11 н С ПОМОЩЬЮ (2) 11 У е Z 11 < II У е Z^ |1.
137
Л1|5' =
Кроме
«г Д Г;
10—1
= Z||.
того.
Y^X
|1Уе^г11 =
ilKliyez,

Пусть теперь X, Z — какие-нибудь случайные множества со свойствами (1),
(2'). Из (1) ясно, что \\Xi^X\'^ai. Если Ц Zj S Л''|| ^за^ для всех i, то
\\Y^X'\\ = У\\Y = Z\\^[\Z^X'\\^У\\Y=Xl\\/\ II Xi е ^'11 ^\\Y^X\l
в силу (1). Аналогично, если ai/'\aj^O для 1ф1', то из (2) видно, что а^ Д
Л II J'S ZII = аг Л II5'G ^г II. откуда
ai/\\\Xt=Z\\ = Yai/\\\YeXi^^YGZ\\ = ar, и \\Xi = Z\\^ai.
Если же II Xi = Z' II 5*^1 для всех t, то
а Г е Z' II5^ IIУ е 241Л li 2' = х^ 11 = ц у е А'п| л 12' =
= ^Н1>«гЛ115'е^Л.
так что ||Ге2'||^||У^2||.
Вот первый пример использования леммы 12г..
7.3. Предложение.
Аксиома бесконечности
а-ч; (0 е л Дуй (и е л -* {м} е л))
«.истинна».
Доказательство. Проверяя «истинность» аксиомы пары, мы для
любых и, lFeV° построили (с точностью до эквивалентности) элемент ZeV° со-
свойством ||Уе2[|^||У=[/VY^HJ'lj для всех У. Естественно обозначить такой
элемент {f/, Щ^. Соответственно путь {6'}° = {6', f/}^.
Приступим теперь к проверке аксиомы. Положим Zo=0, /'fi={0}°, ...
..., X„ = {X„_i}°. Далее, обозначим через XeV" элемент, который собирает все-
Xi с вероятностями 1. Мы проверим, что
I! 0e^Av«(«e^-*{«};e^)||= 1.
Очевидно, достаточно установить, что для всех f/el/^ имеем llf/eXil^lKf/}^^:
еЛ^, т. е. в силу (1)
V ||f/=Zf||< V II W^=^ili-
Действительно, из «истинности» формулы «ех-<—»■{«} = (Jc) и того, что /"^,+1 =
= {;^,-}°, сразу же следует, что ||f/=Xi|| = ||{^/}°=Х;+,||.
Лемма 7.26 понадобится нам для доказательства следующего
вспомогательного факта:
7.4. Лемма.
Пусть W — некоторый случайный класс. Тогда существует такой элемент
Хе1/°, что
V W(U) = W(X).
Левую часть можно представить в виде || g х (x_^W) || =: || Ц7 .^ 0 || .
Поэтому интуитивный смысл леммы таков: вероятность того, что класс непуст,
совпадает с вероятностью вхождения в него подходящего элемента.
Доказательство. Прежде всего, существуег такой ординал р, что
V W(U)= V ^ (Щ- Действительно, пусть а = V W (U) [и для любого
138

as В положим Y (а) = niin {Y|°'-[> о.} (или О, если а < а для всех y)- Положим,
наконец, p = supY(a). Это ординал, так как В—множество. Если Y>P> то а^р^а^
В силу МОНОТОННОСТИ, но а.> а. не может быть по выбору Y-
Итак, пусть \/W(U)= [\/ W {Щ. Перенумеруем все элементы из V?
нес/в '
которым начальным отрезком ординалов (аксиома выбора!): VZ = {fJ^}^—.['
Положим
«a = ^(^a)A(V W{U)y, «е/.
Очевидно, а^^Да^^О при а jjt у. Пользуясь леммой 7.26 склеим множества U^
с вероятностями а^{а:^1). Получим [множество X с условиями \\ X = U^\\^
^ a^^W (U^). Пользуясь экстенсиональностью W, находим
W(X)>V \\X^U^\\^W(UJ = УW(UJ=\/ W(U).
7.5. Предложение.
Аксиома подстановки
Vz'Y"(v^;(xe«-*a! yfi^' i/. 2))-*аа'уг/(г/еа'«—►gx(xe«A
Л P (X. у, Г))))
„истина" (здесь z=^{Zt, ..., 2„)j.
Доказательство. Мы фиксируем „вектор" Z = (Z,, ..., Z„) с Z^S
еУ° и элемент lU^V^. Вместо Р(х, у, 2) мы будем писать Р{х, у) и т.п.
Представив аксиому с «константами» Zi, U в виде R—»-S, мы должны доказать, что
\IR-^S\\ = 1.
7.6. Частный случай:
если \\R\\ = l, то ||S|| = 1. Покажем сначала, как общий случай выводится
из этого.
Пусть аеВ. Обозначим через Во множество {ЬеВ\Ь^а}. Операции В
индуцируют на Во структуру булевой алгебры с единицей 1а = а- Естественное
отображение В—>-Ва : Ь\-* b /\а —Ьа является гомоморфизмом. Легкая индукция
по а позволяет построить сюрьективное отображение универсумов V^—^-V^a'-
X—)-Ха, такое, что для всех X, Y^V^
11^аеГа11= II А'еГ||Л«; |l^a=l'all = 11^=5'11Л«-
Теперь выберем в прежних обозначениях а= || i? || . Тогда || R \\а=^ 1о> так что
в силу 7.6 II S Но = 1 д. Это означает, что ||S||^a, так что ||^?-»S||=1.
(В этом рассуждении мы пользовались п. 7.6 для V °: ясно, что || ^Па^Н^о 11
в очевидных сокращениях.)
7.7. Доказательство 7.6. Условие ||/?|| = 1 означает, что для любого
\\XgU\\<\\2\ уР(Х,у)\\. (3)
10* 139

Чтобы проверить условие ||S|| = 1, достаточно для любого U^V^ отыскать такое-
IFel/^, что для веех Y^V^
||7eW||= W \\X^U\\^^\P{X,Y)\\. (4>
Формула (4) определяем W как случайный класс в силу предложения 6.4.
Найдем такое а, что W -^Wg^.
С этой целью заметим сначала, что в (4) можно ограничиться
суммированием по XeD(U):
\\Y^W\\= V \IX^U\\^\\P(X.Y)\\ (5>
X^D (У)
(доказательство такое же, как рассуждение после формулы (3) § 6).
Теперь применим лемму 7.4 к классу Wx(Y)=\\P(X, Y)\\. Она позволит для
каждого XeD{U) найт" такой элемент YxeV^, что
\\2УР(Х,у)\\ = \\Р(Х,У^)\\. (6>
(Так как ||д!уР(Л', г/) 11<||ау^(''^, y)]U мы сможем воспользоваться этими
Y^ для оценки Ц^'е^'!! с помощью (9).)
Положим
а = sup (а^ I Yxе V^ ) по всем X^D{U)
й покажем, что W -^ W^ для этого а. Нам нужно проверить, что для всякого У
имеем II FeW'!! < II Уе^^а II ' ^ ДЛЯ этого в силу (5) и (2) § 4 достаточно
установить, что для любого XgD(U)
\\X^U\\/\\\P(X.Y)\:<\\Y=Yx\\A\\Yx^WJ\. (7>
Имеем прежде всего в силу (3), (5), (6) и определения а:
\\XGU\\^\\P(X.Yx)\\<\\YxeW\\ = \\YxeW^\\. (8>
Далее рассмотрим формулу, которая «истинна», ибо выводима из логических
аксиом и аксиомы равенства:
Y х,-э}.уР (л. у) /\Р (л, г/,) Д Р (х, у^) -*Уг= г/2-
Из нее находим
V II а! уР (^.. у) II ЛII -Р (X, Y) [| АIIР (X, Yx) li < II г = к^ 11. (9>
Хг^У^
Наконец, учитывая, что || Х&! [| < V II а! уР (Xi, у) II в силу (3) и || Xl^U || <
<||Р (X, Yx)\\ в силу! (8)> пере1Множим почленно неравенства (8) и (9). Это
даст
II X е г/ II Л [1 Пх. У) !| < II у = y^ \\ л II у^ е w^ \\,
т. е. (7).
140

7.8. Предложение.
Аксиома выбора «истинна».
Доказательство. Напомним, что аксиома выбора имеет вид
V-^a^ (СЛ^Л^ЛП» где Q означает:
Y2 (г е г/ -^ дггда) (z = {а, w)))
(«г/ — бинарное соответствие»);
Я означает:
YM v"*! Y^2 ((и. и»]) е У Л (и» а»2) е г/ -♦ а», = а».)
(«г/ — функция»);
S означает:
ум (ga» ((и. w)ey)-*u^ х)
(«область определения у содержится в х»);
Т означает:
\и{иф 0 /\аех -*2w(w^a /\{а, w)^y)
(«область определения у совпадает с х; у выбирает по одному элементу из
каждого непустого элемента х).
Фиксируем ХеУ" и построим для X «выбирающую функцию» У. Для этого
а) перенумеруем D{X) начальным отрезком ординалов:
D(X) = {U„U,. ....и^, ...},ael;
б) для каждого U^^D(X) отыщем по лемме 7.4. такой элемент W^^V^,
что
WW^eu^ 1I=V JJfl^ef/Jl;
в) для каждого ае/ положим
г) наконец, обозначим через Y множество, собирающее «упорядоченные
пары» {U^,W^)^ с вероятностями а^, a^I. Здесь, конечно, {U, W)^={{U}^,
{U, W}^}^.
Смысл конструкции: в каждом U^ мы выбираем элемент W^, входя1цнй в U^
«с наибольшей возможной вероятностью», но затем «пары» {U^, Wa) мы
включаем в график У функции выбора по очереди, каждую последующую лишь в той
мере, в какой раньше U^ «не учитывалась» в X.
Теперь подставим X, У вместо х, у в аксиому выбора и, обозначая через Q,
R, S, Т соответствующие формулы с константами, проверим, что 11011 = lli?l| =
= 11511 = 11 Л1 = 1.
Мы будем постоянно пользоваться формулой, вытекающей из (2) и
определения У:
\\Z^Y\\ = \/U={U^,WJ^\\/\a^. (10)
а
141

7.9. 1IQ.11 = 1. По определению Q это означает, что для ZeF^ должно быть
\\ZeY\\<J\J\Z = {U,Wy\\,
а это очевидно из (10).
7.10. ||/?|| = 1. По определению R для любых U, W\ W''^V^ мы должны
доказать неравенство
С помощью (10) левая часть переписывается в виде
Так как \\ U = UJ\/\\\U =^и^\\<\\и^=Щ\\ и \\U^=U^l\ Аа, А%=0
при а ф^ (см. определение а^), в этой сумме можно оставить лишь члены
с о = р. В каждом таком члене есть сомножитель || IF' = W\ Д 11W^ = W^ \\ <
^||1Р'' = 1Р'^||, что доказывает требуемое.
7.11. ||S|| = 1. Это тождество равносильно формуле
но левая часть равна в силу (10):
УII и = ид А\\^ = ^а юл «а < VII f/ =Jf/. II ЛII «^ = ^Л л II ^а е zii <
<VI|f/ = f/JIAII^aez|| = ||f/szi|.
а
7.12. II Г 11=1. Мы дояжну доказать иэравенство (для любого U ^V^)
l|f/ez||AI|f/.-3t0|l< V linnet/IIЛ II(^. wf^YW- (И)
Как мы уже неоднократно замечали,
V \1и^х\\/\1\иф0\\= V \\иех\\А\\иф0\\.
Поэтому в (11) достаточно ограничиться элемевтами U , а е/- Далее,
Поэтому (11) превращается в неравенство
Mf/,e;^IIAII«^„ef/j|<yiFef/„IIAII(^a. Ю^егн. (12)
Для его доказательства применим индукцию а. При а = 0 оно очевидно, ибо
справа член с W=Wo совпадает с левой частью. Пусть оно верно для всех
Р<а.
По определению а^
\\и,еХ\\=а^\/(\/\\и^Х\\АЩ=иЛ).
142

Подставив эту формулу в левую часть (12), мы получим, что нужно доказать
два неравенства:
\A\\Wa^uj<w\\w&u^\\A\\{U^.wfeY[\: (13)
11 f/gеZ II лII ^g = ^аII лII«^аег/Л<у II«7еf/ji лII (f/a. ^)^ег||.
(14)
для всех р<а.
Неравенство (13) очевидно: для его проверки достаточно рассмотреть
справа член с W=W^, Неравенство (14) следующим образом сводится к
индуктивному предположению. Левая часть (14) мажорируется величиной
\\u^ex\\/\\\u^ = u,\\/\\\u^^u^\\^\\u^ = uj\/\\\w^eu^\\
по определению W . Далее, по индукции и в силу экстенсиональности
l|t^e = ^allAll^ge^llAll«^3^^3ll<VII«7ef/3llAIK^3'
w
W)^ Q^\\M\U.=^UJ\<V\\WGUJ\ /\\\{U,.WfeY\\.
w
что завершает проверку аксиомы выбора.
8. ГИПОТЕЗА КОНТИНУУМА «ЛОЖНА» ДЛЯ ПОДХОДЯЩИХ В
8.1. Напомним (лемма 7.2а), что мвожество X^V собирает множества
{Xi) с вероятностями ai^B (i^I), ест \\Y еХ \\ = \/ЦУ = Xi\\/\ai для
всех Y.
Пользуясь этим определением, мы можем ввести Полезное каноническое
отображение универсума фон Неймана V в V^: t \-* Т. Пусть 0=^0 (напомвим, что
115'е0 11 = 0 для всех У), и если s уже определены для всех seV^ai то для
t^y^^i положим:
t собирает с вероятностями 1 все § для set. Иными словами, для любого
1УеГ||=У||Г=^||. (1)
(Собирающий объект определен неоднозначно, а лишь с точностью до
эквивалентности, так что, строго говоря, следовало бы указывать ранг f, например
потребовать, чтобы он совпадал с рангом t. Это несущественно, так как нас
будут интересовать лишь функции истинности, которые не меняются при замене
любого объекта на эквивалентный ему.)
Теперь мы можем сформулировать дополнительные (кроме полноты)
условия, которые будут наложены на булеву алгебру В для нужд этого параграфа.
Напомним, что ©о — первый бесконечный ординал, coi — первый ординал
мощности >а>2, 0)2 — первый ординал мощности ><u|.
8.2. Условия на В.
а) Условие счетности. Напомним его содержание: если дано семейство
элементов {«{}, te/, с условиями ai=^Q, а<Д aj = 0 при 1Ф1, то / не более чем
счетно.
143

б) Существует семейство элементов &(п, a)eS, пронумерованное
множеством (DoXfi)2 со следующим свойством: если 2(а) собирает элементы Л, лесоо
с вероятностями Ь(п, а), то l|Z(a) =Z(P)|| = 0 при а=?^.р.
Интуитивный смысл второго условия таков. Нетрудно видеть, что ||Z(a)s
=Шо11 = 1- В самом деле, это условие равносильно || v^(-''sZ(a)—>-xe<Ooli = lr
т. е.
Y^eV^,\\XeZ{a)\K\\Xea,\\,
что очевидно из (1), ибо «о собирает Л с вероятностями 1, а Z(a) — с
вероятностями Ь(п, а)^1-
Таким образом, условие (8.26) означает, что мы можем набрать ©2
различных подмножеств Z(n)sa>o, так что в наивном смысле слова card5'(a)o)>«>i,—
это и есть отрицание континуум-гипотезы. Конечно, нужно еще проверить, что
это интуитивное соображение можно превратить в доказательство.
8.3. Существование В с нужными свойствами. Можно было бы
воспользоваться измеримыми множествами, как в § 3. Для разнообразия и сравнения с § 9
приведем еще одну конструкцию. Пусть {О, 1} дискретно двухточечное
пространство; / = (DoX<02, S={0, I}-' пространство векторов из О и 1, координаты
которых перенумерованы множеством /. Введем на S топологию прямого
произведения. Ее стандартный базис образует открытые подмножества, состоящие из
всех векторов, у которых координаты на некотором конечном подмножестве
/с/ фиксированы.
Если asS, положим
а'=дополнение замыкания а в S, а"={а')'.
Множества a^S с а"^а называются регулярными открытыми
множествами пространства X.
8.4. Теорема.
Положжим
fi={aCS|a" = a}, оДЬ = оПЬ; а\/ b = (a[J Ь)".
Тогда В с операциями \/> А ^' является полной Нулевой алгеброй с
условием сч-етности, и \/ai=^{Uai)" для любого семейства ai^B.
i i
Доказательство мы опустим: см. Россер i[6, гл. 2].
8.5. Лемма.
В условиях теоремы 8.4 положим: Ъ (п, и) — множество векторов с 1 на
месте (п, а) и определим Z(a), как в п. 8.26. Тогда ||Z(a) =Z(P)||=0 при
Доказательство. По формуле (5) § 4
II Z(а) 3= Z(P)|| = A(b (п. «) ЛМя.Р)) V {Ь (п;ау ль (п, Ю-
Правая часть может лишь увеличиться, если заменить Д на р| и V "^ U;
штрихи здесь совпадают с обычными дополнениями. Если ||Z(a)^Z(P)||=?^0, то
должен был бы существовать элемент из стандартного базиса топологии X,
описанного в начале п. 8.3, содержащийся в
• П (Ь (л. а)Г\Ь (П, Р)) и [Ь (П,ау П b {п. Р)'),
ЯРГМо
Но это пересечение состоит из векторов, у которых координаты на местах (л, а)
и (л, Р) одинаковы для всех п, тогда как в любом элементе стандартного
базиса топологии ограничения наложены лишь на конечное число координат.
144

8.6. Формулировка отрицания континуум-гипотезы. Мы будем доказывать
.истинность" следующей формулы: ~1К.Г: yx Ц}^ —ординал /\ х ' не конечен
/\\'У{У^ Х-*у конечен)) -»да» (нет функции из х иа все е>Д нет фунщиш
из W на J' (х))-
Здесь X конечен: Yy(yCZx/\y ^х -* нет функции из у на все х).
Расшифровку остальных сокраще» ий мы оставляем читателю.
Посылка в ~!КГ означает:, л; есть первый бесконечный'ординал*,заключение:
«ш есть множество мощности, строго промежуточной между мощностью х и
мощностью ^{х)».
Мы будем сокращенно записывать "~1КГ в виде
ух (Р (х) -> зи» (Q, {X, W) Л Qi (X, W))). (2)
8.7. Редукционная лемма.
Пусть Р{х), Q(x)—dee формулы языка Цермело—Френкеля с
единственной свободной переменной х и со следующими свойствами:
Формула 2'хР{х) выводима из аксиом ;
ЛГ„ е V^ — такой элемент что \\Р{Х^)\\= I. Тогда || Р {Х)\\ =\\Х= ХМ для
всех X, и если \\ Q (Х,)\\ =\. то \\ух (Р (х) — Q{х))\\ = I.
Доказ ательство. Заметим прежде всего, что |{ дхР (х)\\ ^ || д! хР (x)||=
= I, ибо все аксиомы „истинны " в V^, а правила вывода сохраняют
.истинность" . Значит, существование объекта X„^V с || ^'(■Х'о)||= I обеспечено
леммой 7.4.
Далее, Р (х) i\ Р (у) ^ х ^у также выводима, откуда, применяя это к X
вместо X я Хо вместо у, находим
||P(J)||^!|;c=;Coll, (3!
но II Р (Х)\\ /\\\Х=Хо\\ = \\Р (X,) II Л II -^ = -^0II; сравнивая это с (3), полу-
чаем, что в (3) можно поставить равенство.
Наконец, допустим, что IIQ(Xo)|| = l. Тогда по доказанному
IIР W II = IIQ (^o)ll А\\х = X,II = IIQ(X)IIл 11 ^ = ^0II = IIQ(^)11Л11^Wl(.
откуда II Р(Х) II < II Q (Х)\\ и || ух (Р (х) -» Q (х))\\ - 1.
Эту лемму можно применять к доказательству ~1 КГ в форме (2), потому
что из аксиом выводима формула д! хР{х), где Р(х) —посылка «х есть первый
бесконечный ординал». Мы не будем приводить соответствующий формальный
вывод, удовлетворившись констатацией того, что единственность ©о
общеизвестна.
Теперь в силу леммы 8.7 для проверки ~i КГ достаточно установить сле-
дуюш,ие факты:
8.8. ||РК)|| = 1.
(Иными словами, роль Х^ в нашей ситуации играет ш^.)
8.9. II Q, (Я.Я)|| = 1.
8.10. II Qa (Я.'^ОН = 1
(значит, II дш (Qi (So, w) Д Qa («i, w)) || = 1, что завершает проверку условий
леммы).
145

Проверка 8.8 проводится почти механически, и мы оставляем ее в качестве
упражнения.
8.11. Проверка п. 8.9. Мы должны установить, что если В удовлетворяет
условию счетности, то ||з функция из а>„ на все е>, 1|=0. Следующее
доказательство дословно переносится иа более общий случай, когда вместо соо, coi
берется любая пара s, teV с cards<card < и cards бесконечно.
Допустим, что О ^ а = II д/ (/ - функция Л VI/ (J/S«i -* 3-* {х ^щ Д {х,
y)Gf)))\\, и придем к противоречию. Должен существовать такой элемент F^V^,
что o<l|F-функция JJ Д Д (...)•
Для Каждого ае»! рассмотрим член произведения, отвечающий У = оГ, и учтем
что llaSWill = !■.
Получим
а < II f-функция II Д(У|1^е2,||Д \\{Xrc^feF\\. (4)
В силу (1)
11^еЯ|1Л11(^. «)°ef|| = V 11^=«||Д||<^. a/sf|i=
Л<Шо
= V ||^ = п|1Л1|Я«)°е^ II.
так что, суммируя сначала по X, а потом по п, можно представить (4) в виде
а< II f-функция 11 Д V II ("^ ") Sf ||. Значит, для канедого a<e>i, найдется
такой л(а)<Сйо, что
||f-функция ||Д||<л(^),^)°е^ 11^0.
Поэтому существует такое значение Ло и такое подмножество /Scoi, мощности
<ui, что
О ^ а„ = II f - функция ИДИ (гцЛо) S f || для всех а е /•
Остается проверить, что а^ Да^ =0 при a-jtp, что противоречит условию
счетности для В. Так как по определению функции
^аАа^=\\р-функция ИДИ(«,.^)°еf IIЛII(«„7)^еf II <II а =?II.
достаточно проверить, что если аф^, то || « = р || = 0.
Действительно, если, скажем, yS», но y^P> то в формуле (5) § 4 для
|а=р|| есть нулевой член || Y^sfll'V |1 т"^Г||- (Проверка того, что |Tys'?|| =
= 0 при Т^Р. в свою очередь, требует знания того, что H'y ="8 11—0 при
уф8, но лишь для Y и в меньшего ранга, чем аир, так что полное
доказательство требует индукции по рангу.')
146

8.12. Проверка 8.10. Мы должны установить, что || g функция из cSi на
^^{(Oo)\\=0, т. е. что ,
\\2gig—функция ЛV2(z^«о-*яу{уe'wi А<У'^)s'g»:i| = 0.
Допустим, что для некоторого GeV" имеем 0#a=||G —функция || Д Л (•••)»
Z
Для каждого а<й)2 рассмотрим член, отвечающий Z=Z(a) (определение
в п. 8.1 и 8.5), и учтем, что ||Z(a)sSoll = l:
О ^ а< II G - функция || Л V || V еЯ |1 Л'II (У. Z (а))*S G \\. (5)
В силу (1)
ЦУеЯНЛНО'. 2(а))*ео||= V \\y-T\\M\{Y,Z(a)f^G\\ = \/ \\у^
=Т11Л1КТ.2(а))^еО|1.
Суммируя сначала по Y, перепишем (5) в виде
О ^ а< II G-функция И Л V II (?. 2(a))*S G Ц.
9<"ч
Значит, для каждого а<й)2 найдется такой P(a)«Oi, что
О ^а„ = II G-функция ИДИ (Р («Г-2 (а))«е G||.
Поэтому существует такое значение Po<u>i и такое подмножество /soj
мощности <u2, что
о фа^= II G —функция II Д II (^,Z(o)) еС|| для всех «S/.
Мы придем к противоречию с условием счетиости, как в предыдущем пункте,
если покажем, что о^ Д «„ ^ О при а ф^, но это следует из того, что а^ /\а.^
<||Z(a) = Z(P)|| = 0
В силу леммы 8.5.
9. KIAiKOiBA МОЩНОСТЬ КОНТИНУУАЛА?
9.1. После всего, что мы узнали о языке и аксиоматике Церме-
ло — Френкеля, возвращение к этому вопросу может показаться
наивным, но оно неизбежно, если считать основной ценностью
смысл.
Среди специалистов по основаниям существует и
распространена точка зрения, согласно которой ответ состоит в том, что bo-i
прос бессмыслен. К такой точке зрения как будто стал склоняться
и сам Поль Коэн [19], признавая, что тем самым «принимает на
себя тяжелую ношу».
Разумеется, с этих позиций должна быть отвергнута почти вся
семантика языка Li Set, в том числе заведомо этажи V^
универсума фон Неймана начиная с а=а)о+1- Никакое половинчатое
решение не может спасти дела, тем более, что вопросы о высших
147

аксиомах бесконечности или так называемых «измеримых
кардиналах» находятся в еще худшем положении, чем КГ.
В таком случае следует предпринять серьезные поиски
альтернативных языков и семантики. Разногласия здесь велики и
непримиримы. Наиболее четкую позицию занимают конструктизисты,
несмотря на существование и в их среде различных оттенков
мнений. Они отвергают актуальную бесконечность и неэффективные
доказательства существования. (Последнее, впрочем, на практике
часто сводится к более дифференцированному
словоупотреблению — «не может не существовать», «квазисуществует», которое
почти синонимично лингвистическим предосторожностям,
принятым в классических текстах.) Недостаток этой позиции, на наш
взгляд, состоит в том, что конструктивизм отнюдь не является
«другой математикой». Это — крайне рафинированная подсистема
классической математики, отвергающая ее крайности и бережно
лелеющая эффективный вычислительный аппарат.
К сожалению, похоже, что именно «крайности» — смелые
экстраполяции, инфинитные и не поддающиеся конструктивной
интерпретации абстракции — придают аппарату эффективность.
Трудно представить себе, какую помощь могла бы получить от
математики квантовая физика XX века, если бы в течение
последней сотни лет ее аппарат развивался только на основе абстракции
«конструктивного объекта». Какие-нибудь стандартные вычисления
с бесконечномерными представлениями групп Ли, играющие
сегодня важную роль в понимании микромира, скорее всего просто
не были бы придуманы.
Не исключено, что новую (или хорошо забытую старую)
концепцию континуума, при которой он не будет иметь никакой
«мощности», следует искать в глубоком изучении внешнего мира.
Представление о множестве, состоящем из элементов, действительно
рискует оказаться адекватным лишь для конечных или счетных
множеств, тогда как «высшие бесконечности» могут оказаться
абстракциями от объектов совершенно другого типа.
Физика как будто бы указывает на принципиальное отличие
процедуры «счета» от идеализации измерения по Эвдоксу—Де-
декинду. Счету поддаются материальные области притяжениз,
«аттракторы» (Р. Том), которые суть единицы, не имеющие
резких границ. Доли единицы, если даже они реализуются физически,
суть аттракторы уже другой природы, в микромире и эти
представления, видимо, теряют смысл.
Если статистичность является фундаментальным свойством
природы, плодотворным может оказаться рассмотрение
математических моделей, в которых она появляется в качестве
неопределимого понятия. Неожиданное богатство нестандартных
интерпретаций классической математики в булевозначных моделях согласу-
148

€тся С предположением, что все слова, которые мы говорим, нун^но
понимать иначе.
9.2. Перейдем теперь к менее радикальной точке зрения на
проблему континуума, при которой она считается осмысленной.
Тогда главный вопрос по-прежнему состоит в том, как узнать
положение континуума на шкале алефов.
П. Коэн заканчивает свою книгу [7] следующим мнением:
«Точка зрения, которая, как предчувствует автор, может в конце
концов стать принятой, состоит в том, что КГ является, очевидно,
ложной ... С больше чем х„, а^, м^, где а = х^ и т. д. С этой
точки зрения С рассматривается как невероятно большое
множество, которое дано нам какой-то смелой новой аксиомой и к
которому нельзя приблизиться путем какого бы то ни было
постепенного процесса построения».
Таким образом, здесь дана гипотетическая оценка С снизу и
больше ничего — нет даже предположений о том, регулярен
кардинал С или сингулярен.
Но проблема состоит, конечно, не только в том, чтобы угадать
правдоподобную гипотезу. Ее следует поддержать настолько
убедительными косвенными свидетельствами, чтобы она стала
принятой, не будучи доказанной. Каков может быть характер этих
свидетельств?
Гедель [20], обсуждая любые новые аксиомы теории
множеств, пишет следующее: мы можем, конечно, надеяться достичь
и более глубокого понимания концепций, лежащих в основе логики
и математики, что позволит распознать интересующую нас
аксиому как следствие этих концепций.
Но и оставляя в стороне внутреннюю необходимость какой-то
новой аксиомы и даже признав отсутствие этой необходимости, мы
можем принять решение об истинности этой аксиомы другим
способом— индуктивно, изучая ее «успешность», т. е. плодотворность
при выведении «проверяемых» следствий. Мы имеем в виду
следствия, доказуемые и без этой аксиомы, но доказательства которых
при ее использовании значительно упрощаются, их становится
легче открыть, удается скомбинировать в одном рассуждении
многие разные доказательства. Отвергаемые интуиционистами
аксиомы вещественных чисел были до какой-то степени проверены
в этом смысле, потому что аналитическая теория чисел часто
позволяет устанавливать теоретико-числовые теоремы,
впоследствии поддающиеся доказательству элементарными средствами. Но
мыслима и гораздо более высокая степень уверенности. Могут быть
открыты аксиомы, столь богатые проверяемыми следствиями,
проливающие такой яркий свет на целые дисциплины и доставляющие
настолько сильные методы решения задач (даже, возможно,
решающие их в каком-то конструктивном смысле), что совершенно
149

безотносительно к их внутренней необходимости эти аксиомы
придется принять хотя бы в том же смысле, в каком принимают
любую основательную физическую теорию».
Мало что можно добавить к этой энергично выраженной
надежде. Имеется, однако, теорема, доказанная самим же Геделем,
согласно которой в достаточно богатой формальной системе любая
новая независимая аксиома как угодно сильно сокращает
доказательства подходящих утверждений, доказуемых без нее. Это
несколько ослабляет веру в прагматические критерии истинности.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ, о СМЫСЛЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ТЕКСТА
Изложенные выше результаты, демонстрирующие огромную
сложность понятий «доказуемости» и «истинности»
математических утверждений, делают естественной попытку обсудить, каков
вообще смысл математических абстракций. Возможные точки
зрения на этот счет были исходным пунктом для различных школ
в области оснований математики, сформировавшихся в XX веке.
Ниже мы кратко опишем концепции этих школ и стоящие перед
нами проблемы.
Начнем, однако, с замечания о том, что понятие смысла
математического текста само по себе является абстракцией высокого
уровня. Более непосредственному изучению поддаются процессы
осмысления текста, которые мы и принимаем в качестве
первоначального материала. В этих процессах выделяется несколько
аспектов, попеременно выступавших на первый план в разных
индивидуальных актах осмысления. Мы намерены описать их в
проследить, как абсолютизация какого-либо из этих аспектов
определяет каждую из оформившихся философских позиций
в проблемах оснований.
Осмыслению бытовых текстов на родном языке человек учится
с детства, параллельно с овладением самим этим языком,
находясь в однородной языковой среде. Так, в индивидуальном
сознании образуется потенциальное ядро сразу и однозначно
понимаемых текстов. Эта нерасчлененность процесса понимания бытового^
текста позволяет приписать ему наличие определенного смысла.
Разумеется, когда этот процесс понимания становится предметом
изучения психологов, лингвистов, психиатров, он обнаруживает
колоссальную сложность и иерархическую организацию. Здесь мы
вправе рассматривать его как единое целое, а смысл,
продуцируемый этим осмыслением, как правомерную абстракцию.
Иначе обстоит дело с языками науки. При создании очередного-
естественно-научного понятия, системы понятий или теории, а
также при обучении им соответствующие тексты предъявляются-
вместе с инструкциями по их осмыслению. Эти инструкции могут
150

-составлять явно выделенную часть текста, но могут и быть
замаскированными в языковых конструкциях, параллельных языковым
конструкциям в уже осмысленных текстах. Так появляется якобы
понятное выражение «электрон пролетел через щель А (а не через
щель 5)» в учебниках по квантовой механике, «инструкцией» по
осмыслению которого является его синтаксис, параллельный
синтаксису однозначно понимаемой фразы «камень пролетел через
щель А, а не через щель 5». Эта «инструкция» вводит в
заблуждение, и долгие последующие объяснения посвящены введению
правильно построенной для языка квантовой механики фразы
«амплитуда прохождения электрона через щель А» и инструкциям
по ее осмыслению. На дальнем конце такой иерархии инструкций
находятся обычно описания операционных процедур
экспериментальных наук — измерений, наблюдений и т. п. Осмысление текста
включает более или менее полное осознание этой иерархии.
Своеобразие математических текстов состоит обычно в
отсутствии таких операциональных процедур, к которым содержание
текста сводится хотя бы в конечном счете. Тем не менее в
определенных ситуациях в осмыслении математического текста такой
«реалистический» аспект играет основную роль.
Далее, осмысливая математический текст, математик
пользуется более или менее определенными зрительными,
кинематическими и другими образами, возникающими в его сознании.
Соответствующий аспект смысла мы назовем «внутренним».
Наконец, осмысляя текст в его отношении к другим реальным
или потенциальным текстам, т. е. строя его переводы на другие
подъязыки, эксплицируя определения, формализуя и т. д.,
математик обращается к «внешнему» аспекту смысла.
Рассмотрим в качестве простейшего примера осмысление
понятия «два» в контекстах «возьми два яблока», «философский
дуализм» и «шестой знак знак после запятой в десятичном
разложении я есть два». В первом из них наиболее существен реалистиче-
кий аспект смысла, во втором — внутренний, ибо представление
о «двух» должно применяться к столь сложной понятийной
системе, как «первоначальные сущности, предположительно лежащие
в основе мира, в рамках философских систем определенного
класса». Наконец, в третьем контексте доминирует внешний смысл, ибо
понимание этого текста апеллирует к реконструкции некоторого
метода приближенного вычисления я, метода получения
десятичных знаков соответствующего приближения, метода оценки
точности приближения и т. п.
Займемся описанием этих аспектов смысла и их влиянием на
выбор и оценку той или иной системы оснований математики
подробнее.
а) Реалистический аспект семантики. Не подлежит сомнению,
что он играет основную роль в широко понимаемой «прикладной»
151

математике. Сюда входят, конечно, инженерные и экономические
расчеты. То же относится к аппарату теоретической физики,
однако здесь резко возрастает роль и сложность процедур экспликации
физического смысла выкладок. По этой причине
формально-математическая строгость вычислений может отходить для физика на
второй план, если правила интерпретации служат более сильным
формообразующим фактором теории. Таково положение дел с
процедурами перенормировки в квантовой электродинамике, которые
для математики выглядят вводимыми ad hoc правилами вывода
в формальном тексте, но получают осмысление и конечное
оправдание в совпадении вычисленных радиационных поправок с
экспериментально измеренными. Физика же доставляет важнейшие
образцы множественности реалистических интерпретаций одной и
той же математической теории: волновое уравнение может
описывать колебание струны и рассеяние электронов; интеграл может
отвечать объекту, заряду, пути или вероятности; примеры можно
продолжать до бесконечности. Акцент на этой идее приводит
к столь разным концепциям, как «конвенционализм» А. Пуанкаре,
«теоретико-множественный релятивизм» Сколема или теоретико-
множественная интерпретация интуиционистской логики.
Для «чистого» математика реалистический аспект смысла
может доминировать, когда текст осмысливается как описание
алгоритмической процедуры, производимой над текстами же. Таковы
школьные алгоритмы действий с десятичными дробями или
метаматематические правила подстановки терма в формулу. Наконец,
смысл программы для компьютера есть та последовательность
состояний, которую воспроизведет компьютер, действуя в
соответствии с этой программой. Несколько утрируя, можно сказать, что
работа компьютера и есть одна из процедур осмысления
программы. Математика Египта и Вавилонии была почти целиком
«реалистической», и такова же семантика традиционных
школьных учебников для младших классов.
Следует подчеркнуть, что слово «реалистический» в наших
объяснениях нужно понимать широко. Даже когда его
истолкование ведется в терминах эмпирических процедур, мы всегда в
действительности подразумеваем некоторые абстракции, зачастую
очень рафинированные. Эти абстракции могут быть не только
естественно-научными, но и философскими: предположение о
существовании некоторого «неоплатонистского» мира множеств
позволяет отнести к «реалистической» философию классической
теоретико-множественной математики. Отвержение этого мира как
нереального с заменой его более реальным миром текстов и
алгоритмических процедур над ними характеризует «другой реализм»
конструктивной математики. Ориентация на реальность
физического мира и интерпретация математики в терминах естественных
наук предопределяет «прикладную» философию математики, едва
152

ли сформулированную систематически, но повседневно творимую
физиками.
б) Внутренний аспект семантики. Как сказано, он проявляется
в каждом индивидуальном акте осмысления как с трудом
эксплицируемый и зависящий от индивидуального сознания
«интуитивный смысл» текста.
Каждый человек имеет непосредственный доступ лишь к своему
сознанию. Самонаблюдение и языковые средства позволяют
создать некоторый внешний образ своих актов мышления, однако-
весьма несовершенный и неполный. При этом фундаментальная
подсознательная компонента либо вовсе выпадает из описания,
либо грубо деформируется в результате попыток ее экстериори-
зации.
По этим причинам существуюш,ие описания интуитивного-
смысла текстов обычно относятся к отдельным понятиям и
элементарным мыслительным актам. Кроме философов и психологов
замечательные образцы таких описаний оставили Б. Паскаль,.
П. С. Лаплас, А. Пуанкаре, Ж. Адамар. Общность анатомической
и функциональной структуры центральной нервной системы
разных людей, с одной стороны, и общность опыта и языковых
навыков— с другой, позволяет вычленить некоторую совокупность
элементарных единиц выражения для «языка интуитивных
смыслов». Сюда могут попасть такие ираматематические термины, как
«количество», «близость»; на более высоком
уровне—«отношение», «непрерывность/дискретность», на еще более высоком
уровне— «алгоритм». В роли таких единиц выражения могут
выступать также схематические рисунки.
Придание интуитивному понятию статуса термина в
аксиоматизированной подсистеме математики выводит его с уровня
«внутренней семантики» на уровень «внешней семантики». При этом
уточнение смысла происходит за счет отбрасывания
потенциальных возможностей, заключенных в интуитивном образе. Так,
интуитивное понятие «актуально бесконечно малой величины»
было полностью отброшено в классическом обосновании анализа,
затем возродилось в точных понятиях «нильпотентного элемента»
в алгебраической и дифференциальной геометрии наших дней и
«бесконечно малого числа» в нестандартных моделях
вещественного поля у логиков. Сохраняя некоторые черты интуитивного-
архетипа, эти «внешние» интерпретации бесконечно малой
величины не совпадают и уводят мысль в разных направлениях.
Совокупность единиц внутреннего смысла индивидуально и
исторически изменчива, открыта и слабо структурирована.
Овладение новым материалом ведет к образованию новых единиц.
Например, взаимодействие элементарных частиц между собой и с полем
в физике может описываться на языке «графов Фейнмана». Каждый'
такой граф «есть» чертеж из точек разных сортов, соединенных
11-1 1бЭ

ребрами-линиями разных сортов. Осмысливая данный граф «реа^
листически», физик увидит в части его ребер мировые линии
элементарных частиц. Другая часть ребер, не поддающаяся такой
интерпретации, будет сопоставлена с «виртуальными» частицами.
Так возникнет удобная новая единица интуитивного смысла,
отвечающая не наблюдаемым фактам, но промежуточным единицам
выражения в принятом языке. Аналогично возникли «кварки»,
отвечающие неприводимым представлениям некоторой группы.
Вопрос о «реальном существовании» виртуальных частиц или
кварков нуждается в тонкой интерпретации, предшествующей
попыткам его решения.
Заметим, наконец, что «внешнее» осмысление графа Фейнмана
предполагает, например, умение написать по нему
соответствующий член ряда теории возмущений, а «внешнее» осмысление
кварков — умение разложить тензорное произведение, двух
представлений в сумму неприводимых компонент.
Всякая последовательная концепция оснований математики
стремится ограничить фонд общепринятых единиц интуитивного
смысла необходимым минимумом. При этом производится как
отбор допустимых единиц выражения, так и ограничение объема
их интуитивного содержания. После этого остальные приемлемые
единицы интуиции структурируются их сведением к элементарным.
Принятие языка теории множеств, подготовленное «арифмети-
зацией континуума», действительно позволило резко уменьшить
.необходимую для математика область элементарных единиц «внун
треннего» смысла или по Н. Бурбаки «разных интуиции», не
уменьшив объема классической математики. Научившись
интуитивной интерпретации теоретико-множественных понятий и
конструкций, математик мог перестать обращаться к интуиции как
единственному источнику многих других понятий. «Кривая»,
например, стала сложным, но поддающимся недвусмысленной передаче
теоретико-множественным конструктом.
Последующее изучение этого понятия могло обнаружить у него
как и прежние «интуитивно очевидные» свойства, так и
совершенно новые, вроде существования кривой Пеано, заполняющей
квадрат, что казалось резко противоречащим интуиции (А.
Пуанкаре). Теория множеств избавила большинство математиков от
анархии различия индивидуальных интуиции, правда, ценой уста-
ловления тирании меньшинства, пытающегося добиться
интуитивного прояснения и согласования внутреннего смысла
единственного основного понятия «множество», сначала казавшегося столь
надежным.
Рассмотрим с этой точки зрения несколько альтернатив языка
теории множеств. Первая из них — двойственный язык «свойств»,
«предикатов» и т. п. Его элементарное выражение «обладать
свойством», заменяет выражение «быть элементом множества». Се-
154

мантика понятия «свойство», принимаемого за первоначальное^
в интуиции не обязана быть полностью эквивалентной семантике
понятия «множество элементов с данным свойством», хотя бы
потому, что определенность свойства «быть красным», совсем не
требует определенности «множества красных предметов», учитывая,
хотя бы наличие шкалы оттенков цвета. Более того, в доканторов-
ской математике язык свойств использовался именно для замены
табулизированной актуальной бесконечности. Действительно,
интуитивно «проверка того, что объект обладает данным свойством»
сильно отличается от «собирания воедино всех объектов с данным
свойством».
Тем не менее в системах Рассела—Уайтхеда, Куайна и других
авторов формализация языка свойств в «теориях типов»
использовалась именно для обоснования теории множеств.
Прагматическая цель состояла в таком ограничении универсума и языковых
средств, чтобы сделать невозможным появление парадоксов рас-
селовского типа.
«Реальностью» для теории типов является универсум, состоящий
из индивидуумов (нулевого типа), их свойств (первого типа),
свойств их свойств (второго типа) и т. д. до бесконечности.
Парадокс Рассела не воспроизводим, ибо свойство «быть свойством, не
обладающим самим собой» универсуму не принадлежит. В этом
универсуме, однако, интерпретировать классическую математику
неудобно уже на уровне языка и почти невозможно на уровне
аксиом существования: постулируемая Расселом специфическая
«аксиома сводимости» не удовлетворяла его самого. Варианты
теории типов связывают, с «логицистическим» тезисом, согласна
которому математика сводима к логике, по историческим и
интуитивным причинам, сам этот тезис едва ли обладает четким
содержанием (см. Клини [3]).
В интуиционистской математике место как «множества», так и
«свойства» примерно занимает выражение «закон образования»,
однако, принципиальная установка интуиционизма на
несущественность «внешнего смысла» их текстов, в частности неадекватность
любой из формализации, мешает вести это сопоставление слишком
далеко.
Для Брауэра и его школы интуиционизма предметом
первоначальной интуиции является ряд целых чисел О, 1, 2, 3..., при
этом рассматриваемый не как завершенный, но как становящийся
посредством закона перехода от л к п+1. Соответственно
индукция принимается как основной прообраз всех конструкций,
допустимых в математике. Сами по себе конструкции должны
осуществляться финитными средствами над финитными объектами, и
существование математического объекта понимается как
возможность построить его. Это исключает доказательства существования
«от противного», не сопровождаемые предъявлением соответст-
11* 155

вующега объекта в случае, когда он должен выбираться из
потенциально бесконечного множества. Это — известный принцип
неприменимости закона исключенного третьего в бесконечных областях.
Континуум Брауэра представляет собой с трудом
эксплицируемую в классических терминах «среду свободного становления»,
скажем, десятичных дробей, не актуально, а лишь потенциально
бесконечных, причем, однако, выбор последовательных десятичных
знаков не подчинен никакому закону.
Кронекер был первым проповедником ограничений, которые
подобная точка зрения налагает на математику, и одним из самых
влиятельных противников Кантора. Брауэр и его последователи
приложили много усилий к тому, чтобы прояснить контуры
интуиционистской математики и логики, пазвивая ее положительные
принципы. Однако они, в частности Гейтинг, постоянно
подчеркивали примат внутренней интерпретации математических текстов
•и ограниченные возможности передачи ее в однозначно
понимаемых аксиоматических теориях. С этих философских позиций
отсутствие готовности принять внутреннюю интерпретацию теории
множеств в духе Кантора может показаться необъяснимым: многие
математики признают внутреннюю интерпретацию теории множеств
в полном объеме. Для объяснения интукционисты привлекают
психологические аргументы в пользу примата идеи расчлененности,
прерывности и, стало быть, потенциальной счетности в качестве
единственно законного типа бесконечности. Интуиционистам не
чужды и апелляции к «реалистическому» смыслу математики,
в одной из статей Брауэр утверждает, что применение принципа
исключенного третьего в естественных науках зависит от свойств
конечности и дискретности физического мира.
Конструктивизм школы А. А. Маркова начал оформляться
в конце 40-х годов, как вариант интуиционизма, использующий
уточнения понятий конструктивного объекта и алгоритма на базе
теории рекурсивных функций либо ее вариантов. Не вдаваясь здесь
в подробности определений, укажем лишь на некоторые
характерные принципиальные установки этой школы.
«Реальность» конструктивистов составляют тексты в конечных
алфавитах, подвергаемые процессам переработки, которые алго-
ритмичны, в частности также описываемы текстами в конечном
алфавите.
Потенциальная бесконечность допускается как абстракция
текстов заранее не ограниченной длины и алгоритмов, работающих
заранее не ограниченное время; актуальная бесконечность
отвергается.
Существование математического объекта трактуется либо как
•его предъявление, либо как возможность построить его алгориф-
мически. Существенная тонкость состоит в том, что по А. А.
Маркову возможность алгорифмического построения сама по себе мо-
156

жет устанавливаться классическими средствами, а не
исключительно предъявлением такого построения. В частности, в таких
доказательствах может использоваться редукция к противоречию.
Конструктивный континуум представлен парами алгорифмов,
из которых первый задает вычислимую последовательность Коши
рациональных чисел, а второй — явные оценки скорости
сходимости (в классическом смысле). С точки зрения классической
математики конструктивный континуум счетен, сверх того, а) свойство
пары алгорифмов определять вещественное число алгорифмически
неразрешимо; б) свойство двух таких пар определять одно и то
же число неразрешимо; точно так же неразрешимо свойство
представлять данное число. По этим причинам конструктивный анализ
резко отличается от обычного. Например, в качестве функций
вещественной переменной рассматриваются алгорифмы, переводящие
конструктивное вещественное число в другое такое же число. Но
тогда такая простая функция, как f{x)=—1 при х^О, f{x)=0 при
jc>0, не существует в конструктивном анализе, ибо иначе было бы
разрешимо свойство числа «быть нулем». В действительности, все
конструктивные функции непрерывны в классическом смысле
слова.
Та «реальность», с которой классическая математика
сопоставляет свои конструкции, для большинства является чем-то вроде
платоновской «реальности» мира идей. С-точки зрения
философского материализма это — сублимированная и экстериоризирован-
ная реальность индивидуальных сознаний, отражающих внешний
мир; с точки зрения платонизма — реальность, независимая от
сознания и находящаяся с ним в предустановленной гармонии. Мы
можем также рассматривать этот мир как общую часть проекций
вовне внутренних смыслов математики в индивидуальных
сознаниях. Представление о единстве такого мира могло существовать
лишь до тех пор, пока протестующие голоса выдающихся
математиков не доказали обратного.
Едва ли, однако, можно считать окончательными любые
аргументы, высказывавшиеся по поводу семантики понятия
«множества» в математике. Их внимательный анализ показывает
крайнюю бедность привлекаемого научного материала.
Например, критикуя канторову актуальную бесконечность
различимых сущностей с «реалистических» позиций, можно было бы
заметить, что она абсолютизирует не столько опыт обращения
с конечным, сколько повседневную физику здравого смысла, в
которой мир состоит из отдельных вещей, поддающихся счету,
упорядочению, собиранию и т. п. Квантовая физика подсказывает тогда
абетракции мира совершенно другого типа, в котором
«множество» электронов, скажем, состоит из сущностей разных, но
неразличимых, в котором логика не отражает логики обыденной речи,
ориентированной на макромир, но и не совпадает с логикой интуи-
157

ционизма — вообще любой из версий, предлагавшихся философами
математики. Бесконечность микромира «внутрь» и «вширь» с ее
вероятностными и полевыми аспектами совершенно не похожа на
канторову и определенно не сводима к последовательности
«элементарных актов различения», все равно, считать ли ее актуальной
или потенциальной. Сам предикат «быть элементом» имеет в
микромире сомнительный статус.
С другой стороны, и психологические рассуждения Брауэра,
Рейтинга и других апеллируют в основном к элементарному
самонаблюдению и совершенно не принимают в расчет достижений
научной психологии и нейрофизиологии. Можно сказать, что
пристальное внимание к конструктивным аспектам математики
позволило вычленить понятие универсальной машины Тьюринга как
«наименьшего обш,его фактора» всех индивидуальных сознаний.
Его физиологической основой является дискретизованная
двигательная активность с использованием простейших рецепторов,
например осязательных.
Потециально счетная бесконечность интуиционистов и
конструктивистов есть бесконечность, доступная этому фактору. Однако
геометрическая интуиция, на которой основана бесконечность
континуума, при таком подходе полностью игнорируется. Ее
физиологической основой является двигательная активность самого
широкого плана, опирающаяся на сложнейшие процессы переработки
информации зрительными рецепторами соответствующими
корковыми полями. Нейрофизиологическое описание этих процессов
только начинается, но совершенно ясно, что сверхупрбщенные
концепции математической интуиции, предлагаемые в полемическом
задоре, далеки от реальности.
в) Внешний аспект семантики. Он дополнителен к внутреннему
аспекту в том же смысле, в каком описание правил
употребления слова «множество» дополнительно к его определению по
Кантору. Осмысляя математический текст «внешним» образом,
математик может конструировать его переводы на другие подъязыки
(от формул к графикам и наоборот), строить различные
сокращения текста или, напротив, реконструировать опущенные
подробности доказательств, экспериментировать с изменением посылок
и т. п. «Внешний смысл» математического текста —это его
рабочий смысл для математика-профессионала, когда он пишет статью,,
учит математике студентов или общается с коллегами. Процедура
внешнего осмысления не обязана быть и редко бывает полным,
точным, прямолинейным сведением к основным понятиям (такова
лишь ее модель в формальной теории). Она содержит круги,
тупики, и скачки. Осмысление евклидовой прямой как модели
вещественных чисел, а вещественных чисел как множества точек
прямой не определяет ни одного из этих понятий, но проясняет смысл
обоих.
158

«Реалистически" осмысливая дельта-функцию Дирака (8(jc)=0
00
Я1ри хфО, S (0) = схз, Г 5 (л-)dx=l), физик] представит себе ее,
—00
скажем, как точечную единичную массу бесконечной плотности. Для
математика несколько более абстрагированный вариант этого
представления будет скорее относиться к категории «внутренней»
семантики. Лишь получив возможность осознавать дельта-функцию
«внешним» образом как функционал на пространстве финитных
функций и включив ее таким образом в качестве хорошо
определенного терма в формализмы анализа и в качестве частного
теоретико-множественного объекта — в общематематические теории,
математик почувствует себя совершенно спокойно. Однако физик
вполне может удовлетвориться внешним формализмом для данного
'Случая, вовсе не постулируя его сводимости к теории множеств.
Философская компонента формалистических концепций
математики связана именно с абсолютизацией ее внешнего аспекта,
когда содержание полностью отождествляется с формой.
Кристаллизацией формальной математики в работах Гильберта и его
школы мы снова обязаны трудностям теории множеств.
Новаторство Кантора выразилось прежде всего в создании
содержательной теории «порядков бесконечности». С языковой
точки зрения это означало неявное введение некоторых аксиом
существования множеств (в том числе аксиомы множества частей
и аксиомы выбора), использование языковых конструкций нового
типа (как определение полной упорядоченности) и, наконец,
свободное применение логики конечного в новом инфинитарном мире
(в частности, закона исключенного третьего).
Такая оценка работы Кантора, разумеется, стала возможной
лишь в ретроспективе, для него и долгое время после него на
первом месте стояла семантика актуальной бесконечности
платоновского типа, хотя, возможно, и не выявленная до конца. Во
всяком случае утверждения и вопросы о существовании тех или
иных множеств воспринимались как имеющие общепонятный
смысл. Сами множества, существование которых утверждалось,
могли задаваться указанием свойства их общего элемента либо
конструкцией из некоторых уже данных множеств.
Перенос акцента со «смысла» на «текст» был вызван именно
критикой такой семантики как из-за обнаружения парадоксов, так и
яз-за интуитивной неприемлемости для многих теоремы Цермело
■о возможности вполне упорядочить любое множество. Точка
зрения Гильберта состояла в том, что не все математические понятия
а рассуждения вообще должны быть непосредственно
интерпретируемы в финитных терминах. Те из них, которые такой
интерпретации не допускают, суть «идеальные» языковые конструкции,
которые присоединяются к системе для упрощения доказательств
159

теорем, стандартизации языка и т. п. Допущение их в систему,
однако, требует соблюдения определенных правил гигиены, главное
из которых — непротиворечивость системы. Непротиворечивость
должна быть обеспечена заранее посредством тщательного
исследования синтаксиса языка, который уже должен проводиться без
апелляции к актуальной бесконечности.
Возникшая в результате проведения этой программы
совокупность формальных моделей математики и логики были важнейшим
ее результатом. В частности, оформление точных математических
понятий «вычислимости» и «алгорифма» и всей теории
рекурсивных функций тесно связано с программой Гильберта.
Невозможность ее выполнения в описанном объеме, открытая Геделем,
составляет другой аспект проблемы. Трудно решить, свидетельствует
ли эта невозможность в пользу принятия интуитивной теории
множества, какой мы ее знаем сейчас, или ее отвержения; с теми же
основаниями этот вопрос может ставиться ул<е для арифметики.
Во всяком случае, взгляд на математику как на формальную
систему очень плодотворен, если осознавать его ограниченность.
Он дает возможность достигнуть значительного взаимопонимания
при обсуждении таких разных концепций, как интуиционистская
логика и теоретическая физика, доставляя «пустые схемы»
сложных структур. Непротиворечивость формальной системы,
плодотворность которой проверена экспериментально, перестает быть
первостепенной задачей. Выбор конкретно порождаемых текстов
в такой системе составляющих весьма незначительную долю всех
допустимых текстов, все равно производится по неформализуемьш
правилам, которые важнее формальной непротиворечивости,
описываемой в терминах всех поддающихся порождению текстов..
Роль отбираемых текстов состоит в важнейшем, хотя и плохо
изученном посредничестве между мозгом и другим мозгом, мозгом и;
внешним миром, а также мозгом и самим собой (текст есть
внешняя память, текст наводит мост между геометрической и
арифметической интуицией каждого индивидуального сознания, которые^
возможно, опираются на существенно разные физиологические
механизмы). В конечном счете, главный аспект текста есть его
способность участвовать в таких актах посредничества, и только
изучение этой способности может разрешить загадку математики.
Старая метафора В. Гюго, сопоставляющего книгу и собор, имеет
глубокий смысл, если структурированность текста составляет
важнейшую предпосылку его социальной роли.
Все эти проблемы способствуют гуманитаризации математики;
вместе со встречным движением математизации гуманитарного
знания они помогают вернуть утраченное единство двух культур.
В предвидении синтеза мы можем ожидать нового понимания
«множества» как одной из самых удивительных мифологем нашего
времени.
160

СПИС<Ж ЛИТЕРАТУРЫ
Книги и статьи по математической логике и теории множеств
1. Шенфилд Дж. Математическая логика: Пер. с англ.—М.: Наука, 1975.
2. Мендельсон Э. Введение в математическую логику: Пер. с англ. — М.:
Наука, 1976.
3. Клини С. К- Введение в метаматематику: Пер. с англ. — М: ИЛ, 1957.
4. Линдон Р. Заметки по логике: Пер. с англ. — М: Мир, 1968.
5. Бурбаки Н. Теория множеств: Пер. с франц. — М.: A-tep, 1965.
6. Rosser J. В. Logic for Mathematicians. — New York: Putnam, 1953.
7. Коэи П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза: Пер. с англ. — М:
Мир, 1969.
Книги и статьи по теории рекурсивных функций и алгоритмов
8. Марков А. А. Теория алгоритмов. — Труды мат. нн-та В. А. Стеклова АН
СССР, 1954, т. 42.
9. Успенский В. А. Лекции о вычислимых функциях. — М.: Физматгиз, 1960.
10. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. — М.: Наука, 1966.
11. Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость:
Пер. с англ./ Под ред. В. А. Успенского.—М.: Мир, 1972.
12. Матиясевич Ю. В. Диофантовы множества. — УМН, 1972, т. 22, вып. 5,
с. 185—222.
,13. Л1анин Ю. И. Десятая проблема Гильберта. — Современные проблемы
математики/ Под ред. Р. В. Гамкрелндзе. — М.: ВИНИТИ, 1973, вып. 1,
с. 5—37.
14. Манин Ю. И. Теорема Геделя. — Природа, 1975, № 2, с. 80—87.
15. Успенский В. А. Теорема Геделя о неполноте в элементарном изложении.—
УМН, 1974, т. 29, вып. 1, с. 3—47.
Книги и статьи по проблемам оснований математики
16. Тарскин А. Введение в логику и методологию естественных наук: Пер.
с англ. —М.: ИЛ, 1948.
17. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств: Пер. с англ. — М.:
Мир, 1966.
18. Тростников В. Н. Конструктивные процессы в математике. — М.: Наука,
1975.
19. Коэн П. Дж. Об основаниях теории множеств.— УМН, 1974, т. 29, вып. 5.
с. 169—176.
20. Godel К. What is Canotor's continuum problem? — American Mathematical
Monthly, 1947, y. 54, № 9.
21. Лакатос И. Доказательства и опровержеиня: Пер. с англ. — М.: Наука,
1967.
161

другие цитированные работы
22. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра: Пер. с англ.—М.: Мир»
1960.
23. Линдси Ч., ван дер Мюйлен С. Неформальное введение в Алгол-68; Пер..
с англ. —М.: Мир, 1973.
24. Гладкий А. В., Мельчук И. А. Элементы математической логики. — М.: Мир,
1969.
25. Ивин А. А. Логика норм. — М.: МГУ, 1973.
26. Лурия А. Р. Потерянный и возвращенный мир. — М.: МГУ, 1971.
27. Стеблии-Каменский М. И. Культура Исландии. — Л., Наука, 1967.
28. фон Нейман Дж. Математические основы квантовой механики: Пер. с нем./
Под ред. акад. Н. Н. Боголюбова.—М.: Наука, 1964.
29. Макки Дж. У. Лекции по математическим основам квантовой механики.
Пер. с англ. — М.: Мир, 1965.
30. Reid С. Hilbert.—Berlin, Springer, 1975.
31. Smullyan R. M. Languages in which selfreference is possible. — J. Symbolic
Logic, 1975, V. 22, № 1.
32. Selfridge J., Nicol С A., Vandiver H. S. On the bust Fermat theorem.—
«Proc. National Academy USA», 1955, v. 41, p. 970—973.
33. Swinnerton — Dyer H. P. E. On the product of three homogeneous linear
forms. —«Acta Arithmetica», 1971, v. 18, p. 371—385.
34. Siegel C.-L. Zuzwei Bemerkungem Kummers. — «Nachrichten Ak. Wiss. Got-
tingen, Math.-Phys. Klasse», 1964, № 6, p. 51—57.
35. Mumford D. Equations defining abelian varieties. — Inventiones Mathematicael,
1967, V. 3, p. 3.
36. Kochen S., Speaker E. P. The Problem of hidden variables in quantum
Mechanics. J. Mathematics and Mechanics, 1967, v. 17, p. 59—87.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамар Ж. 153
Бар-Хиллел И. 7 , 53
Бенвенист Э. 87
Бернайс 21 , 100
Бериштейи 109
Биркгофф Г. 98
Брауэр 54 , 156 , 158
Бурали 100
Бурбаки Н. 7 , 22 , 30 , 154
Вандивер 56
Вейнрейх У. 40
Вигнер Ю. 3
Виета 3
Галуа 75
Гедель К. 6 , 7 , 9 , 21 , 56 , 78 , 100 , 87 ,
111 , 125 , 149 , 150 , 160
Гейнтииг 156
Гессе Г. 8
Гильберт 22 , 75 , 159 , 160
Гиндикин С. Г. 7
Гладкий А. В. 40 , 62
Гумбольдт 9
Гюго В. 161
Давенпорт 56
Декарт Р. 10
Деман К- 40 , 41
Зигель К- Л. 55 , 56
Ивни А. А. 41
Каитор Г. 74 , 101 , 108 , 109 , 110 , 157 ,
159
Картан А. 24
Клини С. К. 6 , 7 , 40 , 76 , 155
Кениг 110
Коэн П. Д. 6 , 7 , 21 , 61 , 74 , 110 — 112 ,
147 , 149
Кохен 89 , 97
Куайн 155
Зуммер 56
Куратовский 106
Кронекер 156
Лакатос И. 7
Лаплас П. С. 153
Лебег 110 , 112 , 116
Левенсейм 70
Лейбниц 10
Линдси Ч. 24
Лурия А. Р. 42
Мальцев А. А. 7
Мамфорд Д. 57
Марков А. А. 6 , 7 , 56 , 157
Мартынов Л. 63
Матиясевич Ю. В. 7
Мельчук И. А. 40 , 62
Мендельсон Э. 7 , 44 , 48 , 100
Морэ 23
Мостовский 71 , 72
Мюйлен С. ван дер 24
Нейман Д. фон 6 , 15 , 32 , 87 , 90 , 98 ,
100 , 103 , 125
Ник оль 56
Падучева Е. В. 40
Паскаль Б. 153
Пеано 11 , 48 , 54
Пономарев 98
Пуанкаре А. 152 , 153
Рассел Б. 40 , 155
Рейхенбах 40
Риман 20
Роджерс X. 7
Россер 14 , 43
Селфридж 56
Сколем 21 , 70 , 74 , 152
Соссюр 9
Стеблин-Каменский М. И. 63
Стоун 61
Суиннертон-Дайер X. П. Ф. 55 , 56
163

Тарский А. 6 , 7 , 9 , 21 , 78 , 85
Толстой Л. Н. 4
Том Р. 148
Тростников В. Н. 7
Тьюринг 6
Уайтхед 155
Успенский В. А. 7
Фейнман 154
Ферма П. 19
Ферми Э. 4
Форти 100
Фреге 10
Френкель А. 7 , 53 , 100
Хомский Н. 62.
Цермело 100 , 109
Шенфилд Д. 6
Шмульян 6 , 21 , 23 , 78 , 80 , 85
Шпеккер 89 , 97
Шредингер 90
Шредер 109
Эйленберг G. 24
Яглом И. М. 7

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома объемности 130
— полноты 115 , 119
— специализации 37
Аксиомы арифметики 48
— бесконечности 138
— выбора 141
— с кванторами 119
— пары 134
— подстановки 139
— порядка 119
— равенства 46
— регулярности 136
— специальные теории множеств
Цермело — Френкеля 49 , 72 , 78 ,
108 , 114 , 145
— степени 135
— суммы 134
Алгол-60 — 8
Алгебра истинностных значений 16
Алгоритмические языки 9
Алфавит 8
— языков 11
достаточный 65
Атомарные термы 12
Атом ортогелия 88 , 99
Аттракторы 148
Аутореферентность 87
Булевы алгебры 57 , 60
— функции истинности 61 , 127
Бинарное отношение 107
Вывод формулы из множества
формул в языке L 43
Внешний аспект семантики 158
Внутренний аспект семантики 158
Выражения 8
Выразимость 29
Выразительность языка 9
Вычисление 5
Вхождение последовательности Q в
Р 25
Геделево множество формул языка
L 38
Гипотеза континуума «ложна» 143
— Римана 20
Гомологическая алгебра 24
Граф 23
Гуманитаризация математики 161
Диагональный процесс Кантора 110
Дналекты 3?\ 22
Естественная семантика связки
«если ... то» 41
Задачи алгоритмической
неразрешимости 6
Изменение | по х 31
Интуиционизм 149
Имя 14
Интерпретационное множество 116
Интерпретационный класс 30
Интерпретация атомарных формул
31
— языка 29
Истинность 112
Кардинал 105
Квантовая логика 6 , 87 , 93
Квантовые тавтологии 97
Кеннииг 62
Класс замкнутых формул 29
Коммутирующие операторы 91
Конвенционализм 152
Конечное множество 18
Конструктивизм 148
Конструкции случайных множеств
137
Лемма о дедукции 45
— о змее 23
— об однозначном чтении 27
— Цорна 67
Логико-семаитические классы 40
Логический многочлен 36
Математика как формальная
система 160
Математическая логика 10
Математический язык 5
Метаязык 9
Метаязыковые переменные 10
Множества арифметические 33
— конструктивные 111
— равномощные 108
— сравнимые 108
Множество термов 12
— ф-выразимо 32
Множеств теория 6
Модель множества формул е 32
Модулярная структура 98
Модулярный вопрос 98
Мощностей измерение 105
16&

Мощность класса <р-выразимых
множеств 34
— континуума 147
Яевыводимость коитинуум-гипотезы
в 118
Невыразимость истинности 78 , 83
Недостижимые кардиналы 52
Неразрешимость математических
задач 5
Номер члена 25
.Неформальное толкование 13
Ординалы 101 , 103
— предельные 104
-Отображение множества в
множество 17
•Отображения вторичные 30
— первичные 30
Парадокс Сколема 70 — 74
Переводы арго — LiAr 15
Понятие «истинности» 5
"Приближенные симметрии 99
"Проблема континуума 6 , 108 , 110
— неразрешимости 5
Проверка истинности сложных
утверждений 113
Программы 8
'Простой кеннииг 62
Расширения языка 74
Реалистический аспект семантики
152
-«Реальность» для языков
математики 9
Регулярные открытые множества 144
Символы 30
•Синтаксические свойства истинности
35
Скобочная биекция 25
Случайный класс 132
Смысл математического текста 150
Сокращенная запись 10
Спин 99
Стандартная интерпретация LiSet 32
Специальные аксиомы 44
Стандартные модели 12
Статистичиость 148
Тавтологии 36 , 57 , 119
Тексты 8
Теорема Геделя о неполноте 6 , 87
о полноте логических соедств
44 , 64
— о невыразимости 79
— фон Неймана 88
о скрытых параметрах 6
— Стоуна о структуре булевых
алгебр 61
— Тарского о невыразимости нстии-
ности 6 . 83
— Ферма большая 19 , 56
Теоремы математики 10
Терм простой 76
Теория множеств 6
— рекурсивных функций и
алгоритмов 7
Термы 12
Техника «урезания моделей» 70
Топологическое пространство 18
Трансфинитная индукция 104
— рекурсия 104
Универсум над булевой алгеброй 124
— фон Неймаиа 15 , 51 , 100 , 105
Упорядоченная пара 17
Формальные языки 9
Формулы 12
Функция истинности 31
Частичная булева алгебра 94
Экспонат 84
Язык арифметики Шмульяна 80
— Бурбаки 22
— вещественного анализа 114
— нерелятнвистской квантовой
механики 90
— , синтаксис и семантика 9
— случайных вещественных чисел 6
— теории множеств 9 , 23
Цермело — Френкеля 11
— SELF 78
Языки высших порядков
— искусственные 21
— науки и бытовые 150
— первого порядка (предикатов) 11
— формальные н алгоритмические 9
Языковая деятельность ЭВМ 3
Ярлык выражения Р 84

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Введение в формальные языки 8
1. Общие сведения 8
2. Языки первого порядка 11
3. Начальная школа перевода 15
Глава П. Истинность и выводимость 25
1. Лемма об однозначном чтении 25
2. Интерпретация; истинность; выразимость 29
3. Синтаксические свойства истинности 35
4. Выводимость 43
5. Тавтологии и булевы алгебры 57
6. Теорема Геделя о полноте 64
7. Счетные модели и парадокс Сколема 70
8. Расширения языка 74
9. Невыразимость истинности: язык SELF 78
10. Язык арифметики Шмульяяа 80
11. Невыразимость истинности: теорема Тарского 83
12. Квантовая логика 87
Глава III. Проблема континуума и форсинг 108
1. Задача; результат; идеи ...'.... 108
2. Язык вещественного анализа 114
3. Невыводимость континуум-гипотезы в I^Real 118
4. Универсум над булевой алгеброй 124
5. Аксиома объемности ««истинна» 130
6. Аксиомы пары, суммы, степени и регулярности «истинны» . . . . 132
7. Аксиомы бесконечности, подстановки и выбора «истинны» . . . . 137
8. Гипотеза континуума «ложна» для подходящих В 143
9. Какова мощность континуума? 147
Заключение. О смысле математического текста 150
Список литературы 161
Именной указатель 163
Предметный указатель 165

Настоящая серия печатается по рекомендации IX
Международного Совещания руководителей
научно-технических издательств социалистических стран (июнь 1975 г.)
В серии участвуют:
Издательство «Советское радио» (СССР)
Издательство технической литературы
(ВНР)
Издательство «Техника» (ГДР)
Издательство н а у ч н о-т ехнической
литературы (ЧССР)